Текст
Absorption and Scattering
of Light by Small
Particles
CRAIG F. BOHREN
Associate Professor of Meteorology
The Pennsylvania State University
DONALD R. HUFFMAN
Professor of Physics
The University of Arizona
A Wiley-lnterscience Publication
John Wiley & Sons
New York"Chichester
•Brisbane^Toronto
•Singapore
К. Борен
Д. Хафмен
Поглощение
и рассеяние света
малыми частицами
Перевод с английского
кандидатов физ.-мат. наук
З.И.ФЕЙЗУЛИНА,
А.Г. ВИНОГРАДОВА,
Л.А. АПРЕСЯНА
с предисловием
член-корр. АН СССР
В.И. ТАТАРСКОГО
Москва
«Мир»
1986
ББК 22.343
Б82
УДК 535.3
Борен К., Хафмен Д.
Б82 Поглощение и рассеяние света малыми частицами:
Пер. с англ. - М.: Мир, 1986. - 664 с., ил.
Монография видных американских специалистов, посвященная
важной для практики проблема поглощения и рассеяния света мальм
ми частицами в жидкой (океан) ипи газовой (атмосфера) средах.
Именно эти процессы определяют распространение электромагнитных
волн в среде и тем самым видимость в воде или в воздухе.
Рассчитана на физиков, астрофизиков, метеорологов, океаноло-
гов — теоретиков и прикладников. Может служить учебным пособием
для студентов соответствующих специальностей.
_ 1704050000 - 082 ee
Б------------------- 58 - 86, ч. 1
041(01) - 86
ББК 22.343
535
Редакция литературы по астрономии, геофизике
и космическим исследованиям
© John Wiley & Sons, Inc., 1983.
All Rights Reserved. Authori-
zed translation from English
language edition published by
John Wiley and Sons, Inc.
© перевод на русский язык,
"Мир", 1986.
Предисловие к русскому изданию
Предлагаемая советскому читателю монография К. Борена и
Д. Хафмена посвящена подробному исследованию задачи о рассеянии
света изолированными малыми частицами. Важность этой задачи для
приложений очевидна и следует уже из непрекрашаюшегося потока
статей, публикуемых после выхода известных переводных монографий
ван де Хю,лета и Дейрменджана. Новая книга на эту тему вызовет не-
сомненный интерес советского читателя, поскольку в ней отражены и
современные достижения теории, и многочисленные эксперименталь-
ные результаты последних ,лет. Другим несомненным достоинством
этой монографии яцляется то, что в ней одновременно со свойствами
рассеивающих частиц подробно описываются оптические характерис-
тики веществ, из которых они состоят.
Изложение материала отличается простотой, наглядностью и по-
следовательностью. Эта книга предназначена не только для узких
специалистов, которых она, без сомнения, привлечет полнотой охвата
рассмотренных вопросов. При ее написании авторы рассчитывали и
на широкий круг читателей, работающих в самых разнообразных облас-
тях науки и техники. Поэтому наряду со строгим математическим опи-
санием многих связанных с рассеянием света явлений авторы стреми-
лись дать им простую и наглядную физическую интерпретацию, обхо-
дясь при этом без громоздких формул, а объясняя результаты с ука-
занием ссылок на оригинальную литературу. Имеющийся в монографии
библиографический список достаточно подробен (около 500 наимено-
ваний) и охватывает большое количество статей последних лет, в ос-
новном зарубежных авторов. С работами советских авторов по дан-
ному вопросу можно познакомиться, например, по недавно выпущен-
ной минским издательством "Наука и техника" книге А.П. Пришивдлко,
В.А. Бабенко и В.Н. Кузьмина "Рассеяние и поглощение света неод-
нородными и анизотропными сферическими частицами" (1984 г.).
Резюмируя сказанное, можно заключить, что книга Борена и Хаф-
мена дслжна вызвать интерес как среди теоретиков, так и среди ши-
рокого круга экспериментаторов и прикладников, связанных с зада-
чами рассеяния излучения на малых частицах, так как она позволит
им быстро ознакомиться с последними достижениями в этой области
и в то же время может быть полезна в качестве справочного пособия.
Март 1985 г. Член-корр. АН СССР В.И. Татарский
Посвящаем нашим семьям
Предисловие
Если бы во время работы над этой книгой нас спросили, что смог-
,ло отцлечь нас на столь долгое время от радостей нормальной жизни,
то мы ответили бы: "Нечто о том, как малые частицы поглощают и
рассеивают свет”. "Помилуйте, - возразили бы нам, - да кого же это
интересует?" Но оказывается, что ученые и инженеры удивительно
разных специальностей — среди которых и физика твердого тела, и
прикладная электродинамика, и метеорология, и химия, и биофизика
и астрономия — вынуждены совершать экскурсы в эту область знания.
Полностью удовлетворить столь разнородный круг специалистов
со своими традициями, обозначениями, терминологией и канонами -
невыполнимая задача: физики предпочитают язык элементарных воз-
буждений - фононы, цлазмоны и т.п., в области прикладной электро-
динамики больше .любят язык антенн и волноводов, а химикам и био-
физикам, по-видимому, не нравится ни то, ни другое. Поэтому мы пос-
тарались найти "золотую середину" и надеемся, если уж не удовлет-
ворить всем вкусам, то хотя бы не противоречить им. Между тем мы
сами стоим на точке зрения физиков. Квантово-механические понятия
привлекаются только там, где они служат для объяснения физических
явлений; во всех же остальных случаях наш подход опирается на клас-
сическую физику.
Основой для данной книги, как и для огромного большинства дру-
гих, послужили записи .лекций. Вместе и по отдельности мы читали
лекции для студентов старших курсов и научных работников с самыми
разными подготовкой и интересами; именно на таких читателей мы и
рассчитываем. Несмотря на то что книга написана скорее как научная
монография, а не учебник, в ней сохранился педагогический привкус,
связанный с ее истоками. Действительно, многие из приведенных в
ней материалов прямо отвечают на вопросы, которые обычно задают-
ся в студенческих аудиториях, а иногда задавались нам и нашими
коллегами.
Есть одна важная мысль — raison d’etre [разумное основание]
этой книги, — которую мы хотели бы как можно лучше укоренить в
мыслях читателей. Она состоит в том, что теория рассеяния не полна,
если ее рассматривать изолированно от оптических характеристик
вещества. Решение граничных задач электродинамики может быть хо-
рошим развлечением и часто требует значительного мастерства, но
Предисловие
7
физические следствия математических решений остаются скрытыми,
если почти ничего не знать о том, как показатели преломления раз-
ных веществ зависят от частоты, какие значения они принимают и ка-
кие ограничения на них налагаются. В соответствии с этим предлага-
емая читателям книга разбита на три части.
Часть 1 (гл. 1-8) посвящена собственно теории рассеяния. Пос-
ле введения (гл. 1) в ней имеется глава (гл. 2), где приведены те воп-
росы электродинамики, которые существенны для понимания последу-
ющих шести глав с изложением точных и приб>лиженных решений раз-
личных задач рассеяния. Поскольку непрерывный поток математичес-
ких формул заметно утомляет, мы кое-где разбавили материалы этих
глав численными и экспериментальными результатами.
Предметом ч. 2 являются не сами частицы, а вещество, из кото-
рого они состоят. В гл. 9 обсуждаются классические теории оптичес-
ких характеристик, опирающиеся на идеализированные модели. Одна-
ко такие модели почти никогда не согласуются с реальностью во всех
отношениях; поэтому в цл. 10 приведены экспериментальные резуль-
таты для трех характерных веществ, полученные в широком диапазо-
не частот — от радиоволн до ультрафиолетового излучения. В качест-
ве этих веществ выбраны: алюминий (металл), окись магния (твердый
диэлектрик) и вода (жидкость).
Часть 3 - это своеобразный союз первых двух частей, плодами
которого стали главы об экстинкции (гл. 11), поверхностных модах
(г,л. 12) и угловом распределении рассеяния (гл. 13). Нельзя сказать,
чтобы в первых 13 главах вообще не было речи о приложениях, но в
основном они сконцентрированы в гл. 14.
Мы не пытались составить исчерпывающий список литературы, ес-
ли это вообще возможно. Зато мы сконцентрировали свое внимание на
работах, опубликованных после выхода в 1969 г. книги Керкера [264],
в которой имеется около 1000 ссылок. Но даже с учетом этого ограни-
чения при отборе работ мы руководствовались скорее своими склон-
ностями, а не неким идеальным понятием полноты.
Мы избегали вызывающих раздражение утверждений типа "мож-
но показать", которые выглядят успокаивающе, но обычно говорят
о чрезмерном стремлении побыстрее опубликовать результат. Разуме-
ется, мы не приводим всех деталей длинных выводов, но всегда рас-
ставляем "дорожные указатели" в количестве, достаточном, чтобы
8
Предисловие
сих помощью читатель мог, немного потрудившись, повторить все
наши результаты. Мы всюду выбираем самые простые выводы, пред-
почитая математической строгости физическую наглядность. Тем,
кто настаивает на математической строгости, напомним, что то, что
строго для одного, смертельно скучно для другого.
При работе мы не "пользовались ножницами", так что книга не
компилятивна: все выводы принадлежат нам, так же как и большинст-
во графиков, многие из которых построены на основе расчетов по
приведенным в приложениях программам для ЭВМ. Даже эксперимен-
тальные данные в большинстве своем отбирались с мыслью о приме-
рах для книги. Поэтому за все ошибки ответственность ложится толь-
ко на нас.
Юниверсити-Парк, шт. Пенсильвания
Тусон, шт. Аризона
Январь 1983 г.
Крэг Ф. Борен
Дональд Р. Хафмен
От авторов
При работе над этой книгой большую часть времени я был странст-
вующим стипендиатом. С приездом в каждую новую организацию круг
пиц, которым я обязан за предложения, замечания и поддержку, рас-
ширялся. Время многое стерло из моей памяти и не позволяет отдать
должное всем им, но вклад многих все же запомнился.
Дайя Гилра, мой сослуживец по кафедре прикладной математики
и астрономии в Кардиффском университетском колледже (Уэльс), пред-
ложил мне прочитать курс лекций по рассеянию света, конспекты кото-
рых послужили впоследствии черновыми материалами для этой книги.
Я ему очень признателен и за это, и за многое другое. Моя благодар-
ность распространяется и на тех, кто честно посещал эти лекции, —
особенно это касается моих сотрудников Гарри Абади и Индра Дайяван-
са, а также Иоахима Келлена. Не поблагодарить за помощь двух чле-
нов кафедры чистой математики Кардиффского колледжа-В.Д. Эванса
и Джорджа Гривса - было бы знаком невнимания с моей стороны.
,Луи Беттен обеспечил мое более чем годичное пребывание в Ин-
ституте физики атмосферы Аризонского унивёрситета и оказывал мне
постоянную поддержку, хотя я не всегда следовал его мудрым сове-
там. Син Туоми бул острым критиком, неисчерпаемым источником
идей и арбитром в спорах. Без его постоянных подстегиваний: "А сколь-
ко страниц ты написал сегодня, Крэг?" - работа над этой книгой
продолжалась бы еще долго. Маргарет Сандерсон Рэй терпеливо от-
вечала на сотни вопросов по стилистике и тщательно проверила нес-
колько первых глав, с тем чтобы я не слишком отошел от правил хоро-
шего изложения. Е. Филип Крайдер и Майкл Бокс тоже прочитали не-
которые части рукописи, и я благодарен им за советы.
В Аризоне частичную поддержку я получил и от кафедры физики
благодаря, великодушию Роберта Парментера. Я также обязан и дру-
гим членам этой кафедры, особенно Джону Кесслеру, Майклу Скэдро-
ну, Бернарду Бэллу, Рейну Килксону и Вильяму Бикелю.
Субсидия от Института здоровья и охраны окружающей среды в
Монреале, полученная благодаря .любезной помощи Джорджа Райта,
позволила мне вернуться в Уэльс, где я работал с Верноном Тимбрел-
лом в медицинском отделении Научного совета по .легочным заболе-
ваниям Дандафского госпиталя. Именно здесь была написана большая
часть гл. 8 и первый вариант приложения В.
10
От авторов
Дальнейшая работа над. книгой велась в Лос-Аламосской нацио-
нальной лаборатории, за что я должен быть благодарен Полю Мулло-
ни. Я также признателен Гэйри Зальцману за многостороннюю по-
мощь, а также Салли Уилкинс, которая проверила программы из при-
ложений и несколько усовершенствовала их. Тем не менее она не не-
сет ответственности за получающиеся численные результаты.
Моим коллегам по Пенсильванскому университету — Алистэру
Фрэйзеру, Джону О.ливери и Тимоти Невитту - я благодарен за помощь
по устранению некоторых ошибок.
Заслуживают слов благодарности также Альфред Голланд и Арлон
Хант.
Беатрис Шуба в Уцли, говоря словами популярной песенки ансамб-
ля Биттлз, "была для нас подобна мамочке".
Однако самая глубокая благодарность должна быть адресована
Панет Малот Борен: она осталась без внимания более чем на три года,
но безропотно сопровождала меня во всех переездах, и белее того,
прочитала каждую страницу рукописи (и не раз!) и существенно улуч-
шила ее стиль.
К.Ф.Б.
За помощь при изучении вопросов о взаимодействии света с ма-
лыми частицами я сердечно благодарен студентам и сотрудникам, ко-
торые были моими коллегами в течение многих лет: Джеймса ,Л. Стэп-
па, Терри Стийера, Роджера Перри, Джейниса Ратмана, Отто Эдоха,
Лина Оливера, Вольфганга Кречмера и Кенрика Дэя. Особой благодар-
ности заслуживает Арлон Хант за совместную работу, которую мы
проводили в те дни, когда все о малых частицах было для нас новым,
захватывающим и подчас вызывало острые дискуссии.
Д.Р.Х.
Часть 1
Основы теории
Гпава 1
Введение
Кучевые облака в летний полдень являют собой удивительное зре-
лище: нас поражает контраст их белизны с фоном ярко-голубого не-
ба. Во время внезапного грозового .ливня небо украшается многоцве-
тьем главной и побочной радуг. В природе много разных красок -
это и темная зелень лесной листвы, и красные с оранжевым оттенки
Большого Каньона ранним утром. Высоко в горах цли в пустыне, ког-
да воздух прозрачен, можно отчетливо видеть темные пятна в яркой
полосе Млечного Пути. Все, на что попадает вылетающая из труб са-
жа, обращается в грязную черноту, а радужный опал переливается
разными цветами. Все эти явления и многие другие возникают вслед-
ствие рассеяния и поглощения света малыми частицами, чему и пос-
вящается данная книга. Однако мы не станем ограничиваться лишь
видимым светом.
Изучение рассеяния света и его применений - это слишком об-
ширная область, чтобы успешно охватить ее в одной книге. Поэто-
му мы ограничимся рассеянием на отдельных частицах в рамках
классической электромагнитной теории и линейной оптики. Не все из
приведенных выше примеров укладываются в эти ограничения. Окрас-
ка скал и .листвы, например, объясняется сложным взаимодействием
света со многими густо расположенными центрами рассеяния и погло-
щения. Тем не менее любое обстоятельное рассмотрение самых слож-
ных явлений начинается с тех вопросов, которые здесь будут изло-
жены.
1.1. ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПРОЦЕССОВ РАССЕЯНИЯ И
ПОГЛОЩЕНИЯ
Рассеяние электромагнитных волн .любой системой связано с ее
неоднородностью либо на молекулярном уровне, либо на уровне скоп-
лений, состоящих из многих молекул. Независимо от типа неоднород-
ности физические принципы рассеяния остаются одинаковыми для
12
Глава 1
Падающий
РИС. 1.1. Рассеяние препятствием.
всех систем. Вещество состоит из дискретных электрических заря-
дов: электронов и протонов. Если на какое-либо препятствие, которое
может быть отдельным электроном, атомом или молекулой, частицей
твердого вещества или жидкости, падает электромагнитная волна
(рис. 1.1), то под воздействием электрического поля падающей волны
электрические заряды в этом препятствии приходят в колебательное
движение. Ускоренные электрические заряды излучают электромаг-
нитную энергию во всех направлениях; именно это вторичное излуче-
ние называют излучением, рассеянным препятствием:
Рассеяние = возбуждение + переизлучение.
Помимо переизлучения электромагнитной энергии возбужденные эле-
ментарные заряды могут преобразовывать часть падающей электро-
магнитной энергии в другие виды (например, в тепловую энергию);
такой процесс называют поглощением. Рассеяние и поглощение не яв-
ляются взаимно независимыми процессами, и хотя, для краткости мы
будем часто упоминать только рассеяние, мы всегда будем иметь в
виду также и поглощение.
1.2. РАССЕЯНИЕ НА ФЛУКТУАЦИЯХ И ЧАСТИЦАХ
Все среды, за исключением вакуума, являются в определенном
смысле неоднородными. Даже в средах, которые мы считаем однород-
ными (например, чистые газы, жидкости или твердые тела), с помо-
щью достаточно тонкого зонда можно выделить отдельные неоднород-
Введение
13
РИС. 1.2. Отражение и преломление на оптически гладкой границе раздела.
ности (атомы и молекулы). Поэтому все среды рассеивают свет. В ре-
зультате рассеяния возникают многие явления, которые обычно с
рассеянием не связывают: 1) диффузное отражение шероховатыми по-
верхностями; 2) дифракция на щелях, решетках и краях; 3) зеркаль-
ное отражение и преломление на оптически гладких границах разде-
ла. Рассмотрим последний пример более подробно. Направления отра-
женного и преломленного лучей на рис. 1.2 определяются законом
зеркального отражения и законом Снеллиуса. Эти законы эмпиричес-
ки установлены очень давно. Между тем они могут быть получены с
использованием уравнений Максвелла, и здесь можно также найти
амплитуды и фазы отраженного и преломленного лучей (т.е. форму-
лы Френеля). Кроме того, можно, хотя это и не просто, вывести эти
законы из детального рассмотрения молекулярного строения вещества.
Прозрачная среда, на которую падает свет (рис. 1.2), представ-
ляет собой скопление очень большого числа молекул. Поле вблизи
данной молекулы наводит в ней переменный дипольный момент, кото-
рый в свою очередь приводит к появлению вторичного дипольного из-
,лучения. Твердые тела, жидкости -и многие газы являются оптически
плотными; иными словами, расстояние между молекулами намного
меньше длины волны падающего света. В твердых телах и жидкостях
расстояние между молекулами порядка 2 - 3 А, тогда как для газе®
при нормальных температуре и давлении (НТД) среднее расстояние
составляет около 30 А. Таким образом, каждая молекула находится
14
Глава 1
под воздействием не только поля падающей волны, но и суммы вто-
ричных полей всех остальных молекул. Само же вторичное поле моле-
кулы зависит от того поля, в котором она находится. Поэтому мы
имеем дело с электромагнитной задачей многих тел: молекулы оказы-
ваются связанными. Окончательное решение этой задачи при допусти-
мых приближениях состоит в том, что внутри среды вторичные волны
налагаются друг на друга и на падающую волну и дают преломленную
волну, распространяющуюся со скоростью с,/п, где с - скорость све-
та в вакууме, ап - показатель преломления. Падающая волна пол-
ностью гасится внутри среды; этот факт называют теоремой погаше-
ния Эвальда - Озеена. За пределами среды вторичные волны, налага-
ясь друг на друга, дают зеркально отраженную волну. Как мы увидим
в гл. 9, п зависит от числа молекул в единичном объеме и поляризу-
емости отдельной мрлекулы; таким образом, в сущности преломление -
это одно из явлений рассеяния, а показатель преломления - по существу резуль-
тат рассеяния множеством молекул, из которых состоит среда.
Тщательный эксперимент в условиях, изображенных схематично
на рис. 1.2, обнаруживает явление, которое противоречит закону пре-
ломления в его обычной формулировке. Предположим, что мы осве-
щаем в полной темноте прозрачную среду, например чистую воду, ин-
тенсивным лазерным пучком. Даже если среда не содержит никаких
примесных частиц, траектория пучка в среде может стать слабо заг
меткой и при наблюдении в направлениях, не .лежащих в плоскости паг
дения (возможно, для этого понадобится соответствующий приемник).
Это не согласуется с законом Снеллиуса, который утверждает, что
преломленный,луч .лежит в плоскости падения, и не учитывает света,
не лежащего в этой плоскости. Поэтому закон Снеллиуса - это .лишь
первое приближение, и мы должны продвинуться глубже, чтобы рас-
крыть происхождение этого слабо рассеянного во всех направлениях
света, который налагается на более интенсивный однонаправленный
преломленный пучок.
Обычно при анализе взаимодействия пучка света с оптически глад-
кой границей раздела предполагается, что преломляющая среда явля-
ется идеально однородной, в то время как на самом деле она однород-
на .лишь в статистическом смысле. Это означает, что среднее число
мцлекул в данном элементе объема постоянно, однако в любой момент
времени число молекул в этом элементе будет иным, нежели в дру-
гой момент времени. Именно такие флуктуации плотности приводят
Введение
15
к рассеянию в оптически плотных средах. Хотя мы для краткости и го-
ворим о рассеянии на флуктуациях, следует подчеркнуть, что рассеи-
вающими элементами являются именно молекулы. Однако можно от-
влечься от молекул и представлять себе рассеяние как результат ло-
кальных флуктуаций плотности в однородной в остальном среде. Поэ-
тому было бы точнее говорить о флуктуационной теории рассеяния
на молекулах, чем о рассеянии на флуктуациях.
Существуют и другие виды флуктуаций. Так, например, если рас-
творить сахар в воде, то после тщательного перемешивания концент-
рация сахара станет в среднем однородной, однако флуктуации концен-
трации приведут к рассеянию. Если молекулы имеют несферическую
форму, то возникают еще флуктуации ориентации.
Такое рассеяние на флуктуациях мы здесь не рассматриваем, а
ограничимся рассеянием на частицах, флуктуация же не является час-
тицей в нашем смысле. Важно различать рассеяние на флуктуациях
и рассеяние на частицах, поскольку имеется обширная .литература по
"рассеянию света", которая не имеет отношения к предмету данной
книги. Хотя математические выражения часто аналогичны, физичес-
кое содержание их несколько различно: рассеяние на флуктуациях,
например, описывается на основе термодинамических законов, в то
время как рассеяние на частицах нет. Более того, установилась об-
щая терминология, которая может приводить к путанице. Так, напри-
мер, рассеяние на флуктуациях плотности в идеальных газах имеет таг
кой же функциональный вид, как и рассеяние на разбавленных взвесях
частиц, малых по сравнению с длиной волны. Мы будем называть пос-
ледний тип рассеяния рэлеевским рассеянием, между тем в теории
рассеяния на флуктуациях этот термин может иметь несколько иное
значение. Мы отсылаем читателя к статье .Юнга [ 525], где он класси-
фицирует все различные ситуации, в которых термин "рэлеевское рас-
сеяние" употребляется верно или неверно.
Основной проблемой, которую мы здесь рассмотрим, является за-
дача о взаимодействии света произвольной длины волны с отдельной
частицей (т.е. с некоторой вполне определенной совокупностью очень
большого числа атомов или молекул), которая погружена в однород-
ную в остальном среду (рис. 1.3). Мы называем среду однородной, ког-
да масштаб атомной или молекулярной неоднородности мал по сравне-
нию с длиной волны падающего света; кроме того, мы пренебрегаем
рассеянием на флуктуациях, которое обычно гораздо слабее, чем рас-
16
Глава 1
Падающий сеет
Однородная
среда
РИС. 1.3. Взаимодействие света с отдельной частицей.
сеяние на частицах. Несмотря на то что частица может иметь сложную
форму и состоять из нескольких однородных компонент, предположим,
что вещество частицы в каждой точке можно описывать макроскопи-
ческим образом. Это означает, что оптические свойства частицы или
ее отдельных участков полностью определяются частотной зависимос-
тью оптических характеристик, так что квантовый подход к описанию
элементарных возбуждений не требуется.
Мы ограничимся случаем упругого рассеяния: частота рассеянно-
го света такая же, как и у падающего света. Это исключает из рас-
смотрения такие явления неупругого рассеяния, как рассеяние Ман-
дельштама - Бриллюэна и рассеяние Рамана. Упругое рассеяние иног-
да называют когерентным рассеянием, однако термин "упругое" физи-
чески белее нагляден, а понятие когерентности как определенной свя-
зи между фазами различных источников излучения строго устанавли-
вается в оптике. Увеличивает путаницу еще и то, что рэлеевским рас-
сеянием иногда называют рассеяние без изменения частоты. За разъ-
яснениями отсылаем читателя к статье ,Юнга [525].
1.3. ФИЗИКА РАССЕЯНИЯ ОТДЕЛЬНОЙ ЧАСТИЦЕЙ
Понять физический механизм рассеяния отдельной частицей мож-
но , не конкретизируя вида частицы и не прибегая к каким-либо вы-
Введение
17
Падающий свет
РИС. 1.4. Полное рассеянное попе в точке Р — результат сложения всех
элементарных волн от областей, на которые разбита частица.
числениям. Рассмотрим произвольную частицу, которую мысленно
разобьем на малые области (рис. 1.4). Приложенное колеблющееся по-
ле (например, поле падающей электромагнитной волны) наводит в каж-
дой области дипольный момент. Эти диполи колеблются с частотой при-
ложенного поля и поэтому создают вторичное излучение во всех на-
правлениях. Поскольку рассеянные диполями поля когерентны, пол-
ное рассеянное поле в данном направлении (т.е. в направлении удален-
ной точки Р) получается сложением рассеянных волн с учетом фазо-
вых соотношений между ними. Эти фазовые соотношения, вообще, го-
воря, зависят от направления рассеяния, поэтому можно ожидать, что
рассеянное поле будет меняться с направлением рассеяния. Если час-
тица мдла по сравнению с длиной волны, то все вторичные волны на-
ходятся примерно в фазе; ясно, что для такой частицы рассеяние ма-
ло меняется с направлением. То, что это действительно так, будет
показано в цл. 5. С увеличением размера частицы возрастают возмож-
ности для взаимного усиления цли подавления рассеянных велн, отку-
да следует, что, чем бельше частица, тем больше пиков и провалов
в индикатрисе рассеяния. Форма частицы также имеет важное значе-
ние: если частицу, показанную на рис. 1.4, деформировать, то все фа-
зовые соотношения изменятся, а следовательно, изменится и индика-
триса рассеяния.
2 -205
18
Глава 1
Фазовые соотношения между рассеянными волнами зависят от гео-
метрических факторов: направления рассеяния, размера и формы. Од-
нако амплитуда и фаза наведенного дипольного момента для данной
частоты зависят от свойств вещества, из которого состоит частица.
Таким образом, для полного описания рассеяния и поглощения малыми
частицами необходимо знать отклик объемного вещества на осцил-
лирующие электромагнитные поля; этот вопрос является предметом
цл. 9 и 10.
Методы расчета рассеяния частицами физически эквивалентны
приему, описанному выше, хотя их математическая форма может
скрывать лежащую в основе физику явления. Тем не менее для неко-
торых классов частиц рассеянное поле можно приближенно найти пу-
тем разбиения частицы на дипольные рассеиватели и сложения рас-
сеянных врлн; именно это делается в приближении Рэлея - Ганса
(гл. 6), в котором взаимодействие диполей не учитывается. Более об-
щий метод расчета, в котором взаимодействие диполей учитывается,
рассмотрен в [382] (см. разд. 8.6).
1.4. СКОПЛЕНИЯ ЧАСТИЦ
Основная рассматриваемая нами задача - это рассеяние и пог-
лощение отдельными частицами. Между тем в реальных условиях
обычно приходится сталкиваться со скоплениями очень большого чис-
ла частиц. Даже в лаборатории, где возможны эксперименты с отдель-
ными частицами, удобнее проводить измерения на многих частицах.
Строгий теоретический подход к рассеянию многими частицами на
самом деле является очень сложной задачей (см., например, [73]).
Однако при выполнении определенных условий в случае скопления час-
тиц не возникает дополнительных аналитических трудностей по срав-
нению со случаем отдельной изолированной частицы.
Частицы в скоплении находятся в электромагнитном взаимодей-
ствии: каждая из них возбуждается внешним полем и суммарным по-
лем рассеяния всех других частиц; при этом поле, рассеянное части-
цей, зависит от полного поля, в которое она помещена. Значительные
упрощения возникают в предположении однократного рассеяния: чис-
ло частиц достаточно мало, а расстояние между ними достаточно ве-
лико, так что в окрестности каждой частицы полное поле, рассеян-
ное всеми частицами, мало по сравнению с внешним полем. При этом
предположении полное рассеянное поле представляет собой сумму по-
Введение
19
лей, рассеянных отдельными частицами, каждая из которых находит-
ся под воздействием внешнего поля в изоляции от других частиц.
Сформулировать точно общие условия, при которых применимо приб-
лижение однократного рассеяния, довольно трудно; оно, например, не-
справедливо для облаков, где может оказаться существенным много-
кратное рассеяние. Однако в лабораторных экспериментах обычно
можно приготовить разбавленные взвеси с частицами достаточно ма-
лого размера, чтобы обеспечить режим однократного рассеяния.
Помимо предположения об однократном рассеянии будем считать,
что частиц много, а расстояния между ними случайны, что отвечает
некогерентному рассеянию. Это означает, что фазы волн, рассеян-
ных отдельными частицами, не связаны между собой каким-либо оп-
ределенным соотношением; поэтому полная интенсивность рассеяния
скоцлением частиц точно равна сумме интенсивностей рассеяния от-
дельными частицами. Между тем даже в скоплении случайно располо-
женных частиц рассеяние оказывается когерентным в направлении
вперед; к этому вопросу мы еще вернемся в гл. 3.
1.5. ПРЯМАЯ И ОБРАТНАЯ ЗАДАЧИ
Имеется два основных класса задач в теории взаимодействия
электромагнитной волны с малой частицей.
Прямая задача. Задана частица определенной формы, размера и
состава, освещенная пучком данной интенсивности, поляризации и
частоты; требуется найти поле всюду. Это "легкая" задача; она состо-
ит в описании следе® известного дракона (рис. 1.5, а).
Обратная задача. Путем анализа рассеянного поля описать час-
тицу или частицы, которые являются причиной этого рассеяния. Это
"тяжелая" задача; она состоит в описании самого дракона путем изуче-
ния его следов (рис. 1.5, б).
К сожалению, чаще всего представляет интерес именно обратная
задача, на решение которой, по-видимому, направил бы свои усилия
Шерлок Холмс, будь он физиком, а не детективом. Так, например, од-
ной из нерешенных задач в астрономии является состав межзвездной
пыли. Хотя имеется мало сомнений в существовании этой пыли, пол-
ная ее идентификация до сих пор остается нерешенной задачей, не-
смотря на значительные усилия. Единственной возможностью для ее
Решения является анализ света различных длин волн, проходящего
20
Глава 1
РИС. 1.5. а — прямая задача: описать следы известного дракона, б — обрат*
ная задача: описать дракона по его следам.
через пыль без рассеяния или поглощения, и — реже — света, рассеян-
ного пылью в разных направлениях.
В .лабораторных исследованиях методы, основанные на рассеянии
света, часто используются для определения размера частиц извест-
ной формы и состава. Для распознавания дождя и града можно вос-
пользоваться радиолокационным рассеянием. Во всех этих приложе-
ниях основная задача состоит в описании одного дракона (или группы
драконов) по детальному исследованию его следов. Чтобы понять, по-
чему мы относим зту задачу к категории "тяжелых'’, необходимо
учесть, что информация, требуемая для однозначного определения час-
тицы, включает в себя: 1) векторную амплитуду и фазу поля, рассеян-
ного во всех направлениях, и 2) поле внутри частицы [218]. Поле внут-
ри частицы, как правило, непосредственно измерить нельзя, но при
некоторых условиях (главным образом в .лаборатории) это поле можно
аппроксимировать полем падающей волны (гл. 6). Однако даже в таком
частном случае требуется знать амплитуду и фазу рассеянного поля.
В принципе это возможно, но на практике почти недостижимо. Обыч-
но для исследования доступны измерения интенсивности света, рас-
сеянного в нескольких направлениях. Поэтому почти всегда перед на-
ми стоит задача попытаться описать частицу (или - еще хуже - набор
частиц), располагая данными в меньшем объеме, чем это необходимо
в идеальной теоретической постановке задачи. Однако это не обяза-
тельно приводит к безнадежному положению. Зачастую дополнительная
Введение
21
информация о частицах, полученная иными, нежели из рассеяния све-
та, способами, оказывается достаточной для их описания. Поэтому не
следует слишком легко отбрасывать ту малую информацию, которая
уже имеется или которую еще можно получить. Одним из источников
информации, которому порой уделяют мало внимания, являются поля-
ризационные свойства рассеянного света, подробно изложенные в пос-
ледующих главах.
ЗАМЕЧАНИЯ И КОММЕНТАРИИ
Превосходное краткое изложение рассеяния молекулами и части-
цами (однократное и многократное) на среднем уровне сложности со-
держится в гл. 4 книги Стоуна [451]. Среди книг, целиком посвященных
рассеянию частицами, более всего сходна с нашей книга Шифрина
[429], в которой также рассматриваются оптические свойства объем-
ного вещества. Однако наибольшее влияние на нас оказали книги
ван де Хюлста [488] и Керкера [264], и мы признательны обоим этим
авторам. Еще одна книга по рассеянию, в которой уделено основное
внимание полидисперсным средам, принадлежит Дейрменджану [126].
Имеются также работы, .лишь частично посвященные рассеянию.
Маккартни [314, гл. 4-6] ограничивается рассеянием атмосферными
частицами. Эти вопросы рассмотрены также Туоми [483, гл. 9, 10] в
книге по атмосферным аэрозолям. В книге Гуди [190, гл. 7] обсужда-
ется поглощение в газах и в меньшей степени поглощение в молекулах
и каплях. Отдельные части книг по электромагнитной теории и опти-
ке содержат теорию рассеяния на шаре; отметим среди них книги
Стрэттона [454] и Борна и Вольфа [74]. В последней также излагают-
ся теорема погашения Эвальда — Озеена и ее применение в задаче от-
ражения и преломления на плоской границе раздела.
флуктуационная теория рассеяния молекулами рассмотрена в
книгах Бхагавантама [49], Фабелинского [146] и Чу [98, гл. 3].
Две наиболее ранние работы по многократному рассеянию — это
обзорная статья Милна [ 331] и книга Чандрасекара [ 93]. На зту же
тему недавно вышел в свет долгожданный труд ван де Хюлста [489].
Международная ассоциация по метеорологии и атмосферной физике
опубликовала два отчета с большим числом ссылок [286, 157].
Обратная задача в теории рассеяния рассматривается в сборниках
статей под редакцией Болтса [29, 30].
Глава 2
Электромагнитная теория
Поскольку оптика представляет собой раздел электромагнитной
теории, анализ поглощения и рассеяния света малыми частицами явля-
ется одной из задач этой теории. Различные вопросы электромагнит-
ной теории изложены в большом числе книг по электричеству и маг-
нетизму, оптике и поляризации света. Использование этих уже сущес-
твующих книг в качестве основы для нашего изложения может завести
в запутанный клубок противоречивых предположений, обозначений и
условий. Значительно удобнее собрать математический и физический
аппарат, лежащий в основе последующих глав, в одном месте. По-
этому здесь мы дадим свой вариант понятий и уравнений электромаг-
нитной теории, который удобен с точки зрения рассматриваемых воп-
росов и которым мы будем пользоваться на протяжении всей книги.
2.1. ВЕКТОРЫ ПОЛЯ И УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА
Во введении (гл. 1) было указано, что мы рассматриваем процес-
сы поглощения и рассеяния электромагнитных волн частицами с пози-
ций макроскопической теории. Поэтому естественным отправным пун-
ктом являются уравнения Максвелла для макроскопического электро-
магнитного поля внутри вещества, которые в системе единиц СИ
могут быть записаны в виде
V • D = рт, (2.1)
V X Е + ? = О, (2.2)
01
V • в = 0, (2.3)
VXH = JF+j, (2.4)
где Е - напряженность электрического поля, а В - магнитная индук-
ция. Электрическая индукция D и напряженность магнитного прля Н
Электромагнитная теория
23
определяются равенствами
D = е0Е + Р, (2.5)
1>
Н = — — М, (2.6)
До
где Р - электрическая поляризация (средний электрический дипольный
момент единицы объема), М - намагниченность (средний магнитный
дипольный момент единицы объема), е0 - диэлектрическая проницае-
мость, а ц0 - магнитная проницаемость свободного пространства.
В (2.5) неявно предполагается, что квадрупольные и более высокие мо-
менты пренебрежимо малы по сравнению с дипольным моментом. В
свободном пространстве поляризация и намагниченность тождествен-
но обращаются в нуль. Плотность заряда pf и плотность тока Jf свя-
заны с так называемыми "свободными" зарядами. Слова "свободный"
и "связанный" иногда берут в кавычки, что указывает на их некото-
рую условность. Действительно, в [380] просто и в то же время убеди-
тельно показано, что не всегда можно однозначно разделить свобод-
ные и связанные заряды в веществе. Тем не менее мы, следуя давниш-
ней традиции, будем предполагать, что неоднозначность терминов "сво-
бодный" и "связанный" не приводит к каким-либо заметным последст-
виям в наших задачах.
В то время как в отношении микроскопических уравнений Макс-
велла достигнуто почти всеобщее согласие, получить вывод макрос-
копических уравнений, который удоцлетворцл бы всех, непросто. Впер-
вые такой вывод был сделан Лоренцем почти 100 лет тому назад, но
тем не менее и сейчас регулярно появляются новые выводы, каждый
из которых претендует на то, что является более общим, более одноз-
начным и .логически более последовательным по сравнению с предыду-
щими. Не желая вступать в ряды какой-либо из спорящих сторон, нап-
равляем интересующегося читателя к работам [399, 414], в которых
описывается переход от микроскопических уравнений поля к макрос-
копическим. Мы же примем (2.1) — (2.6) в качестве макроскопических
Уравнений поля без каких-либо дальнейших комментариев: любая по-
пытка строго оправдать этот выбор и точно определить все члены
привела бы к значительному увеличению объема книги.
Сами по себе уравнения (2.1) — (2.6) еще не являются достаточ-
ными; они должны быть дополнены материальными уравнениями, от-
24
Глава 2
носительно которых предполагается, что они имеют вид
JF = аЕ, (2.7)
В = мН, (2.8)
Р = еоХЕ, (2.9)
где а - проводимость, ц - магнитная проницаемость, а х - электри-
ческая восприимчивость. Коэффициенты макроскопической теории о,
ц и х зависят от свойств рассматриваемой среды, при этом мы будем
считать, что они не зависят от полей (среда линейна), координат (сре-
да однородна) и направления (среда изотропна). Далеко не все вещест-
ва удовлетворяют этим условиям. Уравнения (2.7) - (2.9) не выражают
универсального закона природы, а просто описывают определенный
класс веществ, который, к счастью, включает в себя большое число
представителей. Вместе с тем мы не предполагаем, что коэффициен-
ты макроскопической теории не зависят от частоты. Чтобы глубже
вникнуть в смысл сказанного, мы должны немного отвлечься от основ-
ного предмета изложения.
Рассмотрим, например, восприимчивость. Поляризация Р пред-
ставляет собой средний дипольный момент единицы объема среды, т.е.
векторную сумму дипольных моментов в единице объема. Изолирован-
ный образец вещества (исключая электреты) непрляризован (Р = 0).
Между тем, если поместить его во внешнее поле, о котором можно
предположить, что оно гармоническое, он поляризуется: электричес-
кое поле наводит некий дипольный момент. Для линейной однородной
изотропной среды уравнение (2.9), связывающее Р и Е, указывает, что
величина х является мерой того, насколько легко поляризуется дан-
ное вешества; она характеризует отклик вещества на поле Е. В част-
ности, х можно интерпретировать как амплитуду отклика на единичное
поле. В настоящее время широко известно (среди тех, кто с этим хо-
рошо знаком), что отклик механической системы на периодическую воз-
буждающую силу зависит от частоты. Поэтому по аналогии весьма ве-
роятно, что X является функцией частоты. Более подробно частотная
зависимость X рассмотрена в гл. 9 и 10.
Электромагнитная теория
25
2.2. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ПОЛЯ
Гармоническое поле F общего вида записывается в форме
F = Acoscot 4- Bsinwt, (2.10)
гдеw - угловая частота. Вещественные векторные поля А и В не за-
висят от времени, но могут зависеть от пространственных координат.
Заметим, что F можно выразить через действительную часть некото-
рого комплексного вектора F = Re{ Fc ], где
Fc = Cexp(-iwt), С = А + /В. (2.11)
Вектор Fc является комплексным представлением вещественного по-
ля F. Если иметь дело только с линейными операциями над гармони-
ческими полями (например, сложением, дифференцированием, интегри-
рованием и т.д.), удобнее работать с комплексным представлением.
Причина этого состоит в следующем. Пусть £ - некоторый линейный
оператор; тогда результат действия оператора на поле (2.10) можно
найти, применив его к комплексному представлению (2.11) и взяв за-
тем действительную часть:
£f = £Rel Fc } = Re{ £fc I •
Заметим, что имеется некоторая неопределенность, связанная
с комплексным представлением вещественного поля: F можно запи-
сать и как F = Re{ F *}, где F * = C*exp(icot), а звездочка означает
комплексное сопряжение. Таким образом, имеются два возможных
значения для временного множителя в комплексном представлении
гармонического поля: ехр(г cot) и ехр(- i cot). Можно выбрать любое из
этих значений, так как величины, представляющие физический инте-
рес, всегда вещественны. Но после выбора знака он должен сохраня-
ться одним и тем же во всех последующих рассуждениях. Мы возь-
мем временной множитель в виде ехр(- i cot), который используется
в известных книгах по оптике [74] и электромагнитной теории [246,
454] и является почти универсальным в физике твердого тела. При
сравнении полученных нами уравнений с аналогичными уравнениями
в научной литературе необходимо иметь в виду условность выбора
знака.
‘Если принять временную зависимость ехр(- i cot) для всех полей
и подставить материальные уравнения (2.7) - (2.9) в (2.1) - (2.4), то
26
Глава 2
получим
V*(eEc) = 0, (2.12)
V X Ес = (2-13)
V-Hc = 0, (2.14)
VXHc=-iweEc, (2.15)
где комплексная диэлектрическая проницаемость равна
е = «о(1 + х) + (2.16)
Если е 0, то дивергенция электрического поля равна нулю, что яв-
ляется обычным условием поперечности поля. Поэтому на всех часто-
тах, за исключением, быть может, частот, на которых е = 0, в среде
не могут существовать продольные поля.
Уравнения (2.12) - (2.16) обычно будут служить нам в качестве
исходных при рассмотрении задач рассеяния. Чтобы избежать громозд-
ких обозначений, индекс с комплексных полей мы будем часто опус-
кать. В тех местах, где может возникнуть путаница, этот индекс бу-
дет восстановлен, хотя, как правило, из контекста ясно, имеем ли мы
дело с вещественными полями цли их комплексными представлениями.
2.3. КОЭФФИЦИЕНТЫ МАКРОСКОПИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ,
ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ЧАСТОТЫ
Хотя мы дали некоторое физическое разъяснение, тем не менее
введение специфических частотных зависимостей коэффициентов мак-
роскопической теории подразумевает, что они имеют смысл только в
случае гармонических полей. Однако такое положение является весьма
неудовлетворительным: • конечно же, нет такого закона природы, сог-
ласно которому все электромагнитные поля должны быть гармоничес-
кими во времени. Следовательно, мы должны ответить на вопросы о
том, как связаны Р и Е (или В и Н) в общем случае и каков смысл зави-
сящих от частоты коэффициентов макроскопической теории. Чтобы от-
ветить на эти вопросы, необходимо привлечь математический аппа-
рат преобразования Фурье.
Электромагнитная теория
27
2.3.1. Преобразование Фурье
Рассмотрим вещественную функцию времени F(t). Трансформанта
Фурье ?(«>) от F(t) определяется как
?(») = f F(l)eiatdi, (2.17)
— do
где w вещественно. Предположим, что интеграл в (2.17) сходится в
некотором смысле для всех рассматриваемых функций. Обратное пре-
образование Фурье дается соотношением
F(t) = J_ f ?(»)₽-•'wtdco. (2.18)
2тг _оо
Согласно (2.18), произвольную функцию времени можно представить
в виде суперпозиции гармонических функций exp (- iwt) с комплекс-
ными амцлитудами ?(со), зависящими от частоты. Условием вещест-
венности функции F(t) является равенство ?(со) = ?*(- со), так что
F(t) можно записать в виде суперпозиции гармонических во времени
функций с положительной частотой:
F(f) = Re{Fc (f)i,
Fc(t) = — 7?(W)e-,“fdco.
к о
Заметим, что записи (2.17) и (2.18) не являются однозначными: все ком-
плексные функции можно заменить на комплексно сопряженные, а
множитель Х/2тг можно поставить как в (2.17), так и в (2.18). Чтобы
придать этим выражениям более симметричную форму, можно перед
каждым из интегралов написать множитель Общепринятого оп-
ределения преобразования Фурье не существует. Однако если форма
преобразования выбрана, то соответствующее выражение для обратно-
го преобразования определено однозначно.
Преобразуя по Фурье уравнения Максвелла (2.1) - (2.4) с pF = О
и полагая, что можно менять местами операции интегрирования и диф-
ференцирования, получаем
V • ®(») = 0, (2.19)
V • ®(») = 0, (2.20)
28 Глава 2
V х ё(со) = г w$(a>), (2.21)
V хИ(со) = 3F(co)-ico$(co), (2.22)
где
6 (w) = f E(t)«’“fdt и т.д.
—OO
Трансформанты Фурье полей, вообще говоря, являются функциями про-
странственных координат, хотя явно это и не указано. Поскольку поля
вещественны, мы можем рассматривать только положительные час-
тоты. Предположим теперь, что трансформанты Фурье полей, а не са-
ми поля связаны линейными материальными уравнениями
^(со) = £ ох (со), (2.23)
4(») = ^(»)ё(со), (2.24)
Ж(со) = ц(со)К(со), (2.25)
где X* (<») = Х( - со) и т.Д. Мы примем также, что Х(со), а (со) и ц(со) -
скалярные функции, не зависящие от пространственных координат. Как
мы увидим ниже, материальные уравнения (2.23) - (2.25) сводятся к
обычным выражениям в случае гармонических полей, а также дают от-
вет на вопрос, поставленный выше: как связаны между собой по ля за-
висящие от времени произвольным образом?
Для рассмотрения этих вопросов нам понадобится еще один ре-
зультат из теории преобразования Фурье. Если трансформанта Фурье
X(со) функции X(t) выражается в виде произведения фурье-трансфор-
МаНТ X(co) = %>)Z(w),
то теорема о свертке утверждает, что
X(t)= (°° Y(t- t')Z(t')dt',
J — 00
где
1 °°
и т.д.
— оо
Применив теорему о свертке, например, к материальному уравне-
нию (2.23), получим
Р(0 = (°° G(t~ t')E(t') dt', (2.26)
•^-оо
J
Электромагнитная теория
29
где
G(/) = dv. (2.27)
Таким образом, зависимость восприимчивости X(w) от частоты озна-
чает, что поляризация Р в момент времени t зависит от поведения элек-
трического поля во все другие моменты времени /.Этот вывод согла-
суется с простым физическим рассуждением. Ерли, например, к неко-
торому телу приложено постоянное электрическое поле на протяжении
достаточно большого периода времени, то тело поляризуется. Вместе
с тем, еели электрическое поле выключить, поляризация не обратится
мгновенно в нуль, а будет спадать в соответствии с характерными
временами, связанными с микроскопическими процессами. Из этого
примера видно, что поляризация не пропорциональна мгновенному из-
менению поля.
Предположим теперь, что поля являются гармоническими во вре-
мени с угловой частотой со0':
E(t) = Acosw0z + Bsinwoz = Re(Ec).
Преобразование Фурье поля Е (t) дает
ё(а>) = тг{ (А + г'В)5(со-со0) + (А -гВ)S (со—coQ)|,
где 5 - дельта-функция Дирака. Из формулы (2.18) для обратного пре-
образования Фурье и материального уравнения (2.23) следует, что
P(t) = -1— f eoX(“)6(w)e-*“f<ico =
2тг _оо
ео
= — 1И + iB) Х(соо)^’ “°‘+ {A »о)?“оЧ.
Если мы воспользуемся равенством х(- w0) = Х*(со0), то получим
Р(Г) = Re(Pc(r)} = Re{eox(«o)Ec(z)}.
Таким образом, непривычные на первый взгляд материальные уравне-
ния (2.23) - (2.25) приводят к привычным результатам в случае гармо-
нических полей; более того, на основе формул (2.26) и (2.27) можно
придать физический смысл коэффициентам макроскопической теории
Даже для полей, зависящих от времени по произвольному закону.
Мы сосредоточили внимание на электрической восприимчивости,
Но те же выводы сохраняют свою силу и для проводимости, и для маг-
30
Глава 2
нитной проницаемости. В частности, отметим, что не обязательно
вещественно и может зависеть от частоты. Комплексность коэффи-
циентов макроскопической теории приводит к различию фаз разных
гармонических полей. Так, например, если магнитная проницаемость
ц = ц' + ip" комплексна, то для вещественного магнитного поля
Н = H0cos (cot) соответствующая магнитная индукция В равна
TiH0cos(cot -<р), где фазовый уг®Лф определяется соотношением
М5Ф = а ц = I (ц')а + (ц")3 Iй . В разд. 2.6 мы покажем,
что если мнимая часть какого-либо из коэффициентов макроскопичес-
кой теории отлична от нуля, то амплитуда плоской волны при распрос-
транении в такой среде будет убывать из-за пог лощения электромаг-
нитной энергии. Следовательно, комплексность коэффициентов макро-
скопической теории, цли, что то же самое, фазовый сдвиг между Р и
Е (или В и Н), проявляется физически через поглощение, точное про-
исхождение которого выходит из пцля зрения при макроскопическом
подходе.
Объединяя преобразованные по Фурье уравнения Максвелла
(2.19) - (2.22) с материальными уравнениями (2.23) - (2.25), получаем
V • ё(ю) = 0, (2.28)
V • К(»)=0, (2.29)
V х ё(со) = iсоц (w)H(cc), (2.30)
V хН(со) = — г сое (со)ё(со), (2.31)
где е (со) = е0{ 1 + х(ш)} + io (со)/со. Заметим, что две системы уравне-
ний (2.12) - (2.15) и (2.28) - (2.31) формально тождественны, хотя и
интерпретируются по-разному. В первой из этих систем величины
(Е с, Нс) - это комплексные представления гармонического во време-
ни поля, тогда как во второй системе величины (6, К) являются транс-
формантами Фурье электромагнитного поля с произвольной зависи-
мостью от времени. А поскольку одни и те же уравнения имеют одина-
ковые решения, то мы можем ограничиться рассмотрением только
гармонических полей; поле с произвольной зависимостью от времени
может быть построено с помощью преобразования Фурье.
Мнимая часть проницаемости зависит как от проводимости, так
и от восприимчивости: Im{e} = Iml + RelffYcol. Отличное от нуля
значение Im (е 1 физически проявляется в поглощении электромагнит-
ной энергии в среде. Величину Im I х I можно связать с плотностью то-
Электромагнитная теория
31
ка "связанных” зарядов, a Re {ст,/со) - с плотностью тока "свободных”
зарядов. Однако поглощение определяется суммой этих двух величин,
и поэтому невозможно найти вклад каждой из этих составляющих по
измерениям поглощения. Это лишний раз подчеркивает справедливость
утверждения, что не существует четко определенного разделения на
"свободные" и "связанные” заряды.
2.3.2. Соотношения Крамерса - Кронига
В качестве альтернативы мы могли бы начать рассмотрение ма-
териальных уравнений с предположения о том, что Р (t) и Е (t) связан
ны линейным функциональным равенством
Р(1) . Г G(t, f)E(l') *'• (2.32)
J-00
Положим, что в момент времени 10 приложено электрическое поле в
виде дельта-функции: Е (t) * 6(t - 10)Е 0. Тогда соответствующая по-
ляризация равна
Р(/) = G(r, По-
следовательно, G представляет собой поляризацию, создаваемую
6-образным полем единичной амплитуды. Если свойства среды не ме-
няются во времени, то поляризация должна зависеть только от раз-
ности времен t0 и г:
G(/,r0) = G(t — r0).
Поэтому мы приходим к соотношению (2.26), которое после обраще-
ния по Фурье дает материальное уравнение (2.23). Отметим, что
принцип причинности — система не может реагировать раньше, чем
начато воздействие, - требует, чтобы G(t) = 0 при т < 0.
Восприимчивость является фурье-образом G(t):
еох(«) = Г G(t)e“"dt = f°°G(t)e““ dt, (2.33)
— ос О
и представляет собой комплексную функцию вещественной переменной
со. Определим комплексную функцию комплексной переменной со соот-
ношением
32
Глава 2
где со = сот + /со,- . Когда со является точкой вещественной оси, функ-
ция х(со) совпадает с Х(со). Для любых t > 0 G(t )^‘ “f~ аналитическая
функция со, и | G (г )е’ “* | •$ | G(t )| при <а,- > 0. Поэтому если интеграл
/°°|С(Г)|Л (2.34)
•'о
сходится, то
f°°G(t)eiis,dt
Jo
сходится к функции, аналитической в верхней полуплоскости со. Сходи-
мость интеграла (2.34) обеспечена при конечном значении .х (0), что
следует из (2.33). Если х(“) аналитична, то функция х (со)/(со - со) так-
же аналитична всюду, за исключением полюса со = со. Теорема Коши ут-
верждает:
j f(u)da> = О,
при условии что замкнутый контур С не охватывает полюсов анали-
тической функции / (со). Применим теорему Коши к функции x(w)/(w-co),
где со .лежит на вещественной оси, в случае контура, показанного на
рис. 2.1 и составленного из четырех кривых с параметрическими пред-
ставления ми вида:
С,: со = fl G 1 3 V/ C3 V/ 1
Q: ~ — iQ ы = ы — ае (0 < fl < w),
С3: ы = Q (a + a < fl < A),
С4: со = Ае'а (0 < fl < w).
Тогда по теореме Коши имеем
г- + Г iAeiux(Ae‘a) 19_
J—л М — w / , м — (д J о Ae,u — co
= ( ix(u - ae‘a)dS2.
•'о
Если limx(co) = 0, то интеграл вдоль кривой С4 обращается в нуль при
I СО | -» оо
стремлении А к бесконечности. Это значит, что
Электромагнитная теория
33
РИС. 2.1. Контур интегрирования.
iwx(«) = Pp J0,
* - 00 " ~ ы
(2-35)
где символом Робозначен интеграл в смысле главного значения Коши,
определяемый как
При выводе (2.35) мы допустили небольшую небрежность, а именно
требовалась аналитичность X (2) в верхней полуплоскости переменной
со, в то время как часть контура С включает вещественную ось. Одна-
ко это легко исправить, записав (2.35) в более общем виде:
in lim х( w + iij) = lim Р ( + JQ
ч-о ч-О J-х м-ы
откуда и вытекает формула (2.35), если х(“) непрерывна.
Фундаментальное соотношение (2.35) может быть записано как
два вещественных интегральных соотношения:
7 г00
х'(«) = ^/
п Jo
02-ы2 ’
(2.36)
х"(«) =
—рГ
* •'ой2- W2
(2.37)
3-205
34
Глава 2
где х = х' + х " и использовано условие сопряжения х* (») = х(- »)•
Равенства (2.36) и (2.37) представляют собой важный пример из доволь-
но интересного класса математических соотношений, называемых со-
отношениями Крамерса - Кронига, или дисперсионными соотношения-
ми. Их сущность нельзя объяснить на основе физических соображений,
из-за чего они кажутся окруженными ореолом магической таинствен-
ности. Состоит же она в том, что действительная и мнимая части х
не независимы, а связаны интегральными соотношениями, а это огра-
ничивает класс физически реализуемых восприимчивостей. Более то-
го, если х ’ известно в достаточно широкой области частот около w,
то х" (») может быть найдено путем интегрирования и наоборот. Инте-
ресным следствием (2.36) является правило сумм:
7Г Jq ли
Хотя соотношения Крамерса - Кронига не следуют непосредст-
венно из физических соображений, они не лишены физического со-
держания, поскольку в основе их вывода лежат предположения о ли-
нейности и причинности, а также ограничения на асимптотическое
поведение х« Как мы увидим в гл. 9, требуемое асимптотическое по-
ведение х является физическим следствием взаимодействия элект-
рического поля, зависящего от частоты, с веществом.
Приведенный вывод соотношений Крамерса - Кронига для вос-
приимчивости сравнительно прост, и это может ввести в заблуждение.
Затратив некоторые дополнительные усилия, можно зачастую вывес-
ти аналогичные соотношения для других зависящих от частоты вели-
чин, возникающих в физических задачах. Предположим, что имеются
две зависящие от времени величины произвольного происхождения,
которые можно назвать входом X,- (t) и выходом X0(t): соответствую-
щие им трансформанты Фурье обозначим через X ,• (со) и X 0(w). Если
связь между этими фурье-образами линейна
3C0(w) = Ж (w)X(со)
и причинна (т.е. выход не может предшествовать входу во времени), то
функция Ж (со) является аналитической в верхней полуплоскости ком-
плексной переменной со. Необходимо также, чтобы функция !R(w) стре-
милась к нулю на дуге окружности С4 (рис. 2.1) при стремлении А к
бесконечности; если же это не так, то мы можем удовлетворить это-
Электромагнитная теория
35
му условию, несколько изменив ее. Так, например, асимптотическое
поведение функции Ж(ш) можно изменить, сохраняя ее при этом ана-
литической, путем умножения на некоторую аналитическую функцию
g(w) или добавления g (и). Разумеется, поступая таким образом, мож-
но попутно изменить условие сопряжения, так что результирующие
дисперсионные соотношения могут отличаться от (2.36) и (2.37). Ме-
тоды модификации. Ж с целью достижения нужного асимптотического
поведения лучше всего иллюстрируются конкретными примерами,
с которыми мы встретимся ниже в этой и других главах книги.
2.4. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ДИСПЕРСИЯ
Мы показали, что частотная зависимость восприимчивости отве-
чает временной дисперсии: поляризация в момент времени t зависит
от электрического поля во все моменты времени, предшествующие t.
При некоторых условиях возможна и пространственная дисперсия: по-
ляризация в точке х зависит от значений электрического поля в дру-
гих точках, лежащих в некоторой окрестности точки х. Такая нело-
кальная связь между Р и Е приводит к понятию восприимчивости, ко-
торая зависит от частоты и волнового вектора. Для понимания этого
полезно ввести трехмерное преобразование Фурье произвольной ве-
щественной функции F(x):
3r(k) = fF(x)e~‘k -«dx,
где интегрирование проводится по всему пространству. Обратное пре-
образование Фурье есть
F(x) = _2___ Г ?(k)e, k • xdk.
(2тг)8 j
Рассмотрим трансформанты Фурье поляризации и электрического
пцля:
fP(k, со)= ПР(х,г)е”’(к’х -w°dxdf,
ё(к, со) = ff Е (х, t )е“»(к’* -^dxdt.
В предположении, что справедливо линейное соотношение ?(к, со) =
X (й , со)ё(к , со), теорема о свертке дает
•ic
Р(х, /) = У [g(x - х', t - t')E(x', t') dx'dt',
-ai
36
Глава 2
где
<7(х,/) = —Ц f /eoX(k,W)?(k-’t-“')JkJW.
(2^)4 J J
Таким образом, зависимость восприимчивости от частоты и волново-
го вектора означает, что связь между Р (х, t) и Е (х, t) является нело-
кальной во времени и пространстве. Такие среды с пространственной
дисперсией выходят за рамки нашего рассмотрения. Между тем про-
странственная дисперсия может иметь важное значение, когда длина
волны сравнима с некоторой характерной длиной в среде (например,
средней длиной свободного побега), и полезно по крайней мере знать
о ее существовании (она может влиять на поглощение и рассеяние ма-
лыми частицами) [154, 410, 412, 524].
2.5. ВЕКТОР ПОЙНТИНГА
Рассмотрим электромагнитное поле (Е, Н), которое не является
обязательно гармоническим. Вектор Пойнтинга S = Е х Н определя-
ет величину и направление скорости переноса электромагнитной энер-
гии во всех точках пространства и имеет фундаментальное значение
в задачах распространения, поглощения и рассеяния электромагнит-
ных волн. Если ориентация плоской площадки А задается единичным
вектором нормали п , то скорость, с которой энергия переносится че-
рез эту площадку, равна S • пЛ при условии, что S постоянна вдоль
этой площадки. Если S - функция координат, а поверхность имеет
произвольную форму,_то в общем случае это переходит в
f S‘bdA.
Результирующая скорость W, с которой электромагнитная энергия пе-
ресекает границу замкнутой поверхности Л, охватывающей объем V,
есть
Ж= - / S-hdA.
JA
Почему здесь стоит знак минус? Существуют две единичные нормали
к замкнутой поверхности: внутренняя и внешняя. Мы выбрали внешнюю
нормаль. Если S и п в данной точке направлены в противоположные
стороны (S • п < 0), то знак минус обеспечивает положительный вклад
в IV. Поэтому W положительно, если суммарный перенос электромаг-
Электромагнитная теория
37
нитной энергии происходит внутрь объема. Положительные значения
JF означают, что электромагнитная энергия поглощается в объеме V,
т.е. электромагнитная энергия внутри V преобразуется в другие виды
энергии (например, в тепловую энергию).
Образование векторного произведения двух векторов не есть .ли-
нейная операция. Поэтому, если электромагнитное поле является гар-
моническим, то этого нельзя сказать о векторе S = Re{ Ес х Нс i, хо-
тя остается верным равенство
S = Re{Ec) X Re{Hc). (2.38)
Для частот, обычно представляющих интерес, мгновенное значение
вектора Пойнтинга (2.38) является быстро меняющейся функцией вре-
мени. Измерительные приборы в своем большинстве не могут отсле-
живать быстрые осцилляции мгновенного значения вектора Пойнтинга,
а реагируют .лишь на некоторое усредненное по времени значение
< S >:
<S> = -^+TS(f)A',
где т - временной интервал, намного превышающий величину !/“• Ус-
редненный по времени вектор Пойнтинга для гармонических полей да-
ется выражением
<S> = ^Re{Ec X Щ).
В тех случаях, когда из контекста ясно, что речь идет о среднем век-
торе Пойнтинга, угловые скобки у S мы будем опускать.
2.6. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ПЛОСКИХ ВОЛН В
НЕОГРАНИЧЕННЫХ СРЕДАХ
Будем искать решения уравнений Максвелла (2.12) - (2.15) в виде
Плоских врлн. Что это означает? Нам известно, что электромагнит-
ное поле (Е, Н) не может быть задано произвольным образом. Фи-
зически реализуемы лишь определенные электромагнитные поля, а
именно те, которые удовлетворяют уравнениям Максвелла. В связи с
этим хотелось бы выяснить, при каких условиях решениями уравне-
ний Максвелла являются имеющие наиболее простой вид плоские элек-
тромагнитные волны:
Ес - Eoexp(ik-x - iw/); Нс = Hoexp(tk’x - twz), (2.39)
38
Глава 2
где Ео и Но - постоянные векторы. Волновой вектор к может быть
комплексным:
к = к' + /к", (2.40)
где к' и к" - вещественные векторы. Если подставить (2.40) в (2.39),
получим
Ес = Еоехр(-к"*х)ехр(/к'*х - iwt),
Нс = Ноехр(-к"’х)ехр(/к'«х - iwt).
Здесь Eoexp(-ik". х) иНоехр(- к", х) - амплитуды электрической
и магнитной волн, а <р = к' • х - cot есть фаза этих волн. Уравнение
вида К • х = const, где К — любой вещественный вектор, определяет
плоскость, нормалью к которой является вектор К . Поэтому вектор
к' перпендикулярен поверхностям постоянной фазы, а вектор к" пер-
пендикулярен поверхностям постоянной амплитуды. Если к* и к"
параллельны (сюда же относится и случай к" = 0), то эти поверхнос-
ти совпадают, и о таких волнах говорят, что они однородны", если же
к' и к" непараллельны, то такие волны называются неоднородными.
Так, например, волны, распространяющиеся в вакууме, являются од-
нородными.
Рассмотрим кратко распространение поверхностей постоянной фа-
зы. Выберем начало координат в произвольной точке О и плоскость,
на которой фаза <р постоянна (рис. 2.2). В момент времени t расстоя-
ние от начала координат 0 до этой плоскости равно z, где
РИС. 2.2. Движение поверхностей постоянной фазы.
Электромагнитная теория
39
(2.41)
(2-42)
(2-43)
(2.44)
к' • х = k'z и k'z -at = <p. За время At эта поверхность постоян-
ной фазы сместится на расстояние Az, где
k'z - at = k'(z + Az) — w(t + At) = ф.
Следовательно, скорость распространения поверхностей постоянной
фазы, или фазовая скорость, есть
Az а
Р ~ At Т’
а вектор к' задает направление распространения.
Уравнения Максвелла для плоских волн имеют вид
к-Е0 = О,
к-Но = 0,
к X Ео = ыМН0,
к X Но = — weEn.
Уравнения (2.41) и (2.42) - это условия поперечност'. вектор к перпен-
дикулярен Е 0 и Но. Кроме того, из (2.43) или (2.44) очевидно, что
Е 0 и Но перпендикулярны друг другу. Однако обычно векторы к, Ео
и Но являются комплексными, и интерпретация термина "перпендику-
,лярны" затруднительна, за исключением случая однородных волн, ког-
да вещественные поля Е и Н лежат в плоскости, нормаль к которой па-
раллельна направлению распространения.
Взяв векторное произведение обеих частей (2.43) с вектором к
к X (к X Ео) = wgk X Но = - ы2е|хЕ0,
и воспользовавшись известным векторным тождеством
А X (В X С) = В(А-С) - С(А-В)
совместно с уравнением (2.41), получим
к-к = <Лд. (2.45)
Проведенный анализ показывает, что плоские волны (2.39) совмест-
ны с уравнениями Максвелла при условии, что k, Е 0 и Но взаимно
перпендикулярны:
к*Е0 к*Н0 — Ео-Но — 0.
40
Глава 2
Кроме того, волновой вектор должен удовлетворять равенству (2.45),
которое может быть записано в виде
к'2 - к"2 + 2iк' • к" = ы2ец. (2.46)
Заметим, что ец — параметр среды, в которой распространяется волна,
тогда как векторы к' и к"- характеристики волны. Ерли к' и к"
удовлетворяют (2.46), то в остальном они могут быть произвольными:
е и ц не определяют однозначным образом детальную картину распро-
странения волны.
Волновой вектор однородной волны можно записать в виде
k = (k* + i к’’)е, где к’ и к” неотрицательны, а е - вещественный
единичный вектор в направлении распространения. Равенство (2.45)
требует, чтобы
к = к' + /к" -----,
с
где с - скорость света в вакууме, а V - комплексный показатель
преломления, равный
N = Cyfa = . (2.47)
V V еоМо
Запишем его в виде
N = п + ik, (2.48)
где п и k неотрицательны. Другими часто используемыми обозначени-
ями для комплексного показателя преломления являются п + in” и
n(l + i к), при этом если бы мы выбрали временную зависимость вида
exp(i cot), то следовало бы писать п' - in" и n(l + iк). Символ к, где
со^ёц = к, часто используется для обозначения волнового числа. С
другой стороны, использование k Для обозначения мнимой части ком-
плексного показателя преломления также широко распространено, в
особенности среди тех, кто занимается задачей ее измерения. Мы бу-
дем придерживаться обоих этих обозначений, однако, чтобы их разли-
чить, мнимую часть, показателя преломления мы будем обозначать
курсивом, а волновое число - прямым шрифтом. Использование оди-
наковых обозначений для двух физически разных, но тем не менее
связанных величин может привести к путанице; несомненно, однако,
что еще больше мы запутали бы многих читателей, если бы стали вме-
шиваться в укоренившуюся систему обозначений ради наведения порядка.
Электромагнитная теория
41
Волновое число в свободном пространстве есть ш/с = 2п/Х, где
Л - длина волны в вакууме. Поэтому плоская однородная волна имеет
вИД _ „ / 2irkz \ [ i2irnz \
Ес = Еоехр-----г— ехр —г-------iut ,
\ Л / \ Л )
где z = е • х. Таким образом, мнимая часть комплексного показателя
преломления определяет затухание волны при ее распространении в
среде, а действительная часть - фазовую скорость v = с /п . Пару ве-
личин п и k часто называют оптическими постоянными. Такая терми-
нология является столь же широко распространенной, сколь и вводящей
в заблуждение, так как оптические "постоянные" не постоянны, а силь-
но зависят от частоты. Нет ничего необычного в том, что значение
k для многих распространенных твердых тел меняется на шесть поряд-
ков в пределах относительно узкой полосы частот.
Если в видимом диапазоне длин волн, показатели преломления
многих прозрачных веществ весьма точно определены уже давно, то
экспериментальное измерение оптических постоянных в тех диапазо-
нах длин волн, где твердые тела или жидкости обладают заметным
поглощением, является далеко не простым делом. Для измерения оп-
тических постоянных различных веществ й разных участках электро-г
магнитного спектра приходится разрабатывать специальные методы.
Отсутствие надежных данных по оптическим постоянным все еще
является серьезным препятствием для проведения расчетов рассея-
ния и поглощения малыми частицами, с которыми сталкиваются в
различных областях прикладной физики.
Действительная и мнимая части комплексного показателя прелом-
ления связаны соотношениями Крамерса - Кронита, что иногда мож-
но использовать для оценки надежности измеренных зависимостей оп-
тических постоянных. В самом деле, функция N(co) удовлетворяет то-
му же условию сопряжения, что и х(“У: N*(co) = N (- со). Но она не убы-
вает до нуля в пределе бесконечно больших частот, так как
lim 2V(co) = 1. Однако это маленькое препятствие легко преодолимо при
СО-»оо
помощи простого преобразования М(ш), а именно путем перехода к ве-
личине N(a) - 1, которая обладает требуемым асимптотическим по-
ведением. Если предположить теперь, что N(a) аналитична в верхней
Полуплоскости комплексной плоскости со, то получим
(2-49)
42
Глава 2
*(") “
z/Q
—;----г du.
О2 — ы2
(2.50)
где при выводе (2.50) мы воспользовались соотношением
Г-™ =о
Л й2 - «2
(2.51)
2.6.1. Поглощение электромагнитной энергии
Вектор Пойнтинга цлоской волны есть
S = |Re{E х Н*) = Re{EX(2kJ^E*)~}’
где Е х (к* х Е*) = к*(Е . Е*) - Е*(к* • Е). Если волна является одно-
родной, то из условия к • Е = 0 следует, что и к* • Е = 0. Для такой
волны, распространяющейся в направлении е, имеем
S = iRe^J|E0|2exp(-^)6.
Неудивительно, что S ориентирован в направлении распространения.
Модуль вектора S, который мы будем обозначать через I , называется
интенсивностью* излучения и имеет размерность энергии на едини-
цу площади в единицу времени. (В настоящее время для интенсивнос-
ти часто используется обозначение Е, однако оно вряд ли уместно в
книге, где напряженность электрического поля и интенсивность час-
то оказываются рядом). По мере прохождения волны через среду интен-
сивность экспоненциально затухает:
I = Ioe~az,
где коэффициент поглощения а есть
« - > (2.52)
Л
a 1Q - интенсивность в плоскости z = 0. Всюду в этой главе мы счита-
ли объемную среду однородной. Между тем это справедливо лишь при-
ближенно; даже в таких обычно считаемых однородными средах, как
объемные образцы чистой жидкости цли твердого вещества, луч све-
В оригинале "irradiance" . Термина "intensity" авторы избегают вви-
ду его неоднозначности в английской литературе. — Прим, перев.
Электромагнитная теория
43
та затухает не только за счет поглощения, но и за счет рассеяния.
Хотя в таких средах основной вклад в затухание обычно вносит пог-
лощение, тем не менее рассеяние все же имеет место, и если не при-
бегать к специальным методам, то результат измерения затухания
будет неизбежно зависеть от совместного слияния поглощения и рас-
сеяния. В последующих главах мы рассмотрим затухание волн в скоп-
лениях частиц вещества; преобладает в таком затухании поглощение
цли нет, зависит от размера и оптических свойств частиц.
Скорость выбывания электромагнитной энергии из волны по мере
ее распространения в среде определяется мнимой частью комплекс-
ного показателя преломления. Если измерить значения интенсивнос-
тей и lt (или скорее их отношение) в двух различных точках z = О
и z = h, то а, а следовательно, и k могут быть в принципе получе-
ны из соотношения
аЛ = 1п^. (2.53)
Это равенство выполняется строго только в тех случаях, когда при-
емник оптически тождествен с веществом, для которого измеряется
коэффициент поглощения (рис. 2.3, а), т.е. при трудно выполнимом ус-
Возбух Образец Воздух
рИС. 2.3. Измерение поглощения: а - идеализированное; б- реальное.
44
Глава!
ловил. Обычная схема эксперимента показана на рис. 2.3, б. Коэф-
фициент передачи It /10 можно определить по отклику приемника при
наличии и в отсутствие образца, помещенного между источником и
приемником. Однако а определить из такого измерения можно только
при условии, что отражения на двух границах раздела пренебрежимо
малы.
2.7. ОТРАЖЕНИЕ И ПРОХОЖДЕНИЕ
ПЛОСКОЙ ГРАНИЦЫ РАЗДЕЛА
В силу соображений предыдущего абзаца заслуживает внимания
вопрос об отражении и прохождении плоских границ раздела. Сначала
мы рассмотрим случай одной плоской границы, разделяющей беско-
нечные среды, а затем, в следующем разделе, - две последователь-
ные плоские границы, ограничивающие слой. Эти сравнительно прос-
тые граничные задачи позволяют не только получить полезные резуль-
таты для объемных веществ, но и иллюстрировать методы, используе-
мые в более сложных задачах с малыми частицами. Кроме того, оп-
тические свойства слоев будут часто сопоставляться со свойствами
малых частиц с целью выявления как аналогий, так и различий, что
позволит предсказывать оптические свойства частиц на основании из-
вестных свойств объемного вещества.
2.7.1. Нормальное падение
Рассмотрим плоскую волну, распространяющуюся в непоглощаю-
щей среде с показателей преломления N2 = пд, которая падает на сре-
ду с показателем преломления Ы1=П1 + ikt (рис. 2.4). Пусть ампли-
туда электрического поля падающей волны равна Ef, и мы предполо-
жим, что имеются прошедшая и отраженная волны с амплитудами Et
и Ет соответственно. Поэтому решения уравнений Максвелла в виде
плоских волн внутри областей, лежащих по обе стороны границы раз-
дела между средами, есть
Е,ехр
/jV,z
iw —------t
Е(ехр
+ Erexp
(z > 0),
(z < 0).
Электромагнитная теория
45
РИС. 2.4. Отражение и прохождение нормально падающего света.
Требование непрерывности тангенциальных компонент электричес-
кого пряя на границе раздела z = 0 дает
Е, + Ег = Е(. (2.54)
Непрерывность тангенциального магнитного поля приводит к условию
Е, - Е, = %-Е„ (2.55)
где мы воспользовались (2.43) и, кроме того, предположили, что
Pi = ца. Уравнения (2.54) и (2.55) легко решаются относительно ампли-
туд Ег и Ef;:
Ег = гЕ,., Е, = ГЕ„ (2.56)
где коэффициенты отражения и пропускания записываются в виде
1 — т - 2
г = ;----, t - ,
1 + т 1 + т
(2.57)
а N j/^2 = т= п + ik -показатель преломления среды 1 относитель-
но среды 2. Отражательная способность R для нормально падающе-
го света определяется как отношение отраженной интенсивности к па-
46
Глава 2
дающей и равна
R = |г|2 =
2 = 02 + fc2
(л + I)2 + к2
(2-58)
1 — т
1 + т
Заметим, что значение R х 100 % близко к 100 % в тех случаях, ког-
да п » 1, п « 1, а также k » 1. Может возникнуть мысль о том,
что вещество с k » 1 должно сильно поглощать. На самом же деле
такое вещество сильно отражает, так что падающая волна не может
"пройти" в него, чтобы заметно поглотиться.
Амплитуды Ef иЕг в (2.56) можно трактовать как фурье-обра-
зы падающего и отраженного полей; поэтому из общих соображений,
приведенных в конце разд. 2.3, следует, что действительная и мнимая
части г удовлетворяют соотношениям Крамерса - Кронига вида (2.36)
и (2.37). Хотя этот результат, возможно, и .любопытен, тем не менее
его нельзя считать очень полезным; вместе с тем ценой небольших
усилий можно вывести соотношения Крамерса - Кронига большой прак-
тической ценности. Для этого нужно записать 7 через амплитуду (или
модуль) т и фазу (цли аргумент) 0:
г = ге'в, (2.59)
где т = tJr. Коэффициент отражения можно также записать в виде яв-
ной функции п л к:
1 - п2 - к2 2к , ч
г = --------------i------------, (2.60)
(1 + и)2 + к2 (I + п)2 + к2
откуда следует, что
1 - R , -2/Rsin©
и= ----------—------, к= --------------—------. (2.61)
1 + R + 2V^cos0 1 + R + 2УЯсо80
Чтобы k было положительно, необходимо, чтобы sin© был отрицателен.
Функция 1п~, определяемая как
1пГ = In г + г 0,
является аналитической в области г > 0, тт< © < 2тт.
В силу принципа причинности функция а) аналитична в верхней полу-
плоскости комплексной переменной «. Однако асимптотическое пове-
дение 1пг неприемлемо, а именно, как будет показано в гл. 9,
Электромагнитная теория
47
lim7(w) = 1. Вновь нам представилась возможность преобразовать
функцию: рассмотрим функцию
которая стремится к нулю при неограниченном возрастании ». Более
того, F («) аналитична в верхней полуплоскости так что она удовлет-
воряет соотношению (2.35). В результате из условия F* (w) = -F(- w)
вытекает дисперсионное соотношение для фазы вида
©(«) = ~^-Р f° £ (2.62)
w Jo w2 — ы2
Равенство (2.62) это не просто любопытный математический факт. Де-
ло в том, что из (2.61) следует, что на данной частоте а оптические
постоянные определяются отражательной способностью и фазой; одна-
ко если отражательная способность измерена в достаточно широкой
области частот около со, то фазу можно найти из (2.62).
2.7.2. Наклонное падение
Все плоские волны, падающие нормально на плоскую границу раз-
дела, отражаются и проходят через нее в соответствии с (2.56) и
(2.57) независимо от их поляризации (т. е. направления вектора £,• ).
Такая ситуация аналогична рассеянию вперед и назад изотропным шаг
ром или скоплением случайно ориентированных частиц, когда поляри-
зация не имеет никакого значения. Между тем при наклонном падении
плоской волны на плоскую границу раздела или в случае, когда рас-
сматриваемые направления рассеяния отличаются от направлений впе-
ред и назад, поляризация падающей волны и в самом деле становит-
ся важной. Неполяризованный падающий свет в результате отраже-
ния от плоской границы или рассеяния частицей под некоторыми уг-
, лами может стать сильно поляризованным. Поэтому при анализе от-
ражения волны, падающей на плоскую границу раздела под произ-
вольным углом, мы будем рассматривать две поляризации: с век-
тором электрического поля параллельным или перпендикулярным
Плоскости падения (рис. 2.5), задаваемой направлением распростра-
нения падающей волны и нормалью к границе. Любую волну можно
представить в виде суперпозиции волн указанных поляризаций.' Бо-
лее того, эти две поляризации независимы, т.е. если, например, па-
48
Глава
дающая волна поляризована параллельно плоскости падения, то отражен-
ная и прошедшая волны имеют такую же поляризацию.
Рассмотрим сначала случай электрических векторов, параллель-
ных плоскости падения. Тангенциальные компоненты электрического
и магнитного полей должны быть непрерывны на границе раздела:
EhjCos©, + E||,cos &r = £1|(cos©(, (2.63)
Я±1 + Я±г = H±t. (2.64)
Воспользовавшись (2.43) и приняв, что магнитные проницаемости в
обеих средах одинаковы, из (2.64) находим
Я,
£Н<’ ~ £||г “ (2-65)
Кроме того, из закона зеркального отражения имеем 0r = 0f, a 0f
определяется в соответствии с обобщенным законом Снеллиуса:
sin 0, . .
Sm0'------(2-66)
Заметим, что в случае поглощающей среды 1 sin0f, а следовательно,
и 0f комплексны. Для такой среды прошедшая волна является неод-
нородной, несмотря на то что падающая и отраженная волны однород-
ны (N2 вещественно). На рис. 2.5 через Ф, обозначен угол между нор-
малью к границе раздела и направлением распространения поверхнос-
тей постоянной фазы. Поверхности постоянной амплитуды представля-
ют собой плоскости, параллельные границе раздела. Если среда 1 яв-
ляется непоглощающей, то 0f = Of. Однако в общем случае связь меж-
ду 0f и геометрическими характеристиками прошедшей волны имеет
сложный вид. Вряд ди целесообразно погружаться в весьма сомнитель-
ные попытки физической интерпретации комплексного угла преломле-
ния; гораздо оправданнее рассматривать 0f в (2.63) и (2.65) просто
как математическую величину.
Из уравнений (2.63) и (2.65) легко найти коэффициенты отражения
и пропускания
= cos©, - mcosе, (2 67ч
11 £ц, cos 0, + т cos 0, ’
Электромагнитная теория
49
РИС. 2.5. Отражение и прохождение наклонно падающего света для случаев
электрического вектора, параллельного (а) и перпендикулярного (б), плоскос-
ти падения.
- _ £цг_________2 cos е,
11 cos 0, + т cos 0, ’
(2.68)
В случае электрических векторов, перпендикулярных плоскости паде-
ния, аналогичный анализ дает
_ EXr cos©, — wees©,
± Exi cos©, + rncos0t ’
- _ E±t _ 2cos0,
х Ej_, cos©, + mcos0( ’
(2-69)
(2.70)
Равенства (2.67) - (2.70) представляют собой формулы Фреиела для
отражения и прохождения света, наклонно падающего на плоскую гра-
ницу раздела.
В эксперименте проще измерять отношение интенсивностей отра-
женного и падающего излучения, а не отношение их амплитуд; отража-
*0льные способности для двух поляризаций падающего света равны
*11 = |Гц|2, . *х=1М2. (2.71)
♦*205
50
Глава 2
РИС. 2.6. Отражательная способность для волны с электрическим вектором,
параллельным (Ям ) и перпендикулярным (Ях) плоскости падения. R — отра-
жательная способность для неполяризованного падающего света.
Иногда для R и и встрёчаются обозначения Rp и Rs , где р и s
соответствуют немецким терминам parallel (параллельный) и senk-
recht (перпендикулярный), а кроме того, используются и Ra. На
Электромагнитная теория
51
рис. 2.6 показаны две отражательные способности (2.71) и отражатель-
ная способность R = И(Лц + Rj ) в случае непрляризованного падаю-
щего света в зависимости от угла падения , Показатели преломле-
ния взяты для жидкой воды в видимом диапазоне длин волн (N х — 1,33)
и алюминия на длине волны 4958 A (N, = 0,771 + i 5,91); среда 2 в
обоих случаях считается вакуумом (Na = 1). Заметим, что для воды,
которая является изолятором, всегда отличен от нуля, но имеет-
ся угол падения 0,- = 0р, для которого Лц =0. Этот угол называ-
ется углом полной поляризации, или углом Брюстера, и, как следует
из (2.66) и (2.67),
tg вр = п.
Для алюминия (проводник) Л и всегда отличен от нуля, но имеет ми-
нимум при некотором угле. Если угол падения отличен от 0 или 90°,
то Rj больше R и и для изолятора, и для проводника; поэтому при
падении неполяризованного света на цлоскую границу раздела отра-
женный свет оказывается частично поляризованным в направлении,
перпендикулярном плоскости падения. При падении под углом Брюс-
тера (для изолятора) отраженный свет полностью поляризован.
2.8. ОТРАЖЕНИЕ И ПРОПУСКАНИЕ СВЕТА СЛОЕМ
Рассмотрим теперь отражение и прохождение волны E,exp[iwx
х (Naz/c -t)], падающей нормально на плоскопараллельный слой про-
извольного вещества, погруженный в непоглощающую среду (рис. 2.7).
Отраженная и прошедшая волны имеют вид
Е^хр
-гы
Е(ехр
с
и чтобы удовлетворить всем граничным условиям, необходимо принять,
ЧТО внутри слоя распространяются волны в направлениях + z и - z".
Ej+ exp
Е] exp
Амплитуды поля записаны в скалярном виде, так как отражение и про-
хождение при нормальном падении не зависят от поляризации. На пе-
PffUipS границе (z = 0) амплитуды удовлетворяют обычным граничным
Условиям:
52
Глава 2
РИС. 2.7. Отражение и прохождение саета через слой.
Et + Ег = £* + , £, - Ег = -^(£+ - £,-).
на задней границе (z = h) имеем
£^ехр(гк^й) + £1"exp(-ik^ft) = £,ехр(гкЛГ2й),
£(+exp(ik^A) - £f ехр(-гк^Л) = ^Etexp(ikN2h),
где к = м/с = 2тгА. Коэффициенты отражения и пропускания получают-
ся путем решения этих четырех совместных уравнений:
- = = Ф ~ ехр(/2к^Л)] (2 72.
г *,аЬ Et i _ f2exp(i2k^A) ’ }
- = ^t_ = 4m_____________exp(-ikTV2/i)_______
Z slab E> (m + I)2 [exp(-ik^A) - г2ехр(гк^й)] ’
где r — коэффициент отражения (2.57). В результате алгебраических
преобразований получаем выражение для пропускательной способнос-
ти (прозрачности) слоя
. , (1 - Я)2 + 4£sin2»i
Tslab = kslabl2 = --LL--------------------
---------------------------, (2.74)
£V“A + eah - 2£cos(f + 2ф)
Электромагнитная теория
53
где
(2л2А, )
—----—------ 0 < $ < 7Г,
nf + Л, — «2 /
Л'ггпук 4пк. „ ,
г—х1-. «-V- я-и!-
Эксперименты по прохождению обычно проводятся со слоем, располо-
женным в воздухе (n, » 1), и оказываются возможными лишь в случае,
когда количество проходящего света достаточно для измерения. Это
в свою очередь требует, чтобы для всех образцов, за исключением
очень тонких (скажем, с h « X), А, было мало по сравнению с едини-
цей. При таком ограничении у мало по сравнению с £, и пропускатель-
ная способность слоя с хорошей точностью дается формулой
slab я2е_“А + - 2«cosf’
Наличие в (2.75) осциллирующего члена cos 5 приводит к тому, что
в пропускании слоя в принципе могут наблюдаться интерференционные
полосы. Максимумы пропускания имеют место при £ = 2тгр(рХ = 2n,A),
где р = 1, 2, 3, ... .Если максимум имеет место на длине волны Л,
то соседние максимумы будут соответствовать X + ДХ, где
X 2л,Л\ 2П|Л/
при условии, что п, не очень сильно меняется в пределах этого интер-
вала.
До сих пор мы считали падающий пучок чисто монохроматическим.
Такие пучки легко осуществимы на бумаге — всего несколько рос-
черков пера! Между тем реальные пучки, с которыми работают экспе-
риментаторы, содержат хотя и узкий, но конечный набор длин волн.
Следовательно, с точки зрения практики величину Tslab в (2.74) сле-
дует рассматривать как значение, усредненное по некоторому интер-
валу длин волн. Если разброс длин волн в пучке равен 5Х, то интер-
ференционные полосы наблюдаемы лишь при 5Х « | ДХ|. Предполага-
лось также, что А, не очень сильно меняется в интересующем нас
Интервале длин волн; если же это не так, то спектр поглощения мо-
замазать максимумы и минимумы пропускания, являющиеся ре-
54
Глава 2
РИС. 2.8. Пропускание света кристаллом MnS (Л - 6,3 мк<м, nj — 2,68), из-
меренное при помощи спектрофотометра Сагу 14 (5Х — 5 А).
зультатом интерференции. Это очевидно из формулы (2.75): при дос-
таточно сильном поглощении (ah) осциллирующий член становится
пренебрежимо малым по сравнению с ехр(а/г). Интерференционные
полосы в пропускании тонким кристаллом MnS показаны на рис. 2.8,
на котором изображена оптическая плотность, определяемая как
lg(VTslab), в виде функции длины волны. Заметим, что вблизи поло-
сы поглощения на 6000 А интерференционные полосы становятся ме-
нее контрастными.
Если 5Х » | ДА| , то в спектре пропускания не будет наблюдать-
ся раздельных интерференционных полос; в этом случае величина
Tsiab, усредненная по интервалу длин волн 5Л, составляет
(1 -Д)2е-а*
slab 1 - R2e~ 2ah '
(2-76)
Для строгой справедливости формулы (2.76) требуется также, чтобы
5\А « 1, где Л - средняя длина волны из интервала 5Х’5 это обеспе-
чивает равномерное расположение максимумов cos£.
Но и выполнение условия 5Х « | еще недостаточно для того,
чтобы интерференционные полосы, предсказываемые формулой (2.75),
наблюдались экспериментально. Эта формула содержит в себе также
неявное требование, состоящее в том, что Sh « \/(4п,), где 5Л -
среднее отклонение границ слоя от параллельности в пределах облас-
ти, освещаемой падающим пучком. Мы встретимся с аналогичным ог-
Электромагнитная теория
55
раничением и при рассмотрении рассеяния шарами: максимумы и ми-
нимумы сечения рассеяния для взвеси шаров наблюдаемы лишь в слу-
чае, когда разброс шаров по радиусам достаточно мал.
Иногда желательно исключить интерференционные полосы из спек-
тров пропускания; особенно это относится к измерению спектров пог-
лощения (а как функция длины волны), где интерференционные поло-
сы могут стать помехой. Если 57i » V(4n,), что может быть достиг-
нуто, например, путем использования образца клиновидной формы, то
наблюдаемая пропускательная способность дается формулой (2.76).
Еще одно неявное предположение, лежащее в основе как (2.75),
так и (2.76), а фактически и всех формул данного раздела, состоит в
том, что поверхности являются оптически гладкими, т.е. шерохова-
тость поверхности достаточно мала по сравнению с длиной волны пада-
ющего света. Точный критерий гладкости сформулировать трудно’', ес-
ли же исходить из критерия Рэлея, то поверхность считается глад-
кой при d < X/(8cos ®), где d - высота неровностей поверхности [40].
Если поверхности не являются гладкими, то падающий свет может от-
ражаться диффузно в некоторый сектор углов, а не зеркально под од-
ним углом.
Соотношения (2.76) и (2.75) отвечают двум крайним случаям. Пер-
вое из них относится к "идеально" монохроматическому пучку, падаю-
щему на "идеально" параллельный гладкий слой (разумеется, речь идет
не об абсолютной идеальности, а о некоторых пределах допусков). Вто-
рое же соотношение относится к случаю, который можно было бы наз-
вать абсолютно неидеальным, так как он отвечает специально создан-
ным комбинациям слой - пучок, которые позволяют устранить все
интерференционные эффекты. Теория плохо объясняет промежуточные
между этими двумя крайними ситуациями случаи. Поэтому при получе-
нии количественных данных из измерений прозрачности необходимо
соблюдать известную осторожность. Для того чтобы поместить об-
разец в спектрофотометр и нажать на кнопку развертки, не нужно
обладать большими способностями экспериментатора: прибор покор-
но выдаст какой-либо спектр. Однако совсем другое дело опреде-
,лить по такому спектру точные значения п и А.
Формулу (2.76) можно получить интегрированием формулы (2.75),
однако более удовлетворительным с физической точки зрения явля-
ется ее вывод на основе рассмотрения многократных отражений и
прохождений падающего пучка. Предположение о непараллельности
56
Глава 2
границ слоя или о достаточном разбросе длин волн эквивалентно то-
му, что можно не учитывать фазу пучка. Рассмотрим пучок с интен-
сивностью Ц , падающий на слой (рис. 2.9). Некоторая доля R падаю-
щего света отразится от первой границы раздела, а неотраженная
часть пройдет через слой, претерпев затухание, описываемое множи-
телем ехр(— а/г). На второй границе часть света отразится, а коли-
чество света, равное 7, (1 - R)2exp(- ah) выйдет за пределы слоя. От-
раженный свет пройдет через слой в обратном направлении, отразит-
ся от первой границы, после чего вновь пройдет через слой, и коли-
чество света, равное /,-R2(l-R)2exp( ~3 ah), выйдет наружу и т. д.
В результате для полной интенсивности прошедшего света получим
бесконечный ряд
= /,(1 -R)VaA(l + R2e~2ah + R*e-*ah + •••),
который легко суммируется и приводит к (2.76). Полезно еще одно приб-
.лижение, а именно если R2e~Qah мало по сравнению с единицей, что
РИС. 2.9. Прохождение сввтв через спой. Показаны только первые две сос-
тавляющие, двющив вклад в пропускание. Между фазами различных состав-
ляющих не существует регулярной связи.
Электромагнитная теория
57
справедливо для широкого класса непроводников в видимом диапазоне
длин волн, то (2.76) принимает вид
= О ~ R)2e-ah.
2.9. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПТИЧЕСКИХ
ПОСТОЯННЫХ
Оптические постоянные п и k не поддаются прямым измерениям, а
могут быть определены лишь по измеримым величинам (например,
коэффициентам отражения и пропускания, отражательной и пропуска-
тельной способности и углам преломления) путем привлечения соот-
ветствующей теории. В основном такая теория уже рассмотрена в
разд. 2.7 и 2.8. Поэтому, прежде чем рассматривать аналогию между
частицей и слоем, кратко проанализируем вопрос о том, как можно ис-
пользовать решения электромагнитных граничных задач в случае плос-
ких поверхностей для решения обратной задачи однородных сред, т.е.
как определить оптические постоянные. Обычно на данной длине волны
необходимо определять две оптические постоянные. Это в свою оче-
редь означает, что следует выполнить по крайней мере два измерения.
Для этих целей могут быть использованы следующие методы.
1. Измерение углов преломления, как, например, угла минималь-
ного отклонения призмы; п определяется из закона Снеллиуса. Здесь
требуются образцы высокой прозрачности (к — 0).
2. Измерение пропускательной и отражательной способности слоя
для света, падающего почти нормально. Образцы должны быть доста-
точно прозрачны, с тем чтобы были возможны измерения прошедшего
света в тонких слоях, однако не настолько, как это требуется в мето-
де 1.
3. Измерение отражательной способности при почти нормальном
падении в широкой полосе частот. Фазовый сдвиг отраженного света
получается из соотношений Крамерса - Кронига. Этот метод имеет
большое значение в спектральных областях, где образец сильно непро-
зрачен, однако он требует проведения измерений в обширном диапазо-
н® и Экстраполяции данных на области, в которых измерения отсут-
ствуют.
• Эллипсометрические методы, в которых осуществляются прямые
измерения не только отношений амплитуд, но и фазовых сдвигов для
58
Глава 2
отраженного света, что отличает их от предыдущего метода, в кото-
ром фазовый сдвиг определяется косвенным путем. Такие измерения
трудно осуществить в широком диапазоне длин волн из-за требований,
предъявляемых к таким оптическим элементам, как поляризаторы и
замедляющие системы.
5. Измерение отражательных способностей для падающего све-
та различных поляризаций и для двух углов наклонного падения; ре-
зультаты анализируются на основе формул Френеля. Для достижения
высокой точности требуются большие углы, что приводит к необходи-
мости использовать образцы с большой поверхностью.
Оптические постоянные в основном измеряются по указанным ме-
тодам или их разновидностям. Как уже отмечалось, ни один из них
не является наилучшим для всех случаев. Дальнейшие подробности
можно найти в литературе, указанной в конце этой главы и гл. 10
в разделах "Замечания и комментарии".
2.10. АНАЛОГИЯ МЕЖДУ СЛОЕМ И ЧАСТИЦЕЙ
Мы уже видели, что отклик плоской поверхности на падающий пу-
чок может быть достаточно сложным. Однако из повседневных наблю-
дений нам знакомы многие происходящие в результате этого явления:
отражение солнечного света от глади водоема дли оконного стекла,
блестящий кусок металла, цветовые оттенки мыльной пленки. Возмож-
но, читатели проводили простые лабораторные опыты по измерению
дисперсии естественного света в призме или определению угла Брюс-
тера с использованием поляризаторов. Такие опыты помогают развить
восприятие объемных оптических эффектов. В отличие от этого у нас
имеется меньше возможностей для прямого наблюдения рассеяния и
поглощения малыми частицами, размеры которых сравнимы с длиной
волны. Мы можем лишь воспользоваться аналогиями между явления-
ми, часто встречающимися на практике и простыми по своей природе,
и явлениями, встречающимися менее широко, однако рекомендуем
делать это с большой осторожностью. Многие исследователи впадали
в ошибки из-за того, что излишне буквально придерживались аналогии
между малыми частицами и плоскими поверхностями. Классическим
примером этого является путаница, которая возникла в период, ког-
да голубой цвет и поляризация небесного света вызывали большой на-
учный интерес. Согласно опытам Тиндаля, основным фактором, обус-
ловливающим голубой цвет неба, считались малые частицы, которые,
Электромагнитная теория
59
как мы теперь знаем, есть не что иное, как сами молекулы воздуха.
Однако одним из препятствий для подобного объяснения явился угол
поляризации. Было замечено, что свет, рассеянный малыми частица-
ми под углом 90° по отношению к направлению падающего пучка, силь-
но поляризован независимо от состава частиц. На языке плоских по-
верхностей мы бы сказали, что угол поляризации для таких частиц
всегда равен 45°. Кое-кто усмотрел в этом факте трудность, посколь-
ку угол поляризации для плоских поверхностей является функцией
показателя преломления, а следовательно, и состава. Ответ Рэлея
[ 389] на это возражение заслуживает того, чтобы привести его дос-
ловно: "Я осмеливаюсь думать, что это - мнимая трудность и что
вызвана она в основном неправильным употреблением слова "отра-
жение'1. Конечно, в этимологии слов "отражение" и "преломление"
нет ничего такого, что запрещало бы их применение в этом смысле,
однако эти слова приобрели специальные значения и стали связанны-
ми с определенными, хорошо известными законами, в названии кото-
рых они присутствуют. Обращение же к законам, объясняющим отра-
жение и преломление в волновой теории, оказывается достаточным,
чтобы показать, что они неприменимы, если только площадь поверх-
ности препятствия не превышает во много раз квадрата длины волны;
в то же время частицы, которым по предположению небо обязано сво-
им цветом, должны быть меньше длины волны, иначе же объяснение
цвета теряет свою силу. Поэтому мысль о поляризации за счет отра-
жения является неуместной, и то, что "закон Брюстера неприменим в
этих условиях" (сильной дисперсности), есть всего лишь следствие
принципов волновой теории". В подстрочном примечании Рэлей добав-
,ляет, что "во многих областях науки можно наблюдать тенденцию рас-
ширять сферу действия известных законов за пределы их применимос-
ти". Следует хорошо помнить эти слова Рэлея при сопоставлении
свойств частиц и слоев.
Схематически формальная аналогия между рассеянием частицей
и отражением - пропусканием слоем в наиболее общем виде представ-
лена на рис. 2.10 и в табл. 2.1. В разд. 2.7 мы отметили, что непо-
ляризованный падающий свет может стать поляризованным в результа-
те отражения от плоской границы раздела или рассеяния на частице;
Далее в нашей книге мы будем весьма осторожны с аналогиями при
Использовании их как для понимания, так и в качестве ориентира в ис-
следовании новых и незнакомых явлений.
60
Глава 2
РИС. 2.10. Аналогия между рассеянием света частицей и слоем.
Аналогия между слоем и частицей Таблица 2.1
Слой Частица
Падающая волна Отраженная волна + прошедшая волна Внутренние (преломленные) волны Падающая волна Рассеянная волна Внутреннее полв
2.11. ПОЛЯРИЗАЦИЯ
Кроме интенсивности и частоты монохроматическая (т.е. гармо-
ническая) электромагнитная волна характеризуется еще одним свой-
ством, которое называют состоянием поляризации. Кратко это свой-
ство бщло затронуто в разд. 2.7, где было показано, что отражение
Электромагнитная теория
61
наклонно падающего света зависит от поляризации электрического по-
,ля. На самом деле поляризация была бы неинтересной характеристикой,
если бы не тот факт, что две волны одинаковой частоты и интенсив-
ности, но разной поляризации могут вести себя совершенно по-разному.
Прежде чем закончить с плоскими волнами, хотелось бы дать систе-
матическое описание поляризации, которое окажется полезным при
обсуждении вопроса о поляризации рассеянного света.
Рассмотрим плоскую монохроматическую волну с угловой часто-
той «и волновым числом к, которая распространяется в направлении
z в непоглощающей среде. При обсуждении поляризации обычно рас-
сматривают электрическое поле Е:
Е = Re(Ec) = Re((A -I- iB)exp(ikz - ZwZ))
= Acos(kz - wz) - Bsin(kz - wz), (2.77)
где вещественные векторы А и В не зависят от пространственных ко-
ординат. Вектор электрического поля в каждой точке лежит в плоскос-
ти, нормаль к которой параллельна направлению распространения.
В какой-либо плоскости, скажем в плоскости z = 0, конец электричес-
кого вектора описывает кривую
E(z = 0) = A cos <jZ + В sin wz. (2.78)
Уравнение (2.78) описывает эллипс - эллипс поляризации (рис. 2.11).
Ерли А = 0 (цли В = О ), то эллипс поляризации переходит в прямую
линию, а о волне говорят, что она является линейно поляризованной;
вектор В при этом задает направление поляризации. Кроме того, ис-
пользуется термин "плоскополяризованная", однако в последние годы
он стал менее употребительным. Ерли | А| = | В | и А • В = 0, то эл-
липр поляризации предртавляет робой окружность, и о волне говорят,
что она поляризована по кругу. В общем случае монохроматическая
волна вида (2.77) является эллиптически поляризованной.
Эллипс поляризации может вычерчиваться в двух противополож-
ных направлениях: по часовой стрелке и против нее. Эллипс на
рис. 2.11 пробегается по часовой стрелке, если смотреть на него свер-
ху. Однако при наблюдении с противоположного направления он будет
пробегаться против часовой стрелки. Таким образом, эти термины
не имеют абсолютного значения, а зависят от направления, из кото-
62
Глава 2
РИС. 2.11. Эллипс поляризации.
рого наблюдается этот эллипс. Два противоположных направления вра-
щения вектора Е лежат в основе классификации эллипсов поляризации,
но именно это и создает трудности, так как существуют два соглаше-
ния. Так например, эллипс поляризации может быть назван правым,
если вращение вектора Е происходит по часовой стрелке при наблюде-
нии в направлении источника света. Иными оловами, если направление
вектора А х В противоположно направлению распространения, то эл-
липс поляризации называется правым. Среди сторонников этого сог-
лашения химики [132] и оптики [251, 430, 451]. Это соглашение может
быть названо "общепринятым" и как таковое использовалось Борном
и Врльфом [74], которые тем не менее испытывали некоторое неу-
добство, так как оно не совпадает с вращательным поведением пра-
вой резьбы. Кларк [ 104], однако, утверждает, что в рамках традици-
онного соглашения можно оставить в стороне вопросы естественности
цли неестественности определения, если иметь дело не с отвертками,
а рассматривать винтовую линию, описываемую концом электричес-
кого вектора в пространстве. В любой момент времени (скажем,
t = 0) геометрическое место точек, описываемых концом вектора
Электрического поля, определяется как
Е(/ = 0) = Acoskz - Bsinkz, (2.79)
что является уравнением винтовой .линии; (2.79) - это "моментальный
снимок" электрического поля в заданный момент времени. Во време-
ни эта линия перемещается в направлении распространения, при этом
точки ее пересечения с любой плоскостью z = const описывают эллипс
поляризации (рис. 2.12). Если спираль является правой, то соответству-
ющий эллипс поляризации также является правым, что соответствует
Электромагнитная теория
63
a)t=0 ш£-я/8 a)t=K/b
РИС. 2.12. Положение аектора электрического поля в различные моменты
времени.
общепринятому соглашению. Поскольку направление вращения винто-
вой .линии не зависит от направления наблюдения, то винтовая линия,
связанная с данной волной, приписывает ей однозначное направление
вращения поляризации. Поэтому мы будем придерживаться общеприня-
того соглашения, в соответствии с которым эллиптически поляризо-
ванная волна считается правополяризованной, если эллипс поляриза-
ции вращается по часовой стрелке при наблюдении в направлении ис-
точника. Противоположному соглашению, по-видимому, отдают пред-
почтение астрономы [172, 214, 488].
Мы будем рассматривать в основном среды, в которых произволь-
но поляризованные плоские волны распространяются без изменения
своей поляризации. Вместе с тем имеется много веществ, не облада-
ющих таким свойством. Так, например, существуют вещества, кото-
рые для заданного направления распространения имеют различные
показатели преломления в зависимости от направления линейной по-
ляризации врлны. Если различаются действительные части показа-
телей преломления, то такое вешество называют двоякопреломляю-
Шим; если же различаются мнимые части показателей преломле-
ния, то его называют дихроичным. Аналогично существуют цирку-
64
Глава 2
РИС. 2.13. Эллипс поляризации с эллиптичностью ь/а и азимутом у.
лярно двоякопреломляюшие и циркулярно дихроичные среды, для ко-
торых комплексный показатель преломления зависит от направле-
ния вращения. Термины "двоякопреломляющий" и "дихроичный" часто
испрльзуют без оговорок, в особенности если их смысл ясен из кон-
текста. Чтобы описать такие двоякопреломляюшие и дихроичные сре-
ды на уровне макроскопической теории, необходимо несколько видо-
изменить материальные уравнения (2.7) - (2.9). В последующих гла-
вах мы встретимся с некоторыми типичными случаями таких видоиз-
менений.
Кроме направления вращения эллипс поляризации характеризует-
ся своей эллиптичностью (отношением длины малой полуоси к длине
большой полуоси) и азимутом (углом между большой полуосью и про-
извольным направлением) (рис. 2.13). Направление вращения, эллип-
тичность и азимут вместе с интенсивностью являются эллипсомет-
рическими параметрами плоской волны.
2.11.1. Параметры Стокса
Хотя эллипсометрические параметры полностью задают монохро-
матическую волну данной частоты и являются вполне наглядными ха-
рактеристиками, они не дают ясного понимания преобразований поля-
ризованного света. Более того, их прямые измерения затруднены (ис-
ключая интенсивность, которую можно измерить приемником) и их
нельзя использовать для описания частично поляризованного света.
Если интенсивности двух некогерентных пучков при их суперпозиции
Электромагнитная теория
65
®1
Р
ёи Поляризатор Приемник.
РИС. 2.14. Измерение интенсивности пучка, прошедшего через поляризатор Р.
складываются, то в отношении других трех эллипсометрических пара-
метров такой аддитивности нет. Как мы увидим ниже, полное описание
поляризованного света дают и параметры Стокса, однако наибольшую
ценность они представляют в задачах рассеяния.
В предыдущих разделах указывалось, что поляризация волны мо-
жет быть изменена за счет взаимодействия с соответствующей опти-
ческой системой (например, при падении под углом Брюстера или при
пропускании через дихроичную среду). .Любую монохроматическую вол-
ну можно представить в виде суперпозиции двух ортогональных ком-
понент, которыми могут быть горизонтально и вертикально поляризо-
ванные компоненты, право-и левололяризованные и т.д. Такое разло-
жение - это не просто математическая операция. Мы можем сделать
поляризаторы, обладающие способностью пропускать только одну из
этих компонент. Пока мы будем считать такой поляризатор Р черным
ящиком, на вход которого поступает свет.
Обратимся к ряду мысленных экспериментов, которые могут быть
произведены с произвольным монохроматическим пучком, приемником
и различными поляризаторами (рис. 2.14). Детектор реагирует на
падающую интенсивность независимо от поляризации, а поляризато-
ры предполагаются идеальными (т.е. не меняют амплитуды пропускае-
мой компоненты). Электрическое поле Е , описываемое в ортого-
нальном базисе с ортами е(| и е^, которые мы будем называть соответствен-
но горизонтальным и вертикальным, определяется как
Е = Eoexp(zkz - iut); Ео = £цёц + ,
Ец = atle ’*«; £± = а±е 's± .
5-205
бб
Глава 2
Эксперимент I. Поляризатор отсутствует. Если поляризатора на
пути пучка нет, то интенсивность I, регистрируемая приемником рав-
на Е о Е* + Е^ Е* , где для удобства опущен множитель к/(2соц0 ).
Эксперимент II. Горизонтальный и вертикальный поляризаторы.
1) Пусть Р - горизонтальный поляризатор; амплитуда прошедшей вол-
ны есть Ем , а интенсивность/| । , регистрируемая приемником,рав-
на Ец Е* . 2) Пусть Р - вертикальный поляризатор; амплитуда про-
шедшей волны есть Ех , а интенсивность 1± , регистрируемая прием-
ником, равна Е± Е*. Разность между двумя измеренными интенсив-
ностями составляет
/||-Л=ЕцЕ*-Е±Е*.
Эксперимент III. Поляризаторы, повернутые на + 45 и -45°. Чтобы
проанализировать этот эксперимент, удобно ввести другой орто-
нормированный базис е+ и е_ , который получается поворотом е(| на
+ 45 и - 45° (рис. 2.15):
Электрическое поле Е 0 может быть записано в виде Е 0 = Е+в+ + Е_е_)
где
£+=^(£|| + £±)’
РИС. 2.15. Базисные векторы е+ и е
Электромагнитная теория
67
1) Пусть Р - поляризатор, повернутый на + 45°; амплитуда прошедшей
волны есть (Е|( + а ее интенсивность 1+ равна (EN Ё* +
+ Et Е* + El Е* + Е* )/2.
2) Пусть Р - поляризатор, повернутый на - 45°; интенсивность про-
шедшей волны равна/_ = (Еп Е* - Etl Е* — Е±Е* + Е±Е^ ),/2.
Разность между этими двумя интенсивностями составляет
/+- 1_=Е]}Е* + Е±Е*.
ЭкспериментIV.Круговые поляризаторы. Нам необходимо ввести
еще один набор базисных векторов eR и eL:
+ = (^|| — ’®х)-
Эти базисные векторы удобны для описания волн с правой и,левой кру-
говой поляризацией и являются ортонормированными в том смысле,
что
4Л-«Х=1. ёЛ-ё* = о.
Падающее поле можно записать как Ео = EReR + ELeL, где
= у^'(£11 ~ ,£J-)’ EL = ^’(£11 +
1) Пусть Р- правый круговой поляризатор; прошедшая интенсив-
ность 1R есть (Е„ Е* -iE* E±+iE*Eit + Е* )/2.
2) Пусть Р - левый круговой поляризатор; прошедшая интенсив-
ность lL есть (Еи Е* + iE^E* -:Ец Е* + Е* )/2. Разность меж-
ду ?.тими двумя интенсивностями равна
Теперь в нашем распоряжении имеется достаточное крличество
Мысленных экспериментов для определения параметров Стокса Ц Q,
V, V'
I = Е^Е* + Е* = off + а2± ,
Q = EllE*-E±E*=a2-a2±,
I/= ЕцЕ*+Е± Е* = 2аца± cos й,
К= i(E]}E* ~Е±Е*) = 2a1(a±sin5,
(2.80)
68
Глава 2
где разность фаз 5 есть 5|( _ 5Х. Заметим, что в (2.80) мы опустили
множитель к/(2соц0). Этоне имеет значения, поскольку обычно измеря-
ются не абсолютные, а относительные значения интенсивностей. Наши
обозначения для параметров Стокса ни в коей мере не являются универ-
сальными; используется и множество других символов. Сам Стокс
[450] использовал Л В, С, D; в [93, 488, 492] отдается предпочте-
ние I, Q, V, V; авторам работ [360, 430] больше по вкусу I, М, Ср
S; автор [ 108] предпочитает $0, $2» $3. Автор [408] называет
"нелогичными" символы, обычно используемые в "иностранной лите-
ратуре", и предлагает s2, S3, S4. Еще больше увеличивает пута-
ницу то, что определение параметров Стокса может быть изменено
без серьезного ущерба: всевозможные .линейные комбинации парамет-
ров Стокса (2.80), особенно 1 и Q, могут испцльзоваться и использу-
ются в качестве приемлемых параметров Стокса. Поэтому при изу-
чении работ разных авторов нужно быть очень внимательным.
Параметры Стокса связаны с эллипсометрическими параметра-
ми следующим образом:
7 = с2,
Q = c2cos27)cos2y,
(2-81)
U = c2cos2t) sin2y,
V = c2sin2ij,
гдес2 = а2 + Ь2 = (большая полуось)2 + (малая полуось)2*; у - угол,
отсчитываемый по часовой стрелке, между ен и большой осью (азм-
мут) (0< у < тт); | tgT|| = b/a (эллиптичность) (- тт/4 < тг,/4).
Знак V задает направление вращения эллипса поляризации: положи-
тельный знак означает правое вращение, а отрицательный - левое.
Кроме того, имеют место соотношения
‘g 2у = %, tg 2tj = - / - . (2.82)
б Уе2 + U2
Таким образом, параметры Стокса эквивалентны эллипсометрическим
параметрам; они не столь наглядны, зато выражаются непосредствен-
но через измеримые величины (интенсивности). В дальнейшем станут
Электромагнитная теория
69
РИС. 2.16. Поворот базисных векторов.
очевидными и другие преимущества параметров Стокса. Заметим,
что Q и V зависят от выбора горизонтального и вертикального направ-
лений. При повороте базисных векторов ё,( и ех на угол у (рис. 2.16)
преобразование (I, Q, U, V) в параметры Стокса (I' , Qи’, V) от-
носительно повернутых осей е(| ив/ имеет вид
Г ' 1 0 0 0’ I
Q' 0 сов2ф sin 2ф 0 Q
U' 0 -sin 2^ сов2ф 0 и (2.83)
V 0 0 0 1 V
Как из (2.81), так и из (2.83) довольно очевидно, что имеются три свя-
занные с параметрами Стокса величины, которые инвариантны отно-
сительно поворота опорных направлений, а именно 1, Q2 + и2 и F. Кро-
ме того, не все параметры Стокса независимы, поскольку связаны
соотношением , . . -
I2 = Q2 + U2 + V2.
В табл. 2.2 выписаны в виде вектор-столбцов несколько характерных
наборов параметров Стокса,’ интенсивность 1 нормирована на единицу.
Строго монохроматическая волна — волна с временной зависимос-
тью exp (- :со() - имеет вполне определенный эллипс поляризации, од-
нако это верно не для всех волн. Рассмотрим почти монохроматичес-
кий, или квазимонохроматический пучок
Е = E0(z)exp(ikz - iut), E0(z) = ,
где комплексные амплитуды Ен и Е± - теперь функции времени, мед-
ленно меняющиеся в пределах временных интервалов порядка 2-rr,/w.
На длинных же по сравнению с периодом временных интервалах эти
амплитуды испытывают некоторые флуктуации, которые могут быть
70
Глава 2
Параметры Стокса поляризованного света
Таблица 2.2
Линейная поляризация
0° 90° + 45° \ -45° Y
1 1 ' м [ 1
1 -1 0 0 cos 2 у
0 0 1 -1 sin 2 у
Ш °) \о/ о/ , 0
Круговая поляризация
Правая
0
0
Левая
О
п
0
0
как независимыми, так и коррелированными. Если (t) и Ех (t) пол-
ностью некоррелированы, то пучок называют неполяризов анным; так
называемый естественный свет (например, солнечный свет, а также
свет люминесцентной лампы и лампы накаливания) является неполяризован-
ным. В таком световом пучке электрический вектор описывает эллипс по-
ляризации, параметры которого (направление вращения, эллиптичность
и азимут) медленно меняются во времени. Более того, ни один из
эллипсов поляризации никак не выделен: в течение достаточно длитель-
ного промежутка времени будут описаны эллипсы поляризации всех
форм, ориентаций и направлений вращения. Статистические свойства не-
поляризованного света рассмотрены в интересной и поучительной
статье [242]. Если E|t и Et полностью коррелированы, то свет назы-
вают поляризованным. Это определение поляризации относится не
только к строго монохроматическому свету, оно несколько шире:
au » ai> 8ц » §1 по отдельности могут флуктуировать при условии,
что отношение вещественных амплитуд и разность фаз S|( - 5Г
не зависят от времени. Если Ем и Ек частично коррелированы, то
Электромагнитная теория
71
такой свет называют частично поляризованным. Частично поляризо-
ванный свет обладает предпочтительным направлением вращения, ли-
бо эллиптичностью, либо азимутом. Однако это предпочтение не явля-
ется полным, поскольку имеются некоторые статистические флуктуа-
ции.
Параметры Стокса квазимонохроматического пучка определяют-
ся соотношениями
/=(Е„Е* + ЕХЕ*>,
2 = (е.е.г -е±е*>,
11 11 (2.84)
U= (Е^Е* +Е±Е*),
V= /<£„£* -Ех£,р,
где угловые скобки означают усреднение по временному интервалу,
большому по сравнению с периодом. Из (2.84) следует
22 + U2 + V1 = I2 - 4(<4><а2 > - <alla±eit){alla_Le-‘s)).
Это означает, что
I2 > Q2 + U2 + V2. (2.85)
Равенство имеет место в случае поляризованного света; если же
свет деполяризован, то Q = U = V = 0. Неравенство (2.85) приводит
к определению степени поляризации VQ2 + U2 + Р2//, а также степе-
ни линейной поляризации д/Q2 + U2/! и степени круговой поляризации
V/I. Для частично поляризованного пучка знак величины V указыва-
ет на преимущественное направление вращения эллипсов поляризации,
описываемых электрическим вектором: положительный знак соответ-
ствует правому вращению, а отрицательный — левому. Величины U/Q
иУ/^Q2 + U2 [см. формулу (2.82)] можно интерпретировать как преи-
мущественные значения азимута и эллиптичности эллипсов поляриза-
ции.
Если два (или более) квазимонохроматических пучка, распростра-
няющихся в одном направлении, складываются некогерентно, т.е. не
существует жесткой связи между фазами разных пучков, то полная
интенсивность есть просто сумма интенсивностей отдельных пучков.
Поскольку в определение'яараметров Стокса входят только интенсив-
ности, то отсюда следует, что параметры Стокса для излучения, соз-
даваемого группой некогерентных источников, аддитивны.
72
Глава 2
Выше при введении параметров Стокса мы начинали с монохрома-
тического света, а затем обобщали результаты на более общий случай
квазимонохроматического света. Между тем определение параметров Сток-
са на основе элементарных экспериментов с использованием приемни-
ка и различных поляризаторов, в противоположность формальным маг
тематическим определениям (2.80) и (2.84), не зависит от каких-либо
предполагаемых свойств пучка. Если не оговорено особо, мы будем
предполагать, что все интересующие нас пучки являются квазимоно-
хроматическими, а монохроматический свет входит сюда как частный
случай.
2.11.2. Матрицы Мюллера
Пучок произвольной поляризации, включая частично поляризован-
ный свет, можно представить при помощи вектор-столбца, или вектора
Стокса, элементами которого являются четыре параметра Стокса.
Обычно состояние поляризации пучка при его взаимодействии с опти-
ческим элементом (поляризатором, замедляющей системой, отражате-
лем, рассеивателем) меняется. Следовательно, такие оптические эле-
менты можно задавать матрицей 4x4, введенной Мюллером [ 339].
Матрица Мюллера описывает связь между "падающим" и "прошедшим"
векторами Стокса; под "падающим" мы подразумеваем вектор до взаи-
модействия с оптическим Элементом, а под "прошедшим" - после взаи-
модействия. В качестве примера рассмотрим матрицу Мюдлера для
идеального линейного поляризатора. Такой поляризатор пропускает
без изменения амплитуды только компоненты электрического поля, па-
раллельные некоторой заданной оси, называемой осью пропускания.
Компоненты электрического поля других направлений полностью устра-
няются из прошедшего пучка, причем способ проведения такой опера-
ции нас не интересует. Связь между компонентами падающего поля
(Е111 , Ец- ) и компонентами поля (Eitt,Elt), прошедшего через поля-
ризатор, имеет вид
/ \ _ I cos2 £ sin £ cos £ W E||z \
\E_lJ \sin£cos£ sin2£ (2.86)
где § - угол (наименьший) между е|( и осью пропускания. После ал-
гебраических преобразований из (2.86) получаем матрицу Мюдлера
для идеального линейного поляризатора
Электромагнитная теория
73
1 cos 2^ sin 2^ O’
2 Л cos2£ cos2 2£ cos2£sin2£ 0 (2.87)
2 sin 2$ sin 2£ cos 2£ sin22£ 0
0 0 0 0,
Интенсивность на выходе линейного поляризатора (2.87) равна
I, = 1(7,- + 2fcos2£ + фт2£).
Следовательно, при повороте поляризатора, меняющем меняется
также интенсивность 11. Максимальное и минимальное значения 11
имеют место соответственно при § = у и § = у + п/2, где tgy =Ц, /Q{,
и равны
Ап« = К А + C,cos2y + фт2у),
Anin = 2(А - CiCOs2y - фт2у). (2.88)
Из (2.88) получаем степень линейной поляризации
^(2,2 + Ц2 I .
_________ __ max min
А ^тах + Anin
Поэтому, поворачивая линейный поляризатор в произвольном пучке и
отмечая максимальное и минимальное значения прошедшей интенсив-
ности, можно измерить степень линейной поляризации независимо от
значения И.
Идеальная линейная замедляющая система делит известный элек-
трический вектор падающей волны на две линейно поляризованные
компоненты Е, и Е2, которые взаимно ортогональны, и вносит фазо-
вый сдвиг S j - 5 2 между ними; интенсивность при этом не меняется.
Таким образом, компоненты падающего поля и компоненты поля, про-
шедшего через такой замедляющий элемент, связаны соотношением
( £|1' = (
cosjS
sin fi
-sin Д W eiS>
cos Д]\о
0 V
eiS4\
cos Д
-sin Д
sin Д
cos ft
(2.89)
где p - угол между вц и e, (рис. 2.17). Путем несложных, но гро-
моздких вычислений можно показать, что (2.89) приводит к следующей
74
Глава 2
РИС. 2.17. Векторы ej и е2 обозначают оси идеального линейного замедляю-
щего элемента.
матрице Мидлера для идеального линейного замедляющего элемента:
1 0 0 01
0 С2 + S2cos3 SC(1 - cos 8) — S sin 3 , (2.90)
0 SC(1 - cosS) S2 + C2cos3 CsinS
.0 SsinS — C sin 8 cosS ,
где С = cos 2р, S =sin2p,a запаздывание 5 есть 5, -52»
Ценность формулировки Мюллера становится очевидной, когда
мы осознаем тот факт, что матрицы Мюллера дают нам простой спо-
соб определения состояния поляризации пучка, прошедшего через оп-
тический элемент, для произвольной поляризации падающего пучка.
Более того, если на пути пучка имеется ряд оптических элементов,
то суммарное действие всех этих элементов может быть найдено пу-
тем простого перемножения соответствующих им матриц Мюллера.
В качестве примера рассмотрим, как можно создать круговой поляри-
затор на основе суперпозиции линейного поляризатора и линейного
замедляющего элемента. Сначала пучок падает на линейный поляриза-
тор с горизонтальной осью пропускания (§ = 0°}; матрица Мюллера
получается из (2.87) и имеет вид
1 1 О О'
1110 0
2 0 0 0 0
,0 0 0 0/
(2.91)
Пучок,прошедший через поляризатор с матрицей (2.91), затем падает
на замедляющий элемент с 5 = 90° и (3 = 45°, матрица Мюллера кото-
Электромагнитная теория
75
рого получается из (2.90):
/ 1 0 0 0\
0 0 0 -1
0 0 1 0
,010 0/
Совместное действие поляризатора и замедляющего элемента опре-
деляется путем перемножения матриц:
2
2
1
0
о
о
о о
о о
О 1
1 о
0 W1
-1 1
о о
о / \ о
1 О О'
1 о о
ООО
ООО/
1
О
О
1
1
о
о
1
О
О
О
О
0\
о
о
о/
. (2.92)
2
Таким образом, если неполяризованный свет, или свет произвольной
поляризации, падает на оптическую систему, описываемую матрицей
Мюллера (2.92), то прошедший свет будет иметь 100 %-ную правую
круговую поляризацию. Заметим, что умножение матриц не коммута-
тивно, т.е. порядок элементов в группе должен учитываться соответ-
ствующим образом. Дальнейшие подробности, касающиеся матриц
Мюллера и экспериментальных способов реализации поляризаторов,
замедляющих систем и других оптических элементов, можно найти в
прекрасной книге [ 430].
ЗАМЕЧАНИЯ И КОММЕНТАРИИ
Известно много хороших книг по преобразованию Фурье. Особен-
но полезной для решения наших задач мы считаем книгу [92].
В [ 468] изложены логические обоснования принципа причинности
и дисперсионных соотношений. В начале статьи [ 187] дан весьма пол-
ный исторический обзор; изложение в рамках физики высоких энергии
имеется в [421], на основе оптических свойств твердых тел ведете;
изложение в [ 448]. Книга [ 349] целиком посвящена дисперсионным
соотношениям.
Пространственная дисперсия является предметом исследований
обзорной статьи [409] и книги [ 14].
В [ 43] дан хороший обзор по оптическим постоянным и их измере-
ниям. Определение оптических постоянных по измерениям отражатель-
76 Глава 2
ной способности рассмотрено в [ 503], а по спектроскопии внутренне-
го отражения - в [217]. Эллипсометрия подробно рассмотрена в [27].
В разд. 2.10 мы провели аналогию между слоями и частицами,
одновременно предостерегая от чрезмерного увлечения ею. Необходи-
мость такого предостережения со всей очевидностью следует из вы-
числений объемного поглощения слоями и шарами из одного вещества
[149].
В [ 328] принят квантовомеханический подход к параметрам Сток-
са и поляризации света. Две книги [ 105, 430] целиком посвящены поля-
ризации. Прекрасный сборник статей [ 172] включает работы по многим
разделам поляризации света. Следует отметить и другой сборник
[ 457], в котором содержится несколько классических статей по поля-
ризации.
Глава 3
Поглощение и рассеяние
произвольной частицей
При освещении частицы пучком света с заданными характеристи-
ками количество рассеянного света и его угловое распределение, а
также количество поглощенного света существенно зависят от свойств час-
тицы, т. е. от ее формы, размера и вещества, из которого она
состоит. Это обеспечивает неограниченное число различных возмож-
ностей. Тем не менее имеются некоторые особенности явлений рассеяния
и поглощения, общие для всех типов малых частиц. Пель данной гла-
вы состоит в том, чтобы как можно больше сказать о таких явлени-
ях, не конкретизируя вида частицы. Э то позволит создать математи-
ческую и физическую основу для решения конкретных задач, встре-
чающихся в последующих главах.
3.1. ОБЩАЯ ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ
Наша основная задача состоит в следующем. Пусть Частица, ха-
рактеризуемая определенными размером, формой и оптическими
свойствами, освещается монохроматической волной с произвольной
поляризацией. Требуется определить электромагнитное поле во всех
точках частицы и во всех точках однородной среды, в которую погру-
жена эта частица. Хотя мы и ограничиваем наше рассмотрение плос-
кими гармоническими волнами, это ограничение не такое сильное,
как могло бы показаться на первый взгляд. Действительно, как бы-
ло показано в разд. 2.4, произвольное поле можно разложить на фу-
рье-составляющие, которые являются плоскими волнами. Поэтому
мы можем получить решение задачи рассеяния — поглощения при про-
извольном освещении, используя принцип суперпозиции.
Поле внутри частицы обозначим (Ер НД; поле (Е2, Н2) в среде,
окружающей частицу, представляет собой суперпозицию падающего
поля (Ер Н;) и рассеянного поля (Es, Hs) (рис. 3.1):
где
Е2 = Е, + Е,, Н2 = Н, + Н,,
Е, = Eoexp(ik«x - iwt), Н, = Hoexp(ik-x - iwt),
78
Глава 3
а к - волновой вектор, соответствующий окружающей среде. Эти по-
ля удовлетворяют уравнениям Максвелла
V *Е = 0, (3-1)
V-H = 0, (3-2)
V X Е = /ыдН, (з.з)
V х Н = -iweE, (3.4)
всюду, где е и ц непрерывны. Применив операцию v х к уравнени-
ям (3.3) и (3.4), имеем
V х (V х Е) = «w/iV X Н = ы2едЕ,
V X (V X Н) = -iwev X Е = со 2 ед Н,
а воспользовавшись векторным тождеством
V X (V X А) = V(VA) - V*(VA) (3.5)
получим
V2E + k2E = 0, v2H + k2H = 0, (3.6)
где k2 = »2ец и V2A = V*(vA). Таким образом, Е и Н удовлетворя-
ют векторному волновому у равнению. Любое векторное поле с нуле-
вой дивергенцией, которое удовлетворяет векторному волновому урав-
нению, описывает некое электрическое поле; при этом соответству-
ющее магнитное поле выражается через ротор электрического поля
при помощи соотнЪшения (3.3). Необходимо помнить, что символ V2
В (3.6) следует рассматривать как сокращенное обозначение для век-
торного оператора V -V, причем VA - диада, применение к которой опе-
ратора дивергенции ?• дает вектор. С другой стороны, определением
V2A можно считать формулу (3.5). Утверждение, что компоненты Е
по отдельности удовлетворяют скалярному волновому уравнению
\72ф + к2^/ = О,
к которому мог бы привести поверхностный взгляд на уравнение (3.6),
неверно кроме частного случая, когда Е задано в прямоугольной де-
картовой системе координат.
Поглощение и рассеяние произвольной частицей
79
ПаЭающий
(Ei .Hi)
РИС. 3.1. Падающее попе (Е,- , н,- ) приводит к появлению поля (Ej, Hj)
внутри частицы и рассеянного поля (Es „ Hs) в окружающей частицу среде.
3.1.1. Граничные условия
От электромагнитного поля требуется, чтобы оно удовлетворяло
уравнениям Максвелла в точках, где е и ц непрерывны. Между тем при
пересечении границы между частицей и средой обычно имеет место рез-
кое изменение этих свойств. Это изменение происходит в пределах пе-
реходной области толщиной порядка атомных размеров. С макроскопи-
ческой точки зрения, следовательно, имеется разрыв на границе. В та-
ких граничных точках мы налагаем следующие условия на поля:
[ Е2(х) - Ех(х)1 х rr^ О,
х лежит на 5, (3.7)
[Нг(х) - Нх(х)] х п = О,
где п — внешняя нормаль к поверхности 8 частицы. Граничные усло-
вия (3.7) представляют собой требование непрерывности тангенциаль-
ных компонент Е и Н на границе, разделяющей среды с различными
свойствами.
Здесь мы отойдем от традиционного вывода (3.7), который состо-
ит в построении объемов и петель, охватывающих границу раздела, и
в последующем переходе к пределам. Вместо этого дадим этим гранич-
ным условиям физическое обоснование, обратившись к закону сохра-
нения энергии. Рассмотрим замкнутую поверхность А с внешней нор-
малью п, представляющую собой границу раздела между областями
80
Глава 3
1 и 2 (рис. 3.2). На свойства этих областей не налагается никаких ог-
раничений. Скорость, с которой электромагнитная энергия переносит-
ся через замкнутую поверхность, сколь угодно близкую к Л и лежащую
в области 1 (показанную на рис. 3.2 штриховой линией), равна
Js^ft^ =Jft-(E, ХН,)<44, (3.8)
где электромагнитное поле (Ер Нх) может быгьи не гармоническим во
времени. Аналогично скорость переноса электромагнитной энергии че-
рез замкнутую поверхность, сколь угодно близкую к Л в области ,2 (по-
казанную на рис. 3.2 точечной кривой), составляет
У S2*ft<44 = ft’(Е2 X Н2) <44. (3.9)
Если наложены граничные условия (3.7), то Е2 х n = Ехх n, Н2 х п =
= Hj х п, и интегралы (3.8) и (3.9) могут быть записаны в виде
fSj>AdA = jHj-(ft ХЕ,)<44 = у Н, • (ft X Е2) <44,
[S2-fidA = [e2’(H2 X ft) <44 = ГН, «(ft XE2)<44,
JA JA JA
РИС. 3.2. Замкнутая поверхность, разделяющая области 1 и 2.
Поглощение и рассеяние произвольной частицей
81
где мы воспользовались правилом перестановки для смешанного про-
изведения: А* (В х С) = В'(С х А) = С - (А хВ ). Отсюда следует, что
на поверхности А нет ни источников, ни стоков электромагнитной
энергии:
f^-hdA =fs2-AdA.
Таким образом, требование непрерывности тангенциальных компонент
электромагнитного поля на границе разрыва является достаточным
условием сохранения потока энергии через эту границу.
3.1.2. Суперпозиция
Наша основная задача состоит в том, чтобы построить решения
уравнений Максвелла (3.1) - (3.4) как внутри, так и вне частицы, ко-
торые удовлетворяют условию (3.7) на границе между частицей и ок-
ружающей средой. Если падающее электромагнитное поле произволь-
но с тем лишь ограничением, что оно допускает представление в виде
ряда Фурье по плоским монохроматическим волнам (разд. 2.4), то ре-
шение задачи взаимодействия такого поля с частицей может быть по-
лучено путем суперпозиции фундаментальных решений. Такая возмож-
ность есть следствие линейности уравнений Максвелла и граничных
условий. Другими словами, если Еа и Еь - решение уравнений поля,
то их сумма Еа + Efc также является решением; а если
(ЕО2 ~ Ео1) X ft = 0, (Efc2 — Efc|) X ft = О,
то
(Е2 - ЕД X ft = О,
где Е2=Еа2 + Eft 2 и Ej= ЕО1 t ЕЬ1. Именно это обстоятельство по-
зволяет нам рассматривать рассеяние только плоских монохромати-
ческих волн. Волну с произвольной поляризацией можно представить
в виде суперпозиции двух волн с ортогональными поляризациями
(разд. 2.11). Поэтому для анализа рассеяния произвольно поляризован-
ной плоской волны нам необходимо только дважды решить каждую за-
дачу рассеяния (для заданного направления распространения).
3.2. МАТРИЦА АМПЛИТУД РАССЕЯНИЯ
Рассмотрим произвольную частицу, которая освещается плоской
ионической волной (риб. 3.3). Направление распространения пада-
ло света, или направление вперед, задает ось z. Любая точка час-
82
Глава 3
РИС. 3.3. Рассеяние произвольной частицей.
типы может быть выбрана в качестве начала 0 прямоугольной декар-
товой системы координат (х, у, z), где оси х и у ортогональны оси
z и друг Другу, а в остальном произвольны. Векторы ортонормирован-
ного базиса еж, е , ez ориентированы в положительных направлени-
ях осей х, у и z. Направление рассеяния е и направление вперед ez
определяют плоскость, называемую плоскостью рассеяния, которая
аналогична плоскости падения в задачах отражения на плоской грани-
це (разд. 2.7). Плоскость рассеяния однозначно определяется азиму-
тальным углом <р , исключая случаи, когда параллелен оси z. В
этих двух случаях (ег = ± ez) любая плоскость, содержащая ось z, мо-
жет служить плоскостью рассеяния. Вектор Ег- падающего электри-
ческого поля, лежащий в плоскости ху, удобно разложить на парал-
Поглощение и рассеяние произвольной частицей
83
дельную (Е((г- ) и перпендикулярную (Е ) к плоскости рассеяния ком-
поненты:
Е/ = (£оА- + Е0х6х,)ехр(/кг - iut) = + Е±,<,-,
где к = 2 тт N2/b ~ волновое число в среде, окружающей частицу, N2 ~
показатель преломления, а Л — длина волны падающего света в вакууме.
Векторы ортонормированного базиса
ё±, = sin<J>£% - совфёу, ё||( = cos<j>6x + вшфёу,
вместе с “ez образуют правую тройку:
X 6ц,. = ёг.
Кроме того, имеем
ё±/ = -ёф, = sin06r + costfSj,
AAA -
где ef, 6q, еф - векторы ортонормированного базиса, связанного со
сферической системой координат (г, 6, <р). Если компоненты падающе-
го поля в направлениях х и у обозначить через Exi и E^i , то
Гц, = cos фЕЛ, + sin фЕ?,,
Е±, = sin фЕх1 - cos фЕу1.
На достаточно больших расстояниях от начала координат (кг» 1),
в так называемой дальней зоне, рассеянное электрическое поле Е
приближенно является поперечным (е/ Es«0) и имеет асимптотичес-
кий вид (см., например, [ 246])
Е - —А кг» 1, (3.10)
-/кг
где е- А = 0. Поэтому рассеянное поле в дальней зоне может быть
записано как
Е, = ЕцЛ|р + Ej.jSj.j,
= 6х,Хё„, = ёг. (3.11)
Базисный вектор eUs параллелен, а s перпендикулярен плоскости
#*®сеяния. Заметим, однако, что Е s и Ei определены в различных
84
Глава 3
системах базисных векторов. Вследствие линейности граничных усло-
вий (3.7) амплитуда поля, рассеянного произвольной частицей, явля-
ется линейной функцией амплитуды падающего поля. Связь между па-
дающим и рассеянным полями удобно представить в матричном виде:
/ £||* \ _ е'к(г~г) / S2 S3\/ £ц, 1
~‘кг Ид $i (ЗЛ2)
где элементы S.(j = 1, 2, 3, 4) амплитудной матрицы рассеяния зави-
сят обычно от угла рассеяния 6 и азимута ф.
Редко, когда действительная и мнимая части четырех элементов
амплитудной матрицы рассеяния измеряются для всех значений 0 и ф.
Для этого требуются измерения амплитуды и фазы света, рассеянного во
всех направлениях, для двух падающих ортогональных поляризаций, ко-
торые сильно затруднены сложностью измерения фазы. В [218] опи-
сан метод, позволяющий измерять фазы по интерференции света, рас-
сеянного исследуемой частицей и расположенной рядом частицей с из-
вестными рассеивающими свойствами. Однако такие эксперименты
почти не проводились; исключением являются описанные в [ 202] экс-
перименты в СВЧ-диапазоне. Между тем элементы амплитудной матри-
цы рассеяния связаны с величинами, экспериментальное измерение
которых гораздо проще, чем измерение фаз,- этот вопрос будет рас-
смотрен в разд. 3.3 и 3.4.
3.3. МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ
Как только мы нашли электромагнитное поле внутри частицы и
поле, рассеянное ею, мы можем определить вектор Пойнтинга в лю-
бой точке. Однако обычно нас интересует вектор Пойнтинга только в
точках, лежащих вне частицы. Усредненный по времени вектор S в лю-
бой точке среды, окружающей частицу, может быть записан в виде
суммы трех слагаемых:
S = | Re{E2 х Н*2) = S, + S, + Sext;
S, = | Re{E, х Н?), S,-|Re{E,xH*}, (3.13)
S^,-|Re(E,xH; + E,xH*).
Здесь 8г. - вектор Пойнтинга падающей волны, который не зависит
от пространственных координат, если среда является непоглощающей,
Поглощение и рассеяние произвольной частицей
85
Падающий
РИС. 3.4. Коллимированный приемник дввт отклик только нв рассеянный
свет.
Ss - вектор Пойнтинга рассеянного поля, a Sext можно интерпре-
тировать как слагаемое, возникающее из-за взаимодействия падающей
волны с рассеянной.
Предположим, что приемник расположен в дальней зоне на рас-
стоянии г от частицы и имеет площадь АЛ, ориентированную по нор-
мали к вг (рис. 3.4). Если приемник надлежащим образом коллимиро-
ван и если направление вг не очень близко к ег, то приемник зарегистрирует
сигнал, пропорциональный Ss- ёгАЛ (АЛ достаточно мала, так что Ss почти не
меняется в пределах приемника). Приемник ’’видит" только рассеян-
ный свет при условии, что он не "смотрит" на источник падающего
света. Из (3.10) и (3.13) следует, что
8,.£гДЛ =^-^ДЙ,
2ыд к2
(3-14)
где AQ = АЛ/г2 — телесный угол, под которым виден приемник. Та-
ким образом, записывая отклик приемника при его различных положе-
86
Глава 3
ниях на полусфере, окружающей частицу, можно получить | А |2 как
функцию направления, задаваемого с точностью до телесного угла ДО
Помещая между частицей и приемником различные поляризаторы
и регистрируя результирующие интенсивности тем же способом, что и
в разд. 2.11 для плоской волны, получаем параметры Стокса для све-
та, рассеянного частицей:
i, = <ад* +
Q, = - e±se*s),
и, = <£НЛ1, + E±SE*),
V, = *’< VL - e±se&.
(3-15)
Здесь снова опущен множитель к/(2юц). Связь между параметрами
Стокса для падающего и рассеянного света вытекает из амплитудной
матрицы рассеяния (3.12):
$12 S13 O14 7, '
Q. 1 $2\ E22 S23 ^24 2,
v, k2r2 ^31 ^32 S33 534 4
И ^41 Ei2 ^44 i И
Su - Ж1 2 + IS2I2 + |S3|2 + |S4 I2 ).
(3-16)
Sl2 = i(|S2|2- |$,|2 + |S4|2 - |S3|2),
Si3 = Re{S2S* + S.S;),
514 = Im{SjS-3* - ЗД*},
s21 =Ж12- is.l2- |S4I2+ |S3|2),
S22 = ЖР + |St|2- |S4|2 - |S3|2),
s23 = Re(s2s3* - s.s;},
S24 = Im(SiS3* + S,S4*),
S31 = Re{S2S4* + S,S3),
S32 = Re{5254* - S,S*},
Поглощение и рассеяние произвольной частицей
87
s33 = гада? + зд*},
$34 = 1т{525* + а4а3*}(
а4| = Im{5*54 + 53*5J,
S42 = Im(S2*S4 - S3*Si},
s43 = im{s,s2* - s3s*},
SM = Re{S, S* - ЗД*}.
Матрица размером 4 x 4 в (3.16), или матрица рассеяния, представля-
ет собой матрицу Мюллера для рассеяния отдельной частицей; для нее
используется также термин фазовая матрица, который является осо-
бенно неудачным, поскольку "фазовая" матрица связывает рассеян-
ную интенсивность с падающей. Из 16 элементов матрицы рассеяния
отдельной частицы не все являются независимыми: лишь семь из них,
отвечающие четырем модулям | S. | (/ = 1,2, 3, 4) и трем разностям
фаз между S. , могут быть независимыми. Следовательно, между S(.
должно существовать девять независимых соотношений; они приведе-
ны в [ 5].
Параметры Стокса для света, рассеянного совокупностью случай-
но расположенных частиц, представляют собой сумму параметров Сток-
са для света, рассеянного отдельными частицами. Поэтому матрица
рассеяния для такой совокупности есть просто сумма матриц рассея-
ния отдельных частиц (мы предполагаем, что линейные размеры объе-
ма, занятого рассеивателями, малы по сравнению с расстоянием г, на
котором наблюдается рассеянный свет). Обычно имеется 16 отличных
от нуля независимых матричных элементов, хотя их число может умень-
шиться из-за симметрии. К вопросу о симметрии мы вернемся в после-
дующих главах при рассмотрении конкретны к матриц рассеяния и мето-
дов их экспериментального измерения. Сейчас мы рассмотрим наибо-
лее общий вид матрицы рассеяния. Ее элементы S.. не должны зависеть
от <р для любой частицы или совокупности частиц,' являющейся инвари-
антной относительно поворотов вокруг оси Z.
Если на одну частицу или их совокупность падает неполяризован-
ный свет интенсивностью I. , то параметры Стокса для рассеянного
света записываются в виде
v с с .
Т °21’ 1 ~ °31> J °41>
88
Глава 3
где для удобства опущен множитель (кг)-2. Следовательно, SH харак-
теризует угловое распределение рассеянного света при условии, что
падает неполяризованный свет. Обычно этот рассеянный свет частич-
но поляризован, причем степень поляризации определяется выражени-
ем
Из этого факта вытекает весьма общая особенность рассеяния части-
цами, не связанная с их происхождением: рассеяние поляризует свет.
Величины S.- зависят от направления рассеяния, а следовательно, от
направления рассеяния зависит и степень поляризации.
Если падающий свет имеет правую круговую поляризацию, то интен-
сивность lR рассеянного света есть Sn г SJ4 (это обозначение не долж-
но вводить читателя в заблуждение относительно того, что рассеянный
свет также имеет правую круговую поляризацию: обычно это не так). Ана-
логично интенсивность рассеянного света при падении света с левой
круговой поляризацией равна Sn-S14. Поэтому S14 допускает простую
интерпретацию в виде разности интенсивностей рассеянного света при
падении света с правой круговой и левой круговой поляризациями:
Здесь уместно вспомнить, что с изменением направления рассеяния
меняете* плоскость рассеяния, а следовательно, и параметры Стокса
и (хотя Q? + Ц2 не зависит от плоскости рассеяния). Если для
данного направления рассеяния рассмотреть падающий свет, поляри-
зованный параллельно и перпендикулярно по отношению к соответст-
вующей плоскости рассеяния, то получим, что S12 есть
где /|| и - рассеянные интенсивности для падающего света, поля-
ризованного параллельно и перпендикулярно плоскости рассеяния.
Рассматривая падающий свет, поляризованный под углом к плос-
кости рассеяния (+45 и -45°), мы получим непосредственную физичес-
кую интерпретацию для матричного элемента SJ3 . Остальные матрич-
ные элементы немного сложнее для интерпретации их по отдельности,
однако различные их комбинации связаны с изменениями состояния
поляризации падающего света. В качестве примера рассмотрим изме-
Поглощение и рассеяние произвольной частицей
89
нение степени поляризации падающего света, который полностью по-
ляризован параллельно данной плоскости рассеяния. Параметры Сток-
са Для рассеянного света имеют вид Is = (Sn + S12)/i , Qsz ($21+$22)1{,
Us ~ <S31 + $32^1 > = <$4i * S42) h > a степень поляризации равна
/(521 + S22)2 + (S3I + S32)2 + (S4I + S42)2
----------------~-----------------------• (3-17)
SH + s12
Если мы рассматриваем рассеяние отдельной частицей или совокуп-
ностью идентичных частиц (под идентичными понимаются частицы, оди-
наковые по размеру, форме, составу и ориентации относительно пада-
ющего пучка), то из (3.16) и (3.17) следует, что рассеянный свет пол-
ностью поляризован. Несмотря на то что мы взяли конкретный пример,
этот общий вывод сохраняется для произвольного падающего света,
который полностью поляризован. Рассеяние отдельной частицей или
совокупностью идентичных частиц не приводит к уменьшению степени
поляризации падающего света, имеющего 100%-ную поляризацию. Заме-
тим, однако, что характер поляризации, вообще говоря, изменится;
например, линейно поляризованный падающий свет при рассеянии пре-
образуется в эллиптически поляризованный. Если же совокупность об-
разована из неидентичных частиц, то отношение (3.17) будет меньше
(или в лучшем случае равно) 100%. Следовательно, рассеяние совокуп-
ностью неидентичных частиц приводит к деполяризации падающего по-
ляризованного света. В этом состоит еще одна общая особенность рас-
сеяния, которая не зависит от конкретных свойств частиц.
Свет, рассеянный в направлении вперед (ег = ег), обладает осо-
быми свойствами, не присущими свету, рассеянному во всех других
направлениях. Независимо от того, насколько мал телесный угол AQ,
под которым виден приемник, невозможно разделить падающий пучок
и свет, рассеянный в направлении вперед; приемник неизбежно реаги-
рует на суперпозицию падающего и рассеянного вперед полей. Имеет-
ся и другая особенность рассеяния з направлении вперед. Рассмотрим
совокупность идентичных частиц, две из которых показаны на рис. 3.5.
Для заданного направления рассеяния ег существует разность фаз
между полями Esl($r) и Es2(er), рассеянными частицами 1 и 2:
Е,А) = Ея(6г)е^,
вычисляется в дальней зоне на плоскости Р, перпендикулярной
90
Глава 3
ПоЛающий
РИС. 3.5. Рассеяние света двумя идентичными частицами.
ег , а разность фаз равна
Дф = к[г12.(ёг-М]. (318)
Мы уже предположили, что fj >> | г 12 | , г2 >> I ri2! ’ Всюду, кроме
направлений, близких к направлению вперед, имеет место случайное
распределение разностей фаз для света, рассеянного случайно разне-
сенными идентичными частицами из большой совокупности. Между тем
по мере приближения к направлению вперед 7(ег -» ez) разность фаз (3.18)
стремится к нулю независимо от разнесения частиц . Следовательно,
рассеяние вблизи направления вперед когерентно. Если частицы не-
идентичны, то разность фаз для света, рассеяного различными парами
частиц, вообще говоря, не обращается в нуль в направлении вперед,
хотя и не зависит от разнесения частиц. Разность фаз, однако, может
зависеть от относительной ориентации этих двух частиц. Таким обра-
зом, ясно, что рассеяние в направлении вперед или вблизи него носит
довольно своеобразный характер и требует тщательного рассмотрения.
3.4. ЭКСТИНКЦИЯ, РАССЕЯНИЕ И ПОГЛОЩЕНИЕ
Предположим, что одна или более частиц помещены на пути пучка
электромагнитного излучения (рис. 3.6). Электромагнитную мощность,
принимаемую приемником D , расположенным за частицами, обозна-
чим через U. Если частицы удалить, то мощность, принятая приемни-
Поглощение и рассеяние произвольной частицей
91
ПаЗаклций
Рассеянный
РИС. 3.6. Экстинкция скоплением частиц.
Приемник
ком, будет равна Uo , причем Uo > U. Мы говорим, что наличие частиц
привело к экстинкции падающего пучка. Если среда, в которую помеще-
ны частицы, является непоглощающей, то разность Uo - U определяет-
ся поглощением в частицах (т.е. трансформацией электромагнитной
Энергии в другие виды) и рассеянием на них. Эта экстинкция зависит
от химического состава частиц, их размера, формы, ориентации, окру-
жающей среды, числа частиц, а также от состояния поляризации и час-
тоты падающего пучка. Хотя конкретные особенности экстинкции за-
висят от всех этих параметров, существуют определенные общие зако-
номерности, справедливые для частиц всех типов.
