Автор: Господарников А.П. Бестужева А.Н. Карпенко В.В. Лебедев И.А. Обручева Т.С.
Теги: анализ математический анализ функциональный анализ теория чисел математика уравнения
ISBN: 5-94211-037-9
Год: 2007
Текст
Федеральное areHTCTBO по образованию
r осударcmенное образовательное учреждение высшеro профессИОНW1ьноro образования
Санкт
Петербурrский rосударственный rорный институт им. r.В.Плеханова
(технический университет)
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
ПРАКТИКУМ
Часть 4
диффЕрЕнциАльныIE УРАВНЕНИЯ. рядыI.
рядыI ФУРЬЕ. ИНТЕrр АЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ пЕрЕмЕнныIx
Учебnо
методическое пособие
Издание второе, стереотипное
САНКТ
ПЕТЕРБурr
2007
УДК 517.1 + 517.2 (075.80)
ББК 22.16] . ] + 22. 161.6+22. ] 3 1
М34
Авторы: А.п.rосподариков, А.Н.Бестужева, В.В.Карпенко,
И.А.Лебедев, т.е.Обручева
Учебно-методическое пособие дает возможность получить практические
навыки по решению дифференциальных уравнений, по исследованию и примене-
нию рядов и по решению задач, связанных с применением интеrра.,1ьноrо исчисле-
ния. Пособие предназначено для аудиторных и самостоятельных занятий студентов
дневной и заочной форм обучения всех специальностей вузов ropHoro профиля.
Научный редактор проф. А.П. Тосподариков
Рецензенты: кафедра высшей математики N 1 Санкт-Петербурrскоrо
электротехническоrо ун-та, доктор физ.-мат. наук В. АI Чистяков (Санкт-Петербурr-
ский технический ун-т).
МА ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПР АКТИ:КУМ. Часть 4. Дифференциальные
М34 уравнения. Ряды. Ряды фурье. Интеrральное исчисление функций не--
ско."ьких переменных: Учебно-методическое пособие / А.П.rосподариков,
А.Н.Бестужева, В.В.Карпенко, И.А.Лебедев, Т.С.Обручева. Санкт..
Петербурrский rосударственный rорный институr (технический универ-
ситет). 2-е изд., стереотипное. СПб, 2007. 162 с.
ISBN 5..94211..037-9
УДК 517.1 + 517.2 (075.80)
ББК 22.161.1+22.161.6+22.131
ISBN 5-94211-037..9
@ Санкт-Петербурrский rорный
инститyr им. r.В.Плеханова, 2003
@ Санкт..Петербурrский rорный
институт им. r.В.Плеханова, 2007
,
2-е ИЗД., стереотипное
1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
1.1. Основные понятия и определения
Обыкновенным дифференциШlЬНЫМ уравнением называется
уравнение, содержащее независимую переменную х, неизвестную
функцию у(х) и ее производные у'(х), у"(х),...,у(п)(х)или их
дифференциалы dx, dy(x), rix, а'у(х). в общем виде обыкновенное
дифференциальное уравнение записывается следующим образом:
F(x, у(х), у'(х),..., у{п) (х») == о.
Если из этоrо уравнения старшую производную у(п)(х) мож
но выразить через остальные переменные х, у(х),..., у(п 1 )(х), то
полученное уравнение называется разрешенным относительно
старшей производной:
у<п)(х) == Ах, у(х), у' (х),.. ., y(п l) (х) ).
в дальнейшем будем рассматривать только обыкновенные
дифференциальные уравнения, поэтому термин обыкновенные будет
опущен.
р е и},епием. дифференциалЬНО20 уравнения
F(x, у(х), у' (х),..., у<п) (х») == о
называется функция у == <р(х), определенная вместе с соответствую
ЩИМИ производными в интервале (а, Ь), если она на этом интервале
обращает исходное уравнение в тождество.
При мер 1. Проверить, является ли функция у(х) == sin2x ре--
шением дифференциальноrо уравнения у"(х) + 4у(х) = О.
Решение. Функция у(х) == sin2x определена и дважды диф..
ференцируема на интервале х Е (--- 00, (0). в соответствии с правила..
ми дифференцирования находим у'(х) = 2cos2x, у"(х) = sin2x.
Следовательно,
3
у" (х ) + 4 у( х) = ....4 sin 2х + 4 sin 2х = О ,
т.е. ФУНКЦИЯ у(х) == sin2x является решением заданноrо уравнения
для всех х Е ( oo, 00).
Процесс нахождения решения заданноrо дифференциально"
ro уравнения называется И1lте2рирование-м, а rрафик функции
у == <р(х) на плоскости хОу, которая является решением дифферен"
циальноrо уравнения, --- uнте2рШlЬ1l0Й кривой.
1.2. Задача Коши
Для дифференциальноrо уравнения
F(x, у(х), у'(х),..., у(п) (х)) == о
числа хо, Уо, Y ,... ,Y6п 1) называются начальными значениями, а
соотношения
у(х о ) = УО, У(Хо) = Y ,..., y(l1 l)(xo) = Yaп l)
начальными условиями (или начальными данными).
Задачей Коши для дифференциальноrо уравнения
F(x, у(х), у'(х),..., у(п) (х)) == о
называется задача нахождения решения этоrо уравнения, удовлетво..
ряющеrо заданным начальным условиям
( ) ( ) , (п l) ( ) (п l)
У Хо = У о' У Хо у о' · · ., у хо.... у о ·
Пример 2. Найти решение дифференциальноrо уравнения
у' (х) = 2е x + х /3, удовлетворяющеrо начальному УСловию
у(О) == 3.
4
Решение. Для заданной ФУНКЦИИ f (х) = 2е х + х / 3 ее пер...
Бообразная может быть выражена неопределенным интеrралом
у(х) = J(2e X + x/3)dx + С . Поэтому
2
у( х) = 2 f е х dx + f xdx + С = 2е х + Х 6 + С .
Так как у(О) == 3, то дЛЯ определения неизвестной постоян..
ной С получим алrебраическое уравнение С 2 == 3, откуда С == 5.
Следовательно, решением исходной задачи Коши является функ...
ция вида
2
у(х) = <р(х, с) = 2e X + + 5.
6
Доказано, что если в дифференциальном уравнении
у(п)(х) = Лх, у(х), у'(х),..., y<п l) (х»)
функция f(x, у, у', . . . , у(п 1») непрерывна в некоторой области D
, (п l)
изменения переменных х, у, у,...,у и имеет в неи непрерывные
, (п 1) б
частные производные по переменным у, у,... ,у , то в о лас..
ти D существует единственное решение задачи Коши с начальными
данными из области D.
Для дифференциальноrо уравнения nepBoro порядка
у'(х) = f(x,y), У(Х о ) = уо
rеометрический смысл задачи Коши заключается в выделении из
Bcero множества решений данноrо дифференциальноrо уравнения
такой интеrральной кривой у(х) == <р(х, С), которая проходит через
заданную точку (ХО; Уо) области D плоскости хОу.
5
1.3. Общее, частное и особое реmения
дифференциальноrо уравнения, ero общий
и частный интеrралы
Общим решением дифференциальноrо уравнения
Р(х, у(х), у'(х),... ,у(п)(х)) == О
называется функция У == <р(х, C 1 , С2, ..., Сп), зависящая от независи..
мой переменной х и п произвольных постоянных С), С2, ..., Сп И
удовлетворяющая условиям:
. при любых фиксированных значениях C 1 , С2,...,С п функ..
ЦИЯ}' == <р(х, ("1, С2,... ,Сп) является решением исходноrо уравнения;
· ДЛЯ заданных начальных условий у(х о ) = Уо, у'(х о ) = y , ....,
(п l) ( ) (11 1) С С С
У Ха = Уо существуют такие значения 1, 2, ..-, п, при ко..
торых функция У == <р(х, C 1 , С 2 ,...,С п ) решает задачу Коши, соответ..
ствующую заданным начальным условиям.
Решение, которое получено из общеrо решения при кон..
кретных начениях произвольных постоянных, называется част..
ным решением.
Пример 3. Найти общее и частное решения задачи Коши
y"(x)=xsin x, у(О)==3/2, y'(O)== 1/4.
Решение_ Дважды последовательно интеrpируя функцию в пра..
вой части дифференциальноrо уравнения, находим ero общее решение
( ) xsin2x cos2x С С
У х + /2 Х + 1-
4 4
Так как у(О) == 3/2, то для определения С 1 получаем уравнение
3/2 == ---1/ 4 + О + С} , откуда С) == 7/4. Для определения постоянной
С 2 продифференцируем общее решение по переменной х и учтем
второе начальное условие. В результате получим 1/4 == О + С2;
С2 == 1/4. Следовательно, частное решение исходноrо дифференци"
альноrо уравнения имеет вид
6
У(Х) == O,25sin2x O,5xcos2x О,25(х 7).
Особы)н решением называется такое решение, во всех точках
KOToporo не выполняется условие единственности. Особое решение
нельзя получить из общеrо ни при каких значениях произвольных
постоянных. На кривых, являющихся особыми решениями, наруша..
ются условия теоремы о существовании и единственности решения
дифференциальноrо уравнения
(п) I( , (п l) )
у Х,у,у,...,у
Общее решение дифференциальноrо уравнения, выраженное
в неявной форме
Ф(х, у, C 1 , С2, ..., Сп) == О,
называется общим интеrралом. Если в общем интеrрале постоянные
С" 1, С 2, .. . , Сп приняли конкретные значения, то найденное решение
называется частным интеrpалом. rеометрически общий интеrрал,
как и общее решение, представляет собой семейство интеrральных
кривых на координатной плоскости хОу, зависящее от I1j>ОИЗВОЛЬ"
ных постоянных C 1 , с ъ . ..,С п . Частному интеrралу (как и частному
решению) соответствует одна кривая этоrо семейства, проходящая
через заданную точку координатной плоскости.
1.4. Дифференциальные уравнения nepBoro порядка
1.4.1. Дифференциальные уравнения
с разделенными и разделяющимися переменными
Дифференциальные уравнения с разделенными переменными.
Дифференциальное уравнение вида
ft(x)dx + 12 (y)dy = О,
в котором ft (х), 12 (у) непрерывные ФУНКЦИИ, называется диф..
ференциальныM уравнением с разделенными переменными.
7
Метод нахождения решений таких уравнений основан на их
почленном интеrрировании:
ffi(x)dx+ Jf2(y)dy = С,
rде С --- произвольная постоянная.
Пример 4. Решить уравнение sin xdx + ( У + 2 1 ) d Y = О.
у +4
Решение. Запишем общий интеrрал уравнения
Jsinxdx+ [ ( У+ 21 ) d Y = С.
у +4
Выполняя интеrрироваНИе в левой части, находим
у2 1 у
+ arctg ---cosx = с.
2 2 2
Задание 1. Решить уравнения:
I 2 ln у xdx dy
1.1. '\Il x dx+ dy=o. 1.2. 2 + I =0.
у cos х V 9 + у2
dX eYdy у2
1.3. 2 + I = О · 1.4. arctg 2xdx + 3 dy = о.
8 + 2х " 4 е 2у у 1
I 2 dx ydy
1.5. '\116 + х dx + arcsinydy = О. 1.6. + 2 = О.
x 1 x2 У ---Зу+2
3 d
1.7. x 2 1nxdx + у у = О.
2у+З
2 ctg 2JY
1.9.1n(1 + х )dx + JY dy = о.
8
2
2х е У dy
1.8. е cosxdx + 2 = о.
у
xdx
1.10. . 2 +tg3ydy = о.
Sln х
Задание 2. Найти частные решения следующих уравнений:
2.1. (х 2 --- Зх + 5)dx + ydy = О , у(О) == 2.
dy ___
2.2. --- xdx = О , у(О) --- 5.
у---З
dy ___
2.3. + tg 3xdx = О , у(О) --- 2.
у
dx dy
2.4. + =О,у(О)==3.
2х --- 3 у + 4
Дифференциальные уравнения с разделиющимися пере..
менными. Дифференциальное уравнение вида
J;(x)g2(Y)dx + h(x)gl (y)dy = О,
в КОТОрОМ J; 2(Х)' gl 2(У) --- непрерывные функции, не равные тож"
, ,
дественно нулю, называется дифференциальным уравнением с раз..
деляющимися переменныи..
Метод нахождения решений дифференциальных уравнений с
разделяющимися переМt;ННЫМИ основан на приведении их с помо"
щью алrебраических преобразований к уравнениям с разделенными
переменными. Такие преобразования осуществляются переносом
слаrаемых из одной части уравнения в друryю, nyrем умножения
(или деления) обеих частей уравнения на общий множитель и т.п. В
частности, в результате деления обеих частей исходноrо уравнения
на f 2 (x)g2 (у) :f:. О получаем дифференциальное уравнение с разде..
ленными переменными
J;(x) dx + gt(Y) dy = О,
f2(X) g2(Y)
общий интеrрал KOToporo может быть записан в виде
9
1 h (х) dx + I g1(Y) dy = с.
f2(X) g2(Y)
Пример 5. Решить уравнение 1 + у2 хах (1 + х 2 )ydy = О.
Решение. Это уравнение с разделяющимися переменными, в
котором h(X)=X' .f2(x)=I+x 2 , gI(Y)= Y, g2(y)= I+y2 . Раз
делив обе части заданноrо уравнения на не равный тождественно
нулю множитель f 2 (x)g2(Y) = (1 + х2 ).j l + / , придем к дифферен
циальному уравнению с разделенными переменными:
х у
2 ax r dy=O.
1 + х V 1 + у2
Почленным интеrрированием найдеl\1 общий интеrpал
J Xdx J ydy =с
1 + х2 1 + у2 '
откуда получим
.!.ln(1 + х2) 1 + у2 = С.
2
Пример 6. Найти решение уравнения ydy + хе У dx = О ,
удовлетворяющеrо начальному условию у == о при хо == 1.
Решение. Разделив переменные, найдем
xdx+ ye Y dy = О, => Jxdx+ Jye Y dy = С, =>.!х 2 ye Y e Y = с.
2
Так как у == о при ХО == 1, то постоянная С == O,5. Частный
интеrpал исходноrо уравнения имеет вид
10
х 2 + 1 == (у + l)е у .
в частности,дифференциальное уравнение вида
у'(х) == fi (x)/2 (у),
в котором ft(x) и 12(У) непрерывные функции, также относится
к дифференциальным уравнениям с разделяющимися переменными.
Разделив обе части уравнения Hah(y) =1= О, получим
dy
== ft (x)dx.
12 (у)
Задание 3. Решить уравнения:
3. 1. sin 4 у arctg3xdx (1 + 9x 2 )cos 4ydy = о.
3.2. 1 у2 ln(3 + 2x)dx (3 + 2х) arccos ydy = о .
3.3. (2 5x)ydx (1 + 2x)ln 2 ydy == о.
3.4. y2dy (y3 +З)dx == о.
3.5. (1 + ln 3 x)sin 2 3ydx == xcos3ydy.
хуу' I , 1 + у2
3.6. 2 == 'v 4 + ln х. 3.7. У == 2 .
9 + у ху( l + х )
3.8. (а у)ху' + 2ау = О. 3.9. ху' siny == 2 + 3х cos у .
Задание 4. Найти частные решения следующих уравнений:
4.1. 1 у2 (2 + ln x)dx х arcsin ydy = О , у(1) == О.
у2у' 2х+l
4.2. = 2 ,y(l) == 2.
" 1 + у3 х
1 1
4.3. (2 +3x)y dx --- (1 2x)ln 2 ydy = О, y(l) == 1.
4.4. -J з + х 2 sin2ydy cos2ydx = О, у(О) == О.
4.5.. у' = J ' у(З) == 1.
(3+ у) 25 x2
1.4.2. Однородные дифференциальные уравнения
Дифференциальное уравнение вида
fl(x, y)dx + F 2 (x, y)dy = О
называется однородным, если не равные тождественно нулю функ..
ции F)(X, у) и F 2 (x, у) являются однородными функциями одина..
ковой степени: при любом А справедливо равенство F(Лх, Ау) =
= А n F(x, у) .
Дифференциальное уравнение вида
у'(х) = f(x, у),
в котором f(x, у) --- однородная функция нулевой степени, также
является однородным.
eTOД интеrpирования однородноrо уравнения основан на
преобразовании ero к уравнению с разделяющимися переменными,
что достиrается введением новой зависимой переменной t, связан..
ной с функцией у равенством у = xt(x).
При мер 7. Решить уравнение (2х 2 + xy)dy (ху + y2)dx = о.
Решение. Так как функции F)(x,y) = ---(ху+ у2) и F2(X'Y) =
= 2х2 + ху являются однородными второй степени, то исходное
дифференциальное уравнение --- однородное. Введем новую пере..
12
менную " полаrая у == xt. Найдем dy = tdx + xdt и исключим
у И dy из исходноrо дифференциальноrо уравнения
(2х 2 + х 2 ! Ktdx + xdt) (x 2 t + x 2 t 2 )dx == о.
2
После приведения подобных членов и деления на х, получим
tdx + х(2 + t)dt = о. Разделим переменные в последнем уравнении:
dx + (2+t)dt = О.
х t
После интеrрирования запишем lnlxl + 21nltl + t = С. Учитывая, что
t == у/х, окончательно найдем
lnlxl + 210 у + у = с.
х х
Пример 8. Найти частное решение дифференциалъноrо
, у у2
уравнения у = (1 + ), удовлетворяющее начальному усло-
х х 2
виюу(l) == 1.
Решение. Так как это уравнение однородное, то ero решение
будем искать в виде у == xt. Тоrда у' = xt' + t и, следовательно,
, 2 dt dx
х! + t = t (1 + t ), откуда 2 + = о. Общий интеrрал послед--
1 +t х
Hero уравнения запишем в виде arctg t + lnlxl = С, откуда
arctg у + lnlxl = С. Используя начальное условие у(1) = 1, находим
х
С == 0,251[. Следовательно, частный интеrрал заданноrо дифферен--
циаJIьноrо уравнения
arctg у + lnlxl = О,25л,
х
13
а частное решение
у = х tg(O,25n lnlxl).
в некоторых случаях за зависимую переменную удобнее
принимать х, а за независимую у. Тоrда в однородном уравнении
следует делать замену х == yt(y).
Пример 9. Найти частный интеrpал дифференциальноrо
уравнения ; + е ; )У' = 1, удовлетворяющий начальному условию
у(О) = е 2 .
Решение. Это однородное уравнение. Перепишем ero в виде
х
х
х' = + е у
у
Заменим х = yt(y), тоrда х' = t + yt' и, следовательно,
t + yt' = t + е ! =:> yt' = е ! .
Разделив переменные, получим
е' dt = dy ; е' = lnlyl + С.
у
Общий интеrрал уравнения
х
е У = lnlyl + с.
По начальному условию 1 = 2 + С; С = ---1 . Следовательно,
искомый частный интеrрал
х
е У = lnlyl---l.
14
Задание 5. Решить уравнения:
5.1. 2xydy (3 у2 x 2 )dx == О. 5.2. xydy (у2 x 2 )dx == О .
5.3. ydx (х 2-F; )dy = О .
, у х
5.4. У == + .
Х у ln 2 у
Х
5.5. у' = У + 1
х arctg Y
х
.
5.6. 3ху == (х 2 + у2)у' .
5.7. у'(2ху + х 2 ) == у2 .
5.8. ydy + ( x2 + у2 + x)dx = О .
, у х
5.9. У = + .
х х 2 у2
у
5.10. xdy --- у(2 ---ln )dx == о.
х
Задание 6. Найти частные решения следующих уравнений:
, у 1 () 1т
6.1. У == + , У 1 == .
х cos3 У 6
х
, у х (1
6.2. У == + , у ) == 1.
х х+у
, у х2 у2
6.3. У --- + , у( 1) --- 1.
х · у
х arCSln
х
, у у (1) 1t
6.4. У == + tg , у == .
х х 6
15
1.4.3. Линейные дифференциальные уравнения nepBoro порядка
Дифференциальное уравнение вида
у'(х) + р(х)у(х) == q(x),
в котором р(х), q(x) непрерывные функции на некотором интер..
вале (а; Ь), называется линейным дифференциальным уравнением
nepBoro порядка.
Если функция q(x) тождественно не равна нулю, то линей..
ное уравнение называется llеоднородllЫМ, в противном случае од..
нородным. Однородное линейное уравнение относится к дифферен"
циальным уравнениям с разделяющимися переменными. Так как
методы решения таких уравнений были рассмотрены в разделе 1.4.1,
то в дальнейшем будем полаrать, что q(x) =1= о.
Метод решения линейноrо дифференциальноrо уравнения
(метод Бернулли) состоит в представлении неизвестноrо решения
у(х) в виде произведения двух неизвестных дифференцируемых
функций и(х) и и(х), одна из которых удовлетворяет дополнитель..
ному условию (и' + ир( х) ) = о. Это условие позволяет последова..
тельно произвести преобразование исходноrо линейноrо уравнения
к двум дифференциальным уравнениям с разделяющимися перемен--
ными, методы интеrpирования которых известны.
Общее решение линейноrо дифференциальноrо уравнения
nepBoro порядка
у(х) = e Jp(X)dx( СО + Jq(x)eJp(X)dx ш).
(1)
Пример 10. Решить уравнение у' у / х = ---2/ х 3 .
Решение. Это линейное уравнение, ero решение ищем в виде
у == иv. Тоrда
у' ==u'v+иv'; и'v+uv' ---ии/х = 2/x3.
16
Соответствующие два уравнения с разделяющимися пере..
менными имеют вид: v' --- V / х = о и и' v = ---2/ х 3 . Первое из них
после разделения переменных принимает вид
dv dx = О.
v х
Следовательно, lnlvl---1nlxl = о; v = х. Определив и, решим второе
уравнение, которому удовлетворяет функция и: и' = ---2/ х 4 ;
u = 2/ 3х З + с. Итак, общее решение исходноrо уравнения имеет вид
2
y=uv= +Cx.
зх 2
При мер 11. Найти час тное решение дифференциальноrо
уравнения (х 3 + 2) у' + зх 2 у = .J х + 1 , удовлетворяющее начальному
условию у(о) == 1.
Решение. Это линейное уравнение, в котором
зх 2 .J х + 1
р(х) = 3 ; q(x) = з ·
х +2 х +2
Ero общее решение найдем с помощью формулы (1). Вычислив ВХО"
дящие в общее решение интеrpалы, получим
y(x)=e ln(X3+2) ( Co+ (X+l)3 ) = 1 ( СО + 2 (X+l)3 ) .
3 х 3 +2 3
Для определения неизвестной постоянной СО воспользуемся началь..
ным условием 2 = СО + 2/3; СО = 4/3. Искомое частное решение
имеет вид
у(х) = 2 + (x + 1)3 ) .
3(х 3 + 2)
17
Задание 7. Решить уравнения:
7.1. х 2 у' + 2ху = lnx. 7.2. у' + ytgx = 2xcosx.
7.3. у' У = х 2 . 7.4. 2х(х 2 + y)dx = dy.
х l+х
7 .5. у' + L = х 2 . 7.6. у' sin х у == 1 cos х .
2х
7.7. (1 + х 2 )у' 2ху = (1 + х 2 )2. 7.8. ху' + (х + l)у = зх2е Х.
7.9. ху' 2у = 1. 7.10. (2ху + З)у' i = о.
lnx
7.11. y'(2x y2)=1. 7.12. (x+y2)dy=ydx.
в задачах 7.10..7.12 решение искать в видех == х(у).
Задание 8. Найти частные решения следующих уравнений:
8.1. х 2 у' + ху = 1, у( 1) == 3.
8.2.ху' + 2у = х 3 , у(l) == 1.
8.3. ху' = х + 2у, у(l) == 2.
8.4. у' + ху = х, у(О) == 2.
1.4.4. Уравнение Бернулли
Дифференциальное уравнение вида
у'(х) + р(х)у(х) == q(x)yп(x),
в котором р(х) и q(x) непрерывные функции на некотором ин..
тервале (а; Ь), называется дифференциальным уравнением Бернул..
18
ЛИ. При п == О уравнение Бернулли вырождается в линейное, а при
п :=: 1 с помощью алrебраических преобразований приводится к
дифференциальному уравнению с разделяющимися переменныи.. В
общем случае (п =t- О и п =t- 1) уравнение Бернулли нелинейное OT
носительно неизвестной функции у(х). Введением новой зависимой
переменной z(x) по формуле
у(х) == zl/(1 п) (х)
уравнение Бернулли преобразуется к линейному уравнению nepBoro
порядка, поэтому уравнение Бернулли можно решать тем же MeTO
ДОМ, что и линейное уравнение.
Пример 12. Решить уравнение у' 3 у / х = ___уЗ / х.
Решение. Это уравнение Бернулли, ero решение ищем в виде
3uv и 3 и 3
У = ии; у' = и'и + ии'; и'и + ии' --- =---
х х
Решив уравнение и' --- 3и / х == о, получим v == х 3 . Найдем функцию и:
и 3 и 2
,
u =
. и' = и3 х 5 . du х 5 ах 1 х 6 С .
Х ' , иЗ , 2и 2 6 --- 6'
2 3
и = .и==+
х 6 + С ' --- х 6 + С ·
Общее решение исходноrо уравнения у = ии = + .JЗх 3 / .J х 6 + С , а
ero общий интеrpал имеет вид у2(х 6 + c) зх 6 = о.
Пример 13. Найти частный интеrрал дифференциальноrо
уравнения 2хуу' --- у2 + х = О, удовлетворяющий начальному усло
ВИЮ y(l) == 2.
19
Решение. Это уравнение Бернулли, в котором р(х) =
== 1/ 2х, q( х) = 1/2, п == 1. Для построения общеrо решения
уравнения Бернулли воспользуемся формулой
1
у(х) = е I р(х)ш( С + (1 п) fq(x)e (l п)I p(x)dx dx ) I п .
т ак как
1 dx 1
fp(x)dx = 2 f = 21nlxl,
то
e Ip(x)dx =..[;.; и fq(x)e(l п)Jp(x)dxdx= fe lnl dx= f = l ,
поэтому общее решение исходноrо уравнения у = х( С lnlxl ) , а
ero общий инrerpал у2 = х( С lnlx\ ) . для определения частноrо ин
теrрала воспользуемся начальным условием, в результате получим
С =о 4. Следовательно, искомый частный интеrрал у2 = х( 4 lnlxl ) .
Задание 9. Решить уравнения:
91 ' у 2 1 92 ' 33
. .y+ =y nx. . .у+ху=ху.
х
9.3. у' + 4ху = 2xe x2 Jy. 9.4. у' ytgx = y2 cosx.
, уЗ
9:5. у' 2x1JY = у. 9.6. У yctgx = . .
SlnX
9.7. 3 у 2 у '+у3+ х =о. 9.8. у' 9х2у= зJу2 (х2+х5).
9.9. (ху+2х 3 у З)у'=1. 9.10. (x2cosy sin2y)y'=3x.
20
в задачах 9.9..9.10 решение искать в видех == х(у).
Задание 10. Найти частные решения:
10.1. у' + 2у == у 2 е Х , у(О) == 2. .
10.2. у' + у = х 2 у2, у(О) == 1.
10.3. у' У = ху2 , у(О) == 2.
10.4 .у' + у = у2, у(1) = 1.
х
1.5. Дифференциальные уравнения высших порядков
1.5.1. Дифференциальные уравнения вида у(п)(х) = Ах)
Дифференциальное уравнение вида
у(п)(х) == Ах),
в котором функцияf{х) непрерывна на некотором интервале (а; Ь),
является простейшим уравнением п..ro порядка. Общее решение
TaKoro уравнения всеrда существует, а особых решений уравне..
ние не имеет.
Метод интеrрирования рассматриваемоrо дифференциаль..
Horo уравнения основан на последовательном п..кратном интеrри..
ровании правой части уравнения, в результате KOToporo находим
общее решение:
у(х) = Jdx Jdx... fl(x)dx + Cп lXп l + Cп 2x2 +... + C1x + Со.
\.. ,J
V
праз
Пример 14. Найти решение уравнение у"'(х) = 27е 3Х + 12Ох3.
Решение. Введем новую переменную z(x) = у"(х), тоrда
исходное уравнение можно записать в виде z'(x) = 27е 3Х + 120х 3 .
21
Решение этоrо уравнения находим интеrрированием функции в ero
правой части:
z(x) == J(27е ЗХ + 120х З )dx + С 2 =
= 27 fеЗХdx + 120 fхЗdx 2 == 9е 3Х + зох 4 2 .
Таким образом, порядок исходноrо уравнения понижен на единицу.
Так как z(x) = у"(х), то у"(х) = 9е ЗХ + зох 4 + С 2 . Поступив анало..
rично еще два раза, найдем общее решение у( х) = е 3Х + х6 +
+ с 2 х 2 + C1x + со.
Пример 15. Найти частное решение дифференциальноrо
уравнения у" = 1/ х (х > О), удовлетворяющее начальным условиям
у( 1) == 1, у' ( 1) == 3.
Решение. Введем новую переменную z(x) = у'(х), тоrда
исходное уравнение можно записать в виде уравнения z'(x) = 1/ х,
решение KOToporo получим интеrрированием функции в ero правой
dx
части: z(x) = f + С 1 = ln х + C 1 , и следовательно, у' (х) = ln х + C 1 . Ин..
х
теrрируя еще раз, найдем у(х) = fln ХС/Х + C1x + Со = Х ln х---
х + C1x + Со. Воспользовавшись начальными условиями, получим
систему уравнений для определения неизвестных постоянных Со и
C 1 : C 1 + Со = 2; С 1 = 3, решение которой С 1 == 3, Со == 1. Искомое
решение задачи Коши записывается в виде у(х) = х ln х + 2х ---1.
Задание 11. Решить уравнения:
IV '" 1 11 " х ·
11.1. У =Х. 11.2. У = nх. .3. у ==е +SlnX.
