Министерство образования
и науки РФ рекомендует
Учебник
и практикум
Высшая математика
для экономического
бакалавриата
Под редакцией профессора
Н. Ш. Кремера
углубленный курс

УДК 51
ББК22.1я73
К79
Рецензенты:
кафедра высшей математики Московского
государственного университета экономики, статистики и информатики
(заведующий кафедрой профессор В. Л. Никишкин);
Солодовников Л. С. — заслуженный деятель науки РФ,
доктор физико-математических наук, профессор (Финансовая
академия при Правительстве РФ).
Кремер, Н. Ш.
К79 Высшая математика для экономического бакалавриата :
учебник и практикум / Н. Ш. Кремер, Б. А. Путко, И. М. Три-
шин, М. Н. Фридман ; под ред. Н. Ш. Кремера. — 4-е изд., пе-
рераб. и доп. — М.: Издательство Юрайт ; ИД Юрайт, 2012.—
909 с. — Серия : Бакалавр. Углубленный курс.
ISBN 978-5-9916-1967-7 (Издательство Юрайт)
ISBN 978-5-9692-1359-3 (ИД Юрайт)
Эта книга — полноценное руководство к решению задач.
Основные положения учебного материала дополняются
задачами с решениями для самостоятельной работы, раскрывается
экономический смысл математических понятий, приводятся
простейшие приложения математики в экономике.
Существенным отличием книги является наличие в ней
наряду с традиционными контрольными заданиями F0
вариантов, более 400 задач) тестовых заданий B7 тестов, более 400
тестовых заданий). Это позволяет эффективно использовать
учебник при проведении контрольных работ, тестировании
студентов, приеме зачетов и экзаменов, а также при самоконтроле.
Соответствует Федеральному государственному
образовательному стандарту высшего профессионального образования
третьего поколения.
Для бакалавров экономических специальностей и
направлений вузов, а также магистров и аспирантов, экономистов,
преподавателей и лиц, занимающихся самообразованием.
УДК 51
ББК 22.1я73
© Кремер Н. Ш, Путко Б. А.,
Тришин И. М, Фридман М. Н., 2010
ISBN 978-5-9916-1967-7 © Кремер Н. Ш., Путко Б. А.,
(Издательство Юрайт) Тришин И. М, Фридман М. Н., 2012,
ISBN 978-5-9692-1359-3 с изменениями
(ИД Юрайт) © ООО «ИД Юрайт», 2012

Оглавление
Предисловие 15
Введение 20
Раздел I
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА С ЭЛЕМЕНТАМИ
АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
Глава 1. Матрицы и определители 26
ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ КУРС
1.1. Основные сведения о матрицах 26
1.2. Операции над матрицами 28
1.3. Определители квадратных матриц 37
1.4. Свойства определителей 43
1.5. Обратная матрица 47
1.6. Ранг матрицы 51
ПРАКТИКУМ
1.7. Действия с матрицами 57
1.8. Определители квадратных матриц 59
1.9. Обратная матрица 64
1.10. Ранг матрицы 66
1.11. Задачи с экономическим содержанием 70
Контрольные задания по главе 1
«Матрицы и определители» 75
Тест 1 77
Глава 2. Системы линейных уравнений 79
ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ КУРС
2.1. Основные понятия и определения 79
2.2. Система п линейных уравнений с п переменными.
Метод обратной матрицы и формулы Крамера 81

4
Оглавление
2.3. Метод Гаусса 86
2.4. Система т линейных уравнений
с п переменными 91
2.5. Системы линейных однородных уравнений.
Фундаментальная система решений 96
2.6. Модель Леонтьева — модель многоотраслевой
экономики (балансовый анализ) 99
ПРАКТИКУМ
2.7. Система п линейных уравнений
с п переменными 104
2.8. Система т линейных уравнений с п неременными.
Метод Жордана — Гаусса. Фундаментальная
система решений 112
2.9. Модель Леонтьева — модель многоотраслевой
экономики 118
Контрольные задания по главе 2
«Системы линейных уравнений» 120
Тест 2 121
Глава 3. Элементы матричного анализа 124
ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ КУРС
3.1. Векторы на плоскости и в пространстве 124
3.2. Понятия я-мерного вектора и векторного
пространства „. 130
3.3. Размерность и базис векторного пространства 132
3.4. Переход к новому базису 137
3.5. Евклидово пространство 139
3.6. Линейные операторы 141
3.7. Собственные векторы и собственные значения
линейного оператора 145
3.8. Квадратичные формы 150
3.9. Линейная модель обмена 155
ПРАКТИКУМ
3.10. Векторы на плоскости и в пространстве 158
3.11. Понятия n-мерного вектора и векторного
пространства. Евклидово пространство 163
3.12. Линейные операторы 170

Оглавление 5
3.13. Собственные векторы и собственные значения
линейного оператора (матрицы) 173
3.14. Квадратичные формы 178
Контрольные задания по главе 3
«Элементы матричного анализа» 182
ТестЗ 183
Глава 4. Уравнение линии. Прямая и плоскость 186
ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ КУРС
4.1. Системы координат. Простейшие задачи 186
4.2. Уравнение линии на плоскости 188
4.3. Уравнение прямой 190
4.4. Условия параллельности и перпендикулярности
прямых. Расстояние от точки до прямой 195
4.5. Окружность и эллипс 198
4.6. Гипербола и парабола 203
4.7. Полярные координаты 210
4.8. Плоскость и прямая в пространстве 213
ПРАКТИКУМ
4.9. Простейшие задачи. Уравнение прямой
на плоскости 217
4.10. Кривые второго порядка 227
4.11. Полярные координаты 235
4.12. Плоскость и прямая в пространстве 237
Контрольные задания по главе 4
«Уравнение линии. Прямая и плоскость» 244
Тест 4 245
КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ И ТЕСТЫ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «ЛИНЕНАЯ
АЛГЕБРА С ЭЛЕМЕНТАМИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ»
(РАЗДЕЛУ I)
Учебно-тренировочные тесты по дисциплине
«Линейная алгебра с элементами аналитической
геометрии» (разделу I) 248
Итоговые контрольные задания по дисциплине
«Линейная алгебра с элементами аналитической
геометрии» (разделу I) 255
Итоговый тест ЛА 258

6
Оглавление
Раздел II
ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
Глава 5. Функции одной переменной 262
ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ КУРС
5.1. Понятие множества 262
5.2. Абсолютная величина действительного числа.
Окрестность точки 264
5.3. Понятие функции. Основные свойства функций 265
5.4. Основные элементарные функции 269
5.5. Элементарные функции. Классификация функций.
Преобразование графиков 273
5.6. Применение функций в экономике 277
5.7. Интерполирование функций. Основные правила
приближенных вычислений 280
ПРАКТИКУМ
5.8. Функции и графики 284
Контрольные задания по главе 5 «Функции одной
переменной» 292
Тест 5 292
Глава 6. Пределы и непрерывность 294
ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ КУРС
6.1. Предел числовой последовательности 294
6.2. Предел функции в бесконечности и точке 296
6.3. Бесконечно малые величины 300
6.4. Бесконечно большие величины 304
6.5. Основные теоремы о пределах.
Признаки существования предела 307
6.6. Замечательные пределы. Задача о непрерывном
начислении процентов 310
6.7. Непрерывность функции 316
ПРАКТИКУМ
6.8. Вычисление пределов 322
6.9. Замечательные пределы. Применение
эквивалентных бесконечно малых величин
к вычислению пределов 331

Оглавление 7
6.10. Непрерывность функции и точки разрыва 338
Контрольные задания по главе 6 «Пределы
и непрерывность» 340
Тест 6 341
Раздел III
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Глава 7. Производная и дифференциал 344
ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ КУРС
7.1. Задачи, приводящиеся к понятию производной .... 344
7.2. Определение производной. Зависимость между
непрерывностью и дифференцируемостью
функции 346
7.3. Схема вычисления производной.
Основные правила дифференцирования 349
7.4. Производная сложной и обратной функций 353
7.5. Производные основных элементарных
функций 357
7.6. Производные неявной и параметрически
заданной функций. Понятие производных
высших порядков 362
7.7. Понятие дифференциала функции 365
7.8. Применение дифференциала в приближенных
вычислениях 368
7.9. Понятие о дифференциалах высших порядков 370
7.10. Экономический смысл производной.
Использование понятия производной в экономике 371
ПРАКТИКУМ
7.11. Вычисление производных 378
7.12. Геометрические и механические приложения
производной 385
7.13. Дифференциал функции 388
7.14. Экономические приложения производной 389
Контрольные задания по главе 7
«Производная и дифференциал» 395
Тест 7 396

8
Оглавление
Глава 8. Приложения производной 398
ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ КУРС
8.1. Основные теоремы дифференциального исчисления ... 398
8.2. Правило Лопиталя 402
8.3. Возрастание и убывание функций 406
8.4. Экстремум функции 408
8.5. Наибольшее и наименьшее значения функции
на отрезке и интервале 414
8.6. Выпуклость функции. Точки перегиба 416
8.7. Асимптоты графика функции 419
8.8. Общая схема исследования функций
и построения их графиков 422
8.9. Приложение производной в экономической теории 428
ПРАКТИКУМ
8.10. Основные теоремы дифференциального
исчисления 429
8.11. Правило Лопиталя 431
8.12. Интервалы монотонности и экстремумы
функции 435
8.13. Интервалы выпуклости функции.
Точки перегиба 440
8.14. Асимптоты. Исследование функций
и построение их графиков 442
8.15. Применение производной в задачах
с экономическим содержанием 450
Контрольные задания по главе 8
«Приложения производной» 455
Тест 8 455
КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ И ТЕСТЫ ПО ДИСЦИПЛИНЕ
«МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ», ЧАСТЬ 1 (РАЗДЕЛАМ II, III)
Учебно-тренировочные тесты по дисциплине
«Математический анализ», часть 1 (разделам И, III) 460
Итоговые контрольные задания по дисциплине
«Математический анализ», часть 1
(разделам И, III ) 467
Итоговый тест МАЛ 469

Оглавление 9
Раздел IV
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Глава 9. Функции нескольких переменных 474
ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ КУРС
9.1. Основные понятия 474
9.2. Предел и непрерывность 479
9.3. Частные производные 481
9.4. Дифференциал функции 483
9.5. Производная по направлению. Градиент 485
9.6. Дифференцирование сложной функции 487
9.7. Экстремум функции нескольких переменных 490
9.8. Наибольшее и наименьшее значения функции 494
9.9. Условньш экстремум. Метод множителей Лагранжа.... 497
9.10. Понятие об эмпирических формулах. Метод
наименьших квадратов 500
9.11. Функции нескольких переменных
в экономической теории 505
ПРАКТИКУМ
9.12. Основные понятия 510
9.13. Частные производные, градиент,
дифференциал 513
9.14. Экстремум функции нескольких переменных.
Условный экстремум 515
9.15. Метод наименьших квадратов 520
9.16. Функции нескольких переменных
в экономических задачах 525
Контрольные задания по главе 9 «Функции
нескольких переменных» 530
Тест 9 531
Раздел V
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Глава 10. Неопределенный интеграл 534
ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ КУРС
10.1. Первообразная функция и неопределенный
интеграл 534

10
Оглавление
10.2. Свойства неопределенного интеграла. Интегралы
от основных элементарных функций 536
10.3. Метод замены переменной 543
10.4. Метод интегрирования по частям 546
10.5. Интегрирование простейших рациональных
дробей 549
10.6. Интегрирование некоторых видов иррациональ-
ностей 554
10.7. Интегрирование тригонометрических функций 557
10.8. Об интегралах, «неберущихся» в элементарных
функциях 559
ПРАКТИКУМ
10.9. Непосредственное интегрирование 559
10.10. Метод замены переменной 561
10.11. Метод интегрирования по частям 568
10.12. Интегрирование рациональных функций 573
10.13. Интегрирование некоторых видов иррацио-
нальностей 577
10.14. Интегрирование тригонометрических
функций 581
Контрольные задания по главе 10 «Неопределенный
интеграл» 584
Тест 10 585
Глава 11. Определенный интеграл 587
ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ КУРС
11.1. Понятие определенного интеграла, его
геометрический и экономический смысл 587
11.2. Свойства определенного интеграла 593
11.3. Определенный интеграл как функция верхнего
предела 597
11.4. Формула Ньютона— Лейбница 600
11.5. Замена переменной и интегрирование
по частям в определенном интеграле 602
11.6. Геометрические приложения определенного
интеграла 605
11.7. Несобственные интегралы 615
11.8. Приближенное вычисление определенных
интегралов 620

Оглавление
11
11.9. Применение понятия определенного интеграла
в экономике 623
11.10. Понятие двойного интеграла 626
ПРАКТИКУМ
11.11. Методы вычисления определенного интеграла 630
11.12. Геометрические приложения определенного
интеграла 636
11.13. Несобственные интегралы 646
11.14. Приближенное вычисление определенного
интеграла 650
11.15. Применение понятия определенного интеграла
в экономике 652
11.16. Двойные интегралы 656
Контрольные задания по главе И «Определенный
интеграл» 658
Тест 11 659
Глава 12. Дифференциальные уравнения 661
ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ КУРС
12.1. Основные понятия 661
12.2. Дифференциальные уравнения первого порядка.
Задача Коши. Теорема о существовании
и единственности решения 665
12.3. Элементы качественного анализа
дифференциальных уравнений первого порядка 668
12.4. Неполные дифференциальные уравнения
первого порядка. Дифференциальные уравнения
с разделяющимися переменными 671
12.5. Однородные дифференциальные уравнения
первого порядка 674
12.6. Линейные дифференциальные уравнения
первого порядка 676
12.7. Дифференциальные уравнения второго
порядка, допускающие понижение порядка 678
12.8. Линейные дифференциальные уравнения
второго порядка с постоянными коэффициентами 679

12
Оглавление
12.9. Использование дифференциальных уравнений
в экономической динамике 690
12.10. Системы дифференциальных уравнений 694
ПРАКТИКУМ
12.11. Основные понятия 701
12.12. Дифференциальные уравнения
с разделяющимися переменными 704
12.13. Однородные дифференциальные уравнения
первого порядка 706
12.14. Линейные дифференциальные уравнения
первого порядка 709
12.15. Дифференциальные уравнения, допускающие
понижение порядка 714
12.16. Линейные дифференциальные уравнения
второго порядка с постоянными коэффициентами 717
12.17. Использование дифференциальных уравнений
в экономической динамике 723
12.18. Системы дифференциальных уравнений 728
12.19. Дополнительные задачи 731
Контрольные задания по главе 12
«Дифференциальные уравнения» 732
Тест 12 733
Раздел VI
РЯДЫ
Глава 13. Числовые ряды 736
ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ КУРС
13.1. Основные понятия. Сходимость ряда 736
13.2. Необходимый признак сходимости.
Гармонический ряд 740
13.3. Ряды с положительными членами 742
13.4. Ряды с членами произвольного знака 752
ПРАКТИКУМ
13.5. Сходимость ряда. Необходимый признак
сходимости 757

Оглавление 13
13.6. Сходимость рядов с положительными членами 760
13.7. Сходимость рядов с членами произвольного знака.... 769
Контрольные задания по главе 13 «Числовые ряды» 773
Тест 13 774
Глава 14. Степенные рады 777
ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ КУРС
14.1. Область сходимости степенного ряда 777
14.2. Ряды Маклорена и Тейлора 783
14.3. Формула Тейлора 788
ПРАКТИКУМ
14.4. Область сходимости степенного ряда 791
14.5. Ряды Маклорена и Тейлора 798
14.6. Применения рядов в приближенных
вычислениях 805
Контрольные задания по главе 14 «Степенные ряды» 816
Тест 14 816
Раздел VII
ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЫ
Глава 15. Комплексные числа 820
ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ КУРС
15.1. Арифметические операции над комплексными
числами. Комплексная плоскость 820
15.2. Тригонометрическая и показательная формы
комплексного числа 822
ПРАКТИКУМ
15.3. Действия над комплексными числами 827
Контрольные задания по главе 15 «Комплексные
числа» 830
Тест 15 831
КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ И ТЕСТЫ ПО ДИСЦИПЛИНЕ
«МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ», ЧАСТЬ 2 (РАЗДЕЛАМ IV—VII)
Учебно-тренировочные тесты по дисциплине
«Математический анализ», часть 2
(разделам IV-VII) 834

14
Оглавление
Итоговые контрольные задания по дисциплине
«Математический анализ», часть 2
(разделам IV-VII) 841
Итоговый тест МА.2 843
Приложение. Об использовании математических
пакетов при изучении курса высшей математики 847
Литература 854
Ответы 856
Предметный указатель 894

ПРЕДИСЛОВИЕ
Три предыдущих издания учебника выходили под названием
«Высшая математика для экономических специальностей».
Переход всех экономических вузов и отделений, начиная
с 2011/2012 учебного года, на двухуровневую систему
подготовки «бакалавр-магистр», определил новое название
учебника D-ое издание): «Высшая математика для
экономического бакалавриата».
Учебник написан в соответствии с требованиями
федеральных государственных образовательных стандартов (ФГОС)
по экономическим специальностям. Он соответствует
Примерной программе дисциплины «Математика», утвержденной
Минобразованием России, и содержит учебный материал по
курсам «Линейная алгебра с элементами аналитической
геометрии» и «Математический анализ», включенным в ФГОСы
по экономическим направлениям в виде отдельных
математических дисциплин.
При написании курса высшей математики для
экономических вузов авторы руководствовались принципом повышения
уровня фундаментальной математической подготовки
студентов с усилением ее прикладной экономической
направленности. При введении основных понятий отдавалось
предпочтение классическому подходу: так, например, понятие
непрерывности функции вводится после рассмотрения
понятия предела, определенный интеграл определяется как
предел интегральной суммы и т.п. Там, где это возможно,
даются геометрический и экономический смыслы
математических понятий (например, производной, интеграла и т.д.),
приводятся математические формулировки ряда
экономических законов (закона убывающей доходности, принципа
убывающей предельной полезности, условия оптимальности
выпуска продукции), рассматриваются простейшие
приложения высшей математики в экономике (балансовые модели,
предельный анализ, эластичность функции, производственные
функции, модели экономической динамики и т.п.). Такие
приложения рассчитаны на уровень подготовки студентов
первого курса и почти не требуют дополнительной
(экономической) информации.
Данный учебник подготовлен на основе учебника [2] и
учебного пособия [18] тех же авторов. По сравнению с
указанными книгами в него включен ряд дополнительных
теоретических вопросов и задач (например, след матрицы, полярные

16
Предисловие
координаты, системы дифференциальных уравнений,
достаточное условие экстремума функции п переменных, признак
сходимости Коши, применение математических пакетов при
изучении курса высшей математики и др.). Главное отличие
этого издания заключается в совмещении в одной книге и
учебника, и полноценного практикума, что позволило, в частности,
исключить неизбежные повторы учебного и справочного
материала.
Известно, что изучение базовых математических
дисциплин в вузе осуществляется по апробированной многолетней
практикой схеме: лекции — практические занятия —
контрольные работы (типовые расчеты, тестирование) —
экзамен. Данный учебник написан в соответствии с этой схемой.
Каждая глава учебника содержит «Теоретический курс», в
котором раскрывается основное содержание темы и
приводятся иллюстрирующие учебный материал решенные
практические примеры и задачи, и «Практикум», в котором
представлено достаточно большое число типовых и более
сложных комплексных задач с решениями и для
самостоятельной работы.
В конце каждой главы по представленной в ней теме
приводятся как традиционные контрольные задания (три
варианта по пять — девять задач), так и тест A0—15
тестовых заданий). Кроме того, в целом по дисциплине
«Линейная алгебра (с элементами аналитической геометрии)», по
первой и второй частям дисциплины «Математический
анализ»1 даются как традиционные итоговые контрольные
задания (пять вариантов по восемь задач), так и итоговые
тесты (по 24 тестовых задания).
Приведенные контрольные задания и тесты могут быть
эффективно использованы для аудиторных и домашних
контрольных работ, типовых расчетов, собеседований, на
зачетах и экзаменах (в частности, письменных), при
тестировании студентов (в том числе компьютерном), а также для
самоконтроля по вузовскому общему курсу математики.
Такое построение книги потребовало сделать изложение
теоретического материала более кратким, отказаться без
существенного ущерба от малозначащих, громоздких или
повторяющихся по своим идеям доказательств утверждений,
1 Разделение учебного материала дисциплины на части соответствует
примерным срокам их изучения в экономическом вузе (соответственно
в I и II семестрах).

Предисловие
17
отличающихся от ранее проведенных лишь техническими
деталями. Вместе с тем авторы стремились к более тщательной
проработке базовых понятий и доказательств положений,
изучение которых предусмотрено настоящим курсом. Для
лучшего усвоения учебного материала приведены учебные
алгоритмы (схемы) решения определенного круга задач.
Особенностью предлагаемого «Практикума» является то,
что значительная часть задач и примеров имеет экономическое
содержание. Наиболее экономически значимые задачи,
представляющие самостоятельный интерес, выделены в
отдельные параграфы.
Для оценки уровня подготовленности студентов в
настоящее время все шире используются методы тестирования, в
частности, с применением современных компьютерных
технологий. Существенным отличием данной книги от
имеющихся на книжном рынке изданий является то, что наряду с
традиционными контрольными заданиями F0 вариантов, более
400 задач) в нем предлагается достаточно большое число
тестовых заданий B7 тестов, более 400 тестовых заданий).
При подготовке тестовых заданий авторы
ориентировались в основном на открытую форму у когда тестируемый
сам получает ответ в виде произвольного числа (целого
или записанного в виде десятичной дроби) — одного или
нескольких, допускаемых при компьютерном
тестировании. Такая форма заданий исключает возможность
угадывания правильного ответа, подсказок для его получения.
Приведены также задания в закрытой форме, когда
тестируемый должен выбрать один или несколько вариантов
ответа, предложенных на выбор. При этом авторы отказались от
альтернативных тестовых заданий (с двумя вариантами
ответа) из-за высокой @,5) вероятности угадывания правильного
ответа. В ряде тестов использовались тестовые задания на
выявление соответствия между элементами двух групп с
ответами в виде соответствующих пар «число — буква»,
характеризующих порядковые номера элементов в каждой группе.
В отдельных случаях применялись тестовые задания
на установление правильной последовательности
элементов с ответами в виде последовательности номеров этих
элементов.
Для усвоения учебного материала каждой главы
рекомендуется вначале изучить теоретические основы с
иллюстрирующими их решенными задачами и примерами, приведенны-

18
Предисловие
ми в «Теоретическом курсе», затем разобрать типовые и
более сложные задачи с решениями и решить часть задач для
самостоятельной работы из «Практикума». А для проверки
уровня подготовленности по материалам каждой главы и
дисциплинам «Линейная алгебра» и «Математический
анализ» в целом рекомендуется выполнить тематические и
итоговые контрольные и тестовые задания.
При подготовке задач (а их в учебнике около 2700) были
использованы различные пособия и методические
материалы. Часть задач и, в частности, тестовые задания
составлены специально для настоящего учебника. Наряду с
авторами в подготовке ряда задач для самостоятельной работы и
тестовых заданий принимали также участие преподаватели
кафедры высшей математики ВЗФЭИ: доценты Л. Р.
Борисова, А. С. Гулько, А. В. Потемкин, А. Ю. Шевелев, канд.
физ.-мат. наук Е. М. Воробьева.
Ответы всех задач, контрольных и тестовых заданий по
главам (кроме итоговых по дисциплинам) приводятся в
конце учебника. Нумерация задач (как с решениями, так и для
самостоятельной работы) единая по каждой главе
(начинается в «Теоретическом курсе» и продолжается в
«Практикуме»). В конце книги дан развернутый предметный указатель.
Знаком □ обозначается начало доказательства теоремы,
знаком ■ — ее окончание, а знаком ► — окончание решения
задачи.
В третье издание включены учебно-тренировочные
тесты (девять тестов по 20 тестовых заданий), которые могут
быть использованы для контроля (экспресс-проверки)
уровня подготовленности студентов перед курсовыми
экзаменами (зачетами), для проверки остаточных знаний студентов
при подготовке их к аттестации (аккредитации,
комплексной проверке) вуза по циклу общих математических и
естественнонаучных дисциплин, при решении вопроса о
перезачете дисциплин студентам, переводящимся в данный вуз из
других учебных заведений, и т.п. Эти тесты по указанным
выше дисциплинам (в целом) помещены вместе с их
итоговыми контрольными заданиями и тестами в отдельных
разделах, а тематические контрольные задания и тесты
перенесены из этих разделов в соответствующие главы учебника.
Авторы выражают глубокую благодарность проф. В. А. Ни-
кишкину и проф. А. С. Солодовникову за рецензирование
рукописи и сделанные ими замечания.

АВТОРЫ:
Я. Ш. Кремер, профессор (предисловие, введение,
гл. 2—7, 13—15), а также приложение
(совместно с Б. А. Путко));
Я. М. Тритии, профессор (гл. 10—12);
Б. А. Путко, доцент (гл. 8, 9, а также приложение
(совместно с Н. Ш. Кремером));
М. Я. Фридман, доцент (гл. 1);
Я. М. Эйсымонт, доцент (учебно-тренировочные
тесты).
Итоговые контрольные задания
и итоговые тесты подготовлены
авторами соответствующих глав
учебника совместно.

ВВЕДЕНИЕ
Математика — наука о количественных отношениях и
пространственных формах действительного мира. В
неразрывной связи с запросами науки и техники запас
количественных отношений и пространственных форм, изучаемых
математикой, непрерывно расширяется, поэтому
приведенное определение необходимо понимать в самом общем
смысле.
Академик А. Н. Колмогоров1 выделяет четыре периода
развития математики2: зарождения математики,
элементарной математики, математики переменных величин,
современной математики.
Понимание самостоятельного положения математики
как особой науки стало возможным после накопления
достаточно большого фактического материала и возникло
впервые в Древней Греции в VI—V вв. до н.э. Это было
началом периода элементарной математики.
В течение этого периода математические исследования
базировались лишь на достаточно ограниченном
количестве основных понятий, возникших в связи с самыми
простыми запросами хозяйственной жизни. Вместе с тем уже
на данном этапе происходит качественное
совершенствование математики как науки. На основе арифметики
постепенно зарождается теория чисел. Появляется алгебра
как буквенное исчисление. А созданная древними греками
система изложения элементарной геометрии — геометрии
Евклида — на два тысячелетия вперед стала образцом
дедуктивного построения математической теории.
В XVII в. запросы естествознания и техники привели к
созданию методов, позволяющих математически изучать
движение, процессы изменения величин, преобразование
1 Колмогоров Андрей Николаевич A903—1987) — российский
математик.
2 Колмогоров, А. Н. Математика / А. Н. Колмогоров //
Математический энциклопедический словарь. М.: Советская энциклопедия, 1988.

Введение
21
геометрических фигур. С употребления переменных
величин в аналитической геометрии и создания
дифференциального и интегрального исчислений начался период
математики переменных величин.
На первый план выдвигается понятие функции,
сыгравшее в дальнейшем такую же роль основного и
самостоятельного предмета изучения, как ранее понятия величины
и числа. Изучение функции привело к формулированию
основных понятий математического анализа: предела,
производной, дифференциала, интеграла. Создание
аналитической геометрии позволило существенно расширить предмет
изучения геометрии благодаря найденному
универсальному способу перевода вопросов геометрии на язык алгебры
и анализа — методу координат Р. Декарта. С другой
стороны, открылась возможность геометрической
интерпретации алгебраических и аналитических фактов.
Дальнейшее развитие математики привело в начале XIX в.
к постановке задачи изучения возможных типов
количественных отношений и пространственных форм с достаточно
общей точки зрения. Связь математики и естествознания,
оставаясь по существу не менее тесной, приобретает все
более сложные формы. Новые теории возникают не только в
результате запросов естествознания и техники, но и
вследствие внутренней потребности самой математики.
Замечательным примером такой теории является «воображаемая»
геометрия Н. И. Лобачевского. Развитие подобного рода
исследований в математике XIX—XX вв. позволяет отнести ее
к периоду современной математики.
Потребности развития самой математики,
«математизация» различных областей науки, проникновение
математических методов во многие сферы практической
деятельности, прогресс вычислительной техники привели к
появлению ряда новых математических дисциплин,
например, исследование операций, теория игр,
математическая экономика и др.
В основе построения математической теории лежит
аксиоматический метод, при котором в фундамент теории
закладываются некоторые исходные положения, называемые
аксиомами теории, а все остальные предложения теории получаются
как логические следствия аксиом. Примером применения
аксиоматического подхода является евклидова геометрия, в
которой четко проведена идея получения основного
содержания геометрической теории чисто дедуктивным путем из

22
Введение
небольшого числа аксиом, истинность которых
представлялась наглядно очевидной.
Основным методом в математических исследованиях
являются математические доказательства — строгие
логические рассуждения. Член-корреспондент РАН Л. Д.
Кудрявцев указывает, что в силу объективной необходимости
логические рассуждения (которые по своей природе, если
они правильные, являются и строгими) представляют
метод математики, без них математика немыслима^.
Следует отметить, что математическое мышление не сводится
лишь к логическим рассуждениям. Для правильной
постановки задачи, оценки ее данных, выделения существенных
из них и выбора способа ее решения необходима еще
математическая интуиция, позволяющая предвидеть нужный
результат прежде, чем он будет получен, наметить путь
исследования с помощью правдоподобных рассуждений. Но
справедливость рассматриваемого факта доказывается не
проверкой ее на ряде примеров, не проведением серии
экспериментов (что само по себе играет большую роль в
математических исследованиях), а чисто логическим путем, по
законам формальной логики.
Сказанное, естественно, не означает, что в предлагаемом
курсе высшей математики нужно использовать только
«строгие» доказательства, сводя все к аксиомам. Такой
задачи авторы не ставили, потому что это не только
невозможно в рамках вузовского курса (а тем более краткого
курса в экономическом вузе), но часто и нецелесообразно с
методической точки зрения, так как в процессе изучения
дисциплины в ограниченные сроки необходимо уделять
большое внимание разъяснению математических понятий
(в том числе и на интуитивном уровне), их
геометрическому, физическому и экономическому смыслам, решению
практических задач.
В математике изучаются математические модели. Это
могут быть как непосредственно математические модели
реальных явлений, так и объекты (структуры) для
изучения этих моделей. Одна и та же математическая модель
может описывать свойства далеких друг от друга по своему
конкретному содержанию реальных явлений. Так, одно и
то же дифференциальное уравнение может описывать
1 Кудрявцеву Л. Д. Современная математика и ее преподавание /
Л. Д. Кудрявцев. — М.: Наука, 1985.

Введение
23
процессы роста населения и распада радиоактивного
вещества. Для математики важна не природа рассматриваемых
объектов, а существующие между ними отношения.
В математике используются два вида умозаключений:
дедукция и индукция, позволяющие сделать выводы
соответственно на основании общих знаний для конкретного
случая и, наоборот, на основании частных случаев об
общих суждениях. Принцип математической индукции
гласит, что утверждение А(п), зависящее от натурального
параметра п, считается доказанным, если доказано ЛA) и для
любого натурального числа п из предположения, что верно
А(п), доказано, что верно также А(п +1).
При формулировке математических утверждений часто
используются необходимые и достаточные условия. Пусть
рассматривается какое-либо утверждение (положение) В в
связи с некоторым утверждением (условием) А. Если из В
следует А, т.е. В => А, то А называется необходимым условием
для Bf если же из А следует 5, т.е. А => 5, то А называется
достаточным условием для В. Например, делимость числа
на 2 — необходимое условие его делимости на 6 (делимость
на 6 => делимость на 2), а, скажем, делимость числа на 12 —
достаточное условие его делимости на 6 (делимость на 12 =>
делимость на 6). Если одновременно верны утверждения
В => А и А => В, т.е. А <=> 5, то А называется необходимым и
достаточным условием для В. Например, для делимости
числа на 6 необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на
2 и 3, ибо «делимость на 2 и 3 <=> делимость на 6».
Таким образом, необходимые условия — это такие
условия, без которых рассматриваемое утверждение заведомо
не может быть верным, а достаточные условия — это такие
условия, при выполнении которых это утверждение
заведомо верно. Выражение «необходимо и достаточно» можно
заменить равносильными выражениями «тогда и только
тогда», «если и только если», «в том и только в том
случае». Необходимые и достаточные условия обладают в
математике большой познавательной ценностью.
Математика играет важную роль при проведении
естественно-научных, инженерно-технических и гуманитарных
исследований. Она стала для многих отраслей знаний не
только орудием количественного расчета, но также
методом точного исследования, средством предельно четкой
формулировки понятий и проблем. Без современной
математики с ее развитым логическим и вычислительным ап-

24
Введение
паратом был бы невозможен прогресс в различных
областях человеческой деятельности.
Математика является не только мощным средством для
решения прикладных задач и универсальным языком науки, но
и элементом общей культуры. В связи с этим математическое
образование следует рассматривать как важнейшую
составляющую в системе фундаментальной подготовки
современного экономиста.
Основы высшей математики были разработаны в трудах
выдающихся ученых: математика и механика Древней
Греции Архимеда B87—212 до н.э.); французского философа и
математика Р. Декарта A596—1650); английского физика и
математика И. Ньютона A643—1727); немецкого философа,
математика и физика Г. Лейбница A646—1716);
математика, механика и физика Л. Эйлера A707—1783);
французского математика и механика Ж. Лагранжа A736—1813);
немецкого математика К. Гаусса A777—1855); французского
математика О. Коши A789—1857) и многих других
крупнейших ученых.
Большой вклад в развитие математики внесли
выдающиеся русские ученые Н. И. Лобачевский A792—1856),
М. В. Остроградский A801-1861), П. Л. Чебышев A821-
1894), А. А. Марков A856-1922), А. М. Ляпунов A857-
1918)и др.
Современная российская математическая школа
занимает передовое место в мировой математической науке
благодаря трудам знаменитых математиков: А. Д.
Александрова, П. С. Александрова, В. И. Арнольда, С. Н. Берн-
штейна, Н. Н. Боголюбова, И. Н. Векуа, И. М. Виноградова,
В. М. Глушкова, Л. В. Канторовича, М. В. Келдыша,
А. Н. Колмогорова, М. А. Лаврентьева, Ю. В. Линника,
A. И. Мальцева, П. С. Новикова, Ю. В. Прохорова,
B. И. Смирнова, С. Л. Соболева, А. Н. Тихонова и др.

Раздел I
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
С ЭЛЕМЕНТАМИ
АНАЛИТИЧЕСКОЙ
ГЕОМЕТРИИ

Глава 1
МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ КУРС
1.1. Основные сведения о матрицах
Понятие матрицы и основанный на нем раздел
математики — матричная алгебра — имеют чрезвычайно важное
значение для экономистов. Объясняется это тем, что
значительная часть математических моделей экономических
объектов и процессов записывается в достаточно простой, а
главное, компактной матричной форме.
Матрицей размера т х п называется прямоугольная
таблица чисел, содержащая т строк и п столбцов. Числа,
составляющие матрицу, называются элементами матрицы.
Матрицы обозначаются прописными буквами
латинского алфавита, например Л, 5, С, ..., а для обозначения
элементов матрицы используются соответственно
строчные буквы с двойной индексацией: а-., 6-., с^ ..., где г —
номер строки,,/ — номер столбца.
Например, матрица
anan...aXi...au \
a21a22-"a2j"-a2n
ai\ai2--aij---ain
lm\am2 • • • amj • • • amn I
или в сокращенной записи А = (al-); г = 1,2,..., т\ j = 1,2,..., п.
А =
тхп

1.1. Основные сведения о матрицах 27
Например, если т = 2, п в 3, то
<\ О -3^
А =
2x3
2 5 8
Наряду с круглыми скобками используются и другие
обозначения матрицы: [ ], || ||.
Две матрицы А и В одного размера называются
равными, если они совпадают поэлементно, т.е. а^ = Ъ^ для любых
г= 1,2,..., m; j =1, 2,..., я.
С помощью матриц удобно записывать некоторые
экономические зависимости. Например, таблица
распределения ресурсов, усл. ед., по отдельным отраслям экономики
Ресурсы

Электроэнергетические
Трудовые
Водные
Отрасль экономики
промышленность
5,3
2,8
4,8
сельское хозяйство
4,1
2,1
5,1
может быть записана в компактной форме в виде матрицы
А =
3x2
Г5,3
2,8
4,8
4,П
2,1
5,1 ,
В этой записи, например, матричный элемент а^ = 5,3
показывает, сколько электроэнергии потребляет
промышленность, а элемент а22 = 2,1 — сколько трудовых ресурсов
требуется для сельского хозяйства.
Виды матриц. Матрица, состоящая из одной строки,
называется матрицей(вектором)-строкой, или просто строкой,
а из одного столбца — матрицей(вектором)-столбцому или
просто столбцом: А = ( а^ а12,..., а^п) — матрица-строка;
В =
hi
\Pm\J
матрица-столбец.

28
Глава 1. Матрицы и определители
Матрица называется квадратной п-то порядка, если
число ее строк равно числу столбцов и равно п. Например,
'5 О (Л
А =
О -1
О О
V
— квадратная матрица третьего порядка.
Элементы матрицы а^ у которых номер столбца равен
номеру строки (i = j), называются диагональными и
образуют главную диагональ матрицы. Для квадратной матрицы
главную диагональ образуют элементы ап, а22,..., #„„•
Если все недиагональные элементы квадратной матрицы
равны нулю, то матрица называется диагональной^.
Например,
'5 О О4
А =
О -1
О О
— диагональная матрица третьего порядка.
Если у диагональной матрицы п-то порядка все
диагональные элементы равны единице, то матрица называется
единичной матрицей п-то порядка, она обозначается буквой
Е> или Еп. Например,
<\ О 0Л
единичная матрица третьего порядка.
£ = |0 1 О
О 0 1
Матрица любого размера называется нулевой, или нуль-
матрицей, если все ее элементы равны нулю:
(О О ... 0Л
О =
тхп
о о
о
о о
о
1.2. Операции над матрицами
Над матрицами, как и над числами, можно производить
ряд операций, причем некоторые из них аналогичны
операциям над числами, а некоторые специфические.
1 Если все диагональные элементы диагональной матрицы
одинаковы, то такая матрица называется скалярной.

1.2. Операции над матрицами
29
1. Умножение матрицы на число. Произведением
матрицы А на число X называется матрица В = АЛ, элементы
которой btj «= Xatj для г =1, 2,..., т; ./-1,2,..., п.
Например если А =
2 4
3 2
, то 5 А =
10
15
20 "\
10
Следствие. Общий множитель всех элементов матрицы
можно выносить за знак матрицы. Например,
0
В частности, произведение матрицы Л на число 0 есть
нулевая матрица, т.е. 0 • А = 0.
2. Сложение матриц. Суммой двух матриц АиВ
одинакового размера т х п называется матрица С = А + В,
элементы которой c^ = а,ц + Ъц для г = 1, 2,..., т; j = 1,2, ..., я
(т.е. матрицы складываются поэлементно). Например,
А =
B
I1
°]
6
>
/
; Я =
V
0 1 4
2 5 1
;С=А+В=
B
3
4
10
7
В частном случае А + 0 = Л.
3. Вычитание матриц. Разность двух матриц
одинакового размера определяется через предыдущие операции
«1» и «2»: А-В = А + (-1) • В.
4. Умножение матриц. Операция умножения матрицы Л
на матрицу В определена, когда число столбцов первой
матрицы равно числу строк второй1. Тогда произведением
матриц А • В называется такая матрица С , каждый эле-
тхк кхп тхл
мент Су которой равен сумме произведений элементов г-й
строки матрицы Л на соответствующие элементы ^'-го
столбца матрицы В:
k
Cij =aiAj +ai2l>2j+>-- + <*ikbkj = 2>*V' = 1. 2 w; 7 = 1, 2 n.
5=1
Пример 1.1. Вычислить произведение матриц ЛБ, где
(-1 0 О
(\ 0 2^
ч 1 о и
5
-2
/
В этом случае матрица А называется согласованной с матрицей В.

30
Глава 1. Матрицы и определители
Решение.
1. Найдем размер матрицы-произведения (если
умножение матриц возможно): А В = С.
2x3 3x3 2x3
2. Вычислим элементы матрицы-произведения С,
умножая элементы каждой строки матрицы А на
соответствующие элементы столбцов матрицы 5, следующим образом:
С =
1(-1) + 0-5 + 2(-2) 1-0 + 0-1 + 2-0 11 + 0-4 + 2 1
3(-1) + 1-5 + 0(-2) 3-0 + 1-1 + 0-0 31 + 1-4 + 0 1
г-5 0 3"! ^
Получаем С-
\
2 1 7
Многие свойства, присущие операциям над числами,
справедливы и для операций над матрицами (что следует
из определений этих операций):
5) (А + В) С - АС + ВС;
6) Х(АВ) - (ХА)В = А(кВ);
7) А(ВС) = (ЛВ)С
1)Л + В = В + Л;
2)(Л + В) + С = Л + (В + С);
3) А,(Л + В) - ЯЛ + АД
4) Л(В + С) = АВ + ЛС;
Однако имеются и специфические свойства матриц. Так,
операция умножения матриц имеет некоторые отличия от
умножения чисел.
а) Если произведение матриц АВ существует, то после
перестановки сомножителей местами произведение
матриц ВА может и не существовать. Действительно, в
примере 1.1 получили произведение матриц Л2х3 * #зхЗ' а ПР0ИЗ"
ведения 53х3 • ^2x3 не существует, так как число столбцов
первой матрицы не совпадает с числом строк второй.
б) Если даже произведения АВ и ВА существуют, то они
могут быть матрицами разных размеров.
Пример 1.2. Найти произведения матриц АВ и В А, где
( 0 3^
f2 1 1
А =
0 3 2
В =
0
1
-1
V
Решение. А^ = В3х2 = С^а =
@ 12^
1 17

1.2. Операции над матрицами
31
Щх2 * ^2x3 - £*ЗхЗ -
( О 9 6^
2 16 11
-2 2 1
, т.е. ЛЯ*ЯЛ.
в) Если оба произведения АВ и 5Л существуют и оба —
матрицы одинакового размера (это возможно только при
умножении квадратных матриц А и В одного порядка),
коммутативный (переместительный) закон умножения,
вообще говоря, не выполняется, т.е. АВфВ • А.
Пример 1.3. Найти произведения матриц АВ и ВА, где
А =
(\ 2
3 4
;Я =
(о
б
5^
8
Решение. АВ-
(\2 2\\
24 47
\ВА--
15 20
30 44
L т.е. АВфВА.
Матрицы А и Б, для которых выполняется коммутатив-
иый закон, называются перестановочными. Можно
показать, что скалярные матрицы перестановочны с любыми
кнадратными матрицами того же порядка.
В частном случае коммутативным законом обладает
произведение любой квадратной матрицы А п-то порядка на
единичную матрицу £ того же порядка, причем это
произведение равно А:
АЕ=ЕА = А.
ПА
пхп
• F =
ап ап.
а2\ а22-
а2п
Vio...o^
0 1 ... 0
ап\ ап2 ---On
0 0 ... 1
V
а2\
ап\
-а2п
= А.
'''пхп ' Агхл ~~
<\ 0...0Л
0 1...0
0 0...1
(°\\ а\2
а2\ «22
Уап\ ап2
• а2п
У V
«11
а2\
а2п
= А

32
Глава 1. Матрицы и определители
Таким образом, единичная матрица играет при умноже
нии матриц ту же роль, что и число 1 при умножении 4Hcej
г) Произведение двух ненулевых матриц может pai
няться нулевой матрице, т.е. из того, что АВ = О, не следуег
что А = 0 или 5 = 0. Например,
А =
1 1
1 1
*0;Я =
-1 -1
Ф 0, но АВ =
м
д) Если АВ = AD, то из этого равенства еще не следуег
что матрицы В и D равны. Например,
В =
T.e.B*D,noAB=AD=
5. Возведение в степень. Целой положительной степе
нью Ат (т> 1) квадратной матрицы А называется произве
дение т матриц, равных Л, т.е.
Ат=4-А-г.-4-
т раз
Заметим, что операция возведения в степень определя
ется только для квадратных матриц.
По определению полагают Л° = Е\ А1 = А. Нетрудно пока
зать, что Ат • Ak - Am+k; (Am)k = ЛЧ
Однако равенство (А • В)т :
для перестановочных матриц.
Ат • Вт справедливо тольк
Пример 1.4. Найти Л2, где А =
Решение.
А2 =
Если матрица А диагональная с диагональными эле
ментами а^ (i = 1, 2, ..., я), то для любого натурального /
матрица Ат тоже диагональная с диагональными элемен
тами а™ (следует из определения произведения матриц^
Например,

1.2. Операции над матрицами
33
А =
(о;}'-
О 81
.. + адаЛ*
Выражение вида Р(А) - адЯ + а^ + о^Л +.
где А и £ — соответственно квадратная и единичная
матрицы одинакового порядка; <Xq, al9...,am— числа,
называется полиномом (многочленом) от матрицы. Он представляет
собой матрицу, которую можно рассматривать как
результат подстановки матрицы вместо переменной х в обычный
многочлен степени т:
P(jt)=a0 + a1Jt+a2*2+...+awjtm.
Пример 1.5. Вычислить значение многочлена/(х) = Ъ? -
(г ь\
5х + 3 от матрицы А =
1 0
Решение. Вместо х подставляем в функцию/(х) матрицу
А, вместо числа 3 используем матрицу 3 • Е, где Е —
единичная матрица второго порядка, что и А.
Найдем
5/4=5
Iспорь
№) = 2Л2
3£=3
5Л + 3£ =
{
9
-1
-4^
11
16
4
16'
8
)
'10 20'
5 0
V )
Лъ °)
1° V
Если при подстановке матрицы А вместо х в многочлен
Р(х) получается нулевая матрица, т.е. Р(А) = 0, то матрица
А называется корнем многочлена Р(х), а сам многочлен —
аннулирующим многочленом для матрицы А.
Отметим также, что если Ат — нулевая матрица, то из
этого не следует, что матрица А = 0. Например,

34
Глава 1. Матрицы и определители
А =
2 -4
1 -2
*0, ноА1 =
(о (Л
1° °
= 0.
6. Транспонирование матрицы. Под этой операцией
понимают переход от матрицы А к матрице А', в которой
строки и столбцы поменялись местами с сохранением
порядка. Матрица А' называется транспонированной
относительно матрицы А:
А =
ап а\2
а2\ Л22
а2п
уат\ ат2 -"атп ) {а\п а2п
[А' =
ап а1Х
а\2 Л22
ат2
A.2)
Из определения следует, что если матрица А имеет
размер т х я, то транспонированная матрица А' имеет размер
пхт. Например,
4\
^2x3 = I „ , , \ АЪх2 = I
i
4 5 6
'1
2
V
В литературе встречаются и другие обозначения
транспонированной матрицы, например АТ.
Свойства операции транспонирования:
1)(Л')' = Л;
3) (А + ВУ = Л' + В';
2) (АЛ)' = АЛ';
4) (АВУ = В'А'.
Рекомендуем читателю доказать их самостоятельно.
Рассмотренные выше операции над матрицами
позволяют упростить решения некоторых экономических задач.
Пример 1.6. Предприятие выпускает продукцию трех
видов: Pj, P2, Р3 и использует сырье двух типов: 51 и 52. Нормы
'2 3^
расхода сырья характеризуются матрицей А =
где
каждый элемент а^ (i = 1, 2, 3\j =1,2) показывает, сколько
единиц сырья j-ro типа расходуется на производство еди-

1.2. Операции над матрицами
35
мицы продукции z-го вида. План выпуска продукции задан
матрицей-строкой С = A00 80 130), а стоимость единицы каж-
C0 ^
/и их) типа сырья (ден. ед.) — матрицей-столбцом В =
Определить затраты сырья, необходимые для планового
и ы пуска продукции, и общую стоимость сырья.
Решение. Затраты первого сырья составляют 5j = 2 • 100 +
i 5 • 80 + 1 • 130 = 730 ед. и второго - 52 = 3 • 100 + 2 • 80 + 4 х
х 130 = 980 ед., поэтому матрица-строка затрат сырья 5
может быть записана как произведение 5 = С- А = A00 80 130) х
B 3Л
5 2
I 4
= G30 980). Тогда общая стоимость сырья Q = 730 х
х 30 + 980 • 50 = 70 900 ден. ед. может быть записана в
матричном виде Q = S • В = (СА)В = G0 900). Общую стоимость
гырья можно вычислить и в другом порядке: вначале
вычислим матрицу стоимостей затрат сырья на единицу
'2 3V ч Г210Л
111 )< >ду кции, т.е. матрицу R = А • В =
|гм общую стоимость сырья
C°)
50
V /
у
250
230
V
L а за-
Q = С R = C(AB) = A00 80 130)
/210>\
250
230
= G0 900).
У
I la данном примере мы убедились в выполнении свой-
< i на 7 (см. с. 24) — ассоциативного закона произведения
матриц: (СА)В = С(АВ).
()чевидно, что при транспонировании матрицы ее диа-
шиальные элементы остаются на своих местах.
7. След матрицы. Следом квадратной матрицы Л
называть (и сумма ее диагональных элементов.
След, обозначается trA (от англ. trace — следI. Он играет
мижную роль в исследовании матриц и их приложениях
(например, в эконометрике).
1 И технических приложениях встречается также обозначение следа
мнфмцы sp^4 от немец, spur — след.

36
Глава 1. Матрицы и определители
Отметим основные свойства следа матрицы.
1. При транспонировании матрицы ее след не
изменяется (так как операция транспонирования не меняет
диагональных элементов), т.е. trA = trA'.
2. Если матрица D диагональная с элементами diit (i = 1,
т
2,...,п), то для любого натурального т ti^U") = Х^н •
i=l
3. Если А и В — квадратные матрицы п-го порядка, то
tr(АВ) = tr(BA) (хотя в общем случае АВ Ф ВА).
4. Если С — невырожденная матрица п-го порядка, то
для любой матрицы А п-го порядка выполняется
равенство^; tr(C_1AC) = trA
Пример 1.7. Проверить свойства 1—4 следа матриц:
А =
Решение.
(\ 2'
3 4
V )
;Я =
{\ о\
2 1
^ /
0Л
1 10 0 3 '
1. to4 = l + 4 = 5;A' =
2. D« =
Vo^
1 3
2 4
;to4' = l + 4 = 5.
0 3"
j;tr(D4) = 24 + 34=97.
' = (°^, тогда
1г(АВ) = 1г(Я4)=9.
4. |С| = -1*0, легко найти С
Понятие обратной матрицы С-1 рассмотрено в параграфе 1.5.

1.3. Определители квадратных матриц
37
1.3. Определители квадратных матриц
11еобходимость введения определителя — числа, харак-
м'ризующего квадратную матрицу Д — тесно связано с
решением систем линейных уравнений (см. гл. 2). Определи-
н\/и> матрицы А обозначается |Л| или А.
Определителем матрицы первого порядка А± = (яц),
и/т определителем первого порядка, называется элемент
"и:
A j = \A j| = 0ц. Например, пусть А{ = C), тогда Aj = \А^\ = 3.
Определителем матрицы второго порядка А2 = (fly), или
определителем второго порядка, называется число, которое
мычисляется по формуле
A, =L47| =
ап а\г
а2\ л22
~ аПа22 ~ а\2а2\-
A.3)
Произведения ci^a22 и «12^21 называются членами опре-
B Зл
делителя второго порядка. Пусть А2 =\
д9 =|А| =
V
1 5
= 2*5-3-1 = 7.
, тогда
Пусть дана квадратная матрица третьего порядка:
А,=
аи ап ахъ
а2\ <*22 а23
^31 аЪ2 аЪЗ
Определителем матрицы третьего порядка Л3 в (яА или
определителем третьего порядка, называется число,
которое вычисляется по формуле
Д3 = Из| = а\ \а22аЪЪ + а\2а2ЪаЪ\ + а2\аЪ2а\Ъ ~ ^31^22^13 ~
- ^12^21^33 - ^32^23^11- ' '
!)к) число представляет алгебраическую сумму,
состоящую из шести слагаемых, или шести членов
определители И каждое слагаемое входит ровно по одному элементу
и i каждой строки и каждого столбца матрицы. Знаки, с ко-
мфыми члены определителя входят в формулу A.4), легко

38
Глава 1. Матрицы и определители
запомнить, пользуясь схемой (рис. 1.1), которая называется
правилом треугольников или правилом Сарруш1.
ап ап а\ъ
а2\ а22 а2Ъ
аъ\ аъг аъъ
Рис. 1.1
Пример 1.8. Вычислить определитель третьего порядка
Аз=Из =
1 -I 1
2 1 1
1 1 2
Решение. Щ - 1 • 1 • 2 + 2 • 1 • 1 + (-1) • 1 • 1 - 1 • 1 • 1 -2х
х(-1)-2-1- 11=5. ►
Замечание. Обратим внимание на геометрическую
интерпретацию определителей второго А2 и третьего А3
порядков. Их абсолютные величины |Д2| и |Д3| равны
соответственно площади S параллелограмма (рис. 1.2) и объему V
параллелепипеда (рис. 1.3), построенных на двух и трех
векторах (см. параграф 3.1), координатами которых
являются элементы определителей.
Для того чтобы ввести понятие определителя более
высокого порядка, потребуются некоторые дополнительные
понятия.
Рассмотрим квадратную матрицу п-то порядка
гап аХ1...аХп Л
4.=
а2\ а22 ---а2п
ап\ ап2 --апп
Саррус Пьер Фредерик A798—1861) — математик.

1.3. Определители квадратных матриц
39
(ап,ап,а{3)
Рис. 1.2 Рис. 1.3
Из общего числа п2 элементов этой матрицы выберем
набор, содержащий п элементов, таким образом, чтобы в
него входило по одному элементу из каждой строки и
каждого столбца. Например, набор элементов (ац я22 — агт)
или (<2wl an_\2 — а\п) соответственно главной и побочной
диагоналей матрицы.
Любой такой набор можно упорядочить, записав
сначала элемент из первой строки, затем из второй и т.д., т.е.
(axha2h,...,anjn\ A.5)
Номера столбцов (j\\j$ ...;L) образуют при этом
перестановку] из п чисел: 1,2,..., п. Йсего существует я!1
различных перестановок из п натуральных чисел.
Введем понятие беспорядка, или инверсии, в
перестановке/. Это наличие пары чисел, в которой большее число
предшествует меньшему. Например, в перестановке из
грех чисел / = B; 1; 3) имеется одна инверсия B; 1), а в
перестановке /= C; 2; 1) — три: C; 2), C; 1), B; 1).
Обозначим через r(J) число инверсий в перестановке J.
Возвращаясь к наборам A.5) из элементов матрицы Л,
можно каждому такому набору поставить в соответствие
произведение его элементов
Определение п\ приведено в сноске на с. 312.

40
Глава 1. Матрицы и определители
и число r(J), равное числу инверсий в перестановке
J** (Jv 72' —*»7Я) из номеров соответствующих столбцов.
I Определение. Определителем квадратной матри-
цы п-го порядка, или определителем п-го порядка,
называется число1, равное алгебраической сумме п\ членов,
каждый из которых является произведением п элементов
матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого
столбца, причем знак каждого члена определяется как
(-1)Г(Д Где r(J) — число инверсий в перестановке/из
номеров столбцов элементов матрицы, если при этом
номера строк записаны в порядке возрастания:
J
Здесь сумма берется по всем перестановкам/.
Проверим, например, что при п = 3 мы получаем
введенный ранее определитель третьего порядка A.4):
0 2 2
А3 =(-1) ах \а1гаъъ +(-1) ах2а2з^з 1 + С") а13а21а32 +
3 11
+ (-!) <*13^22^31+(-1) 012^21^33+(~1) а11а23а32'
т.е. то же число, что и по формуле A.4).
Заметим, что с ростом п резко увеличивается число
членов определителя (равное я!), поэтому даже для п = 4
использование формулы A.7) весьма трудоемко (получим 24
слагаемых!).
На практике при вычислении определителей высоких
порядков используют другие формулы. Для их
рассмотрения необходимо ввести новые понятия.
Пусть дана квадратная матрица А п-то порядка.
Минором My элемента а^ матрицы п-го порядка
называется определитель матрицы (w-l)-ro порядка, полу-
1 Еще раз обращаем внимание на то, что определитель — это число,
характеризующее квадратную матрицу, и его не следует путать с
матрицей — таблицей чисел.
К=\А\=
«11 «12 •
«21 «22 •
«л1 «л2 •
«1л
■■а2п
•• «лга

1.3. Определители квадратных матриц
41
ченной из матрицы А вычеркиванием i-й строки и ;-го
столбца.
Например, минором элемента я12 матрицы Л3 третьего
порядка будет
М12 =
^п-^-ягз-
a2l a\l а2Ъ
аъ\ а\г аъъ
аг\ агъ
\аъ\ аъъ
'а2\аЪЪ~аЪ\а2Ъ-
Каждая матрица п-то порядка имеет п2 миноров (я-1)-го
порядка.
Алгебраическим дополнением А•• элемента а^ матрицы я-го
порядка называется его минор, взятый со знаком (-1),ч7":
М\
Ад =(-!)"'My,
A.8)
т.е. алгебраическое дополнение совпадает с минором, когда
сумма номеров строки и столбца (j+j) — четное число, и
отличается от минора знаком, когда (/+/) — нечетное число.
Например, Л23 = (~1J+3М23 = -М23; А31 = (-1K+1М31 =
= М.
31-
Пример 1.9. Найти алгебраические дополнения всех
элементов матрицы (из примера 1.6):
А =
(\ -1 П
2 1 1
V1 1 2
Решение.
Л„=(-1)'
1+1
Аг\=Н)'
2+1
Лз1=И)-
,3+1
1 1
1 2|
1-1 1
1 2|
-1 i
11
= 1; 4г=(-1I
1+2
Ч=-м13=(-1),+3
=3; Ап=(-1У
2+2
=-ЪА32=НУ
,3+2
1 1
1 2|
1 I1
=1; ЛтИ-1)'
,2+3
2 1
=1; ^33=(-D
3+3
2 1
1 ||
1 -II
1 i
1 -1|
2 i
=1;
=-2;
=!►

42
Глава 1. Матрицы и определители
Важное значение для вычисления определителей имеет
следующая теорема.
Теорема Лапласа1. Определитель квадратной матрицы
равен сумме произведений элементов любой строки или
столбца на их алгебраические дополнения2:
А = апАп + ai2Ai2 +... + ainAin = X aisAis
5=1
(разложение по элементам i-й строки; i = 1,2,..., п)\
A.9)
A = alyAly- +a2jA2j +... + anjAnj = £ asjAsj A 10)
5=1
(разложение по элементам j-го столбца; j = 1,2,..., п).
П Убедимся в справедливости теоремы Лапласа на
примере определителя матрицы третьего порядка. Разложим
его вначале по элементам первой строки:
аи а12 а13
а2\ а22 а23
а3\ аЪ2 аЪЪ
= аи(-1)
1+1
а22 а2Ъ
а32 а33
+ а12(-1)
1+2
а2Х а23
+я13(-1)
д+з
а2\ а22
азх а32
После преобразований (предоставляем их сделать
читателю) нетрудно убедиться в том, что полученное
выражение совпадает с определением A.4). Аналогичный
результат получаем при разложении определителя матрицы по
любой строке или столбцу. ■
Пример 1.10. Вычислить определитель треугольной
матрицы3
|5 3 0 7|
10 -1 2 3
0 0 3 1
0 0 0 1
1 Лаплас Пьер Симон A749—1827) — французский астроном,
математик и физик.
2 Точнее, данная теорема является частным случаем теоремы Лапласа.
3 Квадратная матрица называется треугольной, если все ее
элементы, расположенные ниже (или выше) главной диагонали, равны нулю.

1.4. Свойства определителей
43
Решение. Раскладывая по первому столбцу, получаем
5
0
0
0
3
-1
0
0
0
2
3
0
7
3
1
1
= 5(-1I+1
-12 3
0 3 1
0 0 1
+ 0 + 0 + 0 = 5(-1)
3 1
О II
+0 + 0 = 5(-1)-31 + 0 = -15. ►
На частном примере мы убедились в том, что
определитель треугольной (и, очевидно, диагональной) матрицы
равен произведению элементов главной диагонали.
Значение теоремы Лапласа состоит в том, что позволяет
свести вычисление определителей п-то порядка к
вычислению более простых определителей (w-l)-ro порядка.
1.4. Свойства определителей
1. Если какая-либо строка (столбец) матрицы состоит из
одних нулей, то ее определитель равен нулю.
2. Если все элементы какой-либо строки (столбца)
матрицы умножить на число X, то ее определитель умножится
на это число X.
П Пусть определитель исходной матрицы равен А. Для
определенности первую строку матрицы умножим на X,
получим новый определитель А', который разложим по
элементам первой строки:
А' =
Хап Хап ... Ха1п
а2\ а22 ... а2п
= XanAn+Xal2An+... + XalnA[n =
anl an2 ... an
= X(anAn+al2Al2+... + alnAln) = XA.
Замечание. За знак определителя можно выносить
общий множитель любой строки или столбца в отличие от
матрицы, за знак которой можно выносить общий
множитель лишь всех элементов. Например,

44
Глава 1. Матрицы и определители
2 4 6
8 0 4
-2 2 8
= 2
1 2 3
8 0 4
-2 2 8
= 2-2
1 2 3
4 0 2
-2 2 8
1 2 3
4 0 2
-1 1 4
= 2-2-2-2
1 2 3
2 0 1
-1 1 4
{ 2
8
-2
V
4 6^
0 4
2 8
)
= 2
( 1 2
4 0
-1 1
3)
2
4
3. /Три транспонировании матрицы ее определитель не из-
меняется: |Л'| = |А|.
4. При перестановке двух строк (столбцов) матрицы ее
определитель меняет знак на противоположный.
П Предположим вначале, что переставлены две
соседние строки матрицы: i и i +1. Разложим определитель
исходной матрицы А по элементам i-й строки, а определитель
новой матрицы (с переставленными строками) А' — по
элементам (г+1)-й строки. Разложения будут отличаться
только знаком, так как в формуле A.9) для А' каждое
алгебраическое дополнение будет иметь противоположный знак
(множители (-1I4? сменятся на множители (-l)f'+1+-0,
поэтому А' = -А.
Если переставить не соседние строки, а, скажем, г-ю и
(г+&)-ю, то такую перестановку можно представить как
последовательное смещение i-й строки на k строк вниз
(при этом каждый раз знак определителя меняется), а
(i+k)~ih строки на (£-1) вверх, что тоже сопровождается (£-1)
изменением знака, т.е. знак поменяется нечетное число
B&-1) раз, поэтому А' = -А.
Доказательство для столбцов аналогично. ■
5. Если квадратная матрица содержит две одинаковые
строки (столбца), то ее определитель равен нулю.
П Действительно, переставим эти строки (столбцы). С
одной стороны, определитель не изменится, но, с другой
стороны, по свойству 4 он поменяет знак, т.е. А.- -А,
откуда А - 0. ■
6. Если элементы двух строк (столбцов) матрицы
пропорциональны, то ее определитель равен нулю.

1.4. Свойства определителей
45
□ Пусть для определенности пропорциональны первая и
вторая строки. Тогда, вынося коэффициент
пропорциональности X, получаем по свойству 2, что А' = X • А, где А имеет
две одинаковые строки и по свойству 5 равен нулю. ■
7. Сумма произведений элементов какой-либо строки
(столбца) матрицы на алгебраические дополнения элементов
другой строки (столбца) этой матрицы равна нулю, т.е.
ХЯ|5А/5=0ПРИ'Ч/-
A.11)
5=1
□ Рассмотрим квадратную матрицу А и
вспомогательную матрицу, полученную из матрицы А в результате
замены 7-й строки на i-ю:
Un ап ... аы Л
Л =
ап <Чг
<Ч\ ая ••• ain
уап\ ап2 ••• апп j
т.е. матрица А имеет две одинаковые строки, поэтому
согласно свойству 5 ее определитель равен нулю. Вычисляя
его разложением по элементам j-й строки, получаем
A=HLaisAjs=:0 ПР11 **h ■
5=1
Замечание. Объединяя результат теоремы Лапласа и
свойство 7, получаем
5=1 I 0 при i * J.
A.12)
8. Определитель матрицы не изменится, если к
элементам какой-либо строки (столбца) матрицы прибавить
элементы другой строки (столбца), предварительно
умноженные на одно и то же число.

46
Глава 1. Матрицы и определители
□ Пусть для определенности к элементам i-й строки
матрицы прибавим элементы у-й строки, умноженные на X
(i *j). Тогда первая строка матрицы имеет вид: [(а^ + Алд)
(ai2 + Ха,2) ... (Я|Я + ^О]- Определитель полученной
матрицы вычислим разложением по элементам i-й строки:
где А^ — алгебраические дополнения элементов i-й строки
исходной матрицы (s = 1,2, ..., п\ i *j). Раскроем скобки и
получим после преобразования
п п
А' = X % А-* + ^Х ^д Л» О' * Д
5=1 5=1
Используя формулу A.12), получаем, что первая сумма
равна определителю исходной матрицы, а вторая — нулю,
т.е. А' = А. ■
9. Сумма произведений произвольных чисел Ьр 62> •••> Ьп на
алгебраические дополнения элементов любой строки
(столбца) равна определителю матрицы, полученной из данной
матрицы заменой элементов этой строки (столбца) на
числа bv b2>..., bn.
Свойство вытекает непосредственно из теоремы Лапласа.
10. Определитель произведения двух квадратных
матриц равен произведению их определителей: \С\ = |А| • \В\, где
С = А • В; А и В — матрицы п-то порядка.
Замечание. Из свойства 10 следует, что даже если АВ *
*А4,то|АВ|-|д4
Перечисленные свойства определителей позволяют
существенно упростить их вычисления, особенно для
определителей высоких порядков. При вычислении
определителей целесообразно так преобразовать исходную матрицу с
помощью свойств 1—9, чтобы преобразованная матрица
имела строку (или столбец), содержащую как можно
больше нулей, а потом найти определитель разложением по
этой строке (столбцу).
Пример 1.11. Вычислить определитель четвертого
порядка
ы=
4 6-2 4|
12-31
4-210
6 4 4 6

1.5. Обратная матрица
47
Решение. Преобразуем матрицу так, чтобы в третьей
строке все элементы, кроме одного, обращались в нуль. Для
этого умножим, например, элементы третьего столбца на
(-4) и на 2 и прибавим их соответственно к элементам
первого и второго столбцов. Раскладывая полученный
определитель по элементам третьей строки, находим
\м=
4 6
1 2
4 -2
6 4
-2 4
-3 1
1 0
4 6
12 2-2 4
13 -4 -3 1
0 0 10
-10 12 4 6
=1 •(-!)■
з+з
12 2 41
13 -4 1|
-Ю 12 61
Полученный определитель третьего порядка можно
вычислить по правилу треугольников или с помощью
теоремы Лапласа, однако можно продолжить упрощение
матрицы. «Обнулим» в матрице третьего порядка элементы
второй строки (кроме одного). Для этого элементы третьего
столбца матрицы, предварительно умножив на (-13) и на
4, сложим соответственно с элементами первого и второго
столбцов, тогда
ы=
12
13
10
2
-4
12
4
1
6
=
-40
0
-88
18
0
36
Раскладывая по элементам второй строки и вынося
общие множители, получаем
= 1(-D
2+3
-40 18
-88 361
= (-!)• (-8) 18
5 1
11 2
= -144.
1.5. Обратная матрица
Для каждого числа а Ф 0 существует обратное число а-1
такое, что произведение а • о-1 = 1. Для квадратных матриц
тоже вводится аналогичное понятие.
Определение. Матрица Л-1 называется обратной по
отношению к квадратной матрице А, если при
умножении этой матрицы на данную как справа, так и слева
получается единичная матрица:

48
Глава 1. Матрицы и определители
А=АА~1=Е.
A.13)
Из определения следует, что только квадратная матрица
имеет обратную; в этом случае и обратная матрица является
квадратной того же порядка.
Однако не каждая квадратная матрица имеет обратную.
Если а * О является необходимым и достаточным условием
существования числа я-1, то для существования матрицы
Л-1 таким условием является требование |Л| * 0.
Если определитель матрицы отличен от нуля (|Л| * 0), то
такая квадратная матрица называется невырожденной, или
неособенной; в противном случае (при |Л| = 0) —
вырожденной, или особенной.
Теорема (необходимое и достаточное условие
существования обратной матрицы). Обратная матрица Л-1
существует (и единственна) тогда и только тогда, когда
исходная матрица невырожденная.
П Необходимость. Пусть матрица А имеет обратную Л-1,
т.е. А • Л-1 = Л" • Л = Е. По свойству 10 определителей
имеем \А • А-Ц = |Л| • \А~Х\ = \Е\ = 1, т.е. |Л| * 0 и \А~Х\ * 0.
Достаточность. Пусть |Л| Ф 0. Рассмотрим квадратную
матрицу гс-го порядка Л, называемую присоединенной^. Ее
элементы являются алгебраическими дополнениями
элементов матрицы Л', транспонированной к Л: а~ = Л'- = Л ••
(i = 1, 2, ..., и; у = 1, 2, ..., я). Тогда элементы произведения
матриц А А = В определяются по правилу умножения
матриц:
h V~ Vi JN
s=\ s=i [ 0
|Д|щ»и=./,
-^y- (см. формулу A.12)).
Поэтому матрица В является диагональной, элементы ее
главной диагонали равны определителю исходной матрицы:
(\А\ 0 ... 0Л
1о \А\... О
о о ... И
1 В литературе присоединенную матрицу называют также взаимной,
или союзной.

1.5. Обратная матрица
49
Аналогично доказывается, что произведение Л на Л
равно той же матрице В: А • Л = Л Л = В. Отсюда следует, что
если в качестве обратной матрицы взять матрицу
А-^щАЦА^О), A14)
то произведения Л" • Л и Л • Л-1 равны единичной матри-
це Е п-то порядка: Л 1 • А= А- А = г-; • В = Е.
И
Докажем единственность обратной матрицы.
Предположим, что существуют еще матрицы X и У такие, что X Ф Л-1
и Уф А'1 (где матрица Л получена по формуле A.14)), и
выполняются равенства: АХ = Е и КЛ = Е. Тогда, умножая
на Л-1 слева обе части первого из этих равенств, получаем
Л-1 • АХ = Л-1 • Е, откуда ЕХ = Л-1 • £", т.е. X = Л.
Аналогично, умножая обе части второго равенства на Л-1 справа,
получаем Y= Л-1. Единственность доказана ■
Алгоритм вычисления обратной матрицы. 1°. Находим
определитель исходной матрицы. Если |Л| = 0, то матрица Л
вырожденная и обратной матрицы Л-1 не существует. Если
|Л| Ф О, то матрица Л невырожденная и обратная матрица
существует.
2°. Находим матрицу А', транспонированную к Л.
3°. Находим алгебраические дополнения элементов
транспонированной матрицы Л'- = AJJ, = 1, 2, ..., n;j = 1,
2,..., п) и составляем из них присоединенную матрицу
Л: а £ = А'^ - Л^ (f = 1, 2,..., я; j -1,2, ..., я).
4°. Вычисляем обратную матрицу по формуле AЛ4).
5°. Проверяем правильность вычисления обратной
матрицы Л-1, исходя из ее определения: Л-1 • А = А - Л^1 = Е
(п. 5° необязателен).
Пример 1.12. Найти матрицу, обратную к данной:
(I -1 П
А = \2 1 1
I1 ! \
Решение.
1°. Определитель матрицы |Л| = 5 Ф О (см. пример 1.6),
т.е. матрица Л невырожденная и обратная матрица Л-1
существует.

50
Глава 1. Матрицы и определители
2°. Находим транспонированную к А матрицу
( \ 2 О
А'=
-1 1 1 I
1 1 2
3°. Находим алгебраические дополнения элементов
матрицы А' и составляем из них присоединенную матрицу А,
М 3 -2Л
-3 1 1
1 -2 3
учитывая, что А^ = А # : А =
(см. пример 1.6).
1
4°. Вычисляем обратную матрицу А х = т—^А:
л-'Л
1 3 -2"]
-3 1 1
1 -2 3
)
(
=
V
1/5 3/5 -2/5^
-3/5 1/5 1/5
1/5 -2/5 3/5
5°. Проверяем правильность вычисления обратной
матрицы по формуле
Л-1 А=А- Л-1 = Е (рекомендуем в этом убедиться
самому читателю). ►
Можно показать, что любую невырожденную квадратную
матрицу Л с помощью отдельных элементарных
преобразований1 только строк или только столбцов можно привести к
единичной матрице Е того же порядка. При этом те же
преобразования, совершенные над матрицей Е в том же порядке,
приводят ее к обратной матрице Л-1. На этом основан еще
один способ нахождения обратной матрицы. Удобно
совершать элементарные преобразования над матрицами Л и Е
одновременно, записывая их рядом через черту (см. пример 1.59).
Для невырожденных матриц выполняются следующие
свойства.
1.
J_
\А\
l^j^Alj/)^^)»
4. (АВ) ~l=B~l • А ~\ 5. (А)' «(АХ1. 6. (оАL =ачАч; а*0.
1 См. с. 52.

1.6. Ранг матрицы
51
1.6. Ранг матрицы
Для решения и исследования ряда математических и
прикладных задач важное значение имеет понятие ранга
матрицы.
В матрице А размера т х п вычеркиванием каких-либо
строк или столбцов можно вычленить квадратные
подматрицы k-то порядка, где k < min(m; n). Определители
таких подматриц называются минорами k-го порядка
матрицы А. Например, из матрицы Л3х4 можно получить
подматрицы первого, второго и третьего порядков.
Определение. Рангом матрицы А называется наивыс-
| ший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы.
Ранг матрицы А обозначается rang А, или г (А).
Из определения следует:
а) ранг матрицы Атхп не превосходит меньшего из ее
размеров, т.е. г(А) < 1шп(тя; п);
б) г (А) = 0 тогда и только тогда, когда все элементы
матрицы равны нулю, т.е. А = 0;
в) для квадратной матрицы п-го порядка r(A)= n тогда и
только тогда, когда матрица А невырожденная.
Пример 1.13. Вычислить ранг матрицы
D 0 -8 О")
I2 0-4 0
" 3 0-6 Of
I1 ° ~2 °J
Решение. Матрица А имеет четвертый порядок, поэтому
г(А) < 4. Однако |Л| = 0, так как матрица А содержит
нулевой столбец, поэтому г(А) < 3. Все подматрицы третьего
порядка тоже содержат нулевой столбец и поэтому имеют
нулевые определители, г(А) < 2. Все подматрицы второго
порядка либо имеют нулевой столбец (второй или
четвертый), либо — пропорциональные столбцы (первый и
третий), поэтому тоже имеют нулевые определители; таким
образом г(А) < 1. Поскольку матрица А содержит
ненулевые элементы, т.е. невырожденные подматрицы первого
порядка, то г(А) - 1. ►

52
Глава 1. Матрицы и определители
Пример 1.14. Вычислить ранг матрицы
(\ 3 0
3 2 0
,2 -1 0
41
1
-з
А =
Решение. Для матрицы Л3х4 r(A) < min C; 4) = 3.
Проверим, равен ли ранг трем. Для этого вычислим все
миноры третьего порядка, т.е. определители всех
подматриц третьего порядка (их всего четыре, они получаются
при вычеркивании одного из столбцов матрицы):
= 0.
Поскольку все миноры третьего порядка нулевые, г (А) < 2.
Так как существует ненулевой минор второго порядка, на-
|1 3|
= -7*0, то г(А) = 2. ►
3 0 4
2 0 1
-1 0 3
= 0;
1 0 4
3 0 1
2 0 3
= 0;
1 3
3 2
2 -1
4
1
-3
= 0;
1 3 0
3 2 0
2-10^
пример
3 2
В общем случае определение ранга матрицы перебором
всех миноров достаточно трудоемко. Для облегчения этой
задачи используются преобразования, сохраняющие ранг
матрицы.
Назовем элементарными преобразованиями матрицы
следующие:
1) отбрасывание нулевой строки (столбца)]
2) умножение всех элементов строки (столбца) на число,
не равное нулю;
3) изменение порядка строк (столбцов);
4) прибавление к каждому элементу одной строки
(столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца),
умноженных на любое число;
5) транспонирование.
Теорема. Ранг матрицы не изменяется при ее
элементарных преобразованиях.
П При изучении свойств определителей было показано,
что при преобразованиях квадратных матриц их
определители либо сохраняются, либо умножаются на число, не
равное нулю. В результате сохраняется наивысший порядок

1.6. Ранг матрицы
53
отличных от нуля миноров исходной матрицы, т.е. ее ранг
не изменяется. ■
Две матрицы называются эквивалентными, если одна
получается из другой с помощью конечного числа
элементарных преобразований. Из теоремы следует, что
эквивалентные матрицы имеют одинаковые ранги.
С помощью элементарных преобразований можно
привести матрицу к так называемому ступенчатому виду, тогда
вычисление ее ранга не представляет труда.
Матрица А называется ступенчатой, если она имеет
следующий вид:
А =
ап ап
О а22
а2г
a2k
О О
ark )
A.15)
ап ап ■
0 ап .
0 0 ..
.. аХг
.. аХг
■ а\г
где ай Ф 0; i = 1, 2,..., r;r<k.
Замечание. Условие г < k всегда может быть достигнуто
транспонированием матрицы.
Очевидно, что ранг ступенчатой матрицы равен г, так
как имеется минор r-го порядка, не равный нулю:
= аиа22-...агг*0.
Алгоритм вычисления ранга матрицы с помощью
элементарных преобразований покажем на следующем примере.
Пример 1.15. Найти ранг матрицы
А =
Решение.
1°. Если Яц * 0, то при перестановке строк или столбцов
добиваемся того, что Яц Ф 0. В данном примере поменяем
местами, например, первую и вторую строки матрицы (см. ниже).
0
2
-4
-2
-1
-4
5
1
3
1
7
8
0
5
-10
-5
2\
3
о
з ,

54
Глава 1. Матрицы и определители
2°. Если ап Ф О, то, умножая элементы второй, третьей и
четвертой строк на подходящие числа (а именно, на -<221/<211 = О,
-03i/fln = 2, -04i/fln = 1) и прибавляя полученные числа
соответственно к элементам второй1, третьей и четвертой
строк, добьемся того, чтобы все элементы первого столбца
(кроме Яц) равнялись нулю2:
2
0
-4
-2
-4
-1
5
1
1
3
7
8
5
0
-10
-5
3^
2
0
3
©ф
B
0
0
|о
-4
-1
-3
-3
1
3
9
9
5
0
0
0
31
2
6
6
О
3°. Если в полученной матрице я22 * 0 (у нас я22 = — 1 ^ 0),
то, умножая элементы третьей и четвертой строк на
подходящие числа (а именно, на -032/^22 = ~^, ~a*a/atn = ~^),
добьемся того, чтобы все элементы второго столбца (кроме
я12, а22) Равнялись нулю. Если в процессе преобразований
получаются строки (или столбцы), целиком состоящие из
нулей (как в данном примере), то отбрасываем эти строки
(или столбцы):
[2-4 1 5 Ъ\
0-1302
0 0 0 0 0
[00000
B -4 1 5 ЪЛ
0-1302
Последняя матрица имеет ступенчатый вид и содержит
миноры второго порядка, не равные нулю, например,
2 -4|
= -2*0, поэтому ранг полученной ступенчатой, а
следовательно, и данной матрицы г(А) = 2. ►
Для рангов матриц справедливы следующие
соотношения:
1) г (Л + В) < г (Л) + г (В); 2) г (А + В) > \г (А) - г(В)\;
3) г (АВ) < min{r (Л); г (В)}; 4) г (Л' • А) = г (Л);
5) г (Л')-г (Л);
6) г (АВ) = г (Л), если В — квадратная матрица и \В\ Ф 0;
1 В данном примере я21 - 0, поэтому вторая строка не меняется.
2 Знак «~» означает равенство рангов матриц.

1.6. Ранг матрицы
55
7) г (ABC) - г (В), если АиС— квадратные матрицы; \А\ Ф
*0,|С1*0;
8) г (АВ) > г (А) + г (В) - п, где п — число столбцов
матрицы А или строк матрицы В.
Понятие ранга матрицы тесно связано с понятием
линейной зависимости (независимости) ее строк или столбцов1.
В матрице А обозначим ее строки следующим образом:
е\=(аПа12 ••• а1п)> е2 = («21^22 - а2п>> •••> ет = (flml am2 - атппУ
Две строки матрицы называются равными, если равны их
соответствующие элементы: ek = es, если ащ = a^,j = 1, 2,..., п.
Арифметические операции над строками матрицы
(умножение строки на число, сложение строк) вводятся как
операции, проводимые поэлементно:
Xek - (Kakl Xak2 ... Аль);
ek + es = Kfl*i + as\) (ak2 + as2) - (akn + asn)l
Строка em называется линейной комбинацией строк е*,
е2,..., ew_1 матрицы, если она равна сумме произведении
этих строк на произвольные действительные числа:
ет = Vi + he2 + - + К-\ет-и (и6>
где A,j, А,2,..., ^w_i — любые числа.
Строки матрицы е1? е2, •••> ew называются линейно
зависимыми, если существуют такие числа Х±, А,2,..., А,щ, не
равные одновременно нулю, что линейная комбинация строк
матрицы равна нулевой строке
Х1е1 + Х2е2 + ... + Хтет - 0, A.17)
где 0 = @ 0 ... 0).
Линейная зависимость строк матрицы означает, что
хотя бы одна строка матрицы является линейной
комбинацией остальных.
П Действительно, пусть для определенности в формуле
A.17) \тФ 0, тогда
ет " (-^lAw)^i + (-h/K)e2 + - + (- Vl/Xm)em-1> или
ет = Vi + he2 + - + K-\em-v (U8)
где Х{ - (-А,ДШ); г = 1,2,..., m - 1.
1 В дальнейшем материал излагается для строк матрицы, для
столбцов матрицы изложение аналогично.

56
Глава 1. Матрицы и определители
Таким образом, строка ет является линейной
комбинацией остальных строк. ■
Если линейная комбинация строк A.17) равна нулю
тогда и только тогда, когда все коэффициенты A,J7 равны
нулю, т.е. A,j = А^ = ... = Хт = 0, то строки е^ е2>..., ет
называются линейно независимыми.
Теорема о ранге матрицы. Ранг матрицы равен
максимальному числу ее линейно независимых строк или
столбцов, через которые линейно выражаются все остальные ее
строки (столбцы).
П Пусть матрица А размера тхп имеет ранг r(r< min (m; п)).
Это означает, что существует отличный от нуля минор г-го
порядка. Всякий ненулевой минор r-го порядка будем
называть базисным минором. Пусть для определенности это
минор
«11
«11
«И
«12 •
«12 •
«г2 •
• «1г
.. аХг
.. а„
Тогда строки матрицы е^ е2,..., ег линейно независимы.
Действительно, предположим противное, т.е. одна из этих
строк, например ег является линейной комбинацией
остальных:
ег = Х1е1 + Х2е2 + ... + \_^er_v
Вычтем из элементов r-й строки элементы первой строки,
умноженные на А^, элементы второй строки, умноженные на
Х^, и т.д., наконец, элементы (г - 1)-й строки, умноженные на
\_у На основании свойства 8 (см. парафаф 1.4) при таких
преобразованиях матрицы ее определитель А не изменится,
но так как теперь r-я строка будет состоять из одних нулей,
то А = 0 — противоречие, и наше предположение о том, что
строки вр е2,..., ег матрицы линейно зависимы, неверно.
Строки е^, е2,..., ег назовем базисными.
Покажем, что любые (г +1) строки матрицы линейно
зависимы, т.е. любая строка выражается через базисные.
Рассмотрим минор (г +1)-го порядка, который получается при

1.7. Действия с матрицами
57
дополнении рассматриваемого минора элементами еще
одной строки i и столбца/.
ki a\2 •
\а2\ а22
kl аг2 •
\ап ап ••
.. aXr aXj
... a2r a2j
.. arr arj
. air ay
Д' =
Этот минор равен нулю, так как ранг матрицы равен г,
поэтому любой минор более высокого порядка равен нулю.
Раскладывая его по элементам последнего
(добавленного) столбца, получаем а^Ау + «2/^2/ + — + arj^rj + ау\ = О,
где последнее алгебраическое дополнение Ац совпадает с
базисным минором А, поэтому оно отлично от нуля, т.е. А^ Ф 0.
Разделив последнее равенство на А^у можем выразить
элемент а{- как линейную комбинацию:
aij - X^5fl5/»
5=1
A.19)
raeJL-e./^
Фиксируем значение г (г > г) и получаем, что для любо-
roj(j= 1, 2,..., п) элементы i-й строки ei линейно
выражаются через элементы строк е^, е2, ..., ег т.е. i-я строка есть
г
линейная комбинация базисных: et = £ ^sesj- *
5=1
Теорема о ранге матрицы играет принципиальную роль
в матричном анализе, в частности, при исследовании
систем линейных уравнений.
ПРАКТИКУМ
1.7. Действия с матрицами
1.16. Найти матрицу С = А' - ЗВ, где
'о О
5 6
,0 3

58
Глава 1. Матрицы и определители
Найти матрицу С = - 5А + 25:
1.17. А =
5
2
3
6^
5
2 ,
Найти те из произведений матриц АВ и В А, которые
существуют:
1.23. А =
1 2^
3 4
В =
2 1 3
/ v° ° lj
/^2 1 2Л @ 3^
1.24. А = \ ; В = \
0 11 11
1.25. А =
E П
0 2
I1 3J
; в =
A 0 0Л
0 10
0 0 1
1.26. А = \
'Ъ 4Ч
В = \
ГЪ -2Ч
v2 5) [5 -4)
1.27. Вычислить матрицу £> = (ДВ)'-С2,где
f2 °1
5 = 11 3 ; С =
0 5
А =
'Ъ 4 2s
1 0 5
1 3
О 4

1.8. Определители квадратных матриц
59
1.28. Вычислить матрицу D = ABC - ЗЕ, где
<\ 2 -Ъ\ (О
А =
Я =
1 О 2
4 5 3
1.29. Вычислить Л3, если А =
1
с С = B О 5); Е—единичная матрица.
(I 1 -П
3-121
2-10
Найти матрицу Ап и ее след:
1.30. А =
1.32. А =
(\ -2Ч
3 -4
\п = Ъ. 1.31. А =
B О О
0 3 0
О 0 1
; п = 3.
4 -П
; и = 5.
5 -21
Найти следы матриц:
1.33. С = АВ, где Л =
2 1 О
3 0 5
И =
1 3
5 2
2 О
1.34. С = ЛВ и D - ВА, где Л =
1 2
3 4
/
5 =
р 0^
I 1 3^
Найти значение многочлена /(ж) от матрицы А:
1.35. /(ж) = Зх2 - 2х + 5; 1.36. /(х) = х3 -Ix1 + 13х - 5;
А =
(\ -2 Зч
2 -4 1
3-5 2
Л =
5 2 -3"!
1 3 -1
2 2 1
1.8. Определители квадратных матриц
1.37. Вычислить определители матрицы А:
f\ 2 0Л
а) Л.[\ \\ 6) Л.
5 1 2
О 3 1

60
Глава 1. Матрицы и определители
Решение.
а) По формуле A.7) \А\ =
2 5|
6 1
= 21-5-6 = -28.
б) Определитель вычисляется по формуле A.4).
Запоминать эту формулу не следует; достаточно применить
правило треугольников, согласно которому три произведения
элементов, показанных на левой схеме рис 1.1, берутся со
знаком «+», а три других произведения элементов,
показанных на правой схеме рис. 1.1, — со знаком «-»:
|Л|=1-1-1 + 0-2-2 + 0-5-3-0-1-0-1-2-3-1-2х
х 5 = - 15. ►
1.38. Вычислить тот же определитель, приведенный в
задаче 1.37, б, используя его разложение по элементам:
а) первой строки; б) второго столбца.
Решение.
а) Находим алгебраические дополнения элементов
первой строки по формуле A.8):
4. =(-!)'
1+1
1 2|
13 1
= -5;Л12=(-1)
1+2
5 2|
О 1
= -5; Ап =
= (-!)■
1+3
5 II
О 31
= 15.
Теперь по теореме Лапласа A.9)
14
+ 0- 15 = -15;
«и • Ап + а12 • л12 + «13 ' л13 = i ' (~5) + 2 • (~5) +
б) Находим алгебраические дополнения элементов
второго столбца:
А, =(-!>
2+1
5 2|
О 1
= -5;А22=(-1)
2+2
1 а
0 1
= 1;Л32 =
= (-!)■
3+2
1 О
5 21
= 2.
Теперь по формуле A.10)
\А\ = a2iA2l + а22А22 + ^32^32 = ^ ' (_^) + 1 • 1 - 3 • 2 =
= -15. ►

1.8. Определители квадратных матриц
61
1.39. Вычислить определитель матрицы четвертого
порядка
B-51
-3 7-1
5-9 2
4-6 1
2\
4
7
2
А =
Решение. С помощью эквивалентных преобразований
приведем матрицу А к треугольному виду. Если возможно,
перестановкой строк (столбцов) добиваемся того, чтобы
элемент я^ = 1. В данном случае достаточно поменять
местами первый и третий столбцы; при этом меняется знак
определителя матрицы А:
\А\ =
2 -5 1
-3 7 -1
5-9 2
4 -6 1
2
4
7
2
1-5 2 2
-1 7-3 4
2-957
1-642
Умножая элементы первой строки на числа (-%); i = 1,
2, 3, 4, т.е. в данном случае на числа 1, (-2), (-1), и
прибавляя их соответственно к элементам второй, третьей и
четвертой строк, добиваемся того, чтобы все элементы
первого столбца (кроме вц) равнялись нулю:
ы=-
1-522
-1 7-3 4
2-957
1-6 4 21
1-522
О 2 -1 6|
0 113
0-1 2 0
а
Далее, если возможно, перестановкой строк (столбцов)
добиваемся, чтобы новый элемент я22 в 1- В данном случае
это возможно, если переставить вторую и третью строки; при
этом меняется знак определителя. Умножая элементы второй
строки полученной матрицы на числа (~я12) 0 = 3, 4), в
данном случае на числа (-2) и 1, добиваемся того, чтобы все
элементы второго столбца (кроме я12, я22) равнялись нулю:

62
Глава 1. Матрицы и определители
А =
1
О
О
О
-5
1
2
-1
2
1
-1
2
2
3
6
О
<* 1
1-5 2 2|
0 113
0 0-30
0 0 3 3
$
Для получения треугольной матрицы в данном случае
достаточно прибавить элементы третьей строки
полученной матрицы к элементам четвертой. Определитель
треугольной матрицы равен произведению ее диагональных
элементов:
\А\ =
1-5 2 2
0 113
0 0-30
0 0 0 31
= -9.^
Вычислить определители второго порядка:
1.40.
2 3|
1 7
1.41.
2 -3|
-3 2
1.42.
sin a cosa|
sinP cosp"
Вычислить определители третьего порядка:
1.43.
1.46.
1 2 3
4 5 6
7 8 9
. 1.44.
1 1 1
1 2 3
1 3 6
. 1.45.
5 6 3
0 2 0
7 4 5
1 1 1
2 -3 1
4 -1 -51
Доказать тождества:
1.47.
1
1
1
а
Ъ
с
Ъс\
са
ab
= ф-а)(с-а)(с-Ь).

1.8. Определители квадратных матриц
63
1.48.
1 а а
1 Ь Ь2
1 с с2
= (Ь-а){с-а)(с-Ь).
Решить уравнения:
1.49.
1 1 1
1 1-х 1
1 1 2-з
= 0. 1.50.
с\
х2
X
1
Вычислить определитель:
1.51.
;2 -3 4 1
4 -2 3 2
\а Ъ с d\
3 -1 4
3
1.52.
а
Ъ
с
d
4 9
2 3
1 1
= 0.
1 2 0
3 1 4
0 1 2
1 1
0
»
разлагая его по элементам разлагая его по элементам
третьей строки. первого столбца.
Вычислить определители четвертого порядка:
1.53.
1.55.
1.57.
1 1
-1 1 -
11-
1 ! !
1 2 3
2 3 4
3 4 1
4 1 2
0 1 1
1 0 1
1 1 0
1 1 1
1
1
-1 -1
-1 1
1 -1
4
1
2
3
1
1
1
0
•
1.54.
1.56.
-1
-5
4
|-7
3
7
5
-5
3
8
-5
8
5
6
4
-6
1 2
2 7
3 -2
4 5|
7 2
3 7
3 5
-5 -4

64
Глава 1. Матрицы и определители
1.58. Вычислить определитель пятого порядка
0 6 3 5 1|
-32410
5 1 4 3 2|
-38761
1 0 3 4 01
1.9. Обратная матрица
В примере 1.12 обратная матрица была найдена по
формуле A.14) с помощью присоединенной матрицы.
Рассмотрим еще один метод нахождения обратной матрицы — с
помощью элементарных преобразований.
1.59. Найти матрицу, обратную к матрице Л, преобразуя
исходную матрицу в единичную Е:
А =
2 1 -1
5 2 4
7 3 4
Решение. Определитель матрицы |Л| = -20 Ф 0,
следовательно, матрица Л имеет обратную. Матрицу А можно
привести к единичной Е с помощью элементарных
преобразований только строк или только столбцов; при этом единичная
матрица, подвергаемая тем же преобразованиям, перейдет в
матрицу Л". Удобно совершать элементарные
преобразования над матрицами А и Е одновременно, записывая обе
матрицы рядом через черту в виде объединенной матрицы
B 1 -1
5 2 4
7 3 4
V
1 0 (А
0 10
0 0 1
Поменяем местами первый и второй столбцы.
Затем к элементам третьего столбца прибавим элементы
первого, а к элементам второго — первого, умноженные на
(-2). В результате получим

1.9. Обратная матрица
65
f\ 2 -1
2 5 4
3 7 4
v
0 1 0\
1 О О
О 0 1
П оо
2 1 6
3 1 7
0 1 Ъ\
1 -2 1
О 0 1
Q \q—I g^ @J
К элементам первого столбца прибавим элементы
второго, умноженные на (-2), а к элементам третьего
столбца — умноженные на (-6). Далее в полученной матрице к
элементам первого и второго столбцов прибавляем
элементы третьего, умноженные на (-1):
(\
0
1
0 0
1 0
1 1
-©
\
-
)
A 0 0
0 1 0
0 0 1
4
-8
-1
7
-15
-1
1
13
1
-2 1 -6
5 -2 13
0 0 1
1—0
Слева получили единичную матрицу. Найденная справа
от черты квадратная матрица является обратной к
исходной матрице А:
(
А~1 =
4
-8
-1
7
-15
-1
1
13
1
Проверка: А г ■ А= А • А 1=£ =
(I 0 0\
0 1 0
0 0 1
1.60. При каких значениях X матрица А не имеет
обратной:
А =
(X
2
0
V
4
5
X
п
-1
1

66
Глава 1. Матрицы и определители
1.61. Вычислить матрицу В = 11 (Л *)' + А', где
П 2 -Зл
А =
0 1
1 О
2
4
Найти обратную матрицу Л-1 двумя способами: с
помощью присоединенной матрицы и элементарных
преобразований:
1.62. А =
1.64. А =
1.66. А =
B
5
7
'\
2
1
'0
2
3
1
2
3
0
1
3
1
3
5
-1^1
4
4
°1
0
1
3>
5
7 ,
1.63.
/
1.65.
1.67.
А =
А =
А =
(\
0
0
V
(\
2
1
{\
3
2
,3
2
-3
0
2
1
-7
2
8
2
8
-Г
1
1
-Г
-1
3>
-1
0
-4
-1
1
-4
-3
-6
1.10. Ранг матрицы
1.68. Найти ранг матрицы
Л =
V
1 1 1
2 -1 1
1 -1 2
3-6 5
Решение. Матрица А имеет размер 4x3, следовательно,
г(А) < 3. С помощью элементарных преобразований, не
меняющих ранг матрицы, приведем матрицу А к
ступенчатому виду.

1.10. Ранг матрицы
67
l.Tf
ганспон
А =
ируем матрицу
(\ 1 Г
2 -1 1
1 -1 2
3-6 5
-
f\ 2 1 3]
1 -1-1 -6
112 5
п
2. Умножим элементы первой строки на (-1), сложим ее
со второй и третьей строками матрицы. В новой матрице
поменяем местами вторую и третью строки и прибавим к
третьей строке вторую, умноженную на (-3):
г\ 2 13'
0 -3 -2 -9
0-112
-
{\ 2 13'
0-112
0-3-2 9
у-
'\ 2 \ ЪЛ
0-112
0 0-5 3
Получили ступенчатую матрицу размера 3 х 4, у
которой три ненулевых элемента на главной диагонали,
следовательно, г(А) = 3. Эта матрица имеет ненулевой минор
третьего порядка, например
1 2
0 -1
0 0
1
1
-5
= 5. ►
1.69. Выяснить, при каком значении параметра а
матрица А имеет три линейно независимые строки, если
А =
(\ 0 2\
3 -1 (
4 -1 i
Решение. Матрица А имеет три линейно независимые
строки, если ее ранг равен трем, т.е. |Л| Ф 0.
Вычислим определитель матрицы А по правилу
треугольников: \А\ = - а - 6 + 8 - 2 - а\ \А\ * 0, откуда а Ф 2, т.е.
при всех значениях а, кроме а = 2, все строки матрицы
линейно независимы. ►
1.70. Определить максимальное число линейно
независимых строк (столбцов) матрицы

68
Глава 1. Матрицы и определители
'2 3 5 1 4Л
17 2 3 0
3 10 7 4 4
v0 О О 2 3
Решение. С помощью элементарных преобразований, не
меняющих ранга матрицы, приведем ее к ступенчатому
виду:
Получили ступенчатую матрицу, у которой существует
ненулевой минор третьего порядка:
1 7 3|
0 -11 -5
0 0 2
= -22 Ф 0, следовательно, ранг матрицы равен
трем, и исходная матрица имеет три линейно независимые
строки (или столбца). ►
Найти ранги матриц:
1.71. А =
1.73. А =
{2 1 4 5'
10 12
12 4 0
V )
( 2 -1 -1
3 1 -1
,-4 -3 1
1.72. А =
\
1 1.74. А =
(\ 1 1 \л
12 12
3 13 1
0 110
^ )
г 2-1—1 1\
3 1-1 0 1
-4 -3 1
1

1.10. Ранг матрицы
69
1.75. А =
1.77. А =
'2 5
4 -1
2 -6
{ 1 2
0 5
-1 3
6^
5
-1
)
1
-1
4
4^
4
6
1.76. А =
. 1.78. Л =
' 1
-1
3
( 0
2
-1
3
V
3 7 2 5^
0 4 8 3
6 10 -4 7
5-1 1 5^
3 0 16
-3130
-10 4 6
V
Найти максимальное число линейно независимых
строк матриц:
1.79. А =
а 1 п
2 -1 1
1 -1 2
3-6 5
(\ 2
1.80. А =
/
1 1 1 6^1
1.81. А =
1.83. А =
1 4^
0 1-13
2 5 1 11
B 0 3 5
4 3 17
0 3-5-3
2 3-22
1.82. А =
\\
5
3
4
2 -1 1
1 -1 2
3-6 5
'235^
3 7 8
1 -6 1
v7 -2 15
Выяснить, являются ли строки матрицы линейно
независимыми:
1.
A 2 3);
C 6 7).
1.85. D -2 6);
F -3 9).
Найти максимальное число линейно независимых
столбцов матриц:
' 2 3 П E 3 8^
1.87. Л = 1
1.86. А =
-3 -1 -4
1 5 3
4 3 7
3 2 5
V
/

70
Глава 1. Матрицы и определители
1.11. Задачи с экономическим содержанием
Понятие матрицы часто используется в практической
деятельности. Например, данные о выпуске продукции
нескольких видов в каждом квартале года или нормы затрат
нескольких видов ресурсов на производство продукции
нескольких типов и т.д. удобно записывать в виде матриц.
1.88. В некоторой отрасли т заводов выпускают п видов
продукции. Матрица Атхп задает объемы продукции на
каждом заводе в первом квартале, матрица Вту.п — во
втором; (cifr b~) — объемы продукции j-го типа на z-м заводе в
первом и втором кварталах соответственно:
А =
2 3 7
2
1
1
2
5
3
В =
3 0 2
4
3
2
Найти: а) объемы продукции; б) прирост объемов
производства во втором квартале по сравнению с первым по
видам продукции и заводам; в) стоимостное выражение
выпущенной продукции за полгода (в долларах), если X —
курс доллара по отношению к рублю.
Решение.
а) Объемы продукции за полугодие определяются
суммой матриц А и В, т.е.
'5
С=Л+Б=
V
9^
3
7
7,
где Сц = dy + Ъц — объем продукции j'-ro типа,
произведенный за полугодие i-м заводом.
б) Прирост во втором квартале по сравнению с первым
определяется разностью матриц
D=B-A=
1 -3 -5"\
1 2 -1
0 2-3
3 1 1

1.11. Задачи с экономическим содержанием 71
Отрицательные элементы fiL матрицы D показывают,
что на данном заводе г объем производства j-ro продукта
уменьшился; положительные fiL — увеличился; нулевые
fiL — не изменился.
в) Произведение ХС = Х(А + В) дает выражение
стоимости объемов производства за квартал в долларах по
каждому заводу и каждому предприятию (соответствующая
матрица здесь не выписана). ►
1.89. Предприятие производит п типов продукции,
объемы выпуска заданы матрицей А±хп. Цена реализации
единицы z-го типа продукции в j-м регионе задана матрицей
Bnxk, где k — число регионов, в которых реализуется
продукция.
Найти матрицу выручки С по регионам.
Пусть Л1х3 = A00 200 100);
Въ,л —
53х4
2 3 15
13 2 2
2 4 2 4
Решение. Выручка определяется матрицей С1х^ = А^хп х
п
х Bnxk, причем Су = X аи ' by — это выручка предприятия в
'2 3 1 5Ч
13 2 2
2 4 2 4
j-м регионе:
С = A00 200 100)
= F00 1300 700 1300).
1.90. Предприятие производит п типов продукции,
используя т видов ресурсов. Нормы затрат ресурса г-го вида
на производство единицы продукции j-то типа заданы
матрицей затрат Атхп. Пусть за определенный отрезок
времени предприятие выпустило количество продукции каждого
типа Хъ записанное матрицей Xnxi.
Определить 5 — матрицу полных затрат ресурсов
каждого вида на производство всей продукции за данный
период времени. Дано
^4x3 ~
B 5 3^
0 1 8
1 3 1
[2 2 3
• ^3x1 -
f100l
80
110
V )

72
Глава 1. Матрицы и определители
Решение. Матрица полных затрат ресурсов S
определяется как произведение матриц А и X, т.е. S = АХ.
Согласно условию данной задачи
S =
B
О
1
2
3^
8
14
3У
ГюоЛ
80
ПО
'930 Л
960
450
690
т.е. за данный период времени будет израсходовано 930 ед.
ресурса первого вида, 960 ед. ресурса второго вида, 450 ед.
ресурса третьего вида и 630 ед. ресурса четвертого вида. ►
1.91. Дополним условия предыдущей задачи значениями
стоимости каждого вида ресурса в расчете на единицу. Они
задаются матрицей Р\Хт Найти полную стоимость всех
затраченных за данный отрезок времени ресурсов, если Р = A0
20 10 10).
Решение. Стоимость всех затраченных ресурсов С
определяется как произведение матриц Р и 5, т.е. С = PS, или С = PAX.
Г930Л
В данном случае С = A0 20 10 10)
960
450
690
v у
= 39900ден.ед.
1.92. Завод производит двигатели, которые либо сразу
могут потребовать дополнительной регулировки (в 40%
случаев), либо сразу могут быть использованы (в 60% случаев).
Как показывают статистические исследования, те двигатели,
которые изначально требовали регулировки, через месяц
потребуют дополнительной регулировки в 65% случаев, а в 35%
будут работать хорошо. Те же двигатели, которые не
требовали первоначальной регулировки, через месяц потребуют ее в
20% случаев, а в 80% будут продолжать хорошо работать.
Какова доля двигателей, которые будут работать хорошо
или потребуют регулировки через два и три месяца после
выпуска соответственно?
Решение. В момент после выпуска доля хороших
двигателей составляет 0,6, а требующих регулировки — 0,4.
Через месяц доля хороших двигателей составит: 0,6 • 0,8 +
+ 0,4 • 0,35 = 0,62, а требующих регулировки: 0,6 • 0,2 + 0,4 х
х 0,65 = 0,38. Введем строку состояния Xt в момент t, Xt =

1.11. Задачи с экономическим содержанием 73
= (rlt; х21), где x^t и x2t — доли двигателей в момент t
соответственно хороших и требующих регулировки.
Матрица перехода A^2 =
Si а\г Л
, где a{j - доля дви-
,«21 a2l)
гателеи, которые в настоящее время находятся в состоянии г
A — «хороший», 2 — «требует регулировки»), а через
месяц — в состоянии/
Очевидно, что для матрицы перехода сумма элементов
каждой строки равна единице, все элементы ее
неотрицательны.
( 0,8 0,2 "|
Очевидно, что Xq =@,6 0,4), А = |
1x2
2x2
Тогда через месяц Х1 = Х0 А = @,6 0,4)
1x2 1x2 2x2
= @,62; 0,38);
через два месяца Х2 = XiA = XqAA = XqA2;
через три месяца Х3 = Х^А = XqA3.
Найдем матрицы А2 и Л3:
0,35 0,65 J
( 0,8 0,2 "|
0,35 0,65
А*=\
А3 =
г0,8 0,2
0,35 0,65
Г 0,8 0,2 ^
0,35 0,65
@,71 0,29 ^
0,5075 0,4925
0,71 0,29
0,5075 0,4925
( 0,8 0,2 "|
0,35 0,65
@,67 0,33^
в[о,58 0,42]
Отметим, что если А — матрица перехода, то А1 — тоже
матрица перехода при любом натуральном t. Теперь найдем
Х2=@,6 0,4)
0,71 0,29 "|
0,5075 0,4925
= @,629 0,371);
/0,67 0,ЗЗЛ
Х3=@,6 0,4) =@,634 0,366).
3 v ^0,58 0,42 J
Очевидно, что Х{ = Х^А*. ►
1.93. Три завода выпускают четыре вида продукции.
Необходимо найти: а) матрицу выпуска продукции за квартал,
если заданы матрицы помесячных выпусков Ait А2 и Л3;

74
Глава 1. Матрицы и определители
б) матрицы приростов выпуска продукции за каждый месяц
В1 и В2 и проанализировать результаты. Дано
B Ъ \ 2Л (I 4 2 2Л
Л, =|3 3 3 2 |; Л, =
4 5 4 3
4 =
3
4 2
5 4
2^
1
2
B 5
3 4
,4 4
3 1]
3 1
4 4
1.94. Найти С — матрицу выручки по регионам по
условиям задачи 1.89, если
А = A0 40 10 20); В =
Определить, в каком из трех регионов наиболее выгодна
реализация товара.
1.95. Предприятие производит мебель трех видов и
продает ее в четырех регионах. Матрица В = (Ьф =
{2 5 1 2Л
B
4
3
2
1
2
1
4
21
1
1
4
8
4
задает цены реализации единицы мебели
i-го типа в j-м регионе. Найти выручку предприятия в
каждом регионе, если реализация мебели за месяц (по видам)
'200^
задана матрицей Л =
80
100
у
1.96. Предприятие производит продукцию трех видов и
использует сырье двух типов. Нормы затрат сырья на единицу
-л B 1 ЗЛ
продукции каждого вида заданы матрицей А =
113 4
Стоимость единицы сырья каждого типа задана матрицей
В = A0 15). Каковы общие затраты предприятия на
производство 100; 200 и 150 ед. продукции соответственно
первого, второго и третьего видов?
1.97. Используя условия задач 1.90, 1.91, определить:
1) полные затраты ресурсов трех видов на производство

Контрольные задания...
75
месячной продукции, если заданы нормы затрат матрицей
'2 О
Л =
и объем выпуска каждого из двух типов
продукции X =
200
300
2) стоимость всех затраченных ресурсов,
если задана стоимость единицы каждого ресурса Р = E0 10 20).
1.98. Продавец может закупить от одного до пяти билетов
на спектакль по цене 100 руб. и продать перед его началом по
200 руб. каждый. Составить матрицу выручки продавца в
зависимости от количества купленных им билетов (строка
матрицы) и результатов продажи (столбец матрицы).
1.99. В ремонтную мастерскую поступают телефонные
аппараты, из которых 70% требуют малого ремонта, 20% —
среднего, 10% — сложного. Статистически установлено, что через
год из аппаратов, прошедших малый ремонт, 10% требуют
малого ремонта, 60% — среднего, 30% — сложного; из аппаратов,
прошедших средний ремонт, — 20% малого, 50% — среднего,
30% — сложного; из аппаратов, прошедших сложный
ремонт, — 60% малого, 40% — среднего. Найти доли из
отремонтированных в начале года аппаратов, которые будут требовать
ремонта того или иного вида через один, два, три года.
Контрольные задания по главе 1
«Матрицы и определители»
№
Вариант 1.1
Вариант 1.2
Вариант 1.3
Два различных по качеству вида растительного масла
продаются в трех магазинах. Матрица А — объемы продаж этих
продуктов в магазинах в первом квартале, матрица В — во
втором квартале (тыс. руб.). Определить: 1) объем продаж
за два квартала; 2) прирост продаж во втором квартале по
сравнению с первым:
Л =
'2
7
V
в=\
5^
3
4
4
5
Л =
В =
(Ъ А\
6 4
2
(\
5
3
3
3
3
л =
в =
B
3
4
(\
3
4
V
2)
4
1
21
4
2

76
Глава 1. Матрицы и определители
№
2
3
4
5
Вариант 1.1
Вариант 1.2
Вариант 1.3
Найти матрицу С-1, обратную к матрице С = АВ' + 2Е:
А =
В =
(\ гЛ
3 4
5 6
V )
;
B 0\
5 4
1 2
V )
А =
В =
B \\
4 2;
0 1
V /
(\ \Л
ill
0 1
V /
A 0^| |
А =
0 2t
I3 U
C 1)
В =
4 5
1 0
V /
Вычислить определитель:
12 3 0
5 7 12
3-1 18
-3 -10 -3 6
2 4-12
0 1 -7 ^
14 5 2
3 9-3?
ll
и
и
||
1-1 10 :
1
-3 4 1 v-2| I
-2 3 1 4J 1
|-4 2-2 2
i|
Определить максимальное число линейно независимых
строк матрицы:
E -1 4 2 1 "|
-12 1 5 6
3 -5 2-8 -11
2 4 2 10 12 1
(Ъ 1 2
4 5 6
2-3-2
5 9 10
1 1 1
V
\
/
/
\
1 2 3
0 5 6
1 12 15
1 -8 -9
-2 -4 -6 -
4)
i
6
2
Предприятие производит три типа продукции, используя
два вида ресурсов. Норма затрат ресурсов i-ro вида на
производство единицы продукции /-го типа задана матрицей
затрат Л, выпуск продукции за квартал — матрицей X,
стоимость единицы каждого вида ресурсов задана матрицей Р.
Найти: 1) матрицу S полных затрат ресурсов каждого вида;
2) полную стоимость всех затраченных ресурсов: |
А={\ 2 з}
/
х=\
10]
20
10>
»
Р = E;2)
Hi i:)
Г101
х=\
10
10
;
Р = B;4)
(Ъ 1 П
I2 l U
ho)
х=\
10
10
;
р = A;3)

Контрольные задания...
77
;№
6
Вариант 1.1
Вариант 1.2
Вариант 1.3
Завод производит швейные машины. Каждая машина может
находиться в одном из двух состояний: 1) работает хорошо;
2) требует регулировки. В момент изготовления р(%) машин
работают хорошо, A -р)(%) требуют регулировки. Статиста^
ческие исследования показали, что из тех машин, которые
сегодня работают хорошо, через месяц 70% будут работать
хорошо, а 30% потребуют регулировки. Среди тех машин,
которые сегодня требуют регулировки, через месяц 60%
будут работать хорошо, 40% потребуют регулировки. Каковы
доли машин, которые будут работать хорошо или потребуют
регулировки через месяц после их изготовления?
р = 80%
р = 50%
р = 20%
Тест1
1. Даны матрицы А = | _ _ | и В =
и В = \
[5 7 J {Ъ 1 0J
Выяснить, какие из следующих операций можно
выполнить:
1)Л + #; 2)Л'+#; Ъ)А + В'\ 4) АВ\ 5) ВА\ 6) А'В\ 7) АВ'\
8) А'В'\ 9) ВГА*.
2. Даны матрицы: А =
3. Дана матрица А =
*=
( г
. Найти В'А'АВ.
Найти матрицу
Ответ: С =
а Ь
с d
4. Дана матрица
, где а = ...; Ъ = ...; с = ...; d = ...
Л =
B 3 П
7 0-2
4 3 0
Найти определитель \В\ матрицы В * А'А.
5. Выяснить, какие из приведенных ниже матриц
имеют обратные:

78
Глава 1. Матрицы и определители
B П
3 1
1° 6J
; 2)
Го о i>
0 0 2
0 0 3
^ )
;3)
(\ 2 3"|
0 2 3
0 0 3
к )
; 4)
(\ 2 ЗЛ
2 3 4
3 5 7
1)
6. При каком значении а матрица D = А2 + (С-1/?-1)-1
будет равна матрице ВС, где А = ?
7. Найти след tr С матрицы С = (ЛЯ)' - В'А' + ЪЕ,
где Л =
(\ 2\
4 5
6 7
5 =
V
£ =
Л 0 0^
О 1 О
0 0 1,
8. Расположить матрицы в порядке убывания их рангов:
1)
3)
(I
4
5
v
' 1
1
2
3
-1 -2 -3
;2)
4^
V
2
О 3
О О
2^1
1
1
} 4> I» о)
9. Сколько линейно независимых строк имеет матрица
C = (BA)' + A'B'-D,
1 2 ЪЛ в= '
где А=\
О 1 1
■■со-
о о
3 8
10. Предприятие выпускает три вида продукции,
используя два вида сырья, нормы расходов сырья на
единицу продукции задаются матрицей
'2 3 1\
\ 4 2)
Определить денежные расходы предприятия на
осуществление выпуска товаров, задаваемого матрицей
'1^
А =
N=
1
2
v j
\ если стоимость единицы каждого вида сырья
выражается матрицей Р = B; 3).

Глава 2
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ
УРАВНЕНИЙ
ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ КУРС
Системы линейных уравнений представляют собой один
из важнейших разделов линейной алгебры. Они являются
одним из основных инструментов математического
моделирования экономических процессов.
вид
2.1. Основные понятия и определения
Система т линейных уравнений с п переменными имеет
d\\X\ +0,12*2 Н-... + fli/JC/ +... + ClinXn =Ь[,
Я21*1 + <*22*2 + ■ • ■ + a2jxj + • ■ • + a2nxn = b2>
anxl+ai2x2+... + aijxj+... + ainxn=bh
am\x\ + am2x2 + • • •+ amjxj + • • • + amnxn ~bm>
B.1)
где ax, bi (i = 1, 2,..., m;j = 1, 2,..., n) — произвольные числа,
называемые соответственно коэффициентами при
переменных и свободными членами уравнений.
1 В линейной алгебре обычно обозначают переменные одной буквой с
соответствующими индексами, т.е. xv x2, х3,..., вместо принятых в школе
обозначений х, у} z,..., которые в данном случае не очень удобны.

80
Глава 2. Системы линейных уравнений
В более краткой форме с помощью знаков суммирования
систему можно записать следующим образом:
£ ayXj = bt (i = 1, 2,..., m).
B.2)
Решением системы B.1) называется такая совокупность п
чисел (xj = k^, %2 = &2> —» *я в ^ц)» ПРИ подстановке которых
каждое уравнение системы обращается в верное равенство.
Система уравнений называется совместной, если она
имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет
решений.
Совместная система уравнений называется определенной,
если она имеет единственное решение, и неопределенной,
если решений больше одного. Например, система уравнений
\2хл +*9=20,
I совместная и определенная, так как имеет
[х1-х2=10 Г2х1+х2=10,
единственное решение A0; 0); система \~ __^
несовместная; система уравнении
[2jcj + х2 =10,
совместная и
[4jcj + 2jc2 = 20
неопределенная, так как имеет более одного, а точнее,
бесконечное множество решений (х^ в с, х2 в 10 - 2с), где с —
любое число.
Две системы уравнений называются равносильными,
или эквивалентными, если они имеют одно и то же
множество решений. С помощью элементарных преобразований
системы уравнений, рассмотренных в гл. 1 применительно
к матрицам (например, умножение обеих частей уравнений
на числа, не равные нулю; сложение уравнений системы),
получается система B.1), равносильная заданной.
Запишем систему B.1) в матричной форме. Обозначим
А =
а\\ ап
а2Х а22
а\п
а2п
ат\ ат2 ••• ап
Х =
('у \
х2
; я =
уЬт
где А — матрица коэффициентов при переменных, или
матрица системы; X— матрица-столбец переменных; В —
матрица-столбец свободных членов.

2.2. Система а линейных уравнений с п переменными... 81
Так как число столбцов матрицы Атхп равно числу строк
матрицы Х^р то их произведение
АХ =
Гапхх+апх2+... + аХпхп )
021*1 +«22*2 + —+ *2|Л|
уат\х\ + ат2х2 + • • • + атпхп j
есть матрица-столбец. Элементами полученной матрицы
являются левые части системы B.1). На основании
определения равенства матриц систему B.1) можно записать в
матричном виде:
АХ-В. B.3)
Представим систему уравнений B.1) в векторной1
форме. Обозначим
4 =
а2\
ат\
[А2 =
^12Л
а22
yam2j
L ..., Ап -
Ч,4
а2п
в=
*2
Л У
где Ар Л2,..., Л^ — векторы-столбцы при переменных х^ х2,
..., х„, В — вектор-столбец свободных членов.
Тогда в векторной форме система B.1) примет вид
п
Аххх + А2*2 + ... + Агрсп = В или X ^у*/ = #.
;=1
2.2. Система п линейных уравнений
с п переменными. Метод обратной матрицы
и формулы Крамера
Пусть число уравнений системы B.1) равно числу
переменных, т.е. т = п. Тогда матрица системы является квад-
Определение вектора дано в гл. 3.

82
Глава 2. Системы линейных уравнений
ратной, а ее определитель А = |Л| называется определителем
системы.
Рассмотрим решение системы двух уравнений с двумя
переменными
ахххх+аХ2х2 =Ь[,
а2\х\+аУ1х2 = ь2>
B.4)
в которой хотя бы один из коэффициентов при
переменных отличен от нуля.
Для решения этой системы исключим переменную х2,
умножив первое уравнение на а22> втоРое ~~ на (~а\2^ и
сложив их. Затем исключим переменную х^ умножив
первое уравнение на (-a2i)> второе -
их. В результате получим систему
на flu и также сложив
[(^11^22 -a2\a\l)x\ =^22 ~*2а12»
\(ахха22 -a2XaX2)x2=axxb2-a2Xb2.
Выражение в скобках есть определитель системы
Л = «11«22 - ^21^12 = I
Обозначим
B.5)
ахх аХ2
а2х а22
Ах =b[a22-b2aX2 =
; А2 =axxb2 -a2X\\ =
ахх ^
а2\ h
тогда система B.5) примет вид
\Ахх = Ах,
[А-х2=А2.
B.6)
Из полученной системы следует, что если определитель
системы А Ф О, то система B.4) имеет единственное решение,
определяемое по формулам: хх = —, х2 =—.
А А
Если А = 0, a Aj Ф О (или А2 Ф 0), то система B.4)
несовместная, так как в этом случае она приводится к виду
Г0д:1=А1,
|0-*2=Д2.

2.2. Система п линейных уравнений с п переменными... 83
Если А = Aj = А2 = 0, то система B.4) неопределенная и
имеет бесконечное множество решений, так как в этом
[0-^=0,
случае она приводится к виду: <
[0 • х2 = 0.
Для получения решения системы B.1) при т = п в
общем виде предположим, что квадратная матрица системы
Апхп невырожденная, т.е. ее определитель \А\ Ф 0. В этом
случае существует обратная матрица Л-1.
Умножая слева обе части матричного равенства B.3) на
матрицу Л-1, получаем А~^(АХ) = Л_1В. Так как Л_1(АХ) =
= (А~*А)Х = ЕХ = X, то решением системы методом
обратной матрицы будет матрица-столбец
X - А~ХВ. B.7)
Теорема Крамера1. Пусть А — определитель матрицы
системы А, а А — определитель матрицы, получаемой из
матрицы А заменой j-го столбца столбцом свободных
членов. Тогда, если А Ф 0, то система имеет единственное
решение, определяемое по формулам:
у А
B.8)
Формулы B.8) получили название формул Крамера.
□ В соответствии с формулой A.14) обратная матрица
А'1—1-А
"И '
где А — матрица,^присоединенная к матрице А. Так как
элементы матрицы А есть алгебраические дополнения
элементов матрицы А', транспонированной к Л, то запишем
равенство B.7) в развернутой форме:
\х2
хп
=и
4i &i\ ■
А\г Агг ■
^Ап Агп •
■Кх Л
■• Ап2
•• Аш J
м
\h
UJ
Крамер Габриель A704—1752) — швейцарский математик.

84
Глава 2. Системы линейных уравнений
Учитывая, что |Л| = А, получаем после умножения матриц
(Vki+M2i+-"+M*i 1
АА2+М22+--- + Мя2
х1
*2
хп .
[Ь{А{п+Ь2А2П+... + ЬпАпп
откуда следует, что для любого j( j = 1, 2,..., п)
xj = д <V*u +hA2j +... + Mny)-
На основании свойства 9 определителей (см. параграф 1.4)
Ь^Ау + ^2^2; +-+ ^гАт = Л» где Л' ~~ определитель матрицы,
полученной из матрицы А заменой j-vo столбца ( j =
= 1, 2, ..., п) столбцом свободных членов. Следовательно,
х,-±..Ш
J д
Заметим, что фактически формулы Крамера были
получены нами в частном случае при решении системы B.4) двух
уравнений (п = 2) с двумя переменными.
Пример 2.1. Решить систему уравнений
I Х\_ — Х2 ~Н ЛС3 = 3,
< 2jcj + х2 + *3 = 11,
[jq + x2+2x3= 8:
а) методом обратной матрицы; б) по формулам Крамера.
Решение.
а) Обозначим
А =
'1 -1 П
2 1 1
1 1 2
V
х =
J
х2
хъ
В =
'ъ \
11 [
v8J
Тогда в матричной форме данная система будет иметь
вид: АХ = В. Найдем определитель |Л| - 5 (см. пример
1.10). Так как |Л| * 0, то матрица А невырожденная, и
существует обратная матрица Л. Матрицу Л находим по
алгоритму, приведенному в параграфе 1.5. Получим (см.
пример 1.10)

2.2. Система п линейных уравнений с я переменными... 85
Л"'Л
< 1 3 -2^
-3 1 1
1 -2 3
v
Теперь по формуле B.7) определим
< 1
-3
V
Х = А~1В=1-
'2(Л
10
V
/
D^
2
к1,
т.е. решение системы D; 2; 1).
б) Найдем определитель системы А = \А\ = 5 (см. п. «а»
решения). Так как А Ф О, то по теореме Крамера система
имеет единственное решение.
Вычислим определители матриц Aj, А2, А3, полученных
из матрицы А заменой соответственно первого, второго и
третьего столбцов столбцом свободных членов:
Ai =
3
11
8
-1
1
1
1
1
2
= 20; Д2 =
1
2
1
3
И
8
1
1
2
= 10; А3 =
1 -1
2 1
1 1
= 5
(рекомендуем читателю провести вычисления
самостоятельно).
Теперь по формулам Крамера B.8) определяем
*1 А 5 '*2 А 5 '*3 А 5 '
т.е. решение системы D; 2; 1).
В конце решения системы (любым способом)
рекомендуем сделать проверку, подставив найденные значения в
уравнения системы, и убедиться в том, что они обращаются
в верные равенства. ►
Существенным недостатком решения систем п линейных
уравнений с п переменными по формулам Крамера и
методом обратной матрицы является их большая трудоемкость,
связанная с вычислением определителей и нахождением
обратной матрицы. Поэтому рассмотренные методы
представляют, скорее, теоретический интерес и на практике не

86
Глава 2. Системы линейных уравнений
могут быть использованы для решения реальных
экономических задач, сводящихся часто к системам с большим
числом уравнений и переменных.
2.3. Метод Гаусса
Рассмотрим решение системы B.1) т линейных
уравнений с п переменными в общем виде.
Метод Гаусса^ — метод последовательного исключения
переменных — заключается в том, что с помощью
элементарных преобразований система уравнений приводится к
равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из
которой последовательно, начиная с последних (по номеру)
переменных, находятся все остальные переменные.
Предположим, что в системе B.1) коэффициент при
переменной х1 в первом уравнении а^ Ф О (если это не так, то
перестановкой уравнений местами добьемся того, чтобы
ап Ф 0).
Шаг 1. Умножая первое уравнение на подходящие числа
(-я21 / Яц, ~а31 / ап ~ат\ / all) и прибавляя
полученные уравнения соответственно ко второму, третьему, ...,
т-жу уравнению системы B.1), исключаем переменную х±
из всех последующих уравнений, начиная со второго. В
результате получаем систему
42*2+••
1 Л1) г 4-
[ ат2х2+-
.. + аыхп=Ь1,
• + а2пхп °2 '
•т ит лп ui '
+ атх = bw
B.9)
где буквами с верхним индексом «A)» обозначены новые
коэффициенты, полученные после шага 1.
Гаусс Фридрих Карл A777—1855) — немецкий математик.

2.3. Метод Гаусса
87
Шаг 2. Предположим, что 4 * 0 (если это не так, то
соответствующей перестановкой уравнений или переменных
с изменением их номеров добьемся того, чтобы
Умножая второе уравнение на подходящие числа (-4 /
а22' ~а42^22' •••» ^ат2^а22^и пРибавляя полученные
уравнения соответственно к третьему, четвертому, ..., т-му
уравнению системы, исключим переменную х2 из всех
последующих уравнений, начиная с третьего.
Продолжая процесс последовательного исключения
переменных х3, х4,..., xr _j, после (г - 1)-го шага получаем систему
я 11*1+а\г*1+• • •+а\гхг+аЪг+\хг+\+• • •+ а\пхп - Ъ\ >
44+• • .+44+4^+1 +. • -+44 =*?\
^^+43^+.-.+^ч.=^,Ч).
0-Ь(М)
= #.(^0
B.10)
0=^ .
Число нуль в последних т-r уравнениях означает, что их
левые части имеют вид: 0 • х± + 0 • х2 + ... + 0 • хп. Если хотя бы
одно из чисел о^ ,...,£%" ' неравно нулю, то
соответствующее равенство противоречиво и система B.1) несовместна.
Таким образом, для любой совместной системы числа
^г+\ ' ••• *^т в системе B.10) равны нулю. В этом случае
последние т - г уравнений в системе B.10) являются
тождествами и их можно не принимать во внимание при
решении системы B.1). Очевидно, что после отбрасывания
«лишних» уравнений возможны два случая: а) число
уравнений системы B.10) равно числу переменных, т.е. г = п (в
этом случае система B.10) имеет треугольный вид); б) г < п
(в этом случае система B.10) имеет ступенчатый вид).

88
Глава 2. Системы линейных уравнений
Переход системы B.1) к равносильной ей системе B.10)
называется прямым ходом метода Гаусса, а нахождение
переменных из системы B.10) — обратным ходом.
Преобразования Гаусса удобно проводить, осуществляя
их не с самими уравнениями, а с матрицей их
коэффициентов. Рассмотрим матрицу
(А\В) =
ап аи
а2\ 022
а\п
а2п
Г
ат\ ат2 •••(*»
B.11)
называемую расширенной матрицей системы B.1), ибо в
нее, кроме матрицы системы А, дополнительно включен
столбец свободных членов В.
Пример 2.2. Решить систему уравнений
[*! + 2jc2 + 3jc3 - 2jc4 = 6,
2хх + 4jc2 - 2х3 - 3jc4 = 18,
<
Ъх^ + 2jc2 - Jt3 + 2jc4 = 4,
[2.*! - 3*2 + 2*3 + х4 = -8.
Решение. Расширенная матрица системы имеет вид
(Ш 2 3-2|
2 4-2-3
3 2-12
2-3 2-1
18
4
-8
Шаг 1. Так как ап - 1 Ф 0, то, умножая первую строку
матрицы на числа (-2), (-3), (-2) и прибавляя полученные
строки соответственно ко второй, третьей, четвертой
строкам, исключаем переменную х^ из всех строк, начиная со
второй. Заметив, что в новой матрице а У =0, поменяем
местами вторую и третью строки:
(\ 2 3-2
0 0-81
0-4-10 8
^0-7 -4 5
6]
6
-14
20
)
(\ 2
00
0 0
[О-7
3 -2
-10 8
-8 1
-4 5
61
-14
6
-20 J
0
«J

2.3. Метод Гаусса
89
Шаг 2. Так как теперь а^ = -4 * 0, то, умножая вторую
строку1 на (-7/4) и прибавляя полученную строку к
четвертой, исключаем переменную х2 из всех строк, начиная с
третьей:
(\
0
0
0
V
2
-4 -
0
0
3
-10
?7
2
-2
8
1
-9
61
-14
6
9
—
■ч
1
frh
W
(\
о
о
2 3
-4 -10
0 -8
0 0
О -
-2
8
1
117
16
6)
-14
6
117
8 J
,B)
Шаг 3. Учитывая, что а^3'=-8*0, умножаем третью
строку на 13,5/8 = 27/16 и, прибавляя полученную строку к
четвертой, исключаем из нее переменную х3. Получаем (см.
последнюю матрицу) систему уравнений
JCj + 2jt2 + 3*з - 2jt4 = 6,
- 4х2 - 10*з + 8*4 = ""^4,
-8*з + *4 = 6,
117
117
1б"Х4-Т'
откуда, используя обратный ход метода Гаусса, найдем из
четвертого уравнения jc4 = -2; из третьего — x3
_6-jc4_6+2_
-8
из второго — *2 = •
-14-8х4 +10хз _14-8(-2) + 10(-1)
= 2
-4 -4
и из первого уравнения — хх = 6+2д:4 - 3jc3 - 2л^ = 6+2 • (-2) -
- 3 • (-1) — 2 • 2 = 1, т.е. решение системы A; 2; — 1; - 2).
Замечание. Обратный ход метода Гаусса можно также
провести с расширенной матрицей полученной системы.
Для этого данную матрицу приводят к диагональному
виду, что позволяет осуществить полное выделение
переменных, удобное для их нахождения.
1 Заметим, что умножения строк матрицы на дробные числа,
неудобные для последующих вычислений, можно избежать. Так, если в качестве
четвертой строки последней матрицы взять третью строку предыдущей
матрицы, умноженную на 27, плюс четвертую строку, умноженную на 16,
то четвертая строка последней матрицы не будет содержать дробных
чисел: @ 0 0 -117 1234).

90
Глава 2. Системы линейных уравнений
Если на прямом ходе с помощью первой, второй и т.д.
строки мы добивались получения нулевых элементов ниже
главной диагонали, то на обратном ходе с помощью
последней, предпоследней и т.д. строки добиваемся получения
нулевых элементов выше главной диагонали матрицы.
Преобразуем расширенную матрицу системы,
полученную в конце прямого хода, в которой последнюю строку
16
умножим на —:
1
0
0
0
2
-4-
0
0
3-2
-10 8
-8 1
оЕИ
61
-14
6
2
(\ 2 3 0
0-4-10 0
©@©
0 0 Ь8] 0
0 0 0-1
2^1
2
8
2
1
0|-4
0
0 0
0 0
0-8 0
0 0 0-1
v
5Ч
-8
8
2
A 0 0 0
0-4 0 0
0 0-80
^0 0 0-1
\\
-8
8
2
На основе последней матрицы составляем систему,
равносильную исходной:
*1 = 1,
-4х2 =-8,
— 0X3 = о,
-*4= 2
т.е. решение системы A; 2; -1; -2). ►
Пример 2.3. Методом Гаусса решить систему уравнений
х^ + 2д^2 — Xj — 7,
2xj — 3^2 + Д3 = 3,
[4jcj + x2 -*з =16.

2.4. Система т линейных уравнений с п переменными 91
Решение. Преобразуем расширенную матрицу системы
(\
2
4
V
2-1
-3 1
1 -1
7]
3
1б]
-
(\ 2
0-7
0-7
-1
3
3
7]
-11
-12
)
~
A 2-1
0-7 3
0 0 0
71
-11 [
-ч
Итак, уравнение, соответствующее третьей строке
последней матрицы, противоречиво, так как в результате
преобразований получено неверное равенство: 0 = -1,
следовательно, данная система несовместная. ►
2.4. Система т линейных уравнений
с л переменными
Ранее было установлено, что ранг матрицы равен
максимальному числу ее линейно независимых строк (см.
параграф 1.6), поэтому если строки расширенной матрицы (А\В),
т.е. уравнения системы B.1), линейно независимы, то ранг
матрицы (А\В) равен числу ее уравнений, т.е. г = т, если
уравнения линейно зависимы, тог<т.
Вопрос о разрешимости системы B.1) в общем виде
рассматривается в следующей теореме.
Теорема Кронекера — Капелли1. Система линейных
уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг
матрицы системы равен рангу расширенной матрицы этой
системы.
□ Не проводя строгого доказательства теоремы,
поясним его. В процессе преобразования системы уравнений
B.1) к виду системы B.10), т.е. при элементарных
преобразованиях матрицы А системы и расширенной матрицы
(А\В) их ранги не изменяются. Ранее (см. параграф 2.3)
было установлено, что система B.10) совместна тогда и
только тогда, когда ее свободные члены b^~x \ ...,Ь^"^
равны нулю. В этом случае, как нетрудно проверить, ранг
матрицы и ранг расширенной матрицы системы B.10) так же,
как и данной системы B.1), совпадают (оба равны г). ■
1 Кронекер Леопольд A823—1891) — немецкий математик; Капелли
Альфредо A855—1910) — итальянский математик.

92
Глава 2. Системы линейных уравнений
Для совместных систем линейных уравнений верны
следующие теоремы.
1. Если ранг матрицы совместной системы равен числу
переменных, т.е. г = п, то система B.1) имеет
единственное решение.
2. Если ранг матрицы совместной системы меньше числа
переменных, т.е. г < п, то система B.1) неопределенная и
имеет бесконечное множество решений.
Результаты исследования системы B.1) приведем в
виде схемы (рис. 2.1).
Система т
линейных
управлений
с п
переменными
г< т —
уравнения
системы
зависимые
г< т —
уравнения
системы

независимые
г(А)фг(А\В)
система
несовместная
г(Л)=г(Л|Я)=г-
система
совместная
L
Г< П —
система
неопределенная
(бесконечное
множество
решений)
система
определенная

(единственное решение)
Рис. 2.1
Пусть г<п\г переменных х^ д:2,..., хг называются
основными, или базисными, если определитель матрицы из
коэффициентов при них (т.е. базисный минор) отличен от нуля.
Остальные п - г называются неосновными, или свободными.
Решение системы B.1), в котором все п - г неосновных
переменных равны нулю, называется базисным.
Так как каждому разбиению переменных на основные и
неосновные соответствует одно базисное решение, а число
способов разбиения не превосходит числа сочетаний1, то и
базисных решений имеется не более Сгп. Таким образом,
совместная система т линейных уравнений с п переменны-
1 Сочетаниями из п элементов по г называются комбинации
(соединения) из п элементов по г, отличающиеся только составом элементов. Число
п(п-\)...(п-г + \)
Сгп вычисляется по следующей формуле: Сгп = -
l-2-...r

2.4. Система т линейных уравнений с я переменными 93
ми (т < п) имеет бесконечное множество решений, среди
которых базисных решений конечное число, не превосходящее
С„,тег<т.
Приведенная на рис. 2.1 схема не означает, что для
решения системы B.1) в общем случае необходимо
вычислять отдельно, а затем сравнивать ранги матрицы системы
А и расширенной матрицы (А\В). Достаточно сразу
применить метод Гаусса.
Метод Гаусса по сравнению с другими методами (в
частности, приведенными в параграфе 2.2) имеет следующие
достоинства:
• значительно менее трудоемкий1;
• позволяет однозначно установить, совместна система
или нет, а в случае совместности найти ее решения
(единственное или бесконечное множество);
• дает возможность найти максимальное число линейно
независимых уравнений — ранг матрицы системы.
Пример 2.4. С помощью метода Гаусса решить систему
JCj + 2*2 - 2*3 + Здс4 = -6,
3jcj + jc2 "" х3 +2*4 =-!•
Решение. Преобразуем расширенную матрицу системы
(для удобства вычислений берем в качестве первой строки
коэффициенты второго уравнения, у которого
коэффициент при Jtj равен единице):
2
2-2
-1 1
1-1
5
1
'1 2-
0-5
0-5
■2 3
5 -7
5 -7
17
17
A 2-2 3
0-5 5-7
0 0 0 0
V
~*}
17
0
(\ 2-2 3|—6 Л 0
II, т.е. ранг матрицы системы г = 2.
@-5 5 -7| 17 J
1 Например, при решении системы п линейных уравнений с п
переменными по формулам Крамера необходимо выполнить порядка п\п
арифметических операций, что при достаточно больших п
затруднительно (или невозможно) даже для современных ЭВМ. В то же время
общее число операций при решении тех же систем методом Гаусса
значительно меньше и составляет порядка я3 операций.

94
Глава 2. Системы линейных уравнений
Оставляем в левой части переменные х^ х2, которые
берем за основные (определитель из коэффициентов при них
|1 2|
(базисный минор) отличен от нуля, т.е.
О -5
*0).
Остальные неосновные переменные jc3, jc4 переносим в правые
части уравнений. В результате получаем систему
{*!+2*2 =-6 + 2*3-3*4,
-5*2= 17-5*з+7*4»
откуда
_17 7
*2- —+ *3--х4;
J 17 7
*! = -6 + 2*з - 3*4 - 2 + *з *4
4 1
= Хл.
5 5 4
Задавая неосновным переменным произвольные
значения х3 = ct, x4 = с2 находим бесконечное множество
решений системы, т.е. общее решение системы
4 1 17 7
*!=---с2; х2=~ + сх--с2\ *3=q; х4=с2 ).►
Замечание. В качестве основных переменных можно
было взять другие их группы с отличным от нуля базисным
минором (см. ниже пример 2.5). Для каждой такой группы
получится «свое» общее решение, но все общие решения
равносильны в том смысле, что они определяют равные
бесконечные множества частных решений, получаемых из
общего при фиксированных значениях неосновных
переменных.
Пример 2.5. Найти все базисные решения системы,
приведенной в примере 2.4.
Решение. Ранг матрицы системы г = 2 (см. пример 2.4),
следовательно, одно из уравнений системы, например
третье, можно отбросить.
Общее число групп основных переменных не более
чем1 С„=С6= = 6, поэтому возможны следующие
1 См. сноску на с. 92.

2.4. Система т линейных уравнений с п переменными 95
группы основных переменных: х^ х2; х^ х3; xv jc4; х2, х3; х2,
Х£ Х^у Хд.
Выясним, могут ли переменные xv х2 быть основными.
Так как определитель матрицы из коэффициентов при
этих переменных, т.е. базисный минор - "
2
1 2
= 5*0, тол^,
х2 могут быть основными переменными. Рассуждая
аналогично, находим, что из всех возможных групп основных
переменных только переменные х2, х% не могут быть основ-
1-1 1|
= 0.
ными, ибо
2-2
Найдем первое базисное решение, взяв в качестве
основных переменных xv x2, а неосновных — х3, х4.
Приравняв неосновные переменные нулю, т.е. х3 = х4 = 0, получим
систему уравнений в виде
2xj — х2 — 5,
Xj + 2х2 = —6,
откуда Xi =4/5; х2 =-17/5, т.е. первое базисное решение
будет D/5; -17/5; 0; 0).
Если взять за основные переменные х^ х3 и приравнять
нулю соответствующие неосновные переменные х2, х4, т.е.
Хп = х4 = 0, то получим второе базисное решение D/5; 0;
1//5; 0). Аналогично находятся и остальные базисные
решения (9/7; 0; 0; -17/7), @; -9; 0; 4) и @; 0; 9; 4). ►
Замечание. Все базисные переменные системы можно
было найти из общего решения, полученного в примере 2.4,
приравнивая соответствующие переменные нулю. Напри-
414 I7
мер, при х3 = q = 0, х4 = с2 = 0, jq = с2 = —, х2 = +
;-—; о, о
5 5
5 5 " 5
7 17 . (*
+ q —с2 = получаем базисное решение
4 1 I7 7
а при jq = с2 =0, х2 = + q —c2 =0 или при q =9,
с2 =4, х3 = q = 9, х4 = с2 = 4 получаем базисное решение
@; 0; 9; 4) и т.д.

96
Глава 2. Системы линейных уравнений
2.5. Системы линейных однородных уравнений.
Фундаментальная система решений
Система т линейных уравнений с п переменными
называется системой линейных однородных уравнений, если все их
свободные члены равны нулю. Такая система имеет вид
\ахххх + ах2х2 +... + а1л*л= О,
021*! + ^22*2 + • • • + а2пхп = °>
] B.12)
[атХхх + ат2х2 +... + атпхп = 0.
Система линейных однородных уравнений всегда
совместна, так как она всегда имеет, по крайней мере,
нулевое (или тривиальное) решение @; 0;...; 0).
Если в системе B.12) т = п, а ее определитель отличен
от нуля, то такая система имеет только нулевое решение,
как это следует из теоремы и формул Крамера. Ненулевые
решения, следовательно, возможны лишь для таких систем
линейных однородных уравнений, в которых число
уравнений меньше числа переменных или при их равенстве, когда
определитель системы равен нулю.
Иначе: система линейных однородных уравнений имеет
ненулевые решения тогда и только тогда, когда ранг ее
матрицы коэффициентов при переменных меньше числа
переменных, т.е. при г(А) < п.
Обозначим решение системы B.12) xx=kx, x2=k2,..., хп =kn
в виде строки ex=(kx,k2, ...,kn).
Решения системы линейных однородных уравнений
обладают следующими свойствами:
Х.Еслистрока ех -{kx,k2, ...,kn) — решение системы B.12),
то и строка Хех = (Xkx,Xk2, ...9Xkn) — также решение этой
системы.
2. Если строки ех =(kx,k2, ...,kn)u e2 = (lxJ2, ...,/Л)
—решения системы B.12), то при любых сх и с2 их линейная
комбинация схех + с2е2 - (cxkx + c2lx,cxk2+ c2l2, ...,cxkn+ c2ln) —
также решение данной системы.
Убедиться в справедливости указанных свойств
решений системы линейных однородных уравнений можно при
непосредственной подстановке решений в уравнения
системы.

2.5. Системы линейных однородных уравнений... 97
Из сформулированных свойств следует, что всякая
линейная комбинация решений системы линейных однородных
уравнений также является решением этой системы.
Поэтому представляет интерес найти такие линейно независимые
решения системы B.12), через которые линейно
выражались бы все остальные ее решения.
I Определение. Система линейно независимых
решений ^1,^2» •••»£* называется фундаментальной, если
каждое решение системы B.12) является линейной ком-
I бинацией решений ех, е2» • • •»ek-
Теорема. Если ранг г матрицы коэффициентов при
переменных системы линейных однородных уравнений B.12)
меньше числа переменных п, то всякая фундаментальная
система решений системы B.12) состоит изп - г решений.
Поэтому общее решение системы B.12) линейных
однородных уравнений имеет вид
с\е\ +с2^2 +--- + ckek> B.13)
где ei,£2,...,££ — любая фундаментальная система
решений; q,c2,...,C£ — произвольные числа; k = n-r.
Для нахождения фундаментальной системы решений
системы уравнений B.12) ее г основных (базисных)
переменных (с отличным от нуля базисным минором)
выражают через неосновные (свободные) переменные. Затем
поочередно заменяют п - г неосновных переменных элементами
каждой строки невырожденной квадратной матрицы
порядка п - г, например, единичной Еп _ г.
Пример 2.6. Для системы уравнений, приведенной в
примере 2.4, найти фундаментальную систему решений
соответствующей однородной системы уравнений.
Решение. Аналогично примеру 2.4 находим выражения
основных переменных х^ х2 через неосновные х3, х4:
\х\ + 2х2 = 0 + 2*3 -3jc4,
| - 5х2 = 0 - 5jc3 + 7х4
(в отличие от примера 2.4 здесь свободные члены
уравнений — нули).

98
Глава 2. Системы линейных уравнений
Для нахождения фундаментальной системы решений
заменяем поочередно неосновные переменные х%, х4 элемента-
ми строк единичной матрицы Е4_2 = Е2 =
При #з = 1» ха = О получим из второго уравнения х2 =1 и
из первого *! = 0, т.е. ех = @; 1; 1; 0). При х^^0ухА= 1 полу-
7 1
чим из второго уравнения ^ =— и из первого jci = —,
Г i 7 \
т.е. е2 =
—; —; 0; 1
5 5
строки1
Итак, фундаментальную систему решений образуют
^ = @; 1; 1; 0); е2=(~; -|; 0; 11 ►
Теорема. Общее решение системы B.1) т линейных
уравнений с п переменными равно сумме общего решения
соответствующей ей системы однородных линейных
уравнений B.12) и произвольного частного решения системы B.1):
jc = jc +Ciei+c2e2+... + cnen, B.14)
где х и х° — соответственно общее и частное решения
системы B.1); е\, е2у..., еп — фундаментальная система решений
системы B.12).
Пример 2.7. По данным примера 2.4 убедиться в
справедливости теоремы об общем решении системы линейных
уравнений.
Решение. В примере 2.4 было получено общее решение сис-
( 4 1 17 7 "|
темы в виде \хх =---с2; —г- + с1_"гс2' съ с2 lmeci9c2 —
любые числа.
Найдем произвольное частное решение системы, например
базисное решение при q =0, с2 = 0, т.е. х = —; ; 0; 0 .
^5 5 )
1 Умножив компоненты решения е2 на 5, можно получить
фундаментальную систему решений с целыми компонентами @; 1; 1; 0); (-1;
-7; 0; 5).

2.6. Модель Леонтьева - ... многоотраслевой экономики... 99
В примере 2.6 была получена фундаментальная система
решений ех = @; 1; 1;0); е2=\ —; —;0;0
соответствующей однородной системы уравнений.
Итак (для наглядности записываем решения системы в
виде столбцов):
\
=
/
' 4>
5
17
5
0
{ oj
+ q
f \
0
1
1
w
+ с2
5
_7
5
0
1 и
4 1
5 5 2
17 7
5 ! 5 2
с2
т.е. х = л: +CJCJ +c2e2, где nePBbI^ столбец в правой части
равенства — частное решение х° неоднородной системы
уравнений, а два последних — фундаментальная система
решений соответствующей однородной системы. ►
2.6. Модель Леонтьева - модель многоотраслевой
экономики (балансовый анализ)
Цель балансового анализа — ответить на вопрос,
рассматриваемый в макроэкономике и связанный с
эффективностью ведения многоотраслевого хозяйства: каким
должен быть объем производства каждой из п отраслей, чтобы
удовлетворять все потребности в продукции этой отрасли?
При этом каждая отрасль выступает, с одной стороны, как
производитель некоторой продукции, а с другой — как
потребитель продукции и своей, и произведенной другими
отраслями.
Связь между отраслями, как правило, отображается в
таблицах межотраслевого баланса. Математическая модель,
позволяющая их анализировать, разработана в 1936 г. В.
Леонтьевым1.
Предположим, что рассматривается п отраслей
промышленности, каждая из которых производит свою продукцию.
1 Леонтьев Василий A906—1999) — американский экономист.

100 Глава 2. Системы линейных уравнений
Часть продукции идет на внутрипроизводственное
потребление данной отраслью и другими отраслями, а другая
часть предназначена для конечного (вне сферы
материального производства) личного и общественного потребления.
Рассмотрим процесс производства за некоторый период
времени (например, год).
Введем следующие обозначения: xi — общий (валовой)
объем продукции i-й отрасли (г = 1, 2,..., п)\ Хц — объем
продукции х'-й отрасли, потребляемой j-й отраслью в процессе
производства (i,j =1,2,..., п)\ г/г- — объем конечного
продукта i-й отрасли для непроизводственного потребления.
Так как валовой объем продукции любой f-й отрасли
равен суммарному объему продукции, потребляемой п
отраслями, и конечного продукта, то
п
xi = X xij + Vi 0' = Ъ 2, •••> ")• B.14)
y=i
Уравнения B.14) называются соотношениями баланса.
Будем рассматривать стоимостный межотраслевой баланс,
когда все величины, входящие в уравнения B.14), имеют
стоимостное выражение.
Введем коэффициенты прямых затрат
X"
aij=-T ft У = 1.2,..., и), B.15)
Xj
показывающие затраты продукции i-й отрасли на
производство единицы продукции j-й отрасли.
Можно полагать, что в некотором промежутке времени
коэффициенты а^ будут постоянными и зависящими от
сложившейся технологии производства. Это означает линейную
зависимость материальных затрат от валового выпуска, т.е.
xij=aijXj (i, ./ = 1,2,..., л), B.16)
вследствие чего построенная на этом основании модель
межотраслевого баланса получила название линейной.
Теперь соотношения баланса B.14) примут следующий вид:
п
xi = I aijxj + Vi (* = 1.2 ")• B.17)
/-1

2.6. Модель Леонтьева- ... многоотраслевой экономики... 101
Обозначим X =
х2
А =
VnJ
Y =
У2
Уп
где X— вектор* валового выпуска; Y— вектор конечного
продукта; А — матрица прямых затрат (технологическая
или структурная матрица).
Тогда систему B.14) можно записать в матричном виде:
X=AX+Y.
B.18)
Основная задача межотраслевого баланса состоит в
отыскании такого вектора валового выпуска Ху который
при известной матрице прямых затрат А обеспечивает
заданный вектор конечного продукта Y.
Перепишем уравнение B.18) в следующем виде:
(E-A)X=Y.
B.19)
Если матрица (Е - А) невырожденная, т.е. \Е - А\ Ф 0, то
по формуле B.7)
-ь
Х=(Е-А) lY = SY
B.20)
Матрица S = (Е- Л) называется матрицей полных
затрат.
Чтобы выяснить экономический смысл элементов матрицы
S = (sy ], будем задаваться единичными векторами конечного
продукта2 У1=а 0, ..., 0/,Г2=@, 1, ..., 0)',...,Г„ =@, О, ..., 1)'.
Тогда по B.20) соответствующие векторы валового
выпуска будут
Xi =(£]j, $21»—» sn0 ' %2 = ($12» 5,22»"-' snl) »•••' Хп =
= E'lw' ^n»'"» snn) •
1 См. сноску на с. 81.
2 Используем для краткости знак «штрих» — знак
транспонирования матрицы.

102 Глава 2. Системы линейных уравнений
Следовательно, каждый элемент s^ матрицы 5 есть
величина валового выпуска продукции i-й отрасли,
необходимого для обеспечения выпуска единицы конечного
продуктами отрасли у. = 1 (j = 1, 2,..., и).
Изменение вектора конечной продукции на величину
AY = (Ау1,Ау2У влечет за собой изменение вектора
валового выпуска продукции на величину ДХ =(Ajq, Ах2)'.
Если при этом сохраняются неизменными коэффициенты
прямых затрат, а следовательно, и матрица S = (Е - А)~ , то
AX=(E-A)~XAY = SAY. B.21)
В соответствии с экономическим смыслом задачи
значения xt- должны быть неотрицательны при неотрицательных
значениях yi > О и а^ > 0, где i, j = 1,2,..., п.
Матрица А > 0 называется продуктивной, если для
любого вектора У > 0 существует решение X > 0 уравнения
B.19). В этом случае и модель Леонтьева называется
продуктивной.
Существует несколько критериев продуктивности
матрицы А. Согласно одному из них матрица А продуктивна,
если максимум сумм элементов ее столбцов не больше
единицы, причем хотя бы для одного из столбцов сумма
элементов строго меньше единицы, т.е. матрица А продуктив-
п
на, если а{: > 0 для любых i,j =1,2,..., п и max £ ац < 1,
и существует номеру такой, что ]Г atj < 1.
i=i
Наряду с валовой и конечной продукциями в
межотраслевом балансе рассматривается чистая продукция
отрасли — разность между валовой продукцией этой отрасли и
продукцией всех отраслей на производство этой отрасли.
Пример 2.8. В таблице приведены данные об
исполнении баланса за отчетный период, ден. ед.
Производящие
отрасли
Энергетика

Машиностроение
Потребляющие отрасли

энергетика
7
12

машиностроение
21
15
Конечный
продукт
72
123
Валовый
выпуск
100
150

2.6. Модель Леонтьева- ... многоотраслевой экономики... 103
Вычислить необходимый объем валового выпуска
каждой отрасли, если конечное потребление энергетической
отрасли увеличится вдвое, а машиностроения сохранится на
прежнем уровне. Найти чистую продукцию отраслей.
Решение. Имеем х± =100, х2 =150, х^ =7, х12 - 21, х21 =
- 12, х22= 15; У!-72, у2-123.
По формуле B.15) находим коэффициенты прямых затрат:
аи =0,07,а12 =0,14,а21 =0,12,а22 =0,10, т.е. матрица
прямых затрат А —
0,07 0,14
имеет неотрицательные эле-
0,12 0,10
менты и удовлетворяет критерию продуктивности:
max{0,07+ 0,12; 0,14 + 0,10 } = тах{0,19; 0,24} = 0,24<1.
Поэтому для любого вектора конечного продукта У
можно найти необходимый объем валового выпуска X по
формуле B.20):
X=(E-A)~lY.
Найдем матрицу полных затрат 5 = (Е - Л)-1:
Е-А =
( 0,93 -0,24^
-0,12 0,90
L Так как \Е- А\ = 0,8202 * 0,
по формуле A.14)
S = (E-A)~l =
1
'0,90 0,14'
0,8202 0,12 0,93
По условию вектор конечного продукта У =
144
123
,тогда
/
по формуле B.17) получаем вектор валового выпуска
Х= l f°'90 °'14¥144VA79'°'|
0,8202^0,12 0,93j[l23j [l60,5 j

104 Глава 2. Системы линейных уравнений
т.е. валовый выпуск в энергетической отрасли надо
увеличить до 179,0 ден. ед., а в машиностроительной — до
160,5 ден. ед.
Из х± = 179 ден. ед. валовой продукции энергетики на
внутрипроизводственное потребление двух
рассматриваемых отраслей (энергетики и машиностроения) уйдет
соответственно хх ± = а\ \Х\ = 0,07 • 179,0 = 12,5 ден. ед. и
х2\ =а2\х\ =0,12 179,0 = 21,5 ден. ед., так что чистая
продукция энергетики составит 179 - 12,5 - 21,5 = 145,0 ден. ед.
Аналогично, из х2 = 160,5 ден. ед. валовой продукции
машиностроения на внутрипроизводственное потребление
уйдет соответственнох12 = «12x2 = 0,21 • 160,5 = 33,7 ден. ед.
и х22 =а22х2 =0,15 160,5 = 24,1 ден. ед., так что чистая
продукция машиностроения составит 160,5 - 33,7 - 24,1 =
= 102,7 ден. ед. ►
(Ъ 2\
I1 'J
В =
'\ 2 1Л
[О 4 8/
С =
и i\
0 1
2 3
3 4 ,
ПРАКТИКУМ
2.7. Система л линейных уравнений
с л переменными
2.9. Даны матрицы
А =
Решить уравнения: а) АХ = 5; б) ХА = С.
Решение.
а) Для невырожденной матрицы А решение уравнения
находится по формуле B.7) X = Л_1Д но здесь необходимо
учесть, что X не является матрицей-столбцом (как это было в
параграфе 2.1), а имеет размер B х 3), ибо ^2x2^2x3 = ^2x3 •
Найдем обратную матрицу Л'1 согласно алгоритму,
приведенному в параграфе 1.5:
\А\ = 3 • 1 -1 • 2 = 1; так как |А\ Ф 0, то Л существует. Мат-
, Г3 1Л
рица А', транспонированная к Л, имеет вид А =

2.7. Система п линейных уравнений с п переменными 105
матрица А из алгебраических дополнений элементов мат-
( 1 -2^
рицы Л' есть А =
-1
Теперь А 1 =— А =
И
л- = л-1я=
1 -2
-1 3
и матрица переменных
f \-2\
-1 3
б) Полагая матрицу А невырожденной, умножаем обе
части уравнения ХА = С справа на обратную матрицу Л-1:
(ХА}А-1 - СА~К
Так как (ХА)А~{= Х(АА^) = Х£ = X, то X = СА~{ и
размер матрицы переменных D х 2), так как С4х2 • А^г - -^4x2-
Следовательно,
Х =
(А 7^
0 1
2 3
I3 4J
fl
u
~2]
3
)
Г-3
-1
-1
I-1
13)
3i
5
6
2.10. Решить уравнение
Ч 3
1 1
Решение. Обозначив А =
С =
5 4^
-2 Oj
представим уравнение в виде АХВ = С. Умножим оое части
уравнения слева на обратную матрицу Л" и справа на
обратную матрицу В-1, учитывая, что А и В —
невырожденные матрицы: \А\ = 1 * 0, |В| = -10 * 0
.-1
Получим А 1(АХВ)В~=А~-СВ~\ Учитывая, что
А~Х{АХВ)В~Х = (А~1А)(ХВ)В~1 =Е(ХВ)В~1 =(ХВ)В~1 =
= Х(ВВ~1) = ХЕ = X, получаем X = А~1СВ~1.
-1
Теперь найдем А =
1-8^
-2 6

106 Глава 2. Системы линейных уравнений
Следовательно,
х=\
1 -3
-1 4
V
5 4
-2 О
10
1-8^
-2 6
_1_
10
11
V
-13-4
-2 6
J_p -64Л
10 5 80
г-0,3 -6,4'
0,5 8,0
2.11. Решить систему уравнений
ах| + Х2 + х$= 1,
jcj + ах2 + дез = 1,
*| + д:2 + ах3 = 1
относительно параметра а.
Решение. Переместив первое уравнение системы на
место третьего, запишем расширенную матрицу системы
f\ a 1
1 1 а
а 1 1
v
%.
1 а 1
0 1 -я а-\
0 1 -я2 1-я
1
0
1-я
Если 1 - а = 0, т.е. а = 1, то матрица системы принимает
I т.е. система, состоящая из одного уравнения
(\ 1 1
вид о 0 0 0
О 0 00
jq + х2 + х3 = 1» совместна и имеет бесконечное множество
решений (xj =1 —q -с2; х2 =q; х3 = с2), где Cj и с2 —
любые числа.
Если 1 - а * 0, т.е. а Ф 1, то преобразуем расширенную
матрицу системы
1 а 1
0 1-а а-1
0 1-а2 1-а
1 ^
0
1-а
Ш-а)~
1/A-в)
1 а 1
О 1 -1
О 1 + а 1
О
1

2.7. Система п линейных уравнений с п переменными 107
A
0
о
V
а 1
1 -1
0 2 + а
1\
0
1
т.е. система имеет вид
Г xi + ах2 + х3 = 1,
\ jc2 - лс3 = О,
[ B + а)х3=1.
Очевидно, что при а = -2 система несовместна, так как
ее третье уравнение приведется к виду 0 = 1.
Применяя обратный ход к полученной системе уравне-
нии при а ■* -2, находим из третьего уравнения хъ = ,
* 2 + а
из второго *2 = *3 = ^ и из первого jq = 1 - х3 - ах2 =
1 1 2 + а
1 а _ 1
2 + а 2 + а 2 + а*
Итак, при д * -2, а * 1 система имеет единственное реше-
ние xi = jc2 = х3 = »ПРИ а = ~2 — несовместна и при я = 1
2 + а
имеет бесконечное множество решений (jq = 1 - q - с2;
х2 = q; jc3 = с2) , где q и с2 — любые числа. ►
2.12. Обувная фабрика специализируется по выпуску
изделий трех видов: сапог, кроссовок и ботинок; при этом
используется сырье трех типов: 5j, So, *%• Нормы расхода
каждого из них на изготовление одной пары обуви и объем
расхода сырья за один день заданы в таблице.
Вид сырья
51
s2
\ %
Нормы расхода сырья на
изготовление одной пары, усл. ед.
сапог
5
2
3
кроссовок
3
1
2
ботинок
4
1
2
Расход сырья
за один день,
усл. ед.
2700
800
1600

108 Глава 2. Системы линейных уравнений
Найти ежедневный объем выпуска каждого вида обуви.
Решение. Пусть ежедневно фабрика выпускает х1 пар
сапог, х2 пар кроссовок и х3 пар ботинок. Тогда в
соответствии с расходом сырья каждого вида имеем систему
[5jcj + Зх2 + 4jc3 = 2700,
12хх + х2 + х3 = 900,
[3^+2x2+2х3 =1600.
При решении системы любым способом находим: B00;
300; 200), т.е. фабрика выпускает 200 пар сапог, 300 — пар
кроссовок и 200 пар ботинок. ►
2.13. С двух заводов поставляются автомобили для двух
автохозяйств, потребности которых соответственно 200 и
300 машин. Первый завод выпустил 350 машин, а второй —
150. Известны затраты на перевозку машин с завода в
каждое автохозяйство (см. таблицу).
Завод
1
2
Затраты на перевозку в автохозяйства, ден. ед.
1
15
8
2
20
25
Минимальные затраты на перевозку равны 7950 ден. ед.
Найти оптимальный план перевозок машин.
Решение. Пусть х^ — количество машин, поставляемых с
i-го заводаj-му автохозяйству (i, j = 1, 2). Получаем систему
| хц + х12 =350,
. х2\ + *22 =150>
< Хц + х2\ =200,
хп + х22 =300,
[l5xn +20x12 +8jc21 +25*22 =7950.
Решим данную систему, например, методом Гаусса.
(Рекомендуем сделать это читателю самостоятельно.) Найдем
Хц = 50, Xyi = 300, х21 = 150, х22 = 0 (Обращаем внимание
на то, что ранг матрицы системы г = 4 , т.е. г = и, и система
имеет единственное решение). ►

2.7. Система п линейных уравнений с л переменными 109
Решить системы уравнения методом обратной матрицы
и по формулам Крамера:
2.14.
2.16.
2.18.
2.20.
[2jc1+jc2= 1.
Xj + 2^2 + Х3 = ">
-2jct + 3jc2 - Зх3 = - 5,
Зх1-4х2+5х3 = 10.
2jcj - 3jc2 - x3 + 6 = 0,
3.^+4x2+3*3+5 = 0,
xt+ x2+ x3 + 2 = 0.
3x+2>> + z = -8,
2x + 3y + z = -3,
2x+y + 3z = -l.
2.15.
2.17.
2.19.
2.21.
Xi - v5x2 = 0,
2y/5xi- 5*2 =-10.
2xj + x2 - x3 = 0,
3x2+4x3+6=0,
xx+ x3 =1.
-2xx + x2 + 6 =0,
Xj — 2x2 ~~ ^3 := 5,
3x1+4x2-2x3=13.
3x + 2j> + z = 1,
6x + 5y + 4z = -2,
9x + 8y + 7z = 3.
Решить системы уравнений методом Гаусса:
2.22.
2.24.
2.25.
2.26.
xi + 2х2 + Зх3 = 6,
2xj+3x2- х3=4, 2.23.
3xj + х2 - 4х3 = 0.
2xj + Зх2 - х3 + х4 = -3,
3xj - х2 + 2х3 + 4х4 = 8,
xj + х2 + Зх3 - 2х4 = 6,
—х\ + 2x2 + 3*з + 5*4 = 3.
2xj + Зх2 - х3 + х4 = 5,
3xj — Х2 + 2хз + х4 = 1,
xi + 2х2 + Зх3 + 4х4 = 6,
6х\ + 4х2 + 4х3 + 6х4 = 1.
х2 + Зх3 - х4 = 10,
Xj + 3x2 + 0X3 ~~ х4 = 22,
4xj+2x2 -3x4=11.
4Xj - Зх2 + 2х3 = 9,
2Xj + 5х2 - Зх3 = 4,
5x^6X2-2X3 =18.

110 Глава 2. Системы линейных уравнений
2.27.
2.28.
2.29.
х\ + х2 + х3 + х4 = Ю»
*! + jc2 ~ x3 - ^4 = -4,
Хл — Х<у Л" Хэ — Хл = —2*,
х\ + 3*2 + 4jc3 ~ 2jc4 = 2,
-3*1 - 7jc2 - 8*з + 2*4 = ~4>
2х\ - х2+ 3jc3 = 4,
2jq + 4х2 + 4jc3 =3.
Xj + 2я>> ~~ Х^ + Х4 — 1»
Зх^ — Х2 ■+■ 2x3 "" Л4 = ~~1,
2jcj - 2jc2 + 3jc3 = 5,
[2jcj + 3jc2 - 2jc3 + jc4 = -3.
Решить системы уравнений относительно параметра а:
2.30. 1
A + a)xi + jc2 + Х3 = 1'
jq + A + я )jc2 + jc3 = я,
*! +
jc2 + A + a)jt3 = a
2.31.
Ш} + JC2 + JC3 + JC4 = 1,
JCj + 0JC2 + JC3 + JC4 = 1,
xi+x2+ ax?, + jc4 = 1,
jq + jc2 + JC3 + 0x4 = 1.
Решить (любым методом) системы уравнений, заданные
в виде АХ = В, где А — матрица системы; В — столбец
свободных членов:
2.32. А =
2.33. А =
Г-Ъ 2 4^
2 -4 -3
1 6 1
'1 5 2^
2 9 5
1 3 -2
5 =
5^
-6
17
V
5 =
12
-9

2.7. Система л линейных уравнений с л переменными 111
(Ъ
1
2-2
\
[в=
)
(-2\
0
10
2.34. Л= 1 1 1 \ 5=| 0l 2.35. Л=
[2 -з -з
Решить матричные уравнения:
(\ 0 1\
2.36.
2.38.
'1 1 О
2 1 2
О 1 1
8 1 2
2.37. X
2 1 1
1 2 1
1 1 2
4 3^
1 1
5=
/а Л
01
9,
V 7
V
8^
1
О -1
\х =
5-1 2Л
-6 4 6
-2 0 7,
7
2.39. X
С =
г1 1 0^
О 1 1
2.42. АВ'Х= С, где А=\
1 2 3'
-12 0
5 =
5-4 0\
1-312
С=
у"8.
2.43. Имеются три банка, каждый из которых начисляет
вкладчику определенный годовой процент (свой для
каждого банка). В начале года 1/3 вклада размером 6000 ден. ед.
вложили в банк 1, 1/2 вклада — в банк 2 и оставшуюся
часть — в банк 3,ик концу года сумма этих вкладов
возросла до 7250 ден. ед. Если первоначально 1/6 вклада
положили бы в банк 1 у 2/3 — в банк 2 и 1/6 вклада — в банк 3У то к
концу года сумма вклада составила бы 7200 ден. ед.; если бы
1/2 вклада положили в банк 1, 1/6 — в банк 2 и 1/3
вклада—в банк Зу то сумма вкладов в конце года составила бы
вновь 7250 ден. ед. Какой процент выплачивает каждый
банк?

112 Глава 2. Системы линейных уравнений
2.8. Система т линейных уравнений
с л переменными. Метод Жордана - Гаусса.
Фундаментальная система решений
Метод Жордана1 — Гаусса позволяет быстрее, чем
классический метод Гаусса, получить решение системы линейных
уравнений. Он заключается в преобразовании расширенной
матрицы системы (Л\В) к виду, в котором матрица А
диагональная с точностью до перестановки строк или столбцов2.
На каждом шаге выбирается любой разрешающий
элемент ап Ф О, где r-я строка и s-й столбец называются
соответственно разрешающей строкой и разрешающим
столбцом. Для перехода к следующему шагу переменная xs
исключается из всех уравнений кроме r-го уравнения,
поэтому все элементы разрешающего столбца, кроме а^у
становятся равными нулю; все элементы разрешающей строки
делятся на разрешающий элемент, а элементы других
строк3 находятся по правилу прямоугольника
aij=aij--
*rj
B.22)
В формулах исключения B.22) новый элемент ац равен
старому элементу а{: минус произведение элементов в
вершинах прямоугольника, деленное на разрешающий элемент.
Заменяемый
элемент
*rj \ЛШ
Разрешающая
строка
Разрешающий
столбец
Разрешающий
элемент
1 Жордан Мари Энмон Камиль A838—1922) — французский математик.
2 Например, матрица
'О 0 4
1 О О
0 3 0
(\ 0 Ok"!
приведена к виду о 3 0 2
1° ° 413у
3 Обозначаем со штрихами.
перестановкой строк может быть

2.8. Система т линейных уравнений с п переменными... 113
После получения новой матрицы выбирается новый,
отличный от нуля элемент в другой строке, вычисляется
новая матрица и так до тех пор, пока не побывает
разрешающей каждая строка матрицы.
2.44. Методом Жордана — Гаусса решить систему
уравнений
I -3*! - 7*2 - 8*з + 2х4 = ~4>
х\ + 3*2 + 4*3 ~ 2*4 = 2,
<
2х\ - х2 + 3*з = 4,
[ 2jcj + 4х2 + 4х3 = 2.
Выпишем расширенную матрицу системы
8 -21-4Л
4-2 2
3 0 4 |
4 0| 2 J
Шаг 1. В качестве разрешающего удобно взять элемент,
равный 1 или -1, например a2i- Делим элементы
разрешающей (второй) строки на разрешающий элемент a2i- Так
как «21 = 1» то элементы второй строки не меняются. В
новой матрице элементы первого столбца, кроме а21 = #21 =
= 1, становятся равными нулю. Другие элементы новой
матрицы находятся по правилу прямоугольника, например,
а{3=-8-Ь^ = 4; 4=0-^ = 4ит.д,
Новая матрица имеет вид
(О Ш 4-4
1 3 -4 -2
О -7 -5 4
[о -2 -4 4
Шаг 2. В качестве разрешающего элемента берем
элемент любой строки, кроме второй, например, элемент
г-з
Ш
2
! 2
-7 -
3
-1
4
2)
2
О
-2

114 Глава 2. Системы линейных уравнений
а\2 =2*0. Делим элементы разрешающей (первой)
строки на а\2 = 21; новые элементы второго столбца, кроме а2,
будут равны нулю. Другие элементы новой матрицы
находятся по правилу прямоугольника, например,
,4.2-^-1; 4-.4-^!)-10.т*
Новая матрица имеет вид
ГО 1 2
1 0 -2
0 0 0
0 0 0
-2
4
-10
0
п
-1
/
0
~
г0 1 0 2/9
1 0 0 16/9
у0 0 1 -10/9
-5/9 >
5/9
7/9;
Шаг 3. В качестве разрешающего элемента берем
элемент третьей строки, например Я33 =9*0. После
пересчета элементов получается новая матрица, в которой
вычеркиваем строку, состоящую из одних нулей (см. последнюю
матрицу).
Так как все строки матрицы брались в качестве
разрешающих, выпишем систему уравнений, соответствующую
последней матрице:
+ тхл = -
*3
16
9'
10
+ у*4 =
•ХА = -
Полагая неосновную переменную х4 - с, получаем общее
решение системы
( 5 16 5 2 7 10
(/9 9 2 9 9 3 9 9 4
Метод Жордана — Гаусса может быть использован при
нахождении обратной матрицы Л. По определению
обратная матрица является решением матричного уравнения
АХ=Е, B.23)
т.е. Х=А
-1

2.8. Система л? линейных уравнений с л переменными... 115
Матричное уравнение B.23) представляет совокупность
п систем линейных уравнений:
о
АХ{ =
О
АХ2 =
1
О
АХп =
'0^
О
v1,
L где Х^ Х2у ^ Хп
столбцы матрицы X = Л. Так как все системы имеют
одну и ту же матрицу Л, то все п систем можно решать
одновременно, если в качестве расширенной рассматривать
матрицу (Л|£), которую необходимо преобразовать в матрицу
(ЦВ), где В и будет обратной матрицей, т.е. В = Л-1. ►
2.45. Дана матрица
А =
B
5
7
1
2
3
-\Л
4
4
Методом Жордана — Гаусса найти А *.
Решение:
(А\Е) =
а -1
2 4
3 4
-13
6
ш
5
-2
-1
-2
1
-1
A
0
V
0
1
0
0
0
1
4 7
-8 -15
-1 -1
0
1
0
о
о
1
13
1
(Л
о
1,
J
^2
а
1
\
г
/
Го 1 о
1 0 0
0 0 1
-1
6
7
-8
4
-1
1 0 (К
-2
-3
-15
7
-1
[ 0
) 1
\ъ\
-6
= (Е\В).
Последняя матрица, полученная из предыдущей в
результате перестановки первой и второй строк, есть матрица
(Е\В),ще
( 4 7 -б\
В = А~1 =
-8 -15
-1 -1
V
13
1

2.8. Система т линейных уравнений с л переменными... 117
2.54.
2.55.
Х^ + Х2 + -*з ~^~ -^4 =: 2>
2х^ + 2^2 — Х3 + 2^4 == ~~2,
Х^ — ЛГ^ "~ Х4 == ^*
3xj - х2 + 2х3 + 2х4 =18,
~Х^ — Х2 "Ь 2д^4 = О,
Xj + #2 + Х3 — 2д^4 = 1 •
Методом Гаусса или методом Жордана — Гаусса решить
системы линейных уравнений и найти все базисные
решения:
2.56.
2.57.
2.58.
2.59.
-2xj + Зх2 - 2*3 = 2,
Ъх\ - 2x2 + х3 = 2,
-5х1+10х2-7х3=10.
5х! + Зх2 + 5х3 + 12х4 = 10,
2xj + 2х2 + Зхз + 5х4 = 4,
Х2+7Х2+9ХЗ+ 4х4 = 2.
Х| ■+■ 2X2 "~ 2X3 "I- JX4 = *^>
-3xj - 2x2 +12хз - 7х4 = -5,
2х2+3х3+4х4 = 2.
-6хх + 9х2 + Зх3 + 2х4 = 4,
-2х! + Зх2 + 5х3 + 4х4 = 2,
-4х\ + 6х2 + 4х3 + Зх4 = 3.
Найти фундаментальные системы решений систем
линейных уравнений:
2.60. \
х\+ Х2~ 2хз + 2х4 = 0,
Ъх\ + 5x2 + 6x3 - 4х4 = 0,
4xj + 5х2 - 2х3 + Зх4 = О,
3xt + 8х2 + 24х3 - 19х4 = 0.

118 Глава 2. Системы линейных уравнений
2.61.
2.62.
2.63.
2.64.
2.65.
5JCJ + 7х2 + 6*з ~~ 2*4 + 2*5 = О,
8*j + 9*2 + 9*3 - 3*4 + 4*5 = О,
7*j + х2 + 6*3 - 2*4 + 6x5 = О,
4х\ - %2 + 3*3 - *4 + 4*5 = О.
3jq + 5*2 ~ 4х3 + 2*4 = О,
2jcj + 4*2 - 6x3 + 3jc4 = О,
1 \хх +17*2 - 8jc3 + 4х4 = О.
3*1 + 5х2 + 3*3 + 2*4 + *5 = О»
Ьх\ + 1x2 + 6*3 + 4*4 + 3*5 = О,
7*!+9jc2+9jc3+6х4+5jc5 =0,
4хх + 8д:2 + 3*з + 2*4 = 0.
6*!+9*2+2*з= О,
-Axi + *2 + *з = О,
5*! + 7*2 + 4*3 = О,
2*! + 5*2 + 3*з = 0.
5*j + 6*2 - 2*з + 7*4 + 4*5 = О,
2*2 + 3*2 - *з + 4*4 + 2*5 = О,
7*2 + 9*2 - 3*3 + 5*4 + 6*5 = О,
5*1 + 9*2 - 3*3 + *4 + 6*5 = 0.
2.9. Модель Леонтьева - модель
многоотраслевой экономики
2.66. Выяснить, продуктивна ли матрица А.
а) А =
0,2 0,3 0 ^
0,1 0 0,3
0,6 0,5 0,7
б) А =
(ОЛ 0,9 0,4^
0,5 0,5 0,5
0,3 1,1 0,3
2.67. Данные об исполнении баланса за отчетный
период, ден. ед., приведены ниже в таблице.