Рассмотрим экстинкцию, вызываемую отдельной произвольной
частицей, погруженной в непоглощаюшую среду (не обязательно в ваку-
ум) и освещаемой плоской волной (рис. 3.7). Окружим частицу вообра-
жаемой сферой радиусом г; полная скорость, с которой электромаг-
нитная энергия проходит через поверхность А этой сферы, есть
Wa-----[s-irdA.
А
92
Глава 3
РИС. 3.7. Рассеяние отдельной частицей.
При Га > О (если Wa отрицательна, то энергия создается внутри сфе-
ры, а эту возможность мы исключаем из рассмотрения) энергия погло-
щается внутри сферы. Однако среда является непоглощающей, следо-
вательно, Wa есть не что иное, как скорость, с которой энергия погло-
щается частицей. В силу (3.13) величина Wa может быть записана в
виде суммы трех слагаемых: Wa = Wi - Ws + JFext, где
- (st-b,dA, W,-fS,-±dA, ^t= -(Sm^rdA.
JA JA JA
(3.19)
Для непоглощающей среды IK тождественно обращается в нуль, IFs - ско-
рость, с которой рассеянная энергия проходит через поверхность А.
Следовательно, величина в точности равна сумме скоростей по-
глощения и рассеяния энергии:
=Wa+ Ws-
(3.20)
Для удобства примем, что электрическое поле падающей волны Е£ =
= Е ех является «-поляризованным. Поскольку среда не поглощает,
Wa не зависит от радиуса г воображаемой сферы. Поэтому можно выб-
Поглощение и рассеяние произвольной частицей
93
рать этот радиус г достаточно большим, чтобы оказаться в дальней
зоне, где
„ik(r-z) ъ
Е. - ХЕ, Н, - —6, X Е„ (3.21)
J -zkr * иц r s ' 7
и е ’ X - 0. В качестве напоминания о том, что падающий свет «-поля-
ризован, мы используем символ X для векторной амплитуды рассеяния,
которая связана с элементами (скалярными) амплитудной матрицы рас-
сеяния S. следующим образом:
X = (52со8ф + 538тф)6ц, + (54со8ф + 51sin<j>)6±i. (3.22)
После громоздких алгебраических преобразований получаем
— — f e~'kzcos9& ’XdA +
ikr JА
+ ——[ e-,kzsin0cos^fi 'X dA.\. (3.23)
ikr J a )
Равенство (3.23) содержит интеграл вида
/' eikr,lf(n)dn,
где ц - cos 0, который может быть вычислен по частям. При условии
что производная . df/du ограничена, вычисления приводят к следующе-
му результату:
e-k7(l)-e-k7(-l) I 1 \
zkr \k2r2/
Поэтому для предельного значения JF при кг -» °° имеем
Re((X-6je_o),
к2
гДе Ц — падающая интенсивность. Отношение IFext /Ii представляет
собой величину, имеющую размерность площади:
94
Глава 3
C«-27a-$Re<(X-«I),.o)- <3-24)
Л к
Из (3.20) следует, что сечение экстинкции Cext можно записать в ви-
де суммы сечения поглощения Си сечения рассеяния Csca
Qxt = Qbs Gca> (3.25)
ГДе Cabs " ^аЬвЧ- и Csca = А' • Из (3-19) и (3-21) имеем
Csca = ГТ^ 0d0dO=f ^а- (3‘26)
•'о •'о k * 4чт к
Величину | X12/к2 иногда называют дифференциальным сечением рас-
сеяния (термин, используемый в атомной и ядерной физике) и симво-
лически обозначают dC aca /dQ что не следует интерпретировать как
производную некоторой функции Q; дифференциальное сечение рассе-
яния формально записывается как производная просто для облегчения
запоминания. Физически rfCsca/cK2 определяет угловое распределение
рассеянного света, т.е. количество света (при единичной падающей ин-
тенсивности), рассеянное в единичный телесный угол около данного
направления. В теории рассеяния света приходится часто встречаться
с термином фазовая функция, которая определяется как | Х,| 2/(к2Сч а),
обозначается символом р и является нормированной:
( р dQ = 1.
J4v
Выше мы высказали свое возражение против термина "фазовый" для
обозначения интенсивностей. Менее часто встречающимся, но, по-види-
мому, более удачным термином для фазовой функции является индика-
триса рассеяния.
Средний косинус угла рассеяния, или параметр асимметрии g, есть
g=(cos0) = / pcosOdQ.
J4v
Для частицы, которая рассеивает свет изотропно (т.е. одинаково во
всех направлениях), g обращается в нуль; g также обращается в нуль,
если индикатриса рассеяния симметрична относительно 6 = 90°. Если
частица рассеивает больше света в направлении вперед (в = 0°), то
g положительно; g отрицательно, если рассеяние происходит главным
образом в направлении назад (0 = 180°).
Поглощение и рассеяние произвольной частицей
95
Можно определить эффективности (или факторы эффективности)
экстинкции, рассеяния и поглощения:
С С С
П = —2SL о = sea хч _ ^abs
Vext ’ xisca Q ’ Vabs q >
где G — площадь проекции частицы на плоскость, перпендикулярную па-
дающему пучку (например, для шара радиусом а площадь проекции рав-
на G = тта2). Слово "эффективность" вместе с привычными нам пред-
ставлениями, основанными на наглядных результатах геометрической
оптики, может привестй к убеждению, что эффективность экстинкции
никогда не может быть больше единицы. В самом деле, если бы геомет-
рическая оптика была вполне надежным ориентиром в мире малых час-
тиц, то мы пришли бы к выводу, что эффективность экстинкпии всех
частиц тождественно равна единице: все лучи, падающие на частицу,
либо поглощаются, либо отклоняются за счет отражения и преломления.
В последующих главах мы увидим, что имеется очень много частиц с
довольно общими свойствами, которые могут рассеивать и поглощать
больше света (и часто намного больше), чем падает на их геометри-
ческое сечение. Поэтому целесообразно рассматривать эти эффектив-
ности просто как безразмерные сечения и не навязывать заранее ог-
раничений на значения, которые они могут принимать.
Выражения для Cext и Сзсабыли получены в предположении, что
падающий свет х-поляризован. Однако ясно, что вид этих выражений
сохраняется для произвольного линейно поляризованного падающего
света — Достаточно оговорить, какое направление следует принять за
ось х- Вместе с тем необходимо помнить о том, что X зависит от на-
правления поляризации еж.
Если падаюшее поле Е г = Ех ех + Е^е? имеет произвольную поля-
ризацию, то выражения для сечений имеют вид
с
'-'ext
С
'-'sea
f 4^.
'4„к2|Е,.|2
где Т = ЕхХ + Е У, a Y — векторная амплитуда рассеяния для падаю-
щего у-поляризованного света. В случае неполяризованного падающе-
96
Глава 3
го света (<ЕХЕ* > = < ЕуЕ* >, < ЕХЕ* > = < Е* Еу > 0) эти выраже-
ния приводят к
^ext = г(Ох1,х ^ext,^)’ ^sca = гС^са.х + ^sca,^)’
где индексы х и у обозначают сечения для падающего света с х- и
у-поЛяризациями соответственно.
Соотношение (3.24) представляет собой одну из частных формули-
ровок оптической теоремы, столетняя история которой прослежена в
работе [ 342]. Эта теорема является общей для всех типов рассеяния,
которые на первый взгляд кажутся в корне различающимися, таких, как рассея-
ние акустических волн, электромагнитных волн и элементарных частиц. Она
выражает весьма любопытный факт, а именно: экстинкция зависит только от
амплитуды рассеяния в направлении вперед. Вместе с тем экстинкция
является результатом как поглощения в частице, так и рассеяния во
всех направлениях. Для объяснения этого факта необходимо более под-
робно рассмотреть процесс измерения экстинкции. При этом мы будем
существенным образом опираться на вывод оптической теоремы, дан-
ный ван де Хюлстом [ 4871 на основе качественных соображений.
Рассмотрим отдельную произвольную частицу, помещенную между
источником света (с деполяризацией) и приемником D (рис. 3.6). Мощ-
ность И, падающая на приемник, равна
U- ffsi-±dx<fy + f(Ss-b2dxdy + ffsat*^dxdy —
D D D
~4+U,+ UM, (3.27)
где интегрирование проводится по площади приемника. Первое слага-
емое в (3.27) есть как раз Ц= ЦА(О), где /г- - падающая интенсивность,
a 4(D) - площадь приемника. Расстояние z между частицей и приемни-
ком мы полагаем достаточно большим (kz >> 1), так что приемник рас-
положен в дальней зоне и
Us = 1, cos 9 dx dy. (3.28)
Если Я/z << 1, где R — максимальный линейный размер приемника,
то | Х|2, cos0 и г приближенно постоянны в пределах D, а (3.28) прини-
мает вид
Поглощение и рассеяние произвольной частицей
97
ц = ^)’ (3.29)
где Q(D)—A(D)/z2 — телесный угол, под которым виден приемник. Третье
слагаемое (7ext равно
( re e-'k(r-z>
У/ —7^— cos 9(ЬХ • X*) dx dy -
[[ е~ z)
- J J —— sin e cos ф(ё2 • X*) dxdy-
~ II~ikT^'^dxdy]- (3.30)
Соотношение (3.30) содержит интегралы вида
J = JJ elkzf(x y)g(x, у) dx <fy, (3.31)
асимптотическое поведение которых детально исследовано в [ 2541 с
использованием метода стационарной фазы. Значение / определяет-
ся поведением f в окрестности так называемых стационарных точек,,
лежащих внутри и на границе области D. Интегралы в (3.30) имеют вид
(3.31) с f = г/z - 1. Единственной стационарной точкой внутри D явля-
ется точка х =0, у = 0, где f стационарна (df/dx = df/dy = 0). Если
приемник выбран так, что на границе D стационарных точек нет, то
г 2 а , \ / 1 \ .
/ = -^(°,°) + (^^). (з.зг)
В частности, сюда относится граница D в виде окружности (с центром
в точке х - 0, у = 0). Кроме того, требуется, чтобы выполнялось усло-
вие k R2/ z > > 4 тт, которое обеспечивает наличие в области интегриро-
вания большого числа максимумов и минимумов осциллирующей функ-
ции exp[ik(r -z)l. Воспользовавшись (3.32), из (3.30) находим, что для
Достаточно больших kz
11 = — 1С
•Ь'-'ехе
105
98
Глава 3
Поэтому мощность, принимаемая приемником, есть
U-I,
k2
(3.33)
Третье слагаемое в скобках в (3.33) - это количество энергии, рас-
сеянной в телесный угол Q(D) - относительно направления вперед.
Если телесный угол достаточно мал, что находится в соответствии
с требованием k/?2/z^4tt, то
17= 7,[Л(Р)(3.34)
Следовательно, Cext представляет собой хорошо определенную наблю-
даемую величину, которую можно найти, измерив U при наличии и в
отсутствие частицы между источником и приемником. Поскольку ве-
личина Cext по своему смыслу положительна, влияние частицы сос-
тоит в уменьшении площади приемника на Cext; именно поэтому Cext
интерпретируют как некую площадь. На языке геометрической оптики
мы бы сказали, что частица "отбрасывает тень" площадью СехГ Вмес-
те с тем, как отмечалось выше, эта "тень" может быть и значительно
больше и намного меньше геометрической тени частицы. Из (3.33) вид-
но, что Cext - это максимальная наблюдаемая экстинкция. Слагаемое
Q(D) | X _ 0/k2, связанное с рассеянием, не может превышать С sca
и является положительным, вследствие чего наблюдаемая экстинкция
ext лежит 3 пределах
Cabs — Сех, 5= Сех(.
Полная экстинкция Cext будет наблюдаться только при условии, что
приемник виден под достаточно малым телесным углом. Однако по ме-
ре приближения приемника к частице наблюдаемая экстинкция падает.
При рассмотрении конкретных примеров мы увидим, что свет, рассе-
янный очень большими по сравнению с длиной волны падающего света
частицами, концентрируется около направления вперед. Поэтому, чем
больше частица, тем труднее исключить рассеянный свет из приемни-
ка.
Из (3.13) и (3.27) имеем
Цх1 = /рКе(Е,хн: + Е,хН*)-ёг^. (3.35)
Поглощение и рассеяние произвольной частицей
99
Из вида подынтегрального выражения в (3.35) очевидно, что это резуль-
тат интерференции между падающим и рассеянным вперед светом. По-
этому для выполнения закона сохранения энергии требуется, чтобы
та доля света, которая выбывает из падающего пучка в результате ин-
терференции, учитывалась его рассеянием во всех направлениях и по-
глощением в частице.
Мы вывели формулу для Cext двумя различными методами. Пер-
вый из них, основанный на интегрировании вектора Пойнтинга по во-
ображаемой сфере, окружающей частицу, подчеркивает аспект экстинк-
ции, связанный с сохранением энергии: экстинкция = рассеяние + по-
глощение. Второй, концентрируя внимание на экстинкции, измеряемой
в некотором гипотетическом эксперименте, делает особое ударение на
интерференционном аспекте экстинкции: экстинкция - интерференция
между падающим и рассеянным вперед светом.
До сих пор мы рассматривали только экстинкцию, вызываемую от-
дельной частицей. Между тем подавляющее большинство измерений эк-
стинкции осуществляется в скоплениях очень большого числа частиц.
Рассмотрим теперь такое скопление частиц, заключенных в конечном
объеме, который называют рассеивающим объемом. Полный вектор
Пойнтинга имеет вид
S = 2 Re Е,. х Н* + £(Е,. х HJ, + Е„. х Н*) + £ XHJk ,
J j к '
где (Esy, H .S/ ) — электромагнитное поле, рассеянное /-Й частицей.
Как и ранее, мы проведем воображаемую сферу с центром в произволь-
ной точке, взятой в качестве начала координат и лежащей внутри рас-
сеивающего объема, размеры которого малы по сравнению с радиусом
сферы г . Электрическое поле, рассеянное /-Й частицей, записывает-
ся в виде
„/kfr-z)
Е ~ —-г—Х.е'^Е,
J -ikr J
где падающее поле берется ^поляризованным. Фаза 5. приближенно
(г>> §•) равна
«у = к (8,+
Г^в - радиус-вектор /-Й частицы, проведенный из начала коорди-
а ег = г/г - направление рассеяния. Если мы проинтегрируем S
100
Глава 3
по поверхности этой сферы, то получим
, _ _ V г
'ext j L-! '"'ext, j <
' j
С = с + с
Vext,/ '"'abs, j ' '"'sea,
при условии что 5. (Q = 0°) = /(2г) << 1 и что
а к2г2
X • Y*
j к л Л '
(3.36)
(т.е. рассеяние некогерентно); Cext ., Cabs HCsca,j -сече-
ния для отдельной частицы. Дать общие критерии выполнимости (3.36)
затруднительно. Однако необходимо, чтобы расстояния между частица-
ми были некоррелированы в течение времени, требуемого для проведе-
ния измерений.
Если при измерении экстинкции и рассеяния скоплением малых
частиц поместить собирающую линзу перед приемником так, чтобы пос-
ледний находился в ее фокальной плоскости, то г станет эффективно
бесконечным. Следовательно, при выполнении условий, которые, по-ви-
димому, должны часто встречаться на практике, сечения скоплений
частиц являются аддитивными.
3.4.1. Экстинкция в слое частиц
В качестве заключительного примера экстинкции в скоплении час-
тиц рассмотрим полубесконечную область 0< z< h, — «о < х < <*>,
_оо < у < оо, в которой более или менее равномерно распределены час-
тицы (рис. 3.8). Поле Ел в точке Р равно сумме падающего поля
Е, ~ Ео eikzex и полей, рассеянных частицами:
Е, = Е, + Ее,,.,
J
(3.37)
где вклад в Е t, вносимый частицей с координатами («у, уу, z. )t равен
Поглощение и рассеяние произвольной частицей
101
Рис. 3.8. Рассеяние слоем частиц.
R,
е, = д-, R, = -*Д - у^у + (d- z)ez.
Без существенного ограничения общности можно предположить, что
частицы идентичны (Ху = X). Более важным является предположение о
том, что число частиц Л в единице объема достаточно велико, так что
суммирование в (3.37) можно заменить интегрированием:
S -» f f f dx dy d z.
j
В этом предположении дискретные переменные Xj, yj, zy заменяют-
ся непрерывными переменными х, у, z и
А сю сю
f
j о —OO -oo
e.8 k(.L+_—X (e) Л dx dy, (3.38)
-ikff
гДе 7? = Д2 + y2 + (rf — z)2 и e = R/Я. Интеграл по x и у в (3.38)
легко вычисляется методом стационарной фазы; хотя пределы инте-
грирования в этом интеграле бесконечны, его значение не зависит от
Поперечной протяженности слоя при условии, что она велика по срав-
вснию с х/4тт<7/к. Выполнив необходимые интегрирования, получим
102
Глава 3
Е, = 111 - 4^-'Х'>в= « ‘ (х ’Л - Ч1
Хотя падающий свет х-поляризован, прошедший свет имеет у-компо-
ненту при условии, что (Х’еу)е = 0 / 0. Это означает, что направление
колебаний в падающем пучке, вообще говоря, оказалось повернутым
в результате прохождения через слой. Если предположить, что пово-
рота нет и, более того, если | 2 тг Л k~2fc (Х-ёж)е _ 0 | << 1, то можно
написать
Е( = Е1-ехр[--2^_(Х-ёх)в=0]. (3.39)
Коэффициент пропускания однородного слоя толщиной h с показате-
лем преломления N, погруженного в однородную среду с показателем
преломления W , где V—/V, определяется формулой (2.73):
4ь = e‘(J~k)A, (3.40)
где k = 2tt/V/A. Сравнивая (3.39) и (3.40), замечаем, что слой из час-
тиц эквивалентен, по крайней мере если речь идет о пропускании, од-
нородному слою, в котором
v <»•«,>...• (з-41>
/V к 2
Поэтому в рамках известных ограничений можно интерпретировать N
в (3.41) как показатель преломления слоя частиц. Это вызывает естест-
венный вопрос, насколько V аналогично показателю преломления одно-
родной среды. Например, при каких условиях, если таковые вообще су-
ществуют, подстановка N в выражение для коэффициента отражения
однородного слоя даст физически корректные результаты? Мы можем
ответить на последний, наиболее конкретный из поставленных Двух во-
просов путем вычисления поля Ег в точке Р' (рис. 3.8), являющегося
суммой полей, рассеянных отдельными рассеивателями:
Е = S X($)Vb'' , (3.42)
г — i к К.
1 1
где R". = - [х-ех f це + (<Г i- z )ez ]. Снова предположим идентич-
ность частиц и суммирование в (3.42) приближенно заменим интегри-
рованием, которое можно выполнить методом стационарной фазы:
Поглощение и рассеяние произвольной частицей
103
Е = —e~‘krfX(l - е‘2кЛ) -~-Х9=180о- (3.43)
к J
Коэффициент отражения однородного слоя с показателем преломления
N—N, согласно (2.72), есть
- ^(1 - '1г“1
Таким образом, если мы предположим, что (X- еу )е _ 180о = 0, то пос-
ле подстановки (3.41) в (3.44) получим полное соответствие с форму-
лой (3.43) при условии, что
Хв_0 = Хв_180. (3-45)
Как будет видно в последующих главах, (3.45) выполняется для час-
тиц, малых по сравнению с длиной волны. Поэтому для скопления та-
ких частиц понятие эффективного показателя преломления имеет
смысл по крайней мере тогда, когда дело касается пропускания и от-
ражения. Вместе с тем, даже если частицы малы по сравнению с дли-
ной волны, N не следует интерпретировать слишком буквально как
показатель преломления наравне с показателем преломления однород-
ной среды. Так, например, затухание в строго однородной среде есть
результат поглощения, которое количественно связано с мнимой частью
показателя преломления. Между тем в среде из частиц затухание це-
ликом или частично может быть результатом рассеяния. Даже если
частицы не поглощают, мнимая часть эффективного показателя пре-
ломления (3.41) может быть отличной от нуля.
Из (3.39) и оптической теоремы (3.24) следует, что по мере рас-
пространения падающего пучка в слое частиц интенсивность затухает
по Закону It - Ц exp (—aext h), где коэффициент затухания aext ра-
вен
«ext = ^Cext= ^Cabs f ^Csca • (3.46)
Предположение об идентичности частиц было сделано нами лишь с
Целью избежать громоздкой записи и не ограничивает ценности про-
веденного анализа; результаты, полученные выше, легко обобщаются
на случай смеси из различных частиц. Например, коэффициент затуха-
ния такой смеси равен
«ext “ 2 ^ext , /’
/
104
Глава 3
где Л . - число частиц /-го типа в единице объема, а С - соответ-
/ ’ ext,7
ствующее сечение экстинкции.
В основе (3.39) и, следовательно, экспоненциального затухания
интенсивности в средах с дискретными частицами лежит требование
“ext h <<]• Это условие может быть несколько ослаблено, если вклад
рассеяния в полное затухание мая (т.е. 7lC^ca h << 1). Полное доказа-
тельство этого утверждения увело бы нас в теорию переноса излуче-
ния. Однако мы можем привести следующий краткий эвристический
Довод. Количество света dl , покидающее пучок при его распростране-
нии в направлении оси z на бесконечно малое расстояние между z и
z + dz в слое частиц, равно
dl=
(3.47)
где 1 — интенсивность пучка в точке z. Однако свет может вернуться
в пучок за счет многократного рассеяния, т.е. свет, рассеянный в дру-
гих точках слоя, может в конечном счете давать вклад в интенсивность
в точке z. Рассеянный свет в отличие от поглощенного не исчезает из
системы необратимым образом, а просто изменяет направление и по-
кидает лишь пучок, распространяющийся в каком-то определенном на-
правлении, Зато дает вклад в другие направления. Очевидно, что, чем
больше сечение рассеяния, плотность частиц и толщина слоя h, тем
больший вклад будет давать многократное рассеяние в интенсивность
в точке z. Таким образом, если TlCsca h достаточно мало, то можно
пренебречь многократным рассеянием, и (3.47) допускает интегрирова-
ние, которое дает / = 1. ехр(—aext h).
Иногда представляет интерес сравнить затухание света в объем-
ном образце данного вещества с затуханием в том же веществе, но в
измельченном, или дискретном, состоянии. Однако, чтобы это сравне-
ние было законным, мы должны рассматривать одинаковые массы или,
что эквивалентно, одинаковые объемы вещества в этих двух состояни-
ях. Если Л — плотность частиц, то 1/Х — средний объем, внутри кото-
рого расположена одна частица, а доля объема f, занимаемая части-
цами всего скопления, есть Ю, где v - объем отдельной частицы. Та-
ким образом, можно записать коэффициент затухания (3.46) в виде
“ext = /^ехУv • Теперь представим себе, что частицы спрессованы
в однородный слой (f - 1) с сохранением их индивидуальных особен-
ностей и свойств. Результирующий коэффициент затухания, представ-
ляющий собой сечение экстинкции на единицу объема частицы, мы бу-
дем называть объемным коэффициентом затухания:
Поглощение и рассеяние произвольной частицей
105
(3.48)
Массовый коэффициент затухания ат , определяемый как сечение эк-
стинкции на единицу массы частицы, связан с объемным коэффициен-
том затухания соотношением
где р - плотность частицы. Если какая-либо величина и заслуживает
того, чтобы называться "эффективностью" экстинкции, то это сече-
ние экстинкции на единицу объема (или массы), а не сечение экстинк-
ции на единицу площади. Это объясняется тем, что именно первая ве-
личина говорит о том, насколько эффективна роль некоторой фиксиро-
ванной массы частиц в выбывании света из пучка. Предположим, что
мы ударили молотком по большому образцу некоторого вещества и раз-
били его на мелкие кусочки. Спрашивается, какого размера должны
быть эти кусочки, чтобы свет данной длины волны ослаблялся наиболее эф-
фективно. Ясно, что для ответа на этот вопрос следует построить гра-
фик величины Cext/v как функции размера, а не величины Qexl, как
это делается обычно. Хотя величина Q6xt, по-видимому, является об-
щепризнанной, она содержит меньше физической информации, чем
Cext/v, и мы будем рассматривать последнюю величину чаще, чем пер-
вую.
Совокупность измеренных значений lt/li в некотором диапазоне
Длин волн для однородного слоя вещества называется спектром про-
пускания или поглощения этого вещества. Мы можем рассматривать
этот спектр как "отпечатки пальцев" вещества. Между тем эти "от-
печатки пальцев" можно сильно испортить. Если, например, мы изме-
рим спектр пропускания данного однородного вещества, а затем раз-
дробим это вещество каким-либо способом на множество малых час-
тиц, то спектр пропускания дискретной среды будет иметь мало сход-
ства со спектром исходного объемного вещества. Хотя химический
состав в обоих случаях остается одинаковым, тем не менее агрегат-
ное состояние меняется. Очевидной причиной различия между этими
Двумя спектрами является рассеяние. В самом деле, в пренебрежении
Флуктуациями однородный слой не рассеивает света, тогда как спектр
Пропускания дискретной среды может главным образом определяться
Рассеянием. Однако это различие простирается еще глубже. Дело в
ТОм, что даже если бы рассеяние можно было как-то учесть (например,
путем надлежащего сбора рассеянного света), то все равно большие
106
Глава 3
различия могут остаться. Таким образом, макроскопические оптичес-
кие свойства (например, отражение и прохождение) Данного вещества
не только могут, но и заметно отличаются в зависимости от того, в
каком агрегатном состоянии оно находится. В последующих главах
мы встретимся с множеством подтверждающих это примеров.
ЗАМЕЧАНИЯ И КОММЕНТАРИИ
Наш вывод формулы (3.24) аналогичен Данному в работе [ 252].
Глава 4
Поглощение и рассеяние шаром
По'^виДимому, наиболее важной точно решаемой задачей в теории
поглощения и рассеяния малыми частицами является задача о шаре с
произвольными радиусом и показателем преломления. Хотя формаль-
ное решение этой задачи известно уже много лет, практически для рас-
четов оно стало использоваться лишь с появлением больших цифровых
вычислительных машин. В 1908 г. Г. Ми была разработана теория, объяс-
няющая окраску коллоидных растворов золота, обусловленную погло-
щением и рассеянием малыми частицами золота. Примерно в то же вре-
мя П. Дебай рассмотрел задачу о давлении излучения на малые части-
цы в космосе. Работа Дебая, защищенная им как докторская диссер-
тация, является одним из первых приложений этой теории к астрофизи-
ческим задачам. Ни Ми, ни Дебаю не принадлежит первенство в реше-
нии задачи о шаре. Установить же точно, кто был первым, непросто,
хотя весьма вероятно, что это был Лоренц. Не вникая в исторические
подробности, мы будем придерживаться общепринятого названия "те-
ория Ми". Краткое и в то же время основательное изложение истории
задачи о шаре дано в работе [ 264].
В этой главе мы рассмотрим математический аппарат теории Ми;
получим выражения для сечений поглощения и рассеяния и для функ-
ций, описывающих угловую зависимость рассеяния. В приложении А
приведены программы численных расчетов этих величин на ЭВМ. Этот
материал представляет собой основу для большинства разнообразных
приложений, которые более подробно рассмотрены в части 3 книги.
В то время как математика в теории Ми достаточно проста,
хотя и несколько громоздка, физика взаимодействия электромагнит-
ной волны с шаром является весьма сложной. Сравнительно легко вы-
писать разложения в виде бесконечных рядов для электромагнитных
полей во всем пространстве. Еще проще в наше время получить из те-
ории Ми большое количество численных результатов. Однако куда слож-
нее отчетливо представить структуру полей, классифицировать основ-
НЫе электромагнитные моды внутри и вне шара, а также на качествен-
108
Глава 4
ном уровне дать ответ на вопрос о том, как поглощает и рассеивает
свет шар данного радиуса с известными оптическими свойствами.
С одной стороны, имеются противники использования теории Ми
для описания каких-либо свойств несферических частиц, к которым,
по-видимому, относятся частицы, содержащиеся в атмосферах планет
и в межзвездной среде; а с другой стороны, есть и такие исследовате-
ли, которые, не испытывая никаких сомнений, используют теорию Ми
для анализа всех аспектов взаимодействия света с такими частицами.
Ни одну из этих точек зрения нельзя признать правильной. Тем не ме-
нее, несмотря на ограничения, теория Ми позволяет описать в первом
порядке оптические эффекты в несферических частицах и правильно
отражает множество эффектов, связанных с малыми частицами, кото-
рые трудно понять из одних качественных соображений. Так, например,
в гл. 11, где рассматриваются несферические частицы, мы увидим, что
решение для шара является прекрасным ориентиром в тех изменениях,
которые происходят при увеличении поглощения или изменении разбро-
са частиц по размерам. В связи с этим мы будем придерживаться под-
хода, состоящего в полном изучении теории Ми и описываемых ею оп-
тических эффектов, а также в последующем критическом анализе ее
недостатков с точки зрения применимости к несферическим частицам
в дальнейших главах.
4.1. РЕШЕНИЕ ВЕКТОРНЫХ ВОЛНОВЫХ УРАВНЕНИЙ
В гл. 3 было показано, что физически реализуемое гармоничес-
кое электромагнитное поле (Е, Н) в линейной изотропной однородной
среде должно удовлетворять волновому уравнению
V2E + k2E = 0, v2H + k2H = 0,
где к2 = со2ец, и иметь нулевую дивергенцию
V-E = 0, v-H = 0.
Кроме того, Е и Н не являются независимыми:
V хЕ = /ыдН, V X Н = — 1'ыеЕ.
Предположим, что из заданных скалярной функции у и произвольно-
го постоянного вектора с мы образуем векторную функцию М:
М = V X (с^).
Поглощение и рассеяние шаром
109
Дивергенция ротора любой векторной функции обращается в нуль:
V «М = 0.
Воспользовавшись векторными тождествами
V X (А X В) = A(vB) -B(vA) + (В-V)A - (A-v)B,
V(A • В) = А X ( V X В) + В X ( V X А) + (В • V )А + (А • V )В,
получим
V2M + k2M = V X [с( vfy + kV)].
Отсюда видно, что М удовлетворяет векторному волновому уравнению
при условии, что у является решением скалярного волнового уравнения
V2^ + к2ф = 0.
Кроме того, можно написать М = — cxV у, откуда следует, что М
перпендикулярен с. Построим теперь из М другую векторную функцию.
N-’AM
с нулевой дивергенцией, которая также удовлетворяет векторному вол-
новому уравнению
V2N + k2N = 0.
Имеем также
V X N = кМ.
Следовательно, М и N обладают всеми необходимыми свойствами элек-
тромагнитного поля, а именно: они удовлетворяют векторному волно-
вому уравнению, их дивергенции равны нулю, ротор вектора М пропор-
ционален N , а ротор N пропорционален М. Таким образом, задача на-
хождения решений уравнений поля сводится к сравнительно простой за-
даче нахождения решений скалярного волнового уравнения. Скалярную
'Фушщию ц; мы будем называть производящей функцией для вектор-
110
Глава 4
ных гармоник М и N, а вектор с иногда называют направляющим век-
тором.
Выбор производящих функций диктуется видом симметрии, кото-
рая имеется в задаче. В этой главе мы рассматриваем рассеяние ша-
ром, вследствие чего выбираем функции ц,, удовлетворяющие волно-
вому уравнению, записанному в сферических координатах г, Q, <р
(рис. 4.1). Выбор направляющего вектора несколько менее очевиден.
Мы можем выбрать некоторый произвольный вектор с . Между тем,
если мы положим
М = V X (гф), (4.1)
где г - радиус-вектор, то М будет решением векторного волнового
уравнения в сферических координатах. Поэтому в задачах со сферичес-
кой симметрией в качестве фундаментальных решений уравнений поля
мы будем брать функцию М, определяемую (4.1), и соответствующую
функцию N. Отметим, что М всюду является касательным к любой
сфере | г | = const (т.е. г-М = 0).
Скалярное волновое уравнение в сферических координатах имеет
вид
1 д ( 2 1 . Зф \ 1 д2ф 2
r а + ~э ~ п sln^^a + ;-----т + к 2ф = 0.
г2 дг\ дг ) r2ssi9 д9\ 33/ г2 sin2# Зф2
(4.2)
Будем искать частные решения (4.2) в виде
Ф(г, 6, ф) = Л(г)6(3)Ф(ф),
которые после подстановки в (4.2) дают три отдельных уравнения:
-I- т2Ф = 0, (4.3)
Лф2
1 d . ndQ\ t , ,ч т2
sm3-rx- + п(п + 1)-------—
sin 0 d0 \ d9 / v 7 sin2 в
6 = 0, (4.4)
^(r2w) + [k2r2-”(”+ 1)]^ = 0, (4.5)
где константы разделения т и п определяются из дополнительных ус-
ловий, которым должна удовлетворять функция . Во-первых, заметим,
Поглощение и рассеяние шаром
Ш
РИС. 4.1. Сферическая система координат с началом в центре сферической
частицы радиусом а.
что если для данного т Фт - решение (4.3), то Ф_^ не является линей-
но независимым решением. Линейно независимыми являются решения
вида
Фе = cos тф, Фо = sin тф,
где индексы е и о обозначают четное (even) и нечетное (odd). Потре-
буем, чтобы у была однозначной функцией азимутального угла <р:
lim ф(ф + v) = $(ф)
(4-6)
для всех <р , за исключением, быть может, точек, лежащих на границе
Между областями с различными свойствами. Однако нам не нужно рас-
сматривать такие граничные точки; нас интересуют лишь решения ска-
лярного волнового уравнения внутри однородных областей. Тогда усло-
вие (4.6) требует, чтобы т было целым числом или нулем, при этом по-
ВОЖительных значений т достаточно для получения всех линейно неза-
висимых решений уравнения (4.3).
112
Глава 4
Решениями (4.4), которые конечны при 0 = 0 и 0 = тт, являются
присоединенные функции Лежандра первого рода Pnm(cos0), где п -
степень, т — порядок, причем п =т,т+ 1, ... (см., например, Г112]).
Зги функции ортогональны:
/' Р”(р)Рп^(р) dp = (4-7)
* —I хи + 1 (и - m)l
где ц - cos0 и 6п.л — символ Кронекера, который равен единице при
п = п и нулю в противном случае. При т = 0 присоединенные функции
Лежандра называют полиномами Лежандра и обозначают через Р .
Если перейти к безразмерной переменной р = кг и ввести функ-
цию Z = R\fp , то уравнение (4.5) можно переписать в виде
[o’-M+lflz-O. (4.8)
Линейно независимые решения (4.8) выражаются бесселевыми функ-
циями первого и второго рода /v и У (вместо Уу часто иаюльзует-
ся символ /V ), где порядок v = п+ 1/2 является полуцелым. Следо-
вательно, линейно независимыми решениями (4.5) являются сферичес-
кие бесселевы функции
(4-9)
(41°)
где постоянный множитель \/п/2 введен из соображений удобства. Сфе-
рические бесселевы функции удовлетворяют рекуррентным соотноше-
ниям
+ (411)
(2» + ” »2»-|(«>) - ("+ О2.. 1(₽). (4-!2)
рде z ___это Либо jn 9 либо уп • Для первых двух порядков
Поглощение и рассеяние шаром
113
Jo(p) = —
z . cos p
Л(р)-------—
_ sin р cos р
~~р2 Т’
_ cos р sin р
а функции более высоких порядков могут быть построены по рекуррент-
ной формуле. Заметим, что для всех порядков п функция у (к г) обра-
щается в бесконечность при стремлении г к нулю. На рис. 4.2 показа-
ны функции ]п(х) и уДх) (п = 0, 1, 2, 3) для вещественных значений х,
хотя аргументы сферических функций Бесселя не обязательно вещест-
венны.
Любая линейная комбинация и уп также является решением
(4.5). Поэтому при желании мы могли бы взять в качестве фундамен-
тальных решений уравнения (4.5) и две любые линейно независимые
комбинации. Две такие комбинации заслуживают особого внимания -
Это сферические бесселевы функции третьего рода (называемые иног-
да сферическими функциями Ганкеля):
№(р) =j'Ap) + %(р)> ^4ЛЗ)
ft^(p) =J„(p) “ iyn(p)- (414)
Сразу отметим, что мы ввели дополнительные бесселевы функции не
для "полноты" и не для того, чтобы еще раз подчеркнуть заслуги Фрид-
риха Вильгельма Бесселя (1784 — 1846), имя которого и так широко из-
вестно благодаря множеству названных в его честь функций, не говоря
уже о бесконечном ряде, известном неравенстве, интерполяционной схе-
ме и других многочисленных математических результатов. Как мы увидим
ниже, функции (4.13) и (4.14) несколько облегчают наши вычисления,
что является достаточным аргументом для их введения.
Таким образом, мы построили производящие функции, которые удо-
влетворяют скалярному волновому уравнению в сферических координа-
тах:
Фетп = cosm4»Pnm(c°se)zn(kr), (4.15)
hmn = sinm<>7’n'n(costf)z„(kr), (4.16)
— любая из четырех сферических бесселевых функций: /п, уп,
% 1 Яли • Более того, в силу полноты системы функций cos mq>,
вчгоб
114
Глава 4
sin т<р, Рт (cos 9), zn(k г) любая функция, удовлетворяющая скалярно-
му волновому уравнению в сферических координатах, может быть раз-
ложена в бесконечный ряд по функциям (4.15) и (4.16). Вектор-
ные сферические гармоники, порождаемые уетп и уотп , имеют вид
Memn = V X (гфетл), Мотл = V X (гф0Л1Л),
N = V X М,тл V X М0Л|Л
‘тал к ’ *~отл к ’’
или в компонентной записи
= ^?sin тф Pn^cos ~
dP„m(cos0) , 17ч
-cos тф-----------2л(р)ёф, (4.17)
Мотл = ^СО8тфРл'”(сО8^)2л(р)^“
dP™(co&0)
— sm тф -Ч(р)^, (4.18)
Чтл = ^y-^-cos тфп(п + l)P„m(cos^)fir f
+ cos тф^^11
-msm тф-п j (р)]ёф, (4.19)
\тл = ^~-sin тфп(п + l)P„m(cos^)fir f
dP”(cos9) 1 d г ,
+ sm тф----Тв------ — [pz„(p)j^ f
+ т cos тф [pz„(p)fo, (4.20)
где г-компонента Nmn упрощена за счет использования того факта,
что удовлетворяет уравнению (4.4). Всякое решение уравнений по-
ля может быть теперь разложено в бесконечный ряд по функциям
(4.17) - (4.20). Таким образом, имея в своем распоряжении векторные
гармоники, мы готовы к тому, чтобы приступить к решению задачи
рассеяния на шаре произвольного радиуса.
Поглощение и рассеяние шаром
115
РИС. 4.2. Сферические функции Бесселя первого (а) и второго (б) рода.
116
Глава 4
4.2. РАЗЛОЖЕНИЕ ПЛОСКОЙ ВОЛНЫ
ПО ВЕКТОРНЫМ СФЕРИЧЕСКИМ ГАРМОНИКАМ
Разложение плоской волны по векторным сферическим гармоникам
представляет собой хотя и простую, но очень громоздкую процедуру. В
этом разделе мы покажем, как следует находить коэффициенты в таком
разложении.
Наша задача относится к рассеянию плоской «-поляризованной вол-
ны произвольным шаром. В сферических координатах эта волна записы-
вается в виде
Е,- = £0е'кгсо5вёх, (4.21)
где
ёх = sin 6 cos фё, + cos 6 cos фёв - sin фёф. (4.22)
Первым шагом в решении этой задачи является разложение (4.21) по
векторным сферическим гармоникам:
00 00
Е/ = L L (5emnMemn + 5omnMom„ 1-
me0 л — m
+ Лвт„М.т_). (4.23)
tmn етп отп отп; ‘
Поскольку sin m ф ортогонален cos m'q> для всех m и m , то отсюда сле-
дует, что Мели и Мот„ ортогональны в том смысле, что
* М о sin6 d0 dtj> = 0 (для всех т, т*, п, п*).
•'о •'о
Аналогично взаимно ортогональными системами функций являются так-
же (Nomn, Ne.J> Nomn) И <Ме^> NemJ- Свойства орТОГОНаЛЬ-
ности cGsm<p и sinm<p означают, что все векторные гармоники раз-
ных порядков т взаимно ортогональны.
Чтобы доказать ортогональность функций (Menra, и (Nemn,
Мотп), достаточно показать, что интеграл
n dP < dP™ IT
mf (pm__L_ 0 " de 1- p*i mP?F4 n de n n 0 (4.24)
обращается в нуль для всех п и п - Присоединенная функция Лежанд-
Поглощение и рассеяние шаром
117
pa Р™ связана с т-й производной соответствующего полинома Лежанд-
Ра Рп:
(4.25)
ир>
где ц = cos 9, откуда следует, что Р™ обращается в нуль при 6 = 0 и
9 = тт, исключая случай т- 0, Следовательно, (4.24) обращается в нуль
для всех т, п и п'. Для доказательства остальных соотношений орто-
гональности
flit
J I J M om„ ’ M om„.Sin 0 = 0,
•'о •'о •'о •'о
• Nemn<sin OdOd*- f2”f\mn • Nomn,Sin Odd d$ = 0,
Jo •'o •'o Jo
при п / n' и mi 0, требуется показать, что
г* I dP” dP"
I I fl n
'o \ d6 d6
pmpm \
+ m2-s-^ ]sinede = 0.
sin20 /
(4.26)
Поскольку обе функции P™ и P™ удовлетворяют уравнению (4.4), поо
ле некоторых преобразований имеем
(jpm jpm pmpm \
+ т2-^- = 2п(п + l)P”P„rsine 4-
dti sin2 e j
/ dPm dPm \
(4-27)
откуда, приняв во внимание условие ортогональности для Р™, легко
прийти к (4.26). При т= 0 Nomn и Мотп обращаются в нуль; ортого-
нальность Метп и Nemn при т = 0 также вытекает из (4.26) и (4.27).
Установленная выше ортогональность всех векторных сферичес-
ких гармоник означает, что коэффициенты в разложении (4.23) имеют
вид
118
Глава 4
rim г*
/ J E,-Memnsin^^^
D = 0 Jo _______________________
°emn f2ir ст •
I / |Mem„|2sin0J0J</>
Jo Jo
Аналогичные выражения имеют место для Вотп, Аетп и ^отп - Из
(4.17), (4.20) и (4.22) и из ортогональности синуса и косинуса следует,
что Ветп = Аотп - 0 для всех т и п. Более того, все остальные ко-
эффициенты по той же причине обращаются в нуль, кроме случая т - 1.
Поскольку падающее поле конечно в начале координат, то производя-
щим функциям <ро1л и <pein должна соответствовать сферическая
бесселева функция jn (kr). При этом мы отбрасываем функции уп, по-
скольку они имеют особенность в начале координат. Векторным сфе-
рическим гармоникам, у которых радиальная зависимость производя-
щих функций определяется jn , будем приписывать верхний индекс
(1). Таким образом, разложение для Е. имеет вид
Е, = £ (Вв1яМ0)„ + XelBN<J)). (4.28)
n-I
Интеграл, стоящий в знаменателе выражения для Во 1п , можно
легко найти, пользуясь формулой (4.27). Между тем числитель содер-
жит интеграл
г (sin ерп) e'pcos в м- (4-29)
Jq Ulf
Из (4.25) имеем
где полиномы Лежандра степени п удовлетворяют уравнению (4.4):
= -и(л + l)P„sin0.
(4-31)
Следовательно, интеграл (4.29) пропорционален
Ге'рсо*еРпыпв d6.
Jo
Поглощение и рассеяние шаром
119
Последний шаг состоит в предложенном Гегенбауэром обобщении ин-
теграла Пуассона [499]
Л(Р) = P'pcose^sm<9^. (4.32)
Z Jr
В результате приходим к выражениям для коэффициентов разложения
Коэффициенты разложения Аетп вычисляются несколько сложнее.
Так, например, приходится вычислять интеграл
f”/’n1sin0e'*>cosesin04/0>
Jo
(4.34)
который можно взять по частям, что дает
2и(и + 1)л(р)'"
ip
где мы воспользовались также соотношениями (4.30) — (4.32). Самый
неприятный интеграл, однако, это
r”l dP' Р* )
/| cos + ^?',cos9sin 04/0. (4.35)
Jn \ dti sin01 ' ’
Его можно вычислить, умножив сначала (4.32) на р, а затем продиф-
ференцировав получающееся выражение по р. После некоторых алгеб-
раических преобразований для (4.35) получаем
2«(и + 1)/" d
Р dp
Отсюда легко получить коэффициенты разложения:
• (4-36)
Таким образом, приходим к искомому разложению плоской волны по
сферическим гармоникам
Е- = “ iN%) (4-37)
„_1 п(и + 1)
120
Глава 4
которое получено не без труда. Несомненно, это явилось результатом не-
желания плоской волны носить одеяние, в котором она чувствует себя
неуютно. Представить плоскую волну в виде разложения по сферичес-
ким волновым функциям — все равно, что пытаться вбить квадратный
колышек в круглое отверстие. Однако читатель, который тщательно
следил за выводом (4.37), может теперь облегченно вздохнуть, так
как последующее изложение будет более простым.
4.3. ВНУТРЕННЕЕ И РАССЕЯННОЕ ПОЛЯ
Предположим, что на однородный изотропный шар радиусом а па-
дает «-поляризованная плоская волна (рис. 4.1). Как было показано в
предыдущем разделе, электрическое поле падающей волны можно раз-
ложить в бесконечный ряд по векторным сферическим гармоникам. Со-
ответствующее магнитное поле падающей волны получается путем вы-
числения ротора выражения (4.37):
Н| (Mff-+ (4-38)
Рассеянное электромагнитное поле (ES,H ) и поле (Е р Hj) внутри
шара также можно разложить по векторным сферическим гармоникам.
На границе между шаром и окружающей средой необходимо наложить
условия (3.7):
(Е, + Е, - Е,) X ё, = (Н,- + Н, - Н,) X = 0. (4.39)
Граничные условия (4.39), ортогональность векторных гармоник и вид
разложения падающего поля определяют вид разложений рассеянного
поля и поля внутри шара: коэффициенты в этом разложении обращаются
в нуль для всех т i 1. Ограниченность решения в начале координат тре-
бует, чтобы в качестве производящих функций для векторных гармоник
внутри шара были взяты функции jn (Цг), где kj — волновое число вц/т-
ри шара. Таким образом, разложение поля (Ер Н,) имеет вид
Е, = £ £„(cnM<?n - idM),
п “ 1
и, = ), (4.40)
Поглощение и рассеяние шаром
121
г Де Еп ~ inE0(2n 1)/[п(п + 1)], a pj - магнитная проницаемость
шара.
Снаружи шара функции jn и уп ведут себя хорошо. Поэтому раз-
ложение рассеянного поля содержит обе эти функции. Однако сейчас
вновь обратимся к сферическим функциям Ганкеля ДО) и дО). pja
основе анализа асимптотических разложений функций Т'анкеля поряд-
ка v при больших значениях | р | [ 499] можно показать, что требует-
ся лишь одна из этих функций. Действительно
(2/p)m
Н^(р) ~ JI- У
V ”Р т_0
(4-41)
где (v, т) - Г(v + т + 1/2 )/f ml T(v — т + 1/2)], Г - гамма-функция,
причем если п - Целое неотрицательное число, то Г (п + 1) = п!. Из
(4.41) следует, что асимптотические представления для сферических
функций Ганкеля имеют вид
кг » п2
(4-42)
(4-43)
Первое из этих асимптотических выражений соответствует уходящей
сферической волне, а второе — приходящей сферической волне. Посколь-
ку из физических соображений рассеянное поле на больших расстоя-
ниях от частицы должно быть уходящей волной, то в производящих функ-
циях следует использовать только & <0. При анализе рассеянного по-
ля на больших расстояниях нам понадобится также асимптотическое
выражение для производной функции . Оно получается из тождест-
ва
d = nz„_] - (и + l)z„+1
dpZ" 2п + 1
122
Глава 4
и формулы (4.42) и имеет вид
(4.44)
В результате для разложения рассеянного поля находим
оо V 00
Е, = L г,(й„нР> - 6ЯМ<3>Я), н5 = — Е E„(^„N<3> + ц„м<3>),
и-1 п~\
(4-45)
где мы приписали верхний индекс (3) векторным сферическим гармони-
кам, для которых радиальная зависимость производящих функций за-
дается функцией h^.
dP'n
de •
(4.46)
, по-видимому, не вызывают ка-
п
4.3.1. Функции, зависящие от угла
Теперь удобно ввести функции
Р1
W = • "п .
" sin 9 ’
Зависящие от угла 0 функции к и
ких-либо вычислительных трудностей (по крайней мере, в своих
работах никто не жаловался на их плохое поведение), и их можно вы-
числить на основе рекуррентных соотношений
К - 2”_ / ~ тя = и/1тгя - (и + 1)тгя_,, (4.47)
где ц = со8 0, начиная с тт0 = 0 и = 1. При этом и- и тд представ-
ляютсобой либо четные, либо нечетные функции ц:
*„(-/*)“ (-1)"_4(m), т„(-м) = (-1)Ч(м)- (4-48)
Хотя сами функции тт и тд не представляют собой ортогональной сис-
темы, из (4.26) и (4.27) следует, что ортогональными системами функ-
ций являются тт +• т и тг — т :
п п П *
{ U + w„)(tot + irm)sin9d9 = [ (тя - тгя)(тт - irm)sinOdO = О
•'о •'о
(т * и). (4.49)
Теперь можно записать векторные сферические гармоники (4.17) -
(4.20) (с т = 1) в разложениях внутреннего поля (4.40) и рассеянного
поля (4.45) в более компактном виде:
Поглощение и рассеяние шаром
123
Мо1„ = cos ф1г„(со& в)z„(p)^ - 8тфтл(со80)г„(р)ёф,
М,1„ = - sin ф77„ (cos 9 )z„(p)fee - COS фт„(сО8 в) 2п(р)&ф,
Nol„ = 8П1фи(и + 1)8Ш07Гп(сО8в)^^-ёг +
+ sinф тп(cos 9) + cos ф irn(cos 0)
Neln = cos фи(и + 1 )sin 9 wn(cos 0) ёг +
+ cos ф t„(cos 9) - sinФ ffn(cos 0) ^Z”pP^ &Ф
(4.50)
К функциям M и N будут добавлены верхние индексы Для обозначения
рода сферической функции Бесселя zn'. индекс (1) обозначает /„(kjr),
а (3) - (кг). Как отмечалось ранее, М не имеет радиальной состав-
ляющей, а при достаточно больших кг радиальная составляющая N для
рассеянного поля пренебрежимо мала по сравнению с поперечной сос-
тавляющей.
На рис: 4.2 показано, как ведут себя функции /п и уп; поведение
же функций sin<p и cos <р хорошо известно. Таким образом, остается
только показать поведение функций ттп и т , которые определяют за-
висимость полей от угла 9. На рис. 4.3 показаны полярные кривые Trn
и тд для п = 14- 5; эти кривые более наглядны при изменении
0 от 0 до 360°. Заметим, что эти функции (за исключением -п-р которая
постоянна) принимают как положительные, так и отрицательные зна-
чения. Так, например, т2 положительна в интервале углов от 0 до 45°,
отрицательна от 45 до 135° и положительна от 135 до 180°. С ростом
п число лепестков растет, и в результате лепесток в направлении впе-
ред становится все уже (т.е. первый нуль имеет место при меньших уг-
лах). Отсутствие лепестков в обратном направлении на полярных кри-
вых ттп и тд указывает на то, что они отрицательны для обратных на-
правлений; например, т3 отрицательна для 0, лежащих между примерно
149 и 180°. Все эти функции имеют лепестки в направлении вперед
124
Глава 4
РИС. 4.3. Полярные кривые для первых пяти дающих угловую зависимость
функций и т^. Обе функции изображены в одном масштабе.
(т.е. положительны в этом направлении), а лепестки в обратном направ-
лении исчезают для чередующихся значений п. Как будет видно ниже,
чем больше шар, тем более высокого порядка функции тгп и тд входят
в индикатрису рассеяния. Поведение этих функций таково, что, чем
больше шар, тем с большим весом входит рассеяние вперед по сравне-
нию с обратным рассеянием (чередующиеся значения ттп или тд устро-
ены так, что компенсируют друг друга в направлениях назад) и тем
уже становится максимум для рассеяния вперед.
Поглощение и рассеяние шаром
125
4.3.2. Структура попей: нормальные моды
Рассеянное электромагнитное поле записано в виде бесконечного
ряда по векторным сферическим гармоникам Мд и Nn, т.е. по нормаль-
ным электромагнитным модам сферической частицы. Обычно рассеян-
ное поле представляет собой суперпозицию нормальных мод, входящих
со своими весами ад или Ьп. В следующем разделе мы рассмотрим
условия, при которых возбуждается одна-единственная нормальная мо-
да. На рис. 4.4 приведены структуры полей из статьи Ми (330], на ко-
торых изображены силовые линии электрического поля, соответству-
ющие поперечным компонентам первых четырех нормальных мод. Эти
структуры приводились, в частности, в [454], где их обсуждению бы-
Ь,
ТМ-моЗы
(отсутствует радиальная
Н-компоиеита)
электрического типа
(Е-волна)
Е в Moi*
ТЕгмоЗы
(отсутствует раЗиальная
Е-компонента)
магнитного типа
(Н-вална)
РИС. 4.4. Структура электрического поля: нормальные моды [330].
126
Глава 4
ло уделено настолько мало внимания, что возможно их неправильное
истолкование, а также в работе [476], где структуры исследовались
подробно. Силовые линии поля показаны на поверхности воображаемой
сферы, концентричной с частицей, но несколько большего радиуса. Для
каждого л имеются два различных типа мод: те из них, у которых нет
радиальной компоненты магнитного поля, называют поперечными маг-
нитными модами, а другие, которые не имеют радиальной компоненты
электрического поля, называют поперечными электрическими модами.
Для облегчения пользования запутанной терминологией, часто употреб-
ляемой для этих мод, на рис. 4.4 приведены другие употребляемые тер-
мины, такие, как волны электрического типа, или Е-волны для попе-
речных магнитных мод, и волны магнитного типа, или Н-волны для
поперечных электрических мод. Под каждой структурой указана отве-
чающая ей векторная сферическая гармоника вместе с соответствую-
щим коэффициентом рассеяния. Хотя мы привели лишь структуры
электрического поля, нетрудно получить и структуры магнитного по-
ля, для чего достаточно осуществить поворот азимутального угла на
90°. Эго следует из соотношений (см. (4.50))
Мо1я(ф + jff) = М€1„(ф); Мо1п(ф + |?г) = Ч1„(ф)
РИС. Попе излучающего диполя.
Поглощение и рассеяние шаром
127
и разложения рассеянного поля (4.45).
На первый взгляд странно видеть точки, где силовые линии поля
кажутся сходящимися или расходящимися и которые можно принять за
свободные заряды вне частицы. Ясно, что никаких свободных зарядов
там быть не должно, поскольку каждая структура представляет собой
силовые линии поля на поверхности воображаемой сферы в окружаю-
щей частицу среде, которую можно считать свободным пространством.
Эти кажущиеся положения зарядов являются теми точками вообража-
емой сферы, в которых обращается в нуль поперечное поле, радиаль-
ная же компонента не может быть показана на сферической поверх-
ности. Это можно еще пояснить, рассмотрев радиальную компоненту
поля для какой-либо из мод. Мы выбрали моду аг (поле, излучаемое
осциллирующим электрическим диполем), которая представляет особый
интерес для дальнейшего изложения. Поэтому для понимания структу-
ры поля, показанной на рис. 4.4, можно ссылаться на структуру поля
элементарного электрического вибратора. На рис. 4.5 показаны сило-
вые линии поля в плоскости ху (0 = тт/2), отвечающие • Отметим,
что для данного расстояния г ф-компонента поля стремится к нулю с
приближением к оси х-, вдоль этой оси поле является целиком радиаль-
ным. Именно поэтому силовые линии структуры поля а1 на рис. 4.4
исчезают вблизи полюсов. Аналогичные эффекты имеют место и на
более сложных структурах поля на рис. 4.4.
4.3.3. Коэффициенты ряда рассеяния
Итак, мы дошли до того места, начиная с которого трудно рас-
сматривать процессы рассеяния и поглощения шаром, не привлекая
численных примеров. То, что нам сейчас нужно, так это покрыть кос-
тяк формальной теории хотя бы небольшим количеством мяса. Нам хо-
телось бы знать, как различные наблюдаемые величины зависят от раз-
мера и оптических свойств шара, а также от свойств окружающей сре-
ды. Для этого в первую очередь необходимо получить явные выраже-
ния для коэффициентов ряда рассеяния ап и 6П-
Для данного п имеется четыре неизвестных коэффициента «п,
Ьп, сп и dn, так что нам необходимо иметь четыре независимых урав-
нения, которые получаются из граничных условий (4.39), написанных
для компонент поля:
Erf = Erf, Е(ф + Е*ф = Е1ф,
. г = а.
Hrf + Hrf-Hrf, н,ф + н1ф~н}ф,
128
Глава 4
Из ортогональности sin<p и cos<p, соотношений (4.49), приведенных
выше граничных условий вместе с разложениями (4.37), (4.38), (4.40),
(4.45), а также из выражений (4.50) для векторных гармоник получа-
ем в итоге четыре линейных уравнения для коэффициентов разложе-
ния:
Л(тх)с„ + ^\x)bn = jn(x),
р[/пхуя(7их)]'ся + рх [xh<!>(x)J'b„ = /*,[хл(х)]',
(4.51)
цт/я(тх)</я + Ц1Л(„1)(х)ая = nj„(x),
[wx/„(wx)]'d„ + т[хЛ<'»(х)]'ал = w[x/„(x)]',
где штрих означает дифференцирование по аргументу, стоящему в
круглых скобках, а через х и ,т обозначены соответственно параметр
дифракции и относительный показатель преломления:
. 2irNa k] Nx
х-ко.__,
и N — показатели преломления частицы и среды соответственно.
Эти четыре совместных линейных уравнения (4.51) легко решаются от-
носительно коэффициентов поля внутри частицы:
с HiJn(x)[x/i(6(x)]' - rf(x)hi(x)]'
MiJ„(wix)[xA<‘)(x)]' - g/i<,,)(x)[wxj„(wx)]' ’
г (4'52)
d /^(хИхЛУЧх)]' ~ М1>иЛ<1)(х)[хУя(х)]'
Mw2J„(mx)[xA<1)(x)]' - g1A<1)(x)[wx/„(wx)]' ’
и коэффициентов рассеянного поля:
а Р™2л(”»х)[*Л(*)У - P-ijn(x)[mxj„(mx)]'
/*m2jn(mx)[xA<1)(x)]' - g1A<1)(x)[wxy„(wx)]' ’
ь ^1Л(>^)[Ч(^)]' ~ ^jn{x)[mxj„(mx)]'
MiJ„('hx)[^41)(^)]' “ М^1)(х)['пхЛ("’х)]' ‘
(4.53)
Поглощение и рассеяние шаром
129
Отметим, что знаменатели выражений для сп и Ьп, так же как и для
a nd, совпадают. Если для некоторого п частота (или радиус) та-
кова, что один из этих знаменателей очень мал, то соответствующая
мода будет преобладать в рассеянном поле. Мода ап преобладает, ес-
ли приближенно выполняется условие
[хА^х)]' = /1,[тх;л(тх)]'
h^(x) pm2j„(mx)
аналогично преобладает мода Ьп, если приближенно выполнено равен-
ство
[хА^х)]' M[wxy„(wx)]' .
А^х) MiJ„(wx)
В общем случае рассеянное поле, разумеется, является суперпозицией
нормальных мод.
Частоты, для которых равенства (4.54) и (4.55) являются точными,
или так называемые собственные частоты шара [454], комплексны, и
о соответствующих модах иногда говорят, что они являются виртуаль-
ными. Если мнимые части этих комплексных частот малы по сравне-
нию с действительными, то последние отвечают приближенно вещест-
венным частотам падающих электромагнитных волн, которые возбуж-
дают различные электромагнитные моды. В [ 165] подробно исследова-
ны виртуальные моды ионного шара с реальными частотными зависи-
мостями оптических постоянны х и показано, что эти моды распадают-
ся на три естественных класса: низкочастотные моды, высокочастотные
моды и поверхностные моды. В последующих главах нам придется мно-
го говорить об электромагнитных модах в малых частицах. В частнос-
ти, в гл. 12 будут подробно рассмотрены поверхностные моды.
Коэффициенты ряда рассеяния (4.53) можно несколько упростить,
введя дЗункдии Рикками - Бесселя:
’Мр) = рл(р)> <л(р) = рЧ’Чр)-
Если принять, что магнитная проницаемость частицы и окружающей
среды одна и та же, то
= ^л(”«)Фл(^) ~ (4.56^
" w^„(wx)^(x)-<„(x)^(wx) ’
9-205
130
Глава 4
b 'I'AmxMx) ~ тф„(х)ф'„(тх) /д 57)
Ф„(тх)^'„(х) ~ т^п(х)Ф'„(тх) ’
Заметим, что при т, стремящемся к единице, ап и Ьп стремятся к ну-
лю, как и должно быть: вместе с частицей исчезает и рассеянное поле.
Что касается обозначений для коэффициентов ряда рассеяния, то
мы, насколько это возможно, следовали ван де Хюлсту [ 488] и Керке-
ру [ 264], за исключением того, что нами использован противополож-
ный знак во временном гармоническом множителе ехр(—iwt). В[264]
приведена таблица обозначений, использованных различными автора-
ми в работах по теории рассеяния шаром.
4.4. СЕЧЕНИЯ И ЭЛЕМЕНТЫ МАТРИЦ
Хотя в разд. 4.3 нами рассмотрено рассеяние только %-поляризо-
ванного света, тем не .менее, пользуясь симметрией частицы, можно
найти рассеянное поле для падающего света с произвольным направле-
нием линейной поляризации, а следовательно, и для света с любым сос-
тоянием поляризации. Так, например, рассеянные электрические поля
для «-поляризованной и у-поляризованной плоских волн равной ампли-
туды связаны соотношением
Es (<р; х-поляризованная) = Es(<f + тт/2; у-поляризованная).
Таким образом, располагая коэффициентами рассеяния ап и Ьп, мож-
но определить все измеряемые величины, связанные с рассеянием и
поглощением, как, например, сечения рассеяния и элементы матри-
цы рассеяния.
4.4.1. Сечения
Сечения для шара можно получить, обратившись к выражениям
для произвольной частицы, выведенным в разд. 3.4 путем вычисления
суммарной скорости Wa, с которой электромагнитная энергия пересе-
кает поверхность воображаемой сферы с центром в месте расположе-
ния частицы. Если окружающая среда является непоглощающей, то Wa
не зависит от радиуса этой воображаемой сферы, который из сообра-
жений удобства мы выберем достаточно большим, с тем чтобы можно
было воспользоваться приближением дальней зоны для электромагнит-
ного поля. Между тем можно дать вывод точных выражений для сече-
ний сферической частицы, который, по-видимому, не был замечен пре-
Поглощение и рассеяние шаром
131
дыдущими авторами. Представляется уместным привести здесь этот
вывод. При этом мы выведем некоторые математические свойства сфе-
рических бесселевых функций, а кроме того, сможем еще раз убедить-
ся в правильности оптической теоремы.
Как и выше, запишем Wa как JFext - IFs, где
Жех1 = j Ье (2”Г(Е1фНЪ - Е,вН*ф - ЕзвН*ф + Е,фН*в)г2йъ OdOd*,
Jo Jo
W, = | Re f2" Г(ЕгвН*. - Е1фН*в)r2sin 0 dO d*, (4.58)
•'o Jo
а радиус r > а воображаемой сферы произволен. Из физических сооб-
ражений ясно, что г и IFS не зависят от состояния поляризации па-
дающего света. Поэтому при вычислении интегралов (4.58) можно счи-
тать падающий свет «-поляризованным:
Е.е = ^7^ £ Е„(ф„1гп - Hit =~ tg ф Ete,
р п-1 р
Е1ф = £ Еп(‘Ф>п - КЪ,), Н.ф =
Р п-1 Р
где р - кг. Соответствующее рассеянное поле есть
L En(ian&n ~ bninirn),
Р п-1
Е,ф = £ Еп(Ь„&п -
р "-1 (4.59)
Нав = -L £ E„(ib„&r„ - a„£nir„),
ЫР P п-1
Н1ф = ~ а^п)-
ЫР Р п-1
Если предположить, что разложения в виде рядов (4.59) можно подста-
вить в интеграл , а получающиеся ряды произведений проинтегриро-
вать почленно, то получим
132
Глава 4
Е (2л + 1 )Re{g„}(|a„|2 + IM2),
где мы воспользовались формулой (4.24) и соотношением
f (% + Vm )Sln 6 dO = 8пт V ,
•'О
вытекающим из (4.27). Величина gn, определяемая как , мо-
жет быть записана в виде
g„ = (хЖ - Wx'.) - Ш + X*„X'„).
где функция Риккати — Бесселя хп есть — руп(р) и, следовательно,
<рп - i хп- Функции <рп и хп принимают вещественные значения для
вещественного аргумента, поэтому, если использовать вронскиан [ 15]
ХЖ ~ ^„Хл = 1. (4-60)
то отсюда следует, что сечение рассеяния равно
Оса = = 7Т 2 (2п + Od^l2 + (4-61)
К л-1
Аналогично находим сечение экстинкции
W Тчт 00
Oxt = = ту Е (2л + l)Re{fl„ + b„}, (4.62)
где, как и при выводе выражения для сечения рассеяния, основным
пунктом является соотношение (4.60).
4.4.2. Примеры экстинкции; интерференционная структура
и рябь; покраснение
Сделаем теперь паузу в математических расчетах и рассмотрим
несколько примеров экстинкции. Более полное обсуждение экстинкции
будет дано в гл. 11, Целиком посвященной этому вопросу. Методы вы-
числений, использованные для анализа этих примеров, излагаются в
Поглощение и рассеяние шаром
133
этой главе ниже. В качестве примера для демонстрации экстинкции
мы выбрали водяные капли в воздухе; зависимость от длины волны —
от радиодиапазона до ультрафиолета — оптических постоянных, ис-
пользованных в этих расчетах, приведена в гл. 10. Рассчитанные кри-
вые экстинкции для трех различных радиусов показаны на рис. 4.6,
где эффективность экстинкции Qext = Сех1/тта2 изображена как функ-
ция обратной длины волны 1/А. Этот несколько непривычный способ
представления экстинкции может привести некоторых читателей в не-
доумение, особенно когда указывается, что кривые на рис. 4.6 замет-
но отличаются от наиболее часто встречающихся. Обычно эффектив-
ности экстинкции изображаются как функции х при фиксированном
значении показателя преломления щ. Хотя традиционный метод пред-
ставления экстинкции нельзя считать неправильным для всех случа-
ев, тем не менее он часто вводит в заблуждение. Дело в том, что, хо-
тя х и т с математической точки зрения представляют собой независи-
мые величины, с физической точки зрения они могут быть зависимы-
ми. Этот простой факт часто выпадает из поля зрения, когда х рас-;
сматривают просто как безразмерную величину, для которой безраз-.
лично, меняется ли она за счет изменения длины волны или изменения
радиуса. Если же меняется длина волны, то должен меняться и пока-
затель преломления т, поскольку не существует веществ с оптичес-
кими характеристиками, не зависящими от длины волны.в сколько-ни-
будь заметном диапазоне. К сожалению, в некоторых областях прило-
жений теории рассеяния света полное понимание этого пришло далеко
не сразу, результатом чего явились некоторые неправильные выводы,
основанные на ошибочных рассуждениях. Главной темой нашей книги
как раз и является полное описание процессов рассеяния и поглоще-
ния света частицами, что требует знания оптических свойств объемно-
го вещества. Использование традиционного метода представления эк-
стинкции связано в основном с соображениями удобства, а не с точ-
ностью отображения физической картины. Дело в том, что сравнитель-
но просто вычислить Qext как функцию х при фиксированном т. Кри-
вые же, показанные на рис. 4.6, требуют значительно больших вычис-
лений, чем обычные, так как на каждой из многих длин волн, для кото-
рых выполняется расчет, нужно использовать точные значения опти-
ческих характеристик. Вычисление (?ext сильно осложняется тем, что
приходится отыскивать значения оптических постоянных по многим ис-
точникам и интерполировать экспериментальные результаты. Наградой
же за эту работу является более точная физическая картина экстинк-
ции.
134
Глава 4
РИС. 4.6. Эффективности экстинкции для водяных капель в воздухе; шаг
построения графика равен 0,01 мкм-1.
В области слабого поглощения воды (примерно между 0,5 и 5 мкм"1)
кривая экстинкции для капли размером 1 мкм имеет несколько особен-
ностей: 1) ряд регулярно расположенных широких максимумов и мини-
мумов, называемых интерференционной структурой, которая осцилли-
рует около значения, равного 2, 2) нерегулярную тонкую структуру,
называемую рябью, и 3)монотонное возрастание экстинкции с умень-
шением длины волны при а < Л. Рассмотрим кратко каждую из них.
Для больших (>>п2) х и \тх\ числитель ап приближенно равен
(т - l)sin[x - «w/2]cos[»ix - nir/2] + msin[x(m - 1)]
~ • (4.63).
С той же точностью числитель Ьп есть
Поглощение и рассеяние шаром
135
(1 — m)sin[x — «w/2]cos[>nx — nir/2] + sin[x(>n - 1)] . ,
mx
Чтобы получить (4.63) и (4.64) из формул (4.56) и (4.57), мы восполь-
зовались асимптотическим соотношением
ф„(р) ~ sin(p - ия/2) (|р| » п2). (4.65)
Заметим, что числители как ап , так и Ьп содержат общее слагаемое
sin[ х(т - 1)], не зависящее от п . Следовательно, можно ожидать,
что максимумы сечения экстинкции приближенно определяются мак-
симумами этой функции, которые имеют место при х(т - 1) = (2р + 1)тгД
где р - целое число. Поэтому расстояние Д( 1/А) между максимумами
функции sin[ х(т -1)] в диапазоне длин волн, в котором величина т
приблизительно постоянна и вещественна, равно 1/[ 2a(m — 1)]. Для во-
ды на длинах волн видимого света или вблизи них т можно положить
равным примерно 1,33, так что максимумы сечения для капли радиу-
сом 1 мкм должны быть разнесены на величину около 1,5 мкм-1. То,
что это действительно так, видно на рис. 4.6. Происхождение терми-
на "интерференционная структура" применительно к этим широким
пикам экстинкции связано с интерпретацией экстинкции как интерфе-
ренции между падающим и рассеянным вперед светом (разд. 3.4). Ес-
ли встать на точку зрения элементарной оптики, то разность фаз Д<р
между лучом, пересекающим большой прозрачный шар без отклоне-
ния (т,е. рассеянным вперед, или центральным лучом), и лучом, прохо-
дящим тот же физический путь вне шара, оказывается равной
2 97
Дф = -^-2a(Nt — N) = 2х(т — 1).
Условие ослабляющей интерференции между этими двумя лучами име-
ет вид Д<р = (2р+ 1)тт или эквивалентное ему равенство х(т-1) =
= (2р + 1) тг/2, которое совпадает с условием, полученным в результа-
те исследования числителей ап и Ьп-
Подробное обсуждение ряби, являющейся существенно более слож-
ной по сравнению с интерференционной структурой как в математичес-
ком, так и в физическом отношении, мы оставим до гл. 11. Сейчас до-
статочно сказать, что рябь обязана своим происхождением корням
трансцендентных уравнений (4.54) и (4.55), представляющих собой ус-
136
Глава 4
ловил, при которых знаменатели в коэффициентах рассеянного поля
обращаются в нуль.
Интерференционная структура и рябь сильно подавляются в усло-
виях, когда поглощение становится большим, как это имеет место в
воде при 1/А > 6 мкм-1; здесь имеется аналогия с подавлением интер-
ференционных полос в спектре пропускания слоя (рис. 2.8). Если кап-
ля мала по сравнению с длиной волны, то пики, имеющиеся в спектре
объемного поглощения, видны в спектре экстинкции частицы. Напри-
мер, пики экстинкции на рис. 4.6 вблизи 6 мкм-1 для капли радиусом
0,05 мкм и вблизи 0,3 мкм-1 для капли радиусом 1 мкм не относятся
ни к интерференционной структуре, ни к ряби, а являются пиками по-
глощения объемного вещества. Это иллюстрирует тот факт, что погло-
щение преобладает над рассеянием при малых а/л, если имеется за-
метное объемное поглощение.
Многим хорошо знакомо явление покраснения белого света при
прохождении через скопление очень малых частиц. Его легко проде-
монстрировать, добавив несколько капель молока в сосуд с чистой
водой. Тогда коллимированный пучок белого света после прохождения
через эту взвесь приобретет красноватый оттенок, поскольку корот-
коволновый синий свет ослабляется более эффективно, чем более длин-
новолновый красный. Рост экстинкции с уменьшением длины волны яв-
ляется общим свойством непоглощающих частиц, малых по сравнению
с длиной волны; это видно из кривых экстинкции на рис. 4.6 для двух
частиц меньшего размера. Мы знакомы с такими эффектами по вели-
колепным красным и оранжевым оттенкам неба на закате, что частич-
но связано с молекулярным рассеянием. Наличие малых частиц может
увеличить интенсивность такой окраски. Известно, что в периоды вул-
канической активности окраска заката становится более сочной из-за
наличия частиц в атмосфере, причем это явление длится более года;
высокий уровень загрязнения воздуха тоже приводит к усилению по-
краснения заката.
Покраснение из-за экстинкции малыми частицами, разумеется, не
ограничено земными явлениями. Частицы межзвездной пыли ослабля-
ют синий свет более эффективно, чем красный, поэтому свет звезд,
проходящий через эту пыль, становится более красным. Этот эффект
настолько регулярен и однороден из-за усреднения по областям про-
странства размером во многие тысячи световых лет, что он может
быть использован для измерения расстояний до звезд в пределах на-
шей Галактики. На языке специалистов выражение "сильно покраснев-
шая звезда” означает, что между нею и наблюдателем имеется боль-
Поглощение и рассеяние шаром
137
шое количество межзвездной пыли. На рис. 4.6 видно, что экстинкция
существенно зависит от размера частиц. По этой причине измерение
экстинкции иногда используется для определения размера частиц. Фак-
тически именно эта зависимость от размера дает нам наилучшее до-
казательство того, что частицы межзвездной пыли имеют преимущест-
венно субмикронные размеры. Что касается лабораторных исследова-
ний, то здесь для определения размеров частиц обычно предпочтитель-
нее другие типы измерений, как, например, угловое распределение рас-
сеяния.
Покраснение имеет место для скоплений частиц, малых по сравне-
нию с длиной волны, независимо от их распределения по размерам. Про-
тивоположный спектральный эффект — "посинение" — можно заметить
в высокочастотной части пиков экстинкции на рис. 4.6. Такое посине-
ние сильно зависит от распределения по размерам, как и другие харак-
теристики интерференционной структуры, и имеет тенденцию исчезать
с увеличением разброса радиусов частиц. В связи с этим окрашивание
солнечного света в синий цвет частицами в атмосфере — весьма редюе
явление, хотя неслыханным его тоже назвать нельзя, поскольку оно
все же случается, но, как говорят англичане, "once in a blue moon"
(буквально - "однажды при голубой луне"), что означает "очень редко".
Происхождение этого выражения связано, очевидно, с тем, что было
зарегистрировано несколько случаев, когда Солнце и Луна имели голу-
боватый оттенок, как, например, после гигантских извержений вулкана
Кракатау, а затем после огромных лесных пожаров в Канаде.
Условия, необходимые для столь необычной экстинкции, одним из ко-
торых является узость распределения частиц по размерам, как прави-
ло, встречаются очень редко.
4.4.3. Парадокс экстинкции; скалярная теория дифракции
В разд. 4.3 мы отмечали, что с ростом параметра х величина
<2ext стремится к предельному значению:
lim <?„,(*, т) = 2,
х — оо
которое в два раза превосходит значение, получающееся в рамках ге-
ометрической оптики. В то же время геометрическая оптика считает-
ся хорошим приближением, если размеры частиц намного больше дли-
ны волны. Более того, QexX = 2 противоречит "здравому смыслу":
нельзя ожидать, что большой объект удаляет из падающего пучка в два
138
Глава 4
раза больше энергии, чем на него попадает. Этот, возможно, сбивающий
с толку результат называют парадоксом экстинкции, который мы по-
пытаемся здесь разрешить.
Хотя геометрическая оптика и является хорошим приближением к
точной волновой теории в случае больших объектов, тем не менее не-
зависимо от размеров объекта вблизи его краев геометрическая опти-
ка становится непригодной. Поэтому мы рассмотрим эктинкцию в слу-
чае большого шара радиусом а, используя геометрическую оптику
вместе со скалярной теорией дифракции.
Основная задача скалярной теории дифракции состоит в нахожде-
нии поля скалярной волны в точке Р при условии, что заданы значе-
ния у и V у на некоторой замкнутой поверхности S , окружающей Р.
Краткое и ясное изложение этой теории дано в [ 495], где показано, что
1 . / pikR I „ikR \ \
,/,(/>) = —у (4.66)
Л \ Jx })
где R — расстояние от Р до точки на поверхности S, п — внешняя нор-
маль к S. Соотношение (4.66) не ограничено случаем электромагнит-
ных волн, а в равной мере применимо к любой скалярной величине, удо-
влетворяющей волновому уравнению V 2<р к 2ц> = 0.
В результате отражения, преломления и поглощения лучей, пада-
ющих на шар, из пучка с интенсивностью удаляется количество
энергии, равное 1--на2. Эго означает, что каждый луч либо поглощает-
ся, либо меняет свое направление и тем самым считается удаленным
из падающего пучка. Непрозрачный диск радиусом а также удаляет
количество энергии /{-тга2, и в той мере, в какой справедлива скаляр-
ная теория дифракции, шар и непрозрачный диск дают одинаковую ди-
фракционную картину. Поэтому в целях данного анализа можно заме-
нить шар непрозрачным диском.
Хотя нас будет интересовать в основном дифракция на непрозрач-
ном круглом диске, на данном этапе рассмотрения не требуется допол-
нительного труда, если даже не вводить никаких ограничений на форму
плоского препятствия (рис. 4.7, а). Более удобно рассматривать дифрак-
цию на отверстии в непрозрачном плоском экране, которое имеет ту же
форму и размеры, что и препятствие (рис. 4.7, б). Чтобы найти волно-
вую функцию у(Р.) при наличии препятствия, можно воспользоваться
принципом Бабине, согласно которому
ф(Р) + ф(Р) = ф0(Р), (4.67)
Поглощение и рассеяние шаром
139
где (Р) — значение волновой функции в точке Р при наличии аперту-
ры, а <у0 — неискаженная препятствием (падающая) волновая функция,
которую будем считать плоской волной £'oexp(ikz).
Для вычисления интеграла в (4.66) нужно знать функцию у и ее
градиент на поверхности S. Физически оправданно считать, что вклад
в ф(Л дает лишь апертура Q, в пределах которой у приближенно рав-
но падающей волновой функции . При этом предположении (4.66) при-
нимает вид
=4 V(I+^'^dA' <4-68)
где, кроме того, считается, что kR » 1, т.е. точка Р удалена от
апертуры на расстояние, большое по сравнению с длиной волны. Еди-
ничный вектор eR направлен вдоль прямой, соединяющей Рс точкой
на апертуре с координатами (£, ц), а расстояние R есть
R = р2 - 2х< - 2jt) + £2 + т)2 .
(4-69)
РИС. 4.7. (а) Дифракция на непрозрачном плоском препятствии, (б) Дифрак-
ция на апертуре той же формы, что и препятствие.
140
Глава 4
Если линейные размеры апертуры малы по сравнению с г, то выраже-
ние (4.69) можно разложить в ряд по степеням £/г и д/г, при этом
ограничение линейными членами соответствует фраунгоферовой ди-
фракции
Pi кг
ф(Р) = Е0------5(0, Ф),
0 /кг (4.70)
1,2 . .
5(0, <р) =-— f e-«ksin0 (§cos<p + qsin <p) ( ] f cos 0
4тт й
Следовательно, при наличии препятствия на основании (4.67) и (4.70)
имеем
Ф(Р) = Еое*< - ф). (4.71)
Первое слагаемое в (4.71) отвечает просто падающей волне, а второе —
волне, рассеянной (дифрагированной) препятствием. Оптическая тео-
рема для скалярных волн формально имеет тот же вид, что и для век-
торных волн (3.24), и сечение экстинкции есть
4*77
CCTt = — Re(S( е = 0)} = 2G, (4.72)
где G — площадь препятствия. Следовательно, сечение экстинкции
препятствия равно удвоенной площади его поперечного сечения: вся
энергия, падающая на непрозрачное препятствие, равная I. Q , погло-
щается, а, кроме того, равное количество энергии Я? = 1. Csca, где
Jo Jo k2
рассеивается (дифрагирует) на препятствии. Грубо говоря, можно
сказать, что падающая волна подвержена влиянию области, лежащей
вне физических границ препятствия: лучи, проходящие в окрестнос-
ти края, которые с точки зрения геометрической оптики должны были
бы пройти беспрепятственно, на самом деле отклоняются. Эти лучи,
как бы ни был мал угол их отклонения, считаются выбывающими из
падающего пучка, в силу чего они дают вклад в экстинкцию. Эта ин-
Поглощение и рассеяние шаром
141
терпретация' объясняет, почему сечение экстинкции такой частицы
равно удвоенной площади ее геометрического сечения, в той же мере,
в какой справедлива замена большой по сравнению с длиной волны
частицы плоским непрозрачным препятствием с площадью, равной
площади проекции частицы.
Мы должны еще объяснить, почему соотношение Cext = 2 G не всег-
да выполняется в эксперименте. Сделать это поможет следующий конкрет-
ный пример. Амплитуда рассеяния круглого диска не зависит от ази-
мутального угла <р:
S(e)=-hi- Г e-«k§sin0(i (4.73)
4-п- а
Интеграл в (4.73) можно вычислить, перейдя к полярным координатам
и используя интегральное представление функции Бесселя
J0(z) =
чг Ja
и тождество-d(zJx)/dz = zJ0> В результате получим
S(0\ = ^(l + cos*) >i(*sni0)
' ' 2 xsinff '
РИС. 4.8. Индикатриса рассеяния в случае дифракции на круглом диске.
142
Глава 4
Поскольку параметр х очень велик, то величина J^xsinQ)/(«sine)
пренебрежимо мала при значениях xsinH > 10. Поэтому множитель
(1 + cose)/2 с очень хорошим приближением равен единице в пределах
области рассматриваемых углов. На рис. 4.8 показана нормированная
индикатриса рассеяния в зависимости от jcsinH. Отметим, что почти
весь рассеянный свет сосредоточен в конусе с половинным углом раст-
вора еаЮ/ж. Для того чтобы детектор регистрировал полную экстинк-
цию большим сферическим объектом, он должен иметь угол зрения
меньше, чем этот угол, скажем 0асс< 1 /(2«). Поэтому при любом изме-
рении экстинкции большими по сравнению с длиной волны частицами
необходимо тщательно учитывать возможное влияние геометрических
параметров измерительного инструмента. В противном случае можно
прийти к мнимому расхождению между теорией и экспериментом и да-
же к невозможности воспроизведения эксперимента.
4.4.4. Матрица рассеяния
Мы предполагаем, что ряд (4.45), в который разлагается рассеян-
ное поле, равномерно сходится. Поэтому в этом ряде можно ограни-
читься пс членами, причем ошибка будет сколь угодно малой при лю-
бых кг, если пс достаточно велико. Если, кроме того, кг>> пс> то
можно подставить в этот оборванный ряд асимптотические выражения
(4.42) и (4.44). В результате для поперечных компонент рассеянного
электрического поля получим
еЛг
Est ~ Ео~^ COS ф S2(COS в),
е'кг
Е*~ -E0—^-rs,YR^SSco^6),
где
с — V + 1 ,
1 „ п(п + 1) (ап”п + ЬпТп^
у 4- 1 (4-74)
а ряды после пс членов обрываются. Поэтому амплитуды падающего
и рассеянного полей связаны соотношениями
Поглощение и рассеяние шаром
143
/ Е„, \ _ e-Mr-z) / s2
-zkr у О
°
5,Д
(4.75)
£||/ \
w
На основе (4.25) можно показать, что
’.0)-.<)->
д-1
Но Р удовлетворяет дифференциальному уравнению (4.4), из которого
с учетом равенства Рп (1) = 1 следует, что
*„0) = rn(l) =
л(л + 1)
2
Таким образом, в направлении вперед (е = 0°)
S2(0°) = 5,(0°) = 5(0°) = |Е(2л + 1)(а„ + 6И).
п
Подставив это выражение в оптическую теорему (3.24), получим сече-
ние экстинкции (4.62):
Ссм = Re{5(0°)}. (4.76)
kz
Из (4.75) следует соотношение, связывающее параметры Стокса пада-
ющего и рассеянного света:
5„ 512 0 0
Q, i 5i2 5(l 0 0 Qi
us k2r2 0 0 533 534
kJ 0 0 — 534 533 И
5ц = 1(|52|2 + | 5i|2), 512 = 2(|52|2 - |5.|2)
533 = {(5*5, + 525f), 5з4 = ^(5(52*-525*).
(4.77)
Только три из четырех элементов матрицы являются независимыми:
С2 = С 2 + <2 2 + *С2
144
Глава 4
Если падающий"свет полностью поляризован в направлении, парал-
лельном некоторой плоскости рассеяния (можно взять любую плоскость
рассеяния),то параметры Стокса рассеянного света имеют вид
Л = (Stl + sI2)z,, Qs = U,= VS — 0,
где нами опущен множитель I/(k2r2). Таким образом, рассеянный
свет тоже оказывается полностью поляризованным параллельно этой
плоскости рассеяния. Обозначим через £ц рассеянную интенсивность,
приходящуюся на единичную падающую интенсивность при условии, что
падающий свет поляризован параллельно плоскости рассеяния:
гц = + ^12 =
Если падающий свет поляризован перпендикулярно плоскости рас-
сеяния, то параметры Стокса рассеянного света равны
Л=(5п-512)Л, Qs=-Is, 1^=К = 0.
Следовательно, рассеянный свет также поляризован перпендикулярно
плоскости рассеяния. Обозначим через q рассеянную интенсивность,
приходящуюся на единичную падающую интенсивность, при условии что
падающий свет поляризован перпендикулярно плоскости рассеяния:
Z_L = — SI2 = |S, |2.
Если падающий свет неполяризован, то параметры Стокса рассеян-
ного света равны
Z, = SHZ,, e, = S12Z„ Us = Vs = 0.
Отношение
таково, что |/>КЕ Если Р положительно, то рассеянный свет частич-
но поляризован перпендикулярно плоскости рассеяния; если Р отрица-
тельно, то рассеянный свет частично поляризован параллельно плос-
кости рассеяния, причем степень поляризации равна | Р |. Независимо
от размера и состава шара Р(0°) = Р (180°) = 0.
Поглощение и рассеяние шаром
145
Т абпица 4.1.
Коэффициенты ряда рассеяния для водяных капель в воздухе с парамет-
ром х = 3 и комплексным показателем преломления т= 1,33 + ИО"*
1 2 2 5.1631 X 10“1 - 14.9973 X 10 1 7.3767 X 10“1 - /4.3990 X 10“1
2 6 3.4192 X 10“1 - /4.7435 X 10“1 4.0079 X 10“1 - /4.9006 X 10“1
3 7 12 4.8467 X 10“2 - 12.1475 X 10“1 9.3553 X 10 3 - /9.6269 X 10“2
4 _2. 20 1.0346 X 10“3 - /3.2148 X ю2 6.8810 X 10“5 - /8.2949 X 10“3
5 11 30 9.0375 X 10“6 - /3.0062 X 10“3 2.8309 X 10“7 - /5.3204 X 10“4
Если падающий свет поляризован под углом 45° к плоскости рас-
сеяния, то рассеянный свет будет, вообще говоря, эллиптически поля-
ризованным, однако азимут эллипса поляризации не обязательно равен
45°. Величина поворота по азимуту, так же как и эллиптичность, зави-
сит не только от свойств частицы, но и от направления, в котором рас-
сеивается свет.
4.4.5. Пример угловой зависимости рассеяния
В качестве примера угловой зависимости рассеяния шаром мы взя-
ли рассеяние водяной каплей с параметром х = 3, на которую падает ви-
димый свет с длиной волны 0,55 мкм. На этой длине волны показатель
преломления воды равен 1,33 + i 10-8; х = 3 соответствует радиусу кап-
ли, равному примерно 0,26 мкм. Первые пять коэффициентов рассея-
ния для этой капли приведены в табл. 4.1, откуда видно, что угловая за-
висимость рассеяния определяется первыми двумя или тремя функция-
ми пи т .
71 71
На рис. 4.9 показаны результаты расчетов с использованием про-
граммы, приведенной в приложении А: на рис. 4.9, а даны графики i
и в полярных координатах, на рис. 4.9, б - логарифм ij и /ц , а на
рис. 4.9, в - поляризация (4.78). Во всех трех сериях кривых независи-
мой переменной является угол рассеяния 0. По-видимому, самым важ-
ным моментом здесь является то, что рассеяние сильно концентриру-
ется в направлении вперед. Наиболее отчетливо это видно на полярной
кривой (рис. 4.9, а). Малые боковые лепестки при 0 > 90° почти неза-
метны на фоне больших лепестков в направлении вперед. Действительно,
1U-2U5
146
Глава 4
РИС. 4.9, а. Рассеяние шаром при х = 3 и т= 1,33 + /10”*.
РИС. 4.9, б.
Поглощение и рассеяние шаром
147
Угол рассеяния
РИС. 4.9, в.
чтобы боковые лепестки в обратном направлении были вообще видны,
нам потребовалось увеличить соответствующие значения на полярных
кривых в 10 раз. Рассеянная интенсивность в направлении вперед бо-
лее чем в 100 раз превышает ее величину в обратном направлении. Та-
кая асимметрия рассеяния становится еще более выраженной с ростом
параметра х, и изображение индикатрис рассеяния в линейном масшта-
бе становится неприемлемым. Изображенная одна такая полярная кри-
вая понадобилась нам, чтобы подчеркнуть преобладающую роль рассе-
яния вперед даже для достаточно малых шаров - водяная капля ради-
усом 0,26 мкм настолько мала, что не встречается в облаках.
С проявлениями сильного рассеяния вперед мы сталкиваемся почти
каждый день. Вечерняя езда на автомобиле навстречу яркому садяще-
муся солнцу может сопровождаться ослеплением, даже если прямой сол-
нечный свет прикрыт защитным козырьком. Оно объясняется интенсив-
ным рассеянием вперед частицами, находящимися в атмосфере и на ло-
бовом стекле. Легко дать спасительный совет, предложив ехать в об-
ратном направлении, - ведь рассеяние под углом 180° на несколько
порядков слабее, — но на практике такой выход из положения вряд ли
кого устроит. По аналогичной причине трудно ездить ночью в тумане
или при грязном лобовом стекле. Дело в том, что свет фар встречно-
го автомобиля рассеивается каплями тумана или частицами в направ-
лении вперед, что создает раздражающий ослепительный блеск.
148
Глава 4
4.4.6. Полная экстинкция: правило сумм
В разд. 2.3 было показано, что действительная и мнимая части
электрической восприимчивости связаны дисперсионными соотношени-
ями (2.36) и (2.37). Они являются следствием линейной причинной свя-
зи между электрическим полем и поляризацией и условия обращения в
нуль х(со> в пределе бесконечно больших частот со. Мы также отметили,
что вообще аналогичные соотношения имеют место для любой завися-
щей от частоты функции, которая связывает отклик с входным воздей-
ствием линейно и причинно. Одним из примеров может служить ампли-
тудная матрица рассеяния (4.75): рассеянное поле линейно связано с па-
дающим полем. Более того, эта связь должна быть причинной, так как
рассеянное поле не может возникнуть раньше падающего, которое его
возбуждает. Следовательно, матричные элементы должны удовлетво-
рять дисперсионным соотношениям. В частности, это верно для направ-
ления вперед (0= 0°). Вместе с тем функция 5(0°, со) не обладает тре-
буемым асимптотическим поведением, поскольку, как следует из при-
ближения (4.73) теории дифракции, при достаточно больших частотах
8(0°, со) пропорциональна со2. Однако уже незначительная модифика-
ция 8 приводит к функции с нужным поведением:
8(0°, со) _ а?_
со2 2с2
которая обращается в нуль для бесконечно больших частот;' здесь с —
скорость света в вакууме, и из соображений удобства мы взяли шар,
расположенный в свободном пространстве. Если область определения
расширить на комплексную плоскость со, то F будет аналитической в
верхней полуплоскости вследствие аналитичности 8, причем F так же,
как и х> удовлетворяет условию сопряжения F(-co) = F*(k). Поэтому
действительная и мнимая части F = F' + iF" связаны интегральными
соотношениями (2.36) и (2.37):
77 •'о Я2 — ы 77 •'о Я2 — иг
Из этих соотношений, из оптической теоремы (4.76) и из формулы (2.51)
следует, что
со3 Jo Я2 — и2
(4.79)
Поглощение и рассеяние шаром
149
На основе (5.4) легко показать, что для достаточно малых частот эле-
мент матрицы рассеяния в направлении вперед дается формулой
S(0°, со) = -
СО3 а3 ~ 1)
с3 £ (со) 1- 2
где функция е = т2 - диэлектрическая проницаемость частицы по от-
ношению к свободному пространству. Поэтому, переходя в (4.79) к пре-
делу со, стремящемуся к нулю, имеем
2тг2а3
lim Im< i
ы—*0 I
с(ц) - 1
е(ы) + 2
QxtW.o
---:—all.
fl2
(4.80)
Это правило сумм для экстинкции можно записать более компактно, ес-
ли от переменной интегрирования - частоты перейти к длине волны и
предположить, что статическая диэлектрическая проницаемость вещест-
венна и конечна:
f481’
Из формулы (4.81) вытекают довольно интересные следствия. В част-
ности, хотя зависимость Cext от радиуса частицы на заданной длине
волны может быть весьма сложной, тем не менее полная экстинкция
просто пропорциональна объему частицы. Более того, оптические свой-
ства частицы входят в полную экстинкцию только через статическую
диэлектрическую проницаемость, причем, чем больше ее значение, тем
больше полная экстинкция. Таким образом, независимо от состава
частицы полная экстинкция ограничена сверху величиной
f°Qxt(A)<A<4,rV.
•'о
Правило сумм (4.81) для экстинкции впервые было сформулирова-
но Парселлом в статье [ 381], по-видимому, не получившей того внима-
ния, которого она заслуживает. Мы пришли к этому правилу сумм дру-
гим путем, нежели Парселл, однако результаты, полученные нами, по
существу те же самые. Парселл не ограничился сферическими части-
цами, а рассмотрел более общий случай сфероидов. Из физических со-
150
Глава 4
ображений, однако, кажется вполне вероятным, что независимо от фор-
мы полная экстинкция должна быть пропорциональна объему частицы,
причем коэффициент пропорциональности зависит от ее формы и ста-
тической диэлектрической проницаемости.
4.4.7. Ширина ограниченного пучка
Выражения для поля, рассеянного шаром, были получены в пред-
положении, что пучок имеет бесконечную протяженность в поперечном
направлении. Однако создание таких пучков в лаборатории затрудни-
тельно. Тем не менее физически оправданно считать, что рассеяние
и поглощение частицей не зависят от протяженности пучка при усло-
вии, что она велика по сравнению с размером частицы, т.е. частица
полностью погружена в падающий свет. Наша физическая интуиция
подкрепляется исследованием, проведенным авторами работы [ 478],
где получены точные выражения для поля, рассеянного шаром в слу-
чае падения аксиально-симметричного пучка конечной ширины. Из их
расчетов угловой зависимости рассеяния света проводящим шаром
следует, что если радиус пучка примерно в 10 раз превышает радиус
шара, то никакого различия между случаями бесконечного и ограни-
ченного пучков нет. В большинстве экспериментов по рассеянию даже
при использовании узкоколлимированных лазерных пучков это усло-
вие, конечно, выполнено. Следовательно, мы вполне оправданно мо-
жем пренебрегать конечностью ширины пучка.
4.4.8. Заряженный шар
Мы также полагали, что суммарный поверхностный заряд части-
цы равен нулю. Это предположение, хотя и неявно, содержится в гра-
ничных условиях (3.7). Однако заряженные частицы в природе не так
уж редки: водяные капли, образующиеся в брызгах над океаном, во-
дяные капли и кристаллики льда в грозовых облаках, летящие снег
и пыль могут быть электрически заряженными; считается также, что
заряженными являются и межзвездные частицы [ 439]. Здесь мы ес-
тественным образом подошли к вопросу о том, имеются ли наблюда-
емые различия в рассеянии электромагнитных волн частицей, несущей
некий физически реальный заряд, и идентичной незаряженной частицей.
В работе [ 70] предпринята попытка ответить на этот вопрос, для че-
го рассмотрена задача рассеяния шаром, в которой на границе между
частицей и окружающей средой наложены условия
(Е2 - Е,) X = 0, (Н2 - Hj X = К,
Поглощение и рассеяние шаром
151
где К - плотность поверхностного тока, образуемого избыточным по-
верхностным зарядом. Если предположить, что К = стзЕ1(, гдест5 - фе-
номенологическая поверхностная проводимость, а Е1( - тангенциаль
ная составляющая поля на поверхности шара, то коэффициенты рассе-
янного поля можно найти аналогично тому, как это делается в случае
незаряженного шара. Математические выражения для коэффициентов
ряда рассеяния получить довольно легко. Трудности возникают здесь
при попытке сделать какие-либо количеств енные выводы в отсутствие
измеренных значений cts или подходящих микроскопических теорий. На
основе простой микроскопической теории свободных избыточных заря-
дов на поверхности в [ 70] показано, что поверхностные заряды на ме-
таллических частицах, малых по сравнению с длиной волны, почти не
влияют на сечение экстинкции. Однако для полного объяснения рассе-
яния заряженными частицами требуется достаточно хорошее описание
величины ст . Пока же мы будем предполагать (в отсутствие доказа-
тельства обратного), что поверхностные заряды на частице лишь незна-
чительно изменяют ее рассеивающие и поглощающие свойства.
4.5. ПАРАМЕТР АСИММЕТРИИ И ДАВЛЕНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ
Параметр асимметрии, определенный в разд. 3.4 как среднее зна-
чение косинуса угла рассеяния, в общем случае зависит от состояния
поляризации падающего света. Между тем параметр асимметрии для
сферической частицы, очевидно, не зависит от поляризации и дается
формулой
k2Csca<COS0> = irjjjis,!2 + \S2\2)pdp,
где ц = cos в и
l5il2 + |S2|2 = Е Е t \ 2(т \ ггд"+ VX)(vm + +
« m «(« + 0 т\т + О
+ (a„b* + a*mb„)(r„-rrm + 1гит„)].
Поэтому, чтобы найти параметр асимметрии, необходимо вычислить
интегоалw
= Г (тл + dp, Т™ = С (т„тт + wm)p dp.
•'-1 •'-1
Первый из этих интегралов можно записать в виде
152
Глава 4
Т(1>= Г1^Р' + Pm^S-)cOS0rf0
7"m Jo [ dff " m dff /
и проинтегрировать по частям, что дает
Г(1) = 8 2л(л+1)
лпт пт 2Л + 1 ’
где мы воспользовались ортогональностью /^(формула 4.7). Из (4.48)
следует, что тптт 4- тгптгт - четная функция ц, если т + п четно. По-
этому обращается в нуль, если только не выполнено равенство
т= п + р, где р = 1. 3, ... . Воспользовавшись рекуррентными соотно-
шениями
Т„ = Л?Гя+| - (п + l)pw„, т„ = П[17Г„ - (л + l)w„_ i t
можно показать, что
_____тг„ л2ти+1 (л + I)2
" л(л + 1) (л + 1)(2л + 1) л(2л + 1)
. ”4+1 , (” + о2 я
" л(л + 1) (л + 1)(2л +1) л(2л + 1)
откуда с учетом (4.24) и (4.26) следует
2п2(п 1)(п +2)2 _ д
1------------ , если т- п+ 1,
(2П 4-1)(2га 4- 3)
2)=
лпт
2nUf 1)2(л-1)2 ,
----------------—, если т = п - 1,
(2П + l)(2n-1)
О, если т п ± 1.
Csca<COS 0) = -^ Е
Поэтому для параметра асимметрии находим
П(<п + }^ Re(a”a*+ I + Ь„Ь*+1) +
п + 1
п
2л + 1
л(л + 1)
Rt{anb*}
цение и рассеяние шаром
153
Помимо энергии свет несет импульс, в силу чего пучок при взаимодей-
ствии с частицей действует на эту частицу с некоторой силой, называ-
емой радиационным давлением или давлением излучения. Поток импуль-
са плоской однородной волны, имеющей фазовую скорость v, равен S/y.
Если рассмотреть тетерь пучок света как поток фотонов, то приемлемым с фи-
зической точки зрения является утверждение о том, что фотоны, по-
глощаемые частицей, полностью передают свои импульсы частице и по-
этому действуют на нее с силой в направлении распространения. Если
интерпретировать Cabs как эффективную площадь поглощения, то им-
пульс, передаваемый частице, пропорционален Cabs , где /г - интен-
сивность падающего пучка. Будем теперь рассматривать Csca как эф-
фективную площадь рассеяния. Фотоны, падающие на эту площадь, ис-
пытывают упругое рассеяние с некоторым угловым распределением по
0; при этом результирующая скорость передачи импульса в направле-
нии распространения пропорциональна ^Csca(l - < cos0>). В резуль-
тате полная скорость передачи импульса частице оказывается пропор-
циональной _ (-sca< c°s0> ), и можно определить эффектив-
ность давления излучения как
Spr = QeM - <?sca<COS в).
Приведенный выше вывод формулы для эффективности давления
излучения является эвристическим. Строгий ее вывод, впервые про-
деланный Дебаем [ 1231, требует интегрирования тензора натяжений
электромагнитного поля по сфере, окружающей частицу.
4.6. РАДИОЛОКАЦИОННОЕ СЕЧЕНИЕ
ОБРАТНОГО РАССЕЯНИЯ
Автор работы [3261 назвал определение радиолокационного сече-
ния обратного рассеяния "неуклюжим по своей сути". Мы вполне со-
гласны, что оно неуклюже, однако не считаем, что оно является тако-
вым по своей сути. В настоящее время есть несколько определений,
но ни одно из них не способно дать ясного представления о физичес-
ком смысле этого понятия. Пожалуй, наиболее четкое определение да-
но в [ 37], которое мы здесь и приводим. Рассмотрим произвольную
частицу, на которую падает пучок с интенсивностью I. , поляризован-
ный в направлении оси х. Из рассуждений, приводящих к формуле (3.26),
следует, что величина | Х(0, <р) |2/к2 - это количество энергии, рас-
сеянной в единичный телесный угол около некоторого направления
154
Глава 4
(в, <р), где X - векторная амплитуда рассеяния для этой частицы. Рас-
смотрим теперь гипотетический изотропный рассеиватель, облучае-
мый тем же пучком, для которого векторная амплитуда рассеяния Xiso
не зависит от направления и полагается равной амплитуде рассеяния
интересующей частицы в направлении назад (е = 180°); Xiso= Х(180°).
Полная энергия IFsca, рассеянная гипотетической частицей во всех на-
правлениях, есть
/,4tt|X1so|2 Zf4ir|X(180°)|2
sca к2 к2
Тогда сечение обратного рассеяния определяется соотношением
Z,4*r|X(180°)|2
''sea ^2
4тг|Х(180°)|2
°Ь~ к2
(4-82)
Именно наличие в (4.82) множителя 4п затрудняет интерпретацию аь.
Если бы не этот множитель, то величина аь была бы просто дифферен-
циальным сечением рассеяния в единичный телесный угол около на-
правления назад. Действительно, из (3.14) и (3.21) видно, что сигнал,
принимаемый приемником с углом зрения AQ, пропорционален
1.AQ| Х(е, <р) |2 /к2 для любых углов рассеяния. Помимо указанных
трудностей интерпретации традиционное определение приводит и к па-
радоксу: сечение обратного рассеяния малого по сравнению с длиной
волны шара оказывается больше, чем полное сечение рассеяния (разд. 5.1).
На первый взгляд может показаться, что часть больше целого!
Традиционное определение радиолокационного сечения обратного
рассеяния четко формулируется в нескольких словах: оно в точности
равно значению обычного сечения, умноженному на 4тг. Поэтому мы
рекомендуем читателю мысленно зачеркивать множитель 4тг в (4.82)
и воспроизводить его лишь тогда, когда это необходимо.
Для шара из формул (3.22), (4.48) и (4.74) имеем
|X(I80°)|2 = (S2(180°)|2cos2<#> + |S1(I80°)|2sin24>,
S2(180°)= -S1(180°) = iE(2« + l)(-l)"(e„-Z>„).
п
Поэтому эффективность обратного рассеяния Qb есть
Поглощение и рассеяние шаром
155
= = Е(2л + 1)( —1)”(а„ - Ь„)
В [ 326] дан качественный вывод для предельного значения Qb
при х -»о®, который привлекает своей простотой, и его стоит здесь
повторить. Рассмотрим шар радиусом а, который мы считаем большим
по сравнению с длиной волны, так что справедливо приближение гео-
метрической оптики (подробности см. в гл. 7). Шар обладает
достаточно сильным поглощением, так что все лучи, которые не отра-
зились от первой границы раздела, поглощаются внутри шара. Таким
образом, рассеяние (исключая дифракционный пик в направлении впе-
ред, который не дает вклада в сечение обратного рассеяния) является
всецело результатом отражения. Рассмотрим все отраженные лучи, ко-
торые заключены внутри конуса с половинным углом раствора 2 0 око-
ло направления назад, где 0<< 1; на рис. 4.10 этот угол показан в
увеличенном масштабе. Вся энергия A^sca, рассеянная в телесный
угол AQ = тг(2 0)2, образуется за счет отражения падающих лучей с
углами падения, лежащими в интервале от 0 до 0. Поскольку угол 0
мал, эта рассеянная энергия приближенно равна Д JFsca= £тта202/?(О°),
РИС. 4.10. Обратное рассеяние большим шаром в приближении геометричес-
кой оптики.
156
Глава 4
где 7?(0°) - отражательная способность при нормальном падении (2.58).
Следовательно, сечение обратного рассеяния дается формулой
=
дя
= 7га2Л(0°)Л,
и эффективность обратного рассеяния имеет предельное значение
lim Qb = Д(0°). (4.83)
Этот удивительно простой результат из-за специфического опреде-
ления величины Qb дает меньшее значение, чем можно было ожидать.
Содержащиеся в [1261 расчеты эффективности обратного рассеяния
для больших металлических шаров подтверждают это предельное зна-
чение для Qb. Подчеркнем, что формула (4.83), по-видимому, верна
только в случае шара, обладающего поглощением, достаточным для то-
го, чтобы внутренние отраженные лучи не давали вклада в обратное рас-
сеяние. Это в свою очередь значит, что для данного х (конечно, при ус-
ловии х >> 1) Я(0°) будет тем ближе к точному значению, чем больше
коэффициент поглощения; вычисления, выполненные в [224], находят-
ся в согласии с этим утверждением.
Несколько любопытных радиолокационных приложений рассмотре-
но в книге Иствуда "Радиолокационная орнитология" [ 138] , в кото-
рой можно найти измеренные на длине волны 3 см сечения обратного
рассеяния для голубей, скворцов, воробьев и одновременно результа-
ты вычислений для "эквивалентных" сферических птиц из воды. По-ви-
димому, теория Ми имеет достаточно широкую область применений
и охватывает неожиданно большое разнообразие объектов.
4.7. ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
При температурах выше абсолютного нуля частицы могут испускать
электромагнитное излучение, так же как и поглощать или рассеивать
его. Тепловое излучение, строго говоря, выходит за рамки ограниче-
ний, установленных в гл. 1. Оно ближе к такому явлению, как люминес-
ценция, нежели упругое рассеяние. Однако, поскольку между излуче-
нием и поглощением существует определенная связь, а также потому,
что излучение может быть важным механизмом охлаждения частиц,
по-видимому, целесообразно рассмотреть, по крайней мере вкратце,
тепловое излучение шара.
Рассмотрим полость с размерами, намного превышающими любую
из рассматриваемых длин волн, которая является непрозрачной, а в
Поглощение и рассеяние шаром
157
остальном произвольной как по форме, так и по своему составу (рис 4.11).
Если в этой полости поддерживается постоянная абсолютная температура Т,
то поле равновесного излучения будет изотропным однородным и непо-
ляризованным (хорошее изложение вопроса о равновесном излучении в
полости можно найти в работе [ 3931). Количество излученной энергии
в любой точке, приходящееся на единичный интервал частот и заключен-
ное в единичном телесном угле около любого направления, которое пе-
ресекает единичную площадку, ориентированную нормально по отноше-
нию к этому направлению, в единицу времени, дается функцией Планка
___________1_________
е 4тг3с2 exp (hm/kp Т — 1
где К = &/(2тт), h - постоянная Планка, с — скорость света в вакууме,
а кв - постоянная Больцмана. Величину Уе (или другое аналогичное вы-
ражение) иногда называют функцией распределения излучения черного
тела. Между тем физический смысл функции Планка состоит в том, что
она дает распределение излучения, находящегося в равновесии с веще-
ством, и не требует для своего объяснения привлечения гипотетических
"абсолютно черных" тел. В самом деле, как мы увидим ниже, жесткая
приверженность к понятию идеального поглотителя приводит лишь к не-
нужному парадоксу в случае малых частиц.
Если в полости поместить сферическую частицу, то в равновесии
распределение излучения не изменится. Можно представить себе, что
частица окружена сферической поверхностью радиусом R, где R на-
много больше радиуса частицы а, каждый элемент dS которой явля-
ется источником почти плоской волны с интенсивностью S^dS/R2 , облучаю-
щей частицу (рис. 4.11). Поэтому количество энергии, поглощаемой частицей
в единицу времени, равно
оо j с °°
О S
В равновесии полная мощность, излучаемая частицей, должна быть рав-
на поглощаемой мощности, так что
оо оо
jIFedw=4nJ ?Cabsdco. (4.84)
о о
Величина W представляет собой мощность, приходящуюся на единичный
интервал частот, которая вследствие симметрии излучается равномерно
158
Глава 4
РИС. 4.11. Полость, сферическая частица и поле излучения в термодинами-
ческом равновесии.
во всех направлениях. Определим излучательную способность е как от-
ношение мощности излучения частицы к мощности излучения, соответ-
ствующей функции распределения Планка:
Из (4.84) и (4.85) следует, что
J^ebs ~ е)(/ш= °- (4.86)
О
Достаточным условием для выполнения равенства (4.86) является соот-
ношение
с*. -«. (4-87’
которое можно интерпретировать как закон Кирхгофа для излучения и по-
глощения произвольной сферической частицей. Однако для сохранения
Поглощение и рассеяние шаром
159
энергии частицы условие (4.87) не является необходимым: избыток из-
лучения по сравнению с поглощением на одних частотах может быть
уравновешен избытком поглощения по сравнению с излучением на дру-
гих частотах. Чтобы показать, что (?abs = е является и необходимым
условием, следует привлечь принцип детального равновесия, подроб-
ное обсуждение которого выходит за рамки данной книги. Однако, го-
воря кратко, Детальное равновесие есть следствие обратимости време-
ни и требует, чтобы вероятность любого процесса была равна вероят-
ности обратного процесса [ 393]. Длинный и строгий вывод соотношения
(4.87) дан в [260], где решены уравнения поля для однородного изотер-
мического шара с флуктуирующей электрической поляризацией.
Соотношение (4.87) было получено в предположении строгого термо-
динамического равновесия между частицей и окружающим полем излу-
чения, т.е. частица, имеющая температуру Т, помещена в поле излуче-
ния, характеризуемое той же температурой. Между тем почти всегда
нас интересует применение (4.87) к частицам, которые не находятся
в термодинамическом равновесии с окружающим излучением. Так, на-
пример, если механизмы переноса энергии являются только излучатель-
ными, то частица, освещаемая Солнцем или другой звездой, приобре-
тает постоянную температуру, когда излучение и поглощение сбалан-
сированы; однако установившаяся температура частицы, вообще гово-
ря, не будет такой же, как у звезды. Справедливость закона Кирхгофа
для тела в неравновесном окружении является предметом споров. Вмес-
те с тем из обзора [ 28] и цитированной там литературы следует, что
вопросы относительно справедливости закона Кирхгофа есть просто ре-
зультат различия в определениях излучения и поглощения, и мы вправе
пользоваться формулой (4.87) для частиц, подверженных облучению про-
извольного вида.
Нам придется иногда сталкиваться со сферическими частицами с
эффективностями поглощения, превышающими (иногда намного) едини-
цу (см., например, гл. 12). Однако если Qabs может быть больше еди-
ницы, то и излучательная способность может быть больше единицы, а
это наносит сильный удар по глубоко укоренившимся предрассудкам, ка-
сающимся верхнего предела, которого может достигать истинная излу-
чательная способность; на первый взгляд тот факт, что излучательная
способность больше единицы, означает, что частица излучает больше,
чем "абсолютно черная частица". Но что такое "абсолютно черная час-
тица"? Общепринятое определение абсолютно черного тела состоит в
том, что это тело поглощает весь падающий на него свет. Ключевые
слова здесь выделены курсивом; понятие света, геометрически пада-
160
Глава 4
ющего на тело, является геометрооптическим, и оно теряет свою си-
лу для частиц с размерами, сравнимыми или меньшими, чем длина
волны. На это было указано еще Планком [ 370], который писал, что
"при дальнейшем анализе будем предполагать, что ... радиусы кривиз-
ны всех рассматриваемых поверхностей велики по сравнению с длина-
ми волн имеющихся лучей". Согласно [ 28], Кирхгоф тоже отдавал себе
полный отчет в ограниченности своего вывода. К сожалению, как это
часто бывает в физике, каждый новый автор все больше отходит от пер-
воисточника теории и склонен упускать тонкости, касающиеся ее при-
менимости. Когда "парадокс" рано или поздно разрешается, камни по-
чему-то летят в теорию, тогда как истинной мишенью для них являют-
ся те, кто огульно использует ее, находясь в состоянии блаженного
неведения относительно налагаемых на эту теорию ограничений.
В разд. 7.1 будет показано, что эффективность поглощения, а сле-
довательно, и излучательная способность достаточно большого поглощаю-
щего шара не превышают единицы. Таким образом, в случае, когда ра-
диус шара очень велик по сравнению с длиной волны, определение излу-
чательной способности частицы (4.85) согласуется с элементарными
представлениями об излучательной способности тела. Интересно так-
же отметить, что если частицы, имеющие по отдельности излучатель-
ную способность больше единицы, нанесены на большую подложку, то
результирующая излучательная способность этой сложной системы не
превышает единицы.
4.8. РАСЧЕТ КОЭФФИЦИЕНТОВ РАССЕЯННОГО ПОЛЯ
И СЕЧЕНИЙ РАССЕЯНИЯ
Может показаться, что получение количественных результатов из
теории Ми представляет собой простую задачу: нужно только рассчитать
коэффициенты ряда рассеяния ап и Ьп , а также определяющие угло-
вую зависимость функции ттп и тп, после чего просуммировать ряды
(4.61) и (4.62) для сечений и ряды (4.74) для элементов амплитудной мат-
рицы рассеяния. Однако число членов, требуемых для достижения нуж-
ной точности может оказаться чрезвычайно большим: грубое правило
состоит в том, что достаточно х членов (см.; например, табл. 4.1). По-
этому, если бы мы захотели исследовать радугу - наблюдаемое визу-
ально явление рассеяния, знакомое каждому, исключая, быть может,
обитателей пустыни Атакама, - то в предположении, что радиус водя-
ной капли составляет 1 мм, потребовалось бы просуммировать около
12 000 членов. Ясно, что для такого расчета не достаточно лишь терпе-
ния, карандаша, блокнота и карманного калькулятора. Даже для час-
тиц меньших размеров объем вычислений может оказаться неимоверно
большим. Фактически до появления быстродействующих ЭВМ расчеты
Поглощение и рассеяние шаром
161
рассеяния были трудоемкими, изнурительными и отнимали много вре-
мени; литература по рассеянию еще десять лет назад в основном сос-
тояла из статей, в которых были представлены численные результаты
для частных случаев- Хотя ЭВМ могут существенно сократить время,
требуемое для суммирования рядов, тем не менее остаются трудности,
связанные с вычислением самих коэффициентов ряда рассеяния. Дело
в том, что ап и Ьп выражаются довольно сложным образом через сфе-
рические функции Бесселя и их производные, аргументы которых, вооб-
ще говоря, комплексны. К счастью, функции Бесселя удовлетворяют
простым рекуррентным соотношениям (4.11) и (4.12), и, кроме того, для
первых нескольких порядков они выражаются через элементарные три-
гонометрические функции. Поэтому может показаться заманчивым про-
движение вперед по пути вычисления функций Бесселя произвольного
порядка из функций двух предшествующих порядков, начиная с п =2.
Такой путь и в самом деле мог бы оказаться возможным, будь в нашем
распоряжении идеальная вычислительная машина. Однако ничто не со-
вершенно в этом мире, и ошибки округления, связанные с неизбежным
представлением числа с бесконечным количеством цифр другим числом
с конечным числом цифр, могут накопиться до такой степени, что при-
ведут к неверным результатам. В настоящее время не существует еди-
ного мнения относительно условий, при которых накопление ошибок
округления может стать проблемой; вероятнее всего, это связано с тем,
что в вычислительных машинах разных типов различно число разрядов, что
в большинстве своем исследователи обычно интересуются конкрет-
ными значениями размеров и оптических характеристик, а также с при-
сущей человеку слабостью делать обобщения на основе ограниченного
опыта. В то же время, по-видимому, все согласятся с тем, что форма
записи (4.56) и (4.57) для коэффициентов рассеянного поля не являет-
ся самой подходящей для расчетов.
Аден [ 11], очевидно, первым ввел логарифмическую производную
Л(р) = ^1п'/'п(р)
в связи с расчетами коэффициентов ряда рассеяния для шара. В резуль-
тате выражения (4.56) и (4.57) можно записать в виде
а - (тх)/т + п/х]ф„(х) - ^„-[(х)
[.Dn(mx)/W + п/х]£„(х) - £и_,(х) ’
г , (4-88)
ь [тР„(тх) + и/х]ф„(х) - фи_,(х)
[mD„(mx) + п/х]1„(х)-^^х) ’
Л-205
162
Глава 4
где мы воспользовались рекуррентными соотношениями
, /ч ^„(х) ,,, х г ( \ п^х)
^п(х) = ^n-i(x)------—, $„(х) = $Л_1(х)------—
с тем чтобы исключить производные и . Соотношения (4.88) пред-
ставляют собой просто одну из многих возможных форм записи коэф-
фициентов ряда рассеяния, более удобную для расчетов. Логарифмичес-
кая производная удовлетворяет рекуррентному соотношению
_ п_______1
л_’ ~ Р D„ + n/p ’
являющемуся следствием рекуррентных соотношений (4.П) и (4.12).
Возможны две схемы вычисления Dn(mx) в (4.88): прямая рекур-
сия (более высокие порядки получаются из более низких порядков) и
обратная рекурсия (более низкие порядки получаются из болев высо-
ких порядков). В [ 262] показано, что Dn устойчиво по отношению к об-
ратной рекурсии. Другими словами, если еп - ошибка в определении Dn)
то ошибка в определении величины Dn , найденной из (4.89), такова,
что 1еп-11<< I еп I • Следовательно, начиная с оценки для Dn, где п
больше, чем число членов, требуемых для сходимости, с помощью об-
ратной рекурсии последовательно можно получить более точные оценки
для логарифмических производных более низкого порядка. Устойчивость
обратной рекурсии для Dn есть следствие устойчивости обратной ре-
курсии для сферических функций Бесселя [ 6]. Но /„ - одно из двух линейно
независимых решений дифференциального уравнения второго порядка
(4.8); другое решение уп удовлетворяет тем же рекуррентным соотно-
шениям, что и j , но оказывается устойчивым по отношению к прямой
рекурсии. Если начать с /0 и jt, то с помощью прямой рекурсии можно
последовательно вычислить точные значения /п, но лишь до определен-
ного предела. Каков Этот предел, зависит от точности ЭВМ, однако, как
бы ни была высока ее точность, схема прямой рекурсии для /п в кон-
це концов должна привести к неудаче. По отношению к прямой рекурсии
устойчивой является функция уп, и применение любой такой схемы долж-
но в конечном счете привести к устойчивому результату независимо от
того, с чего была начата рекурсия.
В свете вышеизложенного становится ясным, что наиболее эконом-
ный метод расчета коэффициентов ряда рассеяния состоит в вычисле-
нии Dn и /п по схеме обратной рекурсии, а уп - по схеме прямой ре-
Поглощение и рассеяние шаром
163
курсии (напомним, что ц>п = р/п и £’= р/п + ipyn). Однако в отсутст-
вие необходимости вычислять коэффициенты ряда рассеяния в количест-
ве, большем, чем это нужно для достижения требуемой точности для
сечений, такая схема может оказаться не обязательной. Иногда прихо-
дится сталкиваться с утверждением, что коэффициенты ряда рассея-
ния можно всегда рассчитать с использованием только прямой рекур-
сии. Это может быть действительно так для шаров со слабым или уме-
ренным поглощением. Если же поглощение велико (разумным критери-
ем здесь является, видимо, kjx> 80), то, следуя [ 115], мы убедились,
что удовлетворительная в остальных отношениях программа с исполь-
зованием прямой рекурсии приводит к отрицательным значениям сече-
ний. Поэтому расчеты в данной книге были выполнены на основе про-
граммы, в которой Dn(mx) вычисляется по схеме обратной рекурсии,
а £п{х} и yn(x) - по схемё прямой рекурсии. Мы не утверждаем, что
эта программа, подробное изложение которой приведено в приложении
А, обеспечивает наиболее точное и быстрое вычисление коэффициен-
тов ряда рассеяния, но она вполне удовлетворила наши скромные по-
требности. Недостаток схемы обратной рекурсии заключается в том,
что сначала приходится вычислять и запоминать все коэффициенты ря-
да рассеяния, а потом суммировать ряды для матричных элементов и
сечений. Что касается прямой рекурсии, то здесь коэффициенты ряда
рассеяния вычисляются и последовательно прибавляются к частичным
суммам рядов, вследствие чего требования к объему памяти обычно
намного ниже, чем для обратной рекурсии. Однако по мере совершенст-
вования ЭВМ проблемы, связанные с памятью, становятся все менее
острыми.
В недавних работах [511, 512] тщательно рассмотрены проблемы,
встречающиеся при вычислении коэффициентов ряда рассеяния, и пред-
ложены методы существенного повышения быстроты таких вычислений.
Предостережение. Даже если Вп и jn вычисляются путем обрат-
ной рекурсии, а ул — путем прямой рекурсии, причем с максимально
достижимой точностью самых крупных современных ЭВМ, то и тогда
по неосторожности можно напороться на подводные камни в неиссле-
дованных областях пространства параметров т - х.
ЗАМЕЧАНИЯ И КОММЕНТАРИИ
В интересном историческом обзоре [295] имеются ссылки на мно-
жество ранних статей по рассеянию шаром.
Наиболее подробное описание экстинкции атмосферными частица-
ми, ответственными за голубые тона Солнца и Луны, широко наблюдав-
164 Глава 4
шиеся в сентябре 1950 г., было дано Вильсоном [510]. Впоследствии
результаты Вильсона и других авторов были тщательно проанализиро-
ваны [ 357]. Позднее [ 374] на основе наблюдений, выполненных на боль-
ших расстояниях, был сделан вывод, что посинение является довольно
распространенным свойством фонового (т.е. не городского происхож-
дения} аэрозоля. Элементарный анализ голубой Луны, а также спосо-
бы ее демонстрации с помощью сигаретного дыма, приведены в рабо-
те 166].
Бриллюэн [ 78] рассмотрел парадокс экстинкции более подробно,
чем это сделано нами в этой главе. В работе [ 76] выведено правило
сумм (4.81) в предположении постоянного показателя преломления и в
рамках приближения аномальной дифракции ван де Хюлста [ 488].
Глава 5
Частицы, малые по сравнению
с длиной волны
Если интересоваться рассеянием и поглощением только шарами,
то ничего, кроме теории Ми, для этого не требуется. Строго говоря,
в этом случае не нужны никакие приближения, поскольку в нашем
распоряжении имеется точная теория. При наличии достаточного вре-
мени подходящая программа позволяет получить на ЭВМ сечения и
элементы матрицы рассеяния для произвольного шара. Однако физи-
ка - это больше, чем полубесконечные бумажные ленты на выходе
ЭВМ, и нет никакой необходимости уничтожать громадные лесные
массивы только для того, чтобы немного разобраться в рассеянии и
поглощении малыми частицами. По существу, огромные кипыж бумаги,
расходуемые на вычисления, часто лишь скрывают физику явлений,
которая может оказаться очень простой. Чтобы лучше в ней разобрав
ться, стоит рассмотреть приближенные выражения, справедливые в
некоторых предельных случаях. Они не только позволяют ускорить
расчеты и обойти вопросы о сходимости рядов, плохом поведении функ-
ций Бесселя и количестве значащих цифр, но и прелагают дорогу при-
ближенным методам, пригодным для описания задач ,• точное решение
которых неизвестно.
5.1. ШАР. МАЛЫЙ ПО СРАВНЕНИЮ С ДЛИНОЙ ВОЛНЫ
Степенные разложения сферических функций Бесселя имеют вид
[15]
1 • 3 • 5 • •• (2я + 1)
—1Р_____ +
1!(2я + 3)
Gp2)2
2!(2и + 3)(2я + 5)
(5-1)
166
Глава 5
Ул(р) =
1 • 3 • 5 • • • (2л - 1)
_____2Р______ +
1!(1 - 2и)
, (iP2)2
21(1 - 2л)(3 - 2л)
(5-2)
Разложим функции, входящие в коэффициенты ряда рассеяния «п и Ь ,
в степенные ряды и сохраним лишь несколько первых членов. Из
(5.D и (5.2) имеем
^i(P) = J-^> Wp) “-у - уу»
ii(p) = ~ - у + у, ii(p) + (5-3)
^2(р) = ^у ^(р) = у,
«2(р)= --2, «'2(р)=4-
р р
Мы сохранили в разложениях (5.3) число членов, достаточное для обес-
печения в коэффициентах ряда рассеяния точности до членов порядка
х6. Первые четыре коэффициента, полученные таким образом, равны
= _ ;2х3 т2 - 1 _ Их5 (nt2 - 2)(л12 - 1)
1 3 т2 + 2 5 (w2 + 2)2
ix5
-^(т2-1) + О(х2),
Ь2 = О(х2),
Частицы, малые по сравнению с длиной волны
167
где магнитная проницаемость шара положена равной проницаемости
окружающей среды. Разложения для коэффициентов ряда рассеяния
более высокого порядка содержат члены порядка х7 и выше. Если
| тп| х « 1, то | bj | « | a j |; при этом предположении элементы ампли-
тудной матрицы рассеяния с точностью до членов порядка х3 равны
= jOj, S2 = 2fllcOS0,
i2x3 т2 - 1
Oi — л I
з т2 + 2
(5.4)
Соответствующая матрица рассеяния с точностью до членов порядка
х6 имеет вид
1 i(l + cos2#) ^(cos2# — 1) 0 0
9|Д, I2 |(cos2# - 1) 1(1 + cos2#) 0 0
4k2r2 0 0 cos# 0
0 0 0 cos#
(5-5)
Если падающий свет интенсивностью 1( не поляризован, то рассеянная
интенсивностьIs равна
8тт^а6
\4г2
т2 - 1
т2 + 2
2
(1 + cos2#)/,.
(5-6)
Следовательно, если величина | (т2 - 1),/(тп2 + 2)|2 слабо зависит от
длины волны (это не всегда так), то интенсивность рассеяния малым
по сравнению с длиной волны шаром (а фактически любой достаточно
малой частицей произвольной формы) пропорциональна 1,А4. Такое
рассеяние часто называют рэлеевским рассеянием, и мы будем охотно
придерживаться этой терминологии в дальнейшем. Однако имеются и
противники того, чтобы связывать имя Рэлея с малыми частицами,
если они не толвко рассеивают, но и поглощают свет. Это объясняется
тем, что Рэлей, видимо, не рассматривал поглощающие частицы. Тем
Не менее мы будем приписывать название "рэлеевское" рассеянию
малыми частицами из соображений удобства, даже если этому термину и
Не достает строгой исторической точности. Мы не следовали истори-
ческому пути при выводе закона рассеяния 1,/Х4, а просто рассмот-
рели лредельный случай в теории Ми. Между тем сам по себе вы-
168
Глава 5
вод Рэлея [389] очень прост, и представляется целесообразным
воспроизвести его здесь и показать, как много можно получить при
весьма малых затратах сил.
"Закончив с поляризацией, рассмотрим теперь, как меняется ин-
тенсивность рассеянного света при переходе из одной части спектра в
другую при условии, что все частицы во много раз меньше длины волны
даже фиолетового света. Этот вопрос допускает аналитическое рассмот-
рение, однако, прежде чем к нему приступить, по-видимому, стоит пока-
зать, как основной результат может быть предвосхищен из соображений
размерностей входящих величин.
Цель состоит в том, чтобы сравнить интенсивности падающего и рас-
сеянного лучей, ибо они, очевидно, будут пропорциональны. Число i, вы-
ражающее отношение их амплитуд, является функцией следующих вели-
чин: объема Т возмущающей частицы; расстояния г от частицы до точки
наблюдения; длины волны X; скорости распространения света Ь; исходной
и возмущенной плотностей D и D ’ (параметр плотности эфира, который
все еще был в ходу во времена Рэлея, соответствует диэлектрической
проницаемости [ 4811). Первые три величины зависят только от простран-
ственной переменной, четвертая — от пространственной переменной и
времени, тогда как пятая и шестая вводят в рассмотрение массу. Других
параметров задачи нет, вспи не считать просто чисел и углов, которые
не зависят от основных измерений пространства, времени и массы. От-
ношение i , которое мы ищем, не содержит размерности массы, откуда
сразу следует, что D и D ' входят в виде D : D ’, что является просто
числом и потому может быть опущено. Остается найти, как i меняется
с Т, г, X и Ь.
Далее, среди этих величин лишь Ь зависит от времени, а поскольку
i не содержит размерности времени, то Ь не может входить в выраже-
ние для него. Таким образом, у нас остались Т, г и Л, а на основе того,),
что нам известно по данному вопросу, можно быть уверенными, что i ме-
няется прямо пропорционально Т и обратно пропорционально г и потому
должно быть пропорционально Т 4Л2г, где Т определяется как произве-
дение трех пространственных координат. При переходе из одной части
спектра к другой единственной меняющейся величиной является Л, и мы
приходим к важному закону:
При рассеянии света частицами, очень малыми по сравнению с дли-
нами волн, отношение амплитуд колебаний рассеянного и падающего све-
та меняется обратно пропорционально квадрату длины волны, а отноше-
ние самих интенсивностей света — обратно пропорционально четвертой
степени”.
Соотношение (5.6) относится к падающему неполяризованному свету;
важно помнить, что угловое распределение рассеянного света зависит
от поляризации падающего света:
Частицы, малые по сравнению с длиной волны
169
1 cos20 4А2г2 Падающий свет поляризов ан параллельно плоскости рас- сеяния.
11 = 4А2г2 Падающий свет поляризован перпендикулярно плоскости
’ = 4-0.1+ «J рассеяния. Неполяризов анный падающий свет.
Угловое распределение рассеянного света (нормированное к направ-
лению вперед) при падении света, поляризованного параллельно и пер-
пендикулярно плоскости рассеяния, а также неполяризованного све-
та показано на рис. 5.1; приведены графики как в линейном масшта-
бе, так и в полярных координатах.
Если падающий свет имеет 100%-ную поляризацию, то рассеян-
ный свет будет поляризован аналогично. Однако поскольку свет
двух различных поляризаций рассеивается по-разному, то при паде-
нии неполяризованного света рассеянный свет будет частично поля-
ризованным. Из (4.78) имеем
Р _ 1 - COS20
1 + COS20 ’
где степень поляризации рассеянного света при условии, что падает
неполяризованный свет, равна | Р| (рис. 5.2). Величина Рвсегда поло-
жительна, поэтому рассеянный свет является частично поляризо-
ванным перпендикулярно плоскости рассеяния. Если на достаточно
малый шар падает неполяризованный свет, то рассеянный свет имеет
100%-ную поляризацию под углом рассеяния, равным 90°. Это анало-
гично полной поляризации при отражении неполяризованного света,
падающего на плоскую границу раздела под углом Брюстера (разд. 2.7).
Отметим, что Р не зависит от размера частицы, как и функции
’н(0) и jj(0); от размера зависят абсолютные значения рассеянной
интенсивности (как квадрат объема), однако измерить абсолютные
интенсивности затруднительно. Поэтому по измерениям рассеяния
нельзя легко определить радиус малых шаров; в этом смысле все ма-
лые шары одинаковы.
170
Глава 5
РИС. 5.1. Угловое распределение (нормированное) свата, рассеянного малым
по сравнению с длиной волны шаром: падающий свет поляризован параллельно
(— — — —) и перпендикулярно ( " • ---) плоскости рассеяния; ( ——) не-
попяризоаанный рассеянный свет.
Частицы, малые по сравнению с длиной волны
171
РИС. 5.2. Степень поляризации саета, рассеянного малым по сравнению с
длиной аопны шаром а спучаа неполяризоаанного падающего саата.
Эффективности экстинкции, рассеяния и радиолокационного рас-
сеяния (с точностью до членов порядка х4) равны
2ext = 4xlm/^—
I т2 + 2
х2 / /и2 - 1 \ /и4 4- 21т2 4- 38
15 \ т2 + 2 / 2т2 + 3
+ -|x4Re
т2 - 1
т2 + 2
(5-7)
(5.8)
(5-9)
Qb = 4х4
т2 - 1
т2 + 2
а эффективность поглощения есть Qext -Qsca. Если |m|x« 1,
то коэффициент (в квадратных скобках) при {т2 - 1\/(т2 + 2) в первом
слагаемом в (5.7) приближенно равен единице; при этом ограничении
эффективность поглощения имеет вид
172
Глава 5
Gabs = Im( —--------
I m2 + 2
, 4х3 f m2 - 1
1 г—Im<—
3 1 m2 + 2
(5.Ю)
Тогда при (4х3,/3)1т((тп2 - l),/(m2 + 2)1 « 1, что выполняется для
Достаточно малых х, эффективность поглощения приближенно равна
Gabs = 4х Im
7Л2 — 1 )
т2 + 2)
(5.П)
В области, где формула (5.11) дает хорошее приближение, сечение
поглощения Cabs = ,na2Qabs пропорционально объему частицы.
Равенства (5.8), (5.11) и матрицу рассеяния (5.5) широко - и за-
частую необдуманно - используют в литературе. Между тем при исполь-
зовании их в расчетах нужно соблюдать известную осторожность.
В [ 266] исследована справедливость теории Рэлея путем вычисления
рассеянной интенсивности «|( (0°) по точным и приближенным форму-
лам для значений параметрах, лежащих в пределах от 0,01 до 0,11, и
для некоторого интервала действительной и мнимой частей т. Полу-
ченные при этом результаты ясно указывают, что для данного значе-
ния х точность теории Рэлея с ростом | тп| падает.
Если величина (т2 - 1)/(т2 + 2) слабо зависит от длины волны в
некотором интервале (это не так, например, для металлов), то для
достаточно малых частиц
Л 1 Л 1
Gabs а д > Gsca а •
Если преобладающую роль в экстинкции играет поглощение, то спектр
экстинкции меняется как 1,/Х; если же доминирует рассеяние, то
спектр экстинкции ведет себя как 1,/Х4. В обоих крайних случаях, рав-
но как и в промежуточных случаях, с уменьшением длины волны рас-
тет ее ослабление; другими словами, происходит покраснение спект-
ра падающего света после прохождения через совокупность достаточ-
но малых шаров, оптические свойства которых (п и А) не очень сильно
зависят от длины волны в представляющем интерес диапазоне.
Частицы, малые по сравнению с длиной волны
173
'I
5.2. ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
Эффективности поглощения и рассеяния малого шара (х « 1,
| « 1) могут быть записаны в виде
е, — ~ 8 .
Sabs = 4*Im £] + 2em ’ Ssca - 3 *
1
2
Е] — ет
£1 + 2еш
(5-12)
где е, и ет - диэлектрические проницаемости шара и окружающей
среды соответственно. Величина (е, + 2em) возникает и в
задаче о шаре, помещенном в однородное статическое электричес-
кое поле. Это позволяет предположить, что между электростатикой и
рассеянием малыми по сравнению с длиной волны частицами сущест-
вует связь; причины такой связи будут рассмотрены ниже.
Рассмотрим однородный изотропный шар, расположенный в про-
извольной среде, в которой существует однородное статическое элек-
трическое поле Е 0 = Е oez (рис. 5.3). Если диэлектрические проница-
емости шара и среды различаются, то на поверхности шара будут наво-
диться заряды. В результате первоначально однородное поле будет ис-
кажено из-за наличия шара. Электрические поля внутри и снаружи шара—
соответственно Et и Е2 - могут быть записаны через скалярные
потенциалы ФJr, 0)иФ2(г, 0):
Е] = - V<I>
е2 = - V<I>2,
Ео
РИС. 5.3. Шар в однородном статическом электрическом попе.
174
Глава 5
где
=0 (г < о), V^2 = 0 (г > а).
В силу симметрии задачи потенциалы не зависят от азимута <р. На
границе между шаром и средой потенциалы должны удовлетворять
условиям
Ф, = Ф2, Е1-5— = е_-5— (г = о).
1 2’ 1 dr т dr v ’
Кроме того, потребуем, чтобы
lim Ф2 = -Eorcos0 = -Eoz;
г-»оо
иными словами, на больших расстояниях от шара электрическое поле
совпадает с невозмущенным приложенным полем. Нетрудно показать,
что функции
Ф1 =-----—Eorcos0,
е1 + 2ет
ф = _£ r cos в + а3Е —______ 008 #
Ф2 E0rcosO + a £0£1 + 2б(я г2
(5.13)
удовлетворяют приведенным выше дифференциальным уравнениям в
частных производных и граничным условиям.
Рассмотрим теперь два точечных заряда: q и - q, разделенных
расстоянием d (рис. 5.4). Такую конфигурацию зарядов называют
диполем с дипольным моментом р = р\, где р = qd. Если заряды по-
мещены в однородную неограниченную среду с диэлектрической про-
ницаемостью гт, то потенциал Ф этого диполя в произвольной точке
Ресть , , ,
ф = ^_ ±_±
477Ем \ г+ г_
'•+=
г2 4г2/
Если устремить d к нулю так, чтобы произведение qd при этом оста-
валось постоянным, получим потенциал идеального диполя
Частицы, малые по сравнению с длиной волны
175
ф = P‘r = Pcos9
4тгетг2
(5-14)
Вернемся теперь к задаче о шаре в однородном поле. Из (5.13) и
(5.14) можно заметить, что поле снаружи шара есть суперпозиция
приложенного поля и поля идеального диполя, расположенного в нача-
ле координат, с дипольным моментом
а Ч е1 ет и
Р = 4™-а ^Т2^Е°-
Таким образом, приложенное поле наводит пропорциональный ему ди-
польный момент. Легкость, с которой шар поляризуется, может ха-
рактеризоваться поляризуемостью а, определяемой следующим обра-
зом:
Р =
(5-15)
а = 4тга3 — *т .
С] + 2ет
Наш анализ справедлив только для отклика шара на приложенное
однородное электростатическое поле. Между тем нас интересуют заг
Дачи рассеяния, в которых приложенное (падающее) поле является
плоской волной, меняющейся в пространстве и времени. Мы показали,
176
Глава 5
что шар в электростатическом поле эквивалентен идеальному дипо-
лю; поэтому предположим, что в вычислениях можно заменить шар идеаль-
ным диполем ci дипольным моментом ив случае, когда прило-
женное поле является плоской волной. Однако для диэлектрических
проницаемостей в (5.15) следует тогда брать не их статические зна-
чения, а значения на частоте падающей волны.
Дипольный момент р = етаЕое~*ех идеального диполя, распо-
ложенного при z = 0 и облученного х-поляризованной плоской волной
Eoexp(ikz - i<ot )ez> колеблется с частотой приложенного поля. По-
этому диполь излучает (т.е. рассеивает) электрическое поле Es [454}:
Е = Х Х ₽)’ (кГ >=> О (5Л6)
1 -ikr 4„Ет
где нами опущен временной множитель e~[ait . После некоторых пре-
образований (5.16) можно привести к виду (3.21):
e'k(r~z) v
Е' = -^7кГХ£’ Е = Е°е '
Х = £аёгХ(ёгХёх). (5.17)
Поэтому из (3.22) и (4.22) для амплитуд рассеяния имеем
„ — 1к3а - 1к3а
О1 = —, о, = —--------------cos 9,
4тт . 2 4тт
что эквивалентно (5.4). Сечения поглощения и рассеяния получаются
из (3.24) и (3.26):
Cext = klm(a) = wo24xlm
ei ~ ет
£> + 2е„
। т
(5.18)
к4 8
Csca = ^|a|2 = ^2jx4
।_____т
Б. + 2б„
I т
(5-19)
Уравнения (5.18) и (5.19) аналогичны (5.12) с единственным исключе-
нием: (5.18) справедливо только в случае, когда рассеяние мало по
сравнению с поглощением. Поэтому вместо (5.18) следует писать
Cabs = klm(a).
Частицы, малые по сравнению с длиной волны
177
Таким образом, допустимость замены малого по сравнению с длиной
волны шара идеальным диполем доказана - мы получаем правильные
выражения для элементов матрицы рассеяния и сечений. Однако, что-
бы убедиться, что это не просто счастливый случай, кратко обсудим,
почему это именно так. В любой момент времени амплитуда волны,
облучающей шар, равна Eoexp(ikz). Поэтому если х = ka « 1, то
ехр(— i к а) ~exp(i к а) »1, и поле, в которое помещен шар, в преде-
лах области, занимаемой шаром, приблизительно однородно. Заметим
также из (5.13), что поле внутри шара однородно в электростатичес-
ком случае. Однако в случае, когда внешнее поле представляет собой
плоскую волну, поле внутри шара не будет однородным, если только
не выполнено условие 2,пк1а,/Л « 1, где к1 — мнимая часть показа-
теля преломления шара. Поле меняется за характерное время поряд-
ка т = 1,/w, где w - угловая частота падающего поля. Время т*, тре-
буемое для распространения сигнала через шар, будет иметь порядок
«Hj/c, где rij - действительная часть показателя преломления ша-
ра, а с - скорость света в вакууме (мы предполагаем, что групповая
скорость совпадает со скоростью сигнала и что групповая и фазовая
скорости приблизительно равны между собой [ 454}; эти условия вы-
полняются на длинах волн, не очень близких к полосам сильного пог-
лощения). Следовательно, если падающее поле меняется,то в каж-
дую точку шара возмущение будет приходить одновременно при усло-
вии, что т* « т, или, что то же самое, Ътгг^а/К « 1. Эти два не-
равенства, содержащие действительную и мнимую части показателя
преломления, могут быть объединены в одно неравенство | т| х «1.
Соотношения (5.12) были получены из точной теории в пределе
х « 1 и | m | х « 1; эти же самые соотношения могут быть получе-
ны путем рассмотрения шара как идеального диполя с моментом,
определяемым из электростатической теории. В предыдущем абза-
це мы дали физическое оправдание такому соответствию. Между тем
форма частицы никак не входила в наши рассуждения; для произволь-
ной частицы мы просто должны интерпретировать а как некий харак-
терный размер. Поэтому задача о вычислении матричных элементов
и сечений для других частиц в электростатическом приближении сво-
дится теперь к простому, хотя в ряде случаев и громоздкому заня-
тию: достаточно воспользоваться электростатикой (теорией потен- •
Циала) для вычисления поляризуемости частицы. Таким образом, мы
12-205
178
Глава 5
имеем способ получения приближенных решений определенного клас-
са задач рассеяния, для которых точное решение неизвестно.
Хотя магнитные частицы встречаются не часто, в особенности
в видимом диапазоне длин волн, тем не менее стоит отметить, что
проведенный анализ можно было бы несколько модифицировать и
рассмотреть такие частицы, если бы в этом была необходимость. Мы
предположили, что вторичное излучение является излучением элект-
рического диполя’, однако если и ц2 существенно отличаются друг
от друга, то возникает еще излучение магнитного диполя. Момент
магнитного диполя может быть рассчитан из магнитостатической
теории, а результирующее поле этого магнитного диполя складывает-
ся с полем, излучаемым электрическим диполем (анализ излучения
магнитного диполя см. в [454]).
5.3. ЭЛЛИПСОИД В ПРИБЛИЖЕНИИ ЭЛЕКТРОСТАТИКИ
Гладкой частицей наиболее общего вида-без ребер и изломов,-
имеющей регулярную форму, является эллипсоид с полуосями
а > b > с (рис. 5.5), поверхность которого задается уравнением
а2 Ь2 с2
1.
• Задачу определения дипольного момента эллипсоида, наведенного
однородным электростатическим полем, естественно рассматривать в эл-
липсоидальных координатах (£, rj,£), определяемых соотношениями
а2 + f Ь2 + С с2 + (
а2 + ч Ь2 + ч с2 + ч
у2
----4" ---Ч—:-----
2 + f b2 + f с2 + f
- с2 < £ < 00
— Ь2 < ч < -с2
- а2 < J < -Ь2.
Поверхности § = const являются конфокальными эллипсоидами, а один
эллипсоид § = О совпадает с границей частицы. Поверхности 4 = const -
это однополостные гиперболоиды, а поверхности £ = const — двухполост-
Частицы, малые по сравнению с длиной волны
179
ные гиперболоиды. Каждой точке (х, у, z) отвечает одно семейство
эллипсоидальных координат обратное, однако, неверно.
Координаты (§, т], определяют восемь точек, симметрично располо»
женных в каждом из октантов, на которые пространство делится ося-
ми х, у, z прямоугольной системы координат:
2 (а2 + *)(а2 + ч)(а2 + О
(Ь2 - а2)(с2 - а2)
2 (е^)(ь2+т>)(^+п
(а2 — Ь2)(с2 - Ь2)
.2 = (с2 + &)(<? + ч)(с2 + О
(а2 - с2)(Ь2 - с2)
Эту неоднозначность можно устранить, введя эллиптические функ-
ции Вейерштрасса [253]. К счастью, такой радикальный шаг не явля-
ется необходимым в рассматриваемой задаче об однородном эллипсо-
иде в однородном электростатическом поле, направленном вдоль
оси z. В этом случае потенциал Ф обладает симметрией вида
180
Глава 5
Ф(х, у, z) = Ф( —х, у, z) = Ф(х, -у, z) = Ф(-х, -у, z),
Ф(х, у, -z) = Ф(-х, у, -г) = Ф(х, -у, -z) = Ф(-х, -у, -z),
(5.20)
где х, у, z положительны. Таким образом, достаточно лишь рассмот-
реть потенциал в двух октантах: в одном с положительным z и в од-
ном с отрицательным z. Кроме того, требуется, чтобы потенциал и
его производная по z были непрерывны в плоскости z = О,
Рассмотрим октант, в котором у, z положительны. Обозна-
чим потенциал внутри частицы через Ф и Потенциал Фй снаружи час-
тицы может быть представлен в виде суперпозиции потенциала Фо
внешнего поля
Фо = ^0
(с2 + О(с2 + Ч)(с2 + П]1/2
с2)(Ь2 ~ с2)
(5.21)
и возмущающим потенциалом Фс частицы. На достаточно больших рас-
стояниях от частицы возмущение потенциала пренебрежимо мало.
Отметим, что если § » а 2, то § - т 2, поэтому потребуем, чтобы
lim Ф_ = 0. (5-22)
4-00 Р
На границе частицы потенциалы должны быть непрерывны:
Ф,(0,1J, 0 = Фо(0,1?, 0 + Ф,(0, ч, 0. (5.23)
Уравнение Лапласа в эллипсоидальных координатах имеет вид
V"» - (ч - П/(0^{Д£)^} + «- «>Л»)£{л->)£}
+ -о, (5.24)
где f (q) = {(q + аа)(ч + b2)(q + с2)|Можно было бы найти полную
систему решений (5.24) и разложить потенциалы в бесконечный ряд по
эллипсоидальным гармоникам. Однако удается сократить вычисле-
ния, если принять во внимание, что, как и в случае рассеяния шефом,
вид этих разложений диктуется видом падающего (внешнего) поля и
Частицы, малые по сравнению с длиной волны
181
необходимостью удовлетворить граничным условиям (5.23). Именно в
соответствии с (5.21) постулируем, что потенциалы и Фр имеют
вид
Ф($,Ч,Г) = г($)((с2 + ч)(с2 + Г)}1/2,
где F(O в соответствии с (5.24) удовлетворяет обыкновенному диф-
ференциальному уравнению
Решение вида
Л(*) = (с2 + £)1/2, (5.26)
которое может быть проверено подстановкой в (5.25), следует из того
факта, что (5.21) удовлетворяет уравнению Лапласа. Второе линейно
независимое решение (5.25) может быть получено путем интегрирова-
ния (5.26) (см., например, [ 437]):
(5-27)
оно обладает свойством lim F2(§) = 0* Функция Ft не совместима с
требованием (5.22), поэтому возмущающий потенциал частицы есть
И, п = С2Г2(О((с2 + ч)(с2 + О)‘/2. (5.28)
где С 2 - константа. Если потенциал внутри частицы должен быть ко-
нечным в начале координат, то мы должны иметь
Ф.(€, ч, П = C,F,(f ){(с2 + Ч)(с2 + Г )}'/2, (5.29)
где Cj - константа. Таким образом, поле внутри частицы однородно и
параллельно приложенному полю. Граничное условие (5.23) дает одно
уравнение относительно констант С j и С2:
с dq -г_______________________________________
2Л (с2 + q)f(q) 1 ((a2_c2)(fc2_c2))1/2’
а требование непрерывности нормальной компоненты D на границе
182
Глава 5
раздела между частицей и средой
*Ф, = , ЭФ,
е' е” е” д(
(С = 0),
дает второе уравнение
(с2+ q)f(q)
2
abc
_________етЕ0_________
((<?-<’)(»=-е=))'Л'
Следовательно, потенциалы внутри и снаружи частицы имеют вид
! , ^з(«1 ~ eJ ’
(5.30)
abc ет - е, dq
2 ет A (c2 + q)f(q)
(5.31)
где
3 2 Jo (с2+ 9)/(9)‘
Хотя мы рассмотрели только октант с положительными xs у и z, из
(5.30) и (5.31) следует, что они являются потенциалами и в соседнем
октанте с отрицательным z. Более того, восьмикратное вырождение
эллипсоидальных координат подразумевает, что условия (5.20) выпол-
нены. Таким образом, (5.30) и (5.31) дают потенциал во всех точках
пространства; столь удачный результат является следствием того,
что частица имеет ту же симметрию, что и эллипсоидальные координа-
ты. Для менее симметричных частиц понадобилось бы рассматривать
задачу октант за октантом.
