Текст
В. П. ГРИБКОВСКИЙ
ТЕОРИЯ
ПОГЛОЩЕНИЯ
И ИСПУСКАНИЯ
СВЕТА
В ПОЛУПРОВОДНИКАХ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА И ТЕХНИКА»
МИНСК 1975
1*82
УДК 535.34+5^5.з7+539.293+621.378
Грибковский В. П. Теория поглощения н испуска-
испускания света в полупроводниках. Минск, «Наука и техни-
техника», 1975, 464 с.
В книге с единой точки зрения излагается теория
поглощения и усиления света, спонтанной и стимулиро-
стимулированной рекомбинации в полупроводниках. Особое вни-
внимание уделено взаимодействию вещества с мощными
потоками излучения, которые приводят к появлению
эффектов насыщения. Впервые в монографической лите-
литературе по полупроводникам рассмотрен ряд принципи-
принципиальных вопросов теории люминесценции: изложена
методика вычисления люминесценции как превышения
над фоном теплового испускания, сформулирован кри-
критерий появления отрицательной люминесценции, проана-
проанализировано универсальное соотношение между спектра-
спектрами люминесценции и поглощения при отсутствии термо-
термодинамического равновесия, показана аналогия оптиче-
оптических свойств сложных молекул и полупроводников.
Рассчитана на научных сотрудников, аспирантов,
специалистов, занимающихся разработкой, созданием и
применением полупроводниковых лазеров, фототропных
фильтров и оптоэлектронных устройств. Может быть
также использована студентами физических факульте-
факультетов вузов.
Таблиц 7. Иллюстраций 141. Библиография — 801
название.
Редактор
академик АН БССР Б. И. СТЕПАНОВ
Рецензенты:
доктор физико-математических наук
профессор В. Д. Ткачев,
доктор физико-математических наук П. А. Апанасевич,
кандидат физико-математических наук А. Т. Маханек
20405—065
Г 97—75
М316—75
(С) Издательство «Наука и техника», 1975.
ВВЕДЕНИЕ
В истории развития физики и техники полупроводников мож-
можно выделить четыре периода.
Первый период охватывает XIX век и первую четверть
XX века. Это предыстория учения о полупроводниках. Полу-
Полупроводники уже открыты, по совокупности специфических
свойств выделены в особый класс веществ, но еще не сущест-
существует физики полупроводников как самостоятельного раздела
науки.
В 1833 г. Н. Фарадей установил, что электросопротивление
сернистого серебра падает с ростом температуры. Такая за-
закономерность при высоких температурах типична для всех
полупроводников в отличие от металлов, у которых сопротив-
сопротивление растет с повышением температуры. Через сорок лет
В. Смит открыл фоточувствительность селена, известного с
1817 г., и построил первые фотосопротивления. В 1879 г.
Е. Холл обнаружил возникновение поперечной э.д.с. при про-
прохождении электрического тока через проводник, помещенный
в магнитное поле. Эффект Холла сразу же стал использовать-
использоваться для определения концентрации и типа носителей заряда в
полупроводниках. В этот же период было установлено вы-
выпрямляющее действие контактов металл — полупроводник
A886 г.), а в 1923 г. О. В. Лосев обнаружил свечение при про-
прохождении тока через такие контакты в карбиде кремния.
Необычные свойства полупроводников невозможно было
объяснить на основе классической физики, и они не находили
сколько-нибудь серьезного применения в технике. Созданные
к этому времени кристаллические точечные диоды, выпрями-
выпрямители и фотосопротивления были маломощны, капризны, не-
неустойчивы в работе и практически не выходили за пределы
научных лабораторий.
Второй период — период становления физики полупровод-
полупроводников как науки и создания приборов на основе полупровод-
полупроводниковых материалов — начался после возникновения кванто-
квантовой механики и разработки более совершенной технологии
выращивания чистых монокристаллов. В 1927 г. Л. Грондель
и П. Гейгер построили технический выпрямитель на закиси
меди. К 1930 г. трудами А. Вильсона и Н. Мотта в Англии,
В. Шоттки и К. Вагнера в Германии, А. Ф. Иоффе и Я. А.
Френкеля в СССР были заложены основы современной физи-
физики полупроводников.
Концентрация и движение носителей заряда в полупровод-
полупроводниках сильно зависят от наличия примесей в кристалле и от
температуры, весьма чувствительны к действию электриче-
электрического и магнитного полей и светового облучения. Появляется
обширная литература, посвященная исследованию всех этих
эффектов и созданию на их основе разнообразных приборов.
Однако в этот же период электронная лампа вытесняет кри-
кристаллические детекторы. К началу второй мировой войны они
почти полностью сошли со сцены.
В 1948 г. Д. Бардин, В. Брэттен и В. Шокли открылитран-
зисторный эффект и создали первый полупроводниковый три-
триод (транзистор) — аналог усилительной лампы. С этого вре-
времени начался новый, третий, период бурного развития полу-
полупроводниковой радиотехники, автоматики и телемеханики.
Работа электронной лампы и транзистора основана на уп-
управлении потоком свободных или квазисвободных электронов.
Чтобы создать поток электронов в лампе, необходимо затра-
затратить энергию на нагревание катода и обеспечить на их пути
высокий вакуум. В транзисторе необходимые электроны вво-
вводятся путем легирования кристалла при его выращивании и
изготовлении прибора. Концентрация и плотность потока
электронов в полупроводнике во много раз больше, чем в
электронной лампе. Поэтому полупроводниковые приборы
миниатюрны, экономичны, механически прочны и всегда готовы
к действию.
Уже во время войны создателям радиолокационных уста-
установок пришлось вспомнить о кристаллических детекторах,
поскольку электронно-вакуумные выпрямители и преобразо-
преобразователи частоты в области сантиметровых воли работали неэф-
неэффективно. Электронные лампы исчерпали свои возможности и
для развития других областей радиотехники. После создания
транзистора широко развернулись научно-исследовательские
работы по физике, химии и технологии полупроводников. Тео-
Теоретически и экспериментально изучаются зонная структура
полупроводников, поверхностные и контактные явления, р—п-
переходы и гетеропереходы, рассеяние электронов в кристалле
и другие явления. Разработана технология синтеза и выращи-
выращивания сверхчистых полупроводниковых монокристаллов. Про-
Промышленность ежегодно выпускает многие миллионы полупро-
полупроводниковых диодов и транзисторов, которые повсеместно
вытесняют электронные лампы. По сей день продолжается
триумфальное развитие полупроводниковой техники, основан-
основанной на применении и совершенствовании этих приборов.
Однако в начале 60-х годов начали вырисовываться новые
направления развития техники и стало ясно, что полупровод-
полупроводниковые диоды и транзисторы ожидает та же судьба, которая
постигла электронные лампы. Они будут применяться для
решения ограниченного круга задач, а дальнейший прогресс
техники связан с переходом от дискретных систем к инте-
интегральным схемам и более широкому использованию оптиче-
. ских явлений в полупроводниках.
Создание в 1962 г-, инжекционных лазеров, в следующем
году генераторов Ганна, появление нелинейной оптики, микро-
микроэлектроники и оптоэлектроники, несомненно, свидетельствует
о начале нового, четвертого, этапа в развитии физики и тех-
техники полупроводников. Характерная особенность этого эта-
этапа— широкое применение и непрерывное совершенствование
оптических методов изучения свойств полупроводников, иссле-
исследование их взаимодействия с мощными потоками излучения,
разработка и создание приборов, в основе механизма действия
которых лежат процессы поглощения и испускания света и
нелинейные оптические явления. В работе полупроводниковых
приборов предыдущего периода оптические процессы либо
вообще не играли никакой роли, либо служили вспомогатель-
вспомогательным средством для создания или управления потоком элект-
электронов.
Оптические методы исследования, сыгравшие решающую
роль в изучении свободных атомов и молекул, позволяют сей-
сейчас глубоко проникнуть в строение кристалла и определить
его энергетический спектр в широком диапазоне от долей
электрон-вольта до двух-трех десятков электрон-вольт. При
больших интенсивностях возбуждающего света могут возник-
возникнуть различные нелинейные эффекты: многофотонное погло-
поглощение, испускание удвоенных, разностных и суммарных
частот, вынужденное рассеяние света. Показатель преломле-
преломления, коэффициенты отражения и поглощения становятся
функциями интенсивности падающего луча, мощности погло-
поглощения и люминесценции стремятся к насыщению, люмине-
люминесценция деполяризуется и возникает вынужденный дихроизм.
В ряде кристаллов обнаружено образование биэкситонов и
экситонных капель.
Исследование, нелинейных оптических эффектов служит
новым и весьма важным источником информации о строении
вещества и позволяет создавать просветляющиеся и затем-
затемняющиеся фильтры и ограничители света, пассивные затворы
для лазеров и преобразователи частот, устройства для ско-
скоростной записи и считывания динамических голограмм и дру-
другой информации.
В полупроводниковых световых диодах происходит прямое
и непосредственное преобразование электрической энергии в
5
световую. Эффективность самого процесса преобразования
энергии необычайно высока и приближается к своему пре-
предельному значению. В диодах из арсенида галлия практически
при каждой рекомбинации электрона и дырки в определенных
условиях возникает квант света. Это открывает новые пер-
перспективные пути для создания источников света с к. п. д.,
достигающим нескольких десятков процентов.
Полупроводниковые источники некогерентного света и ла- %
зеры миниатюрны, работают при температуре окружающей
среды, имеют высокую механическую прочность и сравнительно
большой срок службы. В отличие от ламп накаливания, спектр
излучения которых простирается далеко как в инфракрасную,
так и в ультрафиолетовую области, они характеризуются уз-
узкой полосой люминесценции в нужном участке спектра. Путем
модуляции тока инжекции излучение диодов легко промодули-
ровать до частот в несколько гигагерц. Поэтому они все шире
применяются в системах связи, в индикаторных устройствах,
для ввода и вывода информации в вычислительных машинах
и другом оборудовании.
Между двумя инжекционными лазерами можно установить
нелинейную оптическую связь,; величина порога генерации
одного диода будет зависеть от того, генерирует второй лазер
или нет. Такая система является оптическим аналогом элект-
электрического тригера — основной ячейки электронно-вычисли-
электронно-вычислительных машин. Поэтому сейчас открываются реальные воз-
возможности для разработки вычислительных машин четвертого
поколения, которые будут приводиться в действие не электри-
электрическими, а световыми импульсами. Их быстродействие будет
на несколько порядков больше, чем у существующих элект-
электронных счетно-решающих устройств.
Изучение полупроводников ведется широким фронтом, и
поток литературы, посвященной отдельным вопросам, исклю-
исключительно велик. Успешному продвижению фронта исследова-
исследований, особенно в новых направлениях, в значительной степени
способствует своевременное обобщение накопленных резуль-
результатов и теоретических методов расчета. Настоящая моногра-
монография призвана внести определенный вклад в решение этой
задачи.
Для удобства читателя в первой главе приведена сводка
общих сведений из физики твердого тела, которые. использу-
используются при изложении основного материала. Ряд параграфов
написан на основании обобщения работ автора, выполненных
в последние годы. Книга отражает основные достижения в
области полупроводниковой квантовой электроники и лазер-
лазерной спектроскопии.
Глава I
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА
ПОЛУПРОВОДНИКОВ
§ 1. КРИСТАЛЛИЧЕСКАЯ ПРИРОДА
ПОЛУПРОВОДНИКОВ
Типы полупроводников. С появлением учения об электричест-
электричестве все вещества были разделены на проводники, изоляторы и
полупроводники. В полупроводниках при комнатной темпе-
температуре удельное сопротивление р заключено в пределах от
10~3 до 10е ом-см, тогда как в типичных проводниках р =
= 10~8 ом-см, а в изоляторах р = 1012 ом-см. В дальнейшем
оказалось, что имеется большое количество веществ с удель-
удельным сопротивлением р=10~3—10б ом-см, но их нельзя отнести
к полупроводникам в современном значении этого слова.
Классификация веществ на проводники, изоляторы и полупро-
полупроводники получила законченную и обоснованную форму только
после создания квантовой механики и зонной теории твердо-
твердого тела.
Однако уже более ста лет назад на основании эксперимен-
экспериментальных результатов были сформулированы критерии, позво-
позволяющие выделить полупроводники в самостоятельный класс
веществ [1, 2]. К основным свойствам полупроводников отно-
относятся: а) уменьшение электросопротивления с повышением
температуры; б) величина удельного сопротивления в преде-
пределах от 10~3 до 10е ом-см; в) большие по сравнению с метал-
металлами значения термоэдс; г) выпрямление тока или неомиче-
неомическое поведение на контактах; д) чувствительность к свету,
появление фотоэдс или изменение сопротивления при освеще-
освещении.
Все полупроводники, как правило, твердые кристалличе-
кристаллические тела. Наличие полупроводниковых свойств у некоторых
жидкостей [3] и стеклообразных веществ [4] означает, что в
них имеется ближний порядок в расположении атомов, такая
жидкость по квантовомеханическим свойствам приближается
к поликристаллу. По типу носителей тока полупроводники
делятся на ионные и электронные. В ионных полупроводниках
носителями тока служат ионы решетки, а в электронных —
электроны и дырки. Прохождение тока через ионные полупро-
водники сопровождается переносом вещества и разрушением
кристаллической решетки. Поэтому они не имеют серьезного
практического значения и в дальнейшем не будут рассматри-
рассматриваться.
К полупроводникам относятся многие вещества:
1) чистые элементы: В, С, Si, Ge, a-Sn, P, As, Sb, S, Se, Те,
J; 2) соединения типа AJBVI (CuO, Cu2O, CuS ...), где индек-
индексы указывают группу элемента; 3) соединения AJBvn (CuCl,
AgBr ...); 4) соединения AnBVI (ZnS, CdS, ZnO ...), 5) соеди-
соединения AinBv (GaAs, GaP, InAs, InP, InSb, A1P, AIBi ...);
6) соединения AVIBIV (SiC ...); 7) соединения (AIVBVI (PbS,
PbTe ...); 8) большинство минералов; 9) многие органические
соединения. Полупроводниковыми свойствами обладают так-
также ферриты, сегнетоэлектрики и пьезоэлектрики [5], твердые
растворы полупроводников и другие более сложные соеди-
соединения.
Химическая связь в кристаллах. В процессе роста кристал-
кристалла происходит взаимодействие валентных электронов атомов,
приводящее в выделению тепла и образованию химических
связей. Потенциальная энергия кристалла всегда меньше сум-
суммы потенциальных энергий образующих атомов, и поэтому
для его разрушения необходима затрата энергии. Различают
химические связи четырех видов: ионная, ковалентная (гомео-
полярная), металлическая и молекулярная (Ван-дер-Ваальса)
[6,7].
При рассмотрении характера химической связи следует
учитывать электроотрицательность атома и сродство к элект-
электрону. Электроотрицательность атома характеризуется энер-
энергией, которую получает атом, участвующий в каком-либо рав-
равновесном процессе, при потере одного электрона с внешней
оболочки. Одним из таких равновесных процессов и является
рост кристалла. Электроотрицательность атомов одно- и двух-
двухвалентных элементов практически равна половине энергии
ионизации. Для атомов многовалентных элементов она не-
несколько больше половины энергии ионизации. Последняя ве-
величина, как известно, характеризует энергию, которую необ-
необходимо затратить для принудительного отрыва электрона от
иевозбужденного атома и удаления его на бесконечность, на-
например, при бомбардировке частицами высоких энергий или
световыми квантами.
Некоторые нейтральные атомы обладают способностью
присоединять к себе электрон и превращаться в отрицатель-
отрицательный ион. Эта способность, называемая сродством к электрону,
характеризуется величиной энергии, которая выделяется при
захвате атомом одного избыточного электрона.
Ионная, или гетерополярная, связь в кристаллах возникает
при взаимодействии атомов с сильно различающимися зна-
значениями электроотрицательности. В этом случае атомы с
большей электроотрицательностью присоединяют к себе
электроны и становятся отрицательными ионами, а атомы, по-
потерявшие электроны, превращаются в положительные ионы.
Кристалл строится из положительных и отрицательных
ионов, между которыми возникают кулоновские силы притя-
притяжения. Ионные кристаллы отличаются обычно большой проч-
прочностью, высокой точкой плавления и малым коэффициентом
теплового расширения.
Типичным примером ионных кристаллов могут служить
соединения одно- и двухвалентных элементов с атомами семи-
семивалентных элементов (каменная соль NaCl, NaF, BaCl2).
Электроотрицательности Na, C1 и F соответственно равны 2,8;
8,4 и 10,5 эв. Поэтому семивалентные F и С1 отнимают у Na
один электрон и достраивают свою внешнюю валентную обо-
оболочку до 8 электронов. Эта оболочка является замкнутой и
весьма устойчивой.
Полупроводниковые вещества, такие, как алмаз, кремний,
германий, образуют кристаллы с атомной, или гомеополярной,
связью. Такая связь возникает между одинаковыми или близ-
близкими по своим свойствам элементами в результате появления
обменного эффекта. Обменные силы притяжения между ато-
атомами возникают в результате слияния внешних оболочек двух
атомов в одну обобщенную оболочку. В такой оболочке
электроны имеют спаренные спины и она более устойчива,
чем две независимые орбиты. Поскольку в обменных взаимо-
взаимодействиях принимают участие только электроны незаполнен-
незаполненной внешней оболочки, то атомную связь называют еще ва-
валентной или ковалентной. Она может быть такой же сильной,
как и ионная связь, поэтому ионные и атомные кристаллы об-
обладают близкими свойствами.
В полупроводниках типа AmBv, получивших в последнее
время исключительно большое значение, химическая связь
приближается к нейтральной атомной связи [8, 9]. Однако
имеется некоторое смещение электронов от атомов А111 к ато-
атомам Bv, причем степень этого смещения уменьшается от со-
соединения к соединению в такой последовательности: А1Р,
AlAs, InP, GaP, InAs, AlSb, GaAs, InSb, GaSb. Иными слова-
словами можно сказать, что от атома А111 к атому Bv переходит
некоторый эффективный заряд е*, заключенный в пределах
от 0,6е до 0,Зе, где е — заряд электрона. Чем больше разность
между электроотрицательностями атомов, тем больше вели-
величина е*.
Металлическая связь возникает в кристаллах, образован-
образованных из атомов, имеющих небольшое число валентных элект-
электронов. Чтобы такой атом мог построить устойчивую оболочку
из 8 электронов, ему необходимо присоединить электроны
нескольких других атомов. В результате происходит как бы
обобщение всех валентных электронов кристалла. Такой кри-
кристалл можно представить как решетку из положительных
ионов, между которыми свободно могут перемещаться элект-
электроны. Металлическая связь является предельным случаем
атомной связи. Металлические кристаллы характеризуются вы-
высокой ковкостью, электропроводностью и теплопроводностью.
Большинство органических кристаллов, а также элементы
V и VI групп таблицы Менделеева (сера, селен, теллур, фос-
фосфор) характеризуются молекулярной химической связью.
Эта связь возникает между атомами, молекулами и их комп-
комплексами, имеющими заполненные валентные оболочки. Буду-
Будучи электрически нейтральными, такие образования обладают
постоянным или мгновенным дипольным моментом, связан-
связанным с несимметричным распределением электрических заря-
зарядов. В результате взаимодействия дипольных моментов и
возникают сравнительно слабые силы притяжения Ван-дер-Ва-
альса такого же типа, как и в жидкостях. Кристаллы с моле-
молекулярной связью имеют малую твердость и низкую темпера-
температуру плавления. В большинстве кристаллов химические связи
трудно отнести к какому-нибудь одному типу. Обычно они
имеют более сложный характер и классифицируются как кова-
лентно-ионные, ковалентно-металлические, ионно-ковалентно-
металлические и т. п. Если рассматривать всю совокупность
известных полупроводниковых веществ, то в них можно обна-
обнаружить все типы химических связей, за исключением чисто ме-
металлической.
Прямая и обратная решетки. При соблюдении определен-
определенных условий кристаллы растут в виде правильных многогран-
многогранников. Плоскости, ограничивающие кристалл, называются его
гранями, линии, разделяющие грани, — ребрами, а узловые
точки, в которых пересекаются несколько граней, — вершина-
вершинами. Из рентгеноструктурного анализа и из многих других
опытов следует, что атомы и молекулы располагаются в кри-
кристалле строго закономерно в определенном порядке. При этом
существует некоторая элементарная ячейка, с помощью
которой путем многократного повторения можно сложить весь
кристалл. Следовательно, физические свойства идеального
кристалла периодически повторяются. Только благодаря пе-
периодической структуре кристаллов оказалось практически
возможным создание теории твердого тела, состоящего из
огромного количества частиц.
В теории для описания физических свойств кристаллов
вводится понятие прямой и обратной решетки. Под прямой ре-
решеткой понимают совокупность точек, радиусы-векторы кото-
которых равны [10]
»п = «А + «2а2 + «За3, A.1)
10
где аь а2 и а3— три не лежащих в одной плоскости (некомпло-
нарных) вектора, называемых трансляционными, масштабны-
масштабными или основными (базисными) векторами, или трансляци-
трансляционными периодами кристаллической решетки; tii— целые по-
положительные и отрицательные числа. При смещении всего
кристалла как целого на любой из этих векторов он совме-
совмещается сам с собою.
Очевидно, при перемещении кристалла на любой из векто-
векторов &п он также будет совмещаться сам с собой. Поэтому
вектор а„ называется вектором трансляции.
Параллелепипед, построенный на базисных векторах, имеет
объем, равный Qo=(ai[a2, а3]), и называется элементарной
ячейкой. Перемещая (транслируя) элементарую ячейку в на-
направлениях аг-, можно заполнить все пространство. В этом и
заключается трансляционная симметрия кристаллов.
Решетка, определенная формулой A.1), является чисто
геометрическим построением, ее узлами служат математиче-
математические точки. Каждому узлу соответствует один или целая груп-
группа атомов. Из трансляционной симметрии кристалла следует,
что если около начала координат расположены какие-то
атомы, то точно такие же атомы находятся около любого дру-
другого узла решетки.
Выбор решетки неоднозначен. Для одного и того же кри-
кристалла можно выбрать различными способами тройку базис-
базисных векторов &i. Пусть, например, атомы в кристалле распо-
располагаются в вершинах и в центре куба. Тогда, помещая начало
координат в вершине куба, векторы а* молено выбрать вдоль
осей х, у, z. Элементарная ячейка будет иметь форму куба
(рис. \,а). Если же начало координат поместить в центре
куба, а векторы а^ направить к его вершинам, то элементар-
элементарная ячейка будет иметь форму ромбоэдрического параллеле-
параллелепипеда. Более того, элементарная ячейка может быть построе-
построена не на векторах а*, а совершенно иным способом, в част-
частности в виде ячейки Вигнера — Зейтца.
Соединим центр куба с его вершинами 8 отрезками. Через
середину каждого отрезка проведем перпендикулярные к ним
плоскости. Восемь таких плоскостей и ограничивают простран-
пространственную фигуру, называемую элементарной ячейкой Вигне-
Вигнера— Зейтца (рис. 1, е). Все пространство может быть запол-
заполнено такими ячейками, причем они обладают теми же
элементами симметрии, что и куб. Ячейка Вигнера — Зейтца
применяется для построения прямых решеток, однако она
приобретает исключительно важное значение в пространстве
обратной решетки, где она совпадает по существу с зоной
Бриллюэна.
Как будет видно из дальнейшего, волновые функции, опи-
описывающие движение электрона в кристалле, отражают не
11
Рис. 1." Элементарные ячейки для кубического кристалла с одним атомом
в центре куба: а — кубическая; б — ромбоэдрическая; в — ячейка, Виг-
иера—Зейтца
только симметрию прямой решетки, но и свойства обратной
решетки. Именно в пространстве обратной решетки задается
и исследуется волновой вектор электрона к. Поэтому изучение
обратной решетки служит отправной точкой в теории твердого
тела.
Вектор трансляции bg обратной решетки равен
A-2)
где gt — целые числа; bt — базисные векторы обратной решетки.
Векторы Ь; имеют размерность обратной длины и связаны с ба-
базисными векторами прямой решетки соотношениями
2л , , , 2л
bi = — [а2а3], Ь2 = —
, 2л
b3 = —
ii
A.3)
где Qo — по-прежнему объем элементарной ячейки прямой решет-
решетки, равный (а^ааЯз]). С помощью A.3) легко убедиться, что аг
и by удовлетворяют соотношению
(а1Ь,) = 2яб„. A.4)
Здесь бу — символ Кронекера, равный 1, если i — j, и нулю
При 1ф\.
12
Параллелепипед, построенный на векторах Ьг, образует эле-
элементарную ячейку обратной решетки. Ее объем равен
(Ь^ЬгЬз]) =8n3/Qo, т. е. обратно пропорционален объему эле-
элементарной ячейки прямой решетки.
Согласно A.3), любой из трех базисных векторов обратной
решетки с индексом / перпендикулярен к двум основным век-
векторам прямой решетки с индексами, отличными от /. Если' ъ.%
образуют тройку взаимно перпендикулярных векторов, то Ьг-
тоже будут взаимно - перпендикулярны, причем bill at и bi —
= 2n/flj. В случае кубической решетки al = a2 = a3 = a, 61 = 62=
6 2/
Если же элементарная ячейка прямой решетки является
параллелепипедом произвольной формы, то для нахождения
обратной решетки удобно векторы а, рассматривать в некото-
некоторой прямоугольной системе координат. Тогда 9 проекций век-
векторов ctiX, aiy, aiZ можно представить в виде матрицы А, а
числа П\, п2 и «з — как вектор-столбец п. Положение узлов
решетки будет определяться вектором трансляции, равным
произведению матрицы на вектор [10]
(а1х «2* «Зх
а1у а2у а
alz a2z a
¦1г "Зг
A.5)
Вводя аналогичным образом матрицу В обратной решет-
решетки, имеем
Ъа = еВ =
На основании A.4) приходим к равенству
В А = 2лЕ,
A.6)
A.7)
где Е — единичная матрица, все элементы которой равны 1.
Для нахождения компонент матрицы В равенство A.7) мож-
можно представить в виде системы 9 уравнений
bixajx
biyaJU
bizajz = 2л, i, / = 1, 2, 3.
A.8)
Матрицы А и В полностью определяют прямую и обратную
решетки. В случае простой кубической решетки они имеют
вид:
/а 0 0\ /1/а 0 04
А = I 0 а 0 I, В = 2л ( 0 Ца 0 . A.9)
\0 0 а/ \0 0 1/а /
13
Таблица 1
Сингонии кристаллов
Сингония
Триклинная
Моноклинная
Ромбическая
(или ортогональ-
ортогональная)
Гексагональная
Ромбоэдрическэя
(или тригональ-
ная)
Тетрагональная
(или квадратная)
Кубическая
Угол между осями
«12 ф «23 Ф «Г
«12 * «23 = «31 -
«12 = «23 = «31 =
«12= 120°, а23 = а
а12 = «2з = а31 *
«12 — «23 = «31 =
«12 — «23 = «31 =
1
^90°
^90°
31 = 90°
.90°
= 90°
= 90°
Масштаб вектора
а, ф а2 Ф а3
О л =f=1 dn —— flg
^^=02^03
ах = а.гФ а3
а± = а2 = Оз
ах = а2 Ф пз
а1 = а2 = <h
Обозначение
tr
т
°-
h
t
I
Классификация кристаллических решеток. Еще до того
как стало известно реальное расположение . атомов в кри-
кристаллах, на основании изучения форм естественных монокри-
монокристаллов было установлено, что любой кристалл может быть
отнесен к одной из семи систем, или сингонии. Принадлеж-
Принадлежность кристалла к той или иной сингонии определяется фор-
формой элементарной ячейки решетки. В свою очередь форма
параллелепипеда однозначно задается длинами трех базис-
базисных векторов аь &2, а3 и тремя углами между ними а.ц, азь
агз (табл. 1).
Направления, выбранные вдоль ребер элементарной ячей-
ячейки, называются кристаллографическими осями, а длины
базисных векторов — периодами, или постоянными кристалли-
кристаллической решетки.
Кристаллы кубической и ромбоэдрической сингонии ха-
характеризуются одной постоянной решетки, триклиннои и ром-
ромбической— тремя постоянными, а кристаллы остальных син-
сингонии — двумя постоянными.
Как уже отмечалось, каждому узлу решетки соответствует
один или группа атомов. Атомы могут располагаться не толь-
только в вершинах элементарной ячейки, но и на ее ребрах, гра-
гранях и внутри самой ячейки. Поэтому в рамках указанных
семи систем существует большое количество типов кристал-
кристаллических решеток. Среди них несколько типов простых реше-
решеток, т. е. таких решеток, которые могут быть составлены из
простых ячеек. Под простой ячейкой понимается элементар-
элементарная ячейка, содержащая только один атом. При подсчете
14
числа атомов, приходящихся на одну ячейку в кристалле, сле-
следует иметь в виду, что ячейке принадлежит 1/8 часть каждого
атома, расположенного в узле решетки, 1/4 часть атома, рас-
расположенного на ребре, и 1/2 часть атома, находящегося на
грани.
Очевидно, простые решетки могут иметь только моноатом-
моноатомные кристаллы. Все кристаллы, образованные атомами двух
и более элементов, а также многие моноатомные кристаллы
имеют сложные решетки. На элементарные ячейки таких
решеток приходится более одного атома.
Французский кристаллограф Браве в 1848 г. показал, что
всего существует 14 типов простых решеток (табл. 2). Про-
Простая решетка называется решеткой Браве, если в ней атомы
расположены в узлах. В элементарной ячейке решеток Браве
атомы находятся в вершинах параллелепипеда. Каждая син-
сингония содержит по крайней мере одну решетку Браве. По од-
одной простой решетке имеется в триклиннои, ромбоэдрической
и гексагональной системах. Остальные сингонии содержат от
двух до четырех решеток. В частности, имеются простая куби-
кубическая, объемно-центрированная кубическая (один атом в
центре куба) и гранецентрированная кубическая (в центре
каждой грани по атому) решетки. Все они простые, потому
что могут быть составлены из простых ячеек. Конечно, куб,
содержащий атомы в вершинах и в центре, не является эле-
элементарной ячейкой Браве, поскольку на него приходятся два
атома в кристалле. В этом случае элементарная ячейка
должна быть выбрана так, как показано на рис. 1, б, чтобы
получилась решетка Браве.
В 1867 г. русский академик А. В. Гадолин теоретически
обосновал возможность существования в кристаллах 32 видов
симметрии [11, 12]. Сейчас обнаружены кристаллы всех этих
видов, а в то время был известен только 21 вид. Каждый вид
симметрии характеризуется определенной комбинацией эле-
элементов симметрии. Таких элементов три: плоскость, центр и
ось.
Плоскостью симметрии (обозначаемой обычно буквой Р)
будет такая плоскость, которая делит кристалл на две равные
части так, что одна часть является зеркальным отображением
другой.
Под осью симметрии (L) понимают воображаемую линию,
при вращении вокруг которой на 360° кристалл п раз повторя-
повторяет свое начальное положение в пространстве. Число п назы-
называется порядком оси симметрии. Из теории следует, что в
кристаллах могут быть только оси симметрии 2, 3, 4 и 6-го
порядков. Центр симметрии, или центр инверсии (С),—¦
точка, расположенная внутри кристалла, в которой пересека-
пересекаются и делятся пополам линии, соединяющие - соответствую-
15
Таблица 3
к
ч
сё* 5»
а»
Э
I
i
ч
N
- ¦ -
ч
ч
ч
I
I
I
>
Элементы симметрии и их обозначения
Элемент
симметрии
Обозначение
Изображение по отношению
к плоскости чертежа
перпендикулярное
параллельное
Плоскость симметрии
Центр симметрии
Поворотная ось 2-го порядка
Поворотная ось 3-го порядка
Поворотная ось 4-го порядка
Поворотная ось 6-го порядка
Инверсионная или зеркально-
поворотная ось 4-го порядка
Инверсионная ось 6-го порядка
Инверсионная ось 3-го поряд-
порядка или зеркально-поворотная
ось 6-го порядка
М
т)
1)
2)
L3 (= 3)
V (
Л4
6)
4)
Л.
II //
С О
¦
#
ф
ш
А
о
щие точки на поверхности кристалла. При зеркальном отра-
отражении кристалла в этой /точке его начальное положение не
изменяется.
Наряду с простыми в кристаллографии встречаются и
сложные инверсионные и зеркально-поворотные оси симмет-
симметрии. Им соответствуют операции поворота с одновременной
инверсией или отражением в плоскости. На чертежах и ри-
рисунках элементы симметрии обозначаются условными знака-
знаками [11] (табл. 3).
Как и предполагал Браве, 32 кристаллографических клас-
класса можно объединить в 7 сингоний кристаллов, причем каж-
каждой сингонии соответствует совокупность векторных групп,
имеющих одну и ту же симметрию [13, 14]. Решеткам Браве
соответствует 14 типов векторных групп. Группы, относящие-
относящиеся к одной сингонии, могут быть переведены одна в другую
путем непрерывной деформации. Связь между сингониями
кристаллов и решетками Браве иллю.стрируется табл. 2.
16
2. Зак. 312
17
8 '
Йз сложных кристаллографических решеток отметим два
типа, распространенных среди полупроводниковых соединений.
1. Решетка типа алмаза. Этот тип решетки, кроме
алмаза, имеет серое олово и такие распространенные полу-
полупроводники, ка#? кремний и германий. Ее можно представить
состоящей из правильных тетраэдров, в вершинах и в центре
которых расположены атомы. Такая структура получается,
если две гранецентрированные решетки сдвинуты одна отно-
относительно другой вдоль объемной диагонали на 1/4 часть ее
длины (рис. 2, а).
В кубической ячейке решетки типа алмаза 8 атомов рас-
расположены в вершинах, 6 атомов — на ее гранях и 4 атома —
в ее объеме. Следовательно, на одну ячейку приходится
8-1/8+6-1/2+4 = 8 атомов. В то же время на элементарную
ячейку в виде тетраэдра приходится два атома.
2. Решетка типа цинковой обманки ZnS.
К этой кристаллической структуре относятся большинство
полупроводниковых соединений типа AinBv; GaAs, GaP,.
GaSb, InAs, InP, InSb. Расположение атомов такое же, как в
решетке алмаза, отличие заключается в чередовании атомов
двух сортов. Обе решетки служат примером неплотно упако-
упакованных структур.
Индексы Миллера. Для задания ориентации плоскостей и
направлений в кристаллах, проходящих через узлы решетки,,
широко используются индексы Миллера. Они вводятся следую-
следующим образом. Пусть кристалл находится в системе координат,
начало которой расположено в точке 0, а оси параллельны реб-
ребрам кристалла. Ориентация любой плоскости в кристалле бу-
Рис. 2. Решетка типа алмаза: а — расположение атомов в пространстве,
темные кружки указывают положение смещенной гранецентрированной ре-
решетки; б — проекция атомов на грань куба, числа указывают относитель-
относительное положение атомов в направлении, перпендикулярном к плоскости
рисунка
18
Рис. 3. Индексы Миллера для на-
направлений и плоскостей в кубическом
кристалле
дет однозначно определена,
если задать положения трех то-
точек, лежащих на этой плоскос-
плоскости. В качестве таких точек вы-
выберем точки пересечения плос-
плоскости с осями координат
Аи А2 и Аъ. Длину отрезков, от-
отсекаемых плоскостью по осям
х, у, г, можно выразить безразмерными числами sI( Si и s3,
если выбрать в качестве единиц измерений длины базисных
векторов аи йч и а3, так что Si = OAxlai, S2 = OA2/a2, s3 = O/l3/a3.
Отношение обратных величин 1/si : l/s2 : l/s3, выраженное в
наименьших целых числах (hkl) и записанное в круглых скоб-
скобках, и называется индексами Миллера, или символом данной
плоскости.
Пусть, например, Si = l/2, s2 = I, s3 = 2. Тогда l/Si:l/s2:
: l/s3 = 2 : 1 : 1/2 = 4: 2 : 1. Плоскость характеризуется индекса-
индексами D21). Если плоскость не пересекает какую-либо ось коор-
координат, то s — oo, а соответствующий индекс Миллера равен
нулю. Если плоскость отсекает отрицательный отрезок оси, то
над индексом Миллера ставится знак минус. Так, грани куби-
кубического кристалла имеют индексы: передняя—@10), зад-
задняя—"(ОТО), правая— A00), левая—A00), верхняя— @01),
нижняя — @01).
В силу симметрии кристалла в нем могут быть различно
ориентированные, но физически эквивалентные плоскости,
как например 6 граней куба. Совокупность таких плоскостей
обозначается тремя индексами в фигурных скобках {hkl}.
При таком выборе системы координат и единиц измерения
отрезков координаты любой грани кристалла относятся как
целые числа (закон рациональных отношений).
Направление вектора в кристалле указывается тремя ин-
индексами в квадратных скобках [и, v, до], где и, v и w — три
наименьших числа, отношение которых равно отношению
длин проекций вектора на оси координат, выраженных в ве-
величинах ах, а% и а3. Оси х, у и г имеют индексы [100], [010],
[001]. В кубическом кристалле (рис. 3) направление [±и±
±v±w] перпендикулярно к плоскости (uvw). Совокупность
эквивалентных направлений обозначается символом <uvw>.
Легко показать, что вектор обратной решетки bg=giibI+
+ЬЬ3 перпендикулярен к плоскости с индексами {hkl),
19
если -юлько gi : g2- g3 = h: k : I. Для этой цели достаточно
доказать, что вектор b/iW = /ibi + feb2 + /b3, параллельный bg,
перпендикулярен к двум непараллельным векторам, лежа-
лежащим в плоскости (hkl). Поскольку концы векторов Ok\ = a.\lhr
ОА2 = аг/^, ОА3 = а3// лежат на плоскости (hkl), то в качестве
векторов на плоскости могут быть выбраны разности OFIi—
ОА2 или OAi—ОА3.
Скалярное произведение векторов равно
(ОА1-ОА2)ЪШ
— а2
/Ь3) =
.= О,
где учтены равенства A.3) и независимость смешанного век-
торно-скалярного произведения от круговой перестановки
векторов. Аналогичным образом можно убедиться, что (ОАц—
—ОА3)Ьш = 0. Следовательно, bg действительно перпендику-
перпендикулярен к плоскости (hkl). Необходимо отметить, что символ
(hkl) относится не к одной плоскости, а к семейству парал-
параллельных плоскостей. Самая близкая к началу координат пло-
плоскость отсекает от базисов векторы ajh, a2/k и аз//, следующие
плоскости отсекают векторы 2а1у//г, 2а2/&, 2а3// и т. д. Расстоя-
Расстояние между соседними плоскостями семейства (hkl) равно
А — / а! Ш \ _
аш — , "Т" ~
\ " иш! ЬЬШ
2я . , .. 2л
= . _ (ai [а2а3]) = — ,
bhhl®0 ЪШ
где Ъш/Ьш — единичный вектор, перпендикулярный к плоскости
(hkl).
Иногда для описания ориентации плоскостей гексагональ-
гексагональных кристаллов вводятся не три, а четыре оси координат [11,
15]. Три оси лежат в плоскости, перпендикулярной длинному
ребру кристалла, а четвертая параллельна ему. Углы между
осями, лежащими в одной плоскости, равны 120°, поэтому
первые три координаты связаны соотношением ai-\-a2+a3=0.
В этом случае индексы Миллера вводятся по общему правилу:
Si = OAi/a{, 1/si : l/s2: l/s3: 1/s4 = /j :k:l:m, но их будет уже
не три, а четыре. Например, для шести боковых граней имеем:
(iofo), (оЛо), (поо), (Тощ, (оТю,), (поо).
Определение ориентации кристаллов. Поскольку кристал-
кристаллы обладают анизотропными свойствами, то при их практиче-
20
ском использовании обычно вырезаются пластины со строго
определенной ориентацией относительно кристаллографиче-
кристаллографических осей. В частности, для получения полупроводниковых
квантовых генераторов на р-^-л-переходах, в которых зерка-
зеркалами резонатора обычно служат естественные грани кристал-
кристалла, поверхность пластин ориентируется перпендикулярно к
плоскостям, по которым легче всего получить хорошие сколы.
Существует несколько оптических и рентгенографических
методов определения ориентации кристалла. В наиболее
совершенном, ионизационном, методе направления осей опре-
определяются с точностью до 3'. Однако этот метод применим
только в том случае, если ориентация кристалла уже известна
с точностью в несколько градусов. Поэтому при производстве
лазерных диодов ориентация проводится в два приема, вна-
вначале грубо оптическими методами или с помощью лауэграмм,
а затем точно на ионизационном спектрометре.
Оптические методы ориентации обеспечивают точность
до 1—3°, а в ряде случаев до 15—30'. Они основаны на изуче-
изучении изображений, создаваемых светом, отраженным от фигур
травления. Для получения этих фигур необходимо на моно-
монокристаллическом слитке сделать срез, отполировать его, а
затем обработать селективным травителем [16, 17]. В резуль-
результате селективного действия травителя на различные химиче-
химические связи на поверхности среза обозначаются кристалло-
кристаллографические плоскости.
Если на кристалл перпендикулярно к поверхности среза
направить пучок света (рис. 4), то отраженные лучи создадут
на экране своеобразную картину пятен, по которой и опреде-
определяется ориентация кристалла.
Полупроводники Ge, Si, GaAs очень просто ориентировать
в направлении A11). Если известно направление роста кри-
кристалла, то на слитке можно сделать срез, плоскость которого
будет составлять небольшой угол с плоскостью A11). После
травления на поверхности среза появляются ямки в виде тре-
треугольников в плоскости A11), а в отраженном свете наблю-
наблюдается только одно пятно. Поворачивая кристалл, можно до»
биться такого положения, когда падающий и отраженный
лучи будут совмещены, тогда направление луча будет совпа-
совпадать с направлением A11).
Рис. 4. Схема установки для оптической ориентации кристаллов: /—ис-
/—источник света; 2, 4—линзы; 3, 5—диафрагма; 6—белый экран; 7—образец
21
В *основе рентгеновских методов определения кристалло-
кристаллографических направлений лежит дифракция рентгеновских
лучей (А, = 0,01 —10 А), открытая М. Лауэ в 1912 г. Под дейст-
действием рентгеновского излучения атомы кристалла сами стано-
становятся источниками вторичных волн той же частоты. В резуль-
результате интерференции вторичных волн рентгеновские лучи
рассеиваются только по некоторым строго определенным на-
направлениям.
Г. В. Вульф и У. Л. Брэгг на основании простой модели
вывели формулу, связывающую расстояние между атомными
плоскостями в кристалле d и углом скольжения й, при кото-
котором получается дифракционный максимум:
Id sin § = пк,
A.10)
где К — длина волны падающих лучей; п — порядок отра-
отражения (целое число).
Если через тонкую пластинку монокристалла пропустить
пучок рентгеновских лучей различных длин волн, то на фото-
фотографической пластинке, поставленной за кристаллом, появит-
появится система черных пятен, называемая лауэграммой. Располо-
Расположение пятен на ней зависит от ориентации кристалла. При не-
необходимости ориентировать толстые пластинки или целые
слитки применяется метод обратной съемки [18]. Фотопленка
ставится впереди кристалла, а возбуждающий луч проходит
через небольшое отверстие в центре фотопленки. Часто при-
примерная ориентация кристалла известна, и задача измерения
углов значительно упрощается. Точность измерений при этом
не выше 0,5°.
В отличие от лауэграмм, на которых запечатлена вся диф-
дифракционная картина, в ионизационных спектрографах (УРС-
25-И, УРС-50-Й) фиксируется отдельный дифракционный луч.
Для каждого вещества существует несколько углов падения
¦б', таких, что счетчик фиксирует отраженный луч только, если
он расположен под углом 2Ь' к падающему лучу. Поэтому при
работе с кристаллами одного вещества рентгеновская трубка
и счетчик фиксируются в заданном положении. Путем пово-
поворота кристалла фиксируют угол, при котором стрелка счетчи-
счетчика показывает максимальную интенсивность. В этом положе-
положении угол падения луча на кристаллографическую плоскость
равен •&, поскольку рентгеновские лучи отражаются не от по-
поверхности кристалла, а от кристаллографических плоскостей.
Это позволяет определить телесный угол между поверхностью
кристалла и искомой кристаллографической плоскостью с
точностью до 2'—3'.
В работе [18] описан оптический метод ориентации кри-
кристалла с точностью до Т. Монокристаллическая пластина
22
скалывается по двум взаимно перпендикулярным плоскостям
[ПО] и закрепляется в специальном притирочном приспособ-
приспособлении. С помощью двух микрометрических винтов плоскости
скола по очереди устанавливаются перпендикулярно к лучу
света. В этом положении пластинка шлифуется и полируется
с целью подготовки поверхности к проведению диффузии леги-
легирующей примеси или к созданию эпитаксиального слоя.
Несовершенства в кристаллических структурах. Представ-
Представление о кристалле как об идеально периодической структуре
оказалось исключительно плодотворным в теории твердого
тела. Оно позволило объяснить зонную структуру их энергети-
энергетического спектра, дифракцию рентгеновских лучей и электро-
электронов, теплоемкость, многие электрические и оптические свойст-
свойства. Однако в реальных кристаллах всегда имеются отступле-
отступления от идеальной периодичности или дефекты. Некоторые
дефекты ухудшают свойства кристаллов, и их число необходи-
необходимо сводить к минимуму, другие, как например легирующие
примеси, наоборот, придают полупроводникам такие свойст-
свойства, благодаря которым и стало возможно их широкое приме-
применение в науке и технике. Искажения кристаллической решет-
решетки особенно сильно изменяют механические, электрические,
тепловые и оптические свойства полупроводников. Часто они
определяют пластичность, вязкость, теплопроводность и
электропроводность материала.
В развитии физики реальных кристаллов основополагаю-
основополагающими явились работы А. Ф. Иоффе [1], Я- И. Френкеля [20],
В. Шоттки [21] и Ф. Зейтца [22, 23].
По геометрическим признакам все дефекты могут быть
разделены на четыре класса: точечные, линейные, двумерные
и объемные [24]. Точечные дефекты локализованы в объемах,
меньших, чем размер одной ячейки кристаллической решетки.
К ним относятся междуузельные атомы основного вещества
кристалла, незанятые узлы кристаллической решетки (вакан-
(вакансии), примесные атомы, центры окраски, двойные и тройные
вакансии, комплексы примесь —: вакансия, примесь — примесь
и т. п. Линейные дефекты — это дислокации и микротрещины.
Границы зерен и двойников, дефекты упаковки, межфазные
границы и границы кристалла относятся к двумерным, или
поверхностным, дислокациям. Включения в кристаллическую
решетку другой фазы и микропустоты можно рассматривать
как объемные дефекты.
Отсутствие атома в узле решетки называется дефектом
Шоттки, совокупность пустого узла и близко расположенного
междуузельного атома — дефектом по Френкелю. Дефекты по
Френкелю образуются в результате смещения атома. Если
смещенный атом уходит на большое расстояние, то этот де-
дефект превращается в дефект Шоттки (рис. 5).
23
В. Шоттки считал, что вакансии в решетке образуются в
результате сублимации атомов с поверхности кристалла. За-
Затем путем последовательного перезамещения узлов решетки
атомами вакансии диффундируют в глубь кристалла.
Дефекты образуются в результате тепловых колебаний ре-
решетки неизбежно и закономерно. Из термодинамики следует,
что концентрация дефектов в расчете на 1 моль равна п =
= tiAe~wlhT, где па =6,02-1023 моль~х — число Авогадро; k —
постоянная Больцмана; w — энергия образования дефекта;
¦ Т — абсолютная температура, при которой выращивался кри-
кристалл. Энергии образования дефектов по Френкелю и по
Шоттки лежат в пределах 2—4 эв, хотя первые несовершен-
несовершенства, как правило, характеризуются меньшим значением энер-
энергии, чем дефекты по Шоттки [1, 25—27].
Опыты показывают, что механическая прочность кристал-
кристаллов часто на три-четыре порядка меньше, чем следует из тео-
теоретических представлений. Причина этого заключается в на-
наличии в кристалле дислокаций. Дислокации могут быть
краевые и винтовые, а также смешанного типа.
Краевая дислокация — это линейный дефект, вызванный
появлением в кристалле лишней атомной полуплоскости. Ее
можно представить также как результат смещения части
кристалла перпендикулярно к дополнительной плоскости
(рис. 6). Линия, ограничивающая полуплоскость, служит
осью дислокации. Область, примыкающая к оси, где искаже-
искажения структуры особенно велики, называется ядром дислока-
дислокации, а более удаленные участки — упругой областью. За пре-
пределами ядра отклонения от идеальной структуры достаточно
малы и хорошо описываются теорией упругих деформаций.
Винтовая, или спиральная, дислокация возникает в резуль-
результате смещения одной части кристалла относительно другой на
постоянную решетки, причем сдвиг параллелен оси дислока-
дислокации (рис. 6).
Несмотря на микроскопические размеры дислокаций, они
могут перемещаться по кристаллу, а при пластических дефор-
деформациях происходит их размножение [28].
t
II II II
=o=o=o=
II A II
,=O=O= =O< >O=
II V II
=O=O=O=
II II II
-i
4
II II II
:©=О=О
И II II
Рис. 5. Образование дефектов решетки: а — идеальная решетка; б — дефект
по Шоттки; в — дефект по Френкелю
24
/
Рис. 6. Дислокации: а — краевая ось
перпендикулярна плоскости чертежа;
б — винтовая ось обозначена стрел-
стрелкой
Упомянутые выше дефекты
будут возникать даже в хими-
химически идеально чистых кристал-
кристаллах. Однако избавиться от чу-
чужеродных атомов практически
невозможно. Даже если веще-
вещество очищено до такой степени, что количество примесей со-
составляет только 10~7%, то это все же означает наличие 1014
примесных атомов в 1 см3 кристалла. Поскольку примесные
атомы могут решительным образом изменить электрические,
оптические и другие свойства твердого тела, их введение ши-
широко используется при создании полупроводниковых при-
приборов.
В зависимости от положения в кристаллической решетке
могут быть примеси замещения и примеси внедрения. В пер-
первом случае чужеродный атом занимает в решетке место основ-
основного атома, во втором — некоторое промежуточное поло-
положение.
Если на внешней, валентной оболочке примесного атома
больше электронов, чем на валентной оболочке замещаемого
атома, то избыточные электроны оказываются как бы лиш-
лишними с точки зрения химических связей. Они весьма слабо
связаны с атомом и могут легко его покинуть и перемещаться
в междуузлиях решетки. Такая примесь отдает свои электро-
электроны всему кристаллу и называется донорной, или донором.
Если же у примесного атома меньше валентных электро-
электронов, чем у атомов основного вещества, которые он замещает,
то химические связи называются необеспеченными. Для того
чтобы их обеспечить, примесный атом должен захватить до-
дополнительные электроны от соседних атомов. В этом случае
необеспеченная электроном химическая связь ведет себя как
вакансия для электрона и называется дыркой, а примесь,
создающая дырки, — акцепторной или просто акцептором *'.
Для соединений типа AmBv атомы металлов Be, Zn и Cd
служат акцепторами, поскольку они принадлежат ко второй
группе периодической системы элементов Д. М. Менделеева
и замещают в кристалле трехвалентные атомы Al, Ga, In.
Наоборот, шестивалентный теллур, замещая пятивалентные
Р, As и Sb, играет роль донора.
*> Понятие дырки будет уточнено в следующем параграфе.
Для кристаллов германия и кремния атомы индия и гал-
галлия — акцепторы, атомы мышьяка, фосфора и сурьмы — до-
доноры. Атомы кремния в арсениде галлия могут быть и донор-
ными и акцепторными примесями.
Электрон и дырка в кристалле могут вступить во взаимо-
взаимодействие и образовать связанный комплекс, называемый экси-
тоном. Экситон не имеет заряда и не реагирует на электриче-
электрическое поле, в то же время он может переносить энергию и во
многом напоминает атом водорода. Различают экситоны ма-
малого радиуса (Френкеля) и экситоны большого радиуса
(Ванье — Мотта). Последние можно представить как элект-
электрон и дырку, вращающиеся вокруг центра масс и перемещаю-
перемещающиеся в целом по решетке. Существование экситонов подтвер-
подтверждается наличием в спектрах поглощения изоляторов и полу-
полупроводников резких линий, которые не связаны с широкими
энергетическими зонами кристалла (§ 5).
Идеально периодическая решетка должна быть абсолют-
абсолютно жесткой. Движение ее узлов допустимо только при пере-
перемещении всей структуры как единого целого. В реальных же
кристаллах атомы колеблются около точек равновесия и в
любой момент времени имеются отступления от идеальной
периодичности. Эти отступления увеличиваются с повышени-
повышением температуры (§ 4).