2.9. Модель Леонтьева- ...многоотраслевой экономики 119
Производящие
отрасли
1
2
Потребляющие
отрасли
1
100
275
2
160
40
Конечный
продукт
240
85
Валовый
выпуск
500
400
Вычислить необходимый объем валового выпуска
каждой отрасли, если конечный продукт отрасли 1 должен
увеличиться в два раза, а отрасли 2 — на 20%.
2.68. Экономика разделена на три отрасли:
промышленность, сельское хозяйство, прочие отрасли. На плановый
период заданы коэффициенты прямых затрат и конечная
продукция отраслей (см. таблицу).
Производящие
отрасли
Промышленность
Сельское
хозяйство
1 Прочие отрасли
Потребляющие отрасли

промышленность
0,3
0,15
0,1
сельское
хозяйство
0,25
0,12
0,05
прочие
отрасли
0,2
0,03
0,08
Конечная
продукция
56
20
12
Найти объем валовой продукции каждой отрасли,
межотраслевые поставки, чистую продукцию отраслей.
@,1 0,5^
2.69. Дана матрица прямых затрат А = L
Найти: а) вектор валовой продукции X для обеспечения
v f400>! *ч
выпуска конечной продукции Y = ; о) приращение
_D001
"E00/
вектора АХ для увеличения выпуска конечной продукции
на ДУ= L
2.70. Работа системы, состоящей из двух отраслей, в
течение некоторого периода характеризуется данными, ден. ед.,
приведенными в таблице.
Производящие
отрасли
1
2
Потребляющие отрасли
1
100
275
2
160
40
Чистая
продукция
240
85

120
Глава 2. Системы линейных уравнений
Вычислить матрицу прямых затрат.
2.71. Имеются данные (см. таблицу) о работе системы
нескольких отраслей в прошлом периоде и план выпуска
конечной продукции Y^ в будущем периоде, ден. ед.

Производящие отрасли
1
2
Потребляющие отрасли
1
80
70
2
120
30
Чистая
продукция
300
200
План
Ух
350
300
Найти матрицы прямых и полных затрат, а также
выпуск валовой продукции в плановом периоде,
обеспечивающей выпуск конечной продукции У^
2.72. Дана матрица S полных затрат некоторой модели
межотраслевого баланса:
5 =
'1,5 0,2 0,0
0,5 1,5 0,3
0,2 0,1 1,1
\
Найти: а) приращение валового выпуска AXV
обеспечивающее приращение конечной продукции АУ1 - A0 30 20)';
б) приращение конечной продукции А У2> соответствующее
приращению валового выпуска АХ2 = E -10 20)'.
Контрольные задания по главе 2
«Системы линейных уравнений»
No\
1
2
Вариант 2.1
Вариант 2.2
Вариант 23
По формулам Крамера решить систему:
f *i + 2*2 - *з = 1»
< 3*i + 4*2 - 2*3 = 1»
[5*j + *з = -1
[2*i -5*2-*з = -1,
< 3*i + *з = -4,
[4*1 +*2 + 2*з = -5
[3*i - 2*2 + 4*з = -5,
| *2-2*3= 4,
[2*1- *2+ *3 = -1
Решить матричное уравнение:
I4 2Г2 8J 1
1з 2J
М
С>]
*Щ

Контрольные задания...
121
№
3
4
5
6
Вариант 2.1
Вариант 2.2
Вариант 23
Методом Гаусса решить систему уравнений, заданную I
в матричной форме: АХ = В. Дано: X = (х^ х2 х3 хА)' и:
А =
В =
' 1 -4 3 7"!
-2 1-13
4-3 1 5 Г
г1 2 -1 -U
D 6 2 4/
А =
В =
' 1 2-1 \\
-10 3 -1
2 4 1 3
3 10 2
(-6 4 -5 2)'
А =
В =
fl -1 3 2\\
3 1-4-1
5 3-1 1
0 1 5-1
V )
E-5 5-2)'
Решить систему, составленную из первых трех уравнений
системы в задаче 3. Указать число базисных решений
и найти одно из них.
Найти фундаментальную систему решений системы
линейных уравнений:
Г Л|+2*2+3*3+4*4=0,
[2jq +2*2 +5*з +8*4 =0
\\ *i-*2-2*з+3*4=0,
|-2*1+*2- *з-5*4=0
Г-*! +2*2-3*3 +4*4 = 0,
[З*!-5*2+ 2*3-10*4 =0
Дана матрица прямых затрат Л. Найти изменение векторов:
а) конечного продукта AY при данном изменении вектора
валового продукта АХ; б) валового выпуска АХ при
необходимом изменении вектора конечного продукта АК
@,3
{О А
а)ДХ =
б)АУ =
0,2\
0,1/
^200Л
[ню/
г55^
^0,5 0,2j
А=(°Л °'П
^0,6 0,2/
I120/
*»•(£) 1
Тест 2
1. По формулам Крамера решить систему:
[ *i+2jc2 =-1»
\-Ъхх +jc3=-2,
[ Х\ + *2 + Л3 = !•

122 Глава 2. Системы линейных уравнений
В ответе указать значения переменных х^ х2 и
определителя Д3.
2. Методом обратной матрицы решить систему
уравнений:
f *! + 2*3 = 1,
< 3*2 + *з = 1,
[*!~5*2 =0.
В ответе указать xv лг3 и элемент а12 обратной матрицы
3. Методом Гаусса решить систему уравнений:
[ xi + 2;c2 + *з = 0»
s *1 + 3*2 + 2*з = 1,
[-*! +2*3=3.
4. Дана система уравнений
Г *i +2*2+3*з =1,
<4х1 +5*з=2,
[-*! + 6*2 + 4*з = 3.
Выберите верное утверждение: 1) система
определенная; 2) система несовместная; 3) система неопределенная.
5. Система из трех уравнений с тремя переменными,
заданная в матричном виде АХ = 5, несовместна в
следующих случаях:
1) г (А) = г (А\В) = 3; 2) г(А) = г (А\В) = 2;
3) г (А) = 2, г (А\В) = 3; 4) г (А) = г (Л|Я) = 1;
5)г(Л) = 1,г(Л|5) = 2.
Выберите верные варианты ответов.
6. Найти число базисных решений системы уравнений
*1 + 3*2 + 2*з + 3*4 = -1,
2*j + 5*2 + 4*3 + 6*4 = 0.

Контрольные задания...
123
7. Найти фундаментальную систему решений системы
уравнений (в ответе указать число решений):
!х1+ х2 + ХЪ + х4 ~ х5=®'
*2 + 2лг2+ Зд;з+д:4+2д:5 =0.
8. Выяснить, какие из приведенных матриц являются
продуктивными:
'0,8 0,7ч
1)
3)
0,2 0,4\
0,6 0,3/
1,2 0,5 \
0,3 0,2/
2)
4)
0,2 0,3
(,1 0,3"!
0,9 0,2
Л тт .0.1 0,5
9. Дана матрица прямых затрат А = I и вектор
валового выпуска X =
800
900
0,2 0,3
. Найти компоненты yit y2
вектора конечного продукта Y =
10. Дана матрица полных затрат S =
г80^
тор конечного продукта Y =
век-
вектора валового выпуска X =
■Й)
'* 5 0,125"!
и
25 1,125 J
Найти компоненты xt, x2
80

Глава 3
ЭЛЕМЕНТЫ МАТРИЧНОГО
АНАЛИЗА
ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ КУРС
3.1. Векторы на плоскости и в пространстве
!
Обобщим некоторые сведения о векторах, известные в
основном из школьного курса геометрии. „
Вектором называется направленный отрезок АВ с
начальной точкой А и конечной точкой В (который можно
перемещать параллельно самому себе (рис. 3.1)).
Векторы могут обозначаться как
^ двумя прописными буквами, так и
одной строчной с чертой или стрелкой
либо выделяться жирным шрифтом,
например а = АВ, а-АВ или а = АВ.
Длиной (нормой, или модулем)
АВ\ вектора АВ называется число,
равное длине отрезка АВ,
изображающего вектор.
Векторы, лежащие на одной прямой или
параллельных прямых, называются коллинеарными. .
Если начало и конец вектора совпадают, например АА ,
то такой вектор называют нулевым и обозначают 0 = АА.
Длина нулевого вектора равна нулю: м=0. Так как
направление нулевого вектора произвольно, то считают, что
он коллинеарен любому вектору.
Произведением вектора а на число X называется вектор
b = Ха , имеющий длину щ = \Ц\а\, направление которого
Рис. 3.1

3.1. Векторы на плоскости и в пространстве 125
Ха (X < О) Ха (X > О)
Рис. 3.2
Рис. 3.3
совпадает с направлением вектора а,
если X > О, и противоположно ему, если
X < О (рис. 3.2).
Противоположным вектором а
называется произведение вектора а на
число (-1), т.е. -а = (-l)a.
Суммой двух векторов а иЬ называется вектор с = а + Ь,
начало которого совпадает с началом вектора Я, а конец —
с концом вектора b при условии, что начало вектора b
совпадает с концом вектора а (правило
треугольника) (рис. 3.3).
Очевидно, что вектор с в этом случае
представляет диагональ
параллелограмма, построенного на векторах а и b
(правит параллелограмма) (см. рис. 3.3).
Аналогично определяется сумма
нескольких векторов. Так, например, сумма четырех векторов
а, Ь, с, d (рис. 3.4, а) есть вектор e=a + b + c + d, начало
которого совпадает с а $
началом вектора а,
а конец — с концом
вектора d (правит
многоугольника)
(рис. 3.4,6).
Нетрудно
убедиться, что вектор
d = a + b + c,
определяемый таким образом, представляет диагональ
параллелепипеда, построенного
на векторах а, b и
с, не лежащих в
одной плоскости или
в параллельных
плоскостях1 (прави-
т параллелепипеда)
(рис. 3.5).
Рис. 3.4
1 Векторы, лежащие в одной плоскости или параллельных
плоскостях, называются компланарными.

126 Глава 3. Элементы матричного анализа
Рис. 3.6
г Разностью двух векторов а и Ъ
С—~~рг называется сумма вектора а и вектора
-+>а-Ъ \^-й -b, противоположного Ъ (рис. 3.6).
Легко убедиться в том, что в
параллелограмме, построенном на векторах
а = АВ и Ъ = AD, одна диагональ —
вектор с = АС — представляет сумму векторов а и Ь,адругая
диагональ — вектор d = DB — их разность (рис. 3.7).
D Перенесем вектор а
параллельно самому себе так,
чтобы его начало совпало с
началом координат.
Координатами вектора а
называются координаты его
конечной точки. Так,
координатами вектора а-ОМ на
плоскости Оху являются два
рис. 3.8), а в пространстве Oxyz —
(см. рис. 3.10).
Обозначим через i, j9 k
единичные векторы, или орты,
совпадающие с
положительным направлением осей
соответственно Оху Оу, Oz (рис. 3.9);
Щ = \j = \k = 1. Тогда вектор
а = ОМ = (х, у, z) может быть
Рис. 3.8 представлен в виде (рис. 3.10):
а
4
ъ
Рис
D
.3.7
числа х и у (а = {х,у)
три числаx,y,z(a = (х,уу z)
kk
a = OP + OQ + OR или a = xl + yj+zk. C.1)
Рис. 3.9
Рис. 3.10

3.1. Векторы на плоскости и в пространстве 127
Формула (ЗЛ) называется разложением вектора а по
векторам i, j9 k. Векторы xi.yj, zky сумма которых равна
вектору а = (x,y,z), называются компонентами вектора а.
В соответствии с определениями, приведенными выше,
нетрудно показать, что суммой и разностью векторов
5 = (*i,yi,Zi) и Ь-(х2уУ2^2) являются соответственно
векторы
с=а + Ь = (хх + х2, У\+У2, 2!+22);
d=a-b = (xl-x2, У\-У2> г\~гг\
а произведение вектора я = (jq, yx, z{) на число X есть вектор
b = Xa = (kxi, Xyi, Xzi).
Из рис. 3.8 и 3.10 следует, что длина вектора равна
корню квадратному из суммы квадратов его координат:
р|=|щ?| = 7*2+У2 C.2)
или
|я| = |<ж| = Jx2+y2+z2. C.3)
Определение. Скалярным произведением (а,Ь) двух
векторов а и Ъ называется число, равное произведению
длин этих векторов на косинус угла (р между ними:
(a,b) = ab = I alibi cos (р. C.4)
Выразим скалярное произведение через координаты
векторов а и Ь.
В треугольнике ABD (см. рис. 3.7) сторонами являются
векторы 5 = (х1? у1э zx)b = {x2, #2> гг) нс1 = а-Ь = (хх-х29
У\~"У2> z\~"zl)- По теореме косинусов 3 =3 + Й -23floosq>,
откуда
.—I (—i 1Л-|2 И2 |—.2 Л
abcos(p = - a +W -W L ^35^
1111 21'' ' ' ' ' I \kJ,xJ/
Учитывая формулу длины вектора C.3), находим
|-»|2 2 2 2 1~*1 2 2 2
И = -«I + У1 + Zi , \Ъ\ =X2+y2+Z2,

128 Глава 3. Элементы матричного анализа
I—»|2 2 2 2 *
d\ = (хх -х2) +(У\-У2) + Ui ~ ^2) и после
преобразования выражения C.5) получаем
(а,Ц = \аЩсо$<$ = ххх2+ уху2 + zxz2, C.6)
т.е. скалярное произведение двух векторов равно сумме
произведений соответствующей: координат этих векторов.
Заметим, что при а = Ъ угол ф = 0, cos ф = 1 и
/ \ 9 1~*|2 9 9 9
E,Й) = Й =Ы = xx+yx+zx, C.7)
т.е. скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины.
В частности, расстояние d между двумя точками
плоскости А(хх> у±) и В(х2, у2) можно рассматривать как длину
вектора АВ = (х2-хх, у2 -ух). Следовательно,
d = yj\XBf = yl(x2-xxJ + (y2-yxf. (З-8)
Угол между векторами а и Ъ определяется по формуле
НИ №+*?+*№+£+£ C'9)
При ф = я/2 ползаем cos ф = 0, т.е. условием
перпендикулярности (или обобщенно условием ортогональности
векторов (см. параграф 3.5)) двух векторов a = (xx,yx,zx) и
b = (x2,y2,z2) является равенство нулю их скалярного
произведения
ab = 0 или ххх2 + уху2 + zxz2 = 0. C.10)
Условие коллинеарности {параллельности) двух векторов
a = (xv yv zx) и b = (x2, y2,z2)\
b = ka или %- = & = &. C.11)
*\ У\ z\
Пример 3.1. Даны векторы я = B;-1;-2) и Ь = (8;-4;0).
Найти: а) векторы ? = 2я и d = Й - я ; б) длины векторов с

3.1. Векторы на плоскости и в пространстве 129
и d; в) скалярный квадрат вектора d; г) скалярное
произведение векторов ( с, d ); д) угол между векторами с и d.
Решение.
а) По определению _
с = 2Й = D;-2;-4), d = b-a = F;-3; 2).
б) По формуле C.3) найдем длины векторов end:
|с| = ^42+(-2J+(~4J=6, р| = д/б2+(-3J+22=7.
в) По формуле C.7) скалярный квадрат равен квадрату
модуля вектора, т.е. (d, d) = d2 = \d\ = 72 = 49.
г) По формуле C.6) скалярное произведение
(с, J) = 4 • 6 + (-2)(-3) +*М) • 2 = 22.
д) По формуле C.9) угол между векторами с и d
определяется равенством:
cos ф = Lm-i = -— « 0,52, откуда ф = arccos 0,52 « 58°. ►
И г 6'7
Проекцией npza вектора а = АВ на ось I называется
величина направленного отрезка А'В' (где АА' J_ /, BB' J_ / —
рис. 3.11), т.е. число, равное длине отрезка А'В', взятое со
знаком «+», если направление А'В' совпадает с
направлением оси /, и со знаком «-», если эти направления
противоположны. Очевидно, что
пр/а = |й|со8ф. C.12)
Направляющими косинусами вектора
а = (jc, г/, z) называются косинусы
углов а, р, у, образуемых вектором а с
осями координат (см. рис. 3.10). Найдем
cos а, где а— угол между вектором
а = (х, г/, z) и единичным вектором
(ортом) Г = A; 0; 0). По формуле C.9)
(я, О , о ч
cos а = _„ (аналогично определяются cos p и cos у) или
141
X
coscc =
yjx2 + y2 + z2

130 Глава 3. Элементы матричного анализа
cosp=^T7T7; <313>
z
cosy= . =.
При этом
cos2a + cos2C + cos2y=l. C.14)
3.2. Понятия /7-мерного вектора
и векторного пространства
Множества всех плоских или пространственных
векторов, рассмотренных выше, в которых определены операции
сложения векторов и умножения вектора на число, являются
простейшими примерами векторных пространств. Ниже
обобщается понятие вектора и дается определение
векторного пространства.
| Определение, и-мерным вектором называется
упорядоченная совокупность п действительных чисел,
записываемых в виде х = (xv x2y..., хп), где х{ — i-я компонента,
| или координата, вектора х1.
Понятие я-мерного вектора широко используется в
экономике, например, некоторый набор товаров можно
охарактеризовать вектором х = (xv x2, ..., хп), а
соответствующие цены — вектором у = (у^ у2,..., уп)-
Два п-мерных вектора равны тогда и только тогда, когда
равны их соответствующие компоненты, т.е. х = у, если xi =
= */;, 1= 1,2, ..., П.
Суммой двух векторов одинаковой размерности п
называется вектор z = х + у у компоненты которого равны
суммам соответствующих компонент слагаемых векторов, т.е.
zi = xi + yi,i= 1,2,..., п.
1 Компоненты я-мерного вектора удобнее обозначать одной буквой, но
с разными индексами (в отличие от двух и трехмерных векторов,
компоненты которых мы обозначали выше разными буквами), а сам вектор —
той же буквой (без номеров и стрелки), выделенной жирным шрифтом.

3.2. Понятия литерного вектора и... пространства 131
Произведением вектора х на действительное число X
называется вектор и = Хх> компоненты и^ которого равны
произведению X на соответствующие компоненты вектора дг,
т.е. щ - Хх^ г - 1,2,..., п.
Линейные операции над любыми векторами
удовлетворяют следующим свойствам.
1.дг + у=у+дг— коммутативное (переместительное)
свойство суммы.
2. (х + у) + z = х + (у + г)- ассоциативное
(сочетательное) свойство суммы.
3. афх) = (осР)дг — ассоциативное относительно
числового множителя свойство.
4. а(х + у) = ох + ау — дистрибутивное
(распределительное) относительно суммы векторов свойство.
5. (а + р)лс = ох + $х — дистрибутивное относительно
суммы числовых множителей свойство.
6. Существует нулевой вектор 0 = @, 0,..., 0) такой, что
х + 0 = х для любого вектора х (особая роль нулевого
вектора).
7. Для любого вектора х существует противоположный
вектор (-х) такой, что х + (-х) = 0.
8. 1 • х = х для любого вектора х (особая роль числового
множителя 1).
I Определение. Множество векторов с действительными
компонентами, в котором определены операции сложения
векторов и умножения вектора на число, удовлетворяющее
приведенным выше восьми свойствам (рассматриваемым
как аксиомы), называется векторным пространством.
Следует отметить, что под х, у> z можно рассматривать
не только векторы, но и элементы (объекты) любой
природы. В этом случае соответствующее множество элементов
называется линейным пространством.
Линейным пространством является, например,
множество всех алгебраических многочленов степени, не
превышающей натурального числа п. Легко убедиться, что если х
и у — многочлены степени не выше п, то они будут
обладать свойствами 1—8. Заметим для сравнения, что,
например, множество всех многочленов степени, точно равной
натуральному числу п, не является линейным
пространством, так как в нем не определена операция сложения
элементов, ибо сумма двух многочленов может оказаться
многочленом степени ниже п. А множество многочленов сте-

132 Глава 3. Элементы матричного анализа
пени не выше п> но с положительными коэффициентами,
также не является линейным пространством, поскольку в
этом множестве не определена операция умножения
элемента на число (такие многочлены нельзя умножать на
отрицательные числа).
Из определения векторного (линейного) пространства, в
частности из аксиом 1-8, вытекает существование
единственного нулевого вектора, равного произведению произвольного
вектора х на действительное число 0, и существование для
каждого вектора х единственного противоположного вектора
(-#), равного произведению этого вектора на действительное
число (-1).
3.3. Размерность и базис векторного пространства
Понятия линейной комбинации, линейной зависимости
и независимости векторов вводятся так же, как это было
сделано в параграфе 1.6 для строк матрицы.
I Определение. Вектор ат называется линейной ком-
бинацией векторов а^ я2, •••» ат-\ векторного
пространства R, если он равен сумме произведений этих векторов
на произвольные действительные числа:
I ат - Vi + Ча2 + - + K-iam-v C15>
где A-j, А,2,..., ^т-\ — любые действительные числа.
I Определение. Векторы av я2, ..., ат векторного
пространства R называются линейно зависимыми, если
существуют такие числа A-j, А,2,..., А,т, не равные
одновременно нулю, что
Vl + Ча2 + - + Хтат = °- C16>
В противном случае векторы а^ я2, •••> ат называются
I линейно независимыми.
Из приведенных выше определений следует, что
векторы aj, я2,..., ат линейно независимы, если равенство C.16)
справедливо лишь при Х± = А,2 в ... = Хт - 0, и линейно
зависимы, если это равенство выполняется, когда хотя бы одно
из чисел Xi (i = 1, 2,..., т) отлично от нуля.

3.3. Размерность и базис векторного пространства 133
Можно показать (см. параграф 1.6), что если векторы а±,
а2> —' ат линейно зависимы, то, по крайней мере, один из них
линейно выражается через остальные. Верно и обратное
утверждение о том, что если один из векторов выражается
линейно через остальные, то все эти векторы в совокупности
линейно зависимы.
Примером линейно независимых векторов являются
два неколлинеарных (не параллельных одной прямой)
вектора ^ и ^ на плоскости. Действительно, условие
C.16): Xjflj + Х2а2 = 0, будет выполняться лишь в случае,
когда A.J = Х-2 = 0, ибо если, например, Х2 Ф О, то а2 = —-ах
и векторы ах и а^ коллинеарны.
Однако любые три вектора плоскости линейно
зависимы. В самом деле, если векторы av a^ — неколлинеарные
(рис. 3.12, а), то любой третий вектор а^ можно разложить
по векторам av с^ (рис. 3.12, б), т.е. представить в виде
53 = Ххах + Х2а2 или ^-1^1 + ^-2^2 ~ ^з = 0» те- векторы av a^,
а^ — линейно зависимые.
Если же ах и а^ — коллинеар-
ные векторы, то найдутся не
равные одновременно нулю_ числа
A,j И %2 у чт0 ^1^1 + ^2^2 = ^*
Тогда и
XjSj + Х2а2 — 0 • а3 = 0>
Рис. 3.12
т.е. и в этом случае векторы а{1
52, З3 — линейно зависимые.
Отметим некоторые свойства векторов линейного
пространства.
1. Если среди векторов а±, а2> •••> ат имеется нулевой
вектор, то эти векторы линейно зависимы. В самом деле,
если, например а^ = 0, то равенство C.16) справедливо
при A,j - 1Д2 в ... ввХтяж0.
2. Если часть векторов а^ а2> ..., ат являются линейно
зависимыми, то и все эти векторы — линейно зависимые.
Действительно, если, например, векторы а2, ..., ат линейно
зависимы, то справедливо равенство Х2а2 + ... + Хтат = 0, в
котором не все числа А,2,..., А, равны нулю. Но тогда с теми
же числами А,2, ..., Xи Ха = 0 будет справедливо равенство
C.16).

134 Глава 3. Элементы матричного анализа
Пример 3.2. Выяснить, являются ли векторы а1 = A; 3; 1; 3),
а2 = B; 1; 1; 2) и а3 = C; -1; 1; 1) линейно зависимыми.
Решение. Составим векторное равенство Х^ + Х2а2 +
+ АдЯз = 0. Записывая а±9 а2, а% в виде вектор-столбцов,
получаем
A)
3
1
V )
+х2
B)
1
1
2
^ )
+ *3
f3]
-1
1
1
V )
=
(°)
0
0
W
Таким образом, задача свелась к решению системы
Г^ч- 2X2+3X3= о,
IЗЛ,! -hХ2 - Х3=0,
1 Хх + Х2 + Х3 = 0,
[3X4+2X2+ ^з=°-
Решая систему методом Гаусса (см. параграф 2.3),
приводим ее к следующему виду:
[Х1+2Х2-ЗХ3=0,
I Х2+2Х3=0,
1 0 = 0,
[ 0 = 0,
откуда находим бесконечное множество ее решений (Х1 = с,
Х-2 = -2с, Хз = с), где с — произвольное действительное число.
Итак, для данных векторов условие C.16) выполняется
не только при Xj = Х2 = Х3 = 0 (а, например, при Х^ = 1, Х2 =
= -2, Х3 = 1(с = 1); при Х1 = 2, Х2 = -4, Х3 = 2 (с = 2) и т.д.),
следовательно, эти векторы — линейно зависимые. ►
I Определение. Линейное пространство R называется
n-мерным, если в нем существуют п линейно независимых
векторов, а любые из (п +1) векторов уже являются
зависимыми. Другими словами, размерность пространства —
это максимальное число содержащихся в нем линейно неза-
I висимых векторов.
Число п называется размерностью пространства R и
обозначается dim(i?).

3.3. Размерность и базис векторного пространства 135
I Определение. Совокупность п линейно независимых
I векторов я-мерного пространства R называется базисом.
Справедлива следующая теорема.
Теорема. Каждый вектор х линейного пространства R
можно представить (и притом единственным способом) в
виде линейной комбинации векторов базиса.
□ Пусть векторы е^ е2, ..., еп образуют произвольный
базис я-мерного пространства R. Так как любые из (п + 1)
векторов я-мерного пространства R зависимы, то будут
зависимы, в частности, векторы е^ е2, ..., еп и
рассматриваемый вектор х. Тогда существуют такие не равные
одновременно нулю числа Х±, А,2,..., Хп, Х> что
Х1е1 + Х2е2 + ... + Хпеп + Хх = 0. C.17)
При этом X Ф 0, ибо в противном случае, если X = 0 и хотя
бы одно из чисел Хр Х2,..., Хп было бы отлично от нуля, то
векторы ер е2,..., еп были бы линейно зависимы. Следовательно,
Л,1 Х2 Хп
X 1 X z X п
или
х = х]ех +х2е2 +... + хпеп, C.18)
Х-
где х,.=—-J-(i = 1,2,...,/i).
Это выражение х через ev e2,..., еп — единственное, так
как если допустить наличие какого-либо другого
выражения, например,
то, вычитая из него почленно C.18), получаем
(ух -хх)е1 +(у2 -х2)е2 +... + (уп -хп)еп = 0,
откуда из условия линейной независимости векторов е^,
е2,..., еп следует, что
У1-*1=У2-*2=-» = Уя-*я=°
или
У\ = хь Уг = *2> •••' Уп = хп- *

136 Глава 3. Элементы матричного анализа
Равенство C.18) называется разложением вектора х по
базису (вр е2,..., еп)у а числа х^ х2,..., хп — координатами
вектора х относительно этого базиса. В силу единственности
разложения C.18) каждый вектор однозначно может быть
определен координатами в некотором базисе.
Заметим, что полученная ранее формула C.1)
представляет разложение вектора а по базису \i9j9k).
Очевидно, что нулевой вектор имеет все нулевые
координаты, а вектор, противоположный данному, —
противоположные по знаку координаты.
Важное значение имеет следующая теорема.
Теорема. Если вр е2,..., еп — система линейно
независимых векторов пространства R и любой вектор а линейно
выражается через е^ е2,..., еп, то пространство R
является n-мерным, а векторы вр е2,..., еп — его базисом.
□ Возьмем произвольные т векторов пространства R,
где т > п. По условию каждый из них можно линейно
выразить через вр е2,..., е^.
\ах =апех +а12е2 +... + аыеп,
\а2=а21е1+а22е2 + ... + а2пеп,
I , C.19)
[ат =ат\е\+ат2е2 +- + атпеп-
Рассмотрим матрицу А = (аф (i = 1, 2,..., m;j =1,2,..., п).
Ранг этой матрицы не превосходит п (г (А) < min{m, п} = п),
следовательно, среди ее строк не более п линейно
независимых. Так как т > п> то т строк этой матрицы, а
следовательно, и т векторов а^, а2,..., ат линейно зависимы. Таким
образом, пространство R является я-мерным, и ev e2, ...,
еп — его базис. ■
Пример 3.3. В базисе (е^ е2, е3) заданы векторы а± -
= A; 1; 0), а2 = A; -1; 1) и а3 = (_3; 5; -6). Показать, что
векторы Hj, a27 а3 образуют базис.
Решение. Векторы а^ а2, а3 трехмерного пространства
образуют базис, если они линейно независимы. Составим
векторное равенство: А,1а1 + А,2а2 + ^за3 = ®- Решая ег0 ана~
логично примеру 3.2, можно убедиться в единственном
нулевом его решении: \± = Х2 = А,3 = 0, т.е. векторы а^ а2, а3

3.4. Переход к новому базису
137
образуют систему линейно независимых векторов и,
следовательно, составляют базис. ►
3.4. Переход к новому базису
Пусть в пространстве R имеются два базиса: старый (вр
е2у..., еп) и новый (е*, е2,..., е*). Каждый из векторов
нового базиса можно выразить в виде линейной комбинации
векторов старого базиса
е2 = а2\е\ + а22*2 + "•+ а2пеп>
е*=а *еА+а о0о+... + # е .
п nil п2 2 пп п
C.20)
Полученная система означает, что переход от старого
базиса к новому задается матрицей перехода
А =
а\2 а22
а\п а2п
ап\
ап2
C.21)
причем коэффициенты разложения новых базисных
векторов по старому базису образуют столбцы этой матрицы
V4
1 е' .
А'
v " j
C.22)
Матрица А — неособенная, так как в противном случае
ее столбцы (а следовательно, и базисные векторы)
оказались бы линейно зависимыми. Обратный переход от
нового базиса (е*, е|,..., е*) к старому базису (е^ е2,..., еп)
осуществляется с помощью обратной матрицы А.
Найдем зависимость между координатами вектора в
разных базисах. Пусть рассматриваемый вектор х имеет коор-

138 Глава 3. Элементы матричного анализа
динаты (х\9 #2» •••> хп) относительно старого базиса и
координаты (xf, x%,..., х*) относительно нового базиса, т.е.
х = xfef + х\е\ +... + х*е* = х{е1 + х2е2 +...хпеп. C.23)
Подставив значения е*, e2,., в* из системы C.20) в
левую часть равенства C.23), после преобразований получим
х2 ~а\2Х\ +а22*2 ~*~-" + ап2Хп>
х=а,„х?+а~х*+... + ах*
т.е. в матричной форме
'V
V " /
или
V "У
ЧЛ
= А
-1
V " /
V п J
C.24)
Пример 3.4. По условию примера 3.3 вектор Ь = D; -4; 5),
заданный в базисе (е^ е2, в3), выразить в базисе (а±у а2, а%).
Решение. Выразим связь между базисами
а\ = *1 + *2>
а2 = ^1 ~ е2 "*" ^3»
а3 = -3^ + 5е2 ~б^з-
Матрица перехода от базиса (е1? е2, е3) к базису (elf a2> аз)
имеет вид
(Ч 1 -з^
Л= 1 -1 5
[о 1 -6
(см. параграф 1.5).
Вычисляем А =-
4
'13 2Л
6-6-8
1 -1 -2
v

3.5. Евклидово пространство
139
Теперь по формуле C.24)
(\
6
1
V
3
-6
-1
2)
-8
-2
{ 41
-4
5
V )
1
~4
f 21
8
-2
=
Г 0,5 Л
2
-0,5
V J
т.е. новые координаты вектора Ь в базисе (а1? а2> аз) есть
0,5; 2; -0,5 и вектор Ь может быть представлен в виде
* = 0,5а1+2а2-0,5а3.^
3.5. Евклидово пространство
Выше было дано определение линейного (векторного)
пространства, в котором можно складывать векторы и
умножать их на числа, рассмотрены понятия размерности и
базиса, а теперь в данном пространстве введем метрику,
т.е. способ измерения длин и углов. Это можно сделать,
если ввести, например, понятие скалярного произведения.
I Определение. Скалярным произведением двух
векторов х = (xif х2,..., хп) и у = (у1? у2,..., уп) называется число
п
(x,y) = x1y1+x2y2+... + xnyn = ^xiyi. C.25)
I 1=1
Скалярное произведение имеет экономический смысл.
Если х = (хр х2,..., хп) — вектор объемов различных товаров,
а у = (yif у2,..., уп) — вектор их цен, то скалярное
произведение (х, у) выражает суммарную стоимость этих товаров.
Скалярное произведение имеет следующие свойства.
1. (х, у) = (у, х) — коммутативное свойство.
2. (х, у + z) = (х, у) + (х, z) — дистрибутивное свойство.
3. (сие, у) = а(х, у) — для любого действительного числа а.
4. (х, х) > 0, если х — ненулевой вектор; (х, х) = 0, если
х — нулевой вектор.
I Определение. Линейное (векторное) пространство, в
котором задано скалярное произведение векторов,
удовлетворяющее указанным четырем свойствам (рассматриваемым
как аксиомы), называется евклидовым пространством.

140 Глава 3. Элементы матричного анализа
Длиной {нормой) вектора х в евклидовом пространстве
называется корень квадратный из его скалярного квадрата:
\х\ = J(x,x) = у]х?+х%+... + х%. C.26)
Имеют место следующие свойства длины вектора.
1. |лг| = О тогда и только тогда, когда х = 0.
2. |Ajt| = |A|jc|, где X — действительное число.
3.|(*,у)|<ЫЫ 1 C.27)
(неравенство Коши — БуняковскогоI.
4. \х + у\ < |лг| + |у| (неравенство треугольника).
Угол ф между двумя векторами х и у определяется
равенством
(х9у)
С08ф=Ш' C-28)
где 0 < ф < я.
Такое определение вполне корректно, так как согласно
неравенству Коши — Буняковского ](*:, у)\ < \х\\у\, т.е. cos ф < 1.
Два вектора называются ортогональными, если их
скалярное произведение равно нулю. Очевидно, что нулевой
вектор ортогонален любому другому вектору. Из
определения следует, что если два ненулевых вектора
ортогональны, то угол между ними равен я/2 (ибо cos я/2 = 0).
Векторы е^у е2, ..., еп /г-мерного евклидова пространства
образуют ортогональный базис, если эти векторы попарно
ортогональны, т.е. (ef-, e) = 0, и ортонормированный базис,
если эти векторы попарно ортогональны и норма каждого
из них равна единице, т.е. если (ef-, е) = 0 при гФ) и |ej = 1
при г = 1,2,..., п.
Для установления корректности приведенного
определения необходимо убедиться в том, что входящие в него
векторы ev е2, •••> еп °бразУют один из базисов
рассматриваемого я-мерного пространства R (т.е. Rn). Для этого
достаточно показать, что векторы е^ е2,..., еп линейно
независимы, т.е. равенство
Ххех + Х2е2 + • • • Кеп = ° C.29)
справедливо лишь при Х,1 = Х2 ^...^ А,п = 0.
1 Коши Опостен Луи A789—1857) — французский математик; Буня-
ковский Виктор Яковлевич A804—1889) — русский математик.

3.6. Линейные операторы
141
Действительно, умножая скалярно равенство C.29) на
любой вектор ei (i= 1, 2,..., п), получаем
Xl(el,ei) + X2(e2^i) + "- + K(en^i) = ^
откуда, учитывая, что (eiy е) = 0 при i*j и (eif е) Ф О при
всех г = 1,2,..., п , вытекает, что Xi = 0 при всех г = 1,2,..., п.
Сформулируем теперь (без доказательства) основную
теорему.
Теорема. Во всяком n-мерном евклидовом пространстве
существует ортонормированный базис.
Примером ортонормированного базиса является система п
единичных векторов ei9 у которых i-я компонента равна
единице, а остальные компоненты равны нулю: е± =A; 0;...; 0)', е2 =
= @; 1;...; 0)',..., еп = @; 0;...; 1)'. В частаости,
ортонормированный базис образует тройка векторов Т,],к (см. параграф 3.1).
3.6. Линейные операторы
Одно из фундаментальных понятий матричной
алгебры — понятие линейного оператора.
Рассмотрим два линейных пространства: Rn
размерности пк К71 размерности т.
I Определение. Если задан закон (правило), по
которому каждому вектору х пространства W1 ставится в
соответствие единственный вектор у пространства W1, то
говорят, что задан оператор {преобразование, отображение)
I А(х), действующий из W1 в К71, и записывают у = А(х).
Оператор (преобразование) называется линейным, если
для любых векторов х и у пространства ЯР и любого числа
X выполняются соотношения:
1. А(х + у) = А(х) + А(у) — свойство аддитивности
оператора;
2. А(Хх) = \А(х) — свойство однородности оператора.
Вектор у = А(х) называется образом вектора ху а сам
вектор х — прообразом вектора у.
Если пространства R" и FF совпадают, то оператор А
отображает пространство FP в себя. Именно такие
операторы мы будем рассматривать в дальнейшем.

142 Глава 3. Элементы матричного анализа
Выберем в пространстве Rn базис (е^ е2,..., еп) и,
учитывая формулу C.18), запишем разложение произвольного
вектора х по данному базису:
х = ххех + х2е2 +... + хпеп. C.30)
В силу линейности оператора Л получаем
А(х) = ххА(ех) + х2 А(е2) +... + хпА(еп).
Поскольку A(ej) (i = 1, 2,..., п) — также вектор из W1, то
его можно разложить по базису (е^, е2,..., еп). Пусть
А(е;) = аиех +a2ie2 +... + anien(i = l,2,...,n). C.31)
Тогда
А(х) = хх(аххех +a2le2 + ... + апХе„) + х2(аХ2ех +
+ a22e2 +... + an2en) +... + xn(aXnex + a2ne2 +... + C 32)
+ a„ne„) = (al xxx +al2x2 +... + aXnxn)ex +(a2Xxx +
+ a22x2 +... + a2nxn)e2 +... + (anXxx +an2x2 +... +annxn)en.
С другой стороны, вектор у = А(х), имеющий в том же
базисе (вр е2, ..., еп) координаты ух, у2, ..., уп, можно
записать так:
А(х) = ухех +у2е2 +... + упеп. C.33)
Ввиду единственности разложения вектора по базису
равны правые части равенств C.32) и C.33), откуда
Ь/1=яц*1 +аХ2х2+... + ах„х„,
\У2=а2\х\ +а22х2+... + а2пхп,
I >
[Уп = ап\х\ + ап2х2 + - + аппхп-

3.6. Линейные операторы
143
Матрица Л = (я») (i,j = 1, 2,..., п) называется матрицей
оператора А в базисе (ev е2,..., еп), а ранг г матрицы А —
рангом оператора А.
Таким образом, каждому линейному оператору
соответствует матрица в данном базисе. Справедливо и
обратное: всякой матрице п-го порядка соответствует линейный
оператор n-мерного пространства.
Связь между вектором х и его образом у = А (х) можно
выразить в матричной форме уравнением
У-Ах, C.34)
где А — матрица линейного оператора; х = (х±, х2, ..., хп)\
У = (У\> #2> •••> УпУ ~ вектоРы> записываемые в виде вектор-
столбцов.
Пример 3.5. Пусть в пространстве R3 линейный опера-
< 3 2 4Ч
тор А в базисе (ev e2, е3) задан матрицей А =
-15 6
1 8 2
Найти образ у = А (х) вектора х = Ае± — Зе2 + е3.
Решение. По формуле C.21) имеем
^i4
V
Уг
Уз)
( 3 2 4Ч
-15 6
,18 2
-3
V
1
'10^
-13
V
-18
Следовательно, у = 10^ - 13е2 - 18^3- ^
Определим действия над линейными операторами.
Суммой двух линейных операторов А и В называется
оператор (А + В), определяемый равенством: (А + 5) (х) = Л(дг) +
+ В(х).
Произведением линейного оператора А на число А,,
называется оператор АЛ, определяемый равенством (ХЛ)(х) =
Произведением линейных операторов А и В называется
оператор АВ, определяемый равенством: (АВ)(х) - А(В(х)).
Можно убедиться в том, что операторы (А +5), ХА, АВ,
полученные в результате этих действий, удовлетворяют

144 Глава 3. Элементы матричного анализа
отмеченным выше свойствам аддитивности и
однородности, т.е. являются линейными.
Определим нулевой оператор О, переводящий все
векторы пространства Rn ^нулевые векторы 0(х) = 0, и
тождественный оператор Е, действующий по правилу: Е(х) = х.
Зависимость между матрицами одного и того же
оператора в разных базисах выражается теоремой.
Теорема. Матрицы А и А* линейного оператора А в
базисах (е^, е2,..., еп) и (е*, е|, •••> е£) связаны соотношением
А* « С-{АС, C.35)
где С — матрица перехода от старого базиса к новому^.
□ При воздействии линейного оператора А вектор х
пространства Rn переводится в вектор у этого
пространства, т.е. справедливы равенство C.34) (в старом базисе) и
равенство
у*=А*х C.36)
(в новом базисе). Так как С — матрица перехода от старого
базиса к новому, то в соответствии с формулой C.24)
х = Сх*; C.37)
У-Су*. C.38)
Умножим равенство C.37) слева на матрицу Л,
получим Ах = АСх* или с учетом C.34) у = АСх*. Заменив
левую часть полученного выражения в соответствии с
формулой C.38) имеем Су* = АСх* или у* = С~]АСх*. Сравнивая
найденное выражение с равенством C.36), получаем
доказываемую формулу C.35). ■
Пример 3.6. В базисе (е^ е2) оператор (преобразование)
А имеет матрицу А = . Найти матрицу оператора А в
I6 8J
базисе U* =ех- 2е2, е\ = 2ех + е2 \
1 Квадратные матрицы одного порядка Л и Л* называются подобными,
если для них найдется такая невырожденная матрица С такого же
порядка, что верно равенство C.35). Следовательно, матрицы линейного
оператора в разных базисах при |С| Ф О являются подобными.

3.7. Собственные векторы и собственные значения... 145
Решение. Матрица перехода здесь С =
Г-Х \П -2\
к ней матрица С = —
1
, а обратная
-2 1
Следовательно, по C.35)
2^
1
E o^
О 20
3.7. Собственные векторы и собственные
значения линейного оператора
Определение. Вектор х *■ О называется собственным
вектором линейного оператора А (или матрицы Л), если
найдется такое число А,, что
А(х) - Хх. C.39)
Число X называется собственным значением*
(числом) оператора А (матрицы Л), соответствующим вектору х.
Из определения следует, что собственный вектор под
действием линейного оператора А переходит в вектор, колли-
неарный самому себе, т.е. просто умножается на некоторое
число. В то же время несобственные векторы преобразуются
более сложным образом. В связи с этим понятие
собственного вектора является очень полезным и удобным при
изучении многих вопросов матричной алгебры и ее приложений.
Равенство C.39) можно записать в матричной форме
Ах = \х, C.40)
где вектор х представлен в виде вектора-столбца, или в
развернутом виде
<*l\*\ +a\2x2 +- + *lii*ii =**1»
^21^1 "^ ^22"*2 ~^~ ••• "^ ^2пхп = "**2»
<*п\х\ + ап2х2 +... + атхя =fccn.
1 Собственные векторы и собственные значения в литературе
называют также характеристическими векторами и значениями (корнями).

146 Глава 3. Элементы матричного анализа
Перепишем систему так, чтобы в правых частях были
нули:
{а\ i - X)Xi + 012*2 + — + а\пхп = 0>
Я21*1 + (<*22 - ^)*2 + - + а2пхп = °>
[anixl+an2x2
или в матричном виде
+ ...+ (апп-Х)хп=0.
(А-ХЕ)х = 0.
Полученная однородная система всегда имеет нулевое
решение х = О = @; 0;...; 0). Для существования ненулевого
решения (см. параграф 2.5) необходимо и достаточно,
чтобы определитель системы
|Л-А£| =
ап-к
а2\
ап\
ап
Л22 ~~ ^ • •
ап2
а\п
• а2п
. апп-Х
= 0.
C.41)
Определитель \А - ХЕ\ является многочленом и-й степени
относительно X. Этот многочлен называется
характеристическим многочленом оператора А или матрицы Л, а
уравнение C.41) — характеристическим уравнением
оператора А или матрицы А.
Характеристический многочлен линейного оператора не
зависит от выбора базиса. Действительно, преобразуем
характеристический многочлен \А* - ХЕ\У полученный в новом
базисе (е*, е2, ..., е*), если известна матрица С перехода от
старого базиса (ev е2,..., еп) к новому С учетом
соотношения C.35) получаем
Л* - Хе\ = \с~1АС - Хе\ = \с~хАС - ХС~ХЕС\ = \с~1 (А - ХЕ)с\
Учитывая, что определитель произведения квадратных
матриц одинакового порядка равен произведению
определителей этих матриц (см. параграф 1.4), получаем

3.7. Собственные векторы и собственные значения... 147
\А* -ХЕ\
= |с"!||Л - А,Е||С| = |с"!с||Л - ХЕ\ = \А - ХЕ\, т.е.
\А* - ХЕ = | А - ХЕ\ независимо от выбора базиса.
Пример 3.7. Найти собственные^значения и
собственные векторы линейного оператора Д заданного матрицей
А =
Решение. Составляем характеристическое уравнение
\А-Щ =
1-Х 4
9 1-Х!
= 0 или А/-2\-35 = 0,
откуда собственные значения линейного оператора Л Xj = -5,
\2 = 7.
Находим собственный вектор д^1) = (х}, х2),
соответствующий собственному значению Xt = -5. Для этого
решаем матричное уравнение
(Л-А.^)
(х2
= 0 или
г6 4
9 6
*1
*2
'(Л
откуда находим дс2 = -1,5*^ Положив х^ = q, получим, что
векторы л^1) = (с^; -l^Cj) при любом с± Ф О являются
собственными векторами линейного оператора А с
собственным значением Х^ = -5.
Аналогично можно убедиться в том, что векторы
дг - — с2;с2 при любом с2 * 0 являются собственными
векторами линейного оператора А с собственным
значением Х2 = 7. ►
Отметим некоторые свойства^ собственных значений
матрицы А линейного оператора А.
1. Произведение собственных значений матрицы А равно
ее определителю:
\А\ = Х1Х2...Хп.
C.42)

148 Глава 3. Элементы матричного анализа \
2. Сумма собственных значений матрицы А равна следу
этой матрицы:
trA = A1+X2+... + X/I. C.43)
3. Число отличных от нуля собственных значений
матрицы А равно ее рангу.
4. Все собственные значения матрицы отличны от нуля
тогда и только тогда, когда матрица А невырожденная.
5. Если X Ф О — собственное значение невырожденной
матрицы Д то А, = \/Х — собственное значение обратной
матрицы Л-1.
6. Если X — собственное значение матрицы А, то Ат —
собственное значение матрицы Ат, где т — натуральное
число.
Наиболее простой вид принимает матрица А линейного
оператора А, имеющего п линейно независимых
собственных векторов eif е2, •••> еп с собственными значениями,
соответственно равными Х^, Х2, ..., Хп. Векторы вр е2, ..., еп
примем за базисные. Тогда A(ei) = Х{е^ (г - 1, 2,..., п ) или с
учетом C.30)
A(et) = аиех + a2ie2 +... + auet +... + anien = Х&,
откуда а,ц = 0, если г *j, и a{i = Х^ если г =j. Таким образом,
матрица оператора А в базисе, состоящем из его
собственных векторов, является диагональной и имеет вид
А* =
(%х 0
10 Х2 ••
(о о ..
... 0
. 0
• К
= diag(A,1,A,2,...,A,„).
Это означает в соответствии с формулой C.35), что
будет диагональной матрица А* = С~*АС, подобная матрице Д
где С — невырожденная матрица перехода от базиса (ev e2,
..., еп) к базису (л^, дг2, ..., хп), состоящему из собственных
векторов матрицы А.
Верно и обратное: если матрица А линейного оператора
А в некотором базисе является диагональной, то все
векторы этого базиса — собственные векторы оператора А.

3.7. Собственные векторы и собственные значения... 149
Можно доказать, что если линейный оператор имеет п
попарно различных собственных значений, то отвечающие
им собственные векторы линейно независимы, и матрица
этого оператора в соответствующем базисе имеет
диагональный вид.
а
линейного
Пример 3.8. Привести матрицу А = \
оператора А к диагональному виду.
Решение. В примере 3.7 были найдены собственные
значения матрицы A,j = -5, Х2 = 7 и соответствующие им соб-
B ч
ственные векторы x®=(q;-l,5q) и х^ =
0>и хB)
:сг\сг
Так
как координаты векторов хучы ху*> не пропорциональны,
то векторы х^и х№ линейно независимы. В связи с этим в
базисе, состоящем из любых пар собственных векторов
х® = (q; - l,5q) и х^ = —с2\ с2 (т.е. при любых q Ф 0, с2 * О,
например, при cj = 2, с2 = 6 из векторов х^ = B; -3) и
#B) = D; 6) и т.д.), матрица А будет иметь диагональный вид
А* =
^1
О
или А =
V
-5 О
О 7
Это легко проверить, взяв, например, в качестве нового
базиса линейно независимые собственные векторы х^ =
= B; -3) и хB^ = D; 6). Действительно, матрица С
перехода от старого базиса к новому в этом случае будет иметь
вид С = (х
= ^0>
*B)) =
2 4
. Тогда в соответствии с
формулой C.35) матрица А в новом базисе (х^\ х<2)) примет вид
А*=С
-(-* :ГС ;(■
2 ^
-3 6
или после вычислений (которые мы опускаем) А*
4-
5 (Г
т.е. получаем ту же диагональную матрицу, элементы кот<?
рой по главной диагонали равны собственным значениям
матрицы Л. ►

150 Глава 3. Элементы матричного анализа
3.8. Квадратичные формы
При решении различных прикладных задач часто
приходится исследовать квадратичные формы.
Определение. Квадратичной формой L(x^y x2, ..., хп)
от п переменных называется сумма, каждый член которой
является либо квадратом одной из переменных, либо
произведением двух разных переменных, взятых с
некоторым коэффициентом:
п п
L(xi,X2,...,xn)= S S ayXiXj. C.44)
*=1 7=1
Предполагаем, что коэффициенты квадратичной формы
a^ — действительные числа, причем а$ = а^. Матрица А =
= (a-) (i,j = 1, 2, ..., га), составленная из этих
коэффициентов, называется матрицей квадратичной формы*.
В матричной записи квадратичная форма имеет вид
L = x'Ax, C.45)
где х = (jq, x2,..., хпУ — вектор-столбец переменных.
В самом деле
L — (xi,X2,—,xn)
ап ап
а2\ а22
а\п
а2п
— (Xl,X2,:>,Xn)
*п\ ап2
(la\jxj Л
Za2jxj
х\
х2
yxnj
ZanjXj
= X "ljxlxj +... + I anjxnXj =
7=1 7=1
n n
= 11 aijxixj
'=17=1
и эквивалентность формул C.44) и C.45) установлена2.
1 Матрица, у которой все элементы а{: -^ , называется
симметрической, п
2 Выше под знаком Z понимается 5- •

3.8. Квадратичные формы
151
Пример 3.9. Дана квадратичная форма L{x^x2,x^) = Ax( -
-Ylx\x2 -IOJC1JC3 + х2 -3*3 Записать ее в матричном виде.
Решение. Найдем матрицу квадратичной формы. Ее
диагональные элементы равны коэффициентам при квадратах
переменных, т.е. 4, 1, -3, а другие элементы — половинам
соответствующих коэффициентов квадратичной формы.
Следовательно,
'4 -6 -5VjO
L — (Х\, *2, -*з )
-6
-5
1 О
О -3
х2
Из
Выясним, как изменяется квадратичная форма при
невырожденном линейном преобразовании переменных.
Пусть векторы-столбцы переменных х = (д^, х2,..., хп)' и
У = (У\у У& •••' Уя)' связаны линейным соотношением х = Су,
где С = (с#) (*,) =1,2,..., и) есть некоторая невырожденная
матрица я-го порядка. Тогда квадратичная форма1
L = х'Ах = (Су)'А(Су) = (у'С')А(Су) = у'(С'АС)у.
Итак, при невырожденном линейном преобразовании х =
= Су матрица квадратичной формы принимает вид
Л* = С АС.
C.46)
Пример 3.10. Дана квадратичная форма L(xi,x2) = 2xi +
+ 4x1.*2 - Здг2. Найти квадратичную форму L(y^ у2),
полученную из данной, линейным преобразованием х± =
= 2yt - Зу2, х2=у{+ у2.
Решение. Матрица данной квадратичной формы
B 2Л „ Г2 -ЗЛ
А= , а матрица линейного преобразования С =
Следовательно, по формуле C.46) матрица искомой
квадратичной формы
А* =
-3
< 13 -\1\
-17 3
V
/
1 Транспонирование произведения матриц проводим по формуле
(Су)' в у'С (см. свойство на с. 34).

152 Глава 3. Элементы матричного анализа
а квадратичная форма имеет вид Ь(ух,уг) = \Ъу\ -Ъ4у1у2 +
+ 3у1 ►
Следует отметить, что при некоторых удачно выбранных
линейных преобразованиях вид квадратичной формы
можно существенно упростить.
п п
Квадратичная форма L = £ £ auxixj называется кано-
нической (или имеет канонический вид), если все ее
коэффициенты а» = 0 при г Фу.
L = anx? + аг1х\+... + аппхгп = £%*?, C.47)
а ее матрица является диагональной.
Справедлива следующая теорема.
Теорема. Любая квадратичная форма с помощью
невырожденного линейного преобразования переменных может
быть приведена к каноническому виду.
Пример 3.11. Привести к каноническому виду
квадратичную форму
L(jq, *2, *з) = *1 -3x^2 + 4ххХ$ +2*2*3 + *3*
Решение. Вначале выделим полный квадрат при
переменной xv коэффициент при квадрате которой отличен от
нуля:
L =
х[ -2хх
(\
~C*2-4д;3) +ЬC*2-4*з)
\2
+ 2д^*з+*з =
Ч" J Ч
( 3 я f 9
^C*2-4*з)Т +
ХХ JC2+2*3 *2 +6*2*3 "*3 +2Х2Х^+Х% =
3 Y 9 2 2
*1~2*2+2*3 -~^2+8x2*3-3x3.
Теперь выделяем полный квадрат при переменной х2,
коэффициент при которой отличен от нуля:

3.8. Квадратичные формы
153
( 3 „ Y 9( 32 256 2Л
= \х\-^х2+2*3 -~ *2-у*2*3+ — х3 J+
^з2-3х|= ^--^2+2^3 --U2-—*з +у*з-
9 256
+ 4 81
Итак, невырожденное линейное преобразование
3 16
#i=*i-2*2+2*3, #2=*2-—*з> */з=*з
приводит данную квадратичную форму к каноническому
виду
2 9 ? 37 ?
к(Уь Уг> Уз) = У1 ~4#2+у*/з- ^
Канонический вид квадратичной формы не является
однозначно определенным, так как одна и та же
квадратичная форма может быть приведена к каноническому
виду многими способами. Однако полученные
различными способами канонические формы обладают рядом
общих свойств. Одно из этих свойств сформулируем в виде
теоремы.
Теорема (закон инерции квадратичных форм). Число
слагаемых с положительными (отрицательными)
коэффициентами квадратичной формы не зависит от способа
приведения формы к этому виду.
Например, квадратичную форму L в примере 3.10
можно было привести к виду
ЦЛ\* У2> Уъ) = -£У\+У\~у1'
применив невырожденное линейное преобразование
7
*/1=*1> #2=2*1+*2+-*3> УЗ=^Х\+Х2-
Очевидно, что число положительных и отрицательных
коэффициентов (соответственно два и один)
сохранилось.
Следует отметить, что ранг матрицы квадратичной
формы, называемый рангом квадратичной формы, равен числу

154 Глава 3. Элементы матричного анализа
отличных от нуля коэффициентов канонической формы и не
меняется при линейных преобразованиях.
Квадратичная форма L(x^ х2, ..., хп) называется
положительно (отрицательно) определенной, если при всех
значениях переменных, из которых хотя бы одно отлично
от нуля,
о о о
Например, квадратичная форма Ц = Ъхх + 4х2 + 9х3 является
положительно определенной, а форма L2=- 2xf + Ix^ - х2 —
отрицательно определенной.
Теорема. Для того чтобы квадратичная форма L = х'Ах
была положительно (отрицательно) определенной,
необходимо и достаточно, чтобы все собственные значения A,z-
матрицы А были положительны (отрицательны).
В ряде случаев для установления знакоопределенности
квадратичной формы удобнее бывает применять критерий
Сильвестра*.
Теорема. Для того чтобы квадратичная форма была
положительно определенной, необходимо и достаточно,
чтобы все главные миноры матрицы этой формы были
положительны, т.е. Aj > О, Д2 > 0,..., Ап > О, где
\ап ап ... а1п\
\а21 а22 ... а2п\
\ап\ ап1 ••• апп\
Следует отметить, что для отрицательно определенных
квадратичных форм знаки главных миноров чередуются,
начиная со знака «минус» для минора первого порядка, т.е.
миноры нечетного порядка отрицательны, а четного
порядка — положительны.
Если квадратичная формула знакоопределенная, то все
главные (угловые) миноры ее матрицы отличны от нуля.
Положительно и отрицательно определенные
квадратичные формы имеют общее название «знакоопределенные
квадратичные формы». Если квадратичная форма L(xx, х2,..., хп)
Сильвестр Джеймс Джозеф A814—1897) — английский математик.

3.9. Линейная модель обмена
155
принимает как положительные, так и отрицательные
значения, то она называется знакопеременной.
Замечание. Симметрическая матрица A=(aij)JJ=l,...,n
называется положительно (отрицательно) определенной,
если соответствующая ей квадратичная форма Цлс^л^, ...,*„) =
= х'Ах является положительно (отрицательно)
определенной для любого вектора х = (jq, jc2, ..., хп)\
Пример 3.12. Доказать, что квадратичная форма L = 13^ -
- 6jqjc2 +5jc2 является положительно определенной.
Решение. Первый способ. Матрица А квадратичной фор-
мы имеет вид А = \ . Характеристическое
уравнение матрицы А имеет следующий вид:
\А-ХЕ\ =
13-А, -3
-3 5 —AJ
или X2 -18^ + 56 = 0.
Решая уравнение, получаем Х^ = 14 Д2 = 4. Так как
корни характеристического уравнения матрицы А
положительны, то на основании приведенной теоремы
квадратичная форма L — положительно определенная.
Второй способ. Так как главные миноры матрицы А
Ы = 13;
«11
а21
ап
а22
13
-3
-3|
5
= 56
положительны, то по критерию Сильвестра данная
квадратичная форма L положительно определенная. ►
3.9. Линейная модель обмена
В качестве примера математической модели
экономического процесса, приводящейся к собственному вектору и
собственному значению матрицы, рассмотрим линейную
модель обмена {модель международной торговли).
Пусть имеется п стран Sv 52, ..., Sn, национальный доход
каждой из которых равен соответственно х^ х2,..., хп.
Обозначим коэффициентами а$ долю национального дохода, которую
страна 5 тратит на покупку товаров у страны 5f-. Будем счи-

156 Глава 3. Элементы матричного анализа
тать, что весь национальный доход тратится на закупку
товаров либо внутри страны, либо на импорт из других стран, т.е.
£я,у =1 U = 1,2,..., п).
C.48)
Рассмотрим матрицу А =
ап аХ2
а2х а22
[ап\ ап2
а\п
а2п
которая получила название структурной матрицы
торговли. В соответствии с формулой C.48) сумма элементов
любого столбца матрицы А равна единице.
Для любой страны 5Z- (i = 1, 2,..., п) выручка от
внутренней и внешней торговли составит
Pi=ailxl+ai2x2+- + amxn-
Для сбалансированной торговли необходима
бездефицитность торговли каждой страны Sif т.е. выручка от
торговли каждой страны должна быть не меньше ее
национального дохода:
Pi>xt (i = l, 2,..., п).
Если считать, что pt > xt (i = 1, 2,..., и), то получаем
систему неравенств
kl*l+<Il2*2+..
1021*1 +^22*2 +-
[anlxl + ап2х2 +-
• + а\пхп >ХЬ
- + a2nxn > х2>
.. + аппхп > хп.
C.49)
Сложив все неравенства системы C.49), получим после
группировки
хх(ап + а2х +... + ani) + x2(al2+a22 +... + я„2) + - +
+хп(а1п+а2п+... + апп)>х1+х2+... + хп.

3.9. Линейная модель обмена
157
Учитывая C.48), выражения в скобках равны единице,
следовательно, мы приходим к противоречивому
неравенству
*!+^+... + *„ >*!+*2+.» + *„.
Таким образом, неравенство рг- > xi (i = 1, 2,..., п)
невозможно, и условие pi > х{ принимает вид р- = х{ (i = 1, 2,..., п).
(С экономической точки зрения это понятно, так как все
страны не могут одновременно получать прибыль.)
Вводя вектор х = (xv x2, ..., хп) национальных доходов
стран, получаем матричное уравнение
Ах = х,
C.50)
в котором вектор х записан в виде вектора-столбца; т.е.
задача свелась к отысканию собственного вектора матрицы Л,
отвечающего собственному значению X = 1.
Пример 3.13. Структурная матрица торговли трех
стран 5lf 52» 53 имеет вид
(\1Ъ 1/4 1/2л
А =
1/3 1/2 1/2
1/3 1/4 О
Найти соотношение национальных доходов стран для
сбалансированной торговли.
Решение. Находим собственный вектор х, отвечающий
собственному значению X - 1, решив уравнение (А - Е)х - 0
или систему
(-2/3
1/3
1 1/3
V
1/4 1/2 Л
-1/2 1/2
1/4 -1
1'у Л
1
*2
UJ
=
(°1
0
0,
к. )
методом Гаусса. Найдем х^ - -с; х2 - 2с; х3 = с, т.е.
jc= —с; 2с; с L
U ;
Полненный результат означает, что
сбалансированность торговли трех стран достигается при векторе нацио-

158 Глава 3. Элементы матричного анализа
нальных доходов х =
—с; 2с; с |, т.е. при соотношении
национальных доходов стран — :2:1 или 3:4:2.
ПРАКТИКУМ
3.10. Векторы на плоскости и в пространстве
3.14. Даны три вектора:_5 = C; -1); Ъ = A; - 2); с = (-1; 1).
Построить вектор р = а + Ь+с, найти его длину и
разложить вектор р по векторам а и Ъ.
Решение. Построение вектора р = а + Ь+с по правилу
многоугольника показано на рис. 3.13. В соответствии с
этим правилом каждый следующий прибавляемый вектор
переносится в конец предыдущего, а вектор р замыкает
ломаную, составленную из векторов а, Ъ, с.
Найдем
координаты вектора р = а+Ь +
+ с = C;-1) + A;-2) +
+(-1;7)=C+1-1;1-2+
+7), т.е. р = C; 4).
Тогда длина вектора
определится по
формуле C.2):
1-^
|p| = V3z+4z=5.
Разложить вектор
р по векторам а и В —
значит представить
еговвиде р = оса + р£,
где ос и р — некоторые
числа.
Для их определения запишем
Рис. 3.13
или
C;4) = аC;-1) + рA;-2),
3=Зос+ Р,
4 = -а-2р.

3.10. Векторы на плоскости и в пространстве 159
Решив^полученную систему, найдем а = 2; C = -3, т.е.
р = 25 - 36.
Разложение по векторам а и b вектора J5,
представляющего диагональ параллелограмма, построенного на
векторах 25 и -36, приведено на рис. 3.13.
3.15. На плоскости даны три единичных вектора т,п9р,
причем (/йй) = 30°,[пр 1 = 60°. Построить вектор 5 = /й + 2й-
-Ър и найти его длину.
60>Г
т
1
-2
б
•
-1
2
1
0
-1
-2
к
in
а =
т + 2п
2гу>*
.30°,
2
-3/>
L6Q3 '
3 J?
-Зр
Рис. 3.14
Решение. Построение вектора 5 = т + 2Я - Ър по заданным
векторам /й, Л, J5 (рис. 3.14, а) показано на рис. 3.14, б. В
системе координат Оху вектор т = A;0),й = A • cos 30° ;
+ lcos60°), или Я =
-3/7 = A; 0) + 2
V3 1
27 2
и р = @; 1), поэтому 5 = w + 2Я ■
/>/5 О
2' 2
или 5 = A + V3; -2).
По формуле C.2) длина вектора
Л 1
3@; 1) = A + 2— -30; 0+2 --31),
p| = J(l + V3J+(-2J =>/8 + 2V3«3,4.
Длина вектора могла быть найдена и иначе; если
использовать формулу C.7),

160 Глава 3. Элементы матричного анализа
| —12 о 2 2 2 2
\а\ =а =(т + 2п-3р) -т + 4й +9р +4тп-6тр-12пр =
= m +4п +4\т\\п cos30° -6m n cos90° -12 яр cos 60° =
= 12+412+912-41Ь —-6Ы0-1211 - = 8 + 2л/з,
2 2
откуда |а| = л/й2 = y/s + bjb « 3,4. ►
3.16. Даны четыре вектора
a = 2l + J; b =i -J + 2k; с = 2i +2j -k; d = ЗТ + lj -7k.
Необходимо: а) разложить вектор d по векторам 5, b, с;
б) найти длину и направление вектора m = 5а + 26.
Решение.
а) По условию J = оса + р£ + ус, где а, C, у — некоторые
числа. Следовательно,
ЗГ + 7у-7&=аBГ + 7) + Р(Г-7 + 2£) + уBГ + 27-£).
Приравнивая коэффициенты при единичных векторах
(ортах) Г,7Д, получаем систему
3 = 2ос + р + 2у,
7= ос-р + 2у,
-7= 2р- у,
решение которой а = 2; Р = -3; у = 1, т.е. d = 2а - ЪЪ + с.
б) Найдем вектор
m = 53 + 2b = 5BГ + j) + 2(Г - J + 2k) = 12Г + 3j + 4k.
—"I I 2 2 2~
m = VI2 + 3 + 4 = 13, а направляющие
косинусы найдем по формулам C.13):
12 ft 3 4 .
cosa = —, cosp = —, cosy = —. ►
13 13 13

3.10. Векторы на плоскости и в пространстве 161
3.17. Даны два единичных вектора т и Я, угол между
которыми равен 120°. Найти: а) острый угол между
диагоналями параллелограмма, построенного на векторах а =
= -4т + 2Я и bj= т + ЗЯ; б) проекцию вектора а на
направление вектора Ъ.
Решение,
а) Искомый угол ср (рис. 3.15) определим по формуле
C.9)
AC DB
COS(p=, ... ,.,
мм
где
^АС = а + Ь = (-4т + 2Я) + (т + ЗЯ) = -Ът + 5Я,
DB = а-Ь = (-4т + 2Я) - (т + ЗЯ) = -5т - Я.
В г
По формулам C.6)—C.8) найдем
скалярное произведение векторов
AC vi DB и их длины: А
Рис. 3.15
АС DB = (-Ът + 5п)(-5т - Я) = 15т2 - 22тЯ - 5Я2 = 15 т -
-22|m|/j|cosl20°-5|n| = 15 l2 -22-1 1 (-1/2)-5 12 =21;
АС2 = (-3m+5nJ = 9т2-3(Ш + 25и2 = 912-3011(-1/2) +
+ 25 = 49;
Ш2=(-5ш-пJ=25т2+10тЯ+й2=2512+1011(-1/2) +
-н I2 =21;

162 Глава 3. Элементы матричного анализа
21 /Т /з" о
Теперь cos ф = —=■ = /— и ф = arccos J— « 49°.
б) По формуле C.12)
- аЪ
\Ь\
Найдем
5Ь = (-4т + 2Я)(т + ЗЯ) = -4т2-10тЯ + 6п2=-412-1011х
xcosl20°+612=7;
Щ = yjp = yj(rh + 3nJ = \lrh2+6mn + 9n2 =
= Vl2+611cosl20°+912 =77.
Отсюда пр^З = -= = л/7. ►
3.18. Даны векторы а = 2т + 4п иВ=т-п, где тип —
единичные векторы, образующие угол в 120°. Найти угол
между векторами а и £.
3.19. В плоскости находятся три вектора а9Ь,с.
Известно, что |я| = 2, \В =3, |с| = 5,15 В 1 = 60°, 1В с 1 = 60°. Найти
длину вектора d = -а + В-с.
3.20. Найти угол между диагоналями параллелограмма,
построенного на векторах а = -2J + k\ B = 2i + j.
3.21. Определить длины векторов, на которых построен
параллелограмм с диагоналями с = 2л - j + 3k и d = 2л - 2] + 4k.
3.22. Даны длины векторов |3| = 11, \В\ = 23, \а - В = 30.
Определить 5 + Ь .
JJ.23. При каких значениях аир векторы а - -2i + 3 j + $k
и В = ai -б] + 2k:
а) коллинеарны; б) ортогональны?
3.24. Вектор ОА составляет с осями Ох, Оу и Oz углы,
соответственно равные тс/3, тс/3, к/А. Доказать, что векторы
ОВ и ОВ перпендикулярны, где точка В B; 2; -2у2).
3.25. На плоскости Оху построить векторы ОА = а = 2i,
ОВ = Ь = 3/ + 3j и ОС = с = 2/ + 6j. Разложить
геометрически и аналитически вектор с по векторам а и В.

3.11. Понятия л-мерного вектора и... пространства... 163
3.26. Даны три вектора: а = B; - 2\ В = B; -1), с = B; 4).
Найти координаты вектора р = 2а-В + с и разложить его
по векторам а и Ь.
3.27. Даны четыре вектора: а = B; 1; 0), В = A; -1; 2),
с = B; 2; -1), d = C; 7; - 7). Разложить вектор £ по
векторам £, с, J.
3.28. Найти длину вектора a = 2i +3j -6k и его
направляющие косинусы.
3.29. Вектор составляет с осями Оу и Ог углы
соответственно 60° и 120°. Какой угол он составляет с осью Ох?
3.30. Даны точки Мх{4\ -2; 6) и М2A; 4; 0). Найти
длину и направление вектора МгМ2.
3.31. Даны векторы а = бТ -8] + 5v2& и В = 2f -4j + V2&.
Найти угол, образуемый вектором а-В с осью Ог.
3.32. При каком значении m векторы a = mi -3j + 2k
nb=i +2j-тк перпендикулярны?
3.33. Найти проекцию вектора а = Т + J + 2к на вектор
B = T-j + 4k.
3.34. Даны векторы a = 3i-6j-k,b=7 + 4j-5k и
с = 3f + 4 j + 2&. Найти проекцию вектора 5 + с на вектор
В + с.
3.35^ Найти вектор J, перпендикулярный векторам
а = Т + k и В = 2] -k9 если известно, что его проекция на
вектор с=Т + 2] + 2k равна единице.
3.11. Понятия л-мерного вектора и векторного
пространства. Евклидово пространство
3.36. Выяснить, является ли линейным пространством
множество всех действительных, целых и рациональных чисел?
Решение. Из указанных множеств только множество
действительных чисел образует линейное пространство,
так как при сложении действительных чисел и умножении
их на любое число получаются всегда действительные
числа. А при умножении целых чисел, например, на
рациональные числа X = p/q получаются рациональные числа,
но не обязательно целые. Аналогично, при умножении
рациональных чисел, например, на иррациональные числа X
получаются иррациональные, а не рациональные числа. ►

164 Глава 3. Элементы матричного анализа
3.37. Выяснить, являются ли векторы щ = D; - 5; 2; 6),
а2 = B; - 2; 1; 3), аъ = F; - 3; 3; 9), а4 = D; -1; 5; 6) линейно
зависимыми?
Решение. Векторы а^ а2, я3, а4 линейно зависимы, если
существуют такие значения Х\,Х2, А,3, А,4 (из которых хотя
бы одно отлично от нуля), что будет выполняться
векторное равенство1 C.16):
( АЛ
-5
2
l6J
+ Х2
Г 2^
-2
1
1А
+%г
F]
-3
3
9
+ Х4
( лЛ
-1
5
l6J
=
(°1
0
0 |
l°J
Задача свелась к решению системы
Г 4\х + 2Х2 + 6А,3 + 4А,4 = О,
I — 5Aj — 2A^2 ~~ ЗА3 — Л,4 = О,
1 2^ + А,2+ЗА,3 + 5А,4=0, A)
[ 6А,1+ЗА,2+9А,3 + 6А,4=0.
Решая систему A) методом Гаусса, приведем ее к виду
4ХХ + 2Х2 + 6А,3 + 4А,4 = О,
2А,2+18А,3+16А,4=0,
- 6А,4=0,
0 = 0,
т.е. ранг матрицы системы (г = 3)меныпе числа переменных
(п - 4), откуда следует бесконечное множество решений
(Хх; Х2; А,3; Х4 ) данной системы, следовательно, векторы ах
а2> а3> а4 линейно зависимы.
Замечание. Установить неопределенность системы
однородных линейных уравнений A) можно было и иначе,
убедившись в том, что определитель ее матрицы А = I А| = 0. ►
В данном случае векторы удобнее записать в виде вектор-столбцов.
0»

3.11. Понятия /i-мерного вектора и... пространства... 165
3.38. Найти все значения w, при которых вектор Ь = A;
т\ 3) линейно выражается через векторы а< = B; 3; 7), а2 =
-C;-2;4),в3-(-1;1;-1).
Решение. Вектор Ъ есть линейная комбинация векторов
а\ а2> а3' если
Ъ = Х^а^ + X,2^2 + ^заз»
или
т
v3,
/'лЛ
= Ь,
v7/
/
+ Хп
-2
4
+ ta
М
1
-1
где Xh %2> ^з "~ какие-то числа.
Решая соответствующую систему * <
2Л][ + ЗА2 — A3 = 1»
\ ЗА^ - 2Х2 + А,3 = га,
[7^+4X2-^3=3
методом Гаусса, приводим ее к виду
2а,| + ЗА-2 ~~ A3 = 1,
13А,2-5А,3=3-2га,
0=2-2га.
Система будет совместной (а именно, неопределенной),
если 0 = 2- 2т, т.е. при т - 1 вектор Ь есть линейная
комбинация векторов ava2, а%.
Замечание. Задача допускает и другое решение. Так как
2 3 -1
3 -2 1
= 0, то
определитель матрицы системы А = |д| =
|7 4 -1|
система будет совместной (а именно, неопределенной), если
определитель любой матрицы 'А •, полученной из матрицы Л
заменой 7*-го столбца столбцом свободных членов, равен
нулю, т.е.
Д;= А,- =0 0е = 1,2,..., л).

166 Глава 3. Элементы матричного анализа
Например, или Ах =|А| =
или А3 =|^з| = 0 при т = 1.
1 3 ■
т -2 1|
3 4 -II
= 0, или Д2 =|^2| = 0,
3.39. В базисе (ev е2, £3) даны векторы а1 = A; 1; 1), а2 =
= @; 2; 3), а3 = @; 1; 5): а) доказать, что векторы а^, а2, а3,
образуют базис; б) найти координаты вектора d = 2е^ - е2 +
+ е3 в базисе (а^ а2, а3).
Решение.
а) Три вектора al9 a2, a3 трехмерного пространства
образуют базис, если они линейно независимы. Составим
векторное равенство C.16):
A)
Решая уравнение A) аналогично примеру 3.37, можно
убедиться в единственном нулевом его решении ( А,! = Х2 = А,3 = 0),
т.е. векторы а^ а2, а3 представляют совокупность линейно
независимых векторов и, следовательно, образуют базис.
б) Выразим связь между базисами (av a2, a3) и (ev e2, e3):
(V
1
1
V )
+х2
'(Г
2
3
^ )
+ А,3
'(Г
1
5
=
<0)
0
0
а\ =е1 ~*~е2 +^3»
а2= 2*?2+Зе3,
.«3= *2+5*3-
В соответствии с формулой C.22)
а2
= А'
*3 )
, откуда матрица перехода А =
(\ 0 0\
1 2 1
1 3 5
(Обращаем внимание на то, что коэффициенты
разложения новых базисных векторов а{, а2, а3 по старому базису
(вр е2. «з) образуют столбцы матрицы перехода А.)
Вычисляем А = —
7
-4
1
0
5
-3
°)
-1
2
(см. параграф 1.2).

3.11. Понятия л-мерного вектора и... пространства... 167
Теперь по формуле C.24) при х = B; -1; 1)' получаем
х\
*3
1
п
1
( 7
-4
1
0
5
-3
°1
-1
2
( гЛ
-1
1
=
Г 2\
-2
1
т.е. координаты вектора d в базисе al9 a2, a3 есть B; -2; 1),
следовательно,
d=2a
3.40. Дана матрица
А =
h-
1
-1
3
2a2 + a3.
2 3"!
0 4
1 -5
перехода от базиса (ev е2, е3) к базису (е*, е2, £3). Найти
координаты вектора е| в базисе (е^, е2, е3).
Решение. Вектор е| в базисе (е*, е2, е3) имеет координаты
е|-@;0;1).
Следовательно, по формуле C.24)
ЗУО^
*i
*2
1*3 J
1 2
-10 4
3 1 -5
0
,1 ,
f 3^
4
т.е. в базисе (е^ е2, е3) вектор е| = C; 4; -5). ►
3.41. Предприятие выпускает четыре вида продукции
Рр Р2, Р3, ^4 в количествах 50, 80, 20, 120 ед. При этом
нормы расхода сырья составляют соответственно 7; 3,5; 10;
4 кг. Определить суммарный расход сырья и его изменение
при изменениях выпуска продукции Pv Р2, Р3, Р4
соответственно на +5; -4; -2; +10 ед.
Решение. Пусть вектор выпуска продукции х = E0; 80; 20;
120), а вектор расхода сырья у = G; 3,5; 10; 4). Тогда
суммарный расход сырья 5 есть скалярное произведение
векторов х и у, т.е.
S = (*, у) - 50 • 7 + 80 • 3,5 + 20 • 10 + 120 • 4 = 1310 (кг).

168 Глава 3. Элементы матричного анализа
По свойству скалярного произведения векторов
изменение суммарного расхода сырья
AS = (х + А*, у) - (х, у) = (Адг, у) =
« +5 ■ 7 - 4 • 3,5 - 2 • 10 + 10 • 4 - 41 (кг). ►
3.42. Даны векторы е^, е2> в3, образующие ортонормиро-
ванный базис. Найти угол между векторами х = 5е^ + е3 и
у - ^ + е2 + «о.
Решение. Найдем по формулам C.25) и C.26)
скалярное произведение векторов и их длины, учитывая, что
единичные векторы е^ е2, ез образуют ортонормирован-
ный базис:
(х,у) = 5-1 + 0-1 + 1-1 = 6;
|x| = V52+l2=V26; |y| = Vl2 + l2+l2=V3.
По формуле C.28)
6 [б" [б" „0к_
С0вф=Ж^=Шнфвяа!0,,У1з7^
3.43. Выяснить, является ли линейным пространством
множество всех алгебраических многочленов одной
переменной: а) степени не выше щ б) степени п\ в) степени
выше п?
3.44. Выяснить, является ли линейным пространством
множество всех: а) матриц размера т х п; б) диагональных
матриц порядка п\ в) невырожденных матриц порядка я;
г) векторов?
3.45. Выяснить, является ли множество всех решений
системы п линейных однородных уравнений с п
переменными линейным пространством?
3.46. Каким должно быть число а, чтобы множество,
состоящее из одного этого числа, являлось линейным
пространством?
3.47. Доказать, что в двумерном векторном
пространстве R2: а) векторы Г и J линейно независимы; б) любые
два коллинеарных вектора линейно зависимы; в) любые
три вектора линейно зависимы.
3.48. Доказать, что в^ трехмерном векторном
пространстве /?3: а) векторы T,j9k — линейно независимы; б) любые

3.11. Понятия /i-мерного вектора и... пространства... 169
три компланарных вектора линейно зависимы; в) любые
четыре вектора линейно зависимы.
3.49. Доказать, что система векторов будет линейно
зависима, если она содержит: а) два равных вектора; б) два
пропорциональных вектора.
3.50. В некотором базисе заданы векторы а1 = (-2; 0; 1),
а2 = A; -1; 0), а3 = @; 1; 2). Выяснить, является ли вектор
а4 = B; 3; 4) линейной комбинацией векторов а^, а2, а3.
3.51. В некотором базисе даны векторы а1 = B; 1), а2 =
= (-1; 3). Найти все значения т, при которых вектор Ь = A;
т) в том же базисе является линейной комбинацией
векторов ар а2.
3.52. В некотором базисе даны векторы а^ = A; 2; 1),
а2= B; 1; 1), а3 = (-1; -2; -1). Найти все значения т, при
которых вектор Ь = B; 3; т) линейно выражается через
векторы av а2, а3.
Выяснить, являются ли линейно зависимыми или
линейно независимыми векторы:
3.53. а{ - (-7; 5; 19), а2 = (-5; 7; -7), а3 - (-8; 7; 14).
3.54. а% - A; 8; -1), а2 = (-2; 3; 3), а3 =D; -11; 9).
3.55. В базисе (е^ е2) даны векторы а^ = 2е^ + е2, а2 =
= £j — 2е2: а) доказать, что векторы а^ а2 образуют базис;
б) найти координаты вектора а3 = Зе^ + 2е2 в базисе (at, a2).
3.56. Выяснить, образуют ли базис трехмерного
пространства R3 векторы aj= A; 1; 1), а2 = A; 0; 1), а3 = B; 1; 2).
3.57. Выяснить, образуют ли базис четырехмерного
пространства i?4 векторы а* - A; 1; 1; 1), а2 = A; 0; 1; 0), а3 =
- @; -1; 0; 1), а4 - A; 0; 0; 1).
3.58. В базисе (ev е2, е3) задан вектор х = D; 0; -12).
Найти координаты этого вектора в базисе (ej* = е^ + 2е2 +
+е3> е2 ~2^ +3е2 + 4е3, е§ = Зе^ +4е2 + 3е3).
3.59. Найти матрицу перехода от базиса (ev e2, е3) к
базису (ef =e2 + e3, ^=-^+2^, е^=е^+е2).
3.60. Дана матрица
л.{2 -')
перехода от базиса (eif e2) к базису (е*, е2). Найти
координаты векторов ev e2 в базисе (е*, е2).

170 Глава 3. Элементы матричного анализа
3.61. Дана матрица
А =
( 1 0
0 0
-1 3
п
2
1
перехода от базиса (е^, е2> £3) к базису (е*, е2, eV). Найти
координаты векторов е^, е2, ез в базисе (е*, е2, е$).
3.62. Дана матрица
'1
А =
-О
О
1
перехода от базиса (е^ е2, е%) к базису (е*, е2, е$). Найти
координаты вектора е2 в базисе (е^ е2, е3).
3.63. Найти матрицу перехода от базиса (е^, е2, е%, е±) к
базису (е3, еА, е2, е{).
3.64. Предприятие выпускает три вида продукции Р^ Р2,
Р3 в количестве 15, 25, 40 шт., реализуемых по ценам
соответственно 30, 40, 50 усл. ден. ед. Найти выручку
предприятия от реализации продукции и ее изменение при
изменении цен продукции Рр Р2, Р3 соответственно на +5, -3, +2
усл. ден. ед.
3.65. Векторы е^ е2> е3 образуют ортогональный базис.
Найти скалярное произведение векторов х = 2е± - Зе2 +
+ 4е3 и у = ej + е2 - 5е3 и их длины, если \е^\ = 1, \е2\ = 2,
k3l-2.
3.66. Векторы е^у е2, е% образуют ортонормированный
базис. Найти угол между векторами х = Зе2 - е3 и у = 4^+
+ еп
2ео
3.12. Линейные операторы
3.67. Выяснить, является ли оператор A(x) = Bx1 -jc3;
jc3; xi - х2) линейным, если вектор х = (jq, jc2, *3).
Решение. По условию задачи вектор х = (хх\ х2\ х3).
Пусть вектор у = \у\\Уг\ Уз)- Тогда по определению
операций над векторами
х + у = (*i + у\\ х2 + у2\ хъ + г/3)'» А* = (A*!; ?u2; ?uc3).

3.12. Линейные операторы
171
Найдем образы векторов
А(х + у) = B(х1+у1)-(х3 + у3); х3 + у3; (х{+у1)-(х2+у2)) =
= (B(*! -*3) + Bг/! - г/3); *з + Уъ^ (*1"хг) + (У1 -Уг)) =
= Bх1-х3; х3; хх -х2) + Bух -у3; у3; У\-у2);
А\Кх) = (лХ| — rjc3', лл3; Ajtj — кх2)= «.(xj — х3; х3\ х^ — х2).
Так как А(х + у) = А(х) + А(у), А(кх) = X А(х), то оператор
А является линейным. ►
3.68. Найти матрицу линейного оператора
у = А(х) = (х1+х2-х3; 2х3; 2х2 +5х3), где x = (*i; x2; х3)
в том базисе, в котором даны координаты векторов х, у.
Решение. Запишем связь между координатами векторов
л: и у и соответственно матрицу линейного оператора А:
у1=хг+х2-х3,
у2= 2х3, следовательно, А =
Уъ= 2х2+5л:з.
<\ 1 -О
0 0 2
0 2 5
v
/
З._69. Найти (в том же базисе) координаты вектора
у = А(х), если оператор задан матрицей
А =
-10 2
2 1 1
3 0-1
и х = 2^ +4*2 -е3.
J
Решение. В соответствии с формулой C.34)
(~\ 0 2Y 2^1 (-А\
(У^
Уг
\Уъ)
2 1 1
3 0-1
-1 ,
т.е. у = (-4; 7; 7).
3.70. Матрица линейного оператора в базисе (et, e2, е%)
имеет вид
Л =
@ -2 1Л
3 1 0
2 -1 1

172 Глава 3. Элементы матричного анализа
Найти матрицу А* этого оператора в базисе О,*, е\, ер,
если
Cj* =3cj +е2 +2е3, е% = 2е1 + е2 + 2ev «J = -ех + 2е2 + 5е3.
Решение. Матрица С перехода от старого базиса к новому
имеет вид
С =
(Ъ 2
1 1
2 2
-О
2
5
Тогда по формуле C.35)
А*=С~1АС =
'-85 -59
121 84
-13 -9
v
18Л
-25
3
(Расчеты предлагаем провести читателю
самостоятельно.) ►
Выяснить, является ли оператор А(х) линейным, если
вектор х = (xi; х2; *з):
3.71.A(jc) = (x2 -2x3; *i + *2*> *i)-
3.72. А(х) — (д^д^» х2х^\ х\хз)»
3.73. А(х) = (х?\х$\х$).
3.74. А(х) = (jq - jc2; 2д^ + jc3; jc2 - 2я;3).
3.75. А(х) — тождественный оператор Ё(х) = (х\9 д^; *з)-
3.76. А(х) — нулевой оператор б(х) = @; 0; 0).
Найти координаты вектора у = А(х), если оператор А
задан матрицей Л (в этом же базисе):
3.77. А = [ ^Г*1'
3.78. Л =
'0 0 \\
1 1 2
1 2 1
V
; x = -ei + 2е2 +е$.
J

3.13. Собственные векторы и собственные значения... 173
(-1 Г
3.79. Л = „ ,
I 2 К
* = B;-1).
Найти матрицу А* линейного оператора в базисе (е*, е2,
е|), заданного матрицей А в базисе (е1( е2, е3):
(-3 1\
3.80. -4 = 1 А е\=е2\ е2=ех+е2.
3.81. А =
2 -1 (Л
0 1 -1
0 0 1
V
; е* =2ех + е2-еу,
е2 = 2ех -е2 + 2еу, е%1=Ъе\+ е$.
3.82. А = ( з |; et =3ef -e*2; e2 =е\ +е*2.
(
3.83. А =
1 2 -3
О 3 1
-12 5
V
г, ех =е*,е2=3е* +е2;
е3=2е* +е2+2е$.
3.13. Собственные векторы и собственные значения
линейного оператора (матрицы)
3.84. Найти_собственные значения и собственные
векторы оператора А (матрицы А):
А =
f 1 -4-8^
-Л 1 -Л
-8 -4 1
V
/

174 Глава 3. Элементы матричного анализа
Решение. 1. Составляем характеристическое уравнение
C.41)
\А-Щ =
1-Х -4 -8
-А 1-Х -А
-8 -4 1-AJ
= 0.
После преобразований уравнение примет вид
Х3-9Х2-8а + 729 = 0.
Решая это уравнение, получаем
\2(к-9)-%\(к-9) = 0, или(А.-9)(Х2-81) = 0,
откуда собственные значения оператора А (матрицы А)
\1=\2=9;\г=-9.
2. Найдем собственный вектор х^1\ соответствующий
собственному значению Хг = Х2 =9:
'-8 -4 -8У*1Л
(А-9Е)х=0, или
-\ -г -\
-8 -4 -8
v
х2
0
0
V /
Решая полученную систему методом Гаусса, получаем
-8jcj -4^2 — 8JC3 =0»
0 = 0,
0 = 0.
Так как ранг системы уравнений г = 1, то для получения
ее решений нужно рассматривать т — г = 3 — 1 = 2
свободные (неосновные) переменные, например х2 и х3. Пола-
A) ( * 1
гая х2 =Cj,jc3 =с2, найдем вектор ху' = —су-с2;сх;с2 ,
который при любых cj,c2, удовлетворяющих условию
с\ + с2 * 0- есть собственный вектор оператора А (матрицы
А) с собственным значением А, = 9.

3.13. Собственные векторы и собственные значения... 175
3. Аналогично находим, что вектор jcB) = с3; -с3; с3
при любом с3 * 0 есть собственный вектор оператора А
(матрицы А) с собственным значением X = -9. ►
3.85. Привести к диагональному виду матрицу
/
А =
1 -4
-8
-4 7-4
■8 -4 1
V
линейного оператора А.
Решете. В примере 3.84 найдены собственные значения
оператора А (матрицы A) А^ = А,2 = 9; А,3 = -9 и его собственные
векторы | ~сг -с2; сх\ с2 |, \съ\ -с3; с3 |, где с\ + с2 * О,
эры —q -c2; q; с2 I с3; -с3; с3 ,
0. Следовательно, в базисе, состояще!
с3 * О. Следовательно, в Оазисе, состоящем из трех
собственных векторов, матрица А будет иметь диагональный
вид
А* =
(9
0 0 ^
0 9 0
0 0-9
V >
= diag(9;9;-9).
го при переходе от старого
Г-Г
-4
-8
> «2 =
W
7
-4
. «3 =
'-8^
-4
1
«1 =
к базису, состоящему из собственных векторов
(полученных, например, при q =2, с2 =0, с3 =2 и q =0, с2 =1, с3 =2),
/_1 _i
2 0
v
0
1
2\
1
2
матрица Л в
т.е. при матрице перехода С =
соответствии с формулой C.35) станет диагональной:
A* =C_1AC = diag(9; 9; -9).^

176 Глава 3. Элементы матричного анализа
3.86. Выяснить, приводится ли к диагональному виду
матрица
Л =
v
2 -1 -1Ч
-3 2 0 1
4 2 4
Решение. Аналогично примеру 3.84, устанавливаем, что данная
матрица имеет собственные значения A-j = 2, Х2 = 3 и
собственные векторы дг )=@,-cj;cj) i
B) О 3
С l2C2;-2C2:
с2
где
q * 0, с2 * 0. Так как два линейно независимых
собственных вектора, получаемых при любых парах значений
с\ * 0, С2* 0, не могут образовать базис в пространстве i?3,
то матрица А не может быть приведена к диагональному
виду. ►
Найти собственные значения и собственные векторы
линейного оператора А (матрицы А):
3.87. А =
-1 -3
3.89. А =
(\
1
1
2
0
3
3.91. А =
7
-2^
3
о
(\ 1 8^
0 2 0
1 0 -1
3.88. А =
3.90. А =
3.92. А =
3.93. А =
(\ 0 1 0"\
0 2 0 3
0 0 0-1
0 0 0 0
3.94. А =
< 1 0 0 0^1
1 1-4-8
2 ^1 7 ^
v-l -8 -4 1

3.13. Собственные векторы и собственные значения... 177
Найти базис, в котором линейный оператор А,
задаваемый матрицей А, имеет диагональный вид:
3.95. А = \
4 3
3.96. А =
!
)
3.97. А =
2-2 (Л
-2 1 -2
0-2 0
Выяснить, приводится ли к диагональному виду матрица
А. Если приводится, то записать ее диагональный вид:
3.98. А =
■П
3.100. А =
3.99. А =
2 5 3"|
0 3 4
0 0-6
2 -Г
3.101. А =
3 1
о о
3 0
-о
3
о
Найти соотношение национальных доходов стран Sp ...,
Sn для сбалансированной торговли, если задана
структурная матрица торговли А:
3.102. А =
( 0 1/4 1/3^
1/2 1/2 1/3
1/2 1/4 1/3
3.103. А =
@,2 0,3 0,2 0,2^1
0,4 0,3 0,1 0,2
0,3 0,3 0,5 0,2
0,1 0,1 0,2 0,4
Найти равновесный вектор национальных доходов в
модели международной торговли для структурной матрицы

178
Глава/3. Элементы матричного анализа
торговли А, если известно, что суммарный доход этих стран
равен 402 усл. ден. ед.:
3.104. А =
@,3 0,4 0,2Ч
0,4 0,5 0,7
0,3 0,1 0,1
3.105. А =
@,6 0,3 0,5"!
0,3 0,4 0,1
0,1 0,3 0,4
3.106. А =
3.107. А =
2/5 3/10 1/10 ^
1/10 2/5 3/10 [
1/2 3/10 3/5
C/10 1/5 2/5 ^
3/10 1/10 1/10
2/5 7/10 1/2
3.14. Квадратичные формы
3.108. Найти квадратичную форму, соответствующую
матрице
( \ -2 Зч
Л = 1-2 5 -1
3-10
Решение. В соответствии с C.45) после преобразований
получим
L = х'Ах = Ocj; Х2~, *з)
1
-2
3
-2
5
-1
31
-1
0
( тг \
1
г2
\ 3 /
2 2
= х\ + 5*2 — 4^jc2 + 6*1*3 - 2*2*3.
3.109. Привести к каноническому виду квадратичную
форму
L = *i + 2*2 + 7*з + 2*i*2 + 2*1*з + 4*2*3-

3.14. Квадратичные формы
179
Решение. Сгруппируем все члены, содержащие xv и
дополним их до полного квадрата:
L = (jcf + 2ххх2 + 2хххъ) + 2*2 + 7jcf + 4х2хъ =
= (jcj + 2х\(х2 + jc3) + (jc2 +*з) )-(*2+.*з) + 2jc2 + 7jc3 + 4jc2jc3 =
= (jcj + jc2 + *з) + *2 + 6jc3 + 2jc2jc3.
Сгруппируем все члены, содержащие лг2, и дополним их
до полного квадрата:
L = (*! + х2 + х3J + (*2 + Jc3J + 5хз-
Итак, невырожденное линейное преобразование уг=хх +
+х2 + *з» #2 = *2 + *з» #3 = *з приводит данную
квадратичную форму к каноническому виду L(yh у2,у3) = У\ +У2 +
+$у1>
3.110. Исследовать на знакоопределенность
квадратичную форму L:
а) L = 2jcj + jc2 + 4*3 + 2x^2 - 4хгх3 - 2х2ху,
б) L = 2jc2+jc2 -6хгх2; в) L = 4xf +x2 -4ххх2.
Решение.
а) J способ. Матрица А квадратичной формы имеет вид
А =
< 2
1
V
1 -2^
1 -1
-2 -1 4
Ее собственные значения (находим аналогично,
примеру 3.84) Xj = 1; ^2, з = 3 ± v 7 — все положительные,
следовательно, квадратичная форма L(xx, x2, хъ)
положительно определенная.
II способ. Так как все главные (угловые) миноры мат-
|2 1|
рицы А положительны, т.е. Ai = 2 > 0, Д2 =
А,=
= 1>0,
= 2 > 0, то по критерию Сильвестра квадра-
2 1 -2
1 1 -1
|-2 -1 4|
тичная форма Z^(jcj ; jc2 ; дс3) положительно определенная.

180 Глава 3. Элементы матричного анализа
как Ах = 2 > О, Д2 =
'2
-3
Так
= -7<0, то квадратичная форма
б) Матрица Л квадратичной формы имеет вид
2 -3| v
-3 1|
Цхг; х2) не является знакоопределенной (она была бы
отрицательно определенной, если бы Аг < О, а А2 > 0).
Г 4 -2^
в) Матрица Л квадратичной формы имеет вид
4 -2|
Так как Ai = 4, а А2 =
-2 1
v 2 V
= 0, то квадратичная форма
Цхг\х2) не является знакоопределенной. ►
Написать квадратичную форму L в матричном виде:
3.111. L = 3xi + jc2-jc1jc2.
о.112. L = x^ + дс^ — 2х^х2 + 5х^х^.
3.113. L = 2xi +3x2-2x>$+XiX2 + 2xiX3+3x2x<$.
Найти ранг квадратичной формы L:
3.114. L = xi+x2 +jc| +2xxx2.
3.115. L = 2xi -x2 +3jc3 +2x\x2 + Ьх\х^.
3.116. L = 2х? + 4*2 + 9^3 + 4ххх2 + 6jc,jc3 + 12jc2jc3.
Найти квадратичную форму, полученную из данной
указанным преобразованием:
3.117. L = 3jc12-jc2+4jc1jc2;
\х1=2у1-у2,
\х2=У\+У2-
3.118. L = 2xi+3x2-x%+x2x2'9
\х\=-У\+1Уг>
1-«2=Зу1+У2+»з»
[дс3=-2у1-г/2-
3.119. L = 2jc2+4*з — 2jcx jc2 +лг2дс3;
U =У\+У2~Уз>
\х2=У\+У2+Уз>
[хз=У1+У2-

3.14. Квадратичные формы
181
Привести к каноническому виду квадратичные формы:
3.120. L = 2jq - 3*3 -4*2*2 + 4*2*3 -8x2X3.
3.121. L = jq2 + 2^jc2 + 2*2*3.
3.122; L = *i2 - 4*2*3 + *з •
3.123. L = xi + 3*2 +4*3 + 2*2*2+2*2*3+6*2*3.
Исследовать на знакоопределенность квадратичную
форму L:
3.124. L = xi+ 4*1 + 3*з + 2*!*2.
3.125. L =-2*2-*12-*1*з+2*2*3-2*3.
3.126. L = *i +*2 +*з +4*2*2+6*2*3+4*2*3.
3.127. L = 3*2 +3*з +4*2*2+4*2*3-2*2*3.
При каких значениях параметра га является знакоопреде-
ленной квадратичная форма L:
3.128. L = m*i2 + *2 +4*i*2.
3.129. L = 2*2 + 3*2 + 2m*2*2 + 2*t*3 - 4*2*з-
3.130. L = т*2 - *2 - 4*2*2 + 6*2^3 +10*2*3-
Найти все значения параметра т, при которых
положительно определены квадратичные формы L:
3.131. L = 2*2 + *2 + т*з + 2*2*2 - 2*2*з "~ 2*2*з-
3.132. L = т*22 + 2*2 + 3*з + 2ххх2 + 2*j*3 + 4*2*3.
3.133. L = 2т*2 + *2 + 2*з + 2*2*2 + 2*2*з-
3.134. L = 2*2 + т*2 + 2*з + 2*2*2 + бд^хз + 4*2*з-
Найти все значения параметра т> при которых
отрицательно определена квадратичная форма L:
3.135. L - -*2 + т*2 + 3*з + 4*2*2 + ^х\хз + 2*2*з-
3.136. L = -2*2 - 2*2 + т*з + 2*2*2 + ^х\хз ~~ 2*2-^з-
3.137. L = 2т*2 + *2 + *з - 4*2*2 + ^х\х3 + 2*2*3 •
3.138. L = -*2 - 2*2 + 2т*з + 2*2*2 + ^х\хз ~~ 6*2*з«

182 Глава 3. Элементы матричного анализа
Контрольные задания по главе 3
«Элементы матричного анализа»
№
1
2
3
4
5
Вариант 3.1
Вариант 3.2
Вариант 3.3
Даны два единичных вектора т и Я, угол между которыми 120°.
Найти: а) острый угол между диагоналями
параллелограмма, построенного на векторах а и Ъ\ б) проекцию вектора Ъ на
направление вектора а: \
а = -2т + Я;
Ъ = -т + Ъп
а = 2т- Я;
Ъ = -Ът + Я
а-т- ЗЯ;
Ь=т + 2п
Выяснить, являются ли линейно зависимыми векторы а А
а2, а3: |
«1=A;4; 6);
а2=A;-1;1);
вз=а;1;3)
в1=B;-3;1);
а2=C;-1;5);
а3 = A;-4;3)
ai=(l;2;3);
а2=D;5;6);
а3=G;8;9)
Даны четыре вектора а{1 а2, а3 и b в некотором базисе.
Показать, что векторы а1? а2, а3 образуют базис, и найти
координаты вектора Ь в этом базисе:
а!=D;5;2);
а2=C;0;1);
а3=(-1;4;2);
£ = E;7;8)
а2=D;5;1);
а3=(-3;0;-4);
£ = (-4;5;-16)
ai=(-2;3;5);
a2=d;-3;4);
а3 = G;8;-1);
£ = A;20;1) 1
Найти собственные значения и собственные векторы
линейного оператора А (матрицы А). Привести матрицу А к
диагональному виду А* (если это возможно):
А =
'2-10'
-12 0
Л =
'Ъ -1 Г
0 2 1
0 1 2
\ )
А =
'5 -1 -Г
0 4-1
0-14
\ )
Привести к каноническому виду квадратическую форму L.
Найти ранг квадратичной формы L. Выяснить, является ли
квадратическая форма L знакоопределенной:
2
L = Xi + 4x^2 +
L = 4^1 + 4x^2 +
+ 8*1*з ~~ 2
L = 4xi2 + 8^2 +
+ 4x^3 + 3*2 - 4jc|

Контрольные задания...
183
№
6
Вариант 3.1
Вариант 3.2
Вариант 3.3
Выяснить, в каком отношении должны быть национальные
доходы трех стран для сбалансированной торговли, если
задана структурная матрица торговли А:
Л =
'0,3 0,3 0,8'
0,6 0,1 0,1
0,1 0,6 0,1
А =
'0,5 0,3 0,6Л
0,4 0,3 0,1
0,1 0,4 0,3
А =
'0,7 0,3 0,4^
0,2 0,5 0,1
0,1 0,2 0,5
ТестЗ
1. Установить соответствие между рисунками и
векторными равенствами:
ш
S7
./
•/
/
1
J^
в
\ -
X
^7
У
/
У
а) а + Ь + с=Ъ\ б) а + Ь-с = Ь) в) я-£ + с=б;
г) а-Ь-с = 0.
2. Определить длину вектора с = 45 + ЗЬ, если |й| = 3,
|б| = 4, 5Ь=120°.
3. Найти db +bc + ас, где а, £, с — единичные векторы,
удовлетворяющие условию а + Ь + с = 0.
4. Даны векторы а = ЗГ —6J —Л; Ь=Т + 4] + 5к\ с=ЗГ +
+jlj + 2fc. Найти (с точностью до 0,1) проекцию вектора
(b + с) на направление вектора (а + В).
5. Выяснить, какие множества элементов образуют
линейное пространство:
1) множество натуральных чисел;

184 Глава 3. Элементы матричного анализа
2) множество четных чисел;
3) множество всех многочленов степени не выше п;
4) множество всех ненулевых матриц;
5) множество всех решений системы п линейных
однородных уравнений с п переменными.
6. Вектор d=a+b+c представить в виде линейной
комбинации векторов а и Ьу если а = C; -1); Ъ = A; -2); с = (-1; 7).
Ответ: d = оса + C6, где а ■*...; C = ...
7. Выяснить, какие из приведенных троек векторов
образуют базис в пространстве #3:
1) @; 0; 1), @; 1; 0), @; 1; 1); 2) @; 0; 1), A; 0; 0), @; 1; 0);
3) A; 1; 1), @; 1; 0), B; 2; 2); 4) A; 1; 1), @; 1; 0), A; 0; 0).
8. Дана матрица А = перехода от базиса (ev е2)
к базису (е*, е2). Найти координаты (а> Ь) вектора е± в
базисе (е*, е2).
9. Вектор х в базисе (ev е2) имеет координаты (-3; 1).
Найти координаты (а, Ь) этого вектора в базисе (е? = -2ех +
+ е2, е2 - е2).
10. Векторы е^ е2} е% образуют ортонормированный
базис. Найти (с точностью до 0,01) косинус угла между
векторами х = е^ + 2е2 - 2е% и у = 2е^ + 2е2 + е3.
11. Линейный оператор в базисе (ev e2) задан матри-
B -А
цей А = . Найти образ у = А(х) вектора х = е±.
[3 4 J
Ответ: у = (а; 6), где а = ...; Ъ - ...
12. Известно, что неколлинеарные векторы xf (a; 1) и
х2 = (Ь; 1) являются собственными векторами матрицы
< 1 2^
А =
-1 4
Найти соответствующие собственные значения Х^ и Х2
матрицы А и значения а и Ь (а > Ь).
13. Матрицу ^4 = 1 (см. задание 12) привести к
1-
диагональному виду А*.
Ответ: А* =
О Ъ
, где а = ...; 6 = ...

Контрольные задания...
185
14. Найти ранг матрицы квадратичной формы
15. Найти наибольшее целое значение т, при котором
квадратичная форма L = Апщ + 3jc2 + 48jc1jc2 не является
знакоопределенной.

Глава 4
УРАВНЕНИЕ ЛИНИИ. ПРЯМАЯ
И ПЛОСКОСТЬ
ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ КУРС
4.1. Системы координат. Простейшие задачи
Прямая, служащая для изображения действительных
чисел, в которой выбрана начальная точка О, единица
измерения и положительное
направление, называется
числовой прямой, или числовой осью.
Точка М этой прямой
характеризуется определенным
числом — координатой ху т.е. М(х)
(рис. 4.1).
Две взаимно
перпендикулярные оси Ох и Оу} имеющие общее
начало О и одинаковую единицу
масштаба, образуют
прямоугольную (или декартову) систему
координат на плоскости (рис. 4.2).
Ось Ох называется осью
абсщсс, ось Оу — осью ординат,
точка О — началом координат и
плоскость Оху — координатной плоскостью. Каждой точке М
этой плоскости соответствует пара чисел (х, г/), называемых
ее координатами, т.е. М(х} у) (х — абсцисса, у — ордината
точки М).
Три взаимно перпендикулярные оси Ох, Оу и Oz,
имеющие общее начало О и одинаковую единицу масштаба,
образуют прямоугольную систему координат в пространстве
i
г
'1
0
л
J"
0
Рис.
X
Рис
М(х)
4.1
^М(х,у)
i
i
1 ^
4.2

4.1. Системы координат. Простейшие задачи 187
t M(x,y,z)
У
У
OxyZy где ось Oz называется
осью аппликат. Любая точка
пространства М(х, у, z)
характеризуется тремя
координатами, где х — абсцисса, у —
ордината, z — аппликата (рис. 4.3).
Между числами х и
точками числовой прямой Ох, между
упорядоченными парами
чисел (х, у) и точками
координатной плоскости, между
упорядоченными тройками чисел
(х, у> z) и точками
пространства существует взаимно однозначное соответствие. Это
означает, что каждой точке числовой прямой, координатной
плоскости либо пространства соответствует свое число х,
своя упорядоченная пара (х, у) или тройка (х, г/, г) чисел, и
наоборот, любому числу х, любой упорядоченной паре (х, у)
или тройке (х, у, г) чисел соответствует своя точка числовой
прямой, координатной плоскости либо пространства.
Расстояние между двумя точками. В параграфе 3.1
было установлено, что расстояние между двумя точками
Щ(х1> У\) и М2(х2> Уд координатной плоскости
определяется по формуле
Рис. 4.3
r=Vu~~
*lJ+(*/2-*/lJ-
D.1)
Полагая в формуле D.1) у^=у<у = 0, получаем формулу
расстояния ]
1гая в формуле D.1) у1=у^ = 0, получаем формулу р
[ между двумя точками M(xj) и М(х2) числовой оси
d=\x2-xl
Деление отрезка в данном
отношении. Пусть на плоскости Оху
даны точки M^Xj, y^) и М2(хо, у?У
Необходимо внутри отрезка т^м^
найти точку М(х, у), делящую
этот отрезок в отношении \, т.е.
- А (рис. 4.4).
Ч1
мм2
В силу пропорциональности
отрезков прямых, заключенных
между параллельными прямыми,

188 Глава 4. Уравнение линии. Прямая и плоскость
МлМ Ал А . , й , ,
—-— = —— = А, где по формуле D.2) ^1^=jc~jc1,
ММ2 АА2
АА2 = |jc2 - jc|. Так ьсак величины х - х± и х2 - х одного знака
(при х^ < х2 они положительны, при х± > х2 отрицательны), то
- = 'К откуда x-xi='kx2-foc и х = (хх + Ajc2)/A + A,).
х2"х
Формула для ординаты у точки М доказывается аналогично.
Итак, координаты (х} у) точки М, делящей отрезок
МлМ2 в отношении А,, находятся по формулам
*-~~TTjT^—77JT' D3)
а координаты (х} у) точки М— середины отрезка МаМ2
(при X = 1) — по формулам
х-—j—' У~~—2—' " *
4.2. Уравнение линии на плоскости ;
Уравнение линии является
к у важнейшим понятием
аналитической геометрии.
М(х, у) Пусть на плоскости
имеется некоторая линия (кривая)
(рис. 4.5). Координаты х и у
точки, лежащей на этой ли-
~*~х нии, не могут быть
произвольными, они должны быть опре-
деленным образом связаны.
с* Такая связь аналитически
записывается в виде некоторого уравнения.
Определение. Уравнением линии (кривой) на
плоскости Оху называется уравнение, которому
удовлетворяют координаты х и у каждой точки данной линии и не
удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на
этой линии.
О

4.2. Уравнение линии на плоскости
189
В общем случае уравнение линии может быть записано в
виде F(x> г/) = О или (если это возможно) у =/(*), где F(x, у) и
у = f{x) — некоторые функции (функции будут
рассмотрены в гл. 5).
Если точка М (х> у) передвигается по линии, то ее
координаты, изменяясь, удовлетворяют уравнению этой линии,
поэтому координаты М(х, у) называются текущими
координатами (от слова «текут», т.е. меняются).
Пример 4.1. Найти уравнение множества точек,
равноудаленных от точек Л(-4; 2) и В (-2; -6).
Решение. Расстояние между двумя точками М^(х^ у^) и
М2(х2, у2) определяется по формуле D.1).
Если М (х, у) — произвольная точка искомой линии, то
согласно условию имеем AM = ВМ (рис. 4.2) или, учитывая
формулу D.1),
J(x + 4J+(y-2J=yl(x + 2J+(y + 6J.
Возведя обе части уравнения в квадрат, после
преобразований получаем уравнение х — Ау — 5 = 0 или z/ = — х—.
__ 4 4
Очевидно, что это
уравнение прямой MD —
перпендикуляра,
восставленного из середины отрезка
АВ (рис. 4.6). ►
Любую линию в
принципе можно выразить
соответствующим
уравнением (хотя на практике это
не всегда просто сделать).
Однако не всякое
уравнение определяет на
плоскости некоторую линию.
Например, уравнение ос2 + у2 = 0 определяет только одну точку
@; 0), а уравнение х2 + у2 + 7 = 0 не определяет никакого
множества точек, ибо левая часть уравнения не может
равняться нулю.
Чтобы убедиться, лежит ли точка М(а, Ь) на данной
линии F(x, у) - 0, надо проверить, удовлетворяют ли
координаты этой точки уравнению F(xf у) = 0.
Vi
6
Л(-4; 2) ^
1 1 1 1 \ 1 1 1
-4\-2 0
D\ -4
Я(-2; -бN
i
i i i
- ^s
-
М(х, у)
"f^j&^8 l(f*
Рис. 4.6

190 Глава 4. Уравнение линии. Прямая и плоскость
4.3. Уравнение прямой
Пусть прямая пересекает ось Оу в точке 5@; Ь) и
образует с осью Ох угол а@<а<к/2) (рис. 4.7).
Возьмем на прямой
произвольную точку М(х, г/), тогда тангенс
угла а наклона прямой найдем
из прямоугольного
треугольника MBN:
Vi
Я@; Ь)
Ли.
0
\
sSU
)b
Л(.
М(х, у)
N(x, b)
х,0) х
tga =
MN _y-b
D.5)
NB x
Введем угловой коэффици
ент прямой k = tga, получим,
Рис. 4.7
k =
у-ь.
х
y = kx + b.
D.6)
Можно показать, что формула D.6) остается
справедливой и для случая я/2 < a < п.
Итак, мы доказали, что координаты каждой точки
прямой удовлетворяют уравнению D.6). Нетрудно показать,
что координаты любой точки М^(х^ у^)> не лежащей на
прямой, не удовлетворяют уравнению D.6). Действитель-
У\~Ъ
*k
но, в этом случае Z MXBN Ф а, следовательно,
х\
yi*kxi + b.
Уравнение D.6) называется уравнением прямой с
угловым коэффициентом.
Рассмотрим частные
случаи уравнения D.6).
1. Если Ь - 0, то
получаем у = fcr—
уравнение прямой,
проходящей через начало
координат и
образующей при k = tg a > 0
острый угол а с осью Ох,
а при k e tg a < 0 —
тупой угол (см. рис. 4.8).
Рис. 4.8

4.3. Уравнение прямой
191
В частности, уравнение биссектрисы I и III координатных
к
углов имеет вид у = х (так как # = tg— = 1), а уравнение
4 Зтс
биссектрисы II и IV координатных углов у=-х (k - tg— =-l).
2. Если а = 0, то k = tg 0 = 0, и уравнение прямой,
параллельной оси Ох, имеет вид у = 6, а самой оси От — вид г/ = О
(рис. 4.9).
3. Если а = я/2, то прямая перпендикулярна оси Ох
(рис. 4.10) и & = tg— не существует, т.е. вертикальная
прямая не имеет углового коэффициента. Предположим, что
эта прямая отсекает на оси Ох отрезок, равный а.
Очевидно, что уравнение такой прямой имеет вид х = а (так как
абсцисса любой точки прямой равна а), а уравнение оси
Оу есть х = 0.
У*
Я@; Ь)
у = Ъ
у-0
—щ—
Рис. 4.9
УК
дг = 0
х = а
Л(а;0) х
Рис. 4.10
Уравнение прямой,
проходящей через данную точку в
данном направлении. Пусть прямая
проходит через точку МЛх^ у^)
и образует с осью их угол
ос*тс/2 (рис.4.11).
Так как точка M^(xv y^)
лежит на прямой, то ее
координаты удовлетворяют уравнению
D.2), т.е.
У>
ль
0
i
S^M^x;, ух)
X
Рис. 4.11
ух - kxi + Ъ.
D.7)

192 Глава 4. Уравнение линии. Прямая и плоскость
Вычитая равенство D.3) из равенства D.2), получаем
уравнение искомой прямой
у-У1 =*(*-*!).
D.8)
Рис. 4.12
Уравнение пучка прямых. Если в уравнении D.8) k —
произвольное число, то это уравнение определяет пучок
прямых, проходящих через точку
М^Хр j/j), кроме прямой, па-
"М(х, г/) раллельной оси Оу и не имею-
—- v ! щей углового коэффициента
(рис. 4.12).
прямая, не входя- Пример 4.2. 1. Составить
щая в пучок уравнение прямой, проходящей
через точку ЛC; -2): а) под
углом 135° к оси Ох, б)
параллельно оси Оу. 2. Найти
уравнение пучка прямых.
Решение.
1. а) Угловой коэффициент
прямой & = tg 135° = -1.
Уравнение прямой,
проходящей через точку ЛC; -2)
(рис. 4.13) по формуле D.8)
имеет вид у + 2 = -1 (х -3)
или у = -х+ 1.
б) Уравнение прямой,
параллельной оси Оу, х = 3.
2. Уравнение пучка
прямых, проходящих через точку
А C; -2), имеет вид у + 2 =
- k (х - 3). ►
Уравнение прямой,
проходящей через две данные точки.
Пусть даны две точки М^(х^
У\Х Щ*2> У2> ИХ\* х2> У\ ф Уг
Для составления уравнения
прямой М^М2 (рис. 4.14)
запишем уравнение пучка прямых,
проходящих через точку М^.
y-yl=k{x-xl).
У
\ 3
\2
Is*
•
-1 0
-2
i
-
f\2
3 х
ЛC; -2)
К
Рис. 4.13
Vi
0
Щх2, y2\
/^Щ*± Ух)
X
Рис. 4.14

4.3. Уравнение прямой
193
Так как точка М2(х2, г/2) лежит на данной прямой, то,
чтобы выделить ее из пучка, подставим координаты точки
М2 в уравнение пучка г/2 -г/^ = Кх2 ~ х\) и найдем угловой
коэффициент прямой
к^Уг-У\
*2-х\'
Теперь уравнение искомой прямой примет вид
.У2-У1
D.9)
У~У\=-
или
*2-Х\
У~У\ = *
Уг-У\
<х-х\)
D.10)
Пример 4.3. Составить уравнение прямой, проходящей
через точки А (-5; 4) и В C; -2).
Решение. Уравнение прямой, согласно D.10), имеет вид
у-4 х + 5 * »
— = , откуда после преобразовании получим
3 1 ^
2/ = t*+t- ►
Уравнение прямой в отрезках. Найдем уравнение прямой
по заданным отрезкам а Ф 0 и Ъ Ф 0,
отсекаемым на осях координат.
Используя формулу D.10),
уравнение прямой, проходящей через
точки А (а; 0) и В @; Ь) (рис. 4.15),
у-0_ х-а
ь^о"о^
ле преобразований
примет вид
илипос-
х У 1
- + — = 1.
а Ъ
D.11)
Vi
ъ\
\
0
{
[В@; Ь)
1
1 а
V(«;0) m
X
Рис. 4.15
Уравнение D.11) называется
уравнением прямой в отрезках.
Пример 4.4. Составить уравнение прямой, проходящей
через точку А B; -1), если эта прямая отсекает от
положительной полуоси Оу отрезок, вдвое больший, чем от
положительной полуоси Ох (рис. 4.16).

194 Глава 4. Уравнение линии. Прямая и плоскость
Решение. По условию Ъ = 2а
(а > О, Ъ > 0). Подставляя это
выражение в уравнение D.11), полу-
чаем — + -^- = 1. Так как точка
а 2а
Л B; -1) лежит на прямой, то ее
координаты удовлетворяют это-
му уравнению, т.е. = 1, от-
а 2а
Рис. 4.16 кУДа а = !>5-
Итак, уравнение искомой пря-
х у
мой имеет вид — + — = 1 или у = -2х + 3. ►
1,5 3 *
Общее уравнение прямой и его исследование.
Рассмотрим уравнение первой степени с двумя переменными
в общем виде
Ах + Ву + С=0, D.12)
в котором коэффициенты Л и В не равны одновременно
нулю, т.е. А2 + В* Ф 0.
1. Пусть В Ф 0. Тогда уравнение D.12) можно записать в виде
А С
у = х .
В В
А С
Обозначим к = , Ь = . Если А Ф 0, С Ф 0, то получим
В В
у = kx + Ъ (уравнение прямой с угловым коэффициентом);
если А Ф 0, С = 0, то у = kx (уравнение прямой, проходящей
через начало координат); если А = 0, С Ф 0, то у = Ъ
(уравнение прямой, параллельной оси Оу)\ если А = 0, С ж 0, то у = 0
(уравнение оси Ох).
2. Пусть В = 0, А Ф 0. Тогда уравнение D.12) примет вид
С С
х = . Обозначим а = . Если С Ф 0, то получим х = а
/л. /\.
(уравнение прямой, параллельной оси Оу); если С = 0, то
х = 0 (уравнение оси Оу).
Таким образом, при любых значениях коэффициентов
Л, В (не равных одновременно нулю) и С уравнение D.12)
есть уравнение некоторой прямой линии на плоскости Оху.
Уравнение D.12) называется общим уравнением
прямой. Заметим, что в отличие от уравнения пучка прямых
D.8) общее уравнение D.12) включает и уравнение любой
вертикальной прямой, параллельной оси Оу.

4.4. Условия параллельности и перпендикулярности... 195
4.4. Условия параллельности
и перпендикулярности прямых.
Расстояние от точки до прямой
Угол между двумя прямыми. Пусть заданы две прямые
y = kxx + l\ A);
y = k1x + b2 B)
и требуется определить угол ф между ними.
Из рис. 4.17 следует, что ф = ос2 -<Xi, причем kx =tgaj,
k2 =tga2,a1 *7c/2, а2*л/2. Тогда
tt-Wa.-a,)-»"'-»-
l + tgajtgaj
или
l+kfo'
D.13)
где стрелка означает, что угол ф
получается при повороте
прямой A) к прямой B) против
часовой стрелки.
Условия параллельности и
перпендикулярности прямых.
Если прямые у = k^x + b± A) и
у = k^c + Ъ2 B) параллельны, то
угол ф = 0 и tgф = 0, откуда из
формулы D.13) k± = k2. И
наоборот, если k± = k2, то по формуле
D.13) tgcp = 0 и ф - 0. Таким
образом, равенство угловых коэффициентов является
необходимым и достаточным условием параллельности двух
прямых.
Если прямые перпендикулярны, то ф = тс/2, при этом
ctg9 = ctg(rc/2) - 0 или ctg9 = = -—Ц2. = 0, откуда
1 , . t«9 *2-^i
Рис. 4.17
А?1 =-— или k^k2 =
k2
-1. Справедливо также и обратное

196 Глава 4. Уравнение линии. Прямая и плоскость
утверждение. Таким образом, для перпендикулярности
прямых необходимо и достаточно, чтобы их угловые
коэффициенты были обратны по величине и противоположны по знаку.
Если прямые заданы общими уравнениями А^х + В^у +
+ С1 = 0A)и A<gc + В2у + С2 - 0 B), то, учитывая, что их
угловые коэффициенты k\ = —- и &> = —~»условие
параллельности прямых k< = k0 примет вид — = —. Следователь-
А2 В2
но, условием параллельности прямых, заданных общими
уравнениями, является пропорциональность коэффициентов при
переменных.
Условие перпендикулярности прямых k^k2 = -1 в этом
' А)( V
в1){ в2
т.е. условием перпендикулярности двух прямых, заданных
общими уравнениями, является равенство нулю суммы
произведений коэффициентов при переменных х и у.
случае примет вид
= -1, или АХА2 +ВХВ2 = 0,
Пример 4.5. Составить уравнения двух прямых,
проходящих через точку ЛB; 1), одна из которых параллельна
прямой Зх - 2у + 2 = 0, а другая перпендикулярна той же
Решение. Уравнение пучка
прямых, проходящих через точку
А B; 1), имеет вид у -1 = k{x - 2).
Из этого пучка надо выделить
две прямые 2 и 3 —
параллельную и перпендикулярную
данной (рис. 4.18). Угловой коэф-
3
фициент прямой lk\=— (так
как уравнение прямой 1 можно
3 1Ч
представить в виде г/ = —jc + l).
По условию параллельности угловой коэффициент прямой 2
3 3
k = k=— и ее уравнение имеет вид z/~1 = -(jc-2), или
2 2
прямой
3
2
/
\
Рис.
/ /2
N^4B; 1)
'г'з ^**
4.18

4.4. Условия параллельности и перпендикулярности... 197
Зх - 2у - 4 = 0. По условию перпендикулярности угловой ко-
1 2
эффициент прямой 3 &3 = = —>и уравнение этой прямой
2 кх Ъ
у-1 =—(дг-2), или2х+Зг/-7 = 0.
Задачу можно решить и другим способом. Прямая Ах +
+ By + С = 0 будет параллельна прямой Зх - 2у + 2 = 0,
если ее коэффициенты при х и у пропорциональны, т.е.
А В
— = —. Взяв А = 3, В = - 2 (при коэффициенте
пропорциональности, равном единице), получим уравнение Зх - 2у +
+ С - 0. Коэффициент С найдем с учетом того, что
координаты точки А B; 1), лежащей на прямой, должны
удовлетворять ее уравнению, т.е. 3-2-21 + С = 0, откуда С в -4,
и уравнение прямой 2 Зх - 2у - 4 = 0.
Уравнение прямой, перпендикулярной заданной Зх-
— 2г/ + 2 = 0, будет иметь вид 2х + Зу + С = 0 (ибо в этом
случае сумма произведений коэффициентов при
переменных хну равна нулю, т.е. 3 • 2 + (-2) -3 = 0). Теперь,
подставляя координаты точки А B; 1) в уравнение прямой,
получаем 2-2 + 31 + С^О, откуда С = -7, и уравнение
прямой 3 2х - Зу - 7 в 0. ►
Точка пересечения прямых. Пусть даны две прямые
Atfc + Вху + Cj = 0 и Л^ + 52г/ + С2 в 0. Очевидно,
координаты их точки пересечения должны удовлетворять
уравнению каждой прямой, т.е. они могут быть найдены из
системы
A{xJt Вху + Сх = 0,
А2х + В2у + С2=0.
Если прямые не параллельны, т.е. -J-?£—!-, то решение
системы дает единственную точку пересечения прямых.
Расстояние от точки до прямой. Пусть даны точка
M(xq> г/0) и прямая Ах + By +C = 0. Под расстоянием от
точки М до прямой KL понимается длина перпендикуляра d =
= MN, опущенного из точки М на прямую KL (рис. 4.19).
Для определения расстояния d необходимо: а) составить
уравнение прямой MN, перпендикулярной данной и
проходящей через точку М0(х0, t/0); б) найти точку N(x^f y^)
пересечения прямых, решив систему уравнений этих прямых;

198 Глава 4. Уравнение линии. Прямая и плоскость
Vi
к\
0
i
М(х0, у0)
Х^(х{)У{)
L х
в) по формуле D.1) определить
расстояние между двумя
точками, т.е. найти d = MN. В
результате преобразований получаем
d
_|Ажь + Ду0 + С| 4)
Рис. 4.19
(доказательство формулы D.14)
опускаем).
Пример 4.6. Найти расстояние между параллельными
прямыми
Зх + Ау - 24 = 0 и Зх + Ау + 6 = 0.
Решение. Возьмем на одной
из прямых, например, прямой
Зх + Ау - 24 = 0,
произвольную точку А @; 6) (рис. 4.20).
Тогда искомое расстояние
равно расстоянию от точки А
до прямой Зх + Ау + б = 0:
к**
I3-0+4-6 + 6I
d = ]-—р= —1 = 6.
Рис. 4.20
4.5. Окружность и эллипс
Vi
0
i
(<У(х0,Л
V ^\/
М(х, у)
X
Рис. 4.21
Изучение кривых второго
порядка, описываемых
уравнениями второй степени с двумя
переменными, начнем с окружности.
Пусть дана окружность
радиуса R с центром 0'(xq, z/0)
(рис. 4.21). Найдем ее
уравнение. Для произвольной точки
М (х, у) окружности
выполняется равенство О'М = К Ис-

4.5. Окружность и эллипс
199
пользуя формулу D.1) расстояния между двумя точками,
получаем
7(*-*ьJ + (у-уоJ=*
или после возведения в квадрат (двух положительных
частей уравнения) получим равносильное уравнение
(x-x0J+(y-y0J=R2. DЛ5)
Итак, координаты каждой точки окружности М(х> у)
удовлетворяют уравнению D.15). Нетрудно показать, что
координаты любой точки, не лежащей на окружности,
этому уравнению не удовлетворяют.
Уравнение D.15) называется нормальным уравнением
окружности. В частности, уравнение окружности с
центром в начале координат (х$ = z/0 = 0) имеет вид
x2+y2=R2. D.16)
Рассмотрим уравнение второй степени с двумя
переменными в общем виде
Ах2 + Вху + Су2 +Dx + Ey + F = 0, D.17)
в котором Л, В и С не равны нулю одновременно, т.е. А2 +
+ В2 + С2 ф 0. Выясним, при каких условиях это уравнение
является уравнением окружности. С этой целью
представим уравнение D.15) в виде
х2+ у2 -2хох-2у0у + 4 + */о-*2=0. D.18)
Чтобы уравнения D.17) и D.18) представляли одну и ту
же линию, коэффициент В должен равняться нулю, т.е. В = 0,
а все остальные коэффициенты должны быть пропорцио-
А Г4
нальны, в частности — = —, откуда А - С Ф 0 (ибо А2 + В2 +
+ С2 Ф 0, а В = 0). Следовательно, получаем уравнение
Ах2 + Ay2 + Dx + Ey + F = 0, D.19)
называемое общим уравнением окружности.

200 Глава 4. Уравнение линии. Прямая и плоскость
Поделив обе части уравнения на А Ф 0 и дополнив члены,
содержащие х и г/, до полного квадрата, получим
( D f ( £f D2+E2-AAF „ ЛЛЧ
Сравнивая уравнение D.20) с уравнением окружности
D.15), можно сделать вывод, что уравнение D.17) есть
уравнение действительной окружности, если: 1) А = С;
2) В = 0; 3) D2 + Е2 - AAF > 0. При выполнении этих
условий центр окружности D.17) расположен в точке
J D E \ y/D2+E2-4AF
Ох ——; --гт \ а ее радиус R = .
\ 2А 2А) v J 2 А
Пример 4.7. Найти координаты центра и радиус
окружности
х2 + г/2+16#-9 = 0.
Решение. Дополнив члены, содержащие уу до полного
квадрата, получим
х2+(г/2+16г/ + 64)-64-9 = 0 или х2 + (у + 8J = 73,
т.е. центр окружности в точке О @; -8), а ее радиус R = V73. ►
Рассмотрим уравнение кривой второго порядка D.17),
в котором по-прежнему будем полагать В = 0. Перепишем
уравнение в виде
= -_+E?__F
АА АС
или
где
A DY J EX d
А\ х + — +С\ у +— = —
^ 2А) { 1С) 4/
Мх~хоJ+С(у-у0J=Ь,
D Е ~ D2 Е2 „
^ 2А *° 1С АА АС

4.5. Окружность и эллипс
201
Будем предполагать для простоты исследования, что
центр кривой находится в начале координат, т.е. х0 = г/0 = 0.
Тогда уравнение кривой примет вид
Ах2+Су2=Ь.
D.21)
Кривая второго порядка D.21) называется эллипсом
(точнее, кривой эллиптического типа), если коэффициенты
Аи С имеют одинаковые знаки.
Для определенности будем полагать, что А > 0, С > 0
(в противном случае обе части уравнения можно умножить
на(-1)).
Возможны три случая: а) 8 > 0; б) 8 = 0; в) 8 < 0.
Очевидно, что в третьем случае (при 8 < 0) кривая D.21) не
имеет действительных точек, а во втором случае (при 8 =
= 0) она представляет собой одну точку О@; 0). Поэтому
остановимся на первом случае (8 > 0).
Получаемое при этом уравнение
2 2
х У 1
— + —= 1
а о
D.22)
называется каноническим уравнением эллипса с полуосями
а —
| Hfe = J| (рис. 4.22).
М(г, у)
4@; -Ь)
Рис. 4.22
При а - Ъ уравнение D.22) представляет частный
случай — уравнение окружности хг + у = а2.

202 Глава 4. Уравнение линии. Прямая и плоскость
Точки F^c; 0) и F2 (-с; 0), где1
с = s[J^, D-23)
называются фокусами эллипса, а отношение
е = - D.24)
а
— его эксцентриситетом. Эксцентриситет характеризует
форму эллипса. Очевидно, что 0 < е < 1, причем для
окружности е = 0. Точки А^-а; 0), А2(а; 0), 2^@; fe), В2@; -b)
называются вершинами эллипса.
Найдем сумму расстояний от любой точки эллипса М (х, у)
до ее фокусов, используя формулу D.1):
d = F2M+MFl=yl(x + cJ+y2 + yj(x-cJ+y2.
СучетомD.18)-D.20)
F2M=ylx2+2cx + c2 + y2=Jx2 + 2cx + (a2-b2y(b2-^x2) =
= JA—-)х2+2сх + а2 =Ж-х + аJ =а + £х
Аналогично можно получить, что MFX =а-гх. В результате
d = F2M + М^ = {а + ex) + (а - £х) = 2а, т.е. Эля любой точки
эллипса сумма расстояний от этой точки до фокусов есть
величина постоянная, равная 2а. Это характеристическое
свойство эллипса часто принимается за его определение.
Пример 4.8. Определить вид и расположение кривой
х2 + 2г/2-4х + 16г/ = 0. D.25)
Решение. Так как А = 1 и С = 2 — числа одного знака, то
данное уравнение кривой — эллийтического типа. Допол-
1 Полагаем а > Ь (этого всегда можно добиться путем надлежащего
выбора осей Охи Оу).

4.6. Гипербола и парабола
203
или
няя члены, содержащие х и
у у до полного квадрата,
получаем
(х - 2J+2(г/ + 4J = 36,
(х-2J ( (г/ + 4J=1
б2 C>/2J
Следовательно, кривая
D.25) представляет эллипс с
полуосями а = 6 и Ъ = 3>/2,
центр которого находится в
точке G B;-4) (рис. 4.23). ►
Рис. 4.23
4.6. Гипербола и парабола
Кривая второго порядка D.21) называется гиперболой
(точнее, кривой гиперболического типа), если
коэффициенты Л и С имеют противоположные знаки, т.е. АС < 0.
Пусть для определенности А > 0, С < 0. Возможны три
случая: 1) 8 > 0; 2) 8 = 0; 3) 8 < 0.
В первом случае (при 8 > 0) имеем гиперболу,
каноническое уравнение которой
D.26)
где а = J деиствитель-
ная полуось; Ъ = J— —
мнимая полуось (рис. 4.24).
Фокусы гиперболы —
точки Р^с; 0) и F2(-c; 0),
где с = v a + b , а ее экс-
с
центриситет £ = — при-
нимает любые значения,
большие единицы.
Вершины гиперболы — точки
А1(а\0),А2(-а;0).
Рис. 4.24

Глава 4. Уравнение линии. Прямая и плоскость
эжно показать (аналогично тому, как это было сделано
^следовании эллипса), что для любой тючки гиперболы аб-
гная величина разности ее расстояний до фокусов есть ве-
апостоянная,равная 2а: d = \F2M -MFX\ = 2а. Этохарак-
тическое свойство гиперболы часто принимается за ее
еление.
репишем уравнение гиперболы D.26) в виде
y = ±-Jx2-a2. D.27)
а
ж достаточно больших х \х -а « ух =х, иуравне-
4.27) принимает вид у~±—х, т.е. при х —» °° вет-
а
шерболы как угодно близко подходят к прямым
-х, называемым асимптотами гиперболы,
а
[я равносторонней гиперболы (а = Ь)х* —у2 = а2 асимп-
у = +х взаимно перпендикулярны и представляют бис-
исы координатных углов.
i втором случае (при 8 = 0) уравнение кривой D.21)
2 2
X У
«мает вид —-^— = 0, т.е. получаем пару пересека-
:ся прямых
а2 Ъ2
Х У ГЛ Х У /Ч
__£- = 0 и - + ^- = 0.
а Ь а Ъ
третьем случае (при 8 < 0) получаем гиперболу
у1 л Г§~ и fs"
^—= -1 с полуосями I— и b = J-—, называемую
совиной с гиперболой D.26) (на рис. 4.24 она изображе-
нктиром).
у = ±—х, проходящими через точку
шмер 4.9. Написать уравнение гиперболы с асимпто-
( ъЛ
6; — L Найти
I 2
ояние между ее вершинами. v y
( Ъ\
6; — лежит на гиперболе, то
ординаты должны удовлетворять уравнению D.26)
шение. Так как точка

4.6. Гипербола и парабола
205
— = 1. Кроме
Ъ 3
- = —, так как
2 4
готы гипербо-
3
= ±-jc. Решая
4
^нную систему
равнений, най-
= 4>/2, & = Зл/2,
равнение ги-
2 2
х У 1
[Ы — = 1
32 18
L25). Расстоя-
жду вершинами гиперболы равно 2а = 8V2. ►
смотрим обратную пропорциональную зависимость,
т
змую уравнением у = —, или
Рис. 4.25
ху = т.
D.28)
5рав в качестве новых осей Ох' и Ог/' биссектрисы
инатных углов (рис. 4.26), представим уравнение
через новые координаты xf и у'. Пусть ОМ = г,
г-ОМ
х!=ОВ'
г/=ОА'
х=ОВ
У = ОА
Рис. 4.26

206 Глава 4. Уравнение линии. Прямая и плоскость
х = г cosD5° + а) = -p=(rcosa - г sin a) = —=(*'- у\
V2 V2
у = г sinD5° + а) = —= (rcosa + rsin a) = —=(х'+у),
л/2 V2
так как из аОМВ' г cos a = х\ г sin a = у'.
Теперь уравнение D.28) в новой системе координат Ох?у'
примет вид х?2 - у'2 = 2т, т.е. график обратной
пропорциональной зависимости есть равносторонняя гипербола с
асимптотами — осями координат.
При т > 0 ветви гиперболы расположены в I и III
квадрантах, при т < 0 — во Пи IV квадрантах. Нетрудно
установить, что координаты любой вершины гиперболы равны
(по абсолютной величине), т.е. |х| = |г/| = ^|т|, а их знаки
определяются в зависимости от квадранта, в котором
расположена каждая вершина.
Рассмотрим график дробно-линейной функции
ах + Ь
cx + d
где с * 0, be - ad * 0.
Преобразуя D.29), получаем
D.29)
Ь d
+
а с
Введем новые координаты
be-ad
= - + ■
с
JC + -
, d , a ,
* + - = *; у — = у.
с с
Обозначим т = {be - ad)/c2. Тогда в новой системе
координат Ох/у\ полученной параллельным переносом осей
координат, с новым центром в точке 0'\ —; — (рис. 4.27)
, т \ с с)
уравнение примет вид у = —, или х?у - т.
х
Итак, график дробно-линейной функции D.29) есть рав-
, da
посторонняя гипербола с асимптотами х =—;у =—9 па-
ъ СС
раллельными осям координат.

4.6. Гипербола и парабола
207
Пример 4.10. Найти
координаты центра,
вершин и уравнения асимп-
3-2jc
тот гиперболы у- .
JC + 1
Решение.
Преобразуем уравнение, выделяя
целую часть
дробно-линейной функции:
-2(* + 1) + 5 „ 5
У = — = -2 +
JC + 1
JC + 1
или
У + 2 =
* + 1
Рис. 4.27
_1 I I I L
-6 -4 -2
откуда (х + 1) (у + 2) = 5.
Полагаях+ 1 = х?>у +
+ 2 = у\ получаемх'г/' = 5,
т.е. заданное уравнение
есть уравнение
равносторонней гиперболы с oY_i;_2)
центром 0'(-1; -2) и
асимптотами х + 1 = 0,
у + 2 = 0 (рис. 4.28). Так
как m = 5 > 0, то
гипербола располагается в I и
III квадрантах, а новые
координаты ее вершин
(±V5; ± v5 J. Переходя
к старым координатам
по формулам х = х? - 1,
у =у'_- 2, найдем старые координаты вершин гиперболы
А(
Рис. 4.28
-у - z, найдем старые коорд!
;-^/5-1;-л/5-2),Д(>/5-1;л/5-2).
Пусть в уравнении кривой второго порядка D.17) £ - 0,
а также один из коэффициентов А или С равен нулю; для
определенности А = 0, С Ф 0, т.е.
Cy2 + Dx + Ey + F = 0. D.30)
Пусть также £> * 0 (в противном случае имели бы пару
параллельных горизонтальных прямых у - г/j и г/ - у2, где

208 Глава 4. Уравнение линии. Прямая и плоскость
у^иу2 — корни уравнения Су2 + Еу + F= 0, или отсутствие
каких-либо линий и точек вообще). Дополним члены,
содержащие г/, до полного квадрата
Ч У + — I =-Dx-F
Г 2С)
Е2
+—.
АС
Vi
<Ъ"
--
0
t
""v^P^O
х'
X
F Е2 Е D
Полагая х0 = + ; г/о = > 2р = > получаем
(*/-*/оJ = 2р(х-яо). D-31)
Кривая D.31) называется
параболой, а точка 0'(Xq> г/0) —
вершиной параболы, р — ее шг-
раметром. При р > 0 ветви
параболы направлены вправо, при
р < 0 — влево (рис. 4.29).
Прямая г/ = г/0 является осью
симметрии параболы.
Если вершина параболы на-
Рис 4 29 ходится в начале координат, то
уравнение D.31) принимает вид
г/2 =2/7*. D.32)
Точка F(—; 0) называется фокусом параболы, а прямая
х = -— — ее директрисой.
Для произвольной точки М(х, г/) параболы расстояние
до фокуса по формуле D.1) равно
r=v(x~f) +y2=r2-px+i-+2px=fx+i) =*+f
(так как jc + — > 0 ). С другой стороны, расстояние до
директрисы MN = х + — (рис. 4.30).
Таким образом, парабола представляет множество всех
точек плоскости, равноотстоящих от данной точки (фоку-

4.6. Гипербола и парабола
209
са) и данной прямой
(директрисы). Это
характеристическое свойство параболы
часто принимается за ее
определение. •
Если в уравнении D.32)
поменять местами х и г/, то
получим х2 = 2ру —
уравнение параболы с вершиной
в начале координат,
симметричной относительно
оси ординат. Это уравнение
обычно записывают в виде
у = А*2, где А =—. При
2р
А > 0 ветви параболы
направлены вверх, при А < 0 —
вниз (рис. 4.31).
Рассмотрим квадратный
трехчлен у = Ах2 + Вх +
+ С (А Ф 0). Отсюда
2 В С
у = А{х + — х+—). Допол-
А А
нив выражение, стоящее в
скобках, до полного
квадрата, получим
Рис. 4.30
Л>0
Л<0
Рис. 4.31
у = А
( В
JC +
V
2А
С ВА
+
А 4А2
В f 4АС-Я2
= А * + — +
2А 4А
. D.33)
В
4АС-В1
Обозначив х + — = х';и--
2А * 4А
= t/, в новой
системе координат (Ух!у' с центром 0'\
нение D.33) примет вид у' = Ах'2.
В 4АС-В2 *
2А 4А
урав-

210 Глава 4. Уравнение линии. Прямая и плоскость
Таким образом, график квадратного трехчлена у =
Ах2 + Вх + С есть парабола с вершиной в точке
В 4АС-В2 *
В
и осью симметрии х- , парал-
A, Pi.
о'\
2 А' А А
лельной оси Оу.
Пример 4.11. Построить кривую у = -3х2 + 10х-3.
Решение. Вынося коэффициент при х2 и дополняя пра
вую часть уравнения до полного квадрата, получаем
? 10
у = -\х2~х + \) = -Ъ
ИЛИ у
--ни-
-T"+-tf
Полагая
16
х — = jc; у = у ,
3 3
получаем
Таким образом, заданная
кривая есть парабола с вершиной в
Рис. 4.32
точке
*(н>
осью симметрии
Оу, параллельной оси Оу (рис. 4.32).
4.7. Полярные координаты
Для решения ряда задач может оказаться удобной так
называемая полярная система координат.
Полярная система координат состоит из некоторой
точки О, называемой полюсом, и исходящего из нее луча Ор,
называемого полярной осью. Точка М(р, ф) характеризуется
полярными координатами: р — полярным радиусом (рассто-

4.7. Полярные координаты
211
янием ОМ) и ф — полярным углом {амплитудой, или
фазой) — углом между полярной осью Ор и лучом ОМ @ < ф <
< тс) (рис. 4.33).
Между точками плоскости
(кроме полюса) и упорядочении- ^/*М(ру ср)
ми парами чисел (р, ф), где 0 < р <
< °°; 0 < ф < тс, существует взаимно
однозначное соответствие.
Аргумент полюса не определен, полюсу рис. 4.33
соответствует одно число р = 0.
Связь между декартовыми (прямоугольными) и
полярными координатами на плоскости (при совпадении осей Ох
и Ор, начала координат системы Оху и полюса О)
выражается следующими формулами:
* = рсо8ф; г/ = р8тф; D.34)
( = ^2_2.__*.__*/
P = V* +У ;со8ф = -;81Пф = ^. D35)
Р Р v '
Пример 4.12. Найти расстояние между двумя точками
^l(Pl> 9i) и А^2(Р2> Фг)' заданными полярными
координатами.
Решение. По формуле D.34) прямоугольные координаты
точек Mj и М2 равны соответственно х± = рх cos (р^, у± = pj sin ф1;
*2=р2со8ф2, y2=p2sm(f>2.
По формуле D.1) найдем расстояние между двумя
точками
М\М2 =у(р2С08ф2-р1С08Ср1) +(р28Шф2 — pi sill ф| ) ,
или (после преобразований)
МХМ2 = yjpf + р2 - 2р!р2 cos (ф2 - ф!). D.36)
Полученная формула D.36) представляет известную из
курса элементарной математики теорему косинусов. ►
Представляет интерес уравнение кривых второго
порядка в полярных координатах. В качестве направления
полярной оси выберем направление оси абсцисс, а в
качестве полюса О — или центр окружности, или левый фокус
эллипса, или правый фокус гиперболы, или фокус парабо-

212 Глава 4. Уравнение линии. Прямая и плоскость
лы. Можно показать, что в этом случае уравнение любой
кривой второго порядка в полярных координатах будет
иметь вид
Р =
l-£COS(p
D.37)
Директриса
8 > 1 (гипербола)
1 (парабола)
< 1 (эллипс)
где q — фокальный
параметр кривой; е — ее
эксцентриситет. При е = О
уравнение D.37)
представляет уравнение
окружности с центром в
точке О, при 0 < е < 1 —
уравнение эллипса, при
е=1— уравнение
параболы, при е > 1 —
уравнение гиперболы (ее
правой ветви) (рис. 4.34).
Фокальный параметр q
определяется как
ордината точки кривой,
абсцисса которой равна абсциссе фокуса, принятого за полюс
полярной системы координат. Для эллипса и гиперболы
q - &/а.
Рис. 4.34
Р = :
Пример
8
4.13. Уравнение кривой второго порядка
привести к каноническому виду в прямо-
l-3coscp
угольных координатах.
Решение. Данное уравнение есть уравнение гиперболы,
так как е = 3 > 1. Используя формулы эксцентриситета и
фокального параметра гиперболы, получаем
__ с _
а
y[JW
= 3; q = — = 8.
Решая полученную систему относительно а и Ь, найдем а2 =
= 1, Ь2 = 8, а с ними каноническое уравнение гиперболы
2 2
1 8

4.8. Плоскость и прямая в пространстве 213
4.8. Плоскость и прямая в пространстве
Общее уравнение
плоскости. Пусть плоскость Q
проходит через точку М0(х0, у0, z0)
перпендикулярно вектору
п = (А,В,С) (рис. 4.35).
Этими условиями
определяется единственная
плоскость в пространстве Oxyz.
Вектор Я называется
нормальным вектором плоскости Q х рис# 4.35
Возьмем в плоскости Q
произвольную точку М(х, у у z). Тогда вектор M0M = (x-XQ,y-y0,
z-Zq)будет перпендикулярен вектору Я = (А,В,С).
Следовательно, скалярное произведение этих векторов равно
нулю, т.е. (п,М0М) = 0.
Полученное уравнение представим в координатной
форме:
A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0. D.38)
Уравнение D.38) представляет уравнение плоскости,
перпендикулярной данному вектору Я = (Л, 5, С) и
проходящей через данную точку М0 (х0, у0, z0).
Уравнение плоскости, записанное в виде
Ах + By +Cz + D - 0 D.39)
(где D = -Ах0 - Вуц - Сг0), называется общим уравнением
плоскости. '
Можно доказать, что всякое уравнение первой степени с
тремя переменными есть уравнение плоскости.
Если D - 0, то уравнение Ах + By + Cz = 0 определяет
плоскость, проходящую через начало координат. Другие
частные случаи определяются расположением
нормального вектора Я = (А, 5, С). Так, например, если А = 0, то
уравнение Бг/ + Cz + D = 0 определяет плоскость,
параллельную оси Ох\ если А = D = 0, то уравнение By + Cz = О
определяет плоскость, проходящую через ось Ох\ если A s
= Б = 0, то уравнение Cz + D e 0 определяет плоскость, па-

214 Глава 4. Уравнение линии. Прямая и плоскость
раллельную плоскости Оху, если А = В = D = 0, то
уравнение Cz = О (или 2 = 0) определяет координатную плоскость
Оху.
Уравнение плоскости в отрезках. Пусть плоскость
отсекает на осях координат Ох, Ог/, Oz отрезки, равные
соответственно a, Ъ, с (рис. 4.36), т.е. плоскость проходит через
точки М{(а\ 0; 0), М2@; Ь\ 0), М3@; 0; с).
Подставляя координаты
точек в общее уравнение
плоскости D.39), получаем
4
откуда
Aa + D = 0,
Bb + D = 0,
Cc + D = 0,
D n D
А = , Я = —-,
а о
С =
D
с
Рис. 4.36
Заменяя коэффициенты А, 5, С уравнения D.39)
найденными значениями, получаем
D D D ъ л
а Ь с
откуда (после сокращения обеих частей уравнения на D Ф 0)
находим уравнение плоскости в отрезках
х У z л
- + — + - = 1.
Ь с
а
D.40)
Пусть даны две плоскости: А^х + В±у + C<z + D± = 0 и
А^с + Б2# 4- С^ + D2 = 0.
Угол ф, образованный этими плоскостями, определяется
углом между их нормальными векторами щ =(A1,B1,Ci) и
й2 =(А2»^2'^2)' т-е- по формуле
cosq> =
AiA2 + Д^ + Q^2
jAt+Bt+cUAl + Bl+cl' D41)
а условие параллельности и перпендикулярности данных
плоскостей — условием коллинеарности и
перпендикулярности векторов щ и й2.

4.8. Плоскость и прямая в пространстве 215
Условием параллельности двух плоскостей является
пропорциональность коэффициентов при одноименных
переменных
Ars Во Со
D.42)
а условием их перпендикулярности — равенство нулю суммы
произведений коэффициентов при одноименных переменных
АХА2 + ВХВ2 + СХС2 = 0. D.43)
Прямая в пространстве может быть задана как линия
пересечения двух плоскостей, т.е. как множество точек,
удовлетворяющих системе
\Ахх+ В\у+ CiZ + fy = 0,
[А2х + В2у + C2z + D2 = 0.
D.44)
Если прямая параллельна вектору s = (m,n,p)
(называемому направляющим
вектором) и проходит через точку
М^х^ г/j, Zj) (рис. 4.37), то ее
уравнения могут быть
получены из условия коллинеарно-
сти векторов МХМ = (х - хх;
y-yx,z-z{) (где М(х, у у z) — произвольная точка прямой)
и s =(т,п,р):
f(x,y,z)
M{(xvyvz{) ?= (т,п,р)
Рис. 4.37
т п р
D.45)
Эти уравнения называются каноническими уравнениями
прямой линии в пространстве.
Обозначая каждое из отношений D.45) через U
получаем параметрические уравнения прямой
х = х\ + mt,
y = yx+nt,
z = Zi + pt.
D.46)

216 Глава 4. Уравнение линии. Прямая и плоскость
М2(х2, yv z2)
M{(xv yv zx)
Рис. 4.38
Если прямая проходит через
две данные точки Мх(хх, ух, Zj) и
М2(х2у у2, *2)> то в качестве на"
правляющего вектора s можно
взять вектор МХМ2 (рис. 4.38):
s = МХМ2 =(х2 -хх,у2 -yhz2 -zx).
Тогда уравнение прямой D.45),
проходящей через две данные точки, примет вид
х"х\ = У~У\ = z~z\
х2~х\ Уг-У\ z2~z\
D.47)
Пусть даны две прямые с направляющими векторами
sx = (тх,пх,рх) и s2=(m2,n2,p2). Тогда угол ф между
прямыми находится из соотношения
coscp =
mlm2+nln2 + plp2
yjmx+nx +
2 I 2 2 2
px ^п^+пъ +p2
Условие параллельности прямых —
т2 п2 р2'
а условие их перпендикулярности —
тхт2+пхп2 + рхр2=0.
D.48)
D.49)
D.50)
Рис.4.39
правляющим вектором
ф = к/ 2 - \|/, следовательно,
sill9 = |cOS\|/| =
Пусть дана прямая с
направляющим вектором
s = (т,п,р) и плоскость Ах +
+ By + Cz + D = 0.
Угол ф между прямой и
плоскостью есть
дополнительный до к/2 угол \|/
между нормальным вектором
плоскости Я - (Л, 5, С) и на-
прямой J (рис. 4.39), т.е.
I
\Ат + Вп + Ср\
i
I-
А* +В* + C*,Jm* + п* + р
D.51)

4.9. Простейшие задачи. Уравнение прямой на плоскости 217
условие параллельности прямой и плоскости
(перпендикулярности Я и s ) —
Ат + Вп + Ср = 0, D.52)
условие их перпендикулярности (параллельности Я и s ) —
А ВС
т п
В качестве расстояния d от
точки М0(х0, г/0, z0) до
плоскости А(х - х{) + В(у - у{) +
+ C(z-z^) = 0 можно взять
проекцию вектора M^Mq =
= (х0- xv yQ - yv 20 - zt)
на нормальный вектор Я
(рис. 4.40):
р
->
/ Л
D.53)
1 _ _ Щхо>Уо>2о)
1 / 1 /
1/ 1 /
4(^1» У{> 2i) /
Рис. 4.40
<i = прйМjMq (см. гл. 3).
Можно показать, что в этом случае
JAXQ + Byo + Czp + Dl
d = [
I
AL+Bl+Cl
D.54)
ПРАКТИКУМ
4.9. Простейшие задачи.
Уравнение прямой на плоскости
4.14. Даны вершины треугольника АG; 9), 5B; -3), СC; 6).
Найти: а) точку М пересечения медиан треугольника;
б) точку Е пересечения биссектрисы АЕ со стороной ВС.
Решение.
а) По формуле D.4) найдем середину D стороны СВ
(рис. 4.41):
^±^ = ^3 Л, т.е.
*° 2 2 2
"(И)

218 Глава 4. Уравнение линии. Прямая и плоскость
Точка М пересечения медиан тре-
АG; 9) угольника делит любую медиану, на-
C(?\S\stff пример AD, в отношении А,- 2:1
(считая от вершины). Следователь-
-М но, по формуле D.3)
. 7 + 2--
Ч±^ = 2=4.
м 1+Х 1+2
3
9 + 2- —
,. _^il^D_ 2_4
т.е. М D; 4).
б) По формуле D.1) найдем длины сторон АС и ВС:
АС = ^A-3J +(9-6J =5; AB = VG-2J+(9 + 3J =13.
Так как биссектриса АЕ делит сторону ЛС на отрезки,
пропорциональные длинам противолежащих сторон, т.е.
^^СЕ АС ^5
ЕВ~ АВ~ 13'
то
= *с±^в =!^Ж! = 49 ^Ус+^/Д=6+13()_7
1 + Х 1 + 1 18' УЕ 1 + Х 1 5_ 2'
13 13
т.е. £ —; - L ►
I18 2J
4.15. Составить уравнение линии, расстояние каждой
точки которой от точки ЛB; -2) равно ее расстоянию от
прямой х + 1 = 0.
Решение. Расстояние от любой точки линии М(х, у) до
точки А B; -2) находим по формуле D.1):

4.9. Простейшие задачи. Уравнение прямой на плоскости 219
Расстояние от точки М(х, у) до прямой х + 1 = 0 находим
по формуле D.14):
d = ]- . у ' = * + !•
Vi4o*
По условию
^(*-2J+(*/ + 2J=|* + 1|.
После возведения в квадрат и соответствующих
преобразований получим уравнение
(у + 2J=6(х-±).
Искомая линия (см. параграф 4.6) — парабола,
симметричная относительно прямой, параллельной оси Оху с
вершиной в точке (—; -2) (рис. 4.42).
4.16. Издержки у руб. на
изготовление партии деталей
определяются по формуле у = ах + Ьу
где х — объем партии. Для
первого варианта технологического
процесса у = 1,45х + 20. Для
второго варианта известно, что
у = 157,5 руб. при х = 100 дет. и
у = 452,5 руб. при х = 300 дет.
Провести оценку двух вариантов
технологического процесса и
найти себестоимость продукции для
обоих вариантов при х = 200 дет.
Решение. Для второго вариан-
х+ 1 = 0
Рис. 4.42
та определяем параметры а и Ь из системы уравнений
157,5 = al00 + Z>,
452,5 = a-300+fr,
откуда а = 1,475 и Ь = 10, т.е. у = 1,475х +10.
Точка М(х0, z/q) пересечения двух прямых находится из
системы их уравнений

220 Глава 4. Уравнение линии. Прямая и плоскость
у = 1,45*+ 20,
у = 1,475х + 10,
A)
B)
откуда Xq = 400, у0 = 600.
Очевидно, что при объеме партии х < 400 выгоднее
использовать второй вариант технологического процесса, при
х > 400 — первый вариант (рис. 4.43). Себестоимость
продукции (руб.) при х = 200 по первому варианту составляет
у = 1,45 • 200 + 20 = 310, а по второму - у = 1,475 - 200 +
+ 10 = 305. ►
4.17. Составить уравнение
прямых, которые проходят
через точку А A0; -6) и
отсекают от координатного угла
треугольники площадью по
15 кв. ед. Найти угол между
этими прямыми.
Решение, Обозначим отрезки,
отсекаемые прямой на осях
координат, а и Ь (рис. 4.44).
Тогда прямая D.11)
600 х
Рис. 4.43
х У л
- + — = 1
а Ъ
отсекает от координатного
угла треугольник,
площадь которого
S = \\ab\ = \5,
т.е. аЪ = 30 или аЪ = -30.
Так как точка А A0;
-6) должна
удовлетворять уравнению прямой,
то имеем две системы:
106
а Ъ '
яЬ = 30;
106
а Ъ '
яЬ = -30.

4.9. Простейшие задачи. Уравнение прямой на плоскости 221
Из первой системы находим два решения: а1 = 5, Ъ\ = 6;
а2 = -10, Ь2 = -3. Вторая система решений не имеет. Итак,
уравнения прямых
7 + f = l или 6jc + 5#-30 = 0; A)
5 6
JL + A = i или 3jc + 10v + 30 = 0. B)
-10 -3 *
Для определения угла ф между прямыми найдем их
угловые коэффициенты ki =-6/5,^2 =-3/10 (ибо уравнения
прямых можно представить в виде у = —jc + 6; у = jc-3).
По формуле D.13)
^—" -А ^
ki-h in 5 45 45 „„ ^о ^
tg(P = TTTr= * *=7Z и 9 = arctg—-33,5 .►
10*5
4.18. Даны вершины Л(-7; 2), 5E; -3), С(8; 1)
треугольника ЛВС. Составить уравнения медианы, высоты и
биссектрисы, проведенных из вершины В.
Решение.
1. Пучок прямых, проходящих через точку В E; -3)
(рис. 4.45), имеет вид
у + 3 = *(*-5). A)
2. Найдем уравнение
медианы BD. По
формулам D.5) координаты
середины D отрезка АС:
_ ХА + ХС _ ~ + 8 _ 1
„ _Ул+Ус_2 + 1_3
^-~^"""^Г'
Л(-7;2)
Рис. 4.45

222 Глава 4. Уравнение линии. Прямая и плоскость
КИ)
т.е. D -; - L По формуле D.9) угловой коэффициент
XD~~XB -i-5
Подставляя k - -1 в формулу A), получаем уравнение
медианы BD:
у + 3 = -(х-5) или х + у-2 = 0.
3. Найдем уравнение высоты BE. По формуле D.9)
угловой коэффициент прямой АС
h _Ус-Уа __1-2 _ 1
ХС~ХА 8 + 7 15
На основании условия перпендикулярности двух
прямых kBE =--— = 15.
kAC
Следовательно, по формуле A) уравнение высоты BE
примет вид
г/ + 3 = 15(л:-5) или 15дг-г/-78 = 0.
4. Найдем уравнение биссектрисы BF.
Первый способ. Угловой коэффициент kBF получаем из
равенства tgZABF = tgZFBC, используя формулу D.13):
„ ^ ^ h 4 5 ,
kBF-Ьве =kAB~kBF или д 3 = -^ .
1 + **F**C l + kABhF l + ~kBF l- — kBF
jcc-jc5 8-5 3 *#"~*д 5 + 7 12
откуда после преобразований имеем ЗЗ&д^ +1 l2kBF - 33 = 0 и
3 11
(^5F )i = —» (^bf )г = • Чертежу на рис. 4.45 удовлетворяет

4.9. Простейшие задачи. Уравнение прямой на плоскости 223
(WJ = » так как биссектриса BF образует тупой угол с
осью Ох.
Теперь по формуле A) уравнение BF примет вид
г/ + 3 = -—(х-5) или 11дг-hЗг/-46 = 0.
Второй способ. По формуле A) найдем уравнения сторон
5 4
треугольника ЛВ и ВС, учитывая, что kAB = , kBC = —:
г/ + 3 = -—(jc-5) или 5* + 12z/ + ll = 0 (AB);
у + 3 = -(х-5) или 4*-Зг/-29 = 0 (ВС).
Учитывая, что по свойству биссектрисы расстояния ее
от любой точки М (:с, у) до сторон АВ и ВС равны, по
формуле D.14) получаем ее уравнение
|5* + 12у + П|_|4*-Зу-29|
л/52+122 >М2 + 32
Записанному уравнению удовлетворяют два уравнения:
5* + 12г/ + Н ^4х-Зу-29 , . „ч
= ± , или (после преобразовании)
13 5
Зх -1 lz/ - 48 = 0 и 11х + 3у - 46 = 0, из которых последнее —
уравнение с отрицательным угловым коэффициентом. ►
4.19. По данным примера 4.18 найти длины медианы
БД высоты BE и биссектрисы BF (см. рис. 4.45).
Решение.
1. Длину медианы BD найдем по формуле расстояния
между двумя точками В E:
;-3>"D(H}

224 Глава 4. Уравнение линии. Прямая и плоскость
2. Найдем уравнение стороны АС, проходящей через две
данные точки А (-7; 2) и С (8; 1). По формуле D.10)
у-2 _х + 7
1-2"8+7'
откуда 15(г/ - 2) = -(х + 7) и х + 15г/ - 23 - 0 (АС).
3. Длину высоты BE проще всего найти по формуле D.14)
расстояния от точки В E; -3) до прямой х + 15г/ - 23 = 0 (АС):
в£ = _|5 + |5.(-3)-23|= и
Vl2 + 152 ^2Й
4. Для нахождения длины биссектрисы ДР определим
вначале координаты ее точки пересечения F со стороной
Л С, решив систему уравнений
(AC)Jjc + 15j/-23 = 0,
(BF)[Ux + 3y-46 = 0,
23 23 ,/23 23
откуда * = т;у = -. т.е. F^-; -
Теперь по формуле D.1)
Заметим, что точку F пересечения биссектрисы со
стороной АС можно было найти по формуле D.3) аналогично
примеру 4.1, так как она делит сторону АС на отрезки,
пропорциональные длинам противолежащих сторон АВ и BE,
т.е. в отношении X = AF: FE = 13 '• 5 = 2,6 (по формуле
расстояния между двумя точками легко убедиться в том, что
AF=\3,FE=5):
-7+^ 8 2+^-1
= *A+A*fc = ,+ 5 * = 23. = Уд+Аус= 5 Х = 23
1-нЯ. j 13 б'№ 1+Л 1 + 13 18
5 5

4.9. Простейшие задачи. Уравнение прямой на плоскости 225
4.20. На оси абсцисс найти точку, отстоящую на
расстоянии d = 10 от точки А B; 6).
4.21. На осях абсцисс и ординат найти точки,
равноудаленные от точек А B; 3) и 5 E; 6).
4.22. Отрезок, ограниченный точками А A; -3) и 5 D; 3),
разделен на три равные части. Определить координаты
точек деления.
4.23. Даны три вершины параллелограмма: точки А C; -5),
В E; -3), С (-1; 3). Определить четвертую вершину Д
противоположную В.
4.24. Точки Л(-2; 1), 5B; 3) и СD; -1) — середины
сторон треугольника. Найти координаты его вершин.
4.25. Даны вершины треугольника: ЛC; 5), 5(-3; 3),
СE; -8). Определить длину медианы, проведенной из
вершины С.
4.26. Найти центр масс однородной пластинки,
имеющей форму треугольника с вершинами ЛB; 4), 5@; 1),
СD; -2).
4.27. Треугольник задан координатами вершин ЛC; 5),
5(9; -3) и С@; 1). Найти длину биссектрисы угла Л.
4.28. Составить уравнение множества точек,
равноудаленных от двух данных точек: Mj(-4; 3) и М2B; 5).
4.29. Составить уравнение множества точек, сумма
расстояний каждой из которых от точек /^B; 0) и F2(-2; 0)
равна 2>/5.
4.30. Составить уравнение множества точек,
равноудаленных от точки FB; 2) и оси Ох.
4.31. Составить уравнение множества точек,
равноудаленных от оси Оу и точки FD; 0).
4.32. Составить уравнение траектории точки М(х, г/),
которая при своем движении остается вдвое ближе к точке
Л@; -1), чем к точке 5@; -4).
4.33. Издержки перевозки у двумя видами транспорта
выражаются уравнениями: у = 150 + 50г и у - 250 + 25х,
где х — расстояния в сотнях километров; у —
транспортные расходы. Начиная с какого расстояния более
экономичен второй вид транспорта?
4.34. Зная, что изменение объема производства у с
изменением производительности труда х происходит по прямой
линии, составить ее уравнение, если при х = 3 г/ = 185, а при
1 = 5з/я 305. Определить объем производства прих = 20.
4.35. Лежат ли на одной прямой три данные точки ЛB; 0),
5F;4),СA1;9)?

226 Глава 4. Уравнение линии. Прямая и плоскость
4.36. Составить уравнение прямой, проходящей через
точку Л E; -1) под углом 45° к оси Ох.
4.37. Составить уравнение прямых, проходящих через
точку Л(-4; 1) параллельно осям координат.
4.38. Составить уравнение прямой, проходящей через
две точки Л(-4; 2) и 5C; -1).
4.39. Найти угол между прямой Зг + г/-6 = 0и прямой,
проходящей через точки Л(-3; 1) и ВC; 3).
4.40. Составить уравнения прямых, проходящих через
точку МB; 3) под углом 45° к прямой 5х + 2у - 4 = 0.
4.41. Дана прямая 2х + 5у - 1 = 0. Составить уравнение
прямой, проходящей через точку М(-1; 3): а) параллельно
данной прямой; б) перпендикулярно данной прямой.
4.42. Через вершины треугольника Л(-1; 2), 5C; -1) и
С@; 4) проведены прямые параллельно противолежащим
сторонам. Составить их уравнения.
4.43. Даны две прямые г/ = 3х-2и3х-г/+ 12 = 0.
Составить уравнение прямой, проведенной параллельно
данным на равном расстоянии между ними.
4.44. Две стороны квадрата лежат на прямых Зх + Ау +
+ 22 = 0, Зх + Ау - 13 = 0. Вычислить площадь квадрата.
4.45. Через точку МB; 5) провести прямую так, чтобы
отрезок ее, заключенный между осями координат, делился
в этой точке пополам.
4.46. Даны середины сторон треугольника РA; 2), QE; -1)
и R(-A\ 3). Составить уравнения его сторон.
4.47. Составить уравнение прямой, проходящей через
точку пересечения прямых 5х-у+10 = 0и8х + Ау + 9 = 0
параллельно прямой х + Зу = 0.
4.48. Составить уравнение прямой, проходящей через
точку пересечения прямых 2х-Зг/ + 5 = 0иЗх + г/-7 = 0
перпендикулярно к прямой у = 2х.
4.49. Составить уравнение перпендикуляра к прямой
8х + Ау - 3 = 0 в точке пересечения ее с прямой х - у = 0.
4.50. Даны вершины треугольника Л(-1; 3), £C; -2) и
СE; 3). Составить уравнения: а) трех его сторон; б)
медианы, проведенной из вершины В; в) высоты, опущенной из
вершины С на сторону АВ.
4.51. Даны уравнения двух смежных сторон
параллелограмма х + г/ + 5 = 0их-4г/ = 0. Составить уравнения двух
других сторон, если известна точка пересечения его
диагоналей РB; -2).

4.10. Кривые второго порядка
227
4.52. Даны уравнения сторон прямоугольника Зх - Ау +
+ 5 = 0и4х + Зг/-7:=0, а также одна из его вершин Л (-2; 1).
Составить уравнения двух других сторон прямоугольника.
4.53. Составить уравнения катетов равнобедренного
прямоугольного треугольника, зная уравнение гипотенузы
2х + 3г/-5 = 0и вершину прямого угла СB; -1).
4.54. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну
его вершину Л@; 2) и уравнения высот (ВМ) х + у- 4 = 0 и
(СМ) у = 2х, где М — точка пересечения высот.
4.55. Даны две вершины Л(-2; 1) и 5C; -4)
треугольника и точка DE; -1) пересечения его высот. Составить
уравнения сторон этого треугольника.
4.56. Составить уравнения биссектрис углов между
прямыми Зг + 4г/-1=0и4х-Зг/ + 5 = 0.
4.57. Уравнение одной из сторон некоторого угла 2х -
- 9у — 3 = 0, а уравнение биссектрисы 4r-z/+ll = 0.
Составить уравнение второй стороны угла.
4.58. Для треугольника ЛВС даны уравнения стороны
(АВ) х + 7г/-6 = 0и биссектрис (AL) х + у-2 = 0и (ВМ)
х - Ъу - 6 = 0. Найти координаты вершин.
4.10. Кривые второго порядка
4.59. Составить уравнение окружности, проходящей
через точки ЛA; 5), Я(-4; 0) и DD; -4).
Решение. Уравнение окружности радиуса R с центром в
точке С(х0, у0) имеет вид D.15): (х - х0J + (у - у0J = R2.
Так как точки Л, 5, D лежат на окружности, то их
координаты должны удовлетворять этому уравнению:
Ul-x0J+E-y0J=R2,
|(-4-^oJ+@-z/0J=/?2,
[D-^J + М-г/0J=Я2.
Вычитая из первого уравнения системы второе, а затем
третье, получаем (рекомендуем читателю убедиться в этом само-

228 Глава 4. Уравнение линии. Прямая и плоскость
стоятельно) xQ = 1, z/0 = 0, и
находим R = 5, т.е. уравнение
окружности: (х- IJ + у2 =
= 25 (рис. 4.46). ►
4.60. Найти значение
параметра а, при котором
окружность jr + г/2 — 4г + а = 0
касается прямой z/ = jcv3 .
Найти радиус окружности, ее
центр и точку касания.
Решение. По условию
окружность и прямая имеют одну общую точку,
следовательно, система
Ьс2 + г/2-4;с + а = 0,
Д(-4;0)/
-6 -4Т
*1
2
-2 0
-2
\^4
мA;5)
"СA;0) \
• ' 1 ' ^
 4 )б ~*
_^"DD; -4)
Рис. 4.46
или уравнение
' = W3
х2+(лл/з) -4* + а=0
должны иметь единственное решение.
Это произойдет, если дискриминант полученного
квадратного уравнения 4х2 - Ах + а = 0 будет равен нулю, т.е.
D - (-4)^ - 4 • 4а - 16A - а) - 0, откуда а - 1.
Решая квадратное уравнение при а = 1, находим jc = -,
Л ^Л 2
I Для определения радиуса
т.е. точка касания А1
2' 2
окружности приведем ее уравнение к нормальному виду,
группируя члены, содержащие х, и дополняя их до полного
квадрата:
(х1 - Ах) + у2 + 1 = 0; (я2 - Ах + 4) - 4 + у2 + 1 = О,
откуда (х - 2J + г/2 = 3, т.е. центр окружности B; 0) и радиус
Я = >/3 (рис. 4.47). ►
4.61. Найти полуоси, координаты фокусов и
эксцентриситет эллипса Эх2 + Ау2 = 36.
Решение. Разделив на 36, приведем уравнение к виду
2 2
4 + 9 " '

4.10. Кривые второго порядка
229
Рис. 4.47
Отсюда следует, что большая
полуось эллипса а = 3, а малая
полуось Ь = 2. При этом большая ось
эллипса и ее фокусы
расположены на оси Оу (рис. 4.48). По
формуле D.23) расстояние от
фокуса эллипса до начала
координат c = >/a2-fc2=V32-22=V5, т.е.
координаты фокусов Fx{0\-45) и
F2@; V5).
По формуле D.24) эксцентриси-
с S .
тет эллипса е = — =—. ►
а 3
4.62. Найти координаты центра,
вершин и уравнения асимптот
гиперболы 9jt - 16z/2 + 144 = 0.
Решение. Приведем уравнение
гиперболы к каноническому виду,
разделив обе части уравнения на
2 2
+ Z--1
16 9
Следовательно, гипербола имеет фокусы на оси Ог/,
ее действительная полуось а = 3, а мнимая полуось Ъ = 4
(рис. 4.49).
Асимптоты гиперболы * =
= ±—г/, т.е. jc = ±—г/ или г/ =
£ 3
3
= ±—х. Вершины данной ги-
4
перболы — Л^О; -3), Л2@; 3).
Далее находим с = \1а
Рис. 4.
(-144):-
= 1.
+ Ь2 =
= Vl6 + 9 = 5, поэтому фокусы
расположены в точках Fj@; -5), Рис. 4.49
F2@; 5). Эксцентриситет
гиперболы е = —= -. ►
а 3
4.63. Составить уравнение гиперболы, если ее
асимптоты заданы уравнениями у = ±-х и гипербола проходит че-

230 Глава 4. Уравнение линии. Прямая и плоскость
рез точку М A0; - 3V3 ). Найти расстояние между
фокусами и вершинами гиперболы.
Решение. Так как точка
МA0;-373) лежит на
гиперболе (причем вы-
3
ше асимптоты у = —х
5
(рис. 4.50), то ее
координаты должны
удовлетворять уравнению D.26):
2^
-8 -6 Ы -2 О
'> - ' -2 У
4 YAX
МA0; -3>/3)
Рис. 4.50
100 27 1 v
— т Кроме того,
а Ъ
Ъ 3
— = -, так как асимпто-
а 5
ты гиперболы у = ±—х.
Решив полученную систему двух уравнений, найдем а = 5,
2 2
6 = 3, т.е. уравнение гиперболы — = 1.
Расстояние между вершинами гиперболы 2а = 10, между фокусами
2c = 2V34, где c = \]a2+b2 =V25 + 9 = V34. ►
2 2
4.64. Дан эллипс — + — = 1. Составить уравнение
гиперболы, вершины которой находятся в фокусах, а
фокусы — в вершинах данного эллипса.
Решение. Полуоси эллипса аэ = 3,
Ьэ =у[5,сэ= >/9-5 = 2. По условию для
гиперболы ат = сэ = 2, сг = аэ = 3.
Следовательно, Ьг = jc2 -а2 = у]а2 -cl =
= Л/9-4 = >/5 и уравнение искомой ги-
Рис. 4.51
перболы будет — = 1 (рис. 4.51).
4 5
4.65. Парабола с вершиной в
начале координат проходит через точку ЛB; 4) и симметрична
относительно оси Ох. Найти фокус и уравнения параболы
и ее директрисы.
Решение. Так как парабола проходит через точку О@; 0)
и симметрична относительно оси От, то ее уравнение D.32)

4.10. Кривые второго порядка
231
l 4U -ЛB;4)
То
,-2
I-4
Г
6 8
Рис. 4.52
у2 = 2рх. Подставляя
координаты точки А в это уравнение, т.е.
42 в 2р • 2, находим параметр
р = 4. Следовательно,
уравнение параболы у2 = 8х.
Уравнение ее директрисы: х = -р/2,
т.е. х = -2, фокус параболы
Д2; 0) (рис. 4.52). ►
4.66. Через точку ЛC; -1)
провести такую хорду
параболы у-— х -дг-2, которая де-
4
лилась бы в данной точке пополам.
Решение. Для построения параболы представим ее в
виде
y = L(x2 -4x-S) = ±[(x-2J -4-s] = ±(x-2J -3,
т.е. вершина параболы B; -3). Уравнение прямой (хорды),
проходящей через точку Л C; -1) в соответствии с
формулой D.8) имеет вид: у + 1 = k(x - 3). Точки пересечения
хорды с параболой определяются системой
1 2
г/ =—jc -дг-2,
* 4
г/ + 1 = £(*-3),
решение которой после исключения г/ сводится к
уравнению
\-х2 -x-2\+\ = k(x-3) или л2 -4F+ 1)х +4C6-1) = 0. A)
I4 J
По условию, точка ЛC; -1) делит хорду пополам,
следовательно, хА = ——-, где х^их2 — корни уравнения A).
По теореме Виета, х^ + х2 = 4(&+1), следовательно,
хА = = 2(& + 1) или хА = 2(& + 1) = 3, откуда & = -, и
2 2 2
уравнение хорды будет иметь вид: г/ + 1 =—(jc — 3) или
*-2г/-5 = 0 (рис. 4.53). ► 2

232 Глава 4. Уравнение линии. Прямая и плоскость
1 J
\ 2
1 1 |\ 1
-4-2N)
-Т
i 1
:ло;-1у
1 1 1 1 |/| 1 ^
- 2^Г7б ^*
4.67. Найти расстояние от
начала координат до прямой,
проходящей через центр гиперболы
4jc-4
у = и вершину параболы
у = -х + 2х—. Составить
уравнение окружности, касающейся
гиперболы в ее вершинах.
Рис. 4.53
Решение.
1. В уравнении гиперболы выделим целую часть; полу
чим у =
4(*-D ;
4(* + -)-6
**4>
= 2--
JC + -
г
откуда
3 1
у-2 = или (* + -)(г/-2) = -3.
jc + - 2
Полагая х + — = *', у-2 = у\ получаем в новой системе
^ / 1
координат ОУг/' с центром 0'(—; 2) гиперболу х'у' = -3,
ветви которой расположены во II и IV квадрантах (рис. 4.54).
2. Выделив полный квадрат, представим уравнение
параболы в виде
у = -х2 + 2х-^ = -(х-1J-
-- + 1 = -(*-1J+-,
3 3
откуда следует, что
вершина параболы находится в
2
точке А( 1; - ), а ветви ее
направлены вниз.
3. Составляем
уравнение прямой О'А по
формуле D.10):
■ i i i i
-6 -4 -
i
li
\\
г
Sri
Км
1
-e
*\ Mb -)
173\4 6 8 ~x
Рис. 4.54

4.10. Кривые второго порядка
233
1
У~2 2
\ = f или 8х + 9г/-14 = 0.
--2 1 + -
3 2
4. Находим расстояние от точки О@; 0) до прямой 8х +
+ 9у - 14 = 0 по формуле D.14):
^ [8-0 + 9 0-14^ 14 12
V82+92 ^145
5. Очевидно, что центр искомой окружности должен
совпасть с центром гиперболы 0\—; 2) и иметь радиус /?,
равный расстоянию от точки О' до любой из вершин
гиперболы. Для гиперболы х*у' = m координаты любой
вершины (по абсолютной величине) |дс'| = \у'\ = у]\т\9 поэтому
расстояние от нового начала координат @; 0) по формуле D.1)
равно <у]2\т\. Следовательно, R = ^2\m\=^2\-3\=yJ6. Итак,
уравнение искомой окружности по формуле D.15) есть
(х + ±J+(у-2J=6.+
4.68. Найти центр и радиус окружности Зх2 + Зу2 - 6х +
+ 8у - 0.
4.69. Найти центр и радиус окружности, проходящей
через точки Л(-1; 5), В(-2; -2) и СE; 5).
4.70. Через точки Л(8; 2) и ВA0; 0) провести
окружность радиуса R = 10.
4.71. Составить уравнение окружности, проходящей
через точку МE; 3) с центром в точке пересечения прямых
5х - Ъу - 13 - 0 и х + Ау + 2 = 0.
4.72. Составить уравнение окружности, касающейся оси Оу
в начале координат и пересекающей ось Ох в точке МF; 0).
4.73. Составить уравнение окружности, если она
проходит через точки ЛC; 1) и В(-1; 3), а центр ее лежит на
прямой Зх - у - 2 - 0.
4.74. Составить уравнение прямой, проходящей через
центр окружности х2 + у2 + Ах + 12г/ и- 15 = 0 параллельно
прямой х + у = 0.
4.75. Составить уравнение окружности, проходящей
через точки пересечения окружности х2 + у2 + Ах - Ау = 0 с
прямой х + у = 0 и точку МD; 4).