11.4. ут = 27е 3Х + 60х 2 . 11.5. у" = х + sinx . 11.6. у'" == cos2x .
" ,,,.4. 2
11.7. У == arctg Х. 11.8. У Sln Х == S ln х.
11.9. у" = 2sinxcos 2 x sin3 х. 11.10. у" ...} l + х 2 = 1.
22
Задание 12. Найти частные решения следующих уравнений:
12.1. у" == xlnx при х == 1, у == 5/12, у' == 1/4.
12.2. ут == хе x при х == о, у == о, у' == 2, у" == 2 .
12.3. у'" = х 2 + 1 при х == о, у == 5, у' == 3, у" == 2 .
12.4. у'" == xsinx при х == О, У == О, у' == о, у" == 2.
12.5. yIV =cos 2 x при х==О, у=1/32, у'=о, у"=1/8, у'" =0.
12.6. yIV =sinx при х=п/2, у=1/32, у'=о, у"=1/8, у'" =0.
1.5.2. Дифференциальные уравнения высших порядков,
не содержащие искомой функции
Дифференциальное уравнение вида
F(x, у'(х), у"(х)) == О
называется уравнением 2..ro порядка, не содержащим искомой
функции у(х).
Введением новой зависимой переменной z(x), связанной с
искомой функцией у(х) соотношением у'(х) == z(x), порядок в за..
данном дифференциальном уравнении понижается на единицу и
оно преобразуется в дифференциальное уравнение l..ro порядка
F(x,z(x), z'(x))=O.
При мер 16. Решить уравнение (х 2 + l)у" + 2ху' = о.
Решение. Это дифференциальное уравнение 2..ro порядка, не
содержащее искомой функции. Введем новую зависимую перемен..
ную z(x) == у'(х), тоrда исходное уравнение преобразуется к виду
23
(х 2 + 1)z' + 2xz = о. Это уравнение с разделяющимися переменны-
ми, поэтому ero можно записать в виде
dz + 2xdx = о.
z х 2 + 1
Из общеrо интеrpала этоrо уравнения lnz(x 2 + 1) == lnC o на..
ходим общее решение z(x) = СО /(х 2 + 1). Так как z(x) = у'(х), то,
возвращаясь к переменной у(х), получим уравнение с разделяю-
щимися переменными у'(х) = СО /(х 2 + 1). Интеrрируя ero, получим
у(х) = СО arctg х + C 1 .
Пример 17. Найти частное решение дифференциальноrо
уравнения у" --- у' /(х ---1) = х(х 1), удовлетворяющее начальным ус..
ловиям у(2) == 1, у'(2) == ---1.
Решение. Это уравнение 2..ro порядка, не содержащее иско..
мой функции. Примем z(x) = у'(х); z' --- z /(х ---1) = х(х ---1). Последнее
уравнение линейное, в нем р(х)=---1/х и q(x)=x(x---l). Общее
решение линейноrо уравнения z(x) находим по формуле (1):
х 3 ___ х 2
z(x) = + C 1 (х ---1).
2
Так как z(x) == у'(х), то
1 f 3 2 J
у(х) = (х --- х )ш + C 1 (х ---1)dx + СО ==
2
432
=х /8---х /6+С](х---l) +С О .
Для определения неизвестных постоянных СО и С} в соответствии с
начальными условиями получим систему С. + СО = 1/3; 2С 1 = 3,
решение которой С] = ---1,5 и СО = 11/6. Следовательно, решени..
ем задачи Коши будет функция
24
х 4 х 3 2 11
Y(X)==8 6 1,5(x 1) +6'
Задание 13. Решить уравнения:
" , О 13 2 2" , 1 1 3 " / '
13.1. ху + у ==. .. х у + ху ==. 3.. У == x У .
13.4. х 2 ут = (у")2. 13.5. 2ху)/' == (у')2 + 1. 13.6. хут + у" == 1 + х .
,
13.7. (1 x2)y" xy'==2. 13.8. xy"==y'ln L ,
х
13.9. (1 + х 2 )у" + (у'/ + 1 == О . 13.10. у" у' / х == х 2 ,
Задание 14. Найти частные решения следующих уравнений:
,
14.1. y" У ==x(x l) при х==2,у== 1,
x l
14.2. у"(е Х 1)== еХу' при х == 1, у == 2, у' = 1.
14.3. 3ху" + у' == о при х == 1, у == 4, у' == 2.
14.4. у"'(х 1) у" == О при х == 2,у == 2, у' = 1, у" =1.
14.5. y"sinx---у,соsх==О при х=п/2,у==3, у'=2.
1.5.3. Дифференциальные уравнения высших порядков,
не содержащие независимой переменной
Дифференциальное уравнение вида
F(y(x), у'(х), у"(х)) = О
называется уравнением 2..ro порядка, не содержащим независимой
переменной.
25
Введением новой зависимой переменной z(y), связанной с
искомой функцией у( х) соотношением у' (х) = z(y), в заданном
дифференциальном ураВllении порядок понижается на единицу.
Действительно, так как у" (х) = z(y) = dz dy = z(y )z (у), то ис
dx dydx
ходное уравнение примет вид
F(y, z(y), z(y)z'(y))=O.
Пример 18. Решить уравнение w" + 2у,2 = о.
Решение. Это уравнение 2..ro порядка, не содержащее неза..
висимой переменной. Введем новую зависимую переменную
z(y) = у'(х). Тоrда, принимая во внимание, что у"(х) = zz', придем
к уравнению yzz' + 2z 2 = о. Это уравнение распадается на два:
z(y) = О и yz' + 2z = о. Так как z(y) = у'(х), то первое из уравне..
пий у'(х) = О имеет решение у(х) = с. Второе уравнение с разде..
dz 2dy
ляющимися переменными + = о. Ero общий интеrpал может
z у
быть записан в виде lnlzil = lnC o . из общеrо интеrpала найдем об-
щее решение z(y) = СО / у2 или у'(х) = с о / у2. Разделив переменные,
получим y 2 dy---C o dx = о. Общий интеrpал этоrо уравнения может
быть записан в виде Jy 2 dy --- СО Jdx = C t , откуда уЗ /3.... СОХ = C t .
Пример 19. Найти частный интеrpал уравнения w" + у,2 ---
.... 2.»" = О, удовлетворяющий заданным начальным условиям
у( О) == 1, у' (О) == 2.
Решение. Это уравнение 2...ro порядка, не содержащее неза..
висимой переменной. Примем
z(y) = у'(х); у"(х) = z z'.
26
Тоrда yzz' + Z2 2yz = о; z(yz' + z 2у) = О. Возможны два
случая:
1. z == о. Тоrда у'(х) == О и у(х) == с. С учетом начальноrо
условия у(х) == 1.
2. yz' + z = 2у. Разделив уравнение на у, получим линейное
, z 2
уравнение nepBoro порядка z + == . Ero общее решение найдем
у
по формуле (1):
z(y) == е f P(Y)dy( СО + Jq(y)e f p(y)dy dy ).
d С + у2
Так как при у> о fp(y)dy == J == lпу, то z(y) == о . Учитывая,
у у
что z(y) = у'(х), приходим К уравнению с разделяющимися пере..
менными
с + у 2 Y d y Y d y С
у'(х) == о ; == dx; f == х + .
у Со + у2 у2 + СО 2
Общий интеrрал
lnly2 + Col == 2х + C 1 .
Для определения произвольных постоянных СО И С 1 воспользуемся
начальными условиями; в результате получим систему
СО + 1 == 2; lnll + соl == C 1 , решение которой СО == 1 и С 1 == ln2. Сле..
довательно, искомый частный интеrрал ln[O,5(y2 + 1)] == 2х.
Задание 15. Решить уравнения:
15.1. у" cos У (у')2 sin у == о . 15.2. y"(l + i )+ 2у(у')2 == О .
15.3. 2у(у')2 + 3 у2 у" == О. 15.4. уу" --- (у')2 == о.
27
15.5. )У" ln у + (у')2 = О . 15.6. З(у')2 + 2уу" = О .
15.7. (1--- Зу )у" --- 3(у')2 = о. 15.8. уу" --- 2)У' lny = (у')2 .
15.9. (у + 2)у" 3(у')2 = О. 15.10. у"(1 + tgy)+ (у')2(1 + tg 2 у) = О.
Задание 16. Найти частные решения следующих уравнений:
16 1 " 3 2 --- 3 --- 1 ' 1
· · у == 2 У при х --- , у --- , у = .
16.2. у" = !(1 + (у')2 ) при х == О, У == О, у' = о .
2
16.3. З(у')2 = (у + 1 )у" при Х == О, У == ..0,5, у' = 1 .
16.4. 2)У" --- (у')2 = 2 при Х == 1, у == 2, у' = о .
16.5. 3(у')2 + (1 + 3 у )у" = о при х == 1, у == О, у' = 4 .
1.6. Линейные однородные
дифференциальные уравнения 2..ro порядка
1.6.1. Основные понятия
Линейным однородным дифференциальным уравнением
2 ro порядка с переменными коэффициентами PI(X) и Р2(Х) называ..
ется уравнение вида
у"(х) + PI(X)Y'(X) +Р2(Х)У(Х) = О.
(2)
Если в интервале (а; Ь) функции Pl(X) И Р2(Х) непрерывны,
то в этом интервале дифференциальное уравнение имеет единствен
ное решение, удовлетворяющее при ХО Е (а; Ь) заданным начальным
условиям У(Хо) = уо, у'(Хо) = y . Особых решений линейное од...
народное уравнение не имеет.
28
Если Уl (х) И У2(Х) решения линейноrо однородноrо диффе..
ренциальноrо уравнения, то функции Уl(Х) + У2(Х) и СУl(Х), [де С
постоянная, также являются ero решениями.
Функции Уl (х) и У2 (х) называются линейно..зависимыми
на интервале (а; Ь), если при всехх Е (а; Ь) равенство
C1Yl (х) + С 2 У2(Х) = о
выполняется для не равных одновременно нулю постоянных С} и С 2 ;
функции Уl (х) и У2 (х) называются линейно независимыми на ин..
тервале (а; Ь), если при всех х Е (а; Ь) это равенство выполняется
лишь в случае равенства нулю постоянных С} и С 2 .
Если на интервале (а; Ь) функции Yl(X) и У2(Х) имеют не..
прерывные производные, то определитель
w(x) = Yl(X)Y2(X)
y (х) У;(Х)
называется определителем ВрОllСКО20 или вронскианом.
Если функции Уl (х), У2 (х) являются решениями линейноrо
однородноrо дифференциальноrо уравнения 2..ro порядка и опреде..
литель BpoHCKoro w(x) хотя бы в одной точке х Е (а; Ь) не равен
нулю, ТО эти функции линейно независимые. Если функции Уl (х) И
У2(Х) линейно зависимы на интервале (а; Ь), то определитель
BpoHCKoro тождественно равен нулю на этом интервале.
Пример 20. Проверить линейную независимость ФУНКЦИЙ
sinx и cosx на интервале ( oo,oo).
Решение. Определитель BpoHCKoro
.
SlnX COSX
w( х) = . = 1 :;t: О
cosx SlnX
29
для всех х Е (---00,00), поэтому эти функции линейно независимы на
всей числовой оси.
Совокупность линейно независимых в интервале (а; Ь) ре..
шений линейноrо однородноrо дифференциальноrо уравнения Ha
зывается фундаментальной системой решений этоrо уравнения.
Фундаментальная система решений существует для каждоrо линей..
Horo однородноrо дифференциальноrо уравнения с непрерывными в
интервале (а; Ь) коэффициентами
у становлено, что если Уl (х) решение дифференциальноrо
уравнения (2), то ero второе решение У2 (х), линейно независимое с
первым УI (х), определяется по формуле Лиувилля
J РI (x)dx
е
У2(Х) = Yl(X)j 2 dx.
Yl (х)
(3)
При мер 21. Функция у = 1/ х является решением диффе..
ренциальноrо уравнения у" + 3 у' / х + у / х 2 = о. Построить второе
ero решение, линейно независимое с первым.
Решение. Так как в заданном дифференциальном уравнении
функции Pl (х) = 3/ х, Р2 (х) = 1/ х 2 непрерывны при х > о, то в ин..
тервале (о; (0) уравнение имеет решение. По формуле Лиувилля (3)
1 3 J dx ln х
Y2(X)= Jx 2 e х dx= .
х х
Покажем, что это решение линейно независимо с первым
Yt(X) = 1/ х. Раскрыв определитель BpoHcKoro, получим
1 lnx
1
w(x) = YtY2 Х Х
--- 1 1 --- ln х = 3 > о.
, ,
YIY2 Х
---
х 2 х 2
30
Таким образом, w(x) * О ДЛЯ всех х Е (о; (0). Следовательно,
в этом интервале Уl(Х) и У2(Х) линейно независимые решения.
Если функции YI (х ) и У2 (х) составляют фундаментальную
систему решений линейноrо однородноrо дифференциальноrо ypaB
нения 2 ro порядка, то ero общее решение
у(х) == С 1 Уl (х) + С 2 У2 (х).
При мер 22. Одно решение уравнения у" + У' / х + у /х 2 == О
известно: Уl (х) == sin(lnx). Построить ero общее решение.
Решение. По формуле Лиувилля (3)
J dx
У2(Х) = sin(lnx) J . е 2 х dx = sin(lnx) J . =
Sln (lnx) XSln (lnx)
== sin(ln х )( ctg(lnx) ) = cos(ln х).
Следовательно, общее решение уравнения имеет вид
у(х) = С} sin(lnx) + С 2 cos(lnx).
1.6.2. Линейные однородные дифференциальные уравнения
2..ro порядка с постоянными коэффициентами
Линейным однородным дифференциальным уравнением 2-ro
порядка с постоянными коэффициентами а 1 и а 2 называется
уравнение вида
у"(х) + а 1 у'(х) + а 2 у(х) = о.
Фундаментальную систему решений TaKoro уравнения можно искать
В ВИде у == e kx , rде k == const. Тоrда, принимая во внимание, что
31
уСт) = kme kx , для определения значений параметра k получаем ха..
рактеристическое уравнение вида k 2 + a}k + а 2 = о, корни которо"
ro k l = O,5al Ш, k 2 = O,5al + Ш, rде D дискриминант,
D = O,25af a2.
В зависимости от знака и величины D для линейноrо одно..
родноrо дифференциальноrо уравнения BToporo порядка ВОЗl\АОЖНЫ
три случая решения (см. таблицу).
При мер 23. Решить уравнение у" --- 7 у' + 1 О у = о.
Решение. Это линейное однородное дифференциальное урав..
нение 2..ro порядка с коэффициентами аl == 7 и а2 == 10. Характери..
стическое уравнение IC --- 7 k + 1 О == О имеет дискриминант D == 0,25 х
Вид общеrо решения линейноrо однородноrо дифференциальноrо уравнения
в зависимости от дискриминанта
Дискриминант
Фундаментальная система
решений
Общее решение
>0
k 1 x
Уl (х) = е ,
k 2 x
У2 (х) = е ,
k 1 2 = o,5al +-.JD
,
k } х k 2 х
у(х) = С}е + С 2 е
о
ах
У1 (х) = е ,
ах
у 2 (х) = хе ,
а = О,5аl
ах
у(х) = (С} + С 2 х)е
<О
ах
У} (х) = е cos x ,
У2 (х) == е ах sin Jlx ,
а = о,5а} ,
у(х) = (С] cos x + С 2 sin x)eax
=
32
х ( 7)2 1 О = 49/4 1 О = 9/4 > о. Следовательно, корни характери..
стическоrо уравнения различны: k 1 = 2 и k 2 = 5 . Фундаментальной
системой решений заданноrо дифференциалъноrо уравнения явля"
ются функции YI(X) = е 2Х и У2(Х) = е 5х . Общее решение уравнения
у(х) = С 1 е 2х + С 2 е 5х .
При мер 24. Решить уравнение У" ....} О У' + 25 у = о.
Решение. В характеристическом уравнении k 2 ....1 Ok +.25 = О
коэффициенты al == 1 О и а2 == 25, поэтому дискриминант D == о.
Следовательно, характеристическое уравнение имеет один корень:
k = 5. Фундаментальную систему решений заданноrо уравнения
образуют функции Уl(х)=е 5Х и У2(х)=хе 5Х , а общее решение
уравнения может быть записано в виде у(х) = (С} + С 2 х)е 5Х (см.
таблицу).
При мер 25. Решить уравнение у" + 6 у' + 1 О у = о.
Решение. В характеристическом уравнении k 2 + 6k + 1 О = О
коэффициенты а} == 6, а2 == 1 о, дискриминант D == 1 < о. Следова..
тельно, а = O,5al = 3, = IDI = 1 и фундаментальную систему
решений заданноrо уравнения образуют функции Уl (х) = е --3х cos Х
и У2(Х) = e 3X sinx. Общее решение заданноrо дифференциальноrо
уравнения записывается в виде у(х) = (С} cosx + С 2 sinx)e-- 3x .
При мер 26. Решить уравнение у" + 16у = о.
Решение. В заданном дифференциальном уравнении отсут"
ствует слаrаемое с первой производной искомой функции у(х), по..
этому в характеристическом уравнении k 2 + 16 = О коэффициент
а} == О, а а2 == 16. Так как D == 16, то а = .......0,5а} = О и
== .JiDf = J16 = 4. Следовательно, фундаментальную систему ре-
шений заданноrо уравнения образуют функции Уl (х) = cos4x и
33
У2 (х) = sin 4х, а общее решение уравнения имеет вид
у(х) = С} cos4x + С 2 sin 4х.
Пример 27. Найти частное решение дифференциальноrо
уравнения у" --- 6 у' 7 у == О, удовлетворяющеrо начальным услови
ям у(О) = О, у'(О) = 2.
Решение. Характеристическое уравнение k 2 --- 6k --- 7 = О
имеет дискриминант D == 16 > О и различные корни: k 1 == ---1 и
k 2 == 7. Следовательно, общее решение у(х) = Cle X + С 2 е 7х . Тоrда
у'(х) = Cle x + 7С 2 е 7х, И для определения неизвестных постоянных
С] и С 2 воспользуемся заданными начальными условиями. Решив
систему уравнений С 1 + С 2 = о; С 1 + 7С 2 = 2, получим
С 1 == ---0,25, С2 == 0,25. Следовательно, искомое частное решение
имеет вид у(х) = 0,25(е 7х --- e X).
Задание 17. Решить уравнения:
17.1. у"---4у'+3у==0. 17.2. у"+5у'+4у==0.
17.3. у" + 9 у' == О. 17.4. у" --- 5 у' = о .
17.5. у" --- 4 у = о. 17.6. у" + 6 у' + 9 у = о .
17.7. у" --- 2 у' + у == о. 17.8. у" + 4 у' + 13 у = о .
17.9. у"+у'+у=О. 17.10. у"---2у'+10у==0.
Задание 18. Найти частные решения следующих уравнений:
18.1. у" --- 6у' 7у == О при х == О,у == 6, у' == 2.
18.2. у" --- 2 у' = о при х == О, У == 1, у' == 3 .
18.3. у" + 6 у' + 13 у = о при х == О, У == 2, у' = ---4 .
18.4. у"+4у'+5у==О при x==O,y==---I, у'=3.
34
1.6.3. Линейные однородные дифференциальные уравнения
п..ro порядка с постоянными коэффициентами
Линейным однородным дифференциальным уравнением п..ro
порядка с постоянными коэффициентами а 1 , а 2 ,. . ., а п называется
уравнение вида
(п) ( ) (п l) ( ) (п 2) ( ) ' ( ) ( ) О
)1 Х + а 1 У 'х + а2У Х +... + aп IY х + апУ Х = .
Фундаментальную систему таких уравнений можно искать в
виде у == e kx , rде k == const. Для линейноrо однородноrо дифферен
циальноrо уравнения п ro порядка характеристическое уравнение
имеет вид
k п + alkn 1 +... + aп lk + а п = О
и может быть представлено в виде произведения
(k k 1 r 1 (k k 2 )т 2 ... (k 2 + Plk + ql)1 ... (k 2 + Psk + qJs = О,
[де k 2 + p/k + qj неприводимые квадратные трехчлены с дискри"
минантом D = 0,25 р; qj < о; т 1 , т 2 , ..., /1, 12' ..., Is кратности
действительных и комплексных корней соответственно.
Фундаментальную систему решений образуют функции
k ) х k I х т . 1 k х
е хе Х ) е } .
, ,..., ,
e 0,5PiX COS ix,xe O,5p,x COS iX'.. .,x/, le O,5PiX COS iX;
e O,5Plx sin ix, xe O,5P 1X sin iX'.'" xl, le 0,5pjx sinp;x;
l3i = qi 0,25p;, j=1,2,...,r,i=1,2,...,s.
35
Пример 28. Решить уравнение ут 2у" 8у' ---12у = о.
Решение. Характеристическое уравнение k 3 --- 2k 2 --- 8k ---12 = О
допускает представление в виде произведения (k 3 Xk + 2 у = О.
Следовательно, оно имеет один простой корень k == 3 и один крат..
k 2 ( 2) П Ф 3х 2x 2x б .
ныи == кратности . оэтому ункции е , е , хе о разу..
ют фундаментальную систему решений, и общее решение имеет вид
у(х) = С 1 е 3Х + С 2 е 2x + Сзхе 2x.
Пример 29. Решить уравнение yIV + 8у" + 16у = о.
Решение. Характеристическое уравнение k 4 + 8k 2 + 16 = О
допускает представление в виде 2 + 4 j = О, следовательно, корни
характеристическоrо уравнения двухкратные. Так как внеприводи..
мом квадратном трехчлене k 2 + 4 коэффициенты р == О и q == 4, а
дискриминант D == 2 < О, то а. == 0,5p == О, == J4 == 2. Поэтому
фундаментальную систему решений образуют функции
cos 2х, х cos 2х, sin 2х, х sin 2х, а общее решение уравнения запи..
сывается в виде
у(х) = (С 1 +С 2 х)соs2х+(С з +C 4 x)sin2x.
1.7. Уравнение Эйлера
Линейным однородным дифференциальным уравнение Эй..
лера называется уравнение вида
х 2 у"(х) + a1xy'(x) + а 2 у(х) = О,
в котором al и а2 постоянные действительные числа.
В интервале (о; 00) с помощью замены х == e t уравнение Эй..
лера может быть приведено к однородному дифференциальному
уравнению с постоянными коэффициентами
36
d 2 y ( ) dy
2 + а} --- 1 + а2.У' = О .
dt dt
При мер 30. Решить уравнение х 2 у" 2ху' 4 у = о.
Решение. Это линейное однородное уравнение Эйлера 2 ro
порядка. Полаrая х == e t , запишем
, I dy " 2/ ( d2y dy J
у=е , у =е --- .
dt dt 2 dt
, "
Подставляя производные у и у в заданное уравнение, получим
21 2t ( d2y dy J 2 t ! dy 4 О
е е --- --- ее у=
dt 2 dt dt '
откуда
d 2 y 3 dy 4y = о.
dt 2 dt
Так как дискриминаlП D характеристическоrо уравнения
k? 3k ---4 = О равен 25/ 4 и больше нуля, то корни характеристическо
ro уравнения k} = ---1 и = 4, а фундаментальную систему решений
образуют функции Yl(t) = e t и Y2(t) ==e 4t . Возвращаясь кпеременной
х == e t , получим общее решение уравнения Эйлера: y(x)==Ci /x+ x4.
Пример 31. Решить уравнение х 2 у" +Зху' +5у == о.
d 2 У dy
Решение. Полаrая х == e t , приходим к уравнению ------т + 4 +
dt dt
+ 5 у = о. Соответствующее ему характеристическое уравнение k? +4k +
+5 = О имеет дискриминант D < О, поэтому y(t) == e 2t х
х (С 1 cost + С 2 sint) или у(х) = x 2(Cl cos(lnx) + С 2 sin(lnx)}
37
Задание 19. Решить уравнения:
19.1. х 2 у" Зху' + Зу = о. 19.2. х 2 у" + ху' --- у = о.
19.3. х 2 у" + ху' у = о. 19.4. х 2 у" + у = о.
4
19.5. х 2 у" --- Зху' + 4у = О. 19.6. х 2 у" + 5ху' + 13у = о.
19.7. x2y" xy'= x+ . 19.8. x2y" xy'+ y=6xlnx.
х
19.9. (х + 1 f у" --- 2(х + 1 )у' + 2у = О (сделать подстановку х + 1 = е ! ).
19.10. (2х+l)2у" ---4(2х+l)у' +8y= 8x 4 (сделать подстановку
2х + 1 = е ! ).
1.8. Линейные неоднородные дифференциальные
уравнения 2..ro порядка с переменными коэффициентами
Линейным неоднородным дифференциальным уравнением
2 ro порядка с переменными коэффициентами PI(X) и Р2(Х) называ-
ется уравнение вида
у"(х) + PI(X)Y'(X) + Р2(Х)У(Х) == j{x).
Функция j{x) называется свободным членом или правой частью
дифференциальноrо уравнения. Линейное однородное дифференци-
альное уравнение приj{х) == О
у"(х) + PI(X)Y'(X) + Р2(Х)У(Х) == О
называется соответствующим заданному неоднородному. Если в
интервале (а; Ь) функцииj{х), PI(X) И Р2(Х) непрерывны, то в этом
интервале неоднородное дифференциальное уравнение имеет
единственное решение, удовлетворяющее заданным начальным
38
условиям. Особых решений неоднородное дифференциальное
уравнение не имеет.
Общее решение у(х) неоднородноrо дифференциальноrо
уравнения складывается из общеrо решения z(x) соответствующеrо
ему однородноrо уравнения и частноrо решения и(х) заданноrо не..
однородноrо. Если Yl(X), У2(Х) фундаментальная система решений
однородноrо дифференциальноrо уравнения, соответствующеrо не..
однородному, то общее решение неоднородноrо уравнения
у(х) = и(х) + С 1 Уl(Х) + С 2 У2(Х).
Если функции Yt(x) и У2(Х) являются решениями неоднород"
ных дифференциальных уравнений с правыми частямиfi(х) иh(х)
соответственно, то функция z(x) = Уl (х) + У2 (х) будет решением
дифференциальноrо уравнения с правой частьюfi(х) + д(х).
1.9. Линейные иеоднородиые дифференциальные
уравнения 2..ro порядка с постоянными коэффициентами
1.9.1. Метод подбора частноrо решения
Метод подбора частноrо решения применяется для решения
линейных неоднородных дифференциальных уравнений с постоян..
ными коэффициентами только в ТоМ случае, коrда правая часть j{x)
уравнения представима в специальном виде:
[(х) = eax(p;I)(x)cosPx + p 2)(X)SinI3X)
rде p;I)(x) и p 2)(x) алrебраические мноrочленыI,
P (l) ( ) A п А п l А LI
п Х п Х + п tX +...+ IX+.l.l{),
Р (2) ( ) B т В т l В В
т Х т Х + m lx + · . . + IX + о.
39
Дифференциальное уравнение
у" + aly' + а 2 у = е ах (Pп(l) (х) COS (3х + p 2) (х) sin (3х )
имеет частное решение
u(х) = x r eax(QZ(I)(X) cos (3х + Qf2)(x)sin(3x),
rде Qz(l) (х), Qf2)(x) мноrочлены, содержащие все степени Х от нуля
до 1 == mах(п; т), а число r находим по следующему правИJ:ry:
О, если л ::j:; k} и л ;j; k 2 ;
r = 1, если л = k 1 И Л ;j; k 2 (или Л ;j; k) и л = k 2 ) ;
2, если л = k 1 = k 2 ,
rде Л, == а + i .
Изложим алrоритм построения частноrо решения линейноrо
неоднородноrо дифференциальноrо уравнения со специальной пра..
вой частью.
1. По виду правой частиf{х) дифференциальноrо уравнения
определяют постоянные а, , п и т.
2. По значениям постоянных п и т находят показатель сте..
лени 1 полиномов частноrо решения 1 == тах (п; т) и вспомоrатель..
ное число А == а + ip.
3. Для заданноrо дифференциальноrо уравнения составляют
характеристическое уравнение k 2 + a1k + а 2 = О, корни KOToporo
k 1 = O,5al --- Jjj и k 2 = .....О,5а} + Jjj ·
4. Записывают частное решение неоднородноrо дифферен"
циальноrо уравнения
и(х) = x r е ах (QP) (x)cosPx + Qf2) (x)sin Рх),
rде
Q (l) ( ) М 1 М l 1 М М .
1 Х = ,х + 1 IX +...+ IX+ о'
40
Q (2) ( ) N / N , ] N
1 Х = ,х + ' }X + ... + N}x + о.
5. Функцию и(х) подставляют в левую часть заданноrо диф..
ференциальноrо уравнения, выполняют дифференцирование и при..
ведение подобных членов. Затем отождествлением коэффициентов
при подобных членах в левой и правой частях уравнения получают
систему линейных алrебраических уравнений для нахождения неоп..
ределенных коэффициентов М j' N J' j = о, 1, . . ., 1 полиномов
Q,(l) (х), Qf2) (х) .
Пример 32. Найти частное решение уравнения у" 5 у' +
+6y=(4x+S)e 3X .
Решение. В соответствии с приведенным aлrоритмом найдем:
1) постоянные а == 3, Р == о, п == 1, т == о;
2) вспомоrательное число А == 3 и показатель степени 1 поли
нома Q,(1) (х) частноrо решения 1 == тах (1; о) == 1;
3) характеристическое уравнение k 2 ....5k+6 = о, ero корни
k} = 2, k 2 = 3; так как А == 3, то оно является корнем характеристи..
ческоrо уравнения первой кратности (выполняется случай Л * k 1 ,
А = k 2 ), следовательно, r == 1;
4) частное решение заданноrо уравнения u(х)=хеЗХ{М}Х+М о );
5) систему линейных алrебраических уравнений для опреде..