На расстояниях г от начала координат, очень больших пр сравне-
нию с большой полуосью а, интеграл в (5.31) приближенно равен
Частицы, малые по сравнению с длиной волны
183
и поэтому потенциал Фр дается асимптотической формулой
abc е, - ет
_ E0cos в 3 ет
е,
которая, согласно (5.14), является потенциалом диполя с моментом
р = 4iremabc ~ -....~ \ Ео-
3£m + 3Zv3(E] ет)
Таким образом, поляризуемость а 3 эллипсоида в поле, параллель-
ном одной из его главных осей, равна
a3 = 4irabc-—~ -------г. (5.32)
3em + ЗЬ3(е, - ет)
Мы считали, что приложенное поле направлено параллельно оси z;
между тем эта ось ничем не выделена среди остальных главных осей.
Поэтому поляризуемости a j и а2» отвечающие внешнему палю, па-
раллельному осям х и у соответственно, имеют вид
oq = 4irabc----£т---------Г,
Зем + ЗЬ,(е, - ет)
. е, — е_
“2 - 4irabc-—т--------------,
Зе« + ЗЬ2(С1 - ет)
где
. — °bc dq
2 ’'о («2+ ?)/(?)’
_ abc _________dq_____
2 2 'о (b2 + q)f(q)
Для проверки этих результатов заметим, что шар есть частный слу-
чай эллипсоида при а = Ь = с; поэтому
184
Глава 5
/q 1^2
dq =
и поляризуемости, как и положено, сводятся к результатам, получен-
ным для шара (5.15).
Только два из трех геометрических факторов Lit L2, L3 явля-
ются независимыми, так как они связаны соотношением
/•I + + L
, f°° d 1
3 Ч dq f(q)
dq = ].
Кроме того, они удовлетворяют неравенствам Ц L2 < L3.
Специальным классом эллипсоидов являются сфероиды, которые
имеют две оси равной длины, так что лишь один из двух геометричес-
ких параметров является независимым. При вращении эллипса вокруг
большой оси образуются вытянутые (сигарообразные) сфероиды, для
которых ь = с и L2 = L3; при вращении же эллипса вокруг малой
оси образуются сплюснутые сфероиды (имеющие форму блина), для
которых Ь = a n L1 = Ь2. Аналитические выражения для зависимости
Lj от эксцентриситета е в случае сфероидов имеют следующий вид:
вытянутый сфероид (Ь = с):
, 1 - е2 ( 1 , 1 + е
L\ ~~ 1 + In-------------------
е2 \ 2е 1 - е
сплюснутый сфероид (а = Ь):
г £(е)Г,г /
1 =^г[2-arctgg(e
Я(^) =
1-еЧ,/2
е2 I
(5.33)
(5-34)
Функции (5.33) и (5.34) показаны на рис. 5.6. Форма сплюснутого сфе-
роида меняется от диска (е = 1) до шара (е = 0), а вытянутого сферои-
да - от иглы (е = 1) до шара.
Частицы, малые по сравнению с длиной волны
185
РИС. 5.6. Геометрические факторы для сфероида.
^Геометрические факторы Lj связаны с факторами деполяриза-
ции L-, определенными соотношениями
&ix = Е-Ох ~ EtPix, Е\у = ЕОу — L2Ply, Eiz = EOz — L3Plz,
где Е, и Pi - электрическое поле и поляризация, возникающие в час-
тице за счет приложенного поля Ео. Определенные выше факторы де-
поляризации имеют смысл только для частиц вещества (в противопо-
ложность пустотам, где Pt = 0). Факторы деполяризации связаны с
геометрическими факторами соотношением
— С1 ~ £т Е,
L. = J.
J «1 ~ еО
И только для частицы, находящейся в свободном пространстве
~ е о)> факторы деполяризации не зависят от свойств вещества; в
этом случае = Lj,/e0. Поле, наведенное в эллипсоидальной части-
це, является однородным, но не обязательно параллельным произволь-
ному приложенному полю, за исключением частного случая шара.
186
Глава 5
Мы не ограничиваемся рассмотрением частиц вещества; эллипсо-
идальные пустоты в однородной в остальном среде рассеивают свет
почти так же, как и "вещественные" частицы. Поэтому мы будем из-
бегать употребления термина "фактор деполяризации", который обоз-
начает понятие, не имеющее смысла для пустот. Более того, слово
"деполяризация" подразумевает, что поле внутри частицы меньше,
чем приложенное поле; однако это так отнюдь не всегда. В последую-
щих главах нам встретятся примеры, в которых внутреннее поле
больше, а иногда намного больше, чем приложенное поле.
На первый взгляд может показаться, что вывод дипольного мо-
мента р эллипсоидальной частицы через асимптотическое выражение
для потенциала является излишне сложной процедурой и что р
есть просто wPj, где w—объем частицы. Однако в случае пустоты
такая связь нарушается, поскольку в ней pj = о, тогда как диполь-
ный момент отличен от нуля. В силу того что в общем случае среда
является поляризуемой, вектор wPj не равен р даже для частиц из
вещества, за исключением случая, когда они расположены в свобод-
ном пространстве. Во- многих прикладных задачах рассеяния и пог-
лощения света малыми частицами, например в атмосферах планет
и межзвездной среде, это условие действительно выполняется.
В лабораторных же экспериментах часто приходится иметь дело с
частицами, взвешенными в некотором веществе, например в воде.
Именно по этой причине мы проявили известную предусмотрительность
и получили совершенно общие выражения для поляризуемости эллип-
соидальной частицы.
5.4. ЭЛЛИПСОИД С ПОКРЫТИЕМ
Обобщение полученных выше результатов для однородного эллип-
соида на случай эллипсоида с покрытием не требует привлечения но-
вых понятий, хотя и связано с рядом дополнительных рассуждений.
Обозначим через е, диэлектрическую проницаемость внутреннего или
сердцевинного эллипсоида с полуосями а „ bu через е2 диэлектри-
ческую проницаемость внешнего эллипсоида с полуосями а2, ъ2, с2 .
Эта эллипсоидальная частица с покрытием расположена в среде с ди-
электрической проницаемостью ет . Как и в предыдущем разделе, вве-
дем эллипсоидальные координаты ц,
Частицы, малые по сравнению с длиной волны
187
X2 V2 z2
—----+ —------1- —------ 1, -c2 < £ < 00,
ai+t b] + £ c2i + £
с аналогичными выражениями по л и £. Поэтому § = 0 - это уравнение
поверхности внутреннего эллипсоида, а § = t - внешнего, где a,2 +t =
= а2> b J + t = bl, cf + t = c£.
Потенциал приложенного поля, который мы считаем параллельным
оси z, есть
Фо= -£oz-
(с? + 1?)(с? + £)
,(а? ~ Ci)(*i “ с?)
1/2
Потенциалы Ф1 и Ф2 внутреннего и внешнего эллипсоидов соответст-
венно равны
Ф.-с.г.шсСп.п, -c2<t<0,
Ф2= [C2F1(^) + C3F2(i)]G(i),f), 0<i</,
( 2Лп Г
Jt {^ + q)fl(q)
fM = [(fl? + $)(*? + $)(<ч + $)]1/2.
Потенциал Фя в окружающей среде представляет собой сумму Фо и воз-
мущающего потенциала Ф^ частицы:
Ф,-ад(|)<?(ч,п.
Требование непрерывности ф и е<?Ф|/<Э§ на границах раздела дает че-
тыре линейных уравнения относительно неизвестных постоянных С р С2,
С8, С4, решение которых приводит к выражению для поляризуемости
»((с2 - ст)[е2 + (е1 - ег)(ьу) ~/М2>)] +/е2(е, - е2))
“3 ° ([е2 + («. ~ ~ М’Ж +(‘2 - £J^2)] +/M4(e! ~ <2)) ’
(5.35)
188
Глава 5
где v= - объем частицы, f = а^сv/(a2b2C2) - часть
полного объема частицы, занимаемая внутренним эллипсоидом, a L(3n
и Ц2> _ геометрические факторы для внутреннего и внешнего эллипсо-
идов:
= акЬкск dq
2 'о (^+ ?)/*(?)
U = 1,2).
При еj = е2 (5.35) переходит в (5.32), как и должно быть. Аналогичные
выражения для поляризуемостей получаются и в случаях, когда поле
приложено вдоль осей х и у.
В частном случае шара с покрытием (L(j1'>= [&= 1/3), для кото-
рого a1 = a2 = a8 = ot, имеем.
= (е2 ~ е»)(е' + 2ег) + /(е1 ~ «гХ*», + 2е2) ...
4’Га2(е2 + 2ет)(е1+2е2)+/(2е2-2ет)(е,-е2)' (536)
Отметим, что из (5.36) следует, что однородная сферическая части-
ца будет невидимой ( т.е. a = 0), если она покрыта веществом, для
которого числитель в (5.36) обращается в нуль:
. Ci Со Со _
f—1----2-------2----= о
£1 + 2е2 £т + 2е2
5.5. ТЕНЗОР ПОЛЯРИЗУЕМОСТИ
В предыдущих разделах приложенное поле было параллельным
главным осям эллипсоида. Если приложенное поле Ео имеет произ-
вольное направление, то наведенный дипольный момент легко найти
из суперпозиции:
Р = U«l£oA + “2^оД + «3£оА), (5.37)
где ЕОх> ЕОу, EQz - компоненты поля Ео по отношению к главным
осям эллипсоида. В задачах рассеяния координатные оси обычно
выбираются фиксированными по отношению к падающему пучку.
Пусть х'у 'z' - такая система координат, где направление распро-
странения параллельно оси z'. Если падающий свет х'-поляризован,
то из оптической теоремы имеем
Частицы, малые по сравнению с длиной волны
189
= (5.38)
етЕОх, 1 >
Чтобы вести расчеты по формуле (5.38), необходимо выписать компо-
ненты р относительно осей, проведенных штриховыми линиями. Ра-
венство (5.37) может быть записано в матричной форме:
' Р1 «1 0 О'
Ру = т 0 «2 0 ^0у (5.39)
. л, ,0 0 “3, , 1
Запишем вектор-столбцы и матрицы в более компактной форме в соот-
ветствии со следующей схемой обозначений:
/ '«п «12 «13 '
И’ ЪУ , t/ = «21 «22 «23
.“31 «32 «33,
В этих обозначениях (5.39) принимает следующий вид:
[/»] ~гта[Е0]. (5.40)
Компоненты произвольного вектора F преобразуются в соответствии
с формулой
[F]-X[F], (5.41)
гдеап = ех-е^',а аа = вх- ву . и т.д. В результате из (5.40) и преоб-
разования (5.41) имеем
(5-42)
o' « ZraZ, (5.43)
где в силу ортогональности координатных осей обратная к А матрица
есть транспонированная матрица А Т. Таким образом, поляризуемость
эллипсоида является декартовым тензором; если заданы его компо-
ненты в главных осях,то его компоненты в повернутых осях координат
могут быть определены по формуле (5.43). Сечение поглощения для
190
Глава 5
падающего х -поляризованного света определяется просто по форму-
ле:
Qbs.x' = klmfoqaf, + а2а^ + аэа|,},
где + а jj + = 1. Аналогично, если падающий свет у '-поляризо-
ван, то
Qbs.x “ klmfa,^ + “2^22 + “з^зг}-
где а^2 + аза + ащ = 1.
Если векторную амплитуду рассеяния
/к3 х х р)
Avem ЕОх,
для диполя, освещенного х Поляризованным светом, подставить в
(3.26), то получим сечение рассеяния
к4
Qca.x' = ^(l«llWl + 1«2|2«21 + 1«3|2<»Э1).
где мы воспользовались матричным тождеством АТА = ААТ = I, Ана-
логичное выражение имеет место для сечения рассеяния и при паде-
нии у *- поляризованного света.
5.5.1. Случайно ориентированные эллипсоиды
В большинстве экспериментов и наблюдений мы сталкиваемой со
скоплением очень большого числа частиц; если не предприняты специ-
альные усилия для их ориентации или механизм ориентации не известен,
то целесообразно предполагать, что частицы ориентированы случай-
ным образом. В этих условиях представляют интерес такие величины,
как средние сечения < СаЬа > и < Саса >, которые не зависят от
поляризации падающего света, если сами частицы не являются опти-
чески активными. Пусть p(fi)dQ - вероятность того, что одна из
осей, фиксированных относительно частицы, скажем ось х, лежит в
пределах телесного углаб/Q около направления fi. Если частицы ори-
ентированы случайно, то р(ф = 1,/(4тг), и мы имеем
= Г”( cos2/Jsm/?d/Jdp =
' ' AV Ja Jn 3
Частицы, малые по'сравнению с длиной волны
191
где а и = ех • ех- = cos₽ и Q(p, v) - направление оси х относитель-
но первоначальной системы координат. Аналогично имеем <а^ > =
= <а > = 1./3, и поэтому
(Gbs) = + ja2 + Ja3), (5.44)
1,4
(Oca) = (il«i I2 + i|a2|2 + 4l«3l2 )• (5-45)
5.6. АНИЗОТРОПНЫЙ ШАР
В предыдущем разделе было отмечено, что поляризуемость эллип-
соида анизотропна: дипольный момент, наводимый приложенным од-
нородным полем, не является, вообще говоря, параллельным этому
полю. Эта анизотропия есть следствие анизотропии формы эллипсоида.
Однако эллипсоиды не являются единственными частицами с анизо-
тропной поляризуемостью; на самом деле все полученные выше выра-
жения для сечений справедливы независимо от происхождения анизо-
тропии при условии, что существует система координат, в которой
тензор поляризуемости имеет диагональный вид.
До сих пор мы ограничивались рассмотрением веществ, диэлект-
рическая проницаемость которых является скаляром. Между тем, за
исключением случаев аморфных веществ и кристаллов с кубической
симметрией, диэлектрическая проницаемость является тензором, так
что материальное уравнение, связывающее D и Е, имеет вид
/^) Dy в ' р р схх сху еух еуу cxz Еуг У teT (5.46)
> D?, к ^ZX ^zy ®zz ,
Рассмотрим шар из вещества, описываемого материальным уравнени-
ем (5.46). Предположим, что главные оси вещественной и мнимой час-
тей тензора диэлектрической проницаемости совпадают; это условие
выполняется не всегда, за исключением случая кристаллов, облада-
ющих по крайней мере ромбической симметрией [74]. Если взять в
качестве координатных осей главные оси тензора диэлектрической
проницаемости, то материальное уравнение (5.46) для шара примет вид
= е1,1£1л> = С1,2£1у> ^lz ~ е1.3^12-
192
Глава 5
Как и выше, потенциал в окружающей среде, предполагаемой изотроп-
ной, есть сумма потенциалов приложенного и возмущенного полей,
причем каждый из них удовлетворяет уравнению Лапласа. В шефе име-
ем
Е] = - v*!, v • D] = 0.
Если приложенное поле параллельно одной из главных осей, скажем
оси z, то на основе накопленного опыта можно предположить, что по-
ле в шаре однородно и параллельно оси z-:
Ф] = CjZ = C^cosO (г < а);
а,следовательно, дивергенция D,, как и положено, обращается в нуль.
Прямой подстановкой можно показать, что
Ф2 = -Е0гсо&6 + С™* (г > а)
г1
является решением уравнения Лапласа, и, более того, Ф и Df - ради-
альная компонента D - непрерывны, если
с, = -
е1,з + 2ем 0
С2 = а3
81,3 е»<
е1,3 *"
Ео.
Поэтому поляризуемость в случае поля, приложенного вдоль оси z,
равна
а3 = 4ira3
е1,3 ет
®1,3 28т
Аналогичные выражения получаются для поляризуемостей и в случае
поля, приложенного вдоль других двух главных осей.
Интересно сопоставить между собой изотропный эллипсоид и ани-
зотропный шар; поляризуемость обеих таких частиц является тензо-
ром, главные значения которого есть
£1 ~
а? = 4тга Ьс
3em+3L/(e1 -em)
изотропный
эллипсоид,
af = 4тгая
е1,; ~ет
£1,; + 2ет
анизотропный
шар-
Частицы, малые по сравнению с длиной волны
193
Хотя между этими двумя типами частиц и имеется некоторое подобие,
они не являются полностью эквивалентными: для данного анизотропно-
го шара в конкретной среде, вообще говоря, не существует эллипсои-
да равного объема с той же поляризуемостью. Это следует из того,
что тензор поляризуемости шара определяют .шесть параметров, вхо-
дящих в вещественную и мнимую части « j •, тогда как тензор поляри-
зуемости эллипсоида - только четыре параметра (вещественная и
мнимая части Ej и два геометрических фактора). В частном случае
непоглощающего шара или когда два главных значения тензора ди-
электрической проницаемости равны, может быть найден, по крайней
мере на бумаге, изотропный эллипсоид с тем же тензором поляризуе-
мости.
Результаты данного раздела нетрудно обобщить на случай анизо-
тропного эллипсоида, оси которого совпадают с главными осями его
тензора диэлектрической проницаемости. Главные значения тензора
поляризуемости такой частицы равны
«У = 4irabc
е, . ~
1, j т
Зет + ЗЬДб] j
Белее общий случай эллипсоидальных частиц в анизотропной среде,
где нет ограничений на главные оси действительной или мнимой час-
ти тензоров диэлектрической проницаемости, рассмотрен в [2551.
5.7. МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ
Громоздкий вывод на основе формул (5.16), (5.37) и (5.42) приво-
дит в случае анизотропного диполя к следующим выражениям для эле-
ментов амплитудной матрицы рассеяния:
-гк3
4w
(aHsin20 - 2aI2sin^cos<> + a22cos2^),
S2 =
-гк3
4w
[cos0(ancos2<)> + 2a12sin<f>cos<f> + a22sin2<f>) -
-sin0(a13cos<)> + a23sin<f>)],
13-205
194
Глава 5
-ik3
= 4W {cos[яцвтфcosф + a12(sin2<f> - сов2ф) —
-а22зтфсо8ф] - sin0(a13sii^ - а23С08ф)), (5.47)
-ik3
$4 = [«цвтфсозф + а12(в1п2ф — сО82ф) - а228П1фсо8ф],
где з
«О = ал = Е <*kakiakj
к=\
есть компоненты тензора поляризуемости в системе координат, жест-
ко связанной с падающим пучком [ формула (5.43)].
Элементы матрицы рассеяния St-, соответствующие (5.47), могут
быть найдены из формулы (3.16). Между тем, по-видимому, больший
интерес, нежели матрица рассеяния самого общего вида, представ-
ляет матрица рассеяния скопления идентичных, но случайно ориенти-
рованных анизотропных диполей; эта матрица рассеяния пропорцио-
нальна ft < S- >, где ft - число диполей в единице объема, a <S1;- > -
элементы матрицы рассеяния отдельного анизотропного диполя, ус-
редненные по всем ориентациям. Величины <S > не зависят от
азимута <?; поэтому можно намного облегчить расчеты, положив в
(5.47) <р = 90° до вычисления элементов матрицы (3.16) и усреднив ре-
зультаты. Полный вывод средней матрицы рассеяния не столь трудо-
емок, как это может показаться на первый взгляд, однако он все же
отнимает много времени, и лучше всего оставить его до наступления
длинных зимних вечеров. Самыми утомительными здесь являются
скрупулезные подсчеты; тем не менее в них можно выделить полезные
моменты, которые мы опишем ниже.
Элементы квадратичны по afei, а следовательно, содержат
атпв четвертой степени. Таким образом, мы должны вычислять
средние величины вида <а(-aklamnapq> , большинство которых ли-
бо обращаются в нуль, либо совпадают в силу симметрии. Если пред-
положить, как и в разд. 5.5, что все ориентации равновероятны, то
получим
Частицы, малые по сравнению с длиной волны
195
Однако обозначение осей координат через х, у, z и т.д. является про-
извольным; поэтому различные средние должны быть инвариантны от-
носительно обозначения осей. В результате имеем, что < а л > = 1/5
для всех i и j. Из ортогональности преобразования (5.41) следует,
что
3 3
®ki®kj ®ik®jk
к=\ к=\
(5.48)
где 5- - символ Кронекера, который равен 0, если i j, и 1 - в
противном случае. Из (5.48) вытекает, что
= (а?,) - (а^) =
И снова в силу симметрии > = < а^аа21 > = <а?^ аа}> =
= < аД а^„>= 1/15, где j не равно как т ,так и п. Из (5.48) также
имеем, что а11а]2 + ааа21 + = 0» поэтому
(аИа12а22а21) + (a22a2Ia3Ia32) (a22a2l)~ 15,
и в силу симметрии
(а11а12а22а21) = (а22а21а31а32) = ~ 30 •
Аналогично любое среднее, которое может быть получено из
<аца12«22а21 > =<(4’ ех*)(ея • ву')(еу • ех<)(еу • еу') > при переме-
не обозначения осей, равно - 1/30. Если мы вспомним, что а12 =ех-еу\
аи = ех» ё/ и ёх = cos£ex’ + sinpcos vey* + sin₽sinvez',To найдем
а\2а\з) = f2V f sin4/? sin/? cos3 г sin vdftdv = 0,
(5.49)
и аналогично для всех эквивалентных средних величин. Из (5.48) и сим-
метрии имеем < аааа> = < аа а22 > = <азза зв> = 0» откуда с учетом
(5.49) следует, что < а^а^а 22> = 0. Легко показать, что единствен-
ные оставшиеся средние вида < auai8a2ia22> обращаются в нуль. Та-
196
Глава 5
ким образом, единственные неисчезающие квадратичные noafei члены
имеют вид
(|«1112) = (l«22|2) = Hl “112 + 1«2|2 + 1«з!2) +
+ -^Re(a*a2 + afa3 + a5a3},
(l«i2l2) = (|«2з12) = (|«1з|2) =
= A(|«iI2 + 1«г12 + 1«з|2) “ ARe{a?a2 + а}а3 +
(«и«22> = тт(|«112 + 1«г|2 + 1«з|2) + вКе(а*а2 + а$а3 + а^а3}.
(5.50)
Теперь в нашем распоряжении есть все основные составляющие, необ-
ходимые для вычисления средней матрицы рассеяния в случае случай-
но ориентированного анизотропного диполя. Из соотношений (5.50) пос-
ле довольно громоздких алгебраических преобразований получаем
Q,
1
k2r2
Ю
(^12)
О
о
(^12)
($22)
о
о
о
о
(S33)
о
Qi
Ч
<$п) =
Зк2<Ска)
8тг
1(6-М
2\ 5
2 + ЗМ 2Л\
---5----COS20 I,
(^12) ~
ttXSJ i(cos2g_ 1)1+3^
отг 2 Э
(^22) ~
3кУ^ |(cos20 + 1)^ЗЛ£
отг 2 j
<«зз) ~
3k2<Csca) 2 + ЗМ
8тг 5 C0S*’
3k2(Csca)
—м cos е,
%1Г
(5-51)
о
о
о
, Частицы, малые по сравнению с длиной волны
197
где < Csca > - среднее сечение рассеяния, полученное в разд. 5.5;
отношение
Re(afa2 + aTa3 + a*a3)
М = ------------------•—-—
l«il + 1«г1 + 1«з1
(5.52)
удовлетворяет неравенству - 1./2 < М < 1. В случае изотропного ди-
поля все а- равны и М = 1, а (5.51) переходит в (5.5).
Если падающий свет не поляризован, то параметры Стокса рас-
сеянного света есть Is = < Sn>, Qs = <8И>, Us = Fs =0. Таким обра-
зом, рассеянный свет частично поляризован со степенью Р:
<$п)
1 - COS2#
6-М
2 + ЗМ
+ COS2#
(5.53)
Величина Р положительна для всех углов рассеяния 0 и всех допусти-
мых значений М; поэтому рассеянный свет частично поляризован в
направлений, перпендикулярном плоскости рассеяния. Максимум сте-
пени поляризации имеет место при 0 = 90°'!
Р(90°) =
2 + ЗМ
6-М
(5.54)
и принимает значения между 1./13 и 1 в зависимости от величины М.
В отличие от рассеяния изотропным шаром, малым по сравнению с
длиной волны, свет, рассеянный скоплением случайно ориентирован-
ных анизотропных диполей, не имеет 100%-ную поляризацию под уг-
лом 90°. Влияние такой анизотропии частично объясняет отсутствие
полной поляризации рассеянного небесного света, наблюдаемого
перпендикулярно направлению на Солнце! молекулы, ответственные
за рассеяние, не являются сферически-симметричными.
Глава 6
Теория Рэлея-Ганса
Если частица имеет сложную геометрическую форму, то решение
задачи рассеяния в общем виде затруднительно или вообще невозмож-
но, Однако часто встречаются ситуации, особенно в лабораторных ис-
следованиях, когда частицы взвешены в среде с близкими оптичес-
кими свойствами. Если эти частицы, которые иногда называют "мяг-
кими" или "слабо рассеивающими", не слишком велики (хотя
и крупнее, чем в теории Рэлея, рассмотренной в предыдущей главе),
то можно получить сравнительно простые приближенные выражения
для элементов матрицы рассеяния. В рамках такого приближения
эти выражения справедливы для частиц произвольной формы.
6.1. ЭЛЕМЕНТЫ АМПЛИТУДНОЙ МАТРИЦЫ РАССЕЯНИЯ
Если элементы амплитудной матрицы рассеяния (5.4) для одно-
родного изотропного шара радиусом а разделить на объем v и устре-
мить радиус шара к нулю, то получающиеся отношения достигнут
конечных пределов:
г
Si = iim — =
а->0 V
s2
s-, = lim — =
a-»0 V
З/k3 m2 - 1
4^ m2 + 2 ’
3ik3 m2 - 1 a
m2 + 2
(6.1)
Величины Sj и s2 можно интерпретировать как элементы матрицы
рассеяния на единицу объема частицы, и физически оправданно пола-
гать, что при определенных условиях элементы матрицы для частицы
произвольной формы можно приближенно найти путем интегрирования-
s.- по объему частицы. Это предположение составляет основу теории
Рэлея — Ганса. Правда, Керкер [264] утверждал, что лавры с Рэлеем
должен был делить не Ганс, а Дебай. Иногда рядом с Рэлеем и Гансом
упоминают еще Рокарда [ 9]. А в квантовомеханической теории рассе-
Теория Рэлея - Ганса
199
яния аналогичный подход называют борцовским приближением (или точ-
нее первым борновским приближением) [329]; здесь рядом с Борном
иногда появляется [419] и Кирхгоф. В малоизвестных журналах, не-
сомненно, все еще остаются скрытыми статьи, авторы которых дли
их наследники могли бы предъявить законные права на приоритет
публикации. Каждый день можно ожидать, что какой-нибудь грамотей
объявит, что наброски этой теории обнаружены на полях одной из не-
опубликованных рукописей Гаусса, или в записных книжках Леонар-
до, или в неявном виде в писаниях Аристотеля, или нарисованы светя-
щимися красками на стенах французской пещеры ископаемого чело-
века времен палеолита. Ссылка на РГДРКБН-приближение (Н заре-
зервировано для неизвестного пока претендента), хотя и позволяет
избежать обид с чьей-либо стороны, по-видимому, является несколь-
ко громоздкой. Вместо этого мы будем использовать более привыч-
ное название "теория Рэлея - Ганса". Потери в исторической точ-
ности оно компенсирует своей лаконичностью; более того, возмож-
но, это название является самым известным для большинства чита-
телей.
Условия применимости приближения Рэлея - Ганса имеют вид
\т - 1| « 1, (6.2)
Ы|т - 11 « 1, (6.3)
где d — характерный линейный размер частицы, а т — ее комплекс-
ный показатель преломления по отношению к окружающей среде.
В рамках интегральной формулировки задачи рассеяния [419] мож-
но строго показать, что приближение Рэлея - Ганса получается,
если поле внутри частицы заменить падающим полем. Поэтому по
аналогии с задачей отражения и пропускания однородным слоем
(разд. 2.8) можно интерпретировать условие (6.2) как требование
малости "отражения" падающей волны на границе раздела части-
ца - среда; условие (6.3) можно рассматривать как требование ма-
лости изменений фазы и амплитуды падающей волны внутри час-
тицы. Подчеркнем, однако, что такая аргументация является эврис-
тической.
С учетом условия (6.2) удобно (но не обязательно) записывать
элементы матрицы (6.1) в виде
200
Глава 6
s!= -^-(т - 1), s2 = -^-(m - l)cos0, (6.4)
1 2?r LTt
где мы воспользовались приближенным равенством
т2 - 1 (т — l)(w +1) 2 ,
—:-----3------------L =
т2 + 2 т2 + 2 ’
1).
Рассмотрим произвольную частицу, на которую падает плоская
волна, распространяющаяся в направлении оси z * (рис. 6.1). Вклад
элемента объема Ди, расположенного в точке О' в поле, рассеянное
частицей в направлении единичного вектора ег, равен
I \
eik(r'-z') s2
----п
-ikr' 0
(6-5)
где
РИС. 6.1. Система координат для определения рассеяния произвольной части-
цей в приближении Рэлея — Ганса.
Теория Рэлея - Ганса
201
и амплитуды Е *ц0 и Е'1О не зависят от пространственных координат.
Прямоугольная система координат (x't у', z') имеет пентр в точке
О'; пусть Z является z'-координатой начала О опорной системы коор-
динат (х, у, z), оси которой параллельны осям системы (х', у'р z').
Падающее поле в точке О есть
*цо ~ *||/( — М ,kZ>
Е±i( Z) Е^е ,kz.
(6-7)
Из формул (6.6) и (6.7) следует, что Е'п . = E'IIOe‘k(2 + z ’’и Е,'. =
= EiOe‘ k(-z + 2 'l Воспользовавшись соотношениями г = г - R • ег,
Z = R . ez, запишем (6.5) в виде
I \
\ ДЕ, J
е‘Цг~г)
-ikr
bveiS
s2
0
*11/
E±i
(6-8)
0
«1
где 5 = kR • (ez ~er),E|lt- = E„ oe‘kx и Ец. = E10e‘kz. Так как рас-
стояние до точки наблюдения намного больше размера частицы» мож-
но приближенно заменить множитель l,/(kr ') на l/(kr). Полное поле
Е s , рассеянное в направлении ег, получается интегрированием (6.8)
по объему частицы и".
I 1
-ikr
ts2
И
0 UM
Sd\E^]’
ik3
5i = “ 2?(w ~ 0«/(^»Ф),
i
*2 = ~3^'(W ~ l)t>/(0, <(>)COS0.
(6-9)
Форм-фактор f (0, q>) имеет вид
/(^*) = |/j/s^. (6.10)
202
Глава 6
При выводе (6.9) неявно предполагалось, что частица является одно-
родной. Однако это условие не обязательно; частица может быть сос-
тавлена из нескольких различных веществ. Обобщение (6.9) на слу-
чай неоднородной частипы очевидно:
/к3
j
s2 = l)ty/-(0,<f»)cos0,
J
где Иу — относительный показатель преломления j -й области части-
цы, Vj - ее объем, а соответствующий форм-фактор равен
VJ VJ
В направлении вперед (0 = 0°) ет = е2, и поэтому f(0°) = 1 для
всех частиц; это в свою очередь означает, что S t (0°) = S2(0°). Пос-
кольку отправным пунктом для нас служила теория Рэлея для беско-
нечно малого шара, теория Рэлея - Ганса обладает некоторыми ее
особенностями. Так, например, вид матрицы рассеяния размером
4x4, соответствующей (6.9), такой же, как и в случае рэлеевского
шара (5.5); между тем зависимость отдельных элементов матрицы
рассеяния от направления рассеяния, вообще говоря, отличается.
Оптическая теорема приводит к сечению поглощения
cabs = 2kolm{w), (6.11)
которое не зависит от поляризации падающего света и ориентации
частицы. Соотношение (6.11) можно записать в следующем виде:
Cabs = «”>
где а = 4ттк1/л - коэффициент поглощения, a kt - мнимая часть по-
казателя преломления частицы. Интенсивность излучения однород-
ного слоя толщиной Лис коэффициентом поглощения а равна
Z, = Iie~ah
Теория Рэдея - Ганса
203
где мы предположили, что отражательная способность мала (см.
разд. 2.8). Следовательно, количество энергии, поглощенной сло-
ем, есть
^abs = Л(1 - е~аЛ)А,
где А - площадь поперечного сечения. Если положить, что ah « 1,
то
где V - объем слоя. Поэтому при выполнении условий, аналогичных
(6.2) и (6.3), сечение поглощения ^аЬвД. слоя имеет такой же вид,
как и сечение поглощения слабо рассеивающей частицы. Это подтверж-
дает приведенные в начале главы аргументы, которые были высказаны
с целью дать физическое толкование условиям (6.2) и (6.3).
Сечение рассеяния в отличие от сечения поглощения зависит от
состояния поляризации падающего поля, если Sj и S2 зависят
от азимута <р, что несправедливо для сферически-симметричных час-
тиц. Но независимо от формы частиц степень поляризации рассеянно-
го света оказывается такой же, как в случае рэлеевского шара; это
следует из того, что элементы амплитудной матрицы рэлеевского
рассеяния просто умножаются на f. Главное различие между теория-
ми Рэлея и Рэлея - Ганса состоит в угловом распределении рассеян-
ного света.
6.2. ОДНОРОДНЫЙ ШАР
Форм-фактор частицы произвольной формы может быть найден пу-
тем численного интегрирования (6.10). Однако для некоторых регу-
.лярных геометрических форм для j можно получить и аналитические
выражения. В этом разделе мы рассмотрим одну из таких частиц -
однородный шар.
Вектор ez _ег перпендикулярен плоскостям R-(ez -er) = const,
на которых фаза 5 постоянна. Эту фазу можно записать как
9 6
8 = 2k sin ^Z?cos(R,€z - er) = 2k £ sin
где | C| = I Rcos (R, ez -er)| - расстояние от начала координат до
плоскости постоянной фазы. В результате форм-фактор можно выра-
204
Глава 6
зить в виде интеграла по переменной §:
/= |yexpp2k$sinyp($) (6.12)
где А(§) - площадь участка плоскости Rcos (R, ez _ er) = §, лежаще-
го в пределах частицы. В общем случае пределы по § и функциональ-
ный вид Л(£) зависят от направления е. рассеянной волны. Между
тем для шара Л(£) =тт(а 2 - § 2), - а < § < а при любом направлении
рассеяния, так что в (6.12) нетрудно провести интегрирование:
3 в
= — (sinи - и cosи), M = 2xsin —
и1 2-
Заметим, что f обращается в нуль при значениях 9, для которых
tg и — и - 0. (6.13)
Нули ип уравнения (6.13) с хорошей точностью даются выражением
ы2 = (и + |)2w2 — 2, п = 1,2,...
откуда с учетом неравенств 0< и< 2х и иг < и2 < и3 < ... сле-
дует, что f не обращается в нуль ни при каких углах 9, если только
не выполнено условие х > 2, 25.
6.3. КОНЕЧНЫЙ ЦИЛИНДР
В гл. 8 будет найдено поле рассеяния бесконечного цилиндра
произвольного радиуса и показателя преломления; кроме того, мы
рассмотрим рассеяние конечным цилиндром в приближении скаляр-
ной теории дифракции. Хотя задача рассеяния конечным цилиндром
не допускает точного решения, можно получить аналитические выра-
жения для элементов амплитудной матрицы рассеяния в приближении
Рэле!1 Ганса.
Рассмотрим цилиндр радиусом а и длиной 2L, удовлетворяющий
условиям (6.2) и (6.3), на который падает пучок, образующий угол
£ с его осью (рис. 6.2). Направление падающей и рассеянной волн
задаются единичными векторами е,- и ег соответственно, где
е,- = sin£ ez — cos£ex , er = sin0cosq>ex + sin9sinq>ey + cos9ez радиус-
вектор R точки в частице с цилиндрическими координатами (р, х)
Теория Р^пея - Ганса
205
РИС 6.2. Конечный цилиндр при наклонном освещении.
равен хех + pcosvpe? + psinyez. Поэтому форм-фактор (6.10) равен
f = —Г е- 'кАх dx Гр dp [2пе-^Р<в^с^
J irflLJ-L Jo Jo
где A = cos J + sinOcos <p, В = sin0sin<p и C = cos 0 -sin£. Интеграл no
x вычисляется очень просто:
(L = 2sin(kAL)
kA
Если записать В = M cos ц, С = Msinp, где М = у/ В2 + С2 и tgu = С/В,
то интеграл по у примет вид
Г^-.крМсоК*-».) = f^g-ikpMcos.p м (6.14)
•'о Jo
Из интегрального представления функции Бесселя J0(z)
j
206
Глава 6
где z вещественно, следует, что интеграл (6.14) равен 2тт/0(крМ).
Последующий интеграл:
[ pJ0(kpM) dp,
•'о
может быть вычислен, если вспомнить, что dlzJJ /dz = z/0. Поэтому
форм-фактор для данного угла падения £ равен
f (е, ф; D = , (6.15)
х£А хМ ’
где х = ka, а £ = L/a - отношение длины цилиндра к его диаметру.
Если свет падает перпендикулярно оси цилиндра (£ = п/2), то для на-
правлений рассеяния, лежащих в плоскости, перпендикулярной оси
(ф = п/2 или Зтт/2) формула (6.15) сводится к
ЗАМЕЧАНИЯ И КОММЕНТАРИИ
Более тщательное по сравнению с нашим рассмотрение приближе-
ния Рэлея - Ганса (РГ) содержится в гл. 8 книги Керкера [ 264].
Хороший краткий вывод этого приближения дан в приложении к статье
[519].
В работах [327, 480] теория РГ применена к исследованию ан-
самблей случайно ориентированных частиц произвольной формы; ав-
тор последней работы включил в рассмотрение шары с анизотропны-
ми оптическими постоянными. Оптически активные частицы в рам-
ках приближения РГ были рассмотрены в [61].
Исходя из интегрального уравнения, автор [ 9] получил итераци-
онное решение задачи рассеяния произвольной частицей. Первая
итерация - это £ак раз выражение, получающееся в приближении РГ.
Учет второй итерации существенно улучшает согласие между приб-
лиженной и точной теориями рассеяния шаром.
Глава?
Метод геометрической оптики
В предыдущих главах уже использовались некоторые понятия
геометрической оптики - ,лучи и т.п., причем иногда даже в тех
случаях, когда, строго говоря, они неприменимы. Несмотря на огра-
ниченность метода геометрической оптики (МГО), он является до-
вольно простым и наглядным приближением, так что им не следует
пренебрегать только потому, что существует точная теория. Но ин-
терес к методу геометрической оптики связан не только с его наг-
лядностью. В задачах о малых частицах он зачастую позволяет по-
лучать достаточно точные количественные результаты, соответству-
ющие обычной точности большинства измерений. Поэтому в данной
главе мы рассмотрим рассеяние и поглощение света сферичес-
кими частицами в рамках метода геометрической оптики и сравним
полученные результаты с результатами точной теории. Ни одна книга
по рассеянию света малыми частицами не была бы полной, если бы в
ней не рассматривалась радуга, основные свойства которой вполне
адекватно объясняются с помощью геометрической оптики. В свою
очередь радуга подводит нас к оптическим явлениям в атмосфере с
участием несферических частиц, для которых точной теории не сущест-
вует.
7.1. СЕЧЕНИЕ ПОГЛОЩЕНИЯ И СЕЧЕНИЕ РАССЕЯНИЯ
В этом разделе мы получим приближенное выражение для сечения
поглощения большого слабо поглощающего шара. Предположим, что
падающую плоскую волну можно представить в виде большого числа
лучей, поведение которых на границе раздела подчиняется формулам
Френеля и закону Снеллиуса (разд. 2.7). Один из таких лучей показан
на рис. 7.1; он падает йа шар под углом 0(. , В точке 1 поверхности
шара падающий луч делится на отраженный наружу и преломленный
внутрь; эти .лучи лежат в плоскости падения, т.е. в плоскости, прохо-
дящей через нормаль к сфере и падающий луч. Если (а, 0t- , <р) сфе-
208
Глава 7
рические координаты точки 1, то плоскостью падения является плос-
кость q> = const. В точке 2 преломленный луч снова попадает на гра-
ницу и в свою очередь частично отражается, а частично преломляет-
ся и выходит наружу. Аналогичным образом можно проследить и пос-
ледующее поведение луча внутри шара; его траектория никогда не
выходит из плоскости падения, а в тех точках, где она достигает гра-
ницы, .луч частично отражается внутрь шара, а частично преломляет-
ся, выходя в окружающую среду. Из физических соображений ясно,
что сечение поглощения шара не должно зависеть от направления по-
ляризации падающего пучка, с которым можно совместить ось х.
В этом случае параллельная и перпендикулярная плоскости падения
компоненты электрического поля равны E||f = Ef Совф и Elf =ЕВ- айнр.
В разд. 2.7 было показано, что обе компоненты отражаются и прелом-
ляются независимо, так что их можно рассматривать по отдельности.
Рассмотрим сначала компоненту, параллельную плоскости паде-
ния. Предположим, что мнимая часть относительного (по отношению
Метод геометрической оптики
209
к окружающей среде) комплексного показателя преломления шара
т= n + ik мала по сравнению о его действительной частью; тогда
(вещественный) угол проломления 0( с хорошей точностью дается
выражением sin ©( sin0f In. В формулах Френеля (2.67) - (2.70)
тоже можно пренебречь мнимой частью т. В точке 1 амплитуда
прошедшего поля равна Ен ( = t н (©,, л)Ец ,• , причем коэффициент
пропускания t м дается формулой (2.68). Таким образом, через
элементарную площадку в точке 1 проходит количество энергии, рав-
ное
Re{ Nx }cos 0, | E||z 12а 2 sin 0, J0,J<£
2Zq ’
где Zo = ^410,/e o - импеданс свободного пространства, a N, - пока-
затель преломления шара. Интенсивность падающего излучения /(| f
равна N|E|lt- |2,/(2Z0), где N - показатель преломления окружающей
среды (вещественный). Приведенное выше выражение можно запи-
сать короче:
7]l(0,,, п) /||,cos 0,а2 sin 0, JO, d$,
где Ttl n) - прозрачность, определяемая соотношением
п|F||(O,, n)|2cos0,
cos 0,
При распространении луча вдоль прямой 1-2 длиной £ = 2а х
х у/п2 — sin2®/n часть энергии преломленной волны поглощается, причем
ее относительная доля равна 1 - е~а С (я _ коэффициент поглощения
шара). Амплитуда поля, отраженного в точке 2, равна
£цЛ(0<’ ),
Здесь ~ц - коэффициент отражения; укажем, что в точке 2 угол паг
дения равен 0(, а относительный показатель преломления - 1,/п.
Отразившись, луч распространяется между точками 2 и 3, проходя
точно такое же расстояние §; при этом в шаре поглощается количест-
-14-205
210
Глава 7
во энергии, равное
(©,, л)Ац(©,, ^)e_“*ai 2cos©,sin©,d©1d<£(l - е~а() ,
I
| где RH = | г, j |2 - отражательная способность. Из приведенного выра-
жения следует, что при каждом последующем отражении луча теряет-
ся в (R|f е~а 5)-1 меньше энергии, чем при предыдущем отражении.
Если падающая волна поляризована перпендикулярно плоскости
падения, то все формулы для отраженного, преломленного и поглощен-
j ного света по форме совпадают с полученными в предыдущем абзаце;
нужно только вместо RH и подставить Rx и .
Для того чтобы получить полную поглощенную шаром энергию
И^аьа, следует просуммировать потери энергии обеих поляризаций на
j всех внутренних .лучах, отвечающих некоторому фиксированному падаю-
щему .лучу, а затем проинтегрировать по всем падающим лучам (т.е.
по всем углам падения от 0 до ц/2). В результате получаем
i n;bs = I^a2 Г/2
•'о
Т(0,,л) £ [Я(©„ l/n)e~a(]J '*
7-0
X (1 - е “f) cos©,sin ©,</©,
(7-1)
где Т и R - соответственно прозрачность и отражательная способ-
ность для неполяризованного падающего света,
Г=№+Тх), R = !(/?„ + R J,
а h = / и/ + hi ~ полная интенсивность падающего излучения. Беско-
нечный ряде (7.1), легко суммируется:
j _________1_______
" 1 - Я(©„1/л)е““г
L Я ©„- е
;-oL '
n /
Для сохранения энергии на границах раздела требуется, чтобы выпол-
нялось соотношение
R + Т= 1,
Метод геометрической оптики
211
а из формул Френеля следуют соотношения взаимности
я(©„Д = /?(©,.,„), т(©„|) = Т(©„п).
До сих пор мы использовали единственное ограничение k « п ;
при его выполнении и, разумеется, при условии, что метод геометри-
ческой оптики в сочетании с формулами Френеля дает хорошее приб-
лижение, формула (7.1) совершенно точна. Предположим теперь, что
поглощение в шаре настолько мало, что 2аа « 1; тогда
1 - е'а( = а£,
1 = 1
1-Re~a( Т
и (7.1) принимает вид
^abs а lip/1 2COS Q^n2 ~ sin2 ©, sin ©, d©,.
Вычислив этот интеграл, найдем, что сечение поглощения Cabs =
= WabeA равно
О’Д- <7-2)
Заметим, что в рамках метода геометрической оптики сечение погло-
щения слабо поглощающего шара, как и сечение поглощения малой
по сравнению с длиной волны частицы (гл. 5), пропорционально его
объему. Однако этот закон нарушается при неограниченном увеличе-
нии радиуса частицы. В сильно поглощающем шаре (т.е. при 2аа » 1)
энергия поглощается главным образом внешним слоем, а внутренняя
область не играет в процессе поглощения никакой роли. Поэтому с
увеличением радиуса сечение поглощения становится пропорциональ-
ным не объему, а площади поверхности частицы.
Соотношение (7.2) было получено в предположении, что фазой
световой волны можно пренебречь. В разд. 2.8 подобным же обра-
зом, рассматривая только интенсивности, мы нащли прозрачность
Слоя и показали, что полученное выражение справедливо, если интер-
ференционные эффекты сглаживаются либо из-за значительного от-
личия падающего пучка от монохроматического, .либо из-за того,
что слой достаточно сильно отличается от плоского. Поэтому выра-
212
Глава 7
жение (7.2) для Cabs можно интерпретировать как среднее сечение
скопления частиц, радиусы которых распределены в настолько ши-
роком интервале, что можно пренебречь интерференционными яв-
лениями.
Для определения точности такого приближения, вообще говоря,
следовало бы сравнить его результаты с расчетом по точной формуле
для заданного распределения по размерам, хотя на самом деле это
и не обязательно. На рис. 7.2 приведен график фактора эффективнос-
ти поглощения отдельной водяной кацли в воздухе на длине волны
1,20 мкм; значения оптических постоянных взяты из [245]. Если не
принимать во внимание ряд очень узких пиков (изрезанную структуру),
которые сгладятся при усреднении по радиусам частиц (см. разд. 11.3,
рис. 11.6), то из рис. 7.2 следует, что приближенная формула в общем
хорошо согласуется с точной: фактор эффективности поглощения ли-
нейно возрастает с радиусом, как и следует из (7.2).
В естественных скоплениях частиц (скажем, водяные капли в ку-
чевых облаках) разброс радиусов обычно значителен. Это верно и для
РИС. 7.2. Фактор эффективности поглощения водяной капли (Л= 1,20 мкм);
штриховая линия — результаты расчетов по методу геометрической оптики
(формула 7.2).
Метод геометрической оптики
213
РИС. 7.3. Фактор эффективности поглощения водяной капли (Л= 1,45 мкм);
штриховая линия — результаты расчвтов по методу геометрической оптики
(формула 7.2).
лабораторных экспериментов, если при их проведении не принимаются
специальные меры. Можно ожидать, что в таких условиях формула
(7.2) даст хорошее приближение, разумеется если выполнены ограни-
чения, при которых она получена: частицы должны быть большими и
слабо поглощающими. В качестве примера укажем, что формула
(7.2) использовалась при расчетах переноса излучения в снеге [ 63]
и облаках [ 485].
На рис. 7.3 приведен график фактора эффективности поглощения
водяной капли на длине волны 1,45 мкм, на которой вода поглощает
значительно сильнее, чем на 1,20 мкм. При радиусах частиц, подчи-
няющихся условию аа > 0,1, расхождение между точной и приближен-
ной формулами систематически увеличивается; это условие можно
считать приближенным критерием применимости формулы (7.2).
С увеличением радиуса частицы фактор эффективности поглощения
приближается к предельному значению, о котором мы будем говорить
ниже.
214
Глава 7
7.1.1. Асимптотические выражения
для факторов эффективности поглощения
и рассеяния
Полную энергию Wscs , рассеянную большим шаром, можно с хо-
рошей точностью представить в виде суммы трех компонент - дифрак-
ционной, отраженной и вышедшей (прошедшей сквозь частицу)1:
^sca = ^ditt + ^refl + ^tr’ (73)
причем вышедшую энергию Wtr можно в свою очередь разделить на
сразу вышедшую компоненту, компоненту, вышедшую после одного
внутреннего отражения, и т.д. (рис. 7.1):
00
= Е ^tr.r (7.4)
7-1
Отраженная наружу энергия равна
^геп = 1^а2 [’r/2R(0j)cos0isin0, dQiy
Jo
а стечение отражения естественно определить соотношением Crefl =
= ; поэтому фактор эффективности отражения равен
Сгеп = 2 [V/ R(@i)cos0,sin0, J0,. (7.5)
•'о
Весь свет, проникающий в поглощающий шар достаточно боль-
шого размера (аа » 1), должен поглотиться,' таким образом, рас-
пространяться могут только отраженная и дифракционная компонен-
ты. В цл. 4 было показано, что дифракционное сечение рассеяния
большого шара равно то 2; поэтому можно ожидать, что предельное
значение фактора эффективности рассеяния будет равно
Um (2sca = 1 + Crefl’ (7-6)
Х-* 00
если только k У 0. Тем не менее асимптотическая формула (7.6) для
фактора эффективности рассеяния не является общепринятой. Так,
в работе [ 223] на основании того, что при неограниченном возрастаг
Метод геометрической оптики
215
нии параметра х сфера приближается к плоскости, предполагается,
что фактор эффективности рассеяния должен стремиться к пределу
1 + R(0°), где R(0°) = | (т - 1 \/(т + 1) |2 - отражательная способность
при нормальном падении. Однако в работе [ 126] утверждается, что
это предположение некорректно и что правильной предельной форму-
лой является (7.6). В то же время в [100] приводится математическое
доказательство того, что предельным значением Qscs является
1 + R(0°). В работе [68] на основании расчетов и физических сообра-
жений последовательно показано, что доказательство, приведенное
в [100], ошибочно, но не выявлена суть ошибки; это было сделано
позже [ 10].
В подтверждение справедливости формулы (7.6) на рис. 7.4 при-
ведены значения Qsca в зависимости от V* (где х = 2та А), рассчи-
танные по точной теории для шара с показателем преломления
1,3 + i 0,1; для сравнения на рисунке показаны и предельные значения
1 + R(0°) и 1 + Qrefl. Видно, что с ростом х величина Qsca все точнее
приближается к 1 + . Из физических соображений представляет-
ся невероятным, чтобы сочетание скалярной теории дифракции и ме-
тода геометрической оптики, дающее хорошее приближение в широ-
кой области значений параметрах, вдруг стало приводить к неверным
результатам при х больше некоторого определенного значения; меж-
ду тем именно это и требуется, чтобы рассчитанные по точной теории
значения стремились к I + R(0°) (рис. 7.4). В самом деле, при каком
значении х формула (7.6) перестает быть точной? И как это значе-
ние обосновать физически? Мы не знаем ответа на эти вопросы и
потому заключаем, что величина 1 + R(06) не является асимптоти-
ческим значением фактора эффективности рассеяния. Шар - всегда
шар; он не может превратиться в слой даже при неограниченном уве-
личении радиуса, хотя его поверхность в окрестности каждой точки
действительно можно считать локально плоской, и тем точнее, чем
больше радиус. Но угол падения все равно зависит от координат да-
же для шара как угодно большого радиуса и не может быть одним
и тем же для всех точек его поверхности.
В гл. 4 мы показали, что Um Qext = вместе с (7.6) это озна-
чает, что Х-»о»
lim (2abs = 1 - <2ren- (7.7)
Х-* 00
216
Глава 7
1,07
1,06
1,05
1,04
1,03
1,02
1,01
Дифракция +
геометрическая оптика
1,0 +Я(0°)
1 2 3 4 5 3 7
( параметр дифракции)-1- ю'4
РИС. 7.4. Крестиками обозначены значения, рассчитанные по теории Ми. Со-
четание скалярной теории дифракции с методом геометрической оптики дает
предельное значение 1,067. Г рафик взят из [бв].
Физический смысл формулы (7.7) прост: весь свет, падающий на шар
и не отражающийся от него наружу, проникает внутрь и в конечном
счете поглощается при условии, конечно, что мнимая часть покат
зателя преломления не равна нулю. Если существует поглощение
(хотя бы и очень слабое), то в шаре достаточно большого радиуса
а будет поглощен весь проникший в него свет.
7.1.2. Факторы эффективности отражения
и пропускания непоглощающего шара
Из (7.3) следует, что фактор эффективности рассеяния боль-
шого шара можно записать в виде
б sea = Cdiff + бrefl + Ctr’
где Qdiff - фактор эффективности дифракции, равный единице, а
Qrefl - фактор эффективности отражения (наружу), определяемый
Метод геометрической оптики
217
Таблица 7Л.
Факторы эффективностей отражения и пропускания непоглощаю-
щего шара при т = 1,33
Qrefl Qtr, i Qtr, 2 Qtr, 3 Qtr, 4
0.06593 0.88451 0.04033 0.00607 0.00171
Qrefl + Qtr, 1 + Qtr,2 + Qtr,3 + Qtr,4 = 0.99855
формулой (7.5). Далее в соответствии с (7.4) фактор эффективности
пропускания Qtr можно представить в виде ряда
00
Q* = Е
у-i
где Qtr,/ - Фактор эффективности пропускания тех лучей, которые
испытали j -1 внутренних отражений (рис. 7.1).
Фактор эффективности ослабления в непоглощающем шаре совпа-
дает с фактором эффективности рассеяния; для такого шара (при ус-
ловии, что он достаточно велик) следует, что обязательно Qrefl+ <2^=1,
причем
Qtr, j = if”''2'!') ()cos sin б, ,
Ъ-НЦ-'Г,’ + (7.8)
В табл. 7.1 приведены значения Qrefl и первых четырех членов
ряда для Qu; показатель преломления взят равным 1,33, т.е. он соот-
ветствует водяной кацле в диапазоне видимого света. Иногда прихо-
дится сталкиваться с утверждением, что рассеяние большими прозрач-
ными частицами является результатом отражения на границе, отде-
ляющей каждую частицу от окружающей среды; в самом деле, термин
"отражение" иногда используется как синоним рассеяния. Однако из
табл. 7.1 становится ясно, что рассеяние - значительно белее широ-
кое понятие: в результате отражения от водяной капли рассеивается
всего около 6,6 % света (мы отбросили дифракционную часть, со-
средоточенную в узком конусе • углов около направления распростране-
218
Глава 7
ния падающей волны); большую же часть рассеянного света - свыше
88 % - можно приписать .лучам, которые меняют свое направление
за счет однократного прохождения через каплю, т.е. .лучам, прошед-
шим сквозь каплю без внутренних отражений.
7.2. УГЛОВОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ РАССЕЯННОГО СВЕТА.
УГЛЫ РАДУГИ
Все виды лучей - отраженные, вышедшие сразу и вышедшие пос-
ле одного цли нескольких внутренних отражений - могут давать
свои вклады в свет, рассеянный в единичный телесный угол около
некоторого заданного направления. В результате отражения и пре-
ломления первоначально однородное пространственное распределе-
ние падающих лучей может сконцентрироваться около некоторых ‘
направлений аналогично тому, как это происходит при концентрации
(фокусировке) лучей за линзой.
Как и в предыдущем разделе, представим себе, что падающий
на шар под углом 0i луч (0 < 0i < д/2) расщепляется на бесконечное
число .лучей различной интенсивности. Из рис. 7.1 с помощью три-
гонометрических формул по заданному углу 0f можно найти угол
О, под которым рассеивается луч каждого типа:
для отраженного,
для сразу вышедшего,
для вышедшего после пт
внутренних отражений; пТ
четное,
для вышедшего после пт
внутренних отражений;
пг нечетное.
Здесь пТ - 1,2, . . . , a msin0(= sin0f ; кроме того, предполагает-
ся, что 1 < т< 2, и вводятся такие дополнительные слагаемые,
чтобы величина 9 всегда находилась в интервале от 0 до тт.
Свет, падающий на элемент площади сферы a 2sin0f d®t dq, рас-
сеивается в телесный угол sin9d9d<p около направления (о, <р). Рас-
сеяние лучей k-ro типа относительно этого направления определя-
ется функцией
Рл(0,, <(>)cos0,sin0, J</>, (7-10)
0 = т - 20,.
в = 20, - 20,
6 = 2(иг + 1)0, - 20,
6 = 20, - 2(иг + 1)0, + т
Метод геометрической оптики
219
которая зависит от радиуса шара, интенсивности падающей волны и
различных отражательных способностей и прозрачностей, требующих-
ся для описания каждого типа лучей. Точное выражение для Fk нам
не понадобится, поскольку в первую очередь нас интересуют особен-
ности индикатрисы рассеяния, которые можно предсказать в рамках
метода геометрической оптики; для этих целей достаточно сказать,
что функция конечна при всех углах падения. Из (7.10) следует,
что свет, рассеянный в единичный телесный угол около направления
(О, <р) - по современной терминологии лучевая интенсивность, - пред-
ставляет собой сумму влагаемых вида
Л(О„Ф)
cos©,sin©, J©,
sin# de ’
причем величину d&^/dQ можно найти по формулам (7.9), а множитель
cos ©j sin 9-/sin0 при всех углах падения имеет конечное значение. Для
отраженных лучей d&^/dd - это просто константа, но для вышедших
имеем
dQj_________± 1_____
~d6~ „ d@, ’
2 2("r+1^J0,.
cf©, cos ©,
ym2 - sin2©,
(7.П)
(7-12)
где n = 0, 1, 2,. .. Отсюда следует, что в соответствии с методом
геометрической оптики лучевая интенсивность рассеянного излучения
бесконечна, если угол рассеяния удовлетворяет одному из равенств
dQ, = 1
</©, пг + 1
(иг = 0,1.2,...).
(7.13)
Луч, вышедший из шара сразу (пТ = 0), очевидно, не удовлетворяет
условию (7.13), но для некоторых лучей, вышедших из него после нес-
кольких внутренних отражений, оно может выполняться. Из формул
(7.12) и (7.13) можно найти, что
cos 0, =
т2 - 1
«,(«г + 2) ’
220
Глава 7
Урлы рассеяния, на которых по методу геометрической оптики луче-
вая интенсивность обращается в бесконечность, называются углами
padyw: радуге первого порядка соответствуют лучи, претерпевшие
одно внутреннее отражение, радуге второго порядка - два внутрен-
них отражения, радуге третьего порядка - три и т.д.
Интенсивность рассеянного света может достигать довольно
большой величины, но бесконечной она не м жет быть ни при каком
угле рассеяния, откуда следует, что, строго говоря, метод геометри-
ческой оптики не точен. Это аналогично известному результату, что
в рамках МГО интенсивность света в фокальной точке линзы, через
которую проходит лишь конечное количество света, оказывается бес-
конечной. Такие особенности светового поля, возникающие в МГО,
называют каустиками. Радуга, таким образом, является каустикой.
Несмотря на то что метод геометрической оптики приводит к не-
правильным значениям интенсивности вблизи острых максимумов
индикатрисы рассеяния большого прозрачного шара, он достаточно
хорошо определяет положение этих максимумов. Прямой проверкой
этого факта служат наблюдения радуги, возникающей при освещении
солнцем водяных капель. Условие наблюдения радуги первого поряд-
ка имеет вид
а радуги второго порядка
(7-14)
(7-15)
где соответствующие углы рассеяния определяются по формулам
(7.9). Отметим, что при т> 2 не существует угла радуги первого
порядка.
Положив т= 1,333 (это значение является средней величиной
показателя преломления воды в диапазоне видимого света), най-
дем
0 = 137,9° для радуги первого порядка,
0 = 129,1° для радуги второго порядка.
Метод геометрической оптики
221
Радуги более высокого порядка в атмосфере не наблюдаются: они те-
ряются в фоновом излучении. Однако в лабораторных условиях мож-
но наблюдать радуги более высоких порядков!; кроме того, в лабора-
тории можно использовать не только воду, но и другие жидкости. Мак-
симальный зафиксированный порядок радуги до сих пор ускользал от
внимания составителей "Книги мировых рекордов Гиннесса", но в par
боте [491], которую мы настоятельно рекомендуем поклонникам ра-
дуги, описаны наблюдения многих явлений и среди них - радуги 17-го
порядка на каплях сахарного сиропа.
Наблюдать радугу можно во время дождя при условии, что солн-
це находится позади наблюдателя. Направление солнечного света оп-
ределяет направление падения (или .линию визирования), поэтому уг-
ловые положения радуг первого и второго порядков относительно ли-
нии визирования наблюдателя будут соответственно равны 180 - 137,9=
= 42,1° и 180 - 129,1 = 50,9°. Размер видимой части радуги зависит
от положения солнца относительно горизонта. Если высота солнца над гори-
зонтом > 51°, то наблюдать радугу нельзя, даже если все
прочие условия благоприятствуют этому. Полную радугу в виде замк-
нутого кольца можно наблюдать только с самолета.
Не будь дисперсии (зависимости показателя преломления от дли-
ны волны), впечатление от радуги было бы намного слабее. В самом
Деле, в повседневной речи слово "радуга" в первую очередь ассоции-
руется с богатством красок - цветов радуги, а не с яркой дугой на
небе. Если для показателя преломления "фиолетового" света
(А ^0,4 мкм) взять значение т= 1,343, а "красного" (А — 0,65 мкм) -
значение т= 1,331 [245], то уг.ловые ширины радуг первого и второ-
го порядков будут равны 1,7 и 3,1° соответственно.
Углы радуги отвечают углам падения, при которых обращается
в нуль знаменатель формулы (7.11). Поскольку dQ/d&i =
это означает, что при заданном пТ углы радуги соответствуют экс-
тремумам функции 9(0,). Тип экстремумов определяется знаком
d2e,/d&? : при нечетных пТ - минимумы, при четных пг ~ максиму-
мы. Поэтому угрл 137,9° радуги первого порядка соответствует
минимуму 0, а угол 129,1° радуги второго порядка - максимуму 0.
Следовательно, между радугами первого и второго порядков имеет-
ся темный провал - темная полоса Александера - шириной около
9°. Отметим, однако, что оба эти угла радуги являются углами мини-
222
Глава 7
мольного отклонения: они соответствуют лучам, которые претерпева-
ют наименьшее полное отклонение.
Метод геометрической оптики успешно объясняет основные ха-
рактеристики радуги: угловое положение радуг первого и второго
порядков, их ширину, разделение цветов и темную полосу Алексан-
дера. Но, как и предполагалось, она не в состоянии объяснить все ее
характеристики. Если исходить из МГО, то при условии одинакового
освещения все радуги должны быть тождественными - ведь распре-
деление капель по размерам в рамках МГО несущественно. Однако
всем хорошо известно, что бывают радуги более яркие и менее яр-
кие. Под радугами первого порядка иногда наблюдаются дополнитель-
ные (или внепорядковые) радуги (т.е. радуги, которых по законам ге-
ометрической оптики вовсе не должно быть); для их объяснения тре-
буется привлечение интерференционных понятий. Такие вопросы лежат
вне области применимости МГО. Более подробные сведения о радуге
имеются в работах, указанных в разделе "Замечания и комментарии"
в конце данной главы; к ним мы и направляем читателя.
7.3. РАССЕЯНИЕ НА ПРИЗМАХ. ГАЛО ПРИ НАЛИЧИИ
КРИСТАЛЛОВ ЛЬДА
Казалось бы, можно считать, что скопление произвольно ориен-
тированных несферических частиц эквивалентно соответствующим
образом подобранному скоплению шаров. Но имеется множество под-
тверждений обратного - и даже больше, чем обычно полагают, - осо-
бенно у тех, кто посмотрит на солнце через тонкую пелену перистых
облаков и увидит многочисленные явления гало, возникающие при
рассеянии на кристаллах .льда. Большинство характеристик гало, воз-
никающих при наличии кристаллов льда, и связанных с ними дуг мож-
но объяснить с помощью простых рассуждений в рамках МГО, кото-
рые во многом сходны с изложенными в разд. 7.2.
Рассмотрим прозрачную треугольную призму с показателем пре-
ломления т и углом при вершине Д, на которую падает параллельно
основанию луч, и обозначим через 0. угол между этим .лучом и нормалью
к боковой поверхности (рис. 7.5). Претерпев два преломления, падаю-
щий луч выйдет с противоположной стороны призмы (при условии,
Метод геометрической оптики
223
РИС. 7.5. Преломление в треугольной призме.
что угол 0,- достаточно валик), отклонившись от своего первоначаль-
ного направления на угол
0 = 0, - 0, + 0,' — 0/,
где sin0j = msin0f, sin0f' = msin0f и 0, = Д — ©^Отклонение экстре-
мально для угла падения, при котором
d6 _ cos 0'cos 0, _
</0, cos 0,'cos 0,
а исследование знака d2^/d^f показывает, что этот экстремум яв-
ляется минимумом. Для траектории минимально отклоненного луча
имеем 0f = 0't и 0f = 0х,, так что минимальный угол отклонения ет
равен
вт =2arcsinl wsiny I - A.
(7.16)
По аналогии с углом радуги первого порядка - углом минималь-
ного отклонения — мы ожидаем, что максимумы диаграммы рассея-
ния (каустики) призматических частиц будут отвечать углам, опре-
деляемым формулой (7.16). Лед имеет гексагональную кристалли-
ческую решетку, и его кристаллики гексагональной формы время от
времени присутствуют в атмосфере, и если они оказываются между
224
Глава 7
солнцем и наблюдателем, то он может увидеть гало и несметное чис-
,ло других оптических явлений.
Имеется два типа гало, которые можно связать с углами мини-
мального отклонения в .ледяных кристаллах: гало под. углом 22° и
гало под углом 46°, причем более распространенным из них счита-
ется первое. На самом деле оба типа гало распространены значи-
тельно шире, чем это принято считать; дело в том, что частота их
наблюдения зависит от степени осведомленности наблюдателя. Для
проверки этого утверждения попробуйте поставить такой опыт: за-
дайте группе студентов или слушателям .лекции по физике вопрос, ви-
дел ,ли кто-нибудь из них гало или .ложное солнце. Положительных
ответов, скорее всего, будет мало. Но через несколько дней после
объяснения этих явлений вы утонете в потоке телефонных звон-
ков или .личных встреч с запыхавшимися студентами, которые свои-
ми глазами увидели то, что раньше было "редким" явлением.
Угловые положения двух указанных типов гало можно определить
по формуле (7.16); меньшее гало связано с углом при вершине, рав-
ным 60°, а большее - с углом 90° (рис. 7.6). Лед обладает двойным
лучепреломлением, но оно выражено слабо [227], так что им можно
пренебречь и считать, что для голубого света его показатель прелом-
РИС. 7£. Преломление в гексагональном кристалле льда; показаны лучи,
объясняющие гало под углами 22 и 46°.
Метод геометрической оптики
225
ления составляет т= 1,318, а для красного он равен т= 1,308» Соответствующие
углы минимального отклонения, рассчитанные по (7» 16), равны
9т (голубой) = 22,4°,
9т (красный) = 21,7°, л ’
9т(грлубой) = 47,5°, =
9т(красный) = 45,3°,
Таким образом, метод геометрической оптики правильно предсказы-
вает приближенные значения угловых положений двух наиболее часто
наблюдаемых гало при наличии ледяных кристаллов. Отметим, что
красный свет отклоняется слабее, так что в гало может проявляться
цветовое разделение, причем внутренняя часть гало будет окрашена
в красный цвет.
Замкнутые гало традиционно связывают с рассеянием на случай-
но ориентированных кристаллах,льда (однако в [159] изложена проти-
воположная точка зрения); ложные солнца - яркие пятна по одну или
по обе стороны солнца, возникающие под углом 22° при условии,
что солнце стоит низко, - являются результатом рассеяния на ори-
ентированных кристаллах. Но этим не исчерпывается многообразие
оптических явлений в атмосфере, связанных с кристаллами ,льда: та-
ких явлений множество, хотя некоторые из них встречаются доволь-
но редко. Их изучение выходит за рамки данного раздала, который
призван .лишь иллюстрировать применимость метода геометрической
оптики к задаче рассеяния света на несферических частицах. Ниже
указывается литература, рекомендуемая для дальнейшего чтения.
ЗАМЕЧАНИЯ И КОММЕНТАРИИ
Деление света, рассеянного большой частицей, на дифракцион-
ную, отраженную и вышедшую компоненты соответствует принципу
локализации [488], при помощи которого члены рядов Ми соотно-
сятся с каждой из этих компонент.
Насыщенность цветов вдоль радуги не постоянна; причины этого
явления изложены в [ 158 ].
В работе [ 340] сообщается, что в Пенсильванском колледже за
16-летний период явления гало наблюдались в среднем в течение 74
дней за год. Эти явления столь же обычны и на другой стороне Атлан-
15-205
226 Глава 7
тики: в районе Бристоля (Англия) явление гало наблюдалось 80 раз
за 66 Дней [77].
Гало и другие явления, связанные с кристалликами льда, рас-
сматриваются в работах [203, 476, 477]. Особенно рекомендуем пер-
вую из этих книг, которую отличают ясность изложения и великолеп-
ные цветные фотографии.
Августовский номер журнала "Journal of the Optical Society of
America" за 1979 г. почти полностью посвящен метеорологичес-
кой аптике; в нем опубликованы статьи по исследованиям рацуги, орео-
лов и явлений, обусловленных наличием кристаллов льда.
Глава 8
Более сложные частицы
Теоретический анализ поглощения и рассеяния на однородном изо-
тропном шаре, хотя и громоздок, все же вполне выполним нужно прос-
то следовать по прямому пути, проложенному хорошо известными ме-
тодами математической физики. Без особых трудностей эти методы
можно обобщить и на случай других частиц регулярной формы*. Но ес-
ли речь идет о рассеянии на неоднородных частицах либо на частицах
нерегулярной формы, либо с анизотропными оптическими свойствами, то реше-
ние такой задачи может оказаться более запутанным, особенно если размеры
частиц соизмерены с длиной волны.
В этой главе мы рассмотрим некоторые теоретические методы,
описывающие рассеяние на частицах, которые либо неоднородны, либо
анизотропны, либо имеют несферическую форму. Изложение материала
не претендует на полноту: выбор примеров определяется только интере-
сами авторов. Мы начнем с рассмотрения частного случая неоднород-
ной частицы - многослойного шара. Затем кратко рассмотрим случай ша-
ра из анизотропного вещества и укажем одну задачу, имеющую строгое
решение. Далее рассмотрим изотропные оптически активные частицы,
т.е. частицы из вещества, не подчиняющемуся закону оптической вза-
имности. В природе нередко встречаются частицы цилиндрической фор-
мы- это и паутина, и вирусы, и различные волокна. Поэтому значи-
тельная часть данной главы посвящена рассеянию на прямом круговом
цилиндре.
Далее излагаются возможные теоретические методы решения зада-
чи рассеяния на случайно неоднородных частицах, а в заключительном
разделе главы дается краткий обзор последних достижений в решении
задачи рассеяния света на несферических частицах, включая и случай
частиц произвольной формы.
8.1. ШАР В ОБОЛОЧКЕ
Поле, рассеянное произвольной сферически-симметричной части-
цей, составленной из веществ, которые описываются материальными
•Под частицами регулярной формы здесь и ниже имеются в виду частицы
простой формы, поверхность которых описывается достаточно простыми глад-
кими функциями. — Прим, перев.
228
Глава 8
уравнениями (2.7) - (2.9), по форме совпадает с рассмотренным в гл. 4
полем рассеяния однородного шара с тем отличием, что коэффициен-
ты ап и Ьп теперь зависят от закона изменения е и ц по радиальной
координате. В данном разделе мы рассмотрим задачу рассеяния на од-
нородном шаре, покрытом однородной оболочкой постоянной толщины.
Впервые эта задача была решена в работе [ 12]. Однородный шар в обо-
лочке представляет собой один из простейших примеров частицы с ме-
няющимся показателем преломления и допускает непосредственное
обобщение на случай шара с многослойным покрытием.
Пусть электромагнитная волна (4.37), (4.38) падает на изображен-
ный на рис. 8.1 шар в оболочке, внутренний радиус которого равен а,
а внешний - £>. В области 0 < т < а электромагнитное поле (Ер HJ
определяется формулой (4.4(1), а рассеянное поле (Es, Hs) - формулой
(4.45). Из-за требования ограниченности поля в начале координат ра-
диальная часть функций (4.15) и (4.16), порождающих векторные гармо-
ники в разложении (Ер HJ, может зависеть только от jn. Что касает-
ся области а< г 4 Ь (а 4 0), то в ней конечны обе сферические функ-
ции Бесселя }п и уп; поэтому разложение поля (Е2> Н2) в этой облас-
ти имеет вид
Е2 = £ £Л[Ж - ig„N^ + - 4NM
И— 1
н2 = - L
^2 „-1
где векторные гармоники Ме1п и т.д. порождаются функцими вида
(4.15) и (4.16), в которых радиальная зависимость определяется функ-
циями уп(к2г). Граничные условия
(Е2 - EJ X ёг = О, (Н2 - Н,) X «, = 0, г - а
(Е, + Е,. - Е2) X - О, (Н5 + Н, - Н2) X ёг = О, г = 6
приводят к восьми уравнениям для коэффициентов ап, Ъп, с , d , f ,
Sn> ”п> wn:
fnml^n(m2X) - «„W]X„(w2x) - C„W2^n(W]X) = 0,
WnmlX'n(m2X) ~ + dnm2^'n(miX) = °,
vnAiX'n(w2x) -/ng]^(w2x) + c„n2^'„(m1x) = 0,
Более сложные частицы
229
РИС. 8.1. Шар в оболочке.
gnUd'A'fhx) - wn^x„(^2x) - d„H2^n(m\x) = О,
т2Ш ~ a„m2i'„(y) -gMm2y) + wnx'„(m2y) = 0, (8.1)
т2Ь„{„(у) ~ m2^Ay) + MAm2y) ~ v„xn(m2y) = 0,
^n(y) ~ ап^Лу) ~ g„^„(m2y) + ^ХЛ'»2У) = 0,
ь^'Лу) ~ ^Ау) +М’п(т2у) - ^х'п(т2У) = о,
где через nt и обозначены относительные (по отношению к окружа-
ющей среде) показатели преломления сердцевины шара и оболочки; ц ,
Up ц2 - магнитные проницаемости окружающей среды, сердцевины ша-
ра и оболочки; х = ка, у = кЬ. Через хп(г) обозначена функция Рикка-
ти — Бесселя, равная -гуп(г). Предположив для простоты, что ц = pj =
230
Глава 8
- u2, и решив систему уравнений (8.1) относительно коэффициентов рас-
сеяния ап и Ъп , найдем
а„ _ К(у)[К(™2У) ~ А,хАт2у)1 ~ ™Му)[К(т2у) ~ АпхАт2у)]
(я(у)[К(т2у)-Апх'„(т2у)]-m2en(y)UAm2y)-Anx„(m2y)] ’
ь _ т2^п(у)[К(т2у) - Bnx'n(m2y)] - ^(y)[^(w2y) - Впх„(т2у)]
т2^„(у)[^'„(т2у) - Влх'„(т2у)] - ^(у)['1'Ат2У) ~ В„х„(т2У)] ’
А . т2^Ат2хЦ'„(т\х) ~ »1|^(>п2х)^„(>П|Х)
w2x„(w2x)^(W|x) - mix'„(m2xU„(^iX) ’
в . - m^n(m2x)^m{x)
m2xAm2x)h(mtx)-т^т^хА™^)'
В приложении Б приведена программа для вычисления ап и Ъ на Э ВМ.
Если = т^то Лп - Вп= 0, и коэффициенты (8.2) сводятся к ко-
эффициентам Для однородного шара. В пределе, когда радиус сердцеви-
ны стремится к нулю, имеем lim А - lim В - 0; в этом случае коэф-
фициенты (8.2) сводятся к коэффициентам для однородного шара радц/-
сом Ь с относительным показателем преломления , как это и должно
быть. При = 1 коэффициенты сводятся к коэффициентам для шара ра-
диусом а с относительным показателем преломления т1. Все это под-
тверждает правильность приведенного решения.
8.2. АНИЗОТРОПНАЯ СФЕРИЧЕСКАЯ ЧАСТИЦА
В предыдущих главах мы уже рассматривали существенно анизо-
тропные частицы, т.е. частицы, анизотропия которых связана не с их
формой, а с оптическими свойствами вещества, из которого они состо-
ят. Так, в разд. 5.6 мы привели решение задачи рассеяния на анизотроп-
ном шаре в приближении Рэлея. В соответствии с результатами этого
раздела и разд. 5.5 сечение < С> (рассеяния или поглощения), усред-
ненное по совокупности случайно ориентированных достаточно малых
анизотропных шаров, равно
<С) = |Q-Нс2 + |с3, (8.3>
где через С. обозначено соответствующее сечение изотропно-
го шара, диэлектрическая проницаемость которого е. совпа-
Более сложные частицы
231
дает с одним из трех, вообще говоря, различных главных зна-
чений тензора диэлектрической проницаемости. Соотношение (8.3) ис-
пользовалось не только для шаров, радиусы которых малы по сравнению
с длиной волны, но и для шаров большего размера. Не исключено, что
оно верно всегда, хотя доказательства этого факта, насколько нам из-
вестно, до сих пор нет и мы не верим, что оно когда-нибудь будет. От-
сутствие такого доказательства связано с невозможностью строго ре-
шить задачу рассеяния на анизотропном шаре произвольного радиуса.
Отсюда и следуют трудности теоретического определения границ при-
менимости (если таковые существуют) соотношения (8.3). Тем не менее
мы все-таки попытаемся высказать более или менее обоснованные со-
ображения Об условиях, когда соотношение (8.3) будет скорее всего не-
верным, обратившись ввиду отсутствия точной теории к рассуждениям
на физическом уровне строгости.
Для простоты рассмотрим шар из одноосного вещества (см. разд. 9.3)
и обозначим через к| । и к волновые числа, соответствующие Двум
главным значениям тензора диэлектрической проницаемости. При вы-
полнении условия
|(кц - кх)а| <к 1,
где а - радиус шара, анизотропию считают лишь малым возмущением;
в этом случае на расстояниях, сравнимых с размером частицы, оба ти-
па плоских волн, которые могут распространяться в одноосном вещест-
ве, испытывают одинаковые изменения амплитуды и фазы. Отсюда
следует физически естественный вывод, что влияние анизотропии стат
нет заметным, когда
|(кц - кх)а| > 1.
При выполнении этого условия вряд ли можно ожидать, что решение
для анизотропного шара выразится в виде комбинации решений для изо-
тропного шара. Подчеркнем, однако, что этот критерий - не более чем
разумная оценка, которая представляется нам наиболее правдоподоб-
ной и которой можно пользоваться лишь постольку, поскольку нет ни-
чего лучшего.
Строгое решение задачи рассеяния на анизотропном шаре невоз-
можно в связи с существенным несовпадением симметрии оптических
характеристик вещества с симметрией формы частицы. Например, для
одноосного вещества переменные величины в векторном волновом
232
Глава 8
уравнении разделяются в цилиндрических координатах, так что реше-
ниями для полей являются цилиндрические волны. Но граничной по-
верхностью частицы является сфера, и при попытке удовлетворить гра-
ничным условиям возникают значительные трудности. Поэтому методы,
направленные на обобщение теории рассеяния на анизотропном шаре и
вывод ее за рамки приближения Рэлея, вряд ли могут основываться на
методе разделения переменных.
Частный случай задачи рассеяния света на анизотропной частице
разобран в работе [407]. Там рассмотрен изотропный шар, оболочка
которого представляет собой пленку равномерной толщины из вещества,
описываемого материальными уравнениями
Dr = e„Er, De = е,Ей, D* = е,Еф, (8.4)
с не зависящими от координат диэлектрическими проницаемостями еп
и Et; через (Er, Eq, £ф) обозначены компоненты поля в сферической
системе координат. Можно считать, что материальные уравнения (8.4)
описывают ориентированный, или "локально одноосный", слой. Эта зада-
ча решается строго, но решение выражается через бесселевы функции
с комплексным индексом. Вычисление обычных бесселевых функций уже
достаточно сложно, а при мысли о необходимости вычисления бесселе-
вых функций с комплексным индексом может заплакать и сильный муж-
чина. По-видимому, именно в связи с большим объемом вычислений ре-
шение, приведенное в [407], до конца так и не исследовано.
8.3. ОПТИЧЕСКИ АКТИВНЫЕ ЧАСТИЦЫ
До сих пор почти все рассмотренные частицы состояли из изотроп-
ных веществ, описываемых материальными уравнениями (2.7) — (2.9),
которые не носят универсального характера. Стоит отойти от этих урав-
нений, как мы сталкиваемся с задачами, как правило, не имеющими
строгих решений. Тем не менее для частиц регулярной формы, состо-
ящих из изотропных оптически активных материалов, удается найти стро-
гие решения. В таких веществах плоские монохроматические волны мо-
гут распространяться без изменения поляризации только в том случае,
если они поляризованы по кругу в ту или другую сторону, причем ком-
плексные показатели преломления для правой и левой круговых поляри-
заций различны. Наглядной моделью изотропной оптически активной
среды может служить случайная решетка из винтов: она инвариантна от-
носительно поворота на произвольный угол, но при зеркальном отраже-
Более сложные частицы
233
нии направление нарезки изменится. В качестве примера изотропной оп-
тически активной частицы можно привести каплю сахарного сиропа.
Для макроскопического описания оптической активности достаточ-
но воспользоваться материальными уравнениями вида
D = еЕ + yev ХЕ, В = р.Н + Д/iV X Н, (8.5)
где е,ц, у и р - скалярные коэффициенты макроскопической теории.В
средах, описываемых соотношениями (8.5), однородные плоские электро-
магнитные волны могут распространяться только в том случае, когда
они поляризованы по кругу. При у = р макроскопические коэффициенты
связаны с комплексными показателями преломления NL и NR соотноше-
ниями
1
Wi/CU = ~Г,-----------г,
v р |(1/кя + l/kL)
причем волновые числа к^ и кд равны
к = — N к = — N
В предположении о временной зависимости вида е~*ше уравнения Макс-
велла (2.1) - (2.4) можно записать следующим образом:
V • (о + — jJ = О,
V • В = О,
V X Е - iwB = О,
VXH + iw D + -jJ = 0.
\ w /
(8-6)
(8-7)
Заметим, что D и JF в уравнениях (8.6) и (8.7) фигурируют только в виде
комбинации D + которую можно интерпретировать как полную
электрическую индукцию; предположим, что именно эта величина обоз-
начена в (8.5) через D. Изменить обозначение мы могли бы еще в пре-
дыдущих главах, но воздержались из-за привычности понятия "проводи-
мость". Однако из макроскопических экспериментов, о которых идет
речь в данной книге, невозможно определить, какими токами - "свобод-
ными” или "связанными" - обусловлена мнимая часть показателя пре-
ломления. Поэтому здесь не стоит делать отдельных предположений о
связях между D и Е и между JF и- Е .
234
Глава 8
Уравнения Максвелла (8.6), (8.7) вместе с материальными уравне-
ниями (8.5) можно компактно записать в матричной форме:
iu ( ~ i/Зецы р
1-02еро2\ -е -ifaw
(8-8)
Мы часто говорим об электромагнитном поле, а затем начинаем рассуж-
дать об электрическом и магнитном полях как о разных величинах. В
этом есть некоторая непоследовательность. Но только что мы показали,
что уравнения для полей можно записать в такой форме, где электромаг-
нитное поле — вектор-столбец с элементами Е и Н — рассматривается
как единая величина. Система имеет красивый вид, но для решения на-
шей задачи ее красота не приносит реальной пользы.
Линейное преобразование электромагнитного поля в виде
W '««/
приводит матрицу К к диагональной форме:
Л = А~‘КА,
причем
/к, 0 ) в /1 aR\
Л- о -к,- А-L 1
(8-9)
а к = -ijp7e,
а! = -ц/е/р.
Преобразованные поля 0^ и независимо друг от друга удовлетво-
ряют уравнениям вида
V2Q + k2Q = О,
V X Q = kQ,
(8.10)
(8.П)
Более сложные частицы
235
V * Q = 0, (8.12)
где к = кд для Q = Од и к - —kR для Q = Од. Отсюда следует, что
в оптически активной среде наиболее общим видом электромагнитной
волны является суперпозиция волн с правой и левой круговыми поляри-
зациями.
В начале данного раздела мы заявили, что в средах, описываемых
материальными уравнениями (8.5), могут распространяться только вол-
ны с круговой поляризацией. Теперь достаточно просто доказать, что
это действительно так. Рассмотрим плоские однородные волны exp(jk-x),
распространяющиеся в направлении единичного вектора е, причем
к = ке. Из (8.11) имеем; е xQ= +Q, а условие поперечности (8.12) при-
водит к соотношению е'О = 0. Поэтому О можно представить в виде
Q = ^цвц + , где е * ед= ёц и е х вц = -ёд, откуда следует,
что
Q = <?„(«,! ±
где знак плюс относится к случаю, когда Q = QR, а знак минус - когда
Q = Од. В разд. 2.11 было показано, что комплексный вектор ejj + iej
описывает поляризованную по кругу волну с правым направлением вра-
щения, а вектор вц - - с левым. Отсюда ясно, что плоские волны,
удовлетворяющие уравнениям (8.10) - (8.12) для полей, обязательно
Должны иметь круговую поляризацию. Поэтому естественно говорить о
Од как о волне с левой круговой поляризацией, а о как о волне с
правой круговой поляризацией.
Рассмотрим теперь поле, рассеянное изотропным оптически актив-
ным шаром радиусом а, который находится в неактивной среде с вол-
новым числом к и освещается волной, поляризованной вдоль оси х. Боль-
шая часть исходных посылок для решения этой задачи изложена в гл. 4,
где приведены разложения (4.37) и (4.38) падающих электрического и
магнитного полей. Из уравнения (8.11) следует, что поле Q должно раз-
лагаться по функциям вида М ± N; поэтому разложения полей по вектор-
ным сферическим гармоникам имеют вид
Ql = Е E„{fon[M<',>n(kL) + N<’>(кд)] +
+/en[M<l|)(kL) + N<1>(kL)]),
236
Глава 8
О» - £ £,(s..[M'',',(k„) - N'|>(k,)]*
+g„[M<;',(k,) - N<;;(k,)]), (ваз)
где En= Eoin (2n +l)/n(n +1), а кд или lt£ в аргументах векторных
гармоник указывает, какое значение аргумента р= кд г или р = к^г
нужно использовать в сферических бесселевых функциях /п(р), фигури-
рующих в выражениях для соответствующих производящих функций. Из-
ложения рассеянных полей имеют вид
К = £
л-1
Н, = - «]•
п-1
Электромагнитное поле (Ер ЬЦ) внутри шара получается из (8.13) при по-
мощи преобразования (8.9). В гл. 4 мы видели, что в случае неактивно-
го шара с заданным показателем преломления п разложения для полей
зависят от четырех неизвестных коэффициентов; наличие оптической
активности удваивает их число. Они являются решением системы восьми
линейных уравнений, которая получается из условий (4.39) на границе^
отделяющей шар от окружающей среды. Прежде всего интерес представ-
ляют коэффициенты, входящие в выражение для рассеянного поля:
Vn(R)An(L) + V„(L)An(R)
а" Wn(L)Vn(R) + V„(L)Wn(R)’
W„(L)Bn(R) + Wn(R)Bn(L)
" ЖЛ(£)К(К) + К(£)ЖЛ(К)’
= .ж„(я)л(А)-и;(л)л(я) = _d
С" 'w,(L)V,(R) + V„(L)W„(R)
Wn(J) = - <„(x)^(w7x),
V„(J) = ’M™/* )£>(*) ~
Более сложные частицы
237
A„(J) = - ф„(х)ф'„(гп,х),
B„(J) = - m^n(x)^'„{mjx).
Здесь / принимает значения L или R, а относительные показатели пре-
ломления mL, mR и средний показатель преломления т определяются
соотношениями
1nL lyR
ь N N
m 2\mR mL] ц’
где N - показатель преломления, а ц - магнитная проницаемость окру-
жающей среды. Как правило, разность Дт показателей преломления mR
и mL мала; поэтому m-(mR +mL)/2 с точностью до членов порядка
(Am)2 (и в предположении, что Hj = ц). Если оптической активности
нет (mL = mR), то выражения для ап и Ьп сводятся к (4.53), а сп тож-
дественно обращается в нуль.
8.3.1. Матричные элементы и сечения
В разд. 4.4 было показано, что в случае оптически неактивного ша-
ра недиагональные элементы амплитудной матрицы рассеяния (3.12) об-
ращаются в нуль. Но если шар оптически активен, то матричные элемен-
ты равны
„ г 2л + 1 , . .
51 " ? и(и + 1)
= ? и(и+ 1)+ ЬпП”^
5з = и(и + 1/"^" + Т") = ~S*'
В задачах об оптически активных частицах обычно удобнее иметь дело
с амплитудной матрицей рассеяния в представлении круговой поляриза-
ции. Переход от линейно поляризованных компонент электрического по-
ля к поляризованным по кругу осуществляется при помощи преобра-
зования
(8.14)
238
Глава 8
а обратное преобразование имеет вид
= 1 чрч
\£х / /2 \ -I i )\Er/
(8.15)
Если входящие в (3.12) поля преобразовать в соответствии с (8.14) и
(8.15), то связь между падающим и рассеянным полями примет вид
-ikr
(S2c
\ $4 с
$3с ) / )
S|c/\£fli7
причем
5,с = |(S2 + S, - iS4 + iS3),
~ i(S2 + S, + iS4 - iS3),
^Зс ~ ~ S| + iS4 + iS3),
S4c = Hs2 - S, - iS4 - iS3).
Это соотношение не связано со специальным выбором частицы, но в
случае оптически активного шара два матричных элемента оказывают-
ся одинаковыми: SJc = S .
Элементы матрицы рассеяния (3.16) размером 4 х 4 в случае опти-
чески активного шара удовлетворяют следующим шести соотношениям:
S3i — S13, S32 — S23> s43 S34,
S41 — S14> S42 — S24, S2I 5i2.
(8.16)
Для оптически активной частицы сечения ослабления и рассеяния
оказываются разными в зависимости от направления круговой поляри-
зации падающего света. В случае оптически активного шара эти сече-
ния можно найти аналогично тому, как это было сделано в разд. 4.4
для неактивного шара. Поэтому мы опустим детали и приведем только
окончательные результаты!
00
Oca.L = 7Т Е (2« + l)[lan|2 + IM2 + 2|СП|2“
К п-1
- 21т{(а„ + &„)<*}],
Более сложные частицы
239
Csca,* = ТТ £ (2« + О W + IM2 + 2|С„|2 +
* п-1
+ 21т{(л„ + Ь„)с*}],
4тт
Cext,L = TrRe{SJ =
к2
= 77 £ (2п + l)Re{a„ + b„ - 2ic„),
к2 „-1
к2
= 77 £ (2« + l)Re{a„ + b„ + 2ic„}, (8.17)
к2 „-1
где SL = S2c(0°) и SR = Slc (0°) - элементы матрицы амплитуд рассе-
яния в направлении вперед.
8.3.2. Циркулярный дихроизм и вращение
плоскости поляризации
Мы показали, что в оптически активных средах без изменения ха-
рактера поляризации могут распространяться только волны с круговой
поляризацией. Что касается поляризации волны, которая в некоторой
точке, скажем при z = 0, поляризована линейно, то она будет непре-
рывно меняться по мере распространения волны в направлении оси z.
При z = h эта волна будет поляризована эллиптически с эллиптичностью
(отношением полуосей эллипса поляризации) , причем направление
большой полуоси эллипса поляризации повернется по отношению к на-
правлению поляризации при z = 0 на угол Фг. Эти величины выражают-
ся через комплексные показатели преломления = nL + ikL и
Nr = nR + ikR, отвечающие волнам с левой и правой круговой поляриза-
циями. При | 2ir(kL - kR) h/Ъ | << 1 они равны
Если угол Фг положителен, эллипс поляризации поворачивается по ча-
совой стрелке.
240
Глава 8
Если - kRi 0, то говорят, что среда циркулярно дихроична, т.е.
свет с разным направлением круговой поляризации поглощается в та-
кой среде по-разному; если nL -nR{ 0, то среда называется циркуляр-
но двоякопреломляющей, что проявляется в повороте плоскости поляри-
зации. Поворот плоскости поляризации и циркулярный дихроизм связа-
ны между собой соотношениями Крамерса - Кронига:
2 to2 „ г00 0(Я) ,п
ф (to) =---Р I ------ ~
ir Jq Я (Я2 - w2)
(8.18)
v ’ * -о Я2 — w2
где через <p = <bT/h и 0 = обозначены угол поворота плоскости
поляризации и изменение эллиптичности для единичной длины. Вывод
соотношений (8.18) дан в [ 141] и очень похож на приведенный в разд. 2.3
вывод дисперсионных соотношений. Отметим, что формулы (8.18) нель-
зя получить путем прямолинейного использования дисперсионных соот-
ношений (2.49) и (2.50) для и NR в отдельности и последующего вычи-
тания результирующих выражений; причины этого указываются в [434].
В средах, представляющих собой скопления частиц, циркулярный ди-
хроизм и поворот плоскости поляризации, удобно характеризовать пара-
метрами Стокса (2.80), которые в представлении круговой поляризации
имеют вид
I = Е,Е* + ERER, Q = E*ER + EREL,
U=i{E*LER-ELE*\ V=ErE%- ElE*l. (8.19)
Тогда поляризационные характеристики (направление у и эллиптичность
| tgr] | поляризации) произвольного пучка могут быть определены по па-
раметрам Стокса при помощи формул (2.82).
Если поворот плоскости поляризации Фг в облаке частиц определить
как изменение направления поляризации горизонтально поляризованно-
го падающего пучка (у,- = 0) после того, как он пройдет через эту среду,
то
$r=%-% = 2arctg-£p (8.20)
где индексы i и t соответствуют падающему и прошедшему пучкам.
Более сложные частицы
241
Аналогично, если циркулярный дихроизм ®т скопления частиц опреде-
лить как изменение эллиптичности горизонтального поляризованного
пучка (т](- = 0) после того, как он пройдет через скопление, то
= tg Ч,; Ч, = 2 arctg —г. (8.21)
М2 + ц2
Отметим, что приведенные выше определения поворота плоскости поля-
ризации и циркулярного дихроизма в среде, представляющей собой скоп-
ление рассеивателей, вообще говоря, зависят от выбора горизонатльно-
го направления; исключением является скопление, инвариантное отно-
сительно поворота на произвольный угол вокруг оси, параллельной на-
правлению распространения падающего пучка.
Уравнения (8.20) и (8.21) являются совершенно общими: при их вы-
воде не делалось никаких предположений о природе частиц. Рассмотрим
теперь частный случай: слой толщиной h , заполненный одинаковыми
частицами с концентрацией Л, причем окружающая среда не поглощает
и не обладает оптической активностью. Если амплитудная матрица рас-
сеяния в представлении круговой поляризации диагональна для рассе-
яния вперед [53с(0°) = Stc (0°) = 0], то выражения для поляризованных
вправо и влево компонент прошедшего поля можно получить при помощи
рассуждений, аналогичных использованным при выводе (3.39). Резуль-
тат имеет вид:
h ~ - -и- ”М).
(8.22)
где Е = Eq exp (i кг) — падающее электрическое поле. Кроме того, при
выводе (8.22) предположено, что ] 2тгTlSЛ/k2 ] << 1. Подставив в (8.20)
и (8.21) параметры Стокса (8.19), соответствующие полям (8.22), най-
дем
-SR). (8.23)
kx
Таким образом, разность диагональных элементов амплитудной матри-
цы рассеяния в представлении круговой поляризации в случае рассеяния
вперед имеет простую физическую интерпретацию. Для удобства мы рас-
16-205
242
Глава 8
сматривали одинаковые частицы, но соотношение (8.23) легко обобщат
ется на взвесь, состоящую из частиц разного типа: поворот плоскости
поляризации и циркулярный дихроизм в такой среде представляют собой
просто сумму, обусловленную отдельными компонентами. В условиях,
когда можно пренебречь многократным рассеянием, удается ослабить
и требование | 2 -тт Л S A/k21<< 1; по этому поводу см. рассуждения, при-
веденные вслед за формулой (3.46).
Если частицы являются однородными шарами, то из результатов
предыдущего раздела имеем
/(5£-5я) = 253(0°) = 2Е (2и+1)с„. (8.24)
П=1
Далее из формул (8.17) и (8.23) следует, что циркулярный дихроизм сос-
тоящей из шаров взвеси пропорционален разности сечений экстинкции
для света с левой и правой круговыми поляризациями:
0 - "Т-^ext, L ~ Qxt, /? ) _ ®sca + ^abs ’
4
®sca =-^“ ^^sca, L ~ C sca,^ ®abs ^^abs, L ~ ^abs, R
(8.25)
Оказывается, что соотношение (8.25) справедливо не только для шаров,
но и для частиц произвольной формы. Таким образом, в среде, пред-
ставляющей собой облако дискретных рассеивателей, циркулярный ди-
хроизм определяется не только различием поглощения света с правой
и левой круговыми поляризациями, как это имеет место в однородных
средах, но и различием в рассеянии света этих поляризаций.
В случае достаточно малых шаров (х« 1, |mx|<< 1) ряд
(8.24) можно оборвать, сохранив лишь первый член; выражение для ко-
эффициента при первом члене ряда, справедливое с точностью до членов
порядка х3 включительно, имеет вид
х3 mL - mR
1 3 т2 + 2
При выводе этой формулы использованы разложения (5.3) различных
функций Бесселя и их производных. Таким образом, для малых частиц
(8.23) принимает вид
л т + 2
Более сложные частицы
243
где через f = 4тта3Д/3 обозначена доля объема, занимаемая частицами,
Величина тт(^ - NR)/'K описывает поворот плоскости поляризации и
циркулярный дихроизм в веществе шара, а множитель 3 /(т2 + 2) можно
интерпретировать как влияние окружающей среды.
Если в некотором диапазоне частот средний относительный показа-
тель преломления т почти не меняется с частотой, то в нем спектр цир-
кулярного дихроизма 0(w) (ЦД-спектр) и спектр дисперсии поворотов
плоскости поляризации <р (к) (ДППП-спектр), отвечающие малым в масш-
табе длины волны шарам, будут практически совпадать с соответствую-
щими спектрами однородного вещества, заполняющего их объем. Однако
для шаров или частиц другой формы, размеры которых сравнимы или
больше Длины волны, это утверждение может оказаться неверным. В
действительности ЦД-спектры (или ДППП-спектры) одного и того же ве-
щества в однородном и раздробленном состояниях могут почти не иметь
сходства, что важно для интерпретации ПД- и Д111111-спектров биологи-
ческих частиц.
8.4. БЕСКОНЕЧНЫЙ ПРЯМОЙ КРУГОВОЙ ЦИЛИНДР
Многие встречающиеся в природе частицы, например некоторые ви-
русы и асбестовые волокна, лучше всего описывать как цилиндры, длина
которых во много раз превосходит диаметр. Поэтому в данном разделе
мы построим строгое решение задачи поглощения и рассеяния на беско-
нечно длинном круговом цилиндре и изучим его некоторые свойства.
Как и в задаче рассеяния на шаре (гл. 4), мы будем исходить из ска-
лярного волнового уравнения V2\p + = 0, которое в цилиндрических
координатах г, <р, г (рис. 8.2) записываетея в виде
/ д±\
г dr \ dr J
+ 1^к
г2 дф2
+ + к2ф = 0.
dz2
(8.26)
Используемые в методе разделения переменных однозначные по <р реше-
ния (8.26) имеют вид
^п(г,Ф, 2) = гп(р)е'пфе‘>'г (п = 0,± 1,...), (8.27)
где р - г\Д2 - Z 2\ a Zn - решение уравнения Бесселя
P^(P^Z") + ^2“"2)Z"“0-
(8.28)
244
Глава 8
РИС. 8.2. Цилиндрическая система координат. Ось z направлена вдоль оси
бесконечного цилиндра.
Линейно независимыми решениями уравнения (8.28) являются функции
Бесселя первого и второго рода (Jn и Уп) с целочисленным индексом п.
В общем случае на константу разделения h ограничения не налагаются,
но в рассматриваемых нами задачах, величина h определяется видом
падающего поля и необходимостью удовлетворить граничным услови-
ям (3.7) на наружной поверхности цилиндра.
Производящие (8.27) векторные цилиндрические гармоники имеют
вид
ч V X М„
М,= 7ХШ N, =--------------
где в качестве направляющего вектора мы взяли единичный вектор ё2,
параллельный оси цилиндра (рис. 8.3). В компонентной записи вектор-
ные гармоники равны
м„ = Л2 - h2 - z;(p)^P'(n*+*z),
/к2 - h2 / , . u„Z^ & .
N„ =-----p--1 ihZn(p)&r ~ Ьп—^—еф +
+ Л2 - Й2 Zn(pei(пф+hz>.
Более сложные частицы
245
РИС. 8.3. Наклонное падение плоской волны на бесконечный цилиндр.
Они ортогональны в том смысле, что
Гмп-м*т<1Ф = /2Х-н:</ф = /2Х-*^ф = о
•'О Jo Jo
Рассмотрим теперь бесконечный прямой круговой цилиндр радиусом
а, на который падает однородная плоская волна Е. = Ео е,к8‘ х , распро-
страняющаяся в направлении е.= -sin£ e%-cos^ez, составляющем с осью
Цилиндра угол £ (рис. 8.3). Имеется два возможных направления поляризации
падающей волны: ее электрическое поле может быть поляризовано па-
раллельно плоскости xz или перпендикулярно ей. Каждую из этих поля-
ризаций мы рассмотрим отдельно.
246
Глава 8
Случай I .Электрическое поле параллельно плоскости xz„ Прежде всего
нужно разложить падающее электрическое поле
Е,. = E0(sin& - cos^)e-lk<rsin?co^+zcosn
по векторным цилиндрическим гармоникам. Для того чтобы разложение
было конечным при г = 0, необходимо исключить функции Бесселя Упиз
радиальной части производящей функции; кроме того, из вида Е. ясно,
что входящая в (8.27) константа h должна быть равна -k cos £ . Таким
образом, разложение Ef имеет вид
Е,= £ M' + WL
П = - 00
причем производящей векторные гармоники функцией здесь является
/n(krsin^) eift4e~lkzcos^ . Для определения коэффициентов 4 и вос-
пользуемся ортогональностью векторных гармоник; при этом нам по-
требуется вычислить интегралы
(!) 2-тт .
0 = f e-4(nq> + pcosq> ) >
п О
(2) 2тт ,
= f е-«(Пф + Р cos COS ф «/ф,
(3) 2тт
К = f е~* (n<’> + pC0S<’>)sin<prf<p,
где р = kr sin 5 . Из интегрального представления функции Бесселя
которая при вещественных р вещественна, немедленно следует, что
(1) (D
3 = 2n(-j )n L (р). Дифференцируя 4 по р, получаем
п п
(2)
$ - 2 -tri (-/)"/' (р)- Третий интеграл можно записать следующим об-
разом:
Более сложные частицы
247
Если теперь воспользоваться тождеством
то нетрудно показать, что $ - 2п( -i)" Jn (р) га/р- Теперь нужно только
немного терпения, чтобы показать, что
откуда следует, что разложение падающего электромагнитного поля име-
ет вид
00 _,ь 00
е,= Е W, н, = —- L
n=-00 W п=-00
где Еп = E0(-i )n/(ksin£).
Для того чтобы выполнялись условия непрерывности (3.7) на грани-
це цилиндра при всех z, необходимо, чтобы константа разделения h,
входящая в выражение для волновых функций, являющихся производящи-
ми для векторных гармоник поля внутри цилиндра, тоже равнялась
—к с os для ограниченности решения в начале координат требуется,
чтобы радиальная зависимость определялась только функциями Бессе-
ля Jn. Отсюда следует, что для внутреннего поля (E^HJ производящи-
ми Функциями ЯВЛЯЮТСЯ функции /П(к rV'n2 -cos25 ) e,n‘₽e-lk2cos^, где
т— относительный (по отношению к окружающей среде) показатель пре-
ломления Цилиндра. Соответствующие разложения имеют вид
00
Ei = Е £n[gnM<” +/nNn(l)],
П= — 00
Н|=^ Е Еп [g„Nn(1) + /ВМ<”].
"Pl П--00
Другими линейно независимыми решениями уравнения (8.28) являются
Л. г, (1) (2)
функции Ганкеля Нп - Jn + i~Yn и У = Jn -iYn‘, их асимптотические
248
Глава 8
выражения даются формулой (4.41):
|р| » «2-
e-iPinei^/4
Следовательно, производящими функциями в разложениях для рассеян-
ного поля (ЕЯ,Н)
00
Е,= - Е ШЛ3' + юв1м<3)],
ля — 00
н5 = ^ Ё + <anIN<4
СОЦ
” пя — оо
(I)
ДОЛЖНЫ быть функции Н (krsin^ ) eln9 cos , поскольку на боль-
ших расстояниях от Цилиндра рассеянное поле должно представлять со-
бой уходящую волну.
Использование граничных условий (3.7) при г - а позволяет по-
лучить четыре уравнения Для четырех входящих в разложение коэф-
фициентов, из которых можно найти выражения для коэффициентов
“ni > ^ni Рассеянного поля:
CnVn - BnD , WnB„ + iDCn
_____ П П П П E П П n n
OnT — о ’ Ail — о »
WnVn + iD2 WaV„ + iD2
IЁ2 \
Dn = «cosfijJB(ij)^(,)(^)pj - 1 ,
\4 /
b„ = <[wVn'(4)-4(<) - Ч(чМ(С)]>
CB = ncos?4JB(4)JBa) 1 , (8.29)
\4 /
vn = £[^(ч)тте) -
w„ = ^[ч/в(ч)я<')'(С -^(4)^(0].
Более сложные частицы
249
Здесь мы положили ц = и ввели обозначения: § = *sin£ ,
Г] = х\[т2 -cos2^, х = ka. Из соотношений = (- 1)" 1п и Y^- (-1)"^
следует, что
a-nl = -anl’ ^-nl V aoi = О-
Если падающее поле направлено по нормали к оси Цилиндра (£ = 90°),
то коэффициент ап £ обращается в нуль, а
. (Г 00°^ h Jdmx)Jn(x) -
- * ) - ь. - Цтх)и„х) _ ^(тх)н^х)
Случай П. Электрическое поле перпендикулярно плоскости xz. Разло-
жение электрического поля падающей волны Е. =EQe e-«*(rsin ?c°s <p + zcos[)
имеет вид у
е,. = - i L W”,
п— — 00
а примёйение к нему оператора rot дает выражение для магнитного по-
ля падающей волны. Входящие в рассеянное поле
Е,= Е £в[ш„пМ<3> + fenIIN<3)]
п— — 00
коэффициенты можно записать в следующем виде
а _ _ W ~ iCnDn CnWn + AnDn
WnVn + iD2 ’ лП WnVn + iD2 ’ ( ' }
где Dn> Cn и т.д. определены в предыдущем разделе, причем
Из свойств функций Бесселя следует, что
а-пп = алп> Ь_лП = -Ьа11, Ьоп = 0.
Не очень сложно показать, что
аи1 - ^и11>
xotjThto и не очевидно. Впервые на этот факт было указано в [ 265].
Если свет падает по нс :)мали к оси Цилиндра, то Ьп11 обращается в
250
Глава 8
нуль, а
'90 ’' “=чне(»н>)Ш (8-3 ’
8.4.1. Асимптотика рассеянного попя
На больших расстояниях от цилиндра (krsin£ » 1) асимптотическое
выражение для рассеянного поля (случай I ) имеет вид
/ 9
Е ~ — £ с~i^/4 / х eik(rsinf-zcosJ) х
•' 0 у irkrsinf
X £(- [а„1ёФ + b„i(cosf6r + sinfejj. (8.33)
п
Если же электрическое поле падающей волны поляризовано перпенди-
кулярно плоскости xz (случай II), то асимптотика рассеянного поля да-
ется формулой (8.33), в которой ап1 нужно заменить на -%ц, а 6л1
РИС. 8.4. Волновой фронт и волновые нормали света, рассеянного на бес-
конечном цилиндре.
Более сложные частицы
251
заменить на - Ъ тт .
п п
Поверхности постоянной фазы или волновые фронты рассеянной
волны (8.33), точки которых удовлетворяют уравнению
f(x, у, г) = г sin f - zcosf = С,
представляют собой конусы с углом раствора 2 £ и с вершиной в точ-
ке z = -С cos (рис. 8.4). Поэтому процесс распространения рассеян-
ной волны можно наглядно представить в виде конуса, который сколь-
зит вдоль цилиндра. В каждой точке этого конуса направление распро-
странения волны, или волновая нормаль (нормаль к волновому фронту),
задается единичным вектором ея , который равен
ё, = V/ = sin £ёг - cos fe7.
Таким образом, вектор Пойнтинга направлен вдоль 6 . Если падающий
пучок направлен по нормали к оси цилиндра (£ = 90°), то конус вырож-
дается в цилиндр.
Убедительной и очень красивой демонстрацией того, что рассеян-
ный длинным цилиндром свет представляет собой коническую волну, яв-
ляется эксперимент, в котором волокно освещается узким лазерным
пучком. Если на некотором расстоянии от волокна установить экран,
РИС. 8.5. Конические сечения, полученные при рассеянии лазерного пучка
на тонком волокне.
252
Глава 8
перпендикулярный направлению распространения пучка, то на нем Долж-
ны получаться изображения в виде конических сечений. При нормаль-
ном падении света на волокно изображение представляет собой прямую
линию. По мере уменьшения £ на экране появляется последователь-
ность гипербол, которые при £ = 45° переходят в параболу. При уг-
лах падения, меньших 45°, на экране возникают эллипсы, эксцентри-
ситет которых уменьшается с уменьшением £ , и при 5 > приближающем-
ся к нулю, изображение стремится к окружности. На рис. 8.5 приведе-
на серия полученных с осциллографа фотографий изображений, сфор-
мированных на экране при рассеянии лазерного пучка на тонком волок-
не. На этом рисунке видны не только разные конические сечения, воз-
никающие в результате изменения угла $ , но и некоторые максимумы
и минимумы индикатрисы рассеяния.
8.4.2. Амплитудная матрица рассеяния
В гл. 3 мы получили общее выражение Для амплитудной матрицы
рассеяния произвольной частицы. При этом молчаливо использовалось
предположение, что частица занимает ограниченную область простран-
ства, хотя для бесконечного цилиндра такое предположение и не выпол-
няется. Тем не менее рассеянное бесконечным цилиндром поле удает-
ся записать в сжатой форме, если падающее и рассеянное поле разло-
жить на компоненты, параллельные и перпендикулярные плоскостям,
которые проходят через ось цилиндра (ez ) и соответствующие волно-
вые нормали (см. рис. 8.3). Иными словами, падающее поле мы запи-
сываем в виде
Е, = + £±/ё±,)?к-х,
ё|1,- = sin ^ёг - cos£ёЛ, ё±( = ~&у, X ёу,- — ё(»
а рассеянное поле - как сумму компонент, параллельных и перпендшу-
лярных плоскости <р = const:
4 = cos^ + sin^z, ё^ = ё», <иХё„, = ё,.
Теперь можно написать матричное соотношение между падающим и рас-
сеянным полями
Более сложные частицы
253
Е \ / 5 IТ
II5 I _ ^/Ззт/4 / ^/kfrsin f-zcosf) I 1
E±s V w кг sin J 1гз
r4W
Г2Ц
7) = E bnle in& = 6OI + 2 £ ftnIcos(n0),
— 00 n— I
00 00
тг = E aniie ‘"’e = aon + 2 E aniicos(«0), (8.34)
— 00 n= 1
00 00
T3 = E ani^“'”e = -2» E a„iSin(«0),
— 00 n— 1
00 00
^4 = E bnlle~ine = —2i £ Z>„nsin(«0) = -T3,
— 00 П— I
где мы заменили угловую переменную <р на 0 = тт - <р.
В отличие от амплитудной матрицы рассеяния для шара (гл. 4) неди-
агональные элементы амплитудной матрицы рассеяния для цилиндра, во-
обще говоря, не равны нулю. Следовательно, если падающий свет поля-
ризован параллельно (перпендикулярно) плоскости xz, то в рассеянном
поле присутствует компонента, перпендикулярная (параллельная) плос-
кости, проходящей через ось цилиндра и направление рассеяния es.
Однако из соображений симметрии следует, что Т3 и Т4 должны обра-
щаться в нуль, если £ лежит либо в плоскости рассеяния вперед (0 = 0°),
либо в плоскости обратного рассеяния (0= 180°). Если свет падает по
нормали к оси цилиндра, то Т3 и Т* тождественно обращаются в нуль
при любом 0.
8.4.3. Сечения рассеяния и экстинкции
Мы неоднократно говорили о "бесконечном" цилиндре, однако ясно,
что это понятие является идеализированным. В действительности же
имеется в виду цилиндр, длина которого во много раз превосходит его
Диаметр. В данном разделе мы попытаемся выяснить, насколько длин-
ным должен быть цилиндр, чтобы при исследовании рассеяния в приб-
лижении скалярной теории дифракции его можно было считать беско-
нечным.
Разумеется, сечение рассеяния и сечение поглощения бесконечно-
го цилиндра бесконечны; однако количество света, рассеянного ипогло-
254
Глава 8
РИС. 8.6. Поверхность интегрирования (пунктир).
щенного единицей длины такого цилиндра, конечно. Пренебрегая крае-
выми эффектами, можно считать, что отношение /[ L (Иа / L)] для ко-
нечного цилиндра длины L приближенно совпадает с количеством све-
та, рассеянного (поглощенного) единицей Длины бесконечного цилиндра,
причем это соотношение будет тем точнее, чем больше отношение дли-
ны цилиндра к его диаметру.
Расчет приходящихся на единицу длины сечений (погонных сечений)
бесконечного цилиндра можно провести аналогично приведенному в
разд. 3.4 расчету сечений частиц конечного размера. Для этого вообра-
зим замкнутую концентричную с цилиндром поверхность А длиной L и
радиусом R (рис. 8.6). Скорость Wa , с которой внутри этой поверхнос-
ти поглощается энергия, равна
Wa=-/S-AdA = Wext- Ws,
JA
Более сложные частицы
255
где S - вектор Пойнтинга. Вклад в Wa от оснований поверхности А ра-
вен нулю, поэтому
W, = RL f2\Ss)rd<t>, Wext = RL [2п(^)^ф, (8.35)
Jo Jo
где через (Sx )f и (Sext)r обозначены радиальные компоненты векторов
S, = | Re(Es X Щ), 5ext = | Re(E, X Щ + E„ x H/y.
Рассмотрим случай, когда падающее электрическое поле параллель-
но плоскости xz (случай Г). Подставив в выражения для векторов Sx и
Sext падающее и рассеянное поля в виде рядов и-вычислив интегралы в
(8.35), получим выражения для факторов эффективности ()sca j и
I рассеяния и экстинкции:
UZ 7 оо
Q^a = ЕЙ = х |Z,°l12 + 2 + |а"112) ’
W 2 ( 00
G«=«-i = 2iH = xReroi + 2^^
’ * \ П — 1
(8.36)
Отметим, что
2
Sext.! = - Re{7’1(0 = 0°)}.
Это соотношение выражает оптическую теорему для случая бесконечно-
го цилиндра.
Аналогичным образом найдем факторы эффективности рассеяния
и экстинкции для случая, когда падающее электрическое поле поляризо-
вано перпендикулярно плоскости xz (случай II):
Csca.II
1аоп12 + 2 $2 (1а„п|2 + l^nll|2)
п = 1
Cext.II
2 I 00 ) 2
= - Re а0П + 2 Е «„п = ~ Re(T2(0 = О0)).
Л I , I Л
\ п=1 /
(8-37)
Если падающий свет неполлризован, то факторы эффективности равны
Csca = l(Csca,I + Qsca.Il)’ Cext ~~ iCCext.I + Cext.il)-
256
Глава 8
8.4.4. Падение света по нормали
При нормальном падении света на цилиндр коэффициенты в выра-
жениях для рассеянного поля принимают наиболее простой вид. Но фор-
мулы (8.30) и (8.32) записаны не в самом удобном Для вычислений виде.
Если ввести логарифмическую производную
DM -
и воспользоваться рекуррентным соотношением
z;(x) = zB_,(x)-^zB(x),
где Z — произвольная функция Бесселя, то коэффициенты можно пе-
реписать в виде
= [Рп(тх)/т + и/х]/в(х) - JB_,(x)
[Р„(тх)/т + и/х]Я„(1’(х) - H^fx) ’
(8.38)
b [тР„(тх) + n/x]j„(x) -
[тРп(тх) + и/х]Яв(1’(х) - H^fx)
Логарифмическая производная подчиняется рекуррентному соотношению
/ х п — 1__________1______
Dn^-’ z (n/z) + D„(z)'
Программа для вычисления на ЭВМ коэффициентов (8.38) и отвечающих
им сечений и элементов матрицы рассеяния приводится в приложении В;
все приводимые ниже примеры рассчитаны по этой программе.
Для освещенного по нормали цилиндра амплитудная матрица рас-
сеяния диагональна:
Напомним, что поверхностями постоянной фазы рассеянной волны в дан-
ном случае являются цилиндры. Поэтому свет, рассеянный длинным
по сравнению со своим диаметром цилиндром, может быть зарегистри-
рован хорошо коллимированным приемником только в том случае, ког-
Более сложные частицы
257
да этот приемник "смотрит" в направлении, перпендикулярном оси ци-
линдра. Тому имеется множество примеров, но на большинство из них,
по-видимому, просто не обращают внимания. Так, например, случайно
ориентированные царапины на лобовом стекле автомобиля при освеще-
нии фарами встречной машины образуют картину в виде концентричес-
ких колец; в то же время пыль на лобовом стекле дает более запутан-
ную картину. Царапины достаточно длинны по сравнению со своим по-
перечным размером, так что их можно считать бесконечными цилиндра-
ми; поэтому попадающий в глаз свет рассеивается только на тех цара-
пинах, которые перпендикулярны прямым, соединяющим каждую из них
с глазом, а все такие царапины лежат на концентрических окружностях
с центром на пересечении линии визирования с лобовым стеклом. Коль-
цеобразную структуру можно наблюдать и при рассматривании точеч-
ного источника сквозь волокнистое вещество: если лампочки на ново-
годней елке опутаны пушистой мишурой, то создается впечатление, что
они окружены нимбами из рассеянного света; к такому же эффекту
приводит елочная канитель.
Матрица рассеяния, соответствующая (8.40), имеет такой же вид,
как и (4.47) для шара:
frn T12
Q, 2 P\2 ^11
us wkr 0 0
vs 0 0
7’„«1(|7’1|2+ |Т2|2),
0 0 7,
0 0 Q.
Т’зз ^34 ц 7
-^34 Т’зз / Ы
Tn = 1(1?’. I2- 1^12
т34 = Вд).
Тем не менее между рассеянием на шаре и рассеянием на освещенном
по нормали цилиндре имеется заметная разница. Например, отношение
р~ > аналогичное отношению (4.78), не обязательно обращается
в нуль при рассеянии вперед (или при обратном рассеянии). Отсюда сле-
дует, что при рассеянии неполяризованного света рассеянный вперед
свет, вообще говоря, будет частично поляризован. Для шара из опти-
чески неактивного вещества сечения рассеяния и экстинкции не зави-
сят от поляризации падающего света; для цилиндра же эти величины
могут оказаться совершенно разными для разных поляризаций. Это ил-
люстрирует рис. 8.7, на котором приведены графики сечений рассея-
17-205
258
Глава 8
ния единицы объема частицы для разных поляризаций (параллельной
и перпендикулярной оси цилиндра) падающего света в зависимости от диамет-
ра. Предполагается, что цилиндр окружен воздухом и состоит из непоглощаю-
щего вещества с показателем преломления, равным 1,55, что приблизитель-
но отвечает многим силикатам в диапазоне видимого света. Принятая
длина волны - 0,6328 мкм соответствует гелий-неоновому лазеру. В разд. 4.4
было показано, что сечение экстинкции большой по сравнению с длиной волны
частицы равно ее удвоенному геометрическому сечению G. Поэтому
сечение рассеяния единицы объема непоглощающего цилиндра асимпто-
тически приближается к предельному значению
Csca 2G 4
v v чга
(8.41)
Диаметр, мкм
РИС. 8.7. Сечение рассеяния единицы объема цилиндра При нормальном па-
дении света для параллельной (сплошная пиния) и перпендикулярной (штрихо-
вая кривая) по отношению к оси цилиндра поляризаций. Точечная кривая -
асимптотический предел. Окружающая среда - воздух.
Более сложные частицы
259
РИС. 8.8. То же, что и на рис. 8.7, но в качестве окружающей среды взята
вода.
независимо от поляризации падающего света; предельное значение
(8.41) также приведено на рис. 8.7. Этот рисунок достоин самого внима-
тельного изучения, так как из него можно очень много узнать. Если па-
раметр дифракции больше 5, ТО разницы между рассеянием света, по-
ляризованного параллельно или перпендикулярно оси Цилиндра, по сути
дела, нет. Но при меньших значениях параметра дифракции разница мо-
жет стать заметной; максимальной она становится при х = 1. Заметим
также, что свое максимальное значение сечение рассеяния единицы
объема частицы принимает при ха*2,5, что соответствует диаметру око-
ло 0,5 мкм; следовательно, частицы этого размера рассеивают свет па-
дающего пучка наиболее эффективно. Поразительны последствия изме-
нения окружающей среды; они хорошо видны на рис. 8.8, где в качест-
ве окружающей среды вместо воздуха взята вода. На этом рисунке се-
чение рассеяния почти не зависит от поляризации падающего света при
260
Глава 8
всех значениях диаметра частицы. Заметно отличаются и формы кри-
вых на этих графиках: если цилиндр окружен водой, то рябь исчезает,
а диаметр, на котором Csca/ v принимает максимальное значение, сме-
щается от 0,5 мкм примерно к 1,1 мкм.
8.4.5. Предел малых частиц
При достаточно малых хи | т | х коэффициенты а0 и Ьо в выраже-
нии для рассеянного поля приближенно равны
-iirx4(m2 - 1) , — iirx2(m2-l) ./о
а° s------32-----’ Ь° ~--------4 •
Для вывода (8.42) мы воспользовались формулами (8.30) и (8.32), под-
ставив в них следующие выражения для бесселевых функций и их произ-
водных:
7 2 7 7?
Л>(2) ~ 1 "д'> Л>(2) — — 2 + Тб ’
И « 1
МО->(£), да.1,
и сохранив лишь члены с минимальной степенью х. Аналогичным обра-
зом, используя соотношения
Т, х z z3 г/ \ 1 _ Зг2
16’ ) ~ 2- 16’
найдем приближенные выражения для at и Ъ^-
-iirx2 т2 - 1 t -гпх4(т2 - 1)
а' * 4 ш2 + 1’ 32
Элементы амплитудной матрицы рассеяния с точностью до членов по-
рядка х2 включительно равны
Т, = Ьо, Т2 = 2ЙЦСО8 0.
Отсюда следует, что при рассеянии неполяризованного света степень
поляризации рассеянного света есть
Более сложные частицы
261
р _ I”»2 + 1|2 ~ 4cos20
|m2 + 1|2 + 4cos20
Таким образом, при 0 = 90° рассеянный свет оказывается полностью
поляризованным вдоль оси цилиндра.
8.4.6. Анизотропный цилиндр
Как правило, задачи рассеяния на телах из анизотропного вещест-
ва не поддаются строгому анализу. Одним из немногих исключений из
этого общего правила является задача об освещенном по нормали к сво-
ей оси цилиндре из одноосного вещества при условии, что ось цилиндра
совпадает с оптической осью. Иными словами, задача рассеяния име-
ет строгое решение, если материальное уравнение, связывающее D и
Е, имеет вид
(ох\ 'ех 0 О'
Dy а 0 0 ЕУ
. Dz.l . 0 0 % И
причем ось z параллельна оси цилиндра. Нетрудно показать, что коэф-
фициенты ап и Ъп по форме совпадают с (8.32) и (8.30):
а„ = а„(х,т±), Ьп = Ьп(х, т№),
где и тц - комплексные показатели преломления, соответству-
ющие главным значениям и е ц тензора диэлектрической проница-
емости. Таким образом, если падающий свет поляризован параллельно
оси цилиндра, то цилиндр поглощает и рассеивает свет так, как если
бы он был изотропным с диэлектрической проницаемостью е 11 ; если
же падающий свет поляризован перпендикулярно оси цилиндра, то он
« забывает» о продольной диэлектрической проницаемости и реагирует толь-
ко на
8.4.7. Скалярная теория дифракции
Задачу рассеяния на ограниченном цилиндре невозможно описать
точно на основании того метода, который до сих пор служил достаточ-
но хорошо, т.е. путем решения скалярного волнового уравнения по ме-
тоду разделения переменных и разложения всех полей по соответству-
ющим векторным гармоникам. У ограниченного цилиндра есть край, ко-
торый оказывается камнем преткновения в задаче рассеяния. Тем не
262
Глава 8
менее, обратившись к приближению скалярной теории дифракции, все
же удается составить некоторое представление о рассеянии на ограни-
ченном цилиндре. По этой теории, изложенной в разд. 4.4, объекты с
одинаковым поперечным (по отношению к направлению падения) сече-
нием, такие, как светонепроницаемый цилиндр, светонепроницаемый
прямоугольный экран и прямоугольное отверстие в светонепроницаемом экра-
не, рассеивают свет совершенно одинаково, причем результат не зависит от
поляризации падающего света. Рассмотрим поэтому рассеяние (дифракцию) на
светонепроницаемом экране, изображенном на рис. 8.9. В соответст-
вии с (4.70) амплитуда рассеянной волны дается соотношением
$(0,ф) = k С1 COsg) CL/2 e-1ksm«(fcos*+4sm*)^^
РИС. 8.9. Светонепроницаемый прямоугольный экран, освещаемый плоской
волной.
Более сложные частицы
263
которое после интегрирования принимает вид
5(е,ф) =
(1 + cos 0) х sin( х sin 6 sin ф) xR sin( xR sin 0 cos ф)
ir x sin 6 sin ф xR sin 0 cos ф
Здесь R = L/(2a) - отношение длины к диаметру, а х = ка. Дифрак-
ционное сечение равно геометрическому сечению G:
(2* ГlS(g’?)l2singJg^ = 2aL = 4а2/?.
Jo Jo k2
Фазовая функция р(0, <р) = 1 S (0, <р) 12/(4х2Л), равная той доле всего
рассеянного света, которая рассеивается в единичный телесный угол
около данного направления (0, <р), достигает своего максимума при рас-
сеянии вперед:
р(0°) = ^ = ^|.
Отсюда следует, что рассеянный свет тем сильнее концентрируется
относительно направления падения, чем больше размеры частицы (ра-
диус или длина).
Полезно обсудить поведение фазовой функции в зависимости от
угла рассеяния 0 при двух фиксированных значениях (0 и 90°) азиму-
тального угла. Для направлений рассеяния в плоскости, перпендикуляр-
ной оси цилиндра, фазовая функция р(0, 90°) равна ре(0,90°)sin2 (xsin0).
Здесь огибающая
Л(0,90°)
/ 1 + cos fl\2 р(0°)
\ 2 / %2 sin2fl
модулируется быстро осциллирующей функцией sin2(xsin 0). Аналогично
для направлений в плоскости, параллельной оси цилиндра, имеем
р (0, 0°) = (0,0°) sin2 {xR sin0), где
л(0,о°) = (
1 + cos fl \2 p(0°)
2 / x2/? 2 sin2 fl
Отношение огибающих равно
Л(0,9О°) ,
Ре(0,О°)
(8.43)
264
Глава 8
В рамках ограничений скалярной теории дифракции соотношение (8.43)
дает приближенный критерий, позволяющий оценить, когда ограничен-
ный цилиндр можно эффективно считать бесконечным: если, скажем,
R > 10, то в направлениях, не лежащих в плоскости, перпендикулярной
оси Цилиндра, рассеется сравнительно малая часть света. Чем больше R, тем
больше рассеянный свет концентрируется в этой плоскости; в пределе, когда R
стремится к бесконечности, свет вообще не рассеивается в направле-
ниях, которые не лежат вне этой плоскости. Показать это можно следу-
ющим образом. Фазовую функцию можно представить в виде р (0, <р) =
= С(0,ф)Е(0,ф), где
G{6, ф) =
1 + cos б xsin(xsin0sii^)
ir х sin 0 sin ф
2
ЛМ) = *
8т(х/?8тбсо8ф) 2
xR sin 6 cos ф
Если азимутальный угол не равен 90 и 270°, то
lim F(0, ф) = 0 (6*0).
R-* оо
Между тем интегралы
У jF(6, ф)</ф, У F(&t<t>)d<t>,
*0 *чт
не обращаются в нуль ни при каком R и при R -»<» стремятся к предель-
ному значению n/(4xsin0). Следовательно,
lim Г(б,ф) = —Д-т[«(ф - + б(ф - 4?) ,
я-.оо 4xsin6[ \ 2) V 2 /]
где через 5 обозначена дельта-функция Дирака. Если фазовую функцию
при бесконечно большом значении R обозначить через ~р, то
/*2тт ЧТ
[ I р(0, $)sin6= — [
Jo Jq lx Jo
1 + cos 6 xsin(xsin6)
ir xsinO
2
d0 = 1.
Поскольку p обращается в нуль вне плоскости <р = тг/2 (или <р = З-п/2),
достаточно рассматривать только лежащие в этой плоскости направле-
ния рассеяния; введем еще угол 0:0=0 при ф=тт/2и0= — 0 при
<р = Зтг/2, причем 0=0 соответствует направлению вперед. Тогда мож-
Более сложные частицы
265
но считать, что в приближении скалярной теории дифракции фазовая
функция для рассеяния на бесконечном цилиндре равна
17 Г 1 + cos 6 xsin(xsin0) I2
---------------леJ- <8Л4)
и нормирована так, что
[ р(0) </0=1.
J — ЧТ
Фазовая функция (8.44) обращается в нуль в направлении обратного рас-
сеяния (0 = тг) и при тех углах, для которых sin© = rm/х, где п - Целое
число. Это позволяет оценить диаметр Цилиндра, начиная с которого
скалярная теория дифракции является хорошим приближением; посколь-
ку | sin© |< 1, этот диаметр равен
d = Хп
min’
(8-45)
где через обозначено число минимумов фазовой функции при
0°< ©< 90°. Для большого светонепроницаемого цилиндра скалярная
теория дифракции подошла бы наилучшим образом. Светонепроницаемая
РИС. 8.10. Фазовая функция при рассеянии неполяризованного саета на бес-
конечном цилиндре. Стрелками отмечены положения минимумов, рассчитан-
ные в приближении скалярной теории дифракции.
266
Глава 8
частица - это такая частица, которая не отражает падающего на нее света и
поглощает весь проникающий в нее свет. Это идеализация: таких цилинд-
ров в природе нет, т.е. не существует таких значений т и х, при кото-
рых эти условия были бы выполнены. Однако приближенно светонепро-
ницаемый цилиндр вообразить можно: нужно представить, что вещест-
венная часть показателя преломления цилиндра совпадает с показате-
лем преломления окружающей среды; тогда в соответствии с (2.58) от-
ражательная способность при нормальном падении будет равна к2 [ (4+ к2).
Поэтому желательно, чтобы к было как можно меньше и выполнялось
условие кх> 1. Парис. 8.10 изображена фазовая функция, рассчитан-
ная по строгой теории для цилиндра с х = 20 и т- 1,0 + i 0,07 в пред-
положении, что падающий свет не поляризован. Здесь же показаны по-
ложения минимумов фазовой функции (8.44) в приближении скалярной
теории дифракции. Скалярная теория дифракции довольно хорошр пред-
сказывает положения нескольких первых минимумов точной фазовой
функции, но с ростом угла рассеяния точность этого приближения мо-
нотонно ухудшается.
8.5. НЕОДНОРОДНЫЕ ЧАСТИЦЫ. ЭФФЕКТИВНАЯ
ДИЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ПРОНИЦАЕМОСТЬ
Несмотря на распространенность неоднородных частиц, на-
пример в атмосферах планет, где частицы разного состава не-
прерывно слипаются в сгустки, рассеянию и поглощению света
такими частицами почти не уделялось внимания. Исключением являет-
ся случай частиц с регулярной неоднородностью, например шар в обо-
лочке (разд. 8.1). Вряд ли целесообразно пытаться свести задачу рас-
сеяния на шаре в оболочке к задаче рассеяния на однородном шаре пу-
тем введения средней (или эффективной) диэлектрической проницаемос-
ти*, которая выражалась бы в виде некоторой комбинаций диэлектри-
ческих проницаемостей ядра и оболочки. Действительно, хотя такое
описание могло бы привести к хорошим результатам для определенно-
го размера и конкретной длины волны, тем не менее для других раз-
меров и длин волн оно может оказаться неудовлетворительным; чтобы
• Авторы отождествляют понятия средней и эффективной диэлектричес-
кой проницаемости случайно неоднородной среды. В переводе использован
чаще используемый в нашей литературе термин "эффективная диэлектрическая
проницаемость" ("средним" в нашей литературе, как правило, называют просто
результат усреднения случайной диэлектрической проницаемости по статисти-
ческому ансамблю). - Прим, перев.
Более сложные частицы
267
обеспечить совпадение характеристик рассеяния и поглощения эквива-
лентной однородной частицы с соответствующими характеристиками
неоднородной частицы, нам пришлось бы постоянно изменять описание.
Поэтому введение понятия эффективной диэлектрической проницаемос-
ти неоднородной среды оправданно только в том случае, если нерегу-
лярность среды имеет в некотором смысле статистический характер.
Понятие однородности не абсолютно: при достаточно тщательном
неучении все тела оказываются неоднородными. Поэтому описание вза-
имодействия электромагнитной волны с любым веществом в конечном
счете является статистическим, и для его справедливости требуется, что-
бы составляющие вещества, какой бы ни была их природа, были малы
по сравнению с длиной волны. Оптические свойства веществ,..обычно
считающихся однородными, например чистых жидкостей, в первом при-
ближении адекватно описываются диэлектрической проницаемостью
именно в связи с малостью их составляющих. Между такими состоящи-
ми из молекул веществами и материалами, составленными из малень-
ких частиц, каждая из которых содержит достаточно много молекул,
так что ее саму можно описывать диэлектрической проницаемостью,
нет резкой разницы: отдельные частицы можно считать гигантскими
"молекулами", поляризуемости которых определяются их составом и
формой.
Тем не менее найти эффективную диэлектрическую проницаемость
неоднородной среды по известным свойствам ее составляющих оказы-
вается не просто. Дело в том, что взаимодействия между этими сос-
тавляющими приводят к задачам, которые можно решить только приб-
лиженными методами, и каждое приближение дает свою диэлектричес-
кую проницаемость. Вследствие этого в научной литературе описыва-
ется огромное количество вариантов, причем все они (по крайней ме-
ре внешне) отличаются друг от друга; более того, в литературе встре-
чаются явно противоречивые утверждения об относительных достоин-
ствах разных теорий и о пределах их применимости. По-видимому, наи-
более признанной является,теория Максвелла Гарнетта. Поэтому ни-
же мы дадим обобщение этой теории, выясним некоторые ее свойства
и обсудим ряд экспериментальных данных по рассеянию на неоднород-
ных частицах.
В качестве модели неоднородной среды мы возьмем двухкомпонент-
ную смесь, состоящую из включений, вкрапленных в однородную матри-
цу, причем диэлектрическую проницаемость включений обозначим через
е , а матрицы - через Ет- По составу все включения одинаковы, но могут
различаться объемом, формой и ориентацией; тем не менее мы ограни-
268
Глава 8
чимся включениями эллипсоидальной формы. Электрическое поле < Е >,
усредненное по объему V, окружающему точку х, определяется форму-
лой
<Е(х)> = ±/е(х + О Д,
где V — произвольный объем, содержащий большее количество включе-
ний. Укажем, что само поле Е получается из микроскопического поля
путем соответствующего усреднения по большому числу молекул (см.,
например, работу [ 125]); поэтому среднее поле < Е> представляет со-
бой еще более плавное макроскопическое поле, чем Е. Объем V склады-
вается из объема матрицы и объема всех включений, так что поле < Е >
можно записать в виде
<Е(х)> = (1 -/)(Em(x))+/Ewt(Et(x)),
к
<Ем(х)) = -X f Е(х + О Д, (ЕДх)) = -J-/ Е(х + t) Д,
Ут JV„ Vk Jvk
где через ^обозначен объем матрицы, vk — объем к-го включения,
f — доля объема, занятая включениями; и^= fk/f и fk = v^/V. Выражение
для усредненного вектора поляризации дается аналогичной формулой:
<Р(х)> = (1 -/)<Рш(х)) +/Lwfc(Pfc(x)}.
к
Предположим, что матрица и включения описываются материальными-
уравнениями вида (2.23). Тогда
= ВДт(Е».(Х))’ (PfcW) = ^(ЕДх)),
гДе Xm = ~ 1 есть восприимчивость матрицы, а х = « - 1 - воспри-
имчивость включений. Тензор эффективной восприимчивости xav сос-
тавной среды определяется соотношением
<Р(х)> = £oXav • <Е(х)>,
причем в случае статистически однородной среды Ха не зависит от про-
странственных координат. Из приведенных выше формул можно полу-
чить соотношение
Более сложные частицы
269
(1 - /)(<av - М) -(ЕДх)) + /£**(<„ - €1) -<Et(x)> = 0, (8.46)
к
где eav - тензор эффективной Диэлектрической Проницаемости, а 1 -
единичный тензор. Ясно, что для того, чтобы тензор « не зависел от
пространственных координат, поля < Ет > и < Efc > должны быть связа-
ны линейным соотношением.
Рассмотрим изолированный эллипсоид в однородном поле Ет; внут-
ри эллипсоида поле также однородно и равно Efc = Afc’ Em, причем глав-
ные компоненты тензора Afc равны (см. разд. 5.3)
Основное наше предположение состоит в том, что средние поля связа-
ны аналогичным соотношением, т.е. < Efc> = Afc‘ < Em>. Тогда равенст-
во (8.46) превращается в
(1 - /)(cav - еи1) +/(eav - £1) • = 0. (8.47)
к
Таким образом, задача сводится к вычислению входящей в (8.47) суммы,
в которой тензоры Afc зависят от формы и ориентации /с-го эллипсоида,
а - отношение его объема к суммарному объему всех эллипсоидов.
Сумму в (8.47) удобно заменить ее приближенным значением в виде ш-
теграла
Xwk^k = /wkk)^(k) dk,
к. Jk
где непрерывная переменная интегрирования к включает в себя все
величины, характеризующие эллипсоид: форму, объем и ориентацию. Сде-
лаем теперь несколько предположений: будем считать, что объем вклю-
чения некоррелирован с его формой и ориентацией, что отсутствует
также корреляция между формой и ориентацией, что все ориентации рав-
новероятны. Из этих предположений следует, что
5 «^=[31
к
т А> <• А2 + А,
₽=//?(£,!, L2) —JLltlL2f
О
(8.48)
Глава 8
270
где через 5’(L1,L2)обозначена плотность вероятности формы ( см.
разд. 12.2). Тогда эффективная (скалярная) диэлектрическая проница-
емость равна
(!-/)<„+//?<
1-/ + /J8
Отметим, что выражение (8.49), являющееся обобщением диэлектричес-
кой проницаемости Максвелла Гарнетта (8.50), не инвариантно по отно-
шению к матрице и включениям. В самом деле, если заменить е на ет,
ет на е и f на (1 - f), то выражение для eav , вообще говоря, изме-
нится. Поэтому при описании двухкомпонентной смеси при помощи (8.49)
приходится делать выбор, какая из компонент является матрицей, а ка-
кая включениями (в осуществлении такого выбора иногда помогают фи-
зические соображения). Предельные значения eav не зависят от р:
Um€av = £, ton<av = <m.
Соотношение (8.49) или (8.47) нетрудно обобщить на случай многоком-
понентных смесей. Если считать, что те же предположения, что мы де -
Лали при выводе (8.48), справедливы для каждого типа включений, то
эффективная диэлектрическая проницаемость будет равна
= (1~/)еот+ ЕЩ
£av 1-/+Е/Д ’
где доля объема, приходящаяся на включения /-го типа с диэлектри-
ческой проницаемостью е- , обозначена через f-, f = S f. , а выраже-
ние для р;- имеет вид (8.48) с заменой е на е,- .
Полезно разложить (8.49) в ряд по степеням 5 = Д/ет, где
Д = е - е :
т
< L2> = (L\ <- L2 + L^dL^.
Вплоть до членов порядка 52 эффективная диэлектрическая проницае-
мость не зависит от формы включений. Далее с точностью до членов
порядка 5 соотношение (8.49) симметрично относительно матрицы и
включений. В работе [ 64] проведены аналогичные разложения для раз-
Более сложные частицы
271
ных вариантов эффективной диэлектрической проницаемости - диэлек-
трической проницаемости Максвелла Гарнетта, диэлектрической про-
ницаемости Браггемана (ее часто называют диэлектрической проница-
емостью эффективного вещества), диэлектрической проницаемости Де-
бая - и показано, что все эти варианты совпадают по крайней мере с
точностью до членов порядка 5. Таким образом, имея дело со смесями,
компоненты которых близки по своим характеристикам (I 51 << 1), мож-
но не беспокоиться ни о том, какую из компонент называть включени-
ями, ни о том, какова их форма. Точно так же нам не нужно думать о
том, какое из многочисленных выражений для эффективной диэлектри-
ческой проницаемости лучше: любое из них хорошо. Более убедительной
проверкой их относительных достоинств явилось бы их сопоставление
в случае смесей веществ, сильно различающихся по своим характерис-
тикам.
Если все включения имеют сферическую форму, то р = 3 е /(е +
1- 2 ет) и соотношение (8.49) принимает вид
(8.50)
Формула (8.50) для эффективной диэлектрической проницаемости была
впервые получена Максвеллом Гарнеттом в 1904 г, [ 313]. Позже она
неоднократно выводилась в разных предположениях (см., например,
[ 176, 177, 34, 72]).
В 1935 г. Браггеманом [ 85] было получено следующее выражение
для эффективной диэлектрической проницаемости:
/ГГ^ + (1-/)Г^=°- (8-51)
* ~ xtav cm zcav
В работе [ 456] было показано, что и формула Максвелла Гарнетта, и
формула Браггемана для диэлектрической проницаемости являются
следствием одного и того же интегрального уравнения: в зависимости
от вида приближений получается та или другая формула. Таким образом,
формулы (8.50) и (8.51) можно считать зависимыми - ведь си следуют
из одного исходного уравнения. Отметим, что диэлектрическая прони-
цаемость Браггемана относится к случаю двухкомпонентной смеси, в
272
Глава 8
которой нельзя провести четкого разграничения между включениями и
матрицей: оба вещества рассматриваются в ней симметричным образом.
По-видимому, более корректно было бы говорить, что она описывает
идеальную случайную смесь; строго говоря, ее нельзя использовать для
описания среды в виде скопления частиц, поскольку из нее непонятно,
что считать частицами, а что окружающей средой. Указанное отличие
теории Максвелла Гарнетта от теории Браггемана проявляется при срав-
нении их результатов с экспериментальными данными. В работе [4] из-
мерялись характеристики пропускания составной системы из металла
и изолятора (Ag - SiO2) и двух составных систем из полупроводника и
изолятора (Si — SiC и Ge — А12О?); результаты измерений сравнивались
с результатами расчетов по обеим формулам для эффективной диэлек-
трической проницаемости. При этом сделан вывод, что с результатами
измерений согласуется только теория Максвелла Гарнетта. В частнос-
ти, в спектре пропускания системы Ag — SiO2 обнаружена полоса, кото-
рая никак не следует из теории Браггемана. В статье наличие этой по-
лосы не было четко связано с возбуждением в частицах серебра поверх-
ностной моды, но, скорее всего, дело обстоит именно так: в разд. 12.4
мы покажем, что небольшие серебряные частицы могут иметь завися-
щие от их формы полосы сильного поглощения в видимом диапазоне
волн и в диапазоне ближнего инфракрасного излучения (см. рис. 12.18).
У помянутые полосы существенно связаны с дискретностью составной
среды (т.е. с наличием в ней четко выраженных частиц), поэтому не
удивительно, что теория Браггемана в этом конкретном случае непри-
менима. Между тем в работе [ 281] найдено хорошее соответствие рассчи-
танных по теории Браггемана проводимостей с измеренными значения-
ми, причем соответствие остается хорошим даже для смесей веществ с
сильно различающимися проводимостями. Таким образом, было бы со-
вершенно неправильным считать, что теория Максвелла Гарнетта всег-
да лучше теории Браггемана: у каждой из них есть свои преимущества.
Некоторые расхождения определенно являются результатом отличия
идеальной смеси от среды, в которой включения в матрицу четко выра-
жены.
Формула (8.50), а также другие формулы для эффективной диэлек-
трической проницаемости, используемые при описании неоднородных
частиц, были проверены в работе [ 64], где рассчитывались показатели
преломления смесей льда с водой на длине волны 5,05 см, т.е. в СВЧ-ди-
апазоне, в котором диэлектрические проницаемости льда и воды сильно
различаются (разд. 10.3). Результаты вычислений для обратного рассе-
яния (радиолокационный случай) на ледяных шарах, покрытых смесью
Более сложные частицы
273
льда и воды, сравнивались с измеренными значениями сечений. Превос-
ходство теории Максвелла Гарнетта над теорией Браггемана не было
слишком очевидным: в допустимых пределах обе хорошо согласовывались
с экспериментом. Тем не менее, для того чтобы задачу рассеяния и по-
глощения неоднородными частицами можно было считать "решенной" (ес-
ли, конечно, свойства частиц допускают общее решение), нужно получггь
и проанализировать значительно большее количество экспериментальных
данных. Пока же при расчетах в приближении малых частиц мы склоня-
емся к использованию формул (8.49) или (8.50).
Иногда на неоднородных образцах проводят измерения, из которых
находят значения оптических постоянных в предположеюш однородности об-
разца, а затем используют эти значения во всех вычислениях, связан-
ных с расчетом характеристик рассеяния и поглощения малыми части-
цами. Например, по измеренной величине отражательной способности
неоднородного образца из формул, применимость которых, строго гово-
ря, ограничена только однородными средами (см. разд. 2.7), можно най-
ти некоторые значения оптических постоянных. Нельзя отрицать, что
такой подход может привести к усредненным в некотором смысле зна
чениям оптических постоянных. Но совершенно определенно, что их об-
ласть применимости будет ограничена только тем экспериментом,.из
которого они были получены. Было бы, вообще говоря, неправильным ис-
пользовать их, например, при расчетах рассеяния по теории Ми на более
или менее сферических образованиях из неоднородного вещества.
Смеси различных частиц, аналогичные атмосферному аэрозолю или
почве, предполагают введение эффективных или средних оптических по-
стоянных другого типа. Для спрессованных образцов таких смесей эффек-
тивные значения оптических постоянных можно было бы найти из измере-
ний отражательной способности и прозрачности, считая их однородными.
Но расчеты рассеяния или экстинкции, основанные на этих значениях оп-
тических постоянных, вовсе не обязательно будут правильными.
Важным с точки зрежя практического примера использования в физике
атмосферы является введение эффективных оптических посто-
янных для атмосферного аэрозоля, состоящего из частиц разных типов,
и последующее использование этих постоянных для других целей. Эф-
фективные значения п и к можно было бы найти экспериментально —
из лабораторных опытов или при помощи дистанционного зондирования,
используя, например, двухпозиционный радиолокатор, - измерив угловое
распределение рассеяния: согласование экспериментальных данных с те-
орией Ми привело бы к определению "эффективных" оптических постоян-
18-205
274
Глава 8
ных. Но насколько эффективными они будут? Не будут ли они иметь
слишком ограниченную применимость? Вовсе не очевидно, что их исполь-
зование в вычислениях приведет к правильным значениям экстинкции,
а также рассеяния или поглощения. К этим вопросам мы еще вернемся
в разд. 14.2.
8.6. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ РАССЕЯНИЯ НА
НЕСФЕРИЧЕСКИХ ЧАСТИЦАХ РЕГУЛЯРНОЙ
И НЕРЕГУЛЯРНОЙ ФОРМЫ
В природе однородные сферические частицы представляют собой
скорее исключение, чем правило. Поэтому было придумано множество
точных и приближенных методов для определения поглощения и рассе-
яния на несферических частицах как регулярной формы (т.е. с граница-
ми, которые описываются простыми гладкими функциями), так и нере-
гулярной формы. Некоторые из них мы уже обсудили. Метод Рэлея и
сочетание метода геометрической оптики с физической теорией дифрак-
ции просты для понимания и применимы соответственно для малых
и больших по сравнению с длиной волны частиц. Именно между этими
предельными случаями сосредоточены основные трудности, на преодо-
ление которых в последние годы направлены почти все усилия теорети-
ков. Можно подумать, что все задачи рассеяния допускают решение
при помощи простых численных методов, но такой подход может потребо-
вать чрезмерно большого машинного времени. Отсюда и следует необходимость
интенсивной, разработки точных и эффективных методов, предназна-
ченных для расчета рассеяния на частицах несферической формы.