234 Глава 4. Уравнение линии. Прямая и плоскость
4.76. Определить полуоси, координаты фокусов и
эксцентриситет эллипса Зх2 + Ау2 - 12 = 0.
4.77. Определить эксцентриситет эллипса, если его
большая ось втрое больше малой.
4.78. Составить каноническое уравнение эллипса, если
его большая полуось равна 12, а эксцентриситет — 0,8.
Найти расстояние между фокусами эллипса.
4.79. Эллипс проходит через точки Мх{2\ у/3) и М2@; 2).
Составить уравнение эллипса и найти расстояние точки
М± от фокусов.
4.80. На эллипсе 9х* + 25г/2 = 225 найти точку,
расстояние которой от правого фокуса в четыре раза больше ее
расстояния от левого фокуса.
4.81. Определить эксцентриситет эллипса, если
расстояние между фокусами равно расстоянию между
вершинами его большой и малой осей.
4.82. Ординаты всех точек окружности х2 + у2 = 36
сокращены втрое. Составить уравнение полученной новой
кривой.
4.83. Составить каноническое уравнение гиперболы
9х* - 16г/2 = 144. Найти координаты ее фокусов и вершин,
эксцентриситет и уравнения асимптот.
4.84. Составить каноническое уравнение гиперболы,
проходящей через точки ЛB; 1) и В{-А\ V7).
4.85. Гипербола проходит через точку МF; -2л/2) и
имеет мнимую полуось 6 = 2. Составить ее уравнение и
найти расстояние точки М от фокусов. 7 1
х у
4.86. Найти расстояние фокуса гиперболы -T"-"S~ = 1
от ее асимптот и угол между асимптотами. а °
4.87. Составить уравнение гиперболы, имеющей верши-
2 2
ны в фокусах, а фокусы — в вершинах эллипса — + — = 1.
4.88. Составить уравнения касательных к гиперболе
х? - Ау2 - 16, проведенных из точки Л@; -2).
4.89. Составить уравнение равносторонней гиперболы,
вершины которой удалены от начала координат на
расстояние d = 4.
4.90. Составить уравнения асимптот равносторонней
, 2jc + 3
гиперболы у = и найти координаты ее вершин.

4.11. Полярные координаты
235
4.91. Составить уравнения осей симметрии равносторон-
4 — Зх
ней гиперболы у = .
х-1
4.92. Составить уравнение параболы, симметричной
относительно оси Ох, с вершиной в начале координат и
проходящей через точку Л(-2; -3). Найти фокус и директрису
параболы.
4.93. Составить уравнение параболы: а) проходящей
через точки @; 0) и A; -3) и симметричной относительно оси
Ох] б) проходящей через точки @; 0) и B; -4) и
симметричной относительно оси Оу.
4.94. Составить уравнение параболы с осью симметрии,
параллельной оси Оу, если она проходит через точки (-2; 8),
@;2)иC;1).
4.95. Вычислить длину хорды, образуемой
пересечением прямой у = Ах с параболой у = 3 + 2х — х2.
4.96. Составить уравнение прямой, которая проходит
через вершину параболы у = -Зх2 + 12х - 9 параллельно
х it
прямой — + — = 1.
10 8
4.97. Составить уравнение окружности, имеющей центр
в фокусе параболы у2 = 2рх и касающейся ее директрисы.
Найти точки пересечения параболы и окружности.
4.98. Составить уравнение параболы и ее директрисы,
если известно, что парабола проходит через точки
пересечения прямой х + у = 0 и окружности х2 + у2 + Ау - 0 и
симметрична относительно оси Оу.
4.99. Из вершины параболы у2 = 2рх проведены
всевозможные хорды. Составить уравнения множества середин
этих хорд.
4.11. Полярные координаты
4.100. Дана прямая линия у = Найти ее уравнение в
полярной системе координат.
Решение. По формулам D.34) имеем psin(p = V3pcos(p
откуда искомое уравнение имеет вид: tgф = v3. ►
4.101. Построить кардиоиду p = tf(l + coscp) и найти ее
уравнение в прямоугольной системе координат.

236 Глава 4. Уравнение линии. Прямая и плоскость
Решение. Для построения кардиоиды находим значения
полярного радиуса для различных углов (рис. 4.55):
7С 3d 7Е
р@) = 2я; р(±—) =—; р(±—) = а\ р(тс) = 0. Заменив р и cos (p
по формулам D.35), получим уравнение кардиоиды в
прямоугольной системе координат
( \
Y
1 +
I
х2+у2 =а
\
^7
или х2 + у2 = а(х + yjx2 + у2),
которое можно представить в виде
Рис. 4.54
(х2+у2-ахJ =а2(х2+у2). ►
2 2
4.102. Уравнение эллипса — + ^—= 1
4 3
представить в полярной системе
координат (полюс находится в фокусе эллипса).
Решение. Уравнение эллипса в
полярной системе координат имеет вид D.37).
По условию а = 2, 6 = л/з. Фокальный па-
Ъ2 3
раметр эллипса q = — = —, а его эксцент-
а 2
риситет е = — =
а а
л/4^3
1_
2
Р =
Следовательно, полярное уравнение эллипса есть
q 3/2 3 я-
1-ecoscp l-(l/2)coscp 2-coscp
4.103. Написать в полярной системе координат
уравнение: а)прямой, проходящей через точку А(а\ Ь) и
параллельной полярной оси; б) окружности с центром в точке
С@; а) и радиусом, равным а.
4.104. Написать в полярной системе координат
уравнения линий: а) jc2 + г/2 =ojc; б) (х2+у2J =а2(х2-у2).
4.105. Построить кривые и написать их уравнения в
прямоугольной системе координат: a) p = 2tfsincp;
б) р2 sin2cp = 2a2; в) psin(cp + —) -а\[2.
4

4.12. Плоскость и прямая в пространстве 237
4.106. Написать канонические уравнения кривых второго
9 9 3
порядка: а) р = ; б) р = ; в) р = .
5-4cos(p 4-5coscp l-cos(p
4.107. Уравнение эллипса — + у = 1 представить в по-
4
лярной системе координат (полюс находится в фокусе
эллипса).
4.12. Плоскость и прямая в пространстве
4.108. Составить уравнение плоскости, проходящей
через точку МA; -2; 3) и: а) перпендикулярной вектору
Я = C; - 4; 5); б) параллельной плоскости Зх - 4г/+5г+6 = 0;
в) точку М^О; 2; 5) и параллельной оси Оу\ г) проходящей
через ось Oz.
Решение.
а) Уравнение плоскости, перпендикулярной вектору
Я = C; -4; 5) и проходящей через точку МA; -2; 3), по
формуле D.38) имеет вид
3(*-l)-4(j/ + 2) + 5(z-3) = 0 или Зх-4г/ + 5г-26 = 0.
б) Первый способ. Плоскость, параллельная плоскости
Зх - Ау + 5г + б = 0, очевидно, перпендикулярна
нормальному вектору Я = C; - 4; 5). Уравнение такой плоскости,
проходящей через данную точку МA; -2; 3), получено в п. «а».
Второй способ. Плоскость Ах + By + Cz + D = 0
параллельна плоскости Зх - Ay + 5z + 6 = 0, если ее коэффици-
А В С
енты при переменных пропорциональны, т.е. — = — = —.
Взяв А = 3; В = -4; С - 5 (при коэффициенте
пропорциональности, равном единице), получим уравнение Зх - Ау +
+ 5г + D = 0. Коэффициент D найдем с учетом того, что
координаты точки МA; -2; 3), лежащей на плоскости, должны
удовлетворять ее уравнению, т.е. 3 • 1 - 4 • (-2) + 5 • 3 +
+ D = 0, откуда D - -26 и уравнение искомой плоскости
есть 3x-4z/ + 5z-26 = 0.
в) Так как плоскость параллельна оси Q/, то в уравнении
D.39) ее коэффициент В = 0, т.е. уравнение плоскости име-

238 Глава 4. Уравнение линии. Прямая и плоскость
ет вид Ах + Cz + D = 0. Так как точки МA; -2; 3) и М^О; 2; 5)
лежат на плоскости, то их координаты должны
удовлетворять ее уравнению, т.е.
U + 3C + D = 0, 2 1
< откуда А = — D; С = —D, следова-
[ 5C + D = 0, * 5 5
2 1
тельно, уравнение плоскости (—х — z + \)D = 0 или
(после сокращения на D Ф 0) 2х + z - 5 = 0.
г) Так как плоскость проходит через ось Ог, то в
уравнении D.39) ее коэффициенты С = 0; D = 0, т.е. уравнение
плоскости имеет вид Ах + By = 0. Подставляя в уравнение
координаты точки МA; -2; 3), лежащей на плоскости,
получаем 1 • А - 2В = 0, откуда А = 2В и уравнение плоскости
(после сокращения на В * 0) 2х + у = 0. ►
4.109. Составить уравнение плоскости, проходящей
через: а) точку МA; 2; 3) параллельно двум данным векторам
й = F; -8; 10) и Ь=D; -3; 5); б) точки Мх{\\ 2; 3) и
МоD; -1; -2) параллельно вектору 5 = F; -8; 10); в) точки
Щ A; 2; 3), М2 D; -1; -2) и М3D; 0; 3).
Решение.
а) В соответствии с D.38) уравнение плоскости,
проходящей через точку МA; 2; 3) имеет вид
A(jc-1) + £(z/-2) + C(z-3) = 0. A)
Так как плоскость параллельна двум векторам а = F; -8; 10)
и Ъ = D; - 3; 5); то нормальный вектор плоскости Я = (Л; В] С)
перпендикулярен каждому из данных векторов,
следовательно, их скалярные произведения равны нулю, т.е.
|шг = 6А-8Я + 10С = 0,
|£й = 4А-ЗЯ + 5С = 0.
Из этой системы найдем А = — С; В = -С и подставим
7 7
в уравнение A), в результате (после сокращения на С Ф 0)
получим
--(jc-1) + -(#-2) + z-3 = 0 или 5jc-5i/-7z + 26 = 0.

4.12. Плоскость и прямая в пространстве 239
б) В п. «а» получено уравнение плоскости A),
проходящей через точку Af^l; 2; 3), а в силу того, что плоскость
параллельна вектору а = F; -8; 10), получаем равенство
6Л-8Я + 10С = 0. B)
Так как плоскость проходит через точку М2 D; -1; -2),
то ее координаты удовлетворяют уравнению A),
следовательно,
ЛD-1) + Я(-1-2) + С(-2-3) = 0, или ЗА-ЗВ-5С = 0. C)
Решая систему уравнений B) и C):
ГбЛ-8Я + 10С = 0,
[ЗЛ-ЗЯ-5С = 0,
35
получаем А = — С; В = ЮС. Подставляя полученные
значения в уравнение A), имеем (после сокращения на С * 0)
—(x-l) + W(y-2) + z-3 = 0 или 35*+ 30г/ + 3г-104 = 0.
в) Уравнение плоскости, проходящей через точку
Л/1A; 2; 3), имеет вид A). Так как точки М2D; -1; -2) и
М3D; 0; 3) лежат на плоскости, то их координаты
удовлетворяют уравнению плоскости, т.е.
-ЗВ-5С = 0,
2В =0,
Г АD -1) + В{-\ - 2) + С(-2 - 3) = 0, ГЗЛ -
{ или {
|АD-1) + 2?@-2) + С(З-З) =0, [ЗА-
откуда А = С; В = -5С. Подставляя полученные
значения в уравнение A), получаем (после сокращения на С Ф 0)
-—(jc-l)-5(y-2) + z-3 = 0 или 10jc + 15г/-3z-31 = 0. ►
4.110. Составить уравнение прямой, проходящей через
точку М0(-1; 0; 5) и: а) образующей с осями координат
углы а = я/3, р = тс/4, у=2я/3; б) параллельной прямой
- = ^— = —; в) параллельной оси Оу\ г) параллель-
5 4-2
ной прямой

240 Глава 4. Уравнение линии. Прямая и плоскость
х + у- 2 + 2 = 0,
jc-z/ + 2z-1 = 0;
д) точку МхB; -3; 4).
Решение.
а) В качестве направляющего вектора прямой возьмем
единичный вектор данной прямой, координатами которого
являются направляющие косинусы: ? = (cosa; cosp; cosy) =
i p\ i
= (—; —; —). По формуле D.45) канонические уравнения
прямой:
дс + 1 _ у _ 2-5
lv2~~V2/2~~-l/2'
б) В качестве направляющего вектора искомой прямой
берем направляющий вектор заданной прямой, т.е.
- A Л Л м <л,к\
5= —; —; — , поэтому по формуле D.45)
канонические уравнения п
рямои:
* + 1 _ у _ 2-5
5 ~^~~~^2~'
в) В качестве направляющего вектора прямой берем
единичный вектор, направленный по оси Оу, т.е. s = @; 1; 0),
тогда канонические уравнения искомой прямой1:
дс + 1 _ у _ 2-5
~0~~Т""Г"
г) Приведем уравнения прямой, заданной системой, к
каноническому виду. Выразим одну из переменных,
например х, поочередно через две другие — z и z/, а затем
приравняем полученные выражения. Складывая оба уравнения
системы, получаем 2jc + z + 1 = 0, откуда х = .
1 Равенство знаменателей нулю означает, что соответствующие
числители x+1=0hz-5 = 0.

4.12. Плоскость и прямая в пространстве 241
Умножая первое уравнение системы на 2 и складывая со
вторым, получаем 3x+z/ + 3 = 0, откуда * = ——.
Приравнивая полученные выражения, имеем канонические уравнения
х у + 3 2 + 1 ^
заданной прямой: — = - = . Далее, решая
аналогично задаче «б», получим канонические уравнения
искомой прямой:
* + 1_ у _2-5
~Т~~^3~~^2~*
д) По формуле D.45) уравнение искомой прямой
х + 1 у-0 2-5 х + 1 у 2-5 .
= — = или = —= .►
2 + 1 -3-0 4-5 3 -3 -1
4.111. Составить уравнение плоскости, проходящей че-
. х-1 у + 1 2 + 1 .
рез: а) прямую = -— = и точку МB; 0; 1); о) две
х-1 у 2 + 2 х + 1 у + 3 z
параллельные прямые = — = и = = -.
F F 2 3 12 3 1
Решение.
а) Уравнение плоскости, проходящей через точку
МB; 0; 1), по формуле D.38) имеет вид
A(*-2) + By + C(z-l) = 0.
Направляющий вектор прямой s =A;2;-1)и
нормальный вектор плоскости Я = (А; В; С) перпендикулярны,
следовательно, их скалярное произведение s п = 0 , т.е.
А + 2В-С-0. A)
Точка ЛA; -1; -1) лежит на прямой, следовательно, и на
плоскости, т.е. ее координаты удовлетворяют уравнению
плоскости
ЛA - 2) + В(-1) + С(-1-1) - 0 или -А - В - 1С - 0. B)
Решив систему уравнений A) и B), получим А = -5С;
В = ЪС. Следовательно, искомое уравнение плоскости име-

242 Глава 4. Уравнение линии. Прямая и плоскость
ет вид (-5(х -2) + 3z/ + 2-l)C = 0, или (после сокращения
на С Ф 0 и преобразований) 5х - Зу - z - 9 = 0.
б) Взяв на одной из прямых точку, например, на первой
прямой точку МA; 0; -2), получим задачу, аналогичную
рассмотренной в п. «а». Искомая плоскость имеет
уравнение Зх - 2у - 3 = 0 (предоставляем читателю в этом
убедиться самостоятельно). ►
4.112. Найти проекцию В точки Л E; 2; -1) на: а)
плоскость 2х- у + Зг + 23 = 0; б) прямую £z! = £±!! = JLzi*.
Решение.
а) Найдем уравнение прямой, проходящей через точку
Л E; 2; -1) и перпендикулярной плоскости. В качестве
направляющего вектора s прямой берем нормальный вектор
плоскости, т.е. s = п = B; -1; 3). Тогда по формуле D.45)
уравнение перпендикуляра АВ имеет вид
х-5 _у-2 _z + l
2 -1 3
Найдем точку пересечения прямой АВ и плоскости. Для
этого представим уравнения прямой в параметрическом
виде, приравняв к t каждое из трех данных отношений.
В результате получим параметрические уравнения прямой:
х= 5 + 2t\ у = 2 - t; z e -1 + 3£. Подставляя полученные
выражения в уравнение плоскости, имеем 2E + 2t) - B -t) +
+ 3(-1 + 3t) + 23 = 0, откуда t = -2 есть значение параметра,
при котором определяется точка пересечения прямой АВ с
данной плоскостью, т.е. хв = 5 + 2(-2) = 1; ув = 2 - (-2) = 4;
zB = -1 + 3(-2) = -7. Итак, 5A; 4; -7).
б) Точка В есть точка пересечения данной прямой с
перпендикулярной ей плоскостью, проходящей через точку А.
Вектор s = B; 4; 5) перпендикулярен этой плоскости,
следовательно, по формуле D.38)
2(х - 5) + 4(i/ - 2) + 5B + 1) = 0, или 2х + Ay + 5z - 13 - 0.
Точка В C; -7; 7) пересечения этой плоскости с данной
прямой находится аналогично задаче а. ►
4.113. Найти угол между:
х-1 у + 2 z jc+1 у+11 г+6 /оч
а) прямыми — = -^-~ = — A) и — = !L—=— B)

4.12. Плоскость и прямая в пространстве 243
и выяснить, являются ли эти прямые пересекающимися
или скрещивающимися; б) прямой A) и плоскостью 2х +
+ Ъу - 6г + 2 - 0 C).
Решение.
а) По формуле D.48)
2.1-1-2-21 -2 >/б
COS(D = —; . = = ;=■ = ,
^/22+(-lJ+(-2JVl2 + 22+l2 3>/6 9
следовательно, угол 9 = arccosf-6v9J«106°. Найдем точку
пересечения прямых в предположении, что они пересекаются.
Представим уравнения A) в виде параметрических уравнений:
х = 2t + I; у = -t - 2; г = -2t. Подставляя полученные
-г+ 9
выражения в уравнения прямой B), получаем Ъ + 2 = =
= -It + 6, откуда t = 1. Так как оба уравнения дают одно
и то же значение t =- 1, следовательно, существует
точка пересечения прямых МC; -3; -2).
б) По формуле D.51)
|2-2 + 3-(-1) + (-6)-(-2)| и 13
sin ф = . ' .— ' = = = —;
у]22 + З2 + (-бJ V22 + (-1J + (-2J 7 *3 21
13
©«arcsin—«38°. ►
Y 21
4.114. Составить уравнение плоскости, проходящей
через: а) ось Ох и точку А A; -1; 3); б) через ось Оу и точку
5B; 1; -1).
4.115. Составить уравнение плоскости, проходящей
через точку МD; -4; 2) и параллельной плоскости хОг.
4.116. Составить уравнение плоскости, проходящей
через точку ЛB; 3; 4) и отсекающей на осях Ох и Оу отрезки
а- 1,6--1.
4.117. Из точки М(-1; -1; 4) опущен на плоскость
перпендикуляр, его основание ЛГB; 1; 3). Составить уравнение
плоскости.
4.118. Плоскость проходит через ось Oz и образует с
плоскостью 2х + у - v5z = 0 угол к13. Составить ее уравнение.
4.119. Составить уравнение плоскости, проходящей через
точку М0(-2; 7; 3) параллельно плоскости х - Ау + 5г + 1 = 0.

244 Глава 4. Уравнение линии. Прямая и плоскость
4.120. Составить уравнение плоскости, проходящей
через точку М0B; -3; 1) параллельно векторам а = (-3; 2; -1) и
В - A; 2; 3).
4.121. Составить уравнение плоскости, проходящей
через точки MjB; 1; 2) и М2C; 1; 2) перпендикулярно
плоскости Зх - у - Az = 0.
4.122. Составить уравнение плоскости, проходящей
через точки М^B; -15; 1) и М2(-1; 1; -1) параллельно
прямой, определяемой точками ЛE; -2; 3) и 5F; 1; 0).
4.123. Составить уравнение плоскости, проходящей
через точки М^З; -1; 2), М2D; -1; -1) и М3B; 0; 2).
4.124. Составить уравнения прямой, проходящей через
точку Mq(-1; 1; -3) параллельно вектору s = A; -3; 4).
4.125. Составить уравнения прямой, проходящей через
точки М{B; -1; -1) и М2C; 3; -1).
4.126. Составить уравнения прямой, проходящей через
точку М0A; -5; 3) и образующей с осями координат углы
а = я/4, р = я/3, у = 2я/3.
4.127. Составить уравнения прямой, проходящей через
точку MqA; -3; 5) параллельно прямой
3jc-z/ + 2z-7 = 0,
jc + 3z/-2z + 3 = 0.
4.128. Составить уравнение прямой, проходящей через точку
М0C; -2; 4) перпендикулярно плоскости 5х + Зу - lz + 1 = 0.
4.129. Найти проекцию точки Л(А; -3; 1) на плоскость
х+2у -г-3 = 0.
4.130. Найти проекцию точки ЛA; 2; 1) на прямую
х + 2_ у _z-l
з ~~\~~~Г'
Контрольные задания по главе 4
«Уравнение линии. Прямая и плоскость»
№
1
Вариант 4.1
Вариант 4.2
Вариант 4.3
Составить уравнение множества точек:
равноудаленных
от точки ЛB; 0)
и прямой х = 4
равноудаленных
от точек ЛC; 2)
и Я(-4; 0)
каждая из которых
отстоит от точки
Л@; 2) вдвое дальше^
чем от точки
Я(-4; 0)

Контрольные задания...
245
Mb
2
3
4
5
Вариант 4.1
Вариант 4.2
Вариант 4.3
Даны вершины Л (х^ у±) В(х2, г/2), С(х%, у%) треугольника.
Составить: а) уравнение медианы и высоты, проведенной из
вершины А\ б) уравнение биссектрисы внутреннего угла В:
ЛC; 1);
Я(-13; -11);
С(-6; 13)
Составить
уравнение окружности,
диаметром которой
служит отрезок
прямой у = х + 7,
отсеченной
гиперболой ху = -6
АB6; -5);
5B; 2);
С(-2; -1)
Найти расстояние
фокуса параболы
у2 = Ах от точек
пересечения ее с
окружностью
я2 + у2 = 12
Л(-2; 3); 1
В(-18; -9);
С(-11; 15)
Составить уравне- 1
ние эллипса, име-
щего фокусы в
вершинах, а вершины —
в фокусах
гиперболы у2 - х2 " 4
Найти уравнение плоскости, проходящей через прямую 1
Х-Хл У~У\ 2-2л ъм ,
= £—— = L и точку М0(х0, г/0, 20):
т п р \
х-3 _у + 2 _z
~2~~~~4~~V
M0B;-l;2)
х+3_ г/-1_г + 2
М0B;1;-3)
х-3 _у + 2 _z + 2 I
~Т~~ -7 ~ ~-3 '
М0(-1;0;2)
Составить канонические уравнения прямой, проходящей
через точку М0(х0, г/0, 20) перпендикулярно плоскости,
проходящей через точки М^{х^у^ Zj), М2(х2, г/2, z2^
Щ(х3> У* гъУ
М0E; 2; 2);
М^З; 4; 6);
М2C; -2; -3);
М3F; 3; 2)
М0(-6; 1; 3);
Щ2; 3; 0);
М2A; 2; 2);
М3(-1; 0; -3)
М0F; 1; 2);
М^З; 4; 2);
М2D; 5; 2);
М3G; 3; -2)
Тест 4
1. Траектория движения точки М(х, г/), которая при
своем движении остается вдвое ближе к точке Л(-1; 1),
чем к точке 5(-4; 4), есть: 1) прямая линия; 2)
окружность; 3) гипербола; 4) парабола; 5) эллипс.
2. Найти координаты точки (х0, г/0) пересечения
медиан треугольника ABC, где ЛB; 4); В(-3; 0); СG; -1).
3. Найти (в градусах) острый угол между прямыми
4х-2г/-7 = 0и г/ = — jc —11.

246 Глава 4. Уравнение линии. Прямая и плоскость
4. Какие из данных прямых перпендикулярны прямой
2х - у + 3 = 0: 1
1) Ах + 8у + 17 = 0; 2) Ах - 8у - 11 - 0; 3) у = — х + 5;
4)у»-2*-7;5) —+ ^ = 1.
10 5
5. В треугольнике Л5С известны его вершины Л(-4; 3);
5B; 5); СF; -2). Составить уравнение высоты,
проведенной из вершины А.
Ответ: Ах + By + С = 0, где 5 = ...; С= ...
6. Найти расстояние между параллельными прямыми:
у = -0,75х - 6 и Зх + Ау - 12 = 0.
7. Найти координаты центра (*л, у§) и радиус /?
окружности х2 - 10х + у2 - 8у + 32 = 0.
8. Найти расстояния d± между фокусами эллипса
х2 у2 х2 у2
— + ~ = 1иб/9 между фокусами гиперболы — = 1.
40 24 1 64 36
9. Найти расстояние между центром равносторонней
гиперболы у = и вершиной параболы у = -2х2 +
+ 20*-43. 4х~8
10. Найти соответствие между утверждениями
относительно двух плоскостей А^х + В*у + C^z + D1 = 0 A),
А^х + B2y + С2£ + D2 = 0 B), прямой
*-*о У-Уо z"zo
= = и их признаками:
т п р
1) плоскости параллельны; а) АХА2 + ВХВ2 + СХС2 = 0;
2) плоскости 5) — = — = —-;
перпендикулярны; А2 В2 С2'
3) плоскость A) и прямая ч А п _ Л
параллельны; 7 х х х^
4) плоскость A) и прямая, г) Ах _ Bj _ Q
тир
11. Составить уравнение плоскости, проходящей через
точку М0B; 3; -1) параллельно плоскости 4х - 2z/ + 5z - 3 e 0.
Ответ: Ах + By + Cz + D - 0, где В «...; С - ...; D = ...
12. Убедившись в том, что прямые
Г х+ */-z + 4 = 0, x + 3^y + 3^z-\
[2x-3y-z-5 = 0 И 4 " 1 " 2
пересекаются, найти их точку пересечения (х0, г/0, zQ).

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
И ТЕСТЫ
по дисциплине «Линейная алгебра
с элементами аналитической
геометрии» (разделу I)
Учебно-тренировочные тесты
Итоговые контрольные задания
Итоговый тест

Учебно-тренировочные тесты по дисциплине «Линейная алгебра
(с элементами аналитической геометрии)» (разделу I)
|№|
1
Тест ЛА - 1
Тест ЛА
Тест ЛА - 3
Найти размер, который должна иметь матрица Д чтобы:
существовало произведение
А - В, если матрица А имеет
размер 2x4
матрица А' • В была
квадратной, если матрица А
имеет размер 3x4
существовали оба произведения
АВиВА, если матрица А
имеет размер 3x2
Ответы: 1) 2x3; 2) 4x2; 3) 3x4; 4) 3x2; 5) 4x3;
= А'В + 2Е,те Л = A 2)и В = C -1). Найти:
™™™™™^ \г\ Щ
6) 2x4
Матрица С
след trC
определитель \С\
ранг rangC
Найти матрицу обратную к
матрице С = (А^В)'1 (АЕ)'1
Найти матрицу С = АВЕВ ХА *
Найти решение матричного
уравнения A~iA2XB~i = Е
Ответы:
1)Е;
2) Л;
3)Д;
4) АВ;
5)АВ-
6)А'В
Найти алгебраическое
дополнение элемента а23
матрицы
А =
-6
О
4
1
-1
Найти элемент с32 матрицы
С = В • А, если
А =
2 3]
3 1
1 2
; в=
( 1
3
-1
2
3
2
1
1
1 !
Найти определитель матрицы
С = А-2В, если
А =
I-1 Ч I 2,

Продолжение учебно-тренировочных тестов
I ЛЬ |
5
Тест JIA - 1
Тест ЛА - 2
Тест ЛА - 3
Решить систему линейных уравнений:
X* -1~%УХг> —■ Оу
£*Х\ \ Хгу "~ Ло — ~~^j
х< +х> =-1
=3,
-*3 = 1,
Лл тЛп ло ~~ А
Хл т .Хо
~~ Хгу т Ло — 1,
Ответы:
Значения:
*i =
х2 =
Х3 =
-2
-1
0
1
2
3
Установить свойства системы линейных уравнений, если при решении методом Гаусса
получена расширенная матрица вида:
fl 2 0
0 -1 1
0 0 0
31
2
о
1 2 0
0 -1 1
0 0 0
3)
2
1
fl 2 0
0 -1 1
0 0 1
31
2
0
Ответы: 1) совместная; 2) несовместная; 3) определенная;
4) неопределенная

Продолжение учебно-тренировочных тестов
ГйГ
7
8
Тест ЛА - 1
Найти значение параметра а,
при котором систему
линейных уравнений
1 Хл т Хо -- 1,
|
нельзя
ах{+х2+2х3=2,
решить по формулам
Крамера
Тест ЛА - 2
Найти значение параметра я,
при котором при решении
системы линейных уравнений
\хх+ х2 +3х3= 1,
-
хх +2#3=1 + а,
[jtj +2#2 + хъ = 2
по формулам Крамера
выполняется равенство А = А2
Тест ЛА - 3
Найти д:3,если при решении
системы линейных уравнений
1 Хл i ОХо ~~ ^>
^2xt +*з= 1>
Лп 1 Ло *~ "~"«3
по формулам Крамера
получены определители
Д^-10, А2=0, А3 = 15
Найти значения параметров а и Ь, при которых однородная система линейных уравнений:
имеет два линейно
независимых решения
хх + 2х3 - хА =0,
2х2 + х4 =0,
C-д)х3 =0,
(Ь-2)хА = 0
имеет единственное решение
Ответы: 1) а = 3, Ь— любое; 2) 6 = 2, а — любое;
4) Ъ*2, а = 3; 5) а = 3, 6 = 2;
имеет единственную
неосновную переменную
3) я*3, Ь =2;
6) я*3, 6*2

Продолжение учебно-тренировочных тестов
Пыь"
9
10
11
Тест ЛА - 1
Найти число линейно
независимых столбцов
матрицы
A 2 -1 3 1Л
2 1 3-1 2
3 3 2 2 3
Найти проекцию вектора
а - 26 на направление
вектора с, если
a = -2i +j-8k,
b=-4j-2j-3kn
c = 3i-4j+12k
Найти собственное значение
матрицы А-
'2 1
-1 0
\
\ /
Тест ЛА - 2
Найти ранг матрицы
B 1 2 3 ]
4 0 2 0
1 -1 -2 -2
110 4
^ )
Найти скалярное
произведение векторов
, если
|3| = 2,|й| = л/3и \а + Ъ| = 3
Найти собственное значение
матрицы Л = \ 1,
которое соответствует
собственному вектору B; -4)
Тест ЛА - 3
Найти число линейно
независимых строк матрицы
A 2 -П
1 4 2
2 2-5
[-1 2 7 J
Найти длину вектора
с =25-36, если |д| = 3,
Щ = 2, а угол между
векторами а и Ъ
составляет 60°
Найти значение параметра а,
при котором вектор A;я)
является собственным для
А B А
матрицы Л =

Продолжение учебно-тренировочных тестов
№
Тест ЛА - 1
Тест ЛА - 2
Тест ЛА - 3
12
Указать рисунок, на котором изображено преобразование вектора а с помощью
линейного оператора:
А =
f-i о
О 1
А =
(i oj
А =
0 -1
1 О
Ответы:
1)
У*
Аа\
2)
А- сы
У*
О
3)
УЧ
о
tA-a
4)
У\
А-а к
13
Исследовать на знакоопределенность квадратичную форму:
L = x\ +2x1 +2*з +
"Г" £JL*JLy "Г" ZaiAo
jL< — «Ди< ОЯо "г" ^ih[/4»Xq
Li ^ к)Хл т Хп I / Хо
—"" ллЛ/аЛ/п TOAjAo
Ответы. 1) положительно определенная;
3) не является знакоопределенной
2) отрицательно определенная;
14
Вершины четырехугольника имеют координаты Л@;1), В(8;2), СF;5) и/)(-2;4). Найти:
расстояние от точки пересечение
диагоналей до оси абсцисс
тангенс угла А
угловой коэффициент высоты,
опущенной из вершины С

Продолжение учебно-тренировочных тестов
№
Тест ЛА - 1
Тест ЛА - 2
Тест ЛА - 3
15
Найти значение параметра а, при
котором прямые 2х - Ъу + 5 = 0 и
Ах + ау +1 = 0 параллельны
Найти значение параметра а, при
котором прямые х-2у + 3 = 0и
у = ах + 5 перпендикулярны
Найти тангенс угла между
прямыми г/ = 2х-1 и
2у = х + 6
16
Найти расстояние между центром
окружности (х-2) +(г/ + 1) = 4
и центром равносторонней
Зх-1
гиперболы у- —
Найти расстояние между
вершиной параболы у = х2 - 2х - 3 и
центром окружности
{x + 3f+{y + lf=l
Найти расстояние между
вершиной параболы у2 = 2(х - 2) и
центром равносторонней гипер-
Зх + 5
болы У =
х-4
17
Определить, какую линию второго порядка задает на плоскости уравнение:
z/2+2y-6*-10 = 0
4х2-у2+16х-2у + 11 = 0
4х2+у2-16х + 2у + 12 = 0
Ответы:
1) эллипс;
2) окружность;
3) парабола;
4) гипербола
18
Указать рисунок, на котором изображен график функции:
*/ = -
-2х-1
2 + х
У =
5-х
25
У = —
х
Ответы:
1) У
4)
У*

Окончание учебно-тренировочных тестов
[~№~
19
20
Тест ЛА - 1
Тест ЛА - 2
Тест ЛА - 3
Определить взаимное расположение в пространстве прямых:
х у-\ z
7~~^2~~3 И
J3x+ у -52+1=0,
[2дг+Зг/-82+3=0
х + \ у + 3 2-5
= = хл
-2 13
.г + 3_2# + 4_22-16
1 -1 -3
Зх + 12 у-Ъ Ъг
"Т~="Г=Т и
\ х -2y+z=4,
[2x+y-z=0
Ответы: 1) совпадают; 2) параллельны; 3) скрещиваются;
4) пересекаются, но не перпендикулярны; 5) пересекаются под прямым углом
Найти косинус угла
между плоскостями
4x-5t/ + 3z-l = 0 и
х-4г/-2 + 9 = 0
Найти расстояние между двумя
параллельными плоскостями
4х-4# + 22-9 = 0 и
4х-4г/ + 22 + 15 = 0
Найти значение параметра D в
уравнении плоскости
x-5y-z + D = 0, если она
проходит через точку (-4; 1; 3)
перпендикулярно вектору
A;-5;-1) |

Итоговые контрольные задания по дисциплине «Линейная алгебра
с элементами аналитической геометрии» (разделу I)
[Йь
1
2
Вариант ЛА. 1
Вариант ЛА. 2
Вариант ЛА. 3
Вариант ЛА. 4
Вариант ЛА. 5
Найти матрицу С = В(АВ)~1 + (В'ВУВ'1, предварительно приведя ее к более простому виду, где:
А =
В =
(\ 2 3'
2 2 3
3 3 4
V )
(-2 3
7 5
9 0-
41
8
А =
В =
'1 -1 2^
0 2-1
1 0 1
V )
% -3 2'
5 -4 8
6 1 -9
^ )
»
А =
В =
(\ 5 \\
3 2 1;
6-2 1
V У
(-\ 0 5^
-4 7 9
3 6 2
А =
В =
(А 3 5>
3 1 1
4 4 7
V )
( 1 4 -
0 8
-7 6
1
9
А =
В =
E 2 51
3 5-3
1-2-4 3
( 5 -6 7^
-9 0-8
3-4 1
V /
Методом Гаусса решить систему уравнений, заданную в матричной форме: АХ = В.
Найти ранг матрицы А. Дано х = (х± х<± х% х^)' и:
А =
В =
'1 2 -3 -^
2 3-^-5
11-2-2
4 3^-6
D 4 2 3)'
А =
В =
'2 3-1 \\
3-1 2 4
1 1 3 -2 Г
-12 3 5
(-3 8 6 3)'
А =
В =
г2 3-11
3-121
12 3 4
6 4 4 6
E 1 6 1/
)
А =
В =
f\ 2 -3 Г
2-1 12
4 3-52
7 4-75
A2 4 7)'
(\ -3 2 2^
3-8 8 7
~ 2 -4 8 8
2 -3 10 8
V
Я = A 3 0 1)'
V

№
3
4
5
6
Вариант ЛА. 1
Вариант ЛА. 2
Вариант ЛА. 3
Вариант ЛА. 4
Вариант ЛА. 5
Даны вершины A(xv г/j); В(х2, у2У, С(х3, г/3) треугольника. Найти уравнения и длины высоты
и медианы, проведенные через вершину С; сделать чертеж:
ЛC; 0); В(-5; 6);
С(-4; 1)
ЛA0; 2); ВB; 8);
СC; 3)
ЛF; 2); В(-2; 8);
С(-1; 3)
Л(8; 3); В@; 9);
СA; 4)
АE; -1); В(-3; 5);
С(-2; 0)
Привести уравнение кривой второго порядка f(x, у) - 0 к каноническому виду и найти точки
пересечения ее с прямой Ах + By + С = 0. Построить графики кривой и прямой:
х2+у2-4у + 3 = (У,
Зх+у-3 = 0
2х2+у2-12х+10=0;
jc+y-2=0
Найти точку М', симметричную точке М
относительно плоскости:
Л/A;0;1);
4x+6# + 4z-25 = 0
М(-1;0;-1);
2^+6г/-2г + 11 = 0
2х2+8д:+г/+7 = 0;
2д:+г/ + 3 = 0
у2 + jc+4г/ + 3 = 0;
д: + 2г/ + 2 = 0
4x2-8jc-^2=0;
2s/3x+u = 0
Найти точку М', симметричную точке М относительно прямой:
М@;-3;-2);
x-l_y+3/2_z
1 -1 ~1
МB;-1;1);
л:-9/2_у+3_г-2
1 ~-1/2~ 1
M(l;l;l);
д:-2_г/+3/2_г-1
1 ~ -2 ~ 1 |
Даны четыре вектора: а у, а2, а3 и а4 в некотором базисе.
Показать, что векторы at, а2, а3 образуют базис, и найти координаты вектора а4 в этом базисе:
at = A; 3; 5);
a2 = @; 2; 0);
a3 = E; 7; 9);
a4 = @; 4; 16)
aj = B; 4; -6);
a2 = A; 3; 5);
a3 - @; -3; 7);
a4 - C; 2; 52)
at = D; 3; -1);
a2 = E; 0; 4);
a3 = B; 1; 2);
a4 - @; 12; -6)
Й1 = C; 4; -3);
а2 - B; 1; -4);
а3 =(-5; 5; 0);
а4 = (8; -16; 17)
aj = (-2; 1; 7);
а2 = C; -3; 8);
а3 - E; 4; 1);
а4 = A8;25;1)

fj*
7
8
Вариант ЛА. 1
Вариант ЛА. 2
Вариант ЛА. З
Вариант ЛА. 4
Вариант ЛА. 5
Найти собственные значения и собственные векторы матрицы А. Привести к диагональному виду
матрицу А (если это возможно):
А =
( 2 8 b\
-4 13
8-2-6
A =
( 1 4 3^
-8 2-5
-2-8-6
A =
'-6 8 -2'
5 2 8
I3 -* К
A =
( 2 -8 -5Л
4 13
Г8  ■*)
A =
' 1 4 -3N
-8 2 5
2 8-6
Привести к каноническому виду квадратичную форму L:
2
+ 4jq jc3 + 4*2*3 + 4*з
L = 4jc12+4jc1jc2 +
+ 8^X3-3*2 +4jc3
L = Ax\ + Sx{x2 +
1 1
+ 4^X3 + Л3
L = 4xi +8*j*2 +
+ 4^3 + 3^-2^3
L = x\ + 4jtjJt2 +
+ 4*2*з + *f

Итоговый
1. При каких значениях а, Ь, с для матрицы
( \ 2 5Л
А =
а
-1
Ъ
-5
выполняется равенство Л2 = О?
2. Дана матрица
(\
А =
V
2 3"\
1 4 О
О 2 1
Найти определитель |5| матрицы В = ЛЛ'.
3. Выяснить, какие из приведенных ниже
матриц являются нулевыми (Л и В — квадратные
матрицы): 1) ВА - АВ; 2) (В'А)' - А'В;
3) Л^Я - B-U; 4) (Л-ifi)-1 - ЛЯ; 5) А4' - Л'Л.
4. Даны матрицы:
'1
Л =
3 4
2) ГО
1
2 3
Найти след tr С матрицы С = АВ-ВА+А+В.
тест ЛА
5. Выяснить, при каком значении а ранг
матрицы Л является наименьшим среди рангов
приведенных матриц:
/
А =
1 2 3
2 4а
-1 -2 -3
\
; в =
)
f2 3 1]
0 0 0
4 6 9
^ )
; с =
A 1 П
0 2 1
0 0 5
6. По формулам Крамера решить систему
уравнений
Г 2л| - 3jc2 + *з = 0,
\ х{+2х2+4х3=1,
[-*1 + х2 = 1.
В ответе дать значения переменных х^ух2и
определителя Д3.
7. Выяснить, какой из методов можно
применить для решения системы уравнений
Г jq +2*2+5*3 =0,
"s— *^ + *2 ~~ -*3 = >
[2jq +5*2 + 2*з =3

1) метод обратной матрицы; 2) по формулам
Крамера; 3) метод Гаусса.
8. Дано матричное уравнение АХВ = С. Его
решение с помощью обратных матриц Л-1, 2?-1
имеет вид: 1) А^В^С; 2) Я^СЛ; 3) Л^СЯ;
4) СЛ_15-1. Выбрать верный ответ.
9. Для системы уравнений
jq - 2jc2 + 5jc3 = О,
найти базисное решение (х±у х2, х^), получаемое
при выборе в качестве основных (базисных)
переменных jq, х2.
10. Для системы уравнений
Г jq + *2 + 2*з + х4 = 0»
-12*! +3jc2 + Jt3 +3jc4 = 0,
[2.^+5*3-5*3+5jc4 =0
найти фундаментальную систему решений.
В ответе дать число таких решений.
11. Дана матрица прямых затрат А в модели
L Найти матрицу пол-
@Л 0,2
Леонтьева: А =
[0J 0,2^
ных затрат S. В ответе дать ее элементы sn и
521.
12. Две стороны квадрата лежат на двух
параллельных прямых: Зх + Ау + 25 и Зх + Ау + 50 =
= 0. Найти площадь квадрата.
13. В треугольнике ABC заданы вершины Л@;
2); 5D; 0) и точка пересечения высот
А/ =1 —; — . Найти уравнение стороны ВС.
-№
Ответ: Ах + By + С = 0, где В = ...; С = ....
14. Составить уравнение биссектрисы
тупого угла между прямыми Зх + у - 12 = 0иу = 0.
Ответ: Зх + By + С = 0, где В = ...; С = ....
15. Траектория движения линии, расстояние
каждой точки которой от точки ЛB; -2) вдвое
меньше, чем от прямой х + 1 = 0, есть:
1) прямая линия; 2) окружность; 3) эллипс;
4) гипербола; 5) парабола.

16. Составить уравнение прямой,
проходяще 4дг + 3
щей через центр гиперболы у = и верши-
х-2
ну параболы у = -2*3 + + 16# - 30.
Ответ: х + By + С = 0, где 5 = ...; С = ...
17. Составить уравнение плоскости,
проходящей через точку (-1; 2; -3) и
перпендикулярно прямой
U = 2,
\y-z = h
Ответ: Зх + By + С = 0, где 5 = ...; С = ...
18. Найти (в градусах) угол между
плоскостью у = 2 и прямой
*/ = 2.
19. Найти (в градусах) угол между
векторами а = 2т + 4п и В = т-п , где m и й —
единичные векторы, образующие угол 120°.
20. Найти (с точностью до 0,1) проекцию
вектора а = B; -3; 4) на ось, составляющую с
координатными осями равные острые углы.
21. Выяснить, при каком значении X векторы
at = (-2; 0; 1); а2 - A; -1; 0); а3 - @; 1; X) не
образуют базис в пространстве /?3.
22. Выяснить, при каком значении X вектор
Ь = A; А,) линейно выражается через векторы
а1 = B;1)иа2 = D;2).
23. Векторы л^ = (-1; а) и дг2 = F; 1) являются
собственными векторами матрицы Л = с
собственными значениями Х±у А^ (Х± < Х2),
соответственно. Найти ^, ^ и значения а и Ь.
24. Найти наименьшее целое значение X,
при котором будет положительно
определенной квадратичная форма L = Ajq2 + х\ + 4jc1jc2-

Раздел II
ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ

Глава 5
ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ КУРС
5.1. Понятие множества
Понятие множества принадлежит к числу первичных,
не определяемых через более простые.
Под множеством понимается совокупность (собрание,
набор) некоторых объектов. Объекты, которые образуют
множество, называются элементами, или точками, этого
множества. Примерами множеств являются множество студентов
данного вуза, множество предприятий некоторой отрасли,
множество натуральных чисел и т.п.
Множества обозначаются прописными буквами, а их
элементы — строчными. Если а есть элемент множества А, то
используется запись а е А. Если Ъ не является элементом
множества Л, то пишут Ъ <£ А
Множество, не содержащее ни одного элемента,
называется пустым и обозначается символом 0. Например,
множество действительных корней уравнения х2 + 1 = 0 есть
пустое множество.
Если множество В состоит из части элементов
множества А или совпадает с ним, то множество В называется
подмножеством множества А и обозначается В а А. Если,
например, А — множество всех студентов вуза, а В —
множество студентов-первокурсников этого вуза, то В есть
подмножество А, т.е. В а А.
Два множества называются равными, если они состоят
из одних и тех же элементов.
Объединением двух множеств А и В называется
множество С, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя
бы одному из данных множеств, т.е. С = A U В .

5.1. Понятие множества
263
Пересечением двух множеств Л и В называется
множество Д состоящее из всех элементов, одновременно
принадлежащих каждому из данных множеств Л и Л, т.е
D = Af]B.
Разностью множеств Ли В называется множество £,
состоящее из всех элементов множества Л, которые не
принадлежат множеству В, т.е. Е = А \ В.
Пример 5.1. Даны множества Л = {1; 3; 6; 8} и В ={2; 4; 6; 8}.
Найти объединение, пересечение и разность множеств
А и В.
Решение. Очевидно, что объединение двух данных
множеств — AU# = {1;2;3;4;6;8}, их пересечение АП# = {6;8}
а разность А\В = {1; 3}. ►
Дополнением множества А а В называется множество Лс,
состоящее из всех элементов множества В, не
принадлежащих Л.
Множество называется конечным, если содержит конечное
число элементов; в противном случае — бесконечным.
Если между множествами А и В можно установить
взаимно однозначное соответствие (каждому элементу а е А
соответствует один элемент Ъ е В и наоборот), то говорят,
что множества АиВ имеют одинаковую мощность, или
эквивалентны. Множество, эквивалентное множеству
натуральных чисел, называется счетным (его элементы можно
пронумеровать, пересчитать).
Множество X называется ограниченным сверху {снизу),
если существует такое число С, что для любого х е X
выполняется неравенство х < С (х > С). Число С в этом случае
называется верхней (нижней) гранью множества X. Множество,
ограниченное и сверху, и снизу, называется ограниченным.
Наименьшее из чисел, ограничивающих множество X
сверху, называется точной верхней гранью данного
множества и обозначается символом sup X (от лат. supremum), a
наибольшее из чисел, ограничивающих множество X
снизу, — точной нижней гранью этого множества и
обозначается символом inf X (от лат. infinum). Например, для
множества Х= (a, b) a = inf Xyb = sup X.
Множества, элементами которых являются
действительные числа, называются числовыми. Из школьного кур-

264
Глава 5. Функции одной переменной
са алгебры известны множества чисел: R —
действительных, Q — рациональных, / — иррациональных, Z — целых,
N — натуральных. Очевидно, что NaZczQczRjIciRn
R = QUI.
Геометрически множество
-• j ► действительных чисел R
изображается точками числовой пря-
Рис- 5.1 мой, или числовой оси (рис. 5.1),
т.е. прямой, на которой выбрано
начало отсчета, положительное направление и единица
масштаба.
Между множеством действительных чисел и точками
числовой прямой существует взаимно однозначное
соответствие, т.е. каждому действительному числу соответствует
определенная точка числовой прямой, и наоборот, каждой
точке прямой — определенное действительное число,
поэтому часто вместо «число х» говорят «точка х».
Множество X, элементы которого удовлетворяют
неравенству а<х<Ь, называется отрезком, или сегментом, [а; Ь],
неравенству а < х < Ъ — интервалом (а; 6), неравенствам а <
<х<Ьилиа<х<Ь — полуинтервалами соответственно \а\ Ъ)
и (а; Ь]. Наряду с этим рассматриваются бесконечные
интервалы и полуинтервалы (-«>; а), (Ь\ +<*>), (-<*>; +«>), (-<*>; а]
и [Ь] +«>). В дальнейшем все указанные множества
объединяем термином промежуток X.
5.2. Абсолютная величина действительного числа.
Окрестность точки
Определение. Абсолютной величиной (или модулем)
действительного числа х называется само число х} если х
неотрицательно, и противоположное число (-х), если х
отрицательно:
х, если jc > О,
-х, если лс<0.
М = < - E.1)
По определению очевидно, что \х\ > 0.

5.3. Понятие функции. Основные свойства функций 265
Пример 5.2. Найти |*-|*1|-
Решение. Если х > О, то \х\ = х и \х - |х|| = \х - х\ = |0| = 0.
Если х < О, то |х| = -jc и |jc - |jc|| = |jc — (-х)\ = |2jc| = -2х.
Отметим свойства абсолютных величин:
|* + у|£|х| + |у|; |ху| = |дс||у|;
|х-у|^|х|-|у|;
П E.2)
Абсолютная величина разности двух чисел \х - а\
означает расстояние между точками х и а числовой прямой как
для случая х < а, так и для х > а (рис. 5.2). Поэтому,
например, решениями неравенства [г - а\ < г (где е > 0) будут
точки х интервала (а - е, а + е) . .
(рис. 5.3), удовлетворяющие не- х<а j!—!Q
равенству а-е<х<а + е.
Всякий интервал, содержа- . .
щий точку а> называется окрест- х>а J~—^
ностью точки а. а :
Интервал (а - е, а + е), т.е. рис 5.2
множество точек х таких, что
[г - а\ < е (где £ > 0), называется
е-окрестностъю точки а. а-г а а+г
Рис. 5.3
5.3. Понятие функции. Основные свойства
функций
Постоянной величиной называется величина,
сохраняющая одно и то же значение. Например, отношение длины
окружности к ее диаметру есть постоянная величина,
равная числу к.
Если величина сохраняет постоянное значение лишь в
условиях данного процесса, то в этом случае она
называется параметром.
Переменной называется величина, которая может
принимать различные числовые значения. Например, при рав-

266
Глава 5. Функции одной переменной
номерном движении S = vt, где путь S и время t —
переменные величины, а скорость v — параметр.
Перейдем к понятию функции.
I Определение. Если каждому значению х множества X
\ (х g X) ставится в соответствие вполне определенное
значение у множества Y(y e У), то говорят, что на множе-
I стве X задана функция у = f(x).
При этом х называется независимой переменной, или
аргументом, у — зависимой переменной, а буква / обозначает
закон соответствия.
Множество X называется областью определения, или
существования, функции, а множество Y — областью
значений функции.
Если множество X специально не оговорено, то под
областью определения функции подразумевается область
допустимых значений независимой переменной х, т.е.
множество таких значений х, при которых функция у =
= f(x) вообще имеет смысл. Например, область
определения функции у = х2 +л/Ю-х есть полуинтервал (-«>; Ю],
так как 10 — х > 0. Если же переменная х обозначает,
предположим, время, то при естественном
дополнительном условии х > 0 областью определения функции будет
отрезок [0; 10].
Способы задания функций. Существует несколько
способов задания функции.
а) Аналитический способ, если функция задана
формулой вида у = f(x). Этот способ наиболее часто встречается
на практике. Так, функция у = х2 +VlO-jc,
рассматриваемая выше, задана аналитически.
Не следует смешивать функцию с ее аналитическим
выражением. Например, одна функция
ix , если х<09
jc + З, если jc > 0,
имеет два аналитических выражения: х1 (при х < 0) и х + 3
(при х > 0).
б) Табличный способ, если функция задана таблицей,
содержащей значения аргумента х и соответствующие
значения функции/(х), например, таблица логарифмов.

5.3. Понятие функции. Основные свойства функций 267
в) Графический способу если функция изображена в
виде графика — множества точек (х, у) плоскости,
абсциссы которых есть значения аргумента х, а ординаты —
соответствующие им значения функции у = f(x).
г) Словесный способу если функция описана правилом ее
составления, например, функция Дирихле1: f(x) = 1, если
х — рационально; f(x) = 0, если х — иррационально.
Функция может быть задана программой, вычисляющей
ее значения с помощью компьютера.
Основные свойства функций. К ним относятся
четность и нечетность, монотонность, ограниченность,
периодичность.
1. Четность и нечетность. Функция у = f(x)
называется четной, если для любых значений х из области
определения f(-x) = f(x), и нечетной, если f(-x) = -f(x). В
противном случае функция у = f(x) называется функцией
общего вида.
Например, функция у = х2 является четной, так как
f(-x) = (-хJ = х2 и f(-x) = f(x), а функция у = .г3 —
нечетной, так как/(-х) = (-хK = -я? и f(-x) = — f(x). В то
же время, например, функция у = х2 + х3 является
функцией общего вида, так как/(-х) = (-хJ + (-хK = лг - х3
и/(-*) *f(x),f(-x) Ф -f(x).
График четной функции симметричен относительно оси
ординат (см., например, график функции у = х2 на рис. 5.6),
а график нечетной функции симметричен относительно
начала координат (см., например, график функции у = о?
на рис. 5.5).
2. Монотонность. Функция у = f(x) называется
возрастающей (убывающей) на промежутке X, если большему
значению аргумента из этого промежутка соответствует
большее (меньшее) значение функции.
Пусть х\, Х2 е X и х2 > Ху Тогда функция возрастает на
промежутке X, если f(x2) > f(x\), и убывает, если f(x2) <
</(х1) (рис. 5.4).
Дирихле Петер Густав A805—1859) — немецкий математик.

268
Глава 5. Функции одной переменной
а
0
i
а
у-Аху
i i
>:
у-Ах)
Рис. 5.4
Функции возрастающие и убывающие называются
монотонными^ функциями. Так, например функция у = х2
(см. рис. 5.6) при х € (-©о; 0] убывает и при х е [0; +«>)
возрастает.
3. Ограниченность. Функция f(x) называется
ограниченной на промежутке X, если существует такое
положительное число М > 0, что \f(x)\ < М для любого х е X.
В противном случае функция называется неограниченной.
Например, функция у = sin x ограничена на всей числовой
оси, ибо |sin Jtj < 1 для любого х € R.
4. Периодичность. Функция у = f(x) называется
периодической с периодом 7V 0, если для любых х из
области определения функций f(x + Т) = f(x). Например,
функция у = sin х имеет период2 Т = 2л, так как для
любых значений х sin (х + 2я) = sin x.
График периодической функции у = f(x) может быть
получен сдвигом кривой у = f(x) (x e [0; Т\) вправо
(влево) на отрезки Г, 2Г,...
1 Если говорить точнее, то возрастающие и убывающие функции
называются строго монотонными. К монотонным функциям, кроме
указанных, относятся неубывающие и невозрастающие функции, т.е. такие,
для которых при xv х2 е X, удовлетворяющих условию х2 > х{,
соответственно/(*2) >/(*!> или/(*2) </(*!>.
2 Под термином -«период» подразумевается наименьший
положительный период функции, равный 2я; любой период функции у - sin x, как
известно, равен 2пп, где п е Z.

5.4. Основные элементарные функции
В таблице приводятся наиболее важные свойства и графики основных элементарных функций.
Таблица
1 Обозна-
чение
1
Область

определения
функции
2
Область
значений
X
3
Четность,

нечетность Y
4

Монотонность
5

Периодичность
6
Графики функций
7
1. Степенная функция
\у=хп
У = х~п
(пе N)
(—оо; +оо)
(пе N)
(-оо; 0) U
U @; +оо)
(-оо; +оо)
если п —
нечетно;
[0; +оо),
если п —
четно
(-оо; 0) U
U @, +оо)
если п —
нечетно;
[0; +оо),
если п —
четно
Нечетная,
если п —
нечетно;
четная,
если п —
четно
Нечетная,
если п —
нечетно;
четная,
если п —
четно
Возрастает на
(-©о; +оо), если
п — нечетно;
убывает на
(-~; 0],
возрастает на
@; +оо), если
п — четно
Убывает на
(-©о; 0) и на
@, +оо), если
п — нечетно;
возрастает на
(-оо; 0) И
убывает на
@; +оо), если
п — четно

Непериодическая

Непериодическая
У
1
1 1 1
1
Л
i i i 1
А у= х*
Г /у=х2
Т_1 1с Oil * 1
[с. 5.5 Рис. 5.6
. уА
\y~Vx Я
Л. у\\
1 Т*1 1 Ч. -Г-! 1 1
1 Г" 1 "— 1
^\0|_1 "х Oil х 1
т г
Рис. 5.7 Рис. 5.8

Продолжение табл.
1 1
y = <fx
(Я € N,
я>1)
2
(-оо; +оо),
если п —
нечетно;
[0; +оо)
если п —
четно
3
(—°°; "^оо)>
если п —
нечетно;
[0; +оо)
если п —
четно
4
Нечетная,
если п —
нечетно;
общего
вида, если
п — четно
5
Возрастает на
(-оо; +оо), если
п — нечетно;
возрастает на
[0; +оо), если
п — четно
1 6

Непериодическая
7
1 V
. у^Гх У1 у = 4~х
1 ' 1 ^ ! 1 1 К 1 1 1 ►
1 * oil *
1 Рис. 5.9 г-1 Рис. 5.10
1 2. Показательная функция
\у = а*
\(а > 0,
в*1)
(-оо; +оо)
@; +-)
Общего
вида
Возрастает на
(-оо; -к»), если
а > 1; убывает
на (-оо; +оо),
если 0 < а < 1

Непериодическая
0<a<i w^1
0
5 Рис. 5.11
3. Логарифмическая функция
= logfl х
(а > 0,
\аФ 1)
@; +~)
(— оо; -foo)
Общего
вида
Возрастает на
@; +оо), если
а > 1; убывает
на @; +оо),
если 0< а< 1

Непериодическая
У
1
0
Г У = loga*
К ' ' ' ► х
[yi\sfi<e<r Рис. 5.12
4. Тригонометрические функции
\у = sin х
(-°°; +°°)
[-1; 1]
Нечетная
Возрастает на
[-к/2 + 2кп\
к/2 + 2кп];
убывает на
[7С/2 + 2КП\
Зк/2 + 2кп],
пе Z
Период
Т=2к
у\
\у = sin*
Ч 1 \Г l>liriNl V \ ш^ \
Рис.
-1 Jt4-—-^2я J 1
5.13

Продолжение табл.
у = cos х\
(-оо; +оо)
[-1; 1]
Четная
Возрастает на
[-я + 2кп;
2кп\; убывает
на [2кп;
я + 2я/г], пе Z
Период
Г=2я
У - COS*
Рис. 5.14
\У =
(-я/2 +
+ я/г;
я/2 + яп);
пе Z
(-оо; +оо)
Нечетная
Возрастает на
(-я/2 + кп;
я/2 + яя),
neZ
Период
Г=я
у- tg*
г/ = ctg дг
(яя; я +
-н кп);
пе Z
-оо* -|-оо 1
Нечетная
Убывает на
(кп; к + кп),
пе Z
Период
Г=я
У ctg*
Рис. 5.16

Окончание табл.
1 1
2
3
У =
= arcsin х

(арксинус)
\У~=
= arccos:r

(арккосинус)
У =
= arctg х

(арктангенс)
= arcctgx

(арккотангенс)
[-1; 1]
[-1; 1]
(-оо; +оо)
(-оо; +оо)
[-я/2;
л/2]
[0;я]
(-«А
я/2)
@;л)
, е
у — сп х —
*+«-* ,
г. (ГИ1
гсерболиче
4
5
6 | 7
5. Обратные тригонометрические функции
Нечетная
Общего
вида
Нечетная
Общего
вида
Возрастает на
[-1; 1]
Убывает на
[-1; 1]
Возрастает на
(-оо; +оо)
Убывает на
(-оо; +оо)

Непериодическая

Непериодическая

Непериодическая

Непериодическая
i
i
i
i
^ * у e arcsin .г! У
л/2 ) Ч
/1 '
/ i » 1
\-\/\ъ 1\ х
7 1
1 L-7C/2 |
^ Рис. 5.17
г/|
я/2
-1 /
Рис.
l/ye arctg*
|0 ! ~х
-я/2
5.19
6. Гиперболические функции
ех -е~х
ский косинус); i/ = sh* = —-— (гиперболический синус)
Г1
1
1
1
Рис
у1
Рис.
Г* л
1- arccosx
ГС2 i
>, i
-1 \—^
0 f х \

1
. 5.18
\
к
та
\у = arcctgx
0 ~~Х 1
5.20

5.5. Элементарные функции. Классификация функций... 273
5.5. Элементарные функции.
Классификация функций.
Преобразование графиков
Функция называется явной, если она задана формулой
у =/(*), в которой правая часть не содержит зависимой
переменной; например функция у = х2 + 5х + 1.
Функция у аргумента х называется неявной, если она
задана уравнением F (х, у) = О, не разрешенным
относительно зависимой переменной. Например, функция у (у > 0),
заданная уравнением о? + у3 - х = 0. (Заметим, что
последнее уравнение задает две функции: y = yjx-x при у > 0 и
у = -\1х-х3 при*/<0.)
Графиком уравнения F(x, у) = 0 называется множество
точек (х, у) плоскости, координаты которых
удовлетворяют этому уравнению.
Функция у = f(x) может быть заданной параметрически
на множестве X посредством переменной ty называемой
параметром: х = x(t), у = y(t), где t g X. В этом случае график
функции у = f(x) есть множество точек (x(t), y(t)).
Например, параметрическое уравнение верхней полуокружности
х2 + у2 = R2 (у > 0), или у = +V7? - х , имеет вид
x = Rcost,
y = Rsint, E*3>
где t g [0; тс]. (Заметим, что уравнение окружности х2 + у2 =
= R2 определяет две функции: у = W/? -* ,y = -sR -x ,
задаваемых параметрическими уравнениями E.3) при
'е[0; 2я].)
Обратная функция. Пусть у = f(x) есть функция от
независимой переменной х> определенной на множестве X с
областью значений У. Поставим в соответствие каждому
у g У единственное значение jrel, при котором /(х) = у.
Тогда полученная функция х = (р(*/), определенная на
множестве У с областью значений X, называется обратной.
Так как традиционно независимую переменную
обозначают через х, а функцию — через у, то функция, обратная к
функции у = f(x)> примет вид у = (р(х). Обратную функцию

274
Глава 5. Функции одной переменной
у = ф(х) обозначают также в виде у = /_1(*) (аналогично с
обозначением обратной величины). Например, для
функции у = ах обратной будет функция х = logflz/, или (в
обычных обозначениях зависимой и независимой переменных)
*/ = logflx
Можно доказать, что для любой строго монотонной
функции у = ф(х) существует обратная функция.
Графики взаимно обратных
функций симметричны
относительно биссектрисы первого и
третьего координатных углов
(на рис. 5.21 показаны графики
взаимно обратных функций у =
= ахну = logflх при а > 1).
Сложная функция. Пусть
функция у = flu) есть функция
от переменной и, определенной
на множестве U с областью
значений У, а переменная и в свою
очередь является функцией и = ср(х) от переменной х,
определенной на множестве X с областью значений U. Тогда
заданная на множестве X функция у = /[(р(х)] называется
сложной функцией (или композицией функций,
суперпозицией функций, функцией от функции). Например, у = lg sin x —
сложная функция, так как ее можно представить в виде у =
= lg и, где и = sin х.
Понятие элементарной функции. Из основных
функций новые функции могут быть получены двумя
способами: а) с помощью алгебраических действий; б) с помощью
операций образования сложной функции.
Определение. Функции, построенные из основных
элементарных функций с помощью конечного числа
алгебраических действий и конечного числа операций
образования сложной функции, называются элементарными.
Например, функция
Рис. 5.21
Vjcsin х Г"з 7
^с + 52*3
является элементарной, так как здесь число операции
сложения, вычитания, умножения, деления и образования
сложной функции [ sin2 jc, 52х , lg3x, V1?3* _1 I
конечно.

5.5. Элементарные функции. Классификация функций... 275
-1
*/д Примерами
неэлементарных функций являются
функции: у = [х]— целая
часть х (см. рис. 6.9); у =
= sign х (читается «у равно
сигнум х») — знак числа х
►* (sign х = {-1, если х < 0; 0,
если х = 0; 1, если х > 0},
(рис. 5.22); функция
Дирихле (с. 267).
р - «2 Классификация
функций. Элементарные
функции делятся на алгебраические и неалгебраические
(трансцендентные).
Алгебраической называется функция, в которой над
аргументом проводится конечное число алгебраических
действий. К числу алгебраических функций относятся:
• целая рациональная функция {многочлен или
полином):
у = а^ + а^'1 + ... + ап_хх + ап;
• дробно-рациональная функция — отношение двух
многочленов;
• иррациональная функция (если в составе операций над
аргументом имеется извлечение корня).
Всякая неалгебраическая функция называется
трансцендентной. К числу трансцендентных функций относятся:
показательная, логарифмическая, тригонометрические,
обратные тригонометрические, гиперболические функции.
Преобразование графиков. В разд. III будет показано,
как проводить исследование функций и построение их
графиков с помощью производной. Вместе с тем актуальными
остаются приемы построения графиков функций с
помощью преобразования графиков основных элементарных
функций.
Пусть задан график функции у = f(x).
Справедливы следующие утверждения (правила).
1. График функции у - f(x + а) есть график у = /(х),
сдвинутый (при а > 0 влево, при а < 0 вправо) на \а\ единиц
параллельно оси Ох (рис. 5.23).
2. График функции у - f(x) + b есть график у - f(x),
сдвинутый (при b > 0 вверх, при b < 0 вниз) на \Ь\ единиц
параллельно оси Оу (см. рис. 5.23).

276
Глава 5. Функции одной переменной
Рис. 5.23
3. График функции у - mf(x) (т * 0) есть график у =/(#),
растянутый (при т > 1) в т раз или сжатый (при 0 < т < 1)
вдоль оси Оу (рис. 5.24). При -«> < т < 0 график функции
у = mf(x) есть зеркальное отображение графика у = -mf(x)
от оси Ох.
\
J \
у - -2/(*)\
^\у=~т
Рис. 5.24
4. График функции у = f(kx) (k Ф 0) есть график у = /(*),
сжатый (при k > 1) в k раз или растянутый (при 0 < k < 1)
вдоль оси Ох (рис. 5.25). При -<» < k < 0 график функции
г/ = /(&г) есть зеркальное отображение графика у = f(-kx)
от оси Ог/.

5.6. Применение функций в экономике
277
у-К-Ъс)
у-/(-*) ч \
г/(-х/2)\\\
у-Ах)
У -/(л/2)
Рис. 5.25
Пример 5.3. Построить график функции у = -3cos 2x.
Решение. Проводим построение графика следующим
образом (рис. 5.26):
«cos* / \~*
V/ 2 \j
Г\ 1 ■
L^v"'
~2\J
У*
А\2
Тф
1/> 1
f-1\
1 -2\
-Зч
Рис
у = -
0[\
./*>
/ 2 \
. 5.26
3cos 2x
■ 1 ИГ-
-14
J 2\J
*К 1
|5я
' 2
1) строим график у = cos лг,
2) у = cos л: —»сжатие графика в два раза вдоль оси Ох —>
-> у = cos 2jt,
3) у = cos 2x -» зеркальное отражение графика от оси
Ох -> у - - cos 2x;
4) г/ = - cos 2x -» растяжение графика в три раза вдоль
оси Оу -> г/ - -3cos 2x. ►
5.6. Применение функций в экономике
Функции находят широкое применение в
экономической теории и практике. Спектр используемых в
экономике функций весьма широк: от простейших линейных до

278
Глава 5. Функции одной переменной
функций, получаемых по определенному алгоритму с
помощью так называемых рекуррентных соотношений,
связывающих состояния изучаемых объектов в разные периоды
времени.
Наряду с линейными используются нелинейные
функции: дробно-рациональные, степенные (квадратичная,
кубическая и т.д.), показательные (экспоненциальные),
логарифмические и др. Периодичность, колеблемость ряда
экономических процессов позволяет также применять
тригонометрические функции.
Наиболее часто в экономике используются следующие
функции.
1. Функция полезности {функция предпочтений) — в
широком смысле зависимость полезности, т.е. результата,
эффекта некоторого действия от уровня (интенсивности)
этого действия.
2. Производственная функция — зависимость результата
производственной деятельности от обусловивших его
факторов.
3. Функция выпуска (частный вид производственной
функции) — зависимость объема производства от наличия
или потребления ресурсов.
4. Функция издержек (частный вид производственной
функции) — зависимость издержек производства от
объема выпуска продукции.
5. Функции спроса, потребления, предложения —
зависимость объема спроса, потребления, предложения на
отдельные товары или услуги от различных факторов (например,
цены, дохода и т.п.).
Учитывая, что экономические явления и процессы
обусловливаются действием различных факторов, для их
исследований широко используются функции нескольких
переменных^. Среди них выделяются мультипликативные
функции, позволяющие представить зависимую
переменную в виде произведения факторных переменных,
обращающего его в нуль при отсутствии действия хотя бы одного
фактора.
Используются также сепарабельные функции, которые
дают возможность выделить влияние различных
факторных переменных на зависимую переменную, и, в частности,
аддитивные функции, представляющие одну и ту же зави-
Функции нескольких переменных рассмотрены в гл. 9.

5.6. Применение функций в экономике
279
симую переменную как при суммарном, но раздельном
воздействии нескольких факторов, так и при одновременном
их воздействии.
Если действием побочных факторов можно пренебречь
или удается зафиксировать эти факторы лишь на
определенных уровнях, то влияние одного главного фактора
изучается с помощью функции одной переменной,
рассматриваемой в данной и последующих главах. Приведем
примеры.
1. Исследуя зависимости спроса на различные товары
от дохода
y=^zfO(x>ai); y=hS^U{x>ai), y=b^z3l(x>a3)
jc-q x-c2 х~сз
У Д Объем
спроса
Предметы
роскоши
Товары второй
необходимости
- Товары первой
необходимости
Доход
X
Рис. 5.27

Количество
товара
Кривая
спроса
Up)
Кривая
предложения
h(p)
Равновесная цена
Ро Р
Рис. 5.28
(функции Торнквис-
та^), можно
установить уровни доходов
<2j, <22, Яз> ПР11 КОТОРЫХ
начинается
приобретение тех или иных
товаров, и уровни
(точки) насыщения bv b2
для групп товаров
первой и второй
необходимости (рис. 5.27).
2. Рассматривая в
одной системе
координат кривые спроса и
предложения, мож-но
установить
равновесную (рыночную) цену
данного товара в
процессе
формирования цен в условиях
конкурентного рынка
(паутинообразная
модель) (рис. 5.28).
Торнквист Л. — шведский экономист.

280
Глава 5. Функции одной переменной
3. Изучая в теории
потребительского спроса кривые
безразличия (линии, вдоль
которых полезность двух благ х
и у одна и та же), например,
задаваемые в виде ху я U, и
линию бюджетного
ограничения pjc + pjy = I при ценах
благрхир и доходе
потребителя /, можно установить
оптимальные количества благ
xq и г/0, имеющих максимальную полезность Щ (рис. 5.29)
4. Рассматривая функции
издержек (полных затрат)
c(q) и дохода фирмы r(q),
можно установить
зависимость прибыли n(q) = c(q) -
r(q) от объема производства q
(рис. 5.30) и выявить уровни
объема производства, при
которых производство
продукции убыточно @ < q < q2),
приносит прибыль (qn<q< <74)>
дает максимальный убыток
(q = q*) и максимальную при
*(я)
Рис. 5.30
быль (q - #3)> и найти размеры этих убытков или прибыли.
Очевидно, что перечень подобных примеров применения
функций в экономической теории и практике можно было
бы продолжить (о них, в частности, пойдет речь в
последующих главах учебника).
5.7. Интерполирование функций.
Основные правила приближенных вычислений
Остановимся еще на одном важном аспекте
использования функций в экономике — применении таблиц функций,
которые позволяют сделать возможными различные
расчеты, исключить или упростить громоздкие вычисления.
При вычислениях значений функции с помощью таблиц
часто приходится сталкиваться с ситуацией, когда
аргумент функции задан с большей точностью, чем позволяет

5.7. Интерполирование функций...
281
таблица. В этом случае применяют интерполирование
{интерполяцию) — приближенное нахождение неизвестных
значений функций по известным ее значениям в заданных
точках.
Наиболее простым является
линейное интерполирование, при
котором допускается, что
приращение функции
пропорционально приращению аргумента.
Если заданное значение х лежит
между приведенными в таблице
значениями х0 и х^ - х0 + А,
которым соответствуют значения
функции у0 -/(*0) и ух -/(*!> =
= f(xo) + А/> то считают, что
(рис. 5.31)
Vi
0
i
х-
Уо
у -
= М)
*о л
/<*>
».
ч=
А/
-/<*,)
= *0 + А
Рис. 5.31
/(х)«/(ло) + ^-^-Д/.
E.4)
Величины
х-*о
Д/ называются интерполяционными
поправками. Они вычисляются с помощью таблицы или
приводятся в дополнении к ней.
Если по заданным значениям функции необходимо
найти приближенное значение аргумента, то необходимо
провести обратное интерполирование.
Пример 5.4. Функция у - f(x) задана таблицей.
X
У
2
2,24
2,04
2,88
2,08
3,38
а) Используя линейное интерполирование, найти /B,008).
б) Чему равен х, если f(x) * 3,1?
Решение.
а) Имеем xq = 2;/(д^) = 2,42;^ = 2,04;/^) = 2,88; h = хх -
-ло=2,04-2,0 = 0,04;АГ = /(х1)-/(ло) = 2,88-2,42 = 0,46.
Теперь по интерполяционной формуле E.4) получаем
2 008 — 2 О
у = /B,008)« 2,42+ ' ' ■ 0,46 = 2,512.
^ 0,04

282 Глава 5. Функции одной переменной
в) Обратное интерполирование можно провести по той
же формуле, в которой нужно поменять местами
переменные х и у:
ф(*/) = Ф(*/о) + :^^Дф> E.5)
где х = ф(г/) — неизвестное значение обратной функции.
Имеем у0 = 2,88; ср(г/0) = 2,04; ух = 3,38; ср^) = 2,08; h = ух -
- у0 = 3,38 - 2,88 = 0,50; Дф = ф(г/1)-ф(г/0) = 2,08 -2,04 = 0,04.
Теперь по интерполяционной формуле E.5) получаем
3 1 — 2 88
* = фC>1)*2,04 + - —-0,04 = 2,0576«2,058. ►
0,5
В ряде случаев точность нахождения неизвестных
значений с помощью линейного интерполирования
оказывается недостаточной, и используются другие методы
интерполирования, например квадратичное интерполирование.
При приближенном вычислении значений функций
необходимо руководствоваться правилами приближенных
вычислений.
Обозначим через х точное (истинное) значение некоторой
величины (точное число), а через а — ее приближенное
значение (приближенное число). Число Д = ]рс — а\ называется
истинной абсолютной погрешностью приближенного числа а.
Обычно истинная абсолютная погрешность числа а
неизвестна, так как не дано точное значение х, а известна так
называемая предельная абсолютная погрешность. Число а
называется предельной (или просто) абсолютной
погрешностью приближенного числа а, если
|х-я|<а. E.6)
Относительной погрешностью 8 приближенного числа а
называется отношение истинной абсолютной погрешности
этого числа к абсолютной величине точного числа т.
8 = — 100(%). Если точное значение числа х неизвестно,
\х\
а Д мало по сравнению с |а|, то
8«A.iOO(%). E.7)

5.7. Интерполирование функций...
283
Цифра данного разряда приближенного числа а
называется верной, если истинная абсолютная погрешность А = ]рс - а\
этого числа не превосходит пяти единиц следующего справа
разряда. В противном случае эта цифра называется неверной.
Правило округления. Если первая из отбрасываемых
цифр, считая слева направо, меньше 5, то последнюю
оставшуюся цифру не меняют, если больше или равна 5, то
увеличивают на единицу.
Если отбрасывается только цифра 5, а предшествующая
ей цифра четная, то последнюю цифру не меняют, если
нечетная, то увеличивают на единицу (правило четных знаков).
Например, число к = 3,1415926... приближенно можно
записать так: к = 3,14 (так как 1 < 5), к ~ 3,142 E > 5), к * 3,1416
(так как 9 > 5), а число х = 0,6535 ~ 0,654 (по правилу
четных знаков).
Приближенное число характеризуется числом сохраненных
десятичных знаков после запятой или числом значащих цифр, к
которым относятся все цифры, кроме нулей слева. Например,
числа 792; 46,3; 0,00479 имеют по три значащих цифры каждое,
но число десятичных знаков соответственно нуль, один и пять.
При сложении (вычитании) приближенных чисел в сумме
следует сохранять столько десятичных знаков, сколько их
имеет слагаемое с наименьшим числом десятичных знаков.
При умножении (делении) приближенных чисел в
произведении (частном) следует сохранять столько значащих
цифр, сколько их имеет сомножитель (делимое или
делитель) с наименьшим числом значащих цифр.
При этом рекомендуется использовать правило запасной
цифры, состоящее в том, что для получения
окончательного результата с п верными цифрами промежуточные
действия проводят с п + 1 (или даже п + 2) верными цифрами
с последующим округлением ответа до п цифр.
Пример 5.5. Дано: к « 3,14159; lg e ~ 0,434 (все цифры
верные).
Вычислить приближенно: а) к + lg е\ б) к • lg е.
Решение.
а) Число к содержит пять верных десятичных знаков,
lg e — три, следовательно, сумма должна содержать три
верных десятичных знака. Округляя (с запасной цифрой)
число к до четырех десятичных знаков, получаем
к + lg е * 3,1416 + 0,434 = 3,5756 - 3,576.

284
Глава 5. Функции одной переменной
б) Число к содержит шесть верных значащих цифр,
lg е — три (нуль не считается), следовательно,
произведение должно содержать три верных значащих цифры.
Округляя (с запасной цифрой) число к до четырех значащих
цифр, получаем
я • lg е - 3,142 • 0,434 - 1,363628 « 1,36. ►
ПРАКТИКУМ
5.8. Функции и графики
5.6. Найти область определения функций:
а) г/ = л/jc-lgBjc-3); б) y = log3smx + \l4-x2\
3) у = у]Bх-5)\19-х2 ; r) z/ = arccos
1 + jc2'
Решение.
а) Область определения функции X найдем из системы
Г х >0,
неравенств < откуда х > 3/2 или X = C/2; + <*>)•
.ч тх [sin* >0,
о) Имеем систему i Решая первое неравенство,
|4-jc2>0.
получаем 2кп < х < к + 2тш; решая второе, найдем х2 < 4,
откуда W - 2 или -2 < х < 2. С помощью числовой оси
(рис. 5.32) находим решение системы неравенств 0 < х < 2,
т.е. область определения функции X = @; 2].
г i.jfcriir.
-27С -л: -2 0 2 к 2л х
Рис. 5.32
в) Имеем Bx-5)yJ9-x >0. Так как квадратный
корень из неотрицательного числа неотрицателен, то
придем к системе

5.8. Функции и графики
285
9-х2 >0,
Г-3<х<3,
[х>5/2,
откуда
[2х-5>0,
т.е. х € [5/2; 3]. Но решение еще не закончено. Можно
заметить, что неравенство будет справедливо и в случае, когда
первый сомножитель отрицателен, а второй равен нулю, т.е.
[9-х2 =0. fx = ±3,
\ с Л откуда \ и х - -3, т.е. X={-3}U[5/2; 3].
2х-5<0, 1х<5/2,
г) Область определения найдем из неравенства
2х
2х
1 + х'
<1,
откуда -1 < г- < 1. Так как при любом х A + х2) > 0, то
l + xz 0 0
перейдем к равносильному неравенству -1-лг<2г<1+лг,
откуда
[2х>-1-х2, f(l + xJ>0,
или i
2х<1 + х2
A-хГ>0.
Очевидно, что полученные неравенства справедливы
при любом х, т.е. область определения функции X - (-«>;
+оо). ►
5.7, Найти область значений функции:
a) s/ = sinx + cosx;6) г/ = г-; в) z/ = lg(l-2cosx).
l + xz
Решение.
а) Преобразуем функцию
у = у]2\ —=sinx + -7=cosx =v2 sin — sinx + cos—cosx =
[J2 V2 J ^ 4 4 J
= V2sin * + — L
V 4J
Так как синус любого угла по абсолютной величине не пре-
<>/2;
восходит единицы, т.е.
sin x + — <1,то >/2sin х + —
y\<yfl\ -у[2<у<ур2. Итак, область значений функции

286
Глава 5. Функции одной переменной
б) Область значений может быть найдена с помощью
производной, рассматриваемой в разд. III. Но можно
поступить иначе: найти обратную функцию х = (р(у), ее
область определения F, которая совпадает с областью
значений Y данной функции.
Выразим х через у; получим обратную функцию х = (р(#),
заданную неявно квадратным уравнением х2у - 6х + у = 0.
Очевидно, область определения этой функции найдется из
условия, что дискриминант квадратного уравнения D = Ь2 -
- Аас неотрицателен, т.е. б2 - Ау2 > 0 или у2 < 9, |г/| < 3 и -3 <
< у < 3. Итак, область значений данной функции У= [-3; 3].
в) Выражение A - 2 cos x) принимает наибольшее
значение, равное трем, когда cos х = -1, т.е. наибольшее значение
функции есть lg 3. Если A-2 cos х) —> 0 (стремится к
нулю), что имеет место при cos x —> 1/2, то логарифм этого
выражения стремится к -«>. Следовательно, область
значений функций Y= (-<*>; 3]. ►
5.8. Выяснить четность (нечетность) функций:
а) у = х - ctg3jc; б) г/ = л: ; в) г/ = (jc —lJ sin2 x.
Решение.
а) f(-x) = -jc - ctg3 (-jc) = -х 4- ctg3jc. Так как/(-х) = -f(x),
то данная функция нечетная.
2~х +1 2х +1
б) /(-*) = (-jc) = jc (после преобразований).
2~*-1 2*-1
Так как/(-х) =/(#), то данная функция четная.
в) /(-jc) = (-jc -1J siir (-jc) = (jc + \y sin2 x. Так как/(-х) Ф
*f(x) nf(-x) Ф -f(x)} то данная функция общего вида, т.е.
ни четная, ни нечетная. ►
5.9. Найти периоды функций: а) у = cos2 хг, б) у = sin4 x.
Решение.
а) Представим функцию в виде
l-fcos2jc 1 + cosBjc + In) 1 + cos2(jc + tc)
у = = = , учитывая, что
функция cosa имеет период, равный 2л. Итак, получили,
что cos2* = cos2(jc + тс) для любых х, следовательно, период
данной функции Т = п.
б) Если Т — период функции, то для любых х
справедливо равенство sin4x = sin4(:c + 7).
Представим это равенство в виде sin4(:c + Т) - sin4* = 0,
или

5.8. Функции и графики
287
(sin2(jc + Т) + sin2 jc)(sin2(jc + T) - sin2 jc) = 0. E.8)
Преобразовав выражение во вторых скобках в
произведение (рекомендуем это сделать читателю самостоятельно),
получим
(sin2 (х + Т) + sin2 jc) sinBx + Т) sin T = 0.
E.9)
Равенство E.8) или равносильное ему равенство E.9)
будет выполняться при любых х, если сомножитель, не
содержащий х, будет равен нулю: sin T = 0 и наименьшее
значение Г=7С. ►
5.10. Построить графики функций: а) у = -2х2 + 5х - 2;
б) у = -.
JC-1
Решение.
а) Вынося коэффициент при х2 за скобки и дополняя
правую часть уравнения до полного квадрата, получаем
у = -2\х2—jc + 1 |=-2
jc —-
+1-
25
16
/
= -2
V
5f 9
jc-- + -.
4 8
В соответствии с правилами 1 и 2 (с. 275) графиком
данной функции будет график у = -2х2, сдвинутый вправо
на 5/4 ед. параллельно оси Ох
и поднятый вверх на 9/8
у = -2х2 ->г/ = -2
JC--
V
у - 2г> + 5* - 2
1/
-И
ед. параллельно оси Оу
5f 9Л
JC-- + -
4 8
т.е. парабола у - -2.x2 (рис. 5.33) с цен
тром в точке E/4; 9/8).
б) Преобразуем уравнение, выде
ляя целую часть функции:
У-
-3(jc-1)-2
х-\
= -3-
JC-1
Рис. 5.33
В соответствии с правилами 1 и 2
(с. 275) график данной функции есть

288
Глава 5. Функции одной переменной
у\
3
1
1 1 1 1 1 1
-3 -1^
" "" -3"
-5
-7
1|
J" 1-Зд:
1, х-\
/1 i i i i ^
-13 5
i
• i
" М
гипербола г/ = — (рис. 5.34),
х
сдвинутая вправо на одну
единицу параллельно оси
Ох\у = >у = и опу-
^ х х-1)
щенная вниз на три единицы
параллельно оси Оу,
< 2 . 2 ^
г/ = —-—- —> г/ = —3 —
JC-1 JC-1
V /
т.е. гипербола с центром A; -3),
(см. рис. 5.34). ►
Рис. 5.35
Оу (у = -log2 х -> у = -log2 (-*)) (рис. 5.35).
б) Представим функцию в виде
5.11. Построить графики
функций^) y = -log2(-x);
б) z/ = v3sinjc-cosjc.
Решение.
а) В соответствии с
правилами 3 и 4 (с. 276) график
функции у = -log2(-#) есть график
у = -log2(#), симметрично
отображенный относительно оси
Ох (г/ = log2 *-> # = -log2jt) и
(
у = 2
V
S. 1
SH1JC COSJC
2 2
Л
= 2 sin — sinjc-cos—cosjc
3 3
= 2sin x-
B соответствии с правилами 1 и 3 (с. 275,276) необходимо
фафик функции сдвинуть вправо на л/3 ед. параллельно оси
Ох г/ = sin jc —> г/ = j
оси
. ( к\
^=smr "з
Оу y = sm[x-^]->y = 2
и растянуть вдвое вдоль
JC--
(рис. 5.36). ►

5.8. Функции и графики
289
2/ = v3sinjc-cosjc
у = sin х
*2-3|
>13.
-21
Рис. 5.36
5.12. Решить неравенства: a) |jc+ 5| < 3; б)
Решение.
а) Данное неравенство равносильно двойному
неравенству -3<х + 5<3,откуда-5-3<х<3-5,т.е.хе [-8; -2].
б) Неравенство равносильно совокупности двух
неравенств: х2 -3>13их? -3<-13. Второе неравенство
решений не имеет, так как приводится к виду х* < -10. Решая
первое неравенство, найдем г2 > 16 или щ > 4, откуда х < -4,
х>4 или хе (-°°;-4]U[4;h-«>). ►
5.13. Дана функция /(jc) =
Решение. Чтобы найти f\ —
х + 2
х-2
2
2
Найти /
жение для функции f(x) подставить
нужно вместо х в выра-
jc + 2
/
SiH^HK
jc + 2
jc^2
-2 =
Зх-2
6-jc
х-2*
►
Получаем
5.14. Известно, что /(jc) = 3jc + 4, a /(l-2g(jc)) = 25-12x
Найти f{x).
Решение. С одной стороны, /(l-2g(jc)) можно получить
из /(х), подставив вместо х (l-2g(;c)), а с другой —
/(l-2g(jc)) = 25~12x по условию. Таким образом, имеем
уравнение 3A - 2g(x)) + 4 = 25 - 12jc , из которого g(x) = 2х -3. ►
5.15. Постоянные издержки F (не зависящие от числа х
единиц произведенной продукции) составляют 125 тыс.
руб. в месяц, а переменные издержки V(x)
(пропорциональные х) — 700 руб. за каждую единицу продукции. Цена
единицы продукции равна 1200 руб. Найти объем
продукции х, при котором прибыль равна: а) нулю (точка
безубыточности); б) 105 тыс. руб. в месяц.

290 Глава 5. Функции одной переменной
Решение.
а) Издержки производства х единиц продукции составят
С(х) - F+ V(x) = 125 + 0,7х. Совокупный доход (выручка) от
реализации этой продукции R(x) - 1,2х, а прибыль Р(х) =
= R(x) - С(х) = 0,5г - 125 (тыс. руб.). Точка
безубыточности, в которой Р(х) = 0,5г - 125 = 0, равна х = 250 ед.
б) Прибыль Р(х) равна 105 тыс. руб., т.е. Р(х) = 0,5л: -
- 125 - 105 при х - 460 ед. ►
Найти области определения функций:
1 2дг —1
5.16. y = Jlog0f3 г- 5*17- У =
V Jc + 5
2
3~jc-2jc2
log2(* + l)'
5.18. г/ = 2* ^(* + 5). 5.19. z/ = lgB^1+2^-l,5).
V8-jc3
5.20. # = >/sinjc-V3cosjc.
9у
5.21. z/ = arcsin т +Jcos(sinjc).
1 + jc2
Найти область значений функций:
5.22. z/ = v3sinjc + cosjc. 5.23. у =
1 + х2'
5.24. г/ = V—jc2 + jc н- 2. 5.25. г/ = log3 A н- 3sinx).
Выяснить четность (нечетность) функций:
5.26. г/ = jc3 sin jc. 5.27. у = х-х3 + 5х5.
5.28. г/ = lg—-. 5.29. y = x2+sinx.
1-х
5.30. у = дД^. 5.31. 2/ = lgfjc-hVl + Jc2 \
Найти наименьший период функций или доказать их
непериодичность:
5.32. y = tgjc + ctg*. 5.33. z/ = cos2-.
5.34. у = sin4 x + cos4 x. 5.35. г/ = sin3 x.
5.36. z/ = sin-. 5.37. y = xsinx.
х

5.8. Функции и графики
291
Построить графики функций:
5.38. а) у = -2х2; б) у = -2(д: + ЗJ; в) у = -2(л; + ЗJ +1;
г) г/ = -2я;2+5л;-2.
3 3 3 3
5.39. а) г/ = -; б) г/ =—; в) у = —-; г) у = —--2;
X X Х-1 Х-1
ч 4х-3
Д) У = р
х-1
5.40. a) y = logiBx); б) y = logi(-2jc); в) z/ = logiC-2xJ;
ч * оХ-2 2 2 2
г) г/ = 3-2* 2.
5.41. а) г/ = sin 2jc; б) г/ = —3sin2jc; в) г/ = sin x —
г) z/ = sinx + cosr, д) z/ = cos2x ^ '
1 + х М-лЛ
5.42. Дана функция у(х) = , найти у\ .
1-х [2 + х)
5.43. Дана функция у = 2 , найти #(logj_ jc).
2
5.44. Известно, что г/(х) = , а г/ = —. Найти z{x).
2+х у 2 J х
1
5.45. Известно, что у(х) = 3 , a yDz(x)) = -у. Найти z{x).
х2
5.46. Предприятие купило автомобиль стоимостью 150 тыс.
руб. Ежегодная норма амортизации составляет 9%. Полагая
зависимость стоимости автомобиля от времени эксплуатации
линейной, найти его стоимость через 4,5 года
5.47. Зависимость уровня потребления у некоторого
вида товара от уровня дохода семьи х выражается
формулой: у = а . Найти уровень потребления товара при
х + с
уровне дохода семьи 158 ден. ед. Известно, что при х = 50
у = 0, при х = 74 у = 0,8; при х = 326 у = 2,3.
5.48. Банк выплачивает ежегодно 5% годовых (сложный
процент). Определить: а) размер вклада через три года, если
первоначальный вклад составлял 10 тыс. руб.; б) размер
первоначального вклада, при котором через четыре года вклад
(вместе с начисленными процентами) составит 10 тыс. руб.
Указание. Размер вклада Q^ через t лет определяется по
формуле
Qt =Оо^+1пл)' где Оо~ пеРвоначальный вклад; р —
годовая процентная ставка.

292
Глава 5. Функции одной переменной
Контрольные задания по главе 5 «Функция»
.ЛЬ
1
2
Вариант 5.1
Вариант 52
Вариант 53
Найти область определения функций:
X
У Ь-*2
(jc2+1)V^
X
y = igC-*>
J4-X2
у = —-— +
arctg*
+1оё2(д:-2)
# = >/*T2-lnD-*)
arcsin*
у=
sin 5*
Выяснить четность (нечетность) функций:
3
4
sin*
У = —
X
у-Vх х + cos*
2 3
у = (sin х + cos x) • х
v- tgX
У~ 4 2
ЛГ+ДГ+*
у = х2\пх
у = — *31пA + *2)
sin*
| Найти область значений функций: |
5
i4ix-\
у = 6sin*-8cos*
у = 2.5~2х2
1 Найти основной (наименьший) период функций: |
6
2
у = sin Ax
^ . х
1 t/ = 2sin—
2
t/ = tg2*
1 Построить графики функций:
7
# = -3jc2+10jc-3;
1-6*
у-
1-2*
# = -5*2+26*-5;
_1-5*
У~~ 2-5х
у = -4х2+Пх-4;
-2~9х
У~~2-Ъх
Тест 5
1. Выяснить, какие из функций являются сложными:
уГх
ш-
3) у - arcsin лг, 4) у = arcsin C#).
2. Выяснить, какие из функций заданы неявно:
1)у = sin3 In лг, 2) г/ - tg(x + г/) • 3*; 3)х-у = ху.

Контрольные задания...
293
3. Выяснить, какие из функций являются ограниченными:
1) у = е-*2;2) у = ех2;3) у = ^;4)у
sin х + cos x.
4. Выяснить, какие из функций являются
монотонными при х е (-°о; +оо):
\)у = х2]2)у = х3'13)у = ^
при х<09 ъг
;4) у = Чх.
при jc>0;
5. Выяснить, какие из функций являются нечетными:
\)у = + sin*;2) y =
COSJC
4) у = х3 tgjc.
jc(jc + 1)
sinjc
;3) у = х + tgx;
У-fix)
6. Укажите верные утверждения для функции у = arcsinx
1) монотонная; 2) ограниченная; 3) неограниченная;
4) четная; 5) нечетная; 6) общего вида; 7) явная; 8)
неявная; 9) сложная.
7. Сколько натуральных значений х содержит область
определения функции
х-4 2*-64*
8. Найти область значений У функции */ = sinjt + v80cos;c.
В ответе указать длину
отрезка, представляющего Y.
9. Найти (в градусах)
основной (наименьший) период
функции у = 7 sin 5ж,
10. Дан график функции у =
х * АХУ Выяснить, сколько
различных действительных
корней имеет уравнение /(Ах2 + 3) = 0.
11. Выяснить, каким условиям
удовлетворяют а, Ъ, с, если график
функции у = а (х + ЬJ + с имеет вид:
1) а > 0, Ъ < 0, с > 0; 2) а < 0, Ъ > 0,
О 0; 3) а < 0, 6 > 0, с < 0; 4) а < 0,
6 < 0, с > 0; 5) а < 0, 6 < 0, с < 0.
12. Затраты на производство
продукции г/ (тыс. руб.) выражаются уравнением у - 100 +
+ 10х, где х — число месяцев. Доход от реализации
продукции выражается уравнением у = 50 + 15х Начиная с
какого месяца производство будет рентабельным?

Глава 6
ПРЕДЕЛЫ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ
ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ КУРС
6.1. Предел числовой последовательности
Определение. Если по некоторому закону каждому
натуральному числу п поставлено в соответствие вполне
определенное число ап, то говорят, что задана числовая
последовательность {ап}:
av а2> •••> ап> -
Иными словами, числовая последовательность — это
функция натурального аргумента: ап = f(n).
Числа а^ <22, •••» ап называются членами
последовательности, а число ап — общим, или п-м членом данной
последовательности. Приведем примеры числовых
последовательностей1:
2, 4, 6, 8,..., 2/?,... (монотонная, неограниченная);
1, 0, 1,0,... (немонотонная, ограниченная);
3 2 5
О - - -
2 3 4
п
F.1)
(немонотонная, ограниченная).
Рассмотрим числовую последовательность F.1);
изобразим ее члены точками числовой оси (рис. 6.1).
"О 2 £6^ 1 10 9 7 5 3 ^
3579 9864 2
Рис. 6.1
1 Определения монотонной и ограниченной функций рассмотрены в гл. 5.

6.1. Предел числовой последовательности 295
Можно заметить, что члены последовательности ап с
ростом п как угодно близко приближаются к единице. При
этом абсолютная величина разности \ап- 1| становится все
меньше и меньше. Действительно,
1^-11 = 1, |о2-1| = -, |а3-1| = -, |a4-l| = --,...,|a„-l| = -,...,
2 3 4 п
т.е. с ростом п \ап - 1| будет меньше любого сколь угодно
малого положительного числа.
Определение. Число А называется пределом числовой
последовательности {ап}, если для любого, даже сколь
угодно малого положительного числа е > 0, найдется такой
номер N (зависящий от е, N = ЛГ(е)), что для всех членов
последовательности с номерами п > N верно неравенство
|а„-А|<е. F.2)
Предел числовой последовательности обозначается lim an=A
П—>оо
или ап —»А при п —» оо. Последовательность, имеющая
предел, называется сходящейся, а в противном случае —
расходящейся.
Используя логические символы — квантор общности V
(вместо слова «для любого»), квантор существования 3
(вместо слова «найдется»), а также символ равносильности <=>,
определение предела можно записать в виде
(А = lim an) <=* (Ve > 0)CN = tf(e))(Vn > N) \ an - A \< e.
Смысл определения предела числовой
последовательности состоит в том, что для достаточно больших п члены
последовательности {ап} как угодно мало отличаются от
числа А (по абсолютной величине меньше, чем на число е,
каким бы малым оно ни было).
Пример 6.1. Доказать, что для последовательности F.1)
lim ап = 1.
П—>оо
Решение. Пусть, например, е = 0,1. Тогда неравенство F.2)
|а„-1|<0,1 или
1+t')-i
-1
1
<е те — <е выполняется
' ' ' п
п
при п > 10. Аналогично для е = 0,01 \ап -1| < 0,01 при п > 100.

296
Глава 6. Пределы и непрерывность
Для любого е > 0 неравенство F.2) \ап -1| < г или — < £
1 п
выполняется при п > -.
е 1
Итак, при любом е > 0 существует такой номер N = -
е
(или равный целой части -), что для всех п > ЛГ(при е = 0,1
8
для п > 10, при е = 0,01 для п > 100 и т.д.) выполняется
неравенство \ап -1| < 8, а это и означает, что lim an = 1. ►
Выясним геометрический смысл предела числовой
последовательности. Расположим члены последовательности av a2,...,
ап,... на числовой прямой. Неравенство F.2) \ап - А| < 8
равносильно двойному неравенству А-г<ап<А + е,
соответствующему попаданию членов последовательности ап в
е-окрестность точки А (рис. 6.2).
2е
А - Ъ/^* ^Ч А + 8
i i i г i i • i _^j i i ^
а\ аз аз а7 а9 А а8 а6 а4 а2 ^
Рис. 6.2
Итак, число А есть предел числовой последовательности
{ап}, если для любого е > 0 найдется номер N, начиная с
которого (при п > N) все члены последовательности будут
заключены в г-окрестности точки А, какой бы узкой она ни
была. Вне этой е-окрестности может быть лишь конечное
число членов данной последовательности.
6.2. Предел функции в бесконечности и точке
Предел функции в бесконечности. С понятием предела
числовой последовательности ап = f(n) тесно связано
понятие предела функции у = f(x) в бесконечности. Если в
первом случае переменная п, возрастая, принимает лишь целые
значения, то во втором случае переменная х9 изменяясь,
принимает любые значения.
Определение. Число А называется пределом
функции у = f(x) при х, стремящемся к бесконечности, если
для любого, даже сколь угодно малого положительного
' числа е > 0, найдется такое положительное число S > 0

6.2. Предел функции в бесконечности и точке 297
(зависящее от е; 5 = 5(e)), что для всех ж, таких, что
|х| >5, верно неравенство
|/(*)-А|
<е.
F.3)
<£.
Этот предел функции обозначается Hm f(x) = А или
/(*)-> А прил:->оо. *->°°
С помощью логических символов определение запишется
|A=lim/(jc) |<=>(Ve>0)C5=5(e)>0)(Vjc:|x|>5)|/(jc)-A|
Смысл определения остается тем же, что для предела
числовой последовательности: при достаточно больших по
модулю значениях х значения функции f(x) как угодно
мало отличаются от числа А (по абсолютной величине).
Выясним геометрический смысл предела функции у =
= f(x) в бесконечности. Неравенство F.3) \f(x) - А\ < г
равносильно двойному неравенству А - е < f(x) < А + е,
соответствующему расположению части графика в полосе
шириной 2е (рис. 6.3).
Итак, число А есть
предел функции у = f(x)
при х -> оо, если для
любого е > 0 найдется
такое число S > О, что для
всех х таких, что \х\ > S,
соответствующие
ординаты графика функции
f(x) будут заключены в
полосе А-г<у< А + г,
какой бы узкой эта
полоса ни была.
Пример 6.2. Доказать, что lim rzj_i = 5.
jc —> ©о х
Решение. Для любого е > 0 неравенство
F.3)
5jc + 1
-5
< в или гт < £ выполняется при
|х| >-
е
Итак, для любого е > 0 существует такое число S = - > О,
что для всех х таких, что [г| > 5, будет верно неравенство
, , - 5jc+1
|/(х)-5| <е, где /(*)= , а это и означает, что lim /(jc)=5. ►

298
Глава 6. Пределы и непрерывность
Замечание. Приведенное выше определение предела
при х -> оо предполагает неограниченное возрастание
независимой переменной х по абсолютной величине. В то же
время можно сформулировать понятие предела при
стремлении х к бесконечности определенного знака, т.е. при х —»-и»
и х -> -оо. В первом случае основное неравенство F.3)
должно выполняться для всех х таких, что х > S, а во втором —
для всех х, таких, что х < -S.
Предел функции в точке. Пусть функция у = f(x)
задана в некоторой окрестности точки х0, кроме, быть может,
самой точки х0.
Определение. Число А называется пределом
функции f(x) при х9 стремящемся к х0 (или в точке х0),
если для любого, даже сколь угодно малого
положительного числа е > 0, найдется такое положительное число
8 > 0 (зависящее от £, т.е. 8 = 8(e)), что для всех х, не
равных Xq и удовлетворяющих условию
|*-ло|<8, F.4)
выполняется неравенство
|/(jc)-A|<e. F.5)
Этот предел функции обозначается lim /(jc) = A или
/(*)-> А прих->х0. х~**о
С помощью логических символов определение запишется
( \
А= lim/Ос)
X-*Xq
«(Ve>0)C8 = 8(e)>0)(Vjc^Ao:|jc-jc0|<8)
|/(*)-А|<ь
Смысл определения предела функции f(x) в точке х0
состоит в том, что для всех значений х, достаточно близких к
х0, значения функции f(x) как угодно мало отличаются от
числа А (по абсолютной величине).
Рассмотрим геометрический смысл предела функции в
точке. Как отмечалось выше, неравенство |/(дс)-А| <е
равносильно двойному неравенству А-е< f(x)<А + е,
соответствующему расположению части графика в полосе ши-

6.2. Предел функции в бесконечности и точке 299
риной 2е (рис. 6.4). Аналогично неравенство |х-х0|<8
равносильно двойному неравенству х0-8<х<х0 + 8,
соответствующему попаданию точек х в 8-окрестность точки х0.
Число А есть предел
функции f(x) при х —» х0,
если для любого е > О
найдется такая
8-окрестность точки х0, что
для всех х Ф Xq из этой
окрестности соответ -
ствующие ординаты
графика функции f(x)
будут заключены в полосе
А-£<у<А + е, какой бы
узкой эта полоса ни
была.
хо - 5 xq + 8
Xq
Рис. 6.4
Пример 6.3. Доказать, что lim Bх + 3) = 5.
х—>1
Решение. Пусть е = 0,1. Тогда неравенство F.5) \Bх + 3) -
- 5| < 0,1 будет выполняться при \х - 1| < 0,05. Аналогично
при е = 0,01 то же неравенство F.5) будет верно при |х - 1| <
< 0,005.
Для любого е > 0 неравенство F.5) \Bх + 3) - 5| < е
будет выполняться при | * -1| < -.
Итак, при любом е > 0 существует такое число 8 = —
(для г = 0,1 8 = 0,05, для г = 0,01 8 = 0,005 и т.д.), что для
всех х Ф 1 и удовлетворяющих условию \х — 1| < 8 верно
неравенство |/(х)-5|<£, где /(jc) = 2jc + 3, а это и означает, что
lim/(x) = 5. ►
Замечание 1. Определение предела не требует
существования функции в самой точке х0, ибо рассматривает
значения х Ф Xq в некоторой окрестности этой точки.
Другими словами, рассматривая lim /(*), предполагается, что
х стремится к х0, но не достигает значения Xq. Поэтому
наличие или отсутствие предела при х —»х0 определяется
поведением функции в окрестности точки х0, но не связано со
значением функции (или его отсутствием) в самой точке ж0.
Замечание 2. Если при стремлении х к х0 переменная х
принимает лишь значения, меньшие х0, или, наоборот,

300
Глава 6. Пределы и непрерывность
лишь значения, большие х0, и при этом функция f(x)
стремится к некоторому числу Л, то говорят об односторонних
пределах функции f(x) соответственно слева lim / ( jc) = А и
x->Xq-0
справа lim f(x) = А. Очевидно, что определение этих пре-
jt-^+O
делов будет аналогично рассмотренному выше при х —»х0,
если вместо значений х, удовлетворяющих условию F.4),
при которых верно неравенство F.5), рассматривать
значения х, такие, что х0 - 8 < х < х0 при х -> х0 - 0 (слева), или
значения х, такие, что jcq < х < х0 + 8 при х -» х0 + 0 (справа).
Разумеется, если
lim /(*)= lim /(jc) = A, то lim f(x) = A.
x—>Aq-0 л—Mq+O л—>д^
6.3. Бесконечно малые величины
Определение. Функция а(х) называется бесконечно
I малой величиной при х -> х0 или при ж -> <*>, если ее
предел равен нулю:
lim oc(jt) = 0.
X-*Xq(°o)
Зная определение предела функции при х -> xQ и х —»<»,
можно дать развернутое определение бесконечно малой
величины.
Определение. Функция а(х) называется бесконечно
I малой величиной при х -> х0, если для любого, даже сколь
угодно малого положительного числа е > 0, найдется такое
положительное число 8 > 0 (зависящее от £, 8 = 8(e)), что
для всех х, не равных х0 и удовлетворяющих условию
|*-*b|<8, <6-6)
будет верно неравенство
|а(х)|<е. F.7)
С помощью логических символов приведем это
определение к виду

6.3. Бесконечно малые величины 301
а(х) - бесконечно
малая величина при х ->дс0
или lim a(jc) = 0
<=> (Ve > 0)(В8 = 8(e) > 0)(Vjc ^ jcq : |jc - jc0| < 8)
|a(x)|<e.
Аналогично можно сформулировать определение
бесконечно малой величины при х -> «>, если основное
неравенство F.7) рассматривать для достаточно больших х.
Приводим его в краткой форме:
а(х) - бесконечно
малая величина при х
или lim a(jc) = 0
<=>
<=>(Ve>0)C5 = S(e)>0)(Vx:|jc|>S)
|a(jc)|<e.
Например, функции у = cos х при х -» — и z/ =
при х -> ©о есть бесконечно малые величины, ибо их
пределы равны нулю.
Не следует путать бесконечно малую переменную
величину а(х) с очень малым, но постоянным числом е > 0, ибо
по мере приближения значений хкх0 (при х -> х0) или по
мере увеличения по модулю значений х (при х —> <*>)
функция а(х) в соответствии с F.7) окажется меньше этого
числа е (по абсолютной величине).
Связь бесконечно малых величин с пределами
функций. Теорема. Если функция f(x) имеет при х -> хq (x -> ©о)
предел, равный А, то ее можно представить в виде суммы
этого числа А и бесконечно малой величины а(х) при х —»х0
(Х-> оо)
/(jc) = A + o(jc).
F.8)

302
Глава 6. Пределы и непрерывность
□ Докажем теорему для случая х -» х0\ По условию
lim f(x) = А. Это означает, что для любого е > 0 существу-
ет такое число 8 > 0, что для всех х * х0 и
удовлетворяющих условию |х — Xq\ < 8 будет верно неравенство
]/(*)-А|<е, или, обозначив oc(jc) = /(*)-А, справедливо
неравенство |а(дс)| < е. Это и означает, что а(х) есть
бесконечно малая величина при х —> х0. Ш
Верна и обратная теорема.
Теорема. Если функцию f(x) можно представить как
сумму числа А и бесконечно малой величины а(х) при х —> х0
(х -» ©о), то число А есть предел этой функции при х -> х0
(х -» ©о), т.е. lim /О) = А.
П По условию f(x) - A + a(;c). Пусть, например, х -» х0.
Так как функция а(х) = /(*) - А есть бесконечно малая
величина при х -» х0, то для любого числа £ > 0 существует
такое число 8 > 0, что для всех х * х0 и удовлетворяющих
условию |х — х0 | < 8 верно неравенство |<х(*)| = |/(*) - А| < е.
Это и означает, что lim f(x) = A. ■
Свойства бесконечно малых величин.
1. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно
малых величин есть величина бесконечно малая.
2. Произведение бесконечно малой величины на
ограниченную функцию (в том числе на постоянную, на другую
бесконечно малую) есть величина бесконечно малая.
3. Частное от деления бесконечно малой величины на
функцию, предел которой отличен от нуля, есть величина
бесконечно малая.
□ В качестве примера докажем свойство 1 для двух
бесконечно малых величин а(х) и E(х) при х -> х0. Покажем,
что функция (а(х) + C(х)) также является бесконечно
малой при х -> х0.
По условию ос(х) и C(х) есть бесконечно малые величи-
с
ны при х -> х0. Это означает, что для любого е7 = - > 0 най-
1 Здесь и далее доказательство основных свойств бесконечно малых
и бесконечно больших величин, пределов функций проводим для случая
х -»х0, рассматривая поведение функции в некоторой окрестности точки
х0, т.е. для х е (х0 — 6, xQ + b), где 6 > 0. Доказательство тех же
утверждений для случая х -> «> полностью идентично, если рассматривать
поведение функции при достаточно больших (по модулю) значениях х, т.е. при
\х\ > S (где S > 0) или при х е (-ее; -S) U E; +«>).

6.3. Бесконечно малые величины
303
дутся такие числа 81 > 0, 82 > 0, что для всех х * xQ и
удовлетворяющих условиям
|*-*o|<8i F.9)
и
|*-х0|<82 F.10)
выполняются соответственно неравенства
1<*(*)|<§ F.11)
и
1М<§- F.12)
Если взять в качестве числа 8 минимальное из чисел 81
и 82, т.е. 8 = min{81, 82}, то неравенству |х-х0|<8 будут
удовлетворять решения обоих неравенств F.9) и F.10), а
следовательно, одновременно будут верны неравенства
F.11) и F.12). Складывая почленно неравенства F.11) и
F.12), получаем, что
|а(х)| + |Р(х)|<| + | = е.
Используя свойство абсолютных величин (см. параграф
5.2), т.е. |a(jt) + P(jt)|<|a(jt)| + |p(jt)|, придем к более
сильному неравенству
|a(jt) + P(jt)|<e. F.13)
Итак, для любого £ > 0 существует такое 8 > 0, что для всех
х * Xq и удовлетворяющих условию |дг-х0| < 8 верно
неравенство F.13). А это и означает, что функция а(х) + р(х) есть
величина бесконечно малая. ■
Пусть, например, а(х) = 5*-10, P(jc) = \g(x -1) есть
бесконечно малые величины при х —> 2 (ибо lim а(х) = 0,
lim P(jc) = 0), функция f(x) = sin x есть функция, ограничен-
ная при х -» 2 (точнее функция /(jc) = simc ограничена в
любом промежутке, а не только в окрестности точки х - 2,
ибо всегда |sinjc|<l). А функция ф(х) - х2 - 5 при х -> 2
имеет предел (-1), не равный нулю. Тогда функции

304
Глава 6. Пределы и непрерывность
а(х) ±P(jc) = 5jc- 10 ±lg(jc-l) (по свойству 1), a(jc)/(jt) = Ejc-
-10) shut, 6a(jc) = 30jc-60, a(jc)P(jc) = Ejc -10) lg(jc -1) (посвой-
ству 2), = —т (по свойству 3) есть величи-
ф(*) * -5
ны бесконечно малые при х -» 2.
Замечание. Свойство 3 не рассматривает предел
отношения двух бесконечно малых величин а(х) и Р(х) из-за
его неопределенности. Этот предел lim тг— может быть
равен нулю, числу А * 0, символу <*>. В этом случае
бесконечно малая величина а(х) называется соответственно
бесконечно малой более высокого порядка малости, чем р(х),
одного порядка малости, более низкого порядка малости,
чем Р(х). Тот факт, что а(х) есть бесконечно малая более
высокого порядка, записывается следующим образом: а(х) =
= 0 (р(х)) при х —> Xq (х -» оо) (читается «а(х) есть о малое
ОТ Р(Х)» При X -» JCq (X -» оо)).
Если lim —^ = 1, то бесконечно малые величины а(х)
*-**о(~) Р(*)
и Р(х) при х -» х0(х -» оо) называются эквивалентными; в
этом случае пишут a(x) ~ Р(х). Можно показать, что если
предел отношения двух бесконечно малых величин конечный
или бесконечный^, то он не изменится, если эти бесконечно
малые заменить им эквивалентными:
v а(х) щ(х)
если а(х)-аг(х)9 $(х)~$г(х) при x-*xq(x-»°о).
6.4. Бесконечно большие величины
Определение. Функция f(x) называется бесконечно
большой величиной при х -» х0, если для любого, даже
сколь угодно большого положительного числа М > 0,
найдется такое положительное число 8 > 0 (зависящее от
М, 8 = 8(М)), что для всех х, не равных х0 и
удовлетворяющих условию [г — х0| < 8, будет верно неравенство
\fW\>M. F.14)
1 См. параграф 6.4.

6.4. Бесконечно большие величины 305
Запись того, что функция /(х) бесконечно большая при
х -» х0, следующая: lim f(x) = °о или f(x) -» °° при х -» х0.
Это же определение можно представить в виде
f{x) - бесконечно
большая величина при jc-»jc0,
или lim /(jc) = oo
&(VM>0)C8 = b(M)>0)(Vx*x0:\x-x0\<8)
\f(x)\>M.
Если в приведенном определении/(х) > М(или/(х) < -М),
то пишут lim f(x) = -н» (или lim /(x) = -во).
Аналогично можно было определить понятие
бесконечно большой величины при х —> ©о. Приведем его в краткой
форме:
f(x) - бесконечно
большая величина при х —> ©о,
или lim f{x) = ©о
<=>(VM >0)(Э5 = S(M)>0)(Vjc:\x\>S)
\f(x)\>M.
я I
Так, например, функции у e tg х при х -» —, г/ = v5x - 7
при х -» ©о являются бесконечно большими.
Не следует путать бесконечно большую переменную
величину/(х) с очень большим, но постоянным числом М > 0,
ибо по мере приближения значений х к х0 (при х —> х0) или
по мере увеличения по модулю х (при х -> °о) в
соответствии с неравенством F.14) функция/(х) превзойдет это
число М (по абсолютной величине).

306
Глава 6. Пределы и непрерывность
Замечание. В параграфе 5.3 было дано определение
ограниченной функции на некотором промежутке X. Следует
иметь в виду, что бесконечно большая величина есть
функция неограниченная при х -» xQ (x -» ©о). В то же время
неограниченная функция не обязательно бесконечно большая.
Например, функция у = х sin x является неограниченной
(ее значения могут быть как угодно большими), но не
бесконечно большой при х -> оо, так как с ростом х функция
все время колеблется, переходя от положительных к
отрицательным значениям (и наоборот) и обращаясь в нуль при
сколь угодно больших значениях х.
Свойства бесконечно больших величин.
1. Произведение бесконечно большой величины на
функциюу предел которой отличен от нуля, есть величина
бесконечно большая.
2. Сумма бесконечно большой величины и ограниченной
функции есть величина бесконечно большая.
3. Частное от деления бесконечно большой величины на
функцию, имеющую предел, есть величина бесконечно
большая.
Например, если функция f(x) = tgx есть бесконечно
я
большая величина при х—> — (ибо lim /(jc) = oo), функция
2 *->*
к 2
срО) = Ах - 3 при х -» — имеет предел Bя - 3), отличный от
нуля, а функция \|/(jc) = sinjc — ограниченная функция, то
функции /0)(p(jc) = Djc - 3) tgx (по свойству 1), /(*) + \|/(jc) =
f(x) tgjc
= tgjc + sinjc (по свойству 2), = (по свойству 3)
ср(х) 4х-3 п
являются бесконечно большими величинами при х -» —.
Связь между бесконечно малыми и бесконечно
большими величинами. Теорема. Если функция а(х) есть
бесконечно малая величина при х —> xq(x —> «>), то функция
f(x) = является бесконечно большой при х -> xq(x -»<»).
а(х)
И наоборот, если функция f(x) бесконечно большая при
х -» xq(x -» °о), то функция а(х) = есть величина беско-
нечно малая при х —> х0 (х —> <»).

6.5. Основные теоремы о пределах...
307
□ Докажем первое утверждение для случая х —> х0, т.е.
если а(х) — бесконечно малая величина, то /(*) =
есть бесконечно большая при х -» х0. w
По условию а(х) — бесконечно малая величина при х -» х0,
следовательно, для любого е > 0 найдется такое 6 > 0, что
для всех х * Xq и удовлетворяющих условию |х-Лф| < 8
будет верно неравенство |а(;с)|<£. Последнее неравенство (в
предположении, что в некоторой окрестности точки х0 при
1
а(х)
1
>- или
8
х * Xq a(x) * 0) равносильно следующему
|/(jc)| > М, где f(x) = и М = -. Это и означает, что при
a(jc) 8
х -» х0 функция /(х) является бесконечно большой
Доказательство второго утверждения аналогично.
Например, если функции у = cos х при х -> - и у = -
при х —» °о есть величины бесконечно малые, то функции
1 я 2х-7
у = при * -» — и г/ = при х —> оо есть величины
cosjc 2 3
бесконечно большие. И наоборот, если функции у = tgx
при х -» —, г/ = \/5х-7 при х -» °° есть величины бесконечно
большие, то функции г/ = = ctgx при х —>- и г/ = ,
tgx 2 V5x-7
при х —> оо есть величины бесконечно малые.
6.5. Основные теоремы о пределах.
Признаки существования предела
Пусть /(х) и ф(х) — функции, для которых существуют
пределы при х —> х0 (или при х —> <»): Um /(x) = A,
*->ЛЬ(оо)
lim ф(х) = Я.
Сформулируем основные теоремы о пределах.
1. Функция не может иметь более одного предела.
П Предположим противное, т.е. что функция /(х) имеет
два предела: А и D (А * D). Тогда на основании теоремы о
связи бесконечно малых величин с пределами функций в
соответствии с формулой F.8) f(x) = А + a(x), f(x) = D + Р(х),

308 Глава 6. Пределы и непрерывность
где а(х) и р(х) — бесконечно малые величины при
х -> xq(x -» ©о). Вычитая почленно эти равенства, получаем
0 = A-D + (a(jc)-p(jc)), откуда a(jc) -р(х) = D - А. Это
равенство невозможно, так как на основании свойства 1
бесконечно малых величин а(х) - р(х) есть величина бесконечно
малая. Следовательно, предположение о существовании
второго предела неверно. ■
2. Предел алгебраической суммы конечного числа
функций равен такой же сумме пределов этих функций, т.е.
lim [/(jc) + 9(jc)] = A + £.
*->*b(°°)
3. Предел произведения конечного числа функций равен
произведению пределов этих функций
lim [f(x)q>(x)] = AB.
В частности, постоянный множитель можно выносить
за знак предела:
lim (c/(jc)) = cA.
■*->*ь(°°)
4. Предел частного двух функций равен частному
пределов этих функций (при условии, что предел делителя не
равен нулю)
*->ло(оо) ФСх) В
5. Если lim f(u) = A, lim (p(jt) = w0, то предел сложной
функции и~*и° х~**° Ш
1ш/[ф(х)] = А
X-*Xq
6. Если в некоторой окрестности точки Xq (или при
достаточно больших х) fix) < ф(х), то
lim /(*)< lim ф (jc).
*-»*o(oo) *->.хь(~)
□ Докажем в качестве примера теорему 2. По условию
lim f(x) = А и lim (p(jc) = В, следовательно, на осно-

6.5. Основные теоремы о пределах...
309
вании теоремы о связи бесконечно малых величин с
пределами функций в соответствии с формулой F.8) /О) = А + a(jt),
cp(jc) = В + C(jc), где а(х) и C(х) — бесконечно малые
величины при х —» х0 (х -» оо). Перемножая почленно оба
равенства, получаем
/(jc)cp(jc) = АВ + jgg(jc) + Ap(jc) + a(jc)p(jc).
На основании свойств бесконечно малых последние
три слагаемых представляют бесконечно малую величину
у(х) при х -> Xq (х -> оо). Итак, функция /(jt)<p(jt)
представляет сумму постоянного числа АВ и бесконечно
малой у(х). На основании обратной теоремы о связи
бесконечно малых величин с пределами функций это означает,
что lim /(jc)cp(jc) = АВ. Ш
X->Xq(oo)
Замечание. В теоремах о пределах предполагается
существование пределов функций f(x) и ф(х), из чего
следуют заключения о значениях пределов суммы, произведения
или частного функций. Но необходимо учитывать, что из
существования предела суммы, произведения или частного
функций еще не следует, что существуют пределы самих
слагаемых, сомножителей или делимого и делителя.
Например, lim(tgjc ctg x) = liml = 1, но отсюда еще не еле-
я п
х->— *-»—
2 2
дует существование пределов limtg* и lim ctg jc. И действи-
к к
JC-»- Х->-
2 2
тельно, в данном случае первого из этих пределов не
существует.
Признаки существования предела. Для выяснения
вопроса о существовании предела использовать определения
предела, сформулированные выше, не всегда удобно. Проще
это сделать с помощью признаков существования предела.
Теорема 1. Если числовая последовательность {ап}
монотонна и ограниченна, то она имеет предел.
Возможны два случая: а) последовательность
неубывающая и ограниченная сверху а^ < а2 ^ ... < ап < ... < М
(рис. 6.5, а); б) последовательность невозрастающая и
ограниченная снизу a1 > a2 > ... > ап ... > М (рис. 6.5, б).
Рис. 6.5 иллюстрирует наличие предела А числовой
последовательности.

310
Глава 6. Пределы и непрерывность
а,
б
А
М
«4
а2
«3
«3 «4
а2
м
ах
а
а
Теорема 2. Если в
некоторой окрестное-
М ап ти точки Xq (или при
достаточно больших
значениях х) функция
f(x) заключена между
двумя функциями ф(х)
рис 55 u V(*)> имеющими
одинаковый предел А при
х -> Xq (или х -» °о), то функция f{x) имеет тот же предел А.
П Пусть при х —> Xq lim ф(*) = A, lim \\г(х) = А. Это озна-
X-+Xq X->Xq
чает, что для любого 8 > 0 найдется такое число 8 > 0, что
для всех х * Xq и удовлетворяющих условию \х - х$\ < 8
будут верны одновременно неравенства
|(p(jc)-A|<8, |\|/(jc) - А\ < 8
или
A-8<q>U)<A + e, A-8<\|/(jc)<А + е. F.15)
Так как по условию функция/(х) заключена между
двумя функциями
ф(*)</(*)<\|/(*),
то из неравенств F.15) следует, что А —г <f(x) < А + 8, т.е.
|/«-А|<8.
А это и означает, что lim f(x) = A. ■
6.6. Замечательные пределы.
Задача о непрерывном начислении процентов
Первый замечательный предел
Первым замечательным пределом называется предел
функции smx в точке х = 0, т.е.
X
,. sinjc Л
Ьт = 1. F.16)

6.6. Замечательные пределы...
311
□ Для доказательства
формулы F.16) рассмотрим круг
радиуса R с центром в точке О.
Пусть ОВ — подвижный
радиус, образующий угол х
к
(О < х < —) с осью Ох (рис. 6.6).
Из геометрических
соображений следует, что площадь
треугольника АОВ меньше
площади сектора АОВ, которая в
свою очередь меньше площади
прямоугольного треугольника
АОС.
Рис. 6.6
ьАОВ
<S.
сект. АОВ
<s.
АОС-
1 1 2 12
Так как SaA0B = -R Rsmx = -R sinx, ScqktAOB=-R x
1 1 1 9
s*aoc =-AOAC = -AO- (АО • tg jc) = - /r tg x, то имеем
1 2 1 2 1 2
— R sinx<— R x<—R tgx, откуда, разделив части двойно-
ln2 . Л л X 1
го неравенства на -R sinх>О, получим 1 < < или
2 sinjc cosjc
sinjc л
cosjc< <1.
Так как функции cos* и
sinjc
четные, то полученные
к
неравенства справедливы и при — < х < 0. Переходя к
пределу при х -» 0, получаем lim 1 = 1, lim cos jc = 1
(обосновало *->o
ние этого факта см. в примере 6.7). На основании признака
существования предела промежуточной функции lim = 1. ■
sin6jc
Пример 6.4. Найти: a) lim
*->0 4х
-; б) lim
*->о х
1-COSJt
*->0
Решение.
ч ,. sin6jc 3 .. sin 6* 3 л З
a) lim = — lim = — • 1 = —.
x->0 4x 2*->0 6x 2 2

312
Глава 6. Пределы и непрерывность
л 2sm — л
^ч „ 1-cosx л. 9 1 1-
о) bm -— = bm —— = — bm
jc->0
jc->0
2jc->0
sm —
2
x
2
= - • l = -. ►
2 2
Второй замечательный предел
Рассмотрим числовую последовательность ап =
-KJ-
Если вычислить значения членов последовательности, то
получим <2j = 2,0, а2 = 2,25, я3 = 2,37, я4 = 2,441, я5 - 2,488,...,
и можно предположить, что последовательность {ап}
является возрастающей. Действительно, воспользуемся
формулой1 бинома Ньютона2 (см. параграф 14.2)
<-Н
1 n(n-l) 1 л(п-1)...(л-(л-1)) 1
= 1 + п •- + — -• — + ...+-
1-2
1-2—и
или
*=2+Г2И |+-+
^НИ)™
С ростом п увеличиваются как число положительных
слагаемых (их в формуле п +1), так и величина каждого
слагаемого, т.е. а± < а2 < ... < ап < ...
Последовательность {ап} является ограниченной. Это
вытекает из формулы F.17), если дать оценку а„.
а„<2 +
_1_
1-2
- + ... + -
1
1-2--.П
- + ...<2 + - + ...+
п-\
(полученную после освобождения от скобок, выражения в
каждой из которых меньше единицы, и замены каждой из
дробей большей дробью с двойками в знаменателе:
1 _1_
1-2-3<22
1 1
12---п< 2п~1
1 Стоящее в знаменателе общего члена произведение п первых чисел
натурального ряда называется факториалом (обозначается я!, читается
«эн факториал»): п\ = 1 • 2 • 3 • • (п - 1)я.
2 Ньютон Исаак A643—1727) — английский физик и математик.

6.6. Замечательные пределы... 313
п 1 1 с
Сумма — + ...+ - представляет сумму i„_1 членов гео-
9 г\П—1 п 1
1
метрической прогрессии с первым членом а = - и
знаменателем а = —.
2
Имеем
1
5л-1 -
a{qn-X-V>_2
W-'
=i—L<i.
9-1 I_i 2n4
2
Так как 5n_j < 1 , то а„ =| 1 + - | <2 + 1 = 3.
,TOa„=|l + ij
1НШ
-К J
Согласно признаку существования предела монотонная и
ограниченная последовательность ап = 1 + — имеет предел.
Определение. Числом е (вторым замечательным
пределом) называется предел числовой
последовательности
= lim[l + -| .
F.18)
Выше фактически было установлено, что 2 < е < 3. Более
точно е « 2,718281..., т.е. число е — иррациональное число.
Можно показать, что функция у = 1 + — I при х —> +«>
у = 1 + — при х
и при х —> -©о (где лс в отличие от натурального числа п
«пробегает» все значения числовой оси — не только целые)
имеет предел, равный числу е:
е = lim 11 + - I
F.19)
Полагая у = -, находим х = —, поэтому при х -» «. у -» 0.

314
Глава 6. Пределы и непрерывность
В результате получается еще одна запись числа е\
е= Мт{\ + у)у.
F.20)
Число е {число Эйлера}, неперово число) играет весьма
важную роль в математическом анализе. График функции
у = ех (см. рис. 7.8) получил название экспоненты. Широко
используются логарифмы по основанию е, называемые
натуральными. Натуральные логарифмы обозначаются
символом In: loge x = In x.
( 5Л3х 2~
Пример 6.5. Найти: a) lim 1+- ; б) lim A-Зг/)у.
*-> ool X I #-> О
Решение:
_ _ I I
) lim fl + -l = lim \(l + -f = lim \(l + -f
JC->oo^ Xj JC->ooM Xj jc->ooM X)
-115
= e
15
б) lim(l-3*/)y = lim
*/-> 0 y-> о
0-3*/)
= lim
n-6
0-3»)
К числу е приводят решения многих прикладных задач
статистики, физики, биологии, химии и др., анализ таких
процессов, как рост народонаселения, распад радия,
размножение бактерий и т.п.
Рассмотрим задачу о непрерывном начислении
процентов. Первоначальный вклад в банк составил Qq
денежных единиц. Банк выплачивает ежегодно р% годовых.
Необходимо найти размер вклада Qt через t лет.
При использовании простых процентов размер вклада
ежегодно будет увеличиваться на одну и ту же величину —- Qo,
100
т.е.
Qi=Qo
1 +
ш}ъ{1+ш} •-*-<*>
1+
100
1 Эйлер Леонард A707—1783) — математик, механик и физик.

б.б. Замечательные пределы...
315
На практике значительно чаще применяются сложные
проценты. В этом случае размер вклада ежегодно будет
увеличиваться в одно и то же число A + —-) раз, т.е.
Qx =Qo(l + —), Q2 =Qo(l + —J, ...,Qr =QoA + —)r-
Если начислять проценты по вкладам не один раз в году,
а п раз, то при том же ежегодном приросте р% процент на-
1
Р о/
числения за — -ю часть года составит — %, а размер вклада
п п
за t лет при nt начислениях составит
F.21)
Будем полагать, что проценты по вкладу начисляются
каждое полугодие (п = 2), ежеквартально (и = 4), ежемесячно
(п = 12), каждый день (п = 365), каждый час (га = 8760) и т.д.,
непрерывно (га —> °°). Тогда размер вклада за t лет составит
Qt= lim
<2о
(l-E-T
{ ЮОп)
П—>оо
lOOw
1+-
100л
100
или с учетом F.19) при х =
100п
->оо
PL
Q,=Qoe10°.
F.22)
Формула F.22) выражает показательный
{экспоненциальный) закон роста вклада (при р > 0) или убывания (при
р < 0). Она может быть использована при непрерывном
начислении процентов.
Чтобы почувствовать результаты расчетов в
зависимости от способа начисления процентов, в таблице в качестве
примера приводятся размеры вкладов Qv ден. ед.,
вычисленные при Qo = 1 Ден- ед., р = 5%, t = 20 лет.

316
Глава 6. Пределы и непрерывность


начальный
вклад
1,000
Формула
простых
процентов
2,0000
Формула сложных процентов
л= 1
2,6355
я = 2
2,6851
п = 4
2,7015
п= 12
2,7126
п = 365
2,7181
Формула

непрерывного

начисления
процентов
2,7182
Из приведенных в таблице данных следует, что
погрешность вычисления суммы вклада по формуле F.22)
непрерывного начисления процентов по сравнению с формулой
F.21) сложных процентов, начисляемых ежегодно (п = 1),
при одной и той же процентной ставке (р = 5%) оказалась
незначительной (около 2,5%).
Замечание. Хотя в практических финансово-кредитных
операциях непрерывное начисление процентов
применяется крайне редко, оно оказывается весьма эффективным при
анализе сложных финансовых вопросов, в частности, при
обосновании и выборе инвестиционных решений.
6.7. Непрерывность функции
Понятие непрерывности функции, так же как и понятие
предела, является одним из основных в математическом
анализе.
I Определение 1. Функция/(х) называется
непрерывной в точке Xq, если она удовлетворяет следующим трем
условиям: 1) определена в точке Xq (т.е. существует/(х0));
2) имеет конечный предел функции при х —> х§,
3) этот предел равен значению функции в точке х0, т.е.
lim f(x) = f(x0). F.23)
I X-*Xq
Пример 6.6. Исследовать непрерывность в точке х = 0
заданных функций (рис. 6.7):
1 \х + 1 при х>0, [4прил;>0,
а) */ = -; б) у = \ в) у = \ ' F
х [х-1 при х<0; [i ПрИ х = 0;
*)у = х2.

6.7. Непрерывность функции
317
Рис. 6.7
Решение.
а) В точке х = 0 функция у -/(#) (см. рис. 6.7, а) не
является непрерывной, так как нарушено первое условие
непрерывности — существование/@).
б) В точке х = 0 функция у =f(x) (см. рис. 6.7, б) не является
непрерьшной: первое условие непрерьгоности выполнено, /@)
существует (ДО) = 1), но нарушено второе условие: отсутствует
lim f(x) (точнее говоря, здесь существуют односторонние
пределы функции слева lim /(*) = -l и справа lim /(дс) = 1,
jc->0- jc->0+
но общего предела при х -> 0 не существует).
в) В точке х s 0 функция у =/(х) (см. рис. 6.7, в) не
является непрерывной: первые два условия непрерывности
выполнены и существуют/@) (/@) = 1) и конечный предел
lim f(x) = 0, но нарушено третье основное условие:
х->0
lim/(*)* ДО).
дг->0

318
Глава 6. Пределы и непрерывность
г) В точке х = О функция у = f(x) (см. рис. 6.7, г)
непрерывна, так как выполнены все три условия непрерывности:
lim/(x) = /@) = 0. ►
*->0
Определение непрерывности функции F.23) в точке х0
может быть записано и так:
lim f(x) = / (lim x),
F.24)
т.е. для непрерывной функции возможна перестановка
символов предела и функции.
Очевидно, что непрерывность функции в данной точке
выражается непрерывностью ее графика при прохождении
этой точки (без отрыва карандаша от листа бумаги).
Замечание. В математическом анализе рассматривается
также понятие односторонней непрерывности функции f(x) в
точке Xq слева (или справа), под которой понимается
равенство значению функции /(х0) одностороннего предела слева
(или справа): lim /(x) = /(*b) (или Um /(*) = /(*o))-
x-^Xq-0 x-»jto+0
Разумеется, функция f(x) непрерывна в точке х0 тогда и
только тогда, когда она непрерывна в этой точке слева и
справа, т.е. lim f(x)= lim /(jc) = /(jcq).
Сформулируем еще одно определение непрерывности.
Дадим аргументу х0 приращение Ах. Тогда функция y=f(x)
получит приращение Ау, определяемое как разность
наращенного и исходного значения функции: Ay = f(xQ +Дх)-/(л^)
(рис. 6.8).
Дг/=/(*0+Аг)-/(*0)
'ь + ЬУ
Уо =
»1
=/(V
=/(*„>
~d
\
Длг)
3^
*о
Ах
xi
М
) +
Ау
N
Аг
Рис. 6.8

6.7. Непрерывность функции
319
I Определение 2. Функция у = /(х) называется
непрерывной в точке х0, если она определена в этой точке, и
бесконечно малому приращению аргумента соответствует
бесконечно малое приращение функции:
lim Дг/ = 0. F.25)
| Дк->0
□ Убедимся в равносильности двух приведенных
определений непрерывности. Из определения 1 согласно F.23) при
х - х0 + Дх следует, что lim /(jcq + Ax) = /(jcq), так как
д*-»о
стремление х -> х0 равносильно условию Ах -> 0.
На основании теоремы о связи бесконечно малых
величин с пределами функций можно записать /(xq+Ax) =
= /Осо) + ос(Дх), где а(Ах) = /(xq + Ax)- f(x0) = Ау —
бесконечно малая величина при Ах —> 0, т.е. lim Ay = 0. ■
Дх-»0
Точка х0 называется точкой разрыва функции /(х), если
эта функция в данной точке не является непрерывной.
Различают точки разрыва первого рода (когда существуют
конечные односторонние пределы функции слева и справа при
х —> х0, не равные друг другу) и второго рода (когда хотя бы
один из односторонних пределов слева или справа равен
бесконечности либо не существует). Так, точка х0 = 0
на рис. 6.7, б — точка разрыва первого рода, а на рис. 6.7, а —
точка разрыва второго рода. К точкам разрыва первого
рода относятся также точки устранимого разрыва, когда
предел функции при х -> х0 существует, но не равен значению
функции в этой точке. Так, точка х0 = 0 на рис. 6.7, в является
точкой устранимого разрыва.
Свойства функций, непрерывных в точке.
1. Если функции /(х) и ф(х) непрерывны в точке х0, то их
fix)
сумма /(х) + ф(х), произведение /(х) • ф (х) и частное
Ф(х)
(при условии ф(х0) Ф 0) являются функциями, непрерывными
в точке х0.
Доказательство теоремы следует из определения
непрерывности и аналогичных свойств пределов функций.
2. Если функция у =/(х) непрерывна в точке х0 w/(x0) > 0,
то существует такая окрестность точки х0, в которой
Ах) > о.

320
Глава 6. Пределы и непрерывность
Доказательство этого свойства основывается на том,
что при малых приращениях аргумента Ах —> 0 в
соответствии определением 2 непрерывности функции F.25)
можно получить как угодно малое приращение функции
Ау, так что знак функции у = f(x) в окрестности (х0 - Ах,
Xq + Ах) не изменится.
3. Если функция у =/(м) непрерывна в точке г/0, а функция
и = ф(х) непрерывна в точке и0 = ф(х0), то сложная функция
у = / [ф(х)] непрерывна в точке Xq.
Доказательство этого свойства состоит в том, что малому
приращению аргумента Ах —> 0 в силу второго определения
непрерывности F.25) функции и = ф(х) соответствует как
угодно малое приращение Аи -> 0, приводящее в свою очередь
в силу того же определения непрерывности у = f(u) к как
угодно малому приращению Ау —> 0.
Свойство 3 может быть записано в виде
lim /[ф(*)] = /
X-^Xq
lim ф(х)
X-^JCq
F.26)
т.е. под знаком непрерывной функции можно переходить к
пределу.
Функция у =/(x) называется непрерывной на
промежутке X, если она непрерывна в каждой точке этого
промежутка. Можно доказать, что все элементарные функции
непрерывны в области их определения.
Пример 6.7. Доказать непрерывность функции у = cos x.
г + Ах)-
2х + Дх|
Решение. Найдем lim Ay = lim (cos (x + Ax) - cos x) •
_ ,. 2x + Ax . Ajc л
= 2 lim cos sin — = 0, так как
Дх->0 2 2
cos-
<1, a
r . Ax 1 ,. fsin(Ax/2) A ^ 1 ,. sin(Ax/2) r A
lim sin — = — lim Ajc = — bm lim Ax =
Ax-^0 2 2Ax->ol Ax/2 I 2д*-ю Ax 12 A*->0
1
= -•10 = 0, т.е. lim Ay = 0, и по определению 2 непрерыв-1
2 д*-»о I
ности F.25) функция у = cos x является непрерывной на
всей числовой оси. ►
Замечание. Еще раз подчеркнем, что непрерывность
функции в любой точке области определения гарантируется лишь
для элементарных функций. Рассмотрим в качестве примера

6.7. Непрерывность функции
321
функцию f(x) = [х] (читается «г/ равно антье #»), где [х] —
целая часть числа х, т.е. наибольшее целое число, не превосхо-
3
дящеелс (например, [2,6] = 2, [-2,6] = -3). В точке х = —
функция/^) = [х] непрерывна, ибо lim f(x) = /1 — = 1, а в точке
дг->3/2 \2)
х = 1 эта функция определена — /A) = 1, но терпит разрыв,
ибо lim f(x) не существует (точнее, существуют неравные
между собой конечные пределы функции слева lim / (jc) = 0
и справа lim f(x) = 1) (рис. 6.9I.
*->i+o
Это связано с тем, что/(лс) = [х]
не является элементарной
функцией, и, хотя она определена на
всей числовой прямой, разрывна
во всех целых точках.
Свойства функций,
непрерывных на отрезке.
1. Если функция у = f(x)
непрерывна на отрезке [я, b\ то она
ограничена на этом отрезке
(первая теорема Вейерштрас-
са2) (рис. 6.10).
2. Если функция у =f(x) непрерывна на отрезке [а, Ь], то
она достигает на этом отрезке наименьшего значения т и
наибольшего значения М (вторая теорема Вейерштрасса)
(рис. 6.11).
4h
3Г
2Г
lh
-1 0
у-М
1 2 3 4 5 х
Рис. 6.9
Рис. 6.10
Рис. 6.11
1 Если говорить точнее, то точке х = 1 и в других точках разрыва х в
: 0; -1; ±2; ±3,... функция/(х) - [х] односторонне непрерывна (справа).
2 Вейерштрасс Карл Теодор Вильгельм A815—1897) — немецкий ма-

322
Глава 6. Пределы и непрерывность
У>
0
1
Аа) /
^д/\ 1
Kb)
) X
3. Если функция у - /(#)
непрерывна на отрезке [а, й] м
значения ее на концах отрезка
/(а) и/(Ь) имеют
противоположные знаки, то внутри
отрезка найдется такая точка
£ е (а, Ь), что f(t) - 0
(теорема Больцажг — Коши)
(рис. 6.12).
Рис. 6.12
ПРАКТИКУМ
6.8. Вычисление пределов
г. о тт « 4 1- Зх + 5 ^ч Зх + 5 ч sin*
6.8. Найти: a) lim ; о) lim ; в) lim ;
jc—»7 X — 5 ' лет—»5 X —5 jc-»oo jc
г) lim jccos-
х->оу х
Решение.
а) На основании непрерывности функции в точке х = 7
искомый предел равен значению функции в этой точке, т.е
1# Зх + 5 3-7 + 5 ,„
hm г- = ——— = 13.
jc—»7 JC-5
7-5
б) При х —> 5 числитель (Зх + 5) стремится к 3 • 5 + 5 = 20
(т.е. является ограниченной функцией), а знаменатель
(х — 5) — к нулю (т.е. является бесконечно малой
величиной); очевидно, что их отношение есть величина бесконечно
, ,. Зх + 5
большая: lim = <».
jc—»5 JC-5
в) lim = 0, ибо отношение ограниченной функции
JC-»oo X
sin x (Isin jc| < 1) к бесконечно большой величине х (при х —> <*>)
есть величина бесконечно малая.
1 Больцано Бернард A781—1848) — чешский математик, философ,
геолог.

6.8. Вычисление пределов
323
lim jccos— =0,
х-^оу х)
г) lim \ xcos— =0, так как произведение бесконечно ма-
дг-^0^
лой величины х (при х —> 0) на ограниченную функцию
1|
|cos-
х\
\'
cos—
X
^ 1 есть величина бесконечно малая.
Отметим, что этот предел нельзя вычислять с помощью
1
теоремы о пределе произведения, поскольку lim cos — не су-
jc—>0 X
ществует (при х —> 0 аргумент косинуса — изменяется
х
непрерывно вдоль числовой оси до бесконечности, при этом
значения cos — колеблются от -1 до 1 и от 1 до -1, не
стремясь ни к какому числу (пределу)). ►
В рассмотренных примерах предел находился сразу в
виде числа или символа °°. Но чаще при вычислении
пределов приходится сталкиваться с неопределенностями, когда
результат нахождения предела неясен, например, в случае
отношения двух бесконечно малых функций (условное обо-
или бесконечно больших II-1
значение
0
Кроме
[Ш
отмеченных неопределенностей вида - и -,в
математическом анализе рассматриваются также
неопределенности вида [оо - оо], [0 • ~], [П> [~°L [0°].
а п и » ч ,. 2jc2-jc-1 хч r Jx + 2-л/б-х
6.9. Найти: a) hm —; б) lim - ;
в) hm^p—.
Решение. r- -•
а) Для раскрытия неопределенности вида — разложим
числитель на множители и сократим дробь на множитель
(х- 1). Сокращение возможно, так как прих —>1 множитель
(х - 1) стремится к нулю, но не равен ему. Следовательно,
L
,2 ! ml 2(х+ -)(*-!) 2jc + 1
2х2-х-\ Г01 4Х + -ЛХ-1)
lim — = - = lim —- = lim
х->\ (jc-1J LOJ *->l (jc-1J x->\
■ = oo
JC—»1 JC-1

324
Глава 6. Пределы и непрерывность
Ш
б) Для раскрытия неопределенности вида — умножим
числитель и знаменатель на выражение, сопряженное
числителю, получим
,. Vx+2-л/б^ ГО] „ (y/x+2-yJ(^)(>]x+2+yf6^x)
lim = - = lim -
#
x->2 x2-4 LOJ x->2 (jc2-4)(VI+2 + V6::jc)
г 2(x~2) 2 1
= hm j=—. =hm j=—. =-.
jt-+2(jc-2Xx+2Xv*+2+V6-Jc) ^-»2(jc+2XVjc+2+V6-jc) 8
в) Для раскрытия неопределенности вида - удобно
предварительно сделать замену t = yfx (тогда \[х = t , л[х = г,
при х —> 1, £ —> 1), а затем полученные многочлены
разложить на множители:
*->i#c-l LOJ *-*i*2-i *->i (r-lKr + l)
г2+*+1 3 ^
=lim
r-a (*+1) 2
3jc2+2
6.10. Найти: a) lim
*->°°4jc5+jc + 1
.4 1# axxn+bix n~l+... + kix + ll ч ^/7+1
6) hm 1 "* j L; в) lim^^;
*->°° a2* + ^2^ + - + hx + *2 *~*°° * + ^*
r) lim /(jc) и lim /(*), где /(*) =
2*+1+3*+1
jc^+oo *->-«> 2Л+3Л
v -. 4jc + sin;c v r \lx2 -x + l-x
Д) hm ; e) hm .
jc->oo jc-cosjc *->°° 2x + l
Решение. Р -.
а) Имеем неопределенность вида — L Учитывая, что
поведение числителя и знаменателя при х —> <*> определяется
членами с наибольшими показателями степеней
(соответственно Зх2 и 4Х5), разделим числитель и знаменатель на

6.8. Вычисление пределов
325
я5, т.е. на х с наибольшим показателем степени числителя
и знаменателя. Используя теоремы о пределах, получаем
Зх
lim —г
3_ _2_
^_ = Ы = lim У*\ =-±t0_ = 0,
+ 3* + 1 L°°J *-*~4 + —+ — 4 + 0 + 0
х4 х5
б) Используя тот же прием, что и в п. «а», можно
показать, что
О, если п<т,
^/«2» если п = т,
©о, если п>т,
аххп+\\хп l + ... + кхх + 1х _Г°°1
т.е. предел отношения двух многочленов lim — равен
нулю, отношению коэффициентов при старших степенях х
или бесконечности, если показатель степени числителя п
соответственно меньше у равен или больше показателя степени
знаменателя т.
Рекомендуем запомнить это правило.
в) Имеем неопределенность вида — L Здесь выражению
1°°\ 9
в числителе условно можно приписать степень п = — (ибо
при больших значениях х Vjc9 +1« yjx9 = x9/4 ), а в
знаменателе — степень т = 2 (ибо при больших х Х^+л1х~х);
так как п > ту то на основании правила,
сформулированного в п. «б», искомый предел равен °о. —
Действительно, разделив и числитель и знаменатель на vx9,
получим
lim — р = — = lim —р —— = <
х-*°°х +>fx L00] *->°° l | 1
г) При х —> +°о имеем неопределенность вида I — I, при
И
этом поведение числителя и знаменателя определяется
вторыми слагаемыми, которые возрастают быстрее первых.

326
Глава 6. Пределы и непрерывность
Разделив числитель и знаменатель на 3* и применив
теоремы о пределах, получим
■iJC+l , ^JC+l
lim
+з* L°°J *-
lim ■
ill
+ 3
поскольку lim
JC-»+ool 3
Vе
(f
+ 1
0 + 3
0 + 1
= 3,
= 0.
При х —> -ее имеем неопределенность вида
при этом
поведение числителя и знаменателя определяется первыми
слагаемыми, которые убывают медленнее других. Разделив
числитель и знаменатель на 2х и применив теоремы о
пределах, получим
->*+! , -jjc+1
lim
+3 =Г°1=
+ъх [о J
lim —121=2+2 = 2.
х^-°° (зУ 1+0
д) Для раскрытия неопределенности вида — разделим
числитель и знаменатель на х9 получим
sinjc
4х
lim —
JC-»oo X
4 + 0
cosjc 1-0
= 4,
sin* cos*
так как lim = 0, lim = 0 (см. пример 6.8, в).
е) Пусть искомый предел
A=lim — Х = lim ■!■ х
,. у]х2 -х + 1-:
JC-»oo
2jc + 1
JC-»oo
2jc + 1
i /1 1 1
x|jl-- + -y-x
* — , ибо V*2 = I jd.
lim -
jc->oo 2x +1

6.8. Вычисление пределов
327
1. Если х —> +<*>, то полагая х > О, [r| = x и
Х\1-- + -\~Х \1~- + ^2-1 1 1
А= um V Х х = lim V * *2 =Izl = 0.
JC-»+<» 2jC + l JC-»+oo 9 4-— ^ + ^
2. Если x —> -oo, то полагая х <0,\х\== -хи
A= Um —J—^ = Um -*—^ = -L_i = _i.
*-^» 2.X + 1 *->-» 2 + 1 2 + 0
Итак, А = О при х -» +<*>, Л = -1 при х —» -<*>. ►
6.11. Найти: a) Um Bх5 - 10х3 -1);
б) lim(Vjc2 -hi-Vjc2 -1); в) Um (\lx2 + 2 + x);
1 2_
jc-»1^1-jc 1-х2
Решение.
а) Имеем неопределенность вида [oo - oo]. Вынося за
скобку х в наибольшей степени, получаем lim jc5 B —- —-) = ©о,
ибо произведение бесконечно большой величины хг на
функцию, предел которой при х —> °° равен двум, т.е. отличен от
нуля, есть величина бесконечно большая.
б) Для раскрытия неопределенности вида [о© - оо]
умножим и разделим выражение в скобках на сопряженное ему
выражение, получим
X—»оо
Л
г) lim
lim(Vjc2+l-Vjc2-l) = H-H=
X—»«>
,. (V*2 +\-\1х2 -1)(у1х2 +1 + V*2 -1)
= lim , —, :
*-*" Vjc2+1+V*2-1
= lim . 2 . =0.
^-Vj^+I + V*2-!

328
Глава 6. Пределы и непрерывность
в) При х —> -оо имеем неопределенность эида [<*> - ©о], ибо
квадратный корень из неотрицательного числа всегда
неотрицателен. Решаем задачу так же, как и в примере 6.11, б:
,- Г П~: 1 г ii. (у1х2+2+х)(\1х2+2-х)
km Vjc +2 + jc =[oo-oo]= hm — г==
x-+-°°l J *-*— у1х2+2-х
= lim , 2 = 0.
^-°°Vjc2 + 2-jc
Обращаем внимание на то, что при х —> -<*> в
знаменателе нет неопределенности, так как он представляет сумму
бесконечно больших положительных величин, т.е.
величину, бесконечно большую.
г) lim
< 2 2 Л
[1-х 1-х')
. A+jc)-2 r jc—1
=[оо-ч»] = Цт г— = lim
jc-»1 1-х2 jc->1A-jc)A+jc)
LOj x^l{ l + x) 2
Доказать, используя определение предела, что:
6.12. lim-=^- = 2. 6.13. limCjc-4) = ll.
П-»оо П + 3 JC—^5
6.14. lim(jc2-3) = l.
Найти пределы:
6.15. lim^—. 6.16. lim(;c-5)sin
*->8 дг —8 x-»5 x-5
6.17. Um^^lzl 6.18. lim /^-1 .
*-Д 2x_1 ^°Vjc2+16-4
6.19. lim* * + 2. 6.20. lim * ~*~6
*->i jc2+jc-2 ' ' x-*-2x2 + 6jc + 8
jc2 — 2x jc — 5jc + 4
6.21. lim -4 —. 6.22. lim x
x->2x2-4x + 4 * ' x->* jc2 -16
x2 -1 jc3 + 27
6.23. Iim4=—L- 6.24. lim * .
*-»W*-l *->-3 * -9

6.8. Вычисление пределов
329
6.25. lim
г2-49
6.27.
6.29.
6.31.
6.33.
6.35.
am-j= -j=.
X-W.X-V7
х -2х -5jc + 6
lim
x->l x^-lx + 6
х7
-2-1
Um
x->-l<[x + l
lim
jc-»1+0
/^-Лй
Ъх-Ъ
)
л. у/l-X-y/x + l
lim .
jc-»0 3x
limB->-2
,jc-2
x->2 х2-Ъх + 2
6.37. lim
jc + jc2+... + jc10
urn .
*->0 V*+4-2
6.39. Um
^2*3-l
*->°° 3jc2 - 2jc4 + jc
6.41. lim
JC-»«>
6.43. Um
5jc2-:c3-15
jc2-16
y]9x2-9-2x
x-*°° 2-3/jc3+5
6.26. lim
jc—>2
y[x^2(y[x-y/2)
*2-4
6.28. lim
Vjc^I-1
jc-»2 JC - 2
6.30. Km^:2.
*_>2 Vjc-V2
6.32. lim
jc->2+0
^3-8
2-*
4x-8
а о. г х2-Ьх + 9
6.34. lim—т .
*->3 x2-3x
6.36. lim ^ + ^ + *
Ш11 ,
*->0 Vjc H-1 — 1
6.38. Um
(*-D8
*->i jc8—1
6.40. lim
3jc3-jc2 + 2jc
^ 4
Л/0 r y]4x2+2x-yfc+3
6.42. lim , .
x-*°° \/64jc3+1 + 2
6.44. lim
>/jc8+2jc-10-3jc2
uni . , i =,
x->-5x2-l-h7x6+x5-l5x
6.45.
,. Bx +1M + B* + 2M + B* + 3M +... + B* +100M
iim ^ —p .
*->~ 10*э+100

330
Глава 8. Пределы и непрерывность
6.46. lim , . 6.47. hm
х^~ Цхг+х-х
3* + 2
6.48. Um
х-»*. 2Х+1 -1'
*_>оо 2х + 3х
6.49. Um
4*+3*+1
*->-~ 4x+l + 3х '
20
6.50.
6.52.
6.54.
lim
ДГ-»оо
J£L. 6.51. к. , .
. 1 1 1
3 9 з"
1--+—+...+НУ
4 16
,. 1 + 3 + 5 + ... + Bи-1) й ео .. ГЗх + 1
lim ^— -. 6.53. hm
5и*
lim
^9*2+5
10jc2-1
>
x7jc
6.55. lim
jc->oo^2jc + 4J
Vjc + 4-V4jc-2
jC->+oo
#^I + #
16jc — jc
6.56. lim
3x5 + 2x7
*-*»2;c5-8;c7'
.-_ ,. \^3+2x2+2;t
6.57. hm —. .
J(w*~ Jx2+2x-x
6.58. hm
(и+ !)!-«!
6.60.
6.62.
6.64.
6.66.
л->°° (n + 1)!
lim^1^.
n-»°° (n +1)!
6.59. hm
(n-l)-n!
И-Х» (/J + 1) !
6.61. lim C+5)("-1)!
W-»oo (П + 1) !
lim
jc-»2
Г i
12
lim
x->\
(x-2 хъ-%)
r_j з_/
jc2-jc x3-l
6.63. lim
jc—»3
im ^ о
■-4*-3 jc2-9j
6.65. lim
JC->oo
' 2,3
2x2 -x
-jc
lim
JC-»oo
( 1*
^-- 3x2
jc2+3
6.67. lim
JC-»oo
' 3l_
5дс-1
-7*
6.68.
hm
' /
x2 - 2 x2 + 2
6.69. lim (Vx^3-V*+2).
JC-»+oo

6.9. Замечательные пределы...
331
6.70. lim Nx2+x->Jx2 -x I
6.71. Um (у1х2+5х-у1х2-5х\
6.72. Um x(\lx2+l-x\
6.73. Um(^(jc + lJ-^(jc-lJ \
6.74. Um f^jc2-2x-\/jc2+3jc\
6.75. Um (^8jc4+3jc2-^8x4+2jc2\
6.76. Um ((ylx2+6x-\lx2-x\fa\
6.77. Um (v16jc-vjc -yjl6x-3yfx I.
JC->+oo\ /
6.78. UmfV*2+5jc-jc\ 6.79. Um Гл/вх3 + 3jc2 + 2-2jc I
6.9. Замечательные пределы. Применение
эквивалентных бесконечно малых величин
к вычислению пределов
б
6.80. Найти: a) lim хsin-; б) lim-: ; в) lim
sinjc
jc->oo x ' jc—»0 sin 8jc ' ' *-»0sin5jc
r) lim(l-x)tg—.
jc->1 2
Решение. . 1
sin- , Л.
.J=lim^>=l
. sin-
a) lim jcsin-=[oo0]= lim —r^ =
y->o у
1
(сделали замену z/ = - (при л: -» <~ у _» 0) и использовали
формулу F.16)). х

332
Глава 6. Пределы и непрерывность
б) lim
в) lim
sin4x
Ц
sin4jc sin8jc^ 1 1
4х ' 8jc Г 2 ' 2*
smjc
.6 Л
*->0 sin5 x
fsinx
I x
\5
= @1):1D=0.
г) При x —» 1 имеем неопределенность вида [0 • ©о].
Сделаем замену 1 -х = у, тогдах=1-уи прих-> 1 у -> 0,
получаем
lim(l ~ jc)tg— = [0 • оо] = Ит у tg -
х-*1 в 2 L J у-*ъ \г у)
Г°1 г ку
= — = lim cos-^-:
|_0j у-+0 2
= lim
г/->0
„ sin—
Щ. 2
-"№
Til/
= hmyctg^.=
y->0 2
sin —
*lim^^
2г/->0 Л?/
2
Простейшие примеры с использованием числа е при
раскрытии неопределенности вида [1°°] фактически уже
встречались в примере 6.5. Прежде чем рассмотреть более сложные
задачи, обратим внимание, что неопределенности нет при вы-
fx + lY flY
числении пределов типа lim = lim | —
*->оо^2х-1 J
= lim
Jt->oo^2 J
= 0 (так
1
как выражение в скобках стремится к —, а не к 1) или
( 2 - Vе ^
lim
дт-2х
х(х-2)
= lim Iх = 1 (так как единица в любой
степени равна единице). Поэтому под неопределенностью вида
[1°°] понимается функция, основание степени которой
стремится к единице (но не равно тождественно единице), а
показатель степени стремится к бесконечности.
Bх-Ъ^х
6.81. Найти: a) lim ; б) lim [jc(ln(l + jc)-lnjc)];
*->оо1 2л: — 1 J jc->°°
в) lim(l + 2jc) * .
jc—>0

6.9. Замечательные пределы...
333
Решение.
а) Имеем неопределенность вида [1°°], так как
2х-3
lim = 1, lim Djc) = «>.
*—*» 2x—1 х-**>
Выделим у дроби целую часть - = —: — = 1-
2х-1
2jc-1
2х-1
Обозначим у = ; приx~>oot/~> 0, причем ;с=—+-.
2jc-1 г/ 2
Теперь, используя определение числа е F.19), теорему о
пределе произведения и свойство F.26) непрерывности
сложной функции, получаем
lim
2х-\)
±л
lim(l + y)'
у-»о
lim0 + У) у = ИтA + У) »-lim(l + yr =
#->0 г/-»0 1/-»0
•1 = «~
б) Имеем неопределенность вида [0 • °°]. Это отчетливо
видно, если с помощью свойств логарифма представить
предел в виде
lim [jc(ln(l + x)-lnx)]= lim [ Jtln—- ]= lim дг-lnf 1 + - I =
ДС->°° JC-»~^ X J Jt->ool ^ XJJ
= [oo-0]= limln[l + -T.
JC—>«»
На основании непрерывности логарифмической
функции F.26) перейдем к пределу под символом логарифма
lim In
Jt—»°о
I =ln lim[l + i|
) kH x)
l + -\ =ln
x
= lne = l.
в) Имеем неопределенность вида [1°°], так как lim A +
+ 2х) = 1; *-*°
sin* ,. Г^sinjcЛ ll
hm-^r-= hm - =
jc-»0 x x-*°[\ x ) X\

334
Глава 6. Пределы и непрерывность
(ибо при х -» О
S1I1JC
1
->1, а ><
х
). Преобразуя
выражение и используя непрерывность степенно-показательной
функции, получаем
2sinjc
sinjc
lim(l + 2jc) *
jc->0
.[г].
lim
jc—>0
A + 2jc)
or sin x
л \21im
1 U->o jc
lim(l + 2jcJ*
jt->0
- „2-1 _ 2
Эффективным средством для вычисления пределов
является применение эквивалентных бесконечно малых
величин. Данный способ основан на том, что предел отношения
двух бесконечно малых величин не изменится, если эти
бесконечно малые заменить им эквивалентными.
Примеры эквивалентных бесконечно малых при х -» 0:
sin jc ~ jc; tg jc ~ jc; ex-\~x\ ln(l + jc)~ jc; (l + jc)m ~l + mx;
arcsinjc-jc; arctgjc-jc; 1-cosjc~jc /2.
6.82. Найти пределы: a) lim
sin 4jc
*->0 8jT
; 6) Um
e
5xz
-1
jc->o1-cos2jc
Решение. г -i
а) Имеем неопределенность вида — . Так как при х -
0
sin Ax -> 0, то, заменяя sin Ax эквивалентной бесконечно
малой 4х, получаем
.. sin24jc .. DjcJ ^
lim — = hm -—'— = 2.
*->0 8jc2 *->0 8jc2
б) Заменяя бесконечно малые е5х -1 и 1-cos2jc им
эквивалентными соответственно 5х* и BхJ/2 = 2х2, имеем
Jxz
-1 ,. 5xz
= lim
lim - - лхш - .
jt->01 - cos 2jc *->0 2jc 2

6.9. Замечательные пределы...
335
Найти пределы:
а QO v sin2x sin22x
6.83. hm . 6.84. lim —.
jt->0 X
*-^0 3jcz
6.85. lim^*
3 *
sin5x sin2 6*
6.86. hm——. 6.87. hm
*->0 4jcz
jc-Ю 2jC
6.88. IimCjcctg2x).
jt->0
6.89. lim
6jcj
*->0 sinJ 2jc
6.90. hm
. arctg8jc Л Л. « 4x
lm—^—. 6.91. hm -
tg
2X
6.92. hm 2.. 6.93. lim
*->0 7jc
cosjc-1
*->0 2jc
*->0 3jcz
6.94. hm
*->о arcsin 9jc
sin3jc
jc->0sinl0jc
6.95. lim^-^. 6.96. limSm *
*->0tgz3jc
*->0sinjc3
6.97. lim
arcsin 2x
6.98. hm
jt->0
sin2jc + sin8jc
4x "
6.100. hmtg3* + tg4*.
*->0 arcsin x
COSJC
6.102. lim
к
К
x-+- X
2 2
6.104. hm
1-cos4jc
6.106. lim
sin(jc-7c/6)
x-*n/6yj3/2-cosx
6.99. hm
*->0 arcsin3 3x
sin3jc-sin7jc
*->0 sin5x
6.101. hm
4
tg *
6.103. hm
*->0arctgjc
1 +cosjc
x-+n(n-xy
6.105. hm (x- 5) sin
U-s)
6.107. lim
sin4jc
jc-^oVjc + 1-Г
6.108. hm
к
2jctgjc--
к
COSJC
6.110. hm
Jt—»°o
>4—T
-^oo^JC + 1 J
6.109. lim
Jt—»°o
6.111. lim
JC-»
im(i+2Y.
->oo^2jc + 5J

336
Глава 6. Пределы и непрерывность
6.112.
6.114.
6.116.
6.118.
lim 1 + —
\5jc
6.113. lim
Jt—»°о
^2+1
*2-3
ус3-5
/
lim
Jt—»«>
ч5;с2
lim
4xz+2
4jc2-1
( 2 + V*
1 X +X-\
6.115. lim
x—><*>
' 2x2+3 ^
lim
6.120
6.122.
6.124.
lim
jc-»0
jc -2x + 5
I 2x3-3x2+x+l I
г^-з^-гх+з
5
fl + 3xV
6.117. lim
JC—>°o
2x2-4
' 5x -2 '
5x3+l
6.119. Um
JC—»°o
'7*»°-3^
7*10 + 2
6.121. lim
jc-»0
3-2x
З + Зж2
.2 V
lim
lim
*->0
'4*2-!4
V
3jc2-1
6.123. Um
jc->0
6.126. Um
lnC-x)-ln3
lnx-ln4
6.125. Um
jc->0
^5д:2+4л:-3Л
5x2+jc-3
ln2-lnB-jc)
IOjc
jc->4 2jc-8
6.127. lim1"^-^-1.
jc->0
2x^
6.128.
6.130.
6.132.
Um
jc->0
In A-х2)
Um
jC-H-oo
'9jc2+1 *
9х2+Ъ
6.129. Um
Jt-H-°o
6.131. Um
JC—>«>
(зх-lj
2x3+7
46jc4
:-*0yx + l)
2x3 + 2
6.133. lim (l + tg2 >/*)**■

6.9. Замечательные пределы...
337
Найти пределы с помощью эквивалентных бесконечно
малых:
6.134. lim
1-е
6х
jc->0 4х
6.136. lim
е1х-\
6.138. lim
125х-1
6.140. lim
х-»0 3*
sin 5л:
jc—>0 lx
6.142. Urn
*-»о
6.144. lim
(l + 3xI0-l
6x
ln(l + 5x)
x-M) 10*
ЛХ1
6.135. lim
-1
6.137. lim [5x(ln (x + 6) - In *)]„
6.139. Um
\\
2* e*-l
6.141. lim
tg23*
*-^0 2xz
6.143. Um
jc->0
6.145. Um
jc->0 8jc
B + jc)°-64
Найти значения параметра я, удовлетворяющие
равенствам:
6.146. lim" /=-3. 6.147. lim 1 + - =е21-
*->~ 4-5* + 2дг
Jt—»°o
6.148. Um
Jt—»°о
ИГ-
-8 а 4/a v S™1 ОХ
6.149. lim ^— = 8.
*->0 2х2
6.150. lim
sin ax 1
jc-»0 Ах
6.152. lim
ах
Л л~л л. 1пA + ах) Л
6.151. hm — - = 2.
jc-»0 4jc
1-cosx ^.co х(е*-1) _
^г— = 4. 6.153. lim — - = 2.
jc->0 1 - cos ojc
6.154. Первоначальный вклад, положенный в банк под
10% годовых, составил 6 млн руб. Найти размер вклада
через пять лет при начислении процентов: а) ежегодном;
б) поквартальном; в) непрерывном.

338
Глава 6. Пределы и непрерывность
6.10. Непрерывность функции и точки разрыва
6.155. Установить характер точки разрыва функции
У = Ах) в точке х = 0 или доказать непрерывность функций
sinjc
в этой точке: а) у = ; б) у = <
sinjc
в) у = -
1
X
1,
1
если х*0,
если jc = 0;
-Л/х
; г) у = 2их; д) г/ = sin -
1 + 21
Решение.
а) При х = 0 функция f(x) не определена, следовательно,
sinjc
она не непрерывна в этой точке. Так как lim
jc->0 X
= 1 и,
соответственно, пределы функции слева и справа от точки х = О
sinjc ,. sinjc Л
конечны и равны, т.е. hm = hm = 1, то х = О —
JC—»0- X Jt->0+ X
точка устранимого разрыва первого рода (рис. 6.13).
б) По сравнению с п. «а»
функция доопределена в точке х = 0 так,
что lim f(x) = /@) = 1, следователь-
но, данная функция непрерывна в
этой точке.
в) При х = 0 функция/(х) не
определена. Так как пределы
функции слева и справа от точки х = 0
конечны, т.е.
Рис. 6.13
lim =
1 =1, lim —^т- = 0
jc-»0- 1 + 217* 1 + 0 jc->0+ 1н-21/л:
(ибо 21/* —» оо при х —» 0+), то в точке х = 0 функция f(x)
имеет разрыв первого рода (рис. 6.14).
г) При х = 0 функция f(x) не определена;
lim 21/л=0; lim 21/jc=oo.
jc—>0— *->0+
Так как один из односторонних пределов бесконечен, то
х = 0 — точка разрыва второго рода (рис. 6.15).

6.10. Непрерывность функции и точки разрыва 339
1
У =
1 + 2J
\1х
О
Рис. 6.14
А
,
\У = 2*
-—=^Л-^-—
-2 0
2 х
Рис. 6.15
д) При х = 0 функция не определена. Так как
односторонние пределы lim sin— и lim sin — не существуют (при
*->0- л; jc—>0н- х
х -» 0- и х -» 0+ значения sin — колеблются от -1 до 1 и от 1
до -1, не стремясь ни к какому числу (пределу)), то х = 0 —
точка разрыва второго рода (рис. 6.16). ►
Какие из данных функций
являются непрерывными в точке
х = 1? В случае нарушения
непрерывности установить характер
точки разрыва:
6.156. у =
6.157. у =
6.158. у =
х2-1
JC-1 "
х2-1
JC-1
2,
1
если jc^I,
если jc = 1.
Рис. 6.16
>!/(*-!) '
6.160
1 + 21
-1, если jc>1,
если jc<1.
6.159. у =
х-1
Jjc —1,
[x + l
6.161. */ = arctg
JC-1
Исследовать на непрерывность функцию у - /(х), найти
точки разрыва и указать характер разрыва:
6.162. у =
jc~2, если х<0,
2, если х = 0,
д: - 2, если х> 0.

340
Глава 6. Пределы и непрерывность
6.163. у =
х, если х < -я,
sinjc, если- ж х < я/ 2,
1, если х> я/2.
{—дг—3, если х<-2,
2
х -4, если jc>-2.
6.165. */ =
2, если х < -2,
V 4 - jc2 , если - 2 < х < 2,
jc-2, еслих>2.
Контрольные задания по главе 6
«Пределы и непрерывность»
№ Вариант 6.1 Вариант 6.2 Вариант 6.3
Найти пределы:
,. 3jc2-2jc3
lim —-
*->~ 5х5 +1х
л. 2jc4+jc3+1
lim~712 4~
х->°° ЗдГ + дГ
г 4x3-yfi
hm r-
*->~ 1 + 8jt
hm —
x->lxz-9x + \4
jc3-8
lim-^
lim
jcz-6jc + 9
*->3 jc^-9
lim
(х-гЛ)
Urn (V2x-l->/2x+l)
lim (>/3jc+ !->/* +5)
г-
lim
jc->ool 7x
зг
lim
JC—><»
Л4У
v /
■3x*
lim
jc->0
pjc + l^
sin jc
lim
*->0 Ъх3
1-cos—
lim r-2-
*->0 3jc2
lim (8jc • ctg x)
jc-»0
lim
ctgx
^яЯ-2х
2
,. In(l + jt)-ln2
lim
jc->1 JC — 1
lim(sinjc)tg*
я
JC->—
2

Контрольные задания...
341
\Щ
Вариант 6.1
Вариант 6.2
Вариант 6.3
Исследовать на непрерывность и найти точки разрыва
функций (указать их характер):
{jc-1, при *>0,
-jc-1, при jc<0;
б) y=—Lr
а)#=
Ix-ly при jc>0,
—2jc—1, прилс<0,
1
б) у =
4 + ех
[Зх+1, прих>0,
я)и=<
' [-Злг+1, при х<Ъ,\
б)У = —V
3 + 5^-2
Тест 6
1. Выяснить, чему равен lim (-1)Л:
1) оо; 2) -1; 3) не существует; 4) 1.
2. Выяснить, какие из перечисленных функций
бесконечно малые при х —» 0:
l)y = -;2)y = xl0;3)y = sin^A)y = cos2x;5)y = —[—.
х 3 cos Зх
3. Выяснить, какие из перечисленных функций
бесконечно большие При X —> оо;
1) у = ^с; 2) y = tgx; 3) y = \og05x', 4) г/ = ^;
х
5) у = arctg х.
4. Произведение двух бесконечно малых и бесконечно
большой величин является:
1) бесконечно малой величиной; 2) бесконечно
большой величиной; 3) неопределенностью.
5. Выяснить, какие из перечисленных функций
непрерывны в точке х = 0:
л\ 1 оч г оч F1' ПРИ *-°>
1) у = -;2) г/ = л/*;3) г/ = ^
jc [х, при jc>0;
[-jc, при jc < 0,
4) У = \ 0, при jc = 0, 5) */ = tgx
[ jc, при х > 0;
6. Товарооборот фирмы ежемесячно увеличивается на
1%. Через сколько месяцев ее товарооборот, сохраняя
темпы роста, увеличится в 2,7 раза по сравнению с
первоначальным (считать е « 2,7). Ответ округлить до целых.