В 50-х годах, особенно с началом космических исследо-
исследований, широко развернулись работы по радиационным дефек-
дефектам в полупроводниках. Эти дефекты возникают при прохож-
прохождении через кристалл ядерных частиц высоких энергий: ней-
нейтронов, дейтронов, а-частиц, осколков деления ядер, быстрых
электронов, а также у-квантов [29—35]. В большинстве
случаев радиационные дефекты парные, вакансия и атом в
междуузлии, т. е. относятся к точечным дефектам по Френ-
Френкелю. Более сложные случаи рассмотрены в работах [36, 37].
§ 2. ЭЛЕКТРОННЫЕ СОСТОЯНИЯ В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ
ч
Исходные положения зонной теории. Состояние движения
электронов в твердом теле было бы точно известно, если бы
удалось решить уравнение Шредингера
HW = EV B.1)
и найти собственные волновые функции W и значения энергии
Е. Оператор Гамильтона Я для кристалла в общем случае
имеет вид
B.2)
26
Первых два слагаемых в B.2) — операторы кинетической
энергии электронов с массами т и ядер с массами Ма, после-
последующие слагаемые определяют соответственно энергии по-
попарного кулоновского взаимодействия электронов, взаимодей-
взаимодействия всех электронов со всеми ядрами U и взаимодействия
ядер между собой Vo. Радиусы-векторы электронов и ядер
обозначены через Гг и Ra.
Уравнение B.1) содержит 3N(Z-\-l) координат частиц, где
N — число атомов в кристалле; Ze — заряд ядра. Поскольку
уравнение Шредингера не решается точно даже для отдель-
отдельных атомов, за исключением атома водорода, то естественно,
что невозможно найти точное решение B.1). Поэтому задача
сводится к нахождению приближенных решений в рамках фи-
физически оправданных упрощающих предположений [38—41].
Зонная теория, лежащая в основе современной физики
металлов, диэлектриков и полупроводников, базируется на
двух приближениях: адиабатическом, или приближении Бор-
на — Оппенгеймера, и одноэлектронном.
В адиабатическом приближении учитывается различный
характер движения легких частиц — электронов и тяжелых
частиц — ядер. Вследствие резкого различия их масс движе-
движение электронов будет быстрым по сравнению с движением
ядер. Поэтому при рассмотрении движения электронов в лю-
любой момент времени ядра можно считать неподвижными, а
при рассмотрении движения ядер учитывать лишь усреднен-
усредненное по времени поле, создаваемое всеми электронами. На
математическом языке это означает, что волновая функция в
B.1) может быть представлена в виде произведения двух
функций
T(r,fRe)=*(rJ, Re)g(R«),
одна из которых |(Ra) описывает медленное движение ядер, а
вторая ?(г;, Ra) лишь параметрически зависит от координат
ядер. Тогда B.1) распадается на уравнение для электронов
V_^_ 2
i 2m V'
и уравнение для ядер
- 2
+ Е* (Ra)
B.4)
Обычно движение ядер, т. е. тепловые колебания решетки,
рассматривается как возмущения, а в уравнение B.3) вместо
координат ядер подставляют координаты неподвижных узлов
решетки. Однако и после этого уравнение Шредингера решить
27
нельзя. Решение становится возможным только тогда, когда
задача о движении многих взаимодействующих частиц сво-
сводится к задаче о движении одного электрона в поле всех
остальных частиц. Это достигается путем введения так назы-
называемого самосогласованного поля
которое равно потенциальной энергии всех электронов, за
исключением t-ro, в той точке, в которой расположен t-й элект-
электрон. С помощью Qt(i"t) гамильтониан системы представляется
в виде суммы гамильтонианов, относящихся к отдельным
электронам
а волновую функцию в B.3) можно искать как произведение
где tyj (гг) относится к t-му электрону.
Таким образом, уравнение B.3) распадается на систему
независимых уравнений типа
r_i!?2 + l/(r)l
I 2m J
B.5)
где в V (г) объединены U(r) и Q(r).
Решив уравнение B.5), находят совокупность принципи-
принципиально возможных состояний для каждого из электронов кри-
кристалла. Применив затем статистические методы расчета, лег-
легко определить фактические распределения их по состояниям.
Поскольку внутренние поля в кристалле одинаковы в
идентичных точках решетки, потенциал V(r) будет периоди-
периодической функцией и будет обладать всеми теми же элементами
симметрии, что и сама решетка. Это дает возможность иссле-
исследовать ряд закономерностей движения электронов в общем
виде. Однако до рассмотрения свойств реального трехмерного
кристалла необходимо остановиться на некоторых более
простых моделях вещества.
Модель Зоммерфельда. Плотность состояний. Исторически
первая и наиболее простая квантовомеханическая модель
твердого тела была предложена Зоммерфельдом. Он считал,
что потенциальная энергия электрона внутри кристалла везде
постоянная, а на поверхности имеется достаточно высокий
потенциальный барьер. Электроны, свободно перемещаясь в
кристалле, не могут его покинуть, так как их удерживают
г
г1'
¦S
if
•t
силы отталкивания от барьера. Уравнение Шредингера B.5)
для одного электрона при постоянном V(r) = l/=const можно
представить в виде
От
уЧ (х, у, г) + — (Е - V) ф (х, у, г) = 0. B.5а)
й2
Поскольку величина потенциальной энергии зависит от выбора
начала отсчета, то для простоты положим V=0 внутри кри-
кристалла и V>0 на его поверхности.
Если волновую функцию искать в виде произведения
Ф(*. У> 2) = %W%(y)^3(z).
то B.5а) распадается на три независимых уравнения и зада-
задача сводится к решению уравнения типа
dx*
где
= Y 2тЕ /Й.
B.6)
B.7)
Легко убедиться, что уравнению B.6) удовлетворяют функции
elkxx e lkxx
e l xX, а общее решение равно [2,42]
ф (х) = Aeik*x + fie-'*** = (Л + 6) cos (AyO
+ i (A — B) sin (kxx).
B.8)
Вероятность обнаружить электрон в интервале от х до
x-\-dx пропорциональна |i|)'(x) |2dx. При V->-oo электроны не
могут покинуть кристалл, и, следовательно, за пределами кри-
кристалла ф(х) тождественно равно нулю. Тогда из требования
непрерывности решения уравнения Шредингера во всем про-
пространстве следует, что i\>(x) на границах кристалла х = 0 и
x — L также равно нулю. Налагая эти граничные условия на
B.8), получим
В = - A, sin(kxL) = 0, kx = пх j-, B.9)
i)jn (x) = i2A sin (fevx) = 2iA sin [.-^- a; 1. B.10)
Здесь nx — любое целое положительное число.
Собственные значения энергии, соответствующие волно-
волновым функциям tyn(x), согласно B.7) и B.9), равны
2т 2mL
где рх = hkx — импульс электрона.
2т'
B.11)
28
29
"Раким образом, энергия электрона, запертого в потенци-
потенциальном ящике, обладает дискретным рядом значений.
Умножая B.10) на exp (iExnf/h), получим волновую функ-
функцию, зависящую от времени t:
pn (x, t) = 2iA sin (лпхх/Ь) eiExnt/fi.
B.12)
Она описывает стоячую волну с частотой (on = Exn/h и узлами
в точках x = mL/nx, где т = 0, 1, 2, ..., пх. Аналогичные волны
устанавливаются на закрепленной с обоих концов струне.
Вместо использованных выше граничных условий ^@) =
= x|)(L)=O на функции обычно накладывается требование пе-
периодичности Борна — Кармана
Vp \Х\ = w \Х -у- х>1, у?. IO7
где L — Na равно большому числу N постоянных решетки.
Условия цикличности Борна — Кармана вводятся для то-
того, чтобы избежать рассмотрения граничных условий, в кото-
которые в явном виде входят размеры кристалла, поскольку ясно,
что при больших значениях N физические процессы в твердом
теле не должны зависеть от его геометрии. Если рассматрива-
рассматривается трехмерный случай, то число N должно быть большим во
всех трех измерениях.
Тогда решение уравнения B.6) можно брать просто в виде
у (х) = Aeik*x, B.14)
считая, что kx принимает и положительные, и отрицательные
значения. Из условия периодичности применительно к B.14)
следует
kxn = —nx, B-15)
L
а временная функция описывает бегущую волну
Цп(х, 0 = Ае11"
B.16)
Из сравнения B.15) с B.9) вытекает, что в бесконечном
кристалле уровни расположены в два раза реже, чем в огра-
ограниченном. Зато каждому уровню соответствует две волны,
бегущие в противоположных направлениях и характеризую-
характеризующиеся равными по величине, но разными по знаку величинами
±kxn. Из последней формулы следует, что kxn имеет физиче-
физический смысл волнового числа электрона. Длина волны, % связа-
связана с k равенством
Х = —. B.17)
30
I
Решения, аналогичные B.16), получаются и для функций,
зависящих от у и г, а волновая функция, описывающая трех-
трехмерное движение имеет вид
у, z, t) =
B.18)
где k = kxex + kyty + kzez, ег — единичные векторы, направлен-
направленные вдоль осей х, у, г. Энергия, соответствующая состоянию п,
выражается суммой
2m
B.19)
Здесь п2 выступает как квадрат вектора с компонентами пх, пи,
пг, так что п? = п2х + пу + пг.
Очевидно, заданному значению энергии Еп будет соот-
соответствовать, как правило, несколько волновых функций,
поскольку значение п2 может реализовываться при различных
комбинациях значений пх, пу, nz, а каждой комбинации этих
чисел соответствует своя волновая функция. Так, п2= 1 может
относиться к волнам, распространяющимся вдоль оси х
(пх=\, пу = пг = 0), вдоль оси у (пх=\, ny=:nz = 0) или вдоль
оси z (пх = пу=0, «2=1). Для больших п2 степень вырожде-
вырождения, естественно, возрастает.
Найдем аналитическое выражение для числа состояний,
которым соответствует энергия электронов в кристалле от Е
до E-\-dE или частота от со до со + Ао. Поскольку координаты
волнового вектора kx, ky, kz принимают только дискретный
ряд значений, то все k-пространство можно представить со-
составленным из кубиков со стороной 2л/L и объемом Bл/LK.
Число кубиков равно числу возможных комбинаций kx, ky, kz.
Поэтому число состояний со значением волнового вектора от
k до k\-dk равно удвоенному отношению объема шарового
слоя в ^-пространстве к объему одного кубика:
.-1 1 I A.* \ -1
Bjt/LK
я2
dk
1
~\ da, B.20)
dk
где V=L3—объем кристалла. Коэффициент 2 вводится в B.20)
для учета спинового вырождения электронов.
Так как, согласно B.19),
dk 2m ~V2
in
из B.20) находим g(E) — число состояний в расчете на единич-
единичный интервал энергии
31
Рис. 7. Модель Кронига и Пенни
где введены обозначения
С увеличением энергии оно
растет как корень квадратный
из Е.
Как известно, производная
-8 0 а' а х d(o/dk равна групповой скорос-
скорости волнового пакета. Поэтому
плотность состояний в расчете на единичный интервал частот
g(w) на основании B.20) и B.17) можно представить в виде
со*
B.22)
где v = соЯ,/2л — фазовая скорость бегущей волны B.16).
Величина B.22) равна также плотности состояний элект-
электромагнитного поля, поскольку каждому значению волнового
вектора поля также соответствуют две волны с разным на-
направлением вектора поляризации [43].
Выражение для плотности состояний B.21), полученное с
помощью простейшей модели вещества, широко используется
в теории твердого тела. Оказывается, если заменить в нем т
на эффективную массу электрона т*, то B.21) будет опреде-
определять плотность состояний в реальном кристалле.
Модель Кронига и Пенни. Энергетические зоны. Одномер-
Одномерная модель Кронига и Пенни — это бесконечная цепочка по-
потенциальных ям прямоугольной формы (рис. 1). Движение
электронов в такой системе характеризуется качественно
новым и принципиально важным свойством: спектр разрешен-
разрешенных значений энергий электрона состоит не из отдельных
уровней, как в изолированных атомах и в модели Зоммер-
фельда, а из широких зон. Поскольку зонная структура энер-
энергетического спектра является фундаментальным и неотъемле-
неотъемлемым свойством твердого тела, модель Кронига и Пенни заслу-
заслуживает детального рассмотрения. Уравнение Шредингера для
этой модели решается точно, что позволяет выяснить физи-
физический смысл причин, приводящих к образованию зон.
Обозначим ширину потенциальной ямы (рис. 7) через а', а
высоту и ширину барьера через Vo и b соответственно. Оче-
Очевидно, рассматриваемая цепочка потенциальных ям будет
периодической с периодом а — а'-\-Ь. Уравнение B.5), описы-
описывающее движение электрона в такой системе, принимает вид
V2i]> (х) — JA|> (х) == 0 при — Ь < х< 0 B.23)
V2x|) (х) -f к2г|) = 0 при 0 < х < а', B.24)
32
0 — ?)/h2, x2 = 2m?/h2.
B.25)
Уравнению B.23) удовлетворяют функции е±Хх, а B.24)—функ-
B.24)—функции е±1КХ. Поэтому волновые функции для трех областей цепочки
(рис. 7) равны
Цг{х) = Се%х + De~kx, — &<х<0
(х) = АеЫх + Ве~Ых, 0 < х < а'
(х) = С/* + Dp-** = ei(f[CeXix-a) +
De~«x-a) ] = е% (х - а), а' < х < а
B.26)
Функция г|K(х) выражена через г|з,(л:—а) на том основании,
что вследствие периодичности системы квадраты модулей
функций для идентичных областей должны быть равны
hH*)l2==bl>(*—a)\2- Это и означает, что сами функции могут
отличаться лишь фазовым множителем ехр(йр).
Для нахождения постоянных коэффициентов в B.26) вос-
воспользуемся непрерывностью волновой функции и ее производ-
производной во всем пространстве, т. е. наложим иа функции условия
B.27)
Непрерывность производной волновой функции следует из
анализа уравнения Шредингера [44].
Подставляя B.26) в B.27), находим
А + В — С — D = 0,
ixA — ivB — AC -f № = 0,
е<™'А + е-'**В - е^-иС - ei<f+uD = 0,
B.28)
= 0.
Система однородных уравнений B.28) имеет отличные от
нуля решения только в том случае, если ее определитель ра-
равен нулю
1 1 — 1 — 1
А =
3. Зак, 312
— IX
—к
iv.a'
ixe
Ска'
— ixe
Хес
= 0.
B.29)
33
Раскрыв его, приходим к уравнению
^2 у.2
— sin xa sh Kb -f- cos ха ch Kb = coscp,
2xA
B.30)
связывающему параметры к и х, а следовательно, и энергию с
параметром ф.
В случае, когда ширина потенциального барьера Ь-*-0, а про-
проницаемость барьера постоянна (Vob = const), уравнение B.30) зна-
значительно упрощается. Действительно, если Ь-*-0, то kb-^-0 как
УТ, a shXb-^lb, ch\b->l, a' -> а. Учитывая B.25), из B.30)
получим
К Smm'
ха
cos xa' = cos ka',
B.31)
где К = mbV0a'/h.2; k = Ф/а'.
Если высота потенциального барьера Vo->0 и К-+0, то из
уравнения B.31) следует cosxa'=cos#a', поэтому х=& и
энергия Е могут изменяться непрерывно от нуля до бесконеч-
бесконечности. Это случай движения свободных электронов. При
К-*-оо, sinxa=0, k и Е принимают дискретный ряд значений,
как в модели Зоммерфельда.
Для промежуточных значений К трансцендентное уравне-
уравнение B.31) можно решить графически. На рис. 8 приведен гра-
график левой части уравнения B.31), обозначенной через
/(ха'). Две горизонтальные линии, отстоящие от оси х на рас-
расстоянии ±1, показывают границы изменения cos ka'. Очевид-
Очевидно, уравнение B.3 П не имеет решения для тех значений ха,
для которых |/(ха')(>1. Решения возможны только при усло-
условии, что |/(ха')|=?^ 1.
Как видно из рисунка, совокупность возможных значений
образует зоны, чередующиеся с зонами, для которых отсутст-
ffxa'J
Рис. 8. Зоны разрешенных (заштрихованы) значений
34
вуют решения уравнения Шредингера. Поскольку первое
слагаемое в B.31) содержит в знаменателе ха', ширина раз-
разрешенных зон растет с увеличением ха', а запрещенные зоны
сужаются и в пределе вовсе исчезают. С ростом энергии вновь
осуществляется переход к свободному движению электронов.
В пределах разрешенных зон энергия электрона может из-
изменяться непрерывно, поскольку cos ka' принимает любое
значение от ¦—1 до +1. Однако это справедливо только для
бесконечно протяженного кристалла. Реальные кристаллы
всегда ограничены, поэтому волновые функции должны удов-
удовлетворять условию периодичности Борна — Кармана.
Как уже отмечалось, из требования периодичности квадра-
квадрата модуля волновой функции следует
ijj (x) = е1фг|з (х — а) =
>{х — а).
Умножив это равенство на ехр (— ikx), находим
p~ik\h (x\ — р~Щх~а\ь (х — а)
Это означает, что произведение
B.32)
является периодической функцией от л; с периодом а. Тогда
волновую функцию удобно представить в виде
^(х) = ё'кхи(х). B.33)
Налагая на B.33) условие периодичности и учитывая, что
и (х) = и (х + Na), получим ехр (ikL) = 1, а
2я
Т
п
_2я
а
п
где п — целое число.
Следовательно, параметр k принимает дискретный ряд
значений, причем в каждой зоне имеется N состояний (и = 0 и
n = N соответствует одна волновая функция).
Зависящую от времени волновую функцию г|з (х, t) на ос-
основании B.33) представим в виде
= u(x)el^-at).
B.34)
Условно ее можно рассматривать как волну, амплитуда кото-
которой не постоянна, а изменяется периодически от х с периодом
а. Параметр k играет в ней такую же роль, как волновой век-
вектор в уравнении плоской волны, описывающей движение сво-
з* 35
Рис. 9. Зависимость энергии от квазиимпульса электрона, движущегося
в периодическом поле
бодных электронов. Поэтому по аналогии с импульсом
свободного электрона величина
р = hk B.35)
называется квазиимпульсом электрона, движущегося в перио-
периодическом поле кристалла.
В случае движения свободных электронов их энергия одно-
однозначно связана с импульсом Е = р2/2т. Для электронов в кри-
кристалле это соотношение теряет силу. Качественно новые
черты связи между квазиимпульсом и энергией электрона
обнаруживаются уже и в модели Кронига и Пенни.
На рис. 9 приведен график Е как функции k, рассчитанный
с помощью уравнения B.31) по формуле E = h2x2/2m. Пунк-
Пунктирная кривая (парабола) дает зависимость Е от k для сво-
свободного электрона. Для электронов, движущихся в периоди-
периодическом поле кристалла, почти параболическая зависимость Е
от k наблюдается только для k, удаленных от границ зон
Бриллюэна (утолщенные линии на рис. 9). На границах зон
утолщенная кривая терпит разрыв, т. е. имеются зоны за-
запрещенных энергий, и зависимость Е от k становится более
сложной. Энергия является, во-первых, неоднозначной, а во-
вторых, периодической функцией квазиимпульса с периодом
постоянной обратной решетки.
Обычно Е рассматривают в одном периоде для интервала
изменений k от —я/а до +я/а. Этот интервал называется
первой зоной Бриллюэна. Вторую зону Бриллюэна образуют
два отрезка: —2n/a^k^,—я/а и it/a^k^2n/a. Если их све-
36
сти вместе соответствующими концами, то график E(k) будет
таким же, как и в первой зоне. Третья зона состоит из отрезков
—Зя/а<&<—-2п/а, 2я/а<?^3я/а и т. д.
Таким образом, на основании исследования модели Крони-
Кронига и Пенни можно построить качественно правильную картину
энергетического спектра кристалла. Внутренние электроны
атомов, мало подверженные действию внешних полей, зани-
занимают узкие атомные уровни, а валентные электроны рас-
располагаются в широких зонах (рис. 10), состоящих из N близко
расположенных уровней. Зоны, полностью занятые валентны-
валентными электронами в соответствии с принципом Паули, называ-
называются валентными, а пустые или частично заполненные — зона-
зонами проводимости. В теории часто ограничиваются рассмотре-
рассмотрением только самой высокой валентной зоны и самой низкой
зоны проводимости, поскольку многие физические процессы
связаны с движением электронов исключительно в этих зонах.
Процесс возникновения широких энергетических зон в
кристаллах можно проследить из следующего мысленного
эксперимента. Пусть имеется N атомов, которые расположены
в пространстве так же, как в кристалле, но на значительно
больших расстояниях друг от друга. Орбиты валентных элект-
электронов не возмущены. Тогда энергетический спектр системы N
Рис. 10. Энергетический спектр кристалла (а) и его образование из дискрет-
дискретных уровней атомов при уменьшении расстояния между узлами решетки (б)
37
частиц как целого будет совпадать со спектром одного атома,
только каждый простой уровень изолированного атома будет
iV-кратно вырожденным. Начнем теперь уменьшать расстоя-
расстояние между атомами. Валентные электроны соседних атомов
станут взаимодействовать между собой. Из квантовой механи-
механики известно, что такое взаимодействие снимает вырождение
уровней. Уровни будут расширяться и расщепляться все боль-
больше и больше по мере сокращения расстояния между атомами.
Это и приводит к появлению зон (рис. 10).
Характерно, что из N состояний каждой зоны N/2 состоя-
состояниям соответствуют положительные значения k. Столько же
состояний характеризуются отрицательным значением k. Если
все состояния заполнены, то числа электронов, движущихся
во взаимно противоположных состояниях, равны, а электри-
электрический ток отсутствует. Электроны полностью заполненных
зон в переносе зарядов не участвуют.
Функции Блоха. Рассмотрим теперь общие свойства вол-
волновых функций, описывающих движение электрона в трехмер-
трехмерном кристалле как идеально периодической структуре. Пусть
решено уравнение Шредингера и найдена волновая функция
гр(х, у, г) для некоторой точки кристалла. Постоянные решетки
в трех направлениях обозначим через аи а2 и а3- Очевидно,
точки, координаты которых отличаются на целое число посто-
постоянных решетки таг, будут идентичными в кристалле. Поэтому
квадраты модулей волновых функций в этих точках равны
между собой:
(*> У'
= № (* +
У +
+ «з«зI2-
Следовательно, функции отличаются только на фазовый мно-
множитель
. У
+ п3а3) =
, у, г),
где ki— параметры, аналогичные k в B.33).
Вводя радиус-вектор точки г и рассматривая ki как коор-
координаты вектора к, последнее равенство можно представить в
виде
¦ф (г -f- а„) = е'кап1ф (г). B.36)
Здесь учтено также, что пгйг— координаты вектора трансля-
трансляции прямой решетки (см. A.1)).
Если умножить правую и левую части B.36) ехр (—tkr—
—гка„), то легко убедиться, что произведение
-—'кг
38
будет периодической функцией с периодами по осям коорди-
координат, равными а\, аг и аз- Отсюда приходим к общему выраже-
выражению для волновой функции
y(r) = u(r)<Pr, B.37)
называемой функцией Блоха [45, 46], причем и(г) обладает
трансляционной симметрией
ы(г) = «(г + а„). B.38)
Вектор к в функции Блоха является аналогом волнового
вектора свободного электрона. В ограниченном кристалле с
линейными размерами LI; L% и L3 координаты к принимают
дискретный ряд значений (см. B.15))
kt = 2nnl/Li.
Подставляя B.37) в B.5), приходим к уравнению для
функции и (г)
V2« (г) + 2ik\/u (г) — к2ы (г) +
+ ^(? — У)и(г) = 0. B.39)
Это уравнение часто используется для исследования общих
свойств функций и (г). В частности, из него следует, что энер-
энергия электрона является симметричной функцией к. Действи-
Действительно, заменим в B.39) и (г) на комплексно-сопряженную
функцию и*(г), а к на —к, что равносильно замене i на —i.
Тогда получим комплексно-сопряженное уравнение для того
же значения энергии. Следовательно, Е(к)=Е(—к).
Одно из важнейших свойств блоховских функций — их
периодичность в пространстве обратной решетки или в прост-
пространстве волнового вектора к. Этот вектор, входящий в фазо-
фазовый множитель соотношения B.36), определен неоднозначно.
При любом другом векторе k' = k-|-bg, где bg — произвольный
вектор трансляции обратной решетки A.2), фазовый множи-
множитель имеет то же самое значение:
exp(i?'an) = exp(ika;i
= exp(ikan),
поскольку (bgan) = 2л (gn) = 2ns, s — целое число.
Поэтому для волновых функций и энергий электрона спра-
справедливы равенства
,(г) = %(г), B.40)
B.40а)
а векторы к' и к, отличающиеся на bg, называются эквива-
эквивалентными. Для одномерного случая соотношение B.40 а)
39
было* доказано путем прямых расчетов зависимости Е от к
(см. рис. 9). Более строгое доказательство равенств B.40)
приведено в [10].
Зоны Бриллюэна. При рассмотрении одномерной модели
Кронига и Пенни было введено понятие зон Бриллюэна. Так
как периодичность волновых функций и энергий в пространст-
пространстве обратной решетки характерна и для движения электрона в
реальном кристалле, то зоны Бриллюэна вводятся и для трех-
трехмерного к-пространства.
В общем случае под первой зоной Бриллюэна или просто
зоной Бриллюэна понимают совокупность всех неэквивалент-
неэквивалентных векторов к, ни один из которых нельзя укоротить путем
добавления к нему какого-либо вектора трансляции обратной
решетки bg. Следовательно, если к короче всех эквивалентных
ему векторов, то он лежит внутри первой зоны Брнллюэна.
Вторую зону Бриллюэна образует совокупность всех неэкви-
неэквивалентных векторов, которые выходят за границы первой зо-
зоны, но не могут быть укорочены путем добавления bg. Анало-
Аналогичным образом определяются последующие зоны.
Можно показать [10], что векторы кгр, лежащие на грани-
границе зон Бриллюэна, удовлетворяют следующему простому со-
соотношению:
ьЛр=4ь^ <2-41>
2
В двух- и трехмерной кристаллической решетке границами
зон будут соответственно отрезки прямой или плоскости, пер-
перпендикулярные к векторам bg. В одномерном случае Ьгкгр =
:гр= Ьй, а
2
Тр
1
—
2
я я 2я Зл
а а а а
Для построения зон Бриллюэка в общем случае в одном из
узлов обратной решетки выбирается начало координат для
вектора к, где к=0 и bg = bo=O. Из начала координат к бли-
ближайшим узлам решетки проводятся векторы bg. Плоскости,
проходящие через середины этих векторов и перпендикуляр-
перпендикулярные к ним, ограничивают первую зону Бриллюэна. После это-
этого проводятся векторы bg к следующим ближайшим узлам и
перпендикулярные к bg плоскости. Между плоскостями, огра-
ограничивающими первую зону, и новыми плоскостями заключе-
заключены объемы k-пространства, которые в совокупности образуют
вторую зону Бриллюэна.
Процедура построения зон особенно наглядна в случае
двумерной квадратной решетки [38]. Как видно из рис. 11, а,
40
Рис 11 Первые три зоны Бриллюэна для квадратной решетки (а), первые
зоны Бриллюэна для простой объемноцентрированиой (б) и гранецентри-
рованной кубических решеток (в)
первая зона Бриллюэна представляет собой квадрат, а вторая
и третья состоят из 4 и 8 отдельных треугольников соответст-
соответственно. Перемещая треугольники на одну постоянную решетки
Ь по направлению к началу координат, их легко уложить на
центральный квадрат, т. е. совместить вторую и третью зоны
Бриллюэна с первой. Это доказывает идентичность всех зон
Бриллюэна. Из сравнения рис. 1, в и 11, в видно, что первая
зона Бриллюэна строится так же, как ячейка Вигнера —
Зейтца [47—49].
Классификация электронных состояний. Для электрона
водородоподобных атомов, движущегося в центрально-сим-
центрально-симметричном поле, классификация на s-, p-, d- и т. д. состояния
производится довольно просто, поскольку волновая функция,
удовлетворяющая уравнению Шредингера, представляется
как произведение радиальной и сферической функций, завися-
зависящих от разных переменных.
Трем степеням свободы электрона в атоме соответствуют
три квантовых числа: главное п=\, 2, 3, ..., орбитальное 1 = 0,
41
1, 2,'..., n—1 и магнитное m = 0, ±1, ±2, ±/. В атоме водорода
энергия электрона определяется только главным квантовым
числом я не зависит от / и т. Это означает, что уровни энер-
энергии вырождены — одной и той же энергии соответствует не-
несколько состояний движения. В спектроскопии эти состояния
обозначаются буквами s, р, d, f, ..., что соответствует значени-
значениям /, равным 0, 1, 2, 3... Если симметрия поля нарушается, то
вырождение снимается и каждый уровень расщепляется на
несколько подуровней.
Для сложных молекул классифицировать электронные со-
состояния уже труднее, а сама классификация часто носит
условный характер [50].
Классификация электронных состояний в кристаллах
исключительно громоздка. В полном объеме она излагается
только в специальных книгах [10]. В основе классификации
лежит теорема, согласно которой волновая функция и энергия
электрона в зоне Бриллюэна обладают симметрией всей
точечной группы кристалла. Поэтому классификация произво-
производится чаще всего методами теории групп [51—53].
Под группами симметрии кристалла понимают совокуп-
совокупность операций, которые переводят кристалл сам в себя. Так,
группа трансляций — это всевозможные перемещения кри-
кристаллической решетки на вектор ап, выраженный формулой
A.1). Эта группа является частью общей пространственной
группы кристалла, куда входят и другие элементы симметрии:
вращения, отражения и сочетания вращений и отражений с
трансляцией не на целую часть постоянной решетки а* (винто-
(винтовые оси и плоскости скольжения).
Каждый элемент группы симметрии может быть представ-
представлен в виде матрицы [10]. Например, поворот системы коорди-
координат на угол а вокруг оси z в направлении правого винта мож-
можно выразить формулой
B.42)
где (я, у, г) и (х', у', z') — старые и новые координаты неко-
некоторой фиксированной точки.
Если путем унитарного преобразования матрицу можно
представить в таком виде, что все ее элементы будут равны
нулю, за исключением квадратных блоков тг- вдоль диаго-
диагонали:
тх | 0 [ 0
0 \Щ\ 0 ,
0 | 0
42
такое представление называется приводимым. Если этого сде-
сделать нельзя, представление будет неприводимым.
Классификация электронных состояний в кристалле про-
производится путем выделения в первой зоне Бриллюэна особых
точек и линий, которым соответствуют группы неприводимых
представлений. В теории твердого тела общеприняты обозна-
обозначения этих групп, предложенные в работе [54]. Так, центр
зоны Бриллюэна (к = 0) обозначается буквой Г (рис. 11). При
всех операциях симметрии эта точка преобразуется в самое
себя. Для обозначения каждой операции применяется систе-
система индексов Гь Гг, Г3, ..., Г12, Г'12, ..- Особые линии в направле-
направлении [100], [111] и [110] обозначаются через А, Л, 2, а точки
их пересечения с плоскостями, ограничивающими зону Брил-
Бриллюэна,— через X, R, М. Эти линии инвариантны по отношению
к операциям отражения [10, 55]. На рис. 11 показаны и дру-
другие точки и линии симметрии. Набор волновых функций, соот-
соответствующих всем элементам группы симметрии обратной
решетки, и определяет совокупность состояний электрона в
кристалле.
Эффективная масса. Как было показано при рассмотрении
модели Кронига и Пенни, энергия электрона, движущегося в
периодическом поле кристалла, ЕФрг\2т. Однако для прак-
практических целей удобно сохранить зависимость энергии элект-
электрона от квазиимпульса в классическом виде, а все различия,
вызванные влиянием периодического поля, включить в массу
электрона. Тогда в формуле Е = р2/2т вместо т появляется
некоторая функция энергии т*, называемая эффективной
массой.
В одномерном случае величину т* можно рассчитать из
разложения энергии в ряд Тейлора около экстремальных
точек kext = ± п
a
B.43)
Так как в точках k = kext энергия имеет максимум или мини-
минимум (см. рис. 9), то первая производная равна нулю. Ограни-
Ограничиваясь вторым приближением, из B.43) находим
1 rPF
о
2 dk2
ext
2m*
h (k kext) — — — (p pext) .
2m*
B.44)
43
Следовательно, роль эффективной массы играет величина
/
B.45)
В низших точках разрешенных зон E(k) имеет минимумы, а
вторая производная от Е по k больше нуля. Поэтому на дне
зоны эффективная масса положительна, а в вершинах зон от-
отрицательна, поскольку d2E/dk2<0. В некоторой точке в центре
зоны m*-vO. Очевидно, разложение энергии в степенной ряд
B.43) и формула B.44) справедливы только вблизи экстре-
экстремальных точек. Понятие эффективной массы имеет более
широкие границы применимости и может быть введено исходя
из принципа соответствия.
Известно, что средние квантовомеханические величины
удовлетворяют тем же соотношениям, что и соответствующие
им классические величины. Так, волновые пакеты, составлен-
составленные из решений уравнения Шредингера, движутся по траекто-
траекториям классических частиц [44]. Поэтому уравнению Ньютона
т
т
B.46)
должен соответствовать квантовомеханический аналог.
Средняя скорость электрона равна групповой скорости волно-
волнового пакета vg [25]. Для одномерного движения vg = — =
dk
= b~xdEldk, а в общем случае
dk
где ех, еу, ez — единичные векторы, направленные вдоль осей х,
У, г.
Так как энергия зависит от времени только через волновой
вектор к, то ускорение vg можно представить в виде
dt
— fc-1
=.-1
(grad,?) =
dk7,
dk7
dt
dkxdky dt dkxdkz dt
dK , d*Edkn
dK
dkydkx dt
dK
dkzdkx dt
dt dkvdkz dt
dk
f+^^ K- <2-48>
dk,dky dt dkl dt
44
В правой части B.48) стоит произведение тензора
тг* ~ h2
dkl
dkxdkv
dkxdkz
dkydkx
dk2y
dkzdkx dkzdky
dkydkz
d*E
dkl
B.49)
на вектор р = hk, следовательно
1 •
s m*
B.48а)
что по форме совпадает с классической формулой B.46).
Таким образом, в квантовой механике кристаллов величи-
величиной, обратной эффективной массе, является тензор второго
ранга с компонентами d2E/dkidkj. Качественно эффективную
массу можно исследовать, рассматривая кривизну графика Е
как функции к. Анизотропные свойства т* становятся нагляд-
наглядными, если построить изоэнергетические поверхности в к-про-
странстве, удовлетворяющие уравнению ?(&)=const. Если
т* не зависит от направления к, а определяется лишь величи-
величиной вектора, то изоэнергетические поверхности будут сфера-
сферами, а тензор B.49) перейдет в скалярную величину (т*)-! =
=d2E/dk2. Эллипсоидальным изоэнергетическим поверхно-
поверхностям соответствует тензор обратной эффективной массы диа-
диагонального вида. В этом случае вблизи экстремальных точек
зависимость энергии от &,• имеет вид
2т*х
2ту
^ 2m;'
B.50)
где rni=d2E/dk2i.
Расчеты показывают, что во многих полупроводниках, в
том числе в кремнии и германии, изоэнергетические поверх-
поверхности не сферичны, а величина т* носит тензорный харак-
характер [56].
Если эффективная масса выражается тензором, то в формулу
для плотности состояний B.21) необходимо вместо т3/2 подста-
подставить выражение (тхгпуПгг I/2. Однако вид этой формулы можно
сохранить, если под т* понимать эффективную массу плотности
состояний т* — (тхтутг)Х1Ъ [38].
Дырки. Как отмечалось выше, каждому положительному
направлению волнового вектора к в разрешенной зоне соот-
45
ветсгвует состояние с волновым вектором, равным —к. Поэто-
Поэтому если все состояния заняты, то всякое перемещение одного
электрона компенсируется противоположным перемещением
другого электрона. И несмотря на возможную большую ско-
скорость электронов, ток в полупроводнике отсутствует, даже
если к нему приложено внешнее электрическое поле.
Иной результат получается, если в почти заполненной зоне
имеются вакантные места, т. е. не все валентные связи обеспе-
обеспечены электронами. Тогда соседние электроны могут переходить
на эти места, а само вакантное место как бы перемеща-
перемещается в пространстве. В энергетическом плане это соответству-
соответствует переходу электронов с низких энергетических уровней на
более высокие, а вакансий с высоких уровней на более низкие.
Вместо того чтобы рассматривать движение всей совокуп-
совокупности электронов почти заполненной зоны, более удобно и
просто следить за движением вакантных мест, называемых
дырками. В этом случае плотность тока равна [38]
-Mk> a)]v(k) =
ко
ко
ко
V ко
ко
где суммирование, проводится по всем значениям волнового век-
вектора в первой зоне Бриллюэна к и двум состояниям спина элек-
электрона а— 1, 2. Символ бр(к, а) равен единице, если состояние
свободно, и нулю, если оно занято; v (к) — скорость электрона;
V — объем кристалла. Сумма Jj v (k) равна нулю, поскольку она
ко
берется по всем состояниям зоны.
Согласно B.51), ток частично заполненной зоны может
быть представлен как ток положительно заряженных частиц-
дырок. Заряд дырки положителен и равен по величине заряду
электрона. Концентрация дырок обычно обозначается буквой
р. Понятие дырок применимо при рассмотрении всех физиче-
физических процессов в полупроводниках. Эффективная масса дыр-
дырки т* равна эффективной массе электрона B.49), взятой с
обратным знаком. У потолка валентной зоны эффективная
масса электрона отрицательна, a ml>0.
Энергетические уровни примесей. Появление в кристалли-
кристаллической решетке чужеродных атомов приводит к точечным
нарушениям периодичности потенциального поля. Если строго
периодическую потенциальную энергию электрона в кристал-
кристалле обозначить через Vofr), то при наличии дефектов в решет-
решетке потенциал будет равен V(r) = Fo (г) + V'(г). Величина
V'(г) отлична от нуля в некотором объеме и определяет изме-
46
нение потенциальной энергии электрона в окрестности де-
дефекта.
Влияние примесей на энергетический спектр кристалла
можно приближенно рассмотреть, если предположить, что
F'(r) определяется чисто кулоновским взаимодействием
электрона с точечным зарядом, т. е. V"(r) =— е2/гг, где е —
диэлектрическая проницаемость среды. Тогда уравнение
Шредингера B.5) может быть сведено к уравнению для атома
водорода с массой электрона т* и зарядом е* = е/]/г [38].
Энергия связанных состояний электрона такой модели равна
т* {e*f me*
13,6
т*
т
т*
т
-эв.
1
B.52)
Здесь п — главное квантовое число, т — масса электрона в
вакууме. Так как при выводе этой формулы предполагалось,
что дну зоны проводимости ?со соответствует энергия, равная
нулю, то из B.52) следует, что электрон вблизи примесных
атомов обладает уровнями, лежащими в запрещенной зоне.
Примеси, энергетический спектр которых соответствует
B.52), называют водородоподобными. В полупроводниках
е обычно имеет большое значение, порядка 10 и более, а
т*<т, поэтому невозбужденное примесное состояние от-
отстоит от дна зоны проводимости на сотые или тысячные доли
электрон-вольта. Например, для GaAs e=12,5; т*/т=0,072;
?i = 6 мэв. Такие уровни называют еще мелкими примесными
уровнями. Если температура Г=^=0, то электроны сравнитель-
сравнительно легко их покидают и переходят в зону проводимости.
Формула, аналогичная B.52), получается и при рассмотре-
рассмотрении движения дырок в кристалле, если энергию потолка ва-
валентной зоны Ev0 положить равной нулю и направить ось
энергий сверху вниз. Тогда под т* следует понимать эффек-
эффективную массу дырки гпн. Обычно она больше эффективной
массы электрона в зоне проводимости, и, следовательно, ак-
акцепторные уровни по сравнению с донорными уровнями рас-
расположены более глубоко в запрещенной зоне. Так, для GaAs
m*h =0,5m, a ?i = 43 мэв. Однако и это значение Е\ во мно-
много раз меньше ширины запрещенной зоны ?г=1,5 эв, поэтому
акцепторные уровни также относятся к мелким уровням.
Таким образом, при сравнительно небольшой концентра-
концентрации примесей лишь в изолированных точках кристалла появ-
появляются дополнительные энергетические уровни (рис. 12, а).
В отличие от разрешенных состояний основных зон, принад-
принадлежащих всему кристаллу, примесные состояния локализова-
47
•J
Рис. 12. Донорные и акцепторные локализованные уровни (а). Плотность
состояний как функция энергии при слабом (б) и сильном (в), (г) леги-
легировании
ны в микроскопических объемах, линейные размеры которых
незначительно превышают боровский радиус
ав =
в
пи?
m
= —(—\г = 0,53 1—
\т
B.53)
Электроны, находящиеся на примесных уровнях, связаны с
дефектом и не могут перемещаться по кристаллу.
Если же в кристалл вводится большое количество приме-
примесей, то это приводит к более значительным изменениям его
энергетического спектра. Во-первых, в результате взаимо-
взаимодействия примесных атомов между собой соответствующие им
уровни расширяются, смещаются и образуют примесные зоны,
подобно тому как из резких уровней атомов, образующих
кристалл, получаются основные энергетические зоны твердого
тела [57].
Однако в отличие от регулярного расположения основных
атомов решетки, примеси распределены по кристаллу хаоти-
хаотически. В пределах макроскопических объемов могут быть за-
заметные флуктуации концентрации примеси, что приводит к
флуктуации энергии электрона. Это служит дополнительным
механизмом размытия уровней примесных атомов.
Во-вторых, введение примеси в полупроводник, как пра-
правило, сопровождается увеличением числа свободных носи-
носителей в кристалле. Атомы решетки оказываются как бы
погруженными в электронный газ (плазму), который экрани-
экранирует и ослабляет взаимодействие между электрическими заря-
зарядами кристалла. Поэтому основные зоны полупроводника
смещаются, ширина запрещенной зоны обычно уменьшается.
Кроме того, в результате флуктуации концентрации примеси
48
исчезают резкие границы зон, образуются хвосты основных и
примесных зон.
Образование примесной зоны можно установить экспери-
экспериментально. Если в полупроводнике имеются не локальные
примесные уровни, а сплошная зона, то при понижении темпе-
температуры до нуля и «вымерзании» всех электронов из зоны про-
проводимости его электропроводность стремится не к нулю, как в
чистом полупроводнике, а к некоторому постоянному значе-
значению. Изменяется и температурная зависимость постоянной
Холла [57, 58]. Эти опыты позволили установить, что, напри-
например, в германии, легированном донорами 5-й группы, примес-
примесная зона начинает образовываться уже при концентрации
примеси п~ Ш15 смг3.
Чем больше концентрация примеси, тем шире примесная
зона. В частности, в арсениде галлия с увеличением кон-
концентрации доноров от 1017 до 5-Ю18 см~3 теоретически рассчи-
рассчитанная полуширина примесной зоны возрастает от 16 до
85 мэв. При изменении концентрации акцепторов в тех же
пределах ширина акцепторной зоны увеличивается от 5 до
36 мэв [59]. Ясно, что при некотором значении п = П\ верхний
край примесной зоны попадает в зону проводимости. Для того
чтобы перекрылись акцепторная и валентная зоны, необходи-
необходимо большое значение « = «2>«ь поскольку при одинаковых
концентрациях доноров и акцепторов акцепторная зона имеет
меньшую ширину и расположена более глубоко, чем донорная
зона (рис. 12, б). В этом случае раздельное рассмотрение
основных и примесных зон становится условным, поскольку
имеются единые области непрерывного ^спектра, а энергия
ионизации примесей обращается в нуль.
На основании исследования электропроводности и эффек-
эффекта Холла установлено, что в я-GaAs при концентрации доно-
доноров « = 5-1015 смг3 образуется хорошо проводящая примесная
зона [60]. Если я>4-1016 смгъ, энергия ионизации А? обра-
обращается в нуль. В арсениде галлия р-типа АЕ Стремится к ну-
нулю, если концентрация дырок больше 5-Ю18 см~3.
Учитывая характер изменения физических свойств полу-
полупроводников в зависимости от концентрации примеси, все
полупроводники можно разделить на слабо легированные,
промежуточно легированные и сильно легированные. В слабо
легированных кристаллах имеются локализованные в прост-
пространстве резкие примесные уровни. Волновые функции элект-
электронов различных примесных центров практически не перекры-
перекрываются. В промежуточно легированных полупроводниках
образуются примесные зоны, но они еще не перекрылись с
основными зонами энергетического спектра. Если зона прово-
проводимости или валентная зона слились ' с примесными зонами,
полупроводник будет относиться к сильно легированному [57].
4 Зак. 312
49
После создания инжекционных лазеров интерес к форме
примесной зоны и хвостам плотности состояний основных зон
значительно возрос. Без детального знания этих величин не-
невозможно установить механизм генерации. Наличие хвостов
и их форма определяют характер зависимости коэффициента
усиления от накачки, зависимость порогового тока и мощ-
мощности генерации от коэффициента потерь и температуры. Кон-
Контур полосы люминесценции и край фундаментальной полосы
поглощения также связаны с хвостами зон. В тунельных дио-
диодах они влияют на форму вольтамперной характеристи-
характеристики [61].
В работе [59] на основании сравнения контура полосы
рекомбинационного излучения в GaAs с расчетными данными
сделан вывод, что плотность состояний в примесных зонах
может быть хорошо описана гауссовой кривой
g (Е) = g° ехр [— (Е — Е0J/1^]. B.54)
Величина ц определяет полуширину зоны и может быть при-
приближенно рассчитана по формуле [62]
B.55>
где N— число примесных атомов в 1 см3, а
k -
к =
\ п J
B.56>
— обратная длина дебаевского экранирования. Интегрируя
B.54) по Е от —оо до +оо, находим g°i\—N/n. Более после-
последовательно вопросы экранирования рассмотрены в [63].
С учетом «хвостов» плотность состояний в зоне будет вы-
выражаться вмес^э B.21) более сложной функцией [62]:
g(E) = — V
ёУ ' 2я2
2т\
3/2
У(Е),
Е/т)
I п \ I/2 Г I F \ I/2
V я/ J \ Л }
B.57)
B.58)
Если Е достаточно велико (Е^>ц), то, вынося из-под знака
интеграла плавную функцию (Е/ц—?)'/2 в точке ? = 0, в окрест-
окрестности которой острая функция ехр(—?2) отлична от нуля,
получим у(Е) =у?. Следовательно, в зоне проводимости
функция B.57) переходит в B.21).
50
Для энергий, лежащих глубоко в запрещенной зоне
(?•<—г]), из B.57) и B.58) приближенно находим
2
п
т
Л
3/2
ехр(—
B.59)
Согласно B.59), в запрещенной зоне функция плотности со-
состояний, возникших в результате сильного легирования полу-
полупроводника, переходит практически в крыло гауссовой кривой
ехр(—Е21ц2) (рис. 12, г). При вычислении интеграла B.58)
учитывалось, что для Е<С—ц подынтегральная функция су-
существенно отлична от нуля только в окрестности точки ?=
= —|?|/ri, и использовалось приближенное равенство: Е2/ц2—
2 2|?|(|?|/+?)/
Несколько иные выражения для функции плотности со-
состояний хвостов даны в работах [57, 64—69]. Результаты, по-
полученные различными методами, сравниваются в работе [70].
§ 3. СТАТИСТИКА ЭЛЕКТРОНОВ
В ПОЛУПРОВОДНИКАХ
Функция Ферми—Дирака. Распределение частиц по энергетиче-
энергетическим уровням может быть описано одной из следующих трех
функций:
-б = Ае~Е/кТ,
а) Максвелла — Больцмана
б) Бозе — Эйнштейна /Б-э = iE_E )/kT—
в) Ферми — Дирака /ф_д
1
(E-F)fkT
+ 1
C.1)
C.2)
C.3)
Здесь Е — энергия уровня; k — постоянная Больцмана; Т — тем-
температура.
Функция Максвелла — Больцмана была получена для
классических частиц, которые можно считать различимыми.
Постоянная А находится из условия, что сумма частиц на
всех уровнях системы равна некоторому заданному и неиз-
неизменному числу N. Распределение квантовомеханических
частиц с нулевым или целым спином описывается функцией
Бозе — Эйнштейна. Параметр Еъ также определяется из усло-
условия нормировки. При рассмотрении фотонов и фононов, число
которых может не сохраняться, Еъ полагают равным нулю.
В случае электронов, протонов и нейтронов, обладающих
полуцелым спином и подчиняющихся принципу Паули, исполь-
используется функция Ферми — Дирака, причем входящую в нее
51
величину F называют энергией, или уровнем Ферми. Посколь-
Поскольку в дальнейшем в основном будет рассматриваться только эта
функция, мы будем обозначать ее через fe(E) без индексов
Ф-Д.
Характерно, что вид функции fe(E) не зависит от свойств
системы, а зависит только от температуры. Конкретные свой-
свойства системы отражаются лишь на положении уровня Ферми.
Подставляя в C.3) E — F, получим fe(F) — l/2, т. е. вероятность
заполнения уровня Ферми, если ему соответствует реальный
уровень энергии, при всех температурах равна половине. Если
Г=0, то все уровни энергии, лежащие ниже F, заполнены, а
все уровни с E>F пусты. Функция fe(E) имеет ступенчатый
вид (рис. 13). С увеличением температуры возникает плавный
переход от заполненных к незаполненным уровням энергии.
При движении от F в сторону меньших или больших энер-
энергий скорости роста или убывания fe(E) равны, так что всегда
f,(F—\E)+fe(F + bE) = l. Для AF = 2kT, fe(F—AE)=0,88r
a fe(F+AE) =0,12. Следовательно, интервал энергий, в кото-
котором fe(E) изменяется практически от 1 до 0, будет порядка
4kT (рис. 13). Если Е—F^$>kT, то единицей в знаменателе C.3)
можно пренебречь, а функция fe(E) переходит в функцию
Максвелла—Больцмана C.1) сЛ==ехр (F/kT).
Вероятность отсутствия электрона на уровне с энергией Е
fi,(E) можно представить в виде
1
F—E
C.4)
Это и есть функция распределения для дырок. Сравнивая ее
с C.3), легко еще раз убедиться в полной аналогии между
положительными дырками и элек-
электронами. Различие между ними
состоит лишь в том, что при пере-
переходе от электронов к дыркам не-
необходимо изменить направление
отсчета энергии на противополож-
противоположное.
В многофазной системе, нахо-
находящейся в термодинамическом
равновесии, все компоненты си-
Рис. 13. Функция Ферми—Дирака
(сплошные кривые) и ее производная
(пунктирные кривые) при Г=0 A) и Т=
=290 °К B)
V
: )
f
f
/
: j
-кг -ii
V
11
\
h
\\
0
tfti
d?
8m
$¦
.
4-
0.1 E-K'3
52
стемы характеризуются одним и тем же значением уровня
Ферми, называемого также иногда электрохимическим потен-
потенциалом. Изоэнергетическая поверхность в пространстве квази-
квазиимпульса р, удовлетворяющая условию E(p)=F° и отделяю-
отделяющая занятые состояния от незанятых при температуре абсо-
абсолютного нуля, называется поверхностью Ферми. Здесь через
F0 обозначено значение F при Г=0 [48].
Уровень Ферми в собственном невырожденном полупро-
полупроводнике. Положение уровня Ферми в системе зависит от
свойств этой системы и температуры. Оно может быть теорети-
теоретически рассчитано только в том случае, если известна плотность
состояний как функция энергии g(E). Исходным условием
для нахождения значения F служит уравнение электроней-
электронейтральности [71]:
n + Na =p + N$. C.5)
Здесь п — общее число электронов в зоне проводимости;
р — число дырок в валентной зоне; Na~— концентрация ак-
акцепторов, присоединивших к себе электроны и превративших-
превратившихся в отрицательные ионы; Л^— концентрация ионизирован-
ионизированных доноров.
Так как концентрация нейтральных доноров совпадает с
числом электронов на донорных уровнях Пй = №^ и аналогично
= №а, то C.5) можно представить в виде
(п -f па)-(р + ра) = Nd-Na,
C.5a)
где Nd и Na—полные концентрации доноров и акцепторов.
В общем случае уравнение C.5) является трансцендентным
и его решения находятся путем численных расчетов. Остано-
Остановимся более подробно на выяснении некоторых характерных
закономерностей.
Рассмотрим собственный полупроводник (Nd = Na = 0) при
температурах, удовлетворяющих условию Eg^$>kT, где
Eg=E~co—Evo — ширина запрещенной зоны; Есо и Ev0 — дно
зоны проводимости и потолок валентной зоны соответственно.