Материал данного раздела представляет собой лишь краткое рас-
смотрение некоторых методов и лежащих в их основе физических посы-
лок, а также достоинств и недостатков этих методов. Более подробное
изложение можно найти в литературе, на которую даются ссылки. Крат-
кий обзор методов дан в [ 523].
8.6.1. Метод разделения переменных
Классический метод решения задач рассеяния - метод разделе-
ния переменных — уже использовался в данной книге для описания рас-
сеяния на однородном шаре, на шаре в оболочке (это простейший при-
мер неоднородной частицы) и на бесконечном прямом круговом цилинд-
ре. Его можно применять для частиц, границы которых совпадают с ко-
ординатными поверхностями тех систем координат, в которых делятся
переменные в волновом уравнении. Этим методом в работе [ 20] получе-
но строгое решение задачи рассеяния на сфероиде произвольного вида
Более сложные частицы
275
(вытянутом или сплюснутом), а в работах [ 18, 19] найдены численные ре-
зультаты для сфероидов различных форм, ориентаций и с разными пока-
зателями преломления. Несмотря на свою точность, это решение в пол-
ной мере разделяет недостатки других решений для несферических час-
тиц: вычисления оказываются слишком сложными и длинными, особежо
в случае довольно крупных частиц и при необходимости усреднения по
всем ориентациям, не говоря уже об усреднении по размерам и по фор-
ме. По-видимому, именно из-за этого почти никто не использует это ре-
шение в своих исследованиях. Так или иначе, но в работе [ 19] удалось,
пожалуй, наиболее глубоко проникнуть в суть явлений рассеяния на несфе-
рических частицах. Некоторые примеры из работ [18-20] включены в
гл. П и 13.
8.6.2. Метод поточечной сшивки
В методе поточечной сшивки [ 36, 353] поля внутри и вне частицы
раскладываются по векторным сферическим гармоникам и результиру-
ющие ряды обрываются; далее налагается требование, чтобы танген-
циальные компоненты полей были непрерывными в конечном числе то-
чек поверхности частицы. Несмотря на то что этот метод легко описать
и понять, на практике он оказывается полезным только в случае час-
тиц, форма которых близка к сферической; его недостатками являются
большие затраты машинного времени и то, что не установлена сходимость
используемых рядов [ 523].
8.6.3. Методы возмущений
Несферическая частица может по виду напоминать шар, граница
которого в разных точках искажена или "возмущена" по-разному. Поле,
рассеянное такой частицей, по крайней мере формально можно предста-
вить в виде ряда по параметру возмущения, причем его первый член бу-
дет представлять собой.решение Ми. Решения задачи рассеяния на не-
сферических частицах методом возмущений были предложены в [ 522]
и затем в [ 142 - 144]. Автором первой работы метод был развит только в пер-
вом приближении по параметру возмущения. Автор трех других работ
претендует на отыскание строгого решения, справедливого для любых
частиц, для которых ряд сходится; однако он не оговаривает условий
сходимости и не приводит численных результатов, позволяющих оценить
практичность его метода. Решение в виде некоторого бесконечного ря-
да, строгое с формальной точки зрения, фактически бесполезно, если
его нельзя оборвать, сохранив лишь не очень большое количество сла-
гаемых и не сделав при этом заметной ошибки. Скорее всего оба упо-
276
Глава 8
мянутых метода возмущений могут оказаться полезными для практики
только в случае почти сферических частиц. Эта особенность характерна
для всех методов возмущений: чем больше рассматриваемая система
отличается от невозМущенной, тем большее число члене® приходится
.удерживать в рядах, в результате чего вычисления становятся все бо-
лее громоздкими и на них приходится затрачивать все больше времени.
8.6.4. 'Метод Парселла - Пеннипакера
В принципе решение задачи рассеяния на произвольной частице
может быть найдено путем вычисления дипольного момента, наведен-
ного на каждом ее атоме падающим полем и полем, создаваемым все-
ми остальными атомами. Однако даже в маленькой частице (скажем,
размером ~1 мкм) содержится более 1010 атомов; это означает, что
нужно решить самосогласованную систему уравнений из примерно тако-
го же числа уравнений, что, очевидно, представляет собой очень труд-
ную задачу. В 1973 г. Парселл и Пеннипакер [ 382] воспользовались ме-
тодикой этого подхода, но сократили ее до более реальных пределов.
Частица делится на небольшое (может быть, 100 или больше) число
одинаковых элементов, каждый из которых содержит большое количест-
во атомов, но еще достаточно мал, чтобы его можно было рассматривать
как дипольный осциллятор. Из этих элементов образуется кубическая
решетка, а их поляризуемость выбирается такой, чтобы при подстанов-
ке в соотношение Клаузиуса - Моссотти получилась диэлектрическая
проницаемость объемного вещества, из которого состоит частица. Да-
лее методом итераций определяется векторная амплитуда поля, рассе-
янного каждым дипольным осциллятором, приводимым в движение за
счет падающего поля и суммарного поля всех остальных осцилляторов.
Полное рассеянное поле, по которому можно вычислить сечения и ин-
дикатрисы рассеяния, представляет собой сумму всех этих дипольных
полей.
Парселл и Пеннипакер рассчитали характеристики рассеяния и по-
глощения для частиц прямоугольной формы с различными значениями
показателя преломления и параметра дифракции, доходящего примерно
до 2. Позднее по методу Парселла - Пеннипакера исследовалась зави-
симость рассеяния на двух шарах от расстояния между ними [ 261]. Этим
методом можно рассмотреть и частицы произвольной формы, но чрез-
мерные затраты машинного времени, как нам кажется, затрудняют его
использование при больших значениях параметра дифракции.
Более сложные частицы
277
8.6.5. Метод Т-матриц
В последние годы получил известность многообещающий метод,
основанный на формулировке задачи рассеяния на частице произволь-
ной формы в виде интегрального уравнения. Этот метод был разрабо-
тан Уотерманом первоначально для идеальных проводников Г 497], а
затем для частиц с менее жесткими ограничениями оптических свойств
[ 498]. Позднее он использовался для решения различных задач рассе-
яния под названием метода нелокальных граничных условий, но мы,
следуя преимущественному праву Уотермана, будем называть его ме-
тодом Т -матриц. Альтернативное обоснование этого метода дано в
работе [ 33].
В гл. 4 падающая на шар плоская волна разлагалась в бесконеч-
ный ряд по векторным сферическим гармоникам, и то же самое дела-
лось с рассеянным полем и полем внутри шара. Между тем, такие раз-
ложения допустимы для любых частиц и падающих полей. Основной ин-
терес представляет выражение для рассеянного поля, потому что имен-
но из него можно найти различные наблюдаемые величины. Из линей-
ности уравнений Максвелла и граничных условий (3.7) следует, что ко-
эффициенты в выражении для рассеянного поля линейно связаны с ана-
логичными коэффициентами падающего поля. Линейное преобразование,
связывающее эти два набора коэффициентов, называется Т-матрицей
(для прошедшего через частицу излучения). Если частица имеет сфе-
рическую форму, то T-матрица диагональна.
Явные выражения для Т-матрицы могут быть получены путем пе-
рехода от дифференциальной формулировки задачи рассеяния к интег-
ральной. Подробности приведены в упомянутых выше работах. Мы ре-
комендуем еще методическую статью [455].
Методом Т-матриц исследовано рассеяние на однородных сфероидах
и ограниченных цилиндрах[ 33]. Кроме того, был рассмотрен вытянутый
сфероид в оболочке [ 493], а также полидисперсные распределения та-
ких частиц [ 494]. В настоящее время этот метод должен активно исполь-
зоваться, ибо с его помощью можно получать численные результаты для
частиц произвольной формы и большого объема [ 523],
8.6.6. Необходимость статистического подхода
Многие расчеты для частиц несферической формы выполнялись и
выполняются при помощи методов, вкратце описанных выше. Они могут
быть довольно удобными для описания отдельных частиц, но больший
интерес часто представляют совокупности частиц, в которых они рас-
пределены по размерам, формам и ориентациям. Разумеется, свойст-
278
Глава 8
ва таких совокупностей являются следствием - но не тривиальным -
свойств их отдельных элементов. С увеличением разброса этих свойств
объем вычислений может быстро достичь неосуществимых пределов, но
несмотря на это в литературе предпринимались поистине героические
попытки описать скопления случайно ориентированных однородных [ 19]
и неоднородных [ 494] сфероидов.
Можно представить себе, что нерегулярная частица получается из
сфероида при отсечении от него кусочка случайного размера. Уже для
описания самого сфероида требуется четыре параметра (два характе-
ризуют размер и форму, а два других - ориентацию), а каждое новое
отделение такого кусочка требует введения дополнительных параметров.
Строгое решение столь сложной задачи рассеяния неизвестно, но даже
если бы его и удалось найти, то вряд ли оно имело бы большую ценность,
особенно если интересоваться только средними характеристиками не-
которой совокупности аналогичных частиц.
Влияние усреднения по одному или нескольким параметрам части-
цы (по размеру, форме и ориентации) выражается в сглаживании дета-
лей тонкой структуры экстинкции, в частности ряби, в уменьшении про-
тяженности интерференционной картины (гл. 11) и изрезанности инди-
катрис рассеяния. Раз уж при,усреднении по совокупности частиц де-
тали все равно исчезают, то было бы лучше всего в подобных случаях
избавиться от них уже при описании рассеяния на отдельных частицах,
сформулировав задачу на статистическом языке.
Можно ожидать, что дальнейшие успехи теории рассеяния света
на нерегулярных частицах будут связаны со статистической формули-
ровкой этой задачи. Небольшой шаг в этом направлении делается в
гл. 12, где спектры экстинкции малых нерегулярных частиц приближен-
но заменяются средними значениями соответствующих спектров, рас-
считанных в приближении Рэлея для эллипсоидальных частиц. Непло-
хие результаты такого подхода говорят о том, что его, по-видимому,
можно будет обобщить и на более крупные частицы.
ЗАМЕЧАНИЯ И КОММЕНТАРИИ
Решение задачи рассеяния на шаре, описываемом материальны-
ми уравнениями (8.5), получено в [59]. Его обобщение на случай сфе-
рического слоя из оптически активного вещества приведено в работе
[ 60], а на случай цилиндра - в работе [ 62].
Хороший анализ диэлектрических свойств смесей, не основанный на
предположении о сферичности частиц, дан в работе [280]; по этому воп-
Более сложные частицы
279
росу мы рекомендуем еще статью [346], в которой обсуждаются различ-
ные аспекты задачи о смесях.
В работе [ 355] используется подход, в некотором смысле аналогич-
ный рассмотренному в разд. 8.5, и на его основе получено выражение
для эффективной диэлектрической проницаемости смеси со сфероидаль-
ными включениями, причем отношение большой и малой полуосей сферо-
ида считалось случайным и задавалось плотностью вероятности.
Дальнейшее развитие теории обратного рассеяния на неоднородных
частицах и ее сравнение с результатами измерений дано в [65].
В работе [ 32] рассеяние на частицах произвольной формы рассмот-
рено методом, аналогичным методу Парселла - Пеннипакера [ 382].
Некоторые из самйх последних работ по рассеянию на частицах не-
регулярной формы вошли в сборник [ 422].
Часть 2
Оптические свойства
объемного вещества
Глава 9
Классические теории
оптических постоянных
Новая серебряная монета и кухонная кастрюля из полированного
алюминия блестят, но непрозрачны для света; чистая вода и кусок окон-
ного стекла прозрачны, зато почти не отражают света; пройдя через
кристалл драгоценного рубина, свет становится красным... Эти и дру-
гие повседневно наблюдаемые явления обязаны своим происхождени-
ем огромному разнообразию способов, которыми объекты отражают и
пропускают сквозь себя свет, причем все это разнообразие определя-
ется фундаментальными оптическими постоянными веществ, из кото-
рых состоят объекты. Связь оптических постоянных с отражением и
преломлением на плоской границе раздела была установлена в гл. 2. В
данной главе мы покажем, что в многообразии оптических постоянных
разных веществ удается разобраться, опираясь на весьма простые мо-
дели микроскопического строения вещества, и продемонстрируем, как
это делается.
Для описания оптических свойств часто используется один из двух
наборов величин: либо вещественная и мнимая части комплексного по-
казателя преломления N = п * ik, либо вещественная и мнимая части
комплексной диэлектрической проницаемости е = г' <• i t". Эти два
набора не независимы; можно считать, что любой из них полностью опи-
сывает оптические свойства вещества. Из (2.47) и (2.48) следует, что
в предположении о немагнитности вещества ( ц = ц0) соотношения меж-
ду ними имеют вид
е' = — = п2 - к2,
£о
е"
£" = — = Ink,
«о
(9.1)
Классические теории оптических постоянных
281
В этой части мы обычно будем выписывать рядом оба набора оп-
тических постоянных: (л, к) и (s', е"). В некоторых случаях предпоч-
тительнее один набор, в других же предпочтение отдается другому. Так,
например, на интуитивном уровне большинством людей лучше воспри-
нимаются п и к, поскольку эти величины связаны с фазовой скоростью
и затуханием плоской волны в веществе. Поэтому в вопросах распро-
странения волн предпочтение отдается п и к. Между тем при рассмот-
рении ответственных за оптические явления микроскопических меха-
низмов более удобны е' и е'*. Отражение и преломление в слое и на
плоских границах раздела проще описывать через п и к, а уравнения
для поглощения и рассеяния на малых по сравнению с длиной волны час-
тицах имеют более простой вид с е' и г". Поэтому, рискуя несколько
повторяться, мы все же будем приводить выражения для обоих наборов
оптических постоянных.
9.1. МОДЕЛЬ ЛОРЕНЦА
В начале этого столетия Г.А. Лоренц разработал классическую
теорию оптических характеристик. В ней электроны и ионы вещества
рассматриваются как простые гармонические осцилляторы (т.е. "пру-
жины"), на которые действуют силы, обусловленные сторонними элек-
тромагнитными полями. Получаемые из этой теории результаты фор-
мально совпадают с результатами квантовомеханического рассмотре-
ния, отличаясь от них только трактовкой параметров. Такое совпаде-
ние очень удачно, потому что для большинства из нас удобнее мыслить
не квантовыми, а классическими понятиями, и в данном случае мы мо-
жем поступать так, не искажая правильных результатов. Несомненно,
именно благодаря этому модель Лоренца остается столь полезной не
только для развития интуиции, но и для количественного анализа экс-
периментальных данных.
В качестве микроскопической модели поляризуемого вещества мы,
следуя Лоренцу, возьмем набор одинаковых независимых изотропных
гармонических осцилляторов (рис. 9.1). Ниже мы дадим обобщение на случай
осцилляторов нескольких разных типов и на случай анизотропных осцилля-
282
Глава 9
торов. На осциллятор с массой т и зарядом е действуют следующие силы:
линейная возвращающая сила Кх, где К - постоянная упругости (жест-
кость), а х — смещение груза от положения равновесия; тормозящая
сила Ьх, где Ь - постоянная затухания; сила, обусловленная действу-
ющим электрическим полем Е1оса1 (магнитными силами обычно можно
пренебречь по сравнению с электрическими). Реакцией излучения мы
пренебрегаем. Уравнение движения такого осциллятора есть
тХ + + Кх = еЕ1оса]. (9.3)
Действующее поле Е1оса1, "ощущаемое" отдельным осциллятором, во-
обще говоря, отличается от макроскопического поля Е, которое пред-
ставляет собой результат усреднения по области с большим числом ос-
цилляторов. Тем не менее мы не будем учитывать этого различия, так
как оно не влияет на нашу простую модель оптических постоянных; по-
следовательная трактовка действующего поля была бы здесь лишь бес-
плодным отступлением от основной темы. На элементарном уровне дей-
ствующее поле хорошо описано в книге [273].
Электрическое поле считается монохроматическим с частотой со.
лак и в предыдущих главах, мы будем пользоваться комплексным пред-
ставлением вещественных монохроматических во времени величин
(разд. 2.2). Решение уравнения (9.3) состоит из двух частей: переход-
ного процесса, который затухает из-за торможения, и осциллирующего
с частотой приложенного поля вынужденного решения. Нас будет инте-
ресовать только вынужденное решение
= (e/w)E
* 2 2 ’
«0 - ы — 1уы
РИС. 9.1. Лоренцева модель вещества.
Классические теории оптически* постоянных
283
где = К/т, а у = Ъ /т. При у £ О коэффициент пропорциональнос-
ти между х и Е комплексен, откуда следует, что смещение груза и поле
изменяются, вообще говоря, не в фазе. Для того чтобы обсудить выте-
кающие из этого различия фаз следствия, запишем смещение в виде
Ле*®(еЕ/т), где амплитуда А и фаза 0 равны
© = arctg
уи
«о ~ '
(9-5)
Графики этих величин в зависимости от частоты показаны на рис. 9.2, а.
Отметим, что амплитуда максимальна при й=й0 , причем высота это-
го максимума обратно пропорциональна у, а ширина на половинном уров-
не пропорциональна у (все это верно при условии у << а>0). На низких
частотах (со << а>0) фаза осциллятора совпадает с фазой электрическо-
го поля (0=0°), а на высоких (со>> а>0) - сдвинута на 180°; изменение
фазы на 180° происходит в узкой области около резонансной частоты
%. Анализ поведения фазы окажется полезным для понимания смысла
скорости света в веществе.
Если известен отклик отдельного осциллятора на монохроматичес-
кое электрическое поле, то легко найти оптические постоянные вещест-
ва, представляющего собой скопление таких осцилляторов. Наведенный
Дипольный момент р одного осциллятора есть ех. Если в единичном
объеме содержится X таких осцилляторов, то поляризация Р (диполь-
ный момент единичного объема) равна Др = X ех, и в соответствии с
(9.4)
ы2
Р = ---f—е0Е.
Wq — « — iyu
(9-6)
Здесь через со2 = Хе2/те0 обозначена плазменная частота. Равенство
(9.6) представляет собой частный случай материального уравнения (2.9).
Поэтому диэлектрическая проницаемость рассматриваемой системы
простых гармонических осцилляторов есть
и2
<=1 + х = 1+---------f—,
«О — w — iyw
(9-7)
284
Глава 9
РИС. 9.2. Характеристики одноосцилляторной (лоренцевой) модели.
а ее вещественная и мнимая части равны
(«о - w2)2 + у2ы2
(9-8)
(9-9)
Путем прямой подстановки и интегрирования можно показать, что х и
удовлетворяют соотношениям Крамерса — Кронига (2.36) и (2.37), но
Классические теории оптических постоянных
285
доказательство, хотя и простое, весьма громоздко, и мы его не приво-
дим.
На рис. 9.2, б схематически показаны зависимости от частоты ве-
щественной и мнимой частей диэлектрической проницаемости (9.7), а
на рис. 9.2, в — вещественной и мнимой частей соответствующего пока-
зателя преломления. Отражательная способность (2.58) при нормальном
падении света также представляет интерес и показана на рис. 9.2, г. При-
веденные характеристики простой оспилляторной модели позволяют про-
иллюстрировать многие оптические свойства вещества; это связано с
тем, что при помощи таких осцилляторов можно описать много разных
типов оптических возбуждений. В этой главе мы сопоставим несколько
реальных примеров с результатами осцилляторной модели, но это будет
немного позже. Сейчас же отметим некоторые важные характеристики
осцилляторной модели.
286
Глава 9
Область сильного поглощения на частотах около со0 порождает свя-
занную с ней область сильного отражения (при условии, конечно, что па-
раметры осцилляторов таковы, что в этой области к »1). Из-за высокой
отражательной способности за ограничивающую вещество поверхность
проникает только малая часть света, да и та быстро там затухает.
По обе стороны от резонансной области п возрастает с увеличением
частоты, и это явление называют нормальной дисперсией. Уменьшена
п с ростом частоты имеет место лишь в непосредственной близости от
резонансной частоты — в так называемой области аномальной дисперсии.
Если бы такой обратный закон дисперсии приходился на область проз-
рачности, то обладающее им вещество было бы очень полезным для по-
строения линз с Цветовой коррекцией. К сожалению, аномальная диспер-
сия наблюдается только в областях сильного поглощения, где свет прак-
тически не распространяется.
При условии у<< ш0 максимум е" достигается примерно на часто-
те w0. Для близких к частот вещественную и мнимую части диэлектри-
ческой проницаемости можно приближенно представить в виде
w3(«n - w)/2w0
<'« 1 + р °----------—\, (9.10)
(w0 - «)2 + (y/2)
<”=-------------------- (9.11)
(w0 - w)2 + (y/2)
Из (9.11) очевидно, что максимальное значение t" примерно равно
w^/ywo, а ширина колоколообразной кривой е"(ш) равна у (т.е. е
спадает до половины своего максимального значения при
% - w = + у/2). Приравняв нулю производную выражения (9.10) по
о>о-со, найдем, что экспериментальные значения е равные е^а1=^+е тах/2
и е' . = 1 — е" /2, отвечают соответственно частотами - ип-у/2 и
и= и0 + у/2. Эти свойства узкой лоренцевой линии очень полезны и по-
зволяют сразу представить форму е (и) по параметрам (9.7).
9.1.1. Сравнение классических понятий с квантовомеханическими
В данной книге используются только классические модели опти-
ческих характеристик. Между тем современные теоретические работы,
нацеленные на детальное понимание микрофизики оптических характе-
ристик, в большинстве своем опираются на квантовую механику. Поэго-
Классические теории оптических постоянных
287
му в данном разделе мы кратко обсудим некоторые квантовомеханичес-
кие понятия и, кроме того, покажем, что между классическим и кван-
товомеханическим описаниями оптических свойств имеется аналогия.
Большинство читателей, несомненно, свыклось с тем, что свет
можно описывать двояко: либо в виде фотонов - квантов электромаг-
нитной энергии, либо в виде электромагнитных волк. Эти подходы свя-
заны соотношением ё = й со, где со — круговая частота электромагнит-
ной волны, ё - энергия соответствующего фотона, ай- деленная на
2тт постоянная Планка. Обсуждая-взаимодействие фотонов с веществом,
необходимо помнить, что это взаимодействие носит дискретный харак-
тер: поглощенный веществом фотон отдает свою энергию и импульс,
порождая при этом квантовые возбуждения. Каждое возбуждение имеет
свою собственную квантованную энергию и импульс. На изучение спектра
таких элементарных возбуждений направлены значительные усилия ис-
следователей, работающих в области физики твердого тела.
Одним из важных примеров служит фонон - квант колебаний крис-
таллической решетки. Падая на твердое тело, фотон может передать
ему свою энергию и тем самым' создать фонон. В рамках законов со-
хранения энергии и импульса возможно возникновение двух или более
фононов, но такие процессы менее вероятны. В результате взаимодей-
ствия фотона с твердым веществом может возбудиться фонон с мень-
шей энергией, чем у породившего его фотона; при этом остаток энер-
гии уносится другим фотоном. Такие процессы называются неупруги-
ми-, они включают в себя рассеяние Рамана и Мандельштама - Брил-
люэна и не рассматриваются в нашей книге. Ниже приводится далеко
не полный перечень квантовых возбуждений; некоторые из них мы об-
судим позже.
Фонон квантовая волна кристаллической решетки
Плазмон квантовая плазменная волна (плотности заря-
да)
Магнон квантовая волна магнитного спина
Экситон квант электронного возбуждения, состоящего
из пары электрон — дырка
Поляритон квант связанной электромагнитной волны и
других возбуждений, аналогичных фонону или
плазмону
Квантовомеханическое выражение диэлектрической, проницаемос-
ти можно представить в виде (см., например, [ 530 гл. 8], где приведе-
288
Глава 9
но элементарное изложение квантовой теории оптических характеристик):
е (со) - 1 + 5
/
(JleVmeo)/^
— w2 — iyco
(9.12)
При / = 1 формула (9.12) по виду совпадает с классическим выражением
(9.7); классическая многоосцилляторная модель, которая будет рассмот-
рена в разд. 9.2, приводит к результату, еще более похожему на (9.12).
Тем не менее интерпретация величин в квантовом и классическом вы-
ражениях совершенно различна. Так, с классической точки зрения со0—
резонансная частота гармонического осциллятора; в квантовой меха-
нике со.. представляет собой деленную на й разность энергетических
уровней основного (» ) и возбужденного (у) состояний. В классической
физике у - множитель ослабления, аналогичный декременту затухания
при торможении объекта в вязкой жидкости; в квантовом случае множи-
тель Yj связан с вероятностью перехода во все другие квантовые сос-
тояния. Сила осциллятора f- представляет собой вероятность возбуж-
дения из состояния i в состояние /; она выражается через матричный эле-
мент оператора дипольного момента. Несмотря на отмеченные значительные
различия в интерпретации, формальное сходство классической формулы
с квантовомеханической позволяет нам рассуждать на классическом
языке и при этом не слишком ошибаться.
9.1.2. Предельные случаи высоких и низких частот
Для частот, много больших резонансной, вещественную и мнимую
части диэлектрической проницаемости (9.7) можно приближенно пред-
ставить в виде
£ 1 2 ’
" w » «о (9.13)
£«4
W
Вещественная часть приближается к единице снизу, а мнимая стремит-
ся к нулю обратно пропорционально третьей степени частоты. Компонен-
ты соответствующего показателя преломления равны
(9-14)
2 2ы3 ’
__ со;
п = 7с7 =1--------
w » w0
£" yw»
Классические теории оптических постоянных
289
а отражательная способность при нормальном падении в соответствии
с (9.14) и (2.58) есть
Й) «»(9-15)
Закон 1 /со4 для высокочастотного поведения R может оказаться полез-
ным для определения оптических постоянных из соотношений Крамерса -
Кронига по данным измерений отражательной способности (см. разд. 2.7).
На частотах выше максимальной частоты эксперимента, лежащей в об-
ласти дальнего ультрафиолета, отражательную способность можно вы-
числить по (9.15) и таким образом доопределить подынтегральное выра-
жение в интеграле Крамерса - Кронига в области высоких частот вплоть
до бесконечности.
Для частот, много меньших резонансной, вещественная и мнимая
части (9.7) принимают вид
w«u0. (9.16)
«о
Мнимая часть стремится к нулю как со, а вещественная обращается в
константу, значение которой зависит от концентрации осцилляторов и
их массы.
Понятия "высоких" и "низких" частот зависят от точки зрения, и
это отражается уже в самих названиях: низкие для ультрафиолетовой
спектроскопии частоты могут оказаться высокими для спектроскопии
в инфракрасной области. Исследователи, занимающиеся ультрафиолето-
вой спектроскопией, часто обозначают через е0 значение е' твердых
диэлектриков в высокочастотной области инфракрасного излучения,
поскольку это значение относится к частотам, низким по сравнению с
резонансными частотами осцилляторов некоторых определенных типов
(в данном примере — электронов). Между тем эти частоты могут быть
высокими по сравнению с частотами колебаний кристаллической решет-
ки, вследствие чего специалисты в области инфракрасной спектроско-
пии то же самое значение г' обозначают через е,*,.
Предельное выражение е" для низких частот (9.16) правильно опи-
сывает поведение многих кристаллических веществ в низкочастотной
290
Глава 9
области инфракрасного диапазона (1/Л меньше примерно 100 см"1),
поскольку в этих веществах полосы сильного поглощения, связанные
с колебаниями решетки, приходятся на более высокие частоты. Это
предельное выражение для объемного поглощения вместе с формулой
для фактора эффективности поглощения в приближении Рэлея (разд. 5.1)
приводит к выражению для поглощения в малых частицах, зависимость
от частоты которого определяется законом со2; в низкочастотной об-
ласти инфракрасного диапазона этот закон, по-видимому, справедлив
для многих типов частиц.
9.1.3. Показатель преломления меньше единицы
Первая встреча с ситуацией, в которой показатель преломления п
оказывается меньше единицы (как это имеет место на рис. 9.2, в для
частот, больших ш0 ), часто вызывает сильное недоумение и порой со-
провождается горячими спорами. Действительно, одним из следствий спе-
циальной теории относительности является утверждение о том, что (Жоросгь
света с в пустоте - наибольшая из возможных скоростей материальных объек-
тов; здесь же фазовая скорость плоской монохроматической волны (разд.2.6)
оказывается равной с /п> с. В свое время этот факт использовался как роз-
га, которой секли (правда, безрезультатно) только родившуюся теорию отно-
сительности. В некоторых элементарных учебниках от этой проблемы избав-
ляются за счет привлечения групповой скорости c/[d(am]/dto], утверждая, что
именно она не может превосходить с. В областях нормальной дисперсии
такое объяснение, по-видимому, удовлетворительно, но в областях ано-
мальной дисперсии групповая скорость может превышать с и, более то-
го, может быть отрицательной. Поэтому весьма сомнительно, чтобы
привлечение групповой скорости могло полностью прояснить ситуацию
и развеять недоумение.
Причиной кажущегося противоречия со специальной теорией относи-
тельности является ошибочное утверждение, что все величины с размер-
ностью скорости должны быть меньше или равны с. В специальной те-
ории относительности ограничиваются только скорости материальных
тел и сигналов, которые можно считать обобщением понятия матери-
альных тел. Находящийся в веществе и вооруженный измерительным
прибором (детектором) наблюдатель действительно получит значение
с /п для быстроты, с которой мимо него проходят горбы и впадины плос-
кой волны; но фазовая скорость плоской монохроматической волны не
является ни скоростью материального тела, ни скоростью сигнала. Плос-
кая волна возникает только в том случае, если ее источник был вклю-
Классические теории оптических постоянных
291
чен настолько давно, что волна уже установилась во всем заполненном
веществом пространстве. Единственный же путь измерить скорость сиг-
нала - это выключить источник, замерить расстояние между источни-
ком и детектором, а затем включить источник и дождаться отклика. Ско-
рость сигнала, которая получается в результате деления расстояния до
источника на время, прошедшее с момента включения источника до ре-
гистрации первого отклика, уже не может быть больше с. Для доказа-
тельства этого утверждения необходимо рассмотреть распространение
импульса, который можно представить в виде суммы гармоник Фурье
(разд. 2.3), распространяющихся с разными фазовыми скоростями (не-
которые больше с, а некоторые меньше с). Вследствие дисперсии - п
зависит от частоты - форма импульса сложным образом меняется по
мере его продвижения в глубь вещества. Несмотря на сложность дока-
зательства, Бриллюэну и Зоммерфельду удалось показать, что в вещест-
вах, описываемых диэлектрическими проницаемостями с реализуемыми
зависимостями от частоты, скорость сигнала не может превышать с;
за подробностями доказательства мы отправляем читателя к книге Брил-
люэна [79], в которой имеются английские переводы оригинальных ра-
бот по этому поводу. Впоследствии Крамере доказал, что для того, что-
бы скорость сигнала в веществе была меньше с, необходимо и достаточ-
но, чтобы вещественная и мнимая части показателя преломления были
связаны дисперсионными соотношениями (2.49), (2.50); поэтому доказа-
тельство Бриллюэна и Зоммерфельда, использовавших в своем анали-
зе именно такой показатель преломления, является частным случаем
более общего результата.
Доказать, что скорость сигнала не может быть больше с, сложно,
но некоторое представление о распространении волн в веществе с пока-
зателем преломления, меньшим (или большим) единицы, можно получить
из простых рассуждений, основанных на рассмотренной выше осцилля-
торной модели. Для этого мы воспользуемся микроскопическим подхо-
дом, в соответствии с которым осцилляторы в веществе приводятся в
движение падающей плоской волной и переизлучают (рассеивают)
волны во всех направлениях. Во всех направлениях, кроме направ-
ления падения, рассеянные волны из-за интерференции практичес-
ки уничтожаются. Что касается направления падения, то здесь падаю-
щая и рассеянные волны объединяются, и их сумма дает прошедшую вол-
ну, фаза которой может опережать фазу падающей волны или отставать
от нее в зависимости от соотношения фаз осциллятора и падающей вол-
ны; как показано на рис. 9.2, а, разность фаз осциллятора и падающей
волны может изменяться от 0 до 180°.
292
Глава 9
РИС. 9.3. Прошедшая через слой дипольных осцилляторов волна (t) равна сум-
ме падающей (i ) и рассеянной (s) волн.
Рассмотрим волны, рассеянные изотропными дипольными осцилля-
торами, сосредоточенными в тонком слое вещества (рис. 9.3; в данный
момент нас интересует только рис. 9.3, а). В точке Р эти волны склады-
ваются векторно, образуя в результате рассеянную вперед волну s; су-
щественно, хотя пока это ниоткуда не следует, что фаза результирую-
щей рассеянной волны сдвинута на 90° относительно фазы падающей
волны (этот сдвиг является дополнительным к фазовому сдвигу осцил-
ляторов). Данные, необходимые для доказательства наличия этого до-
полнительного сдвига, приведены в гл. 3; рис. 3.8 аналогичен 9.3, за
исключением того, что на первом в роли рассеивателей выступали час-
тицы произвольной формы. Прошедшее поле t в точке Р представляет
собой векторную сумму падающего поля и полей, рассеянных всеми ос -
цилляторами. Если предположить, что направление поляризации пада-
ющей волны не меняется по мере ее продвижения в слое, то поле про-
шедшей волны будет даваться формулой (3.39):
<9.17)
к2
Классические теории оптических постоянных
293
где 71- число осцилляторов в единичном объеме. Этот результат час-
то получался при использовании скалярной теории дифракции. Строго
говоря, соотношение (9.17) применимо только для разреженных скоп-
лений осцилляторов, но взаимодействие осцилляторов не повлияет на
качественную сторону нашего анализа, являющегося описательным и
не претендующим на полную строгость. Векторная амплитуда рассе-
яния X изотропного диполя с поляризуемостью а в соответствии с
(5.17) равна
ik3
Х = 4^a&r Х Х
П ри 0 = 0° имеем ё х е = е и е х е = - е , так что
* Г X у Г у X
(«, • X),., -
После подстановки этого выражения в (9.17) найдем
Е, = Е (1 < i ) = Е. + Е . (9.18)
' 1 2 ' 1 5
Из (9.5) и (9.6) следует, что поляризуемость можно представить в ви-
де а = | а | е‘®, где 0 - разность фаз между смещением осциллятора
и возбуждающим его полем. Поэтому полное рассеянное поле равно
(919)
где мы воспользовались соотношением i - ellt/2. Формула (9.19) оз-
начает, что рассеянные осцилляторами волны, интерферируя, дают в
точке Р полную рассеянную волну, фаза которой сдвинута на 90° от-
носительно фазы осцилляторов и на 0 + 90° относительно фазы пада-
ющего поля. На рис. 9.3, а показаны падающая волна I, сдвинутая на
90° рассеянная волна s и прошедшая волна t в случае низких частот,
когда 0^0; здесь же приведены векторные диаграммы, которые для
некоторых читателей являются более информативными. Заметим, что
прошедшая волна из-за взаимодействия со всеми осцилляторами слоя
запаздывает (т.е. отстает от падающей волны). Распространение вол-
ны в среде описывается взаимодействием с последовательностью сло-
ев из осцилляторов, которое приводит к фазовой скорости, меньшей с,
откуда следует, что п> 1. На рис. 9.4 показаны фазовые соотношения,
которые приводят к п> 1 на низких частотах; на левой вертикальной
294
Глава 9
РИС. 9.4. Фаза отдельного осциллятора и фаза волны,, рассеянной слоем из
осцилляторов, относительно фазы возбуждающей их волны.
оси отложена фаза осциллятора относительно фазы падающей волны, а
на правой - фаза полной рассеянной волны относительно фазы падаю-
щей волны; на рисунке приведены и векторные диаграммы. На часто-
тах, значительно больших резонансной, относительная фаза осциллято-
ра равна почти 180°, а относительная фаза рассеянной волны почти
270°. На рис. 9.3, б показано, что рассеянная волна обгоняет падающую,
в результате чего прошедшая волна из-за взаимодействия с осциллято-
рами слоя опережает падающую. При распространении волны в среде
взаимодействие с последовательностью слоев из осцилляторов приво-
дит к фазовой скорости, большей с, т.е. к п < 1. Отсюда следует, что
такой на первый взгляд странный эффект, как увеличение скорости све-
та, оказывается ничуть не страннее ее замедления: оба эти эффекта
связаны с относительными фазами волн, излученных осцилляторами, ко-
торые приводятся в движение электромагнитным полем. Однако нужно
четко сознавать, что все приведенные рассуждения основаны на уста-
новившемся отклике осциллятора. Учет переходных процессов привел
бы к совсем другим результатам, в частности к появлению "предвест-
ников", распространяющихся в среде точно со скоростью с вне зависи-
Классические теории оптических постоянных
295
мости от отклика осциллятора (анализ переходных процессов, приводя-
щих к установившемуся отклику, изложен, например, в книге Стрэтто-
на [454]). Поэтому поведение импульса электромагнитной энергии бу-
дет отличаться от только что описанного из-за того, что процессы ус-
тановления не успеют окончиться. В частности, сигнал, передаваемый
при помощи импульса, не может распространяться быстрее скорости
света в пустоте.
9.1.4. Пример электронных возбуждений :MgO
Для всех твердых веществ и жидкостей в ультрафиолетовом диапа-
зоне имеется область частот, в которой свет сильно поглощается из-за
того, что энергия фотона согласуется с разностью энергий заполнен-
ных и пустых электронных уровней. Поскольку количество как пустых,
так и заполненных уровней (полос) очень велико, область сильного по-
глощения оказывается довольно широкой. Свойства таких весьма слож-
ных квантовых систем в общих чертах можно описать одним классичес-
ким осциллятором, если его силу и затухание подобрать таким образом,
чтобы он обладал сильным поглощением в широкой области частот. Ко-
нечно, нельзя ожидать, чтобы такая модель позволила описать структу-
ру электронного поглощения во всех деталях, но в общих чертах описа-
ние будет правильным. Эта модель полезна для развития интуиции и иног-
да для грубой оценки оптических постоянных.
В качестве первого примера, иллюстрирующего свойства реального
вещества, возьмем электронные возбуждения в окиси магния (MgO), ко-
торая является твердым кристаллическим диэлектриком и будет исполь-
зована в гл. 10 в качестве одного из характерных представителей твер-
дых тел. На рис. 9.5 приведен график отражательной способности при
почти нормальном падении для фотона с энергией в интервале примерно
от 1 до 30 эВ (2 эВ соответствуют длине волны около 0,62 мкм); эти дан-
ные и соответствующие им оптические постоянные взяты из [ 402], где
приведена таблица значений п и k. Всплески и провалы кривой отража-
тельной способности обусловлены главным образом изменением плот-
ностей занятых и свободных состояний электронов. В нижней части это-
го рисунка показаны оптические постоянные, найденные из отражатель-
ной способности при помощи соотношений Крамерса - Кронига (разд. 2.7);
для экстраполяции данных на область высоких энергий использовалась
предельная формула (9.15), описывающая поведение отражательной спо-
собности в этой области энергий законом l/w4. Штриховые кривые пред-
ставляют результаты расчетов, основанных на одноосцилляторной моде-
ли с параметрами, приведенными в подписи под рисунком. Эти парамет-
296
Глава 9
РИС. 9.5. Экспериментальная кривая отражательной способности и получен-
ные по ней графики оптических постоянных MgO заимствованы из [402] и изо-
бражены сплошной линией. Штриховыми линиями изображены результаты рас-
четов ло одноосциппяторной модели с а?р = 321 эВ2, у = 8 эВ и а>0 = 13 эВ.
ры использовались для расчета вещественной и мнимой частей диэлек-
трической проницаемости по формулам (9.8) и (9.9); соответствующие
значения оптических постоянных п и к следуют из (9.2), а отражатель-
ной способности при нормальном падении — из (2.58).
Классические теории оптических постоянных
297
Видно, что если не обращать внимания на тонкую структуру, то
простая одноосцилляторная модель приводит к правильному в общих чер-
тах поведению Я, п и к. Бросается в глаза сходство с рис. 9.2. При энер-
гиях, много меньших резонансной, к которым относится и диапазон ви-
димого света, лежащий примерно между 2 и 3 эВ, вещество.не поглоща-
ет (малое значение к), а п остается почти постоянным, лишь немного
возрастая с увеличением энергии. Такое поведение п отвечает закону
нормальной дисперсии, который характерен для всех прозрачных в диа-
пазоне видимого света обычных веществ; именно этот тип частотной за-
висимости показателя преломления стекла, воды, льда и т.д. приводит-
ся в элементарных учебниках. В сущности, мы со школьных лет привык-
ли, что показатель преломления почти не меняется, и, несомненно, имен-
но этому во многом обязано всеобщее заблуждение, состоящее.в том,
что оптические постоянные считаются истинными постоянными, за ис-
ключением небольшого увеличения п в сторону голубой части спект-
ра, которое вызывает разложение белого света на цвета радуги при его
прохождении через призму или водяную каплю. Между тем даже одно-
осцилляторная модель ясно демонстрирует, что это заблуждение связа-
но со слишком упрощенным взглядом на оптические характеристики;
нормальная дисперсия п в области прозрачности неразделимо связана
с сосредоточенной около ё0 = Ьа>0 полосой сильного поглощения и в
некотором смысле обусловлена ею. Поэтому все прозрачные для види-
мого света твердые и жидкие вещества обязательно должны обладать
сильным поглощением в ультрафиолетовой части спектра, где эти ве-
щества непрозрачны. о
В широкой области энергий, сосредоточенных около 14 эВ (Х^880 А),
свет, проникнув в кристалл MgO, сильно поглощается. Глубину проник-
новения можно оценить по формуле (2.52): I/IQ= exp (-4-ttAz/A). Для
к-l и А = 0,88‘10~5см глубину проникновения на уровне 1/е составля-
ет примерно 10-* см, или 100 А; отсюда видно, что было бы бесполез-
ным делом путей резания и полировки или путем откалывания пытаться по-
лучить образец кристалла, который был бы достаточно тонким для из^
мерения его прозрачности. Тем не менее глубина проникновения 100 А
соответствует большому числу атомных слоев в кристалле, откуда
следует, что отражение не является чисто поверхностным эффектом,
связанным с приповерхностным слоем толщины атомного размера, как
это имеет место, например, при дифракции на твердых телах электро-
нов с низкими энергиями.
В области далекого ультрафиолета сильное поглощение сопровож-
дается высокой отражательной способностью, что находится в полном
298
Глава 9
соответствии с общей одноосиил^яторной моделью. Из рис. 9.5 видно,
что в окрестности 20 эВ(Х=Ф00 A)MgO отражает свыше 20% падающе-
го по нормали света; это значение выгодно отличается от соответст-
вующего значения для платины - общепринятого отражающего покры-
тия для дальнего ультрафиолета, - отражательная способность кото-
рой на 18 эВ составляет примерно 12% [ 219J. В области далекого уль-
трафиолета многие непроводящие твердые вещества обладают боль-
шей отражательной способностью, чем металлы. Разумеется, на еще
более высоких энергиях отражательная способность, как и к, стремит-
ся к нулю, а п приближается снизу к единице; экспериментальные кри-
вые на рис. 9.5 согласуются с предельными формулами (9.14) и (9.15)
модельйых расчетов и проявляют все эти тенденции. Низкая отражатель-
ная способность в области самого дальнего ультрафиолета (~500 А и
меньше) является характерной чертой всех твердых веществ: в диапа-
зоне дальнего ультрафиолета и особенно в диапазоне рентгеновского
излучения не существует эффективных зеркал для падающего по нор-
мали излучения.
9.1.5. Пример колебаний решетки: cc-SiC
В разд. 9.14 показано, что одноосцилляторная модель правильно
описывает качественное поведение оптических характеристик конден-
сированного вещества в диапазоне, где основную роль играют электрон-
ные переходы; что же касается количественного описания, то от исполь-
зования такой простой модели, например, при анализе отражательной
способности следовало бы воздерживаться. В противоположность это-
му колебательные моды решеток некоторых кристаллов настолько точ-
но описываются простыми осцилляторными формулами, что они стали
общепринятыми для определения оптических постоянных по экспери-
ментальным данным. Поскольку для многих твердых тел колебания ре-
шетки и электронные возбуждения сильно различаются по энергии,
вклад электронов можно с хорошей точностью заменить его низкочас-
тотным предельным выражением (9.16). Иными словами, считается,что
диэлектрическая проницаемость на частотах, низких по сравнению с
характерными частотами электронных возбуждений, равна веществен-
ной константе; модифицированная с учетом этого предположения од-
ноосцилляторная модель для описания колебаний решетки принимает
вид
< = «Ое
ы2
_______р_________
1 1
W, - аг - iya>
(9.20)
Классические теории оптических постоянных
299
Обозначение еОе указывает на то, что эта величина является диэлектри-
ческой проницаемостью на частотах, малых по сравнению с частотами
электронных возбуждений. Кроме того, мы заменили оэ0 на со£ — часто-
ту поперечной оптической моды в ионном кристалле, поскольку, как
это следует из микроскопической теории, только этот тип распростра-
няющихся волн легко возбуждается при взаимодействии фотона с ре-
шеткой. Заметим, что через со2 в (9.20) обозначена величина 71е2/(тб0),
соответствующая колебаниям решетки (ионных осцилляторов), а не элек-
тронов. Масса электрона в тысячи раз меньше массы иона, так что плаз-
менная частота колебаний решетки в соответствующее число раз мень-
ше плазменной частоты электронов.
Твердым телом, для которого одноосцилляторная модель (9.20)
подходит особенно хорошо, является a-SiC; это вещество не только клас-
сический пример для учебника, но и имеет большое значение в технике.
Кроме того, оно, по-видимому, одно из тех немногих твердых веществ,
которые были обнаружены в самых далеких областях межзвездного про-
странства именно по рассматриваемым здесь особенностям поглощения.
Поскольку a-SiC представляет собой не вполне изотропное вещество,
его, строго говоря, следовало бы описывать на основании анизотропной
модели разд. 9.3. Однако в инфракрасном диапазоне его свойства поч-
ти одинаковы для обоих главных направлений, а в отношении отражатель-
ной способности пластинок из SiC с перпендикулярными гексагональной
оси срезами, которая возрастает с увеличением площади среза, его свой-
ства полностью изотропны.
Результаты измерений отражательной способности a-SiC в случае,
когда электрическое поле падающего излучения перпендикулярно гекса-
гональной оси, показаны на рис. 9.6; эти данные, полученные в лабора-
тории авторов, до сих пор не публиковались, но они сходны с опубли-
кованными в работе [ 441]. На этом рисунке кроме отражательной спо-
собности приведены оба набора оптических постоянных - п, к а е', е'"
которые были рассчитаны, исходя из наилучшего согласования одноос-
цилляторной модели с экспериментальными данными. Отметим, что мо-
дельная кривая почти идеально описывает экспериментальные данные
во всем указанном на рисунке диапазоне; для этого твердого тела ме-
тодика согласования экспериментальных данных с одноосиилляторной
моделью оказывается одновременно простым и точным способом опре-
деления оптических постоянных.
Многие характерные особенности простой одноосиилляторной моде-
ли (рис. 9.2) видны и на рис. 9.6: это и нормальная дисперсия п по обе
стороны от резонансной частоты, и узкая область аномальной диспер-
300
Глава 9
сии в окрестности полосы поглощения, и высокая отражательная спо-
собность около полосы поглощения, и уменьшение отражательной спо-
собности при удалении от резонансной частоты в область малых зна-
чений к. В связи с тем что единица в простой осцилляторной модели
(9.7) была заменена нае0^, появляется новая особенность: область
отрицательных значений е (п < к) оказывается сосредоточенной в бо-
лее узкой полосе вблизи резонанса; е' на рис. 9.2, напротив, отрица-
тельно в более широком диапазоне, лежащем выше близкой к ы0 часто-
ты, на которой кривая е' пересекает ось частот. Высокочастотная гра-
ница области отрицательных значений е', где е' = 0, обозначается
через оз1 и называется частотой продольной оптической моды; эта час-
тота является резонансной для продольных колебаний ионов. Сущность
этой величины можно до некоторой степени прояснить, рассмотрев
уравнение Максвелла
V • D = eV • Е = 0.
Если е / 0, to V - Е = 0 и электрическое поле поперечно. Если же на не-
которой частоте е = 0, то V х Н = 0. Из этого уравнения вместе с урав-
нением VB = 0 получаем, что В = 0 и, следовательно, V х Е = 0, т.е.
что электрическое поле продольно. Отметим еще раз, что - та час-
тота, на которой е обращается в нуль или очень мало.
В области между и Ы[ , которая для SiC заключена примерно
между 800 и 1000 см-1, отражательная способность велика не из-за
больших значений к, а из-за малых значений п- При п“0 отражатель-
ная способность при нормальном падении равна почти 100%; в точнос-
ти 100%-ная отражательная способность достигается только для осцил-
ляторов без затухания (у = 0), но твердые тела типа SiC очень близко
подходят к этому значению. Если постоянную затухания в (9.20) поло-
жить равной нулю, то вещественная часть диэлектрической проницаемос-
ти примет вид
ы2
, — . р
® ®0е + j 2
W, - Ш
(9-21)
а мнимая часть е" превратится в бесконечно узкий пик, сосредоточен-
ный на частоте Рассчитанная по такой модели без затухания кри-
вая R показана на рис. 9.6 штриховой линией. Видно, что для SiC от-
брасывание малой по сравнению с a>t постоянной затухания у приводит
к хорошей аппроксимации; в частности, между a>t и сог реальная от-
I
РИС. 9.6. Результаты измерения отражательной способности а = 81С(кружки).
Сплошные кривые рассчитаны с использованием (9.20) с = 793 см-1,
у =« 4,76 см-1, = 2,08 • 106 см-2 и е Ое = 6,7; штриховая кривая отвечает
той жв модели, но с у= 0. Волновое число равно 1/Л.
302
Глава 9
ражательная способность превышает 97%, что почти совпадает с полу-
чающимся из упрощенной теоретической модели 100%-ным значением.
Столь высокие отражательные способности ионных кристаллов в узких
областях спектра, отвечающих инфракрасному излучению, позволяют
создавать полосовые отражательные фильтры, которые нашли приме-
нение в некоторых промышленных спектрофотометрах инфракрасного
Диапазона. Различие отражательных способностей в области сильно-
го отражения и вне ее можно усилить за счет многократных отражений:
после многократных отражений от серии ионных кристаллов исходный
пучок света с непрерывным спектром гармоник инфракрасного диапа-
зона сохранит в основном лишь гармоники, отвечающие частотам об-
ласти сильного отражения. Открытие описанного эффекта привело к по-
явлению термина "мода остаточных лучей", которым назвали этот тип
колебаний в кристаллах.
Между частотами, ограничивающими полосу остаточных лучей, и
значениями вещественной части диэлектрической проницаемости по обе
стороны от этой полосы можно установить интересное и полезное соот-
ношение. В соответствии с (9.21) частота up на которой е' обращает-
ся в нуль, приближенно равна
w? = w? + -A (9.22)
е0е
Для частот, низких по сравнению с поперечной оптической частотой w ,
диэлектрическая проницаемость (9.21) стремится к предельному значе-
нию eOv:
e0v=€0e + 'JT- (9.23)
Физический смысл е Ое и е Ov должен быть ясен из рис. 9.16. Объеди-
нив (9.22) и (9.23), получим соотношение Лид дана — Закса - Теллера:
U* е0е
9.2. МНОГООСЦИЛЛЯТОРНАЯ МОДЕЛЬ
ОдноосЦилляторная модель довольно широко используется для
описания оптических возбуждений многих типов, особенно в модифи-
цированном (как, например, (9.20)) варианте, в котором учитывается
влияние низкочастотной асимптотики всех осцилляторов с более вы-
Классические теории оптических постоянных
303
сокими резонансными частотами. Модель становится еще более полез-
ной и применимой в более широком диапазоне частот, если ее обоб-
щить, включив в нее осцилляторы разных типов. Упрощенной реализа-
цией многоосцилляторной модели является такой же, как на рис. 9.1,
набор грузиков на пружинах, но теперь грузики и пружины уже не обя-
заны быть однотипными, т.е. в системе есть несколько резонансных
частот. При строгом подходе к рассмотрению, например, колебаний ре-
шетки нужно было бы выделить из движения электронов и ионов Движе-
ние ионов, выписать уравнения их движения в некотором эффективном
потенциальном поле, разложить потенциал, сохранив члены второго по-
рядка по смещениям ионов от положения равновесия, т.е. перейти к гар-
моническому приближению, и преобразовать уравнения движения, вве-
дя нормальные координаты; в результате получится система независи-
мых уравнений движения эффективных гармонических осцилляторов -
набор грузиков на пружинах. В гармоническом приближении для ампли-
туд справедлив принцип суперпозиции, так что комплексная поляризу-
емость оказывается аддитивной величиной, т.е. представляет собой
сумму по эффективным осцилляторам. Таким образом, в общем случае
диэлектрическая проницаемость скопления осцилляторов равна просто
сумме по осцилляторам разных типов
е
ео + —
J "j - « -
(9.25)
— w
причем осциллятор /-го типа описывается следующими параметрами:
резонансной частотой постоянной затухания у у и плазменной час-
тотой со .. Как и в (9.20), еQ представляет собой вклад всех осцилля-
торов с более высокими собственными частотами. Такое разделение
делается для удобства; если в сумму входят осцилляторы всех типов,
то е0 = е(оо) = 1. Отметим, что п и к нельзя представить в виде сум-
мы; их нужно находить из (9.25).
Одним из простых примеров использования многоосцилляторной мо-
дели является подбор ее параметров по результатам измерения отража-
тельной способности MgO в полосе частот остаточных лучей. Если в
разд. 9.1 мы рассматривали электронные возбуждения MgO, то теперь
обратимся к колебаниям решетки. Глядя на приведенный на рис. 9.7
спектр отражения MgO в диапазоне далекого инфракрасного излучения,
нетрудно заметить, что его поведение нельзя полностью описать одно-
осцилляторной моделью из-за наличия дополнительного уступа в облас-
ти более высоких частот, который указывает на существование хотя и
304
Глава 9
РИС. 9.7. Отражательная способность и найденные по ней оптические посто-
янные MgO; результаты измерений (кружки) заимствованы из [249].
Классические теории оптических постоянных
305
слабого, но все же заметного осциллятора второго типа. Сплошная кри-
вая на рис. 9.7 представляет собой результат расчетов по (9.25) с уче-
том двух типов осцилляторов; данные измерений отражательной способ-
ности взяты из [ 249], где для MgO при 295 К приведены следующие пара-
метры осцилляторов:
£0 ~ £0е 3,01,
2
“1 = 401 см-1. У, = 7,62 см-1 ^3- = 6,6,
1 >7
“1
со2
«2 = 640 см-1, у2 = 102,4 см-1, —= 0,045.
Обратим внимание на второй, более слабый осциллятор с собственной
частотой 640 см-1; с квантовой точки зрения он интерпретируется как
возбуждение фотоном пары фононов. Поскольку импульс фотона пре-
небрежимо мал по сравнению с импульсами фононов, импульсы послед-
них в силу закона сохранения должны быть почти одинаковыми по ве-
личине и противоположными по знаку. Такие двухфононные переходы
весьма распространены в ионных кристаллах, и для описания полосы
частот остаточных лучей к главному одноосциллятор ному слагаемому
обычно приходится вводить поправку, связанную с осцилляторами дру-
гих типов.
Отметим, что для MgO довольно велико различие между частотой
поперечной оптической моды, равной примерно 400 см-1' (на ней значе-
ние е" максимально), и частотой продольной оптической моды (она со-
ответствует тачке, где е' = 0). Это поиводит к большому различию зна-
чений вещественной части диэлектрической проницаемости в высоко- и
низкочастотном пределах (см. (9.24)): еОе = 3,01 и еОр = 9,64. Для по-
глощения малыми частицами более важна область отрицательных зна-
чений е', простирающаяся от wt до Как будет показано в гл. 12,
малые частицы различных форм могут сильно поглощать в этой облас-
ти частот. У MgO протяженность области отрицательных значений е'
Довольно велика, в связи с чем спектр поглощения малыми частицами
может выглядеть совсем не так, как спектр поглощения тонкой плен-
ки, который по форме аналогичен кривой k.
20-205
306
Глава 9
9.3. МОДЕЛЬ АНИЗОТРОПНЫХ ОСЦИЛЛЯТОРОВ
Обычные жидкости с точки зрения оптики изотропны, а наиболее лю-
бимые физиками твердые тела имеют кубическую кристаллическую ре-
шетку и потому тоже изотропны. Вследствие этого анализ оптических
свойств, и в частности анализ на микроскопическом уровне, как прави-
ло, проводится для изотропного вещества. Между тем большинство из
множества встречающихся в природе твердых тел не являются изотроп-
ными. Это несколько усложняет как теорию, так и эксперимент; напри-
мер, при измерениях оптических постоянных приходится точно ориенти-
ровать исследуемые кристаллы и использовать поляризованный свет. Но
из-за распространенности анизотропных твердых тел мы все же вынуж-
дены учесть это добавочное осложнение, обобщив соответствующим об-
разом классические модели.
В предыдущих разделах взаимодействие света с веществом описы-
валось скалярной диэлектрической проницаемостью е, которая, связы-
вает электрическое поле Е с индукцией D. В более общем случае D и
Е связаны тензорйым материальным соотношением.(5.46), которое в
компактной записи имеет вид D = е0Т *Е. Тензор диэлектрической про-
ницаемости 7 часто оказывается симметричным, так что существует
система координат, в которой он диагоналей:
с, О О'
« = 0 <2 0 ,
\о о
где через е р е2 и е3 обозначены главные значения диэлектрической
проницаемости. Отсюда следует, что если электрическое поле направ-
лено вдоль одной из главных осей, то D и Е параллельны.
Для выяснения физического смысла главных значений диэлектри-
ческой проницаемости рассмотрим, как в анизотропной среде распро-
страняются плоские волны вида Eoexp(ik'x -г со г), и особенно зада-
димся вопросом, какие именно плоские волны могут распространяться
в такой среде без изменения поляризации. Повторив рассуждения разд. 2.6,
найдем, что из уравнений Максвелла следуют соотношения
k(k • Ео) - Е0(к • к)---Г€«ЕО, к-(с’Ео)-О,
с
при выводе которых предполагается, что ц = ц0. Будем рассматривать
частный случай, когда вектор к направлен вдоль одной из главных
Классические теории оптических постоянных
307
осей, которую без потери общности можно выбрать в качестве оси z.
Тогда, разложив Ео на компоненты по главным осям, найдем, что при-
веденные уравнения сводятся к
(2 \ / 2 \
к2-^ЦФол = О, к2-^ К-0, e3EOz = 0.
С I \ С I
Если е3 i 0, то волна оказывается поперечной, так как EOz - 0- Эти
уравнения имеют два решенид:
к2 = ; ЕОх * 0, ЕОу = О,
С
к2 = —у-; ЕОх = 0, ЕОу * О,
с
из которых следует, что плоская волна может распространяться в на-
правлении оси z без изменения своей поляризации только в тех случа-
ях, когда она поляризована либо вдоль оси х, либо вдоль оси у, при-
чем показатели преломления для этих двух типов волн оказываются
разными:
л, + ikt = fa, п2 + ik2 = fa.
Если е j = е 2, то направление распространения - ось z - называет-
ся оптической осью. В приведенных рассуждениях молчаливо предпо-
лагалось, что преобразование координат к главным осям одновремен-
но приводит к диагональному виду как вещественную, так и мнимую
части тензора диэлектрической проницаемости.
В тех частотных диапазонах, где поглощение мало, наличие двух
показателей преломления nt и п2 приводит к явлению двойного луче-
преломления.Одно из наиболее известных применений этого свойст-
ва состоит в создании замедлителей волны типа четвертьволновой плас-
тинки: фаза падающего линейного поляризованного света с равными
х- и у-компоненгами поля после прохождения такой пластинки сдвигается
из-за различия фазовых скоростей с/пх и с /п2. Из этого и других
приложений анизотропных кристаллов выросла целая дисциплина, о ко-
торой обычно говорят как о кристаллооптике.
Различие показателей преломления п для распространяющегося
вдоль главной оси света с разными состояниями линейной поляриза-
ции называется свойством двойною лучепреломления (линейно поляри-
308
Глава 9
зованного света). О кристаллах с этим свойством говорят как о дво-
якопрелом ля ющих, или с двойным лучепреломлением. Если в кристал-
ле имеется заметное поглощение, то затухание волны тоже будет за-
висеть от поляризации; об этом явлении говорят как о дихроизме, или,
более точно, как о линейном дихроизме (чтобы отличить его от явле-
ния, связанного с различием коэффициентов поглощения для света с
разными круговыми поляризациями).
Механическая система, описывающая указанные эффекты анизо-
тропии в рамках модели Лоренца, показана на рис. 9.8; эта модель яв-
ляется обобщением модели пружин с рис. 9.1; подчеркнем, что здесь
жесткости пружин зависят от направления.
Чтобы получить выражения для главных значений Диэлектрическсй
проницаемости, достаточно всего лишь выписать три аналогичных
(9.20) соотношения с тремя разными наборами параметров осциллято-
ров, соответствующих е j, е 2 и е}. Каждый набор параметров соответ-
ствует одной из трех разных пружин на рис. 9.8. Более строгое описа-
ние главных значений диэлектрической проницаемости можно получить,
заменив единственный для каждого главного направления тип осцилля-
торов на несколько типов (разд.9.2).
В модели пружин подразумевается, что различие форм тензора ди-
электрической проницаемости определяется симметрией кристалличес-
кой решетки; именно,считается, что формы тензора связаны с семью
РИС. 9.8. Анизотропный осциллятор.
Классические теории оптических постоянных
309
типами кристаллических твердых тел (аморфные тела и большинство
жидкостей изотропны). Вот эти типы:
Изотропные тела, = е2 = е3 Аморфные тела 1 t' + it" Большинство жидкостей 0 Кристаллы с кубической \ 0 решеткой 0 0 \ t' + it" 0 j 0 t' + i t"j
Одноосные кристаллы, t} = е 2 / е3 Тетрагональные / t^ + i t" Гексагональные 1 0 Тригональные \ 0 0 0 \ e 1 + i e j' 0 j o «3 + i t"J
Двухосные кристаллы. t1l.t2l: ез Орторомбические / Е' + i Е'' ( 0 \ 0 Двухосные кристаллы. Триклинные / е' 0 0 > Моноклинные 10 е' 0 у 0 0 e'j ' 0 0 \ e2 + 1 EV 0 ) 0 t[ + i't',J I It" 0 0 \ j или! 0 t" 0 j ’ Vo 0 t"j
Для триклинных и моноклинных кристаллов с низкой степенью сим-
метрии главные оси для вещественной части тензора диэлектрической
проницаемости отличаются от главных осей для его мнимой части. Это
сильно усложняет жизнь, и мы - вместе с большинством других авто-
ров - будем избегать таких сложностей.
Примером твердого вещества с анизотропными оптическими свой-
ствами в полосе частот колебаний решетки является кристаллический
кварц SiO2, который часто встречается в природе в виде больших про-
зрачных кристаллов гексагональной формы. Иногда кварц используют
для изготовления замедляющих пластинок, но он имеет и другие назна-
чения в коммерции и в науке. На рис. 9.9 приведены два разных спект-
ра в инфракрасной области, взятые из [440]. Для определения оптичес-
ких постоянных вдоль двух главных осей в этом эксперименте исполь-
зовался поляризованный свет и соответствующим образом ориентиро-
ванный кристалл с необходимым срезом. Положения полос остаточных
лучей Для двух направлений поляризации (параллельной и перпендику-
лярной оптической оси) довольно сильно различаются, особенно на дли-
нах волн больше примерно 15 мкм; именно в этом проявляется разли-
310
Глава 9
РИС. 9.9. Отражательная способность кварца для поляризованного перпенди-
кулярно (а) и параллельно (б) оптической оси света. Результаты измерений
(точки) и согласованные с ними кривые заимствованы из [440].
чие параметров эффективных пружин для различных кристаллографи-
ческих направлений. В работе [ 440] данные по отражательной способ-
ности для каждой поляризации были смоделированы семью осциллято-
рами, параметры которых приведены в табл. 9.1. По этим параметрам очень
просто вычислить оптические постоянные, воспользовавшись формулой (9.25).
Классические теории оптических постоянных
311
Таблица 9.1
Параметры осцилляторов, использованные для моделирования приведенных
на рис. 9.9 данных отражательной способности (по [4401)
a>j , см"4
1227 1163 1072 797 697 450 394 0,009 0,11 0,01 0,006 0,67 0,0071 Электрическое поле 0,11 0,009 перпендикулярно 0,018 0,012 оптической оси 0,62 0,0090 0,33 0,007 £fte= 2,356
1220 1080 778 539 509 495 364 0,011 0,15 0,67 0,0069 0,10 0,0Ю Электрическое поле 0,006 0,04 параллельно 0,05 0,014 оптической оси 0,66 0,0090 0,68 0,014 е = 2,383
Сравнение теоретических отражательных способностей (сплошные кри-
вые) с результатами измерений (точки) показывает полный успех про-
цедуры моделирования; такое сравнение — прекрасная количественная
иллюстрация использования модели анизотропных осцилляторов.
9.4. МОДЕЛЬ ДРУДЕ
Оптические свойства проводников заметно отличаются от оптичес-
ких свойств веществ, не проводящих электричества; этот факт схема-
тически проиллюстрирован на рис. 9.10при помощи простых диаграмм
энергетических уровней. Из-за наличия огромного числа электронов
312
Глава 9
Непроводники
Проводники
Диэлектрики Полупроводники
Металлы
Зоны
_________проводимости
Запрещенная
зона
валентные
зоны
Частично
заполнена
.Перекрытие
зон
пглшггма
Электроны
внутренних
бболочек ---------
РИС. 9.10. Энергетические полосы электронов в непроводниках и провод-
никах. Заштрихованные полосы заполнены.
в твердом теле имеется почти бесконечное множество энергетичес-
ких состояний или уровней, которые эти электроны могут занимать.
Однако вследствие периодичности кристаллической решетки энергети-
ческие уровни группируются в полосы. Если между полностью запол-
ненной и пустой полосами имеется интервал запрещенных энергий -
запрещенная зона, или энергетическая щель, то вещество является
непроводником (т.е. диэлектриком или полупроводником). Если же по-
лоса электронных состояний заполнена не полностью или если некото-
рая заполненная полоса перекрывается по энергии с пустой полосой, то вещество
является проводником: отвечающие максимуму распределения по энер-
гиям электроны могут под действием приложенного электрического
поля перейти в соседнее незанятое состояние, что в результате при-
водит к возникновению электрического тока. Наличие свободных элек-
тронных состояний в энергетической полосе ответственно за механизм
поглощения фотонов низкой энергии - механизм внутриполосного по-
глощения. Поглощение в непроводниках — межполосное поглощение —
возможно только в том случае, если энергия фотона превосходит ши-
рину запрещенной зоны- Такое различие проводников и непроводников
приводит к существенной разнице их оптических свойств: диэлектри-
ки в отношении фотонов с энергиями меньше ширины запрещенной зо-
ны в основном прозрачны и слабо отражают, в то время как металлы,
как правило, сильно поглощают и отражают свет видимого и инфракрас-
ного диапазонов.
Классические теории оптических постоянных
313
В металлах электроны, энергии которых лежат в области максиму-
ма распределения по энергиям (т.е. вблизи уровня Ферми), могут пе-
рейти в состояние с другими энергией и импульсом при взаимодейст-
вии с фотонами очень малой энергии, так что их, в сущности, можно
считать "свободными" электронами. Отклик скопления свободных элек-
тронов на оптическое поле можно получить из лоренцевой модели гармо-
нических осцилляторов путем простого "отрезания грузиков от пружт",
т.е. положив постоянную жесткости К в (9.3) равной нулю. Отсюда сле-
дует, что в соответствии с (9.7) при со0 = 0 диэлектрическая проница-
емость свободных электронов равна
* 1 п »
W + /уы
а ее мнимая и вещественная части имеют вид
w2
1------
и>2 + у2
2
w(w2 + у2)
(9-26)
(9.27)
Эти уравнения отвечают модели Друде оптических характеристик ме-
таллов со свободными электронами. Плазменная частота дается соотноше-
нием w2 = Ле2/(т£ в), где Л - концентрация свободных электронов, а
т- эффективная масса электрона. Мы и раньше использовали символ
Ир, но в данном контексте плазменная частота имеет простую физичес-
кую интерпретацию. Примем в качестве классической модели металла
бесстолкновительный газ из свободных электронов, движущихся на фо-
не неподвижных положительных ионов, которые создают постоянную в
пространстве и времени плотность Я положительного заряда (в едини-
цах <?). В состоянии равновесия концентрация электронов тоже равна Л.
Но если электроны каким-либо образом вывести из состояния равнове-
сия, то возникнет неравномерное распределение заряда, создающее та-
кое электрическое поле, которое будет стремиться восстановить ней-
тральность заряда. Ускоренные полем электроны проскочат равновес-
ное положение, в результате чего возникнут колебания. Если обозна-
чить концентрацию электронов через Л - 5Й, то электрическое поле
314
Глава 9
будет удовлетворять уравнению
V • Е = e5fl. . (9.28)
ео
Будем рассматривать только очень малые отклонения от положения
равновесия (|5 К/П.| << 1). Тогда уравнение непрерывности приближен-
но будет иметь вид
V-u=——, (9.29)
dt Л
где и — поле скоростей электронного газа, который здесь считается
неразрывной заряженной жидкостью. Уравнение движения такой жид-
кости есть
(u- v)u= Е, (9.30)
dt т v ’
(мы пренебрегли магнитной силой и градиентом давления). Первое сла-
гаемое в левой части (9.30) имеет порядок 1//т, где U — характерная
скорость электронного движения, ат- характерное время; порядок
второго слагаемого есть U2/L, где L - характерная-длина. Если пред-
положить, что 1/т >>t//L, то (9.30) приближенно принимает вид
du
dt
—Е.
т
Из этих уравнений получим
д2 бЯ ,
= о,
л
(9.31)
Для того чтобы уравнения (9.28) и (9.31) имели решение в виде плос-
ких волн Е = Eeexp(ik'X — iwt), = Cexp(ik‘X — iwt), необхо-
димо, чтобы выполнялись равенства
,k-E=25!L, (9.32)
£о
с("р-"2) = 0. (9.33)
Уравнение (9.33) имеет два решения: во-первых, w2 / w2p, С = 0, из
которого следует поперечность плоской волны, и, во-вторых, С t 0,
Классические теории оптических постоянных
315
СО2 = Ир . Диэлектрическая проницаемость Друде (9.26) при w= wp об-
ращается в нуль (если пренебречь затуханием); но в разд. 9.1 было
показано, что на частотах, где е(к>) = 0, поле продольно. Таким обра-
зом, второе решение соответствует продольным колебаниям. Эти кол-
лективные колебания электронного газа называются плазменными ко-
лебаниями; они возникают из-за дальнодействующих корреляционных
связей электронов, обусловленных кулоновыми силами. Такие плаз-
менные колебания в газовых разрядах исследованы теоретически и
экспериментально в работе [470]. Дальнейшие уточнения классичес-
кой теории приведены в работах [ 55, 56]; эти исследования послужили
толчком для серии плодотворных работ по квантовой теории плазмен-
ных колебаний (см. [ 57, 58, 365]).
В более общем (и более реальном) случае ненулевого затухания
диэлектрическая проницаемость Друде обращается в нуль на комп-
лексной частоте, которая при со2 » у2/4 равна wp - iy/2. На кван-
товомеханическом языке элементарных возбуждений мы говорим о
возбуждении плазменных колебаний как о рождении (или возникнове-
нии, или создании) плазмона - кванта плазменных колебаний с энер-
гией и временем жизни т = 2/у. Для того чтобы понятие плазмо-
на было разумным, необходимо, чтобы время его жизни было доста-
точно большим (шрт >> 1). Несмотря на то что плазмон состоит из
электронов, все-таки это не электрон: скорее он похож на группу
электронов-гангстеров, сговорившихся под давлением дальнодействую-
щей кулоновой силы и решивших действовать сообща. Поэтому,рассуж-
дая о поведении таких электронов, их можно рассматривать, подобно
оркестру или хору, как единое образование, перемещающееся внутри
одного и того же (кулоновского) проводника. Хористы иногда вынуж-
дены петь соло; такая же ситуация складывается и в скоплениях элек-
тронов. Поведение отдельных частиц проявляется, например, в спект-
ре электронного возбуждения MgO (рис. 9.5).
Элементарная трактовка движения свободных электронов (см., на-
пример, [ 272]) показывает, что постоянная затухания у связана со
средним временем т между соударениями соотношением у = 1/т. При
низких температурах времена соударений, по-видимому, определяют-
ся примесями и неидеальностью решетки, но при обыкновенных темпе-
ратурах они обусловлены в основном взаимодействием электронов с
колебаниями решетки: электронно-фононным рассеянием. Для боль-
шинства металлов при комнатной температуре у много меньше wp.
Плазменные частоты металлов лежат в диапазоне видимого и ультра-
316
Глава 9
фиолетового излучения: величина Цы? колеблется от 3 до 20 эВ. По-
этому на частотах видимого света и ультрафиолетового излучения
хорошим приближением для диэлектрической проницаемости Друде яв-
ляются зависимости
“в
€'=1-4,
" (« » у). (9.34)
в ,г 2» ——
W3
Эти выражения идентичны выражениям (9.13) высокочастотной асимп-
тотики модели Лоренца и говорят о том, что на высоких частотах все
непроводники ведут себя подобно металлам. При взаимодействии с
электромагнитным полем достаточно высокой частоты межполосные
переходы, определяющие структуру оптических характеристик на срав-
нительно низких частотах, становятся скорее возмущением на фоне
поведения, определяемого свободными электронами.
На рис. 9.11 показаны отражательная способность, а также ве-
щественная и мнимая части диэлектрической проницаемости и показа-
теля преломления такого обычного металла, как алюминий; здесь же
приведены результаты расчетов по модели Друде. Алюминий хорошо
описывается моделью Друде, за исключением небольшой особенности
около 1,5 эВ, которая обусловлена связанными электронами. Парамет-
ры, которые мы выбрали для согласования модели с данными измере-
ний отражательной способности (йшр = 15 эВ и Sy =0,6 эВ), довольно
сильно отличаются от использованных в [140] (ft со = 12,7 эВ и
Йу=0,13эВ) для аналогичной цели, но в области низкой энергии
(Й<о< 0,2 эВ). Вероятно, это различие связано с внутриполосными пере-
ходами и отличием механизмов рассеяния электронов при более высоких энер-
гиях. Выбранные нами параметры отражают тот факт, что мы интересу-
емся моделью Друде в приложении к окрестности плазменной частоты.
Для алюминия на низких частотах t' велико и отрицательно, а е"
тоже велико; абсолютные значения обеих величин монотонно убывают
с ростом частоты. Соответствующие им величины п и к на низких час-
тотах тоже велики, но убывают в направлении более высоких частот;
к больше п, которое меньше единицы в большей части диапазона ниже
wp (2 - 15 эВ). Из-за малости п отражательная способность при нор-
мальном падении достигает в этом диапазоне почти 100%-ной величины,
так что даже тонкие пленки из алюминия почти не пропускают света. На
Классические теории оптических постоянных
317
РИС. 9.11. Сравнение результатов измерения отражательной способности
алюминия с результатами расчетов по модели Друде. Диэлектрическая про-
ницаемость и показатель преломления заимствованы из [211].
частотах, значительно превышающих wp, величина е'5*! и ъ'—0, отку-
даследует, что л“1 и k-й; на этих частотах алюминий прозрачен. Пе-
реход от непрозрачности к прозрачности вблизи плазменной частоты является
примером ультрафиолетовой прозрачности; она имеет место у всех метал-
лов, поведение которых определяется свободными электронами: у ще-
лочных металлов Li, №i, К и и у мультивалентных металлов типа
Mg, Al и Н>. Явление ультрафиолетовой прозрачности обладает свойст-
318
Глава 9
вом режекторного оптического фильтра, которое можно использовать
для задержания света с длинами волн, большими Хр.
Мы уже упоминали, что область отрицательных значений е' особен-
но важна для оптики малых частиц, которые могут сильно поглощать
и рассеивать на частотах, зависящих от их формы. В частности, силь-
ное поглощение в шарах имеет место на той частоте, где t = - 2. Из
рис. 9.11 видно, что возможно существование обширной области, где
поглощение и рассеяние малыми металлическими частицами зависят
от формы частиц. Более полно этот вопрос будет обсуждаться в гл. 12.
Модель свободных электронов Друде не ограничена случаем метал-
лов; как уже упоминалось, непроводники на достаточно высоких час-
тотах демонстрируют поведение, характерное для модели свободных
электронов. Например, при взгляде на графики отражательной способ-
ности и вещественной и мнимой частей диэлектрической проницаемос-
ти кремния (см. [ 362]) видны полосы сильного поглощения между 3 и
6 эВ. Однако выше 7 эВ отражательная способность плавно спадает от
высоких значений к низким, г" плавно стремится к нулю, at' возрас-
тает от больших отрицательных величин, проходя через нуль на плаз-
менной частоте, соответствующей примерно 17 эВ. Все это характер-
но для свободных электронов.
Примеси в полупроводниках, создающие либо свободные электро-
ны, либо свободные дырки (отсутствие электрона в полностью запол-
ненном "море" электронов), при низких, но превосходящих минималь-
ную ширину запрещенной зоны энергиях (для Si такая минимальная
энергия равна 1,1 эВ) тоже приводят к характерным для теории Друде
оптическим свойствам. Для таких примесных полупроводников плаз-
менные частоты могут быть порядка 0,1 эВ.
Любопытное качественное приложение теории Друде можно сде-
лать в отношении ионосферы - области атмосферы, лежащей пример-
но между 50 и 500 км, в которой плотность свободных электронов до-
статочна для воздействия на распространение радиоволн. Плотность
электронов Ю6 см~3 приводит к плазменной частоте порядка Ю7с-1,
что отвечает длине волны примерно 30 м. На более низких частотах
(на больших длинах волн), чем wp, ионосфера сильно отражает и ведет
себя совсем как металл, что оказывает существенное влияние на рас-
пространение низкочастотных радиоволн. Для радиоволн с частотой,
большей wp , ионосфера становится прозрачной по той же самой при-
чине, по которой металлы со свободными электронами становятся про-
зрачными в ультрафиолетовом диапазоне. Именно поэтому высокочас-
тотные радиоволны не так сильно подвержены "замираниям" и отраже-
Классические теории оптических постоянных
319
Табпица 9.2
Плазменные частоты и соответствующие им длины волн для некоторых
значений плотности свободных электронов
X, см"» “р, с-1 Тип плазмы
1024 5,7 • 1016 330 А А1(Лр = 830 X)
1022 5,7 . 10® 3300 А | Металлы Cs (Лр = 3260 А)
Ю20 5,7 • 10м 3,3 мкм
10й 5,7- 10» 33 мкм Примесные
ю17 1,8 • 10» 105 мкм] Электрон- полупроводники
но-дыроч-
ные кап-
ПИ
Ю1» 5,7 • 10» 330 мкм
10е 5,7 • 107 33 м 1 Ионосфера
1 (F = СПОЙ)
10» 1,8 • 107 105 м J
нию от ионосферы. Поэтому связь со спутниками или с космическими
кораблями, летящими выше ионосферы, очевидно, нужно осуществлять
на частотах, больших, чем максимальная плазменная частота. Плот-
ность электронов в ионосфере не однородна по высоте и значительно
меняется из-за таких явлений, как солнечная активность; кроме того,
распространение радиоволн в ионосфере осложняется наличием земно-
го магнитного поля. Тем не менее модель Друде приводит к правиль-
ной качественной картине, которая помогает понять наблюдаемые яв-
ления.
В табл. 9.2 приведены плазменные частоты и соответствующие им
Длины волн для довольно широкого спектра плотностей свободных элек-
тронов; рядом с длинами волн отмечены упомянутые в данном разделе
вещества, в которых проявляются плазменные эффекты с указанной
плотностью плазмы (электронно-дырочные капли будут рассмотрены в
гл. 12).
320
Глава 9
9.4.1. Свободные и связанные электроны в металлах
Одна теория Друде, несмотря на свою применимость к металлам
типа алюминия, не дает правильного описания оптических характерис-
тик многих других металлов. Хорошим примером такого рода является
серебро: этот металл проявляет некоторые свойства, характерные для
модели свободных электронов, и их можно трактовать на основании те-
ории Друде, но в то же время в нем довольно заметны особенности по-
ведения, обусловленные связанными электронами, которые приводят
к значительным отличиям его оптических свойств от свойств газа сво-
бодных электронов. На рис. 9.12, а показана отражательная способность
серебра при нормальном падении [244]; она изображена в логарифмическом
масштабе, чтобы подчеркнуть необычно большое изменение отражательной
способности в узкой области около а>р. Отвечающая низким энергиям
часть спектра наводит на мысль о типе отражения, характерном для
свободных электронов: отражательная способность равна почти
100% и круто спадает до очень малых значений вблизи плазменной час-
тоты, составляющей примерно 3,9 эВ. Однако на частотах выше плаз-
менной кривая значительно отличается от результата теории Друде:
отражательная способность резко возрастает, немного колеблется и
только потом вновь спадает до малых значений; такое поведение вы-
ше 4 эВ объясняется влиянием связанного заряда. На рис. 9.12, б эк-
спериментальные значения t' для серебра представлены в виде суммы
двух компонент, определяемых соответственно свободными и связан-
ными зарядами. Иными словами, поскольку поляризуемости и, следо-
вательно, восприимчивости аддитивны, диэлектрическую проницаемость
можно представить в виде суммы е = е + 5е ь, которая включает вклад 5е ь
осцилляторов Лоренца и вклад в у свободных электронов:
ы + j wj - w2 - iyjU
Здесь к обозначениям параметров свободных электронов добавлен ин-
декс е.
Вклад свободных электронов в диэлектрическую проницаемость на
рис. 9.12, б получен по теории Друде с использованием параметров, най-
денных из низкочастотных данных (йсо< 0,1 эВ); после этого вклад свя-
занных зарядов определяется просто как разность 5е^ = е' - е^. По-
лученные результаты ясно говорят о сильном влиянии связанных заря-
дов на значение плазменной частоты . Исходя из уравнения со2 = Ле2/те0
Классические теории оптических постоянных
321
РИС. 9.12. а — отражательная способность серебра (по [244]); б — разделе*
ние экспериментальной кривой е* на составляющие, отвечающие свободным
и связанным электронам (по [139]).
21-205
322
Глава 9
с соответствующей серебру плотностью электронов Л, плазменная час-
тота должна быть равной 9,2 эВ; именно на этой частоте г' приближен-
но обращалось бы в нуль, если бы оптические свойства серебра опреде-
лялись только свободными электронами. Однако довольно большой по-
ложительный вклад связанных электронов при энергиях ниже примерно
6 эВ поднимает кривую г', так что она пересекает ось энергий не при
9 эВ, а при 3,9 эВ. Если плазменную частоту определить как частоту,
на которой е ' = 0, то она смещается из области далёкого ультрафиоле-
та в область близкого ультрафиолета, а вместе с ней смещается и на-
чало области ультрафиолетовой прозрачности: она начинается вблизи
3200 А вместо 1300 А. Между тем почти сразу за спадом на плазмен-
ной частоте отражательная способность начинает увеличиваться из-за
наличия расположенного около 4 эВ максимума г' — не будь связанных
зарядов, этого явления не было бы. Отсюда видно, насколько сильно
могут меняться оптические свойства металлов из-за конкуренции свя-
занных и свободных зарядов.
Интересно сравнить серебро с медью: ее красновато-коричневый
Цвет с очевидностью указывает на значительные различия оптических
постоянных в видимом диапазоне; в то же время качественная струк-
тура электронных энергетических полос обоих этих металлов совершен-
но одинакова. Разница в их внешнем виде определяется положением обу-
словленного связанными зарядами максимума е', который для сереб-
ра лежит около 4 эВ, а для меди - около 2 эВ. Из-за очень большого
отрицательного вклада в е' со стороны свободных электронов положи-
тельного вклада связанных зарядов не хватает, чтобы сместить кри-
вую е' для меди в область положительных значений и тем самым умень-
шить плазменную частоту, как это происходит в случае серебра. Сдвиг
плазменной частоты не приводит к снижению отражательной способнос-
ти, однако связанные заряды оказывают на нее существенное влияние.
Их воздействие приводит к резкому уменьшению отражательной спо-
собности вблизи 2 эВ от почти 100%-ных значений на более низких энер-
гиях; менее ярко выраженный пример уменьшения отражательной спо-
собности из-за связанных зарядов можно увидеть в спектре отражатель-
ной способности алюминия при энергии около 1,5 эВ (рис. 9.11). При
энергии 2 эВ, которая соответствует красному участку видимого спект-
ра, отражательная способность меди еще достаточно высока, а на дру-
гом конце видимого спектра (около 3 эВ) она сильно уменьшается из-за
связанных зарядов. Именно это увеличение отражательной способнос-
ти в сторону красного участка спектра и придает меди ее характерный
"медный" оттенок.
Классические теории оптических постоянных
323
9.5. РЕЛАКСАЦИОННАЯ МОДЕЛЬ ДЕБАЯ
Имеется еще один важный механизм поляризации, относящийся к
веществам, частицы которых обладают постоянным (в противополож-
ность наведенному) электрическим дипольным моментом. Он состоит
в частичном выстраивании Диполей вдоль электрического поля, которо-
му противостоит процесс дезориентации диполей из-за тепловых соуда-
рений. В этом случае возвращающей "силой", пытающейся привести по-
ляризованный участок вещества в неполяризованное состояние, являет-
ся тенденция к равномерному статистическому распределению диполей
по ориентации, что по своему действию сильно отличается от вообража-
емых пружин лоренцевой теории. Такая возвращающая "сила" не при-
водит к колебаниям электрической поляризации, она действует так, как
если бы постоянные электрические диполи обладали сильным затуханием,
тогда как осцилляторы Лоренца обладают слабым затуханием. Поскольку
постоянные диполи приближаются к равновесному состоянию, просто ре-
лаксируя, о таком типе поляризации говорят как о релаксационном и
обычно связывают его с именем Дебая, которому принадлежит одна из
первых (и остающаяся одной из лучших) обстоятельных работ по этому
поводу [ 124]. Молекулы многих жидкостей обладают постоянными диполь-
ными моментами, так что релаксационная поляризация Дебая за счет
поворотов молекул играет существенную роль при определении оптичес-
ких постоянных таких жидкостей на некоторых частотах, обычно лежа-
щих в диапазоне СВЧ. Релаксационной поляризуемостью Дебая облада-
ют и многие' твердые вещества; это связано с наличием в них заряжен-
ных дефектов или примесей, которые могут занимать неэквивалентные
положения в кристаллической решетке, в результате чего возникнут ди-
польные моменты и возможность их переориентации.
В модели Дебая возвращение поляризованной области к равновес-
ному состоянию происходит совсем не так, как в модели Лоренца. Пред-
положим, что вещество, состоящее из лоренцевых осцилляторов, было
поляризовано, а затем постоянное электрическое поле внезапно выклю-
чили. Заряды будут приближаться к состоянию равновесия, колеблясь;?
около него с затухающей амплитудой. В этом можно убедиться, решив
Дифференциальное уравнение (9.3) с нулевой правой частью и начальны-
ми условиями х = х0 и х = 0 при t - 0; результатом будет уравнение
Движения гармонического осциллятора с затуханием:
х = Re(xoe “ 'ш°‘е ~ т'}.
324
Глава 9
Следовательно, исходная поляризация будет убывать по закону
рМ = P/(0)e-1"cos(w0z),
где мы ввели индекс I, чтобы отметить, что рассматривается поляри-
зация скопления лоренцевых осцилляторов. В противоположность этому
первоначально поляризованное скопление дебаевских осцилляторов (по-
стоянных диполей) возвращается к состоянию равновесия по закону
Р(/(') = ^(0)е-'/т. (9.35)
Здесь нет никаких колебаний: поляризация просто релаксирует к нулю
с постоянной времени т . Закон (9.35) является основным предположе-
нием теории Дебая, и в следующих абзацах мы воспользуемся им при
выводе выражения для диэлектрической проницаемости скопления по-
стоянных диполей.
Если к образцу поляризуемого вещества в момент времени 10 вне-
запно приложить постоянное электрическое поле Ео (т.е. поле в ви-
де ступеньки), то эволюция поляризуемости во времени будет иметь
вид, схематически изображенный на рис. 9.13. Вклады в поляризацию
дают и электроны, и ионы решетки, и постоянные диполи. Предположим,
что постоянные диполи реагируют на включение поля значительно мед-
леннее, чем электроны и ионы; точнее говоря, будем считать, что от-
клик электронов и ионов можно считать мгновенным по сравнению со
временем, необходимым для установления в веществе окончательного
равновесного значения поляризации. Тогда при включении электричес-
кого поля в момент времени t0 мгновенно наведется поляризация
P(t 0) = eoXov£o > а с ростом времени она будет приближаться к свое-
му предельному значению Р(«>) = е oxorfЕо, Напомним, что в наших обо-
значениях Xov ~ Это восприимчивость на частотах, низких по сравне-
нию с характерными частотами колебаний решетки, которые в свою
очередь малы по сравнению с частотами электронных колебаний, а
Х0(/ - восприимчивость на частотах, низких по сравнению с частотами
диполей (т.е. статическая восприимчивость). Предположив, что харак-
тер приближения к равновесному состоянию, как и в (9.35), является
экспоненциальным, можно выписать физически правдоподобное выра-
жение для зависимости поляризации от времени:
Р(/) = Р(оо) - Се_('_'о)/Т (9.36)
Классические теории оптических постоянных
325
Константа С определяется из требования lim P(t) = P(t
tit0
С = P(oo) - P(t0) = P(lo)(Xo</ - XoJ/Xoe-
В результате несложных преобразований формулу (9.36) можно привес-
ти к виду
Р(‘) = еОХоЛо + «о(Хо</ - Хое)[1 - e-<‘-‘°V']EQ, (9.37)
который более удобен для интерпретации и который позволит нам обоб-
щить ее на случай суммы ступенчатых функций. Первое слагаемое в пра-
вой части (9.37) - это вклад в полную поляризацию со стороны ионов
решетки, а второе, P^(t) — вклад от постоянных диполей.
Предположим теперь, что к образцу прикладываются два разных по-
ля, каждое из которых состоит из двух ступенек: в первом случае в мо-
мент t0 включается Электрическое поле 2ЕИ которое в момент tx рез-
ко меняется на Ev а во втором случае поле в момент такое же, как
РИС. 9.13. Схематическое изображение зависимости поляризации от време-
ни после включения поля е0 в момент времени t0.
326
Глава 9
и в первом случае, но в интервале от t0 до tj оно равно Ег/2. Из рис. 9.14
ясно, что этим случаям отвечают разные поляризации, которые отлича-
ются даже при t> tlf когда прикладывается одно и то же поле; отсю-
да следует, что значение поляризации в момент времени t зависит не
только от мгновенного значения приложенного поля, но и от его пре-
дыстории. Этот вывод является частным случаем общего заключения,
которое мы сделали об отклике линейной среды на зависящее от вре-
мени электрическое поле (разд. 2.3). Значения поляризации во все мо-
менты времени, большие tu можно получить, рассуждая аналогично
тому, как это делалось при выводе (9.37): записываем P(t) в форме
(9.36) и требуем, чтобы limP(t) - Pd(t j) + eoXoi>^i > в результате на-
ходим
р(') = еоХо<Л1 + ео(Хо</ — XoJ^iU ~ е (' ,|)/т] +
+ ео(хо</ - XoJ£o[e~('_'1)/T - е-<г-'»)/т] (г > Q. (9.38)
РИС. 9.14. Завиоимость поляризации от времени для двух разных полей,
состоящих из двух ступенек.
Классические теории оптических постоянных
327
Нетрудно показать, что (9.38) можно записать в виде
= £оХо<Л1 + ео(Хо</ - Хое) J'E(^)-^7[e~(r~r')/T] dt’. (9.39)
<0
Хотя этот результат получен для суммы двух ступенчатых функций,
ясно, что он справедлив для суммы любого числа таких функций. В
действительности любое поле можно приближенно представить в виде
суммы ступенчатых функций, причем за счет выбора достаточно ма-
леньких скачков ошибка может быть сделана как угодно малой; отсю-
да следует справедливость формулы (9.39) для любого поля. Методи-
ка представления произвольной силовой функции в виде суммы ступен-
чатых функций (или, более точно, импульсов) была впервые разработа-
на Грином, а ее хорошее изложение приведено в [ 300]; поэтому экс-
поненциальная функция, стоящая в (9.39) множителем при Е(гх),назы-
вается функцией Грину системы постоянных Диполей в приближении
Дебая. Первое слагаемое в (9.39) представляет собой поляризацию ре-
шетки, которая по нашему предположению мгновенно следует за по-
лем; второе слагаемое является суммой всех изменений поляризации,
связанных с медленным Дипольно-релаксационным механизмом. Отме-
тим, что (9.39) является конкретным примером линейного материаль-
ного соотношения, удовлетворяющего условию причинности (разд. 2.3).
Для того чтобы найти частотную зависимость восприимчивости
X (со), требуется знать поляризацию в виде отклика на монохроматичес-
кое поле Eoe~lwt’
P(t) = eoXEoe-^ = £oXovEoe-^ +
+ ео(хо</ - Хое) f dt'. (9.40)
Неявно в (9.40) используется предположение, что частота со мала по
сравнению с характерными частотами колебаний решетки. Таким об-
разом, в частотном диапазоне, где релаксационная поляризация Дебая
представляет основной тип поляризации, восприимчивость оказывает-
ся равной
X = Хое +
Д = Xod - Хоо,
1 — 1ЫТ ’
!
I
328
Глава 9
откуда следует выражение для диэлектрической проницаемости
' + <9Л1)
и ее действительной и мнимой частей
, _ Д „ _ штД
€ ~ €°° 1 + w2T2 ’ € " 1 + W2T2 ‘
Наш вывод формулы (9.41) почти повторяет приведенный в работе [ 179]
и очень похож на содержащийся в работе [81]. Уже из способа вывода
следует, что действительная и мнимая части восприимчивости Дебая
должны удовлетворять соотношениям Крамерса - Кронига (2.36) и (2.37),
но в этом можно убедиться и путем непосредственного интегрирования,
выполнить которое проще, чем в случае лоренцева осциллятора.
Мнимая часть диэлектрической проницаемости (9.41) максимальна
при со = 1/т и ведет себя аналогично е" для осциллятора Лоренца. Ве-
щественная же часть ведет себя совсем по-другому: у нее нет ни мак-
симума, ни минимума, и она монотонно спадает от eorf при низких час-
тотах до eOv на высоких частотах, причем основное изменение проис-
ходит в окрестности частоты 1/т. На низких частотах постоянные
диполи легко успевают следовать за изменениями электрического по-
ля, так что статическое значение диэлектрической проницаемости мо-
жет быть весьма большим; однако на высоких частотах они уже не в
состоянии поспевать за осциллирующим полем, и г' спадает до значе-
ния, которое не зависит от вклада постоянных диполей.
Соотношения Дебая (9.42) особенно важны при интерпретации боль-
ших значений диэлектрической проницаемости полярных жидкостей; од-
ним из таких примеров является вода — наиболее распространенная на
нашей планете жидкость. На рис. 9.15 приведено сопоставление экспе-
риментальных значений действительной и мнимой частей диэлектри-
ческой проницаемости воды с теорией Дебая. Параметры eQ(/> eOv и
т выбирались, исходя из наилучшего согласования с эксперименталь-
ными данными; значение т —0,8-10_11с получается сразу просто как
частота, на которой г" максимально; разность е od — eOv равна
£max"
На основании физических соображений можно ожидать, что релак-
сационная диэлектрическая проницаемость постоянных диполей сильно
зависит от температуры; это заметно отличает ее от диэлектричес-
Классические теории оптических постоянных
329
кой проницаемости лоренцевых осцилляторов, на которую изменения
температуры почти не влияют. Дебай [ 124] в рамках классической фи-
зики получил простое выражение для времени релаксации шарика ра-
диусом а в жидкости с вязкостью rf
4wija3
квТ
(9.43)
где через Т обозначена абсолютная температура, а через кв — по-
стоянная Больцмана. Числитель выражения (9.43) обязан своим про-
исхождением возвращающему моменту сил, действующему на малень-
кий шарик в вязкой жидкости, а знаменатель - тепловым толчкам.
Влияние этих двух факторов на время релаксации направлено в одну
и ту же сторону: чем больше Т, тем меньше вязкость (в жидкостях)
и тем меньше время релаксации, и чем больше Т, тем быстрее тепло-
вое движение приводит в беспорядок набор ориентированных постоян-
ных диполей после выключения ориентирующего поля. Вязкость воды
при комнатной температуре составляет примерно 0,01 г/(см-с), и если
взять а ^Ю-8 см, то (9.43) приводит к значению времени релаксации
примерно 0,3-10_нс; таким образом, простой теоретический расчет
приводит к хорошему согласию со значением времени релаксации, по-
лученным из приведенных на рис. 9.15 экспериментальных данных.
РИС. 9.15. Диэлектрическая проницаемость воды при комнатной температу-
ре, рассчитанная по релаксационной модели Дебая с т = 0,8 • 941 с,
г£о</ = 77>5 и eov = 5’27- Экспериментальные данные заимствованы из
[ 109, 196, 2821.
330
Глава 9
Несколько наивная интерпретация происходящего при понижении
температуры фазового перехода воды из жидкого состояния в твер-
дое состоит в принятии предположения, что вязкость воды скачком воз-
растает до довольно большого значения, в результате чего постоянные
электрические диполи, которые до того свободно поворачивались в жид-
кости, внезапно останавливаются. В рамках такой интерпретации ес-
тественно ожидать, что время релаксации для льда должно быть во
много раз больше, чем для воды; соответственно должна уменьшиться
частота, на которой г" достигает своего максимума. И это действи-
телнзо так: если находящуюся при комнатной температуре воду внезап-
но заморозить, то в приведенном на рис. 9.15 частотном диапазоне кри-
вая е скакнула бы вниз с высоты примерно 80 до уровня приблизитель-
но 3,2. Столь сильные изменения можно наблюдать, например, при ра-
диолокапионном исследовании обратного рассеяния от тающих сне-
жинок или от замерзающих дождевых капель; огромное различие диэлек-
трических проницаемостей льда и жидкой воды является основной при-
чиной возникновения так называемой "яркой полосы" в вертикальных
профилях радиолокационной отражательной способности, измеряемых
метеорологами (см., например, [37, стр. 190]).
Вместо одной фигурирующей в (9.35) экспоненциальной функции с
единственным .временем релаксации в релаксационную модель диэлек-
трической проницаемости часто вводят суперпозицию таких функций с
различающимися временами релаксации. Такая необходимость анало-
гична потребности в использовании нескольких типов осцилляторов в
лоренцевой модели. Как t , так и г" являются функциями частоты;
поэтому, исключив частоту, между ними можно установить функциональ-
ную связь. Результаты экспериментальных измерений действительной
и мнимой частей диэлектрической проницаемости часто отображают в
виде зависимости г" от е', которую называют графиком Коля - Коля.
Достаточно беглого взгляда на этот график, чтобы стало ясно, хватает
одного времени релаксации для описания частотной зависимости ди-
электрической проницаемости или нет. Дело в том, что, как нетрудно
показать из (9.42), при одном времени релаксации график Коля - Ко-
ля представляет собой полуокружность радиусом (е od _ е 0 v) /2 е цен-
тром в точке (е od + е0 v)/2 на оси е'.
[£' - 1(£о</ + £0о)]2 + £"2 = [1 (£о</ - £0о)]2-
9.6. ОБЩЕЕ СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ е' И е"
Необходимо еще раз подчеркнуть, что действительная и мнимая
части комплексной диэлектрической проницаемости (и комплексного
показателя преломления) не независимы. Если взять какие-нибудь про-
извольные значения /и е." (или п и к), то вовсе не обязательно най-
Классические теории оптических постоянных
331
дется какое-нибудь реально существующее твердое или жидкое вещест-
во, обладающее такими характеристиками на некоторой длине волны.
Взаимозависимость г' и г" демонстрировалась для всех описанных в
данной главе классических моделей: Лоренца, Друде и Дебая. Эти свя-
зи между действительной и мнимой частями одной и той же комплекс-
ной функции являются частными примерами рассмотренных в разд. 2.3
соотношений Крамерса - Кронита. У любого твердого тела или жидкос-
ти значение вещественной части диэлектрической проницаемости на
произвольной частоте w связано с поведением ее мнимой части во всем
диапазоне частот соотношением
«'(«) = 1 + -Р (9.44)
77 •'о й2 — W2
Теперь мы в состоянии лучше понять и, надеемся, оценить смысл под-
час таинственных соотношений Крамерса — Кронита.
Прежде всего отметим, что из отсутствия поглощения на всех час-
тотах (г" = 0) следует равенство нулю интеграла, входящего в (9.44),
в результате чего е ' = 1. Для оптики такого вещества не существует,
так как не существует оптических средств, которые позволили бы от-
личить его от вакуума. Кроме того, соотношения Крамерса - Кронига
говорят нам, что предположение о независимости вещественной или
мнимой части Диэлектрической проницаемости от частоты внутренне
противоречиво: зависимость от частоты одной из них вдечет за собой
и зависимость от частоты другой. Эти следствия соотношений Крамер-
са — Кронига почти тривиальны, и просто поразительно, насколько час-
то о них с легкостью забывают.
Из формулы (9.44) можно сделать вывод о поведении е' в областях
высоких и низких частот независимо от природы характерных особеннос-
тей поглощения е" и их числа. С неограниченным ростом w все вкла-
ды в интеграл, стремятся к нулю, так что lim е'( со) = 1. Таким образом,
со 1 . х
результат, гласящий, что на частотах выше всех полос поглощения е
приближается к вакуумному значению 1, является общим; это связано
с тем, что частота оказывается настолько большой, что ни один из ме-
ханизмов поляризации не успевает следовать за полем. На низких же
частотах г" представляет собой сумму вкладов, обусловленных всеми
механизмами поляризации - электронными возбуждениями, колебани-
ями решетки и постоянными диполями, — причем самый большой вклад
вносит наиболее низкочастотный механизм:
е'(0) = 1 + - Г^р^Й.
v 7 77 Jq U
(9.45)
332
Глава 9
РИС. 9.16. Схематическое изображение изменения с частотой диэлектричес-
кой проницаемости идеального непроводника.
Из (9.45) следует, что в любом веществе, за исключением пустоты,
где-то на более высоких частотах обязательно должен скрываться не-
кий механизм поглощения.
На рис. 9.16. схематически изображена частотная зависимость
е'ие" идеального непроводника (отсутствует слагаемое Друде); эта
диаграмма суммирует разные изложенные в данной главе положения. Для
простоты на ней не показана тонкая структура оптических посто-
янных, которая на самом деле может быть. Из этого рисунка стано-
вятся более ясными и обозначения, которые мы использовали для вы-
соко- и низкочастотных значений диэлектрической проницаемости. При
со= 0 диэлектрическая проницаемость состоит из вкладов, обусловлен-
ных постоянными диполями, колебаниями решетки и электронными ос-
цилляторами. С ростом частоты постоянные диполи перестают успевать
следовать за полем, и величина е' падает от статического значения
eQ(/ до eOv - значения на частотах, низких по сравнению с характер-
ными частотами колебаний решетки. При увеличении частоты со в ди-
апазоне колебаний решетки кривая е ' совершает волнообразное движе-
ние и затем успокаивается на значении eOg - низкочастотном относи-
Классические теории оптических постоянных
333
тельно электронных колебаний. Наконец, когда частота возрастет до
той величины, где исчерпываются все типы электронных колебаний,
е' приближается к единице. Во всех частотных интервалах, где г"
претерпевает изменения, обязательно возникает связанный с этим из-
менением выброс е" — той части диэлектрической проницаемости, ко-
торая отвечает за поглощение. Имеются еще и другие, поляризацион-
ные типы колебаний, связанные с электронами внутренних оболочек
атомов и приводящие к значительно более слабым изменениям е' и е"
на частотах рентгеновского диапазона, но мы их сознательно исклю-
чили из круга рассматриваемых нами "оптических характеристик".
ЗАМЕЧАНИЯМ КОММЕНТАРИИ
Оптические свойства вещества рассмотрены примерно так же, как
это сделано в данной главе, в работах [97, 228], а также в книге [ 171],
хотя она охватывает более широкий круг вопросов.
Для более подробного изучения распространения волн в ионосфе-
ре читатель может воспользоваться книгой [ 116].
На элементарном уровне кристаллооптика - оптика анизотропных
сред - изложена в [516]. Более строгое изложение имеется в [352,
384].
Частоты продольных волн в веществе с тремя описанными в этой
главе простыми диэлектрическими проницаемостями - Лоренца, Дру-
де и Дебая — определены в работе [161].
Глава 10
Оптические характеристики вещества.
Экспериментальные данные
В предыдущей главе мы рассмотрели основанные на простых гипо-
тетических моделях классические теории оптических постоянных.
Чтобы не вводить читателя в заблуждение, необходимо подчеркнуть,
что и вещества, и частотные диапазоны, использованные в той главе
для иллюстраций, тщательно отбирались; увы, далеко не все согласу-
ется с такими простыми моделями во всех деталях. Поэтому в конеч-
ном счете все-таки приходится прибегать к частотным зависимостям
оптических постоянных, измеренным экспериментально, - ведь для
полного описания характеристик рассеяния и поглощения малыми части-
цами необходимо точно знать, как меняются оптические постоянные
реальных веществ. В данной главе мы приводим краткий обзор экспе-
риментальных данных по оптическим постоянным одного твердого ди-
электрика, одного металла и одной жидкости: окиси магния, алюминия
и воды. Эти же вещества использовались в гл. 9 с целью иллюстрации
простых теоретических формул для диэлектрической проницаемости;
здесь основное внимание будет уделено измерениям и их интерпрета-
ции в широкой области частот, которая начинается в СВЧ-диапазоне и
заканчивается дальним ультрафиолетовым излучением. Кроме того, мы
сделаем очень короткое замечание о характерной величине мнимой час-
ти показателя преломления k и выскажем некоторые соображения о при-
менимости диэлектрической проницаемости объемного вещества в рас-
четах, связанных с малыми частицами.
10.1. ОПТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ТВЕРДОГО
ДИЭЛЕКТРИКА: MgO
Несмотря на то что окись магния - не очень распространенное
вещество, она уже давно доступна в виде отдельных чистых кристдл-
лов^ свойства которых исследованы в широком интервале длин волн.
Эти кристаллы легко расщепляются на пластинки, что важно для ис-
следования отражения и пропускания, а малые частицы получаются
Оптические характеристики вещества
335
просто при сжигании магниевой .ленты в воздухе. В разд. 9.1 опти-
ческие характеристики MgO в ультрафиолетовом и инфракрасном диа-
пазонах приводились для иллюстрации модели Лоренца, которая ис-
пользовалась для описания поглощения в полосе электронных возбуж-
дений и в полосе колебаний решетки. На рис. 10.1 вещественная и
мнимая части диэлектрической проницаемости показаны как функции
энергии фотонов с частотами от дальнего инфракрасного излучения
до дальнего ультрафиолетового. Поскольку при исследовании опти-
ческих характеристик обычно интересуются лишь ограниченными
участками спектра, нам прищлось объединить результаты нескольких
источников; они указаны в подписи под рисунком (к сожалению, крат-
кого справочника по оптическим постоянным твердых тел до сих пор
не существует). Отметим, что мнимая часть диэлектрической проницаемос-
ти изображена в логарифмическом масштабе, а действительная -• в
линейном; именно поэтому структура вещественной части кажется
более резкой, чем соответствующая ей структура мнимой части.
Мнимая часть диэлектрической проницаемости MgO меняется в
гигантских пределах - на восемь порядков (здесь уместно напомнить,
что е" стоит в показателе экспоненты выражения (2.52) для про-
шедшего излучения). Отчетливо выделяются две области поглощения:
это поглощение при энергиях выше примерно 1 эВ, обусловленное
Электронами, и поглощение за счет колебаний решетки, отвечающее
энергиям ниже примерно 0,3 эВ. Острый максимум, приходящийся
на энергию чуть меньше ширины запрещенной зоны ( ~ 7,6 эВ), воз-
никает, очевидно, в результате рождения экситона. Если фотон с
энергией, чуть меньшей ширины запрещенной зоны, поглощается
Электроном, находящимся в верхней части заполненной зоны, то он
покидает зону, оставляя на своем месте положительно заряженную
дырку. Объединившись, дырка и электрон могут создать связанную
пару, во многом напоминающую электрон и протон в атоме водорода.
Связанная пара из электрона и дырки представляет собой возбуждение,
которое не может переносить заряд, и называется экситоном. В ион-
ных телах типа галоидов щелочных металлов и MgO экситон сильно свя-
зан, причем его электрон находится по большей части в окрестности
отрицательного иона (О2-в случае MgO). Иногда наблюдается последо-
вательность все более тесно расположенных линий поглощения, кото-
рая постепенно переходит в непрерывную полосу; по-видимому, можно
считать, что электронно-дырочная пара, подобно атому с одним элект-
РИС. 10.1. Диэлектрические функции MgO. Данные для инфракрасной области
взяты из [ 249], для видимой и ультрафиолетовой — из [ 4021
Оптические характеристики вещества
337
роном (т.е. водороду), обладает для связанных состояний последоваг
тельностью энергетических уровней. В слабо связанных экситонах ор-
бита электрона охватывает много элементов решетки; в этом случае
диэлектрическую проницаемость свободного пространства, которая хо-
рошо подходит для описания атома водорода, следует заменить на
диэлектрическую проницаемость того вещества, в котором перемещаг
ется электрон. Диэлектрическая проницаемость вещества больше,
чем у свободного пространства, и это проявляется двояко: в сжатии
энергетических уровней водородного атома и в увеличении радиуса
электронной орбиты. Хорошим примером вещества с водородоподоб-
ной структурой энергетических уровней вблизи запрещенной зоны
служит СиО2, у которого при низких температурах в спектре поглоще-
ния имеется несколько экситонных полос.
За экситонным максимумом поглощения в области дальнего ульт-
рафиолета у MgO имеется и ряд других линий поглощения, которые
лучше видны на рис. 9.5. Эти линии, для теоретического рассмотре-
ния которых требуется рассчитать энергетическую полосу электрона,
связаны с максимумами совместной плотности состояний электронов
в основном и возбужденном состояниях.
Для энергий ниже области прозрачности имеется сильное погло-
щение за счет колебаний решетки. Огромный максимум около 0,05 эВ
отвечает полосе остаточных лучей, которая была рассмотрена в
разд. 9.2. В силу законов сохранения энергии? и импульса фотон мо-
жет сильно взаимодействовать только с фононом длинноволновой по-
перечной оптической моды, и именно это взаимодействие обусловли-
вает основной максимум в инфракрасной области. На его правом кры-
ле в окрестности 0,08 эВ имеется еще один максимум кривой е" ве-
личина которого почти на три порядка меньше. Этот максимум интер-
претируется как результат возбуждения фотоном сразу двух фоно-
нов, что является значительно менее вероятным событием. В облас-
ти 0,1 - 0,2 эВ имеется слабое остаточное поглощение, которое, по-
видимому, связано с многофононным возбуждением.
Между областями сильного поглощения, обусловленными элект-
ронными переходами и колебаниями решетки, расположена область
высокой прозрачности, поглощение в которой определяется главным
образом примесями и несовершенством кристаллической структуры.
Отсюда следует, что искусственно выращенные кристаллы MgO долж-
ны быть почти прозрачными для видимого света. Свойства вещества
338
Глава 10
в области прозрачности можно сделать более интересными, если в
кристалл внести некоторые искажения. На рис. 10.1 мы нанесли от-
дельную кривую, которая описывает спектр е" для MgO с радиаци-
онными повреждениями (соответствующее изменение е' слишком
мало, чтобы его можно было увидеть на графике); диэлектрическая
проницаемость определялась путем согласования экспериментальных
данных из [ 961 по прохождению света с четырехосцилляторной мо-
делью. Возникшие дополнительные полосы поглощения в MgO являют-
ся примерами из очень большой области науки, связанной с окраши-
вающими центрами, или F-центрами (от немецкого "Farbenzentrum"),
в прозрачных кристаллах. Из-за различия поглощения в полосах, от-
вечающих разным участкам видимого спектра, происходит окрашива-
ние первоначально прозрачных кристаллов. Простейшим окрашивающим
центром может служить, например, электрон, захваченный в окрест-
ности пустующего места, на котором в идеальной решетке должен был
бы находиться отрицательный ион и которое из-за этого имеет эффек-
тивный положительный заряд. Оказывается, что захваченный элект-
рон обладает такими энергетическими уровнями, что его можно возбу-
дить фотонами с длинами волн, примерно отвечающими видимому диаг
пазону. Эти уровни могут сосредоточиваться в довольно узкой облас-
ти, но поглощение фотона обычно сопровождается не только появле-
нием электронных возбуждений, но и рождением нескольких фононов;
в связи с этим возникает возможность поглощения фотона в доволь-
но широкой полосе энергий, чем и объясняется наличие в спектре
поглощения MgO трех полос с шириной 0,05 эВ (рис. 10.1). Острый
встшеск в левой части первой полосы, по-видимому, представляет со-
бой бесфононную полосу, связанную (как это следует из самого наз-
вания) с такими переходами электронов, которые не сопровождают-
ся рождением фононов и ожидаемым уширением полосы. Интенсив-
ность бесфононной полосы бывает сравнимой с интенсивностями
полос с наличием фононов лишь в редких случаях; приведенный при-
мер является одним из них. В кристаллах существует и множество
других типов окрашивающих центров. Наиболее обширные исследова-
ния выполнены для кристаллов галоидов щелочных металлов, которые
можно окрашивать либо путем облучения, либо путем нагревания
твердого образца в атмосфере его собственного пара. Полагают, что
в некоторых высокооцениваемых за их окраску кристаллах, например
в аметисте, окрашивающие центры возникают из-за естественной
Оптические характеристики вещества
339
радиоактивности. Пурпурный оттенок старых бутылок, пролежавших
много .лет на солнце, обязан своим происхождением окрашивающим
центрам, которые образуются в результате слабой бомбардировки
фотонами ультрафиолетового диапазона. Иногда создание энергети-
ческих уровней путем облучения оказывается возможным лишь при
наличии примесей. Предстоит еще много поработать, чтобы понять
точные механизмы образования окрашивающих центров всех типов.
Энергетические уровни электронов в атомах примесей тоже час-
то оказываются такими, что их вклад в полосы поглощения прихо-
дится на область прозрачности кристаллов. В большинстве случаев
переходы электронов, как и в случае F-центров, сопровождаются
многофононными процессами, которые вызывают уширение полос
поглощения; изредка встречаются бесфононные полосы. К такому
эффекту приводят атомы далеко не всех примесей. Особенно важны-
ми окрашивающими добавками являются атомы переходных метал-
лов, которые позволяют создать богатый набор полос поглощения;
окраска таких драгоценных камней, как рубина, сапфира и граната,
связана с имеющимися в прозрачных кристаллах примесями переход-
ных металлов, да и оттенки многих других окрашенных минералов
связаны с этой же причиной. Даже красные и оранжевые тона Боль-
шого каньона могут быть приписаны примесям железа в кристаллах
скальной породы.
10.2. ОПТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МЕТАЛЛОВ: АЛЮМИНИЙ
В наше время алюминий в индустриально развитых странах стал
одним из самых распространенных металлов; каждый день мы встре-
чаемся с ним в виде кухонной посуды, фольги и строительных мате-
риалов. В связи с высокой отражательной способностью алюминия
в диапазоне от видимого света до дальнего ультрафиолетового
излучения он широко используется для создания высококачественных
зеркал, среди которых и зеркала, устанавливаемые в зеркальных теле-
скопах. Алюминий очень легко окисляется, но цленка его окиси защи-
щает металл от дальнейшей коррозии; благодаря этому свойству, а
также ввиду прозрачности окиси алюминия для видимого света опти-
ческое качество зеркальных поверхностей остается превосходным.
На рис. 10.2 диэлектрическая проницаемость и отражательная спо-
собность алюминия показаны в более широком диапазоне энергий,
чем это было сделано на рис. 9.11; отметим, что для правильной пере-
Глава 10
340
РИС. 10.2. Диэлектрические функции и отражательная способность алюми-
ния [211].
Дачи структуры кривых во всем диапазоне энергий прищлось восполь-
зоваться логарифмическим масштабом по обеим осям. Приведенные
оптические характеристики заимствованы из работы [211], где опи-
саны эксперименты в диапазоне от 13 до 150 эВ и приведен обзор ли-
Оптические характеристики вещества
341
тературы, посвященной определению оптических постоянных при более
низких энергиях; авторы указанной работы опубликовали очень полез-
ные таблицы оптических постоянных алюминия, а также магния, меди,
серебра, зелота, висмута, углерода и окиси алюминия.
Ниже плазменной частоты, отвечающей примерно 15 эВ, имеется
только одно заметное отклонение от теории Друде около 1,5 эВ, где
из-за межполосных переходов электронов возникает максимум кри-
вой е" и соответствующий ему характер графика е"; за исключе-
нием этой особенности, при приближении энергии к нулю е' для алю-
миния монотонно стремится к минус бесконечности, а е" - к плюс
бесконечности.
При энергии около 60 эВ, где е' обращается почти в единицу, а
е" спадает примерно до 0,01, внезапно появляются особенности. Это
указывает на вступление в игру процессов поглощения, связанных с
электронами внутренних оболочек атомов алюминия; справедливос-
ти ради заметим, что изменение масштаба на графике е ’ сильно
преувеличивает относительное значение переходов с внутренних обо-
лочек. Электронная конфигурация атома алюминия есть [Ne]3s 23р;
это означает, что в атоме алюминия вне неоноподобной оболочки
имеются два 3s -электрона и один Зр-электрон. Эти три электрона
лишь частично заполняют энергетическую полосу, которая образует-
ся при объединении атомов в твердое тело; именно эта частично за-
полненная полоса ответственна за сплошной спектр поглощения,
обусловленный свободными электронами. Электроны в неоноподобных
атомных остовах настолько сильно связаны, что для их возбужде-
ния требуются фотоны с энергией около 60 эВ. Эти электроны обус-
ловливают структуру диэлектрической проницаемости алюминия в
области высоких энергий. В главе о классических теориях мы не
упоминали о переходах таких электронов, но их тоже можно доволь-
но хорошо смоделировать при помощи суперпозиции лоренцевых ос-
цилляторов.
В области энергий, больших по сравнению с энергией возбужде-
ния электронов неоноподобного остова, величина е ' снова прибли-
жается к единице, а е" - к нулю. Разумеется, в диапазоне рентге-
новского излучения возникнет возбуждение электронов еще белее глу-
боких оболочек, которое приведет к своим полосам поглощения и
соответствующим изменениям кривой е'. Но эти переходы правильнее
342
Глава 10
считать внутриатомными, так как они почти не зависят от того, что
атомы, образующие твердое тело, связаны между собой.
10.3. ОПТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ЖИДКОСТИ: ВОДА
Оптические свойства жидкостей во многих отношениях похожи на
оптические свойства твердых тел. С точки зрения электрических
свойств имеются жидкости-металлы типа ртути и расплавленного же-
леза, но большая часть обычных жидкостей относится к неметаллам.
В качестве иллюстративного примера жидкости мы выбрали воду
(Н2О), которая является наиболее распространенной субстанцией на
нашей планете; она играет главную роль не только в атмосферных про-
цессах, но и в химии живых организмов.
Оптические характеристики воды изучались столетиями; резуль-
таты последних измерений приводятся в научной литературе самых
разных направлений и очень сильно разбросаны. К счастью, некото-
рые авторы дали критические обзоры по Н2О и привели подборки све-
дений о ее оптических постоянных в широких диапазонах длин волн.
Среди таких обзоров упомянем работы [212, 245, 272]; в первых двух
работах приведены обширные таблицы п и k, очень полезные при про-
ведении расчетов, связанных с малыми частицами. Поскольку в ста-
тью [212] вошли наиболее новые данные, а также в связи с тем, что
ее авторы ручаются, что приводимые ими зависимости п и k связаны
соотношениями Крамерса — Кронига, мы воспользовались их данны-
ми при построении графиков для жидкой воды.
На рис. Ю.З приведены графики вещественной и мнимой частей
диэлектрической проницаемости, полученные путем пересчета из
приведенных в [212] таблиц для действительной и мнимой частей по-
казателя преломления; значения оптических постоянных для длин
волн короче 0,2 мкм взяты непосредственно из работы [267]. Из ува-
жения ко многим исследователям, которые не привыкли к использо-
ванию энергетической шкалы в электронвольтах, мы приводим здесь
и шкалу длин волн. Как и в случае MgO, график е ' построен в линейном
масштабе, а график е" — в логарифмическом. На графике е "мы отобрази.™
и некоторые заимствованные из [ 2451 результаты для твердой фазы Н2О—
льда; сравнение льда с водой позволяет понять, в чем твердое вещество сход-
но со своей жидкой фазой, а в чем они отличаются друг от друга. По своим
свойствам жидкий диэлектрик Н^О не очень сильно отличается от твер-
Оптические характеристики вещества
343
Длина волны
РИС. 10.3. Диэлектрические функции воды [212]. Значения е *' для льда частич-
но взяты из [245], частично из неопубликованного обзора оптических постоян-
ных льда от далекого ультрафиолета до диапазона радиоволн, сделанного
Уорреном (предполагается публикация обзора в Applied Optics).
дого диэлектрика MgO: в обои^ материалах области поглощения, свя-
занные с электронными возбуждениями и колебаниями атомов или мо-
лекул, разделены четко выраженной областью высокой прозрачности.
Поглощение, связанное с электронными возбуждениями, в Н2О стат
новится заметным при длине волны около 0,2 мкм, а полосы погло-
щения, обусловленные колебаниями молекул, лежат правее непрерыв-
344
Глава 10
ного спектра в диапазоне от 1 до 100 мкм. Основное отличие MgO
от жидкой фазы Н2О состоит в поведении на длинах волн, больших
тех, на которых наблюдается поглощение из-за колебаний молекул.
В этой области длин волн - от СВЧ- до инфракрасного диапазона -
в воде сохраняется высокий уровень поглощения, обусловленный ди-
польно-релаксационным механизмом (разд. 9.5); в этом же состоит и
причина основных различий между оптическими характеристиками во-
ды в жидкой и твердой фазах.
10.3.1. Область прозрачности
Наиболее низкая точка во всем спектре поглощения, где е" опу-
скается до значений, меньших 10-8, лежит в области видимого света.
Путем простого расчета нетрудно убедиться, что при длине трассы по-
рядка десятков сантиметров вода вполне прозрачна. Если пренебречь
отражением, которое составляет всего несколько процентов, то коэф-
фициент прозрачности Т слоя толщиной d будет равен ехр(— ad), где
а с хорошей точностью дается выражением 2-пе'',/(п Л). Отсюда сле-
дует, что в видимом диапазоне величина а составляет около 10-8 см-1.
Поэтому Даже в большом стакане воды (d - 10 см) поглощение прак-
тически не заметно. Тем не менее при d - 500 см коэффициент Т дос-
тигает значения порядка 0,6, так что в домашнем плавательном бас-
сейне среднего размера поглощение уже будет заметным. Более того, в преде-
лах видимого диапазона поглощение заметно меняется., Если взять для го-
лубого цвета Л = 4250 А, а для красного Л = 6000 А и воспользоваться
значениями k из [212], которые равны соответственно 1,3 . 10~® и 10,9 • 10~9,
то окажется, что через 5-метровый слой чистой воды пройдет 82,5 %
голубого света и 32 % красного. Следовательно, белый свет, пройдя
сквозь такой слой, должен приобрести заметный голубоватый отте-
нок. Это отчетливо видно в плавательном бассейне с чистой водой, хо-
тя в данном случае для объяснения можно привлечь и другие явления-
например, отражение в воде голубого неба, окраску дна и стенок бас-
сейна, наличие в воде растворимых и нерастворимых примесей, а так-
же рассеяние на молекулах воды, - которые существенно осложня-
ют интерпретацию окраски воды. Поскольку ,лед поглощает примерно
так же, как и вода, голубоватый оттенок должен приобретать и свет,
прошедший через слой льда толщиной несколько метров; по-видимо-
му, этот фактор является важным для объяснения голубого цвета
ледниковых расселин и других встречающихся в природе крупномасш-
табных образований изо льда.
Оптические характеристики вещества
345
10.3.2. Релаксационная область
В СВЧ-диапазоне доминирующим механизмом поглощения в воде
является релаксационный механизм Дебая. На рис. 9.15 в окрест-
ности Л = 1 см виден широкий максимум кривой е" , который пока-
зывает, насколько хорошо простая теория Дебая согласуется с экс-
периментальными данными. Это наводит на мысль, что молекула во-
ды не вытянута в одну линию, т.е. не является линейной молекулой,
в которой атомы водорода, например, располагаются на равных рас-
стояниях по обе стороны от атома кислорода. Вместо этого атомы
водорода смещены относительно атома кислорода в одну и ту же сто-
рону и образуют с ним угол около 105°. В результате в окрестнос-
ти атомов водорода создается большая плотность электронов; это
придает молекуле свойства слабого иона в отношении межмолеку-
лярных связей и создает в ней собственный постоянный дипольный
момент, который успевает следовать за электрическим полем волн
СВЧ-диапазона. Затухание этих диполей определяет время релакса-
ции и сильно зависит от температуры. К тому же при превращении
воды в лед молекулы внезапно теряют свою ориентационную подвиж-
ность, вследствие чего релаксационный механизм Дебая вообще перестает
работать. Из-за этого в СВЧ-диапазоне возникает огромное измене-
ние диэлектрической проницаемости, влияние которого заметно
вплоть до инфракрасного диапазона. Различие диэлектрических про-
ницаемостей воды и льда может иметь важные следствия, так как
в природе вода и лед часто сосуществуют вместе, а преобладающим
методом зондирования окружающей среды яцляются радиолокацион-
ные измерения. Например, радиолокационные отражения от грозы за-
метно отличаются от отражений от дождя и града. По отражению ра-
диосигналов; были построены топографические карты полярных шапок
[ 398}; однако такие методы, по-видимому, нельзя использовать для
исследования ледников и других масс льда, которые содержат значи-
тельное количество жидкой воды.
10.3.3. Область молекулярных колебаний
Лежащие в инфракрасной области полосы поглощения воды можно
разбить на две группы: полосы молекулярного поглощения, заключен-
ные между 1 и 10 мкм, и полосы межмолекулярного поглощения, рас-
полагающиеся между 10 и 100 мкм. В первой области полосы поглоще-
346
Глава 10
ния аналогичны полосам свободной молекулы; для жидкости они от-
вечают длинам волн 1,45, 1,94, 2,95, 4,7 и 6,05 мкм. Некоторую яс-
ность в колебательные моды молекул Н2О в жидкой фазе удается
внести, рассмотрев собственные частоты колебаний свободной моле-
кулы Н2О(в газообразной фазе). Нелинейная молекула Н2О из трех
атомов обладает девятью степенями свободы: тремя степенями свобо-
ды, описывающими трансляционное движение (перенос) Центра масс,
тремя степенями свободы вращательного движения и тремя колеба-
тельными степенями свободы. Нормальные моды колебаний свобод-
ной молекулы Н2О схематически проиллюстрированы на рис. 10.4,
где приведены и общепринятые обозначения трех нормальных частот.
Теперь можно предположить, что расположенная вблизи 3 мкм полоса
поглощения жидкой и твердой фаз Н2О связана с колебательными
модами Vj и Vj свободной молекулы; эти моды отвечают вытягива-
нию группы О - Н. Полоса при 6,05 мкм в жидкости представляет со-
бой моду\Г2, которая отвечает изгибу молекулы и для свободной мо-
лекулы приходится на длину волны 6,27 мкм. Дать точную интерпре-
тацию другим полосам поглощения воды более сложно, но они, оче-
видно, объясняются обертонами или комбинационными частотами
этих трех собственных колебаний.
РИС. 10.4. Нормальные моды колебаний свободной молекулы воды.
Оптические характеристики вещества
347
На длинах волн 17 и 62 мкм в воде имеются две полосы, налага-
ющиеся на "хвост" дебаевского поглощения. Ввиду отсутствия у га-
за Н 2О широких полос поглощения в этой области упомянутые поло-
сы следует приписать взаимодействию между молекулами, т.е. меж-
молекулярным движениям, или, иначе, колебаниям молекул, как це-
лого. С такой интерпретацией согласуется и факт, что эти,полосы
для жидкой и твердой фаз различаются сильнее, чем более коротко-
волновые полосы, связанные с колебаниями атомов в молекуле. Су-
ществуют колебания молекул двух типов; вращательные колебания
и колебания смещений. Полоса в области более коротких длин волн -
с максимумом на 17 мкм для воды и на 12 мкм для льда - отвечает
вращательным колебаниям. Обратим внимание на значительное сме-
щение этой полосы в сторону более высоких частот, которое проис-
ходит при переходе от воды ко льду вследствие ожидаемого "напря-
жения" возвращающих вращательных сил при замерзании жидкости.
Полоса, максимум которой для воды приходится на длину волны 62 мкм,
обусловлена колебаниями смещений. В случае льда она состоит из
двух полос - с максимумами на 44,8 и 62 мкм. Полосы, связанные с
колебанием Целых молекул, выражены для льда значительно сильнее,
чем для воды, что связано главным образом с тем, что дебаевское
поглощение в случае льда значительно слабее, чем в случае воды.
В табл. ЮЛ приведена сводка полос поглощения в воде, возникающих
из-за молекулярных движений.
Между ионным кристаллом типа MgO и молекулярным веществом
типа жидкой или твердой Н2О имеется существенное отличие. В моле-
кулярном веществе внутримолекулярные и межмолекулярные моды
четко различаются, так как атомы в нем образуют молекулы, а в мо-
лекуле атомы связаны значительно сильнее, чем молекулы между со-
бой. В ионных кристаллах такого различия связей нет; в них сущест-
вует только одна доминирующая мода поглощения, связанная с колеба-
ниями решетки, в процессе которых положительные и отрицательные
ионы движутся в противоположные стороны (оптическая мода). Нель-
зя даже выделить отдельную группу атомов, которую можно было бы
назвать молекулой; в определенном смысле молекулой является весь
кристалл. Из этого различия между ионными и молекулярными вещест-
вами вытекает важное следствие, заключающееся в том, что связан-
ное с колебаниями поглощение в первых сосредоточено в одном узком
частотном диапазоне, тогда как во вторых имеется целый набор изо-
лированных полос поглощения. Отсюда с учетом соотношений Крамер-
348
Глава 10
Т аблица 10.1
Полосы молекулярного поглощения в жидкой и твердой фазах Н2о
Положение полосы, мкм
Тип молекулярного движения
Лед
Вода
1,45 1,52
1,94 2,0
2,95 3,08 Мода, вытягивающая группу О -Н (*1 и vs)
4,7 4,5
6,05 6,05 Мода, изгибающая молекулу Н - О (v2)
17 12 Вращение молекул
62 45 Смещение молекул
62
1 см — Релаксационное движение Дебая
са - Кронига следует, что в ионных кристаллах колебательные поло-
сы поглощения обычно во много раз интенсивнее, чем в молекуляр-
ных веществах.
10.3.4. Область электронного поглощения
Особенности спектра поглощения Н2О в области дальнего ультра-
фиолета представляют собой результат электронных возбуждений.
Наиболее сильны особенности кривой е" для воды на энергиях 8,2
(для льда 8,5), 9,8 и 13,5 эВ. Из поведения диэлектрической проница-
емости ясно, что электронные возбуждения должны иметь место и
при энергиях выше 14,6 эВ, т.е. в области, для которой нет опубли-
кованных данных; действительно, если бы это было не так, то кривая е" должна
была бы приближаться к нулю, а кривая е ' - к единице снизу (см. разд. 9.2 и
данные для высоких энергий, приведенные на рис.’9.5 и 10.2). Интерпретация .ле-
жащих в области высоких энергий максимумов в случае Н2о существенно опи-
рается на сравнение характеристик жидкой, газообразной и твердой
Оптические характеристики вещества
349
фаз (см. [267]). Например, полоса воды при 8,2 эВ связывается с
электронными возбуждениями в свободной молекуле на 7,5 эВ; поло-
жение максимума при переходе от газа к жидкости или твердому те-
лу смещается из-за связи молекул. Две другие полосы аналогичным
образом связаны с соответствующими особенностями спектра элект-
ронного поглощения водяного пара. Столь близкое соответствие
спектров электронного поглощения свободных молекул и конденсиро-
ванных фаз аналогично соответствию в области молекулярных коле-
баний. Между тем для интерпретации электронного поглощения в ион-
ном кристалле MgO молекулярная спектроскопия почти бесполезна,
и приходится проводить полный расчет энергетических полос.
10.4. ЗАМЕЧАНИЕ О ХАРАКТЕРНЫХ ВЕЛИЧИНАХ k
Есть две области, в которых были затрачены значительные уси-
лия на дистанционное определение мнимой части комплексного по-
казателя преломления, - это изучение межзвездной пыли и изуче-
ние атмосферного аэрозоля. Определение величины k для атмосфер-
ных и межзвездных частиц представляет собой убедительную про-
верку методов обращения данных, полученных при помощи дистанцион-
ного зондирования. На длинах волн видимого диапазона в обоих слу-
чаях часто получали значения k порядка 10-8 - 10-8. Между тем
твердых тел и жидкостей с такими значениями k в видимом диапазо-
не практически нет, и это связано с весомыми физическими причина-
ми. Значения k большинства твердых тел и жидкостей либо очень ма-
лы (например, Ю-6), либо порядка единицы. Промежуточные значения
порядка 10-8 обычно отвечают тем длинам волн, на которых происхо-
дит быстрое изменение k от малых значений к большим. Например, в
диапазоне видимого света k в случае MgO меньше 10~6, а в случае
воды - меньше 10-8 (см. рис. 10.1 и 10.3); в обоих случаях k прини-
мает значение порядка 10-8 на длине волны около 2000 А, располага-
ющейся рядом с краем полосы быстро возрастающего поглощения.
То, что k в твердых телах принимает .либо большие, либо малые зна-
чения, объясняется структурой энергетических полос электронов
(рис. 9.10). В твердых неметаллах поглощение и, следовательно, k
очень малы в том диапазоне длин волн, где энергия фотонов меньше
ширины запрещенной зоны; если же энергия фотонов превосходит ши-
рину запрещенной зоны, то k велико. Как правило, поглощение очень
350
Глава 10
резко возрастает с увеличением энергии фотона в окрестности шири-
ны запрещенной зоны. Что же касается металлов, то для них значения
k велики на всех частотах, лежащих ниже плазменной частоты, кото-
рая обычно приходится на ультрафиолетовый диапазон.
До сих пор мы ограничивались обсуждением чистых веществ. Мож-
но было бы предположить, что путем управляемого внесения примесей
или дефектов удастся получить произвольное значение k; однако, во-
обще говоря, это не так. В твердое тело нельзя добавлять присадки
в произвольных количествах; кроме того, примеси могут привнести
поглощение только в области энергий, лежащей ниже ширины запре-
щенной зоны. Несмотря на то что иные атомы (в основном атомы пере-
ходных металлов) при их добавлении к некоторым твердым веществам
действительно приводят к возникновению полос поглощения, все же,
как правило, оказывается почти невозможным осуществить столь
сильную добавку, чтобы она привела к значению k = 0,01; проиллюст-
рируем этот факт коротким рассказом.
Рассказ о загрязненном силикате. Друг одного из авторов - аст-
роном и одновременно профессиональный торговец минералами - заин-
тересовался "загрязненными силикатами", считая, что из них может
состоять межзвездная пыль. Поэтому для определения k он выбрал
из имеющихся у него природных силикатных минералов наиболее
черный - черную как смолу роговую обманку, которая характеризу-
ется высокой концентрацией примесей типа железа. Была отполиро-
вана пластинка толщиной около 100 мкм, а для измерения прошедше-
го излучения использовался спектрофотометр с самописцем. Тот
факт, что через пластинку все же прощло заметное количество све-
та инфракрасного и видимого диапазонов, указывает на довольно
малые значения k. Расчеты подтвердили, что при длинах волн меж-
ду 0,3 и 6 мкм k в самом деле было меньше 10-4. И это для наибо-
лее черного силиката из коллекций профессионального собирателя!
Не так уж легко найти твердое вещество с k = 0,01 в области частот,
лежащей ниже ширины запрещенной зоны; что же касается области,
где существенны межполосные и внутриполосные переходы,, то там
не Просто найти вещество со столь низким значением k.
Из приведенного рассказа следует еще и то, что мнимая часть
показателя преломления вовсе не должна быть порядка единицы, что-
бы макроскопический образец казался черным; если бы k принимало
столь большое значевие, он, скорее всего, казался бы блестящим. Подтвердим
Оптические характеристики вещества
351
это количественным примером. Предположим, что таблетка толщиной 1 мм из
черного вещества пропускает 1 % падающего на нее света. Если пре-
небречь потерями на отражение (которые для непроводников обычно
малы), то k будет приближенно равно (см. разд. 2.8) [Л,/(4тгЛ)]1п(7,-/7Д.
Для Л = 0,5 мкм, h = 0,1 см и /,••//f = 100 получаем, что k приблизи-
тельно равно 2 • Ю-*. Таким образом, для того чтобы вещество выглядело
черным, вовсе не нужно, чтобы в видимом диапазоне оно обладало зна-
чениями k, сильно превосходящими 10-4. Значение k = 10-4 ко-
торое на первый взгляд может показаться малым, на самом деле огромно:
оно приводит к значительному поглощению видимого света во всех образ-
цах, за исключением очень тонких»
10.5. О ПРИМЕНИМОСТИ ОПТИЧЕСКИХ ПОСТОЯННЫХ
ОБЪЕМНОГО ВЕЩЕСТВА В РАСЧЕТАХ,
СВЯЗАННЫХ С МАЛЫМИ ЧАСТИЦАМИ
Прежде чем продолжить изложение, перейдя к гл. П - 13, где
в расчетах, связанных с малыми частицами, мы будем пользовать-
ся оптическими постоянными объемного вещества, полезно ненадол-
го остановиться и вспомнить, что оптические постоянные объемного
вещества без соответствующей их модификации могут описывать
свойства малых частиц не всегда правильно. До сих пор мы молча-
ливо предполагали, что взаимодействие электромагнитных волн с
частицами можно рассматривать в приближении непрерывной среды
(т.е. на основании электромагнитной теории части 1) и считать, что
материальные соотношения не зависят от размера частиц - ведь те
диэлектрические проницаемости, что рассматривались в этой и пре-
дыдущей главах, относятся к случаю объемного вещества. Между
тем не надо быть очень проницательным, чтобы понять, Что вещество
нельзя разделить на как угодно мелкие части без изменения опти-
ческих свойств. Ясно, например, что атомарным алюминием свет пог-
лощается не так, как куском металлического алюминия,’ точно так же
спектр молекулярного поглощения MgO мало похож на спектр поглощения крис-
таллического MgO. Поэтому вопрос состоит не в том, сильно ли отличаются
оптические постоянные малых частиц от аттических постоянных объемно-
го вещества, а в том, при каком размере это отличие сказывается.
Дать на этот вопрос ответ, который был бы одновременно и простым,
и точным, нельзя, потому что непригодность оптических постоянных
352
Глава 10
объемного вещества может быть связана с разными причинами, от-
носительная важность которых зависит от типа вещества, размера
частиц и частоты. Например, в металлических частицах достаточ-
но малого размера длина свободного пробега электронов оказыва-
ется ограниченной поверхностью частиц, и это проявляется в их
оптических свойствах (разд. 12.1). Другими эффектами являются уве-
личение интервала между энергетическими уровнями электронных и
колебательных возбуждений и возрастающее значение формы для
частиц с большим отношением площади поверхности к объему; эти эф-
фекты рассмотрены в обзоре [235].
Мы сознаем, что эти эффекты определенно должны проявляться
в поведении малых частиц, но мы не можем поддержать ссылок на не-
которые "важные" и "понятные лишь посвященным" квантовые эффек-
ты размера, которые иногда огульно прицлекаются для "объяснения"
пока не понятых оптических явлений в малых частицах. Корректная ин-
терпретация может зачастую оказаться значительно более простой;
например, как мы покажем в разд. 12.3 и 12.4, она может быть связана
с формой частиц. Наше мнение, основанное на расчетах из работ
[ 95, 309] и на результатах тех экспериментов, которые были проведе-
ны достаточно тщательно и допускают недвусмысленную интерпрета-
цию, состоит в том, что квантовые эффекты размера несущественны,
за исключением частиц, размер которых во много раз меньше 1 000 А
и составляет в большинстве конкретных примеров величину меньше
100 X. В гл; 12 будут приведены результаты, подтверждающие это
высказывание.
10.6. СВОДКА МЕХАНИЗМОВ ПОГЛОЩЕНИЯ И
ТЕМПЕРАТУРНЫХ ЭФФЕКТОВ
Существует множество типов взаимодействия электромагнитных
волн с веществом в конденсированной (т.е. твердой или жидкой) фазе.
Некоторые из них были пояснены простыми моделями в гл. 9, а в дан-
ной главе проиллюстрированы примерами. Для того чтобы у читателя
не осталось слишком упрощенного предстанления об оптических пос-
тоянных, мы приводим табл. 10.2, в которой перечислены различные
механизмы поглощения в твердых телах с указанием спектральных
областей, где они существенны. В таблицу включены и ссылки нали-
тературу, в первую очередь на обзорные статьи и монографии, кото-
рые могут помочь читателю при дальнейшем изучении вопроса.
Оптические характеристики вещества
Сводка механизмов поглощения
Таблица 10.2
Спектральный диапазон Тил поглощения Литература
1 2 3
СВЧ ( > 1 мм) Дебаевская релаксация в полярном ВВЩВСТВВ Расщепление энергетичес- ких уровней электронов в ионах редкоземельных элементов 124 208
Дальнее инфракрасное Фононно-дифференциальные
излучение процессы 209
(от ~ 1 мм (1000 мкм) Энергетическая щель сверх-
до ~ 100 мкм) проводимости Колебания, связанные с 467
внесением дефектов Колебания, связанные с вне- 174
сением примесей 318
Колебания атомов в молеку- лах 428
Колебания молекул Поглощение в области оста- 428
точных лучей в ионных кристаллах 333, 371
Инфракрасное излуче- Двухфононные и многофононные 44
ние процессы
(от ~ 100 до ~2 мкм) Магнитное возбуждение в диа- магнетиках 466
Внутриполосные переходы электронов в металлах 186, 347
Свободные носители в полупро- водниках 131, 338
23-205
354
Глава 10
Продолжение табл. 10.2.
1 2 3
Электроны в окрестности при- месей 89, 316
Бесфононные линии и обус- ловленные фононами боко- вые полосы 391, 431
Близкий к видимому Безмагнонные линии и обуслов- ленные магнонами боковые 317
( от ^2 мкм ПОЛОСЫ
до 3000 А) Электроны в окрестности де- фектов (окрашивающие центры) 301
Энергетические уровни ионов переходных метал- лов 114, 129
Запрещенная зоне в полу- проводниках 216
вытягивание электрон- ной полосы в аморфных полупроводниках 462
Дальнее ультрафиоле- Экситонные полосы (отдельные 345, 394
товое излучение и последовательности полос)
Межполосные переходы электро- 364
(от ~ 3000 НОВ
до ~500 X) Переходы молекулярных электро- нов 315
Колебания электронной плазмы в металлах 186 , 444
Очень дальнее Переходы электронов внутрен- 62
ультрафиолетовое и мягкое рентгеновс- кое излучение (от* ~ 500 ДО — 20 А) них оболочек
Оптические характеристики вещества
355
В своем большинстве исследования оптических свойств конден-
сированного вещества проводились при температурах, близких к ком-
натной; между тем существуют прикладные задачи, в которых необ-
ходимо знать оптические постоянные или при высоких температурах
(например, в задачах о частицах - поглотителях солнечной радиации),
или при низких (например, в задачах о частицах межзвездной пули).
Охватить все возможное™ мы не в состоянии, но приводимые ниже
краткие замечания могут оказаться полезными.
Как правило, температурные эффекты сказываются сильнее на
низкочастотном механизме (инфракрасная и дальняя инфракрасная
области), чем на высокочастотном (область видимого и ультрафиоле-
тового излучений). При комнатной температуре ( ~ 300 К) величина
kBT отвечает примерно 0,025 эВ (Л - 10 мкм), так что тепловая
энергия оказывается довольно малой по сравнению с энергией фото-
нов ультрафиолетового диапазона, в силу чего изменения температу-
ры почти не искажают механизмов поглощения в ультрафиолетовой
области. Из двух основных механизмов поглощения - колебательно-
го и электронного - от температуры сильнее зависит первый. Лежа-
щие в инфракрасной области полосы поглощения ионных тел, обуслов-
ленные коллективными колебаниями решетки, с увеличением темпе-
ратуры, как правило, уширяются, а их интенсивность уменьшается;
частота максимального поглощения приближается к более низким
значениям, но смещение мало, если не рассматривать больших из-
менений температуры (100 - 1000 К). Великолепные примеры приведе-
ны в [249], где исследована полоса остаточных лучей в LiF от 7,5
до 1060 К, а в MgO - от 8 до 1950 К. В области дальнего инфракрас-
ного диапазона поглощение в кристаллических телах с увеличением
температуры может изменяться на несколько порядков, но поглощение
в аморфных твердых телах почти не зависит от температуры [335].
В ультрафиолетовой области оптические свойства металлов и ди-
электриков почта не зависят от температуры, хотя при низких темпера-
турах полосы поглощения, обусловленные экситонами и переходами
электронов, обычно становятся более острыми, и может появиться
небольшой сдвиг частот максимального поглощения. В диапазоне мяг-
кого рентгеновского излучения переходы электронов, расположенных
на глубоко запрятанных внутренних оболочках, едва ли зависят от из-
менения температуры.
356
Глава 10
Напомним еще, что изменение температуры часто приводит к фа-
зовым переходам типа перехода твердое тело - жидкость, магнитных
переходов и переходов в сверхпроводящее состояние, которые сопро-
вождаются заметными изменениями оптических свойств на всех дли-
нах волн. Так, в разд. 9.5 мы упоминали, что релаксационный меха-
низм Дебая, который определяет поведение воды на частотах радио-
диапазона, практически исчезает при превращении ее в лед. Аналогич-
но этому поглощение, обусловленное энергетической щелью сверхпро-
водимости, исчезает при температуре выше критической.
ЗАМЕЧАНИЯ И КОММЕНТАРИИ
Оптические свойства твердых тел представляют собой слишком
обширную область знания, чтобы адекватно описать ее в одной книге.
Ниже перечислены монографии, в которых выделены различные аспек-
ты этой области, и указаны вопросы, которые рассмотрены в них осо-
бенно хорошо»:
[518] - металлы,
[ 199] - полупроводники,
[ 428] - колебания решетки в инфракрасном диапазоне,
[89] - ионы в кристаллах.
Некоторые из наиболее исчерпывающих сведений об оптических харак-
теристиках содержатся в сборниках [3, 334, 335, 348, 461] трудов лет-
них школ и конференций; особенно рекомендуем два последних сборника.
Исчерпывающие обзоры различных вопросов содержатся в пере-
числяемых ниже етатьях, опубликованных в журнале Solid State Physics:
[315, 316] - молекулы и ионы в кристаллах,
[ 448] - общие сведения об оптических постоянных,
[301] - окрашивающие центры,
[364] — основные электронные спектры,
[ 186] - металлы,
[82] - спектры твердых тел в области дальнего ультрафиолета,
[347] — металлы и сцлавы,
[44] — прозрачные диэлектрики.
Оптические характеристики вещества
357
Недавно опубликованы первые два тома издания, в котором дает-
ся сводка оптических данных для всех элементов-метадлов в диапа-
зоне энергий фотонов 0,1 - 500 эВ [ 500, 501].
По окраске воды очень рекомендуем две работы: [31] и [.385].
В первой имеются очень длинные выдержки из более ранних работ.
Очень подробный разбор молекулярных колебаний содержится в
книгах [225, 508].
Часть 3
Оптические свойства частиц
Глава11
Экстинкция
Экстинкция - это обусловленное рассеянием и поглощением зату-
хание электромагнитной волны при ее прохождении через среду из час-
тиц. В однородных средах основным механизмом затухания обычно
является поглощение. Сравнение спектров экстинкции в малых час-
тицах разного размера со спектрами поглощения объемного вещест-
ва частиц обнаруживает как сходства, так и различия; мы приведем
такие сравнения в начале данной главы. В разд. 11.1 мы еще раз по-
говорим о смысле экстинкции и о различных обычно употребляемых
способах ее описания, после чего в разд. 11.2 будет дана краткая свод-
ка эффектов экстинкции в частицах из трех иллюстративных веществ,
описанных в гл. 10. Вслед за этим идет более подробное обсуждение
основных спектральных особенностей экстинкции (кроме тех, которые
будут описаны в гл. 12). Мы рассмотрим экстинкцию, определяемую
в основном рассеянием, и обсудим ее поведение в зависимости от раз-
мера частиц, а также учтем влияние их распределения по размерам
(разд. П.З); проанализируем изрезанную структуру (разд. 11.4) и опи-
шем эффекты, связанные с поглощением (разд. 11.5). После содер-
жащегося в разд. 11.6 расчета экстинкции в сфероидах мы в разд.11.7
опишем методы измерений и приведем экспериментальные результа-
ты как для сферических, так и для несферических частиц. В заключи-
тельном разд. 11.8 излагаются краткие выводы.
11,1. ЭКСТИНКЦИЯ = ПОГЛОЩЕНИЕ + РАССЕЯНИЕ
Если многократное рассеяние пренебрежимо мало, то интенсив-
ность светового пучка, прошедшего путь h в среде с дискретными
частицами,затухает от /£ до Ц по экспоненциальному закону
Экстинкция
359
(разд. 3.4):
= ехрС-а^Л).