342
Глава 6. Пределы и непрерывность
7 u . ,. 3jc2-2jc-10
7. Найти hm — .
*->°° 2л:2 + 7л:+ 5
8. Найти а = lim
( 2 Л**
1 дг+5 *
jcz+3J
9. Найти lim (\/jc3+6jc2
Ьх
, в ответе указать In a.
(Цхг+вх2-х\
(х^ + Ъ
10. Найти lim
;c_>+ool 2л: — 5
.. и . ,. 5л:4+Зл:2-18 1
11. Найти а, если hm —-—— = -.
*->~ ах4 -18jc2 H-3 2
12. Найти а, если lim -^^ = 2.
*-»о 8л:

Раздел III
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ
ИСЧИСЛЕНИЕ

Глава 7
ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ
ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ КУРС
7.1. Задачи, приводящиеся к понятию
производной
1. Задача о касательной. Пусть на плоскости Оху дана
непрерывная кривая у = /(г), и необходимо найти
уравнение касательной к этой кривой в точке М0(х0, у0) (рис. 7.1).
Ay0=f(x0+Ax)-f(x0)
Н N
y=f(x0+Ax)
Рис. 7.1
Прежде всего необходимо выяснить, что понимается
под касательной к кривой. Касательную нельзя определить
как прямую, имеющую с кривой одну общую точку. В
самом деле, прямая 1 на рис. 7.2, а имеет одну общую точку с
кривой 2, но не является касательной к ней. А прямая 3 на
рис. 7.2, б, хотя имеет две общие точки с кривой 4,
очевидно, касается ее в точке А. Поэтому для определения
касательной к кривой должен быть реализован другой подход.

7.1. Задачи, приводящиеся к понятию производной 345
Дадим аргументу х0
приращение Ах и
перейдем на кривой у = f(x) от
точки М0(х0;/(х0)) к точке
М^(х0 + Ах; f(x0 + Ах)),
Проведем секущую М0М^
(см. рис. 7.1).
Под касательной к
кривой у = f(x) в точке М0
естественно понимать
предельное положение секущей
MqM± при приближении рис 7 ^
точки Mj к точке М0, т.е.
при Ах —> 0.
Уравнение прямой, проходящей через точку М0, в
соответствии с формулой D.8) имеет вид
*/-/С*о) = *(■*-■*())•
Угловой коэффициент (или тангенс угла ф наклона)
секущей kM^Mn может быть найден из aM0M{N: kMoMi =
Ay
{т0
= tg(p = —- (см. рис. 7.1). Тогда угловой коэффициент каса-
Ах
тельной
k= lim kt
Дх->0
MQM]
= lim^.
Дк-Ю Ах
G.1)
Оставим на время задачу о касательной и рассмотрим
другую задачу.
2. Задача о скорости движения. Пусть вдоль некоторой
прямой движется точка по закону s - s(t)> где s —
пройденный путь; t — время, и необходимо найти скорость точки в
момент £0.
К моменту времени £0 пройденный путь равен Sq = s(£0),
а к моменту (t0 + At) — s0 + As = s(t0 + At) (рис. 7.3).
Тогда за промежуток At средняя скорость будет vcp = —.
Чем меньше At, тем лучше
At
средняя скорость
характеризует движение точки в
момент £0. В связи с этим
под скоростью точки в мо-
*(*о)
As
s(L+M)
At
Рис. 7.3
t0+At

346 Глава 7. Производная и дифференциал
мент t0 естественно понимать предел средней скорости за
промежуток от t0 до t0 + At, когда At -» 0, т.е.
v= hm v = hm —. G.2)
3. Задача о производительности труда. Пусть
функция и = u(t) выражает количество произведенной
продукции и за время t> и необходимо найти производительность
труда в момент t0.
За период времени от t0 до t0 + At количество
произведенной продукции изменится от значения Uq = u{t^) до
значения Uq + Аи = м(£0 + Д£); тогда средняя производитель-
Аи
ность труда за этот период времени составит гср = —.
Очевидно, что производительность труда в момент £0
можно определить как предельное значение средней
производительности за период времени от t0 до t0 + At при At -» 0, т.е.
z= hm г = lim —. G.3)
Рассматривая три различные по характеру задачи, мы
пришли к пределу одного вида G.1)—G.3). Этот предел играет
чрезвычайно важную роль в математическом анализе,
являясь основным понятием дифференциального исчисления.
7.2. Определение производной.
Зависимость между непрерывностью
и дифференцируемостью функции
Пусть функция у = f(x) определена на промежутке X.
Возьмем точку хе X. Дадим значению х приращение Ах Ф О,
тогда функция получит приращение Ay = f(x + Ах) - /(г).
Определение. Производной функции у - f(x)
называется предел отношения приращения функции к
приращению независимой переменной при стремлении
последнего к нулю (если этот предел существует):
, ,. Ay ,. f(x + Ax)-f(x)
у = hm -^- = hm — ' J v \ G 4)
Дх-»оДх; д*->0 Ах

7.2. Определение производной...
347
Производная функции имеет несколько обозначений:
у\ /'00, —. ——. Иногда в обозначении производной ис-
dx dx
пользуется индекс, указывающий, по какой переменной
взята производная, например ух.
Нахождение производной функции называется
дифференцированием этой функции.
Если функция в точке х имеет конечную производную, то
функция называется дифференцируемой в этой точке.
Функция, дифференцируемая во всех точках промежутка
Ху называется дифференцируемой на этом промежутке.
Теперь вернемся к рассмотренным выше задачам.
Из задачи о касательной следует геометрический
смысл производной: производная f (х0) есть угловой
коэффициент (тангенс угла наклона) касательной,
проведенной к кривой у = f(x) в точке х0, т.е. k = f'(x0).
Следовательно, уравнение касательной к кривой у = f(x)
в точке Xq примет вид1
y-f(x0) = f(x0)(x-x0). G.5)
Из задачи о скорости движения следует механический
смысл производной: производная пути по времени s'(^o)
есть скорость точки в момент t0: v(t0) = s'(t0).
Из задачи о производительности труда следует, что
производная объема произведенной продукции по времени v (t^)
есть производительность труда в момент t0.
Пример 7.1. График функции у =f(x) есть полуокружность
(рис. 7.4). Используя
геометрический смысл производной, найти
значения производной f(x) в
точках Д Ву Су Д Еу делящих
полуокружность на четыре равные части.
Решение. В точкахBnDуглы
наклона касательных к графику
составляют соответственно 45°
и 135°, поэтому у'в = tg45° = 1; Рис. 7.4
z/D = tg135° = -l.
/
'А
У'
Г
45°
1 0
{
Ч
\135:
k ^ х
1 А уравнение нормали (учитывая условие перпендикулярности двух
прямых — см. параграф 4.4) имеет вид
f(xo) к }

348 Глава 7. Производная и дифференциал
В точке С касательная параллельна оси Ох (а = 0),
поэтому у'с = tgO = 0. В точках АиЕ касательные
перпендикулярны оси Ox, ос e 90°, a tg 90° не существует, т.е. функция
f(x) недифференцируема в этих точках, точнее,
производная в этих точках бесконечна: /д = -и», f'E = -<» (знаки,
стоящие перед символами бесконечности, определяются тем,
что в окрестности точки А производная/'(#) положительна
(острый угол наклона касательных), а в окрестности точки
Е — отрицательна (тупой угол наклона)). ►
Пример 7.2. Доказать, что функция у = |х|
недифференцируема в точке х = 0.
Решение. Производная функции (если она существует)
равна
, Ау |* + Дх|-|*|
у = lim —-= hm J !——.
Ах->0 Ах Д*-»0 Ах
Очевидно, что при х = 0 производная не существует, так
|0 + Дх|-|0| \Ах\ 4
как отношение J !—l—*- = l-—- равно 1 при Ах > 0 и -1
Ах Ах
при Ах < 0, т.е. не имеет предела при Ах -» 0 (ни конечного,
ни бесконечного). Геометрически это означает отсутствие
касательной к кривой в точке х = 0 (рис. 7.5). ►
Замечание. Наряду с
понятием производной в
дифференциальном исчислении
рассматриваются также понятия левой
fl(x) и правой /+(*)
производных, под которыми понимаются
односторонние пределы
отношения G.4) соответственно слева
при Ах -» 0- (когда Ах < 0) и
справа при Аг -» 0+ (когда Ах > 0). Если функция у = /(х)
дифференцируема, то /1(х) =/+(■*) = /'(■*)• Для функции
у»Й, рассмотренной в примере 7.2, при х - 0 существуют
левая и правая производные /1@) = -1, /+@) = 1, но
/^@) * /+@), следовательно, функция у = \х\
недифференцируема в точке х = 0.
Зависимость между непрерывностью функции и диф-
ференцируемостью. Теорема. Если функция у = f(x)
дифференцируема в точке х0, то она в этой точке
непрерывна.

7.3. Схема вычисления производной...
349
□ По условию функция у =f(x) дифференцируема в
точке х0, т.е. существует конечный предел
Нт^ = /'(д<>),
Дх->0 Ах
где f'(x0) — постоянная величина, не зависящая от Ах.
Тогда на основании теоремы о связи бесконечно малых
величин с пределами функций (см. параграф 6.3) можно
записать
^ = /W + «(A*), G.6)
Ах
где а(Дг) — бесконечно малая величина при Ах -» 0, или
Ay = f'(x0)Ax + a(Ax)Ax. G.7)
При Ах -> 0 на основании свойств бесконечно малых
величин устанавливаем, что Ау —> 0 и, следовательно, по
определению F.25) функция у = f(x) в точке Xq является
непрерывной. ■
Обратная теорема, вообще говоря, неверна, т.е. если
функция непрерывна в данной точке, то она не обязательно
дифференцируема в этой точке. Так, функция у - \х\ непрерывна
в точке х = 0, ибо lim | дс| = |0| = 0 (см. рис. 7.5), но, как было до-
казано в примере 7.2, недифференцируема в этой точке.
Таким образом, непрерывность функции — необходимое,
но недостаточное условие ее дифференцируемости. В
математике известны непрерывные функции, недифференци-
руемые ни в одной точке.
Замечание. Производная непрерывной функции не
обязательно непрерывна. Если функция имеет
непрерывную производную на некотором промежутке X, то функция
называется гладкой на этом промежутке. Если же
производная функции допускает конечное число точек разрыва
(причем первого рода), то такая функция на данном
промежутке называется кусочно гладкой.
7.3. Схема вычисления производной.
Основные правила дифференцирования
Производная функции у = f(x) может быть найдена по
следующей схеме.

350 Глава 7. Производная и дифференциал
1°. Даем аргументу х приращение Ах * О и находим
наращенное значение функции у + Ay = f(x + Ах),
2°. Находим приращение функции Ау - f(x + Ах) - f(x).
3°. Составляем отношение —.
Ах
4°. Находим предел этого отношения при Ах -» 0, т.е.
У = um — (если этот предел существует).
Пример 7.3. Найти производную функции у = х?.
Решение. 1°. Даем аргументу х приращение А* * 0 и
находим наращенное значение функции у + Аг/ = (х + АхK.
2°. Находим приращение функции
Д# = (х + Ад:K - х3 = jc3 + Зле2А* + ЗхД*2 + Аде3 - jc3 = Д*C;с2 +
+ЗхДх + Д*2).
Ау 2 2
3°. Составляем отношение — = Ъх + ЗхДх + Аде .
Ах
4°. Находим предел у' = lim — = lim (Здг+ЗлАх + Дх ) =
„ 2 ^ Д*-ЮДх Д*-Ю
= 3*. ►
Итак, получили, что (jc3)' = 3;c2. Можно доказать (см.
параграф 7.5), что для любого (не только натурального) п
(хп) = пхп-\ G.8)
Следует знать частные случаи этой формулы при п = —
и п = -1:
-]=-7. G.10)
Пример 7.4. Найти производную функции у = х2- \1х3.
2 11
Решение. Представим функцию в виде у = х2 -х4 =х4.
И -
Теперь по формуле G.8) у -—хА,

7.3. Схема вычисления производной...
351
Пример 7.5. Составить уравнение касательной и нор-
1 А
мали к кривой у = - в точке х = 1.
X
Решение. В соответствии с формулой G.5) уравнение
касательной к кривой у = f(x) = - в точке х = 1 имеет вид
X
y-f(l) = f'(l)(x-l). По формуле G.10) найдем
производную /'(*)=*
х
Ее значение при х = 1 равно/'A) = -1. Значение функции
прих = 1 составит/A) = 1. Уравнение касательной примет
вид у - 1 = = -\(х - 1) или х + у -2 = 0. Уравнение нормали
по формуле G.5*) у-1 = О* -1) или х - у = 0 (рис. 7.6). ►
Правила
дифференцирования.
1. Производная
постоянной равна нулю, т.е.
с' = 0.
Правило очевидно, так как
любое приращение постоянной
функции у = с равно нулю.
2. Производная аргумента
равна единице, т.е.
Правило следует из фор- Рис- 7.6
мулы G.8) при п = 1.
В следующих правилах будем полагать, что и = w(r) и
а = а(г) — дифференцируемые функции.
3. Производная алгебраической суммы конечного числа
дифференцируемых функций равна такой же сумме
производных этих функций, т.е.
(u + v)'-и+v'.
G.11)
4. Производная произведения двух дифференцируемых
функций равна произведению производной первого
сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на
производную второго, т.е.
(uv)' = uv + uv.
G.12)

352
Глава 7. Производная и дифференциал
Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить
за знак производной:
(си)' - си'. G.13)
Следствие 2. Производная произведения нескольких
дифференцируемых функций равна сумме произведений
производной каждого из сомножителей на все остальные,
например:
(uvw)' = uvw + uvw + uvw\ G.14)
5. Производная частного двух дифференцируемых
функций может быть найдена по формуле
Mt U'V~UV' G.15)
0-!
V ) v2
(при условии, что v Ф 0).
□ В качестве примера докажем правило 4, т.е. формулу
G.12). Пусть и = и(х) и v = v(x) — дифференцируемые
функции. Найдем производную функции у = uv, используя
схему, приведенную в начале параграфа 7.3.
1°. Дадим аргументу х приращение Ах Ф 0. Тогда
функции и и v получат наращенные значения и + Аи и v + Av,
а функция у — значение у + Ау = (и + Au)(v + Av).
2°. Найдем приращение функции
Ау = (и + Au)(v + Av) -uv = uv + Auv + uAv + AuAv -uv = Auv +
+ uAv + AuAv.
Ay
3°. Составим отношение —, которое представим в виде
Ах
Ay Au Av Au Av A
— = v + u + Ах.
Дх Ах Ах Ах Ах
4°. Найдем предел этого отношения при Ах -> 0,
используя теоремы о пределах:
Ay t. Au ,. Av t. Au t. Av t.
lim —£•= hm v + u hm —+ hm hm hm Ax.
Дх->0Дх Дх->0Дх Дх->0Дх Дх->0Дх Дх->0 Ах Дх->0
На основании определения производной получили, что
у' = u'v + uv' + u'v • 0, или у' = u'v + uv'. Ш

7.4. Производная сложной и обратной функций 353
Пример 7.6. Найти производную функции у - f(x) и
вычислить ее значение в точке дгв1: а) у = х*(у[х + 1);
б)у = Щх4-1);в)у = ^.
у/х
Решение,
а) По формулам G.12), G.11) и G.8)
у' = (jc3)'(jc4 +1) + jc3(jc4 + 1/ = 3jc2(jc4 +1) + jc3(—jc" 4 + 0) =
4 / i3
Значение производной в точке х = 1 есть У A) = 1(— ■ 1 +
+1) = 4,25.
б) Сначала вынесем постоянный множитель за знак
производной:
у = 15(jc4 -1)' = 15 • 4jc3 = 60jc3; y'{\) = 60.
в) По формуле G.15)
(VxJ л 2jcVx *
*/'(!) = 3. ►
7.4. Производная сложной и обратной функций
Пусть переменная у есть функция от переменной и
(у - /(и)), а переменная м в свою очередь есть функция от
независимой переменной х9 т.е. задана сложная функция
У ™/[ф(*)] (см- параграф 5.5).
Теорема. Если у = f(u) и и = ф(х) — дифференцируемые
функции от своих аргументов, то производная сложной
функции существует и равна производной данной функции
по промежуточному аргументу и, умноженной на
производную самого промежуточного аргумента и по независимой
переменной ху т.е.
у' = ПиУи\ G.16)
□ Дадим независимой переменной х приращение Ах Ф 0.
Тогда функции и = ф(х) и у = f(u) соответственно получат
приращения Аи и Ау.

354 Глава 7. Производная и дифференциал
Предположим, что Аи * 0. Тогда в силу
дифференцируемое™ функции у = f(u) можно записать
lim^ = /'(„),
где f'(u) — величина, не зависящая от Аи.
На основании теоремы о связи бесконечно малых
величин с пределами функций
^ = /'(и) + а(Ди),
Аи
где а(Аи) — бесконечно малая величина при Аи -> 0, откуда
by = f\u)Au + а(Дм)Ди. G.17)
Это равенство будет справедливо и при Аи = 0, если
полагать, что а(Аи = 0) = 0 (т.е. доопределить таким образом
функцию а(Аи) при Аи = 0).
Разделив обе части равенства G.17) на Ах * 0, получим
Аи .,, ч Аи , А ч Дм
-f- = f(u)— + ос(Ди)—. G.18)
Дх Дх Дх
Так как по условию функция и = <р(х)
дифференцируема, то она непрерывна в точке х, следовательно, при Ах -» 0
Аи -> 0 и ос(Дм) -» 0.
Поэтому, переходя к пределу при Ах -> 0 в равенстве
G.18), получаем
y' = f'(u)- lim JL = f'(u)-u.
Дх-»0 Ах
Замечание. Если ограничиться случаями, что при Ах * 0
Дм * 0, то доказательство теоремы можно провести проще,
Аи Аи Аи
исходя из очевидного равенства —- = —^- и переходя в
a am Ax Аи Ах
нем к пределу при Ах -> 0. ■
Правило дифференцирования сложной функции G.16)
может быть записано и в других формах: ух-уи-их или
dy __ dy du
dx du dx

7.4. Производная сложной и обратной функций 355
Выше были приведены формулы для производной
степенной функции у - & и ее частных случаев (см. формулы
G.8)—G.10)). С учетом полученного правила
дифференцирования сложной функции G.16) для функции у в ип, где
и = и(х), можно записать
(ип)' = пип-1.и\
(>/м)' =—т=и\
2Vm
1
и.
G.19)
G.20)
G.21)
1_
и i и-
Пример 7.7. Найти производные функций: а) у = (Jx+5K;
Vjc2+1 xz+x + l
Решение.
а) Функцию можно представить в виде у = и3, где
и = у[х + 5. Следовательно, на основании формулы G.19)
^ = 3M2.M' = 3(VI + 5J(V^ + 5/ = ^^.
2yjx
б) Имеем у = у/и, где и = ——, поэтому по формулам
G.16) и G.19) Х +1
1 -- 1
у=-и3 и =-
* 3 3
^с2-1^
% jc2 -hi
Г 2 Л
1 jc -1 !
JC2+1
/2 Л2
2х(лГ+1)-(лГ-1)-2х.
(х2+1J
4л:
3(*2 + 1)^(х2+1)(л2-1J
в) Вынося постоянный множитель 12 за знак
производной и используя формулу G.21), получаем
{х2+х+1) I (х2+х+1Г I (х2+х+1Г

356 Глава 7. Производная и дифференциал
Перейдем к рассмотрению производной обратной
функции.
Пусть у - f(x) — дифференцируемая и строго
монотонная функция на некотором промежутке X. Если
переменную у рассматривать как аргумент, а переменную х — как
функцию, то новая функция х = (р(#) является обратной к
данной (см. параграф 5.5) и, как можно показать,
непрерывной на соответствующем промежутке У.
Теорема. Для дифференцируемой функции с
производной, не равной нулю, производная обратной функции равна
обратной величине производной данной функции:
х'у=Ух- G.22).
□ По условию функция у = f(x) дифференцируема и
y'(x)=f(x)*0.
Пусть Ау * 0 — приращение независимой переменной
у у Ах — соответствующее приращение обратной функции
х = ф(у)- Тогда справедливо равенство
Ах = 1
Ау~ AylAx' G23)
Переходя к пределу в равенстве G.23) при Ау —» 0 и
учитывая, что в силу непрерывности обратной функции
Ах -» 0, получаем
Л. Ах 1 , 1 ш
lim — = , т.е. jcw=—. ■
Ау^>оАу lim (Ay/Ax) * ух
Дх->0
Формула G.22) имеет
простой геометрический
смысл. Если у'х выражает
тангенс угла наклона
касательной к кривой у - f(x)
к оси Оху то х? — тангенс
угла р наклона той же ка-
сательной к оси Оу>
причем а + р = — (если аир —
Рис. 7.7

7.5. Производные основных элементарных функций 357
Зл
острые углы) (рис. 7.7) или ос + р = — (если а и Р —
тупые углы). Для таких углов tg p = ctg а или tgP = .
I tga
Этому равенству равносильно условие х' = —.
У Ух
7.5. Производные основных элементарных
функций
Выведем формулы производных основных элементарных
функций.
Производная логарифмической функции.
I. у = 1пх Воспользуемся схемой нахождения
производной, приведенной в параграфе 7.3.
1°. г/ + Дг/ = 1п(* + Дх;).
о A# = ln(jt + Ax)-lnjt = ln =ln 1 + — I
Аг/ = J_ ( Ах} У х у V х )
~ Ах\
3°.
Ах
1 + -
40 */'= lim — = lim —In 1 + —
Дх-»оДх Дх-»оДх ^ x j
Ax
Обозначив — = у у найдем Ах в осу и
х
у'= lim — 1пA+г/) = -Нт1пA + г/)^.
Дх-»0 ху X у-»0
В силу непрерывности логарифмической функции,
используя F.26), поменяем местами символы предела и
логарифма, а затем используем определение числа е F.20);
получаем
Итак,
х
lim(l + y)y
= — 1П£:
X
X
(lnjt)' = — и Aпм)' = — м'.
х и

358 Глава 7. Производная и дифференциал
II. у = loga*. Найдем у' = (loge *)' = {^) =J-(lnx)' =
*1пя
, т.е.
(logfl *)' = -- И (logfl И)' =
хЫа
ulna
Производная показательной функции.
I. у = ё*. Прологарифмируем обе части равенства по
основанию е, получим In у = х. Дифференцируя обе части по
переменной х и учитывая, что In у — сложная функция, име-
и
ем с учетом формулы G.16) Qny)' = x' или — = 1, откуда
/ У
у = г/,т.е.
(е*)' = ехи (еиУ = еи • и'. G.24)
Заметим, что кривая у = ё°, называемая экспонентной,
обладает присущим только ей свойством: в каждой точке х
ордината кривой у = ё* равна угловому коэффициенту
(тангенсу угла наклона) касательной к кривой в этой точке:
ё* = tg а (рис. 7.8).
И. у = а*.
»'=(«'/=
п
, и по правилу
дифференцирования сложной функции G.16)
у' = ехЫа(х1па)' = ах 1па. Итак,
(ах)' = ах1па и (а")' = а" 1па• и.
G.25)
*/i
6
4
2
-2 -1 0
Ь
/У "«*
/
~ /" е* = tgoc
// i °
/^i i i i i
2 4
#
Рис. 7.8
Производная степенной
функции. Теперь можно доказать
формулу производной степенной
функции у ^х*1 для любого п.
Действительно, In у = n In x.
Дифференцируя обе части равен-
1 , 1
ства, получаем — • у - п • —, от-
у х
куда у' = пу- = пхп • — = ил"-1, т.е.
(дг ) = пх
и (w")' = nw"~V. G.26)

7.5. Производные основных элементарных функций 359
Производная степенно-показательной функции — у =
= f(x)V(x\ Найдем In у - ф(х) In/(г). Дифференцируя,
получаем
У fix)
Учитывая, что у = f(x)^x\ после преобразований
получаем
у' = фОсШ*)**)-1 • /'(*) + /(*)**> ■ In f(xW(x). G.27)
Таким образом, для того, чтобы найти производную
степенно-показательной функции, достаточно
продифференцировать ее вначале как степенную, а затем как
показательную и полученные результаты сложить (напомним, что
(ип)' = пип-1и'и (аиУ = аи\паи).
Замечание. Производная логарифмической функции
Aпг/)' = — называется логарифмической производной. Ее
У
удобно использовать для нахождения производных функций,
выражения которых существенно упрощаются при логариф-
и
мировании. Логарифмическую производную Aпг/)' = — на-
У
зывают также относительной скоростью изменения
функции, или темпом изменения функции.
Пример 7.8. Найти производные функций: а) у = Xх;
6) ,Jfc±B&L»
V 3-jt
Решение.
а) По формуле G.27) дифференцируем функцию
вначале как степенную, а затем как показательную и
полученные результаты складываем: у' = х • .г*-1 + Xх In x =
= jrr(l + In х).
б) Производную можно найти, используя правила
дифференцирования G.9)—G.15), но проще это сделать с
помощью логарифмической производной. Действительно,

360 Глава 7. Производная и дифференциал
In у = - 1п(х +1) + ln(jc2 - 2) - 1пC - х) . Дифференцируя,
находим
у 2[* + 1
-(jc + 1)' + —— (х2-2)'-^-C-х)'
х2-2
3-JC
или
, 1
У—У
( 1 2х 1
+ -s + -
[х + 1 х2-2 3-х/
Подставив выражение для г/, окончательно получим
У =-
jc3-4jc2-3jc + 4
C-jc)Vi
(;c + 1)(jc2-2)C-;c)
Производные тригонометрических функций.
I. у sin х. Воспользуемся схемой нахождения
производной (см. параграф 7.3):
1°. у + Ах = sin(jt: + Ах).
Ах Ах
2°. Ay = sin(х + Ах) - sin л: = 2 sin—cos(jc + —).
Л . Ах , Дхч
А 2 sin—cos(;c +—)
3°. АУ= 2 2
Ах Ах
. Ах
л sm— л
4°. у- lim — = lim —r-2-- lim cos(jc+—) = cosjc (учли
Дх-ЮДх Ax-»0 A* Дх-Ю 2
2
первый замечательный предел F.16) и непрерывность
функции cos х).
Итак,
(sin х)' = cos jc; (sin и)' = cos и и'. G.28)
И. г/ - cos х.
(cosjc/ = -sinx и (cosM)' = -sinww' G.29)
(доказательство аналогично п. I).

7.5. Производные основных элементарных функций 361
III.2/ = tgX
(sinx)'cosjt-sinjt(cosjc)' cos Jt + sin x 1
, fsinx^ <
y=\ =-
^cosjcJ
COS X
COS X
2 '
COS X
т.е. (tg*)' = —— ;(tgw)' =
COS X
COS U
IV. у = ctg x.
(ctgx)' = J-; (ctgM)' = -
sin jc
sin и
G.30)
G.31)
(доказательство аналогично п. III).
V. у - arcsin х, где -1 < х < 1 и -я/2 < г/ < к/2.
Обратная функция имеет вид х = sin г/, причем л;' - cos у *
Ф 0, если -к/2 < у < к/2.
Используем правило дифференцирования обратной
функции G.22)
, 1 1
1
1
4 cos^ +>/i-sin2*/ >/li?
При jc - ±1 производной не существует.
Итак,
(arcsin *)' = , ; (arcsin и/ =
VT;
>/l-V
G.32)
VI. у e arccos лг, у e arctg д^ г/ e arcctg x.
Вывод формул проводится аналогично п. V, формулы
соответствующих производных приведены в таблице.
Таблица производных
Функция у
с
X
и + v
Производная у'
0
1
и' + rf
Функция у
еи
аи
In и
Производная у'
& • и'
аи\п а - и'
1 ,
— и
и

362 Глава 7. Производная и дифференциал
Окончание табл.
Функция у
UV
UVW
си
и
и
с
с
\/(и),и = ф)
ип
4~и
1
и
Производная у'
u'v + uv'
u'vw + uv'w + uvw'\
си'
uv-uv
v2
и
с
с ,
-—v
f\u) • и'
пип~^и'
1 '
—ти
1 '
Функция у
bgflw
| sin и
COS U
tgu
ctgu
arcsin и
arccos и
arctg и
arcctg и
Производная у'
1 '
и
ulna
cos и • и'
-sin и • и'
1
2 U
COS U
1
• 2 '"
sin и
1
у U
4^?
1
у U
1
—=■•«
1 + и2
1 Н'
1+«2 м
7.6. Производные неявной и параметрически
заданной функций. Понятие производных
высших порядков
Производная неявной функции. Выше было
рассмотрено дифференцирование явных функций, заданных в виде
у = f(x). Рассмотрим дифференцирование неявной
функции, заданной уравнением F(x, у) = О (см. параграф 5.5).
Для нахождения производной функции г/, заданной неявно,
нужно продифференцировать обе части уравнения,
рассматривая у как функцию от х, а затем из полученного уравнения
найти производную у*. Фактически этот метод был использован
при выводе производных функций у = ех\у = хп;у = /(.х)^
и в примере 7.8, б после логарифмирования рассматриваемых
функций.

7.6. Производные неявной и параметрически заданной... 363
Пример 7.9. Найти производную функции г/, заданной
уравнением х2 - ху + In у = 2, и вычислить ее значение в
точке B; 1).
Решение. Дифференцируя обе части равенства и учиты-
ы
вая, что у есть функция от х, получаем 2х-у-ху л- — = О,
У
откуда ^
у,^2ху-у2
ху-1
Значение производной при х = 2, у = 1 у'B) = 3. ►
Производные высших порядков. До сих пор
рассматривалась производная f\x) от функции /(х), называемая
производной первого порядка. Но производная f'(x) сама
является функцией, которая также может иметь производную.
Производной п-го порядка называется производная от
производной (п - 1)-го порядка.
Обозначения производных: f\x) — второго порядка (или
вторая производная), f"(x) — третьего порядка (или
третья производная).
Для обозначения производных более высокого порядка
используются арабские цифры в скобках или римские
цифры, например, f^(x)y ...,f(n'(x) или/1У(х) и т.д.
Выясним механический смысл второй производной.
Выше было установлено, что если точка движется
прямолинейно по закону s = s(t) (где s — путь, t — время), то s'(t0)
представляет скорость изменения пути в момент £0.
Следовательно, вторая производная пути по времени s"(to) =
= |У(^о)]' = v'(to) есть скорость изменения скорости, или
ускорение точки в момент t0.
Пример 7.10. Найти производные до п-то порядка
включительно от функции у = In x.
Решение:
, 1 „ ПХ 1 ш ( П 2 (*s 2-3
У =-; У =
х
кХГ—*у -1-л
= —; ук >=—- и т.д.
3' * 4
X X
Очевидно, что производная п-то порядка у^ = :. ►
У1
Производная функции, заданной параметрически.
Пусть функция у = f(x) задана параметрически: х - x(t),

364 Глава 7. Производная и дифференциал
у = y(t) (см. параграф 5.5), где x(t), y(t) непрерывны на
некотором интервале (а; Р) изменения t, и для функции
х = x(t) существует обратная функция t = t(x). Тогда у есть
сложная функция от х> т.е. у = y[t(x)]. Если функции x(t) и
y(t) дифференцируемые, причем af(t) * О, то по правилу
дифференцирования сложной функции G.16) у'х = у'г • €г
Так как для обратной функции по формуле G.22) t'x = —, то
й-4.
G.33)
Если функции х@ и y(t) имеют производные п-то
порядка, причем x?t * О, то и функция у = */[£(#)] имеет
производную «-го порядка.
Найдем производную второго порядка
Таким образом,
вообще
// / / ч/ / / ч/ ./
Ух=(Ух)х=(Ух)Aх-
„»_(yxYt.
Ух ~ t '
</<л)=
м
G.34)
G.35)
Пример 7.11. Найти производные первого и второго по-
[* = #cosf, , Гл ..ч
рядков для функции { , (f € 0;к\).
[*/ = Л sin г. v L J/
Решение. По формуле G.33)
У* =
(Л sin t)' Rcost
(R cos 0' l?(-sinf)
= -ctgf.
Геометрически равенство г/^ =
= -ctgt = -х/г/ означает, что в
любой точке М полуокружности
tgoc = -ctg t, где а и t —
соответственно углы наклона
касательной AM и луча ОМ (рис. 7.9).

7.7. Понятие дифференциала функции
365
По формуле G.34)
„ (-ctgf)' = 1
(Rcost)' flsinV
7.7. Понятие дифференциала функции
Пусть функция у = f{x) определена на промежутке X и
дифференцируема в некоторой окрестности точки х е X.
Тогда существует конечная производная
lim ^ = /'(*)•
д*->0 Дх
На основании теоремы о связи бесконечно малых
величин с пределами функций можно записать
^ = /'(х) + сс(Дх),
Ах
где а(Дх) — бесконечно малая величина при Ах -> 0, откуда
Ay = /'(х) Дх + сс(Дх) Дх. G.36)
Таким образом, приращение функции Ау состоит из
двух слагаемых: 1) линейного относительно Дх; 2)
нелинейного (представляющего бесконечно малую величину
более высокого порядка, чем Дх, ибо (см. замечание в
параграфе 6.3) lim a(A*)A* = lim а(Дх) = 0).
д*-»о Дх д*-»о
Определение. Дифференциалом функции
называется главная, линейная относительно Ах, часть
приращения функции, равная произведению производной на
приращение независимой переменной
dy = f'(x)Ax. G.37)
Пример 7.12. Найти приращение и дифференциал
функции у - их? — Зх при х - 10 и Дх в 0,1.
Решение. Приращение функции
Ау = /(х + Дх) - Дх) = \l{x + ДхJ - 3(х + ДхI - Bх2 - Зх) =
= ДхDх + 2Дх-3).

366
Глава 7. Производная и дифференциал
Дифференциал функции dу = f'(x)Ax = D* - 3)Дх.
При х= 10 и Дг = 0,1 имеем Ау = 3,72 ndy = 3,70.
Различие между Ау и dy составляет всего 0,02, или ~ 0,5%. ►
Пример 7.13. Найти дифференциал функции у - х.
Решение-, dy = dx = xf • Ах, откуда
dx = Ax,
т.е. дифференциал независимой переменной равен
приращению этой переменной. ►
Поэтому формулу для дифференцирования функции
можно записать в виде
dy = f'Wdx,
G.38)
откуда /'(*) = — . Следовательно, — не просто
символист dx
ческое обозначение производной, а обычная дробь с
числителем dy и знаменателем dx.
Геометрический смысл дифференциала. Возьмем на
графике функции у = f(x) произвольную точку М(х, у).
Дадим аргументу х приращение Ах. Тогда функция у = f(x)
получит приращение Ay = f(x + Ax)-f(x) (рис. 7.10).
Проведем касательную к
кривой у = f(x) в точке М, У\у + Ау =/(*+ Ах)
которая образует угол а с
положительным
направлением оси Ох, т.е. /'(*) = tga-
Из прямоугольного
треугольника MKN
KN = MN • tga = Ax tga =
= f\x)Ax,
т.е. в соответствии с
формулой G.37) dy - KN. Рис. 7.10
Таким образом,
дифференциал функции есть приращение ординаты касательной,
проведенной к графику функции у в/(х) в данной точке,
когда х получает приращение Ах.
Не следует думать, что всегда dy<Ay. Так, на рис. 7.11
показан случай, когда dy > Ay.
Свойства дифференциала. В основном они аналогичны
свойствам производной. Приведем их без доказательства:

7.7. Понятие дифференциала функции
367
1) dc = 0;
2) d(cu) = с du;
3) d(u ±v) = du± dv\
4) d(uv) = vdu + udv;
c-4 ,fM>\ vdu-udv
5) <* - = о •
2/4
0
У + Ау
= f(x+Ax) ^Mj_
AZfS*\
y(a
My^dyX
f \ i
i i
, Ax ,
x x0+Ax
Рассмотрим теперь
важное свойство, которым
обладает дифференциал
функции, но не обладает ее Рис. 7.11
производная.
Инвариантность формы дифференциала. Рассматривая
выше у = f(x) как функцию независимой переменной х, было
получено, что dу = f\x)dx. Рассмотрим функцию у =/(м), где
аргумент и = ф(» сам является функцией от х, т.е. сложную
функцию у = / [ф(*)]. Если у = /(и) и и = ф(*) —
дифференцируемые функции от своих аргументов, то производная
сложной функции в соответствии с теоремой, приведенной
в параграфе 7.4, у' = /'(и)• и.
Тогда дифференциал функции
dy = f'(x) dx = /'(и) • и'яЬс = f\u)du,
ибо по формуле G.38) udx = du. Итак,
d# = f'(u)du.
G.39)
Последнее равенство означает, что формула
дифференциала не изменяется, если вместо функции от независимой
переменной х рассматривать функцию от зависимой
переменной и. Это свойство дифференциала получило
название инвариантности (т.е. неизменности) формы (или
формулы) дифференциала.
Однако в содержании формул G.38) и G.39) все же есть
различие: в формуле G.38) дифференциал независимой
переменной равен приращению этой переменной, т.е. dx = Ar, a
в формуле G.39) дифференциал функции du есть лишь
линейная часть приращения этой функции Аи и только при
малых Ах du~ Аи.

368 Глава 7. Производная и дифференциал
7.8. Применение дифференциала
в приближенных вычислениях
Из изложенного выше следует, что Д*/ = dy+ а(Ах)Ах>
т.е. приращение функции Ау отличается от ее
дифференциала dy на бесконечно малую величину более высокого
порядка, чем dy = f'(x)Ax. Поэтому при достаточно малых
значениях Ах Ay ~ dy или f(x + Ах) -/(*)« f'(x)Ax, откуда
f(x + Ах)« / (х) + /'(*)Д*. G.40)
Чем меньше значение Дг, тем точнее формула G.40).
Формула G.40) может оказаться полезной для
приближенных вычислений.
Пример 7.14. Вычислить приближенно: а) ^16,64; б) tg 46°.
Решение.
а) Получим вначале приближенную формулу для
вычисления корней любой п-й степени. Полагая f(x) = ух, находим
1 --1 \/jc
f\x) = — xn = — и в соответствии с формулой G.40)
п пх
nfi^^rfc+Vxte или ^7A^«^fl + —\ В данном
пх I пх )
примере
у/х + Ах
-«(•♦£)
В качестве х возьмем число, наиболее близкое к 16,64,
но чтобы был известен у[х, при этом Ах должно быть
достаточно малым. Очевидно, следует взять х = 16, Ах =
= 0,64 (но, например, не х = 9, Ах = 7,64!). Итак,
'64 1=2 1,01 = 2,02
{ 4'
16 ,
б) Полагая /(х) = tg х, находим f\x) = —г— и в coot-
cos х
Ах
ветствии с G.40) получаем tg(* + Ax)« tgx + ——. Учиты-
cos х
вая, что tg46 =tgD5 +1 ) = tg — + L возьмем * = т и
6 6 %4 180/ 4

7.8. Применение дифференциала в... вычислениях 369
л*о (ПК
tg4tf = tg - +—
* 4 180
к
-v-
1
cos
к к _
2Я180"" 90~
Ах = . Тогда
180
= 1 + 0,0349-1,035.
Используя дифференциал, по формуле G.40) легко
получить формулы, часто применяемые на практике при
а«: 1:
A±а)я«1±па; *УГ±а«1±-; —^— ~1 + а; еа~1 + а;
п 1±а
1пA±а)~±а; sin а «а; coscc^l-
а
и т.д.
С помощью дифференциала может быть решена задача
определения абсолютной и относительной погрешностей
функции по заданной погрешности нахождения
(измерения) аргумента.
Пусть необходимо вычислить значение данной функции
у-fix) при некотором значении аргументах^ истинная
величина которого неизвестна, а известно лишь его
приближенное значение х с абсолютной погрешностью |Дя| = |r — хД.
Если вместо истинного значения/(х^) взять величину/(г), то
допустим ошибку, равную \f(x) - f(x\ )| = \Ау\ ~dy = f\x)Ax.
При этом относительная погрешность функции 5,. = —
У \У
может быть вычислена (при достаточно малых Ах) по
формуле
5*=
У
«
dy_
У
-
f\x)Ax
fix)
=
xf'(x)\
т\
\Ax
1 x
или
Ьу=\Ех(Урх>
G.41)
где ^(z/)! — эластичность функции (по абсолютной вели-
\Ах\
чине) (см. параграф 7.10);
безотносительная
погрешность нахождения (измерения) аргумента х.
Пример 7.15. Расход бензина у (л) автомобиля на 100 км
пути в зависимости от скорости х (км/ч) описывается
функцией у = 18 - 0,3х + О^ОЗ^г2. Оценить относительную

370 Глава 7. Производная и дифференциал
погрешность вычисления расхода бензина при скорости
х = 90 км/ч, определенной с точностью до 5%.
Решение. Найдем эластичность функции (по
абсолютной величине)
\ЕХ(У)\ =
xf\x)
fix)
jc(-0,3 + 0,006jc)
18-0,3jt + 0,003jtJ
При * = 90 |£'JC=9o(i/)| = l,41 и по формуле G.41)
относительная погрешность gw =1,41-5«7,1%. ►
у
Пример 7.16. С какой точностью может быть вычислен
объем шара, если его радиус измерен с точностью до 2%?
4 -\
Решение. Объем шара радиуса х равен f(x) =—юс . Най-
Л 3
дем /'(*) = 471Х2, \Ex(f)\ =
G.41) 8^38^=3-2 = 6%.
xf\x)
fix)
X'Anx
-юг
3
= 3 и по формуле
Существенным недостатком применения
дифференциала в приближенных вычислениях является невозможность
вычисления значений функций с наперед заданной
точностью. Этого недостатка лишено использование рядов в
приближенных вычислениях (см. параграф 14.3).
7.9. Понятие о дифференциалах
высших порядков
Для дифференцируемой функции у=/(х) согласно G.38)
y = fXx)dx, т.е. дифференциал функции есть функция от
двух аргументов: х и dx.
Будем полагать, что дифференциал независимой
переменной имеет произвольное, но фиксированное значение,
не зависящее от х. В этом случае dy есть некоторая
функция х, которая также может иметь дифференциал.
Дифференциалом второго порядка (или вторым
дифференциалом) dry функции у = f(x) называется
дифференциал от дифференциала первого порядка этой функции, т.е.
d2y - d(dy).
G.42)
Аналогично дифференциалом п-го порядка (или п-м
дифференциалом) dny называется дифференциал от диф-

7.10. Экономический смысл производной... 371
ференциала (п - 1)-го порядка этой функции, т.е. dny =
Найдем выражение для dly. По определению dly =
- d(dy) - d(J\x)dx). Так как dx не зависит от х, т.е. по
отношению к переменной х является постоянной величиной, то
множитель dx можно вынести за знак дифференциала
d2y = dx • df'(x) = dx • [/'(*)]'<** = f\x)№2.
Итак,
d2y = f"(x)dx2, G.43)
где fltr2 = (<irJ. В общем случае
dny = fM(x)dxn, G.44)
т.е. дифференциал второго (и вообще п-го) порядка равен
произведению производной второго (п-го) порядка на
квадрат (п-ю степень) дифференциала независимой
переменной.
Из формул G.43) и G.44) следует, что
Г\х) = Ц; G.45)
dx
/(й)(*) = Яг. G-46)
dx
В заключение отметим, что дифференциалы второго и
более высоких порядков не обладают свойством
инвариантности формы (или формулы) в отличие от дифференциала
первого порядка.
7.10. Экономический смысл производной.
Использование понятия производной
в экономике
В параграфе 7.2 было установлено, что
производительность труда есть производная объема произведенной
продукции по времени.

372 Глава 7. Производная и дифференциал
Рассмотрим еще одно понятие, иллюстрирующее
экономический смысл производной.
Издержки производства у будем рассматривать как
функцию количества выпускаемой продукции х. Пусть
Дг — прирост продукции, тогда Дг/ — приращение издержек
Дг/
производства и среднее приращение издержек произ-
** > . Ь№
водства на единицу продукции. Производная г/ = hm -=2-
д*->оДх
выражает предельные издержки производства и
характеризует приближенно дополнительные затраты на
производство единицы дополнительной продукции.
Предельные издержки зависят от уровня производства
(количества выпускаемой продукции) х и определяются не
постоянными производственными затратами, а лишь
переменными (на сырье, топливо и т.п.). Аналогичным образом
могут быть определены предельная выручка, предельный
доход, предельный продукт, предельная полезность, предельная
производительность и другие предельные величины.
Понятие предельных издержек может быть
использовано при определении оптимального для производителя
выпуска продукции при известной ее цене.
Пусть при производстве х единиц продукции издержки
составляют у = f(x) денежных едениц. При увеличении
выпуска продукции на Ах единиц издержки производства
возрастут на Дг/ денежных единиц, а стоимость
реализованной продукции по цене р на рАх денежных единиц.
Очевидно, что увеличивать производство продукции
экономически оправдано, если Дг/ < рАх. Точно так же сокращать
выпуск продукции на величину Дг имеет смысл, когда
снижение издержек Дг/ не менее, чем снижение стоимости рАх,
т.е. Дг/ > рАх. Приведенным неравенствам одновременно
удовлетворяет значение Дг// Дг = р. Если Дг мало по сравне-
Дг/
нию с х, а теоретически при Дг -> 0, то lim —— = /'(*) = ру
Дх->0 Ах
т.е. оптимальный для производителя выпуск продукции
такой, при котором предельные издержки равны ее цене.
Геометрически оптимальный выпуск продукции х0
находится параллельным перемещением прямой с
угловым коэффициентом р до тех пор, пока эта прямая не
станет касательной к кривой издержек у = f(x) в точке Xq
(рис. 7.12).

7.10. Экономический смысл производной... 373
Ук
уф.
0
ST I
у/У I
/ i
/ i
xo
*-/<*)
Рис. 7.12
Применение
дифференциального
исчисления для исследования
экономических объектов
и процессов на основе
анализа предельных
величин получило
название предельного анализа.
Предельные величины
характеризуют не
состояние (как суммарная
или средняя величина),
а процесс, т.е. изменение
экономического объекта. Таким образом, производная
выступает как скорость изменения некоторого экономического
объекта (процесса) по времени или относительно другого
исследуемого фактора. Однако следует учесть, что экономика
не всегда позволяет использовать предельные величины в
силу неделимости многих объектов экономических расчетов
и прерывности (дискретности) экономических показателей
во времени (например, годовых, квартальных, месячных и
т.д.). Вместе с тем в ряде случаев можно отвлечься от
дискретности показателей и эффективно применять предельные
величины.
Рассмотрим в качестве примера соотношения между
средним и предельным доходами1 в условиях
монопольного и конкурентного рынков.
Суммарный доход (выручку) от реализации продукции
г можно определить как произведение цены единицы
продукции р на ее количество q, т.е. г = pq.
В условиях монополии одна или несколько фирм
полностью контролируют предложение определенной продукции, а
следовательно, их цены. При этом, как правило, с
увеличением цены спрос на продукцию падает. Будем полагать, что это
происходит по прямой, т.е. кривая спроса p(q) — линейная
убывающая функция р = aq + b, где а < 0, Ъ > 0. Тогда
суммарный доход от реализованной продукции составит
1 В экономической литературе предельные величины называют
также маржинальными. При их записи к обычному обозначению величин
добавляется буква М; при записи средних величин добавляется буква А
(от англ. average — средняя), например MR — предельный доход, AR —
средний доход.

374 Глава 7. Производная и дифференциал
Монопольный
рынок
г (суммарный
доход)
|(предель
ный
доход)
Рис. 7.13
г = {aq + b)q = aq2 + bq
(рис. 7.13). В этом случае
средний доход на единицу
продукции rCD= — = aq + b, a
предельный доход, т.е.
дополнительный доход от
реализации единицы
дополнительной продукции, составит
r'q=2aq + b (см. рис. 7.13).
Следовательно, в условиях
монопольного рынка с
ростом количества реализо-
r ^ Свободный конкурентный
рынок
1г (суммарный доход)
гр (средний доход)
г' (предельный доход)
ванной продукции предельный доход снижается, что приводит
к уменьшению (с меньшей скоростью) среднего дохода.
В условиях совершенной конкуренции, когда число
участников рынка велико
и каждая фирма не
способна контролировать
уровень цен, устойчивая
продажа товаров возможна по
преобладающей рыночной
цене, например р = Ь. При
этом суммарный доход
составит г = bq и,
соответственно, средний доход
г и
rcv= — = b и предельный
доход r'q =b (рис. 7.14).
Таким образом, в условиях свободного конкурентного рынка в
отличие от монопольного средний и предельный доходы
совпадают.
Для исследования экономических процессов и решения
других прикладных задач часто используется понятие
эластичности функции.
Определение. Эластичностью функции Ех(у) называется
предел отношения относительного приращения функции у к
относительному приращению переменной х при Ах -»0:
Рис. 7.14
Ех(у)= lim
д*->о
АуАх\х.. Ау х ,
—: — |=- km -£ = -•*/. G.47)
У
у д*-»о Ах у

7.10. Экономический смысл производной... 375
X X
По определению G.47) Ех {у) =—у' = —tg а, где tg а
Эластичность функции показывает приближенно, на
сколько процентов изменится функция у = / (х) при
изменении независимой переменной х на 1%.
Выясним геометрический смысл эластичности функции.
тангенс
У У ~
угла наклона касательной в точке М(х, у) (рис. 7.15).
Учитывая, что из треугольника MBN MN = x tga, МС = у, а из
подобия треугольников MBN и АМС = , получаем
д/# МС МА
£*(*/) = » т-е. эластичность функции (по абсолютной ве-
МА
личине) равна отношению расстояний по касательной от
данной точки графика функции до точек ее пересечения с
осями Ох и Оу. Если эти точки пересечения касательной к
графику функции А и В находятся по одну сторону от
точки М, то эластичность Ех(у) положительна (см. рис. 7.15),
если по разные стороны, то Ех(у) отрицательна (рис. 7.16).
Рис. 7.16
Отметим свойства эластичности функции.
1. Эластичность функции равна произведению независимой
и
переменной х на темп изменения функции Ту = (In у)' = —:
У У
Ех(у) = хТу. G.48)
2. Эластичность произведения (частного) двух функций
равна сумме (разности) эластичностей этих функций:
Ex(uv) = Ex(u) + Ex(v); G.49)
-\ = Ех(ц)-Ех(р).
G.50)

376 Глава 7. Производная и дифференциал
3. Эластичности взаимнообратных функций — взаимно
обратные величины:
ЕЛУ) = -^У G.5D
Эластичность функций применяется при анализе спроса
и потребления. Например, эластичность спроса у
относительно цены х (или дохода х) — это коэффициент,
определяемый по формуле G.47) и показывающий приближенно, на
сколько процентов изменяется спрос (объем потребления)
при изменении цены (или дохода) на 1%.
Если эластичность спроса (по абсолютной величине)
|£г(УI > 1, то спрос считают эластичным относительно
цены (или дохода), если I^G/)! < 1, то неэластичным. Если
1-^г(УI sijo говорят о спросе с единичной эластичностью.
Выясним, например, как влияет эластичность спроса
относительно цены на суммарный доход r = pq при
реализации продукции. Выше было сделано предположение, что
кривая спроса р = p(q) — линейная функция; теперь будем
полагать, что р = p(q) — произвольная функция. Найдем
предельный доход
rq=ipq)'q = pq'«+^1=? i4p;Ua+£,(P)).
Учитывая, что в соответствии с формулой G.51) для
эластичности взаимнообратных функций эластичность спроса
относительно цены обратна эластичности цены
относительно спроса, т.е. Eq{p)- , а также то, что Е (q) < О, при
произвольной кривой спроса получаем
/
TQ = Р\
\ЕрЩ
G.52)
Если спрос неэластичен, т.е. |J5L(#)| < 1, то в
соответствии с формулой G.52) предельный доход к* отрицателен
при любой цене; если спрос эластичен, т.е. Е (q)\ > 1, то
предельный доход ri положителен. Таким образом, для
неэластичного спроса изменения цены и предельного дохода про-

7.10. Экономический смысл производной... 377
исходят в одном направлении, а для эластичного спроса —
в разных. Это означает, что с возрастанием цены для
продукции эластичного спроса суммарный доход от ее
реализации увеличивается, а для товаров неэластичного спроса
уменьшается. На рис. 7.13 на кривых доходов выделены
области эластичного и неэластичного спроса.
Понятие производной может быть использовано для
оценки соотношения потребления и сбережения. Пусть
доход населения х состоит из двух частей: х = С(х) + 5(х),
где С(х) — функция потребления, S(x) — функция
сбережения.
Дифференцируя, получаем
C'(jc) + S'tr) = L
Функции С'(х) и У(х) называются предельными
склонностями соответственно к потреблению и сбережению и
показывают приближенно при данном уровне дохода населения х
денежные средства, выделяемые на потребление и
сбережение из каждой дополнительной единицы дохода.
Пример 7.17. Зависимость между издержками
производства у (ден. ед.) и объемом выпускаемой продукции
х (ед.) выражается функцией у = 5х - 0,05 лг3. Определить
средние и предельные издержки при объеме выпускаемой
продукции, равном 10 ед.
Решение. Функция средних издержек (на единицу
прозу 2
дукции) выражается отношением ycv = — = 50-0,05*; при
у х
х = 10 средние издержки (на единицу продукции) равны
у A0) - 50 - 0,05 • 102 - 45 ден. ед. Функция предельных
издержек выражается производной у\х) = 50 - 0,15х2; при
х = 10 предельные издержки составят */A0) * 50 - 0,15 • W? =
= 35 ден. ед. Итак, если средние издержки на производство
единицы продукции 45 ден. ед., то предельные издержки,
т.е. дополнительные затраты на производство
дополнительной единицы продукции при данном уровне
производства (объеме выпускаемой продукции 10 ед.), составят
35 ден. ед. ►
Пример 7.18. Зависимость между себестоимостью
единицы продукции у (тыс. руб.) и выпуском продукции х
(млрд руб.) выражается функцией у = -0,5х + 80. Найти

378 Глава 7. Производная и дифференциал
эластичность себестоимости при выпуске продукции,
равном 60 млн руб.
Решение. По формуле G.33) эластичность себестоимости
_ -0,5х х
ЕХ(У) =
-0,5* +80 jc-160
При х = 60 Ех щ qq (у) = -0,6, т.е. при выпуске продукции,
равном 60 млн руб., увеличение его на 1% приведет к
снижению себестоимости на 0,6%. ►
ПРАКТИКУМ
7.11. Вычисление производных
7.19. Используя определение производной, найти
производную функции у = ёх.
Решение. Применяя схему, приведенную в параграфе 7.3,
получаем следующее.
1°. у + Ау = ех+Ах.
2°. Ау = ех+Ах-ех=ех(еАх-1).
3о АУ =схеАх-1
Ах Ах
4°. у'= lim ^ = ех- lim —- = ех1 = ех,
Дх-»0 Ах: Дх-»0 Ах
ибо е** - 1 и Ах — эквивалентные бесконечно малые
величины при Ах —> 0. (Напомним, что в параграфе 7.5 та же
формула была получена с помощью логарифмической
производной.) ►
7.20. Найти производные функций:
а) г/ = Vln jc -h 1 н- ln(VJc -h 1); б) у = 5х In2 x\
„\ , С*-2) ч sin x
(х + ЗГ Vcos2jc
Д) i/ = arctg-4- + lnVx2+3.
л/3
Решение.
а) При дифференцировании следует учесть, что первое
слагаемое представляет степенную функцию (y = \fu), ее

7.11. Вычисление производных
379
аргумент — логарифмическую функцию плюс постоянную
(и = \пх + 1), а второе слагаемое — логарифмическую
функцию (у = \пи9 где w = Vx + l):
у' = —, * (In х + 1)' + -ri— (>/* + 1)' = —t=L +
2vlnjc + l v* + l 2Vln;c + l x
1
1
1
Vjc~ + 1 lyfx 2y[x
1
1
Л
I Jx(\n x + 1) Vjc~ + 1 I
б) Данная функция представляет произведение двух
функций 5* и In2 jc, каждая из которых является сложной
функцией (у = 5и9 где м = х3; ^ = w2, где «j = lnx), поэтому
г/' = E^ /In2 jc + 5*3 (In2 jc)' = Г5^3 In 5(jc3)'lln2 jc + 5^ [2In jc(ln jc)'] =
= 5x3ln5-3jc2ln2jc + 5x3-21njc-i = 5x3lnjcC1n5jc2lnjc + ^).
в) Прежде чем дифференцировать функцию,
целесообразно упростить ее выражение, применяя формулы
логарифмирования:
y = 51og2(x-2)-21og2(* + 3).
Теперь
i/, = 5(log2(jc-2)),-2(log2(jc + 3)),=
2 , -v 1 Г 5 2
(jc + 3) =
(jc + 3)ln2 ln2Ljc-2 jc + :
(jc-2)ln2
(Х-2У-
3x + 19
ln2(jc-2)(jc + 3)
г) По правилу дифференцирования частного двух
функций
, (sin x)Vcos2jc -sin jc(vcos2jc)'
У = / 2 *
(Vcos2jc)
Учитывая, что (sin jc)' = 2sinjc(sinjc)' = 2sinjccosjc = sin2;c,
(Vcos2jc)/ = , (cos 2x)' = . (-sin 2х)BхУ = —*Ш ,
2vcos2x 2vcos2x V cos 2л:

380
Глава 7. Производная и дифференциал
получаем после преобразований
, sin 2х cos x
У= I з '
Vcos3 2x
X 1 2
д) Представим функцию в виде z/ = arctg-y=r + -ln(jc +3).
^ л/3 2
Теперь
1
Я
(—1
1 1
2 jc2+3
(*2+3)' =
1
jc2+3 л/3
J_ 2л: jc + Тз
2 (jc2+3) jc2+3*
7.21. Вычислить значение производной функции у = f(x)
при х = я/4: a) г/= In у 1 + ctg2x; б) у = In4 sin х.
а) Вначале найдем производную функции, предвари-
1 2
тельно заметив, что у = — ln(l + ctg x). Теперь
г/ =- —(l + ctgzx) =-
2 l + ctg2jc
1
-ctg*
< 1 ^
(l+CtgZJf)
sin2 jc
2(l + ctgzjc)
= -ctg*.
•2ctgx(ctg*)' =
Решение можно упростить, если вначале преобразовать
функцию г/ = -1п —— = -lnsinjc.
2 ^ sin х )
Находим значение производной при х = я/4: у'(к/4) -
= -ctg(ic/4) - -1.
б) Производная функции
у' = 4(ln sin х) (In sin jc)' = 4 In sin jc —— (sin jc)' =
-5
4, 4 In sinjccosjc
sinjc
sinjc
= 41n sinjcctgx
Значение производной при х = я/4
/Gc/4) = 41n3sin(K/4)ctg(K/4) = 41n3(l/V2)l = 4),51n32.

7.11. Вычисление производных
381
7.22. Найти производные функций: а) у = — S Х\
б) у = х™2\ ^
Решение.
а) Производную данной функции можно найти,
используя формулы производных G.9)—G.15). Но проще это
сделать с помощью логарифмической производной. В самом
деле,
2 5
In у = ln(jc -1) + 61n cos х—In л.
тт л. л. /1 ч' У 2х 6(-sin*)
Дифференцируя, получаем (In у) = — = —— + — --
У jf-1 cos*
—, откуда
-6tg,--
\ .. ., (*2-l)cos6*( 2x
б) По правилу дифференцирования
степенно-показательной функции G.27)
■'"'Г
у' = sin2 х • xsin2 x~l + Х * • ln(sin2 х)'.
Учитывая, что (sin2x)'=2sin;c(sinjc)' = 2sinjccosjt = sin2jc,
после преобразований получаем
у' = х™2х
( • 2 Л
1 sin х Л . _ А
+ In х sin 2x
X
►
7.23. Найти производную неявно заданной функции
еу _ е-х + ху = о и вычислить ее значение при х = 0.
Решение. Дифференцируя, получаем
еР •y'-e~x{rx)' + jty + xy' = 0 или ey -y' + e~x +y + xy' = Q,
е~х + у
откуда у = ^-.
х + еу
Для вычисления г/'@) найдем вначале у@), подставив в
выражение функции х = 0: Ф - е° + 0 • г/, откуда е# * 1 и у = 0.
е°+0
Теперь при х = 0, у = 0 г/'@) = тт = -1. ►
0 + е°

382 Глава 7. Производная и дифференциал
7.24. Найти производную функции, заданной
параметрически: х = cos3 £, у - sin3 L
Решение. По формуле G.33)
, (sin t)' 3sin r cos r
у — _ 1- =
(cos31)' 3cos2f(-sinf)
= -tgf. ►
7.25. Найти производные второго, третьего и и-го
порядков функций: а) у - 2х; б) у = cos2 x.
Решение
а) г/' = 2* In 2; г/" = 2* In2 2; г/'" = 2* In3 2. Очевидно, что
г/("> = 2х In" 2.
б) у' = 2 cos д:(- sin *) = - sin 2x = cosB* + —);
у" = -2cos 2x = 2cosB* + 2 • -);
г/'" = 22 sin 2х = 22 cosBx + 3 • -).
Очевидно, что г/"^ = 2й-1 cosBx + п • —). ►
Используя определение производной, найти
производные функций:
7.26. у = 5х-г 7.27. у = ^—. 7.28. у = е4х.
х*+1
7.29. г/ = 7Г+2~с.
Найти производные функций:
7.30. ц =
х2+1
7.31. z/ = x4(81n2jc-41njt+l).
7.32. у = ]п(х+\1х2-1). 7.33. у = х3 log2 x.
7.Si. „ =
4 ДС 4 *
7.35. г/ = jc sin(cosjc).
7.36. у = sin — + cos —
* 2 2
7.37. # = 41n(V*-4 + V*)W*2--4jc.
7.38. г/ = ^(е3*-5). 7.39. y = $ll + e4x+y[5.

7.11. Вычисление производных
383
-*Ш-
7.41. у = \п
jcA + jc2)
л/l^2 '
7.42. z/ = 3jcln(l-jc2). 7.43. у = х3\п2х.
Л-е
4jc
Ах
7.45. у = {хе2х+Ъ)
f = 3j
7.46. z/ = (jc2-l)lnJ . 7.47. y = sin(jc2 + 2x).
A + дс
7.48. z/ = 4^(l-VbI).7.49. y =
7.50. z/ = cos2jc + lntg-.
In cos x
COSJC
7.51. у = in(Vl+ex -1) - ln(Vl+ex +1).
7.52. z/ = e*lnsinjc.
7.5o. z/ = —lntg—
2 ~2 2sinV
7.54. y =
B 3 ^
—— +—
sin*. 7.55. y-
arcctgjc
Vi+*2
7.56. z/ = Vl-Jc2arccosjc. 7.57. # = arcctg- + -ln(*2+a2).
7.58. г/ = + arcsin-. 7.59. г/ = tg2 — + lncosjc.
xx 2
7.60. */ = ln(e2*+l)-2arctge*. 7.61. */ = jc(coslnjt + sinln;c).
7.62. y = ex>]\-e2x + arcsine*.
7.63. г/ = v 4jc — jc +4arcsin—.
* 2
Найти производные функций и вычислить их значения
при х = х0:
7.64. */ = Vl + ln2Jc; л<)=1. 7.65. г/= ln(jcн-л/jc2 +12); д^ = 2.
7.66. z/ = sinjcecosjr; ло=-. 7.67. г/= InJi±iE£; ^=0.
* ^2 V1"^*

384 Глава 7. Производная и дифференциал
Используя логарифмическую производную, найти
производные функций:
7.68. у = хх.
7.70. у = х~хе-2х.
7.69. у = х^.
7.71. z/ = (sinjc)tg*.
Найти производные х' обратных функций:
7.72. z/ = jc-cosjc.
7.74. z/ = jc2-3cos2jc.
7.73. */ = 2jc + jc3.
7.75. у = 2х1пA-л/1).
Найти производные у' от неявных функций:
7.76. 2* + г/-4 = 0.
7.78. jccos*/-z/sinjc = 0.
7.80. j«/-arctg— = 0.
У
7.82. lnz/ + --a = 0.
7.84. **-ух=0.
7.77. jclnz/ + i/lnjc = 0.
7.79. >[x + Jy-2 = Q.
7.81. arctg(jc+z/) = jc.
7.83. arctg- = -ln(jc2 + z/2).
У 2
7.85. ех+еу-ехУ-1 = 0.
Найти производные функций, заданных параметрически:
1
7.86.
j* = 2f + l,
7.87.
дс = -
У =
f + 1
7+Г
7.88.
х =
У-
cos3 г
Vcos2/
. з
sin f
7.89.
дс = arccos
г/ = arcsin
1
i
Vcos2f' I Vl+*2
Найти производные второго порядка функций:
7.90. z/ = x3_4jc2+5jc-1. 7.91. г^Л/ilA
7.92. у = дс1п(дс+1).
JC + 1
7.94. у =
7.93. «/ = sinz3*.
I jc = arccos Vf,
2jc+3
7.95.
U = ^

7.12. Геометрические и механические приложения... 385
Найти производные и-го порядка функций:
7.96. у = хех. 7.97. г/ = In jc.
7.98. у = 5*. 7.99. г/ = sin jc.
х = In t,
7.100. У = т^—' 7.101.
Здс + 5
1
7.102. Показать, что функция у = 2tgBx - 1)
удовлетворяет уравнению у" = 2уу'.
7.103. Показать, что функция у = 2е^° - е~^х
удовлетворяет уравнению уу"' = у'у".
X X
7.104. Показать, что функция у = A ) cos х + A + -) sin x
„ . -4 4
удовлетворяет уравнению у + г/ e xsm x.
7.12. Геометрические и механические
приложения производной
7.105. Дана кривая г/ = х. Составить уравнения
касательных: а) в точках пересечения кривой с прямой Зх +
+ 2у - 4 = 0; б) параллельной и перпендикулярной этой
прямой; в) проходящих через точку B; -5).
Решение.
а) 1. Найдем точки пересечения двух линий, решая
систему уравнений
2
X
у- Xi
4 откуда
3*+2г/-4 = 0,
U =2, |дъ=-4,
2. Найдем производную функции г/' = -дс-1. Значения
производной в найденных точках у'B) = 0, у' (-4) в -3.
3. Уравнения касательных по формуле G.5) будут: у + 1 = 0
и у - 8 в -3(х + 4) или Зх + г/ + 4 - 0 (рис. 7.17, прямые 1 и 2).
3
б) Угловой коэффициент заданной прямой k = —,
а прямой, параллельной и перпендикулярной заданной,
3 12
соответственно k>$=k = — и k4= — = —. Поэтому точки, в

386 Глава 7. Производная и дифференциал
Рис. 7.17
которых касательная к
кривой параллельна и
перпендикулярна данной прямой,
находятся из уравнений
f\x) = -x-l = -y откуда,
соответственно ^ = -1 и
10
Найдем ординаты
кривой в полученных точках
/(-1) = 7 и /I
т-
Соответствующие уравнения касательных будут: у— =
4
= --(* +1) или 6* + 4г/ + 1 = 0 и z/ + - = -(jc ) шш6х-9у-
- 25 = 0 (рис. 7.17, прямые 3 и 4).
в) Точка B; -5) не лежит на данной кривой. Ее
координаты должны удовлетворять уравнению касательной G.5)
или 1/^(^->Л()) = 1(^)^1)(х_^)),гдех0
хк 1
касания; /(^) = ^L-^ y(^) = _^_i.
Следовательно,
-5-(^^^) = i(jCo-l)B-jc0),
4 2
абсцисса точки
откуда (после
преобразований) jcq -4jc0-12 = 0 и
(ло)!=-2; (xqJ=
6.Подставляя полученные значения
х0, найдем два уравнения
касательных: у = -2дс -1 и
у = 2х-9 (рис. 7.18, прямые
7.106. Тело, выпущенное
вертикально вверх,
движется по закону s(t) = 4 + 8t -
- 5t2, где высота s(t) изме-
Рис. 7.18

7.12. Геометрические и механические приложения... 387
ряется в метрах, а время t — в секундах. Найти: а) скорость
тела в начальный момент; 6) скорость тела в момент
соприкосновения с землей; в) наибольшую высоту подъема тела.
Решение.
а) Скорость тела в момент t равна производной s'(t)> т.е.
v(t) = s'(t) = 8 - 10£ в момент t = 0 v@) = s'@) = 8 м/с.
б) В момент соприкосновения с землей s(t) = 0, т.е. 4 +
+ 8t- 5t2 = 0, откуда t± = 2)t2 = -0,4 (не подходит по
смыслу, ибо t > 0). Скорость тела в момент t = 2i>B) = s'B) =
= 8- 10 • 2 = —12 м/с (минус указывает на то, что скорость
тела в момент t = 2 противоположна направлению
начальной скорости).
в) Наибольшая высота подъема 5наиб (t) будет в момент,
когда скорость тела равна нулю и происходит переход от подъема
к опусканию тела, т.е. v(i) = 8 - 10t = 0, откуда t = 0,8.
Наибольшая высота подъема s^^ @ = 5@>8) = 5 + 8 • 0,8 -
- 5 • 0,82 = 8,2 м. ►
7.107. Какой угол образует с осью абсцисс касательная к
графику функции, проведенная в указанной точке?
Написать уравнение касательной: а) у = х2 -5*+ 8, д^ = 3; б) у =
= 1пA -х);х0 = 0.
7.108. Составить уравнение касательной и нормали к
кривой у = -: а) в точке х = 2; б) в точке пересечения с
осью Оу. 4 + *
7.109. Составить уравнение касательной к кривой у =
= 5х - х2, параллельной прямой, проходящей через точки
A; 7) и (-2; -2).
7.110. Составить уравнения касательных к кривой у =
= х* + 2х + 1, перпендикулярных прямой 5у + х - 4 = 0.
7.111. Составить уравнение касательной к кривой у =
= 1п(х - 1), перпендикулярной прямой, образующей с осью
абсцисс угол 135°.
7.112. Составить уравнения касательных к кривой
2jc —7
у = : а) параллельных прямой Ах - у - 2 = 0; б) пер-
дс-3
пендикулярных прямой 2х + 2у - 5 = 0.
7.113. Дана кривая у = х2- 2х. Составить уравнения
касательных^ а) в точках пересечения кривой с прямой Зх +
+ у - 2 = 0; б) параллельной и перпендикулярной этой
прямой; в) проходящих через точку A; -5).
7.114. Составить уравнение касательной к кривой у = е~х:
а) проходящей параллельно биссектрисе второго и четвер-

388 Глава 7. Производная и дифференциал
того координатных углов; б) отсекающей на оси абсцисс
отрезок, равный -1.
7.115. Составить уравнение касательной к графику
2jc + 3
функции у = , проходящей через точку М F; 2).
дс + 4
7.116. Составить уравнения общих касательных к
кривым у = х2 и у = -Ъг + Ах - 4.
At + 3
7.117. Тело движется прямолинейно по закону s(t) = ,
где s измеряется в метрах, a t — в секундах. Найти скорость
и ускорение тела в момент t = 6.
7.118. Тело движется прямолинейно по закону s(t).
Определить скорость и ускорение тела в указанный момент
времени t0: a) s(t) = г3 -2г2 -г, f0 = 2; б) s@ = -^-; г0 = 7.
7.119. Тело, брошенное вертикально вверх, движется по
закону: h(t) = 9t - 2t2. Найти начальную скорость и
ускорение тела (£0 = 0) и максимальную высоту подъема, при
которой скорость v(t) = 0.
7.13. Дифференциал функции
7.120. Найти дифференциалы первого и второго
порядков функции у = х2 In х.
Решение. Учитывая, что /'(*) = 2jclnjc + jc2 •- = jcB1n jt + 1),
по формуле G.37) d2y = B In x + \)dx. x
2
Учитывая, что /"(jt) = 21njt + l + jc- = 21n;c + 3, по
формуле G.43) d2y - B In x + 3)dx2. ► *
7.121. Используя понятие дифференциала, вычислить
приближенно arccos 0,49.
Решение. Получим вначале приближенную формулу для
вычисления значений арккосинуса. Полагая/(х) = arccos x,
находим f'{x) = —. и в соответствии с формулой G.40)
2
Ах
yjl^x
arccos(x + Ax)« arccos x - , .
Взяв в качестве .г «• 0,5; Ах = -0,01, получим
arccos0,49 - arccos0,5- {~°,01) = - + -^£L - 1,059. ►
Vl-0,52 3 n/0T75

7.14. Экономические приложения производной 389
Найти выражения приращений функций и их
дифференциалов и вычислить их значения при заданных х и Ах:
7.122. у = хг -Зх2 +3х; х = 2; Ах = 0,01.
7.123. y = Jl + x2; * = 0; Ах = -0,01.
Найти дифференциалы первого порядка функций:
7.124. y = -yl49-x2+—arcsin-. 7.125. у = — In—.
2 2 7 12 х+6
7.126. z/ = arcsinjc2. 7.127. у = хъ-Ъх2+Ъх.
7.128. у = х*-Ъх2+А. 7.129. г/= sin3 2*.
Найти дифференциалы второго порядка функций:
7.130. у = Ах5-1х2 + Ъ. 7.131. */ = cos2x
7.132. у = 4~х\ 7.133. # = *sinx.
Используя понятие дифференциала, вычислить:
7.134. ^84. 7.135. 3B55,15.
7.136. г1'03. 7.137. ln(* + 0,272).
7.138. ln@,l + Vo,l2+l). 7.139. arctg
7.140. Используя понятие дифференциала, выяснить, с
какой точностью должен быть измерен радиус круга, чтобы
его площадь можно было определить с точностью до 10%?
7.141. Используя понятие дифференциала, определить,
на сколько процентов изменится величина степени 2,13>*
при изменении основания степени на 5%.
7.14. Экономические приложения производной
7.142. Объем продукции и (ед.), произведенный брига-
5 ч
дой рабочих, может быть описан уравнением и-—г +
6
15 о
+—t + 100f+ 50 (ед.), 1< t < 8, где t — рабочее время, часы.
Вычислить производительность труда, скорость и темп ее
0,99
1,01"

390 Глава 7. Производная и дифференциал
изменения через час после начала работы и за час до ее
окончания.
Решение. Производительность труда выражается
производной
z(t) = u\t) = ~t2 + 15f +100 (ед/ч),
а скорость и темп изменения производительности —
соответственно производной /(f) и логарифмической
производной Tz(t) = [In z(f)\:
z'@ = -5f + 15 (ед/ч2),
Tz(t) = ^l= ~5t + 15 = *Z«- (ед/ч).
*(') Лг2+15г + 100 t2-6t-40
2
В заданные моменты времени £1 = 1и£2 = 8-1 = 7
соответственно имеем: гA) = 112,5 (ед/ч), /A) = 10 (ед/ч2),
ПA) = 0,09(ед/ч) и zG) = 82,5 (ед/ч), /G) - -20(ед/ч2),
7; G) = -0,24 (ед/ч).
Итак, к концу работы производительность труда
существенно снижается; при этом изменение знака /(f) и Tz(f) с
плюса на минус свидетельствует о том, что увеличение
производительности труда в первые часы рабочего дня
сменяется ее снижением в последние часы. ►
7.143. Функция издержек производства продукции
некоторой фирмой имеет вид: у(х) = 0,1 х* - 1,2jt + 5х +
+ 250 (ден. ед.). Найти средние и предельные издержки
производства и вычислить их значения при х = 10.
Решение. Найдем производную у'(х) и ее значение
г/'A0) — предельные издержки производства:
г/'(*) = 0,3;с2-2,4* + 5; у\щ = 30-24 + 5 = 11.
Средние издержки
/ч 0, 1jc3-1,2jc2+ 5jc + 250 Л12 ^ с 250
ух(х) = — = 0,Lr-l,2jt + 5 + ;
х х
ух(Щ = 10- 12 + 5 + 25 = 28.
Это означает, что при данном уровне производства
(количестве выпускаемой продукции) средние затраты на произ-

7.14. Экономические приложения производной 391
водство одной единицы продукции составляют 28 ден. ед., а
увеличение объема на одну единицу продукции обойдется
фирме приблизительно в 11 ден. ед. ►
7.144. Зависимость между спросом q и ценой р единицы
продукции, выпускаемой некоторым предприятием,
задается соотношением q = \S-y[p. Найти эластичность спроса.
Выяснить, при каких значениях цены спрос является
эластичным, нейтральным и неэластичным. Какие
рекомендации о цене единицы продукции можно дать руководителям
предприятия при р = 100 и р = 150 ден. ед.?
Решение. Эластичность спроса по формуле G.35)
Спрос нейтрален, если \EJq)\ = 1. Решая это уравнение,
имеем р =144 ден. ед. Далее, принимая во внимание, чтор > 0
и q > 0 (т.е. р < 324) получаем, что если 0 < р < 144, то спрос
является неэластичным; а при 144 < р < 324 — эластичным.
Рекомендации. Если цена единицы продукции составляет
100 ден. ед., то спрос является неэластичным и можно
повысить цену продукции, выручка при этом будет расти. При
стоимости продукции 150 ден. ед. спрос является
эластичным. В данном случае целесообразно рассмотреть
предложение о снижении цены, выручка от реализации будет
расти в результате увеличения спроса на продукцию. ►
7.145. Опытным путем установлены функции спроса
Р + 8
q и предложения s = р + 0,5, где q и s— количество
/7 + 2
товара, соответственно, покупаемого и предлагаемого на
продажу в единицу времени, р — цена товара. Найти:
а) равновесную цену, т.е. цену, при которой спрос и
предложение уравновешиваются; б) эластичность спроса и
предложения для этой цены; в) изменение дохода при
увеличении цены на 5% относительно равновесной.
Решение.
а) Равновесная цена определяется из условия q = s:
2. = р + о,5, откуда р - 2, т.е. равновесная цена равна
р + 2
2 ден. ед.

392 Глава 7. Производная и дифференциал
б) Найдем эластичности спроса и предложения по
формуле G.33):
Ep(q) = - r ^w——; Ep(s) = -
lR • Е (s)= 2p
(/> + 2)(/? + 8)' р 2/1 + 1"
Для равновесной цены р = 2 имеем Е ш 2(?) = -0,3;
£р.2E)-0,8.
Так как полученные значения эластичностей по
(абсолютной величине) меньше единицы, то и спрос, и
предложение данного товара при равновесной (рыночной) цене
неэластичны относительно цены. Это означает, что
изменение цены не приведет к резкому изменению спроса и
предложения. Так, при увеличении ценыр на 1% спрос
уменьшится на 0,3%, а предложение увеличится на 0,8%.
в) При увеличении ценыр на 5% относительно
равновесной спрос уменьшается на 5 • 0,3 = 1,5%, следовательно,
доход возрастает на 3,5%. ►
7.146. Как связаны предельные и средние полные
затраты предприятия, если эластичность полных затрат равна
единице?
Решение. Пусть полные затраты предприятия у
выражаются функцией у ж fix), где х — объем выпускаемой
продукции. Тогда средние затраты на производство единицы
продукции г/со = —. Найдем предельные издержки пред-
F х
приятия у'. По условию Ех(у) = 1, т.е. учитывая G.33),
—у = 1, откуда у = —. Итак, у' = у , т.е. предельные издер-
У х ^
жки равны средним издержкам (заметим, что полученное
утверждение справедливо только для линейных функций
издержек). ►
7.147. Задана функция у ж/(х) полных затрат
предприятия на производство х единиц продукции. Определить связь
между коэффициентами эластичности полных и средних
затрат.
Решение. Средние затраты на единицу продукции
coil
ставляют ух = —. По формуле G.35) коэффициенты элас-
х
тичности полных и средних затрат равны:
Ех(у) = -у\
У

7.14. Экономические приложения производной 393
У\ Уух) У х2 У
т.е. коэффициент эластичности средних затрат на единицу
меньше коэффициента эластичности полных затрат. ►
7.148. Объем производства зимней обуви и (ед.),
выпускаемой некоторой фирмой, может быть описан уравнением
1 з 7 2
u = -t —t +6r + 2100 (ед.), где t — календарный месяц года.
Вычислить производительность труда, скорость и темп ее
изменения: а) в начале года (t = 0); б) в конце года (t = 12).
7.149. Зависимость между издержками производства
у (ден. ед.) и объемом выпускаемой продукции х (ед.)
выражается функцией у = 10г- 0,04лг*. Определить средние и
предельные издержки при объеме продукции, равном 5 ед.
7.150. Функция полных затрат в зависимости от объема
выпускаемой продукции задана соотношением: у = х* - 2х* + 96.
При каком объеме производства предельные и средние
затраты совпадают? Найти коэффициенты эластичности
полных и средних затрат при данном объеме.
7.151. Зависимость между количеством выпускаемых
деталей в партии х (тыс. ед.) и затратами на их
изготовление у (тыс. руб.) для предприятий отрасли выражается
27
уравнением г/ = — + 6. Найти эластичность затрат для
х
предприятий, выпускающих по 10 тыс. деталей в партии.
7.152. Найти эластичность функции спроса при
заданной стоимости р:
a) q + Юр = 50; р - 3; б) Sq + Зр - 70; р - 10; в)р2 + р +
+ 4# = 26;р = 2ир = 4.
7.153. Для следующих функций спроса найти значение
р, при которых спрос является эластичным: а) 2р + 3q - 12;
б) q = 50A5-Vp); в) 4 = ^3600-р2.
7.154. Выручка от продажи конфет составляет р = ЮОх -
- 0,5х2, где х — объем проданной продукции (тыс. ед.).
Найти среднюю и предельную выручки, если продано: а) 10
тыс. ед.; б) 60 тыс. ед.
7.155. Себестоимость производства телевизоров у (тыс.
руб.) описывается функцией у - 0,01.x2 - 0,5х + 12 E < х < 50),
где х — объем выпускаемой продукции в месяц (тыс. ед.).
Определить скорость и темп изменения себестоимости при
выпуске 20 и 40 тыс. ед. продукции.
7.156. Себестоимость продукции у связана с объемом
выпускаемой продукции х уравнением: у = 6 In A + Зх). Опреде-

394
Глава 7. Производная и дифференциал
лить среднюю и предельную себестоимости выпускаемой
продукции при объеме, равном 10 ед.
7.157. Зависимость между себестоимостью единицы
продукции у (руб.) и выпуском продукции х (млн руб.)
выражается уравнением у = -0,5х + 80. Найти эластичность
себестоимости при выпуске продукции на 30 млн руб.
7.158. Зависимость между себестоимостью готовой
продукции предприятия у (млн руб.) и объемом выпускаемых
изделий х (тыс. шт.) выражается уравнением: у = Vjc+4 -2.
Найти эластичность себестоимости продукции
предприятия, выпускающего 12 тыс. шт. изделий. Какие
рекомендации можно дать руководителям предприятий об
изменении величины объема выпускаемой продукции?
7.159. Зависимость между объемом выпуска готовой
продукции у (млн руб.) и объемом производственных
фондов х (млн руб.) выражается уравнением: у = 0,6х - 4.
Найти эластичность выпуска продукции для предприятия,
имеющего фонды в размере 40 млн руб.
7.160. Функции спроса q и предложения s от цены р
выражаются соответственно уравнениями: q = 7 - р и s = р + 1.
Найти: а) равновесную цену; б) эластичность спроса и
предложения для этой цены; в) изменение дохода (в
процентах) при увеличении цены на 5% относительно равновесной.
7.161. Функции спроса q и предложения s на некото-
_2х + 15
рый товар от его цены х задаются уравнениями: Я — ~>
Зх + 15 Х + 5
jt + 10'
Найти: а) равновесную цену; б) эластичность спроса и
предложения для равновесной цены; в) изменение дохода
при изменении равновесной цены на 5%.
7.162. Зависимость потребления у от дохода х задается
ах
функцией у = . Показать, что эластичность функции
х + Ь
потребления от дохода не зависит от параметра а и
стремится к нулю при неограниченном возрастании дохода.
7.163. Функция потребления некоторой страны имеет вид:
С(х) = 13 + 0,25х + 0,37х , где х — совокупный национальный
доход.
Найти: а) предельную склонность к потреблению; б)
предельную склонность к сбережению, если национальный
доход составляет 32.

Контрольные задания...
395
7.164. Функция сбережения некоторой страны имеет вид:
5(х) = 25-0,53х-0,41х , где х — совокупный
национальный доход.
Найти: а) предельную склонность к потреблению; б)
предельную склонность к сбережению, если национальный
доход составляет 27.
Контрольные задания по главе 7
«Производная и дифференциал»
Вариант 7.1
Вариант 7.2
Вариант 73
Найти производные функций:
у = Cх-\)х
х1п(>/ьь
2jc2+2jc);
г/ = E*-4)х
х ln(Vl - 3jc2 - 3jc);
у = B-х)х
xln(VTb
5jT + 5jc);
# = arctg-
2x
1-х2
у = arccos
(*>0);
V^7
t/ = arctg
Vi^7
Показать что функция у = у(х) удовлетворяет уравнению
F(x,y,y',y") = 0:
У = Ъех ;
ХУУ ~ху -ху = 0
у = 2хе х;
х2уу"-(у-ху'J=0
xy"-y'\n!L = o
Найти производную функции, заданной параметрически:
Ix = e 2'sin2f,
y = e2tcos2t
Ix = e2t sin 2r,
y = e~2tcos2t
Ix = e3tsin3t,
y = e~3tcos3t
Найти производную п-го порядка:
У =
1
2jc-3
У =
1
1-3*
У =
1
5х + 2
Найти Ау и dy функции у = Зле + х2 при:
* = 2, Ад: = 0,001 д: = 3, Ах = 0,002 х = 1, Ад: = 0,003
Вычислить приближенно с помощью дифференциала:
/4,08;
8,94;
3/8,012;

396 Глава 7. Производная и дифференциал
№
б)
7
8
9
Вариант 7.1
е0,015
Вариант 7.2
sinGt + 0,01)
Вариант 73
In 0,99
С помощью дифференциала выяснить, на сколько
процентов увеличится у = х0,75, если х увеличится на:
2%
3%
1%
Составить уравнения касательных к графику функции:
2jc + 1
х + 1
перпендикулярных
прямой у + х + 7 = 0
_jc + 2
параллельных
прямой у - 2х + 1 = 0
2-х
проходящих через
точку МB; -2)
Для следующих функций спроса q = f(p) найти значение
стоимости единицы продукции р, при которых спрос
является эластичным:
<7=ЛA00-5р)
<7 = iB0-2p)
^ = 1(80-4/?)
Тест 7
1. Выяснить, какие функции являются непрерывными,
но не дифференцируемыми в точке х0:
1) г/ = |дс + 2|,*о=2; 2)у = |*-5|,ль=5;
3) у = &П$, jcQ=8;4)y = tgU + -), *о=я;
5) y = yj3x2-4x + h х0=0.
2. Выяснить, какие из функций являются
дифференцируемыми в точке х0 = 1: 1) у = tg(l + V*);
2) г/ = jcarccosx;3) y = \lx -8х + 3;4) г/ = jc 1пA-дс );
5) у = |3*-2|.
3. При каком значении параметра а функция у = ln(jt +
+as x -1) является дифференцируемой в точке Xq = 1?
4. Установить соответствие между графиками функций
у = /(х) A,2,5) и их производными г/' = f\x) (я, б, в):

Контрольные задания...
397
1
У\
у-А*)
У\
YZ-
а У\
У* -/(*)
О
б УЬ
У*
к
О
в У*
г.
Вычислить значения производных функции в точке х0:
5.у = (х2 + 5х - 4) In х, х0 = 1.
6. у = Ы(е2х +4ех+\)-lyflx, xq=0.
7. Вычислить значение производной функции х2 +
+ 2ху2 + Зг/4 = 6, заданной неявно в точке МB; -1).
8. Вычислить значение производной функции х = arctg/,
# = arctgVf-l, заданной параметрически при t = 2.
9. Вычислить значение дифференциала функции
г/ = — (arctg(l•+- jc2)- V3jc2 +1) прих0 = 1, Ах = 0,1.
10. Вычислить приближенно (с помощью
дифференциала) In 1,05.
11. Составить уравнение касательной к графику у -
= Ах - х2 в точке х0 = 3.
Ответ: у - kx + 6, где А = ...; Ъ = ...
12. При каком значении х0 касательная к графику функции
у = 2V2 ln( vjc + л/х+1) наклонена к оси абсцисс под углом 45°?
13. С какой относительной погрешностью допустимо
измерить радиус шара, чтобы его объем можно было определить
с точностью до 6%? (Использовать понятие дифференциала.)
14. Зависимость между издержками производства
сигарет у и процентным содержанием вредных веществ в
, .10 000 1ПА „ „
них х выражается функцией у = 100. Найти сред-
х
ние и предельные издержки производства, если
количество вредных веществ составляет 10%.
15. Спрос q на некоторые товары народного
потребления зависит от их стоимости р следующим образом:
6000 ,Л тт « *
q = —=--40. Найти, при каком значении р спрос будет
нейтральным (с единичной эластичностью).

Глава 8
ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ КУРС
Прежде чем перейти к наиболее важным приложениям
производной при исследовании функций и построении их
графиков, рассмотрим несколько основных теорем.
8.1. Основные теоремы дифференциального
исчисления
Теорема Ферма1. Если дифференцируемая на
промежутке X функция у = f(x) достигает наибольшего или
наименьшего значения во внутренней точке х0 этого промежутка, то
производная функции в этой точке равна нулю, т.е./'(х0) = 0.
□ Пусть функция у = f(x) дифференцируема на
промежутке X и в точке Xq e X принимает наименьшее значение
(рис. 8.1).
Тогда/(х0 + Ах) >/(х0), если х0 + Ах е X и,
следовательно, величина Ау = /(х0 + Ах) -
- /(х0) > 0 при достаточно
малых Ах независимо от знака Ах.
Отсюда — >0 при Ах > 0 и
Аи **
-2- < 0 при Ах < 0. Переходя к
Ах
пределу при Ах —> 0+ (справа)
**° "и при Ах —» 0- (слева), получа-
Рис. 8.1 г А#^п к™ АУ<п
ем lim —->0 и lim — <0.
д*->0+ Ах Д*->0- Ах
yk
о
1 Ферма Пьер A601—1655) — французский математик.

8.1. Основные теоремы дифференциального исчисления 399
По условию функция у = f(x) дифференцируема в точке
х0, следовательно, ее предел при Ах > 0 не должен зависеть
от способа стремления Ах > 0 (справа или слева), т.е.
lim — = lim —, откуда следует, что /'(*о) = 0.
д*->0+ Ах д*->о- Ax
Аналогично рассматривается случай, когда функция
принимает в точке х0 наибольшее значение. ■
Геометрический смысл теоремы Ферма очевиден: в
точке наибольшего или наименьшего значения, достигаемого
внутри промежутка X, касательная к графику функции
параллельна оси абсцисс.
Теорема Ферма может быть использована для
доказательства так называемых теорем о среднем, к
рассмотрению которых мы переходим.
Теорема Ролля2. Пусть функция у = /(х)
удовлетворяет следующим условиям:
1) непрерывна на отрезке [а, 6];
2) дифференцируема на интервале (а, 6);
3) на концах отрезка принимает равные значения, т.е.
Тогда внутри отрезка существует по крайней мере одна
такая точка £ е {а, 6), в которой производная функции
равна нулю: /'(£) = 0.
□ На основании теоремы Вейерштрасса (см.
параграф 6.7) функция, непрерывная на отрезке, достигает на
нем своего наибольшего М и наименьшего т значений.
Если оба эти значения достигаются на концах отрезка, то
по условию они равны (т.е. т = М), а это значит, что
функция тождественно постоянна на отрезке [а, Ь]. Тогда
производная равна нулю во всех точках этого отрезка. Если же
хотя бы одно из этих значений — максимальное или
минимальное — достигается внутри отрезка (т.е. т < М), то
производная в соответствующей точке равна нулю в силу
теоремы Ферма. ■
Отметим геометрический смысл теоремы Ролля (рис. 8.2):
найдется хотя бы одна точка, в которой касательная к
графику функции будет параллельна оси абсцисс; в этой
точке производная и будет равна нулю (заметим, что на
рис. 8.2 таких точек две: ^ и £2)-
Роль Мишель A652-1719) — французский математик.

400
Глава 8. Приложения производной
Если f(a) - f(b) = 0, то
теорему Ролля можно
сформулировать следующим образом: между
двумя последовательными
нулями дифференцируемой функции
имеется хотя бы один нуль
производной.
Следует отметить, что все
условия теоремы Ролля
существенны и при невыполнении хотя бы
одного из них заключение теоремы может оказаться
неверным. Так, для функций, приведенных на рис. 8.3, нарушено
только одно условие: на рис. 8.3, а — непрерывность на
отрезке [я, 6], на рис. 8.3, б — дифференцируемость на
интервале (я, 6), на рис. 8.3, в — равенство значений f(a) = f(b).
УК
х 0
УК
Ш
/(b)
Ъ х 0
ЯаУ
'/<*)
Рис. 8.3
В результате не существует такой точки Z, е (а, Ь), в
которой /(|) = 0.
Теорема Ролля является частным случаем теоремы Ла^
гранжа.
Теорема Лагранжа1. Пусть функция у =/(х)
удовлетворяет следующим условиям:
1) непрерывна на отрезке [а, Ь\\
2) дифференцируема на интервале (я, Ь).
Тогда внутри отрезка существует по крайней мере одна
такая точка £ е (я, 6), в которой производная равна
частному от деления приращения функции на приращение
аргумента на этом отрезке, т.е.
/'(^)=
/(*>) "/(а)
Ъ-а
(8.1)
1 Лагранж Жозеф Луи A736-1813) ■
ханик.
• французский математик и ме-

8.1. Основные теоремы дифференциального исчисления 401
□ Введем новую функцию
Ь-а
Функция g(x) удовлетворяет условиям теоремы Ролля,
т.е. она непрерывна на отрезке [а, Ь], дифференцируема на
интервале (а, Ь) и принимает на его концах равные
значения:
*(*) = /(*);
Следовательно, существует точка ^ е (а, Ъ) такая, что g'(£) =
= Оили^)=/'©-^^=0,откуда Г®=Ш£М.Ш
Ь-а Ь-а
Заключение (8.1) теоремы Лагранжа может быть
записано и в виде
f(b)-f(a)=f'£)(b-a).
(8.2)
Выясним механический и геометрический смыслы
теоремы Лагранжа.
Приращение/F) -f(a) — это изменение функции на от-
резке [a, by, средняя скорость изменения фун-
Ь-а
кции на этом отрезке; значения же производной в точке —
это «мгновенная» скорость изменения функции. Таким
образом, теорема утверждает: существует хотя бы одна
точка внутри отрезка, такая,
что скорость изменения
функции в ней равна средней
скорости изменения
функции на этом отрезке.
Геометрическая
интерпретация теоремы
Лагранжа приведена на рис. 8.4.
Если перемещать
прямую АВ параллельно
начальному положению, най- р R .
Vi
0
[
1
a
Я
1 •/(&)
\ ъ

402
Глава 8. Приложения производной
дется хотя бы одна точка £ е (а, Ь), в которой касательная
к графику f(x) и хорда АВ, проведенная через концы дуги АВ,
параллельны (ибо в соответствии с формулой D.9) угловой
коэффициент секущей kAB =- , а касательной —
*-/'«». ъ~а
Следствие. Если производная функции f(x) равна нулю
на некотором промежутке X, то функция тождественно
постоянна на этом промежутке.
П Возьмем на рассматриваемом промежутке X отрезок
[я, х]. Согласно теореме Лагранжа/(х) -f(a) =/'(£)(* ~ а)>
где а < £ < х. По условию /'(£) = О, следовательно, f(x) -
- f(a) = 0, т.е. f(x) = f(a) = const. ■
Теорема Лагранжа допускает следующее обобщение.
Теорема Коши. Если функции f(x) и g(x) непрерывны на
отрезке [а, Ь), дифференцируемы на интервале (а, Ь) и g'(x) =
= 0 на (а, й), то существует точка Ъ, е (я, Ь), такая, что
№-f(a) = f®
g(b)-g(a) g'®'
Очевидно, что теорема Лагранжа является частным
случаем теоремы Коши (при g(x) = х).
8.2. Правило Лопиталя1
Теорема. Предел отношения двух бесконечно малых или
бесконечно больших функций равен пределу отношения их
производных (конечному или бесконечному), если последний
существует в указанном смысле. г -.
Итак, если имеется неопределенность вида — или — , то
Ит №=Шф.. (8.3)
X-¥Xq g(x) X^Xq g (X)
(jc-»°°) (*-»°°)
П Рассмотрим доказательство теоремы для неопреде-
Г°1
ленности вида — при х —» Xq.
1 Лопиталь Гийом Франсуа A661—1704) — французский математик.

8.2. Правило Лопиталя
403
Будем предполагать, что функции f(x) и g(x), а также их
производные непрерывны в точке х0, причем ton f(x) = /(xq) -
= 0 и lim g(x) = g(xo) = 0.
т, *">ЛЬ ,. /(*) ,. /(*)-/(*>)
В этом случае km ^-^ = hm ^ v y J к^\
х^ъ g(x) X-+XQ g(x) - g(xo)
Применяя теорему Лагранжа для функций f(x) и g(x) на
отрезке [х, Xq], получаем
*->*b g(x) x-*Xq g (£2)(х~*о) *">*(> 8 (S2)
где x<£,i< Xq, х<£,2 <хо-
При х —» jcq в силу непрерывности производных /'(*) и
g'(*) имеем/4^) -»/'(*о) и &'<&2> ~* ё'(*о)- Используя
теорему о пределе частного двух функций, получаем равенство
(8.3). ■
Замечание. Обращаем внимание, что в правой части
формулы (8.3) берется отношение производных, а не
производная отношения.
X X 102 X
Пример 8.1. Найти: a) lim —; б) lim —; в) Ит а. .
х->°° ех д;—*» ах х-><*> х
Решение.
а) Имее\
ло Лопиталя, получаем
а) Имеем неопределенность вида -— . Применяя прави-
х 1
lim — = I — I = lim = lim — = 0.
x->°°(e ) x-*°°e
б) Имеем также неопределенность вида — . Применим
правило Лопиталя k раз, если k — целое, и [k] + 1 раз, (где
[k] — целая часть числа &), если k — нецелое:
Jfe-i г и и, и 1ч>-2
X—*»
с^оо^ [ooj *-*»<,* in fl L°°J *-*» ах\тга L°°J

404
Глава 8. Приложения производной
При каждом применении правила Лопиталя степень
числителя будет уменьшаться на единицу и через [k] + 1
раз станет отрицательной, т.е. числитель обратится в
бесконечно малую величину, если k — не целое число; если
k — целое, то в постоянную величину. Знаменатель же
будет оставаться бесконечно большой величиной. Таким об-
г ** п
разом, hm —г- = 0.
в) ш1^ = \-]=итЩ^=шЩ^
х-*°° хк 1°°] *->°° (х*)' x-*°°kxk 1
1 ишЛ = 0. ►
k]nax->ooxk
Правило Лопиталя дает возможность сравнивать
бесконечно большие величины: степенная функция х" —
бесконечно большая более высокого порядка, чем
логарифмическая logfl х, а показательная ах— бесконечно большая
более высокого порядка, чем степенная х12', это означает,
хп ах ах
что lim = оо, Um — = ©о и тем более lim = «>.
*-»<*> logfl х *->оо хп *->«> \oga x
ex + e~x _ 2
Пример 8.2. Найти: a) lim ; 6) lim x\nx.
Решение. x~*° x x~*°
ч r ex+e~x-2 Г0] r (ex+e-x-2)' r
a) hm - = - = hm = lim
*->0 x2 LOj x-*0 fx2Y x^O
e —e
(X2)' x^O 2x
Неопределенна вида [2] „о-нрежнему сохраняется.
Применим правило Лопиталя еще раз:
*Х i ^—X / „X ~Х \' ЛХ , Л—ДГ
hm = lim ;— = hm = 1.
х-+0 2х *->0 Bx) *->0 2
б) Имеем неопределенность вида [0 ■ ©о]. Переписывая
данное выражение в виде lim (*1п х) = [0 • °°] = lim ——, по-
х->0+ х->0+ j_
X

8.2. Правило Лопиталя
405
лучаем неопределенность вида — . Применяя правило
Лопиталя, получим
km -^ = pi= lim -^-=Um(-x) = 0.
In* Г00!
лг~1яг •
х2
Заметим, что если имеется неопределенность вида [0°]
или [оо°] при вычислении предела функции f(x)&x\ то
логарифм этой функции представляет собой
неопределенность вида [0 • ©о].
При этом
lim g(*)ln/(*)
lim f(x)g(x)=ex^{oo) (8 3*)
*->*Ь(~) '
Пример 8.3. Найти lim (sin*)*.
Решение: х~*
v i / • \ Гл 1 r In(sinx) foo] cos*
lim *ln(sin*) = |0ool = hm = — = km — =
x xl
= km (-*) cos x—: = 0, так как km = 1.
*_>0 .sin*. *->0 x
x
Отсюда lim (sin*)* =1. ►
*->о+
Правило Лопиталя является эффективным методом
раскрытия неопределенностей. Однако применение его не
всегда приводит к цели.
Пример 8.4. Найти: a) km , ; б) km :—.
*-»°° v * -1 *->°° х - sin *
Решение.
а) Если применить правило Лопиталя, то получим
1

406
Глава 8. Приложения производной
т.е. числитель и знаменатель просто меняются местами;
неопределенность же сохраняется. Если применить
правило Лопиталя вторично, то функция под знаком предела
примет первоначальный вид. Таким образом,
использование этого правила в данном случае не позволяет раскрыть
неопределенность. В то же время легко установить, что
Bm^lI=limVi = l.
Х-+°°у/Х-1 *-»°° / 1
б) Если применить правило Лопиталя, т.е.
-й-
,. x + sinx Г°о] (jc + sinjt/ ,. 1 + cosjt
Urn = — = Inn ; = lim
*-»0 * - sin jc l°°] x->oo(x-sinxY *-»оо 1 - cos jc
то можно сделать ошибочный вывод о том, что предел
данной функции не существует, так как не существует lim cos x.
л sin*
. • 1 +
тт 1- x + smx г
На самом деле lim = lim А- = 1,
jt->°ojt-sin* jc->oo , sin x
x
так как lim = 0 (см. пример 6.8в). ►
8.3. Возрастание и убывание функций
Напомним (см. параграф 5.3), что функция у = f(x)
называется возрастающей (убывающей) на промежутке X,
если для любых х^у х2 е X при х2 > х^ верно неравенство
f(x2)>f(x1)(f(x2)<f(x1)).
Теорема (достаточное условие возрастания функции).
Если производная дифференцируемой функции
положительна внутри некоторого промежутка X, то она возрастает
на этом промежутке.
П Рассмотрим два значения х^ и х2 на данном
промежутке X. Пусть х2 > Хр xv х2 е X, Докажем, что/(х2) >f(x]).

8.3. Возрастание и убывание функций
407
Для функции f(x) на отрезке [х^ х2] выполняются
условия теоремы Лагранжа, поэтому
/(*2)-/(*l) = /U)(*2-*l)>
(8.4)
где х^ < % < х2у т.е. £ принадлежит промежутку, на котором
производная положительна, откуда следует, что /'(£) > 0 и
правая часть равенства (8.3) положительна. Отсюда f(x2) -
-/(*!>> 0 и/(*2) >/(*!>.■
Аналогично доказывается другая теорема.
Теорема (достаточное условие убывания функции).
Если производная дифференцируемой функции
отрицательна внутри некоторого промежутка X, то она убывает на
этом промежутке.
Геометрическая интерпретация условия монотонности
функции приведена на рис. 8.5.
Если касательные к кривой в некотором промежутке
направлены под острыми углами к оси абсцисс (рис. 8.5, а), то
функция возрастает, если под тупыми (рис. 8.5, б), то
убывает.
Пример 8,5. Найти интервалы монотонности функции
у = х2 - Ах + 3.
Решение. Имеем у' - 2х - 4. Очевидно у' > 0 при х > 2 и
у' < 0 при х < 2, т.е. функция убывает на интервале (-«>, 2)
и возрастает на интервале B, +<»), где х0 в 2 — абсцисса
вершины параболы. ^
Заметим, что необходимое условие монотонности
более слабое. Если функция возрастает (убывает) на некото-

408
Глава 8. Приложения производной
ром промежутке Х> то можно лишь утверждать, что
производная неотрицательна (неположительна) на этом
промежутке: f'(x) > 0 (f\x) < 0), х е X, т.е. в отдельных точках
производная монотонной функции может равняться нулю.
Пример 8.6. Найти интервалы монотонности функции
у = х3.
Решение. Найдем производную г/' = Зх2. Очевидно, что
у' > 0 при х Ф 0. При х = 0 производная обращается в нуль.
Функция же монотонно возрастает на всей числовой оси
(см. рис. 5.5). ►
8.4. Экстремум функции
В определенном смысле материал этого параграфа
наиболее важен для решения задач исследования функций и
построения их графиков. Выделим наиболее важные
(«узловые») точки функции, нахождение которых во многом
определяет структуру графика. Таковыми являются точки
экстремума — максимума и минимума функции.
I Определение 1. Точка х0 называется точкой
максимума функции/(х), если в некоторой окрестности точки Xq
выполняется неравенство/(#) ^/(#0) (рис. 8.6).
Определение 2. Точка х± называется точкой
минимума функции f(x), если в некоторой окрестности точки х^
I выполняется неравенство/(#) >/(хл) (см. рис. 8.6).
Значения функции в точках Xq и ха называются
соответственно максимумом и минимумом функции. Максимум и
минимум функции объединяются общим названием
экстремума функции. ^^йг
Экстремум функции часто называют локальным
экстремумом, подчеркивая тот факт, что понятие экстремума
связано лишь с достаточно малой окрестностью точки х0. Так
что на одном промежутке функция может иметь несколько
экстремумов, причем может случиться, что минимум в
одной точке больше максимума в другой, например, на
рис. 8.6 fm[n(x2) > fmdLX(xo)- Наличие максимума
(минимума) в отдельной точке промежутка X вовсе не означает, что
в этой точке функция f(x) принимает наибольшее
(наименьшее) значение на данном промежутке (или, как
говорят, имеет глобальный максимум (минимум)).

8.4. Экстремум функции
409
Важность точек экстремума иллюстрирует следующий
пример (рис. 8.7).
у\
У
0
i
/ 1 \ / |
it i ^
Х0 Х\ Х2 X
Рис. 8.6
Ук
8
Рис. 8.7
Предположим, что график функции у = f(x) имеет вид,
представленный на рис. 8.7 сплошной линией. Допустим,
что он строится по точкам, и на рисунок нанесены точки 1,
3, 5, 7, 9. Тогда скорее всего будет получена кривая,
изображенная пунктиром, которая совершенно не похожа на
истинный график функции у = f(x).
Если же на рисунок нанесены точки 2, 4, 6, 8, то
качественная картина графика определена практически
однозначно (по крайней мере, на промежутке, содержащем эти
точки).
Необходимое условие экстремума. Если в точке х0
дифференцируемая функция у =f(x) имеет экстремум, то в
некоторой окрестности этой точки выполнены условия
теоремы Ферма (см. параграф 8.1), и, следовательно,
производная функции в этой точке равна нулю, т.е. /(xq). Но
функция может иметь экстремум и в точках, в которых она
не дифференцируема. Так, функция у = [г| имеет экстремум
(минимум) в точке х = 0, но не дифференцируема в ней
(см. пример 7.2 и рис. 7.5), а функция y = yjx также имеет
в точке х ж 0 минимум (рис. 8.8),
, 2
но производная ее у =-^= в
этой точке бесконечна: у\0) = <».
Поэтому необходимое условие
экстремума может быть
сформулировано следующим
образом.

410
Глава 8. Приложения производной
Для того чтобы функция у - f(x) имела экстремум в
точке Xq, необходимо, чтобы ее производная в этой точке
равнялась нулю (f\x0) = 0) или не существовала.
Точки, в которых выполнено необходимое условие
экстремума, т.е. производная равна нулю или не существует,
называются критическими (или стационарными^).
Обращаем внимание на то, что эти точки должны входить в
область определения функции.
Таким образом, если в какой-либо точке имеется
экстремум, то эта точка критическая. Однако обратное
утверждение неверно. Критическая точка вовсе не обязательно
является точкой экстремума.
Пример 8.7. Найти критические точки функции и
убедиться в наличии или отсутствии экстремума в этих
точках: а) у = х1) б) у = х* + 1; в) у = у/х-1.
Решение.
а) Производная у' = 2х. В точке х = 0 у '@) = 0, и
действительно в точке х = 0 функция у = х* имеет экстремум (см.
рис. 5.6).
б) Функция у = х? + 1 возрастает на всей числовой оси по
свойству степенной функции. Производная у' = Зх2 в точке
х = 0 равна нулю, т.е. у'@) = 0, но экстремума в точке х = 0
нет (рис. 8.9).
в) Функция у = ^дс-1 также возрастает на всей
числовой оси; производная у = —. при х = 1 не существу-
3^(*-1J
ет, т.е. г/A) = °°, но экстремума в этой точке нет (рис. 8.10). ►
У
1
/ °
i 1
У у =х? + 1
X
Рис. 8.9
1 Если говорить точнее, то стационарные
производная равна нулю.
Рис. 8.10
— это точки, в которых

8.4. Экстремум функции
411
Таким образом, для нахождения экстремумов функции
требуется дополнительное исследование критических
точек. Иными словами, нужно знать достаточное условие
экстремума.
Первое достаточное условие экстремума. Теорема.
Если при переходе через точку Xq производная
дифференцируемой функции у =f(x) меняет свой знак с плюса на минус,
то точка х0 есть точка максимума функции у = f(x), а если
с минуса на плюс, то точка минимума.
П Пусть производная меняет знак с плюса на минус, т.е. в
некотором интервале (a, Xq) производная положительна
(f(x) > 0), а в некотором
интервале (х0, b) —
отрицательна (f(x) < 0). Тогда в
соответствии с достаточным
условием монотонности
функция f(x) возрастает на
интервале (а, х0) и убывает на
интервале (#0, Ь) (рис. 8.11).
По определению
возрастающей функции/(^0) >f(x)
при всех х е (а, х0), а по
определению убывающей
функции f(x) < /(xq) при всех х е (#0, Ь), т.е. f(x0) > f(x)
при всех х е (а, Ь)> следовательно, х0 — точка максимума
функции у =f(x).
Аналогично рассматривается случай, когда производная
меняет знак с минуса на плюс. ■
Отметим, что дифференцируемость функции в самой
точке х0 не использовалась при доказательстве теоремы.
На самом деле она и не требуется, так как достаточно,
чтобы функция была непрерывна в точке Xq.
Таким образом, достаточным условием существования
экстремума функции у = f(x) в точке Xq является изменение
знака ее производной, т.е. углов наклона касательных к
кривой у =f(x): с острых на тупые (рис. 8.12, а) при переходе
через точку максимума или с тупых на острые (рис. 8.12, б)
при переходе через точку минимума. Верно и обратное
утверждение, т.е. сформулированное достаточное условие
экстремума является также и необходимым условием. Это
означает, что если изменения знака производной не происходит,
то экстремума нет.
Рис. 8.11

412
Глава 8. Приложения производной
Рис. 8.12
Схема исследования функции у =/(*) на экстремум.
1°. Находим производную у' = f'(x).
2°. Находим критические точки функции, в которых
производная f'(x) = 0 или не существует.
3°. Исследуем знак производной слева и справа от
каждой критической точки и делаем вывод о наличии
экстремумов функции.
4°. Находим экстремумы (экстремальные значения)
функции.
8.8. Исследовать на экстремум функцию у =
Пример
= х(х- 1у.
Решение. 1°. Производная данной функции у[ = (х - IK +
+ Зх (х - IJ - (х - 1JDд: - 1).
2°. Приравнивая производную к нулю, находим
критические точки функции *!=—; *2=1. (Точек, в которых
4
производная не существует, у данной функции нет — f'(x)
определена на всей числовой оси.)
3°. Нанесем критические точки на числовую прямую
(рис. 8.13).
Для определения знака
у' производной слева и справа
Г/4 I~~i Г^Г от критической точки дг = -
У \ ' ^У ^У , 4
^ выберем, например, значе-
нс* ния 1 = 0и jc = - и найдем
11
/'(О) = - 1 < 0 и /'(-) = ->(); следовательно,/'^) < 0 при
1 2 А 1
всех *< — и/'(х) > 0 на интервале (-rU).

8.4. Экстремум функции
413
Аналогично устанавливаем, что/'(#) > 0 и на интервале
Согласно достаточному условию jc = точка
минимума данной функции. В точке х = 1 экстремума нет.
4° Находим /„.(iJ-iji-.J.-iL...
Второе достаточное условие экстремума. Теорема.
Если первая производная f'(x) дважды дифференцируемой
функции равна нулю в некоторой точке х0, а вторая
производная в этой точке /"(xq) положительна, то х^ есть
точка минимума функции f(x)\ если /"(*о) отрицательна, то
Xq — точка максимума.
□ Пусть /'(Xq) = 0, а/"(#о) > 0. Это означает, что/"(#) =
= (f'(x)' > 0 также и в некоторой окрестности точки х0, т.е.
f'(x) возрастает на некотором интервале (а, Ь),
содержащем ТОЧКу Xq.
Hof'(x0) = 0, следовательно, на интервале (я, х0)/'(х) < 0, а
на интервале (х0, b)f'(x) > 0, T.e.f'(x) при переходе через точку
Xq меняет знак с минуса на плюс, т.е. х$ — точка минимума.
Аналогично рассматривается случай, когда /'(-^п) = 0 и
/"(*ь) < 0. ■
Схема исследования на экстремум функции у = f(x) с
помощью второго достаточного условия в целом
аналогична схеме, приведенной выше (совпадают полностью п. 1°,
2°, 4°). Отличается лишь п. 3°, устанавливающий наличие
экстремума: здесь необходимо найти вторую производную
f"(x) и определить ее знак в каждой критической точке.
Пример 8.9. Исследовать на экстремум функцию у =
= 21п х - 5arctg х.
Решение. 1°. Находим производную функции
, 2 5 2jc2-5jc + 2
X 1 + Jt2 Jt(l + Jt2)
2°. Находим критические точки: у' = 0, т.е. Ъ? - 5х + 2 + 0,
1 о
откуда хх = —, х2 = 2.
QOU 2 2 10*
3°. Находим вторую производную г/ =—- + — и
дт A + jr r
,/П 24 Л
выясним ее знак в каждой критической точке: у - = < 0;

414
Глава 8. Приложения производной
3 1
у"B)=—>0. Таким образом, * = —
* V Ю F 2
х = 2 — точка минимума.
точка максимума,
max
- |=-21п2-
4°. Находим экстремум функции: у
-5arctg-; z/minB) = 21n2-5arctg2. ►
Второе достаточное условие эстремума утверждает, что
если в критической точке х0 f"(x^) Ф 0, то в этой точке
имеется экстремум. Обратное утверждение, однако, неверно.
Экстремум в критической точке может быть и при
равенстве в ней нулю второй производной.
Рассмотрим, например, функцию у = я4. Имеем у' = 4*3,
у" = 12х2. В критической точке х = 0 вторая производная
также обращается в нуль. Но х = 0 — точка экстремума, а
именно минимума. Так что в отличие от первого второе
достаточное условие является именно только достаточным,
но не необходимым. В связи с этим, если в критической
точке Xq /(xq) = 0, то рекомендуется перейти к первому
достаточному условию экстремума.
8.5. Наибольшее и наименьшее значения
функции на отрезке и интервале
При решении прикладных задач, в частности
оптимизационных, важное значение имеет нахождение наибольшего
и наименьшего значений {глобального максимума и
глобального минимума) функции на промежутке X.
Согласно теореме Вейерштрасса (см. параграф 6.7),
если функция у =/(х) непрерывна на отрезке [а, Ь]у то она
принимает на нем
наибольшее и наименьшее значения.
Наибольшее или наименьшее
значение функции может
достигаться как в точках
экстремума, так и в точках на
концах отрезка. На рис. 8.14
наибольшее значение
функция имеет на конце отрезка
х = Ьу а наименьшее — в точке
Рис. 8.14 минимума^.

8.5. Наибольшее и наименьшее значения функции... 415
Для отыскания наибольшего и наименьшего значений на
отрезке рекомендуется пользоваться следующей схемой.
1°. Находим производную f\x).
2°. Определяем критические точки функции, в которых
f'(x) - 0 или не существует.
3°. Находим значения функции в критических точках и
на концах отрезка и выбираем из них наибольшее /наиб и
наименьшее /„«„„.
J наим
Пример 8.10. Найти наибольшее и наименьшее
значения функции у = (х - 2J е~х на отрезке [0; 5].
Решение.
1°. Производная функции f\x) = 2(х - 2) е~х -(х- 2J е~х =
= -е~х (х - 2)(х - 4).
2°. Приравниваем производную функции нулю f'(x) = 0,
откуда критические точки х± = 2 и х2 = 4.
3°. Значения функции в критических точках /B) = 0,
4 9
/D) = — и на концах отрезка/@) = 4 и /E) = -z-.
Итак, 1ш6 = /@) - 4, /наим = /B) = 0. ►
Замечание. Если функция у = f(x) непрерывна на
интервале (а, Ь), то она может не принимать на нем
наибольшее и наименьшее значения.
Если lim /(*)или lim /(х) больше большего из зна-
чений функции в критических точках интервала, то
наибольшего значения на всем интервале не существует.
Аналогично не существует наименьшего значения, если
lim f(x) или lim f(x) меньше меньшего из значений в
*->я+0 jc-»fc-0
критических точках.
В частном случае, если дифференцируемая функция на
интервале (а, Ь) имеет лишь одну точку максимума (или
одну точку минимума), то наибольшее (или наименьшее)
значение функции совпадает с максимумом (или
минимумом) этой функции. Например, на интервале A; 2)
функция у = х* - 6х + 5 имеет один минимум z/min = уф) ж -4,
следовательно, это и есть наименьшее значение функции
г/наим = -4. Заметим, что наибольшего значения данная
функция на указанном интервале не имеет.

416
Глава 8. Приложения производной
8.6. Выпуклость функции. Точки перегиба
Ранее подробно были изучены точки экстремума,
нахождение которых во многом определяет структуру
графика функции. Определим теперь другие «узловые» точки
функции, которые также следует находить, чтобы
качественно построить ее график.
Рассмотрим функцию, график которой изображен на
рис. 8.15, а. Эта функция возрастает на всей числовой оси и
не имеет экстремумов. Очевидно, однако, ее отличие от
функций, изображенных на рис. 8.15, б и 8.15, е. В точках
х^ х2, х3, х4, х$ график как бы «перегибается», поэтому
такие точки называются точками перегиба. Дадим их строгое
определение.
Рис. 8.15
Прежде всего определим различие в поведении
функции по разные стороны от точек х^ х2, х3, х4, х$.
I Определение 1. Функция у = fix) называется
выпуклой вниз на промежутке X, если для любых двух значений
х^ х2 е X из этого промежутка выполняется неравенство
Jxl+x2^f(xl) + f(x2)
Определение 2. Функция называется выпуклой
вверх* на промежутке X, если для любых двух значений
Хр х2 е Хиз этого промежутка выполняется неравенство
1 Иногда выпуклой называют только функцию, выпуклую вверх, а
функцию вниз — вогнутой.

8.6. Выпуклость функции. Точки перегиба 417
/
*1+*2 V/(*!> +Я*2>
(8.6)
Графики функций, выпуклых вниз и вверх, изображены
на рис. 8.16. Очевидно, что если функция выпукла вниз, то
отрезок, соединяющий любые две точки графика, целиком
лежит над графиком (см. рис. 8.16, а)у если она выпукла
вверх, то весь такой отрезок целиком лежит под графиком
функции (см. рис. 8.16, б).
б ук
Рис. 8.16
Теорема. Функция выпукла вниз (вверх) на промежутке
X тогда и только тогда, когда ее первая производная на
этом промежутке монотонно возрастает (убывает).
Геометрический смысл теоремы состоит в том, что если
f'(x) возрастает (убывает) на промежутке X, то возрастает
(убывает) угол наклона касательных к графику (рис. 8.17,
а, б). Это и означает выпуклость функции вниз (вверх).
Vi
0
i
/ /I i i
Z и i i
X U2 ff*\ I I
х{х2
у -/(*)
X
Рис. 8.17

418
Глава 8. Приложения производной
Используя условия монотонности, можно определить
следующее достаточное условие выпуклости функции
вниз (вверх).
Теорема. Если вторая производная дважды
дифференцируемой функции положительна (отрицательна) внутри
некоторого промежутка X, то функция выпукла вниз
(вверх) на этом промежутке.
□ Если/"(#) = (f'(x))' > О, х е X, то/'(#) возрастает на
промежутке X, следовательно, на основании предыдущей
теоремы функция выпукла вниз на этом промежутке.
Аналогично рассматривается случай, когда f"(x) <0,igXI
Необходимое условие выпуклости слабее: если функция
выпукла на промежутке X, то можно утверждать лишь, что
f"(x) > О (или f"(x) < 0), х е X. Например, функция у = х^
выпукла на всей числовой оси, хотя вторая производная
у" = \2х2 не всюду положительна, так как при х = 0 /"@) = 0.
Определение. Точкой перегиба графика непрерывной
функции называется точка, разделяющая интервалы, в
которых функция выпукла вниз и вверх.
Из сказанного выше следует, что точки перегиба — это
точки экстремума первой производной. Отсюда вытекают
следующие утверждения.
Теорема (необходимое условие перегиба). Вторая
производная дважды дифференцируемой функции в точке
перегиба Xq равна нулю, т.е. f\x) = 0.
Теорема (достаточное условие перегиба). Если вторая
производная f"(x) дважды дифференцируемой функции
при переходе через некоторую точку Xq меняет свой знак,
то х0 есть точка перегиба ее графика.
Нужно иметь в виду следующую геометрическую
интерпретацию точек перегиба (рис. 8.18). В окрестности точки х±
функция выпукла вверх, и график ее лежит ниже касательной,
проведенной в этой точке. В
окрестности точки х2, на которой функция
выпукла вниз, картина обратная: график
лежит выше касательной. В точке же
перегиба касательная разделяет
график, и он лежит по разные стороны
касательной.
Следует отметить, что если
критическая точка дифференцируемой рис. 8.18

8.7. Асимптоты графика функции
419
функции не является точкой экстремума, то она есть точка
перегиба.
Схема исследования функции на выпуклость и
наличие точек перегиба.
1°. Находим вторую производную функции f"(x).
2°. Находим точки, в которых вторая производная/"(#) = О
или не существует.
3°. Исследуем знак второй производной слева и справа
от найденных точек и делаем вывод об интервалах
выпуклости и наличии точек перегиба.
4°. Находим значения функции в точках перегиба.
Пример 8.11. Найти интервалы выпуклости и точки
перегиба графика функции у = х(х - IK.
Решение. 1°. у' = (х- 1JDх- 1) (см. пример 8.7).
2°. y"=2(x-l)Dx-l) + (x-lJ '4 = 12(х--)(х-1).
г/" = 0 при хх = - и х2 в 1 (рис. 8.19).
3°. у" > 0 на интервалах
1 у_
(-°о, -) и A, +оо), следова- + Л/^7^^^^
тельно, на этих интервалах у w ' ^ \у *
функция выпукла вниз; г/" < 0 рис $ jg
на интервале (—,1), следо-
ва^ьно, функ-L „а „ем вЫПукла вверх, а , . I „ н - ,
есть точки перегиба.
4°. Значения функции в точках перегиба f(~^ = ~~72>
/d) = 0. ►
8.7. Асимптоты графика функции
В предыдущих параграфах были изучены характерные
точки функции. Теперь рассмотрим характерные линии.
Важнейшими из них являются асимптоты.
Определение. Асимптотой графика функции у =
= f(x) называется прямая, обладающая таким свойством,
что расстояние от точки (х, f (x)) до этой прямой стре-

420 Глава 8. Приложения производной
мится к нулю при неограниченном удалении точки
графика от начала координат.
На рис. 8.20, а изображена вертикальная асимптота, на
рис. 8.20, б — горизонтальная, а на рис. 8.20, в — наклонная.
Очевидно, что этими тремя случаями исчерпываются все
возможные расположения асимптот.
Рис. 8.20
Нахождение асимптот графика основано на следующих
утверждениях.
Теорема 1. Пусть функция у =f(x) определена в
некоторой окрестности* точки Xq (исключая, возможно, саму эту
точку) и хотя бы один из пределов функции при х —> xQ - 0
(слева) или при х -» х0 + 0 (справа) равен бесконечности,
т.е. lim f(x) = <*> или lim f{x) = <». Тогда прямая х = х$
x->Xq-0 x-^Xq+O
является вертикальной асимптотой графика функции у =
Очевидно, что прямая х e xQ не может быть
вертикальной асимптотой, если функция непрерывна в точке х0, так
как в этом случае lim f(x) = /(xq) . Следовательно, верти-
X-*Xq
кальные асимптоты х = Xq следует искать в точках
разрыва функции у = f(x) или на концах ее области
определения (а, 6), если а и Ъ — конечные числа.
Элементарная функция, определенная на всей числовой
оси, не может иметь вертикальных асимптот.
Теорема 2. Пусть функция у = f (х) определена при
достаточно больших х и существует конечный предел функции
1 Или в полуокрестности точки х0, расположенной по одну сторону
от этой точки.

8.7. Асимптоты графика функции
421
lim /(jc) = Ъ. Тогда прямая у = Ъ есть горизонтальная асимп-
тота графика функции у =/(#).
Замечание. Если конечен только один из пределов
lim /С*) = ЬЛ или lim f(x) = bnJ то функция имеет лишь
*—»-<» х—>-н»
левостороннюю у = Ьл или правостороннюю у = ЬП
горизонтальную асимптоту.
В том случае, если lim /(jc) = <», функция может иметь
наклонную асимптоту. х~*°°
Теорема 3. Пусть функция у = f(x) определена при
достаточно больших х, и существуют ее конечные пределы
/(*)
lim = k и lim [f(x)-kx] = b. Тогда прямая у = kx + b
X—»оо X х—»°о
является наклонной асимптотой графика функции у = f(x).
□ Если у = kx + b — наклонная асимптота, то очевидно,
= 0.
что lim [/(*)-(&* + £)] = 0 и тем более lim k —
f(x) V
Следовательно, &=lim- . Теперь из равенства
Jt->°o X
lim [f(x)-(kx + b)] = 0, учитывая, что k— конечное число,
получаем: b = lim [/(jc) - kx\ ■
X—><»
Наклонная асимптота так же, как и горизонтальная,
может быть правосторонней или левосторонней.
Пример 8.12. Найти асимптоты графика дробно-линей-
а Ь\
с d\
- л. ах + b ^л
ной функции у = , где с^Ои
cx + d
*0.
Решение. Из области определения выпадает точка jc = —.
с
Найдем пределы функции f(x) при jc—>—. Запишем
с
ax + b ax + b ^
В силу того, что
а Ъ\
с d
d
*0 число — не
cx + d c(x + rf)-
с d
является корнем числителя, т.е. при jc—>— числитель не
h с
стремится к нулю. Отсюда lim = ±<» и прямая
_^_f*cjc + d
с

422
Глава 8. Приложения производной
d
х = — является вертикальной асимптотой. Далее нахо-
b
,. ax + b ,. v a
дим lim - = hm т = -.
л->±оо сх + а л->±оо а с
с-\—
х
Отсюда следует, что прямая у = — является горизонталь-
Q
ной асимптотой. (Заметим, что в параграфе 4.5 уравнения
асимптот дробно-линейной функции были найдены путем
параллельного переноса осей координат в центр ее
графика — равносторонней гиперболы.) - _ -
Так, например, асимптотами функции у = явля-
JC + 1
ются прямые х = -1, у = -2 (график функции приведен на
рис. 4.28). ►
Пример 8.13. Найти асимптоты графика функции
х3
х2+\
Решение. Очевидно, что график функции не имеет ни
вертикальных асимптот (нет точек разрыва), ни горизон-
jc3
тальных ( lim —— = «>). Найдем наклонную асимптоту:
Jt->oo* +1
k= lim = lim — :x= lim — = 1;
*->±oo X JC^±oo X +\ JC^±oo X +\
b= lim [/(jc)-1-x]= lim
X—>±«5 X—>±«5
x3
"X
x2+\
= lim
jc-fcb»
/
Таким образом, наклонная асимптота графика функции
имеет вид y = kx + b=l-x + 0 или у = х. ►
8.8. Общая схема исследования функций
и построения их графиков
При исследовании функций и построении их графиков
рекомендуется использовать следующую схему.

8.8. Общая схема исследования функций... 423
1°. Находим область определения функции.
2°. Исследуем функцию на четность — нечетность.
3°. Находим вертикальные асимптоты.
4°. Исследуем поведение функции в бесконечности,
находим горизонтальные или наклонные асимптоты.
5°. Находим экстремумы и интервалы монотонности
функции.
6°. Находим интервалы выпуклости функции и точки
перегиба.
7°. Находим точки пересечения с осями координат и,
возможно, некоторые дополнительные точки, уточняющие
график.
Заметим, что исследование функции проводится
одновременно с построением ее графика.
\ + х2
Пример 8.14. Исследовать функцию у- и
построить ее график. ~ х
Решение. 1°. Находим область определения функции:
(-~ ,-l)U(-U)U(l, + ~),T.e.x*±l.
2°. Функция четная, так как f(-x) = f(x), и ее график
симметричен относительно оси ординат.
3°. Вертикальные асимптоты могут пересекать ось
абсцисс в точках х = ±1. Так как пределы функции при
х -> 1 - 0 (слева) и х -> 1 + 0 (справа) бесконечны,
r 1 + *2 r 1 + *2
lim г- = -°° и hm ;г = +°°
JC->l+01_;c2 JC-H-Ol-*2
, то прямая х = 1 есть
вертикальная асимптота. В силу симметрии графика f(x)
прямая х = -1 также является вертикальной асимптотой.
4°. Исследуем поведение функции в бесконечности. Вы-
t. 1 + х2 Л 0
числим lim ^ = ~1- В силу четности имеем также
lim г- = -1, т.е. прямая у = - 1 — горизонтальная асимп-
*->-~1-;Г
тота.
5°. Находим экстремумы и интервалы монотонности.
„ . , 2х{\-х2)-{\ + х2){-2х) Ах ,
Найдем у = т-т - = —г-; у' = О
A-jc2J A-*2J
при х = 0, и у' не существует при х = ±1.

424
Глава 8. Приложения производной
Однако критической является только точка х = 0 (так
как значения х = ±1 не входят в область определения
функции). Поскольку при х < О fix) < 0, а при х > О fix) > О
(рис. 8.21), то х = 0 — точка минимума и /min - /@) = 1 —
минимум функции. На
интервалах (-оо, -1) И (-1, 0)
функция убывает, на
интервалах @, 1) и A, +°о) она
возрастает.
Рис. 8.21
6°. Находим интервалы выпуклости и точки перегиба.
Найдем
У =
4A - jc2 J - 4jc ♦ 2A - jc2 )(~2jc)
A-х2L
4A + 3jQ
A-х2K'
Очевидно, что у" > 0 на интервале (- 1,1) и функция
выпукла вниз на этом интервале; у" < 0 на интервалах (-©о, -1),
A, +«>), и на этих интервалах функция выпукла вверх. Точек
перегиба нет.
7°. Находим точки пересечения с осями. Значение/@) = 1,
т.е. точка пересечения с осью ординат @; 1). Уравнение
fix) = 0 решений не имеет, следовательно, график функции
не пересекает ось абсцисс.
График функции изображен на рис. 8.22. ►
Пример 8.15. Исследо-
-х2
вать функцию у = 2хе 2 и
построить ее график.
Решение. 1°. Находим
область определения функции
(~~°°, +°°).
2°. Функция нечетная, так
как/(-х) - -fix) и график ее
симметричен относительно
Рис. 8.22 начала координат.
3°. Вертикальных
асимптот нет, так как функция определена при всех
действительных значениях х.

8.8. Общая схема исследования функций... 425
4°. Поведение функции в бесконечности:
lim /(*) = lim
*-н-°о
2х
= Г~1 = lim
lim JM_= Um Д. = 0.
/" x2 Y Л~>+оо
;ce
В силу нечетности функции lim f(x) = 0, т.е. прямая
z/ = 0 (ось абсцисс) — горизонтальная асимптота.
5°. Находим экстремумы и интервалы монотонности:
у' = 2е 2 +2хе 2 (-х) = 2е 2 A-х2);
z/' = О при х = ±1, т.е. критические точки х± = -1, х2 = 1.
Знаки производной изображены на рис. 8.23.
Таким образом, х = -1
есть точка минимума; х - У'
= 1 — точка максимума и
2
/max =/(!) = = «1.21. Рис. 8.23
Функция убывает на интервалах (-«>, -1), A, +«>) и
возрастает на интервале (-1,1).
6°. Находим интервалы выпуклости и точки перегиба:
у" = 2е 2 (-x)(l-x2) + 2e 2 =-2xe 2 C-х2);
у" - 0 при х в 0 и * = ±>/з. Знаки второй производной
изображены на рис. 8.24.
Таким образом, функция
выпукла вниз на интервалах „
(- V3,0) и (v3, +00) и выпукла _ •~^/<^^/^г*\у^^—_
вверх на интервалах (-«>,-V3) у f^ -&\j ° Г\ S \j x
и @,л/3), а ^ = -л/з, х2 =0, рис 8 24
х3 = 7з — точки перегиба

426
Глава 8. Приложения производной
7°. Находим /@) = 0. Уравнение f(x) - 0 имеет
единственное решение х = 0, т.е. график функции пересекает
оси в начале координат @; 0).
График функции изображен на рис. 8.25. ►
Пример 8.16. Исследо-
вать функцию у = \1х -Зх
и построить ее график.
Решение. 1°. Находим об-
V3 х ласть определения
функции: (-<*>; +оо).
2°. Функция общего
вида (ни четная, ни
нечетная), так как/(-х) Ф ±f(x).
3°. Вертикальных
асимптот нет, так как функция определена и непрерывна на
всем множестве действительных чисел.
4°. Поведение функции в бесконечности:
lim yjx3-3x2 = lim jc?/l--=±oo.
Следовательно, горизонтальных асимптот функция не
имеет. Найдем наклонные асимптоты:
Рис. 8.25
k= lim
/(*)
-Н-
хШ--
lim-L*
JC->±oo X
= lim 31—=1;
b= lim (/(jc)-1-jc)= lim $x3 -3x2 -x) = [<*> -oo] =
JC->±<
= lim
JC->±o
JC->±«>
(Ux3 - 3x2 - x)tfl(x3 - 3x2~f + xtlx3 -3x2+x2)_
^
2^2+;c^
x5 -3xL -x;
3xLY
.3 ^„2 „3
3*2+jc2
= lim , .
^±-^-3x2J+xb3-3x2
-H=-
(так как после упрощения числителя его старший член равен
-З.*2, а выражение в знаменателе при больших (по
модулю) значениях х приближенно равно 1[х*+хУх1 + х2=Зх2У,
у - х - 1 есть наклонная асимптота

8.8. Общая схема исследования функций... 427
5°. Найдем экстремумы и интервалы монотонности:
2
1
х2 -2х
х-2
у' = -(х3-3х2) 1Cх2-6х) = - ,— - . _,
3 Ц(х3-3х2J ftfi^tf
у' = 0 при х = 2, у' не существует при х = 0; х = 3, т.е.
критические точки х1 = 2, х2 = 0, х3 = 3.
Знаки производной указаны на рис. 8.26.
Таким образом, х = 0 —
точка максимума и /тах = ^
= /@) = 0, х = 2 - точка ми- — + ^N^rN/^b^v-^r
нимума и /min = /B) = -Щ « г/
«-1,6, ai = 3 не является
точкой экстремума.
6°. Найдем интервалы выпуклости и точки перегиба.
После преобразований получим
У =—J J,
хЦх-3I
т.е. z/" = f"(x) нигде не об- У"
ращается в нуль и не
существует в точках 1=0и1 = 3. I/ ^ о г^ з^*^
Знаки f"(x) указаны на рис g 27
рис. 8.27.
Таким образом, интервалы выпуклости вниз (-<»; 0) и
@; 3), интервал выпуклости вверх C; +<*>), а х - 3 — точка
перегиба.
7°. Найдем точки пересечения с осями. Функция /@) = 0,
следовательно, ось ординат
пересекает график в точке
@; 0). Уравнение f(x) - 0
имеет два решения: 1 = 0и
х - 3. Следовательно,
график пересекает ось абсцисс
в двух точках: х - 0 и х - 3.
График функции
изображен на рис. 8.28.
Обратим внимание на то,
что в точке экстремума х - 0
и в точке перегиба х - 3 со-
Рис. 8.28

428
Глава 8. Приложения производной
ответственно первая и вторая производные не обращаются
в нуль — они не существуют в этих точках. ►
8.9. Приложение производной
в экономической теории
Рассмотрим некоторые примеры приложения
производной в экономической теории. При этом убедимся, что
многие, в том числе базовые, законы теории производства и
потребления, спроса и предложения оказываются
прямыми следствиями математических теорем,
сформулированных в настоящей главе.
Рассмотрим экономическую интерпретацию теоремы
Ферма.
Один из базовых законов теории производства звучит
так: оптимальный для производителя уровень выпуска
товара определяется равенством предельных издержек и
предельного дохода. Отсюда следует, что уровень выпуска х0
является оптимальным для производителя, если MS(x0) =
= MD(x0)> где MS — предельные издержки, a MD —
предельный доход.
Обозначим функцию прибыли С(х). Тогда С(х) =
= D(x) — S(x). Очевидно, что оптимальным уровнем
производства является тот, при котором прибыль
максимальна, т.е. такое значение выпуска х0, при котором функция
С(х) имеет экстремум (максимум). По теореме Ферма, в
этой точке С'(х) = 0. Но С'(х) = D'(x) - S\x), поэтому
D'(x0) - S'(x0), т.е. MD(x0) - MS(x0).
Другое важное понятие теории производства — это
уровень наиболее экономичного производства, при котором
средние издержки по производству товара минимальны.
Соответствующий экономический закон гласит: уровень
наиболее экономичного производства определяется
равенством средних и предельных издержек.
Получим это утверждение как следствие теоремы
Ферма. Средние издержки AS(x) определяются как ——, т.е.
х
издержки по производству товара, деленные на
произведенное его количество. Минимум этой величины
достигается в критической точке функции у = AS(x)> т.е. при условии

8.10. Основные теоремы дифференциального исчисления 429
5 л: — S S
AS'(jc) = —г— = 0, откуда S'jc-S = 0 или S' = —, т.е.
х1 х
MS(x) = AS(x).
Понятие выпуклости функции также находит свою
интерпретацию в экономической теории.
Один из наиболее основных экономических законов —
закон убывающей доходности — формулируется
следующим образом: с увеличением производства дополнительная
продукция, полученная на каждую новую единицу ресурса
(трудового, технологического и т.д.), с некоторого момента
убывает. д
Иными словами, величина —, где Ах — приращение ре-
Ах
сурса, а Ау — приращение выпуска продукции
уменьшается при увеличении х. Таким образом, закон убывающей
доходности формулируется так: функция у = f(x),
выражающая зависимость выпуска продукции от вложенного ресурса,
является функцией, выпуклой вверх.
Другим базисным понятием экономической теории
является функция полезности U = Щх), где х — количество
товара, a U— полезность. Эта величина очень
субъективная для каждого отдельного потребителя, но достаточно
объективная для общества в целом. Закон убывающей
полезности звучит следующим образом: с ростом количества
товара дополнительная полезность от каждой новой его
единицы с некоторого момента убывает. Очевидно, этот
закон можно переформулировать так: функция полезности
является функцией, выпуклой вверх. В такой постановке закон
убывающей полезности служит отправной точкой для
математического исследования теории спроса и предложения.
ПРАКТИКУМ
8.10. Основные теоремы дифференциального
исчисления
8.17. Выяснить, может ли быть применена теорема Лаг-
ранжа для функции у - vl-x2 +- на отрезке: а) —; — ;
х [ 2 2J

430 Глава 8. Приложения производной
Решение.
а) Функция не является непрерывной в точке
* = 0€ —; — , поэтому на данном отрезке теорема Лаг-
ранжа не применима.
б) у' = , —-. Производная не существует в
3^/A -х2J х
точке jt = l€ —; — , поэтому на этом отрезке теорема Лаг-
ранжа также не может быть применима.
в) На отрезке -; - оба условия теоремы Лагранжа
выполнены, так что теорема применима. ►
Замечание. Если теорема Лагранжа не применима на
отрезке [ау Ь], то это не означает, что в нем не может быть
точки £, удовлетворяющей равенству (8.1).
8.18. Указать хотя бы одно значение я, при котором
функция у-е^х -hacosjc имеет на интервале О, — 1 точку,
в которой производная обращается в нуль.
Решение, Очевидно, функция непрерывна на отрезке
0; — и дифференцируема в интервале I 0; — I. Если при
этом окажется, что / W - /1 — > то требуемая точка будет
существовать по теореме Ролля. Таким образом, если
выполняется равенство е +acos0 = £ -наcos—, то
условие задачи будет выполнено. Рассматривая это равенство
к
как уравнение относительно я, получаем а = е'2 -1.
Отметим, что найденное значение я, безусловно, не
единственное, при котором условие задачи выполняется. ^
8.19. Найти все значения я, при которых функция
. WC
I ~\ sinT
*/ = A + я J 2 +* удовлетворяет условию у' < 2 при
всех х е @; 1).

8.11. Правило Лопиталя
431
Решение. Так как функция непрерывна на отрезке [0; 1]
и дифференцируема в интервале @; 1), то существует
точка % е @; 1), такая, что/(О =/A) -/@) = 2A + а2) + 2 -
- A + а2) = 3 + а2 > 3 при любых значениях а. Таким
образом, ни при каких значениях а условие задачи выполняться
не может. ►
8.20. Функция у = \х2 равна единице при х=1их=-1,
но у' * 0 для всех х е (-1; 1). Выяснить, противоречит ли
это условиям теоремы Ролля.
8.21. Выяснить, можно ли применить теорему Лагранжа
для функции у = \1 - sin х на промежутке: а) @; 1); б) A; 2).
8.22. Выяснить, применима ли для функции у = —+ Ы
X
на промежутке [-2; -1]: а) теорема Ролля; б) теорема
Лагранжа.
8.23. Дифференцируемая при всех значениях х
функция у = f(x) удовлетворяет условиям/B) = 5,/D) = 3. Для
какого значения а уравнение f'(x) - а заведомо имеет
решение?
8.24. Функция у = f(x) имеет производную, равную
у' = 2 + VI + х + sinB* + 3). Может ли выполняться
равенство/A) -/@) - sin a?
8.11. Правило Лопиталя
8.25. Найти ton ^2 + * + *.
д:—>-1 1пB + дг)
Решение. Так как в данном случае имеется
неопределенность вида - , можно применить правило Лопиталя (8.3):
1 ,+i
x^-l lnB + jc) *->-l (lnB + x)) jc-»-1 1 2
2 + x
8.26. Найти lim4  .

432 Глава 8. Приложения производной
Решение. Имеет место неопределенность вида — .
Применяя правило Лопиталя (8.3), получаем
4*-3* ,. 4*1п4-3*1пЗ
km -— = hm .
jC->oo xl JC->oo 2Х
C_„o, ^— - [=] _
Применим правило Лопиталя еще раз:
4*1п4-3*1пЗ
lim
2х
= lim
4* In2 4-3* In2 3
8.27. Найти Urn
. 1
sin —
X
*->«> yJX-yJx-1
Решение. Так как у[х -4х-\ = -
Vjc + Vx-Г
то lim (V* - V*-l) = 0; lim sin — = lim sin у = 0. Таким об-
разом, присутствует неопределенность вида — .
Применим правило Лопиталя (8.3): *- -■
. 1
sin-
cos
lim
-р—j£==lim —г
m.
l4x 2Vjc41
= lim
lyfxyf^A 1
-cos-
jt^-V^-l) *
= lim
2>/xVJc^l(Vjc+VJc^l) j
cos-
2\[xyf^(>Jx+yl^) i
= lim ^r lim cos- =
X—>oo у;1 X-**> X
= lim
JC—»oo|
jc2(jc-1) jc(jc-IJ
lim cos г/= 01 = 0.

8.11. Правило Лопиталя
433
8.28. Найти предел lim x
1
JC—»°°
Решение. Имеем неопределенность вида о©0 . Найдем
1 Л
lim
lnx
S
V
= lim -j=rlnx= — = lim- — = lim -?Д—Нг =
x^ooyjx [ooj / г-\' д:^оо[ 1 |
1 ; U^
= lim -= = 0.
*->°°VX
1
1 7»
-j= Um ln^*) Л
По формуле (8.3*) lim x^x = e*-- = e° = 1. ►
8.29. Найти предел lim (х-VI) In In x.
Решение. Так как при х > 1 In х > 0, то In In х = ln(ln x) ->
—> -©о. Таким образом, имеем неопределенность вида [0 • оо].
Сведем ее к неопределенности вида — и
вило Лопиталя (8.3):
1 1
lnlnx ,. lnx'x _
применим пра-
lim(x-vx)lnlnx= lim—-— = lim
jc->0
:-Л
X->1 j_ 1
2jx
= lim-^ 4. = lim- — lim
Vx
jc—>l 1пхBл/х-1) jc—>l lnx jc->12>/jc-1
2(VI-l)
2-Jx
= lim-
Jt->1
Ш
^2 = Q
8.30. Найти предел lim I xln x - \1 + x + x I.

434
Глава 8. Приложения производной
Решение. Имеем неопределенность вида [<» -<»].
Преобразуем искомый предел Urn [ jc In2 jc - VI + * + х2 1=
/ / тл ^°°v )
1--
= lim jcln x
V1 + jc + jc2
jcln х
и найдем отдельно предел
yl\ + X + jp-
lim - , используя правило Лопиталя (8.3):
*->°° хЫ х
1 + 2*
Um^^=Um2£^7 =
*->°° jcln2* *->°° ln2jc + 21n;c
1 + 2
= lim
= 0.
JC~»°° /11 1
2j-V + - + 1(ln2x + 21nx)
\xl x
Таким образом,
lim I jcln jc-vl + x + x 1= lim jcln jc = oo.
Найти пределы, используя правило Лопиталя:
8.31. liml^Likt^.
Jt->0 X
8.33. limV^ + ln(l + ,)-l
jc->0 X
8.32. lim
*Г + £
8.34. Urn
*^°ln(** +1)
8.35. limxhrjt.
х-Ю
8.36. lim
jc-»0
е3*-е2*-*
8.37. lim*2
X—»°о
1-е*
8.39. lim
sinx + cos*
Я 71
*->~ 7 X + —
4 4
8.38. limf*ln*-\/l + *2).
8.40. lim^f.
*-*о tgx

8.12. Интервалы монотонности и экстремумы функции 435
8.41. Ш^*^2
JC-*1 X-L
V1 + 2jc-3 2
8.43. Um(jc + VxV.
х—>°°
8.45. ЦтЫп(х2-3)
*->2 1п(х-2)
8.42. lim
sin(sinjc)
jc-»0 л/l + JC — 1"
W2jc-2
8.44. lim
jc->2
8.46. lim
(х-Ъ
1
1
*->llx-l ^-^
8.47. lim (sinjc + vjc) .
jc->0
8.49. Urn
arcsin x
*->0 SHI X
8.48. li
In —
Wrc sm jc
8.50. Urn
jc-»1+0
1
sin(;c + l)
+ ln(l + x)
8.12. Интервалы монотонности
и экстремумы функции
8.51. Найти интервалы монотонности и экстремумы
2 ч 5 2
функции у = — х — х + 2х.
Решение. В соответствии со схемой исследования (п. 6°)
найдем у = 2оР- - Ъх + 2. Очевидно, производная
существует при всех значениях х. Приравнивая у' к нулю, получаем
уравнение 2х* - 5х + 2 в 0, откуда хх = - и #2 - 2 —
критические точки. Знаки производной представлены на рис. 8.29.
На интервалах I -«>; - и У^
B; +оо) производная /'(#) > Z ^ 1
0 и функция возрастает; на ^ г
интервале | -; 2 \ /'(*)<0, и
Ып
Рис. 8.29

436 Глава 8. Приложения производной
1
точка максимума и fn
гг
функция убывает; х = -
11 2 ч У
= —, х = 2 — точка минимума и /^ B) = —, так как при
переходе через эти точки производная меняет свой знак
соответственно с «+» на «-» и с «-» на «+».
Замечание. Установить существование экстремума в
критических точках jc = - и л: = 2, в которых f'(x) = О
можно было и с помощью второй производной f"(x) = Ах - 5
(см. п. 5°). Так как /"[ - ] = -3 < 0, а/'B) = 3>0, то
деточка максимума, а х = 2 — точка минимума.
График данной функции схематично показан на рис. 8.30. ►
8.52. Найти экстремумы и интервалы монотонности
функции у = (х In х - ху.
Решение', у = 2( х In x - х)
1
= 2;clnx(lnx-l).
У
11
24
°1
{
\\ VJ
> /
/ X
Рис. 8.30
Ых + х 11
Производная
существует во всех точках, в которых
существует и сама
функция, т.е. при х > 0. Точки,
в которых производная
обращается в нуль,
задаются равенствами In х = 0,
In х - 1 - 0, откуда х± = 1,
х2 = е — критические
точки. Знаки производной
указаны на рис. 8.31.
Таким образом,
функция монотонно
возрастает на промежутках @; 1)
и (е; +°о) и монотонно
убывает на промежутке
A; е). Точка х = 1 — точка
максимума и/тахA) - 1,
точка х e e — точка
минимума и /тах(е) - 0. ►
8.53. Найти экстремумы и интервалы монотонности
функции у = Vl-cosx.
Рис. 8.31

8.12. Интервалы монотонности и экстремумы функции 437
Решение', у' = —. . Производная не существует при
2V1-cosjc
cos х = 1, т.е. при х = 2пп и равна нулю при х = % + 2пп. Знак
производной совпадает со знаком sin х, таким образом, г/' > О
при 2nk <x<n + 2nk и г/' < 0 при -я + 2nk < х < 2nk. Это,
соответственно, интервалы возрастания и убывания
функции; х = л: + 2я& — точки максимума и /тах (я + 2л&) =
= v2, х = 2я& — точки минимума и fm^n {Ink) = 0. ►
8.54. Найти наибольшее и наименьшее значения
(глобальные максимум и минимум) функции у = Зл: - э? на
отрезке [-2; 4].
Решение. Производная функции у' = 3 - З*2 обращается в
нуль в двух точках х = ± 1. Найдем значения функции в этих
точках и на концах отрезка: /(-2) = 2, /(-1) = -2, /A) - 2,
/D)--52.
Таким образом,/наиб -/(-2) =/A) - 2,/наим =/D) =
= -52. ►
8.55. Найти наибольшее значение (глобальный
максимум) функции г/ = j= на интервале A0; 18).
8-3VX
Решение. Найдем г/' = —. На интервале A0; 18)
(8-WI)
имеется всего одна критическая точка jc = 16. Производная
при переходе через эту точку меняет знак с «+» на «-», т.е.
х = 16 — точка максимума. Следовательно, функция
достигает наибольшего значения при х = 16, т.е./наиб =/тахA6) =
= -16. (Заметим, что наименьшего значения (глобального
минимума) данной функций на указанном интервале не
существует.) ►
8.56. Забором длиной 24 м требуется огородить с трех
сторон прямоугольный палисадник наибольшей площади.
Найти размеры палисадника.
Решение. Пусть длины сторон палисадника х, у. Тогда 2х +
+ у = 24, т.е. г/ = 24 — 2х. Площадь палисадника S = ху =
= х B4 - 2х) - 24* - 2л2, где 0 < х < 12 (ибо 24 - 2х > 0).
Таким образом, задача свелась к отысканию значения х,
при котором S(x) принимает наибольшее значение на
интервале @; 12). Найдем S'(x) - 24 - 4х - 0 при i = 6. Точка
х = 6 - единственная точка экстремума — максимума функ-

438
Глава 8. Приложения производной
ции 5(х). Это означает, что на интервале @; 12) S(x)
принимает наибольшее значение при х = 6, т.е. искомые
размеры палисадника 6ми24-2-6=12м. ►
Найти интервалы монотонности и экстремумы
функции:
8.57. у = -х*+\хъ-х2. 8.58. у = —.
4 3 * 1пх
JL 3
8.59. у = Bх + 1)е 2. 8.60. у= *
1 + х
3
8.61. г/ = д:3(л:-1). 8.62. у= *
1 + х2
2х
е я ал *. — п . v2>
4jc
8.63. у = -—. 8.64. y = (l + xz)e 5.
\ + х
Ъх2
8.65. у = х3е 2 . 8.66. у = у/хе3х+]
8.67. у = \1х4-4х3. 8.68. z/ = jclruc-3jt.
8.69. z/ = ln(l + 2cos;c). 8.70. z/ = arctg—-.
х
2 X2
8.71. y = 2x2lnx. 8.72. y = —.
lnjc
8.73. y = !tl£.. 8.74. # = cos(ln;c).
3 + x
8.75. г/ = т—. 8.76. z/ = Vl-2sinjc + Vl + 2siruc.
In* In2*
Найти наибольшее и наименьшее значения (глобальные
максимум и минимум) функции у = f(x) на отрезке [я, Ь]:
8.77. /(jc) = jc3-3jc2; [-1; 4]. 8.78. f(x) = xlnx\ [0,1; l].
8.79. /(*) = _*_; [0; 3].
2 + лг

8.12. Интервалы монотонности и экстремумы функции 439
Ы
8.80. /Qc) = 3sin;c + 4cos *;
8.81. /W = ^ii; [-1; l]. 8.82. f(x) = ^L-l- [-2; О].
ex 2 + x2
••HI
8.83. /(jt) = 2sin2;c + 3cos2jc;
8.84. /(*) = _?£_; [-2; 0,5].
l + x
Найти наибольшее или наименьшее значение
(глобальные максимум или минимум) функции у =f(x) на
интервале (я, Ь):
8.85. г/ = -3*4+6*2;(-л/2; V2). 8.86. У = -'-Ц-; @; 2).
х ' 3 + xz
8.87. */ = ^Ц~; (~; А 8.88. */ = tg2r, (-1; |j.
2 L 1 + ^1
Л ЛЛ 1-JC + JC
8.89. у = =■;
1 + JC-JC
0;
8.90. i/ = arctg ——; (-1;1).
8.91. Рассматриваются всевозможные прямоугольные
параллелепипеды, основания которых являются
квадратами, а каждая из боковых сторон имеет периметр, равный
6 см. Найти среди них параллелепипед с наибольшим
объемом и этот объем.
8.92. Определить размеры открытого бассейна с
квадратным дном, при которых на облицовку стен и дна
пойдет наименьшее количество материала. Объем бассейна V
фиксирован.
8.93. Требуется огородить два участка: один — в форме
правильного треугольника, другой — в форме полукруга.
Длина изгороди фиксирована и равна Р. Определить разме-

440
Глава 8. Приложения производной
ры участков (сторону треугольника и радиус полукруга)
так, чтобы сумма площадей этих участков была бы
наибольшей.
8.94. В треугольник с основанием а и высотой h вписан
прямоугольник, основание которого лежит на основании
треугольника, а две вершины — на боковых сторонах.
Найти наибольшую площадь вписанного прямоугольника.
8.13. Интервалы выпуклости функции.
Точки перегиба
8.95. Найти точки перегиба и интервалы выпуклости
функции у = 4JC3 - 2т4.
Решение. В соответствии со схемой исследования (п. 5°),
найдем у' = 12х2 - 8*3, у" - 24х - 24х2 = 24хA - х).
Очевидно, г/" = 0 при Х\ = 0, х2 = 1. Знаки второй производной
у" указаны на рис. 8.32.
У'
~7л б С^ 1
Функция является
выпуклой вверх на интервалах
(-©о; 0) и A; +оо) (так как
f'(x) < 0) и выпуклой вниз
Рис. 8.32 на интервале @; 1) (f'(x) >
>0);л; = 0их=1— точки
перегиба, так как при переходе через них f'(x) меняет свой
знак. ►
8.96. Найти точки перегиба и интервалы выпуклости
функции у = 5х* - Зх5.
Решение: у = 20л:3 - 15х4, у" = 60х2 -60*3 = 60д;2A - *).
Вторая производная обращается в нуль в тех же точках
х{ = 0, х2 в 1, что и в предыдущем примере. Однако в
данном случае вторая производная имеет другие знаки
(рис. 8.33).
У" Таким образом, функция
выпукла вниз на всем интер-
у kj 0 ^ 1 г\ х вале ("°°5 *)> и точка х = ° не
является точкой перегиба.
Рис. 8.33 Нетрудно заметить, что это
точка экстремума
(максимума) функции. Точка х - 1 — точка перегиба. На интервале
A; +оо) функция выпукла вверх. ►

8.13. Интервалы выпуклости функции. Точки перегиба 441
8.97. Найти точки перегиба функции у = sin х + 2cos x.
Решение. Имеем у' = cos х - 2sin х9 у" - -sin х - 2cos x.
Вторая производная обращается в
нуль при выполнении равенства л-arctg 2
sin x = - 2cos х, или tg x = -2, т.е.
в точках х = -arctg 2 + кп. На
рис. 8.34 показано, что при -arctg 2 +
+ 2кп <х< к - arctg 2 + 2кп/'(х)< О
и функция является выпуклой
вниз, а при к - arctg 2 + 2кп < х <
<2к- arctg 2 + 2тш/'(*) > 0 и
функция является выпуклой вверх.
Точки х = -arctg 2 + кп — точки
перегиба. ►
Найти точки перегиба и интервалы выпуклости
функции:
8.98. у = -х3(х2-5). 8.99. у= , *
6 JJ7l
8.100. z/ = \/jc2~2jc. 8.101. у = Ь-х3.
8.102. z/ = (;c + l)arctgx
lnjc
8.103. г/ = А 2.
2
8.104. г/ = -
8.105. y = xzex.
2
8.106. z/ = jc3lnjc+l. 8.107. у= Х
JJ7l
8.108. у =
( з Л
* 2
jc
6
V у
, 5xJ 3xz
In х +
36 2
8.109. у = -
1^2*

442
Глава 8. Приложения производной
8.14. Асимптоты. Исследование функций
и построение их графиков
2х
8.110. Исследовать функцию у- - и построить ее
1-я;
график.
Решение. 1°. Область определения: (-«>;l)u(-l;l)u(l;+<»).
Точки 1=-1и1= 1- точки разрыва функции.
2°. f(-x) = -f(x)> т.е. функция нечетная; ее график
симметричен относительно начала координат и достаточно
провести исследование функции на интервале [0; +<») .
2х 2х
3°. lim т = +°°; lim
*-*1-01-х2 ' *-»1+о 1-х2
Прямые х = 1 и (в силу симметрии графика) х = -1 —
вертикальные асимптоты.
2х
4°. lim - = 0. Прямая у = 0 (ось абсцисс) — двусто-
*->±оо 1 _ х2
ронняя горизонтальная асимптота.
-0 , 2 + 2jc2 n
5°. у = —- > 0 при всех допустимых значениях х.
A-х2J
Экстремумов нет, функция возрастает на интервалах
(-~;-1),(-1;1),A;+~).
4jc(jc2 + 3)
6°. у" = —^——~, у" = 0 при х = 0. Знаки второй произ-
A-х2K
водной показаны на рис. 8.35.
Функция выпукла вниз на
Л интервалах (-©о; -1) и @; 1)
и выпукла вверх на
интервалах (-1; 0), A; +оо). Хотя
f'(x) меняет свой знак при
переходе через три точки:
X" -1,х=0,х= 1, но график
функции имеет только одну точку перегиба х = 0, ибо в двух
других точках х= -1>х= 1 — функция не определена.
7°. Точка пересечения графика с осями единственная —
начало координат @; 0).
График функции показан на рис. 8.36.
8.111. Исследовать функцию у = (х— 1)ех и построить
ее график.

8.14. Асимптоты. Исследование функций... 443
Решение. 1°. Область
определения: (-оо; +оо).
2°. Функция общего
вида, так как/(-х) - (-х -
-\)e**±f{x).
3°. Так как функция
определена и непрерывна на
всей числовой оси, то
вертикальных асимптот нет.
4°. lim (*-1)**=+оо;
х—>-н»
Um (*-!)** =[оо.0] =
Рис. 8.36
У
о
Рис. 8.37
= lim = — = lim —— = 0. Следовательно, прямая
*->-оо е х 1°°] х^>-°°-е х
у = 0 (ось абсцисс) является левосторонней горизонтальной
асимптотой.
5°. у = ех + (х - 1)ех = хех. Производная обращается в нуль
в точке х = 0. Знаки производной показаны на рис. 8.37.
Таким образом, функция
убывает на интервале (-оо; 0),
возрастает на интервале
@; +оо); х = 0 — точка
минимума и /nin@) = -l.
6°. у" = ех+ хех = ех(х + 1)\ у" = 0 при х = -1.
Производная у" < 0, если х + 1 < 0, т.е. на интервале (-©о; -1). На
интервале (-1; +оо) у" > 0. Таким образом, функция выпукла
вверх на интервале (-оо; -1) и выпукла вниз на интервале
(-1; +оо); х = -1 — точка перегиба.
7°. Точка пересечения с
осью ординат — @; -1), с
осью абсцисс — A; 0).
График функции
изображен на рис. 8.38. ►
8.112. Исследовать
функцию у = х In х и построить ее
график.
Решение. 1°. Область
определения функции — @; +оо). Рис. 8.38

Глава 8. Приложения производной
2°. Так как при х < О функция не определена,
рассмотрение вопроса о четности (нечетности) не имеет смысла.
3°. Точка х = О — единственная граничная точка области
определения (точек разрыва нет). Имеем
lim (jclnx) = fO-oo]= lim -у—-r = — = lim
(=)
: lim(-jc) = 0.
Таким образом, вертикальных асимптот функция не
имеет.
4°. lim (jc1iijc) = +oo, горизонтальных асимптот нет. Так
Jt-M-oo
jclnx
как lim = -и», то нет и наклонных асимптот.
Х-М-оо X
5°. y' = lnjc + l; г// = 0 при In х = -1, т.е. в точке * = -.
Знаки производной показаны на рис. 8.39.
Функция убывает на
интервале
стает на
(«а
Рис. 8.39
точка минимума и fn
■ен
(;- ♦-}
возра-
ийтервале
1
Точка х = -~
е
6°. у" = — > 0 при всех х > 0. Таким образом, функция
х
выпукла вниз на всей области определения.
7°. Так как х Ф 0, то график не
пересекает ось ординат. С осью
абсцисс график пересекается в
точке, задаваемой условием х In x =
- 0, т.е. х = 1.
График функции показан на
рис. 8.40.
8.113. Исследовать функцию
Рис. 8.40
у = — и построить ее график.
х

8.14. Асимптоты. Исследование функций... 445
Решение. 1°. Область определения: (-°о; 0) и @; +«>).
е х
2°. /(-*) = * ±/С*)> т.е. функция общего вида.
х
3°. Единственная точка разрыва х в 0;
]_
ех 1
lim —= lim уеу =+<*> (ибо при jc —»Он- г/ = >+°°);
*-»0+ х у-*+°° х
J_
ех
lim —= lim yey = 0 (см. пример 8.111).
х->0- х г/-»-©о
Таким образом, прямая х = 0 (ось ординат) является
вертикальной асимптотой графика функции, но
асимптотическое поведение функции наблюдается только справа
от оси ординат.
j_
4°. "lim — = 0, т.е. ось абсцисс у = 0 является двусто-
Х-»±°о X
ронней горизонтальной асимптотой.
- -( \ -( \
5°. y' = _±^+I^|_±|=-±^|l + I|;y' = 0 При
j х х\х)х\х)
1 + — = 0, т.е. при х = -1, при-
х У
чем знак производной проти- - "^х/^Т^у— -
i 1 3? Т ^
воположен знаку 1+гт. Зна- У \. ^^ \*
ки производной на интерва- рис 8 41
лах числовой оси показаны
на рис. 8.41.
Функция возрастает на интервале (-1; 0) и убывает на
интервале (-«>; -1) и @; +«>). Точка х = -1 — точка мини-
е
со „ х3-Зх2(х+1) -х х+1 -( 1 "I 7 2^+4x4-1
6°. У = Z ** Ге \--\=е 5 ;
X X \ X ) X
у" = 0 при 2х2 +4д:-ь1 = 0, т.е. при х = -1±-т=. Знаки
второй производной показаны на рис. 8.42.

446
Глава 8. Приложения производной
у_
У Г\ \J Г\ v
Рис. 8.42
вниз — на интервалах
VJ
Следовательно, функция
является выпуклой вверх на
интервалах
-1 + 4=; О
V2 ,
а выпуклой
1 1 1 1
—1—т=; — 1-н—т=
л/2 л/2
и @; +оо).
Точки х = -1 ± —рг являются точками перегиба.
V2
7°. Точек пересечения с осями координат график
функции не имеет.
График функции представлен на рис. 8.43.
8.114. Исследовать
функцию у = vl - cos3 х и
построить ее график.
Решение. 1°. Область
определения — (-©о; +оо), так как
неравенство 1 - cos3.* > 0
выполняется при всех
действительных значениях х.
2°. Так как cos x — функция
четная, то четной является и рассматриваемая функция.
3°. Так как функция непрерывна при всех
действительных значениях х, то вертикальных асимптот нет.
4°. Пределы lim Vl-cos3* не существуют (ни конеч-
ные, ни бесконечные). Функция не имеет ни
горизонтальных, ни наклонных асимптот.
3cos ;csin;c
5°. у' = -
1
:Г-
COS X
(-3cos jc)(-sinx) =
JT-
COS X
Производная обращается в нуль при cos х = 0, т.е. в точках
х = — + пп у а также в точках, в которых sin х = 0, но cos Ф
Ф 1, т.е. jt = 7C + 27m. В точках х = 2кп производная у' не су-

8.14. Асимптоты. Исследование функций... 447
ществует. Знаки производной совпадают со знаками sin x
(рис. 8.44). ,
Таким обра- ^-^^-^" ^-~^ .—
зом, в точках —-—-^-—~^~—S^ ~ ~ ъХо™*—►
х - 2кп функ- У ^ ^+2т^ + 27С"^-
ция имеет ми- 2
нимум, в точках рис# 8.44
X = 71 + 27Ш —
максимум. Точки вида - + тш не являются точками
экстремума. 2
+ 27W
2
cosjc(I-cosjc)
6°. у" = -
63cos2 х
( П2
COSJC + —
I V
33 2
и-—cos дс
4
+48
4A- cos3 хJ
(предлагаем читателю проделать соответствующие
выкладки самостоятельно); г/" = 0 при cos х = О, т.е. в точках
х = — + кп> и не существует в точках, в которых cos x = 1,
т.е. в точках х = 2кп. Знак */" совпадает со знаком cos x.
Точки х = — + пп являются точками перегиба.
7°. Пересечение графика с осью ординат происходит в
начале координат. С осью абсцисс график пересекается в
точках х = 2кп. Заметим, что функция является
периодической с периодом Т= 2к.
График функции показан на рис. 8.45. ►
8.115. Исследовать
функцию у- — arctg*
и построить ее график.
Решение. 1°. Область
определения — (-<»; +оо).
2°. /(-*) = — -
-arctg(-;c) = — +
2 Рис. 8.45
+ arctg х = -/(*);
функция нечетная. В силу симметрии графика относительно на-
У
72
1
\
0
к
yf
/ 1
я
2
i
i
i
я
i \
Зя
2
^ ^ *
2я х

448
Глава 8. Приложения производной
чала координат достаточно провести исследование на
интервале [0; +оо).
3°. Функция непрерывна при всех действительных
значениях х; вертикальных асимптот нет.
г?-
4°. lim —arctgjc = -н». Горизонтальных асимптот нет.
Найдем наклонные асимптоты:
*= lim £^= lim A-™**)=L
*->+«> X *-Н-оо^2 X J 2 '
b= lim —arctgjc—x = lim (-arctgjc) = —.
JC->+ool 2 2 I X-»+°o 2
Следовательно, правосторонняя наклонная асимптота
у = kx + b имеет вид:
1 п а
у = — х —, а в силу симметрии графика левосторонняя
1 п
асимптота — у = — х +—.
2 2
5°. Производная существует при всех значениях х и
обращается в нуль при jf2 — 1=0, т.е. при х*=±1. Знаки
производной указаны на рис. 8.46.
Функция возрастает на
и* интервалах (-<»; -1) и A;
+<*>), а убывает на интервале
(-1; 1); лег = —1 — точка
максимума И /тах(-1) = Т"Х'
Рис. 8.46
4 2
jc = 1 — точка минимума и
п 1
—+ -.
4 2
/min(D = -T + ^.
6°. у" = -?£-; у" = 0 прил: = 0,г/">0прил:>0иг/"<0
1 + х2
при х < 0. Функция выпукла вверх на интервале (-«>; 0) и
выпукла вниз на интервале @; +<*>), х = 0 — точка перегиба.
7°. /@) = 0, следовательно, график пересекает ось
ординат в начале координат (это следует и из нечетности
функции). Точки пересечения графика с осью абсцисс задаются
равенствами: — = arctgx. Решить точно эти уравнения

8.14. Асимптоты. Исследование функций... 449
нельзя, но для схематического
построения графика это
несущественно.
Схематически график
функции показан на рис. 8.47. ►
Найти асимптоты графиков /
функций:
I-*3
8.116. у = ■ .
B-jc)A + 3jc2)
X
8.120. у = ^Н
Рис. 8.47
2 + хех
8.117.
3 + ех
8.119. z/ = -sin-.
X X
8.121. у = \1зх3-]
1 2 /Г"
8.122. у = 1±Л. 8.123. у = —
х
Исследовать функции и построить их график*
8.124. у = -?1- 8.125. у = х2(х-4J.
1х»2
8.122. у = —
х
ТЬ(
8.124. у = -^г
1 + *2
8.126. ы = г
2 + *3
_^
8.128. у = хе 2.
.-*
8.130. у =
8.132. у
е —е
е +е
1
= ех.
8.134. у = —Ц-.
1-е*
их
8.125. у
8.127. у = (х + 1)е
8.129. у = —.
х
8.131. у = 3A-1п*.
8.133. у = хех.
8.135. y = sin;c + cos

450
Глава 8. Приложения производной
8.136. у= . Х 8.137. г/ = 1п(* + 7*2 + 1).
^fct2+l)
8.138. у = . 8.139. у = Vx + 1 - ЭДП.
sin * +cos*
8.140. у = —1= + : *
ЭДс + 1 ЭДс^Г
8.15. Применение производной в задачах
с экономическим содержанием
1 2
8.141. Функция издержек имеет вид C(jc) = 100 + -x , a
доход при производстве х единиц товара определяется
следующим образом:
[4000*, если х < 100,
D(x) = \ ,
[4000A00 + V*-100), если х > 100.
Определить оптимальное для производителя значение
выпуска хопг
Решение. Функция прибыли имеет вид
Р(х) =
-100 + 4000* — jc2, еслих< 100,
2
399 900 + 4(XK/jc-100 - - х2, если х > 100.
2
Найдем производную функции прибыли
[4000 -2*, еслид:< 100,
P'(*) = i 2000
V*-100
-jc, еслих> 100.
Очевидно, Р'(*) > 0 при х < 100, так что наибольшее
значение прибыли на отрезке [0; 100] есть Р A00) = 399 900.
Найдем теперь наибольшее значение прибыли на интервале

8.15. Применение производной в задачах... 451
A00; +°о). Имеется одна критическая точка х - 200. При
этом Р\х) > 0 при 100 <дг< 200 и Р\х) < 0 при х > 200, т.е.
х - 200 — максимальное значение Р(х) на интервале A00; +«>).
Р B00) - 419 900 > Р A00), таким образом, хопт -
- 200 (ед.). ►
8.142. Капитал в 1 млрд руб. может быть размещен в
банке под 10% годовых или инвестирован в производство,
причем эффективность вложения ожидается в размере 20%, а
издержки задаются квадратичной зависимостью. Прибыль
облагается налогом в/?(%). При каких значениях;? вложение
в производство является более эффективным, нежели чистое
размещение капитала в банке?
Решение. Пусть х (млрд руб.) инвестируется в
производство, а 1 - х размещается под проценты. Тогда
размещенный капитал через год станет равным A - хA + 10/100) =
= 1,1 - 1,1*, а капитал, вложенный в производство, хA +
+ 20/100) = 1,2х. Издержки составят аг2, т.е. прибыль от
вложения в производство С = 1,2* - аг2. Налоги составят
A,2jc-ojc2)-^-, т.е. чистая прибыль ожидается равной
100
A-/7/100)A, 2jc-cu2).
Общая сумма через год составит
A(jc) = l,l-l,U + (l-/7/100)(l,2x-ax2) =
= l,l + [l,2(l-/7/100)-l,l]jc-a(l-/?/100)jc2,
и требуется найти максимальное значение этой функции
на отрезке [0; 1].
Имеем
Л7(л:) = 1,2A-/7/100)-1Д-2аA-/7/100)л: и А'(х) = 0 при
_1,2A-р/100)-1,1
*°~ 2аA-/7/100) ; А"(х) = -2аA-р/100)<0, T-e.
лоточка максимума.
Чтобы точка х0 принадлежала отрезку [0; 1],
необходимо выполнение условия 0 < 1,2A — /? /100) — 1Д < 2аA — /7 /100),
т.е. р<2а"а1-100 и »<8±.
2а-1,2 И 3
Очевидно, что при всех а > 0 выполняется условие
— 100>8-. Следовательно, при /?>8- выгодно весь
2а -1,2 3 3

452 Глава 8. Приложения производной
капитал размещать в банке под проценты, а при р<8- —
определенную часть инвестировать в производство. ►
х1
8.143. Функция издержек имеет вид C(jc) = 10 + —. На
начальном этапе фирма организует производство так,
чтобы минимизировать средние издержки А(х). В дальнейшем
на товар устанавливается цена, равная 4 ден. ед. за
единицу. На сколько единиц товара фирме следует увеличить
выпуск?
Решение. Средние издержки А(х) = — + — принимают
х 10
минимальное значение при х = 10. Предельные издержки
х
М(х) = —. При установившейся цене р = 4 оптимальное
значение выпуска задается условием максимизации
прибыли:
Р(х) = 4х- С(х) -> max, т.е. 4 = М (х), откуда дгопт =20.
Таким образом, производство следует увеличить на 10 ед. ►
8.144. Фирма минимизирует средние издержки,
которые получаются в результате равными 30 руб/ед. Чему
равны при этом предельные издержки?
Определить оптимальное для производителя значение
выпуска д:опт при условии, что весь товар реализуется по
фиксированной цене р за единицу и известен вид функции
издержек С(х):
8.145. C(jc) = 13 + 2jc + jc3; р = Ы.
8.146. C(jc) = 10 + jc + -Wjc; p = 8.
8.147. C(jc) = 8 + -jc +—ex\ р = 21,85.
4 10
Найти максимальную прибыль, которую может
получить фирма-производитель, при условии, что весь товар
реализуется по фиксированной цене р за единицу и известен
вид функции издержек С(х):
х х2
8.148. С(х) = 10 + - + —; р = 10,5.
2 4
х х3
8.149. C(jc) = 8 + ~ +—; р = 6,5.
2 о

8.15. Применение производной в задачах... 453
1 *
8.150. C(jc) = 2jc + — е2\ р = 40.
20
При производстве монополией х единиц товара цена за
единицу составляет р(х). Определить оптимальное для
монополии значение выпуска хопт (предполагается, что весь
производственный товар реализуется), если издержки С(х)
имеют вид:
2
8.151. C(jc) = 10 + jc + — ; p(*) = 8-Vx.
8.152. С(*) = 10 + (*-1J; p(jc) = 10--VJc.
8.153. C(x) = - +—; />(*) = 8--.
2 8 2
8.154. Монополия устанавливает фиксированную цену
р = 380 за единицу товара. Издержки при производстве
х единиц товара равны С(х) = 292л: + х2. При этом
количество реализуемого товара К(х) зависит от х следующим
образом: К(х) = х + (фъ-^). Определить значение х, при
котором монополия получит максимальную прибыль.
8.155. Монополия производит фиксированное
количество х единиц товара и устанавливает цену единицы
товара р > р0. Количество реализованного товара К зависит от
р следующим образом:
К(р) = хе^-р (р0<1),
где р0 — цена, при которой будет реализован весь товар.
Определить значение р, при котором монополия
получит максимальную прибыль.
8.156. Решить задачу 8.155 при условии, что
К(р) = =- (Ро<Ь-
а+P-Pb) 2
8.157. На начальном этапе производства фирма
минимизирует средние издержки, причем функция издержек
5 2
имеет вид С(х) = 10 + 2х + - х . В дальнейшем цена единицы
2
товара устанавливается р = 37. На сколько единиц товара
фирме следует увеличить выпуск? На сколько при этом
изменятся средние издержки?