пения коэффициентов М 1 и М о :
6 u(х) =е 3Х (М\х 2 + Мох)
5 u'(х) = 3е 3х (м}х 2 + Мох) +e 3X (2M 1 x + Мо);
1 u"(х) = 9е 3х (М\х 2 + М ох)+ 6е 3Х (2М \х + М о )+е 3Х 2М\;
и"(х) Su'(x) + 6и(х) = (2М 1 х + М о + 2M 1 )e 3x = (4х + s)e 3X .
41
Следовательно, 2М} = 4; Мо + 2М ! = 5 и M 1 = 2, Мо = 1.
Искомое частное решение и(х) = е 3Х (2х2 + х).
При мер 33. Найти общее решение уравнения у" у' ---
---6y=5sinx.
Решение. Так как а == Q, == 1., п == т == О, то А == i, а 1 == о.
Характеристическое уравнение k 2 --- k 6 = О имеет корни k 1 = ---2,
k 2 = 3, и реализуется случай А '* k} и А '* k 2 . Поэтому r == О, а об..
щее решение однородноrо дифференциальноrо уравнения, соответ-
ствующеrо заданному, имеет вид z(x) = C 1 e-- 2x + С 2 е 3Х . Частное
решение неоднородноrо уравнения может быть записано в виде
и(х) = Mocosx + Nosinx. Соотношения для определения коэффи"
циентов Мо и N o имеют вид
6 и(х) = Мо cosx + N o sinx;
1 и'(х) = ..... м о sin х + N o cosx;
1 и"(х) = ---Мо cosx --- N o sinx;
и"(х) ---и'(х) ---6и(х) = 7 Мо + No)cosx +(М о ---7 No)sinx = 5sinx.
Следовательно, 7 Мо + N o = о; Мо ---7 N o = 5, Мо = 0,1;
N o = ,7. Искомое частное решение u(x)=0,lcosx---O,7sinx, а об..
щее решение заданноro дифференциальноrо уравнения у( х) = C1e --2х +
+С 2 е 3Х +O,lcosx---0,7sinx.
Пример 34. Найти общее решение уравнения у" +4у' +
+4у = 3хе-- 2х .
Решение. Так как а == ---2, == О, п == 1, т == О, то А == ---2,
1 == 1. Характеристическое уравнение соответствующеrо однородно-
ro дифференциальноrо уравнения k 2 + 4k + 4 = О , ero корни
42
(k 1 = k 2 == ---2) кратные с показателем кратности 2. Так как реализу
еТСЯ случай А = k 1 = k 2 , то r == 2. Следовательно, искомое частное
решение и(х) = x2e 2x(MIX + мо). Соотношения для определения
неизвестных коэффициентов M 1 и М о имеют вид
4 u(x)=e 2x(MIX3+Mox2);
4 и'(х) = 2e 2X(MIX3 + мох2)+ e 2x(3MIX2 + 2МоХ);
1 и"(х) = 4e 2X(MIX3 + Mox2) 4e 2X(3MIX2 + 2МоХ)+
+ e 2x(6MIX + Мо);
и"(х) + 4и'(х) + 4и(х) = e 2x(6MIX + 2Мо) = 3xe 2x.
Следовательно, М о = о; 6М 1 = 3; М 1 = 0,5, поэтому част..
ное решение и(х) = 0,5х 3 е 3Х , а ero общее решение у(х) =
=(С 1 +C2x)e 2x +0,5х 3 е 3Х .
Пример 35. Решить задачу Коши для дифференциальноrо
уравнения у" (х) + 3 у' (х) = е x (4х 2 + 6) с начальными условиями
у(О) == ---3, у'(О) = 1.
Решение. Для Toro, чтобы решить задачу Коши для заданно..
ro дифференциальноrо уравнения, необходимо построить ero част..
ное, а затем общее решение. Так как а == ---1, == О, п == 2, т == О, то
параметры частноrо решения Л == ---1, 1 == 2. Характеристическое
уравнение k 2 + 3k = О имеет корни k 1 = О, k 2 = ---3, следовательно,
выполняются неравенства Л '* k 1 И Л '* k 2 и поэтому число r == О. На
основании изложенноrо, частное решение имеет вид и(х) =
== е х (м 2 х2 + Mt x + М о ). Для определения неизвестных коэффи
Циентов М; подставим и(х) в заданное уравнение:
43
и" + 3и' = e X( 2м 2 х 2 + ( 2M( + 2М 2 )х +
+ 2М2 + М! 2Мо) = e X(4x2 + 6).
Orождествляя коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и
правой частях равенства, приходим к системе уравнений: 2М2 = 4;
М 2 M 1 == о; 2М2 + М 1 2Мо == 6, решая которую,получим М 2 == 2,
М 1 = 2, Мо = . Следовательно, и(х) = -----е X(2x2 + 2х + 6), а общее
решение заданноrо уравнения у(х) = С! + C2e 3X e X(2x2 + 2х + 6).
Для построения частноrо решения, удовлетворяющеrо заданным
начальным условиям, найдем у' (х) = 3 e 3X + е X (2х 2 2х + 4} а
затем, приравняв у(О) и у'(О) заданным начальным значениям, со-
ставим систему линейных уравнений для определения неизвестных
произвольных постоянных С 1 И С 2 : C 1 + С 2 6 = 3; 3С 2 = з.
Решение этой системы C 1 = 2, С 2 == 1. Следовательно, искомое ре-
шение задачи Коши имеет вид у(х) = 2 + e 3X e X(2x2 + 2х + 6)
Если правая часть заданноrо неоднородноrо дифференци-
альноrо уравнения равна сумме нескольких различных функцийfi(х)
рассматриваемоrо специальноrо вида, то частное решение TaKoro
уравнения будет суммой частных решений дифференциальных
уравнений с правыми частямиfi(х).
Пример 36. Найти частное решение уравнения у" 2 у' .... 8 у =
= е Х .... 8 cos 2х
Решение. Правая часть заданноrо дифференциальноrо ypaB-1
нения представляет собой сумму двух функций специальноrо вида:
ft(x) == е Х и f2(X) == ---8cos2x. Находим частные решения двух
уравнений:
у" --- 2у' 8у == е Х ;
у" 2у' 8у == ....8cos 2х.
44
Для первоrо из них аl == 1, Рl == О, пl == О, тl == о; для BToporo
а2 == о, Р2 == 2, п2 == т2 == О, поэтому л'1 == 1, 11 == О и л'2 == ---2i, 12 == о.
Так как характеристическое уравнение k 2 --- 2k --- 8 = О имеет два
корня: k 1 == ---2 и k 2 == 4, причем ни л'l, ни л'2 не являются ero корня..
МИ, то r} == r2 == о. Следовательно, частные решения уравнений им е..
ЮТ вид и}(х) = Мое Х и и 2 (х) = Nocos2x+Losin2x. Для опреде..
ления неизвестных коэффициентов Мо, N o , [о составим соотно"
шения вида
8 U1(X) = Мое Х ;
2 и (x) = Мое Х ;
1 и '(х)=МоеХ;
и (х) --- 2и;(х) --- 8Иl(Х) = еХ(Мо --- 2Мо --- 8Мо) == е Х .
Соответственно Мо = ---1/9 и U1(X) = .....е Х /9.
Аналоrично
8 и2 (х) = N о cos 2х + Lo sin 2х ;
2 и; (х) = ---2N o cos2x + 2Lo sin 2х;
1 и (x) = No sin 2х --- 4Lo cos2x;
и (х) 2и;(х)..... 8и2(Х) = (---12N o --- 4Lo)cos2x +
+ (4N o 12L o )sin 2х = 8cos 2х.
Откуда ---12N o --- 4Lo = ---8; 4N o ---12Lo = о. Решив систему,
найдем N o =3/5,L o =1/5 и u 2 (x)=!(3cos2x+sin2x). Частное
5
решение заданноrо уравнения можно записать в виде
и(х) = и\ (х) + и2 (х) = .!.. е Х +.!.. (3 cos 2х + sin 2х).
9 5
45
Задание 20. Решить уравнения:
20.1. у" 3у'+2у==(зх2 +2)e X. 20.2. y" 2y'+5y=x2---5x+4.
20.3. у" 10у' + 26у = 2е 5х cosx. 20.4. у" + 2у' + у = xe X.
20.5. у" + 4у' + 4у = xe 2x. 20.6. у" + 5у' + 4у = (6х + 2)e X .
20.7. у" + у' 6у = хе 2х . 20.8. у" 6у' + 10y = е 3Х sinx .
20.9. у" + 4у = е Х ((4 --- 2х )cos2x (8х + 8)sinx).
20.10. у" + 4 у' + 13 у == ---е X (( 6х + 2 )cos х + (17 х + 6 )sin х).
20.11. у" --- 2у' --- 3 у = е x --- sin 2х .
Задание 21. Найти частные решения следующих уравнений:
21.1. у"---2у'+5у=5х 2 е 2х прих==О, у=23/25, у'=1/25.
21.2. y"+4y=4sin2x ПРИХ==О,У== 1, У' =---7 .
21.3. y"+2y'= 6e X ПРИХ==О,У== 1, у'=5.
21.4. у" --- 6у' + 9у = х 2 е 3Х при х == О, У == 1, у' == 4.
1.9.2. Метод вариации произвольных постоянных
Метод вариации произвольных постоянных (метод Лаrран-
жа) является наиболее общим методом решения неоднородноrо \
дифференциальноrо уравнения вида
у"(х) + a1y'(x) + а 2 у(х) = f(x)
с произвольной непрерывной на интервале (а; Ь) функциейj(х).
46
rлавная идея метода вариации произвольных постоянных
основывается на допущении представления общеrо решения неод..
нородноrо дифференциальноrо уравнения в том же виде, в каком
оно существует для однородноrо уравнения, соответствующеrо не..
однородному, но с зависящими от переменной Х величинами Cj(X).
Действительно, построив фундаментальную систему решений YI(X),
У2(Х) однородноrо уравнения, соответствующеrо неоднородному,
представим ero общее решение в виде
у(х) = С 1 (X)YI (х) + С 2 (Х)У2(Х).
Будем считать функции С 1 (х) И С 2 (х) непрерывно диффе..
ренцируемыми на интервале (а; Ь) и удовлетворяющими двум до..
полнительным условиям:
{ С 1 (Х)УI (х) + С 2 (Х)У2 (х) = о;
С} (Х)Уl (х) + С 2 (Х)У2 (х) = f(x).
Тоrда можно показать, что общее решение исходноrо дифференци"
альноrо уравнения
у(х) = у\(х) f Y2(x)f(x)dx +
w(x)
+ У2(Х) f YI(X ;;)dX + C1YI (х) + С 2 У2(Х)'
rде C 1 И С 2 произвольные постоянные.
Если известна фундаментальная система решений неодно"
родноrо дифференциальноrо уравнения с переменными коэффици"
ентами, то методом вариации произвольных постоянных можно по..
строить ero общее решение.
При мер 37. Решить уравнение у" + 4 у = 1/ sin х.
Решение. Для решения заданноrо уравнения воспользуемся
Методом вариации произвольных постоянных. Так как характери..
47
стическое уравнение однородноrо дифференциальноrо уравнения,
соответствующеrо неоднородному, имеет вид IC + 4 == О и ero дис-
криминант D == ---16 < о, то фундаментальной системой решений
являются функции У} = cos 2х и У2 = sin 2х. Общее решение за-
данноrо уравнения представим следующим образом:
у(х) = С} (х) cos 2х + С 2 (x)sin 2х.
Функции С}(х) и С 2 (х) будут удовлетворять системе дифференци-
альных уравнений
C{(x)cos2x + C;(x)sin2x = о;
2С; (x)sin2x + 2С; (x)cos2x == .1
SlnX
решив которую, получим
С ' ( ) С , ( cos2x
1 х = --- cos х, 2 х) = . .
2 Sln х
Интеrрируя, определим неизвестные функции C 1 (х) и
С 2 (х) :
С 1 (х) = --- fcos xdx = ---sin х + C 1 ;
1 J cos 2х f"O.J 1 х f"O.J
C2(X)= . dx+C2=cosx+ lntg +C2'
2 Sln х 2 2
а затем найдем искомое общее решение заданноrо уравнения
у(х) == .lsin 2х ln tg х + sinx + С! cos2x + С 2 sin2x.
2 2
48
Задание 22. Решить уравнения:
22.1. у" + 4у' + 4у == e 2x lnx. 22.2. у" + 4у = 1/ cos2x.
22.3. у" + Зу' + 2у == l/(e X + 1). 22.4. у" --- 2у' + у = е Х /(х 2 + 1).
22.5. у" --- 2у' + у = е Х / х. 22.6. у" + у = tgx .
22.7. у" + у = tg 2 х. 22.8. у" + у = ---l/cosx.
" 4 , 4 2 2x ." Х Х
22.9. У + У + У = 2е . 22.10. у" --- у = е /(1 + е ).
х
22 11 п ___ 2 ' = 2 --- 2х 2х
..у у 3 е.
х
22.12. у" + у = ---ctg 2 Х .
2. РЯДЫ
2.1. Числовые ряды. Числовые положительные ряды
00
Выражение вида а 1 +а2 +.. .+а п +... == La n , rде а п = f{п) ---
п=l
функция натуральноrо apryмeнтa (п Е N) называется бесконеч..
ным числовым рядом, числа а 1 , а 2 , ..., ап' ... членами ряда,
а п = j(n) --- общим или п..м членом ряда. Сумма п первых членов
ряда S п = а 1 + 02 + . . . + а п называется частичной суммой ряда.
Ряд называется сходящuмся, если существует конечный пре..
дел последовательности частичных сумм {Sn} при п 00, т.е.
lim S п = S . Число S называется суммоЙ ряда. Если последователь..
п oo
насть 81, 82, . . ., S п' . .. не имеет конечноrо предела, то ряд называ..
ется расходящuмся.
49
00
Выражение R n = а п + 1 + а п + 2 +... = L a k называется ос..
k=n+l
татком ряда. Если ряд сходится, то R n = S Sn И lim R n = О .
п oo
Свойства рядов следующие:
. СХОДИМОСТЬ (расходимость ) ряда не изменится, если ряд
умножить на число (т.е. каждый член ряда умножить на это чис..
ло) и если к ряду прибавить или от ряда отбросить конечное чис..
ло слаrаемых.
. Сходящиеся ряды можно почленно складывать и вычитать,
полученные ряды тоже будут сходящимися.
Необходимый признак сходимости: если ряд сходится, то ero
п..й член стремится к нулю при неоrpаниченном возрастании n, т.е.
lim а п = О .
п oo
Cтzeдcтвиe (достаточный признак pacxoдuмocти): если
lim а п :/:. О , то данный числовой ряд расходится.
п oo
Достаточные признаки сходимости для числовых положи--
тельных рядов следующие:
. Признак сравнения. Пусть для рядов с положительными
00 00
членами L а п и L Ь п выполнено условие а п < Ь п (п == 1,2,...). То--
п=} п=l
rда если второй ряд сходится, то сходится и первый ряд; если пер..
вый ряд расходится, то и второй ряд расходится.
· Признак сравнения в предельной форме. Если
а 00 00
lim = А, (А "# 0,(0) , то ряды L ап И L Ь п ведут себя одинаково,
п oo Ь п n=l n=l
Т.е. оба сходятся или оба расходятся одновременно.
П Д б Е 1 . ап+l 1 1 1
· ризнак алам ера. ели 1т =, то при < ряд
п oo а п
сходится, при 1 > 1 ряд расходится.
· Радикальный признак Коши.. Если Нт = Z, то при
п oo
1 < 1 ряд сходится; при 1 > 1 ряд расходится.
50
Признак Даламбера и радикальный признак Коши не позво
ляют судить О сходимости ряда в случае 1 == 1 (требуется дополни
тельное исследование сходимости ряда или применение друrоrо
признака).
. Интеrральный признак Коши. Если непрерывная функция
)' == .f(x) > о монотонно убывает на [1, + 00) и а п = j(n), то число
00 00
вой ряд L а п инесобственный интеrрал первоrо рода f f(x )dx
п=l 1
СХОДЯТСЯ или расходятся одновременно.
Из свойств рядов следует, что все признаки сходимости при
менимы, если их условия выполнены не для всех n, а начиная с не..
KOToporo п = N .
При мер 38. Найти сумму ряда по определению:
1 1 1 1
l. + + +... + ( ) + ....
}.2 2.3 3.4 пп+l
00
2. L ( 1 )п l == 1 1 + 1 1 + . .. .
п=1
Решение. 1. Представим члены ряда в виде
1 11 1 1 1 1
1.2 1 2 ' 2.3 ==2 3; 3.4
1 1
. .
, ...,
3 4
1 1
п(п+l) п
1
п+l
Тоrда сумма п членов ряда
Sn = ( 1 ] + ( ] + ( ] +... + ( ! ) + ( ! ) = 1 ,
2 2 3 3 4 n l п n n+l n+l
а предел
Нт Sn = liт ( 1 1 J = 1 О,
п OO I1 OO п + 1
Т,е. ряд сходится и ero сумма S = 1.
51
2. Найдем
( ) n l { о, если п = 2k (четное число);
S =1 1+1 ...+ 1 =-
п 1, если п = 2k + 1 (нечетное число),
Т.е. при п = 2k lim Sn = О, а при п = 2k + 1 lim Sn = 1. Известно,
п oo п oo
что если предел последовательности существует, то он единствен-
ный (свойство пределов), следовательно, lim Sn не существует и
п oo
данный ряд расходится.
00
rеометрuческuй ряд L aqn ряд, составленный из членов
п=}
rеометрической проrрессии. Исследуем сходимость ряда. Частичная
сумма ряда
п
2 п а --- aq
S п = а + aq + aq +... + aq =
l---q
представляет собой сумму п членов rеометрической проrрессии.
Возможны три случая:
1. Если Iql < 1, то lim qn = О и, следовательно, lim Sn =
п oo п oo
a---aif а
= lim = , Т.е. ряд сходится и ero сумма S = a/(l---q). Если
п l---q l---q
Iql < 1, то имеем бесконечно убывающую rеометрическую проrрес...
сию, сумма которой совпадает с суммой исследованноrо выше ряда.
2. Если Iql> 1, то lim qп = 00, lim Sn = 00 И ряд расходится.
п oo п oo
3. Если Iql = 1, то lanl = lal и lim lanl = 'аl * О, Т.е. ряд расхо-
п oo
дится (по достаточному признаку расходимости).
00
Итак, ряд L aqп сходится при Iql < 1 и расходится при Iql > 1.
n=l
52
Обобщенный zармонuческuй ряд Дuрuxле f J.... исследуем с
р
n=lп
помощью интеrpальноrо признака Коши. Рассмотрим только случай
р > о , так как при р < о lim J.... = 00 =1:- О и ряд расходится. Введем
п oo пР
.r(x) = 1/ х р > О при х > О. Так как f'(x) = ---1/ px p + 1 < О, то f(x)
непрерывна и убывает на [1,+(0). Тоrда f(n) = 1/ пР = а п .
Для вычисления несобственноrо интеrрала рассмотрим
тр и случая:
1. При Р = 1
00 00 dx ею
J f(x)dx = J = lnlxll = 00 ,
1 1 Х
ею 1
Т.е. интеrpал расходится и zар.мОlluческuй ряд L ---- тоже расходится.
п=lп
2. При О < р < 1
00 00 d --p+l 00
fj(x}dx= f2= х
1 1 х р р + 1 1
х 1 -- р 00
=00,
1 Р 1
Т.е. интеrpал и ряд расходятся.
3. При Р > 1
00
00 oodx 1
ff(x}dx = f p = p l(l )
1 1 Х Х --- Р 1
=o 1
1--- р
1
---
,
p---l
Т.е. интеrрал и ряд сходятся.
00 1
Итак, ряд L сходится при р > 1 и расходится при р < 1.
р
п=ln
Пример 39. С помощью признака сравнения исследовать
сходимость следующих рядов:
53
00 1 00. 1t 00 1 ОО ( ) 00 V n---l
1.2: . 2.2: sш -----;;-- з.2: . 4.2:.[;, -J п 1 .5.2: -J ·
п=15.4 п 1 4 п=2 1 nп п=] п=lп п + 1
При решении примеров с помощью признаков сравнения
можно использовать следующие соотношения:
. неравенство sinx < х < tgx при х Е (о, п/2), lnx < х
при х > О ;
· х sinx ...... tgx (эквивалентность бесконечно малых) при
. Sln Х
х О, что следует из первоrо классическоrо предела: 11т = 1 .
X O Х
00 00 1
Решение. 1. Рассмотрим 2:Ь n = 2: -----;;- это сходящийся reo..
n=l п=14
метрический ряд, так как q == 1/4 < 1. Но
1 1
а == < =
п 5.4 п 4 п
00 1
2: сходится по
п= 1 5 · 4 n
00 1
= Ь п , \::In Е N; и так как L сходится, то и
п=14 n
первому признаку сравнения.
2. Возможны два способа решения:
· 1t 1t Ь
1) примем а1'l = Sln < = п' И так как ряд
4 п 4 п
00 00 1
Lb n = 1tL n
п=] п=14
СХОДИТСЯ, то и исходный ряд сходится по первому признаку сравнения;
. 1t Ь 1
2) обозначим а п == Sln , п == , и так как
4 п 4 п
. 1t
Sln
lim а п = lim 4 п = 1t = const(:;t о),
п oo Ь п oo 1
п
4 п
ТО ряд сходится по признаку сравнения в предельной форме.
54
3. Воспользуемся неравенством lnx < х, Vx> о. Тоrда
00 1
ОП = 1 / ln п > 1 / п = Ь п , и так как ряд L ---- расходится, то и иссле..
п=lп
дуемый ряд расходится по первому признаку сравнения.
4. Найдем общей член ряда:
с -J 1 ( -Jn 1 x + -Jn 1)
а --- п п r
п n+ ,J п 1
___ п --- (п ---1) ___ 1
--- + ,J n+1 --- + ,J n---l .
Ряды, общий член которых а п = R(na.) есть рациональная
00 1
ФУНКЦИЯ от па, обычно сравнивают с рядом Дирихле L , подби..
р
п=)п
рая нужную степень п. В данном случае примем р = 1/2 и обозначим
J 1 r::JJ
L r = Lb n . Тоrда
п=l'\jn n=}
l' а п l' ( 00 )
п Ь п = п + -J n 1 = 00 =
. 1 1
= 11т = = ---- :;:. о
п oo С ( п) 1+1 2 '
'\jn 1+ l---
п
00 1
и так как ряд L с расходится (р = 1/2 < 1), то и ряд
п=l '\j п
f ( J п 1 ) тоже расходится.
/1==1
55
5. Общий член ряда
V n 1 1
а == ,
п n .J п + 1 п oo n-J; 'i
п 6
следовательно, ИСХОДНЫЙ ряд L ап надо сравнить с РЯДОМ
п=l
00 1 00
I7 == Ib n . Тоrда
п=l п=l
п 6
7
1 " ап 1 " V п ---1 · п 6 1 О
lт == 1т == *' ,
п oo Ь п п oo n ..J п + 1
00 1 00 V n---l
и так как ряд L 7 (р = 7/6> 1) сходится, то и L тоже
п=l n=ln ..J п + 1
п 6
СХОДИТСЯ.
Пример 40. С помощью признака Даламбера исследовать
сходимость рядов:
п з п - о? п'
1. L ( у . 2. L ( .) .
1 5п п=} 2п 1 !
Решение. 1. Имеем а п =з n /(Sn)2 и a n + 1 == з n +! /[5(п + 1)]2.
Вычислим
lim а п + 1 = lim з п + 1 .(SпУ = 3lim (sп)2 = ( 00 ) =
п oo а п п oo (5п + 5)2 · з п п oo (5п + 5)2 00
==31im (5пУ = 3 1 = 3 > 1
п oo ( ) 2 ( 1 J 2 1 + О '
5п 1 +
п
Т.е. ряд расходится.
56
2. Имеем
п! о (п + 1 )! (п + 1 )!
а п ( ) , аn+l ( ( ) ) --- ( ) о
2п --- 1 ! 2 п + 1 1! 2п + 1 !
По определению факториала n!=1.2'30..п, (n+l)!=n!(n+l),
(2n + 1)!= (2п 1)!(2nX2n + 1) 8 Вычислим
1 ° ап+l 1 ° п! ( п + lX2n 1)! 1 ° п + 1
1т = 1т = 1т =
п oo а п п оо(2n---l)!(2пХ2n+l)n! n oo(2nX2n+l)
= ( 00 ) = liш ( Х ) = ( ) = о < 1 ,
00 п oo 2п 2п 00
Т.е. ряд сходится.
Пример 41. Исследовать с помощью радикальноrо признака
Коши сходимость ряда
сх) 5 1l
L 2
n=l(l + J
При использовании данноrо признака часто применяются
пределы вида lim = 1; lim ( 1 + ) п = е 2,7 18 (второй класси-
п oo п oo п
ческий предел).
Решение. Вычислим
п
1 . п 1 8 5п
п aп = п п ( 1 ) n 2
1+
п
1 ° 5 п 1 . 5 5 1
= 1т = 1т = > ,
n ro (1 + ) п: n ro ( 1 + J е
следовательно, ряд расходится.
57
Пример 42. С помощью интеrральноrо признака Коши ис..
00 1
следовать сходимость ряда L 2 ·
п=2п ln п
Решение. Введем j(x) = 1I(xln 2 х» О при х Е [2,+(0) и
найдем
2 1
ln х + х . 21n х .
f'(x) = х ---
(xln 2 х)
значит,j(х) непрерьшнаи убывает на [2,+(0), а j(п) = 1/(пln 2 п)= а п .
Вычислим
ln 2 x+21nx = lnx+2 <О
x 2 1n 4 x x 2 1n 3 x'
1 dx = I d (ln х) = lim N
2 xln 2 х 2 ln 2 х N +oolnx 2
( ---1 J 1
= lim + = о + ln 2 = const,
N -tOO lnN ln2
Т.е. интеrрал СХОДИТСЯ и ряд также СХОДИТСЯ.
Задание 23. Найти сумму ряда ПО определению:
5 5 5 00 5
23.1. 5 +2 3+"'= L( lr .
3 3 3 п=О 3
1 1 1 00 1
23.2. + + +... = L ( Х ) '
1 · 3 3 · 5 5 . 7 п=О 2п + 1 2п + 3
1 1 1 1 00 ( 1 ) n 00 ( 1 ) n
23.3. +2---2+." == L --- L .
2 3 2 3 n=l 2 п=l 3
Задание 24. С помощью необходимоrо "ризнака сходимости
ИЛИ признаков сравнения исследовать сходимость следующих рядов:
58
00 1 00 п+l 24.3. ( 1Y 1
24.1. L . 24.2. L . L, 'v3 · 24.4. L, ·
п=о2 п=о2п + 1 п=l n 3 n=15п + 1
24.5. t ( i ) п. 24.6. t V;;(2 ) . 24.7. t .l( п 1 ).
п=1 2п 7 n=l п п 1 n=l п
24.8. tsin . 24.9. t 1 + 24.10. t ( Х ) '
n=l 2 п n=ll + п n=l п + 1 п + 4
<х> 1t 00 1 00 1 . 1
24.11. L tg . 24.12. L ( ) ' 24.13. L с sш .
n=1 4п п=11 n п + 1 ' n=l V п п
<X> fh
24.14. L 4 .
п=l п + 1
00 ln п
24.15. L -----З.
п=l п
Задание 25. С помощью признака Даламбера исследовать
сходимость следующих рядов:
25.1. t п: . 25.2. t п! . 25.3. i: (2 )! . 25.4. i: 2 п 1 .
п=le п=1 3п --- 2 n=l 7 n=l N.
00 1t
25.5. L п tg n+l '
n=l 2
00 (п!У
25.6. L ( ) '
п=l 2п !
25.8. f (2п 1 )!! .
п=l з п . п!
<х> 2 n + 1 ,
25.7. L п' п. .
n=l п
Задание 26. Исследовать с помощью радикальноrо признака
Коши сходимость рядов:
26.1. t ( п + 1 ) n
п=1 2п --- 1
00 ( 1 ) n 00 1
26.2. L arcsin · 26.3. L п ( ) .
n=l п n=lln п + 1
59
( п + 1 ) n 2
26.4. f п . 26.5. f ( 4п + 3 J 2" 1 .
n=l З N п=l Зп 2
Задание 27. Исследовать с ПОМОЩЬЮ интеrральноrо призна-
ка Коши СХОДИМОСТЬ рядов:
00 1
27.1. L 2 .
п=2п ln п
00 1 00 е
27.2. L . 27.3. п l
п=2nlnnlnln ==
Задание 28. Исследовать сходимость положительных число..
вых рядов:
00 п 00 п + 1 00 п 2
28.1. L . 28.2. L ( ) ' 28.3. L п .
п=1100n + 1 п=l п + 2 п п=13
28.4. f ln ( l + 1. ) . 28.5. f arcsin 1. . 28.6. f 2 1 .
п=l п п=l п п=2п п
00 1t 00 ( п ) n 2
28.7. L tg . 28.8. L ·
п=} п + 2 п=l п + 1
00
" 2. 1t
28.9. L..;n Sln .
п=l 2 п
28.10. l n( :l) ' 28.11. lln( ::: } 28.12. ln(e lJ
28.13. fsin . 28.14. f п 2 + 5 . 28.15. f ( 2n: + 1 ) n .
п=l п п=1 2 п п=l 3п 1
28.16. f з n : 1 . 28.17. f 2 1 . 28.18. f ( n+l ) n2 .
п=12 п п=12n + 1 п=12 п
60
00 1
28.19. L ( ) 2п 1 .
n=l 2п + 1 2
00 1
28.21. L М .
п=2пlnп+ lп З п
28.20. f (.J п 2 + п + 1 .J п 2 4п + 3 ).