(11-1)
Экстинкция зависит как от поглощения, так и от рассеяния:
“ext = &(Cabs +свсв)*
(11.2)
Здесь X — концентрация частиц, a Cabs и С8са — сечения соответ-
ственно поглощения и рассеяния. Хотя оба эти процесса происходят
одновременно, тем не менее есть примеры, в которых главную роль
играет лишь один из них. Например, в тумане затухание видимого-
света почти полностью определяется рассеянием, в то время как в
угольной шахте затухание света, по-видимому, в первую очередь свя-
зано с поглощением. Схема простой, но очень эффектной демонстра-
ции этих двух предельных случаев, которая особенно удобна для боль-
ших аудиторий, показана на рис. 11.1. Два прозрачных сосуда (для
этой цели вполне подходят чашки Петри) наполняются водой и уста-
навливаются на демонстрационный столик проектора, который фоку-
РИС. 11.1. Демонстрация, пока-
зывающая, что главную роль в
экстинкции может играть как
рассеяние, так и поглощение: одна
чашка Пвтри заполнена взвесью
молока, а другая — азаесью чер-
ной туши.
360
Глава 11
сирует их изображения на экране. В один сосуд добавляется несколь-
ко капель молока, а в другой - черной туши. При увеличении
количества молока или туши оттенок изображений может менять-
ся от бесцветного до красноватого (в случае молока) и до черного
(в случае туши). Можно подобрать такие условия, что оба изобраг
жения будут казаться одинаково темными; тогда различить сосуды,
судя только по количеству дошедшего до экрана света, не удастся,
так как в обоих случаях экстинкция примерно одинакова. Между тем,
если взглянуть на сами сосуды, то различие между двумя взвесями
становится очевидным сразу: молоко - белое, а тушь — черная.
Молоко представляет собой взвесь очень слабо поглощающих частиц,
так что затухание в нем в первую очередь определяется рассеянием;
черная же тушь - это взвесь очень мелких частиц угля, в ко-
торых свет затухает главным образом из-за поглощения. Несмотря
на то что этот опыт не является количественным и его строгая ин-
терпретация несколько затруднена из-за влияния многократного рас-
сеяния, он ясно показывает различие между экстинкцией из-за рассе-
яния и экстинкцией из-за поглощения. Более того, из него следует,
что по наблюдению одного только прошедшего света нельзя опреде-
лить относительных вкладов поглощения и рассеяния в экстинкцию и
что для такого определения нужны дополнительные независимые наб-
людения.
Экстинкция света в частицах - весьма обычное явление: и солнеч-
ный свет, распространяющийся через пылевую бурю или через слой за-
грязненного воздуха, и свет автомобильных фар в тумане, и свет фо-
наря аквалангиста в мутной воде дают примеры экстинкции. Однако
не во всех этих примерах экстинкция описывается теоретическими
выражениями (11.1) и (11.2). В основе формулы (11.2) кроме пренебре-
жения многократным рассеянием лежит предположение, что приемник
вовсе не воспринимает рассеянного света, как бы ни бул мал угол
рассеяния. Но глаз или любой другой приемник всегда собирает свет,
рассеянный в некотором,возможно малом, но конечном телесном угле
около направления распространения, а чем больше размер частиц, тем
сильнее индикатриса рассеяния вытягивается в направлении распро-
странения и тем больше возможное различие между измеренным и рас-
считанным значением экстинкции. Отсюда следует, что для того, что-
бы результат измерения экстинкции можно было обоснованно сравни-
Экстинкция
361
вать с теоретическим результатом, нужно использовать тщательно
разработанную измерительную систему, особенно в случае крупных
частиц. По-видимому» требования теории наиболее строго выполняют-
ся для экстинкции в межзвездной пыли: расстояния до частиц в этом
примере составляют тысячи световых лет, так что приемник, объеди-
ненный с телескопом, практически принимает только свет, который
не рассеивался.
Есть несколько способов описания экстинкции. Для физиков -
они привыкли к сечениям разных атомных и ядерных процессов,- по-
видимому, удобнее всего иметь дело с сечением экстинкции
Сext = саЬв + Свса- Если же говорить об астрономах или исследова-
телях атмосферы, то на их лицах благодарная улыбка возникнет ско-
рее при упоминании фактора эффективности экстинкции Qext = cext
деленное на площадь геометрического сечения частицы. В книгах ван де Хюлс-
та [489] и Керкера [264], за редким исключением, приводятся только
факторы эффективности экстинкции, в результате чего такой способ
описания приобрел широкую известность. Но в разд. 3.4 мы высказа-
ли соображения, из которых следует, что более подходящей мерой то-
го, насколько эффективно частица ослабляет свет, по-видимому, яв-
ляется объемное (или массовое) сечение экстинкции. Эти три способа
описания экстинкции перечислены ниже; их можно рассматривать
просто как различные способы нормировки сечения экстинкции:
Сечение Cext тга2 (для шара)
Сечение на единицу
геометрической площади CextZ4 Qext
Объемное сечение Cext/F 3Qext/4a (Д-®® шаРа)
Графики этих величин в зависимости от размера частицы будут
довольно сильно отличаться друг от друга и, следовательно, будут
давать разную информацию. Если же изобразить их в зависимости от
длины волны, а размер частиц взять одинаковым, то кривые совпадут
с точностью до масштаба. В первом примере экстинкции (рис. 4.6) мы
изобразили фактор эффективности; в данной главе мы будем часто
поступать точно так же. Однако в гл. 12 мы будем отдавать предпоч-
тение объемному сечению экстинкции. А в разд. 13.5, который посвя-
щен определению размера частиц, брлее удобным оказывается ненор-
Глава 11
362
мированное сечение экстинкции (точнее интеграл от дифференциаль-
ного сечения рассеяния по телесному углу, отвечающему площади при-
емника).
11.2. ЭКСТИНКЦИЯ (СВОДКА ЭФФЕКТОВ)
Кривые, показывающие зависимость экстинкции от параметра
дифракции, обладают богатым набором особенностей, даже если они
рассчитываются с использованием (как это часто делается) не пред-
ставляющих интереса неизменных значений оптических постоянных.
Если же в расчетах использовать реалистичные зависимости оптичес-
ких постоянных от частоты, то количество разнообразных эффектов
становится еще белее многочисленным. В данном разделе мы приве-
дем сводку тех эффектов экстинкции, которые следуют из теории Ми
с использованием в ней оптических постоянных трех иллюстративных
веществ, описанных в гл. 10. Более подробное их обсуждение будет
дано в последующих разделах.
11.2.1. Окись магния
Нормированное на объем сечение экстинкции для взвесей шариков
разного размера из MgO изображено на рис. 11.2 в зависимости от
энергии фотона; масштабы вдоль обеих осей логарифмические. Для
сравнения свойств объемного вещества и мелких его частиц мы приве-
ли также график коэффициента поглощения объемного вещества
а = 4ттА,А. Некоторые особенности, характерные для отдельных час-
тиц, сгладились из-за усреднения по распределению радиусов. Усвоить
содержащуюся в этих кривых информацию с одного взгляда невозмож-
но: они требуют тщательного изучения.
На длинах волн видимого диапазона и вблизи него - там, где объем-
ные образцы MgO высоко прозрачны, — преобладает экстинкция
из-за рассеяния. Вследствие этого затухание света в частицах из MgO
заметно отличается от затухания в объемном образце. Если разме-
ры частиц малы по сравнению с длиной волны, то сечение рассеяния
пропорционально четвертой степени энергии фотона (1.А4); на таких
длйнах волн сечение экстинкции на графике с логарифмическими
масштабами представляется линейной функцией. Бблыпие значения
экстинкции при более высоких энергиях фотона приводят к покрас-
нению, которое можно заметить в свете, прошедшем через покрытое
Экстинкция
363
частицами дыма MgO предметное стекло микроскопа. Если же раз-
меры частиц велики по сравнению с длиной волны, то связанная с
рассеянием экстинкция почти не зависит от энергии фотона. Отме-
тим, в частности, широкую область, где экстинкция почти постоян-
на в случае частиц со средним радиусом 1,0 мкм. При прохождении
РИС. 11.2. Полученный расчетным путем спектр экстинкции для шаров из
MgO. Внизу изображен спектр поглощения объемного вещества MgO.
Глава И
364
через такие частицы белый свет претерпевал бы лишь едва заметное
изменение оттенка.
В области энергий, где поглощение в MgO обусловлено электрон-
ным механизмом, на кривой экстинкции (связанной как с рассеянием,
так и с поглощением) появляются особенности, характерные для оп-
тических постоянных, но это касается только самых мелких частиц
(0,01 мкм). В спектре экстинкции частиц со средним радиусом 0,05 мкм
при энергиях выше примерно 7,6 эВ никаких особенностей не возника-
ет. Для этих энергий частицы являются "черными"; проходящий че-
рез такие частиця свет выходит из них, не неся в себе заметной спектраль-
ной информации. Этот эффект можно было бы назвать "насыщением",
несмотря на то что этот термин часто используется в другом смысле.
В связи с тем что для наблюдения появляющихся в ультрафиолето-
вом диапазоне особенностей спектров экстинкции малых неметалли-
ческих частиц частицы должны быть очень маленькими - для большин-
ства веществ не более нескольких сотен ангстрем, — имеется лишь
небольшое количество таких экспериментов, проводившихся в лабора-
торных условиях. Очень уж трудно поручить частицы требуемого раз-
мера. Почти бесполезно пытаться получить их путем толчения объем-
ного образца из-за возникающей при этом проблемы разделения час-
тиц по размерам. Можно создавать различные дымы; в случае MgP
такой подход особенно прост, но он может оказаться далеко не столь
простым для других представляющих интерес веществ.
На рис. 11.2 показаны также спектры экстинкции и поглощения
для частиц радиусом 0,01 мкм с оптическими постоянными, соответ-
ствующими MgP с радиационными повреждениями (рис. 10.1). Из трех
широких полос поглощения в спектре экстинкции ясно видна полоса,
отвечающая меньшей энергии, но этого нельзя сказать о наиболее
высокочастотной полосе. Исчезновение особенностей здесь связано
не с "насыщением" поглощения, а с преобладанием рассеяния. Это
становится очевидным, если посмотреть на спектр поглощения, на
котором хорошо различимы все три полосы. Для наблюдения полосы
при 3,5 эВ нужно было бы измерять поглощение на фоне сильного
рассеяния. Для этой цели, по-видимому, можно воспользоваться ме-
тодикой диффузного отражения [275] или приобретающей все боль-
шую популярность методикой фотоакусуической спектроскопии [ 406].
Однако применение таких методик вряд ли увенчается успехом, ее-
Экстинкция
365
ли речь пойдет о наблюдении лежащих между 7 и 20 эВ полос погло-
щения в частицах размером 0,05 мкм или больше.
На длинах волн инфракрасного диапазона экстинкция в частицах
из MgO, размеры которых указаны на рис. 11.2 (в том числе и в час-
тицах радиусом 1 мкм, которые удается получить путем толчения),
определяется в основном поглощением. Именно поэтому для спектро-
скопических исследований порошков в инфракрасном диапазоне ши-
роко используется методика, основанная на изготовлении таблеток
из КВг. Небольшое количество исследуемого вещества смешивается
с порошком КВг и спрессовывается в таблетку, а затем измеряет-
ся спектр пропускания такой таблетки. Поскольку экстинкция опреде-
ляется в основном поглощением, спектр пропускания должен повто-
рять структуру спектра поглощения исследуемого вещества — но
это не всегда так. Сравнение рис. 10.1 и 11.2 вскрывает любопыт-
ное расхождение: по расчету максимум экстинкции приходится на
0,075 эВ, в то время как поглощение объемного образца максималь-
но на частоте поперечной оптической моды, которая отвечает при-
мерно 0,05 эВ. В свете современной точности инфракрасной спектро-
скопии такое расхождение очень велико, так что предположение о том,
что максимум экстинкции лежит в полосе объемного поглощения, мо-
жет привести к серьезной ошибке. Это первый случай, когда мы стал-
киваемся с ситуацией, в которой свойства малых частиц заметно от-
личаются от свойств объемного вещества. Такое отличие связано с
возбуждением поверхностных мод, которые играют настолько важную
роль в поведении малых частиц некоторых твердых веществ, что для
их более полного обсуждения мы выделяем целую главу — гл. 12.
Сечение рассеяния, изображенное на рис. 11.2, тоже имеет мак-
симум около 0,075 эВ, хотя его значение гораздо меньше соответст-
вующего значения сечения поглощения. Заметим, что сечение рассея-
ния резко спадает около 0,1 эВ, где вещественная часть показателя
преломления равна примерно единице, а мнимая часть мала, так что
с оптической точки зрения частицы почти эквивалентны свободному
пространству. В этом состоит эффект Кристиансена, который можно
использовать для создания полосового фильтра (см., например,
[ 435, стр. 395 - 399]). Прохождение света через скопление частиц
оказывается максимальным вблизи частоты Кристиансена (на кото-
рой п - 1 и k - 0), поскольку рассеяние здесь почти исчезает; на со-
366
Глава 11
седних же частотах прошедший свет сильно ослабляется из-за рассея-
ния. Однако для создания таких фильтров требуются более крупные
частицы, чем рассмотренные нами в связи с обсуждением рис. 11.2,
так как поглощение не должно превалировать над рассеянием.
11.2.2. Вода
Результаты расчетов по теории Ми с оптическими постоянными
воды (см. рис. 10.3) приведены на рис. 11.3; вдоль вертикальных осей,
где отложены характеристики экстинкции и поглощения, использован
логарифмический масштаб, а вдоль оси энергии фотона - линейный.
Кроме того, на рис. 11,3, в приведен коэффициент поглощения объем-
ного образца воды. Ввиду сходства многих особенностей экстинкции
в воде и в MgO, которые обе являются диэлектриками, мы приводим
результаты расчета для отдельной капли воды (в воздухе) радиусом
1 мкм. Поэтому на приведенных кривых сохранились спектральные
особенности, связанные с зависимостью от размера частицы, которые
сгладились бы при учете распределения по радиусам.
По-видимому, сильнее всего бросаются в глаза особенности по-
ведения экстинкции в области прозрачности воды, которая лежит при-
мерно между 0,5 и 7 эВ. Здесь из-за интерференции падающего и рас-
сеянного вперед света (разд. 4.4) возникает интерференционная струк-
тура - последовательность широких, регулярно расположенных мак-
симумов и минимумов экстинкции. На нее налагается резкая и силь-
но нерегулярная рябъ (изрезанная структура, или изрезанностъ струк-
туры), которая связана с резонансными электромагнитными модами
шара. Белее подробное обсуждение интерференционной структуры и
ряби будет дано в разд. 11.3 и 11.4. Поскольку положение этих осо-
бенностей зависит от размера частиц (особенно это касается ряби),
они почти не проявляются в результатах расчетов для полидисперс-
ных взвесей. Именно поэтому кривые экстинкции в MgO (рис. 11.2)
столь сильно отличаются от соответствующей кривой на рис. 11.3.
На этом же рисунке приведено сечение пег лощения единицы объема частицы.
В кривой поглощения интерференционной структуры нет, но имеется
рябь, правда, в той области энергий, где поглощение очень мало.
Сравнение кривых для водяной капли (рис. 11.3, а и б) с кривой для
воды (рис. 11.3, в) показывает, что интерференционная структура и
рябь придают спектральным характеристикам водяной капли особен-
ности, которые заметно отличают их от характеристик самой воды.
РИС, 11.3. Полученные путем расчета спектры экстинкции (а) и поглощения
(6) водяной капли радиусом 1,0 мкм (в — спектр поглощения воды).
Глава 11
368
Особенности экстинкции, характерные для области прозрачнос-
ти воды, быстро подавляются при переходе к ультрафиолетовому диа-
пазону, где из-за возбуждения электронных переходов сильно возрас-
тает объемное поглощение. В то же время в инфракрасной области по-
лосы поглощения воды, отвечающие колебаниям молекул, переходят в
аналогичные полосы экстинкции (которые определяются в основном рас-
сеянием, если а > Л) в водяной капле. В отличие от MgO здесь нет за-
метного смещения спектра при переходе от объемного вещества к дис-
кретному. Причина этого связана с сильным объемным поглощением;
более полно она будет обсуждена в гл. 12.
11.2.3. Алюминий
На рис. П.4 приведен рассчитанный спектр экстинкции в пцлидис-
персном скоплении мелких алюминиевых шаров (средний радиус 0,01 мкм
относительное стандартное отклонение 0,15}; масштабы по обеим осям
логарифмические. В некотором смысле спектральные характеристики
экстинкции в металлических частицах менее интересны, чем в случае
диэлектрических частиц типа тех, что мы рассматривали в двух преды-
дущих разделах. Действительно, для металлов вклад свободных элект-
ронов в поглощение преобладает над всеми другими механизмами по-
глощения и оказывается существенным в полосе частот, простирающей-
ся от радиодиапазона до области дальнего ультрафиолета. Поэтому
особенности экстинкции, характерные для диэлектрических частиц в
области прозрачности, — рябь и интерференционная структура — в ме-
таллических частицах подавляются из-за присущей им непрозрачности.
Тем не менее экстинкция в металлических частицах обладает рядом
небезынтересных особенностей.
Заметим, что в алюминии отсутствует полоса объемного поглоще-
ния, соответствующая резкому выбросу экстинкции около 8 эВ. В са-
мом деле, максимум экстинкции приходится на ту область, где объем-
ное поглощение монотонно уменьшается. Этот выброс связан с резо-
нансом, возникающим в коллективном движении свободных электронов,
колебательные движения которых ограничены пределами малого ша-
ра. Он аналогичен доминирующей в инфракрасном диапазоне линии экс-
тинкции в малых шарах из MgO (рис. П.2), которая возникает из-за
коллективных колебаний ионов решетки. Как будет показано в гл. 12,
такие резонансы могут довольно сильно зависеть от формы частиц
и возбуждаются на тех частотах, для которых вещественная часть
Экстинкция
369
РИС. 11.4. Полученный путем расчета спектр экстинкции для полидисперсной
взвеси алюминиевых шаров (вверху) и спектр объемного поглощения алюми-
ния (внизу).
диэлектрической проницаемости отрицательна. Для металла типа
алюминия эта область простирается от частот радиодиапазона до
частот ультрафиолетового излучения, так что связанные с формой
особенности в спектрах экстинкции малых металлических частиц мо-
гут. возникать в столь же широком диапазоне.
24-205
370
Глава 11
11 3. НЕКОТОРЫЕ СЛЕДСТВИЯ ДЛЯ ЭКСТИНКЦИИ
В ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ШАРАХ
В предыдущем разделе, да и во многих других местах мы вкрат-
це затрагивали некоторые вопросы, которые заслуживают более под-
робного изучения. Так, например, мы подчеркивали, что расчеты экс-
тинкции, вообще говоря, следует проводить с учетом зависимости
оптических постоянных от длины волны; в этом разделе мы иссле-
дуем следствия, к которым приводит отказ от учета такой зависи-
мости. Затем мы перейдем к обсуждению вопроса о постепенном
исчезновении особенностей в спектрах экстинкции полидисперсных
взвесей из шаров при увеличении их разброса по радиусам.
11.3.1. Два взгляда на экстинкцию
На рис. 11.5 приведены две кривые экстинкции в шаре. Для верх-
ней кривой использовался показатель преломления 1,33 + i 10“8, ко-
торый отвечает воде на длинах врлн около 5600 А. С кривыми экстинк-
ции этого типа приходится сталкиваться чаще всего, хотя им очень
просто дать неправильное толкование. Несмотря на то что по оси
абсцисс отложена величина, пропорциональная JA, эта кривая описы-
вает, строго говоря, зависимость экстинкции не от длины волны, а
от радиуса при фиксированной длине волны. Связано же это с тем,
что оптические постоянные воды - а в действительности любого ве-
щества - зависят от длины волны. Расчетную кривую, правильно пе-
редающую изменение экстинкции с длиной волны, можно получить
только в том случае, если в теории Ми используется показатель пре-
ломления тп(А), соответствующим образом зависящий от длины волны,
но тогда эта кривая будет относиться к одному-единственному разме-
ру. Кривая такого типа показана на рис. 11.5, б для частицы радиу-
сом 1,0 мкм.
Сравнение двух изображенных на рис. 11.5 кривых выявляет как
сходства, так и различия. В области прозрачности, т.е. в области,
лежащей примерно между х = 3 -и х = 37, поведение экстинкции каче-
ственно одинаково, но положения главных (интерференционных) мак-
симумов могут оказаться заметно смещенными. Положения первых
максимумов (около х = 7) почти совпадают. Однако вторые максиму-
мы слегка смещены, а третьи и следующие максимумы смещаются
уже значительно. Это постепенное увеличение смещений обусловлено
увеличением вещественной части показателя преломления при при-
Экстинкция
371
ближении длин волн к ультрафиолетовой области. В инфракрасной и
ультрафиолетовой областях, т.е. там, где вода поглощает, эти кри-
вые мало похожи. При х = 37 на второй кривой экстинкции (рис, 11.5,6)
исчезает рябь; это связано с сильным электронным поглощением,
которое очень резко возрастает, начиная с длины волны примерно
0,2 мкм, где расположен край полосы поглощения. Аналогичное явле-
ние имеет место во всех твердых и жидких неметаллах, хотя положе-
ние края полосы поглощения (оно приходится на ультрафиолетовую
иди близкую к ней область) различно для разных веществ. При зна-
чениях х < 2 особенности экстинкции, присутствующие на рис. 11.5, 6,
не имеют аналогов на рис. 11.5,а: эти особенности обусловлены поло-
сами поглощения воды в инфракрасном диапазоне.
11.3.2. Влияние распределения по размерам
Те особенности экстинкции, которые сильно зависят от размера
частиц, будут заметно сглаживаться, если не исчезать полностью,
в полидисперсной взвеси. При расчетах по формулам Ми использова-
лись самые разные аналитические выражения для распределения ве-
роятностей радиусов. В целях иллюстрации мы выбрали гауссово рас-
пределение, в соответствии с которым вероятность того, что шар
имеет радиус от а до а + da , равна
где а — средний радиус, а а 2 - дисперсия. Хотя гауссово распреде-
ление скорее всего не очень подходит для описания естественного
аэрозоля и других состоящих из дискретных частиц систем, его
преимуществами являются простота и широкая известность.
Чтобы показать, как постепенно увеличивающийся разброс раз-
меров влияет на экстинкцию, на рис. 11.6 приведен ряд графиков,
рассчитанных для водяных капель. Самая верхняя кривая воспроиз-
водит кривую с рис. 11.5, а для одного шара; расположенные ниже кри-
вые (начало отсчета по вертикальной оси для каждой кривой свое. —
Пер ее.) отвечают постепенному увеличению стандартного отклонения <т.
С увеличением а первой исчезает рябь, причем это исчезновение
начинается с наиболее резкой ряби при больших значениях параметра
372
Глава 11
РИС. 11 Л. Полученная путем расчета экстинкция водяной капли, (а —длина
волны фиксирована, а меняется радиус; б — радиус (1,0 мкм) фиксирован,
а меняется длина волны).
Экстинкция
373
Параметр дифракции
РИС. 11.6. Влияние распределения по размерам на экстинкцию видимого све-
та в водяных каплях. Каждая кривая помечена значением а — стандартным
отклонением в гауссовом распределении по размерам.
374
Глава 11
Таблица 11.1
Приближенные параметры распределения по размерам некоторых естествен-
ных и искусственных аэрозолей и гидрозолей
Частицы Средний ра- Относительное Литература
диус, мкм стандартное от- клонение
Полистироловые шары в воде 0,05 - 2 0,005 - 0,01
Генвратор Бер- гланда - Лю 0,01 46
Г енератор Син- клера — ла Мера 0,1 - 0,2 264, стр. 320
Ультразвуковой 0,3 361
распылитель
Форсунки и пуль- веризаторы 20 - 300 1,1 111
Споры ржавчины
зерновых злаков 3,4 0,038 111
Споры бупавовид-
него плауна 15 0,01 111
Кровяные тельца
(высушен- ные) 8 0,08 111
Пыльца клевера Пыльца гигант- 26 0,04 111
ской амбро- зии полынно- листной 9,8 0,05 111
Пыльца газонной
травы 15,5 0,07 111
Верхние облака
Венеры 1,0 0,3 213
Экстинкция
375
дифракции. По мере дальнейшего уширения распределения стирает-
ся и интерференционная структура. Для наиболее широкого распреде-
ления остаются только такие особенности, как "покраснение" в об-
ласти малых параметров дифракции и асимптотическое приближение к
предельному значению 2 в области больших параметров дифракции.
Без оценки возможного разброса размеров частиц в реальных
дискретных системах значения о, использованные на рис. 11.6, являют-
ся просто значениями некоторого подгоночного параметра. Поэтому
в табл. И.1 мы приводим ширины распределений некоторых естествен-
ных и искусственных аэрозолей; из этого перечня исключены широкие
распределения типа распределения дождевых капель, для которых са-
мо понятие "ширина" не очень уместно.
11.4. РЯБЬ
Рябь - острые, нерегулярно расположенные всцлески кривой экс-
тинкции для слабопоглощающих шаров - хорошо видна на рис. 4.6,
11.3, 11.5 и 11.6. В некотором смысле рябь представляет собой прос-
то помеху. Кроме всего прочего маловероятно, чтобы она наблюда-
лась в спектрах экстинкпии полидасперсных взвесей, как естественных, так
и искусственных. До сих пор расчеты для отдельного шара приходится прово-
дить лишь для дискретных и ограниченных по числу значений параметра диф-
ракции; при этом может оказаться, что одао из них случайно будет соответст-
вовать резкому выбросу, который не является характерным для в общем-то
плавного изменения экстинкции. Разработаны разные способы, позволяющие
обойти эту трудность (см., например, [ 358]). В наши дни быстродейст-
вующей электронно-вычислительной техники наилучшим подходом
часто оказывается проведение вычислений не для одного размера, а
для распределения размеров (рис. 11.6). Раньше, когда вычислитель-
ные машины еще не стали привычным оборудованием, было непомерно
дорого проводить расчеты с очень мелкой сеткой параметра дифрак-
ции. Поэтому многие из рассчитанных ранее кривых экстинкции не
обладают столь большим количеством особенностей, как изображен-
ная на рис. 11.5, а. Но даже эта кривая не выявляет тонкую структу-
ру экстинкции полностью. Тщательное рассмотрение маленького
участка рис. 11.5, а (он выделен прямоугольником) позволяет обна-
ружить более тонкую структуру. На рис. 11.7 показаны аналогичные
[ 102] результатыфасчетов экстинкции в водяной капле. Особеннос-
ти, которые на рис. 11.5, а были едва различимы, теперь хорошо
376
Глава 11
РИС. 11.7. Результаты расчетов ряби в экстинкции водяной капли (т= 1,33 +
+ i 10“*) с высоким разрешением (Дх = 10“*). По [Ю2].
разрешаются. Однако неразрешенные пики остались даже при ис-
пользовании увеличенного масштаба: они отмечены вертикальными
линиями при значениях х, примерно равных 50,33; 50,68; 51,12 и
51,90. Для разрешения этих пиков нужна еще более мелкая сетка па-
раметра дифракции. Например, на рис. 11.8 пик около х = 50,33
разрешен за счет уменьшения Дх до 10-®. Таким образом, чем вни-
мательнее мы рассматриваем картину, тем больше находится особен-
РИС. 11 Л. Неразрешенный на рис. 11.7 пичок экстинкции около х = 50,33
разрешен эа счет уменьшения Дх до 10“*.
Экстинкция
377
ностей. Здесь уместно задаться вопросом, а есть ли этому конец и
не похоже ли это на собаку с блохами, у которых в свою очередь
есть свои блошки и т.д. до бесконечности? В работе [102] проведе-
но тщательное исследование этого вопроса и сделан вывод, что при
уменьшении Дх до значений меньше 10-7 новых особенностей не появ-
ляется, так что показанный на рис. 11.8 пичок является примером са-
мых тонких особенностей. Рябь присуща не только связанной с рассе-
янием компоненте экстинкции, она имеется и в поглощении (см. [451).
В разд. 4.3 мы рассмотрели нормальные электромагнитные моды
(или виртуальные моды) шара, которые оказываются резонансными, ес-
ли знаменатели коэффициентов ап и Ьп, через которые выражается рас-
сеянное поле, минимальны (говоря строго, если они обращаются в
нуль, но это имеет место на комплексных частотах или, что эквива-
лентно, при комплексных значениях параметра дифракции) Между тем
Qext представляет собой бесконечный ряд по ап и Ьп, так что рябь
экстинкции должна быть связана с этими модами. Знаменатель коэф-
фициента сп(^) внутреннего поля совпадает со знаменателем Ьп(ап). Поэ-
тому плотность энергии, а следовательно, и поглощение энергии внутри шара
максимальны около каждого резонанса, т.е. структура ряби имеется как в
рассеянии, так и в поглощении.
Для каждого номера п имеется последовательность значений х,
для которых возбуждается мода, связанная с ап или с Ьп. Поэтому каж-
дый (нецерекрывающийся с соседним) пичок экстинкции можно обозна-
чить буквой, характеризующей тип моды (ап для электрической и Ьп
для магнитной), с индексом п и порядковым номером х [101]; напри-
мер а^, и т.д., где верхний индекс указывает порядковый номер
х. Именно так обозначены лички экстинкции между х = 50 и х = 52 на
рис. П.7.
На рис. 11.9 изображены три пичка вещественной части ат для
водяной капли, обозначаемые и asK; вещественная часть по-
казателя преломления на всех графиках одна и та же, а мнимая из-
меняется. Такие оптические постоянные можно было бы получить, на-
пример, добавляя к воде немного краски (пищевого красителя); эта до-
бавка увеличила бы k без заметного изменения п. Отметим, что го-
ризонтальные шкалы для каждого набора кривых свои. Аналогичные
кривые, но для других значений оптических постоянных приведены в
работе [ 103].
378
Глава 11
54,4 54,6 54,8
54,4 54,6 54,6
57 59 61
РИС. 11.9. Три личка вещественной части а60. Мнимая часть показателя
преломления постепенно возрастает сверху вниз, а вещественная часть фик-
сирована (1,33). По [юз].
Пички по форме напоминают лоренцианы, а если бы мы построили
график Im{ а60(х)}, то это сходство было бы еще более очевидным.
То, что их форма действительно с хорошей точностью описывается
лоренцианом, показано в [ 165], где приведено подробное обсуждение
нормальных мод в шаре из ионного вещества.
При фиксированном значении k с увеличением порядкового номера
пички уширяются. По мере увеличения поглощения при фиксированном
порядковом номере каждый пичок уширяется, уменьшаясь при этом
шдии ‘чшэон'тои
РИС. 11.10. Сравнение теоретической кривой нормированной мощности потерь в волноводе с шаром (верхние
кривые) и из спектров пропускания (нижние кривые). Кривые справа являются увеличенными изображениями двух
полос; на верхнем рисунке справа показано влияние поглощения на болвв низкочастотную полосу. Заимствовано
из [ 13].
380
Глава 11
по амплитуде; особенно это касается пичка а^)> а более широкие пич-
ки с высшими порядковыми номерами ослабляются из-за поглощения
не так сильно. Это объясняет быстрое исчезновение наиболее острых
пичков экстинкции при увеличении поглощения (см. рис. 11.12).
В работе [ 133] рябь была обнаружена в интенсивности света, рас-
сеянного водяными каплями под углом 90° в процессе их образования
и роста в камере Вильсона. В разд. 11.7 мы покажем, что рябь экс-
тинкции очень легко зафиксировать при использовании взвеси поли-
стироловых шаров в воде. В обоих этих примерах пички ряби оказы-
ваются довольно широкими, и именно поэтому их можно наблюдать
даже при наличии разброса частиц по размерам. Что же касается
очень узких пичков, присущих более крупным и сильнее преломляющим
шарам, то для их наблюдения необходимо использовать отдельные ша-
ры. В литературе такие наблюдения описаны как для СВЧ-, так и для
видимого диапазона; речь о них пойдет ниже.
11.4.1. Шар в СВЧ-волноводе
Возможность использования свойств ряби для создания аппарату-
ры диапазона СВЧ обсуждалась еще много лет назад (см., например,
[396]). Например, объединив»шар с волноводом, можно создать фильтр
с амплитудной характеристикой типа "зазубрина". Такой фильтр был
реализован в [13]. В волноводе симметричным образом был закреп-
лен шар диаметром 0,2 см из SrTiOs (е' = 324,4), после чего измеря-
лась мощность прошедшего излучения в зависимости от частоты. Ре-
зультаты этой работы показаны в нижней части рис» 11.10; в верхней
его части приведена теоретическая кривая нормированных потерь мощ-
ности (в наших обозначениях эта величина равна 1/70). Мощность излу-
чения СВЧ в узкой полосе частот ослабляется почти до нуля. Как по-
казывают расчеты, форма этой полосы сильно зависит от е", что вид-
но и из рис. 11.10; в [131 предполагается, что Этот эффект можно ис-
прльзовать для измерения е" слабо поглощающих веществ.
11.4.2. Рябь радиационного давления
• Можно было бы подумать, что рябь — в частности, острые всплес-
ки при больших значениях х (рис. 11.5) — представляет только теоре-
тический интерес, поскольку в экспериментах со скоплениями частиц
разного размера она не проявляется» Да и в случае одной частицы
достаточно небольшого уширения спектра падающего излучения, чтобы
РИС. 11.11. Полученные путем расчета экстинкция и радиационное давление шара в сравнении с мощ-
ностью, необходимой для удержания шара. Заимствовано из [юз], где использованы эксперименталь-
ные результаты (241
382
Глава 11
изрезанность структуры сгладилась» Тем не менее в ряде элегантных
и прекрасно поставленных экспериментов последних лет удалось за-
фиксировать многие особенности сложной структуры ряби. Авторы
работ [22 — 24] разработали метод подвески прозрачных частиц в
сильносфокусированном лазерном пучке. Радиационное давление пуч-
ка не только удерживает частицу от падения в поле тяжести, но и ста-
билизирует ее положение в горизонтальном направлении. Чтобы час-
тица удерживалась на постоянной высоте, мощность лазера подстраи-
вается при помощи электронной системы обратной связи. При изме-
нении частоты будет меняться радиационное давление, а следователь-
но, и мощность лазера, необходимая для стабильной подвески; такая
методика получила название спектроскопии сил радиационного дав-
ления»
График мощности, требуемой для удержания масляной капли, в
зависимости от ее параметра дифракции, который изменялся за счет
перестройки длины волны лазера на красителях, изображен на
рис» 11.11 (две нижние кривые). Третья снизу кривая представляет
собой график фактора эффективности радиационного давления, по-
лученный путем теоретического расчета (он обозначен 1,/Qpr); свер-
ху изображена кривая фактора эффективности экстинкции Qext; по-
казатель преломления т= 1,47 + i Ю*6 и почти не меняется в пре-
делах рассматриваемого весьма узкого интервала длин волн. Этот
рисунок заимствован из работы [ ЮЗ], целью которой была иденти-
фикация пичков верхней кривой» Кривая а экспериментальных ре-
зультатов построена с использованием значений х, вычисленных
по размерам капель, измеренным с точностью ± 5 % при помощи мик-
роскопа. Между тем особенности ряби так хорошо различимы, что
из согласования экспериментальной кривой с теоретической удалось
определить величину х с гораздо большей точностью, кривая б построена
по уточненным таким образом размерам капель» В результате экспе-
римент очень хорошо согласуется с теорией, за исключением неболь-
ших смещений, которые объясняются испарением капель за время из-
мерения. На экспериментальной кривой видны все особенности.теоре-
тического спектра, кроме очень узких (они изображены на теорети-
ческой кривой штриховыми линиями), ширина Дх которых имеет поря-
док IO-6» Они отвечают резонансам первого порядка нормальных мод
(т.е. b*Qr а& и т.д») и, несмотря на высокую спектральную чистоту
лазера, оказываются слишком узкими, чтобы их можно было разре-
шить.
Экстинкция
383
Эксперименты авторов [22 - 24] являются впечатляющей демонст-
рацией сложности электромагнитных мод шара и высокой точности, с
которой они описываются теорией Ми; кроме того, они показывают
возможность измерения размеров отдельных шаров с погрешностью
10“® или IO*6, а также слежения за очень малыми изменениями разме-
ров частиц.
11.5. ВКЛАД ПОГЛОЩЕНИЯ В ЭКСТИНКЦИЮ
К этому моменту читатель должен уже хорошо сознавать, что
все твердые и жидкие вещества в некоторых спектральных облас-
тях поглощают излучение и что это приводит к определенным следстви-
ям для экстинкции; часть из них обсуждалась в обзорном разд. 11.1.
В данном разделе мы изучим влияние поглощения на экстинкцию белее
подробно.
11.5.1. Рябь и интерференционная структура
На рис. 11.12 изображена последовательность кривых экстинкции
в скоплении шаров с узким гауссовым распределением радиусов при
постоянном увеличении поглощения. Каждая кривая отвечает фиксиро-
ванному показателю преломления (длине волны), так что абсцисса
пропорциональна среднему радиусу. (Начало отсчета по вертикальной
оси для каждой кривой свое. - Перев.). Оптические постоянные для
верхней кривой близки к оптическим постоянным воды на некоторых
длинах волн инфракрасного диапазона, но это не так для значения
т= 1,33 + «0,1, отвечающего следующей кривой; в данном частном
случае для достижения нашей цели лучше изменять только k, хотя вооб-
ще мы относимся с антипатией к столь произвольным и не имеющим
отношения к реальности манипуляциям с оптическими постоянными.
С первого взгляда видно, что с увеличением поглощения прежде
всего исчезает рябь, причем это начинается с больших значений х.
Затем подавляется интерференционная структура; и здесь подавление
сильнее выражено при больших х. В разд. 4.4 появление интерферен-
ционной структуры объяснялось интерференцией неотклоненного пуч-
ка с лучом, прошедшим через центр шара. В соответствии с такой
интерпретацией естественно ожидать, что интерференционные экстре-
мумы должны исчезать, если значение k настолько велико (kx > 1),
что свет через частицу почти не проходит; то, что это действитель-
но так, видно из рис. 11.12.
384
Глава 11
РИС. 11.12. Влияние увеличивающегося поглощения на интерференционную
структуру и рябь.
11.5.2. Влияние края полосы поглощения
Из тщательного изучения рис. 11.12 вытекает результат, кажу-
щийся на первый взгляд парадоксальным: при фиксированном значе-
нии х экстинкция не всегда возрастает с увеличением к. Например,
при х = 2 экстинкция с увеличением поглощения возрастает; лучше
Экстинкция
385
всего это видно из двух нижних кривых. Но при х = 6 она с увеличе-
нием поглощения уменьшается. Правда, при х = 11 зависимость снова
меняется. Поэтому влияние быстро увеличивающегося до больших зна-
чений поглощения, которым в ультрафиолетовой области обладают
все твердые и жидкие вещества, будет зависеть от размера частицы.
Так, например, вблизи края полосы поглощения MgO ( ~ 7 эВ) экстинк-
ция шара радиусом 0,01 мкм резко возрастает (рис. 11.2). Но если
увеличить радиус шара до 0,05 мкм, то как раз у края полосы поглоще-
ния экстинкция резко уменьшается. Эти эффекты более отчетливо вид-
ны на экспериментальных кривых экстинкции в случае полистирола
(см. рис. 11.19). Физической причиной, которая объясняет, почему уве-
личение поглощения может уменьшать экстинкцию, является отсутст-
вие интерференции в условиях, когда свет не проходит через частицу.
Если параметр дифракции соответствует интерференционному макси-
муму экстинкции (случаи ослабляющей интерференции^ то край поло-
сы поглощения уменьшает экстинкцию; если же этот параметр отвеча-
ет интерференционному минимуму экстинкции, то исчезновение уси-
ливающей интерференции уменьшает экстинкцию.
11.5.3. Асимметрия, связанная с наличием
узких полос поглощения
Предположим, что вещество в объемном состоянии обладает узкой
симметричной полосой поглощения. Кажется более чем естественным
ожидать, что и соответствующая полоса экстинкции частицы из этого
вещества тоже должна быть симметричной. Тем не менее она может
оказаться вовсе не симметричной, если частица достаточно велика
для того, чтобы форма полосы экстинкции существенно зависела от
рассеянной компоненты. Впервые на этот тип асимметрии указал ван
де Хщлст [488] в связи с малыми частицами межзвездной среды.
С тех пор были выполнены различные расчеты для частиц как с покры-
тием, так и без него [200, 201, 505].
Для иллюстрации эффекта асимметрии мы выбрали узкую полосу
поглощения в MgO с радиационными повреждениями, сосредоточенную
около 1,18 эВ (см. дополнительные кривые на рис. 10.1 и 11.2). Полу-
ченной в эксперименте интенсивности полосы не хватает для нагляд-
ной иллюстрации эффекта, поэтому мы увеличили ее, а вместе с
ней и интенсивности трех сопутствующих ей более широких полос в
100 раз. Оптические постоянные вычислялись по многоосцилляторной
25-205
Глава 11
386
модели (9.25), параметры которой выбирались из наилучшего согласо-
вания с экспериментальными данными, после чего силы осщлляторов
w2 умножались на 100. Можно полагать, что полученные таким об-
разом интенсивности полос будут описывать значительно более высо-
кий уровень радиационных повреждений, хотя вряд ли столь интен-
сивные полосы удастся реализовать таким способом. Максимальное
значение е" усиленной полосы около 1,18 эВ равно 0,082, что соот-
ветствует значению k около 0,024. Заметим, что эта величина еще
в несколько сотен раз меньше, чем собственное поглощение в MgO
между 7 и 20 эВ.
Результаты расчетов экстинкции для частиц нескольких разме-
ров показаны на рис. 11.13. Отметим, что шкалы для частиц разных
размеров не смещены относительно друг друга: экстинкция возрас-
тает с увеличением размера из-за рассеяния. В случае частицы ради-
усом 0,1 мкм полоса экстинкции четко отражает характеристики са-
мой полосы поглощения. Асимметрия появляется и постепенно увели-
чивается для частиц, радиус которых больше 0,2 мкм; действительно,
РИС. 11.13. Расчетные кривые экстинкции для шара из MgO с радиационны-
ми повреждениями, показывающиа, как возникает асимметрия полосы при
увеличении размера. Нижняя кривая (непомеченная) отвечает шару радиусом
0,01 мкм. из [235].
Экстинкция
387
при радиусе 0,3 мкм полоса поглощения выглядит уже как смещенная
вверх полоса "излучения". Объяснение столь странного поведения
экстинкции вблизи полосы поглощения содержится в предыдущем раз-
деле: экстинкция не является монотонно возрастающей функцией
объемного поглощения. Узкая полоса поглощения аналогична краю не-
большой полосы поглощения, которая убывает почти так же быстро,
как нарастает, а это может вызвать и максимумы экстинкции, и про-
валы, и то и другое вместе.
11.5.4. Преобладание поглощения в области
применимости приближения Рэлея
В случае частиц, малых по сравнению с длиной волны, экстинкция
пропорциональна квадрату объема частицы - но только при условии,
что поглощением можно пренебречь. Если это не так, то роль поглоще-
ния в экстинкции малых частиц будет всегда важнее роли рассеяния
(см. (5.12)), так как экстинкция из-за поглощения пропорциональна
объему частицы. Зависимость объемного коэффициента затухания
= Cext/v от радиуса водяных капель показана на рис. 11.14, а для
РИС. 11.14. Нормированная экстинкция а зависимости от размера, рассчи-
танная для шаров из (а) воды (по [901) и (б) алюминия (по [387]). Оптичес-
кие постоянные соответствуют указанным на кривых длинам аолн.
388
Глава 11
нескольких длин волн» В видимом диапазоне вода поглощает очень
слабо (k < 10—в), поэтому в экстинкции основную роль играет рассея-
ние; интерференционная структура видна хорошо, а рябь для придания
рисунку большей наглядности устранена. При увеличении длины волны
первый интерференционный максимум сдвигается в сторону больших
радиусов. В области меньших размеров величина a v постоянна; это
указывает, что ведущую роль в экстинкции играет поглощение. На
длинах волн, отвечающих достаточно сильному поглощению (например,
при А = 12,5 мкм), коэффициент затухания a v постоянен до тех пор,
пока радиус частицы не станет настолько большим, что свет почти не
будет проникать внутрь нее; это имеет полезные для практики следст-
вия, поскольку экстинкция в полидисперсных взвесях на таких дли-
нах волн не зависит от конкретного вида распределения частиц по
размерам, если доля объема, приходящаяся на более крупные частицы,
мала. Так, в работе [ 90] указывается, что путем измерения затуха-
РИС. 11.14,5.
Экстинкция
389
ния инфракрасного излучения, распространяющегося вдоль некоторой
линии, можно определить содержание воды в атмосфере вдоль этой
линии. Большая часть твердых и жидких веществ обладает некоторым
поглощением в инфракрасном диапазоне; кроме того, для белее
крупных частиц характерны короткие времена пребывания в атмосфе-
ре. Поэтому можно ожидать, что экстинкция инфракрасного излуче-
ния в атмосферном аэрозоле почти не .зависит от размера (но, как мы
увидим в цл. 12, не обязательно от формы) частиц, и,следовательно,
измерение затухания можно использовать для дистанционной регистра-
ции полного объема аэрозоля.
На рис. 11.14 видны некоторые достойные упоминания различия
между кривыми экстинкции алюминиевых шаров и водяных капель.
Например, объемный коэффициент затухания av для достаточно малых
алюминиевых шаров все еще остается постоянным, но в значительно
брлее узком интервале размеров. Большой максимум здесь не явля-
ется интерференционным: для этого алюминий слишком сильно по-
глощает. Скорее он объясняется преобладающей ролью в ряде (4.62)
магнитно-дипольного члена ^. С физической точки зрения это пог-
лощение связано с обусловленными вихревыми токами потерями, ко-
торые оказываются большими в условиях, когда размер частицы бли-
зок к толщине скин-слоя, но меньше нее. При А = 0,1 мкм толщина
скин-слоя меньше радиуса, так что внутренность частицы оказывает-
ся экранированной от поля; потери из-за вихревых токов сосредото-
чены около поверхности, в силу чего объем шара не участвует в про-
цессе поглощения.
11.6. РАСЧЕТЫ ЭКСТИНКЦИИ В НЕСФЕРИЧЕСКИХ ЧАСТИЦАХ
До сих пор мы имели дело только с шарами, преимуществом ко-
торых является то, что они позволяют легко рассчитать характеристи-
ки экстинкции и в то же время существенно проясняют общие свойства
экстинкции в малых частицах. Кроме того, существует множество
частиц, которые на самом деле имеют сферическую форму: это и во-
дяные кацли в облаках, и капли серной кислоты (присутствующие в
верхних облаках Венеры), и серные коллоиды, и широко используемые
полистироловые шарики. Для таких частиц теория Ми подходит исклю-
чительно удачно.
Форма некоторых частиц, например спор, по-видимому, достаточ-
но точно аппроксимируется сфероидом; имеется и много примеров вы-
Глава 11
390
тянутых частиц, форма которых хорошо описывается бесконечным
цилиндром» Следующим нашим шагом, направленным на уяснение
экстинкции в несферических частицах, станет обсуждение теорети-
ческих результатов, полученных для частиц этих двух форм. В не-
сколько ограниченном объеме это уже сделано: в гл. 5 мы рассмотрели
малые по сравнению с длиной волны сфероиды, а в гл. 8 - освещен-
ные по нормали цилиндры. В данном разделе указанные ограничения
снимаются; в следующем разделе будут приведены результаты экспе-
риментальных измерений. Поскольку расчеты для этих двух форм бо-
лее сложны, чем для шаров, мы будем существенно опираться на ре-
зультаты других авторов.
11.6.1. Сфероиды
В работе [201 задача поглощения и рассеяния изотропным одно-
родным сфероидом произвольного размера решена способом, анало-
гичным использующемуся в случае шара (гл. 4), т.е. путем разложе-
ния поля в ряд по векторным сфероидальным гармоникам с последу-
ющим определением коэффициентов, которые входят в ряд для рас-
сеянного поля. В этой статье содержалось мало конкретных резуль-
татов. Впоследствии один из ее авторов опубликовал работу [18], в
которой приведены многочисленные результаты расчетов по рассея-
нию и поглощению сфероидами для обширного набора размеров,
форм и показателей преломления и при разных условиях освещения.
Для пополнения наших знаний об экстинкции в несферических части-
цах мы позаимствуем несколько примеров из этой работы. Сразу
же отметим, что задача о сфероиде сложнее задачи о шаре в трех
отношениях. Во-первых, сфероид может быть вытянутым и сплюсну-
тым; во-вторых, в случае сфероида необходимо конкретизировать
состояние поляризации; в-третьих, сфероид имеет две характерные
длины - большую и малую оси. Вследствие этого количество разных
вариантов,, которые нужно рассчитать для полного описания экстинк-
ции, в случае сфероида значительно больше, чем в случае шара. Из
этого множества вариантов мы - в иллюстративных целях - выбрали
лишь несколько.
На рис. 11.15 изображены результаты проведенного в [ 181 расче-
та экстинкции в непоглощающих сфероидах для случая, когда падаю-
щий пучок параллелен оси симметрии, которая совпадает с большой
полуосью у вытянутого сфербида и с малой у сплюснутого» Из-за ак-
Экстинкция
391
2л-а/.Л
2тга/Л
РИС, 11.15. Полученная путем расчета экстинкция в сфероидах; направле-
ние падения параллельно оси симметрии. Заимствовано из [ 181.
сиальной симметрии экстинкция в этом примере не зависит от поляри-
зации. Полученные путем расчета графики фактора эффективности
рассеяния Q.soa , определяемого как отношение сечения рассеяния к
проекции площади частицы на перпендикулярную направлению падающе-
Глава 11
392
го пучка плоскость, приведены для сфероидов с разной степенью вы-
тянутости, которая характеризуется отношением большой и малой полу-
осей (а,/Ь); параметр дифракции х = 2-па,/Л определяется большой по-
луосью а »
С первого взгляда на рис» 11 «15 обнаруживается сходство харак-
теристик экстинкции сфероида и шара: при малых значениях парамет-
ра дифракции кривые Qsca с увеличением х возрастают сначала по-
добно тому, как это имеет место в рэлеевской области, а затем при-
мерного линейному закону; видна как крупномасштабная интерферен-
ционная структура, так и более тонкая структура ряби, особенно за-
метная для сплюснутых сфероидов» Интерференционная структура до-
пускает такое же качественное объяснение, как и в случае шаров
(разд. 4.4); она связана с чередованием ослабляющей и усиливающей
интерференции падающего пучка с лучом, прошедшим через центр
частицы и потому имеющим фазовый сдвиг 4'тта (т - 1)/Л» Для вытяну-
тых сфероидов с и= 1,5 этот сдвиг в точности совпадает с х, и мож-
но бцло бы ожидать, что положения максимумов здесь не должны за-
висеть от степени вытянутости» Тем не менее это не так, хотя рас-
стояние Дх между ними приближенно равно 2m Отметим, в частнос-
ти, что положение первого максимума экстинкции (первой области ос-
лабляющей интерференции) при увеличении степени вытянутости
ajb смещается в сторону больших значений х. Автор работы [ 18]
приписал это явление краевым эффектам, роль которых возрастает с
уменьшением кривизны в точке, где падающий луч касателен к части-
це, т.е. с увеличением а/Ь (при фиксированном значении а). В пределе
а /Ь -»«> вытянутый сфероид, освещенный с острого конца, переходит в беско-
нечный цилиндр с распространяющейся вдоль его оси волной (т.е., по сути де-
ла, в цилиндрический волновод); действительно, имеется некоторое сходство
изображенной на рис. 11.15 кривой экстинкции при максимальном значении а/Ь
с соответствующей кривой для бесконечного цилиндра, освещенного под поч-
ти скользящим углом (рис. 11.17). Еще одним свидетельством в под-
держку такой интерпретации являются приведенные на рис. 11.15 кри-
вые для сплюснутых сфероидов; кривизна таких сфероидов в точке
касания увеличивается с увеличением а,/ъ (при фиксированном зна-
чении а)» Если бы мы изобразили графики QSCa для сплюснутых сфе-
роидов в зависимости от фазового сдвига 4ттЬ (т - 1)А, то положе-
ния первых максимумов совпадали бы лучше, чем в случае вытяну-
тых сфероидов.
Экстинкция
393
Результаты расчетов экстинкции в вытянутых и сплюснутых сфе-
роидах, по-видимому, наиболее сильно различаются в отношении ря-
би, которая у последних выражена значительно лучше и сохраняет-
ся даже при самых больших отношениях ajb, приведенных на рисун-
ке, хотя и несколько уменьшается по величине.
Проведенные в работе [18] расчеты факторов эффективности
поглощения и рассеяния в случае поглощающего вытянутого сферои-
да (результаты которых здесь не воспроизводятся) качественно по-
хожи на соответствующие результаты для шаров. Например, погло-
щение уменьшает амплитуду как крупномасштабных, так и мелкомасш-
табных осцилляций. При увеличении х факторы Qabs и Qsca прибли-
жаются соответственно к асимптотическим пределам 1 - Qrefl и
1 + Qrcn; фактор Qren — усредненная по освещенной поверхности час-
тицы отражательная способность (см. разд. 7.1) - при использован-
ном значении показателя преломления (1,5 + i 0,1) оказался малым,
так что в этом примере асимптотические значения факторов эффек-
тивности приблизительно равны единице. Поэтому фактор эффектив-
ности Экстинкции осциллирует около значения 2, причем с увеличением
х амплитуда осцилляций уменьшается.
На рис. 11.16 изображены результаты расчетов экстинкции для
наклонно падающего света, которые опять-таки заимствованы из ра-
боты [18]. Ось симметрии параллельна оси z, а направление распро-
странения падающего пучка, составляющее угол £ с осью симметрии,
лежит в плоскости (xz), которая является плоскостью падения. Падаю-
щий свет поляризован так, что .либо его электрический, либо магнит-
ный вектор перпендикулярен плоскости падения. Эти состояния поляри-
зации обозначены ТЕ (transverse electric - поперечная электрическая)
и ТМ (transverse magnetic - поперечная магнитная).
На рисунке значения фактора эффективности экстинкции, рассчи-
танные с шагом параметра дифракции Дх = 1, соединены прямыми
линиями; грубость сетки свидетельствует о трудности выполнения
расчета для наклонно падающего света. В общих чертах рассеяние
ТЕ- и ТМ-волн происходит одинаково, хотя и имеются небольшие от-
личия, которые приводят к поляризации (при рассеянии вперед) депо-
ляризованного наклонно падающего света. Экстинкция света, падающе-
го вдоль оси симметрии сплюснутого сфероида, характеризуется ши-
роким максимумом с наложенной на него рябью, а при увеличении уг-
ла наклона (т.е. при изменении (, от 0 до 90°) он становится белее ост-
рым и смещается к меньшим значениям х. Для вытянутых сфероидов
Глава 11
394
d
20
15
10
5
0 5 10 15 20 25
РИС. 11.16. Результаты расчета экстинкции в сфероидах при наклонном па-
дении саета. Заимствовано из [18].
заметен аналогичный, но противоположный по направленности эффект:
при увеличении угла наклона величина первого максимума уменьшает-
ся, а его положение смещается к большим значениям х. Однако при
интерпретации этих результатов нужно помнить, что диаметр вытяну-
того сфероида вдоль направления падения уменьшается при увеличе-
Экстинкция
395
нии угла наклона, тогда как для сплюснутого сфероида верно обрат-
ное» Экстинкция довольно сильно вытянутого сфероида весьма похо-
жа на экстинкцию бесконечного цилиндра, к обсуждению которой мы
сейчас приступим»
11.6.2. Бесконечный цилиндр
Бесконечный прямой круговой делиндр представляет собой другой
пример формы, для которой задача рассеяния может быть решена
строго (разд» 8.4), хотя в отношении нее можно было бы подумать,
что она совершенно не связана с реальностью. Однако измерения
экстинкции в диапазоне СВЧ (они обсуждаются в разд» 1.7) указыва-
ют на то, что при помощи бесконечных цилиндров удается аппрокси-
мировать ограниченные цилиндры уже со столь небольшим отношени-
ем длины к диаметру, как 5. Поэтому многие задачи, связанные с
частицами типа текстильных и асбестовых волокон и даже с частица-
ми дыма, образующими цепные структуры, могут адекватно рас-
сматриваться в рамках теории бесконечного цилиндра.
Мы уже приводили примеры экстинкции в бесконечных цилинд-
рах, относящиеся к случаю их освещения по нормали к оси (разд. 8.4),
а в приложении В дана программа таких расчетов на ЭВМ. Расчеты
точно такого же типа требуются и для определения экстинкции нак-
лонно падающего света; мы здесь опускаем подробности, но их можно
найти в статье [289],из которой заимствован рис. 11.17. Коэффици-
ент преломления т = 1,6 соответствует акриловой пластмассе
люсит на частотах диапазона СВЧ. По мере изменения угла падения от 90°
(нормальное падение) до 1° (почти скользящее падение) факторы эффектив-
ности экстинкции ТЕ- и IM-волн сближаются в соответствии с требованиями
симметрии. Зависимость экстинкции от размера в случае нормальною паде-
ния света описывается широкой кривой с наложенной на нее рябью, а по мере
уменьшения £ кривая сужается, пока при почти скользящем падении
не превратится в последовательность острых пиков, над которыми воз-
вышается максимум при минимальном значении х; такой же характер
поведения был виден и на кривых экстинкции для сильно вытянутого
сфероида (рис. 11.16). При скользящем падении факторы эффективнос-
ти обращаются в нуль, но в этом случае цилиндр правильнее рассмат-
ривать как волновод.
Из внимательного рассмотрения рис. 11.17 кажется довольно оче-
видным, что кривая экстинкции для скопления случайно ориентирован-
ных Цилиндров должна походить на кривую для полидисперсной взве-
си шаров.
396
Глава 11
Параметр Эифракцаи
РИС. 11.17. Полученная расчетным путем экстинкция в бесконечных цилинд-
рах при наклонном падении света; £ = 90° соответствует нормальному па-
дению. ТЕ и ТМ обозначают свет, у которого соответственно электричес-
кий или магнитный вектор перпендикулярен плоскости xz. Заимствовано из
[289].
11.7. ИЗМЕРЕНИЯ ЭКСТИНКЦИИ
Экстинкция определяется путем измерения отношения интенсив-
ностей прошедшего и падающего излучений (см. (11.1)). Среди обору-
дования многих лабораторий имеются снабженные самописцами спект-
Экстинкции
397
рофотометры, которые позволяют провести измерения этой величины
для жидких или твердых образцов в течение очень короткого времени-
В принципе для измерения экстинкции в образцах, состоящих из от-
дельных частиц, можно использовать прибор точно такого же типа.
Однако в этом случае результаты могут оказаться недостоверными,
если не использовать приемник со специальными приспособлениями
для устранения рассеянного вперёд света, который может давать глав-
ный вклад в экстинкцию больших по сравнению с длиной волны частиц.
Основные элементы "правильной" экспериментальной установки
для измерения экстинкции изображены на рис. 11.18. Свет от точеч-
ного источника коллимируется, например, .линзой, проходит через со-
стоящий из частиц образец, фокусируется и через очень узкую даафраг-
му поступает в приемник. В идеальном случае свет, рассеянный в на-
правлениях, хотя бы немного отличающихся от направления вперед,
вообще не принимается. Но разумеется, диафрагма не может быть
бесконечно узкой; поэтому на практике угол зрения приемника опре-
деляется размером диафрагмы и фокусным расстоянием второй лин-
зы» На рис. 11.18 изображена только принципиальная схема; в реаль-
ных установках эффективный размер источника может уменьшаться
путем введения дополнительных диафрагм; кроме того, может ис-
пользоваться монохроматор.
Хотя в стандартных спектрофотометрах устранение рассеянно-
го под малыми углами света обычно не предусматривается, тем
не менее такие приборы могут оказаться вполне приемлемыми для
измерения экстинкции в тех случаях, когда частицы не слишком
велики. Но при таких измерениях желательно точно знать, где мо-
гут скрываться подводные камни. Так, с использованием стандартно-
го спектрофотометра получены некоторые из приводимых в гл. 12
кривых экстинкции для очень мелких частиц дыма (менее 0,1 мкм).
линза линза
РИС. 11.18. Принципиальная схема эксперимента по измерению экстинкции.
Глава 11
398
На таких частицах рассеяние инфракрасного излучения мало и почти
одинаково во всех направлениях, даже если их показатели преломле-
ния довольно велики» В этом случае упрощенная методика измерения
оказывается достаточно точной.
11.7.1. Полистироловые шары
Измеренные спектры экстинкции для взвесей полистироловых ша-
ров в воде - этих старых друзей исследователей, занимающихся рассе-
янием света, - изображены на рис. 11.19. Вода прозрачна лишь при
длинах волн примерно между 0,2 и 1,3 мкм, что ограничивает измере-
ния только этим диапазоном. Приведенные кривые получены с исполь-
зованием спектрофотометра Carry 14R - общедоступного двухлучево-
го прибора, который автоматически подстраивается к изменению интен-
сивности света при сканировании по длинам волн и строит непрерывные
РИС. 11.19. Полученная экспериментально экстинкция взвесей в воде полисти-
роловых шаров с тремя различными значениями средних диаметров.
Экстинкция
399
графики оптической плотности, характеризуемые высоким разрешени-
ем. Для четкого воспроизведения тонкой структуры кривые изображены
именно в том виде, в каком они строятся самим прибором. Отметим,
что в отличие от предыдущих графиков экстинкции абсциссой на
рис. 11.19 служит длина волны. Хотя при измерениях не использова-
лась '’правильная" экспериментальная установка, показанная на
рис. 11.18, частицы были не цлишком большими и находились в воде,
так что результат измерения не сильно отличается от экстинкции, ко-
торая получилась бы при исключении приема рассеянного около нап-
равления вперед света.
В экспериментальных кривых можно обнаружить почти все особен-
ности экстинкции, найденные ранее расчетным путем: и покраснение
света при малых отношениях а,А, и интерференционные максимумы
(первый из которых с увеличением размера частиц смещается в сторо-
ну больших длин волн), и рябь, и влияние края полосы поглощения в
ультрафиолетовой области. Покраснение, являющееся результатом
более сильного поглощения излучения с более короткими длинами
волн, хорошо выражено в спектре для шаров диаметром 0,312 мкм.
Но для шаров диаметром 1,05 мкм заметна тенденция к посинению, ко-
торая почти не встречается в естественных аэрозолях. Видна даже
мелкомасштабная рябь, налагающаяся на коротковолновый участок
интерференционного максимума в случае шаров диаметром 1,05 мкм.
Такая рябь обычно не наблюдается в спектрах экстинкции полидис-
персных взвесей, и ее появление в данном случае связано с малос-
тью разброса размеров частиц (~1 %) и с высокой разрешающей
способностью спектрофотометра. Основную роль в экстинкции са-
мых мелких шариков играет поглощение, которое резко возрастает
около А=0,23 мкм, где расположен край полосы сильного поглоще-
ния полистирола; едва заметные особенности, располагающиеся
вблизи 0,22 и 0,27 мкм, наблюдаются и в объемных образцах поли-
стирола [ 243]. В связи со столь выраженным влиянием края поло-
сы поглощения становится ясно, что сосредоточенная около 0,26 мкм
полоса экстинкции в шарах диаметром 0,312 мкм возникает в ре-
зультате резкого подавления первого интерференционного макси-
мума за счет сильного поглощения; этот факт является прекрас-
ным экспериментальным примером эффекта, который обсуждался в
разд. 11.2 в связи с расчетами для MgO и в разд. 11.5.
Спектры экстинкции можно использовать для определения разме-
ров частиц путем согласования особенностей, измеренных экспери-
Глава 11
400
ментально, с полученными из расчета по теории Ми, но только при
условии, что распределение по размерам узкое, а частицы почти сфе-
рические.
11.7.2. Кварцевые частицы нерегулярной формы
Исчезновение сильных особенностей экстинкции с увеличением
разброса размеров для шарообразных частиц показано на рис. 11.6;
аналогичные явления имеют место и в случае частиц нерегулярной
формы. В качестве примера на рис. 11.20 приведены результаты из-
мерений на взвесях в воде разных фракций кварцевых частиц нерегу-
лярной формы [ 229]. Измерения проводились на трех длинах волн, а
результаты изображены в зависимости от параметра дифракции х (по-
казатель преломления почти не меняется). Данные нормировались,ис-
ходя из тех соображений, что при самых больших значениях параметра
РИС. 11.20. Полученная экспериментально экстинкция взвесей в воде час-
тиц кварца нерегулярной формы для пяти средних размеров частиц и трех
ДЛИН волн: 0,365; 0,436 и 0,546 мкм.
Экстинкция
401
дифракции фактор эффективности экстинкции выходит на постоянное
значение, равное асимптотическому пределу 2. В этих результатах не
видно ни одной из особенностей, полученных расчетным путем для ша-
ров; экстинкция просто возрастает при малых значениях параметра
дифракции (покраснение), стремясь к постоянной величине при боль-
ших. Хотя значения х, в окрестности которых экстинкция насыщает-
ся, содержат некую информацию о размерах частиц, тем не менее
вряд ли можно ожидать, чтобы по измерениям экстинкции удалось ре-
шить задачу о точном определении размеров в таких распределениях
частиц нерегулярной формы.
11.7.3. Другие измерения экстинкции
Описанные в двух предшествующих разделах измерения представ-
ляют собой предельные случаи: это почти монодисперсные взвеси
шаров, структура экстинкции которых характеризуется обилием осо-
бенностей,и скопления частиц нерегулярной формы с сильно различа-
ющимися размерами, экстинкция которых не обладает заметными
особенностями. Имеются публикации об измерении экстинкции и в
промежуточных между этими двумя случаях. Так, например, авторы
работы [ 1281 разделяли тонкие пррошки разных веществ на фракции
различающихся размеров и наносили их на подложку из стекла. В от-
личие от результатов, приведенных на рис. 11.20, первый максимум
экстинкции был четко виден при использовании любого из приготов-
ленных ими образцов. Эти авторы смогли даже сделать вывод о пока-
зателях преломления веществ, из которых состояли порошки, основы-
ваясь на измерении смещения первого интерференционного максиму-
ма при помещении частиц в разные жидкости. В работах [ 376, 377]
определялась экстинкция в разделенных по размеру фракциях порош-
ков кварца и алмаза. Для этих частиц нерегулярной формы бул виден
первый интерференционный максимум, за которым экстинкция моно-
тонно спадала, стремясь к асимптотическому пределу.
11.7.4. Прямые измерения поглощения
Измерить экстинкцию - по крайней мере в принципе - нетрудно.
Но если ее надо разделить на компоненты, то требуется проведение
независимого измерения либо рассеяния, либо поглощения, что мо-
жет оказаться сложной задачей. Для определения полного рассея-
ния нужно либо проинтегрировать по всем направлениям измеренное
26-2U5
402
Глава 11
дифференциальное сечение рассеяния, либо использовать некие спе-
циальные оптические системы, например, интегрирующую сферу, для
сбора всего рассеянного света» Ошибки измерения Qsca переносятся
в Qabs, который вычисляется по формуле Qext -Qsca, и если
Qsca <^Qext, то относительная ошибка Qabs может оказаться доволь-
но большой. Между тем поглощение можно измерять непосредствен-
но, а не как экстинкцию за вычетом рассеяния, если использовать
метод, который называют то фотоакустическим, то оптоакустичес-
ким, а то и спектрофонным. При освещении прерывистым светом
(с частотой прерывания, лежащей в звуковом диапазоне) происходит
периодическое нагревание частиц; это приводит к колебаниям давле-
ния (звуку), которые регистрируются при помощи чувствительного мик-
рофона. В нагревание частиц дает вклад только поглощение, так что
его удается измерить непосредственно даже при наличии довольно
сильного рассеяния. Принципиальная схема установки для одновремен-
ного измерения поглощения (фотоакустическим методом) и экстинкции
показана на рис» 11.21. Частицы, которые в данном случае просто
взвешены в воздухе, заключены в замкнутой сосуд. Сигнал от микро-
фона усиливается синхронизированным усилителем, согласованным по
частоте и фазе с прерывателем света» Путем поворота в плоскости
рассеяния штанги, на которой закреплен приемник, можно измерять и
угловую зависимость рассеяния. Если в качестве источника света
использовать фокусированный лазерный пучок, то, по-видимому, ока-
жется возможным измерение поглощения отдельными частицами, а
РИС. 11.21. Принципиальная схема эксперимента по измерению поглощения
(фотоакустическим методом) и экстинкции.
Экстинкция
403
измерение рассеяния вместе с такими измерениями поглощения дадут
экстинкцию. Преимуществом фотоакустического метода является то,
что чувствительность приемника — микрофона - никак не зависит от
длины волны света.
Фотоакустический метод использовался для измерения поглощения
в таких частицах, как, например, частицы ацетиленового дыма [ 400]
и частицы выхлопных газов дизельного двигателя [ 148].
11.7.5. Измерения экстинкции в диапазоне СВЧ
Вне всякого сомнения, имеется множество исследований (многие
из них, по всей видимости, засекречены) по поглощению и рассеянию
излучения СВЧ на объектах всех типов, и в частности на таких боль-
ших объектах, как самолеты и ракеты. Интересуясь в основном из-
лучением от инфракрасного до ультрафиолетового диапазона, мы не
особенно старались разыскать все статьи, относящиеся к рассеянию
СВЧ-излучения. Между тем имеется ряд экспериментов в диапазоне
СВЧ, которые были предприняты в первую очередь для того, чтобы,
воспользовавшись преимуществами этого диапазона, лучше разобрать-
ся в рассеянии значительно более коротковолнового света на части-
цах, размеры которых сравнимы со световой длиной волны.
Рассеяние и поглощение света частицей заданной формы зави-
сят только от отношения характерного размера (в случае шара —
его радиуса) к длине волны и от показателя преломления на этой дли-
не волны. В этом состоит принцип подобия, из которого вытекает
возможность.изучать рассеяние видимого света малыми частицами
РИС. 11.22. Принципиальная схема аналоговой методики СВЧ для измерения
экстинкции отдельной ориентированной частицы.
Глава 11
404
(~1 мкм), используя излучение СВЧ и значительно более крупные
частицы (~ 10 см) той же формы и с тем же показателем прелом-
ления, что у исходных частиц» Такая аналоговая методика СВЧ об-
суждается в разд» 13.3.
Основные элементы установки для измерения экстинкции в диа-
пазоне СВЧ показаны на рис. 11.22. Частица подвешивается на нитях
так, чтобы можно было менять ее ориентацию, а также вносить ее в
пучок и выносить из него. В этом случае экстинкцию удобнее всего
определять по измерению величины и фазы амплитуды рассеяния
вперед, используя для нахождения сечения рассеяния оптическую
теорему (3.24). Эксперимент состоит в выставлении нуля приемника
(как по амцлитуде, так и по фазе) в отсутствие рассеивателя и в по-
следующем измерении изменений амплитуды и фазы рассеянной впе-
ред волны, возникающих при внесении частицы в пучок; кадибровка
осуществляется по шарам известного размера с известным показате-
лем преломления.
Очевидное преимущество эксперимента в диапазоне СВЧ состоит
в том, что с его помощью легко изучать ориентированные отдельные
РИС. 11.23. Экспериментально измеренная экстинкция излучения СЗЧ в
вытянутых сфвроидвх. Заимствовано из [ 2’02].
Экстинкция
405
частицы произвольной формы и с произвольным (с точностью до неко-
торых ограничений) показателем преломления. Не составляет особых
проблем и создание многослойных и других неоднородных частиц.
На рис. 11.23 приведены результаты измерения экстинкции в диа-
пазоне СВЧ (Л - 3 см) для случаев, когда пучок параллелен (£ = 0°) или пер-
пендикулярен (£ = 90°) оси симметрии вытянутых сфероидов, у которых изме-
нялась длина большой полуоси а, но оставалась постоянной степень вытянутос-
ти а / Ь = 2. Эти кривые заимствованы из работы [ 202], но для единооб-
разия в них внесены некоторые изменения обозначений. Основные ха-
рактеристики измеренной экстинкции сходны с полученными для сферо-
идов расчетным путем (рис. 11.15 и П .16). Если луч падает перпенди-
кулярно оси симметрии, то максимумы экстинкции оказываются широ-
кими, а рябь для ТМ-поляризации выражена несколько сильнее, чем
для ТЕ-поляризации. Если же пучок падает параллельно оси симмет-
рии, то максимум экстинкции сужается и смещается к меньшим зна-
чениям параметра дифракции» Такой же характер поведения виден на
кривых экстинкции для бесконечных цилиндров (рис. 11.17).
РИС. 11.24. Экспериментально измеренная экстинкция излучения СВЧ в ци-
линдрах. Заимствовано из [202].
Глава 11
406
Авторы работы [202] измерили также экстинкцию, обусловленную
цилиндром из этого же самого вещества и с той же вытянутостью,
что и сфероид, ход которой изображен на рис. 11.24. Не удивитель-
но, что экстинкция цилиндра качественно сходна с экстинкцией сферо-
ида. Результаты расчетов, выполненных для бесконечного цилиндра,
довольно хорошо согласуются с результатами измерений даже в слу-
чае столь короткого цилиндра. Дополнительные эксперименты авто-
ре» [202] наводят на мысль, что такие расчеты, по-видимому, луч-
ше согласуются с экспериментами при отношении длины к диаметру
больше примерно S. Хотя с увеличением вытянутости оба фактора
эффективности экстинкции (ТЕ и ТМ) в отдельности приближаются к
пределу бесконечного цилиндра неравномерно (они осциллируют око-
ло предельных значений], их разность приближается к такому преде-
лу значительно быстрее. Таким образом, имеется некоторое экспери-
ментальное свидетельство в поддержку приведенного в конце
разд. 8.4 утверждения, сделанного на основании физической теории
дифракции, о том, когда цилиндр конечного размера можно эффектив-
но считать бесконечным. Разумеется, между конечным и бесконеч-
ным цилиндрами одного и того же диаметра и состава всегда будут
иметься отличия. Область Применимости, в пределах которой конеч-
ные цилиндры можно аппроксимировать бесконечными, зависит от
рассматриваемой физической величины (экстинкции, индикатрисы
рассеяния) и от желаемой точности.
11.8. ЭКСТИНКЦИЯ. КРАТКИЕ ВЫВОДЫ
Теория Ми прекрасно решает задачу предсказания экстинк-
ции в сферических частицах с известными оптическими постоянными:
даже тончайшие из предсказываемых ею деталей - рябь - обнаруже-
ны экспериментально при измерении экстинкции отдельных шаров.
Некоторые причины разного происхождения - разброс частиц по раз-
мерам или формам и поглощение - приводят к одному и тому же эф-
фекту: к подавлению ряби или даже к уширению интерференционной
структуры.
Для достаточно малых частиц поглощение играет более важную
роль, чем рассеяние. Приведенная к единице объема экстинкция таг
ких частиц не зависит от их размера, но может зависеть от их формы;
некоторые эффекты формы мы обсудим в следующей главе.
Если размер частицы примерно совпадает с длиной волны или боль-
ше нее, то главную роль в экстинкции зачастую играет рассеяние.
Экстинкция
407
Но поглощение, которое обычно проявляется в виде полос поглощения
или их краев, может сильно влиять на экстинкцию, причем совершенно
неожиданным образом: с увеличением поглощения экстинкция может
как увеличиться, так и уменьшиться, а симметричная полоса погло-
щения объемного вещества может перейти в сильно асимметричную
цли даже перевернутую полосу экстинкции в олучае малых частиц.
С принципиальной точки зрения измерения экстинкции просты, но
их практическая реализация может оказаться затруднительной, осо-
бенно для больших частиц, когда падающий свет трудно отделить от
рассеянного около направления вперед. При прохождении непрляризо-
ванного света через шары и ансамбли случайно ориентированных час-
тиц свет Не поляризуется. Однако отдельные вытянутые частицы и
ориентированные ансамбли таких частиц могут поляризовать неполя-
ризованный падающий свет за счет различия экстинкции для разных,
поляризаций.
ЗАМЕЧАНИЯ И КОММЕНТАРИИ
В работе [351] Получены асимптотические выражения для
факторов эффективности экстинкции и поглощения шаров, усреднен-
ных по интервалу параметра дифракции Дх ~ тг (т.е. без ряби).
Более подробное обсуждение экстинкции в ориентированных час-
тицах дано в работе [488, гл. 15 и 16].
Глава 12
Поверхностные моды
в малых частицах
Имеется целый класс типов электромагнитных волн в малых
частицах, называемых поверхностными модами, которые приводят
к интересным (и на первый взгляд неожиданным) спектрам поглоще-
ния: в них могут появляться особенности, которых нет в спектрах объ-
емных материалов, и может возникать несколько полос вместо един-
ственной полосы поглощения объемного вещества. Число, положение и
ширина таких особенностей определяются формой частиц и частотной
зависимостью диэлектрической проницаемостигв чем и проявляется
существование поверхностных мод. Несмотря на доминирующее влияние
поверхностных мод на поглощение и рассеяние, и простоту, с которой их свой-
ства вытекают из элементарной теории, они почти не привлекали внимания по-
следователей, в особенности занимающихся прикладными вопросами.
Доминирующая роль поверхностных мод видна из кривых экстинк-
ции для частиц из окиси магния (рис. 11.2) и для алюминиевых частиц
(рис. 11.4). Сильная экстинкция в частицах из MgO вблизи 0,07 эВ
( ~ 17 мкм) обусловлена поверхностной модой, связанной с колебания-
ми решетки. Еще более впечатляющей является кривая экстинкции для
алюминия, которая имеет большой всплеск в ультрафиолетовой облас-
ти вблизи 8 эВ: у объемного твердого вещества ничего подобного нет.
В данной главе частицы из окиси магния и алюминия будут рассмотре-
ны детально как теоретически, так и с точки зрения эксперимента.
В разд. 12.1 обсуждается теория поверхностных мод в сферичес-
ких частицах, а в разд. 12.2 - в несферических; далее в разд. 12.3 и
12.4 дается сравнение теории с экспериментом - сначала для изолято-
ров и затем для металлов и металлоподобных материалов.
В отношении взаимодействия света с частицами, размеры которых
достаточно малы для того, чтобы их можно было описывать в рамках
приближения Рэлея, постоянно возникают разные заблуждения. Одно
из них состоит в том, что такие частицы якобы очень "неэффективно"
поглощают и рассеивают свет. Однако при любом определении эффек-
Поверхностные моды в малых частицах
409
тивности, включая привычные для нас факторы эффективности Q (не-
сколько необычной чертой таких факторов является то, что они могут
быть и больше единицы), рассматриваемые в данной главе частицы
оказываются очень эффективными» Зачастую Qabs во много раз
превосходит единицу, так что малые частицы в пересчете на единицу
массы входят в число наиболее эффективных поглощающих материа-
лов. Другим обычным заблуждением является утверждение, что ес-
ли частица мала по сравнению с длиной волны, то электромагнитная
волна не чувствует деталей ее структуры и, следовательно, форма
частицы почти не влияет на спектр поглощения, т.е. что свойства ма-
лых частиц повторяют свойства вещества, из которого они состоят.
В действительности одной из наиболее интересных особенностей ма-
лых частиц является то, что они могут проявлять такие свойства пог-
лощения, которые почти полностью определяются их формой и мало
походят на свойства материала частицы» К сожалению, при первой
встрече с сильной зависимостью поглощения в малых частицах от их
формы обычно сразу приходят к выводу, что становится непримени-
мым само понятие объемной диэлектрической проницаемости, и свя-
зывают это с важностью квантовых эффектов» Подчеркнем, однако,
что в большинстве случаев такую зависимость можно вполне удов-
летворительно объяснить, не выходя за рамки классической электро-
магнитной теории ( и даже классической электростатики!) и оптичес-
ких постоянных объемного вещества»
12.1. ПОВЕРХНОСТНЫЕ МОДЫ В МАЛЫХ ШАРАХ
Условиями обращения в нуль знаменателей коэффициентов ряда рас-
сеяния ап и Ьп для однородного шара являются соотношения (4.54) и
(4.55). Рассмотрим эти условия в пределе исчезающе малого х.Ис-
пользуя разложения в ряды (5.1) и (5.2) сферических функций Бессе-
ля порядка п, после некоторых алгебраических преобразований мож-
но показать, что знаменатель ап обращается в нуль в пределе
х -» 0 (для конечных | т |) при условии, что
, п + 1 , „ ..
т2------—, п = 1,2,... (12.1)
где мы считаем шар немагнитным. В пределе х -» 0. уравнение (4.55),
которое выражает условие обращения в нуль знаменателя Ьп, не име-
ет решений ни для каких п» На тех частотах, на которых выполняется
Глава 12
410
(12.1), соответствующий коэффициент ряда рассеяния ап обращается
в бесконечность. Такие частоты оказываются комплексными, вслед-
ствие чего связанные с ними нормальные моды называют виртуальны-
ми. Тем не менее на вещественных частотах, близких к этим комп-
лексным частотам, коэффициенты ряда рассеяния будут большими.
Если на некоторой частоте соотношение (12.1) приближенно выполня-
ется, то на ней будет наблюдаться максимум или резонанс в сечени-
ях. Связанные с этими частотами нормальные моды (т.е. векторные
сферические гармоники) мы будем называть поверхностными мода-
ми; они характеризуются отсутствием узлов поля вдоль радиальной
координаты внутри шара. Изменение радиальной компоненты электри-
ческого поля вдоль радиуса внутри шара для некоторой фиксирован-
ной нормальной моды, согласно (4.40), (4.50) и (5.1), пропорционально
величине
Eira №,)ra ra~l (x,|m|x«l). (12.2)
Чем больше порядок нормальной моды, тем сильнее поле локализова-
но вблизи поверхности шара и, следовательно, тем лучше она соответ-
ствует своему названию. Мода низшего порядка (n = 1) однородна
внутри шара, и поэтому ее иногда называют модой однородной поляри-
зации.
Для достаточно малых шаров доминирующим является коэффици-
ент ах; для п = 1 (условие 12.1) принимает вид
т2 = —2. (12.3)
Если, например, рассмотреть шар в свободном пространстве, то
(12.3) после разделения вещественной и мнимой частей перейдет в
п2 — к2 = -2; 2пк = О, (12.4)
где п + i k есть комплексный коэффициент преломления частицы. Ре-
шением (12.4) будет
и = 0; к = У2 . (12.5)
Сталкиваясь с условием (12.5), его периодически отвергают как
"нефизическое": не может же п равняться 0 ! Но читатель, добросо-
вестно изучивший гл. 9 и Ю, не должен уже бояться значений коэф-
Поверхностные моды в малых частицах
411
фициентов преломления, меньших единицы или даже нуля. Хорошо по-
нимая, что условие (12.8) зачастую оказывается "мало съедобным",
при изложении гл. 9 мы постарались "расчистить путь" для этого
условия. Предубеждения относительно допустимых значений диэлект-
рической проницаемости укоренились не настолько глубоко, как от-
носительно коэффициента преломления; поэтому (12.3) можно привес-
ти в "более съедобный" вид, перейдя к комплексной диэлектрической
проницаемости частицы е = е' + » е":
е = — 2е_,
т ’
(12.6)
гДе £т ~ Диэлектрическая проницаемость окружающей среды (кото-
рая предполагается непоглощающей). Решением (12.6) будет
е'=-2ет; €" = 0. (12.7)
Мы назовем частоту, на которой е' = - 2 ети е" - 0, частотой Фрё-
лиха ; соответствующую нормальн ую моду - моду однородной
поляризации — иногда называют модой Фрелиха. В своей превосход-
ной книге о диэлектриках Фрёлих [ 160] получил выражение для час-
тоты колебаний поляризации, обусловленных колебаниями решетки
в малых диэлектрических кристаллах. Его выражение, основанное
на одноосцвдляторной модели Лоренца, аналогично (12.20). Частота,
полученная Фрёлихом, отвечает условию е' = - 2 ет . Явно он не
упомянул это условие, но тем не менее частотой Фрёлиха стали на-
зывать частоту, на которой оно выполняется. Точно так же связан-
ная с ней колебательная мода, которая, по существу, есть не что иное,
как поверхностная мода низшего порядка, стала известна под назва-
нием "мода Фрёлиха". Можно спорить, стоит ли приписывать этим
величинам имя Фрёлиха, однако мы этого делать не будем. Нам доста-
точно иметь удобные названия , не заботясь о полном их обосновании.
Иногда условие (12.6) приписывают Ми, вероятно, из-за того, что
его можно получить из теории Ми. Но ведь его можно получить и из
простой электростатики. Действительно, в разд. 5.2 было показано,
что фактор эффективности поглощения в электростатическом прибли-
жении есть
Cabs = 4х 1т/ 7 ** ) , (12.8)
Глава 12
4X2
откуда (12.6) следует вполне тривиально. (Для удобства мы опустили
индекс 1 у е; мы восстановим его при обсуждении частиц в оболочке.)
Предсказание резонанса в сечениях на частоте, где е = - 2 ет, под-
тверждает наше заявление в начале гл. 9 о том, что часто некоторые
величины целесообразнее выражать через диэлектрическую проница-
емость, а не через коэффициент преломления. Если мы запишем
(12.8), используя относительный коэффициент преломления т '.
gabs = 4xlm/^ ~ Ч,
\т+ 2)
то резонанс почти наверняка останется незамеченным в связи с тем,
что очень непривычно считать квадрат коэффициента преломления
чем-либо, кроме существенно положительного числа. Таким образом,
мы поощряем использование двойной терминологии в оптике малых
частиц.
Истоки ошибочного утверждения, что спектр поглощения частиц
в рэлеевском пределе якобы почти не отличается от спектра объемно-
го вещества частиц, выявить нетрудно. Снова предположим для удоб-
ства, что частицы находятся в свободном пространстве. В гл. 3 мы оп-
ределили объемный коэффициент затухания av как сечение экстинкции
на единицу объема частицы; если в экстинкции преобладает поглоще-
ние, то av для шара есть 3Qabs,/(4a), где а - радиус шара. Ерли
предположить далее, что п » k, что верно для большинства твердых
диэлектриков в диапазоне видимого света, то
9и
“° = 72 4.^“ Л)’ (12’9)
(я + 2)
где а = 4-тгЛ/Х есть объемный коэффициент поглощения. Множитель
перед а в (12.9) остается почти постоянным в спектральной области,
где мало меняется п, и во многих случаях почти не отличается от
единицы. Но это верно не всегда; в частности, п может сильно ме-
няться в области отрицательных е', где нарушается и необходи-
мое для справедливости (12.9) предположение о малости k по срав-
нению с п. Таким образом, выражение (12.9) не всегда надежно
описывает спектральные эффекты в малых шарах (а в действитель-
ности и частиц любой другой формы); в следующих абзацах будут да-
ны многочисленные иллюстрации этого.
Поверхностные моды в малых частицах
413
Вернемся теперь к общему выражению (12.8) для поглощения
малыми шарами и запишем его через е' и е":
= 12х-------—
(«' + 2«т)2 + £"2
(12.10)
Для фактора эффективности поглощения по частоте Фрёлиха отсюда
получаем
02.11)
€ (WF)
что на первый взгляд полностью противоречит интуиции: максимум
поглощения оказывается обратно пропорциональным ответственной
за поглощение части комплексной диэлектрической проницаемости.
Заметим, что, хотя х ограничено малыми значениями, скажем
х < 0,1, фактор Qabs на частоте Фрёлиха не является обязательно
малым. Так, например, если х равно 0,1 и е" (coF)/ет также равно
0,1 (нет никаких физических причин, по которым эта величина не
могла бы быть такой или даже меньше),, то Qabs = 12!
В предыдущих абзацах мы молчаливо предполагали, что макси-
мум поглощения в области отрицательного е' имеет место на часто-
те Фрелиха. Хотя строго говоря, это неверно, а частота Фрёлиха обычно
приближенно совпадает с частотой максимального поглощения, точное
положение максимума зависит от поведения диэлектрической прони-
цаемости и может быть найдено только с помощью сложных расчетов.
Это вполне аналогично оценке положения максимума поглощения в объемном
веществе: мы обычно предполагаем, что такой максимум имеет место при
максимальном е", тогда как это справедливо лишь приближенно.
12.1.1. Влияние конечного размера частицы
на частоту Фрелиха
Соотношение (12.6) строго справедливо лишь в пределе исчезаю-
ще малого х. Мы можем получить более хорошее приближение для
малых, но конечных частиц, удержав больше членов в разложениях
(5.1) и (5.2). Условие обращения в нуль знаменателя a j в соответст-
вии с (4.54) имеет вид
М-ДлнОЖ*) “ €1(л)^1(тл) = 0. (12.12)
Глава 12
414
Если разложить до членов порядка х4, а до членов порядках,
то (12.12) с точностью до членов порядках2 примет вид
£ = - (2 + Vx2)£m. (12.13)
Для малых х это выражение мало отличается от (12.6). Однако (12.13)
позволяет понять, насколько сдвигается частота Фрёлиха с ростом
размера шаров. Если вблизи частоты, на которой е = - 2 ет, действи-
тельная часть диэлектрической проницаемости является возрастаю-
щей функцией частоты (а это так почти всегда), то увеличение раз-
мера частицы сдвигает частоту Фрёлиха в сторону меньших значений
(т.е. в сторону больших длин волн).
12.1.2. Влияние оболочки
В предыдущем разделе мы рассмотрели однородный шар. Теперь
рассмотрим случай однородного сферического ядра, покрытого так-
же однородной оболочкой, но другого состава. В этом случае, как и
ранее, условие возбуждения поверхностной моды первого порядка
можно получить из электростатики. В разд. 5.4 было выведено выра-
жение для поляризуемости малого шара в оболочке; условие возбуж-
дения моды Фрёлиха вытекает из требования обращения в нуль знаг
менателя выражения (5.36):
(Ч + 2«m)(q + 2<2) +/(2£- - 2£„)(£1 - Ч) = 0, (12.14)
где Ej и е2 — диэлектрические проницаемости ядра и оболочки соот-
ветственно, а/ - доля полного объема частицы, приходящаяся на
ядро. Если принять диэлектрическую проницаемость окружающей сре-
ды равной единице, то (12.14) принимает вид
€i " 2е2
е2(1-/) + (2 + /)
£j(2/+ I) + 2(1 -/)
(12.15)
Для проверки (12.15) заметим, что при f = 1, как и должно быть,
е j = - 2. Ерли объем ядра мал по сравнению с объемом оболочки
(/« 1), то (12.15) переходит в Ej ^-2е2, что представляет собой
условие моды Фрёлиха для однородного шара с диэлектрической про-
ницаемостью Ej в среде с диэлектрической проницаемостью е2, что
тоже вполне естественно. Таким образом, наличие оболочки на ма-
лом однородном шаре сдвигает частоту Фрёлиха; величина этого
сдвига зависит от поведения е 2, а также от свойств и толщины оболочки.
Поверхностные моды в малых частицах
415
12.1.3. Моды Фрёлиха для пустот и пузырьков
В предыдущих главах мы рассматривали частицы в непоглощаю-
щей среде. Сейчас мы кратко обсудим, что будет, если снять это ог-
раничение. Понятие экстинкции для частицы в поглощающей среде не
лишено противоречий: возможно несколько трактовок этого понятия.
Но в работе [ 67] бцло показано, что если сечение экстинкции интерпре-
тировать как затенение площади приемника из-за наличия частицы
[ см. разд. 3.4, в особенности рассуждения, приводящие к (3.34)], то фор-
мулировка оптической теоремы в случае поглощающей среды формаль-
но аналогична ее формулировке для непоглощающей среды:
Cext = 4^Re[^il, (12.16)
L k2 1
где волновое число к теперь уже комплексно. Для непоглощающей сре-
ды волновое число к вещественно, и его можно вынести в (12.16) из под
знака Re. Как и ранее, мы можем определить фактор эффективности
экстинкции £> . как С„„/(то2), что для малой частицы дает
= (12.17)
Заметим, что параметр х для шара в пог.лощающей среде комплексен.
Рассмотрим теперь сферическую полость (е= 1) в однородной
среде. Хотя такая полость сама не поглощает света, но она может
влиять на поглощение света в окружающей среде. Условие, отвечающее
резонансу фактора эффективности экстинкции для малой сфероидаль-
ной прлости, вытекает непосредственно из (12.17):
(12.18)
Условие же резонанса для полой сферы, или пузырька, в воздухе
в соответствии с (12.14) есть
(£ + 2)(1 + 2е) +/(2е - 2)(1 - е) = 0, (12.19)
где е - диэлектрическая проницаемость твердой фракции пузырька.
Уравнение (12.19) имеет два корня:
- (5 + 4/) + 3^1 + 8/ _ ~ (5 + 4/) - 3/1 + 8/
<+----------4^4/ ’ £~ 4-4/
Глава 12
416
Если f мало (пузырек почти без полости), эти два корня приближенно рав-
ны е + = - 1/2 и е_ = -2; это не что иное, как резонансные условия
для сферической полости в среде с диэлектрической проницаемостью
е. и для твердого шара с диэлектрической проницаемостью е в свобод-
ном пространстве соответственно. С увеличением f монотонно растет
е+, а е_ монотонно убывает, причем lim е + = 0, a lim е_= — °0. (Ес-
тественно, при f = 1 пузырек исчезает!)
До сих пор мы рассматривали только условия резонансов в сече-
ниях для разных типов малых сферических частиц; мы не делали ника-
ких количественных выводов о силе этих резонансов и о частотах, на
которых они могли бы быть, если не считать кратких вводных заме-
чаний об ионных кристаллах в инфракрасном диапазоне и о металлах
в ультрафиолетовом диапазоне. Для решения вопросов о том, яцляет-
ся ли данный резонанс реализуемым, когда он возникает и какова
его сила, нужно знать, как меняется с частотой диэлектрическая
проницаемость. Поэтому в последующих разделах мы изучим некото-
рые из приведенных выше резонансных условий для простых, но прав-
доподобных моделей диэлектрической проницаемости.
12.1.4. Кристаллы с простыми колебательными модами
Детальные расчеты поверхностных мод в малых сферических
частицах лучше всего выполнять, используя строгую теорию и экспе-
риментальные зависимости оптических постоянных. Несмотря на то
что простые модели в общем неплохо согласуются с результатами
измерений, основанные на модельных расчетах зависимости оптичес-
ких постоянных могут значительно отличаться от измеренных. Этот
вывод:: подчеркивался в работе [239], где для иллюстрации использо-
вался NiO. Тем не менее нельзя отрицать пользу расчетов, основан-
ных на решении обратной задачи, если твердо помнить о налагаемых
на них ограничениях. Резонансы сечений для шаров являются остры-
ми и, как следствие, часто пропускаются при расчетах, выполненных
без учета наличия этих резонансов; поэтому сначала целесообразно
оценить приближенное положение резонансов. В следующих абзацах
мы рассмотрим следствия (12.6) для кристаллов, которые хорошо опи-
сываются простой одноосцилляторной моделью из разд. 9.1. Иногда
мы будем называть такие кристаллы ионными, что не является,строго
говоря, верным. Причиной такой терминологии является то, что истин-
Поверхностные моды в малых частицах
417
ные ионные кристадлы занимают видное место в работах, посвящен-
ных колебаниям решетки. Однако поверхностные моды могут возни-
кать не только в ионных частицах. Действительно, ионный кристалл
является предельным случаем, идеализацией, в которой учтены лишь
кулоновские связи, а ковалентные связи отброшены.
Если не учитывать затухание, то из (12.6), (9.21) и (9.23) для час-
тоты Фрёлиха нетрудно получить
ы
2 _
F ~
Л f0v + 2fm\
\ €0е + 2fm /
(12.20)
Следствиями (9.23) и (9.24) являются неравенства w, < coF < со,.
В соответствии с ними (12.6) выполняется только в области, где е ’
отрицательно, и которая для материалов, описываемых простой одно-
осцилляторной моделью, лежит между со, и со/1 мы будем называть
эту область диапазоном поверхностных мод.
В лабораторных условиях измерения спектров экстинкции часто
выполняются на взвесях частиц в некоторой отличающейся от вакуума
среде. Обычно считается само собой разумеющимся, что характерис-
тики таких спектров не зависят от свойств этой среды, если она яв-
ляется слабопоглощающей, но в диапазоне поверхностных мод это
допущение может оказаться совершенно неверным. Действительно,
если продифференцировать (12.20) по ет , которую мы считаем боль-
шей или равной единице, то мы получим daF/drem< 0; следовательно,
при переходе от воздуха к некоторой другой отличной от вакуума сре-
де частота Фрёлиха уменьшается. Заметим, что величина этого сдви-
га зависит от ширины области поверхностных мод и не может быть
больше разности со, - со,. В этом заключается одно из проявлений
важного общего правила, состоящего в том, что поведение поверх-
ностных мод сильно зависит от характера изменения диэлектричес-
кой проницаемости с частотой.
В начале разд. 9.1 мы отметили, что для одноосцилляторной мо-
дели е"(со) спадает до половины своего максимального значения
е" (“,) при со= со, + у,/2, при условии что у,/со, « 1. При том же ог-
раничении на у/со, [см. (12.33)] полуширина спектра поглощения
для шара (12.10) также равна у. Таким образом, при переходе от объ-
емного вещества к частицам ширина полосы поглощения сохраняет-
ся, несмотря на то что положение этой полосы может существенно
смещаться.
27-205
418
Глава 12
Прервем на время обсуждение теории и рассмотрим частный при-
мер — карбид кремния, оптические постоянные которого в инфра-
красном диапазоне хорошо аппроксимируются одноосцилляторной мо-
делью (рис. 9.6). На рис. 12.1 показаны факторы эффективности экс-
тинкции для малых шаров из карбида кремния в воздухе, вычислен-
РИС. 12.1. Расчетные факторы эффективности экстинкции для шаров иэ кар*
бида кремния в воздухе.
Поверхностные моды в малых частицах
419
ные по теории Ми на основании параметров рис. 9.6. Для шара радиу-
сом 0,1 мкм, который достаточно мал для применимости теории Рэлея,
единственной особенностью экстинкции на частоте 930 см-1 является
мода Фрёлиха, или поверхностная мода низшего порядка; ее положе-
ние очень близко к предсказанному согласно (12.20). Частота, на ко-
торой поглощение максимально, заметно сдвинута относительно зна-
чения, которое она имела бы в тонких пленках, т.е. относительно
частоты поперечной оптической моды = 793 см-1. Эффективность
экстинкции на частоте ~ a>F превосходит ее эффективность на cot
на несколько порядков, так что последнюю не удается показать на
графике с линейным масштабом. С увеличением размера частицы свя-
занный с поверхностной модой максимум немного сдвигается в сторо-
ну меньших частот, что согласуется с (12.13), и уширяется из-за воз-
буждения поверхностных мод высших порядков, которые не различимы
на графике. Одновременно все более и более сложный ряд мод возни-
кает на частотах чуть ниже со{. Эти моды имеют ту же природу, что и
моды изрезанной структуры, рассмотренные в гл» И. Они возника-
ют здесь уже при сравнительно малых значениях параметра дифракции,
потому что на приближающихся к со{ снизу частотах коэффициент
преломления растет до очень больших значений (рис. 9.6). В работе
[ 165] дано детальное обсуждение положения и ширины этих мод, назы-
ваемых там низкочастотными. Стоит еще раз заметить, что эффектив-
ность экстинкции Qext в области поверхностных мод может значитель-
но превышать единицу даже для шаров, малых по сравнению с длиной
волны.
На рис. 12.2 показаны спектры экстинкции для шаров из SiC ради-
усом 0,1 мкм в бромистом калии (ет = 2,33) и в воздухе (ет = 1). При
переходе от воздуха к КВг мода Фрелиха в согласии с (12.20) сдвига-
ется в сторону брлее низких частот. Заметим также, что фактор эф-
фективности экстинкции на частоте Фрёлиха для частиц в матрице из
КВг больше, чем для частиц в воздухе, несмотря на то что КВг не
поглощает в диапазоне поверхностных мод SiC.
Многочисленные эксперименты, выполненные за последние 10 лет,
качественно подтвердили, что в общих чертах поглощение малыми
ионными частицами согласуется с приведенным обсуждением для ша-
ров. В частности, доминирующий максимум поглощения для частиц
сдвигается относительно максимума поглощения в объемном вещест-
ве в сторону более высоких частот, причем этот сдвиг зависит от ок-
Глава 12
420
РИС. 12.2. Расчетные факторы эффективности экстинкции для шара из кар-
бида кремния (размером 0,1 мкм) в воздухе и в бромистом калии.
ружающей частицы среды и его величину удается предсказать. В ка-
честве известных примеров можно указать галоиды щелочных метал-
лов KCl.NaCl и КВг [87, 306 - 308], MgO [176, 177], атакжеио2
и ТЬО2 [25]. Сравнение теории с экспериментом в отношении ширины
и интенсивности полос поглощения показало заметные расхождения,
для объяснения которых мы учтем эффекты, связанные с отклонения-
ми формы частиц от сферической. Это будет сделано в разд. 12.2 и по-
служит прелюдией к дальнейшему обсуждению колебательных мод
в диэлектриках.
12.1.5. Простые металлы
В предыдущих разделах мы показали, что в твердых телах с яр-
ко выраженными колебательными полосами положения особенностей
в спектрах поглощения могут существенно сдвигаться при переходе
Поверхностные моды в малых частицах
421
от объемного вещества к частицам. Металлические частицы могут
отклоняться от поведения составляющего их материала еще сильнее:
они могут иметь особенности поглощения в широких полосах частот,
где объемное вещество вообще не поглощает. Для простых метал-
лов, т.е. таких, которые хорошо описываются формулой Друде (9.26),
мнимая часть диэлектрической проницаемости не имеет максимумов:
оца монотонно спадает с ростом частоты. Однако малая сферическая
частица из такого металла будет иметь максимум в сечении погло-
щения вблизи частоты «F, где е = - 2 ет. Если у2 « то из
(9.27) следует, что
"'/HW- (12-21)
Для воздуха em = 1 и (12.21) принимает вид
О2-22)
Л
В отличие от ионных материалов для простых металлов область отри-
цательных значений е' не ограничена относительно узкой полосой
частот: область поверхностных мод простирается от Шр вцлоть до ну-
левой частоты. Вследствие этого в металлических частицах может
быть больше поверхностных мод, чем в ионных. Это станет очевидным
в разд. 12.2, где мы обсудим слияние формы частицы на поверхност-
ные моды; пока же ограничимся случаем шаров.
Вслед за соотношением (9.27) мы привели физическую интерпре-
тацию плазменной частоты в простых металлах и ввели понятие плаз-
мона, как квантованного колебания плазмы. Продолжение этого обсуж-
дения может помочь нам лучше разобраться в физических явлениях,
связанных с поверхностными модами в малых частицах, а также в тер-
минологии, которая встречается при их описании.
В гл. 9 молчаливо предполагалось, что цлазма не ограничена, т.е.
мы там имели в виду объемные плазмоны. Но вследствие большого ра-
диуса действия сил, приводящих к плазменным колебаниям, разумно
предположить, что в достаточно малом образовании электроны будут
чувствовать наличие границ и в соответствии с этим изменят свое
коллективное поведение. И действительно, сразу же вслед за появле-
нием понятия объемных плазмонов в металлах пришло понимание то-
422
Глава 12
го, что в тонких пленках возможно возникновение поверхностных плаз-
монов [397, 447]. В то время как энергия объемного плазмона равна
Йсор, энергия поверхностного плазмона в окруженной воздухом тонкой
пленке есть Л Следующим членом этого семейства плазмонов
является поверхностный плазмон с энергией Яшр,Л/з"в окруженном воз-
духом шаре [см (12.22)]. Таким образом, поверхностные моды в ма-
лых металлических частицах часто называют поверхностными плаз-
монами. Все это иллюстрирует общее правило, которое мы можем
сформулировать, но не доказать; если какой-либо интересный эффект
проявляется в тонкой пленке, то соответствующий эффект (возможно,
слегка видоизмененный) будет наблюдаться и в малых частицах. Как
пленки, так и частицы являются примерами образований, у которых
по крайней мере один размер мал.
Ионы в решетке твердого тела также могут принимать участие в
коллективных колебаниях, которые после квантования называют фо-
нонами. И снова, как и в случае плазмонов, наличие границы может
изменить характеристики таких колебаний решетки. Так, рассмот-
ренные ранее поверхностные моды инфракрасного диапазона иногда
называют поверхностными фононами. Четкое обсуждение поверхност-
ных фононов в ионных кристаллах имеется в важной работе [413],
где делается различие между поляритонными и чисто фононными мо-
дами. На классическом языке гл. 4 поляритонная мода есть просто
нормальная мода, для которой не делается ограничений на размер
шара; к чисто фононной моде мы приходим в случае шара настолько
малых размеров, что можно пренебречь эффектами запаздывания.
На языке элементарных возбуждений поляритон есть такой вид сме-
шанного возбуждения, поведение которого обладает чертами и фото-
на, и фонона.
Выбор для описания поверхностных мод квантовомеханического
или классического языка определяется скорее вкусом, чем необхо-
димостью. К сожалению, среди физиков распространена печальная
тенденция считать, что "квантовая механика по самой своей сути
лучше классической и что классическая механика является всего лишь
этапом, через который настоящий физик должен пройти"; мы согласны
с мнением автора работы [ 369, стр. 3], что это — "спорное высказы-
вание". Действительно, много вреда принесло - и продолжает прино-
сить - неправильное применение квантовой теории для "объяснения"
странного оптического поведения малых частиц. Сущность поверхност-
Поверхностные моды в малых частицах
423
ных мод в малых частицах вполне адекватно и экономно описывается
простыми классическими теориями. Однако даже при классическом
описании квантовые эффекты незримо присутствуют, но они сведены
к готовой для использования удобной функции - диэлектрической про-
ницаемости, которая вобрала в себя необходимую информацию как о
коллективных, так и об индивидуальных возбуждениях частиц, влияние
границы, которая сама по себе является макроскопическим понятием,
описывается классической электромагнитной теорией.
Мы должны еще раз подчеркнуть (и даже более решительно, чем
в начале данной главы), что явления поверхностных плазмонов и по-
верхностных фононов не служат примерами, доказывающими непригод-
ность объемной диэлектрической проницаемости для описания малых
частиц. Диэлектрическая проницаемость частиц остается той же, ч^о
и у составляющего их объемного вещества, вплоть до удивительно ма-
лых размеров - до самых малых частиц, которые встречаются в при-
мерах из разд. 12.3 и 12.4. Но одна и та же диэлектрическая проница-
емость, несущая информацию об элементарных возбуждениях, прояв-
ляет себя по-разному в зависимости от размеров и формы системы.
12.1.6. Ограничение средней длины свободного пробега
Из правила, согласно которому объемная диэлектрическая про-
ницаемость остается применимой для описания очень малых частиц,
имеется одно очевидное исключение: в металлических частицах, раз-
меры которых меньше средней длины свободного пробега электронов
проводимости в объемном металле, средняя длина свободного пробе-
га может определяться столкновениями электронов с границей. Этот эф-
фект рассматривался авторами многих работ (см., напр., [136, 135,
194, 279, 278]).
Диэлектрическую проницаемость металла можно представить в
виде суммы вклада от свободных электронов и межполосного вклада,
или, иначе, вклада связанных электронов, как это было сделано для
серебра на рис. 9.12. Такое разделение членов важно для ограниче-
ний на среднюю длину свободного пробега, поскольку модифицирует-
ся только член, связанный со свободными электронами. Для таких
металлов, как золото и медь, имеется большой межполосный вклад
вблизи частоты Фрёлиха, тогда как для металлов типа серебра и алю-
миния преобладает вклад от свободных электронов. Хорошее обсуж-
Глава 12
424
дение ограничения на среднюю длину свободного пробега имеется в
работе [ 278], автор которой применил свои результаты для интерпре-
тации поглощения в малых частицах серебра. Основная идея проста:
постоянная затухания в теории Друде, которая обратно пропорциональ-
на времени между столкновениями электронов проводимости, увеличи-
вается вследствие добавочных столкновений с ограничивающей части-
цу поверхностью. В предположении, что граница отражает электроны
диффузно, у можно записать как
У = Уbulk + у >
где ybujk - постоянная затухания в объемном металле, vF - скорость
электрона на поверхности Ферми, a L - эффективная средняя длина
для столкновений с границей. В работе [278] считалось, что L = 4а'/3
для шара радиусом а} хотя среди разных авторов имеются некоторые
разногласия относительно множителя пропорциональности между L и а.
Для металлов вблизи плазменной частоты о? >> у2; поэтому, с хо-
рошей точностью мнимую часть диэлектрической проницаемости Друде
(9.26) можно записать как
. ч _ Шр( . 3VF\
. {"(о), я) — ЧУ з I Ybuik "г лп |
со со V '
- «bulk + 4 w3 а •
(12.23)
Хотя влияние ограниченности средней длины свободного пробега на
вещественную часть диэлектрической проницаемости мало, для мнимой
части это влияние часто оказывается существенным. Для малых час-
тиц серебра в работе [ 128] было найдено, что е" вблизи частоты Фрё-
лиха дается соотношением
<”-0,23 + ^,
а
где а - выражается в ангстремах. Таким образом, г" увеличивает-
ся более чем на 10% для частиц радиусом 1000 А, для частиц радиу-
сом окрло 115 А е" удваивается по сравнению со своей величиной
для объемного вещества. Влияние уменьшения средней длины свобод-
Поверхностные моды в малых частицах
425
ного пробега приводит к увеличению ширины и уменьшению высоты
максимума поглощения в полосе поверхностных плазмонов. Если
вклад свободных электронов в диэлектрическую проницаемость моди-
фицировать, учтя ограниченность длины свободного пробега, то тео-
рия Ми дает хорошее согласие с экспериментами, в которых метал-
лические частицы сферичны и хорошо изолированы Друг от друга.
12.1.7. Поверхностные моды в малых алюминиевых шарах
В качестве примера экстинкции для сферических частиц в об-
ласти энергий поверхностных плазмонов на рис. 12.3 показаны резуль-
таты расчетов для шаров из алюминия, полученные при использовании
оптических постоянных, найденных из модели Друде с поправкой
(12.23), учитывающей изменение средней длины свободного пробега в
зависимости от радиуса частицы. Из обсуждения рис. 9.11 следует,
что модель свободных электронов достаточно точно описывает объем-
ную диэлектрическую проницаемость алюминия в области ультрафио-
лета. В отличие от случая SiC, для которого приводилась кривая
Qext (рис. 12.1), здесь мы изобразили график объемного коэффици-
ента экстинкции. Поскольку такая мера экстинкции в пределе частиц
малых размеров не зависит от радиуса, на этом графике хорошо вид-
ны все отклонения от теории Рэлея. На верхнем графике из рис. 12.3
видно отвечающее выражению (12.13) смещение моды Фрёлиха в
сторону меньших энергий с ростом размера частиц. Для частиц
размером 200 А кривая показывает также возникновение моды
высшего порядка. Таким образом, увеличение размеров частиц при-
водит к сдвигу максимума поглощения в сторону меньших энергий,
уширению полосы и уменьшению нормированной на объем экстинкции.
Нижняя часть рис. 12.3 иллюстрирует результаты расчетов для радиу-
сов, меньших 50 А, когда начинает сказываться ограничение длины
свободного пробега. Увеличенное затухание в формуле Друде (9.26)
приводит к уширению полосы для доминирующей поверхностной моды
низшего порядка; одновременно уменьшается высота максимума.
Как возбуждение поверхностных мод высших порядков при увеличении
размеров частиц, так и увеличение затухания для частиц очень малых
размеров проверялись экспериментально; этот вопрос будет рассмот-
рен в разд. 12.4.
Глава 12
426
РИС. 12.3. Расчетная экстинкция на единицу объема для алюминиевых шаров.
12.1.8- Линии тока для вектора Пойнтинга
Малые шары могут поглощать больше света, чем на них падает.
Справедливость этого утверждения следует из простых вычислений с
использованием (12.11). Но для многих аналитические доказательства
обладают меньшей силой, чем геометрические соображения. По этой
причине мы рассмотрим здесь один подход к описанию взаимодействия
света с малым шаром, который, насколько нам известно, до сих пор не
использовался. Этот подход служит не столько для получения новых
результатов, сколько для того, чтобы лучше убедиться в том, что мы
уже знаем.
Поверхностные моды в малых частицах
427
В разд. 3.3 мы показали, что полный вектор Пойнтинга в области,
окружающей произвольную частицу, можно записать в виде суммы
трех членов:
S = S; + Ss + Sext.
Здесь S,- и Ss - векторы Пойнтинга падающего и рассеянного полей
соответственно!; а величину Sext можно интерпретировать как сла-
гаемое, возникающее из-за взаимодействия падающего и рассеянного
полей. Здесь для нас более интересен поток электромагнитной энер-
гии за вычетом потока, связанного с рассеянным полем. Такой поток
(нормированный на величину вектора S,-) дается вектором Пойнтинга
Л S,. + S„,
z,
В отсутствие частицы вектор А, очевидно, был бы единичным век-
тором, параллельным направлению распространения падающей плоской
волны, а "линии тока" вектора Пойнтинга — параллельными прямы-
ми. При наличии частицы вдали от нее "линии тока" почти параллельны,
но вблизи частицы они искажаются. Рассмотрим природу этих искажений
вблизи малого шара и их связь с его оптическими свойствами.
Если падающая волна поляризована вдоль оси х, то <р-компонента
А в плоскости xz равна нулю (<₽ = 0). Поэтому "линии тока" в этой
плоскости являются решениями уравнения
= (12.24)
d0 Ав ’
Для достаточно малого шара основным является коэффициент а1, пре-
обладающий в разложении (4.45) и определяемый выражением (5.4).
Это позволяет записать (12.24) в явной форме; опуская трудоемкие
вычисления, в результате находим
dp _ cos в
d0 Р sinO
[р3 + {(x2p2cos0 + х2р2 - l)(ZTpcos< + ^sinf)+
+ (xpcosfl + xp)(Krsin£- K.cosg))]_________(12 25)
[p3 + {(x2p2cos0 + 2)(Krcos£ + ^sin<) +
+ (xpcos0 - 2xp)(Krsin£- X,cos^))]
428
Глава 12
где К = Kr + iKi = (Е- 1)/( £+ 1),§ = хр(cos 0 — 1), а р = г,/а Если
не считать ограничений на размер шара, выражение (12.25) является
вполне общим и определяет линии тока для вектора Пойнтинга вплоть
до поверхности шара.
Это уравнение решалось численно по схеме Рунге — Кутта чет-
вертого порядка. Обычно бывает более удобно записать (12.25) в ви-
де дифференциального уравнения в прямоугольных декартовых коор-
динатах; иногда, однако, предпочтение отдается полярным координа-
там. Результаты, показанные на рис. 12.4, получены комбинированием
этих двух подходов.
Для фотона с энергией около 8,8 эВ - равной энергии поверхност-
ного плазмона — вещественная часть диэлектрической проницаемости
алюминия равна -2; соответствующая мнимая часть составляет при-
мерно 0,2. Поэтому из (12.11) следует, что фактор эффективности пог-
лощения для маленького алюминиевого шарика (в воздухе) с парамет-
ром дифракции 0,3 равен примерно 18, т.е. для падающих фотонов та-
кой шар представляет собой цель с сечением, которое в 18 раз больше
его геометрического поперечного сечения. Более ощутимое доказа-
тельство увеличения эффективного размера шара приведено на
рис. 12.4, а где показаны "линии тока" вектора А в окружающей шар об-
ласти. Отметим сильную сходимость "линий тока" вблизи шара;
свет, который, согласно геометрической оптике, должен был бы беспрепят-
ственно проходить мимо шара, притягивается к нему.
Увеличение сечения поглощения в 18 раз по сравнению с геометри-
ческим сечением означает, что если ввести "радиус поглощения", то
он будет примерно в 4,2 раза больше геометрического радиуса. Этот
вывод следует из аналитического выражения (12.11), но он должен так-
же вытекать и из геометрических соображений. И действительно, на
рис. 12.4, а можно видеть, что к частице притягиваются "линии тока"
с расстояния примерно в 3,9 раз большего, чем радиус частицы.
При энергиях, как больших, так и меньших 8,8 эВ, маленький
алюминиевый шарик представляет собой гораздо меньшую цель для
падающих фотонрв. Так, например, при 5 эВ фактор эффективности
поглощения для шара с х = 0,3 составляет примерно 0,1; в отношении
поглощения такой шарик оказывается гораздо меньше, чем его геомет-
рическое поперечное сечение. Этому соответствуют и "линии тока"
вектора Пойнтинга, показанные на рис. 12.4, б: лишь немногие из них
достигают сферы, тогда как большинство обтекает ее.
Поверхностные моды в малых частицах
429
Мнимая часть диэлектрической проницаемости SiC на частоте Фрёлиха
в инфракрасном диапазоне (примерно при 932 см-1) близка к мнимой
части диэлектрической проницаемости для алюминия при 8,8 эВ. Поэ-
тому рис. 12.4, а применим и для "линий тока" вектора Пойн-
тинга около малой сферы из SiC, облучаемой светом с частотой
932 см-1. На близких частотах, например при 900 см-1, "линии
тока" вокруг шара из SiC (х = 0,3) аналогичны показанным на
рис. 12.4, б для алюминия при 5 эВ.
Ни один учебник по электромагнитной теории не был бы полным
без рисунка, изображающего"линии тока" вокруг шара в электроста-
РИС. 12.4. "Линии тока" полного вектора Пойнтинга (включая рассеянный) вок-
руг малого алюминиевого шара при облучении светом с энергией 8.8 эВ (а)
и 5 эВ (б). Штриховая вертикальная линия на рис. (а) изображает эффективный
размер сферы для поглощения света.
Глава 12
430
тическом поле. Объясняется это, конечно, тем, что такой рисунок
позволяет с первого взгляда понять, как шар возмущает однородное
в его отсутствие поле. Но шар, освещенный плоской волной, возмущает
также поток электромагнитной энергии в его окрестности. Поэтому
ход "линий тока" для вектора Пойнтинга вблизи шара (без учета рассеян-
ного потока) позволяет наглядно пояснить, как может частица погло-
тить больше света, чем на нее падает.
12.2. ПОВЕРХНОСТНЫЕ МОДЫ В НЕСФЕРИЧЕСКИХ ЧАСТИЦАХ
Поверхностные моды в случае несферических частиц во многих отно-
шениях более интересны, чаи для сферических частиц. К тому же они должны
чаще наблюдаться при лабораторных исследованиях: не так-то просто
приготовить образцы частиц, которые были бы и малы по сравнению
с длиной волны, и в высокой степени сферичны, и не слипались. Одна-
ко именно это требуется для того, чтобы предсказания теории малых
частиц согласовывались с измерениями. Без применения специальных
мер (на которых мы остановимся подробнее в следующем разделе)
твердые частицы, приготовленные в лабораторных условиях, как прави-
ло, несферичны; даже если частицы оказываются сферическими в мо-
мент своего рождения, они быстро слипаются в нерегулярные комки.
Если мы выйдем из ,лаборатории и обратимся к твердым частицам в
естественных условиях - в атмосфере Земли, в межпланетном прост-
ранстве или в межзвездной среде, - то там такие частицы почти на-
верняка окажутся несферическими. Часто предполагают, что для спек-
тров поглощения форма частиц несущественна. При этом считают, что
скопление случайно ориентированных нерегулярных частиц в каком-то
смысле "эквивалентно" скоплению сфер. Как мы увидим, это допуще-
ние определенно неверно в области поверхностных мод. Поэтому при
анализе экспериментальных данных или при вычислениях, основанных
на предположении, что частицы неправильной формы можно аппрокси-
мировать шарами, результаты могут оказаться ошибочными.
• Значительный прогресс в анализе несферических частиц был дос-
тигнут в работе [ 163], где в электростатическом приближении было
вычислено поглощение кубами и на этой основе проанализированы
экспериментальные данные для MgO и Na Cl. Мы обсудим результаты
[163] в конце разд. 12.3. Пенные результаты по влиянию несферично-
Поверхностные моды в малых частицах
431
сти частиц получены также в работе [ 283], где были проведены вычис-
ления для прямоугольных парадлепипедов, включая кубы. Поскольку
кубическая форма обычна для таких микрокристаллов, как MgO и га-
лоиды щелочных металлов, эти результаты неоднократно использова-
лись для интерпретации экспериментальных данных. В случае MgO
мы так и поступим. В то же время наша теоретическая трактовка не-
сферичности будет основана на использовании эллипсоидов. Несмот-
ря на свою простоту, этот метод правильно описывает многие эффек-
ты, обусловленные несферичностыо.
12.2.1 . Эллипсоиды
Для частиц нерегулярной формы не существует не только "точ-
ной", но даже и приближенной теории, подходящей для наших целей.
Действительно, уже само понятие нерегулярной частицы связано с
произволом; параметризация несферичности в общем случае - трудная
задача. За исключением бесконечных цилиндров, точная теория для
частиц других простых форм (например, сфероидов и эллипсоидов)
очень сложна. К счастью, многие интересные эффекты поверхностных
мод проявляются для частиц, малых по сравнению с длиной волны; поэ-
тому мы можем обратиться к электростатике (т.е. теории Рэлея из
гл. 5) по крайней мере как к путеводителю, если не для получения точ-
ных количественных результатов. Эллипсоидальные частицы, включаю-
щие, в частности, шары и длинные цилиндры (иглы), представляют,
видимо, простейший пример отличия от сферичности. Если падающее
электрическое поле параллельно главной оси малого однородного
Эллипсоида объемом v, то поляризуемость (5.32) можно записать как
*7" .. (1226)
€_ + Lie — )
т \ т /
где геометрический фактор L может принимать значения от 0 до 1
и для краткости мы опустили индекс у диэлектрической проницаемос-
ти частицы е. Сечения поглощения и рассеяния, соответствующие
(12.26), равны
v4
Cabs = klm(a}; = ^-|а|2,
017
Глава 12
432
Где к - волновое чирло. Следовательно, резонанс в обоих сечениях
(т.е. возбуждение поверхностных мод) происходит на частоте, где зна-
менатель а обращается в нуль:
,-<„(1-1). (12.27)
Для любого реального вещества частота, на которой выполняется
(12.27), комплексна. Это означает, что поверхностные моды виртуаль-
ны. Однако ее действительная часть (при малой по сравнению с ней
мнимой части) приближенно есть частота, на которой сечения имеют
максимумы. Мы обозначим эту частоту . Для шара совпадает с
частотой Фрёлиха . При разумном использовании и учете всех ог-
раничений соотношение (12.27) служит ключом для определения место-
положений максимумов в спектрах экстинкции для малых эллипсоидаль-
ных частиц; но оно не обязательно дает точное его значение.
Для шара имеется .лишь одно значение геометрического фактора
L, для сфероида — два, а в случае произвольного эллипсоида - три.
Таким образом, имеется возможность одного, двух или трех максиму-
мов экстинкции в зависимости от формы частицы. Ширина, высота и
разнесение этих максимумов зависят, конечно, от поведения диэлект-
рической проницаемости. Из-за большого разброса возможных значе-
ний фактора \/L соотношение (12.27) может выполняться в соответст-
венно широкой области частот, но опять же это зависит от формы час-
тиц и величины диэлектрической проницаемости.
Геометрические факторы сфероидов даются выражениями (5.33) и
(5.34) вместе с соотношениями L2 = L3 (вытянутый сфероид) или
= L2 (сплюснутый сфероид) и Lt + La + L- = 1. Для того чтобы по-
казать, как сфероидальные резонансы е' зависят от отношения длин осей, по-
ведите (12.27) изображено на рис. 12.5. Для любого значения L- резонанс по-
верхностной моды будет проявляться на частоте, где е '/ето попадает на кривую,
изображенную на рис. 12.5. Значения £ ',/ет для сферы и различных
сфероидов, включая предельные случаи дисков и круговых цилиндров,
показаны для разных поляризаций падающего электрического поля. Для
шара все значения L-, естественно, равны и условие резонанса есть
е',/ето= - 2 независимо от поляризации падающего света. Резонансное
Поверхностные моды в малых частицах
433
РИС. 12.5. Влияние формы на положение поверхностной моды низшего по-
рядка дпя малых сфероидов. Стрелки вблизи эскизов частиц указывают нап-
равление электрического поля.
условие для вытянутого сфероида распадается на две ветви: е' /ет с
ростом вытянутости сфероида движется по кривой вниз к -•« для слу-
чая электрического поля, параллельно большой оси, и вверх по кривой
к -1 для электрического поля, перпендикулярного этой оси. Резонанс-
ное условие для сплюснутого сфероида тоже имеет две ветви, конеч-
ными точками которых являются 0 и Таким образом, в спектре
поглощения случайно ориентированных сфероидов должно быть два пи-
ка, а в случае их одинаковой ориентации - дихроизм (зависимость пог-
лощения от поляризации); экспериментальная проверка этих явлений
Для металлических частиц будет рассмотрена в разд. 12.4.
28-205
434
Глава 12
В предыдущих абзацах мы обсудили только условия резонансов
поверхностных мод в сечениях малых эллипсоидальных частиц. Те-
перь для лучшего понимания этих резонансов мы обратимся к ха-
рактерным примерам.
12.2.2 . Металлические эллипсоиды
В этом разделе мы попытаемся извлечь как можно больше
физических результатов из комбинации электростатики с теорией
металлов Друде. При этом нужно иметь в виду, что наши выводы,
строго говоря, корректны .лишь в той степени, в какой справедливы
обе эти теории. Однако жертвуя строгостью, мы выигрываем в бо-
лее глубоком проникновении в суть дела.
Зависящее от частоты сечение поглощения для металлического
Эллипсоида с диэлектрической проницаемостью (9.26) есть
UVW2
L)
W2)2 + у2ы2
(12.28)
«2
где с — скорость света в вакууме и
Lu>2
и2 _______—L_________
£т “ - 1) ’
L) =
[£„ - L(em - I)]2 '
Скомбинировав таким образом сечение для эллипсоидов с диэлектри-
ческой проницаемостью Друде, мы подощли к резонансному погло-
щению, которому нет аналога при объемном поглощении в металле.
Сечение поглощения максимально при w= и спадает примерно
до половины своего максимального значения на частотах
w = ± у/2 (при условии, что у2 « ). Таким образом, частота
поверхностной моды есть или, на языке квантовой механики,
энергия поверхностного плазмона есть Й ws . При этом мы считали,
что диэлектрическая проницаемость окружающей среды постоянна
или зависит от частоты очень слабо.
При L » 1 частота поверхностной моды есть плазменная часто-
та, которая для большинства металлов лежит в области ультрафиоле-
та; при L « 0 обращается в нуль. Таким образом, для малых
Поверхностные моды в малых частицах
435
эллипсоидальных металлических частиц имеется громадный диапа-
зон возможных коллективных возбуждений: их частоты могут менять-
ся от ультрафиолета до радиодиапазона. При заданной форме час-
тиц частота поверхностной моды есть монотонно спадающая функция
таким образом, при переходе от свободного пространства к бо-
лее плотной окружающей среде частоты поверхностных мод сдвига-
ются в сторону более низких значений.
Максимальное сечение поглощения есть
(12.29)
I
Заметим, что для частиц в воздухе (em= 1) этот максимум поглоще-
ния не зависит от формы. Но если частицы помещены в некоторую от-
личную от вакуума среду (em> 1), то высокочастотные пики оказы-
ваются выше низкочастотных. Максимум отношения высот пиков есть
f ( Em« H/f ( Ет» 0) “ em*
До сих пор мы рассматривали одиночную эллипсоидальную час-
тицу, ориентированную так, что электрическое поле падающей волны
параллельно одной из главных осей. Более реалистичной конфигураци-
ей яцляется скопление идентичных случайно ориентированных частиц.
Среднее сечение поглощения <СаЬв> такого скопления есть просто
среднее арифметическое трех главных сечений:
. , , г а, + в, + в,)
(С^) = klm{ —-----j, (12.30)
где а}- дается выражением (12.26) с L = Lj. Таким образом, спектр
поглощения, соответствующий (12.30), характеризуется в общем слу-
чае тремя ясно различающимися пиками примерно одинаковой ширины
(при условии, конечно, что разнесение частот поверхностных мод ве-
лико по сравнению с шириной пиков). Более того, если частицы нахо-
дятся в воздухе, высоты всех трех пиков примерно одинаковы. Это
проиллюстрировано на рис. 12.6, где изображен спектр поглощения
эллипсоидальных частиц из адюминия. На этом же рисунке показан
спектр поглощения для шаров, имеющий единственный пик. Смысл
кривой, обозначенной как НРЭ, мы поясним в следующем разделе.
Вернемся теперь к одиночному ориентированному эллипсоиду.
Глава 12
436
РИС. 12j6. Расчетные спектры поглощения для алюминиевых шаров, случайно
ориентированных эллипсоидов (геометрические факторы 0,01; 0,3 и 0,69) и не-
прерывного распределения эллипсоидальных форм (НРЭ). Внизу изображена
действительная часть диэлектрической проницаемости в модели Друде.
Иногда представляет интерес интегральное поглощение:
/ GbS(w)^w =
•'о
с
-------------------du, (12.31) *
( W2 - Wj ) + y2w2
Поверхностные моды в малых частицах
437
где верхний предел интегрирования не следует понимать слишком
буквально. Ясно, что теория Рэлея перестает быть справедливой для
бесконечно больших частот. Поэтому символ ~ в (12.31) означает
частоту, которая настолько велика, что уже можно пренебречь сече-
нием поглощения, но в то же время не такая большая, чтобы оказа-
лась неприменимой теория Рэлея. Используя теорему о вычетах,
можно показать, что
_ *
(w2 - W2)2 + yW 2 7
для всех значений y/ws ; поэтому интегральное поглощение есть
2
/•00 <77
/ Cabs(w)jw = (12.32)
•'О z с
О соотношении (12.32) можно сделать несколько интересных замечаний,
Интегральное поглощение не зависит от постоянной затухания у;
единственным существенным объемным параметром в нем является
Плазменная частота. Ерли частицы находятся в воздухе, то интеграль-
ное поглощение не зависит от их формы; это верно не только для оди-
ночного ориентированного эллипсоида, но и для скопления случайно
ориентированных эллипсоидов. Поучительно переписать (12.32), ис-
пользуя (12.29):
jT Cabs(w)Jw = jyQXwJ.
Отсюда видно, что имеется простая пропорциональность между макси-
мальным и интегральным поглощением.
12.2.3 . 'Колебательные поверхностные моды в эллипсоидах
Зависимость сечения поглощения эллипсоида с диэлектрической
проницаемостью (9.20) от частоты дается соотношениями
Qbs(w) —
' рff^L)______-______
С^т (w2 - to2)2 + y2W2
Глава 12
438
и>1 = и? +
L^p
£т + £т)
(12.33)
Выражение (12.33) по форме сходно с сечением поглощения металли-
ческого эллипсоида (12.28): поглощение максимально на частоте ws ,
а полуширина максимума поглощения приближенно равна у. Однако
между спектрами поглощения ионных и металлических эллипсоидов
имеются важные различия. Ерли мы используем приближенное соотно-
шение (9.23), то ws можно записать в виде
2 2
«7 = Ч
Сор + £m(l/L - 1)
£ое + £(П(1/Е - 1)
откуда следует, что ws лежит между a>t и <a;. В этом состоит замет-
ное отличие от случая металлических эллипсоидов, для которых ws
меняется от нуля до плазменной частоты. Заметим также, что мак-
симальное сечение поглощения
Саьз(ч) =
уже не является независящим от формы частицы за исключением
специального случая, когда еОе = ет. В общем случае низкочастот-
ные пики выше высокочастотных; максимум их отношения есть
/(§.(«//(£. 1) = ^.
Среднее сечение одинаковых, но случайно ориентированных эл-
липсоидов, будет, вообще говоря, иметь три пика в частотном диапазо-
не между <а( и со/. Пример такого рода приведен на рис. 12.7, где
сечение СаЬв как функция частоты изображено для эллипсоидов из
карбида кремния.
Поверхностные моды в малых частицах
439
РИС. 12.7. Расчетные сечения экстинкции на единицу объема для эллипсоидов
из карбида кремния с геометрическими факторами 0,1; 0,3 и 0,6. Для доста-
точно малых поглощающих частиц с = с v .
еxt Abe
12.2.4 . Случайно ориентированные диски, иглы и шары
В двух предыдущих разделах мы рассмотрели свойства спект-
ров поглощения идеализированных эллипсоидов. Вследствие просто-
ты вида диэлектрической проницаемости мы смогли получить явные
частотные зависимости сечений, из которых почти очевидно опреде-
ляются положение, высота и ширина спектральных максимумов. Но
природа устроена не так, как хотелось бы, и в ней встречаются не
только такие простые материалу; как правило, приходится иметь
дело с веществами, диэлектрическая проницаемость которых опре-
Глава 12
440
делена экспериментально. Поэтому в данном разделе мы уделим
основное внимание выявлению зависимости сечений от веществен-
ной и мнимой частей диэлектрической проницаемости, помня, конеч-
но, что обе они зависят от частоты, но не конкретизируя эти зави-
симости.
Каждой точке в треугольной области на плоскости пока-
занной на рис. 12.8, соответствует единственный эллипсоид и наобо-
рот. Бцло бы безнадежным делом рассматривать все возможные фор-
мы эллипсоидов, но вряд ли это и нужно. Почти все возможности
охватываются предельными формами эллипсоидов - шарами,
дисками и иглами, которые к тому же наглядны. Поэтому давай-
те на время ограничимся этими тремя формами. Средние сече-
ния для таких одинаковых, но случайно ориентированных частиц равны
(Cabs)sphere 3
27
(«' + 2)2 + £"2
<С } = —
\vabs/ needle 3
1
'2 .
(Cabs)disk
k4ti2 2
(Cjca^jpbere J8t7
27
(12.34)
к4г2 2
(Csca) needle Iе
8
kV
(Csca)<jjsj[ I877
_____1
'2 .
2 ,
где e - относительная диэлектрическая проницаемость частицы, а
к - волновое число в окружающей частицу среде. Ясно, что для дан-
ной частоты единственное различие между сечениями для частиц
Поверхностные моды в малых частицах
441
РИС. 12.8. Каждая точка треугольной области соответствует единственному
эллипсоиду и наоборот.
этих трех видов состоит в форме выражений в квадратных скобках.
Теперь мы в состоянии указать источник .ложной концепции» соглас-
но которой спектры поглощения малых частиц не зависят от их фор-
мы. Для материалов с наиболее приятным поведением (например, для
изоляторов на частотах видимого света) е" мало, а t лежит между
2 и 3. Ерли е" « 1и е' =2, например, то сечения находятся в от-
ношениях (шар :игла: диск) = (1 1,12 >: 1,33). Таким образом, для
этих материалов сильных зависимостей от формы частиц нет. Ерли
же | е' | или е" велико, то сечение для диска или иглы может быть
значительно больше сечения для шара. Конечно, в области, где е'
отрицательно, тоже могут быть сильные зависимости от формы час-
тицы.
Еще лучшее понимание эффектов формы в случае малых частиц
может быть достигнуто из рассмотрения кривых в комплексной плос-
кости е; на рис. 12.9, а, б, в, г показаны линии постоянного безраз-
Глава 12
442
мерного сечения 3 < Cabs > ,/kv. Заметим, что эти кривые симмет-
ричны относительно прямых г* = — 2, е' = — 1 и t = 0 для шара, иг-
лы и диска соответственно. На рисунках изображены три точки, отве-
чающие некоторым твердым телам при характерных значениях длин
волн: i с координатами (2,3; 0,0), представляющая типичный изоля-
тор в видимом диапазоне, с с координатами (3,4; 4,0), представля-
ющая приближенно углерод в видимом диапазоне, и т с координата-
ми (— 2,0; 0,3), соответствующая окиси магния на частоте Фрёлиха
(620 см"1) в инфракрасном диапазоне. Разрешение на этих гра-
фиках недостаточно для оценки влияния формы частиц в окрестнос-
ти точки : , однако вычисления предыдущего параграфа дают для
этих трех форм лишь небольшое различие ( ~ 30 %). Для углерода,
который сильно поглощает в видимом диапазоне, оценки по графикам
дают примерно 3, 5 и 8 для сфер, игл и дисков соответственно.
Но те же величины для MgO на соответствующей частоте Фрёлиха
оцениваются следующими значениями: белее чем 50, около 3 и 1, что
говорит о сильной зависимости поглощения малых частиц от их фор-
мы в этом случае.
На рис. 12.9, г показана диэлектрическая проницаемость для
нескольких металлов, которые либо уже обсуждались в гл. 9, либо
будут обсуждаться в разд. 12.4 в связи с экстинкцией малых частиц.
Энергетическая зависимость диэлектрической проницаемости дает-
ся в виде кривых в комплексной плоскости е, аналогичных графикам
работы [107], которые обычно используются для полярных диэлект-
риков; числа на кривых есть энергии фотона в электрон-вольтах.
Совместное использование этих кривых и графиков 12,9, а, б, в
позволяет быстро оценить значение поглощения и его зависимость
от формы частицы. Аналогичным образом можно сразу же оценить
степень близости металла к модели свободных электронов (Друде).
Например, в модели свободных электронов с ростом частоты е" мо-
нотонно приближается к нулю, тогда как г приближается снизу к
единице (см. разд. 9.4). Хорошей иллюстрацией такого поведения яв-
ляется алюминий; соответствующая ему кривая на рис. 12.9, i типич-
на для металла со свободными электронами. От 3,0 до 3,6 эВ кривая
серебра аналогична кривой алюминия, но для больших значений энер-
гии она начинает резко уходить от точки (1,0; 0,0) из-за начала меж-
Поверхностные моды в малых частицах
443
РИС. 12.9. Кривые постоянного безразмерного сечения для шаров (а), игл
(б) и дисков (в). Г рафики Коля — Коля для различных металлов показаны на
рис. (I).
полосных электронных переходов, которые обсуждались выше в связи
с рис. 9.12. Кривая для меди нигде не выглядит слишком похожей на
кривую в модели Друде, хотя ее конец и приближается к точке (1,0;
0,0), как должно быть в этой модели. Аналогично золото не соответ-
ствует металлу свободных электронов выше 2,2 эВ.
Отличия в поглощении поверхностных плазмонов разными метал-
лами ясно проявляются, если мысленно наложить кривые рис. 12,9, г
на рис. 12.9, а, б, в. Сферические частицы серебра и алюминия име-
ют сильный пик поглощения поверхностных цлазмонов, поскольку
е" мало на частоте, где г = — 2; в то же время частицы золота и
444
Глава 12
меди поглощают слабее из-за гораздо больших значений г". Погло-
щение в серебряных и алюминиевых частицах значительно сильнее
зависит от формы, чем в медных и золотых, так как траектории пер-
вых проходят близко от оси е', на которой находятся полюсы сечения
поглощения.
12.2.5 . Распределение эллипсоидальных форм
В этом месте изучивший предыдущие разделы читатель может за-
даться вопросом: почему мы настолько заинтересованы, если не ска-
зать одержимы, эллипсоидальными частицами, хотя в большинстве
своем частицы не являются ни эллипсоидами, ни тем более шарами.
Поверхностные моды в малых частицах
445
Одна из причин такого внимания к эллипсоидам состоит в том, что
их изучение позво.ляет развеять широко распространенное заблуж-
дение об отсутствии влияния формы малых частиц на их спектр пог-
лощения. Действительно, сильные зависимости от формы в случае
эллипсоидальных частиц определенно означают наличие таких зави-
симостей для частиц белее сложной формы. Но имеется и еще одно
соображение, которое может оказаться важным для практического
использования: можно надеяться, что спектры частиц сложной фор-
мы удастся аппроксимировать соответствующим усреднением по
всем параметрам формы эллипсоида, что позволит получить простые
выражения для средних сечений поглощения. Эта идея возникла из
разговоров с Д.П. Гилра, который выполнил вычисления для скоп-
лений разных сфероидов. Его неопубликованные результаты были
использованы в работе [ 474], где сделана попытка по свойствам
инфракрасных спектров излучения выяснить характеристики частиц
в пространстве, окружающем остывшие звезды. В данном разделе
мы получим выражения для средних сечений при разных предположе-
ниях; в следующих разделах мы приведем экспериментальные дока-
зательства в пользу пригодности этих выражений для описания
спектров поглощения нерегулярных частиц.
Среднее сечение поглощения для скопления случайно ориентиро-
ванных однородных одинаковых эллипсоидов (12.30) можно записать
как
/ 3
<Cabs> = -J" 1П^ 0 + £.
где р =1/(е -1),ае - диэлектрическая проницаемость эллипсоида
по отношению к окружающей среде. В дополнение к случайной ориен-
тации допустим, что скопление состоит из эллипсоидальных частиц
всевозможных форм, т.е. геометрические факторы Lu L3 не ог-
раничиваются одним набором значений, а распределены в соответст-
вии с некоторой функцией распределения 9[Llt> La) по формам. В си-
лу неравенства Ц < £а, функция $(LU £а), строго говоря, опреде-
лена только в заштрихованной области в плоскости £j£a, показан-
ной на рис. 12.10. Однако удобно расширить область определения
3*(L l₽ £а) на показанную на этом же рисунке большую треугольную
Глава 12
446
область Д. Ее можно разделить на шесть эквивалентных участков
равной площади, каждый из которых соответствует одному из шести
способов выбора относительных длин осей эллипсоида а, Ь, с (в гл»
5 мы требовали выполнения неравенства а > Ь > с). Функция распре-
деления нормирована на единицу на Д:
//У(Ь1Р LjJdLjdLj = 1 .
А
Сечение поглощения, усредненное по распределению форм и всевоз-
можным ориентациям эллипсоида, есть
« Саьв» = £f< Саь8> L2)dL1dL2 =
А
—о— Ьп1 + $2 + ЯаЬ
О
Я dL2dL2f (12.35)
д ₽ + Ll
$a = ff .fJb/..dLdL^f
A ₽ + L2
Интеграл от функции f(Lp L2) по & можно записать как повторный
интеграл
jf L2) dL\ dL2 = ^lf0 /(^i» ^2) ^2-
До сих пор мы считали, что все частицы имеют одинаковый объем
v; однако если корреляции между объемом и формой частиц нет, то
полное сечение поглощения в облаке таких частиц есть
о
где Д - полное число частиц в. единице объема, а < v > - средний
объем частицы. Неявно предполагалось также, что функция распре-
Поверхностные моды в малых частицах
447
РИС. 12.10. Область определения функции распределения по формам.
деления !P(L1p L3) непрерывна, однако это ограничение не является
необходимым, и мы можем рассматривать дискретные распределения,
заменив интегралы суммами по дискретному набору точек (Е,„ Еа)
в Д.
12.2.6 . Однородное распределение форм эллипсоидов
Вероятно, простейшим мыслимым распределением является
распределение, для которого все формы эллипсоидов равновероятны;
при этом S>(Li, La) = 2 и интегралы в (12.35) легко вычисляются:
= he-2.
е-l
Далее, среднее сечение есть
«Qbs» = ln «}•
(12.36)
Глава 12
448
В (12.36) In г означает главное значение логарифма комплексного
числа z = г ([ 99], с. 56):
In z = In г + /0 (г > 0, - 77 < 0 < ет).
12.2.7 . Сводка эффектов формы
Прежде чем приводить экспериментальные данные по поглощению
поверхностных мод малыми частицами, мы кратко подытожим эффек-
ты формы, вычисленные в рэлеевском приближении. Рис. 12.11 схе-
матически иллюстрирует поглощение поверхностных мод для двух
идеализированных классов твердых тел, для которых е' на некоторой
частоте отрицательно: изолятор, описываемый одноосцилляторной
(лоренцевой) диэлектрической проницаемостью (слева) и металл в мо-
дели свободных электронов Друде (справа); частицы при этом нахо-
дятся в свободном пространстве. Шары из обоих твердых тел сильно
поглощают в узкой полосе вблизи частоты, на которой г' равно -2;
сфероиды имеют две полосы, эллипсоиды — три; они расположены вбли-
зи частот, которые определяются относительными длинами их осей.
Непрерывное распределение эллипсоидов имеет широкий спектр погло-
щения, изображенный для обоих материалов. Можно ожидать, что поло-
сы поглощения для других несферических частиц будут зависеть
от их факторов формы (вычисление которых может оказаться тру-
доемким); в качестве примера на рис. 12.11 показаны шесть наибо-
лее важных частот поверхностных мод для диэлектрического куба,
вычисленных в работе [ 163].
Из сказанного можно сделать несколько важных обобщающих
выводов: (1) малые частицы любой формы могут сильно поглощать
на частотах, где е ' отрицательно; (2) разброс по формам уширяет
полосы поглощения за счет снижения максимума поглощения и (3) хотя
эффекты формы в диэлектрических частицах ограничены областью между
частотами поперечной и продольной оптических мод, сильное погло-
щение в металлических частицах может иметь место на любой часто-
те - от плазменной (обычно лежащей в области дальнего ультрафио-
лета) и ниже вплоть до радиочастот, охватывая область видимых и
инфракрасных; таким образом, влияние формы для металлов может
быть значительно более резко выраженным, чем для диэлектриков.
Поверхностные моды в малых частицах
449
РИС. 12.11. Частоты поверхностных мод для диэлектрических и металличес-
ких частиц разной формы.
12.3. КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ МОДЫ В ДИЭЛЕКТРИКАХ
В данном разделе мы сравним теорию, описанную в двух предыду-
щих разделах, с экспериментальными измерениями экстинкции малых
частиц в инфракрасном диапазоне. В научной литературе имеются
такие сравнения для шаров из различных твердых материалов, глав-
ным образом галоидов щелочных металлов и окиси магния; многие из
этих работ цитируются в данной главе. Однако в большинстве из них
29-205
450
Глава 12
при сравнении теории с экспериментом использовались произвольные
нормировки, что частично скрывает расхождения. По этой причине
большинство теоретических вычислений в данном разделе сравнива-
ется с измерениями экстинкции, нормированной на массу. Здесь при-
водятся также новые измерения, выполненные на кафедре физики Ари-
зонского университета. Для иллюстрации различных характеристик
поверхностных мод было выбрано несколько твердых тел. Результаты
для частиц из аморфного кварца (SiOa), например, иллюстрируют сог-
ласие эксперимента с теорией для очень малых сферических частиц,
описываемых объемной диэлектрической проницаемостью их вещест-
ва. Наблюдающееся согласие теории и эксперимента подтверждает
правомерность использования диэлектрической проницаемости объем-
ного вещества для описания малых частиц. Далее мы приводим ре-
зультаты для частиц из кристаллического кварца, которые определен-
но несферичны, а также оптически анизотропны, так что для
их описания приходится использовать теорию, включающую распреде-
ления по формам и усреднение по ориентациям. Затем обсуждаются
данные об экстинкции для частиц из SiC и MgO; эти твердые вещест-
ва уже использовались для иллюстраций в гл. 9 и 10. Имеются еще и
многочисленные публикации по поглощению поверхностных мод в ды-
ме MgO, частицы которого имеют приблизительно кубическую фор-
му — свойство, выделяющее MgO из ряда других веществ, частицы
дыма которых весьма разнообразны по форме.
12.3.1. Соображения, важные для экспериментов
Для законности сравнения теории с экспериментом необходимо
приготовить образцы, в которых частицы очень малы (обычно субми-
кронного размера), хорошо изолированы друг от друга, причем их
полная масса должна быть точно известна; кроме того, нужно иметь
результаты надежных измерений оптических постоянных, полученные
на объемных образцах материалов частиц и среды. Эти требования,
конечно, легче поставить, чем им удовлетворить; однако если они не
выполнены, то результат сравнения теории с экспериментом - согла-
сие или расхождение - будет скорее всего обманчивым.
Для того чтобы удовлетворить требованиям теории данной главы
(частицы должны быть изолированными и однородными), желательно
Поверхностные моды в малых частицах
451
поместить частицы в какой-либо твердый носитель — матрицу. На
первый взгляд может показаться, что распыление частиц в воздухе
или другом газе более удобно и столь же удовлетворительно, но та-
кая методика приводит к динамической системе, в которой характе-
ристики частиц непрерывно меняются из-за процессов коагуляции и
седиментации. Распыление в условиях невесомости и высокого ваку-
ума окружающей среда на орбитальном космическом корабле могло
бы препятствовать этим нежелательным эффектам. Однако гораздо
менее дорогим является диспергирование частиц в твердой среде;
эта методика гарантирует сохранение изолированности и независи-
мости частиц. Обычной техникой такого рода, которая многие годы
широко применялась химиками в инфракрасной спектроскопии, явля-
ется использование в качестве матрицы КВг: небольшие количества
образцов частиц тщательно перемешиваются с порошком КВг; из-за
мягкости КВг и его оптической прозрачности в диапазоне примерно
от 40 до 0,2 мкм полученную таким образом смесь можно спрессо-
вать в прозрачную таблетку. Тогда измерения прохождения с обычным ин-
фракрасным спектрофотометром дадут спектр ослабления для частиц в
матрице из КВг. Хотя КВг уже долгое время является самым попу-
лярным носителем, можно использовать и другие материалы, такие,
как Т1Вг и KI . Полиэтиленовую пудру с диспергированными в нее
частицами также можно спрессовать и получить прозрачные в инфра-
красном диапазоне образцы, пригодные для длин волн больше 20 мкм;
вполне удовлетворительные образцы можно получить сдавливани-
ем порошка смеси между двумя стеклянными пластинками на го-
рячей длите. Альтернативная процедура состоит в осаждении частиц
дыма на тонкие листы полиэтиленовой пленки, которая затем разре-
зается на небольшие квадраты ( ~ 1 см), складывается в стопки и
спекается между стеклянными пластинами на горячей плите. Более
сложный метод, многие годы используемый для изоляции молекул и
молекулярных групп, состоит в инжекции образца (пара или частиц)
в поток газа, например аргона, который затем отверждается. Авторы
работы [310] в последние годы использовали эту методику для изо-
ляции малых твердых частиц; в работе [ 502] по той же методике иссле-
довались еще и группы атомов серебра. Во всех этих случаях использо-
вание твердого носителя служило просто для изоляции частиц друг от
Друга и сохранения этого состояния при спектроскопических исследо-
ваниях.