454
Глава 8. Приложения производной
8.158. Функция издержек имеет вид C(jc) = 40x + 0,08x3.
Доход от реализации единицы продукции равен 200.
Найти оптимальное для производителя значение выпуска
продукции.
8.159. Зависимость объема выпуска продукции V (в
денежных единицах) от капитальных затрат х определяется
3 ч
функцией V(jc) = -ln(l + х ). Найти интервал значений х9 на
4
котором увеличение капитальных затрат неэффективно.
8.160. Считается, что увеличение реализации у от затрат на
рекламу х (млн руб.) определяется соотношением: у = 0,1vjc.
Доход от реализации единицы продукции равен 20 тыс. руб.
Найти уровень рекламных затрат, при котором фирма
получит максимальную прибыль.
8.161. Количество реализуемой монополией продукции х в
зависимости от цены единицы товарар определяется соотноше-
нием jc = jcq
—-1 (р<Ро)- Нзйта значение цены р, при
Р
котором монополия получит наибольшую прибыль.
8.162. Доход от производства продукции с
использованием х единиц ресурсов составляет величину 400>/jc.
Стоимость единицы ресурсов — 10 ден. ед. Какое количество
ресурсов следует приобрести, чтобы прибыль была
наибольшей?
8.163. Функция издержек имеет вид С(х) = х + ОДдс .
Доход от реализации единицы продукции равен 50. Найти
максимальное значение прибыли, которое может получить
производитель.
8.164. Зависимость дохода монополии от количества
выпускаемой продукции х определяется как D(x) = 100* -
- IOOOVjc D00 < х < 900). Функция издержек на этом проме-
4 г
жутке имеет вид С(х) = 50х + — xyjx. Найти оптимальное для
монополии-производителя значение выпуска продукции.
8.165. Цена на продукцию монополии-производителя
устанавливается в соответствии с соотношением,
идентифицируемым как р = р0A-0,2л/л;). При каком значении
выпуска продукции доход от ее реализации будет
наибольшим?

Контрольные задания...
455
8.166. Функция издержек имеет вид С(х) = 2х при * < 100;
С(х) = 200+ /?(*-100) при х > 100. В настоящий момент
уровень выпуска продукции х = 200. При каком условии
на параметр р фирме выгодно уменьшить выпуск
продукции, если доход от реализации единицы продукции
равен 50?
Контрольные задания по главе 8
«Приложение производной»
№
1
2
3
4
Вариант 8.1
Вариант 8.2
Вариант 8.3
Найти пределы:
lim (£ + №*
*->i у1Ъ + х(Ъх-2х) -2
lim (sin jc)*
jc-»0
lim t*2-6)™*
*->0(l + Vjc)ln(l + jc)
1
lim(l + j«?*)*
X—>*»
^tfkWUVi+^-i)
*-ю ех-е~х
l
lim(l + jcV)*
JC->oo
Исследовать функции у = f(x) и построить их графики:
1
1 ~?
X
у = ЪхЪ-6х2
1
1 7
X
y = ^3 + 3x2
1
1 7
y = ^8jc3-12jc2
При производстве первых 20 единиц продукции издержки имеН
ют вид С(х) = рх. Далее при производстве каждой последующей
единицы продукции издержки возрастают на 2 ден. ед. Цена
единицы продукции равна а денежных единиц. Найти
оптимальное значение выпуска продукции:
[5
р = 5; а = 40
p - 6; a = 23
p = 8; 0 = 281
Тест 8
1. Правило Лопиталя не может быть применено для
нахождения предела:
л/Г+1
1) lim
2х-х
*-»~ х -1
; 2) lim
*-»-1дГ-1

456
Глава 8. Приложения производной
оч r VI + sinx .v ex + e x-2
3) hm -= ; 4) hm .
*-»°° yjx - sin x *-»«> х ,л v-
2. Найти следующий предел: lim I г.
JC->oo^ 2 J
3. Выяснить, к какой из приведенных ниже функций
не может быть применена теорема Лагранжа на отрезке
[0;2\Л) у = -^-;2) у = ^-; 3) у = ^; А) у = ЫA + фГ).
jc-2 jc-З х + 2
4. Среди перечисленных функций убывает на всей
области определения функция:
1)у = ^;2)у = ^;3)у = ±=^;
1 + х2 1-х2 х
4) у-хЪ -х2\ 5) # = jc3+jc2.
5. Найти длину интервала возрастания функции у -
= Зх - х?.
6. Выяснить, какое из приведенных утверждений
является неверным:
1) в точке экстремума производная функции равна
нулю или не существует;
2) в точке экстремума функция меняет знак;
3) в точке экстремума производная меняет знак;
4) в точке, в которой производная равна нулю или не
существует, может не быть экстремума?
7. Найти точку х$ максимума функции у в х2(х - 4J.
8. Среди перечисленных функций горизонтальную
асимптоту имеет функция:
1) у = Зх-2х; 2) у = Зх-х22х;
3) у = »-*; 4)z/ =
2 + jc2
9. Следующее из перечисленных утверждений
является всегда верным:
1) в точке перегиба всегда существует конечная
первая производная;
2) в точке перегиба существует конечная вторая
производная;
3) точка перегиба является точкой экстремума первой
производной функции;
4) точка перегиба является точкой экстремума второй
производной функции.

Контрольные задания.» 457
10. Выяснить, график какой функции изображен на
рисунке:
У1
1) у = (х + 1)ех;
3) у = (* + !)*-*;
4)у = -(* + 1)г\
11. Выяснить, какой из графиков, приведенных на
рисунке, есть график функции у = —.
х
У*
у*
12. Найти наибольшее и наименьшее значения
функции у - х? + х2 на отрезке [-1; 2].
13. Требуется огородить прямоугольную площадку
площадью 600 м2 и перегородить ее таким же забором
пополам. При каких размерах а, Ъ площадки расход
материала на забор будет наименьшим?
14. Если изобразить на одном рисунке графики
предельных и средних издержек, то:
1) они будут пересекаться в точке минимума средних
издержек;
2) они будут пересекаться в точке минимума
предельных издержек;
3) они будут пересекаться в точке, в которой
предельные издержки равны нулю;
4) график средних издержек будет в любом случае
выше графика предельных издержек.

458
Глава 8. Приложения производной
15. Функция издержек имеет вид
при jc < 20,
С(х) = 1
х
5
- + i(*-20J при jc>20.
5 о
При какой цене р единицы товара оптимальное
значение выпуска хот = 30?

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
И ТЕСТЫ
по дисциплине
«Математический анализ»,
часть 1 (разделам II и III)
Учебно-тренировочные тесты
Итоговые контрольные задания
Итоговый тест

Учебно-тренировочные тесты по дисциплине «Математический анализ»,
часть 1 (разделам II-III)
|№|
1
Тест МА - 1.1
Тест МА - 1.2
Тест МА - 1.3
Найти область определения функции:
У = 2Х +
1x^9
y = log2(x + 3) +
4x^3
y = log2E-x) +
^
X
Ответы: 1) (-«>;-3]и[3; + оо); 2) [-3;3]; 3) (-~;-3); 4) (-~;-3];
5) (-оо;3)иC; + оо); 6) (-3;3); 7) C;-Юо); 8) [3; + ~)
Найти значение параметра а, при котором на всей числовой прямой непрерывна функция:
flog2D-x) при х<3,
Л*Н 2 о
х + ах при х > о
/w=
х2 + 2 при х<а,
&х-2 при х>а
/(*)•■
3х-а при х<О,
sin л: при х>0
Указать функции, которые в точке х = 0 имеют:
разрыв второго рода
неустранимый разрыв
первого рода
устранимый разрыв
первого рода
Ответы:
\х + 1 при х > О,
|1)г/ = | 0 при х = 0, 2)У =
[1-х при х<0;
\пх при х>0,
О при х = 0у 3) у = \
[\п(-х) при х<0;
1 при х > О,
О при х = 0, 4)У =
-1 при х<0;
2*-1 при х>0,
О при х = О,
1-2"* при х<0

Продолжение учебно-тренировочных тестов
№
4
5
ТестМА- 1.1
Указать четные функции
Тест МА - 1.2
Указать функции, у которых
графики симметричны
относительно начала координат
Тест MA - 1.3
Указать функции общего вида
(ни четные, ни нечетные)
Ответы: 1) у = Inх2; 2)у = х2-х3; 3) У = ~^; 4) # = ^~; 5) г/ = 1п(дг+5); 6)у = х3-х
График функции y = f(x
\ изображен на рисунке:
/а Ь с\ \d \e /
Указать точки, в которых:
функция терпит устранимый
разрыв первого рода
i
\ii
/ g 'h x
у функции не существует ни
конечного, ни бесконечного
предела
функция имеет
неустранимый разрыв
первого рода

Продолжение учебно-тренировочных тестов
>Ь
Тест МА - 1.1
Тест МА - 1.2
Тест МА - 1.3
Указать функции, которые
являются ограниченными на
всей числовой прямой
Указать функции, которые
определены на всей числовой
прямой
Указать функции, которые
являются непрерывными на всей
области определения
х2—\ х
Ответы: 1) ^ = ~7ГГ; 2) ^ = Т2~Г; 3) y = V*+l; 4) y = x + sinx; 5) y = tg(*+5); 6) у = 5-arctg x
X ~rl X 1
Указать функции, которые являются ограниченными:
на отрезке [-2; 2]
на полуинтервале @; 2]
на интервале B; +о
Ответы:
1) УЬ
W2
Указать функции, которые являются бесконечно:
большими при х -»1
малыми при х -»-и»
большими при х -» +°о
Ответы:
\)У =
х2-\
2) j, = 5;
3) У =
х2 + 1
х2-5'
4) у = 1п(*-1)

Продолжение учебно-тренировочных тестов
ГмГ
9
10
11
12
Тест МА - 1.1
Найти lim
*->~{3x-l)
Ответы: 1) 0; 2) 1;
Тест М А - 1.2
X
Найти lim Г
3) е; 4) >£; 5)
Указать функции, для которых прямая:
у = 1 является горизонтальной
асимптотой
х2+1
Ответы: 1) у = ;
х = 0 является вертикальной
асимптотой
Найти значение производной функции:
# = iL + arctg(x2-5)
в точке х = 2
Найти угловой коэффициент
касательной, проведенной к
графику функции у = е~х
в точке х = 1п5
5
в2_дг+^ = - в точке B;-3)
Найти угол (в градусах), под
которым наклонена к оси
абсцисс касательная,
проведенная к кривой
у = 2у1х-А в точке х = 5
Тест МА - 1.3
Найти lim —— |
е2; 6) еА
у = х является наклонной
асимптотой
2
4) у = х + е х
\x = yJF+i,
[*/ = ln2log2(*+l) при ^ = 3
Найти тангенс угла наклона
касательной, проведенной к
графику функции г/ = 1п(х3+1|
в точке х = 1

Продолжение учебно-тренировочных тестов
|№|
"±3|
Тест МА - 1.1
Тест МА - 1.2
Тест МА - 1.3
тт и 1 • X 1~Х Z,
Найти lim—,
Найти lim (х+1)е
Найти lim
е2х+5
Ъе2х-\
14
Найти значение х, при котором функция:
у -хC-х2) достигает максимума
У =
(х-*)
- имеет экстремум
У =
лг+1
достигает минимума
15
В соответствующих клетках таблицы указать наибольшее и наименьшее значения
на отрезке [-1; 4] функции:
y = jX2(x-3)
нш
у = х(х-3J
Ответы:
Значения
х =
наим
"наим ~~
•^наиб =
У наиб
-1
0
1
• --
I
2
3
--
4
Не существует
16
Указать интервалы, на которых функция:
у = (х + 2) A-х) возрастает
у = 0,25х4 - 2х2 + 3 убывает
у = х3 - Зх2 убывает
Ответы:
1) Н;-2);
2) (-2;0);
3) (ft 2);
4) B; + ~)

Продолжение учебно-тренировочных тестов
Ijsfe
17
Тест МА - 1.1
Тест МА - 1.2
Тест МА - 1.3
График функции у = f(x) изображен на рисунке:
Найти значение производной
у = f'(x) в точке х = а
Найти значение
дифференциала функции
у = /(х)при* = йи Аг = 5
Найти погрешность
приближенного вычисления
f(a + 5)~f(a) + df
18
График функции у - f(x) изображен на рисунке:
У!
Указать точки, для которых выполнены условия:
У' = 0,У">0
J/'>0,y"<0
г/'<0,г/">0

Окончание учебно-тренировочных тестов
№
Тест МА - 1.1
Тест МА - 1.2
Тест МА - 1.3
19
Указать рисунок, на котором изображен график функции:
*/ = bg0M(x-l)
У = 2*-1
y = \og2(x + l)
Ответы:
20 | Указать рисунок, на котором изображен график функции у = /(х),если при исследовании получена
следующая таблица знаков производной:
(-~; -2)
-2
(-2; 2)
B; +~)
(-~; -2)
(-2; 2)
B; +~)
(—; -2I
(-2; 2)
B; +-)
н/с
н/с +
0 + 0
Ответы:
1)
*♦

Итоговые контрольные задания по дисциплине
«Математический анализ», часть 1 (разделам II, III)
№ Вариант МА.1.1 Вариант МА.1,2 Вариант МА.13 Вариант МА.1.4 Вариант МАЛ5
Вычислить пределы:
Vx2+3jt+4jt
lim ,
*-*~3/l6jt4 + 2-Tx
>12х3+х2-Ъх2 + 2
lim т—
*-*» v.x-1+4
lim
4
3jtzV16jT-jt
*-*~5jc2+4jc-^1-8jc6
ud V*2+4
]imx\>lx2+4-ylx2-9
lim
(зх->19х~2
+5x-l
lim
'з*2-1
\4x
3jc2 + 2
v
Hm[2x(ln(jt + 3)-lnjt)]
J
lim
x—»°°
' 2x2+x-\^
2х2-Ъх + 2
,-3x
V
' о \2x
J
lim
*-H xz-Ax + 2
J
JC-^oo^lnjC-1 J
4jc
.. sin2jc + sin6jc
lim
x->0 3jc
lim
x-*0
tgjc-tg2*
.. sin 3x-sin*
lim
x-»0 5jc
lim
jc->0
tg2x + tg4jc
5jc
lim
sin4jc
x-»0sin6jt
Найти производную функции:
у = arctg
7*^7
i = yl4-x2 +
2arcsin—
2
г/ = arctg.
\2 + ;
*/ =
= log2[jc+4V^8jc-51
г/ = 1п
l + Vl + x2
1-уКТх1

[jfc
Вариант МА.1.1
Вариант МА.1.2
Вариант МА.1.3
Вариант МА.1.4
Вариант МА.1.5
1 Составить уравнение касательной(-ых) к графику функции:
5
y = yj2x-5 ,
проходящей через точку
(-1; -3); сделать
чертеж
I 3jt + 5
У = г в точке
jt + 4
Xq = -3; сделать
чертеж
х-Ъ
У = —— в точках
х + 5
его пересечения
с прямой
г/ + 2г + 3 = 0;_
сделать чертеж
у - в2*,
параллельной прямой
у - 2х + 1 = 0;
сделать чертеж
е = 4 + 1пC - х),
перпендикулярной
прямой
2у - 2х + 3 = 0;
сделать чертеж
Исследовать функции и построить их графики:
6
7
8
У = ех-х
х2 + 2х
у =
3jc + 8
Найти наибольшее и
наименьшее значения
функции z = \n(x + y)
на полуокружности
с центром в начале
координат и
радиусом единица,
лежащей в верхней
полуплоскости
2
у = х\пх
у = {*Гх-Л)е-х
Найти наибольшее и
наименьшее значения
функции z = (x + y)
на границе
треугольника с вершинами
в точках (-1; 1),
B; 3), D; 0)
1 + JC
у - ех + е~х - 2х
Найти наибольшее и
наименьшее значения
функции г = хъ-\5у2
на отрезке,
заключенном между
точками пересечения
параболы у = х2 - 2х
и прямой у = 2х -3
х3
1 Т
X
у=Тх+а№
Найти наибольшее и
наименьшее значения
функции z = х2+ у
на отрезке ветви
гиперболы ху = 1,
лежащей в верхней
полуплоскости,
ограниченной точками
пересечения
гиперболы с прямыми
*/ = тт иг/= 16*
z/ = Vl + 2;c+Vl-2;c
1 1
Найти наибольшее
и наименьшее
значения функции г = ху
на отрезке графика
экспоненты у = е2х,
ограниченной
прямыми х=—4 и х = 2

1. По виду графика функции у =
Итоговый тест МА.1
ах + Ъ
CJC + 1
(рис. 1)
определить знаки постоянных я, Ь, с:
1) а < О, Ъ > О, с > 0; 2) а > 0, Ъ > 0, с < 0; 3) а < 0, Ъ <
< 0, с> 0; 4) а > 0, Ъ < 0,0 0; 5) а < 0, Ъ > 0, с < 0.
Рис. 1
Рис.2
2. Выбрать функцию, график которой наиболее
точно соответствует рис. 2:1) у = -х +—;
2) у = -х —; 3) у = -х—-
1 ,ч 1
4) у = -х +—; 5) у = х—у
3. Найти lim
JC->1
^1-* 1-.
7
1
4. Найти Urn -
jc—>l-0 J_
5. При каком значении а
( 2
,. ах + 7jc-14 sinjc
lim - +
*-Н 4*-дГ+1 *
■+ lim
*->1+0 JL
1 + 2*
= 2?
6. При каком значении а
\ах
lim
limfl-*
t-»°o^ X
=*3?
7. В точке х = 0 функция г/ = jcsin— не
определена. Каким должно быть значение
г/@), чтобы доопределенная этим
значением функция стала непрерывной?

8. Дана функция
У = \
-*+ 5
2*+ 20
sin 2jc
X
jc + 0,5
1
при
при
при
при
при
jc<-5,
-5<jc<-2,
- 2 < jc < 0,
0 < х < 5,
х>5.
1) 0; 2) -1; 3) 1; 4) -ос; 5) +~; 6)f'(x) не
существует (ни конечная, ни бесконечная).
10. Какие из функций являются
непрерывными в указанной точке х0:
1) у = |дг-3|,ло=3;2) у =
-3jc + 2
»•*()-1;
х-5
Сколько эта функция имеет точек разрыва
первого рода; второго рода?
9. Установить соответствие между точками
кривой у = f(x) (Л, В, С; D, Е, F) и величинами
производных в этих точках (рис. 3):
3) y = tg(x--),x0=-^;A) у = 1[х~+2,х0=-2;
5) у = -г=,х0=-2.
11. Установить соответствие между графиками
функций у = f(x) A, 2, 3) и их производных
у'= f'(x) (а, б, в) (рис. А):
а У к
У'
0
i
\—1 -1
л
<
^—ГЕ
X
1 »t
0
a *
X
0
#4
N
у -/w
Рис.3
2 "'
0
k
•т--
« X
N

3 У к
0
а х
У k
w
Рис.4
12. Дано: г/ = Vl+arcsinx + cos(ln(jc+1)). Найти
у'@).
13. Дано: i/ = (tg;c+l->/3)cos* Найти у'Г—\
14. Дано: y = yfe\n(ex+yle2x+A Найти /@).
15. Составить уравнение нижней касательной к
окружности х* + у2 = 20, перпендикулярной к
прямой х + 2у - 2 = 0.
Ответ: у = kx + Ь> где k = ...; Ъ = ...
16. Зависимость между спросом # и ценой р
единицы продукции задана соотношением q = 4-}[p.
Найти значение цены, при которой спрос будет
нейтральным (с единичной эластичностью).
17. Выяснить, для каких функций на отрезке
[0; 2] применима теорема Лагранжа:
4
1) */ = -; 2) у = 4-х2; 3) у = *з; 4) г/ = 1п|л:|;
х
5)у =
2 -Я
jc sm— при **0, _ч
* 6) у =
0
при jc = 0;
х при jc<1,
1
при х>\.
18. Найти, применяя правило Лопиталя,
lim (]nx-]n(x-\)).
*-»1+0
19. Найти, применяя правило Лопиталя,
1
lim x^-l\
20. Найти (с точностью до 0,1)
экстремальное значение (максимум) функции у = х е~х .
21. Найти наименьшее значение функции
у = yJx-Ых на полуинтервале @; е].

9 10
22. Найти расстояние между точками перегиба функции у = х -.
Ъх2
23. При подготовке к экзамену студент за t дней изучает ю часть курса, а забывает ю
часть. Сколько дней надо затратить студенту на подготовку, чтобы была изучена максимальная
часть курса?
24. Используя понятие дифференциала, вычислить приближенно %/24.
!

Раздел IV
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ
ПЕРЕМЕННЫХ
->?«j>v;'< <1-л.*.,;;■-:
г,> .

Глава 9
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ
ПЕРЕМЕННЫХ
ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ КУРС
В предыдущих главах нами были изучены функции одной
переменной. Однако многим явлениям, в том числе
экономическим, свойственна многофакторная зависимость.
Исследование таких зависимостей потребовало совершенствования
математического аппарата, в частности, введения понятия
функции нескольких переменных.
9.1. Основные понятия
I Определение. Пусть имеется п переменных величин,
и каждому набору их значений (xv х2>..., хп) из
некоторого множества X соответствует одно вполне определенное
значение переменной величины г. Тогда говорят, что за-
| дана функция нескольких переменных z = f(xv ..., хп).
Например, формула z = юс{ х2 задает объем цилиндра z
как функцию двух переменных: хх (радиуса основания) и
х2 (высоты).
Переменные xv ..., хп называются независимыми
переменными, или аргументами, z — зависимой переменной,
а символ / означает закон соответствия. Множество X
называется областью определения функции. Очевидно, X —
подмножество я-мерного пространства.
Пример 9.1. Найти область определения функции:
а) 2 = у1~х12 -х\ ; б) 2 = .
12

9.1. Основные понятия
475
Решение.
а) Область определения задается условием: \-х\ -х\ >0
или х\ +х\ <1, т.е. представляет собой единичный круг с
центром в начале координат.
б) Имеем хх Ф О, х2 * О, т.е. область определения — это
плоскость Оххх2 за исключением координатных прямых
Охх и Ох2. ►
Рассмотрим некоторые примеры функций нескольких
переменных.
1. Функция г = а1х1+а2х2+...+аЛ+6, гДе а\> ••> ап>
Ь — постоянные числа, называется линейной. Ее можно
рассматривать как сумму п линейных функций от
переменных xv ..., хп.
2. Функция z-~^J)ijxixj (btj - постоянные числа) на-
зывается квадратической. В отличие от предыдущего
примера квадратическая функция не является сепарабельной,
т.е. не раскладывается в сумму функций одной переменной.
3. В параграфе 5.6 было определено понятие функции
полезности, являющееся одним из базовых в экономической
теории. Многомерный аналог этой функции — функция
2 = f(xv ..., х ), выражающая полезность от п
приобретенных товаров. Чаще всего встречаются следующие ее виды:
а) логарифмическая функция
п
z = ^\iai 1п(х, -с,-), где а{ > О, х{ > с{ > 0;
б) функция постоянной эластичности
2 = £т\(*, -с,.I"*, где а. > 0, 0< 6. < 1,*. > с. > 0.
4. Для случая п переменных также обобщается
понятие производственной функции (см. параграф 5.6),
выражающей результат производственной деятельности от
обусловивших его факторов xv x2,..., хп. Приведем
наиболее часто встречающиеся виды производственных
функций (г — величина общественного продукта; хх — затраты
труда; х2 — объем производственных фондов), полагая для
простоты п = 2:

476 Глава 9. Функции нескольких переменных
а) функция
б) функция
Кобба
— Дугласа}
2 — Ог\Хл Ло ,
с постоянной эластичностью
2 =
6г\ 1 влХ* т ^0^2
Л
Рр
замещения
В настоящей главе в основном будут рассматриваться
функции двух переменных (п = 2), что позволит
использовать наглядную геометрическую иллюстрацию основных
понятий. При этом практически все понятия и теоремы,
сформулированные для п = 2, легко переносятся и на
случай п > 2.
Функцию двух переменных будем обозначать в
дальнейшем 2 = f(x} у). Тогда ее область определения X есть
подмножество координатной плоскости Оху.
Окрестностью точки М0(х0, у0) е X называется круг,
содержащий точку М0 (рис. 9.1).
Очевидно, что круг на
#4 ^9777ts>^ плоскости есть двумерный
аналог интервала на прямой.
При изучении функций
нескольких переменных во
многом используется уже
рассмотренный в предыду-
^ щих главах математический
аппарат. Так, любой функ-
рис g j ции 2 = f(x, у) можно поста-
вить в соответствие две
функции одной переменной:
при фиксированном значении х == х0 функцию z = f(x0, у) и
при фиксированном значении у = yQ функцию z = f(x, y0).
Следует иметь в виду, что хотя функции z = f(x, y0) и
2 = f(x0, у) имеют одно и то же «происхождение», их вид
может существенно отличаться. Рассмотрим, например,
°{ 100 J
функцию 2' = ^о Tori ' выРажаю1ДУю величину вклада
через у лет при ставке х%. Очевидно, что эта функция
степенная по х и показательная по у.
1 Кобб Чарльз — американский математик; Дуглас Пол Говард
A892—1976) — американский экономист.

9.1. Основные понятия
477
Графиком функции двух переменных z = f(x> у)
называется множество точек трехмерного пространства (х, у, 2),
аппликата z которых связана с абсциссой х и ординатой у
функциональным соотношением z = f(x, у). График
функции двух переменных z - f(x, y)> вообще говоря,
представляет собой некоторую поверхность в трехмерном
пространстве1.
Для построения графика функции z = f(x, у) полезно
рассматривать функции одной переменной z = f(x, y0) и
2 = f(x0, y)> представляющие сечения поверхности z = f(x, у)
плоскостями, параллельными координатным плоскостям
0x2 и Oyz, т.е. плоскостями у = у0 и х = х0.
Пример 9.2. Построить график функции z - х? + у2 - 2у.
Решение. Сечения поверхности г = х? + у2-2у = хг +
+ (у - IJ - 1 плоскостями, параллельными координатным
плоскостям Oyz и Oxz, представляют параболы (например,
при х = 0 2 = (у - IJ - 1, при г/ = 1 z = oc1 - 1 и т.д.). В
сечении поверхности координатной плоскостью Охуу т.е.
плоскостью 2 = 0, получается окружность х1 + (у - IJ = 1.
График функции 2 представляет поверхность, называемую
параболоидом (рис. 9.2). ►
2-(у-1J-1
х2 + (у - IJ
2 - х2 + г/2 - 2#2
Рис. 9.2
1 Формально график можно определить и для п > 2. В этом случае
он называется гиперповерхностью в (я + ^-жернол* пространстве. О
таком графике можно говорить только абстрактно, так как изобразить его
на рисунке не представляется возможным.

478 Глава 9. Функции нескольких переменных
Очевидно, что график функции двух переменных —
значительно более сложный объект, чем график функции одной
переменной. Как правило, построение поверхности
оказывается довольно трудной задачей. В то же время поверхность в
пространстве обладает гораздо меньшей наглядностью, чем
линия на плоскости, поэтому в случае двух переменных для
изучения поведения функции желательно использовать
другие, более наглядные инструменты. Важнейшим из них
являются линии уровня.
Определение. Линией уровня функции двух
переменных z = /(х, у) называется множество точек на плоскости,
в которых значение функции одно и то же и равно С.
Число С в этом случае называется уровнем.
На рис. 9.3 изображены линии уровня, соответствующие
значениям С = 1 и С = 2. Линия уровня Lx состоит из двух
непересекающихся кривых, а линия L2 —
самопересекающаяся кривая.
Многие примеры линий
уровня хорошо известны.
Например, параллели и
меридианы на глобусе — это линии
уровня функций широты и
долготы. Синоптики
публикуют карты с изображением
изотерм — линий уровня
температуры. В параграфе 9.10 будут
0 J рассмотрены примеры исполь-
у зования линий уровня
функций нескольких переменных в
экономическом анализе.
Построение линий уровня оказыва-
Рис. 9.3 ется существенно более легкой
задачей, чем построение
графиков самих функций.
Пример 9.3. Построить линии уровня функции z = х* +
+ У2 - 2*/.
Решение, Линия уровня z = С — это кривая на
плоскости Оху> задаваемая уравнением х2 + у2 - 2у = С или .г2 +
+ (г/-1J = С+1, т.е. уравнением окружности с центром в
точке @; 1) и радиусом ч/с+1 (рис. 9.4).

9.2. Предел и непрерывность
479
Точка @; 1) — это
вырожденная линия уровня, которая
соответствует минимальному
значению функции г - -1,
достигаемому в точке @; 1).
Линии уровня —
концентрические окружности, радиус
которых увеличивается с ростом
2 - С, причем расстояния
между линиями с одинаковым
шагом уровня уменьшаются по
мере удаления от центра. Ли- -2+
нии уровня позволяют пред- Рис. 9.4
ставить график данной функции, построенный на рис. 9.2. ►
9.2. Предел и непрерывность
Бблыпая часть понятий анализа, определенных ранее
для функций одной переменной, может быть перенесена на
случай функций двух переменных.
Определение. Число А называется пределом
функции г = f(x, у) при х -» х0иу ->у0 (или в точке (х0, у0)),
если для любого, даже сколь угодно малого
положительного числа е > 0, найдется положительное число 8 > 0
(зависящее от е, 8 = 8 (е)), такое, что для всех точек (х>
z/), отстоящих от точки (х0У у0) на расстояние1 р
меньшее, чем 8 (т.е. при 0 < р < 8), выполняется неравенство
\f(x,y)-A\<e.
Предел обозначается следующим образом:
lim f(x,y) = A.
х-+х0
У^Уо
Пример 9.4. Найти предел
1пA-х2
lim
*->o
у-*о
-у2)
yJX
2 2
+у
1 Напомним, что расстояние между точками (х0, i/Q) и (х, у) на плоско-
(X-Xq) +(У~Уо) .

480 Глава 9. Функции нескольких переменных
Решение. Обозначим \\х л-у =р. Условие х —» 0, у -» 0
равносильно тому, что р —> 0. Запишем предел в виде
|lmb<i^V)=UminaV) го"
;^° 4^7 •"" р L°-
=limMA,,mH?('2p)=().,>
р->0 р р->0 1
Как правило, вычисление пределов функций двух
переменных оказывается существенно более трудной задачей по
сравнению со случаем одной переменной. Причина заключается в
том, что на прямой существуют всего два направления, по
которым аргумент может стремиться к предельной точке, т.е.
справа и слева (см. параграф 6.2). На плоскости же таких
направлений — бесконечное множество, и пределы функции по
разным направлениям могут не совпадать.
Пример 9.5. Доказать, что lim 9 не существует.
Решение. Будем приближаться к точке @; 0) по прямым
у = kx.
_ , л. 2ху ,. 2x(kx) 2k
Если у = кх, то lim 0 0 = lim 0 —-^ = 7.
*-**2 + у2 x-rtx2+(kxf 1 + k2
Получили, что значение предела зависит от углового
коэффициента прямой. Но так как предел функции не должен
зависеть от способа приближения точки (х> у) к точке @; 0)
(например по прямой у = 2х или у = 5х), то
рассматриваемый предел не существует. ►
Определение. Функция z = f(x, у) называется
непрерывной в точке (х0> г/0), если: 1) она определена в точке
(х0, z/0); 2) имеет конечный предел при х —> х0 и
у —> у0; 3) этот предел равен значению функции в точке
(*о>*/0)>т-е-
lim f(x,y) = f(x0,y0).
у->о
Геометрический смысл непрерывности очевиден: график
в точке (х0, у0) представляет собой сплошную, нерасслаива-
ющуюся поверхность.

9.3. Частные производные
481
9.3. Частные производные
Дадим аргументу х приращение Ах, аргументу у —
приращение Az/. Тогда функция z получит наращенное
значение f(x + Ах, у + Ау). Величина Дг =/(х + Ах, у + Az/) -/(х, z/)
называется полным приращением функции в точке (х, z/).
Если задать только приращение аргумента х или только
приращение аргумента z/, то полученные, соответственно,
приращения функции A^z = /(х + Ах, у) - /(х, z/) и A z =
= /(х, у + Az/) - /(x, у) называются частными.
Полное приращение функции, вообще говоря, не равно
сумме частных приращений:
Az^A^z + A^z.
Пример 9.6. Найти частные и полное приращения
функции z = хг/.
Решение.
Axz = (х + Дх)г/-ху = уАх; Ayz = х(у + Ау)-ху = хАу.
Az = (x + Ax)(y + Ay)-xy = xAy + yAx + AxAy.
Получили, что
Az^A^z + AyZ. ^
Определение. Частной производной функции
нескольких переменных по одной из этих переменных называется
предел отношения соответствующего частного приращения
функции к приращению рассматриваемой независимой
переменной при стремлении последнего к нулю (если этот предел
существует).
Обозначается частная производная так: z'x,z' или —,
dz °х
— ,или fx{x,y\fy(x,y).
Таким образом, для функции z e /(x, у) по определению
2; = iim ^l= iim Я*+**.у)-Я*.уУ
Дг->0 АХ Д*->0 АХ
/ = Нт V= Hm f(x,y + Ay)-f(x,y)
у Ду-»о Ay Ay->o Ay
(9.1)
(9.2)
Геометрический смысл частных производных функции
z = /(х, у) в точке (х0, z/0) показан на рис. 9.5.

482 Глава 9. Функции нескольких переменных
Пусть график функции
z = f(x, у) представляет
некоторую поверхность Р. Тогда
при у = у0 получается кривая
Гх — сечение этой поверхности
соответствующей
плоскостью. В этом случае
производная zx выражает угловой
коэффициент касательной к
кривой Гх в заданной точке
(*0' Уо)' т-е* 4(*о» Уо> = *8 а>
где а — угол наклона
касательной к оси Ох. Аналогично
4<хо» У о) = <« Р-
Из определения частных
производных (см. формулы
(9.1) и (9.2)) следует, что
для нахождения производной
z'x(x, у) надо считать постоянной переменную у, а для
нахождения z'y(x, у) — переменную х. При этом сохраняются
известные из гл. 7 правила дифференцирования.
Пример 9.7. Найти частные производные функций:
a) z = xlni/+—; б) z = xy.
х
Решение.
а) Чтобы найти частную производную по х, считаем у
£)-
постоянной величиной. Таким образом, z'x=lny +
= 1пг/—Щ?. Аналогично, дифференцируя по г/, считаем х
х
, 1 / X 1
постоянной величиной, т.е. zx = x(ln г/)'+ — • у = — + —.
х ух
б) При фиксированном у имеем степенную функцию
от х. Таким образом, zx-yxy~x. При фиксированном х
функция является показательной относительно у и
z'y =xy lnx. ►
Пример 9.8. Поток пассажиров z выражается функцией
z = —, где х — число жителей; у — расстояние между го-
У

9.4. Дифференциал функции
483
родами. Найти частные производные этой функции и
пояснить их смысл.
Решение. Производная zx =— показывает, что при од-
У
ном и том же расстоянии между городами увеличение
потока пассажиров пропорционально удвоенному числу
жителей. Производная z'y=—j" показывает, что при одной и
У
той же численности жителей увеличение потока
пассажиров обратно пропорционально квадрату расстояния между
городами. ►
9.4. Дифференциал функции
В параграфе 7.7 дифференциал функции у = /(х)
определялся как главная, линейная относительно Ах, часть
приращения функции, равная произведению /'(х)Дх.
Обобщая определение дифференциала функции на
случай двух независимых переменных, приходим к
следующему определению.
Определение. Дифференциалом функции
называется сумма произведений частных производных этой
функции на приращения соответствующих независимых
переменных:
dz = z'xAx + z'yAy. (9.3)
По формуле (9.3) найдем дифференциалы функций
/(х, у) = х, g(x, у) = у: df = dx = Ax, dg = dy = Ay. Тогда
формулу дифференциала (9.3) для функции z - /(х, у)
можно записать в виде
dz = z'xdx + z'ydy (9.4)
или
dz =—dx +—dy.
Эх ду
Определение. Функция z =/(x, у) называется
дифференцируемой в точке (х, у), если ее полное приращение
Аг может быть представлено в виде

484 Глава 9. Функции нескольких переменных
Дг = dz + аДх + рДг/,
(9.5)
где dz — дифференциал функции, а = а(Дх, Ау), C = C(Дг,
Ау) — бесконечно малые при Ах —»0, Ау —>0.
Таким образом, дифференциал функции нескольких
переменных, как и в случае одной переменной, представляет
главную, линейную относительно приращений Ах и Дг/,
часть полного приращения функции.
Можно показать, что если полное приращение функции
Дг геометрически представляет приращение аппликаты
поверхности z = /(х, у), то дифференциал функции dz есть
приращение аппликаты касательной плоскости к
поверхности z = /(х, у) в
AC = Az
AB = dz
данной точке, когда
переменные х и у
получают приращения
Ах и Ау (рис. 9.6).
Следует отметить,
что для функции одной
переменной у = /(х)
существование
конечной производной f(x)
и представление
приращения функции в
виде G.3) (см.
параграф 7.7), т.е. Ау = dy +
+ а(Дх)Дх, являются
равнозначными
утверждениями, и любое из
них могло быть взято за определение дифференцируемости
функции1.
Для функции нескольких переменных дело обстоит иначе:
существование частных производных является лишь
необходимым, но недостаточным условием дифференцируемости
функции.
Приведенная ниже теорема выражает достаточное
условие дифференцируемости функции двух переменных.
(х,у)\
(х + Ах,у + Ау)
Рис. 9.6
1 Напомним, что в гл. 7 за определение дифференцируемости
функции у - f(x) было взято первое утверждение — существование
производной.

9.5. Производная по направлению. Градиент 485
Теорема. Если частные производные функции z'x(x,y) и
z'y(x, у) существуют в окрестности точки (х, у) и
непрерывны в самой точке (х, у), то функция z =/(x, у)
дифференцируема в этой точке.
9.5. Производная по направлению. Градиент
Пусть функция 2 =/(х, у) определена в некоторой
окрестности точки М(х, у), / — некоторое направление, задаваемое
единичным вектором
к
? = (cosa,cosp),
Зтс
где \е\ = cos a +
+cos2p = l, ибоа + р = — (или — ); cos a, cos P — косинусы
углов, образуемых вектором е с осями координат и
называемые направляющими косинусами.
При перемещении в данном направлении / точки М(х, у) в
точку Мх(х + Ах,у + Ау) функция z получает приращение
A,z =/(х + Ах, у + Ду )-/(х, у), называемся ярг^
ции z в данном направлении I
(рис. 9.7).
Если ММ{ = А/, то
очевидно, что Ах = A/cosa, Ay =
= A/cosP, следовательно,
Atz = /(х + A/cosa, у +
+A/cosP) -fix, у).
Определение.
Производной z\ no
направлению I функции двух
переменных z - /(х, у)
называется предел
отношения приращения
функции в этом направлении к
величине перемещения А/ рис 9.7
при стремлении
последней к нулю, т.е.
/ г Aiz
Z] = lim —V
1 д/-»о Д/
(9.6)
Производная z\ характеризует скорость изменения
функции в направлении I.

486 Глава 9. Функции нескольких переменных
Очевидно, что рассмотренные ранее частные
производные гх и zy представляют производные по направлениям,
параллельным соответственно осям Ох и Оу. Нетрудно
показать, что
z\ = zx cos a+zy cos C. (9.7)
Рассмотрим понятие градиента функции z = /(х, у).
I Определение. Градиентом Vz функции z = /(х, у) на-
| зывается вектор с координатами (z'x,z').
Рассмотрим скалярное произведение (см. параграф 3.1)
векторов Vz = (zx1Zy) и единичного вектора е = (cos a,cos p).
Получим
(Vz,e) = z'x cos a+ z'y cos p. (9.8)
Сравнение равенств (9.7) и (9.8) показывает, что
Z/=(Vz,e), т.е. производная по направлению есть
скалярное произведение градиента Vz и единичного вектора,
задающего направление I.
Известно (см. параграф 3.1), что скалярное произведение
двух векторов максимально, если они направлены
одинаково. Следовательно, градиент функции Vz в данной точке
характеризует направление максимальной скорости изменения
функции в этой точке.
Зная градиент функции в каждой точке, можно, по
крайней мере, локально строить линии уровня функции.
Теорема. Пусть задана дифференцируемая функция
z = /(х, у) и пусть в точке М(х0, у0) величина градиента
отлична от нуля. Тогда градиент перпендикулярен линии
уровня, проходящей через данную точку.
П Линия уровня Lc задается уравнением /(х, у) == С,
(где С = /(х0, у0)). Предположим, что это уравнение можно
разрешить относительно г/, т.е. у = g(x) на Lc (если это
невозможно, то следует разрешить уравнение
относительно х и повторить все рассуждения с точностью до
обозначений).
Таким образом, касательный вектор имеет координаты
A, g'(x)). Умножив его компоненты на dx, получим, что
вектор (dx, g'(x)dx), т.е. (dx> dy), касателен к линии
уровня Lc (рис. 9.8).

9.6. Дифференцирование сложной функции 487
Между тем на линии уровня /(х, у) = const, т.е.
df\Lc=0, откуда z'xdx + z'ydy = 0 на LC Но z'xdx + z'ydy —
скалярное произведение вектора градиента (/х, / ) и
вектора (dxy dy), касательного к Lc , т.е. рассматриваемые
векторы перпендикулярны. ■
(/;./;>
О
(Ug'(x))
У\ ^(х^Уо)
0
(%»о)\ J
^С-
(*i>»i)
X
Рис. 9.8
Рис. 9.9
Таким образом, линии уровня можно построить
следующим образом (рис. 9.9). Предположим, мы начинаем с
точки (х0, у0). Построим в этой точке градиент и зададим
направление, перпендикулярное градиенту. Оно позволяет
построить малую часть линии уровня. Далее рассмотрим
близкую точку (xv y{) и построим градиент в ней.
Продолжая этот процесс, можно (с определенной погрешностью)
построить линии уровня.
9.6. Дифференцирование сложной функции
Пусть z = /(х, у) — дифференцируемая функция двух
переменных, причем ее частные производные —
непрерывные функции. При этом допустим, что ее аргументы х, у
сами являются дифференцируемыми функциями
переменной ty т.е. х = ф(£), У = Ж@- Рассмотрим z как функцию
от£
*=/(<p@>v@)
и найдем ее производную в точке t0. Зададим приращение At
и найдем приращение Дг:
Az = f((p(t0+At)Mto+^))-f((^t0)Mto)) =
= /(<р(*о +AO,V(*o +AO)-/(9(*o)>V('o + А0) +
+/(Ф(<6)Ж<6 + А0)-/(ф(*о )>V(*o))-

488 Глава 9. Функции нескольких переменных
Пусть х0 = (р(£0), yQ = \\f(t0). Тогда ф(£0 + ДО - ф(£0) - Дг,
\\f(t0 + At) - \\f(t0) = Дг/, т.е. ф(£0 + At) - х + Дг, i|/(£0 + ДО в
= г/0 + Дг/ и приращение Дг имеет вид
А2 = /(х0+Дг,г/0+Дг/)-/(х0,г/0+Дг/) + /(х0,г/0 + Дг/)-
-/(*о >#о ) = Д**(*о»Уо + А#)+Ду^о»Уо )•
Предположим, что Дх * 0 и Дг/ * 0.
Тогда
г^ = lim
Axz(x0,y0+Ay) | Ауг(х0,г/0)
Д£ Д£
= lim
д*-»о
Ахг(х0,у0+Ду) Ах t Ayz(*0,y0) Ду^
Дх At Ay At
= zx(x0,y0)x'(t0)+z'y(x0,y0)y'(t0)
(в силу непрерьгоности частных производных в точке (х0, г/0)).
Таким образом,
zt=zx-x+zy-y.
Формула (9.9) может быть записана в виде
Эг d!r Эг б/г/
Эх dt Эг/ б&
(9.9)
(9.10)
Если же аргументы х и у являются дифференцируемыми
функциями двух переменных, т.е. х = ф(г/,#),г/ = \|/(и,#), то
соответствующие частные производные будут определяться
по формулам
Эг _ Эг Эх Эг Эг/.
Эг/ Эх Эг/ Эг/ Эг/
Эг
dv
Эг Эх Эг Эг/
Эх Эа ду dv
(9.11)
Таким образом, частная производная сложной функции
по одной из независимых переменных равна сумме
произведений ее частных производных по промежуточным
аргументам на частные производные этих аргументов по
независимой переменной.

9.6. Дифференцирование сложной функции 489
Формула (9.9) может быть представлена в виде
скалярного произведения векторов градиента Vz функции
г = /(х,г/) иЗ = (ф'(ОУ@):
z;=(Vz,5). (9.12)
Формула (9.12), очевидно, остается справедливой и для
функции произвольного числа переменных.
Пример 9.8а. Найти частные производные сложной
функции
2i U
z = x In г/, где х = —, у-wo.
v
Решение. Найдем вначале частные производные данных
функций
dz ft t dz х2
— = 2х1пг/, — =—;
Эх Эг/ г/
Эх _ 1 Эх _ и Эг/ _ Эг/ _
Эг/ г;' Эг; v2' ди Эг;
По формуле (9.11) находим производные сложной
функции
Эг n , 1 х2 0м, , ч 1 и2 1
— = 2х1п г/ •—+—v = 2—ш(до) • — + —«■ я =
ди v у v v v uv
= 4B1п(гя;) + 1);
v
\
^ = 2xku/f *
V 
2
з"
х2 0г/, , ч и и2 1
+—г/ = -2--1п(гя;)-т + ——г/ =
г/ v v v uv
= ^-A-21пAю)).
г/
Очевидно, что тот же результат был бы получен, если
представить функцию z в виде функции двух переменных
и2
и и v, т.е. z = z(u,v) =—\n(uv) и затем найти ее частные
производные. ►

490 Глава 9. Функции нескольких переменных
9.7. Экстремум функции
нескольких переменных
Функция z = /(х, у)> как и в случае одной переменной,
имеет узловые точки, определяющие структуру графика.
В первую очередь таковыми являются точки экстремума.
Определение. Точка М(х0,у0) называется точкой
максимума (минимума) функции z = /(х, у), если существует
окрестность точки М такая, что для всех точек (х, у) из этой
окрестности выполняется неравенство
/(Хо>Уо)^/(х>У) (/(*о>Уо)^/(*»У))-
На рис. 9.10 точка A(xv yx) есть точка минимума, а
точка 5(х2, у2) — точка максимума.
Обращаем внимание на
локальный характер
экстремума (максимума и
минимума) функции, так как речь
идет о максимальном и
минимальном значении лишь в
достаточно малой
окрестности точки (х0, у0).
Сформулируем
необходимое условие экстремума —
многомерный аналог
теоремы Ферма.
Теорема. Пусть точка
(х0, у0) есть точка
экстремума дифференцируемой
функции z =/(х, у). Тогдачас-
тные производные /^(х0, у0) и fy(x0,y0) в этой точке равны
нулю.
□ Пусть точка М(х0, у0) — точка максимума.
Зафиксируем одну из переменных, например у, полагая у - у0.
Тогда получим функцию одной переменной zx -/(x, г/0),
которая, очевидно, будет иметь максимум при х - х0. Согласно
теореме Ферма 2((х0) = /^(х, г/0) = 0. Аналогично можно
доказать, что и /у'(х0, у) = 0. Ш
Точки, в которых выполнены необходимые условия
экстремума функции z =/(х, */), т.е. частные производные zx
<П)
О
Mxvyi)
В(х2,у2)
Рис. 9.10

9.7. Экстремум функции нескольких переменных 491
и / равны нулю, называются критическими или
стационарными.
Необходимое условие экстремума можно
сформулировать также следующим образом: в точке минимума или
максимума дифференцируемой функции градиент равен нулю.
Можно доказать и более общее утверждение: в точке
экстремума обращаются в нуль производные функции по всем
направлениям.
Равенство частных производных нулю выражает лишь
необходимое, но недостаточное условие экстремума
функции нескольких переменных.
На рис. 9.11 изображена так называемая седловая
точка М(х0, у0). Частные производные f^(x0ly0) и /у(хо>Уо)
равны нулю, но, очевидно,
никакого экстремума в этой 2 ♦
точке нет. Такие седловые
точки являются
двумерными аналогами точек
перегиба функций одной
переменной. Задача заключается в
том, чтобы отделить их от
точек экстремума. Иными
словами, требуется знать
достаточное условие
экстремума.
Прежде чем это сделать,
введем понятия частных
производных второго порядка.
Если частные
производные zx=f'x(x,y) и z'y=fy(x,y) сами являются
дифференцируемыми функциями, то найти можно также и их частные
производные, которые называются частными производными
второго порядка. Вычислив частные производные функции
zf, = fxfc>y)> получим г'ж=/хх(х1у)и z'yX =fyX(x,у).
Аналогично для функции Zy = fy(x, у) можно определить две ее
частные производные zxy=fx^(xyy) и Zyy=fyy(x,y).
Можно доказать, что если частные производные второго
порядка функции z = f(x, у) непрерывны в точке (х0, г/0), то
в этой точке /щ(х0,у0) = /уХ(х0,у0).
Теперь можно сформулировать достаточное условие
экстремума.
М(х<уУо)
Рис. 9.11

492 Глава 9. Функции нескольких переменных
Теорема (достаточное условие экстремума функции
двух переменных). Пусть функция z = f(xy у): а)
определена в некоторой окрестности критической точки (х0> у0)> в
которой /^(х0,у0) = 0 и fy(x0,yQ) = 0; б) имеет в этой точке
непрерывные частные производные второго порядка
/«(*6>Уо) = 4 /1у(х(»Уо) = /ух(хо>Уо) = в'> /уу(хо>Уо)= с
Тогда если А = АС - В2 > О, то в точке (r0, yQ) функция z = f(x} у)
имеет экстремум, причем если А < О — максимум, если
А > О — минимум. При А = АС - В2 < О функция z = f(x, у)
экстремума не имеет. Если А = АС - В2 = 0, то вопрос о
наличии экстремума остается открытым.
Исследование функции двух переменных на экстремум
рекомендуется проводить по следующей схеме:
1°. Найти частные производные функции zx и z .
2°. Решить систему уравнений zx = 0, zy = 0 и найти
критические точки функции.
3°. Найти частные производные второго порядка,
вычислить их значения в каждой критической точке и с
помощью достаточного условия сделать вывод о наличии
экстремумов.
4°. Найти экстремумы (экстремальные значения) функции.
Пример 9.9. Найти экстремумы функции
z^2(x + y)(\ + xy)
A + х2)A V) "
Решение.
1°. Находим частные производные
, ^2A-*2). , _2A-у2)
* A+ж2J' " A+г/2J'
2°. Критические точки функции находим из системы
уравнений:
2A-*2)=0)
A+х2J
2(lV)_n
A + у2J
имеющей четыре решения A; 1), A; -1), (-1; 1) и (-1; -1).

9.7. Экстремум функции нескольких переменных 493
3°. Находим частные производные второго порядка:
= 4дг(х2-3),
'" A+д:2J '
0 /Г /ч
, = W~3)

вычисляем их значения в каждой критической точке и проверяем
в ней выполнение достаточного условия экстремума.
Например, в точке A; 1) A = z%(l;l) = -1; В = 0; С-
= 2^A;1) = -1. Так как А - АС - В2 - (-1J - 0 - 1 > 0 и
А = -1 < 0, то точка A; 1) есть точка максимума.
Аналогично устанавливаем, что (-1; -1) — точка
минимума, а в точках A; -1) и (-1; 1), в которых А = АС - В2 < О, —
экстремума нет. Эти точки являются седловыми.
4°. Находим экстремумы функции zmax = z(l; l) = 2,
Сформулированная выше теорема специфична для
случая двух переменных. Приведем теперь достаточное
условие экстремума для общего случая функции п переменных
z=f(xv...,xn).
Для каждой точки (xv ..., хп) определим матрицу
# =
-ад
*1*2
х{хп
2х2х± Zx2x2 •" х2хп
хпх\
хпх2
элементы которой есть вторые частные производные
функции z = f(xv ..., хп). Матрица Я называется матрицей Гессе1
функции п переменных, а ее определитель |Я| — гессианом.
В силу равенства z"xx, = zxxXiJ = l,~.,ri) матрица Гессе
является симметрической.
Теорема (достаточное условие экстремума функции п
переменных). Пусть (xv ..., хп) — критическая точка
функции zue некоторой окрестности этой точки частные
производные второго порядка существуют и непрерывны.
Пусть Н — матрица Гессе в точке (xv ..., хп). Тогда: 1) если
Н положительно определена2, то (xv ..., хп) — точка мини-
мума функции z; 2) если Н отрицательно определена, то
1 Гессе Людвиг Отто A811-1874) — немецкий математик.
2 См. параграф 3.8.

494 Глава 9. Функции нескольких переменных
(xv ..., хп) — точка максимума функции z; 3) в противном
случае^ функция z в точке (xv ..., хп) экстремума не имеет.
9.8. Наибольшее и наименьшее
значения функции
При нахождении наибольшего и наименьшего значений
(т.е. глобального максимума и глобального минимума)
функции нескольких переменных, непрерывной на некотором
замкнутом2 множестве, следует иметь в виду, что эти
значения достигаются или в точках экстремума, или на границе
множества.
Пример 9.10. Найти наибольшее и наименьшее значе-
1 !
ния функции 2 = - + ^ на круге радиуса единица и
1 + дг \ + у1
центром в начале координат.
Решение.
1°. Найдем частные производные функции
2х я , _ 2у
z1t = —
2°. Найдем критические точки функции из системы
уравнений zx = 0, z = 0 , откуда х = 0, у = 0, т.е. имеется одна
критическая точка @; 0).
3°. Найдем критические точки функции на границе
области — окружности, задаваемой уравнением х2 + у2 = 1.
Подставляя у2 = 1 - х1 в функцию z = z(x, у), получаем
функцию одной переменной z = г- + - = ^ Г >
1 + лг 2-дг 2 + лг-дг
причем хе[-1; 1].
2хBх2-\)
Найдя производную z' = 5 FT и приравнивая
B + л: -лг)^
ее к нулю, получаем критические точки на границе облас-
1
ти:^ = 0, х23=±-=.
1 Имеется в виду, если квадратичная форма х'Нх не является зна-
коопределенной.
2 Множество называется замкнутым, если оно включает все свои
граничные (предельные) точки, т.е. точки, окрестности которых
содержат точки как принадлежащие множеству, так и не принадлежащие ему.

9.8. Наибольшее и наименьшее значения функции 495
4°. Определим значения функции z = f(x, у) в
критических точках внутри области z = @; 0) = 2 и на ее границе
^2j
= 2
1 I-4
~7г -— а также на концах отрезка [-1; 1] на
границе области 2(-l) = z(l) = — и выберем среди них
наибольшее и наименьшее.
( 1 1 ч
Итак> 2наиб=2@;0) = 2 и 2наим=21-^=; -^=
=2М;
= г\
лН
'V2;V2
4
3
72
(рис. 9.12). ►
В заключение
рассмотрим класс выпуклых
функций, для которых задача
нахождения экстремальных
значений существенно
упрощается. Определим сначала
множества, на которых
задается этот класс функций.
Определение.
Подмножество D w-мерного
пространства называется
выпуклым, если для любых
двух точек А и 5,
принадлежащих Д отрезок,
соединяющий эти точки,
также целиком
принадлежит D.
Например, множества, изображенные на рис. 9.13, я, б,
в — выпуклые, а множество на рис. 9.13, г — невыпуклое.
Рис. 9.12
X — точка наибольшего значения;
• — точка наименьшего значения
Рис. 9.13

496 Глава 9. Функции нескольких переменных
Наиболее естественными и простыми примерами
выпуклых множеств являются само пространство, а также его
положительный сектор, заданный условиями х > О, у > О, z > 0.
Определение. Функция z = /(x, у), заданная на
выпуклом множестве Д называется выпуклой вниз, если
для любых двух точек (xv yt) и (х2, у2)
/
I Х\ т Хп
У\+У2
2
и выпуклой вверх, если
7( 2 ' 2
У2
График функции, выпуклой
рис. 9.14.
2
2
вниз, изображен на
f(x\>y\)+f(x2,y2)
f(x\+x2 У\+У2)
{ 2 ' 2 J
Очевидно, что
выпуклая функция не
может иметь седло-
вых точек, подобных
изображенной на
рис. 9.11. Это
означает, что для
выпуклой функции
равенство ее частных
производных нулю —
не только
необходимое, но и
достаточное условие
экстремума. Более того,
экстремум выпуклой
функции является
глобальным, т.е.
наименьшим значением
для функции, выпуклой вниз у и наибольшим для функции,
выпуклой вверх.
Задача нахождения максимумов и минимумов функций
многих переменных значительно сложнее аналогичной
задачи для функций одной переменной. Даже в самых
простых случаях чисто технические проблемы могут вызвать
существенные трудности. Задаче нахождения подобных
экстремумов посвящен специальный раздел математики —
(а+*2. у\+У2)
{ 2 ' 2 J
Рис. 9.14

9.9. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа 497
вариационное исчисление. В последние десятилетия бурное
развитие получила комплексная научная дисциплина —
исследование операций, посвященная поиску оптимальных
решений в различных, в том числе и экономических, задачах, в
которых исследуемая {целевая) функция нескольких
переменных принимает наибольшее или наименьшее значение.
9.9. Условный экстремум.
Метод множителей Лагранжа
Рассмотрим задачу, специфическую для функции
нескольких переменных, когда ее экстремум ищется не на
всей области определения, а на множестве,
удовлетворяющем некоторому условию.
Пусть имеется функция z = /(х, у), аргументы х и у
которой удовлетворяют условию g (х, у) = С, называемому
уравнением связи.
1 Определение. Точка (х0, у0) называется точкой
условного максимума (минимума), если существует
такая ее окрестность, что для всех точек (х, у) из этой
окрестности, удовлетворяющих условию g (х, у) = С,
выполняется неравенство
А*о>Уо)^/(х>У) (/(Хо>Уо)^/(х>У)У
На рис. 9.15
изображена точка условного
максимума (х0, у0).
Очевидно, что она не
является точкой
безусловного экстремума функции
2 = /(х, у) (на рис. 9.15
таковой является точка
(*i> Ух)У
Наиболее простым
способом нахождения
условного экстремума
функции двух переменных
является сведение задачи /
к отысканию экстремума х
функции одной
перемени/С*,*/)
Рис. 9.15

498 Глава 9. Функции нескольких переменных
ной. Допустим, уравнение связи g (x> у) в С удалось
разрешить относительно одной из переменных, например выразить
у через х} т.е. у = ф(х). Подставив полученное выражение в
функцию двух переменных, получим z = f{x,y) = /(х,(р(х)),
т.е. функцию одной переменной. Ее экстремум и будет
условным экстремумом функции z =/(x, у).
Пример 9.11. Найти точки максимума и минимума
функции z = х1 + 2у2 при условии Зх + 2у = 11.
Решение. Из уравнения Зх + 2у = 11 выразим
переменную у через переменную х и подставим полученное выраже-
11 —Зх о Г11—Зд: °
ние у = —-— в функцию z. Получим z = x +2
2 ^J " I 2 I
И 2
или 2 =—(д: -6х + 11). Эта функция имеет единственный
минимум при х0 = 3. При этом соответствующее значение
11 — Зх
функции у0 = —- = 1. Таким образом, C; 1) — точка
условного экстремума (минимума). ►
В рассмотренном примере уравнение связи g(x, у) = С
оказалось линейным, поэтому его легко удалось
разрешить относительно одной из переменных. Однако в более
сложных случаях сделать это не удается.
Для отыскания условного экстремума в общем случае
используется метод множителей Лагранжа.
Рассмотрим функцию трех переменных
Hx,y,X) = f(x,y)+X[g(x,y)-C]. (9.13)
Эта функция называется функцией Лагранжа, а X —
множителем Лагранжа. Верна следующая теорема.
Теорема. Если точка (х0, у0) является точкой условного
экстремума функции z = f(x, у) при условии g(x, у) = С, то
существует значение А,0 такое, что точка (х0, г/0, А,0)
является точкой экстремума функции L(x, у, X).
Таким образом, для нахождения условного экстремума
функции 2 = /(х, у) при условии g(x, у) = С требуется
найти решение следующей системы:
\Lx=fx(x,y)+bg'x(x,y) = 0,
\l; =/;(x,y) + ^(jf,y) = 0, (9.14)
[l^=g(x,y)-C = 0.

9.9. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа 499
Последнее из этих уравнений совпадает с уравнением
связи. Первые два уравнения системы можно переписать
в виде
grad/ = -A,gradg,
т.е. в точке условного экстремума градиенты функций f(x, у) и
g(xy у) коллинеарны.
На рис. 9.16 показан геометрический смысл условий
Лагранжа. Линия g(xy у) =■ С пунктирная, линии уровня
g(x, у) = Q функции 2 - f(x> у) — сплошные. В точке
условного экстремума линия
уровня функции z = /(х, у)
касается линии g(x, у) = С.
Пример 9.12. Найти точки
экстремума функции z = х1 +
+ у2 при условии Зх + 2у = 11,
используя метод
множителей Лагранжа.
Решение. Составляем
функцию Лагранжа L = лг +
+ 2у2 + X (Зх +2у - И).
Приравнивая к нулю ее частные
производные, получаем
систему уравнений (9.14):
у\
0
1 >grad/
ЧЧС f(*y)-Q
\\Qr^T
/^^Д-~
8radS g(x,y) = C
X
Рис. 9.16
2х + ЗА = 0,
4z/ + 2X = 0,
Зх + 2у-11 = 0.
Ее единственное решение (х = 3, у = 1, А, = -2). Таким
образом, точкой условного экстремума может быть только
точка C; 1). Нетрудно убедиться в том, что в этой точке
функция z = /(х, у) имеет условный минимум. ►
Если число переменных более двух, может
рассматриваться и несколько уравнений связи. Соответственно,
в этом случае будет и несколько множителей Лагранжа.
Здесь не рассматриваются достаточные условия
условного экстремума. Следует только отметить, что во многих
задачах критическая точка функции Лагранжа
оказывается единственной и соответствует не только локальному, но
и глобальному условному минимуму или максимуму.

500 Глава 9. Функции нескольких переменных
Задача нахождения условного экстремума
используется при решении таких экономических задач, как
нахождение оптимального распределения ресурсов, выбор
оптимального портфеля ценных бумаг и др. (подробнее см. в
параграфе 9.11).
9.10. Понятие об эмпирических формулах.
Метод наименьших квадратов
На практике часто приходится сталкиваться с задачей
сглаживания экспериментальных зависимостей.
Пусть зависимость между двумя переменными х и у
выражается в виде таблицы, полученной опытным путем.
Значения х и у могут быть результатами опытов или
наблюдений, статистической обработки материала и т.п.
X
У
х1
У\
Хп
У2
...
...
Xi
Vi
...
Хп
Уп
Требуется наилучшим образом сгладить
экспериментальную зависимость между переменными х и у, т.е. по
возможности точно отразить общую тенденцию
зависимости у от х, исключив при этом случайные отклонения,
связанные с неизбежными погрешностями измерений или
статистических наблюдений. Такую сглаженную
зависимость стремятся представить в виде формулы у = f(x).
Формулы, служащие для аналитического
представления опытных данных, получили название эмпирических
формул.
Задача нахождения эмпирических формул разбивается
на два этапа. На первом этапе нужно установить вид
зависимости у = f(x), т.е. решить, является ли она линейной,
квадратичной, логарифмической или какой-либо другой.
Предположим, например, что результаты
экспериментальных исследований нанесены на плоскость (паре чисел
(xv y{) соответствует точка с такими же координатами).
Разумеется, существует множество кривых, проходящих
через эти точки (рис. 9.17).

9.10. Понятие об эмпирических формулах» 501
Обычно предполагают, что
кривая истинной
зависимости — это наиболее «гладкая»
кривая, согласованная с
эмпирическими данными. Так, в
случае, представленном на
рис. 9.17, исследователь
несомненно предпочтет кривую I
кривой П.
Для проверки правиль-
Рис. 9.17
ности вывода проводятся дополнительные исследования,
т.е. производится еще ряд одновременных измерений
величин х и у. Дополнительные точки наносятся на
плоскость. Если они оказываются достаточно близкими к
выбранной кривой (на рис. 9.17 дополнительные точки
изображены крестиками), то можно считать, что вид кривой
установлен. В противном случае кривую надо
скорректировать и вновь провести дополнительные измерения.
Кроме того, для выбора функции у = f(x)
руководствуются другими соображениями, как правило, не
математического характера (теоретическими предпосылками,
опытом предшествующих исследований и т.п.).
Предположим, что первый этап завершен, т.е. вид
функции у = f(x) установлен. Тогда переходят ко второму этапу —
определению неизвестных параметров этой функции.
Согласно наиболее распространенному и теоретически
обоснованному методу наименьших квадратов в качестве
неизвестных параметров функции f(x) выбирают такие
значения, чтобы сумма квадратов невязок 6i или
отклонений «теоретических» значений /(rf), найденных по
эмпирической формуле у = /(х), от соответствующих опытных
значений yv была минимальной (рис. 9.18), т.е.
А2(Х2>У2>~ А3(Х3>Уз) A^Xi'yi>
>62 _ Г
°3
,5,
Рис. 9.18

502 Глава 9. Функции нескольких переменных
■* = 18?=Х</(**)-И>2- (9.15)
f=l 1=1
Следует отметить, что в качестве величины
отклонения 5 эмпирических точек (х{, у{) от точек сглаживающей
экспериментальную зависимость кривой у = f(x) в
принципе можно было взять обычную сумму невязок
п п
^8; =^(/(х{)-у{) или сумму их абсолютных величин
i=i i=i
п п
Х1^'1=ХК^(Х*)~^')| • ^° Делать это нецелесообразно, так
f=l f=l п
как в первом случае V 8t может быть малой или даже
равняться нулю при значительном разбросе эмпирических точек,
потому что положительные отклонения 8f компенсируют-
п
ся отрицательными. Во втором случае функция ^|8f-| ли-
i=i
шена этого недостатка, но имеет другой: она не является
дифференцируемой, что существенно затрудняет решение
задачи.
Пусть в качестве функции у =/(х) взята линейная
функция у = ах + 6, и задача сводится к отысканию таких
значений параметров а и 6, при которых функция (9.15)
i=i
принимает наименьшее значение. Заметим, что функция
S = 5(а, Ь) есть функция двух переменных а и b до тех пор,
пока не найдены, а затем не зафиксированы их
«наилучшие» (в смысле метода наименьших квадратов) значения, а
xi' Hi ~~ постоянные числа, полученные экспериментально.
Таким образом, для нахождения прямой, наилучшим
образом согласованной с опытными данными, достаточно
решить систему
\s'a=o,
151-0 ИЛ1М
^2(ах{+Ь-у{)х{=0,
Х2Саг,.+6-и) = 0.
i=i

9.10. Понятие об эмпирических формулах.. 503
После алгебраических преобразований эта система
принимает следующий вид:
п п п
i=i i=i
(9.16)
Система (9.16) называется системой нормальных
уравнений. Она имеет единственное решение, так как ее
определитель
п
И =
£*? £*,•
i=i
W
= и£х?-
i=i
( п \
Xх.'
l'=1 )
ФО
(9.17)
(а точнее |Л| > 0, что можно доказать методом
математической индукции при п > 2).
Убедимся, что полученные из системы (9.16) значения
дают минимум функции 5 = 5(<я, Ь). Найдем частные
производные
*'аа =2I>z2 = 4 & =2l*i = 5> Sbb =2П = С.
п п
Выражение А = АС-В2 = 4(гг£х?-(^х{J)>0 в силу
изложенного выше и Л = 2^T;tf >0, следовательно, соглас-
i=i
но достаточному условию функция имеет единственную
точку минимума, определяемую из системы нормальных
уравнений (9.16). Заметим, что в этой точке функция
5 - 5(я, Ь) имеет не просто локальный минимум, а
наименьшее значение (глобальный минимум).
Пример 9.13. Имеются следующие данные о цене
нефти х (ден. ед.) и индексе акций нефтяных компаний у (усл.
ед.).
X
У
17,28
537
17,05
534
18,30
550
18,80
555
19,20
560
18,50
552

504 Глава 9. Функции нескольких переменных
Предполагая, что между переменными х и у существует
линейная зависимость, найти эмпирическую формулу
вида у = ах + Ь, применяя метод наименьших квадратов.
Решение. Найдем необходимые для расчетов суммы
п п п п
Xх*' Х^*> Х**^*' Х^* Промежуточные вычисления
|=1 2=1 1=1 1=1
оформим в виде вспомогательной таблицы.
1
1
2
3
4
5
6
2
*i
17,28
17,05
18,30
18,80
19,20
18,50
109,13
Уг
537
534
550
555
560
552
3288
*х-Ух
9279,36
9104,70
10 065,00
10 434,00
10 752,00
10 212,00
59 847,06
А
298,5984
290,7025
334,8900
353,4400
368,6400
342,2500
1988,5209
Система нормальных уравнений (9.16) имеет вид
1988,5209я + 109,136 - 59 847,06,
109,13я + 66 = 3288.
Ее решение а - 12,078, b = 328,32 дает искомую
зависимость: у = 12,078х + 328,32. Таким образом, с увеличением
цены нефти на 1 ден. ед. индекс акций нефтяных
компаний в среднем возрастает на 12,08 усл. ед. ►
Иногда в качестве/(г) при минимизации функции (9.15)
выбирается квадратичная функция/(х) = ах* + Ъх + с. В этом
случае система нормальных уравнений
к=о,

9.11. Функции нескольких переменных в экономической теории 505
принимает вид
a^xf + b£x? + cj^xf = £*?%,
i=l i=l i=l t=l
п п п п
f=l f=l f=l i=l
п п п
£х,2 + Ь^х{ + сп = £*/,,
1=1
1=1
1=1
и параметры я, 6, с определяются в результате решения
системы (9.18).
9.11. Функции нескольких переменных
в экономической теории
Рассмотрим некоторые приложения функций
нескольких переменных в экономической теории.
Значительная часть экономических механизмов
иллюстрируется на рисунках, изображающих линии уровня
функции двух переменных z = f(x, у). Например, линии уровня
производственной функции называются изоквантами.
Пусть хну — два различных фактора производства, а
функция z = /(х, у) характеризует выпуск продукции,
который позволяют значения факторов х и у. На рис. 9.19 линии
уровня/(х, у) = Q
изображены сплошными линиями, у
а пунктиром выделена так
называемая экономическая
область. Части изоквант,
попавшие в эту область, у0
представляют собой графи- У\
ки убывающих функций, т.е. ^2
увеличение количества
одного фактора позволяет —
уменьшить количество
другого, не меняя размера
выпуска. Следовательно,
экономическая область — это
множество значений
факторов, допускающих замещение одного из них другим. Очевид-
£х,у)-С
Рис. 9.19

506 Глава 9. Функции нескольких переменных
но, что все «разумные» значения хиу принадлежат
экономической области.
Изокванты позволяют геометрически иллюстрировать
решение задачи об оптимальном распределении
ресурсов. Пусть z = g(x, у) — функция издержек,
характеризующая затраты, необходимые для обеспечения значений
ресурсов х и у (часто можно считать, что функция издержек
линейная:g(x,y)= pjc + рл), гдерхир — «цены» факторов
х и у). Линии уровня этой функции также изображены на
рис. 9.16. Комбинации линий уровня функций/(г) и g(x)
позволяют делать выводы о предпочтительности того или
иного значения факторов хиу. Очевидно, например, что
пара значений (xv yt) более предпочтительна, чем пара
(х2, г/2), так как обеспечивает тот же выпуск, но с
меньшими затратами. Оптимальными же значениями факторов
будут значения (х0, у0) — координаты точки касания линии
уровня функции выпуска и функции издержек.
Линии уровня функции полезности (они называются
кривыми безразличия) — см. параграф 5.6 — также позволяют
рассматривать вопросы замещения одного товара другим и
иллюстрировать решение
задачи об оптимальном
потреблении
(потребительского выбора) (рис. 9.20).
Линии уровня затрат на
приобретение товаров х, у
изображены на рис. 9.20 пунк-
Z(x, y) = С тиром. Оптимальное
потребление обеспечивается
значениями (х0, у0) — координатами
точки касания кривой
безразличия и линии уровня затрат.
В этой точке заданная
полезность достигается наиболее
экономичным образом.
Кривые безразличия могут быть использованы и в
теории инвестиций.
Портфель ценных бумаг (под портфелем здесь
понимается совокупность определенных ценных бумаг в
определенных количествах) характеризуется двумя основными
параметрами — ожидаемой доходностью г и риском о
(точное определение этих величин в данном случае не мо-

9.11. Функции нескольких переменных в экономической теории 507
жет быть приведено, так как оно использует понятия
теории вероятностей и математической статистики).
Каждому портфелю можно поставить в соответствие точку
координатной плоскости (а, г); тогда множество всех
возможных портфелей образует некоторую область D
(рис. 9.21).
Очевидно, что при рав- r A
ных доходностях инвестор
предпочтет портфель с
меньшим риском. Таким образом,
кривые безразличия —
линии уровня функции
предпочтения U = U (о, г) —
выпуклы вниз. Точка Г, в
которой линия безразличия -jfr
касается области Д соответ- I
ствует наиболее предпочти- Рис. 9.21
тельному для данного
инвестора портфелю. Соответствующая теория была
предложена американским экономистом X. Марковицем в 1952 г. и с
тех пор получила широкое развитие в теории инвестиций.
Понятие частной производной также используется в
экономической теории. В параграфе 7.6 было введено понятие
эластичности функции одной переменной Ех(у).
Аналогично можно ввести понятие частной эластичности функции
нескольких переменных z = (xv xv ..., хп ) относительно
переменной х{:
Так, например, в производственной функции Кобба —
Дугласа (см. параграф 15.1) г =btfcbxyb2y как нетрудно
убедиться, Ex(z) = bv E (z) e 62, т.е. показатели bt и Ь2
приближенно показывают, на сколько процентов изменится выпуск
продукции при изменении только затрат труда х или только
объема производственных фондов у на 1%.
Рассмотрим частные производные их,иу —функции
полезности. Они называются предельными полезностями и
обозначаются Мих, Ми . Если измерять количество товара
в стоимостном выражении, то предельные полезности
можно рассматривать как функции спроса на соответству-
#
Ex.(z)= lim
| AX;Z AX; 1
Ал:,—>0
X:

508 Глава 9. Функции нескольких переменных
ющий товар. Найдем предельные полезности для функции
постоянной эластичности
v '*' \-\ 1-6/
Имеем Мих -ахх~ х ,Миу = <22х , т.е. функции спроса с
ростом стоимости каждого товара являются убывающими,
а параметры Ьх и Ь2 представляют частные эластичности
спроса на эти товары.
Если рассматривать спрос q как функцию нескольких
переменных, например двух: цены товара р и доходов
потребителей г, т.е. q = f(p, r), то можно говорить о частных
эластичностях спроса от цены Ep(q) = — q'p и спроса от
доходов Er(q) =—q'r
Я
Например, можно установить, что Er(q) > 0 для
качественных товаров и Er(q) < 0 для низкосортных, так как с
ростом доходов спрос на качественные товары
увеличивается, а на низкосортные уменьшается.
Если при исследовании спроса на данный товар
рассматривать влияние другого, альтернативного товара
ценой pv т.е. рассматривать спрос как функцию трех
переменных q = /(p, pv r), то можно ввести перекрестный
коэффициент эластичности спроса. Он определяется по
формуле Ер (q) =—qfp и показывает приближенно
процентное изменение спроса на данный товар при изменении
цены альтернативного товара на 1%. Очевидно, что для
взаимозаменяемых товаров Ep^(q)>0> так как увеличение
цены одного товара приводит к повышению спроса на
другой. В то же время для взаимодополняющих товаров
Ер (#)<0> ибо в этом случае рост цены любого товара
приводит к снижению спроса.
Рассмотрим еще один коэффициент эластичности,
характеризующий производственную функцию нескольких
переменных и имеющий важное значение для
экономической теории.
Пусть z = /(х, у) — производственная функция и
MP(x) = fx(x,y), MP(y) = fy(x,y) - предельные
продукты, соответствующие затратам ресурсов х и у.
Коэффициентом эластичности замещения называется величина

9.11. Функции нескольких переменных в экономической теории 509
Оц, = lim
Aln- dln-
Так как при малых приращениях аргумента At имеет
место приближенное равенство Alnt-—, приращение
логарифма переменной величины можно рассматривать
как относительное приращение самой величины. Таким
образом, величина, обратная коэффициенту эластичности
замещения, показывает приближенно, на сколько
процентов изменится отношение предельных продуктов -^-
\ МР(у)
при изменении отношения затрат ресурсов — на 1%.
У
В параграфе 9.1 приведена производственная функция
с постоянной эластичностью замещения. В общем случае
коэффициент эластичности замещения есть функция двух
переменных. Рассмотрим ее выражение в точках изокван-
ты. Так как вдоль изокванты значение функции z = /(x, у)
постоянно, то ее полный дифференциал dz = f^.dx + fydy
вдоль изокванты равен нулю, т.е. MP(x)dx + MP(y)dy - 0.
dy MP(x)
Отсюда имеем —р- = ^-^, т.е. при сохранении объема
dx MP(y)
выпуска z величина
МО
называемая предельной
нормой замещения ресурса х ресурсом у, равна отношению их
предельных продуктов. С учетом последнего равенства
, '-(-£),
можно записать, что
Очевидно, что — — тангенс угла а наклона касатель-
dx у
ной к изокванте в точке М(хуу);— — тангенс угла наклона
х
радиуса-вектора ОМ точки М(х, у) (рис. 9.22). Таким об-
1
разом, величина характеризует относительное изме-

510 Глава 9. Функции нескольких переменных
пение угла наклона касательной
к изокванте при изменении угла
наклона ее радиуса-вектора, т.е.
кривизну изокванты.
Если рассматривать tga как
функцию tg 9, то — это ко-
эффициент эластичности в
обычном смысле (см. параграф 7.6).
Понятие выпуклости
функции также играет существенную
роль в понимании важнейших
экономических законов. Многомерные аналоги примеров,
рассмотренных в параграфе 8.10, позволяют в
математической форме представить законы убывающей доходности
и убывающей предельной полезности.
У
/
0
{
"в
\ М(х,у)
\а
X
Рис. 9.22
z =
9.14.
_ ^-х2-у2
ПРАКТИКУМ
9.12. Основные понятия
Найти область определения
функции
\п(х2+у2-1)
Решение. Область определения представляет собой
решение системы неравенств:
4-х2-у2>0,
х2+г/2-1>0,
\п(х2+у2-1)Ф0
или
\х2+у2<4,
\х2+у2>1,
\х2+у2*2.
С)
<••)
(...)
Множество значений х, у, удовлетворяющих условию (*),
представляет собой «внутренность» круга радиуса 2 с
центром @; 0). Решения неравенства (**) — «внешность» круга
радиуса 1 с центром @; 0). Условие (***) означает, что в
область определения не входит окружность радиуса V2 с

9.12. Основные понятия
511
центром в начале координат. Таким образом, область
определения представляет собой два кольца (рис. 9.23). ►
9.15. Построить графики функций:
a) z = yJ9-x2-y2]6) z = 9-x2-y2.
Решение.
а) Так как z > О, график расположен выше плоскости Оху.
Его сечения плоскостями х = 0 и у = О представляют собой
полуокружности радиуса 3 с центром в начале координат.
«Нижняя» граница графика (пересечение с плоскостью
Оху) представляет собой окружность радиуса 3 (рис. 9.24).
б) В этом случае сечения графика плоскостями х = 0 и
у = О представляют собой параболы с вершиной в точке
@; 0; 9) и ветвями, направленными вниз. Сечение
плоскостью z = 0 есть окружность радиуса 3 с центром в начале
координат. Функция не ограничена снизу (рис. 9.25). ►
Рис. 9.23 Рис. 9.24 Рис. 9.25
ху
9.16. Построить линии уровня функции 2 = -—^-.
1ПХ
Решение. Линии уровня имеют вид —— = С, т.е. представ-
\пх
ляют собой график функции у = (х>0,х*1). Функ-
х
ция определена при х > 0, имеет правостороннюю
асимптоту — ось абсцисс, вертикальную асимптоту — ось ординат.
Единственная критическая точка х = е — это точка макси-

512 Глава 9. Функции нескольких переменных
мума. Значение функции при этом у = — . Таким образом,
е
линии уровня имеют вид, показанный на рис. 9.26.
У
0
к
Д1
^—^с = 2
, X
^г-^^С=-2
Рис. 9.26
9.17. Найти предел lim
arcsin(x2 + z/2)
^°ln(l-V^2+?/2)
Решение. Обозначим у]х2 +у2 =г. Тогда условие х —> О,
z/ —> О равносильно тому, что г->0и искомый предел
примет вид 1
limarcsinr^ J01 lim(arcsinr2y = 1.mV^ Г=0
r-^Oln(l-r) LOj г-*0AпA-Г»' r-*0 1
1-r
(применили правило Лопиталя (см. параграф 8.2). ►
9.18. Исследовать на непрерывность в точке @; 0) функ-
х+у
цию 2 = -.
х-у
Решение. Будем приближаться к точке @; 0) по
направлению прямых у = he. Тогда
,. х+у л. x + kx \+k
lim - = lim — = —-.
Значения пределов различны при разных k,
следовательно, предела функции двух переменных не существует,
и функция не является непрерывной в точке @; 0). ►

9.13. Частные производные, градиент, дифференциал 513
Найти области определения функций:
9.19. z= * , . 9.20.2= i
9.21. 2 = ^1-х2+у. 9.22. z = lj\-x2+y.
9.23. 2 = ln(*+у). 9.24. z = 1п(х2 + у2).
Л Л^ Л ЛЛ arcsin(x + z/)
9.25. z = arcsm x + arccos у. 9.26. 2 = ——.
arccos(x - у)
Найти линии уровня функции в явном виде у = g(x, С):
9.27. 2 = ху3. 9.28. z = x ln(x2 + у).
9.29. 2 = е*+у. 9.30. г = Jy-x2.
1 г/-*2
9.31. г = — 9.32. z = ■£-£-.
9.33. z = tg(jc + y).
Найти пределы:
.2^3
9.34. limrWl+wl. 9.35. hm-^- .
у->о у->о *
9.36. limSm(* + y). 9.37. lim[^ln(^/)].
*->1 Х + у *-*0
9.38. lim(x + 2y)e*. 9.39. lim *~У9.
9.13. Частные производные,
градиент, дифференциал
9.40. Найти частные производные функции z = x2ey .
Решение. При дифференцировании по х считаем посто-
2
янной величину у. Таким образом, z'x = 2хеу . При
дифференцировании по у считаем постоянной величину х,
следовательно, Zy=x2ey -2у = 2х2уеу . ►
9.41. Найти частные производные второго порядка
функции двух переменных z = 1пA + х + 2у).

514 Глава 9. Функции нескольких переменных
Решение. Частные производные первого порядка имеют
вид
z' * - z' 2
Zx \ + х + 2у' Zy \ + x+2y'
Считая их новыми функциями двух переменных,
найдем их частные производные. В результате получаем
2" = \ • z" =z" = - •
A+х + 2уу у у (\+х + 2уу
Zyy (\+x + 2yf
9.42. Найти длину вектора Vz градиента функции
z = x + ex+5y вточке@;0).
Решение. Компонентами вектора Vz являются частные
производные функции, т.е. Vz = (l + ex+5y,5ex+5y). В точке
@; 0) получаем Vz = B; 5). Соответственно, длина вектора
Vz равна |Vz| = V22+52 =V29. ►
9.43. Найти производную функции z = Ъу \пх в точке B; 0)
по направлению, параллельному биссектрисе первого
координатного угла.
Решение. Прямая, проходящая через точку B; 0)
параллельно биссектрисе первого координатного угла, задается
уравнением у = х - 2 (см. формулу D.7)). Ее углы с осями
координат (как и у биссектрисы) равны —.
Следовательно, по формуле (9.8)
71 . , 71 (Ъу y \\ //0.л\_ 3
Z/ =ZrCOS — + Z„ COS— =
1 х 4 у 4
f+3,"*br*2;0>=v2ln2-
Найти частные производные функций:
9.44. г = ех~у Bх -1). 9.45. г = sin(x + Jy ).
9.46. z = хеу + ху. 9.47. г = Inyjx+y2.
9.48. z = \n(sfx + Ту). 9.49. z = x&.
■H
9.50. z = arctg ^- + 1 I 9.51. z = xye
,xy

9.14. Экстремум функции нескольких переменных.. 515
'х^
cosy2 Л ^Л У
9.52. г = —£-. 9.53. z = arcsm-r y
* V*2 + */2
Найти полные дифференциалы функций:
9.54. г = е** (х + у). 9.55. z = ln(l+ех + у2).
9.56. z = ^У . 9.57. z = sin
* + */ ^г/
9.58. z = XarCsiny . 9.59. z = ху + у*.
У
Найти производные функций по заданным
направлениям /:
9.60. z = 3xA -ху + у3; I составляет с осью Ох угол 60°.
9.61. z = x + y2; I — биссектриса первого координатного
угла.
9.62. Вычислить производную функции z = 5xi - Зх - у -
- 1 в точке МB; 1) по направлению / — прямой MN, где
ЛГE;5). х
9.63. Вычислить производную функции 2 = — в точке
у
МA; 1) по направлению / — перпендикуляра к прямой
у = 2х - 1.
Найти градиент функции z = f(x, у) и его модуль для
функций в указанных точках М:
9.64. z = 7-x2-*/2;M(l;2). 9.65. z = (x-*/J;M@;3).
9.66. z = ja/e1+^;M@;»l). 9.67. z = xln(x + #);M(-l;2).
9.68. z = sin(x + y2);M||;^|l
9.14. Экстремум функции нескольких
переменных. Условный экстремум
X
9.69. Найти экстремумы функции z = е 2 (х + у2 ).
1°. Находим частные производные.
- 1 - *A 1 ^ -
z'x=e2-(x+y2) + e2=e2\-x+-y2 + l[ z'y=e22y.

516 Глава 9. Функции нескольких переменных
2°. Определим критические точки функции из системы
Получаем х = -2, у = О, т.е. точка (-2; 0) — единственная
критическая точка.
3°. Находим частные производные второго порядка:
X л л X
A = z"=e2-\-x+-y2+l*
2 2 2*
lfl 1 2 Л f 1 1 f(l 1 2 о\
2 2 2 2
/
Отсюда
А = АС-В2=ех
1 1 2 .,Л * 2 ,П . 1 " Л
-x + -yz+2
2 2*
-еху2 =ех\ -х+-у2 +2
В точке (-2; 0) имеем Д = е"х > 0, А = г^ = -е"х > 0.
Таким образом, точка (-2; 0) — точка минимума.
4°. Находим минимум функции zmin (-2; 0) = е 2 (-2+0) =
2
= —. ►
е
9.70. Найти экстремумы функции z = xy -хц.
Решение. Находим частные производные: zx=yxy~ -у
и z'y = xylnx-x. Легко проверить, что равенство z'x=0
выполняется в трех случаях: при х = 1, при у = 0 и при у = 1.
В первых двух случаях уравнение z'y = 0 не имеет решений,
поэтому единственное решение системы \ f есть х = е,
г/ = 1, т.е. критическая точка (е; 1) — единственная.
Имеем A = z'^x = y{y-i)xy~2-\;B = z'^y =ху~1A + у\пх)~
-1; с = 2^ =ху\п2х. В точке (е;1) Л=г^=-1; 5=г^,=1;
С г/
Отсюда Д = ЛС-В2 = -е- 1<0, поэтому функция
экстремумов не имеет. Такая точка (е; 1) есть седловая точка. ►
9.71. Найти экстремумы функции г = jA/3.
Решение. Находим частные производные: zx = Зх у \z'y =
= Зх3у2. Очевидно, что точка @; 0) — единственная критиче-

9.14. Экстремум функции нескольких переменных. 517
екая точка. Находим z^ = бху3; г^ = 9х2у2] z^ = 6х3у.
В точке@; 0)z" = z" = z" = 0,т.е. Л = В = С = 0;Д = 0ивоп-
v ' лл лу уу
рос об экстремуме остается открытым, поэтому требуется
дополнительное исследование.
Очевидно, в любой окрестности точки @; 0) функция
может принимать и положительные, и отрицательные
значения (например, в точке A; 1) z = 1 > 0, а в точке (-1; 1)
z = -1 < 0); в самой же точке @; 0) функция равна нулю.
Таким образом, ни в какой своей окрестности точка @; 0)
не является ни точкой максимального, ни точкой
минимального значения, т.е. функция экстремумов не имеет. ►
9.72. Найти наибольшее и наименьшее значения
функции z = y2 + Ах1 на круге х2 + у2 < 1.
Решение. Критическая точка х = 0, у = 0 — единственная
и расположена внутри круга; значение z @; 0) = 0. На
границе круга y2 = l-x2HZ=l + Зх2, где 0 < х2 < 1. Таким
образом, на границе имеем zmin = 1, zmax = 4. Следовательно,
наименьшее значение 2 = 0 принимается внутри круга,
наибольшее z = 4 — на его границе. ►
9.73. Найти экстремумы функции z = ex+2y при условии,
4TOJC2 + у2 = 1.
Решение. Первый способ. При условии х1 + у2 = 1 имеем
x=±yjl-y2 и получаем две функции одной переменной
2^ У
4^
у2
Критические точки задаются равенствами 2^/1 — г/2 =±г/,
т.е. y = ±—j=. Таким образом, имеем две критические точки
-prj-рт и —рг;—=г . Легко проверить (см. параг-
[у15 V5 J { y[5 S)
раф 8.4), что -j=; —7= — точка максимума, —^ —т= ~
точка минимума функции z.

518 Глава 9. Функции нескольких переменных
Второй способ. Функция Лагранжа (9.13) имеет вид
L(x,y,X) = ex+2y -Х(х2 + у2 -1>
Приравнивая ее частные производные к нулю, получаем
систему
\ех+2у =2foc,
2ех+2у=2Ху,
х2+у2=1.
Из первых двух уравнений системы находим у = 2х;
подставляя это выражение в третье уравнение, получа-
12 1 2 _
ем два решения x = -j=, У = ~г и х = —Ту У = —Т* "
ким образом, находим те же две критические точки
нимума функции z.
— точку максимума и
1 2 ^
_; — _ ТОЧКУ МИ-
л/5 л/5
9.74. При каком соотношении между высотой и
радиусом основания прямого кругового конуса его объем будет
наибольшим, если площадь боковой поверхности
фиксирована?
Решение. Пусть площадь боковой поверхности
S = nRl = nRyJh2 +R2 (где / — образующая конуса; R —
радиус основания; h — высота). Объем V = — nR2h. Таким об-
разом, требуется найти наибольшее значение функции
V(h,R) = -nR2h при условии nRy/h2+R2 =S.
Составим функцию Лагранжа (9.13)
Ц/г, ДД) = - nR2h - k(nRjh2+R2 - S).
Ее частные производные по h и по R соответственно равны
V{,=-nR — ; VR=-nRh-X
Приравнивая их к нулю, получаем систему
n-Jh2 + R2 +
nR1
4ё
+ R1

9.14. Экстремум функции нескольких переменных. 519
1п2.
-R' = X . т ,
'Л5
+RZ
Поделив обе части первого уравнения системы на
аналогичные части второго, получим
R R h'
откуда h2 = 2R2, т.е. Л = ЯV2 .
Таким образом, имеется одна критическая точка
5П
25
Ял/З' V Ял/3
резку |0;Л-
V7C
. Допустимые значения R принадлежат от-
, причем на его границе значения V равны
нулю. Так как V > О при всех Ry то в единственной
критической точке достигается его наибольшее значение функции V.
Таким образом, искомое соотношение имеет вид
л=/г 72. ►
Исследовать функции на экстремум:
9.75. z = x2 +у2 +ху-4х-5у. 9.76. z = xy(l-x-y).
9.77. z = x3y2B-x-y). 9.78. z = x2+xy + y2+—+—.
х у
9.79. z = sin x + sin у + 9.80. г = 2х3-;о/2+5х2 + г/2.
+sin(x + z/)
@ < x < я; 0 < у < я).
9.81. z = 3x + 6y-x2-xy + y2. 9.82. г = еЧ*2 + г/).
9.83. г = х2 + г/2-21п*-181пг/. 9.84. z = 2-$x2+y2.
9.85. г = Bх2 + г/2К(ЛА 9.86. г =
*2/
2 2 *
9.87. г = л^-1п(х + г/).
9.88. z = Jx$fy-x-2y.

520 Глава 9. Функции нескольких переменных
Найти наибольшее и наименьшее значения функции в
областях, задаваемых неравенствами:
9.89. z = x-2y+5;x>0yy>0,x+y<L
9.90. z = x3+y:2; х2+у2<1.
9.91. z = \n(x + y); (х-2J+(у-2J<1.
9.92. Из всех прямоугольных параллелепипедов,
имеющих данную сумму длин ребер а, найти параллелепипед,
имеющий наибольший объем.
Исследовать функции на условный экстремум:
9.93. 2 =—+— при х+у = 2.
х у
9.94. z = x-y при х2+у2=1.
9.95. z = xy2 при х + 2у = А.
9.96. 2 = р— при х2+у2=1.
9.97. z = $fxtfy при 2x+5# = 100.
9.98. Найти высоту и радиус основания цилиндра
наибольшего объема, если его полная поверхность равна бтс.
9.99. Прямоугольный параллелепипед вписан в полу-
шар радиуса R. Найти такие длины сторон
параллелепипеда, чтобы его объем был наибольшим.
9.100. Определить такие наружные размеры закрытого
ящика с заданной толщиной стенок d и внутренней
емкостью V, чтобы на его изготовление было затрачено
наименьшее количество материала.
9.15. Метод наименьших квадратов
9.101. Имеются следующие данные о величине пробега
автомобиля х (тыс. км) и расходе масла у (л/тыс. км):
х{
Уг
50
0,2
70
0,5
90
0,8
110
1,1
130
1,3
Полагая, что между переменными х и у существует
линейная зависимость, найти эмпирическую формулу у = ах + Ь
методом наименьших квадратов.

9.15. Метод наименьших квадратов
521
Решение. Вычислим необходимые для решения суммы
п п п п
Х**\ Х^*\ Х**\ Х**У** Промежуточные вычисления пред-
ставлены в таблице.
i
; 1
2
3
4
5
£
xi
50
70
90
110
130
450
Уг
0,2
0,5
0,8
1,1
1,3
3,9
*iVi
10
35
72
121
169
407
А
2500
4900
8100
12 100
16 900
44 500
Система нормальных уравнений (9.16) примет вид
44 500а + 4506 = 407,
450а + 5Ь - 3,9.
Ее решения а = 0,014, 6 = - 0,48. Таким образом,
линейная зависимость имеет вид у - 0,014х - 0,48. ►
9.102. Имеются четыре измерения пары переменных (х, г/),
результаты которых приведены в таблице.
X
У
1
0,2
2
0,3
3
1,0
4
1,2
Методом наименьших квадратов построить линейную
зависимость у = ах + Ь и сравнить ее с квадратичной зави-
1 2
симостью у =—х .
Решение. Аналогично задаче 9.101 найдем уравнение
линейной зависимости: у = 0,37л: - 0,25.

522 Глава 9. Функции нескольких переменных
Сравним величины 5' = ^(/(xl)-z/l) для найденной
" 1 2
линейной зависимости и зависимости у = --х .
Промежуточные вычисления представим в таблице.
i
1
2
3
4
Е
*,
1
2
3
4
-
#i
0,2
0,3
1,0
1,2
-
1 2
— XT
8 '
0,125
0,500
1,125
2,000
-
0,37xr0,25
0,12
0,49
0,86
1,23
-
A г f
0,005625
0,040000
0,015625
0,640000
0,701250
@,37ж,-
-0,25-г^2
0,0064
0,0361
0,0196
0,0009
0,0630
Очевидно, что 5" < 5 в, следовательно, линейная за-
ЛИН KB
висимость предпочтительнее1. ►
9.103. Имеются следующие данные о расходах на
рекламу х (тыс. ден. ед.) и сбыте продукции у (тыс. ед.):
Xi
Уг
1
1,6
2
4,0
3
7,4
4
12,0
5
18,0
Предполагая, что между переменными х и у существует
квадратичная зависимость вида у = ах* + Ъх + с, найти
значения параметров а, Ъ, с методом наименьших квадратов.
Решение. Вычислим необходимые для решения суммы
п п п п п п п
I>i> I>i2> 1>? > Xх!4» Z&' Хх^> Xx^i-
i=l i=i ;=i i=i i=i i=i f=i
1 Следует отметить, что задачи, в которых требуется сравнить
выравнивание по двум заданным линиям, носят в известной степени
формальный характер. В практике экономико-математического моделирования
линейная зависимость часто оказывается предпочтительней даже в том
случае, если сумма квадратов невязок для нее оказывается больше, чем
для других функций.

9.15. Метод наименьших квадратов
523
Расчеты приведены в таблице:
i
1
2
3
4
5
I
*i
1
2
3
4
5
15
Уг
1,6
4,0
7,4
12,0
18,0
43,0
А
1
4
9
16
25
55
х3-
1
8
27
64
125
225
з*{
1
16
81
256
625
979
xiVi
1,6
8,0
22,2
48,0
90,0
169,8
Avi
i,6
16,0
66,6
196,0
450,0
680,2
Система нормальных уравнений (9.18) примет вид:
[979а + 2256 + 55с = 680,2,
\ 225а + 556 + 15с = 169,8,
[ 55а + 156+ 5с = 49,0.
Ее решение а = 0,3, Ъ = 0,48, с = 5,06. Таким образом,
искомая зависимость имеет вид у = 0,3х2 + 0,48х + 5,06. ►
Имеются данные о переменных х и у. Предполагая, что
между х и у существует линейная зависимость, найти
эмпирическую формулу у = ах + Ъ методом наименьших
квадратов:
9.104. х — цена на товар (ден. ед.); у — уровень продаж
(тыс. ед.):
Xi
Vi
3,0
200
4,0
160
5,0
120
6,0
90
7,0
80
9.105. х — уровень потребления электроэнергии на
предприятии (млн кВт • ч); у — себестоимость единицы
продукции (ден. ед.):
Xi
Ух
1,2
20,0
1,3
18,8
1,4
18,2
1,5
18,1
1,6
18,0

524 Глава 9. Функции нескольких переменных
9.106. х — мощность двигателя (л.с); у — средний срок
его эксплуатации (мес):
Хх
Ух
30
18
40
20
50
21
60
24
70
25
По экспериментальным данным построить методом
наименьших квадратов линейную эмпирическую
зависимость у = ах + Ъ. Сравнить полученную зависимость с
альтернативной и определить, какая из них лучше
соответствует экспериментальным данным:
9.107.
Х{
Ух
2
4,2
2,5
5,5
3
6,9
3,5
8
4
9,5
Альтернативная зависимость у = 2х + 0,1л2.
9.108.
*1
Ух
1
1,0
2
1,4
3
1,7
4
2,0
5
2,2
Альтернативная зависимость у = 4х.
9.109.
щ
Ух
1,0
0,50
1,5
0,30
2,0
0,25
2,5
0,18
3,0
0,12
Альтернативная зависимость у = 2~х.
9.110. Имеются следующие экспериментальные данные
о количестве единиц произведенной продукции х и
издержках у (тыс. ден. ед.):
Xi
Ух
10
2,0
20
5,9
30
12,0
40
20,0
50 1
30,0

9.16. Функции нескольких переменных в экономических задачах 525
Функция издержек (см. параграф 8.6) ищется в виде
у = ах + ix2. Определить параметры а и Ъ функции методом
наименьших квадратов1.
9.111. Имеются следующие экспериментальные данные
о количествах произведенного х и реализованного К(х)
товара (тыс. ед.):
*<
Vi
100
100
120
114
140
130
160
146
180
163
200
180
Зависимость ищется в виде г/ = 100 + а(х-100)-
-Wx-100. Найти ее параметры а и Ъ методом
наименьших квадратов1.
9.112. Имеются следующие экспериментальные данные о
цене единицы товара р (ден. ед.) и доле реализованного то-
К(х)
вара w = —^-^-:
х
Pi
Wi
10
1,95
12
0,93
15
0,92
16
0,90
20
0,89
Функция w(p) ищется в виде w = 1 - ар - Ьр2.
Определить ее параметры а и Ъ методом наименьших квадратов1.
9.16. Функции нескольких переменных
в экономических задачах
9.113. Производственная функция (в денежном
выражении) имеет вид К(х, y) = 30yjxyy (где х, у —
количество единиц соответственно первого и второго ресурса).
Стоимость единицы первого ресурса — 5, второго —
10 (ден. ед.). Найти максимальную прибыль при
использовании этих ресурсов.
Решение. Производственная функция в денежном
выражении равна доходу от использования ресурсов. При этом
1 Для решения задач 9.110—9.112 вначале необходимо получить
свою систему нормальных уравнений, исходя из равенств S'a =0, S'b =0,
где 5 определяется по формуле (9.15).

526 Глава 9. Функции нескольких переменных
издержки С(х) = 5х + Юг/. Таким образом, функция
прибыли
тс(х, у) - 30 4х %[у - 5х -1 Оу.
Требуется найти ее максимум.
Частные производные функции л(х, у) равны я' =
_1 I \ _2
= 15х 2г/3 -5; я^ =10х2у 3 -10. Приравнивая их к нулю,
найдем решение х = 81, у = 27. Частные производные
второго порядка имеют следующий вид:
15 -- - ~ — 20 - —
<г=-у* V; я'4=я^=5х 2г/ 3; 7^=-у*2г/ 3.
Отсюда А = п'^-(п'^J=25х *у~* >0, С<0.
Таким образом, найденная критическая точка есть
точка максимума. Соответствующее значение прибыли равно
135 (ден. ед.). ►
9.114. Производственная функция n(x,y) = 3QyJxyy ,
стоимость единицы первого ресурса равна 5, второго —
10 ден. ед. В силу бюджетных ограничений на ресурсы
может быть потрачено не более 600 (ден. ед.). В этих
условиях найти оптимальное для производителя значение (х, у)
количества используемых ресурсов.
Решение. В данном случае следует максимизировать
функцию n(x,y) = 30yfx%[y-5x-10y , но при условии, что
5х + 10у < 600. В предыдущей задаче было найдено
оптимальное распределение ресурсов в ситуации, когда
ограничения отсутствовали. Оказалось, что оптимальные затраты
на ресурсы равны 5-81 + 10-27 = 675 > 600. Можно
показать, что в этом случае при наличии ограничений на
ресурсы следует потратить всю возможную сумму.
Итак, имеем задачу максимизации функции
я(х, у) = ЗОу/xtfy - 5х -10 у
при условии, что 5х + Юг/ = 600, или х + 2у - 120.
Первый способ. В силу ограничений имеем х в 120 - 2у и
n(y) = 30y]m-2y^-5A20-y)-10y = 30yll20-2y^-600.

9.16. Функции нескольких переменных в экономических задачах 527
/, ч 30^ 10^120-2у
Производная функции ки(у) = —. +—-—р= .
Vl20-2z/ $/
Приравнивая ее к нулю, получаем решение г/ = 24, откуда
# = 120 - 2 • 24 = 72. Максимальная прибыль при этом
равна 30 • 72 • 24 - 5 • 72 - 10 • 24 = 51 240 (ден. ед.).
Второй способ. При условии, что 5х + Юг/ = 600,
функция прибыли имеет вид rc(#,z/) = 30vx^/-600. Очевидно,
что для любого значения С линия уровня функции к(х, у) =
= С должна пересекаться с прямой 5х + 10г/ = 600.
Уравнение линии уровня функции прибыли
30л/х^[у-600 = С может быть записано как У = — , где
С + 600 х2
30
Очевидно, что максимальное значение Л, а
следовательно, и уровня С достигается в том случае, если
соответствующая линия уровня касается прямой 5х + Юг/ = 600.
Так как градиент в каждой точке ортогонален линии
уровня, то условие максимальности прибыли может быть
сформулировано следующим образом: вектор (кх,пу)
ортогонален прямой 5х +10г/ = 600. Эта прямая имеет
угловой коэффициент, равный —. Угловой коэффициент
прямой, проходящей через вектор (кх>ку) , равен -у-. По
условию перпендикулярности прямых имеем -f- = 2, т.е.
1 - -
-х2у 3
Л = 9
! Л i 2'
-х 2г/3
или х = Зу. Подставляя полученное выражение в уравнение
прямой 5х + 100у = 600, находим х = 72, у = 24. ►
Замечание. Оптимальное решение лежит на прямой
ограничений (в данном случае на прямой 5х + 10г/ = 600)
только в том случае, если при оптимальном решении без
ограничений сумма, затрачиваемая на ресурсы, больше
ограничительной. В противном случае решения задач с
ограничениями просто совпадают с решениями задачи без ограничений.

528 Глава 9. Функции нескольких переменных
9.115. Функция полезности имеет вид: U{x, у) = 21п(х -
- 1) + 31п(г/ - 1). Цена единицы первого блага равна 8,
второго — 16. На приобретение этих благ может быть
затрачена сумма, равная 1000. Как следует распределить эту сумму
между двумя благами, чтобы полезность от их
приобретения была бы наибольшей?
Решение. Рассмотрим линии уровня функции
полезности Щх, у) = С, т.е. 21п(х - 1) + 31п(г/ - 1) = С. Используя
свойства логарифмов, имеем
1п(х-1J(г/-1K =С , т.е. {y-\f = =", где А = е°'
(х-1)
Таким образом, линии уровня представляют собой гра-
фики функции у = +1 •
(*-1K
Используя рассуждения, приведенные в предыдущем
примере, получаем, что в точке (х, г/), в которой
достигается максимальная полезность, линия уровня касается
прямой 8х + 16г/ = 1000, или х + 2у - 125. Следовательно,
градиент функции полезности должен быть перпендикулярен
этой линии. Градиент функции полезности имеет вид
B3^ 1
; - . Угловой коэффициент прямой & = —. Ис-
х-1 у-1) 2
пользуя условие перпендикулярности прямых, имеем
3(х-1)
— - = 2 , или Зх - Ау = -1. Следовательно, оптимальное
2(у-1)
распределение потребления товаров находится как
решение системы
\зх- f - "l'Те-Х = 49'5;У = 37'75- *
Найти величины используемых ресурсов (х, у), при
которых фирма-производитель получит максимальную
прибыль, если заданы производственная функция К(х, у) и
цены рх и р2 единицы первого и второго ресурсов:
9.116. K(x,y) = 30yfc*fc; Pi=4, P2=^.

9.16. Функции нескольких переменных в экономических задачах 529
9.117. K(x,y) = l0^tfy>; ft =2, й=|.
Заданы производственная функция, цены единицы
первого и второго ресурсов, а также ограничения / в сумме,
которая может быть потрачена на приобретение ресурсов
(сумма < /). Найти величины используемых ресурсов (х, у),
при которых фирма-производитель получит наибольшую
прибыль:
9.118. K(x,y) = 10yfc*[y; рх=2у р2=4, / = 12.
9.119. К(х,у) = 24Ух$у*; А =27, р2=Ау 1 = 6.
Потребитель имеет возможность потратить сумму 1000
(ден. ед.) на приобретение х единиц первого товара и у
единиц второго товара. Заданы функция полезности Щх, у)
и цены pv р2 единицы соответственно первого и второго
товаров. Найти значения (х, у), при которых полезность
для потребителя будет наибольшей:
9.120. С/(х,у) = 0,51п(х-2)+21п(у-1>, ^=0,2, р2=4.
9.121. [/(х,#) = 2(х-1L+(#-1K; рх =2, р2=3.
Идентифицированы функция издержек С(х)> а также
функция количества реализованного товара К(р, х) при
установленной цене его единицы, равной р(р > р0). Найти
оптимальные значения х и р для
монополиста-производителя:
9.122. С(х) = -+-х+—х3; К(х,р) = 7.
W 8 2 12 1+(/>-РоJ
9.123. С(х) = 10 + х2; tf(xfp) = —^Ц-.
1+*-
16
9.124. Решить задачу 9.114 с помощью функции Лагран-
жа.
9.125. Функция полезности имеет вид
J7(x,#) = ln(x-l) + ±ln(*/-2>
4
где х, у — количества приобретенных единиц первого и
второго благ. Найти частные эластичности функции
полезности по переменным х и у и пояснить их смысл.

530 Глава 9. Функции нескольких переменных
9.126. Полезность от приобретениях единиц первого блага и
у единиц второго блага имеет вид U(x, у) = 1плг + \пBу).
Единица первого блага стоит 2, а второго — 3 (ден. ед.). На
приобретение этих благ планируется потратить 100 (ден. ед.). Как следует
распределить эту сумму, чтобы полезность была наибольшей?
Контрольные задания по главе 9
«Функции нескольких переменных»
№
1
2
3
4
5
Вариант 9.1
Вариант 9.2
Вариант 93
Найти значения частных производных функций в заданных
точках:
a) z = xy3; A;0)
б) 1п(х1пг/);A;е)
а) z = x^;(l;l)
б) in^;(i;4)
\_ 1
a) z = xy;(l;l)
6)z = ln(V^+V#);(i;i)
Найти экстремумы функции:
z = y[xtfy-2x-y
z = yfxyfy-2x-3y
z-^[x^y-x-2y
Найти наибольшее значение функции z = f(x> у) в области,
задаваемой системой неравенств:
<
'2х+у<1,
х>0,
у>о
z
= 1п(*2 + г/2);
х+2г/<1,
х>0,
у>0
-
2х+4у<1,
х>0,
у>0 |
Найти максимальное значение функции при заданном
ограничении:
z = 2x+y-y2-x2
при х+2у = 1
z = i-2x = (y-xJ
при х+у = 2
z = A-x-y-x2 -2y2
при 2х+у = 4 1
Предполагая, что между переменными х и у существует
линейная зависимость, найти эмпирическую формулу у - ах+ b\
методом наименьших квадратов по следующим данным:
X.
X
Уг
1
1,3
2
2
3
2,5
4
2,8
X.
1 г
ь
1
4
2
3
3
1
4 1
0
X.
t
Уг
1
3
2
3,4
3
3,6
4
4

Контрольные задания.
531
Тест 9
1. Найти площадь фигуры, представляющей область
определения функции y = y]l-x2 -у2 . Считать к = 3,14.
2. На рисунке изображена линия уровня функции
, а
z = ax + by. Найти т.
3. Выяснить, на каком рисунке изображены линии
уровня функции z = xy.
4. Найти сумму частных производных функции
z = х*у в точке A; 1).
5. Найти длину вектора-градиента функции
о 9 9
2 = дг+-дг1пу в точке B; 1).
4
6. Найти угловой коэффициент прямой, проходящей
через вектор-градиент функции z - лгу3 + 2х + у в точке
(-1;0).
7. Касательная к линии уровня функции z = лгу4 +
+ лА/3 + 2# в точке A; 2) имеет угловой коэффициент
k = —- , где а - ..., 6 - ... (а и 6 — целые числа, а дробь — —
несократимая).

532 Глава 9. Функции нескольких переменных
8. Найти координаты (х0, у0) критической точки функции
\пх
z = +х.
9. Функция z = ху: У
1) имеет единственную точку максимума @; 0);
2) имеет единственную точку минимума @; 0);
3) имеет несколько точек экстремума;
4) не имеет точек экстремума;
5) имеет бесконечное множество точек экстремума.
10. Максимальное значение функции z = 4-x-x2-
- у -Ау2 равно: —, где а = ..., Ъ = ... {а и Ъ — целые числа,
адробь £ -несократима).
ь
11. В точке максимума функции градиент:
1) равен нулю;
2) достигает максимальной длины;
3) равен нулю или не существует;
4) не равен нулю и параллелен оси Oz;
5) может быть произвольным вектором.
12. Методом наименьших квадратов найти линейную
зависимость у = ах + Ь для функции, заданной следующей
таблицей: |
X.
г
1 у,-
1
-1
2
0
з ,
2
4 II
3 ||
Ответ: а = ..., Ъ = ....
13. Производственная функция имеет вид К(х, у) =
= 10yjxtfy (x — количество единиц первого ресурса, у —
второго). Цена на единицу первого ресурса равна 1, на
единицу второго — 2. Максимальное значение прибыли в
этом случае составляет —, где а = ..., Ъ = ... (а и Ъ — целые
\ , а ъ
числа, а дробь т — несократима).
14. Производственная функция имеет вид К(х, у) =
= WOyfxtfy (x — количество единиц первого ресурса, у —
второго). Цена за единицу первого ресурса равна 8, за
единицу второго — 4. На эти ресурсы может быть
затрачена сумма не более 54 (ден. ед.). Чему равно оптимальное
| потребление ресурсов (соответственно х и у)?

Раздел V
ИНТЕГРАЛЬНОЕ
ИСЧИСЛЕНИЕ
И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
а УРАВНЕНИЯ
л>

Одной из основных задач дифференциального
исчисления является нахождение производной или
дифференциала данной функции. Интегральное исчисление решает
обратную задачу — нахождение самой функции по ее
производной или дифференциалу.
Глава 10
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ КУРС
10.1. Первообразная функция
и неопределенный интеграл
Определение. Функция F(x) называется
первообразной для функции f(x) на промежутке X, если в каждой
точке х этого промежутка F'(x) = /(х).
х3
Например, F(x) = — является первообразной для функ-
Гхз\
= х2.
ции /(х) = х2, так как ,
По геометрическому смыслу производной F\x) есть
угловой коэффициент касательной к кривой у = F(x) в точке с
абсциссой х. Геометрически найти первообразную для
функции/(х) — значит найти такую кривую у = F(x), чтобы
угловой коэффициент касательной к ней в произвольной точ-

10.1. Первообразная функция и неопределенный интеграл 535
ке х равнялся значению /(х)
заданной функции в этой
точке (рис. 10.1).
Следует отметить, что
для заданной функции f(x)
ее первообразная
определена неоднозначно.
Дифференцируя, нетрудно убе-
х3
диться, что функции — + 1,
Лв-tga-Xx)
х3
— -5
х
Рис. 10.1
^ х. вообще —+С
э 3
(где С — некоторое число) являются первообразными для
функции/(х) = х2. Аналогично в общем случае, если F(x) —
некоторая первообразная для /(х), то, поскольку
(F(x) + C)'= F'(x) = /(х), функции вида F(x) + С (где С —
произвольное число) также являются первообразными
для/(х).
Геометрически это означает, что если найдена одна
кривая у = F(x), удовлетворяющая условию F'(x) = tg a = /(х),
то, сдвигая ее вдоль оси ординат, вновь получаются
кривые, удовлетворяющие указанному условию (поскольку
такой сдвиг не меняет углового коэффициента
касательной в точке с абсциссой х) (см. рис. 10.1).
Остается вопрос, описывает ли выражение вида F(x) + С
все первообразные функции для /(х). Ответ на него дает
следующая теорема.
Теорема. Если Fx(x) и F2(x) — первообразные для
функции /(х) на некотором промежутке X, то найдется такое
число С, что будет справедливо равенство
F2(x) - Ft(x) + С.
□ Поскольку (F2(x) - ^(х))' - F2l(x) - F{(x) =/(x) -
- /(х) = 0, то, по следствию из теоремы Лагранжа (см.
параграф 8.1), найдется такое число С, что F2(x) - Ft(x) = С
или F2(x) = FAx) + С. ■
Из данной теоремы следует, что, если F(x) —
первообразная функция для/(х), то выражение вида F(x) + С (где
С — произвольное число) задает все возможные
первообразные для /(х).

536
Глава 10. Неопределенный интеграл
I Определение. Совокупность всех первообразных для
функции f(x) на промежутке X называется
неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается
J f(x)dx, где I — знак интеграла, /(х) —
подынтегральная функция, f(x)dx — подынтегральное выражение, т.е.
jf(x)dx = F(x) + C, A0.1)
где F(x) — некоторая первообразная для /(х), С —
произвольная постоянная.
хъ
Например, поскольку — — первообразная для функ-
о
г х3
ции f(x) = х2, то \x2dx = — + С.
Отметим, что в определении неопределенного
интеграла не исключается, что х сама, возможно, является
функцией некоторой переменной, однако при проверке
правильности нахождения первообразной это несущественно,
так как дифференцировать следует лишь по переменной х
(по переменной, стоящей в формуле A0.1) под знаком
дифференциала).
Операция нахождения неопределенного интеграла от
некоторой функции называется интегрированием этой
функции.
В гл. 11 будет показано, что достаточным условием
интегрируемости функции на промежутке X является ее
непрерывность на данном промежутке. (Заметим, что для
дифференцируемости функции ее непрерывность
является лишь необходимым, но недостаточным условием (см.
параграф 7.2).)
10.2. Свойства неопределенного интеграла.
Интегралы от основных элементарных функций
Рассмотрим основные свойства неопределенного
интеграла.
1. Производная от неопределенного интеграла равна
подынтегральной функции, т.е.
[\f(x)dx)=f(x). A0.2)

10.2. Свойства неопределенного интеграла- 537
□ Дифференцируя левую и правую части равенства
A0.1), получаем
[\f(x)dx) =(F(x)+C)' = F'(x)+C' = f(x). Ш
2. Дифференциал неопределенного интеграла равен
подынтегральному выражению, т.е.
d^f(x)dx) = f(x)dx. A0.20
□ По определению дифференциала и свойству 1 имеем
d(\f(x)dx} = (\f(x)dx}dx = f(x)dx. Ш
3. Неопределенный интеграл от дифференциала
некоторой функции равен этой функции с точностью до
постоянного слагаемого, т.е.
\dF(x) = F(x)+C, A0.3)
где С — произвольное число.
□ Рассматривая функцию F(x) как первообразную для
некоторой функции f(x), можно записать
?•
\f(x)dx = F(x)+C
и на основании формулы A0.2) дифференциал
неопределенного интеграла равен f(x)dx = dF(x), откуда \dF(x) =
= jf(x)dx = F(x)+C. Ш
Сравнивая между собой свойства 2 и 3, можно сделать
вывод, что операции нахождения неопределенного
интеграла и дифференциала взаимнообратны (знаки d и J взаимно
«уничтожают» друг друга, в случае свойства 3, правда, с
точностью до постоянного слагаемого).
4. Постоянный множитель можно выносить за знак
интеграла, т.е.
\af(x)dx = ajf(x)dx, A0.4)
где а — некоторое число.

538
Глава 10. Неопределенный интеграл
□ Найдем производную функции g(x)= \af(x)dx-
-ajf(x)dx:
g\x) = [jaf(x)dx-ajf(x)dx)j =
= [\af(x)dx) - cc(\f{x)dx) = af(x) - a/(x) = 0
(см. свойство 1). По следствию из теоремы Лагранжа (см.
параграф 8.1) найдется такое число С, что g(x) = С и значит
laf(x)dx = a\f(x)dx+C. Так как сам неопределенный
интеграл находится с точностью до постоянного слагаемого, то
в окончательной записи свойства 4 постоянную С можно
опустить. ■
5. Интеграл от алгебраической суммы двух функций
равен сумме интегралов от этих функций, т.е.
j(f(x)±g(x))dx = jf(x)dx±jg(x)dx. A0.5)
Доказательство аналогично доказательству свойства 4.
Следует отметить, что свойство 5 остается
справедливым для любого конечного числа слагаемых.
Перечислим интегралы от элементарных функций,
которые в дальнейшем будем называть табличными:
\0dx = C; A0.6)
ixndx = ^ + C (л*-1); A0.7)
j— = 1фг|+С, A0.8)
для произвольного интервала, не содержащего точки х - 0;
г а*
\axdx = -—+С (a>0,a*l); A0.9)
jexdx = e*+C; A0.9')
\sinxdx = -cosx+C; A0.10)

10.2. Свойства неопределенного интеграла... 539
| cosxrfr = sinx + C;
A0.11)
I
dx x
= arcsin—+ C {-а<х<а, я>0); A0.12)
а
г dx 1 х „ , ЛЧ
\—0 ;r = -arctg- + C (я*0);
Jaz+x a a
х-а
х + а
с ах 1 ,
| , = In x + у1х2 + а
f—2~ = tgx+C;
J COS X
f—y— = -ctgx+C.
J sin x
+C (a*0);
+C (a*0);
A0.13)
A0.14)
A0.15)
A0.16)
A0.17)
Справедливость приведенных формул проверяется
непосредственно дифференцированием (см. определение
неопределенного интеграла). Так, формула A0.7) верна,
потому что производная ее правой части
п + 1
+ С
= — = хп равна подынтегральной функции левой
части.
Докажем равенство A0.8). Пусть х > 0. Тогда \х\ = х и
AпЫ + С)' = Aпх+С)' = -. Если х < 0, то и |х| = -х и
х
-1 1
AпЫ + С)' = Aп(-х) + С)' =— = —, т.е. в обоих случаях про-
-хх
изводная правой части A0.8) равна подынтегральной
функции левой части. Аналогично доказываются остальные
формулы.
Пример 10.1. Найти интегралы:
-dx .. Гчг-, . cdx
0 0; 6)J«* »>jf

540
Глава 10. Неопределенный интеграл
Решение. Во всех трех случаях следует воспользоваться
одним и тем же табличным интегралом A0.7) от
степенной функции, но при разных значениях п:
г л х~3 1
а)прия = -4: \х dx = +С = Т+С;
J -3 Зх3
б) при п
в) при п
Пример
я\ & 6Л
_1.
~з'
1
2
10.2.
Г?Здг-1
4
- з д -
fx3d!r=—Г + С = -#3 +С;
J 4 3
3 1
1 2
2
Найти интегралы:
dr. «^ f-i-: ГЧ f ** ; лч
Г-
б/г
Решение.
а) Учитывая, что
1 fiY
и
, и используя табличный
интеграл A0.9) при я = -, получаем
«J-§+
с=——+с.
ЗМпЗ
б) Так как 23* ' = 23*-2 1 =—8х, то используя свойство
A0.4) и табличный интеграл A0.9) при а = 8, получаем
f 23*-1 <& = f -8х dx = -\8xdx = -~+ С.
J J 2 2J 2ln8
в) Поскольку —ц— = 5-, воспользуемся сбой-
Эх2-! 9 2_A
'-ffi
ством A0.4) и табличным интегралом A0.14) при я = -,

10.2. Свойства неопределенного интеграла... 541
тогда
dx
с dx _rl dx _lr dx _1 3,
J9x2-rJ9 2 fif"9J 2 (i>f~9'2n
1 - з * -Ы
X —
1
х+—
3
+С =
-it
6
Зх-1
Зд: + 1
+ С.
г) Так как 4дг + 25 = 4
-ел
то используя свойство
A0.4) и табличный интеграл A0.13) при я = —, получаем
г d!r _rl d!r _ 1 г
J4x2 + 25"J4 2 f5\2"~4J
i+u
dfc 1 2x „
5Y 10 5
x + -
2
д) Так как V4x2 + 1 = 2Jx2+-y то используя
свойство
A0.4) и табличный интеграл A0.15) при а = - , получаем
4
с dx \ r dx 1, и 1
, =- -7= =-In\х + Ах +-
JV^4l 2J Г7Т 2 I V 4|
+ С. ►
Метод интегрирования, основанный на применении
свойств 4 и 5, называется методом разложения.
Пример 10.3. Используя метод разложения, найти
интегралы:
а) Г—Хг df* б) \%г ^
J xylx J \lx + 2
B)l(sin(f)+C0S(f))^;r)J^^
Решение. Нахождение каждого из интегралов
начинается с преобразования подынтегральной функции. В задачах
«а» и «б» воспользуемся соответствующими формулами
сокращенного умножения и последующим почленным
делением числителя на знаменатель.

542
Глава 10. Неопределенный интеграл
гBУх + 1K^ г8х2+12х+6х2+1^ =
а) J xyfx J |
X2
= j(8x+12x 2+6~+x 2)dx = 8Jdx+12Jx 2dx+6$— +
-- 2
+jx 2dfc = 8x+24Vx+61n|x|—j=+С
(см. табличные интегралы A0.7) и A0.8)). Обращаем
внимание на то, что в конце решения записываем одну общую
постоянную С, не выписывая постоянных от
интегрирования отдельных слагаемых. В дальнейшем будем опускать
при записи постоянные от интегрирования отдельных
слагаемых до тех пор, пока выражение содержит хотя бы один
неопределенный интеграл. В окончательном ответе тогда
будет стоять одна постоянная.
fa Р2~16лг- Г(У^-2)(У^ + 2)(*+4),
})^ + 2 J V^+2
з j_
= j(x2+4x2-2x-8)dx =
- - 2 - 8 -
= [x2ck+4[x2ck-2[xdx-8[dx = -x2 +-x2 -x2-8x+C.
5 3
в) Преобразуя подынтегральную функцию, получаем
in — kos —
+2 sin
dx = Г sin2 —
+ cos2 — \\dx-
= \(l+smx)dx = \dx+ \siax dx = x -cosx+С
(см. табличный интеграл A0.10)).
г) Выделяя из дроби целую часть, имеем
лг^+4
(*2+4)-4
х2+А
= 1-
х2+4'

10.3. Метод замены переменной
543
тогда
|—о dx= \dx-4\—^ = x-4-arctg—+ C =
J*2+4 J J*2+4 2 62
= .r-2arctg— + C
(см. табличный интеграл A0.13)). ►
10.3. Метод замены переменной
Одним из основных методов интегрирования является
метод замены переменной (или метод подстановки),
описываемый следующей формулой:
ff(x}dx = ffto{t)W(t)dtt A018>
где х = ф@ — функция, дифференцируемая на
рассматриваемом промежутке.
□ Найдем производные по переменной t от левой и
правой частей равенства A0.18):
(jf(x)dx)'t =(jf(x)dx)'x xt' = f(xW(t);
(jf№W(t)dt)'t =/(<р@)Ф'@
(см. свойство 1 неопределенного интеграла).
Так как х = ф(£), то эти производные равны, поэтому по
следствию из теоремы Лагранжа левая и правая части
равенства A0.18) отличаются на некоторую постоянную.
Поскольку сами неопределенные интегралы определены с
точностью до неопределенного постоянного слагаемого, то
указанную постоянную в окончательной записи можно
опустить. ■
Формула A0.18) показывает, что, переходя к новой
переменной, достаточно выполнить замену переменной в
подынтегральном выражении. Действительно, по
определению дифференциала подынтегральные выражения левой и
правой частей равенства A0.18) совпадают.
Удачная замена переменной позволяет упростить
исходный интеграл, а в простейших случаях свести его к
табличному (табличным).

544
Глава 10. Неопределенный интеграл
дх
с
1 1
2х
Пример 10.4. Найти | —
Решение. Пусть t = 1 - 2х. Тогда х = - - -1,
У 2 2
dx = d(---t)=(---t)dt = --dt
^2 2 J ^2 2 J 2
и
f-^=fldy^
Jl-2x J t 2J £ 2 ' ' 2 ' '
(см. формулу A0.4) и табличный интеграл A0.8)). ►
Следует отметить, что новую переменную можно не
выписывать явно (в таких случаях говорят о преобразовании
функции под знаком дифференциала или о введении
постоянных и переменных под знак дифференциала).
Пример 10.5. Найти JcosC.r + 2)<ir.
Решение. Используя свойства дифференциала (см.
параграф 9.1), получаем
dx = -dCx) = -dCx+2).
Тогда
f cosCx+2)dk = f-cosCx+2)dCx+2) =
= - f cosCx+2)dCx+ 2) = -UinCx+2)+С
3^ 3
(см. формулу A0.4) и табличный интеграл A0.11)). ►
В примерах 10.4 и 10.5 для нахождения интегралов
была использована линейная подстановка t = kx + 6, где k
и b — некоторые числа (k Ф 0). В общем случае
справедлива следующая теорема.
Теорема. Пусть F(x) некоторая первообразная
функция для f(x). Тогда
jf(kx+b)dx = jF(kx + b)+C, A0.19)
где k и Ъ — некоторые числа, k Ф 0.

10.3. Метод замены переменной
545
□ Перепишем формулу A0.1) в виде \f(kx+b)d(kx + b) =
= F(kx+b)+C. J
Ho d(kx + b) = (kx+b)'dx = kdx. Вынося постоянный
множитель k за знак интеграла и деля левую и правую части
равенства на k, приходим к формуле A0.19). ■
Данная теорема утверждает, что если в равенство A0.1)
вместо аргумента х подынтегральной функции f(x) и
первообразной F(x) подставить выражение (kx + 6), то это
1
приведет к появлению дополнительного множителя —
перед первообразной.
Пример 10.6. Найти интегралы:
а) [Щ^ск; б) f-^; в) \e~2x+7dx.
J J 4x + 3 J
Решение. Искомые интеграла однотипны, так как
каждый из них может быть найден путем применения
формулы A0.19) к одному из табличных интегралов.
а) Из A0.7) и A0.19) следует, что
\(kx + ^ndx^kx + b)n+ +C (w*-U*0). A0.20)
J k п + \
Тогда, полагая п = —, & = -1, 6 = 3, получаем
3. "
J*
$3^xdx = --C-xK+C.
б) Из A0.8) и A0.19) следует, что
f-^L. = iln|/br+6| + C (k*0). A0.21)
J kx+b k
г dx 1
Полагая k = 4, b = 3, получаем j = -ln|4r+3|+C
в) Из A0.9') и A0.19) следует, что
[ekx+bdx = ^ehc+b+C. A0.22)
J k
Полагая в A0.22) k = -2, 6 = 7, имеем
7dx = -^-e-2x+7+C. ►
J<

546
Глава 10. Неопределенный интеграл
Рассмотрим пример нахождения интеграла с помощью
нелинейных подстановок.
Пример 10.7. Найти | хе~х dx.
Решение. Пусть t = -х?. Продолжение решения может
быть аналогичным решению примера 10.4: следует
выразить х через t, затем найти выражение для dx. Это
позволит реализовать замену переменной в искомом интеграле.
Но здесь поступим по-другому.
Найдем дифференциал от левой и правой частей
формулы t = -x2: dt = d(-x2) = (-x2)'dx, т.е. dt = -2xdx. Из
полученного равенства удобно выразить xdx, поскольку это
выражение является сомножителем подынтегрального
выражения искомого интеграла: xdx = —dt.
Тогда [хе-х^=\(~)еЫг = --\е^ = --е*+С =
1 2
= —е~х +С(см. табличный интеграл A0.9)). ►
10.4. Метод интегрирования по частям
Пусть и = и(х) nv = v(x) — дифференцируемые функции.
По свойству дифференциала (см. параграф 7.7)
d(uv) = vdu+udv
или
udv = d(uv)-vdu.
Интегрируя левую и правую части последнего равенства
и учитывая свойства A0.5) и A0.2), получаем
\udo = uv-\vdu. A0.23)
Формула A0.23) называется формулой интегрирования по
частям для неопределенного интеграла. При ее применении
фиксируется разбиение подынтегрального выражения
искомого интеграла на два сомножителя (и и do). При переходе к
правой части формулы A0.23) первый из них дифференцируется
(при нахождении дифференциала du = udx ), второй
интегрируется (v= \ dv+С (см. A0.3)).

10.4. Метод интегрирования по частям
547
Возможности применения формулы A0.23) связаны с
тем, что дифференцирование может существенно
упростить один из сомножителей (при условии, что
интегрирование не слишком усложнит другой).
Пример 10.8. Найти интегралы:
a) Jхе 2xdx; б) jjdnxdfc.
Решение.
а) Поскольку х = 1, а функция е-2* при интегрировании
практически не изменяется (согласно формуле A0.22)
появляется лишь постоянный множитель), данный интеграл
можно найти интегрированием по частям, полагая и = х}
dv = e'^dx. Найдем необходимые для записи правой части
формулы A0.23) v и du.
Так как и = х} то du = dx. Согласно A0.3) и A0.22) при
k = -2 имеем
> = jdv = j(
-2xj 1 -2т
xdx = --e-'x + C.
2
Теперь, применяя формулу интегрирования по частям
A0.23), получаем
jXe-2xdx=x(-U2x+c)-\(~e-2x+c)dx.
Используя метод разложения, убеждаемся, что
полученный интеграл — это сумма табличного интеграла и
интеграла, который был определен при нахождении v. Таким
образом, окончательно
е~2х-Сх+С =
\хе 2xdx = —хе 2х +Сх+-\
J 2 21
1 ~Л-2лг 1 -2х ,г
=—хе —е +Gi.
2 4 1
Замечание. Анализ полученного решения показывает,
что постоянная С, возникшая при нахождении v (по
заданному dv), не входит в запись окончательного ответа.
Аналогично в общем случае постоянная С, появляющаяся при
нахождении v, исключается в процессе решения. В связи с
этим в дальнейшем, применяя формулу интегрирования
по частям и найдя v> будем полагать С = 0, что несколько
упрощает запись решения.

548
Глава 10. Неопределенный интеграл
б) «Препятствием» к нахождению данного интеграла
является присутствие сомножителя \пх в записи
подынтегральной функции. Исключить его в данном случае
можно с помощью интегрирования по частям, полагая и =
= In х. Тогда dv = x dx. (Существенно, что при
интегрировании функции f(x) = х получается функция того же типа
(степенная).) Так как du = dh\x = — ио= \dv- \xdx- —
х J J 2
(С = 0, см. замечание к п. «а» данного примера), используем
формулу интегрирования по частям:
9 9 9
Гxlnxdx =—lnx- Г dx = —\nx— \xdx =
J 2 J 2 x 2 2J
2 2
=—In*-—+ C. ►
2 4
В некоторых случаях для нахождения искомого
интеграла формулу интегрирования по частям приходится
применять более одного раза.
Пример 10.9. Найти J x2sinxdx.
Решение. Пусть и = х1, sin xdx = dv. Тогда du = dx2 =
= 2xdx и v= \dv= \sinxdx = -cosx (см. формулу A0.10)).
Применяя формулу интегрирования по частям, имеем
Jx2sinxdx = -x2cosx- \(-cosxJxdx =
= -х2 cosx+2 J xcosxdx.
Полученный интеграл не является табличным, однако
очевидно, что путь решения избран верно, так как по
сравнению с исходным интегралом степень переменной х в
подынтегральном выражении уменьшилась на единицу, при
этом второй сомножитель cos x того же типа, что и в
исходном интеграле. Повторное применение формулы
интегрирования по частям приводит к табличному интегралу.
Действительно, положим теперь и = х, cos xdx = dv. Тогда
du - dx, v=[dv=[o,osxdx = smx (см. A0.11)) и

10.5. Интегрирование простейших рациональных дробей 549
|x2sinx6& = -x2cosx+2(xsiii.r- |sinx<ir) =
= -x2cosx+2xsin.r+2cosx + C. ►
Анализируя разобранные примеры, можно указать типы
интегралов, для нахождения которых используется формула
интегрирования по частям:
1. \xneaxdx; \xnsmmxdx; \xncosmxdx.
2. \xk\nnxdx; \xkzrcsmxdx; Jx*arccosx<fr,
\x zrctgxdx; \x srcctgxdx,
где arm,k — действительные числа (k Ф -1), n — целое
положительное число.
Для нахождения интегралов из первой группы
формулу интегрирования по частям придется применять п раз
(при первом ее применении полагают и = л^1, остальные
сомножители подынтегрального выражения задают dv), пока
степень п переменной х не станет равной нулю, а сам
интеграл — табличным (см. примеры 10.8, 10.9). Для
нахождения интегралов второй группы полагают х^сЬс = dv
(оставшиеся сомножители подынтегрального выражения
задают выражение для и). Отметим, что для нахождения
\xk\nnxdx формулу интегрирования по частям придется
применять п раз (при каждом ее применении степень
функции In х уменьшается на единицу, пока не станет равной
нулю, а сам интеграл — табличным).
На практике метод интегрирования по частям часто
комбинируют с другими методами интегрирования.
10.5. Интегрирование простейших
рациональных дробей
Напомним, что многочленом степени п называется
выражение вида а0 + а{х + ... + апх^, где а0, av ..., ап —
действительные числа (ап фО,п> 0). Так, 3 + 2х — многочлен
первой степени, -х4 + Зх + 2 — многочлен четвертой
степени и т.д. Рациональной дробью называется отношение

550
Глава 10. Неопределенный интеграл
Зх+1 2+х2+4х3
двух многочленов, например —^—-, > ••• —
рациональные дроби, х +\ х
Нас интересуют интегралы от рациональных дробей.
Если степень многочлена знаменателя дроби равна нулю
(т.е. в знаменателе стоит число), то дробь является
многочленом. Интеграл от многочлена находится с помощью
метода разложения (см. параграф 10.2). Далее будем
предполагать, что степень знаменателя дроби больше нуля.
Примеры таких интегралов встречались выше (см.
табличные интегралы A0.7) при целом отрицательном п A0.8),
A0.13), A0.14)). В этом параграфе наметим общий подход
к интегрированию рациональных дробей.
Прежде всего отметим, что достаточно рассмотреть
лишь правильные дроби, т.е. такие, у которых степень
числителя меньше степени знаменателя. Действительно, если
это не так, то, используя алгоритм деления многочленов
«углом», известный из школьного курса, исходную дробь
можно представить в виде суммы многочлена и
правильной дроби, например,
х3-Зх+А 2 о л 6
х-2 х-2
4х4-4г+5 . 2 о лп 12х-7
— = 4дг+8*+12+—s
xr-2x + l дг-2* + 1
и т.д. Тогда интеграл от исходной дроби с помощью метода
разложения (см. параграф 10.2) сведется к сумме
интегралов от многочлена и правильной дроби.
Если степень знаменателя равна 1, то искомый интег-
dx
kx + b
воспользоваться формулой A0.21) (см. пример 10.6, б) или
заменой переменной t = kx + b (см. пример 10.4).
Пусть степень знаменателя равна 2, т.е. искомым
является интеграл вида
Г ex+f
г dx
рал имеет вид и для его нахождения достаточно
J kx + h
ах +bx+c
dx, A0.24)
где a, b, с, e,f — действительные числа, а Ф 0. Рассмотрим
сначала один важный частный случай — интеграл вида

10.5. Интегрирование простейших рациональных дробей 551
\™±Ldx, A0.25)
J ах +с
а затем укажем, как общий случай свести к данному. Если
с = 0, то интеграл A0.25) представляет сумму двух
табличных интегралов (с точностью до множителей; см. метод
разложения). Пусть с Ф 0. Тогда для нахождения интеграла
A0.25) достаточно найти интегралы
dx
STc <10-26>
-^-. A0.27)
I
J ах +с
Интеграл A0.26) сводится (за счет вынесения множителя)
либо к табличному интегралу A0.13), если ас > 0, либо к
интегралу A0.14), если ас < 0 (см. пример 10.2, в, г).
Для нахождения интеграла A0.27) используем замену
переменной t = ах2 + с. Тогда dt = 2axdx, xdx = —dt и
2а
Jax2+c J2at 2аJ t 2а ' '
Окончательно имеем
I
xdx l,i 2
=—\n\axz+c\ + C, A0.28)
ах2+с 2а
где а Ф 0.
Возвращаясь к интегралу A0.24), заметим, что его
можно привести к виду A0.25), если сначала выделить полный
квадрат в знаменателе подынтегральной функции, а затем
использовать соответствующую (линейную) замену
переменной.
Пример 10.10. Найти интегралы:
а) | —^ dx;6) I—7) dxyB) f-^—— dx.
J*2+2x+l Ux2+4x-3 J x2-4x + 13
Решение.
а) Поскольку x2 + 2x + 1 = (x + lJ, то используем
замену переменной t = х + 1. Тогда dt = dx, x = t - 1 и

552
Глава 10. Неопределенный интеграл
Jx2 + 2^:+l J t2 J t J
= 2ln\t\+-+C = 2\n\x+l\+—+C.
б) Так как Ax2 + Ax - 3 = Bx + lJ - 4, то положим t = 2x+
1 1
+ 1. Тогда x = -(t-i), dx = -dt и
J
x+1
Ax2 +Ax-3
i)+i
t2-A
2
iJ.2 , 4J*2 / iJ
<fe
4Jt2-4 4■» B _4 4V-4
Для нахождения первого интеграла воспользуемся
формулой A0.28) при а = 1, с = -4. Второй интеграл —
табличный (см. A0.14)).
Теперь имеем
х+1
4х+4х-3
1 i i 1
-dx = -\n\t2-A\ +—In
8
= -1п|4х2+4х-3|+—In
8< I 16
16
2х-1
t-2
t+2
+C =
2x+3
+C.
в) Так как х2 - Ax + 13 = (x - 2J + 9, то положим t = x - 2.
Тогда dt = dx,x=t + 2w.
8-x
6-t ,, „r dt t tdt
J*2-4*+13 Jf2+9 V+9 Jf2+<
Первый из интегралов — табличный (см. A0.13)), для
нахождения второго воспользуемся формулой A0.28).
Тогда получаем
8~Х -dx = 2arctg---ln(t2 + 9)+C =
f—
ix2-
4*+13
х-2 1
'3 2
= 2ъх<Л£?—---lnlx2 -4х+13 +С. ►
6 3 2 I I
Рассмотренный прием интегрирования правильных
дробей, знаменатель которых имеет степень 2 (выделение пол-

10.5. Интегрирование простейших рациональных дробей 553
ного квадрата в знаменателе с последующей заменой
переменной), обладает существенным недостатком: он не
обобщается на случаи, когда степень знаменателя больше двух.
Поэтому рассмотрим также другой возможный подход.
с dx
Пусть требуется найти —т «" (получим другой вывод
J xz-az
формулы A0.14)). Представим подынтегральную
функцию искомого интеграла в виде
-J—±р -\
х2-а2 2аух-а х+а)
Тогда, используя метод разложения и формулу A0.21),
получаем
Jx2-a2 2{Jx-a Jx + a) 2a ' ' l v
1 , \x-a\ t r
=—In \ + C.
2a \x + a\
Аналогично в общем случае можно доказать, что если
подынтегральная дробь f(x)/g(x) — правильная, а ее
знаменатель g(x) — многочлен степени п, имеющий п попарно
различных действительных корней av o^, ..., an, то
существует представление подынтегральной функции в виде
fix) A An An
g(x) x-ax x~a2 x-an
где Av A2, ..., Ап — некоторые числа. Тогда исходный
интеграл сводится к сумме табличных.
г х2-2х+2
Пример 10.11. Найти —- - dx.
J x3 + 2x2-8x
Решение. Так как х3+2х2 -8х = х(х - 2)(х+4), то
X — ZX ■+■ Z /л^ /±2 ^*з
х3 + 2х2-8х х х-2 х+4'
Из последнего равенства найдем постоянные Av A2> А3.
Приводя дроби правой части к общему знаменателю,
приходим к равенству
А1(х-2)(х+4)+А2(х+4)х+А3(х-2)х = х2-2х+2.

554
Глава 10. Неопределенный интеграл
Если х = О, то имеем -8Д =2 и Д= —. Если х = 2, то
1 4 13
12А> = 2 и А> = -. Если х = -4, то 24А> = 26, т.е. А = —.
2 2 g 3 3 12
(Обратим внимание читателя, что прием нахождения
постоянных Av A2, ... нетрудно обобщить и использовать при
доказательстве существования указанного разложения в
общем случае.) Тогда
г х2-2х+2 ,__lrd!r 13 г <& 1 с dx _
*х3 + 2х2-8х 4J х 12JX+4 6Jx-2~
= --ln|x|+—1п|* + 4| + ±1п|х-2| + С
(см. A0.21)). Рассмотренный метод интегрирования
называется методом неопределенных коэффициентов, ►
10.6. Интегрирование некоторых видов
иррациональностей
Рассмотрим случаи, в которых замена переменной
позволяет интегралы от иррациональных функций свести к
интегралам от рациональных функций, описанных в
параграфе 10.5 (т.е. рационализировать интеграл).
Обозначим через i?(w, v) функцию от переменных w, v и
некоторых постоянных, которая построена с
использованием лишь четырех арифметических действий (сложения,
вычитания, умножения и деления), например, R(u, v) =
2 о 5 п/ ч U + 3V
= ul+2v\R(u,v) = -—j ит.д.
2-й
Рассмотрим интегралы вида | R(x,\[x)dx. Такие
интегралы рационализируются заменой переменной t = yfx.
С dx
Пример 10.12. Найти -т=—-j= .
J yjx+\jx
Решение. Подынтегральная функция искомого
интеграла записана как функция от радикалов степеней 2 и 3. Так
как наименьшее общее кратное чисел 2 и 3 равно 6, то дан-

10.6. Интегрирование некоторых видов иррациональностей 555
ный интеграл является интегралом типа \R(x,yfx)dx и
может быть рационализирован посредством замены
переменной $[x = t. Тогда x = t6, dx = 6t5dt, Vx=£3, %/x=t2.
Следовательно,
5
f *,*_<?_
Jyfx+Ух h3+t2 h+i
Пусть t + 1 = z. Тогда dz = d(t + 1) = dt и
j-jJ^ = 6J^ldz = 6Jz2dz-18[zdz+i8Jdz-6J^ =
V X "г v X £ &
= 223~922 + 182-61n|2| + C = 2(^ + lK-9(^ + lJ +
+ 18(^ + l)+C = 2>/x-3^+6^Jc-6b(^ + l)+C1>
где C^C-11. ►
Интегралы вида \R(x,\[x)dxявляются частным
случаем интегралов от дробно-линейных иррациональностей,
т.е. интегралов вида [R(x,m -)dx, где ad- cb* 0, кото-
рые допускают рационализацию посредством замены пере-
« + Jax+b
меннои t = « .
\сх+а
Пример 10.13. Найти J-
JVl+xl+x
Н-х \-t2
Решение. Пусть t = J . Тогда х = тг, dx =
\1 + х 1 + Г
Atdt 4 2 1 \ + t2
г, 1 + х = -
A + ГJ 1 + г х+1

556
Глава 10. Неопределенный интеграл
Следовательно,
JVi+x
1-х dx (t(l + tz)
1-х dx _ tt
1+ii+i J 2
t2dt
At
A + t2J
dt =
dt
Jl + £2 J Jl +
= -It + 2arctg£ + С = -2 J—-
Vl + x
+ 2arctgji-^ + C. ►
Рассмотрим интегралы вида \R(xyy]ax2+bx+c)dx.
В простейших случаях такие интегралы сводятся к
табличным (см. A0.12), A0.15)). (Необходимая замена
переменной предполагается после выделения полного
квадрата в квадратном трехчлене ах1 + Ъх + с.)
Пример 10.14. Найти интегралы:
dx ^ч г dfc
oj-
;6)J
Vx2+4x+5 ' •* V8 + 4x-4x2
Решение.
а) Учитывая, что х2 + Ах + 5 = (х + 2J + 1, положим
t = х + 2. Эта замена переменной позволяет свести
искомый интеграл к табличному (см. A0.15)):
dx
-\:
dt
•W*2+4x+5 J Vt^+I
= In \x+2+ых2 + 4x+5
= ln
+ V*4l
+ C =
+ C.
б) Так как 8 + Ax - Ax2 = 9 - A - 2rJ, то положим 1 - 2x =
\-t 1
= t. Тогда x = ,dx = —dt и, следовательно,
I
dx
^8+Ax-Ax2 2J Ь-t2
If L
rdt.
Окончательно (см. табличный интеграл A0.12) при а = 3)
получаем
г dr 1 . t „ 1 1-2ж „
. =—arcsin—+C = —arcsin + С. ►
Ч8+Ах-Ах2 2 3 2 3

10.7. Интегрирование тригонометрических функций 557
В более сложных случаях для нахождения интегралов вида
\R(x,>Jax2 + bx+c)dx используются подстановки Эйлера
(см., например, [6]).
10.7. Интегрирование тригонометрических
функций
Рассмотрим интегралы вида |i?(sinx, cosx)dx. Такие
интегралы могут быть сведены к интегралам от рациональ-
х
ных функций в результате замены t - tg—, где -ж х < п.
Действительно,
. 2tg[h it Л Vbuj \-e
SinX = - — = 7Г, COSX = -
1+tg [2 J 1+tg [2 J
x = 2arctg£, dx = =-
1 + r
Тогда
Ui Ad. / 2 Л j
|/?(sinx,cosx)d[r= |# T, =■ 77= \Ri(t)dt.
J J |^1 + *2 1 + t2 Jl + t2 J ^
Пример 10.15. Найти .
J sinx
Решение. Положим £ = tg—. Тогда, используя
указанные выше выражения через £ для dx и sin x, получаем, что
искомый интеграл равен
*2ч
J a+t2Jt J t "
+C.I
Если функция /?(w, a) обладает свойствами четности или
нечетности по переменным и или v, то для рационализации
интеграла могут быть использованы также и другие подстановки.
Так, если R(u, v) — дробь, числитель и знаменатель
которой многочлены по переменным м и а и R(-u, v) = -R(u, v),
то рационализация интеграла | R(sinx,cosx)dx
достигается заменой переменной t = cos x.

558
Глава 10. Неопределенный интеграл
Пример 10.16. Найти |—j—dx.
J COS X
и3
Решение. В данном случае R(u, v) = —j, а потому R(-uy v) =
v
= -R(u, v). Пусть cos x = t, dt = -sinxdx. Следовательно,
учитывая, что sin2 x = 1 - t2, получаем
J cos4* J t4 J J 3
11 1
= {—з —+C' ►
3cos x cos*
Если R(u, v) = -J?(w, а), то рационализация интеграла
\R{smxycosx)dx достигается заменой переменной £ = sin*.
Пример 10.17. Найти |sin2*cos3*<ir.
Решение. В данном случае R(u, v) = и2 v3. Положим
t = sin х. Тогда dt = cos x dx и, следовательно,
lsm2xcos3xdx=\t2(l-t2)dt = + С =
sin3* sin5* „
+ C.
3 5
Рассмотрим интегралы вида | sin ax cosfixdx,
jsina*sinP*d!r, Jcosa*cosP*d[r, где a, P — некоторые
действительные числа. С помощью известных формул для
преобразования произведения тригонометрических
функций в сумму такие интегралы сводятся к сумме табличных.
Пример 10.18. Найти | sin3*cos5*d!r.
Решение. Так как sin 3* cos 5*=-(sin 8*-sin 2*), то
[sin3*cos5*d!r = - |sin8*d!r—sm2xdx =
J 2J 2
= — \sm8xd(8x)— | sin2*dB*) =
16J AJ
= -cos2* cos8*+C. ►
4 16

10.9. Непосредственное интегрирование
559
10.8. Об интегралах, «неберущихся»
в элементарных функциях
Из основных правил дифференцирования следует, что
производная произвольной элементарной функции вновь
является функцией элементарной. Однако операция
нахождения первообразной функции (неопределенного
интеграла) таким свойством не обладает, т.е. существуют
элементарные функции, первообразные которых
элементарными функциями уже не являются. В связи с этим
соответствующие неопределенные интегралы называются
«неберущимися» в элементарных функциях, а сами
функции — неинтегрируемыми в конечном виде. Так,
|е~х dx, \smx2dx, \cosx2dx, | dx, | dx, I-
«неберущиеся», т.е. не существует такой элементарной
функции f(x), что f'(x) = e~x или /'(x) = sinx2 и т.д.
Все методы интегрирования, рассмотренные в данной
главе, применяемые для нахождения интегралов от
элементарных функций, вновь приводят к элементарным
функциям. Поэтому указанные «неберущиеся»
интегралы не могут быть найдены, по крайней мере, с помощью
методов, приведенных в данной главе. Однако это не
означает, что такие интегралы не существуют или их
невозможно найти (соответствующие методы интегрирования
будут описаны в гл. 14).
ПРАКТИКУМ
10.9. Непосредственное интегрирование
10.19. Найти неопределенные интегралы:
a) jBsmx-3x+2+5)dx; б) J^^1) <fr.
+ 3х2 + х
х(х2 + 1)
ч с2х +Зх2 + х+1 , ч f 2* 1
в) т: dx; г) cos —dx.

560
Глава 10. Неопределенный интеграл
Решение.
а) Используя свойства интеграла A0.4) и A0.5),
приходим к сумме табличных интегралов A0.10), A0.9) при а = 3
и A0.7) при п = 0:
JBsin х - Зх+2 + 5)dx = 2 f sin xdx - 9 J 3* dx + 5 Jdfc =
3*
= -2cosx-9-—+5x + C.
21 / л
, rB^ + lJ г4*3+4д:3+1 , rf 2 ' M
x
3
4x 3+—+ * 3
x
dx =
J
rcbc
= AJx *dx = 4J—+ Jx 3<fc = 12x3+4ln|x|-3x 3+C.
4 +3x2 + x+l , = f2x2(x2 + l)+(x2
x(x2+l) J x(x2 + l)
r2x4+3x2+x+l . f2x2(x2+l)+(x2+l)+Jt: . _
J rYr2+n J rYr2+n
= ff 2x+- + ^— \dx = 2[xdx+ f—+ f—^— =
}{ x x2+l) J J x *x2+\
= x2 + ln|x| + arctgx+С
г) Г cos2— dx = [ dx = - \dx+- \cosxdx =
J 2 J 2 2J 2J
1 1 .
= -x + smx+C. ►
2 2
Найти неопределенные интегралы:
10.20. JiE. 10.21. JBx8+e*2*)rfr.
10.22. f -$—. 10.23. ftg2xd!r.
J9x2 + 1 J
10.24./-^. 10.25. [^У^.
#*
\3 Л Л3*
10.28.
f^fU. 10.27. Г^Л
J x^jc J e +1
J^^dk. 10.29. JBx3-3*2 + 42*+1)dk.

10.10. Метод замены переменной
561
10.30. fBx2 + l)B+3x3)dx. 10.31. \\*+8dx.
10.32. [!2E*+2Ldx. 10.33. fsin-cos-dx.
J VI J 2 2
10.34. f C2°s2:r2 dx. 10.35. f^5^3-1^.
J cos xsin x J x +1
10.36. ix3-X+2dx. 10.37. t^^dF^dx.
x
10.38. f ^— dx. 10.39. f- Л
l-tg2| Jsi^2*
■ЪхА-х2-\
•1)
10.40. 2/ 2 ,- &-
J x (х -1
10.10. Метод замены переменной
10.41. Найти интегралы:
а) Г j^dx; б) Г-* ; в)Г * .;
ч г xdfc ч r8x3d!r ч г Зх+2 ,
r) J / 9 д) к—г; е) \-2-z—^dx-
Ч3-4х2-4х J 2x+l J x2-4x+3
Решение. х+5 (х + 5Л
а) Пусть t = . Тогда dt = d\ L По определению
дифференциала получаем
dt = \ \dx = -(x+5)'dx = -dx,
{ 3 ) 3V 9 3
откуда dx =* 3dt. Учитывая выражение для t, исключим х из
записи подынтегрального выражения искомого интеграла,
тогда
I^t*-!*3*-

562
Глава 10. Неопределенный интеграл
Используя свойство A0.4), приходим к табличному
интегралу A0.7) при я = -:
2 ( з
IJtZdt^ttdt^
2*2
+G
= 2
х+5
" + С,
где C = 3CV
Как было отмечено в параграфе 10.3, в простейших
случаях замена переменной может не записываться явно, а
используется преобразование переменной под знаком
дифференциала, л
б) Заметим, что 4x2 + l = B.rJ + l, a dx = -dBx). Тогда
г dx г J. dBx) _ 1 г б/Bх)
"W4x2 + 1 J 2 ,JBxJ+l 2J^BxJ + l
= -ln2x+V4x2+l
+C
(см. табличный интеграл A0.15) при а = 1).
в) В знаменателе подынтегрального выражения
выделим полный квадрат: 9х2 + 6х + 5 = (Зх + IJ + 4. Учиты-
1
вая, что dx = -dCx + i), получаем
о
г dfc rj. <jCx+l) _ir aCx+i)
* 9x2 +6x + 5~ *3 (Зх + 1J + А~~ З* (Зх + 1J +А~
1
-arctg- 2
- + C
(см. табличный интеграл A0.13) при а = 2).
г) Выделим полный квадрат в подкоренном выражении:
3 - 4х2 - Ах = 4 - Bх + IJ. Положим 2х + 1 = t Тогда
x = -(t-l) и dx = — dt. Следовательно,
2 2
г дай: Н (t-l)dt _1 г tdt 1 г dt
Ч3-Ах2-Ах~>*4а^~^4а^? ^уЦч*'
Второй из двух полученных интегралов — табличный
(см. A0.12) при а = 2). Для нахождения первого заметим,
1 2
что tdt = —d(A-t ). Тогда

10.10. Метод замены переменной
563
j
xdx
•у/3-4х2-4х 8
= -i[D-£2) 2rfD-f2)-iarcsin| =
1 - 1 t
= --U-t2J --arcsin-+C =
4 4 2
=—v3-4x2 -4x —arcsin x+- \+C.
4 4 I 2)
д) Пусть £ = 2x + 1. Тогда dt = 2<& и, следовательно,
dx = -dt. Так как х = - -, то
2 2
8x
f—<** = f
M
ldt= 1 Г^-З^ + З^-!
2 2J г
Ж =
= ifft2_3(+3_i>|A=it3_3 2 3 _1 ln|£|+c
2-^ tj 6 4 2 2 ' ' 4
Возвращаясь к исходной переменной (t = 2х + 1),
получаем
\-^-dx = -x3-x2+x--\n\2x + l\+C,
J2x+1 3 2 ' '
где С = Сл+—.
12
е) Выделяя полный квадрат в знаменателе
подынтегральной функции, получаем
Зх+2
Зх+2
г 5х+2 , г Зх+2 ,
—~ dx= 5—dx.
•»x2-4x+3 J(x-2J-l
Пусть t = x - 2. Тогда Л = d{x - 2) = (x - 2)'dx = dx,
х=£+2и
f 3*+2 <fr = f^±2^ = 3f^+8f-^- =
J(x-2J-l J £2-l V-l J*2-!
3frf(?2-l) ,, t-1 3, i 2 a ,,
= - -4 -+4ln =-lnr-l+4ln
23 t2-\ \t+\\ 2 I I
t-1
t+1
+C.

564
Глава 10. Неопределенный интеграл
Возвращаясь к исходной переменной, окончательно
имеем
г Зх+2
Зх+2 , 3, i о *
-ах = -т\х -4х+
-3 2
3| + 4Ь
х-3\
х-1
+ С ►
dx
10.42. Найти интегралы:
Р -Зх2+а г x2dx с ах
a)ixe ^;6)J^7; в)Ь*+з*1п*;
г с3*
г)
) J4^ Д) J-; е) ГЛГЛк; ж) J-*
Je +1 •'cos* J J(l + x)
Решение.
-Зх2+А
) Jxe 3X +4^ = Jej:2+4f-->|rf(-3x2+4) =
--а
1 Г.-Зж2^, Q-2 ~ 1 -3*2+4
v ' 6
+C (см. табличный
интеграл A0.9')).
x2dx 1 f ф:3)
^ч г x dx If
6) br-W-
1 x
=—arcsin— + C (см. таблич-
V4-x6 3J <j4-(x3J 3 2
ный интеграл A0.12) при а = 2).
B) Г * 4frf<2+of^=llnl2+3lnx|+C (см.
J2x+3xlnx 3J 2+3lnx 3 ' '
табличный интеграл A0.8)).
г) Пусть e* = t Тогда dx = — и [-= dx = Г—ц =
t Je2x + 1 J(t2+i)t
\dt= [dt-\-^j = t-aictgt + C =
= ex -arctge* +C.
Отметим, что замена переменной t = е* позволяет
рационализировать произвольный интеграл вида Г R(ex)dx.
t2dt
- f { at _ f
'i—' ч
t2+l)

10.10. Метод замены переменной
565
д) Преобразуем сначала знаменатель подынтегральной
функции:
cosx =
. (п Л п . (к хЛ (к хЛ
x = sin — + х =2sin — + — cos — + — =
U ) V 2) U 2J
о . 2f Л X \ ^ l К X
= 2snr - + — ctg - + —
4 2 5 4 2
7C X
Пусть t = ctg| — + — [ Тогда dt = -
:<ir.
Следовательно,
cosx
cbc
2 sin
(M)
—- ^-ьИ+с-
ctg| -+ 2
= -ln
ctg| j+-
+ C = lntg(* + *1
I U 2 J
+ C.
Тогда <ir = costdt,
e) Пусть x = sin t, где £e —-,— .
\ll-x2 =\ll-sin2t = \lcos21 = cost, так как при сделанных
предположениях cos t > 0. Тогда
Nl-x2dx=[ cos2 tdt.
Воспользуемся формулой понижения степени и
свойствами интеграла A0.4), A0.5):
[cos2 tdt = f-(l + cos2t)dt = -t+ -\cos2tdBt).
Учитывая A0.11), имеем
г 11
\cos2tdt = -t + -sm2t + C.
J 2 4
A0.29)
Применяя формулу для синуса двойного угла и
осуществляя возврат к исходной переменной, окончательно
получаем
г I 11 11 I
\yjl-x2dx = —t+— 2sintcost+C = —arcsinx+-xyl- x2 +С.
J 2 4 2 2

566
Глава 10. Неопределенный интеграл
ж) Пусть x = tgt Тогда dx =
с cos4 tdt f 2 .
- ту— = cos tdt.
J coslt J
dt
cos2t
с dx _
J(l + x2J"
ем
Применяя формулу A0.29), получаем
г dx 11.^^11 2tgt „
J(l + x2J 2 4 2 4l+tg2£
Возвращаясь к исходной переменной, окончательно име-
f dx 1 1 х „ ^
«-T = -arctgx+- тг + С*
J(l + x2J 2 ь 2 1 + х2
Используя указанные замены переменной, найти
интегралы:
10.43. Г-£-, . = -1. 10.44. Гй±*>* * = lWx".
10.45. ftg^flk, t = ca£. 10.46. f-^-, t = l+e~x.
J 3 3 Je +1
f etc 1 ,Л /e f x2<&
—, , x = -. 10.48. , , x = sir
Jx\/l+x2 * JVl-x2
10.47
= smt.
10
.49. J
Vi+^
-dx, x = tgt.
Найти интегралы:
10.50. J-*-.
10.52. (-*Ц.
JDx+3M
10.54./-,£-.
10.56.
x2dx
f X fitt
J2x4
10.51. p3x + 2dx.
10.53. f-*_.
Ю.55. f**L.
10.57. Jl*+7 sinBx2+x)<fe.

10.10. Метод замены переменной
567
K2+cos3xsin3^<ir.
?42+5exdx.
•sin In x
X
dx
2x2+\
e~xdx
1-е-2*'
-x3dx
1-х '
dx
3x2-5*
x2dx
7*6+Г
2x+l
<ir.
V*2+i
x2dx
x2 + 3'
•35x-l
<ir.
<ir.
dx.
•x+2x3
л/х2+9
dx
' x2+2x'
Bx-3)dx
Vx2+4x+5
dx
'4лг2 + 12дг+13'
10.59.
10.61.
10.63.
10.65.
10.67.
10.69.
10.71.
10.73.
10.75.
10.77.
10.79.
10.81.
10.83.
10.85.
10.87.
-Jbcdx_
2x+l
cos-
dx.
aarctg'-
9+x2
dx
-dx.
V3+2x2 '
x2 + l
x+1
2x-l
-dx.
2x+l
xdx
dx.
Vl6-x4 '
2x+l ,
dx.
3x2 + 2
Vx + In2 x
dx.
X
x2 + 2x + l
x2 + l
x+arcsinx
dx.
J^x2
xdx
dx.
x2-2
dx
y6x-x2 -5
dx
хг + 2х-Ъ
xdx
yl-x2-4x

568
Глава 10. Неопределенный интеграл
10.88. , 10.89. sin4-<&.
JV2 + cos2x J 2
10.90. f-^-. 10.91. fctg^^r.
Jsin2x J 2
10.92. |sin22xcosx<ir. 10.93. | Vl + cos2xsin2x<ii;.
10.94. j^cosx^dx.
(sinxJ
10.11. Метод интегрирования по частям
10.95. Найти интегралы:
a) fc<&; 6) JxV2dJr; в) jx2e~x+{cby
г) Jln2Bx+3)dr, д) jjl+x2dx.
Решение. ^ {
а) Пусть и = In х и dv = -T=. Тогда rfw = rf(lnx) = — <ir и
t;= |<fo = |x 2<ir = 2x2.
Вообще говоря, по формуле A0.3) полученное
выражение для v должно содержать постоянную интегрирования
С. Однако при применении формулы A0.23) эта
постоянная из окончательного выражения выпадает. В связи с
этим в выражении для v удобно полагать С = 0.
Согласно формуле A0.23), имеем
|~7=-<^г = 2х21пх- \2x2—dx = 2x2\nx-2\x 2dx =
J yjx J x J
= 2x2\nx-4x2+C.
б) Используя замену переменной, сведем данный
интеграл к интегралу, который может быть найден методом
интегрирования по частям.

10.11. Метод интегрирования по частям
569
Положим х1 = t Тогда -fife = xdx и \х3ех cbc = | х2ех xdx =
= {tet-dt = -[tetdt.
J 2 2J
Пусть теперь £ = и, edt = fifo. Тогда du = dt, v= \etdt = #*
и 1 fto* =i(ft^- f^A) = i^-I^+c = i^ -V +C.
2J 2V J 7 2 2 2 2
в) Пусть w = x2, fife; = e'^dx. Тогда du = 2xdx, v= \dv =
= je~x+idx = -fe-x+{d(-x +1) = -e'x+i.
Применяя формулу A0.23), получаем
jx2e~x+xdx = -* V*+1 + 2Je~x+ixdx.
К полученному интегралу вновь применяем формулу
A0.23), полагая u = x,dv = e'^dx. Тогда du = dx,v= -e-x+1 и
jx2e~x+idx = -х2е~х+{ - 2xe~x+i + 2 je~x+'dx =
= -x2e~x+1 - 2*TX+1 - 2e"x+1 + С = ~(*2 + 2x + 2>ГХ+1 + С
г) Выполним сначала замену переменной, полагая t e
= 2х + 3. Тогда <А = dBx + 3) = 2d5r и dx = -dt. Следовательно,
lln2Bx+3)dx = j\n2t-dt = -j\n2tdt.
Пусть 1п2£ = м, dt = dv. Тогда dw = din2 £ = 21n£-fife,
я = r^fo= \dt = t и, применяя формулу интегрирования по
частям, получаем
Jln2Bx + 3)^ = -(dn2^-J^-21n^-fife) = -dn2^Jln^fife.
Полагая в формуле интегрирования по частям и - In t,
dv = fife, получаем <fe = dn£-£+C. Окончательно имеем
\ln2Bx+3)dx = -tln2t-tlnt + t+C =
= -Bж+3Iп2B*+3)-Bлг + 3IпBлг+3)+2лг+С.

570
Глава 10. Неопределенный интеграл
д) Воспользуемся формулой интегрирования по частям.
Пусть w = vl + *2, dv--dx. Тогда du = , , v= \dv-
J= i\ll + x2dx = x\ll+x2 - f * dx = x\ll + x2 -
J 4l + x2
J VU7 J JVi^7
= Wl-кг2 -JVl+x2rfr+lnLr+Vx2 + l +C.
Но второе слагаемое в последнем выражении совпадает
с искомым интегралом/, т.е. имеем равенство
J = x\Jl+x2 -J + ln\x+\lx2 + l
откуда
2] = x\ll + x2 + Щх + x\lx2 + l
J = -xJl + x2 +-1п\х + уГх2 + 1
J 2 2 1
гдеС^-С.
Следует отметить, что данный интеграл принадлежит к
семейству интегралов вида \R(xyyJa2+x2)dx, каждый из
которых может быть найден с помощью
тригонометрической подстановких = atgt (см. пример 10.42, ж). ►
10.96. Найти интегралы:
a) jxarcsinxtffc; б) \е2хco&xdx.
Решение,
а) Пусть w = arcsinx, dv-xdx. Тогда du- , , v =—.

10.11. Метод интегрирования по частям
571
Применяя формулу A0.23), получаем
с . х2 If x2dx x2
\xdxcsm.xax=—arcsinx— . =—arcsinx+
J 2 Vj^x1 2
1 еЫ\-х2J-\ , x2 . If г 2j
+-I-—. —dx =—arcsinx+- \yjl-x ax-
2J ^17 2 2J
_i f ^
Jvr^7'
Второй из полученных интегралов табличный (см.
A0.12)), а первый был найден ранее (см. пример 10.42, е).
Окончательно получаем
\x3Tcsmxdx = ( )arcsinx +—yjl-x2 +C.
J 2 4 4
б) Пусть и = cos 3x, dv = e^dx. Тогда du = -3sin 3xdx,
л
v = -e2x. Обозначая искомый интеграл через/и применяя
формулу A0.23), получаем
/ = -e2xcos3x+- \e2xsm3xdx.
J 2 2*
К полученному интегралу вновь применяем формулу
интегрирования по частям A0.23), где u = sm3x, dv =
= e^dx:
J = -e2xcos3x + -\ -e2*sin3;r— \e2xcos3xdx
J 2 2^2 2J J
или
/ = -e2*cos3x + -e2*sin3x—7+G.
^ 2 4 4J 1
Выражая из последнего равенства искомый интеграл/,
окончательно имеем
J =—Bcos3x+3sin3x)e2x+C,
где С = —£.►
13 1

572
Глава 10. Неопределенный интеграл
Прием, использованный в примере 10.96, б, применяется
для нахождения интегралов вида:
le^sinbxdx; te^cosbxdx, где a, b — действительные
числа, а Ф 0.
Найти интегралы:
10.97. \xe5xdx.
10.99. $x3e2xdx.
10.101. \(х2-3x)\nxdx.
ю.юз. f kfc£>
J \lx
10.105. \~\-dx.
J COS X
10.107. jj2-x2dx.
dx.
Ю.121. p?E^.
10.123. Гз^совлга^.
10.125. jln(l+x2)dx.
10.98.
10.100.
10.102.
10.104.
10.106.
10.108.
10.110.
10.112.
10.114.
л
\x2e 2dx.
10.109. [arctgyjbc^idx.
10.111. \x2cosxdx.
10.113. |cos(lnx)<ir.
10.115. jln(y/r^+yli^x)dx. 10.116
10.117. \xtg22xdx.
10.119. \cos2(lnx)dx.
10.118.
10.120.
10.122.
10.124.
10.126.
\n(l-x)dx.
x2xdx.
xsin3xdx.
x2 -Adx.
xcos2xdx.
arcsinvx
yfx
dx.
exsin—dx.
Ar.
xcosx
dx.
sin2 ж
ж In dx.
1 + x
x2arctg3xdx.
(arcsinxJd[r.
e3xsin2xdx.
\nx
(x + lY
■dx.