Тогда C.5) переходит в равенство щ — ри где
«1= ] ge(Ec)fe(Ec)dEc,
Есо
со
\gh(Ev)fh(Ev)dEv,
C.6)
индекс i указывает на то, что полупроводник собственный.
Хотя зона проводимости и валентная зона имеют конечную
53
ширину, пределы интегрирования можно расширить, посколь-
поскольку fe(E) и fh(E) быстро убывают при движении от Есо вверх
и от Ev0 вниз.
Как будет видно из дальнейшего, уровень Ферми лежит
глубоко в запрещенной зоне, поэтому можно воспользоваться
классическим приближением распределения Ферми — Ди-
Дирака:
е(Ес)=е 1с ' , fh(Ev) = e v '" . C.7)
С другой стороны, в окрестности Есо и Ev0 плотности состоя-
состояний на основании B.21) в расчете на единицу объема можно
представить в виде:
C.8)
где тс и tnv — эффективные массы носителей заряда в зоне
проводимости и валентной зоне.
Подставляя C.7) и C.8) в C.6), путем введения новых пере-
переменных Ее =-- Ес — Есо, E'v — Ev0 — Ev интегралы легко свести к
табличным. В результате будем иметь:
1 2я2 I Ь2
B«TFi
EW Fi
= Nve
kT
C.10)
Здесь введены эффективные плотности состояний в зоне проводи-
проводимости Nc и в валентной зоне Nv:
mckT
C.11)
причем Nc /Nv = (mc lmvf12-
С учетом C.9) и C.10) уравнение нейтральности принимает
вид
Nce kT =N,,e kT .
C.12)
54
Логарифмируя его, находим
= -^(Eco + Em) + 4 kTlnN-± =
C.13)
^ t fflc
Согласно C.13), если Т=0, уровень Ферми в собственном
полупроводнике расположен в середине запрещенной зоны.
С ростом температуры он поднимается вверх, поскольку обыч-
обычно mv>mc. При обратном неравенстве mc>mv второе слага-
слагаемое в C.13) имело бы отрицательный знак и, следовательно,
уровень Ферми понижался бы с увеличением температуры.
Если полупроводник находится в таком состоянии, что
распределение электронов в зоне проводимости и дырок в ва-
валентной зоне может быть описано функцией Максвелла —
Больцмана, то он называется невырожденным. Если же клас-
классическое приближение неприменимо, то полупроводник назы-
называется вырожденным *>. Условием отсутствия вырождения
служат неравенства:
/ j? р \
для электронов, ехр | —— 1^1,
I kT J C.14)
(F— Ev0
для дырок ехр !¦¦
Выполнение C.14) означает, что эти неравенства спра-
справедливы для всех энергий зоны проводимости и валентной зо-
зоны, а единицей в знаменателе C.3) можно пренебречь. Таким
образом, в невырожденном полупроводнике уровень Ферми
находится на расстояниях, больших kT, от потолка валентной
зоны и от дна зоны проводимости.
Интегралы Ферми — Дирака. Если полупроводник вырож-
вырожден, то число электронов в зоне проводимости дается выра-
выражением:
= 1 ge(Ec)fe(Ec)dEc =~
dEc
2тс
X
ехр
Ес— F
kT
C.15)
+ 1
*> В квантовой механике термин «вырожденный» применяется по отноше-
отношению к энергетическому уровню, которому соответствует несколько кван-
квантовых состояний. В теории твердого тела этот термин означает, что теп-
теплоемкость в расчете на один электрон «вырождается», т. е. значительно
меньше ее классического значения, равного 3&/2.
55
Ввод# безразмерные величины
х=--{Ес— ЕлIкТ,
вместо C.15) будем иметь
C.16)
где
1
x'dx
C.18)
г а Х- 1 "i 1 окх~*с> Л- 1
1 \1 ~Т l) J е Т 1
0_
—интегралы Ферми—Дирака; Г—гамма-функция, причем ГC/2) =
Аналогичным образом легко убедиться, что
p = NvFi/2(Zv), C.19)
где при термодинамическом равновесии
Т .— (Р FMbT Т Р IbT /Ч ОП\
Ьо — х^вО— " IК' — — ы — E-glKl . (О.бК))
Таким образом, уравнение нейтральности п — р для собст-
собственного полупроводника в условиях вырождения можно пред-
представить в виде
(- lc-EglkT).
C.21)
Для решения C.21) необходимо знать интегралы Fj(Z).
В книге [71] приведена таблица Fj(Q для целых и полуцелых
значений / от —3/2 до 4 в интервале изменений t, от —4 до 10
через 0,1. Значения тех же интегралов для —4^ ^^20
имеются в [72].
Для промежуточных значений аргумента интегралы Фер-
Ферми— Дирака с точностью до четвертой значащей цифры рас-
рассчитываются по формуле [71]:
C.22)
Наоборот, если необходимо найти величину аргумента ?0 + Д?,
соответствующую нетабулированному значению интеграла Fj(l +
-г Л?), то можно воспользоваться выражением
56
Со'
>-1аШ_
\t,)-Fj(Qr
C.23)
Для более быстрого, но менее точного решения уравнения
электронейтральности применимы различные графические
методы [72, 73]. Приближенно C.21) иногда может быть ре-
решено аналитически с помощью формул аппроксимации для
интеграла ЛЫО- С точностью до ±3% справедливы равен-
равенства [71]:
F1/2 (С) -
C.24)
, Е>1,25.
Если ^<—2, то ошибка первой аппроксимации составляет
доли процента и стремится к нулю с уменьшением ?,
a -FiMQ-^es. Ошибка второго приближения быстро убывает
с ростом ?, составляя около 1 % для ^ = 4.
Произведение Поро. В случае собственного невырожден-
невырожденного полупроводника, согласно C.9) и (ЗЛО), имеем
Evo Eco
= ni = NcNve
kT
откуда следует:
C.25)
C.26)
Введение примеси в кристалл приводит к резкому смеще-
смещению уровня Ферми. Однако если F лежит по крайней мере
на 2 kT ниже дна зоны проводимости, но выше потолка ва-
валентной зоны, то полупроводник можно считать невырожден-
невырожденным и пользоваться формулами C.9) и C.10). Это означает,
что в невырожденном полупроводнике, находящемся в состоя-
состоянии термодинамического равновесия, всегда справедливо ра-
равенство:
np = nl C.27)
j
Как видно из C.27), путем введения примеси нельзя одновре-
одновременно повысить концентрацию электронов и дырок: увеличе-
увеличение п неизбежно приводит к уменьшению р и наоборот.
57
Поскольку формулы C.17) и C.19) справедливы как для
собственного, так и для примесного полупроводника и отли-
отличаются только значением ?, то имеют место равенства:
п — п.
'l F1/2(Q'
_=_
C.28)
для собственного и примесного полу-
полугде t,i и ? — значение
проводника, eg = Eg/kT.
При отсутствии вырождения интегралы Ферми — Дирака
можно заменить экспонентами, а из C.28) следует
п = пг ех
- ?f); р = nt ехр (?. - ?). " C.29)
Формулы C.29) широко используются для практических
целей. Поскольку вырождение по электронам и дыркам одно-
одновременно почти никогда не наступает, одна из этих формул
остается справедливой, даже если уровень Ферми заходит в
зону проводимости или в валентную зону.
Фактор спинового вырождения примесного уровня. При
рассмотрении примесных полупроводников следует иметь в
виду, что для электронов, связанных с примесными центра-
центрами, не выполняются исходные предположения, при которых
получается фермиевское распределение. Поэтому, строго го-
говоря, функция Ферми — Дирака неприменима к электронам
примесных центров. Одно из условий применимости фермиев-
ского распределения требует, чтобы энергия одноэлектронно-
го состояния не зависела от распределения электронов по со-
состояниям. На примере полупроводника, в котором донором
служит атом одновалентного металла, легко убедиться, что
это условие не выполняется.
Действительно, валентный электрон такого атома обладает
двумя квантовыми состояниями, соответствующими двум
ориентациям спина. Однако если одно из этих состояний за-
занято, то энергия второго возрастает и может оказаться в зоне
проводимости. Аналогичная ситуация имеет место и для ак-
акцепторных уровней. Поэтому при строгом рассмотрении рас-
распределения частиц по примесным центрам следует пользо-
пользоваться более общей статистикой Гиббса [2, 74].
Если пренебречь возбужденными состояниями нейтраль-
нейтральных и ионизированных примесей, то вероятность заполнения
донорного уровня можно представить в виде
—врр , C-30)
где 6=f/g— фактор вырождения донорного уровня, равный
отношению кратности вырождения основного состояния ион-
.58
ного остатка / к кратности вырождения основного состояния
нейтрального атома g.
Состояние атома одновалентного металла двукратно вы-
вырождено, т. е. g = 2. После потери валентного электрона основ-
основное состояние ионного остатка становится невырожденным,
f=l. Следовательно, если донорами служат атомы однова-
одновалентного металла, то 6=1/2. Для атомов двух- и трехвалент-
трехвалентных элементов имеем соответственно f=2, g—l, 6 = 2 и f=l,
g = 6, 6=1/6. Пятивалентные донорные примеси элементов
V группы в полупроводниковых кристаллах типа Ge и Si ха-
характеризуются значением 6 = 1/2.
Все рассуждения, приведенные для электронов на донор-
ных уровнях, справедливы по отношению к дыркам, находя-
находящимся на акцепторных уровнях. Так, в случае акцепторной
примеси элементов III группы в полупроводниках четвертой
группы, вероятность заполнения акцепторного уровня дыркой
равна:
fn
1
C.31)
где 6 = 1/2. В тех случаях, когда 6 неизвестно, обычно пола-
полагают 6=1.
Смещение уровня Ферми при легировании полупроводника.
В собственном полупроводнике при температуре абсолютного
нуля уровень Ферми находится в центре запрещенной зоны.
Введение примеси в кристалл может на несколько порядков
изменить концентрацию электронов или дырок, что неизбеж-
неизбежно изменит положение уровня Ферми. Для выяснения общих
закономерностей рассмотрим несколько частных случаев,
когда уравнение электронейтральности допускает аналитиче-
аналитическое решение.
Пусть в полупроводник введено небольшое количество до-
норной примеси. Очевидно, концентрация электронов в зоне
проводимости от этого может только возрасти, поскольку
энергия ионизации доноров АЕ = Есо—Еа значительно меньше
ширины запрещенной зоны. Не накладывая никаких ограни-
ограничений на положение уровня Ферми F относительно Ed, пред-
предположим, что полупроводник остается все же невырожденным,
т. е. Есо—F^>kT. Кроме того, пренебрежем концентра-
концентрацией дырок в валентной зоне р = 0. Сделанные предположе-
предположения выполняются при достаточно низкой температуре.
Полагая в C.5а) p = pa = Na = 0 и учитывая C.30), при-
приходим к следующему уравнению нейтральности:
nd = Nd,
59
или
ВД/2 (S) = Nd [б exp (? + Aed) + 1р\ C.32)
где по-прежнему ? = (F = Eco)lkT, Aed = AEjkT. При сделанных
предположениях Fi/2(?) = ехр(?), а C.32) переходите квадрат-
квадратное уравнение относительно ехр ?:
бе48* (еЕJ + е? — Л^~' = 0.
C.33)
Решая его, находим:
г 1
26еЛ8<*
2ВД-1
F =
+
= Eco-kTln ?L
C.34)
C.35)
Если Т -> 0, то самым большим будет последнее слагаемое в
квадратных скобках, и, следовательно:
F = Ес0 - -1
- -i- AT In FiVeiV7') =
--?- *7- In
C.36)
Согласно C.36), при температуре абсол'ютного нуля уровень
Ферми находится точно посредине между дном зоны прово-
проводимости и донорным уровнем. Так как iVc~ (kTK/2, то в зави-
зависимости от температуры и Nd второе слагаемое в C.36) может
быть как положительным, так и отрицательным. Поэтому
с увеличением температуры уровень Ферми вначале подни-
поднимается вверх, приближаясь к зоне проводимости, а затем на-
начинает опускаться вниз (рис. 14).
Проводя аналогичный расчет для полупроводника, леги-
легированного акцепторами, можно показать, что при Г = 0 уро-
уровень Ферми находится посредине между акцепторным уров-
уровнем и вершиной валентной зоны. С ростом Т он вначале при-
приближается к валентной зоне, а затем поднимается вверх.
Предположим теперь, что в полупроводник л-типа вводит-
вводится акцепторная примесь. Тогда часть электронов из зоны про-
60
с
Рис. 14. Зависимость уровня Ферми от температуры в доиориом (а) и ак-
акцепторном (б) полупроводниках. Изменение положения F как функции
Nd—Na (в)
водимости и донорных уровней будет переходить на акцеп-
акцепторные уровни, а уровень Ферми будет понижаться. Наоборот,
введение донорной примеси в полупроводник /7-типа приводит к
увеличению F. Качественная зависимость уровня Ферми от
разности Nd—Na приведена на рис. 14, в.
Классификация твердых тел на проводники, изоляторы и
полупроводники. Зонная теория позволяет просто и однозначно
провести классификацию кристаллических твердых тел на
три класса. К проводникам относятся такие кристаллы,
у которых при температуре абсолютного нуля наивысшая из
зон, содержащая электроны, заполнена только частично.
К изоляторам относятся кристаллы, у которых наивысшая
валентная зона заполнена полностью при Т = 0, а ширина
запрещенной зоны достаточно велика — Eg~>2> эв. Полупро-
Полупроводники так же, как и изоляторы, имеют полностью заполнен-
заполненную валентную зону, но отличаются от них малой шириной
запрещенной зоны — ?g<3 эв, а часто Eg<.\ эв.
Проводники образуются из атомов, на внешних оболочках
которых имеются не спаренные по спину электроны. Поэтому
число состояний в зонах обычно больше числа валентных
электронов. Такая ситуация осуществляется в металлах. Если
электроны на внешних оболочках могут быть спарены, то
кристаллическое соединение скорее всего будет либо изолято-
изолятором, либо полупроводником. В этом случае проводник может
образоваться только в результате перекрытия двух зон. Тогда
объединенная зона также окажется частично заполненной.
61
Для того чтобы в кристалле возник ток, внешнее поле
должно сообщить электронам некоторую дополнительную со-
составляющую скорость, направленную по полю. Это означает
перевод электронов на более высокие энергетические уровни.
Но в изоляторе таких уровней нет, следовательно, тока не бу-
будет. В металлах электроны легко переходят на более высокие
уровни зоны проводимости. В полупроводнике проводить ток
могут либо электроны, попавшие в зону проводимости, либо
дырки валентной зоны. Повышение температуры или концен-
концентрации примесей Nd—Na приводит к росту проводимости.
Причем, если Nd—Na>0, проводимость будет преимуществен-
преимущественно электронной (i-тип), а если Nd—А^о<0, проводимость бу-
будет дырочной (/7-тип).
В металлах повышение температуры, не увеличивая числа
носителей в зоне проводимости, уменьшает длину свободного
пробега электрона вследствие увеличения колебаний решетки,
поэтому проводимость с ростом температуры падает.
§ 4. КОЛЕБАНИЯ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКИ
Температура Дебая. Хотя твердое тело способно сохранять
свою форму практически сколь угодно долго, атомы кристал-
кристаллической решетки закреплены не абсолютно жестко. Они
удерживаются на своих местах упругими силами и совершают
колебательные движения около точек равновесия. Колеба-
Колебания кристаллической решетки накладывают определенную
печать на все физические процессы, происходящие в твердом
теле, и в ряде случаев ими нельзя пренебрегать, даже если
явление рассматривается приближенно. Колебательное дви-
движение атомов дает основной вклад в теплоемкость твердого
тела и служит основным механизмом теплопроводности. Под-
Подвижность электронов в кристалле, а следовательно, и его элек-
электропроводность в значительной степени определяются колеба-
колебаниями решетки. По этой же причине возникает диффузное
рассеяние рентгеновских лучей, нейтронов и других частиц,
проходящих через кристалл. Взаимодействие электронов с
колеблющимися атомами проявляется во многих оптических
явлениях, связанных с процессами поглощения и испускания
света.
Колебания кристаллической решетки начали исследовать
прежде всего в связи с необходимостью объяснить теплоем-
теплоемкость и теплопроводность твердых тел. Согласно классической
теории, если кристалл находится в тепловом равновесии с
окружающим его идеальным газом, то энергия каждого коле-
колеблющегося атома будет равна ? = 3 kT, а полная энергия
грамм-атома любого вещества будет в NA раз больше:
62
E = 3NAkT, где NA — число Авогадро. Отсюда следует
емкость СА грамм-атома:
тепло-
dEA
¦¦ 3JVA k = 37? » 5,94 кал/моль. D.1)
Здесь R = NAk — универсальная газовая постоянная.
Соотношение D.1) известно как закон Дюлонга и Пти. Из
него следует, что теплоемкость вещества не зависит ни от его
химического состава, ни от его температуры. Для многих ве-
веществ этот закон подтверждался при комнатных и более вы-
высоких температурах.
Однако, как установил Камерлинг-Оннес, при понижении
температуры наступает такой момент, когда теплоемкость те-
тела начинает уменьшаться и стремится к нулю, если темпера-
температура приближается к абсолютному нулю.
В 1907 г. А. Эйнштейн [76] сделал первую попытку объяс-
объяснить температурную зависимость теплоемкости. Он пред-
предположил, что, подобно электромагнитному полю, энергия
колеблющихся атомов квантуется, т. е. может принимать ди-
дискретный ряд значений. Тогда средняя энергия, приходящая-
приходящаяся на одну степень свободы атома, будет выражаться фор-
формулой
>'"¦-
D.2)
где hco — величина кванта энергии. Отсюда для теплоемкости од-
одного грамм-атома получается выражение
/h©\2
е
С А = .
D.3)
Согласно D.3), для всех значений T>HaJk теплоемкость
практически не зависит от температуры и равна СА~3 R, что
соответствует закону Дюлонга и Пти. Если же температура
уменьшается от T = ha>/k до нуля, то СА убывает до нуля при-
приближенно по экспоненте. Качественно теория Эйнштейна
объясняла эксперименты Камерлинг-Оннеса. Было доказано,
что в теории теплоемкости необходимо использовать представ-
представления о квантах энергии. В то же время обнаружилось и ко-
количественное расхождение теории с экспериментом: в области
малых температур теплоемкость фактически убывает не по
экспоненте, а как Т3.
Недостатки эйнштейновской теории были устранены Деба-
ем в 1912 г. и одновременно Борном и Карманом [77—79].
63
Рассчитывая теплоемкость, А. Эйнштейн приписал всем ато-
атомам решетки одну и ту же частоту колебаний. Поэтому если
энергия частиц газа, окружающего кристалл, становилась
меньше кванта энергии, ki<.h(x>, то молекулы газа, сталки-
сталкиваясь с поверхностью кристалла, не могли возбудить в нем
колебаний и передать свою энергию. Теплоемкость резко
падала.
Дебай рассматривал кристалл как непрерывную упругую
среду, в которой могут распространяться акустические коле-
колебания со сплошным спектром частот, а средняя энергия коле-
колебаний удовлетворяет квантовой формуле D.2). При пониже-
понижении температуры в кристалле возбуждаются колебания все
более низких частот.
Чтобы получить полную энергию колебаний в теории Де-
бая, выражение D.2) умножается на функцию плотности со-
состояний (число осцилляторов в интервале частот dco) и бе-
берется интеграл по частоте. При этом верхний предел интегри-
интегрирования ограничивается частотой, удовлетворяющей условию"
hco = kB, D.4)
где в называется температурой Дебая. Величина в выби-
выбирается так, чтобы полное число упругих волн в кристалле, со-
содержащем N атомов, было равно числу их степеней свободы
3N. Таким образом, в теории Дебая искусственно учитыва-
учитывается атомистическое строение вещества, хотя рассматрива-
рассматривается непрерывная среда.
Для высоких температур из теории Дебая следует закон
Дюлонга и Пти. В области низких температур в соответствии
с опытом теплоемкость убывает по формуле
Ы
D.5)
Температуру Дебая можно рассматривать как нижнюю
границу, до которой справедлива классическая формула теп-
теплоемкости Дюлонга и Пти.
Количественное сравнение результатов теории Дебая с
опытом показало, что они совпадают в широком интервале
температур для кристаллов, на элементарную ячейку которых
приходится только один атом. В таких кристаллах имеются
только акустические колебания. Если же в элементарной ячей-
ячейке содержатся два атома или более, то обнаруживаются рас-
расхождения теории с опытом. В этом случае возможны не толь-
только акустические, но и оптические колебания решетки, не
учтенные в теории Дебая. Теория Борна и Кармана была пол-
полнее и точнее, так как в ней рассматривались не упругие волны,
64
а нормальные колебания всех ЗЛ^ степеней свободы атомов
кристалла.
Современная квантовомеханическая теория колебаний ре-
решетки достаточно сложна и громоздка. Однако ее основные
идеи и представления, необходимые для дальнейшего, можно
выяснить на простых примерах.
Колебания одномерной решетки, состоящей из одинаковых
атомов. Пусть кристаллическая решетка состоит из линейной
цепочки атомов. В положении равновесия все атомы с одина-
одинаковой массой т расположены на одной линии на одинаковом
расстоянии а друг от друга [38, 80]. Отклонение атомов из
положения равновесия обозначим через ип, где п — номер
атома. Величина «п>0, если атом сместился вправо от поло-
положения равновесия, в противоположном случае ии<0. При не-
небольших амплитудах колебаний силы, возвращающие атомы
в положения равновесия, можно считать квазиупругими, т. е.
пропорциональными величине отклонения. Тогда на л-й атом
будут действовать силы со стороны (п—1)-го и (я+1)-го
атомов, соответственно равные
fn-l, п = — Р («„ — «n_i),
L, n+i = — Р("„ — и j),
D.6)
где р > 0 — коэффициент квазиупругой силы.
Если учитывать взаимодействие только соседних атомов, то
уравнение движения л-го атома будет иметь вид
т
сРи
— = f A- f
2 In-l, п " In, п+1-
D.7)
Обозначая вторую производную по времени через и и учитывая
D.6), получим
mun + p Bun - un_y - un+l) = 0.
Решение уравнения D.8) будем искать в виде
и=-А
D.8)
D.9)
где га — целое число; q — волновое число; ш — циклическая ча-
частота.
Подставляя D.9) в D.8) и сокращая на АеНтп~ю(), находим
,.Ч2 _ Р /о .—tad iaa-.
т
= 2 А С1 — cos^a) = 4 A sin2 f ^Л
т т { 2 ''
5 Зак. 312
D.10)
65
m
sin —
2
= со„
па
sin —
Я
D.10)
Здесь сот=2Ур//п и q = 2n/X, I — длина волны.
Выражение D.9) описывает бегущую волну. Одному и то-
тому же абсолютному значению q соответствуют две волны, бе-
бегущие в противоположных направлениях, так как q может
быть положительным и отрицательным. Частота колебаний
атомов не пропорциональна волновому вектору волны, а свя-
связана с ним законом дисперсии D.10). Эта формула не зави-
зависит от номера п, поэтому полученное решение справедливо для
любого атома цепочки.
Если в D.9) вместо q взять новое волновое число q' = q +
-f — g, отличающееся от q на целое число g постоянных обрат-
а
ной решетки 2п/а (см. § 1), то получим функцию
:«n-
D.11)
тождественную ип, поскольку expi2ngn=\. Поэтому можно
ограничиться рассмотрением решения в первой зоне Бриллю-
эна (§ 2), где q изменяется в пределах
а
—
а
D.12)
Из D.12) следует, что минимальная длина волны колебаний це-
цепочки равна
Л 2/х = 2а, D.13)
а максимальная частота
max
= (о_ = 2/Р//п.
D.14)
Наличие предельной частоты колебаний и нелинейного за-
закона дисперсии служит важным отличием дискретной линей-
линейной цепочки от непрерывной упругой среды.
Например, колебания ближайшего аналога линейной це-
цепочки— струны описываются волновым уравнением [81]
д2и
D.15)
где х _ координата, v0 — скорость звука. Решение D.15) имеет
вид
и(х, f) = Ае'{<"-Ш), DЛ6)
66
'>
причем частота прямо пропорциональна волновому вектору
со = уо<7 D.17)
и может принимать любые значения от 0 (для бесконечно
длинной струны) до бесконечности. Поэтому в теории Дебая
частота ограничивается сверху искусственным путем. Для
цепочки конечной длины L длина волны должна иметь огра-
ограничение и сверху. Она не может быть больше Ятах = 2?. В пре-
предельном случае на всей длине цепочки укладывается полвол-
полволны, все атомы синхронно смещаются вначале в одну сторону,
а потом в другую. Это ограничение длины волны можно по-
получить и строго математически, если потребовать, чтобы вы-
выполнялись условия цикличности Борна — Кармана
un+N = un, D.18)
где N — число атомов на достаточно большом отрезке цепоч-
цепочки, либо это число всех атомов конечной цепочки, которая
согнута в виде окружности, так что номера п и n+N относятся
к одному и тому же атому.
Подставляя D.9) в D.18), находим
exp (± iqaN) = 1, q = — ¦§-, D.19)
а N
где g — по-прежнему целое число, изменяющееся в пределах
от —N/2 до N12. Согласно D.19), волновое число для цепочки
конечной длины принимает дискретный ряд значений
= ^Л±\, ±2, ±3,
N
±N12).
Наибольшее значение длины волны max /7min
Условие Борна — Кармана требует, чтобы на заданном уча-
участке цепи укладывалось целое число длин волн.
Фазовую скорость бегущей волны легко найти из условия
постоянства фазы
qan — at = const. D;20)
Отсюда скорость прохождения заданной фазы через точки an
равна
v =
d(an)
*- = 2 i/l -L sin [4L\
q V m q \ 2 )
D.21)
где учтено D.10). Можно показать [38], что скорость звука
в рассматриваемом случае равна
1
т
D.22)
67
и, следовательно,
v =
sin
qa_
2
D.23)
С помощью D.10) находим также групповую скорость волнового
пакета [44]
! qa
da
dq
cos
D.24)
Для длинных волн, для которых qa/2 = ngjN < 1, фазовая и
групповая скорости приближенно равны скорости звука: v=vg —
Таким образом, линейная цепочка атомов, несмотря на
свою простоту, характеризуется двумя свойствами, присущи-
присущими реальным кристаллам: частота колебаний атомов ограни-
ограничена сверху и связана с волновым вектором нелинейным за-
законом дисперсии. Незначительное усложнение этой модели
позволяет разделить колебания решетки на акустические и
оптические.
Линейная цепочка, состоящая из атомов двух сортов. Если
около каждого атома рассмотренной выше линейной цепочки
разместить атом другого сорта с массой т', то получится ре-
решетка с двумя атомами в элементарной ячейке. Номера новых
атомов обозначим п'. Расстояние между соседними атомами
п'—1 и п'. равно постоянной решетки а. Коэффициенты квази-
квазиупругих сил между атомами п и п' обозначим р, а между ато-
атомами п'—1 и п—Рь
Тогда уравнения движения п-то и tt'-го атомов по аналогии
с D.8) представим в виде [38]:
Р (и„ - ип) + ^(ип - u'n-t) = 0, D.25)
тип
тип
(и'п
ип) + 0! (и'п — цп+1) = 0.
Здесь по-прежнему учитывается взаимодействие только ме-
между соседними атомами: атом с номером п взаимодействует
с п'—1-м и п'-м атомами, а атом п' — с п-м и л+1-м.
Если подставить в D.25) уравнения бегущих волн с оди-
одинаковыми волновыми векторами q и частотами со, но разными
амплитудами
ип = Ае1(<!ап~Ш), ип^А'е^ап-ш\ D.26)
получим после сокращения на exp [i (qan — со/)]
(р + & - яш2) А = ф + ^e-iqa) A', D.27)
(Р + PiO А = (р + рх - mV) Л'. D.28)
68
Разделив D.27) на D.28), приходим к биквадратному
уравнению относительно со
mm
Если ввести обозначения
«о =.—, (Р + ^)(т +
mm
mm'
D.29)
= 16
mm
(т+m'f
то решение D.29) можно представить в виде
2 1 2 Г /
i.2= — «о М± 1/ 1—v2si
2
«1,
'sin2
aq
D.30)
При любых значениях отношений р/р' и т/т' величина
1 поэтому формула D.30) дает два вещественных значе-
значения частоты колебаний для каждого значения волнового век-
вектора q. Если q стремится к нулю, то coi-^-coo, в то время как
оог-^О (рис. 15). По этому признаку все типы колебаний кри-
кристаллической решетки делятся на оптические (oji—*-о)О) и аку-
акустические (юг-*-0), а кривые дисперсии соответственно назы-
называются оптическими и акустическими ветвями колебаний.
Как видно из D.30), при всех значениях параметров часто-
частота оптических колебаний ©i больше частоты акустических ко-
колебаний <й2- При малых q различие особенно велико, а при
больших q частоты ац и юг сближаются.
Однако различие между оптическими и акустическими ти-
типами колебаний не сводится к количественно разным значе-
значениям частот <й1 и ©г. Оно ле-
жит глубже и связано с ка-
качественно, разным характе-
характером самого колебательного
процесса. Это становится
очевидным при рассмотре-
рассмотрении некоторых частных слу-
случаев.
Рис. 15. Кривые (ветви) дисперсии
для оптических Wi и акустических
@2 колебаний линейной цепочки,
состоящей из атомов двух сортов
0.8
0,4
0.2
-Ж
га
Ж.
га
69
Согласно D.26) и D.27), отношение смещений соседних
атомов, принадлежащих к одной элементарной ячейке, равно
it Л ft Л- (К-0-iQa
А'
D.31)
Для предельно длинных волн q = 2л А -> 0, ехр (— iqa) -> 1, <лх-+
-+-ю0 == (р + Pi)(^ + tn')lmm', а>2->0. Подставляя в D.31) зна-
значения параметров, получим для акустических и оптических коле-
колебаний соответственно
V) = 1.
ип /on m
D.32)
Из D.32) следует, что в бесконечно длинной волне акусти-
акустических колебаний все атомы движутся синхронно вправо или
влево и смещения из положения равновесия для всех частиц
равны. Синхронность смещения всех атомов одной элементар-
элементарной ячейки сохраняется и для более коротких волн акустиче-
акустических колебаний. Это характерно для колебаний звуковых
волн. Поэтому такой тип колебаний назван акустическим.
При оптических колебаниях атомы одной ячейки либо движут-
движутся навстречу, либо удаляются друг от друга, а центр масс
ячейки остается неподвижным, так как ипт-\-и'пт' = 0. В этом
случае может происходить электрическая поляризация кри-
кристалла и возникнуть переменный дипольный момент, приво-
приводящий к поглощению или испусканию электромагнитных волн
инфракрасного диапазона. Это послужило основанием на-
назвать указанные колебания оптическими. Однако в принципе,
если кристалл состоит из нейтральных атомов, оптические
колебания могут и не сопровождаться появлением электриче-
электрического дипольного момента.
Рассмотрим теперь отношение отклонений D.31) в случае
предельно коротких длин волн, для которых к = 2а,
д=2п/К = л/а, ехр(—iaq) = \. С учетом D.30) формула D.31)
преобразуется к виду
ип (Р-Р1ХР + Р1Г!
т
— 16
mm'
n+m'f\
. D.33)
Если Р = Рь то числитель равен нулю, а знаменатель либо об-
обращается в нуль, либо равен (т'—т)/т'*1. Он отличен от
*> Из двух значений корня У(т—т'J всегда берется положительная вели-
величина, так как ее знак в явном виде учитывается в D.33). Поэтому
2=т—т', если т>т', и равен У(т—т'J=т'—т, если
т'
У(
т<т'.
70
нуля для оптических колебаний, если т>т', а для акустиче-
акустических при т<.т'. Следовательно, при оптических колебаниях
тяжелые атомы неподвижны, а колеблются легкие атомы.
В акустической волне наоборот, смещаются тяжелые атомы,
а легкие неподвижны. Такой же результат получается, если
рассмотреть случай, когда знаменатель обращается в ноль и
необходимо раскрывать неопределенность 0/0 [38].
В другом частном случае, когда т = т', а Р>Рь из D.33)
находим
ип
Un
D.34)
и, следовательно, в оптической волне с наименьшим значе-
значением К атомы движутся в противофазе, а в акустической вол-
волне — в фазе.
Численные оценки показывают [80], что частота акусти-
акустических колебаний изменяется от 0 до 1013 гц и только незна-
незначительная их часть (ю«102—104 гц) приходится на звуковые
волны.
Рассмотренные оптические и акустические колебания на-
называются продольными, потому что смещения атомов в них
происходит вдоль направления распространения волны. Кро-
Кроме продольных имеются и поперечные колебания, при которых
атомы смещаются по направлениям, перпендикулярным к
направлению распространения волны. Так же как и продоль-
продольные, поперечные колебания делятся на оптические и акусти-
акустические [82]. При оптических колебаниях атомы одной элемен-
элементарной ячейки движутся в противофазе, в акустических коле-
колебаниях они смещаются синхронно (рис. 16). Поперечные
Рис. 16. Типы колебаний линейной цепочки: а — цепочка в положении рав-
равновесия; б—¦ продольные оптические колебания; в — продольные акустиче-
акустические колебания; г — поперечные оптические колебания; д — поперечные
акустические колебания
71
колебания во всех направлениях можно свести к колебаниям
в двух взаимно перпендикулярных плоскостях.
Гармонические колебания трехмерной решетки. Метод
расчета, использованный при рассмотрении линейных цепо-
цепочек, может быть применен и для изучения колебаний реаль-
реальных кристаллов. Пусть кристалл состоит из большого числа
N элементарных ячеек и в каждой ячейке содержится g ато-
атомов. Массы атомов равны тк, где номер атома k=\, 2, 3,.., g.
Проекцию смещения ?-го атома л-й ячейки из положения рав-
равновесия на ось а обозначим через ukna. Индекс а=1, 2, 3 и от-
относится к трем осям координат х, у, z.
В гармоническом приближении предполагается, что колебания
атомов по всем 3gN степеням свободы происходят независимо
друг от друга и упругие силы, возникающие при смещении ато-
атома из положения равновесия, прямо пропорциональны величинам
смещений Una,. Это условие выполняется тем лучше, чем меньше
амплитуды колебаний, в чем легко убедиться, если представить
потенциальную функцию кристалла в виде разложения в ряд по
степеням Wn«[38, 47, 77].
¦ Обозначая коэффициенты квазиупругих сил через $?П'аа.' по
аналогии с предыдущим, получим систему 3gN уравнений для
такого же числа неизвестных и„а [83, 84]
D.35)
Una — — ,u, rnn'aa' '
n'a'k'
Уравнения D.25) входят в D.35) как частный случай при
k = 2, a=\. В этой системе уравнений, как и ранее, учитыва-
учитывается взаимодействие только ближайших атомов.
Решение системы ищется в виде бегущих волн:
ипа = A* (q) е ч п ¦ D.36)
Переход к трехмерному случаю требует введения волнового век-
вектора в общем виде, где х — единичный вектор нормали
q = ^x D.37)
к плоской волне, длина которой равна X. Величины Аа являют-
являются проекциями на оси х, у, г комплексной амплитуды колебаний
&-го атома Aft.
Так же как и для одномерного случая, легко показать, что
прибавление к волновому вектору q вектора обратной решетки
bg, определяемого формулой A.2), не изменяет волновую функцию
D.36). Поэтому произведение qa можно рассматривать только в
первой зоне Бриллюэна —n<qa<n (см. B.40а)).
72
Подставляя D.36) и D.35) и сокращая на exp[i (qan— cat)],
находим
-а ^
,
2
где
ukk'
Darv' =
П'
D.38)
D.39)
Если ввести символы Кронекера 6*.*.- и 6aa', равные единице при
k' = k, a' = а и равные нулю при И' ф\, а'фа, то D.38) мо-
можно представить в виде
2
Aka> = 0.
D.40)
Система 3gN дифференциальных уравнений D.35) свелась к си-
системе 3g однородных алгебраических уравнений. Эта система
имеет ненулевое решение, если ее определитель равен нулю:
R11
ух
nil
В'уу-П
R11
в
в
В
В
12
'ух
12
в
В
В'
21
Rig
Bzz
R2g
B.
Dgl
Dzz
BeJ-
= 0.
6 D.41)
Равенство D.41) есть характеристическое или вековое*'
уравнение степени 3g относительно квадрата частоты колеба-
колебаний ©2.
В общем случае уравнение 3g степени имеет 3g различных
корня, определяющих частоту колебаний как функцию волно-
волнового вектора (закон дисперсии): ojj = ojj(q), где /=1, 2, 3...
Геометрически зависимость »,¦ от qx, qy, qz представляется как
гиперповерхность в четырехмерном пространстве. Форма этой
поверхности зависит от симметрии кристалла, типа химиче-
химической связи и числа атомов в элементарной ячейке. Сечение
всех гиперповерхностей плоскостью в q пространстве изобра-
изображается 3g кривыми линиями, форма которых зависит от
ориентации секущей плоскости.
*' Вековое уравнение получило свое название в небесной механике, где
оно встречается в задаче о вековых неравенствах в движении планет.
Оно широко используется в теории колебаний молекул [85].
73
10~'2w,pad/cen
3SV
25
IS
S
(Ul\
\ггг)
to
ГО
Ox*-*
N. tO
ГО
/ LA
fi^TA
Z5
15
S
LO
TO
\
\
\
TO
/
LA /
I/ TA
10
/
№)
Рис. 17. Кривые дисперсии для колебаний решетки йодистого натрия (а)
и алмаза (б)
Учет симметрии кристаллов показывает, что некоторые
ветви колебаний могут быть вырождены, тогда их общее число
меньше 3g. Например, в линейной цепочке, состоящей из ато-
атомов двух сортов, поперечные акустические и оптические коле-
колебания двукратно вырождены.
Среди 3g ветвей колебаний 3 всегда принадлежат акусти-
акустическим ветвям: одна продольная и две (или одна двукратно
вырожденная) поперечные. Частота акустических колебаний
кристалла юак, как и непрерывной упругой среды, стремится к
нулю при q-+Q и в области малых значений q прямо пропор-
пропорциональна q
«ак = С(х)<7, D.42)
где С (к)—коэффициент пропорциональности, зависящий
только от направления вектора q. Если в элементарной ячейке
кристалла (например, натрия, калия, рубидия) додержится
один атом, то 3g"=3 и никаких других колебаний решетки,
кроме акустических, не будет. Это подтверждается на опы-
те [77].
Во всех кристаллах, для которых g>l, может быть 3g—3
оптических ветвей колебаний. Полупроводниковые кристаллы
элементов IV группы (алмаз, кремний, германий, серое оло-
олово) имеют кристаллическую решетку типа алмаза, а соедине-
соединения AniBv AnBVI —типа цинковой обманки. И в том и в
другом случае на элементарную ячейку приходится два либо
одинаковых, либо разных атома. В.таких кристаллах будет
3 акустических и 3 оптических ветви колебаний.
На рис. 17 приведены экспериментальные кривые диспер-
дисперсии для колебаний решетки йодистого натрия и алмаза [86].
74
Обозначения ветвей колебаний общепринятые: LO и ТО —
продольные и поперечные оптические, LA и ТА — продольные
и поперечные акустические. Сокращения образованы первы-
первыми буквами английских слов: optical ¦—оптический, acoustic —
акустический, longitudinal—продольный, transversal — попе-
поперечный.
Как видно из рисунка, в обоих случаях поперечные оптиче-
оптические и акустические колебания двукратно вырождены. В йоди-
йодистом натрии оптические и акустические ветви разделены за-
запрещенной зоной. В алмазе на границе зоны Бриллюэна в на-
направлении [100] ТО и LA ветви перекрываются. Это связано
с тем, что в элементарной ячейке кристаллической решетки
алмаза находятся два одинаковых атома.
Фононы. Хотя решение уравнения движения атомов в кри-
кристалле в гармоническом приближении выражается формулой
плоских волн типа D.9), это не означает, что узлы решетки
совершают простое колебательное движение с заданной часто-
частотой со. В любом кристалле одновременно происходят колеба-
колебания всевозможных частот и направлений распространения
волн. Так как один и тот же атом участвует во всех типах дви-
движения сразу, то его траектория движения может быть весьма
сложной. Для линейной цепочки вещественную величину сме-
смещения можно представить в виде [38]
«„ =
V1
=
D.43)
где а„ = YN Аде~шя*; А*, а*—величины, комплексно сопряжен-
сопряженные Aq и а. Как видно из D.43), смещение атома является слож-
сложной функцией времени.
В теории колебаний молекул [85] и кристаллов движение
частиц оказывается удобным представлять в некоторых обоб-
обобщенных координатах, которые называются нормальными.
Нормальные координаты выбираются так, чтобы уравнения
движения, записанные в этих координатах, распадались на
систему независимых уравнений типа
aq + ш2/*д = 0. D.44)
Ускорение частицы в нормальных координатах зависит только
от значения этой же координаты. Следовательно, нормальные
колебания полностью независимы. Если обычная координата
ип дает положение и состояние движения л-го атома, то нор-
нормальная координата вместе с обобщенным импульсом отно-
75
сится'ко всему кристаллу в целом и характеризует колеба-
колебательный процесс в этом кристалле с частотой щ. С помощью
нормальных координат колебания кристаллической решетки
представляются как суперпозиция простых гармонических ко-
колебаний. Это обстоятельство фактически и выражено форму-
формулой D.43). Поэтому aq можно рассматривать как нормальную
координату. Если в кристалле содержится N атомов, то число
нормальных координат будет равно 3N *).
Формально кристаллическая решетка заменяется набором
гармонических осцилляторов, которые можно рассматривать
не только в классической теории, но и в рамках квантовой ме-
механики. Из квантовой механики известно [44, 87, 88], что
энергия гармонического осциллятора может принимать диск-
дискретный ряд значений:
({) D.45)
{-) К
Епч=
где п = 0, 1, 2... — целые положительные числа. В отличие от
классической теории, согласно D.45), минимальная энергия
колебаний решетки не равна нулю, а выражается формулой
= — V.hav
D.46)
Эта так называемая энергия нулевых колебаний. Исследова-
Исследование волновой функции осциллятора при ng = 0 показывает, что
она отлична от нуля в некоторой окрестности точки, соответ-
соответствующей положению равновесия. Следовательно, «заморо-
«заморозить» неподвижно атомы кристалла в решетке невозможно
даже при абсолютном нуле.
Поскольку колебательная энергия решетки может изме-
изменяться только отдельными порциями или квантами, то по ана-
аналогии с частицами света, фотонами, можно ввести понятие
частиц колебательного движения — фононов. Энергия и им-
импульс (точнее квазиимпульс) одного фонона сорта q равны
соответственно ha>q и ftq, где q — волновой вектор плоской
волны с частотой aq.
После этрго воздействие колебаний решетки на движение
электронов в кристалле можно описать как столкновение
частиц — электронов и фононов, или электрон-фононное взаи-
взаимодействие. Ангармонизм колебаний решетки и взаимное
влияние одного типа колебаний на другой (ср. связанные
маятники) на квантовомеханическом языке представляется
*' Более строго число колебательных степеней свободы равно 3N—6, так
как на перемещение кристалла в пространстве и его вращение как целого
приходится 6 степеней свободы.
76
как рассеяние фононов на фононах, или фонон-фононное
взаимодействие. Ангармонизм колебаний атомов необходимо
учитывать при изучении многих процессов и прежде всего
теплопроводности кристаллов. Если бы фононы не рассеива-
рассеивались на фононах, то их скорость была бы равна примерно ско-
скорости звука. Тогда от нагретого участка кристалла тепло пе-
передавалось бы к его холодным частям со скоростью порядка
«105—106 см/сек. Из опыта известно, что распространение
тепла в кристаллах происходит значительно медленнее. Одна
из причин этого — фонон-фононное взаимодействие.
Как будет показано в дальнейшем, фононы играют перво-
первостепенную роль при некоторых механизмах поглощения и
испускания света в полупроводниках.
§ 5. ЭКСИТОНЫ И ПОЛЯРОНЫ
Квазичастицы в твердых телах. Во многих физических процес-
процессах кристалл или его отдельные участки, содержащие боль-
большое число ячеек решетки, участвует как единое целое. Напри-
Например, если твердое тело возбуждается внешним излучением, то
наименьший диаметр пятна сфокусированного света будет по-
порядка длины волны К. Для видимого света X = 0,4—0,8 мкм,
что соответствует ~ 103 постоянных решеток. Поэтому нецеле-
нецелесообразно рассматривать по отдельности движение огромного
количества молекул, атомов, ионов и электронов, входящих в
состав кристалла. В теории твердого тела вместо этих частиц
изучается движение различных квазичастиц: фононов, эксито-
нов, поляронов, магнонов, плазмонов и т. д.
Как было показано в предыдущем параграфе, фононы —
это кванты колебательного движения кристаллической решет-
решетки как единого целого. Каждому фонону соответствует бегу-
ща-я или стоячая волна колебаний. По такому же рецепту
вводятся понятия магнонов и плазмонов [89] — квантов коле-
колебательного движения магнитных моментов и электронной
плазмы в твердом теле.
Строго говоря, электрон в кристалле тоже следует рассмат-
рассматривать как квазичастицу, потому что ему соответствует не-
необычная волна. Достаточно сказать, что его эффективная
масса в твердом теле может быть отрицательной (см. § 2).
Но в отличие от фонона электрон может покинуть кристалл,
и тогда он становится обычной частицей. Другие квазичасти-
иы неразрыно связаны с колебательными процессами в ве-
веществе, и их существование вне кристалла невозможно.
Если кристалл возбуждать светом с энергией квантов
большей, чем ширина запрещенной зоны Eg, то электроны из
валентной зоны будут переходить в зону проводимости.
77
Об этом можно судить по появлению фотопроводимости. Опы-
Опыты показывают, что кристалл может поглощать кванты света
и с энергией, меньшей Eg. Проводимость при этом не увеличи-
увеличивается, и возникает вопрос, куда расходуется энергия погло-
поглощенного электромагнитного поля. Кристаллическая решетка
непосредственно воспринять эту энергию не может, так как
энергия фотонов на 2—3 порядка больше, чем энергия фоно-
нов. В гармоническом осцилляторе осуществляются переходы
только между соседними уровнями [87]. Для ангармоническо-
ангармонического осциллятора переход с первого, например, на сотый уро-
уровень тоже маловероятен.
Рассматривая этот вопрос, Я. И. Френкель [90] в 1931 г.
предложил исторически первую модель экситона — локализо-
локализованного бестокового возбуждения кристалла. Он рассматри-
рассматривал молекулярные кристаллы, в которых силы взаимодействия
между атомами одной молекулы значительно сильнее, чем
силы взаимодействия молекул между собой. В таких кристал-
кристаллах молекулы в значительной степени сохраняют свою инди-
индивидуальность.
Экситон, по Френкелю, можно представить как возбужден-
возбужденное состояние одной молекулы кристалла, способное скачком
перейти к другой молекуле и таким образом мигрировать по
всему кристаллу. В экситоне Френкеля электрон и дырка
всегда локализованы в одном узле решетки, поэтому он назы-
называется экситоном малого радиуса.
Идея о существовании экситонов в кристаллах оказалась
исключительно плодотворной. Она открыла новые возможно-
возможности для понимания и правильной интерпретации оптических,
фотоэлектрических и других явлений в кристалле, которые
нельзя было объяснить на основании зонной теории. Теорети-
Теоретические и экспериментальные работы по экситонам получили
особенно большой размах после того, как в 1951 г. Е. Ф. Гросс
и Н. А. Карыев [91, 92] на опыте доказали существование
экситонов в кристаллах закиси меди Си2О. Многочисленные
исследования по экситонам хорошо отражены в обзорах и
монографиях [75, 93—101]. С появлением лазеров стало воз-
возможным создавать такие высокие концентрации экситонов в
полупроводниках, при которых образуются экситонные кон-
конденсаты [102].
За время, прошедшее после опубликования работы Я. И.
Френкеля [90], предложено несколько моделей экситона, кото-
которые используются при интерпретации многих эксперименталь-
экспериментальных данных, относящихся к кристаллам с различным типом хи-
химических связей. В полупроводниковых кристаллах наиболь-
наибольшее распространение получила модель экситонов Ванье—Мот-
Та, или экситонов большого радиуса. Как уже отмечалось, эту
модель можно представить как водородоподобный атом, со-
78
стоящий из положительно заряженной дырки и связанного с
ней электрона. Между электроном и дыркой существуют силы
кулоновского взаимодействия. Обе частицы вращаются вокруг
общего центра тяжести и одновременно перемещаются по кри-
кристаллу. В отличие от экситона Френкеля среднее расстояние
между электроном и дыркой в экситоне Ванье — Мотта в не-
несколько раз превышает величину постоянной решетки.
Если в кристалле имеются свободные электроны и дырки,
то экситоны образуются путем связывания носителей разных
знаков. Электрон и дырка теряют при этом часть своей кине-
кинетической энергии. Если в полупроводнике свободных носите-
носителей нет, то для образования экситонов необходимо затратить
некоторую энергию, обычно меньшую, чем Eg. Экситоны могут
образовываться и с участием зарядов примесных атомов, ло-
локализованных в определенных точках кристалла. Такие экси-
экситоны называются связанными, потому что они при значитель-
значительном расстоянии между примесными центрами не могут пере-
перемещаться по кристаллу. Однако если концентрация примеси
такова, что расстояние между атомами примеси меньше радиу-
радиуса экситона, то перескок экситона с одного примесного центра
на другой становится возможным.
В отличие от атома водорода экситоны могут исчезать или
аннигилировать. В этом они похожи на позитроний—водородо-
позитроний—водородоподобный атом, состоящий из позитрона и электрона. Он был
теоретически предсказан в 1934 г. и экспериментально обна-
обнаружен в 1951 г. Аннигиляция экситона происходит различны-
различными путями. Он может диссоциировать на свободные электрон
и дырку, которые участвуют в фотопроводимости. Энергия
экситона может быть передана дефектам и примесям в ре-
решетке, стать источником различных элементарных возбужде-
возбуждений кристалла или испуститься в виде кванта электромагнит-
электромагнитного поля.
Участие экситонов в поглощении света, рекомбинационном
испускании, нелинейных оптических явлениях и генерации
света в полупроводниках будет рассмотрено в соответствую-
соответствующих параграфах. Здесь мы обсудим только вопрос об энерге-
энергетическом спектре экситонов Ванье — Мотта.
Трансляционное и внутреннее движение экситонов большо-
большого радиуса. Если электрон и дырка находятся на расстоянии,
значительно превышающем величину постоянной решетки, то
приближенно можно считать, что между ними действует сила
кулоновского притяжения, ослабленная в е раз, где е — ди-
диэлектрическая постоянная кристалла. Смещение тяжелых
ядер и поляризацию кристалла, вызванную движением элект-
электрических зарядов в первом приближении, можно не учитывать.
Обозначая радиусы-векторы электрона и дырки через ги и
гр, а их скалярные эффективные массы через тп и тр, урав-
79
пение* Шредингера для'такой системы можно представить в
виде [38]
E.1)
Здесь у2 и ^2 — операторы Лапласа в координатах электрона и
дырки. Чтобы исследовать движение экситона как целого и внут-
внутреннее движение электрона относительно дырки, уравнение Шре-
дингера необходимо переписать в новых координатах.
Положение электрона и дырки в пространстве будет одно-
однозначно определено, если задать радиус-вектор их центра тя-
тяжести [103]
тргр
тптп
mprp
mn+mp M
и положение электрона относительно дырки
Р = гп — гр.
E.3)
где М=тп+тр.
Обозначая проекции векторов rn, rp, R и р на оси х, у, г
через rni, rpi, Rt и р; и учитывая E.2) и E.3), находим
di|j di|j 5/? , Eг|з (Эр{ mn d\h d\h \
dR,
drni
dp, dr
ni
М
пгт
R
-_2 mp
м а/?; ар.
-+ —r-j- ,
dp,-
M J dRi M
Вводя приведенную массу экситона
др?
E.4)
с помощью E.4) из E.1) получим
Г fh2 2 h2 2 ег
I 2М R 2|л р хр
E.5)
p), E.6)
где V/j и Vp — операторы Лапласа в новых переменных.
Будем искать волновую функцию в виде произведения двух
функций
/|i<p), E.7)
80
одна из которых зависит только от радиуса вектора центра
тяжести экситона, а вторая — от положения электрона отно-
относительно дырки.