п=lп
00 1 00 1
28.22. L FP . 28.23. L ( ) ·
п=l 2п + 1 п=l п п + 1
п
п
п+l
00 п+2 00 ( 2п+l ) Т 00 2п l
28.24. L . 28.25. L . 28.26. L п .
п=1 п! п=l 3п 1 п=l п
00 п 2 00 п 00. 1
28.27. L 2 . 28.28. L 2 . 28.29. LSln r '
п=13п 1 n=l п + 1 n =l V п
00 1t 00 2п 1 00 ( )
28.30. Ll cos . 28.31. L ( [ ' 28.32. L ..J n+l ..J n l ·
п=l п п=l J2 n=l
00 п + 3 00 (з 1 2 3 I 2 ) 1
28.33. L 3 . 28.34. L \\1 п + 1 \1 п 1 v;1 '
п==lп + 2 п=l п 2
28.35. t sin(n ) .
п=l п
2.2. Числовые знакопеременные и знакочередующиеся ряды.
Абсолютная и условная сходимость
00
Рассмотрим числовые ряды: знакопеременныIй L а п и ряд
п=l
00 00
ИЗ абсолютных величин L lall/ (а п Е R). Если ряд L la п I сходится,
п=l n=l
00
То ряд L а п тоже сходится и называется абсолютно сходящuмся,
n=l
61
если ряд i: 'а п I расходится, а ряд i: а п сходится, то ряд i: а п Ha
п=l n=1 n=1
зывается условно (неабсолют1l0) сходящuмся.
Для исследования на абсолютную сходимость (т.е. для ис-
сх)
следования ряда L lon 1) можно применять все признаки сходимости
п=1
положительных рядов. Признак Даламбера и радикальный признак
<х)
Коши, применяемые к рядам L la n 1, называются обобщенными.
п=l
<х)
Из расходимости ряда L la n I не следует расходимость ряда
п=l
00 00
L ап ' но если расходимость L IOn I установлена с помощью признака
п=1 п=l
Даламбера или радикальноrо признака Коши, т.е. lim I а п I > 1 или
п oo
<х)
liт а п + 1 > 1 , то lim а п =1= О и ряд L Оп расходится.
п <X) ап п oo п=1
00 +1
Ряд 01 --- а2 + аз --- . .. = L (---1 r а п , rде а п > О, называется
n=l
знокочередующuмся.
Признак Лейбница для знакочередующеrося ряда: если вы-
полнены условия lim а п = О и a n + 1 < а п (п == 1,2,...), то ряд схо-
п oo
дится И абсолютная величина ero суммы не превосходит первоrо
члена ряда, т.е. Isl < а 1 ·
Пример 43. Исследовать сходимость следующих рядов:
00 п(п 1) 1 1 1 1
1. L(---l) 2 2=1---2---2+2+".;
п=1 п 2 3 4
00 ( ) Зn+l
2. L( lr п .
п=1 2п ---1
00 1
3. L( lr .
п=2 lnп
у становить характер сходимости.
62
Решение. 1. Рассмотрим ряд из абсолютных величин
AJ 1
L la n I == L 2' Это ряд Дирихле (р = 2), и он сходится. Следова..
f'?=l п
rельно, исследуемый знакопеременный ряд сходится абсолютно.
2. Исследуем ряд
00 00 ( ) Зn+l
)anl == l 2пп 1
с помощью обобщенноrо признака Коши (радикальноrо):
lim = lim ( п ) 3:+1 = ( ! ) 3
п oo п oo 2п 1 2
1
= <1
8 '
00 00
Т.е. ряд L:lanl сходится и ряд L:a n сходится абсолютно.
п=1 n=1
3. Рассмотрим ряд
00 OO J п 1 00 1
Ilanl= I( l) = I ·
п=2 п= ln п n=21n п
Это расходящийся ряд (см. пример 39). Теперь исследуем исходный
знакочередующийся ряд
00 1 00
L: (___I)п = L: (..__l)n а п
п=2 ln п n=2
с помощью признака Лейбница: при а п = 1/1nn оба условия вы..
полняются:
1 1 1
! aп = ! lnп =0, а п + 1 = ln(п+l) < lnп =а п .
63
00 1
Следовательно, ряд L (___})n сходится, причем условно (неаб..
n= 2 ln п
00 1
солютно), так как ряд L расходится.
n=21n п
Для доказательства неравенства а п + 1 < а п можно ввести
функцию f(x), rде f{n) = а п , и по казать, что так как ['(х) < О, ТО
[(х) убывает и а п +! < а п . В нашем примере
j{п)= ; f,{п) = \ < О,
ln п п ln п
следовательно, функция f(n) монотонно убывает, Т.е. ап+1 < а п .
Задание 29. Исследовать сходимость знакопеременных ря..
дов (для знакочередующихся рядов с помощью признака Лейбница),
установить, является ли сходимость условной или абсолютной.
00 1 00 ( 1 r 1 00 ( l )п l
29.1. L( lr . . 29.2. L . 29.3. L .J ·
п=l 2 п=l 2п + 3 п=З п --- 2
29.4. f ( lr ( 2n+l ) п. 29.5. f( 1 )п22+п . 29.6. f sinпa .
п=l 3п+1 п=1 2 п=1(lnl0f
00 ln п ( \n 00 ( \n п 00 ( 1 r
29.7. L ---1) · 29.8. L ---1) · 29.9. L ·
п=l п n=l 3п+2 п=2nlnп
00 п + 1 00 1 00 sinпa
29.10. L .,J;; ( lf. 29.11. L( lf tg .,J;; ' 29.12. L 2 ·
п=2п п 1 п=l п п n=l п
29.13. / lr sin( ;; ). 29.14. / lf( 1).
. пп
Sln 1
00 4 00
29.15. L . 29.16. L (..__l)п
n=l п п=1 п ---lnп
64
2.3. Функциональные ряды. Степенные рЯДЫ
00
Ряд LUn(X), rде члены ряда Ип(Х) функции от х, называ..
п=l
етСЯ ф.УllкционШlЬНЫМ; множество значений х, при которых данный
ряд СХОДИТСЯ, называется областью сходимости ряда.
00
Ряд L Сп (х а r ' rде а, Сп Е R , называется степенным (при
п=О
00
а = О имеем L СпХ n ); ero область сходимости интервал с цен..
п=О
тром В точке а: Ix al < R, внутри KOToporo ряд сходится абсолют--
HO при всех х, удовлетворяющих условию 'Х аl > R , ряд расходит..
ся; число R называется радиусом сходимости степенноrо ряда. На
rранице интервала при Ix аl = R ряд может как сходиться, так и
расходиться.
Для вычисления радиуса сходимости "рименяются формулы
R= 1 иR=lim .
lim Icnl n a:> с n + 1
п oo
Кроме Toro, интервал сходимости определяется с помощью 0606..
щенных признаков Даламбера и Коши (радикальноrо).
Свойство степенных рядов: внутри интервала сходимости
ряды можно почленно интеrрировать и дифференцировать, при..
чем радиус сходимости при этом не меняется, а сумма HOBoro ря..
да равна соответственно интеrралу или производной от суммы
ИСХодноrо ряда.
Пример 44. Исследовать сходимость Функциональноrо ряда
( ) 00 sin пх
Uп Х = L 2 .
I'l::::! п=1 п
65
Решение. Рассмотрим ряд
ro ·
i:luпl == 2: sш;zx . Так
п=l п=l п
! I Isin пхl <
U п --- а '1 --- 2 2 --- Ь п , rде
п п
из абсолютных веЛИЧИIi
как Isinal < 1, То
00 00 1
2:Ь п = 2:2 ряд ДиРИXJIе
п=l п=] п
00
(р == 2 > 1). Так как он сходится, то и L а п сходится по признаку
п=l
ro
сравнения, а ряд L и п СХОДИТСЯ абсолютно при всех х, т.е. область
n=)
сходимости ряда есть ( 00 , 00 ) .
При мер 45. Найти интервал сходимости следующих степен-
ных рядов и исследовать их поведение на rранице интервала:
1. f (п ) ' 2. f х 2п 2 ' 3. f (x ;r
n=110 n п+l n::::l ( 1 ) n п=} п
1+
п
Решение. 1. Применим обобщенный признак Даламбера
при Х"* О :
1 . U n + l( X) 1 . xn+l.lOn .(п+l) 1 . X ( n+l )
1т = 1т = 1т =
п oo Ип(Х) п oo10п+l((n+l)+1)xn n40010(n+2)
==fl lim п+l =fl,l=l.
1 О п400 n + 2 1 О
По признаку Даламбера возможны два случая:
1) ряд сходится при Z < 1, т.е. при Ix! /10 < 1 (Ixl < 1 о) или
1 О < х < 1 О . В этом интервале ряд сходится абсолютно;
2) ряд расходится при Z > 1, т.е. при Ixl > 1 о, откуда
х > 1 О или х < .... 1 О .
66
а
Расходится у Сходится у Расходится
. > х
---10 О 10
6
Расходится у Сходится у Расходится
. >
о
РИс.l
Следовательно, радиус СХОДИМОСТИ R = 1 О .
rеометрическая интерпретация представлена на рис.l, а.
Исследуем поведение ряда на rраницах (х = + 1 О). При
х = 1 О вычислим общий член ряда
х n 1 оп 1
u
п 10 n (п+l) 10 n (п+l) п+l '
Т.е. ряд rармонический и расходящийся; при х = 1 О
( 1 О r ( 1 r · 1 ОП ( --- 1 r
u ==
п 10 п (n+l) 10 n (n+l) п+l
Т.е. имеем знакочередующийся ряд t( lУ
n== 1 п + 1
Используя признак Лейбница, можно установить, что он
СХОДИТСЯ, причем условно, так как соответствующий ряд из абсо
00 1 00 1
ЛЮтных величин L (---1 r = L расходится.
п==l п + 1 n==l п + 1
Итак, ряд сходится при --- 1 О < х < 1 О .
2. Используя обобщенный признак Коши (радикальный) при
х О ., запишем
1
67
= liт 'х 2 1
п oo ( 1 ) n
l+
I п
х 2n
Нт Iuп(x = liт 2
п oo п oo п ( 1 ) п
l+
п
== 1 im
п ( 1 ) п
1+
п
х 2
х 2
.... .
е
По признаку Коши возможны два случая:
1) если х 2 / е < 1, то ряд сходится, причем абсолютно
(х2 < е; 'х' < Je , интервал сходимости ( Je, Je), R = Je (рис. 1 , б)},
2) при х 2 / е > 1 ряд расходится, т.е. х > Je или х < Je .
2
Исследуем сходимость на rраницах интервала: х = е
(х = + Je). При х = Je оценим и п , используя неравенство
2
( 1 + т < е или (1 + т < е п :
(Jefп е п
и п (1 + Т2 (1 + : Т2
е п
> =1
n '
е
т.е. и п > 1 и Нт И п * О .
п400
Следовательно, ряд расходится по следствию к необходимо-
му признаку сходимости. Аналоrично можно показать, что ряд рас-
ходится при х = Je .
Итак, ряд сходится при 'хl < Je .
3. Применим обобщенный признак Даламбера при х * 2 :
68
(х --- 2r+ 1 . п 2 п 2
lim И n + 1 == lim == ' Х 2 1 1im == I X --- 2 1
n--400 U п п oo (п + lУ(х 2)n n OO (п + lУ .
Таким образом, ряд сходится при Ix 21 < 1, т.е. при
1 < х 2 < 1 И.пи 1 < х < 3, и расходится при Ix --- 21 > 1 . Интервал
СХОДИМОСТИ (1,з), R == 1 .
Исследуем поведение ряда на rраницах интервала сходимо..
сти: при х == 3
(3 2Y l п 1
И п == 2 =2=2'
ппп
00 1
Т.е. имеем сходящийся ряд L 2 (ряд Дирихле, р = 2 ); при х = 1
п=lп
(1 2r ( 1Y
U п = 2 = ') ,
п п
Т.е. ряд знакочередующийся, для KOToporo ряд из абсолютных вели..
00 1 00 1
чин L2 сходится. Это означает, что L( lr2 сходится a6co
п=lп п=l п
.1ЮТНО.
Итак, ряд сходится на отрезке Ix 21 < 1 (или 1 < Х < 3).
Пример 46. Используя свойство интеrрируемости и диффе..
ренцируемости найти сумму ряда:
00
1 1 2 3 2 п l '" n 1 11
. + х + х +... + пх + . .. = пх при х < 1 .
n=l
х 5 х4n З х4n+l
2. х + + . .. + + + . .. при 'хl < 1 .
5 4п 3 4п+l
69
1 2 п
Решение. 1. Рассмотрим ряд + х + х +... + х +... это
rеометрический ряд, который сходится при Ixl < 1, причем СУММа
ряда S = а = 1 := s(x). Возьмем ПРОИЗ80ДНУЮ от обеих частеii
l---q l x
равенства:
,
(1 + х + х 2 + . .. + х n + .. .) = ( 1 ) ;
l x
1 2 3 2 n 1 1
+ х+ Х +...+nх +...= 2
(1 х)
при 'хl < 1 .
2. Рассмотрим ряд 1 + х 4 + х 8 + x l6 +... + х 4n +... = 1/(1--- х 4 )
ЭТО rеометрический ряд, сходящийся при Ixl < 1 , причем
S = 1/(1 х 4 ). Проинтеrрируем обе части равенства по промежутку
[o,x]c( I,l):
Х ( }ix х dx
4 8 411
Jl+x +х +...+х +... = J 4 .
О ol x
Интеrрал ОТ правой части
х dx 1 Х ( 1 1 )
f 4 = ! 2 + 2 dx=
ol x 20 l x l+х
( ) Х
1 1 l+х 1 l+х 1
= ln + arctg х = ln + arctg х .
2 2 l x о 4 l x 2
Интеrрал от левой части
f(l+x 4 +...+х 4n +...)ix= ( x+ х5 + х 9 +...+ х 4n + 1 +... ) Х
о 5 9 4п + 1
о
70
х 5 х4n+1
==X+ +...+ +....
5 4п + 1
Приравняв левую и правую части, получим
х 5 х 4n +) 1 1 1 + х
х + + .. . + + . . . = arctg х + ln
5 4п + 1 2 4 1 --- х
Задание 30. Найти область сходимости функциональных
рядов:
30.1. sin(п+l)x . 02 1 303 l n ( О)
\2 3 · · х · .. L..J n х при х > ·
п=l (n+l) п=ln n=1
30.4. f sin : . 30.5. f е п2x. 30.6. f (1 х 2 r n .
n=l 2 n=l n=)
00 ( 2 ) n ( ) n
30.7. l х --- 1 ___ 1 .
L. 30.8. f при х *" О ·
п=lп 4 п=l Х
п
00 2 n + 1 00 arctg
30.9. L n 2 при Х :;t О. 30.10. L 2 при х :;t О .
п=IX .п n=)Х +п
30.11. f 1 . 30.12. f ! ( Ixl ) n
n=ll+x n n=lп Х
Задание 31. Найти интервал сходимости степенных рядов и
исследовать их сходимость на концах интервала:
31.1. 1:х п . 31.2 1: х n . 31.3. f: ( lrxn .
п=) n=lп.2 n n=l .J n---l
71
00 х 2n 00 x2n 1 00 х n
31.4. L ( ) · 31.5. L ( У ' 31.6. L .
n=14 n 2п+l п=14п---З n=1п
00 00 1 ОП х N 00 (х --- 2 r
31.7. Ln!X n , 31.8. L ( ) ' 31.9. L n( ) '
п=l п=2 п п 1 п=IЗ п + 1
31.10. f (x+l n . 31.11. f (x 3 .2n( lr .
n=1 п. 9 n=3 п 4
31.12.f (X+2Yn 1 . 31.13. f ln(n+l) x n + 1 . 31.14. f ( (2r) .
n=1 2п......1 n=l n+l n=lln п+l
2
00 х n сх) . 2 1 сх) п 1
31.15. L ' 31.16. LSШ (x lr. 31.17. LX .tg .
п=1 2 п=} п n=l п
00 п ( х ) 00 х п 00 l (х --- 2 уп
31.18. L n. 31.19. L ' 31.20. L( lr .
п=lп + 1 2 п=l п! п=l 2п
31.21. i: ( lr(x 5r .
п=1 п. з n
Задание 32. Применяя почленное интеrрирование и диффе.
ренцирование, найти суммы следующих рядов в интервале ( 1, 1) :
х 2 х 3 х п
32.1. х + + + ... + + ...
2 3 п
х 2 х 3 lxп
32.2. Х + --- . . . + (--- 1 r + . . .
2 3 п
х 3 х 5 x2п I
32.3. х + + + . . . + + .. .
3 5 2п --- 1
х 3 х 5 1 x2п 1
32.4. Х --- + --- . .. + ( 1 r + . . .
3 5 2п --- 1
72
х 3 х 7 X4п 1
32.5. + +...+ +...
3 7 4п 1
32.6. 1 зх 2 + 5х 4 7х 6 +... + ( lr 1(2n 1)x2п 2 ...
32.7.1.2+2.3x+3.4x2+...+n(n+l)xп 1+...
1/8
Задание 33. Вычислить ff(x) dx, если f(x) = 1 + 2. 3х +
о
3 п 1 п l
+...+n. .х +...
2.4. Разложение функции в степенной ряд
Если функция у = f(x) бесконечно дифференцируема в не..
которой области значений х, то в этой области ее можно разложить в
ряд Тейлора в окрестности точки а по степеням х а, если
Rп(x) О при п 00:
f(x) = f(a)+ f'(a) (x a)+... = f f(n)(a) (x ar ' (4)
1! п=О п!
rде
f(n+I)(c)
Rn(x)= ( ) (x ar+l, а < с < х, c=a+e(x a), о<е<l.
п + 1 !
00 f(n) (о )
При а = О ряд L х n называется рядом Маклорена.
п=О п!
Приведем разложения некоторых функций в ряд Маклорена:
00 х n
е Х = .
L.J , '
n=о п ·
(5)
73
. 00 ( ---1 У х211+ 1
Sln Х = L .
п=О (2п + l)! '
00 ( 1 У х211
COSX = .
( 1 ) , '
п=О ..n.
00 n
In(l+x)= L( lr+l ;
п=} п
(6)
(7)
(8)
(1 У l1 1 (т IXт 2)...(т п+l) п
+х = + х .
n=! п!
(9)
Ряды (5 ) (7) СХОДЯТСЯ при всех Х, ряд (8) при ---1 < Х < 1 ,
ряд (9), называемый бuномuШlЬНЫМ, сходится при Ixl < 1 ; на rpани-
цах сходимость различна при разных т.
Пример 47. Разложить в ряд Тейлора ФУНКЦИЮ у = 1/ Х в
окрестности точки х = 3 .
Решение. Рассмотрим несколько способов решения:
1. В соответствии с формулой (4) запишем ряд Тейлора
при а = 3 :
f(x) = f(3) + f 3) (х з)+ f 3) (х зf +...+ f(:,(3) (х зr +...
ВblЧИСЛИМ коэффициенты ряда:
f(x) = l, f'(x) = , f"(x) = ( lX 2)x 3,
Х Х
fт(х)=( IХ---2Х 3)Х ,...,
f(п)(x) = ( IX 2)...( п)X п 1 =( lrп,x п l,
f(3) = 3 1 , f'(3) = 1 2 ' , f"(3)= 2 з ' ,..., f(п)(з) = ( I) п' .
3 3 3 n+
74
Итак,
1 1 1 1 \2 ( 1 r
f(x)= = (x 3)+ (x---3J ...+ (х---3)+...=
х 3 9 27 з n + 1
ос. ( 1 )
== ( Х --- 3 ) .
3 n + 1
п=О
Чтобы установить, при каких х это разложение имеет смысл,
надо найти интервал сходимости данноrо ряда (см. при мер 45) и
проверить, что R n (х ) О. Непосредственно доказать, что R n О
при п 00 достаточно сложно, поэтому следует применять друrие
методы решения.
2. Воспользуемся известным разложением
2 3 ( 1) п l п 1
l t+t ---( +... --- (+...= .
1+(
(1 О)
Этот ряд, составленный для бесконечно убывающей rеометрической
проrрессии со знаменателем q = ---(, сходится при Itl < 1 . С друrой
стороны, это биномиальный ряд 1/(1 + () = (1 + t ) 1 при т = 1.
Представим
1 1
---
х x 3+3
1 1 1
3( х 3 + 1) 3 1 + х 3
и сделаем замену в биномиальном ряде (10): t = (x 3)/3. Тоrда
1 ! 1 ' = ! ( 1 x 3 + (х зf (x 3Y +...+
х 3 1 + X 3 3 3 9 27
3
( --- 1 r+ 1 (х --- 3 )n ) = ( 1 r ( ___ 3 \n
+ + . .. L..J +1 Х J.
3 n п=О з п
75
Биномиальный ряд сходится при 111 < 1, значит, полученный
x 3 , I
ряд сходится при < 1 . Решая неравенство, получим х 3 < 3 ;
3
3<x 3<3; О<х<6.
Очевидно, что этот способ предпочтительней первоrо.
3. Сделаем сразу замену х 3 = 1; х = 1 + 3 . Тоrда
t 3 з( l+ 1) = 1 = (1 + ) )
Используем биномиальный ряд (1 О), заменив t на t / 3. Далее посту-
пим аналоrично случаю 2.
Пример 48. Разложить функцию у = е Х (х + 2) по степе-
ням (х 4).
Решение. Сделаем замену х 4 = 1, х = t + 4. Тоrда
у = еХ(х + 2) = e t + 4 (t + 4 + 2)= e t e 4 (t + 6)= e 4 (te t + 6e t ).
Воспользуемся разложением в ряд Маклорена функции e t (5):
( ) ( 00 ( n 00 ( n J ( 00 (n+ 1 00 6t n J
e4ve1 + 6e t = е 4 t oп! + 6 oп! = е 4 o + o п! =
4 ( (n 6tп J 4 (6 п+6 п )
=е + =е + t =
l1=t(п 1)! п=О п! п=) п!
00 п+6
= 6е 4 +е 4 L (x 4r .
п=) п!
Ряд сходится при всех х.
76
Пример 49. Разложить в ряд по степеням х (ряд Маклорена)
функции:
. 2 4 --- 2х
1. У == Sln х. 2. У == ln .
l+х
х
3.У== -.J ·
4 ...- х 2
Решение. 1. Используя формулу sin 2 х = (1--- cos 2х) /2 и
разложение (7) с заменой t == 2х , получим ряд
sin 2 Х == ! !cos2x == ! ! f ( lr(2xyп == ! ! f ( lr .4 п х 2п
2 2 2 2 п =0 (2п)! 2 2 п =о (2п)! '
который сходится при всех х.
2. Запишем
у == lп 41 X == lп(4 2x) ln(l + х) == lП[ 4( 1 2; )] ln(l + х) ==
==ln4+1n[1+( )] ln(l+x).
Воспользуемся разложением (8) с заменой t == ---х /2 и t == х .
Тоrда
у == In4+ f:( lr+ J fT f: ( 1Y+l х п ==
11=) п п=) п
00 [ (___ 1 )n+ 1 (___ l)n (___ 1 )n+ 1 ] п
= ln 4 + L --- Х =
п=) п.2 п п
00 [ 1 ( --- 1 \n ] 00 [ ( --- l f 1 ]
== In 4 + L п + J х п == Iп 4 + L х п .
п=1 п. 2 п п=1 п п2
77
х
Интервал СХОДИМОСТИ nepBoro ряда: --- 1 < < 1 ил 11
2
--- 2 < х < 2, BToporo ряда ---1 < х < 1; общий интервал сходимости
является пересечением этих интервалов, т.е. 1 < х < 1 .
3. Преобразуем
х
у=
.J 4 х 2
х
х
2 1 :2
{l : )
= х( 1 : т = х[ 1 + ( : ) JI ·
Подставив t = ___х 2 / 4 в биномиальный ряд (9) и положив т = 1/2,
получим
у = ! х 1 + f ( i)( i 1 ). .. ( i п + 1 ) ( х2 ) n
2 п=l п! 4
= X [ l+ f ( lr .1.3.5....(2п 1) ( lrX2n ] =
2 n=1 п!2 n 4 n
X [l ( lyn.l.3.5....(2п 1) 2n ] Х (2п 1)!! 2n+\
--- + х --- + х.
2 п ' 2 3n 2 п '. 2 3n+ I
п l. п 1 ·
Интервал СХОДИМОСТИ I х 2 / 41 < 1 ИЛИ х 2 < 4, ИЛИ 2 < х < 2 .
Задание 34. Разложить следующие ФУНКЦИИ в ряд Тейлора в
окрестности точки х = а , указав интервал сходимости ряда:
78
34.1. j'(x)==3 4x+4x2, а==1/2.
34.2. f(x) == х 5 10х 4 + 40х 3 81х 2 + 84х --- 36, а = 2.
34.3. .f(x)==sin(x+1t/4), а=О. 34.4. f(x)=l/x, a= 2.
34.5. j (x) == ln х , а == 1 . 34.6. f(x) = -Б, а == 4 .
34.7. f(x)==cos(x 1t/12), а=1t/З.
Задание 35. Написать три отличных от нуля члена разложе..
НИЯ в ряд по степеням х (ряд Маклорена) следующих функций:
35.1. f(x)==tgx. 35.2. f(x)=e cosx .
35.3. f(x) = 1/ cos х. 35.4. f(x) == ln cos х .
Задание 36. Используя стандартные разложения в рЯД, раз..
ложить функции В степенной ряд по степеням х (ряд Маклорена),
указав интервал сходимости:
2 x2
36.1. У == cos2x. 36.2. У = xe х. 36.3. У == е .
36.4. y==sin3x+cos3x. 36.5. y=(eX l)/x (прих О).
36.6. y=ln(lO+x). 36.7. y=sin X . 36.8. у=х 2 1n(х+З).
2
( 1 ) 1 з1 3
36.9. y=ln · 36.10. у= -J · 36.11. y=\f8 x ·
l---х l+х
2 +x
36.12. у == х /(9 + х ). 36.13. У == ln 3 .
l---x
Х .
36.14. У=ln(х 2 +зх+2). 36.15. y=shx. 36.16. f sшх dx.
о х
79
X s ' x2 dx 36.18. X f ln(1 + х) dx . 36 19 X f dx
36.17. е - . · · -J ·
о о х о 1 х 4
Задание 37. Разложить функции в ряд Тейлора:
37.1. у = ln х по степеням (х 1 ).
37.2. У = 1/ х по степеням (х 1).
37.3. У = 1/ х 2 по степеням (х + 1).
37.4. У = е Х по степеням (х + 2).
37.5. У = cosx по степеням (х 1t /2).
37.6. У = 1/(x 2 + 4х + 7) по степеням (х + 2).
Задание 38. Найти значение 7..й производной функции
У = х /(1 + х 2 ) при Х = О, разложив ее в ряд Маклорена.
Задание 39. Найти значение lО..й производной функции
у = х 6 е Х при х = О, разложив ее в ряд Маклорена.
Задание 40. Применяя дифференцирование, разложить в ряд
по степеням х следующие функции, указать интервал ы схо димости:
40.1. arctgx. 40.2. arcsinx. 40.3. ln + -J l+x2 ).
2.5. Оценка остатка ряда.
Приближенное вычисление суммы ряда
Во мноrих случаях вычислить точное значение суммы S схо.
дящеrося ряда затруднительно. Тоrда вычисляют частичную сумму
00
Sn И оценивают поrpешность R n = S --- Sn = La k , rде R n оста'"
k=n+l
ток ряда (R n О при п 00). Если IRl1l < Е, то S Sn + Е .
Рассмотрим некоторые способы оценки остатка ряда R n :
80
1. Для оценки R n положительноrо ряда применяют признак
00
сравнения: если а п < Ь п , то ряд L а n сходится, если СХОДится ряд
п=l
00
Lb n . Тоrда если R остаток ряда La n , R; остаток ряда
п= 1 п=l
00 00
L Ь п ' то R < R; . Обычно в качестве ряда L Ь п берут rеометриче..
п=l n=l
ос)
ский ряд L aqn , rде Iql < 1 , для KOToporo
п=l
00 00 00 1
R n = Lak = Laqk =aqnLqn =aqn+l
k=n+l k=n+l п=1 1 q
2. Если положительный ряд убывающий, то по интеrрально"
00
му признаку Коши R n < Jf(x) dx, rде f(x) > О, непрерывная,
п
убывающая на [1,+(0) функция, f(п) = а п .
00
З. Если знакопеременный ряд L а п сходится абсолlOТНО, то
п=l
00
остаток данноrо ряда не превосходит остатка ряда Llanl.
n=l
00
4. Если ряд знакочередующийся L ( 1 У' а п , то IR n I < а п + 1 .
n=l
00 1
Пример 50. Оценить остаток R3 ряда L ( ) п ·
п=l п+15
00
Решение. ОбоЗtiачим данный ряд L а п и рассмотрим ряд
п=l
00 1 00 1 1
L = Lb n ; а п = ( )Sn < =bп'
п=15 п=l п+l 5
81
Вычислим остаток ряда L Ь n :
R} == f == + +... == ( I + .!..+ +.. . ) =
n=45 5 5 5 5 5
1 1
==54'l q
1 1
= = о 002 .
54 ( 1 ) 500 '
Тоrда остаток данноrо ряда Rj < Rf = 0,002 и S 8з + 0,002 .
sin п
При мер 51. Определить, сколько членов ряда надо
п=l 2 n
взять, чтобы найти ero сумму с точностью Е = 0,01 .
Решение. Данный ряд знакопеременный. Рассмотрим ряд
dJ sin п 00 1
, который мажорируется сходящимся рядом L , так как
2 п 2 n
п = I n=l
Sln п < . Ero остаток
2 п 2 п
R n = k = 1 1 + 1 2 +... = 1 1 ( 1 + ! + ! + . . . ) =
k +l 2 211+ 2 n + 2 n + 2 4
1 1
.