10.12. Интегрирование рациональных функций 573
10.12. Интегрирование рациональных функций
Рассмотрим общий подход к интегрированию
рациональных функций вида (где f(x) и g(x) — многочле-
ны от переменной х) — так называемый метод
неопределенных коэффициентов. Будем предполагать, что дробь
——:- — правильная, т.е. степень числителя /(х) меньше
степени знаменателя g(x). •»
Пусть знаменатель g(x) можно разложить на линейные
множители:
ё(х) = (х-щ)Ь(х-а2)Ь... (*-a,)\ (Ю.30)
где a, *OLj при хф j и kv ..., kx — положительные целые
числа.
В этом случае дробь можно представить в виде
суммы простейших дробей:
g(x) (х-о^) (х-оцJ (*-а,Г
, Ai , ., 4* d°-31)
(x-a,) '" (x-a,)**'
10.127. Найти интеграл f ^
J(x-lJ(x+l
где Лц, Л,2>-> Afe — некоторые неизвестные числа.
x2dx
"l)
Решение. Записывая подынтегральную функцию в виде
суммы простейших дробей, имеем
X /\л /±2 **}
(х-1J(х+1)~х-1 (х-1J х+1
или после приведения правой части к общему знаменателю
получаем
х2 =А1(х2-1)+А2(х+1)+А3(х-1J
(х-1J(х+1)~ (х-1J(х+1)

574
Глава 10. Неопределенный интеграл
Это равенство выполняется тождественно (т.е. при
любых значениях переменной х) только в том случае, если
х2 = Д(ж2-1)+Л2(ж+1)+Л3(ж-1J. (Ю.32)
Полагая в равенстве A0.32) х = 1, получаем 1 = 2А2 и,
1
следовательно, А2=-. При х = -1 из равенства A0.32)
имеем 1 = 443, поэтому Л3 = - • Пусть х = 0. Тогда из равен-
4
ства A0.32) следует, что 0 = -Ах + А2 + Л3.
Подставляя в последнее равенство найденные значения
3
А2 и Л3, получаем Ai=—.
Используя полученное представление для
подынтегральной фзшкции в виде суммы простейших дробей, имеем
xldx 4 4 4 4 4
с х ах _ г
J(x-lJ(x+l)~J|
3 111 11
4 х-1 2 (х-1J 4 х+1
dx =
= -ln|x-l| -— + ^1п|ж+1| + С. ►
4 ' ' 2(х-1) 4 ' '
Если многочлен g(x) не допускает разложения на
линейные множители (g(x) имеет комплексные корни), то в
выражении A0.30) дополнительно содержатся
сомножители вида (х2 + рх + q)my где т — положительное целое
fix)
число. Тогда разложение A0.31) дроби J дополни-
тельно содержит слагаемые вида
М1х + ЛГ1 М2х + ЛГ2 Mmx+Nm
x2+px + q (x2 + px + qJ (x2 + px + q)m
dx
— i)
Решение, Разложение подынтегральной функции на
простейшие дроби имеет вид
с их
10.128. Найти интеграл «
J (х-1)(х -х+\
1 А{ M{x+Nx
(х-1)(х2-х+1) х-1 х2-х+1

10.12. Интегрирование рациональных функций 575
Выполняя приведение к общему знаменателю и
приравнивая между собой числители левой и правой частей
получаемого равенства, имеем
l = Ai(x2-x + l)+(M1x + N1)(x-l). A0.33)
Если х = 1, то Ах = 1; если х - 0, то приходим к равенству
1 = Ах - N{ и, следовательно, Nx = 0.
Полагая в равенстве A0.33) х = -1, получаем
^ЗД+НЦ+Л^Х-2),
откуда М1 = -1. Тогда
с dx _ г <ir г Jtrfr
J(x-l)(jt:2-x+l)"Jx^l~Jx2-jt: + r
Для первого интеграла (в правой части)
преобразуем функцию под знаком дифференциала: dx = d(x - 1);
для второго выделим полный квадрат в знаменателе
2 < Г if 3
х-л:+1=х— н— и воспользуемся заменой
переменной t = x—.Тогда dt = dx, x = t+- и
2 2
1.
J -г = Я^ЧА^ =
J(x-i)(x2-x+l) J х-1 Jt2 + 3
4
Н., с tdt lr «fe
4 4
11 2J ,2.3 ./Я gJ5
= ln|x
4
= ln|x-l|--ln
sA
S . 2x-l _
4
2"r ^TTT<utl6^
i i л\ li I 2 Л v3 ^ 2x —1 ^, .
= lnpr-l|—lnx -x + 1 arctg—j=^+C. ►

576
Глава 10. Неопределенный интеграл
10.129. Найти интеграл |-—n 0
)х(х2 + 1J
Решение. Разложение подынтегральной функции на
простейшие дроби имеет вид
х+1 _Д Mxx+Nx M2x + N2
x(x2+lf~^c x2+\ (х2+1J '
Выполняя приведение к общему знаменателю, получаем
х+1
х(х2+1J~
_ (Д +Мх)хА +Nxx3 +BД +МХ +М2)х2 +N2x+(A1+Ni)
х(х2 + 1J
Условие тождественности данного равенства приводит к
системе
Д + Mt = 0,
Nt =0,
2Д + Мх + М2 = 0,
N2 =1,
Д + Nt = 1.
Решая эту систему, получаем Л1 = 1, Мх = М2 = -1, Л/^ = 0,
ЛГ9 = 1. Тогда
с (x+i)dx _ cdx _ г xdfc _ г xdbf г ж
Jx(x2 + lJ"J"x" J*2 + l J(x2+1J+J(*2 +
IJ
В полученной сумме первый интеграл — табличный,
второй и третий находятся с помощью замены t = х2 + 1, а
четвертый — с помощью замены х = tg t (см. пример 10.42, ж).
Окончательно получаем
r_(£+l)^ = 1,|_i1i2+1|+
1
лг(дГ+1)"
1 X
+-arctg*+ =-
2 6 2A+л:2)
2(^ + 1)
+£►

10.13. Интегрирование некоторых видов иррациональностей 577
Найти
10.130.
10.132.
10.134.
10.136.
10.138.
10.140.
10.142.
10.143.
10.144.
10.146.
10.148.
10.150.
10.152.
интегралы:
dx
dx
dx
x3 + i'
dx
2 •
x(x+i)
(x2 + 2)dx
(x+i)z(x-i)
x2 -бж + 10
3x2 + 8
dx.
-dx.
10.131.
10.133.
10.135.
10.137.
10.139.
10.141.
x
\-£-
' X +X
r xdx
7dx.
V-l
dx
(xz-l)(x + 2)'
xdx
x +3x-4
i
x3 + l
x3 -5x2+6x
dx.
x3 + 4x2 + 4x
x4+3x3+2x2+x + l
x2+x+l
dx
x4+x2'
3x+5
(x2 + 2x+5J
dx
dx.
D + x2J
dx
x4-l
t2-t+14
(x-4Y(x-2)
■dx.
dx.
10.145.
10.147.
10.149.
10.151.
10.153.
fdx
хйл'
dx
х4+х2 + Г
Г х3-3
dx.
x4 + 10x2 + 25
г dx
' x3-4x2+5x-2
г dx
\^7'
10.13. Интегрирование некоторых
видов иррациональностей
Простейшие интегралы от функций, содержащие
иррациональности, являются табличными (см. A0.7), A0.12),

578
Глава 10. Неопределенный интеграл
A0.14)) либо сводятся к ним с использованием свойств
интеграла и (или) замены переменной (см. примеры в
параграфах 10.2, 10.3, 10.9, 10.10). В более сложных случаях
основной подход состоит в сведении искомого интеграла к
интегралу от рациональной функции (см. параграф 10.6) с
помощью подходящей замены переменной (так
называемой рационализации интеграла).
Интегралы вида j R(xy у]а2 - х2 )dx, \ R(x, \}х2 + a2 )dx,
\R{x^x2 -a2)dx (где R — рациональная функция)
находятся с помощью подстановок соответственно х = asm ty
х = atg t, x = (см. пример 10.42, e, ж).
cost
10.154. Найти интегралы:
л л
Решение. *
а) Пусть х- , где £е[0,л] и t* —.
cost 2
^ , sintdt cyjx2-l . с ll-cos2t costsint ,
Тогда dx = y~ и "*= i/ Ъ Ъ—"t =
cos t J x J V cos t cos t
-/Шг*-н**
При сделанных предположениях sin t > 0.
Если х > 0, т.е. cos t >0, то |tg t\ = tg t и
\tg2tdt=U(l + tg2t)-l)dt = ]-^—\dt = tgt-t + C.
rr . 1 1 4. „ sin* VI-COS2^
Так KaKcos^ = —, то t = arccos— и tgt = = —. =
— x x cost ylcos2t
= у1х2-1. гу—
Следовательно, dx=\jx2 -1 - arccos—+C.
J x x
Если x < 0, т.е. cos t < 0, то |tg t\ = -tg t и аналогично
получаем, что
c\lx2-l , гу-: 1 п
ax = yjx -1+arccos—+ G.
J х x

10.13. Интегрирование некоторых видов иррациональностей 579
б) Пусть х - 2sin L Тогда dx = 2cos t dt и
f ЕЕ*. fJ<4-4s.n'Q'2cos<л_, fс^д _
J л:6 J 64sin6£ 4 J sin6 *
= - I -2^— = --1 ctg'tdctgt = -—ctg5t + С =
20x5
Интеграл вида
JR(xy^)dx A0.34)
рационализируется с помощью замены t = у[х.
Очевидно, что интегралы вида
JR(x1^y...yn4x^)dx
являются частными случаями A0.34), где п — наименьшее
общее кратное чисел nv ..., щ.
Обобщением интеграла A0.34) является
\{*ШУ
A0.35)
где ad Ф be. Для рационализации интеграла A0.35) исполь-
lax+b
зуется подстановка t = т .
vcx+d
10.155. Найти интегралы:
ч fl + 4/tf , ^ f dx rl H+x j
Jx + Vx J4x5-ylx3 Jx2V х
Решение.
а) Наименьшее общее кратное степеней 2 и 4
радикалов, через которые записана подынтегральная функция,
равно 4, поэтому полагаем х * г4. Тогда d[r = 4Afe и

580
Глава 10. Неопределенный интеграл
Первый и третий интеграл — табличные, а для
нахождения второго используем формулу A0.26). В результате
получаем
\1 + y**dx = 4t + 2\n(t2 + l)-42Lrctgt + C =
= 4^+21n(l+V*)-4arctg^/x+C.
б) Наименьшее общее кратное степеней 4 и 6 радикалов,
через которые записана подынтегральная функция, равно
12, поэтому полагаем t = x12 . Тогда x = tn, dx = \2tndt и
г dx c!2tndt _ rt2dt
Используя эквивалентные преобразования, сведем
полученный интеграл к сумме табличных:
d(t-\)
2 J t-\
= Ы2 +\2t + \2\n\t-\\+C.
Возвращаясь к исходной переменной, окончательно
получаем
[_*r =6^ + 12^ + i21i№-l|+C.
в) Данный интеграл имеет вид A0.35), поэтому
полагаем J -t. Тогда
1 + х _ 2 1 , ltdt
Г2-! (t2~if
2t -2tdt
(t2-\f
3
+C. ►

10.14. Интегрирование тригонометрических функций 581
Найти интегралы:
.Л .^Л f x3dx
10.156. -7—
10.158. \g*L.
t dx
10.160. зт—7-.
10.162. J
dx
х"Ых2 -1
1 lx-2 ,
10.164. f-J—
Ю.166. fj^-^-.
JVl-xl-x
„„ .„_ г Jxdx
10.157. —?=—
,Л ,,.„ f *<&
10.159. ... л .
10.161. { , ** ,
J \lx+l + -Jx
10.163. fxj— dx.
J \x+l
Vx+1+2
10
10
,165. г ых;1+±-<ь.
J(x + 1J-Vx+1
л1х + \-у1х-1
,167. f^l-^Zlfc
10.14. Интегрирование тригонометрических
функций
10.168. Найти интеграл |—
<ir
5 cos ж
x
Решение. Полагая t = tg—, получаем
с dx с 2dt
J3 + 5cosx J
(ш2)
J«_9*2 J A-t2 4
4
tg- + 2
62
tg--2
52
4-^ 4
+ C. ►
£ + 2
£-2
+ C =
x
Использование универсальной подстановки £ = tg—
при интегрировании функции вида i?(sinx, cosx) часто

582
Глава 10. Неопределенный интеграл
приводит к громоздким подынтегральным функциям.
В частных случаях можно применять другие подстановки.
Так, если функция R(u, v) обладает свойством нечетности
по переменной м, т.е. R(-u, v) = - R(u, v)> то используется
подстановка t = cos х\ если, напротив, R(u> -v) = - R(u, v),
jot = sin x. Если же функция обладает свойством четности
сразу по двум переменным, т.е. R(-u, -v) = R(u> v), то при-
меняется подстановка t = tg х> где — < х < —.
2 2
10.169. Найти интегралы:
а) г* б) f—*Ц-.
J cos х Jl+3cos х
Решение.
а) Пусть t = sin x. Тогда dt = cos хсЬси
dx _ ccosxdx _
cos3 x
■j-
cos4x
-J
<#
(l-;2J
Используя метод неопределенных коэффициентов (см.
параграф 10.2), найдем разложение подынтегральной
функции на простейшие дроби:
1
1
A-t2J
A-02A+02
1
1
1
1
i-t (l-ty l+t (i+ty
Тогда
1
-+с=
1,
1
=—lnli-ll —+-ln|t+l|-
4 ' ' 4(£-1) 4 ' ' A(t+i)
4
Ль
4
sinx+1
sinx-1
sinx + 1
sinx
2(sin2x-l)
-+C =
sinx-1
1
+ -•
tgx
2 cosx
+C.

10.14. Интегрирование тригонометрических функций 583
б) Пусть t = tgr, где —<х< —. Так как 1+t2 =-
2 2 cos2x'
то cos2 x = 7г\ поскольку х = arctg£, то dx = т . Тогда
1+t2 1 + t2
с dx _ г А _
Jl + 3cos2x JA+t2)ri+ 3 j
= "о— = ^arctg-+C = -arctg-^-+C. ►
h2+A 2 2 2 2
10.170. Найти интеграл
jsinxcos22x6/r.
Решение. Используя тригонометрическую формулу
понижения степени, получаем
isin^cos2 2xdx = J sinx dx =
= — \smxdx + — I sin x cos 4x d!r.
2J 2J
Для нахождения второго интеграла воспользуемся
формулой, преобразующей произведение в сумму:
- |sinx<ir+- lsinxcos4x6/r = —cosx+-|(sin5x-sin3x)<ir =
= —cosx+— |sin5x<iEx) |sin3x<iCx) =
-—cosx cos5x+—cos3x+C. ►
2 20 12
Найти интегралы:
10.171. \sm3xdx. 10.172. [cos7 xdx.
dx
10.173. jsin3xcos2xdx. 10.174. J—!
sm#

584
Глава 10. Неопределенный интеграл
10.175.
dx
с ал
J sin x —
10.176.
smx-cosx
dx
j
dx
2sinx+sin2x
10.177. f—-2 —г". Ю.178. f CQSX dx
J 3sm x + 5cos x Jl + cosx
r sinx .
i?dx.
J(l-cosx)^
10.179
10.181,
10.180. f , . ** .
J 8-4sin^ + 7cosx
Jl-tgx
10
182- Гт^—
J B +
dx
c +
dx
B + cosx)C+cosx)
10.183. Jtg3f—-h — W 10.184. Jcos-cos-6&.
10.185. jsin9xsinx6fr. 10.186. |sinxsin2xsin3xd!r.
sin x + —
10.187. f—L Ufa. 10.188. \sin5x&^dx.
J sinxcosx J
Контрольные задания по главе 10
«Неопределенный интеграл»
№
Вариант 10.1
Вариант 10.2
Вариант 10.3
Найти интегралы:
•1-3/2*
dx
1 + 2VI
j
yfxy]yfx+X
\Bx+3)e2xdx
Г dx
\ e2x + ex-2
5* + ll
л/бх-х2-5
dx
dx
dx
Л
dx
sin x cos x
x3arcsin—<ir
1 x
(x2+i)(x2-2)
b2
dx
5x-6
dx
i
J Vl-3*
Uex + \dx
I
x dr
X2 -6x4-10
cos2x
cos4x
dx
j
xcosx
sin3x
rfr
Jl+x2-x2-xA
l+xz
B+*)>/21nx+x
i
|ln(x+vl+x2 W
Jar2-2x-15
xarctgx tie
f e3x+2ex c
Je2x+ex+lC
sin5jc dx
dx
-dx
dx

Контрольные задания...
585
Тест 10
1. При каких а и b функция F(x) = —xb+ 2x2 + x + l
является первообразной для f(x) = Bх +1J ?
2. При каких целых а, Ь, с функция F(x) = 2e3x+1
является первообразной для функции f(x) = aebx+c ?
1
3. При каких целых я, 6, с функции F{(x) = — (l + bx)c и
а
F2(x) = l + x-l,5x являются первообразными для одной
и той же функции/(х)?
r(Vx + 2J
4. Найти dx.
J х
Ответ: ax+b\[x + dln|x| + С, где a,b,d— целые числа:
а = ... , b = ..., d = ...
5. Найти б/г.
ЗГП+ЬхЧ
г: —
4 з j
Ответ: —I *' + С, где а> b> d — целые числа:
а = ..., 6 = ..., б/ = ...
6. Найти \~^J1dx'
Ответ: — х+—1п|4х-7|+С где a,b,d — целые числа,
^ a d }
дробь — — несократима, b > 0: а = ..., b = ..., d = ...
а
7. Найти Jxe* 3dx.
Ответ: —ех +d где a,b,d — целые числа, дробь —
b b
несократима, а > 0: а = ..., b = ..., б/ - ...
8.Haft™pln^.

586
Глава 10. Неопределенный интеграл
Ответ: — хъ + — х41пх + С, где я, b, d — целые числа:
a d
а = ..., Ъ = ..., d = ...
9. Найти [—= .
* х2-2х-Ъ
Ответ\ —In
а
х+Ь
\x + d
а = ..., Ъ = ..., d = ...
+ С, где a, b, d — целые числа, а > 0:
,Л тт о f Л:
10. Найти /
J V3-2x-x
Ответ: arcsin—-— + С, где a,b,d — целые числа, а > 0:
а
а = ... , 6 = ..., d = ...

Глава 11
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
теоретический курс
11.1. Понятие определенного интеграла,
его геометрический и экономический смысл
Задача о площади криволинейной трапеции. Пусть на
отрезке [а, Ь] задана неотрицательная функция у = f(x).
Требуется найти площадь S криволинейной трапеции,
ограниченной кривой у = f(x), прямыми х = а, х = Ъ и осью
абсцисс у = 0 (рис. 11.1). (Говорят также о площади S под
кривой у = f(x) на [а, Ь].)
У
0
1
а
«=/(*)
шшШ
ъ
X
Рис. 11.1
у = f(x) Ломаная
Рис. 11.2
Наметим общий подход к решению этой задачи. Введем
в рассмотрение некоторую ломаную, которая расположена
достаточно близко к кривой у = f(x) на [а, Ь] (рис. 11.2).
Фигура под ломаной состоит из трапеций
(прямоугольников), и ее площадь 5Л (равная сумме площадей этих
трапеций) может быть вычислена с использованием
известных формул планиметрии. Поскольку ломаная выбрана

588
Глава 11. Определенный интеграл
достаточно близко к кривой у = f(x), то справедливо
приближенное равенство S ~ 5Л. Оно оказывается тем более
точным, чем ближе расположена ломаная к исходной
кривой. Поэтому естественно за искомую площадь S взять
предел площади S под ломаной в предположении
неограниченного приближения последней к заданной кривой.
Приведенные рассуждения носят качественный характер.
Для того чтобы их можно было использовать на практике,
необходимо уточнить в них то, что описывалось нестрого:
процедура выбора ломаной и последующий предельный
переход. В результате получим, в частности, понятие
определенного интеграла.
Понятие интегральной суммы. Пусть на [а, Ь] задана
функция у = f(x). Разобьем отрезок [а, Ь] на п элементарных
отрезков точками х0, xv ..., х„. а = х0 < xt < х2 < ... < хп = Ъ.
На каждом отрезке [xt_v xt] разбиения выберем некоторую
точку ^ и положим Ах{ = xi - x^v где г = 1, 2, ..., п. Сумму
вида
2/&)дг,
(ил)
ы\
будем называть интегральной суммой для функции у = f(x)
на отрезке [а, Ь]. Очевидно, что интегральная сумма A1.1)
зависит как от способа разбиения [а, Ь] точками х0, xv ..., хп,
так и от выбора точек ^ t,v ..., ^ на каждом из отрезков
разбиения [xt_v х{], г =1, 2,..., п.
Геометрический смысл интегральной суммы. Пусть
функция у = f(x) неотрицательна на [а, Ь]. Отдельное
слагаемое /(^)Ах{ интегральной суммы A1.1) в этом случае
равно площади St
прямоугольника со сторонами
/(£,-) и Д*,.,гдеi=l,2,...,я
(рис. 11.3, где х{ - xQ = A xv
х2 - хх = А х2 и т.д.).
Другими словами, 5i — это
площадь прямоугольника
под прямой y = f(&i) на
отрезке [л^,*,-].
Поэтому вся
интегральная сумма A1.1) рав
на площади S}
+
a-x0£t xx £2
Рис. 11.3
л *1 + *2 +
+ Sn под ломаной,
об-

11.1. Понятие определенного интеграла... 589
разованной на каждом из отрезков [x{_v x{] прямой
z/ = /(£f) , параллельной оси абсцисс (см. рис. 11.3).
Понятие определенного интеграла. Для избранного
разбиения отрезка [а, Ь] на части обозначим через тахДхг
i
максимальную из длин отрезков [x{_v х{], где г =1, 2,..., п.
Определение. Пусть предел интегральной суммы
A1.1) при стремлении тахДг; к нулю существует, коне-
i
чен и не зависит от способа выбора точек xv х2,..., хп и
точек £j, £2> •••» ^ Тогда этот предел называется
определенным интегралом от функции у = f(x) на отрезке [а, Ь],
ь
обозначается \f(x)dx , а сама функция у = f(x) называ-
а
ется интегрируемой на отрезке [а, Ь], т.е.
\f(x)dx= lim У/fe)^.
J max Дг; -»0 TT
a i '=1
При этом число а называется нижним пределом, число
Ъ — верхним пределом интеграла; функция f(x) —
подынтегральной функцией, выражение f(x)dx — подынтеграль-
ъ
ным выражением, а задача о нахождении \f(x)dx
—unci
тегрированием функции f(x) на отрезке [af b].
Следует заметить, что не имеет значения, какой буквой
обозначена переменная интегрирования определенного
интеграла:
bob
jf(x)dx = jf(y)dy=j f(t)dt = ...,
а а а
поскольку смена обозначений такого рода никак не влияет
на поведение интегральной суммы A1.1).
Несмотря на сходство в обозначениях и терминологии,
определенный и неопределенный интегралы являются
различными понятиями: в то время как | f(x)dx представля-
ь J
em семейство функций, \f(x)dx есть определенное число.

590
Глава 11. Определенный интеграл
Во введенном определении определенного интеграла
ъ
j*
\x)dx предполагается, что а < Ь. По определению полагаем
Ь а
jf(x)dx = -jf(x)dx. A1.2)
а Ь
Принимая во внимание A1.2), для нас отныне будет
несущественно, какой из пределов интегрирования больше:
верхний или нижний.
r a a
Полагая в A1.2) Ъ = а, получаем \f(x)dx = -\f(x)dx
Г а а
или 2 f(x)dx = 0, т.е.
J a
jf(x)dx = 0. A1.3)
а
Геометрический смысл определенного интеграла.
Понятие определенного интеграла введено таким образом,
что в случае, если функция у = f(x) неотрицательна на
ъ
отрезке [а, Ь] (где а < 6), \f(x)dx = 0 численно равен пло-
а
щади S под кривой у e f(x) на [а, Ь] (см. рис. 11.1).
Действительно, при стремлении тахДг- к нулю ломаная (см.
г
рис. 11.3) неограниченно приближается к исходной
кривой, и площадь под ломаной переходит в площадь под
кривой. Учитывая сказанное, можно указать значения
некоторых интегралов, используя известные планиметрические
формулы для площадей плоских фигур. Так,
1 1 1
|<ir = l; \xdx = -; \yll-x2dx = — и т.д.
оо о
(Первый из интегралов — площадь квадрата со
стороной единичной длины; второй — площадь прямоугольного
треугольника, оба катета которого единичной длины;
третий — площадь четверти круга единичного радиуса;
предлагаем читателю в качестве упражнения выполнить
необходимые чертежи самостоятельно.)
Заметим, что равенство A1.3) отражает геометрический
смысл определенного интеграла: в случае, когда отрезок ин-

11.1. Понятие определенного интеграла... 591
тегрирования стянут в точку, фигура под кривой стягивается
в отрезок, площадь которого равна нулю, поскольку это
площадь прямоугольника, длина одной из сторон которого равна
нулю.
Экономический смысл интеграла. Пусть функция z = f(t)
описывает изменение производительности некоторого
производства с течением времени. Найдем объем
продукции иу произведенной за промежуток времени [О, Т\.
Отметим, что если производительность не изменяется с
течением времени (f(t) — постоянная функция), то объем
продукции Дм, произведенной за некоторый промежуток
времени [t, t + At] задается формулой Аи = f(t)AL В общем
случае справедливо приближенное равенство Аи = f(Z,)At,
где ^[tyt + At], которое оказывается тем более точным,
чем меньше At.
Разобьем отрезок [0, 7] на промежутки времени точками:
О = t0 < tx < t2 <... < tn = Г. Для величины объема продукции
Ащ, произведенной за промежуток времени [^_1у £j, имеем
Ащ = /(Ь*Щ»гДе 5,-G [h-v *J' Ati= ti ~ 4-vi =1>2' •••> n- Тогда
При стремлении тахД^ к нулю каждое из
использованных приближенных равенств становится все более точным,
поэтому п
maxAt,—>0<Тт
,• l i=l
Учитывая определение определенного интеграла,
окончательно получаем
u = jf(t)dt,
о
т.е. если f(t) — производительность труда в момент t, то
т
\f(t)dt — объем выпускаемой продукции за промежуток
о
[О, Т].
Сравнение данной задачи с задачей о площади
криволинейной трапеции (см. выше) показывает, что величина и

592
Глава 11. Определенный интеграл
объема продукции, произведенной за промежуток времени
[О, 7], численно равна площади под графиком функции
z = /@> описывающей изменение производительности труда
т
с течением времени, на промежутке [О, Т \ или \f(t)dt.
о
Достаточное условие существования определенного
интеграла (интегрируемости функции). Теорема. Если
функция у =/(х) непрерывна на отрезке [а, 6], то она
интегрируема на этом отрезке.
Приведем пример нахождения определенного
интеграла на основании определения.
1
Пример 11.1. Вычислить \x2dx.
о
Решение. Запишем выражение для интегральной
суммы, предполагая, что все отрезки [^_i»^] разбиения
имеют одинаковую длину Ах\, равную — (где п — число от-
п
резков разбиения), причем для каждого из отрезков
[Xj.^xJ разбиения точка £,- совпадает с правым концом
I
этого отрезка, т.е. ^ = х( = —, где / = 1,2,..., п. (В силу интег-
п
рируемости функции у = х2, выбор такого «специального»
способа разбиения отрезка интегрирования на части и
точек b,v ^2,..., ^ на отрезках разбиения не повлияет на
искомый предел интегральной суммы.) Тогда
Известно, что сумма квадратов чисел натурального
ряда
1=1
Следовательно,
у..2_я(я + 1)Bя + 1)
2 + -
п
3

11.2. Свойства определенного интеграла 593
Анализ приведенного примера показывает, что успешное
решение поставленной задачи оказалось возможным
благодаря тому, что интегральную сумму удалось привести к
виду, удобному для нахождения предела. Однако такая
возможность существует далеко не всегда, поэтому долгое
время задача интегрирования конкретных функций
оставалась чрезвычайно сложной. Установление связи между
определенным и неопределенным интегралами позволило
разработать эффективный метод вычисления
определенного интеграла, который будет рассмотрен в параграфе 11.4.
11.2. Свойства определенного интеграла
В данном параграфе будем предполагать
интегрируемость всех рассматриваемых функций на выделенных
отрезках интегрирования.
Рассмотрим сначала свойства определенного
интеграла, которые имеют аналоги в случае неопределенного
интеграла.
1. Постоянный множитель можно выносить за знак
интеграла, т.е.
ь ъ
J af(x)dx = а | f(x)dx, A1.4)
а а
где а — некоторое число.
□ Пусть фиксированы разбиение отрезка [а, Ь] и выбор
точек £t, £2» •••» £„ на каждом из отрезков разбиения.
Используя ассоциативный (распределительный) закон
умножения чисел, имеем
]Га/(У^,. = а]Г/(^)Д*,,
1=1 i=l
Перейдем к пределу в левой и правой частях
последнего равенства при тахД^ -»0:
i
п п
тахДдг,-и)'Т тахДдг,—>0~"
,- ' г=1 i l *=1
тяуЛг—kil'*"™
тахАдг,—>(И .
,- i=l

594
Глава 11. Определенный интеграл
По определению определенного интеграла первый из
пределов равен левой части равенства A1.4), последний —
правой. ■
2. Интеграл от алгебраической суммы двух функций
равен сумме интегралов от этих функций, т.е.
ь ъ ъ
j(f(x)±g(x))dx = jf(x)dx±jg(x)dx. A1.5)
а а а
Очевидно, что это свойство остается справедливым для
любого конечного числа слагаемых.
Доказательство свойства 2 аналогично доказательству
свойства 1.
Перейдем теперь к свойствам определенного интеграла,
которые не имеют аналогов для случая неопределенного
интеграла.
3. Если отрезок интегрирования разбит на части, то
интеграл на всем отрезке равен сумме интегралов для
каждой из возникших частей, т.е. при любых я, 6, с
ь с ъ
jf(x)dx = jf(x)dx + jf(x)dx. A1.6)
Рассмотрим геометрический смысл свойства 3. Пусть
а < с < Ъ и функция/(х) неотрицательна на [а, Ь].
Согласно геометрическому свойству определенного интеграла
с Ь Ь
\f(x)dx = S{y jf(x)dx = S2 (рис. 11.4), jf(x)dx = S, где
ас о
S — площадь под кривой у =/(х) на отрезке [а, Ь]
(площадь всей заштрихованной фигуры на рис. 11.4). Тогда при
сделанных предположениях равенство A1.6) утверждает
наличие следующего
(очевидного) соотношения между
площадями: S = Si+ 52.
Пусть а < h < с и функция
У = f(x) неотрицательна на
отрезке [я, с]. Применяя
равенство A1.2) ко второму
интегралу из правой части A1.6),
запишем его так, чтобы верх-
Рис. 11.4 ний предел был больше ниж-

11.2. Свойства определенного интеграла 595
него (для остальных интегралов A1.6) верхний предел
больше нижнего по предположению):
b с с
jf(x)dx = jf(x)dx-jf(x)dx. A1.7)
a a b
Тогда равенство A1.7) утвер- у |
ждает наличие следующего
(очевидного) соотношения между
площадями криволинейных
трапеций (рис. 11.5): 5t = S - 52,
где S — площадь под кривой
У = fix) на отрезке [а, с].
4. Если на отрезке [a, b] °
f(x) < g(x), то и Рис. 11.5
jf(x)dx<jg(x)dx,
A1.8)
т.е. обе части неравенства можно почленно интегрировать.
□ Пусть фиксированы разбиение отрезка [а, Ь] и выбор
точек %v £2, ..., Ъ,п на каждом из отрезков разбиения. Тогда
из неравенства f(x) < g(x) вытекает аналогичное
неравенство для интегральных сумм:
1=1
1=1
Переходя к пределу при max Дя^ —»0, получаем
неравенство A1.8). ■ j
Следствие. Пусть на отрезке [a, b] m< f(x) < М> где т
и М — некоторые числа. Тогда
ь
m(b-a)<jf(x)dx<M(b-a). A1.9)
а
□ По свойству 4 имеем
ъ ъ ь
\mdx< \f(x)dx< \Mdx.

596
Глава 11. Определенный интеграл
Остается заметить, что по свойству 1 и геометрическому
ь ь
смыслу определенного интеграла \mdx = m\dx = m(b -а) и
аналогично \Mdx = M(b - a).
5. Теорема о среднем. Если функция у =/(х) непрерывна
на отрезке [а> Ь], то найдется такое значение £ е [а, 6], что
ъ
\f(x)dx = №(b-a). (НЛО)
а
□ По свойству функции, непрерывной на отрезке,
для произвольного значения х из [af b] верно, что
т < f(x) < М , где т и М — наименьшее и наибольшее
значения функции на [а, Ь]. Тогда согласно неравенству A1.9)
имеем
1 h
m<-!—[f(x)dx<M.
b-aJ
а
Но функция, непрерывная на отрезке, принимает любое
значение, заключенное между ее наименьшим и
наибольшим значениями, поэтому, в частности, найдется такое
число £е [а, Ь], что
1 b
J-\f(x)dx = m. Ш
b-aJ
Пусть/(х) > 0 на [а} Ь]. Тогда теорема о среднем
утверждает: найдется такая точка Ъ, из отрезка [а, Ь], что площадь
под кривой у =f(x) на [а, Ь] равна площади прямоугольника со
сторонами /(£) и (Ь - а) (см.
рис. 11.6 и геометрический
смысл определенного
интеграла). Еще одно возможное
объяснение геометрического
смысла теоремы о среднем
см. в параграфе 11.6.
Рис. 11.6
У
т
0
L
"Ш
а
^у -/<*)
Шжк ш
% Ь *

11.3. Определенный интеграл как функция верхнего предела 597
11.3. Определенный интеграл
как функция верхнего предела
Для построения новых функций, из известных ранее,
применялись четыре арифметических действия и
нахождение функции от функции (см. гл. 5). В данном параграфе
рассмотрим принципиально иной способ построения
новых функций из известных.
Если функция у = f(x) интегрируема на отрезке [а, Ь]9
то, очевидно, она интегрируема также на произвольном
отрезке \а, х], вложенном в [я, Ь].
Пусть по определению
X X
Ф(х) = jf(x)dx = jf(t)dt, A1.11)
а а
где х е [а, Ь], а функция Ф(х) называется интегралом с
переменным верхним пределом*.
Пусть f(t) > 0 на отрезке [я, 6]. Тогда (см. параграф
11.1) значение функции Ф(.г) в точке х равно площади
S(x) под кривой у = f(t) на
отрезке [а, х] (рис. 11.7). (В этом у
состоит геометрический смысл
интеграла с переменным
верхним пределом.)
Последнее замечание
позволяет, в частности,
по-новому посмотреть на некоторые
известные функции. Напри-
х ,
мер2, функция 1пх = Г— , где
х > 1, в точке х численно равна площади S(x) под
гиперболой у = - на отрезке [1,х] (рис. 11.8).
Рис. 11.7
1 В правую часть определения A1.11) переменная х входит трижды, но
смысл этих «вхождений» неодинаков. Верхний предел интегрирования — это
аргумент функции Ф(х), но переменная в записи подынтегрального
выражения является переменной интегрирования, которую (см. параграф 11.1)
можно обозначить другой буквой, например t.
2 Здесь использована формула Ньютона — Лейбница (см.
параграф 11.4).

598
Глава 11. Определенный интеграл
Рассмотрим теперь свойства
функции Ф(х) (интеграла с
переменным верхним пределом; см.
(ни».
Теорема 1. Если функция f(x)
непрерывна на отрезке [a, h], то
_ функция Ф(х) также непрерывна
Т х Т на [а, Ь].
р .. 8 □ Пусть Ах таково, что х +
+Ах принадлежит отрезку [а, Ь].
Согласно формулам A1.1) и A1.6) имеем
х+Ах х х+Ах
Ф(х+Дх)= J f(t)dt = jf(t)dt+ J f(t)dt =
a a x
x+Ax
= Ф(Х)+ J f(t)dt.
По теореме о среднем (см. параграф 11.2) найдется та-
х+Ах
кое значение ^€[х,х + Лг], что | f(t)dt = f(Z,)Ax и,
следовательно, х
Ф(х + Дх) = Ф(х)+/(£)Дг. (П.12)
Поскольку точка £ принадлежит, в частности, отрезку
[а, Ь], то m < /(£) < М, где m и М - наименьшее и
наибольшее значения функции f(x) на [а, Ь]. (При изменении Ах
значение/(^), возможно, меняется, но в любом случае
функция остается ограниченной.)
Переходя в равенстве A1.12) к пределу при Ах -> 0 и
используя теоремы о пределах, получаем
lim Ф(х + Дг) = Ф(х)+ lim f(t)Ax = Ф(х). Ш
Дг->0 Дг-»0
Теперь докажем, что производная от интеграла с
переменным верхним пределом по верхнему пределу равна
подынтегральной функции. Справедлива следующая
теорема.
Теорема 2. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке
[а, Ь]. Тогда в каждой точке х отрезка [а, Ь] производная

11.3. Определенный интеграл как функция верхнего предела 599
функции Ф(х) по переменному верхнему пределу равна
подынтегральной функции f{x), т.е.
Ф'(х) =
\f(t)dt
= /(*).
A1.13)
□ Воспользуемся равенством A1.12) из доказательства
теоремы 1. Тогда
Ф(х-\-Ах)-Ф(х)
Ах
■ = /(©.
A1.14)
т.е.
где £е [х,х + Лг].
Переходя в A1.14) к пределу при Ах —> О и учитывая,
что lim /(^) = /(Jf) (в силу непрерывности функции/(х)),
Ллг-»0
приходим к формуле A1.13). ■
Рассмотрим геометрический смысл доказательства
теоремы 2.
Пусть f(t) > 0 на [а, Ь]. Согласно геометрическому
смыслу интеграла с переменным верхним пределом АФ =
= Ф(х+Дх)-Ф(х) = 5Л2Ш, ~Sabcd=Sdcef (Рис- 119)>
приращение функции Ф(х)
равно приращению площади
под кривой у =/@ при
изменении абсциссы от х до х + Ах. По
теореме о среднем найдется
такое значение ^ е [х, х + Ах], что
площадь SDCEF криволинейной
трапеции будет равна площади
SDGHF прямоугольника со
сторонами /(£) и Ах. В результате
ДФ = SDGHF = f(Z,)Ax и,
следовательно, приходим к
равенству A1.14). При Ах -» 0
отрезок [х, х + Ах] стягивается в точку, и/(^) переходит в/(х), а
предел левой части формулы A1.14) равен Ф'(х).
Следствие. Если функция у - f(x) непрерывна на
отрезке [а, Ь], то Эля этой функции существует первообразная
на отрезке [а, Ь].
Действительно, примером первообразной для f(x)
является функция Ф(х), заданная формулой A1.11).

600
Глава 11. Определенный интеграл
Замечание. Четыре арифметических действия и
нахождение функции от функции, примененные к
элементарным функциям (конечное число раз), вновь приводят к
функциям элементарным. Что же касается интеграла с
переменным верхним пределом A1.11), то в этом случае
элементарность функции у = /(х), вообще говоря, не
обеспечивает элементарности функции Ф(х). Например,
функции \е~1 dt, | -— и т.п. (функции, связанные с неберущи-
J J mt
О е
мися интегралами; см. параграф 10.9) неэлементарны, так
* л. » -х2 1
как они являются первообразными для функции е , -— ,
1пх
которые не имеют первообразных в классе элементарных
функций.
11.4. Формула Ньютона - Лейбница
Свойства интеграла с переменным верхним пределом,
рассмотренные выше, позволяют получить основную
формулу интегрального исчисления, традиционно
связываемую с именами И. Ньютона и Г. В. Лейбница1.
Теорема. Пусть функция у = fix) непрерывна на отрез-
ке [я, Ь] и F(x) — любая первообразная для f(x) на [а, Ь].
Тогда определенный интеграл от функции f(x) на [а} Ь]
равен приращению первообразной F(x) на этом отрезке, т.е.
ъ
f(x)dx = F(b)-F(a). A1.15)
//<
□ Пусть F(x) — некоторая первообразная для функции
f(x). Но по теореме 2 (см. параграф 11.3) функция Ф(х),
заданная формулой A1.11), также является
первообразной для функции/(х), и по теореме из параграфа 10.1
найдется такое число С, что F(x) = Ф(х) + С.
Тогда для приращения первообразной имеем
Р(Ь)-Р(а) = (Ф(Ь)+С)-(Ф(а)+С) = Ф(Ь)-Ф(а) =
Ь а
= jf(x)dx-jf(x)dx
1 Лейбниц Готфрил, Вильгельм A646—1716) — немецкий философ,
математик, физик и изобретатель, юрист, историк, языковед.

11.4. Формула Ньютона - Лейбница
601
(см. определение A1.11) функции Ф(х)). Для завершения
доказательства достаточно заметить, что согласно фор-
и
муле A1.3) jf(x)dx = 0.
Вычисление определенных интегралов с
использованием формулы Ньютона — Лейбница A1.5) осуществляется в
два шага. На первом шаге, используя технику нахождения
неопределенного интеграла, получают некоторую
первообразную F(x) для подынтегральной функции /(х), а на
втором применяется собственно формула Ньютона —
Лейбница, т.е. вычисляется приращение первообразной, равное
искомому интегралу. В связи с этим введем обозначение для
приращения первообразной, которое удобно использовать
при записи решений. По определению положим
F(x)
= F(b)-F(a). A1.16)
Следует отметить, что при применении формулы
Ньютона — Лейбница можно использовать любую
первообразную F(x) для подынтегральной функции /(х), например,
имеющую наиболее простой вид при С = 0.
1 2
Пример 11.2. Вычислить: a) \x2dx; б) J23x~4dx.
о 1
Решение.
а) Произвольная первообразная для функции f(x) = х2
х3
имеет вид F(x) =— + С Для нахождения интеграла по
формуле Ньютона — Лейбница возьмем такую
первообразную, у которой С = 0 (см. замечание выше). Тогда
1 з
I x2dx = —
Jo 3
" 3 3 "
о
что совпадает, разумеется, с результатом, полученным в
примере 11.1.
б) Первообразную подынтегральной функции найдем,
используя формулу A0.9). Применяя формулу Ньютона —
Лейбница, получаем

602
Глава 11. Определенный интеграл
f23*-4^=(-^-23*-4l =-^-B3^4)
J 131п2 J 3ln2^ )
31п21, 2) 61п2
При нахождении интеграла в примере 11.2, б было
использовано свойство приращения первообразной
(of(x))|6 = afF(x)|4 A1.17)
где a — некоторое число.
Заметим, что введенное ранее определение A1.2) и
его следствие A1.3) согласованы с формулой Ньютона —
Лейбница. Действительно,
Ъ а
jf(x)dx = F(b)-F(a) = -(F(a)-F(b)) = -jf(x)dx
и
jf(x)dx = F(a)-F(a) = 0.
Таким образом, и при применении формулы Ньютона —
Лейбница несущественно, какой из пределов
интегрирования больше: верхний или нижний.
11.5. Замена переменной
и интегрирование по частям
в определенном интеграле
При вычислении определенных интегралов с
использованием формулы Ньютона — Лейбница предпочтительно
жестко не разграничивать этапы решения задачи
(нахождение первообразной подынтегральной функции и
вычисления ее приращения). Такой подход, использующий, в
частности, формулы замены переменной и
интегрирования по частям для определенного интеграла, обычно
позволяет упростить запись решения.

11.5. Замена переменной и интегрирование по частям». 603
Теорема 1. Пусть функция ф(£) имеет непрерывную
производную на отрезке [ос, р], а = ф(ос), Ъ = ф(р) и функция
fix) непрерывна в каждой точке х вида х = ф(£)> где
te [а,р].
Тогда справедливо следующее равенство
ь Р
jf(x)dx = jf(q>(t))q>'(t)dt. A1.18)
а а
Формулу A1.18) называют формулой замены переменной
в определенном интеграле.
П Пусть F(x) и Ф(£) — некоторые первообразные для
функций f(x) и /(ф(О)ф'(О- В гл. 10 было доказано, что
Дф@) также является первообразной для функции
/(ф(О)ф'(О Тогда по следствию из теоремы Лагранжа
найдется такое число С, что Ф(£) = F(y(t)) + С, где t e [а, р].
Следовательно,
0(P)-0(a)=(F(9(P))+C)-(F(9(a))+C) = FF)~F(a).
Но по формуле Ньютона — Лейбница Ф(р) - Ф(ос)
совпадает с правой частью равенства A1.18), а F(b) - F(a) —
с левой частью A1.18). ■
Как и в случае неопределенного интеграла,
использование замены переменной позволяет упростить интеграл,
приблизив его к табличному (табличным). При этом в
отличие от неопределенного интеграла здесь нет
необходимости возвращаться к исходной переменной
интегрирования. Достаточно лишь найти пределы интегрирования а и
Р по новой переменной t как решение относительно
переменной t уравнений ф(£) = йи ф(£) = Ь. На практике,
выполняя замену переменной, часто начинают с того, что
указывают выражение новой переменной t = V|/(x) через
старую. В этом случае нахождение пределов
интегрирования по переменной t упрощается: a = v|/(a), p = \\f(b).
i
Пример 11.3. Вычислить [xB-x2fdx.
о
Решение. Пусть t = 2 - х1. Тогда
i
dt= dB- x2) = B- x2)'fdx ~-2xdx и xdx = —dt. Если л; = 0,

604
Глава 11. Определенный интеграл
то t = 2 - О2 =2; если х = 1, то t = 2 - I2 = 1. Следовательно,
О О V / 2
'te
1\
2/
12
Л
V
= _±A>26) =—. ►
12V ' 4
Рассмотрим теперь, как выполняется интегрирование по
частям в определенном интеграле.
Теорема 2. Пусть функции и = и(х) и v = v (х) имеют
непрерывные производные на отрезке [#, Ь]. Тогда
\b b
\udv = uv\ -\vdu,
A1.19)
где uv
\а а
- u(b)v(b) - u(a)v(a).
Формула A1.19) называется формулой интегрирования
по частям для определенного интеграла.
□ Поскольку {uv)' = u'v + uv', то функция uv является
первообразной для функции u'v + uv'.
Тогда по формуле Ньютона—Лейбница и свойству
A1.5) получаем
ъ ь ь
uv = \(u'v+uv')dx = \vudx+ \uvdx,
a a a
что равносильно формуле A1.19), поскольку по
определению дифференциала и'(х) dx = du и v'(x) dx = dv.
Пример 11.4. Вычислить jln(l + .r)flfr.
о
Решение. Пусть и = 1пA + х), dv = rft. Тогда du = rf(ln(l+.r)) =
= (ln(l + x))'flfr = и[)= i^fo= \dx = x (см. гл. 10).
1 + x J J
Применяя формулу A1.19), получаем
г 1^ f dx
ln(l + x)<ir = :dn(l + x) - \x .
i lo { 1 + x

11.6. Геометрические приложения определенного интеграла 605
Для нахождения полученного интеграла положим 1 + х =
= t Тогда dx = dt, х = t - 1. Если х = 0, то t = 1; если х = 1, то
£ = 2. Следовательно,
"Л
ПпA + л:)б& = х1пA + х) - J—dt = ln2-\dt + — ^
:1п2-^
-+1п|£
*=1п2-B-1)+1п2-1п1 = 1п4-1. ►
11.6. Геометрические приложения
определенного интеграла
Вычисление площадей плоских фигур. 1. Пусть
функция у =f(x) неотрицательна и непрерывна на отрезке [а, Ь].
Тогда по геометрическому смыслу определенного
интеграла (см. параграф 11.1) площадь 5 под кривой у = f(x) на
[ау Ь] (см. рис. 11.1) численно равна определенному интег-
ь
ралу J f(x)dx> т.е.
а Ъ
S = jf(x)dx.
а
Пример 11.5. Найти площадь фигуры, ограниченной
линиями х = yfy, х = 0, у = 4.
Решение, Из рис. 11.10 следует,
что искомая площадь S
криволинейного треугольника ОАВ
равна разности двух площадей:
S -Soabc~~Sobo
каждая из которых находится по
геометрическому смыслу
определенного интеграла. Решая систе-
му \ г- получаем, что точка В пересечения прямой у = 4
[х = у]у,
и кривой x = yfy имеет координаты B; 4). Тогда

606
Глава 11. Определенный интеграл
S0ABC = JAdx = Ajdx = 4x\ =8; SOBC = )x2dx = —-
о
о
8
3'
Окончательно 5 = 8— = — (ед.2).
О СУ
Отметим, что данная задача может быть также решена
другим способом. Сделаем сначала некоторые замечания
общего характера.
По определению определенного интеграла
а п
|ф(г/)ф= lim У<р(^)Дм.
Это равенство можно понимать так, что при построении
интегральной суммы разбиению подвергается отрезок [с, d]
оси ординат. Соответственно, точки £t, £2,..., £w — это
ординаты, фиксированные на каждом из отрезков разбиения.
В связи с этим, если * = (р(г/) > 0 на [с, d], то интеграл
d
J ф(г/)ф численно равен площади S криволинейной трапе-
с
ции, ограниченной кривой х = ф(г/) и прямыми х = 0, у = с,
у - б/ (рис. 11.11).
(Другими словами, в данном
случае площадь вычисляется
посредством проецирования
криволинейной трапеции на ось
ординат.) Теперь, возвращаясь к задаче
данного примера, можем записать
Рис. 11.11
S = jyfydy = -y
2 ^'4
Z 2
0
У'
0
i
а Ъ
ww% xU
WW(*)^
Рис. 11.12
= |D2-0Ъ = у(еД2).^
2. Пусть функция у = f(x)
неположительна и непрерывна на
[а, 6] (рис. 11.12). Выясним, какая
связь в этом случае существует
между площадью S криволиней-

11.6. Геометрические приложения определенного интеграла 607
Ах)
на [а, Ь] и интегралом J f(x)dx.
ной трапеции над кривой у
ъ
у'
0
1Ж ~/(if
^^ш
d с ]Ь х
i J i
\Уу-Кху*
Рис. 11.13
Если кривую у = f(x) отразить
относительно оси абсцисс, то
получим кривую с уравнением у =
= -f(x). Функция у = -f(x) уже
неотрицательна на [а, Ь], а
площадь под этой кривой на [а> Ь] из
соображений симметрии равна
площади S (рис. 11.13). Тогда
Ъ b
S = j(-f(x)dx), т.е. S = -ff(x)dx.
а а
Таким образом, если функция у = f(x) неположительна
на [а, Ь], то площадь S над кривой у = f(x) на [я, Ь] отлича-
ь
ется знаком от определенного интеграла f(x)dx.
а
Пример 11.6. Найти площадь фигуры, ограниченной
линиями у = -х2 , у = х - 2, у = 0.
Решение. Из рис. 11.14 следует, что искомая площадь S
криволинейного треугольника ОАВ может рассматриваться
как площадь над кривой ОАВ
на отрезке [0; 2]. Однако
указанная кривая (ломаная) не
задается одним уравнением.
Поэтому для нахождения S =
= S0AB разобьем
криволинейный треугольник ОАВ на
части, проецируя точку А
излома на ось абсцисс. Тогда S =
= S0AC+SABC(cM.pncAl.U).
Абсциссы точек О, А, В
задают пределы интегрирования.
(Проверку того, что
координаты точек О, А, В равны
соответственно @; 0), A;-1)
B; 0), оставляем читателю в качестве упражнения.)
Рис. 11.14

Глава 11. Определенный интеграл
S0AC = -l(-x2)dx = \x2dx =
JABC
= -[(л
о
Окончательно S-
■2)dx-
5
х
+ 2х
3'
2
:i + i = - (ед?).^
3 2 6
3. Пусть на отрезке [а, Ь\ задана непрерывная функция
У = f(x) общего вида. Предположим также, что исходный
отрезок можно разбить точками на конечное число
интервалов так, что на каждом из них функция у = f(x) будет
знакопостоянна или равна нулю. Выясним, какая в данном
случае существует связь между определенным интегралом
ь
\f{x)dx и площадями образовавшихся криволинейных
а
трапеций. В качестве примера рассмотрим функцию,
изображенную на рис. 11.15. Площадь
заштрихованной фигуры S = S{ +
+ S2 + 53, т.е. равна
алгебраической сумме соответствующих
определенных интегралов:
с d Ъ
S = jf(x)dx-\f(x)dx+\f(x)dx.
а с d
Сделанные замечания
позволяют дать еще одну геометрическую
интерпретацию теоремы о среднем (см. параграф 11.2).
Равенство A1.10) можно переписать в виде
ъ
Рис. 11.15
|№)-/@)^=о,
т.е. теорема о среднем утверждает, что найдется такая точка
£е[я, Ь\ что после сдвига исходной кривой у - f(x) вдоль
оси ординат на величину /(£) для полученной кривой
У = Ах) ~ /(£) площади частей криволинейной трапеции,
расположенных выше и ниже оси Ох, равны (например, на
рис. 11.16 5! -52).
4. Приведем формулу, применение которой часто
упрощает решение задач на вычисление площадей плоских фигур.

11.6. Геометрические приложения определенного интеграла 609
Теорема. Пусть на отрезке
[а, Ь] заданы непрерывные
функции у =/1(х) и у = f*Xx) такие,
что f2(x)>ft(x). Тогда площадь f(Q
S фигуры, заключенной между
кривыми у = f{(x) и у = /2(х),
на отрезке [а, Ь] вычисляется
по формуле
ь
S = \(f2(x)-Mx))dx. A1.21)
а
Проиллюстрируем теорему
графически (рис. 11.17).
а
У-Ах)
y=f(x)-MT
Рис. 11.16
K*y=fx(x)
1 i
У
0
I
a
i
i
A&
У-/2(х)
b
X*
i
%?B
4b,
У
0
i y-f2(*) JL
y = Mx) jb
X*
У*
0
i
1
a
У
|s*/=/2(*)
Рис. 11.17
Возможны несколько случаев расположения кривых на
отрезке [а, Ь]:
a) /2(x)>/t(x)>0 (рис. 11.17, а), при этом
ь ь
S = «W -SaA{Bxb = J/2(*)<&- J/jC^rfr,
откуда следует формула A1.21);

610
Глава 11. Определенный интеграл
б) Q> f2(x)> fx(x) (рис. 11.17, б), при этом
Ь ( Ь \
s = SaA,Bib^s^m=-\A(x)dxA -jf2(x)dx
откуда следует формула A1.21);
в) /2(х)~Мх)>/2(х)-®>Мх)-® (Рис- 1117, в), приэтом
Ъ ( Ь
S = SaABh+Sa\B^=\h(X)faA -J/l (•*)«**
а \ а
откуда следует формула A1.21);
г) общий случай (рис. 11.17, г) сводится к частным
случаям, рассмотренным выше, если разбить отрезок [а, Ь] на
отдельные отрезки [а, с], [с, d\9 [d, b].
Пример 11.7. Найти площадь фигуры, ограниченной
линиями у = х2 - 2, у = х (рис. 11.18).
Решение. Найдем точки
пересечения параболы у = х2 - 2 и прямой
ysi Решив систему этих
уравнений, получим А (-1; -1) и В B; 2).
На отрезке [-1, 2] х>х2-2.
Воспользуемся формулой A1.21),
полагая f2(x) = x, f{(x) = х2 - 2.
Абсциссы точек А и В пересечения
рассматриваемых линий зададут
пределы интегрирования:
S=j(x-(x2-2))dx = ?r
.2,2 х3|2
+ 2х
-1
= ~D-(-1J)-|B3--(--1K)+2B--(--1)) = 4,5(ед?).^
5. Если верхняя ограничивающая линия фигуры (см.
рис. 11.1) задана параметрически: х = <р(£), у e \\f(t), где
t е [а, р], ф(а) = а, ф(р) - 6, то площадь S этой фигуры
вычисляется по формуле
s=j\|f@<p'@<#.
A1.22)

11.6. Геометрические приложения определенного интеграла 611
Пример 11.8. Найти
площадь фигуры, ограниченной
осью Ох и циклоидой х = t - sin ty
у - 1 ~ cost на отрезке [0, 2л]
(рис. 11.19).
Решение. Используя
формулу A1.22), получаем
0| я
Рис. 11.19
5= Ul-costJdt = J (l-2cos£ + cos20<u =
2я
2я
■in-
0
2cos£ + -cos2£ \dt -
2 J
1
/3 1 ^
= -£-2sin£ + -sin2£
2 4
2я
= 3л~9,4(ед.2).^
Вычисление объемов тел вращения. Пусть на отрезке
[а, Ъ\ задана непрерывная знакопостоянная функция у =/(х).
Необходимо найти объем Vx тела, образованного при
вращении вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции,
ограниченной линиями у ==f(x)J у = 0,
х = а, х = Ъ (рис. 11.20). у
Для решения задачи
применим тот же подход,
который был использован д^ 1
выше для нахождения
площади криволинейной
трапеции. Разобьем отрезок
[а, Ь] на элементарные
отрезки точками а = х0 < хх <
<х2< ... < хп = Ъ и на
каждом из отрезков разбиения
[.rM,jrJ некоторым
образом выоерем точку £•, где
г = 1,2,..., п. Тогда
некоторое приближение для искомого объема даст следующая сумма:
Рис. 11.20
^я/2(^)Лгх-,
A1.23)

612
Глава 11. Определенный интеграл
f-e слагаемое которой (i = 1, 2,..., п) — это объем цилиндра
с высотой Ах{ =xl-xM и радиусом основания /(^) (см.
рис. 11.20). Очевидно, что приближение для искомого
объема Vx будет тем лучше, чем меньше длина отрезков
разбиения Ах{, поэтому за искомый объем Vx естественно
взять следующий предел:
Vx= lim tnfi^Ax,,
maxAar,—hj'Tt
i i=l
A1.24)
где max Ax{ — максимальная из длин отрезков разбиения.
i
Но выражение, стоящее в правой части A1.24), не что
иное, как предел интегральной суммы для функции
у(х) = к/2(х), поэтому (см. определение определенного
интеграла и формулу A1.4)) окончательно получаем
Vx=n]f2(x)dx.
A1.25)
Пример 11.9. Вычислить объем тела, полученного от
вращения фигуры, ограниченной линиями у = е~х, у - 0,
х = 0, х = 1 вокруг оси Ох (рис. 11.21).
Решение. По формуле A1.25)
искомый объем
Рис. 11.21
Рис. 11.22
Формально заменяя в
формуле A1.25) переменную х на уу
получаем формулу для вычисления
объема V тела, полученного от
вращения криволинейной
трапеции вокруг оси ординат:
d
Vy = njq>2(y)dy A1.26)
с
(на рис. 11.22 — вращаемая
криволинейная трапеция
заштрихована).

11.6. Геометрические приложения определенного интеграла 613
I
У
1
1
О
{
х=у[У/
^J^^X-
~-$у\
1
X
Пример 11.10. Найти объем
тела, полученного от вращения
вокруг оси ординат плоской
фигуры, ограниченной линиями у = л2,
у = о?.
Решение. Проецируя
вращаемую фигуру на ось ординат
(рис. 11.23), убеждаемся, что
искомый объем V равен разности двух
объемов: объема V v полученного
от вращения вокруг оси ординат
фигуры, ограниченной линиями х = %[уух = 0уу = 1у и
объема V v который образуется от вращения фигуры,
ограниченной линиями х-л[уу х = 0, г/ = 1. (С учетом
предстоящего применения формулы A1.26) уравнения кривых
записаны в виде х = ф(г/), предполагающем переменную у
независимой.) Применяя формулу A1.26), получаем
Рис. 11.23
Зу3
vvi = njitfyfdy = njy3dy = к
1 х 2
vy2 = njiyfyfdy = *\ydy = Лу
0 0
Окончательно имеем
1
о
3
_п
~~2'
V = V,
yi yyi
У„2=|л-|я = 0ДЛ(ед?).1
Вычисление длины дуги кривой. Длина 5 дуги кривой
у = /(х), заключенной между точками с абсциссами 1 = аи
х = Ъу определяется по формуле
ъ
s = jyjl+(f'Jdx. A1.27)
Пример 11.11. Найти длину дуги полукубической
параболы у2 = а3 от начала координат до точки с координатами
'4.8V34
3' 9
Решение. Указанный участок кривой расположен в пер-
з
вой четверти и задается уравнением у-х1. Так как в этом

614
Глава 11. Определенный интеграл
j.
случае /'(х) = 1,5х2, то, применяя формулу A1.27),
получаем
s= j ^+(f'Jdx= J f^xdx = Mi + \x
0
_8
27
9,
_8_
27
( з Л
42-l
56
27
(ед.)-
Вычисление площади поверхности вращения.
Площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси
Ох кривой у = f(x), заключенной между точками с
абсциссами х = а и х = Ь, определяется по формуле
ь
5,=2я[л/1+(/'J<&. (Н.28)
а
Пример 11.12. Найти площадь поверхности, образованной
вращением циклоиды x = £-sin£, у = 1-cost при t е [0; 2л]
(см. рис. 11.19) вокруг оси Ох.
Решение. Для получения формулы площади
поверхности вращения при параметрическом задании кривой
достаточно произвести соответствующую замену переменной в
исходной формуле A1.28). Более точно, если для кривой
у = /(х), где х е [а, Ь], имеем х = ф(£)> У = V@> * G [а> Р] и
ф(а) = а, ф(р) = Ь, то
Р '
Sx = 2tiJV@V(9'@J HV(t)Jdt.
а
Полагая теперь 9(£) = £-sin£, \|/(£) = l-cos£, ос = 0, р = 2л,
получаем выражение для искомой площади поверхности
5Х = 2л J A -cosOVC1 -cos02 + sin21 dt =
о
= 2л f A-соз028т-б/^ = -16л И 1-cos2- Li cos-=
= -16я| cos-
2n 1 3£
—cos -
о 3 2
2П=^67(ед2).
0 J ^

11.7. Несобственные интегралы
615
11.7. Несобственные интегралы
В предыдущих параграфах мы рассматривали интегралы
от функций, интегрируемых (и, следовательно,
ограниченных) на конечных отрезках интегрирования. На практике
возникает необходимость обобщения этих понятий на
случаи, когда либо один из концов (или оба) отрезка
интегрирования удален в бесконечность, либо функция не
ограничена на отрезке интегрирования.
Несобственные интегралы с бесконечными пределами
интегрирования. Пусть функция у = f(x) определена и
интегрируема на произвольном отрезке [a, t], т.е. функ-
t
цияФ(£)= | f(x)dx определена для произвольного t > a,
а +оо
Определение. Несобственным интегралом \ f(x)dx
а
от функции f(x) на полуинтервале [а, +«>) называется
предел функции Ф(£) при t> стремящемся к +<», т.е.
+оо t
f f(x)dx = lim [f(x)dx. A1.29)
J г-Н-ooJ
a
Если предел, стоящий в правой части равенства A1.29),
существует и конечен, то несобственный интеграл
называется сходящимся (к данному пределу), в противном
случае — расходящимся.
По аналогии с теорией числовых рядов (см. гл. 13) при
работе с несобственными интегралами обычно выделяют
следующие две задачи:
а) исследование вопроса о сходимости заданного
несобственного интеграла;
б) вычисление значения интеграла в случае, если
последний сходится.
В некоторых случаях решения этих двух задач удается
объединить.
Использование несобственных интегралов позволяет
придать смысл такому понятию, как площадь полу
бесконечной (бесконечной) фигуры (см. примеры ниже).
с dx
Пример 11.15. Вычислить —j

616
Глава 11. Определенный интеграл
Решение. По определению
3 dx
f —= lim f
dx
Для нахождения интеграла, стоящего под знаком
предела, воспользуемся формулой Ньютона — Лейбница:
Тогда
1
-ll
.и
t
f^=lim(l-iW
{ x2 t^+~y t)
т.е. искомый несобственный интеграл сходится к 1.
Аналогично, используя формулу Ньютона — Лейбница,
, с dx 1
можно убедиться, что I — является сходящимся к ,
J xm т-\
если т > 1, и расходящимся, если т < 1. Геометрический
смысл этого результата состоит в том, что среди всех
кривых вида у = — гипербола у = — является своеобразным
хт х
«порогом»: те кривые данного вида, которые на
полуинтервале [1; +°°) лежат ниже
нее, ограничивают
полубесконечную фигуру конечной
площади; если же кривая лежит
выше или совпадает с
гиперболой г/ = —, то
соответствует
ющая фигура имеет
бесконечную площадь (рис. 11.24). ►
Уг —(т>1)
X
т-1
Рис. 11.24
По аналогии с формулой
A1.29) определяется
несобственный интеграл на полу mi-
тервале (-<», Ь\:
ъ ь
\ f{x)dx = lim f f(x)dx. A1.30)

11.7. Несобственные интегралы
617
ь
Определение сходимости интеграла J f(x)dx
аналогично приведенному выше. jL,
Введем понятие несобственного интеграла на
интервале (-оо, +оо). Пусть для некоторого числа а несобственные
интегралы | f(x)dx и J f(x)dx сходятся. Тогда
положим, что ~°° а
J f(x)dx= J f(x)dx+ J f(x)dx, A1.31)
—oo —оо Д
при этом интеграл I f(x)dx называется сходящимся. Если
—оо
хотя бы один из интегралов, входящих в правую часть
формулы A1.31), расходится, то несобственный интеграл
+оо
J f(x)dx называется расходящимся. (Можно доказать, что
введенное определение не зависит от выбора числа а.)
+оо
Пример 11.14. Вычислить I exdx.
Решение. Исследуем на сходимость интегралы | exdx и
+оо J
| exdx. (В формуле A1.31) полагаем а = 0.)
0 о о
f exdx = lim \exdx= lim(e°-e') = l,
-^o t
т.е. первый из интегралов сходится к единице. Но
\exdx= lim \exdx- lim(e'-l) = +«>, т.е. \exdx расхо-
0 0 0
дится и, следовательно, расходится несобственный интег-
+оо
рал | exdx. ►

618
Глава 11. Определенный интеграл
В курсе теории вероятностей встречается несобствен-
ный интеграл \ е 2 dx, называемый интегралом Эйлера —
—оо
Пуассона. Доказано, что
je 2dx = JIk, A1.32)
—оо
(см. пример 11.22). Другими словами, площадь S под кри-
.2
1
1
щ
т^шШШш,
0
i
Ък 1 -х-
&у/Улш/ухШ% ^
X
вой y = —j=e 2
(получившей название кривой Гаусса)
на интервале (-оо, +<х>) равна
единице (рис. 11.25).
Несобственные интегралы
от неограниченных функций.
Начнем с рассмотрения важ-
^ ного частного случая. Пусть
функция у = f(x) непрерывна,
Рис. 11.25 но не ограничена на
полуинтервале [ау Ь).
Определение. Несобственным интегралом Г f(x)dx
а
от функции у = f(x) на полуинтервале [а, Ь) называется
6-6
предел lim | f(x)dx, где 8 > 0, т.е.
а ъ ь-ъ
\f(x)dx= lim J f(x)dx. A1.33)
a a
Если предел, стоящий в правой части равенства A1.33),
существует и конечен, то несобственный интеграл
называется сходящимся, в противном случае — расходящимся.
Аналогично вводится понятие несобственного
интеграла от функции у = f(x) непрерывной, но неограниченной
на полуинтервале (а, Ь]:
ъ ъ
\f(x)dx= lim f f(x)dx. A1.34)
J 8->0+ J
a a+6

11.7. Несобственные интегралы
619
г dx
Пример 11.15. Вычислить —р= .
Решение. По определению
dx
1 1
|-т=-= lim \х 2dx.
Л У ^ Si
О *" 5 f
По формуле Ньютона — Лейбница
it 1,1
dx
\х 2dx~2x2
5
= 2A->/5).
Тогда —т= = lim 2A - v5) = 2, т.е. полубесконечная фигу-
о^л 1
ра, ограниченная осями координат, кривой у = -j= и прямой
х = 1, имеет конечную площадь,
равную 2 (ед2.) (рис. 11.26). ►
Замечание. Если функция
/(х) не ограничена при х = с, где
ь
се(а,Ь), то интеграл \f(x)dx
также называется
несобственным. В этом случае
h с ь Рис. 11.26
jf(x)dx = J/(x)dr + J/(x)<&
а а с
считается схоЭлгг<гшсл, если сходятся два несобственных
интеграла в правой части последнего равенства. В иротив-
ь
ном случае \ f(x)dx называется расходящимся. Например,
Г — = Г — + F— является расходящимся, так как расхо-
J х J i J х
-1 -1 О
дятся оба несобственных интеграла в правой части равенства
(предлагаем убедиться в этом читателю самостоятельно).

620
Глава 11. Определенный интеграл
11.8. Приближенное вычисление
определенных интегралов
Эффективным средством вычисления определенных
интегралов является формула Ньютона — Лейбница (см.
параграф 11.4). Однако ее применение на практике связано с
существенными трудностями, возникающими при
нахождении первообразной в случае усложнения подынтегральной
функции. В связи с этим в приложениях интегрального
исчисления используют так называемые численные методы,
позволяющие найти приближенное значение искомого
интеграла с требуемой точностью. Этот подход оказывается
еще более предпочтительным в связи с возрастающими
возможностями современной вычислительной техники,
реализующей алгоритмы с необходимой скоростью.
В данном параграфе рассмотрим одну из
приближенных формул вычисления определенного интеграла —
формулу трапеций.
Пусть на отрезке [а, Ь] задана непрерывная функция
У = Ах)' Предположим дополнительно, что f(x) > 0 на
ъ
[а, Ь]. Тогда /(.r)<ir численно равен площади под кривой
а
У ==/(х) на отрезке [а, Ь]. Приближенное значение
искомого интеграла можно получить, если вместо площади под
кривой взять площадь под ломаной, расположенной
достаточно близко к исходной кривой (см. также параграф 11.1).
Для построения этой
ломаной поступим следующим
образом: разобьем отрезок
интегрирования на п равных
о , Ь-а
частей длиной h = и на
п
каждом из отрезков
разбиения [xM,xf] (где г = 1,2,..., п\
х{ = х0 + ih) заменим участок
кривой у = f(x) хордой,
стягивающей концевые точки
Рис. 11.27 (рис. 11.27)

11.8. Приближенное вычисление определенных интегралов 621
Тогда \f(x)dx~Si+S2+... + Sn (где Sv 52, ..., Sn — пло-
а
щади трапеций (площади под хордами на каждом из отрезков
разбиения), на рис. 11.27 эти трапеции заштрихованы. Но
о _/(*o) + /(*lh. с _/(*l) + A*2K. .
s =f(xn-i) + f(xn)h
2
Тогда
ь
[2 2 2 2
2 2
Вынося множитель /г, заметим, что все слагаемые дан-
ной суммы, отличные от ° и , встречаются в
ней дважды. Приводя подобные члены и учитывая, что
, Ь-а
п = , окончательно получаем
п
]f(X)dx~t^(f(X0)y(*n)+f(Xi)+ +/(хЛ A135)
где х0 = а, х{ = х0 + ih, г = 1,2,..., п.
Формула A1.35) носит название формулы трапеций.
Она получена в предположении неотрицательности
функции у ж f(x)> но можно доказать, что этот результат
остается справедливым и в общем случае.
Рассмотрим теперь вопрос об оценке погрешности в
результате применения формулы трапеций (существенно,
что без изучения этого вопроса формула A1.35) будет
носить лишь качественный характер).

622
Глава 11. Определенный интеграл
Обозначим через S(n) выражение, стоящее в правой
части формулы A1.35). Тогда
\ь I
\\f(x)dx-~S(n)\
Д =
есть абсолютная погрешность от применения формулы
трапеций A1.35). Обозначим через М2 максимальное
значение модуля второй производной f"(x)
подынтегральной функции у = /(х) на [a, b]f т.е. М9 = max |/T*)|-
хе[а,Ь]
Доказано, что абсолютная погрешность А от применения
формулы трапеций
А,<^#М
12п2
2.
A1.36)
Пример 11.16. Вычислить по формуле трапеций при
1,5 ,
/2 = 5 определенный интеграл —. Оценить погрешность.
1х
Решение. Поскольку число п отрезков разбиения равно
5, то длина отрезков разбиения h = = — = 0,1, и так
п 5
как х{ =x0 + ih, i = l, 2,...,5,х0 =1, имеем хх - 1,1; х2 = 1,2;
х3 = 1,3; х4 = 1,4; х5 = 1,5. Подынтегральная функция f(x) = —,
х
поэтому согласно формуле A1. 35) получаем
1,5
dx
i x
(\
1 1
1
1 1 1
, -+— +—+—+—+■
^1 1,5 J 1,1 1,2 1,3 1,4
= 0,4059.
Перейдем теперь к оценке погрешности: /"(х) =
Г...Л
f1)
2
= —т. Эта функция монотонно убывает на отрезке [1; 1,5],
х
поэтому достигает своего максимального значения в ле-

11.9. Применение понятия определенного интеграла... 623
вой концевой точке этого отрезка (т.е. при х = 1). Тогда
2
М2 = /"A) = -г = 2 и согласно формуле A1.36) имеем
о
А<-^т-2 = 0,8410~3.
12 52
Заметим, что по формуле Ньютона — Лейбница
15 dx I
Г — = 1пЫ
i х I
>dx , .I1'5
** ч ' ,! = lnl,5,
1
1
поэтому найденное значение 0,4059 заданного интеграла
является также приближением (с указанной точностью)
для числа In 1,5. Таким образом, формула трапеций может
оказаться удобной для вычисления значений некоторых
функций. ►
11.9. Применение понятия определенного
интеграла в экономике
Выше мы отмечали экономический смысл
определенного интеграла, выражающего объем произведенной
продукции при известной функции производительности
труда. Рассмотрим другие примеры использования интеграла
в экономике.
Если в функции Кобба — Дугласа (см. гл. 15) считать,
что затраты труда есть линейная зависимость от
времени, а затраты капитала неизменны, то она примет вид
g(t) = (at-\-^)eyt. Тогда объем выпускаемой продукции за Т
лет составит
т
и = 1(М + $)е*А. A1.37)
о
Пример 11.17. Найти объем продукции, произведенной
за 4 года, если функция Кобба — Дугласа имеет вид
g@ = (l+0e3f.
Решение. По формуле A1.37) объем произведенной
продукции
4
г/ = |A + £)Л.
о

624
Глава 11. Определенный интеграл
Используем метод интегрирования по частям. Пусть
u = t + l,dv = e3tdt. Тогда du = dt,v = \e3tdt = - e3t.
г J 3
Следовательно,
3 lo J3 3V 9
= -A4e12-2) = 2,53 105 (усл. ед.). ►
Рассмотрим функцию у = g(x), характеризующую
неравномерность распределения доходов среди населения, где у —
доля совокупного дохода, получаемого долей х беднейшего
населения. График этой функции называется кривой
Лоренца1 (рис. 11.28).
Очевидно, что 0 < g(x) < х при х
€ [0; 1], и неравномерность
распределения доходов тем больше, чем
больше площадь фигуры ОАВ (см.
рис. 11.28). В связи с этим в
качестве меры указанной
неравномерности используют так называемый
1 ~х^ коэффициент Джини2 &, равный от-
Рис 11 28 ношению площади фигуры ОАВ к
площади треугольника ОАС.
Пример 11.18. По данным исследований о
распределении доходов в одной из стран кривая Лоренца ОБА (см.
рис. 11.28) может быть описана уравнением z/ = l-vl-x2 ,
где х — доля населения, у — доля доходов населения.
Вычислить коэффициент Джини.
Решение. Очевидно, что коэффициент Джини (см.
рис. 11.28)
#-- ~~Т -1~1дОВАС> таккак ^аОАС- 9-
[ Лоренц Макс A876—1959) — американский экономист и
математик.
2
Джини Коррадо A884—1965) — итальянский экономист,
статистик, демограф.

11.9. Применение понятия определенного интеграла... 625
1 1 1 1
S0BAC= \ll-yll-x2\dx=\dx-\\ll-x2 dx = l-\\ll-x2 dx.
о oo о
J*
Поэтому k = 1-2A- \\ll-x2dx) = 2\yll-x2dx-1.
о о
С помощью замены, например, x = sint можно вычислить
1
П-х2 dx- —. Итак, коэффициент Джини & = 2 1 =
4 4
= --1«0,57.
2
Достаточно высокое значение & показывает существенно
неравномерное распределение доходов среди населения в
рассматриваемой стране. ►
Определение начальной су*ммы по ее конечной
величине, полученной через время t (лет) при годовом проценте
(процентной ставке) р, называется дисконтированием.
Задачи такого рода встречаются при определении
экономической эффективности капитальных вложений.
Пусть Kt — конечная сумма, полученная за t лет, и К —
дисконтируемая (начальная) сумма, которую в
финансовом анализе называют также современной суммой. Если
проценты простые, то К = Kt(l + it), где i~-^-~ — удель-
ная ставка процента. Тогда К = ——. В случае сложных
1 + ft к
процентов К = КЛ\ + itI, поэтому 1С = ь-— .
A + 0
Пусть поступающий ежегодно доход изменяется во
времени и описывается функцией f(t) и при удельной норме
процента, равной г, процент начисляется непрерывно.
Можно показать, что в этом случае дисконтированный
доход К за время Т вычисляется по формуле
т
it.
K=\f(ty
)e~ltdt. A1.38)
о
Пример 11.19. Определить дисконтированный доход за
три года при ставке процента 8%, если первоначальные
(базовые) капиталовложения составили 10 млн руб., и ежегодно
намечается увеличивать капиталовложения на 1 млн руб.

626
Глава 11. Определенный интеграл
Решение. Очевидно, что капиталовложения
задаются функцией f(t) = 10+l£=10 + £. Тогда по
формуле A1.38) дисконтированная сумма капиталовложений
з
K = jA0 + t)e-°mdt.
о
Интегрируя (аналогично примеру 11.17), получаем
К = 30,5 млрд руб. Это означает, что для получения
одинаковой наращенной суммы через три года ежегодные
капиталовложения от 10 млн до 13 млн руб. равносильны
одновременным первоначальным вложениям 30,5 млн руб. при
той же процентной ставке, начисляемой непрерывно. ►
Пусть известна функция t = t(x), описывающая
изменение затрат времени t на изготовление изделия в
зависимости от степени освоения производства, где х — порядковый
номер изделия в партии. Тогда среднее время t ,
затраченное на изготовление одного изделия в период освоения от хх
до х2 изделий, вычисляется по теореме о среднем A1.10):
1 Хс
tcp= \t(x)dx. A1.39)
Что касается функции изменения затрат времени на
изготовление изделий t = t(x), то часто она имеет вид
t = ax~b, A1.40)
где а — затраты времени на первое изделие; Ъ —
показатель производственного процесса.
Пример 11.20. Найти среднее время, затраченное на
освоение одного изделия в период освоения от х{ = 100 до
х2 = 121 изделий, полагая в формуле A1.40) а = 600 мин,
Ъ - 0,5.
Решение. Используя формулу A1.39), получаем
tc= f 600* 2^ = 2^2VI
ср 121-100 J 21
100
121
400
100 7
«57,2(мин). ►
11.10. Понятие двойного интеграла
Понятие двойного интеграла вводится аналогично
понятию определенного интеграла.

11.10. Понятие двойного интеграла
627
Пусть D — некоторая область у
на координатной плоскости Оху
и функция z = f(x, у) определена в
данной области.
Разобьем область D на п
элементарных областей Dv D2, ..., Dn
(например с помощью сети
кривых, рис. 11.29).
Обозначим через 5i площадь
области Dp где i = 1, 2, ..., п.
Очевидно, что, если S — площадь об-
п
ласти Д то 5 = ^5,. В каждой из областей D- выберем
произвольно точку (^,Лг) (см. Рис- И-29). Тогда сумма
вида
Рис. 11.29
£/(^Л;Д
A1,41)
;=i
называется интегральной суммой для функции z = f(x, у)
в области D.
Через d{ обозначим максимальный линейный размер
элементарной области D{ (так, если D{ — прямоугольник,
то d{ — длина его диагонали и т.п.). Пусть
<i = max<if,
i
т.е. d — максимальный из линейных размеров di областей
Dv где /==1,2, ..., п.
Определение. Пусть предел / интегральной суммы
A1.41) для функции z = f(x, у) по области D при
стремлении d к нулю существует, конечен и не зависит от
способа разбиения области D на элементарные части и
выбора точек (£f, r\{) в областях D{. Тогда функция z = f(x, у)
называется интегрируемой в области Д а число / —
двойным интегралом от данной функции по области D
и обозначается
A1.42)
т.е.
= jjf(x,y)dxdy,
jjf(x,y)dxdy = lim Х/(^Л,M,. A1-43)
fif->0f 4

628
Глава 11. Определенный интеграл
?=/(х,у)
Теорема (достаточное условие интегрируемости). Если
функция z = f(x, у) непрерывна в области Д то она
интегрируема в этой области.
Геометрический смысл двойного интеграла. Пусть
функция z = f(x, у) неотрицательна и интегрируема в
области Д тогда \\f(x,y)dxdy численно равен объему прямо-
D
го цилиндрического тела (цилиндроида), построенного на
области D как на основании и ограниченного сверху
поверхностью z = f(x, у) (рис. 11.30).
Если /(г, у) = 1 на области Д то
jlf(xyy)dxdy = ljdxdy A1.44)
D D
численно равен площади области D.
Задача вычисления двойного
интеграла в общем случае является
существенно более сложной, чем задача
Рис. 11.30 вычисления интеграла от функции
одной переменной. Ситуация
упрощается, если область D является элементарной относительно
оси Оху т.е. область D ограничена кривыми у = h(x), у = g(x),
где h(x) > g(x) при х е [а, Ъ\ и прямыми х - а, х = Ъ
(рис. 11.31).
Тогда справедлив следующий двумерный аналог
формулы Ньютона — Лейбница.
Теорема. Пусть область D элементарна относительно
оси Ох, следовательно,
bfh(x) \
D a\g(x) )
Интеграл, стоящий в правой
части последнего равенства,
называется повторным и записывается в виде
Ъ k(x)
jdx J f(x,y)dy.
Рис. 11.31
yi
0
i
У - Kx)
| y = g(xy*
a
i ^
b oT

11.10. Понятие двойного интеграла 629
Пример 11.21. Вычислить
Д(х+г/)<£гф, где D — часть круга
D
единичного радиуса, лежащая в
первой четверти (рис. 11.32).
Решение. Сводя двойной
интеграл к повторному, получаем
Рис. 11.32
jj(x+y)dxdy=jdx J (*+#)^ = jL#+y
d oo ov J'o
=-|j(l-*2)^(l-*V|(*-y
dx =
1
31
= ~A-X2J
1112
+- = -+-=-. ►
3 3 3 3
При переходе в двойном интеграле от прямоугольных
координат х, у к полярным г, ф, связанным с
прямоугольными координатами соотношениями х = rcos ф, у = rsin ф
(см. параграф 4.7), справедлива формула
\\f(x,y)dxdy =jj/(гсоэф, rsm(p)rdrd(f>. A1.45)
D D
Пусть область интегри- у\
рования D ограничена
лучами ф = а, ф = р, где а < р, и
кривыми г - гДф), г = г2(ф),
где функции гДф) и г2(ф)
однозначны на отрезке [а, р]
и ^(ф) < г2(ф) (рис. 11.33).
Тогда двойной интеграл
от функции f{x, у) по
области D сводится к повторному 0
по формуле Рис. 11.33
ф = <Х

630
Глава 11. Определенный интеграл
C Г2(Ф)
\\f(xyy)dxdy=\d(p J /(rcoscp,rs\n<p)rdr.
D а r^cp)
Пример 11.22. Вычислить интеграл Эйлера — Пуассона
+°° X
\ е 2 dx.
Решение. Искомый интеграл обозначим через /.
Заметим, что
(х2+у2) +~ _х^ +~ _Z
\е 2 dxdy=\e 2dx\e 2 dy = I2
ft* —оо —оо
(если интеграл / сходится).
Для вычисления двойного интеграла, стоящего в левой
части последнего равенства, воспользуемся переходом к
полярным координатам
'  ( г2)
v )
\е 2 dxdy= \ dq>\ re 2dr = -2n\im\e 2d\
= 2я lim
t-*+oo\
о о
1-е 2
= 2lL
т.е. I2 = 2я, откуда J = v27t
или
+~ дГ
JY2d=V27i.^
ПРАКТИКУМ
11.11. Методы вычисления
определенного интеграла
11.23. Вычислить определенные интегралы:
xdx
»j
2Зх4-5х2+7 5
х
dx; б) J-t===; в) J|cos*|<k;

11.11. Методы вычисления определенного интеграла 631
г) [——ij' Д) | 1пA-х2)б/г; е) \x2cosxdx;
Ь2в ~~в 0,5 О
:, 1 хЧа-х2
Решение.
а) Используя эквивалентное преобразование
подынтегральной функции (почленное деление числителя на
знаменатель) и свойства определенного интеграла A1.4),
A1.5), получаем
2 2 2 -
= 3Jx3dx-5Jxdx+7J—.
1 1 1
Все три интеграла — табличные; согласно формуле
A1.15) окончательно имеем
Г О Л kJJL i / | «~* Л I -л Л
г эх -эх
J х
-dx = 3—
4
-5—
2
+ 71п|лг|
= ^A6-1)-
4
--D-l)+7(ln2-lnl) = 3,75+ln2.
б) Воспользуемся заменой переменной t = Vl + Зх. Тогда
£2-1 2
# = и dx = —tdt. Если л; = 0, то t = 1, и если х = 5, то
3 3
t = 4. Выполняя замену, получаем
5 . ~4 Л/ 34 4\
J
Xfifc
J>/l+3x 9 J
j(t2-\)dt^
- -t
*2-l
2Г64-1
9 3
-4 + 1 =4.
Отметим, что полагая х = , можно также считать,
4
что £е [-4; -1]. При этом все условия теоремы 1 из
параграфа 11.5 выполнены и, поскольку в этом случае st2 =-t,
получаем

632
Глава 11. Определенный интеграл
г xdx _e(t'-lJtdt_2e 2 . 2
Jvir^'i з(-оз ~9V ° э
=1(-4+1-|((-4K-(-1K))=4
/
*
V
4 3
r
3
-l
-4\
-17
в) Так как
cosx = <
cosx при хе
-cosx при
то (см. A1.7))
я я/2 я |7t
j|cosx|dfc = j cosxdx+ j (-cosx)dfc = sinx2-sinx
0 0 я/2 10
= (l-0)-@-l) = 2. ^
г) Положим t = ег, тогда х = In t, dx = —. Если х = In 2,
то £ = 2, если x = In 3, то t = 3. Выполняя замену, получаем
ьз , з , з ,
t-1
t+1
-Ih2.
. 2 2
ln2 " г" " ' 2'
д) Воспользуемся формулой A1.13) интегрирования по
частям. Пусть u = ln(l-x2), dv = dx. Тогда du = (\n(\-x2))'dx =
= jdx; v=\dv= \dx-x и
Х г 9 , I о г 2х2
[1пA-х2)^ = дг1пA-дг2) + \-=-Tdx =
05 lo'5 «V-*
= 0M1n4-2f^>±l^ =
3 Л лг2-1
05
05
о
Ж:
= 0,51n--2 f Лг-2 f-^—
з J Lx2-\
05 05
4 I ° 1
= 0,51п--2лг -2-ln
3 l'o,5 2
x-i
х+1
0 4
= 1+0,51п—.
0.5
27

11.11. Методы вычисления определенного интеграла 633
е) Как было отмечено выше (см. параграф 10.3), данный
интеграл находится с помощью последовательного
применения формулы интегрирования по частям. Пусть и = х2,
dv = cosx dx. Тогда du = (x2)'dx = 2x dx, v=\cosdx = sinx и
(см. A1.13))
я/2
in я/2
2 */2
j x2cosxdx = x2sinx\2- Г 2xsin*£r = 2 Г xsinxdx.
о 'о о о
Для нахождения последнего интеграла вновь
применяем формулу A1.13): и = х, dv = sinxdx. Тогда du = dx,
■j-
v= |sinxutr = -cosor и
*/2
к/2
j x2cos^dtr = 2x(-cosx)r-2 j cosxdx =
= 2sinx
4
2 = —-2.
о 4
ж) В силу четности подынтегральной функции и
симметричности отрезка интегрирования относительно
начала координат имеем
1 1
f \ll-x2dx = 2Nl-x2dx.
-i
Для нахождения последнего интеграла воспользуемся
тригонометрической подстановкой х = sin t. Будем пола-
М
гать, что Г€ 0£|. Если t
х = 1. Тогда dx = costdt и
1 я/2
71
0, то х = 0; если t = —, то
2
я/2
|vl-#2<it = Г \ll-$m2t costdt = Г |cos£|cos£flfr.
0 0 0

634
Глава 11. Определенный интеграл
Так как cos t > О при ts
фо(
cos t\ = cos t.
Применяя тригонометрическую формулу понижения степени,
я/2 тс/2.
получаем
1
0 0 0
о
тс/2
sin 2^
2
4*
+ - f cos2*rfB*) = -+i
4 J v ' 4 4
Окончательно имеем
i Jo 4 2
з) Полагая х = 2sin £, получаем, что dx = 2 costdt и
Г1; л/3 J, если (одна из возможностей) £е —;— . Тогда
•! *2V^7 A 4sin2^ J 4 J
xe
= -2cos£
e 4
= -2|
*/6
fi V3l i(S
2 2
sin2£
f-S
2л/3
-1.
Вычислить определенные интегралы:
8 4 г-
11.24. |G2+$ф!г. 11.25. j^^-dy.
о
64
11.26. [ г, -,-,.
{ >/*(l + #r)
5
11.28. ГхТхМбЛ:.
У
x<ir
11.27. f ***
i x + 3x+
xdx
Г ХЯ
11.29. h-
4x + 2
3x
yfxdx
H.30. \**±±dx. 11.31. f ™-

11.11. Методы вычисления определенного интеграла 635
•21пх+1
ц.32. \™*2±dx.
J х
dx
11.34. jx4l-x3dx.
-2
1п2
11.36. \xexdx.
о
e
11.38. \\n2xdx.
l
l
11.40. \x2e-xdx.
-l
л/2
11.42. Г (x + fysmxdx.
о
7C/2
11.44. Г cos3 xsmxdx.
0
7C/2
11.46. J sin3x<£t\
о
U.48. f-^_.
J0 xz+4x + 5
U.50.J *
i xVx +5x + l
<ir
11.52. f^
1
Jt/4
2x
r ax
11.33. -s—r
exdx
11.35. f .
11.37. Jxlnxir.
l
V3
11.39. J zxctgxdx.
о
я
11.41. |e*sin;rd!x:.
о
11.43. Г xsinxcosx<ir.
7 4 .
11.45. f^^A.
i x +2
ln2
11.47. jy]ex-ldx.
11.49. J-
<ir
о
0,5
3 + 2cos:r
11.54. j tg3*flfr. 11.55. JW9-;t:2ak.
0 -3

636
Глава 11. Определенный интеграл
линиями:
11.12. Геометрические приложения
определенного интеграла
Вычисление площадей плоских фигур
11.56. Найти площади плоских фигур, ограниченных
днями: . .
а) у = х2, у = -9 х = 3, г/ = 0; б) у = х2, у = ~, у = А
(фигура расположена в первой четверти); в) у = 4 - х2,
1 4
г/ = Jt2 — 2х; г) у = 2х - x2f у = 0, х = 3; д) г/ = —, г/ = —>1/ = 4х,
г/ = — (фигура расположена в первой четверти); е) у = In х,
4
г/ = 1п(х + 1), г/ = 1, г/ = —1.
Решение.
а) Искомая площадь 5 =
= S0ABC — это площадь под
«кривой» ОАВ (рис. 11.34) на
отрезке [0; 3]. Линия ОАВ состо-
« з ит из части Q4 параболы у = х2
и части Л 5 гиперболы у = —.
х
Следовательно, площадь 5 най-
У
3
\ 2
\ 1
0
i
1
\ х 1
АI
^М€т
1
/у = л2
2 3
х = 3
Б
Гс х
Рис. 11.34
дем как сумму двух площадей:
Каждую из них вычислим,
используя геометрический смысл определенного интеграла
(см. параграф 11.1). Решая систему
у = х
1
» = -
находим координаты точки ЛA; 1). Тогда
1 3i1 1 3И
$oad = J x "X ~ ~Н = т;'> Sabcd-j = ln|jc|
= ЬЗ,
5 = 5QAD + 5iWCD = | + ln3«t43 (ед?).

11.12. Геометрические приложения определенного интеграла 637
б) Искомая площадь S =
= SABC — площадь
криволинейного треугольника ABC
(рис. 11.35)/
Решая соответствующие
системы уравнений,
получаем, что точками пересечения
заданных линий являются
А =
^
В B; 4), С A; 1)
\ 2
\ 1
0
! Wc ! 1
"i As: \У=-
Е F Н х^
Рис. 11.35
(см. рис. 11.35). Проецируя
точки Д Ву С на ось абсцисс, очевидно, что искомая площадь
SABC равна разности между площадью прямоугольника
АВНЕ и суммой площадей, двух криволинейных трапеций
ACFE и CBHF S = S
АВНЕ
($ACFE + ^CBHf)- ВЫЧИСЛИМ
2 12 г , ч
■W = J4fa = 4x1=4l2~j=7;
1 j ll /j4
SACFE = J —dx = lnx L = lnl-ln I— =ln4;
1/4* 14 V4J
1/4
2
^C5#F - J x Я* - "V
ЛB3-13)Л
3V ' 3
3j 3
Итак, 5 = 7- ln4+- =—-ln4~3,28 (ед?)
в) Искомой в данном случае
является площадь 5
криволинейной фигуры, выделенной
штриховкой на рис. 11.36.
Координаты точек
пересечения кривых у = £ - х? иу *= х2 -
- 2х найдем из системы их
уравнений: (-1; 3) и B; 0). Проецируя
фигуру на ось абсцисс, видим,
что искомая площадь — это
площадь фигуры, заключенной меж-
Рис. 11.36

638
Глава 11. Определенный интеграл
ду кривыми; при этом на отрезке [-1; 2 ] /2(^) == 4 - х2 > >
Применяя формулу A1.21), получаем
2 2
S = J D-х2 -(х2 -2x))dx=\ D-2x2 + 2x)dx =
-1
= Ах
-1
2 2 3|2 2|2
-1 3 1-1 Li
= 4B-(-1))^|B3-(-1K) + 22-(-1J=9(ед?).
г) Фигура искомой площади S
состоит из двух криволинейных
треугольников ОАВ и BCD,
расположенных соответственно
выше и ниже оси Ох (рис. 11.37).
Площади этих треугольников
найдем исходя из
геометрического смысла определенного
интеграла с учетом формулы
A1.20):
1
0
-1
-2
-3
: лг
1 :
= 2х- х
х^
Щш
Рис. 11.37
D
3 х
С
\
SOAB=]Bx-x2)dx =
о
SBCD=-jBx-x2)dx =
' 1 *ЗЛ
X
3
v
2 X
-xz+ —
3
v j
У*
4
2
4
/у-
- \ 0&/
1 1 р<^
0,5 1
» Ах
_4
^ X
КС
1 1
2 3
1
„ у--х
4 лг
Рис. 11.38
Тогда
$ = $оав + ^ясо =
4 4 8 , 2ч
=-+-=- (ед.2).
3 3 3 v '
д) Найдем координаты
=j_v точек пересечения
заданных линий (рис. 11.38).
Решая систему
у = 4х,
1
» = ->

11.12. Геометрические приложения определенного интеграла 639
получаем
*-И
г/"И
Аналогично находим В A; 4), D D; 1),
. Искомой в данном случае является площадь 5
криволинейной трапеции ABDE. Выполняя проецирование
«угловых» точек этой трапеции на ось Ох, разобьем ее на
части:
$ ~~ $ABF + $BCEF + $CDE *
Площадь каждой из частей найдем по формуле A1.21):
/ 2
4—-In
2
v
>CDE
5BaF=JP~W = 31n|^
^1,5-1112;
= 3ln2;
( 1х2Л
= 4ln2-l,5.
Окончательно получаем
5 = A,5-Ь2)+ЗЬ2+DЬ2-1,5) = бЬ2«4,2(ед?).
е) Искомой здесь
У h
(рис. 11.39) является
площадь S криволинейной у - i
трапеции ABCD.
В данном случае
будет удобно использовать -^
проецирование фигуры на
ось Оу, т.е. поменять мес- pjl
тами функцию у и
аргумент х. Используя
формулу A1.21) (с учетом
последнего замечания),
получаем
w = ln(x + 1)
Рис. 11.39
II
5= j(e»-(e*-l))dy = \ф/=у\ =2 (ед?).

640
Глава 11. Определенный интеграл
Заметим, что использование традиционного
проецирования фигуры на ось Ох приведет к существенно более
трудоемкому решению (предлагаем читателю в качестве
упражнения убедиться в этом самостоятельно). ►
Вычисление объемов тел вращения
11.57. Найти объемы тел, образованных вращением
вокруг координатных осей и прямой у = 2 плоской фигуры,
2
ограниченной линиями у , х = 0, у - 0, х = 1.
х + 1
Решение. Объем Vx находим
непосредственно по формуле
A1.25) (рис. 11.40):
Vx =
= к\\ dx =
JoU+1J
i
= 4n\(x+iy2d(x + l) =
Рис. 11.40
= -4л(:г + 1)-1
Объем V равен сумме двух объемов:
у
= 2я.
о
V=VAnr + VR
'у - vABC'rvBDOCy
где ^лвс и ^bdoc ~ объемы тел, полученных при вращении
вокруг оси Оу соответственно криволинейного
треугольника ABC и квадрата BDOC (см. рис. 11.40). По формуле
A1.26) получаем
—Z. \dy = n\\Ау2 —
У }Л У
"ЛВС
-4
dy =
= тс(-4г/-1-41п|г/| + г/) =тсC-41п2);
YBDOC
= n]l2dy =
ку
= 7С
(последний объем не что иное, как объем цилиндра с
радиусом основания R = 1 и высотой Я = 1).
Окончательно имеем
V =тсC-41п2) + я = 4яA-1п2)~3,86 (ед?).

11.12. Геометрические приложения определенного интеграла 641
Выполняя параллельный перенос оси Ох на две
единицы вверх, получаем новые уравнения линий,
ограничивающих плоскую фигуру:
У = -
— 2 =
-2х
х + 1 х+Г
х = 0, х = 1, у = -2.
Тогда искомый объем —
это объем тела,
полученного при вращении фигуры
B{C{DxO (рис. 11.41)
вокруг оси Ох. .
Этот объем равен раз-'
ности двух объемов:
Кг =Ул1С1ДО""^1Б10.
По формуле A1.25) получаем
2
г \( 2х Л г х2
Воспользуемся заменой переменной t = x + 1. Тогда
x = £ - 1, d!r = Л. Если x = 0, то t = 1; если x =» 1, то £ = 2.
Тогда имеем
Vd2
= 47c—4тс t
l t l
= 4rc-4rcjfl —+ r2\fe =
= 2тсD1п2-1)«11,1(ед?). ►
11.58. Найти объем тела,
образованного вращением вокруг оси Ох
круга единичного радиуса с центром в
точке @; 2).
Решение. Отметим, что тело
указанного вида в геометрии называется
тором. Искомый объем Vx = VABCEF -
~ VADCEP Г^е VABCEF* VADCEF~ объемы,
полученные при вращении вокруг оси
Ох фигур, ограниченных
соответственно линиями ABCEF и ADCEF
(рис. 11.42).
212 -2t + l
dt =
■21n|*|--l
Рис. 11.42

642
Глава 11. Определенный интеграл
Уравнения полуокружностей ABC и ADC имеют
соответственно вид
y = 2±sll-x2.
Используя формулы A1.25), A1.5), получаем
1 1 1
Vx=K\B+yll-x2Jdx-n\B-yll-x2Jdx = n[8\ll-x2dx.
-1 -1 -1
Используя результат примера 11.23, ж, окончательно
имеем
1
Vx=8njyjl-x2dx = 8n-- = 4n2~39,5 (ед?). ►
11.59. Найти объем тела, полученного при вращении
вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями х = у2 - 2,
у = х.
Решение. Выделим на
чертеже вращаемую фигуру
(рис. 11.43, криволинейный
треугольник ABC). Заметим,
что точно такое же тело вра-
х щения получится, если
вокруг оси абсцисс вращать
криволинейный
треугольник ОВС. Тогда искомый
объем равен разности двух
объемов: Vx - VBCD - V0CD,
где VBCD, У0гп — объемы тел, полученных при вращении
вокруг оси абсцисс криволинейных треугольников
соответственно BCD и OCD. Записывая уравнения
ограничивающих линий в виде у =/(х) и используя формулу A1.25),
получаем
2 2 2 (ji ^2
VBCD=n J (yJx+2) dx = n J (x + 2)dx = n
Рис. 11.43
-2
( 2
x о
— + 2x
2
V
= 8я;
-2
Vqcd = n\x2dx = n
0
2 8
о 3
3 3

11.12. Геометрические приложения определенного интеграла 643
Вычисление длины дуги кривой
11.60. Найти длину дуги кривой у - х1 от х = 0 до х = 2.
Решение. Согласно формуле A1.27)
2
s=f<Jl + BxJdx.
о
Пусть ж = 0,5 tg £. Тогда d!r в 0,5 cos~2£ А. Если х = 0, то
£ = 0; если х - 2, то £ - arctg 4. Следовательно,
arctg4 /~ о~~ , , arctg4 ,
г yjl + tg'tdt 1 f dt
-J
2cos2£
-I f "*
 J cosV
о о
Используя результат, полученный в примере 10.169, а,
имеем
1
S-;
4
sin£ + l
sin£-l
1 tff
2cos£
arctg4
0
1 4
Если a = arctg4, то cosa = -p=, sina = -7=. Окончатель-
но VT7 Jfi
5 =-In
8
Vi7
Vl7~
+ >/l7 = ilnD + Vl7)+>/l7.!
Вычисление площади поверхности вращения
11.61. Найти площадь поверхности, образованной
вращением вокруг оси Ох дуги кривой у = 2\[х при х е [0; 3].
Решение. Используя формулу A1.28), получаем
Sx = 2nJ2^yjl + (B^yJdx = 4я|VxJl+| -?= ] dx =
3 | 3 J_ ° 3|
= 4л jvxJ dx = 4n\(x+\Jdx =—(x+lJ
8я/0 .ч 56я 9ч
=y(8-1)=— (ед?).*

644 Глава 11. Определенный интеграл
Найти площади фигур, ограниченных линиями:
х
11.62. у = ех, у = е\ у = е2
11.63. у = хА-2х2, у = 0.
11.64. у = 3+2х-х2, у = х+1.
11.65. у = х2+3, ху = 4, у = 2, х = 0.
11.66. у-х ,у = -2х +3х (фигура расположена в
первой четверти).
11.67. y = yjl-x, y = x + ly у = 0.
к
11.68. # = cos2;r, г/ = 0, х = 0, х = — .
11.69. у = 2-х\у = х2.
11.70. ху = \,у = х2,х = 3,у = 0.
11.71. у = у[х,у = 2-х>у = 0.
1
11.72. у = —, У = х, х = 2.
х
11.73. у = х2-2х+Зу у = Зх-1.
11.74. у = х2,у = \ + -х2.
4
11.75. у = -,у = ----.
* х У 2 2
11.76. г/ = х2+2, y = l-x2, х = 0, х = 1.
11.77. # = -х2,г/ = 2е*,х = 0,х = 1.
4
11.78. у = —=-, дг = 1, y = jr —1.
дг
11.79. # = Vx,*/ = V4-3x,*/ = 0.
11.80. г/ = 1пх, х = е, г/ = 0.
11.81. х = 0, х = 2, г/ = 2* у = 2х-х2.
к
11.82. # = arcsin2x, х = 0, г/ = —.
11.83. г/ = д:2-h 1, х=г/2, Зх-н2г/-16 = 0, х = 0.
11.84. г/ = (дг-н1J, г/2 =лт-н1.
11.85. у = 4-х2, г/ = х2-2х, г/ = 0 (фигура расположена
во второй четверти).

11.12. Геометрические приложения определенного интеграла 645
1 2
11.86. г/ = —х + 2, х+2у-4 = 0у у = 0 (фигура
расположена в первой четверти).
11.87. х = 0, у = 4х-х2 и касательной к графику этой
функции в точке с абсциссой х = 3.
11.88. x = cost> y = 2smt, te[0;2n].
11.89. х = cos3ty y = sin3t, te[Q;2n].
Найти объемы тел, образованных при вращении вокруг
осей Ох и Оу плоских фигур, ограниченных линиями:
11.90. у = х3, у = 4х.
11.91. y = sinx, у = 0, при 0<х<к.
11.92. */ = -, дг = 1, х = 4, у = 0.
х
1 9
11.93. у = -х -2х, у = 0.
11.94. у = х2у ху = 8, г/ = 0, х = 4.
11.95. x = yjy-ly х = 0, г/ = 5.
11.96. у = \пх, г/ = 0, х = е.
11.97. у = -х2+Ау у = х2, х = 0.
11.98. г/ = л/бх, г/ = л/16 —Jt:2, д; = 0.
11.99. г/ = х2 + 1, х=г/2 + 1, г/ = 0, х = 0, х = 2.
11.100. г/ = 4-д:2, г/ = 0, х = 0, гдех>0.
11.101. у = ех, х = 0, х = 1, г/ = 0.
11.102. у = х2 + 1, г/ = 0, х = 1, х = 2.
11.103. у = х3, у = 1, д: = 0.
11.104. Найти объем тела, полученного при вращении
фигуры, ограниченной линиями у = 2х - х2, г/ = 0 вокруг
прямых: а) х = -1; б) г/ * 1.
Найти длины дуг следующих кривых:
11.105. у = 2\Гх отх= 0 дох= 1.
11.106. у = \пх отх = \/3 дох = л/8.
11.107. y = zrcsine~x отх = 0 до х = 1.
11.108. x = t-sint, y = l-cost от t = 0 до t = 2n.

646
Глава 11. Определенный интеграл
Найти площади поверхностей вращения, полученных
при вращении кривых вокруг оси От.
11.109. у = х прихе
ц
11.110. 9у2=хC-хJ прихе[0;3].
11.111. х2 + г/2=9придге[-2;1].
11.112. x = cos3ty y = sin3t при te 0;- L
11.13. Несобственные интегралы
Несобственные интегралы
с бесконечными пределами интегрирования
11.113. Вычислить интегралы:
а) J?zi; б) 1^; в) il^; г) J^+1^'
если они сходятся.
Решение.
а) По определению A1.29) получаем
+оо
с dx Л. г cbc 1. I,
—«—= lim —=—= lim ^n
J X -1 ^-*-h»Jjc-1 '->+~2
x-1
i Г k-il
= - lim In -ln-
2t-+4-\ * + l ;
/
x+1
= -| In lim
2 t-+*-t + l
-hi-
= -(lnl+ln3) = 0,51n3.
6) 7_^L= lim f_* ни \^£ =
J xmx t^-h^J xmx t->+c*J \nx
it
= lim lnllnxl = lim (In In t- In In2) = -н»,
т.е. данный интеграл расходится.

11.13. Несобственные интегралы
647
в) Полагая в определении A1.31), что а = 0 и учитывая
четность подынтегральной функции, имеем
-к» , 0 , -н» , -н*> ; t f
с ах _ с ах г or _ 9 Г <^ — 9 Г f "* -
J \+х2~ J \+х2+ I 1+х2~ I 1 + х2~" ^4l+*2~
= 2 Hm(arctg£-arctg0) = 2 —0 =я.
-и» *
г) [xe~x+1dx= lim [xe~x+idx.
о о
Воспользуемся формулой интегрирования по частям
A1.19). Пусть и = х, e~x+1dx = tffo. Тогда du = dx,v= \e~x+1dx =
= -e"*+1 и
+oo It t
f ле-*+1<£г = lim (-xe~x+i + \e~x+ldx) =
0 ° 0
= lim (-te"t+1 - e~t+1 +e) = e.>
t^>+oo
Геометрически, если fix) > О на полуинтервале [а, +«>),
-И»
I f(x)dx численно равен площади под кривой у = f(x) на
а
[а; +оо). В этом смысле, в частности, результаты примера
1
11.113, в, г означают, что площадь под кривой у-
l + xz
(кривая Аньези) на интервале (-<»; +оо) равна я (ед?)
дг+1
(рис. 11.44), а площадь иод кривой у = хе на
полуинтервале [0; + оо) равна е (ед.2) (рис. 11.45).
V
1
0/
i
у ** хе~**х
J^^hcs=e
' 1
X
Рис. 11.45

648
Глава 11. Определенный интеграл
Несобственные интегралы
от неограниченных функций
11,114. Вычислить интегралы (если они сходятся):
>Ш- 6)k
dx
(дг-1J
Решение.
а) Подынтегральная функция у =
1
VW
не
ограничена вблизи точки х = 1. Согласно определению A1.33) имеем
1 г I"
U±==lim f-Д
= lim arcsinjc
2 8->0+
1-8
о
= lim arcsin(l - 5) = arcsin 1 = —.
Геометрически этот результат означает, что площадь
1
под кривой у= I = на по-
VI-х2
луинтервале [0; 1) равна
5 = я |(ед?) (рис. 11.46).
б) Подынтегральная функ-
1
ция у = -г не определе-
?(*-iJ
на во внутренней точке х = 1
-1 ОТ
Рис. 11.46
1 * отрезка интегрирования [-7; 2]
и не ограничена вблизи нее.
Используя свойство A1.6)
определенного интеграла, запишем исходный интеграл в
виде суммы двух слагаемых:

11.13. Несобственные интегралы
649
для вычисления которых применим определения
соответственно A1.33), A1.34). Тогда получаем
2 , 1-8 2 2 _2
1 , = lim Г (х-1) 3dx + lim | (х-1) 3dx =
J 3//i v\2 5->0+ J 8-»0+ J
U-b *
2
1+8
= lim3(x-lK + lim3(x-lK
8->0+ |_7 8->0+
= lim 383 +6+3- lim 3(-5K =9. ►
8->0+ 8->0+
Вычислить интегралы (если они сходятся):
dx лл _Л f <&*
1.115. J^J. H.116. J
1.119
i
+оо
1.123.
dx
.131. f-5
lJ
•Jx3 ' о х'п2дг
1.117. je~2xdx. 11.118. &.
о (Л*
Г <£t .... >ЛЛ f dx
r. 11.120. ,
J(x-lJ Ь/,, -2
.7-*^. 11.122. 7 ,
2
\nx , ^ „Л, T <&*
f J*f A. 11.124. f-r-^-
J x3 J x2+4jc+9
l -°°
+oo +oo
1.125. J e~xsinxdx. 11.126. I aictgxdx.
о о
-boo +oo
1.127. \xe2xdx. 11.128. jxe'^dx.
—oo —oo
t dx г dx
1.129. h т 11.130. -7^=
W9-*2 JV5-X
11.132. flnxfifr.

650
Глава 11. Определенный интеграл
с dx
11.133.
е ах
11.134. Найти площадь фигуры, заключенной между кри-
вой у = —т. и ее горизонтальной асимптотой при х>\.
х + 2х
11.135. Найти объем тела, полученного при вращении
вокруг оси Ох плоской фигуры, заключенной между
кривой у = , , ее вертикальной асимптотой и осью Ох на
yJA-x
отрезке [2; 6].
11.136. Найти объем тела, полученного при вращении
вокруг оси Ох фигуры, заключенной между линиями
у = In .г и у = 0 на полуинтервале @; 1 ].
11.14. Приближенное вычисление
определенного интеграла
г dx
11.137. Вычислить по формуле трапеций с точ-
ностью до 0,01. о
Решение. Известно, что k-я производная функции
f(x) = тг может быть представлена в виде
1+лг
f{k\x) = k\cosMusm\
<*+0|« + f
п*
где M = arctgx.
Так как jsinot] < 1, |cosa| < 1 при любом аргументе а, то
Тогда |/"(х)| < 2! = 2 и (см. формулу A1.36))
д<A^.2 1 .
12п2 6п2

11.14. Приближенное вычисление определенного интеграла 651
Из условия А < 0,01 находим п > 4,08, т.е. для достижения
требуемой точности в формуле A1. 35) достаточно поло-
1-0
жить /2 = 5. Тогда h - —— = 0,2 и х0 = 0, хл = 0,2, х2 = 0,4,
1
Хо = 0,6, хА = 0,8, X, = 1. Следовательно, f(x0) = я- = 1,
1 + 0
/(*,) = —I— = 0,96154, /(jc2) = —^—5- = 0,86207,
1 l + 0,22 V 2 l+0,42
f(x) = —!_ = 0,73529, f(x4) = —J—=■ = 0,60976,
3 l + 0,62 4 l+0,82
1
f(x5)~ 9- = 0,5. Подставляя теперь эти значения в фор-
1 + Г
мулу A1.35), окончательно получаем
{\+х2 \
+ 0,96154+0,86207+0,73529+0,60976 =
2
= 0,78373.
По формуле Ньютона — Лейбница | „■ = —, поэтому
JQl+xr 4
применение формулы трапеций для данного
определенного интеграла позволяет, в частности, найти число к с
требуемой точностью. ►
11.138. Вычислить In 2 с точностью до 0,01.
г dx
Указание: воспользоваться равенством In 2= — и фор-
J х
мулой трапеций. *
11.139. Вычислить по формуле трапеций для п = 10 ин-
4
теграл \x2dx. Найти значение погрешности полученного
о
результата.
11.140. Вычислить по формуле трапеций для п = 8 ин-
9
теграл \y/6x-5dx. Найти значение погрешности получен-
1
ного результата.

652
Глава 11. Определенный интеграл
11.141. При каком значении п следует применить форму -
1
лу трапеций для вычисления интеграла | е~х the с
точностью до 0,001? °
11.15. Применение понятия
определенного интеграла в экономике
11.142. Изменение производительности выпуска
продукции с течением времени от начала внедрения нового
технологического процесса задается функцией / = 32 - 2 °^+5,
где t — время в месяцах. Найти объем продукции,
произведенной: а) за первый месяц; б) третий месяц; в) шестой
месяц; г) последний месяц года, считая от начала
внедрения рассматриваемого технологического процесса.
Решегше, Используя экономический смысл интеграла (см.
параграф 11.1), получаем, что объем продукции u(tv t2)y
произведенной за промежуток времени [tv t2], вычисляется
следующим образом:
u(tv t2) = JC2-2-0^+5)^ = 32(^2-^1)+~1B-0'5'2 -2-°'^).
Ч
Тогда:
а) г/@; 1) = 32A-0)+^B-°'5-2°) = 4,95;
б) и{2\ 3) = 32C-2)+^iB'5 3 -2'52) = 18,48;
в) г/E; 6) = 32E-6)+-^B-0'5-6-2-°'55) = 27,22;
ln2v '
г) г/A1; 12) = 32A2-11)+-^-B-00512--2-0'511) = 31,4
Сравнивая между собой полученные результаты, можно
сделать вывод о том, что основная работа по внедрению
данного технологического процесса приходится в
основном на первую половину года. ►
Пусть влияние различных факторов на изменение
производительности труда описывается функцией Кобба —
Дугласа вида
/@ = «Иа@^Жу@,

11.15. Применение понятия определенного интеграла.. 653
где функции A(t), L(t), K(t) — величины затрат природных
ресурсов, труда и капитала; я0, ос, р, у — некоторые числа.
11.143. Найти объем выпускаемой продукции за пять
лет, если в функции Кобба — Дугласа A(t) = el, L(t) = (t +
+ lJ, K(t) «A00 - 302, a0 = 1, a = 1, P = у - 0,5 (t - время
в годах).
Решение. Используя экономический смысл интеграла,
получаем
и = @; 5) = jet (t+1)A00 - 3t)dt = jet (St2 + 97t+100)dt.
о о
Применяя дважды последовательно формулу
интегрирования по частям A1.19), имеем
w = @; 5) = (-3^2+97^ + 100У|5-(97-6о|5-6^|5=64825. ►
v ' v 7 10 10 10
11.144. По данным исследований о распределении
доходов в одной из стран кривая Лоренца может быть описана
х
уравнением у = , где хе [0; 1]. Вычислить коэффици-
3-2х
ент Джини k.
Решение. По формуле A1.21) получаем (см. рис. 11.28)
= МХ + - + ш: =
II 2 2 2х-зГ
х
~2
1 1
о 2
+ -1п|2х-3|
= 1-0,751пЗ« 0,176.
Тогда
й = А4^ = 0Д76=аз52 ^
>дОЛС
0,5
Пусть р « f(x) — кривая
спроса D на некоторый товар и
р = g (x) — кривая предложения ~q
5, где р — цена товара, х —•
величина спроса (предложения).
Рис. 11.47

654
Глава 11. Определенный интеграл
Обозначим через (х0, р0) точку рыночного равновесия
(рис. 11.47).
Доход от реализации количества товара х0 по
равновесной цене р0 равен произведению Хцр0. Если
предполагать непрерывное снижение цены от максимальной
pD=f@) до равновесной р0 по мере удовлетворения спро-
са, то доход составит J f(x)dx. Величина денежных средств
х0 О
С- J f(x)dx-p0x0 сберегается потребителями, если пред-
полагать продажу товара по равновесной цене р0, поэтому С
называется также выигрышем потребителей.
Аналогично
х0
О
называется выигрышем поставщиков.
Величины С и Р численно равны площадям
соответствующих криволинейных треугольников (см. рис. 11.47).
11.145. Найти выигрыши потребителей и поставщиков
в предположении установления рыночного равновесия,
если законы спроса и предложения имеют видр = 186 - х2у
р = 20+— х.
И 6
Решение. Решая систему
р = 186-х2,
j9 = 20 + — х,
F 6
найдем точку рыночного равновесия х0 = 12, р0 = 42. Тогда
12 Л |12 ^3|12
-504 = 1152;
1л Л \п
о
12
С= fA86-x2)ir-12-42 = 186x --
о 1о ;
12 ,
P = 12-42-JB0+^x)ir = 504-20*
о
12
0
6 2
12
0
= 132 (ден. ед.). ►

11.15. Применение понятия определенного интеграла... 655
11.146. Производительность труда рабочего в течение
дня задается функцией z(t) = - 0,00625£2 + 0,05 t + 0,5 (ден.
ед/ч), где t — время в часах от начала работы @ < t < 8).
Найти функцию и = u(t)y выражающую объем продукции от вре-
мери t (в денежных единицах) и его величину за рабочий
день.
11.147. Стоимость перевозки 1 т груза на 1 км (тариф
перевозки) задается функцией f{x) (ден. ед/км). Оп-
х + 2
ределить затраты на перевозку 1 т груза на расстояние 20 км.
11.148. Определить объем выпуска продукции за первые
5 ч работы при производительности f(t) = 11,Зе"°'4Ш , где t —
время в часах.
11.149. Найти объем продукции, выпущенной
предприятием за год B58 рабочих дней), если ежедневная
производительность этого предприятия задана функцией f(t) =
= -0,0033£2 - 0,089£ + 20,96, где t - время в часах A < t < 8).
11.150. При непрерывном производстве химического
волокна производительность f(t) (т/ч) растет с момента
запуска в течение 10 часов, а затем остается постоянной. Сколько
волокна дает аппарат в первые сутки после запуска, если
t_
f(t) = e5-l при£е [0; 10].
11.151. Найти объем выпуска продукции за четыре года,
если в функции Кобба — Дугласа A(t) = e3*, L(t) = t + 1, K(t) =
=10, а0 = а=Р = у=1.
11.152. Кривые Лоренца распределения дохода в
некоторых странах могут быть заданы уравнениями:
а) у - 0,85*2 + 0,15х; б) у - 2х - 1; в) у - 0,7х3 + ОДг2.
Какую часть дохода получат 10% наиболее
низкооплачиваемого населения? Вычислить коэффициенты Джини для
этих стран.
11.153. Уравнение спроса на некоторый товар имеет вид
р = 134 — лг2. Найти выигрыш потребителей, если
равновесная цена равна 70.
11.154. Уравнение спроса на некоторый товар имеет вид
р = . Найти выигрыш потребителей, если равновес-
х + 15
ное количество товара равно 10.

656 Глава 11. Определенный интеграл
11.155. Найти выигрыш потребителей и поставщиков
товара, законы спроса и предложения на который имеют
следующий вид:
а) р = 250-х2, р = -х + 20;6)р-240-Д/?-*2 + 2х + 20.
11.16. Двойные интегралы
11.156. Вычислить 1= \ Г y2smx dxdy f где D — область,
D
ограниченная линиями у= 1 + cos х, х = 0, у = 0 (х е [0; тс]).
Решение. Данная область является элементарной, так как
на отрезке [0; к] имеем h(x) = 1 + cos x > g(x) = 0 (см.
параграф 11.10 и рис. 11.48). Следовательно, искомый интеграл
сводится к повторному:
у = 1 + cos х
п l+cos*
I=\dx \ y2sinxdy =
= Jsinx
3 il+cos;A
31 о )
\dx =
Рис. 11.48
1 п
= - J sin x A+cos xK dx.
Для нахождения последнего
интеграла воспользуемся переменной t = 1 + cos х. Тогда dt = -sin xdx.
Если х e 0, то t = 2, если х = тс, то £ = 0. Следовательно,
3J Я 4
Л"
11.157. Вычислить / =
= Г \xdxdy, где D — область,
d х
ограниченная линиями: у = — ,
2 4 6\* у-2*, у-6-х (рис. 11.49).
Рис. 11.49
Решение. Область D — «внутренность» треугольника
АВО (см. рис. 11.49) — является объединением двух эле-

11.16. Двойные интегралы
657
ментарных областей: D = D1uD2y где D{ и D2 —
«внутренности» треугольников соответственно АСО и ABC. Тогда (по
аналогии со свойством A1.6) определенного интеграла) имеем
/= | \xcbcdy+ \ \ xdxdy.
А А
В силу элементарности областей D{ и D2 каждый из двух
последних интегралов сводится к повторному:
2 2х 4 6-х 2 / |2*\ 4 / |6-*\
1= \dx f xdy+\dx \ xdy= \х\ у\х \dx+\x\y\ x \dx =
О яг/2 2 jt/2 О V 1/ 2 V I I У
= Jх 2лг— <£с+Г лг 6-лг-— \dx= \-x2dx+\\ 6х---х2 \dx =
О ^ ^ 2 ^ ' О 2^ ^
= ±гЧ +3х2 --х3\ =12. ►
2 «о '2 2 12
11.158. Вычислить /= \\\jx2 + y2dxdyy где D — часть
Z)
круга единичного радиуса с центром в начале координат,
расположенная в первой четверти.
Решение. Искомый интеграл сводится к повторному:
1 Vk?
I={dx J yjx2 + y2dy.
о о
Используем переход к полярным координатам (см.
параграф 11.10):
л/2 1
J *J ф1о 2 3 6 ►
Вычислить двойные интегралы:
11.159. \\(x+y2)dxdy> где D ограничена прямыми
г/ = х, г/ = 2х, г/ = -х + 4.
11.160. \\-dxdy, где D ограничена линиями г/ = е*,
D
г/ = е2ху х = 2.
11.161. jje^dxdy, где D ограничена гиперболой хг/ = 1,
D
осью абсцисс и прямыми х = 2, х = 3.

658
Глава 11. Определенный интеграл
11.162. Nx + ylyjdxdy, где D ограничена параболами
D
у = х?,у = Ах2 и прямой х = 2.
11.163. J \sin(x-y)dxdy, где D ограничена прямыми
D
у = хуу = 2г, л: = я.
Контрольные задания по главе 11
«Определенный интеграл»
№
Вариант 11.1
Вариант 11.2
Вариант 11.3
Вычислить определенные интегралы:
j
dfc
i Wln2#+1
1п0,5
J 4\-e2xdx
\x2e 3dx
о
0,5
r 3-2£
Jx2-1
dx
f-Le*dx
1 **
f x2cos;r dx
о
9
\xyjl-xdx
1
г <ir
3*
I , dx
e
\(x\nx) dx
l
r dx
fixyll + x2
ln?e3xdx
I i + e3x
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
у = х2-2, у = -1,
У = 2
у = \пх,у = ех,
х = 2,х = 0,у = 0
у = 3х -х, у = 2х
Найти объем тела, полученного при вращении плоской фигуры,
ограниченной линиями:
у = х2,ху = 8,
* = 0,г/ = 8
(вокруг оси Оу)
ху = 6, х = 1, х = 6,
У = 0
(вокруг оси Ох)
у = х2,у = -,х = 2
(вокруг оси Оу)
Вычислить несобственный интеграл (если он сходится):
e-^dx
Jdx
. Eх + '
dx
I E* + 7)J
г ах

Контрольные задания...
659
№
8
Вариант 11.1
Вариант 11.2
Вариант 113
Вычислить двойной интеграл, если область D ограничена
линиямиг/ = 1 - я2 и */ = 0:
jj(x + y2)dxdy
D
^(x + 2y)dxdy
D
\\xydxdy
D
Тест 11
1. Найти максимальное значение интегральной суммы
функции у = х2 на отрезке [0; 1], если число отрезков
разбиения равно 4.
Ответ: —, где а = ..., Ъ = ... (anb- положительныеце-
Ъ а
лые числа, дробь — — несократима).
Ъ
2. При каких целых значениях параметров а и Ъ
справедливо равенство
1 .
3. Найти такие целые значения а и Ь, при которых
справедливо равенство
J \n(x + l)dx = a + 2\nb.
i
4. Вычислить определенный интеграл
2
dx
х2+7х
1 9
Ответ: — In у, где а = ..., Ъ = ... {а и Ъ — целые числа).
а о
5. При каком значении параметра а интеграл
з
| dx равен площади S фигуры, ограниченной лини-
{ *+1
0 х-2
ями у = , у = -2, х = 3? Найти эту площадь 5.
х + 1

660
Глава 11. Определенный интеграл
Ответ: а = ..., S = 9 - Infe, гдеb = ...(аиЬ — целые чис-
ла)* 2 [(—7?
6. Найти длину дуги кривой у-—^\х-\) на отрезке
[1;41. 3
Ответ: —, где а = ..., b = ... (а и b — положительные
b а
целые числа, дробь -— несократима).
b
7. Найти объем тела, полученного при вращении
вокруг оси абсцисс плоской фигуры, ограниченной линиями
х = у2,х = Ау - у2,х = 0.
Ответ: — , где а = ...
3
8. При каком минимальном значении п формула
трапеций обеспечивает вычисление определенного интеграла
5
J \nxdx с точностью до 0,001?
1
9. Найти площадь фигуры, заключенной между кривой
у = Bх - 3) е~х и ее горизонтальной асимптотой на
промежутке [0; +оо). е ^
10. Вычислить определенный интеграл —, если
он сходится. о п х

Глава 12
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ
ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ КУРС
12.1. Основные понятия
Определение. Дифференциальным уравнением
называется уравнение, связывающее искомую функцию одной
или нескольких переменных, эти переменные и производ-
I ные различных порядков данной функции.
Если искомая функция зависит от одной переменной, то
дифференциальное уравнение называется обыкновенным,
если от нескольких — то уравнением в частных
производных. Мы будем рассматривать только обыкновенные
дифференциальные уравнения (и по этой причине само слово
«обыкновенные» будет опускаться).
Простейший пример дифференциального уравнения дает
задача о нахождении первообразной F(x) для заданной
функции/(х) (см. гл. 10), поскольку ее можно рассматривать как
задачу о нахождении функции F(x), удовлетворяющей
уравнению F'(x) =f(x).
В общем случае дифференциальное уравнение можно
записать в виде
С(х,у,у',...,/пЬ = 0, A2.1)
где G — некоторая функция от п + 2 переменных (п > 1).
Порядок п старшей производной, входящей в запись
уравнения, называется порядком дифференциального урав-

662 Глава 12. Дифференциальные уравнения
нения. Например, задача о нахождении первообразной
приводит к дифференциальному уравнению первого порядка,
уравнение
xHyy-xiyf+ 8 = 0
является уравнением третьего порядка и т.п.
Дифференциальное уравнение п-то порядка называется
разрешенным относительно старшей производной, если оно
имеет вид
y^ = F{x,y,y',...,in-\
где F — некоторая функция от п + 1 переменной.
Решением дифференциального уравнения A2.1)
называется такая функция у = у(х)у которая при подстановке ее в это
уравнение обращает его в тождество. Так, функция
у = sinx является решением уравнения у" + у = О, так как
(sinx)" + sinx = О для любых х.
Если решение уравнения A2.1) получено в неявной
форме, т.е. в виде уравнения G(x> у) = 0, то это решение
называется интегралом дифференциального уравнения A2.1).
Задача о нахождении решения некоторого
дифференциального уравнения называется задачей интегрирования данного
дифференциального уравнения. График решения
дифференциального уравнения называется интегральной кривой.
Пример 12.1. Решить уравнение у" = х.
Решение. Поскольку у" = —, то исходное уравнение
dx
равносильно следующему равенству дифференциалов:
dy' = xdx. Выполняя почленное интегрирование, получаем
х2
у' = — + Q, где Ct — произвольная постоянная. Вновь
записывая производную как отношение двух
дифференциалов, приходим к равенству dy =
(г \
х 1
— + Q \Jx. Интегрируя
/
з
X
почленно, окончательно получаем у = —+С{х+С2, где
6
С2 — произвольная постоянная.

12.1. Основные понятия
663
Отметим, что без дополнительных предположений
решение данного уравнения принципиально неоднозначно.
Иными словами, дифференциальное уравнение задает семейство
интегральных кривых на плоскости. Для выделения
однозначно определенной интегральной кривой (решения) в
данном случае достаточно указать точку плоскости, через
которую проходит искомая интегральная кривая, и
направление, в котором она проходит через эту точку.
(Дополнительные условия такого рода обычно называют начальными,
поскольку часто дифференциальные уравнения
используются для описания динамических процессов, т.е. процессов,
происходящих во времени. В этих случаях независимая
переменная х обозначает время.) Например, если известно, что
х3
у@) = 1 и у'@) = 2, то приходим к решению у- — + 2х+\.
6
Аналогично, для выделения однозначно определенного
решения дифференциального уравнения я-го порядка следует,
вообще говоря, дополнительно задать п начальных условий. ►
Общим решением дифференциального уравнения A2.1)
п-то порядка называется такое его решение
z/ = 9(x,C1,...,Cw), A2.2)
которое является функцией переменной х и п
произвольных независимых постоянных Cv C2, ..., Сп.
(Независимость постоянных означает отсутствие каких-либо
соотношений между ними.)
Частным решением дифференциального уравнения
называется решение, получаемое из общего решения при
некоторых конкретных числовых значениях постоянных Cv C2,..., Сп.
х3 х3
В примере 12.1 у = — + Схх + С2 — общее, у = — +
+ 2х + 1 — частное решения дифференциального уравнения
Чтобы построить дифференциальное уравнение,
которому удовлетворяют кривые заданного семейства A2.2),
следует продифференцировать равенство A2.2) п раз,
считая, что у — функция независимой переменной х, а затем
из полученных равенств и A2.2) исключить Cv C2, ..., Сп.
Пример 12.2. Составить дифференциальное уравнение
семейства кривых у = (Сх + С2х)ех.

664 Глава 12. Дифференциальные уравнения
Решение. Дифференцируя заданную функцию, находим,
что
у' = С2ех+ у, у" = 2С2ех + у.
Исключая из этих двух равенств постоянную С2,
приходим к уравнению у" - 2у' + у = 0. ►
К дифференциальным уравнениям приводится ряд
задач экономики, физики, биологии, экологии и т.п.
Рассмотрим некоторые из них.
Пример 12.3. Из статистических данных известно, что
для рассматриваемого региона число новорожденных и
число умерших за единицу времени пропорциональны
численности населения с коэффициентами
пропорциональности kt и k2 соответственно. Найти закон изменения
численности населения с течением времени, т.е. построить
математическую модель демографического процесса.
Решение. Пусть у = y(t) — число жителей региона в
момент времени t Прирост населения Ау за время At равен
разности между числом родившихся и умерших за это
время, т.е.
Ау = ^ у At - k2 У &t
или
£-*
где k = kx - k2.
Переходя к пределу при Ау —» 0, получаем уравнение
у'=ку, A2.3)
представляющее математическую модель демографического
процесса. Решая это уравнение (см. параграф 12.4, а также
пример 12.8), получаем закон изменения численности
населения
y = Cfe*, A2.4)
где С — постоянная, определяемая начальными условиями.
Например, если в начальный момент t0 население
региона составляло z/0, т.е. у0 = Cekt° (откуда С = у0е"к° ), то
математическая модель демографического процесса при
начальном условии y(t0) = y0 примет вид
у = у0ек^°\ + A2.5)

12.2. Дифференциальные уравнения первого порядка... 665
Пример 12.4. Найти уравнения кривых, в каждой точке
которых отрезок касательной, заключенный между осями
координат, делится пополам точкой касания.
Решение. Пусть М(х, у) — произвольная точка кривой
указанного типа; у = kx + Ъ — касательная к кривой в точке
М] Л(а; 0) и 5@; Ъ) - точки
пересечения касательной с осями
соответственно абсцисс и
ординат (рис. 12.1). По условию
имеем AM = ВМ, поэтому Ъ =
= 2у или у - kx = 2у. Так как
угловой коэффициент
касательной является производной, т.е.
k = г/, то приходим к уравнению
[В@;Ь)
• = -*,
х
Рис. 12.1
решая которое (см. параграф 12.5), получаем уравнение
обратной пропорциональной зависимости
С
х
A2.6)
где С — некоторое число. I
12.2. Дифференциальные уравнения
первого порядка. Задача Коши.
Теорема о существовании
и единственности решения
Рассмотрим вопросы теории дифференциальных
уравнений на примере уравнений первого порядка, разрешенных
относительно производной, т.е. таких, которые могут быть
представлены в виде
*/' = /(*>*/)>
A2.7)
где/— некоторая функция двух переменных.
Будем обозначать через Г множество точек плоскости
Оху, на котором функция /(х, у) определена,
дополнительно предполагая, что множество Г является открытым.

666 Глава 12. Дифференциальные уравнения
J
У
0
к
V ж //^
hT
X
Рис. 12.2
(Множество точек плоскости называется открытым, если
вместе с каждой своей точкой оно содержит некоторую
окрестность этой точки.)
Рассмотрим геометрический смысл уравнения A2.7).
Производная функции у' представляет угловой коэффициент
(тангенс угла наклона) касательной к кривой у = у(х) в
точке с абсциссой х. Следовательно, уравнение A2.7) в каждой
точке (х, у) плоскости Оху
задает направление tg а =/(х, у)
касательной к интегральной
кривой у = у(х), проходящей через
эту точку Говорят также, что
уравнение A2.7) задает поле
направлений в области Г (рис. 12.2).
Решить уравнение A2.7) —
значит найти семейство кривых,
отвечающих заданному полю
направлений.
Перейдем теперь к теореме
существования и
единственности решения, играющей важную роль при описании решений
дифференциального уравнения.
Теорема. Пусть в дифференциальном уравнении A2.7)
df
функция f{x, у) и ее частная производная — непрерывны на
ду
открытом множестве Г координатной плоскости Оху. Тогда:
1. Для всякой точки (х*, у0) множества Г найдется
решение у = у(х) уравнения A2.7), удовлетворяющее начальному
условию у(х0) = у0.
2. Если два решения у =
= ух(х) и у = у2(х) уравнения
A2.7) совпадают хотя бы для
одного значения х в х0, т.е. если
У\(хо) = #2(хо)' то эти Решения
совпадают для всех значений
переменной х, для которых они
определены.
Геометрический смысл
теоремы состоит в том, что через
каждую точку (х0, у0) множе-
У
У - У(х)
Рис. 12.3

12.2. Дифференциальные уравнения первого порядка... 667
ства Г проходит одна и только одна интегральная кривая
уравнения A2.7) (рис. 12.3).
Задача отыскания частного решения
дифференциального уравнения A2.7), удовлетворяющего начальному
условию у(х0) = г/0, называется задачей Коти. Таким образом,
рассмотренная теорема устанавливает условия
существования и единственности решения задачи Коши.
Приведем пример использования теоремы.
Пример 12.5. Решить уравнение
У' = У- э, A2.8)
Решение. В данном случае f(x,y) = г/, — = 1 определены и
непрерывны при любых х и г/, и, следовательно, условия
теоремы выполнены на всей плоскости Оху.
Непосредственной подстановкой в уравнение
убеждаемся в том, что каждая функция вида
г/ = С^, A2.9)
где С — некоторое число, является решением уравнения
A2.8).
Покажем, что все решения уравнения A2.8) имеют
такой же вид при некотором значении постоянной С.
Пусть у = у(х) — некоторое решение уравнения A2.8),
х = х0 — точка, в которой это решение определено, и у0 =
= у(х0). Положим С = у0е~х°. Тогда решения у = у(х) и
у = Сех = у0е~х°ех = у$ех~ч уравнения A2.8) совпадают при
х = х0, а потому, согласно п. 2 теоремы, совпадают для всех
точек. ►
Приведем пример уравнения, для которого не
выполняется условие единственности
решения, т.е. существует такая
точка плоскости Охуу через которую
проходит более одной интеграль-
2
ной кривой. Пусть у' = у3'.
Непосредственно проверяем, что у = О
Л3
— решения данного
иИ!
уравнения, проходящие
точку @; 0) (рис. 12.4).
через
У
г
i
1 / Л3
/■(f)
X
Рис. 12.4

668 Глава 12. Дифференциальные уравнения
12.3. Элементы качественного анализа
дифференциальных уравнений первого порядка
Дифференциальное уравнение A2.7) называется
автономным, если функция / зависит только от переменной г/,
т.е. если уравнение имеет вид
У'=ЛУУ A2.10)
Например, уравнение A2.8) является автономным.
Уравнения такого типа часто встречаются на практике.
Например, если дифференциальное уравнение описывает
динамическое действие некоторого закона природы, то
естественно предположить, что сам закон не будет
изменяться с течением времени, поэтому в запись правой части
уравнения A2.10) время х не входит (см., например,
задачу о росте населения в примере 12.3).
Ниже будем предполагать, что для функции f(y)
выполнены условия, обеспечивающие существование и
единственность решения уравнения A2.10) при произвольном
значении переменной г/, т.е. положим, что функция f(y)
имеет непрерывную производную при любом у (см.
параграф 12.2). Кроме того, пусть нули функции f(y) (корни
уравнения f(y) = 0) не имеют предельных точек, т.е. все
они отстоят друг от друга не менее, чем на заданную
положительную величину.
Пусть уравнение A2.10) описывает процесс движения
точки по прямой Ог/, которая называется также фазовой
прямой (переменная х обозначает время). В этом случае
у' — это скорость движения точки. Согласно A2.10) она
зависит только от координаты точки и не зависит от
значения текущего момента времени.
Особую роль в проводимом анализе будут играть нули
функции f(y). Убедимся в том, что если f(a) = 0 и точка в
некоторый момент времени имеет координату z/0 * а, то с
течением времени х она не меняет своего положения на
фазовой прямой (оси Оу). (Равно как и во все
предшествующие моменты времени она находилась в этой же точке.)
Действительно, проверяем подстановкой, что у = а —
решение уравнения A2.10). Но решение у = а = const как раз
и описывает точку, не меняющую с течением времени
своего положения. Ввиду изложенных причин нули функции

12.3. Элементы качественного анализа...
669
f(y) называются также положениями равновесия или
стационарными точками.
Пусть а, Ь, с,... нули функции f(y). Прямые у = а,у = Ь,
у = с, ... разбивают всю координатную плоскость на
полосы, расположенные параллельно оси абсцисс. Рассмотрим
особенности интегральных кривых, заполняющих одну из
таких полос. Так как функция f(y) непрерывна, то
согласно A2.10) производная у' знакопостоянна на
произвольном интервале между положениями равновесия. В связи с
этим все интегральные кривые, лежащие в одной полосе,
задаются либо только возрастающими, либо только
убывающими функциями.
Пример 12.6. Построить семейства интегральных
кривых уравнения A2.8).
Решение. В данном случае f(y)=
= у и единственным нулем этой
функции является у = 0. В
результате вся координатная
плоскость разбивается прямой у = 0
на две полуплоскости
(«полосы»). Решения уравнения A2.8)
описываются функциями вида
A2.9). При С = 0 получаем
решение у = 0, отвечающее
неподвижной точке. Для всех С > 0 имеем
семейство монотонно
возрастающих функций, для С < 0 -
монотонно убывающих (рис. 12.5).
Рассмотрим интегральные
кривые, лежащие в выделенной полосе, например кривые у =
= Cte* где С > 0. Поскольку Сех~х° = Схех, где Q = Се'4 > 0,
то при параллельном переносе интегральной кривой вдоль
оси абсцисс вновь получается интегральная кривая,
причем из того же семейства.
Пусть у s С/ и у и Сув? — две интегральные
у-Се"
С>0
С<0
Рис. 12.5
кривые указанного семейства и С1 > 0, С2 > 0.
Перенося вторую кривую вдоль оси абсцисс на х0 = In
с,
с,
единиц, приходим к первой кривой. Действительно,

670 Глава 12. Дифференциальные уравнения
у = С2ех-Х» =С2е ^2 V = ^ех = С{ех. Таким образом, все
интегральные кривые одной полосы получаются одна из
другой параллельным переносом вдоль оси абсцисс.
Отметим также, что прямая у = 0, отвечающая
неподвижной точке дифференциального уравнения, является
горизонтальной асимптотой интегральных кривых этого уравнения. ►
Можно доказать, что утверждения, сформулированные
при решении примера 12.6, остаются справедливыми и в
общем случае.
Описывая движение точки по фазовой прямой, мы
полностью сохраним качественную информацию об этом
движении, если вместо интегральных кривых изобразим лишь
возможные траектории точки с указанием направления
движения. Графическое изображение этих траекторий,
называемых фазовыми, дает фазовый пор-
щ 9 У^ трет автономного уравнения A2.10).
0 Например, фазовый портрет уравнения
Рис 12 6 У' = У (см* пРимеР 12.6) изображен на
рис. 12.6. В данном случае фазовая
прямая распадается на три траектории: интервалы (-«>; 0),
@; +°о) и положение равновесия у = 0.
Пример 12.7. Найти фазовый портрет уравнения у' =
Решение. Решая уравнение 1 - у2 = 0, получаем
положения равновесия: у = ±1. Траекторий в данном случае будет
пять: интервалы (-«>; -1), (-1; 1), A; +<») и точки у = ±1.
Из вида решаемого уравнения следует, что если у >1 или
у < - 1, то у' < 0, решение у = у(х) — убывающая функция,
и, следовательно, точка движется по
у^ фазовой прямой с уменьшением своей
щ _\ * • * ^ координаты (влево). Если -1 < у < 1, то
у' > 0, и точка движется вправо. Окон-
чательный фазовый портрет изображен
на рис. 12.7. ►
Направления движения точки вблизи ее положения
равновесия определяют тип положения равновесия. Например (см.
рис. 12.7), находясь в достаточной близости от точки у = 1,
подвижная точка будет лишь приближаться к точке
равновесия у = 1. Такие положения равновесия называются устойни-

12.4. Неполные дифференциальные уравнения...
—*—• *■—
О
Рис. 12.8
—►
У
выми. Наоборот, находясь в достаточной
близости от точки у = -1, подвижная
точка будет лишь удаляться от положения
равновесия у = -1. Такие положения
равновесия называются неустойчивыми.
Возможен также третий тип точек равно- -1 0 1
весия — так называемые точки полуус- рис# ^2.9
тойчивого равновесия. (Например, точка
у = 0 уравнения у' = у2 (рис. 12.8) или точка у = О уравнения
/ = /-г/2(рис.12.9).)
12.4. Неполные дифференциальные уравнения
первого порядка. Дифференциальные уравнения
с разделяющимися переменными
Дифференциальное уравнение A2.7) первого порядка
называется неполным, если функция / явно зависит либо
только от х, либо только от у. Рассмотрим решения таких
уравнений. ,
1. Уравнение г/' = fix) или -¥- = f(x). Перепишем урав-
ах
нение в виде dy = f(x) dx, откуда его решение у = j f(x)dx.
2. Уравнение
*/'=/(*/)• A2.11)
Его решение удобно искать в виде х = х(у)у т.е. считать,
что переменная у обозначает независимую переменную,
а переменная х — функцию. (Поскольку у = —-, то уравне-
dx
ние A2.7) можно записать в виде
ах
и в силу инвариантности формы дифференциала считать
переменные х и у равноправными.) В этом случае из
уравнения A2.11) получаем ^ =dx и
f(y)
ч
JV-. A2.12)
Ку)

Глава 12. Дифференциальные уравнения
и
У
Пример 12.8. Решить уравнение A2.8):
*/' = */•
Решение. Найдем решение в виде х = х(у). Полагая, что
у Ф О из уравнениий A2.8) и A2.12), получаем х= —
J У
х = 1п|у| + С1, A2.13)
откуда \у\ = e~Ciex иг/ = ±е~Схех. Полагая, что произвольная
постоянная С = ±еf х, получаем у = Се?. (Заметим, что это
общее решение уравнения при С = О дает частное решение
у = О, «потерянное» в процессе преобразований.) ►
Дифференциальное уравнение первого порядка
называется уравнением с разделяющимися переменными, если оно
может быть представлено в виде
^ = f(*)g(y) A2.14)
или
M(x)N(y)dx+P(x)Q(y)dy = 0, A2.15)
где f{x), M(x), Р(х) — некоторые функции переменной х\
ё(у\ Щу), Q(y) - функции переменной у.
Для решения такого уравнения следует преобразовать
его к виду, в котором дифференциал и функции
переменной х окажутся в одной части равенства, а переменной
у — в другой, а затем проинтегрировать обе части
полученного равенства. Так, из уравнения A2.14) следует, что
= f(x)dx и Г——=\f{x)dx. Выполняя интегрирова-
g(y) Jg(y) J
ние, приходим к решению уравнения A2.14).
Пример 12.9. Решить уравнение yjy2+ \dx = xydy.
Решение. Разделив левую и правую части уравнения на
выражение х^у2 + \ (при х Ф 0), приходим к равенству
dx ijdij ЛХ
— = , . Интегрируя, получаем
х 7?и
ГА-Г ydy A2.16)

12.4. Неполные дифференциальные уравнения» 673
или
ln|x| = V7+l + Q> A2.17)
так как интеграл в левой части A2.16) табличный, а интеграл
в правой части может быть найден, например, с помощью
замены yjy2 + l=t, y2 + l = t2y2ydy = 2tdt и J У У =
Решение A2.17) перепишем в виде х =±еС{еу'у * или
х = Сё&+\ где С = ±есК
Заметим, что х = О — решение исходного
дифференциального уравнения, которое в процессе выполнения
задания не учитывалось, получается из найденного общего
решения при С = 0. ►
Уравнения вида
y' = f(ax + by), A2.18)
где а и Ъ — некоторые числа, приводятся к уравнениям с
разделяющимися переменными заменой z = ах + by (или
z = ах + by + с, где с — некоторое число).
Пример 12.10. Решить уравнение
(х + 2у)у' = 1. A2.19)
Решение. Положим z = х + 2у. Тогда / = 1 + 2#', откуда
1
у=—(z'-!) и исходное уравнение примет вид
|Ф--1)=1,
который допускает разделение переменных.
Действительно, из последнего равенства получаем
, 2 + 2
z =
и, следовательно,
zdz j
z + 2 4
где z * -2. Выполним почленное интегрирование данного
равенства:
jdx = j-?—- или x = z-2\n\z + 2\ + Ct

674 Глава 12. Дифференциальные уравнения
<rfoJf^-jA-^2)b-J*-2J^"-2H'+al+^
Возвращаясь к первоначальным переменным, получаем
x = * + 2y-2ln|*+2y + 2| + Ct
или
г/-1п|х + 2г/ + 2| = С, A2.20)
1
где С = —-Q.
2 1
Если z = -2, то у = -1—х. Проверка показывает, что
эта функция также является решением исходного
уравнения A2.19). Предлагаем читателю в качестве упражнения
убедиться, что неявные функции A2.20) действительно
удовлетворяют исходному дифференциальному
уравнению A2.19). ►
12.5. Однородные дифференциальные уравнения
первого порядка
Дифференциальное уравнение первого порядка
называется однородным, если оно может быть представлено в виде
f *,\
У =ё\
У
V
A2.21)
где g — некоторая функция (одной переменной).
Например, уравнение у -— cos In— — однородное.
х х
Понятие однородного дифференциального уравнения
связано с однородными функциями. Функция у = f(x, у)
называется однородной степени к (по переменным х и у),
если для произвольного числа а выполняется равенство
f(axyay) = akf(xyy). A2.22)
Пример 12.11. Выяснить, являются ли однородными
следующие функции:
а) f(x,y) = x2-xy; б) f(x,y) = ——£;
г Х~У
в) f(x,y) = xy + l.

12.5. Однородные дифференциальные уравнения... 675
Решение.
а) Так как f(ax, ay) = (axJ - (ах)(ау) = а2(л^ - ху) =
= a2f(xf у), то данная функция однородная степени 2.
б) Так как /(от, ау) = Ml» = 2*+% = а<)
ах-ау х-у
то данная функция однородная степени 0.
в) Так как/(ах, ay) = a?xy+\*ak(xy + \) ни для какого
k, то данная функция неоднородная. ►
Если функция/(х, г/) однородная степени 0, то уравнение
y' = f(x,y) A2.23)
может быть сведено к однородному. Действительно, положим
а = —. Тогда, согласно равенству A2.22), при k=0 f(x, у) =
х
=/
1 1 ^ А. уЛ „ Ау\ А* УЛ
—х, — у
X X
= /11, — I Полагая, что g\ — = /I
1,^

приводим уравнение A2.23) к виду A2.21).
Из доказанного следует, что если дифференциальное
уравнение первого порядка имеет вид
M(x,y)dx+N(x,y)dy = 0, A2.24)
(где функции М(х, у) и N(x, у) являются однородными
степени k), то это уравнение может быть сведено к
однородному, так как из A2.24) получаем
dy = М(х,у)
dx N(x,y)'
а функция, стоящая в правой части последнего равенства,
однородная степени 0.
Рассмотрим теперь способ решения
дифференциального уравнения A2.21). Убедимся, что введение
вспомогательной функции z от переменной х (замена переменной)
у
z = — позволяет свести это уравнение к уравнению с раз-
х
деляющимися переменными. Действительно, так как у = zr,
то у' = /х + 2, поэтому уравнение A2.21) приобретает
следующий вид:
z'x+z = g(z)y

676 Глава 12. Дифференциальные уравнения
откуда получаем, что
62 = —. A2.25)
g(z)-z х
Пример 12.12. Решить уравнение
у' = £±^. A2.26)
х
Решение. Так как - = 1 + —, то уравнение A2.26)
х х
имеет вид A2.21) при е\ У- 1=1 + -^. Положим z = —. Тогда
\х) х х
g(z)-z=l+2z-z=l+z и согласно A2.25) принимает вид
dz _ dx
1 + 2 X
где z Ф -1. Интегрируя почленно последнее равенство,
получаем
ln|l+z| = ln|x|+Q,
откуда |1 + z\ = eCi \х\ или 1 + z = Cr, где С = ±еС{.
Возвращаясь к первоначальным переменным, имеем 1 + — = Сх, от-
куда z/ = (Cr-l)x.
Заметим, что при z = -1 функция у ** -х — решение
данного уравнения A2.26), которая в процессе выполнения
задания не учитывалась, получается из найденного общего
решения при С = 0. ►
12.6. Линейные дифференциальные уравнения
первого порядка
Дифференциальное уравнение первого порядка
называется линейным, если оно имеет вид
*/'+/(*)*/ = £(*), A2.27)
где f(x) и g(x) — некоторые (непрерывные) функции
переменной х.
Если функция g(x) тождественно равна нулю,
уравнение называется однородным, в противном случае —
неоднородным.

12.6. Линейные дифференциальные уравнения» 677
Рассмотрим один из возможных способов решения
уравнения A2.27). Будем искать решение в виде у = u(x)v(x)
(тем самым искомыми становятся функции и(х) и v(x), одна
из которых может быть выбрана произвольно, а другая
должна определяться из уравнения A2.27)).
Так как у' = u'v + ш/, то из A2.27) следует, что u'v + uv' +
+ f(x)uv = g(x) или
vu+ u(v+ f(x)v) = g(x). A2.28)
Найдем сначала какое-либо частное решение v = v(x)
уравнения
v'+f(x)v = 0. A2.29)
Тогда (см. A2.28)) функция и = и(х) — решение
уравнения
vu' = g(x). A2.30)
Тем самым решение исходного уравнения A2.27)
сводится к решению двух уравнений с разделяющимися
переменными (см. A2.29) и A2.30)).
Пример 12.13. Решить уравнение
ху'-2у = 2х4. A2.31)
Решение. Разделив левую и правую части A2.31) на х,
получаем линейное неоднородное уравнение
у'-1у = 2х3.
X
Пусть у = uv, т.е. у' = u'v + ш/, тогда уравнение A2.31)
о
примет вид: uv + uv — uv = 2х3 или
х
uv+u(v'--v) = 2x3. A2.32)
X
г, , 2 л dv 2 dv ndx
Положим v—v = 0 или — = —а, откуда — = 2—.
x dx x v x
Проинтегрировав, найдем какое-либо частное решение
этого уравнения, например, при С = 0 1п|г>| = 21п|х| и v = х2.

678 Глава 12. Дифференциальные уравнения
При v = х2 равенство A2.32) обратится в уравнение
.О-, з du
их = 2х или — = 2х. Решая это уравнение с
разделяет
ющимися переменными, получаем и = х2 + С. Тогда
окончательно имеем y = uv = (х2 +С)х2 = х4 +Сх2. ►
12.7. Дифференциальные уравнения
второго порядка, допускающие
понижение порядка
В некоторых случаях решение дифференциального
уравнения второго порядка может быть сведено к
последовательному решению двух дифференциальных уравнений
первого порядка (тогда говорят, что данное
дифференциальное уравнение допускает понижение порядка).
Если дифференциальное уравнение имеет вид
У" = /(*)>
то оно решается последовательным интегрированием (см.
пример 12.1).
Если в запись уравнения не входит искомая функция
у(х), т.е. оно имеет вид
G(x, */',*/") = О,
то такое уравнение можно решить, найдя сначала
вспомогательную функцию 2 = у'.
Пример 12.14. Решить уравнение ху" + у' = 0.
Решение. Положим z = у'. Тогда у" = /, и исходное урав-
dz dx
нение принимает вид xz + z = 0. Откуда — = . Интегри-
С z *
руя, приходим к решению z = —. Возвращаясь к первона-
х С С dx
чальной функции, получаем уравнение у = — или dy = —-—,
х х
решая которое, окончательно имеем г/ = С11п|х| + С2. ►
Если в уравнение не входит переменная х, т.е. оно
имеет вид

12.8. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка. 679
£(*/>*/'>*/") = О,
то порядок уравнения можно понизить, если за
независимую переменную взять г/, а за неизвестную функцию —
г = г(у) = у'.
Пример 12.15. Решить уравнение 2г/г/" = (г/'J + 1.
Решение. Положим z = z(y) = у. Тогда у" = — = ——р =
, ах dy ах
= 2 2, и исходное уравнение принимает вид
2yzz' = z2+l.
Данное уравнение — с разделяющимися переменными:
2zdz dy d(z2 + l) dy та
—5— = — или —Ц; - = —. Выполняя интегрирова-
241 1/ 22+1 у
ние, получаем ln(z2 + l) = ln|z/| + C или, полагая С = lnCv
z = ±^С{у-1. Так как z = y\ то приходим к следующему
уравнению относительно функции у(х):
Том
Выполняя интегрирование, получаем
±VQ/-i=^(*+c2)
ИЛИ
^2
4
12.8. Линейные дифференциальные уравнения
второго порядка с постоянными коэффициентами
Линейное дифференциальное уравнение второго порядка с
постоянными коэффициентами имеет вид
y"+py'+qy = r(x), A2.33)
где р, q — некоторые действительные числа; г(х) —
некоторая функция.

680 Глава 12. Дифференциальные уравнения
Если г(х) = 0, то уравнение
*/"+#?/'+<й/ = 0 A2.34)
называется однородным; если г(х) = 0, то уравнение A2.33)
называется неоднородным.
Можно доказать, что существует единственное решение
уравнения A2.33), удовлетворяющее начальным условиям
y(xQ) = zv y'(xQ) = 22, где х0, zv z2 — некоторые
(действительные) числа.
Рассмотрим сначала решение линейного однородного
уравнения A2.34) с постоянными коэффициентами.
Напомним, что линейной комбинацией функций ух(х)
и у2(х) с коэффициентами Сх и С2 называется выражение
вида Схух(х) + С2у2(х). Если линейная комбинация
функций Схух(х) + С2у2(х) равна нулевой функции только
тогда, когда коэффициенты Сх и С2 равны нулю, то функции
ух и у2 называются линейно независимыми, в противном
случае — линейно зависимыми.
Пример 12.16. Убедиться в линейной независимости
следующих функций:
a) ех'х и еХ2Х, где Хх Ф Х2; б) еи и хе^\ в) е™$т$х и
e^cospx, где р Ф 0.
Решение.
а) Если СхеХ{Х + С2ех*х =0У то Сх ее-Сз^2"*0*, но так как
Хх Ф А,2, функция, стоящая в правой части последнего
равенства, является постоянной, только если С2 = 0 и,
следовательно, Сх = 0.
б) Тождественное равенство С^+С2хеХх =0
возможно, только если функция Сх + С^с является нулевой,
откуда следует, что Сх = С2 = 0.
в) Предположим, что Схе™ smfyx + Coe™ соъ$х = Ъ. Тогда
Cxsin$x + C2cos$x = 0. Если хотя бы один из
коэффициентов Сх или С2 отличен от нуля, то нетрудно подобрать
такое значение переменной х, что функция в левой части
последнего равенства будет отлична от нуля (например х = 0
к
или х - — ). Поскольку это невозможно, то Сх = С2 = 0. ►
Рассматривая решения уравнения A2.34), прежде всего
отметим, что они обладают, как говорят, структурой линей-

12.8. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка. 681
ного пространства: если yt(x) и у2(х) — решения уравнения
A2.34), то их линейная комбинация
У = С1у1+С2у2, A2.35)
где Сх и С2 — некоторые числа, также является решением
этого уравнения. Действительно, подставляя функцию
A2.35) в уравнение A2.34), получаем
y"+py'+qy = Сху"+ С2у2 + р{Сху[ + С2у2) + q(Cxyx + С2у2) =
=Q(^+^+wi)+^(^+p^+W2)=Q-0+^-0=0.
Другими словами, формула A2.35) указывает способ
построения новых решений уравнения A2.34) из уже
имеющихся. Возникает вопрос: сколько и какие решения
уравнения A2.34) следует задать, чтобы с его помощью
можно было описать все решения этого уравнения? Ответ
на него дает следующая теорема.
Теорема 1. Если yt(x) и у2(х) — линейно независимые
частные решения уравнения A2.34), то общее решение
этого уравнения является линейной комбинацией этих
частных решений, т.е. имеет вид A2.35) для произвольных
действительных чисел Сх и С2.
Итак, чтобы найти общее решение уравнения A2.34),
надо знать два его частных решения ух и у2.
Будем искать решение уравнения A2.34) в форме
y = f*, A2.36)
где X — некоторое (действительное) число (если такое
существует).
Так как (^f+p^y+qj* = (A,2 + pX + q)e*JC, то
функция A2.36) является решением уравнения A2.34), если
число А, — корень уравнения
X2 + pX + q = 0, A2.37)
которое называется характеристическим уравнением
исходного уравнения A2.34).
Описание решений уравнения A2.34) зависит от того,
имеет ли соответствующее характеристическое уравнение
A2.37) два различных корня, один корень или не имеет
действительных корней. Справедлива теорема.

682 Глава 12. Дифференциальные уравнения
Теорема 2. 1. Пусть характеристическое уравнение
A2.37) уравнения A2.34) имеет действительные корни Xt
и А,2, причем A,j Ф Х2. Тогда общее решение уравнения A2.34)
имеет вид
у = С1ех*х+С2еХ2Ху A2.38)
где Схи С2 — некоторые числа.
2. Если характеристическое уравнение A2.37) имеет один
корень X (кратности 2), то общее решение уравнения A2.34)
имеет вид
у = С1еЪс+С2хеЪс, A2.39)
где Ctu С2 — некоторые числа.
3. Если характеристическое уравнение A2.37) не имеет
действительных корней, то общее решение уравнения
A2.34) имеет вид
y = C1eaxsm$x+C2eaxcos$x, A2.40)
где а = —, р = Jq-—, СЬС2 — некоторые числа.
□ Принимая во внимание теорему 1 и результаты,
полученные в примере 12.16, для доказательства достаточно
проверить, что функции, линейные комбинации которых
рассматриваются в п. «а», «б», «в» примера 12.16,
действительно являются решениями уравнения A2.34) при
сделанных предположениях. Для функций е iX и е 2* из п. «а»
и функции е^ из п. «б» справедливость этого
утверждения вытекает из замечания о функциях вида A2.36) (см.
выше). Проверку остальных случаев читателю в качестве
упражнения предлагается сделать самостоятельно. ■
Пример 12.17. Найти частное решение следующих
уравнений при указанных начальных условиях:
а) г/"-Зг/'+2г/ = 0, г/@) = 3, г/'@) = 4;
б) г/''-2г/Чг/ = 0,г/@) = 1, г/'@) = 0;
в)г/^2г/Ч2г/ = 0,г/@) = 1,г/Х0) = 1.
Решение.
а) Решая характеристическое уравнение Х2-ЗХ+2 = 0,
получаем его корни Хх = 1Д2 = 2. Тогда общее решение данно-

12.8. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка. 683
го уравнения имеет вид у = Схех +С2е2х. Найдем такие
значения постоянных Cj и С2, при которых выполняются заданные
начальные условия. Так как у@) = Сх + С2 и у'@) = С{ + 2С2,
то постоянные Сх и С2 находим, решая систему
\С1+С2=31
[С1+2С2=4,
откуда Cj = 2, С2 = 1.
По теореме о существовании и единственности
решения уравнения вида A2.33) найденное частное решение
у = 2ех + е2* — искомое.
б) Решая характеристическое уравнение X2 - 2Х + 1 = О,
получаем его корни Хх = Х2 = 1. Согласно п. 2 теоремы 2
общее решение дифференциального уравнения A2.34) имеет
вид у = (Cj + С^с)ех. Так как г/@) = 1, следовательно, С^ =1
и, поскольку у' = г/ + С2е* и г/'@) = 0, то С2 = -1. Таким
образом, окончательно получаем частное решение
у = A-х)ех.
в) Характеристическое уравнение X2 - 2Х + 2 = 0 не
имеет действительных корней. В этом случае согласно п. 3
теоремы 2 общее решение дифференциального уравнения
имеет вид
у = Схех sinx+C2ex cosx(a = р = 1).
Таккакг/@) = 1,тоС2= 1. Найдем у' = (С{-С2)ех sinx +
+ (C1+C2)excosx. Учитывая, что у'@) = 1, получим Сх - 0.
Таким образом, приходим к частному решению у = е? cos x ►
Перейдем теперь к решению линейного неоднородного
уравнения A2.33) с постоянными коэффициентами.
Это уравнение может быть, в частности, решено
методом вариации произвольных постоянных, который
заключается в следующем. Сначала находится общее решение
у = С1г/1 + С2у2 однородного уравнения A2.34), имеющего
ту же левую часть, что и исходное неоднородное
уравнение A2.33). Затем решение уравнения A2.33) ищется в
виде у = С1(х)у1 + С2(х)у2, т.е. предполагается, что
постоянные С1 и С2 являются функциями независимой пере-

684 Глава 12. Дифференциальные уравнения
менной х. При этом функции Сх(х) и С2(х) могут быть
найдены как решения системы
\С[У[+С'2у'2 = г.
Пример 12.18. Решить уравнение
у"-3у'+2у = ех. A2.42)
Решение. Решая соответствующее однородное уравнение
г/"-Зг/'+2г/ = 0 A2.43)
(см. пример 12.17, а), находим
y = Ctex+C2e2x.
Полагая теперь, что Сх и С2 — функции переменной х,
определим первые производные этих функций, решая
систему A2.41)
С[ех +С'2е2х = 0,
С[ех+С'22е2х=ех.
Найдем С[ = -1уС2 = е~х. Полученные
дифференциальные уравнения являются уравнениями с разделяющимися
переменными. Решая их, получаем Сх = -х + С3, С2 = -е~х +
+ С4, где С3, С4 — некоторые постоянные. Таким образом,
окончательно решение уравнения имеет вид
у = (-х+съ)ех +(-е'х + СА)е2х =С3ех +САе2х +(-х-1)ех. ►
Обратим внимание на структуру полученного решения.
Первые два слагаемых — это общее решение однородного
уравнения A2.43), соответствующего исходному
дифференциальному уравнению A2.42). Последнее слагаемое,
как нетрудно убедиться при непосредственном
вычислении, — частное решение исходного уравнения A2.42).
Аналогичное утверждение справедливо и в общем случае, т.е.
справедлива теорема.

12.8. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка. 685
Теорема 3. Общее решение линейного неоднородного
дифференциального уравнения A2.33) равно сумме общего
решения соответствующего однородного уравнения A2.34)
и частного решения исходного неоднородного уравнения
A2.33).
Следует отметить, что метод вариации произвольных
постоянных достаточно сложен, поэтому в ряде случаев
целесообразнее использовать другие методы решения,
основанные на теореме 3. Сначала, как и в методе вариации
произвольных постоянных, находится общее решение
однородного дифференциального уравнения A2.34), а затем
отыскивается частное решение неоднородного уравнения
A2.33). При этом вид частного решения устанавливается
по виду правой части уравнения A2.33), и задача сводится
к отысканию коэффициентов этого частного решения.
Рассмотрим некоторые частные случаи.
1. Пусть правая часть уравнения A2.33) является
многочленом степени т, т.е. имеет вид
r(x) = Oq + а[ х+а2х2 +...+атхт,
где я0, av ..., ат — действительные числа и ат Ф 0.
Тогда частное решение уравнения A2.33) следует
искать в виде
и(х) = (С0 + Сх х+...+Стхт )xk,
т.е. в виде произведения многочлена той же степени т на
х*, где k = 0, если q Ф 0 (см. A2.37)), k = 1, если q = 0 и р Ф 0
и k = 2, если q = р = 0. (Другими словами, показатель
степени k равен кратности значения х = 0 как корня
характеристического многочлена A2.37).)
Пример 12.19. Найти частное решение уравнения
г/"-Зг/' = 1 + 6х. A2.44)
Решение. По сформулированному правилу частное
решение уравнения A2.44) следует искать в виде
и(х) = (С0 + Схх)х.
A2.45)

686 Глава 12. Дифференциальные уравнения
Найдем значения параметров С0 и С{ в данном
выражении для и(х). Дифференцируя равенство A2.45), получаем
и(х) = С0 + 2Ctxy u\x) = 2СХ.
Так как и(х) — решение уравнения A2.44), то значения
С0 и Сх должны быть такими, что равенство и"-Ъи=\ + Ъх,
т.е.
2С1-3(С0 + 2С1х) = 1 + 6х
или
BС1-ЗС0)-6С1х = 1 + 6х, A2.46)
будет удовлетворяться тождественно, т.е. при всех х.
В связи с этим уравнение A2.46) равносильно системе
\2Ci-3Co-l,
[ -6СХ - 6.
Решая ее, находим, что С« = Сх = -1, т.е. искомое
частное решение уравнения A2.44)
и(х) = -х-х2. ►
2. Пусть правая часть уравнения A2.33) имеет вид
г(х) = Аеах,
где а и А — некоторые действительные числа.
Тогда частное решение уравнения A2.33) следует
искать в виде
w(x) = C0Aar, A2.47)
где показатель степени k равен кратности значения х = а
как корня характеристического многочлена A2.37).
Пример 12.20. Найти частные решения уравнений:
а) у"-3у'+2у = 2е3х; б) у"-3у'+2у = е2х;
в) у"-2у'+у = 6ех.
Решение.
а) В данном случае а = Зи поскольку такого значения
нет среди корней (к{ = 1Д2 = 2) характеристического урав-

12.8. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка. 687
нения А,2 - ЗА, + 2 = 0, то k = 0. Таким образом, частное
решение заданного уравнения будем искать в виде и = С0е .
Тогда и=ЗС0е3х,и" = 9С0е3х. Подставляя выражения и",
и\ и в заданное уравнение, приходим к равенству
9С0е3х - 9С0е3х + 2С0е3х = 2еЪх
или
2С0е3х=2е3х,
которое должно удовлетворяться тождественно. Поэтому
С0 = 1, и искомое частное решение имеет вид и = е3*.
б) Здесь а = 2, и это значение совпадает с одним из двух
различных корней (At = 1, А^ = 2) соответствующего
характеристического уравнения. Поэтому к = 1, и частное
решение заданного уравнения будем искать в виде и = С0хе2х.
Подставляя выражения функции и и ее производных в
заданное уравнение, получаем (после преобразований)
и = хе2*.
в) В данном случае а =1. Одновременно корнями
характеристического уравнения А2-2А+1 = 0 заданного
уравнения являются Х^ = Х2=\ (т.е. значение А, = 1 — это корень
кратности 2). Поэтому k = 2, и частное решение заданного
уравнения следует искать в виде и = С0х е2х.
Подставляя выражения для функции и и ее производных
в заданное уравнение, получаем после преобразований
и = 3х2ех. ►
3. Пусть правая часть уравнения A2.33) имеет вид
r(x) = Acosbx+BsinbXy
где А, 5, Ъ — некоторые действительные числа и 6 * 0.
Тогда частное решение уравнения A2.33) следует
искать в виде
и(х) = xk (C0 cosbx+Q sin for),
где k = 1, если одновременно выполнены условия р = 0
(см. A2.37)), q>0, P = V<7> и & = 0 в остальных случаях.
(Условия для случая к = 1 равносильны требованию,
чтобы значение Ъ в выражении г(х) было таково, что комп-

688 Глава 12. Дифференциальные уравнения
лексное число1 ib являлось одним из корней
характеристического уравнения A2.33).)
Пример 12.21. Найти частное решение уравнения
z/"-3*/'+2# = sinx. A2.48)
Решение. По сформулированному правилу частное
решение в данном случае следует искать в виде и = C0cosx +
+ CjSinr.
Найдем z/ = -C0sin.r+Cicosx, и" = -C0cosx-C{smx.
Подставляя выражения w", и', и в уравнение A2.48),
приходим к равенству
(-3Q + C0)cosx+(-Ct +3C0 + 2C1)sin# = sinx,
которое должно удовлетворяться тождественно.
Учитывая, что sin x = 0 • cos x + 1 • sin x, получаем систему
-3Ct + С0 = 0,
Ct + 3C0=1,
откуда С0 = 0,3, Сх = 0,1 и, следовательно, искомое частное
решение имеет вид и = 0,3 cos x + 0,1 sin x. ►
Рассмотренные случаи различных выражений правой
части уравнения A2.33) являются частными случаями
функции вида
r(x) = e**(/(x)cos bx+g(x)sinbx), A2.49)
где/(х), g(x) — многочлены (с действительными
коэффициентами); a, b — некоторые (действительные) числа.
Через Хг обозначим (комплексное) число,
ассоциированное с неоднородностью вида A2.49): \-a-\-ib. Пусть
k = k(kr) — кратность числа Хг как корня
характеристического многочлена A2.37) решаемого уравнения A2.33).
Тогда можно доказать, что частное решение уравнения
A2.33) с правой частью A2.49) следует искать в виде
и = xkeax(v(x)cos bx+w(x)sm bx), A2.50)
где v(x)> w(x) — многочлены, степень т которых равна
наибольшей из степеней многочленов f(x) и g(x) в
выражении A2.49).
1 Комплексные числа рассмотрены в гл. 15.

12.8. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка. 689
Коэффициенты многочленов v(x) и w(x) находятся из
системы линейных уравнений, получаемой после
подстановки решения A2.50) и его производных в уравнение
A2.33).
Замечание. Если правая часть г(х) уравнения A2.33)
является суммой некоторых функций, т.е.
г(х) = г1(*) + г2(х)+... + гя(х),
то для нахождения частного решения такого уравнения
достаточно сложить частные решения щ (х) уравнений
у"+ру'+ду = г{(х), где г = 1, 2,..., я, т.е.
и{х) = щ (х)+и2 (х)+... + ип (х).
Пример 12.22. Решить уравнение
y"-3y'+2y = 2e3x + e2x + sinx. A2.51)
Решение. Найдем общее решение однородного
дифференциального уравнения у" - Ъу' + 2у = 0. Получим (см.
пример 12.18) у-Схех +С2е2х. Учитывая замечание (см.
выше), частное решение дифференциального уравнения
A2.51) будет равно сумме частных решений уравнений
у"-3у'+2у = 2е3х, у"-Ъу'+2у = е1х, y"-3y'+2y = smx,
найденных в примерах 12.20, а, б, 12.21, т.е.
и(х) = щ(х)+и2(х)+и3(х) = е3х + хе2х + 0,3cosx+0,lsinx.
На основании теоремы 3 общее решение неоднородного
дифференциального уравнения примет вид
у = у+и = Схех +С2е2х +е3х +хе2х +0,3cosx+0,lsinx. ►

690 Глава 12. Дифференциальные уравнения
12.9. Использование дифференциальных
уравнений в экономической динамике
Дифференциальные уравнения находят достаточно
широкое применение в моделях экономической динамики, в
которых отражается не только зависимость переменных от
времени, но и их взаимосвязь во времени.
Рассмотрим некоторые (простейшие) задачи
макроэкономической динамики.
Задача 1. Пусть y(t) — объем продукции некоторой
отрасли, реализованной к моменту времени L Будем
полагать, что вся производимая отраслью продукция
реализуется по некоторой фиксированной цене р, т.е. выполнено
условие ненасыщаемости рынка. Тогда доход к моменту
времени t составит Y(t) = py(t).
Обозначим через I(t) величину инвестиций,
направляемых на расширение производства. В модели естественного
роста полагают, что скорость выпуска продукции
(акселерация) пропорциональна величине инвестиций, т.е.
yXt) = U(t\ A2.52)
где 1/7 — норма акселерации.
(Здесь мы пренебрегаем временем между окончанием
производства продукции и ее реализацией, т.е. считаем, что
инвестиционный лаг равен нулю.)
Полагая, что величина инвестиций I(t) составляет
фиксированную часть дохода, получаем
I(t) = mY(t) = mpy(t), A2.53)
где коэффициент пропорциональности т (так называемая
норма инвестиции) — постоянная величина @ < т <1).
Подставляя выражение A2.53) для I(t) в A2.52),
приходим к уравнению
*/' = &/, A2.54)
где k = mpi
Полученное дифференциальное уравнение — с
разделяющимися переменными. Решая его, приходим к функции
У(*) = у0ек'-*°\ где у0 = y(t0) (см. пример 12.3).

12.9. Использование дифференциальных уравнений... 691
Заметим, что уравнение A2.54) описывает также рост
народонаселения (демографический процесс, см.
параграф 12.1), динамику роста цен при постоянной инфляции,
процесс радиоактивного распада и др.
На практике условие насыщаемости рынка может быть
принято только для достаточно узкого временного
интервала. В общем случае кривая спроса, т.е. зависимость цены
р реализованной продукции от ее объема у является
убывающей функцией р = р(у) (с увеличением объема
произведенной продукции ее цена падает в результате
насыщения рынка). В связи с этим модель роста в условиях
конкурентного рынка примет вид
y' = mlp(y)y, A2.55)
оставаясь по-прежнему уравнением с разделяющимися
переменными.
Так как все сомножители в правой части уравнения
A2.55) положительны, то у' > О, и это уравнение
описывает возрастающую функцию y(t). При исследовании
функции y(t) на выпуклость естественно используется понятие
эластичности функции. Действительно, из формулы A2.55)
следует, что
y" = mly \-у-у+р
\dy
цены) определяется по формуле Ep{y)-^—j- (см. пара-
Напомним, что эластичность спроса (относительно
pdy
ydp
граф 7.6). Тогда выражение для у" можно записать в виде
( * <Л
- + 1
y" = mly'p
ЕЛу)
и условие у" - 0 равносильно равенству Е (у) = -1.
Таким образом, если спрос эластичен, т.е. \ер(у)\>1 или
Е (у) < -1, то у" > О и функция y(t) выпукла вниз; если
спрос не эластичен, т.е. If (*/)[< 1 или -1 < ЕЛу) < 1, то
у" < О и функция y(t) выпукла вверх.

692 Глава 12. Дифференциальные уравнения
Пример 12.23. Найти выражение для объема
реализованной продукции у =■ y(t), если известно, что кривая
спроса р(г/) задается уравнением р(у) = 2 - г/, норма акселерации
1
- = 2, норма инвестиций т = 0,5, г/@) = 0,5.
Решение. Уравнение A2.55) в этом случае принимает
вид
или
#' = B -у) у
dy =dt.
B-у)у
Выполняя почленное интегрирование, получаем
|у-2|
In
У
= -2t+C
или
= Сё
-it
A2.56)
yz2e-
У
где С - ±eCl.
Учитывая, что у@) = 0,5, имеем С = -3. Выражая теперь у
из равенства A2.56), окончательно имеем
2
у=-
1 + Зе
-2*
График данной функции схематично представлен на
рис. 12.10. (В данном случае эластичность спроса задается
у^ Доход
2
Время
Рис. 12.10
функцией £ (у) = —— и усло-
У
Т7 / \ РФ У
вие EJy) = £-f- = z—, опреде-
v ydp у
ляющее положение точки
перегиба на кривой, дает у = 1.)
Кривая, изображенная на
рис. 12.10, называется
логистической. Подобные кривые
описывают процесс распространения
информации (рекламы), динами-

12.9. Использование дифференциальных уравнений.. 693
ку эпидемий, процесс размножения бактерий в
ограниченной среде и др. ►
Задача 2. Доход Y(t), полученный к моменту времени t
некоторой отраслью, является суммой инвестиций I(t) и
величины потребления C(t), т.е.
Y(t) = I(t)+C(t). A2.57)
Как и ранее в модели естественного роста, будем
предполагать, что скорость увеличения дохода пропорциональна
величине инвестиций:
bY'(t) = I(t), A2.58)
(где Ъ — коэффициент капиталоемкости прироста дохода),
что равносильно условию A2.52) при постоянной цене
, 1
продукции р и / = —.
рЪ
Рассмотрим поведение функции дохода Y(t) в
зависимости от функции C(t).
Пусть C(t) представляет фиксированную часть
получаемого дохода: C(t) = (l-m)Y(t), где т — норма инвестиций (см.
задачу 1). Тогда из соотношений A2.57) и A2.58) получаем
Y' = ^Yy A2.59)
о
что равносильно уравнению A2.54) при р = const.
В ряде случаев вид функции потребления C(t) бывает
известен (из некоторых дополнительных соображений).
Пример 12.24. Найти функцию дохода Y = Y(t), если
известно, что величина потребления задается функцией
С = 2t, коэффициент капиталоемкости прироста дохода
6 = i F@) = 2.
Решение. Из соотношений A2.57) и A2.58) имеем
уравнение
У@=-|п*)+2*,
т.е. функция дохода удовлетворяет линейному
неоднородному уравнению первого порядка.

694 Глава 12. Дифференциальные уравнения
Для решения этого уравнения воспользуемся методом,
описанным в параграфе 12.6. Будем искать решение в виде
Y(t) = u(t)v(t). Тогда имеем u(t) = 2te~2t + e~2t + С, v(t) =
= e2t. Значение постоянной С находим из начальных
условий: поскольку 7@) = u@)v@) = 2, то С = 1. Окончательно
имеем Y(t) = 2t + e2t + 1. ►
12.10. Системы дифференциальных уравнений
Система дифференциальных уравнений называется
нормальной, если она имеет вид
Xi=fi(t9xi9...9xn)9 A2.60)
где t — независимая переменная, xv ..., хп — функции этой
переменной, х\-—L, г = 1,2,..., п.
dt
Геометрически решение системы A2.60) представляет
кривую в пространстве (п + 1) с координатами t9 xv ..., хп.
В простейших случаях последовательным исключением
переменных такая система сводится к
дифференциальному уравнению более высокого порядка, зависящему
только от одной функции.
Пример 12.25. Решить систему
Г /
I %\ — %2'
I Хп — е * Х\.
Решение. Из второго уравнения следует, что х%= 2е + х[9
где Х2=—(х'2). Принимая во внимание первое уравнение
at
исходной системы, получаем
х'п>-х2 = 2е2\ A2.61)
т.е. дифференциальное уравнение второго порядка.
Решением соответствующего однородного уравнения
Хп — Хп = и

12.10. Системы дифференциальных уравнений 695
является функция
x2=C1et+C2e~t.
Частным решением неоднородного уравнения A2.61)
является функция
2 2t
z--eu.
3
Поэтому общее решение уравнения A2.61) имеет вид
х2 = Схе* + С2е~1 +-e2t.
о
Теперь из второго уравнения исходной системы следует
хх=х'2-e2t = С/-С2е~< + -e2t-e2t = С/-С2е~{--e2t. ►
Сформулируем теорему существования и
единственности решения нормальной системы дифференциальных
уравнений.
Теорема. Пусть для нормальной системы уравнений
A2.60) функции f., -^L, где 1 < i, j < пу непрерывны на неко-
dxj
тором открытом множестве Г пространства (п + 1)
измерений с координатами t, xv х2,..., хп. Тогда для каждой точки
t0,x{0,x20,...yxn0 множества Г существует решение
^=9,@, l<i<n,
системы A2.60), определенное на некотором интервале
значений переменной t и удовлетворяющее начальным условиям
Ъ«0) = х{0А<1<п. A2.62)
Если найдутся два решения системы A2.60),
удовлетворяющих начальным условиям A2.62) (каждое возможно на
своем собственном интервале значений переменной t), то эти
решения совпадают всюду, где они оба определены.

696 Глава 12. Дифференциальные уравнения
Система A2.60) называется автономной, если ее
уравнения не зависят явно от независимой переменной t, т.е.
система A2.60) имеет вид
**=/■(*!> •••>*„), ^г<п.
A2.63)
Важным частным случаем автономной системы является
система, у которой все функции/, (см. A2.63)) линейны по
переменным xv ..., хп, т.е. система
*1=Яц*1 + -+Я1А>
[хп - апХхх +... + ашхп
или в векторной записи
Х' = АХ,
\ (п п. \
A2.64)
где Х =
Л =
ап
ап\
<hn
Пусть Х{ А,2, ..., Хп — собственные значения матрицы А
системы A2.64) (одинаковые корни характеристического
уравнения U-А£| = 0 (см. параграф 3.7) повторяются в
наборе Xv ..., \ столько раз, какова их кратность), a Xv Х2,...,
Хп — собственные векторы матрицы Л, отвечающие
собственным значениям \р А,2,..., \. Тогда векторные функции
X{eXit
являются решениями системы A2.64).
Если векторы Xv Х2> ..., Хп линейно независимы, то
общее решение системы A2.64) может быть записано в виде
X = СХХ^ +С2Х2ех*+...+СпХпех»\
где Cv ..., Сп — произвольные постоянные.
Пример 12.26. Решить систему дифференциальных
уравнений
I Ха = ""JLXa i OXo у
I Х2 = АХ л "г оХ2.