Если подставить E.7) в уравнение E.6), а затем разделить
его на \|)(R)cp(p), то получим уравнение
1
Ф(р) I 2|i
—
ер
=?', E.8)
первое слагаемое которого зависит от R, а второе — от р. По-
Поскольку R и р независимые переменные, а Е = const, то E.8)
будет выполняться только в том случае, если оба слагаемых по
отдельности будут равны постоянным величинам
= 0, E-9)
V
ер
i (р) = — ?ф (р),
E.10)
где k* = 2MW/h\ W+E=E'.
Уравнению E.8) удовлетворяет функция ^(R) = Аеш. А вре-
временному уравнению Шредингера, соответствующему E.9), будет
удовлетворять функция плоской волны [44]
(R, t) =
E.11)
Следовательно, трансляционное движение экситона как нейт-
нейтральной квазичастицы в кристалле описывается плоской вол-
волной. В этом он похож на другие квазичастицы: фононы,
плазмоны, магноны.
Энергия свободного движения экситона равна
W =
2М
2М
E.12)
Здесь p—bk — величина импульса движения центра тяжести. На
волновой вектор k не накладывается никаких ограничений, кроме
тех, которые вытекают из условия периодичности Борна — Кар-
Кармана для функции г|з (R, t) = ч|з (R-f-iVa, t) (см. §2, 4). Это озна-
означает, что энергия движения экситона как целого принимает прак-
практически непрерывный ряд значений.
Уравнение E.10) совпадает с уравнением Шредингера для
водородоподобных атомов, если |л считать приведенной массой
электрона, а е/\^е — эффективным зарядом ядра. Это уравнение
имеет решение для дискретного набора значений энергии [44]:
6. Зак. 312
81
це*
где п — целое число;
гюг
mzr
E.13)
• 13,6 эв E.14)
— величина, имеющая физический смысл постоянной Ридберга
R = me*/2ha = 13,6 эв и численно совпадающая с ней при е = 1
и fi=m; m—масса электрона в вакууме.
Если в формуле E.13) заменить эффективную массу экситона
на эффективную массу электрона, то она совпадает с выражением.
B.50), определяющим положение неглубокого донорного уровня.
При изменении п от 1 до оо значения Еп возрастает от — Е?
до 0. При больших энергиях экситон существовать не может и
диссоциирует на свободный электрон и дырку. Поэтому Еэ мож-
можно рассматривать как энергию ионизации или связывания экси-
экситона.
Складывая E.12) и E.13), получим полную энергию экситона
E.15)
-»--« /га ' 2М •
Хотя экситон как система двух частиц не укладывается в
рамки одноэлектронной зонной теории (§ 2), условно его-
энергетический спектр можно совместить с диаграммой зон
для одного электрона. При этом пренебрегая вторым слагае-
слагаемым в E. 14), основной уровень экситона изображают под
дном зоны проводимости на глубине ?э° (рис. 18).
Поскольку экситоны перемещаются по кристаллу и имеет-
имеется статистический разброс скоростей, то их уровни энергии
нельзя считать резкими. Каждый уровень обладает конечной
шириной тем большей, чем выше температура кристалла. Это
проявляется в температурной зависимости ширины полос по-
поглощения и люминесценции экситонов (§ 7). Однако при
образовании экситонов в результате поглощения света в пря-
мозонных полупроводниках им-
импульс движения центра тяже-
тяжести экситона может быть весь-
весьма малым и равным импульсу
кванта света
/ е
77777777777777W7777777777777777 *¦ \
Рис. 18. Энергетический спектр экси-
экситона
82
Согласно зонной теории твердого тела, в чистых кристал-
кристаллах в запрещенной зоне не должно быть никаких уровней. По-
Поэтому изображение экситонных уровней противоречит зонной
теории. Это не означает, что полученный энергетический
спектр экситона ошибочен, как раз наоборот. Теория двух
частиц при их движении в кристалле — это приближение к
действительности более высокого порядка, чем зонная теория,
в которой фигурирует только один электрон, движущийся в
самосогласованном поле.
В полуклассической теории Бора атом водорода в невоз-
невозбужденном состоянии характеризуется радиусом Бора
гв =
те1
= 0,53А.
E.16)
Аналогично можно ввести радиус экситона в самом низком
состоянии с энергией Ех:
h2
-^| еА.
E.17)
Для fi = 0,5m и е=10 из E.17) следует гэ=10,6 А=10-7 см.
При концентрации экситонов 1020—1021 см.-3 они будут зани-
занимать весь объем кристалла. Рассмотрение экситонов как сво-
свободно перемещающихся по кристаллу квазичастиц при боль-
больших концентрациях становится невозможным.
В сильно легированных полупроводниках, где электронная
плазма экранирует взаимодействие зарядов, экситоны, как
правило, не образуются.
Поляроны. В 1946 г. С. И. Пекар высказал идею о сущест-
существовании в кристаллах еще одной квазичастицы, которую он
назвал поляроном и подробно исследовал в серии своих
работ [75].
В зонной теории предполагается, что движение электронов
в кристалле и колебания атомов решетки происходят либо не-
независимо (нулевое приближение), либо оператор электрон-
фононного взаимодействия можно рассматривать в уравнении
Шредингера как малое возмущение. Представление о поляро-
не связано с отказом от этих предположений. Свободный
электрон в кристалле должен вызывать электрическую поля-
поляризацию окружающей его среды. Он смещает электроны из
положения равновесия, около которых колеблются атомы.
Электронная составляющая поляризации безынерционна.
Электроны в решетке смещаются со скоростью оптических ко-
колебаний. При такой, поляризации диэлектрическая постоянная
е близка к квадрату показателя преломления п2 i[l, 75]. Сме-
Смещение атомов, поворот молекул или переориентация диполь-
6* 83
ных мЪментов целых областей (доменов) происходит значи-
значительно медленнее. Потенциальная энергия электрона в поля-
поляризованной среде меньше, чем в неполяризованном кристалле.
В небольшой окрестности, где находится электрон, образуется
потенциальная яма, расположенная ниже дна зоны проводи-
проводимости. При движении электрона поляризуются все новые и
новые участки кристалла, тогда как оставленные им участки
возвращаются в первоначальное состояние. Электрон как бы
увлекает за собой поляризованную среду. Поэтому полярон
можно определить как электрон, движущийся в окружении
поляризованной им среды. Заряд полярона равен заряду
электрона, а эффективная масса тп может быть во много раз
больше массы свободного электрона.
Для формирования полярона не требуется никакой добавочной
энергии, поскольку энергия его основного состояния Е„, так же
как и энергия невозбужденного экситона, меньше, чем дно зоны
проводимости. Значение ?° выражается приближенной формулой
[75]
' Hb\(-L _J_ )Эв. E.18)
т }\пг г )
Поляроны возникают в основном в полярных кристаллах, хими-
химическая связь которых носит полностью или частично ионный ха-
характер. Поляроны интенсивно изучаются в щелочно-галоидных
кристаллах [104]. Для большинства таких веществ Еа = 0,5 —
1 эв.
Подвижность поляронов может быть сравнима с подвиж-
подвижностью электронов, а их концентрация па во много раз боль-
больше концентрации электронов:
Глава II
тп
о1Е°„\/кТ
E.19)
Для щелочно-галоидных кристаллов отношение E.19) при
комнатной температуре по порядку величины равно 106. Сле-
Следовательно, решающую роль в электропроводности таких кри-
кристаллов играют поляроны.
ОСНОВНЫЕ МЕХАНИЗМЫ
ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ СВЕТА
С ПОЛУПРОВОДНИКАМИ
Вводные замечания. Если на полупроводниковую пластину на-
направить пучок света, то некоторая его часть (~30%) отразит-
отразится от передней грани, какая-то доля света пройдет всю пла-
пластину и выйдет из ее задней грани, а остальной свет либо рас-
рассеется, либо поглотится в материале. Энергия поглощенного
света трансформируется в полупроводнике в другие виды
энергии: тепло, люминесценцию, электрический ток и т. д. Ха-
Характер взаимодействия света с полупроводниками определя-
определяется как свойствами света — его спектральным составом, поля-
поляризацией, интенсивностью, степенью когерентности и направле-
направлением распространения,— так и свойствами полупроводника и
в первую очередь его зонной структурой. Значительное, иногда
решающее, влияние на процессы поглощения и испускания све-
света в полупроводниках оказывают внешние условия: темпера-
температура, механическое давление, электрическое и магнитное поля.
Если энергия квантов возбуждающего света hco больше
ширины запрещенной зоны Eg, то возникнут межзонные опти-
оптические переходы. Электроны из валентной зоны будут забра-
забрасываться в зону проводимости. Одновременно начнется и об-
обратный процесс неоптической или оптической рекомбинации
электронов и дырок.
Кванты света со значением псо, близким, но меньшим Eg,
могут создавать экситоны, вызывать переходы зоны — при-
примесь, межпримесные и внутрипримесные переходы.
Для света с hco, значительно меньшим Es, все чистые полу-
полупроводники практически прозрачны. Например, монокристал-
монокристаллические пластинки теллурида цинка и карбида кремния по
внешнему виду напоминают светло-красный и желтый стек-
стеклянные фильтры. Арсенид галлия, кремний, германий про-
прозрачны только в инфракрасной области и их отполированные
пластинки больше похожи на металл, чем на стекло.
Однако нет такой длины волны, которую бы полупроводник
в принципе не мог поглощать. Свет с fiaxzEg вызывает внутри-
зснные переходы электронов в зоне проводимости и дырок в
валентной зоне. Коэффициент поглощения свободными носи-
носителями быстро возрастает с увеличением К. В далекой инфра-
85
краснйй области на фоне поглощения свободными носителями
имеются полосы поглощения кристаллической решетки и по-
поглощения, связанного с ионизацией примесей.
Но даже в той области спектра, где в рамках линейной
оптики полупроводник можно считать практически прозрач-
прозрачным, возникает многофотонное поглощение при больших ин-
тенсивностях возбуждения. Каждому процессу поглощения
света соответствуют обратные процессы, возвращающие ве-
вещество в состояние термодинамического равновесия и часто
сопровождающиеся испусканием новых квантов света.
Изложение всех современных сведений даже по какому-
либо одному механизму взаимодействия света с полупровод-
полупроводниками представляет весьма сложную задачу, поскольку лю-
любой механизм в каждом конкретном кристалле проявляется со
многими специфическими деталями и особенностями. Поэтому
в настоящей главе дается классификация основных механиз-
механизмов поглощения и испускания света в полупроводниках и вы-
выясняются общие закономерности в рамках квантовой механи-
механики и линейной оптики. Экспериментальные результаты при-
приводятся только в качестве иллюстрации для выводов теории
и в тех случаях, когда теория отсутствует, а на опыте установ-
установлены достаточно общие закономерности. Многочисленные
экспериментальные результаты читатель может встретить в
обзорных и оригинальных работах, ссылки на которые при-
приведены в тексте. Нелинейные оптические явления рассматри-
рассматриваются в следующей главе.
Хотя кристаллофосфоры (ZnS—Си, Zn2Si04—Mn) отно-
относятся к широкозонным полупроводникам, по традиции их изу-
изучение ведется несколько обособленно от типичных полупровод-
полупроводников (с Eg<3 эв). Поэтому свечение кристаллофосфоров в
книге не рассматривается.
§ 6. ОПТИЧЕСКИЕ ПЕРЕХОДЫ ЗОНА — ЗОНА
Скорости стимулированных и спонтанных переходов.. В рам-
рамках квантовой механики поглощение и испускание света ха-
характеризуется оператором взаимодействия [44, 87]
0". 1) = - —
тс
где
р = _ th еж — + е —- + ez —-
1 дх ду дг
2тсг
д
F.1)
—оператор импульса; А—вектор-потенциал электромагнитной
волны; —е, т — заряд и мдсса электрона; с — скорость света;
86
е; — единичные векторы вдоль осей х, у, z; V — оператор наб-
ла. Второе слагаемое в F.1) на несколько порядков меньше
первого, и его необходимо учитывать только при рассмотрении
многофотонных процессов. Поглощение света и рекомбинаци-
онное испускание можно описывать оператором
VB3(r, /) = _
тс
(рА) = ihAV.
F.2)
Пусть на кристалл падает плоская монохроматическая волна
? = ?osin(ftrf— иг), F.3)
с амплитудой <Г0, частотой со и волновым вектором и = 2jt n
К
причем п =и/х —единичный вектор в направлении распростра-
распространения волны, А, —длина волны, г — радиус-вектор. Учитывая
связь между напряженностью электрического поля волны ~g и А
легко убедиться, что волне F.3) соответствует вектор-потенциал
а с ~% ' , 1 ¦* с •* •* *
А = — S0 COS (СОГ —иг) = § ig—i<ut+iKr\ giat—fxn /g g\
© 2co
Подставляя F.5) в F.2), получаем
V (r, t) = V (г) е~ш — V* (г) еш, F 6)
где ~
!oe^v. F.7)
Если электрон в начальный момент времени t = 0 находит-
находится в состоянии, описываемом волновой функцией \\>k', то ве-
вероятность обнаружить его в состоянии tyk через промежуток
времени t равна
I Lkk' Г =
h2(cofeft—соJ
I л« I *
F.8)
Здесь Vkk—матричный элемент оператора взаимодействия F.7)
и для определенности предполагается, что энергия 6-го состояния
k
Так как, согласно определению, б-функция равна
•« ^ i=
87
то при1 достаточно больших t вместо F.8) имеем
ICfcft' Г = -—t\Vki
п
F.10)
Вводя единичный вектор поляризации ех =<?0/<?'0 и учитывая, что
плотность энергии волны
g
Ы2П2
Им?
F.11)
матричный элемент оператора взаимодействия можно представить
в виде
Vkk. [2 =
F.12)
где n — показатель преломления; N — общее число квантов света
заданной плоской волны (моды); V — объем.
Число переходов электрона из начального в конечное состоя-
состояние за единицу времени равно производной от | Ckk-12 по време-
времени. Чтобы определить скорость всех переходов, индуцируемых
электромагнитной волной, необходимо просуммировать \Ckk'f
dt
по всем начальным и конечным состояниям, разность энергий
которых равна Eh — Ek- = hco. Если, кроме того, возбуждающий
свет состоит не из одной монохроматической волны, а содержит
q мод
ПД° F.13)
то скорость индуцированных переходов гянд в единице объема
кристалла за 1 сек будет равна
F.14)
4пе2?ЛГ (?) d?
Здесь введено обозначение
IMkk> |2 = I<tfk\ thехр(Ыг)(ёхуI1>ft>Г-
F.15)
При выводе F.14) предполагалось, что все состояния с энер-
энергией Ek свободны. Если сделать обратное предположение, то
для скорости переходов k->k' получится точно такое же выражение
6.14), как и для переходов k'-йс. В случае, когда верхние и ниж -
ние электронные состояния имеют конечные значения вероятностей
заполнения fe(Eh) и fe(Ek'), скорость переходов между каждой
парой состояний необходимо умножить на величину
fe(Ek')[\-fe(Ek)]-fe(Eh)n-fe(Ek')l =fe(Ek')-f(Eh).
Разность 1 —fe(Eh) равна вероятности того, что данное со-
состояние к не занято электроном, или занято дыркой. Посколь-
Поскольку электроны в кристалле подчинятся статистике Ферми —
Дирака, то возможны переходы электронов только в свобод-
свободные состояния. Если состояние k занято, то 1—fe(Eh)~O и
переход k'-Ис невозможен. Поэтому первое слагаемое в послед-
последнем выражении относится к переходам k'-Ис, а второе харак-'
теризует скорость обратных переходов к-Ис'.
Таким образом, скорость переходов с поглощением света с
учетом вынужденного испускания дается формулой [105, 106]
'ИНД1
где опущена б-функция, выражающая закон сохранения
энергии.
В квантовой электродинамике [43, 87] скорость переходов
с верхних в нижние состояния пропорциональна (N (Е)-\-1),
причем первое слагаемое относится к индуцированным пере-
переходам, а единицей учитывается взаимодействие системы с ну-
нулевыми электромагнитными полями, приводящее к спонтан-
спонтанным переходам. Поэтому, если умножить F.14) на произве-
произведение fe(Eh)[l—fe(Ek')] и положить Л^(?') = 1, то получится
выражение для скорости спонтанных переходов гсп.
Однако величину гСп легко рассчитать с помощью принци-
принципа детального равновесия и не прибегая к квантовой теории
излучения.
В условиях термодинамического равновесия скорость спон-
.танных переходов между всеми парами уровней равна скоро-
скорости поглощения планковской радиации, для которой
1
Следовательно,
eE/kT _
F.17)
F.18)
Здесь учтено, что E=Eh—Ek>
ехр
Eh-Ek.
kT
— 1
= f.(Eh)H-f,{Ek.)], F.19)
так как при термодинамическом равновесии вероятности за-
заполнения уровней определяются функциями Ферми — Дирака
C.3).
Формулы F.16) и F.18) могут служить основой для реше-
решения широкого круга задач, связанных с взаимодействием
света с кристаллами. В двух частных случаях легко провести
суммирование no k и к' и получить простые выражения для
/"инд (Е) И /"en (Е).
Во-первых, если под действием света в системе возможны
только такие оптические переходы, при которых сохраняется им-
импульс, т. е. в приведенной зоне Бриллюэна к = к', тогда мат-
матричный элемент будет содержать б-функцию б (к—к'). Суммиро-
Суммирование по к исчезнет, а суммирование по к' будет равносильно
умножению на приведенную плотность состояний g(E) (см.
B.21)). Следовательно, скорости поглощения света и спонтан-
спонтанной рекомбинации будут равны:
(Е) | М
'ИНД '
¦g(E)lfe(E')-fe{E*)l F.20)
I M I
где Е* относится к верхним состояниям системы, а Е' — энер-
энергия нижних состояний Е'=Е*—Е.
Во-вторых, если правило отбора по волновому вектору не
' выполняется и, кроме того, матричный элемент |Л^'|2 одина-
одинаков для всех значений к и к', то из F.16) и F.18) получим
[106]:
'инд (Е) = BN (E) Г g (?*) g (E* - Е) [fe (E* -Е)~
Е*
-fe{E*)]dE*, F.22)
'сп (Я) = -В J ff (E*) S (Е* - Е) fe (Е*) [ 1 - U {E*- E)] dE*. F.23)
Е*
Здесь g(E*) и g(E*—Е)—плотности состояний системы,
S = const. Все промежуточные случаи более сложны, и для их
рассмотрения требуется задание конкретной модели ве-
вещества.
•90
Край полосы собственного поглощения. Характерная осо-
особенность полупроводников — резкое возрастание коэффици-
коэффициента поглощения в малом спектральном интервале. Чистые
полупроводники более или менее прозрачны для фотонов,
энергия которых меньше ширины запрещенной зоны. Напри-
Например, в германии коэффициент поглощения /с в этой области
может быть меньше 0,1 слН. Однако когда энергия фотонов
приближается к ширине запрещенной зоны, значения /с быст-
быстро возрастают до 104—105 см-1 в интервале энергий порядка
0,1 эв. При больших энергиях полупроводники характеризу-
характеризуются, по существу, металлическим поглощением. Участок рез-
резкого возрастания к называется краем полосы собственного
поглощения. Это поглощение связано с индуцированными пе-
переходами электронов из валентной зоны в зону проводимости.
Детальное изучение края собственного поглощения дает
сведения о ширине запрещенной зоны, электронных состоя-
состояниях дна зоны проводимости и потолка валентной зоны, а так-
также о характере и величине вероятностей оптических переходов.
Эти сведения представляют особую ценность, поскольку имен-
именно состояния, непосредственно примыкающие к запрещенной
зоне, определяют большинство оптических и электрических
характеристик полупроводников, в том числе и лазерных па-
параметров.
Различают два типа межзонных оптических переходов:
прямые и непрямые. Прямой переход совершается либо спон-
спонтанно, либо под действием электромагнитного поля. Импульс
электрона при этом остается практически неизменным. В слу-
случае непрямого перехода импульс электрона изменяется.
Электрон взаимодействует не только с фотонами, но и с де-
дефектами решетки (фононами, примесными атомами, дислока-
дислокациями и др.).
Хотя вероятности непрямых переходов, как правило, на 2—
3 порядка меньше вероятностей прямых переходов, удельный
вес этих процессов в сильной степени зависит от строения
энергетических зон. При этом следует отдельно рассматривать
два возможных варианта: а) минимум зоны проводимости и
максимум валентной зоны находятся в одной точке зоны Брил-
люзна, т. е. kmin = k'max, б) указанные экстремумы расположе-
расположены в различных точках зоны Бриллюэна кщт^к'шах (рис. 19).
Рассмотрим вначале первый случай. Учитывая, что произве-
произведение гинд1«о равно мощности поглощения Wnori[(?), для коэф-
коэффициента поглощения находим [87]
vju (E)
vgu(E)
F.24)
91
л
Рис. 19. Прямые и непрямые оптические переходы в полупроводниках
где и (Е) = р (Е) N (Е) hco/V — плотность лучистой энергии в еди-
единице объема*'; ?=hco.
Так как электронные состояния в валентной зоне и зоне
проводимости описываются функциями Блоха B.37), то мат-
матричный элемент F.15) в дипольном приближении можно пред-
представить в виде [107]
k'+Z), F.25)
причем| ~pvt\2 --=•¦= | < uv (г) | thy | ис (г) > |2.
В выражение F.25) введена б-функция, поскольку при всех зна-
значениях к — к' -j- х, существенно отличных от нуля, exp[t(k —
— к' -|- v) г] будет знакопеременной функцией, а | Мое |2 = 0. Вол-
Волновые векторы электронов по порядку величины равны постоян-
постоянной обратной решетки и значительно превосходят и=2лД. По-
Поэтому б (к—к'+и) можно заменить на б (к —к'). Следовательно,
при прямых оптических переходах импульс электрона остается
неизменным.
Если предположить для простоты, что экстремальные точ-
точки зон характеризуются изотропными эффективными массами
тс и mv, причем кт1п=к'тах=О, тогда зависимость энергии от
полнового вектора будет выражаться формулами:
Ес (k) =
Ev(k)=Evo--
2mc
= Ел H r- (hco — E),
. mc
F.26)
*> Формула F.24) может быть получена также, если исходить из диффе-
дифференциального закона Бугера, согласно которому
Ш) = -к(Е)М(Е) или ЖЁ1^-уёк(Е)ЩЕ) (*),
ах at
поскольку dx—Vgdt. Действительно, умножая (*) на р(Е) и приравни-
приравнивая полученное произведение величине гяяя(Е) J/, приходим к F.24).
92
Здесь Ес0 и Ev0 — дно зоны проводимости и потолок валентной
зоны соответственно, Eg=Ec0 — Ет — ширина запрещенной зоны,
Ес (k) — Ev (k) — hco, mr — mc tnv (mc + m^)—приведенная масса,
2mr \l'2
F.27)
C помощью F.26) на основании B.20) находим приведенную
плотность состояний в расчете на единицу объема:
k2 ( dE
2я2
\ dk
2mr \3/2
h2
mr
(hco —
\k\ =
F.28)
Как уже отмечалось, при выполнении правил отбора по вол-
волновому вектору гинд дается выражением F.20). Подставляя туда
значение g{E) из F.28), полагая fe(Ev) = 1, fe(Ec) = 0 и исполь-
используя F.24), приходим к следующей формуле для коэффициента
поглощения при прямых переходах
Ол.2 / От \3/2
к (о)) = —_ ( ^_) | еиРм |2 (ht0 _ Е )i/2_ F_29)
В общем случае рст зависит от частоты со. Поэтому чтобы
найти форму края полосы поглощения, необходимо эту зависи-
зависимость выразить в явном виде. С этой целью разложим матрич-
матричный элемент ехрсо в ряд по степеням к около точки к = 0:
ехрст = екрсо @) f k — е„р„, + • • •
L дк Jk=0
и будем подставлять в F.29) только первый не равный нулю
член ряда. При этом может оказаться, что либо ехрст @) ^ 0,
либо ej>cv @) — 0. В первом случае переходы называются разре-
разрешенными, во втором — запрещенными. Отсюда с учетом F.27)
находим коэффициенты поглощения для разрешенных /ср (со) и за-
запрещенных переходов /с3(со) [107, 108]:
h2
@) I2 (hco -
F.30)
«з П -
2е2
2mr
дк
(Ьсо — Я-р. F.31)
4=0
Как легко видеть, частотные зависимости кр (со) и к3 (со) су-
существенно различны и это полностью определяется симметрией
волновых функций ис (к) и ив(к) в точке к = 0.
93
Если максимум энергии валентной зоны смещен в к-прост-
ранстве относительно минимума зоны проводимости, то в та-
такой системе тоже возможны прямые переходы, так же как
возможны непрямые переходы в системах с ктт=к'тах- Од-
Однако в случае ктш^к'шах прямые переходы уже не будут
определять границу полосы поглощения. Квантовомеханиче-
ская теория поглощения с участием непрямых переходов раз-
развита в работах [108, 109]. Здесь мы ограничимся качествен-
качественным рассмотрением вопроса. Дополнительные сведения мож-
можно найти в [107, ПО, 111].
Оператор взаимодействия электронов с дефектами решет-
решетки можно рассматривать как оператор возмущения Vd- Тогда
в рамках теории возмущения вероятность перехода электрона
из одного состояния в другое будет определяться двумя опера-
операторами возмущения Vd и V(r).
При вычислении матричных элементов операторов возму-
возмущения используются волновые функции, описывающие исход-
исходное и конечное состояния электронов и дефектов решетки, на-
например фононов.
Закон сохранения энергии при непрямых переходах при-
принимает вид
hco = Ес -Ev ± Eq = Eg + E'C+ E'v±Eq,
F.32)
где Eq — энергия фонона; ЕС=ЕС— Ес0, EV=EVO—Ev—энергии,
отсчитываемые соответственно от дна зоны проводимости и по-
потолка валентной зоны. Верхний знак в F.32) соответствует
испусканию фонона, нижний — поглощению.
Минимальная частота света, который может поглощаться,
определяется условием hco = Е„ — Eq. При заданном значении hco
энергия Е'с изменяется от 0 до Естах = hco — Eg + Eq. Так как
плотности состояний в зонах равны gc (Ес) = ас V Ес, gv (Ev) =
= а,УЩ, = Ы Ь© — Е g ± Eq- E'c = av V Е'стах — Е\, то число
разрешенных пар переходов в спектральном интервале dco будет
выражаться интегралом
Е max
N (со) d<» = acavh [(Естах - Е'е) Ёс}^ йЁс =
8
naca h
5
-Eg
Eqf
Таким образом, коэффициент поглощения для непрямых пере-
переходов с поглощением фонона будет пропорционален (hco — Е -\-
94
Eqf. Кроме того, он должен быть пропорциональным числу
самих фононов*) с энергией Е
которое равно:
1
eV*r_l
F.33)
Учитывая далее, что вероятности переходов с поглощением
фонона относятся к вероятности перехода с испусканием фо-
фонона как Nq/(l-\-Nq), коэффициент поглощения можно пред-
представить в виде
А'
ехр
kT
— 1
1— ехр(—Е JkT)
. F.34)
Последняя формула справедлива для hco^?'g+?'g. Если Eg—
—?g<;hco< Eg -[- Eq, то второе слагаемое в F.34) следует опус-
опустить. Для hco < Eg — Eq, к (со) = 0. При наличии различных
типов колебаний (акустические и оптические продольные и попе-
поперечные ветви) коэффициент поглощения будет определяться сум-
суммой слагаемых типа F.34). Для непрямых разрешенных и запре-
запрещенных переходов в [108] получено:
/cp(co)~(hco-?/,
/c3(co)~(hco-?/.
F.35)
F.36)
На опыте коэффициент поглощения даже чистых полупро-
полупроводников не равен нулю на границе, соответствующей ширине
запрещенной зоны, а монотонно уменьшается. Причины этого
явления будут рассмотрены в § 8.
Скорость суммарной спонтанной рекомбинации. Если из-
известна скорость рекомбинации в расчете на единичный интер-
интервал энергии испускаемых фотонов гсп(Е), то суммарная ско-
скорость спонтанной рекомбинации будет выражаться интег-
интегралом
*AE)dE. F.37)
Рассмотрим несколько частных случаев, когда интеграл
F.37) может быть выражен через концентрации электронов
и дырок. Пусть правило отбора по волновому вектору при оп-
оптических переходах не выполняется, а матричный элемент для
*) Фоионы так же, как и фотоны, будучи бозонами, подчиняются статисти-
статистике Бозе—Эйнштейна.
95
всех переходов одинаков. Тогда подставляя F.23) в F.37),
будем иметь
=BJ dE J gc(E'c)gv(E-Eg-Ec)fe(Ec)
X
E=E
¦g E=O
Xll—fe{E — Ee — E'c)] dE'c, F.38)
где Е — Eg — E'c = Ev\ В—константа рекомбинации. Переходя от
интегрирования по ? к интегрированию по Ео, получим
ОО оо
«сп =" В f ge (Е'с) fe (E'c) dE'c f g0 (E'o) [ 1 - /e (E'v)] dE'o = Bnp.
E =0
с
E =0
v
F.39)
Здесь n — концентрация электронов в зоне проводимости; р —
концентрация дырок в валентной зоне, определяемые формулами
C.9) и C.10). Интегрирование по Е'а начинается от точки ?„=0,
поскольку переходы в состояния с E'o=Evo — Ev <0 отсутствуют
(запрещенная зона).
Предположим теперь, что правило отбора по волновому век-
вектору строго соблюдается, а вырождение носителей в зоне про-
проводимости и валентной зоне отсутствует. Следовательно,
Гсп(Е) дается формулой F.21), в которой функции Ферми —
Дирака можно заменить экспонентами
fe(Ec) =ехр (^=^) , '1-М?) = ехр (^^~
Здесь введены обозначения: F'c = Fc — Ес0; F'o = Ev0 — Fv.
Интеграл по энергии сводится к Г-функциям от 3/2 и 5/2,
равным Г C/2) = Ул/2, Г E/2) = 3]/jT/4:
R —
2ш21 М |2 ( 2mr \
я2т2Ь2с3
XdE =Г-
kT
kT
X
2mrkT
3kT \
1 "I- -sir- X
Хехр(п^)"=в^
где
21M |2
В =
8ne21M
m2h2c3 l(mc+mv)kT
3/2
3kT
F.40)
. F.41)
96
Если электроны в зоне проводимости невырождены, так что
fе (^с) = exp (Fc — Ес), и для всех частот ш нижние состояния в
валентной зоне при прямых переходах свободны fe (Ev) = 0, то
интегрирование F.21) по Е = hw с учетом C.9), F.25) и F.27)
Дает
Я,.
= F
2ne21M
2тг
Хе
dE =
2ne2|M|2
X
f
,_ 8пе2[М|2
X
X
mr
F.42)
Хотя предположения, сделанные при выводе F.39), F.40) и
F.42), выполняются не строго, эти формулы широко исполь-
используются для приближенных оценок суммарной скорости реком-
рекомбинации.
§ 7. ЛЮМИНЕСЦЕНЦИЯ
Определение люминесценции Вавилова — Видемана. Люми-
Люминесценция, известная человеку с незапамятных времен как
холодное свечение гниющего дерева, насекомых, водорослей,
болотного газа, систематически исследуется с середины прош-
прошлого века. В 1852 г. Дж. Стоке сформулировал исторически
первый закон люминесценции (правило Стокса), согласно ко-
которому длина волны люминесценции больше длины волны
возбуждающего света. В это же время Э. Беккерель положил
начало экспериментальному изучению спектра, эффективности
и длительности холодного свечения. Термин «люминесценция»
введен в литературу в 1889 г. Е. Видеманом, который дал
первое, хотя и не совсем точное, определение этого свечения
как превышения над фоном теплового испускания.
Определение Е. Видемана отражало важнейшее свойство
люминесценции, но оно было слишком широко и охватывало
все виды неравновесного свечения, в том числе релеевское и
комбинационное рассеяние, излучение Вавилова — Черенкова
и тормозное излучение.
Чтобы выделить люминесценцию из других видов неравно-
неравновесного свечения, С. И. Вавилов предложил использовать
7. Зак. 312
97
критерий длительности [112]. Определение люминесценцк-и
по Вавилову — Видеману можно сформулировать так: люми-
люминесценцией называется избыток над температурным излуче-
излучением тела, если это избыточное излучение обладает конечной
длительностью, превышающей период световых колебаний *'.
В соответствии- с этим определением в работе [118] раз-
развит метод расчета мощности люминесценции Wn. При оп-
оптических переходах между двумя любыми уровнями атома с
номерами i и / она равна [87, 118]
- [Atjnt -
G.
где щ и п,—населенности верхнего и нижнего энергетических уров-
уровней; Аф Bji, Btj—коэффициенты Эйнштейна для спонтанных и вы-
вынужденных переходов; Щ, —плотность теплового излучения, выра-
выражаемая функцией Планка:
В шкале частот v = o>/2it для вакуума, где фазовая и группо-
групповая скорости равны скорости света v = vg = c, эта функция
имеет вид
W !G.2а)
„¦(у),
— 1
причем и0 (v) Av = и0 (ю) Дю.
Коэффициенты Эйнштейна связаны между собой соотношени-
соотношениями:
Sfiij X gjBjt,
G.3)
Ai} _ Ью3 Ло- _ 8л/гу3
• В?, пЪ\ В{, v*vg
где gt и gj — статистические веса уровней; Bfj = 2яВ]/.
Первое слагаемое в G.1) дает мощность спонтанного испус-
испускания возбужденной системы. Из него вычитается мощность по-
поглощения планковской радиации, равная
При выводе формулы G.1) авторы [118] исходили из того,
что возбужденная система должна находиться в равновесии
*) В цитированной работе С. И. Вавилов указывал на длительность лю-
люминесценции 10~10 сек и более. В дальнейшем оказалось, что люминес-
люминесценция может иметь меньшую длительность, поэтому нижней границей
правильнее считать период световых колебаний. Более строгие критерии,
необходимые для классификации различных типов вторичного свечения,
сформулированы в рамках квантовой электродинамики [113—117].
98
с фоном теплового испускания. Количество поглощенной план-
планковской радиации должно компенсироваться таким же коли-
количеством испущенного излучения. Только при такой компенса-
компенсации плотность равновесного излучения в окружающем прост-
пространстве сохранится неизменной и нарушение равновесия
внутри системы не вызовет изменений в состоянии среды.
Хотя люминесценция определена как превышение над фо-
фоном теплового испускания, было бы неправильно вычислять
ее мощность как разность между мощностью спонтанного ис-
испускания системы и мощностью ее теплового испускания, су-
существовавшего до момента возбуждения системы. Такой ме-
метод расчета не учитывает изменения поглощательной способ-
способности вещества, находящегося в возбужденном состоянии.
Идеи, заложенные при выводе формулы G.1), можно ис-
использовать при изучении свечения полупроводников. На осно-
основании G.1) спектральную плотность мощности люминесцен-
люминесценции в общем случае можно выразить формулой
где к(о>) —коэффициент поглощения в частоте со.
Эта формула полностью соответствует определению лю-
люминесценции Вавилова — Видемана и справедлива как для
атомно-молекулярных систем, так и для твердого тела. Специ-
Специфика различных квантовомеханических систем учитывается
только при вычислении №Сп(со) и к (со).
Если в результате возбуждения поглощающее вещество
превращается в активную среду, т. е. его коэффициент погло-
поглощения в некоторых частотах со становится отрицательным
(§ 19), то на фоне спонтанного испускания возникают линии
или полосы стимулированного испускания, которое нельзя от-
отнести к люминесценции. В то же время, согласно G.5), уси-
усиленное планковское излучение относится к люминесценции.
В литературе по оптике полупроводников-вместо термина'-
«люминесценция» широко используется термин «рекомбина-
ционное излучение». При этом неявно предполагается, что
оба термина относятся к одному и тому же- типу свечения.
Однако эти термины не являются синонимами, и их не следу-
следует смешивать. Под рекомбинацией в плазме, электролитах и
лолупроводниках обычно понимают исчезновение свободных
носителей тока в результате слияния, объединения зарядов
противоположного знака, например электронов и дырок в по-
полупроводниках. Возникающее при этом излучение называет-
называется рекомбинационным. В полупроводниках рекомбинацион-
ным излучением можно называть не только люминесценцию,
но и все спонтанное излучение, стимулированное излучение,
усиленную люминесценцию и лазерное излучение.
7* 99
До появления квантовой электроники свечение полупро-
полупроводников изучалось при невысоком уровне возбуждения. Сти-
Стимулированное испускание и усиленная люминесценция отсут-
отсутствовали. Так как для видимой и ближней инфракрасной об-
областей спектра при комнатной и более низких температурах
фон теплового испускания ничтожно мал и им можно прене-
пренебречь, то в таких условиях все рекомбинационное излучение
полупроводников практически сводилось к люминесценции.
Это давало основания называть люминесценцию рекомбина-
ционным излучением.
В современных условиях, когда широко используются
мощные источники возбуждения и интенсивно исследуются
стимулированное излучение, усиленная люминесценция и ге-
генерация, термин «рекомбинационное излучение» представля-
представляется неудачным и его нельзя использовать как синоним лю-
люминесценции.
Универсальное соотношение между спектрами поглощения
и люминесценции. В 1957 г. Б. И. Степанов показал [119], что
мощность люминесценции и коэффициент поглощения систе-
системы частиц с двумя электронно-колебательными состояниями
связаны соотношением
G.6)
k(v)
где «2 и п\ — населенности верхнего и нижнего электронно-
колебательных уровней; уэл — частота чисто электронного пе-
перехода; v — фазовая скорость света. Формула G.6) получила
широкую известность как универсальное соотношение Степа-
Степанова и многократно проверялась на опыте. Соотношение G.6)
справедливо в тех случаях, когда можно пренебречь стимули-
стимулированным испусканием и когда перед актом испускания света
успевает установиться равновесное распределение возбужден-
возбужденных центров по всем степеням свободы. В парах сложных
молекул функция распределения по колебательным уровням
молекулы зависит не только от температуры среды, но и от
частоты возбуждающего света [120]. Поэтому для паров
связь между Wn(v) и к (v) несколько отличается от G.6).
Границы применимости универсального соотношения и его
обобщения на некоторые более сложные системы рассмотре-
рассмотрены в [121]. Механизмы поглощения и испускания света в
сложных молекулах и полупроводниках существенно различ-
различны. В сложных молекулах распределение системы по уровням
энергии описывается функцией Больцмана, а число актов по-
поглощения или испускания света пропорционально населенно-
населенности исходного колебательного уровня. В полупроводниках
100
равновесное распределение электронов по уровням разрешен-
разрешенных зон удовлетворяет функции Ферми — Дирака, а скорость
оптических переходов пропорциональна произведению числа
электронов в исходном состоянии на число дырок в конечном
состоянии.
Несмотря на это, в оптических свойствах сложных моле-
молекул и полупроводников обнаруживается далеко идущая ана-
аналогия [122, 123]. Широким энергетическим зонам в полупро-
полупроводниках соответствуют электронно-колебательные зоны в
сложных молекулах. Сложные молекулы характеризуются
обычно равновесным распределением по колебательным уров-
уровням энергии верхнего и нижнего электронных состояний. Та-
Такое частное равновесие устанавливается даже при интенсив-
интенсивном возбуждении и переводе значительной части молекул в
возбужденное электронное состояние. Аналогичное явление
наблюдается в полупроводниках. Нарушение полного термо-
термодинамического равновесия и перевод части электронов в зону
проводимости сопровождается установлением равновесного
распределения электронов отдельно по уровням валентной
зоны и уровням зоны проводимости. Именно поэтому некото-
некоторые оптические свойства сложных молекул и собственных по-
полупроводников весьма близки друг к другу.
Это проявляется особенно наглядно в универсальном со-
соотношении между спектрами поглощения и люминесценции.
Рассмотрим собственный полупроводник, в общем случае
не находящийся в состоянии термодинамического равновесия.
Под действием внешнего возбуждения электроны будут пере-
переходить из валентной зоны в зону проводимости, где их кон-
концентрация станет больше, чем при термодинамическом рав-
равновесии. Одновременно происходит обратный процесс спон-
спонтанной, вынужденной и безызлучательной рекомбинации
электронов и дырок.
Так как время установления равновесия между носителя-
носителями в пределах одной зоны порядка КН1—1012 сек, а время ре-
рекомбинации, как правило, больше К)-10 сек, то распределение
электронов по уровням энергии зоны проводимости Ес и ва-
валентной зоны Ev будет характеризоваться функцией Ферми —
Дирака
1
1
exp
kT
G.7.
и двумя квазиуровнями Ферми Fe и Fh для электронов и ды-
дырок соответственно.
101
Легко убедиться, что для любой выделенной пары уровней
выполняются равенства
/е(?р)П —fei.Ec) _ e(b(i)-AF)/kT ,у gv
e
fe(Ec)ll~fe(Ev)]
fe{Ev)-fe(Ec) =f.(Ec)ll -fe(E,)] [1 -e(b<*-AFYkTL G.9)
где &F=Fe—Fh— разность квазиуровней Ферми.
Используя эти соотношения, с помощью F.16) и F.18) неза-
независимо от правил отбора находим*) [106]
'„нд (Е) = Геи (Е) N (Е) {exp [(hco - AF)/kT] - 1}. G.10)
Так как мощность спонтанного испускания Wcn (со) = гсп (со) hcor
а коэффициент поглощения к (со) связан с гинд(о>) соотношением
F.24), то с помощью G.10) приходим к универсальному соотно-
соотношению между спектрами поглощения и спонтанного испускания
[124]:
^cnW__ Ьсо3
к (со) п2и
1
G.11)
При термодинамическом равновесии распределение элек-
электронов и дырок характеризуется" одним уровнем Ферми, а
N(E) будет давать число фотонов в заданном типе электро-
1\5агнитных колебаний планковского излучения:
№ (Ню) = [ехр (Ы/kT) — 1)
G.12)
Подставляя G.12) в G.10) и учитывая, что А/7=0, получим
—Гиац(Е) = Гсп(Е). При термодинамическом равновесии ско-
скорость спонтанного испускания равна скорости поглощения
планковской радиации, а из формулы G.11) следует закон
Кирхгофа
К0
_
— 1
G
На основании G.11) суммарную по частоте скорость спонтанной
рекомбинации можно представить в виде интеграла
1
hco
Wcn (to) da> =
1
к (to) coadto
• G-14)
*) В работе [106] рассчитана не скорость, а функция индуцированного ис-
испускания г/явя(Е)=гавя(Е)/М(Е), поэтому число квантов N(E) в со-
соотношении типа G.10) отсутствует.
102
В частном случае, когда AF^O, этот интеграл переходит в фор-
формулу ван Русбрека и Шокли [125]
\
ch) J el — \
Здесь
к =
2/гсо
к (со)
G.16)
— коэффициент экстинкции, g = /zco/&7Y
Соотношение G.15) позволяет по измеренному значению
коэффициента поглощения рассчитать скорость спонтанной
рекомбинации при термодинамическом равновесии и оценить
параметр В в выражении Rca = Bnp. Границы применимости
этого выражения рассмотрены в предыдущем параграфе.
Указанный метод определения /?Сп и В предложен ван
Русбреком и Шокли [125]. Для германия при Г=300°К они
получили RCn= 1,57-1013 елг^-секг1.
Значения константы рекомбинации и других параметров
для ряда полупроводников при комнатной температуре при-
приведены в табл. 4, взятой из работы [126], где имеются данные
и для других температур.
Как видно из таблицы, для соединений GaAs, GaSb, InP,
InAs и InSb, имеющих прямую зонную структуру, константа
рекомбинации на несколько порядков больше, чем для непря-
непрямых полупроводников.
Во всех веществах, за исключением кремния, с уменьше-
уменьшением температуры значение В увеличивается [126]. Если в
формулу G.15) подставить аналитическое выражение для
к (со), то скорость и константу рекомбинации можно рассчи-
рассчитать теоретически [126].
Пользуясь определением люминесценции как превышени-
превышением над фоном теплового испускания G.5) и учитывая G.11),
находим [124]
7я М = Wcn (со) - VgK (со) и° (со) =Ц7сп (о)
ГЛ(СО) Н СО3 l_e-AW
1—ё-
1
К(СО)
-,G.17)
.G.18)
103
Таблица 4
Значение скорости спонтанной рекомбинации RCw константы
рекомбинации В, концентрации гц, времени жизни т электронов
и сечения рекомбинации а = Rvn/rii-vT, собственных полупроводников,
где vT — скорость теплового движения электронов
Мате-
Материал
Алмаз
Si
Ge
Те
GaP
GaAs
GaSb
InP
In As
InSb
о
295
290
300
300
300
294
300
298
298
295
4,0(-
9,2(
2,85(
3,0(
4,0(
1,2(
2,2(
6,0(
5,8(
1,03 (
СП
- 66)*)
+ 4)
+ 13)
+ 20)
-13)
+ 3)
+ 14)
+ 6)
+ 19)
+ 22)
6,68 (-
7,16( +
2,33( +
5,93 ( +
3
28)
9)
13)
15)
2,73@)
1,29( +
9,6( +
6,9( +
8,26 ( +
1,50 ( +
6)
U)
4)
14)
16)
В, см3, сек~1
8,96 ( — 12)
1,88 ( — 15)
5,25 (—14)
8,53 ( — 12)
5,37 (—14)
7,21 ( — 10)
2,39 ( — 10)
1,26 ( — 9)
8,5(-ll)
4,58( —11)
T, сек
8,35 ( + 37)
1,48 ( + 3)
4,09 (—1)
9,88 ( — 6)
3,41 (+12)
5,37 ( + 2)
2,18 ( — 3)
5,75 ( + 1)
7,12 ( — 6)
7,28 ( — 7)
о, см1
9,48 ( — 19)
1,87 (—22)
5,5(—21)
8,95 ( — 19)
5,63 ( — 21)
7,64 ( — 17)
2,50 ( — 17)
1,33 ( — 16)
8,94 (—18)
4,84 ( — 18)
*> Приведенные в таблице значения нужно умножить на 10 в той степени,
которая указана в скобках. Так, 4,0 (—66) означает 4,0-10~66.
При термодинамическом равновесии, как и следовало
ожидать, отношение G.18) равно нулю, поскольку люми-
люминесценция отсутствует. Наоборот, если равновесие сильно
нарушено, так что AF^>kT, a ho>^>kT, то формула G.18) пе-
переходит в G.11). В этом случае практически все спонтанное
испускание состоит из люминесценции. Расстояние между
квазиуровнями Ферми равно энергии кванта ЙсоИнв, при кото-
которой коэффициент поглощения меняет знак. Если h(u>AF, то
значение к (со) положительно, если /гсо<Л/\ оно отрицатель-
отрицательно. Потому частоту (Onas = AFJh называют частотой инверсии.
Следовательно, формула G.18) описывает не только погло-
поглощение, но и усиление, возникающее при достаточно больших
накачках.
Универсальное соотношение G.18) значительно расширя-
расширяет возможности для экспериментального исследования полу-
полупроводников. Оно связывает между собой величины №л(со),
к (со), AF и позволяет по двум измеренным величинам нахо-
находить третью. Это особенно важно для исследования активной
области лазерных диодов, поскольку непосредственные изме-
измерения ее спектроскопических характеристик весьма сложны,
а иногда вообще невозможны. Применение соотношения
104
G.18) в этом случае позволяет получить ряд новых результа-
результатов (см. § 21).
Если обобщить универсальное соотношение Б. И. Степа-
Степанова G.6) на случай больших интенсивностей и учесть фон
теплового испускания [122], то получается формула, в точ-
точности совпадающая с G.18). При этом по аналогии с квази-
квазиуровнями Ферми в полупроводниках для описания равновес-
равновесного распределения электронов по электронно-колебательным
уровням сложных молекул вводятся понятия химических по-
потенциалов возбужденных F2 и невозбужденных F\ молекул.
Тогда AF имеет смысл разности указанных химических по-
потенциалов, а распределение частиц пх(Е) и п2(Е) по колеба-
колебательным уровням нижнего Е\ и верхнего Ег состояний пред-
представляется в виде
kT
kT
,G.19)
—статисти-
—статистигде n — полное число частиц; g2(E\) и
ческие веса (функции плотности состояний).
Введение химических потенциалов позволяет более на-
наглядно выявить аналогию и специфику оптических свойств
сложных молекул и полупроводников [124].
Отрицательная люминесценция. Люминесценция возника-
возникает в результате вывода вещества из состояния термодинами-
термодинамического равновесия. При этом возможны два случая: а) мощ-
мощность спонтанного испускания в заданном спектральном
интервале больше мощности поглощения планковского излу-
излучения; б) мощность спонтанного испускания меньше мощно-
мощности поглощения vgtc (со) и0 (<*>). В первом случае выражение
для мощности люминесценции G.5) положительно, во втором
отрицательно. Понятие отрицательной люминесценции было
введено и детально изучено Б. И. Степановым [127—130].
Условие получения отрицательной люминесценции в си-
системах с дискретным энергетическим спектром легко получить
из формулы G.1). Для этого, учитывая соотношение между ко-
коэффициентами Эйнштейна, преобразуем ее к виду
G.1a)
Отрицательная люминесценция возникает, если в результате
возбуждения частиц будет выполняться неравенство
ёг
nj p-h
G.20)
105
При выполнении обратного неравенства люминесценция будет
положительной.
Так как в условиях термодинамического равновесия спра-
справедливо равенство
_«[_ = _^_ е-Л»„Ikт ;
Si gj ~
то из сравнения G.20) и G.21) следует, что для возбуждения
отрицательной люминесценции в канале /->/ необходимо либо
уменьшить населенность верхнего уровня, либо увеличить
населенность нижнего уровня по сравнению с их равновесны-
равновесными значениями п°( и п0-. Тогда на фоне теплового испускания
в частоте сог:,- возникает провал, в то время как при положи-
положительной люминесценции в этой частоте наблюдался бы пи-
чок (рис. 20).
Согласно G.17), в полупроводниках отрицательная люми-
люминесценция будет при условии
AF=Fe-Fh<0,
G.22)
т. е. когда квазиуровень Ферми, характеризующий распреде-
распределение электронов в зоне проводимости, лежит ниже квази-
квазиуровня Ферми для дырок. Условие G.22) справедливо и для
атомно-молекулярных систем, поскольку формулу G.1а)
можно представить в виде G.17), если учесть, что W^ =
= Аг}ЩНщ,, а населенности уровней выразить формулами ти-
типа G.19).
Как видно из рис. 20, по абсолютному значению мощность
отрицательной люминесценции не может быть больше фона
теплового испускания на заданной частоте. Поэтому ее прак-
практически невозможно наблюдать в видимой области спектра
при комнатной температуре, в то время как мощность поло-
положительной люминесценции может достигать больших значе-
значений. С повышением температуры или с переходом в инфра-
инфракрасную область фон теплового
испускания резко возрастает и со-
создаются условия для проявления
отрицательной люминесценции.
Рис. 20. Положительная (о>2, <»з) и отри-
отрицательная (coj) люминесценции на фоне
теплового испускания
106
Наличие фона теплового испускания позволяет выводить
вещество из состояния термодинамического равновесия в двух
направлениях: в сторону увеличения и в сторону уменьшения
запаса энергии. Вторую возможность Б. И. Степанов назвал
отрицательным возбуждением.
Обычно в спектроскопии применяются горячие источники
света (лампы, электрические дуги, искры) и лазеры *'. Облу-
Облучение вещества светом от таких источников переводит кванто-
вомеханическую систему в целом или ее часть на более высо-
высокие энергетические уровни. При отрицательном возбуждении,
частицы, находящиеся на более высоких уровнях, переходят
вниз и их общая энергия уменьшается.
Как показали Б. И. Степанов и Я. С. Хващевская [131,
132], для получения отрицательного возбуждения достаточно,
в частности, в стандартной установке, предназначенной для
измерения инфракрасных спектров, вместо горячего источни-
источника света поместить охлажденный предмет.
Следовательно, любой предмет, температура которого
меньше температуры исследуемого образца, можно рассмат-
рассматривать как источник отрицательных потоков излучения.
Применение отрицательных световых потоков позволяет
измерять все обычные спектроскопические характеристики ве-
вещества: коэффициенты поглощения и рассеяния, положение
и контур полос поглощения и испускания, квантовый выход и
поляризацию люминесценции, дихроизм и т. д. Все обычные
формулы линейной оптики справедливы и для отрицательных
значений потока света [130].
Отрицательная люминесценция — широко распространен-
распространенное, хотя и мало заметное, явление. Ее можно возбуждать не
только отрицательными потоками излучения, но и многими
другими способами. Например, равновесную населенность
нижних уровней на дне зоны проводимости можно уменьшить,
если каким-либо путем сообщить электронам дополнительную
энергию и перевести их на более высокие уровни.
Из всех систем исключением является, по-видимому, толь-
только гармонический -осциллятор: отрицательная люминесцен-
люминесценция в нем возбуждается только отрицательными световыми
потоками [87].