2 n + 1 l....q
1 1
2 n + 1 1
1
2
1
2 п
Найдем n, при котором Rn < 0,01 :
п 1
2 > = 100 .
0,01
Тоrда п 7 .
00 1
Пример 52. Найти сумму ряда L"3 с точностью Е = 0,1 .
п=1n
82
Решение. Введем функцию у = f(x) = 1/ х 3 > О, убыва
щую, непрерывную при х > О и такую, что а п = f{п). Тоrда
OOdx . Ndx . 1N
R n < J] = 11т J] = l1т""""2
х N oo Х N oo2x
ппп
= 1im ( 1 ) + ==
N oo 2N 2 2п 2 2п 2 '
Так как по условию R n < 0,1, то
п 2 > 1 == 5; п > Е; 2 < .J5 < 3; п > 3 .
2. 01
,
Вычислим
3 1 1 1 35
8з = L]=I+]+з=I 1,16 1,2;
п=lп 2 3 216
1,2 < S < 1,2 + 0,1 = 1,3 .
Пример 53. Найти сумму ряда f ( 1 r . ( 1 ) с точно
п=1 2п --- 1 !
стью Е = 0,01.
Решение. Данный ряд --- знакочередующийся, следовательно,
R n < а п + 1 . Запишем
1 1 1 1
а. == 1! == 1; а 2 == 3! == 6 > 0,01; аз == 5!
1 1
= <0,01,
1 · 2 · 3 · 4 · 5 120
но так как R 2 < аз < 1/120 < 0,01, то 8 82 + 0,01. Вычислив
S., ==! ! == 0,83, найдем S r:::> S2 + Е r:::> 0,83 + 0,01.
.- 1! 3!
83
Задание 41. Найти с указанной в скобках точностью сум..
му ряда:
00 1
41.1. L (€ == 0,01).
п=lпз п
oo( lr lп
41.3. L (Е 0,001).
п=1 1 оп
00 1
41.2. L (Е == 0,0001).
п=l п3 п
00 (. -lr l п
41.4. L (Е 0,00001).
n=l 1 оп
Задание 42. Определить, сколько членов ряда надо взять,
00 ( lr l
чтобы вычислить сумму L ...... с точностью 0,01 и 0,001?
n=l п
Задание 43. Оценить ошибку, допускаемую при замене сум..
00 1
мы ряда L"'2 суммой п ero членов.
п=lп
2.6. Приближенные вычисления с ПОМОЩЬЮ рИДОВ
2.6.1. Вычисление значений ФУНКЦИЙ и определенноrо интеrрала
Общий алrоритм решения: разложив функцию в ряд, берем
конечное число слаrаемых, вычисляем частичную сумму при задан..
ном х и оцениваем поrpешность полученноrо приближения.
При мер 54. Найти число е с точностью Е == 0,001.
Решение. Используем разложение (5) в ряд Маклорена, схо..
дящийся при всех х. Подставляя в Hero х = 1, получим
1 1 1 1
e=l+ + + + +...
l! 2! 3! 4!
Найдем остаточный член для функции е Х :
п+!
R n (х) = Х f(n+i)(c),
(п + l)!
rде с Е (о, х) .
84
Вычислим f(n+l)(x) = (е Х Jn+l) = е Х . Тоrда
хп+1 с
Rn(x) = ( ) еС; Rn(l) = ( е ) ' cE(O,I).
п+l! n+l!
Так как е С <е<3, R n (1)<3/(n+l)!.
Найдем n такое, чтобы R n < 0,001. При n = 5
313
R6 < = > 0,001, при n = 6 R7 < < 0,001. Таким образом,
6! 240 7!
1 1 1 1 1
е 1 + 1 + + + + + ; е 2,718 + 0,001 .
2! 3! 4! 5! 6!
При мер 55. Вычислить cos 180 с точностью t == 0,0001 .
Решение: Возьмем разложение (7):
х 2 х 4 х 6
cos Х = 1 + + . . .
2! 4! 6!
Это рЯД, схоДящийся при всех х. Подставим х = 180 = 7t /1 О :
( ) 2 ( ) 4 ( ) 6
о 1 1t 1 1t 1 1t
cos 18 1 2! 10 + 4! 10 6! 10 + · .. ,
Т.е. рЯД знакочередующийся. Тоrда R n < a n + 1 . Будем вычислять
члены ряда до тех пор, пока не получим член, меньший 0,0001 . Так
как ( ) 6 < 0,0001 ,то
6! 1 О
1 ( ) 2 1 ( ) 4
cos18° 1 + =0,,9511 + 0,000].
2! 10 4! 10 '
85
O,lln(l + х)
Пример 56. Вычислить J dx с точностью t == 0,01,
о х
разложив подынтеrральную функцию в ряд Маклорена.
00 п
Решение. Лоrарифмический ряд ln(l + х) = L ( 1 У+ 1
п=) п
сходится при ---1 < х < 1 , поэтому ero можно интеrрировать ВНУТ-
ри промежутка ( 1,1]. Кроме Toro, при х > О он является знако-
чередующимся рядом и R n < а п + 1 . Поэтому заменим ряд конеч-
ной суммой с «запасом» слаrаемых и лишние отбросим после вы-
числения:
0,1 ln( 1 + х ) 0,1 1 ( х2 х 3 Х 4 )
f ш= f X + +... dx=
о х оХ 2 3 4
OJ ( х х 2 х 3 ) ( х2 Х3 х 4 ) 0,1
= 11 2+3 4+..' dx = Х 4+9 iб+'" О
1 1 1
= О 1 --- . о 01 + · О 00 1 · О 0001 + . . .
, 4' 9' 16'
1 1
Третье слаrаемое . 0,001 < 0,001. Тоrда R 2 < аз = . 0,001 < 0,001 и
9 9
01 ln(l + х) dx 0,1 !0,01 = 0,0975.
о х 4
O,11n(1 + х)
Итак, f dx 0,0975 + 0,001.
о х I
86
2.6.2. Интеrрирование дифференциальных уравнений
Возможны следующие варианты постановки задачи:
1 ) найти общее решение в виде бесконечноrо ряда; 2) найти част
ное решение в виде бесконечноrо ряда; 3) найти несколько членов
разложения частноrо решения в ряд.
Пример 57. Найти общее решение уравнения у" х 2 У = О в
виде степенноrо ряда.
00
Решение. Ищем общее решение в виде ряда у = LCnX n .
п=О
Найдем коэффициенты Сп' используя дифференциальное уравнение
, ,
у' = (tCn Xп ) = I,ncnxn l , у" = ( I,ncnxn l ) = I,n(n 1)cnxn 2 .
\п=О п=l n=l п=2
Подставим у и у" в уравнение:
(2 .lc 2 З. 2с з х + 4. зс 4 х 2 +... + (п + 2Хп + 1)х" + ...)
x2(co +C 1 X+C 2 X 2 +...+сnх" +...) = о.
Степенной ряд тождественно равен нулю, если коэффициен--
ты при всех степенях х равны нулю, т.е.
2С 2 = о; бс з = о; 4. 3 · С 4 --- Со = о; 5. 4 · с 5 --- С 1 = О ;
6.5С6 C2 = о; 7. 6С 7 ---Сз = о; 8. 7св ---С 4 = о...
Если рассматривать СО и С 1 как произвольные постоянные, то
С 2 =0, с з =0, С 4 = , C S = , С6 =0, С 7 =0,
3.4 4.5
с С О
С --- 4 ---
8 --- ...
8.7 8.7.4.3
87
В общем случае
СО .
C 4 k ( ) '
3 . 4 . 7 · 8 .11 . 12 · ... 4k --- 1 4k
С
C4k+' = 4.5.8.9.. ..'(4k X4k + 1) ; C4k+2 = С4k+З = О ·
Тоrда общее решение имеет вид
00 X 4k 00 x4k+l
У = со L ()4 + С) L () .
k=03 · 4. 7 .8... 4k....l k k=o4 · 5 · 8 · 9.. .4k 4k + 1
Полученные ряды сходятся при всех х и определяют два ли..
нейно независимых частных решения исходноrо уравнения.
При мер 58. Найти частное решение уравнения у" = 2ху' + 4 у
с начальными условиями J1x==o = о, y'lx=o = 1 в виде степенноro ряда.
00
Решение. Ищем частное решение у(х) в виде у(х) = L СпХ n .
о
Orличие от примера (57) в том, что начальные условия сразу ис..
пользуются для нахождения Со и C 1 . Подставим в выражение
у(х) = Со + CtX + с 2 х 2 +... начальные условия Х = О и у(о) = о . То..
rда О = СО + С. . 0+ С 2 · О +...; СО = О.
Найдем
,
у,' = ( I cnxn ) = (clx + с 2 х 2 +...) = I пcnxn ) =
п=1 п=l
== С} + 2с 2 х + зс з х 2 + . . .
и подставим в выражение для производной начальные условия
х = О, у'(о) = 1. Тоrда 1 С 1 + 2С 2 · О + 3С з · О +...; С} = 1.
88
Вычислим
,
у" = (t + 2С2Х + зс з х 2 + 4с 4 х З +...) =
00
= 2С 2 +З.2с з х+4.зс 4 х 2 +... = L(п---1)nСnхn 2.
п=2
Подставив у" , у' и у в уравнение и приравняв коэффициен"
ты при одинаковых степенях Х в левой и правой частях, получим
00 00 ао
Lп(n ---1)Cпxп 2 == 2х LпCпXп 1 + 4 LCnX n .
11=2 n=l п=l
Тоrда 2. 1 . С 2 == О И С 2 == о; 3. 2 · сз == 2с} + 4с} == 6c 1 == 6 (так как
С 1 == 1 ) и С з == 1; 4. 3 · С 4 == 4С 2 + 4С 2 == О И С 4 == О и т.д. Таким образом,
п(п l)Cп =(п 2)2Cп 2 +4Cп 2'=>Cп = 2Cп 2 ,=>
п---1
2 1
___ (п ---1)! ___ 1 ___ 1
=> С 2п = О, С2п+1 2 ( 1 ), ,. ,
п п.n n.
Т.е.
2.1 1
С 1 =1..с з ==1 C 5 == = С 7 =
- , 4 2!'
1
2.
2!
6
1
---
3!
Итак, ряд
3 х 5 х 7 x2n+l
у==х+х + + +...+ +...==
2! З! n!
89
( х2 х 4 х 2n ) х2
=х l+ IТ + 2! +'"+---;;т+''' =хе
СХОДИТСЯ при всех х и является решением исходноrо уравнения.
Пример 59. Найти несколько первых отличных от нуля ЧЛе-
нов разложения частноrо решения дифференциальноrо уравнения
у" = 2ху' + 4у в ряд Тейлора в окрестности точки х = О, причем 8
точке х = О заданы начальные условия: ylx=o = о, y'lx=o = 1 ·
Pelueииe. Начальные условия заданы в точке х = О , поэтому
ищем решение уравнения в виде ряда Маклорена
у(х) = у(о) + у'(о) х + у" (о ) х 2 +...
1! 2! '
rде у(о) = о и у'(О) = 1 известны из начальных условий, а у"(о),
у"'(О) и Т.Д. находим из уравнений:
у" (о ) = (2ху' + 4у x=o = 2 · 0.1 + 4. О = О ;
, ,
у"' = (у") = (2ху' + 4 у) = 2 у' + 2ху" + 4 у' , у'" (о ) = 2 + 4 = 6 ;
у(4) = (6 у' + 2ху") = 6 у" + 2у" + 2ху'" = 8у" + 2ху'" , у(4)(0) = о;
у(5) = (8у" + 2ху"') = 8у'" + 2у'" + 2ху(4) ;
у(5)(0) = оу'" + 2ху(4) lx=o = 1 О. 6 = 60 .
6 60 5 х 5
Таким образом, у х+ хЗ + x. = х+х з + .
3 5! 2
Задание 44. Вычислить приближенное значение функций,
(число членов разложения указано в скобках) и оценить поrреш-
ность вычислений:
90
44.1. v; (3). 44.2. sin 150 (2). 44.3. VlO = 2 Vl,25 = 2 V 1 +: (4).
Задание 45. Вычислить приближенные значения функций с
указанной точностью:
45.1. е 2 (до 0,001) . 45.2. (до 0,001) . 45.3.! (до 0,0001) .
е
45.4. sin 1 о (до 0,0001) . 45.5. cos 100 (до 0,0001) .
45.6. VЗО (до 0,001). 45.7. V70 (до 0,001).
45.8. lnl,04 (до 0,0001), используя разложение ln(l + х).
Задание 46. Используя разложение функции lп 1 + х =
1 ..... х
= 2( х + х; + х; +...), вычислиТL In 2, In 3 , In 4, взяв три члена
разложения. Указание: положив (1 + x)/(l..... х) = 2 и Т.Д., найти х.
Задание 47. Найти л, используя разложение у = arctg х ,
ВЗЯВ пять членов разложения и положив х = 1; х = 1 / .J3.
Задание 48. Вычислить приближенные значения интеrpалов
(число членов разложения подынтеrральной функции в ряд указано
в скобках), оценив поrрешность:
1
4 ·
48.1. f slП Х dx (2).
о х
1
2e X ___}
48.3. J dx (3).
о х
0,2
48.5. f cos dx (3).
о
0,5 ( )
48.2. f sin х 2 dx (2).
о
0,5 ( )
48.4. J sin 2 х 2 dx (3).
о
0,5 .J
48.6. J 1 + х 4 dx (3).
о
91
Задание 49. Вычислить приближенные значения интеrралов
с указанной точностью Е :
1 I
49.1. fln .J l+x 2 dx (E=lo 4). 49.2. j.J; \l I+x dx (E=lo 5).
1 О
2
49.3. °l ln(l + х 2 ) dx (Е = lo 7).
О Х
+OJ25 1 1? 312
49.5. f \t х 2 е 'Vx dx (Е = 1 o 5 ).
o,! 25
1
3 3
49.4. fe x dx (Е =lo 8).
О
0,6
49.6. f х 5 sinx dx (Е = 1 o 5 ).
О
1
49.7. ОI(ln З +3) ln3)dx (E=lo 9). 49.8. f dx 4 (Е=IО З).
о 01+х
1
49.9. fV;cosxdx (Е=IО З). 49.10. f arctgx dx (E=IO \
о о х
Задание 50. Найти решение в виде степенноrо ряда следую
щих дифференциальных уравнений:
50.1. у' + ху == о. 50.2. у" xy' 2y == о.
50.3. у"+х 2 у==О, у(о)==о, у'(О)==l.
Задание 51. Найти решение в виде ряда Тейлора следующих
уравнений:
51.1. y'==y2 4, у(О)=2. 51.2. y'+2=y2 4x2, у(о)=о.
Задание 52. Найти три..четыре не равных нулю члена ряда
Тейлора решения уравнений вида у == у(х) :
92
52.1. y"=x2y y, у(о)=о, у'(О)=I.
52.2. y'=xy2 2x2, у(О)=1.52.3. y'=y2 16x, у(о) = 2.
52.4. у"+2ху=4у, у(О) = о, у'(О)=I.
52.5. (1+х)у"==2ху, у(О)==!, у'(О)==l.
2
52.6. y" xy' x y=O, у(О)=у'(О)=l.
3. РЯД ФУРЬЕ
Пусть функция [(х) определена и интеrpируема на "роме..
жутке [ l, 1]. Тоrда числа
l' 1/ kтrx
а о = l f[(x)dx; a k = f[(x)cos dx;
I 1 l 1
(11)
1/ . kтrx
b k = f[(x)sln dx
1 l 1
называются коэффициентами Фурье, а триrонометрический ряд
а о kтrx Ь · kтrx
+ L.Jakcos + kSln
2 k=l 1 1
(12)
с этими коэффициентами называется рядом Фурье функции [(х) .
Введение чисел а о , a k , b k обусловлено следующим
свойством: если значения функции [(х), определенной и интеr..
рируемой на промежутке [---1, [], равны значениям суммы ря..
да (12), который можно интеrpировать почленно, то коэффициенты
93
разложения определяются единственным образом и вычисляются
по формулам (1 1).
Теорема Дирихле. Пусть периодическая функция f(x) с
периодом 2/ кусочно--монотонная. (имеет на нем конечное число
точек разрыва только первоrо рода или вообще не имеет точек раз..
рыва) и оrраниченная на промежутке [ l, 1]. Тоrда ряд Фурье
ФУНКЦИИ f (х ) сходится во всех точках, причем в каждой точке
х Е [ l, [], в которой f(x) непрерывна, сумма ряда равна f(x), а в
каждой точке хо разрыва функции f(x) сумма ряда равна
[f(хо О)+f(хо+О)]/2,rде f(xo O)= lim f(x) и f(xo+O)::
X XO o
= lim f(x) соответственно левосторонний и правосторонний
X XO +0
пределы в точке Ха .
На концах промежутка [---/, 1] при х = + / сумма ряда равна
[/( 1)+ 1(/)]/2.
В любой точке х [---1, 1] сумма ряда Фурье равна F(x), ее..
ли х точка непрерывноетиF(х), и равна [F(x---О)+F(х+О)]/2,
если х точка разрыва F(x), rде F(x) периодическое продолже--
ине f(x).
Коэффициенты Фурье (11 ) удовлетворяют равенству Парсеваля:
1 1 2 а о 2 00 2 2
JI (x)dx = + L(ak +b k ).
1 l 2 k=1
(13)
Пример 60. Разложить в ряд Фурье функцию
{ --- 4 х
f(x) = '
О,
1 < Х < о;
O<x < l.
· Число ИIПeрвалов.. на каждом из которых функция f (х) монотоJШа, конечно.
94
Решение. Исходная функция определена на промежутке
[--- 1, 1] и не является ни четной, ни нечетной. Для вычисления коэф"
фициентов воспользуемся формулами (11):
I О 2 О
ао = ff(x)dx = H 4x)dx = 4 = 2;
1 l 2 1
1 О О
a k == f f (х) cos k1tx dx == J( --- 4х )cos k7tx dx = ---4 J х cos k7tx dx =
1 1 1
u = Х,
dv == cos k7tx dx,
du == dx
,
sin k1tx
v==
4( xSin k1tx О 1 O J ' k dx)
= --- Sln пх ==
kn l kn 1
kn
4 о 4 4 [ ]
--- cos k7tx == --- [1 --- cos (--- k7t)] = --- 1 --- (___I)k =
k 2 7t 2 1 k 2 1t 2 k 2 1t 2
{ О,
== 8
k 2 7t 2 '
k = 2т'
,
k == 2т + 1,
rде т = О, 1, 2, ...
Выше при вычислении a k (k = 1, 2, ...) были использованы
формула интеrрирования по частям и условие, что sin 1m = О
(k = 1, 2, ...). Аналоrично определяются коэффициеlПЫ b k (k = 1, 2, ... ):
1 О О
b k == fJ(x)sin k1txdx == f(--- 4x)sin k7txdx == ---4 fxsin k7txdx =
1 l 1
95
u = Х,
dv = sin k1tx dx,
du = dx,
cosk1tX
v=
k1t
[ х cos k1tX О 1 0 J ]
= ---4 + cos k1tXdx =
k1t 1 k1t 1
[ о ]
11. k 4
= ---4 --- cos ( ---1m ) + Sln lrnx = (---1) .
kтt k 2 1t 2 1m
l
Окончательно
f(x) = 1 82 ( COSx + соsзх + COS5x + ... ) ---
1t 3 5
4 ( · 1. 2 1. 3 )
--- Sln х --- Sln х + Sln х --- ... .
1t 2 3
По теореме Дирихле это равенство верно ДЛЯ всех х Е (--- 1, 1), а в
точках х = + 1 сумма ряда Фурье не совпадает со значениями рас..
сматриваемой функции f(x) и равна [f(---I)+ f(I)]/2 = 2.
Если функция f(x) четная или нечетная на промежутке
[---1 , 1 ], то формулы (11) упрощаются следующим образом:
. для четной функции
2 1 2 ' J k1lX
а о = ff(x)dx, a k = f(x)cos dx, b k =0 k=I,2,...; (14)
1 о 1 о 1
. для нечетной функции
2' . lrnx
а о =0; a k =0; b k = Jf(X)Sln dx (k=1,2,...). (15)
1 о 1
96
Заметим, что для четной функции в разложении
а о Iatx . Iatx
+ Lakcos +bksln
2 k=l 1 1
будут только косинусы, а для нечетной --- только синусы.
Пример 61. Разложить в ряд Фурье функцию
1, 3 3
< х<......
,
f(x) == 2 2
3 3
О, 3 < х< 2' <x < 3.
2
Решение. Функция определена на промежутке [ 3, з] и
четна на этом промежутке (постройте rрафик самостоятельно). Най..
дем коэффициенты Фурье по формулам (14):
3
23 22
а о = f [(х )ш = fl dx = 1 ;
30 30
i 3
23 k1tx 22 k1tx 2 3 . lrnx2 2. 1m
a k = Jf(x)cos dx= flcos.:..::..=..:..l= sln = Sln =
3 о 3 3 о 3 3 Irn 3 о kтc 2
2 k l
( 1) 2 , k = 1, 3, 5, ..., 2п ---1... (k --- нечетное число);
1m
О, k = 2, 4, 6, ..., 2п... (k --- четное число); п = 1, 2,...; Ь ! = О (k = 1, 2,...).
Следовательно,
[(х) = l + f( 1)п l 2 cos (2п 1)лх =
2 п=l п(2п 1) 3
1 2 1t.X 2 1tX 2 5пх
== + cos cos + cos ...
2 7t 3 3п 1 5п 3
97
По теореме Дирихле для функций, заданных на произволъ-
ном промежyrке [ z, 1 ], это равенство верно ДЛЯ всех х Е [ 3, 3 ],
за исключением, быть может, точек разрыва х = + 3/2 и концевых
точек х = + 3 . Вычислим сумму ряда Фурье в этих точках:
S ( ) == 1+0 =.!.. 8 ( ) = 0+1 =.!..
2 2 2' 2 2 2'
8( З)== 0;0 ==0; 8(З)== 0;0 ==0.
.
Видно, что f(3) = 8(3) и f( 3)= S(-.-3).
Покажем, как с помощью равенства Парсеваля (13) можно
найти сумму известноrо ряда:
3
1 1 1 2
Jf2(x)dx == Jdx == 1 ;
1 l 3 3
2
2 00 1 00 2п--l l 2 4
· ао +L(a/+b/)== +L( l) 2 . 2 2
2 k=l 2 п==l (2п .....1) 1t
1 4 00 1 00 1 п 2
= +2L 2 ; L 2 = .
2 1t п==l (2п 1) п==l (2п 1) 8
Пример 62. Разложить в ряд Фурье функцию f(x) = х + 3
при --- 1t < Х < 1t .
Решение. Эта функция не является ни четной, ни нечетной,
поэтому надо воспользоваться формулами (11):
( ) П
1 1t 1 1t 1 х 2
ao== Jf(x)dx== J(х+з)dx== +Зх ==6;
1t п 1t п 7t 2
--1t
98
1 1t 1 1t
a k = J f(x)coskxdx = f(x+ 3)coskxdx =
1t л 'Л л
u = х + 3,
dv = cos kx dx, 1 [ . kx 1t 1 1t ] 1 1t
du=dx, = (х+з) SIll Jsinkxdx =----т----соskx =0'
kx 1t k п k п k 1t 1t
sin
v=
k
Выше при вычислении a k (k = 1, 2, ...) были использованы формула
интеrрирования по частям и условия, что sinkтt = О и coskтt = (___l)k
при k = 1, 2, ... Аналоrично определяются коэффициенты b k :
1 1t 1 1t
b k = f f(x)sinkxdx= f(х+З)sinkxdx=
7t л 1t л
u = х + 3,
dv = sin kx ш,
du = dx,
coskx
v=
[ 1t ]
1 cos kx 1 1t
= (x+3 ) + fcoskxdx =
7t k л k л
k
=l [ 21t ( lY ] = ( 1)k+l, k=1,2,...
1t k k
Следовательно,
f(x) = 3 + i:( lf+l sinkx.
k=l k
Пример 63. Разложить в ряд Фурье ФУНКЦИЮ: f(x) = х при
---7t < х < п.
99
Решение. Эта функция нечетная: f( x) = f(x). При вы-
числении коэффициентов Фурье используем формулы (15):
ak = О, k = О, 1, 2, . ..;
2 7t 2 1t 2 [ cos kx 1t ] 1t ]
b k = Jf(x)sin kxtft = Jxsin kxdx = х + Jcoskxdx ==
по по 1t k о ko
2 [ 1t 1. Х ] ( \k+1 2
= --- cos 1m + 2"' Sln kx = ---1 J , k = 1, 2, · .. ·
7t k k о k
Следовательно, равенство
2( . 1. 2 1. 3 1. 5 )
х = SlnX Sln х + Sln х --- Sln х + ...
235
справедливо при всех х Е ( п, 1t ), а в точках х = + п сумма ряда
Фурье [f(1t)+f( 1t)]/2=O, т.е. не совпадает со значениями
f ( 1t ) = 1t И f ( 1t ) = ---п .
Найдем с помощью равенства Парсеваля (13) сумму извест"
Horo ряда:
3 1t 2
1 lх 2 а 00 2 2 00 4
1t fx 2 dx п 2 , о
+ (ak +b k ) = 2"'.
l' п 1t 3 л 3 2 k==l k=l k
00 1
Отсюда L 2"' = х 2 /6.
k=lk
Задание 53. Разложить в ряд Фурье функции, заданные на
интервале [--- z, 1]:
53.1. f(x)=3---x, 2 < x < 2. 53.2. f(x)=x, lO < x < lO.
{ О --- 1t < Х < о;
53.3. f(x) = Ixl, 1 < Х < 1. 53.4. f(x) = '
1, О < Х < 1t .
100
{ l 2 < х < о; { о 5 < х < о;
53.5. f(x) = 3 ' , 53.6. f(x) = 2 , ,
0 < х < 2. 0 < х < 5.
{ 1 1 < x<O; { О п < x<O;
53.7. f(x) = Х ' , 53.8. f(x) = Х ' ,
О < х < l. О < х < п.
{ О 3 < х < о; { Х 7t < Х < о;
53.9. f(x) = ' 53.10. f(x) = '
х, О < Х < 3 . о, О < Х < 1t .
( ) { 0,3, 0,5 < х < 0,5 ;
53.11. f х =
0,3, 1 < х < O,5, 0,5 < х < 1 .
f( ) { О, 1t < Х < о; f( ) { 1t --- 2х, ---п < х < о;
53.12. х = 53.13. х =
7tX / 4, О < Х < 1t . 1t --- 2х, О < Х < 7t .
( ) 1t + х ( ) { п /2, --- 1t < Х < о;
53.14. f х = , ---п < х < п. 53.15. f х =
2 1t --- х, О < х < п.
53.16. f(x) = cosx, 1t < Х < 1t .
2 2
( ) { о, ---п < х < о, а < х < п;
53.17. f х = ( )
1, О < х < а О < а < 1t .
7t + х ---1[ < х < о. --- х, ---1 < х < 1;
4 2' ,
53.18. f(x)= 53.19. f(x)= х+2, ---2 < x< I;
1t х
--- О<х<п Х 2 1 < х < 2
4 2' --- --- · ---, --- ·
53.20. f(x) =
2 x, ---2 < х<---I;
---1, l < х<О;
1, О < х < 1 ;
2 --- х, 1 < Х < 2.
101
4. ИНТЕrРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ
НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
4.1. Двойной интеrрал и ero вычисление
Пусть функция f(x, у) задана в оrраниченной замкнутой
области S плоскости хОу. Разобьем область S на п элементов
(k = 1,...,п), введя обозначения: M k --- площадь элемента; d k --- ero
диаметр; Mk(Xk,Yk) --- ero произвольная точка.
Двойным интеrралом называется предел интеrральной
суммы
п
JJf(x,y)ds = lim If(Xk,Yk)M k ,
S maxdk O(п oo) k=1
если он существует, конечен и не зависит ни от способа разбиения
области S на элементы, ни от способа выбора точек М k .
Из определения двойноrо интеrрала следует формула вычис-
ления площади области
S = Jfds ·
s
Вычисление двойноrо интеrрала сводится к повторному интеrри-
рованию.
Пусть р' xs и pr YS проекции области S на координатные
оси Ох и Оу. Область S называется областью 1 типа или правильной
в направлении оси оу (8 Е 1), если она задана системой неравенств
а < х < Ь, g(x) < у < h(x), rде [а, Ь] == prxS (рис.2). В этом случае
линии, заданные уравнениями у = g(x) и у = h(x), являются соот-
ветственно нижней и верхней rраницами для области 8, если смот-
реть в направлении оси оу (на рис.2 показано стрелкой). Если S .....
область 1 типа, то
102
у у
у == h(x)
S Е 11
d
х h(y)
SEI
х g(y)
с l
у == g(X)
Х . Х
О а t ь О
РИс.2 Рис.3
b ( h(X) ) ь h(x)
JJf(x,y)ds = J Jf(x,y)dy dx = jdx Jf(x,y)dy.
s а g(x) а g(x)
(16)
Выражение в' правой части формулы (16) называется по..
вторным интеrралом. Сначала вычисляется внутренний опреде..
ленный интеrрал по переменной у (переменная х при этом счита...
ется постоянной). Затем находят внешний интеrрал по пере мен..
ной х. Например,
1 х 1 у2 х 1 х 2 1 1
JcnJ(x+y)dy= J(xy+ ) dx= J(X2+ ---x--- )cn=---
о 1 О 21 О 2 2 2
Область S называется областью 11 типа, если она задается
системой неравенств с < у < d, g(y) < Х < h(y), rде [с, d] == pryS:.
(рис.3). В этом случае
d ( h(Y) }. d h(y)
JJf(x,y)ds = J Jf(x,y)dx у = Jdy Jf(x,y)dx.
s с g(y) с g(y)
(17)
в общем случае область разбивается на области 1 и 11 типа и
ПО свойству аддитивности двойной интеrрал будет равен сумме со..