12.10. Системы дифференциальных уравнений 697
Решение. Характеристическое уравнение матрицы
•Ъ:)
системы имеет вид X2 - ЗА, + 2 = 0 (см. параграф 3.7).
Его корни Х{ = 1Д2 = 2. Собственные векторы матрицы
Ау отвечающие этим собственным значениям, например,
«■сю
Тогда общее решение системы имеет вид
X = ClXlet+C2X2e2t
или
\хх=2С/+ ЪС2е21,
I Хо== [у^е т 2\s<ye
Тот же результат можно было получить, применяя
последовательное исключение переменных (аналогично
примеру 12.15) и методы, описанные в параграфе 12.8
(предлагаем убедиться в этом читателю самостоятельно). ►
Пусть X — корень кратности k характеристического
многочлена матрицы Аут — максимальное число линейно
независимых собственных векторов матрицы Л, отвечающих
собственному значению X, причем m<k. Тогда решение
системы A2.64), отвечающее собственному значению Ху можно
искать в виде
(B0 + B1t+... + Bk_mtk-m)eXt, A2.65)
где Б0, Bv ..., Bk_m — некоторые векторы размерности п.
Для нахождения этих векторов следует подставить
выражение A2.65) в систему A2.64) и найти общее решение
полученной системы (относительно компонент векторов
В{ как неизвестных, которые будут зависеть от k
произвольных постоянных). Тогда сумма векторов вида A2.65),
отвечающих различным значениям X, дает общее решение
системы A2.64).

698 Глава 12. Дифференциальные уравнения
Пример 12.27. Решить систему дифференциальных
уравнении
I Хл — Хл т X9,
I Хп ~ Х\ т О-ЯГо.
Решение. Характеристическое уравнение матрицы
А =
-1 3
системы имеет вид (А, - 2J = 0. Единствен
ным корнем (кратности 2) этого уравнения является А, = 2.
Нетрудно убедиться в том, что максимальное число т
линейно независимых собственных векторов матрицы А
равно единице. Следовательно, решение заданной системы
будем искать в виде
( <v \
2t
=(Д>+А0* ,
A2.66)
где В0 =
Подставляя выражения для хх и х2 из A2.66) в
исходную систему, приходим к равенствам
\bn +2b10 + 2bnt = b10 +6^ + 620 + 6^,
I&2! + 2620 + 2&21* = -Ью - ьп + 3620 + 3621^-
Эти равенства выполняются тождественно (т.е. при
любых значениях переменной £), если компоненты 6..
векторов 50, Вх удовлетворяют условиям:
6и+610-^0=0,
В полученной системе последнее уравнение совпадает со
вторым, а третье есть разность первого и второго уравне-

12.10. Системы дифференциальных уравнений 699
ний, которые линейно независимы. В связи с этим данная
система равносильна следующей:
Jfe11+610 = ^0,
Общее решение последней системы получим, полагая,
что параметры С{ = Ь20, С2 = Ь21 независимо друг от друга
принимают все возможные значения. Тогда Ьп = С2, Ь10 =
= Сх - С2.
Окончательно общее решение исходной системы
дифференциальных уравнений имеет вид
f*1 )=(B0 + Bit)e2t =(^-С^ + С2{Ь\ ^
ух2) у Cx+C2t )
Пусть
** =**(*) 0= 1,2,..., я) A2.67)
является некоторым решением автономной системы A2.63).
Каждому значению t (из области допустимых значений)
решение A2.67) ставит в соответствие точку
(x{(t),x2(t)f...,xn(t)) A2.68)
так называемого фазового пространства. Частным случаем
фазового пространства является фазовая прямая (см.
параграф 12.3). Совокупность всех таких точек образует кривую,
которая называется фазовой. Тем самым (по аналогии со
случаем одной переменной — см. параграф 12.3) решение
A2.68) может рассматриваться как описание движения
точки по фазовой кривой.
Пример 12.28. Найти фазовые кривые системы,
приведенной в примере 12.26.
Решение. Наиболее наглядное представление о
характере фазовых кривых можно получить, если подходящим
образом выбрать систему координат в исходном фазовом
пространстве. Более точно, исходному вектору
Х = С{е'Х{+С2е2'Х2

700 Глава 12. Дифференциальные уравнения
поставим в соответствие вектор
Х* =
Хп
C,e2t
Такое преобразование равносильно переходу от базиса
A (называемого каноническим) исходного фазово-
го пространства к базису, образованному собственными
векторами Xv Х2 матрицы А данной системы. Если
Х =
Х\
Хп
х* =
( «Л
Хп
то
Хл — АХ л ~т оХп у
Хп -= Xi i *LXn.
Пусть решение исходной системы дифференциальных
уравнений таково, что постоянная С{ = 0. Тогда фазовая
кривая имеет уравнение х* = 0. Аналогично при С2 = 0
фазовая кривая описывается уравнением х2 - 0.
Если С{ фОуС2ф 0, то
Хп —^9^ —^7\ \^ ) 1 — 2 1 V^l / у
т.е. графиком фазовой кривой является парабола.
Отметим, что при Сх = С2 = 0 возникает положение
равновесия, которому соответствует стационарная точка
фазового портрета решаемой системы дифференциальных
уравнений. Действительно, х* = х2 = 0 — это решение
исходной системы, и с изменением переменной t положение
этой точки на фазовой плоскости не меняется. Более того,
можно заметить, что точка (х*, х%)=* @; 0) является точкой
неустойчивого равновесия, поскольку с увеличением
переменной t точка (х*} х2) * (С{е\ C2e2t) удаляется от этой
стационарной точки. ►

12.11. Основные понятия
701
ПРАКТИКУМ
12.11. Основные понятия
12.29. Доказать, что функция
у = С{ех + С2е2х A2.69)
является решением уравнения
у"-3у'+2у = 0. A2.70)
Решение. Последовательно дифференцируя A2.69),
приходим к следующим равенствам:
[г/,, = С1^+4С2в2л:.
Решая эту систему относительно С^е* и С2^, получаем
Схех = 2у'-у",
С2ех=\{у"-уУ
Подставляя эти выражения в A2.69), приходим к
уравнению A2.70). ►
12.30. Проверить, что функция
у3-Сх3 + Зху = 0 A2.71)
является общим интегралом дифференциального
уравнения
у3-(ху2 + х2)у'+2ху = 0. A2.72)
Решение. Дифференцируя A2.71) по х в
предположении, что у = у(х), приходим к равенству
у2у'-Сх2 + у+ху' = 0,
откуда
Сх2=(у2+х)у'+у.

702 Глава 12. Дифференциальные уравнения
Подставляя выражение для Сх? из последнего равенства
в формулу A2.71), имеем
у3-(у2у'+ху'+у)х+3ху = 0,
что равносильно уравнению A2.72). ►
12.31. Найти дифференциальное уравнение семейства
кривых
у = С(х-СJ. A2.73)
Решение. Дифференцируя A2.73) по переменной х,
получаем
у' = 2С(х-С), A2.74)
откуда
С2=Сх-0,5у\ A2.75)
С помощью равенства A2.75) преобразуем A2.73) так,
что постоянная С будет входить в запись слагаемых
полученного выражения в степенях не более первой:
у = 0,5ху'-0,5Су\
Следовательно,
Of = xjf-2y. A2.76)
Умножая A2.74) на (у'J, получаем
(y'f=2xy'(Cy')-2(Cy'J.
Исключая с помощью A2.76) из полученного равенства
Су', окончательно имеем
(y'f=4xyy'-8y2. ►
12.32. Найти решение уравнения
у' = 2хех\
удовлетворяющее начальному условию у@) = 1.

12.11. Основные понятия
703
Решение. Из определения неопределенного интеграла
(см. гл. 10) следует, что общее решение заданного
уравнения имеет вид
у = 12хех cbc.
Используя преобразование переменной под знаком
дифференциала, получаем
y = jex2dx2=ex\c.
Учитывая начальное условие, приходим к равенству
1 = 1 + С, откуда С = 0. Таким образом, искомое частное
решение
Геометрически найденная функция представляет
интегральную кривую дифференциального уравнения,
проходящую через точку @; 1). ►
Проверить, что функции являются интегралами
дифференциальных уравнений:
12.33. х2-ху+у2=С2, (х-2у)у' = 2х-у.
12.34. х^1 + у2=Су, ху'-у = у\
12.35. у2-2 = Сех, 2х2уу+у2=2.
х2
12.36. у = С{\пх +С2, х(г/"+1)+г/' = 0.
4
При каких значениях параметра а следующие функции
являются решениями (интегралами) дифференциальных
уравнений:
12.37. х = Су2-уа, у2-Bху+3)у' = 0.
12.38. г/ = ог4+-^-, г/'+^ = х3.
X* X
Составить дифференциальные уравнения семейств
кривых:
12.39. У = Сех. 12.40. х2 + Су2 = 2у.
12.41. Cy = sinCx. 12.42. у3 = Сх(х+С2J.

704 Глава 12. Дифференциальные уравнения
12.12. Дифференциальные уравнения
с разделяющимися переменными
12.43. Найти решение уравнения
yx2dy-lnxdx = 0, A2.77)
удовлетворяющее начальному условию у(\) = 2.
Решение. Исходное уравнение перепишим в виде
ydyJ™*L. A2.78)
х
Таким образом, имеем уравнение с разделяющимися
переменными, и из равенства A2.78) следует, что
Лих
\улу=\^2
dx.
Интеграл левой части — табличный. Для нахождения
интеграла правой части воспользуемся формулой интег-
dx
рирования по частям (см. гл. 10), где и = \пх, dv = —j:
,2 Х
— = -х Чпхн- \х 2dx.
2 J
22
2
Окончательно интеграл уравнения A2.77) имеет вид
и2 1
*- = —(lnx+i)+C.
2 х
Учитывая начальное условие у(\) = 2, получаем
= -(In 1+1)+С, откуда С = 3 и искомое частное решение
имеет вид
и2 1
2 х
Замечание. Если ищется не общее, а частное решение
уравнения A2.14) с разделяющимися переменными,
удовлетворяющее начальному условию у(х0) = г/0, то
неопределенное интегрирование обеих частей уравнения можно
заменить определенным; тогда получим
Уо хо

12.12. .„с разделяющимися переменными 705
В данном случае (см. пример 12.43)
у
Лпх
jydy = j^dx,
2 1
откуда (после интегрирования)
У-
2
= --Aпх + 1)
X
и -(г/2-4) = —(lnx + l) + (lnl + l), т.е. ^- = —Aпх + 1) +
2 х 2 х
+ 3. ►
12.44. Решить уравнение у'+1 = у]х+у+1.
Решение. Воспользуемся заменой z = дгн-г/н-1, где
z = z(#). Тогда z'=z/'+l, и исходное уравнение принимает
вид
ИЛИ
б/z j
—f= = cbc,
ыг
т.е. становится уравнением с разделяющимися
переменными относительно переменной г, где z * 0.
Решая это уравнение, получаем
\z 2dz= \dx;
2z2=x+C.
Возвращаясь к исходной переменной, имеем
2yjx+y + \ = x+C
или
z/ = 0,25(.r+CJ-x-l, гдех>-'С.
Если z = 0, то у - -х - 1. Проверка показывает, что эта
функция также является решением исходного
дифференциального уравнения. ►

706
Глава 12. Дифференциальные уравнения
Решить дифференциальные уравнения:
12.45. Cx-l)dy+y2dx = 0.
12.46. 3x2ydx+2y]4-x3dy = 0.
12.47. ху'+2у = 2хуу'. 12.48. el~2x(y2-\)dy-dx = 0.
12.49. х2(у'-\) = 2у. 12.50. ex+ydx+ydy = 0.
12.51. у' = (х+уJ.
12.52. Bх+Ъу- \)dx + (Ах+6у- 5)dy = 0.
12.53. у' = ^4х+2у-1. 12.54. у'е~х =х-1.
Найти решения дифференциальных уравнений,
удовлетворяющих указанным начальным условиям:
12.55. (i + x2)y3dx-(y2-l)xzdy = 0, г/A) = -1.
12.56. (ypqj+>fx)t/-y = 0, y(\) = \.
12.57. х2Bуу'-1) = 1,уA) = 0.
12.58. ydx+ctgxdx = Q, y\ — |=-1.
12.13. Однородные дифференциальные уравнения
первого порядка
12.59. Решить уравнение
гЧ_г2
2х2
^=*_+j/_ A2J9)
Решение. Правая часть f(x,y) = j— уравнения
A2.79) является однородной функцией степени нуль по
переменным х и г/, так как
ч2
,, ч (оису+(ауУ xz + yz ,, ч
/(аг,ш/) = ^—*—^^- = f- = f(x, у).
2(огJ 2х2

12.13. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка 707
Поэтому само уравнение A2.79) — однородное. Для
У
его решения воспользуемся заменой переменной z = —,
х
где z - z(x). Тогда у = zx, у' = /х + г, и уравнение A2.79)
принимает вид
/ 1 1 2
2 2
или 0
2 '
что при z * 1 равносильно
2dz _ flfr
(z-lJ~T'
т.е. приходим к уравнению с разделяющимися переменными.
Выполняя почленное интегрирование последнего
равенства, получаем
Возвращаясь к исходной переменной, после
преобразования имеем
2х
У~Х Щх\+С
Если z = 1, то у = х. Проверка показывает, что эта функция
при х Ф 0 также является решением уравнения A2.79). ►
Уравнение вида
y' = h
( a1x+b1y+c1
a2x+b2y+c2 J
A2.80)
приводится к однородному в том случае, если прямые
а{х + Ь{у+с{=0 и а2х+Ь2У+с2 =0 пересекаются:
достаточно перенести начало координат в точку пересечения этих
прямых. Если указанные прямые не пересекаются, то
выражения (ахх+Ьху) и (а2х+Ь2У) пропорциональны, и
уравнение A2.80) решается с помощью замены
переменной z = axx+b{y (см. параграф 12.4).
12.60. Решить уравнение
*/' = ~+1^1- A2-81)
х+1 V*+1J

708
Глава 12. Дифференциальные уравнения
Решение. Поскольку -— = -—- - = —-1, то
х + \ х+1 х+1
правая часть уравнения A2.81) является функцией от выра-
х+у
жения —.
х + 1
Прямые х + г/ = 0и.г+1 = 0 пересекаются в точке (-1; 1),
поэтому перейдем к новым переменным, выполняя
параллельный перенос осей координат в эту точку: t = х + 1,2 =
= у - 1. Искомой функцией становится z = z(t). Так как
, dz dz dx dy ,
z = — = = — = У, то исходное уравнение принимает
dt dx dt dx
вид
/-l+f+(fj. A2.82)
Для решения полученного однородного уравнения
воспользуемся заменой переменной и = —, где и = и (t). Тогда
z = ut, / = u't + и, и уравнение A2.82) принимает вид
u't = 1 + и1
или
du dt
l + u2 t '
т.е. является уравнением с разделяющимися переменными.
Выполняя почленное интегрирование последнего
равенства, получаем
или
arctgtt = ln|£| + C
u = tg(ln\t\+C).
Так как и = - = ——, то (после преобразования) окон-
t х + 1
чательно имеем
# = l+(x+l)tg(ln|x+l| + C). ►

12.14. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка 709
Решить дифференциальные уравнения:
12.61. (ху-х2)у' = у2. 12.62. xy2dy = (x3 + y3)dx.
12.63. ху' = у\п-. 12.64. у-ху' = х+уу\
У
12.65. xdy-ydx = y]x2 + y2dx.
12.66. Dx2+3xy+y2)dx+Dy2+3xy+x2)dy = Q.
12.67. у'=Х-Ъх-ЪУ.
1 + х+у
12.68. (y + 2)dx = Bx+y-4)dy.
12.69. (г/Чl)ln^ = ^.
х + 3 х + 3
,п.л , г/ + 2 ^ г/-2х
12.70. у =-— + tg^ .
х+\ х+1
12.71. Найти кривую, у которой точка пересечения
любой касательной с осью абсцисс одинаково удалена от
точки касания и начала координат.
12.72. Найти кривую, у которой расстояние любой
касательной от начала координат равно абсциссе точки
касания.
12.14. Линейные дифференциальные уравнения
первого порядка
12.73. Решить уравнение у+—— = х2.
х + 1
Решение. Будем искать решение этого линейного
уравнения в виде
У = и • vy
где v в v(x) — некоторое решение уравнения
Х+1
и = и(х) — решение уравнения
vu=x2.
A2.83)
A2.84)

710 Глава 12. Дифференциальные уравнения
Уравнение A2.83) — с разделяющимися переменными:
dv _ _ dx
v х + 1 '
Выполняя почленное интегрирование последнего
равенства, получаем
ln|a| = -ln|x+l| + C.
Поскольку в данном случае достаточно найти некоторое
решение уравнения A2.15), то удобно полагать С = 0,
v > 0, х + 1 > 0, тогда
1
v =
х + 1'
Подставляя найденную функцию v в уравнение A2.84),
приходим к уравнению
du = (x3+x2)dx.
В результате почленного интегрирования последнего
равенства получаем
гг = — +—+С.
4 3
Таким образом, решение исходного уравнения имеет
вид
У =
{43
—+ —+С
4 3
V
1
х+1
Уравнение A2.27) может быть также решено с
помощью метода вариации произвольной постоянной, при этом
сначала находят решение v соответствующего
однородного уравнения. Это решение (как и любое общее решение
дифференциального уравнения первого порядка) зависит
от постоянной C(v = v(x, С)). Затем предполагая, что С
является функцией переменной х, находят эту функцию
С = С(х) из условия, что у = v(x, C(x)) удовлетворяет
исходному уравнению A2.27).
12.74. Решить уравнение (г/3-хг/)г/' = 1.

12.14. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка 711
Решение. Будем искать решение этого уравнения в виде
х = х(у) (т.е. считая, что у — независимая переменная,
а х — функция от у). Так как у' = -г = \ — =(х/)~1} то
dx ydy \
исходное уравнение линейно относительно функции х.
х'+ху = у3. A2.85)
Решим соответствующее однородное уравнение
х'+ху = 0. A2.86)
Пусть х*0. Тогда
dx j
— = -ydy;
х
Ы\х\ = -У-+а.
Последнее равенство равносильно
x = ±eCie 2 .
Учитывая, что х = 0 является решением уравнения
A2.86), получаем его общее решение в следующем виде:
у±
х = С2е 2. A2.87)
Полагая, что С2 = С2(у), найдем эту функцию из
условия, что функция A2.87) — решение уравнения A2.85).
Из A2.87) следует, что
У± У±
х' = С'2е 2 +С2е 2(-у). A2.88)
Подставляя A2.88), A2.87) в A2.85), приходим к
уравнению
_i_
С2е 2 =/

712 Глава 12. Дифференциальные уравнения
или
dC2 = у3е 2 dy.
Тогда
„2
C2 = \y^dy = 2\£ey*d,
( 2\
1у \
Применяя формулу интегрирования по частям, имеем
С2 = у2е2 -2е2 +С.
Подставляя найденное выражение для функции С2 =
= СЛу) в A2.87), получаем решение уравнения A2.85), т.е.
У1
х = у2+Се 2 -2. ►
Дифференциальное уравнение первого порядка
называется уравнением Бернулли, если оно имеет вид
y'+f(x)y = g(x)lf,
где п *0, п Ф 1.
Это уравнение приводится к линейному с помощью
подстановки 2 = г/1""" либо может быть непосредственно
решено любым из двух описанных выше способов
решения линейных уравнений.
12.75. Решить уравнение -^+ — = -ху2.
dx х
Решение. Данное уравнение — это уравнение Бернулли
при п =* 2. Отметим, что у = 0 является решением этого
уравнения. Пусть у Ф 0. Воспользуемся заменой
переменной z = ух~п = у'1. Тогда y = z~\ z/' = -z*~V, и исходное
уравнение принимает вид
~- = х. A2.89)
Решим сначала однородное уравнение
dz z
S—X- A2-90>

12.14. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка 713
Пусть z * 0. Тогда
dz _dx
z х '
ln|z| = ln|x| + lnC2, A2.91)
где С2 — произвольное положительное число.
Равенство A2.91) перепишем в следующем виде:
|z| = C2|x| или z = ±C2x.
Учитывая, что 2 = 0 является решением уравнения
A2.90), получаем, что его произвольное решение имеет
вид
z = C{x, A2.92)
где Сх — любое число.
Положим теперь, что Сх = Сх(х) и найдем эту функцию
из условия, что функция A2.92) — решение уравнения
A2.89). Из A2.92) следует, что
z' = C[x+C{.
Тогда, учитывая формулу A2.92), получаем, что
уравнение A2.89) принимает вид
4 X Т" КУ4 — X
X
или
dCx = dxy
поэтому
Подставляя это выражение в A2.92), имеем решение
уравнения A2.89), т.е.
z = (х + С) х.

714
Глава 12. Дифференциальные уравнения
Так как у = -, то окончательно
z
нения имеет вид
У(*2 +
или у = 0. ►
Решить уравнения:
12.76. у'-2у = е2х.
12.78. V+A *
х+1 yz
12.80. 1-2хуу' = у3у'.
12.82. 2ху^-у2 + х = 0.
ах
Сх)
решение исходного урав-
= 1
*
12.77. у'+У- = хе2.
X
12.79. (у2 + х)у' = 1.
12.81. y' = -y+xjy.
X
12.83. 3x(iz/ = z/(l + xsinx-3z/3sinx)(ir.
12.84. V+2*/ + x5*/V=0.
12.85. Bх2у\пу-х)у' = у.
12.86. Найти уравнение кривой, у которой отрезок,
отсекаемый касательной на оси абсцисс, равен квадрату
ординаты точки касания.
12.87. Найти уравнение кривой, у которой равны
расстояния от точки пересечения касательной с осью Ох до
точки касания и точки М@; 1).
12.15. Дифференциальные уравнения,
допускающие понижение порядка
12.88. Решить уравнение y" = y'ctgx.
Решение. Положим z = у\ Тогда г/" = (у')' = z', и
исходное уравнение принимает вид
/ = zctgx. A2.93)
Пусть z Ф 0. Тогда из A2.93) следует, что
dz _ cosxdx
z sinx

12.15. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение. 715
или
dz __ dfsinx
2 sinx
Интегрируя почленно последнее равенство, получаем
ln|2r| = ln|sinjr| + lnC71,
где С1 > 0, или
2 = ± С{ sin х.
Так как 2 = 0 является решением уравнения A2.93), то
произвольное решение этого уравнения имеет вид
2= qsinx, A2.94)
где Сх — произвольное число.
Так как z = —, то из A2.94) следует, что
dx
dy = C{sinxdx.
Интегрируя последнее равенство, окончательно
получаем
z/ = -C1cosx + C2. ►
12.89. Решить уравнение уу" = у2у'+(у'J.
Решение. Пусть z = у\ тогда y" = ^ = -f--¥- = z'z > где
^ ах ау ах
z = —, и исходное уравнение принимает вид
ау
yzz' = y2z + z2, A2.95)
т.е. становится уравнением относительно функции z = z(y).
Очевидно, что 2 = 0 — решение уравнения A2.95), откуда
у = С (где С — произвольное число).
Пусть 2 Ф 0. Тогда из формулы A2.95) следует, что
г/2,= г/2 + 2 A2.96)

716
Глава 12. Дифференциальные уравнения
является линейным уравнением первого порядка (см.
параграф 12.6). Решение этого уравнения будем искать в
виде z = uv. Здесь v = v(y) — некоторое решение уравнения
yv' - v = О,
и = и(у) — решение уравнения
uv = у.
A2.97)
A2.98)
Решая уравнение A2.97), в частности, имеем v = у. Тогда
уравнение A2.98) приводится к виду и' = 1, откуда и =
= у + Cv т.е. решение уравнения A2.96) имеет вид
2=2/2+Qz/.
Так как z = y\ то приходим к уравнению
[ = У2+Сху.
dy _ ..2
dx
Пусть С1 = 0. Тогда при у * 0 имеем
^=^
У
-1
и, следовательно, х = -у +С2 или
# = (С2-х)-1.
Пусть Ct * 0, тогда
dy 1 гб?г/ 1 г dy
A2.99)
_ г ay 1 г бй/ 1 е ay
х~з y2+ciy~~cJ~y~~c~J'yTci
и после интегрирования получаем
х =—In
у
у+с,
+ Со.
A2.100)
Окончательно решение исходного уравнения имеет вид
или у = С, или A2.99), или A2.100). ►

12.16. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка... 717
Решите уравнения:
12.90. у" = ~. 12.91. ху"+у' = 0.
12.92. ху" = у'\ъУ-. 12.93. уу"-у'A + у') = 0.
х
12.94. г/г/" = (г/'J. 12.95. 4г/'+(г/"J = W-
12.96. у" = (г/"J. 12.97. г/7" = 2(г/"- l)ctgx.
Найти решение уравнений, удовлетворяющие
указанным начальным условиям:
12.98. (у"х-у')у' = х\ г/A) = 1,г/,A) = 0.
12.99. 2г/(г/'K + г/" = 0, г/@) = 0, г//@) = -3.
12.16. Линейные дифференциальные уравнения
второго порядка с постоянными коэффициентами
12.100. Решить дифференциальные уравнения:
а) 2г/"-г/'-г/ = 0; б) 4г/"+4г/'+у = 0; в) г/"+2г/'+5г/ = 0.
а) Характеристическое уравнение 2Х2 - X - 1 = 0 имеет
различные корни Х1=1Д2=:—L поэтому (см. A2.38))
общее решение дифференциального уравнения имеет вид
X
у = С{ех+С2е 2.
б) В данном случае характеристическое уравнение имеет
, поэтому (см. A2.39))
искомое общее решение будет
один корень кратности 2 | X = —-
y = Cte 2 +С2хе 2.

718 Глава 12. Дифференциальные уравнения
в) Характеристическое уравнение имеет комплексные
корни (X = -1 ± 2г), поэтому (см. A2.40) при ос = -1, р = 2)
общее решение дифференциального уравнения имеет вид
y = C1e~xsin2x+C2e~xcos2x. ►
12.101. Решить уравнение
*/"+*/ = — . A2.101)
COSX
Решение. Поскольку корни характеристического
уравнения X2 + 1 = 0 комплексные (X = ± 0, то общее решение
однородного уравнения
*/" + */ = 0
имеет вид
y = C{sinx + C2cosx A2.102)
(см. A2.40) при а = 0, р= 1).
Общее решение уравнения A2.101) будем искать в виде
A2.102), полагая, что С{ и С2 — функции переменной х.
Эти функции найдем, используя систему A2.41), которая
в данном случае имеет вид
\С[ sinx + С2 cosx = 0,
\C'icosx-C'2smx = —. A2.103)
I COSX
Решая систему A2.103), получаем С[ = 1, С2 = -tgx.
Тогда Сх - х + С3 и
С2 = |(-tgx)dfc = [ = ln|cosxl+C4.
J J cosx
Таким образом, общее решение уравнения A2.101):
у = (х + C3)sinx+(ln|cosx|+C4)cosx,
где С3, С4 — произвольные постоянные. ►

12.16. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка... 719
12.102. Найти частные решения неоднородных
уравнений:
а) у" + 2у' - Ъу = хе2*; б) у" + Зг/' - Ау = (х + 1)е*.
а) Так как А,г = 2 (я = 2, 6 = 0) не является корнем
характеристического многочлена
X2 +2^-3 = 0,
то & = 0. Так как f(x) = х и, можно полагать, что g(x) = 1, то
m = 1. В связи с этим частное решение будем искать в виде
и = (Ах+В)е2х.
Подставляя эту функцию в исходное уравнение, после
приведения подобных слагаемых и сокращения на е2*
приходим к равенству
5Ах + 6Л + 55 = х,
которое удовлетворяется тождественно (при всех х), если
\5А =1,
[6А+5В = 0.
Откуда Л = -, 5 = и искомое частное решение
имеет вид 5 25
б) Правая часть уравнения имеет вид A2.49) при а = 1,
6 = 0, f(x) = х + 1 и, можно считать, что g(x) = 1.
Следовательно, Хг=1ит= 1. Так как А,г - 1 является корнем
кратности 1 характеристического многочлена
^2+ЗХ-4 = 0,
то k = 1, поэтому частное решение уравнения будем искать в
виде
и - х (At: + 5) ё* - (At:2 + Ях) Л

720 Глава 12. Дифференциальные уравнения
Подставляя эту функцию в исходное уравнение,
приходим к равенству /
10Лд: + 2Л + 5Я = х+ 1, /
которое выполняется тождественно, если
Г10Л =1,
{ 2Л+5В = 1.
Решая эту систему, получаем А = 0,1, В = 0,16, и,
следовательно, искомое частное решение имеет вид
г/ = @,1х2 + 0,16х)бЛ ►
12.103. Найти частное решение уравнения
у"-2у'+у = (х-1)е*, A2.104)
удовлетворяющее начальным условиям у @) = 0, у'@) = 1.
Решение. Найдем сначала общее решение уравнения
A2.104). Характеристическое уравнение
Х2-2^ + 1 = 0
однородного уравнения
г/"-2г/'+г/ = 0 A2.105)
имеет единственный корень X - 1 (кратности 2), поэтому
общее решение уравнения A2.105) будет
у = С{ех +С2хех.
Правая часть уравнения A2.104) имеет вид A2.49), где
а = 1,6 = 0, f(x) = х-1 и, можно считать, что g(x) = 1.
Тогда Хг = 1, т = 1. Поскольку \ = 1 является корнем
кратности 2 характеристического уравнения, то k e 2, поэтому
частное решение уравнения A2.104) будем искать в виде
и = х2(Ах+В)ех=(Ах3 + Вх2)ех.

12.16. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка... 721
Подставляя эту функцию в уравнение A2.104),
приходим к равенству
6Ах + 2В = х-1,
откуда Л = -, В = ~.
о ^
Объединяя полученные результаты, приходим к
выводу, что общее решение уравнения A2.104) имеет вид
(х3 х2Л
У = С1ех + С2хех+\—--
Из условий у @) = 0 и г/' @) = 1 получаем Сх = 0 и С2 = 1
соответственно. Окончательно искомое частное решение
задается функцией
у = хе +
v
X
~2
2 Л
£* =
/ 3 2
+ х
6 2
/
12.104. Решить уравнение
y"-2y'+5y = excosx. A2.106)
Решение. Корнями характеристического уравнения
^2-2^+5 = 0
являются комплексные числа Х, = 1±2г, поэтому общее
решение однородного уравнения имеет вид
у = Схех sin2x+С2хех sin2x
A2.107)
(см. A2.40) при а = 0, р - 1).
Найдем частное решение неоднородного уравнения
A2.106). Правая часть этого уравнения имеет вид A2.49),
где а-1,6- 1,/(#) = 1, g(x) - 1, поэтому m = 0 и Хг = 1 + г.
Так как число 5tr не является корнем характеристического
многочлена, то k = 0, поэтому частное решение уравнения
A2.106) будем искать в виде
и = А ех sin х+Вех cos x.

722 Глава 12. Дифференциальные уравнения
Подставляя эту функцию в уравнение A2.106), получаем
А = 0, В = -, и, следовательно,
о
1 х
и = —е cosx.
3
Принимая во внимание A2.107), общее решение
уравнения A2.106) примет вид
1
y = C1excos2x+C2exsm2x+—excosx. ►
12.105. Решить уравнение z/"+z/ = 2sin2xcosx.
Решение. Применяя формулы тригонометрии,
преобразуем правую часть уравнения:
у"+у = sin Зх+sin х.
Характеристическое уравнение имеет корни X = ± i,
поэтому общее решение однородного уравнения имеет вид
у = Сх sin х + С2 cos х
(см. A2.40) при а - 0, р = 1).
Частное решение неоднородного уравнения
у"+у = sin3x A2.108)
будем искать в виде
щ = A sin3x + В cos3x.
Подставляя эту функцию в уравнение A2.108), нахо-
1
дим Л = — ,5 = 0, поэтому
8
щ = — sin3x.
^ 8
Аналогично для частного решения
г/2 = x(Asmx+Bcosx)
уравнения
у"+у = sinx

12.17. Использование дифференциальных уравнений... 723
находим А = О, В = — , т.е.
1
2 2
Объединяя полученные результаты, получаем общее
решение исходного уравнения:
y = C1sinx + C2cosx—sin3x—xcosx. ►
8 2
Решить уравнения:
12.106. у"-9у = 0. 12.107. у"-2у'+2у = 0.
12.108. у"-2у'+у = 2ех. 12.109. у"+у'-Ьу = хе2х.
12.110. y"+y = cosx. 12.111. #"+*/' = sin2*.
12.112. i/"-3*/' = x+cosx. 12.113. г/"+Зг/'+2г/ = —!—.
е* + 1
Найти решение уравнений, удовлетворяющие
указанным начальным условиям:
12.114. г/"+г/'-2г/ = 0, 2/@) = 0, г/'@) = -3.
12.115. ^"+y = 4sinx, y@) = 0, ^@) = -1.
12.116. у"+2у'+2у = хе-х, г/@) = 0, г/'@) = 0.
12.117. аГ-2^+у = —, уA) = в, г/'A) = 3в.
12.17. Использование дифференциальных
уравнений в экономической динамике
12.118. Выяснить, по истечении какого промежутка
времени объем реализованной продукции удвоится по
сравнению с первоначальным, если значение коэффициента
пропорциональности k в уравнении A2.54) равно 0,1. На сколько
процентов следует увеличить норму инвестиций, чтобы
промежуток времени, необходимого для удвоения объема
реализованной продукции, уменьшился на 20%?
Решение, Полагая в решении
У = У*ек™

724 Глава 12. Дифференциальные уравнения
уравнения A2.54) £0=0, & = 0,1, г/ = 2г/0, приходим к
равенству
2у0 = у0еол\
откуда £ = 101п2«6,93 (ед. времени). Полагая теперь, что
k
t{=0,8t, получаем ^ = — = 1,25£, т.е. норму инвестиций
0,8
следует увеличить на 25%. ►
12.119. Изменение численности населения
горнорудного поселка с течением времени описывается следующим
уравнением:
^ = аЗуB-10-4у),
где у = y(t)\ t — время в годах. В начальный момент времени
население поселка составляло 500 человек. Каким оно
станет через три года?
Решение. Разделяя переменные в уравнении, приходим
к равенству:
^ =dt
о.з^г-кг4*/)
Выполняя почленное интегрирование этого равенства,
получаем
In
У
2-Ю-4 г/
= 0,6t+Cx
или
^—г- = Сет. A2.109)
2-l(T4t/
Значение постоянной С находим из начальных
условий. Так как г/@) = 500, то С « 256,4. Выразим теперь
функцию у из равенства A2.109):
512,8е0,6'
1-0,02564е0'6'
Тогда уC) = 512'8е' 1Л - 2685.
1-0,02564е18

12.17. Использование дифференциальных уравнений... 725
Напомним (см. параграф 7.6), что эластичность спроса
(относительно цены) определяется формулой Е (у) = ~-У-.
у dp
В некоторых случаях представляет интерес функция спроса
при заданной эластичности.
12.120. Найти функцию спроса, если Ер = -2 = const и
,CL-
Решение. Из определения эластичности следует, что
у dp'
т.е. искомая функция задается уравнением с
разделяющимися переменными. Решая это уравнение, получаем
р~2=Су.
1 2
Учитывая начальное условие уC) = -, имеем С = - .
Окончательно у = 1,5р~2. ► 6 3
В простейших ситуациях спрос на товар (предложение
товара) предполагается зависящим лишь от его цены. В
более сложных случаях в расчет принимается также
зависимость спроса (предложения) от скорости изменения цены.
12.121. Функции спроса и предложения имеют
соответственно вид
у = 25-2р+3^;
х = 15-р+4-~.
dt
Найти зависимость равновесной цены от времени, если в
начальный момент рв9.
Решение. Из условия равенства спроса и предложения
имеем
25-2p+3^ = 15-p+4^
dt dt'
откуда

726 Глава 12. Дифференциальные уравнения
т.е. получаем уравнение с разделяющимися переменными
(см. параграф 12.4).
Решая это уравнение, приходим к функции
р = 10-Се-'.
Из условия р @) = 9 следует, что С = 1, поэтому
окончательно
р = 10-е-*.
Отметим, что поскольку limp = Hm(lO-e~M = 10 = const,
£-»«> t-><*>
цена обладает устойчивостью. ►
12.122. В условиях ненасыщаемости рынка найти
объем производства по истечении шести месяцев, при
норме инвестиций т = 0,6, продажной ценер = 0,15 (ден. ед.) и
/ = 0,4, если в начальный момент времени объем
производства у0 = у @) = 24 (ден. ед.).
12.123. Предполагая, что цена товара задается функцией
р(у) = E+Зе-у)у-\ ™ = 0,6, / = 0,4, г/@) = 1 (см. формулу
A2.55)), найти зависимость у - у (t) объема
реализованной продукции от времени.
12.124. Известно, что рост числа у = y(t) жителей
некоторого района описывается уравнением
dy 0,2y, ч
at m
где т — максимально возможное число жителей для
данного района. В начальный момент времени число жителей
составляло 1% от максимального. Через какой
промежуток времени оно составит 80% от максимального?
12.125. В поселке с населением 3000 человек
распространение эпидемии гриппа (без применения экстренных са-
нитарно-профилактических мер) описывается следующим
уравнением:
^ = 0,001^C000-2/),
at

12.17. Использование дифференциальных уравнений... 727
где у — число заболевших в момент времени t; t — число
недель. Сколько больных будет в поселке через две недели,
если в начальный момент было трое больных?
12.126. Найти функцию спроса у = у(р)> если
эластичность Ер постоянна и задана цена р при некотором
значении спроса у:
а) Ер=~, р = 5 при у = 2;
6) Ер=-Зу р = 2 при у = 27.
12.127. Найти функцию спроса, если известно значение
цены р при некотором спросе у и эластичность имеет
следующий вид:
а) Е =^^, 0<г/<100, р = 90 при у = 10;
Р У
р-207
б) Ер=—^, 0<р<20, р = 18приг/ = 1.
12.128. Функции спроса и предложения на некоторый
товар имеют соответственно вид
# = 50-2р-4^|;
х = 70+2/>-5^.
dt
Найти зависимость равновесной цены от времени, если
р@) = 10, и определить, является ли равновесная цена
устойчивой.
12.129. Функции спроса и предложения на некоторый
товар имеют соответственно следующий вид:
,-Э0-,-44;
х = 20+р+^.
dt
Найти зависимость равновесной цены от времени и
определить, является ли равновесная цена устойчивой.

728 Глава 12. Дифференциальные уравнения
12.130. За 30 дней распалось 50% первоначального
количества радиоактивного вещества. Через сколько времени
останется 1% первоначального количества?
Указание. Использовать закон радиоактивного распада:
количество радиоактивного вещества, распадающегося за
единицу времени, пропорционально количеству вещества,
имеющегося в рассматриваемый момент.
12.131. Найти выражение объема реализованной
продукции у = y(t) и его значение при t = 2, если известно, что
кривая спроса имеет вид р(у) = 3 - 2г/, норма акселерации
1
- = 1,5, норма инвестиций т = 0,6, у@) = 1.
12.18. Системы дифференциальных уравнений
Пример 12.132. Решить систему дифференциальных
уравнений
, t
х =-,
X
, t
У = — >
X
, dx , dy
Решение. Из первого уравнения системы следует, что
У2
Учитывая, что у = —У у' = — (см. систему), приходим к
х х
дифференциальному уравнению второго порядка
ta'' = x*4*(;02. A2.110)
Это уравнение однородное степени 2 по производным
различных порядков функции х = x(t) (т.е. замена
х^ -»аг**\ где k > 0, переводит это уравнение в
исходное). Такие уравнения допускают понижение порядка с
помощью замены

12.18. Системы дифференциальных уравнений 729
и = —, A2.111)
х
где и = u(t). Тогда х" = хи2 + хи, х'=их и, учитывая, что
х Ф О, из A2.110) получаем
tu=u.
Решением этого уравнения с разделяющимися
переменными является функция
и = С^,
где Сх — произвольная постоянная.
Тогда (см. A2.111)) для функции х = x(t) имеем
уравнение
x' = Cxxt. A2.112)
Это уравнение также является уравнением с
разделяющимися переменными. Решая его, получаем
cxt2
х = С2е~^~у A2.113)
где С2 — произвольная постоянная.
t 1
Так как у = — = (см. исходную систему и A2.112)),
X (_• лХ
то, учитывая A2.113), получаем
at2
у = С\хС-2'е 2 . ►
Пример 12.133. Решить систему
Хл = —t'X'y,
[х2 =х\~~ 3^2 •
Установить характер положения равновесия этой
системы.
Решение. Матрица системы имеет вид
А =
@ -2>
1 -3

730 Глава 12. Дифференциальные уравнения
Характеристический многочлен |Л-А1Г| =
1-Х -2
= X +ЗА,+2 имеет корни Xt = -1, А,2 = -2. Решая уравнения
(где i = 1, 2), найдем собственные векторы Xv X2,
отвечающие найденным собственным значениям. Эти векторы
определены с точностью до постоянных множителей,
например, можно положить
BЛ ^\
*1 =
V1/
-с
Векторы Xv X2 не пропорциональны между собой, а
потому линейно независимы. Следовательно, общее решение
исходной системы имеет вид
Л-2*
Х = С1Х1е-1+С2Х2е
где Cv С2 — произвольные постоянные.
Точка
фазовой плоскости является положением
равновесия. Так как
limX=lim(c1X1e-4C2X2eM = | |,
t->oo £->«Л ' 10 1
то это положение равновесия является устойчивым. ►
Решить системы уравнений, где х =—, у = —:
dt dt
{х' = 2х+у, \х=х-у,
, Q , 12.135. \ , А
у = 3х+4у. [у =у-4х.
{х=2х+у, \х=Ъх-у,
> а 12.137. \ , ,
у =4у-х. [у =4х-у.

12.19. Дополнительные задачи
731
12.138.
х =■
X
y-t
у'=х + 1.
12.139.
X
У
_ t
X
=1
X
12.19. Дополнительные задачи
Составить дифференциальные уравнения семейств
кривых:
12.140. у = Сх2. 12.Ш.у2=2Сх.
12.142. х3 = С(х2-у2). 12.143. у = Схе2х+С2е~х.
Решить дифференциальные уравнения:
12.144. ydx+Bjxy-x)dy = Q. 12.145. ху'-у = у3.
12.146. у' = У—1. 12.147. у'-у = ех.
х
12.148. ydy + (x-2y)dx = 0.
12.149. xz/dx+(x+l)<&/ = 0.
12.150. хуу'=1-х2. 12.151. у = х(г/'-^1
12.152. y2dx-Bxy+3)dy = 0.
12.153. (х2 + у2)а[г-2хг/ф = 0.
12.154. ууЧ* = 1.
12.155. Bх-1/)^г+Dх-2у+3)ф = 0.
12.156. 2х2уу'+у2 = 2. 12.157. ^'=10^.
12.158. Jy2 + ldx = xydy. 12.159. у'+^- = х3.
х
12.160. #-х#'=1+хУ. 12.161. у'-у = 2х-3.
12.162. (x-y)ydx-x2dy = 0.

732 Глава 12. Дифференциальные уравнения
12.164.4^-^=*-
ах х
12.163. у"-5у'+6у = 0.
12.165. у"-8у'+7у = Ы.
12.166. у"-4у'+4у = х2. 12.167. у"+2у'+у = 0.
12.168. у"+Ау+13у = 0. 12.169. у"-у = ех.
12.170. у'-у = 3у". 12.171. у"+2у+у = е2х.
12.172. ж(г/"+1)+г/'=0. 12.173. г/'" = е2*.
Найти частные решения уравнений, удовлетворяющие
начальным условиям:
12.174. yy"=(y'f-(y'f, г/@) = 1, у'@) = 2.
12.175. 2y(y'f + y"=0, г/@) = 0, г/'@) = -3.
12.176. у"-2у'+у = 0, уB) = 1, у\2) = -2.
12.177. у"+у = 4ех, г/@) = 4, г/'@) = -3.
12.178. г/"-2г/ = 2е*, г/A) = -1, у'A) = 0.
12.179. у"+2у'+2у = хе-х, уф) = у'ф) = 0.
Контрольные задания по главе 12
«Дифференциальные уравнения»
№
1
2
3
4
5
Вариант 12.1
Вариант 122
Вариант 123
Решить дифференциальные уравнения:
2ху' + у2=1
х2у' = у(х + у)
х2у2у' + 1 = у
у" + (у'J=2е-У
у'(х-у2) = 1
x2(dy-dx) =
= (x + y)ydx
A - х2 )dy + xydx = 0
(x + 2y*)y' = y
(x + yfy' = l
*/"(**+l) + z/' = 0
x2y'-2xy = 3y
x_y_~l
У' У
*У' = (*/'J
У~У' = У2+ху'
У-ху' = 2
х + уу'

Контрольные задания.
733
No
6
7
Вариант 12.1
Вариант 12.2
Вариант 123
Найти решения дифференциальных уравнений,
удовлетворяющих указанным условиям:
y'yfx=yly-X+yfx,
»@) = 1
у"-2у' = х2-1,
уф) = 0,у'@)Л
4
у"+Ау = Ъех,
г/@) = 0,г/@) = 3
x(x+i)(y'-i)=y,
г/A) = 0,5
2(x-y2)dy = ydx,
»A) = 1
#"+9z/ = 15sin2x,
*/@) = -7,
г/@) = 0
Тест 12
1. Установить соответствие между приведенными
дифференциальными уравнениями первого порядка и их
типами: .—
1) у = х(у'-\1еу ); а) с разделяющимися
переменными;
2) х2(уу'+2) = х-1; б) линейное;
3) х2Bх + y)dx = dy. в) однородное.
2. Выяснить, при каких целых значениях параметров а
и b функция у = е а является решением уравнения
dy - (х3у+2xy)dx = 0.
3. Найти интегральную кривую уравнения dy = xeydx,
проходящую через точку B; 0).
Ответ: 2eay + bx2 + d = 0, где а = ..., Ъ = ..., d = ...
4. Пусть г/ = у(х) — решение уравнения е~2ху = е3,
удовлетворяющее начальному условию г/(-1,5) = 0,5.
Найти (с точностью до целых) г/@).
5. Пусть у - г/(х) — интегральная кривая уравнения
dx - (Зх + i)y2dy = 0,
проходящая через точку A; ^1п4). Найти у@).
6. Пусть х = х(г/) — решение уравнения
2г/г/'+Зг/' = 1,

734 Глава 12. Дифференциальные уравнения
удовлетворяющее начальному условию х@) = 0. Найти
*B).
7. Найти уравнение касательной в точке A; 2) к
интегральной кривой уравнения
2уу'+ху+2х2=0.
Ответ: у = ах + Ъ, где а = ..., Ъ = ...
8. Пусть у = у(х) — решение уравнения у' + ху = х,
удовлетворяющее условию г/@) = 2. Найти г/(>/2)
(с точностью до 0,1).
х -\- у
9. Найти решение уравнения у' = , удовлетво-
х
ряющее условию г/A) = 0. В ответе дать значение г/B).
10. Найти решение уравнения г/"+6г//+5г/ = 25.г2-2,
удовлетворяющее начальным условиям г/@) = 12, у'@) =
= -12. В ответе дать значение г/C).

Раздел VI
РЯДЫ

Глава 13
ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ КУРС
При решении ряда математических задач, в том числе и в
приложениях математики в экономике, приходится
рассматривать суммы, составленные из бесконечного
множества слагаемых. Из теории действительных чисел известно
лишь, что означает сумма любого конечного числа
слагаемых. Задача суммирования бесконечного множества
слагаемых решается в теории рядов.
13.1. Основные понятия. Сходимость ряда
I Определение. Числовым рядом называется
бесконечная последовательность чисел uv uv ..., ипУ..., соединенных
знаком сложения:
I °°
tt1+W2+... + W„+... = ]£*/„. A3.1)
Числа uv uv ..., ип, ... называются членами ряда, а член
ип — общим или n-м членом ряда.
Ряд A3.1) считается заданным, если известен его
общий член ип = f(n) (n = 1,2, ...), т.е. задана функция f(n)
натурального аргумента. Например, ряд с общим членом
(-1Г1
и„ - ~V^ имеет вид
я2(я + 1)
_J 1_ _1 (-I)"-1
12-2 22-3 32-4 "■ п2(п + 1)

13.1. Основные понятия. Сходимость ряда 737
Более сложной является обратная задача: по нескольким
первым членам ряда написать общий член. Эта задача имеет
бесконечное множество решений, но иногда удается найти
самое естественное решение.
Пример 13.1. Найти в простейшей форме общий член
ряда:
ч 2 4 6 .ч 3 8 15 24
а) - + - +— + ...; б) + + ... .
' 5 9 13 ' 5 10 17 26
Решение. Нетрудно убедиться, что для ряда а) общий
(-l)"-T(n + lJ-ll
и = 1= 1 ^
член ип=——, а для ряда б) „„ -
4я + 1 (я + 1) +1
Рассмотрим суммы конечного числа членов ряда:
5{ = щ> S2 = щ + и2,..., Sn =щ + и2 + ...+ип.
Сумма п первых членов ряда Sn называется п-й
частичной суммой ряда.
Определение. Ряд называется сходящимся, если
существует конечный предел последовательности его
частичных сумм, т.е.
limSn=S. A3.2)
П->оо
Число S называется суммой ряда. В этом смысле можно
записать
оо
щ +щ +... +ип +... = ^ип = S. A3.3)
Если конечного предела последовательности
частичных сумм не существует, то ряд называется расходящимся.
Пример 13.2. Исследовать сходимость геометрического
ряда, т.е. ряда, составленного из членов геометрической
прогрессии
оо
a + aq+aq2+...+aqn~x+... = ^iaq"-i. A3.4)

738
Глава 13. Числовые ряды
Решение. Необходимо установить, при каких значениях
знаменателя прогрессии q ряд A3.4) сходится, а при
каких — расходится.
Из школьного курса алгебры известно, что сумма п
первых членов геометрической прогрессии, т.е. п-я частичная
сумма ряда при q Ф 1
Sn = «£^>. A3.5)
9-1
Возможно несколько случаев:
1) если \q\ < 1, то lim qn = 0,
lim Sn = lim
f П \
aq a
сумма
q-\ «7-1
\-q
т.е. ряд сходится и его
5 = -^-; A3.50
\-q
2) если |#| >1, то Нт#и=оо, следовательно, lim5„=°°
Я-»оо Я->оо
и ряд расходится;
3) если q = 1, то ряд A3.4) примет вид а + а + ... + а + ...,
его я-я частичная сумма Sn = а + а + ... + д - па и lim 5Я =
,. п раз
= lim ш = оо, т.е. ряд расходится;
4) если ^ = -1, то ряд A3.4) примет вид а-а + а-а +
+ ... + (-1)"_1я + ... и Sn = 0 при я четном, Sn= а при я
нечетном, следовательно, lim Sn не существует и ряд расхо-
дится.
Таким образом, геометрический ряд сходится к сумме
5 = при Ы<1 к расходится при Id^l. ►
1-<7 "
Пример 13.3. Найти сумму ряда
111 1
— + — + — + ...+—-— + ... A3.6)
1-2 2-3 3-4 я(я + 1) v '
Решение, п-я частичная сумма ряда
111 1 v 1 < 1
5L = — + + + ... + . Учитывая, что — = 1—,
п 1-2 2-3 3-4 я(я + 1) 1-2 2

13.1. Основные понятия. Сходимость ряда 739
J_=l__j. J_ = l_j. 1 =1 1_
2-3 2 3'3-4~3 4'"'" п(п + \)~п п + Г
*-(-5>(нннм^)-
Я + 1 Я + 1*
Отсюда lim Sn = lim = 1, т.е. сумма ряда S = 1. ►
П->оо Я-»оо /2 И" 1
Свойства сходящихся рядов. 1. Если ряд и{ + и2 + ...+
+ ип + ... сходится и имеет сумму 5, /по и ряд Л,г/1 + Хи2 + ...+
+ А,г/и + ... (полученный умножением данного ряда на
число X) также сходится и имеет сумму XS.
2. Если ряды щ + и2 + ... + ип+... и vi + v2+... + vn+...
сходятся и их суммы соответственно равны S{ и S2,mo и ряд
(щ + vx)+(и2 + v2 ) +...+(ип + vn ) +... (представляющий
сумму данных рядов) также сходится, и его сумма равна
Sx+S2.
Свойства 1 и 2 непосредственно вытекают из свойств
пределов числовых последовательностей.
3. Если ряд сходится, то сходится и ряд, полученный из
данного путем отбрасывания (или приписывания)
конечного числа членов.
П Пусть в сходящемся ряде A3.1) отброшены п членов
(в принципе можно отбрасывать члены с любыми
номерами, лишь бы их было конечное число). Покажем, что
полученный ряд
W„+l+W„+2+- + W*+m+-> A3.7)
имеющий частичную сумму ст = un+i + ип+2 +... + ип+т,
также сходится.
Очевидно, что Sn+m =5'„ + am. Отсюда следует, что при
фиксированном п конечный предел lim Sn+m существует
m-»oo
тогда и только тогда, когда существует конечный предел
lim aw. А это и означает, что ряд A3.7) сходится. ■
т->оо
Замечание. Если ряд расходится, то очевидно, что
отбрасывание (приписывание) конечного числа членов не
повлияет и на расходимость полученного ряда.

740
Глава 13. Числовые ряды
Ряд A3.7), полученный из данного ряда A3.1)
отбрасыванием его первых п членов, называется п-м остатком ряда.
Если сумму п-то остатка ряда обозначить через гя, т.е.
Ъ=Ц|+1 + Ий+2 + ~+Ц|+т+~= Нтат, A3.8)
то сумму ряда A3.1) можно представить в виде
S = Sn+rn. A3.9)
Теперь можно сформулировать свойство 4.
4. Для того чтобы ряд A3.1) сходился, необходимо и
достаточно, чтобы при п -> °о остаток ряда стремился к
нулю, т.е. lim rn = 0.
Это свойство вытекает из теоремы о связи бесконечно
малых с пределами функций (см. параграф 6.3).
Установить сходимость (расходимость) ряда путем
определения Sn и вычисления lim Sn (как это сделано в при-
мерах 13.2, 13.3) возможно далеко не всегда из-за
принципиальных трудностей при нахождении Sn (суммировании
п членов ряда). Проще это можно сделать на основании
признаков сходимости, к изучению которых мы переходим.
13.2. Необходимый признак сходимости.
Гармонический ряд
Теорема (необходимый признак сходимости). Если
ряд сходится, то предел его общего члена ип при я —> <» равен
нулю, т.е.
limw„=0. A3.10)
□ Выразим П'й член ряда через суммы его п и (п - 1)
членов, т.е. un=Sn-Sn_i. Так как ряд сходится, то
lim 5„ = 5 и lim Sn_t = 5. Следовательно,
limw„ = lim(Sn-Sn_i)= lim5„- lim5^ =5-5 = 0. ■

13.2. Необходимый признак сходимости. Гармонический ряд 741
Пример 13.4. Проверить выполнение необходимого
признака сходимости для ряда A3.6).
Решение. Выше было доказано (см. пример 13.3), что
ряд A3.6) сходится, и, действительно, lim ип = lim ——-- =
Я->оо W->oo П(П + 1)
= 0, т.е. необходимый признак сходимости выполняется. ►
Следствие. Если предел общего члена ряда A3.1)
при п —»оо не равен нулю, т.е. lim un Ф О, то ряд расходится.
□ Предположим противное, т.е. ряд A3.1) сходится. Но
в этом случае из приведенной выше теоремы следует
lim ип = 0, что противоречит условию, заданному в след-
Я->оо
ствии, т.е. ряд A3.1) расходится. ■
00 / _i_ Q
Пример 13.5. Исследовать сходимость ряда V .
Решение, lim ип = lim = — Ф О, т.е. необходимый
я->оо я->°о 5я — 7 5
признак сходимости не выполняется, следовательно, ряд
расходится. ►
Замечание. Следует подчеркнуть, что рассмотренная
теорема выражает лишь необходимый, но недостаточный
признак сходимости ряда. Если lim un = 0, то из этого еще
не следует, что ряд сходится. w_>0°
В качестве примера рассмотрим ряд
,11 1
1 + - + - + ... + — + ...,
2 3 п
называемый гармоническим.
Необходимый признак сходимости выполнен: lim un -
= lim — = 0. Докажем, что несмотря на это, гармонический
п-**>п
ряд расходится.
□ Вначале получим вспомогательное неравенство. С этой
целью запишем сумму первых 2п и п членов ряда:
с ,11 11 1
5о =1 + -+-+... + - + + ...+—;
2п 2 3 п п + 1 2п
С 4 1 1 1
5" = 1+2 + 3+" + »'

742
Глава 13. Числовые ряды
Найдем разность
2п п я + 1 2п
Заменяя в сумме каждое слагаемое наименьшим, рав-
1
ным —, придем к вспомогательному неравенству
1111 1
S9„-S„>— + ...+— = п — = - или 5оя-5я> —•
2п п 2п 2п 2п 2 2п п 2
v v '
п раз
Предположим противное, т.е. что гармонический ряд
сходится, тогда lim Sn = lim S2n = S и, переходя к пределу в
неравенстве (см. параграф 6.5), получаем, что 5-5>— или
1 2
0>-.
2
Мы пришли к противоречию, следовательно,
предположение о сходимости гармонического ряда неверно, т.е.
гармонический ряд расходится. ■
В следующих двух параграфах рассмотрим
достаточные признаки сходимости.
13.3. Ряды с положительными членами
Теорема (признак сравнения). Пусть даны два ряда с
оо оо
положительными членами: 2^ипA) и \vnB), причем чле-
ны первого ряда не превосходят членов второго, т.е. при
любом п
u„<vn. A3.11)
Тогда: 1) если сходится ряд B), то сходится и ряд A);
2) если расходится ряд A), то расходится и ряд B).
□ 1. Пусть частичные суммы рядов A) и B) равны
соответственно sn и Sn . По условию ряд B) сходится,
следовательно, существует lim Sn = S и Sn < S, так как члены
ряда B) положительны. Рассмотрим последовательность
частичных сумм sn ряда A). Эта последовательность

13.3. Ряды с положительными членами
743
является возрастающей (так как с ростом п
увеличивается сумма п положительных слагаемых) и ограниченной
(так как sn <Sn в силу условия A3.11), т.е. sn <Sn <S ).
Следовательно, на основании признака существования
предела (см. параграф 6.5) последовательность sn имеет
предел, т.е. ряд A) сходится.
2. Применим метод доказательства от противного.
Предположим, что ряд B) сходится. Тогда согласно первой части
теоремы сходится и ряд A), что противоречит
предположению, т.е. ряд B) расходится. ■
Замечание. Так как сходимость ряда не изменяется
при отбрасывании конечного числа членов ряда, то
условие A3.11) не обязательно должно выполняться с первых
членов рядов и только для членов с одинаковыми
номерами п. Достаточно, чтобы оно выполнялось, начиная с
некоторого номера п = k, или чтобы имело место неравенство
ип - vm+n, rn - некоторое целое число.
Пример 13.6. Исследовать сходимость ряда
1 + + т + ... + -
2-3 З-З2 '" п-Ъп-х
Решение. Сравним данный ряд со сходящимся геометри-
1 1 1
- + -ТГ + ... + —
3 З2 3"
ческим рядом 1 + —+— + ... + —^- + ... (его знаменатель
ц<1>.
Так как члены данного ряда не превосходят членов схо-
(л^л 1111
дящегося геометрического ряда 1ь1, тг-г<тг» 2<"Т
1 1 Л v
и вообще —£ < —^ц- , то на основании признака сравне-
п-Зп 3" J
ния ряд сходится. ►
Пример 13.7. Исследовать сходимость ряда
1
yjn(n-l)
Решение. Сравним данный ряд с гармоническим
,111 .
1 + - + - + ... + —+ ..., мысленно отбросив его первый член,

744
Глава 13. Числовые ряды
равный единице (что, естественно, не повлияет на рас-
ч т 1111
ходимость ряда). Так как ,— >-, -==>-, и во-
л/2-1 2 v3-2 3
обще . 1 >1 (ибо V24<2 = V?, 7з^2 <3 = V?,...,
у]п(п-1) п
у]п(п -i)<n = \jn2 ), т.е. члены данного ряда больше
членов расходящегося гармонического ряда, то на основании
признака сравнения ряд расходится. ►
Приведем «эталонные» ряды, часто используемые для
сравнения:
1) геометрический ряд /^Щп~Х сходится при |<?|<1 и
расходится при \q\ > 1; "=1
2) гармонический ряд \— расходится;
3) обобщенный гармонический ряд
00 1 11 1
У —= 1+ —+ —+...+—+... A3.12)
сходится при а > 1 и расходится при а < 1 (доказательство
см. в примере 13.11; здесь же отметим, что при а<1
расходимость ряда A3.12) следует из признака сравнения, так
как в этом случае члены ряда У— больше соответству-
00 1
ющих членов гармонического ряда У —, а в частном случае
при а = 2 сходимость ряда A3.12) может быть доказана
сравнением его со сходящимся рядом A3.6)).
Нестандартность применения признака сравнения
заключается в том, что надо не только подобрать
соответствующий «эталонный» ряд, но и доказать неравенство
A3.11), для чего часто требуется преобразование рядов
(например, отбрасывание или приписывание конечного
числа членов, умножение на определенные числа и т.п.).
В ряде случаев более простым оказывается предельный
признак сравнения.

13.3. Ряды с положительными членами
745
Теорема (предельный признак сравнения). Если
оо оо
У\ип и ЛА ~ Ряды с положительными членами и суще-
ствует конечный предел отношения их общих членов
lim — = k Ф О, то ряды одновременно либо сходятся, либо
расходятся.
и
□ Так как lim — = k, то по определению предела число-
вой последовательности (см. параграф 6.1) для любого
е > 0 существует такой номер N, что для всех п > N
выполняется неравенство
(k-E)vn<un<(k + t)v^
\^-k\
<е или \un-kvn\<evn, откуда
Если ряд \vn сходится, то сходится ряд \(k+e)vn ив
силу признака сравнения будет сходиться ряд У]и„;
аналогично, если сходится ряд У]м„, то сходится ряд \(k-z)vn
и сходится ряд yV,. Таким образом, из сходимости одного
ряда следует сходимость другого. Утверждение теоремы о
расходимости рядов доказывается аналогично. ■
Пример 13.8. Исследовать сходимость ряда V ~—.
Решение. Сравним данный ряд с расходящимся ГарМОНИ-
ческим \ — (выбор такого ряда для сравнения может под-
п=\п 2п2 + 5 2
сказать то, что при больших п —«— ). Так как
<2п2 + 5 1 1 .. 2п2+5 0 л
= lim ::— = 2*0, то данный ряд,
I п->оо п1
lim — = lim
г? ' п
так же как и гармонический, расходится.

746
Глава 13. Числовые ряды
Весьма удобным на практике является признак Далам-
бера.
Теорема (признак ДаламбераI. Пусть для ряда 2_jUn с
положительными членами существует предел отношения
(п + 1)-го члена к п-му члену: Нт -^ = /. Тогда, если / < 1,
п->°° Un
то ряд сходится; если I > 1, то ряд расходится; если I = 1, то
вопрос о сходимости ряда остается нерешенным.
□ Из определения предела последовательности следует,
что для любого е > 0 существует такой номер N, что для всех
п > N выполняется неравенство
и„
ип+\
-1\
< г или / - е <
1. Пусть / < 1. Выберем е настолько малым, что число
<7 = / + е<1, т.е. -^-<#или un+{<qun.
ип
Последнее неравенство будет выполняться для всех
п> N, т.е. для
п = JV41, Л/Ч2,...: uN+2 <quN+1, uN+3 <quN+2 <q2uN+1,...,
uN+k < <luN+k-l < .« < ^W+l-
Получили, что члены ряда uN+2 + uN+3 + ...+uN+k + ...
меньше соответствующих членов геометрического ряда
quN+1 + q2uN+1+...+qk~{uN+1+..., сходящегося при q < 1.
Следовательно, на основании признака сравнения этот ряд
оо
сходится, а значит сходится и рассматриваемый ряд 2^ип,
отличающийся от полученного на первые (п + 1) членов.
2. Пусть / > 1. Возьмем е настолько малым, что /-£> 1.
Тогда из условия -п±^->1-е следует, что —^>1. Это
1 Даламбер Жан Лерон A717—1783) — французский математик и
философ.

13.3. Ряды с положительными членами
747
означает, что члены ряда возрастают, начиная с номера N+ 1,
поэтому предел общего члена ряда не равен нулю, т.е. не
выполнен необходимый признак сходимости, и ряд
расходится. ■
Пример 13.9. Исследовать сходимость рядов:
а) - +—+... + — + ...; б) > .
2 22 2п tinn
Решение.
а) Так как lim -^ = lim —-г: — = 1™ = - < t
я-ио ип п-*~у2п+х 2п ) п^оо 2п 2
то
»->~ 2п 2
по признаку Даламбера ряд сходится,
б) Так как lim -Jk^- = lim
гЗп+\п + 1)\,Зпп\л
v (n + l)n+i ' nn ,
= r Зп-Зп\(п + 1)пп
"nl^°(n + l)n(n + lKn n\~
= 31im(-5-T = ? Л>1,
v J lim 1 + -
то по признаку Даламбера ряд расходится. ►
Сравнение рассматриваемых рядов с геометрическими
рядами приводит и к другому признаку сходимости.
оо
Теорема (признак Коши). Пусть для ряда \ип с
положительными членами предел корня п-й степени из
общего члена lim тцп -I. Тогда если I < 1,то ряд сходится; если
П->оо
I > 1,то ряд расходится; если I = 1, то вопрос о сходимости
ряда остается нерешенным.
□ Идея доказательства теоремы та же, что и для
признака Даламбера. Из определения предела
последовательности следует, что для любого е > О существует такой
номер N, что для всех п > N выполняется неравенство
|^-/|<е /-е<^</ + е, откуда (/-е)" <ип <(/ + е)я.
1. Пусть / < 1. Выберем е настолько малым, что число
q = / + £<!, т.е. un<qn. Это означает, что члены данного

748 Глава 13. Числовые ряды
ряда будут меньше членов сходящегося при q < 1
геометрического ряда. Следовательно, по признаку сравнения
данный ряд сходится.
2. Пусть / > 1. Возьмем е настолько малым, что
# = /-£> 1. Тогда un>qn. Это означает, что с ростом п
члены ряда возрастают, и необходимый признак сходимости
не выполняется, т.е. ряд расходится. ■
Пример 13.10. Исследовать сходимость ряда
1-
п=2° V
Решение. Для данного ряда
п
и + 1
и + 1
lim WjT" = Hm т— = - lim
lv 1 11,
= — lim = <1.
3«->~/r л\п з е
Ы
Следовательно, ряд сходится. ►
Замечание. Отметим некоторые особенности
применения признаков Даламбера и Коши:
а) если lim -^- = <*> или lim щип = «>, то ряд расходится;
б) если lim -^ = / = 1 или lim tfu~ = / = 1, то, как отмеча-
лось выше, признаки Даламбера и Коши ответа о
сходимости ряда не дают, и рекомендуется перейти к другим
признакам сходимости, например признаку сравнения рядов
(см. выше) или интегральному признаку сходимости, к
рассмотрению которого мы переходим.
Теорема (интегральный признак сходимости). Пусть
оо
дан ряд V ип, члены которого положительны и не возрас-
тают, т.е. щ>и2>...>ип>..., а функция f(x),
определенная при х>1, непрерывная и невозрастающая и
/0) = щ, /B) = 112, ..., f(n) = un,... A3.13)

13.3. Ряды с положительными членами
749
Тогда для сходимости ряда \ип необходимо и доста-
я=1 .
точно, чтобы сходился несобственный интеграл f(x)dx.
П Рассмотрим ряд 1
2 3 я+1
f/(x)dr+J/(x)dr+...+ f f(x)dx + ... A3.14)
1 2 я
Его и-й частичной суммой будет
2 3 я+1 я+1
5Я = (/(*)<&+[/(*)<&+...+ J f(x)dx= J /(*)<&. A3.15)
12 я я
Сходимость ряда A3.14) означает существование
предела последовательности его частичных сумм A3.15), т.е.
оо
сходимость несобственного интеграла f(x)dx, поскольку
Я+1 оо |
lim5„ = lim | f(x)dx = \f(x)dx. В силу монотонности
Я-*» П->оо J J
1 1
функции/(х) на любом отрезке [и, п +1] /(я) >/(х) >/(и + 1)
или, учитывая A3.13),
un>f(x)>un+l. A3.16)
Интегрируя A3.16) на отрезке [и, и + 1], получаем
я+1 я+1 я+1
| uncbc> | f(x)dx> I un+idx,
i
откуда
ия> $ f(x)dx>un+1. A3.17)
1
оо
Если ряд V ww сходится, то по признаку сравнения ря-
я=1
дов в силу первого неравенства A3.17) должен сходиться
ряд A3.14), а следовательно, и несобственный интеграл
оо оо
\f(x)dx. Обратно, если сходится J f(x)dx9 т.е. ряд A3.14),

750
Глава 13. Числовые ряды
то согласно тому же признаку сравнения на основании
второго неравенства A3.17) будет сходиться ряд
оо
2^ип+\ =и2 + щ + ... + ип + un+i +..., а следовательно, и данный
Я=1 оо
ряд ^ип=щ + и2 + щ+... + ип+...
Отметим геометрический смысл теоремы. Интеграл
jf(x)dx
означает площадь неограниченной криволинеи-
1 L-/<*>
BY п
1 f(n7^
и \ Лп)
ной трапеции под кривой f(x), т.е. площадь криволинейной
трапеции ABCD при п -» оо
(рис. 13.1).
Составим две ступенчатые
к фигуры из прямоугольников с
\ | основаниями единичной дли-
I \ _ f(n_\} ны: ниже кривой f(x) с
высотами /B), /C), ..., f(n)
(показана сплошными линиями)
и выше кривой f(x) с высота-
Т ми/A),/B) /(и - 1) (выде-
лена пунктирными линиями).
Очевидно, что площадь
криволинейной трапеции ABCD
больше площади нижней ступенчатой фигуры, но меньше
площади верхней, т.е.
п
fB)+...+f(n)<jf(x)dx<f(i)+...+f(n-i)
12 3... п-\п
Рис. 13.1
или
п
Sn-f(l)<jf(x)dx<Sn-f(n),
где 5„ = щ + и2 + ...+и„ =/A)+/B)+... + /(и).
Следовательно,
п п
Sn<jf(x)dx+f(l), Sn>jf(x)dx + f(n).
i i
Полученные неравенства означают, что при п —> <*>
последовательность частичных сумм Sn сходится (расходит-

13.3. Ряды с положительными членами
751
ся) тогда и только тогда, когда сходится (расходится) не-
оо
собственный интеграл | f(x)dx. Ш
1
Пример 13.11. Исследовать сходимость обобщенного
гармонического ряда > —.
Решение. Пусть f(x) =— • Функция f(x) при х > О
ха
(а следовательно, и при х > 1) положительная и невозрас-
тающая (точнее убывающая). Поэтому сходимость ряда
%cbc
£ ГОТ
равносильна сходимости несобственного интеграла —.
тх т °}dx ,. cdx 1
Имеем / = — = шп — .
J х<* 6->ooJ xa
Если ос = 1, то J= lim In Ы
Ъ—><»
Если а * 1, то I = lim
6->oo-oc+l
1
= lim(ln|6|-lnl) = oo.
= J_limFi-«_1) =
l-a&->°°v ;
i
при а>1;
а-1
оо при а<1.
Итак, данный ряд сходится при a > 1 и расходится при
ос<1. ►
Замечание. Сравнивая различные достаточные
признаки сходимости для рядов с положительными членами,
можно отметить относительную простоту признаков Да-
ламбера и Коши, которые наиболее часто используются на
практике. Вместе с тем эти признаки, основанные по
существу на сравнении исследуемых рядов с геометрическими
рядами, уступают интегральному признаку сходимости по
его исключительно высокой чувствительности,
позволяющей проводить различие между сходящимися и
расходящимися рядами, даже если члены одного из них лишь
незначительно отличаются от членов другого.

752
Глава 13. Числовые ряды
Например, с помощью интегрального признака (см.
примеры 13.11, 13.35) устанавливается расходимость
гармонического ряда V — или ряда У\——, члены которого
~п ~птп
П-\ 72=2
убывают даже быстрее, чем в гармоническом ряде, в то
время (как можно показать) признаки Даламбера и Коши
и i
дают соответственно lim -^ = 1 и lim щип = 1 и вопрос о
и->°° Un п-*°°
сходимости ряда остается нерешенным.
Недостатком интегрального признака является
сложность вычисления отдельных несобственных интегралов.
Например, для исследования сходимости ряда V —т сле"
довало доказать сходимость интеграла | е~х dx, а это сде-
1
лать непросто, учитывая, что первообразная
подынтегральной функции не является элементарной функцией
(т.е. | е~х dx — «неберущийся» интегралI.
13.4. Ряды с членами произвольного знака
Знакочередующиеся ряды. Под знакочередующимся
рядом понимается ряд, в котором члены попеременно то
положительны, то отрицательны: и{ - и2 + и3 - иА + ... +
+ {-\)п~хип + ..., где ип > 0.
Теорема (признак Лейбница). Если члены
знакочередующегося ряда убывают по абсолютной величине
щ>и2>...>ип >... и предел его общего члена при я —> °о
равен нулю, т.е. lim un = 0, то ряд сходится, а его сумма не
превосходит первого члена: 5<ц.
□ Рассмотрим последовательность частичных сумм
четного числа членов при п = 2т:
52т=(Щ-и2) + (Щ-Щ) + - + (и2т-1-и2тУ
yf%
1 Здесь, правда, можно заметить, что f е~*2 dx < \ е~х dx = — (меньше
1 0
сходящегося интеграла Эйлера — Пуассона (см. параграф 11.7)), т.е.
сходится.

13.4. Ряды с членами произвольного знака 753
Эта последовательность возрастающая (так как с
ростом п = 2т увеличивается число положительных
слагаемых в скобках) и ограниченная (это видно из того, что S2m
можно представить в виде
S2m=u1-(u2-u3)-(u4-u5)-...-(u2rn_2-u2m_i)-u2rn,
откуда следует, что S2m <щ). На основании признака
существования предела (см. параграф 6.5) последовательность
S2m имеет предел Km S2m = 5.
т—>оо
Попутно заметим, что, переходя к пределу в неравенстве
S2m < щ при т -> ©о , получаем 5 < щ.
Теперь рассмотрим последовательность частичных сумм
нечетного числа членов при п = 2т + 1. Очевидно, что
$2т+1 = $2т+а2т+1> поэтому, учитывая необходимый признак
сходимости ряда, Km 52m+1 = Km S2m + Km a2m+1 =5+0 = 5.
Итак, при любом п (четном или нечетном) Km Sn = 5,
т.е. ряд сходится. Рис. 13.2 иллюстрирует сходимость Sn к
числу 5 слева при четном п и
справа при нечетном п. Ш *h ^
Из рис. 13.2 вытекает еще ( из
одна оценка для суммы 5 схо- , , %
дящегося знакочередующего- _j ,.
ся ряда, удовлетворяющего 0 52,54|S6i 555,53
условиям теоремы Лейбница: ц-ч—L_Ъ*—l
при любом т Ц—!—^—L_>i
L* *1
S2m<S<S2m+1. Рис 13#2
Пример 13.12. Исследовать сходимость ряда
1 1 (-If
22 З2 п2
Решение. Так как члены знакочередующегося ряда убыва-
11 1
ют по абсолютной величине 1 > — > —- >... > — >... и пре-
j 22 З2 п2
дел общего члена Km -j = 0, то по признаку Лейбница ряд
сходится. ►

754
Глава 13. Числовые ряды
Замечание. В теореме Лейбница существенно не только
условие lim ип =0, но и условие щ > щ> >... > ип >...
1111 1
Так, для ряда -= =— + -= =—+... + -р=
л/2-1 V2 + 1 л/3-1 л/3-hl V^-l
1
—т=— + ... второе условие нарушено и, хотя limww=0,
v п +1 п->о°
ряд расходится. Это видно, если данный ряд представить
(после попарного сложения его членов) в виде
2 2 ( 1 1 1 ^
2+1+- + ...+—-+... = 2 1 + -+- + ... + —- + ... т.е. «удво-
3 п-\ ^23 п-\ J
енного» гармонического ряда.
Следствие. Погрешность при приближенном
вычислении суммы сходящегося знакочередующегося ряда,
удовлетворяющего условиям теоремы Лейбница, по
абсолютной величине не превышает абсолютной величины первого
отброшенного члена.
П По формуле A3.9) сумму сходящегося ряда можно
представить как сумму п членов ряда и суммы n-то остатка
ряда, т.е. S = Sn +rn. Полагая приближенно S « Sn,
допускается погрешность, равная гп. Так как при четном п n-й
остаток знакочередующегося ряда ww+1-ww+2+-
представляет ряд, удовлетворяющий условиям теоремы Лейбница, то
его сумма гп не превосходит первого члена un+v т.е.
rn<un+i. Так как при нечетном п для n-то остатка ряда
-ип+х + ип+2--» его сумма гп <0, то, очевидно, что при
любом п
\r„\<un+i. ■ A3.18)
Пример 13.13. Какое число членов ряда V -—^— надо
£i n
взять, чтобы вычислить его сумму с точностью до 0,001?
Решение. По условию |rw|< 0,001. Учитывая следствие
теоремы Лейбница A3.18), запишем более сильное нера-
венство |ww+1|<0,001 или ^<0,001, откуда (п + IJ >
> 1000 и п> л/1000 -1, или я > 30,6, т.е. необходимо взять
не менее 31 члена ряда. ►

13.4. Ряды с членами произвольного знака 755
Знакопеременные ряды. Пусть г^ + г/2н-...н-г/„+...
знакопеременный ряд A3.1), в котором любой его член ип может
быть как положительным, так и отрицательным.
Теорема (достаточный признак сходимости
знакопеременного ряда). Если ряду составленный из абсолютных
величин членов данного ряда A3.1)
\щ\ + \и2\ + ...+\ип\ + ... A3.19)
сходится, то сходится и данный ряд.
□ Обозначим S„ и S~ суммы абсолютных величин
членов данного ряда A3.1), входящих в него со знаками
«плюс» и «минус».
Тогда частичная сумма данного ряда 5^=5^-5", а
ряда, составленного из абсолютных величин его членов,
S =S„+S~. По условию ряд A3.19) сходится,
следовательно, существует конечный предел lim Sn = S.
Последовательности 5+ и S~ являются
возрастающими (так как с увеличением п увеличиваются S„ и S~ ) и
ограниченными ( S* < S, S~ < S ), следовательно,
существуют пределы lim S„ и lim S~ , и, соответственно, предел час-
тичной суммы данного ряда Hm5L = lim 5^- \\mS~, т.е.
ряд A3.1) сходится. ■
Следует отметить, что обратное утверждение неверно.
Ряд A3.19) может расходиться, а ряд A3.1) сходиться. На-
1 1 (-1)"
пример, ряд 1 — + —... + -—-— +... сходится по признаку
2 3 п
Лейбница, а ряд из абсолютных величин его членов
11 1
1 + — + — + ...+ — +... (гармонический ряд) расходится.
2 3 п
Поэтому введем следующие определения.
Определение 1. Ряд называется абсолютно
сходящимся, если сходится как сам ряд, так и ряд,
составленный из абсолютных величин его членов.
Определение 2. Ряд называется условно
сходящимся, если сам ряд сходится, а ряд, составленный из абсо-
I лютных величин его членов, расходится.

756
Глава 13. Числовые ряды
Таким образом, рассмотренный выше ряд Y*
абсолютно сходящийся, а ряд V -—-
(-1Г1
условно сходя-
л=1
щиися.
В принципе, различие между абсолютно сходящимися и
условно сходящимися рядами заключается в следующем:
абсолютно сходящиеся ряды сходятся в основном в силу того,
что их члены быстро убывают, а условно сходящиеся —
в результате того, что положительные и отрицательные
слагаемые уничтожают друг друга.
Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов
существенно различаются. Абсолютно сходящиеся ряды по
своим свойствам напоминают конечные суммы, их можно
складывать, перемножать, переставлять местами члены ряда.
Условно сходящиеся ряды такими свойствами не обладают.
Возьмем в качестве примера ряд
1-14-
2 3
1
-+...+
(-1)'
И-1
4 п
+ ... . Переставим члены местами и сгруппируем их
следующим образом:
5 10 12
I 2 4 J C 6 8j
Перепишем ряд в виде
k2 4 J [б 8) [10 12J 2
1 1
._ + _.
2 3
1 1
._ + _.
4 5
-+...
т.е. от перестановки членов ряда сумма его уменьшилась в
два раза.
Можно показать (теорема Римана}), что от
перестановки членов условно сходящегося ряда можно получить ряд,
имеющий любую наперед заданную сумму, и даже
расходящийся ряд (см. пример 13.104).
Риман Георг Фридрих Бернхард A826—1866) — немецкий математик.

13.5. Сходимость ряда. Необходимый признак сходимости 757
ПРАКТИКУМ
13.5. Сходимость ряда.
Необходимый признак сходимости
3 5 7
13.14. Найти сумму ряда — + + + ..., доказав
его сходимость. * "* ^'" 9-16
Решение. Очевидно, что общий член ряда
2п + 1 „
ип ~ ~? 5" • Представим сумму п членов ряда в виде
п (и + 1)
3 5 7
5„ = — + + + ...+
" 1-4 4-9 916
2/7 + 1
п2(и + 1J
4-1 9-4 16-9 (n+if-n2
- + + + ...+- '
1-4 4-9 916
^ДГэДэ'н
и2(п+1J
16
+ ...+
(n + iy
= 1 —
(и+1)
2 -
Так как при /г-»°о последовательность Sn имеет
конечный предел, то ряд сходится, и его сумма
S = lim S„ = lim
1—
1
(п + iY
= 1.
13.15. Используя определение, доказать расходимость
Х°° , 4и + 3
Решение. Найдем частичную сумму ряда
, 7 , 11 , 15
Sn=ul+u2+u3+...+u„_i+u„=\n-+\n— + ln—+...+
. 4(п-1)+3 . 4и + 3
+1п— — + 1п =
4(и-1)-1 4и-1
= \Jl 11 11 4w-l 4/7+3^ ,4/7+3
V3 7 11 n-5'4n-lJ~ П 3 '

758
Глава 13. Числовые ряды
ибо сумма логарифмов нескольких чисел равна логарифму
их произведения. Теперь lim Sn = lim In = ©о, следова-
П—>оо П—>«> 3
тельно, данный ряд расходится. ►
13.16. Проверить выполнение необходимого признака
сходимости и, если это возможно, сделать вывод о
сходимости (расходимости) ряда:
1
4^ 6>!г5т
п +
п
Решение.
а) Найдем предел общего члена
lim un = lim
lgrc Г~1
1пя + 2 L00]'
Для вычисления предела отношения двух бесконечно
больших функций натурального аргумента правило Лопи-
таля непосредственно применять нельзя, ибо для таких
функций не определено понятие производной. В связи
с этим, применяя теорему о «погружении» дискретного
аргумента п в непрерывный} х, получаем
1
lim un = lim —-— = km t , = lim —-— = Ф 0,
7?->oo ^->oolnx + 2 *-»ооAпх + 2) *->«> j_ In 10
x
следовательно, ряд расходится,
б) Найдем
1 1
п+- -
л v 1. п П 1- ПП-Пп
А = lim ип = lim = lim
П—>«> П->оо ( А \И Я-»оо / А
п"|1+-2
п
HI
1 Согласно этой теореме если lim /(#) существует и равен А (А
может равняться нулю или бесконечности), то lim f(x) также суще-
ствует и равен А.

13.5. Сходимость ряда. Необходимый признак сходимости 759
= lim
П—>оо
,. Пп
т = !™ — =
(-1
» I
^¥ = iimlHzl=0)
^ в J л->оо я
1 j_
= Нт|-Г=1*0 (ибо In A = In lim - Г =
w->°°l e ) n->ool # I
1
= lim In
в этом можно убедиться, например, применив правило Ло-
питаля). Итак, lim ип Ф 0, т.е. данный ряд расходится. ►
П—>оо
Написать в простейшей форме общий член ряда:
_. 4 7 10 13 лв%ло 3 8 15 24
13.17. - + - + —+— + ... 13.18. - + — + — + — + ...
3 4 5 6 5 10 17 26
Найти частичную сумму ряда Sn . В случае сходимости
ряда найти его сумму S:
.о.л 3 3 3 3
13.19. -+-+-+—+.
2 4 8 16
1
Y 1
13'Ж t?(rc + 2Hz + 3)
13.21. — + + ...+■
13 2-4 п(п + 2)
13.22. X
13.23. £
^(Зя-2)(Зп + 1)'
6и + 1
;£(Згг-1J(Згг + 2J
13.24.
finfl^Y
я l5*+2J
Проверить выполнение необходимого признака
сходимости и, где это возможно, сделать вывод о сходимости
(расходимости) ряда S:
п=\
13.27. X
ЮОи-1
W4n2 +1
£tJn+50
3 5/г^-З
13.28. 2
n=l
2n + l
2n-3

760
Глава 13. Числовые ряды
13.29. У sin-|^-. 13.30. У я1п-^-.
13.6. Сходимость рядов
с положительными членами
13.31. С помощью признаков сравнения исследовать
сходимость рядов:
л V • * *ч V- 4w3+5
а) > sin— ; о) >—о т \
Я 2 S(»2 + D2
в) 2, " J г) 2_п\еп -if
Решение.
а) Очевидно, что задан ряд с положительными члена-
71 л ^ л 71 71
ми, так как sin—>0, ибо аргумент синуса U< — <— при
2 2 £
любом п. Так как члены данного ряда меньше членов схо-
1 л
дящегося геометрического ряда со знаменателем q = - < 1,
т.е. sin— < — (ибо при 0 < х < — sinx < х ), то данный ряд
2п 2п 2
сходится.
б) Если общий член ряда представляет собой
отношение двух многочленов относительно п, то вопрос о
сходимости ряда полностью исчерпывается сравнением его с
«эталонным» рядом A3.12), где показатель а равен
разности степеней знаменателя и числителя. В данном случае
числитель — многочлен третьей степени, а знаменатель —
четвертой, следовательно, а = 4-3=г=1,и надо сравнивать
данный ряд с гармоническим. Применяя предельный
признак сравнения, находим
'4/145 О -"-3
lim — = lim
у(пг+1)г п;
я->~ (и2+2J
= lim -L = 4*0,
п2 пл

13.6. Сходимость рядов с положительными членами 761
т.е. данный ряд, как и «эталонный» гармонический,
расходится.
в) Представим общий член ряда в виде
>Jn + l-yJn
1
П n(>jn + l+yjn)'
Применим предельный признак сравнения. Так как
при больших значениях п выражение в скобках
\ln + l + yfn~ l4n, а знаменатель выражения общего члена
з
ип ~n-2yfn = 2n2, то в качестве «эталонного» ряда
целесообразно взять ряд A3.12) при ос = —. Так как предел
отношения общих членов двух рядов
lim — = lim
,1/2
1
1
= lim
п
"-»~vn+T + vn "->
n(-Jn + i + Jn)' П3/2
1 \_
2
= lim
F
V п
+ 1
есть конечное число, не равное нулю, то данный ряд, так
же как и «эталонный», сходится.
г) Заметим, что при п -»©о бесконечно малая еп -1 эк-
1
вивалентна —» (см. параграф 6.9 ). Это означает, что при
п
больших значениях п общий член ряда ип будет приближен-
41 f 1
но равен п —г- = —^, т.е. в качестве «эталонного» можно
уп6) п1
взять сходящийся ряд A3.12) при а = 2 > 1. Так как
lim^-= \im(n\en3 -1J: Дг)= lim
'1Л
кп3 j
2\
= 1*0,
то данный ряд, как и эталонный, расходится. ►

762
Глава 13. Числовые ряды
13.32. С помощью признака Даламбера исследовать
сходимость рядов:
4 4-7 4-740
2l) - + + + ...'
; 2 26 2-6-10
~ Т+Зп ч 2 24 29 Т1
б) 2^—;—;в) -+—^+—т+...+—7+....
гс!
W
п=1 ... 1! B!J (З!J
Решение.
а) Общий член ряда имеет вид
^ 4-7-10...(Зп+1)
U" 2-6-10 ...Dя-2)'
4-7Ю...(Зя+1)(Зя+4)
Тогда и„., = — и
"+1 2-6-10 ...Dя-2)Dя+2)
limiVtl=lim^±4 = 3<1>
я->~4я + 2 4
т.е данный ряд сходится
б) Найдем ип+1 =
7"+1+3"+1
. Тогда
lim^d=lim
(я + 1)!
я-»оо и.
и
(я + 1)!
я!
7И+1 , ОЯ+Ь
7"
-Вт*7 +3 >"'=lim
»->~(я + 1)!Gя+Зя) "^~
7 + 3
И!
я!(я + 1Oя
1+
.я Л
= Нт
«-><*> п +1
= 0<1
(ибо (я + 1)! = я!(я + 1), a lim -
Я-»оо1 7
в) Так как
•V
= 0 ), т.е. ряд сходится.
lim^±=lim
( 2("+1J
2п
,2 Л
2 * ,
((я+1)!)' (я!>
У
,. 2<"+1> -(п!J
= hm у ,
п^~((я + 1)!J-2"
,. 2" -2^+1(и!) ,- 2
= lim -——г = lim —
2л+1
Чи!J(я+1J-2 "^~(я + 1J

13.6. Сходимость рядов с положительными членами 763
то ряд расходится. ►
1000"
13.33. Доказать, что lim = 0.
Решение. Рассмотрим ряд 2ип с общим членом
1000"
и„=-
Так как
и=1
П\
lim ^= lim
^lOOO^1.1000я
(гг-hl)! ' п\
1000"+1гг!
/
= lim-
я-^(п + 1)!-1000я
У 1000 Л 4
= lim = 0 < 1,
Я-»«> П + 1
то по признаку Даламбера этот ряд сходится;
следовательно, в силу необходимого признака сходимости
1000"
lim un = lim = 0. ►
13.34. С помощью признака Коши исследовать
сходимость ряда:
оо / . \П(п-\) оо / ч**3
а)
оо / л \П(П—1) оо / \П
Решение.
а) Найдем
lim ?/мя = lim ?l|
ji(*-1)
= lim
—1 =м
я+lj L J-
я-1 (я + 1)-2 . 2
Так как г = ~— =1 г, то
п+\ w+1
w + 1'
lim ^w^ = lim
1-
_w+l
2 ^ 2
w + 1
-2(^-1)
w+1
= e 2=-т<1,
следовательно, ряд сходится.

764
Глава 13. Числовые ряды
б) При а = О ряд V(cosO)" =l + l + ... + l + ... расходится,
так как не выполнен необходимый признак сходимости.
При а Ф О данный ряд в зависимости от значения а будет
содержать как положительные, так и отрицательные
члены. Однако, начиная с некоторого п> — < —, и все члены
\п\ 2
ряда положительны, т.е. cos— > 0. Если отбросить конечное
п
число отрицательных членов этого ряда, он станет
знакоположительным. Отбрасывание конечного числа членов ряда
не влияет на его сходимость или расходимость (см.
параграф 13.1), следовательно, к этому ряду можно применить
признак Коши. Найдем
/ = lim min = lim m cos—
= lim cos— I =
= Гг1=1ш1 1-sin2-
L J я_»оо1 п
2<2 J
Полагая — = г/, откуда и = —, получаем
П У 2 2
я a sur у
1
/ = lim(l~sin2z/W2 =lim
(l-sin2*/)
sin2 у
2/
= е 2 <1
(ибо lim
sinz/ 1 ,2 л ч
—^- = г = 1), т.е. ряд сходится. ►
. у )
13.35. С помощью интегрального признака исследовать
°° 1
сходимость ряда У —— .
Yl—L л
Решение. Функция f(x) - —— при х > 1 является по-
ложительной и убывающей. Найдем
\ь
dx ,. rd\nx ,. , и |
= lim =J!im"ч*!
ixlnx b^ooJ \nx 6-><
2 2
= Hm(lnln6-lnln2) = oo,
следовательно, ряд расходится. ►

13.6. Сходимость рядов с положительными членами 765
13.36. Исследовать сходимость ряда:
1 ^ ^ 1
*>Xi
6O-
Решение.
а) Применим признак Даламбера:
( \
lim ^= ton I
«->°° U» W->«>
1
1
In (я+ 2) 1п(я + 1)
1п(я + 1)
= lim
= 1,
т.е. вопрос о сходимости ряда остается открытым.
Тот же результат получится при использовании
признака Коши. Проверим выполнение необходимого
признака (с этого можно было начать исследование):
lim ип = lim —— = 0, т.е необходимый признак выпол-
я->оо и->оо1п(я + 1)
нен, но вопрос о сходимости ряда по-прежнему не решен.
Для исследования сходимости данного ряда не
применим и интегральный признак, так как исследование сходи-
г г dx
мости несобственного интеграла —- затруднитель-
J ln(x-i-l)
но, поскольку первообразная подынтегральной функции
не является элементарной функцией (т.е. соответствующий
неопределенный интеграл — «неберущийся»).
Применим признак сравнения в более простой
предельной форме. Сравним данный ряд, например, с
гармоническим:
lim — = lim
П^>ооХ)
1
1
1п(я + 1) п
= lim — :
я-»оо1п(я + 1)
т.е. ответа о сходимости ряда нет.
lim —- = 0 или lim — = <■
n-*<*>V„
n-**>V„
на-
Аналогичная картина
V ■ -п • ■ -п )
блюдается и при использовании других «эталонных» ря
дов (см. параграф 13.3). Применим, наконец, признак
сравнения в обычной форме. Сравним данный ряд с тем
же гармоническим рядом, у которого отброшен первый
член: Т + Т + — + г + - Так как члены рассматриваемого
2 3
я + 1

766
Глава 13. Числовые ряды
ряда больше членов расходящегося гармонического ряда
,1111 , 1 1
(-— > —, -— > — и вообще — > -, что вытекает
vln2 2 1пЗ 3 1п(я + 1) (я + 1)
из очевидного неравенства 1пх<х), то данный ряд
расходится.
б) В силу определения п\<пп и, соответственно, In (n\) <
1 1
< \ппп или ln(n!)< ninny а значит —-.—г>—;—. Ряд
т(п\) птп
\ расходится (см. пример 13.35), следовательно, по
^2п\пп
признаку сравнения данный ряд расходится. ►
С помощью признаков сравнения исследовать
сходимость рядов:
13.37.У^-. 13.38. f-^-.
£Зи2-5 ^Зи3 + 11
«л.ХттЧт- 13-40-Хтг
13.40. Ytg-^-. 13.42. -Л+—Ц-+-^Т+—^Т+-••
£ п + 2 1-2 3-23 5-25 7-27
оо , оо
13.49. Хг?, , Л- 13.50.2
n=lVn ln(n + l) n=l
~W4n(n + l)
13.51. Xsin~^' 13-52- Х^ !-cos— •
„=1 5П+П я=1
Исследовать сходимость рядов с помощью предельного
признака сравнения. В качестве эталонного ряда рассмот-

13.6. Сходимость рядов с положительными членами 767
реть ряд с общим членом vn= — . В ответе указать также
п
подходящее значение а:
2п2-7п + 10
13.53. £
я=1
Зя5 + 10я-12
13.54. £рЫ*Е
i7n3+Vn8 + 10
13.55.Y/W;+VW+1U. 13.56. У—
13.57. ]Tln
я=1
1+
п3 + 7
3"+1
13.58. £tg-^
«=i v«-3
13.59. X
,1/»
-1
п=\
13.60. X
arcsin
л=1
V
С помощью признака Коши исследовать сходимость
рядов:
13.63. X
аь-(»+1)-
Зи2-1
п=1 3"
С помощью признака Даламбера исследовать сходимость
рядов:
13
2и
13.68. 2шё ой •
13.65. 2-
п=1
~ „2
5"+ 12
и2+1
и3-5'
- 2"
13-72. £^
S2"+«
13.67. ^
х^ и!
13.69. 2—г.
оо П
13.71. У^-.
Я»'
13.73. 1^

768
Глава 13. Числовые ряды
13-74. £-
п\
13.76. Х|
оо
13.78. X
£?5"+я<
f2n + l
л=1
5n + 4
ln(ra + 2)
13.75. 1^|.
^f3n + 2 "
■г**
13.79.
Yf2n-1Y
13.80. Ysin-^-
Л=1
4"+е"
13.81. Хи( 1-cos—
л=1
С помощью интегрального признака исследовать
сходимость рядов:
13.82. У -—-J——-. 13.83. У,—^
„=2П$1п5п
13.84. У^.
Исследовать сходимость рядов:
13.85. У^ -. 13.86. У
<» 2 л
лп т ^ Я +Я-1
13.87. 2^
1J
2w-l
~[rf-n + 3
13.88.
1 1 1
+ -о +-S + •
13.89. X—.
п=1 э
13.90. X
32-1 ' 52-1 ' 72-1
пч]п+1
^Зп2-15'
13.91. Хт^т. 13.92. £■
13.93. X
п2 + 12п
Й^и8 + и3 + 2
10"
п=2 И\1п П
°° „50
13.95. У ^-
^ о"
п=1 л
13.94. У—- .,.
£tl2n+nz
13.96. У^^-
Й(Зя + 1)"
13.97. tg- + 2tg- + 3tg- + 4tg- + ...

13.7. Сходимость рядов с членами произвольного знака 769
п\
13.98. У^
оо
13.100. £sinW«.
и=1
13.101. £ln
л=1
1+-
4"
иD"+1)
13.99. У sin—.
п=1 *
13.102. £|
п=1
2w-l
2и + 5
ч3я
13.7. Сходимость рядов с членами
произвольного знака
13.103. Исследовать сходимость ряда:
,(-l)V . ^(-lflnn
2п-1
* 2» 6) ^
я=1 /П +6 п=\
-И) COS— ~ /j4»
*>Х ,2^3; г) Х- ;
п2 + \
„=2Vw+(-i)"
и=1
Решение.
а) Предел общего члена ряда
lim ип = lim -—£ = lim -
я->«> я-»*» У/2 + 3 и->°° 7 3
°> так как знамена-
га и
тель дроби стремится к нулю, а числитель колеблется,
принимая значения 1 (при четном п) и -1 (при нечетном п).
Следовательно, необходимый признак сходимости не
выполнен, и ряд расходится.
б) Так как члены знакочередующегося ряда, начиная со
второго, убывают по абсолютной величине:
1п2 1пЗ 1пя
> >... > >...
3 5 in^~l
и предел общего члена lim = 0 (это можно устано-
w->oo2/z-l
вить, например, с помощью правила Лопиталя), то по
признаку Лейбница ряд сходится. Ряд V пп , составленный
~2п — 1
я=1

770
Глава 13. Числовые ряды
из абсолютных величин членов данного ряда, расходится,
так как его члены больше соответствующих членов
расходящегося гармонического ряда, умноженного на -,
Inn 1 1 ^ 2
т.е. > > —. Следовательно, данный ряд ус-
2п - 1 2п - 1 2п
ловно сходящийся.
в) Ряд, составленный из абсолютных величин членов
данного ряда, сходится, так как его члены меньше
соответствующих членов сходящегося ряда A3.12) при а = 2 > 1,
т.е.
(-1) COSy
п2 + 1
<——<—-. Следовательно, данный ряд
и2 + 1 п1
сходится, и притом абсолютно.
г) Представим общий член ряда в виде
^ + Н)" (^J-[(-1)"]2 "-1 "-1 "-1
(здесь учли, что (-1) = (-1) =1, и формулу разности
квадратов).
Ряд У -— сходится условно по признаку Лейбни-
ца, а ряд у гармонический — расходится, следова-
п=2
тельно, данный ряд расходится.
13.104. Доказать, что если в ряде
1—L+J—L+J—L+ | (-1)"1
Л 7з Vi л/5 Ve ' ^
переставить члены таким образом, чтобы за тремя
положительными следовал один отрицательный:
A+J_+J LV(—+—+— -1+ (*)

13.7. Сходимость рядов с членами произвольного знака 771
то полученный ряд с общим членом ип =
j 11 л/6я-5
1 ill
Решение. В силу того, что , + . >—= + —=>
у/бп-3 у/бп-1 у/вп yj6n
Si 1 1 1 А 1
>-р=г = -т=,т.е. , + ,—г=>0 и ип>-
Sn Sn' у/бп-3 >/бя-1 Sn n V6rc-5 '
ряд (*) с положительными членами расходится по
признаку сравнения, ибо его члены больше членов расходящего-
2
13.105. Сколько членов ряда
ся при ос = - ряда A3.12), умноженного на —j=. ►
V6
у (-1)п2п 2 { 4 6_+ 8
~Dn + lMw 5-51 9-52 13-53 17-54
надо взять, чтобы найти его сумму S с точностью до 0,001?
Вычислить S.
Решение. С помощью признака Лейбница (аналогично
примеру 13.103, б) нетрудно убедиться в том, что ряд
сходится. В соответствии с неравенством A3.18) погрешность
гп при замене суммы S сходящегося знакочередующегося
ряда суммой Sn его первых п членов, т.е. Sn = -0,0800 +
+ 0,0178-0,0037+0,0008-...+ * ' П , не будет
превосходи +1M"
дить первого отброшенного члена: |г„|<м„+1. Так как
\гп\<Щ= 0,0008 < < 0,001, то для обеспечения заданной
точности необходимо взять п = 3 члена ряда, т.е. сумма ряда
S « 53 « -0,0800 + 0,0178 - 0,0037 = -0,0659 « -0,065
(округляем с недостатком, так как щ > +0,0005 ). ►
Исследовать сходимость ряда (для сходящегося ряда
с членами произвольного знака установить, сходится он
абсолютно или условно):
13.106. У^-Лт- 13.107. Y, 3' ■

772
Глава 13. Числовые ряды
13.108. ±£$±.
оо
13.109. X
(-if я
п3 + 2
оо
13.111. £
£1 п +4 '
(-з)и
n=iDn + l)"
оо
13.112. £
("О'
l£Jn5+7'
13.ИЗ. Хтт^
£? 4"+7 £ п3 + 1
^,Bи-1)(-1)"+1 ^ (-3)"
13.116. У} л„ } . 13.117. У V „ .
£ 4й fflO-я.З"
оо
13.114. X
(-1)"-2и
„егю-п-з"
~ (-l"+V + 7) Л (-1J ^' + 1J
13.И8. У ; v, ;. 13.И9. У . / с .
13.120. У ^ . ««< ^ 3.
£ "" + 2
13.121. £-
13.122
£х 2>/и3 + 1
оо 2 оо
13.124. ]£(-l)wnln-^. 13.125. £я
- arcsin
'ИГ4
V )
Определить, сколько членов ряда надо взять, чтобы
числить его сумму с точностью до 0,0001*
вы-
13
.126. JT
(-if
Lw+1
оо / 4\П+1
13.127. У^^-
Я и+2
'(-II
13.128. X / , • 13.129. У-
ж-iVir + l £?
И)
,W+1
я!
13.130. У^—
и=1 Э
(-iyv
5я п!

Контрольные задания-
773
Найти (с точностью до 0,00001) сумму ряда. Сколько
членов ряда следует взять, чтобы гарантировать требуемую
точность?
13.131. У ±-У—. 13.132. У lliL_.
и?'»1 ЙB«)!2"
оо /_4\Я+1
13.133. Зная, что сумма ряда1 У"-—-— = 1п2, найти
суммы рядов: и=1 п
ч , 1 1 1 1 1 1
а) 1 + + —...;
' 2 4 3 6 8 5
^ч . 1 1 1 1 1
б) 1+ +-+ + ...
' 3 2 5 7 4
Контрольные задания по главе 13
«Числовые ряды»
№
1
2
3
4
Вариант 13.1
Вариант 13.2
Вариант 133
Найти сумму ряда:
ШъГ^'ъ^)
±U U
у р U I
Исследовать сходимость рядов:
Y 3"и!
n=l(n + l)
h 6n6-14
и=1 о
у и2+3
У^—
„ti5n-ll
оо пЯ
У—
у 2" -и!
2- „л+2
и=1 "
оо л
y_J_
„=1я1п3я
1 Указанное значение In 2 может быть получено по формуле A4.18)
гл. 14 при х = 2.

774
Глава 13. Числовые ряды
№
5
6
7
Вариант 13.1
Вариант 132
Вариант 13.3
Определить, какие из приведенных рядов являются
сходящимися, а какие — расходящимися. Для сходящихся рядов указать
тип сходимости:
у(-1)пи5
y(-l)w+1./i3
л=1 л/и8+10
к з«+и
у (-1)"
^и4+Зп2+1
у(-1)"+1-7"
Д 7й+2-5"
у(-1)"и3
^«4+3"
Выяснить, сколько членов ряда надо взять, чтобы вычислить его
сумму с точностью до 0,0001:
оо / 4\Я+1
;£3n4+i
во / 4\Я+1
у v_1J
£п5-10
у(-1)я+1и
^2П6+1ПП
Тест 13
1. Закончить утверждение. Ряд называется
сходящимся, если:
1) последовательность его частичных сумм имеет
конечный или бесконечный предел;
2) предел общего члена ряда равен нулю;
3) последовательность его частичных сумм имеет
конечный предел;
4) предел модуля общего члена равен нулю;
5) последовательность его частичных сумм является
бесконечно большой.
2. Дан сходящийся ряд. При отбрасывании нескольких
его ненулевых членов:
1) ряд останется сходящимся и его сумма не
изменится;
2) ряд останется сходящимся и его сумма изменится;
3) ряд станет расходящимся;
4) ряд останется сходящимся и его сумма обязательно
уменьшится;

Контрольные задания...
775
5) не зная членов ряда, ничего нельзя сказать о
сходимости или расходимости нового ряда.
3. Из данных рядов выбрать сходящиеся:
4. Найти соответствие между числовыми рядами и
утверждениями:
а) Л, ~7~\ 1) limww = l, ряд расходится;
я=1 П + А п-*~
оо g
6) 2-J-; 2) limun=ooy ряд расходится;
в) V ; 3) lim un = 0, для ответа на вопрос
о сходимости ряда требуется
дополнительное исследование;
г) V—« • 4) lim un = 0, ряд сходится.
оо
5. Для каждого из данных рядов 2^ип указать такое
*=i !
значение а, что для ряда с общим членом aw = — выпол-
па
няется условие предельного признака сравнения: суще-
и
ствует lim — = ky k*0, кф°°. Сделать вывод о сходимо-
сти исходного ряда A — сходится; 2 — расходится):
Зя-7 ^ ^ Зя-7
п=\п2+у1п2+7 t?in4n2+7
5п
6. Для ряда 2^ип с членами м„ = найти
/ = lim —^ и на основании этого сделать вывод о сходи-
мости ряда A — сходится, 2 — расходится, 3 — требуется
дополнительное исследование).

776
Глава 13. Числовые ряды
7. Пусть V ип — положительный ряд и / = lim -^.
Выбрать верные окончания утверждения. Существует
такой положительный ряд ]>^ип> у которого:
1)/-0,1и limww=l; 2)/=1и limww=0;
П—>оо Я—»оо
3) / = 2 и lim ww бесконечен; 4) / = 0 и lim ww = 0.
8. Для ряда V , — указать тип сходимости
~Зя4-15
A — абсолютная сходимость, 2 — условная сходимость,
3 — расходимость).
9. Сколько членов ряда / ~- надо взять, чтобы
вычислить его сумму с точностью до 0,00005?
10. Указать наиболее точную оценку для суммы S ряда
Х(-1) я.
2я
1H<5<|;2)|<5<|;3)|<5<|;
4H<5<±.

Глава 14
СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ КУРС
До сих пор рассматривались ряды, членами которых
были числа, т.е. числовые ряды. Теперь перейдем к
изучению рядов, членами которых являются функции, в
частности, степенные
c0 + CiX+c2x2+...+cnxn+... A4.1)
Такие ряды называются степенными, а числа с0, q,..., сп —
коэффициентами степенного ряда.
14.1. Область сходимости степенного ряда
Совокупность тех значений х, при которых степенной
ряд A4.1) сходится, называется областью сходимости
степенного ряда.
Пример 14.1. Найти область сходимости степенного
ряда 1+*+*2+...+**+...
Решение. Данный ряд можно рассматривать как
геометрический ряд со знаменателем рх, который сходится
при |^| = |л:|<1. Отсюда -1<х<1, т.е. областью сходимости
является интервал (-1; 1). ►
Структура области сходимости степенного ряда
устанавливается с помощью теоремы Абеля.
Теорема Абеля.11. Если степенной ряд сходится при
значении х = х0*0 (отличном от нуля), то он сходится
и притом абсолютно, при всех значениях х таких, что
Абель Нильс Хендрик A802—1829) — норвежский математик.

778
Глава 14. Степенные ряды
\х\ <\х0\. 2. Если степенной ряд расходится при х = х1у то он
расходится при всех значенияхх таких; что \х\ >\xt\.
□ 1. По условию ряд A4.1) сходится при х = х0 * О,
следовательно, выполняется необходимый признак
сходимости lim ип = lim chXq = 0. Отсюда следует, что последова-
тельность \спх%\ ограничена, т.е. существует такое число
М > 0, что для всех п выполняется неравенство
A4.2)
Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин
оо
членов ряда A4.1), т.е.ряд 2jcnxo > который представим в
виде
к*о <м-
и=0
Ы + |СЛ)|
+ ...+\спх0
+ ...
A4.3)
Члены ряда A4.3) согласно неравенству A4.2) меньше
соответствующих членов ряда
м+м\—
X
Xq
+ ... + М
X
Xq
+...,
представляющего геометрический ряд, который сходится,
х
когда его знаменатель q ■
Хг\
<1, т.е. \х\ < \х01,
следовательно, на основании признака сравнения ряд A4.1) сходится.
2. По условию ряд A4.1) расходится при х-хх.
Покажем, что он расходится для всех х, удовлетворяющих
условию y^xj. Предположим противное, т.е. при |*|>|*i|
ряд (±4.1) сходится. Тогда по доказанному выше он должен
сходиться и в точке хх (ибо
/б^^/С^ся W<M), что противоречит
-|*iH*ol 0 |*oll*il
условию. Таким образом, для
всеххтаких,что |;d>|#i|, ряд
сходится ^р^тся A4.1) расходится,
Из
-R 0 R
Рис. 14.1
теоремы Абеля
(рис. 14.1) следует, что
существует такое число R > 0, что

14.1. Область сходимости степенного ряда 779
при |х|<Л, или xe(-R;R)y ряд сходится, а при \x\>R —
расходится.
Число R получило название радиуса сходимости, а
интервал (-#; R) — интервала сходимости степенного ряда.
На концах интервала сходимости, т.е. при х = -R и х = R
ряд может как сходиться, так и расходиться (см. рис. 14.1).
□ Найдем выражение радиуса сходимости степенного
ряда A4.1) через его коэффициенты. Рассмотрим ряд,
составленный из абсолютных величин его членов
|со| + |С1Х| + К* | + - + ki*|+ •» у
A4.4)
в котором все коэффициенты сп, по крайней мере, начиная
с некоторого номера п, отличны от нуля. По признаку Да-
ламбера ряд A4.4) сходится, если
lim
Чн-1
ц.
= lim
п-><*>
сп+1х
спх"
= \х\ lim
П->оо
Сп+\
будет меньше единицы, т.е.
Ы lim
"W+1
< 1 или \х\ < lim
'п+\
Если этот предел существует, то он и является
радиусом сходимости ряда A4.1), т.е.
#=lim
'n+l
A4.5)
Аналогично можно было получить формулу радиуса
сходимости с помощью признака Коши:
R =
1
lim ?/|C,
A4.5')
Наряду с рядами вида A4.1), рассматриваются также
степенные ряды более общего вида
с0+с1(х-х0) + с2(х-х0J+... + сп(х-х0)п +... A4.6)

780
Глава 14. Степенные ряды
Для таких рядов радиус сходимости находится по той же
формуле A4.5), или A4.5'), а интервал сходимости из
условия |х-х0|</?, т.е. имеет вид (x0-R;x0 + R).
Замечание. Следует отметить, что у некоторых рядов
интервал сходимости вырождается в точку (R = 0), а у
других охватывает всю ось Ox (R = «>)•
Пример 14.2. Найти область сходимости степенного
ряда
Тхп
А 2х \х1
1+ 0 г-+ = + ... + -
Bи + 1Jл/3*
+ ...
з27з 5Чз2
Решение. Найдем по формуле A4.5) радиус сходимости1
ряда
#=lim
Сп+1
= lim
Т
г>Я+1
Bn+lJyl¥'[2(n+l)fsfy*
= S HmB»+3J =y/3
~ 2 «™Bи + 1J 2 '
т.е. интервал сходимости ряда
2 ' 2
Теперь выясним поведение ряда на концах интервала
и л/3
сходимости. На левом конце при х = данный степен-
ной ряд принимает вид 1—7+-J--+ — 2"
З2 52 "■ Bя + 1J
+ ...; этот
ряд сходится по признаку Лейбница. На правом конце при
>/3 11 1
* = — получаем ряд l + T^ + ^o+•••+——I3+-» пРеД"
I 3 5 Bп + 1)
ставляющий обобщенный гармонический ряд A3.12) при
1 Заметим, что радиус сходимости ряда мог быть найден и по форму-
леA4.5'): # =
lim^l'
lim
\Bn+lJ
r = — limBn+l>=—,
It
ибо применяя формулу (8.3') (см. параграф 8.2), получаем
НтBи+1)"=[оо°] = еЛ
= еи = 1.

14.1. Область сходимости степенного ряда 781
а = 2, у которого все члены с четными номерами равны
нулю. Так как а = 2 > 1, то этот ряд сходится.
Следует отметить, что сходимость ряда на левом конце
л/3 .
интервала сходимости при х = могла быть
установлена с помощью достаточного признака сходимости
знакопеременного ряда (см. параграф 13.4), так как ряд,
составленный из абсолютных величин его членов, т.е. ряд
> =■ сходится.
Итак, область сходимости данного ряда ; —
Замечание. При исследовании сходимости на концах
интервала сходимости для получающегося ряда с
положительными членами применять признаки Даламбера или
Коши не имеет смысла, так как в этом случае всегда будем
получать lim
*п+\
= 1 = 1 либо lim^M~ = / = l с
нерешенным вопросом о сходимости ряда. В этом случае
рекомендуется рассматривать другие признаки сходимости
(например признаки сравнения, интегральный, необходимый
и др.).
Пример 14.3. Найти области сходимости степенных
рядов:
х2 х3 хп
а) 1 + х+ —- + — + ... + — + ...; б) \ + х + 22х2+... + ппхп+...
2! 3! п\
Решение.
а) По формуле A4.5) радиус сходимости ряда
Д=Шп
= lim
п—►<»
(Я+ 1I
= lim (п +1) = ©о, т.е. область схо-
\Сп+\\ я"-*°°1 П* I п~*°°
димости ряда (-°°; + оо).
б) Данную задачу можно решать аналогично
предыдущим. Решение упрощается, если заметить, что при хфО
lim ип = lim ппхп * О, т.е. необходимый признак сходимости
не выполняется, и ряд расходится.

782
Глава 14. Степенные ряды
Итак, область сходимости ряда состоит из одной точки
х = 0. ►
Пример 14.4. Найти область сходимости ряда
оо
£Cх) =l+3x+3V+3V+...
Решение. Найти радиус сходимости по формуле A4.5) в
данном случае не представляется возможным, так как
коэффициенты ряда с2,с3,с5,с6,с7,с8,с10 и т.д. равны нулю.
Поэтому непосредственно применим признак Даламбера.
ип+\\
Данный ряд будет сходиться, если lim
Un+\
диться, если lim
н„
<1, и расхо-
> 1. Поэтому найдем
lim
П—>°°
*72+1
= lim
(З*I
(п+1У
(Зх)"
n^J ' [0, если |3л:|<1.
Следовательно, ряд сходится при — < х < -, или на ин-
[-щ
тервале
Исследуем сходимость на концах интервала сходимости.
1 °° 2
При х-— ряд принимает вид V(-l)w =1-1 + 1-1 + ...,
а при х = - —вид ^[V-iy2 =1 + 1+1+1+..., т.е. оба ряда рас-
3 /2=0
ходятся, так как не выполняется необходимый признак
сходимости.
( 1 О
Итак, область сходимости ряда —;— . ►
V 3 3/
Свойства степенных рядов. Пусть функция f(x) явля-
оо
ется суммой степенного ряда, т.е. f{x) = ^cnxn. В
подробно
ных курсах математического анализа доказывается, что
степенные ряды по своим свойствам напоминают конеч-

14.2. Ряды Маклорена и Тейлора
783
ные суммы (многочлены): па любом отрезке [а, 6], целиком
принадлежащем интервалу сходимости (-/?; R)y функция
f(x) является непрерывной, а следовательно, степенной
ряд можно почленно интегрировать на этом отрезке:
ъ ъ ъ ъ
\f(x)dx= \c0dx+ \cixdx + ...+ \cnxndx + ... A4.7)
a a a a
Кроме того, в интервале сходимости степенной ряд
можно почленно дифференцировать:
/'(*) = q + 2с2х + Зс3х2 +... + пспхп~Х +... A4-8)
При этом после интегрирования или
дифференцирования полученные ряды имеют тот же радиус сходимости R.
14.2. Ряды Маклорена и Тейлора
Предположим, что функция f{x), определенная и п раз
дифференцируемая в окрестности точки х = О, может быть
представлена в виде суммы степенного ряда или, другими
словами, может быть разложена в степенной ряд
f(x) =zc0 + ctx + с2х2 + с3хъ + с4хА +... + спхп +...
Выразим коэффициенты ряда через f(x). Найдем
производные функции f(x), почленно дифференцируя ряд п раз:
/'(*) = с\ + 2С2Х+З^з*2 + 4с4х3 +... + пспхп~х +...;
/"(*) = 2с2+3 • 2с3х+4 • Зс4х2 +...+п (п - \)спхп~2 +...;
f'"(x) = 3 2c3 + 4-3 2cAx+... + n(n-l)(n-2)cnxn-3 + ...)
f(n\x) = n(n-l)(n-2)-3 22cn + ...
Полагая в полученных равенствах х = 0, получаем/@) = с0,
/,@) = с1,А0) = 2.1.с2 = 2!с2,Г/@) = 32сз = 3!сз,...,/(")@) =
- п\сп, откуда
21 6\ п\

784
Глава 14. Степенные ряды
Подставляя значения коэффициентов c0,q,c2,c3,...,c/2,
получаем ряд
"' A4.9)
называемый рядом Маклорена1.
Следует отметить, что не все функции могут быть
разложены в ряд Маклорена. Может оказаться, что ряд
Маклорена, составленный формально для функции/(х),
является расходящимся либо сходящимся не к функции f(x).
Примером может служить функция
\ -—
f(x) = \e *2при хфО,
[О при х = 0.
Эта функция п раз дифференцируема в окрестности
точки х = 0, и каждая ее производная равна нулю при
х = О. Действительно,
2 4
/'(*) = —е х при х*0 и /'@) = 0,
х
i_
/'/пч г /@+Дг)-/@) V e^-O v z
так как / @) = hm — J v 7 = hm = hm —j =
алг-»о Ах д*-»о Дг z~*°° ez
1
= 0 (положили z = — ).
Дг
Аналогично можно показать, что/"@) = 0,..., /^ @) = 0.
Следовательно, все коэффициенты ряда Маклорена
равны нулю, и этот ряд сходится не к функции f(x), а к
функции, тождественно равной нулю.
Так же, как и для числовых рядов, сумму f(x) ряда
Маклорена можно представить в виде A3.9)
f(x) = Sn(x)+rn(x\ A4.10)
где Sn(x) — п-я частичная сумма ряда; гп(х) — п-й
остаток ряда.
Маклорен Колин A698—1746) — шотландский математик.

14.2. Ряды Маклорена и Тейлора
785
Тогда на основании свойства 4 сходящихся рядов (см.
параграф 13.1) можно сформулировать теорему.
Теорема. Для того чтобы ряд Маклорена сходился к
функции f(x), необходимо и достаточно, чтобы при
п —> ©о остаток ряда стремился к нулю, т.е.
1ш1гя(х) = 0 A4.11)
Я—»оо
для всех значений х из интервала сходимости ряда.
Можно доказать, что достаточным условием
разложения функции f(x) в ряд Маклорена является
ограниченность всех ее производных в окрестности точки х0 = 0
одним и тем же числом, т.е. /(/2)(х) < С (п = 1,2,3,...).
Если функция f(x) может быть разложена в ряд
Маклорена, то это разложение единственное.
Наряду с рядом Маклорена в теории рядов
рассматривается ряд Тейлора1:
f(x) = f(x0)+fXx0)(x-x0)+£^(x-x0J+...+
(п) A4-12)
+ /1^о)(х_Хо)«+...)
п\
представляющий разложение данной функции по
степеням (х-х0). Ряд Маклорена A4.9) является частным
случаем ряда Тейлора A4.12) при х0 = 0.
Разложение в ряд Маклорена некоторых функций.
1. у = ех.
Имеем f(x) = f(x) = /"(*) = ... = f(n\x) = ё*\
/@) = ДО) = /" @) = ... = fM @) = е° = 1.
По формуле A4.9)
2 3 п
ех = \+х+—+ — + ...+— + ... A4.13)
2! 3! и!
Область сходимости ряда (-«>;+оо) (см. пример 14.3, а).
1 Тейлор Брук A685—1731) — английский математик.

786
Глава 14. Степенные ряды
2. y = sinx.
Имеем f(x) = sinx, f'(x) = cosx, f"(x) = -sinx, f'"(x) =
= -cosx,/D>(x) = sinx, откуда/@) = 0,/'@) = 1,/"@) = 0,
/'"(О) = -1, /D)@) = 0 и т.д. Очевидно, что
производные четного порядка /B/|)@) = 0, а нечетного порядка
/B-1>@) = (-1)-1, гг=1,2,...
По формуле A4.9)
х3 х5 (-1У2 х2п~х
sinx = j*r +— + ...+-— + ... A414)
3! 5! Bя-1)! V '
Область сходимости ряда (-оо; + «>).
3. y-cosx.
Разложение в ряд этой функции получаем аналогично:
х2 хА (-1)пх2п
cos* = l- — + — ~...+ v ; +... A4.15)
2! 4! Bл)! V }
Область сходимости ряда (-<»; + «>).
4. г/ = A + х)ш, где m — любое действительное число.
Имеем /(*) = A + х)т, /'(*) = m(l + xf^, /"(х) =
= /rc(m-l)(l + x)m-2, /,,,(x) = m(m-l)(m-2)(l + x)w-2,...,
/(/2)(x) = m(m-l)...(m-w + l)(l+Jt:)m-w.
При х = 0 /@) = l,/,@) = m,A0) = m(m-l),/,/,@) =
= m(m-l)(m-2),- •, /(/2)@) = m(m-l)-(m~w + l). По
формуле A4.9)
,, чт а т(т-1) о т(т-1)(т-2) з
A + х) =\ + тх + — -аг+ — - -JT + ...+
2! 3!
m(m-l)...(m-w + l) n A4.16)
+ — — -х +...
п\
Интервал сходимости ряда (-1; 1) (на концах
интервала при х = ±1 сходимость ряда зависит от конкретных
значений т).
Ряд A4.16) называется биномиальным. Если т — целое
положительное число, то биномиальный ряд представляет
формулу бинома Ньютона, так как при я = m + 1, /и - я + 1 = 0
п-й член ряда и все последующие равны нулю, т.е. ряд
обрывается, и вместо бесконечного разложения получается
конечная сумма.

14.2. Ряды Маклорена и Тейлора
787
5. 2/ = 1пA + дг).
Разложение для этой функции можно получить проще,
не вычисляя непосредственно коэффициенты ряда A4.9) с
помощью производных.
Рассмотрим геометрический ряд
= 1-х + х2-х3 +... + (- 1)пхп+... A4.17)
со знаменателем q = -х, который сходится при \q\ - \-х\ < 1,
т.е. при -1<х<1 к функции f(x) = = .
1-q 1+x
Интегрируя почленно равенство A4.12) в интервале @; х)
dx
= ln(l + x),
о
(где Ы<1) с учетом того, что [ = 1п|1 + д:|
П + х ' '
получаем о
х2 х3 (-Vinxn+i
ln(l + x) = x-±- + ?--...+ K l) * + ... A4.18)
2 3 п + 1
Область сходимости ряда (после выяснения
сходимости на концах интервала сходимости) есть (-1; 1].
6. у = arctg х.
Разложение этой функции в ряд Маклорена получается
аналогично. Заменив в ряде A4.17) х на х , получим
—^-т = 1-х2+х4-...+(-\)пх2п+...(-1<х<1). A4.19)
1 + jT
Интегрируя в пределах от 0 до х и считая, что \х\ < 1,
находим
arctgx = x-^ + 4^-+(^r '"Г 1+- A420)
3 5 2п-\
Область сходимости ряда [-1; 1]. (В сходимости на
концах интервала при х - ± 1 можно убедиться отдельно).
Можно доказать, что ряды, приведенные в формулах
A4.13)—A4.20), сходятся к функциям, для которых они
составлены.
При разложении более сложных функций используют
непосредственно формулу A4.9) либо таблицу простейших
разложений функций A4.13)—A4.20).

788
Глава 14. Степенные ряды
1-е"*
Пример 14.5. Разложить в ряд функции: а) у = ^— \
л , х
б) у = 1п- .
1-х
Решение.
а) Так как по формуле A4.13) е* =1 + х +—+ ...+— + ...,
то, заменяя х на (-х2), получаем ^* и*
4 2 X
,w~2w
(-l)V
Я!
* -дг2 2 л
1-^ * =х + ...+
2!
(-I)**1*2*
я!
+ ...
и, наконец,
1-е-
4 х~ (-l)w+1x2w
2!
х" zi гг!
ОблаСТЬ СХОДИМОСТИ ряда (-©о; +оо).
.2 3
б) В разложении 1пA+дт) = д; + ...+-— + .
заменим х на (-#); получим
\Я—1 Л/.П
П
^2 r3 „я
1пA-х) = -х-—-—-...-—-...
2 3 и
Теперь
1п^ = 1пA + х)- ЬA -х) =
1-х
х1 х6
х + ...
2 3
/
/
V
2 3
= 2
v
^3 5 2я-1 Л
XX X
х + — +— + ...+ + ...
3 5 2я-1
Область сходимости ряда (-1; 1). ►
= A4.21)
14.3. Формула Тейлора
Ряд Тейлора тесно связан с одной из важнейших
формул математического анализа, имеющей широкое
применение.

14.3. Формула Тейлора
789
Теорема. Если функция f(x) (n + \)раз дифференцируема
в окрестности точки х0, то для любого значения х из этой
окрестности справедлива формула Тейлора
/(х) = /(х0)+Лх0)(х-х0)+^р(х-х0J+...+
Лп)( v A4.22)
+ 1_Ш_(Х_ Xoy+Rn(x)f
п\
где Rn (x) — остаточный член формулы Тейлора:
К(х)=1^§(х-хо) • <1423>
(£ € (х0, х) или ^ € (х, х0)), записанный в форме Лагранжа.
□ Пусть остаточный член i^(x) определяется
равенством A4.22). Покажем, что он действительно имеет вид,
описываемый A4.23). С этой целью зафиксируем
значения х0 и х, введем новую переменную у и рассмотрим
функцию
+ {x-yfLJ^lHx.yf
Функция (р(г/) на отрезке [х0, х] удовлетворяет
условиям теоремы Ролля (см. параграф 8.1): она непрерывна и
дифференцируема на данном отрезке и на его концах имеет
равные значения, т.е. <р(лг0) = (р(х). Действительно,
,2/"(*о)
у(х0) = /(х0)+(х-х0)/'(х0)+(х-х0) 2! "' +
, /„ „ \п J \хо) . ( чя+1 *Ы\Х)
+ (Х-Х0) 1 + (Х-Х0) - —
п\ (х-х0)п
т.е. ф(х0) = /(х);
<р(х) = /(*)+0+0+...+0 = /(*).
Из теоремы Ролля следует, что существует такая точка
% е (х0, х), в которой ф'(£) = 0.

790
Глава 14. Степенные ряды
Найдем производную
+(х_,J/^_..._(х_,Г1/!^+(ж_,г/!^М.
2! (я-1)! п\
-(п + \)(х-у)п ^(х)
(х-х0)"
После преобразований при у = ^
п\ (x-x0)n+l
откуда
^v ' (я + 1)! °
(здесь учтено, что (я +1)! = п\(п +1) ). ■
Очевидно, что при выполнении условия A4.11) остаток
гп(х) ряда Тейлора A4.12) равен остаточному члену
Rnix) формулы Тейлора A4.22).
Формула Тейлора является обобщением формулы Ла-
гранжа (8.2) (см. гл. 8), получаемой из A4.22) при п = 0:
/(*) = /(*о) + А$)(*-*о). A4.24)
При п = 1 формула Тейлора принимает вид
f(x) = f(x0)+f\x0)(x-x0)^^(x--x0J. A4.25)
Отбросив остаточный член, получим приближенное
значение функции, основанное на применении дифференциала
(параграф 7.8):
/(*)«/(*о) + Л*о)(*-*о). A4.26)
При этом функция f(x) заменяется (аппроксимируется)
линейной функцией в окрестности точки х0.

14.4. Область сходимости степенного ряда 791
ПРАКТИКУМ
14.4. Область сходимости степенного ряда
14.6. Найти области сходимости степенных рядов:
а) Y^-;6) У(-1)"-^-:;в) У(-1)я8т2-(х-2)и;
00 ОП: -1
')IV"'»>I
л „2л
2"x
я=1
J5B«+1)W3"
Решение.
а) По формуле A4.5) найдем радиус сходимости ряда
fl=lim
\2
= lim
(n!J.((»+l)!J
Bи)! B(и + 1))!
,. (w!)zBw)!Bw+l)Bw + 2)_
»— Bи)!(и!J(и + 1J
= 1.т2B, + 1)(п+1) = 4
я->~ (я + 1)
(здесь учтено, что (я + 1)! = п\(п + 1); B(п + 1))! = Bи +
+ 2)! = Bп)\Bп + 1)Bя + 2)), т.е. интервал сходимости ряда
(-4; 4).
Теперь выясним поведение ряда на концах интервала
сходимости. При х = 4 степенной ряд принимает вид
^(п\)Чп
2^ . . Установить непосредственно выполнение
необходимого признака сходимости, вычисляя предел
A3.10), либо применить соответствующий достаточный
признак сходимости затруднительно. Вместе с тем можно
заметить, что после преобразований, аналогичных
приведенным выше, отношение
Щ»\ = ((и + 1)!J4*+1 и (п\JАп = (п\)\п + 1)Чп4Bп)\
ип B(я + 1))! ' Bп)\ Bп)\Bп + 1)Bп + 2)(п\)Чп
2(п + 1) 2п + 2 4
= ~ - = > 1,
2п + 1 2п + 1

792
Глава 14. Степенные ряды
т.е. члены ряда с увеличением п возрастают, а
следовательно, необходимый признак сходимости A3.10) не
выполняется, и при х = 4 степенной ряд расходится. По этой же
причине он расходится при х = -4. Итак, область
сходимости данного ряда (-4; 4).
б) По формуле A4.5) найдем радиус сходимости
#=lim
'W+1
= lim
()\ (-1)
л+1
2пп\ 2W+1(«+1)!
01. (я+1)! о1. п\(п + 1) 0|. , 4Ч
= 2 lim — = 2 lim — = 2 lim (n+1) = «>,
т.е. область сходимости ряда (-«>; + <»).
в) По формуле A4.5) найдем радиус сходимости
Д=Нт
'п+1
= lim
(-l)wsin
21
(-ly^sin2 1
п+1
. 21
sin —
= lim-
sin
п + 1
Для нахождения предела заменим бесконечно малые
.1 .1
величины sm— и sm при я-»<» им эквивалентными
п п + 1
1 1
_ и (параграф 6.9), получим
п п + 1
J_
R=hm-4-=\un^ = l.
(л + 1J
Интервал сходимости данного ряда находится из условия
|х-2|<1 или -1<х-2<1, т.е. 2-1<х<2+1 илиA;3).
Теперь выясним поведение ряда на концах интервала
сходимости. На левом конце при х - 1 данный ряд
принимает вид
У (-1)" sin2 -(-1)" = У sin2 i (ибо (-1)" • (-1)" = (~lJw = 1
tx n tx n
при любом натуральном п).

14.4. Область сходимости степенного ряда 793
11 11
Так как при любом п>\ sin— <—, sin2 — <-«-> а ряд
~ j п п п п
V— есть сходящийся обобщенный гармонический ряд
я=1J
A3.12) при а = 2 > 1, то по признаку сравнения (см.
параграф 13.2) данный ряд сходится.
На правом конце при х = 3 степенной ряд принимает вид
Х(-\)п sin2 —, т.е. является знакочередующимся и по ДОСТа-
л=1
точному признаку сходимости знакопеременного (а значит,
и знакочередующегося) ряда сходится, так как сходится ряд,
составленный из абсолютных величин его членов, т.е. ряд
Xsin2— . Итак, область сходимости данного ряда [1; 3].
и=1
г) Выпишем несколько первых членов ряда:
оо О" -1
п 2 3
■з^у з^ 4
о8
6 J*
и=1
Очевидно, что найти радиус сходимости по формуле
A4.5) в данном случае не представляется возможным, так
как коэффициенты ряда A4.1) с2, с3,С5,сб,с7,с8,с10 и т.д.
равны нулю. Поэтому применим непосредственно признак
Даламбера. Данный ряд будет абсолютно сходиться, если
lim
И-»оо
И„+1
< 1, и расходиться, если lim
ы+\
>1.
Поэтому найдем
lim
Я->оо
*Я+1
= lim
W->oo
3(«+1J
Лп+1У
м з1
п1-\
Ж-1
W + 1
= lim
Я-»оо
w .32"+1д;2п+1
w + 1
9MJ.i I °°» если |3х| > 1,
= limCxJn+1=i
«-*°° 0, если \3х <1,
ибо lim
= 1.

794
Глава 14. Степенные ряды
Следовательно, ряд сходится при — < х < — или на ин-
( 1 Г d d
тервале --;-
Исследуем сходимость на концах интервала сходимости.
При х = -— ряд принимает вид
О
(-1)"
1^(-1)" \(л 11
л=1
;»2 Ъ^ П 3
1--+--...
2 3
Этот ряд сходится по признаку Лейбница (см.
параграф 13.3).
1 1 °° 1 °° 1
При х- — ряд принимает вид — V —, где \ расхо-
3~П
л=Г
дящийся гармонический ряд. Итак, область сходимости
1 О
ряда
З'З
д) Так как члены ряда, стоящие на нечетных местах,
отсутствуют, т.е. коэффициенты ряда q = 0, с3 = 0, с5 = 0 и
т.д., то формулу A4.5) для нахождения радиуса
сходимости использовать нельзя. Можно применить
непосредственно признак Даламбера, как это делалось в примере
в п. «в». Но в данном случае удобнее сделать замену
х2 = L Тогда ряд примет вид V ?=. Область схо-
i/0 Г 7з V3
димости этого ряда получена в примере 14.2: ;—
л/3 V3
т.е. -—<£<-!_.
2 2
Возвращаясь к переменной х, получим < х2 < — ,
/ /о $[v)
откуда \х\ < А— = , т.е. область сходимости ряда
Г #12 #121 ^

14.4. Область сходимости степенного ряда 795
14.7. Исследовать сходимость ряда
А П
A4.27)
Решение. Радиус сходимости ряда A4.27), заданного по
степеням (х-х0) = (х-(-1)), находится по той же
формуле A4.5):
Л=Нт
П->оо
= Нт
'п+1
= Нт
Зп+(-2)п Зп+1+(-2)
\П+1
И + 1
3" + (-2)" и + 1
»^3-Зй-2(-2)" п )
= limiXlL.lim^±l = J±0_.1 = i,
«-»- ( 2\" "->~ я 3-20 3
3-2Ь)
1
т.е. R- — . Напомним (см. параграф 14.1), что интервал
о
сходимости ряда общего вида A4.6) определяется из
условия x0-R<x<x0 + R. В данном примере интервал сходи-
мости ряда есть -1 — <х<-1 + - или —;- .
Р 3 3^ 3 3)
Исследуем сходимость ряда A4.27) на концах этого ин-
гт 4
тервала. При х = — ряд принимает вид
о
y3"+(-2)'f lT.fH^+v'f2)"
т.е. представляет сумму двух рядов. Первый, знакочереду-
, (-1)"
- - сходится (условно) (см. параграф 13.4),
ющиися
радХ'
и=1

796
Глава 14. Степенные ряды
а второй ряд > —
щью признака Даламбера:
к
— | исследуем на сходимость с помо-
lim-^-=lim
W~>oo U
1
п+13
2^+1
7
2Л. п 2 4
= -lim = -<1,
3«-»~w + l 3
т.е. ряд сходится, а следовательно, сходится и ряд A4.27)
4
при х = —-.
2
При х = — ряд A4.27) имеет вид
о
1
Первый из полученных рядов — гармонический V —
расходится, а второй ряд > — —
и=1"
сходится на
основании признака сходимости знакопеременного ряда, так как
выше было показано, что ряд из абсолютных величин его
2
членов сходится. Следовательно, ряд A4.27) при * = —
о
расходится. (Установить расходимость этого ряда с ПОЛО-
жительными членами -—- >0 при любом пе N
п Ъп
можно было и с помощью признака сравнения, так как его
члены при п > 1 превосходят члены расходящегося гармо-
1
нического ряда, умноженные на — :
3"+(-2)" (J.Y
3
•♦НТ ,
Зи
п \.б \ п
Итак, область сходимости степенного ряда A4.27)
4 2^
Гз • *
[ 3* 3

14.4. Область сходимости степенного ряда 797
Найти область сходимости степенных рядов:
14.8. х+ —+—+—+... 14.9. У(-2)ях2я.
14.10. 1 + 2!лт+3!ж2 + 4!л:3+... 14.11. У^£.
ttJr
2 3 4 °° п
14.12. —+ —+— + — + ... 14.13. У^Ц-.
1-2 2-3 3-4 4-5 ^2"-1
14.14. ]Г —. 14.15. £п!лг".
я=1 П «=1
г3 г6 г9 г12
14.16. ±-+-±—+-±-+-±—+.ЛАЛ7. У10" ж".
8 82-5 83-9 8413 £*
9 4 оо
14.18. т^г+^т+^Ц--.. 14.19. Ухё-.
2+3 22 + 32 23+33 S и
с2 2 егЗ 3 с4 4
14.20. 5х+^^ + ^^+^^+...
2! 3! 4!
14.21. У(-1)"+1 —.
л=1
14.22.—+—+...+— +... 14.23. У— .
1-3 2-4 п(п+2) ^?3"(п+1)
1121 У("°Д-г ■ 14.25. У ^-.
£ 5"V^TT £ 2"
Я2
14.26. |D) *. 14.27. |(-1Г^.
14.28. Х^1(,-1)" 14.29. tCW-2)(f-f ■
Я З S ("+1J2"+2
14.30. JTsin2i(x-1)". 14.31. У3, "*" .
я=1 " „=iVw2 + l
ш у<-У<»-4", ,4.33. уй£л
~ 2n-l ^Ч2иИ
И=1 Я

798
Глава 14. Степенные ряды
14.5. Ряды Маклорена и Тейлора
Почленное интегрирование и дифференцирование
степенных рядов (свойства A4.7), A4.8)) могут быть
использованы при нахождении суммы степенного ряда.
14.34. Найти сумму ряда при х е (-1; 1):
а) -2х + 4х3 -6х5 + 8х7 -...(-1)пBп)х2п-{ +...;
2 3
б) Х + + + ...
' 2 3
Решение.
а) Можно заметить, что почленное интегрирование
данного ряда (на отрезке [0; х], где х е (-1; 1)) приведет к
геометрическому ряду A4.28)
-х2 + хА - х6 +х* -... + (-\)пх2п + ..., A4.28)
сумма которого известна.
Полагая a = -x2t q = -x2> найдем сумму ряда A4.28) по
формуле A3.5'):
2 2
S = ИЛИ S(X) = -
1-q v"' l-(-x2) 1 + х2'
Возвращаясь к исходному ряду, находим его сумму
дифференцированием S(x). Итак, сумма данного в условии
ряда
S'(x) =
( 2 \
1 X х
1 + х2
2х
A + х2J '
б) Данный ряд может быть приведен почленным
дифференцированием в интервале сходимости к геометрическому
ряду S'(x) = 1 + х + х1 + х? +..., сумма которого
1
5"(х) = (я = 1, q = x). Сумму исходного ряда находим
1-х
интегрированием на отрезке [0; х], где хе (-1;1):
dx
= -ln(l-*). ►
о
S(x)= [sXx)dx= f—= -ln|l-4
oo I
Существует несколько способов разложения функций в
степенной ряд. Проиллюстрируем их на конкретных
примерах.

14.5. Ряды Маклорена и Тейлора
799
Непосредственное разложение
14.35. Разложить в ряд по степеням х функцию
г/ = C+02.
Решение. Найдем производные функции и ее значения
в точке х = 0:
f(x) = C+e-xJ; /@)=16;
/'(*) =-2C+Ое~* =-2(Зе-х + е-2х); /'@) = -8;
/"(*) = 2C*Г * + 2е~2х); /"@) = 10;
f'"{x) = -2{ЖХ + 2 V2*); /'"@) = -14;
/D)(дг) = 2Cе~* + 2V2*); /D)@) = 22;
/<">(*) = (-1)" • 2Cе~* + 2" е~2х); /<">@) = (-1)" • 2C+2").
Теперь по формуле A4.9)
/о -*ч2 <с о Ю 2 14 3 (-1)"-2C +2я-1) „
C+е *) =16-8д:+—лг лГ + ... + ^—-—^ '-х +...
v ' 2! 3! п\
Область сходимости ряда (параграф 14.1) есть
(-оо;+оо). ^
Применение готовых разложений
14.36. Разложить в ряд по степеням л: функции:
х2
а) у = х\п(Х+х2); б) y = -j = .
VI -х2
Решение.
а) Воспользуемся готовым разложением A4.18)
функции у = \п(\+х). Заменяя в нем д: нал:2, получаем
~4 6 2п
1пA + х2) = х2- — + — -...+(-1)"-1^^ + ...,
2 3 п
следовательно,
о У5 Г7 а Г2П+1
х\пA + х2) = х3-— + — -...♦(-l)"- +...
2 3 п
Область сходимости ряда [-1; 1] находим из условия
-1<х2<1.

800
Глава 14. Степенные ряды
б) Воспользуемся биномиальным рядом A4.16),
представляющим разложение в ряд функции у = A+х)т.
Заменив в нем х на (-х2), получим при т = — разложение
1 - 2
функции у= . =A-^2) 2:
VI -х
1 л ( *V 2\ V 2~Л 2 J/ 2ч2
Ш44Н-Н
кг-
Умножая обе части разложения на jc2, ползаем
х2 2 1 4 1*3 6 1-3-5...Bя-1) 2п+2
. = х1 +-х4 + -^—х* + ...+ * -xzn+z + ...
VlT? 2 22-2! 2я-л!
Из условия -1<-х2<1 находим область сходимости
ряда (-1; 1). ►
14.37. Разложить в ряд по степеням (х - 1) функцию
у = е>*.
Решение. Представим функцию у = е х в следующем
виде: у = е3-е3(х~1\ Это позволяет использовать готовое
разложение A4.13) функции у = ех, в котором х заменяем
на 3(х - 1):
^-1> = 1+3(х-1)+^(х-1)Ч^3(х-1K+...+У(х")Ч...,
v ' 2Г ' ЗГ ' п\
откуда еЪх -еъеЪ(<х 1)=e3V— — (ряд записан в со-
кращенном виде).
Из условия -оо<3(х-1)<оо. находим область
сходимости ряда (-оо; +оо). ^

14.5. Ряды Маклорена и Тейлора
801
Применение правила умножения рядов
Если в некоторой окрестности точки х = 0 имеют место
разложения
f(x) = Oq + axx + а2х2 +... + апхп +...;
y(x) = b0+b1x+b2x2+... + bnxn + ...,
то произведение функций разлагается в той же окрестности
в степенной ряд
f(x)(p(x) = афц +(афх +а1Ь0)х+(а0Ь2 + а{1\ + а2Ьц)х2 +...+
+(aobn +<hbn-i +.-.+anb0)xn +... A429)
В частности, при f(x) = ф(х) получаем следующее
правило возведения в квадрат степенного ряда:
f2(x) = a% + 2а0а1х+Bа0а2 +af)x2 +
+ Bа0а3 + 2аха2 )х3 + Bа0а4 + 2ахаъ + а\ )хА +...
14.38. Разложить в ряд по степеням х функцию
е = е*1пA + .г).
Решение. В интервале (-1; 1) имеют место разложения
A4.13) и A4.18). По правилу умножения рядов A4.29)
получим
e*ln(l + x) = lx+
( ( 2\
1 X *
1-
V V
( з
1 — + х\
3
( 2 \
1 X *
2
.2 Л
+ ХХ
X
+—х
2!
1 2 1 з
+ ... = Х + -Х +-ЛГ+...
2 3
/
Область сходимости ряда (-1; 1). ►
Применение почленного интегрирования
14.39. Разложить в ряд по степеням х функцию
2/ = arcsinx.
Решение. Готовых разложений A4.13)—A4.20) ряда для
данной функции нет. В то же время производная этой
функции (arcsinx) = , может быть разложена в сте-
VI -х2

802
Глава 14. Степенные ряды
пенной ряд с помощью биномиального ряда A4.16) (см.
пример 14.36, б):
1 .1 2^ 1-3 л 1-3-5...Bл-1) 2п
, =1+-х +-^—х + ...+ ^ -хгп+...
Vl-x2 2 22-2! 2nn\
Учитывая, что arcsinx = , , искомый ряд найдем
о VI-*2
почленным интегрированием данного ряда на отрезке [0; х],
принадлежащем интервалу сходимости ряда (-1; 1):
A A 4 Q
ix= [ , = \dx+-\x2dx + ^:— \x4dx+...+
1'3'5-^-1>J,^+...,
arcsinx =
т.е.
2" n\
1 з 1-3 5
arcsinx = x+—x +-~ x +...+
2-3 22-2!-5
, 13 5... Bn-l)x2n+4
2"n\Bn + i)
A4.31)
Область сходимости ряда [-1; !].►
14.40. Разложить в ряд Маклорена функцию у = sin2 x.
Решение. Первый способ. Применим метод
непосредственного разложения по формуле A4.9). Вначале найдем
производные до я-го порядка и вычислим их значения при
х = 0:
/(x) = sin2x; /'(#) = 2sinxcosx = sin2x; /"(#) = 2cos2x;
/'"(*) = -22sin2x; /<4>(*) = -23cos2x; /<5>(x) = 24sin2x
и т.д.
При х = 0 значения функции/(х) и ее производных
следующие:/^) = 0; /'(О) = 0;/"@) - 2; /'"@) = 0; /<4>@) =
- -23; /<5> @) = 0 и т.д.
Теперь по формуле A4.9) запишем ряд
о пЗ п5
sin2x = 0+0+—х2 + 0 х4 + 0+—х6 + ...
2! 4! 6!

14.5. Ряды Маклорена и Тейлора
803
или
smix^xi—xU^x6-...*^^1'2^х2п + ... A4.32)
3 45 Bп)\ к }
Второй способ. Учитывая, что sin2x = cos2x,
используем готовое разложение A4.15) для функции cos x
(в котором вместо х берем 2х), умножаем обе части
полученного равенства на — , а затем прибавляем к ним -
Получим ^ '
—cos2x = —
2 2
\_(?х£ + Bх£_ (-1)пBхJп
2! 4! '" Bп)\
.2 11 о 11 B*J BхL (-1)пBхJп
surx = cos2x = + -—-—-—— + ...+-————+...
2 2 2 2 2-2! 2-4! 2-Bл)!
•2 2 1 4 (-1)Л22я-1Х2я
или surx = xz—х + ...+-—- + ...,
3 Bп)\
т.е. ползаем то же разложение A4.32).
Третий способ. Разложение функции z/ = sin2x может
быть осуществлено с помощью правила возведения в
квадрат степенного ряда A4.30).
Для функции /(x) = sinx, имеющей разложение в ряд
A4.14), т.е.
sinx = 0+x + 0 х3 + 0+-х5 + 0—х7 + ...,
3! 5 7
находим по формуле A4.30)
sin2x = 202 + 201x+B00+l2)x2 + B0| -— 1+210)^ +
+B00+21|-- |+02)х4+... = х2--х4 + ...-
(_1)П-1.22п-1 2п
+ - - + ... ,
Bп)\
т.е. ползаем то же разложение A4.32).

804
Глава 14. Степенные ряды
Четвертый способ. Относительно легко можно
разложить в ряд производную функции /(x) = sin2x, т.е.
f\x) = 2sinxcosx = sin2x (в ряде A4.14) вместо х берем 2х):
. 0 0 Bxf Bxf
sin2x = 2x--——+- '
= sin2 х - sin2 0 = sin2 x.
з * о5
3! 5!
Для получения искомого разложения почленно
интегрируем полученный ряд на отрезке [0; х], принадлежащем
интервалу сходимости (-©о; + ©о), учитывая, что
х I
fsin2x<ir = sin2x
о '"
Итак, при любом х
sin2x= |sin2x<ir = 2|x<ir Jx3<ir + — \x5dx-...=
о о 'о "о
2 1 4 2 6 (-l)*-^2"*2"
3 45 Bл)!
Область сходимости ряда, как нетрудно убедиться, есть
(-°°; + °°). ►
Разложить в степенной ряд по степеням х функции:
14.41. у = е~2х. 14.42. у = sin-.
14.43. y = x3cosx. 14.44. г/ = 1пA+5х).
14.45. г/ = 1пE+2х). 14.46. y = yll+x2.
14.47. у = 7:Ц.. 14.48. у =
1+хА 4-х
14.49. у = х2е~2х. 14.50. */ = xarctgx.
е*-1
14.51. г/ = A+хIпA + х). 14.52. у = .
14.53. у = х+Ь?"х). 14.54. ^1пA + х).
дг 1 + х
14.55. г/ = е*1пA-х). 14.56. # = e~*sinx.
14.57. # = *arctgx-lnVl + x2. 14.58. # = (arctgxJ.

14.6. Применение рядов в приближенных вычислениях 805
2х + Я
14.59. у = \пF+х-х2). 14.60. у = —
2 лг+Зх+2"
14.61. у = cos х.
Применяя разложение подынтегральной функции в ряд
по степеням х и его почленное интегрирование, найти
разложения в ряд функций:
14.62. f—^.14.63. f-Д--14.64. f±=^*«fc.
Разложить в степенной ряд функции:
14.65. у = х4+х2 по степеням (х-1).
14.66. у = ех по степеням (х-2).
14.67. у = \пх по степеням (х-1).
1
14.68. у = по степеням (х+2).
х — £
Применяя почленное интегрирование или
дифференцирование рядов, найти их суммы:
14.69. 1+2х+Зх2 + 4х3 + ...(хе(-1,1)).
14.70. *- —+£L-—+ ...(*€ [-1;1]).
3 5 7 V L V
14.71. 1-Зх2 +5х4 -7х6 + ...(хе (-1; 1)).
14.6. Применение рядов
в приближенных вычислениях
Степенные ряды могут быть использованы для
приближенного вычисления значений различных функций,
определенных интегралов (в том числе «неберущихся»), решения
дифференциальных уравнений, нахождения пределов и т.п.
14.72. Вычислить приближенно с точностью до 0,0001:
1
а) -jrf\ б) 1п0,6; в) In5; г) e/gg; д) cosl0°.
Решение. з
1 --
а) Для вычисления —== = е 4 запишем ряд A4.6) при
з №
х = —, принадлежащем области сходимости (-°°; + °°):
4
-4,3 З2 З3 (-1)"-Зп
4 42-2! 43-3! А"-п\

806
Глава 14. Степенные ряды
= 1 - 0,75 + 0,28125 - 0,070312 + 0,013184 - 0,001978 +
+ 0,000247 - 0,000026 + ...
Взяв первые семь членов разложения, на основании
следствия из теоремы Лейбница (см. параграф 13.4) для
сходящегося знакочередующегося ряда мы допустим
погрешность |гя|, не превышающую первого отброшенного
члена (по абсолютной величине), т.е.
гп\< 0,000026 < 0,0001.
;рвые семь членов,
-0,472391 «0,4724.
Итак, складывая первые семь членов, получаем
1
№ 4
Более точно оценить погрешность вычисления
можно, используя формулу Тейлора A4.22). Взяв в
качестве величины ех первые (п +1) членов ряда (вместе с
нулевым), мы допустим погрешность, определяемую
остаточным членом Rn (см. формулу A4.23)) при
х0 = 0, 0 < £ < х или х < £ < 0:
Rn(x)=fH+ (^Xn+1.
^V ' (я + 1)!
Для функции f(x) = ex f'(x) = f"(x) = ... = f(n+1\x) = ex,
о
т.е. /(w+1)(^) = A Следовательно, при х- —
4
р, , (-1)"+1^3"+1 3 - .
К(х)=——^~. где —<£<о.
V (w+l)!4"+1 4 *
При п = 6, т.е. просуммировав вместе с нулевым семь
1 --
членов ряда, получим —г= = е 4 « 0,472391; при этом оста-
е^-37
точный член R = — заключен в границах от мини-
7!-47
З7 ( Зч
мального Д,@) = =- до максимального RA —
7!-47 У 4
О 472391-Я7
= _i^o3io_ те _о 000026 < Л. < -0,000013. Следова-
7!-47 v

14.6. Применение рядов в приближенных вычислениях 807
1
тельно, точное значение —== находится в пределах
1 &
О,472365<—;=<0,472378. Неизменны четыре десятичных
</? t
знака, следовательно, с точностью до 8 = 0,0001 -1= « 0,4724.
(Легко показать, что суммирование менее семи членов
ряда (п < 6) не обеспечивает заданной в условии точности
ответа.)
б) Для вычисления In0,6 запишем ряд A4.18) при
х = -0,4, входящем в область сходимости ряда (-1; 1]:
0 42 0 43 0 4"
1пО,6 = 1пA + (-0,4)) = -0,4-^-^~...~^^-...=
2 3 п
= -@,4 + 0,08 + 0,021333 + 0,0064 + 0,002048 + 0,000683 +
+0,000234 + 0,000082 + ...).
Если в качестве 1п0,6 взять первые восемь членов,
будет допущена погрешность
■ | 0,49 0,410 0,4" 0,49 0,410 0,4"
\г„\ = —— + —— + ... + —— + ...<—— + —— + ...+—— + ...=
lnl 9 10 п 9 9 9
= ^A + 0,4+...+0,4""Ч...) = ^.-^--=0,000048 < 0,0001
У 9 1-0,4
(здесь учтено, что сумма сходящегося геометрического
ряда в скобках равна = ).
\-q 1-0,4
Итак, складывая первые восемь членов, получаем
1п0,6« -0,510780 «-0,5108.
Заметим, что при суммировании только семи членов
,, 048 1
погрешность И = ^— = 0,000136 > 0,0001, т.е. не
|w| 8 1-0,4
удовлетворяет заданной в условии точности ответа.
Замечание. Оценка погрешности вычисления 1п0,6
с помощью остаточного члена формулы Тейлора
оказывается в данном случае менее эффективной. Действитель-

808
Глава 14. Степенные ряды
но (см. пример 7.10), для функции /(х) = 1пA + х)
/ А\П—1/ Л\I
f(<n\x) = -—-— —, тогда по формуле A4.23) остаточ-
A + х)и
ный член
К(х)=/("+1)^)^+i = иг»! xn+i=(-1)" Г ч"+1
(п+1)! A+0 (и + 1)! я+1
где 0<^<х или х<£,<().
i+k
0,49
При п = 8, х = -0,4 К, = !—^. Следовательно,
V 9A + £)9
ДД-0,4) <7г„ <7г„@) или -0,002890 < J^ < -0,000029, а
значит, -0,510780-0,002890<1п0,6<-0,510780-0,000029, т.е.
-0,513670 < In0,6 < -0,510809, что гарантирует точность
вычисления лишь до 0,01 (а точнее, до 0,003).
в) Вычислить 1пЗ = 1пA + 2) с помощью ряда A4.18) для
функции г/ = 1пA + х) не представляется возможным, так
как х = 2 не входит в область сходимости ряда (-1; 1].
Воспользуемся рядом A4.21):
, 1 + * J х3 х5 х2п~{ Л
In = 2 х+—+—+...+ + ...
1-х |^ 3 5 2л-1
Этот ряд позволяет вычислять логарифмы любых
чисел, так как при изменении х в интервале сходимости ряда
1 + х
(-1; 1) дробь меняется в интервале @; + «>).
1-х
1 + х 1
Пусть In = 1пЗ, тогда х = - и
1-х 2
1 о of1 1 1 1
1пЗ = 2 -+-г— + ^=— + ... + -Я—: +...
2 23-3 25-5 22w_1Bw-l)
\
= 1 + 0,083333 + 0,0125 + 0,002232 + 0,000434 + 0,000089 +
+ 0,000018+...«1,098606 «1,0986
(суммируем семь членов ряда — обоснование аналогично
п. «б» данного примера).
Ряд A4.21) по сравнению с рядом A4.18) сходится
быстрее, поэтому он удобнее для вычисления логарифмов. Так,
если для вычисления 1п0,6 с точностью до 0,0001 потребо-

14.6. Применение рядов в приближенных вычислениях 809
валось суммировать восемь членов ряда A4.18) (см. п. «б»),
то с помощью ряда A4.21) та же точность достигается при
сложении лишь трех членов (рекомендуем убедиться в этом
самому читателю). t
г) Представим ^/б8 виде ^68 = ^/б4 + 4 = 2| 1 + — \ • Так
lj 16J
как после проведенного преобразования х = — входит в
16
область сходимости (-1; 1) биномиального ряда A4.16), то
1 1
при х =—, т = — получим, учитывая A4.16):
16 6
^/68 = 2
lfl
,11 616
1+ + —^—
6 16 2!
-1
- + ...+
16^
6i 6
-и+1
и!
16"
= 2+0,020833-0,000543+0,000021-...
(Для обеспечения заданной в условии точности расчета
достаточно взять три члена, так как по следствию из
признака Лейбница для сходящегося знакочередующегося
ряда погрешность \г„\ < 0,000021 < 0,0001.)
Итак, ^68=2,020290 = 2,0203.
д) Для вычисления cosl0° =cos— запишем ряд A4.15)
п ^
при х = —, принадлежащем области сходимости
18
(—оо; + оо) ;
cos—= 1-
к
-+-
18 " 182-2! " 184-4!
+ ...+(-1)"
Лп
182"Bл)!
+ ...=
= 1-0,015231 + 0,000039+...
(необходимо взять два члена, так как при этом
погрешность \гп\< 0,000039 < 0,0001).
Итак, cosl0° «1-0,015231 = 0,984769«0,9848.

810
Глава 14. Степенные ряды
14.73. Вычислить с точностью до 0,0001:
X X
a) \4xe~xdx\ б) \4xexdx.
о о
Решение.
а) «Точное» интегрирование здесь невозможно, так как
интеграл «неберущийся». Заменив х на (-х) в разложении
~2 (-\)пхп
A4.13), получим е х =1-х+ — -... + -
полученный ряд на \[х
п\
- + ... Умножая
1 3 (-l)»/+^
\[хе х=х2е х =х2 -х2 +... + -
п\
+ ...
и почленно интегрируя в интервале @; 1), принадлежащем
интервалу сходимости ряда (-оо; + ©о), получаем
1 1 J. 13 1 п п+2
\yfxe~xdx= \x2dx-\x2dx+...+ \-— dx+...=
2
3^
= -х2
2
5:
~х2
+ ...+
( ^3>1 п\
2 2
+... =—- + ...+
3 5
+ ( 1)W'2 +... = 0,66667-0,40000+0,14286-0,03704 +
Bп + 3)п\
+ 0,00758-0,00128+0,00018-... «0,37897 -0,3790.
Оценка погрешности вычисления производится так же,
как и в примерах 14.72 а, г, д.
б) Выражение данного интеграла в виде числового ряда
находится аналогично примеру, приведенному в п. «а»:
l\[xexdx =
2 2
- + -+-
3 5 7-2! 9-3!
- + ...+-
Bп + 3)п\
+ ... A4.33)
Но в отличие от примера п. «а» вычисление интеграла
свелось не к нахождению суммы сходящегося
знакочередующегося ряда, при вычислении которой погрешность
оценивается с помощью следствия из теоремы Лейбница, а

14.6. Применение рядов в приближенных вычислениях 811
к определению суммы ряда с положительными членами с
неизвестной оценкой погрешности.
Поступим следующим образом. Предположим, что для
оценки суммы ряда взято п членов (вместе с первым при
п = 0). Тогда погрешность вычисления суммы ряда будет
определяться остатком ряда A4.33)
2 2 2
Гп Bгг + 3)Ы + Bгг + 5)(л + 1)! + Bгг + 7)(гг + 2)!+"'
Так как 2гг + 5>2гг + 3, 2я + 7>2гг + 3,... и
(п + 1)\ = п\(п + 1)>п\п, (п + 2)\ = п\(п + 1)(п + 2)>п\п2,...,
то
Гп Bп + 3)п\ Bп + 3)п\п Bп + 3)п\п2 " Bп + 3)п\
Х| +гг + гг2+','ГBгг + 3)гг!Yi_il~Bw + 3)(w-l)!(гг-l),
1п + 3)п\ ЛП Bя + 3)(я-
ибо выражение в круглых скобках представляет сумму
сходящегося геометрического ряда A3.4) при а = 1, q = —.
При я = 7
г„ < ?— 0,00003 < 0,0001.
я 17A-2- 3-4-5-6)-6
(Легко вычислить, что при любых п<1 гп>0,0001.)
Итак, для обеспечения заданной в условии точности
вычисления интеграла необходимо взять первые семь
членов:
1
\y[xexdx « 0,66667 + 0,40000 + 0,14286 + 0,03704 +
о
+0,00758+0,00128+0,00018= 1,25561- 1,2556. ►
14.74. Найти в виде степенного ряда решение
дифференциального уравнения г/' = х3 + г/2, удовлетворяющего на-
1
чальному условию у@) = -.

812
Глава 14. Степенные ряды
Решение. Ищем решение данного уравнения в виде
степенного ряда
2 п 1
у = q + 2с2х+Зс3х +...+спх +...; г/@) = с0 = -.
Дифференцируя обе части уравнения, находим
у' = сх + 2с2х+3с3х2 +...+пспхп~1 +...
Подставляя выражение для у = у(х) в данное
уравнение, получаем
q + 2с2х+3с3х2 + ... + ясядгя~1 +... = х3 +
+Cq + 2c0qx+Bс0с2 + q2 )x2 + Bс0с3 + 2qc2 )х3 +...,
' ? '
где у2 получено по формуле A4.30) возведения в квадрат
степенного ряда.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях
и учитывая начальное условие, получаем систему
уравнений для определения неизвестных коэффициентов:
1 1
Со_2'
q = с0 ,
£С2 = ZCqC^,
2£>3 = АС^С2 "t" q >
АсА = l + 2c0c3 + 2qc2,
Со_2;
1
1
С2"8;
1
Со =
3 16
9
С42
Следовательно, искомое решение имеет вид
11 1 2 1 з 9 4
у = -+-х+-х +—дг +—х +... ►
* 2 4 8 16 32

14.6. Применение рядов в приближенных вычислениях 813
14.75. Найти пределы:
ч ,. 2е*-2-2х-х2 ^ч ,. sinx-arctgx
a) lim : ;б) hm 5—— •
*-»о x-smi *-»о х
Решение. Нахождение указанных пределов требует не-од-
нократного применения правила Лопиталя (с учетом
первого замечательного предела либо использования
эквивалентных бесконечно малых). Вместе с тем эти пределы
относительно легко могут быть вычислены, если
использовать разложение входящих в них функций в степенные
ряды.
а) Заменим ех и sinx их разложениями A4.13) и A4.14) в
степенные ряды. Получим
lim : = hm -
f 2 3
1 + Х + + + .
2! 3!
\-2-2x-x1
j
х-\ х + .
I 3 5 ,,
= lim
2х6 2х4
+ +.
3! 4!
3! 5!+"'
1 2*
= ПщЗ!+4!+'"
3! 5! +'"
= 2.
б) Заменяя sinx и arctgx их разложениями A4.14),
A4.20) в степенные ряды, находим
lim
лг-»0
sinx-arctgx
х
{ з
х6
= lim
= lim
= lim
(х>
х-
' 3! + 5!
< х3 х5
х +—
у 3 5
X
"si
5 Л
X
'I
+
5 51/
1
3
х
1Л ►
6 6
/_

814
Глава 14. Степенные ряды
Вычислить приближенно с точностью 8:
14.76. i; 8 = 0,0001. 14.77. lnl,4; 8 = 0,001.
<1е
14.78. sinl8°; 8 = 0,0001. 14.79. 3/500; 8 = 0,001.
14.80. 1п5; 8 = 0,001. 14.81. 1УШП; 8 = 0,0001.
14.82. arctg 0,2; 8 = 0,0001.
14.83. cos0,22; 8 = 0,0001.
0,2
14.84. \yl\ + x2dx; 8 = 0,0001.
о
i
14.85. \cosJxdx; 8 = 0,0001.
о
0,25
14.86. J ln(l + y[x)dx; 8 = 0,001.
о
0,2 _x 0,5 ,
14.87. Wdx\ 8 = 0,001. 14.88. f-^y; 8 = 0,001.
од л о 1^л
14.89. J^^r; 8 = 0,001. иж [cos—dr; 8 = 0,001.
о Х { 4
0,1,
14.91. [1П()Лг, 8 = 0,001.
о л
0,5
14.92. f^1^^; 6 = 0,001.
Jo x
Вычислить приближенное значение интегралов, взяв п
членов разложения подынтегральной функции в ряд;
указать погрешность:
тс/4 1/4
14.93. j^^dx(n = 3). 14.94. JV*2&(/2 = 3).
тс/6 Х 0

14.6. Применение рядов в приближенных вычислениях 815
1/2 ,
14.95. \-^=(п = 2).
{ VI+х4
Найти в виде степенных рядов решения
дифференциальных уравнений, удовлетворяющих данным начальным
условиям. (В скобках указано число первых п членов ряда,
которые требуется вычислить):
14.96. у' = х+х2 + у2;уф) = \;{п = А).
14.97. у'- у2 = х(х+1); уф) = 1; (я = 3).
14.98. у'+у2=ех; у@) = 0; (п = 3).
14.99. у'+ху2= 2cosх; уф) = 1; (п = 4).
14.100. у"=ху; уф) = 1; у'ф) = 0.
14.101. y"-ycosx = xr, уф) = 1; у'ф) = 0;(п = А).
14.102. A + х2)у"+ху'-у = 0; г/@) = 1; у'ф) = 1; (и = 6).
Найти пределы:
14.103. limi^^. 14.104. ton *-"***.
x->0ex -1-х х-+о ~3
14.105. \im(X-^^\ 14.106. lim
х
2+cosx 3
*->°1 х2 х I *->о
t x3sinx x4 ,
V J
14.107. Прибыль от реализации продукции
промышленного предприятия увеличивается в зависимости от роста
удельного веса р высококачественных изделий в общем
объеме выпуска продукции по формуле 5(p) = lnf 1 + — I ,
I а)
где а > 1, 0 < р < 0,2. Аппроксимировать функцию S(p)
линейной и оценить получаемую при этом погрешность.
Указание. Воспользоваться разложением функции
1пA + х) в ряд Маклорена. При оценке погрешности
считать р максимально возможным.

816
Глава 14. Степенные ряды
Контрольные задания по главе 14
«Степенные ряды»
№
1
2
3
4
5
6
7
Вариант 14.1
Вариант 14.2
Вариант 143
Найти область сходимости степенных рядов:
~3-2л/2 32-3л/3~
х6
33-4>Д
„2я-1
£B/г-1)Bп-1)!
5>/2 + 52л/3
х5
53л/4+'"
8x3
V13-53
h 2n-l |
Разложить в ряды по степеням х функции (с указанием области
сходимости рядов):
у=Цт^-х
у = ех cosx
х-3
y~Jx^W
X3 -X3
e -e
У = 5—
2x3
y = exsinx
Вычислить приближенное значение выражения, взяв два первых
члена разложения функции/(х) степенного ряда; указать
погрешность:
cos 12°;
/(.r) = cos.r
ln0,9;
f(x) = \n(l+x)
f(x) = (l+x)m
Вычислить приближенно с точностью до 0,001 определенный
интеграл:
К3 ах
l
\smx2dx
0
0,2 -2x 4
о x
Тест 14
1. Найти длину интервала сходимости ряда
х2 х^ х^
х+—+—+— + ...
2 3 4

Контрольные задания...
817
2. Найти наименьшее значение х из области
сходимости ряда
^ х
■1)
3. Определить середину интервала сходимости ряда
у(-1)"-1Bх-5)п
** 2п-1
4. Найти радиус сходимости ряда
i>9)n*2".
5. Выяснить, какие из приведенных рядов сходятся
при любых значениях х:
оо
i °° 2 л
1 + 2х
6. Разложить функцию у = \п}\ в ряд по степе-
V 1-х
ням х. В ответе дать коэффициент этого ряда при я4.
7. Разложить функцию — по степеням (х + 2). В
отверг
те дать коэффициент этого ряда при (х + 2J.
8. При вычислении ^1,14 было взято два члена
биномиального ряда для функции у = A + х)т при
1
х = 0,14, т = —. Выяснить, какая при этом была
допущена погрешность:
1) « 0,1; 2) « 0,01; 3) ~ 0,001; 4) « 0,0001.
9. Вычислить с точностью до 0,01
1/2 .

818
Глава 14. Степенные ряды
10. Найти максимальное значение х, при котором
приближенная формула cosx = l (представляющая
первые два члена разложения в ряд Маклорена функции у =
= cos x) дает ошибку, не превышающую 0,01. (Округлить
полученное значение х до десятых.)

Раздел VII
ЭЛЕМЕНТЫ
ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЫ

Глава 15
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ КУРС
Комплексные числа применяются для решения
квадратных уравнений. Так, оставаясь в области множества
действительных чисел, невозможно решить квадратное
уравнение, дискриминант которого меньше нуля.
Комплексные числа необходимы в различных
приложениях математики. В частности, теория функций
комплексной переменной является действенным инструментом
при использовании математических методов в различных
областях науки.
15.1. Арифметические операции
над комплексными числами.
Комплексная плоскость
Комплексным числом называется выражение вида
z = x+iy, где х и у — действительные числа, г — мнимая
единица.
Число х называется действительной частью числа z и
обозначается Re(z) (от франц. reele — действительный), а
число у — мнимой частью числа z и обозначается Im(z) (от
франц. imaginaire — мнимый), т.е. х = Re(z), у = Im(z).
Действительное число х является частным случаем
комплексного z = x+iy при г/ = 0. Комплексные числа
вида z = x+n/, не являющиеся действительными, т.е. при
у * О, называются мнимыми, а при х = 0 у * 0, т.е. числа
вида z = iy — чисто мнимыми.

15.1. Арифметические операции над комплексными числами.. 821
Числа z = x+iy и z = x-iy называются сопряженными.
Два комплексных числа z1=x1+iy1 и z2=x2 + iy2 на~
зываются равными, если равны их действительные и
мнимые части, т.е. z1=z2, если Re(z1) = Re(z2), lm(z1) = Im(z2).
В частности z = О, если Re(z) = 0 и Im(z) = 0.
Арифметические операции на множестве комплексных
чисел определяются следующим образом.
1. Сложение (вычитание) комплексных чисел
z1±z2=x1±x2 + i(y1±y2). A5.1)
2. Умножение комплексных чисел
z1z2=(x1x2-y1y2) + i(x1y2+x2yi). A5.2)
В частности,
г2=@+й)@+й) = @-1)+гХ0+0) = -1,
т.е. мнимая единица есть число, квадрат которого равен -1.
3. Деление двух комплексных чисел
2\ = (х\х2 + У\У2) + КХ2У\ - Х\У2) /-, ^q\ A53)
Z2 Х22+У22
Нетрудно убедиться в том, что все арифметические
операции A5.1)—A5.3) над комплексными числами
определяются естественным образом из правил сложения и
умножения многочленов x1+iy1 и x2 + iy2, если считать
i2=-l. Например, произведение комплексных чисел
A5.2) есть
zxz2 = (xt + iyt )(x2 + iy2) = (xtx2 + i2yty2) + i(xty2 + x2yx) =
= (x1x2-yiy2)+i(xiy2 + x2y1).
Пример 15.1. Даны комплексные числа z{ = 12 + Si, z2 =
= 3 - 4г. Найти zx±z2, ztz2, —.
Решение. 2
zt+z2=A2 + 5i)+C-4i) = \5+i;
г1-г2=A2+5г)-C-40 = 9+9г;

822
Глава 15. Комплексные числа
z{z2 =A2+50C-40 = 36+15i-48z--20i2 = 56-33г
(здесь учтено, что г = -1).
zx _12+5*
Умножая числитель и знаменатель на со-
22 3—4г
пряженное делителю комплексное число 3+4г, получаем
zt _ A2+5QC+4Q __ 36+15i+48i+20i2 _
г2 C-4i)C+40
9-Ш2
16+63*
25
= 0,64+2,52г. ►
Если для геометрического изображения действительных
чисел используются точки числовой прямой, то для
представления комплексных чисел служат точки координатной
плоскости Оху.
Плоскость называется
У - Im(z)
комплексной, если
каждому комплексному числу
z = х + гу ставится в
соответствие точка плоскости
z(x,y), причем это
соответствие взаимно
однозначное (рис. 15.1).
Оси Ох и Оуу на
которых расположены
действительные числа
z = x + 0i = x и чисто мнимые числа z = 0+iy = iy,
называются соответственно действительной и мнимой осями.
х = Re(z)
Рис. 15.1
15.2. Тригонометрическая и показательная
формы комплексного числа
С каждой точкой z (x, у) комплексной плоскости
связан радиус-вектор этой точки Oz, длина которого г
называется модулем комплексного числа z и обозначается \z\
(см. рис. 15.1):
■ = \г\ = у[7^.
A5.4)

15.2. Тригонометрическая и показательная формы» 823
Угол Ф, образованный радиусом-вектором Oz с осью
Ох, называется аргументом комплексного числа z и
обозначается Argz. Из значений ф = Argz выделяется главное
значение argz, удовлетворяющее условию -я < argz < к,
например, arg5 = 0, arg(-3i) = —-, arg(l - i) = —.
Очевидно (см. рис. 15.1), что
x = rcosq>,y = rsmq>.
A5.5)
Следовательно, комплексное число z-хл-гу можно
представить как
Z = r(C0S(p+ism<fi).
A5.6)
Представление комплексного числа в виде A5.6), где
г = | z] > 0, ф = Arg z, называется тригонометрической фор -
мой комплексного числа.
Сформулируем некоторые свойства арифметических
операций над комплексными числами.
1. При сложении (вычитании)
комплексных чисел их радиусы-
векторы складываются
(вычитаются) по правилу
параллелограмма. z]
На рис. 15.2 показаны
радиусы-векторы комплексных чисел
zt и z2, их суммы zx + z2 и
разности 21 - 22 .
2. Модуль произведения
(частного) двух комплексных чисел
равен произведению (частному)
модулей этих чисел, а его аргумент - сумме фазности) аргументов
этих чисел, т.е.
если z = zxz2, то |z| = rjr2 =|z1|-|z2|,
Рис. 15.2
Argz = ф! + ф2 = Argzx + Argz2;
если z = ^(z2*0), то|г| = ^ = р|(г2=|г2|^0),
A5.7)
А^ = ф1-ф2=А^1-А^2.
A5.8)

824
Глава 15. Комплексные числа
Геометрически умножение числа zx на z2 означает
изменение длины радиуса-вектора гх (или г2 ) в г2 (или гх ) раз и
его поворот вокруг точки О против часовой стрелки на угол
ф2 (или (pj).
Пример 15.2. Комплексные числа 2^=-1 + i, z2
представить в тригонометрической форме и найти zxz2
и —- .
из соотношении
Решение. По формуле A5.4) найдем модуль комплексно
го числа zx: гх =|21| = ^/(-1J + 12 = V2, a
A5.5) cos(p = —^, sin9 = -^= получим аргумент числа zx
(берем его главное значение): 91=argz1 =
rz( Зя . . Зя
= v2 cos— + шп—
4 4
Зя
т
т.е. z< =
Аналогично г2 = |*2| = vW^) + 1 = 2, cos(p2 =—, sincp2 =
1 я _f я . . я
= -,т.е. 99=argz2=— и z9 =2 cos— + mn—
2 6 2 6 6
Теперь по формулам A5.7) и A5.8) находим
2122=V2-2
(Зк я
cos — +
^ . . (Зя к\\
\+ism\ —+- =
^4 6) [4 6)\
0 /г[ 11Я . . 11Я
= 2v2 cos—— + г sin
12
L-^2
12
Зя я
(Зк кЛ . .
cos -и sin,
^4 6 J 14 6
4г( 7я .. 7я^
= — cos—+шп—
2 ^ 12 12 \
Так как в соответствии с формулами A5.7) и A5.8) при
умножении комплексных чисел их модули
перемножаются, а аргументы складываются, то легко получить формулу

15.2. Тригонометрическая и показательная формы. 825
возведения комплексного числа в натуральную степень п,
известную как формула Муавра^:
[r(cosq>+isincp)]* = r"(cosn(p+isinn(p). A5.9)
Пример 15.3. Найти (-1+iJ0.
Решение. В примере 15.2 было получено, что
to
4
-1 + г = л/2| cos——+isin— |. Поэтому по формуле Муавра
A5.9) находим
(-1+020 =
-(Г2)
/г( Зя . . Зя
л/2 cos— н-zsin
4
20
\20
Зтс
coslW — ]+isin|20--
= 1024(cosl5rc+isinl57c) = 1024(-l+0i) = -1024. ►
Обратимся к извлечению корня из комплексного числа.
Пусть
yfz = p(cos\|/H- fsinvj/).
Тогда, используя определение корня и формулу
Муавра A5.9), получаем
z = [p(cos\|/+isin\|/)] = pw(cosn\|/+zsinrc\|/)
или
r(coscp+/sincp) = pw(cosrc\|/+zsinw\|/).
Отсюда следует, что
р"=ги я\|/ = (р+2л&, где keZ.
Итак, p = yfr и \|/ = — , keZ,
т.е.
п
yfz = ^r(cosq>+isin<p) = \[z
где £ = 0,1,2,..., я-1.
' ф + 2л& . . ®+2%k\
cos- + zsin- I, (i5io)
n
n
Муавр Абрахам де A667—1754) — английский математик.