Линейная и квадратичная скорости люминесценции. С по-
помощью соотношения G.13) мощность люминесценции можно
представить в виде
РЛ (со) = AWcn (со)
1 j vjfi (со) к»(ш), G.23)
*) Эффективная температура лазерного излучения достигает многих мил-
миллионов градусов, хотя сами лазеры работают при низких температурах.
107
где
G.24)
—разность спонтанного испускания возбужденной и невозбуж-
невозбужденной системы. Как уже отмечалось выше, мощность люми-
люминесценции не равна AWcn. Формула G.23) позволяет оце-
оценить границы применимости приближенного равенства
№л(со)«Д№сп(со), G.25)
которое широко используется в литературе.
Второе слагаемое в G.23) обращается в нуль в двух случаях.
Во-первых, если и0 (со) равно нулю, во-вторых, при к (со) = к0 (со).
Если фон теплового испускания пренебрежимо мал, то №сП(со)=О
и все спонтанное испускание состоит из люминеспенции Wa (со) —
= Wcn (со). Зависимость отношения к (со)//с° (со) от уровня возбуж-
возбуждения детально исследуется в [главе III. Здесь отметим, что в
рамках линейной оптики к (со) = /с0 (со) при изменении [интенсив-
[интенсивности возбуждающего света на много порядков.
Следовательно, равенство G.25) справедливо при любой
температуре в рамках линейной оптики, а при больших интен-
сивностях возбуждения, когда наступают нелинейные опти-
оптические явления, им можно пользоваться, если фон теплового
испускания пренебрежимо мал.
Для полупроводника, невырожденного в исходном и воз-
возбужденном состояниях, справедливы равенства G.25) и фор-
формула F.40). Поэтому скорость межзонной люминесценции
равна [71, 133]
Йсо
dco = Впр — Вп2. ¦=¦
пЛ
R0, G.26)
где параметр В = R°/n2 выражен через скорость равновесной ре-
рекомбинации. Обозначая избыточные концентрации носителей через
Дге = ге — ге0, Ар = р — р0, G.27)
из G.26) находим
о _ do п*АР + РМ + АпАР G 28)
В полупроводнике, содержащем небольшое число примесей
Ап = Ар, и вместо G.28) имеем
_ (ге0 + р0) An + (AnJ
т~* re2
G.28а)
108
При сравнительно высоких температурах и малых уровнях
возбуждения, когда (п0 + р0) > An, скорость люминесценции про-
пропорциональна Are (линейная рекомбинация)
л = до
G.29)
Наоборот, при высоком уровне возбуждения
скорость люминесценции пропорциональна квадрату неравно-
неравновесной концентрации (квадратичная рекомбинация)
/А„\2
G.30)
и?
В примесных полупроводниках n-типа п0 ^> р0, а в полупро-
полупроводниках р-типа р0 > п0. Учитывая эти неравенства, получаем
из G.28) приближенные формулы для скоростей люминесценции
An
Ро
G.31)
Приведенное рассмотрение скорости люминесценции с са-
самого начала носит приближенный характер по двум причи-
причинам. Во-первых, как было показано выше, скорость межзон-
межзонной рекомбинации только в двух частных случаях выражается
формулой R = Bnp. Во-вторых, 1^л(со) =7^AlFCn((o).
Несмотря на это, полученные простые формулы весьма
характерны. Качественно они правильно отражают специфику
межзонной рекомбинации в полупроводниках. Хотя в любом
акте рекомбинации участвует электрон и дырка, при опреде-
определенных условиях зависимость скорости люминесценции от
концентрации либо электронов, либо дырок практически исче-
исчезает.
Энергетический и квантовый выход люминесценции. Поня-
Понятие энергетического выхода, или просто выхода фотолюмине-
фотолюминесценции, было введено в 1924 г. С. И. Вавиловым по аналогии
с выходом химических реакций и относится к числу важней-
важнейших характеристик люминесценции. С. И. Вавилов определил
выход люминесценции как часть поглощенной энергии, кото-
которая превращается в энергию вторичного люминесцентного
излучения [134, 135]. Он же провел первые систематические
исследования выхода люминесценции флуоресцеина и пока-
показал, что значение этой величины может быть достаточно боль-
большим ~0,7. В дальнейшем были обнаружены вещества с выхо-
выходом люминесценции близким к единице.
Величина энергетического выхода каждой конкретной си-
системы имеет решающее значение для ее использования в тех-
109
ничейких устройствах. С другой стороны, изучение этой ха-
характеристики при различных условиях возбуждения позволя-
позволяет выяснить ряд принципиальных вопросов теории взаимодей-
взаимодействия света и вещества. Большой вклад в решение указанной
проблемы внесли представители советской школы люмине-
люминесценции, созданной С. И. Вавиловым [120, 136—138]. Различ-
Различные варианты применения понятия «выход люминесценции»
к конкретным условиям эксперимента проанализированы
В. Л. Лезшиным [139].
В общем случае, если возбуждение вещества производится
в течение времени t от 0 до /в, то энергетический выход люми-
люминесценции можно представить в виде
оо сю
f Wa(a, t)du>
т, = _°
G.32)
п(о>, 0
о о
В числителе G.32) стоит величина полной энергии люмине-
люминесцентного излучения, возникающего как в процессе возбужде-
возбуждения, так и после прекращения возбуждения. Знаменатель ра-
равен полной энергии поглощенного света. Следовательно, энер-
энергетический выход люминесценции совпадает с внутренним
к.п.д. преобразования веществом возбуждающего света в лю-
люминесценцию. Очевидно, внешний к.п.д. этого процесса как
отношение энергии люминесценции, вышедшей из вещества,
ко всей затраченной энергии возбуждения будет меньше т]э,
поскольку при вычислении внешнего к.п.д. необходимо учесть
потери люминесценции за счет перепоглощения в веществе и
потери возбуждающего света при отражении, рассеянии и вы-
выходе из образца.
При стационарном режиме облучения постоянным светом
т)э равно
^ = 1V7 ' G.33)
и поглощения во
где Wn и Wn — мощности люминесценции
всем спектральном интервале.
Для двухуровневой системы, характеризующейся вероят-
вероятностями спонтанного испускания А и неоптических переходов
d, из G.33) следует [87]
A + d
G.34)
ПО
Приближенное равенство в G.34) справедливо, если фоном
теплового испускания можно пренебречь, т. е. все спонтанное
испускание состоит из люминесценции.
Формулы, аналогичные G.32), можно получить для элек-
электролюминесценции, хемилюминесценции, термолюминесцен-
термолюминесценции и других видов люминесценции. Во всех случаях числи-
числитель остается прежним, различия' будут связаны с определе-
рием энергии возбуждения [139].
Наряду с энергетическим выходом люминесценции вводится
понятие квантового выхода как отношение числа испущенных
квантов люминесценции к числу поглощенных квантов. Учиты-
Учитывая, что скорости люминесценции и поглощения равны соответ-
соответственно Ял(со, 0 = ^л(°>. 0/*ю, Дп(«>, t) = Wn(d>, t)lh(n, по ана-
аналогии с G.32) для квантового выхода будем иметь
t)dw
G.35)
в
J
О О
В стационарных условиях квантовый выход равен отношению
суммарных по спектру скоростей люминесценции и погло-
поглощения
т|„ = —5г_ . G.36)
Для двухуровневой системы энергии испускаемых и поглощаемых
квантов примерно равны, поэтому цэ = т)к.
При межзонных переходах в полупроводниках в стационарных
условиях скорость поглощения равна сумме скоростей люминес-
люминесценции и неоптической рекомбинации
Rn-Rn + Q. G-37)
Следовательно, квантовый выход люминесценции будет выражать-
выражаться формулой
"•-^+0- G'38)
Многие вещества вообще не люминесцируют. Если такие
вещества возбудить, то они будут возвращаться в состояние
термодинамического равновесия в результате неоптических
переходов, не связанных с испусканием квантов света.
Энергетический и квантовый выход люминесценции в этом
случае, естественно, равен нулю. Для люминесцирующих ве-
веществ он, как правило, заключен в пределах
<1. G.39J
Ш
Однако в принципе возможны и два других случая, когда
г!3<0 и Пэ>1. G.40)
Чтобы энергетический выход люминесценции был меньше
нуля, числитель и знаменатель G.32) должны иметь разные
знаки. Если вещество возбуждается положительным потоком
излучения, то мощность поглощения положительна и отрица-
отрицательное значение цэ реализуется только при отрицательной
люминесценции. Так как наряду с отрицательной люминесцен-
люминесценцией в другом спактральном интервале может возникнуть по-
положительная люминесценция, то отрицательное значение
энергетического выхода означает преобладание отрицатель-
отрицательной люминесценции над положительной. При ца<0 не только
весь возбуждающий свет, но и часть планковской радиации
превращается в другие виды энергии.
Энергетический выход может быть отрицательным, если
вещество возбуждается отрицательным потоком излучения,
а положительная люминесценция преобладает над отрица-
отрицательной.
Значение выхода цэ> 1 реализуется в том случае, когда под
действием внешнего возбуждения в веществе происходит пре-
превращение части тепловой энергии в свет. Для трехуровневой
системы эта возможность проанализирована в работе [127].
Авторы показали, что величина г|э>1 не противоречит второ-
второму началу термодинамики, поскольку охлаждение люмини-
сцирующего тела не сопровождается передачей энергии воз-
возбуждающему источнику света, имеющему более высокую
температуру. Вместе с энергией возбуждающего излучения
тепловая энергия люминесцирующего вещества передается
окружающим телам, температура которых ниже температуры
источников света. Такую систему можно рассматривать как
аналог холодильников, работающих за счет энергии внешних
источников.
В полупроводниковых люминесцирующих диодах при опре-
определенных условиях энергия квантов света, соответствующих
максимуму полосы излучения, может быть больше контакт-
контактной разности потенциалов: hco>Al/ [140]. Рекомбинирующие
электроны и дырки часть энергии получают за счет приложен-
приложенного к р—n-переходу электрического поля, остальную энер-
энергию они приобретают в результате теплового разогрева, что
приводит к охлаждению области рекомбинации.
Как известно [141, 142], энтропия постоянного электриче-
электрического поля равна нулю, а электромагнитного излучения боль-
больше нуля. Поэтому уменьшение энтропии при превращении
тепла в свет полностью компенсируется ее увеличением при
превращении энергии электрического поля в излучение. Зна-
112
чение Tio>l не противоречит требованию увеличения энтропии
при любых термодинамических процессах.
Максимальный термодинамический к.п.д. превращения
электрической энергии в световую цт равен [141]
эф
G.41)
где Т — температура тела; ТЭф— эффективная, температура
излучения, т. е. температура абсолютно черного тела, излуче-
излучение которого имеет такое же количество энтропии, что и рас-
рассматриваемая люминесценция. Значение ГЭф зависит от ярко-
яркости и спектрального состава люминесценции. При комнатной
температуре для средней яркости цт достигает значений
~160%. В случае источников света из ZnS r\m~ 130%. На
опыте значение цэ обычно значительно ниже своего термоди-
термодинамического предела. Большие потенциальные возможности
полупроводниковых источников света еще далеко не исполь-
использованы (см. гл. IV).
Если для энергетического выхода значение больше едини-
единицы представляется необычным и реализуется в особых усло-
условиях, то квантовый выход люминесценции может быть боль-
больше единицы довольно часто, особенно в системах с дискрет-
дискретными уровнями энергии.. Один квант падающего света может
возбудить атом сразу на высокий энергетический уровень,
минуя несколько промежуточных состояний. При возвраще-
возвращении атома в нормальное состояние через промежуточные уров-
уровни он может испустить несколько квантов света. Как отмечал
С. И. Вавилов [143], квантовый выход люминесценции может
быть больше единицы, если энергия квантов падающего света
больше чем в два раза превышает энергию фотонов люмине-
люминесцентного излучения. Это было подтверждено в опытах
Ф. А. Бутев'ой и В. А. Фабриканта [144, 145], которые возбуж-
возбуждали кристаллофосфоры ртутной линией с Л=1850 А и полу-
получили Т]к>1-
Наряду с квантовым и энергетическим выходом люмине-
люминесценции можно рассмотреть аналогичные характеристики для
спонтанного испускания, тепловыделения и генерации света
[87, 146]. Последняя характеристика подробно исследуется
в IV главе.
При изучении фотопроводимости вводится понятие кванто-
квантового выхода внутреннего фотоэффекта Цф. Величина цф равна
отношению числа рожденных электронно-дырочных пар к
числу возбуждающих квантов света, поглощенных в веществе.
Экспериментальные исследования показывают (см., например,
[126, 147]), что в чистом кремнии и германии щ близок к еди-
единице и не зависит от энергии возбуждающих фотонов до неко-
8. Зак. 312
113
торог» порогового значения. Если и дальше увеличивать hto,
то т)ф начинает возрастать и достигает значений 2, 3 и более.
Значение порога и наклон кривой щ (псо) зависят от качества
образцов и температуры.
Увеличение квантового выхода больше единицы объясня-
объясняется ударной ионизацией за счет избыточной кинетической
энергии электронов и дырок, которую они получили при по-
поглощении квантов света в полупроводнике.
Длительность люминесценции и времена жизни избыточ-
избыточных носителей. Интенсивность люминесценции не зависит от
времени только в том случае, если источник возбуждения дей-
действует достаточно долго и его мощность постоянна. Если усло-
условия возбуждения меняются во времени, то мощность люмине-
люминесценции тоже будет функцией времени. В первые моменты
после включения возбуждения люминесценция разгорается,
ее интенсивность увеличивается, даже если мощность накачки
достигла практически мгновенно своего предельного значения.
После прекращения возбуждения люминесценция исчезает не
сразу, имеется некоторый период затухания.
Исследование законов разгорания и затухания люмине-
люминесценции служит важным источником информации о квантово-
механических свойствах атомов, молекул и кристаллов и в
первую очередь о вероятностях оптически^ и неоптических
переходов. Каждое вещество характеризуется определенным
видом функции №л@- Среди всех таких функций наиболее
простым является экспоненциальный закон затухания
«^@ = ^@N-^. G.42)
В этом случае достаточно задать один параметр т, чтобы пол-
полностью описать кривую затухания люминесценции. Оказы-
Оказывается и для более сложных законов затухания целесообразно
ввести один параметр, называемый средней длительностью
люминесценции. Этот параметр обычно обозначается через т,
хотя и не всегда является показателем экспоненты. Исходя из
математического определения среднего значения функции
[148], среднюю длительность или просто длительность люми-
люминесценции можно выразить формулой
>dt
х =
G.43)
7A*)dt
Путем подстановки G.42) в G.43) легко убедиться, что при
экспоненциальном законе затухания средняя длительность
114
люминесценции равна показателю экспоненты т в формуле
G.42). v r у
В общем случае среднюю длительность можно рассматри-
рассматривать как показатель такой экспоненциальной функции, с по-
помощью которой аппроксимируется реальный более сложный
закон затухания. Для некоторых функций №л@ интеграл в
числителе G.43) расходится и этой формулой пользоваться
нельзя.
Если пренебречь фоном теплового испускания, то в систе-
системах с дискретными уровнями энергии мощность люминесцен-
люминесценции в частоте со,,.будет выражаться формулой [87]
№?/=яД;Ь«>у G.44)
Временные зависимости W*, (t) и населенности i-ro уровня пл (t)
полностью совпадают. В процессе затухания, если поступление
частиц на i-й уровень отсутствует, имеем
Ац + du) dt, G.45)
МО = М°) е"""*'. . G.46)
где суммирование в G.45) проводится по всем номерам нижеле-
нижележащих уровней, а
— средняя длительность возбужденного состояния i-ro уровня.
Квантовые выходы люминесценции линии со0. и всех линий,
связанных с переходами с i-ro уровня вниз, можно связать с тг
[87]
А;1
Щ=
= А
G.48)
"S A-.
G.49)
Если в процессе затухания на i-й уровень поступают ча-
частицы с более высоких уровней, то nt(t) и W?j (t) будут выра-
выражаться суммой экспонент. В этом случае возможно вначале
некоторое увеличение m(t) с последующим асимптотическим
приближением щ к своему равновесному значению.
115
Исключение составляет гармонический осциллятор, в ко-
котором населенности уровней изменяются по сложному закону,
а суммарная люминесценция всегда затухает по экспоненте
[87,149].
В полупроводниках, как было показано выше, скорость
люминесценции может быть пропорциональна концентрации
избыточных электронов или дырок G.31) или зависеть от них
квадратично G.30). Поэтому задача усложняется и возни-
возникает необходимость наряду с изучением функции Wa(t) ис-
исследовать временные зависимости An(t) и Ap(t), которые в
одном и том же полупроводнике могут не совпадать.
Исследованию времени жизни избыточных носителей по-
посвящено большое число работ, так как эти величины опреде-
определяют не только люминесценцию, но и основные характеристи-
характеристики транзистора и многих других электрических и фотоэлектри-
фотоэлектрических приборов [150, 1511.
Поскольку при отсутствии фона теплового излучения скорость
люминесценции равна числу электронов и дырок, рекомбинирую-
щих за единицу времени с испусканием фотонов, то средние излу-
чательные времена жизни неравновесных электронов т^ и нерав-
неравновесных дырок т* можно определить с помощью формул [133, 151]:
т* - Al- т« = _*?_ G 50)
R ' р R
В полупроводнике с малым числом примесей и низким уров-:
нем возбуждения, согласно G.29) и G,50),
1
п2
1
В (п0
G.51)
Для полупроводников п- и р-типа на основании G.31) находим
XR= Ро т*= П° ,. G.52)
В материале с собственной проводимостью пп = ро = nt, a
т«= -^-.' G.53)
Используя эту величину, формулы G.52) можно представить в
виде:
1
ni
т- = 2
— т« = 2
П;
: Впй
G.54)
G.55)
116
Реальные времена жизни носителей тп и тр обычно меньше
значений G.52), так как кроме оптических переходов в полупро-
полупроводниках происходит безызлучат'ельная рекомбинация. По анало-
аналогии с излучательным временем жизни носителей можно опреде-
определить безызлучательные времена жизни электронов т^ и дырок xQ,
которые связаны с безызлучательной рекомбинацией соотношениями
An
Ар
G.56)
Тогда средние времена жизни электронов тп и дырок тр, обус-
обусловленные суммарным действием излучательной и безызлу-
безызлучательной рекомбинации, будут равны [152]
+
. G.57)
С помощью последних формул внутренний квантовый выход лю-
люминесценции можно представить в виде
-=Д„т
G.49а)
Полученные соотношения носят приближенный характер.
В реальном полупроводнике кроме межзонной рекомбинации
в той или иной степени представлены различные процессы,
приводящие к исчезновению свободных электронов и дырок:
переходы зона — примесь, связывание электронов и дырок в
экситоны, рекомбинация Оже и другие процессы. Зависимость
An и Ар от времени определяется суммарным действием всех
указанных механизмов и, как правило, не выражается про-
простой экспоненциальной функцией. Формула для времени жиз-
жизни носителей, учитывающая прямые и непрямые переходы,
приведена в [153], а для времени жизни, связанного с пере-
переходами зона—примесь,— в [154]. Влияние вырождения носи-
носителей на излучательную рекомбинацию исследовалось в рабо-
работе [155].
В заключение приведем формулу для сечения рекомбина-
рекомбинации, которое связано с временем жизни носителей. Электроны
и дырки, вообще говоря, могут находиться в различных точ-
точках кристалла. Для того чтобы произошел акт рекомбинации,
необходима встреча (столкновение) электрона и дырки. Обыч-
Обычно полагают, что вероятность такого столкновения пропорцио-
пропорциональна тепловой скорости носителей рт. Поэтому константа
рекомбинации может быть представлена как произведение
сечения рекомбинации а на vT: B — gvt. Учитывая, что
° 2
р
= R°JnopQ, n0p0 = n2{, получим отсюда
117
о =
r,0
Лл
rv-.v,
iuT
Значения а для ряда полупроводников приведены в табл. 4.
Поляризация излучения. Для полной характеристики излу-
излучения необходимо задать пять независимых величин: направ-
направления распространения, частоту колебаний (или спектр), ин-
интенсивность, фазу колебаний и поляризацию. Поляризация —
одна из наиболее важных характеристик излучения. Она ука-
указывает на анизотропию действия света в плоскости, перпенди-
перпендикулярной к направлению распространения луча, и содержит
богатую информацию о свойствах испускающих атомов и мо-
молекул. Характер поляризации определяется формой фигуры,
которую выписывает вектор электрического поля волны. На-
Например, если он совершает колебания вдоль прямой линии, то
свет называется линейно поляризованным.
Радиацию любой поляризации можно представить как
сумму двух лучей, линейно поляризованных в двух взаимно
перпендикулярных направлениях. В случае монохроматиче-
монохроматической волны проекции электрического вектора на эти направ-
направления равны [87]:
х = av cos (cat -f-
= a2 cos
где а\ и а2 — постоянные; t — время; ф1 и <рг — начальные фазы
волн. Исключая время из этих выражений, получим уравне-
уравнения кривой, которую выписывает конец электрического
вектора:
Л- + -4т- - 2 — cos2 (ф. - «Pi) = sin2 (Ф. - Фх)- G-58)
В общем случае это—уравнение эллипса. Если разность фаз ф2—
я
— Фх = , оно упрощается
причем коэффициенты % и аг служат полуосями эллипса. При
ах = а2 свет поляризован по кругу. Если же ф2 — Ф1 — 0 или
5-2я, где s — целое число, то из G.58) следует уравнение пря-
прямых линий
^i _ + _?з_ G.59)
Излучение раскаленных тел возникает в результате испу-
испускания большого числа атомов и молекул и состоит из самых
различных волн. Разность фаз фг—ф! не имеет определенной
величины. С равной вероятностью она пробегает всевозмож-
всевозможные значения. Поэтому естественная радиация полностью изо-
изотропна в плоскости, перпендикулярной к направлению рас-
распространения.
Следует отметить, что свет, поляризованный по кругу, и
естественная радиация внешне неразличимы и производят
аналогичное действие на поляризационные приборы. То же
самое справедливо в отношении эллиптически поляризованно-
поляризованного и частично поляризованного естественного света. Чтобы
установить истинный характер поляризации, нужны специ-
специальные опыты, в которых круговая или эллиптическая поляри-
поляризация света превращается в линейную, а естественный свет
остается без изменений [156, 157].
Описание поляризации с помощью уравнений типа G.58)
не всегда удобно, а если свет состоит из многих волн — прак-
практически невозможно. Поэтому ее характеризуют иногда сте-
степенью поляризации или степенью деполяризации.
Пропуская пучок света через николь, легко установить
два взаимно перпендикулярных направления, в которых ин-
интенсивность света имеет максимальное /тах и минимальное
/mm значения. Под степенью деполяризации понимают отно-
отношение
Д1=
* T
G.60)
Если свет линейно поляризован, 1т1п — 0 и, следовательно, Дх=0.
Для естественной радиации или излучения, поляризованного по
кругу, /mln = /max, а Дх = 1. Наряду со степенью деполяризации
излучение часто характеризуют степенью поляризации, равной
Jmax
'mm
G.61)
Jmai
Определенная таким образом степень поляризации всегда
остается величиной положительной и может изменяться от
0 до 1. Легко видеть, что она связана со степенью деполяриза-
деполяризации соотношениями
118
Когда одна из величин (Pi или А\) увеличивается от 0 до 1,
вторая убывает от 1 до 0.
Исследование поляризации излучения является одним из-
тонких методов определения свойств вещества [158]. Причем
важным источником информации служит не только степень
поляризации, определяемая формулой G.60), но и ориента-
119
1
ция максимальных колебаний электрического вектора во вто-
вторичной волне. Обычно при поляризационных измерениях воз-
возбуждающий свет линейно поляризован, а направление на-
наблюдения лежит в плоскости, перпендикулярной к электриче-
электрическому вектору падающей радиации. В этом случае степень
деполяризации и степень поляризации вторичных волн опре-
определяются несколько иначе, а именно в виде:
А =
G.63)
Р =
G.64)
Как и прежде, здесь 1Х и 1г — две компоненты интенсивности
наблюдаемого света, поляризованные во взаимно перпендику-
перпендикулярных плоскостях. Однако в отличие от предыдущего ори-
ориентация плоскостей поляризации определяется направления-
направлениями максимальных и минимальных колебаний электрического
вектора не вторичных волн, а возбуждающего света. Направ-
Направление колебаний электрического поля в компоненте Iz совпа-
совпадает с направлением наибольших колебаний электрического
вектора падающей радиации, а направление колебаний в /ж —
с направлением наименьших колебаний.
Величины А и Р связаны между собой соотношениями,
аналогичными G.62). Однако по области изменения и физиче-
физическому смыслу они отличаются от величин Ai и Р\. Действи-
Действительно, если Ai и Р\ изменяются в пределах от 0 до 1, то А и Р
могут в принципе принимать любые значения в следующих гра-
границах:
0<Д<оо,
— 1<Р< 1.
Без связи с возбуждающим светом физический смысл имеют
только величины Ai и Pt. Значения Д и Р становятся неопреде-
неопределенными. Например, для линейно поляризованного света мож-
можно было бы получить любое значение А от 0 до с» в зависи-
зависимости от угла между плоскостью поляризации и осью z (т. е.
в зависимости от разложения на компоненты 1г и 1Х, которое
без связи с возбуждающей радиацией становится произ-
произвольным).
В классической теории люминесценции вещество модели-
моделируется совокупностью элементарных излучателей: электриче-
электрических и магнитных диполей, квадруполей, ротаторов и т. д.
[87]. С помощью этих моделей показано, что если за испуска-
испускание и поглощение света отвечает один и тот же диполь, то пре-
предельные степени поляризации люминесценции при возбужде-
120
нии линейно поляризованным и естественным светом соответ-
соответственно равны: Р= 1/2 и Р= 1/3.
Если каждому люминесцирующему центру соответствует
два осциллятора (поглощающий и излучающий), расположен-
расположенных под углом |, то поляризация люминесценции, распростра-
распространяющейся перпендикулярно к направлению распространения
возбуждающего света, выражается формулой Левшина [137]
Р =
2—3sin2 i
4— sin2S
G.65)
Более сложные формулы получил А. Яблонский для плоских
и пространственных осцилляторов [87, 159]. С. И. Вавилов
вычислил значение поляризации люминесценции как функции
угла между осью z и электрическим вектором возбуждающе-
возбуждающего света и угла, задающего направление распространения лю-
люминесценции для диполей и квадруполей поглощения и испу-
испускания [160]. Полученные функции он представил в виде по-
поляризационных диаграмм и показал, что на основании этих
диаграмм можно определить природу элементарных излуча-
излучателей.
Если люминесцирующие частицы совершают броуновские
повороты, то люминесценция деполяризуется. Степень ее по-
поляризации выражается формулой Левшина — Перрена [137]
JZL т /766)
у т' G-bb)
где Ро — степень поляризации при отсутствии поворотов ча-
частиц; V — объем частицы; т] — вязкость растворителя; т —
время затухания люминесценции.
Границы применимости классических формул для поляри-
поляризации люминесценции будут рассмотрены в следующей главе.
Горячая люминесценция. При изучении люминесценции
сложных молекул и кристаллов обычно предполагается, что
за время между актами возбуждения электронов на более вы-
высокие энергетические уровни и переходом их вниз успевает
установиться равновесное распределение носителей заряда в
пределах каждой электронно-колебательной полосы или зоны
энергии. Распределение электронов по уровням энергии опре-
определяется равновесными функциями либо Больцмана, либо
Ферми — Дирака.
В течение длительного периода времени границы примени-
применимости этого предположения были недостаточно ясны и не
служили предметом исследования. Времена жизни фононов,
определяющие скорость установления равновесного распреде-
распределения электронов по уровням энергии, были столь малы, что
121
их не удавалось измерить на опыте. Не наблюдались также
какие-либо другие явления, связанные с отступлением рас-
распределения электронов от равновесного.
В последние годы появились лазеры, дающие импульсы
¦света пихосекундной длительности (см. § 24), значительно
возросла разрешающая способность спектральной аппаратуры
и созданы квантометры, способные регистрировать в принци-
ле отдельные кванты света. Это создало необходимые пред-
предпосылки для изучения процессов, обусловленных горячими
электронами, в том числе и горячей люминесценции.
Термин «горячая люминесценция» был введен впервые в
работах К- К. Ребане и П. М. Саари [161, 162]. Авторы иссле-
исследовали при температуре жидкого гелия вторичное свечение
кристаллов КС1—NOT и КВг—NOi~. С помощью усовершен-
усовершенствованного метода счета фотонов им удалось зарегистриро-
зарегистрировать новые, очень слабые, линии люминесценции, которые воз-
возникали в результате оптических переходов примесных центров
с высоких колебательных уровней возбужденного электронно-
электронного состояния в основное электронное состояние. Такая люми-
люминесценция названа горячей, потому что ее линии лежат в той
области, где расположены линии обычной люминесценции при
высоких температурах.
Горячая люминесценция испускается примесным центром
в кристаллах и в ходе его релаксации с верхних колебательных
уровней на нижние. В щелочно-галоидных кристаллах она
подробно изучена К- К- Ребане и его сотрудниками [163—166].
Обзоры первых исследований в указанном направлении при-
приведены в работах [167—169].
Исследование горячей люминесценции позволяет получить
новые сведения о свойствах вещества и в частности опреде-
определить время жизни квантовомеханической системы на колеба-
колебательном или вращательном уровне. Так, в работе [161] время
жизни полносимметричного локального колебания молекулы
NO2 в КС1 оценено в 300 периодов колебаний, или 2- 10~и сек
приГ=77°К.
Наряду с горячей люминесценцией можно ввести понятие
переохлажденной люминесценции, линии которой возникают
там, где должна наблюдаться обычная люминесценция при
более низких температурах [167].
Механизм горячей люминесценции в полупроводниках на
примере межзонных переходов схематически изображен на
рис. 21. Если образец возбуждается светом, энергия квантов
которого значительно больше ширины запрещенной зоны, то-
электроны будут забрасываться на высокие энергетические
уровни в зоне проводимости, а в глубине валентной зоны об-
образуются дырки. Горячие электроны и дырки можно рассма-
рассматривать как некоторые добавки к тем носителям, которые уже
122
Рис. 21. Схема механизма возникновения обычной (шл) и горячей люми-
люминесценции в полупроводниках при межзонных (шг.л) и внутризонных (ы'г л_
сог л) переходах в полупроводнике, возбуждаемом в частоте шв. Справа
на рисунке показаны функции плотности состояний gc(Ec) и gv(Ev) и фак-
фактическое распределение электронов п(Ес) и дырок р(Ес) по уровням. Штри-
Штриховые кривые — равновесное распределение носителей
потеряли свою избыточную энергию и распределены согласно
функции Ферми — Дирака. Эти добавочные носители в про-
процессе релаксации не только взаимодействуют с кристалличе-
кристаллической решеткой, но и могут совершать межзонные и внутризон-
ные оптические переходы, испуская фотоны горячей люмине-
люминесценции.
Интенсивность горячей люминесценции зависит от отноше-
отношения времени релаксации к времени жизни возбужденного со-
состояния. Обмен энергии между молекулами, находящимися в
газовой фазе, обычно затруднен, поэтому в таких системах
почти всегда имеется значительное отклонение от равновес-
равновесного распределения частиц по уровням энергии [120]. Интен-
Интенсивности горячей и обычной люминесценции могут быть соиз-
соизмеримы.
В последние годы с помощью пикосекундных импульсов
лазерного света удалось провести прямые измерения сверх-
сверхбыстрых излучательных и безызлучательных процессов в жид-
123
костях и твердых телах [170—179]. Например, в алмазе вре-
время поперечной релаксации колебаний решетки оказалось
равным [176] B,9± 0,3)-102 сек при Г=300°К. Волновое
число колебаний v'= 1/Л,== 1332 см~1. Ранее на основании ши-
ширины линии вынужденного комбинационного рассеяния было
получено практически такое же значение: ~B,6±0,3) X
X 10~12 сек. Времена жизни оптических фононов (v'=4086 смг1)
в кальците равны (8,5±2) • Ю~!2 сек при 297 °К и A9,1±
±4) • 10~12 сек, если Т= 100 °К- Все эти значения т на 3—5 по-
порядков меньше времени жизни возбужденных молекул и кри-
кристаллов. Очевидно, горячая люминесценция в таких системах
будет чрезвычайно слабой.
Горячая люминесценция возникает и при аннигиляции эк-
ситонов (§ 8).
§ 8. ЭКСИТОННЫИ МЕХАНИЗМ ПОГЛОЩЕНИЯ
И ИСПУСКАНИЯ СВЕТА
Специфика экситонных оптических переходов. Как отмеча-
отмечалось в § 5, для объяснения многочисленных оптических, элек-
электрических процессов и явлений переноса в различных кри-
кристаллах используются разнообразные модели экситонов. Но
даже если ограничиться рассмотрением только процессов по-
поглощения и испускания света в полупроводниках, то здесь
обнаруживается обилие всевозможных механизмов. Необхо-
Необходимо различать свободные экситоны, различные варианты
связанных экситонов и экситонные комплексы, поляритоны,
экситонные конденсаты. Каждая из названных систем харак-
характеризуется специфическим набором прямых и непрямых, раз-
разрешенных и запрещенных оптических и безызлучательных
переходов. В настоящем параграфе будут отмечены наиболее
общие и типичные закономерности поглощения и испускания
света экситонами.
Хотя экситон большого радиуса как квантовомеханиче-
ская система напоминает атом водорода и может быть описан
в первом приближении водородоподобными волновыми функ-
функциями и энергетическим спектром (§ 5), имеются принципи-
принципиальные различия в механизме оптических переходов в эксито-
не и в атоме водорода.
Атом водорода, поглощая и испуская свет, всегда оста-
остается заранее заданной системой. В состоянии с номером п—\
он может существовать сколь угодно долго. В то же время
процесс экситонного поглощения света связан с рождением
самого экситона, а экситонное излучение возникает при его
аннигиляции. В основном, состоянии с п=\ экситон в отличие
от атома водорода обладает конечным временем жизни. Сам
124
факт существования экситона свидетельствует о возбужден-
возбужденном состоянии кристалла. Как и атом водорода, экситон мо-
может перемещаться в пространстве, но это движение совер-
совершенно по-разному отражается на спектрах поглощения и ис-
испускания экситона и атома водорода.
Естественные контуры спектральных линий атома опреде-
определяются его внутренним строением. Движение излучающих
атомов приводит к эффекту Допплера — смещению частоты
излучения. Если обозначить частоту излучения покоящегося
атома через щ, то воспринимаемая прибором частота излуче-
излучения со атома, движущегося со скоростью v, будет равна
о = соо ( 1
—A+^-)
(8.1)
Как известно, максвелловское распределение частиц по
скоростям и по проекциям скорости на выделенную ось х
определяется формулами:
dn = n (v) dv = inn
dnx= n(vx) dvx= n
m
2nkT
где
2nkT
n = f n (v) dv = f «¦ (уж) с(уж
g-me./2*r y2dy> (82)
\'/2 -mv2/2kT , ,„ л -
e x ^ж, (8.2a)
— полное число частиц.
Если предположить, что все атомы испускают с одинаковой
интенсивностью, то из (8.1) и (8.2а) следует выражение для
контура линии
• со—со, \г
/(co) = /oe ' 7 , (8.3)
образованного вследствие допплеровского расширения. Ширина ли-
линии у равна
2kT
(8.4)
Согласно (8.3), контур линии излучения движущегося атома
имеет симметричную форму и описывается функцией Гаусса.
Ширина линии прямо пропорциональна тепловой скорости
движения частиц или корню квадратному из kT.
Совершенно другая закономерность наблюдается при эк-
ситонном излучении [101]. Экситон, испустивший квант света,
полностью исчезает. И если в процессе аннигиляции он не
125
взаимодействовал с другими частицами, например фононами,
примесными центрами, дефектами'решетки и т. д., то вся его
энергия, внутренняя и кинетическая, полностью передается
испускаемому фотону.
Поэтому в отличие от эффекта Допплера уширение экситон-
ных линий определяется не проекциями скоростей на ось
наблюдения, а кинетической энергией экситонов. При опре-
определенных условиях, которые будут рассматриваться далее,
форма линий экситонного излучения воспроизводит максвел-
ловское распределение экситонов по энергиям п(Е). Посколь-
Поскольку число частиц, абсолютные значения скоростей которых ле-
лежат в интервале от v до v + dv, равно (8.2), то учитывая ра-
равенство n(E)dE = n(v)dv, находим
2
п{Е) =
п(кТ)~3/2/Ёё
,-E/kT
.(8.5)
Функция (8.5) асимметрична и достигает максимума при
—kT — средней кинетической энергии, приходящейся
на одну степень свободы. График (8.5) будет приведен вместе
с контуром экситонных полос излучения.
Прямые оптические переходы свободных экситонов. Рас-
Рассмотрим полупроводник с простыми параболическими зонами,
в котором максимум валентной зоны и минимум зоны прово-
проводимости реализуются при значении волнового вектора к=0.
Полагая энергию потолка валентной зоны Ev0 равной нулю,
уровни энергии экситона на основании E.15) можно предста-
представить в виде
Е°э
¦ + ¦
2AL
(8.6)
Первые два слагаемых (8.6) характеризуют внутреннюю
энергию эксигона, а последнее слагаемое равно кинетической
энергии его поступательного движения как единого целого.
Зависимость энергии от номера уровня и волнового вектора
экситона представлена на рис. 22.
Как известно, при всех оптических взаимодействиях долж-
должны выполняться законы сохранения энергии и импульса.
Если экситоны взаимодействуют только с квантами света, то
законы сохранения имеют вид
Ь со = Еэп ,
Ка = ки«0, (8.7)
где ки — волновой вектор фотона. В видимой области спектра
OjT
__ 1_ 4<*V / 1 Л . Г\ Г\ 1 /М _ —1 «
значение кх =
126
A,2 -г- 2,5)-104 см \ тогда как средний
Рис. 22. Зависимость энергии прямого (а) и непрямого (б) экситонов от
волнового вектора для различных значений номера уровня
волновой вектор теплового движения экситонов имеет величину
106—107 см'1. В этом легко убедиться, если приравнять послед-
последнее слагаемое в (8.6) среднему значению кинетической энергии
частиц ~kT при азотной или комнатной температурах.
Следовательно, без взаимодействия с третьими частицами
аннигилировать могут только экситоны с пренебрежимо ма-
малыми значениями волнового вектора Ка. Если в (8.6) поло-
положить Кэ=0, из этой формулы будет следовать, что спектр без-
фононной аннигиляции экситонов должен состоять из дискрет-
дискретного ряда узких линий, соответствующих внутренней энергии
экситона. То же самое можно сказать и о спектре, безфонон-
ного поглощения, поскольку при рождении экситонов также
должны выполняться законы сохранения энергии и импульса.
В спектрах бесфононного поглощения и испускания света
полностью отсутствует допплеровское уширение. Хотя эксито-
экситоны удовлетворяют максвелловскому распределению частиц по
скоростям, в испускании бесфононных линий участвуют толь-
только те из них, волновой вектор которых равен ки. Приемник"
излучения регистрирует фотоны, испущенные экситонами,
движущимися к прибору с определенной скоростью. Доппле-
Допплеровское расширение линий должно наблюдаться только при
оптических переходах между экситонными уровнями с различ-
различными номерами п=\, 2, 3 и т. д. Такие переходы полностью
аналогичны переходам в атомных системах.
•ч 127
L
Бесфононные линии излучения, возникающие при анниги-
аннигиляции экситонов, также имеют конечную ширину, но эта ши-
ширина обусловлена не эффектом Допплера, а конечным време-
временем жизни экситонных состояний. Это время жизни часто
определяется вероятностью безызлучательных переходов, ко-
которая может быть значительно больше вероятности излуча-
тельной рекомбинации. Основной механизм неоптических
переходов — это рассеяние экситонов на фононах и дефектах
кристаллической решетки.
Если ограничиться учетом рассеяния экситонов на приме-
примесях, LA- и LO-фононах, то энергетическую ширину бесфонон-
ной линии можно выразить формулой [180]
Ь Асо = h Асо
пр
| B
LA
\BL0 (Ko)\2N°LO, (8.8)
где Л<опр— спектральная ширина линии, обусловленная рассея-
рассеянием экситонов на примесях; Bla (kLA) и BLo (kL0) — матричные
элементы операторов взаимодействия экситонов с акустическими
и оптическими фононами. Для интервала температур, гдеЬсо?,д<<(
<^r<bcoi0, числа фононов, согласно F.33), приближенно
равны
kT ,.о -h<*Lo/kT
hco
LA
и формула (8.8) упрощается:
Ь Асо = Ь Aco
kT
¦пр r\BLA(kLAr-T^- + \BL0(kwfe
Ьсо
LA
(8.8а)
При низких температурах последнее слагаемое в (8.8а)
пренебрежимо мало и зависимость ширины бесфононной ли-
линии от температуры будет линейной. В CdS линейная зависи-
зависимость А(о от Т наблюдается вплоть до 70 °К- Дальнейшее по-
повышение температуры сопровождается резким возрастанием
ширины бесфононной линии в качественном соответствии с
выражением (8.8а).
Теория экситонного поглощения света в полупроводниках
развита Эллиотом [107, 181]. Описывая экситонные состоя-
состояния водородоподобными волновыми функциями и предпола-
предполагая модель простых параболических зон, для коэффициентов
поглощения при прямых разрешенных кр(со) и прямых запре-
запрещенных к3((о) переходов он получил выражения:
2ле2
nm2cco
i
0ч!
э
' ( )
128
/c3(co) =
2mr
3nm2coc h2
5/2
X
дк
ехрг
shz
k=0
где все обозначения такие же, как в § 6, а
я(?э°)!/2
2 =
(Ьсо-?„)
1/2
X
(8.10)
(8.11)
Формулы (8.9) и (8.10) более точно описывают край соб-
собственного поглощения, чем выражения F.30) и F.31), так как
при их выводе учтено электронно-дырочное взаимодействие.
Разница между формулами особенно заметна вблизи края
поглощения. При tua-*Eg, согласно F.30) и F.31), /ср(со) и
/Сз(со) стремятся к нулю, а формулы (8.9) и (8.10) для этого
случая в качестве пределов дают постоянные значения, про-
пропорциональные (^эI/2-
В области больших значений /гсо—Eg~^>E°3, 2-d и выраже-
выражения (8.9) и (8.10) переходят соответственно в F.30) и F.31).
Из теории Эллиота следует также, что в интервале зна-
значений
Eg — ?°<hcu<?g
должна наблюдаться водородоподобная серия линий, причем
интенсивность линий разрешенных переходов убывает с номе-
номером уровня как 1/и3.
Впервые водородоподобный спектр экситона был обнару-
обнаружен Е. Ф. Гроссом и Н. А. Каррыевым в кристаллах закиси
меди [91, 92]. В дальнейшем аналогичные спектры удалось
зафиксировать в CdS, CdSe и других кристаллах [Ю1>
182].
На рис. 23 показан край фундаментального поглощения
тонких кристаллов чистого (концентрация электронов
~1014 см~3, подвижность носителей ~105 см2/в-сек) арсе-
нида галлия при температуре жидкого гелия. Четко видны
максимумы экситонного поглощения, соответствующие экси-
тонным уровням энергии с номерами я=1, 2, 3, оо. Природа
максимумов хи х2 и ступенек pi, p2 не получила однозначного
объяснения [183].
В работе [184] основная и первая возбужденная линии
экситонного поглощения сняты с еще большим разрешением.
Это позволило автору уточнить полученные ранее значения
для энергии связи свободного экситона в GaAs. Эта величина
оказалась равной ?'° = 4,2±0,2 мэв.
9. Зак. 312
129
1,51 Ш Ш Ьш,э6
Рис 23 Тонкая структура края фундаментального поглощения в чистых
эпитаксиальных слоях арсенида галлия при Г=4,2°К. Толщина образцов:
а — 4 мкм; б — 7 мкм
В последние годы достигнуты значительные успехи в раз-
разработке методов теоретического расчета энергии связи экси:
тонов в полупроводниках различных типов [185—188]. Так,
энергия связи свободного экситона в GaAs, полученная в тео-
теории [186], равна 4,1 ±0,12 мэв, что численно совпадает с при-
приведенным выше экспериментальным значением. Это свиде-
свидетельствует о высоком уровне теоретических и эксперименталь-
экспериментальных работ, посвященных изучению экситонного поглощения и
испускания.
Непрямые экситонные оптические переходы. Если мини-
минимум экситонной зоны (рис. 22) расположен не в точке К = 0,
то прямые экситонные переходы запрещены правилом отбора.
Экситон не может передать фотону своего импульса, если его
величина значительна. В этом случае происходят непрямые
оптические переходы, сопровождающиеся поглощением или
испусканием одного или нескольких фононов.
Законы сохранения энергии и импульса можно предста-
представить в виде
] vbfiV, (8Л2)
V
q'
где nq и nq-— числа фононов сорта д и q',
глощенных при оптических переходах;
130
(8.13)
испущенных и по-
/гсоз, ftcv, kg, k,- —
энергии и волновые векторы испускаемых и поглощаемых фо-
фононов. Уравнения (8.12) и (8.13) с верхними знаками описы-
описывают процесс аннигиляции экситона, а с нижними знаками —
рождение экситона.
Они справедливы и для случая, когда минимум экситонной
зоны находится в точке Ктш = 0, поскольку непрямые экситон-
экситонные переходы происходят в обоих случаях. Если Kmin = 0, то
в спектре экситонного излучения будут наблюдаться как бес-
фононные линии, так и их фононные повторения. Если же
Кт1п=И=0, то бесфононных линий не будет.
В § 4 было показано, что при уменьшении до нуля волно-
волнового вектора фонона энергия акустических фононов стремится
к нулю, а оптических — к некоторому постоянному значению
/коо. Это отличие имеет принципиальное значение для взаимо-
взаимодействия фононов с экситонами. Если волновой вектор экси-
экситона мал, то при его аннигиляции может испуститься или по-
поглотиться только оптический фонон, поскольку значение его
волнового вектора может быть пренебрежимо малым, чего
нельзя сказать об акустических фононах. Следовательно, пря-
прямые экситоны, находящиеся при низких температурах на дне
энергетической зоны, взаимодействуют прежде всего с оп-
оптическими фононами, у которых йд«0.
Рассмотрим закономерности непрямых экситонных пере-
переходов на примере кристалла CdS [Ю1], спектр люминесцен-
люминесценции которого при температуре 60 К представлен на рис. 24.
Первая узкая линия соответствует бесфононной аннигиляции
экситонов из состояния я=1. Ее положение в спектре практи-
практически совпадает с узкой линией экситонного поглощения.
Две другие, более широкие, линии сдвинуты относительно пер-
первой в сторону меньших энергий на величину энергии одного
или двух продольных оптических фононов /iculo = 305 см~1
и 2 ftcoLO.
При изменении температуры ширина бесфононной линии
изменяется незначительно, а фононные линии заметно расши-
расширяются. Качественно контуры фононных линий напоминают
асимметричный график функции максвелловского распределе-
распределения частиц по энергии (8.5). Однако более детальное изуче-
изучение контуров одно- и двухфононных линий позволяет устано-
установить некоторые тонкие детали CdS,60°K
механизма их образования |"""
[mi].
Рис. 24. Спектр экситонной люми-
люминесценции кристаллов CdS при Т—
= 60 "К [101]
WS0
131
Рис. 25. Сравнение контуров линий однофононной (а) и двухфононной (б)
аннигиляции экситонов в CdSe (сплошные кривые) с графиками функций
?3/2ехр(—E/kT) (а) и ?'/2 ехр(— E/kT) (б) (штриховые кривые); Г=44°К
(а) и 41 °К (б)
Согласно (8.12), при аннигиляции экситона с испусканием
одного фотона и возбуждением одного оптического фонона в
спектре излучения должна появиться линия, сдвинутая отно-
относительно бесфононной линии в длинноволновую сторону на
величину /гсоьо- В испускании этой линии могут участвовать
экситоны с различным значением волнового вектора К.
Импульс экситона при его аннигиляции передается фонону.
Как было показано ранее (см. рис. 15, 17), частота и энергия
квантов оптических фононов слабо зависит от величины вол-
волнового вектора. Поэтому все оптические фононы, возбуждае-
возбуждаемые в процессе аннигиляции экситонов, будут иметь практи-
практически одну и ту же энергию, а вся избыточная кинетическая
энергия экситонов будет передаваться фотонам. Если бы ве-
вероятность экситон-фононного взаимодействия не зависела от
волнового вектора экситона, то контур линии однофононной
аннигиляции совпадал бы с графиком максвелловского рас-
распределения частиц по энергиям. Расчеты показывают [189],
что вероятность такого взаимодействия примерно пропорцио-
пропорциональна К2, т. е. линейно зависит от энергии. Поэтому можно
ожидать, что контур однофононной линии будет описываться
функцией Максвелла (8,5), умноженной на Е.
Действительно, сравнение экспериментального контура
однофононной линии аннигиляции экситона в кристаллах
CdSe при Г = 44°К с графиком функции ?3'2ехр(—E/kT)
показало их хорошее соответствие [101] (рис. 25, а). В то же
время контур линии двухфононной аннигиляции лучше опи-
описывается функцией Максвелла (8.5), что свидетельствует о
независимости вероятности одновременного возбуждения двух
фононов от волнового вектора экситона. При двухфононной
аннигиляции экситон возбуждает различные фононные пары.
132
Закон сохранения импульса выполняется для многочислен-
многочисленных комбинаций значений импульсов первого и второго фоно-
фононов. Вероятность взаимодействия как Йы усредняется по зна-
значению импульса и перестает от него зависеть. Этот вывод под-
подтверждается теоретическими расчетами [190].
Полуширина двухфононной линии равна полуширине мак-
максвелловского распределения (8.5) и растет с температурой
как 1,9 kT. Полуширина однофононной линии растет еще
быстрее, а именно как 2,9kT [101]. Изменение температуры
не только по-разному деформирует контуры фононных линий,
но и отражается на относительной их интенсивности.
Обозначая интегральные по спектру интенсивности одно-
и двухфононных линий через h и /г, зависимость отношения
/1//2 от температуры можно представить в виде
?3/2 -E/kT ^
= С —¦
.-E/kT
dE
- = — CkT,
2
(8.14)
где С = const.
Такой линейный рост отношения интенсивностей фононных
линий наблюдается в кристаллах CdS и CdSe [101].
Хорошее согласие теоретических и экспериментальных
результатов, относящихся к экситонной люминесценции, слу-
служит прямым доказательством того, что экситоны в кристаллах
совершают поступательное движение, характеризуются целым
спином и подчиняются статистике Бозе — Эйнштейна.
В таких непрямозонных полупроводниках, как кремний и
германий, образуются только непрямые экситоны с Ктт=?^0.
Поэтому в спектре их экситонной люминесценции бесфонон-
ная линия не наблюдается.
Контур однофононной линии поглощения, согласно [181],
выражается формулой
А I р° V/2
*1(Сй)==1пГ (hC°~?g~ -^b±ha4 ' (8Л5>
где А не зависит от со.
При учете переходов со всех экситонных уровней зависи-
зависимость суммарного коэффициента поглощения от частоты да-
дается выражением [107, 126, 181]
const (?°J
к(<в)
exp °
V kT
1
hco
— zdz
1— ехр(— 2//z)
(8.16)
133
где ¦
(Ь со — Eg ± Ь со J.
(8.17)
Для энергий кванта hco;
. . const
к(со) = —
э
Еа
из (8.16) следует простая формула
2 (Ё.
¦OU/2
ехр
Ьсол
— 1
Зя2Ьсо
(Ь со — Е„ ± h со,)'
3/2
Если Ь со
/С@))=
¦Eg, то формула (8.16) переходит в выражение
const 1 ,,.„».
(8.18)
ехр
16я3Ьсо
I
kT J (8.19)
совпадающее с формулой для к (со), полученной без учета эк-
ситонов (см. F.35)).
Поскольку время жизни экситона достаточно велико для
установления равновесного распределения по уровням энер-
энергии, то можно пользоваться универсальным соотношением
между спектрами поглощения и люминесценции.
Если фоном теплового испускания можно пренебречь,
а возбуждение не очень интенсивно (AF<^h(a), то на основа-
основании G.18) и (8.15) спектр однофононной люминесценции мож-
можно выразить приближенной формулой
= А — е~ЫчкТ (Ь со - Ей - ?%2 ± Ь соаI/2, (8.20)
Я2У2
где Ь со' = Ь со — Eg— ?%2 ± Ь сод.