103
ответствующих повторных ИН..
теrpалов по этим областям.
Процедура сведения ДВОЙНоrо
интеrpала к повторному назы..
вается расстановкой пределов в
двойном интеrрале.
Пример 64. Область S
оrpаничена линиями у = (х 3)2,
У = О, х = О, х = 4. Расставить
пределы в двойном интеrpале
двумя способами.
Решение. 1. Построим
область S (рис.4). Для нее име..
ем О < Х < 4 и О < У < (х 3)2 .
Область S является областью 1 типа, и по формуле (16)
у
А
у == (х 3)2
9
82
о
РИс.4
х
4 ( X 3)2 )ах 4 (х з)2
JJf(x,y)ds = J Jf(x,y)dy = Jdx Jf(x,y)dy.
s о о о о
2. Рассматривая область S как область 11 типа, убеждаемся,
что теперь Аерхняя rpаница состоит из двух различных линий АВ и
CD, а нижняя --- из дуr ОА и ВС, и потому область придется разбить
на две области: 81 = ОАВ и 82 = BCD . Для 81 нижняя rраница ОА
задается уравнением х == О, а верхняя АВ --- уравнением у = (х .... 3)2
или Х = 3 + JY ' rде знак rтюс соответствует правой ветви "арабо-
лы(х > 3), а знак минус --- левой ее ветви (х < 3). Таким образом,
ДЛЯ области 81 имеем О < У < 9 и О < Х < 3 Б. Следовательно,
по формуле (17) получим
9 з .JY
JJf(x, y)ds = Jdy Jf(x, y)dx.
81 о О
104
Для 82 имеем О < у < l и з+..jY < Х < 4. Тоrда по формуле (17)
имеем
1 4
fJf(x,y)ds = Jdy Jf(x,y)dx.
S2 о з+/У
Окончательно
9 з /у 1 4
JJf(x,y)ds = Jdy JfCx,y)dx+ Jdx Jf(x,y)dy.
S о о о з+/У
Пример 65. Область S оrраничена линиями х 2 + у2 = 4,
у2 = 2 х, у = 2. Расставить пределы в двойном интеrpале двумя
способами.
Решение. Построим область (рис.5), rраницами которой яв..
ляются кривая х 2 + у2 = 4 окружность радиусом R == 2 с центром
в начале координат, у = 2 прямая и у2 = 2...... х парабола, ветви
которой идут влево, т.е. Х = 2 у2 < О (координаты вершины
Х = ---2 , у == О).
1. Рассматривая S как об.tIасть 1 типа, убеждаемся, что нижняя
rpаница состоит из двух
лИНИЙ АС и СВ, а верх--
няя ИЗ одной линии АВ
с уравнением у = 2. По--
этому область необхо--
димо разбить на две: 81 и
S2. Нижняя rраница АС
области Sl задана урав--
нением у2 = --- 2 --- х или
у = +.J --- 2 --- х, но на
у
А
в 2
у==2
х2+у2==4
2
х
РИс.5
105
линии АС у > 0, следовательно, у == + .J 2 х . Таки м образом,
область 81 задана неравенствами 6 < Х < 2 и .J 2 х < у < 2 .
Аналоrично для област и 82 н ижняя rраница СВ имеет урав..
нение х 2 + у2 = 4 или у = +...; 4 х 2 . Так как на ли нии СВ у > О,
то у = + ...; 4 х 2 И для 82 имеем 2 < Х < О и ..J 4 х 2 < У < 2.
Следовательно,
2 2 О
JJf(x,y)ds = J dx f j(x,y)dy+ f dx
s 6 -J 2 x --2
2
ff(x,y)dy.
4--х 2
2. Рассматривая 8 как область 11 типа, убеждаемся, что для
нее верхней rраницей я вляетс я линия СВ, заданная уравнением
х 2 + у2 = 4 или х = + 4 у2 ,а нижней линия А С, заданная
уравнением у 2 == 2 х или х = 2 у2. На линии СВ х < О, по..
этому х = 4 у2. Таким образом, о бласть 8 задается системой
неравенств: О < У < 2; 2 у2 < Х < 4 у2 . Следовательно,
2 -- 4-- у2
fJf(x,y)ds == Jdy Jf(х,У)Ш.
s о __2__ у 2
в этом случае второй способ расстановки пределов проще.
Пример 66. Область S оrраничена линиями у == х и
у = 4х х 2 . Расставить пределы в двойном интеrpале двумя спосо...
бами и вычислить площадь области s.
Решение. Построив прямую у == х и параболу у == 4х х 2 ==
== х( 4 х) == 4 (х 2)2 , определим область S (рис.б).
Рассматривая S как область 1 типа, находим, что нижней rpa..
ницей области является часть ОВ прямой у == х, а верхней rpаницей
106
часть ОАВ параболы y==4x X2
и prxS == [о; 3], т.е. область
задана неравенствами О < Х < 3
и х < у < 4x x2. Таким об..
разом,
3 4x x2
fJf(x,y)ds == fdx ff(x,y)dy.
s о х
у
4
х
3
о
3
4
Рассматривая область 8 как
область 11 типа, находим, что РИс.6
теперь нижней rраницей об..
ласти является дуrа ОА параболы, верхняя rpаница состоит их двух
частей: параболы АВ и прямой ОВ. Разобьем область прямой ВС,
параллельной Ох и проходящей через точку В, на области 81 и 82.
Запишем дЛЯ SI уравнени е ниж ней rраницы ос: у = 4х х 2 =
=4 (x 2)2 или x=2 +-J 4 y.
Так как на линии ОС имеем х < 2, то у = 2 -J 4 у. в си
лу T oro, что prySl == [о, 3], для области 81 имеем О < У < 3 и
2 -J 4 у < Х < у. Верхняя rраница ОВ имеет уравнение у == х.
Следовательно, по формуле (17) получим
3 у
fff(x,y)ds = Jdy ff(x,y)dx.
8} о 2 .J4 у
Дл я об ласти 82 уравнение нижней rраницы СА имеет вид
у = 2 -J 4 у. Так как на ли нии АВ х > 2, то уравнение АВ запи..
шется в виде у = 2+ -J 4 у . в си лу To ro, что p ryS2 == [ 3,4], ДЛЯ
области 82 имеем 3 < у < 4 и 2 -J 4 у < х < 2 + -J 4 у. Поэтому
в соответствии с (17)
107
4 2+ .J4 у
JJf(x,y)ds == Jdy Jf(x,y)dx.
S2 3 2 .J4 y
в силу ад.цитивности
fJf(x,y)dxdy == fff(x,y)ds + Jff(x,y)ds ==
s S2
3 У 4 2+ .J4 y
== Jdy J f(x,y)dx+ Jdy Jf(x,y)dx.
о 2 .J4 y 3 2 .J4--Y
Площадь области
3 4x x2 3 4х--х 2
S == JJds == fdx Jdy == Jdx. у
S о х О х
3 2 ( Зх 2 х3 ) з 9
= !(4x x x)dx== 2 3 о =2"'
При мер 67. Поменять порядок интеrpирования в интеrpале
1 JY
Jdy Jf(x,Y)dx.
о у
2
Решение. Восстановим область интеrрирования s. Так как
внутренней переменной является х, то S область 11 типа. В этой
области О < У < 1, у /2 < х < JY . Таким образом, нижней rpаницей
является rрафик функции х == У /2 или у == 2х, а верхней rрани
цей rpафик функции х = JY или у = х 2 . Построим эту область и
найдем точки пересечения линий ОА и ОВ с линией АВ (рис.7).
Рассматривая теперь данную область как область 1 типа,
убеждаемся, что верхняя rpаница области состоит из двух линиЙ
ОА и АВ, задаваемых уравнениями у == 2х и у == 1 . Нижняя rpa-
108
ница ОВ задается уравнением
у = х 2 . Разобьем область S на
области 81 и 82' Для области
S} имеем О < Х < 1 / 2 и
х 2 < У < 2х, а ДЛЯ области 82
1/2 < х < 1 и х 2 < У < 1 .
Следовательно,
у
у==2х
1 fY
fdy ff(x,y)dy ==
о у
2
1
82
81
Х
О 1
РИс.7
1/2 2х 1 1
--- Jdx ff(x,y)dy + fdx ff(x,y)dy.
о х 2 ! х 2
2
Задание 54. Расставить пределы в двойном интеrpале двумя
способами, если область 8 оrраничена следующими линиями:
54.1. У = х, у = ---х, х = 1. 54.2. У = х 2 , У = 8 х 2 .
54.3. х 2 + у2 = 9, у > о. 54.4. У = х, у = 2х, х + у = 4 .
'54.5. У = .....х 2 + 6х, у = ---2х. 54.6. У = х 2 + 3х, у = x .
54.7. х = у2 + 2у, х =.....у. 54.8. х = ___у2 --- 4у, х = ---у .
54.9. х 2 + у2 = 1, у = 1, х + у2 = 1.
54.10. х 2 + у2 = 9, у = 3, х + у2 = ---3.
54.11. х 2 + у2 = 4, х = .....2, у = ---2х2 --- 2 .
54.12. Контуром треуrольника с вершинами (.....1, ---1), (1, 3), (2,..... 4) .
109
54.13. х = О, У = -Б, у = .J 2 X2 .
54.14. У = х, У == х 3, у == 2, У == 4.
54.15. У == х, У = x, х 2 + у2 == 2, У > 0 .
2 2 2 2 2 О
54.16. х + у == а, х = ау, а > .
х
54.17. р=2х, y== , ху=2, х,у>О.
2
54.18. У == ах, х 2 + у2 == 2ах, у = О, а,у > о.
Задание 55. Поменять порядок интеrрирования в следующих
интеrралах:
о x
55.1. f dx ff(x,y)dy.
5 4х+х 2
3 2х
55.3. fdx ff(x,y)dy.
о х/3
-fi з у2
55.5. J dy Jf(x,y)dx.
о у2/ 2
2 2 y
55.2. f dy Jf(x,y)dx .
6 (у2 4)/ 4
2 х
55.4. Jdx Jf(x,y)dy.
1 1/ х
о y2
55.6. Jdy Jf(x,y)dx.
l 2 y2
Задание 56. Вычислить двукратные интеrралы:
1 х
56.1. fdx f(x + y2)dy .
о о
1 х
56.3. Jdx J(xy l)dy.
о х 2
о у2
56.2. fdy J(y x)dx .
l у
2 2 x
56.4. f dx f (х .... х 2 У )dy .
1 О
11 О
3 у
56.5. fdy f(y xy)dx .
1 О
2 хfЗ xdy
56.6. fdx f 2 2
О х Х +у
4.2. Вычисление объемов тел
Объем тела, оrpаниченноrо сверху поверхностью z == h(x, у),
снизу поверхностью z == g(x, у), а с боков прямой цилиндрической
поверхностью (рис.8)
V == ff(h(x,y) g(x,y))ds ,
(18)
s
rде S == prxyV проекция тела V на плоскость хОу.
Пример 68. Вычислить объем тела, оrpаниченноrо поверх--
ностями z == х 2 2, х + у == 1, у == 1 и z == 1 (рис.9).
Решение. Плоскости х + у == 1 и у == 1 являются боковыми
rраницами тела, цилиндр z == х 2 2 и плоскость z == 1 --- нижней и
верхней rраницами. Найдем проекцию тела на плоскость хОу. Она
оrраничена прямыми х + у == 1 и у == 1 (следы боковых поверхно--
стей на плоскости хОу) и проекцией линий пересечения поверхно--
стей z == х 2 2 и z == 1. Исключая из этих уравнений z, получим
z
z
z=h(x,y)
,." ...
: v z == g(x, у)
. I
х
у
о
I I У
S == prxyV
z== --2
х
Рис.8
РИс.9
111
х==l
4 2
линии пересечения: х 2 == 1.
,
х == + 1. Изобразив все эти
линии, получим область S
(рис.1 О).
По формуле (18), рас..
сматривая S как область 1 типа
и расставляя пределы интеrpи..
рования, получим объем тела
у
х == 1
х
V = JJ{ 1--- (х 2 2))dxdy =
s
РИс.l О
= JJ{1 x 2 )dxdy =
s
1 l x 1
= Jdx I{1 x 2 )dy = J{I--- х 2 )у
l 1 1 1.
I x
1
dx = J{1 х 2 ){2 --- x)dx =
I
I J 2 3 8
--- {2---х---2х +х )dx= .
1 3
Задание 57. Найти объемы тел, оrpаниченных поверхностями:
57.1. z = 4 --- х 2 , Z = О, У = 5, у = о .
57.2. z = О, 2 --- х у 2z = О, У = х 2 , У = х.
57.3. z = О, У + z = 2, у = х 2 .
57.4. z == 3 х, z == 5, 2х + у2 == о.
57.5. z == 3, z == ---5 --- у, у + 2х 2 == о.
57.6. z == 5 х, z == х + 1, у2 2х == о.
8 22
57.7. z == --- х , z == х , у == Х, у == х + 1.
57.8. z = х 2 + у2, У = х 2 , У = 1, z = О .
112
57.9. z = х + у + й, у2 = ах, х = й, z = О, У > 0.
57.10. z = О, х + z = 6, у = , у = 2 .
2 2 2( 2 2 \ r 2
57.11. z = х + у , z = х + у р у = v х, у = х .
57.12. az = х 2 у2 , Z = О, х = а, а > о.
4.3. Замена переменных в двойном интеrрале
""
Если х == х(и, и) и у == у(и, v), rде (х, у) Е S, (и, v) Е S,---
формулы перехода от системы координат (х, у) к системе коорди"
нат (и, и), то fff(x,y)dxdy = fff(x(u,v); y(u,v))IJ dy, rде J
s
,...,
s
якобиан преобразования,
дх ду
J = ди дU
дх ду.
ди дv
Двойной интеrрал при переходе к полярным координатам (r, <р)
(х = rcos<p, у = rsin<p) вычисляется по формуле
Jff(x,y)d.xdy = fff(rcos<p, rsin<p)rdrd<p, (19)
s
s
,....""
rде S область интеrрирования в полярных координатах; J = r
якобиан преобразования.
Так как линии в полярной системе координат удобно зада--
вать уравнением r = r( <р) , то полярный радиус r, как правило, при--
'"'"
нимают за внутреннюю переменную, а область S задают неравен"
113
ствами а < <р < J3 и g( <р) < r < h( <р) . Переходя к повторному инте..
rралу, получим
Р h(q»
Jfl(rcos<p, rsin<p)rdrd<p = fd<p ff(rcos<p, rsin<p)rdr. (20)
s а g(q»
П име.r 69. Найти объем тела, оrраниченноrо поверхностя
ми 2z == х + у' и Z == 2у (рис.l1).
Решение. Проекция S тела оrраничена проекцией линии пе..
ресечения нижней и верхней поверхностей на плоскость хОу. Тоrда
{ 2Z = х 2 + у2 х 2 + у2 2
,=> у,=:>
z = 2у 2
=>х 2 +у2 =4у,=>х 2 +(y 2)2 =4=R2,
Т.е. проекция S представляет собой окружность с центром в точ"
ке (0,2) и радиусом R == 2 (рис.12).
Перейдем к полярным координатам в уравнении rраницы.
Поскольку х 2 + 1 == 4у, то r 2 == 4rsin<p или r == 4sin<p. Так как r > О,
z
у
о
z == 2у
r(<p)
у
z == (.х2 + y)12
x,r
о
РИс.ll
РИс.12
114
то кривая задана, если sin<p > О, Т.е. О < <р < п. Полярный радиус
при любом О < <р < 7t изменяется от r == О до r == 4sin<p. Следова--
,......,
тельно, область S в полярной системе координат задается неравен--
ствами О < <р < 7t И О < r < 4 sin <р. По формулам (19)-{20) вычислим
объем тела:
t х 2 + 2 \/у ( r2 )
V = Jl2Y 2 У rdy = rf2sin<p 2 rdrd<p =
. ( ) ( ) 4 sin <р
1t 4s1n<p r 3 r 3 r 4
= fd<p f 2r2sin<p dr = 2sin<p d<p=
о о 2 3 8
о
32 1t f . 4.,J 32 1( 1 COS2<P ) 2 -J
== Sln <ри<р == и<р ==
30 30 2
8 1t f ( 2 ) 8 1t f ( 1 + cos 4<р J
= ) 2 cos 2<р + cos 2<р d<p = 1 2 cos 2<р + d<p = 4п.
30 30 2
Задание 58. С использованием полярной системы координат
найти объем тела, оrраниченноrо поверхностями:
58.1. х 2 + у2 == 1, z == у, z = О. 58.2. х 2 + у2 = 9, 2z = у2, Z = о.
2
22 6 х О 22 2
58.3. х + у == , z == , z == . 58.4. х + у == ах, х + z = 2а, z = О .
4
2 2 2 2 2 2
58.5. z == х + у , х + у == у, z == О.
58.6. х 2 + у == 4х, z = 1, z = х 2 + у2 + 1 .
58.7. х 2 + у == 16, х 2 + у == 9, z == х 2 + у + 1, z = х 2 + i .
58.8. х 2 + у2 == 9, z == х 2 + у2 + 1, z == 10 + х 2 + у2.
58.9. Z == 1 О х 2 у2, Z == 2 + х 2 + у2.
115
Задание 59. Вычислить двойные интеrpалы по области S
(уравнения линий, оrраничивающих область, указаны в скобках):
ff xdxdy 2 2 2 2
59.1. 2 2 (х ==ау,Х +у ==2а ,у=О,х,а>О).
s х +у
59.2. Hx х 2 + у2 dxdy (лепесток лемнискаты
s
(х 2 + у2) = а 2 (х 2 у2 } Х > О ).
4.4. Тройной интеrрал
и ero вычисление в декартовых координатах
Тройным интеrралом от непрерывной функции f(x, у, z) по
пространетвенной области V называется конечный предел иите..
rральиой суммы
п
fJJf(x,y,z)dv = lim L:f(Xk'Yk'Zk)L\V k ,
V maxdk O (п oo) k=l
rде L\V k (k = l,...,n) объемы элементов, на которые разбита об..
ласть V; Mk(Xk,Yk,Zk) --- произвольная точка, принадлежащая эле..
менту; d k --- диаметр элемента.
Из определения тройноrо интеrрала следует формула для
вычисления объема области:
V == fJfdV ·
JI"
Тройной интеrрал, как и двойной, вычисляется повторным
интеrрированием. Для трехмерной области V, задаваемой СООТНО"
шениями (х,У) Е S = prxyV и g(x, у) < Z < h(x,y), Т.е. трехмерной
области 1 типа, имеем
116
ffJf(x,y,z)dv =
v
z
( h(X'Y) ух
= f Jf(x,y,z)dz dy =
S g(x,y)
h(x,y)
= Jfd.xdy ff(x,у, z)dz. (21)
S g(x,y)
РИс.13
Пример 70. Вычислить
HJydxdydz по области V, оrpаниченной поверхностями х = JY '
v
у == 1, z == О и z == у 2х (рис.13).
Решение. Поверхности х = JY и у = 1 есть боковые по
верхности тела. Уравнение линии пересечения верхней и нижней
поверхностей имеет вид у 2х = О .
Найдем область S == prxyV, построив оrраничивающие ее
линии у = х 2 (х = JY при х > О), У == 1 иу = 2х (см. рис.7).
Таким образом, тело V задается соотношениями (х, у) Е S И
У 2х < z < О, И,следовательно,ПО (21), расставляя пределы в двой..
ном интеrрале вторым способом (см. рис.7), имеем
о 1 JY о
JJJydxdydz = JJdxdy Jydz = fdy fdx fydz =
v s y 2x О у y 2x
2
1 fY ( \, 1 fY
= Jdy J у ZI 2X рх = J ydy Н2х y}dx =
о у о у
2 2
1 fY 1 ( уЗ ) 37
=JY(X2 xy) dy==J y2 y2.JY+ dy= .
о у о 4 336
2
117
Задание 60. Найти тройной интеrрал по области V (поверх...
ности, оrраничивающие область, указаны в скобках):
60.1. ffJxdxdydz (z == 2 х 2 , Z == 2, у = 1, у == l).
v
60.2. JJf(x + у )dxdydz (z == ху, z == О, х == 2, у == х ).
J,-'
60.3. fff zdxdydz (z == 2 х, z == 1, х = у2 ).
V
60.4. fJfx 2 dxdydz (у ==х, у==2х, х==3, z ' у, z=2y прих > О).
v
60.5. Пf у 2 dxdydz (z = О, z = х , у = х , у = !, х = 2 ).
v х
Задание 61. Вычислить объем тела, оrраниченноrо поверх..
ностями:
61.1. z = 2 х, z = О, х == 6 ___ у2 .
61.2. z == 2, z == у 3, 4у x2 == о.
61.3. z == 3 х, z == 1, 2х у2 == о.
61.4. z2 == Х У х == О У == О х == а У == а
, , , , .
4.5. Замена переменных в тройном интеrрале
Если х == x(u,v,t), У == y(u,v,t), z = z(u,v,t) «x,y,z) Е V,
r--J
(u,v,t) Е V) формулы перехода от системы координат (u,v,t) к
системе координат (х, У, z) , то
JJJf (х, у, z )dxdydz == JJJf(x(u, v,t), у(и, v,t), z(u, v,t) Jldudvdt,
v
v
118
rде якобиан преобразования
дх ду az
ди ди ди
J --- дх ду az
--- av av av '
дх ду az
дi дi at
Для цилиндрической системы координат, rде положение
точки в пространстве задается полярными координатами (r, <р) и ее
аппликатой z, формулы перехода имеют вид х = rcosq>, у = rsinq>,
z = z . Якобиан J == r, и поэтому
JJJf(x, у, z)dxdydz = JJJf(rcos<p, r sin <р, z)rdrd<pdz. (22)
v v
Пример 71. Найти HJy 2 dxdydz по области V,оrpаниченной
v
поверхностями z = х 2 + у2 и z = 2 .
Реше ние. Проекция линии пересечения поверхностей
z == х 2 + у2 и z == 2 представляет собой окружность х 2 + / == 4 pa
диусом R == 2 с центром в начале координат. Проекцией S тела V на
плоскость хОу является Kpyr радиусом R == 2 с центром в начале ко--
ординат, оrpаниченный окружностью х 2 + / == 4. Так как в поляр--
иых координатах Kpyr задается неравенствами О < q> < 2п И
О < r < R = 2, то, используя цилиндрическую систему координат, по
формуле (22) имеем
2 2
JJJy 2 dxdydz = JJdxdy Jy 2 dz = JJrdrd<p Jr 2 sin 2 <pdz =
v s x2+y2 S J;2
2х 2 2 2п 2
= fd<p Jr З sin 2 <pdr Jdz = fsin 2 q>d<p fr З (2 --- r)dr =
о о r О О
119
М( Х, у, z)
2л. 2 ( 2r4 r 5 ) 2
= f Sln <р --- d<p =
045
о
z
у
8 2п 1 cos2<p
= J d<p =
5 о 2
х
2л
= 4 ( <Р sin 2<р )
520
8п
---
5
в сферической системе KO
ординат положение точки М в про
странстве (рис.14) задается уrлом \v (--.7t/2 < ЧI < 7t/2), от с читы...
ваемым от плоскости хОу, полярным (или меридиональным) yr..
лом <р проекции M 1 точки М на плоскость хОу и сферическим ра..
диусом р, равным расстоянию от точки до полюса О (начала коор..
динат), Т.е. р =: IОМ1. Формулы перехода к сферической системе коор.-
динат имеют вид х = pcos <pcos ЧJ, У = psin <pcos \V, z = psin Ч' . В
этом случае якобиан J = р2 cos \v и
РИс.14
ffJf(x,y,z)dxdydz =
v
= ffff(p cos<pcos 0/; psin <pcos 0/; psin 0/)р2 cos o/dpd<pd\v. (23)
v
При мер 72. Найти JJJ z 2 dxdydz по области V, оrpаниченной
v
сферой х 2 + у2 + z2 = 1 и плоскостями х = О, У = О, z = О (1 октант).
Решение. Тело V часть шара единичноrо радиуса, распо..
ложенноrо в первом октанте (рис.15). Для точек области V в сфери
ческой системе координат имеем О < <р < п / 2, О < 'v < 7t / 2 и
О < р < R == 1 . Тоrда по формуле (23) получим
120
JJJz 2 dxdydz =
v
= JJJp2 sin 2 ЧJр2 cos'Vdpd<pd'V =
z
1t 1t
у
v
2 2 1
= Jd\v Jd<p J p 4 sin 2 'Vcos'Vdp =
о о о
1t 1t
2 "2 5 1
= JSin 2 \j/cos\j/d\j/ J
о о 5 о
х
Рис. 15
1t 1t 1t 1t
1 "2 2 1t 2 1t sin 3 'V "2 1t
= ---- Jsin 2 'Vcos'Vd'V Jd<p = JSin 2 'Vd(sin ЧJ) = = .
5 о о 1 О о 1 О 3 о 30
Задание 62. Вычислить интеrралы по области V, оrpаничен"
ной заданными поверхностями (указаны в скобках), используя ци..
линдрические или сферические координаты:
62.1. JJJydxdydz (z = х 2 + у2 --- 4, z = 5 ).
v
62.2. JJJxdxdydz (х 2 + у2 +Z2 =4, z = о, У = О при х > у, z > О).
v
62.3. fffydxdydz (х 2 + i + =9,х = О, У = О, z = О
v
при х < О, У > О, z < о) .
62.4. ПJ(х 2 + у2 )ixdydz (z = х 2 + i 3, z = , х 2 + у2 = 2х ).
v
62.5. ПRх 2 + i + z2 )ixdydz (х 2 + у2 + z2 = 16 , х = О, z = О
v
при х > О, z < О) .
121
Задание 63. С ПОМОЩЬЮ тройноrо интеrрала, используя ци..
линдрические или сферические координаты, найти объем тела, or..
раниченноrо следующими поверхностями:
63.1. z = 3 х 2 + у2 , Z = 1.
63.2. х 2 + у2 == 6y, z == 1, z == x2 у2.
2 2 8 2 2
63.3. z = х + у , z = х у .
2 2 2 Х
63.4. х + у + z = 1, О < У < (1 октант).
3
4.6. Приложения кратных интеrралов
с помощью кратных интеrpалов можно находить механиче..
ские характеристики любых материальных плоских фиryр и трех..
мерных тел.
Масса плоской пластины, занимающей область S на плоско..
сти хОу, С плотностью материала у(х, у)
м = JJy(x, y)dxdy ·
s
Координаты центра тяжести С(Хс, УС) пластины
JJry(x, y)dxdy
Х --- S
с---
м
JJyy(x, y)dxdy
У ___ s
C
.
,
м
Моменты инерции относительно осей координат
lx = Ну21'(Х, y)dxdy; ly = Нх 2 1'(Х, y)dxdy.
s s
Масса тела V с плотностью материала у = у( х, у, z)
122
м = JfJy(x, у, z)dxdydz;
'
координаты центра тяжести с(хс, ус, zc) тела
м
JJJyy(x, у, z)dxdydz
У v
C
JJfxy(x, у, z)dxdydz
Х .... V
C
м
(24)
JJfzy(x, у, z)dxdydz
Z V
C
м
.
,
моменты инерции относительно осей координат
Ix = JJJ(y2 + Z2)y(x, у, z)dxdydz;
v
Iy == fff(x 2 + z2)y(X, у, z)dxdydz;
v
(25)
Iz = JJJ(x 2 + у2)у(х, у, z)dxdydz .
v
Если плотность не задана, то ее следует считать постоянной
(однородная фиrура или тело) и равной единице. В этом случае rоворят
о rеометрическом центре тяжести и reометрических моментах ипер..
ЦИИ. При наличии оси симметрии центр тяжести С однородноrо тела
должен лежать на этой оси. Например, если однородное тело V сим..
метрично относительно оси Oz , Т.е. (х, У, z) Е V и ( x, у, z) Е V, то
С Е Oz, и поэтому хс = ус = О. В случае неоднородноrо тела,
симметричноrо относительно оси Oz, необходимо проверить также
и симметрию функции, задающей плотность: y( x, у, z) = у(х, у, z) .
Пример 73. Найти координату ус центра тяжести тела, за..
данноrо в примере 70.
123
Решение. Так как плотность не задана, то считаем "( = 1 . Ис-
пользуя данные примера 70, имеем
1 Б о 1 Б
м == JJf 1dxd ydz = Jdy Jdx Jdz == fdy J(2x --- y)dx ==
v о у/2 y 2x О у/2
I Б I 11
= f(x 2 ху) dy = f(y y.JY + у2 / 4)dy = ;
о у/2 О 60
Hfydxdydz = I!..... .
v 336
в соответствии с (24)
fffy · 1dxdydz
У ___ v
C
м
37/336
11/60
185
---
308
Пример 74. Найти момент инерции относительно оси Oz
тела, оrраниченноrо поверхностями z == 1 + х 2 + у2 и z == 3 (рис. 16).
Решение. Найдем проекцию на rтocKocTЬ хОу линии пере
сечения поверхностей z == 1 + х 2 + у2 и z == 3: 1 + х 2 + у2 = 3, откуда
х 2 + у2 == 2 . Это окружность
радиусом .J2 с центром в
начале координат, которая
оrраничивает Kpyr S, задавае..
мый в полярных координатах
неравенствами О < <р < 2п И
O < r < .J2.
Воспользовавшись фор-
мулой (25), перейдем к цилин"
дрическим координатам:
z
3
у
Х.
РИс.16
124
3 3
1: = JJJ()J2 +x 2 ).ldxdydz= JJdxdy J (х 2 + y2)dz= JJrdrd<p Jr 2 dz=
v s l+х 2 +у2 S l+r 2
2х .J2 3 21t.J2 2 2х 41t
= J d<p Jrdr Jr 2 dz= Jd<p J r3(2 r2)dr= J d<p= .