826
Глава 15. Комплексные числа
При k = п, п + 1, ... значения корня уже будут
повторяться.
Таким образом, корень п-й степени из комплексного
числа (не равного нулю) имеет п различных значений.
Пример 15.4. Найти \J-l + i.
Решение. В примере 15.2 было получено, что z{ = -!+/ =
rz( Зл . . ЗиЛ
= v2 cos— + zsm—
/
Ч^Гг=Ш
. По формуле A5.10) имеем
Зя
- + 2nk
cos-
- + ism
— + 2%k
4
3 3
откуда получаем три значения корня
V
6 = 0,1,2,
Zi =(yll + i) =y/2\ cos— + isin—
1 V' h у 4 4
2 v h у 12 12 J
/3/:—:\ 6fc( 19tc . . 19л
Zo= КЦ + 0 =v2 cos + isin
3 v ;з ^ 12 12
Рис. 15.3
На комплексной плоскости
найденные значения корня
представляют равноотстоящие друг
от друга точки zv zT z3,
расположенные на окружности радиуса
^ #2 (рис. 15.3). ►
Связь между
тригонометрическими и показательными
функциями выражается формулой
Эйлера1.
ещ =cos(p+isin(p. A5.11)
1 В приводимом здесь частном случае формулы Эйлера ф —
действительное число.

15.3. Действия над комплексными числами 827
Отсюда следует показательная форма комплексного числа
z = n*, A5.12)
где r = \z\; (p = Argz.
В заключение отметим, что в показательной форме, так
же как и в тригонометрической, легко проводить операции
умножения, деления, возведения в степень, извлечения
корня из комплексных чисел.
Пример 15.5. Комплексные числа z^-l + i, z2=\l3 + i
представить в показательной форме.
Решение. В примере 15.2 было получено, что
( Зя . . ЗиЛ
cos— + ism—
4 4
zx=-l+i = j2
z2 = л/3 н-г = 2| cos— + isin— |.
6 6
Следовательно, по формуле A5.12)
.Зтс .тс
zt=-l + i = yf2e 4;z2 = 2e6. ►
ПРАКТИКУМ
15.3. Действия над комплексными числами
15.6. Решить уравнение:
а) х2+9 = 0; б) х2-х + 1 = 0; в) х4-6х2 + 25 = 0;
г) х6-1 = 0.
Решение.
а) Перепишем уравнение в виде х2 = -9, откуда
x12=±V=9 = ±3i.
б) По формуле корней квадратного уравнения
_1±л£з_1±|Ч/3
в) Полагая х2 = у, получаем уравнение

828
Глава 15. Комплексные числа
г/2-6г/ + 25 = 0, откуда y12=3±ypl6 = 3±4i.
Теперь x2=3 + 4i и x2=3-4i.
Первый способ. Решим первое уравнение. Приведем
комплексное число 3+4г к тригонометрическому виду.
Получим (аналогично примеру 15.2)
3+4/ = 5(cos(p+isin(p), где coscp = -, sinq> = -.
5 5
Тогда х2 =5(cos(p+isin(p) и по формуле A5.10)
х -Я(со^ + 2пк I плф + 2в*\ Jb —pi
1,2 (^ 2 2 /
При ^ = 0,^! =л/5 cos— + fsin— =л/5 —^ + —^i =2 + r,
:сь учтено, что V ^ ^у \^v5 V5 J
здесь
ф /l + COS(p
cos— = +J - =
2 V 2
^Ф /l-cosq>
2 V 2
При k = l x2=\[5 cos—
= V5 -cos—-
Ф •■„•„Ф^
zsin-
= -2-i.
Аналогично решениями уравнения х = 3 — 4г будут
х3 =2-i и х4 =-2 + г.
Второй способ. Решим уравнение х2 =3 + 4i. Пусть
комплексное число x = u + iv, где и и v — действительные
числа. Тогда (u + ivJ = 3+4i или (u2-v2)+2uvi = 3+4i.
Из условия равенства комплексных чисел получим
систему
Jw2-e2=3,
1 2uv = 4,

15.3. Действия над комплексными числами 829
к =2,
решая которую методом подстановки, найдем J ^ или
к-2, ^
|^2 = -1, откуда хх = 2 + i, х2 = -2 - i.
Аналогично решениями уравнения х2 = 3-4г будут
числа x3=2-i и x4=-2+z.
г) Перепишем уравнение в виде х6 = 1 и по формуле
A5.10) найдем шесть корней уравнения (при k = 0, 1, 2,
3, 4, 5):
_< -^-^ _ , ,1 .л/3
*i -1» x2,3 ~ "о 2"' ^4 "~ *5,6 ~~ S!~Z~2~'
15.7. Даны комплексные числа zx = 15 + 8г, z2 = 4-Зг.
Найти: а) ^±23; б) 2^; б) —.
г2
15.8. Комплексные числа zx = l-i, z2 = -V3 + i
представить в тригонометрической форме и найти:
a)V2; 6) *L;b) ^г)^.
*2
15.9. Комплексные числа z{=l-i, z2=-\[3 + i
представить в показательной форме.
15.10. Даны комплексные числа zt=5-12i, z2=-6 + 8i.
Найти:
a) zx+z2\ б) zx-z2; в) z^; г) -к
22
15.11. Комплексные числа zx=l-i, z2=-v3-i
представить в тригонометрической форме и найти zxz2 и -^ .
15.12. Найти все значения
15.13. Построить множества точек z по условиям:
a) |z|<3; б) |г|<2 и ~<ф<тс;
в) 2<ф|<4 и -тс<ф< —.
Вычислить:
15.14. j^. 15.15. (a + bif-(a-bif.

830
Глава 15. Комплексные числа
15.16. A-06.
A+01
15.17. B+гЧ/12M.
15.18.
15.20.
100
(л/з-о;
.•\50 •
15 19 <-1 + ^
A-0100
,50
1 + COS—+ 2Sin—
3 3
2л
Решить уравнения:
15.22. ж2+ 16 = 0.
15.24. x4+3x2+4 = 0.
15.26. х8-17л:4+ 16 = 0.
15.21. V2e'T.
15.23. х2 + лг+4 = 0.
15.25. х6-64 = 0.
Контрольные задания по главе 15
«Комплексные числа»
№
1
2
3
4
Вариант 15.1
Вариант 152
Вариант 153
Даны комплексные числа z и z .
Z\
Найти: a) z^ + z^ б) zt - z^ в) z^ г) -Ч
22 |
^=8 + Зг,
z2=8 + 6i
Zj = 2—5г,
z2 =6-8г
z{=3+7i, I
z2=-8+6i |
Комплексные числа z и z представить в тригонометрической
форме. Найти: a) z.z' б)—; в) zx ; г) \/2i:
12^ z2 |
zx = ->/3 + z,
z2=l-i
2!=1+г,
z2=yfS-i
zx=y/3 + i,
Найти z
A-0100
г (Тз+о50
2_(>/з-050
A+0100
z„ и+о50
(-V3+025
Решить уравнения:
а) 3x48 = 0;
б) х2-2х + 2 = 0;
в) х4-10х2+169 = 0;
г) х4б4 = 0
а) 4x45 = 0;
б) х2-6х + 16 = а,
в) х4-30x4 289 = 0;
г)х4+4 = 0
а) 2x47 = 0;
б) x4l0x+28 = 0;
! в) х4+6x425 = 0;
г) х4+1 = 0

Контрольные задания»
831
No
5
Вариант 15.1
Вариант 152
Вариант 153
Построить на комплексной плоскости множество точек:
a)|z| = 3;
*ч Л
6)argz = -;
в)Н<4;
r)|z-3|<5
а) N = 7;
*ч К
б) argz = -;
4
в) |z<5;
г) |z+4>6
a) |z| = 1;
б) argz = -;
в) 2>3;
г) |z + l|<2
Тест 15
1. Найти \г\, если
2. Найти (в градусах) (p = argz, если
2 = _V3 + /, -180°<ф<180°.
3. Найти \z\, если z = zt-z2, ^ = 13—5/, z2 = 1 -21/.
4. Найти действительную часть Re(z), если
2 = ^+^2, г^СсозбО^шпбО0), 22=3(cosl20° + /sinl20°).
5. Найти |г|, если z = ztz2, zx =8-15/, z2 =-6+8/.
6. Найти (в градусах) ф = arg2, если z = — ,zt= -1+w3,
22=1-/. Z2
7. Найти \z\, если z = (-8 + б/N.
8. Найти (в градусах) ф = а^2, если
2 = A-/V3J0, -180°<ф<180°.
9. Из всех десяти значений i^Zi взято комплексное
число, имеющее наибольший а^2 = ф(-180° <ф<180°).
Найти это ф.
10. На рис. 16.1 выделены множества точек z = х + гу
комплексной плоскости.

832
Глава 15. Комплексные числа
Для каких множеств точек одновременно выполняют-
ся условия 1 < \z\ < 2, - к < argz < —?

КОНТРОЛЬНЫЕ
ЗАДАНИЯ И ТЕСТЫ
по дисциплине «Математический
анализ», часть 2 (разделам IV—VII)
Учебно-тренировочные тесты
Итоговые контрольные задания
Итоговый тест

Учебно-тренировочные тесты по дисциплине «Математический анализ»,
часть 2 (разделам IV—VII)
П^Г
1
2
Тест МА-2.1
Найти значение параметра а
при котором функция
F(x) = arcsin(ax), является
первообразной для функции
9
f(x)~
П) Vl-4*2
Найти FB)-F(l), если F(x) -
первообразная для функции
/(*) = 2-Чп2
Тест МА - 2.2
Указать функцию f(x), для
которой первообразной
является функция
F{x) = (x2+l)ex+5.
Ответы:
1) f{x) = 2xex+5;
2) /(*) = (* + l)V+5;
3) f{x) = 2(x2+5x)ex+A;
4) f{x) = (x2-2x + 3)ex+5
Найти приращение
первообразной F(x) для
функции f(x) = sin—
на отрезке [0;я]
Тест МА - 2.3
Указать функцию F(x),
которая является
первообразной для функции
Ответы:
1) F(*) = (*2+l) + ln(x2+l);
2) *(*) = -Ц;
3)F(*) = ln(*2 + l);
4) F(*) = (*2+l).ln(x2 + l)
Найти ординату точки пересечения
прямой х = 1 с той первообразной
для функции /(#) = —, которая
проходит через точку (в2; 7J

Продолжение учебно-тренировочных тестов
ГйГ
3
4
Тест МА-2.1
Указать замену переменной,
которую необходимо
выполнить в интеграле
J хъе*Ъ dx для его упрощения
или сведения к табличному.
Ответы.
1) t = x5; 2) t = x2e*3;
3) t = x3; 4) t = e*3
Тест МА - 2.2
Указать вид, который примет
Лп(лг + 1)
интеграл J —or после
замены переменной
t = ln(x + l).
Ответы:
1) J-^«fc; 2) \tdt\
3) Jy; 4) jlntdt
Тест МА - 2.3
Указать представление
интеграла \x2sinxdx в виде
J udv, которое при
интегрировании по частям
приведет к табличному
интегралу.
Ответы:
1) w = sinx, dv = x2dx;
2) w = xsinx, dv = xdx;
3) u = x2, dv = sinxdx;
4) u-x, dv = xsinxdx
Найти значение параметра а, при котором верно равенство:
г 12dx ,
l4x^i = aln
х- 0,5
х + 0,5
+ С
jSxe *idx = ae*2+i+C
г dx
Uyl4x2+1~
= -ln|2x + V4x2+l| + C 1
a 1 1

Продолжение учебно-тренировочных тестов
[~n^
5
6
7
Тест МА - 2.1
Тест МА - 2.2
Тест МА - 2.3
Вычислить определенный интеграл:
J х3cosx2dx
0
J Jtln(jt2 + l)djc
0
\еГхйх
0
Найти площадь фигуры, изображенной на рисунке:
г/ = 2-хч yl
2
1
[ 1у = х*
012Х ^
0
Ь5 "х
у = inx
0
г 2 х
Найти значение параметра я, при котором: |
объем тела, образованного
вращением вокруг оси Ох
заштрихованной фигуры
(см. задачу 6), равен
V -™
х 21
площадь поверхности,
образованной вращением
вокруг оси Ох кривой
у = у[хпри хе[0; 12],равна
Sx=cm
объем тела, образованного
вращением вокруг оси Оу
заштрихованной фигуры
(см. задачу 6), равен
Vy=an

Продолжение учебно-тренировочных тестов
Hi"
8
9
10
111
Тест MA - 2.1
Тест МА - 2.2 | Тест МА - 2.3
Найти значения параметра а, при которых сходится интеграл:
оо
\emdx
1
г dx
J r«*
"*Г dx
Ответы: 1) при всех а > 0; 2) при всех а < 0; 3) при всех а; 4) ни при каких а
Указать дифференциальные уравнения первого порядка:
линейные
Ответы: 1) у' = 2у*Х ; 2)
Зх + 7
однородные
,.*+*-/_*. q\ ,/_ ЗУ . а
с разделяющимися переменными
Ч ../ У
г/ 2х + 3у х + 5
Найти значение параметра а, при котором функция:
у = яе2* является решением
уравнения у"-у' = е2х
Найти ординату точки
пересечения прямой х = 2
с интегральной кривой
уравнения у'-2:г = 0,
проходящей через точку A; 3)
г/ = acos(x + 5) является решением
уравнения у' = 2sm(x + 5)
Найти /C), если
У = f (х) — частное решение
уравнения у"-2х = 0,
удовлетворяющее условиям
/(!) = !, /@) = 0
y = axlnx + ax является решением
уравнения у = —
2х
Найти /A),если
у = f (х) — решение
уравнения 2яу' = 0,
удовлетворяющее условию
/М = 1 1

Продолжение учебно-тренировочных тестов
ГиГ
12
13
Тест МА - 2.1
Тест МА - 2.2
Тест МА - 2.3
Исследовать на сходимость ряды:
оо
v_2?_.
2) 2* ГТТ7
v^ я + 1
"&FT25
,,уИГ(»+1)
оо
2)hj771
Ответы: 1) оба ряда сходятся; 2) ряд A) сходится, ряд B) расходится;
3) оба ряда расходятся; 4) ряд A) расходится, ряд B) сходится
Указать вид сходимости рядов:
v (-1)"
2)h я3+з
v (-1)"
пуИГ(«+1). 1
1}£ 2я2+3 '
у (-1)"
2) йBя+3)
Ответы: 1) оба ряда сходятся абсолютно; 2) ряд A) сходится абсолютно, ряд B) — условно;
3) оба ряда сходятся условно; 4) ряд A) сходится условно, ряд B) — абсолютно

Продолжение учебно-тренировочных тестов
HnT
14
15
16
17
Тест MA-2.1
Указать ряды, для которых не
выполнено необходимое условие
сходимости
vBY v"
Ответы. 1) Л Q r 2) JL
Найти длину интервала
сходимости степенного ряда
п=1
Тест МА - 2.2
Указать ряды, исследование
которых по признаку Даламбера
приводит к ответу
Тест МА - 2.3
Указать ряды, исследование
которых по предельному
признаку сравнения с помощью
гармонического ряда приводит к ответу
+1- т,У И)" • алТ(*)'- «У 
+з' 3'£V^7' *'йЫ' J'i«3+3
Найти радиус сходимости
степенного ряда
п=1 Z
Найти длину интервала
сходимости степенного ряда
£4я-*2я
л=1
Найти наибольшее целое значение х из области сходимости степенного ряда:
у(*+2)"
Я "+2
f ИГ*"
£л2+2л
Вычислить третий член разложения функции:
/(х) = A + хKвряд
Маклорена в точке х = 0,5
/(*) = *?* в ряд
Маклорена в точке х = 0,5
/(х) = 1пх в ряд Тейлора по
степеням (х -1) в точке х = 0,7

Окончание учебно-тренировочных тестов
|№
181
Тест МА - 2.1
Тест МА - 2.2
Тест МА - 2.3
Указать рисунок, на котором изображена область определения функции:
z = $\x2+y2-\
z = ln(l-x2-y2)
z = arcsin(:r2 + z/2)
Ответы:
ч&
Ъг
4)
УК
'/Л
19 | Найти критические точки
функции
г = 5х3+4-2г/3+6г/
Найти точки экстремума
функции
z = x3-3x-3y2+6y
Найти точки условного
экстремума функции
z = 2x3-3x2+3y2+6y при
х + у = 0
Ответы: 1) @;0); 2) @;1); 3) @;-1); 4) A;1); 5) (-1;1); 6) A;-1); 7) A;0); 8) (-1;0)
I 20 I Найти значение второй частной
производной z" фикции
z = хе** в точке @; 2)
Найти значение частной
производной z'y функции z-yx в
точке A;2)
Найти значение функции
z = 4i/2+4-x2+3
в критической точке

Итоговые контрольные задания по дисциплине «Математический анализ»,
часть 2 (разделам IV—VII)
7
Вариант МЛ.2.1
Вариант МЛ.2.2
Вариант МЛ.2.3
Вариант МЛ.2.4
Вариант МЛ.2.5
Найти неопределенный интеграл:
|(х+3)б
*~2хах
dx
'x(lnx+3)
\х'
2х-5
-5x+Af
rdx
е2х+9
dx
Вычислить определенный интеграл:
\х2-х+1
1+х2
dx
]B-х)е
"dx
dx
\х2-1х+\Ъ
JC*2 + l)ln(x2 +\)dx
г xdx
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
Найти объем тела, образованного вращением
фигуры, ограниченной линиями:
кривой у = In х,
касательной к ней
в точке х = е
и осью Ох
у = хуу = 2,
х = 0
У = (х-4J,
у = х2,у = 1
у = хех,х = 1, г/ = 0
вокруг оси Ох
ху = 6,у = 1,
» = 6
вокруг оси Оу

Окончание итоговых контрольных заданий
К№
4
5
6
7
8
Вариант МА2.1
Вариант МА.2.2
Вариант МА.23
Вариант МА.2.4
Вариант МА.2.5
Решить дифференциальные уравнения:
ау-Bх-у+3)ах = 0
у"+2у'-8у = 1
, ху + у2
X
у"-2у' = 2+3ех
2уу'-х3^5-х4 =3у'
у"+5у'+6у = х
у'+2у = хе х
y"+y'=cosx
(х+3)ау-
-(х2-5)е~2уах = 0
у -2у =е
Исследовать сходимость ряда:
уЗип2
if-—T
Найти область сходимости
степенного ряда:
** п2 1
v(-1)nv
S2-+3
;~i w2+3w+i
ОО 1
Y« п\
Вычислить с точностью 8:
0
8 = 0,01
3/8Д 8 = 0,0001
~(-1)»+1(и+2)
Я я2+5
Разложить функцию
у = (х- tgx)cos^
в ряд по степеням х
Найти экстремумы функций двух переменных:
2 = 2х2+^—х
X
z = yfxtfy-2x-4y
z = 8x+10#-x2-
-ху-у2
z = 8x3-y3-6xy
z = exBx+y2)

Итоговый тест МА.2
1. Пусть F(x) - первообразная функции f(x) = 6. Вычислить определенный интеграл
= 2х - 5, удовлетворяющая условию ДО) = 0. Vs
Найти FE). Г 6xyj5-x2dx.
2. Пусть f(x) - такая функция, что F(x) = J
= х3 - 5х + 1 является ее первообразной. Найти
/B).
3. Найти все первообразные для функции
f(x) = 12e3x+2+24x3.
Ответ: F(x) = яе3*+2 + bxA + <ir+С, где а = ...,
b = ... ,d = ... (а, 6, rf - целые числа).
4. Найти неопределенный интеграл J j •
7. Вычислить определенный интеграл
е
\\fxlnxdx.
* ае2+4 L
Ответ: —:—, где а = ... , о =
целые числа). *
(я, 6 -
Ответ: (ax+b)~x +C, где а = ..., b = ... (а, 6 —
целые числа).
5. Найти неопределенный интеграл
8. Вычислить определенный интеграл
dx
jB-x)e
Ответ: е
целые числа).
-2xdx.
_2*ОГ-3
г dx
lx2+6x+5'
1 h
Ответ: —In-, где а = ..., b = ... (я, b — целые
+ С, где а = ..., b = ... (a, 6 - числа). а

9. Найти площадь фигуры, ограниченной
линиями у = -х2+4х-3,у = 2х-3.
Ответ: —, где а = ... , b = ... (a, b — целые
Ъ
а
числа, а дробь т несократима).
10. Найти площадь фигуры, ограниченной
осями координат и линиями у = х2 + \,х + у-
-3 = 0.
Ответ: Т, где а = ... , b = ... (a, b — целые
Ъ
числа, а дробь — несократима).
о
11. Вычислить объем тела, полученного
вращением вокруг оси ординат фигуры,
ограниченной линиями у = lnx, у = 1, х = 0.
Ответ: 0,57t(efl + 6), где а = ... , Ъ = ... (а, 6 —
целые числа).
12. Вычислить объем тела, полученного
вращением вокруг оси абсцисс фигуры,
ограниченной линиями у = л3, у = 0, х + у = 2.
Ответ:
an
где а = ... > b = ... (а, 6 - целые
числа, а дробь -г несократима).
13. Пусть г/ = у (х) - интегральная кривая
дифференциального уравнения (х+1)г/2г/' = 1,
проходящая через точку @; 0). Найти у(е9 -1).
14. Пусть у = у(х) - решение
дифференциального уравнения e2x+ydy+ C - х2е2х )dx = 0,
удовлетворяющее условию у@) = In 1,5. Найти уA).
Ответ: Ы —е~2+- , где а = ... , b = ... (а,
B 3)
b - целые числа).
15. Найти целое значение параметра а,
при котором интегральная кривая уравнения
7
у'+у = е5х, проходящая через точку @; - ),
1 а
проходит через точку (In 2, — ).

16. Найти у(т 2), где у = у(х) - решение
дифференциального уравнения у"=е2х,
удовлетворяющее начальным условиям у@) = 0,25; у'@) =
= 0,5.
17. Из данных рядов выбрать сходящиеся:
0i3";2,|^;3)|^;4)|(if;
V1
W=f
5"
18. Исследовать сходимость ряда Л,-о— с
помощью признака Даламбера. В ответе указать
полученное значение / и вывод: в случае
сходимости ряда — 1; в случае расходимости ряда — 2.
Ответ: I =... Вывод: ...
19. Из данных рядов выбрать расходящиеся,
условно сходящиеся, абсолютно сходящиеся:
Ответ: расходящиеся ... ; условно
сходящиеся ...; абсолютно сходящиеся ...
20. Перечислить ряды в порядке
возрастания их радиусов сходимости:
и=1 П 11=1 ^ + 4 h=0J + 4
оо
4)УЛЕ_.
П=0й +4
00 я2
21. Дан ряд У—о—#я- Выбрать верные
я=0Зя*+1
высказывания:
1) ряд сходится при х - 0,5, при х = 1, при
х = -0,5, при х = -1 и расходится при дг - 1,5;
2) ряд сходится при х = 1 и расходится при
х = -0,5, х = 0,5.

3) ряд сходится при х = 0,5, х = -0,5, х = -1
и расходится при х = 1, х = 1,5;
4) ряд сходится при х = 0,5, х = -1, х = -1,5
и расходится при х = 1,5, х = -2.
5
22. Вычислить 3|1пA + 2х)<&, взяв два пер-
0
вых члена разложения в ряд подынтегральной
функции.
23. Найти наибольшее значение функции
2х
z- ту 7 на кРУге единичного радиуса с
1 + х +у1
центром в начале координат.
24. Найти наименьшее и наибольшее
значения функции z = x2 +4у2-2х в треугольнике,
ограниченном осью ординат и прямыми у =
= 2 - х и у = -1.
Г

Приложение
Об использовании математических пакетов
при изучении курса высшей математики
При решении конкретных математических задач в
настоящее время широко используются возможности,
предоставляемые компьютерными технологиями.
Сравнительно давно (если такой термин вообще
применим по отношению к интеллектуальным технологиям
(IT)) появились программы, позволяющие реализовать
математические операции, результатом которых является
число (или набор чисел). Такие программы существовали
в среде DOS и даже в более ранних операционных
системах. В среде Windows численные результаты позволяет
получить стандартное приложение Excel, входящее в пакет
Microsoft Office. В Excel доступны операции линейной
алгебры - перемножение матриц, вычисление определителя,
нахождение обратной матрицы. Встроенная база основных
функций позволяет с заданной точностью находить
значения экспоненты, логарифма, степени с любым числовым
показателем, тригонометрических, обратных
тригонометрических и многих других функций. Возможно
приближенное вычисление определенного интеграла с заданной
точностью.
В настоящее время появились специализированные
программы и математические приложения - Mathcad,
Maple, Matlab, Mathematica и др. Их отличие, например от
Excel, заключается в том, что они позволяют получить
результат в аналитическом виде.
Наиболее распространенной среди указанных выше
является программа Mathcad, позволяющая осуществлять на
компьютере выполнение разнообразных математических и
технических расчетов, предоставляющая пользователю
инструменты для работы с формулами, числами, графиками и

848
Приложение
текстами, снабженная простым в освоении графическим
интерфейсом.
В программе Mathcad доступны более сотни операторов и
логических функций, предназначенных для численного и
символьного решения технических проблем различной
сложности. Mathcad содержит обширную библиотеку встроенных
математических функций; инструменты построения графиков
различных типов; средства создания текстовых комментариев
и оформления отчетов; конструкции для написания
программ решения задач, которые невозможно (или сложно)
решать с помощью стандартных инструментов программы;
удобно организованную интерактивную систему получения
справки и оперативной подсказки.
Программные средства такого типа в отечественной
литературе называют универсальными пакетами, системами
или средами.
Основное отличие пакета Mathcad от других
программных средств этого класса состоит в том, что
математические выражения на экране компьютера представляются в
общепринятой математической нотации, т.е. точно в таком
виде, как в книге, тетради, на доске. Записав в привычной
форме математическое выражение, можно выполнить с
ним самые разнообразные символьные или численные
математические операции: вычислить значение, выполнить
алгебраические преобразования, решить уравнение,
продифференцировать функцию, построить график, найти
интеграл и т.п. Можно снабдить вычисления текстовыми
комментариями, иллюстрациями, построенными в других
приложениях, и получить полный отчет о проделанных
вычислениях.
Приведем в качестве примера1 фрагмент рабочего
документа Mathcad по исследованию и построению графика
функции f(x) = y]x2(x + 3) (из которого удалены
громоздкие выражения для первой и второй производной, а
приведены их упрощенные выражения).
1 Здесь и далее примеры фрагментов рабочих документов Mathcad
приводятся по пособию [18].

Приложение
849
f(x) = ^x2(x + 3)
f(x)
-ff(x)
dx
x + 1
к : = lim^->1 b := lim(f(x)-x)->1
X->oo X X->oo
k= 1 b = 1
f(x)
^x2(x + 3)
Наклонная асимптота у = x + 1
f'M
1
3(х^(х + 3)У
+ 3))H
rBx(x + 3) + x2)
Упрощенное выражение f'(x) f'(x) = 0 Точка максимума
(x + 2)
(x2(x + 3))v3J
f(x)
(x + 2)
-2
f(-2) = 1,587
(-2,1587)
Упрощенное выражение f"(x)
-2
(х^-(х + 3)У
+ 3)I3J
(x
+ 3)(x2(x + 3))W
Знаменатель f"(x) f"(x) = 0 не существуют Точка перегиба
(х
+ 3)(x2(x + 3))v3J
ГО]
-3
f(-3) = 0
(-3,0)

850
Приложение
Отметим некоторые возможности пакета Mathcad.
Mathcad позволяет проводить операции с матрицами,
заданными параметрически. Ответ также может быть
приведен в аналитическом виде. Например, если с помощью
встроенного редактора записать матрицу
( 1 N
л/2
1 2
и задать команду нахождения обратной матрицы, то ответ
'2 -а
Л,
Имеется возможность находить пределы, причем
результат может быть как чисто числовым, так и зависящим
будет приведен в виде
1
у/2-а
-1
от параметра. Если вычислять предел вида lim 1 + — ,
программа выдаст ответ exp (a). v y
Для вычисления производных следует записать
функцию и, отметив в ней переменную, задать команду
«Дифференцирование». При этом, если имеется несколько
переменных аргументов функции, будет вычислена
соответствующая частная производная. Ее аналитический вид
уже будет включать необходимые сокращения. Например,
если задать функцию \п(х + \\х2 +у2) и указать на пере-
1
менную х, то получится ответ
\]х
2 , 2
+ У
Mathcad позволяет также находить интегралы в
функциональном виде. Например, фрагмент рабочего
документа Mathcad с вычислением неопределенного интеграла
\x2yj\-xdx методом замены переменной выглядит так:
f(x): = x^</1-x
t(x): = </1-x
^Гос-t 1-t3 -3t2
х2-3УГ"х
A-t3J(t3)V3J

Приложение
851
A-t3)(t3)W.(-3t2)dt^^t10+^t7-^.f
А
10 " 7" 4 '
z3.tio+|.t7.3.t4 ^.A.хР) + |.A-х)й-|-A-хH
— A-x)V3JA4A-xJ-5 + 40x)
х- --, х х --, - - -О
140 х
Проверка
— •A-x)l3J.A4-A-xJ-5 + 40-х)——-A-x)^J-A2 + 28-x)
Ответ F(x): = — -A-x)i3J-A4-A-xJ-5 + 40-х)
140
Если попытаться найти «неберущийся» интеграл, то об
этом последует сообщение. Например, при попытке взять
интеграл выйдет сообщение «не найден
символьный результат».
Однако следует отметить, что встроенная база Mathcad
содержит значительное число неэлементарных функций,
представляющих собой первообразные часто
встречающихся, имеющих значение для практических приложений
г2
— в sin х
функций, таких как е 2 , —, и др. Эти
первообразные называются специальными функциями.
Mathcad позволяет также решать дифференциальные
уравнения. При этом можно находить аналитические
решения (если таковые существуют). Например, фрагмент
рабочего документа Mathcad с решением задачи Коши по
нахождению частного решения дифференциального урав-
ех
нения у- , удовлетворяющего начальному усло-
уA+е*)
вию г/@) = 1, имеет вид

852
Приложение
Х(х):= 6ХР(Х) Y(y): = V
v ' 1 + ехр(х) vy; У
X(t)dt->lnA + exp(x))-lnB)
lnA + exp(x))-lnB) = fly2-l
[-^2 • lnA -h exp(x))- 2 lnB) + ll
[V2-lnA + exp(x))-2-lnB) + 1 J
y(x): = V2lnA + exp(x))-2lnB) + 1
6 Г
4
УМ
О 5 10
x
Здесь показаны лишь немногие из возможностей
Mathcad и других аналогичных математических пакетов.
Специализированные математические программы
регулярно обновляются, их возможности постоянно
увеличиваются.
Это позволяет использовать их в процессе изучения
курса математики в экономическом вузе. Выполняя рутинные
и несущественные (в контексте изучаемой темы) операции,
математический пакет позволяет студенту самостоятельно
выполнять громоздкие вычисления, решать
содержательные задачи, овладеть навыками решения прикладных задач,
исследовать на основе собственных наблюдений новые
объекты, выявлять их свойства и закономерности.
Рассматривая проблему использования ПЭВМ в
вузовском учебном процессе по математическим дисциплинам,
Y(t)dt->ly2-^
)

Приложение
853
следует отметить, что в настоящее время преобладают две
крайние тенденции - персональные компьютеры
полностью игнорируются или, наоборот, на них перекладывают
всю прикладную часть курса, избавляя при этом студента
от необходимости понимания реализованных в
компьютерных программах математических идей и методов.
Таким образом, вместо освоения математических методов,
составляющего одну из основных задач вузовского курса
математики как фундаментальной дисциплины,
происходит освоение интерфейса программных продуктов. При
изучении математики нужно научиться пользоваться ее
определениями и методами, применяя персональный
компьютер для выполнения трудоемкой и рутинной работы.
Но заменять, например, изучение дифференциальных
уравнений и методов их решений использованием готовых
программ недопустимо. Последнее возможно лишь после
глубокого усвоения студентом учебного материала, либо
для получения конкретного результата уже
сформировавшимся специалистом, но никак не при первоначальном
изучении математического курса.
Освоение компьютерных программ никоим образом не
может заменить само изучение предмета. Такие
программы способны помочь получить решение конкретной
задачи, однако для умения ставить задачу, интерпретировать
результаты, находить связь с другими проблемами и
областями (в том числе экономики) необходимо освоение
содержательной части курса.

Литература
1. Высшая математика. Общий курс / под ред. А. И.
Яблонского. — Минск : Высшая школа, 1993.
2. Высшая математика для экономистов / под ред.
Н. Ш. Кремера. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2006.
3. Головина, Л. И. Линейная алгебра и некоторые ее
приложения / Л. И. Головина. — М.: Наука, 1985.
4. Замков, О. О. Математические методы анализа
экономики / О. О. Замков, А. В. Толстопятенко, Ю. М. Черем-
ных. - М.: ДИС, 1997.
5. Ильин, В. А. Линейная алгебра / В. А. Ильин, Э. Г.
Поздняк. — М.: Наука, 1978.
6. Ильин, В. А. Основы математического анализа. В 2 ч. /
В. А. Ильин, Э. Г. Поздняк. - М.: Наука, 1971. Ч. 1,1993. Ч. 2.
7. Интрилигатор, М. Математические методы
оптимизации и экономическая теория / М. Интрилигатор; пер. с англ.
М.: Прогресс, 1975.
8. Исследование операций в экономике / под ред. Н. Ш.
Кремера — М.: Банки и биржи; ЮНИТИ, 1997.
9. Карасев, А. И. Курс высшей математики для
экономических вузов / А. И. Карасев, 3. М. Аксютина, Т. И.
Савельева. — М.: Высшая школа, 1982. Ч. 1 и 2.
10. Карасев, А. И. Матричная алгебра / А. И. Карасев,
И. Л. Калихман, Н. Ш. Кремер. - М.: ВЗФЭИ, 1987.
11. Карасев, А.И. Математические методы и модели в
планировании / А. И. Карасев, Н. Ш. Кремер, Т. И.
Савельева. — М.: Экономика, 1987.
12. Колесников, А. Н. Краткий курс математики для
экономистов / А. Н. Колесников. — М.: Инфра-М, 1997.
13. Кремер, Н. Ш. Математика для экономистов: от
Арифметики до Эконометрики / Н. Ш. Кремер, Б. А. Путко,
И. М. Тришин; под ред. Н. Ш. Кремера. — М.: Высшее
образование, 2007.
14. Кудрявцев, В. А. Краткий курс высшей математики /
В. А. Кудрявцев, Б. П. Демидович. — М.: Наука, 1985.

Литература
855
15. Лопатчиков, Л. И. Краткий
экономико-математический словарь / Л. И. Лопатников. — М.: Наука, 1987.
16. Мантуров, О. В. Курс высшей математики.
Линейная алгебра. Аналитическая геометрия.
Дифференциальное исчисление функции одной переменной / О. В. Манту-
ров, Н. М. Матвеев. — М.: Высшая школа, 1986.
17. Мордкович, А. Г. Математический анализ / А. Г. Морд-
кович, А. С. Солодовников. — М.: Высшая школа, 1990.
18. Плис, А. И. MATHCAD: математический практикум
для экономистов и инженеров / А. И. Плис, И. А. Сливи-
на. — М.: Финансы и статистика, 1999.
19. Практикум по высшей математике для экономистов /
под ред. Н. Ш. Кремера. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002.
20. Руководство к решению задач с экономическим
содержанием по курсу высшей математики / под ред. А. И. Карасе-
ва, Н. Ш. Кремера. — М.: Экономическое образование, 1989.
21. Самуэлъсон, П. Экономика / П. Самуэльсон; пер. с
англ. - М.: НПО Антон; ВНИИСИ, 1992.
22. Солодовников, А. С. Математика в экономике / А. С.
Солодовников, В. А. Бабайцев, А. В. Браилов. — М.: Финансы и
статистика, 1998. Ч. 1.
23. Шарп, У. Инвестиции / У. Шарп, Дж. А. Гордон,
Д. Бейли; пер. с англ. — М.: Инфра-М. 1997.

Ответы
Раздел I. Линейная алгебра с элементами
аналитической геометрии
Глава 1
1.16. С =
1 -3
-13 -17
3 -7)
1.17.
1 -18
-21 1
1.18.
2 2 -5"!
7 4-5
О -10 -3
1.19. Г4 12 1.1.20.
-8 20
(I 5 -5^
3 10 0 L 1-21.
2 9-7
A1 -22 29"\
9 -27 32
13 -17 26
1.22.
г2 0
. 1.23. АВ = ,
О 3 I [6 3 13
2 1 5
1.24. ВА =
г0 3 3"
2 2 3
1.25. ВА =
5 1
0 2
1 3
U.26..UM29 ~22W5 2
31 -24 7 О
1.27.
1.30.
1.32.
(9 -13
^22 9
'13 -4^\
21 -22
1.28.
A
6
34
V
0 10^
-3 15
0 82
)
. 1.29.
A 0 0"]
0 7 0
0 0 7
-9.1.31.
8 0 0
О 27 О
О 0 1
к 36.
f304 -61 "|
305 -62
;242. 1.33. trC = 16. 1.34. trC = tr£> = 16.

Ответы
857
f21
-13
-9
-23 15 "j
34 10
22 25
. 1.36.
Г-12
-4
-4
-12
-4
-8
8
2
-4
1.35.
1.40. 11. 1.41. 13. 1.42. sin(oc-p) 1.43. 0. 1.44. 1. 1.45. 8.
1.46.40.1.49. xi = 0; *2 = 0.1.50. xx = 2;x2 = 3.1.51. 8a + 156 +
+ 12c - 19a*. 1.52. -8a - 26 + 4c + Ud 1.53.8.1.54. -180.1.55. 160.
1.56.-10.1.57.2.1.58.0.
8; %2 = 1.
1.60. X{ =
r
1.61. B =
-6
4
v
o^
2
5
1.62.
A~l =
7
-15
-1
-6^1
13
1
/
1.63. A~l =
(\
0
2/3 1/3^1
-1/3 1/3
0 1
1.64. A~l =
f 1 0 0^
2 1 0
5 -3 1
1.65. A~l =
D/3 -1/3 1/3^
7/3 -4/3 -1/3
5 -3 1
1.66.
A~l =
( -\
1/4
vl/4
2
-9/4
3/4
-n
3/2
-1/2
1.67.
A~x =
24 3-4-8
-23/2 -1 2 7/2
10 1 -2 -3
-5011
1.71. 3 1.72. 3. 1.73. 2.
1.74. 3. 1.75. 2. 1.76. 2. 1.77. 3. 1.78. 4. 1.79. 3. 1.80. 3.
1.81. 2. 1.82. 2. 1.83. 2. 1.84. Независимы. 1.85. Зависимы.
1.86. 3.1.87. 2.
E 12
1.93. а)
10
13
9
13
6 5^!
8 4
12 9
б) 5, =
(-1 1
-1 1
v-1 !
1 (Л
1 1
о 1
h =
(\
о
1 -П
о -1
V
0-101
1.94. С - B50; 180; 150); первый регион. 1.95. F80; 2040; 540;
1020). 1.96. 2800.1.97.1M= G00; 1000; 900); 2) С = 63 000.

858
Ответы
1.98.
' О
-100
-200
-300
-400
-500
0
100
0
-100
-200
-300
0
100
200
100
0
-100
0
100
200
300
200
100
0
100
200
300
400
300
0^
100
200
300
400
500,
1.99. Через один год: 17% — малый ремонт; 56% — средний;
27% — сложный. Через два года: 29,1% — малый ремонт;
49,0% — средний; 21,9% — сложный. Через три года: 25,85% —
малый ремонт; 50,72% — средний; 23,43% — сложный.
Контрольные задания. Вариант 1.1. 1.
2 c-'=-L
Z- 345
(U\ -15 -27
-10 50 -25
-46 -115 92
E 9\
13 7;
4 9J
(\
-1
1°
-\\
1
U
.3.0.4 2. 5. 1) [50|; 2) 410
80
4 6
11 7
5 6
135
( 34 -11 -3\
-22 23 -6
-3 -3 36
V
(-2 -2
-1 -1
1 0
V
0,68; 0,32). Вариант 1.2. 1
3. 0. 4. 3. 5. 1) I '" I; 2) 320
^40
60
(Ъ 4
2. N~l= l
324
6 8
8 3
M 0
3. 0. 4. 2. 5. 1)
'80 ^
0 0
0 1
@,65; 0,35). Вариант 1.3
'78 -7 —13^
-12 26 2
1^-96 -62 70j
6. @,62; 0,38). Тест 1. 1. 4; 6; 9. 2. 10. 3. a = 1; b = 0; с = 0;
d = 32. 4. 81. 5. 3. 6. 9. 7. 9. 8. 2; 1; 3; 4. 9. 2.10. 41.
60
2) 260.

Ответы
859
Глава 2
2.14. B; -3). 2.15. B>/5;2). 2.16. A; 2; 3). 2.17. A; -2; 0).
2.18. (-2; 1; -1). 2.19. C; 0; -2). 2.20. (-4; 1; 2). 2.21.
Несовместна. 2.22. A; 1; 1). 2.23. B; 3; 5). 2.24. A; -1; 2; 0). 2.25.
Несовместна. 2.26. @; 1; 2; -3). 2.27. A; 2; 3; 4). 2.28.
Несовместна. 2.29. (-2; 3; 5; 2).
2.30. При а ■*■ 0, а ■*■ -3 система имеет единственное
решение
2-а<
2а-1
аг + 2а2
а-\
L — U Z.U — L U ТЫЛ — U — 1 л
*'= / ^ч;*2= , ^ч;*з= —г: Г- при а = 0
а(а + 3) а(а + 3) а(а + 3) I
и а = 3 система несовместна. 2.31. При а Ф -3, а Ф 1 система
имеет единственное решение л^ = х2 = х3 = х4 = 1/(а + 1);
при а = 1 - бесконечное множество решений (xj = 1 - ct -
- с2 - с3; х* = ct; #3 = с2> ^4 = сз); ПРИ а = _3 система
несовместна. 2.32. (9; 0; 8). 2.33. E; -2; 4). 2.34. B; -3; 1).
2.35. @; -3; 6).
2.36. Х =
2.39. Х=
2.42. Х =
-7 -1
15 2
2.37. Х =
-6
О
1
26
1
-4
2.38.
/
1
4
-6
А
2
I3
5
-1
5
1
-2
0
2.40. Х--
-40 -50
29 36
43
-31
2.41. Х=
1
-2
2
ч
0
-2^
4
3
-3^1
О
2.43. 25%; 20%; 15%. 2.46. A; 1; 1). 2.47. (-Зс; с;
5с + 1), где с - любое число. 2.48. A4с; 21с; с; с), где с —
любое число. 2.49. (-q + —q> ~т» с1 ~2q> + 2; q;c2), где Ср
с2 — любые числа. 2.50. (-9-ci-c2;ci;c2;-7 + 2c2;3+2c2),
где Cj, c2 — любые числа. 2.51. (l + 2q +c2 -2c3;q;l;c2;c3),
где с1? с2, с, — любые числа. 2.52. (-3/5; 14/5; 0), A9; 0; 14),
@; 19/7; 3/7). 2.53. (-5/2; 7/2; 0; 0), (-5/2; 0; -7/2; 0), (-3/4;
0; 0; 7/8), @; -3/2; 0; 5/4), @; 0; 3/2; 5/4). 2.54. A; -1; 2; 0),
A; 0; 2; -1). 2.55. D; -4; 1; 0), D; 0; 1; 2). 2.56. (с/5 + 2;
4с/5 + 2; с), где с — любое число; B; 2; 0), A,5; 0; -2,5),
@; -6; -10). 2.57. (-с1/4-9с2/4 + 2;-5с1/4-с2/4;с1;с2),
где с\, с2 — любые числа; B; 0; 0; 0), @; 0; -2/11; 10/11),
@; -2/9; 0; 8/9), @; -10; 8; 0). 2.58. Ect - с2 + 1; -3q/2 -
-2с2+ 1; Ci, с2), где с^, с2 - любые числа; A; 1; 0; 0), @; -1; 0; 1),

860
Ответы
@,5; 0; 0; 0,5), A3/3; 0; 2/3; 0), @; 1,3; -0,2; 0), @; 0; -2/23; 13/
23).2.59. Cq12-с21\2-11\2;сх;-Ьс2/6 + 1/6;c2),гдесьс2-
любые числа; (-7/12; 0; 1/6; 0), (-0,6; 0; 0; 0,2), @; 7/18; 1/
6; 0), @; 0,4; 0; 0,2), @; 0; 6; -7). 2.60. (8; -6; 1; 0), (-7; 5; 0; 1).
2.61. (-9; -3; 11; 0; 0), C; 1; 0; 11; 0), (-10; 4; 0; 0; 11). 2.62. (-7:
5; 1; 0), G; -5; 0; 2). 2.63. (-9; 3; 4; 0; 0), (-3; 1; 0; 2; 0), (-2; 1; 0:
0; 1). 2.64. Система имеет только нулевое решение. 2.65. @; 1
3; 0; 0), @; -2; 0; 0; 3). 2.66. а) да; б) нет. 2.67. Х= (945,6; 691,2)
2.68. X = A02,2; 41,0; 26,4); хп = 30,7; х12 =10,3; *13 = 5,3
чистая продукция отраслей: A) - 46,0; B)
2.69. х = A000; 1000)', Ах = A84; 132)'. 2.70. А =
10,2; х32 = 2,1; х33 = 2,1
'"' 23,7; C) - 18,2.
0,2 0,4"|
0,55 0,1 Г
2.71. А =
\Х =
'0,16 0,4\ A,29 0,57
0,14 0,1 j ~[о,2 1,2
2.72. Ах = B3; 56; 27)'; Ах = C, а; -11,6; 18,6)'.
622,5
430
Контрольные задания. Вариант 2.1. 1. (-1; 3; 4).
2. Х=\ * '_ |. 3. A; 5; 3; 2). 4. х{ =2с-3, х2 =6с-7,
Ч-3 -А
Х\ = 2с - 3, х2 = 6с - 7, дг3 = 5с - 7, д:4 = с; четыре базисных
решения: или (-3; -7; -7; 0), или (-0,2; 1,4; 0; 1,4), или (-2/3; 0;
-7/6; 7/6), или @; 2; 0,5; 1,5). 5. D; 1; -2; 0), (-4; 0; 0; 1).
6. АУ = A20; 10)', АХ = A30; 180)'. Вариант 2.2.1. (-2; -1; 2).
(-Х \Л
2. Х= . 3. A; -3; 2; 1). 4. х^бс-11, х2=-с-1,
#3 = с, х4= -Зс+7; четыре базисных решения: или @; -17/6;
11/6; 3/2), или (-17; 0; -1; 10), или (-11; -1; 0; 7), или
C; -10/3; 7/3; 0). 5. (-3; -5; 1; 0), (-2; 1; 0; 1).
6. AF = (86;10)', АХ = A60; 230)'. Вариант 2.3. 1. A; 2; -1).
2. х =
3. (-1; 2; 0; 4). 4. jq =0,75с-1, ^ =-0,25с+2,
(-\ -2 3^
U ° К
л:3 = с, #4 = 4 - 2с; четыре базисных решения: или (-1; 2; 0; 4),
или @,5; 1,5; 2; 0), или E; 0; 8; -12), или @; 5/3; 4/3; 4/3).
5. A1; 7; 1; 0), @; -2; 0; 1). 6. Д# = D4;36)', АХ = B50;360)'.
Тест 2.1. х1=1,х1 =-1, А3 =7.2. хх = 5, хг = -2, ап = Ю. 3. (-1;
0; 1). 4. 3. 5. 3; 5. 6. 3. 7. 3. 8. 1; 4. 9. у, =270, у2 =470.
10. *! = 100, х2 = 100.

Ответы
861
Глава 3
3.18. 120°. 3.19. Ш 3.20. 90°. 3.21. л/74/2; -Jill. 3.22. 20.
3.23. а) а =4, р = -1; б) а = с, Р = с_ + 9, где с — любое
действительное число. 3.25. с = 2$ -2а. 3.26. Р = D;1);
р = -За + 5Ь. 3.27. a = Cb-c + d)/2.
3.28. |a| = 7;cosa = 2/7,cosp = 3/7cosy = -6/7. 3.29. 45° или
135°. 3.30. |M1M2| = 9;cosa = -l/3, cosp = 2/3, cosy = -2/3.
3.31. 45°. 3.32. m = -6. 3.33. 4J2/3. 3.34. 5/ч/89.
3.35. J = -C/2)f + C/4X/+C/2I. 3.43. а) да; б) нет; в) нет.
3.44. а) да; б) да; в) нет; г) да. 3.45. Да. 3.46. а = 0. 3.50. Да.
3.51. При любом т. 3.52. т = 5/3. 3.53. Линейно зависимы.
3.54. Линейно независимы. 3.55. б) а3 =(8/5; — 1/5).
'0 -1 О
3.56. Нет. 3.57. Да. 3.58. х - (-4; -8; 8). 3.59. А=
0
2
3.60. ех = E/13; -3/13), е2 - A/13; 2/13). 3.61. е« = A; 1/3; 0),
е2 = (-1/2; -1/3; 1/2), е3 = @; 1/3; 0). 3.62. е$ = B; 1; 0).
'0 0 0 1\
3.63. А =
. 3.64. 3450 ден. ед.; 80 ден. ед.
3.65. (*,*/) =-90; |х| = 2726; |г/| = л/Ш5. 3.66. arccosV5/42 = 70°.
3.71. Да. 3.72. Нет. 3.73. Нет. 3.74. Да. 3.76. Да. 3.77. у =
- B; 3). 3.78. у = A; 3; 4). 3.79. у = (-3; 3). 3.80. 3
3.81. А =
3.87. Dq; - q), (c2; - с2), q * 0, с2 * 0. 3.88. (-2q; сх), (с2; с2),
q^0,c2^0. 3.89. (-2c1;ci;ci),@;c2;c2),Fc3;-7c3;5c3),c1 *0,
с2 * 0,с3 * 0. 3.90. (-2q; 0; с^ДО; с2; 0),с, * 0,c2 * 0.
3.91. Cc1;-5c1;ci),Dc2;0;c2),Bc3;0;-c3),c1 *0,с2 *0,с3 *0.
3.92. @;с1;0),Cс2;5с2;-с2),Bс3;0;сз),с1 *0,с2 *0,с3 ФО.
3.93. (-q;0;q;0),(o2;0;0;0),@;^;0;0)tq *0,с2 *0,с3 *0.
-2
-4
5
11
14
-15
7]
8
-8
. 3.82.
' 2
-1
к
°1
Ч
/
. 3.83.
1
2
г 1
1
-1
-9
7
-1
-24
0
10

862
Ответы
3.94. D0q; - q; - 8q; 9q), @; c2; - 2(c2 + c3); c3), @; 2c4; c4; 2c4),
q *0,c2 + c| *0,c4 * 0.3.95. (-q;q),(c2;2c2),q *0,c2 *0.
3.96. (q;-2q),(c2;c2),q *0,c2 *0.
3.97. (q;2c1;2c1),Bc2;c2;^2c2),Bc3;-2c3;c3),q^0,c2^0,C3^0.
3.98. v4* = diag(l; 5). 3.99. He приводится.
3.100. A* = diag(-6; 2; 3). 3.101. He приводится. 3.102. 2:4:3.
3.103. 140 : 146 : 220 : 121. 3.104. 134; 201; 67 ден. ед.
3.105.198; 114; 90 ден. ед. 3.106. 90; 114; 198 ден. ед.
3 -1/2У*Л
3.107. 134; 67; 201 ден. ед 3.111. (xhx2)
-1/2 1
*2,
U12. (хь
' 2 1/2
1/2 3
, 1 3/2
х2>х3
1 ^
3/2
 J
/
1 -1 5/2^
) -1 0 01
1,5/2 0 lj
xl
x2
Л>
(г Л
1
\x2
\X3J
.3.114.2.3.115.
3.113. (xi, x2, x3)
3.117. A=19yf-2у|-10Лу2. 3.118. /4=22г/12+12г/|+Зг/|-ь
+НУ1У2 + 17*/i#3 +8#2*/з. 3.119. ^ = 5*/f +4yf +4г/| +4^г/2 +
+$У\Уъ -7#2*/з. 3.120. L = 2у? - 2у\ -Зу1 если и = хх -*2 + х3,
г/2 = х2 + х3, уз = *з- 3.121. L = г/!2 - у| + г/|, если
г/2 = хх + х2, г/2 = х2 -х3> г/3 = *з- 3.122. L = г/2 -4у2 + г/2>
если yx=xl9 у2=х2, у3= -2х2 + хъ. 3.123. L = y?+ 2y\ + г/2>
если г/j =;сг +jc2 + jc3, #2 =*2+*3'#з =л:з- 3.124.
Положительно определенная. 3.125. Отрицательно определенная.
3.126. Не является знакоопределенной. 3.127. Не является
знакоопределенной. 3.128. Ни при каком т не является
отрицательно определенной; при т > 4 положительно
определенная. 3.129. Ни при каком т не является
знакоопределенной. 3.130. Ни при каком т не является
знакоопределенной. 3.131. т > 1. 3.132. т > 0,5. 3.133. т > 1. 3.134. Таких
значений т нет. 3.135. Таких значений т нет. 3.136. т < -2.
3.137. Таких значений т нет. 3.138. т < -2,5.

Ответы
863
Контрольные задания. Вариант 3.1. 1. a) arccos n/12/37 «
= 55°; б) -Jl. 2. Линейно зависимы. 3. Ъ = -ах + 4а2 + Зд3-
4. (с2; с2; сх), (с3; - с3; с3), сх + с2Ф0, с3Ф 0; Л* = diag(l; 1; 3).
5. L = yx-y2+y3, если ух = хх + 2х2 + 2х3, у2 = 2х2 + х3,
у3=х3; r(L) = 3; не является знакоопределенной. 6. 15 : 11 : 9.
Вариант32.1. а) агссо8(бД/39)«16°; б) -19/277.2. Линейно
независимы. 3. £> = «!+ 2я2 + 5я3. 4. (-q; -q; сх), (с3; с2; c£), сх *
ф0,с2+с3ф0; A*=diag(l;3;3)D. 5. L = yx -y2+y3, если
ух = 2*1 + х2 + 2лс3, у2 = 2*2 + *3, */3 = x3; r(L) = 3; не
является знакоопределенной. 6. 45 : 29 : 23. Вариант 3.3.
1. a) arccosB/V7) = 4f; б) -9/2-JU. 2. Линейно зависимы.
3. b - 2ах - 2а2 + a3.4(-q; - q; q), (с3;-с2; с2)схФ 0, с2+с3Ф 0;
q Ф 0, с2 + с3 Ф 0; А* = diagC; 5; 5). 5. L = ух -у2-у3, если
ух = 2хх + 2х2 + лс3, у2 = х2 + 2х3, у3-х3; r(L) = 3; не является
знакоопределенной. 6. 23 : 11 : 9. Тест 3. 1. 1 - 6,2 - а, 3 - г,
4-в. 2. 12. 3. -1,5. 4. 4,7. 5. 3; 5. 6. а = 2; р = -3. 7. 2; 4.
8. а=0,4;Ь = -0,2. 9. а = 1,5;* = -0,5. 10.0,44. 11. у = B; 3).
12. Л-1 =2, Х2 = 3; а = 2, 6 = 1.13. а = 2; Ь = Ъ. 14. 1.15. 47.
Глава 4
4.20. (-6; 0) и A0; 0). 4.21. (8; 0) и @; 8). 4.22. B; -1) и C; 1).
4.23. D (-3; 1). 4.24. @; -3), (-4; 5) и (8; 1). 4.25. 26/3.
4.26. B; 1). 4.27.16/3.4.28. Зх + у - 1 = 0. 4.29. л^/5 + у2 = 1.
4.30. у = х2/4 -х + 2. 4.31. у2 = 8(х - 2). 4.32. х2 + у2 = 4.
4.33.400 км. 4.34. у = 60х + 5; 1205.4.35. Лежат. 4.36. у = х - 6.
4.37. г/-1 = 0;л: + 4 = 0. 4.38. Зх + 1у - 2 - 0. 4.39. 90°.
4.40. Зж + 7г/ - 27 = 0; 7х- Зу - 5 = 0.4.41. а) 2х + 5у - 13 = 0;
б) 5д:- 2г/ + 11 = 0. 4.42. 3* + Ау - 16 = 0; 5* + Зу - 1 = 0;
2х - у - 7 = 0. 4.43. Зх - у + 5 = 0. 4.44. 49 кв. ед. 4.45. х/А +
+ у/10 = 1 или 5х - 2у - 20 = 0.4.46. Ах + 9г/ - 22 = 0; х + 5у -
= 0; Зх + 4г/ = 0. 4.47. х + Зг/ - 2 = 0. 4.48. Их + 22у - 74 = 0.
4.49.4х - 8г/ + 1 = 0.4.50. а) ЛВ: 5х + Ау - 7 = 0; ВС: 5х - 2у -
- 19 - 0; АС: у - 3 = 0; б) 5х + у - 13 = 0; в) 4х - 5г/ - 5 = 0.
4.51.х+г/-5 = 0их-4г/-20 = 0.4.52. Зх-Ау + 10 = 0;4х +
Зу + 5 = 0. 4.53. 5х + у - 9 = 0; х - 5у - 7 - 0. 4.54. х - г/ +
+ 2 = 0; х + 2у - 4 - 0; 2х + у - 8 = 0. 4.55. АВ : х + у + 1 - 0;
ВС: 7х - 2у - 29 = 0; АС: 2х + Зг/ + 1 - 0. 4.56. х - 7г/ + 6 = 0

864
Ответы
и 1х + у + 4 = 0. 4.57. 6х + 1у + 25 = 0. 4.58. А D/3; 2/3),
В F; О), С B:-4). 4.68. A; -4/3); R = 5/3. 4.69. B; 1); R = 5.
4.70. (х-16J+(г/-8J = 100и (х-2J + (*/ + 6J =100.
4.71. (x-2J + (t/ + lJ = 25.4.72. (х- ЗJ + у1 = 9.
4.73. (* - 2J + (у- 4J = 10. 4.74. х + у + 8 = 0.
4.75. х2+(г/-4J=16.4.76.а = 2, b = S; F^-1-,0), F2A;0); e = 0,5.
4.77. е = 2>/2/3. 4.78. л2/144 +г/2/108 = 1; 2с = 12.
4.79. х2/16+ г/2/4 = 1; е = л/з/2; г1=4-л/з, г2=4 + л/з.
4.80. (-15/4;±n/63/4).4.81. e = Vo~4.4.82. x2/36 + г/2/4 = 1.
4.83. х2/16-г/2/9 = 1; ^(-5;0), F2E;0); AjMjO), А2D;0),
Bj@;-3), B2@;3); e = 5/4; асимптоты у = ±Зх/4.
4.84. х2/2-у2/1 = 1. 4.85. дг2/12-г/2/4 = 1; 7i=6V3, г2=2л/з.
4.86. d=6; (p = 2arctg(Z>/a). 4.87. х2/16- у2/9 = 1.
4.88. г/ + 2 = ±л/2д:/2.4.89. г/ = 8/х или у = -8/х. 4.90.* = 3,
у = 2; F; 5), @; -1). 4.91. х-у-4 = 0их + у + 2 = 0.
4.92. г/2 =-9л72; F(-9/8; 0); х=9/8.4.93. а) у2 =9х; б) х2 =-у.
AM. y = x2/2-2x + 2. 4.95. 4>/l7. 4.96. 8х + 10г/-46 = 0.
4.97. (х-р/2J+у2 = р2; (р/2; ±р). 4.98. у = -х212; у = 0,5.
4.99. г/ = рх. 4.103. a) p = 6sina/sin(p;6) p = 2acoscp.
4.104. а) p = acoscp;6) р2 = a2cos2ф. 4.105. а) х2 +у2 =2ау;
б) ху = а2;в) х + у = 2а. 4.106. а) х2 /25 + у2 /9 = 1;
б) л-2/16-у2/9 = 1; в) г/2=6х.4.107. р = 1/B-7зcos(p).
4.114.а) 3г/ + г = 0;б) х + 2г = 0. 4.115. г/ + 4 = 0.
4.116. х/1+г//(-1) + г/2 = 1 или 2х-2г/ + г-2 = 0.
4.117. Зх + 2г/-г-5 = 0.4.118. х + 3у = 0 иЗг-г/ = 0.
4.119. x-4t/ + 5z +15 = 0.4.120. x+*/-z + 2 = 0.
4.121. 9х - у + 7г- 40 = 0.4.122. Зх-4г/-Зг + 4 = 0.
4.123. 3x+3*/ + z-8=0.4.124. (х+1)/1 = (г/-1)/(-3) = (г + 3)/4.
4.125. (х-2)/1 = (г/ + 1)/4 = (г + 1)/0.
4.126. (х-1)/л/2 = (г/ + 5)/1 = (г-3)/(-1).
4.127. (x-l)/(-2) = (*/ + 3)/4 = (z-5)/5.
4.128. (х-3)/5 = (г/ + 2)/3 = (г-4)/(-7).4.129. E;-1;0).
4.130. (-1/2;-1/2; 2).
Контрольные задания. Вариант 4.1.1. Парабола
у2=-4(х-3).2. а) та:г/-1 = 0;йа:4л- + 24г/-58 = 0;
бI3х-9г/ + 70 = 0.3. (х2 +7/2J + (г/-7/2J = 25/2.
4. 7х-5г/+6г-31=0. 5. (л—5)/5 = (г/-2)/(-9) = (г-2)/6.

Ответы
865
Вариант 4.2.1. Прямая Ых+4z/+3 = 0. 2. а) та : 22jc + 104г/ -
-11 = 0; ha:4x + 3y-49 = 0;6)llx+2y-26 = 0.3.3A 2х-19у +
+102 + 45 = 0.5. (х + 6)/1 = (г/-1)/(-1) = (г-3)/0.
9 о
Вариант 4.3. 1. Окружность 3* + 3г/ + 32дг+4г/ + 60 = 0 или
(х + 16/3J+(г/ + 2/3J=80/9. 2. а)та : г/-3 = 0; Аа :7х +
+ 24г/-58 = 0;б) Ш-9г/ + 153 = 0.3. х2/4+г/2/8 = 1.4. 11л:—
-2г/ + 12г-13 = 0.5. (*-6)/4 = (9-1)/(-4) = (*-2)/5.
Тест 4.1. 2. 2. до =2; г/0 =1. 3. 45°. 4. 1; 3; 5. 5. В = - 7, С- 37.
6. 7,2.7. ло = 5, y0 = 4;R = 3. 8. ^=8;<*2 = 20. 9. 5. 10. У - б,
2-a,3-e,4-z.ll.B = -2;C = 5;D = 3.l2.xo = 1; г/0 = -2;
Zo=3.
Учебно-тренировочные тесты по разделу I
Тест ЛА-1 Л. 2;5.2. 24.3. 1.4. 2.5. jq- -3; х2 = ж3 = 2.6.1; 4.
7. 1. 8. 5. 9. 2. 10. -2. 11. 1. 12. 2. 13. 3. 14. 3. 15. -6. 16. 5.
17. 3. 18. 3. 19. 3. 20. 0,7. Тест JIA-2. 1. 3. 2. 6. 3. 6. 4. 1.
5. xi = 1; х2 = 2; х3 = 0. 6. 2. 7. -1. 8. 6. 9. 3. 10. -1. 11. -2.
12. 3.13. 2.14. -2.15. -2.16. 5.17. 4.18. 4.19. 1. 20. 4. Тест
JIA-3. 1. 1. 2. 2. 3. 3. 4. -3. 5. xt = 2;х2 = -1; х3 = 0. 6. 1; 3.
7. -3. 8. 3; 4. 9. 2. 10. 6. 11. -1. 12. 1. 13. 1. 14. -8. 15. 0,75.
16. 3.17. 1.18. 1.19. 2. 20.12.
Раздел П. Введение в анализ
Глава 5
5.16. X =A/2; 6]. 5.17. X =(-1; 0)и@; 1]. 5.18. X =(-5; 2).
5.19. Х=(-о°; 0)иA;+оо). 5.20. Х=[л/3 + 2лп; 4ф + 2кп],
neZ. 5.21. Х=(-^о; +оо). 5.22. У=[-2; 2]. 5.23. Y = [-0,5; 0,5].
5.24. Y = [0; 3/2]. 5.25. у = (-°°; log34). 5.26. Четная. 5.27.
Нечетная. 5.28. Нечетная. 5.29. Общего вида. 5.30. Четная. 5.31.
Нечетная. 5.32. Т = п. 5.33. Т = 2л. 5.34. Г = л/2. 5.35. Г = 2я.
5.36. Непериодическая. 5.37. Непериодическая. 5.42. 3/(х-1).
5.43. 1/х. 5.44. 5(л--1)/(л- + 1). 5.45. -0,5 log3 x. 5.46. 89,25 тыс.
руб. 5.47.1,8. 5.48. а) = 11,576 руб.; б) = 8227 руб.
Контрольные задания. Вариант 5.1. 1. хе (-5; 5). 2. хе {1}.
3. Четная. 4. Общего вида. 5. уе [-2; 1]. 6. л/4. Вариант 52.
1. *е[0;2)иB;3). 2. д-е0. 3. Нечетная. 4. Общего вида.
5. г/ е [-10; 10]. 6.4л. Вариант 5.3.1. xg [-2; 4).

866
Ответы
2. дсе[-1;-я/5)и(-я:/5;0)и @;я/5)и (rc/5;l). 3.
Общего вида 4. Нечетная. 5. уе @; 2]. 6. я. Тест 5.1.1; 4.2. 2; 3.
3.1; 4.4. 2; 3; 4.5.1; 3.6.1; 2; 6; 7.7.4.8. 20.9. 72°. 10. 2.11.2.
12. 10.
Глава 6
6.15. «о. 6.16. 0.6.17. 1,5. 6.18. 4. 6.19. -1/3. 6.20. -2,5. 6.21.
- 6.22. 0,375. 6.23. 4. 6.24. - 4,5. 6.25. 28л/7. 6.26. 0. 6.27.
1,5. 6.28. 0,5. 6.29. -6. 6.30. Зл/2/2. 6.31. 0. 6.32. 0. 6.33. -1/
3.6.34. 0.6.35. -1. 6.36. оо. 6.37. 4.6.38. 0. 6.39. - 3,5. 6.40. 0.
6.41. оо. 6.42. 0,5.6.43. -1 придти +оо; 5 прих-> -°о. 6.44. -1.
6.45. 320. 6.46. -1. 6.47. -1. 6.48. 1/3 при х -> +»о; -2 при х
-» -оо. 6.49. 3. 6.50. 1/3. 6.51. 1,875. 6.52. 0,2. 6.53. оо. 6.54. 0
при х -> +оо; +оо при х -> -оо. 6.55. -0,5. 6.56. -0,25. 6.57. оо
при х -> +оо; -1,5 при х -> -оо. 6.58. 1. 6.59.1. 6.60. 2. 6.61. 3.
6.62. 0,5. 6.63. 1/6. 6.64. 0. 6.65. 0,5. 6.66. -9. 6.67. оо. 6.68. 4.
6.69. 0 . 6.70. 1. 6.71. -5. 6.72. 0,5. 6.73. 0. 6.74. 0. 6.75. 0.
6.76. 1,75. 6.77. 0,25. 6.78. 2,5 при х -> +«»; оо при х -> -«о.
6.79. 0,25. 6.83. 2. 6.84. 4/3. 6.85. 6,4. 6.86. оо. 6.87. 0. 6.88.
1,5. 6.89. 0,75. 6.90. 8/7. 6.91. 4/9. 6.92. 0,125. 6.93. -1/6.
6.94. 0,3. 6.95. 4/9. 6.96. 1. 6.97. 8/27. 6.98. 1,25. 6.99. -0,4.
6.100. 3,5. 6.101. 0. 6.102. -1 (замена у = х-п/2). 6.103. 0,5
(замена у = л - х ). 6.104.8.6.105.1.6.106.2.6.107.8.6.108. -2.
6.109. е2. 6.110. е4. 6.111. е14. 6.112. 1. 6.113. оо. 6.114. е3-75.
6.115. 1. 6.116. е~6. 6.117. е36. 6.118. е7*5. 6.119. е10Л
6.120. ею. 6.121. 1. 6.122. е'ъ. 6.123. \/е. 6.124. -1/15.
6.125. 0,05. 6.126. 0,125. 6.127. -0,1. 6.128. 0. 6.129. «о.
6.130. 0. 6.131. о» при х -> +оо; 0 при
х -> -оо. 6.132. IIТе. 6.133. -fe. 6.134. -1,5. 6.135. 0,6.
6.136. со. 6.137. 30.6.138. In 5. 6.139. 6. 6.140. 5/7.6.141.4,5.
6.142. 5. 6.143. 64. 6.144. 0,5. 6.145. 0,25. 6.146. -6. 6.147. 9.
6.148. 2. 6.149. ±4. 6.150. 2. 6.151. 8. 6.152. 0,125. 6.153. 1.
6.154. а) 9,663 млн руб.; б) 9,832 млн руб.; в) 9,892 млн руб.
6.156. х = 1 — точка устранимого разрыва первого рода.
6.157. Непрерывна. 6.158. х = 1 — точка разрыва первого
рода. 6.159. х = 1 — точка разрыва второго рода. 6.160. х = 1 —
точка разрыва первого рода. 6.161. х = 1 — точка разрыва
второго рода. 6.162. х = 0 — точка устранимого разрыва первого
рода. 6.163. х = -я — точка разрыва первого рода; в точке
х = л/2 функция непрерывна. 6.164. х = -2 — точка разры-

Ответы
867
ва первого рода. 6.165. х = -2 — точка разрыва первого
рода; х = 2 — точка устранимого разрыва первого рода.
Контрольные задания. Вариант 6.1. 1. - 0,4. 2. 1, 2.
3. 0,5. 4. в8/7. 5. 1/3. 6. 0,5. 7. а) функция непрерывна;
б) х = -1 - разрыв первого рода неустранимый. Вариант 6.2.
1. 2.2. -12. 3. 0.4. в3.5.1/24.6. 0,5.7. а) функция непрерывна;
б) х = 1 — разрыв первого рода неустранимый. Вариант 63.
1. 0,5. 2. 0. 3. °о. 4. е. 5. 8 . 6. 1. 7. а) функция непрерывна;
б) х = 2 — разрыв первого рода неустранимый. Тест 6.1.3.2. 2;
3.3. 1; 3; 4. 4. 3. 5. 2; 4; 5.6. 100.7. 1,5. 8. 2. 9. 2.10. 0.11.10.
12.16.
Раздел III. Дифференциальное исчисление
Глава 7
7.26.5.7.27. -6х/(х2+1).7.28. 4е4*.7.29. l/Vl + 2x.
7.30. 1М;2^;K.7.31. 32*3 In2*. 7.32. ^4=-
(* +1M Vjc2-1
9 ( \ Л 2e3*Cjc-l)
7.33. jc 31og9x +
52 1п2
7.34. 3x2
(х-е3хJ
7.35. х [3sin(cosjc)-Jcsin;ccos(cosjc)]. 7.36. —sin2x.
ТЛ.-р^—.7Л.£е£2=2.7Л. —£—
. # .оо. r= . t .ou. I -
x2-4x 3& ^A + e4*K
7.40. —5 .7.41. 3 .7.42. 3
9x-\ x(x -1)
-4
( о 2 ^
ln(l-x ) T-
1-x2
7.43. *zln;cC1n;t + 2).7.44. . , „ „
,; Ax ^,2 Ax
3^
7.45. 5е2*(*е2*+3LBх + 1).7.46. xln — + 1.
1 +jc
7.47. Bjc + 2*ln2)cos(x2+2*).7.48. -2е

868
Ответы
sinx(lncosj[:-l) _ -л 1 - sin jc • sin 2x _ _,. 1
—.7.50. .7.51.
COS X
sin*
7.49
7.52. e*(ctg;t + lnsin;t).7.53. —V~. 7.54
1
sin x
8-3cos x
cos x
7.55.
7.58.
7.62.
7.65.
7.67.
7.70.
7.72.
7.75.
7.77.
7.80.
7.84.
7.88,
l + xarcctgx
Va+*2K
1-х
. 7.56. -
1+
{ ^
rarccosjc
7.57.
x-a
xz+a
4.
2. 2
.7.59. tg3x.7.60. ^-^-—^.7.61. 2cosln
*WjT-1
e2x+l
2e4l-e2x.7.63. рч.7.64. Ых ; 0.
'x Wl + ln2*
■ * ; 0,25. 7.66. ecos x (cos * - sin2 x); -1.
V*2+12
1
1-2
; 0,5.7.68. xx A-lnx). 7.69. -x^'1
2cos2x 2
/hue.
-х-**-2* (In x + 3). 7.71. (sin x)tg *
1 _„„ 1
(
1 +
lnsinx
cos x
1 + sin x
7.73.
3x2+2
. 7.74.
2(x + 3sin2;c)
2-fx(\-4x)
2* BIn 2 • Vx(l - VJc) ln(l - VJc) - Г 7'76' ~2'
г/ xlny + y 77g cosy-a/cosx 779 Vy
x x + lnx sinx + xsiny ^
£-1~* ~y,.7.81. (x + yJ 7.82. -^-.7.83. £-£.
л l + x2+y2 •*-# У + х
у xlny-y^ _^-y^-7>86. ^.7.87.-1.
jc г/lnjc-jc еУ-хехУ 2
6 И - 9 г2 + 2
-tg 3£. 7.89. -1. 7.90. 6* - 8. 7.91.
F1

Ответы
869
7.92. * + 2,. 7.93.18 cos 6x 7.94. ^-—-.
(х + 1J Bх + 3у
7.95. -W^7.7.96. ех(х + п)Л.97. НГУВ!
х"
(-1)"п!Зл
5)п+1
7.98. Eдс+(-1)я5-*)]п,,5.7.99. sin(*+-nY 7.100.-^
„ ^ 2 ^ C* +
7.101. Ы>!_. 7.107. а) л/4; х-у-1 = 0;
t
б) Зл/4; х + у = 0.7.108. а) х + 2г/-4 = 0; 2х-г/-3 = 0;
б) г/-2 = 0;х = 0. 7.109. г/-Зх-1 = 0. 7.110. г/-5х-3 = 0;
у-5х + 1 = 0. 7.111. г/-х + 2 = 0. 7.112. а) у - Ах +14 = 0;
г/-4х + 6 = 0;б) г/-х + 3 = 0; у-х-1 = 0.
7.113. а) г/ +1 = 0; 6х + г/ + 4 = 0; б) 12х + 4# + 1 = 0; 12*-
-36j/-49 = 0;b) 4х-г/-9 = 0; 4х + у + 1 = 0.
7.114. а) у + х-1 = 0;б) е~2у + х+1 = 0. 7.115. 5г/-х-4 = 0.
7.116. 4х - г/ - 4 = 0; Ш + 9у + 4 = 0. 7.117. 0,13 м/с; 0,026 м/с2.
7.118. а) 3,8; б) 0,05; -0,01. 7.119. v0 = 9; а0 - -4, /гтах = 10,125.
7.122. Д# = Д*Гз(х2 + (х-1)Д*-B;с-1)) + Дл:2]; Лг/ = 3(х-1JД*
при х = 2, Ах = 0,01 Дг/ = 0,030301, ^ = 0,03.
7.123. Ay = y]l + (x + AxJ -sll + x2; dy = xAx/Jl + x2
при х = 0, Ах = -0,01 Ау = 0,00005, й?г/ = 0.
7.124. D9-x)dx/2yl49-x2. 7.125. <£с/(х2 -36).
7.126. 2xdx/Jl-x4. 7.127. (Зх2 -6л: + 3)<£с.7.128. Dх3 -6х)<&.
7.129. 3sin2xsin4xdx.
7.130. (80x3-14)dx2. 7.131. -4cos2xflx2.
7.132. 4_*2-21n4Bx2ln4-l)dx2. 7.133. Bcosx-xsinx)dx2
7.134. 2,02. 7.135. 3,03.7.136. 1,03е » 2,8.7.137. 1 + 0,272/е -1,1.
7.138. 0,1. 7.139. л/4-0,005-0,78. 7.140. 5%. 7.141. 15,5%.
7.148. а) 2@) = 6 (ед/мес.), г'@) = -7 (ед/мес.2), Г2@) =
= -1,167 ед/мес; б)/A2) - 66 (ед/мес.2), /A2) - 17 (ед/
мес.2), Г2A2) = 0,258 (ед/мес). 7.149. 9; 7 ден. ед. 7.150. х - 4;
^ = 1, Е2 = 0. 7.151. -0,31. 7.152. а) -1,5; б) -0,75; в) -0,5; -6.

870
Ответы
7.153. а) C; 6); б) A00; 225); в) F&Л/5; 60). 7.154. а) 95;90; б)
70; 40. 7.155. у'B0) = -0,1. 7.156. 2,06. 7.157. -0,23. 7.158. 0,75.
7.159. 1,2. 7.160. а) 3 ден. ед.; б) ЕJq) = -0,75; Ep(s) = 0,75;
в) +1,25%. 7.161. а) 5; б) = -0,7; 0,8; в) * -3,5%. 7.163.
а) 0,398; б) 0,602. 7.164. а) 0,62; б) 1,62.
Контрольные задания. Вариант 7.1.1. a) 31n I v 1 + 4дг +2jc) +
+ 2C*-£;б) 2 3 еьл НУ-иЦ" 5 аоа7001.
Vl + 4дг2 1 + * Bx-3)n+1
dy = 0,001. 6. a) 2,02; б) 1,015. 7. 1,5%. 8. у - ж - 1 = 0;
у -х- 5 = 0. 9. A0; 20). Вариант 7.2.1. aM1n(Vl + 9x2 -Зх)-
л/1 + 9^2 ' ^Г?' * ' "а-з*/'
5. At/= 0,018004; </г/=0,018. 6. а) 2,99; б) -0,01. 7. 2,25%.
8. у-2х-13 = 0, у-2х-5 = 0. 9. E; 10). Вариант 7.3.
1. a) -lnfVl+25x2 +5x]+ f2~x) ;б) ^ •. 3. -e~6t.
V У Vl+25*2 d-J^l-x2
4. (-1) п!5, . 5. Ау = 0,0015009; dy = 0,015. 6. а) 2,001;
Ex + 2)n+l
б) -0,01.7.0,75%8. у + Зх-4 = 0.9. A0;20).Тест7.1.2;3.2.1,
3,5. 3. 0. 4. 1 - б, 2 - в, 3 - а. 5. 2. 6. 0. 7. 0,3. 8. 1,25. 9. -0,05.
10. 0,05. И. -2; 9. 12. 1. 13.2. 14. 90; -100. 15. 5625.
Глава 8
8.20. Не противоречит, так как г/@) не существует. 8.21. На
промежутке @; 1) можно. 8.22. Теорема Лагранжа может
быть применена. 8.23. а = 2. 8.24. Не может. 8.31. 0. 8.32. 1.
8.33. 3.2. 8.34. 1. 8.35. 0. 8.36. 2,5. 8.37. -~. 8.38. ~. 8.39. ч/I
8.40. 1. 8.41. -л/з/2C1пЗ-1). 8.42. 2. 8.43. 1. 8.44 1. 8.45. 1.
8.46. оо. 8.47. 1. 8.48. -1/я. 8.49. 1. 8.50. ~.
8.57. ^„(-2) = -8/3; ^„A) = -13/12; утт@) = 0; функция
возрастает на (-2; 0) и A; +°°), убывает на (-=»; -2) и @; 1).
8.58. г/njj,, (е) = е; функция возрастает на (е; +°°), убывает на
@; 1)иA;е). 8.59. г/тахC/2) = 4е-3/4; функция возрастает на

Ответы
871
(-оо; 3/2), убывает на C/2; +<*>). 8.60. у^п (-3/2) = -27 / 20;
функция возрастает на (-3/2; 1) и (-1; ©о), убывает на (-оо; -3/2).
8.61. г/пилC/4) = -27/256; функция возрастает на C/4; +«>),
убывает на (-оо; 3/4). 8.62. Функция возрастает на всей
числовой оси; экстремумов нет. 8.63. */min(-l/2) = 2/е; функция
возрастает на (-1/2; +°°), убывает на (-оо; -1) и
(-1; -1/2). 8.64. Ут1пA/2) = -1,25е-2/5, г/тахB)-5<Г8/5;
функция возрастает на A/2; 2), убывает на (-©о; 1/2) и B; +«>).
8.65. Угшп(~1) = ~в ' Утах(^ = е ; функция возрастает на
(-1; 1), убывает на (-оо; -1) и A; +<»).
8.66. ymin (-1 / 3) = y/l -11(Ъе); функция возрастает на (-1/3;
+°°)> убывает на (-оо; -1/3). 8.67. Экстремумов нет; функция
убывает на (-оо; 0) и возрастает на D; +©о). 8.68. ymin (е2) = -е2\
функция возрастает на (е2; +«>), убывает на @; е2).
8.69. г/тахBтт) = 1пЗ; функция возрастает на (-2тс/3 + 27т;
2кп), убывает на Bкп\ 2п/3 + 2пп). 8.70. z/max(е) = arctg(l/e);
функция возрастает на @; е), убывает на (е; +©о).
8.71. ymin(l/yfe) = -l/e; функция возрастает на (A/Тё); +«>),
убывает на K);l/veV 8.72. у^п{4е) = 2е\ функция
возрастает на (е; +<*>), убывает на @; е). 8.73. г/тах A) = 1/2; функция
возрастает на @; 1), убывает на A; +©о).
8.74. г/1шП(^27Ш) = -1; Ушах(в2го,+1,:) = 1; Функция возрастает
на [е2ш; е2ш+п), убывает на (е2™"я; е2™).
8.75. г/тах(в2) = 1/4; функция возрастает на A; в2), убывает
на @; 1) и (е2; +«>). 8.76. 2/minBялг) = 2; функция возрастает
на (-71/6 + теп; кп), убывает на (теп; тс/6 + тш).
8.77. /наим(-1) = /наимB) = 4; /наибD) = 16.
8.78./наимA/в) = -1/в;/наибA) = 0.
8.79. /наим@) = 0; /ишба) = 1/3.
8.80. /„аим(^/4) = 3/>/2; /HaH6Gi/12) = 3sin(K/12) + 4cos2(^/12).
8.81. /наимИ) = 0; /наиб@) = 1.
8.82. /наим(-1) = -1; /наиб@) = -1/2.
8.83. /наим(^/4) = 2; /Hail6@,5arctgB/3)) = л/13.
8.84. /„аим(-^з) = -^7/2; /наибA/2) = 16/17.

872
Ответы
8-85. /на„м@) = 0; /„аибA) = /наиб(-1) = 3.
8-86-/наим ^ существует;/наиб A) = 1,2. 8.87. /наим@) = 2;
/наиб не существует. 8.88. /наим@) = 0;/наиб не существует.
8-89./наим( 1/2) = 3/5;/наиб не существует. 8.90. Не
существует ни наибольшего, ни наименьшего значений.
8.91. B; 2; 1); V- 4. 8.92. [JtflV, Jlt/V^y/V/l).
8.93. R = р тр; а = тр.
18n + V3B + JtJ 18jt + V3B + JtJ
8.94. S = аЛ/4.8.98. @; 0) и (±^Jз/2■, ±7^3/8V2) — точки
перегиба; функция выпукла вверх на (-©о; V3/2) и @; V3/2),
выпукла вниз на (-V6; 0) и (>/б; + ©о). 8.99. @; 0) — точка
перегиба; функция выпукла вверх на @; +«>), выпукла вниз на
(-©о; 0). 8.100. @; 0) и B; 0) — точки перегиба; функция
выпукла вверх на (-оо; 0) и B; +«>), выпукла вниз на @; 2).
8.101. A; 0) и @; 1) - точки перегиба; функция выпукла
вверх на (-1; 0) и A; +«>), выпукла вниз на (-«>; -1) и @; 1).
8.102. A; я/2) — точка перегиба; функция выпукла вверх
на A; +°о), выпукла вниз на (-оо; 1). 8.103. @; 0);
(±1;±1/7ё);(±л/б;±6л/бе~3) — точки перегиба, функция
выпукла вверх на (-°°;л/б); (-1; 0); (l;v6), выпукла вниз на
(-V6;-l);@;l);(V6; + c>o). 8.104. (е5/6;5/Fе5/3)) - точка
перегиба; функция выпукла вверх на @; е5/6\ выпукла вниз на
(е5/6; + ©о L 8.105. Точек перегиба нет; функция выпукла вверх
на (-оо; 0) и @; +~). 8.106. (<Г5/6; -5/6<Г5/2 + l) - точка
перегиба; функция выпукла вверх на @; е J выпукла вниз
на («Г5/б; + оо). 8.107. (-72;2/>/з) и (&,2/S) ~ точки
перегиба; функция выпукла вверх на (-©о; - V2 ) и ( V2; +<*>),
выпукла вниз на (->/2;>/2). 8.108. A; 49/36) и
A; 44/9-(8/3) In 2) — точки перегиба; функция выпукла вверх
на A; 2), выпукла вниз на @; 1) и B; +«>). 8.109. (-3; 1) — точка
перегиба; функция выпукла вверх на (-оо; -3), выпукла вниз
на (-3; -2) и (-2; +<»). 8.116. х = 2, у = 1/3. 8.117. г/ = х -
правосторонняя, у = 2/3 — левосторонняя асимптоты.

Ответы
873
8.118. х = О — вертикальная, у = О - правосторонняя
горизонтальная асимптоты. 8.119. у = О - двусторонняя
асимптота. 8.120. x = ±yfn/2. 8.121. Асимптоты отсутствуют.
8.122. х = 0 — вертикальная, у = 0 - правосторонняя
горизонтальная асимптоты. 8.123. у = 0 - двусторонняя асимптота.
8.124. Функция нечетная, у = 0 - двусторонняя
горизонтальная асимптота; #max(l) = 1> #min(~l) = _1- Функция
возрастает на (-1; 1), убывает на (-оо; -1) и A; +«>); @; 0),
(±V3; ±v3/2) — точки перегиба. Функция выпукла вверх на
(-оо;-л/3) и @;73), выпукла вниз на (—V3; 0) и (V3; + °°);
@; 0) — точка пересечения графика с осями координат.
8.125. Асимптот нет. г/тах B) = 16, z/min@) = 0, z/min D) = 0.
Функция возрастает на @; 2) и D; +°о), убывает на (-оо; 0) и
B; 4); B±2v3/3;64/9) — точки перегиба. Функция
выпукла вверх на B-2л/з/3;2 + 27з/3), выпукла вниз на
(-оо; - 2V3/3) и B + 2V3/3; + оо); @; 0) и D; 0) - точки
пересечения графика с осями координат. 8.126. х = -~у2 —
вертикальная асимптота; у = 0 — двусторонняя горизонтальная
асимптота; */тахA) = 2/3. Функция возрастает на f-°°; - v2 J
и (-v2;lj, убывает на A; +«>); C/4, \/4/3] — точка
перегиба. Функция выпукла вверх на , выпукла вниз на
(-©о; -^2 J и (v4; + «>); @; 0) — точка пересечения графика с
осями координат. 8.127. у = 0 — правосторонняя
горизонтальная асимптота; Ут^к@) = 1. Функция возрастает на (-оо; 0),
убывает на @; +«>); A; 2ё) — точка перегиба. Функция
выпукла вверх на (-оо; 1), выпукла вниз на A; +оо); (-1; 0) и
@; 1) - точки пересечения графика с осями координат.
8.128. Функция нечетная; у = 0 — двусторонняя
горизонтальная асимптота; z/max(l)=l/ve; z/min(-l) = -l/ve.
Функция возрастает на (-1; 1), убывает на (-оо; -1) и A; +оо);
@; 0), (±>/3;±Зг/-3/2) — точки перегиба. Функция выпукла
вверх на (-°°;-v3) и @;-у/3), выпукла вниз на (-v3;0) и
(л/3; +оо); @; 0) — точка пересечения графика с осями
координат. 8.129. Функция определена на @; +оо); у = 0 -
правосторонняя горизонтальная асимптота; ym3LX(e) = 1/е.

874
Ответы
Функция возрастает на @; е), убывает на (е; +«>);
(е3/2; C/2)е~3/21 — точка перегиба. Функция выпукла
вверх на (-«>; -3) и @; 3), выпукла вниз на (-3; 0) и C; +«>);
@; 0) — точка пересечения графика с осями координат.
8.130. Функция нечетная; у = 1 — правосторонняя
горизонтальная асимптота; у = -1 — левосторонняя горизонтальная
асимптота. Экстремумов нет, функция возрастает на всей
числовой оси; @; 0) — точка перегиба. Функция выпукла
вверх на @; +«>), выпукла вниз на (-«>; 0); @; 0) — точка
пересечения графика с осями координат. 8.131. Функция
определена на @; +°о); х = 0 — правосторонняя вертикальная
асимптота. Экстремумов нет, функция убывает на @; +«>);
( Ч~е\ \121Ъ) и (е\ 0) - точки перегиба. Функция выпукла вверх
на ( \[ё; е), выпукла вниз на @; 1[ё) и (е\ +«>); (е; 0) — точка
пересечения графика с осью абсцисс. 8.132. х = 0 —
правосторонняя вертикальная асимптота; lim f(x) = 0; у = 1 — двусторон-
*->о-
няя горизонтальная асимптота. Экстремумов нет. Функция
убывает на (-°°; 0) и @; +°°); (-1/2; е2) — точка перегиба
Функция выпукла вверх на (-«>; -1/2), выпукла вниз на (-1/2; 0) и
@; +°о). 8.133. х = 0 — правосторонняя вертикальная
асимптота; lim f(x) = 0; у = х - двусторонняя асимптота; у^ A) = е.
х-МУ-
Функция возрастает на (-«>; 0) и A; +«>), убывает на @; 1).
Функция выпукла вверх на (-°°; 0), выпукла вниз на @; +«>).
8.134. х = 0 — вертикальная асимптота; у = 1 —
левосторонняя, у = 0 — правосторонняя горизонтальная асимптоты.
Экстремумов нет. Функция возрастает на (-«>; 0) и @; +«>).
Точек перегиба нет. Функция выпукла вверх на @; +«>),
выпукла вниз на (-©о; 0). 8.135. г/тах(л/6 + 2тш) =
= г/тахEл/6 + 27т) = 5/4; г/т1п(-л/2 + 2тм) = -1; 2/^(^/2 +
+2яя) = 1. Функция возрастает на (-я/2 + 2тш;я/6 + 2яп) и
(л/2 + 27м;5я/6 + 27т); убывает на (тс16 + 2кп',пI'2 + 2тм);
X = кп + (-1)" arcsin(A + V33)/8) — точки перегиба.
8.136. Функция возрастает на всей числовой оси. @; 0) —
точка перегиба. 8.137. Функция возрастает на всей
числовой оси; @; 0) — точка перегиба. 8.138. утах Eя/4 + 2кп) = -2;
г/т1п(я/4 + 2тт) = 1/2. Функция возрастает на (я/4 + 27м;
Зя/4 + 27м)и (Зя/4 + 2лдг, 5я/4 +2га); убывает на (-Зя/4+ 27ш;
-я/4 + 2лдг) и (-Зя/4 + 27ш; я/4 + 27м). Функция выпукла
вверх на (-Зя/4 + 27ш; я/4 + 2яп) и (-Я/4 + 27Ш; я/4 + 2я/г),

Ответы
875
выпукла вниз на (я/4 + 2яя; Зп/4 + 2кп) и (Зя/4 + 2яя;
5к/4 + 2кп). 8.139. Функция четная; у = 0 — двусторонняя
горизонтальная асимптота; */тах@) - 2. Функция возрастает
на (-©о; 0), убывает на @; +«>); (±l;v2) — точки перегиба.
Функция выпукла вверх на (-1; 1), выпукла вниз на (-«>; -1)
и A; +°о); @; 2) — точка пересечения графика с осью
ординат. 8.140. Функция нечетная; х = ±1 — вертикальные
асимптоты; у = 0 — двусторонняя горизонтальная
асимптота. Экстремумов нет. Функция убывает на (-«>; -1),
(-1; 1) и A; +«>); @; 0) — точка перегиба. Функция выпукла
вверх на (-«>; -1) и @; 1), выпукла вниз на (-1; 0) и A; +«>);
@; 0) — точка пересечения графика с осями координат. 8.144.
30. 8.145. 2. 8.146. 196. 8.147. In 216. 8.148. 90. 8.149. 0.
8.150. 76Aп1520 - 1). 8.151. 4. 8.152. 4. 8.153. 4. 8.154. 5.
8.155. р = 1. 8.156. р = 1 -р0. 8.157. На 5 ед. Средние
издержки увеличатся на 125/14. 8.158. 1000. 8.159. [2; +<»).
8.160. 1 млн руб. 8.161. р0/2. 8.162. 400. 8.163. 245.
8.164. 625. 8.165. 33V3- 8.166. р > V4-
Контрольные задания. Вариант 8.1 Л. 4/A + 8 In 6,75). 2.1.3.
Функция четная; х = 0 — вертикальная асимптота, у = 0 —
двусторонняя горизонтальная асимптота. Экстремумов нет.
Функция возрастает на (-«>; 0) и убывает на @; +«>). Точек
перегиба нет; функция выпукла вниз на (-©о; 0) и @; +«>).
4. y = yJ2(x-l) — двусторонняя асимптота; Утэх@) = 0;
z/min(-l) = -2. Функция возрастает на (-<»; 0) и B; +<»);
C; 0) — точка перегиба. Функция выпукла вверх на
C; +оо), выпукла вниз на (-©о; 3); C; 0) и @; 0) — точки
пересечения графика с осями координат. 5. 37. Вариант 8.2.1. -6.
2. е. 3. Функция нечетная, х = 0 - вертикальная асимптота, у =
=0 — двусторонняя горизонтальная асимптота. Экстремумов
нет. Функция убывает на (-©о; 0) и на @; +©©). Точек
перегиба нет, функция выпукла вверх на (-©о; 0), выпукла вниз на
@; +©©). 4. у = х - 1 — двусторонняя асимптота; утах(-2) = \14;
z/min@) = 0. Функция возрастает на (-3; -2) и @; +«>);
(-3; 0) — точка перегиба. Функция выпукла вверх на (-«>; 0),
выпукла вниз на (-3; +°°). (-3; 0) и @; 0) — точки пересечения
графика с осями координат. 5. 28. Вариант 8.3. 1. 0. 2. е.
3. х = 0 — правосторонняя вертикальная асимптота,
lim /(jc) = 0; у = 0 — двусторонняя горизонтальная асимп-
*->о-

876
Ответы
тота; z/max(-l/2) = 4/e . Функция возрастает на (-°°; -1/2)
и убывает на (-1/2; 0) и @; +«>); х = -1/2±л/з/6 — точки
перегиба. Функция выпукла верх на (-1/2-\/з/6;-1/2+л/з/6),
выпукла вниз на (^-1/2-л/з/б), (-1/2 + V3/6) и @; +«>).
4. у = 2г - 1 — двусторонняя асимптота; */тах@) = 0,
г/jnin A) =-\Д. Функция возрастает на (-«>; 0) и A; +«>); C/2;
0) — точка перегиба. Функция выпукла верх на C/2; +«>),
выпукла вниз на (-°°; 3/2); C/2; 0) и @; 0) — точки
пересечения графика с осями координат. 5. 156. Тест 8.1. 3. 2. 1. 3. 1.
4. 3. 5. 2. 6. 2. 7. 2. 8. 3. 9. 3. 10. 2. И. 2.
12. /наибB) = 12; /наимA) = /наим@) = 0. 13. я - 20; Ъ = 30.
14. 1. 15.р = 2,7.
Учебно-тренировочные тесты по разделам II, III
Тест МА-1.1. 1. 5. 2. -3. 3. 2. 4. 1; 3. 5. Ь. 6. 1; 2; 6.
7. 2; 3. 8. 1; 4. 9. 1. 10. 2; 3. 11. 1,75. 12. -0,2. 13. 3. 14. 1.
15- *наим = 2; Упшм = -1; *наиб = #наиб = °- 16« 2- 17. 0,6. 18. а.
19. 4. 20. 3. Тест МА-12.1. 8. 2. 2. 3. 3. 4. 4; 6. 5./. 6. 1; 4; 6.
7. 2; 3; 4. 8. 1. 9. 4. 10. 1; 3. И. 2. 12. 45. 13. 0. 14. -3.
15- *наим = !; Укшм = 0; *наиб и Упшб не существуют. 16. 1; 3.
17. 3.18./. 19. 3. 20. 2. Тест MA-1J. 1. 2. 2. 1.3. 1.4. 2; 5. 5.
/. 6.1; 3; 4; 6.7. 2; 4. 8. 2; 4. 9. 5. 10. 1; 4. 11. 1. 12. 1,5. 13.
0,2. 14. 0. 15. хнаим = 3; ушим = 0; хнш6 = 1; упш6 = 4. 16. 3.
17. 1.18. к 19. 1. 20. 4.
Раздел IV. Функции нескольких переменных
Глава 9
9.19. Вся плоскость, кроме @; 0). 9.20. уф-х1^.
9.21. у > х2 -1. 9.22. R2. 9.23. Полуплоскость над
биссектрисой 2-го и 4-го координатного углов, не включая прямую.
9.24. Вся плоскость, кроме @; 0). 9.25. Квадрат с вершинами
A; 1), A; -1), (-1; -1), (-1; 1). 9.26. Квадрат с вершинами
(-1; 0), @; 1), A; 0), @; -1), не включая сторону между
вершинами @; -1) и A; 0). 9.27. у-ЦС/х .
9.28. у = ес/х-х2.9.29. у = \пС-х(С>0). 9.30. у = х1 + С2.
9.31. z/ = l/BC)-x/2.9.32. у = (С + \)х2. 9.33. у - arctg С +
+ га - х. 9.34. 0. 9.35. Не существует. 9.36. 1. 9.37. 0.
9.38. Не существует. 9.39. Не существует.

Ответы
877
9.44. z;=e*-»Bx + l); zy=ex-y(l-2x).
9.45. z'x=cos(x + Jy); z'y=\/By[y)cos(x + Jy).
9.46. z'x=ey +xyy/x; z'y = xey +xylnx.
9.47. zx=l/[2(x2+y2)]; z'y=y/(x+y2).
9.48. z'x=l/[2(x + Jy~)]; z'y =l/[2(^ + y)].
9.49. 2'х=х^4у/х; zy=x^lny/(A^).
9.50. 2^.=-г//Bх2+2хг/ + г/2); 2^, =x/Bx2+2xy + y2).
9.51. 2; = г/A + хг/)е^; г^ = x(l+xz/)e^.
9.52. z'x =-(cosy2)/x2; z'y=-Bysiny )/x.
9.53. zx=-2y/-Jx2+y2; zy=-x/(x2+y2).
9.54. <& = елг'Г(хг/+г/2+1)б£«: + (х2 + хг/+1)ф].
9.55. dz = (e*dx+2ydy)/(l+ex + y2).
9.56. dz = Uy + 2^Jxy-x)dx+(y-2yJxy-x)dy l/(x+ г/J.
9.57. dz = y~2cos(x/y)(ydx-xdy).
9.58. dz = ((arcsiny)/y)-dx+x/y2(y/yjl-y2 -arcsiny)dy.
9.59. <& = (хуг//х+г/х1пг/)йх+(г/д:х/г/ + хг'1пх)</г/.
9.60. 2;=6х3-г//2-х7з/2 + 3>/Зг/2/2.9.61. zt=(l + 2y)/
/V2. 9.62. 125. 9.63. -3/V5. 9.64. Уг = (-2;4); |У2| = 2л/5.
9.65. V2 = (-6;6); |Vz| = 6yf2 . 9.66. V2 = (-l;0), |V2| = 1.
9.67. V2 = (-l;l); \Vz\ = >/2 . 9.68. V2 = (-1;-Vet); |V2| = 2n+l.
9.75. 2min(l;2) = -7.9.76. 2max(l/3;l/3) = l/27.
9.77. 2max(l;2/3) = 4/27.9.78. 2min(l/3/3; 1/^3) = 3^3.
9.79. 2тах(л/3;л/3) = 3>/3/2.9.80. 2min@;0) = 0. 9.81.
Экстремумов нет. 9.82. 2min@;-2) = -2/e. 9.83. 2min(l;3) =
= 10-18ln3.9.84. 2max@;0) = 2.9.85. 2min@;0) = 0; 2^A:0) =
= 2/e; 2^@;!) = 1/e. 9.86. zmax(x = */ * 0) =1/2; zmin(x =
— у * 0) =-1/2. 9.87. Экстремумов нет. 9.88. 2^A/64;
1/256) =1/128. 9.89. 2наим@;1) = 4; 2наибA;0) = 6.
9-90. гнаим(-1; 0) = -1; 2наибA; 0) = 2наиб@; 1) = 1.
9.91. 2наимB-1/72;2-1/л/2) = 1пD-л/2); 2^B+1/72;2+

878
Ответы
+1/л/2) = 1пD + л/2) • 9.92. Куб с длиной ребра а/12.
9.93. zmin(l;l) = 2.9.94. гт1п(-1/л/2;1/л/2) = -л/2;гтахA/^;
-1/л/2) = чУ2.9.95. zminD;0) = 0; zmaxD/3;4/3) = 64/27.
9.96. гт1п(-1/72;1/л/2) = -1-2л/2; гтахA/72;-1/л/2) = 1-
-2л/2 . 9.97. г^ не существует; 2^A50/197; 3880/197) =
= ^/150/195^/3880/197. 9.98. h = 2;R = \. 9.99. BД/л/3;
2Л/л/3;/г/л/3). 9.100. x = y = z = $]V + 2d. 9.104. г/ - -31х +
+285.9.105. г/= -4,7*+ 25,2.9.106. г/= 0,18*+ 12,6.
9.107. у = 2,62-1,04; 5ЛИН =0,027; 5^ =0,1.
9.108. у = 0,3л: + 0,76; 5ЛИН =0,012; 5^ =0,0025.
9.109. г/ = -0,17х+0,622; Sm„ =0,007; 5дат =0,0029.
9.110. г/= 0,0967* +0,01ж2.9.111. а = 0,8856; Ъ = -0,87186.
9.112. а = 0,08; 6 = 0,00596.9.116. х = 225-4502; г/ = 183 106.
9.117. 512;8-512.9.118. A8/5;12/5). 9.119. B/27;1). 9.120.
A997,6;2000,12).
9.121. (B991^3 + 3)/F^3 + 3)); D99+3^3)/C^3+3/2).
9.122. h = ^^;x = ^f7p10/[l + (yl^+d-PoJ]-2.
9.123. р = А;х = 1.9.124. ^B) = */[(x-l)ln(x-l)];£y(z) =
= y/[(y-2)ln(y-2)]. 9.125. ж = 25; г/ = 50/3.
Контрольные задания. Вариант 9.1. 1. а) @; 0); б) A; 1/е).
2. 2max(l/256;l/256)= 1/256. 3.1. 4. 1,05. 5. г/ = 0,5х+0,9.
Вариант 92.1. а) A; 0); б) A; -1.8). 2. г^б-6^-9) = 862 • б-9.
3. 0. 4. -1. 5. г/ = -1,4х + 5,5. Вариант 93. 1. а) A; 0);
б) A/4; 1/4). 2. ZmMA/256; 1/256) =1/256. 3. 1/8. 4. -7/4.
5. г/ = 0,32х+2,7. Тест 9. 1. 3,14. 2. 0,5. 3. 2. 4. 2. 5. 15. 6. ОД
7. а = 3;6 = 2. 8. х0 = 1; у0=-1. 9. 4. 10. <г = 69;6 = 16. 11. 3.
12. а = 1,4;6 = 2,5.13.й = 2468; 6 = 625.14. х = 4,5; г/ = 4,5.
Раздел V. Интегральное исчисление
и дифференциальные уравнения
Глава 10
10.20. 4х3/4/3 + С10.21. B/9)х9+2*е*A+1п2)_1+С.
10.22. (l/3)arctg3x+C. 10.23. tgx-x + C.

Ответы
879
10.24. (l/2)arcsin2x+C. 10.25. ixi{x-—x17/12 + -x3/4 +
5 17 3
+ С. 10.26. -3x_1/3(l+l,5x-0,6x2 + 0,125x3)+C.
10.27. o,5e2x-ex+x + C. 10.28. x + 21nf _1'
x + 1
+C
10.29. х4/2-х3+42*+1/Ы6+С. 10.30. 4хл/3+х° + 2х+
+ 3x4/4+C. 10.31. 2x1,5/3-8xu5/5 + 4x + C. 10.32. 8x +
+ 24x°'5 + 6ln|x|-2x~°'5 + C. 10.33. -0,5cosx+C.
10.34. -ctgx-tgx+C. 10.35. 0,25x4-arctgx+C.
10.36. 0,5x2+ln
x-1
x + 1
+ C. 10.37. arcsinx-ln
x+Vl+x2
+ C.
10.38. -0,51n|cosx|+C.10.39. 0,25(tgx-ctgx) + C. 10.40.3x-
-i !.
-x + -ln
2
x-1
x+1
+C. 10.43. e_1^+C. 10.44. 2x1'5/3-x+
+4x0,5-4ln|l+Vx|+C. 10.45. -3ln|cosx/3|+C.
10.46. -1пA+е_дг)+С.10.47. In
A+л/х2
+ 1
10.48. -0,5xvl-x2 +0,5arcsinx+C
+ C.
1-2*
10.49. Vx2+l-ln|(l+Vx2+l/x|+C. 10.50. -0,5el~zx+C.
10.51. 5Cx+2N/5/l8+C.10.52. -Dx + 3)/l6+C.
10.53. (l/3)ln|3x + l|+C. 10.54. -242^x~+C.
10.55. Vx2+2+C.10.56. (l/6)ln|2x3+5| + C.
10.57. -0,25cosBx2 + x)+C. 10.58. -0,25B +cos3xL/3+C.
10.59. -72е-^+С10.60. 2B + 5e*K/2/l5 + C
10.61. 2,5sin@,4x + 0,2)+C. 10.62. -coslnx + C.
10.63. 0,25(arctgx/3L/3 + C.10.64. (V2/2)arctg(x72)+C
\ex-l\
10.65. (V2/2)lnxV2+V3+2x2
+ C 10.66. 0,5 In
ex+\
+C.
10.67. 0,5x2-x + 2ln|x + l| + C. 10.68. -(x3/3+x2/2 + x +
+ ln|x-l|)+C. 10.69. x-ln|2x + l| + C.

880
Ответы
+С.
x3+Vx6+l
+ С.
10.70. (l/2Vl5)ln|(xV3-V5)/(xV3+V5)|
10.71. 0,5arcsin(x2/4)+C.10.72. (l/3)ln
10.73. (l/3)lnCx2 + 2)+(l/V6)arctg(>/t5x)+C.
10.74. 2Vx2+l + lnx+Vx2 + l|+C.10.75. 2л/х + A/3Iп3х+
+ С. 10.76. x-73arctg(x/73)+C. 10.77. x+ln(x2 +1)+C.
10.78. ((l/9K4,5*+3-*/2J1n3 + C. 10.79. 0,5(arcsinxJ-
-yJl-x2+C. 10.80. 2(x2 + 9K/2/3-17(x2 + 9I/2 + C.
10.81. 0,51n|x2-2|+C. 10.82. 0,51n|x/(x + 2)|+C.
x-3
10.83. arcsin +C.
10.84. 2Vx2+4x+5-7lnx + 2 + Vx2+4x+5+C.
10.85. 0,25In|(x-1 )/(x + 3)|+С 10.86. 0,25arctg(x+l,5)+C.
10.87. -2 arcsin @,5x+1) - 4-х2 - 4x + С
10.88. -2V2 + cos2x+C. 10.89.3x/8-0,5sinx+(sin2x)/16+C.
10.90. 0,51n|tgx|+C. 10.91. ln|sin@,5x + l,5)| + C.
10.92. D/3)sin3x-0,8sin5x+C.
10.93. (-2/3)(l+cos2xK/2+C.10.94. (-2/3)(ctgxK/2+C.
10.97. 0,04e5*Ex-l)+C.
10.98. -2e"*/2(x2+4x + 8)+C.
10.99. (l/8)Dx3-6x2+6x-3)e2*+C
10.100. (x-l)ln(l-x)-x + C.
10.101. (x3/3-3x2/2)lnx-x3/9+3x2/4+C.
10.102. (In2x-B/3)lnx+2/9)x3/3+C.
10.103. 2%/x ln(l- x)- 4>/x -2ln|(>/x - 1)/(л/х +1)|+С
10.104. (-l/3)xcos3x+(l/9)sin3x+C.
10.105. xtgx + ln|cosx|+C
10.106. 0,5xVx2 -4-2ln|x +Vx2 -a\+C.

Ответы
881
10.107. 0,5хл/2-х2 +arcsin(x/V2)+C.
10.108. 0,25х2 +0,25xsin2x+(l/8)cos2x+C.
10.109. xarctgV2x-l-V7x-l/7+C.
10.110. 2\fx arcsin \fx + 2л/1 - x + С
10.111. (x2-2)sinx + 2xcosx+C
10.112. 0, 4e* B sin 0,5x - cos 0,5x)+С
10.113. 0,5x(coslnx+sinlnx) + C. 10.114. 2(Vx-l)e^+C.
10.115. xln(Vl-xWl+x)-0,5x + 0,5arcsinx+C
10.116. -x/sinx + ln|tgx/2| + C.
10.117. 0,5xtg2x+0,251n|cos2x|-0,5x2 + C.
10.118. 0,5(x2 -l)ln|(l-x)/(l + x)|-x + C.
10.119. 0,5x+0, lx cosB In x)+0,2x sinB In x)+С
10.120. (x3/3)arctg3x-x2/18+(l/162)ln(9x2 + l)+C.
10.121. -x arcsin x + In x / f 1 + Vl - x2 J + С
10.122. (xarcsinxJ+2vl-x2 arcsinx-2x+C.
10.123. 3*(sinx + cosxln3)/(l + ln23).
10.124. e3*Csin2x-2cos2x)/13 + C.
10.125. xln(x2 + l)-2x+2arctgx+C.
10.126. (xlnx)/(x+l)-ln(x + l)+C.
10.130. (l/3)ln|(x-2)/(x + l)| + C.
10.131. 0,5(l-x)-2+2(x-l)_1-ln|l-x| + C.
10.132. x-l+\n\(x-l)/x\+C. 10.133. ln(|x|/Vx2+lUc.
10.134. (l/3)ln(l+x)-(l/6)ln(x2 -x+l)+(l/N/3)arctg^^+C
10.135. (l/3)ln(|x-l|/Vx2 + x+lj+(l/V3)-arctg(Bx+
+ 1)/л/з)+ С. 10.136. A + х)_1+1п|х/(х + 1)|+С.
10.137. (l/6)ln|x-l|-(l/2)ln|x + l|+(l/3)ln|x + 2| + C.
10.138. l,5(x + l)_1 +0,251n|(x + l)(x-lK| + C.
10.139. 0,2ln|x-l|+0,8ln|x + 4|+C.
10.140. x+2,51n|x2 -6x+10| + 5arctg(x-3) + C.
10.141. x+(l/6)ln|x|-4,51n|x-2|+B8/3)ln|x-3|+C.

882
Ответы
10.142. 2\п\х\ + 1п\х+2\ + Щх+2у1+С.
10.143. х3/3+*2 -*+D/V3)arctg(Bx+l)/V3)+C.
10.144. -x'^-arctgx+C
10.145. 2~2*\п((х2 +xj2 + i)/(x2 - W2+ 1)+
+ 2_1'5arctg(W2(l- x2yl))+C.
10.146. 0,5Bлг-1)(лг2 + 2x+2)_1 + arctg(;tr+l)+C.
10.147. 0,251п((лг2 + лг+1)/(*2 -x+l))+
+ 0,5-3_1/2arctg(*>/3/A-x2))+С 10.148. x(A+*V /8+
+ 16_1arctg(x/2)+C. 10.149. 0,51п(лг2+ 5)+0,1B5-Здг)(лг2 +
+ 5)_1 -C/A0V5))arctg(^r/V5)+C.
10.150. 0,251n|(x-i)/(x + l)|-0f5arctg*+C.
10.151. (*-l)_1 + ln|(*-2)/(x-l)|+C.
10.152. -6,5(л:-4)-2 +3(лг-4)-1 + 2\п\(х-4)/(х-2)\+С.
10.153. -0,2x~5+x~3/3-х'1 -arctg*+C.
10.156. 2V*^l((x-lK/7+3(*-lJ/5+*)+C.
10.157. 0,5лг-37х/2 + 2,251п|2^ + з|+С.
10.158. 6(х7/6 /7-х5/6 /5+xi/2 /3-xi/2 /3-xi/6 +
+ arctg^1/6)+C. 10.159. 0,075(Bx+lM/3-5B*+lJ/3) + C.
10.160. 6ffr-6aretgff* + C. 10.161. 2(J(x+lf-y[x1)/3+C.
10.162. @,25x-4 +3;T2 /8)V*2 -1 -C/8)arcsinлГ1 +C.
10.163. 0,5\/x2 -l(x-2)+0,5\n\x+ylx2 -ll+C.
10.164. -2л/(д:-2)/лг-1пГ|х|A-л/(лг-2)/л:J1+С.
10.165. ln|(>/I+l-l)V(*+2+>/x+l)|-
-B/73)arctg(BVI+l + l)/V3)+C. 10.166. 2./— -
. All-*
-2arctgJ^£ +c. 10.167. 0,5x2-0,5x^Jx2-i +
\l-x
+ 0,5ln\x+\lx2-l
\+C. 10.171. -cosx+(cos3*)/3+C.
10.172. sina:-sin3x+0,6sin5a:-(sin7ar)/7+C.
10.173. 0,2cos5*-(cos3;tr)/3+C. 10.174. -2(l+tgx/2)-1+C.

Ответы
883
10.175. 2-1/2ln|(tgo:/2+l->/2)/(tg^/2+l + >/2)|+C.
10.176. 0,251n|tg*/2|+0,125tg2;t:/2+C.
10.177. lTi/2arctg(yl0fitgx)+C. 10.178. x-tgO,5x+C.
10.179. -0,5(i-cosxy2+C. 10.180. ln|(tg0,5r-5)/
/(tgO,5x-3)| + C. 10.181. -ln|cos#-sin;*:| + C.
10.182. 2-3-1/2arctgC-1/2tg0,5^)-2-1/2arctgB-1/2tg0,5^)+C.
10.183. tg2(^r/2+rt/4)+2ln|cos(x/2+rt/4)|+C.
10.184. 0,6sinEx/6)+3sin(*/6)+C.
10.185. 0,0625 sin 8x - 0,05 sin 1 Ox+С
10.186. (cos6*)/24-(cos4x)/16-(cos2*)/8+C.
10.187. 2_1/2 (ln|tg0,5x| + ln|tg@,5*+я/4|)+С.
10.188. -3(cos*L/3 /4+3(cos*I0/3 /5-3(cos*I6/3 /16+C.
Контрольные задания. Вариант 10.1.1. Jx -Q,6$JBxM +C.
2. 4yjyfx+x+C3. e2x(x+l)+C.
4. -0,5* + (l/3)ln|e*-l|+(l/6)ln(e* + 2)+C.
5. 26arcsin@,5-1,5)-5\/бл:-*2 -5 + С 6. 2jigx+C.
7. 0,25л:4 arcsin *_1 + (дг2 + 2)V*2 -1 /12+С
Вариант 10.2.1. ЗхА$х/М-ЗяРУх/7-бМх+С.
2. (88-30x)Vl-3x/27+C. 3. (^/З+^^+^Ьх-^/Э-
-Злг2 / 4 - 2дг + С. 4.2>/7+1+1п((л/7П -1)/(>/в*+1 + 1))+С.
5. л-+31п(л-2 - 6х+10)+8arctg(x - 3)+С. 6. tg х - (tg3x) /3+С.
7. -0,5x(sinx)~2 -0,5ctgx+C. Вариант 10.3. lAmx+^Ji+x2
-хЗ/З + С.2. 2B1nx + xK/2/3 + C.
3. x\n(x+yll+x2)-Jl+x2 +C. 4. 0,51nU2 -2лг-15| +
+ 0,251n|(x-5)/(x+3)| + C. 5. ^^-aictgx-O^x+C.

884
Ответы
6. ех-0,51п(е2* +ех + 1) + V3arctg(Be* + 1)/S)+C.
7. 0,2(-x2+3x+0,08)cos5^+0,04Bx-3)sin5x+C.
Тесг10.1.а = 4,6 = 3.2.а = 6,6 = 3,с=1.3. a = -6,fe = -3,c = 2.4.
а = 1, b = 8, rf = 4.5. a = -8, b = -2, «?= 4. 6. a = 2,6 = 13, d= 8.
7. a = 1, £> = 2, rf = -3. 8. a = -16,6 - 4, d = 4. 9. a - 4,6 = -3,
rf-1.10. a-l,b-l,d-2.
Глава 11
11.24. 100/3. 11.25. 7/4. 11.26. 6-3n/2+6arctg2. 11.27.
ln(9/8). 11.28. 9. 11.29. 100/27. 11.30. 2 + 2ln3. 11.31.
7 + 2Ы2. 11.32. 4. 11.33. 2. 11.34. 6. 11.35. 2. 11.36. In4-1.
11.37. (e2+l)/4. 11.38. e-2. 11.39. я/л/3-1п2. 11.40.
(e2 -5)/e. 11.41. 0,5(e* +1). 11.42.4.11.43. -я/2.11.44.0,25.
11.45. 0. 11.46. 2/3. 11.47. 2-я/2. 11.48. arctg3-
-arctg2.11.49. n/S. 11.50. ln(G+2>/7)/9). 11.51. я/6 +
+ 1--Л/2. 11.52. 0,51nl,5. 11.53. I,5(ln4-1). 11.54. 0,5 -
-0,51n2.11.55. 81я/8.11.62. e2 +1.11.63. 16^2/15.11.64.4,5.
11.65. 4ln2-2/3. 11.66. 7/12. 11.67. 7/6. 11.68. 0,5.
11.69. 44/15.11.70. l/3+ln3.11.71. 7/6.11.72. 3/2-ln2.
11.73. 9/2. 11.74. 8/3. 11.75. A5 - 16ln2)/4. 11.76. 5/3.
11.77. Fe - 5)/3. 11.78. 3/2. 11.79. 8/9. 11.80. 1. 11.81.
3/ln2-4/3. 11.82. 0,5. 11.83. 19/3. 11.84. 1/3. 11.85. 3.
11.86. 17/12. 11.87. 9.11.88. 2я. 11.89. Зя/8. 11.90. 1024я/
21;256я/15. 11.91. я2/2; 2л2. 11.92. 12л; 24л. 11.93.
128я/15,64я/3. 11.94. 112я/5;40я. 11.95. 544я/15; 8я.
11.96. л(е-2);я(е2+1)/2.11.97. 32л/2л/3;4л. 11.98. 52я/3;
A28/3-112V3/5)л. 11.99. 397я/30; 148л/15.11.100. 256я/
15;8л. 11.101. л(е*-1)/2; 2л. 11.102.178я/15;21я/2.11.103.
6л/7;Зл/5. 11.104. 16л/3;8я/5. 11.105. V2+ln(l+72).
11.106. l + 0,51nl,5.11.107. ln(e+Ve2-l). 11.108. 8.11.109.
7я/27. 11.110. Зя. 11.111. 18л. 11.112. 6л/5. 11.115. 1/2.
11.116. 1/Ь2 .11.117. 1/2.11.118. 3/2.11.119. Расходится.
11.120. 6^/2. 11.121. 1/24. 11.122. Расходится. 11.123. 1/4.
11.124. л/75 .11.125. 0,5.11.126. Расходится. 11.127.
Расходится. 11.128. 1. 11.129. л/2. 11.130. 4.11.131. Расходится.
11.132.1.11.133.1,5.11.134. 0,51пЗ. 11.135. 6лЗ/2.11.136.2л.
11.138. 0,6956.11.139. 21,44; 0,1064.11.140. 37,8183; 0,1817.

Ответы
885
11.141. 13. 11.146. =4,53. 11.147. 23,98. 11.148. 40. 11.149.
42381.11.150.11,392 т. 11.151. 2,529-106.11.152. а) 0,0235;
0,283; б) 0,0073; 0,114; в) 0,0037; 0,45.11.153. 341,3.11.154.
112,8. 11.155. а) С - 2250; Р = 37,5; б) С - 667; Р = 767.
11.159. 406/81. 11.160. 8/3. 11.161. (e-l)lnl,5. 11.162.
48V2/7 + 56/3.11.163. -л.
Контрольные задания. Вариант 11.1. 1. In(l+v2).
2. л/3/2 + 1пB-^). 3. -135<Г1+54. 4. 1,51п1/3-1пЗ/4.
5.14/3.6. Ш. 7.2.8.20/21.Вариант 11.2. 1. е-4е . 2. 4л.
3. -468/7. 4. -1п8/5. 5. е2-21п2. 6. 30л. 7. 1/207з.
8. 16/15. Вариант 11.3. 1. — ffi. 2. Eе3-2)/27.
3. 0,51п1,5. 4. ilnl4. 5. 1,5. 6. 5,5л. 7. 6. 8. 0. Тест 11.
1. а = 15;6 = 32.2. а = 1; 6 = 1.3. а = 1;й = 1. 4. а = -7;й = 16.
5. а = 3;6 = 16.6. a = U;b = 3.7. а = 112.8. 74.9. 5.10.-0,5.
Глава 12
12.37. -1. 12.38. 1/6. 12.39. у' = у. 12.40. х2у'-ху = уу'.
12.41. y=cos{xJi^/?/y}.i2A2. (yf + 2yy"=0.
12.45. e1/y=C3/3x-l. 12.46. у = Се^[ 12.47. r2y = Cfe2j'.
х-л/2|
/9
12.48. г/3/3-г/ = 0,5е2*_1+С.12.49. г/ = х + —In
х + у/2
+С.
12.50. е* -е"у(г/ + 1)=С. 12.51. arctgjx + у) = х + С.
12.52. х + 2г/ + 31п|2х + Зг/-7| = С. 12.53. ,j4x+2y-l-
-2ln(j4x+2y-l + 2) = x+C. 12.54. г/ = е*(х-2)+С. 12.55.
лг-2 + г/_2 = 2A+1п|х/г/|). 12.56. 2jy~+ln\y\-2yfx'= 0. 12.57.
V=^2-l- 12.58. y = -2cosx. 12.61. ^Ce*7*. 12.62. y3 =
= 3x3ln|Cx|. 12.63. y = xeCx+i. 12.64. 0,51п(х2 + г/2)+
+ arctg(*//x) = C.12.65. г/ = Сх2/2-—;x = 0.

886
Ответы
12.66. (х2+у2K (х + уJ = С. 12.67. Зх+г/ + 21п|х + г/-1| = С.
12.68. (у + 2J+С(х + у-1); у = 1-х.
12.69. In ^ = 1+-^. 12.70. sin^^ = C(x + l).
х + 3 х+у х + 1
12.71. у = С(х2 +у2). 12.72. х2 + у2 = Сх.
12.76. у=Се2х+хе2х.12.77. у = (х-А+8/х)ех/2+С/х.
12.78. 60г/4(х+1J = Юх6 + 24х5 + 15х4 + С.
12.79. д: = Се|'-2г/2-4г/-4.12.80. лг = Се!'2-0,5A + г/2).
12.81. г/ = х4@,51п|х|+СJ.12.82. у2 = xln(C/x).
12.83. y3C+CeC0SX) = x. 12.84. г/-2 = х4Bе*+С);
г/= 0.12.85. хг/(С-1п2 г/) = 1.12.86. у2+х+ау = 0.
12.87. х2+у2-Су +1 = 0.12.90. у = ±0,Ъ(х^С2-х2 +
+ Cf arcsin—)+С2.12.91. г/ = Q + С21п|х|.
12.92. г/ = (C1х-С12)ел;/С1+1+С2; г/ = ех2/2+С.
12.93. г/ - C,ec» + 1/С2.12.94. у = С^*. 12.95. у = С^х -
- Ct) + С2; г/ = хУЗ + С. 12.96. # = С3 - х(х + Сх)\пС2(х + Ct);
г/ - Схх + С2.12.97. 2г/ = Сх cos2x+A+2QX2 + С2х+С3.
12.98. 225(г/-1J = 8(х-1K(Зх + 2J.12.99.у3-е = Зх.
12.106. у = С^* + С2е?*. 12.107. у = ^(CjCosx + C2sinx).
12.108. y = ex(Ci+C2x+x2).
12.109. у=Схе2х + С2е~3х + х@,1х-0,04)е2*. 12.110. у =
= C,cosx+C2sinx+0,5xsinx. 12.111. y = Cl+C2e~x +-x+
+ 0,05Bcos2x-sin2x). 12.112. у = Сх +С2е3х -0,l(cosx+
+ 3sinx)-x2/6-x/9.12.113. y = (e-x + e-2x)ln(ex+i)+
+ Cte-x + C2e-2x. 12.114. y = e~2x-ex. 12.115. y = sinx-
-2xcosx. 12.116. у = е~х(х-sinx). 12.117. г/=хе*+хе*1п|х|.
12.122. 29,8. 12.123. y = lnC,32e1,2'-0,6). 12.124. 29,91.
12.125. 863. 12.126. a) py2 =20; 6) ptfy=6. 12.127. a) p =
= 100 - г/; 6) p = 20 - 2 г/. 12.128. a) p = 15е4г - 5; б) не
является. 12.129. a) p = 5+2e~°At; б) является. 12.130. Оставшееся
количество вещества x(t) = x@)e~t/20; х(£) = 0,01х@) при
£ = 60/lg 2«200 дней. 12.131. у = Ъеш Д1 + 2е1/2();

Ответы
887
уB) = 1,43.12.134. x = Clet+C2e5t, у = -С{е*+3C2e5t.
12.135. х = Схе~*+С2еы, у = 2Схе~1-2C2e3t.
12.136. x = (Ci+C2t)e3t, y = (Cl+C2+C2t)e3t.
12.137. x = (Cl + C2t)et, t/ = BC1-C2 + 2C20et.
12.138. x = C2eCi\ y = t+^-eCit;x = 0; y = t+C.
4
12.139. t2-x2=Cv t+x=C2y. 12.140. xy'-2y = 0. 12141.
y-2xy'=0. 12.142. 3y2-x2=2xyy. 12.143. y"-y'-2y = 0.
12.144. V*7y+ln|y| = C,y = 0. 12.145. x = -j2L=. 12. 146.
y = *lnc/x. 12.147. y = (x+C)e*. V1 + ^2
12.148. лг = (у-лгIпС(г/-х), y = x. 12.149. у=С(лг + 1)е~*
12.150. x2 +y2 =1п(Сд:2). 12.151. e~y/x +ЫСх. 12.152.x =
= Cy2-1/у.12.153. (x-CJ -у2 =С2.12.154. у2 +х2-2х = С.
12.155. 5* + 10y+C = 3ln|10x-5y + 6|. 12.156. y2-2 = Cei/x.
12.157. у = -lg(C-10*). 12.158. ln\x\ = C+Jy2+l, * = 0.
12.159. y = -x4+C/x2.12.160. y = l+ —. 12.161.2r + y-
6 1+x
- 1= Ce*. 12.162. x = Ce*/y;y = 0. 12.163. y = Cte2x+C2e3x.
12.164. y=Cx+x2.12.165. y=C1e*+C2e7*+2.
12.166. у = (С1+С2лг)е2;,г+^Bд:2+4х + 3).12.167.у = (С1+
8
+ C2x)e-X. 12.168. у = е~2х(С{ cos3x+C2 sin3x). 12.169. у =
= Ciex+C2e~x+-xex. 12.170. y = e*/6(CiCos^i*+
/77 |
+ C2sin—*). 12.171. y=(Ct+C2*>T*+-e2*. 12.172.
6 2 9
y = Ciln|*|-—+ C2. 12.173. y = e2x/8+CiX2+C2x+C3.
12.174. y--ln\y\ = x+l. 12.175. y3-y = 3x. 12.176. у =
= G-Злг)^.12.177. y = 2cosx-5sinx + 2e;r. 12.178. y =
= e2*-1 -2e*+e-l.12.179. y = e~*(x-sinx).
Контрольные задания. Вариант 12.1. 1. (Cx + \)y = Cx - 1;
y=1.2. ylnCx = -x; y = 0.3. 0,5y2 + у + Цу-l^-x'1 +C.

888
Ответы
4. еу +Ct = (х + С2J. 5. х = СеУ + у2 + 2у + 2.
6. Jy-x -у/х =1.7.у = -1+е2х +0,25(х-х2)-х3 /6.
Вариант 122.1. y = xtg\nCx; х = 0.2. г/2 =С(.г2-1); х = ±1.
3. г/ = Сг+.г3; .г = 0.4. x + y = tg(y-C).5. y = C1(x-e"*)+C2.
6. -cos2x + sin2x. 7. # = е*-(x + l)e/ = .r2+jdn|.r|.
Вариант 123.1. у = Сх2е~3/х . 2. г/2 =С(лт/-1); лз/ = 1.
3. С1х + С12^ = 1п|С1х + 1|+С2;2г/ = х2+С,г/ = С.
4г/(.г+С) = лг+1;# = 0. 5. ln(x2+#2) + arctg(z//.r)=C.
6. х = г/2A~21п|г/|). 7. # = 3sin2.r-7cos3.r-2sin3.r.
Тест12.1. 1-в,2-а,3-б.2. а = 4;6 = 1.3. а = -1; 6 = 1; я? = -3.
4. 10.5. 0. 6. 10. 7. а = -1; 6 = 3. 8. 1,4. 9. -0,75.10. 21.
Раздел VI. Ряды
Глава 13
Згг + 1 ,0 ,0 (гг + 1J-1
13.17. ип = . 13.18. ип = - ^—.
я гг + 2 (гг + 1J+1
13.19. Sw=3(l-@,5)w), S = 3. 13.20. Sn =1/3 - 1/(я + 3),
S =1/3.13.21. 5n = (Згг + 4)/Dn + 2), S = 0,75. 13.22. 5W = n/
(Згг + 1), S = 1/3.13.23. Sn - 1/12 - l/CCn + + 2J), 5 = 1/12.
13.24. Sn = 1пB/Eгг + 2)); расходится. 13.25. Расходится.
13.26. Расходится. 13.27. Расходится. 13.28. Расходится.
13.29. Необходимый признак выполняется. 13.30.
Расходится. 13.37. Расходится. 13.38. Сходится. 13.39. Сходится.
13.40. Расходится. 13.41. Расходится. 13.42. Сходится.
13.43. Расходится. 13.44. Сходится. 13.45. Сходится. 13.46.
Расходится. 13.47. Расходится. 13.48. Сходится. 13.49.
Сходится. 13.50. Расходится. 13.51. Сходится. 13.52. Сходится.
13.53. а = 3; сходится. 13.54. а = 1; расходится. 13.55. а = 1;
расходится. 13.56. а = 1; расходится. 13.57. а = 3; сходится.
13.58. а = 1/2; расходится. 13.59. а = 2; сходится. 13.60.
а = 4/3; сходится. 13.61. Сходится. 13.62. Сходится. 13.63.
Сходится. 13.64. Сходится. 13.65. Сходится. 13.66.
Расходится. 13.67. Необходимо дополнительное исследование.
13.68. Сходится. 13.69. Расходится. 13.70. Сходится. 13.71.
Расходится. 13.72. Необходимо дополнительное
исследование. 13.73. Расходится. 13.74. Расходится. 13.75. Сходится.
13.76. Сходится. 13.77. Сходится. 13.78. Сходится. 13.79.
Сходится. 13.80. Сходится. 13.81. Сходится. 13.82. Расхо-

Ответы
889
дится. 13.83. Сходится. 13.84. Расходится. 13.85. Расходится.
13.86. Сходится. 13.87. Расходится. 13.88. Сходится. 13.89.
Сходится. 13.90. Расходится. 13.91. Расходится. 13.92.
Расходится. 13.93. Сходится. 13.94. Сходится. 13.95. Сходится.
13.96. Сходится. 13.97. Сходится. 13.98. Расходится. 13.99.
Сходится. 13.100. Расходится. 13.101. Расходится. 13.102.
Расходится. 13.106. Сходится условно. 13.107. Сходится
абсолютно. 13.108. Расходится. 13.109. Сходится абсолютно.
13.110. Сходится условно. 13.111. Сходится абсолютно.
13.112. Сходится абсолютно. 13.113. Расходится. 13.114.
Сходится абсолютно. 13.115. Расходится. 13.116. Сходится
абсолютно. 13.117. Сходится условно. 13.118. Сходится
условно. 13.119. Сходится абсолютно. 13.120. Сходится
абсолютно. 13.121. Сходится абсолютно. 13.122. Сходится
абсолютно. 13.123. Расходится. 13.124. Сходится условно.
13.125. Сходится абсолютно. 13.126.99.13.127.9998.13.128.
1 000 000.13.129. 7.13.130. 4.13.131. л = 4; 0,18127.13.132.
я = 3; 0,23976.
13.133. а) A/2Iп2; б) C/2Iп2. Указание. Представить
11 1A
тройку членов ряда в виде: + - — = -
4я-3 4я-1 2п у4п-3
1 1 1 ^ ( 1 1 ^
~4^2 + 4^1 ~ 4^ Д 4^2 ^ J и при я = 1, 2, 3,... найти
сумму каждого ряда.
Контрольные задания. Вариант 13.1.1. 1/5. 2. Расходится.
3. Расходится. 4. Сходится. 5. Расходится. 6. Сходится
условно. 7. 7. Вариант 13.2.1. 1/4. 2. Расходится. 3.
Расходится. 4. Сходится. 5. Сходится абсолютно. 6. Расходится. 7. 6.
Вариант 13.3.1. 1/3. 2. Сходится. 3. Расходится. 4.
Сходится. 5. Расходится. 6. Сходится условно. 7. 6. Тест 13. 1. 3.
2. 2. 3. 1,3. 4. а-2, 6-3, в-1, г-3. 5. а) а = 1,2; б) а = 2;1.
6. / = 5/2; 2. 7. 2,3,4. 8. 2. 9. 3.10. 3.
Глава 14
14.8. [-1; 1). 14.9. (-1/V2; 1/>/2). 14.10. {0}. 14.11. (-V2/
3;л/2/3). 14.12. [-1; 1]. 14.13. (-2; 2). 14.14. И; 1). 14.15. {0}.
14.16. [-2; 2). 14.17. (-0,1; 0,1). 14.18. (-3; 3). 14.19. [-1; 1).
14.20. (-оо;+оо). 14.21. (-1;1]. 14.22. [-1;1]. 14.23. [-3;3).

890
Ответы
14.24. [-л/5; л/5]. 14.25. [-1; 1]. 14.26. (-1/е;1/е).
14.27. [-л/3; л/з]. 14.28. (-~; +°°). 14.29. [3; 7). 14.30. [0; 2].
14.31. [-1; 1]. 14.32. [3; 5]. 14.33. (-4; 4).
14.41. У(-1)я^-^;(-оо; + =о).14.42. У(-1)я — ;
3 п\ ~о (и+1)!
2w+3
(-со; Н-со). 14.43. £(-1)"£—;(-о{+оо).
^о B")!
я=1
14.44. £(-1)я+1—; (-1/5; 1/5].
14.45. 1п5+Х(-1)
n+i 0,4я *и
; (-2,5; 2,5]. 14.46.1+т +
Я=1
+ £(-1)"+1135"яB|П)ж2"; [-1; 1].
и=2
14.47. £(-i)n*4n; (-i;i)-
п=0
00 Л/.Я
2Я*Я+2
14.48. 32-^-; (-4; 4). 14.49. £(_!)» :£JL_; (-оо;+оо).
оо 2«
14.50. ЕсмГ1^; [-i;i].
п=0
п=1
Bи-1)
14.51. х+Х(-1)и+1-^7; (-!;!]• 14.52. £^—; [-W].
£ и(и+1) £ п\
"•"• ISi^-"»14-54- —A4)!**A+b5)t*-
-f i+i+|+iV+..;(-i; i). MJ5. -f^^-b... j(-i; i).
1 Я
14.56. x-x2+-x3 x5H-...;(-oo;+oo).
3 40
yz+l ^
2n
23
14-57- £(-1Г'2*к71); i-'^i-14-58- *,-|*,+г**--
(-1; 1). 14.59. In6+X
n=l
r(-l)"+1
1
\
2я 3я
I*-; И; 2].
1 W

Ответы
891
14.60. |+(-l)»(l + ^W-l;l).14.61. (-00; + -).
14.62. \nx + f — + C; (-°°;0)u@;+°°).
J oJ °° /_4\n-l 2n
14.63. x + ^--fL+... + C;(-l;l). 14.64. £ „ * +C'
2-5 8-9
(-oo;+oo) . 14.65. (-oo;+oe).
.(*-2)"
14.66. e"
n=l
; (-oo;+o°)-
14.67. y( !)"+(^ 1)". @; 2)
14.68. -4JL(*1 ' (-8;4). 14.69.
14.71.
6£ 6я
1-х2
A + дг2J
A-хУ
14.70. arctgx.
. 14.76. 0,7165. 14.77. 0,336. 14.78. 0,3090.
14.79. 7,937.14.80. 1,609.14.81. 2,0006.14.82. 0,1974.14.83.
0,9759.14.84. 0,2009.14.85. 0,7635.14.86.0,072.14.87. 32,831.
14.88.0,494.14.89.0,946.14.90.0,500.14.91.0,098.14.92.0,487.
14.93. 0,3230; 5 = 0,0001.14.94.0,24489;
5 = 0,00001. 14.95. 0,5031. 14.96. у = 1+х+-х2 + —х3+....
2 3!
3 о Г2
14.97. у = \+х+-х2 + .... 14.98. у = \+х+ —.... 14.99. у =
2 а2
= 1+2лг--лг2--х3 + .... 14.100. у = -х3+~х6 + ...+
2 3 3! 6!
1-4-7...(Зя-2) 2я .,.«. , х2 х3 х5
+ -г -хАп+.... 14.101. у = 1+—+— +—+....
(Зи)! я 2! 3! 5!
., .л« * 1 2 1 4 1-3 6 1-3-5 8
14.102. у = 1+х+-х х + х х +....
* 2 2-4 2-4-6 2-4-6-8
14.103. 1. 14.104. 1/3. 14.105. 1/3. 14.106. 1/60. 14.107.
S(p)~bp/a.
Контрольные задания. Вариант 14.1. 1. Г--\/3;л/з|.
9 - о2я+1 2и+1 ^ *
2. (-оо;+оо).з. |Х% * ; (-1/3; 1/3).
5~ 2и+1

892
Ответы
4. у2" costoi/4^. (_^.+00) g 0 9781; g . о,00008.6.0,333.
Вариант 142.1. [->/5;>/5]. 2. B - е; 2 + ё). 3.-3+7х-11дг2 +
+ ... + (-l)(l-4«)xn-1+...;(-1;1L.4+У B+2")^-; (-о;+оо).
5. -0,105; 8 = 0,0003.6. 0,310.
Вариант 14.3.1. Г-л/5/2;%/5/2).2. [3; 5]. 3.1+—+— + ...+
б(я-1) - 2 х sin—
+ - - + ...;(-~;+~).4. £ -^^;(-со;+оо).
Bи-1) £- и!
5. 3/11; 8 = 0,004. 6. -0,364. Тест 14. 1. 2. 2. -3. 3. 2,5. 4. 3.
5. 2; 3. 6. -1,25.7. -0,125. 8.3.9. 0,49.10.0,7.
Раздел VII. Элементы высшей алгебры
- ' I ' Глава 15
15.7. а) 19 + 5*'; 11 + Ш; б) 84-13*;в) l,44 + 3,08i.
15.8. z, = V2[cos(-n/4)+isin(-n/4)]; z2 = 2[cosEn/6)+
+ isinEn/6)];a) 2V2[cosGn/12) + isinGn/12)];6) (>/2/
4)(>/3 - г); в) -16384; г) ^2[cosEjt/18)+isinEn/18)],
Й[совA7я/18)+|"япA7я/18)], [cosB9n/18)+isinB9n/18)].
15.9. z1=>&_a'/4,z2=2e,'5,'/6. 15.10. a) -l-4i; 6) ll-20i;
в) 66 + U2i;r) -l,26+0,32f. 15.11. 2>/2(cos(lln/12)+
+ isin(lln/12));(l/N/2)(cosGn/12)+isinGn/12)). 15.12. A/
л/2)A+0; A/ V2)(-l+0; A/V2)(-l - 0; A/л/2)A - i).
15.14. G-240/25. 15.15. 2bCa2-b2)i. 15.16. 8i. 15.17.
512A-г\/3). 15.18. -l/2 + (V3/2)i. 15.19. l/2+(>/3/2)i.
15.20. -27.15.21. -y/2 + iS. 15.22. ±4i. 15.23. (-l±i>/5)/2.
15.24. A±in/7)/2, (-l±i>/7)/2.15.25. ±2, 1±гЧ/3, -1 + гЧ/З .
15.26. ±1, ±i, ±2, ±2i.
Контрольные задания. Вариант 15.1.1. a) 16+9i; 6) Si;

Ответы
893
BL6+72i;rH,82-0,24i.2. a) 2V2[cosGjt/12) + isinGn/12)];
б) ^[cos(llji/12)-fsin(lln/12)];
в) 1024[cos(ji/3) + isin(jt/3)] = 512A + i>/3); г) ^4[cos(n/9)-
-isin(n/9)],^4[cosEn/9)+isinEn/9)], 3/4[cos(lljt/9)+
+ isin(lln/9)].3. -1/2 + г\/3/2.4.а) ±2гЧ/б/3;б) l±i;
в) 3±2г; -3±2г, г) 2±2z; -2±2г. Вариант 15.2. 1. а) 8 -13i;
б) -4 + Зг;в) -28-46г;г) 0,52-0,Ш.
2. a) 2V2[cos(n/12)+isin(n/12)J
б) (V2/2)[cosEn/12)+isinEn/12)];
в) 32[cos(n/2) + isin(n/2)] = 32r,r) Щссх(п/6)+
+ isin(n/6)] = (л/2 /2)(V3 + г), ^2 [cosEn/6)+isinEn/6)] =
= $2 /2)(-ч/3 + г), ^2 [cosCn/2)+isinCn/2)] = -^2~i.
3. -l/2+iV3/2. 4. a) ±iS/2; 6) 3±fV7; в) 4±r,-4±i;
г) 1 + г; -l±i. Вариант 153. 1. a) -5 + 13*'; б) 11 + г; в) -66 -
-38*; г) 0,18-0,74г.2. 2V2[cos(lln/12)+isin(lln/12)];
б) V2[cosGn/12)-isinGn/12)];B) 1024[cos(jt/3)-
-isin(n/3)] = 512(l-iV3); r) 3/4[cos(n/9)+isin(n/9)],
^4[cosGn/9)+isinGn/9)], 3/4[cosEn/9)-isinEn/9)].
3. -1/2-гЧ/3/2.4.а) ±*ч/14/2;б) -5±г\/3;в) 1 ±2i;-l ±2i;
r) y/2/2±iyf2/2;-yf2/2±i^2/2. Тест 15. 1. 2. 2. 150°.
3. 20. 4. -0,5. 5. 170. 6. 165°. 7. 1 000 000. 8. -120°. 9. 162°.
10.4.
Учебно-тренировочные тесты по разделам IV—VII
Тест МА -2.1.1. 2. 2. 1. 3. 3. 4. 3. 5. -0,25.6. 0,75. 7.10. 8. 2.
9. 1; 4.10. 0,5.11. 6.12. 3.13. 2.14. 2; 3.15. 0.16. -2.17. 0,75.
18. 2.19. 2; 3. 20. 4. Тест МА - 2.2.1. 2. 2. 2. 3. 2. 4. 4. 5. 0,5.
6.3,2.7. 57. 8. 2. 9. 3. 10. -2.11.11.12.4.13.1.14.1; 4.15. 2.
16.1.17. 0,125.18.1.19. 5.20.1. Тест МА - 23.1. 3.2.1.3.3.
4. 12. 5. 2. 6.1. 7. 1,5. 8. 1. 9. 2; 4.10. 0,5.11. -0,5.12.1.13. 3.
14. 3; 5.15. 1.16. 1.17. -0,009.18. 3.19. 5; 6. 20. 7.

Предметный указатель
Абсолютная величина 264
Аксиома 21
Аксиоматический метод 21
Алгебраическое дополнение
41
Аннулирующий многочлен
33
Антье321
Аргумент 266,474
— комплексного числа 823
Асимптота 419—422
— вертикальная 420
— горизонтальная 420
— наклонная 421, 422
Асимптоты гиперболы 204
Ассоциативный закон
умножения матриц 35
Базис 135
— ортогональный 140
— ортонормированный 140
Базисное решение 92—94
Базисные строки 56
Базисный минор 56,92
Балансовый анализ 99—104
, вектор валового
выпуска 101
, конечного продукта 101
, коэффициенты прямых
затрат 100
, матрица полных затрат
101
, — прямых затрат 101
, основная задача 101
— —, продуктивная модель
102
— —, соотношения баланса
100
, стоимостный
межотраслевой баланс 100
Бесконечно большая
величина 304
при х -> дг0, х -> ©о 306
Бесконечно большие
величины, свойства 306
, связь с бесконечно
малыми 306,307
Бесконечно малая величина
300,301
— более высокого
порядка 304
низкого порядка
304
одного порядка 304
при х -> х0, х -> °о 304
Бесконечно малые
величины, свойства 302, 303
, связь с бесконечно
большими 306,307
эквивалентные 304
Беспорядок 39
Бином Ньютона 312,786
Биномиальный ряд 786
Вариационное исчисление
497
Вектор 124
— единичный 126

Предметный указатель
895
— нулевой 124, 131,133
— гг-мерный 130
— противоположный 125
—, проекция на ось 129
—, разложение по векторам
127
—, базису 137
— столбец 27
— строка 27
—, условие ортогональности
(перпендикулярности) 129
—, — коллинеарности
(параллельности) 129
Векторное пространство 132
Векторы коллинеарные 124
— компланарные 125
Величина постоянная 265
— переменная 265
Верхняя грань множества 265
Вершина параболы 208
Вершины гиперболы 203
— эллипса 202
Вклад ученых в развитие
математики 24
Вогнутая функция 416
Возведение в степень
комплексного числа 825
— ряда в квадрат 801
матрицы 32
Возрастание функций,
достаточное условие 406, 407
— —, необходимое условие
407,408
Возрастающая функция 267
Вторая производная 363
Второй дифференциал 370
Второй замечательный
предел 313, 314
Выпуклая функция 416—419,
496
— вверх функция 416—419,
496
— вниз функция 416, 496
, необходимое и
достаточное условие экстремума 496
, глобального
экстремума 496
Выпуклое множество 495
Выпуклость функции,
достаточное условие 418
— —, необходимое условие
418
— —, схема исследования
419
Геометрия Евклида 20
— Лобачевского 21
Гессиан 493
Гипербола 203—206
—, каноническое уравнение
203
— равносторонняя 206
— сопряженная 204
—, характеристическое
свойство 204
Гиперповерхность 477
Глобальный максимум 314,
494,496
— минимум 314,494,496
Градиент 486, 487, 489, 491
График функции двух
переменных 477, 478
одной переменной 273
Двойной интеграл 627, 628
в полярных
координатах 629, 630
, геометрический смысл
628
Дедукция 23
Деление двух комплексных
чисел 821
— отрезка в данном
отношении 187, 188
Диагональ матрицы главная
28,39
побочная 39
Директриса параболы 208

896
Предметный указатель
Дисконтирование 625
Дифференциал 365—367
— второго порядка 370, 371
—, геометрический смысл
366
—, инвариантность формы
367
— независимой переменной
365
— гг-го порядка 370, 371
—, оценка погрешности 369,
370
—, применение в
приближенных вычислениях 368,
369
—, свойства 366, 367
— функции двух
(нескольких) переменных 483, 484
— — — —, геометрический
смысл 484
Дифференциальное
исчисление 344-427
Дифференциальное
уравнение 661
автономное 668
— — второго порядка 678—
689
, допускающее
понижение порядка 678, 679
линейное 679—689
______ неоднородное
683-689
однородное 680—
683
в частных производных
661
неполное 671, 672
, общее решение 663
обыкновенное 661
первого порядка 674—
678
— — — —, геометрический
смысл 666, 667
линейное 676—678
однородное 674—676
с разделяющимися
переменными 671—674
— —, разрешенное
относительно старшей
производной 662
, решение 662
, частное решение 663
Дифференцирование 347
—, основные правила 351,
352
—, таблица производных 361,
362
— сложной функции двух
переменных 487—489
Дифференцируемая функция
347-349,483
— —, достаточное условие
484,485
Длина вектора 124, 127, 140
, свойства 140
Дополнение множества 263
Достаточное условие 23
Евклидово пространство 139
е-окрестность точки 265
Зависимость между
координатами вектора в разных
базисах 137, 138
непрерывностью и диф-
ференцируемостью функции
348,349
Задача интегрирования
дифференциального уравнения
662
— Коши 667
— о касательной 344, 345
непрерывном
начислении процентов 310, 311
— — площади
криволинейной трапеции 587, 588
— — производительности
труда 346

Предметный указатель
897
скорости движения 345,
346
— об изменении численности
населения 664
оптимальном
распределении ресурсов 506
потреблении 506
— потребительского выбора
506
— сглаживания
экспериментальных зависимостей 503
Значащая цифра 283
Извлечение корня из
комплексного числа 825, 826
Изокванта 505
Инверсия 43
Индукция 23
Интеграл (см. соотв.
названия)
Интегральная кривая 662
Интегральная сумма 588,
589
, геометрический смысл
588, 589
функции двух
переменных 627
Интегрирование 536
— методом разложения 541—
543
— — введения переменных
под знак дифференциала 544,
545
замены переменной 543,
545, 546, 603, 604
— некоторых видов иррацио-
нальностей 544—557
— по частям 546—549, 604,
605
— простейших
рациональных дробей 549—554
— тригонометрических
функций 557, 558
Интегрируемая функция на
отрезке 589
в области 627
Интегрируемость функции,
достаточное условие 592
Интервал 264
— бесконечный 264
— сходимости 779
Интерполирование 281
— квадратичное 282
— линейное 281
— обратное 281
Интерполяционная формула
281,282
Интерполяционные
поправки 281
Исследование операций 497
— функций и построение
графиков, схема 422, 423
Касательная 345
Квадратичная форма 150—155
, канонический вид 152
, матричный вид 150
— — отрицательно
определенная 154
, необходимое и
достаточное условие 154
положительно
определенная 154
, необходимое и
достаточное условие 154
Квадратный трехчлен 209
Квантор общности 295
— существования 295
Коллинеарные векторы 124
Комплексная плоскость 822
, действительная ось 822
, мнимая ось 822
Комплексные числа 820
, алгебраическая форма
820
— —, показательная форма
827

898
Предметный указатель
, свойства
арифметических операций 823, 824
сопряженные 821
— —, тригонометрическая
форма 823
Композиция функций 274
Компоненты вектора 127,
130
Координатная плоскость 186
Координаты вектора 126
— текущие 189
— точки 186
Коэффициент Джини 624
Коэффициенты степенного
ряда 777
Кривая второго порядка,
полярное уравнение 212
— Гаусса 618
— Лоренца 624
Кривые безразличия 280,
506
— второго порядка 198
Критерий продуктивности
матрицы 102
— Сильвестра 154
Критическая точка 410, 491
Линейная комбинация
векторов 132
строк матрицы 55
функций 680
Линейная модель обмена
(международной торговли) 155—158
Линейно зависимые векторы
132
строки 55
функции 680
Линейно независимые
векторы 132
строки 56
функции 680
Линейное отображение 141
— преобразование 141
— пространство 131
Линейный оператор 141
Линия бюджетного
ограничения 280
— уровня 478, 506
Логистическая кривая 692
Логические рассуждения 22
Локальный экстремум 408,
490
Максимальное число
базисных решений 93
Максимум функции 408,490
Маржинальная величина 373
Математика 20
—, периоды развития 20, 21
Математическая индукция 23
— интуиция 22
— модель 22
Математическая модель
демографического процесса 664
Математические
доказательства 22
Матрица 26
— взаимная 48
— Гессе 493
— диагональная 28
— единичная 28
— квадратичной формы 150
— квадратная 28
— невырожденная
(неособенная) 48
— нулевая 28
— обратная 47
— —, алгоритм вычисления
49
, необходимое и
достаточное условие
существования 48
— оператора 143
— перехода к новому базису
137
— симметрическая 150

Предметный указатель
899
— системы 80
расширенная 88
— скалярная 28
—, след 35
— согласованная 29
— союзная 48
— столбец 27
переменных 80
свободных членов 80
— строка 27
— ступенчатая 53
— транспонированная 34
— треугольная 42
— присоединенная 48
— продуктивная 102
Матрицы подобные 144
Матричная алгебра 26
Метод
— вариации произвольных
постоянных 683, 684
-Гаусса 86-91, 93
, условие
несовместимости системы 87
, преимущества 93
— Жордана — Гаусса 112,
113
, правило
прямоугольника 112
— координат Декарта 21
— математики 22
— множителей Лагранжа 498,
499
— наименьших квадратов
501-503
— обратной матрицы 83—85
Минимум функции 408,410
Минор элемента матрицы 40,
41
— ^-го порядка 51
Мнимая единица 821
Мнимые числа 820
Многочлен 275
Множества эквивалентные
263
Множество 262
— бесконечное 263
— действительных чисел 264
— замкнутое 494
— иррациональных чисел 264
— конечное 263
— натуральных чисел 264
— ограниченное сверху
(снизу) 263
— открытое 666
— пустое 262
— целых чисел 264
— числовое 263
Множитель Лагранжа 498
Модель
— естественного роста 690
— Леонтьева 99—104
— обмена (международной
торговли) 155—157
— —, структурная матрица
торговли 156
, уравнение
сбалансированной торговли 157
— роста в условиях
конкурентного рынка 691
— экономической динамики
690-694
Модуль вектора 124
— комплексного числа 822
— числа 264
Монотонная функция 268
Мощность множества 263
Наименьшее значение 414,
415
Наибольшее значение 414,
415
Наибольшее и наименьшее
значения 414, 415
на интервале 415
отрезке 414

900
Предметный указатель
функции двух
переменных 494
, схема нахождения
415
Направленный отрезок 124
Направляющие косинусы
129,485
Направляющий вектор
прямой 215
Натуральные логарифмы
314
Невозрастающая функция
268
Невязка 501
п-я частичная сумма ряда
737
Независимость
характеристического многочлена
оператора от выбора базиса 146
Необходимое условие 23
— и достаточное условие 23
Неограниченная функция
270, 306, 618
Неопределенный интеграл
536
, «неберущиеся»
интегралы 559
, свойства 536—538
, таблица основных
интегралов 538,539
См. также Интегрирование
Неперово число 314
Непрерывность в точке
функции двух переменных 480
— функции в точке 316—319
, свойства 319, 320
слева 318
справа 318
на отрезке 321, 322
на промежутке 320
Неравенство Коши — Буня-
ковского 140
— треугольника 140
Несобственный интеграл 615
, геометрический смысл
616
от неограниченной
функции 618, 619
с бесконечными
пределами 615—617
сходящийся 615
расходящийся 615
Неубывающая функция 268
я-мерное линейное простран-
тство 131
я-мерный вектор 130
, компоненты 130
Нечетная функция 267
Неэлементарная функция 275
п-й остаток ряда 740
— член ряда 736
Нижняя грань множества
263
Норма вектора 124,140
Нормальный вектор
плоскости 213
п-й член последовательности
294
Область значений функции
266
— определения функции
266
Образ вектора 141
Обратная пропорциональная
зависимость 205
— функция 273
Общее решение системы
линейных однородных
уравнений 97
— уравнение прямой 194
, исследование 194
Общий член
последовательности 294
Общий член ряда 736
Объединение множеств 262
Ограниченная функция 268

Предметный указатель
901
Однородная функция 674
Окрестность точки 265, 476
Окружность, нормальное
уравнение 199
Оператор 141
— линейный 141
— нулевой 144
— тождественный 144
Определенный интеграл 589
, верхний предел 589
, вычисление длины дуги
кривой 613, 614
— —, — площадей плоских
фигур 605—611
, — площадей
поверхности вращения 614
, объемов тел вращения
611,613
в экономике 623—626
, вычисление
дисконтируемой суммы 625,
626
, вычисление
коэффициента Джини 624
— — — объема продукции
623, 624
— — — среднего времени
626
, геометрический смысл
590,591
— —, достаточное условие
существования 592
как функция верхнего
предела 597
, нижний предел 589
приближенное
вычисление по формуле трапеций
620-623
, приближенное
вычисление с помощью рядов 810
, свойства 593—596
, экономический смысл
591,592
Определитель матрицы 37—
47
, геометрическая
интерпретация 38, 39
второго порядка 37
диагональной 43
п-то порядка 40
, свойства 43—46
первого порядка 37
третьего порядка 37
треугольной 43
— произведения двух
квадратных матриц 46
— системы 82
Орт 126
Ортогональные векторы 140
Ортогональный базис 140
Ортонормированный базис
140
Ось абсцисс 186
— аппликат 187
— ординат 186
Относительная скорость
изменения функции 359
Отрезок 264
Парабола, каноническое
уравнение 208
— , характеристическое
свойство 208, 209
Параболоид 477
Параметр 265, 273
— параболы 224
Паутинообразная модель
279
Первообразная 534,535
Первый замечательный
предел 310, 311
Переменная зависимая 266
— независимая 266
Переменные базисные 92
— неосновные 92
— основные 92

902
Предметный указатель
— свободные 92
Пересечение множеств 263
Перестановка 39
Переход к новому базису
137
Период 268
— математики переменных
величин 21
— современной математики
21
— элементарной
математики 20
Периодическая функция
268
Повторный интеграл 628
Погрешность абсолютная
282
— относительная 282
Подматрица 51
Подмножество 262
Подобные матрицы 144
Подынтегральная функция
536
Подынтегральное
выражение 536
Показательный закон роста
315
Поле направлений 666
Полином 275
Полуинтервал 264
— бесконечный 264
Полуось гиперболы
действительная 203
мнимая 203
— эллипса 201
Полярная ось 210
Полярные координаты 210—
212
Полярный радиус 210
— угол 211
Правила приближенных
вычислений 282-284
Правило Лопиталя 402—406
— запасной цифры 283
— многоугольника 125
— округления 283
— параллелепипеда 125
— параллелограмма 125
— Сарруса 38
— треугольника 125
— треугольников 38
— четных знаков 283
Предел
— функции в бесконечности
296, 297
— — —, геометрический
смысл 297
— функции двух переменных
479
При X —> -оо, X —> +оо
298
в точке 298
— — — —, геометрический
смысл 298, 299
— — односторонний слева
при:г-*:г0 300
справа при х -»х0 + 0
300
— числовой
последовательности 295
— — —, геометрический
смысл 296
Пределы, раскрытие
неопределенностей 323—331
Предельная величина 373
— выручка 372
— норма замещения ресурса
509
— полезность 372, 507
— производительность 372
— склонность к потреблению
(сбережению) 377

Предметный указатель
903
Предельные издержки 372,
377,428
— —, оптимальный выпуск
продукции 372, 373
Предельный анализ 373
— доход 372—374
— продукт 372
Преобразование 141
— графиков 275—277
Признак сходимости 740
сравнения 742, 743
предельный 745
Даламбера 746, 747
знакопеременного ряда
755
интегральный 748—751
— — —, геометрический
смысл 750
— - Коши 747, 748
Лейбница 752, 753
, оценка остатка
знакочередующегося ряда 754
необходимый 740, 741
и достаточный 740
Признаки существования
предела 309, 310
Проекция вектора на ось 129
Произведение вектора на
число 124,127
— линейного оператора на
число 143
— линейных операторов 143
— матриц 29
— матрицы на число 29
Произведение комплексных
чисел 821, 823
Производная 346
— второго порядка 363
, механический смысл
363
— в экономике 371—378, 428,
429
, закон убывающей
доходности 429
, полезности 429
, условие
оптимальности выпуска продукции
428
, — наиболее
экономичного производства 428
—, геометрический смысл
347
— левая 348
— логарифмическая 359
— логарифмической
функции 357, 358
— , механический смысл 347
— неявной функции 362, 363
— обратной функции 356,
357
— по направлению 485, 486,
491
— показательной функции
358
— правая 348
— сложной функции 353—
355
— степенной функции 350,
358
— степенно-показательной
функции 359
— схема вычисления 349 350
— третьего и п-то порядка
363
— тригонометрических
функций 360, 361
— функции, заданной
параметрически 363,364
—, экономический смысл
347,371-378
См. также
Дифференцирование
Производственная функция
278, 475

904
Предметный указатель
Промежуток 264
Прообраз вектора 141
Проценты простые 314
— сложные 315
Равенство векторов 130
— матриц 27
— множеств 262
— столбцов (строкM5
Равновесная цена 279
Равносильные системы
уравнений 80
Радиус-вектор комплексного
числа 822
Разложение в ряд Маклоре-
на функций 785—788
Разложение вектора по
базису 135, 136
Размер матрицы 26
Размерность пространства
134
Разность векторов 126
— множеств 263
Разность комплексных чисел
821
Разрешающая строка 112
Разрешающий столбец 112
— элемент 112
Ранг матрицы 51—56
— квадратичной формы 153
— оператора 143
Расстояние между двумя
точками плоскости 187,479
— от точки до прямой 197
плоскости 217
Ряд Маклорена 784,785
— —, необходимое и
достаточное условие разложения
функции 785
для функции ё* 785
sin х 785, 786
cos x 786
In (l+*O87
— Тейлора 785, 790
Ряды (см. соотв. названия)
Свойства векторов
линейного пространства 133
— линейных операций над
матрицами 30
векторами 131
Сегмент 264
Седловая точка 491
Символ равносильности 23,
295
Система двух линейных
уравнений 82
, исследование 82,
83
— координат полярная 210
прямоугольная 286
— линейных уравнений 79
в векторной форме
81
в матричной форме
80
— — —, запись с помощью
знаков суммирования 80
, исследование 91, 92
, коэффициенты при
переменных 79
неопределенная 80
несовместная 80
определенная 80
, решение 80
, свободные члены 79
совместная 80
, структура общего
решения 98
Система дифференциальных
уравнений 694—700
автономная 696
в векторной форме 696
линейная 696
нормальная 694
, теорема
существования и единственности
решения 695

Предметный указатель
905
— нормальных уравнений
503-505
Система линейных
однородных уравнений 96—99
, исследование 99
, общее решение 97
, свойства решений
96
Скалярное произведение
векторов 127,139
, свойства 139
, экономический смысл
139
Скалярный квадрат вектора
128
След матрицы 35,36
Сложение векторов 125, 130
— матриц 29
Сложная функция 274
Собственное значение
линейного оператора
(матрицы) 145
, свойства 147, 148
Собственный вектор
линейного оператора (матрицы)
145
Сочетания, число сочетаний
из и по г 92
Способы задания функции
266, 267
Средние издержки 377, 428
Средний доход 373
Стационарная точка 410,
506, 669
Степенной ряд 777
биномиальный 786
— —, интервал сходимости
779
, область сходимости 777,
780, 781
, применение в
приближенных вычислениях 805—
812
, к решению
дифференциальных уравнений 811—813
, радиус сходимости 779,
780
, свойства 782, 783
Строго монотонная функция
268
Сумма векторов 125,127
— линейных операторов 143
— матриц 29
Сумма комплексных чисел
821,823
— ряда 737
Суперпозиция функций 274
Сходимость ряда 737
, свойства 741
Темп изменения функции
359
Теорема Абеля 777—779
— Больцано — Коши 322
— Вейерштрасса вторая 321
первая 321
— Коши 402
— Крамера 83
— Кронекера — Капелли 91
— Лагранжа 400—402
— Лапласа 42
— Ньютона — Лейбница 600
— о единственности
представления вектора линейного
пространства 135
зависимости между
матрицами оператора в разных
базисах 144
законе инерции
квадратичных форм 153
матрице оператора в
базисе, состоящем из его
собственных векторов 149
множестве
первообразных 535

906
Предметный указатель
— — неизменности ранга
матрицы при элементарных
преобразованиях 52
перпендикулярности
градиента линии уровня 486, 487
погружении
дискретного аргумента п; в
непрерывный 758
приведении
квадратичной формы к
каноническому виду 152
производной
интеграла по верхнему пределу
598-600
производной обратной
функции 356
— — размерности и базисе
пространства 136
ранге матрицы 56
связи бесконечно малых
с пределами функций 301—
303
— — — сложной функции
353,354
среднем 596
существовании в я-мер-
ном пространстве ортонор-
мированного базиса 141
числе решений любой
фундаментальной системы
решений 97
— об общем решении
системы т линейных уравнений с
п переменными 98
— Римана 756
— Ролля 399,400
— существования и
единственности 665, 666
— Ферма 398,399
, экономический смысл
428
Теоремы о пределах 307—
309
Теоремы об общем решении
дифференциального
уравнения второго порядка 681,682,
685
Точка граничная 494
Точка максимума 408
— минимума 408
— множества 264
— перегиба 418
— — , достаточное условие
418,419
— —, необходимое условие
418
— пересечения прямых 197
— разрыва 319
второго рода 319
первого рода 319
— устранимого разрыва 319
Транспонирование матриц 34
Убывание функций,
достаточное условие 407
— —, необходимое условие
407,408
Убывающая функция 267
Угловой коэффициент 190
Угол между векторами 129,
140
двумя прямыми 195
плоскостями 214
— — прямой и плоскостью
216
Умножение матриц 29,30
, его особенности 30, 31
— матрицы на число 29
Уравнение касательной 344,
345,347
— линии 188
— нормали 347
— плоскости общее 213
в отрезках 214
, проходящей через
данную точку перпендикулярно
данному вектору 213

Предметный указатель
907
— прямой в отрезках 193
, проходящей через
данную точку в данном
направлении 191
, две данные точки
192
с угловым
коэффициентом 190
— пучка прямых 192
Уравнение связи 497
Уравнения прямой в
пространстве 215, 216
канонические 215
параметрические
215
, проходящей через
две данные точки 216
Уровень 478
Условие параллельности
плоскостей 215
прямой и плоскости 217
прямых 195, 216
— перпендикулярности
прямых 196, 216
Условный максимум 497,
499
— минимум 497
— экстремум 497
Фазовая кривая 699
— прямая 668
— траектория 670
Фазовое пространство 699
Фазовый портрет 670
Фокус параболы 208
Фокусы гиперболы 203
— эллипса 202
Формула Муавра 825
— Ньютона — Лейбница 600
— Тейлора 789, 790
, остаточный член в
форме Лагранжа 789
— трапеций 621
— Эйлера 826
Формула сложных
процентов 315
Формулы Крамера 83
Фундаментальная система
решений 97
Функции гиперболические
272
— обратные
тригонометрические 272
— Торнквиста 279
— тригонометрические 270,
271
Функция 266
— аддитивная 278
— алгебраическая 275
—, аналитический способ
задания 266
— выпуска 278
— гладкая 349
—, графический способ
задания 267
— двух переменных 474, 476,
480
, полное приращение
481
, частное приращение
481
— Дирихле 267
— дробно-рациональная 275
— заданная параметрически
273
— издержек 278, 280
— иррациональная 275
— кусочно-гладкая 349
— Кобба — Дугласа 476, 507,
623
— Лагранжа 498
— логарифмическая 270
— мультипликативная 278
— нескольких переменных
278, 474
квадратическая 475

908
Предметный указатель
линейная 475
— — — логарифмическая
475
постоянной
эластичности 475, 508
с постоянной
эластичностью замещения 476
— нечетная, четная 267
— неявная 273
— обратная 273
— показательная 270
— полезности 278, 475, 506
— полных затрат 280
— потребления 278
— предложения 278
— предпочтений 278
— производственная 278,
475
— рациональная 275
— сепарабельная 278
—, словесный способ задания
267
— спроса 278
— степенная 269
—, табличный способ
задания 266
— трансцендентная 275
— целая рациональная 275
— явная 273
Характеристический вектор
145
— многочлен линейного
оператора (матрицы) 146
Характеристическое
значение оператора (матрицы)
145
— уравнение оператора
(матрицы) 146
Характеристическое
уравнение дифференциального
уравнения второго порядка
681,682
Целая часть числа 321
Частная производная 481
второго порядка 491
, геометрический смысл
481,482
Четная функция 269
Численный метод
вычисления определенного
интеграла 620
Число е 313, 314
— Эйлера 313
Числовая ось (прямая) 186,
264
— последовательность 295
расходящаяся 295
сходящаяся 295
Числовой ряд 736
абсолютно сходящийся
755
гармонический 741, 742,
744
— — геометрический 737,
738, 744
знакопеременный 755
знакочередующийся 752
— — обобщенный
гармонический 744, 751
расходящийся 738
— —, свойства сходящихся
рядов 739
с положительными
членами 742-752
сходящийся 737
условно сходящийся 755,
756
Чистая продукция 105
Чисто мнимые числа 820
Эквивалентные системы
уравнений 80
Экономическая область 505,
506
Экспонента 358
Экспоненциальный закон
роста 315

Предметный указатель
909
Экстремум функции 408—
414
, второе достаточное
условие 413
— —, необходимое условие
409,410
, первое достаточное
условие 411
, схема исследования 412,
492
двух переменных 490—
494
, достаточное
условие 492
, необходимое
условие 490, 491
п переменных,
достаточное условие 493, 494
условный 497—500
Эксцентриситет гиперболы
203
— эллипса 202
Эластичности коэффициент
замещения 508—510
перекрестный 508
Эластичность функции 375,
376
, свойства 375, 376
частная 508
Элементарная область 628
Элементарная функция 274
Эллипс 201,202
— каноническое уравнение
201
— характеристическое
свойство 202
Эмпирическая формула 500
i

Покупайте наши книги:
Оптом в офисе книготорга «Юрайт»:
140004, Московская обл., г. Люберцы, 1-й Панковский проезд, д. 1,
тел.: D95) 744-00-12, e-mail: sales@urait.ru, www.urait.ru
В розницу в интернет-магазине: www.urait-book.ru,
e-mail: order@urait-book.ru, тел.: D95) 742-72-12
Для закупок у Единого поставщика в соответствии с Федеральным законом
от 21.07.2005 № 94-ФЗ обращайтесь по тел.: D95) 744-00-12,
e-mail: sales@urait.ru, vuz@urait.ru
Учебное издание
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
ДЛЯ ЭКОНОМИЧЕСКОГО БАКАЛАВРИАТА
Учебник и практикум
Под редакцией Я. Ш. Кремера
Формат 60x90Vi6-
Гарнитура «PetersburgC». Печать офсетная.
Усл. печ. л. 56,81. Тираж 2500 экз. Заказ № 3383.
ООО «ИД Юрайт*
140004, Московская обл., г. Люберцы, 1-й Панковский проезд, д. 1.
Тел.: D95) 744-00-12. E-mail: izdat@urait.ru, www.urait.ru
Отпечатано с электронных носителей издательства.
ОАО "Тверской полиграфический комбинат". 170024, г. Тверь, пр-т Ленина, 5.
Телефон: D822) 44-52-03,44-50-34, Телефон/факс: D822L4-42-15
Home page - www.tverpk.ru Электронная почта (E-mail) - sales@tverpk.ru

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
с' = 0; х' = 1
(u + vy = u'+v'; («/)' = «/
{uv)' = u'v+uv'
UV-UV
Уравнение касательной
У-/(х0) = /Хх0)(х-х0)
(sin;t)' = cosx
(cosjc)' = -sinjc
(tg*)' = —L-
COS X
(ctgx) = -
sin x
EPKi
Производная сложной функции
Если у = /(w), и = <ш
*),то г/ = /'(") и'
Свойство инвариантам . и дифференциала
ЕСЛИ t/ = /(w),w=l I\=f'(u)du
(xnY = wcn~l
^^ 6К
(ех) = ех; (ах)' = ахЫа
(In*)'Л; (log^)' = _L_
хша
Для дифференцируемой
функции
^У = /\х0)Ах+а(Ах)Ах
(arcsinjc)' =
^
(arccosx)' = -
(arctgx)' = -
^х2
l + x2
(arcctgx)' =—
\ + xz

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
Неопределенный интеграл
jf(x)dx = F(x)+C,
где F(x)-/(*),
т.е. F(x) — первообразная
для/(г)
djf(x)dx = f(x)dx; jdF(x) = F(x)+C
xndx = -+С (пф-1)
п + \
— = 1п|х|+С
exdx = ex+C
axdx = -—+С
та
Определения интегралов
Табличные интегралы
sir\xdx = -cosx + C
cosxdx = sinx+C
dx
cos2jt:
:tgJt + C
dx
sin2*
= -ctgx + G
Оиргдг'Н mmi.im тип jNiii
jf(x)dx ir\
д., .n ,_!
"f
. I |fl h\
Л (/<*)
h „
j/(x)dx \f(xydx\ J/<.>./. ii
i i«
!
f r^-~

Высшая математика
для экономического бакалавриата
углубленный кур.с
Кремер Наум Шевелевич
профессор заведующий кафедрой высш(
тематики Всероссийского заоч+
экономического и ститута член-корреспонден
Академии экономических наук.
В серию «Бакалавр» входят учебники самых известных авторов,
рекомендуемые Министерством образования и науки РФ
Учебно-методическими объединениями и преподавателями российских вузов. Издания
соответствуют новым образовательным стандартам третьего
поколения для направлений подготовки бакалавров.
В содержании учебников отражены компетенции: знать, уметь,
деть, представлен учебно-методический комплекс.
Учебники серии - крепкий фундамент вашей будущей карьеры
Цель данного издания - научить будущих специалистов на ос- !
нове фундаментального математического аппарата решать при- •
кладные задачи современной экономики \
Особенность учебника заключается в том, что он содержит \
не только основы классической теории по различным разделам |
высшей математики, но и практикумы к ним с решениями типо- \
вых и более сложных примеров и задач, в том числе экономиче- |
ской направленности ;
Для лучшего закрепления материала в учебнике приводятся ;
задачи для самостоятельного решения, итоговые контрольные •
и тестовые задания как по каждому разделу, так и по курсу в ;
юра