452
Глава 12
Использованная в большинстве из цитированных в данном разделе
работ методика К Вг имеет то дополнительное преимущество, что об-
разцы остаются неизменными в течение многих лет при хранении в су-
шильном шкафу и пригодны для дальнейших исследований. Недостат-
ком этой методики является возможность изменений некоторых час-
тиц в процессе толчения и прессования. Чтобы избежать этого, неко-
торые исследователи предпочитали использовать неплотные скопле-
ния частиц на прозрачной для ультрафиолета подложке (см. например,
[ 176]). Хотя такой подход вполне приемлем, он обычно нарушает
предположение об однократном рассеянии на независимых частицах,
из-за чего для учета взаимодействия между частицами приходится
использовать модифицированный теоретический подход, каким явля-
ется, например, теория Максвелла Гарнетта.
Измерения ослабления малыми частицами легче интерпретиро-
вать и сравнивать с теорией в том случае, когда каким-то образом
выделено скоцление достаточно малых частиц. Причина этого, как
мы надеемся, станет ясной из рассмотрения рис. 12.12, где норми-
рованные сечения рассеяния, полученные с использованием теории
Ми и объемных оптических постоянных MgO, SiO2 и SiC, изображены
как функции радиусов частиц; нормировка дана на сечение в рэлеев-
ском пределе. Точнее говоря, на этом рисунке приведены максималъ-
РИС. 12.12. Максимальное сечение экстинкции шаров в инфракрасном диапа-
зоне, нормированное на свое значение в рэлеевском пределе.
Поверхностные моды в малых частицах
453
ные значения сечения в инфракрасном диапазоне, положения которых
могут существенно сдвигаться с изменением радиуса. Наиболее важ-
ный вывод, вытекающий отсюда, состоит в том, что массовый коэф-
фициент ослабления (сечение на единицу массы частицы) не зависит
от размеров частиц ниже некоторого радиуса, зависящего от вещест-
ва (для рассматриваемых здесь примеров этот радиус лежит между
0,5 и 1,0 мкм). Это вызывает желание работать только с малыми
частицами: при условии, что полная масса таких частиц измерена
точно, можно проводить сравнение теории с экспериментом, не забо-
тясь о распределениях частиц по размерам и нормировке.
Имеются два различных способа получения субмикронных частиц:
1) по возможности мелко растолочь объемный материал и дисперги-
ровать полученные частицы в воздухе или в воде для разделения
по размерам путем осаждения и 2) использовать методику, при кото-
рой создаются только субмикронные частицы, такую, как испарение
Электрической дуги с последующей конденсацией в газе. Некоторые
из частиц, рассмотренные в последующих параграфах — частицы из
аморфных SiQj и SiC, — приготовлялись испарением дуги; частицы
М gO получались сжиганием магниевой ленты в воздухе. Эти методы
дают главным образом очень малые частицы (меньшие примерно
0,1 мкм). Частицы из объемного твердого вещества (например, кварца)
получались путем энергичного размалывания в течение нескольких
часов в стальной и агатовой ступках, диспергировались как в воздухе,
так и в воде и осаждались достаточно долгое время, чтобы в суспен-
зии остались только частицы с размерами меньшими примерно 1 мкм;
после этого для выделения частиц суспензия фильтровалась. Во всех
случаях около 100 мг частиц диспергировалось в примерно 0,5 г по-
рошка КВг. Смеси частиц с КВг взбалтывались в небольшом стек-
лянном сосуде со стальными шариками в течение времени от несколь-
ких часов до нескольких дней, после чего они прессовались в таблетки
диаметром ~ 1 см действием силы примерно в 10 тонн. Можно ожидать,
что эта методика дает образцы частиц, которые хорошо изолированы
Друг от друга и достаточно малы, так что для них объемная экстинк-
ция не зависит от размера.
12.3.2. Шары из аморфного кварца
Постолшо возникающий вопрос об области применимости объем-
ных оптических констант для описания малых частиц можно сформу-
лировать так: насколько малыми должны быть частицы, при описаг
454
Глава 12
РИС. 12.13. Измеренная (штриховая кривая) и вычисленная (сплошная кри*
вая) экстинкции в инфракрасном диапазоне для шаров из аморфного кварца.
нии свойств которых нельзя использовать характеристики объемно-
го вещества? Поскольку некоторые оптические эффекты для малых
частиц можно интерпретировать как нарушение применимости объем-
ных свойств (см. соответствующие абзацы в разд» 12.1 и 12.4 об
ограничении на длину свободно пробега), стало, к сожалению, обыч-
ным сомневаться в правильности использования объемной диэлектри-
ческой проницаемости даже для частиц микронных размеров и боль-
ше. Слишком часто необъяснимые эффекты, проявляемые малыми
частицами, т.е. эффекты, не объяснимые в рамках теории для оди-
Поверхностные моды в малых частицах
455
ночных шаров, интерпретируются как результат непригодности объем-
ных свойств без изучения других возможностей, таких, как поверх-
ностные эффекты и взаимодействие между частицами., Но измерения
для нешаровых частиц нельзя сравнивать с вычислениями для шара,
если мы хотим судить о пригодности или непригодности объемных
оптических постоянных для этих вычислений; единственно подходя-
щая экспериментальная проверка требует измерений для шаров., Ма-
\,лые твердые шары получить, как правило, не просто; исключением
является дым из Si02, который можно получить достаточно легко,
зажигая.дугу постоянного цли переменного тока в воздухе между
электродами из кремния или углерода, на которые нанесены кусочки
кремния и кварца, Полученные таким образом дымы состоят из час-
тиц аморфного SiO2, имеющих почти идеально сферическую форму ••
с диаметрами в диапазоне примерно от 100 до 1000 А; они удовлетво-
ряют требованиям сферичности, изотропности, состоят из материала
с точно измеренными инфракрасными оптическими постоянными и хо-
рошо укладываются в диапазон, где объемная экстинкция не зависит
от размера частиц., Наибольшая проблема, которую при этом остается
решить, состоит в том, что при образовании в воздухе шары слипают-
ся в комки или цепочки, которые на электронных микрофотографиях
напоминают нитки жемчуга» В работе [449] были опубликованы дан-
ные по инфракрасной экстинкции на таких системах частиц, посколь-
ку они приближаются к идеальным; однако между вычисленным и из-
меренным максимумами экстинкции было обнаружено расхождение в
2,2 раза» Позже проводились эксперименты с применением специаль-
ных мер для разрушения комков и получения изолированных сферичес-
ких частиц в матрице из КВг« Результаты последних таких экспери-
ментов показаны на рис» 12.13, где измеренная экстинкция для шаров
сравнивается с теоретической без использования подгоночных пара-
метров. Использованные для вычислений объемные характеристики
взяты из работы [449]; они хорошо согласуются с результатами неза-
висимых измерений, описанными в [ 341 и 531]. Доказательством того,
что шары из кремнезема в данном случае были диспергированы луч-
ше, чем в ранних работах, служит уменьшение расхождения между из-
меренным и вычисленным максимумами экстинкции с 2,2 раз до при-
мерно 20 %.
Приведенные на рис. 12.13 экспериментальные результаты под-
тверждают целый ряд найденных ранее теоретических особенностей, хаг
Глава 12
456
рактерных для поглощения малыми шарами поверхностных мод инфра-
красного диапазона- Так, частота максимума поглощения на шарах
заметно сдвинута от значения этой частоты для объемного твердо-
го вещества: кривая е" имеет максимум при 1070 см-1, тогда как
максимум поглощения в случае малых шаров имеет место при
1111 см-1, что очень близко к частоте, для которой е’ равно
- 2 гт ( - 4,6 для матрицы из КВг). Максимум поглощения (а для
столь малых частиц поглощение примерно равно экстинкции) очень
велик: на частоте Фрёлиха Qabs для частицы размером 0,1 мкм рав-
но примерно семи.
На наш взгляд, оставшееся расхождение между измерениями и
результатами вычислений для шаров можно приписать остающемуся
слипанию частиц, которое вызывает небольшое уширение полос погло-
щения для малых частиц за счет уменьшения высоты максимума. Од-
нако сопоставление эксперимента с теорией, основанное на исполь-
зовании оптических постоянных, представляется удачным даже без
апеллирования к такому слипанию: теоретически предсказанная по-
лоса поглощения по своему положению и форме очень близка к изме-
ренной. С учетом возможных экспериментальных неточностей изме-
рения объемной диэлектрической проницаемости согласие является
достаточно хорошим, чтобы убедить нас, что по крайней мере в дан-
ном случае оптические постоянные пригодны для описания частиц,
диаметры которых в среднем значительно меньше 0,1 мкм-
12.3.3. Кристаллический кварц
Кристаллический кварц является одним из наиболее обычных
твердых тел на Земле - он разбросан по ее поверхности в виде обык-
новенного песка. С оптической точки зрения он анизотропен и имеет
полосу сильного поглощения в инфракрасном диапазоне вблизи 9 мкм.
В разд. 9.3 кварц приводился как пример анизотропного твердого те-
ла, оптические постоянные которого с успехом извлекаются из измере-
ний отражения в инфракрасном диапазоне на основании многоосцилля-
торной модели. На рис. 12.14 представлены результаты измерений экс-
тинкции в скоплении субмикронных частиц кварца, полученных из вод-
ной суспензии тонко молотого порошка, которую достаточно долго вы-
держивали с целью осаждения наибслее крупных частиц; эти результа-
ты опубликованы в работе [236]. Результаты измерений нормирован-
ной на объем экстинкции на этом рисунке сравниваются с расчетами,
Поверхностные моды в малых частицах
457
РИС. 12.14. Измеренная экстинкция в инфракрасном диапазоне для частиц
из кристаллического кварца (штриховые кривые) в сравнении с результата-
ми расчетов для шаров (верхний рисунок) и для непрерывного распределе-
ния эллипсоидов (нижний рисунок).
в которых использованы оптические постоянные, измеренные в [ 440].
В верхней части с измерениями сравниваются расчеты для шаров с
учетом приведенной в разд. 5.6 трактовки анизотропии; без введения
подгоночной нормировки согласие очень плохое: измеренная ширина
458
Глава 12
полосы оказывается много больше, а высота максимума — много мень-
ше вычисленных. Заметим, что если, как это делается обычно, подо-
гнать измеренные кривые к теоретическим, сдвинув их до совпадения
максимумов, то согласие было бы более удовлетворительным, но
это - лишь косметическое средство, которое маскирует расхождения.
Значительно лучшее согласие с экспериментом дает теоретический
спектр, вычисленный из (12.36) для непрерывного распределения эллип-
соидов, который показан в нижней части рисунка. Хотя столь хорошим
согласием с теорией обладают не все измеренные нами инфракрасные
спектры для малых частиц, они демонстрируют значительное улучше-
ние трактовки влияния формы частиц, особенно для образцов с широ-
ким распределением частиц по размерам. Более того, сильное раз-
личие теоретических результатов для шаров и для распределения эл-
липсоидов и хорошее согласие последних с экспериментом свидетель-
ствуют о важности учета формы частиц вблизи полос сильного инфра-
красного поглощения.
12.3.4. Карбид кремния
Карбид кремния встречается в различных кристаллических фор-
мах; но оптические свойства большинства его аллотропных форм
в инфракрасном диапазоне очень сходны между собой [441]. В разд.
9.1 SiC приведен как канонический для данной книги пример реально-
го твердого тела, у которого имеется сосредоточенная около 11 мкм
полоса поглощения, связанная с колебаниями решетки и подтверждаю-
щая простую одноосццдляторную модель; SiC использовался также
для иллюстрации поверхностных мод в твердых шарах (рис. 12.1 и
12.2) и влияния формы частиц в диапазоне, где существенны поверх-
ностные моды (рис. 12.7). Продолжая рассматривать этот важный
пример, мы приводим на рис. 12.15 экспериментальные данные для
частиц из SiC, полученных из порошка разделением по размерам пу-
тем осаждения из водной суспензии и затем диспергированных в КВг.
Ранее для кубического SiC мы использовали одноосцилляторную аппрок-
симацию; здесь же (на рис. 12.15) приведены результаты расчетов,
учитывающих анизотропию оптических постоянных гексагонального
a-SiC, измеренных в [ 441]. Как и в случае кристаллического кварца,
теория для шаров серьезно отличается от эксперимента. С экспери-
ментом лучше согласуются расчеты для непрерывного распределения
Поверхностные моды в малых частицах
459
Эллипсоидов (НРЭ), что подчеркивает влияние формы частиц на спект-
ры поглощения» Измеренное интегральное поглощение, так же как и
приближенная величина поглощения в области между 800 и 950 см-1,
довольно хорошо согласуются с результатами расчетов для НРЭ» Тем
не менее имеются и некоторые расхождения» В отличие от расчетной
полосы, которая резко обрывается при a>t (793 см-1), измеренная
полоса поглощения простирается до частот, меньших имеет пере-
гиб около 780 см-1» Это как раз та частотная область, где в шарах
SiC по мере того, как они выходят из области рэлеевского рассеяния,
начинает проявляться поглощение объемных мод» Такие объемные мо-
РИС. 12.15. Измеренная экстинкция в инфракрасном диапазоне для частиц
из карбида кремния в сравнении с результатами расчетов для шаров и для
непрерывного распределения эллипсоидов (НРЭ).
460
Глава 12
ды в шарах из SiC обсуждались в связи с рис» 12Л. Они, конечно, не
могли появиться при расчетах изображенных на рис» 12 Л 5 кривых, но
в эксперименте наличие таких мод, хотя и сложным образом измененных
из-за несферичности, должно бцло почувствоваться из-за присутствия
в экспериментальном образце частиц довольно больших размеров
(0,5 - 1,0 мкм)» Кроме того, величина измеренного поглощения имеет
тенденцию превышать значения, вычисленные по теории с НРЭ, но мак-
симум приходится на более низкую частоту, чем в случае шара» Причи-
ной этого может быть наличие у частиц преобладающей формы типа
пластинок, которой, по всей вероятности, не было бы, если бы части-
цы SiC получались подобно частицам кварца, т.е. путем толчения ку-
сочка вещества; но частицы, использованные в наших измерениях,
просто выделялись из промышленного образца и не подвергались даль-
нейшему толчению из-за чрезвычайной твердости SiC.
Еще одно экспериментальное подтверждение влияния формы час-
тиц на спектры поглощения SiC получено в работе [3791, где исследо-
валось инфракрасное поглощение для волокон SiC в оболочке из
SiO2 и без нее Хотя в этих измерениях не использовалась норми-
ровка на массу, они дали сильную полосу поглощения вблизи 795 см-1
и более слабую при 941 см-1. Если волокна аппроксимировать эллип-
соидами с L2 = l8 = 1/2 и Lj = 0 (т е. цилиндрами), то из уравнения
для эллипсоида (12»27) вытекает наличие максимума поглощения для
частиц в воздухе на частотах, где е' = -1 и £' = -«>. Для диэлект-
рической проницаемости изотропного SiC это соответствует полосам
поглощения вблизи 797 и 945 см-1, что прекрасно согласуется с экс-
периментальным положением максимумов для волокон.
12.3.5. Окись магния
Вряд ли найдется вещество, которое бы исследовалось с точки
зрения объяснения инфракрасных поверхностных мод в малых час-
тицах столь же широко, как MgO. Отчасти это может объясняться
легкостью получения малых почти кубических кристаллов MgO путем
простого сжигания магниевой ленты в воздухе. Обзор соответствую-
щих экспериментальных и теоретических работ дан в [174].
В работах [ 176, 1771 измерялась экстинкция в разреженных час-
тицах дыма MgO, осажденных на прозрачные подложки, как в возду-
хе, так и покрытых слоем прозрачного масла Nujol. Обнаруженные
полосы поглощения заметно смещены от полосы объемного поглоще-
Поверхностные моды в малых частицах
461
кия; частоты максимального поглощения согласуются с теоретичес-
ким расчетом, хотя их ширина оказалась значительно большей, чем
предсказывает теория для шаров. Кроме того, вблизи максимума
объемного поглощения (максимума е") всегда появлялись брлее
узкие особенности. Предприняты попытки объяснить уширение полос
поглощения ссылкой на повышенное затухание в малых частицах.
В работе [163] в электростатическом приближении выведено выраже-
ние для поглощения кубическими частицами, которое бщло примене-
но для описания М gO с использованием оптических постоянных, сле-
дующих из одноосцилляторной модели для объемного MgO, но с боль-
шим фактором ослабления. В следующей работе того же автора
[ 164] дано сравнение результатов его макроскопической модели с рас-
четами работы [ 95], основанной на динамическом рассмотрении ре-
шетки микрокристалла MgO из 900 атомов (10 х 10 х 9); хорошее сог-
ласие этих двух теорий наводит на мысль, что уже при относительно
малом числе атомов частицу MgO можно рассматривать макроскопи-
чески. В работе [ 298] изучено поглощение инфракрасного излучения для раз-
ных образцов из MgO; при интерпретации результатов говорится о
рели формы частиц. В [ 312] измерялись излучательные способности
в диапазоне инфракрасных поверхностных мод; аналогичные измере-
ния проведены в [259] для галоидов щелочных металлов. Несмотря на
все усилия, согласие эксперимента с теорией не было вЦолне удовлет-
ворительным, отчасти из-за использования в большинстве этих работ
произвольных подгоночных нормировок.
Результаты наших последних измерений экстинкции для частиц
MgO показаны на рис. 12.16. Сплошные кривые представляют экспери-
ментальные данные, а штриховые — результаты теоретических рас-
четов с экспериментальными значениями оптических постоянных из
[ 249]; степень дисперсности частиц возрастает сверху вниз. В верх-
ней части этого рисунка нормированная на объем экстинкция показана
для образца, приготовленного путем сжигания магниевой ленты в воз-
духе с последующим осаждением частиц на прозрачной таблетке из КВг. Средняя
кривая относится к случаю, когда таблетка из смеси частиц того же дыма и
КВг прессовалась после трехчасового встряхивания смеси в стеклянной
пробирке со стальным шариком; нижняя кривая соответствует образцу
с трехдневным встряхиванием до прессования в таблетку.
Частицы, напыленные на подложку из КВг, не являются строго
изолированными, и это, по-видимому, нужно учитывать и исходить
462
Глава 12
при расчетах из теории Максвелла Гарнета (или какой-либо аналогич-
ной теории), как это и было сделано в [ 176, 1771 Однако в силу ма-
лости объемной доли частиц мы не сделаем большой ошибки, срав-
нив результаты экспериментов с расчетами для изолированных ша-
ров и непрерывного распределения эллипсоидов. Наши расчеты для
шаров плохо согласуются с экспериментами даже в отношении Поло-
жения максимумов поглощения. Между тем в [ 176, 177] на основании
оптических постоянных из [2101 было получено хорошее согласие
теории с измеренными положениями максимумов поглощения. Это го-
ворит о сильной зависимости расчетов для поверхностных мод от вы-
бора оптических постоянных и вытекающих отсюда трудностях, с ко-
торыми приходится сталкиваться при решении вопроса о том, какие
из иногда сильно отличающихся значений оптических постоянных яв-
ляются наилучшими для таких расчетов.
Весьма показательным оказывается сравнение измерений для
частиц, напыленных на КВг и перемешанных с ним. Кривая экстинкции
для частиц на подложке из КВг имеет максимум примерно при
400 см-1, что соответствует частоте поперечной оптической моды
для объемного MgO. Эта особенность наблюдалась неоднократно и
обсуждена в некоторых из уже цитированных работ. В настоящее
время ее объяснение видится в том, что кубические частицы MgO
имеют тенденцию слипаться в Цепочки, которые по форме больше на-
поминают не шары, а скорее цилиндры или вытянутые эллипсоиды. Ана-
логичный эффект наблюдался в работе [239] для частиц дыма из
NiO, где результаты анализировались на основе расчета как для ци-
линдров, так и для шаров. Еще одним доказательством того, что обра-
зование цепочек объясняет наличие максимума при 400 см-1, служит
его исчезновение при очень тщательном диспергировании частиц в
КВг (рис. 12.16, б, в); на это было указано в [ 122].
На рис. 12.16, б расчеты для шарж и для НРЭ сравниваются с резуль-
татами измерений для хорошо перемешанных с КВг кубов из MgO; ни
одну из теорий нельзя считать вполне удовлетворительной. Теорети-
ческое положение максимума поглощения в случае шара довольно близ-
ко к измеренной величине, но все же не совпадает с ней; расчеты для
НРЭ приводят к заметному поглощению приблизительно в той же поло-
се частот, которая следует из измерений, но не описывают структуру
полосы. Если в использованные нами оптические постоянные подста-
вить значение частоты Фрёлиха, то из рис. 12.16, б видно, что ни одна
Поверхностные моды в малых частицах
463
РИС. 12.16. Измеренная экстинкция в инфракрасном диапазоне для кубов
из окиси магния (сплошные кривые); дисперсность частиц возрастает от
(а) к (в). Результаты расчетов для частиц разной формы показаны штрихо-
выми кривыми.
Глава 12
464
из теорий не дает хорошего приближения для частиц MgO. Это едва ли
должно нас удивлять, так как электронные микрофотографии показыва-
ют, что частицы дыма MgO представляют собой кубы. Эти кубы насто|ль-
ко близки к идеальным, что их используют для быстрого определения
разрешающей силы электронного микроскопа: уменьшение разрешения
проявляется в заметном скруглении углов.
Полученный в электростатическом приближении результат рабо-
ты [ 163] для нормированного на объем поглощения в случайно ориен-
тированных кубах имеет вид
6
C(j)
(12.37)
Сумма всех факторов С(/) равна 1, а параметры п- аналогичны гео-
метрическим факторам в выражении (12.30) для приходящегося
на единицу объема сечения поглощения случайно ориентированных
эллипсоидов:
I 3 4
klm( У. —------------—
-em)+Lj
Для вычисления по формуле (12.37) теоретического спектра поглоще-
ния разреженной суспензии из случайно ориентированных кубов
MgO мы использовали диэлектрическую проницаемость е объемного
MgO, вычисленную по параметрам осциллятора, определенным в
[249], а также диэлектрическую проницаемость ет матрицы из КВг,
данную в [446] ( с поправками из [256]). На рис. 12Л6, в результаты
этих вычислений сравниваются с результатами измерений для хоро-
шо диспергированных частиц дыма MgO. На более или менее одно-
родный фон между 400 и 700 см-1, аналогичный спектру для НРЭ, на-
лагаются два максимума вблизи 500 и 530 см-1, отвечающие часто-
там основных мод куба. По-видимому, это первое экспериментальное
разрешение этих двух мод. Если это действительно так, то ширины
мод. отдельного куба оказываются лишь немногим больше полосы
доминирующего объемного поглощения. Для приведения в соответст-
вие теории с экспериментом авторам работы [176] пришлось увели-
чить факторы затухания в 12 раз; а в работе [163] для этой же цели
понадобилось увеличение в 2,5 раза. Такое увеличение затухания,
Поверхностные моды в малых частицах
465
диктовавшееся приводившимися в ранних работах широкими и плав-
ными спектрами поглощения в кубических частицах MgO, сейчас уже
не представляется необходимым ввиду отчетливого разрешения мод
куба» Из результатов для MgO и согласия теории с экспериментом
для шаров из аморфного кварца (разд. 12.3.2 следует, что для описа-
ния поверхностных мод инфракрасного диапазона в частицах с разме-
рами от ЮО до 1000 А объемные оптические постоянные не нужно
сколь-нибудь существенно модифицировать например за счет увели-
чения фактора затухания.
12.4. ЭЛЕКТРОННЫЕ МОДЫ В МЕТАЛЛАХ
Первые исследования поверхностных плазмонов, хотя и без ис-
пользования этого термина, касались коллоидных серебра и золота.
Со времен классических трактатов Фарадея и теоретических построе-
ний Ми и до наших дней яркая окраска металлических коллоидов при-
влекала серьезное внимание ученых. В самые последние годы было про-
ведено много экспериментов по наблюдению поверхностных мод в
различных металлических и металлоподобных частицах» К ним отно-
сятся и водные коллоидные растворы, и фотографические эмульсии,
и фоточувствительные стекла, и островные пленки, полученные напы-
лением малых количеств металлов на гладкие поверхности, и керметы,
и зернистые пленки, и дымы металлов, и электронно-дырочные кадли
в полупроводниках при низких температурах, и даже частицы в меж-
звездном пространстве. Мы не будем давать обзор этой широкой облас-
ти, охватывающей различные разделы чистых и прикладных наук, а
выберем несколько наиболее показательных примеров. Первый из
них — золото, отчасти из исторического интереса, а отчасти потому,
что оно остается хорошим примером поглощения поверхностными модами
малых сферических частиц в диапазоне видимого света. Затем мы
обсудим случай серебра как почти идеального металла со свобод-
ными электронами, для которого влияние формы частиц выражено
гораздо сильнее, чем для золота, и прекрасно демонстрируется экс-
периментами. Далее обсуждаются новые измерения для алюмини-
евых частиц с широким распределением по формам, которое приво-
дит к уширению полосы поглощения поверхностных плазмонов вплоть
до области дальнего инфракрасного диапазона. В конце раздела крат-
ко обсуждается случай капель из электронно-дырочной плазмы, кон-
денсирующейся в полупроводниках при низких температурах.
30-205
466
Глава 12
12.4.1 . Золото
В классической работе Ми 1908 г. [330] дана количественная
интерпретация яркой окраски коллоидного золота, которая много ра-
нее обсуждалась качественно Фарадеем [147]. Несмотря на отсутст-
вие в то время ЭВМ, вычисления Ми довольно хорошо согласовывают-
ся с измерениями [ 271]о В последние годы было опубликовано много
теоретических и экспериментальных работ по частицам золота; в
[ 194] перечислено более 50 статей, опубликованных за последние
20 ,лет. В некоторых из них переизмерялись оптические постоянные
золота, которые сейчас, по всей видимости, известны лучше, чем во
времена Ми Были изучены разные типы конкретных систем с части-
цами; однако, частицы золота в водных растворах, в желатине и в
стекле, по-видимому, .лучше всего изолированы друг от Друга, и по
этой причине мы обратим особое внимание на эти системы. Для иллю-
страции зависимости экстинкции в коллоидах золота от размеров
частиц на рис. 12.17 приведены данные из работ [ 135] и [ 4791. В них
исследовались разные диапазоны размеров, но в области перекрытия
их результаты хорошо согласуются друг с другом. Поскольку в [ 479]
и в [ 135] результаты представлены по-разному, кривые для радиусов
меньше 26 А соо^етствуют постоянному числу частиц, а для радиу-
сов, больших 26 А,- постоянной массе. Мы представили данные из
[ 135] так& что максимум поглощения одинаков для частиц размером
26 и 100 А. Средние размеры наибольших частиц, изученных в [479],
совпадают с размерами, для которых были опубликованы расчеты Ми,
воспроизведенные в работе [479].
Кривые на рис. 12.17 прекрасно иллюстрируют оптические эффек-
ты, проявляемые малыми металлическими частицами в области по-
верхностных мод, как те, которые объясняются теорией Ми с объем-
ными оптическими постоянными, так и те, которые требуют модифи-
кации средней длины свободного пробега электронов (см. разд. 12.1).
Поглощение частицами с радиусами, лежащими между примерноо26
и 100 А, имеет максимум вблизи частоты Фрелиха (Af — 5200 А), ко-
торая не зависит от размера частицы. На больших длинах волн погло-
щение сильно падает (что, заметим, в корне отличается от поведения
поглощения в тонких пленках золота); это приводит к рубиново-красной
окраске, наблюдаемой при прохождении белого света через жидкие
коллоидные растворы золота и ’’рубиновое" стекло. При увеличении ра-
диуса начиная со 100 А максимум поглощения уширяется и в согласии
Поверхностные моды в малых частицах
467
РИС. 12.17. Поглощение частицами золота разных радиусов. Сплошные кри-
вые взяты из работы [479]; пунктирные кривые — из работы [135].
с (12.13) сдвигается в сторону больших длин волн; при этом наблюда-
емая окраска меняется от рубиново-красной к пурпурной, далее к фио-
летовой, становясь бледно-голубой для частиц самых крупных разме-
ров (800 А). Рассеяние белого света становится заметным для частиц,
размер которых превышает примерно 250 А, а для частиц меньшего
размера оно выражено слабо. Окраска рассеянного света имеет
красновато-коричневый цвет, поскольку максимум сечения рассея-
ния лежит в длинноволновой части видимого спектра; голубая окрас-
ка прошедшего света связана одновременно как с относительно бо-
лее сильным рассеянием длинноволновой части спектра, так и с ее
более сильным поглощением.
Для частиц, меньших примерно 26 А, форма полосы поглощения
начинает зависеть от размера частицы, что наводит на мысль о
неприменимости объемной диэлектрической проницаемости. Действи-
468
Глава 12
тельно, уширение и уменьшение максимума поглощения можно объяс-
нить, уменьшив среднюю длину свободного пробега электронов прово-
димости (разд. 12.1). Таким образом, в эксперименте с рассматрива-
емой системой почти сферических и хорошо изолированных друг от
друга частиц проявляются все основные характерные черты поверх-
ностных мод в малых металлических частицах. Но при сравнении тео-
ретических расчетов с результатами измерений без подгоночной нор-
мировки все же остается некоторое расхождение. На рис. 12.18 ре-
зультаты измерений на водном ксдлоидном растворе частиц золота
размером 100 А из работы [ 135], согласующиеся с результатами
[ 4791, сравниваются с расчетами из [ 135]; результаты расчетов при-
ведены для двух наборов оптических постоянных, взятых из разных
источников. Имеется остаточное и, как нам кажется, неустранимое
расхождение, заключающееся в том, что теоретический максимум
оказывается более узким и высоким, чем измеренный; это отмечалось так-
же и в работах [135, 194]. Автор работы [ 135] высказал предположе-
РИС. 12.18. Измеренные и расчетные спектры поглощения для частиц золо-
та радиусом 100 А в водной суспензии. Из работы [ 135].
Поверхностные моды в малых частицах
469
ние, что объяснение указанного расхождения лежит в отличии объем-
ного поглощения от поглощения в малых частицах, связанном с
дефектами и примесями, которые возникают при выращивании частиц
золота- После изучения разных гипотез, включающих и такие, как
несферичность частиц и наличие окисной цленки, в работе [ 194] был
сделан вывод, что неизбежное слипание частиц в группы и цепочки ана-
логично несферичности одиночных частиц и должно учитываться эф-
фективными факторами формы, которые уширяют и уменьшают макси-
мум кривой поглощения (см- сводку эффектов формы в конце разд 12.2).
Несмотря на наличие некоторых расхождений, комбинация объем-
ных оптических постоянных, в особенности после соответствующих
модификаций, с теорией Ми удивительно хорошо описывает наблюдае-
мые оптические свойства малых частиц, В [ 135] сделан вывод, что
даже без ограничений на среднюю длину свободного пробега класси-
ческая теория оказывается пригодной вплоть до диаметров во85 А; в
[ 194] найдено, что поведение частиц с размерами в 30 — 40 А хорошо
согласуется с расчетами по классическим формулам, если учесть
Влияние длины свободного пробега и несферичность частиц; при этом
особо подчеркивается отсутствие каких-либо квантовых эффектов,
связанных с малостью частиц.
12.4.2. Серебро
Поглощение поверхностных плазмонов для частиц серебра наб-
людалось в самых разных средах, среди которых водные растворы
[ 278], и желатин [ 433], и стекло [ 453]. Влияние размера для почти
сферических частиц серебра аналогично случаю частиц золота: ограниче-
ние длины свободного пробега диаметром частицы уширяет и умень-
шает максимум поглощения в случае очень малых частиц, тогда как
для частиц белее крупных размеров максимум сдвигается в сторону
больших длин волн и уширяется за счет возбуждения мод высших по-
рядков. Как уже отмечалось при обсуждении рис. 12.9, малость ен
для серебра вблизи частоты Фрёлиха приводит к возникновению по-
лосы сильного поглощения, структура которой более чувствительна
к форме частиц, чем в случае золота, где такие полосы выражены
слабо. Мода Фрелиха для серебряных шариков в воздухе отвечает
примерно 3600 А и сдвигается к 4100 А в таких средах, как желатин
или стекло. Поскольку максимум кривой поглощения очень мелкими
Глава 12
470
шариками приходится на голубой участок спектра, увеличение разме-
ров частиц приводит к изменению окраски прошедшего света, которая
охватывает весь диапазон цветов. Такая зависимость цвета от раз-
меров частиц вместе с уширением и сдвигом максимумов поглоще-
ния позволяет окрашивать стекла [504, гл. 24 и 251. Так, например,
в работе [507] была описана окраска коллоидов серебра, меняющаяся
при изменении размеров частиц примерно от 100 до 1300 А от желтой
(ддя самых мелких частиц) до темно-зеленой, проходя последовательно через
красную, пурпурно-красную, фиолетовую, темно-синюю и светло-синюю.
Вследствие важности для фотографического процесса серебро ши-
роко изучалось в различных светочувствительных материалах. Этот
процесс характеризуется тем, что при экспозиции возникает стро-
го определенное количество частиц, после чего они выращивают-
ся при проявлении. Поскольку во время выращивания число частиц не
изменяется, можно создавать образцы, в которых контролируется как
концентрация, так и размеры частиц; в некоторой степени удается кон-
тролировать и форму частиц.
Наиболее успешные попытки выяснить, как контролируемые отли-
чия от сферичности (разд. 12.2) влияют на спектры поглощения ма-
лыми частицами, связаны с экспериментами на серебре. На рис. 12.19
показаны спектры поглощения для трех образцов частиц серебра, по-
лученных в желатине путем фотографической экспозиции и проявле-
ния [433]; средние отношения полуосей (ajb) приближенно сфероидаль-
ных частиц определились по электронным микрофотографиям. Для
почти сферических частиц (а /Ь = 1^18) видна только одна полоса
вблизи длины волны Фрёлиха 4200 А; для более вытянутых частиц
(а /Ь = 2,5 и 3,35) появляется расщепление мод (см. обсуждение
рис. 12.5): одна полоса сдвигается в сторону больших, а другая - в
сторону меньших длин врлн. В нижней части рис. 12.19 помимо е'
для серебра изображены два ряда длин волн, на которых выполняется
условие (12.27) для факторов формы и (Ц = L3). Несмотря на
наличие некоторых количественных расхождений между теоретичес-
кими и экспериментальными результатами, качественно они оказыва-
ются сходными: чем сильнее вытянуты частицы, тем больше разнесе-
ние этих двух мод. Однако, положение коротковолновой полосы пред-
сказывается лучше, чем длинноволновой; это расхождение, по-види-
мому, объясняется распределением частиц по сфероидальным формам,
Поверхностные моды в малых частицах
471
РИС. 12.19. Спектры поглощения для коллоидов серебра (верхний рисунок);
форма частицы описывается средним отношением полуосей а /Ь (из работы
[433]). На нижнем рисунке изображен ход е' для серебра (сплошная кривая),
а также длины волн поверхностных мод (штриховые кривые) для двух фак-
торов формы сфероида.
которое приближенно заменялось просто на среднее отношение осей,
а также отличиями формы частиц от сфероидальной.
Измерения спектров поглощения для несферических частиц се-
ребра выполнялись еще и в работе [ 452]. Путем специальной тепло-
вой обработки во время выращивания частиц в фоточувствительном
стекле с одновременным его вытягиванием с целью упорядочивания
Глава 12
472
частиц В [ 452] были получены образцы, поглощение в которых зави-
село от поляризации; в них полоса поглощения лежит в длинноволно-
вой части моды Фрёлиха, если электрический вектор параллелен боль-
шой оси частиц, и в коротковолновой части, если он перпендикулярен
этой оси. Дальнейшие эксперименты с фотохромными стеклами
[ 453] показали, что серебро в них выделяется селективно в виде за-
остренных верхушек вытянутых пирамид. Хотя такие частицы не эллип-
соидальны, экспериментальные результаты были успешно объяснены
на основании теории Рэлея. Однако в отличие от результатов [433]
измерения спектральных сдвигов дали значения меньше теоретичес-
ких. В работе [ 453] аналогично нашему замечанию в начале данного
раздела указано, что вследствие малых значений е" в области по-
верхностных плазмонов стеклообразные коллоиды серебра обладают необы-
чайно сильной окрашивающей способностью; поэтому, а также в виду
возможности перекрыть весь спектр видимого диапазона за счет из-
менения размеров и формы частиц можно предвидеть, что такой мно-
гоцветный фотоматериал найдет самые разные применения.
Как было указано вслед за формулой (12.26),резонансы поглоще-
ния, вызываемые возбуждением поверхностных мод, сопровождают-
ся резонансами рассеяния на примерно тех же частотах. Для опреде-
ления экстинкции, которая для достаточно малых частиц равна погло-
щению, в большинстве экспериментов измеряется прозрачность.
Однако резонансы поверхностных мод наблюдались в спектрах
света, рассеянною под углом 90° малыми частицами серебра, меди
и зрлота, полученными конденсацией пара в потоке инертного газа
[145]. Для наименьших частиц серебра максимум резонанса рассея-
ния находился вблизи 3670 А, т.е. около ожидаемого положения моды
Фрёлиха. Несмотря на предсказуемость положения максимума, имеет
место расхождение в положениях и формах полос, которые бцли от-
несены на счет несферичности частиц.
12.4.3. Алюминий
‘На рис. 12.6 сравниваются результаты расчетов для алюминие-
вых шаров и для непрерывного распределения алюминиевых же эллип-
соидов (НРЭ); при этом диэлектрическая проницаемость оценивалась
по формуле Друде. Из правила сумм (12.32) следует, что интеграль-
ное поглощение частицей алюминия в воздухе почти не зависит от
Поверхностные моды в малых частицах
473
ее формы: изменение формы просто сдвигает резонанс на другую час-
тоту между 0 и 15 эВ, где е' для алюминия отрицательно. Таким об-
разом, распределение по формам приводит к уширению полосы погло-
щения поверхностного плазмона, протяженность которой наиболее яс-
на при изображении спектра экстинкции в логарифмическом масшта-
бе. На рис. 12.20 показаны результаты вычислений, которые получе-
ны с использованием измеренных в работе [211] оптических постоян-
ных алюминия, Для частиц в воздухе (сплошная кривая) и в среде с
диэлектрической проницаемостью, близкой к проницаемости КВг в об-
РИС. 12.20. Расчетные спектры экстинкции для малых алюминиевых шаров
и для непрерывных распределений эллипсоидов (НРЭ) в воздухе (——) и в
среде с е = 2,3 (---). Кружками показаны данные из реботы [ 195], треу-
гольниками — из [387]; темные треугольники отвечают частицам на подложке,
а светлые — в матрице из КВг или полиэтилене.
Глава 12
474
ласти прозрачности (штриховая кривая). Заметим, что имеется лишь
небольшое различие между результатами расчетов с НРЭ для частиц
в воздухе и в твердой среде. Различие между расчетами для шара и
НРЭ быстро увеличивается с ростом длин волн: из-за очень крутого
изменения низкочастотного крыла спектра экстинкции для шара при
длине врлны 1 мкм результаты отличаются множителем примерно
10а, при 20 мкм - множителем 10я и при 300 мкм - 104, а на мил-
лиметровых длинах волн различие достигает 10®. На рис. 12.20 при-
ведены заимствованные из двух работ экспериментальные данные:
кружки соответствуют результатам измерений в дальней инфракрас-
ном диапазоне [195], а треугольники изображают результаты изме-
рений [ 387], о которых мы скажем несколько слов. Хотя распределе-
ние по формам использованных в эксперименте частиц адюминия,
наверняка, не является непрерывным распределением эллипсоидов,
результаты вычислений для НРЭ оказываются значительно ближе к
экспериментальным точкам, чем вычислений для шаров; то же самое
было и для частиц SiC и кристаллического кварца (разд. 12.3).
Сильное расхождение результатов расчетов для шаров с резуль-
татами измерений экстинкции в дальнем инфракрасном диапазоне
(рис. 12.20) в последнее время привлекало большое внимание. Толч-
ком для проведения таких измерений послужил поиск энергетических
щелей сверхпроводимости в малых частицах. Хотя искомые сверхпро-
водящие свойства найдены не были, зато была обнаружена неожидан-
но высокая экстинкция, которой пытаются дать разные объяснения:
в [ 460] обсуждается возможная роль квантовых эффектов, связанных
с малостью частиц; в [185] предлагается механизм, в котором непол-
ная экранировка электронов проводимости вблизи поверхности части-
цы вроде бы должна приводить к увеличению связи фотонов с колеба-
ниями решетки; в [ 432] выдвигается предположение, что аморфная
окисная пленка должна существенно увеличить поглощение частиц,
слипшихся в комки; в [297] для объяснения экстинкции пересматри-
вается квантовомеханический подход из работы [191]; в [411] влия-
ние окисного покрытия и сфероидальности форм частиц объединяется
в рамках теории эффективной среды. Многие из этих идей рассматри-
вались на тематической конференции Американского оптического общества
"Оптические свойства вещества в малых объемах", состоявшейся в
марте 1980 г. в г. Тусоне, шт Аризона. Ни одно из предложенных
объяснений не выглядело вполне удовлетворительным, особенно в ви-
Поверхностные моды в малых частицах
475
ду расхождения на 5 порядков теории и доложенных Сиверсом резуль-
татов измерений экстинкции на малых платиновых частицах в дальнем
инфракрасном диапазоне.
Мы предполагаем, что разброс частиц по формам уширяет полосу
поверхностного цлазмона в достаточной степени, чтобы увеличить
экстинкцию в области дальнего инфракрасного диапазона пример-
но в 1000 раз по сравнению с шарами; этот вывод убедительно
подтверждается результатами вычислений с НРЭ, показанными на
рис. 12.20. Для дальнейшей проверки этой гипотезы были проведены
измерения экстинкции в интервале длин волн между примерно 50 и
0,12 мкм для частиц из алюминия, приготовленных по методике из ра-
боты [195]. Алюминий испарился из танталового тигля в атмосфере
гелия (~ 5 мм рт. ст.) и конденсировался в виде очень тонкого слоя на
подложке из Li F или кварца для измерения прозрачности в ультрафио-
летовом, видимом и ближнем инфракрасном диапазоне. Для измере-
ний на больших длинах волн, где требовалась большая масса рассеи-
вающих частиц, частицы алюминиевого дыма диспергировались в мат-
рицы из КВг и полиэтилена по методике, описанной в начале разд. 12.3.
На рис. 12.20 треугольниками представлена объемная экстинкция, по-
лученная путем измерений прозрачности и массы. Соответствие между изме-
рениями и расчетами для распределения эллипсоидальных форм значительно
лучше, чем для шаров.
Максимум вблизи 18 мкм служит доказательством наличия на
поверхности частиц окисной цленки, которая неизбежно возникает при
использованной методике эксперимента. Хотя поглощение в окисле,
в особенности в аморфной пленке окисла на поверхности вытянутой
частицы, могло бы увеличить поглощение в дальнем инфракрасном
диапазоне [432], в диапазоне примерно от 10 до 0,3 мкм такое пог-
лощение должно быть малым. Действительно, поглощение покрытых
пленкой окисла алюминиевых частиц, рассчитанное с использованием
оптических постоянных как для кристаллического, так и для аморф-
ного окисла алюминия [ 387], в этой спектральной области слишком
мало, чтобы объяснить показанные на рис. 12.20 результаты измере-
ний.
Гораздо лучше согласие теории НРЭ с измерениями для алюмини-
евого дыма в ближнем инфракрасном диапазоне, как и аналогичное
улучшение согласия для диэлектрических частиц несферической фор-
мы (разд. 12.3), доказывает, что за большое поглощение алюминиевых
476
Глава 12
и ДРУГИХ металлических частиц в дальнем инфракрасном диапазоне
отвечает форма частиц. Отдельные частицы могут быть сильно не-
сферичными. Но если бы они были почти сферичны, как это иногда наб-
людается на электронных микрофотографиях, то поглощение поверх-
ностных цлазмонов не было бы сдвинуто в дальнюю инфракрасную об-
ласть; в этом случае наблюдаемые сдвиги, по всей вероятности, мож-
но объяснить тем, что малые группы слипшихся частиц не разрушают-
ся при диспергировании, так что эффективные формы частиц на са-
мом деле сильно отличаются от сферической. Аналогичный эффект
группировки частиц золота на подложке детально обсуждался в рабо-
те [ 194], где высказано предположение, что группировка может быть
важным фактором при поглощении металлическими частицами в даль-
нем инфракрасном диапазоне.
12.4.4. Электронно-дырочные капли в германии
При низких температурах чистый полупроводник является идеаль-
ным изолятором, в котором отсутствуют свободные носители заряда.
При облучении лазерным излучением с частотой выше ширины запре-
щенной зоны возможно возбуждение электронно-дырочных пар высокой
цлотности, которые при температурах жидкого гелия конденсируются
в малые кадли электронно-дырочной плазмы. Исчерпывающее обсуж-
дение таких электронно-дырочных (э-д) капель было дано в специаль-
ном выпуске журнала Solid State Physics, который содержит обзоры
теоретической [395] и экспериментальной [221] сторон вопроса.
Поскольку германий полностью прозрачен в диапазоне от 1,66 мкм
(запрещенная зона) до 25 мкм (полоса поглощения решетки), оказалось
возможным измерить угловую зависимость рассеяния на э-д каплях в
германии. По этим данным было установлено, что конденсат действи-
тельно существует в форме капель с радиусами примерно от 1 др 10 мкм.
Измерения поглощения в дальнем инфракрасном диапазоне дают
независимое значение электронной плотности; исходя из того что мо-
да Фрёлиха располагается вблизи 9 . 10“® эВ ( ~ 140 мкм), было най-
дено значение плотности 2,3 • 1017 см-®. Другие измерения для герма-
ния с примесью Sb и для чистого германия при разных энергиях облучения
показали значительные изменения в положениях и формах полос поглощения.
В работе [ 403] сдвиг максимума поглощения от 9 • 10"® эВ (чистый германий)
Поверхностные моды в малых частицах
477
РИС. 12.21. Результаты расчетов для экстинкции в инфракрасном диапазоне
(при произвольной нормировке) для электронно-дырочных капель в германии
с примесью Sb (из 403). Кружками показаны экспериментальные данные из
[465].
до примерно 5,5 • 10-® эВ (Ge с примесью) интерпретировался как результат
увеличения размеров капель в предположении, что другие параметры
электронно-дырочной плазмы остаются неизменными. Теоретические
результаты из этой работы, основанные на теории Ми (с произвольной
478
Глава 12
нормировкой), для капель разных размеров показаны на рис. 12.21.
Имеется хорошее согласие с результатами работы [465], где изме-
рялось поглощение э-д каплями в германии с примесью Sb, что поз-
воляет определить размеры капель в тех случаях, когда измерения
рассеяния света затруднительны из-за вызванной примесью непроз-
рачности германиевого образца. Таким образом, определение раз-
меров э-д капель является простым приложением теории Ми вместе
с теорией Друде к несколько экзотической конкретной системе.
12.4.5. Обзор других плазмонов
Поглощение поверхностных плазмонов наблюдалось для малых
частиц из различных металлов. Опубликованы и многие теоретичес-
кие расчеты, но они слишком многочисленны, чтобы обсуждать их
здесь п одробно. Тем не менее имеет смысл кратко подытожить свой-
ства поверхностных плазмонов в различных металлических частицах.
В табл. 12.1 приведены наиболее важные параметры, характеризую-
Т абпица 12.1
Характеристики объемных и поверхностных плазмонов
Твердое тепо Энергия объ- емного плазмона, эВ Энергия поверхност- ного плазмо- на, эВ е "при е' = —2 Источ- ник
Литий 6,6 3,4 1,0 [38б]
Натрий 5,4 3,3 0,12 [356]
Калий 3,8 2,4 0,13 [356]
Магний 10,7 6,3 0,5 [211]
Апюшмний 15,1 8,8 0,2 [211]
Железо 10,3 5,0 5,1 [336]
Медь — 3,5 4,9 [211]
Серебро 3,8 3,5 0,28 [233]
Золото — 2,5 5,0 [211]
Г рафит — 5,5 2,7 [458]
Поверхностные моды в малых частицах
479
щие поверхностные плазмоны: положение моды Фрёлиха для шаров в
воздухе, а также величина той частоты, где s'= —2, которая опреде-
ляет ширину и высоту полосы поглощения. Приводятся еще и энер-
гии, при которых е'= 0 (энергии объемных плазмонов), показываю-
щие, до сколь высоких энергий может простираться влияние формы
частиц. Источники этих экспериментальных результатов указаны в
таблице.
В щелочных металлах, имеющих трлько по одному свободному
электрону, на атом, энергии цлазмонов ниже, чем в двухвалентных
металлах со свободными электронами типа Mg и А1, так как плаз-
менная частота при уменьшении электронной плотности уменьшается.
Таким образом, энергии поверхностных цлазмонов в щелочных метал-
лах находятся в видимом диапазоне или вблизи него, тогда как для
Mg, Al и Н> они находятся в области дальнего ультрафиолета. Энер-
гии поверхностных цлазмонов таких двухвалентных металлов, как Ag,
Au и Си, сдвигаются в сторону видимого диапазона или даже попа-
дают в него вследствие межполосных переходов (см. рис. 12.9, г),
которые одновременно являются и причиной больших значений ъ"
для Au и Си.
Другим приведенным в таблице примером являетсяв графит, для
которого мода Фрёлиха находится вблизи 5,5 эВ (2200 А); границы об-
ласти отрицательных значений е' находятся вблизи 4 и 6,5 эВ. Поверх-
ностные цлазмоны графита привлекались при попытке объяснить ха-
рактерные свойства спектра экстинкции межзвездной среды (см.
разд. 14.5).
При энергиях фотона, больших по сравнению с шириной запрещенной
зоны полупроводников, электронные переходы почти не искажаются
из-за наличия запрещенной зоны; поведение валентных электронов
в этом случае аналогично поведению свободных электронов. Поэ-
тому оптические свойства полупроводников в области высоких энер-
гий аналогичны оптическим свойствам металлов со свободными элект-
ронами. Однако в области низких энергий различия их оптических
свойств заметны, и эго говорит о важности формы частиц для спект-
ров экстинкции. В то время как для металлов е ' при уменьшении энер-
гии фотона достигает больших отрицательных значений, для по-
лупроводнике® е ' снова становится положительным; при энергии фото-
на ниже ширины запрещенной зоны оптические свойства полупровод-
ников аналогичны оптическим свойствам диэлектриков. Таким обра-
480
Глава 12
зом» область поверхностных плазмонов, в которой е' отрицательно,
для полупроводниковых частиц ограничена как сверху, так и снизу;
в этом состоит их отличие, например, от алюминиевых частиц, для
которых поверхностные плазмоны зависят от формы и возможны
при всех энергиях ниже плазменной частоты. Следовательно, эффек-
ты формы для металлических частиц в общем случае выражены бо-
лее сильно, чем для полупроводниковых.
ЗАМЕЧАНИЯ И КОММЕНТ АРИИ
В работах [183, 184] дано очень полное обсуждение поглощения
малыми эллипсоидальными частицами, включая и частицы в оболоч-
ке, в области поверхностных мод.
Вопрос о том, какая форма частиц максимизирует, а какая мини-
мизирует сечение поглощения частицы с заданным объемом и соста-
вом в рамках теории Рэлея для эллипсоида, был решен в работе [69].
В работе [16] опубликован отличный от приведенного нами и по-
лученный ранее вывод соотношения (12.36).
Глава 13
Угловая зависимость рассеяния
В рамках используемого в данной книге подхода вся информация
об упругом рассеянии малыми частицами содержится в матрице рас-
сеяния размером 4x4 (см. 3.16), каждый из 16 элементов которой
является зависящей от углов функцией длины волны, размера, фор-
мы и состава частицы. Однако полная матрица рассеяния содержит в
себе такое обилие информации, что свойства всех ее элементов нача-
ли исследоваться лишь в последнее время. В большинстве же теоре-
тических и экспериментальных работ ограничивались рассеянием не-
поляризованного или линейно поляризованного света. В связи с этим
изложение данной главы построено следующим образом: сначала, в
разд. 13.1 — 13.5, считается, что падающий свет либо не поляризован,
либо поляризован линейно, а далее, в разд. 13.6 — 13.8, задача рассмат-
ривается без таких ограничений. В разд. 13.1 мы обсуждаем результа-
ты расчетов рассеяния на шарах, которые позволят читателю почув-
ствовать, какие здесь могут возникать эффекты. В разд. 13.2 и 13.3
кратко рассматривается методика измерений, после чего в разд. 13.4
приводятся результаты расчетов и измерений для сферических и не-
сферических частиц. В разд. 13.5 рассматривается важная прикладная
задача об определении размеров частиц по характеристикам рассеян-
ного света. В разд. 13.6 делается небольшое отступление: в ней рас-
сматриваются свойства симметрии матрицы рассеяния. Методика из-
мерения элементов полной матрицы рассеяния дается в разд. 13.7, а
результаты измерений — в разд. 13.8. В заключительном разделе
(разд. 13.9) суммируются различия и сходства между сферическими и
несферическими частицами и делается попытка ответить на важный
практический вопрос: в какой степени теория Ми применима к несфе-
рическим частицам?
13.1. РАССЕЯНИЕ НЕПОЛЯРИЗОВАННОГОИ ЛИНЕЙНО
ПОЛЯРИЗОВАННОГО СВЕТА
Наибольшее количество информации о рассеянии на любой части-
це или на скоплении частиц содержится в элементах 4 х4-матрицы рас-
сеяния (3.16), которая в самой общей форме будет рассмотрена в дан-
ной главе ниже. В большинстве же измерений и расчетов ограничива-
<41-205
Глава 13
482
ются задачей рассеяния деполяризованного или линейно поляризован-
ного света, падающего на скопление случайно ориентированных час-
тиц с внутренней плоскостью симметрии (например, состоящих из оп-
тически неактивного вещества). В таких случаях существенными явля-
ются только матричные элементы из стоящего в левом верхнем углу
матрицы рассеяния блока размером 2x2, который, как будет видно
из дальнейшего, симметричен (см., например, [306], а также разд. 13.6):
Здесь использованы обычные параметры Стокса (/, Q, U, V), но для
описания экспериментов, в которых падающий и рассеянный пучки про-
ходят через поляризаторы, больше подходит система параметров
(/[I, /j_, U, V). При этом параметры Стокса /ц и определяются со-
отношениями
'ц = <ЗДГ>, 7Х=<£Х£*Х>,
которые заменяют (2.84); параметры V и V одинаковы в обеих систе-
мах. В системе параметров (/ц, И, F) матрица рассеяния, соответ
ствующая (13.1), имеет вид
I 1 Ik /x, 1 (би 012 012 022 0 1
us k2r2 u.
0 vi
Матричные элементы в этих двух системах связаны соотношениями
$п — г(0п + 4- 022), бп — l(Sn + 2S12 + S22),
$12 = 1(011 ~ 022). 612 = 1($н ~ $22).
$22 = 2(611 ~ 2612 + 622), 022 = 1($11 ~ 2S12 + S22).
Угловая зависимость рассеяния
483
13.1.1. Некоторые определения
Интенсивности рассеянного света, отвечающие единичным интен-
сивностям падающего излучения (безразмерные или нормированные
интенсивности) с параллельной и перпендикулярной плоскости рассея-
ния поляризациями, с точностью до отброшенного множителя к2г2 рав-
ны
'и = ^11 + ^12 = 611 + 612’
' ± = ^11 ~ ^12 ~ 622 612 >
а в случае неполяризованного падающего излучения безразмерная ин-
тенсивность рассеянного света равна
При рассеянии неполяризованного излучения обычно измеряются
еще такие величины, как степень линейной поляризации Р рассеянно-
го света
р _ _ ^12 _ Qll ~ 611
5ц 611 *" ^612 *" 622
и коэффициент перекрестной поляризации
612 = 1(^11 — ^22)>
для измерения которого два линейных поляризатора устанавливают-
ся до и после рассеивающей среды, причем ось одного из них парал-
лельна, а ось другого перпендикулярна плоскости рассеяния; в част-
ном случае, когда матрица рассеяния имеет вид (13.1), порядок поля-
ризаторов не существен.
Используя программы, приведенные в приложениях, можно вычис-
лить элементы матрицы рассеяния для шаров, а следовательно, и все
величины, определенные в предыдущем абзаце. Для сферических час-
тиц коэффициент перекрестной поляризации обращается в нуль и выпол-
няются следующие соотношения:
Глава 13
484
В научной литературе рассматривается большое количество дру-
гих зависящих от угла функций рассеяния, что является источником
бесконечной путаницы. Надеясь помочь тем, кто заблудился в опре-
делениях и терминологии разных авторов - а мы тоже относились к
их числу, - выразим в наших обозначениях некоторые из наиболее
часто встречающихся функций.
Дифференциальное сечение рассеяния dCscj3Q., хорошо извест-
ное в атомной физике, определяется как количество энергии, рассеян-
ной за единицу времени в единицу телесного угла около направления
Q (которое можно задать двумя углами - углом рассеяния 0 и азиму-
тальным углом <р (см. рис. 3.3)) при единичной интенсивности падаю-
щего излучения. Эта величина выражается через интенсивность рассе-
янного излучения Is (0, ф ), интенсивность падающего света Ци рас-
стояние до приемника т'
(13 2)
dQ ~ I,, ' V
(rfCsca/JQ не следует понимать как производную зависящей от Q функ-
ции; запись в виде производной чисто формальная служит лишь для
облегчения запоминания). Хотя величину, стоящую в правой части (13.2),
часто называют отношением Рэлея, мы будем избегать этого терми-
на и использовать более наглядное (по крайней мере для физиков) на-
звание "дифференциальное сечение рассеяния". Если падающий свет
не поляризован, то
^Gca _ $п _ *11
dSl k2 2k2
В изотропной среде, например в скоплении большого числа случайно
ориентированных частиц, каждая из которых сама по себе может быть
анизотропной, интенсивность рассеянного света, а следовательно, и
дифференциальное сечение рассеяния не зависят от угла ф.
Дифференциальное сечение рассеяния, деленное на полное сече-
ние рассеяния
называют фазовой функцией; происхождение этого термина связано
с фазами астрономических тел. Определение фазовой функции (13.3)
Угловая зависимость рассеяния
485
согласуется с определением ван де Хюлста L 489], но отличается мно-
жителем 4тт от фазовых функций других авторов (см., например,
[ 214, 408]).
13.1.2. Рассеяние шарами
Мы уже рассмотрели пример расчета угловых зависимостей ха-
рактеристик рассеяния на шаре (рис. 4.9). Для лучшего их понимания
на рис. 13.1 — 13.3 мы изобразили ход г'ц, ij_ и Р для шаров постепен-
но увеличивающихся размеров. Читатели, желающие построить свои
собственные примеры, могут обратиться к программе из приложения А.
На рис. 13.1 показаны результаты расчетов для шаров с оптичес-
кими постоянными, соответствующими воде в видимом диапазоне; сле-
ва изображено поведение г'ц и ij_, а справа — Р. Аналогичные резуль-
таты для шаров с показателем преломления т = 1,55 + i 0,0, что при-
ближенно отвечает плавленому кварцу в видимом диапазоне, показа-
ны на рис. 13.2.
Для частиц малых размеров получается уже знакомая нам карти-
на рэлеевского рассеяния (разд. 5.1): свет с поперечной поляризацией
рассеивается изотропно, тогда как интенсивность света, поляризован-
ного параллельно плоскости рассеяния, обращается в нуль при угле
рассеяния 90°; как следствие, при рассеянии на 90° первоначально
неполяризованный свет оказывается полностью поляризованным. Для
частиц всех размеров 1ц - при углах 0 и 180°: для этих направле-
ний из-за симметрии обе поляризации неразличимы; для других поля-
ризаций симметрия задачи нарушается из-за наличия выделенной плос-
кости рассеяния, что приводит к различию рассеяния света разных по-
ляризаций. Индикатрисы рассеяния для водяных капель разного разме-
ра показаны на рис. 13.3; эти графики не содержат новой информации,
но зато они очень наглядны.
Первые отклонения от теории Рэлея проявляются в асимметрии
рассеяния вперед и назад, которая состоит в преобладании рассеяния
вперед; кроме того, максимальная поляризация уменьшается и сдви-
гается в сторону больших углов. По мере увеличения размеров час-
тиц асимметрия становится более выраженной; при этом главный ле-
песток, отвечающий рассеянию вперед, суживается. Увеличению раз-
мера сопутствует появление осцилляций, как если бы новые максиму-
мы возникали в направлении обратного рассеяния и затем перемеща-
лись вперед. Возрастающая сложность индикатрисы рассеяния круп-
ных частиц указывает на чрезвычайную чувствительность картины рас-
сеяния к размерам частиц. При известном коэффициенте преломления
486
Глава 13
РИС. 13.1. Угловые характеристики рассеяния для шаров с ш= 1,33 (слева);
падающий свет поляризован параллельно (-----) или перпендикулярно
(------------) плоскости рассеяния. Справа показана степень поляризации
рассеянного света для неполяризованного падающего света.
Угловая зависимость рассеяния
487
РИС. 13.2. То же, что и на рис. 13.1, но для шаров с т= 1,55.
Глава 13
488
РИС. 13.3. Индикатрисы рассеяния для шаров с т= 1,33. Отметим существен-
ное изменение масштабоа: с ростом х а 20 раз отношение рассеяния вперед
к рассеянию назад возрастает примерно в 1000 раз.
число максимумов индикатрисы рассеяния является довольно хоро-
шим показателем размера частицы. Однако столь сильная зависимость
от размеров частиц приводит к тому, что при увеличении разброса по
размерам частиц, составляющих скопление, происходит сглаживание
картины, в результате чего индикатриса рассеяния становится более
плавной.
РИС. 13.4. Рассеяние неполяризованного света шарами. Верхние криаые по-
казывают угловое распределение рассеянного света, а нижние — степень его
поляризации. Из работы [214].
490
Глава 13
На рис. 13.4 приведены результаты расчетов из работы [214], при
проведении которых предполагалось, что параметр дифракции частиц
распределен по закону п(х) = х6«р( — 9х/хе{{). Использованные три
эффективных параметра хе{[ для длин волн видимого диапазона соот-
ветствуют радиусам около 20; 80 мкм и 300 мкм; эти значешя охваты-
вают размеры частиц, характерные для туманов и облаков. Все кривые
Демонстрируют характерную для распределенных по размерам частиц до-
вольно гладкую зависимость, что заметно отличает их от резко меня-
ющихся кривых в случае отдельного шара. Рассеяние концентрируется
около направления вперед; с ростом xeff от 37,5 до 600 дифракцион-
ный максимум, отвечающий рассеянию вперед, становится все более
узким. Для т = 1,33 (вода) появляются два максимума в области меж-
ду 130 и 140°; они отвечают углам радуги первого (0—137°) и второго
(0 —129°) порядков, которые можно приписать соответственно однократному
и двукратному внутренним отражениям в водяной капле (разд. 7.2). Геометри-
ческая оптика хорошо списывает положение этих радуг, которое с увели-
чением размера капель почти перестает зависеть от их радиусов. Свя-
занные с радугой особенности проявляются и в кривых поляризации.
Следует отметить также резкое увеличение рассеяния вблизи на-
правления назад, в особенности для наиболее крупных шаров; это яв-
ляется причиной глории — одного из наиболее эффектных явлений
природы. Наблюдательные пассажиры самолета, летящего над облака-
ми, могут видеть глорию - ряд окрашенных колец — вокруг тени само-
лета. В отличие от радуги глорию не так просто объяснить; разве что
можно указать, что ее появление связано со многими тысячами членов
в рядах рассеяния, что, конечно, верно, но вряд ли может кого-либо
удовлетворить. Помимо всего прочего то же самое можно было бы ска-
зать и о радуге, которая тем не менее имеет простое физическое объяс-
нение. Для глории столь общепринятого и понятного объяснения до сих
пор не найдено, хотя в этом направлении, особенно в последнее время,
предпринимались интересные попытки. Обсуждать эту тему можно
очень долго, но мы не будем этим заниматься, а отошлем читателя к
соответствующей литературе [88, 268, 350, 486].
13.2 МЕТОДИКА ИЗМЕРЕНИЙ И
' ПРИГОТОВЛЕНИЕ ЧАСТИЦ
Еще 10 лет назад при измерении угловой зависимости рассеяния
в видимом диапазоне ограничивались скоплениями большого числа час-
тиц, которыми служили либо естественные взвеси (как это имеет мес-
то в атмосфере), либо полученные в лабораторных условиях. С появле-
Угловая зависимость рассеяния
491
нием мощных лазеров появилась возможность измерять рассеяние све-
та на отдельных частицах. Имеются важные соображения как в пользу
измерений на отдельных частицах, так и в пользу измерений на скоп-
лениях.
В большинстве своем измерения угловой зависимости рассеяния
проводились в диапазонах видимого и ультрафиолетового излучений,
где приемники (в первую очередь фотоумножители) достаточно чувст-
вительны, источники интенсивны, легко доступны хорошие поляриза-
ционные фильтры и другие оптические элементы. Эти преимущества
проявляются в меньшей степени при переходе к другим диапазонам
длин волн, хотя недостатка в интересе к ним нет. Еще одним важным
диапазоном, в котором проводились лабораторные исследования угло-
вой зависимости рассеяния света является диапазон СВЧ. Как и в слу-
чае экстинкции (см. гл. 11), можно рассматривать рассеяние отдель-
ной несферической частицей или неоднородными частицами с разны-
ми ориентациями.
13.2.1. Полярные нефелометры
Прибор для измерения углового распределения рассеянного света
часто называют нефелометром ( от греч. нефел - облако). Говоря
более строго, прибор, изображенный на рис. 13.5, представляет собой
полярный нефелометр, названный так из-за способности измерять рас-
сеяние под разными углами. Его основными элементами являются ис-
РИС. 13.5. Схема полярного нефелометра для измерения угловых характе-
ристик рассеяния. F1 и F2— места возможной установки поляризационных
фильтров.
Глава 13
492
точник коллимированного света и штанга, которая может поворачи-
ваться вокруг образца (рассеивающей ячейки); на штанге смонтирова-
на приемная система, которая включает оптические элементы, соби-
рающие рассеянный в пределах малого телесного угла свет. Схема не-
фелометра, показанная на рис. 13.5, несколько идеализирована, так
как на самом деле каждая его часть может быть более сложной; опи-
сания реальных нефелометров даны, например, в [232, 239, 375, 4421.
Источником света может служить лампа (на галоидах вольфрама,
ртутная или ксеноновая с высоким давлением) с соответствующим кол-
лиматором или лазер. Хотя лазеры просты в обращении и приобрели
широкое распространение после того, как появились в продаже, не сле-
дует думать, что лазер всегда является наилучшим источником; так,
например, лазер наверняка не является самым дешевым. Применяемые
в домашних слайд-проекторах лампы на галоидах вольфрама мощностью
от 300 до 500 Вт очень дешевы и имеются почти в любом фотомагази-
не; несмотря на то что лишь малая часть потребляемой лампой мощ-
ности преобразуется в видимый свет, стоимость лампы составляет нич-
тожную часть стоимости одноваттного лазера непрерывного действия!
О галоидно-вольфрамовых лампах не следует забывать особенно при
изучении скоплений частиц, когда не требуется ни малый размер пуч-
ка, ни высокая степень монохроматичности. При изучении же рассеяния
одиночной частицей наилучшим источником обычно является лазер.
Углы приема выделяются установленным на штанге приемной сис-
темы телескопом, который состоит из линзы и диафрагмы, что при-
водит к некоторому уменьшению чувствительности приемника. В рабо-
те [375] обсуждаются различные факторы, ограничивающие разрешаю-
щую способность и чувствительность приемника. Пересечение падаю-
щего пучка с полем зрения приемника определяет рассеивающий (осве-
щенный) объем, который меняется при изменении угла наблюдения; по-
этому измеряемый сигнал должен корректироваться путем введения
множителя sin0. Стандартные нефелометры не позволяют производить
измерения под близкими к 180° углам рассеяния, поскольку в этом
случае падающий пучок затеняется штангой. Между тем рассеяние на
большие углы часто оказывается важным, и для проведения таких из-
мерений приходится вносить определенные изменения в конструкцию
нефелометра.
13.2.2. Абсолютные и относительные измерения
Измерения угловой зависимости рассеяния иногда разделяют на
абсолютные и относительные. При абсолютных измерениях определяет-
ся величина Is/Ц , которая непосредственно связана с дифференциаль-
Угловая зависимость рассеяния
493
ным сечением рассеяния (13.2); при относительных измерениях интен-
сивность нормируют на ее значение под некоторым произвольным уг-
лом рассеяния, скажем 10°, так что (предполагая наличие азимуталь-
ной симметрии)
Л(*) Л(*)А _ dCxa(6)/dQ
1,(10°) 1,(10°)/!, dCxa(\0°)/dQ-
Относительные измерения выполняются значительно проще, и описа-
ние измерений такого типа часто встречается в литературе. Между
тем абсолютные измерения тоже важны; например, они требуются для
сравнения измеренных сечений рассеяния для несферических частиц с
результатами расчетов для эквивалентных шаров. Заметим, что тер-
мин "абсолютный" в нашем понимании означает, что рассеяние не нор-
мируется относительно некоторого произвольного угла отсчета; это
не означает, что измеряется абсолютное значение интенсивности, как
в случае калиброванного приемника. Как в "относительных", так и в
"абсолютных" измерениях определяется относительная (т.е. безраз-
мерная) интенсивность.
Абсолютные измерения можно осуществить, поворачивая штангу
приемника от 0° до 0 и получая при этом значения Z£ и Is (0); однако
это легче сказать, чем сделать: Z£ может в тысячи раз превосходить
I, , из-за чего возможно возникновение значительных ошибок, связан-
ных с нелинейностью приемника, которая становится заметной в столь
широком диапазоне. Один из методов преодоления этой трудности сос-
тоит в ослаблении ! с помощью нейтральных фильтров до уровня, срав-
нимого с Zs ; если оптическая плотность фильтра известна, то нетруд-
но определить первоначальную интенсивность падающего излучения.
Другая методика состоит в использовании диффузно рассеивающих по-
верхностей, таких, как опал или стекло с напылением MgO, помещенных
в падающий пучок для получения однородного рассеяния света во всех
направлениях. Трудности могут быть связаны также с неоднородным
освещением фотокатода, возникающим из-за неоднородности освеще-
ния рассеивающего объема. В работах [ 375, 272] для учета этих и Дру-
гих осложняющих факторов приборы калибровались путем перемеще-
ния через рассеивающий объем калибровочной диффузно рассеивающей
пластинки и интегрирования измеряемого по мере перемещения плас-
тинки сигнала для каждого угла и для всех комбинаций фильтров. Ве-
роятно, наиболее простая методика калибровки состоит в использова-
нии образца из шаров (например, полистироловых), свойства которых —
Глава 13
494
концентрация, распределение по размерам и показатель преломления -
известны, и результатов теории Ми. Источник света и оптические эле-
менты типа фильтров фиксируются, и снимается сигнал приемника Dr
в случае, когда в рассеивающей ячейке находится калибровочный об-
разец; этот сигнал равен
где К — зависящий от углов коэффициент, являющийся "мусорным ящи-
ком", в который сваливаются все неизвестные факторы, связанные
с калибровкой прибора. Следующая запись угловой зависимости при-
нимаемого приемником сигнала проводится при тех же условиях, но с
"неизвестным" образцом в рассеивающей ячейке; сигнал приемника
имеет вид
П = ^sca
Kr2 dQ •
Дифференциальное сечение dCsca/dQ. определяется по отношению
измеренных сигналов и расчетному значению (dCsca/d&f), полученно-
му по теории Ми для калибровочного образца:
D / dCxa \
dQ Dr \ / г
Такая методика вполне пригодна в случае приборов, управляемых мик-
ро-ЭВМ: значения калибровочного сигнала и расчетных дифференциалы
ных сечений рассеяния для разных углов заносятся в память вычисли-
тельной машины, а для получения абсолютного значения дифференци-
ального сечения рассеяния образца измеренное значение сигнала для
любого угла оцифровывается, делится на калибровочный сигнал и ум-
ножается на калибровочное дифференциальное сечение рассеяния.
Вследствие слабости света, рассеянного разреженными взвесями
частиц, необходимо тщательно изолировать детектор от посторонних
подсветок. Такие подсветки могут возникать от окружения (внешние
подсветки) или появляться в самом приборе. Для исключения внешних
подсветок измерения можно проводить в темной комнате, а можно по-
местить в темный кожух или весь нефелометр, или только рассеиваю-
щую ячейку. Последнее предложение усложняет прибор, так как для его
реализации требуется поворачивающийся вместе со штангой приемни-
ка светонепроницаемый экран. Еще одна возможность состоит в
Угловая зависимость рассеяния
495
селективном устранении паразитного света либо с помощью прерывате-
ля света и избирательного усилителя, настроенного на частоту преры-
вателя, либо с помощью фильтра в приемной штанге, который отвеча-
ет частоте источника, если последний достаточно монохроматичен. Для
исключения паразитного света, возникающего в приемнике, использу-
ются ловушки, которые служат для поглощения падающего пуч-
ка с целью защиты приемника от отраженного стенками излучения (рис. 13.5).
Аналогично нужно уделять большое внимание конструкции рассеиваю-
щей ячейки, которая может отражать рассеянный вперед свет в направ-
лении приемника. Эта возможность представляет особенно серьезную
проблему для направления обратного рассеяния в случае больших час-
тиц: даже очень малое зеркальное отражение от рассеивающей ячейки
может легко превзойти рассеяние на образце. Конструирование рас-
сеивающих ячеек становится еще более сложным в случае измерений
слабого излучения с круговой поляризацией: из-за напряжений конструк-
ции возникает двойное лучепреломление, которое может привести к
значительным погрешностям.
13.2.3. Приготовление частиц
При систематическом исследовании рассеяния в лабораторных
условиях нужен не только нефелометр, но и средства для получения
частиц с известными составом, распределением по размерам и фор-
мой. Поэтому очень полезным прибором был бы "волшебный ящик" с
набором циферблатов, по которым можно задать тип распределения
и его параметры (среднее значение и дисперсию), химический состав
(для нахождения оптических постоянных) и форму частиц. Если цифер-
блат формы частиц установить, например, на делении "шар", то использова-
ние такого прибора вместе с калиброванным нефелометром могло бы при-
вести к получению данных, похожих на кривые рис. 13.1 — 13.3, кото-
рые рассчитывались по теории Ми. Увы, но даже для шаров — частиц
простейшей формы — такого волшебного ящика нет. Эксперимента-
тору, желающему изменись какой-либо один параметр — хотя бы сред-
ний размер частиц или их показатель преломления, — может, придет-
ся трудиться несколько лет над разработкой нового метода приготов-
ления частиц; в то же время его собрату — теоретику достаточно из-
менить одно число на терминале ЭВМ! Таким образом, создание скоп-
лений частиц с хорошо известными характеристиками является труд-
ной задачей, которой уже долгое время занимаются во многих лабо-
раториях. Здесь мы приведем лишь несколько специально отобранных
примеров.
496
Глава 13
Для получения в высокой степени монодисперсного аэрозоля час-
то с успехом используют генератор Синклера — Ла Мера (описанный
в [264, стр. 319]). Жидкие капли контролируемого размера в диапазоне
примерно 0,01 - 1 мкм можно получить путем конденсации пара на
созданных для этой Цели ядрах. Тщательный контроль температуры
и градиента температуры позволяет получать жидкие аэрозоли с отно-
сительными стандартными отклонениями радиусов частиц примерно
0,1 — 0,2. Для создания жидких капелек используются различные рас-
пылители, а их высушивание дает твердые частицы растворимых ве-
ществ. При использовании обычных распылителей распределения ка-
пель по размерам часто оказываются очень широкими. Однако ультра-
звуковой распылитель может давать узкие распределения: ультразву-
ковой преобразователь возбуждает волны на поверхности жидкости,
гребни которых могут быть сделаны настолько крутыми, что они ото-
рвутся от жидкости; при этом у каждого гребня образуются капельки
почти одинаковых размеров [ 294], относительное стандартное откло-
нение которых составляет примерно 0,3. Изменение частоты путем ис-
пользования разных преобразователей или высших гармоник позволя-
ет менять размеры капелек. Еще более узкие распределения по разме-
рам получаются при использовании распылителей с вибрирующим соплом
[ 46 , 367]. Жидкость под большим давлением пропускается через узкое сопло.
Это сопло приводится в колебательное движение с помощью ультразвукового
преобразователя, что заставляет выходящую жидкость распадаться на
капельки, размеры которых определяются свойствами жидкости, при-
ложенным давлением, размерами сопла и частотой колебаний. Относи-
тельное отклонение размеров в типичных случаях составляет несколь-
ко процентов.
Жидкие капли с растворенными в них компонентами можно высушить и та-
ким образом получить частицы твердого аэрозоля с распределением по разме-
рам, аналогичным распределению исходного жидкого аэрозоля. Твердые час-
тицы нерегулярной формы получали из капелек ультразвукового распылителя
[361] и капелек распылителя с вибрирующим соплом [ 366 - 368]. Нераство-
римые в обычных жидкостях частицы аэрозоля можно получать посред-
ством химических реакций в пламени. Например, следуя [ 344], мы по-
лучали частицы из красного железняка а = Fe2Oj путем распыления
водного раствора ЕеСЦ с последующим пропусканием полученных ка-
пелек через воздушно-водородное пламя; частицы a-Fe203, средний
размер и стандартное отклонение которых вычисляются по исходному
распределению капелек, образуются при реакции
2FeCl3 + ЗН2О -> FejO^ + 6НС1.
Угловая зависимость рассеяния
497
Метод вибрирующего сопла, дающий монодисперсные жидкие аэро-
золи, совместно с высушиванием или с химической реакцией в пламени
настолько близок к "волшебному ящику"; насколько это позволяет из-
вестная нам техника приготовления частиц.
13.3. ИЗМЕРЕНИЯ НА ОТДЕЛЬНЫХ ЧАСТИЦАХ
В 1961 г., когда лазеры еще не стали обычным лабораторным обо-
рудованием, в работе [ 206] были опубликованы результаты измерений
углового распределения рассеянного света для одиночных изолирован-
ных частиц. С появлением возможности получения высокомощных кол-
лимированных лазерных пучков, особенно в последнее десятилетие,
опубликованы результаты многих измерений на отдельных частицах; в
это время быстро развивалась разработка экспериментальной аппара-
туры. Для успешного получения информации об угловом распределении
рассеянного света на отдельных частицах обычно приходится обращать-
ся к одному из двух подходов: либо устойчиво закреплять частицы и
пользоваться для измерений (которые отнимут много времени) обычным
нефелометром типа изображенного на рис. 13.5, либо проводить быс-
трые измерения на одиночных частицах в нотоке. Мы поочередно рас-
смотрим эти два метода.
13.3.1. Методы с подвешиванием частиц
Имеется несколько способов заставить отдельные частицы парить
в воздухе. В одном из них используется модифицированный прибор Мил-
ликена, в котором частица — капелька масла - заряжается и сила 'тя-
жести уравновешивается электрическим полем между параллельными
пластинами. Для боковой стабилизации частицы электрическое поле
деформируется с помощью заряженных игл; вертикальная устойчивость
обеспечивается электронным сервомеханизмом, который поддержива-
ет на необходимом уровне приложенное напряжение. Такая методика
описана в работе [521]; она использовалась для измерений на полисти-
роловых шарах [ 363], бактериях [ 521], частицах NaCl и NaCl — HjO
[459], а также для определения коэффициентов диффузии [ П7]. Час-
тицы, подвешенные в электростатическом поле, имеют тенденцию к
беспорядочному движению; это является преимуществом при исследо-
вании рассеяния, усредненного по всем ориентациям частиц, и недо-
статком, если интересоваться ориентированными частицами.
В работах [21, 22] для удержания слабо поглощающих сферичес-
ких частиц от падения использовалось давление излучения вертикаль-
ного лазерного пучка. Боковая устойчивость обеспечивается преобла-
32-205
Глава 13
498
данием в рассеянном поле преломленных компонент над отраженными
(см. табл. 7.1). Неодинаковое отражение на противоположных сторонах
частицы, вызванное неоднородностью пучка, создает избыточную силу,
которая толкает частицу в сторону меньших уровней интенсивности
света; эта неустойчивость компенсируется рефракцией, которая при-
водит к возникновению сил реакции, заставляющих частицу двигаться
в сторону больших уровней интенсивности. Тем самым частица стаби-
лизируется по отношению к боковым смещениям в наиболее интенсив-
ной части пучка. Лазерная подвеска обладает тем недостатком, что
ее нельзя использовать в случае сильно поглощающих частиц, которые
могут просто испариться в пучке, достаточно интенсивном для их удер-
жания.
Вероятно, простейшим, но наиболее редко используемым методом
удержания отдельной частицы является подвешивание ее на тончайших
нитях типа стекловолокна или паутины [ 416, 417]. Диаметр волокна
можно сделать много меньше размера частиц, если последний превос-
ходит примерно 1 мкм. Более того, здесь могут оказаться полезны-
ми особенности рассеяния на длинных цилиндрах (см. разд. 8.4, в част-
ности рис. 8.5)! рассеяние волокнами, наклоненными относительно
плоскости рассеяния, ограничено направлениями, из которых только
одно или Два лежат в этой плоскости. Этот простой метод позволяет
зафиксировать ориентацию частицы; недостатками его являются не-
обходимость учета рассеяния на удерживающем частицу волокне, а так-
же возможность электромагнитного взаимодействия частицы с волок-
ном.
13.3.2. Быстрые измерения рассеяния света
Вместо того чтобы подвешивать частицу в рассеивающем объеме
на время, достаточное для измерения с помощью обычного нефеломет-
ра, можно фиксировать данные о рассеянии за время, короткое по срав-
нению с требуемым для прохождения частицы через рассеивающий объем.
Это можно осуществить двумя способами: 1) поворачивая приемник и
(или) Диафрагму или 2) используя набор неподвижных приемников.
В работе [ 302] использовался кольцевой сегмент эллипсоидально-
го зеркала, с помощью которого свет, рассеянный частицей вблизи
одного из фокусов зеркала, направлялся к расположенному вблизи дру-
гого фокуса приемнику'; диафрагма (5°), вращавшаяся со скоростью
3000 рад/мин, позволяла снять информацию о рассеянии в секторе уг-
лов шириной 360° за 20 мкс. В работе [ 337] приемник помещался на
вращающийся с частотой 1 Гц стол; за 1 с это дает считывание инфор-
Угловая зависимость рассеяния
499
мации в секторе углов от 0 до 180° и от 180 до 360°; эти отсчеты не
обязательно идентичны. Имеются по крайней мере две причины, в си-
лу которых сектор обзора в 360° предпочтительней обычного в 180° :
во-первых, отдельная частица (отличная от шара) с большей вероятнос-
тью азимутально асимметрична, во-вторых, такое сканирование позво-
ляет оценить инструментальные погрешности.
В работах [ 130, 135] для измерения рассеяния на отдельной части-
це был использован набор неподвижных приемников. В первой из них
приемники устанавливались под углами ±45, +90, ± 135°, причем ком-
бинации Двух или трех из них давали отсчеты рассеянного света с ин-
тервалами 16,7 мкс (частота считывания 60 Гц). В работе [ 135] для фо-
кусировки рассеянного света на 60 расположенных кольцом фотодиодов
использовался кольцевой сегмент эллипсоидального зеркала. Этот прибор пред-
назначался для биологических приложений. Клетки по очереди проходи-
ли через рассеивающий объем со скоростью потока вплоть до 1000част./с;
анализируя рассеянный свет, можно было идентифицировать клетки од-
нотипных популяций и разделять их по мере поступления.
13.3.3. Аналогия с рассеянием СВЧ-излучения
Рассеяние излучения СВЧ является важной аналоговой методикой
исследования рассеяния видимого света отдельными несферическими
частицами. Поскольку отношение длин волн СВЧ-излучения и видимо-
го света составляет примерно 105, в СВЧ-диапазоне легко создать (на-
пример, путем механической обработки) частицы какой угодно формы
с параметром дифракции, меньшим единицы, нетрудно ориентировать
их любым требуемым образом, а вещество частиц подобрать таким,
чтобы его оптические постоянные в диапазоне СВЧ близко соответст-
вовали оптическим постоянным вещества интересующих нас частиц в
видимом диапазоне. Экстинкция в диапазоне СВЧ (е = 0°) уже обсуж-
далась в разд. 11.7; для того чтобы приспособить установку, показан-
ную на рис. 11.22, для измерения рассеяния под разными углами, до-
статочно смонтировать приемную антенну так, чтобы она могла пере-
мещаться вокруг частицы. Паразитное излучение, отраженное от сте-
нок, Дна и потолка, обычно устраняется за счет использования погло-
щающих материалов.
Материалы, оптические постоянные которых в диапазоне СВЧ по-
добны оптическим постоянным обычных твердых тел в видимом диапа-
зоне, получают из пластмасс различной плотности; для увеличения мни-
мой части коэффициента преломления можно добавить поглощающие
вещества, такие, как тонкий порошок угля. Например, акриловая пласт-
Глава 13
500
масса (торговое название люсит) имеет показатель преломления в ди-
апазоне СВЧ примерно 1,6, который почти совпадает с показателем
преломления некоторых силикатных материалов в видимом диапазоне.
Полистироловые гранулы, пропитанный летучими веществами, при на-
гревании расширяются, образуя пену d эффективным показателем пре-
ломления, зависящим от ее плотности. Таким способом можно полу-
чить материал с оптическими постоянными, близкими к оптическим по-
стоянным льда и воды в видимом диапазоне. Оптические постоянные
в диапазоне СВЧ для таких составных сред определяются по методике,
аналогичной для однородных сред (гл. 2); тот факт, что использование
этих оптических постоянных при расчетах по теории Ми, которые вер-
ны для однородных шаров, приводит к согласию с экспериментом, яв-
ляется частичным оправданием рассмотрения составной среды как од-
нородной с некоторым эффективным показателем преломления, хотя
это и не обязательно так для всех комбинаций материалов (см. разд. 8.5
где обсуждались теории оптических постоянных неоднородных сред). На
практике область изменения оптических постоянных в диапазоне СВЧ,
Достижимая с помощью обычных материалов, ограничена; например, оп-
тические постоянные, близкие к тем, которые приводят к сильному и
зависящему от формы частиц рассеянию и поглощению (см. гл. 12), т.е.
такие, как п = 0 и к = у/Т, получить довольно трудно.
Измерения угловой зависимости рассеяния СВЧ-излучения при па-
дающем излучении, поляризованном параллельно и перпендикулярно
плоскости рассеяния, были выполнены в работах! 527 - 529] для час-
тиц разной формы, среди которых и гладкие шары, и шары с шерохо-
ватыми поверхностями, и кубы, и октаэдры, и частицы сложной формы
с выпуклыми и вогнутыми поверхностями, и "пушистые" частицы, пред-
ставляющие собой рыхлые комки более маленьких плотных частиц; оп-
тические постоянные вещества в большинстве случаев были заключе-
ны в диапазонах 1,5 < 1,7 и 0,005 < k < 0,015. В работе [202] ис-
следовалось рассеяние сфероидами и ограниченными цилиндрами; при
этом использовались материалы, оптические постоянные которых в
диапазоне СВЧ аналогичны оптическим постоянным воды и силикат-
ных веществ в видимом диапазоне.
Большим преимуществом аналогии с СВЧ-рассеянием является
легкость, с которой удается исследовать рассеяние на одиночных час-
тицах любой формы и ориентации; в определенных пределах удается
менять также и оптические постоянные благодаря использованию сос-
тавных материалов. Поэтому эксперименты в диапазоне СВЧ должны
служить наилучшей проверкой теорий рассеяния нерегулярными час-
Угловая зависимость рассеяния
501
тицами типа рассмотренных в разд. 8.6. Однако для скоплений случай-
но-ориентированных частиц СВЧ-измерения могут оказаться чрезвы-
чайно трудоемкими: для этого нужно выполнить измерения со многи-
ми ориентациями при каждом угле рассеяния и для многих частиц. При-
меры угловых зависимостей рассеяния СВЧ-излучения даны в следу-
ющем разделе.
13.4. НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ И
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Измерения угловой зависимости рассеяния на шарах хорошо со-
гласуются с расчетами по теории Ми как для одиночных шаров [ 35,
302, 363], так и для монодисперсных скоплений [367]. Такие измере-
ния в настоящее время используются главным образом для проверки
работы и калибровки приборов или для нахождения некоторых физичес-
ких свойств вещества по точным данным о размерах частиц и о покат
зателе преломления (см., например, [ 117]). В настоящее время при ис-
следовании рассеяния света (как в теории, так и в эксперименте) упор
делается на более подробное изучение несферических частиц, хотя
эталоном для сравнения теории с экспериментом являются, по-види-
мому, расчеты по теории Ми для эквивалентных шаров.
Сейчас с помощью приближенных численных методов можно опи-
сать почти любые несферические и неоднородные частицы, но время
расчета оказывается очень большим, особенно если нужно учитывать
их распределения по формам, размерам и ориентациям. Дополнитель-
ным усложнением является то, что рассеяние на несферических час-
тицах может зависеть не только от угла рассеяния 0, но и от азиму-
тального урла <р, что затрудняет отображение индикатрис рассеяния.
13.4.1. Рассеяние сфероидами
По всей вероятности, наиболее простой (ограниченной) несфери-
ческой частицей является сфероид. Для описания сфероидов предложе-
ны многие приближенные методы, справедливые в некоторых предель-
ных случаях (см., например, разд. 5.3). В последние годы были пред-
ложены два подхода к задаче рассеяния на сфероидах произвольной
формы и состава: 1) построение решения скалярного волнового урав-
нения методом разделения переменных в сфероидальных координатах
с последующим разложением полей по векторным сфероидальным гар-
моникам, что аналогично разложению в случае шаров (разд. 4.1); 2)
использование метода Т-матриц [ 497, 498] (разд. 8.6). Первый подход
рассматривался в работе [ 20], второй использовался в работе [ 33].
502
Глава 13
Оба эти метода являются строгими. Рассеяние на сфероидах рассмат-
ривалось также в рамках разных приближенных методов [ 285].
Результаты расчетов рассеяния неполяризованного света на сферо-
идах показаны на рис. 13.6 и 13.7. На первом из них изображены ин-
дикатрисы рассеяния в полярных координатах из работы [ 2851; они
отвечают сфероидам одинакового объема (1 мкм3) — шару, вытянуто-
му и сплюснутому сфероидам, оси симметрии которых параллельны плоскости
рассеяния и имеют различные ориентации относительно падающего пучка; по-
казатель преломления т= 1,05 приближенно соответствует показателю пре-
ломления биологических клеток в воде в видимом диапазоне и отражает инте-
рес авторов [285] к частицам биологического происхождения. На рис. 13.7
показаны диаграммы рассеяния из работы [ 18] для двух различных ориента-
ций сфероидов с отношением полуосей 5,0 и показателем преломления 1,5; ось
симметрии, как и раньше, параллельна плоскости рассеяния.
Вытянутый сфероид
а/£-2
т = 1,05
Л = 0,5 мкм
Вытянутый сфероиЭ
а/6=2
Сплюснутый сфероид
а/6 = 2
РИС. 13.6. Угловые индикатрисы рассеяния для сфероидов равного объема.
Падающий свет непопяризован. Из работы [285].
Угловая зависимость рассеяния
503
РИС. 13.7. Рассеяние неполяризованного свете, падающего параллельно
(-------------) и наклонно (-------) к оси симметрии сфероида. Из работы
[18].
Прежде всего заметим, что рассеяние на сфероидах, ось симмет-
рии которых наклонна к падающему пучку, асимметрично относи-
тельно направления вперед; это наиболее хорошо видно на рис. 13.6.
Авторы работы [ 285] указывали, что у индикатрис рассеяния прояв-
ляется тенденция к образованию большего числа лепестков около
направлений, поперек которых частица имеет большую протяженность,
а около направлений, поперек которых ее протяженность меньше, мень-
шим оказывается и число лепестков; это в известной мере аналогич-
но рассеянию на шаре: чем больше шар, тем больше лепестков в инди-
катрисе рассеяния. Эти же авторы указывают, что для достаточно боль-
ших частиц (для которых радиус эквивалентного шара больше пример-
но 1 мкм) рассеяние на малые углы (1,5°) сильно зависит от формы и
ориентации частицы. Вообще же, чем больше сфероид, тем больше чис-
ло максимумов в индикатрисе рассеяния и тем более она вытянута в
направлении вперед. Заметим, что на рис. 13.7 вперед рассеяние
на вытянутой сфероиде больше в том случае, когда его ось параллель-
на (0°), чем когда она наклонена (45°) по отношению к падающему
пУчку, несмотря на то что при параллельной ориентации поперечное
(относительно пучка) сечение частицы меньше.
504
Глава 13
В [ 18] приведены также индикатрисы рассеяния большого сильно
вытянутого сфероида при наклонном (под углом 45°) освещении в слу-
чае, когда егоось не лежит в плоскости рассеяния; этот случай на-
поминает рассеяние на бесконечных круговых цилиндрах (разд. 8.4).
Рассеяние на отдельных сфероидах в оболочке обсуждено в работе
[ 493].
Для произвольно ориентированных одиночных сфероидов рассея-
ние зависит от азимутального угла, но эта зависимость исчезает при
рассеянии на скоплении случайно ориентированных сфероидов. Поэто-
му если теорию приходится сравнивать с результатами измерений в
скоплении случайно ориентированных частиц либо с результатами, по-
лученными для отдельных частиц, которые случайным образом пово-
рачиваются, то расчеты нужно проводить для многих ориентаций. В
большинстве расчете® этого не делалось. Исключениями являются работа [ 494]
по рассеянию на однородном сфероиде и на сфероиде в оболочке, а также рабо-
та [18]. Последняя является особенно ценной для сравнения теории
с результатами измерений, поскольку в ней рассмотрено большое чис-
ло размеров и разных показателей преломления; кроме того, в ней
подробно рассмотрены физические мех анизмы, ответственные за от-
личия от рассеяния на шарах.
13.4.2. Рассеяние на скоплениях частиц
На рис. 13.8 собраны разные примеры рассеяния на сферических
и на несферических частицах: там отображены и результаты расчетов
для случайно ориентированных вытянутых и сплюснутых сфероидов,
и результаты измерений рассеяния СВЧ-излучения на полидисперсных
взвесях несферических частиц, и результаты измерений рассеяния ви-
димого света на частицах нерегулярной формы кварца и талька. Каж-
дый из этих графиков сопровождается кривой, рассчитанной для экви-
валентных шаров. Смысл эквивалентных параметров дифракции и по-
казателей преломления объяснен в указанных в подписи к рисунку ра-
ботах , из которых взяты эти кривые (для единообразия мы изобразили
их в несколько другом виде).
Между рассеянием на сферических и несферических частицах име-
ются как сх одства, так и различия. Вблизи направления вперед, где
рассеяние, по-видимому, связано главным образом с дифракцией, внут-
ренним отражением и дважды преломленным излучением [ 230], несфе-
Угловая зависимость рассеяния
505
Вытянутый сфероид Сплюснутый сфероид СВЧ-
Расчет Расчет измерения
РИС. 13.8. Расчетные и измеренные диаграммы рассеяния: расчеты для
сфероидов из работы [19]; СВЧ-измерения из [529]; измерения для кварца
из [232] и измерения для талька из [231].
рические частицы рассеивают в общем так же, как шар с той же пло-
щадью поверхности. Для крупных частиц рассеяние вперед определяет-
ся в основном дифракцией, которая зависит от площади частицы, но
не от ее коэффициента преломления; поэтому рассеяние вперед мож-
но использовать для определения размеров несферических частиц с
неизвестными оптическими свойствами. Индикатрисы рассеяния несфе-
рических частиц не имеют особенностей типа радуг, характерных для
рассеяния на шарах. Для направлений, превышающих 90°, индикатрисы
506
Глава 13
рассеяния несферических частиц имеют тенденцию к большей гладкос-
ти, чем в случае шаров; в частности, вблизи направления назад нет
резкого увеличения рассеяния (отсюда следует, что возникновение гло-
рий не связано с несферическими частицами). Высказать какие-либо
общие соображения относительно различий рассеяния на несферических
и на эквивалентных сферических частицах при промежуточных углах
(скажем в диапазоне 45 — 135°) трудно. По-видимому, это связано с от-
сутствием универсальных тенденций; действительно, под этими угла-
ми эквивалентные шары рассеивают меньше, чем имеющие нерегулярную
форму частицы кварца и кубы, но больше, чем частицы талька и сферо-
иды. Такие же различия проявляются и в расчетных значениях парамет-
ров асимметрии. В работе [ 19] вычислены параметры асимметрии для
случайно ориентированных сфероидов, которые оказались больше, чем
для эквивалентных шаров; в противоположность этому рассчитанные в
[ 373] параметры асимметрии для различных несферических частиц ока-
зались меньше. Поэтому нельзя однозначно утверждать, что несфери-
ческие частицы рассеивают назад больше (или меньше), чем эквива-
лентные шары.
13.4.3. Поляризация
На рис. 13.9 показаны рассчитанные и измеренные значения сте-
пени линейной поляризации Р = для разных несферических
частиц. Сплюснутые и вытянутые сфероиды, кубы и частицы кварца
неправильной формы уже появлялись на рис. 13.8; новыми являются ку-
бы NaCl. Здесь же показаны результаты расчетов для эквивалентных
шаров.
Имеются сущестценные различия между поляризационными диа-
граммами сферических и несферических частиц; более того, оказыва-
ется возможным сделать несколько общих выводов. Во-первых, поля-
ризационные диаграммы несферических частиц не имеют особеннос-
тей вблизи углов радуги (или их предвестников в случае частиц
меньших размеров) эквивалентных шаров. Во-вторых, для несфери-
ческих частиц поляризация имеет тенденцию оставаться положитель-
ной, для большего диапазона углов, чем в случае шаров. Используя об-
ширные результаты вычислений для вытянутых, случайно ориентиро-
ванных сфероидов с отношением полуосей 2, показателем преломле-
ния 1,44 и параметром дифракции, доходящим до 15, авторы работы
[ 19] сделали вывод, что степень линейной поляризации света, рассе-
Угловая зависимость рассеяния
507
0,4
<сГ О
о»
со"
-0,4
I I -'"т—* । |
ОООслОООоО^л ОО-°О
-J-----1____ 1 I________
Смесь несферических
частиц
(СВЧ)
О 60 120 180°
в
РИС. 13.9. Результаты расчетов и измерений величины -SBZSn (линейная
поляризация) и вычисления для сфероидов из [ 19]; измерения для
NaCl из [361 ]; измерения для кварца из 1232] (обсчитаны с использованием
измерений ненормированных матричных элементов); СВЧ-измерения из
[ 529]. Штриховые кривые отвечают расчетам для эквивалентных шаров.
янного несферической частицей, в отличие от случая сферических
частиц имеет тенденцию оставаться положительной при промежуточных
значениях угла рассеяния. В работе [ 361] измерялось рассеяние на
почти кубических частицах NaCl разных размеров, и было найдено
508
Глава 13
хорошее согласие с расчетами для малых шаров (х < 4), но плох ое -
для шаров больших размеров (рис. 13.9). Там же обнаружено хорошее
согласие для округлых, но несферических частиц сульфата аммония
всех размеров вплоть до х = 12,4. Сходные положительные степени
поляризации наблюдались при рассеянии на пластинчатых кристаллах
льда [ 415]. Таким образом, для множества несферических частиц,
по-видимому, имеется тенденция к поляризации, противоположной по
знаку поляризации в случае шаров. Геометрическая оптика предска-
зывает, что свет, преломленный на внешней и внутренней границах
шара, дает положительный вклад в линейную поляризацию; заметим,
например, что поляризация положительна под углами радуги первого и
второго порядков (рис. 13.4), которые связаны соответственно с одно-
и двукратно отраженными внутрь частицы лучами. Нерегулярности фор-
мы, очевидно, размазывают присущую внутренним отражениям поло-
жительную поляризацию по большему диапазону углов (см., например,
[106]).
На всех, за исключением одного, примерах рис. 13.9 показаны
также нормированные матричные элементы S22/S , которые равны
единице для любых скоплений шаров. Таким образом, отличие $22/$
от единицы есть мера несферичности; разность
иногда называют коэффициентом деполяризации. В разд. 13.1 величи-
на (1/2)15^ -S22), совпадающая с Д, за исключением нормировочного
множителя , была названа коэффициентом перекрестной поляриза-
ции. Если Д равна нулю, то в предположении, что матрица рассеяния
имеет вид (13.21), падающий свет, поляризованный параллельно или
перпендикулярно плоскости рассеяния, не испытывает деполяризации
(т.е. рассеянный свет имеет 100%-ную поляризацию). Между тем изме-
ряется Д путем введения линейных поляризаторов с ортогональными
осями пропускания - перекрестных поляризаторов — до и после рас-
сеивающей среды. Отсюда следует, что название "коэффициент депо-
ляризации" отражает физический смысл величины Д, тогда как тер-
мин "коэффициент перекрестной поляризации" отражает метод, посред-
ством которого Д измеряется.
Для всех примеров, показанных на рис. 13.9, S22 приближается к
в направлении рассеяния вперед, хотя для больших углов ^22/^п
Угловая зависимость рассеяния
509
существенно отличается от единицы. Например, для кубов 8^/8^ ока-
зывается меньше примерно 0,5 при углах рассеяния, больших 90°.
Расчеты для вытянутых сфероидов приводят к интересному результа-
ту: коэффициент деполяризации для сфероидов с отношением осей 2
оказывается больше, чем для более вытянутых сфероидов с отношени-
ем осей 5.
13.4.4. Приложения к обратной задаче рассеяния
При попытках использовать данные рассеяния для определения сво-
йств частиц в атмосфере, межзвездной среде и в лабораторных усло-
виях различия между рассеянием на сферических и несферических
частицах могут привести к выводам, которые неправильны как в ко-
личественном, так и в качественном отношении. Так, например, глад-
кое изменение 5 в направлении рассеяния назад можно было бы ис-
толковать как следствие сильного поглощения в шаре, а не как след-
ствие несферичности слабо поглощающих частиц. Большие положитель-
ные степени поляризации можно отнести на счет очень малых частиц
вместо больших частиц неправильной формы. В то же время отклоне-
ния 8 /8 от единицы могут служить значимыми показателями несфе-
ричности, предостерегающими от анализа и интерпретации эксперима!-
тальных данных на основе теории Ми.
13.5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАЗМЕРОВ ЧАСТИЦ
Для определения размеров частиц широкое использование нашел
метод упругого рассеяния света, поскольку он не разрушает частицы
и является достаточно быстрым. В работе [ 264] дано детальное обсуж-
дение различных методов определения размеров частиц, в том числе
и методов, пригодных для замеров в случае скоплений частиц разного
размера. Сложность решения обратной задачи — нахождения распреде-
ления по размерам из результатов измерений — возрастает с увеличе-
нием ширины этого распределения. Этот недостаток привел к более ши-
рокому использованию методов, в которых для определения размеров
частиц используется свет, рассеянный частицами, проходящими рассе-
ивающий объем по одиночке. Импульсы света, рассеянные в несколь-
ких выбранных направлениях, измеряются и при помощи электронного
устройства распределяются по величине амплитуды; распределение по
размерам определяется по гистограмме амплитуд импульсов с исполь-
зованием калибровочной кривой, связывающей амплитуду импульсов с
510
Глава 13
размером частицы. В настоящее время для этой цели имеются промыш-
ленные приборы; они отличаются Друг от /фуга по направлениям, в ко-
торых измеряется рассеянный свет, и по источникам облучения, кото-
рыми могут быть лазер или сфокусированный свет лампы накаливания.
Отклик Я прибора, измеряющего рассеяние на отдельной частице,
есть
где G описывает геометрию облучения и приема, f учитывает спектр
источника и спектральную чувствительность фотодетектора, а диффе-
ренциальное сечение рассеяния dCsca/dQ можно вычислить по теории
Ми, если рассеивающая частица сферична. Зависимость отклика раз-
личных промышленных приборов от размера частицы рассматривалась
во многих работах, в том числе в (ПО, 3661. Результаты расчетов из
[3661 для шаров показаны на рис. 13.10; на кривых Для непоглощающих
шаров хорошо видна рябь и интерференционная структура (см. гл. 4 и 11).
Эти кривые указывают на трудности, с которыми обязательно сталки-
ваются при конструировании и использовании приборов для определе-
ния размеров частиц. Из-за наличия интерференционной структуры раз-
мер частицы оказывается многозначной функцией отклика, так что ша-
ры трех различных размеров могут дать один и тот же отклик. Для не-
которых типов аэрозоля эту неприятность можно До некоторой степени
уменьшить, подобрав электронный дискриминатор, исключающий облас-
ти многозначности. Если нужно определить размеры шаров с неизвест-
ными или различными показателями преломления, то может возникнуть
новое осложнение, связанное с изменением отклика в зависимости от
показателя преломления. Взаимная однозначность зависимостей откли-
ка от радиуса частиц для двух рассмотренных в [1101 приборов связа-
на, вероятно, с использованием в них широкополосных источников (бе-
лого) света, а также с применением источника и приемника с больши-
ми угловыми апертурами.
Калибровка неизменно основывается на шарах, а это означает, что
доверять показаниям прибора можно только в случае сферических час-
тиц. Конечно, отклик будет записан и в случае прохождения через рас-
сеивающий объем несферической частицы. Ио какой смысл будет иметь
соответствующий такому отклику "эквивалентный радиус"? Будет ли
это радиус шара равного поперечного сечения? или равной площади по-
верхности? или равного объема? или же, наконец, равной средней дли-
ны хорды? Ответы на эти вопросы зависят от конкретного приора и от
Угловая зависимость рассеяния
511
РИС. 13.10. Расчеты отклика счетчика частиц, собирающего свет Не -Ne-na-
зера, рассеянного между 4 и 22°. Перепечатано с разрешения из работы
Pinnick R.G; Auvetmann J.J. J. Aerosol Soi., 10, 55 — 74, 1979.
формы несферической частицы; исчерпывающие ответы получить не-
просто из-за сложности расчетов для несферических частиП даже в слу-
чае регулярной формы..
В соответствии со скалярной теорией дифракции (разд. 4.4) ампли-
туда рассеяния в направлении вперед пропорциональна площади попереч-
ного сечения частицы и не зависит от ее формы и показателя прелом-
ления. Поэтому в той же степени, в какой дифракционная теория явля-
ется хорошим приближением, радиус, соответствующий отклику прибо-
ра, собирающего свет, рассеянный несферической частицей вблизи на-
512
Глава 13
правления вперед, есть радиус шара с равной площадью поперечного
сечения. Однако, чем больше частица, тем сильнее рассеянный свет
концентрируется вблизи направления вперед и тем труднее отделить его
от нерассеянного (падающего) пучка- Тем не менее возможные преиму-
щества, связанные с нечувствительностью к показателю преломления
и к форме частицы, делают рассеяние под малыми углами привлекатель-
ным средством для определения размеров частиц. В работе [ 266] был
сделан вывод, основанный на расчете функций отклика для различных
приборов, что малоугловое рассеяние полихроматического света может
служить для точного определения размеров частиц с неизвестными пока-
зателями преломления.
Экспериментальная оценка различных широко используемых про-
мышленных приборов предпринималась разными исследователями, вклю-
чая авторов работы [ 293], которые для получения аэрозолей из сфери-
ческих частиц с узкими распределениями по размерам использовали ме-
тодику вибрирующего сопла. В работе [ 366] полученные аналогично кап-
ли растворов высушивались, давая твердые частицы, которые служили
для оценки отклика некоторых приборов на несферические аэрозоли. Из
этих оценок выяснилось, что в зависимости от прибора с помощью рас-
сеяния света можно с высокой точностью определять размер сферичес-
ких частиц от 0,2 до 15 мкм, при условии, что показатель преломления
частиц известен. Однако если частицы несферичны, или неизвестен их
показатель преломления, или аэрозоль состоит из частиц с разными по-
казателями преломления, то точное определение размеров частиц, по-ви-
Димому, менее доступно.
13.6. СИММЕТРИЯ МАТРИЦЫ РАССЕЯНИЯ
Вся информация об угловом рассеянии любой средой (одиночной
частицей или скоплением частиц) содержится в 16 элементах матрицы
рассеяния. Во многих случаях, например для среды с симметрией от-
носительно вращений, элементы матрицы рассеяния не являются не-
зависимыми, а симметрия более высокого порядка зачастую еще силь-
нее уменьшает число отличных от нуля независимых элементов. По-
этому, даже если не рассматривать явной зависимости матрицы рас-
сеяния от углов, уже сама форма этой матрицы отражает общие свой-
ства рассеивающей среды. Две основные трактовки свойств симметрии
матрицы рассеяния были даны в работах [ 360, 488]; они приводят к
сходным результатам, но несколько различными путями-: в [ 488] в ка-
честве исходных используются амплитудные 2 х 2-матрицы рассеяния
одиночных частиц, откуда выводятся свойства симметрии 4 х 4-матри-
Угловая зависимость рассеяния
513
цы рассеяния при разных предположениях о распределении частиц по
ориентации и форме; в отличие от этого в [ 360] рассматривается не-
посредственно матрица рассеяния без привлечения в качестве проме-
жуточного шага свойств симметрии 2 х 2-матриц. Поскольку амплитуд-
ные 2 х 2-матрицы рассеяния существенно проще, чем 4 х 4-матрицы
рассеяния для скоплений частиц, при описании свойств симметрии мат-
риц рассеяния мы будем следовать ван де Хюлсту [ 488].
Наиболее общая форма амплитудной матрицы рассеяния отдельной
частицы
/Я2(0,ф) S3(0, ф)\
(13.4)
содержит восемь параметров: действительные и мнимые части всех
элементов, или, что эквивалентно, их амплитуды и фазы, которые за-
висят от угла рассеяния 0 и азимутального угла <р. Поскольку физи-
ческий смысл имеют лишь относительные фазы, в (13.4) фактически
имеется лишь семь независимых параметров. Соответствующий (13.4)
вид матрицы рассеяния размером 4x4 вытекает из (3.16); хотя все 16
элементов этой матрицы могут быть отличными от нуля, только семь
из них являются независимыми. Таким образом, имеется девять неза-
висимых соотношений между матричными элементами; они рассмотре-
ны в работе [ 5]. Однако на матрицу рассеяния для скопления разных
частиц отличающихся ориентацией, или формой, или же составом, эти
ограничения не распространяются: все ее 16 элементов могут быть не-
зависимыми. Тем не менее матричные элементы оказываются связан-
ными рядом независимых неравенств [ 162]. Например, если частицы
являются сферическими, то
> Sj2 + S33 + .
Равенство здесь выполняется для одиночного шара или для скопления
одинаковых шаров; неравенство выполняется, если они распределены
по размерам или по составу. Эго неравенство использовалось, напри-
мер, в работе [ 239] как показатель дисперсности взвеси из сферичес-
ких частиц. Авторы работы [ 162] указывали, что полученные ими не-
равенства удобно использовать для проверки согласованности измере-
ний всех 16 элементов матрицы рассеяния.
Ниже мы сначала обсудим матрицы рассеяния, отвечающие специ-
альным случаям частиц, для которых известны аналитические решения
33-205
514
Глава 13
задачи рассеяния. Затем, обратившись к самым общим соотношениям
симметрии, мы получим форму матриц рассеяния, которая не зависит
от конкретной природы частиц.
13.6.1. Одночастичные симметрии
Укажем сначала некоторые свойства симметрии матрицы рассея-
ния для отдельных частиц, следующие из результатов предыдущих глав.
Для достаточно малых шаров, когда применима теория Рэлея (гл.5),
или для частиц произвольной формы, удовлетворяющих условиям примени-
мости приближения Рэлея - Ганса (гл. 6), падающий свет с компонен-
тами электрического вектора, параллельными или перпендикулярными
плоскости рассеяния, может рассеиваться с разными амплитудами; од-
нако между этими двумя компонентами отсутствует фазовый сдвиг. Сле-
довательно, амплитудная матрица рассеяния имеет вид
/Л42 о \
\ о ^1 /’
где общий множитель F комплексен, а и А2 вещественны. Соответ-
ствующая матрица рассеяния, согласно (3.16), представляется как
$11
^12
О
$12 О О'
$и о о
О $33 о
О 0 $33
(13.5)
Заметим, что коэффициент перекрестной поляризации обращаете# в
нуль, так что неполяризованный падающий свет не приобретает при рас-
сеянии круговой поляризации.
Как амплитуда, так и относительная фаза компонент поля, которые
параллельны и перпендикулярны плоскости рассеяния, при рассеянии
на шаре произвольного размера и состава могут меняться. Однако сим-
метрия запрещает трансформацию параллельно поляризованного света
в свет с перпендикулярной поляризацией и наоборот. Таким образом, пе-
рекрестная поляризация обращается в нуль, и амплитудная матрица рас-
сеяния должна иметь вид
/$2 0 \
\0 SJ’
Угловая зависимость рассеяния
515
что приводит к 4 х 4-матрице
$11 $12 0 0
$12 $11 0 0
0 0 $33 $34 (13.6)
0 0 “$34 $33
Единственное различие между (13.6) и (13.5) состоит в том, что для ша-
ра произвольного размера матричный элемент S,4 , вообще говоря, в
нуль не обращается. Этот матричный элемент действует подобно эле-
менту задержки типа четвертьволновой пластинки: фаза одной из орто-
гональных компонент падающего света запаздывает относительно фа-
зы Другой компоненты, что приводит к появлению некоторой круговой
поляризации рассеянного света, если падающий свет поляризован на-
клонно относительно плоскости рассеяния. Следствием обращения в
нуль недиагональных элементов амплитудной матрицы рассеяния яв-
ляется равенство элементов Sn и S22 , так же как и S33 и S44. Мат-
рица рассеяния освещенного по нормали цилиндра (разд. 8.4) имеет
ту же симметрию, что и (13.6).
Недиагональные элементы амплитудной матрицы рассеяния для
шара из оптически активного вещества (разд. 8.3)
$2
-$з
$Л
$1/
(13.7)
вообще говоря, не обращаются в нуль; не обращаются они в нуль и
для бесконечного цилиндра при наклонном освещении (разд. 8.4). Де-
сятипараметрическая матрица рассеяния, соответствующая (13.7), име-
ет вид
$п Sl2 $в Sl4
$12 Sj2 $23 $24
~$13 ~ $23 $33 $34
*^14 $24 ~ $34 $44
(13.8)
Именно отличие от нуля недиагональных элементов (13.7) приводит к
появлению перекрестной поляризации (5Ц * &2), а также к отличию от
нуля элементов Sj4, S2J и S24 матрицы (13.8). То, что элементы
516
Глава 13
S и S4 Для оптически активных частиц должны быть ненулевыми,
следует из элементарных физических соображений: оптическая актив-
ность однородной среды приводит к повороту плоскости поляризации
распространяющегося в ней линейно поляризованного света. Однако
оптическая активность вещества частицы является достаточным, но
не необходимым условием того, чтобы частице соответствовала от-
личная от нуля перекрестная поляризация; например, последняя не
равна нулю для изотропных оптически неактивных вытянутых частиц,
таких, как вытянутые сфероиды или круговые цилиндры, когда они об-
лучаются наклонно относительно их осей симметрии. Матрицы рас-
сеяния наклонно облучаемого бесконечного кругового цилиндра иден-
тичны по форме матрицам рассеяния оптически активного шара; сле-
дует, однако, помнить, что в этом случае ортогональные базисные век-
торы, по которым раскладывается падающее электрическое поле, па-
раллельны и перпендикулярны плоскости, задаваемой направлением па-
дающего пучка и осью цилиндра, а не направлениями падающего и рас-
сеянного пучков.
Мы почти исчерпали возможные свойства симметрии матрицы рас-
сеяния, следующие из приближенных или точных решений конкретных
задач рассеяния. Между тем, независимо от формы, размера и соста-
ва частиц, о них можно многое сказать, и не имея явного решения за-
дачи рассеяния. По матрице рассеяния некоторой частицы удается най-
ти матрицы рассеяния других частиц, получающихся из исходной при
помощи преобразований симметрии, связанных с вращениями и отраже-
ниями. Рассмотрим по очереди эти преобразования симметрии.
Рассмотрим произвольную частицу, освещаемую плоской линейно
поляризованной вдоль направления q волной единичной амплитуды.
Направление распространения этой волны задается единичным векто-
ром е(. , а рассеянной волны, т.е. направление наблюдения, — единич-
ным вектором es. Обозначим амплитуду рассеянной волны через
A (q; е., es), где ег • q = 0 и es-4 (q; ег, es) = 0. Уравнения Максвелла
(2.1) — (2.4) инвариантны относительно обращения времени: они сохра-
няют свою форму при замене t на —t, Н на -Н и на — Jf. Обра-
щение времени означает замену падающего фотона рассеянным и нао-
борот. Или, иначе, если падающая на частицу плоская волна создает
рассеянную расходящуюся сферическую волну, то падающая сходящаяся сфе-
рическая волна дает рассеянное поле в виде уходящей плоской волны.
Для наших целей этого еще не достаточно, поскольку мы интересуем-
ся рассеянием плоских, а не сферических волн. Однако если поменять
местами только направления падающей и рассеянной волн, то амплиту-
Угловая зависимость рассеяния
517
ды будут связаны Доказанным в [ 419, 4201 соотношением взаимности
4' • А(А; «„«,) = 4 • А(4'; -ft,, -ft,), (13.9)
где q • es = 0 и е,- A(q'; — ef, —es) = 0. Эго соотношение взаимности
является ключевым для вывода формы амплитудных матриц рассеяния
частиц, отличающихся лишь ориентацией.
Удобно ввести систему координат с осью z, направленной вдоль
е, (рис. 13.11). Без потери общности мы можем принять в качестве
плоскости рассеяния плоскость yz, так что амплитуды рассеяния для
двух ортогональных состояний поляризации падающего света будут
иметь вид (см. гл. 3, в особенности рис. 3.3 и разд. 3.4)
A(ftx; ft,,ft,) = + S,ftx„
A(^; ft,,ft,) + S4ftx,. (13.10)
Если теперь за направление падающей волны принять — es, то ам-
плитуды волн, рассеянных в направлении — S., для двух ортогональных
состояний поляризации будут равны
А(-^; -^_4i)-^(-ft0 + S'ftx,
-А> -М - Sfc, + (и.и)
Из (13.10), (13.11) и соотношения взаимности (13.9) теперь уже триви-
ально следует, что S' = Sp S' = S2, S' = -S4 и S' = -S3. Физический
смысл S . состоит в том, что если амплитудная матрица рассеяния не-
которой частицы есть
то амплитудная матрица рассеяния идентичной частиЧы, но повернутой
так, чтобы — е, совпал с е, , а — е, совпал с es, будет
( S2
\S3
Si/'
(13.13)
Глава 13
518
РИС. 13.11. Если изображенную слева частицу повернуть на угол 180° вокруг
оси х, а затем на угол 180° вокруг оси х, то получится результат, изобра-
женный справа.
Относительная ориентация этих двух частиц показана на рис. 13.11; за-
метим, что попарное соответствие между матрицей (13.12) для частицы
в положении (а) и матрицей (13.13) для той же частицы, но повернутой
в положение (б), связано с выбором направления наблюдения es. Если
направление наблюдения изменится, то,вообще говоря, должна изменить-
ся и ориентация повернутой частицы; таким образом, матрица (13.13)
относится не к одной повернутой частице с фиксированной ориентацией,
а к целому ряду одинаковых частиц с разными ориентациями для разных
направлений наблюдения.
Угловая зависимость рассеяния
519
Для проверки (13.13) можно использовать решение задачи рассеяния
для оптически активного шара. Такой шар симметричен относительно
любых вращений, но недиагональные элементы отвечающей ему матри-
цы (13.7) не обращаются тождественно в нуль. Как этого требуют сим-
метрия и вид матриц (13.12) и (13.13), матрица (13.7) инвариантна отно-
сительно замены местами ее недиагональных элементов с одновремен-
ной переменой их знака.
Обратимся теперь к зеркальному образу частицы, получаемому зер-
кальным отражением произвольной частицы относительно плоскости рассея-
ния. В разд. 8.3 мы показали, что поляризованные по кругу компоненты пада-
ющего и рассеянного полей связаны соотношением
$2с
*4с
S3 с
Slc
(13.14)
1W
где мы опустили множитель пропорциональности. Патричные элементы
в представлении круговой поляризации связаны с матричными элемента-
ми в представлении линейной поляризации унитарным преобразованием:
с Л1с 1 1 i
s2c 1 1 1 -i
S3C 2 -1 1 i
1 1 — i
S2
S3
(13.15)
Отражение переводит правую круговую поляризацию света в левую и на-
оборот. Таким образом, при отражении ELs -»ERs , ERs -*ELs, и (13.14)
принимает вид
SL
SL
(13.16)
£lJ'
Отсюда следует, что матричные элементы для частицы и ее зеркально-
го образа связаны соотношением
(S‘c\
S2c
S3C
, $4с.
О 1
1 о
о о
о о
о
о
о
1
(S'lc\
О s;c
(13.17)
520
Глава 13
Теперь из (13.15) и (13.17) нетрудно показать, что если (13.12) есть
матрица рассеяния произвольной частицы, то матрица рассеяния ее зер-
кального образа равна
(-s4 4 О318)
И снова точное решение задачи для оптически активного шара дает
возможность независимой проверки нашего анализа. При отражении ко-
эффициенты преломления mL и mR меняются ролями, и, как след-
ствие, матричный элемент S3 в (13.7) переходит в -$3 ; это согла-
суется с видом (13.18).
Нам понадобится еще одна матрица, а именно матрица рассеяния
для частицы, полученной из исходной преобразованиями отражения и
поворота; вид этой матрицы легко вытекает из (13.13) и (13.18):
Амплитудные матрицы рассеяния (13.12), (13.13), (13.18) и (13.19)
Для отдельных частиц, связанные с преобразованиями симметрии от-
ражения и поворота, будут широко использоваться ниже при рассмот-
рении скоплений частиц.
13.6.2 . Симметрии для скоплений частиц
Матрица рассеяния размером 4 х4 в случае скопления частиц пред-
ставляет собой сумму матриц рассеяния всех отдельных частиц скоп-
ления при условии, что фазы волн, рассеянных отдельными частицами,
не связаны между собой жестко (т.е. если рассеяние полностью неко-
герентно). Поэтому в общем случае все 16 элементов матрицы рассе-
яния являются независимыми. Однако симметрия уменьшает число не
равных нулю независимых матричных элементов. Ниже мы выведем вид
матрицы рассеяния для скоплений частиц при самых общих предположе-
ниях, постепенно повышая степень симметрии.
Хотя понятие "скопление" обычно подразумевает систему, состо-
ящую из многих частиц, наши соображения симметрии в равной степе-
ни применимы и к одиночной частице, которая совершает, например, ха-
отические движения. Другими словами, рассматриваемые нами средние
величины можно с равным успехом вычислять и как средние по време-
Угловая зависимость рассеяния
521
ни, и как средние по ансамблю. Предположим, что в скоплении одинако-
вых частиД все ориентации равновероятны. Независимо от направления
рассеяния, это означает, что если имеется частица с амплитудной мат-
рицей рассеяния вида (13.12), то обязательно есть и другая частица,
ориентированная так, что ее матрица рассеяния имеет вид (13.13). По-
этому для нахождения свойств симметрии 4 х 4-матриЦы рассеяния до-
статочно рассматривать только пары частиц. Для пояснения довольно
одного примера. Из (3.16), (13.12) и (13.13) следует, что матричные эле-
менты S12 и S21 для пары частиц равны | S212 - | 12 • Аналогично мы
можем найти и все оставшиеся соотношения симметрии. В результате
получается Десятипараметрическая матрица рассеяния
*11 *12 *13 *14
*12 *22 *23 *24
-*13 - S23 *33 *34
*14 *24 ~*34 *44
(13.20)
Это форма матрицы рассеяния любой среды с вращательной симметри-
ей, даже если не все частицы одинаковы по форме и составу. Простей-
шим примером дискретной среды, которая обладает симметрией по от-
ношению к поворотам, но не по отношению к отражению, является скоп-
ление оптически активных шаров- Зеркальная асимметрия в скоплении
случайно ориентированных частиц может возникать либо из-за формы
частиц (например, спиралевидной), либо из-за наличия оптической ак-
тивности (круговое двойное лучепреломление или круговой дихроизм).
Давайте теперь увеличим степень симметрии. Пусть, как и в пре-
дыдущих абзацах, частицы одинаковы и случайно ориентированы, но
потребуем дополнительно, чтобы любую частицу соответствующим по-
воротом можно было совместить со своим зеркальным отражением в
любой плоскости рассеяния. Это требование исключает оптически ак-
тивные частицы, хотя линейное двойное лучепреломление и дихроизм
допустимы. При этом предположении скопление можно разбить на груп-
пы, состоящие из четырех частиц, с каждой из которых связана одна
из амплитудных матриц рассеяния (13.12), (13.13), (13.18) и (13.19). При
этом сумма матриц рассеяния этих четырех частиц даст форму матри-
цы рассеяния всего скопления. Здесь снова достаточно рассмотреть
один пример: для рассматриваемой четверки частиц как S34, так и
522
Глава 13
-S4J равны 2Imj525* I . Все остальные свойства симметрии матри-
цы вытекают из аналогичных расчетов по формулам (3.16) с четырьмя
амплитудными матрицами рассеяния. В итоге получается следующая
матрица с восьмью пенулевьми элементами, из которых независимы шесть:
(Su S12 0 0
Sj2 $22 0 0
0 0 S33 £34
0 0 ~^34 S44
(13.21)
Рассеивающие среды, к которым применима эта матрица, включают
скопления случайно ориентированных анизотропных шаров из матери-
алов типа кальцита или кристаллического кварца (одноосный кристалл)
или оливина (двухосный кристалл). Сюда включаются также изотропные
цилиндры и эллипсоиды из таких веществ, как стекло и кубические крис-
таллы. Примером задачи рассеяния, для которой известно точное ре-
шение и применима матрица (13.21), является рассеяние на случайно
ориентированных изотропных сфероидах [ 19]. Элементы (13.21) вне ди-
агональных блоков равны нулю. Поэтому если эти матричные элементы
для скопления изотропных вытянутых частиц с зеркальной симметрией
отличны от нуля, то это означает наличие некоторой ориентации частиц.
Применимость матрицы (13.21), однако, не ограничивается скопле-
нием частиц, каждая из которых конгруэнтна своему зеркальному отра-
жению; матрица (13.21) с равным основанием применима к любой сре-
де, инвариантной относительно поворотов и отражений, а такие среды
охватывают и случай зеркально-асимметричных частиц, для каждой из
которых имеется соответствующим образом ориентированная зеркаль-
ная частица.
Наибольшую степень симметрии имеют матрицы рассеяния для скоп-
лений изотропных сферических частиц. Независимо от размера и сос-
тава матрица рассеяния таких частиц, справедливая и для неоднородных
частиц, имеет вид (13.6). В ней имеется восемь не равных нулю элемен-
тов, из которых независимы самое большее четыре. Примерами такого
рода являются сферические жидкие капельки или твердые шары, состо-
яющие либо из аморфных твердых веществ, таких, как стекло и дву-
окись кремния, либо из кристаллических твердых веществ с кубической
симметрией типа MgjO и NaCl. Заметим, что в (13.6) Sn и Sj2 (так же
как и Sj3 и S4 4) равны. Поэтому если при измерениях углового распре-
Угловая зависимость рассеяния
523
деления рассеяния регистрируется не равная нулю перекрестная поля-
ризация, то этого достаточно, чтобы исключить изотропные шары из
числа возможных рассеивателей.
Иногда принимается предположение, что случайно ориентирован-
ные несферические частицы в некотором смысле эквивалентны сфери-
ческим частицам - достаточно только правильно выбрать распределе-
ние по размерам. Это соображение основано, вероятно, на представле-
нии, что обе эти системы обладают сферической симметрией. Но из пре-
дыдущих абзацев с неизбежностью следует, что такое допущение не мо-
жет быть строго правильным: независимо от размеров и состава "экви-
валентных" шаров симметрия препятствует полной эквивалентности.
13.7. МЕТОДИКА ИЗМЕРЕНИЙ МАТРИЦЫ РАССЕЯНИЯ
Простейший и, вероятно, наиболее очевидный способ измерения
элементов матрицы рассеяния состоит в использовании обычного нефе-
лометра (рис. 13.5) и различных оптических элементов, помещаемых до
и после рассеивающей среды. Напомним, что в разд. 2.11 мы ввели па-
раметры Стокса, рассматривая разности интенсивностей, которые мож-
но измерить в воображаемых экспериментах с различно ориентирован-
ными поляризаторами на пути пучка. Хотя мы не конкретизировали при-
роду пучка, в его роли может выступать свет, рассеянный в любом на-
правлении. Поэтому по измерениям такого типа можно найти разные
комбинации элементов матрицы рассеяния. Теперь, однако, имеется
два пучка - падающий и рассеянный - и много различных наборов пар
оптических элементов; все это мы обсудим ниже.
В табл. 13.1 перечислены всевозможные измеряемые интенсив-
ности (при единичной интенсивности падающего пучка) для случая, ког-
да перед рассеивающей средой помещен поляризатор, а перед прием-
ником - анализатор. Свет, прошедший через идеальный поляризатор Ps,
находится в состоянии поляризации s ; R и L означают правую и ле-
вую круговые поляризации; 11 и 1 - линейную поляризацию, параллель-
ную и перпендикулярную плоскости рассеяния; знаки плюс и минус -
линейные поляризации под наклоном + 45 и - 45° соответственно. Сим-
волом V обозначено отсутствие поляризатора или анализатора; если
U стоит до рассеивающей среды, то подразумевается, что падающий
свет полностью неполяризован, что является некоторой идеализацией.
Линейные анализаторы Лц , ..., Л_ идентичны линейньм поляризаторам
Рц, •••> • Однако круговые анализаторы AR и AL представляют со-
бой перевернутые круговые поляризаторы PR и PL . Дело в том, что
524
Глава 13
Таблица 13.1
Комбинации элементов матрицы рассеяния, вытекающие из измерений
с поляризатором до рассеивающей среды и анализатором Л5 после нее
IV означает отсутствие поляризатора или анализатора)
и и SH p± V i(Sn — S12)
и 1(5ц + S21) 2>x Л1 i(Su — Sl2 + S2, — S22)
и *1. 1(S,| “ Si|) p± Л± 4(5] । — 5|2 — S2] + $22)
и Л + 1(S|| + S3I) p± Л + i(Sn — S,2 + S3I — S32)
и А_ i(S„ -S3I) p± л_ 4(S|, — Sl2 — ^| + ^2)
и Ая i(S„ - S4I) p± ^я i(Sn — S,2 — S4l + S42)
и Al !(S„ + $«,) p± ^L i(S,| — Sl2 + S4I — S42)
р\\ и 1(S|| + Sl2) p+ и l(Sn + Sl3)
л л i(S|| + sl2 + S2I + S22) p+ л|| i(S|| + S13 + S21 + S23)
/>|| i(Sn + sl2 - S2I -Sa) p+ i(S|| + S]3 — S2I - S23)
л Л+ 4(5H + *^12 + *$31 + s32) p+ л + i(5j j + 5|3 + S3] + s33)
А_ i(Sn + SI2 — S3I - s32) p+ л_ «(S|| + SI3 — S3I - S33)
л Ая J(5n "* $12 ~ - S42) p+ ^я 4(5] ] + 5|3 — 5^] — 543)
Pi, Al i(Sii + SI2 + S4I + s42) p+ ^L 1(S|| + SI3 + S4I + S43)
/>_ и 1(S„ -S13) Pl и l(S|i — S14)
/>_ Ли i(S„ - S)3 + S2, “Sy) Pl л|| i(Sn — S14 + 521 - 524)
р. л± i(S|i - S,3 - S2I + s23) Pl <(S|| — Sl4 — S2] + S24)
р Л + 1(Sii - S|3 + S3I “ S33) Pl л + i(S|j — Sl4 + S3I — Sm)
р_ Л_ i(Sn — S|3 — S3, + s33) Pl л_ 4(Sn — Sl4 — S3| + Sm)
р. Ая i(Sn - S|3 - S41 + s43) Pl ^я i(S|i — SI4 — S4, + Sm)
р_ Al i(S„ - S)3 + S4) “ S43) Pl Al 4(Sn — SM + S4| - Sm)
рк и i(Si, +SI4)
ря Л i(Sii + S)4 + S2| + s24)
рк Л± 4(5j ] + SM “ S2] “ S24)
ря Л + i(Sn + S)4 + S31 + SM)
рк Л_ i(S|| + S)4 — S3I -Sm)
рк Л* i(S„ + S14 — S41 -S")
рк Л/. i(Sii + S)4 + S4|
круговой поляризатор или анализатор состоит из двух оптических эле-
ментов - линейного поляризатора и элемента задержки на ±90°, поря-
док прохождения которых существен: если пучок сначала проходит че-
рез линейный поляризатор, то мы имеем круговой поляризатор; обрат-
ный порядок оптических элементов дает круговой анализатор. В преды-
дущих разделах мы не делали различия между поляризаторами и анали-
Угловая зависимость рассеяния
525
заторами. Однако здесь такое различие представляется желательным,
так как оно позволяет избежать путаницы. Матрицы Мюллера для поля-
ризаторов и элементов задержки приведены в разд. 2.11.
Возможные результаты измерений, представляющие собой комби-
нации элементов матрицы рассеяния, перечислены в табл. 13.1; они по-
лучаются в результате перемножения трех матриц, описывающих поля-
ризатор, рассеивающую среду и анализатор. Если в одной из колонок
фигурирует обозначение U, то измеряемая интенсивность зависит толь-
ко от двух матричных элементов. Однако в общем случае комбинация
состоит из четырех элементов, так что для получения одного матрич-
ного элемента требуются четыре измерения.
Элементы матрицы рассеяния измерялись указанным способом в
работах [ 232, 375]; во второй из них приведены результаты, аналогич-
ные перечисленным в табл. 13.1, для среды с матрицей рассеяния (13.21),
Несмотря на то что методика является вполне естественной, хотя воз-
можно и трудоемкой, при ее использовании могут возникать значитель-
ные относительные погрешности, связанные с получением малых мат-
ричных элементов, например 513 и 514, в виде разностей больших сиг-
налов. Избежать таких разностей можно, усиливая принятый сигнал,
промодулированный путем вращения поляризатора или элемента задерж-
ки либо в падающем, либо в рассеянном пучке. В работе [ 424] описан
подобный метод измерения поляризации рассеянного атмосферой сол-
нечного света. Этот метод может оказаться лучше методики, связан-
ной с вычитанием больших величин, но и у него есть недостатки: не всег-
да удается вращать оптические элементы с желаемой скоростью; дефек-
ты вращающихся элементов, например царапины и пыль, могут приводить
к паразитной модуляции, ограничивающей чувствительность. Имеется,
однако, методика измерения угловых характеристик рассеяния, осно-
ванная на модуляции поляризации, в которой вращающиеся элементы
не требуются; эта методика описывается ниже.
Основным элементом нефелометра с модуляцией поляризации яв-
ляется поляризационно-оптический модулятор, описанный в [250, 263].
В первой из них этот прибор использовался для эллипсометрии света,
отраженного твердыми поверхностями (приложение, рассматриваемое
ниже, можно было бы назвать эллипсометрией рассеянного света). В
работе [ 263] модуляционная методика поначалу использовалась в лабо-
раторных исследованиях, но вскоре она нашла широкое поле примене-
ний в астрофизике: модулятор, объединенный с телескопом, позволил
измерить круговую поляризацию света астрономических объектов при
гораздо меньших уровнях поляризации, чем это было возможно рань-
ше.
526
Глава 13
Поляризационно-оптический модулятор состоит из пьезоэлектри-
ческого преобразователя, связанного с пластинкой из аморфного квар-
ца. Преобразователь - кристалл кварца - приводится в движение элек-
трическим полем, частота которого совпадает с одной из собственных
частот кристалла, определяемой его размерами ( типичное значение 50 кГц).
При этом в пластинке аморфного кварца возникает периодическое из-
менение двойного лучепреломления, вызываемого упругими напряжени-
ями. Если падающий на модулятор свет линейно поляризован под углом
45° к его оси, то состояние поляризации прошедшего света меняется от
левого кругового до правого кругового, при условии что амплитуда воз-
никающих напряжений достаточна для получения задержки фазы на 90°.
Такая методика быстрой модуляции поляризации дает возможность про-
водить измерения дискретных фурье-компонент рассеянного света с
учетом их фаз и одновременно избежать трудностей, возникающих обыч-
но при использовании вращающихся элементов.
На рис. 13.12 схематически показан поляризационно-оптический
модулятор, смонтированный на нефелометре [ 239, 240, 361]. Направле-
ние пропускания линейного поляризатора Р зафиксировано под углом
45° относительно направления напряжений в модуляторе, которое мо-
жет составлять угол 0 или 45° с плоскостью рассеяния. Прошедший че-
рез модулятор свет рассеивается исследуемым образцом S и затем при-
нимается после прохождения через установленный на поворотной штан-
ге анализатор А (которого, впрочем, может и не быть). Мы проиллюстри-
РИС. 13.12. Схема поляризационно-оптического модулятора а комбинации с
полярным нефелометром.
Угловая зависимость рассеяния
527
руем работу этой системы в случае определения матричных элементов
2 и : в этом случае модулятор ориентирован под углом 45° к плос-
кости рассеяния, а анализатор отсутствует. Ниже приведен набор мат-
ричных сомножителей, описывающих преобразование света при прохож-
дении такой системы.
Рассеивающий образец Элемент задержки Поляризатор
Sn S12 Sj3 S14 10 0 0 1 1 0 0
Sj, Sys S24 0 cos 6 0 - sin 8 2 110 0
S31 S32 S33 S^4 0 0 10 2 0 0 0 0
s41 s42 s43 0 sin 5 0 cos 8 0 0 0 Q
Падающий пучок, который можно взять неполяризованным, встречает
на своем пути три оптических элемента, каждый из которых описыва-
ется соответствующей матрицей; напомним, что, согласно результа-
там из разд. 2.11, матрицы поляризаторов и элементов задержки зави-
сят от их ориентации. Параметры Стокса света, выходящего последо-
вательно из поляризатора, модулятора и рассеивающего образца (спра-
ва налево), равны
После S После M
' Sn + S12 cos5 + S14 sinfi 1 '
2 $21 4" §22 COS 5 4“ Sin 8 2 cos 5
2 S31 + "$32 cos 8 + sin 8 2 0
S41 + S42 cos 8 + SM sin 8 sin 8 .
После Р
1\
1
О
\°1
Отклик детектора пропорционален первому параметру Стокса
|C(Sn + S12cos6 + SI4sin6),
где С — константа, учитывающая такие факторы, как эффективность и
чувствительность приемника. Сигнал зависит от времени вследствие из-
менения задержки
я л
О =,—г— ssrnwZ = A smut,
Глава 13
528
где d - толщина модулятора, Л - длина волны, ш - частота возбужда-
ющего модулятор электрического поля, а параметр s пропорциона-
лен упруго-оптической постоянной и амплитуде индуцируемых напряже-
ний [74]. Зависящие от задержки тригонометрические функции можно
разложить в ряды по функциям Бесселя
sin(>4 sin wt) = 2Ji(X)sinwt + 2J3(>4)sin3wZ + • •
cos(>4 sinwz) = J0(A) + 2J2(A)cos2wt + •
Если амплитуда модулятора подобрана так, что /0 (А) = 0, то сигнал
приемника есть
jCfSj j + 2S12 J2(y4)cos2wl + 2514 J](y4)sin wZ + • • • }
= -rC5n/l + -=7^2 J2(>4)cos2«z + -^2J1(>4)smwZ + • • • j.
Вынесение за скобки фактора S11 на практике осуществляется путем ав-
томатического приведения постоянной составляющей сигнала к фиксированному
уровню, что фактически дает нормировку на . Поэтому сигнал имеет сос-
тавляющие, пропорциональные S14/Sn и S12/Sn и осциллирующие с час-
тотами ши 2<а соответственно. Эти две составляющие разделяются посредст-
вом частотного детектирования, т.е. "улавливания" либо <4 либо 2со. Прибор
калибруется путем установки уровня прошедшего вперед сигнала на 100% за
счет подстройки коэффициента усиления при замене исследуемого образца
линейным поляризатором или четвертьволновой пластинкой.
Большим преимуществом системы такого типа является возмож-
ность измерений относительно малых матричных элементов, подобных
514 : сигнал может быть усилен до желательной величины, поскольку
только одна его составляющая пропорциональна S14 . Нормировка на Su,
которая осуществляется автоматически, исключает влияние флуктуа-
ций концентраций частиц и света источника. Если требуется измерить
Sj р то усилитель отключается и прибор используется обычным обра-
зом.
Альтернативной конфигурацией является расположение пары поля-
ризатор - модулятор перед приемником, а не перед образцом. Такое
расположение, по-видимому, полезно для измерений в атмосфере; напри-
мер, исследуемый пучок света можно рассматривать как свет источни-
ка, поместив модулятор в фокус или вблизи фокуса небольшого теле-
Угловая зависимость рассеяния
529
скопа, за которым стоит приемник. При лабораторных исследованиях
также иногда удобно помещать модулятор перед приемником.
Недостатком описанной в предыдущих абзацах системы являет-
ся то, что в общем случае гармонические составляющие сигнала содер-
жат в себе информацию о комбинации матричных элементов. Если мо-
дулятор стоит до или после рассеивающего образца, то непосредствен-
но измеряются только матричные элементы из первой строки и перво-
го столбца; что касается других элементов, то измеряются лишь их
комбинации. Например, попытка измерить 5 /S даеТ ^34+SlP^Sn +5зЛ
Эгоне всегда осложняет задачу, ибо§14 ио^ для многих скоплений час-
тиц обращаются в нуль (разд. 13.6). Если же S14 и S}1 не равны нулю,
то их, конечно, можно измерить по отдельности и использовать получен-
ные значения для исключения SJ4/SU из результатов измерений; но это
в некоторой степени обесценивает преимущества системы с модуляцией.
Измерения комбинаций матричных элементов можно избежать, ис-
пользуя более сложные системы, имеющие один или несколько модуля-
торов, колеблющихся с разными частотами, как на входе, так и на выхо-
де пучков. В работе [ 26] рассмотрена общая схема таких нефелометров,
предназначенных для одновременного измерения всех 16 параметров мат-
рицы рассеяния, что оказывается возможным только в случае, когда мо-
дулируется как падающий, так и рассеянный пучок. В работе [ 464] скон-
струирована система для одновременного измерения всех 16 элементов.
При этом использовались четыре модулятора на разных частотах с ячей-
кой Поккельса, по два на входе и на выходе пучков. Результирующий сиг-
нал представляет собой сумму гармонически меняющихся во времени сла-
гаемых, амплитуда каждого из которых пропорциональна отдельным мат-
ричным элементам.
13.8. НЕКОТОРЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДЛЯ МАТРИЦЫ РАССЕЯНИЯ
До сих пор опубликованы лишь немногие результаты измерений
или расчетов всех 16 элементов матрицы рассеяния. Только четыре из
них отличны от нуля и независимы в случае сферических частиц и шесть —
в случае скопления случайно ориентированных частиц с зеркальной сим-
метрией (разд. 13.6). Иногда, однако, имеет смысл определить, выпол-
няются ли в действительности ожидаемые равенства нулю и другие со-
отношения между матричными элементами. Если это не так, то можно
говорить о наличии интересных свойств, таких, как отклонения от сфе-
ричности, наличие неожиданной симметрии или частичного упорядочения;
некоторые примеры такого рода даются в данном разделе. Но начнем мы
со случая сферических частиц.
34-205
530
Глава 13
13.8.1- Полистироловые шары и капельки воды
На рис. 13.13 показаны результаты измерений матричных элементов
с помощью описанного в предыдущем разделе прибора с модуляцией по-
ляризации. Кривые слева отвечают водной суспензии полистироловых ша-
ров с узким распределением по размерам; справа показаны аналогичные
матричные элементы для широкого распределения по размерам капелек
воды, полученных с помощью ультразвукового распылителя [ 240]. Для
полистироловых шаров матричные элементы имеют много максимумов
РИС. 13.13. Результаты измерений матричных элементов для полистироловых
шаров в воде (средний радиус 0,40 мкм, длина волны 0,3250 мкм). Справа
показаны результаты измерений матричных элементов для капель воды (сред-
ний радиус 1,5 мкм, длина волны 0,6328 мкм). Из работы [2401.
Угловая зависимость рассеяния
531
и минимумов; кривые на рис. 13.1 и 13.2 показывают, что их поведение
очень чувствительно к размерам и показателю преломления частиц, так
что его можно использовать для определения этих величин в случае от-
дельного шара или для узких распределений по размерам. Однако для ка-
пелек воды картина смазывается и сохраняется лишь общий характер
кривых. Например, вблизи 150° все четыре матричных элемента имеют
Целый ряд максимумов; это предвестники радуги в туманах или облаках-
особенность, которая переходит в настоящую радугу для капель ббльших
размеров (рис. 13.4). Заметим, что отклик для параметра 5П оказывает-
ся зашумленным, поскольку число частиц в рассеивающем объеме флук-
туирует; из других матричных элементов этот шум устраняется автома-
тически благодаря нормировке, из-за которой число капелек в пучке све-
та оказывается несущественным (при условии что можно пренебречь эф-
фектами многократного рассеяния).
РИС. 13.13 (продолжение)
Глава 13
532
В работе [ 383], где были проведены измерения для искусственных
туманов, отмечалось, что величины SJ3/S^ и 534/5П меняются от одно-
го тумана к другому сильнее, чем другие измеряемые обычно параметры,
такие, как 512/5ц- ® работе [240] отмечена возможность использовать
значение Sj4/S11npH одном угле вблизи 95° для контроля среднего раз-
мера распыленных капелек воды. Однако из-за того, что до сих пор пол-
ный набор матричных элементов использовался редко, систематическо-
го исследования относительных их преимуществ для определения распре-
делений по размерам проведено не быЛо.
В работах [ 408, 424] подчеркивалась важность измерений всех эле-
ментов матрицы рассеяния для случая атмосферных аэрозолей, а неко-
торые результаты таких измерений были опубликованы в работах [ 39,
189, 375]. Можно ожидать, что чувствительная модуляционная аппарату-
ра даст возможность дистанционного зондирования атмосферных частиц
с использованием полной матрицы рассеяния для получения не только
распределений по размерам, но и показателей преломления. При этом,
однако, требуется осторожность, так как несфзричность частиП может
привести к неправильным заключениям о поглощении: анализ, основан-
ный на теории Ми, не может различить влияние этих двух факторов.
13.8.2. Несферические частицы
Один из немногих случаев измерений всех элементов матрицы рас-
сеяния несферических частиц описан в работе [232], где использова-
лись разные комбинации поляризаторов и элементов задержки (разд. 13.7).
В этой работе исследовались кварцевые частицы (песчинки) с довольно
широким распределением по размерам. Дальнейшее исследование влия-
ния несферичности на все матричные элементы предпринято в работе
[ 361], где с помощью метода модуляции поляризации изучались два ви-
да аэрозоля, каждый из которых состоял из частиц со средним разме-
ром примерно 0,63 мкм и относительным стандартным отклонением 0,3,
но которые отличались формой частиц: один из них состоял из округлых
(но не идеально сферических) частиц сульфата аммония, а другой - из
почти кубических частиц хлористого натрия; частицы создавались рас-
пылением растворов этих солей и высушиванием капелек в потоке азо-
та. Восемь матричных элементов в пределах точности эксперимента, как
и ожидалось, оказались равными нулю; оставшиеся элементы для пада-
ющего света £ длиной волны 0,3250 мкм показаны на рис. 13.14. Посколь-
ку распределения по размерам и коэффициенты преломления для этих
Угловая зависимость рассеяния
533
РИС. 13.14. Шесть независимых матричных элементов для двух видов аэро-
золя. Сплошные линии отвечают измерениям из [ 3611; штриховые линии полу-
чены теоретически (мы повторили вычисления из [361]).
534
Глава 13
двух видов аэрозоля аналогичны, сравнение матричных элементов для
них отчетливо демонстрирует влияние формы частиц.
Хотя значение Sn , вычисленное по теории Ми, произвольно подго-
нялось под результаты измерений, очевидно, что кубические частицы
довольно плохо описываются теорией для шаров; в отличие от этого из-
мерения для округлых частиц хорошо согласуются с расчетами. Для ку-
бов величина Sn остается практически постоянной при углах рассеяния,
превышающих примерно 90°, и не возрастает в направлении назад, как
это должно быть для округлых частиц; это уже отмечалось в связи с
рис. 13.8. Положительная поляризация —512/5ц и значительные откло-
нения St 2/$и от единицы для кубов также обсуждались в разд. 13.4. Заметим,
что величина S22/Sjj дЛЯ окРУглых частиц мало отличается от единицы.
Эта величина, описывающая перекрестную поляризацию, для шаров рав-
на единице при всех углах рассеяния; поэтому единственное измерение
этой величины при некотором большом угле рассеяния может служить
простым и чувствительным тестом на несферичность.
Для трех матричных элементов, показанных в нижней части рис. 13.14,
различия между сферическими и несферическими частицами оказыва-
ются менее значительными. Авторы работы [361] указывают, что вбли-
зи направления вперед величина довольно чувствительна к па-
раметрам распределения по размерам, причем измерения для частиц
обоих типов - округлых и кубических - хорошо согласуются с расчета-
ми. Аналогичное согласие расчетов для шаров и сфероидов отмечалось
в работе [ 19]. Такая одновременная чувствительность к распределению
по размерам и нечувствительность к форме частиц, видимо, может с
успехом использоваться для определения размеров частиц.
13.8.3. Группы шаров
Эффекты формы, связанные с группировкой частиц, играли важную
роль в нашем обсуждении поверхностных мод в гл. 12. При слипании
двух или более частиц в комок получающаяся составная частица несфе-
рична. Как следствие, можно ожидать, что рассеяние света такой час-
тицей отличается от рассеяния на составляющих ее шарах. В продуктив-
ных Экспериментах по рассеянию света несферическими частицами из
работы [75] измерялись все матричные элементы для одного полисти-
ролового шара и для групп из двух, трех и четырех таких шаров. Шар
или группа из шаров парили в воздухе в камере с электростатическим
полем, причем на основании упомянутой в конце разд. 13.7 методики
измерялись одновременно все матричные элементы. В результате из-
Угловая зависимость рассеяния
535
мерений восемь элементов внедиагональных блоков (S13, Si2 ) ока-
зались равными нулю; это подтверждает предположение о том, что час-
тицы в процессе измерений принимают всевозможные ориентации.