о о l+r 2 О О 3 о 3
Задание 64. Имеем материальное тело V, оrраниченное за
данными поверхностями.
64.1. z == 2 --- х --- у, z = 1, х = О, У = о. Найти массу при
плотности у = х + у.
64.2. 2х --- у --- 2z = 4, х == О, У = О, z = о. Найти центр
тяжести.
64.3. z = 5 --- х 2 --- у2 , Z = 1 . Найти центр тяжести.
64.4. z = 2...... х 2 --- у2, Z = ......2. Найти момент инерции отно"
сительно оси Oz.
64.5. z = 1 + х 2 + у2, х 2 + у2 = 1, z = 4. Найти момент ипер..
ции относительно оси Oz.
64.6. z = х 2 + у2, Z == 4 . Найти массу при плотности у == z + 1.
64.7. х 2 + у2 + z2 == 4, х 2 + у2 = 4(1--- z), z > 1. Найти центр
тяжести.
64.8. 2z == 4 --- х 2 --- у2 , = о . НаЙТИ центр тяжести.
64.9. z == х 2 + у2, Z == 2(х 2 + y 2 l у == Х, у2 = Х . Найти массу
при плотности у == у.
ь 2 h ( )
64.10. У == 2Х , z = О, z = Ь...... у . Нанти момент инер..
а Ь
ции относительно оси Oz.
125
4.7. Криволинейный интеrрал nepBoro рода
Пусть f(x, у) непрерывная функция, заданная на rладкой
кривой L, в свою очередь заданной уравнением у = у(х), rДе
а < х < р . Разобьем кривую L на п элементов, обозначив lk --- ДЛИ..
ну k..ro элемента, Mk(Xk' Yk) ero произвольную точку.
Криволинейным интеrралом первоrо рода называется КQнеч..
ный предел интеrральной суммы
п
ff(x, y)dl = lim Lf(Xk' Yk lk'
L mаХбlк (п OO)k=l
Из определения криволинейноrо интеrpала следует формула
для вычисления ДЛИНЫ кривой
Jldl = f dl = L .
L L
Если функция двух переменных f(x, у) определена на дуrе
кривой L, заданной параметрическими уравнениями х = x(t) и
y=y( t), rде a t < , то f(x,y)=f(x(t),y(t)), элемент дуrи
dl = (x;)2 + (у;)2 dt и криволинейный интеrpал вычисляercя по
формуле
ff(x, y)dl = ff[x(t),y(t)] (x;)2 + (у;)2 dt. (26)
L а
в частности, если кривая задана явно у = у( х) , rде
а < х < Ь,то
ь
ff(x,y)dl = ff[x,y(x)] l + [у'(х)]2 dx . (27)
L а
126
В пространстве ДЛЯ функции
трех переменных f(x, у, z) на дуrе L
ЛИНИИ, заданной параметрическими
уравнениями х == x(t) , у == y(t) и
z = z(t), rде а < t < , аналоrично
имеем
f.(x, у, z)d/ ==
L
z
z == f{x, у)
у
х
Рис. 1 7
J3
= ff(x(t), y(t), z(t)) (x;)2 + (у;)2 + (z;)2 dt.
а
с rеометрической точки зрения, криволинейный интеrpал
ff(x, у, z)d/ , rде L кривая в плоскости хОу и f(x, у) > о, оп
L L
ределяет площадь цилиндрической поверхности (рис.l?), образую..
щая которой параллельна оси Oz, оrраниченной снизу дуrой L, а
сверху rрафиком функции z == f(x, у). Для материальной дyrи L с
линейной плотностью у == у(х, у) или у == у(х, у, z) справедливы
следующие формулы для вычисления массы, координат центра тя
жести и моментов инерции:
м == fy(x, y)dl; Хс == fxy(x, y)d! / М; УС == fyy(x, y)dl/ М;
L L L
(28)
Ix = f/y(x, y)d/; Iy = fx 2 y(x, y)d/ .
L L
Если плотность не задана, то считаем у = 1 (однородная дyra).
При мер 75. Найти J(x y)dl, если L отрезок прямой ме..
L
жду точками А(О, 2) и В( 4, О).
127
Решение. Уравнение отрезка L прямой имеет вид
х =:у+2. 0 < < 4
, ___Х___.
4 2
Так как у = х / 2 2 , то у' =: l/ 2 и по формуле (27) имеем
4
f(x y)dl = f[ х (х 12 2)] l + (1/2)2 dx =
L О
/54 /5 ( х 2 ) 4
= J(x/2+2)dx= +2x =6",5.
2 о 2 4
о
Пример 76. Найти координаты центра тяжести арки циклоиды.
Решение. Плотность не задана, и поэтому считаем у = 1 , Т.е.
находим rеометрический центр тяжести. Арка циклоиды L, которая
задается параметрическими уравнениями х = а(! sinl) и
у = a(l--- cost) , rде 10 =: О < t < 2п = t в (рис. 1 8), симметрична oтнo
сительно оси АА], и поэтому центр тяжести С Е AA 1 , Т.е. хс = па.
Так как х; = a(l--- cost) и у; = asint , то по (26) и (28) имеем:
2х 2х
М = fldl = f a2 (1 cost)2 + а 2 sin tdt = а f .J 2(l cost)dt =
L О О
2п { О < t / 2 < п, } 2п t
= а f .J 2 · 2 sin 2 t dt = . = 2а f sin dt = 8а ;
о Sln t / 2 > О о 2
о
'Ла 2м
t == 2п
х
у с = f у ldl / М =
L
2п t
= f a(l--- cost )2asin dt /8а =
о 2
4а 2 2л . 3 t
J sln dt =
8а о 2
у
РИс.18
128
== a 2 j sin 2 S in d ( ) == a2j ( 1___COS2 ) d ( COS ) =
0222 о 2 2
== a( COS ; COS:t/2 J: л a
Задание 65. Найти криволинейные интеrpалы по заданной
кривой L:
dZ
65.1. J по кривой У = х + 2 от точки А(2, 4 ) ДО точки В(l, 3).
[Х+ У
65.2. Jx 3 dZ по кривой у==х 3 /3, rде 0 < х < 3.
L
65.3. f dl по кривой у2 == 2х от точки А (1, .J2) ДО точки В(2, 2 ).
LY
65.4. fidl по кривой x=a(t sint),y==a(l cost),
L
о < t < 2п (первой арке циклоиды).
65.5. JxydZ по контуру прямоуrольника со сторонами х = О, х = 4,
L
У == О, У = 2 ; по контуру треуrольника с вершинами А( 1, О),
B(l, О), С(О, 1).
65.6. J(x y)dz по кривой х 2 + у2 = 2ах .
L
65.7. JzdZ по кривой x=tcost, y=tsint, z=1,rде O < t < 1t.
L
Задание 66. Найти длину дуrи кривой L, заданной уравнения..
ми х = 31, У = 3t 2 , Z = 2t 3 от точки 0(0, О, О) ДО точки А(З, 3, 2) .
129
Задание 67. Найти массу дуrи кривой L, заданной х = 5 Cost
,
у = 3sint , rде О < t < 27t . ПлОТНОСТЬ у(х, у) = Iyl.
Задание 68. Найти массу дyrи кривой L, заданной уравнеНИями
х == 6(, у == 3(2, Z == 2(3 , rде О < ( < 1 · Плотность уС х, у, z) -= .J у 13 .
Задание 69. Найти центр тяжести дуrи линии L, заданной
уравнениями у == сьх == (е Х +e X )/2, rде о < х < ln3.
4.8. Криволинейный интеrрал BToporo рода
....
Пусть векторная ФУНКЦИЯ двух переменных f(x,y) =
== Р(х,у)Т + Q(x,y)J = {P(x,y);Q(x,y)} определена на ориенти"
.....
рованной дyre ЛИНИИ L, заданной параметрически х = x(t) и
У = y(t) , rде начальной точке дуrи L соответствует t = а , конечной
точке t = , а вектор dZ = dx. i + dy.] = {dx, dy}. Тоrда криволи..
нейный интеrpал BToporo рода вычисляется следующим образом:
.... .....-о)
Jf. dl = J{P(x, y);Q(x, у)} {dx;dy} = Jp(x,y)dx+ Q(x,y)dy =
l l l
J3
= Jp(x(t);y(t))x;dt+ Q(x(t);y(t))y;dt.
а
(29)
в частности, если кривая задана явным образом у = у(х),
rде а < х < Ь , то формула (29) преобразуется к виду
.........-0)
jt.dZ -= jPCx,y)dx + Q(x,y)dy ==
L L
Ь
= Jp(x,y(x))dx + Q(x,y(x)) y'(x)dx.
(30)
а
130
В пространстве для векторной ФУНКЦИИ трех переменных
j(x, у, z) = {Р(х, у, z);Q(x, у, z);R(x, у, z)} на ориентированной
дуrе линии L, заданной параметрически х = x(t), у = y(t) и
Z == z(t), rде обход соответствует изменению параметра от t = а до
t == , аналоrично имеем
Jf. dl = JP(x,у, z)dx + Q(x,у, z)dy + R(x, y,z)dz =
L L
13
= J P(x(t), y(t), z(t»x;dt + Q(x(t), y(t), z(t)y;dt +
а
+ R(x(t), y(t), z(t»z;dt.
(31)
С физической точки зрения криволинейный интеrрал второ..
...
ro рода можно интерпретировать как рабо'!)' переменной силы f
.....
при движении материальной точки по траектории или пути L.
2 ..... I
Пример 77. Найти Jxydx x dy по ломаной L = ОАВ, rде
L
A(l, О) и В(О, --- 2) .
......
Решение. Ориентированная дуrа, или путь, L состоит из
..... .............. ............................. ..........................
двух частей: Ll = ОА и L 2 = АВ , т.е. L = L 1 U L 2 (рис. 19). Уравне..
иие кривой Ll у = О, rде О < х < 1, обход совершается от точки
0(0, О) к А(!, О). Уравнение кривой L 2 имеет вид у = 2х 2, rде
О < Х < 1, обход от точки А(!, О) к В(О, 2). Следовательно, ис..
пользуя свойство аддитивности и формулу (30), получим
1 xydx х 2 dy = Jxydx х 2 dy + J.xydx х 2 dy =
L L} L2
1 О
= f(x.Odx x2(O)'dx)+ f(x(2x 2)dx x2(2x 2)'dx)==
о 1
131
L] 1
о о
= f(2x 2 2х х 2 · 2)dx == 2 fxdx == 1.
1 1
у
о
х
[2
Пример 78. Найти работу сило-
Boro поля f = {y; x} при движении
точки в положительном направлении
по части эллипса, лежащей в
1 квадранте.
Решение. Удобно использовать
параметрическое задание эллипса
х = acost, у = ь sint. Траектория, или
путь движения, часть эллипса от точ-
ки А(а, О) дО В(О, Ь), rде точкам А и
В соответствуют t = О и t == 1t / 2
(рис.20). Так как f = {Р; Q} = {у; х} ,
то Р(х, у) = у, Q(x, у) = x и поэто-
му по формуле (29
2
В
РИс.19
у
ь
.....
..,.JI
./
/
I
,
a "
I Х
О /а
............ b... ..1",';
........-.... ......... ....
РИс.20
...
А = I f . dZ = 1 ydx xdy =
L L
1t
2
= fbsint(acost)' dt acost(bsint)' dt =
о
7t
2 паЬ
= ab f(sin 2 t + cos 2 t)dt = .
о 2
...
Пример 79. Найти J 1. dl, если f = {xy; у; z + l} и точка
L
перемещается по первому витку винтовой линии х = cos (,
У = sin (, z = t в направлении увеличения параметра.
132
Решение. Первому витку винтовой линии соответствует из
....
менение параметра t от О ДО 2п. Так как f = {Р, Q, R} =
= {ху; у; z + l} , то Р = ху, Q = y, R == z + 1 и по формуле (31) по
ЛУЧИМ
J J · dl = J хуш ydy + (z + 1 )dz =
---+
L L
2л
= Jcost sint( cost)'dt sint(sint)' dt + (t + l)(t)' dt =
о
27t
= J sin 2 td(sint) sintd(sint) + (t + l)dt = 2п 2 + 2п.
о
Задание 70. Найти криволинейные интеrpалы BToporo рода
...
по кривой L:
2 4 ... 3
70.1. Jxy dx + х dy, rде L часть кубической параболы у = х от
L
.... 2
Х == О до х == 2; L часть параболы у = 2х от х = О до х = 2 .
70.2. Jхуш, rде I дyra СИНУСОИДЫ у = sin х от х = О ДО Х = п .
IJ
70.3. Jxdy, rде I контур треуrольника, образованный ОСЯМИ KO
L
ординат и прямой х /2 + у / 3 = 1 , пробеrаемый в положительном
направлении (т.е. против часовой стрелки).
70.4. J(x + у)1х xdy , rде I прямая ОА; I ломаная ОВА,
L
rде А( 4, 2), В(2, О).
133
70.5. f 2 i }tx + (х 2 + у2 )iy , rде 1 часть ОКРУЖНОСТИ
L
У = .J r 2 х 2 , пробеrаемая в положительном направлении.
70.6. f (2х y)dx + (3х + 4 у )dy , rде 1 часть эллипса Х = 3 cos (
L
и y=4sin( отточкиА(З,0)доВ(0,4).
70.7. fxdx + zdy ydz , rде 1 часть линии х = (, у = (2 и Z = (3
L
в направлении от точки А(2, 4, 8) дО В(О, О, О).
......
70.8. J dx --- xdy + (z + у )dz , r де L часть линии
---+
L
х = cos п/, У = ( + 1 и z = (2 В направлении от t == 1 до t == 2.
Задание 71. Найти работу силы J = {---у; 2х; z2} по пере..
мещению материальной точки по первому витку винтовой линии
х == cost, У == sint и z == t в направлении убывания параметра.
2
Задание 72. Найти работу силы f = {х --- 3 у;2х + у} по пе..
ремещению материальной точки по отрезку прямой от точки
А(2; ---1) дО В( ---1; 3).
4.9. Теорема rрина
Путь, начальная и конечная точка KOToporo совпадают, назы-
вается замкнутым путем или контуром. Ориентированные rраницы
плоских областей являются контурами. Области, оrраниченные од"
ним контуром, называются односвязнымu, а несколькими контура-
ми М,НО20связнымu. Направление обхода rраницы L области S на..
134
+
зывается положительным (L), если при обходе область остается
слева. Для оrраниченных односвязных областей это направление
против часовой стрелки.
Теорема rрина. Если функции Р(х, у), Q(x, у) и их част..
дР aQ
ные производные и непрерывны в области S с кусочно"
ду дх
rладкой rpаницей L, то
ffp(x, y)dx + Q(x, y)dy = f( a Q дР Ikdy. (32)
+ ах ду
L S
Следствие. Если Q == х и Р == о или Р == y и Q == О, то
aQ дР = 1 и по (32) площадь области
дх ду
s = Hdxdy = Jxdy = J( y)dx => S =.!.. Jxdy ydx. (33)
s 2
L L L
Пример 80. Найти площадь, оrраниченную эллипсом
х == acost, у == bsint.
Решение. При возрастании параметра t от О ДО 2п обход
эллипса совершается в положительном направлении (см. пример 78)
и поэтому по (33) имеем
1 1 2п
S = Jxdy ydx == Ja costd(b sint) --- Ь sind(acost) ==
2 20
L
аь 2п аЬ
= J (cos 2 t + sin 2 t)dt = 2п = паЬ.
2 о 2
135
Пример 81. Найти
f х 2 ydx + ху2 dy по ОКРУЖНОсти
-4
L
2 + 2 4 ...,...,
х у = , ориентированнои по часовои стрелке.
Решение. Направление обхода окружности по часовой стрел..
ке будет отрицательным и поэтому в (32) следует изменить знак:
f Х2УdХ+ху2dу= ff( в(ху2) B( X2Y) } XdY==
( ) дх ду
L
2л R R 4 2л 1tR 4
= H(i + x 2 )dxdy = f d<p fr 2 · rdr = fd<p = .
s О О 4 о 2
Задание 73. Решить задачи, применяя теорему rрина:
73.1. Найти
f xydx + (х + у )dy при обходе окружности
-4
L
2 2 4 ...,
х + у = по часовон стрелке.
73.2. Найти J (х y)dx + xydy при обходе против часовой
---+
L
стрелки контура треуrольника АВС, rде А(5, 3), В( ---1, О), С(2, 3).
73.3. Найти fx 3 dy+(x+ y)dx при обходе контура тре..
L
уrольника с вершинами А(1, О), В(О, 1), С(О, 1) против часовой
стрелки.
73.4. Найти f (х --- 2 y)dx (2ху 1 )dy при обходе по часо..
---+
L
вой стрелке контура, состоящеrо из дуr парабол у = х 2 и Х = у2
между точками (О, О) и (1, 1).
136
73.5. Найти f xydx + (х 2 у2 )dy при обходе окружности
L
х 2 + у2 = 4 против часовой стрелки.
73.6. Найти J dx + xdy при обходе окружности х 2 + у2 = 9
L
по часовой стрелке.
4.10. Независимость криволинейноrо интеrрала
от пути интеrрирования. Полный дифференциал
Криволинейный интеrpал не зависит от пути интеrрирова..
ИМЯ, а зависит только от положения конечной и начальной точек пу..
ти L в односвязной области тоrда и только тоrда, коrда дифферен"
циальная форма Р(х, у) dx + Q(x, у) dy, стоящая под знаком пнте..
rрала, является полным дифференциалом некоторой ФУНКЦИИ
W(x,y) . Тоrда
в в
fp(x,y}dx + Q(x,y)dy = fdW(X,y)= W(B) W(A). (34)
А А
В односвязной области условием независимости криволи..
нейноrо интеrpала от пути интеrрирования и условием Toro, что
дифференциальная форма представляет собой полный дифференци"
ал, является равенство BQ = дР . ФуНКЦИЯ W(x, у), называемая
дх ду
nоmепцuШlОМ, может быть найдена по формуле
х у
W(x,y) = Jp(x,yo)dx + fQ(x,y)dy + С , (35)
ха УО
rде (х о уо) --- произвольная точка области, принадлежащая области
,
определения функций Р(х, у), Q(x, у) и их частных производных.
137
о 1
2
>- х
Пример 82. Найти непосредет..
венно и с помощью потенциала ИИТе..
O' 1) ( 1 ) ( х3 J
rpал J х 2 у.... dx.... у.... dy.
(2,]) Х 3
Решение. Прямая х = О делит
плоскость на две односвязные облас..
ти, в которых интеrрал существует
(рис.21). Обе точки А(2, 1) и В(1, 1)
находятся в области х > О . Вычислим
в этой области частные производные:
у
А
1 В
с
Рис.2 ]
: = (x2y : )=x2; ; = : [ (y ;3 J]=X2.
Так как производные равны между собой, то криволинейный
интеrрал не зависит от пути интеrрирования. Выберем путь, изо..
браженный на рис.21. На АС х = 2 и 1 > у > ....1, на СВ у = ---1 и
2 > Х > 1 . По формуле (30) получим
(1' 1) ( 2 1 ) ( х3 ] K 2 1 )
f х y dx y--- dy= 2 y--- d(2)....
(2,1) х 3 1 2
( 23 J 1 ( 2 1 ) ( х3 J
у з dy + 1 х ( 1) х dx ( 1) 3 d( l) =
( J l ( J 1
у2 23 х 3
= "2 3 у I + 3 ( 1) lnlxl 2 = ln 2 3 .
Для вычисления потенциала выберем произвольную точку
области, например точку с координатами (1, О). По формуле (35)
имеем
138
== lnlxl
W(x,y) = [(х2 .O : )dx+ 1[ (y З ) ]d Y =
х ( y2 y ) Y = lnlxl i + Y.
2 3 2 3
о
Следовательно, по (34)
(I'T( x2y : ) dx ( Y З ) dy = ( lnlxl У; + х: Y ) (1' I) = ln2 3.
(2,1) (2,1)
Дифференциальное уравнение первоrо порядка Q( х, у) у' +
+ Р(х, у) == о или Р(х, y)dx + Q(x, y)dy == О является уравнением в
полных дифференциалах в односвязной области, если в этой области
дР aQ
выполнено условие = . Для TaKoro уравнения
ау дх
dW == Р(х, y)dx + Q(x, y)dy == О
и
W(x, у) == с
(36)
есть общее решение этоrо дифференциальноrо уравнения, rде Функ--
ция W(x, у) является потенциалом, восстановленным по (35).
Пример 83. Решить уравнение (е У + х)у' = 1 х .... у.
Решение. Это уравнение не относится к изученным ранее
типам. Проверим, будет ли оно уравнением в полных дифференциа--
лах на всей плоскости хОу. Перепишем уравнение в виде
(еУ +x) d y (l x y)=O. Тоrда (x+y 1)dx+(eY +x)dy=O. Отсюда
dx
Р(х, у) = х + у 1, Q(x, у) = е У + х и дР = 1 = BQ Найдем потеНЦИ
ду ах
ал по формуле (35), выбрав точку (ХО, Уо) == (О, О). Точка (О, О) при--
139
надлежит области определения Р(х, у) и Q(x, у) и их частных произ...
водных. Тоrда
х У х У
W(x, у) = JP(x,O)dx + fQ(x, y)dy == J(x + о ---1)dx + J(e Y + x)dy ==
о о о о
х 2
= x
2
х
У х 2
+ (е У + ху) 1 == - х + е У + ху 1.
о 2
о
Следовательно, в соответствии с формулой (36) общее реше..
иие уравнения имеет вид
х 2
x+eY +ху=С.
2
Задание 74. Проверив, зависит ли интеrрал от пути интеrри..
рования, найти ero:
74.1. (0,/) ( 2х + 2 ) dx ___ ( Х: + 2 У ) dy .
(1, l) У У
(2,0)
74.2.. J (2 ху З + 8x)dx (у --- 3 зх 2 у2 )dy .
( l,l)
( 1)0)
74.3. f (2хе У 2y)dx + (х 2 е У 2x)dy .
(1, 2)
(2,п) ( у2 У ) ( У У У )
74.4. f 1 2 cos dx + sin + cos dy.
(1,п) Х Х Х Х Х
Задание 75. Решить дифференциальные уравнения:
75.1. 2 ху 3 + у + (зх2у2 + х)у' == О.
140
75.2. (2XY }iX+( ;2 +X 2 )d Y =O.
75.3. cosy+ ycosx = (xsiny sinx)y'.
Задание 76. Проверить, является ли данное выражение
полным дифференциалом от некоторой функции и найти ее:
76.1. (10ху 8у + 1}dx + (5х 2 8х + 3 Y.
76.2. x2 2ху + у2}1х 2 2ху + 3i y.
76.3. (1 + cos ху Xydx + xdy).
( 2 1 ) ( 3 2Х )
76.4. 12х у + у2 dx + 4х уз dy.
76.5. 2х+е ; dx+(I : } ; d Y .
ОТВЕТЫ
1.1. x .J l x2 +arcsinx+21 nllnyl= C.
1.2. х tg х + lnlcos хl + ln(y + у2 + 9) = С .
1.3. 0,25 arctg(O,5x) + arcsin(O,5e Y ) = С .
1.4 . xarct g2x O,251 n(1 + 4х 2 ) + lnli 11 = с .
1.5. O,5x .J 16+x 2 +8ln(x+ .J 16+x 2 )+ yarcsiny+ 1 у2 =с.
141
1.6. In(1 + 1 х 2 ) ln х + 2lnly 2\ ln\y 11 = с .
1.7. О,4х 2 . 5 ln х О,16х 2 ,5 + О,5(у 1,51n12 у + з1) = с .
1.8. O,2e2x(sinx+2cosx) O,5e2/y ==с.
1.9. х In(1 + х 2 ) 2х + 2arctgx + 2 lnlsin2.JY1 = С .
1.10. lnlsinxl xctgx + !lnlsin3yl = С .
3
1 3 2 2 О 5х 2
2.1. х 1,5х + 5х...... 2 + 0,5 у == о. 2.2. У == 2е ' + 3 .
3
2.3. У == 2 V cos 3х . 2.4. (у + 4) .J 2x 3 = 7 .
3.1. arctg 2 3х 1,5lnlsin 4 уl = с . 3.2. ln 212х + з1 + 2 arccos 2 у = с .
9 1 1 3-
3.3. lnl2x + 11 2,5х ln 3 у = с . 3.4. ln l y3 + З I ---I,5х 3 = С .
433
4 1
3.5. lnx + O,251n х + == С .
sin 3 у
3.6. O,51n(y2 + 9) (4 + Inx)1,5 = С .
3
3.7. (1 + х 2 )(1 + у2) = сх 2 . 3.8. а lnlyl у + 2а lnlxl = ln С .
2
3.9. (2 + 31nx)1,5 + lnlcos у! = с .
9
4.1. (2 + ln х) 2 = arcsin 2 у + 4 . 4.2. 1 + i = 21nlxl .!.. + 3 .
3 х
3 7 I I 1 3
4.3. (x---l)+ ln2x 1 + ln у=с.
2 4 3
142
4.4. (x+ .J x 2 +з)IСОS2уl=З. 4.5. 31nlyl+ y+ .J 25 X2 =5.
5.1. у2 --- х 2 == Сх 3 . 5.2. у2 + 2х2 lnlxl == сх 2 .
5.3. J; +.JY lnlyl = .JY ln С ·
5.4. i( ln2( ) ln( ) + 0,5 ) = 2x2(ln1XI + с).
5.5. У arct{ ) 0,5х ln(x 2 + i) = хС . 5 .6. 2(х 2 i) = c V ylO .
5.7. х = Су(х + у). 5.8. x+ x2 + у2 = С.
5.9. y х 2 у2 + х 2 arCSin( ) = 2x 2 1nlxl + сх 2 .
5.10. x(lnlyl lnlxl) = С + х .
6.1. 3Sin( ) SiП З ( ) = 31nlxl + 181 . 6.2. (х + у)2 4х 2 = 2x2lnj .
6.3. arCSin( ) о,25п 2 = 21nlxl. 6.4. Sin( ) = 0,5х .
7.1. ух 2 =C+xlnx---x. 7.2. y=(C+x 2 )cosx.
7.3. y=Cx+xarctgx. 7.4. y=c ---x2---1. 7.5.3 y -Б=с+х З .
7.6. y=(C+x)tgO,5x. 7.7. y=(C+x)(1+x 2 ).
7.8. xy=e X(C+x). 7.9. у=Сlп 2 х---lпх. 7.10. xy=C y 3---1.
7.11. х=Се 2У +о,5у+о,5у+о,25.
7.12. Особое решение у == О, неособое х == у(С + у).
143
8.1. ху = 3 + lnlxl. 8.2. 5 ух 2 = 6х5 .
2
8.3. У = зх2 Х. 8.4. У = 1 + е O,5x .
2 О ( 2 х 2 2
9.1. y=O,xy(C+ln х)+2=0. 9.2. у= , х +l+Се )у ==1.
2x2 2
9.3. у=О,у=е (С+0,5х). 9.4. у=О, y(C+x)cosx=l.
4
9.5. У = О, У = V16(Се о ,75х --- х.... 0,75)3 .
9.6. У = О, у2 = (С + 2cosx)sin 2 х.
( 3 ) 3
3 X Х3 Х 2
9.7. У == Се + 1 х . 9.8. У = О, У = Се 9 9 ·
2 2siny 4
9.9. (2 --- 2 у 2 + Ce Y )х 2 = 1. 9.10. х 2 = Се 3 + 2siny + .
3
10.1. У = О, у( е Х .... 0,5е 2х ) = 1 . 10.2. у(2 + 2х + х 2 е Х ) = 1.
10.3. у(1 х 0,5е Х ) = 1 . 10.4. xy(I---1nlxl) = 1 .
5
Х 3 2
11.1. У = + СЗХ + С 2 х + C1x + СО .
120
х 3 l1х 3 2
11.2. y= lnx +С 2 Х +C1x+C O '
6 36
11.3. у=е х---sinх+Сlх+СО, 11.4. у=езх+х5+С2х2+с}х+со,
х З .
11.5. У = SlnX + C1x + СО ·
6
11.6. У = ---0,125 sin 2х + с 2 х 2 + C1x + СО .
144
11.7. У = 0,5(х 2 ---1)arctgx---o,5xll1(1+x 2 )+c 1 x+c o .
1 . I 2 sin 3 Х
11.8. У = lnslnx + С 2 Х + С 1 х + СО . 11.9. У == + C1x + Со.
3
11.10. У = х ln(x + .J l + х 2 ) .J l + х 2 + CJx + Со.
х 3 5х 3 1
12.1. y= lnx--- +05x+ . 12.2. y==---(х+3)е Х+l,5х2+з.
6 36' 18
х 5 х3
12.3. У = + + х 2 --- 3х + 5. 12.4. У == xcosx --- 3sinxz + х2 + 2х .
60 6
1 х 4 2
12.5. У == cosx + + О,125х .
32 48
12.6. У = sinx + (o,5п х)2 + .
16 32
13.1. У = C J lnlxl + С 2 . 13.2. У = 0,51n 2 1 x l + C 1 1n lXl + С 2 .
( 1 2 2 2 . Х )
13.3. У = + 0,5 х" C 1 Х + С 1 arсsш С ! + С 2 ·
13.4. У = 0,5с(х 2 СJ2(х+С()lnIХ+СJI+С2Х+СЗ'
13.5. 3С 1 у == + 2{ C1x ---1 )1,5 + С 2 .
х 3 2
13.6. У == + 0,5х + C1X lnlxl + С 2 х + С з .
12
13.7. У == arcsin 2 х + C 1 arcsinx + С 2 .
13.8. ус}2 == ClxeCIX 1 --- eCIX 1 + С 2 .
13.9. У = (1 + C ) lnlx + CJI CJx + С 2 .
145
13.10. У = О,125х 4 + о,5с}х 2 + С 2 .