Недавно с большой точностью был снят контур экситон-
фононной линии излучения в чистом германии при температу-
температуре жидкого геллия [191]. Авторы сравнили эксперименталь-
экспериментальные результаты с контуром линии, рассчитанным но формуле
(8.20), в которой энергия фонона /kog взята со знаком минус
(рис. 26).
Как видно, на коротковолновом крае контура линии име-
имеется некоторое расхождение теории и эксперимента. Оно свя-
связано с расщеплением основного экситонного состояния. Рас-
Расстояние между подуровнями равно 0,8 мэв. Чтобы внести по-
поправку на это расщепление, теоретически рассчитанный контур
линии аппроксимируется функцией
/(Ьсо)== А
где АЕ = 0,40 мэв.
kT
D1п2) (х — Ef
Д?2
dx,
(8.21)
134
Рис. 26. Контуры экситон-фонон-
ной линии излучения чистого гер-
маиия при гелиевой температуре.
Сплошная кривая — эксперимен-
экспериментальная, штрнх-пунктирная рас-
рассчитана по формуле (8.20). Кре-
Крестиками показана поправка на
расщепление основного экситонно-
экситонного состояния. Штриховая кривая
внизу — график функции (8.22)
Так как распределение
экситонов по уровням энер-
энергии описывается функцией
Больцмана, то на верхнем
подуровне основного состо-
состояния экситона их будет в
ехр(—0,8 мэв/kT) раз мень-
шязб
ше, чем на нижнем подуровне. Кроме того, линия излучения,
возникающая при оптических переходах с верхнего подуровня,
будет смещена в спектре на 0,8 мэв в коротковолновую сторо-
сторону по отношению к линии, обусловленной аннигиляцией экси-
экситонов с нижнего подуровня. Поэтому поправка к теоретическо-
теоретическому контуру линии будет равна
/'(Ьсо + 0,8 мэв) = / (Ьсо) е-°-8м^кТ. (8.22)
С учетом этой поправки достигнуто хорошее согласие теории
и эксперимента (рис. 26). Аналогичные результаты получены
для чистого кремния.
Тонкая структура экситон-фононного излучения кремния
при 1,8°К зарегистрирована в работе [192]. Используя мето-
методы модуляционной спектроскопии [193], по измеренному зна-
значению производной Д?(со)/Д/гсо авторы определили матричные
элементы оптических переходов непрямых экситонов с испус-
испусканием ТО-, LO- и ГЛ-фононов.
Связанные экситоны. Для образования экситона необяза-
необязательно, чтобы электрон и дырка могли свободно перемещаться
по кристаллу. В состав экситона может входить электрон или
дырка, локализованные около примесных центров. Такой эк-
ситон также будет локализован около примеси и будет назы-
называться связанным [194].
Экситон, связанный с ионизованным донором или акцепто-
акцептором, можно представить как дырку, связанную с нейтраль-
нейтральным водородоподобным . донором, или как электрон, связан-
связанный с нейтральным акцептором. Иначе говоря, экситон обра-
образуется около донора или акцептора за счет присоединения к
примесному центру одной заряженной частицы.
135
2п\
2J8 W ?20 Z2f ?22 2,23 № 2,25 if В U7 2,28 129
Рис. 27. Спектр фотолюминесценции кристалла GaP, легированного крем-
кремнием и серой при 1,6 °К- Реперные линии рубидия обозначены Rb, а линии
связанных экситонов — А, В, С
Если к примеси одновременно 'присоединяются электрон я
дырка, то образуется экситон, связанный на нейтральном до-
доноре или акцепторе.
Поскольку связанный экситон не может перемещаться по
кристаллу, его кинетическая энергия близка к нулю. Поэтому
ширина линий излучения связанных экситонов, как правило,
значительно меньше, чем у свободных экситонов.
Основной уровень связанного зкситона расположен ниже
уровня п—\ свободного экситона. Зазор между этими уровня-
уровнями равен энергии связи экситона с ионизованным или ней-
нейтральным примесным центром. Поэтому линии связанных
экситонов смещены в длинноволновую часть спектра по отно-
отношению к линиям излучения свободных экситонов. Если обозна-
обозначить энергию ионизации примеси через Ei, то энергия связи
экситона с примесным центром должна удовлетворять нера-
неравенствам [195]
0,055?;<?эсв<0,33?г. (8.23)
Нижний предел в (8.23) соответствует энергии отрыва элек-
электрона от отрицательно заряженного водородоподобного доно-
донора, а верхний предел — диссоциации водородоподобной мо-
молекулы.
Экспериментально установлено, что в кремнии ЕТ я^0,\Е{.
Это значение укладывается в теоретические пределы (8.23).
В излучении некоторых экситонных комплексов может про-
проявляться тонкая структура, аналогичная вращательной струк-
структуре молекулы водорода [194, 496].
Экситонные спектры люминесценции могут иметь весьма
сложный вид, если в излучении одновременно проявляется ан-
аннигиляция свободных и разнообразных связанных экситонов.
На рис. 27 для примера показан спектр экситонной люмине-
люминесценции кристалла GaP.
136
В реальных кристаллах зависимость энергии разрешенных
зон от волнового вектора Е(к) часто выражается довольно
сложной функцией, имеющей несколько максимумов и мини-
минимумов. Зоны энергии в различных точках k-пространства мо-
могут быть вырожденными и расщепленными.
Если валентная зона состоит из трех подзон, то в спектре
экситонного излучения наблюдается не одна, а три водородо-
подобных серии линий, или серии А, В, С. Серия А — наибо-
наиболее длинноволновая — относится к верхней подзоне валент-
валентной зоны, серия В — к средней подзоне, а С — к самой ниж-
нижней подзоне.
В кристалле CdSe наблюдалось [197] 12 линий Л-серии,
12 линий В-серии и 2 линии С-серии. Теоретически этот вопрос
рассматривался в работе [198].
Светоэкситоны (поляритоны). До сих пор экситон боль-
большого радиуса рассматривался как квазичастица, подобная
атому водорода или позитронию. Однако известно, что в ми-
микромире каждой частице соответствует волна и, наоборот, лю-
любой волновой процесс можно описать на языке корпускул.
Двойственную корпускулярно-волновую природу имеют элект-
электроны, фотоны, фононы, плазмоны, магноны и другие частицы.
Экситоны также не являются исключением. Их можно рас-
рассматривать как поляризационные волны в кристалле.
Предположим, что в кристалле одновременно распростра-
распространяются экситоны и фотоны. Зависимость энергии фотонов от
их волнового вектора равна
?ф = Ьсй/п, (8.24)
а связь энергии экситона с его волновым вектором дается
формулой (8.6). Графики (8.6) и (8.24) приведены на рис. 28
(пунктирные кривые).
Как видно из рисунка, имеются экситоны и фотоны, кото-
которые характеризуются весьма близкими значениями волново-
волнового вектора и энергии. В области, где волновые векторы и энер-
энергии этих частиц близки, возникают
волны смешанного типа [97, 199—201].
Дисперсионные кривые таких волн
плавно переходят от кривой дисперсии
фотонов к кривой дисперсии для чис-
чистых экситонов. Квазичастицы, соответ-
Рис. 28. Кривые дисперсии для фотонов A),
экситонов B) и поляритетов (сплошные
кривые)
ствующие такому закону дисперсии, называются светоэксито-
нами или поляритонами. Светоэкситон одновременно обладает
и свойствами экситона, и свойствами фотона. Как экситон он
рассеивается на фононах, а достигнув границы кристалла, мо-
может выйти из него как обычный фотон.
Как отмечалось выше (§ 5), введение представления об
экситонах явилось значительным шагом вперед по сравнению
с одноэлектронной зонной теорией кристаллов. Разработка
модели светоэкситонов означает дальнейший прогресс в раз-
развитии наших представлений о реальных процессах в твердом
теле. Из теории следует, что в отличие от экситонов бес-
фононное поглощение и испускание света поляритонами мо-
может носить нерезонансный характер, т. е. линии поглощения
и испускания смещены в спектре. Это происходит потому, что
в поглощении и испускании света участвуют светоэкситоны,
соответствующие различным участкам дисперсионной кривой
?(к). Основной вклад в поглощение вносят поляритоны, у ко-
которых достаточно хорошо представлены свойства механиче-
механических экситонов, способных рассеиваться на фононах. Наобо-
Наоборот, наибольшую вероятность выхода из кристалла имеют све-
светоэкситоны, которые слабо рассеиваются на фононах, т. е. в
меньшей степени обладают свойствами экситонов и в большей
степени свойствами чистых фотонов. Имеются различия и в
форме линий поглощения поляритонов и чистых экситонов
[111,202].
Неравновесное распределение экситонов по кинетической
энергии. Обычно время жизни экситонов достаточно велико
для того, чтобы до своей аннигиляции они успели провзаимо-
действовать с колебаниями кристаллической решетки и терма-
лизоваться. Как было показано выше, в этом случае распре-
распределение экситонов по кинетической энергии описывается функ-
функцией Максвелла (8.5), что подтверждается своеобразной
формой спектров экситонной люминесценции.
Однако если уменьшать время жизни экситонов, напри-
например, за счет увеличения вероятности их безызлучательной ре-
рекомбинации, то должен наступить такой момент, когда време-
времени жизни экситонов будет недостаточно для их термолизации.
Одним из экспериментальных методов обнаружения неравно-
неравновесного распределения экситонов по энергии может служить
исследование спектров горячей люминесценции (§ 7). Таким
методом был исследован процесс термализации экситонов в
кристаллах CdS [201, 203, 204]. Были исследованы кристаллы
двух типов: с большим квантовым выходом люминесценции
и с малым квантовым выходом. В кристаллах первого типа
спектр люминесценции не зависит от частоты возбуждающего
света. Это означает, что до аннигиляции экситонов устанавли-
устанавливается их равновесное распределение по скоростям.
138
Рис. 29. Смещение в длинноволновую область полосы люминесценции ко-
роткоживущих экситонов в CdS с увеличением длины волны возбуждающе-
возбуждающего света, Г=77°К: <ов (/)>«)„ B)>шв C)
Квантовый выход люминесценции, а следовательно, и вре-
времена жизни экситонов G.58) кристаллов второго типа были
значительно меньше, чем в кристаллах первого типа. При изме-
изменении энергии квантов возбуждающего света /ков в пределах
(Ей -
> Ь сов >(Eg -
Ь со?
(8.25)
полоса экситонной люминесценции перемещается в спектре
на значительную величину (рис. 29). Здесь Её—?° —энергия
дна экситонной зоны; h(aLo — энергия продольных оптических
фононов. Положение полосы экситонной люминесценции в
спектре не меняется, если энергию квантов возбуждающего
света увеличить на целое число квантов Аоаьо.
Если в спектре люминесценции кристаллов второго типа
выделить некоторый интервал и фиксировать излучение толь-
только в этом интервале, то в зависимости от частоты возбуждаю-
возбуждающего света наблюдаются явно выраженные колебания интен-
интенсивности люминесценции [203, 204]. Их можно представить
как полосы в спектре возбуждения люминесценции, наблюдае-
наблюдаемой в заданном спектральном интервале. Расстояние между
соседними полосами в точности равно /гсоьо, а их положение в
спектре зависит от выбора участка, где регистрируется люми-
люминесценция.
Изложенные экспериментальные данные объясняются на
основании следующего механизма термализации и аннигиля-
аннигиляции экситонов. При возбуждении кристалла квантом света
fr(uB>Eg + fUiiLo образуется один экситон и один или два фо-
ьона. Кинетическая энергия экситона в момент его образова-
образования равна
Е3 = Ь со — Еэ — s Ь (OLO ,
(8.26)
где s — число фононов, возникших при образовании экситона.
139
Она быстро уменьшается за счет испускания серии продоль-
продольных оптических фононов. Процесс испускания LO-фононов в
полупроводниках является самым быстрым среди других ре-
релаксационных процессов. Он характеризуется временем взаи-
взаимодействия То, которое в некоторых кристаллах имеет поря-
порядок 10~13 сек [204—206J.
Кинетическая энергия экситонов после их взаимодействия
только с LO-колебаниями кристаллической решетки может
сильно отличаться от средней кинетической энергии частиц
при заданной температуре. В зависимости от частоты возбуж-
возбуждающего света преобладают либо горячие, либо холодные
экситоны (рис. 30). В момент образования экситоны имеют энер-
энергию Еэ, а после испускания серии LO-фононов они характери-
характеризуются энергией Е' и функцией распределения п' (Е). В даль-
дальнейшем начинает проявляться более медленный процесс взаи-
взаимодействия экситонов с акустическими фононами и за время
т» может установиться их равновесное распределение по уров-
уровням энергии, если время жизни экситонов т будет не меньше та.
Если т меньше та, то распределение экситонов будет неравно-
неравновесным. Оно будет зависеть от частоты возбуждающего света
и в той или иной степени отражать характер первоначальной
функции распределения п'э(Е) (рис. 30).
Варьируя частоту возбуждающего света, авторам [201]
удалось перемещать максимум неравновесной населенности
экситонов в пределах 3 мэв и наблюдать горячую люмине-
люминесценцию.
Кинетические уравнения. Процессы образования и анниги-
аннигиляции экситонов вместе с процессами межзонных оптических
переходов можно описать с помощью уравнений баланса ско-
скоростей или кинетических уравнений. Для этого необходимо
определить скорости образования и исчезновения экситонов.
Рассмотрим вначале собственный полупроводник, в котором
имеются только свободные экситоны.
Из всех возможных механизмов образования экситонов
два являются основными. Во-первых, экситоны возникают в
результате связывания свободных электронов и дырок. Обо-
Обозначая вероятность этого процесса
t через у, скорость образования экси-
экситонов Ro6p можно выразить фор-
формулой
o6 (8.27)
Рис. 30. Схема процесса термализации экси-
экситонов [204]
140
Рис. 31. Схема оптических и без-
ызлучательных переходов в собст-
собственном полупроводнике с учетом
образования диссоциации и ре-
комбинационной аннигиляции сво-
свободных экситонов
tnp
л
ев
Lro
В собственном полупроводнике концентрации электронов и дырок
равны, поэтому Ro6p равно также уп2 = ур2.
Во-вторых, при возбуждении полупроводника светом, энер-
энергия квантов которого йшп соответствует экситонным полосам
поглощения, экситоны образуются непосредственно из-за ча-
частичного ослабления валентных связей, удерживающих элек-
электрон в валентной зоне. Свободные носители заряда при этом
не создаются. Скорость образования экситонов таким путем
равна
Si (ш) Аш =
к (ш)
(8.28)
где Wn и к(ш) — мощность и коэффициент экситонного поглоще-
поглощения; S| = Si(ш) Аш — плотность потока возбуждающего света.
Если обозначить вероятность аннигиляции экситона с
испусканием кванта света через е, а вероятности его неопти-
неоптической аннигиляции и диссоциации на свободные электрон и
дырки через q3 и а соответственно, то скорости указанных про-
процессов можно представить в виде:
ЯГ - еяэ, (8-29)
Rf^qn3, (8.30)
Rfc^an3. (8.31)
В принципе при составлении уравнений баланса необходи-
необходимо учитывать способность экситонов перемещаться в про-
пространстве. Они могут возникнуть в одном участке кристалла,
а аннигилировать в другом, что отражается на балансе ско-
скоростей. Однако поскольку во многих случаях диффузией эк-
экситонов можно пренебречь, будем считать экситоны непод-
неподвижными. Тогда для элементарного объема справедливы ки-
кинетические уравнения (рис.31):
141
dn
dt
dna
dt
(8.32)
(8.33)
к которым необходимо добавить уравнение электронейтральности:
п — р. Здесь RB — скорость образования электронно-дырочных пар
при возбуждении полупроводника квантами света hw>Eg, Acv
и qco — вероятности излучательной и безызлучательной межзонной
рекомбинации. Границы применимости выражения Апр — Вир рас-
рассмотрены в § 6.
При стационарном режиме облучения (8.32) и (8.33) переходят
в систему нелинейных алгебраических уравнений, так как dnjdi—
= dnjdt = 0.
Решение этой системы имеет вид:
-[*
(е
+ а)
qCv)
1/2
-I-
qcv + a) Rl + VRB
(8.34)
,a . (8.35)
(ACy + qcv + a) (e + qa) -f a (Acv + qcv)
Полагая в (8.34) и (8.35) RB = 0 либо Rl = 0, получим концент-
• рации электронов и экситонов при возбуждении только в экситон-
экситонной полосе поглощения либо только при межзонном поглощении. На
основании (8.34) и (8.35) находим скорости люминесценции при
межзонной рекомбинации R"cv и экситонной аннигиляции
t\cv — rtcv n —
[(в
+ a) RB + aRl]
; 7~i
(a + Acv + qCv) (e Jr qs) + a (Ac
e [(Aq, + qCv + V) ^вэ + У#в
, (8.36)
__ _ г V^bJ (8 37)
'VE ~"э (Acv + qcv + a)(e + q3) + a(ACv + qcv)
Как видно из последних формул, в рамках линейной оптики,
т. е. пока коэффициент поглощения не зависит от интенсивно-
интенсивности возбуждения, скорости -межзонной и экситонной люмине-
люминесценции являются линейными функциями интенсивности воз-
возбуждающего света. Если вероятность диссоциации экситонов
а = 0, то концентрация электронов и скорость межзонной ре-
рекомбинации не зависят от возбуждения в экситонной полосе
поглощения R\. При y = 0 скорость аннигиляции экситонов не
зависит от межзонного возбуждения.
Отношение скоростей межзонной и экситонной люмине-
люминесценции равно
qcv + V)
142
где I = RJRL
При изменении l от 0 до оо (8.38) изменяется
пределах
а
е (Acv + qCv + а) гу
Если возбуждение производится в одном канале (RB = 0 или
Rl — 0), то отношение скоростей межзонной и экситонной люми-
люминесценции не зависит от интенсивности юзбуждающего света.
В условиях термодинамического равновесия скорости свя-
связывания свободных электронов и дырок в экситоны и диссо-
диссоциации экситонов равны:
упоро = ап°э . (8.39)
Это позволяет найти связь между параметрами у и а. По ана-
аналогии с формулами C.9) и C.10) концентрацию экситонов
представим в виде
«э = N3e~<?g~?°)/"', (8.40)
где
—э | (8.41)
2лЬ2 j
— эффективная плотность экситонных состояний [207]; Ма=те-\-
-U mh—масса экситона. При выводе (8.40) учтено, что электрон
и дырка, входящие в состав экситона, образуют два состояния
с параллельными и два с антипараллельными направлениями
спинов.
Подставляя C.9), C.10) и (8.40) в (8.39), находим
NCN,, -Е°/кт / mrkT
2л h2
3/2 -E°/kT
e э • (8.42)
Здесь тТ = memh (me + mh) l — приведенная масса экситона. При
низких температурах, когда kT <C ?°, величина а может быть
пренебрежимо малой. С повышением температуры а быстро воз-
возрастает, поскольку энергия связи экситона El обычно невелика.
Уравнения типа (8.32) и (8.33) легко составить и для других
сложных процессов. Например, тушение экситонной фотолюминес-
фотолюминесценции кристаллов ZnTe в электрическом поле с учетом реком-
рекомбинации через примесные состояния описывается следующей сис-
системой уравнений [208]:
RB + (а + nw) п3 — (Acv +
dt
dna
dt
dt
= ynp — (a + nw + e) пэ,
— Y) nP — Cin Wi — ni)>
(8.43)
143
где ttw — вероятность ударной ионизации экситонов в элек-
электрическом поле, параметр w зависит от величины приложен-
приложенного электрического поля; Af, и П{ — концентрация примеси и
число электронов на примесных уровнях; Сг и / — суммарные
(оптические и неоптические) вероятности переходов зона про-
проводимости — примесь и примесь — валентная зона.
К системе уравнений (8.43) необходимо добавить уравне-
уравнение электронейтральности
р = п + nit
если полупроводник р-типа, и
(8.44)
(8.45)
для полупроводников и-типа.
С помощью (8.43) — (8.45) качественно удается описать
ряд наблюдаемых закономерностей в экситонной фотолюмине-
фотолюминесценции. Аналогичные уравнения, но с пренебрежением неко-
некоторыми вероятностями переходов использовались в [207, 209].
Кинетические уравнения сильно усложняются для полу-
полупроводников, в которых имеются донорные и акцепторные при-
примеси разных сортов и кроме свободных экситонов образуются
связанные экситоны различных типов. В таких случаях, исхо-
исходя из конкретной постановки задачи, необходимо с самого на-
начала приравнять нулю вероятности процессов, которыми мож-
можно хотя бы в первом приближении пренебречь. Это значитель-
значительно упрощает все расчеты. Примеры такого подхода можно
найти в [210,212].
С помощью кинетических уравнений было показано [209],
что интенсивность фотолюминесценции связанного экситона
выражается формулой
(8.46)
где
+ аГ3/2ехр(—
2яЬ2
3/2
(8.47)
/0 — значение интенсивности фотолюминесценции при Т = 0.
Хотя формула (8.46) носит приближенный характер, она хо-
хорошо описывает наблюдаемую температурную зависимость
интенсивности фотолюминесценции экситона в GaP, связан-
связанного на изоэлектронной ловушке. Из сопоставления теорети-
теоретической и экспериментальной кривых I(T) была определена
энергия связи экситона на ловушке Е% — 0,02\ эв.
Правило Урбаха. Согласно зонной теории, в собственных
полупроводниках должны быть резкие границы между разре-
144
шенными и запрещенными зонами энергии. Поэтому коэффи-
коэффициенты поглощения, например, при прямых разрешенных
F.30) и прямых запрещенных F.31) переходах равны нулю
для всех энергий квантов света hay^Eg. На опыте, однако,
никогда не наблюдаются такие резкие границы в спектрах по-
поглощения. В 1953 г. Ф. Урбах [213] установил, что в щелочно-
галоидных кристаллах на краю поглощения коэффициент по-
поглощения не обращается в нуль, а убывает по экспоненциаль-
экспоненциальному закону:
СГ (ц ш„ — и ш; | .q .„,
Г о (h ш0 — h ш) I
| *—^ >-\
где ко, ©о и а — энергетические параметры, характеризующие
кристалл. Зависимость 1пк(ш) от йш выражается на графике
прямой линией, тангенс угла наклона которой равен a/kT.
В дальнейшем оказалось, что такая форма края поглоще-
поглощения, получившая название правила Урбаха, наблюдается и в
других кристаллах при различных механизмах оптических
переходов и в .частности при экситонном механизме поглоще-
поглощения света.
В работах [214—216] формула (8.48) получена теоретиче-
теоретически в предположении, что край полосы поглощения форми-
формируется свободными экситонами, взаимодействующими с опти-
оптическими фононами с энергией ftw?. Для параметра о получено
аналитическое выражение
2kT ,.
о = v0 —— th
2kT
(8.49)
где его — независящий от температуры параметр, обратно
пропорциональный константе экситон-фононного взаимо-
взаимодействия. На основании детального исследования края погло-
поглощения в широком интервале температур и коэффициентов
поглощения показана справедливость правила Урбаха для
полупроводников типа AnBlV [217—219] и исследован пара-
параметр о в зависимости от радиуса экситона, степени ионности
и других характеристик кристалла.
Формула Урбаха получается также при рассмотрении
электрон-фононного взаимодействия [220].
В сильно легированных полупроводниках экситоны не
образуются из-за сильного экранирования' кулоновского
взаимодействия. Однако экспоненциальное убывание коэффи-
коэффициента поглощения наблюдается и в этом случае. Для теоре-
теоретического объяснения такой закономерности привлекается ме-
механизм образования хвостов плотности состояний в зоне про-
проводимости и валентной зоне (§ 2) [57, 64, 221]. Легко показать
с помощью простых расчетов, что появление экспоненциаль-
10. Зак. 312
145
ного хвоста плотности состояний в зоне проводимости влечет
за собой образование размытого края поглощения, который
описывается формулой типа (8.48).
Пусть плотности состояний на хвосте зоны проводимости
и в валентной зоне выражаются формулами (см. C.8)):
?с(?с)= = ?со е<?е~?со)/Я°'2 (8.50>
где обычно параметр E0<Eg, а Ес0 лежит в пределах хвоста
зоны проводимости. Предположим, что валентная зона полно-
полностью заполнена, зона проводимости пуста, а вероятности опти-
оптических переходов с участием хвоста плотности состояний не
зависят от ю и волнового вектора к. Тогда коэффициент по-
поглощения будет равен
к (ю) = В
ti<o+Ev
L
Ес-Есо
Е.
(8.51.)
Параметр В в (8.51) не зависит от ш, а энергии исходного Ev n
конечного Ес состояний при оптических переходах, соответст-
соответствующих поглощению кванта света с энергией Йю, связаны соот-
соотношением Ec — Ev = Йсо. Учитывая эту связь и вводя новую-
переменную интегрирования
из (8.51) получим
к (ю) = BEl'2 ехр
(8.52)
Так как Подынтегральное выражение в (8.52) быстро убывает
с ростом х, ate» Eo, то верхний предел интегрирования можно
расширить до оо. Тогда получим
У л
BEl
(8.53)
что соответствует правилу Урбаха.
Аналогичные результаты получаются, если предположить,
что хвост образуется только около валентной зоны. Фактиче-
Фактически хвосты зоны проводимости и валентной зоны образуются
одновременно.
Однако при определенных условиях на опыте может про-
проявляться либо только хвост зоны проводимости, либо хвост
146
валентной зоны. В вырожденных полупроводниках р-типа
уровень Ферми может находиться в валентной зоне ниже
хвоста плотности состояний. Наличие такого хвоста, свобод-
свободного от электронов, не отразится на характере зависимости
коэффициента поглощения от со. Наоборот, в полупроводниках
«-типа уровень Ферми заходит в зону проводимости. Полно-
Полностью заполненный электронами хвост плотности состояний
зоны проводимости тоже не будет участвовать в оптических
переходах. Таким образом, имеется возможность по отдельно-
отдельности исследовать форму хвостов зон и по наклону графиков
А1пк(сй)/Айш определить значение параметра Ео для обеих
зон.
§ 9. ОПТИЧЕСКИЕ ПЕРЕХОДЫ
В ПРИМЕСНОМ ПОЛУПРОВОДНИКЕ
Эффект Бурштейна—Мосса. Поглощение и испускание све-
света любым веществом определяется тремя факторами: энерге-
энергетической структурой вещества, населенностью уровней энергии
и вероятностями оптических переходов. Всякое воздействие на
вещество, приводящее к изменению его спектров или других
характеристик поглощения и испускания, прежде всего отра-
отражается на значении указанных факторов. При введении в по-
полупроводник примесей, особенно в большом количестве, мо-
могут заметно измениться все три характеристики вещества.
Во-первых, в запрещенной зоне появляются новые уровни и
даже зоны разрешенных значений энергии, ширина запрещен-
запрещенной зоны уменьшается, границы зон становятся нерезкими
(§ 2). Во-вторых, распределение электронов и дырок по уров-
уровням резко изменяется, уровень Ферми при переходе от полу-
полупроводника «-типа к полупроводнику р-типа смещается на
величину порядка Eg (§ 3). В-третьих, вследствие возмуще-
возмущения волновых функций, описывающих движение электронов в
зонах, изменяются вероятности оптических и неоптических
переходов, открываются новые каналы поглощения света и
рекомбинационного излучения. Важнейшие из них будут рас-
рассмотрены в этом параграфе.
Остановимся вначале на изменении межзонного поглоще-
поглощения, связанного с изменением населенности зон.
В 1953 г. Е. Бурштейн [222] обнаружил значительное
смещение края полосы поглощения в коротковолновую об-
область при легировании полупроводника. В кристалле InSb
с собственной проводимостью край основной полосы поглоще-
поглощения лежит в области 7,2 мкм. После легирования образца до-
донорами до концентрации 5-Ю18 см3 край полосы сместился в
область 3,2 мкм. Это явление, наблюдавшееся также
Т. С. Моссом и объясненное в работах [222, 223], получило
10*
147
назва'ние эффекта Бурштейна— Мосса. Оно связано с запол-
заполнением зоны проводимости электронами. Как показано в § 7,
оптические переходы в полупроводниках возможны только
при условии, что исходное состояние занято электроном, а ко-
конечное пусто. В антимониде индия эффективная масса элек-
электрона мала — те=0,03 т, поэтому плотность состояний в зо-
зоне проводимости C.8) также мала, а уровень Ферми быстро-
повышается, когда концентрация электронов становится боль-
больше, чем 1017 см~3.
Эффект Бурштейна — Мосса в германии исследовался ра-
ранее [224]. Зависимость коэффициента поглощения от концен-
концентрации примеси в GaAs рассчитана в работе [225].
Приближенно эффект Бурштейна — Мосса в прямозонных
полупроводниках можно рассчитать на основании решения
уравнения электронейтральности (§ 3)
с помощью формул для коэффициентов поглощения:
оо
= т Гgv {Ev) gc {Ec) [fe {Ev)"fe
(9-2>
(9-3)
Здесь к° (со) выражается формулой F.30) и равно значе-
значению Ki(w) при условии, что все состояния в валентной зоне
с энергией Ev заняты, а все состояния зоны проводимости Ес
свободны. Формула (9.2) справедлива при разрешенных пря-
прямых оптических переходах с сохранением правил отбора по
волновому вектору. В другом крайнем случае, когда вероят-
вероятность перехода не зависит от величины волнового вектора
начального и конечного электронных состояний, коэффициент
поглощения определяется выражением (9.3), где постоянная
А, согласно F.22) и F.24), равна
4л2 Йе2
А =
ппг2с
¦\М
кк'\
(9.4)
Иногда при определении положения уровня Ферми в при-
примесном полупроводнике предполагают, что мелкие примес-
примесные центры полностью ионизованы. Численные решения урав-
уравнения электронейтральности для арсенида галлия «-типа
[225] показывают, что это предположение приближенно вы-
выполняется только в слабо- или среднелегированных полупро-
полупроводниках. Расчеты проводились для гауссовой формы примес-
148
Рис. 32. Эффект Бурштейна—Мосса в GaAs n-типа при 77 °К [225]. С уве-
увеличением концентрации доноров фиксированное значение коэффициента
поглощения, связанного.с оптическими переходами зона—зона (/) и зона—
примесь B) без правил отбора и зона — зона с выполнением правила от-
отбора по волновому вектору C), смещается в сторону больших энергий.
Точками показаны результаты эксперимента [226]
ной зоны, ширина которой увеличивается как корень квадрат-
квадратный из концентрации примеси B.55). Уже при iVd=1017 см~3
и Г=77°К ионизована только половина доноров. С дальней-
дальнейшим ростом концентрации доноров уровень Ферми смещается
в зону проводимости, а вероятность заполнения примесной
зоны увеличивается до единицы. Край полосы поглощения де-
деформируется. Если построить семейство графиков зависимос-
зависимости к (со) при различных значениях N<i и провести прямую, па-
параллельную шкале частот со, на некоторой высоте, где отрез-
отрезки кривых к (w, Nd) смещаются примерно параллельно друг
другу, то точки пересечения прямой с семейством графиков
будут характеризовать сдвиг Бурштейна — Мосса.
На рис. 32 показана теоретически рассчитанная зависи-
зависимость положения в спектре фиксированного значения коэффи-
коэффициента поглощения от концентрации доноров для переходов
зона — зона и зона — примесь без правил отбора и зона —
зона с выполнением правила отбора по волновому вектору.
Видно, что лучшее согласие с экспериментальными точками
получено для случая переходов без правила отбора как в зо-
зону проводимости, так и в примесную зону. Некоторое несоот-
несоответствие расчетных значений края полосы поглощения с
экспериментальными данными практически полностью устра-
устраняется, если учесть сужение запрещённой зоны полупровод-
полупроводника при легировании, обусловленное обменным и кулонов-
ским взаимодействием свободных носителей [225].
Приближенно увеличение оптической ширины запрещен-
запрещенной зоны с ростом концентрации доноров для модели парабо-
параболических зон с правилом отбора по волновому вектору можно
149
оценить с помощью первой формулы F.26). Если уровень
Ферми Fo заходит в зону проводимости, то практически все
состояния с энергией Ecs^F0—4kT будут заняты электронами.
Полагая в F.26) Ec = F0—4kT, находим минимальное значе-
значение энергии кванта, при котором начинается поглощение [8]:
[
= Eg
Fo - Ес0 - Ш)
(9.5)
\ п I
Это значение йштт можно рассматривать как оптическую
ширину запрещенной зоны. Она не совпадает с расстоянием
между дном зоны проводимости Ес0 и потолком валентной
зоны.
Сравнение величины E°g, рассчитанной по формуле (9.5), с
экспериментальными данными для tt-InSb, легированного селеном
и теллуром, проведено в работе [227].
Захват и эмиссия носителей заряда дефектами кристалла.
Здесь под дефектами подразумеваются любые локальные от-
отступления от периодической структуры кристалла и в первую
очередь мелкие и глубокие примесные центры. В § 3 уже отме-
отмечалось, что появление примесных центров в кристалле приводит
к перераспределению электронов по уровням энергии. Один,
два или даже три электрона, локализованных на донорном
уровне, могут покинуть его и перейти в зону проводимости.
С другой стороны, однократно или многократно ионизованный
донорный центр захватывает электроны, перемещающиеся по
кристаллу.
Акцепторные центры эмитируют в валентную зону дырки
и захватывают их обратно (рис. 33).
Если один и тот же дефект может захватить электрон из
зоны проводимости и дырку из валентной зоны, то носители
'/Ш//////Ш//ГШ11ГШ1111111НШ1111П/11Ш.
7ff//f/////f//////77777Tf7///////////////
Рис. 33. Оптические и неоптическне переходы в слабо легированном полу-
полупроводнике: 1,2 — эмиссия и захват электрона донорным центром; 3,4 —
эмиссия и захват дырки акцепторным дефектом; 5,6 — заброс электрона
с акцепторного уровня в зону проводимости и его обратный переход; 7,8 —
заброс электрона из валентной зоны на доиорный уровень и его обратный
переход; 9—12 — переходы между глубокими уровнями дефекта и зонами;
13, 14 — переходы между примесными центрами
150
противоположных знаков рекомбинируют на нем и такой де--
фект называют центром рекомбинации. Если же носитель
может эмитироваться дефектом только в ту дону, из которой
он был захвачен, а переходы с другой зоной запрещены пра-
правилами отбора, то такой дефект называется центром прилипа-
прилипания, или ловушкой. Электрон, захваченный ловушкой из зоны
проводимости, не может непосредственно перейти в валент-
валентную зону. Участие такого электрона в других переходах ста-
становится возможным только после обратного заброса его в
зону проводимости. То же самое справедливо относительно
дырок, захваченных ловушками из валентной зоны. Единст-
Единственный переход, который они могут совершить, находясь на
ловушке, это возвращение в валентную зону.
Переходы с участием примесных центров в кристалле бы-
бывают оптическими с поглощением или испусканием квантов
света, неоптическими с поглощением или испусканием фоно-
нов, рекомбинацией Оже (§ 11) и т. д.
Ионизация примесных центров под действием квантов све-
света, или фотоионизация, проявляется в спектрах поглощения.
Очевидно, фотоионизация примесного центра будет возможна
только в том случае, если энергия квантов света не меньше
глубины залегания дефекта Е\. Для мелких водородоподобных
примесных центров значение энергии ионизации Е\ дается
формулой B.52) при значении квантового числа я=1 и имеет
порядок 0,01 эв. Следовательно, полосы поглощения, связан-
связанные с фотоионизацией мелких примесей, необходимо искать в
спектре в области длин волн
X (мкм) =
1,24
Йш(эв)
100 мкм.
Обнаружение таких полос связано не только с техническими,
но и с принципиальными трудностями. В этой области спектра
больших значений достигает коэффициент поглощения света
свободными носителями (§ 10).
Однако в некоторых соединениях энергия ионизации при-
примесей значительно больше 0,01 эв и соответствующие спектры
поглощения зафиксированы на опыте.
На рис. 34, а приведен спектр поглощения, связанный с фо-
фотоионизацией бора в монокристаллах кремния [111, 228].
Энергия пиков поглощения удовлетворяет формуле
где / = 2, 3, 4 — номера возбужденных состояний примеси.
Пики поглощения, обусловленного переходами на более высо-
высокие энергетические уровни, неразличимы, так как они слива-
151
к.сы
-i
w
JO
20
10
¦ II
-
I
/
» t i i
\
1 1 1 1
1 1 1 1
-
-
-
0,05
0,1
0,15
SO
0,5 0,6 Ьч),зВ
Рис. 34. Спектры поглощения, обусловленного фотоионизацией кремния,
легированного бором (а) и фосфида галлия (б), легированного селеном (/),
кремнием B) и теллуром C). Сплошные кривые (б) построены по фор-
формуле (9.6)
ются со сплошной полосой поглощения, образованной пере-
переходами в зону проводимости.
Если зона проводимости состоит из нескольких подзон, то
при фотоионизации донорной примеси электроны могут сразу
забрасываться в верхние подзоны. Тогда спектр поглощения
будет расположен в более коротковолновой области. В фосфи-
фосфиде галлия «-типа, легированном селеном, кремнием или теллу-
теллуром, исследовано поглощение при прямых переходах с донор-
ных уровней в высоколежащую подзону проводимости [229].
Полученные спектры поглощения (рис. 34, б) хорошо опи-
описываются теоретической кривой для коэффициента погло-
поглощения:
32л
теп
щ_
ml
X
¦-31
. р р°
/ко
/ко — Еп +
т:
¦т3
(9.6)
где Nd и E°d — концентрация и энергия ионизации нейтральных
доноров; т* и т* — эффективные массы электронов в нижней Х1
и верхней Х3 подзонах проводимости; ?3i — энергетический зазор
между подзонами в точке X (см. рис. 11); fi3(Ea)—сила осцилля-
осциллятора *>, остальные обозначения прежние.
*) Силой осциллятора fkj называется безразмерная величина, численно рав-
равная отношению вероятности оптического перехода из состояния k в со-
состояние / к вероятности оптических переходов между основным и пер-
152
Вероятности переходов между уровнями примесных цент-
центров и зонами можно рассчитать в рамках теории возмущений
по методу, изложенному в § 6. Основная трудность заклю-
заключается в необходимости предварительного отыскания волно-
волновых функций г|),-, описывающих движение носителей, локали-
локализованных около примесных центров.
Обозначая эффективный периодический потенциал решет-
решетки через V0(r), уравнение Шредингера для таких функций
можно представить в виде
Ф; ~г~ ^о (г) ^г ~Ь ^" (г) ^г~ ^ityi, (9-7)
где V'(r) —потенциальная энергия электрона в поле локаль-
локального дефекта.
Функция V'(r) в целом имеет сложный и в большинстве
случаев малоизученный вид. Однако на больших по сравне-
сравнению с размерами элементарной ячейки расстояниях дефект с
зарядом Ze создает электростатический потенциал, который
можно аппроксимировать формулой для электростатического
потенциала точечного заряда Ze/er, где е—диэлектрическая
постоянная кристалла. В этой области V"(r) равно потенциалу
кулоновского взаимодействия точечных зарядов в среде
V'(r) =
Ze2
er
(9.8)
Вблизи дефекта формула (9.8) неприменима. Поэтому прин-
принципиальное значение имеют размеры электронных орбит де-
дефекта. В неглубоких примесных центрах энергия связи элек-
вым возбужденным уровнями гармонического осциллятора, обладающе-
обладающего собственной частотой 4>k} = (Eh—Ej)/h:
fki =
э?и
2/лсоь
«
(9.9>
где Akj, Bhj, A°q"-, В°§ц —коэффициенты Эйнштейна для спонтанных
и вынужденных переходов между уровнями / и k рассматриваемой
квантовомеханической системы и уровнями 1,0 гармонического осцилля-
осциллятора соответственно; |Dj,j|2 — матричный элемент дипольного момента
перехода.
Силы осциллятора удовлетворяют правилу сумм, согласно которому
сумма fkj для всех переходов, начинающихся на уровне k, равна числу
оптических электронов
^ (9.10)
Это правило основывается на полноте системы собственных функций,
по которой производится разложение возмущенной функции [87].
153
трона сравнительно невелика @,01—0,1 эв). Электрон внеш-
внешней оболочки такого центра почти свободен. Размеры его ор-
орбиты составляют десятки ангстрем, т. е. орбита охватывает
большое количество элементарных ячеек кристалла. Движе-
Движение электронов мелких дефектов в первом приближении мож-
можно описывать с помощью уравнения Шредингера с кулонов-
ским потенциалом (9.8).
В глубоких центрах энергия связи электрона значительно
больше. Например, примеси атомов меди и золота в кремнии
и германии связывают электроны с энергией порядка 0,5 эв.
Размеры орбит таких электронов составляют несколько анг-
ангстрем, т. е. сравнимы с величиной элементарной ячейки
решетки. Отыскание волновых функций, описывающих движе-
движение электронов глубоких центров, представляет весьма слож-
сложную задачу, которая не получила удовлетворительного реше-
решения до настоящего времени.
Волновую функцию мелкого донорного состояния можно
представить в виде [228]
<Pj(r), (9.11)
где s — число эквивалентных минимумов в зоне проводимости
Л)е'кГ (9Л2)
— функции Блоха для /-го минимума; ф3(г) — водородоподоб-
ная функция перекрытия; V — объем кристалла. Поскольку
<п(г) мало изменяется в пределах ячейки кристалла, то ло-
локально электрон движется, как будто он находится в состоя-
состоянии с функцией Блоха гр^(г).
Если имеется только один минимум, то
где
Л 00 =
8л '/з
,'6/2
(9.13)
(9.14)
k = \\ав, a*B = &Н2/т* е2 = ает/пъ* — эффективный радиус Бора
B.53), индекс 0 указывает на то, что функции Блоха относятся
к самой нижней зоне проводимости.
Как видно из (9.14), удельный вес функций гро, ь(г) в вол-
волновой функции донорного состояния с увеличением k быстро
убывает. Поэтому вероятность прямых переходов донор — зо-
зона проводимости будет резко уменьшаться с увеличением зна-
значения k и энергии кванта света при ha>E\ Этим объясняет-
объясняется падение поглощения на длинноволновом крае поглощения
(рис. 34, а), связанного с фотоионизацией примеси, хотя плот-
плотность состояний в зоне проводимости растет с увеличением
энергии Ес (§ 2). Ряд важных закономерностей, связанных с
фотоионизацией мелких примесей, установлен в работах
[230—237]. Квазиклассический расчет сечений многофононно-
го захвата носителей на примесные центры в некондоновском
приближении выполнен в работе [238].
Теория оптических переходов с участием глубоких центров
начала развиваться только в последние годы. Рассчитаны вол-
волновые функции и сечения ионизации для нескольких простых
моделей глубокого дефекта. Г. Луковский [239] для расчета
сечения ионизации глубокого центра, в частности индия в
кремнии, в качестве У'(г) использовал б-образный потенциал.
В этой модели сечение ионизации cr(ftco)=0 при ha, равном
энергии ионизации Ех. С увеличением ftw cr(ftco) быстро рас-'
тет и достигает максимума, когда йсо = 2?ь а затем убывает
как (йю)~3/2 при fna^>E\. Полученная закономерность согла-
согласуется с экспериментальными данными для примеси индия
в кремнии с ?"] = 0,15 эв. Для более мелких примесей в крем-
кремнии, таких, как В, Al, Ga, теоретические результаты значи-
значительно расходятся с экспериментальными, поскольку в теории
не учитывается дальнодействующая часть кулоновского по-
потенциала.
При расчете коэффициента захвата носителей заряда глу-
глубокими ловушками в гомеополярных полупроводниках
В. Л. Бонч-Бруевич [240] обобщил модель Луковского и по-
потенциальную энергию электрона в поле ловушки аппроксими-
аппроксимировал выражением
V'(r) = -K06(r)-f-=i-. (9.15)
ег
Вероятности захвата носителя дефектом и его эмиссии в
зоны не являются независимыми параметрами. Так как при
термодинамическом равновесии выполняется принцип деталь-
детального равновесия, то отсюда следует, что указанные вероятности
должны быть связаны достаточно общим соотношением.
Найдем эту связь для слабо легированного полупровод-
полупроводника и-типа. Статистика рекомбинации электронов и дырок
в полупроводниках с небольшой концентрацией изолирован-
изолированных друг от друга дефектов наиболее полно исследована
В. Шокли и В. Т. Ридом [71, 86, 241]. Поэтому рекомбинацию
в такой модели полупроводника называют рекомбинацией
Шокли — Рида. Обозначим вероятности переходов буквой р
с соответствующими индексами, указывающими направление
,154
155
переж>да электрона: pCd(Ec) —вероятность перехода с уровня
Ес зоны проводимости на донор; рас{Ес)—вероятность
обратного перехода.
Обозначая концентрацию доноров через Nd, а вероятности
заполнения электронами уровней зоны проводимости и донор-
ных уровней Ed через fe(Ec) и fe(Ed), скорости захвата и эмис-
эмиссии электрона дефектом можно представить в виде:
Red (Ес) = ?с (Ec)fe (Ec) Pcd (Ec) Nd[l—fe (Ed)], (9.16)
Здесь по-прежнему gc(Ec) —плотность состояний в зоне про-
проводимости. При термодинамическом равновесии fe(Ec) и fe(Ed)^
равны значениям функции Ферми — Дирака для энергий
Ес и Еа, а вероятность того, что состояние с энергией Е сво-
свободно, можно представить в виде
I Г? Г" \
(9.18)
kT
Согласно принципу детального равновесия, скорости любого
прямого и обратного процесса равны. Поэтому из равенства
Rcd(Ec)=Rdc(Ec) с учетом (9.18) находим
Pdc(Ec) =
kT
(9.19)
Легко убедиться, что вероятность эмиссии дырки с акцепторного
уровня Еа на уровень Ev зоны проводимости pav(Ev) связана
с вероятностью захвата дырки акцептором pva(Ev) аналогичным
соотношением
Ра, (Е,) = /V (Е) ехр ( ^^
Хотя формулы (9.19) и (9.20) строго доказаны для термоди-
термодинамического равновесия, предполагается, что они справедли-
справедливы и при отсутствии равновесия, когда скорости прямых и
обратных переходов не равны.
Чтобы получить суммарные значения скоростей захвата или
эмиссии электронов донорными центрами, необходимо проин-
проинтегрировать (9.16) и (9.17) по всем значениям энергии зоны
проводимости. Если предположить при этом, что ры{Ес) не
зависит от Ес, то полные скорости Rcd и Rdc будут выражаться
простыми формулами:
Rcd = npcd(Nd-nd), (9.16а)
Rdc= nd-dc,
(9.17а)
156
где nd— Nd — число нейтральных
норов,
(занятых электронами) до-
до= j ge (Ec) [1-f, (EB)] pcd (Ec) e
kT
dEc
(9.21)
константа диссоциации доноров.
При термодинамическом равновесии
Ed-F,
kT =
и полные скорости захвата и эмиссии равны. Хотя число сво-
свободных состояний в зоне проводимости, по которым произво-
производится интегрирование, может быть на много порядков больше
п и Nd, константа диссоциации не достигает слишком больших
значений из-за наличия экспоненциального множителя под
знаком интеграла (9.21). Величина dc равна вероятности дис-
диссоциации донора с выбросом электрона на любой из уровней
зоны проводимости. Аналогично вводится понятие диссоциа-
диссоциации акцептора.
Как уже отмечалось, вероятности pCd(Ec) и pdc(Ec) зави-
зависят от волнового вектора, а следовательно, от энергии элек-
электрона. Поэтому формулы типа (9.16а), (9.17а) носят прибли-
приближенный характер. При изменении концентрации примесей или
интенсивности возбуждающего света в таких пределах, что
сильно изменяется степень заполнения зон, параметры рса и dc
нельзя считать постоянными. В частности, если pCd(Ec) умень-
уменьшается с увеличением Ес, то с увеличением накачки pcd как
среднее значение pCd(Ec) также будет уменьшаться.
Примесное краевое поглощение и испускание. Коэффи-
Коэффициент поглощения для переходов валентная зона — донор и
мощность спонтанного испускания при обратных переходах
можно представить в виде:
Ка И = ^ f j g, (Ev) gd (Ed) B' (?„, Ed) X
Vg EE
xfe(Ev)[l-fe(Ed)]dEvdEd,
= to f f gv (Ev) gd (Ed) A' (Ev, Ed) x
(9.22)
xfd(Ed)[l-fe(Ev)]dEudEd.
(9.23)
Здесь vg — групповая скорость; gd (Ed) и fd (Ed) — функция плот-
плотности состояний в донорной зоне и вероятность их заполнения.
157
Коэффициенты А' (?„, Ed) и В' (Ev, Ed) аналогичны коэффициен-
коэффициентам Эйнштейна для спонтанных и вынужденных переходов и
связаны между собой соотношением
A'{EV, Ed) ^
B'(EV, Ed)
/ко3
Интегрирование в (9.22) и (9.23) производится по всем зна-
значениям энергии валентной и примесной зон, удовлетворяю-
удовлетворяющим равенству Ed—Ev = ha>. Соотношение (9.24), так же как и
G.3) для квантовомеханических систем с дискретными уров-
уровнями энергии, следует из общего вывода вероятностей пере-
переходов в рамках теории возмущений [87]. Мощности поглоще-
поглощения и испускания при межзонных переходах (§ 6) тоже можно
представить в виде (9.22) и (9.23) [242].
В слабо легированном полупроводнике донорные состоя-
состояния характеризуются резкими уровнями энергии. Поэтому
плотность состояний выражается б-функцией
gd(Ed) = Nd8(Ed-Ed), (9,25)
где Ed— энергия резкого уровня. Под знаками интегралов в
(9.22) и (9.23) в неявном виде содержится и другая б-функция:
б(Йсо — Ed-\-Ev). Для резких примесных уровней эти выражения
упрощаются:
- _L Bvd (со) gv (?, - Йсо) fe (Ed - to) (Nd - nd) /to, (9.26)
vg
W* H = Adv (со)ndgr(?0) [l-f,(?„)] to. (9.27)
Через «d = A^d/e (?°) обозначено число электронов на донорных
уровнях.
В этом же приближении коэффициент поглощения при пере-
переходах акцепторный уровень — зона проводимости имеет вид
Кас Н = — В'ас (СО) NJe (Е°а) gc (Ес) [ 1 - fe (?C)J ЙСО =
Vg
= — Вас И «agc (Йсо + ?2) [ 1 - /е (Йсо + Е%] Йсо. (9.28)
Vg
Для водородоподобных волновых функций дефектов веро-
вероятности переходов примесь — зона рассчитаны в работах
[154, 243].
158
й»
Из сопоставления формул (9.26) и (9.28) с соответствую-
соответствующими выражениями для коэффициента поглощения (8) и (9)
работы [154] для нерасщепленной валентной зоны находим:
128
чГеГ[\
mvh (со
—, (9.29)
Ва (а) =
256 уч. л2й2у„ \pv
Ё*'2 [ 1
mc H (со — ь»а)/таЕ'а]1
(9.30)
E'd = Ec0 - Ed и Е'а=Е°а -
Здесь had = E°d- ?u0, toe = Ec0 - E°a; d c0 d
— Ev0 — энергии ионизации доноров и акцепторов;' pvc — среднее
значение матричного элемента оператора импульса для электрона
р — — г'Йу, вычисленное с помощью функций Блока для зоны
проводимости и валентной зоны; та — эффективная масса носи-
носителя, связанного с акцепторным центром. При расчетах [154]
предполагалось, что основное состояние донора вырождено дву-
двукратно, а основное состояние акцептора — четырехкратно.
Согласно (9.29) и (9.30), вероятность переходов валентная
зона — донорный уровень обратно пропорциональна эффек-
эффективной массе электрона в зоне проводимости в степени 3/2 и
обратно пропорционально глубине залегания донорного
уровня E'd также в степени 3/2.
Вероятность переходов акцепторный уровень — зона про-
проводимости ~ (таЕ а')~3/2. Поскольку та, как правило, больше
тс, а энергия ионизации акцепторов также значительно боль-
больше энергии ионизации доноров, то отсюда следует, что опти-
оптические переходы валентная зона — донор на один-два порядка
более вероятны, чем переходы акцептор — зона проводимости.
При частоте возбуждающего света, близкой к сой для полу-
полупроводника «-типа или близкой к со0 для образцов р-типа,
выражения в квадратных скобках (9.29) и (9.30) примерно
равны единице. С увеличением со этот член в знаменателе
(9.29) быстро возрастает, так как т„/тс>1, а значение
В^(со) уменьшается. Для переходов акцептор — зона прово-
проводимости уменьшение В'ас (со) с увеличением со происходит бо-
более медленно, поскольку тс<Ста. В обоих случаях оптиче-
оптическим переходам зона — примесь соответствуют достаточно
широкие полосы поглощения и испускания. Хотя уровни при-
примесей узкие, но они могут комбинировать с большим числом
уровней основных зон. В этом заключается одно из важных
отличий примесного поглощения и испускания от экситонного
механизма взаимодействия света и вещества. Как было пока-
показано в предыдущем- параграфе, вследствие правил отбора по
волновому вектору экситонному механизму соответствуют
159
узкие«линии поглощения и испускания. В то же время положе-
положение и структура уровней энергии экситонов и водородоподоб-
ных примесей могут быть практически одинаковыми.