На рис. 13.15 показаны некоторые результаты измерений для от-
дельных шаров, а также для их групп. С ростом размера группы ампли-
туда сильных’колебаний величины S12/S2 j , наблюдаемых в случае од-
одного шара, уменьшается, хотя некоторое сходство со случаем од-
ной частицы все еще остается заметным. Другие нормированные мат-
ричные элементы (S33, S44, S43) проявляют аналогичную тенденцию к
РИС. 13.15. Угловые зависимости величины 512/5п, измеренные для одиноч-
ного полистиролового шаре радиусом 1091 нм и для групп из двух, трех и че-
тырех таких шеров; длина волны падающего света равна 441,6 нм. Из работы
[75].
536
Глава 13
сглаживанио максимумов с ростом размера группы. Нормированный
матричный элемент S22 ДЛЯ групп частиц уменьшается с ростом угла
рассеяния, причем скорость уменьшения с ростом размера группы уве-
личивается; это еще раз подтверждает вывод, что отличие от единицы
величины S22/Su является четким показателем несферичности. Пара-
метры и S44 одинаковы для шаров, но заметно различаются для
групп больших размеров.
13.8.4. Кварцевые волокна
В работе [41] (см. также [ 42]) с помощью фотоупругого модулято-
ра поляризации, аналогичного использованному в [239], измерялись все
элементы матрицы рассеяния для волокон из плавленого кварца диамет-
ром в несколько микрометров; пучок Не - Cd-лазера (441,6 нм) падал
по нормали к оси волокна. Преимуществом использования волокон в ка-
честве образцов при исследовании отдельных рассеивателей является
легкость получения произвольной ориентации волокон, а также манипу-
лирования с ними и хранения. На рис. 13.16 показаны два из четырех
матричных элементов для волокна с радиусом 0,96 мкм; точками изо-
бражены результаты измерений, а сплошные кривые были рассчитаны
на ЭВМ с использованием раннего варианта приведенной в приложении
В программы. В [41] в предположении, что коэффициент преломления
равен 1,446 + i 0,0, радиус волокна определялся с точностью до тысяч-
ной доли процента путем подгонки использованного при расчетах ради-
уса до получения наилучшего соответствия с измеренными значениями
матричных элементов.
13.8.5. Биологические частицы
Рассеяние света под разными углами широко используется в ка-
честве неразрушающей методики изучения частиц биологического про-
исхождения, таких, как вирусы, бактерии и эукариотические клетки. Од-
нако измерения всех элементов матрицы рассеяния для таких частиц вы-
полняются редко. Исключением являются работы [50, 51], где для неко-
торого набора биологических частиц измерялись все матричные элемен-
ты. Неожиданным результатом этих работ является то, что величина
VSn оказалась очень специфичной для каждого биологического рас-
сеивателя. Для частиц, которые нельзя было бы различить с помощью
обычно используемых методик, были обнаружены устойчивые различия
в значениях параметра 534/§ц.
На рис. 13.17 ясно видны различия в значениях 534/5П для спор
двух мутантных разновидностей бактерий, различающихся изменением
РИС. 13.16. Два из четырех матричных элементов для волокна из плавленно-
го кварца с радиусом 0,96 мкм лри облучении светом с длиной аолны 0,4416 мкм.
Сплошные кривые — результаты расчетов, точки — результаты измерений.
Из работы [41].
538
Глава 13
РИС. 13.17. Угловые зависимости величины (в процентах) для двух
сходных типов спор бактерий. Из работы [51 ].
видового строения. Однако различия других матричных элементов
для этих двух типов сходных рассеивателей видны менее четко. В пер-
вом приближении рассеяние биологическими частицами можно неплохо
описать с помощью теории Рэлея - Ганса (гл. 6), что дает S34 = 0. В
рамках этой теории элементы, стоящие вне диагональных блоков мат-
рицы рассеяния, равны нулю, так же как и в случае произвольных час-
тиц больших размеров и с большим показателем преломления, если
только их матрица рассеяния обладает симметрией (13.21). Таким об-
разом, S34 является таким матричным элементом, который, по-видимо-
му, испытывает наибольшие относительные изменения по мере откло-
нения характеристик частиц от области применимости теории Рэлея -
Ганса. Возможно, это и является причиной, по которой величина 534/531
оказывается настолько чувствительной к характеристикам биологичес-
ких рассеивателей.
13.8.6. Воды океана
Для вод океана в природных условиях все 16 матричных элементов
измерялись с использованием комбинаций поляризаторов и элементов
задержки в работе [ 257]. Неожиданный результат этой работы состоит
в том, что полученные матрицы рассеяния, в особенности в случае вод
Тихого океана, не обладали ни одной из рассмотренных в разд. 13.6 сим-
метрий. Лишь нормированные элементы $13/$п и S43/Sn оказались
Угловая зависимость рассеяния
539
равными нулю в пределах точности эксперимента; все другие элементы
были заметно отличны от нуля. Были обнаружены заметные различия
матричных элементов и свойств симметрии матрицы рассеяния для вод
разных океанов (Атлантического и Тихого) и для вод Балтийского мо-
ря. Необычная симметрия матрицы рассеяния, видимо, обусловлена час-
тичным упорядочением асимметричных частиц, например, в гравитаци-
онном или магнитном поле.
С другой стороны, измерения из работы [ 463] рассеяния на культиви-
рованном фитопланктоне, который, как можно ожидать, подобен тому,
что рассеивает свет в океанских водах, обнаружили лишь матрицы рас-
сеяния вида (13.5), характерного для частиц, которые описываются при-
ближением Рэлея (гл. 5) или Рэлея - Ганса (гл. 6).
Мы закончим этот раздел вопросами, ответы на которые пока неиз-
вестны: являются ли необычные матрицы рассеяния, измеренные в [ 257],
действительно существующими в природе или они возникли просто из-за
погрешностей эксперимента? Если верно первое, то как это можно при-
мирить с результатами работы [ 463]?
13.9. ВЫ ВОДЫ: ПРИМЕНИМОСТЬ ТЕОРИИ МИ
В настоящее время электромагнитная теория рассеяния на шаре, ко-
торую мы называли теорией Ми, представляет собой единственный ис-
пользуемый на практике метод расчета характеристик рассеяния света
частицами с произвольным размером и показателем преломления. Яс-
но, однако, что многие из представляющих интерес частиц шарами не
являются. Поэтому чрезвычайно важно знать, в какой степени теория Ми
применима к случаю несферических частиц. Для этого нужно обобщить
результаты большого числа экспериментов и расчетов. Здесь мы кратко
просуммируем аналогии и различия между рассеянием на сферических и
несферических частицах, основываясь на цитированных в данной главе
работах; мы надеемся, что это может послужить руководством при ре-
шении вопроса о возможности использования теории Ми.
1. Рассеяние на отдельной несферической частице или на скоплении ори-
ентированных несферических частиц может в отличие от рассеяния
на шефах зависеть от азимута.
2. Вблизи направления вперед большие несферические частицы рассе-
ивают аналогично шарам равной площади поперечного "сечения.
3. Углы радуги не проявляются в матричных элементах для несфери-
ческих частиц .
4. В случае несферических частиц диаграмма рассеяния (для неполя-
540
Глава 13
ризованного падающего света) имеет тенденцию к большей гладкос-
ти, чем для шаров, при углах, превышающих примерно 90°.
5. Для скоплений случайно ориентированных частиц, обладающих зер-
кальной симметрией, точно так же, как и для шаров, элементы мат-
рицы рассеяния вне диагональных блоков равны нулю.
6. Для несферических частиц величина S21/Sn имеет тенденцию отли-
чаться своим знаком от случая сферических частиц.
7. В случае несферических частиц выполняются соотношения S22^ Sn
и SJ3 * S44. Первое из них означает, что перекрестная поляризация
не обязательно обращается в нуль.
8. Имеются определенные свидетельства того, что величина ^3i/Sn
для сферических и для несферических частиц согласуется лучше,
чем: это имеет место для других нормированных матричных элемен-
тов.
Если сделать из этого краткий вывод, то можно сказать, что не-
сферические частицы вблизи направления вперед рассеивают анало-
гично шарам равного сечения, но различия имеют тенденцию расти с
увеличением угла рассеяния.
ЗАМЕЧАНИЯ И КОММЕНТАРИИ
Хорошее обсуждение измерений угловых характеристик рассеяния
частицами дано в работе [ 422]. Методика приготовления частиц, также
как и большое количество информации об их физических свойствах, об-
суждаются в прекрасной книге [ 198]. Еще одним хорошим источником
информации о частицах является Атлас частиц [ 319 - 324].
В силу разных причин аналоговая СВЧ-техника со времени своего появ-
ления свыше 20 лет назад в Соединенных Штатах использовалась нерегуляр-
но. Но в последнее время наблюдается обнадеживающий подъем актив-
ности в этой области. Некоторые из самых недавних измерений описа-
ны в [ 423].
Дополнительные измерения матричного элемента 5}4 для биологи-
ческих частиц (красных кровяных тел) описаны в [ 269].
Глава 14
Некоторые приложения
Нельзя сказать, чтобы приложения не рассматривались в преды-
дущих главах; время от времени они появлялись то для подкрепления
математических расчетов, то просто в качестве иллюстрации. Некото-
рые из них с указанием разделов, где они обсуждались, перечислены
ниже.
Красное Солнце на закате и голубая Луна (4.4).
Поляризация света неба (5.7)
Радуга (7.2, 13.1).
Гало (7.3).
Рассеяние волокнами (8.4).
Эффект Кристиансена (11.2).
Шеф в волноводе (11.4).
Удержание давлением излучения (11.4)
Асимметрия полос поглощения межзвездного вещества (11.5).
Окраска коллоидного золота (12.4).
Электронно-дырочные капли в германии (12.4).
Определение размеров частиц (13.5).
Биологические частицы (13.8).
Воды океана (13.8).
Описанию приложений можно было бы посвятить отдельную книгу.
И эта книга была бы бесконечной, так как скорость, с которой мы Мо-
жем их оценивать и описывать, меньше той, с которой возникают новые
или совершенствуются старые приложения. Но мы ограничены в объеме
и поэто му выбрали лишь те вопросы, с которыми лучше всего знакомы
или которые наиболее интересны для нас. Мы даже не пытались дать
исчерпывающий обзор или хотя бы достигнуть гармоничности в изложе-
жении. Мы просто ограничились теми вопросами, которые имеют непо-
средственную связь с материалом предыдущих глав.
Мы начнем с обсуждения оптических постоянных, знать которые не-
обходимо почти для всех приложений. Вслед за обсуждением атмосфер-
542
Глава 14
ных аэрозолей излагаются два других вопроса, тоже относящиеся к фи-
зике атмосферы: выводы о структуре серебристых облаков - самых вы-
соких облаков, - сделанные на основе поляризационных измерений, и ра-
диолокационные измерения характеристик дождей. За обсуждением меж-
звездной пыли - частиц в "космической лаборатории" - следует описа-
ние измерений в земных лабораториях, в которых преимущества малых
частиц используются при изучении оптических спектров вещества час-
тиц под высоким давлением. В заключение рассматриваются проблемы,
связанные с биологией: иммунологическое предметное стекло Гиавера
как приложение поверхностных мод в малых металлических частицах и
воздействие СВЧ-излучения на макромолекулы.
14.1. ЗАДАЧА ИЗМЕРЕНИЯ ОПТИЧЕСКИХ ПОСТОЯННЫХ
Мы уже подчеркивали, что зависимость оптических постоянных от
длины волны является фундаментальной для определения макроскопи-
ческих оптических свойств вещества. Вследствие этого такие зависи-
мости требуется знать для многих приложений поглощения и рассеяния
света малыми частицами: они нужны для определения оптических свойств
частиц смога и минеральных частиц в атмосфере, частиц пыли в межзвездном
пространстве, фитопланктона в океане и биологических клеток. Поэтому неуди-
вительно, что ученые самых разных специальностей так много време-
ни уделяют поиску нужных им оптических постоянных в физических, хи-
мических и минералогических журналах (список которых можно было
бы продолжить).
14.1.1. Однородный образец
Определение оптических постоянных не всегда является простым
Делом даже для однородных твердых тел и жидкостей при комнатной
температуре, особенно в спектральных областях, где поглощение либо
очень велико, либо очень мало. Оптические постоянные нельзя измерить
непосредственно, а приходится получать иногда весьма сложным путем,
из результатов прямых измерений (т.е. измерений прохождения и отра-
жения) с помощью теоретических расчетов (пользуясь, например, форму-
лами Френеля). Краткий обзор методов определения оптических постоян-
ных объемных веществ был приведен в разд. 2.9. Эти методы требуют
использования таких однородных образцов, размеры и форма которых
удовлетворяют условиям применимости теории, используемой для анали-
за измерений; в качестве примеров образцов можно привести отдельные
крупные кристаллы, пластинки из стекловидных или аморфных твердых
Некоторые приложения
543
веществ и слои жидкостей в кюветах, К сожалению, многие твердые ве-
щества обычно удается получать лишь в виде малых частиц (т.е. в по-
рошках). Определять оптические постоянные таких материалов гораздо
труднее, даже если порошковый образец состоит из одного вещества. От-
сутствие точных зависимостей оптических постоянных для порошковых
материалов определяется не столько недостатком исследований в этом
направлении, сколько сложностью анализа получаемых данных.
14.1.2. Порошковые образцы
Для определения оптических постоянных порошковых образцов тре-
буется одно или несколько измерений прохождения, либо диффузного от-
ражения, либо рассеяния; кроме того, нужна соответствующая теорети-
ческая модель, подобная теории диффузного отражения или теории Ми.
С принципиальной стороны само по себе проведение измерений не слож-
но. Но адекватность теоретических моделей, используемых для анализа
таких измерений, временами оказывается сомнительной.'Например, если
требуется знать оптические постоянные кварца в инфракрасном диапазо-
не (~'10мкм), то для этого нужно было бы измерить прохождение света
через разреженную суспензию тонкого кварцевого порошка в прозрачной матри-
це из КВг и отражение от спрессованного образца (см., напр., [490]). Для
анализа измерений прохождения можно было бы попытаться использовать теорию
Ми или вытекающие из нее приближения, а для анализа отражения — форму-
лы Френеля. Ни одна из этих теорий, однако, здесь неприменима. Части-
цы кварца в высокой степени не регулярны, и для них спектр экстинкции
сильно отличается от спектра экстинкции шаров (см. рис. 12.14). Форму-
лы Френеля здесь также непригодны, поскольку кварцевый порошок не
удается спрессовать в однородный образец с гладкой поверхностью. По-
этому даже при точных измерениях эти две теории скорее всего приве-
дут к совершенно неверным значениям оптических постоянных. Между
тем спрессованные образцы из более мягких материалов типа бромисто-
го калия могут приближаться по плотности к монокристаллам и
обладать довольно гладкой поверхностью. Для таких материалов указан-
ные методы использовались довольно успешно [ 469]. Но для более твер-
дых материалов (а также для анизотропных твердых тел) остаются серь-
езные проблемы.
Оптические постоянные можно получить из анализа результатов из-
мерений на отдельных шарах или на почти монодисперсных скоплениях
шаров. Например, исследование рассеяния под разными углами на кол-
лоидных взвесях полистироловых шаров часто использовалось для опре-
деления как их размеров, так и коэффициента преломления на тех дли-
544
Глава 14
нах волн, где полистирол слабо поглощает. Измерения на отдельных од-
нородных идеально сферических частицах можно анализировать с помо-
щью теории Ми, примем степень достоверности будет такой же, как при
анализе отражения от гладких поверхностей на основании формул Фре-
неля. Так, например, в работе [ 372] комплексный показатель преломле-
ния углерода на одной длине волны в видимом диапазоне определялся
путем измерений рассеяния света под разными углами на парящем в воз-
духе углеродном шаре диаметром в несколько микрон, с последующим
согласованием результатов измерений с теорией Ми. Аналогичная мето-
дика, но уже для неоднородных частиц использовалась в работе [ 520].
Поскольку измерения индикатрис рассеяния на одиночных парящих части-
цах начинают использоваться все более широко, получение оптических
постоянных по измерениям на отдельных частицах со временем, конеч-
но же, станет обычным делом. Вообще же такие измерения на практике
могут использоваться только для частиц простой формы типа шаров или
Длинных круговых Цилиндров.
14.1.3. Определение оптических постоянных
по измерениям поглощения
Исследователи атмосферы широко используют подход, при котором
мнимая часть показателя преломления к определяется по результатам
измерений коэффициента поглощения а для образцов частиц. Для опре-
деления поглощения даже при наличии значительного рассеяния приме-
нялись методы, использующие диффузное отражение, фотоакустический
эффект и интегрирующие пластинки; эти методы кратко обсуждаются в
последующих разделах. Соотношение (2.52) между а и к, а = 4ттАА, ко-
нечно, строго справедливо только для однородных сред. Но в некоторых
случаях его использование оказывается оправданным и Для неоднород-
ных сред. Например, из (3.47), (3.48) и (12.9) следует, что пропускание
разреженной суспензии из шаров, малых по сравнению з длиной волны,
при условии, что в экстинкции преобладает поглощение, k мало, а п не
слишком велико, приближенно дается выражением
I
Т = ехр
4тг/с 9и
Х (п2 + 2)2 •
(14-1)
Здесь d, = fh, где f - объемная доля частиц, а А - толщина образца. В
Диапазоне видимого света множитель, содержащий п , Для многих рас-
пространенных веществ близок к единице. Например, он равен пример-
Некоторые приложения
545
но 0,75 для п - 1,5, и может быть сделан даже еще более близким к еди-
нице соответствующим выбором среды, которой окружаются частицы, по-
скольку п — относительный показатель преломления. Поэтому измере-
ние прохождения с последующим вычислением к на основании (14.1) приб-
лиженно верно для разреженных суспензий рэлеевских шаров из многих
распространенны к веществ с малыми к; именно это объясняет популяр-
ность такой процедуры. Но в силу разных причин, частично рассмотрен-
ных в работе [ 472], (14.1) может оказаться и неприменимым:
1. Рассеяние может и не быть пренебрежимо малым, и это может
выглядеть как дополнительное поглощение.
2. Частицы могут оказаться не настолько малыми, чтобы для их
описания была применима теория Рэлея, а для более крупных
частиц соотношение между поглощением и размером оказыва-
ется более сложным.
3. Частицы могут быть несферическими или, если они сферичны,
образовывать несферические комки. В противоположность ши-
роко распространенному мнению, поглощение рэлеевскими части-
цами может сильно зависеть от их формы, как это отмечалось
в гл. 12.
4. Оптические постоянные п и к не являются независимыми: если
к меняется сильно, то п тоже. Поэтому либо п должно измерять-
ся каким-либо независимым способом, либо нужно использовать
теорию, связывающую значения п и к, такую, как модель осцил-
ляторов (9.25) или соотношения Крамерса - Кронига (2.49), (2.50).
В то время как определение к из результатов измерений поглощения
образцами частиц в видимом диапазоне может быть справедливым для
многих разновидностей твердых тел, оно может приводить к неправиль-
ным результатам в таких диапазонах, как инфракрасный и ультрафиоле-
товый, где изменение оптических постоянных оказывается быстрым.
14.1.4. Порошки анизотропных твердых теп
При попытках получить оптические постоянные по результатам из-
мерений на частицах из анизотропных твердых веществ должно возни-
кать множество проблем. Случайность ориентации частиц приводит к
некоторому усреднению двух или трех наборов оптических постоянных.
В разд. 5.6 мы показали, что в рэлеевском приближении среднее сече-
ние экстинкции случайно ориентированных анизотропных шаров в точ-
ности равно сумме трех сечений для изотропных шаров с каждым из
35-205
546
Глава 14
трех наборов оптических постоянных. Между тем для частиц больших
размеров такого доказательства нет (см. разд. 8.2). Но, даже если это
и верно в общем случае, все равно не ясно, как по результатам изме-
рений сделать вывод о коэффициентах поглощения, связанных с каждой
из главных осей кристалла. Например, инфракрасный спектр экстинк-
ций для случайно ориентированных анизотропных частиц, таких, как каль-
цит, будет многополосным. Но не зная того, с какой из главных осей
связана каждая из полос, вряд ли можно разделить наборы оптических
постоянных; эта проблема указывалась и обсуждалась в работе [17].
Игнорировать анизотропию и просто определять "средние" оптические
постоянные, как если бы вещество было изотропным, все равно что за-
метать мусор под ковер. Полученные таким образом оптические посто-
янные нельзя было бы использовать для анализа новых экспериментов,
не совпадающих с теми, из которых они были найдены. Например, их
нельзя было бы использовать для расчета отражения от ориентирован-
ного монокристалла из того же вещества. Использование средних оп-
тических постоянных будет ошибочным даже для расчета экстинк-
ции на таких же случайно ориентированных частицах, если их распреде-
ление по размерам заметно отличается от исходного распределения, для
которого были получены средние постоянные.
14.1.5. Смеси частиц
До сих пор мы имели в виду только однокомпонентные образцы час-
тиц. Однако на практике обычно встречаются многокомпонентные смеси
частиц, причем из-за сложности правильной трактовки каждой компоненты на-
блюдается тенденция получать для таких смесей "средние" или "эффек-
тивные" оптические постоянные. Но такой подход связан с затруднени-
ями. Основой для определения оптических постоянных служат измере-
ния характеристик, таких, как отражение, рассеяние или поглощение,
которые не являются аддитивными. Неаддитивны и сами оптические
постоянные. Следовательно, оптические постоянные смесей, определя-
емые, например, по измерениям поглощения частицами в матрице или
отражения на границе спрессованного образца, вообще говоря, нельзя
использовать для правильного предсказания диаграмм рассеяния час-
тиц. Несмотря на эти трудности и высказываемые иногда предостере-
жения, широкое распространение получила предельно простая практика
определения для сложных многокомпонентных смесей анизотропных час-
тиц единственного набора оптических постоянных, которые используются
для всевозможных расчетов. Оптические постоянные лунных гор, сос-
тоящих из самых разных минеральных компонент, часто используются
Некоторые приложения
547
астрономами при расчетах, относящихся к межпланетной и межзвезд-
ной пыли. Оптические постоянные, полученные для атмосферной пыли,
используются для предсказаний всевозможных изменений климата; этот
вопрос рассматривается в следующем разделе.
В заключение мы отважимся высказать предположение, что пробле-
ма точного определения оптических постоянных по измерениям характе-
ристик образцов из частиц в отличие от однородных твердых и жидких ве-
ществ в общем случае не решена даже для однокомпонентных порошков.
Это не означает отсутствия успешных определений оптических постоян-
ных для некоторых частных образце® из частиц. Мы просто хотим сказать,
что извлечение оптических постоянных из результатов измерений для
таких материалов в общем случае возможно не во всех спектральных ди-
апазонах и не для всех типов образцов, которыми могут быть многоком-
понентные смеси несферических и анизотропных частиц.
14.2. АТМОСФЕРНЫЕ АЭРОЗОЛИ
Под атмосферными аэрозолями обычно понимают твердые и жидкие
частицы в атмосфере Земли, за исключением частиц воды в твердой и
жидкой фазах в облаках, тумане и дожде. Несмотря на сильную разре-
женность и изменчивость, частицы аэрозолей служат ядрами конден-
сации капель, влияют на оптические свойства облаков и, возможно, иг-
рают определенную роль в формировании смога и кислотных дождей. По-
нимание оптических свойств аэрозолей нужно для многих приложений.
Под воздействием естественных или искусственных аэрозолей мо-
жет меняться Даже климат. Оптические приборы все шире используют-
ся для целей дистанционного зондирования атмосферы и связи. Важность
аэрозолей для военных приложений сильно возросла с появлением спут-
никовых систем слежения, в которых используются видимое и инфракрас-
ное излучение, а также оптических систем наводки ракет. Это в свою
очередь стимулировало разработку контрмер - защиты от вражеских
систем слежения и наводящихся лазерами ракет — и вызвало возобновле-
ние интереса к старым приемам типа дымовых завес.
Среди всевозможных приложений рассеяния света атмосферными
аэрозолями мы отобрали лишь немногие. Мы начнем с интереснейшего
вопроса о том, какое воздействие могут оказывать такие частицы на
климат Земли. Затем мы обсудим известные результаты по их химичес-
кому составу и оптическим свойствам, а также различные способы их
определения: локальные измерения, сбор частиц, а также их дистанци-
онное зондирование. Затем следует обсуждение задачи об описании слож-
ных смесей частиц, какими являются атмосферные аэрозоли. И наконец,
548
Глава 14
мы кратко обсудим возможность регистрации глобального ветра путем
измерения Доплеровского сдвига при обратном рассеянии инфракрасно-
го излучения на атмосферном аэрозоле.
14.2.1. Воздействие аэрозолей на климат Земли
С воздействием атмосферных частиц на климат Земли связана дискус-
сия с, возможно, далеко идущими последствиями. Одним из наиболее легко
контролируемых индикаторов изменения климата является температура. Среди
многих работ,. касающихся воздействия аэрозолей на среднюю глобаль-
ную температуру, укажем монографию [483] и работу [471], из кото-
рых отчасти заимствовано последующее изложение.
Типичные изменения средней глобальной температуры за прошедшие
1000 лет, по-видимому, имеют порядок 1°С, хотя за время "малого лед-
никового периода" примерно от 1500 до 1900 г. климат изменился су-
щественно. Различие между средними температурами в ледниковый пе-
риод (длившийся от 1,75 миллиона до 100 000 лет тому назад) и в наши
дни считается равным примерно 5°С. Позже, в течение позднего камен-
ного века, температуры были примерно на 2,5°С выше, чем сейчас. По-
скольку человек легко приспосабливается к изменениям температуры в
десятки градусов, столь малыми отклонениями на первый взгляд можно
и пренебречь. Однако из-за затрат большого количества воды на образо-
вание континентальных ледниковых покровов уровень океана во время
ледникового периода мог понизиться примерно на 100 м. Жители прибреж-
ных районов, конечно же, сознают, что такие изменения могли бы при-
вести к катастрофическим последствиям. Даже изменения средней гло-
бальной температуры на десятые доли градуса могут приводить к замет-
ным последствиям. Загрязнение частицами возрастает, и поэтому стоит
заранее разобраться, как такие частицы могут влиять на тепловой ба-
ланс нашей планеты. Между тем на современном уровне знаний мы не
можем даже точно сказать, приводит ли воздействие человека к увели-
чению или к уменьшению глобальной температуры.
Проще всего считать, что из-за поглощения частицами атмосфера
имеет тенденцию к нагреву, тогда как из-за рассеяния в обратную полу-
сферу - к охлаждению; таким образом, Двумя наиболее важными в от-
ношении климатических изменений оптическими свойствами аэрозоля
являются поглощение и обратное рассеяние. Такое простейшее воззре-
ние осложняется тем, что аэрозоли существуют главным образом в Двух
различных областях атмосферы, а именно в тропосфере (область высот
между поверхностью примерно 10-20 км) и в стратосфере (между при-
мерно 10 — 20 км и 50 км).
Некоторые приложения
549
Тропосфера сильно связана в тепловом отношении с поверхностью Зем-
ли, а стратосфера - нет. Поэтому влияние стратосферных частиц, которые в
тепловом отношении оказываются изолированными, проявляется в тенденции
охлаждения Земли как из-за обратного рассеяния, так и из-за поглощения сол-
нечной радиации- Менее важным, но все же еще заметным, является теп-
ловое воздействие частиц в инфракрасном диапазоне, в особенности в
области 8 — 12 мкм — "окна", где газы, составляющие основную часть
атмосферы, в высокой степени прозрачны. Это как раз та область длин
волн, где функция распределения Планка максимальна для обычных зем-
ных температур. Поэтому уход тепла в космическое пространство из-за
инфракрасного излучения поверхности Земли несколько затрудняется
наличием частиц, имеющих полосу сильного поглощения в этом спектраль-
ном диапазоне. Из сказанного следует, что аэрозоли дают свой вклад в
так называемый парниковый эффект. Инфракрасная радиация, излучаемая
стратосферными частицами по направлению к Земле, может вызывать опре-
деленный нагрев нижней атмосферы, что в некоторой степени противодействует
вызываемому ими охлаждению из-за обратного рассеяния и поглощения
солнечной радиации.
Для предсказания воздействия атмосферных аэрозолей на среднюю
глобальную температуру было предложено несколько моделей. В этих мо-
делях важнейшим параметром частиц аэрозолей является альбедо одно-
кратного рассеяния (т.е. отношение рассеяния к экстинкции), посколь-
ку большие значения альбедо приводят к охлаждению, тогда как малые -
к нагреву; критическое значение - граница между высокими и низкими
значениями - по разным литературным источникам находится пример-
но между 0,7 и 0,95. Широко используется значение 0,85, полученное в
работе [215]. В работе [94] для критической величины альбедо однократ-
ного рассеяния было получено значение 0,81. Поскольку альбедо одно-
кратного рассеяния сильно зависит от мнимой части показателя прелом-
ления, это вызвало живой интерес к определению оптических постоян-
ных атмосферных частиц. Они используются для вычисления важных па-
раметров задачи теплового баланса для современных и прогнозируемых
на будущее уровней аэрозоля. При этом используемый путь обычно сос-
тоит в измерении оптических характеристик атмосферных аэрозолей,
либо дистанционно (например, по экстинкции солнечного излучения или по
измерениям бистатического сечения рассеяния с помощью лидаров), ли-
бо на образцах собранного аэрозоля (например, путем измерения погло-
щения и диффузного отражения) с последующим получением оптических
постоянных на основе теоретических моделей. Полученные при этом оп-
550
Глава 14
тические постоянные далее принимаются в качестве искохдных параметров
для теории Ми, которая используется в расчетах теплового баланса в ка-
честве составной части. Но на этом пути можно столкнуться с рядом
опасностей, которые могут обесценить окончательные результаты. Неко-
торые из них мы обсудим ниже. Прямые измерения поглощения и рассе-
яния аэрозолями связаны с обходом меньшего числа подводных камней,
но мы отложим обсуждение таких измерений до завершения обзора хими-
ческого состава и поглощающих свойств аэрозольных частиц этот обзор,
являющийся результатом лабораторных измерений на однородных образ-
цах, должен дать некоторое представление об ожидаемых значениях к.
14.2.2. Поглощение компонентами атмосферного аэрозоля
Одной из причин, которые осложняют предсказание воздействия час-
тиц на климат, является то, что состав и распределение частиц извест-
ны плохо. Основные типы известных атмосферных частиц приведены в
табл. 14.1.
В нижней атмосфере преобладающим аэрозолем является переноси-
мая ветром пыль, которая состоит в основном из минеральных частиц
вместе с частицами органического происхождения. Хотя частицы пыли
довольно велики и, следовательно, должны быстро оседать, при опреде-
ленных условиях они могут уноситься далеко от их источника и долгое
время оставаться в атмосфере. Замечательным примером является пыль
из Сахары, которая в течение летних месяцев разносится по всему Ат-
лантическому океану от Африканского побережья до Карибского моря
[ 91]. В морском аэрозоле преобладают частицы соли, а также некоторые
органические частицы морского происхождения; в работе [ 53] дано пре-
красное объяснение способов попадания таких частиц соли в атмосферу.
Среди частиц, присутствующих в атмосфере Земли в глобальном мас-
штабе, преобладают частицы из соединений серы, в частности сульфа-
та аммония и серной кислоты. Эти частицы формируются главным обра-
зом при сложных химических реакциях в тропосфере. В периоды силь-
ной вулканической активности может появляться вулканический пепел, сохра-
няющийся в атмосфере в течение нескольких лет после извержения. Менее важ-
ными составляющими атмосферного аэрозоля являются органические
вещества наземного происхождения типа терпенов и загрязнения типа
частиц угля, окислов металлов и фотохимического смога.
В разд. 14.1 обсуждались различные затруднения, возникающие при
нахождении оптических постоянных в областях высокого поглощения, в
особенности для образцов из дискретных частиц, и было высказано мне-
Некоторые приложения
551
Таблица 14.1
Компоненты атмосферных аэрозолей
Компонента Размер Пояснения
Переносимая ветром пыль назем- ного происхождения Кварц Кальцит Окислы железа 1—10 мкм Гпинистые минералы Монтмориллонит Иллит ~30 % повсеместно
Морские брызги Соль 1-10 мкм Органические частицы 10 — 15 % повсеместно
Сульфатные компоненты Сульфат аммония ~0,1 мкм В основном в страто- сфере;
Серная кислота 50 % повсеместно
Вулканический пепеп В стратосфере; в зави- симости от вулкани- ческой активности
Другие компоненты
Антропогенный и естественный
углерод
Органические вещества рас-
тительного происхождения
Фотохимический смог
ние о практической невозможности получения точных значений оптичес-
ких постоянных для сложных смесей частиц. Эти трудности объясняют,
почему стоит рассматривать измеренные оптические постоянные для од-
нородных веществ, о которых известно, что именно из них состоит ат-
мосферный аэрозоль. Такие измерения доступны не для всех составля-
552
Глава 14
ющих, что связано частично с отсутствием однородных образцов некото-
рых веществ. На рис. 14.1 мы изобразили мнимую часть показателей
преломления нескольких твердых и жидких веществ, обнаруженных в ат-
мосферных частицах. Здесь приведены результаты для воды, сульфата
аммония, кристаллического кварца, серной кислоты, углерода, хлорис-
того натрия и гематита (a-Fe2O3); во избежание неразберихи для
большинства из этих веществ приведены значения к лишь в ограничен-
ных спектральных диапазонах.
Для этих материалов, за исключением углерода, имеются две раз-
личные спектральные области с высоким значением Л(~1): одна в ин-
фракрасном, а Другая - в ультрафиолетовом диапазоне, причем между
ними находится область высокой прозрачности. Причины этого обсуж-
дались в разд. 10.4. Для того чтобы подчеркнуть, насколько прозрачны-
ми оказываются рассматриваемые вещества в промежуточной области,
пунктирной линией мы показали значение к, для которого однородный
образец толщиной в 1 см будет давать 1%-ное прохождение, если пре-
небречь потерями на отражение от границ. В видимой и инфракрасной
областях постоянно высоким значением k порядка единицы обладает толь-
ко углерод, в котором, как и в металлах, энергетические полосы элек-
тронов перекрываются (см. разд. 9.4). Минеральный гематит, не отно-
сящийся к основной группе составляющих атмосферного аэрозоля, вклю-
чен сюда из-за того, что он является одной из наиболее сильно погло-
щающих в видимом диапазоне субстанций, встречающихся в атмосфере.
Заштрихованная область на рис. 14.1 изображает приближенные зна-
чения к в диапазоне видимых длин волн, найденные с помощью различ-
ных методов дистанционного зондирования (см. [ 193, 390] и цитирован-
ную там литературу). Если мы сравним эти значения к со значениями к
Для отдельных компонент атмосферного аэрозоля, нам станет ясно, что
значения к, найденные при., дистанционном зондировании, являются ре-
зультатом некоторого усреднения для смеси, содержащей небольшое ко-
личество сильно поглощающего вещества, такого, как уголь, и значи-
тельно большее количество слабо поглощающих компонент. Это было от-
мечено в работе [ 290] после удачного согласования измеренных спек-
тральных зависимостей экстинкции на собранных частицах аэрозоля с
результатами расчетов для смесей слабо поглощающих минеральных
веществ с примерно 0,5% угля, дающих требуемое поглощение. Таким
образом, значение к, равное, скажем, 0,001 по результатам дистанци-
онного зондирования, видимо, можно рассматривать как некоторое сред-
нее или эффективное к, но сам процесс усреднения, а также последу-
Некоторые приложения
553
ющее использование такого эффективного значения требуют осторож-
ности. Мы еще вернемся к этому вопросу позже.
Возможность того, что малые количества углерода являются доми-
нирующими поглотителями в атмосферном аэрозоле наводит на мысль
поиска спектральных особенностей, свойственных углероду, которые
могли бы служить в качестве Диагностического теста на это вещество.
РИС. 14.1. Мнимая часть показателя преломления различных твердых веществ
и жидкостей, встречающихся в атмосферных частицах.
554
Глава 14
К сожалению, в спектре поглощения объемного угля в видимом и инфра-
красном диапазонах имеется мало особенностей. Спектральная область,
в которой углерод, по крайней мере в форме малых частиц, имеет за-
метные полосы поглощения, лежит между 2200 и 2500 А. Хотя эта по-
лоса не видна на рис. 14.1, поглощение малыми шарами как для графи-
та, так и для стекловидного угля, имеет заметный максимум там, где
действительные части их диэлектрических проницаемостей близки к —2.
Предполагают, что эта особенность графитовых частиц связана с рас-
смотренным в разд. 12.1 поглощением поверхностных плазмонов и от-
ветственна за основной максимум спектров экстинкции межзвездной сре-
ды (рис. 14.4). Хотя ее и трудно было бы наблюдать при дистанционном
зондировании, полоса между 2200 и 2250 А может оказаться очень по-
лезной, например, при лабораторных исследованиях угольных частиц в
образцах аэрозоля, собираемого в фильтрах.
Вследствие важности для теплового баланса Земли "окна" в облас-
ти 8-12 мкм, а также ввиду многих потенциально возможных при-
ложений, связанных с распространением в атмосфере пучков СО2-ла-
зеров (9-11 мкм), мы обращаем внимание на поведение к в этой об-
ласти инфракрасного диапазона. Заметим, что некоторые составляющие
атмосферного аэрозоля, включая кварц и сульфат аммония, имеют ин-
тенсивные полосы поглощения, связанные с колебаниями решетки. Дру-
гие силикатные минералы, включая глинистые минералы, перечисленные
в табл. 14.1, также имеют ярко выраженные полосы вблизи 10 мкм. Эти
колебательные полосы поглощения достаточно сильны для возникнове-
ния рассмотренных в гл. 12 типов поглощения и рассеяния, сильно зави-
сящих от формы частиц. Для иллюстрации чрезвычайно высокой чувст-
вительности этих полос к формам частиц на рис. 12.14 изображены ре-
зультаты измерений для пыли из кристаллического кварца. Приложения
для Целей дистанционного зондирования таких полос поглощения в части-
цах из кварца и сульфата аммония будут рассмотрены ниже.
14.2.3. Локальные измерения поглощения
и обратного рассеяния
Прогнозирование оптических свойств атмосферных аэрозолей по
расчетам для однородных сферических частиц составляет желать мно-
го лучшего. Теория Ми может оказаться слишком большим упрощением.
Вдобавок, даже для известных компонент частиц могут быть неизвестны
точные значения оптических постоянных; могут быть неизвестны и сами
компоненты. К тому же основной вклад в поглощение могут давать вто-
ростепенные компоненты.
Некоторые приложения
555
Наиболее прямой путь получения двух характеристик, больше всего
связанных с изменениями климата — поглощения и обратного рассеяния,
состоит в их измерении для реальных атмосферных аэрозолей. Обрат-
ное рассеяние можно оценить по индикатрисам, измеренным с помощью
полярного нефелометра (см., напр., [192]), либо с помощью интегрирую-
щего нефелометра. Измерение экстинкции в принципе дает поглощение.
Но если частицы аэрозоля, как это бывает обычно, поглощают слабо, то
возникает необходимость вычисления разности двух больших величин -
рассеяния и экстинкции, имеющих одинаковый порядок.
Поглощение можно измерить и непосредственно с помощью фото-
акустического метода. Хотя этот метод наиболее часто используется для
плотных, сильно поглощающих аэрозолей [84, 248, 401], он оказался при-
годным и для измерения слабого поглощения видимого света естествен-
ными аэрозолями [ 155]. В этой работе пучок прямого солнечного света
использовался как источник модулирующего нагрева, причем фотоакусти-
ческие сигналы попеременно измерялись для воздуха с аэрозолем и про-
фильтрованного воздуха. Это, по-видимэму, до сих пор единственная пуб-
ликация о прямых измерениях для атмосферных аэрозолей.
Следующим шагом для правильной оценки влияния атмосферных час-
тиц на климат Земли могли бы стать прямые измерения поглощения и об-
ратного рассеяния в достаточно большом числе точек, позволяющие по-
лучить представительные средние по земному шару значения.
14.2.4. Сбор образцов и измерение
Менее прямой способ определения величины поглощения в части-
цах атмосферного аэрозоля связан со сбором этих частиц, например
фильтрами, и последующим измерением поглощения в лабораторных ус-
ловиях. В отличие от межзвездной пыли атмосферная пыль достаточно
доступна для сбора и оптических измерений. Однако здесь возникают
проблемы, связанные с сильной разреженностью атмосферных аэрозо-
лей. Из-за селективности собирающих устройств и поверхностей соб-
ранные частицы могут отличаться от частиц в атмосфере. Могут появить-
ся дополнительные примеси, а летучие компоненты - испариться. И уж
совершенно определенно меняется агрегатное состояние частиц. Несмот-
ря на все это, преимущество "синицы в руках" существенно: можно не
спеша выполнить требующие большого времени измерения; часто удает-
ся исследовать частицы под электронным или обычным микроскопом для
определения их размеров и формы; наконец, можно провести их хими-
ческий анализ.
556
Глава 14
Основное препятствие для определения поглощения в собранных
частицах состоит в том, что рассеяние часто оказывается существен-
но сильнее поглощения. Некоторые приборы, разработанные с целью
обойти это препятствие, схематически показаны на рис. 14.2; мы обсу-
дим их очень кратко в последующих абзацах.
На рис. 14.2,а показаны основные элементы прибора с Диффузным
прохождением [ 151, 152], в который входит интегрирующий шар, т.е.
сфера, покрытая непоглощающим диффузно рассеивающим материалом
(см. [ 503]. гл. Ю). Измерения проводятся с помещенным в световой пу-
чок образцом частиц (на предметном стекле) и без него. Из этих изме-
рений может быть найдено поглощение. Более простой способ для полу-
Дцффузное
прохождение
Интегрирующая
пластинка
Диффузная
пластинка
Лазерный
пучок
Визуальное сравнение
Диффузное
шцщццмт aawmww отражение
РИС. 14.2. Методы измерения поглощения частицами.
Некоторые приложения
557
чения того же результата [ 288], который часто называют методом ин-
тегрирующей пластинки, проиллюстрирован на рис. 14.2,б. Частицы на-
ходятся на пластинке из опалового стекла - простейшем диффузном рас-
сеивателе, — которая направляет к приемнику рассеянный частицами в
переднюю полусферу прошедший свет. В этом отношении опаловое стек-
ло играет роль гораздо более дорогого интегрирующего шара, И снова
сравниваются сигналы при наличии частиц на диффузоре и без них. Про-
стота этой методики привлекла внимание и других исследователей. В мо-
дификации, приспособленной для облучения лазером (см. рис. 14.2, б),
названной методом диффузной пластинки, фильтр частиц одновременно
служит их носителем и диффузным рассеивателем света [ 405]; этот
метод использовался для изучения сильно поглощающих аэрозолей типа
сажи из воздуха городов. В работе [404] при анализе этой системы бы-
ло показано, что обратное рассеяние на частицах при определенных огра-
ничениях на поглощение частицами и в фильтре не приводит к серьезным
погрешностям.
Простая схема, предложенная в работе [484], не требует даже фото-
электрического приемника - вместо этого в ней используется глаз че-
ловека. Часть фильтра с частицами и часть того же чистого фильтра по-
мещаются перед отверстиями в тонком плоском зеркале, которое диффуз-
но облучается как сверху, так и снизу (см. рис. 14.2,в). В отсутствие
фильтра (в предположении, что зеркало идеально) яркости отверстия и
его окружения будут одинаковы, если одинаковы их освещенности свер-
ху и снизу. Если же поместить фильтр, то, чтобы получить одинаковые
наблюдаемые сверху яркости отверстий и их окружения, освещение сни-
зу нужно уменьшить. Сначала согласование яркостей получают для от-
верстия сравнения, покрытого чистым фильтром. Затем под второе от-
верстие вводится калибровочный клиновидный фильтр, над которым на-
ходятся частицы, до совпадения яркостей отверстия и его окружения.
Зная коэффициент пропускания клиновидного фильтра, можно определить
величину поглощения частицами.
В методе диффузного отражения (рис. 14.2,t) свет, рассеянный плот-
ным слоем частиц, направляется интегрирующим шаром к приемнику. По-
глощение в частицах образца уменьшает принимаемый сигнал; поэто-
му результирующий спектр диффузного отражения качественно ана-
логичен спектру пропускания объемного вещества. При этом, конечно,
подразумевается, что нет никаких зависящих от формы спектральных
эффектов типа рассмотренных в гл. 12; для частиц из диэлектриков
они обычно ограничены инфракрасной областью длин волн.
558
Глава 14
Однако для извлечения отсюда количественных характеристик по-
глощения в твердых телах нужно иметь теорию диффузного отражения;
в качестве нее часто используют теорию Кубелки — Мунка (см., напр.,
[ 275]). Такая методика непосредственно применима в случае слабопо-
глощающих порошков, но порошки с сильным поглощением, по-видимо-
му, придется предварительно разбавлять непоглощающим порошком ([ 292]),
Для полноты картины мы включили в этот краткий обзор схемати-
ческое изображение фэтоакустического метода (рис. 14.2, д), который
уже рассматривался в разд. 11.7. Поглощение частицами прерывистого
света приводит к периодическому нагреву, который регистрируется
акустически. Рассеянный свет не дает вклада в принимаемый сигнал.
Краткие сведения об этих методах определения поглощения на об-
разцах частиц аэрозолей хорошо изложены в трудах рабочего семинара,
состоявшегося в: августе 1980 г. [ 178]. Участники семинара проверяли
свои методики по измерениям поглощения света частицами из твердых
веществ с известными оптическими постоянными. Результаты, получен-
ные с помощью разных методов, как правило, согласовывались друг с
другом, отличаясь не более чем в 5 раз. Точность измерений к для гра-
фита, являющегося сильным поглотителем, была хорошей. Но для суль-
фата аммония, который поглощает слабо, измерения постоянно давали
переоценку значения в 100 и более раз.
Для определения оптических постоянных по измерениям на образ-
цах частиц при изучении атмосферных аэрозолей использовались разные
методы. Таких измерений было проведено довольно много. Но несмотря
на давление финансирующих учреждений и пользователей, желающих по-
лучать прямо с терминалов ЭВМ оптические постоянные сложных
смесей, каковыми являются атмосферные аэрозоли, на оценку этих
методов путем приложения их к частицам твердых веществ с извест-
ными оптическими постоянными было затрачено относительно мало
усилий.
14.2.5. Дистанционное зондирование
Методы дистанционного зондирования для определения оптических
свойств естественных аэрозолей не имеют некоторых недостатков, свя-
занных с методами измерений на собранных частицах. Поскольку частицы
не разрушаются в процессе сбора, удается избежать возможных изме-
нений аэрозолей типа испарения летучих компонент, агломерации и по-
тери части частиц. У дистанционного зондирования, однако, имеются
свои недостатки. Хотя некоторые из таких методов допускают (но в
Некоторые приложения
559
весьма ограниченных пределах) проведение горизонтального и вертикаль-
ного зондирования, для большинства из них требуется однородность ат-
мосферы в горизонтальном направлении, так что полученные с их по-
мощью оптические характеристики могут оказаться не самыми интерес-
ными для практики. Например, при оценке влияния аэрозолей на тепло-
вой баланс Земли требуется знать, насколько сильно они поглощают и рас-
сеивают в заднюю полусферу солнечное излучение. Менее прямое отно-
шение к этому вопросу имеют оптическая толщина, альбедо однократно-
го рассеяния и параметр асимметрии частиц. В то время как оптическую
толщину можно определить непосредственно, поглощение приходится вы-
водить на основе измерений других оптических величин, таких, как от-
ношение экстинкции к величине рассеяния назад; при этом возможно
привлечение слишком упрощенных моделей (например, модели однород-
ных сферических частиц одного типа), непригодность которых может
обесценить результаты. Тем не менее, в определенных пределах дистан-
ционное зондирование имеет прекрасные возможности для глобальной
регистрации некоторых оптических свойств атмосферных частиц. Пере-
числим некоторые из методов дистанционного зондирования и кратко
прокомментируем их.
Многовалковая солнечная радиометрия. Солнце является источни-
ком света с известным спектральным составом. Поэтому измерение про-
хождения через атмосферу дает полную экстинкцию, из которой можно
вычесть экстинкцию молекул, получив экстинкцию частиц. После этого
можно использовать методы решения обратной задачи для нахождения
распределений частиц по размерам из2 результатов измерений экстинк-
ции [ 270]. Как показано на рис. 13.8, теория Ми является хорошим при-
ближением для направления вперед в случае достаточно больших несфе-
рических частиц. Если в экстинкции преобладает рассеяние вблизи на-
правления вперед, то она не очень чувствительна к форме частиц.
Мокостатический лидар. С появлением мощных импульсных лазеров
дистанционное зондирование атмосферных аэрозолей по измерению об-
ратного рассеяния (0^180°) получило широкое распространение. Выделе-
ние сигналов с разными временами задержки позволяет получить данные
в виде дальностных профилей. Связь отношения экстинкции к рассеянию
назад со свойствами поглощения атмосферных частиц была найдена из
решения обратной задачи на основе теории Ми [ 438]. Однако из рис. 13.8
ясно, что обратное рассеяние чрезвычайно чувствительно к форме час-
тиц. Поэтому свойства, приписываемые поглощению, на самом деле мо-
гут быть связаны с несферичностью частиц. Неоднородность частиц так-
560
Глава 14
же, вероятно, сильно влияет на обратное рассеяние, поскольку оно за-
висит от структуры частиц сильнее, чем рассеяние вперед.
Бистатический лидар. Угловую зависимость рассеяния на атмосфер-
ных частицах можно измерить, разнеся в пространстве коллимированный
источник света и приемник. Такая установка очень похожа на изображен-
ную на рис. 13.5; выступающий в роли образца объем определяется пере-
сечением освещающего луча с полем зрения приемника. Если использу-
ется импульсный лазер, а принятый отклик стробируется во времени, то
такая система называется бистатическим лидаром. Аналогичная система
без стробирования долгое время использовалась для лазерного зондиро-
вания атмосферы. О бистатических лидарах см. [ 390] и цитированную
там литературу.
Степени линейных поляризаций также измерялись дистанционно. На-
пример, некоторые результаты в этом направлении приведены в [398, 496].
Чувствительность индикатрис рассеяния (рис. 13.8), в особенности поля-
ризационных (рис. 13.9), к форме частиц говорит о необходимости осто-
рожности при определении по результатам бистатического дистанционно-
го зондирования таких характеристик аэрозоля, как к.
14.2.6. Эффективный показатель преломления аэрозолей
с поглотителями
По своей сути рассмотренные только что методы пригодны только
для определения средних показателей преломления. Да и значения к ,
измеренные этими методами, для атмосферных частиц, наводят на мысль
о смесях частиц самых разных типов. Это следует хотя бы из того, что,
как мы уже отмечали, ни одно из обычных веществ не имеет в видимом
диапазоне значений к, лежащих между 0,001 и 0,01. Имеются сведения,
что самые мелкие частицы поглощают наиболее сильно [ 291]. Так, на-
пример, в качестве одной из компонент поглощающего аэрозоля был об-
наружен углерод в виде сажи [ 405]. Поскольку к для углерода порядка
единицы, отсюда следует вывод, что наблюдаемое поглощение можно
приписать малым количествам углерода в смеси со значительно больши-
ми количествами слабо поглощающих (в видимом диапазоне) веществ ти-
па сульфата аммония,хлористого натрия и кристаллического кварца. Бо-
лее того,, некоторые исследователи указывают, что способ, которым по-
глотитель смешивается с непоглощающими веществами, может сущест-
венно влиять на такие оптические свойства, как альбедо однократного
рассеяния, фазовую функцию и сечение обратного рассеяния. В работе
[ 47] было впервые обращено внимание на некоторые следствия, связан-
ные с усреднением оптических характеристик. За ней последовали рабо-
Некоторые приложения
561
ты [ 8, 182, 290, 472]. В четырех последних работах на основе теории Ми
показано, что такие величины, как альбедо однократного рассеяния, мо-
гут кардинально меняться при заданном количестве поглощающего ве-
щества в зависимости от того, распределено ли оно по частицам равно-
мерно, или же присутствует в виде отдельных частиц, находящихся вне,
внутри или на поверхности непоглощающих частиц. Из-за различий в ис-
пользованных распределениях по размерам и показателях преломления
трудно сравнить результаты разных работ. В действительности некото-
рые из них противоречивы; на это указано авторами работы [8], кото-
рые отмечали, что они не смогли воспроизвести один из опубликованных
ранее результатов. Поэтому, чтобы дать некоторое представление, мы
приведем наши собственные простые расчеты, связанные с решением
обратной задачи для альбедо однократного рассеяния для двух различных
моделей поглощающего аэрозоля.
В одном из примеров имеется смесь, которая состоит из 1% (по объему)
сферических поглощающих частиц с показателем преломления mbl =
= 1,7 + г 0,7, что соответствует одной из форм углерода, и из 99%
более крупных частиц с т Wh = 1,55 + i Ю*6, что приближенно отвечает
некоторым возможным компонентам аэрозоля. Индексы Ы (black — чер-
ный) и wh (white - белый) указывают, как выглядели бы в отдельности
скопления частиц этих двух типов. Среди множества значений оптических
постоянных, опубликованных для различных форм углерода, мы выбрали
значения, полученные из результатов измерений на отдельном шаре в ра-
боте [372].
Вторая модель аэрозоля состоит из "серых" шаров; другими слова-
ми, поглотитель не изолирован от непоглощающих частиц, а входит в их
состав. Такие частицы можно наглядно представить в виде мелких уголь-
ных шариков, равномерно распределенных - как изюм в пудинге - в го-
раздо более крупных непоглощающих шарах.
Первая задача, с которой мы сталкиваемся, состоит в том, как пра-
вильно рассчитать усредненные оптические постоянные в случае, когда
1% (по объему) углерода однородно распределен в непоглощающей среде.
Обычная процедура, использованная и в Цитированных выше работах, сос-
тояла просто в раздельном усреднении по объему п и к. Но оптические
постоянные в общем случае не аддитивны, и поэтому мы использовали
формулу Максвелла Гарнетта (8.50). Результатом является 1,55 +
+10,007, что в Данном случае совпадает, как это следует из приведенных чис-
ловых значений, с результатом, Полученным усреднением по объему пока-
зателей преломления 1,55 + i 0,0 и 1,7 + i 0,7.
36-205
562
Глава 14
Воспользуемся теперь некоторыми приближениями, рассмотренны-
ми в предыдущих главах, и оценим для этих двух моделей аэрозолей аль-
бедо однократного рассеяния w0, где
с
1 _ ,-т _ abs
1 w0 ~ Г
vext
Для смеси частиц Cabs и Cext нужно интерпретировать как средние
взвешенные по числу частиц.
Экстинкция для угольных частиц радиусом 0,05 мкм определяется
в основном поглощением; сечения поглощения на единицу объема части-
цы в рэлеевском пределе (12.10) не зависят от ее радиуса. Поэтому ес-
ли принять, что все частицы имеют одинаковый размер, то это ничего
не изменит, при условии достаточной малости частиц • Для больших непо-
глощающих частиц Qext приближенно равно 2. Преимуществом этого
приближения является то, что оно исключает из теории Ми для отдель-
ного шара такие сложные явления, как рябь и интерференционную струк-
туру, которые не очень характерны для широких распределений по раз-
мерам и нерегулярных форм частиц (см. рис. 1.1.20). С учетом этих приб-
лижений для смеси "черных" и "белых" частиц имеем
1 _ rj = /«Ы
° /«Ы + (1 ~/)«wh’
где нормированные на объем сечения есть
аь1 = 9,78 дт~1 (Х = 0,55/ил); awh = -^-.
^wh
Для оценки 1 - <50 для серых частиц мы примем Cext = 2тта2 и
используем (7.2) для Cafas:
1 - «о “ 0,142flgr (X = 0,55 мт), (14.3)
где множитель перед радиусом отвечает среднему показателю преломле-
ния 1,55 + i 0,007. Полный объем частиц будет одинаков для обоих аэро-
золей, если (1 + f) = (1 - f)a3 , но при f = 0,01 значения agr и
awh почти равны.
На рис. 14.3 мы изобразили (14.2) и (14.3) как функции радиуса боль-
ших частиц. При этом, конечно, нужно помнить об ограничениях, вклю-
Некоторые приложения
563
чая лежащее в основе вывода (7.2) неравенство 2 аа« 1, которое лишь
приближенно удовлетворяется для размеров, меньших примерно 3 мкм.
Чтобы с помощью теории Ми убедиться в приближенной правильности этих
простых выражений, мы рассмотрели расчеты по теории Ми для одного
размера, взятье через интервалы 0,1 мкм. За исключением интерферен-
ционных максимумов и минимумов, которые возникают при вычислениях по
теории Ми и вряд ли могут наблюдаться для природных аэрозолей, прос-
тая трактовка оказывается Достаточно хорошей.
"Серые" частицы поглощают сильнее, чем змесь "черных" и "белых"
частиц, и различие между ними существенно: отношение значений 1 -м0
для этих двух моделей аэрозолей равно примерно 3. Рассуждая нестрого,
это различие можно приписать двум причинам. Во-первых, сечение погло-
щения для малого шара из углерода в среде с п = 1,55 примерно в 1,6
раза больше, чем для того же шара в воздухе. Во-вторых, имеется эф-
фект фокусировки, т.е. на шар, находящийся в большем прозрачном ша-
РИС. 14.3. Поглощение "серыми" шарами, с однородно распределенным пог-
лотителем (вверху), и малыми поглощающими шарами, смешанными с непогпо-
щающими шарами гораздо больших размеров (внизу); полное количество пог-
лощающего вещества в обоих случаях одинаково. Сплошные пинии — результат
приближенного расчета, пунктирные связывают точки, рассчитанные по тео-
рии Ми.
564
Глава 14
ре, чисто геометрически падает больше света, чем на шар в воздухе.
Например, если пренебречь внутренними и внешними отражениями, то
из геометрической оптики следует, что на малый шар, находящийся в
центре большего шара, падает в п 2 раз больше света, чем в воздухе. Поэтому,
основываясь на этих нестрогих соображениях, мы могли бы ожидать,
что величина 1 — <й0 для серых частиц будет по крайней мэре в 1,6 раза,
но не более чем в 3,8 раза больше, чем для смеси черно-белых частиц.
И этот вывод действительно согласуется с более подробными вычисле-
ниями.
Рассмотрим теперь частицы радиусом 1,5 мкм; из рис. 14.3 следу-
ет, что й0 для серых частиц равно примерно0,75, тогда как для смеси
черно-белых частиц w0 порядка 0,9. Напомним теперь, что величина
альбедо однократного рассеяния, равная 0,85 широко используется как
критическое значение, разделяющее тенденции глобального охлаждения
(w0 > 0,85) и глобального нагревания (<S0 < 0,85). Поэтому для частиц
такого размера, так же как и для несколько больших и несколько мень-
ших частиц, даже направление температурных изменений зависит от то-
го, каким образом поглощающие вещества входят в аэрозоль. Отсюда
мы должны заключить, что простое знание количества поглощающего
вещества в атмосферном аэрозоле не достаточно для оценки его потен-
циального воздействия на климат.
14.2.7 . Регистрация глобального ветра при помощи
лидаров обратного рассеяния
Создается впечатление, что мы чаще всего оценивали роль атмо-
сферных частиц как отрицательную: они могут вызывать катастрофичес-
кие изменения климата; они уменьшают видимость; они могут способ-
ствовать формированию фотохимического смога и кислотных дождей. Но
разрабатывается и некий способ заставить их выполнять определенную по-
лезную работу в качестве вездесущих переотражателей лазерных пучков.
Доплеровский сдвиг лазерного света при обратном рассеянии на
атмосферных частицах несет информацию о скорости воздушных масс,
вместе с которыми они перемещаются. В работе [ 234] непрерывный
СО2 -лазер использовался для демонстрации возможности применения
для этой цели лазерного доплеровского измерителя скорости (см. обзор
[ 52]). Используя импульсный лазер и выделяя сигналы отклика в разные
моменты времени, можно фиксировать частицы, находящиеся на разных
расстояниях от источника; это и есть лидар (сокращение от light detec-
tion and ranging - обнаружение и измерение дальности светом). Отсюда
Некоторые приложения
565
видно, что, используя доплеровские измерения скорости, с помощью ли-
дара можно было бы получать распределение компонент скоро,сти вдоль
линии визирования в зависимости от расстояния вдоль нее. Действитель-
но, эта возможность рассматривается для проектируемых спутниковых
систем слежения за ветром [7]. При облете спутником Земли инфракрас-
ная лидарная система сможет сканировать коническим лучем, направ-
ленным вниз в атмосферу; при этом измерение профилей по толщине бу-
дет осуществляться за счет стробирования принимаемого сигнала. Каж-
дый выбранный элемент объема воздуха в трехмерной сетке будет ре-
гистрироваться с двух разных направлений — вперед и назад - за корот-
кое время, пока спутник проходит над ним. Из этих двух измерений ско-
рости на линии визирования можно найти горизонтальную скорость. Соз-
дание такой системы потребует значительных усилий, но зато она мог-
ла бы дать чрезвычайно полезные метеорологические данные.
Моды Фрёлиха (см. гл. 9) для малых частиц из некоторых диэлектри-
ков, среди которых и атмосферные частицы,отвечают длинам волн поряд-
ка 10 мкм. На этих длинах волн велико и рассеяние назад; это ясно вид-
но из выражений для факторов эффективности поглощения, рассеяния и об-
ратного рассеяния на малом шаре (разд. 5.1), в каждое из которых вхо-
дит множитель (т2 — l)/(zn2 + 2). Спектр обратно рассеянного света бу-
дет иметь максимум на длинах волн вблизи максимума экстинкции. Как
в кварце, так и в сульфате аммония, которые являются обычными сос-
тавляющими аэрозоля, моды Фрёлиха сосредоточены вблизи 9 мкм. Это
означает, что если вместо обычного излучения СО2-лазера с длиной
волны 10,6 мкм использовать излучение на длине волны вблизи 9 мкм,
то для шаров из этих веществ можно было бы получить более сильный
сигнал обратного рассеяния. Но вспомним, что поверхностные моды силь-
но зависят от формы частиц, а обратное рассеяние должно вести себя
аналогично экстинкции. Рис. 12.14 иллюстрирует влияние распределения
по формам на спектр обратного рассеяния частиц кварца. Хотя СО2-ла-
зером почти невозможно точно настроиться на максимум для кварцево-
го шара вблизи 9,0 мкм, эффекты формы могли бы действительно увели-
чить сигнал обратного рассеяния благодаря уширению спектра рассе-
янного назад света до области между 9,1 и 9,2 мкм, где СО2-лазеры
уже способны работать. При помощи доплеровской лидарной системы с
Двумя различными длинами волн можно было бы разделять частицы в
атмосфере по некоторым типам и строить карты их распределений. Но
какое бы использование ни приобрели доплеровские лидары, из сказан-
ного здесь и раньше ясно, что с зависящими от формы поверхностными
модами в малых частицах придется считаться.
566
Глава 14
14.3. СЕРЕБРИСТЫЕ ОБЛАКА
Как следует из английского названия серебристых облаков (по-ан-
глийски noctilucent - "светящийся ночью"), эти облака видны ночью;
источником их освещения служит находящееся далеко за горизонтом
Солнце. Эти облака являются высокоширотным (50 - 60°) летним яв-
лением и отличаются от дневных облаков своей большой высотой, око-
ло 82 км над поверхностью Земли, которая почти совпадает с высотой
мезопаузы, отвечающей минимальной температуре атмосферы. От обыч-
ных облаков их отличает еще и большая разреженность; сквозь них за-
частую видны звезды. Английское название серебристых облаков воз-
никло до появления возможности их наблюдения со спутников и в на-
стоящее время не вполне соответствует положению вещей: со спутни-
ков серебристые облака наблюдались и в дневное время [ 134]. Эти наб-
людения показали, что видны с Земли в действительности всего лишь
тонкие лохмотья на крае гораздо более толстого облачного слоя, ле-
жащего на большой высоте ближе к полюсу. Однако те из англичан,
кто привязан к Земле, могут использовать указанный термин без вся-
ких противоречий.
В работе [ 153] дан превосходный обзор по серебристым облакам,
к которому мы отошлем читателя для получения сведений об их воз-
никновении, а также о том, где, когда и как долго их можно наблюдать.
Прямое исследование природы и возникновения серебристых облаков слож-
но в связи с их недосягаемостью: они располагаются слишком высоко для
аэростатов и слишком низко для спутников. Поэтому единственным способом
непосредственного контакта с этими облаками являются ракеты, но их запус-
ки дороги, а их визиты в верхнюю атмосферу по необходимости быс-
тротечны и ограничены малыми областями. Хотя непосредственные
исследования, конечно, крайне желательны, наиболее практичным ме-
тодом изучения больших областей серебристых облаков является ана-
лиз либо рассеянного ими солнечного света, либо проходящего через
них света звезд. До появления ракет анализ света, исходящего от се-
ребристых облаков, был по сути дела единственным средством изуче-
ния их свойств.
Достаточно глаз и поляризационного фильтра, чтобы оценить две
характеристики света от серебристых облаков: его окраску и являет-
ся ли он сильно поляризованным. Это позволило автору работы [ 296]
оценить диапазон размеров частиц серебристых облаков. Учитывая на-
личие сильной поляризации, он взял значение 0,16 мкм для верхнего
предела размеров частиц; а исходя из окраски — белой, серебристой,
иногда голубоватой, но не настолько, чтобы говорить о наличии очень
Некоторые приложения
567
мелких частиц, - он взял значение 0,008 мкм для нижнего предела их
размеров. Уже не из оптических соображений он заключил, что такие
частицы состоят не изо льда, а скорее из вулканической, метеоритной
или межпланетной пыли.
Однако свет от серебристых облаков несет в себе не только ин-
формацию о том, как он ими рассеивается. При прохождении пути от
Солнца к облакам и затем к наблюдателю он должен проходить большую
атмосферную трассу, вдоль которой он испытывает селективное погло-
щение и рассеяние различными газами, а также частицами, природа
й количество которых неопределенны. Эту селективную экстинкцию нуж-
но вычесть из наблюдаемого спектра для получения истинного спектра
рассеянного света. В работе [ 127] были исправлены спектральные дан-
ные по экстинкции из работы [ 205] путем использования некоторой мо-
дельной атмосферы и сделан вывод о том, что эти данные согласуются
с рассеянием на сферических частицах с показателем преломления 1,33
и радиусом 0,4 мкм.
14.3.1. Линейная поляризация
Выводы, сделанные на основе спектра света от серебристых обла-
ков, всегда заставляют беспокоиться о неопределенностях, связанных с
поправками, которые должны вносить находящиеся на Земле наблюдате-
ли. Но степень поляризации рассеянного частицами серебристых обла-
ков света нечувствительна к селективному поглощению в атмосфере при
условии, что падающий и рассеянный пучки не встречают ориентирован-
ных частиц (за исключением, конечно, самих частиц серебристых обла-
ков). Это было отмечено автором работы [ 513], который измерял линей-
ную поляризацию при углах рассеяния между примерно 20 и 60°; степень
поляризации монотонно возрастала с ростом угла рассеяния до максималь-
ных значений примерно 0,^ для голубого света (А = 4900 А) и 0,5 для
красного света (А = 6100 А). Использование ракет позволило расширить
диапазон углов рассеяния. Высокая степень линейной поляризации вбли-
зи 90°, измеренная в работах [473, 513, 515], позволила авторам этих
работ заключить, что верхний предел размеров частиц меньше примерно
0,13 мкм. Авторы работы [238] проанализировали результаты спутнико-
вых измерений излучения из работы [134] и подтвердили это значение
верхнего предела.
Наиболее сильным доказательством в пользу малости (< 0,1 мкм)
частиц серебристых облаков является полученная в измерениях высо-
кая степень линейной поляризации: она монотонно увеличивается с
ростом угла рассеяния, доходя почти до единицы при 90°. Трудно со-
568
Глава 14
гласовать эти наблюдения с каким-либо другим выводом, кроме заклю-
чения о малости частиц.
В настоящее время считается общепринятым, что частицы серебрис-
тых облаков состоят изо льда, хотя это связано скорее с недостатком
данных - у ледяных частиц пока нет серьезных конкурентов, - чем с
наличием прямых доказательств. Степень линейной поляризации видимо-
го света, рассеянного рэлеевскими эллипсоидами изо льда, почти не за-
висит от их формы. Это вытекает из (5.52) и (5.54): если показатель пре-
ломления равен 1,305, то Р(90°) = 1,0 для шаров, 0,97 для вытянутых
сфероидов и 0,94 для сплюснутых сфероидов.
О применимости теории Рэлея — Ганса к частицам льда в атмосфе-
ре нельзя сказать что-либо определенное, поскольку значение | т - 11
близко к значениям, для которых эта теория начинает давать большие
погрешности, по крайней мере для шаров ([ 264], стр. 428). Но если те-
ория Рэлея — Ганса верна для ледяных частиц, что ограничивает их раз-
мер значением порядка 0,1 мкм, то отсюда с необходимостью вытекает
сильная поляризация: степень линейной поляризации при 90° равна еди-
нице для всех рассеивателей, описываемых этой теорией, независимо
от их формы.
Некоторое понимание того, как отклонения от теории Рэлея влияют
на линейную поляризацию, можно получить из результатов работы [ 19],
в которой проведены расчеты для случайно ориентированных сплюсну-
тых сфероидов с показателем преломления 1,33, что достаточно близко
к значению показателя преломления льда с отношением осей а/с - 5,
и параметром дифракции 2тта/Л - 5; для длины волны 0,5 мкм это соот-
ветствует шарам равного объема с радиусом 0,23 мкм. Поляризация мо-
нотонно нарастает с ростом угла рассеяния до максимального значения
вблизи 90° и затем монотонно убывает Таким образом, поведение по-
ляризации сохраняется примерно таким же, как в случае рэлеевских ша-
ров и сфероидов, за исключением того, что максимум поляризации (0,89)
несколько уменьшается; он меньше также и измеренного значения для
серебристых облаков, и это дает дополнительное доказательство того, что
частицы облаков не крупнее примерно 0,1 мкм.
14.3.2. Круговая поляризация
Круговая поляризация также наблюдалась в свете от серебристых
облаков. В работе [166] в серии из 10 наблюдений были зарегистрированы
положительные значения V/I в диапазоне 0,02 - 0,07. Позже в [ 167] из-
мерения дали как положительные, так и отрицательные значения V/I,
большинство этих значений группировалось между 0 и —0,05, но некоторьЕ
Некоторые приложения
569
из них существенно выходили за пределы этого диапазона. В большинст-
ве же более современных измерений обнаружены гораздо меньшие
степени круговой поляризации, равные примерно 0,005 [ 169], что может
быть либо нетипичным, либо отражать улучшение экспериментальной тех-
ники; поэтому отсюда пока трудно сделать окончательные выводы.
Одно из возможных объяснений наблюдаемой круговой поляризации
состоит в том, что частицы серебристых облаков частично ориентирова-
ны, а это требует, чтобы они были несферическими. Действительно, в ра-
боте [ 168] критиковались ранние оценки размеров, поскольку они дела-
лись в предположении о сферичности частиц серебристых облаков, тогда
как имеются сведения, наводящие на мысль об. их несферичности. Мы
уже неоднократно показывали в предыдущих главах, что несферические
частицы часто поглощают и рассеивают свет совершенно не так, как
"эквивалентные" шары. Поэтому имеются веские причины тщательно изу-
чить критику из работы [ 168]. Однако сначала полезно рассмотреть ус-
ловия, при которых неполяризованный свет приобретает поляризацию при
рассеянии.
Для того чтобы неполяризованный падающий свет при рассеянии на
скоплении частиц приобретал (частично) круговую поляризацию, должен
быть отличным от нуля матричный элемент S41. В разд. 13.6 было по-
казано, что матрица рассеяния для скопления (обладающего зеркальной
симметрией) случайно ориентированных частиц имеет вид
S|2 0 о
S|2 S„ 0 0
0 zz 0 s33 S34 (14.4)
.0 0 ~S34 *$44 .
Если каждая частица сферически симметрична, то S33 = S44 и Sn = $2 .
Такое скопление частиц не может приводить к круговой поляризации не-
поляризованного света, или света, поляризованного перпендикулярно
(или параллельно) плоскости рассеяния. Но оно может придавать круго-
вую поляризацию в случае наклонно поляризованного падающего пучка
(Ui * 0) при условии, что S43(-S34) не равно нулю.
В соответствии с теми правилами, которыми мы руководствуемся с
самого начала данной книги, многократное рассеяние исключается из
рассмотрения. Но не всегда разумно делать вид, что многократного рас-
сеяния не существует. К счастью, обобщить наш подход к рассеянию и
круговой поляризации на случай многократно рассеивающих сред ока-
570
Глава 14
зывается почти тривиальным делом - математический аппарат теории
переноса излучения здесь не нужен, и это обобщение стоит тех незна-
чительных усилий, которые для него требуются.
Рассмотрим среду из частиц, описываемую (14.4); для большой на-
глядности можно взять одну частицу. Неполяризованный свет пос-
ле однократного рассеяния станет частично поляризованным с па-
раллельной или перпендикулярной плоскости рассеяния поляризацией,
в зависимости от знака 2. Этот рассеянный свет затем падает на дру-
гую частицу, но теперь уже он поляризован, вообще говоря, наклонно
относительно различных плоскостей рассеяния, определяемых направ-
лениями однократно рассеянного (т.е. падающего) и двукратно рассеян-
ного света. Именно так неполяризованный свет может приобрести неко-
торую круговую поляризацию при многократном рассеянии на случайно
ориентированных частицах.
Ни однократное, ни многократное рассеяние света на частицах, для
которых применима теория Рэлея — Ганса, независимо от их формы,
ориентации и состава не приводит к круговой поляризации неполяризо-
ванного или линейно поляризованного падающего света, поскольку для
них S41 = S42 = S4J = 0. Это верно также для непоглощающих частиц в рэ-
леевском пределе (гл.5), что следует из (3.16) и (5.47): тензор поляри-
зуемости веществен. Лед слабо поглощает в видимом диапазоне [ 204].
Поэтому в рамках и теории Рэлея, и теории Рэлея - Ганса частицы льда
независимо от их формы и ориентации не могут приводить к круговой
поляризации неполяризованного или линейно поляризованного види-
мого света.
Мы пока оставляли без внимания вопрос о возникновении наблю-
даемой круговой поляризации света от серебристых облаков. Круговая
поляризация в случае неполяризованного падающего света может возни-
кать, если частицы облаков существенно больше, чем этого требует те-
ория Рэлея, — и только при условии, что они ориентированы. Но до сих
пор не было предложено никакого правдоподобного механизма такой
ориентации. В работе [ 166] предлагался аэродинамический механизм, но
он не выдерживает критики: аэродинамические силы на высоте 82 км в ат-
мосфере Земли очень слабы. Более того, ориентируются или нет вытя-
нутые частицы при падении в воздухе - это зависит от их размера: ори-
ентированию противодействует тенденция к дезорганизации из-за бро-
уновского движения. В работе [ 159] показано, что на уровне моря кри-
тический размер, ниже которого частицы ориентируются хаотически,
составляет примерно 10 мкм. Этот критический размер не очень чувст-
Некоторые приложения
571
вителен к температуре и давлению, но он слегка увеличивается с высо-
той. Экстраполирование же от уровня моря до мезопаузы, где средняя
длина свободного пробега молекул составляет 0,5 см, вообще говоря,
неверно. В этом случае критический размер нарастает даже быстрее,
чем предсказывает экстраполяция результатов [ 159]. .Действительно,
в работе [ 392] рассчитаны силы, действующие на частицу произвольной
формы, но малую по сравнению со средней длиной свободного пробега
(режим молекулярного течения), и из ее результатов следует, что пол-
ный момент сил, действующий на такую частицу, равен нулю. Поэтому
до тех пор, пока не будет установлен механизм ориентации частиц, мы
можем предполагать лишь, что частицы серебристых облаков ориенти-
рованы случайно и, следовательно, не могут приводить к появлению кру-
говой поляризации неполяризованного света.
Возможное объяснение наблюдаемой круговой поляризации состоит
в том, что облучающий серебристые облака свет частично поляризован
из-за эффектов многократного рассеяния, связанных с длинной трассой,
которую он проходит в атмосфере. Поэтому падающий свет состоит из
неполяризованного нерассеянного (прямого) света и многократно рассе-
янного частично поляризованного (непрямого) света:
/а) I 1Р I ms
<о 0 (Л в О)
— +
ч 0 6ms
И V ms
Падающий Нерассеянный Многократно рассеянный
(прямой) (непрямой)
солнечный свет солнечный свет
Если такой свет падает на среду, описываемую матрицей рассеяния
(14.4), то степень круговой поляризации рассеянного света будет равна
_ ^34 Цти ^44 Ems
V, ^11 Ans ^11 Ans
A Л) . . . *^12 6 ms
J + 1 + <2 I
'ms °11 'ns
(14.5)
Заметим, что прямой свет рассеивается к наблюдателю под одним углом,
тогда как непрямой свет, который падает со многих направлений, рассе-
572
Глава 14
ивается под разными углами; поэтому значения S34/Sn, J7ms /lms и т.д.
следует интерпретировать как средние по различным направлениям па-
дения.
Для того чтобы величина Vs/ls была отличной от нуля, должны быть
отличными от нуля либо S34/Sn и Ums/lms, либо S44/Sn и Pms//ms
или должны выполняться обе эти возможности. Величина SJ4 равна нулю
для непоглощающих частиц в рэлеевском пределе и для произвольных
частиц в пределе Рэлея — Ганса. Однако даже для частиц с размерами
порядка длины волны — как сферических, так и несферических — величи-
на S3i имеет тенденцию оставаться малой, в особенности для направле-
ния рассеяния вперед ! см. рис. (13.13) и (13.14)].
Если пренебречь произведением (S34/Sn) (t/ms //ms), то степень кру-
говой поляризации рассеянного света приближенно будет равна
К _ Ans ^44 ^ms
Л h 1 Ans
где мы предположили также, что A//ms является самой большой величи-
ной в знаменателе (14.5).
Необходимым условием правильности объяснения наблюдаемой кру-
говой поляризации на основе многократного рассеяния является усло-
вие, что рассеяние частицами серебристых облаков не должно заметно
уменьшать степень круговой поляризации падающего света. То, что это
так для случайно ориентированных рэлеевских эллипсоидов, показать
нетрудно. Величина М в (5.52) для эллипсоидов изо льда близка к еди-
нице, так что в хорошем приближении
$44 _ 2 cos#
^11 1 + COS20 ’
что составляет не менее 0,5, за исключением малой области углов рас-
сеяния вблизи 90°.
Далее, требуется, чтобы //ms было не меньше наблюдаемых
значений Vs/lg-, на самом деле оно должно быть гораздо больше из-за
наличия малого множителя /ms / /ОмВ работе [170] измерялись степе-
ни круговой поляризации, доходящие до 0,67 для света безоблачного
неба, хотя более типичные значения были заключены между 0 и 0,17. Эти
значения можно принять для оценки степени круговой поляризации, ко-
торую можно ожидать для многократно рассеянного света, облучающего
серебристые облака.
Некоторые приложения
573
Как ^ms /^ms ’ так И ^ms^o Должны быть порядка 0,2 или больше,
чтобы наибольшие значения круговой поляризации были связаны с мно-
гократным рассеянием; если обе они порядка 0,07, то опирающееся на
многократное рассеяние объяснение пригодно лишь для минимальных
наблюдаемых величин. Другими словами, значение Vms/l0 должно быть
не меньше, чем наблюдаемая степень круговой поляризации; эта воз-
можность по меньшей мере вероятна — нет никаких оснований отвергать
ее, — но ее нужно еще подтвердить непосредственно.
14.3.3. Сводка результатов
Высокая степень линейной поляризации, наблюдаемая в свете от
серебристых облаков, дает убедительные основания считать, что час-
тицы в них не могут быть больше примерно 0,1 мкм. И если они состоят
изо льда, то они не должны быть сферическими. Независимо от формы
и ориентации малые частицы льда не могут приводить к круговой поля-
ризации для неполяризованного падающего света.
Ориентированные и, следовательно, несферические частицы пред-
лагалось рассматривать в качестве причины наблюдаемой круговой по-
ляризации света от серебристых облаков. Но до сих пор не было пред-
ложено возможного механизма такой ориентации. Однако, даже если бы
такой механизм был открыт, очень вероятно, что необходимые для ори-
ентации размеры частиц не будут согласовываться с данными по линей-
ной поляризации: частицы ориентируются моментом сил, т.е. произве-
дением силы на расстояние. Поэтому вне зависимости от механизма
ориентируются в первую очередь большие частицы.
Имеется несколько возможных объяснений данных по круговой поля-
ризации: либо эти данные ошибочны, либо частицы малы, ориентированы
и сильно поглощают, либо падающий на облака свет уже приобрел круго-
вую поляризацию из-за многократного рассеяния.
Нет никаких причин сомневаться в экспериментальных данных; мы
должны считать их исходными.
Предположение о сильном поглощении частиц трудно одновременно
примирить с наблюдаемой окраской и линейной поляризацией света от
серебристых облаков.
Третье объяснение является наиболее вероятным, хотя, для того
чтобы установить это с полной определенностью, требуются дальнейшие
измерения и расчеты. В отношении объяснения, связанного с многократ-
ным рассеянием, уместно привести высказывание из работы [515]: мДля
правильной интерпретации поляризационных измерений в верхней атмосфе-
574
Глава 14
ре эффекты многократного рассеяния в самой мезосфере рассматривать
не нужно, но необходимо в полном объеме учитывать наличие источника
света из нижней атмосферы".
14.4. РАДИОЛОКАЦИОННЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ
ДОЖДЯ
Все возрастающее число работ, представляемых на конференции
по радиометеорологии, организуемые Американским метеорологичес-
ким обществом, свидетельствует о быстром росте использования радио-
локации в метеорологии; и действительно, количество препринтов ско-
ро станет настолько большим, что один человек сможет их лишь про-
честь, не успевая понять. Поэтому для полного охвата различных при-
ложений радиометеорологии требуется гораздо больше места, чем мы
можем выделить здесь. Более полный обзор этих вопросов дается в об-
разцовом труде по радиометеорологии 37]. В более поздней работе [83]
дан обзор различных приложений радиолокации в метеорологии; мы выб-
рали из них для обсуждения один вопрос: радиолокационные измерения
дождя. Обзор этого вопроса дан в [ 509].
Предположим на минуту, что все дождевые капли имеют одинако-
вый диаметр D. Скорость выпадения осадков R, т.е. скорость, с кото-
рой возрастает со временем высота дождевой воды в сосуде с постоян-
ной площадью сечения, равна произведению полного объема воды в еди-
нице объема воздуха на установившуюся скорость Vt (D) водяной капли:
R = N^D3V,(D),
где N - число капель в единице объема воздуха. Иногда упускается из
вида, что Vt — скорость относительно поверхности земли, тогда как
многие теоретические и эмпирические оценки строятся для установив-
шихся скоростей относительно воздуха, в котором падают капли [ 38].
Если бы, например, частицы падали в восходящем со скоростью V по-
токе воздуха, то скорость выпадения осадков была бы равной нулю.
В принципе скорость выпадения осадков определяется двумя вели-
чинами: количеством воды в воздухе и скоростью, с которой она пада-
ет на землю. Но эти две величины до некоторой степени зависят Друг
от друга: при постоянном /V и количество воды, и V возрастают с уве-
личением D. Однако До сих пор точный вид этой связи не установлен.
Поэтому, видимо, лучше считать, что определение скорости дождя тре-
бует двух независимых измерений.
Некоторые приложения
575
Капли дождя, имеющие диаметры в пределах 1-5 мм, малы по
сравнению с длиной волны метеорологического радиолокатора, которая
обычно составляет 3;5 или 10 см. В разд. 5.1 мы показали, что в приб-
лижении Рэлея сечение обратного рассеяния для шара пропорциональ-
но шестой степени его радиуса. Поэтому обычно вводится радиолокаци-
онный множитель отражения
Z = ND6,
который определяет количество мощности, рассеянной каплями в еди-
ничном объеме на заданном расстоянии от приемной антенны.
Когда дождевая капля перестает ускоряться, ее вес уравновешива-
ется силой торможения (сила плавучести пренебрежимо мала):
P^D'g^VfC^D2,
где ра и рш - плотности воздуха и воды, g - ускорение свободного па-
дения, a Q - коэффициент торможения. Коэффициент торможения кап-
ли почти не зависит от ее диаметра [ 207], так что в этом случае устано-
вившаяся скорость ее падения приближенно пропорциональна квадратно-
му корню из ее диаметра.
Если учесть все это, мы получим следующее Z - /{-соотношение:
Z = KN~01'R' 71,
где К — постоянная. Таким образом, имеется однозначная связь между
множителем отражения и скоростью выпадения осадков при условии, что
JV не меняется (или почти не меняется) от дождя к дождю и все капли од-
ного Диаметра. Однако Z - /{-соотношение ставит телегу впереди лоша-
ди, поскольку определению подлежит скорость дождя по величине множите-
ля отражения, а не наоборот. Тем не мэнее такая запись традиционна,
хотя и не вполне рациональна.
Дэ сих пор мы для простоты предполагали, что все частицы имеют
одинаковый размер. Более реально предположение, что диаметры капель
распределены в соответствии с некоторой непрерывной функцией распре-
деления V(Z)), так что множитель отражения и скорость выпадения осад-
ков имеют вид
Z=fN(D)D6dD, R = ^fN(D)V,(D)D3dD.
576
Глава 14
Стало обычаем выражать Z - /{-соотношение в виде
Z = aRb,
где а и Ь — константы. Эти константы могут оставаться постоянными
для каждого из исследователей, но между разными исследователями
здесь согласия нет: опубликованные пары значений а и Ь заметно отли-
чаются. Так, в работе [ 482] перечислено восемь различных Z — /{-соот-
ношений и добавлено еще одно собственное; в работе [37]перечислено
70 разных Z -/{-соотношений. Каждый год дает новый сбор урожая -
и конца этому не видно.
Непрерывные изменения вот уже в течение 40 лет Z - /{-соотношений
естественно подводят к вопросу: а насколько хороши эти соотношения для
определения скорости выпадения осадков? В работе [ 482] (1953 г.) дела-
ется вывод, что "радиолокационные измерения могут дать лишь некото-
рое приближенное значение скорости выпадения осадков; значение, по-
лученное с использованием радиолокаторов, может вдвое отличаться от
истинного в ту или другую сторону, и эта случайная ошибка не зависит
от приборов или принятой методики измерения". Помня об этом, мы бо-
лее трезво оценим наиболее свежие высказывания о Z - /{-соотношениях
из обзорной статьи [ 509]: "При разумной затрате усилий результаты ра-
диолокационных измерений ... должны отличаться не более чем вдвое от
истинной скорости дождя в течение примерно 75% времени". Дру-
гими словами, за четверть столетия не удалось достигнуть сколь-нибудь
существенных успехов. Нельзя думать, что это связано с невозможнос-
тью преодоления фундаментальных ограничений природы: просто для
радиолокационного определения скорости дождя требуются два не-
зависимых измерения, и никакие манипуляции со статистикой не смо-
гут этого изменить.
В предыдущих абзацах мы предполагали, что дождевые капли сфе-
ричны, хотя в общем случае такая форма для них не обязательна. Не
похожи они и на капли слез, несмотря на распространенную среди ху-
дожников привычку рисовать их именно так. Их истинная форма может
быть очень сложной; более того, они находятся в колебательном дви-
жении, так что задание какой-то одной формы для дождевой капли яв-
ляется в некоторой степени идеализацией. Достаточно многие капли
приближенно сфероидальны (сплюснуты): они сплющиваются в направле-
нии падения. Силы, меняющие форму капель дождя, обсуждались в ра-
боте [ 325]. Более поздние трактовки формы водяных капель имеются
в работах [ 197, 378]. В последней работе приведена кривая (рис. 3), по-
Некоторые приложения
577
называющая, что степень деформации капли растет с ее размером. Но
растет также и ее установившаяся скорость, а это в свою очередь оз-
начает, что деформация капли зависит от ее скорости.
Радиолокационное сечение обратного рассеяния на шарах не зави-
сит от состояния поляризации пучка. Но для обратного рассеяния на
сфероидах (исключая облучение вдоль их осей симметрии) это уже не
так, что и явилось физической основой метода, предложенного в рабо-
те [ 426] для улучшения измерений скорости выпадения дождя путем
измерения двух радиолокационных факторов отражения, обозначен-
ных через ZH (для горизонтальной поляризации) и через Zy (для вер-
тикальной поляризации), для ортогонально поляризованных пучков. От-
ношение количеств (однократно) рассеянного излучения для разных сос-
тояний поляризации падающего пучка не зависит от числа частиц. Как
следствие дифференциальная отражательная способность ZDR, опре-
деляемая формулой
Zo
ZDR= "
зависит только от среднего размера капель; конечно, ZDR обращает-
ся в нуль для шаров. Зная этот средний размер и одну из величин Z^
или Z у , можно определить число частиц. Таким образом, из этих двух
измерений факторов эффективности в принципе можно найти две вели-
чины, определяющие скорость выпадения дождя: число и размер частиц.
Первые проверки этого метода были обнадеживающими. На основе
сравнения скорости выпадения дождя, измеренных с помощью диффе-
ренциальной отражательной способности и с помощью дождемеров (плю-
виометров), в работе [ 427] был сделан вывод, что "эти первые измере-
ния дождя по методике оценки ZDR подтверждают теоретические пред-
сказания... что радиолокационные измерения скорости выпадения дож-
дя можно проводить с хорошей точностью". Таким образом, теперь появ-
ляется возможность точных радиолокационных измерений количества
дождя — при условии, что измерения проводятся с двумя ортогонально
поляризованными пучками. Этот пример иллюстрирует лейтмотив данной
книги: поляризация рассеянного излучения несет информацию, которой
можно найти хорошее применение.
14.5. МЕЖЗВЕЗДНАЯ ПЫЛЬ
На изучение межзвездной пыли, т.е. малых частиц, разреженно
заполняющих межзвездное пространство, было затрачено столько же,
если не больше, усилий, сколько уделялось изучению любых земных
частиц как' в лабораториях, так и в естественных условиях. Серьез-
578
Глава 14
ные научные исследования межзвездной пыли проводились уже с на-
чала нашего столетия, причем, согласно одной из последних обзорных
статей [418], каждый год публикуется около 300 научных работ,
так или иначе связанных с межзвездной пылью. Среди других об-
зорных работ по этому вопросу, в которых можно найти обширную биб-
лиографию, отметим работы [ 1, 235, 506]; хорошее изложение дано
также в монографии [ 305].
У истоков развития многих областей физики стоит астрономия. При-
меры тому можно найти в атомной спектроскопии, в .физике высоких
энергий и в теории относительности. По-видимому, даже для изучения
малых частиц "космическая лаборатория" обладает определенными пре-
имуществами по сравнению с наземными. В разд. 12.2 мы отмечали, на-
сколько трудно бывает создать субмикронные частицы и не дать им слип-
нуться; к тому же при исследовании поглощения и рассеяния на этих час-
тицах часто может возникать необходимость работать в условиях глубо-
кого вакуума. Между тем все эти требования прекрасно выполняются
для межзвездной пыли, которая тщательно исследовалась астрономами
на длинах волн от инфракрасных до ультрафиолетовых и даже до рентге-
новского диапазона.
По некоторым следствиям наличие межзвездной пыли может быть
обнаружено невооруженным глазом. В условиях хорошей видимости в об-
ласти Млечного Пути можно разглядеть темные пятна. Эти темные об-
ласти, как мы теперь знаем, связаны не с нерегулярным распределени-
ем звезд в нашей галактике, а, скорее всего, объясняются очень силь-
ным ослаблением света звезд в нерегулярных облаках малых частиц —
в межзвездной пыли.
Астрономы различают несколько разных типов такой пыли. Обычно
межзвездная пыль присутствует в виде сильно разнесенных диффузных
облаков. Но имеются и плотные области газа и пыли, в которые могут
проникать небольшие количества ультрафиолетового излучения, создавая тем
самым условия, благоприятные для образования сложных молекул; такие облас-
ти называют молекулярными облаками. Облака частиц, выбрасываемых
остывающими звездами в окружающее пространство, называют звездны-
ми оболочками. Другие области межзвездной пыли найдены вокруг но-
вых звезд, планетных туманностей и в диффузных туманностях.
Если всю материю нашей Галактики, которая примерно поровну де-
лится между звездами и межзвездным пространством, распределить од-
нородно, то средняя плотность ее будет составлять примерно 6,10-24г/см3.
Твердая компонента межзвездной среды составляет примерно 5% от ее
массы. Но несмотря на низкую плотность - порядка 1,5- 10~26г/см3, -
межзвездная пыль заметно влияет на распределение электромагнитно-
го излучения в нашей Галактике.
Некоторые приложения
579
14.5.1. Экстинкция
Эффективность ослабления звездного света межзвездной пылью ил-
люстрируется следующим примером. Если столб пыли длиной в килопарсек
(3,3*103 световых лет) спрессовать в однородное твердое тело с плот-
ностью 2 г/см3, то толщина этого столба будет примерно 0,2 мкм. Но даже
столь малое количество пыли пропускает всего лишь около 6% падающе-
го на нее видимого света.
На изучение спектральной зависимости межзвездной экстинкции бы-
ло затрачено очень много усилий. В отличие от лабораторных образцов
межзвездное пространство нельзя произвольно помещать и убирать с
пути светового пучка, поэтому астрономам остается надеяться на на-
хождение различных, но аналогичных источников света. Ими являются
пары звезд сходного спектрального типа (об этом можно судить по их
спектрам излучения), но подобранные так, чтобы между наблюдателем
и одной из них межзвездной пыли было много, а для другого - мало.
Сравнение света,, приходящего от покрасневшей звезда (/) (это назва-
ние связано с избирательным ослаблением света больших длин волн
из-за экстинкции), со светом от непокрасневшей звезды (IQ) позволяет
определить оптическую плотность.
Средний спектр межзвездной экстинкции, который может и не быть
характерным для конкретных областей Галактики, приведенный к
трассе в 1 килопарсек, показан на рис. 14.4.
Экстинкция видимого света нарастает почти линейно с увеличением
энергии фотона (с уменьшением длины волны), т.е. межзвездная пыль,
как и молекулы, и частицы атмосферы Земли, вызывает покраснение
звездного света из-за экстинкции. Хотя отсюда почти ничего нельзя ска-
зать о составе межзвездной пыли, это должно означать, что в своем
большинстве частицы, ответственные за межзвездную экстинкцию, 'Ма-
лы по сравнению с длинами волн видимого света. Другими характерны-
ми чертами спектра экстинкции являются заметный широкий максимум
вблизи 5,7 эВ (2170 X) — его называют полосой на 2200 А, —пройдя че-
рез который экстинкция продолжает увеличиваться, и менее заметный
выступ на кривой вблизи 2,8 эВ (4500 А).
В большинстве объяснений кривой межзвездной экстинкции, кото-
рые основаны на расчетах для сферических частиц (напр., [ 311]), исполь-
зуется предположение о наличии в пыли нескольких компонент: некото-
рого вещества, дающего полосу при 2200 А; очень малых частиц, при-
водящих к возрастанию кривой в области ультрафиолета, и крупномас-
штабной компоненты, с которой связывают покг''"чение видимого света.
580
Глава 14
То, что для увеличения экстинкции в ультрафиолетовом диапазоне нужны
очень малые шары, видно из рис. 4.6 и 11.2. Частицы, размеры которых
соответствуют наблюдаемому покраснению видимого света в межзвезд-
ной среде, будут, вообще говоря, давать на гораздо более коротких дли-
нах волн почти постоянную ЭКСТИНКЦИЮ; поэтому для того, чтобы экстинк-
ция продолжала возрастать и на этих длинах волн, требуется наличие
очень малых частиц. Но имеются лабораторные измерения на графито-
вых частицах, которые наводят на мысль, что компонента из очень мел-
ких частиц не является необходимой [121].
На плавно меняющуюся кривую межзвездной экстинкции налагается
ряд из 39 или0более узких полос экстинкции шириной от нескольких до
примерно 30 А [ 222, 436]. Хотя об этих Полосах известно многое - их
положение, форма и относительная интенсивность, — ни одна из них не
была удовлетворительно объяснена. Из-за большой ширины по сравнению с по-
лосами атомарного и молекулярного поглощения астрономы называют их диф-
фузными полосами, хотя они и очень узки по сравнению с полосами поглоще-
Некоторые приложения
581
ния в твердых телах. Наиболее сильная полоса вблизи 4430 А была открыта
между 1910 и 1920 гг., а в 1930 г. было обнаружено ее межзвездное про-
исхождение. С тех пор список полос непрерывно продолжал расти, спек-
троскопическая информация становилась все более точной, но это так
и не привело к существенному прогрессу в отношении объяснения проис*
хождения этих полос. В настоящее время загадка диффузных полос вне
всякого сомнения является одной из самых знаменитых нерешенных за-
дач спектроскопической астрономии и на равных конкурирует с рядом
наиболее старых нерешенных задач последних двух столетий. Реше-
ние этой загадки, вероятно, поможет более точно установить природу
межзвездной среды и сможет дать в руки астрономов новый и очень
важный "исследовательский зонд".
К числу более поздних открытий относятся широкие полосы несиль-
ной экстинкции с характерной шириной около 500 — 1000 А, расположен-
ные примерно между 3400 и П000 А (ал. краткий обзор в работе [ 235]). Эта
очень широкая структура (ОШС) слишком широка и мала, чтобы ее мож-
но было заметить на рис. 14.4. Отсутствие корреляции между диффуз-
ными полосами и ОШС наводит на мысль об их независимом происхож-
дении.
14.5.2. Полоса при 2200 А
Очевидно, что наиболее сильной особенностью в области ультрафиолета яв-
ляется заметный максимум вблизи 2200 А. Эта сильная и устойчивая
особенность увеличивает число возможных гипотез о составе межзвезд-
ной пыли по сравнению с тем, которое было бы, если бы было известно
только о покраснении видимого света. Наиболее широко распространен-
ная интерпретация этой особенности состоит в том, что ее объясняют
экстинкцией в мелких графитовых частицах, в которых, как указано в
работе [ 183, 184], частота поверхностного плазмона приходится на об-
ласть ультрафиолета. Как расчеты по теории Ми с использованием оп-
тических постоянных объемного графита, так и лабораторные измере-
ния в работах [ 121, 445] продемонстрировали для малых графитовых
частиц наличие максимума, отвечающего поверхностному плазмону, но
ни теория, ни эксперимент полностью не согласуются с точной формой
и положением особенностей межзвездной экстинкции. По аналогии с
Другими коллективными колебаниями, подробно рассмотренным в гл. 12,
можно было бы ожидать, что особенность для графита должна сильно
зависеть от формы частиц. Но экстинкция в малых графитовых части-
цах не так чувствительна к их форме, как в случае малых металличес-
ких частиц (со свободными электронами). В разд. 12.4 мы показали,
582
Глава 14
что максимум, связанный с поверхностным плазмоном, для частил алюминия
может находиться в любой точке ниже плазменной частоты, лежащей в области
ультрафиолета, поскольку в этой спектральной области е для алюми-
ния отрицательно. Но для графита диапазон 4-7 эВ, где одно из глав-
ных значений тензора диэлектрической проницаемости отрицательно, от-
носительно узок. Поэтому форма частиц может играть заметную роль
лишь в пределах весьма ограниченного по ширине спектрального диапазона.
Отклонения от сферичности могут несколько сдвинуть и уширить характерные
для шара особенности, но не могут их полностью стереть. В этом отношении
особенности экстинкции малых графитовых частиц, хотя они и обуслов-
лены коллективными колебаниями электронов (поверхностный плазмон),
сильнее напоминают коллективные колебания решетки (поверхностный
фонон) Диэлектрических частиц, состоящих, например, из кварца, кар-
бида кремния и MgO, для которых область отрицательных значений t
относительно узка (см. гл. 12).
Имеются несколько возможных причин, по которым и результаты
расчетов, и результаты измерений экстинкции в графитовых частицах
не во всех деталях согласуются с наблюдаемыми полосами экстинкции
межзвездной среды. Для расчетов необходимо точное знание обоих на-
боров оптических постоянных графита, который сильно анизотропен. Но
результаты разных измерений оптических постоянных очень сильно раз-
личаются друг от /фуга, особенно в очень сложном с точки зрения экспери-
мента случае, когда электрическое поле параллельно оптической оси.
Более того, оптические постоянные графита зависят от степени его
кристалличности. Все эти факторы рассмотрены в обзоре [235]. Одна-
ко, даже если знать точные значения оптических постоянных, справед-
ливость схемы расчета экстинкции анизотропными сферическими час-
тицами (см. разд. 8.2) вне рэлеевского предела остается неопределен-
ной. Из-за того же, что графит анизотропен, частицы из него, по-види-
мому, несферичны, а несфэричность трудно описывать вне рэлеевского
предела. По этим причинам несоответствие наблюдаемой полосы при
2200 к расчетам и измерениям вряд ли можно считать очень удивитель-
ным. Предлагались, конечно, и другие объяснения; они рассматривают-
ся в статьях, Цитированных в первом абзаце данного раздела.
14.5.3 Полосы поглощения в инфракрасной области
С увеличением длины волны в инфракрасном диапазоне становится
все труднее наблюдать особенности межзвездной экстинкции, что свя-
зано с уменьшением сечения экстинкции и вызывает необходимость при-
влекать чрезвычайно длинные трассы; при этом измерения проводятся
Некоторые приложения
583
на фоне излучения нагретой пыли вблизи звезды, которое заполняет по-
лосы поглощения и усложняет интерпретацию. Одним из лучших мест,
где можно искать полосы инфракрасного поглощения - а поглощение яв-
ляется почти синонимом экстинкции для длин волн инфракрасного диа-
пазона, если частицы достаточно малы, скажем 0,1 мкм, — является на-
правление на центр Галактики: более высокая концентрация звезд вблизи
Центра Галактики и большая протяженность трасс благоприятствуют ре-
гистрации более слабых полос поглощения. В спектре интенсивности при-
нятого в направлении галактического центра излучения хорошо заметна
полоса поглощения при 9,7 мкм (см. рис. 3 в работе[517], который вос-
произведен как рис. 12 в работе [ 235]). Эта полоса, хотя обычно ее и труд-
но наблюдать в межзвездной экстинкции, была обнаружена как дополни-
тельный горб в спектре излучения различных астрономических источников, сре-
ди которых звездные оболочки, диффузные туманности и хвосты комет.
Вскоре после своего открытия широкая и плавная полоса при 9,7 мкм
была связана с колебательными модами растяжений группы Si —О в си-
ликатах типа оливина (Mg, Fe )2 Si04. Но после того как были измерены
оптические постоянные оливина и на их основе выполнены расчеты экстинкции,
стало ясно, что в отличие от наблюдаемых плавных полос здесь должны бы-
ли бы присутствовать резкие особенности даже при учете распределения
частиц по размерам и формам: имеются несколько областей, где е ' от-
рицательно, но они достаточно изолированы друг от друга, чтобы влияние
формы не привело к заметному перекрытию соответствующих полос. Пред-
положение, что нарушение порядка кристаллической решетки должно уши-
рять такие полосы, было подтверждено измерениями оптических посто-
янных силикатов с сильными нарушениями кристаллической структуры, а
также расчетами и измерениями экситинкции для малых частиц [ 119,277].
Эти работы показали, что сильно разупорядоченные силикаты позволяют
довольно хорошо описать плавную полосу межзвездной экстинкции при
9,7 мкм. Полосы поглощения в силикатах с нарушениями упорядоченнос-
ти слабы по сравнению с полосами ионных твердых веществ, так что эф-
фекты формы частиц типа тех, доминирующее влияние которых на спект-
ры обсуждалось в разд. 12.3, не очень важны.
Хотя полосу при 9,7 мкм и трудно наблюдать в типичных межзвезд-
ных областях, она была обнаружена в спектрах астрономических объек-
тов, погруженных в плотные молекулярные облака. В таких об-
лаках обнаруживается также и полоса поглощения при 3,07 мкм, которая
обычно приписывается льду как из воды, так и из аммиака. Для водяно-
го льда эта полоса соответствует моде растяжений группы О—Н (см.
разд. 10.3). Воду раньше иногда рассматривали как одну из основных ком-
584
Глава 14
понент межзвездной пыли, но неудача попыток обнаружить сильную по-
лосу льда при 3,1 мкм несколько ослабила веру в эту возможность. От-
ношение интенсивностей полос при 3,07 и 9,7 мкм в молекулярных обла-
ках меняется в широких пределах, и это наводит на мысль, что эти по-
лосы обусловлены наличием разных веществ. Возможно, что в наиболее
глубоких областях молекулярных облаков силикатные ядра покрывают-
ся оболочкой изо льда. Для расчета экстинкции на таких частицах в обо-
лочке (в предположении, что они сферичны) нужно использовать теорию
из разд. 8.1 и приложение Б; примеры расчетов такого рода имеются в
работе [ 2].
14.5.4 Спектры излучения звездных оболочек
Звезды, прошедшие дальше по своему жизненному циклу, часто хо-
лоднее более молодых звезд и имеют более красный цвет. Часто такие
холодные звезды окружены оболочками пыли, образовавшейся из выбро-
сов этих звезд. Такие пылевые оболочки, нагретые звездами, сильно
излучают в инфракрасном диапазоне со спектром, характерным для по-
глощения в пыли: излучательная способность малой частицы равна фак-
тору эффективности поглощения в ней (см. разд. 4.7). Прекрасный об-
зор по пыли звездных оболочек дан в [ 343].
Для состава конденсата критичным является соотношение между
углеродом и кислородом в звезде. Если преобладает углерод (С/О > 1),
то кислород связывается с углеродом в газообразные соединения, а из-
быток углерода соединяется с другими элементами, образуя твердые
вещества. Вероятно, продуктами конденсации для таких углеродных
звезд являются SiC и твердый углерод, видимо, в форме графита, аморф-
ного углерода или некоторых промежуточных модификаций. Если звезда
богата кислородом (С/О < 1), то конденсация обусловливается в основ-
ном избыточным кислородом, остающимся после того, как весь углерод
прореагирует с ним, что наводит на мысль о возможности возникновения
твердых веществ типа окислов, включая и силикаты.
На рис. 14.5 показаны два спектра излучения звездных оболочек:
для кислородной звезды - в нижней, а для углеродной звезды - в верх-
ней части рисунка.
Над фоновым излучением, которое предполагается отвечающим чер-
ному телу с температурой 3000°К, для кислородной звезды возвышается
широкая особенность при 9,7 мкм. Между примерно 15 и 20 мкм виден гораздо
меньший пик избыточного излучения. Для сравнения показан спектр по-
глощения частиц дыма аморфного оливина [277].
I
Длина волны, мкм
РИС. 14.5. Спектры излучения пылевых оболочек углеродной звезды (вверху) и кислородной звезды
(внизу). Из работы [474].
586
Глава 14
Пыль вокруг углеродной звезды обладает максимумом избыточно-
го излучения между примерно 10,2 и 11,6 мкм, который четко отличает-
ся по форме и положению от максимума при 9,7 мкм для кислородной
звезды, и был приписан малым частицам SiC. Однако эти частицы не
могут быть сферическими. В соответствии с обсуждением (разд. 12.2)
эффекты формы уширяют полосу поглощения в малых частицах из мате-
риалов типа SiC между частотами поперечной (cot) и продольной (сог)
оптических мод; эти частоты для SiC показаны на рисунке. Эти резуль-
таты были получены в работе [474] с использованием неопубликован-
ных расчетов Гилра. В качестве дальнейшей иллюстрации можно рассмот-
реть показанные на рис. 12.15 результаты расчетов для случайного рас-
пределения рэлеевских эллипсоидов. Сферические частицы очень плохо
описывают особенности поглощения в звездной оболочке, тогда как ши-
рокое распределение по формам описывает их достаточно хорошо. Это
говорит о том, что иногда из спектров излучения удаленных частиц мож-
но получать информацию даже об их форме.
14.&5. Линейная поляризация
Межзвездная пыль не только поглощает, но и частично поляризу-
ет проходящий через нее свет, что дает новые ограничения на разме-
ры и состав частиц. Почти наверняка поляризация вызывается асим-
метричными частицами, ориентированными в галактическом магнитном
поле, хотя точный механизм ориентации частиц пока неопределен [ 1].
Степень линейной поляризации по порядку величины составляет 10% и
максимальна на длинах волн между 0,4 и 0,8 мкм. Хотя как максималь-
ная степень поляризации Р^, так и соответствующая ей длина волны
Атах меняются от звезды к звезде, нормированная поляризация Р/Ртах
ложится на одну кривую (рис. 14.6), если ее изобразить как функцию от
нормированной длины волны X тах/А [ ИЗ]. Согласно [304], такое мас-
штабное соотношение означает, что оптические постоянные частиц вбли-
зи видимого диапазона длин волн меняются не очень значительно. Это
является свидетельством отсутствия графита и говорит в пользу таких
диэлектрических твердых веществ, как силикаты, льды, SiC и т.п. Здесь
не видно0 особенности поляризации, связанной с полосой экстинкции вбли-
зи 2200 А, которая обычно приписывается графиту [ 173]; это указывает
на то, что частицы, ответственные за эту полосу, не являются ориенти-
рованными.
Неполяризованный падающий свет частично поляризуется, пройдя
слой с частицами, если сечение экстинкции зависит от поляризации; сте-
пень линейной поляризации пропорциональна разности между сечениями
Некоторые приложения
587
для света, поляризованного в двух ортогональных направлениях. Приме-
рами таких частиц являются ориентированные цилиндры (рис. 8.7) и ори-
ентированные сфероиды (рис. 11.16). Как видно на рис. 11.16, разность
между этими двумя сечениями для сплюснутого сфероида (§ = 30°) наи-
более велика на плавно растущей части кривой экстинкции. В случае
частиц заданного размера степень поляризации минимальна при наимень-
ших значениях параметра дифракции (при больших длинах волн), нараста-
ет до максимума с уменьшением длины волны, а затем уменьшается, и
при дальнейшем уменьшении длины волны меняет знак. Если размер час-
тиц увеличивается, то максимум поляризации сдвигается в сторону мень-
ших длин волн; если же он уменьшается, то максимум сдвигается в сто-
рону более коротких длин волн. Хотя длина волны, на которой поляриза-
ция максимальна, зависит от размера частиц, степень поляризации за-
висит только от отношения размера к длине волны — при условии, что
оптические постоянные в расматриваемом диапазоне меняются очень сла-
бо. Эго помогает объяснить рис. 14.6.
14.5.6. Круговая поляризация
В последние годы отмечались небольшие степени круговой поляри-
зации (V/1) света звезд, обычно меньше 1%; метод модуляции поляриза-
ции, служащий для наблюдения такой поляризации, обсуждался в разд. 13.7.
Имеется по крайней мере два механизма возникновения круговой поляри-
зации звездного света.
Облако межзвездной пыли, содержащее ориентированные частицы,
можно рассматривать как среду с линейным двойным лучепреломлени-
ем (и возможно с линейным дихроизмом) ([486], стр. 58): облако дей-
ствует подобно элементу задержки. В конце разд. 2.11 мы показали,
что при прохождении элемента задержки линейно поляризованный свет
приобретает круговую поляризацию. Первое четкое свидетельство в
пользу такого механизма поляризации было получено в работе [ 303], где
источником линейно поляризованного падающего света служила Крабо-
видная туманность.
Находящиеся в межзвездном пространстве группы частиц (зерна)
также могут приводить к круговой поляризации неполяризованного па-
дающего света. После прохождения облака из ориентированных зерен па-
дающий свет приобретает частичную линейную поляризацию. Если затем
такой линейно поляризованный свет падает на другое облако с ориенти-
рованными зернами, в котором ось ориентации зерен повернута относи-
тельно оси ориентации первого облака, то прошедший свет приобретет
588
Глава 14
РИС. 1 4j6. Наблюдаемая линейная поляризация света различных звезд;
— длина волны; отвечающая максимуму поляризации Ртя-.о Из работы
* 1Я1<сыъ* шслл
[113].
частичную круговую поляризацию. Это простейший пример, связанный с
изменением ориентации зерен вдоль линии визирования, которое являет-
ся механизмом круговой поляризации, подробно рассмотренным в [304].
Можно ожидать, что этот механизм более или менее распространен, так
что он является общепринятым для объяснения слабой круговой поляри-
зации, наблюдаемой в свете некоторых звезд.
14.5.7. Рассеяние межзвездной пылью
Свет, рассеянный межзвездной пылью, несет информацию о зернах
частиц. Такой рассеянный свет наблюдался в виде Диффузного галакти-
ческого > света (ДГС) - слабого, но постоянно наблюдаемого сияния,
обусловленного рассеянием света звезд, а также в виде отражающих ту-
манностей, т.е. в виде света, рассеянного особенно плотными облаками
пыли вблизи ярких звезд или групп звезд. Диффузный галактический свет
очень слаб по сравнению с другими источниками свечения неба, такими
как прямой свет звезд, зодиакальный свет от межпланетной пыли в нашей
солнечной системе и атмосферное свечение воздуха. Но несмотря на это,
одновременные измерения ДГС и экстинкции дают наиболее точные зна-
чения отношения рассеяния к экстинкции - альбедо однократного рассе-
яния — для межзвездных зерен. Отражающие туманности, подобные ту-
манности вокруг звезды Меропа в Плеядах и яркой обширной об-
ласти в созвездии Ориона, гораздо ярче, чем диффузный галактический
свет. К сожалению, взаимное расположение источника света и рассеива-
Некоторые приложения
589
ющей пыли обычно известно плохо. Даже если источник излучения нахо-
дится перед облаком пыли, что является, вероятно, наилучшей конфигу-
рацией с точки зрения интерпретации наблюдений, измерения поляриза-
ции и углового распределения интенсивности трудно одновременно согла-
совать с теорией Ми. На основе этого в работе [ 526] был сделан вывод,-
что теория Ми, по-видимому, неприменима к частицам отражающих туман-
ностей. В этой связи сошлемся на обсуждение рассеяния несферическими
частицами в разд. 13.4, и в особенности на рис. 13.8 и 13.9. Вспомним,
что поляризация для несферических частиц может быть противоположна
по знаку поляризации для эквивалентных шаров из того же материала
(рис. 13.9). А расхождение между измеренным угловым распределением
рассеянного света и рассчитанным по теории Ми (рис. 13.8) имеет наи-
большую величину вблизи направлений обратного рассеяния, а это как раз
те направления света от отражающих туманностей, которые соответству-
ют указанной простейшей конфигурации.
Извлечение информации о межзвездной пыли из анализа рассеянно-
го света, в отличии от случая проходящего света, сталкивается со мно-
гими трудностями.
14.5.8. Излучение в дальнем инфракрасном диапазоне
Нетрудно показать, что излучательная способность малых сфери-
ческих частиц, состоящих как из диэлектрических, так и из металли-
ческих кристаллов, в дальнем инфракрасном диапазоне должна менять-
ся как 1/Х2. Например, если в формуле (5.11) воспользоваться для ди-
электрической проницаемости одноосцилляторной моделью Лоренца
(9.16) в пределе низких частот, то в результате получается излучатель-
ная способность
_ 48^2ас уыр ±
в ~ (е0 + 2)2 «о X2
(« с «0)>
где а — радиус шара, с — скорость света в вакууме, а е0 = е'(0). По-
этому в данном случае излучательная способность меняется по закону
1/Х2 на частотах, гораздо меньших <а0. Аналогично, для малого метал-
лического шара с диэлектрической проницаемостью Друде (9.27) имеем
48ir2acy 1
w2 X2
Здесь тоже излучательная способность меняется как 1/Х2 в дальнем ин-
фракрасном диапазоне. Но множество экспериментальных наблюдений
(w « у).
590
Глава 14
излучательной способности межзвездной пыли наводит на мысль, что
зависимость ее от длины волны ближе к 1/Х, чем 1/А2 [ 425]. Это может
быть связано с невыполнением условий, лежащих в основе зависимости
1/Х2» которые заключаются в том, что частицы должны быть сферичес-
кими и состоять из кристаллического вещества. Для твердого диэлек-
трика предполагалось, что все полосы поглощения лежат выше инфракрасного
диапазона. Но допустимые оптические переходы в твердом аморфном диэлек-
трике не обязательно проявляются в виде полос; такие переходы могут
приводить к возникновению непрерывного поглощения, занимающего всю
область низких частот. Характеристики аморфных зерен как излучателей
в инфракрасном диапазоне обсуждались в [ 425], где тоже обращено вни-
мание на зависимость вида 1/Х2, рассмотренную в предыдущем абзаце.
Измерения поглощения малыми частицами из аморфных силикатов [ 120]
и аморфного графита [ 274] в дальнем инфракрасном диапазоне факти-
чески показали, что эффективность поглощения приближенно меняется
как 1/А.
Форма частиц может сильно влиять на спектр излучения металличес-
ких частиц , для которых область отрицательных е " велика; графит так-
же попадает в эту категорию. Это ясно из результатов измерения по-
глощения малыми алюминиевыми частицами (рис. 12.20), которые мы
анализировали с использованием распределения эллипсоидальных форм.
Заметим, что зависимость поглощения в шарах от длины волны может
сильно отличаться от этой зависимости для скопления частиц разного
размера.
Из этих соображений мы заключаем, что отсутствие в дальнем ин-
фракрасном диапазоне предсказанной для малых кристаллических шаров
зависимости вида 1/Х2 для спектра излучения межзвездной пыли, воз-
м ожно, является результатом их некристалличности, несферичности или
того и другого одновременно. Поэтому инфракрасный спектр излучения
может и не оказаться тем однозначным средством диагностики межзвезд-
ных частиц, каким его считали.
14.5.9. Сводка результатов наблюдений и их интерпретаций
В табл. 14.2 мы привели наблюдаемые явления в межзвездной пы-
ли, а также некоторые из наиболее обычных их интерпретаций.
Конечно, понятие "обычной" интерпретации относительно и данная
таблица, естественно, отвечает цашему мнению. Во многих работах по
межзвездной пыли имеются другие интерпретации; их можно найти в
обзорных статьях, упоминавшихся в начале данного раздела.
Некоторые приложения
591
Т абпица 14.2
Сводка явлений, наблюдающихся в межзвездной пыли
Явление
Интерпретация
Покраснение видимого света
Заметный максимум экстинкции
при 2170 А (5,7 эВ)
Продолжение роста экстинкции
по крайней мере до 12 эВ
Перегиб кривой экстинкции
вблизи 3 эВ
Множество узких полос
(диффузные полосы) в ви-
димом диапазоне
Полосы поглощения и излуче-
ния при 9,7 и 18 мкм
Полоса излучения вблизи 11 мкм,
связанная с углеродными
звездами
Линейная поляризация с макси-
мумами в аидимом диапазоне
Круговая поляризация
Полоса поглощения при 3,07 мкм
Излучательная способность а
дальнем инфракрасном диа-
пазоне спадает как 1 /А
Частицы меньше А
Поверхностный плазмон в графите
Экстинкция в компоненте с малы-
ми размерами
Рассеяние на компоненте с боль-
шими размерами
Интерпретация неопределенна
Колебательные моды в неупоря-
доченных зернах из сили-
катных компонент
'Уширенные из-за эффектов фор-
мы колебательные моды в
SiC
Асимметричные частицы, ориен-
тированные галактическими
магнитными полями
Изменение ориентации зерен —
ориентированные зерна дей-
ствуют подобно элементу
задержки
Частицы в глубинных областях
с ледяными оболочками из
Н2О и NH3
Аморфные силикаты или углерод:
возможное влияние формы
частиц
592
Глава 14
14.6. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МАЛЫХ ЧАСТИЦ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ
ЗАВИСИМОСТИ ОПТИЧЕСКИХ СПЕКТРОВ ВЕЩЕСТВА
ОТ ДАВЛЕНИЯ
Под действием очень высоких давлений удается заметно изменять
параметры кристаллической решетки твердых тел. Разработка алмаз-
ных камер высокого давления [ 54] и появление простой методики регис-
трации давления по спектру флуоресценции помещенной в камеру тон-
кой пластинки рубина [ 156] позволили исследовать зависимость опти-
ческих характеристик твердых веществ от давления до 400 кбар и даже
выше. Но использование камер высокого давления для исследования
оптических явлений, связанных с электронными возбуждениями, столк-
нулось с рядом трудностей. Поглощение оказывается настолько силь-
ным, что для исследования прохождения нужно использовать очень тон-
кие пленки; между тем структура таких пленок часто отличается от
структуры объемных кристаллических веществ вследствие технологии
выращивания пленок на подложках. Методика зеркального отражения
также оказалась неприемлемой для находящихся под давлением образ-
цов из-за малости апертур, наличия множества отражающих поверхнос-
тей и относительно длинных оптических путей внутри камеры высокого
давления. Однако имеется возможность использовать преимущества об-
разцов, состоящих из. малых частиц - ведь легче получать мелкие крис-
таллы, чем крупные, - и изучать оптические явления путем измерения
зависимости спектра прохождения от давления.
Примером особенности спектра, которая может представлять опреде-
ленный интерес, является максимум экстинкции в MgO вблизи 7,6 эВ
(см. рис. 9.5 и 10.11). Этот максимум первоначально исследовался с по-
мощью отражения от расщепленных на пластинки кристаллов MgO. Но
тщательное изучение рис. 11.2 показывает, что появления этого макси-
мума можно ожидать также в экстинкции частиц MgO, при условии, что
они достаточно малы.
Идея использовать малые частицы для получения информации о твер-
дых веществах изучалась в работе [237], где исследовался экситон с
энергией порядка величины запрещенной зоны в ZnO при давлениях вплоть
до 107 кбар. Дым из мелких (—'0,1 мкм) кристаллических частиц из ZnO
создавался путем электродугового испарения кристаллического цинка в
воздухе; частицы затем собирались на внутренней поверхности одной из
алмазных пластинок, которые являются одновременно окнами и наковаль-
нями камеры давления. Для спектральных измерений прохождения ячейка
Некоторые приложения
593
РИС, 14.7, Спектр оптической плотности для частиц из ZnO при различных
давлениях. Из работы [237].
с образцом частиц помещалась в двухлучевой спектрофотометр; при
этом ясно обнаруживался присущий объемному веществу экситон за-
прещенной зоны (вблизи 3730 А прй нормальном давлении), характе-
ристики которого затем измерялись по мере увеличения давления до
107 кбар. Отмечено постепенное смещение центра полосы до примерно
3490 А (рис. 14.7), причем энергия экситона (положение края полосы
поглощения) росла с увеличением давления по линейному закону. Тем
не менее основная цель этого эксперимента состояла не столько в
изучении ZnO, сколько в демонстрации возможностей новой методики
исследования оптических явлений в находящихся под давлением твер-
дых телах, которая основана на использовании малых частиц.
14.7. ИММУНОЛОГИЧЕСКОЕ ПРЕДМЕТНОЕ СТЕКЛО ГИАВЕРА
Простой способ визуального изучения иммунологических реакций
был предложен Гиавером [ 180] в 1973 г. Дискретная, состоящая из ма-
лых металлических частиц (островков) пленка напылялась на предмет-
ное стекло, после чего на эту поверхность наносился монослой анти-
гена; первоначально для этой цели использовался индий, а позже -
сплав индия с золотом [ 181]. На появление реакции антиген - антитело ука-
зывает потемнение предметного стекла. Детальный механизм наблю-
даемого потемнения в упомянутых работах не обсуждался; было прос-
то указано по ходу изложения, что он является результатом увеличения рассе-
ЗЬ-205
594
Глава 14
яния. Но малые металлические частицы поглощают свет сильнее, чем
рассеивают, поэтому представляется очевидным, что наблюдаемое явле-
ние можно приписать сдвигу частоты поверхностной моды из-за образо-
вания оболочек на металлических частицах. Таким образом, иммуноло-
гическое предметное стекло Гиавера служит примером использования в
биологии и медицине поверхностных мод в малых металлических час-
тицах, которые обсуждались в гл. 12.
В работе [ 475] измерялись спектры прохождения для индиевых
пленок типа использованных в иммунологических предметных стеклах.
Расчеты по теории Ми привели автора [475] к выводу, что эта теория
не согласуется ^измерениями. В частности, из расчетов для шаров
диаметром 1390 А следует, что должна существовать особенность, ко-
торая на опыте не наблюдается. Хотя в случае шаров вдвое меньшего
размера расчеты не приводят к этой особенности, тем не менее длина
волны, на которой оптическая плотность максимальна, оказывается много
меньше, чем в эксперименте.
Между тем не удивительно, что теория Ми в этом случае непригод-
на: частицы индия не являются шарами, они больше похожи на сплюсну-
тые сфероиды со (средними) большим и малым диаметрами примерно
1390 и 368 А.
Хотя размеры частиц индия являются малыми по сравнению с дли-о
ной волны не во всех направлениях, они все же достаточно малы (368 А)
вдоль направления распространения падающей волны, чтобы с хорошей
точностью работало приближение Рэлея. Поэтому ненаблюдаемый расчет-
ный максимум для шаров диаметром 1390 А легко объяснить: такие ша-
ры для частот видимого и ультрафиолетового диапазонов достаточно
велики, чтобы в них возбуждались моды высших порядков; это было
показано на рис. 12.1 на основе расчетов для частиц SiC последователь-
но увеличивающегося размера. Несоответствие между измеренными час-
тотами максимума экстинкции и расчетами для шаров размером 700 А
также легко объяснимо: эта частота зависит от формы частиц и в зави-
симости от нее может принимать какие угодно значения в интервале от
плазменной частоты (обычно лежащей в области ультрафиолета) до
радиочастот.
Интерпретация наблюдаемого спектра прохождения для .иммуноло-
гических предметных стекол осложняется малым расстоянием между
частицами индия; так, например, в [ 475] говорилось о покрытии части-
цами 68% площади. К тому же частицы, даже если они без оболочки,
нельзя считать погруженными в однородную среду: с одной' сторо-
ны они соприкасаются с воздухом, а с другой - со стеклом. И хотя
Некоторые приложения
595
частицы скорее всего не сферичны, они не тождественны и сплюснутым
сфероидам: имеется разнообразие форм. Но в данной книге мы приняли
точку зрения, что понимание эффектов, связанных с малыми частицами,
начинается с модели одиночного шара без оболочки. От каждого из этих
ограничений можно последовательно отказаться, чтобы оценить их отно-
сительную важность для определения особенностей спектров.
Индий является металлом, свойства которого почти полностью опи-
сываются свободными электронами с плазменной частотой примерно
11,5 эВ, что соответствует длине волны А^ЮвО А [276]. Из 12.28 сле-
дует, что длина волны Xs, на которой максимально поглощение малыми
сплюснутыми металлическими сфероидами, облучаемыми светом вдоль
одной из их осей симметрии, приближенно равна
1)
V
(14.6)
где ет-диэлектрическая проницаемость окружающей среды; геометри-
ческий фактор L .может принимать все значения между 0 (для дисков)
и 1/3 (для шара). Поскольку частицы находятся на предметном стекле,
примем равной 1,625, т.е. среднему значению проницаемости стек-
ла 2,25 и воздуха. Поэтому для шара Xs = Xf (длина волны, соответст-
вующая частоте Фрёлиха) есть примерно 2230 А, что близко к значению
2500 А, полученному в [475] расчетом для шаров размером 700 А.
По мере сплющивания шара в диск положение максимума поглощения
сдвигается в сторону больших длин волн. Например, если с/а = 368/1390,
то из рис. 5.6 следует, что фактор равен примерно 0,19, а из рис. 14.6-
что Xs = 3040 А. Эго заметный сдвиг - свыше 800 А,-но все еще малый,
чтобы получить измеренное значение 4100 А. Однако при нашем анализе
неявно подразумевалось, что шары изолированы друг от друга, а это ус-
ловие в эксперименте не выполнялось.
Мы можем оценить величину сдвига, связанного с взаимодействием
между частицами, обратившись к теории Максвелла Гарнетта (разд. 8.5).
Эта теория строго применима только к среде, состоящей из распределен-
ных по объему малых частиц, тогда как здесь мы имеем один слой час-
тиц на поверхности предметного стекла. Тем не менее для теперешних
наших ограниченных целей теория Максвелла Гарнетта вполне доста-
точна.
Из (8.47) следует, что эффективная диэлектрическая проницаемость
взвеси одинаковых сплюснутых сфероидов равна
= (1 + =
1-/ + А! ’ 1 em + L,(e-eM)’
(14-7)
596
Глава 14
где электрическое поле считается параллельным большой оси. Если (14.7)
разложить До членов, линейных по объемной доли частиц f, то длина вол-
ны, на которой e''v максимально, будет даваться выражением (14.6), что
вполне естественно. Но если разложение e"v оборвать на квадратичных
членах по /, то длина волны максимума поглощения будет даваться вы-
ражением
Таким образом, влияние уменьшения разнесения частиц состоит в сдви-
ге максимума поглощения в сторону больших длин волн, что согласует-
ся с экспериментальными наблюдениями.
Спектр поглощения отдельного шара из индия отличается от спектра
поглощения плотно упакованных сплюснутых сфероидов тем, что макси-
мум сдвигается от 2230 А в 4100 А; примерно половина этого сдвига
приписывается влиянию формы частиц, а вторая половина - их взаимо-
действию. Однако частицы индия на иммунологических предметных стек-
лах не одинаковы, а распределены по размерам и форме вблизи некото-
рого среднего; это приводит к уширению спектра.
Наблюдаемое потемнение стекол с частицами индия обусловлено
сдвигом максимума поглощения из-за образования у частиц оболочек.
Вследствие громоздкости выражений для эллипсоидов в оболочках (разд. 5.4)
в этом сдвиге легче разобраться исходя из условия возбуждения поверх-
ностных мод в шаре с оболочкой (12.15). Для малого металлического ша-
ра с диэлектрической проницаемостью Друде (9.26), находящегося в обо-
лочке из непоглощающего вещества с диэлектрической проницаемостью
е2 , длина волны для максимума поглощения приближенно равна
где отброшены члены высших порядков малости, меньшие чем 6-отноше-
ние толщины оболочки к радиусу шара. Отсюда следует, что если боль-
ше, чем то влияние оболочки приводит к сдвигу положения максиму-
ма поглощения в сторону больших длин волн, что также согласуется с
наблюдениями. Более того, по крайней мере с точностью до членов пер-
вого порядка, этот сдвиг пропорционален толщине оболочки и растет с
увеличением е2.
Наше утверждение, что потемнение иммунологических покровных
стекол, наблюдаемое в прошедшем свете, происходит главным образом
из-за поглощения, а не из-за рассеяния, можно подтвердить простым рас-
Некоторые приложения
597
четом. Сечения поглощения и рассеяния на одиночном сплюснутом сфе-
роиде без оболочки, освещаемом вдоль его оси симметрии, равны
(см. разд. 5.5)
к4
= klm(a|); lai I >
at = 4ira2c---- :т-------г
3«m + 3il(£ - £m)
Если мы используем значения е' и е", измеренные в работе [276], то
при Lj = 0,19, а = 695 и с = 184 А отношение максимума поглощения
к максимуму рассеяния приближенно будет равно
~ = 6 (Х = ЗОООА).
''sea
Поэтому в данном случае экстинкция в основном определяется погло-
щением.
На первый взгляд биология является областью, мало подходящей
для приложений поверхностных мод в малых металлических частицах.
Помимо всего прочего, оптические свойства частиц биологического про-
исхождения очень мало напоминают оптические свойства металлических
частиц. Однако иммунологическое предметное стекло Гиавера является
как раз примером такого приложения к биологии. Более того, в этом
примере проявляется большинство наиболее важных особенностей по-
верхностных мод, которые обсуждались в гл. 12: их сильная зависимость
от формы частицы, от наличия оболочки и свойств окружающей среды.
14.8. ПОГЛОЩЕНИЕ СВЧ-ИЗЛУЧЕНИЯ МАКРОМОЛЕКУЛАМИ
Довольно устрашающим примером биологического воздействия СВЧ-
излучения является рассказ, возможно и недостоверный, о женщине, ко-
торая посадила свою кошку в СВЧ-печь, чтобы подсушить ее после дождя.
Кошка взорвалась! Известны также слухи о воронах и чайках, сбитых с
неба интенсивными пучками СВЧ-излучения.
Как бы там ни было с достоверностью этих историй, нельзя отрицать,
что СВЧизлучение представляет опасность для жизни. Одна из этих опас-
ностей связана просто с интенсивным нагревом воды, имеющейся во всех
живых организмах. Поэтому ясно, что степень опасности излучения на
некоторой частоте зависит от оптических постоянных и особенно от
значения е " воды на данной частоте. Например, при комнатной тем-
пературе максимальное значение е " приходится примерно на 20 гГц
[см. рис. 9.15], т.е. на частоту релаксации 1,/2 тгг, где т - время
релаксации (9.41).
598
Глава 14
Хотя жидкую воду обычно считают простым неизменяющимся вещест-
вом, ее структура вблизи поверхности может сильно отличаться от струк-
туры "свободной" воды. Взаимодействие молекул воды с примыкающей к
нии поверхностью приводит к ориентации этих молекул, которая может
распространяться на несколько диаметров молекул вглубь жидкости. Очень
яркое и краткое описание этого механизма дано в работе [ 220]: "Хотя
рассматриваемые мощные силы обладают очень малым радиусом дейст-
вия, их влияние передается за счет последовательной поляризации сосед-
них молекул на впечатляющую глубину. Здесь имеется аналогия с магни-
том, радиус непосредственного действия которого очень ограничен, но
который тем не менее способен поднимать и удерживать кусок железа,
находящийся на значительном от него расстоянии, если между ним и этим
куском имеется промежуточная цепочка из кусочков железа". О свойст-
вах жидкостей вблизи границ было написано много работ, обзор самых
ранних из которых дан в [ 220]; позже в [ 137] существование упорядо-
ченных молекул воды вблизи твердых поверхностей было доказано с ис-
черпывающей полнотой.
Если структура воды зависит от расстояния до поверхности, то и
ее физические свойства, и в частности диэлектрическая пройицаемость,
также должны зависеть от этого расстояния. Мы отмечали в разд. 9.5,
что в диапазоне СВЧ диэлектрическая проницаемость воды заметно ме-
няется при сковывании ее молекул холодом; как следствие, частота ре-
лаксации для льда оказывается много меньше частоты релаксации для
воды. Поэтому можно ожидать, что релаксация воды у поверхностей бу-
дет промежуточной между соответствующими значениями для воды и
льда.
Молекулы воды ориентируются у поверхностей макромолекул
точно так же, как вблизи твердых поверхностей. Так, например, Бернал
в [ 48] говорил о "регулярном образовании из льда", окружающем боль-
шинство молекул протеина, хотя под "льдом" он имел в виду лед из сво-
бодной воды. Связанную воду в гидратных оболочках, окружающих мак-
ромолекулы в водных растворах, иногда называют решеточно-упорядочен-
ной или подобной льду; такая вода принималась во внимание при интер-
претации диэлектрической проницаемости таких растворов [88, 247,359].
Наличие закрепленных относительно поворотов молекул связанной
воды может приводить к следствиям двух типов в отношении поглоще-
ния СВЧ-излучения в биологических материалах.
Расчеты скорости поглощения энергии с использованием диэлектри-
ческой проницаемости свободной воды могут давать заметные ошибки на
частотах, много меньших ее релаксационной частоты, которая больше анаг
логичной частоты для связанной воды. Более того, связанная вода сосре-
Некоторые приложения
599
доточена лишь в тонких гидратных оболочках макромолекул, так что
повышенное поглощение энергии этими оболочками может приводить к
локальной дезориентации молекул. Эти идеи были выдвинуты в [ 118] и
там же подтверждены расчетами скорости поглощения энергии для
простой модели гидратной молекулы: шара радиусом 5 нм, окруженно-
го оболочкой из воды толщиной в две молекулы; эти расчеты основы-
вались на теории из разд. 8.1- из-за малости параметра дифракции
нужно удерживать в разложениях только первый член -г и на значени-
ях диэлектрической проницаемости (9.41) с разными частотами релак-
сации. Хотя справедливость использования макроскопической теории
для отдельной макромолекулы с оболочкой всего лишь из двух слоев
воды весьма сомнительна, результаты [118], вероятно, качественно
правильны, и, следовательно, о них стоит поразмышлять.
Поглощение мощности в единице объема, рассчитанное для свя-
занной воды, оказалось значительно больше (вплоть до пятикратного
превышения), чем для свободной воды; максимальное различие имеет
место вблизи частоты релаксации связанной воды. Это добавочное по-
глощение энергии локализуется в оболочке из связанной воды и поэто-
му может вызывать больше повреждений, чем если бы оно было рас-
пределено по среде равномерно. Однако авторы работы [118] считают
объяснение увеличения количества биологических повреждений лока-
лизацией поглощения рискованным, так как скорость передачи энергии
от оболочки к макромолекуле и ю окружающей среде до сих пор не ус-
тановлена. Тем не менее игнорирование различий между диэлектри-
ческой проницаемостью связанной и свободной воды может привести
к важным последствиям. В работе [118] это иллюстрируется частным
случаем вызываемого СВЧ-излучением повреждения, механизм кото-
рого хорошо понятен. СВЧ-излучение вызывает катаракту из-за его по-
глощения водой хрусталика, которое приводит к повышению темпера-
туры и разрушает природные свойства его протеинов. Примерно 65%
массы хрусталика составляет вода, из которой по крайней мере
40% — связанная вода. Если всю воду считать свободной, что являет-
ся обычным при оценках поглощения СВЧ-йзлучения в биологических
веществах, то скорость нагрева СВЧ-излучением в частном диапазо-
не 0,3 - 3 гГц может быть занижена.
Приложения
Вычислительные программы
В приводимых ниже приложениях содержатся подпрограммы расчета
различных характеристик рассеяния на однородном шаре (ВНМ1Е),на ша-
ре в оболочке (ВНСОАТ) и на бесконечном освещенном по нормали цилинд-
ре (BHCYL), а также программы обращения к ним и примеры распечаток
результатов. Каждая программа сопровождается кратким описанием. Окон-
чательные варианты программ были проверены на ЭВМ CDC 7600 в
Лос-Аламосской научной лаборатории. Чтобы программы можно было
использовать в большинстве ЭВМ, мы старались писать их на стан-
дартном Фортране, но, несмотря на это, их, возможно, придется слег-
ка модифицировать. Так, например, заголовки программ обращения
для многих версий Фортрана оказываются невыполнимыми; кроме то-
го, по-видимому, придется изменить операторы ввода, вывода и фор-
мата. Не исключено, что могут понадобиться более существенные из-
менения программ, хотя это и маловероятно.
Чтобы пользователи могли легко приспособить эти программы для
своих нужд, при их составлении мы стремились не к совершенству, а к
простоте и ясности. С этой целью переменные Фортрана выбирались так,
чтобы напоминать или наводить на мысль о соответствующих перемен-
ных из тех разделов, где развивалась и обсуждалась соответствующая
теория. Логическое построение программ должно быть понятным без дли-
тельного изучения, поскольку в них не используются сокращения, которые
могут быть полезными, но затуманивают логику. Мы не слишком заботи-
лись об оптимизации программ, так что они не являются ни наилучшими,
ни наиболее быстрыми. На их улучшение, т.е. на увеличение их быстро-
действия, повышение эффективности и расширение области их примени-
мости можно затратить всю жизнь.
Любая программа, если ее использовать за пределами ограничений,
в рамках которых она составлена, приводит к ненадежным, а то и прос-
то бессмысленным результатам. Описываемые ниже программы при их
использовании для очень больших или очень малых значений дифракцион-
ного параметра, скорее всего, дадут неправильные результаты. Но рас-
четы по точной теории в этих предельных случаях, как правило, не нуж-
ны: для очень мелких частиц хорошим приближением является теория
Вычислительные программы
601
Рэлея, а для очень больших - метод геометрической оптики в комби-
нации с физической теорией дифракции. Использовать здесь точную
теорию - все равно, что палить по воробьям из пушки.
К приводимым программам следует относиться с долей здорового
скептицизма. Насколько это было возможно, мы проверили их, но, ко-
нечно же, ряд недостатков остался незамеченным. В следующих ниже
приложениях мы обсуждаем критерии, которые использовались для
проверки этих программ. Некоторые из них очевидны (например, фак-
тор эффективности экстинкции должен быть не меньше фактора эф-
фективности рассеяния и оба они должны быть неотрицательными),
другие являются более утонченными.
Каждая программа состоит из двух частей: программы обращения,
в которой задаются показатели преломления, размер частицы и длина
волны, и подпрограммы - той рабочей лошади, которая рассчитывает
коэффициенты в ряде рассеяния, элементы матрицы рассеяния и фак-
торы эффективности. Количество возможных вариантов вводимых
(а следовательно, и выводимых) параметров почти бесконечно. Поэто-
му программы обращения приводятся просто для того, чтобы показать
наиболее удобный способ использования подпрограмм.
Приложение A
Однородный шар
Лежащая в основе этого приложения теория дана в гл. 4; некоторые
вычислительные аспекты теории Ми обсуждены в разд. 4.8.
По-виДимому, наиболее известной программой для расчета коэффициентов
ряда рассеяния Ми является программа [ 115] — без сомнения, это одна
из первых программ, получивших широкое распространение. Эта програм-
ма сильно помогла нам, и было бы невнимательностью не выразить нашу
признательность ее автору. Тем не менее описываемая в данном при-
ложении подпрограмма BHMIE существенно отличается от нее, и ее не
следует рассматривать просто как сокращенный вариант программы
[115]. С целью составления простой и эффективной программы, в кото-
рой легко разобраться и, следовательно, модифицировать, мы кое-где
заимствовали из [115] разные хитрые приемы, а также добавили несколь-
ко своих.
Одно из основных отличий от программы [115] состоит в том, что в
BHMIE необходимое для сходимости число членов ряда определяется не
методом итераций. В свете известных фактов итерационный метод ока-
зывается неэффективным, поскольку все оценки необходимого числа
слагаемых сходятся на одном: достаточно учитывать лишь число слагаг
емых, чуть превосходящее х, где х - дифракционный параметр. Мы ис-
пытывали несколько критериев, в той или иной степени основанных на до-
гадке. Но после того, как подпрограмма BHMIE была уже написана, по-
явились публикации [511, 512] с исчерпывающим исследованием этого
вопроса, и мы модифицировали наши программы с учетом этих работ. В
результате ряды в BHMIE обрабатываются после суммирования NSTOP,
членов, где NSTOP - целое число, ближайшее к
х + 4х1/3 + 2.
Аналогичный критерий использовался в работах [ 511, 512], автор которых
руководствовался советом Кхара и результатами многочисленных рас-
четов. Разумеется, этот критерий может быть изменен. Но чтобы чита-
тель с большими возможностями счета на ЭВМ не обольщался мыслью о
том, что если некоторое число членов приводит к хорошему результату,
Однородный шар
603
то еще большее — приведет к лучшему, следует высказать предостере-
жение. Вычисление фп по методу прямой рекурсии неустойчиво и может
иногда сопровождаться неприемлемыми ошибками округления. Если вы-
числяется число функций <рп, не больше чем это требуется для разумной
точности, а <рп описана как переменная с двойной точностью, то особых
проблем с использованием ЭВМ среднего размера, по-видимому, не воз-
никнет. Но попытка выжать еще несколько десятичных знаков может при-
вести к катастрофе: коэффициенты ряда рассеяния с номерами, значи-
тельно превышающими NST ОР могут вычисляться с ошибками — и боль-
шими, хотя реально ори вообще не нужны.
Входящие в коэффициенты (4.88) функции Dn(mx) вычисляются по
формуле (4.89) методом обратной рекурсии начиная с 0^мх. При Усло*
вии, что NMX существенно превосходит NSTOP и | тх\, логарифмичес-
кие производные функций с номерами, меньшими NSTОР, почти не за-
висят от выбора ONMX; это связано с устойчивостью схемы обратной
рекурсии для <рп. При самых разнообразных способах выбора вьь
численные значения DNyX_5 в некотором диапазоне аргумента тх не
зависели от DNMX> Поэтому в подпрограмме BHMIE в качестве NMX
взято число, равное max (NSTOP, | тх |) +15, а рекурсия начинается с
flNMX= °’0 + l0’°'
Как <рп, так и £п, где £п = Т„_ *ХП» удовлетворяют соотноше-
нию
Ф»+1(*) = 2П* 4„(x) “ Фл-1(*)>
и вычисляются в BHMIE на основании этого соотношения прямой ре-
курсии начиная с
ф_](х) = cosx, i//0(x) = sinx,
X_i(x) = — sinx, Х0(х) = с08*-
При этом функция % описана с двойной точностью, а х„ _ с обычной.
Функции iTj и тп, определяющие угловую зависимость, вычисляют-
ся по соотношениям прямой рекурсии (4.47). Ввиду соотношений (4.48)
их нужно рассчитывать только для углов рассеяния, лежащих между О
и 90°.
Проверки подпрограммы BHMIE. Мы тщательно проверили BHMIE;
эти проверки подтверждают правильность подпрограммы, но не гаран-
тируют ее. В частности, мы ни разу не заметили сколько-нибудь за-
604
Приложение А
метной разницы между результатами подпрограммы BHMIE и програм-
мы [ П5] DBMIE. Помимо сравнения результатов BHMIE с табулиро-
ванными или полученными на основании других подпрограмм результа-
тами имеется и ряд независимых проверок любой программы, предназ-
наченной для расчета характеристик рассеяния.
Факторы Qexi и (?аса должны быть неотрицательными, причем
^ext Д°лжно быть больше ()аса , за исключением случая непоглощаю-
щего шара, когда они равны. При очень больших значениях параметра
х фактор эффективности экстинкции приближается к пределу, равному
2. Кажется, что этот факт мог бы служить хорошей проверкой програм-
мы при больших х. Однако Qexl осциллирует около 2, так что никогда
нельзя сказать, связано отклонение от 2 с естественными осцилляциями
или указывает на появление ошибки. Нами обнаружено, что значитель-
но более чувствительным тестом программы при больших х служит асимп-
тотическое выражение (4.83) для эффективности обратного рассеяния.
Такой тест, по-видимому, не очень распространен, и о нем стоит упомя-
нуть здесь в связи с возможностью его использования для проверки дру-
гих программ.
В качестве проверки элементов амплитудной матрицы рассеяния в
подпрограмме BHMIE фактор Qexl вычисляется по оптической теоре-
ме (4.76), тогда как фактор @аса — суммированием ряда (4.61). Сте-
пень поляризации (переменная PDL) должна обращаться в нуль при углах
рассеяния, равных 0 и 180°; одновременно должен обращаться в нуль и
матричный элемент $34. Кроме того, при всех углах рассеяния элемен-
ты матрицы рассеяния размером 4x4 должны удовлетворять тождеству
(— V + ( ^33 V + (V = 1
1 PROGRAM CALLBH (INPUT=TTY,DUTPUTxTTY, TAPE5=TTY)
2 С ййхххххкхххххххххкххххкххххххххххххххххххххххххххх
3 С CALLBH CALCULATES THE SIZE PARAMETER (X) AND RELATIVE
4 C REFRACTIVE INDEX (REFREL) FDR A GIVEN SPHERE REFRACTIVE
5 C INDEX, MEDIUM REFRACTIVE INDEX, RADIUS, AND FREE SPACE
6 C WAVELENGTH. IT THEN CALLS BHMIE, THE SUBROUTINE THAT COMPUTES
7 C AMPLITUDE SCATTERING MATRIX ELEMENTS AND EFFICIENCIES1)
8 C x x x x x xxx:: x xx:: x xx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
9 COMPLEX REFREL,SI(200),S2(200)
10 WRITE (5,11)
11 C xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
12 C REFMED = (REAL) REFRACTIVE INDEX OF SURROUNDING MED1UM2)
13 c xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
19 REFMED=1.0
15 C xxxxxxxxxxxxx
Однородный шар
605
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
С REFRACTIVE INDEX OF SPHERE = REFRE + 1«REFIM3>
Q XXX3C3C SC 33 3C SC •* •• *3 ** •• *3 *3 •• *♦ •* •» •* SC SC3CSC SC X SC SC 3C *C ** »C »3 ** ** •* •• •* •* **
REFRE=1.55
REFIM = 0.0
REFREL=CMPLX(REFRE,REF IM)/REFMED
WRITE (5,12) REFMED,REFRE,REFIM
С кзс к sc к зс к зс з» зз з» зз зс зс х зс зс к зс зс зс зсзс хз: кзс зс з: зс зс зс
С RADIUS (RAD) AND WAVELENGTH (WAVEL) SAME UNITS45
C » ... Я К X к к я sc x st к кК к «
RADx.525
WAVEL=.6328
X = 2. ::3 • 14159265”RAD::REFMED/WAVEL
WRITE (5,13) RAD,WAVEL
WRITE (5,14) X
C X SC SC St SC X St St SC X SC St SC X SC St St St К St St X sc st :c St SC SC SC X s: SC St SC St SC SC X X X St St SC St X X sc sc
C NANG = NUMBER DF ANGLES BETWEEN 0 AND 90 DEGREES
C MATRIX ELEMENTS CALCULATED AT 2:!NANG - 1 ANGLES
C INCLUDING 0, 90, AND 180 DEGREES5)
C X X X SC SC SC St X St St SC X SC X St SC SC St X X SC SC X X SC X X SC SC SC X SC St SC SC SC SC X X SC SC SC St X SC X sc sc
NANG=11
DANG=1.570796327/FLDAT(NANG-l)
CALL BHMIE(X,REFREL,NANG,51,S2,QEXT,QSCA,QBACK)
WRITE (5,65) QSCA,QEXT,QBACK
WRITE (5,17)
C X X SC X X X SC X X X X SC X X X SC X X SC X X SC SC X X X SC X X SC X SC SC SC SC X X X SC SC X SC SC X X X SC SC X
C S33 AND S34 MATRIX ELEMENTS NORMALIZED BY 511.