4 Х3 2 1
14.1. У == О,125х ....1,5х + О,5х + .
6 3
14.2. y(e I)==eX x+e l. 14.3. y==3 Vx 2 +1.
14.4. 6у = Х3 .... зх2 6х + 4. 14.5. У = 3.... 2cos Х .
15.1. У == C У == arcsin(C)x + С 2 ). 15.2. у == C у + i == С)х + С 2 .
15.3. У == с; у5 .... (C1x + с 2 )3 = О. 15.4. У = с; У == е С }Х+С2 .
15.5. У == C У lny у == С)х + С 2 . 15.6. У == с; У == С 1 (x + с 2 )2 .
15.7. у=С; 2у....з у 3 =2(С}х+С 2 ).
15.8. у = с; lny.... С} tg(C1x + С 2 ) == о.
15.9. У == с; (у + с)4 .... 4(С}х + С 2 ) == о.
15.10. У = с; У lnlcos уl = C1X + С 2 .
16.1. у(х 5)2 4 == О. 16.2. 2arct g ..J e Y 1 + х == О.
16.3. 4( 4х 1)(у + 1)2 + 1 == О . 16.4. + 2 ..J у 2 == х 1 .
16.5. (1 + Зу)2 = 12х2 ---11.
17.1. У = C1e x + С 2 е 3Х . 17.2. У = C 1 e---4x + C2e X
17.3. у = C}e 9x + С 2 . 17.4. У == С} + С 2 е 5х .
17.5. У == C 1 e--- 2x + С 2 е 2х . 17.6. У == (C l + C2x)e 3X .
17.7. У=(С 1 +С 2 х)е Х . 17.8. У=(СIСОSЗХ+С2siпЗх)е 2Х.
146
17.9. У = (C 1 cos(O,5J3x) + С 2 sin(O,5J3x»e X ·
17.10. y=(C]cos3x+C 2 sin3x)e x . 18.1. у=О,25(е 7Х ___е Х ).
18.2. у = О,5(3е 2х ---1). 18.3. У = O,2(8cos2x + 2sin2x)e 3X.
18.4. У = (sin х --- cos х)е 2x .
3 С) С} r
19.1.у=С}х+С 2 х. 19.2.y= +C2X' 19.3.у= r +C2Vx.
х ",х
19.4. У = [Cl COs(O,SJ31nx) + С 2 sin(O,SJ31nx)] ·
19.5. У = (С 1 +C 2 1nx)x 2 . 19.6. У = [С} cos(31nx) + С 2 sin(31nx)]x 2 .
213
19.7. у=С) +С 2 х +x+ . 19.8. y=C 1 x+C 2 xlnx+xln х.
х
19.9. У = C 1 (х + 1) + С 2 (х + 1)2 .
19.10. У = С 1 (2х + 1) + С 2 (2х + 1)2 + (2х + 1) ln(2x + 1).
С х С 3х ( 1 2 S 31 ) x
20.1. у= }е + 2е + x +----x+ е .
2 6 36
. 1 21 48
20.2. У = (С) cos2x + С 2 sln2x)e X + x2 --- x + .
5 25 125
20.3. У = (С) cosx + С 2 sinx)e 5x + хе 5Х sinx .
(С С ) X 1 3 X 20 5 (С С ) 2x 1 3 2x
20.4. У = 1 + 2 Х е + ---- Х е. .. у = 1 + 2 Х е + х е .
6 6
20.6. У = (Cle X + C2e X) + x2e 2x .
С 3X С 2х ( 1 2 1 ) 2х
20.7.у=)е + 2 е + 10 X 2s xe.
147
20.8. У = (C 1 COS Х + С 2 sin Х )е 3Х --- 2,5хе 3Х cos х .
20.9. У = C 1 COS 2х + С 2 sin 2х + 2хе Х cos 2х .
20.10. У = (С) cos3x + С 2 sin3x)e 2x хе Х sinx.
С x С 3х 3 X 28 2 49. 2
20.11. У = )е + 2 е 4 хе 65 cos х + 65 sш х.
21.1. У = е Х cos2x + ( х 2 4 х 2. ) e2X .
5 25
21.2. У = cos2x 3 sin 2х xcos 2х .
21.3. У = 0,5 5,5e 2x + 6e X . 21.4. У = (1 + х + 1 х 4 }зх.
( 1 2 3 2 ) 2
22.1. у= С) +С 2 х+ 2 Х lnx 4 х e х.
1 1
22.2. У = С) cos2x + С 2 sin2x + xsin2x + cos2xlnlcos2xl.
2 4
22.3. У = Cle x + C2e 2X + e X ln(l + е Х ) + e 2X[ln(1 + е Х ) е Х ].
22.4. У = (C 1 + С 2 х )е Х + хе Х arctg х О,5е Х ln(l + х 2 ) .
22.5. У = (С) + С 2 х)е Х хе Х + хе Х lnlxl.
22.6. у = С) cos х + С 2 sin х + cos x(lnltg 0,5х 11 lnltg 0,5х + Ф ·
22.7. У = С) cos х + С 2 sin х + sin х lnltg(0,5x + 0,25п)1 2 .
22.8. У = С) cosx + С 2 sinx cosx lnlcosxl xsinx .
22.9. У = (С) + С 2 х)е 2x 2е 2x lnlxl 2е 2x .
148
22.10. У = C 1 + С 2 е Х + [х ln(l + еХ)]е Х ln(l + е Х ) .
2х
,..., 2х е
22.11. У=С 1 +С 2 е + .
х
22.12. У = С. cos х + С 2 sin х + 2 + cos х lnltg Q,5xl.
23.1.3,75. 23.2. 0,5. 23.3. 0,5.
24.1. Расходится. 24.2. Расходится. 24.3. Расходится.
24.4. Расходится. 24.5. Сходится. 24.6. Сходится. 24.7. Сходится.
24.8. Сходится. 24.9. Расходится. 24.10. Сходится.
24.11. Расходится. 24.12. Расходится. 24.13. Сходится.
24.14. Сходится. 24.15. Сходится. 25.1. Сходится.
25.2. Расходится. 25.3. Расходится. 25.4. Сходится.
25.5. Сходится. 25.6. Сходится. 25.7. Сходится. 25.8. Сходится.
26.1. Сходится. 26.2. Сходится. 26.3. Сходится. 26.4. Сходится.
26.5. Расходится. 27.1. Сходится. 27.2. Расходится. 27.3. Сходится.
28.1. Расходится. 28.2. Расходится. 28.3. Сходится.
28.4. Расходится. 28.5. Расходится. 28.6. Сходится.
28.7. Расходится. 28.8. Сходится. 28.9. Сходится.
28.10. Расходится. 28.11. Сходится. 28.12. Расходится.
28.13. Сходится. 28.14. Сходится. 28.15. Сходится.
28.16. Расходится. 28.17. Расходится. 28.18. Расходится.
28.19. Сходится. 28.20. Расходится. 28.21. Расходится.
28.22. Расходится. 28.23. Расходится. 28.24. Сходится.
28.25. Сходится. 28.26. Сходится. 28.27. Расходится.
28.28. Расходится. 28.29. Расходится. 28.30. Сходится.
28.31. Сходится. 28.32. Расходится. 28.33. Сходится.
149
28.34. Сходится. 28.35. Сходится. 29.1. Расходится.
29.2. Сходится условно. 29.3. Сходится условно.
29.4. Сходится абсолютно. 29.5. Сходится абсолютно.
29.6. СХОДИТСЯ абсолютно. 29.7. Сходится условно. 29.8. Расходится.
29.9. СХОДИТСЯ условно. 29.10. Сходится условно.
29.11. Сходится абсолютно. 29.12. СХОДИТСЯ абсолютно.
29.13. СХОДИТСЯ условно. 29.14. Сходится условно.
29.15. СХОДИТСЯ условно. 29.16. Сходится условно.
30.1. При любом х. 30.2. х > 1. 30.3. e l < х < е .
30.4. При любом х . 30.5. х > о. 30.6. ( .J2,O)u (о, .J2).
30.7. ( з, t]u[t,з). 30.8. Расходится при любом х. 30.9.lxl > 2.
30.10. При любом х. 30.11. Ixl > 1. 30.12. х < о.
31.1. 'хl < 1. 31.2. 2 < х < 2. 31.3. 1 < х < 1. 31.4. Ixl < 2 .
31.5. Ixl < 1. 31.6. При любом х. 31.7. х = о. 31.8. ---1 О < х < 1 о.
31.9. ---1 < х < 5. 31.10. --- 4 < х < 2 . 31.11. 2 < Х < 3,5.
31.12. --- 3 < х < 1. 31.13. ---1 < х < 1. 31.14. При любом х .
31.15.lxl < 1. 31.16. О < х < 2. 31.17. 1 < х < 1. 31.18.lxl < 2.
31.19. При любом х. 31.20. 1 < х < 3. 31.21. 2 < х < 8 .
32.1. ln(l х) . 32.2. ln(l + х). 32.3. ln 1 + х . 32.4. arctg х .
2 l---х
1 l+х 1
32.5. ln --- arctg х .
4 l---х 2
1 +х 2
32.6. ( \1 ·
1 --- х 2 )
2
32.7. ( \3 ·
l---х)
150
33. 0,2. 34.1. f(x) = 4(х 0,5 У + 2 при любом х.
34.2. f(x) = (х 2)5 (х 2 У при любом х .
J2 ( х х 2 х 3 п2 n Х N )
34.3. f(x) = 1 + ---...+( 1) 2 +... при любом х .
2 1! 2! 3! п!
, 1 1 1 \2 1
34.4. j(x)= 2 22(x+2) 23 (х+2) ... 2n 1 (х + 2)" ...
при 4 < х < О .
34.5. f(x) = t ( I)" I(x l)" при О<х<2.
n=1 п
( ) x 4 (x 4Y !2 (x 4Y 1.3.5 (x 4)4
34.6. f х 2 + 2 4 + 6 8 + ...
2 4 2 4.6 2 4.6.8 2
( ) n l (2п 3)!! (x 4)п
... + 1 2 () 2 +... при О < Х < 8.
2п !! 2 п
.J2 00 n 2 +n х n
34.7. f(x)= L( I) , при любом х.
2 11=0 п.
х 3 2х 5 ( х2 х 4 )
35.1. х+ з + 15 +....35.2. е 1 2+6 '" ·
х 2 5х 4 ( х 2 х4 х 6 )
35.з.1+2+ 24 +....35.4. 2+12+ 45 +... ·
00 2 2п х 2n
36.1. L( 1)" ( ) при любом х.
17=0 2п !
00 I 2n l х n
36.2. х + L( 1)" ( ) при любом х.
11=2 п 1 !
151
00 х 2n
36.3. '!-о ( 1 j (п )! при любом х .
00 ( 2)з 2п 2п+ 1
36.4. 2 L( l) п + х при любом х .
n=о (2п + l)!
00 Xn l 00 х п
36.5. L прих:;tО. 36.6.1nl0+L( lj+l
11 = 1 п ! 11= 1 п · 1 ОП
при 1 О < х < 1 О .
00 x2п 1
36.7. L( lj+\ 2n \( ), при любом х.
п=1 2 2п 1.
00 11+2
36.8. х 2 ln 3 + L ( 1 j+ \ Х n при 3 < х < 3 .
п=l п · 3
36.9. f х n при 1 < х < 1 . 36.10. 1 + f ( 1 j (2: 1 )!! х n
n=l п n=l 2 · п!
при 1 < х < 1 .
36.11. 2 2f 2'5.....(зп 4) ( Х ) 3n при Ixl < 2.
n=) з п · п! 2
00 х211+ 1
36.12. L ( 1 r n+\ при 'хl < 3 ·
11=0 9
2 00 х 2n + 1
36.13. L при Ixl < 1.
3 п=о2п + 1
36.14. ln2 + f( lj \(1 + т n ) х n при 1 < х < 1.
п=1 п
00 2n+1 00 2n+l
36.15. L х при любом х. 36.16. L( 1)n ( х Х )'
п=0(2п+l)! п=О 2п+12п+l.
при любом х.
152
00 n x2n+1
36.17. L( 1) ( ) при любом х.
п=О 2п + 1 п!
00 х n
36.18. L( 1r+\2 при Ixl < 1.
n=l п
(2п 1)!! 4п+\ 11
36.19.x+ N ( ) х при х<l.
п=124n+ln!
00 1 (x 1)n
37.1. L( lr при О<х < 2.
п=l п
00
37.2. L( lr(x lr при О<х<2.
n=О
00
37.3. L(n+lXx+l) при 2<x<O.
п=О
00 (х + 2)п
37.4. e 2 L при любом х.
п=О п!
( П ) 2n 1
37.5. f( 1r X 2 , при любом х.
п=l (2п 1).
00 (х + 2)2n r;; r;;
37.6. L( 1r n+l при 2 v3 <x< 2+v3.
n=О 3
1 О' 00 X 2n + 1
38. 7!. 39. . 40.1. L( 1r 2 1 при \х\ < 1.
4! п=О п+
(2п 1)!! 2n+l П р и l х l < l.
40.2. х+ Х
п=l (2п + 1)(2п)!
153
40.3. х + f.( 1f (2п 1)!! х2n+l при Ixl < 1 .
n=} (2п + 1) · (2п)!
41.1. S == 62/162 0,40. 41.2. S 0,6931. 41.3. S 0,083.
41.4.S 0,81873. 42.99;999.43. R n < l/n. 44.1.1,39 + 0,01.
44.2.0,2589 + 0,0001. 44.3.2,154 + 0,001. 45.1.7,389.
45.2. 1,649. 45.3. 0,3679. 45.4. 0.0175. 45.5. 0,9848.
45.6.3,107. 45.7.4,121. 45.8.0,0392. 46.0,6930; 1,0958; 1,375.
47.3,33978; 3,1426. 48.1.0,24913 + 0,00001.
48.2. 0,041481 + 0,000001. 48.3. 0,444 + 0,001.
48.4. 0,0061785 + 0,0000001. 48.5. 0,190111 + 0,000001.
48.6. 0,503098 + 0,000001. 49.1. 0,0389. 49.2. 0,08728.
49.3. 0,0198035. 49.4. 0,33027929. 49.5. 0,03141.
49.6.0,00382. 49.7. 0,000133232. 49.8.0,494. 49.9. 0,608.
49.10. 40,87. 50.1. У = С о ( 1 х 2 + х 4 х 6 + ". ) = Сое х; .
2 2.4 2.4.6
00 х 2n 00 х 2n + 1
50.2. У = со L ( ) + С 1 L
n=ol. 3 · .... 2п 1 п=12 · 4 · ... · 2п
00 х 4n + 1
50.3. у= L( 1f () ' 51.1. у=2, 51.2. у=2х,
п=О 4 · 5 · .... 4п 4п + 1
х 3 зх 5 х 2 2х 3
52.1. y=x + .... 52.2. y=I+ +....
6 40 2 3
16х 3 2х 3 х 4
52.3. У = 2 + 4х + + ... . 52.4. У = х + --- + ....
3 3 6
154
1 х 3 х 2 х 3
52.5. у:= + х + + .... 52.6. У = 1 + Х + + + ....
2 6 2 2
4 <1) ( 1Y . kтtx 20 00 ( 1Y+I . kтtx
53.1. 3+ L Sln . 53.2. L Sln .
7t k=l k 2 1t k=1 k 1 О
53.3. I cos(2k 1)л.х . 53.4. + f sin(2k + 1)х .
2 1t k=1 (2k 1 f 2 1t k=O 2k + 1
53 5 2 i 1 · (2k 1)л.х
.. + L..J Sln .
1tk=12k 1 2
400 1 7tX
53.6. ---1 + L sin(2k l) .
1tk=12k 1 5
53.7. i ! f [ Sinkтtx + С ОS(2k I)л.х ] .
4 1t k =1 k 1t (2k 1 )2
53.8. 1t + I [ cos(2k l)x +( 1Y Sinkx ] .
4 k=1 1t (2k ---lf k
53.9. I 1 соs (2k l)лх lf ( lf siп lrnх
4 1t k=I(2k lf 3 1tk=1 k 3
53.10. 1t + f ( COS(2k )X +( 1Y+I Sinkx ) .
4 k=1 1t (2k 1) k
53.11. f( lf+1 СОS(2k I)л.х .
5п k=l 2k ---1
53.12. п 2 l f [ COS(2k l)х + ( 11 1t Sinkx ] .
16 2А=1 (2k---lf 2 k
155
OOsin2kx 1t oo( l1'+lsinkx
53.13. 2 L . 53.14. + L .
k=1 k 2 k=l k
7t ( 2 cos(2k ---l)x sin 2kx J
53.15. +L.J ( ) 2 + .
2 k=l 1t 2k 1 2k
53.16. +i f( lr+1 CO 2kx .
1t 1t k=l 4k ---1
а 2 00 1 . ak ( ak J
53.17. + L sln cos ---kx .
2п 7t k=lk 2 2
53.18. f cos(2k + ;)х . 53.19. f: ( 11' 2 sin (2k 1)лх .
7tk=O (2k+1) 7t k=I(2k 1) 2
00 [ 2 . k7tX ( \k+l 4 . 2k --- 1 ]
53.20. L sш + 1) ( 'f 2 SШ 1tX ·
k=l k1t 2 2k 1 1t 2
1 х О 1 1 1
54.1. fdx f f(x,y)dy = fdy ff(x,y}dx + fdy ff(x,y}dx .
о x l y О У
2 8 x2 4Б 8 .J8 y
54.2. fdx f f(x,y}dy=fdy ff(x,y}dx+fdy ff(x,y}dx.
2 х 2 О Б 4 .J8 y
1 2х 2 4 x
54.4. fdx f f(x,y}dy+ fdx ff(x,y)dy=
о х 1 х
4
2 у "3 4 y
= fdy ff(x,y}dx+ fdy ff(x,y}dx.
о у 2 у
2 2
8 x2 +6 О з+ .J9 у 9 з+ .J9 у
54.5. fdx f j(x,y}dy = fdy f.f(x,y}dx + fdy fj(x,y}dx.
о 2x 16 О з -J9 у
2
156
3И
О x 4 y О 2+VY+4
54.6. fdx f f(x,y)dy, fdy= ff(x,y)dx+ fdy ff(x,y)dx.
4 х 2 +з О Ыy+ t y+
о l+ "'x+l 3 x О y
54.7. Jdx f f(x,y}dy+ Jdx= Jf(x,y)dy, Jdy Jf(x,y)dx.
1 l .[;+l О I .[;+l 3 у 2+ 2 )'
I 2
2 2 О 2 2 '\j 4 У
54.9. Jdx J f(x,y)dy + Jdx = If(x,y}dy, Jdy Jf(x,y)dx .
6 2 x 2 4 x2 О 2 y2
3 3 О 3 3 9 у2
54.10. fdx J Lf(x,y)dy + Jdx = Jj(x,y}dy, Jdy Jj(x,y)dx.
12 -J з х 3 9 x2 О 3 y2
1 2 x2 1)'2 J2 2 y2
54.13. fdx ff(x,y)dy= fdy f f(x,y)dx+ fdy ff(x,y)dx.
о Б о о 1 О
4 х 5 4
54.14. fdx ff(x,y)dy + fdx ff(x,y)dy +
2 2 4 2
7 4 4 у+3
+ fdx ff(x,y)dy = fdy ff(x,y)dx.
5 x 3 2 у
О 2+ .J4+y 5 y О 2 .Jx+l 8 2 x
55.1. fdy Jfdx + Jdy ffdx. 55.2. Jdx Jfdy + [ш Jfdy.
4 2 .J4+y О 2 .J4+y 1 2 x+1 О 2 .Jx+l
1 3у 6 3 1 2 2 2
55.3. fdy fjdx + fdy ffdx · 55.4. fdy Jfdx + fdy Jfdx.
о у I у ! I у
2 2 2 у
1 Jh J3 з х2
55.5. Jdx Jfdy + fdx Jfdy .
о о 1 О
157
56.1. 5 / 12. 56.2..... 31/60 . 56.3.....1/8. 56.4. 2/5 .
56.5. --- 4 / 3 . 56.6. п/6.
57.1. 53!. 57.2. 11/120. 57.3. 32..fi /5 . 57.4. 64/15 .
'"
-'
57.5. 32/15. 57.6. 128/15. 57.7. 64/3. 57.8. 88/105.
79а 3
57.9. . 57.10. 48.[6/5. 57.11. 6/35. 57.12. аЗ /3.
60
81п 3
58.1. 2/3. 58.2. . 58.3. 9п / 4 . 58.4. па. 58.5. 31t /4.
8
58.6. 256/9 + 8п. 58.7. 823п / 6 . 58.8. 81п . 58.9. 16п.
а ( ) 2..fi 4
59.1. 2 ....ln 2. 59.2. а .
2 15
60.1. О. 60.2. 16/3. 60.3. 107 /105. 60.4. 72,9. 60.5. 1,9.
1
61.1. 9 . 61.2. 16/15 . 61.3. 64/15 . 61.4. 8а 2 /9.
15
-J2n
62.1. О. 62.2. . 62.3. 81п /16. 62.4. 29п / 6. 62.5. 1 024п / 2 .
2
63.1. 64п / 3 . 63.2. 130,5п. 63.3. 16п. 63.4. те / 9 .
64.1.27/4. 64.2. ( , , ). 64.3. (0,0, ). 64.4. 32п/3.
64.5. 7п/6. 64.6. 881t/З. 64.7. c(o,o,l/S). 64.8. (0,0,2/3).
64.9.7/120. 64.10. 'Yabh ( a2 + Ь 2 ) .
21 5 3
158
2 3
70.5. r .
3
71. --- 3п 8п 3 /3 . 72. 14. 73.1. --- 4п . 73.2. 13,5.
73.4. 11/30 . 73.5. о. 73.6. --- 9п. 74.1..... 4 .
1 41 J82 --- J2 1 ( r:; )
65.1. ln 2 . 65.2. . 65.3. 5" 5 .... 3" 3 .
,,2 3 6
256 3 2 (( ) )
65.4. и а. 65.5.24; О. 65.6.2па. 65.7. ",2 1+п 2 1 .
· 3 ( 3 3+213 ]
66. 5. 67. 18 + 37,5 arCSln 0,8 . 68. 3"'3.... 1 + ln .
4 2 3
69. ( ln3 е 3 1 ; ch3 + ln3 J . 70.1. 86 ; 256 .
е 3 + 1 2 2sh3 7 3
70.2. п. 70.3. 3. 70.4. 18; 4 .
1
70.6. 23 + 12х . 70.7. 4,4. 70.8. 17 .
6
73.3. ---} / 4 .
74.2. 8,5.
3 / 2 23 С 2 Х С
74.3. --- ---1 е. 74.4. л+ 1. 75.1. х У + ух= . 75.2. х y...... = .
у
75.3. xcosy + ysinx = с. 76.1. W(x,y) = 5х 2 у.... 8ху + х + 3у + С .
76.2. W(x, у) = х 3 ..... х 2 У + ху2 .... уЗ + С .
76.3. w(x,y) = ху + sinxy + С. 76.4. W(x,y) = 4х 3 у + + С.
У
х
76.5. W(x,y) = х 2 + уе У + с.
159
РЕКОМЕНДАТЕЛЬНЫЙ БИБлиоrр АФИЧЕСКИЙ СПИСОК
Основной:
БеРМQН r н. Сборник задач по курсу математическоrо анализа. СПб:
Специальная литература, 2000.
Данко П.В Высшая математика в упражнениях и задачах / П.В.Данко,
А.r.Попов, r.Н.Кожевникова. М.: Высшая школ 1997. Т.l, 2.
Филиппов А Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. М.:
Наука, 1992.
Щипачев В.С. Высшая математика'. М.: Высшая школа, 1998.
Дополнительный:
Бойцов А.С. РЯДЫ / А.С.Бойuов, В.А.Попов; Ленинrрадский rорный ин-т.
Л., 1989.
Бу, ров С.Я. Дифференциальное и интеrpальное исчисление / С.Я.Буrpов,
С.М.Никольский. М.: Наука, 1988.
МинорекиЙ В.П Сборник задач по высшей математике. М.: Наука, 1977.
Пискунов Н.С. Дифференциальное и интеrpальное исчисление. М.: Наука,
1985. T.l. 2.
Фlо;пlен(; ольц r. М. Основы математическоrо анализа. М.: Наука, 1964. Т.1.
оrЛАВЛЕНИЕ
1. ДИФФЕРЕНЦИАлЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ................................................... ........ 3
1.1. Основные понятия и определения.............................................................. 3
1.2. Задача Коши ...................... ...... ........... .......................................................... 4
1.3. Общее, чаСТНое и особое решения дифференциальноro уравнения, ero
общий и частный интеrpалы........................................... ................................... 6
1.4. Дифференциальные уравнения nepBoro порядка...................................... 7
1.4.1. Дифференциальные уравнения с разделеиными и разделяющимися
переменныии ................................................................................................ 7
1.4. 2. Однородные дифференциальные уравнения................................... 12
1.4.3. Линейные дифференциальные уравнения nepвoro порядка ........... 16
1.4.4. Уравнение Бернулли........................................................................... 18
1.5. Дифференциальные уравнения высших порядков.................................... 21
(11 )
1.5 .1. Дифференциальные уравнения вида у (х) = /( х) ...................... 21
1.5.2. Дифференциальные уравнения ВЫсших порядков, не содержащие
Искомой функции.................. -....................................................................... 23
1.5.3.Дифференциальные уравнения высших порядков, не содержащие
независимой переменной ............................................................................. 25
1.6. Линейные ОДНОродные дифференциальные уравнения 2-ro Порядка ..... 28
1.6.1. Основные понятия......................................... .......... ..................... ...... 28
1.6.2. Линейные однородные дифференциальные уравнения 2-ro Порядка
с постоянными коэффициентами................................................................ 3 ]
1.6.3. Линейные ОДНОРОдные дифференциальные уравнения n-ro ПОРЯДка с
ПОСтоянными кОэффициентами................................................................... 35
1.7. Уравнение Эйлера.. ................... .................... ......... ............ ................... ....... 36
1.8. Линейные неОДНОРОдные дифференциальные уравнения 2-ro порядка с
переменныии кОэффициентами......................................................................... 38
1.9. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-1'0 ПОрядка с
постоянными коэффициентами................................................................... ...... 39
].9. ]. Метод подбора частноrо решения......... ................ ........ .... ................ 39
] .9.2. МетОД вариации произвольныx постоянНых.................................... 46
49
2 . РЯДЫ .....................................................................................................................
2.1. Числовые рЯДЫ. Числовые положительные РЯДЫ ..................................... 49
ерем енные и знакочередующиеся рЯДЫ. Абсолютная и
2.2. Числовые знакоп 61
условная сходимость ... ........... .... ....... .... ........................ .................... .................
]61
2.3. Функциональные ряды. Степенные ряды .................................. ....... ......... 65
2.4. Разложение функции в степенной ряд ........ ...... ......... ..... ........... ......... ....... 73
2.5. Оценка остатка ряда. Приближенное вычисление суммы ряда............... 80
2.6. Приближенные вычисления с помощью рядов ......................................... 84
2.6.1. Вычисление значений функций и определенноrо интеrpала.......... 84
2.6.2. Интеrpирование дифференциальных уравнений ............................. 87
3 . РЯД фУРЬЕ........................................................................................................... 93
4. ИНТЕrPАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ пЕрЕмЕшIых 102
4.1. Двойной интеrpал и ero вычисление.... ...... ...... ..... ..... ............ ......... ...... ..... 102
4.2. Вычисление объемов тел...... ............................ .......................... ...... ........... 111
4.3. Замена леременных в двойном интеrpале ................................................. 113
4.4. Тройной интеrpал и ero вычисление в декартовых координатах ............ 116
4.5. Замена переменных в тройном интеrpале.................................................. 1 18
4.6. Приложения кратных иНтеrpалоВ........... ...... ...................... ....... ............ ..... 122
4.7. Криволинейный интеrpал первоrо рода..................................................... 126
4.8. Криволинейный интеrpал BToporo рода.... ......... .................. ............. .... ..... 130
4.9. Теорема rрина................ ....................... ...... .................... ......................... .... 134
4.10. Независимость криволинейноrо интеrрала ОТ пyrи интеrрирования.
Полный дифференциал....................................................................................... 137
ОТВ Е ТЫ .. .. ...... ... ........ . ........... .. .. . . ... .. .. ....... .. .. . .. .. .. .... .. .... ...:.. . .. .. . .. .... ... .. .... ... .. .. .. .... .. t 41
РЕКОМЕНДАТЕЛЬНЫЙ БИБлиоrРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК ......................... 160
УЧЕБНОЕ ИЗДАНИЕ
rОСПОДАРИКОВ Александр 17еlпровuч
БЕС1УЖЕВА Алла Николаевна
КАРПЕНКО Валентин Викторович
ЛЕБЕДЕВ И20рЬ Алексеевич
ОБРУЧЕВА Таnlьяна Сер2еевна
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ПР АКТИКУМ
Часть 4
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Ряды. РЯДЫ ФУРЬЕ.
ИНТЕrР АЛЪНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ
НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
УчеБНО Аtетодическое пособие
Редактор Л.А..Певина
Корректор И. В. Неверова
Компьютерная верстка Н Н.Высоцкой
Лицензия ид N2 06517 от 09.01.2002
Подписано к печати 24 07 07 Формат 60 х 84/16 Бум. ДJIЯ копировальной техники.
Ornечатано на ризоrрафе. rарНИ1)'ра «ТаЙМС».УСЛ.печ л. 9,36 Усл.кр.--отт 9,36.
УЧ.-изд.Л 5,5. Тираж 400 ЭК3 Заказ 350 С 84
Санкт-Петербурrский rосударственный rорный институт им I .B Плеханова
РИЦ Санкт-Петербурrскоrо rосударственноrо ropHoro института
Адрес института и РИЦ' 199106 Санкт-Петербурr, 21-я линия, 2