Как и в случае межзонных и экситонных переходов, опти-
оптические переходы с участием примесных состояний могут со-
сопровождаться испусканием и поглощением фононов. Энергия
поглощаемых и испускаемых фононов удовлетворяет нера-
неравенству
Й(о>?е-?;±2Н> (9.31)
ч
где Е\ — энергия ионизации примеси; h<aq — энергия фононов сор-
сорта q. Примесные полосы поглощения и испускания в образцах
р-типа, как правило, смещены в длинноволновую область отно-
относительно таких же полос в образцах п-типа одного и того же
полупроводника, поскольку Е'а < fa-
Опыты показывают, что для мелкой примеси имеется опреде-
определенная корреляция между глубиной уровня и спектром излуче-
излучения [152, 244, 245]. На рис. 35 приведены спектры примесного
излучения кремния, легированного акцепторами — бором, галлием
и индием. Энергия оптической ионизации этих примесей увеличи-
увеличивается в порядке их перечисления: Е\ (В) = 0,046 эв, EL (Ga) =
= 0,071, Е\ (In) = 0,16 эв.
Вертикальные линии на рисунке соответствуют энергии
h(x)=Eg—Е'а. Кванты света с такой энергией испускались бы
при прямых переходах из зоны проводимости на основной
уровень акцепторного состояния. Однако поскольку крем-
кремний — непрямозонный полупроводник, то переходы зона про-
проводимости — акцептор происходят с испусканием ТО- и ГЛ-фо-
конов, энергии которых равны /iwro = 0,055 эв, /гюга = 0,016 эв
и отмечены на рисунке короткими вертикальными линиями.
Как видно из рис. 35, а, в спектре излучения кремния, легиро-
легированного бором, полностью отсутствуют частоты, соответствую-
соответствующие бесфононным переходам. В спектре излучения образца,
Ш ИВ 1,0 II
1,9 Ъш
Рис. 35. Спектры излучения для переходов зона проводимости — акцептор
в кремнии с испусканием фононов: а—акцептор бор; б—галлий; а—индий
160
легированного галлием (рис. 35, б), доля бесфононных перехо-
переходов становится уже заметной. Для более глубокой примеси In
в кремнии бесфононные переходы становятся преобладающими
(рис. 35, в). Очевидно, при непрямом излучательном переходе
донор—валентная зона импульс электрона передается не толь-
только фононам, но и самому примесному центру, причем чем боль-
больше глубина уровня, тем более вероятна передача импульса
примесному центру. Эта качественная корреляция справед-
справедлива и по отношению к переходам донор — валентная зона
[245].
В среднелегированных полупроводниках волновые функ-
функции примесных центров перекрываются и образуются примес-
примесные зоны (§ 2). Наблюдаемые спектры рекомбинационного
излучения с участием таких примесных зон не только качест-
качественно, но и количественно можно описать, если предположить,
что плотность состояний примесных зон выражается гауссиа-
ном и вероятности оптических переходов практически постоян-
постоянны для всех частот [59, 246]. Предположение о гауссовом ха-
характере примесных зон приводит к удовлетворительным
результатам и в тех случаях, когда примесная и основная
зоны частично перекрываются и полупроводник следует отно-
относить к сильнолегированному. Расчеты проводятся по форму-
формулам (9.22), (9.23), где распределение электронов и дырок опи-
описывается функцией Ферми — Дирака, а плотности состояний
задаются формулами типа B.54). Эта модель будет исполь-
использована в дальнейшем при изучении эффектов насыщения и
генерации света в полупроводниках.
Более подробно вопрос о хвостах плотности состояний зон
и краевом поглощении в таких сильнолегированных полупро-
полупроводниках, в которых основные и примесные зоны перекрылись
и слились воедино, рассмотрен в обзоре [247].
Рекомбинация донорно-акцепторных пар. Понятие элект-
электронно-дырочной пары, так же как и представление об экси-
тоне, строго говоря, выходит за рамки зонной теории, в которой
рассматривается движение одного электрона в самосо-
самосогласованном поле (§ 2). В зонной теории, если электрон пере-
переходит с донорного уровня энергии Еа на уровень акцептора
Еа, его энергия уменьшается на величину Еа—Еа. Однако это
справедливо только при отсутствии взаимодействия электро-
электронов, локализованных на донориых примесях, с дырками ак-
акцепторов. Фактически электрон и дырка испытывают кулонов-
ское, ван-дер-ваальсовское и другие виды взаимодействия.
К настоящему времени накоплен большой эксперименталь-
экспериментальный материал по поглощению и испусканию света в полупро-
полупроводниках, который невозможно объяснить, если не учесть в
явном виде энергию взаимодействия электронно-дырочных
пар. Если ограничиться учетом только кулоновского и ван-
11. Зак. 312
161
дер-йаальсовского'взаимодействия и обозначить расстояние
между донором и акцептором п-п пары через гп, то энергию
пары можно представить в виде [248, 249]
*- (-?-У , (9.32)
= Ев
где а — константа ван-дер-ваальсовского взаимодействия.
Если гп значительно больше размеров элементарной ячейки
решетки, то последним слагаемым в (9.32) можно пренебречь.
При меньших значениях его необходимо учитывать. Для близ-
близко расположенных доноров и акцепторов электростатическую
энергию взаимодействия следует рассчитывать с учетом кон-
конфигурационного взаимодействия, т. е. с учетом перекрытия
распределения электронов и дырок в пространстве [250].
Поскольку примесные атомы занимают в решетке вполне
определенные места, то величины г„ и Еп(гп) принимают
дискретный ряд значений. Следовательно, процессам рожде-
рождения и рекомбинации электронно-дырочной пары будут соот-
соответствовать спектры поглощения и испускания, состоящие из
отдельных линий. Расстояния между линиями будут больши-
большими при малых значениях гп и непрерывно сокращаться по
мере увеличения гп. Так как близко расположенные линии
обычно сливаются в одну сплошную полосу и неразличимы на
опыте, то линейчатую структуру спектров поглощения и испу-
испускания пар можно зафиксировать (и то не всегда) только на
коротковолновых крыльях полос. В этом проявляется одна из
характерных черт энергетического спектра электронно-дыроч-
электронно-дырочных пар, отличная от спектра энергии экситонов. В экситон-
ных полосах поглощения и испускания тонкая структура про-
проявляется на противоположном, длинноволновом, крыле спект-
спектра (§6).
Для неглубоких доноров и акцепторов тонкая структура в
поглощении пар расположена вблизи края собственного по-
поглощения и может быть неразличимой. Однако в излучении
эта структура обнаружена и исследована в большом числе
работ, изложенных в обзорах [251, 252].
Вероятность оптического перехода донор — акцептор опре-
определяется степенью перекрытия волновых функций комбини-
комбинирующих состояний и должна резко убывать с увеличением
расстояния между примесными центрами. Для мелких изоли-
изолированных водородоподобных примесных центров зависимость
, J62
вероятности перехода (величины, обратной
г (г)) можно представить в виде [253—255]
1
1
т(г)
ехр —
времени жизни
(9.33)
где ав— боровский радиус мелкой примеси.
Хотя электрон, локализованный на любом донорном уров-
уровне, взаимодействует со всеми дырками окружающих его ак-
акцепторов, основной вклад в энергию взаимодействия, согласно
(9.32), вносит пара донор — ближайший к нему акцептор. На
этот ближайший акцептор с наибольшей вероятностью и про-
происходит оптический переход электрона. Поэтому электронно-
дырочные пары в полупроводниках можно в первом прибли-
приближении представить как совокупность двухатомных молекул,
каждая из которых характеризуется своим набором величины
г„,Е(гп) и pda (г„).
Вследствие зависимости вероятности переходов от г числа
электронов на донорных и акцепторных уровнях будут функ-
функциями г, интенсивности возбуждающего света, а при нестацио-
нестационарном режиме и времени t. Поэтому спектр излучения
донорно-акцепторных пар деформируется и смещается с увели-
увеличением концентрации примеси и интенсивности возбуждаю-
возбуждающего света [256, 257]. Он непрерывно изменяется и в процес-
процессе послесвечения.
Эти закономерности можно проиллюстрировать на про-
простых примерах. Рассмотрим полупроводник р-типа с равно-
равномерным распределением доноров и акцепторов, причем
Na<g.Na. Предположим, что внешнее возбуждение рождает
эдектроны и дырки со скоростью RB. Свободные носители
сразу же захватываются примесными центрами. Тепловая
ионизация примесей отсутствует. Из всех рекомбинационных
процессов преобладающим является рекомбинация пар. При
сделанных предположениях уравнения баланса имеют вид:
dn
— А „
dt
(9.34)
= npcd [Nd (r) - nd (r)] - nd (r) pda (r) (Na - na). (9.35)
dt
Функции распределения концентраций по г нормированы так,
чтобы при суммировании или интегрировании по всем значе-
значениям г удовлетворялись равенства типа
Na =
163
Для стационарного режима возбуждения производные по
времени равны нулю, и из (9.35) находим
:— • (9.36)
Решая (9.34) относительно п, будем иметь
Ры {Nd — nd)
(9.37)
Так как по условию Nd<^Na, a na^Nd, то значением па по
сравнению с Na можно пренебречь. Произведение раа(г) [Na—
¦—na] практически не зависит от интенсивности возбуждения и
равно обратной величине времени жизни донорно-акцептор-
донорно-акцепторной пары
(г) =
4
-na) Pda(r)Na
Поэтому nd(r) можно представить в виде
Nd(r)RB
nd (r) =
(9-38)
(9.36а)
При изменении RB от 0 до оо значение Па{г) увеличивается
от 0 до Nd(r). Чем больше т, тем при меньших значениях RB
достигается насыщение населенности.
Число фотонов, испускаемых при рекомбинации пар с
заданным значением г, в расчете на единицу длины за едини-
единицу времени равно
(9.39)
Для слаболегированного некомпенсированного полупро-
полупроводника (Nd<g.Na) функцию распределения пар по величине
гп находят из геометрических соображений [258, 259]. Веро-
Вероятность нахождения ближайшего акцептора на расстоянии от
г до r + dr от донора dw равна произведению
npcdNd{r)pda(r){Na — na
dW = Wodw,
(9.40)
где Wo— вероятность отсутствия основного центра в сфере
радиуса г; dw — вероятность нахождения основной примеси
164
в шаровом слое с радиусом г и толщиной dr. Из теории ве-
вероятности следует [245]:
Wn =
(9.41)
dw =
С учетом (9.40) и (9.41) для распределения концентрации доно-
доноров по г находим
Nd (г) = 4яг2 NdNa ехр ('- *?- NaA . (9.42)
Вводя обозначение
i=-RJ(Nd-nd), (9.43)
формулу (9.39) с учетом (9.33), (9.38) и (9.42) преобразуем к
виду*)
4я .,
(9.44)
/ 2г
ехр [ — | + /
ав
Выразим контур линии излучения донорно-акцепторных пар
в шкале энергий
Е' = Е — too, (9.45)
где hcooo = Ed — Ea = Eg — (Ed + Еа) — значение кванта энергии
излучения для г-*-со. Согласно (9.32),
1
dr.
(9.46)
Учитывая, что Ыф(г)dr = N^(E')dE', из (9.44), (9.46) находим
v3 1
Ф
ехр1
Е'3
Здесь введено обозначение
(9.47)
*1 В работе [259] для вероятности перехода вместо (9.33) использовано
1 1 /2г\7/2 / 2г\
выражение — = — -т—\ ехр I — —— . Поэтому полученное там
выражение для контура линии отличается от (9.44).
165
Для слабо легированных полупроводников при изменении г от
О до нескольких ав экспонента в числителе (9.44) и (9.47) близка
к единице, поскольку
4я
3
С учетом этого неравенства, приравнивая производную от
Л' (?') по Е' нулю, получим соотношение, связывающее поло-
положение максимума полосы излучения Ет со скоростью возбужде-
возбуждения
ехр(-2Ев/?от) = _2Яз_ (9 48>
При малых интенсивностях возбуждения, когда RB ->- 0, ?тх; О,
a ?»h(o«,. Если i?B->oo, то Ёт~>- —Ев, ?->h(o«,H Ев.
Zt А
Следовательно, с увеличением интенсивности света максимум по-
полосы излучения донорно-акцепторных пар смещается в сторону
больших энергий на величину ЕВ12. Это происходит оттого, что
пары, соответствующие большим значениям г и малым значе-
значениям h(o, согласно (9.33) и (9.36а), быстрее насыщаются и их
излучение перестает увеличиваться с ростом накачки. Поэтому
повышается удельный вес излучения короткоживущих пар, ко-
которым соответствуют большие значения hw.
В процессе затухания в первую очередь высвечиваются
пары с малым т (большие /ко), а затем долгоживущие пары.
В результате этого спектр излуче-
излучения смещается в длинноволновую
область. Такая закономерность
наблюдалась, например, в после-
послесвечении фосфида индия (рис. 36)
[260], в фосфиде галлия и других
полупроводниках. Теоретически
деформация спектра в процессе
затухания исследована в [255,
261].
ш що 1,360
6900
stssx.k
Рис. 36. Изменение спектра излучения
донорно-акцэпторных пар в фосфиде
индия в процессе затухания [260] при
Г=18°К: / —* = 0; 2—20; 3—60; 4—150;
5—500 нсек; 6—2; 7—10 мксек
166
\-ч
Рис. 37. Изменение спектра излучения
донорно-акцепторных пар в германии
/>-типа прн увеличении концентрации
примесей с постоянной степенью ком-
компенсации, равной 0,4 (донор мышьяк,
акцептор галлий), /—5: Ла = 3-1014,
5-Ю15, 8-Ю16, 2-1017, 5,5-1017 см-3 со-
соответственно [259]
В германии спектр излуче-
излучения донорно-акцепторных пар
состоит из бесфононной поло-
полосы и фононного повторения, со- h .
ответствующего испусканию 730 710 690 пш,
1Л-фононов [259]. Положение максимумов и форма обеих по-
полос сильно изменяются при увеличении концентрации доноров
и акцепторов (рис. 37).
§ 10. ПОГЛОЩЕНИЕ ИНФРАКРАСНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ
СВОБОДНЫМИ НОСИТЕЛЯМИ
и кристаллической решеткой
Оптические переходы электронов и дырок в пределах одной
зоны (подзоны). Изменение энергии электрона и дырки в пре-
пределах одной разрешенной зоны энергии или одной подзоны
(если зона вырождена и состоит из нескольких подзон), как
правило, сопровождается изменением импульса носителя
заряда. Величина этого изменения значительно больше им-
импульса световых квантов. Поэтому свободные носители в иде-
идеальном кристалле, где отсутствует их рассеяние в соответст-
соответствии с законами сохранения энергии и импульса не могли бы
поглощать электромагнитное излучение. Однако в реальном
кристалле всегда имеются определенные дефекты, взаимодей-
взаимодействие с которыми изменяет импульс электрона. В результате
взаимодействия свободных носителей с электромагнитным по-
полем и дефектами кристалла становятся возможными их не-
непрямые оптические переходы в пределах одной зоны, приво-
приводящие к поглощению инфракрасного излучения.
Так как возможны различные механизмы рассеяния элект-
электронов в кристалле, то в общем случае коэффициент поглоще-
поглощения свободными носителями выражается суммой
Кс.н = Как ~Г ^оп ~^~ Кион ~\" кс.д- A 0.1)
( )
Здесь Как, Коп, киов — коэффициенты поглощения, обусловлен-
обусловленного рассеянием электронов на акустических фононах, на оп-
оптических фононах и на ионизированных примесных центрах.
167
Величина кс. д связана с рассеянием электронов на более
сложных дефектах, которые могут образоваться при выращи-
выращивании кристаллов, в результате внедрения примесей в решет-
решетку, при механической обработке поверхности, под воздейст-
воздействием радиации больших энергий и т. д. Сложные дефекты
весьма разнообразны, поэтому кс. д будет отличаться не только
количественно, но и качественно для каждого конкретного
полупроводника. Необходимость учета кс. д стала очевидной
только в последнее время, и вопрос этот практически не
изучен.
В высококачественных собственных полупроводниках кон-
концентрации ионизированных примесей и дефектов пренебрежи-
пренебрежимо малы и основную роль играет рассеяние электронов на
колебаниях решетки. Напомним, что во всяком кристалле
имеются три ветви акустических колебаний и 3(g—1) ветвей
оптических колебаний, где g — число атомов в элементарной
ячейке- кристалла. В одноатомных кристаллах, таких, как
натрий и рубидий, на элементарную1 ячейку кристалла
приходится один атом, и поэтому оптические колебания отсут-
отсутствуют. Современная технология позволяет получать эти кри-
кристаллы такой высокой степени совершенства, что на них мож-
можно изучать в чистом виде рассеяние электронов на акустиче-
акустических фононах. Поэтому величина как изучена наиболее
подробно.
В полярных полупроводниках типа AinBv имеются и
оптические, и акустические ветви колебаний. Однако посколь-
поскольку оптические колебания обладают большей частотой, чем
акустические, то при понижении температуры они «вымора-
«вымораживаются» в первую очередь и основной вклад в поглощение
излучения свободными носителями при низких температурах
может быть обусловлен их рассеянием на акустических фо-
фононах. Слагаемое кИон либо кс. д становится определяющим в
полупроводниках всех типов при сильном, а иногда и среднем
легировании.
Первая приближенная квантовомеханическая теория по-
поглощения излучения свободными носителями была развита
Фэном [262]. Автор учитывал рассеяние на акустических коле-
колебаниях решетки. Поэтому теория была применима к непо-
неполярным полупроводникам, таким, как кремний и германий.
Применительно к германию она была детализирована и усо-
усовершенствована в работах [263—265].
Согласно [263], коэффициент поглощения при рассеянии
носителей на акустических фононах равен
^Jta nQe>C{2m*)kT Г/ Eh\/ Eh у/» 1
ак 27с ' eh2ЛЬ1 (hc>K/2 [[ ^ Ью Д Ью / J'
A0.2)
168
где Q — объем элементарной ячейки решетки кристалла; е—
диэлектрическая постоянная; М — приведенная масса атомов
в ячейке, и3— скорость звука в кристалле; Eh— энергия элект-
электронов; С — постоянная. Усреднение в A0.2) проводится по
всем энергиям электронов.
Из A0.2) следует, что при заданной температуре как уве-
увеличивается с длиной волны по формуле [266]:
Как = ^3/2- (Ю.З)
Постоянная сак не зависит от длины волны возбуждающего
света. Такая зависимость как от X справедлива для квантов
света, энергия которых значительно больше тепловой энергии
электрона. Если же, наоборот,
Ью < kT,
то для любого механизма рассеяния свободных носителей
справедлива формула
п с
я
полученная Друде в классической теории металлов. Здесь
т — время релаксации электронов по импульсу.
Общая формула для /сак, справедливая для всех частот
возбуждающего света, получена в [267] с использованием тем-
температурной функции Грина. В качестве частных случаев из
нее следуют выражения, полученные ранее для fuo-^kT и
tioi^$>kT. Она дает также значение /сак для вырожденного рас-
распределения электронов.
Случай сильного фермиевского вырождения электронов,
взаимодействующих с акустическими фононами, рассмотрен
в работе [268]. Закон дисперсии для электронов предполагал-
предполагался изотропным и квадратичным. Учет непараболичности зон
приводит к более сильной зависимости коэффициента погло-
поглощения от длины волны как при рассеянии на акустических
фононах, так и при других механизмах рассеяния [269, 270].
Если свободные носители невырождены и рассеиваются на
поляризационных оптических колебаниях и электрон-фононное
взаимодействие слабое, то коэффициент поглощения выража-
выражается формулой [271]
коп = -J^ -^- ( ^Г f(^-. ^Л . A0.5)
cm* сою
где
3 У а (со)
F(x, У)= 1/ 4-
со
2kT ' 2kT
shx
Л\х-у\КЛ\х-У\)
+ У)]
A0.6)
169
K_i_—«функция Макдональдс 1-го порядка; /гсоьо—энергия
продольных оптических фононов,
а =
тг
2hco.
LO
1/2
A0.7)
ео и бсо— статическая диэлектрическая проницаемость кри-
кристалла и безынерционная часть диэлектрической проницаемо-
проницаемости; а(со) — действительная часть диэлектрической прони-
проницаемости.
При низких температурах, когда &Г<Сйсоьо, коэффициент
поглощения /соп резко возрастает в области частот h\a>—соьо|~
~kT. Для частных случаев из A0.5) следуют простые выраже-
выражения [271]:
к -I
""ОП I
3m*c
COLO V'2
CO
COLO
СО
1/2
Ь(ю —
A0.8)
COLO
со
5/2
COLO
СО
— 1
1/2
X
х ехр
[-(Colo-Co)^ h|co-coLo|«*r. A0.9)
Если свободные носители вырождены, то частотная зави-
зависимость /Соп отличается от зависимости, даваемой формулой
A0.5) в области низких частот возбуждения, где h\<a—соьо|^
-С&Г. При выполнении обратного неравенства вновь получает-
получается выражение A0.8). Следовательно, если энергия возбужда-
возбуждающих квантов света значительно больше средней энергии
электронов, то коэффициент поглощения свободными носителя-
носителями при их рассеянии на оптических фононах приближенно
равен
5/2 A0.10)
— г
15/2
Аналогичный результат получен в [272].
В легированных полупроводниках наиболее важную роль
играет рассеяние носителей на ионизированных примесях.
Для концентрации примесей Nt с зарядом Ze коэффициент
поглощения равен [263]
кион =
X
16J/2 я2
СП
Ze2
1
X
170
12 Л,мк
Рис. 38. Спектр поглощения монокри-
монокристалла PbS [282]: /—293 °К; 2—
100 °К
Различная зависимость ко-
коэффициента поглощения сво-
свободными носителями от часто-
ТЫ ДЛЯ /Сак, Коп И /Сион ИСПОЛЬЗу-
ется на опыте для определения
механизма рассеяния электро-
электронов и дырок в полупроводни-
полупроводниках. Этот метод оказался более универсальным, тонким и на-
надежным, чем изучение температурной зависимости подвижнос-
подвижности электронов, которое также иногда позволяет установить
механизм рассеяния.
Детальное сопоставление теоретических и эксперименталь-
экспериментальных результатов по поглощению света свободными носителя-
носителями в полупроводниках типа AinBv проведено в работах
[273—278]. В сильнолегированных кристаллах рассеянием
носителей на акустических фононах можно пренебречь, так
как основной вклад в поглощение инфракрасного света свя-
связан с их рассеянием на оптических колебаниях решетки и
ионизованных примесях. Например, спектр поглощения
n-GaAs, легированного элементами VI группы: Se, S, Те в
области 4—10 мкм можно аппроксимировать формулой [279]:
l3,3
A0.12)
В неполярных полупроводниках, таких, как кремний, гер-
германий, теллур, при небольшой концентрации примесей
рассеяние свободных носителей происходит в основном на
акустических фононах [263—265, 280—281].
В соединениях AnBVI, как правило, основной вклад в по-
поглощение света свободными носителями обусловлен рассея-
рассеянием на оптических фононах [282—284]. В качестве примера
на рис. 38 приведены спектры поглощения сернистого свинца
в области 3—15 мкм, снятые при температурах 293 и 100 °К
[282]. Характерно, что образец обладает значительным фоно-
фоновым поглощением, величина которого не зависит от темпера-
температуры, а физическая природа не достаточно ясна. Резкий подъ-
подъем кривых слева соответствует началу поглощения при
межзонных переходах. Поглощение свободными носителями
характеризуется плавными, но достаточно быстро поднимаю-
поднимающимися отрезками кривых правее минимумов.
Б. М. Вул с сотрудниками [285] установили, что в теллури-
де кадмия и-типа при концентрации доноров 5-Ю15 см~3 во
всем интервале температур от 80 до 400 °К поглощение
171
обусловлено взаимодействием с оптическими фононами.
В образцах с Nd = 2-10", 2-1018 см~3 заметную роль играет
рассеяние на ионизованных примесях. В некоторых образцах
с малой подвижностью электронов экспериментальные резуль-
результаты не укладываются в теоретические представления. В этой
работе, по-видимому, впервые высказано предположение о
возможности рассеяния электронов на дефектах более слож-
сложного типа, чем ионизованные примеси.
М. П. Лисица с сотрудниками [286] при изучении спектра
инфракрасного поглощения GaAs также обратил внимание,
что уменьшение толщины образцов сопровождается увеличе-
увеличением коэффициента поглощения и ослаблением зависимости
«с. н=/ (Ц. Этот эффект можно объяснить, если предполо-
предположить, что коэффициент поглощения приповерхностного слоя
отличается от коэффициента поглощения в объеме образца.
При механической полировке в приповерхностном слое обра-
образуются сложные дефекты решетки, которые служат дополни-
дополнительными центрами рассеяния. Рассеяние на крупных дефек-
дефектах менее чувствительно к длине волны, чем рассеяние на
фононах и точечных примесных центрах. Если выделить в чи-
чистом виде зависимость к от К в приповерхностном слое, то она
будет выражаться формулой к? н = сД1-8, в то время как в
объеме того же образца /с?н =сД3>4 [286].
С таких позиций легко объяснить, почему в теллуриде кад-
кадмия при замене индия бромом в качестве легирующей приме-
примеси зависимость показателя степени, в которую возводится X в
формулах типа A0.12), от температуры уменьшается, а от
концентрации примеси увеличивается [287]. Бром в силу
большей химической активности, чем индий, при внедрении в
решетку способствует образованию более дефектной структу-
структуры кристалла. С понижением температуры роль колебаний
решетки уменьшается, и в легированном полупроводнике рас-
рассеяние носителей будет происходить в основном на примесных
центрах.
Поглощение света при переходах между подзонами одной
вырожденной зоны. Во многих полупроводниках на фоне мо-
монотонно возрастающей с ростом К кривой поглощения свобод-
свободными носителями наблюдаются одна, две или три широкие
полосы более интенсивного поглощения. Такие полосы обна-
обнаружены в германии [288—290], арсениде галлия [291, 292],
антимониде галлия >[293], алюминия [294], индия [295], фос-
фосфиде галлия [296] и других полупроводниках. Как правило,
их интенсивность примерно пропорциональна концентрации
свободных носителей. Полосы, наблюдаемые в образцах
р-типа, исчезают при переходе к полупроводникам и-типа и
наоборот. Положение максимумов полос поглощения и их кон-
172
6
50
20
ю
5
г
- /
-. . . . V
1 ' -
-
-
t
0,7 1 2 5 10 20 30 0,71 Z 5 10 20 301,М*
Рис. 39. Спектры поглощения образцов AlSb «-типа при 300 °К (а) и 78 "К
(б) [2941. Номера образцов и легирующий элемент: /—71-1Те;2—lite; 3,3'—
12Те;Ч 4'-87-6Se
туры заметно изменяются с понижением температуры. Одни
полосы становятся более узкими и резкими, другие вовсе
исчезают. Спектр инфракрасного поглощения антимонида
алюминия и-типа приведен на рис. 39 [294]. При комнатной
температуре в области 4,3 мк четко выступает полоса по-
поглощения, которая сохраняется и при температуре жидкого
азота в образцах, легированных теллуром. Если кристалл
легирован селеном, то эта полоса заметна только при ком-
комнатной температуре. Отдельные пички на кривых при 11,2;
13,5; 22,9; 27,8; 29,8 мкм связаны с поглощением кристалли-
кристаллической решеткой.
Полосы спектрального поглощения, обладающие указан-
указанными свойствами и расположенные в длинноволновой части
спектра относительного края собственного поглощения полу-
полупроводника (§ 6), возникают в результате оптических перехо-
переходов электронов или дырок между различными подзонами од-
одной и той же зоны проводимости или валентной зоны. Расще-
Расщепление зон происходит в результате спин-орбитального
взаимодействия.
На рис. 40 приведена зонная структура антимонида алюми-
алюминия [292, 294] вблизи точки [000]. Как и в других кристаллах
типа цинковой обманки, валентная зона состоит из трех
подзон: подзоны тяжелых дырок vu легких дырок v2 и отще-
отщепленной от них в результате спин-орбитального-взаимодейст-
спин-орбитального-взаимодействия нижней подзоны v3. Подзона тяжелых дырок в некоторых
кристаллах вырождена. Зона проводимости также может со-
состоять из двух и более подзон.
При такой зонной структуре одному и тому же значению
волнового вектора электрона в пределах одной зоны будет
173
Рис. 40. Зоииая структура AlSb вблизи
точки fe=0
соответствовать несколько значе-
значений энергии. Поэтому электроны
могут совершать прямые и непря-
непрямые переходы в зоне проводимо-
проводимости и в валентной зоне. Темпера-
Температурная зависимость возникаю-
возникающих полос поглощения объясня-
объясняется изменением распределения
носителей заряда по уровням
энергии зон и зависимостью рас-
расстояния между ветвями подзон от
волнового вектора [276, 296—
298].
В принципе возможны излучательные переходы электро-
электронов в пределах зоны проводимости и дырок в валентной зоне.
Однако такое излучение будет чрезвычайно слабым и его
следует искать методами лазерной спектроскопии.
Зависимость коэффициента поглощения от энергии кван-
квантов возбуждающего света для прямых переходов в зоне про-
проводимости фосфида галлия при отсутствии вырождения элект-
электронов имеет вид [299]
t
1
5* B,16-~-
//,
%
ч
~fs 1
¦ -.--темвв
V
000
f2
Зп cm (kT
x exp —
А,
h@
m*
m* (h(o — Als)
m, kT
]¦
A0.13)
Здесь /ls — сила осциллятора для переходов с первой в третью
подзону, энергетический зазор между которыми равен А13; т.—
эффективная масса электрона в i-й подзоне, т* = т* т*3 (т* +
A-ml). Сравнение графика A0.13) с экспериментальной кривой
поглощения показывает их удовлетворительное соответствие. Если
же предположить, что между ветвями зоны происходят непрямые
переходы, то для данного конкретного случая рассчитанная по-
полоса поглощения сильно отличается от результатов эксперимента.
Коэффициент поглощения при переходах между двумя вет-
ветвями валентной зоны в кристаллах типа германия в условиях
фермиевского распределения носителей рассчитан в рабо-
работе [300].
174
Изучение селективного поглощения свободными носителя-
носителями служит важным источником информации о строении зон в
кристаллах.
Поглощение света кристаллической решеткой. Даже при
температуре абсолютного нуля атомы кристалла совершают
так называемые нулевые колебания. С повышением темпера-
температуры амплитуды колебаний увеличиваются. В гармоническом
приближении теории колебаний потенциальная функция,
определяющая силы, которые удерживают атомы в положе-
положении равновесия, берется только с точностью до квадратичных
членов разложения в ряд по нормальным координатам. Весь
кристалл представляется в виде набора гармонических осцил-
осцилляторов, каждый из которых обладает своей собственной ча-
частотой колебаний. Зависимость частот колебаний от волнового
вектора на графике образуют акустические и оптические ветви
колебаний (§4).
При оптических колебаниях может (но не обязательно)
возникать переменный дипольный момент. Такие колебания
решетки называются полярными. Согласно классической
электродинамике, системы, обладающие переменным диполь-
ным моментом, могут поглощать и испускать излучение.
Полосы поглощения, которым в теории соответствуют по-
пярные колебания в гармоническом приближении, называются
фундаментальными. Число фундаментальных полос поглоще-
поглощения в каждом кристалле не больше числа оптических ветвей
колебаний, т. е. не больше Cg—3), где g — число атомов в
элементарной ячейке решетки [301].
Опыты показывают, что спектр поглощения кристаллов
не сводится к набору фундаментальных полос, он значительно
богаче и сложнее. Поглощают не только кристаллы с полярны-
полярными колебаниями решетки, но и такие, у которых в гармониче-
гармоническом приближении отсутствует переменный дипольный мо-
момент. Понять такие спектры можно только, если учесть более
высокие члены разложения потенциальной энергии в ряд.
Тогда появляются обертоны колебаний и различные комби-
комбинационные частоты, состоящие из суммы или разности двух,
трех и большего числа фундаментальных частот колебаний.
В квантовой теории поглощение и испускание инфракрас-
инфракрасного света кристаллической решеткой представляется как
процесс взаимодействия фотонов и фононов. Фундаменталь-
Фундаментальным полосам соответствует однофононный процесс: поглоща-
поглощается квант света — возникает один фонон. Из законов сохра-
сохранения энергии и импульса следует, что таким фононом может
быть только либо LO-, либо ГО-фонон, поскольку акустиче-
акустические фононы при частотах колебаний, соответствующих
инфракрасному спектру, обладают импульсом, значительно
большим, чем кванты света (§ 4).
175
Комбинационные полосы и обертоны появляются в резуль-
результате многофононных процессов, когда поглощение одного
кванта света сопровождается поглощением или испусканием
двух, трех и более фононов. Законы сохранения энергии и им-
импульса имеют вид:
± 2, h(v'
ч'
A0.14)
где суммирование проводится по всем родившимся (q) и ис-
исчезнувшим {q') фононам. Верхний знак относится к процес-
процессу поглощения фотонов с энергией На и волновым вектором
ки, нижний — к процессу испускания таких же фотонов. При
двухфононных процессах рождаются или исчезают два фоно-
на с примерно равными по величине и противоположно на-
направленными импульсами. Поэтому суммарное изменение
импульса практически отсутствует.
Вероятности оптических переходов, разрешенных законами
сохранения энергии и импульса, определяются матричными
элементами оператора взаимодействия электромагнитного
поля с решеткой кристалла. Как обычно, для их вычисления
необходимо знать волновые функции начального и конечного
состояний. Эта сложная задача решается в рамках теории
групп симметрии кристалла [82, 302, 303].
Более ранние работы по инфракрасному поглощению све-
света в полупроводниках отражены в обзоре [262].
В качестве примера на рис. 41 показаны измеренные спект-
спектры поглощения фосфида галлия и полоса фундаментального
поглощения, рассчитанная по формуле
av
A0.15)
где а = п (е0 — e»,) Y/n, у — параметр, определяющий полуширину
линии за счет взаимодействия с ТО-фононами в точке Г зоны
Бриллюэна. Ранее поглощение решеткой в фосфиде галлия иссле-
исследовалось в [305].
В арсениде галлия полосы поглощения в области 10—
40 мам также возникают в результате двух- и трехфононных
процессов [306]. Как и в других соединениях типа AUIBV,
наиболее сильное взаимодействие фотонов обнаруживается с
ZO-фононами. Взаимодействие фотонов с одним, двумя, тре-
тремя и четырьмя фононами установлено по ИК-полосам погло-
поглощения в антимониде алюминия [307].
176
bra \+la
Ыд J
310
3L0
2Т0Н0
2LB+T0
Рис. 41. Спектры поглощения фосфида галлия в области двухфононных (а)
и трехфоиоииых (б) и комбинационных полос при 293 °К (-Ои 100 °К B).
Штриховые кривые — рассчитанные коэффициенты одиофононного поглоще-
поглощения при 293 °К C) н 100° D) [304]
Если в решетку кристалла вводятся примеси, то возникают
локальные колебания примесных центров, и в спектре ИК-
поглощения появляются новые линии. Это можно видеть на
примере фосфида галлия, легированного бором (рис. 42).
В отличие от полос селективного поглощения свободными
носителями интенсивность линий поглощения кристалличе-
кристаллической решеткой не зависит от кон- ^
центрации свободных электронов ^- ^Г
и дырок. ./
Спектры ИК-поглощения вме-"'**
сте со спектрами комбинационно-
комбинационного рассеяния света служат основ- щ
ным источником сведений о дина-
динамических свойствах кристалли-
кристаллической решетки.
20
Рис. 42. Спектр поглощения на локаль-
локальных колебаниях бора в GaP при 100 °К-
Штриховая кривая — спектр поглощения
иелегироваииого образца [304]
540
580
Кем
-1
12. Зак. 312
177
Собственные колебания плазмы. Совокупность электронов
и дырок образует плазму полупроводникового кристалла.
Одно из важнейших свойств плазмы заключается в ее стрем-
стремлении сохранить электронейтральность в каждой точке прост-
пространства. Если на плазму действуют внешние силы, стремящие-
стремящиеся нарушить ее нейтральность, то заряженные частицы прихо-
приходят в колебательное движение с некоторой характерной плаз-
плазменной частотой Шп- Собственные колебания плазмы приводят
к поглощению света, не зависящему от механизма рассеяния
свободных носителей, и особенно ярко проявляются в падении
коэффициента отражения вблизи шп- Частоту- плазменных
колебаний проще всего рассчитать в рамках классической
теории Друде [2,8].
В классической электродинамике для описания оптических
свойств поглощающих веществ вводится комплексная ди-
диэлектрическая проницаемость
е' = в—к1 = в — 1—а, A0.16)
to
где е — ее действительная часть, а а — проводимость. Пока-
Показатель преломления также имеет комплексное значение и для
немагнитных кристаллов равен
п'=У? = п — Ы. A0.17)
Мнимая часть показателя преломления х называется коэффи-
коэффициентом экстинкции и характеризует поглощение света в
веществе.
Пусть на поверхность кристалла вдоль оси х падает пло-
плоская электромагнитная волна
в = еае х . (К).[о)
(О
__ гт
A0.19)
Волновой вектор кх связан с длиной волны, частотой и показа-
показателем преломления соотношениями
_ 2п __ 2яп
/с„ — —
Я. К
Здесь Яо — длина волны в вакууме. Для волны, распростра-
распространяющейся в поглощающей среде, вместо п необходимо под-
подставить комплексный показатель преломления A0.17), что
приводит к выражению для затухающей волны
И-т"*)
A0.20)
Поскольку поток энергии S определяется квадратом ампли-
амплитуды напряженности Nэлектрического поля, то из сравнения A0.20)
178
с законом Бугера S = So ехр (— кх) находим связь между коэф-
коэффициентами поглощения и экстинкции
К —— •/
(О
———
с
л/
С
2ш
A0.21)
При-нормальном падении света из вакуума на поверхность
кристалла коэффициент отражения равен
D _
1+j/V
(Ю.22)
Таким образом, комплексная диэлектрическая проницаемость
определяет поглощение волны в кристалле, а также ее отра-
отражение и преломление на границе раздела двух сред. Поэтому
задача нахождения R и к сводится к расчету величины е'.
Диэлектрическая проницаемость входит в уравнение свя-
связи между индукцией D и напряженностью электрического
поля
D=eJ = /4-4nP. A0.23)
Вектор поляризуемости Р равен сумме всех дипольных мо-
моментов в единице объема, индуцированных внешним полем.
Под действием внешней электромагнитной волны поляри-
поляризуется кристаллическая решетка и плазма. Если плазма со-
состоит только из электронов, то полную поляризуемость и
диэлектрическую проницаемость можно представить в виде
суммы двух слагаемых:
Р = Pi + Р., е = el
ee.
A0.24)
Индексы L и е относятся к решетке и электронной плазме со-
соответственно.
Движение электрона с эффективной массой т* в электри-
электрическом поле волны A0.18), электрический вектор которой
направлен по оси z, описывается уравнением
dx±
dt
A0.25)
Решая A0.25) и полагая начальную скорость электрона vz
равной нулю, получим
1ПИй
Уменьшение числа электронов с заданной энергией во
времени определяется функцией
= — е~</\ A0.27)
т
179
где т —среднее время жизни. Умножая vz на f(t) и интегри-
интегрируя по t от 0 до оо, находим среднюю скорость электронов
вдоль оси z:
ех
т*{\ +сй2т2)
A0.28)
Если усреднить теперь A0.28) по всем энергиям электро-
электрона, то произведение envz, взятое с обратным знаком, даст
плотность тока, возникающего под действием внешнего элект-
электрического поля
tie*
. (Ю.29)
С другой стороны, с помощью комплексной проводимости с'
плотность тока можно представить в виде
/z = с' <?ог. (Ю.ЗО)
Откуда следует
- I I — s-s I ~" LVJ I — 5 ,
IE.
о =
пг
1+со2т2/Е
A0.31)
Соотношение A0.16) связывает мнимую часть диэлектриче-
диэлектрической проницаемости е'—е с действительной частью проводи-
проводимости. Очевидно, связь между комплексными величинами е'
и о' будет такой же:
e' = _f— о'. (Ю.32)
ш
Согласно A0.31) и A0.32), искомая действительная часть ее
определяется мнимой частью о' и равна
е„ = — 4я
tie*
т*
Подставляя это выражение в A0.24), находим
е = eL — 4я
пг
A0.33)
A0.34)
Как видно из приведенных формул, электронная состав-
составляющая диэлектрической проницаемости имеет отрицательное
значение, а еь положительно. Поэтому при некотором значе-
значении частоты соп, называемом собственной частотой колеба-
колебаний плазмы, диэлектрическая троницаемость обращается в
нуль.
180
В оптической области частот выполняется неравенство
1. Для этого случая, приравнивая е нулю и пренебрегая
единицей в знаменателе A0.34), получим
A0.35)
Если е = 0, то и = Уе также равно нулю, а коэффициент
отражения, согласно A0.22), равен единице. Вблизи собствен-
собственной частоты колебаний плазма твердого тела полностью отра-
отражает падающее на кристалл излучение. С увеличением со по-
показатель преломления растет, а значение R уменьшается.
Если к пренебрежимо мало, то коэффициент отражения прак-
практически обращается в ноль при частотах
(Ю.36)
- l
no-i
где по= УП.
С увеличением концентрации свободных электронов зна-
значения соп и со(? = 0) будут возрастать как уп. Измерение ми-
минимума плазменного отражения позволяет по формуле A0.36)
рассчитать эффективную массу носителей заряда.
Определенная из оптических измерений эффективная мас-
масса т оптбудет совпадать с реальной эффективной массой
только в простейшем случае, когда зоны не вырождены и
E = h2k2/2m* для всех направлений волнового вектора к.
Если зона обладает эллипсоидальными поверхностями
энергии:
*(ААА) A0.37)-
2
ТО
12
1
т2
тч
A0.38)
Для двух зон с массами носителей пц и т2, соприкасающихся
в точке к = 0, имеем
1
mj/2
mf
тз/2 + тз/2
A0.39)
Если полупроводник сильно вырожден или зоны характеризу-
характеризуются непараболическим законом дисперсии, аналогичные
соотношения становятся громоздкими [8].
181
я.»
80
20
О
Рис. 43. Зависимость коэффициента отраже-
отражения ra-InSb от длины волны в области соб-
собственной частоты колебаний плазмы для
га=4-1018 (/), 2,8- 1018 B), 1,2-1018 C),
4,2- lO1? D), 3,5-1017 E) см-3 [8]
Падение коэффициента отраже-
отражения почти до нуля в области частоты
A0.36) наблюдалось во многих по-
полупроводниках и в частности в
n-InSb (рис. 43). Как видно из
рисунка, с ростом п минимальное
значение коэффициента отражения
перемещается в сторону меньших длин волн. Аналогичные
результаты получены для арсенида галлия и других полупро-
полупроводников.
5' Ю /S 20 25 30К,т
§ 11. БЕЗЫЗЛУЧАТЕЛЬНАЯ РЕКОМБИНАЦИЯ
Рекомбинация Оже. Внутренний квантовый выход люмине-
люминесценции во многих полупроводниках значительно меньше еди-
единицы, а иногда составляет ничтожно малую величину. Време-
Времена жизни свободных носителей также могут быть на несколь-
несколько порядков меньше, чем следовало ожидать при учете только
излучательных механизмов рекомбинации. Например, в чи-
чистом германии при комнатной температуре излучательное вре-
время жизни равно 0,75 сек. Однако на опыте значение т никогда
не превышает 10~2 сек.
Все это однозначно доказывает, что в полупроводниках
происходят процессы рекомбинации носителей, которые не
сопровождаются испусканием квантов света. К числу таких
процессов относится ударная рекомбинация. Этот механизм
рекомбинации связан с взаимодействием трех носителей: двух
электронов и одной дырки или двух дырок и одного электро-
электрона. Электрон и дырка рекомбинируют, а освободившаяся
энергия и импульс передаются третьему носителю. Ударной
рекомбинации соответствует обратный процесс — ударная
ионизация: электрон или дырка, обладающие запасом кинети-
кинетической энергии, вызывают рождение электронно-дырочной
пары или ионизируют примесь. Механизм ударной ионизации
и рекомбинации в атомах был впервые рассмотрен П. Оже и
часто называется его именем [308].
182
Изучение безызлучательной рекомбинации и особенно оп-
определение ее механизма связано с большими трудностями.
Если каждый механизм излучательных переходов накладыва-
накладывает определенный отпечаток на свойства испускаемого света,
то безызлучательная рекомбинация непосредственно не на-
наблюдается. О ней можно судить только по некоторым косвен-
косвенным признакам, например по концентрационному тушению
люминесценции или сокращению времени жизни свободных
носителей.
Механизмы ударной рекомбинации весьма разнообразны.
В принципе любому рекомбинационному процессу, сопро-
сопровождающемуся испусканием фотонов, можно сопоставить
процесс Оже, при котором энергия высвобождается и переда-
передается электрону или дырке.
Теоретическое рассмотрение ударной ионизации и реком-
рекомбинации связано с необходимостью учета взаимодействия с
тремя свободными носителями и, строго говоря, выходит за
рамки зонной теории твердого тела. Однако условно процес-
процессы Оже можно обозначить на зонной схеме двумя стрелками.
Одна стрелка показывает переход электрона при его реком-
рекомбинации с дыркой, а другая — переход электрона, восприняв-
воспринявшего энергию, которая выделилась при рекомбинации.
Так как электроны и дырки могут быть не только в зонах,
но и на донорных, акцепторных и глубоких примесных уров-
уровнях, то можно представить несколько десятков различных
вариантов ударной ионизации и рекомбинации. В обобщенном
виде эти процессы изображены на рис. 44, 45.
На рис. 44, а показаны безызлучательные переходы элект-
электрона, который, сталкиваясь с другим электроном или дыркой,
забрасывает их на более высокие энергетические уровни и
вызывает ионизации основных или примесных атомов кри-
кристалла. Переходы электронов, которым сообщена дополни-
дополнительная энергия, изображены на рис. 44, б. При этом каждый
а .5
1 т ?,
jtt 1
Jf
Рис. 44. Возможные механизмы ударной ионизации: а—переходы электро-
электрона, теряющего энергию; б — ионизация основных и примесных центров ре-
решетки
183
Рис. 45. Возможные механизмы рекомбинации Оже: а — рекомбинация
электрона и дырки (/—4) и захват носителей дефектами E—8); б — пере-
переходы электрона, воспринявшего энергию электронно-дырочной пары или
захваченных носителей
из процессов 1—8 может сопровождаться одним из процес-
процессов j(a—h). Так, горячий электрон зоны проводимости может
привести к заброске другого-электрона из валентной зоны в
зону проводимости Aа), на донорный AЬ) или на глубокий
примесный уровень (lh), с донорного уровня в зону проводи-
проводимости Aе). Возможен заброс электрона с акцептора на донор
Aс) и в зону проводимости (Id), с глубокого уровня в зону
проводимости (lg) и заброс дырки с акцептора в валентную
зону (If).
1 Такие же процессы ионизации может вызвать горячий
электрон, который после столкновения захватывается донор-
ным или глубокими примесными уровнями B, 7). Аналогич-
Аналогичные рассуждения справедливы и в отношении дырок, совер-
совершающих переход с глубины валентной зоны к ее потолку F)
или на акцепторный уровень E). При рекомбинации электрон-
электронно-дырочных пар заброс электрона из валентной зоны в зону
проводимости представляется маловероятным, поскольку осво-
освобождающаяся энергия меньше ширины запрещенной зоны.
Возможные переходы электрона при рекомбинации Оже
(а также при излучательной рекомбинации) показаны на
рис. 45, а. Энергия, освободившаяся при рекомбинации, сооб-
сообщается третьему носителю и вызывает один из переходов,
изображенных на рис. 45, б.
Первая теория межзонной рекомбинации Оже была созда-
создана Битти и Ладсбергом [309, 310]. Авторы положили в основу
своего расчета простейшую модель, в которой зона проводи-
проводимости и валентная зона имеют квадратичный закон дисперсии,
характеризуются скалярными эффективными массами тс и
mv, а экстремумы зон локализованы в одной и той же точке
зоны Бриллюэна к = 0. Предполагалось, что время жизни не-
неравновесных носителей заряда велико по сравнению со сред-
средним временем между соударениями и носители не вырождены.
184
Битти и Ландсберг указали, что в теории переходов типа
Оже необходимо явно учитывать в гамильтониане члены, опи-
описывающие кулоновское взаимодействие между электронами
внешних оболочек. Эти члены взаимодействия и определяют
вероятность переходов Оже.
Полная скорость рекомбинации представляется суммой
взятых с соответствующими весами скоростей четырех неза-
независимых процессов: рекомбинации электрона и дырки с пере-
передачей энергии и импульса электрону, дырке и плюс два обрат-
обратных процесса ударной ионизации.
В условиях термодинамического равновесия и отсутствия
вырождения носителей основной вклад в рекомбинацию Оже
дают процессы столкновения двух электронов и одной дырки.
Скорость ударной рекомбинации Rq приближенно равна
/г3е2A
x exp —
2в)
X
где в = ml т.,
1 + в kT
F± = jMc(k1, r) ыв(к',, r)dr,
A1.1)
A1.2)
F2 = \uc(k2, r)uc(k2, t)dr A1.3)
— интегралы перекрытия периодической части блоховских
функций [86]; kb k,', к2, к^ — волновые векторы первого и вто-
второго электронов в начальном и конечном состояниях. Величи-
Величина интегралов перекрытия зависит от расстояния между ато-
атомами решетки и от распределения потенциала в полупровод-
полупроводнике. Для InSb произведение ^^«О^б [311].
Из законов сохранения энергии и импульса следует, что
переход Оже в принятой модели будет наиболее вероятен, если
начальные энергии первого Е\ и второго Е2 электронов при-
примерно равны и несколько больше энергии дна зоны проводи-
проводимости
с as
A1.4)
1 + 36 + 262 ¦
Конечное состояние электрона Г также смещено вниз
(рис. 46) относительно максимума в валентной зоне на вели-
величину
Ев0 — Еу = —х ~ С°- = ^ -2- A1.5)
Только при выполнении условия mc<^mv в ударной рекомбина-
рекомбинации могут участвовать состояния на дне зоны проводимости
и у потолка валентной зоны.
185
1
Рис. 46. Схема межзонной рекомбинации.
Первый электрон рекомбииирует с дыркой
и совершает переход из состояния 1 в со-
состояние 1'. Энергия и импульс передаются
второму электрону, совершающему пере-
переход 2—2Г
Если эффективные массы элек-
электронов и дырок равны, то межзонная
рекомбинация Оже идет в основном
с уровней энергии, отстоящих на
1/6 ширины запрещенной зоны от эк-
экстремумов зон. С увеличением ширины запрещенной зоны
уровень, с которого рекомбинируют частицы, смещается к бо-
более высоким энергиям, заселенность его падает, что резко
снижает скорость рекомбинации. Поскольку с понижением
температуры электроны и дырки локализуются около экстре-
экстремальных точек зон, где они не могут участвовать в ударной
рекомбинации, скорость рекомбинации Оже характеризуется
весьма резкой температурной зависимостью.
В полупроводниках со сложной зонной структурой и раз-
различными массами носителей для определения уровня, с кото-
которого может идти межзонная ударная рекомбинация, необхо-
необходимо рассматривать законы сохранения энергии и импульса
применительно к конкретной структуре зон. Для германия и
кремния качественно этот вопрос проанализирован в работе
[312] и показано, почему рекомбинация Оже в кремнии на
несколько порядков более интенсивна, чем в германии.
В теории Битти и Смита [313] ударная рекомбинация рас-
рассчитана для случая, когда в процессе Оже участвует зона лег-
легких дырок. Энергия рекомбинации передается дырке, которая
совершает переход между подзонами двукратно вырожденной
зоны. При расчетах вводится поправка на непараболичность
зон.
Учет зоны легких дырок позволяет объяснить наблюдае-
наблюдаемую спектральную зависимость квантового выхода фотолюми-
фотолюминесценции в InSb [314—316].