C SU IS NORMALIZED TD 1.0 IN THE FORWARD DIRECTION
C PDL=DEGREE DF POLARIZATION (INCIDENT UNPDLAR1ZED LIGHT)8)
C sc SC X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X SC X X X X X X SC X X X X X X St X X
511NDR = O . 5::(CABS(S2( 1 ))::::2+CABS(51 ( 1 ))!:::2)
NAN = 2!:NANG-1
DD 355 J=1,NAN
AJ = J —
SI 1 = 0.5::CABS(S2(J))::CABS(S2(J))
S 11 = 511 + 0. 5i:CABS(S 1 (J))!:CABS(S 1 ( J))
512 = 0. 5"CABS(S2(J))::CABS(S2(J))
S12 = S12-0.5:;CABS(Sl(J))"CABS(Sl(J))
PDL=-S12/S11
S33 = REAL (S 2( J )::CDNJG(S 1 ( J )))
S33 = S33/SU
S34=AIMAG(S2(J):!CDNJG(S1(J)))
534=534/511
511 = 511/51 INDR
ANG=DANG»(AJ-1 . ):!57.29 58
355 WRITE (5,75) ANG,511,PDL,533,534
65 FORMAT (//,1X,"QSCA= ",E13.6,3X,"QEXT = ",E13.6,3X,
2"QBACK = ",E13.6)
75 FORMAT (IX,F6.2,2X,E13.6,2X,E13.6,2X,E13.6,2X,E13.6)
11 FORMAT (/"SPHERE SCATTERING PROGRAM"//)
12 FDRMAT(5X,"REFMED = ",F8.4,3X,"REFRE =",E14.6,3X,
3"REFIM = ",E14.6)
13 FORMAT (5X,"SPHERE RADIUS = ",F7.3,3X,"WAVELENGTH = ", F7.4)
14 FORMAT (5X,"SIZE PARAMETER =",F8.3/)
17 FDRMAT(//,2X,"ANGLE",7X,"S11",13X,"PDL",13X,"S33",13X,"S34"//)
STOP
END
q з: зс sc иscзс sc scзсзс зс кзс зс зс зс зс:::: з:::::з::::: з: з: з::: з::: к зсзс зс з: з: з::: зс:: зс зс зс:::: з: з: з: зс зс зс:: зс зс х
606
73
79
75
76
77
78
79
80
81
82
83
89
85
86
87
88
89
90
91
92
93
99
95
96
97
98
99
100
101
102
103
109
105
106
107
10.8
109
110
111
112
113
119
115
116
117
118
119
120
121
122
123
129
125
126
127
128
129
Приложение A
C SUBROUTINE BHMIE CALCULATES AMPLITUDE SCATTERING MATRIX
C ELEMENTS AND EFFICIENCIES FOR EXTINCTION, TOTAL SCATTERING
C AND BACKSCATTER ING FOR A GIVEN SIZE PARAMETER AND
C RELATIVE REFRACTIVE INDEX7!
С и x x x si x x st:: x is:::::::x x x x x x st x x st s::: x x st x s: x si:::::: x:::: s:x x x я x x x x x x x x x x
SUBROUTINE BHMIE (X,REFREL,NANG,SI,S2,QEXT,QSCA,QBACK)
DIMENSION AMU(I 00),THETA(100),PI(100),TAU(I 00),PI 0(100),P11(100)
COMPLEX D(3000),Y,REFREL,XI,XI 0,XI1,AN,BN, 51(200), 52(200)
DOUBLE PRECISION PS I 0,PS 11,PS I,DN,DX
DX = X
Y = X=!REFREL
C Si Si Si Si Si Si Si Si Si Si Si Si Si Si Si Si Si Si Si Si Si Si Si Si Si Si Si Si X X Si s: Si Si Si
C SERIES TERMINATED AFTER NSTOP TERMS 8)
C x x st я x x x х x x x x X st x x x st s: x x x x x x x x x x x x x x x si
XSTOP=X+9.3333 + 2.0
NSTOP=XSTOP
YMOD=CABS(Y)
NMX=AMAX1(XSTOP,YMOD)+15
DANGssl. 570796327/FLOAT(NANG-l )
DO 555 J=1,NANG
THETA(J ) = (FLOAT( J )-1. )::DANG
555 AMU(J)=COS(THETA(J))9>
C X X Si X X X X Si X X X X X X X X X X X X X X Si ii Si X X X X X X X X X X Si Si X X X X Si X X X X X X X X X
C LOGARITHMIC DERIVATIVE D(J) CALCULATED BY DOWNWARD
C RECURRENCE BEGINNING WITH INITIAL VALUE 0.0 + p"0.0'
C AT J = NMX
C Si Si Si Si Si Si Si Si Si Si Si Si X St Si XSi Si Si Si St ii Si Si Si Si Si Si Si Si Si St Si XXX Si Si Si St Si Si St Si X Si X Si Si X Si
D(NMX)=CMPLX(0.0,0.0)
NN=NMX-1
DO 120 N=1,NN
RN=NMX-N+1
120 D(NMX-N)=(RN/Y)-(1./(D(NMX-N+I)+RN/Y))
DO 666 J=1,NANG
PI0(J)=0.0
666 PU(J)=1.0
NN = 2:!NANG-1
DO 777 J=1,NN
S1(J)=CMPLX(0.0,0.0)
777 S2(J)=CMPLX(0.0,0.0)
C x x x x x st si x s: st x s::: x x st x x я x x st st st st si x st x x st:: st st st st x st st x x s: x st::
C RICCAT I-BESSEL FUNCTIONS WITH REAL ARGUMENT X
C CALCULATED BY UPWARD RECURRENCE l°>
C X Si X Si Si Si Si Si Si X Si Si Si Si Si Si X Si Si Si X Si X X Si X Si X X X ii Si Si Si Si Si X Si X Si St St Si Si Si
PS IOxDCOS(DX)
PS 11=DSIN(DX)
CHI0=-SIN(X)
CHU=COS(X)
APSI0=PSI0
APSUxPSIl
XI0 = CMPLX(APSI 0,-CH 10)
XI lssCMPLX(APSU,-CHU)
QSCAxO.O
N=1
200 DN = N
RN=N
FN=(2."RN+1 . ) / (RN::(RN+1 .))
PS I = (2.»DN-1.)XPS11/DX-PSI 0
Однородный шар
607
130 APSI=PSI
131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 CH I = (2 . "RN-1 . )-СН 11 /X - CHI0 XI=CMPLX(APS I,-CH I) AN=(D(N)/REFREL+RN/X)«APSI - APSII AN = AN / ( (D(N)/REFREL+RN/X )J:X I-X I 1) BNzfREFR EL"D(N)+RN/X )!!APS I - APSII BN=BN/((REFREL«D(N)+RN/X)«XI - XII) QSCA=QSCA+(2 .“RN+1. )»(CABS(AN)"CABS(AN)+CABS(BN)i!CABS(BN)) DO 789 J=I,NANG JJ=2"NANG-J PI(J) = PU(J) TAU(J )=RN«AMU( J )!!P I ( J ) - (RN+1.)"PIO(J) P=(-1.)K«(N-1) SI ( J ) = S 1( J )+FN::(AN::P I ( J )+BN«TAU( J ) ) T=(-1.)««N . S2( J ) = S2 ( J )+FN:!(AN!!TAu(J )+BNi!P I (J ) ) IF(J.EQ.JJ) GO TO 789 S1(JJ)=S1(JJ) + FN-( AN::P I ( J )::P + B№:TAU( J )"T) S2( J J ) = S2 ( J J )+FN"( AN»T AU( J)»T+BN»P I ( J )::P)
149 789 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 CONTINUE PSI0 = PSU PSU = PSI APSI1=PSU CHIO=CHI1 CHI1=CHI XI1=CMPLX(APS11,-CH 11) N=N+1 RN=N DO 999 J=1,NANG P11(J)=((2."RN-1 .)/(RN-I . ) )“ AMU ( J )::P I ( J ) PU(J) = PU(J)-RN:!PIO(J)/(RN-I . )
161 999 162 PIO(J)=PI(J) IF (N-l-NSTOP) 200,300,300
163 300 164 165 166 167 QSCA=( 2 . / (X"X ))::QSC A QEXT = (4 . / (X::X ) )“RE AL(S 1 (1) ) QBACK=(4. / (X::X )):!CABS(S1 (2-NANG-l ) )::CABS(S 1 ( 2-NANG-1) ) RETURN END
Примечания: U CALLBH вычисляет параметр х и относительный показатель
преломления (REFREL) по заданным показателю преломления шара, показате-
лю преломления окружающей среды, радиусу и длине волны в свободном про-
странстве. Затем она обращается к BHMIE — подпрограмме, которая вычисля-
ет элементы матрицы рассеяния и факторы эффективности.
REFMED - (вещественный) показатель преломления окружающей среды.
Показатель преломления шара — REFRE + I- REFIM.
Радиус (RAD) и длина волны (WAVEL) в одних и тех же единицах.
NANG - число дискретов по успу между 0 и 90°. Матричные элементы вычис-
ляются при (2-NANG — 1) значении угла, включая 0, 90 и 180°.
Матричные элементы S33 и S34 нормируются на S11. Элемент S11 нормиро-
ван на 1, 0 а направлении рассеяния вперед. POL — степень поляризации (пада-
ющий свет непопяризоаан).
608
Приложение А
7 Подпрограмма BHMIE вычисляет элементы амплитудной матрицы рассеяния
и факторы эффективности экстинкции, полного рассеяния и обратного рассе-
яния по заданному параметру дифракции и относительному показателю прелом-
ления.
Ряд обрывается после суммирования NSTOP членов.
Логарифмическая производная D(J) вычисляется по схеме обратной рекур-
сии начиная со значения 0,0 + 1*0,0 при J = NMX.
10) Функции Риккати — Бвссепя вещественного аргумента х вычисляются по
схеме прямой рекурсии.
SPHERE SCATTERING PROGRAM
REFMED = 1.0000
sphere radius =
SIZE PARAMETER =
REFRE = .155000E+01 REFIM
.525 WAVELENGTH = .6528
5.215
0.
QSCA= .510595E+01 QEXT = .510595E+01 QBACK = . 292559E+01
ANGLE Sil POL S55 S59
0.00 .100000E+01 0 . •100000E+01 0 .
9.00 .785590E+00 -.959811Е-02 •999900E+00 .595261E-01
18.00 .556897E+00 -.958591E-01 .986022E+00 . 160189E+00
27.00 .766119E-01 -.569799E+00 .895605E+00 .599076E+00
56.00 . 5 55555E-01 -.559997E+00 .686967E+00 -.991787E+00
95.00 .701895E-01 .959955E-02 .959825E+00 -.280959E+00
59.00 .579515E-01 .977927E-01 .985571E+00 . 165589E+00
65.00 .219660E-01 -.990609E+00 .698095E+00 .621216E+00
72.00 . 12 59 59E-01 -.851996E+00 .205255E+00 -. 516208E+00
81.00 . 17 57 50E-01 .591670E-01 .795559E+00 -.605182E+00
90.00 .J29601E-01 .250962E+00 .957997E+00 . 260792E+00
99.00 .679095E-02 -.715972E+00 -.717597E-02 .700697E+00
108.00 •959259E-02 -.756255E+00 -.599798E-01 -.655085E+00
117.00 .865919E-02 -. 281215E+00 .556251E+00 -.795855E+00
126.00 .227921E-02 -.259612E+00 .967602E+00 .795798E-01
155.00 .595998E-02 -.850809E+00 . 187551E+00 -.990882E+00
199.00 .160295E-01 -.706559E+00 .995259E+00 -. 505781E+00
155.00 .188852E-01 -.891081E+00 •955277E+00 -.226817E-01
162.00 .195259E-01 -.785519E+00 -. 591615E + 00 .982752E+00
171.00 .501676E-01 -.196199E+00 -.962069E+00 . 189556E+00
180.00 .585189E-01 0 . -. 100000E+01 0 .
Приложение Б
Шар в оболочке
Как можно было бы ожидать заранее, добавление к однородному ша-
ру оболочки приводит к ряду новых вычислительных трудностей, преодо-
леть которые во всей полноте нам не удалось. Вследствие этого подпрог-
рамма ВНСОАТ, будучи во многих отношениях сходной с BHMIE, не
обладает столь широкой областью применимости, и ее следует использо-
вать с большей осторожностью. Причины этого будут обсуждены ниже.
С математической точки зрения все функции рассеяния в случае
шара в оболочке — факторы эффективности и матричные элементы — име-
ют ту же форму, что и в случае однородного шара. Отличаются только
коэффициенты ряда рассеяния (8.2); их можно переписать в виде, бо-
лее удобном для вычислений:
{^и/т2 + п/у)ф„(у) -
a = --
{Dn/m2 + П/у}&Ау) ~
ь + п/у)*Ау) ~ ^n-i(y)
{m2G„ + п/у}£п(у) - €л_!(у) ’
£ DAm2y) ~ А„хАт2у)/Фп(т2у)
П ~ ^Х„(т2у)/^„(т2у)
G - DAmT.y} - ДпХ'п(^2-И)/4'п(^2>’)
" / 1 - ^пХп{т2у)/4>п{т2у)
, , / ч тОй(т,х) - Dn(m2x)
А = ф „(т2х) ——-----г-------г---------г,
( mDn(mxx)Xn^2x) ~ Хп(т2х)
й = . (т гч »»Д,(т2х) - Р„(т,х)
" ^т2Х) тх,Лт2х) _ Dn(mix)Xn{m2x) >
где Dn - логарифмическая производная а т = т2/т-г Посколь-
ку из вронскиана (4.60) следует соотношение
-г- = ХпРп ~ Х'п>
ти
39-205
610
Приложение Б
только три функции из четырех - ipn, х„ > \'п , Dn — независимы. Кро-
ме того, имеем
хМ-х.-М-^.
Коэффициенты Ап и Вп зависят только от параметра х внутренне-
го шара (сердцевины) и не зависят от толщины оболочки. Более того,
по форме они сходны с коэффициентами ряда рассеяния однородного ша-
ра с параметром х. Поэтому разумно предположить, что нет необходи-
мости вычислять коэффициенты Ап и Вп с номерами п, существенно
превосходящими х. Между тем сходимость рядов для факторов эффек-
тивности и матричных элементов определяется параметром у внешнего
шара. Отсюда следует, что если не принять специальных мер, то при
у » z коэффициенты Ап и Вп будут вычисляться далеко за пределами
области, в которой они действительно нужны. Если бы этот факт при-
водил только к снижению эффективности подпрограммы, то с ним еще
можно было бы смириться. Но, как мы указывали в приложении А, на
надежность вычисления функций Бесселя с индексом, во много раз превосхо-
дящим аргумент, по схеме прямой рекурсии рассчитывать нельзя. Поэтому в
подпрограмму ВНСОАТ мы включили четыре теста: если при некотором зна-
чении индекса удовлетворяются все неравенства
DEL|£>„(?n2y)| > \А„х'„(т2у)/^„(т2у)\ и |ВХ("»2/)/Фя(",2/)1
DEL > \А„х„(т2у')/ф„(т2у)\ и \В„х„(т2у)/фп(т2у)\
то для всех последующих индексов п коэффициенты Dn и Gn полага-
ются равными Dn(m2y); отметим, что при этих условиях коэффициенты
ряда рассеяния совпадают с коэффициентами ряда рассеяния для одно-
родного шара с параметром у и относительным показателем преломле-
ния т2. В качестве параметра DEL, определяющего сходимость отно-
сительно внутреннего шара, в подпрограмме ВНСОАТ взята величина
Ю”8; ее, разумеется, можно изменить.
Тот факт, что вклады в коэффициенты ряда рассеяния от внутрен-
него шара сходятся быстрее вкладов от внешнего шара, — всего лишь
небольшая неприятность, от которой легко отделаться. Более серьез-
ным препятствием на пути составления "безопасной" программы, при-
годной для шара с произвольной оболочкой, является то, что коэффи-
циенты ряда рассеяния не удается представить в форме, которая исклю-
чала бы работу с чрезмерно большими числами, и мы так и не смогли
Шар в оболочке
611
преодолеть его. В случае однородного шара коэффициенты ряда рассе-
яния можно записать таким образом, чтобы функции комплексных аргу-
ментов входили в виде отношений - логарифмических производных, а
функции Риккати - Бесселя зависели бы от вещественных аргументов. Это
оказывается невозможным в случае шара в оболочке: здесь, вооб-
ще говоря, приходится вычислять функции wn(z) и xn(z) комплексной
переменной z = zT + jz^ . Нетрудно продемонстрировать, к каким ос-
ложнениям это приводит. Рассмотрим функцию с нулевым индексом, с кото-
рой начинается прямая рекурсия:
gz> 4- с ~~ z‘ ez‘ —
X0(z).= cosz =----------coszr - i----------sinzr.
Из-за наличия множителя exp(z.) всегда имеется вероятность появле-
ния чисел, которые переполняют любую ЭВМ, если частицы достаточно
велики и достаточно сильно поглощают. Установить точную верхнюю границу
мнимых частей аргументов функций, вычисляемых в ВНСОАТ, при исполь-
зовании конкретной ЭВМ очень сложно: функции с нулевым индексом мо-
гут не переполнять ЭВМ, однако функции с большими индексами, рас-
считываемые при помощи прямой рекурсии, могут привести к перепол-
нению. Мы не рекомендуем использовать ВНСОАТ, если мнимая часть
хоть одной из величин т1 х, т2 х и т2у превышает 30. Но это лишь гру-
бая оценка; мы настоятельно советуем пользователям немного поэкс-
периментировать, прежде чем принимать на веру какие бы то ни было
числа, полученные на основании ВНСОАТ.
Критерий сходимости в ВНСОАТ такой же, как в BHMIE; ряды об-
рываются после у + 4у1/3 +2 членов. Однако в отличие от BHMIE все
функции, включая и логарифмические производные, здесь рассчитыва-
ются методом прямой рекурсии: представляется бесполезным рассчи-
тывать эти производные по схеме обратной рекурсии в условиях, когда
не они являются главным препятствием для составления программы,
пригодной для шара с произвольной оболочкой.
Проверки подпрограммы ВНСОАТ. Мы подвергли ВНСОАТ тем же
проверкам, что и BHMIЕ. Кроме того, ВНСОАТ совпадает с BHMIE при
«1 = m2 • Мы нашли, что асимптотическая формула (4.83) для эффектив-
ности обратного рассеяния была и здесь хорошим индикатором "здоровья"
программы для шара в оболочке. Состав и размер сердцевины несущест-
вен, если весь падающий свет поглощается в оболочке. Поэтому, исходя
из физических соображений, мы ожидаем, что Qb при больших у долж-
но приближенно совпадать с отражательной способностью достаточно
612
Приложение Б
толстого и сильно поглощающего слоя с показателем преломления т2;
это было проверено прямым расчетом.
В качестве еще одной проверки мы сравнивали факторы эффектив-
ности, рассчитанные при помощи ВНСОАТ, с приведенными вЧ 150]; во
всех случаях согласие было хорошим.
1 PROGRAM COAT (INPUT;TTY,OUTPUT=TTY,ТАРЕ5=ТТY)
2 C st st st st st st st st st st.st st st st st st st st st st st st st st it st Sit:.st st st st s: st к к st st st st st st st st st к stst s:
3 C COAT IS THE CALLING PROGRAM FOR BHCOAT, THE SUBROUTINE
4 C THAT CALCULATES EFFICIENCIES FOR A COATED SPHERE.
5 C FOR GIVEN RADII AND REFRACTIVE INDICES OF INNER AND
6 C OUTER SPHERES, REFRACTIVE INDEX OF SURROUNDING
7 C MEDIUM, AND FREE SPACE WAVELENGTH, COAT CALCULATES SIZE
8 C PARAMETERS ANO RELATIVE REFRACTIVE INDICES ?).
9 q St к X St St St St St St X •• It *i •* X ••St St StStSi S. X St •>StSt •• St •* St X X X St X SI St St S. S. S. X St <» X X X St .»...*•» X X
10 c
11 C xxxxxstxxxxcAUT IO№:"ii::j:j:Ki:”ii
12 C
13 C BHCOAT SHOULD NOT BE USED FOR LARGE, HIGHLY ABSORBING
14 C COATED SPHERES
15 C X«REFIM1, X"REFIM2, AND Y-REFIM2 SHOULD BE LESS THAN ABOUT 302)
16 C
17 c xxxxxxstxxxcAUTIONKi!Sixxxxxxx
18 С
19 C
20 COMPLEX RFREL1,RFREL2
21 WRITE (5,11)
2 2 C »»XX •» •’ X *♦ *» •' *♦ *• X *• *♦ •» X X X X X X X X X X X X X X X5»x X X X X X X X X X X X X X X X X X X X x X
23 C REFMED = (REAL) REFRACTIVE INDEX OF SURROUNDING MEDIUM3)
29 q st st st st st st st st st st st s: st st st st st st s: st st st st st st st st st st st st st st st st st st st st st st st st s; st st st st s: st st st st st
25 REFMED=1.0
26 C St St St St St Si Si St Si Si Si Si St si Si St St St Si Si St St St St St St Si Si Si st Si Si St.tit it St St it St St it st
27 C REFRACTIVE INDEX OF CORE = REFREI + I-REFIM1
28 C REFRACTIVE INDEX OF COAT = REFRE2 + I!!REFIM24)
29 c st St St St it St St St St X Si St St it St st St St St St it Si St it St St it St Si St St St Si Si Si it Si St Si Si Si st st st st
30 REFRE1=1.59
31 REFIM1=.66
32 REFRE2;1.409
33 REFIM2=.1747
34 C st st st st st st st st st st st st st st st st st st... st st st st st st st st st st
35 C RADCOR = RADIUS OF CORE
36 C RADCOT ; RADIUS OF COAT
37 C RADCOR, RADCOT, WAVEL SAME UNITS5)
3 8 C st st st st st st st st st st st st st st st st st st st st st st st st st st st st st st st st
39 RADCOR;.171
40 RADCOT=6.265
41 WAVEL=3. x
42 WRITE (5,12) REFMED,REFRE1,REFIM1,REFRE2,REFIM2
43 WRITE (5,13) RADCOR,RADCOT,WAVEL
44 RFREL1=CMPLX(REFRE1,REFIM1)/REFMED
45 RFREL2;CMPLX(REFRE2,REFIM2)/REFMED
46 PI;3.14159265
47 X=2.«РI“RADCOR"REFMED/WAVEL
48 Y;2 . :SPIKRADCOT“REFMED/WAVEL
Шар в оболочке
613
99 WRITE (5,19) X,Y
50 CALL BHCOAT (X,Y,RFREL1,RFREL2,QEXT,OSCA,QBACK)
51 WRITE (5,67) QSCA,QEXT,QBACK
52 11 FORMAT (/"COATED SPHERE SCATTERING PROGRAM"//)
53 12 FORMAT C//5X,"REFMED - ",F8.9/5X,"REFREI =",E19.6,
59 13X,"REFIM1 =",E19.6/5X,"REFRE2 =",E19.6,3X,"REF I М2 =",E19.6)
55 13 FORMAT C5X,"CORE RADIUS =" F7.3,3X "COAT RADIUS -•» F7 3/
56 15X,"WAVELENGTH =",F7.9)
57 19 FORMAT (5X,"CORE SIZE PARAMETER = ",F8.3,3X,"COAT SIZE"
58 1" PARAMETER =",F8.3)
59 67 FORMAT (/,1X,"QSCA =",E13.6,3X,"OEXT =",E13.6,3X,
60 1"QBACK =",E13.6//)
61 STOP
62 END
63 SUBROUTINE BHCOAT (X,Y,RFREL1,RFREL2,QEXT,QSCA,QBACK)
6 с
65 С SUBROUTINE BHCOAT CALCULATES EFFICIENCIES FOR
66 С EXTINCTION, TOTAL SCATTERING, AND BACKSCATTERING
67 С FOR GIVEN SIZE PARAMETERS OF CORE AND COAT AND
68 С RELATIVE REFRACTIVE INDICES
69 С ALL BESSEL FUNCTIONS COMPUTED BY UPWARD RECURRENCE ®)
70 С »» •«•• •• ••«»Xxx a««ft •• Xx X XXXXX >(XX n XX XXx XXX XXX XXXXXX XXX XX
71 COMPLEX RFREL1,RFREL2,X1,X2,Y2,REFREL
72 COMPLEX D1X1,DOX 1,01X2,DOX2,D1Y2,DOY2
73 COMPLEX XI0y,XUY,XIY,CHI0Y2,CHI1Y2,CHIY2,CHI0X2,CHUX2,CHIX2
79 COMPLEX CH IPX2,CH IPY2,ANCAP,BNCAP,DNBAR,GNBAR,AN,BN,CRACK,BRACK
75 COMPLEX XBACK,AMESS1,AMESS2,AMESS3,AMESS9
76 DEL=1.OE-8
77 С
78 С DEL IS THE INNER SPHERE CONVERGENCE CRITERION7)
79 С X X X X X x X X x X X X X X X X X x X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X
80 X1=RFREL1"X
81 X2=RFREL2«X
82 Y2=RFREL2«Y
83 YSTOP = Y + 9.!:Y!!i!. 3333 + 2 .
89 REFREL=RFREL2/RFREL1
85 NSTOP=YSTOP
86 С
87 С SERIES TERMINATED AFTER NSTOP TERMS8)
89 DOX 1=CCOS(XI)/CSIN(X1)
90 DOX2=CCOS(X2)/CSIN(X2)
91 D0Y2=CCOS(Y2)/CSIN(Y2)
92 PSIOY=COS(Y)
93 PSI1Y=SIN(Y)
99 CHIOY=-SIN(Y)
95 CHI1Y=COS(Y)
96 XI0Y=CMPLX(PSI0Y,-CHI0Y)
97 XI1Y=CMPLX(PSI1Y,-CHI1Y)
98 CHI 0Y2 = -CSIN(Y2)
99 CHI 1Y2 = CCOS(Y2)
100 CH I0X2 = -CSIN(X2)
101 CHI1X2=CCOS(X2)
102 QSCA=0.0
103 QEXT=0.0
109 XBACK=CMPLX(0.0,0.0)
614
Приложение Б
105 N = 1
106 IFLAG=0
107 200 RN = N
108 PS 1 Y = (2."RN-1.)"PS11Y/Y-PS10Y
109 CH IY = (2."RN-1.)"CH11Y/Y-CH1OY
110 xiy=cmplx(psiy,-chiy)
111 D1Y2=1./(RN/Y2-00Y2)-RN/Y2 7
112 IF (1FLAG.EQ.1) GO TO 999
113 01X1 = 1./(RN/X1-D0XD-RN/X1
1 14 01X2=1./(RN/X2-D0X2)-RN/X2
115 CHIX2=C2 . :iRN-l. )"CH11X2/X2-CH1OX2
116 CHIY2 = C2."RN-1.)"CHI1Y2/Y2-CH1 0Y2
117 CHIPX2=CHI1X2-RN"CH1X2/X2
118 CHIPY2=CH11Y2-RN-CH1Y27Y2
119 ANCAP=REFREL"D1X1-01X2
120 ANCAP = ANCАР/(REFREL-DIX1"CH 1X2-CHIPX2)
'121 ANCAP = ANCАР/CCH I X2-D1X2-CH IPX2)
122 8R ACK = ANC АР" C CH I Y 2 ::D 1Y 2-CH I P Y 2 )
123 BNC AP = R E FR EL "D1X 2-01X 1
124 BNCAP = BNCAP/(REFREL!!CHIPX2-D1X1"CHIX2)
125 BNCAP = BNCАР/CCHI X2-01X2-CH IPX2)
126 CRACK=BNCAP-CCHIY2-01Y2-CHIPY2)
127 AMESS1 = BRACK“CH IPY2
128 AMESS2 = BRACK"CH I Y2
129 AMESS3 = CRACK"'CHIPY2
130 AMESS4=CRACK-CHIY2
131 1FCCABS(AMESS1).GT.DEL-CABStD1Y2)) GO TO 999
132 IF(CABS(AMESS2).GT.DEL) GO TO >999
133 I FCCABSC AMESS 3) . GT . DEL-CABS (О I Y>2 ) ) GO TO 999
134 IF(CABS(AMESS4).GT.DEL) GO TO 999
135 BRACK=CMPLX(O.0,0.0)
136 CRACK=CMPLX(O.0,0.0)
137 IFLAG=1
138 999 DNBAR=D1Y2-BRACK-CHI PY2
139 DNBAR = DNBAR/C 1.-BRACK"CHIY2)
140 GNBAR = D 1Y 2-CR ACK-'CH I PY 2
141 GNBAR=GNBAR/C1.-CRACK"CHIY2)
142 AN=(DNBAR/RFREL2 + RN/Y)"PSIY-PSI 1Y
143 AN=AN/(XDNBAR/RFREL2+RN/Y)"XIY-XIIY)
144 BN=(RFREL2"GNBAR+RN/Y)"PSIY-PS1 1Y
145 BN=BN/((RFREL2"GNBAR+RN/Y)"XIY-XIiy)
146 QSCA=QSCA+C2."RN+1 . )"(CABSCAN)"CABSCAN)+CABSCBN):=CABSCBN))
147 XBACK=XBACK + <;2 . -RN+1.)-(-!. )!:"№(AN-BN)
148 QEXT=QEXT+(2."RN+1.)"(REALCAN)+REAL(BN))
149 PSIOY=PSI1Y
150 PSI1Y=PSIY
151 CHI0Y=CHIIY
152 CHUY=CHIY
153 XI IY = CMPLX(PS11Y,-CHI 1 Y)
154 CHIOX2=CH11X2
155 CHI1X2=CHIX2
156 CHIOY2=CH11Y2
157 CHI1Y2=CH1Y2
158 00X1=01X1
159 00X2=01X2
160 DOY2=D1Y2
161 N = N+1
Шар в оболочке
615
162 IF(N-1-NSTOP) 200,300,300
163 300 QSCA=(2 ./(Y"Y))::QSCA
161» QEXT=(2 ./(Y!!Y))”QEXT
165 QBACK = XBACK::CONJG(XBACK)
166 QBACK = (1 ./Cy::y)):;qback
167 RETURN
168 END
Примечания: ^COAT является программой обращения к ВНСОАТ — подпрог»
рамме, которая вычисляет факторы эффективности в случае шара в оболочке.
По заданным радиусам и показателям преломления ядра и оболочки, показате-
лю преломления окружающей среды и длине вопны в свободном пространстве
COAT вычисляет параметры дифракции и относительные показатели преломле-
ния.
2)
Предостережение. ВНСОАТ не следует применять для больших сильно погло-
щающих шаров в оболочке. Величины X-REFIM1, X-REFIM2 и Y*REFIM2 не
должны превышать примерно 30.
REFMED — (вещественный) показатель препомления окружающей среды.
Показатель преломления ядра — REFRE1 + I-REFIM1.
Показатель препомления оболочки — REFRE 2 + I*REFIM2.
5) RADCOR - радиус ядра;
RADCOT — радиус оболочки;
RADCOR, RADCOT, WAVEL в одних и тех же единицах.
Подпрограмма ВНСОАТ вычисляет факторы эффективности экстинкции, пол*
ного рассеяния и обратного рассеяния по заданным параметрам дифракции яд-
ра и оболочки и относительным показателям преломления.
Все функции Бесселя вычисляются по схеме обратной рекурсии.
DEL — параметр сходимости относительно внутреннего шара.
□ Y
' Ряд обрывается после суммирования NSTOP членов.
SHELL
COATED SPHERE SCATTERING PROGRAM
REFMED = 1.0000
REFREI = .159000E+01 REFIM1 = .660000E+00
REFRE2 = .190900E+01 REFIM2 = .179700E+00
CORE RADIUS = .171 COAT RADIUS = 6.265
WAVELENGTH = 3.0000
CORE SIZE PARAMETER = . 3 58 COAT SIZE PARAMETER = 13.U1
QSCA = .119391E+01 QEXT = .232803E+01 OBACK = .285099E-01
Приложение В /
Освещенный по нормали
бесконечный цилиндр
Описываемая в данном приложении программа представляет собой
усовершенствованный вариант одной из программ отчета [71]; соответ-
ствующая теория и объяснение обозначений даны в разд. 8.4.
Форма (8.38) коэффициентов еще не совсем подходит для проведения
вычислений: в большинстве версий Фортрана индексы должны быть поло-
жительными целыми числами. Однако от этого затруднения легко изба-
виться, введя Gn = Dn_t (п = 1, 2, ...), которые удовлетворяют рекур-
рентным соотношениям
Если использовать соотношения J_n= (-!)"/„ и У_п = (-1)" Yn,
то коэффициенты а0 и Ъо можно записать в виде
Gl(mx)BJl(x)/m + BJ2(x} mGx(mx)BJx(x) + BJ2(x)
°0 Gi(mx)BHl(x}/m + ВН2(х) ’ ° mGx(mx}BHx(x} + ВН2(х)
где по определению В] = ] 2 и ВН = х (в = 1, 2, ...). При
в^О имеем
a {Gn+i(mx)/m + ”/*}&4+i(x) ~
{Gn+l(mx)/m + n/x}BHn+l(x) - ВНп(х} ’
b (mGn+i(mx) + и/х)Д7я+1(х) - BJn(x)
{mGn+i(mx) + n/x}BHn+i(x) - ВНп(х) '
Как и в предыдущих программах, ряды для элементов матрицы
рассеяния и факторов эффективности обрываются на NSTOP членах,
где NSTOP - х + 4х1/3 + 2. Коэффициенты Сп (тх} рассчитываются по
(В.1): начиная с 6NMX путем обратной рекурсии вычисляются лога-
рифмические производные функций с последовательно уменьшающими-
Освещенный по нормали бесконечный цилиндр
617
ся значениями индексов 6NMX _р 6Г Ври условии, что NMX в до-
статочной степени превосходит NSTOP и | тх |, коэффициенты Ср при
р<: NSTOP не зависят от выбора 6NMX- Для PW значений аргумента тх
мы меняли величину CNMX на пять порядков; в каждом случае CNMX _ 5 не
не зависело от GNMX . Поэтому мы взяли NMX=max(NSTOP, |mx|) +15,
а рекурсия начинается с С«мх - 0,0 + i 0,0.
Вычисление функций Бесселя. Функции Бесселя /л и У ставят боль-
ше вычислительных проблем, чем логарифмические производные. В под-
программе BHCYL эти функции вычисляются по алгоритму, приписыва-
емому Миллеру (см. [80], стр. xvii), более подробное изложение которо-
го имеется в [ 188, 443]; ниже мыв общих чертах обрисуем эту схему.
Для вычисления /п(х) мы порождаем последовательность функций
Fp{x) - в BHCYL функция Fp-l обозначается F(P) - по схеме обрат-
ной рекурсии
Fp-M = - F,+ I(x) (р = М - 1,..., 1) (В.2)
начиная с FM =. 0,0 и FM _ t = 10~32, где число М превосходит как п,
так и х. Хотя FM _ t может быть выбрано произвольным образом, оно
должно быть достаточно малым, чтобы избежать появления чрезмерно
больших чисел при х< 1. Функции ]р и Ур также удовлетворяют (В.2),
и для всех р, достаточно малых по сравнению с М, имеем
где а не зависит от р; эта константа вычисляется при помощи соот-
ношения
•4 + 2 £ Jlm = 1,
m=I
из которого следует, что
±м-\
« = Л>(*) + 2 L F2m(x).
m-l
Функции У^(х) вычисляются путем прямой рекурсии
Г,+1(*) =
X
618
Приложение В
начиная с Уо и первая из этих функций получается по формуле
roW=|[(logf + r)/o^)-2E ,
77 \ Z / г , т
т "* 1
где у — эйлерова постоянная, равная 0,57721566 ...; а вторая находит-
ся из вронскиана
т
Л(х)^о(х)— Л> (х) (х) = ~ •
Иногда выбор М = MST в рекуррентном соотношении (В.2) осущест-
вляется методом итераций. В программе расчета / (х) для произволь-
ных п и х это может быть и уместно, но наши нужды более скромны,
и мы можем избежать итерирования — и тем самым создать эффектив-
ную программу - путем соответствующего выбора MST. Число NSTOP,
которое превосходит х, представляет собой максимальное значение ин-
декса бесселевых функций, необходимых для расчета рассеяния. Поэто-
му мы выбираем MST равным четному целому числу, ближайшему к
NSTOP + NDELTA. Для определения NDELTA мы провели ряд вычис-
лений: NDELTA увеличивалось до тех пор, пока два последовательных
значения /NS то р не совпадали с точностью девяти_десятичных знаков;
при этом параметр дифракции менялся в пределах от 0,001 до 5000. Ре-
зультаты этих расчетов объединяются в эмпирическое соотношение
NDELTA = (101 + х)03".
Проверки подпрограммы BHCYL. Вычисленные значения функций
Jn(x) и }£,(*) для различных п и х сравнивались со значениями, табу-
лированными в [ 354]. Результаты вычисления логарифмических произ-
водных также сравнивались с расчетами по таблицам бесселевых функ-
ций. Во всех случаях наши результаты совпадали с табличными с точ-
ностью до всех десятичных знаков, приводимых в таблицах. Эго при-
дает некоторую уверенность, что подпрограмма BHCYL действитель-
но дает то, для чего она предназначена.
В случае поглощающего Цилиндра коэффициенты ряда рассеяния
для некоторых весьма ограниченных по диапазону значений х и т
табулированы в работе [287]. Они были сравнены с коэффициентами,
полученными на основании BHCYL; во всех случаях результаты сов-
пали с точностью до всех десятичных знаков, приведенных в табли-
цах.
Освещенный по нормали бесконечный цилиндр
619
В отношении факторов эффективности рассеяния и экстинкции
есть еще несколько очевидных проверок: 1) они должны быть неотри-
цательными при всех х и т и 2) факторы Qsca и Qext должны совпа-
дать в случае непоглощающего цилиндра. Подпрограмма BHCYL всег-
да с успехом проходила через эти тесты. Факторы эффективности рас-
сеяния рассчитываются в BHCYL как сумма квадратов коэффициен-
тов ряда рассеяния, в то время как факторы эффективности экстинк-
ции вычисляются по вещественной части элементов Тг и Т2 амплитуд-
ной матрицы рассеяния вперед. Это было сделано с целью проверки
элементов амплитудной матрицы рассеяния.
В качестве еще одной проверки мы сравнивали факторы эффектив-
ности, полученные на основании BHCYL, с их значениями, приведен-
ными в [ 284]; во всех случаях имело место хорошее согласие резуль-
татов.
1 PROGRAM CALCYL (1NPUT=TTY,OUTPUT=TTY,ТАРЕ5=ТТY)
2 С
3 С CALCYL CALCULATES THE SIZE PARAMETER (X) AND RELATIVE
9 C REFRACTIVE INDEX (REFREL) FOR A GIVEN CYLINDER REFRACTIVE
5 C INDEX, MEDIUM REFRACTIVE INDEX, RADIUS, AND FREE SPACE
6 C WAVELENGTH. IT THEN CALLS BHCYL, THE SUBROUTINE THAT COMPUTES
7 C AMPLITUDE SCATTERING MATRIX ELEMENTS AND EFFICIENCIES»
8 c :::::::: к я:::::: к I::::::::::::::::::::::::::::::::::: ::j: :::::::::::::: :i I:::::::::::::::::::::::::::::
9 COMPLEX REFREL,T1 (200),T2(200)
10 DIMENSION ANG(200)
11 WRITE (5,11)
12 C ss :s"":::: K "::u":::::: “ “:::::::::::: * K:::: “ “ " " ”::" “ “:::: s:"s::::: x :s s: л
13 C REFMED = (REAL) REFRACTIVE INDEX OF SURROUNDING MEDIUM2)
1 9 С к:::::::::::::::::::::::::::::::::!:::!:::::::::::;::::::::::::::::!:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
15 REFMED=1.0
17 C REFRACTIVE INDEX OF CYLINDER = REFRE + I-REFIM3)
1 8 C
19 REFRE=1.55
20 REFIM=0.0
21 REFREL=CMPLX(REFRE,REFIM)/REFMED
22 WRITE (5,12) REFMED,REFRE,REF IM
23 PI=3.19159265
29 c I::::::::;::::::::::::::::::::
25 C RADIUS (RAD) AND WAVELENGTH (WAVEL) SAME UNITS4)
2 6 C !!«::::::::::::"::« - « « « » « »::
27 RAD=.525
28 WAVEL=.6328
29 X = 2 . :!P 1 ::rAD::REFMED/WAVEL
30 WRITE (5,13) RAD,WAVEL
31 WRITE (5,19) X
3 2 C :::::::=::!!::::«:: :: ~:!::!!::::::::::::::::":::!::::":::: “::"::::::::::
33 C FIN = FINAL ANGLE (DEGREES)
39 C INTANG = NUMBER OF INTERVALS BETWEEN 0 AND FIN5)
3 5 C "• "• 'K“::::::"::::::::"::"::" “::::::::"::::::"::!!::::::"::::::
620
36
37
38
39
90
91
92
93
99
95
96
97
98
99
50
51
52
53
59
55
56
57
58
59
60
61
, J 62
63
69
65
66
67
68
69
70
71
72
73
79
75
76
77
78
79
80
81
82
83
89
85
86
87
88
89
90
91
92
Приложение В
F IN = 18(1.
INTANG=20
WRITE (5,15)
CALL BHCYL (X,REFREL,T1,T2,QSCPAR,QSCPER,OEXPAR,QEXPER,
1FIN,INTANG,ANG)
NPTS=INTANG+I
T I 1NOR=TT. 5;:(CABS (T I ( 1 ) )"CABS (T1 (1 ) ) )
TI 1NOR = T1 INOR+O .5::(CABS(T2(1))::CABS(T2(1)))
C :: к:: :t it ii ii ii it it it it it t: я:::::::: ii и it I:::::::::;:::;:::;:;: з:it it itяit it ял it я it:::: it it it it и я i:
С T33 AND T39 MATRIX ELEMENTS NORMALZIED BY TH
C Til IS NORMALIZED TO 1.0 IN THE FORWARD DIRECTION
C POL = DEGREE OF POLARIZATION (INCIDENT UNPOLARIZED LIGHT)e)
C it ii ii it ii it ii ii я it it it it it it it it it it ii it ii it it it ii it ;t ii it ii it it ii it it it ii:: it i: ii ii ii it ii ii я ii it it it it it ii it ii
DO 107 J=I,NPTS
TPAR=CABS(T1(J))
TPAR = TPAR::TPAR
TPER=CABS(T2(J))
TPER = TPER::TPER
T11 = 0.5"(TPAR + TPER)
Tl 2 = 0 . 5::(TPAR-T₽ER)
POL=T12/T11
T3 3 = RE AL (T1 ( J )::CONJG(T2( J ) ))
T39=AIMAG(T1(U)"CONJG(T2(J)))
T33=T33/T11
T39=T39/T11
T 11=T11/T11 NOR
107 WRITE (5,68) ANG(J),T11,POL,ТЗЗ,T39
WRITE (5,67) QSCPAR,QEXPAR,QSCPER,QEXPER
67 FORMAT (//,”QSCPAR =",E19.6,3X,"QEXPAR =",E19.6/
1"QSCPER =",E19.6,3X,"QEXPER =",EI9.6//)
68 FORMAT (1X,F8.2,2X,El 3.6,2X,El 3.6,2X,E13.6,2X,E13.6)
11 FORMAT (/"CYLINDER PROGRAM: NORMALLY INCIDENT LIGHT"//)
12 FORMAT (5X,"REFMED =",F8.9,3X,"REFRE =",E19.6,3X
1"REFIM =",E19.6)
13 FORMAT
19 FORMAT
15 FORMAT
STOP
END
(5X,"CYLINDER RADIUS =",F7.3,3X,"WAVELENGTH =",F7.9)
(5X,"SI ZE/PARAMETER =",F8.3/)
(//2X,"^NGLE",7X,"T11",13X,"POL", 13X,"T3 3",13X,"T39"//)
C SUBROUTINE BHCYL CALCULATES AMPLITUDE SCATTERING MATRIX
C ELEMENTS AND EFFICIENCIES FOR EXTINCTION AND SCATTERING
C FOR A GIVEN SIZE PARAMETER AND RELATIVE REFRACTIVE INDEX
C THE INCIDENT LIGHT IS NORMAL TO THE CYLINDER AXIS
C PARtELECTRIC FIELD PARALLEL TO CYLINDER AXIS
C PERtELECTRIC FIELD PERPENDICULAR TO CYLINDER AXIS7)
C it it it :t it:: it it it it it и it it itи it it it it it it it ii it it:: и a a:: it::it a :t::it it it it it it it it :t :t it к:: :t it a
SUBROUTINE BHCYL (X,REFREL,T1,T2,QSCPAR,QSCPER,QEXPAR,QEXPER,
2FIN,INTANG,ANG)
COMPLEX REFREL,Y,AN,BN,АО,B0
COMPLEX G(I000),BH(1000),Tl(200),T2(200)
DIMENSION THETAC200),ANG(200),BJ(1000),BY(1000),F(1000)
Y=X::REFREL
XSTOP = X + 9. ::X::«. 3333 + 2 .
C it it it it it it it it it it it a it it it it it it it it it it it it:::: :i it itit it :t it it
C SERIES TERMINATED AFTER NSTOP TERMS 8)
С я its it it it it it it it it it it it it it it it it it Я it it it it it it it it it it it it it it
Освещенный по нормали бесконечный цилиндр
621
95
99
95
96
97
98
99
100
101
102
103
109
105
106
107
108
109
110
111
112
ИЗ
119
115
116
117
118
119
120
121
122
123
129
125
126
127
128
129
130
131
132
133
139
135
136
137
138
139
190
191
192
193
199
195
196
197
198
199
NSTOP=XSTOP
YMOD=CABS(Y)
NMX = АМАХ1(XS TOP,YMOD) +15
NPTS=INTANG+1
DANG=FIN/FLOAT(INTANG)
DO 555 J=I,NPTS
ANG(J)=(FLOAT(J)-1. )::DANG
555 THETACJ ) = ANG(J );:0 . 0 1 7953292
С л:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: к :s::::
C LOGARITHMIC DERIVATIVE G(J) CALCULATED BY DOWNWARD
C RECURRENCE BEGINNING WITH INITIAL VALUE 0.0 + I " 0 . 0
C AT J = NMX 9) . .
С :::::::::: xи:::::;:::::;:::::;::::::::::::;::::::::;:::::::::::: к::::::::::
G(NMX)-CMPLX(0.0,0.0)
NN=NMX-1
DO 120 N=I,NN
RN=NMX-N+I
K=NMX-N
120 G(K)=((RN-2 .)/Y)-(l. /CGfK + D + CRN-1. )/Y))
c I:!:::::::::;::::::;::::::::::::::::::::::::x::::::::::::x::x::::XX x x x x x X:: x x::::
C BESSEL FUNCTIONS J(N) COMPUTED BY DOWNWARD RECURRENCE
C BEGINNING AT N = NSTOP + NDELTA
C BESSEL FUNCTIONS Y(N) COMPUTED BY UPWARD RECURRENCE
C BJtN+l) - J(N), BYJN+1) = Y(N)10>
C :::::::: иx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx::
NDELTA = C101 .+X)"".999
MSTxNSTOP+NDELTA
MST=(MST/2)“2
F(MST+1)=0.0
F(MST) =1.OE-32
MlcMST-1
DO 201 L-1,M1
MLxMST-L
201 F(ML)=2.“FLOAT(ML)"F(ML+1)/X-F(ML+2)
ALPHArF(l)
M2=MST-2
DO 202 LL=2,M2,2
202 ALPHA=ALPHA+2.“F(LL+1)
M3=M2+1
DO 203 N=1,M3
203 BJ(N)=F(N)/ALPHA
ВY(1)=BJ(1)“(ALOG(X/2.)+.577215669)
M9-MST/2-1
DO 209 L=1,M9
209 BY(l) = BY(l)-2 .«CC-1 • ):::!L)"BJ(2“L + 1)/FLOAT(L)
BY( 1 )= . 6 366 19 7 7 2::BY ( 1)
BY(2) = BJ(2)“BY(1)-.6 366 19772/X
BY(2) = BY (2)/B1)
NS-NSTOP-1
DO 205 KK=1,NS
20 5 BY (KK + 2 )= 2"FLOAT(KK )“’BY (KK+1 )/X-BY(KK)
NN=NSTOP+1
DO 715 N=1,NN
715 BH(N)=CMPLX(BJ(N),BY(N))
A0=G(1)"BJ(1)/REFREL+B2)
A0=A0/(Gt 1)“BH(1)/REFREL+BH(2))
BO = REFREL::G( 1 )“B 1 ) + B J ( 2 )
622
’Приложение В
1 5 D B0 = B0/(REFREL-:GUJ-BH(l) + BH(2)J
151 QSCРAR = СABS ( В 0 )-СABS( В0 )
152 QSCPER = СABS ( АО 9-CABS ( А0 J
153 DO 101 K=1,NPTS
154 Т1(К)=В0
155 101 Т2(К)=А0
156 DO 123 N=1,NSTOP
157 RN = N
158 AN= (G (N+1 2 / R Е FR Е L + R N/X ) ::В J С N+1 ) - В J ( N )
1 59 AN = AN/( (G (N+1 ) / RE FR EL + RN/X ) ::BH ( N+1 ) - BH ( N ) )
160 bn=Crefrel:;gCn+i)+rn/x);:bj(n+i)-bj(n)
161 BN = BN/((REFREL::G(N+1) + RN/X)"BH(N+1)-BH(N))
162 DO 102 J=1,NPTS
163 C = COS (RN::THE T A( J ) )
164 T 1 ( J ) = 2 . “BN::C + T 1 ( J )
1 6 5 1 02 T2C J ) = 2 . ::AN-C + T2( J)
166 QSCP AR-QSCP AR + 2 . -C AB S ( BN ) "CABS ( BN )
167 \ 123 QSCPER=QSCPER+2."CABS(AN)"CABS(AN)
168 QSCPAR = ( 2 ./x\)-QSCPAR
169 QSCPER-( 2 ./X j::QSCPER
170 QEXPER = ( 2 . /X )::REAL(T2( 1 ) )
171 QEXPAR = (2./X);:REAL(T1(1))
172 RETURN
173 END
Примечания: CALCYL вычисляет параметр x и относительный показатель
преломления REFREL по заданным показателю преломления цилиндра, по-
казателю преломления окружающей среды, радиусу и длине волны в свобод-
ном пространстве. Затем она обращается к BHCYL — подпрограмме, кото-
рая вычисляет элементы матрицы рассеяния и факторы эффективности.
2)
REJ7MED - (вещественный) показатель преломления окружающей среды.
Показатель преломления цилиндра — REFRE + I*REFIM.
Радиус RAD и Длина волны WAVEL в одних и тех же единицах.
5) FIN — предельный угол (в градусах),
INTANG - число интервалов между 0 и FIN.
Матричные элементы ТЗЗ и Т34 нормируются на Т11. Элемент Т11 норми-
рован на 1,0 в направлении рассеяния вперед. POL — степень поляризации
(падающий свет неполяризован).
7) Подпрограмма BHCYL вычисляет элементы амплитудной матрицы рас-
сеяния и факторы эффективности экстинкции и рассеяния по заданному па-
раметру дифракции и относительному показателю преломления. Падение
света нормально по отношению к оси цилиндра.
PAR — электрическое поле параллельно оси цилиндра,
PER — электрическое поле перпендикулярно оси цилиндра.
Я )
' Ряд обрывается после суммирования NSTOP членов.
Освещенный по нормали бесконечный цилиндр
623
Логарифмическая производная G (J) вычисляется по схеме обратной ре-
курсии начиная со значения 0,0 + 1-0,0 при J = NMX
10) Функции Бесселя J (N) вычисляются по схеме обратной рекурсии начи-
ная с N = NSTOP+NDELTA.
Функции Бессепя Y(N) вычисляются по схеме прямой рекурсии: В/ (N + 1) = J(N),
BY(N +1) = Y(N).
CYL
CYLINDER PROGRAM: NORMALLY INCIDENT LIGHT
REFMED = 1.0000 REFRE
CYLINDER RADIUS = .525
SIZE PARAMETER = 5.213
-. 1 5 50 00E + 01 REF1M = 0.
WAVELENGTH = .6328
NGLE Til POL T33 T39
0.00 . I 0000 0E + 01 739986E-01 •997199E+00 -. 172899E-01
9.00 •686631E+00 •291977E-01 •999932E+00 -.169025E-01
18.00 217683E+00 -.135736E+00 •986700E+00 . 899351E-01
27.00 .199205E+00 .103799E+00 . 931609E + 00 . 398352E + 00
36.00 .259696E+00 . 1 6 26 5 1E + 0 0 •977990E+00 . 139799E + 00
.95.00 .231162E+00 -.899687E-02 •997329E+00 .729853E-01
59.00 .132150E+00 -. 1 7 97 89E + 0 0 •953175E+00 •293175E+00
63.00 839900E-01 -.399098E-01 . 900228E + 00 939018E+00
72.00 •669177E-01 . 5 098 7 6E-01 •937919E+00 . 399536E + 00
81.00 . 6 2 297 7E-0 1 -.823535E-02 •992929E+00 •339320E+00
90.00 982920E-01 -.510106E-01 •967653E+00 •297076E+00
99.00 .199993E-01 -.606259E+00 •782219E+00 . 193519E+00
108.00 •299169E-01 -.191679E+00 . 1 73927E + 00 •979602E+00
117.00 916869E-01 .976291E+00 •539335E+00 •698307E+00
126.00 .200601E-01 988882E+00 . 8 39 2 2 8E + 0 0 -.238100E+00
135.00 186030E-01 -.671603E+00 -.708250E+00 •217558E+00
199.00 •655596E-01 -.676521E-01 -.325732E+00 . 993039E + 00
153.00 .632725E-01 .262920E-01 -.223793E+00 •979295E+00
162.00 . 1 680 29E-0 1 -.282769E-01 -.771987E+00 •635010E+00
171.00 •333769E-01 •956359E+00 -. 1 3 5 1 36E + 00 .259089E+00
180.00 •673019E-01 .899791E+00 .691930E-01 .931676E+00
QSCPAR = .209716E+01
QSCPER = .192782E+01
QEXPAR г .209716E+01
QEXPER = .192782E+01
Литература
|1. Aannestad P.A., Purcell E.M. Interstellar grains. Annu. Rev. Astron.
Astrophys., 11. 309 — 362, 1973.
2. Aannestad P.A^Absorptive properties of silicate core-mantle grains.
Astrophys. J., 200, 30 - 41, 1975.
3. Abeles F. (Ed.) Optical properties of solids. Elsevier, New York,
1972.
4. Abeles B., Gittleman J.I. Composite material films: optical proper-
ties and applications. Appl. Opt., 15, 2328 — 2332, 1976.
5. Abhyankar K.D., Fymat A.L. Relations between tbe elements of tbe
phase matrix for scattering. J. Matb. Phys., 10, 1935 — 1938, 1969.
6. Abramowitz M., Stegun I.A. (Eds.) Handbook of mathematical functions.
National Bureau of Standards, Washington, D.C., 1964.
7. Abreu V.J. Lidar from orbit. Opt. Eng., 19, 489 — 493, 1980.
8. Ackerman T.P., Toon O.B. Absorption of visible radiation in atmosphe-
re containing mixtures of absorbing and nonabsorbing particles, Appl.
Opt., 20, 3661 - 3667, 1981.
9. Acquista C. Light scattering by tenuous particles: a generalization
of the Raylei^i — Gans — Rocard approach. Appl. Opt., 15, 2932 —
2936, 1976.
10. Acquista C., Cohen A., Cooney J.A., Wimp J. Asymptotic behavior
of the efficiencies in Mie scattering. J.Opt. Soc. Am., 70, 1023 — 1025,
1980.
11. Aden A.L., Electromagnetic scattering from spheres with sizes com-
parable to the wavelengths. J. Appl. Phys., 22, 601 — 605, 1951.
12. Aden A.L., Kerker M. Scattering of electromagnetic waves from two
concentric spheres. J. Appl. Phys. , 22, 1242 — 1246, 1951.
13. Affolter P., Eliasson B. Electromagnetic resonances and Q-factors
of lossy dielectric spheres. IEEE Trans. Microwave Theory Tech.,
MTT-21, 573 - 578, 1973.
Литература
625
14. Агранович В.М., Гинзбург В.Л. Кристаллооптика с учетом прост-
ранственной дисперсии и теория экситонов. 2-е изд. - Мл Наука,
1979.
15. Antosiewicz Н.А. Bessel functions of fractional order. In Handbook
of mathematical functions, M. Abramowitz and LA. Stegun (Eds.), Nati-
onal Bureau of Standarts, Washington, D.C., 435 — 478, 1964.
16. Aronson J.R; Emslie A.G. Composition of the Martian dust as derived
by infrared spectroscopy from Mariner 9. J. Geophys. Res., 80, 4925 —
4931, 1975.
17. Aronson J.R., Emslie A.G. Effective optical constants of anisotropic
materials. Appl. Opt., 24, 4128 — 4129, 1980.
18. Asano S. Li^it scattering properties of spheroidal particles. Appl.
Opt., 18, 712 - 723, 1979.
19. Asano S., Sato M. Light scattering by randomly oriented spheroidal
particles. Appl. Opt., 19, 962 — 974, 1980.
20. Asano S., Yamamoto G. Light scattering by a spheroidal particle, Appl.
Opt., 14, 29 - 49, 1975.
21. Ashkin A. Acceleration and trapping of particles by radiation pressu-
re. Phys. Rev. Lett., 24, 156 - 159, 1970.
22. Ashkin A., Dziedzic J.M. Optical levitation by radiation pressure.
Appl. Phys. Lett., 19, 283 - 285, 1971.
23. Ashkin A., Dziedzic J.M. Optical levitation in high vacuum. Appl.
Phys. Lett., 28, 333 - 335, 1976.
24. Ashkin A., Dziedzic J.M. Observation of resonances in the radiation
pressure on dielectric spheres. Phys. Rev. Lett., 38, 1351 — 1354,
1977.
25. Axe J.D., Pettit G.D. Infrared dielectric dispersion and lattice dy-
namics of uranium dioxide and thorium dioxid. Phys. Rev., 151,
676 - 680, 1966.
26. Azzam R.M.A. Photopolarimetric measurement of the Mueller matrix
by Fourier analysis of a single detected signal. Opt. Lett., 2, 148 —
150, 1978.
27. Azzam R.M.A., Bas hard N.M. Ellipsometry and polarised li^it. North-
Holland, Amsterdam, 1977. (Имеется перевод: Аззам P., Башара H.
Эллипсометрия и поляризованный свет. - М.: Мир, 1981.)
28. Baltes Н.Р. On the validity of Kirchhoff’s law of heat radiation for
a body in a nonequilibrium environment. Prog. Opt., 13, 1 — 25, 1976.
40-205
626
Литература
29. Baltes Н.Р. (Ed.) Inverse source problems in optics. Springer-Ver lag,
Berlin, 1978.
30. Baltes H.P. (Ed.) Inverse scattering problems in optics. Springer-Ver-
lag, Berlin, 1980. (Имеется перевод: Обратные задачи в оптике
,/Под ред. Г.П. Болтса. - М»: Машиностроение» 1984.)
31. Bancroft W.b. The color of water. J. Franklin Inst., 187, 249 — 271,
459 - 485, 1919.
32. Banderman L.W., Kemp J.C. Circular polarization by single scattering
of unpolarized light from loss-less non-spherical particles. Mon. Not.
R. Astron. Soc., 162, 367 - 377, 1973.
33. Barber P., Yeh C. Scattering of electromagnetic waves by arbitrarily
shaped dielectric bodies. Appl. Opt., 14, 2864 — 2872, 1975.
34. Barker A.S. Infrared absorption of localized longitudinal-optical
phonons. Phys Rev., 87, 2507 — 2520, 1973.
35. Bartholdi M., Salzman G.C., Hiebert R.D., Kerker M. Differential light
scattering photometer for rapid analysis of single particles in flow.
Appl. Opt., 19, 1573 - 1581, 1980.
36. Bates R.H.T. Analytic constraints on electromagnetic field computati-
ons. IEEE Trans. Micro wave Theory Tech., MTT-23, 605 — 623, 1975.
37. Battan L.J. Radar observations of the atmosphere, rev. ed. Universi-
ty of Chicago Press, Chicago, 1973.
38. Battan L.J. Vertical air motions and the Z — R relation. J. Appl.Meteo-
rol., 15, 1120 - 1121, 1976.
39. Beardsley G.F. Mueller scattering matrix of sea water. J. Opt. Soc. Am.
58, 52 - 57, 1968.
40. Beckmann P., Spizzichino A. The scattering of electromagnetic waves
from rough surfaces. Macmillan, New York, 1963.
41. Bell B. The entire scattering matrix for a single fiber. M.S. thesis,1
The University of Arizona, 1981.
42. Bell B.W., Bickel 1У.5. Single fiber light scattering matrix: an experimen-
tal determination, Appl. Opt.. 20, 3874 — 3879, 1981.
43. Bell E,EK Optical constants and their measurement. Handbnch der
Physik, Vol. 25/2a, S,Flilgge (Ed,), Springer-Verlag, Berlin, 1 — 58,
1967.
44. Bendow B, Multiphonon infrared absorption in the highly transparent
frequency regime of solids. Solid State Phys., 33, 249 — 316, 1978.
45. Bennett H,S,, Rosasco G,J, Resonances in the efficiency factors for
absorption: Mie scattering theory. Appl. Opt., 17, 491 — 493, 1978.
Литература
627
46. Bergland Ro^o, Liu BoYoHo Generation of monodisperse aerosol stan-
darts. Environ.Sei. Technol., 7, 147 — 153, 1973.
47. Bergstrom R-,Wo Bemerkung zur Bestimmung des Absorptionskoeffizien-
ten atmospharischen Aerosols. Beitr. Phys. Atmos., 46, 198 — 202, 1973.
48. Bernal JD. The structure of water and its biological implications. In
The State and Movement of Water in Living Organisms. Symposium 19
of the Society for Experimental Biologv, Academic, New York, 17 — 32.
1965.
49. Bhagavantam So Scattering of light and the Raman effect, Chemical Hib-
lishing Co., New York, 1942.
50. Bickel JLSo, Stafford M-E. Biological particles as irregularly shaped
particles. In Li^it Scattering by Irregularly Shaped Particles, DoSchuer-
man (Ed>), Plenum, New York, 299 — 305, 1980.
51. Bickel JToS., Davidson JoFo, Huffman DoRo, Kilkson Ro Application of
polarization effects in light scattering: a new biophysical tool. Proc.
Natl. Acad. Sci. USA, 73, 486 - 490, 1976.
52. Bilbro JoWo, Atmospheric laser Doppler velocimetry: an overview. Opt.
Eng., 19, 533 - 542, 1980.
53. Blanchard D.C. From raindrops to volcanoes: adventure with sea sur-
face meteorology. Doubleday, New York, 1967.
54. Block S,., Piermarini Go Diamond cell aids high-pressure research. Phys.
Today, 29(9), 44 - 45, 1976.
55. Bohm Do, Gross EoPo Theory of plasma oscillations: A. Origin of medium-
like behavior. Phys. Rev., 75, 1851 — 1864, 1949.
56. Bohm Do, Gross EoPo Theory of plasma oscillations: B. Exitation and
damping of oscillations. Phys. Rev., 75, 1864 — 1876, 1949.
57. Bohm Do, Pines Do A collective description of electron interactions:
I. Magnetic interactions. Phys, Rev., 82, 625 — 634, 1951.
58. Bohm D., Pines Do A collective description of electron interactions:
III. Coulomb interactions in a degenerate electron gas. Phys. Rev.,
92, 609 - 625,1953.
59. Bohren CoF, Light scattering by optically active sphere. Chem. Phys.
Lett., 29, 458 - 462, 1974.
60. Bohren CoFo Scattering of electromagnetic waves by an optically ac-
tive spherical shell. J. Chem. Phys., 62, 1566 — 1571, 1975.
61. Bohren C,Fo Circular dichroism and optical rotatory dispersion spect-
ra of arbitrarily shaped optically active particles. J. Theor.Biol., 65,
755 - 767, 1977.
62. Bohren CoFo Scattering of electromagnetic waves by an optically ac-
tive cylinder. J. Colloid Interface Sci., 66, 105 — 109, 1978.
628
Литература
63. Bohren C.F., Barkstrom B.R. Theory of the optical properties of snow.
J. Geophys. Res., 79, 4527 - 4535, 1974.
64. Bohren C.F., Battan L°J. Radar backscatterin g by inhomogeneous pre-
cipitation particles. J. Atoms. Sci., 37, 1821 — 1827, 1980.
65. Bohren C.F., Battan L.J. Backscattering of microwaves by spongy ice
spheres. Preprints, 20th Conference on radar meteorology (Boston),
American meteorological society, Boston, 385 — 388, 1981.
“66. Bohren C.F., Brown G,M« Once in a blue moon. Weatherwise, 34,
129 - 130, 1981.
67. Bohren C.F., Gilra D,P, Extinction by a spherical particle in an ab-
sorbing medium. J. Colloid Interface Sci., 72, 215 — 221, 1979.
68. Bohren C.F,, Herman B.M. On the asymptotic scattering efficiency of
a large sphere. J. Opt.Soc.Am., 69, 1615 — 1616, 1979.
69. Bohren C.F,, Huffman D.R, Absorption cross-section maxima and mi-
nima in IR absorption bands of small ionic ellipsoidal particles. Appl.
Opt., 20, 959 - 962, 1981.
70. Bohren C,F,t Hunt A,], Scattering of electromagnetic waves by a
charged sphere. Can. J. Phys., 55, 1930 — 1935, 1977.
71. Bohren C.F., Timbrell V, Computer programs for calculating scatter-
ing and absorption by normally illuminated infinite cylinders. Pro-
ject No. 38, Institute of occupational and Environmental health,
Montreal, 1979.
72. Bohren C.F,, Wickramasinghe N.C. On the computation of optical pro-
perties of heterogeneous grains. Astrophys. Space Sci., 50, 461 — 472,
1977.
73. Borghese E«, Denti P,, Toscano G., Sindoni 0,1, Electromagnetic scat-
tering by a cluster of spheres. Appl. Opt., 18, 116 — 120, 1979.
74. Bom M,, Wolf E, Principles of optics, 3rd ed. Pergamon, Oxford, 1965.
(Имеется перевод: Борн M., Волъф Э. Основы оптики. — М.: Наука,
1970.)
75. Bottiger J.R., Fry E.S., Thompson R.C. Phase matrix measurements for
electromagnetic scattering by sphere aggregates. In Light Scattering by
Irregularly Shaped Particles, D.Schuerman (Ed,), Plenum, New York,
1980, p. 283 - 290.
76. Box M.A., McKellar B«H«J. Direct evaluation of aerosol mass loadings
from multispectral extinction data. Q.J.R. Meteorol. Soc., 104,775—781.
1978.
77. Brain J.P. Halo phenomena — an investigation. Weather, 27, 409 — 410,
1972.
Литература
629
78. Brillouin L„ The scattering cross section of spheres for electromagne-
tic waves. J. Appl. Phys., 20, 1110 — 1125, 1949.
79. Brillouin L, Wave Propagation and Group Velocity. Acadimic, New York,
1960.
80. British Association for the Advancement of Science. Mathematical
tables, Vol. X; Bessel function, Part II: Functions of Positive Integer
Order, Cambridge University Press, Cambridge, 1952.
81. Brown F.C* The Physics of Solids, W.A. Benjamin, New York, 1967.
82. Brown Ultraviolet spectroscopy of solids with the use of synchrot-
ron radiation. Solid State Phys., 29, 1 — 73, 1974.
83. Browning K.A. Meteorological applications of radar. Rep. Progr. Phys.,
41, 761 - 806, 1978.
84. Bruce C.W., Pinnick R„G, In situ measurements of aerosol absorption
with a resonant CW laser spectrophone. Appl. Opt., 16, 1762 — 1765,
1977.
85. Bruggeman D^A,Go Berechnung verschiedener physikalischer Konstan-
ten von heterogenen Substanzen. I. Dielektrizitatskonstanten und
Leitfahigkeiten der Mischkorper aus isotropen Substanzen. Ann. Phys.
(Leipzig), 24, 636 — 679, 1935.
86. xflryant H<,C<>, Cox A»J, Mie theory and the glory. J. Opt. Soc. Am., 56,
1529 - 1532, 1966.
87. Брыксин В.В., Гербштейн Ю.М., Мирлин Д.Н. Оптические эффекты,
обусловленные поверхностными колебаниями в щелочно-галоидных
кристаллах. ФТТ, 1971, 13, с. 1603 - 1610.
в'7 Buchanan Т.!», Haggis G'H., Hasted J>B«, Robinson B^G. The dielec-
tric estimation of protein hydration. Proc. R. Soc. Lond., A213,
379 - 391, 1952.
89. Bums R'G. Mineralogical Applications of Crystal Field Theory. Camb-
ridge University Press, Cambridge, 1970.
90. Carlon H.R., Anderson D.H», Milham M°E,, Tamove T^L», Frickel RJk,
Sindoni К Infrared extinction spectra of some common liquid aerosols.
Appl. Opt., 16, 1598 - 1605, 1977.
91. Carlson T.N., Benjamin S<,G« Radiative heating rates for Saharan dust.
J. Atmos. Sci., 37, 193 — 213, 1980.
92. Champenev D«C<, Fourier transforms and Their Physical Applications.
Academic, New York, 1973.
93. Chandrasekhar S, Radiative transfer. Oxford University Press, London,
1950 (reprinted by Dover, New York, 1960). (Имеется перевод: Чандра-
секар С. Перенос лучистой энергии. - М.: ИЛ, 1953.)
630
Литература
94. Charlock Т„Р,, Sellers WoD^ Aerosol effects on climate calculations
with time-dependent and steady-state radiative-convective models.
J. Atmos. Sci., 37, 1327 - 1341, 1980.
95. Chen T.S., de Wette F»W,, Kleinman L» Infrared absorption in MgO
microcrystals. Phys. Rev., В18, 958 — 962, 1978.
96. Chen У., Sibley W.A« A study of zero phonon lines in electron-irradi-
ated, neutron-irradiated, and additively colored MgO. Philos. Mag.,
20, 217 - 223, 1969.
97. Christy R.W» Classical theory of optical dispersion. Am. J. Phys.,
40, 1403 - 1419, 1972.
98. Chu B, Laser light scattering. Academic, New York, 1974.
99. Churchill R<,V» Complex variables and applications. McGrow-Hill,
, New York, 1960.
100. Chylek P* Asymptotic limits of the Mie-scattering characteristics.
J. Opt. Soc. Am., 65, 1316 - 1318, 1975.
101. Chvlek P, Partial-wave resonances and the ripple structure in the
Mie normalized extinction cross section. J. Opt. Soc. Am., 66,
285 - 287, 1976.
102. Chylek P., Kiehl J»T°, Ko M»K>W<, Narrow resonance structure in the
Mie scattering characteristics. Appl. Opt., 17, 3019 — 3021, 1978.
103. Chylek P., Kiehl J>T., Ko kf^K^Wc Optical levitation and partial-wave
resonances. Phys. Rev., A18, 2229 — 2233, 1978.
104. Clarke D, Polarimetric definitions. In Planets, stars, and Nebulae
Studied with Photopolarimetry, ToGehrels (Ed°)', University Arizona
Press, Ariz., 1974, p. 45 — 53.
105. Clarke D„, Grainger ]<>F° Polarized Light and Optical Measurements.
Pergamon, Oxford, 1971.
106. Coffeen D„La Wavelength dependence of polarization: XVI. Atmosphe-
re of Venus. Astron. J., 74, 446 — 460, 1969.
107. Cole K>S., Cole RJh Dispersion and absorption in dielectrics: I.
Alternating current characteristics. J. Chem. Phys., 9, 341 — 351,
1941.
108. Collett Eo The description of polarization in classical physics. Am. J.
Phys., 22, 351 - 362, 1968.
109. Cook HoFo A comparison of the dielectric behaviour of pure water
and human blood at microwave frequencies. Br. J. Appl. Phys., 3,
249 - 255, 1952.
110. Cooke D,D», Kerker M. Response calculations for light-scattering
aerosol particle counters. Appl. Opt., 14, 734 — 739, 1975.
Литература
631
111. Сот И; Esmen N.A. Aerosol generation. In Handbook on Aerosols,
Dennis Ro(Edo), ERDA Technical Information Center, Oak Ridge,
Tenn., 1976, pp. 9 — 39.
112. Courant Ro, Hilbert D„ Methods of Mathematical Physics. Vol. I,
Wiley-Interscience, New York, 1953. (Имеется перевод: Курант R,
Гильберт Д. Методы математической физики. Т. I. - М.—Л.:
Гостехиздат, 1951.)
ИЗ. Coyne GoK, Gehrels То, Serkowski Ко Wavelength dependence of
polarization: XXVI. The wavelength of maximum of polarization as
a characteristic parameter of interstellar grains. Astron. J., 79, 581 —
589, 1974.
114. Crosswhite HoMo, Moos HoWo (Edso)' Optical Properties of Ions in
Crystals. Interscience, New York, 1967.
115. Dave hVo Subroutines for Computing the Parameters of the Electro-
magnetic Radiation Scattering by a Sphere. IBM Order Number 360D-
17.4.002, 1968.
116. Davies, Kenneth* Ionospheric Radio Waves. Blaisdell, Waltham, Mass.,
1969.
117. Davies E*Jo, Ray AoKo Determination of diffusion coefficients by
submicron droplet evaporation. J. Chem. Phys., 67, 414 — 419, 1977.
118. Dawkins A.W»J,, Nightingale J4,R,Vo, South G.P,, Sheppard R,Jo,
Grant EoH. The role of water in microwave absorption by biological
material with particular reference to microwave hazards. Phys. Med.
Biol., 24, 1168 - 1176, 1979.
119. Day K.L. Further measurements of amorphous silicates. Astrophys.
J., 210, 614 - 617, 1976.
120. Day KoLo Mid-infrared optical properties of vapor-condensed magne-
sium silicates. Astrophys. J., 234, 158 — 161, 1979.
121. Day KoLo, Huffman D*R Measured extinction efficiency of graphite
smoke in the region 1200—6000 A, Nature Phys. Sci., 243, 50 — 51,
1973.
122. Dayawansa LJo, Bohren CoFo The effect of substrate and aggregation
on infrared extinction spectra of MgO particles. Phys. Status Solidi
(b), 86, K27 - K30, 1978.
123. Debye P. D er Lichtdruck auf Kugeln von beliebigem Material. Ann.
Phys., 30, 57 - 136, 1909.
124. Debye P. Polar molecules. Chemical Catalog Co., New York, 1929.
(Имеется перевод: Дебай П. Полярные молекулы. - Л.: Гостех-
издат, 1931.)
125. de Groot S,R0 The Maxwell equations. North-Holland, Amsterdam,
1969.
632
Литература
126. Deirmendjian Do Electromagnetic Scattering on Spherical Polydisper-
sions. Elsevier, New York, 1969. (Имеется перевод: Дейрменджан Д.
Рассеяние электромагнитного излучения сферическими полидис-
персными частицами. - М.: Мир, 1971.)
127. Deirmendjian Do, Vestine ЕоНо Some remarks on the nature and the
origin of noctilucent cloud particles. Planet. Space Sci., 1, 146 — 153,
1959.
128. Devore JoRo, Pfund AoHo Optical scattering by dielectric powders of
uniform particle size. J. Opt. Soc. Am., 37, 826 — 832,1947.
129. DiBartolo Bo (Edo) Optical Properties of Ions and Solids. Plenum,
New York, 1974.
130. Diehl SoRo, Smith DoTo, Sydor Mo Analysis of suspended solids by
single-particle scattering. Appl. Opt., 18, 1653 — 1657, 1979.
131. Dixon J.R. Electric-susceptibility mass of free carriers in semicon-
ductors. In Optical Properties of Solids. Nudelman S,, Mitra S«S. (Edso),
Plenum, New York, pp. 61 — 83, 1969.
132. Djerassi Co Optical Rotatory Dispersion. McGraw-Hill, New York,
1960.
133. Dobbins RoA,, Eklund ToL Ripple structure of the extinction coef-
ficient, Appl. Opt., 16, 281 — 282,1977.
134. Donahue ToMo, Guenther Ro, Blamont JoEo Noctilucent clouds in day
time: circumpolar particulate layers near the summer mesopause.
J. Atmos. Sci., 29, 1205 - 1209, 1972.
135. Doremus RoHo Optical properties of small gold particles. J. Chem.
Phys., 40, 2389 - 2396, 1964.
136. Doyle W,To Absorption of light by colloids in alkali halide crystals.
Phys. Rev., 111, 1067 - 1077, 1958.
137. Drost-Hansen IL Structure of water near solid interfaces. Ind. Eng. Chem.,
61,10 * 47, 1969.
138. Eastwood Eo Radar ornitology. Methuen, London, 1967.
139. Ehrenreich Ho, Philipp HoR, Optical properties of Ag and Cu. Phys.
Rev., 128, 1622 - 1629, 1962.
140. Ehrenreich Ho, Philipp HoRo, Segall Bo Optical properties of alumi-
nium. Phys. Rev., 132, 1918 — 1928, 1963.
141. Emeis C,Ao, Oosterhoff Lojo, de Vries Go Numerical evaluation of
Kramers — Kronig relations. Proc. R.Soc. Lond., №51, 54 — 65,
1967.
142. Erma VoA, An exact solution for the scattering ot electromagnetic waves
from conductors of arbitrary shape: I. Case of cylindrical symmetry.
Phys. Rev., 173, 1243 - 1257, 1968.
Литература
633
143. Erma КА. An exact solution for the scattering of electromagnetic
waves from conductors of arbitrary shape'. II. General case. Phys.
Rev., 176, 1544 - 1553, 1968.
144. Ema KA, An exact solution for the scattering of electromagnetic
waves from bodies of arbitrary shape: III. Obstacles with arbitrary
electromagnetic properties. Phys. Rev., 179, 1238 — 1246, 1969.
145. Eversole J.D., Broida H.P. Size and shape effects in light scatte-
ring from small silver, copper and gold particles. Phys. Rev., В15,
1644 - 1655, 1977.
146. Фабелинский ИЛ. Молекулярное рассеяние света. - М.: Наука,
1965.
147. Faraday М. Experimental relations of gold (and other metals) to light.*
Philos. Trans., 147, 145, 1857 (reprinted in Faraday. Experimen-
tal researches in chemistry and physics. William Francis, London,
1859, pp. 391 - 443).
148. Faxvog F.R., Roessler D.M. Optoacoustic measurements of diesel
particulate emission. J. Appl. Phys., 50, 7880 — 7882, 1979.
149. Faxvog F.R., Roessler D.M. Optical absorption in thin slabs and
spherical particles. Appl. Opt., 20, 729 — 731, 1981.
150. Fenn RoW°, Oser Ho Scattering properties of concentric soot-water
spheres for visible and infrared light. Appl. Opt., 4, 1504 — 1509,
1965.
151. Fisher Ko Measurements of absorption of visible radiation by aerosol
particles. Beitr. Phys. Atmos., 43, 244 — 254, 1970.
152. Fisher Ko Mass absorption coefficient of natural aerosol particles in
the 0.4 — 2.4 pm wavelength interval. Beitr. Phys. Atmos., 46, 89 —
100, 1973.
153. Fogle Bo, Haurwitz Bo Noctilucent clouds. Space Sci. Rev., 6, 279 —
340, 1966.
154. Foley J.T., Pattanayak D.N. Electromagnetic scattering from a
spatially dispersive sphere. Opt. Commun., 12, 113 — 117, 1974.
155. Foot I.So Spectrophone measurements of the absorption of solar
radiation by aerosol. Q.J.R.Meteor. Soc., 105, 275 — 283, 1979.
156. Forman R.A., Piermarini G.Jo, Barnett J.D., Block S. Pressure me-
asurements made by the utilization of ruby sharp-line luminescence.
Science, 176, 284 - 285, 1972.
157. Fouquart У», Irvine ILIL, Lenoble J. Standard procedures to compute
atmospheric radiative transfer in a scattering atmosphere, Vol. 2, bt.
Assoc. Met. Atmos. Phys, (prepared for publication by S.Ruttenberg,
National Center for Atmospheric Research., Boulder, Colo.), 1980.
41-205
634
Литература.
158. Fraser АоВо Inhomogeneities in the color and intensity of the rainbow.
J. Atmos. Sci., 29, 211 - 212, 1972.
159. Fraser A,Bo What size of ice crystals causes the halos? J. Opt. Soc.
Am., 69, 1112 - 1118, 1979.
160. Frolich H.> Theory of dielectrics. Oxford University Press, London,
1949. (Имеется перевод: Фрёлих Г. Теория диэлектриков. - М.:
ИЛ, 1960.)
161. Frolich Но, Pelzer Н, Plasma oscillations and energy loss of charged
particles in solids. Proc. Phys. Soc. Lond., A68, 525 — 529, 1955.
162. Fry E,So,Kattawar G.IT. Relationship between elements of the Stokes
matrix. Appl. Opt., 20, 2811 - 2814, 1981.
163. Fuchs Ro Theory of the optical properties of ionic crystal cubes.
Phys. Rev., В11, 1732 - 1740, 1975.
164. Fuchs Ro Infrared absorption in MgO microcrystals. Phys. Rev., В18,
7160 - 7162, 1978.
165. Fuchs Ro, Kliewer KoLo Optical modes of vibration in an ionic crys-
tal sphere. J. Opt. Soc. Am., 5B, 319 — 330, 1968.
166. Gadsden Mo Observations of the colour and polarization of noctilucent
clouds. Ann. Geophys., 31, 507 — 516, 1975.
167. Gadsden Mo The polarization of noctilucent clouds. Ann. Geophys.,
33, 363 - 366, 1977.
168. Gadsden Mo The sizes of particles in noctilucent clouds: implicati-
ons for mesospheric water vapor. J. Geophys. Res., 83, 1155 — 1156,
1978.
169. Gadsden Mo, Rothwell Po, Taylor Mojo Detection of circularly pola-
rised light from noctilucent clouds. Nature, 278, 628 — 629, 1979.
170. Gambling Dojo, Billard Bo A study of the polarization of skylight.'
Aust. J. Phys., 20, 675 - 681, 1967.
171. Garbuny Mo Optical physics. Academic Press, New York, 1965.
172. Gehrels To (Edo), Planets, Stars and Nebulae Studied with Photo-
polarimetry. University of Arizona Press, Tucson, Ariz., 1974.
173. Gehrels To Wavelength dependence of polarization: XXVII. Interstel-
lar polarization fom 0,22 to 2,2 pm. Astron. J., 79, 590 — 593, 1974.
174. Genzel L. Impurity-induced lattice absorption. In Optical properties
of solids. Nudelman S,, Mitra S.S. (Eds,), Plenum, New York, p. 453 —
487, 1969.
175. Genzel L, Aspects of physics of microcrystals. In Festkorper prob-
leme (Advances in Solid State Physics), Vol. XIV, Madelung Oo(Edo),
Pergamon-Vieweg, Braunschweig, p. 183 — 203, 1974.
176. Genzel Lo, Martin ToP, Infrared absorption by small ionic crystals.
Phys. Status Solidi (b), 51, 91 - 99, 1972.
Литература
635
177. Genzel Lo, Martin ToPo Infrared absorption by surface phonons and
surface plasmons in small crystals. Surf. Sci., 34, 33 — 49, 1973.
178. Gerber Ho, Hindman Eo Light absorption by aerosol particles. Spect-
rum press, Hampton, Va, 1982.
179. Gevers Mo The relation between the power factor and the temperature
coefficient of the dielectric constant of solid dielectrics, I. Philips
Res. Rep., 1, 197 - 224, 1946.
180. Giaever L The antibody-antigen reaction: a visual observation. J. Immu-
nol., 110, 1424 - 1426, 1973.
181. Giaever L, Baffin R,J, Visual detection of hepatitus В Antigen.
Proc. Natl. Acad. Sci. USA, 71, 4533 - 4535, 1974.
182. Gillespie JoBo, Jennings SoGo, Lindberg JoD, Use of an average comp-
lex refractive index in atmospheric propagation calculations. Appl.
Opt., 17, 989 - 991, 1978.
183. Gilra DoPo Collective excitations and dust particles in space. In
The Scientific Results from the Orbiting Astronomical Observatory
OAO-2; Code AoDo(Edo), NASA SP-310, p. 295 - 319, 1972.
184. Gilra D.Po Collective excitations in small solid particles and astro-
nomical applications. Ph. D. Thesis, University of Wisconsin, 1972.
185. Glick A, Jo, Yorke EoDo Theory of far-infrared absorption by small
metallic particles. Phys.Rev., В18, 2490 — 2493, 1978.
186. Glicksman Mo Plasmas in solids. Solid State Phys., 26, 275 — 427,
1971.
187. Goldberger MoLo Introduction to the theory and applications of dis-
persion relations. In Dispersion relations and elementary particles,
de Witt Co, Omnes Ro (.Edso), Wiley, New York, p. 15 — 157, 1960.
188. Goldstein Mo, Thaler RoMo Recurrence techniques for the calculation
of Bessel functions. Math. Tables Other Aids Comput., 13, 102 — 108,
1959.
189. Голованов B.A., Горчаков Г.И., Емиленко А.С., Сидоров В.Н. О
климатической изменчивости матриц рассеяния света. Изв. АН СССР,
сер. Физика атмосферы и океана, 7, № 12, 1318 - 1322, 1971.
190. Goody R.M. Atmospheric radiation, Vol. I: Theoretical Basis, Oxford
University Press, London, 1964.
191. Горькое Л.П., Элиашберг Г,М, Мелкие металлические частицы в
электромагнитном поле. ЖЭТФ, 48, № 5, 1407 - 1418, 1965.
192. Grams GoWo In situ measurements of scattering phase functions of
stratospheric aerosol particles in Alasca during July 1979. Geophys.
Res. Lett., 8, 13 - 14, 1981.
636
Литература
193. Grams GoWo, Blifford LB», Gillette D»Ao, Russell PoPo Complex in-
dex of refraction of airborne soil particles. J. Appl. Meteorol., 13,
459 - 471, 1974.
194. Granqvist C.G,, Hunderi Oo Optical properties of ultrafine gold
particles. Phys. Rev., В16, 3513 — 3534, 1977.
195. Granqvist CoG», Buhman R.A„, JTyns /«, Sievers A,J. Far-infrared
absorption in ultrafine Al particles. Phys. Rev. Lett., 37, 625 — 629,
1976.
196. Grant E.H., Buchanan ToJ*, Cook H,F. Dielectric behavior of water
at microwave frequencies. J. Chem. Phy^., 26, 156 — 161, 1957.
197. Green A.W. An approximation for the shapes of large raindrops. J.
Appl. Meteorol., 14, 1578 — 1583, 1975.
198. Green H,L., Lane IT./?. Particulate Clouds: Dust, Smokes, and Mists,
2nd ed., Van Nostrand, New York, 1964.
199. Greenaway D.L., Harbeke G. Optical Properties and Band Structure of
Solids. Pergamon, Oxford, 1968.
200. Greenberg Hong S„S. Effects of particles shape on the shape
of extinction and polarization bands in grains. In Planets, Stars and
Nebulae Studied with Photopolarimetry, Gehrels T, (E<L), Universi-
ty of Arizona Press, Tucson, Ariz., pp. 916 — 925, 1974.
201. Greenberg JoMo, Stoeckly Ro Shape of the diffuse interstellar bands.
Nature Phys. Sci., 230, 15 — 16, 1971.
202. Greenberg J,M,, Pedersen N.E., Pedersen J,C. Microwave analog to the
scattering of light by nonspherical particles. J. Appl. Phys., 32, 233 —242,
1961.
203. Greenler Ro Rainbows, halos, and glories. Cambridge University
Press, Cambridge, 1980.
204. Grenfell T,C,, Perovitch D.K, Radiation absorption coefficients of
polycrystalline ice from 400 — 1400 nm. J. Geophys. Res., 86,
7447 - 7450, 1981.
205. Гришин Н.И. Исследование непрерывного спектра серебристых
облаков. Бюллетень Всесоюзного астрономо-геодезического об-
щества, 19, 3 -16, 1956.
206. Gucker FoTo, Egan Measurement of the angular variation of
light scattered from single aerosol droplets. J. Colloid Sci., 16,
68 - 84, 1961.
207. Gunn R., Kinzer G,D, The terminal velocity of fall for water drop-
lets in stagnant air. J. Meteorol., 6, 243 — 248, 1949.
208. Hadni A, Far infrared electronic transitions in rare earth ions. In
Литература
637
Far-infrared Properties of Soli ds, S.S.Mitra and S.Nudelman (Eds.),
Plenum, New York, 1970, p. 535 - 560.
209. Hadni A. Lattice absorption in the very far infrared. In Far-infrared
Properties of Solids, S.S.Mitra and S.Nudelman (Eds.), Plenum,
New York, 1970, p. 561 - 587.
210. Hafele H.G. Die optischen Konstanten von Magnesiumoxyd im Infra-
roten. Ann. Phys., 10, 321 — 326, 1963.
211. Hagemann H.J., Gudat IT», Kunz C. Optical constants from the far
infrared to the x-ray region: Mg, Al, Cn, Ag, Au, Bi, C, and A12Oj.
Deutsches Electronen-Synchrotron DESY SR-74/7, 1974.
\ 212. Hale G.M., Querryjt.R. Optical constants of water in the 200 nm to
200-цт wavelength region. Appl. Opt., 12, 555 — 563, 1973.
213. Hansen J.E., Hovenier J.W. Interpretation of the polarization of Ve-
nus. J. Atmos. Sci., 31, 1137 — 1160, 1974.
214. Hansen J.E., Travis L.D. Light scattering in planetary atmospheres.
Space Sci. Rev., 16, 527 — 610, 1974.
215. Hansen J.E., Wang ILC., Lads A.A, Climatic effects of atmospheric
aerosols. Proc. Conf, on Aerosols: Urban and Rural Characteristics,
Source and Transport Studies, New York Academy of Sciencies,
New York, 1979.
216. Harbeke G. Optical properties of semiconductors. In Optical Proper-
ties of Solids, F.Abeles (Ed.), Elsevier, New York, 1972, p. 21 —92.
217. Harrick N.J. Internal reflection spectroscopy. Wiley-Interscience,
New York, 1967.
218. Hart R.W„, Gray E.P. Determination of particle structure from light
scattering- J. Appl. Phys.,35, 1408 — 1415, 1964.
219. Hass G., Tousey R. Reflecting coatings for the extreme ultraviolet.
J. Opt. Soc. Am., 49, 593 - 602, 1959.
220. Henniker J.C. The depth of the surface zone of a liquid. Rev. Mod.
Phys., 21, 322 - 341, 1949.
221. Hensel J.C., Philips T.G., Thomas G.A. The electron-hole liquid in
semiconductors: experimental aspects. Solid State Phys., 32, 88 — 314,
1977.
222. Herbig G.H. The diffuse interstellar bands: IV. The region 4400—6850 A.
Astrophys. J., 196, 129 — 160,1975.
223. Herman B.M. Infra-red absorption, scattering, and total attenuation
cross-sections for water spheres. Q.J.R.Meteorol. Soc., 88, 143 — 150,
1962.
224. Herman Rattan L.J. Calculations of Mie back-scattering of micro-
waves from ice spheres. Q.J.R. Meteorol. Soc., 87, 223 — 230, 1961.
638
Литература
225. Herzberg G, Infrared and Raman Spectra of Polyatomic Molecules.
Van Nostrand, New York, 1945.
226. HeyderJ., Gebhart J» Optimization of response functions of light
scattering instruments for size evaluation of aerosol particles. Appl.
Opt., 18, 705 - 711, 1979.
227. Hobbs P.V. Ice physics. Oxford University Press, London, 1974.
228. Hodgson J-W* Optical absorption and dispersion in solids. Chapman
& Hall, London, 1970.
229. Hodkinson J»R> Light scattering and extinction by irregular particles
larger than the wavelength. In Electromagnetic scattering, M. Kerker (Ed,),
Macmillan, New York, 1963, p. 87 — 100.
230. Hodkinson J°R>, Greenleaves I. Computations of light-scattering and
extinction by spheres according to diffraction and geometrical optics
and some comparisons with the Mie theory. J. Opt. Soc. Am., 53,
577 - 588, 1963.
231. Holland A'C,, Draper J.S. Analytical and experimental investigation
of light scattering from polydispersions of Mie particles. Appl. Opt.,
6, 511 - 518, 1967.
232. Holland A,C., Gagne G* The scattering of polarized light by polydis-
perse systems of irregular particles. Appl. Opt., 9, 1113 — 1121,
1970.
233. Huebner R.H., Arakawa E^T^, MacRae R.A., Hamm R,R. Optical con-
stants of vacuum-evaporated silver films. J. Opt. Soc. Am., 54, 1434 —
1437, 1964.
234. Huffaker RcM<, Laser Doppler detection system for gas velocity measu-
rement. Appl. Opt., 9, 1026 — 1039, 1970.
235. Huffman D<,R<, Interstellar grains: the interaction of light with a small-
particle system. Adv. Phys., 26, 129 — 230, 1977.
236. Huffman D«R^, Bohren C^F, Infrared absorption spectra of non-spheri-
cal particles treated in the Rayleigh- — ellipsoid approximation. In
Light Scattering by Irregularly Shaped Particles, DoSchuerman (Ed>),
Plenum, New York, 1980, p. 103 — 111.
237. Huffman D,R„, Schwalbe L^Ao, Schiferl D„ Use of smoke samples in
diamond-anvil cells to measure pressure dependence of optical spect-
ra: application to the ZnO exciton. Solid State Commun., 44, p. 521 -
525, 1982.
238. Hummel J»R>, Olivera J.J. Satellite observation of the mesospheric
scattering layer and implied climatic consequences. J. Geophys. Res.,
81, 3177 - 3178, 1976.
239. Hunt А,/», Huffman D*R„ A new polarization-modulated light scatte-
Литература
639
ring instrument. Rev. Sei. Instrum., 44, 1753 — 1762, 1973.
240. Hunt A,J,, Huffman D,R. A polarization-modulated instrument for
determining liquid aerosol properties. Jpn. J. Appl. Phys., 14
(Suppl. 14-1), 435 - 440, 1975.
241. Hunt A.J., Steyer T'R„, Huffman DoRo Infrared surface modes in small
NiO particles. Surf. Sci., 36, 454 — 461, 1973.
242. HurwitzH' The statistical properties of unpolarized light. J.Opt. Soc.
Am., 35, 525 - 531, 1945.
243. Inagaki T*, Arakawa EQT«, Hamm R«^'., Williams Optical proper-
ties of polystyrene from the near-infrared to the x-ray region and con-
vergence of the optical sum rules. Phys. Rev., В15, 3243 — 3253,
1977.
244. Irani G.B., Huen T„, Wooten F.> Optical properties of Ag and a-phase
Ag — Al alloys. Phys. Rev., 3B, 2385 — 2390, 1971.
245. Irvine И'оМс, Pollack J>B. Infrared optical properties of water and ice
spheres. Icarus, 8, 324 — 360, 1968.
246. Jackson J*D. Classical electrodynamics, 2nd ed. Wiley, New York,
1975. (Имеется перевод 1-го изд.: Дженсон Дж. Классическая
электродинамика. — М.: Мир, 1965.).
247. Jacobson В» On the interpretation of dielectric constants of aqueous
macromolecular solutions. Hydration of macromolecules. J. Am. Chem.
Soc., 77, 2919 - 2926, 1955.
248. Japar S.M., Kittinger D<,K> Photoacoustic and absorption spectrum of
airborne carbon particulate using a tunable dye laser. Chem. Phys.
Lett., 66, 207 - 209, 1979.
249. Jasperse J»R<, Kahan A,, Plendl J.N., Mittra S0S. Temperature de-
pendence of infrared dispersion in ionic crystals LiF and MgO.
Phys. Rev., 146, 526 - 542, 1966.
250. Jasperson S.N., Schnatterly S.E. An improved method for high ref-
lectivity ellipsometry based on a new polarization modulation tech-
nique. Rev. Sci. Instrum., 40, 761 — 767, 1969.
251. Jenkins F^Aa, White H„E. Fundamentals of Optics, 3rd ed. McGraw-
Hill, New York, 1957.
252. Jones DcSo On the scattering cross section of an obstacle. Philos.
Mag., 46, 957 - 962, 1955.
253. Jones D.S. The theory of electromagnetism. Pergamon, Oxford, 1964.
254. Jones D„Sa, Kline M. Asymptotic expansions of multiple integrals
and the method of stationary phase. J. Math. Phys., 37, 1 — 28, 1958.
255. Jones R.C« A generalisation of the dielectric ellipsoid problem. Phys.
Rev., 68, 93 — 96, 1945.
640
Литература
256. June K.R. Error in the KBr dispersion equation. Appl. Opt., 11, 1655,
1972.
257. Кадышевич E.A., Любовцева Ю.С., Плахина И.Н. Измерение мат-
риц рассеянного света морской водой. Изв. АН СССР, сер. Физи-
ка атмосферы и океана, 7, № 5, 557 - 562, 1971.
258. Кадышевич Е.А., Любовцева Ю.С., Розенберг Г.В. Матрицы рас-
сеяния света водами Тихого и Атлантического акеанов. Изв.
АН СССР, сер. Физика атмосферы и океана, 12, № 2, 186 - 192,
1976.
259. Kalin R,, Kneubuhl F. Size effects on the spectral thermal emissi-
vity of alkali halides. Infrared Phys., 16, 491 — 508, 1976.
260. Kattawar G°W,, EisnerAL Radiation from a homogeneous isothermal
sphere. Appl. Opt., 9, 2685 — 2690, 1970.
261. Kattawar G,W„, Humphreys T.J. Electromagnetic scattering from two
identical pseudospheres. In Light Scattering by Irregularly Shaped
Particles. D.Schuerman (E<L), Plenum, New York, 1980, pp. 177 — 190.
262. Kattawar G«W., Plass Go^K Electromagnetic scattering from absorbing
spheres. Appl. Opt., 6,1377 — 1382,1967.
263. Kemp J*C<> Piezo-optical birefringence modulators: new use for a
long-known effect. J. Opt. Soc. Am., 59, 950 — 954, 1969.
264. Kerker M, The scattering of light and other electromagnetic radiation.
Academic, New York, 1969.
265. Kerker Cooke D., Farone W.A„, Jacobsen R»T« Electromagnetic
scattering from an infinite circular cylinder at oblique incidence: I.
Radiance functions for m = 1.46. J. Opt. Soc. Am., 56, 487 — 491,
1966.
266. Kerker M,, Scheiner P„, Cooke D«D<, The range of validity of the Ray-
leigh and Thomson limits for Lorenz-Mie scattering. J. Opt. Soc. Am.,
68, 135 - 137, 1978.
267. Kerr G'D°, Hamm Williams M<,W<,, Birkhoff R>D.>, Painter LoR»
Optical and dielectric properties of water in the vacuum ultraviolet.
Phys. Rev., A5, 2523 - 2527, 1972.
268. Khare V., Nussenzveig HAL Theory of glory. Phys. Rev. Lett., 38,
1279 - 1282, 1977.
269. Kilkson R,, Bickel ILS., letter ILS., Stafford M<,E. Influence of ab-
sorption on polarization effects on light scattering from human red
blood cells. Biochim. Biophys. Acta, 584, 175 — 179, 1979.
270. King M.D., Herman BAL, Reagan J»A<, Aerosol size distributions obtained
by inversion of spectral optical depth measurements. J. Atmos. Sci.,
35, 2153 - 2167, 1978.
Литература
641
271. Kirchner F,, Zsigmondy Ro Uber die Ursachen der Farbenanderun-
gen von Gold-Gelatinepraparaten. Ann. Phys., 15, 573 — 595, 1904.
272. Kittel C. Elementary Solid State Physics. Wiley, New York, 1962.
(Имеется перевод: Киттель Ч. Элементарная физика твердого те-
ла. - М.: Наука, 1965.).
273. Kittel Со Introduction to Solid State Physics, 4th ed. Wiley, New
York, 1971. (Имеется перевод: Киттель Ч. Введение в физику твер-
дого тела. - М.: Наука, 1978.)
274. Koike С,, Hasegava Но, Manabe Ao Extinction coefficients of amor-
* phous carbon grains from 2100 A to 340 цга. Astrophys. Space Sci.,67,
495 - 502, 1980.
275. Kortiim GoF, Reflectance spectroscopy. Springer-Verlag, Berlin, 1969.
276. Koyama R.Yo, Smith NoVo, Spicer W.Eo Optical properties of indium.
Phys. Rev., B8, 2426 - 2431, 1973.
277. Kratschmer Wo, Huffman D. Ro Infrared extinction of heavy ion irradi-
ated and amorphous olivin, with applications to interstellar dust. As-
trophys. Space Sci., 61, 195 — 203, 1979.
278. Kreibig Uo Electronic properties of small silver particles: the opti-
cal constants and their temperature dependence. J. Phys. F., 4,
999 - 1014, 1974.
279. Kreibig Uo, von Fragstein Co The limitation of electron mean free
path in small silver particles. Z.Phys., 224, 307 — 323, 1969.
280. Ландау Л.Д>, Лифшиц E.M. Электродинамика сплошных сред. -
М.: Наука, 1983.
281. Landauer Ro The electrical resistance of binary metallic mixtures.
J. Appl. Phys., 23, 779 - 784, 1952.
282. Lane JoAo, Saxton IoAo Dielectric dispersion in pure polar liquids
at very high radio frequencies: I. Measurements on water, methyl and
ethyl alcohols. Proc. R. Soc. Lond., A213, 400 — 408, 1952.
283. Langbein D, Normal modes of small cubes and rectangular particles.
J. Phys. A., 9, 627 - 644, 1976.
284. Larkin Bo, Churchill S,Wo Scattering and absorption of electromagne-
tic radiation by infinite cylinders. J. Opt. Soc. Am., 49, 188 — 190,
1959.
285. Latimer Po, Brunsting A,, Pyle BoEo, Moore Co Effects of aspherecity
on single particle scattering. Appl. Opt., 17, 3152 — 3158, 1978.
286. Lenoble J, (Edo) Standard procedures to compute atmospheric radi-
ative transfer in a scattering atmosphere, Vol. I. Int. Assoc. Met.
Atmos. Phys, (prepared for publication by SoRuttenberg, National
Center for Atmospheric Research, Boulder, Colo.), 1977.
642
Литература
287. Libelo L.F. Light scattering by partially absorbing cylinders — co-
efficients. NOLTR 62-142. U.S. Naval Ordnance Lab., White Oak, Md.,
1962.
288. Lin C.I., Baker M., Charlson R<>]. Absorption coefficient of atmosphe-
ric aerosol: a method for measurement. Appl. Opt., 12, 1356 — 1363,
1973.
289. Lind A.C., Greenberg FM, Electromagnetic scattering by obliquely
oriented cylinders. J. Appl. Phys., 37, 3195 — 3203, 1966.
290. Lindberg J.D» The composition and optical absorption c6efficient of
atmospheric particulate matter. Opt. Quant. Electron., 131 — 139,
1975.
291. Lindberg J.D., Gillespie J.B. Relationship between particle size
and imaginary refractive index in atmospheric dust. Appl. Opt.,
16, 2628 - 2630, 1977.
292. Lindberg J.D., Laude L. Measurement of absorption coefficient of
atmospheric dust. Appl. Opt., 13, 1923 — 1927, 1974.
293. Liu B.Y., Bergland R.N., Agarwal J, K„ Experimental studies of
particle counters. Atmos. Environ., 8, 717 — 732, 1974.
294. Lobdell D.D. Particle size-amplitude relations for the ultrasonic
atomizer. J. Acoust. Soc. Am., 43, 229 — 231, 1968.
295. Logan N.A. Survey of some early studies of the scattering of plane
waves by a sphere. Proc. IEEE, 53, 773 — 785, 1965. (Имеется n&
ревод: Доган H. Обзор некоторых ранних работ по теории рассе-
яния плоских волн на сфере. ТИИЭР, 53, № 8, 892, 1965.)
296. Ludlum F.H. Noctilucent clouds, Tellus, 9, 341 — 363, 1957.
297. Лушников A.A., Максименко B.B., Симонов А.Я. Поглощение низ-
кочастотного электромагнитного излучения мелкими металличес-
кими частицами. ФТТ, 20, № 2, 505 -509, 1978.
298. Luxon J.T., Montgomery D.J., Summitt R. Effect of particle size
and shape on the infrared absorption of magnesium oxide powders.
Phys. Rev., 1B8, 1345 - 1356, 1969.
299. Maksimenko V.V., Simonov A.f., Lushnikov A.A. Far-infrared ab-
sorption in small metallic particles. Phys. Status Solidi (b), 83,
377 - 382, 1977.
300. Marion J.B. Classical dynamics of particles and systems. Acade-
mic, New York, 1970.
301. Markham J.M. F-centers in alkali halides. Solid State Phys., Suppl.
8,1966.
302. Marshall T.R., Parmenter C.S., Seaver M. Characterization of poly-
mer latex aerosols by rapid measurement of 360° light scattering pat-
Литература
643
terns from individual particles. J. Colloid Interface Sci., 55, 624 — 636,
1976.
303. Martin P.Go Interstellar circular polarization. Mon. Not. R. Astron.
Soc., 159, 179 - 190, 1972.
304. Martin PcG' Interstellar polarization from a medium with changing
grain alignment. Astrophys. J., 187, 461 — 472, 1974.
305. Martin P.G. Cosmic dust. Oxford University Press, London, 1978.
306. Martin T.P. Infrared absorption in small KC1 crystals. Phys. Rev.,
177, 1349 - 1350, 1969.
> 307. Martin T.P. Interaction of finite NaCl crystals with infrared radi-
ation. Phys. Rev., 88, 3480 - 3488, 1970.
308. Martin ToP<, Infrared absorption by surface modes in small KBr crys-
tals. Solid State Commun., 9, 623 — 625, 1971.
309. Martin T.P. Lattice dynamics of ionic microcrystals. Phys. Rev.,
87,3906 -3912, 1973.
310. .Martin T.P., Schaber Ho Infrared absorption of aggregated and iso-
lated microcrvstals. Phys. Status Solidi (b), 81, K41 — K45, 1977.
311. Mathis J.So, Rumpl Nordsieck KoH. The size distribution of in-
terstellar grains. Astrophys. J., 217, 425 — 433, 1977.
312. Matumura O., Cho Mo Thermal-emission spectra of coagulated small
MgQ crystals. J. Opt. Soc. Am., 71, 393 — 396, 1981.
313. Maxwell Garnett JoCo Colours in metal glasses and in metallic films.
Philos. Trans. R.Soc., A203, 385 — 420, 1904.
314. McCartney EoE Optics of the atmosphere. Wiley, New York, 1976.
315. McClure DoSo Electronic spectra of molecules and ions in crystals:
Part I. Molecular crystals. Solid State Phys., 8, 1 — 47, 1959.
316. McClure D.S. Electronic spectra of molecules and ions in crystals: Part II:
Spectra of ions in ciystals. Solid State Phys., 9, 399 — 525, 1959.
317. McClure D.S. Spectroscopy of magnetic insulators. In Optical Pro-
perties of Ions in Solids, B.DiBartolo (Ed.), Plenum, New York,
1974, p. 259 - 305.
318. McCombie GW. Modification of lattice vibrations by impurities. In
Far-infrared properties of solids, S„S.Mitra and SJVudelman (Eds.),
Plenum, New York, 1970, p. 297 - 359.
319. McCrone W.C», Delly J.Go The particle atlas, 2nd ed., Vol. I: Prin-
ciples and Techniques. Ann Arbor Science Publishers, Ann Arbor,
Mich., 1973.
320. Л cCrone W.G, Delly JoG. The particle atlas, 2nd ed., Vol. II: The
Light Microscopy Atlas. Ann Arbor Science Publishers, Ann Arbor,
Mich., 1973.
644
Литература
321. McCrone IF,C0, Delly J«G. The particle atlas, 2nd ed., Vol. Ill: The
Electron Microscopy Atlas. Ann Arbor Science Publishers, Ann Ar-
bor Mich., 1973.
322. McCrone IE>Co, Delly J.C. The particle atlas, 2nd ed., Vol. IV: The
Particle Analyst s Handbook. Ann Arbor Science Publishers, Ann
Arbor, Mich., 1973. •
323. McCrone W.C., Delly J.G., Palenik S.J. The particle, atlas, 2nd ed.
Vol. Vi Light Microscopy Atlas and Techniques. Ann Arbor Science
Publishers, Anti Arbor, Mich., 1979.
324. McCrone W.C., Brown J°A., Stewart DM* The particle atlas, 2nd ed.,
Vol. VI: Electron Optical Atlas and Techniques. Ann Arbor Science
Publishers, Ann Arbor, Mich., 1980.
325. McDonald J.E. The shape and aerodynamics of large raindrops.
J.Meteorol., 11, 478 - 494, 1954.
326. McDonald J.E. Large-sphere limit of the radar back-scattering coef-
ficient Q.J.R.Meteorol. Soc., BB, 183 — 186, 1962.
327. McKeUar B.D.J. What property of a haze is determined by light scat-
tering? 2. Nonuniform particles of arbitrary shape, Appl. Opt., 15,
2464 - 2467, 1976.
328. McMaster W.H. Polarization and Stokes parameters. Am. J. Phys.,
22, 351 - 362, 1954.
329. Merzbacher E. Quantnm mechanics, 2nd ed., Wiley, New York, 1970.
330. Mie G. Beitrage zur Optik triiber Medien speziell kolloidaler Metal-
16'sungen. Ann. Phys., 25, 377 — 445, 1908.
331. Milne E.A. Thermodynamics of the stars. In Handbuch der Astrophy-
sik, Vol. 3/1, Eberhard G., Kohlschiitter A., Ludendorff H. (Eds.),
Springer-Verlag, Berlin, p. 65 — 255, 1930.
332. Minnaert M. The nature of light and colonr in the open air. Dover,
New York, 1954.
333. Mitra S.S. Infrared and Raman spectra due to lattice vibrations. In
Optical Properties of Solids, Nudelman S., Mitra S.S. (Eds.), Plenum,
New York, 1969, p. 333 — 451.
334. Mitra S.S., Bendow B. (Eds.) Optical properties of highly transparent
solids. Plenum, New York, 1975.
335. Mitra S.S., Nudelman S. (Eds.) Far-infrared properties of solids. Ple-
num, New York, 1970.
336. Moravec T.J.,Rife J.C., Dexter R.N. Optical constants of nickel,
iron, and nickel-iron alloys in the vacuum ultraviolet. Phys. Rev.,
В13, 3297 - 3306, 1976.
337. Morris S.J., Shultens H.A., Hellweg M.A., Striker G., Jovin T.M.
Литература
645
Dynamics of structural changes in biological particles from rapid
light scattering measurements. Appl. Opt., 1B, 303 — 311, 1979.
338. Moss T.S. Optical properties of semiconductors. Butterworth, Kent,
England, 1959.
339. Mueller H. The foundation of optics. J. Opt. Soc. Am., 38, 661, 1948.
340. Neuberger H. Introduction to Physical meteorology. Pennsylvania
State University, State College, Pa, 1951.
341. Neuroth N. Uber die Bestimmung der optischen Konstanten n, к aus
Reflexionsmessungen. Z.Phys., 144, 85 — 90, 1956.
342. Newton R.G. Optical theorem and beyond. Am. J. Phys., 44, 639 —642,
1976.
343. Ney E.P. Star dust. Science, 195, 541 — 546, 1977.
344. Nielsen M.L., Hamilton P.M., Walsh R.J. Ultrafine metal oxides by
decomposition of salts in a flame. In Ultrafine particles, Kuhn W.E.,
Lamprey H., Sheer C. (Eds.), Wiley, New York, 1963, p. 181 — 195.
345. Nikitine S.Exitons, In Optical Properties of Solids, Nudelman S.,
Mitra S.S. (Eds.), Plenum, New York, 1969, p. 197 — 237.
346. Niklasson G.A., Granqvist C.G., Hunderi 0. Effective medium mo-
dels for the optical properties of inhomogeneous media. Appl. Opt.,
20, 26 - 30, 1981.
347. Nilsson P.O. Optical properties of metals and alloys. Solid State
Phys., 29, 139 - 234, 1974.
348. Nudelman S., Mitra S.S. (Eds.) Optical Properties of Solids. Plennm,
New York, 1969.
349. Nussenzveig H.M. Causality and Dispersion Relations. Academic,
New York, 1972. (Имеется перевод: Нуссенцвейг X.M. Причинность
и дисперсионные соотношения. - М.: Мир, 1976.)
350. Nussenzveig Н.М. Complex angular momentum theory of the rainbow and
the glory. J. Opt. Soc. Am., 69, 1068 — 1079, 1979.
351. Nussenzveig H.M., Wiscombe W.J. Efficiency factors in Mie scattering.
Phys. Rev. Lett., 45, 1490 - 1494, 1980.
352. Nye J.F. Physical properties of crystals, their representation by ten-
sors and matrices. Oxford University press, London, 1957.
353. Oguchi T. Attenuation and phase rotation of radio waves due to rain:
calculations at 19,3 and 34,8 GHz. Radio Sci., B, 31 — 38, 1973.
354. Olver F.W.J. Bessel functions of integer order. In Handbook of ma-
thematical functions, AbramowitzM., Stegun I.A., (Eds.), National
Bureau of standarts, Washington, D.C., 1964, p. 355 — 436.
355. O’Neill P,, Ignatiev 4. Influence of microstructure on the optical
properties of particulate materials : gold black. Phys. Rev., B1B,
6540 - 6548, 1978.
646
Литература
356. Palmer R,E,, Schnatterly S.E? Observation of surface plasmons and
measurement of optical constants for sodium and potassium. Phys.
Rev., В4, 2329 - 2339, 1971.
357. Penndorf R, On the phenomenon of the colored sun, especially the
" blue" sun of September 1950. Geophysical Research Paper No. 20
(AFCRC Tech. Rep. 53-7), Air Force Cambridge Research Center,
Cambridge, Mass., 1953.
358. Penndorf R,B. An approximation method to the Mie theory for collo-
/ idal spheres. J. Phys. Chem., 62, 1537 — 1542, 1958.
359. Pennock B<,E,t Schwan H<.P, Further observations on the electrical
properties of hemoglobin-bound water. J. Phys. Chem., 73, 2600 —
2610, 1969.
360. Perrin F. Polarization of light scattered by isotropic opalescent me-
dia. J. Chem. Phys., 10, 415 - 427, 1942.
361. Perry R'h, Hunt A,},, Huffman DaRa Experimental determinations
of Mueller scattering matrices for nonspherical particles. Appl. Opt.,
17, 2700 - 2710, 1978.
362. Philipp H.R., Ehrenreich H. Optical properties of semiconductors.
Phys. Rev., 129, 1550 - 1560, 1963.
363. Phillips D.T., Wyatt PtJ», Berkman R.M, Measurement of the Lorenz —
Mie scattering of a single particle I polystyren latex. J. Colloid In-
terface Sci., 34, 159 - 162, 1970.
364. Phillips J.C. The fundamental optical spectra of solids. Solid State
Phys., 18, 55 - 164, 1966.
365. Pines В», Bohm D, A collective description of electron interactions:
II. Collective vs. individual particle aspects of the interaction. Phys.
Rev., 85, 338 - 353, 1952.
366. Pinnick R.G., Auvermann Response characteristics of Knollen-
berg light-scattering aerosol counters. J. Aerosol Sci., 10, 55 —74,
1979.
367. Pinnick R.G°, Rosen M„, Hoffmann Measured light-scattering
aerosol particles compared to Mie scattering theory. Appl. Opt., 12,
37 - 41, 1973.
368. Pinnick R.G., Carroll D,Ea, Hoffmann Polarized light scattered
from monodisperse randomly oriented nonspherical particles: measu-
rements. Appl. Opt., 15, 384 — 393, 1976.
369. Pippard A.B. The physics of vibration, Vol. I. Cambridge Universi-
ty Press, Cambridge, 1978.
370. Planck M. Theorie der Warmestrahlung, 2nd ed. Johann Ambrosius
Barth, Leipzig, 1913 (reprinted by Dover, New York, 1959).(Имеет-
Литература
647
ся перевод: Планк М. Теория теплового излучения. — Л.— М.: OFTTH,
1935.)
371. Plendl J.N. Characteristic energy absorption spectra of solids. In
Far-infrared Properties of Solids, Mitra S.S^, Nudelman Sa(Eds<,),
Plenum, New York, 197Э, p, 387 — 450.
372. Pluchino AvBv, Goldberg S„S.>, Dowling JRandall C»M, Refrac-
tive-index measurements of single micron-sized carbon particles. Appl.
Opt., 19, 3370 - 3372, 1980.
373. Pollack JcP»,Cuzzi J.N. Scattering by nonspherical particles of size
comparable to a wavelength: a new semi-empirical theory and its ap-
plication to tropospheric aerosols. J. Atmos. Sci., 37, 868 — 881,
1980.
374. Porch JFaMt, Ensor U.S,, Charlson R<J°, Heintzenberg /• Blue moon'!
Is this a property of background aerosol? Appl. Opt.., 12, 34 — 36,
1973.
375. Pritchard B'S», Elliot JF.G. Two instruments for atmospheric optics
measurements. J. Opt. Soc. Am., 50, 191 — 202, I960.
376. Procter T.D., Barker D. The turbidity of suspensions of irregularly
shaped particles. Aerosol Sci., 5, 91 — 99, 1974.
377. Procter T,D,, Harris G.W, The turbidity of suspensions of irregular
quartz particles. Aerosol Sci., 5, 81 — 90, 1974.
378. Pruppacher R.R.., Fitter R.La A semi-empirical determination of the
shape of cloud and rain drops. J. Atmos. Sci., 28, 86 — 94, 1971.
379. Pultz.W.Wv, Hertl W. Perturbations in the infrared spectra of submic-
roscopic size, single crystal, fibrous SiC. Spectrochim. Acta, 22,
573 - 575, 1966.
380. Purcell E»M<> Electricity and magnetism. McGraw-Hill, New York,
1963.
381. Purcell EvMe On the absorption and emission of light by interstellar
grains. Astrophys. J., 158, 433 — 440, 1969.
382. Purcell EMa> Pennvpacker C„Ra Scattering and absorption of light
by non-spherical dielectric grains. Astrophys. J., 186, 705 — 714,
1973.
383. Quiney R.G., Carswell AJ. Laboratory measurements of light scat-
tering by simulated atmospheric aerosols. Appl. Opt., 11, 1611 —1618,
1972.
384. Ramachandran G'N„, Ramaseshan S° Crystal optics. Handbuch der
Physik, Vol. 25/1, Fliigge S. (E<&), Springer-Verlag, Berlin, p. 1 — 217,
1961.
385. Raman C.P. On the molecular scattering of light. Proc. Roy. Soc.
Lond., A101, 63 - 80, 1922.
648
Литература
386. Rasigni М», Rasigni G° Optical constants of lithium deposits as de-
determined from Kramers — Kronig analysis. J. Opt. Soc. Am., 67,
54 - 59, 1977.
387. Rathmann J. The extinction by small aluminum particles from the
* far infrared to the vacuum ultraviolet. Ph. D. thesis, University of
Arizona, 1981.
388. Ray P'S, Broadband complex refractive indices of ice and water. Appl.
Opt., 11, 1836 - 1844, 1972.
389. Rayleigh, Lord. On the light from the sky, its polarization and colour.
/ Philos. Mag., 41, 107 — 120, 274 — 279, 1871 (reprinted in Scientific
papers by Lork Rayleigh, Vol. I: 1869 — 1881, No. 8, Dover, New York,
1964).
390. Reagan J'A., Byrne D.M., King M.D., Spinhime I'D», Herman B»?.!*
Determination of the complex refractive index of atmospheric particu-
lates from bistatic-monostatic lidar and solar radiometer measurements.
J. Geophys. Res., B5, 1591 - 1599, 1980.
391. Rebane K,K, Some problems of the vibrational structure of optical
spectra of impurities in solids. In Optical Properties of Ions in So-
lids, DiBartolo B' (Ed.), Plenum, New York, p. 247 — 258, 1974.
392. Reid G.C. Ice clouds at the summer polar mesopause. J. Atmos. Sci.,
32, 523 - 535, 1975.
393. Reif F, Statistical and thermal physics. McGraw-Hill, New York, 1965.
394. Reynolds D.C, Excitons in II — IV compounds. In Optical Properties
of Solids. Nudelman S,, Mitra S,S. (Eds,), Plenum, New York, 1969,
p. 239 - 286.
395. Rice T'M. The electron-hole liquid in semiconductors: theoretical
aspects. Solid State Phys., 32, 1 — 86, 1977.
396. Richtmyer R'D. Dielectric resonators. J. Appl. Phys., 10, 391 — 398,
1939.
397. Ritchie R.H, Plasma losses by fast electrons in thin films. Phys.
Rev., 106, 874 - 881, 1957.
398. Robin G. de Q,, Evans S,, Bailey J,T. Interpretation of radio echo
sounding in polar ice sheets. Philos.Trans. R. Soc. bond., A265,
437 - 505, 1969.
399. Robinson F'N.H' Macroscopic Electromagnetism. Pergamon, Oxford,
1973.
400. Roessler D,M., Faxvog F.R, Optoacoustic measurement of optical
absorption in acetylene smoke. J. Opt. Soc. Am., 69, 1699 — 1704,
1979.
401. Roessler DM., Faxvog F.R' Opacity of black smoke’, calculated va-
riation with particle size and refractive index. Appl. Opt., 18, 1399 —
Литература
649
1403, 1979.
402. Roessler D.M., Walker W.C. Optical constants of magnesium oxide
and lithium fluoride in the far ultraviolet. J. Opt. Soc. Am., 57,
835 - 836, 1967.
403. Rose J.H., Shore H.B., Rice T.M. Infrared absorption and scattering
by electron-hole droplets in Ge. Phys. Rev., В17, 752 — 757, 1978.
404. Rosen H., Novakov T. Lawrence Berkeley Laboratory laser transmis-
sion method. In Light Absorption by Aerosol Particles, Gerber H.,
Hindman E. (Eds.), Spectrum Press, Hampton, Va, 1982.
405. Rosen H., Hansen A.D.A., Gundel L., Novakov T. Identification of
the graphitic carbon component of source and ambient particulates
by Raman spectroscopy and an optical attenuation technique. Appl.
Opt., 17, 3859 - 3861, 1978.
406. Rosencweig A. Photoacoustics and Photoacoustic spectroscopy. Wi-
ley, New York, 1980.
407. Roth J., Dignam M.J. Scattering and extinction cross sections for a
spherical particle with an oriented molecular layer. J. Opt. Soc. Am.,
63, 308 - 311, 1973.
408. Розенберг Г.В. Рассеяние света в земной атмосфере. УФН, 71,
№ 2, 173 -213, 1960.
409. Рухадзе А.А., Силин ВЛ. Электродинамика сред с пространствен-
ной дисперсией. УФН, 74, К 2, 223 — 267, 1961.
410. Ruppin R. Optical properties of small metal spheres. Phys. Rev.,
В11, 2871 - 2876, 1975.
411. Ruppin R. Far-infrared absorption in small metallic particles. Phys.
Rev., В19, 1318 - 1321, 1979.
412. ftuppin R. Optical properties of spatially dispersive dielectric sphe-
res. J. Opt. Soc. Am., 6, 755 - 758, 1981.
413. Ruppin R., Englman R. Optical phonons of small crystals. Rep.Progr.
Phys., 33, 149 - 196, 1970.
414. Russakoff G. A derivation of the macroscopic Maxwell equations. Am.
J. Phys., 38, 1188 - 1195, 1970.
415. Sassen K., Liou K.N. Scattering of polarized laser light by water
droplet, mixed-phase and ice crystall clouds: Part I. Angular scatte-
ring patterns. J. Atmos. Sci., 36, 838 — 852, 1979.
416. Saunders M.J. Near-field backscattering measurements from a micro-
scopic water droplet. J. Opt. Soc. Am., 60, 1359 — 1365, 1970.
417. Saunders M.J. The effect of an electric field on the backscattered ra-
diance of a single water droplet. In Light Scattering by Irregularly
Shaped Particles, Schuerman JJ. (Ed.), Plenum, New York, 1980,
p. 237 - 242.
42-205
650
Литература
418. Savage B.D., Mathis J.S. Observed properties of interstellar dust.
Annu. Rev. Astron. Astrophys., 17, 73 — 111, 1979.
419. Saxon D.S. Lectures on the Scattering of Light. University of Cali*
fomia at Los Angeles, Department of Meteorology, Scientific Report
No. 9, 1955.
, 420. Saxon D.S. Tensor scattering matrix for the electromagnetic field.
Phys. Rev., 100, 1771 - 1775, 1955.
421. Scadron M.D. Advanced quantum theory. Springer-Verlag, New York,
1979.
422. Schuerman D. (Ed.) Light Scattering by Irregularly Shaped Particles.
/ Plenum^ New York, 1980.
423. Schuerman D.W., Wang R.T., Gustafson B.A.S., Schaefer R.W. Syste-
matic studies of light scattering: 1. Particle shape. Appl. Opt., 20,
4039 - 4050, 1981.
424. Sekera Z. Polarization of scylight, In Handbuch der Physik, Vol. 48,
Eliigge S. (Ed.), Springer-Verlag, Berlin, p. 288 — 328, 1957.
425. Seki J., Yamamoto T. Amorphous interstellar grains: wavelength de-
pendence of far-infrared emission efficiency. Astrophys. Space Sci.,
. 72, 79 - 86, 1980.
\ 426. Seliga T.A., Bringi V.N. Potential use of radar differential reflecti-
vity measurements at orthogonal polarizations for measuring precipita-
tion. J. Appl. Meteorol., 15, 69 — 76, 1976.
427. Seliga T.A., Bringi V.N., Al-Khatib H.H. A preliminary study of com-
parative measurements of rainfall rate using the differential reflec-
tivity technique and a raingauge network. J. Appl. Meteorol., 20,
1362 - 1368, 1981.
428. Sherwood P.M.A. Vibrational spectroscopy of solids. Cambridge Uni-
versity Press, Cambridge, 1972.
429. Шифрин K.C. Рассеяние света в мутной среде. — М. — Л.: Гостехиз-
дат, 1951.
430. Shurcliff W.A. Polarized light. Harvard University Press, Cambridge,
Mass., 1962. (Имеется перевод: Шерклиф У. Поляризованный свет. -
М.: Мир, 1965.)
431. Silsbee R.H. Optical analogue of the Mossbauer effect. In Optical
Properties of Solids, Nudelman S., Mitra S.S. (Eds.), Plenum, New
York, 1969, p. 607 - 624.
432. Simanek E. Far-infrared absorption in ultrafine Al particles. Phys.
Rev. Lett., 38, 1161 - 1163, 1977.
433. Skillman D.C., Berry C.R. Effect of particle shape on the spectral
absorption of colloidal silver in gelatin. J. Chem. Phys., 48, 3297 —
3304, 1968.
Литература
651
434. Smith D'Y. Comments on the dispersion relations for the complex
refractive index of circularly and elliptically polarized light. J. Opt.
Soc. Am., 66, 454 — 460, 1976.
435. Smith RoA., Jones FoEa, Chasmar RoPo The Detection and Measure-
ment of Infra-Red Radiation, 2nd ed., Oxford University Press, Lon-
don, 1968.
436. Snow T.P., York DoGo, Welty DoEo Catalogue of diffuse interstellar
band measurements. Astron. J., 82, 113 — 128, 1977.
437. Sokolnikoff LS«, Redheffer RoMo Mathematics of Physics and Modem Engi-
neering. McGraw-Hill, New York, 1958.
438. Spinhime JoDo, Reagan JoAo, Herman BoMo Vertical distribution of
aerosol extinction cross section and inference of aerosol imaginary
index in the troposphere by lidar technique. J. Appl. Meteorol.,
19, 426 - 438, 1980.
439. Spitzer Lo The temperature of interstellar matter, I. Astrophys. J.,
107, 6 - 33, 1948.
440. Spitzer W„G,, Kleiman D.A, Infrared lattice bands of quartz, Phys.
Rev., 121, 1324 - 1335, 1961.
441. Spitzer WoG,, Kleiman Do, Walsh Do Infrared properties of hexagonal
silicon carbide. Phys. Rev., 113, 127 — 132, 1959.
442. Stacey Ko Light Scattering in Physical Chemistry. Academic, New
York, 1956.
443. Stegun KA,, Abramowitz Mo Generation of Bessel functions on high
speed computers. Math. Tables Other Aids Comput., 11, 255 — 257,
1957.
444. Steinmann W, Optical plasma resonances in solids. Phys. Status So-
lidi, 28, 437 - 462, 1968.
445. Stephens JoR. Visible anj} ultraviolet (800 — 130 nm) extinction of
vapor-condensed silicate, carbon, and silicon carbide smokes and
the interstellar extinction curve. Astrophys. J., 237, 450 — 461, 1980.
446. Stephens RoEo, Plyler EoKo, Rodney ILS., Spindler RoE Refractive
index of potassium bromide for infrared radiant energy. J. Opt. Soc.
Am., 43, 110 - 112, 1953.
447. Stem E,Ao, Ferrell Ro Ao Surface plasma oscillations of a degenerate
electron gas. Phys. Rev., 120, 130 — 136, 1960.
448. Stem Fo Elementary theory of the optical properties of solids. Solid-
State Phys., 15, 299 - 408, 1963.
449. Steyer ToRo, Day KoLo, Huffman DoRo Infrared absorption by small
amorphous quartz spheres. Appl. Opt., 13, 1586 — 1590, 1974.
652
Литература
450. Stokes G.G. On the composition and resolution of streams of pola-
rized light from different sources. Trans. Camb. Phil. Soc., 9, 339 —
416, 1852 (reprinted in Mathematical and physical papers, Vol. Ill,
Cambridge University Press, Cambridge, 1901).
451. Stone J.M. Radiation and optics. McGraw-Hill, New York, 1963.
*452. Stookey S.D., Araujo R.J. Selective polarization of light dne to ab-
sorption by small elongated silver particles in glass. Appl. Opt.,
7, 777 - 780, 1968.
' 453. Stookey S.D., Beall GJh, Pierson EE. Full-color photosensitive
glass. J. Appl. Phys., 49, 5114 — 5123, 1978.
454. Stratton J.A. Electromagnetic theory. McGraw-Hill, New York, 1941
(Имеется перевод: Стрэттон Дж. Теория электромагнетизма. -
М. - Л.: Гостехиздат, 1948.)
455. Strom S. On the integral equations for electromagnetic scattering. Am.
J. Pnys., 43, 1060 - 1069, 1975.
456. Stroud D. Generalized effective-medium approach to the conductivity
of an inhomogeneous medium. Phys. Rev., В12, 3368 — 3373, 1975.
457. Swindell IF. (Ed.) Polarized Light. Dowden, Hutchinson & Ross, Strouds-
burg, Pa, 1975.
458. Taft E.A., Phillip H.R. Optical properties of graphite. Phys. Rev.,
138, A197 - A202, 1965.
459. Tang I.N., Munkelwitz H.R. Optical size determination for single cu-
bic particles suspended in a laser beam. J. Colloid Interface Sci.,
63, 297 - 303, 1978.
460. Tanner D.B., Sievers A./., Buhrman R.A. Far-infrared absorption in
small metallic particles. Phys. Rev., ВЦ, 1330 — 1341, 1975.
461. Таис J. (Ed.) The Optical Properties of Solids. Academic Press, New
York, 1966.
462. Таис I. Optical properties of noncrystalline solids. In Optical Pro-
perties of Solids, Abeles F. (Ed>), Elsevier, New York, p. 277 — 313,
1972.
463. Thompson R.C., Bottiger J.R., Fry E.S. Scattering matrix measure-
ments of oceanic hydrosols. Proc. Soc. Photo-Opt. Instrum. Eng.,
160, 43 - 48, 1978.
464. Thompson R.C., Bottiger I.R., Fry E.S. Measurement of polarized
light interactions via the Mueller matrix. Appl. Opt., 19, 1323 — 1332,
1980.
465. Timusk T., Silin A. Far-infrared absorption of electron-hole drops in
pure and doped germanium. Phys. Status Solidi (b), 69,87 — 91, 1975.
Литература
653
466. Tinkham М. Far infrared absorption in ordered magnetic systems. In
Far-Infrared Properties of Solids. Mitra S.S., Nudelman S. (Eds.),
Plenum, New York, p. 196 - 222, 1970.
467. Tinkham M. Far infrared absorption in superconductors. In Far-Infra-
red Properties of Solids, Mitra S.S., Nudelman S. (Eds.), Plenum,
New York, p. 223 - 246, 1970.
468. Toll J.S. Causality and the dispersion relation: logical-foundations.
Phys. Rev., 104, 1760 - 1770, 1956.
469. Tomaselli V.P., Rivera R., Edewaard D.C., Moller K.D. Infrared op-
tical constants of black powders determined from reflection measure-
ments. Appl. Opt., 20, 3961 — 3967, 1981.
470. Tonks L., Langmuir I. Oscillations in ionized gases. Phys. Rev., 33,
,195 - 210, 1929.
471. Toon CEB., Pollack L,B° Atmospheric aerosols and climate. Am. Sci.,
68, 268 - 278, 1980.
472. Toon O.B., Pollack J.B., Khare B„N. The optical constants of seve-
ral atmospheric aerosol species: ammonium sulfate, aluminium oxide
and sodium chloride. J. Geophys. Res., 81, 5733 — 5748, 1976.
473. Tozer IE.F., Beeson D.E. Optical model of noctilucent cloud based,
on polarimetric measurements from two sounding rocket campaigns.
J. Geophys. Res., 79, 5607 - 5612, 1974.
474. Treffers R., Cohen M. High-resolution spectra of cool stars in the
10- and 20-micron regions. Astrophys. J., 188, 545 — 552, 1974.
475. Treu I.l. Mie scattering, Maxwell Garnett theory, and the Giaever
immunology slide. Appl. Opt., 15, 2746 — 2750, 1976.
476. Tricker R.A.R,, Introduction to meteorological optics. Elsevier, New
York, 1970.
477. Tricker R.A.R. Ice Crystal Haloes. Optical Society of America, Wa-
shington, D.C., 1979.
478. Tsai W.-C., Pogorzelski R.J. Eigenfunction solution of the scatte-
ring of beam radiation fields by spherical objects. J. Opt. Soc. Am.,
65, 1457 - 1463, 1975.
479. Turkevich J., Garton G., Stevenson P.C. The color of colloidal gold.
J. Colloid Sci., 9, (Suppl. 1), 26 - 35, 1954.
480. Turner L. Rayleigh — Gans — Born light scattering by ensembles of
randomly oriented anisotropic particles. Appl. Opt., 12, 1085 — 1090,
1973.
481. Twersky V. Rayleigh Scattering. Appl. Opt., 3, 1150 — 1162, 1964.
482. Twomey S. On the measurement of precipitation intensity by radar.
J. Meteorol., 10, 66 - 67, 1953.
654
Литература
483. Twomey S.A, Atmospheric aerosols. Elsevier, New York, 1977.
484. Twomey S.A. Direct visual photometric technique for estimating ab-
sorption in collected aerosol samples. Appl. Opt., 19, 1740 — 1741,
1980.
485. Twomey S., Bohren C.F. Simple approximations for calculations of
absorption in clouds. J. Atmos. Sci., 37, 2086 — 2094, 1980.
486. van de Hulst H.C. A theory of the anti-corona. J. Opt. Soc. Am., 37,
16 - 22, 1947.
487. van de Hulst H.C. On the attenuation of plane waves by obstacles
of arbitrary size and form. Physica, 15, 740 — 746, 1949.
488. van de Hulst H.C. Light scattering by small particles. Wiley, New
York, 1957. (Имеется перевод: Ван де Хюлст Г. Рассеяние све-
та малыми частицами. — М.: ИЛ, 1961.)
489. van de Hulst Н.С. Multiple light scattering, Vols, 1 and 2. Acade-
mic, New York, 1980.
490. VolzF.E. Infrared refractive index of atmospheric aerosol substance.
Appl. Opt., 11, 755 - 759, 1972.
491. Walker J.D. Multiple rainbows from single drops of water and other
liquids. Am. J. Phys., 44, 421 — 433, 1976.
492. Walker M.J. Matrix calculus and the Stokes parameters of polarized
radiation. Am. J. Phys., 22, 170 — 174, 1954,
493. Wang D.-S., Barber P.W. Scattering by inhomogeneous nonsperical
objects. Appl. Opt., 18, 1190 - 1197, 1979.
494. JFcmg В.-S., Chen Barber P.W., Wyatt P.J. Light scattering
by polydisperse suspensions of inhomogeneous nonspherical parti-
cles. Appl. Opt., 18, 2672 - 2678, 1979.
495. Wangsness U.K. Introduction to Theoretical Physics: Classical Me-
chanics and Electrodynamics. Wiley, New York, 1963.
496. Ward G., Cushing K.M., McPeters R.D., Green A.E.S. Atmospheric
aerosol index of refraction and size-altitude distribution from bista-
tic laser scattering and solar aureole measurements. Appl. Opt., 12,
2582 - 2592, 1973.
497. Waterman P.C. Matrix formulation of electromagnetic scattering.
Proc. IEEE, 53, 805 - 812, 1965. (Имеется перевод: У отер мен П.
Матричная формулировка задачи рассеяния электромагнитных
волн. ТИИЭР, 53, № 8, ©925, 1965.)
498. Waterman P.C. Symmetry, unitarity, and geometry in electromagne-
tic scattering. Phys. Rev., D3, 825 — 839, 1971.
499. Watson G.H. A Treatise on the Theory of Bessel Functions, 2nd ed.
Cambridge University Press, Cambridge, 1958.(Имеется перевод:
Ватсон Г.Н. Теория бесселевых функций - М.: ИЛ, 1949.)
Литература
655
500. Weaver Jo, Krafka C,, Lynch Do, Koch E, Physics Data: Optical Pro-
perties of Metals, Pt. 1: The Transition Metals. Fach-Information-
Zentrum, Karlsruhe, 1981.
501. Weaver Jo, Krafka Co, Lynch Do, Koch E, Physics Data: Optical Pro-
perties of Metals, Pt. II: Noble metals, Aluminium, Scandium, Yttri-
um, the Lanthanides and the Actinides. Fach-Informations-Zentrum,
Karlsruhe, 1981.
502. Welker T. Optical absorption of matrix isolated silver aggregates and
mycrocrystals. Ber. Bunsenges. Phys. Chem., 82, 40 — 41, 1978.
503. Wendlandt W,W,, Hecht HoGo Reflectance spectroscopy. Wiley-Inter-
science, New York, 1966.
504. Weyl Colored glasses. The Society of Glass Technology, Shef-
field, England, 1951.
505. Wickramasinghe NoC., Kandy Ko The shape of the interstellar ab-
sorption band. Astrophys. Space Sci., 6, 154 — 156, 1970.
506. Wickramasinghe КoC,, Kandy Ko Recent work on interstellar grains.
Rep. Progr. Phys., 35, 157 - 234, 1972.
507. Wiegel E. Uber die Farben des kolloiden Silbers und die Miesche
Theorie. Z.Phys., 136, 642 — 653, 1954.
508. Wilson E,Bo, Decius JoCo, Cross PoCo Molecular vibrations. McGraw-
Hill, New York;1955 (Dover edition published in 1980).
509. Wilson JoWo, Brandes EoA„ Radar measurement of rainfall — a summa-
ry. Bull. Am. Meteorol. Soc., 60, 1048 - 1058, 1979.
510. Wilson Ro The blue sun of 1950 September. Mon. Not. R. Astron. Soc.,
111, 478 - 489, 1951.
511. Wiscombe W,J„ Mie scattering calculations: advances in technique
and fast, vector-speed computer codes. NCAR/TN-140 + STR, Na-
tional Center for Atmospheric Research, Bonlder, Colo, 1979.
512. Wiscombe Wo], Improved Mie scattering algorithms. Appl. Opt., 19,
1505 - 1509, 1980.
513. Witt G. Polarization of light from noctilucent clouds. J. Geophys. Res.,
65, 925 - 933, 1960.
514. Witt С, The nature oj noctilucent clouds. Space Res., 9, 157 — 169,
1969.
515. Witt Go, Dye JoEo, Wilhelm Ko Rocket-bome measurements of scatte-
red sunlight in the mesosphere. J. Atmos. Terr. Phys., 38, 223 — 238,
1976.
516. WoodE.A. Crystals and light. 2nd rev. ed., Dover, New York, 1977.
517. Woolf Nolo Circumstellar dust. In The Dusty Universe, Field GoBo,
Cameron AoGoWo{Eds,}, Neale Watson, New York, p. 60 — 87, 1975.
656
Литература
518. Hooten F, Optical Properties of Solids. Academic, New York, 1972.
519. Wyatt P./. Differential light scattering: a physical method for iden-
tifying living bacterial cells. Appl. Opt., 7, 1879 — 1896, 1968.
520. Wyatt P./о Some chemical, physical and optical properties of fly ash
particles. Appl. Opt., 19, 975 — 983, 1980.
521. Hyatt Pel', Phillips DoTo Structure of single bacteria from light scat-
tering. J. Theor. Biol., 37, 493 — 501, 1972.
'522. Yeh C. Perturbation approach to the diffraction of electromagnetic
waves by arbitrarily shaped dielectric obstacles. Phys. Rev., 135,
A1193 - A1201, 1964.
I 523. Yeh C., Mei K,K. On the scattering from arbitrarily shaped inhomo-
geneous particles — exact solutions. In Light Scattering by Irregu-
larly Shaped Particles. Schuerman Do (Edo), Plenum,New York, p.
201 - 206, 1980.
524. YildizAo Scattering of plane plasma waves from a plasma sphere.
Nuovo Cimento, 30, 1182 — 1207, 1963.
525. Young A,To Rayleigh scattering. Phys. Today, 35(1), 42 — 48,
1982.
526. Zellner Bo Dust grains in reflection nebulae. In Interstellar dust and
Related Topics, IAU Symposium No. 52, Greenberg JoMo, van de
Huis t HoCo (Edso), D.Reidel, Dordrecht, Holland, p. 109 — 113, 1973.
527. Zerull Ro, Ciese RoHo Microwave analogue studies. In Planets, Stars
and Nebulae Studied with Photopolarimetry, Gehrels T, (Edo), Univer-
sity of Arizona Press, Tucson, Ariz., p. 901 — 915, 1974.
528. Zerull RoHo, Giese RoHo,Heiss K. Scattering functions of nonspheri-
cal dielectric and absorbing particles vs. Mie theory. Appl. Opt.,
16,777 - 778, 1977.
529. Zerull RoHo, Ciese RoHo, Schwill So, Weiss Ko Scattering by particles
of non-spherical shape. In Light Scattering by Irregularly Shaped Par-
ticles, Schuerman DoHo (Edo), Plenum, New York, p. 273 — 282, 1980.
530. Ziman I,Mo Principles of the theory of solids. Cambridge University
Press, Cambridge, 1972.
531. Золотарев B.M. Оптические постоянные аморфных окислов SiO2
и GeO2-B области валентной полосы. Оптика и спектроскопия, 29,
№1, 66-70, 1970.
Содержание
Предисловие к русскому изданию................................ 5
Предисловие................................................... 6
От авторов.................................................... 9
Часть 1. Основы теории....................................... 11
Глава 1. Введение.......................................... 11
1.1. Физические основы процессов рассеяния и поглощения 11
1.2. Рассеяние на флуктуациях и частицах............. 12
1.3. Физика рассеяния отдельной частицей...........- 16
1.4. Скопление частиц.............................. 18
1.5. Прямая и обратная задачи..................... 19
Замечания и комментарии.............................21
Глава 2. Электромагнитная теория .........................22
2.1. Векторы поля и уравнения Максвелла.............22
2.2. Гармонические поля............................ 25
2.3. Коэффициенты макроскопической теории, зависящие от
частоты..............................................26
2.4. Пространственная дисперсия.....................35
2.5. Вектор Пойнтинга.............................. 36
2.6. Распространение плоских волн в неограниченных
средах...............................................37
2.7. Отражение и прохождение плоской границы раздела . . 44
2.8. Отражение и пропускание света слоем............51
2.9. Экспериментальное определение оптических
постоянных...........................................57
2.10. Аналогия между слоем и частицей...............58
2.11. Поляризация...................................60
Замечания и комментарии.............................75
Глава 3. Поглощение и рассеяние произвольной частицей.... 77
3.1. Общая формулировка задачи......................77
3.2. Матрица амплитуд рассеяния.................... 81
3.3. Матрица рассеяния..............................84
3.4. ЭкстинкЦия, рассеяние и поглощение.............90
Замечания и комментарии............................106
658
Содержание
Глава 4. Поглощение и рассеяние шаром........................ Ю7
4.1. Решение векторных волновых уравнений.............. юз
4.2. Разложение плоской волны по векторным сферическим
гармоникам......................................... 116
4.3. Внутреннее и рассеянное поля..................... 120
4.4. Сечения и элементы матриц -...................... 130
4.5. Параметр асимметрии и давление излучения......... 151
4.6. Радиолокационное сечение обратного рассеяния .... 153
4.7. Тепловое излучение .............................. 156
4.8. Расчет коэффициентов рассеянного полян сечений
рассеяния . ....................................... 160
Замечания и комментарии............................... 163
Глава 5. Частицы, малые по сравнению с длиной волны..... 165
5.1. Шар, малый по сравнению с длиной волны........... 165
5.2. Электростатическое приближение................... 173
5.3. Эллипсоид в приближении электростатики........... 178
5.4. Эллипсоид с покрытием............................ 186
5.5. Тензор поляризуемости............................ 188
5.6. Анизотропный шар................................. 191
5.7. Матрица рассеяния............................... 193
Глава 6. Теория Рэлея — Ганса................................198
6.1. Элементы амплитудной матрицы рассеяния............198
6.2. Однородный шар....................................203
6.3. Конечный цилиндр..................................204
Замечания и комментарии................................206
Глава 7. Метод геометрической оптики.........................207
7.1. Сечение поглощения и сечение рассеяния............207
7.2. Угловое распределение рассеянного света.
Углы радуги.............................................218
7.3. Рассеяние на призмах. Гало при наличии кристаллов льда . . . 222
Замечания и комментарии................................225
Глава 8. Более сложные частицы...............................227
8.1. Шар в оболочке....................................227
8.2. Анизотропная сферическая частица..................230
8.3. Оптически активные частицы . . .-.................232
8.4. Бесконечный прямой круговой цилиндр...............243
8.5. Неоднородные частицы. Эффективная диэлектрическая
проницаемость...................................... 266
8.6. Методы решения задачи рассеяния на несферических
частицах регулярной и нерегулярной формы........... 274
Замечания и комментарии........................; . . 278
Содержание
659
Часть 2. Оптические свойства объемного вещества............... 280
Глава 9. Классические теории оптических постоянных........ 280
9.1. Модель Лоренца................................ 281
9.2. Многоосцилляторная модель...................... 302
9.3. Модель анизотропных осцилляторов............... 306
9.4. Модель Друде................................... 311
9.5. Релаксационная модель Дебая.................... 323
9.6- Общее соотношение между е ' и е ".............. 330
Замечания и комментарии.............................. 333
Глава 10. Оптические характеристики вещества. Эксперименталь-
ные Данные................................................ 334
10.1. Оптические характеристики твердого диэлектрика:MgO 334
10.2. Оптические свойства металлов: алюминий....... 339
10.3. Оптические свойства жидкости: вода............. 342
10.4. Замечание о характерных величинах k........... 349
10.5. О применимости оптических постоянных объемного
вещества в расчетах, связанных с малыми частицами 351
10.6. Сводка механизмов поглощения и температурных
эффектов............................................. 352
Замечания и комментарии..................................... 356
Часть 3. Оптические свойства частиц..........................- 35В
Глава Н. Экстинкция.............................................. 358
11.1. Экстинкция = поглощение + рассеяние.................. 358
11.2. Экстинкция (сводка эффектов).......................... 362
11.3. Некоторые следствия для экстинкции в диэлектричес-
ких шарах............................................ 370
11.4. Рябь......................................... 375
11.5. Вклад поглощения в экстинкцию........................ 383
11.6. Расчеты экстинкции в несферических частицах .... 389
11.7. Измерения экстинкции................................. 396
11.8. Экстинкция. Краткие выводы............................ 406
Замечания и комментарии..................................... 407
Глава 12. Поверхностные моды в малых частицах.................... 408
12.1. Поверхностные моды в малых шарах........ 409
12.2. Поверхностные моды в несферических частицах . . . 430
12.3. Колебательные моды в диэлектриках..................... 449
12.4. Электронные моды в металлах........................... 465
Замечания и комментарии..................................... 480
Глава 13. Угловая зависимость рассеяния.......................... 481
13.1. Рассеяние неполяризованного и линейно поляризован-
ного света........................................... 481
660
Содержание
13.2. Методика измерений и приготовление частиц...490
13.3. Измерение на отдельных частицах..............497
13.4. Некоторые теоретические и экспериментальные
результаты........................................ 501
13.5. Определение размеров частиц..................509
13.6. Симметрия матрицы рассеяния................. 512
13.7. Методика измерений матрицы рассеяния.........523
13.8. Некоторые результаты для матрицы рассеяния .... 529
13.9. Выводы: применимость теории Ми...............539
Замечания и комментарии............................540
Глава 14. Некоторые приложения...........................541
14.1. Задача измерения оптических постоянных.......542
14.2. Атмосферные аэрозоли.........................547
14.3. Серебристые облака.......................... 566
14.4. Радиолокационные измерения количества осадков . . 574
14.5. Межзвездная пыль.............................577
14.6. Использование малых частиц для исследования
зависимости оптических спектров вещества от дав-
ления ............................................ 592
14.7. Иммунологическое предметное стекло Гиавера .... 593
14.8. Поглощение СВЧ-излучения макромолекулами....597
Приложения. Вычислительные программы.................... 600
Приложение А. Однородный шар...................... 602
Прило жение Б. Шар в оболочке.....................609
Приложение В. Освещенный по нормали бесконечный
цилиндр.............................................616
Литература...............................................624
УВАЖАЕМЫЙ ЧИТАТЕЛЬ !
Ваши замечания о содержании книги, ее оформлении, качестве пе-
ревода и другие просим присылать по адресу: 129820, Москва, И-110,
ГСП, 1 Рижский пер., д. 2, издательство ’’Мир”.