Полученное в [313] выражение для скорости рекомбина-
рекомбинации Оже упрощается, если отклонения концентраций электро-
электронов б«, легких дырок Ьръ и тяжелых дырок брн от их равно-
равновесных значений th, pL0, рно малы. Тогда скорость рекомби-
рекомбинации и время жизни носителей равны:
X
т\ (ЕТ)
(Ет) B + @нK/2
186
х ч?"
Рн<$п
= D(ET)
П—3/2
• (П.7)
Здесь введены обозначения
D(ET) = *"
3c{?
рно
Ет =
2mH0 + mc0 — mL (E T)
-2L , A1.8)
E. A1.9)
— минимальная энергия, при которой может произойти Ожё-пе-
реход;
dy
®H=mc0/mH0, @L=
A1.10)
du — параметры, определяющие интегралы перекрытия Fi}.
Переходы между зонами легких и тяжелых дырок необхо-
необходимо учитывать в сильнолегированных полупроводниках
р-типа. В сильнолегированных материалах tt-типа их роль
пренебрежимо мала.
Как уже отмечалось (§ 10), во многих полупроводниках
в результате спин-орбитального взаимодействия валентная
зона расщеплена. В InSb энергия расщепления Д значительно
больше ширины запрещенной зоны. Поэтому заброс дырок из
зоны тяжелых дырок в отщепленную подзону маловероятен
и его можно не учитывать. В случае InAs, GaSb, GaAs и неко-
некоторых других полупроводников значение А близко к Es и влия-
влияние отщепленной зоны в ударной рекомбинации становится
значительным.
Рекомбинацию Оже с участием отщепленной зоны можно
рассматривать как дырочно-дырочное соударение с последую-
последующей рекомбинацией пары электрон — дырка и переходом вто-
второй дырки в более глубокую валентную подзону (рис. 47).
Минимальная энергия дырок ?П11п, необходимая для перехода
Оже в глубокую подзону, равна [317]
А).
(П.П)
187
Теория ударной ионизации в полупроводниках при захвате
свободного носителя нейтральными и заряженными глубоки-
глубокими ловушками развита в работе [318]. В частности, для не
слишком больших концентраций свободных носителей
(tto^lO18 см~3) сечение захвата электрона ловушкой выража-
выражается формулой
Е,
3/2
A1.12)
где fi — m/mo — отношение эффективной и истинной масс но-
носителей.
Для германия при 7 = 300 °К, р = 0,2 и глубине ловушки
?г~0,3 эв (?g = 0,66 эв) сечение захвата оказывается равным
оР^Ю~" см2.
Сечение захвата неосновных носителей на мелкие одно-
однозарядные нейтральные центры, когда выделяющаяся энергия
передается основному носителю, локализованному на сосед-
соседнем центре, рассчитано в работе [319].
Сравнение скоростей излучательной и безызлучательной
рекомбинации показывает, что процессы Оже играют важную
роль в полупроводниках с малой шириной запрещенной зоны
(меньше 0,5 эв). Так в антимониде индия с ?g~0,24 эв при
температурах 200—500 °К преобладает рекомбинация Оже
[313, 320]. В InAs запрещенная зона больше. (~0,35 эв) и
ударная рекомбинация становится значительной при более
высоких температурах G~400°К) {320, 321]. А при исследо-
исследовании GaSb (Eg~0,7 эв) вплоть до 500°К процесс Оже вовсе
не наблюдался [320].
Так как в процессах Оже в полупроводниках tt-типа уча-
участвуют два электрона и одна дырка, а в образцах р-типа —
две дырки и один электрон, то при отсутствии вырождения со-
соответствующие суммарные скорости рекомбинации можно
представить в виде:
Rn=:qnti2p, A1.13)
A1.14)
где qn и qp — коэффициенты процессов Оже для электрон-
электронных и дырочно-дырочных столкновений.
При малых уровнях легирования и высоких интенсивно-
стях возбуждения п^р, а скорости ударной рекомбинации
растут как концентрация свободных носителей в третьей сте-
степени. Если в Оже-процессе участвуют примесные состояния,
то вместо п или р в A1.13) и A1.14) необходимо поставить
концентрации электронов или дырок на соответствующих при-
примесных уровнях. Приближенно формулы A1.13) и A1.14)
188
Рис. 47. Схема межзонной рекомбинации Оже
в полупроводнике с расщепленной валентной
зоной
описывают скорости рекомбинации и
для вырожденных полупроводников.
К важнейшим физическим явлени-
явлениям, на основании которых можно су-
судить о наличии процессов Оже, отно-
относятся следующие:
1. Уменьшение времени жизни неос-
неосновных носителей с ростом концентра-
концентрации основных носителей. В монокри-
монокристаллах германия п- и р-типа это явле-
явление впервые наблюдалось в работах
[322, 323]. В кристаллах обоих типов,
легированных фосфором, сурьмой и
бором, при увеличении концентрации основных носителей вре-
время жизни сначала достигает некоторого постоянного значения
E0—60 мксек), а затем, начиная с концентрации — 1 -1017 см~3
и выше, резко уменьшается и при концентрации ~1018 см~3
равно 1 мксек. Авторы предполагают возможность рекомбина-
рекомбинации Оже, сопровождающейся захватом носителей на ловушки.
Из сравнения теории с экспериментом в [324] сделан вы-
вывод, что в германии р-типа, по-видимому, происходит обычная
межзонная рекомбинация Оже (рис. 48). Коэффициент реком-
рекомбинации равен 10~31 смв. сек~1. Для кремния установлено:
<7п=1,7-10-31 смв-сек~1, qp = 1,2-10-31 сме-сек [326].
К-0
p, ei'
Рис. 48. Зависимость времени жизни электронов- от концентрации основных
носителей в германии р-типа. Светлые кружки — экспериментальные ре-
результаты [325], квадраты — экспериментальные результаты [324]. Сплош-
Сплошная и пунктирная кривые получены в предположении, что происходит ре-
рекомбинация Оже зона — зона и зона — примесь соответственно
189
Концентрационное уменьшение времени жизни носителей
происходит не только при высоком уровне легирования, но и
при высоких уровнях возбуждения. В кремнии этот эффект
наблюдается при скорости возбуждения RB>l027 см~3-секг-1
[327].
2. Уменьшение времени жизни носителей с ростом темпе-
температуры. В случае бесфононной рекомбинации время жизни
как функция температуры уменьшается экспоненциально.
При рекомбинации с участием фононов зависимость т от тем-
температуры значительно слабее [328]. Рекомбинация Оже в чи-
чистом теллуре преобладает при 7>350°К [329]. В бездефект-
бездефектных образцах 1пР ударную рекомбинацию необходимо учиты-
учитывать при всех температурах, выше комнатной [330]. Если в
кристалле появляются дефекты и примеси, то возникают но-
новые каналы рекомбинации, концентрация свободных носите-
носителей уменьшается, что неизбежно приводит к снижению ско-
скорости рекомбинации Оже.
3. Концентрационное тушение люминесценции. Квантовый
выход люминесценции определяется отношением скоростей
излучательных и безызлучательных переходов (§ 7). Поэтому,
как только начинается рекомбинация Оже, люминесценция
тушится. В фосфиде галлия при температуре меньше 40 °К
интенсивность фотолюминесценции резко падает, если кон-
концентрация доноров или акцепторов приближается к
~ 10» см~* [331].
4. Температурное тушение люминесценции. С повышением
температуры кинетическая энергия свободных носителей и ве-
вероятность ударной рекомбинации возрастает. Это также со-
сопровождается уменьшением квантового выхода люминесцен-
люминесценции. Этот эффект наблюдался, например', в сильнолегирован-
сильнолегированных образцах фосфида галлия р-типа [332].
5. Испускание горячей люминесценции. В результате удар-
ударной рекомбинации высоко в зоне проводимости появляются
электроны, а в глубине валентной зоны — дырки. Основная
часть таких горячих носителей быстро термализуется, элек-
электроны опускаются на дно зоны проводимости, а дырки подни-
поднимаются к потолку валентной зоны. Однако существует конеч-
конечная вероятность непосредственной рекомбинации горячих но-
носителей с термализованными носителями противоположного
знака: горячий электрон совершает переход на состояние
вблизи! потолка валентной зоны, а электроны у дна зоны про-
проводимости рекомбинируют с горячими дырками. Излучение,
возникающее при таких переходах, относится к горячей лю-
люминесценции (§ 7). Излучение.с энергией квантов h(o^2Eg
обнаружено в германии [333]. Оно возникает в результате
рекомбинации электронов с дырками, заброшенными в от-
отщепленную подзону валентной зоны.
190
6. Эмиссия электронов из кристалла. Горячие электроны,
возникшие в результате рекомбинации Оже, могут преодолеть
работу выхода и покинуть кристалл. Это явление наблюдалось
в арсениде галлия [334]. Исследование распределения эмити-
эмитированных электронов по скоростям позволяет получить важ-
важную информацию о механизме ударной рекомбинации.
Кроме показанных на рис. 45 механизмов рекомбинации
Оже возможна аннигиляция свободных и связанных эксито-
нов с передачей энергии свободному носителю. Сечение такой
рекомбинации рассчитано, в частности, в работе [335].
В связи с широким применением сильнолегированных по-
полупроводников и интенсивных источников возбуждения инте-
интерес к процессам ударной ионизации и рекомбинации в послед-
последние годы значительно возрос. Они исследуются как в однород-
однородных полупроводниках, так и в сложных структурах, например
гетеропереходах [336]. Проводится более детальное сравнение
результатов теории и эксперимента [337—340]. Большое
число оригинальных теоретических и экспериментальных ра-
работ по рекомбинации Оже проанализировано в обзорах
[341,342].
При определенных условиях процессы Оже оказывают ре-
решающее влияние на явления нелинейной оптики. Этот вопрос
будет рассмотрен в § 14.
Поверхностная рекомбинация. Зонная теория, разработан-
разработанная для бесконечно протяженных кристаллов, строго говоря, к
поверхностному слою неприменима. На границе кристалла
периодическая кристаллическая решетка терпит разрыв. Еще
в 1932 г. с помощью одномерной модели Кронига и Пенни
(§ 2) И. Е. Тамм показал, что на границе кристалла в запре-
запрещенной зоне появляются разрешенные уровни энергии, на-
названные впоследствии его именем. К аналогичному выводу
пришел В. Шокли исходя из других соображений.
На границе кристалла обрываются валентные связи, силь-
сильно искажается периодический потенциал, нарушается сим-
симметрия элементарных ячеек. Поэтому даже если кристалл
ограничен идеальными плоскостями, расположение атомов на
которых соответствует их расположению на эквивалентных
плоскостях в глубине образца, зонная структура приповерх-
приповерхностного слоя будет отличаться от зонной структуры объема.
В реальных кристаллах поверхности далеко не идеальны.
На них имеются выступы и впадины, адсорбированные атомы,
незаполненные узлы решетки и т. д. Поэтому в приповерх-
приповерхностном слое запрещенная зона может вообще отсутствовать.
Об этом свидетельствуют некоторые экспериментальные ре-
результаты, для объяснения которых необходимо предположить,
что в запрещенной зоне имеется квазинепрерывный спектр
разрешенных уровней энергии [343, 344].
191
Если» электрон и дырка находятся от поверхности на рас-
расстоянии порядка диффузионной длины, они могут рекомбини-
ровать безызлучательно через непрерывный набор поверхност-
поверхностных состояний. Поэтому возбуждение фотолюминесценции в
приповерхностном слое, как правило, менее эффективно, чем
в глубине кристалла. Аналогичные свойства присущи некото-
некоторым дефектам кристалла, которые можно рассматривать как
внутренние микроскопические поверхности.
Кинетика рекомбинации электронов и дырок через квази-
квазинепрерывный спектр поверхностных состояний исследована в
работе [345].
При рассмотрении поглощения света свободными носите-
носителями (§ 10) уже было показано, что приповерхностный слой
и объем кристалла характеризуются различными коэффици-
коэффициентами поглощения. Влияние этого слоя необходимо учиты-
учитывать во многих явлениях, связанных с взаимодействием све-
света и вещества.
Если образец облучается светом, длина волны которого
соответствует значению коэффициента поглощения порядка
104—105 см*1, то возбуждается только небольшой приповерх-
приповерхностный слой. Поэтому даже в толстых образцах роль при-
приповерхностного слоя в поглощении и испускании света может
быть существенной. В тонких пленках, которые все шире при-
применяются в интегральных схемах микроэлектроники, в опто-
электронных устройствах, в лазерной технике, голографии и
других областях науки и техники, роль приповерхностных
слоев возрастает еще больше.
Неоптические переходы в дефектах кристалла. В реаль-
реальном кристалле может содержаться значительное количество
дефектов, сложных комплексов и микроскопических включе-
включений. Если они обладают непрерывным или квазинепрерыв-
квазинепрерывным энергетическим спектром, то электроны и дырки будут
стекаться к ним и безызлучательно рекомбинировать [341],
[346]. Детальное рассмотрение этого вопроса оправдано для
конкретных типов дефектов и выходит за рамки настоящей
монографии.
§ 12. ИЗМЕНЕНИЕ ОПТИЧЕСКИХ СВОЙСТВ
ПОЛУПРОВОДНИКОВ
под действием внешних сил
Зависимость ширины запрещенной зоны от температуры.
Температура кристалла может оказывать заметное влияние
на все физические величины, определяющие поглощение и
испускание света: на положение и ширину уровней энергии,
на вероятности переходов и распределение электронов по
192
уровням. В условиях термодинамического равновесия или
квазиравновесного распределения электронов и дырок по от-
отдельности населенности уровней энергии задаются функцией
Ферми — Дирака, в которую входит один параметр — уровень
Ферми (или два квазиуровня, один для электронов, а второй
для дырок). В обоих случаях величина этого параметра, а
следовательно, и функция распределения электронов весьма
чувствительны к изменению температуры (§ 3).
Из принципа детального равновесия следует, что в усло-
условиях термодинамического равновесия вероятности прямых и
обратных переходов, например вероятность спонтанных пере-
переходов и вероятность вынужденных переходов, индуцирован-
индуцированных планковской радиацией (§ 7), вероятность захвата носи-
носителя ловушкой и вероятность ионизации ловушки, вероятность
связывания электрона и дырки в экситон и вероятность диссо-
диссоциации экситона, связаны между собой универсальным соот-
соотношением типа (9.20). В этом соотношении температура вхо-
входит в показатель экспоненты. Поэтому степень ионизации при-
примесей, концентрация экситонов в определенном интервале
температур будут сильно изменяться с повышением темпе-
температуры.
Из оптических и электрических исследований свойств, по-
полупроводников следует, что положение и ширина энергетиче-
энергетических зон и примесных уровней также являются чувствитель-
чувствительными функциями температуры. Запрещенная зона большин-
большинства полупроводников уменьшается с ростом температуры.
В арсениде галлия с увеличением температуры от 21 до
294 °К край фундаментальной полосы поглощения и экситон-
ная линия поглощения смещаются более чем на 90 мэв
(рис. 49) [347]. При комнатной температуре экситонная ли-
линия едва заметна. Она отчетлива видна при 186 °К. С пониже-
понижением температуры ее интенсивность растет, а ширина умень-
уменьшается.
.. йй т 0S 1,48 Ш 152 М Ь.Ш-8
Рис. 49. Зависимость края фундаментальной полосы поглощения и экси-
тонной линии поглощения арсенида галлия от температуры [3471: 1—294 °К;
2—186; 3—90; 4—21 °К
13. Зак. 312
193
L
Надеется несколько полупроводников (PbS, PbSe, Те), у
которых повышение температуры сопровождается увеличени-
увеличением ширины запрещенной зоны. Аномальное температурное
смещение края полосы поглощения сернистого свинца видно,
например, на рис. 38.
Температурная зависимость ширины запрещенной зоны
связана в основном с двумя эффектами. Во-первых, при нагре-
нагревании кристалла увеличивается расстояние между узлами
решетки, а следовательно, изменяется вид потенциальной
функции. Как было показано в § 2 на примере модели Кро-
нига и Пенни, чем больше размеры потенциальной ямы для
электрона, тем шире зоны разрешенной энергии и меньше
расстояние между ними. В пределе запрещенная зона исчезает
полностью. При высоких температурах расширение решетки
происходит пропорционально температуре, а при низких — по
более сложному закону. Для некоторых алмазоподобных по-
полупроводников в определенном температурном интервале
коэффициент расширения принимает даже отрицательные зна-
значения.
Во-вторых, с увеличением температуры растет интенсив-
интенсивность колебаний решетки и увеличивается электрон-фононное
взаимодействие, приводящее к смещению потолка валентной
зоны и дна зоны проводимости. Расчеты показывают [262],
что это дает основной вклад в температурную зависимость за-
запрещенной зоны. При температурах Т<?в, где в — температу-
температура Дебая (§ 4), ширина запрещенной зоны пропорциональна
Т2 а если Г>в, то Eg линейно зависит от Т.
И. П. Варшни [348] показал, что наблюдаемую на опыте
температурную зависимость ширины запрещенной зоны для
алмаза, кремния, германия, карбида кремния, арсенида гал-
галлия, фосфида индия и арсенида индия можно выразить эмпи-
эмпирической формулой
Eg(T)=Ee@) Y~' A2Л)
где ?g@) — ширина запрещенной зоны при Г = 0; а, 0 —-па-
—-параметры. Для арсенида галлия Eg@) = 1,5216 эв, а=8,871Х
X Ю эв/град. Значение 0 = 572 °К близко к температуре Дебая
6 = 344 °К- Для других полупроводников значения 0 и в силь-
сильно расходятся, а в алмазе и 6H-SiC параметр р имеет отрица-
отрицательное значение.
В соответствии с теорией для низких и высоких темпера-
температур из A2.1) следует:
Eg(T) = Eg@) jp Т, Т€.$, A2-2)
A2.3)
194
Таблица значений параметров а, р для перечисленных полу-
полупроводников приведена в работах [111, 348].
Влияние давления на зонную структуру. Широкие энерге-
энергетические зоны в полупроводниках можно представить как со-
совокупность расширенных и смещенных многократно вырож-
вырожденных уровней атомов, из которых образован кристалл (§ 2).
На рис. 10 показана простейшая схема образования зон из
атомных уровней при уменьшении расстояния г между узлами
решетки. В твердых телах реализуются и более сложные слу-
случаи, когда зоны расщепляются и пересекаются. Это видно на
примере зонной структуры алмаза (рис. 50) [111]. С помощью
механических воздействий кристаллическую решетку можно
подвергнуть различным деформациям: направленному или
всестороннему (гидростатическому) сжатию, растяжению,
изгибу, смещению слоев и т. д. Наибольшее число работ в ли-
литературе посвящено изучению одноосного и гидростатического
давления. Но и в этих относительно простых случаях картины
изменения зонной структуры весьма сложны и разнообразны.
В трехмерном пространстве импульсов границами разре-
разрешенных и запрещенных зон служат поверхности сложной
формы с несколькими долинами. В сечении плоскостями каж-
каждой долине соответствуют максимумы или минимумы кривых,
которые обычно и изображаются на зонных диаграммах.
АЩ ЧН сасшзнний
8N состоянии
чя mitmpaiwf
бНштшшШр]
2Н состояний Ш)
"ТШэтп
Знергая с fas и
4ftсостояний
Ч/ГжтротИ
Рис. 50. Зависимость зонной структуры алмаза от расстояния между узлами
решетки
13*
195
Ширина запрещенной зоны характеризует энергетический за-
зазор между нижайшей точкой зоны проводимости и наивыс-
наивысшей точкой валентной зоны.
Если к полупроводнику приложить давление, все точки
указанных поверхностей придут в движение, сама поверх-
поверхность деформируется. С увеличением приложенной силы до-
долины смещаются с разными скоростями, а иногда и в противо-
противоположных направлениях. Поэтому прямозонный полупровод-
полупроводник может превратиться в непрямозонный и наоборот. При
одноосной или двуосной деформации понижается симметрия
кристалла, вырожденные уровни расщепляются.
Если деформация невелика, то рассматривая ширину за-
запрещенной зоны как функцию давления Eg(P) и разлагая ее
в ряд по малому параметру Р, можно ограничиться линейным
членом
Р,
A2.4)
где Её @) — значение Eg при отсутствии давления; Е^, Ev0 —
экстремальные точки зоны проводимости и валентной зоны.
Производные от положения определенной экстремальной
точки по давлению характеризуют скорость смещения этих
точек с ростом давления и называются коэффициентами дав-
давления. В германии коэффициенты давления для зоны прово-
проводимости в точках Г, X, L (см. рис. 11) равны 1,2-10~6, (от 0
до—2)-10~6, 5-Ю-6 эв/см2-кГ соответственно [111, 349].
Так как L с ростом давления движется вверх, а точка X вниз,
то величина запрещенной зоны определяется энергетическим
зазором между максимумом валентной зоны в точке Г и ми-
минимумом в зоне проводимости вначале в точке L, а затем в
точке X. При давлении 50 кбар запрещенная зона достигает
максимального значения, а затем опять уменьшается. Взаим-
Взаимное перемещение долин зон влечет за собой изменение их на-
селенностей и вероятностей переходов, а следовательно, ин-
интенсивности и формы линий излучения.
В арсениде галлия минимум зоны проводимости в точке Г,
с которым связаны прямые переходы, при наложении давле-
давления также поднимается вверх, а минимум в точке X для не-
непрямых переходов опускается. Поэтому GaAs при больших
давлениях становится непрямым полупроводником.
Внешнее давление изменяет не только зонную структуру
основного материала, но и примесные и экситонные состояния.
При деформации полупроводника изменяется-положение при-
примесных состояний относительно экстремальных точек зон.
Это сопровождается изменением волновых функций, в кото-
196
2,13 2,23 2,33 2,43 ,
Рис. 51. Расщепление примесной полосы поглощения в монокристаллах
CdS при одноосном сжатии вдоль гексагональной оси С при 77 °К
Давление р=0 (/), 425 B), 700 C), 980 D) кГ/см2 [350]
рых с наибольшим весом представлены волновые функции
электрона в ближайших экстремумах зон (§ 9).
Если давление понижает симметрию кристалла, примесные
полосы поглощения и испускания расщепляются. На рис. 51
показано это явление в монокристаллах CdS при одноосном
сжатии [350].
Обычно^после снятия напряжения зонная структура и опти-
оптические свойства полупроводника возвращаются в исходное со-
состояние. Однако иногда наблюдаются остаточные явления.
Некоторые характеристики как функции давления при дви-
движении в прямом и обратном направлениях описываются раз-
разными кривыми. Так, максимум экситонного поглощения в
GaSe с увеличением Р монотонно перемещается в длинновол-
длинноволновую область (рис. 52). Если давление понижать, полоса
2,005
2,000
1,995
Рис. 52. Смещение максимума экси-
экситонного поглощения в GaSe с уве-
личением и с уменьшением гидро-
статического давления при комнат-
ной температуре [351]
i 990
1,9вб
t,975
12
197
смекается в обратном направлении, но по другому закону,
а затем скачком переходит на прежнюю кривую. В этом же
слоистом полупроводнике обнаружен обратимый фазовый
переход первого рода при давлениях ~7,7 кбар.
Исследование полупроводников под высоким давлением
позволяет получить большое количество новой информации о
структуре зон (особенно вырожденных), о деформационных
потенциалах [352, 353], об экситонных состояниях [354, 355]
и примесных центрах. Современная техника высоких давле-
давлений для изучения твердого тела описана в работе [356].
Зависимость физических свойств полупроводников от дав-
давления широко используется для создания чувствительных
датчиков механических величин [357].
Эффект Келдыша—Франца. Если полупроводник поме-
поместить в постоянное электрическое поле, то кинетическая и по-
потенциальная энергия электронов изменится. Электроны и дыр-
дырки будут ускоряться в поле, энергетические зоны из горизон-
горизонтальных станут наклонными. Если в отсутствие поля в момент
времени ? = 0 состояние электрона в 1-й зоне описывалось
функцией Блоха Ч^(Ро, г), то через промежуток времени t
после включения поля в нулевом приближении оно описы-
описывается функцией [358]
t
V, (р0, г, 0 = exp J- -М* Е, (Ро - eSt) dt\ V, (po-egt, г), A2.5)
где р — квазиимпульс электрона; ?,¦ (р0 — еёf) — функция, опре-
определяющая зависимость энергии электрона от его квазиимпульса.
Согласно A2.5), электроны, получая в электрическом поле
дополнительную энергию, могут просачиваться в запрещен-
запрещенную зону. Имеется конечная вероятность их нахождения ниже
дна зоны проводимости и выше потолка валентной зоны. В ре-
результате этого коэффициент межзонного поглощения не обра-
обращается в нуль для энергий фотонов, меньших ширины запре-
запрещенной зоны. Л. В. Келдыш показал, что при ha><Eg коэффи-
коэффициент поглощения при изотропной эффективной массе т*
убывает по закону [358]:
k (со) ~ exp j —
/ 4/2
,пг
- (g — /коI
3/2
A2.6)
Аналогичное выражение получается и для. решетки любой
симметрии и произвольного направления электрического поля.
Для частот h(o>Eg справедливы формулы, полученные без
учета электрического поля. Таким образом, в электрическом
198
Рис. 53. Эффект Келдыша—Франца
в чистом кремнии при Г=100°К:
/_#=0; 2 — ЙГ=5-104 в/см [360]
поле происходит сдвиг грани-
границы межзонного поглощения по-
полупроводника в длинноволно-
длинноволновую область.
При поглощении фотона
электрон получает дополни-
дополнительную энергию от электриче-
электрического поля и совершает переход
из валентной зоны в зону про-
проводимости. Этот эффект был
теоретически предсказан одно-
одновременно в работах [358, 359] и
-/
50
@
5
0,7 0,8 0,9 1,0 /,/Л,ММ
называется эффектом Келдыша—Франца. Величину сдвига в
области прямых переходов можно оценить по формуле
Асо =
т"
A2.7)
Как видно из A2.7), смещение полосы будет тем больше,
чем меньше эффективная масса носителей. Для электрических
полей порядка 105 в/см и Е~2 эв сдвиг полосы поглощения
может составить сотни ангстрем. На рис. 53 показан край
полосы поглощения чистого кремния, измеренный без поля
и в присутствии постоянного электрического поля <§Г = 5Х
ХЮ4 в/см [360]. Полоса обусловлена непрямыми оптическими
переходами. Как видно из рисунка, в области длин волн
0,8—0,9 мкм, приложение постоянного поля вызывает значи-
значительное увеличение коэффициента поглощения. Аналогичные
результаты получаются и для высокочастотного поля, что до-
доказывает малую инерционность этого эффекта [361].
Открытие эффекта Келдыша — Франца положило начало
большой серии теоретических и экспериментальных работ по
электропоглощению и электроотражению в твердых телах.
Изменение поглощения в электрическом поле происходит в
чистых, слабо- и сильнолегированных полупроводниках [362]
для межзонного, примесного [363—366] и экситонного [367]
механизмов поглощения, для прямых и непрямых оптических
переходов, в постоянных и переменных электрических полях.
Приложение электрического поля к полупроводнику не толь-
только изменяет величину коэффициента поглощения, но и при-
приводит к вынужденному дихроизму [368]. Параллельно с коэф-
199
фициентом поглощения изменяется и показатель преломле-
преломления [369, 370].
Эффект Штарка. В 1913 г. И. Штарк обнаружил сдвиг и
расщепление спектральных линий атома водорода в сильном
электрическом поле (эффект Штарка). Это явление связано
с тем, что в электрическом поле электрон приобретает допол-
дополнительную энергию, равную [50]
V = -(D*j, A2.8)
где D — дипольный момент атома. Если дипольный момент ато-
атома в отсутствии поля обозначить через Do, то при наложении
поля он выразится суммой
D = Dn + ag.
A2.9)
Второе слагаемое A2.9) равно индуцированному моменту,
который определяется тензором диэлектрической поляризуе-
поляризуемости и внешним полем.
До тех пор пока \(D?)\<gia,?z, сдвиг уровней прямо про-
пропорционален напряженности поля. При выполнении обратно-
обратного неравенства линейный эффект Штарка переходит в квадра-
квадратичный. В тех атомах, в которых D0 = 0, наблюдается только
квадратичный эффект Штарка.
Линейный и квадратичный эффект Штарка широко исполь-
используется не только для изучения свободных атомов, но и при-
примесных центров диэлектрических кристаллов.
В рамках теории эффективной массы Дж. Ваннье показал
[371], что если поместить полупроводник в электрическое
поле, то энергетический спектр электрона будет состоять из
набора эквидистантных уровней (уровни Ваннье), расстоя-
расстояние между которыми равно
AE — e?d, A2.10)
где d— постоянная кристаллической решетки в направлении
поля. Уровни Ваннье образуются вследствие того, что квази-
квазиимпульс электрона линейно воз-
возрастает со временем:
р (9 =
-д. о2-11)
Рис. 54. Спектры пропускания М тонких
A0—200 мкм) образцев CdS в электри-
электрическом поле (§Р = 1,5-104 в/см при темпе-
температуре жидкого гелия: 1—<$\\С, d =
2,ЧЪ 2,97
ьт,эв
=6,72 А, 2
1С, d = 4,14 A [376]
200
Рис. 55. Смещение и расширение экситон-
ной линии поглощения В(я=1) в моно- Л
кристаллах CdS при Г=90°К- 1 — ?"=0; ¦*
2— <У = 1,55-104; 3 — <У = 3,Ы04 в/см
Перемещаясь в пределах зоны Брил-
люэна, электрон испытывает брэг-
говские отражения на ее границах.
Поэтому его скорость и энергия
осциллируют с периодом
Т-
1 —
что и приводит к образованию экви-
эквидистантного энергетического спек-
спектра. Расчеты спектра поглощения для этого случая показали
[372, 373], что в зависимости коэффициента поглощения от ча-
частоты появляется осциллирующая составляющая, соответ-
соответствующая оптическим переходам на эквидистантные уровни.
Вначале ожидаемые осцилляции были обнаружены в тун-
туннельном токе диодов из антимонида индия при температуре
жидкого гелия [374]. Прямые измерения осцилляции оптиче-
оптического пропускания выполнены на пленках CdS, помещенных
в сильные электрические поля [375, 376]. На рис. 54 приведе-
приведены графики зависимости пропускания пленки от энергии
квантов света при двух ориентациях образца относительно
направления электрического поля [376]. В соответствии с
формулой A2.10) более частые осцилляции наблюдаются,
если электрическое поле направлено перпендикулярно опти-
оптической оси кристалла. Для этого направления постоянная ре-
решетки меньше, чем в направлении оптической оси.
Хотя имеются и другие опыты [377], которые можно
объяснить с помощью уровней Ваннье, эта интерпретация
иногда вызывает возражения [376, 378] на том основании, что
среднее время между столкновениями электронов слишком
мало A0~14 сек) для того, чтобы электрон прошел всю зону
Бриллюэна и отразился от ее границ. Отражение на границах
зоны служит необходимым условием образования эквиди-
эквидистантного энергетического спектра. С более общих позиций
электронные состояния полупроводников в сильных электри-
электрических полях рассмотрены в работах [378, 379].
Электрическое поле вызывает также расщепление и сме-
смещение экситонных уровней (рис. 55). Величина смещения ос-
основного состояния электронов большого радиуса рассчитана
в работах [380—384]. Как и следует из теории, смещение
экситонной линии поглощения В (п=1) в CdS пропорциональ-
201
но квадрату напряженности электрического поля. Эффект
Штарка для экситонных состояний в сернистом кадмии наблю-
наблюдался также в работе [386].
Ионизация экситонов в электрическом поле. С электриче-
электрическим полем связаны два механизма ионизации экситонов:
ударная ионизация и электростатическая ионизация. Иониза-
Ионизация экситонов сопровождается уменьшением их концентрации
и увеличением числя свободных носителей в зонах. На опыте
ее можно обнаружить по увеличению электропроводности ма-
материала и уменьшению экситонной люминесценции.
Тушение люминесценции свободных и связанных экситонов,
обусловленное их ударной ионизацией свободными носителями,
разогретыми в электрическом поле, обнаружено в германии
[387], фосфиде галлия [209], [388], арсениде галлия [389],
теллуриде цинка [208].
На рис. 56 показано относительное уменьшение интенсив-
интенсивности фотолюминесценции УРЛ(??) ZnTe в зависимости от ве-
величины приложенного электрического поля при двух значе-
значениях плотности возбуждающего потока 5В (число квантов
света на 1 см2 за 1 сек).
Электростатическая ионизация экситонов происходит в ре-
результате прямого разрыва связи между электроном и дыркой,
образующих экситон, в электрическом поле. В германии это
явление наблюдалось при напряженностях поля порядка
140 в/см [390].
Кроме прямого воздействия на экситоны электрическое по-
поле может изменить их концентрацию и косвенным путем.
Известно, что свободные носители экранируют кулоновское
взаимодействие между зарядами. При определенной концен-
концентрации носителей электроны и дырки вообще не могут связы-
связываться в экситоны.
Концентрацию свободных носителей можно повысить раз-
различными способами и в частности путем ионизации примесей
Ъ
0,8
Рис. 56. Зависимость интенсивности
экситонной фотолюминесценции тел-
2 лурнда цинка от электрического по-
поля: / —SB = 4-1022 см~2-сек-\; 2 —
SB = l,5-1023 см-*-сек-1
6 8 ?,кё/СМ
202
Рис. 57. Спектры поглощения германия,
легированного сурьмой, с Nd=8-1015
см-3: 1 — Г = 4,2°К, # = 0; 2— Г = 4,2°К, 5
<У=100 в/сл; 3—Г=77°К [392]
в электрическом поле. В слаболе-
слаболегированном германии достаточно
приложить к образцу поле напря-
напряженностью 5 в/см, чтобы вызвать
ионизацию донорных примесей
[391].
0,883 0,889 Ьф,зВ
В работах [392, 393] установлено, что параллельно с иони-
ионизацией примесей исчезает пик экситонного поглощения
(рис. 57). Следовательно, в результате экранирования куло-
новского взаимодействия экситоны не образуются,. Как видно
из рис. 57, это сопровождается изменением наклона кривой
края оптического поглощения. Повышение температуры вызы-
вызывает аналогичные изменения в спектре: экситонный пик исче-
исчезает, а кривая поглощения становится более пологой.
В образцах с меньшей концентрацией доноров ионизация
примесей наступает при меньших полях, однако экситонный
пик исчезает не полностью. Изменение спектра поглощения с
увеличением поля происходит до тех пор, пока не наступит
полная ионизация примеси. После этого спектр останется не-
неизменным, если не вступят в действие механизмы электроста-
электростатической и ударной ионизации экситонов.
Магнетооптические явления. Чтобы описать электронные
состояния полупроводника, помещенного в магнитное поле,
необходимо решить уравнение Шредингера, в котором содер-
содержится оператор взаимодействия зарядов с магнитным полем.
Это довольно сложная задача и решается она для каждого
кристалла в отдельности. Отметим здесь кратко только наи-
наиболее общие закономерности. Более подробное изложение
вопроса можно найти в работах [8, 98, 394—398].
Дискретные уровни примесных центров и экситонов в маг-
магнитном поле расщепляются и смещаются. Это проявляется на
опыте в разнообразных магнетооптических явлениях. Спек-
Спектральные линии поглощения и испускания расщепляются на
я- и а-компоненты, характеризующиеся линейной и круговой
поляризацией (явление Зеемана). Характер расщепления и
поляризация линий зависят от природы уровней и направле-
направления наблюдения.
В радиочастотной области обнаруживается селективное
поглощение электромагнитных волн, обусловленное перехо-
203
дами «между расщепленными подуровнями одного исходного
уровня (электронный парамагнитный резонанс).
Плоскость поляризации линейно поляризованного света,
проходящего в кристалле путь d вдоль силовых линий магнит-
магнитного поля, поворачивается на угол ¦& (явление Фарадея):
—
с
A2.13)
где пп (со) и пл (со) — показатели преломления для лучей света с
правой и левой круговой поляризацией. В отсутствие магнитно-
магнитного поля пп (со) = пл (со) = п (со). Линейно поляризованный свет,
распространяющийся перпендикулярно направлению магнитного
поля с электрическим вектором, составляющим угол 45° с на-
направлением магнитного поля, превращается в эллиптически
поляризованный свет> (эффект Фогта).
Согласно классической электродинамике, угол # прямо
пропорционален квадрату длины волны падающего света
(Ф~(о~2), а сдвиг фаз между двумя циркулярно поляризован-
поляризованными лучами в эффекте Фогта б связан с ¦& соотношением
[8]:
(О
(О
A2.14)
Определение циклотронной частоты сос приводится ниже.
Под действием магнитного поля в кристаллах вблизи линий
поглощения возникают двойное лучепреломление и другие эф-
эффекты.
Энергетические зоны полупроводников в магнитном поле
также претерпевают значительные изменения. Они расщепля-
расщепляются на подзоны Ландау. Так как этот эффект изменяет порог
и мощность генерации (§ 20), остановимся на нем несколько
подробнее.
Согласно классической механике, если электрон с эффек-
эффективной массой т* помещен в магнитное поле 9CZ, направлен-
направленное по оси г, его движение в плоскости ху происходит по кру-
круговой орбите с угловой частотой [2]
со =
т*с
A2.15)
называемой циклотронной частотой. Квантовая механика при-
приводит к таким же результатам, но налагает ограничения на
радиусы орбит. Разрешены только такие орбиты, которым со-
соответствует момент количества движения, кратный постоян-
постоянной Планка Н. Точный квантовомеханический расчет движе-
движения электрона в магнитном поле был выполнен Л. Д. Ландау
204
[399]. Теория Ландау относилась к свободным электронам,
однако в дальнейшем было показано, что все ее выводы спра-
справедливы для электронов, движущихся в периодическом поле
кристаллической решетки. Необходимо только массу электро-
электрона заменить эффективной массой.
В присутствии магнитного поля 9CZ уравнение Шредингера
имеет вид
Л2
2т*
2m*c
x 1
ду
дх
8m*c
A2.16)
Это уравнение можно преобразовать к уравнению движения
гармонического осциллятора в плоскости ху. Оно имеет реше-
решения для дискретного набора эквидистантных уровней с номе-
номером / (уровни Ландау):
ху
2т*
1
H(oc.
A2.17)
В то же время для движения в направлении оси z остается
справедливым прежний закон дисперсии
A2.18)
w 2m*
В направлении магнитного поля электрон, движется как
свободная частица с эффективной массой т*, а в плоскости,
перпендикулярной оси г, совершает гармонические колеба-
колебания с циклотронной частотой сос.
Плотность состояний в зоне проводимости выражается
формулой [400, 401]
1
4л2
2т*
/2
Йсо.
1/2
A2.19)
Здесь суммирование распространяется на все целые положи-
положительные числа, для которых знаменатель в A2.19) выражает-
выражается действительным числом. Для больших магнитных полей <ос
велико и сумма A2.19) состоит из небольшого числа членов.
Если9?-Я), (ос->-0, суммирование в A2.19) можно заменить
интегрированием, что приводит к обычному выражению для
плотности состояний C.8).
205
Рис. 58. Функция плотности состояний
в зоне проводимости без магнитного по-
поля (пунктирная кривая) н в магнитном
поле (сплошная разрывная кривая)
График функции A2.19) при-
приведен на рис. 58. Там же для
сравнения показана зависимость
плотности состояний от энергии в
отсутствие магнитного поля. Как
видно из рисунка, исходные уров-
уровни энергии как бы сжимаются в узкие подзоны, расстояние
между которыми равно Йсос.
Первая подзона (/=0) смещена относительно дна зоны прово-
проводимости вверх на величину Йюс/2. Потолок валентной зоны сме-
смещается вниз на величину На'с, где <а'с — циклотронная частота
для дырок.
В целом увеличение ширины запрещенной зоны в магнитном
поле на основании A2.15) можно представить в виде
1
1
1
т'.
eh'K
A2/20)
где т* и т* — эффективные массы электрона и дырки.
Если зона проводимости и валентная зона состоят из не-
нескольких вырожденных или отщепленных подзон, то в каждой
ветви зоны уровни Ландау образуются в соответствии со зна-
значением эффективной массы носителя. Если к тому же эф-
эффективные массы анизотропны, то наложение магнитного по-
поля приводит к необычайно сложной зонной структуре [395,
396].
Модуляционная спектроскопия'. До середины 50-х годов
основные исследования по оптике полупроводников относи-
относились к области спектра вблизи края фундаментального погло-
поглощения и к более длинноволновому участку спектра. Для бо-
более коротких длин волн коэффициент поглощения достигает
больших значений — порядка 105—106 см~1. Чтобы измерить
пропускание в этой области, необходимо брать образцы с
толщиной от долей микрона до нескольких микрон. В таких
тонких слоях большую роль играет приповерхностный слой
(§ 11), и трудно получить надежные воспроизводимые ре-
результаты.
Тонкая структура полосы поглощения, соответствующая
оптическим переходам в глубь зоны проводимости, затушевы-
206
вается сплошным фоном интенсивного поглощения, что-не по-
позволяет извлекать всей необходимой информации о зонной
структуре. Поэтому изучение оптических свойств полупровод-
полупроводников в области их металлического поглощения развивалось
медленно.
В последние годы произошли решительные изменения. Это
направление исследований начало бурно развиваться. Решаю-
Решающую роль сыграла разработка новых дифференциальных ме-
методов измерения тонкой структуры в спектрах поглощения и
отражения. Коэффициент поглощения и ранее рассчитывался
на основании соотношения Крамерса-Кронига по измеренно-
измеренному спектру отражения. Однако только после разработки мето-
методов дифференциальной или модуляционной спектроскопии это
соотношение стало эффективным средством изучения оптиче-
оптических свойств полупроводников.
Если обозначить действительную и мнимую части комп-
комплексной диэлектрической проницаемости е' через е и ei соот-
соответственно, то соотношения Крамерса-Кронига можно пред-
представить в виде [2, 111]:
е (со) — 1 = — Р
п
A2.21)
Л
(О2 — (О
A2.22)
где Р J — главная часть интеграла в смысле Коши. Прирав-
о
нивая по отдельности действительные и мнимые части равенства
е -j- ie1 = (n — ixJ, находим связь между оптическими постоян-
постоянными вещества:
е = п2 + и2, ех = —2пх. A2.23)
Хотя при измерении показателя преломления и коэффи-
коэффициента поглощения на заданной частоте со можно получить
для них любые значения, согласно соотношениям A2.21) и
A2.22), функции е(ю) и ei(co) в целом не являются незави-
независимыми. Если измерена (или задана) одна из них во всем
интервале частот от 0 до оо, то тем самым полностью опреде-
определена и другая.
Трудность в пользовании соотношениями Крамерса-Кро-
Крамерса-Кронига связана с тем, что для расчета неизвестной функции
хотя бы в одной точке, необходимо знать вторую для всех
частот. Для преодоления этой трудности обычно широко поль-
пользуются экстраполяцией и приближенным заданием значе-
207
ний е'. Так, если концентрация свободных носителей пренебре-
пренебрежимо мала, то для частот h(o<Eg можно положить [402]
е = const, ex = 0.
Для частот, превышающих среднюю частоту междузонных
переходов (о/к, справедлива формула (Л = const):
е» = 1
со2— mtK
A2.24)
Чтобы определить показатель преломления и коэффици-
коэффициент поглощения в области металлического поглощения на
опыте, измеряется коэффициент отражения R при нормаль-
нормальном падении света. На основании A0.22) его можно предста-
представить как квадрат модуля комплексной отражательной способ-
способности
()"* A2.25)
(я+ 1) — iv-
Изменение фазы волны ср(со) при отражении связано с R дис-
дисперсионным соотношением [403]
Л
^2
(О2 — СО2
A2.26)
Измерение jR(co) на опыте и расчет ср(со) по формуле
A2.26) позволяет решить уравнение A2.25) и определить
пик, а следовательно, и коэффициент поглощения.
Сущность дифференциальной спектроскопии состоит в том,
чтобы измерять ее первую или вторую производную по неко-
некоторому параметру |. Это позволяет исключить сплошной фон
и необычайно заострить все детали спектральных характе-
характеристик.
Пусть, например, на фоне практически постоянного значе-
значения коэффициента отражения Rq имеется небольшой пичок
или ступенька р(со):
Д(©) = Д0 + р((о). A2.27)
При непосредственном измерении /?(со) тонкая структура бу-
будет едва различима. Если же взять производную от /?(со) по |
dR (со) _ dp (со) dxo
A2.28)
то величина Re исчезает, а A2.28) может изменяться в боль-
больших пределах, в принципе от —со до оо. Например, в обыч-
обычном спектре поглощения дублета двуокиси углерода (рис. 59,
208
Рис. 59. Спектры поглощения (/), первой B) и вто-
второй C) производной для дублета СОг (Х=4,25 и
4,28 мкм). Кривые 2 и 3 получены с помощью диф-
дифференциального спектрометра
кривая /) структура линии совершенно не
разрешается. О наличии дублета можно
только догадываться по различному накло-
наклону кривой справа и слева от максимума по-
поглощения. На графике первой производной
от к(К) по К (кривая 2) дублетная структу-
структура линии становится очевидной. Еще более
нагляден график второй производной.
В качестве параметра | в формулах типа
различные внешние силы,
A2.28) берутся
изменяющие оптические свойства
полупроводников: температура, одноосное и гидростатическое
давление, электрические и магнитные поля, концентрация
примесей и т. п. Производная da/db, дает скорость изменения
положения в спектре исследуемой особой точки зонной струк-
структуры, например ширины запрещенной зоны от параметра ?.
Если эта производная известна из теории или из независимых
опытов, то по измеренному значению d/?((o)/dg легко рас-
рассчитать структуру dp (со) /da.
Модулирование любого оптического параметра по частоте
можно осуществить с помощью частотномодулированного
света. Пусть частота света изменяется по косинусоидальному
закону
СО :
о)о + (Асо) • cos Ш.
A2.29)
Тогда диэлектрическая проницаемость будет равна
е = е (с0о) + Де cos Qi. A2.30)
При малых Дсо из A2.29) и A2.30) находим
de/dc0=Ae/A(D. A2.31)
Если А(о = const, то измеренное на опыте значение Ае будет
пропорционально производной de/dco.
Модулирование длины волны можно осуществить, s част-
частности, механическими колебаниями входной или выходной
щелей монохроматора, колебаниями зеркала монохроматора
и т. п. Созданы спектральные приборы, в которых дифферен-
дифференцирование спектра по времени производится вычислительным
устройством, а длина волны линейно изменяется во времени.
Достаточно полный обзор методов дифференциальной
спектроскопии изложен в книге М. Кар доны [402] и s [404].
14. Зак. 312
Г л аи а III
ПОГЛОЩЕНИЕ СВЕТА
И ФОТОЛЮМИНЕСЦЕНЦИЯ
ПРИ ИНТЕНСИВНОМ ВОЗБУЖДЕНИИ
§ 13. ЭФФЕКТЫ НАСЫЩЕНИЯ В СИСТЕМАХ
С ДИСКРЕТНЫМИ УРОВНЯМИ ЭНЕРГИИ
Ограниченность законов линейной оптики. Световые потоки
небольшой интенсивности проходят через вещество, не изме-
изменяя его основных оптических свойств. Показатель преломле-
преломления, коэффициенты отражения и поглощения не зависят от
возбудающего света, а мощности поглощения и люминесцен-
люминесценции прямо пропорциональны его интенсивности.
Вопрос об ограниченности указанных закономерностей,
принципа суперпозиции и других законов линейной оптики был
впервые поставлен в работах С. И. Вавилова. Он же ввел в
литературу термин «нелинейные оптические явления», подра-
подразумевая под ним прежде всего нелинейную зависимость мощ-
мощностей поглощения и люминесценции от интенсивности воз-
возбуждающего света.
С. И. Вавилов подчеркивал [405], что, несмотря на отсут-
отсутствие экспериментальных доказательств, линейность «при
распространении света в вещественной среде непременно
должна нарушаться. Это вытекает из квантовых свойств
света и вещества». Далее он отмечал, что «физика настолько
свыклась с линейностью обыденной оптики, что до сих пор нет
даже формального строгого математического аппарата для
решения реальных «нелинейных» оптических задач. На прак-
практике задачи такого рода решаются не строгим аналитическим
путем, а при помощи иногда очень грубых упрощений». Со-
Совместно с В. Л. Левшиным ему удалось наблюдать незначи-
незначительные уменьшения коэффициента поглощения при облуче-
облучении урановых стекол светом конденсированной искры. В то
же время в таких красителях, как родамин, закон Бугера
строго выполнялся при изменении интенсивности возбужда-
возбуждающего света в 1015 раз [406, 407].
Значительное просветление вещества под действием света
наблюдал Льюис с сотрудниками [408]. В 1943 г. П. П. Фео-
филов показал, что насыщение светом должно сопровождать-
210
ся деполяризацией люминесценции [158]. Если возбуждаю-
возбуждающий свет линейно поляризован, а наблюдение люминесценции
проводится в направлении, перпендикулярном направлению
возбуждающего вектора электрического поля, то степень
поляризации люминесценции изменяется от 0,5 до нуля с ро-
ростом интенсивности возбуждения от нуля до бесконечности.
Полученная П. П. Феофиловым формула была качественно
подтверждена опытами Б. Я. Свешникова [409].
В работах [410, 411] был обнаружен дихроизм, возникаю-
возникающий под действием линейно поляризованной радиации в орга-
нофосфорах.
В 1948 г. Р. Карплус и И. Швингер в рамках квантовой
механики рассмотрели взаимодействие света с двухуровневой
системой и для коэффициента поглощения получили форму-
формулу [412]
к= ^ , A3.1)
1+tS
1+const-S
где к0— значение коэффициента поглощения при отсутствии
возбуждения. Аналогичное выражение, но с учетом фона теп-
теплового испускания для двухуровневой системы частиц полу-
получено Б. И. Степановым [138, 413].
В серии работ [149, 414—419], выполненных в долазерный
период (до 1960 г., см. также [87, 420]), подробно исследова-
исследованы насыщение поглощения и фотолюминесценции, вынужден-
вынужденный дихроизм и деполяризация люминесценции в системах
частиц с двумя, тремя и произвольным числом уровней энер-
энергии. На основании общего анализа решения системы уравне-
уравнений баланса показана целесообразность введения набора па-
параметров нелинейности, с помощью которых все эффекты на-
насыщения, связанные с накоплением возбужденных частиц,
можно выразить едиными формулами, справедливыми для
систем с произвольным числом уровней энергии.
Развитый метод расчета и полученные формулы были ис-
использованы затем при изучении твердотельных и полупровод-
полупроводниковых лазеров, при установлении аналогии сложных моле-
молекул и полупроводников, разработке методики поиска новых
генерирующих сред и решении ряда других задач теории
люминесценции и квантовой электроники. Поэтому необходи-
необходимо, хотя бы кратко, остановиться на основных результатах,
полученных в работах [414—420].
Общее решение системы стационарных кинетических урав-
уравнений. При рассмотрении поглощения, люминесценции и сти-
стимулированного испускания в рамках вероятностного метода
расчета обычно предварительно находится распределение час-
частиц по энергетическим уровням или функция распределения щ.
Положение уровней энергии и вероятности переходов между
14- 211
ними'считаются заданными. Поглощение и люминесценция
рассчитываются, как правило, с помощью схемы двух и трех
уровней, а генерация и усиление излучения —¦ на основании
трех- и четырехуровневых моделей вещества.
В работе [414] развит общий метод расчета функции рас-
распределения для системы частиц с произвольным числом уров-
уровней энергии и показана возможность выразить зависимость
населенности уровней, мощностей поглощения и люминесцен-
люминесценции и других характеристик от интенсивности света одними и
теми же простыми формулами для всех систем независимо от
числа уровней. Эти же формулы для tii были использованы
при расчете генерации и усиления [421]. Уширение спектраль-
спектральных линий предполагается однородным (§ 15).
Пусть имеется совокупность п жестко закрепленных ча-
частиц, .каждая из которых обладает N уровнями энергии.
Частицы взаимодействуют с внешней радиацией, планковским
излучением и окружающей средой. На возбуждающий свет не
накладывается никаких ограничений, кроме тех, которые вы-
вытекают из условий применимости вероятностного метода
расчета [422—425].
Вероятности переходов между уровнями i и / будем обо-
обозначать через рц. В общем случае они зависят от плотности
возбуждающего света, температуры среды и ориентации
матричного элемента дипольного момента D,j. С помощью
коэффициентов Эйнштейна их можно представить в виде
A3.2)
Здесь через р*ц и p)i обозначены вероятности переходов,
индуцируемых внешней радиацией., Если и\ / (Q', со) — спект-
спектральная плотность возбуждающего света, рассчитанная на
единичный телесный угол и одну поляризацию (е=1,2), то ве-
величины рц равны [87, 414]
Pti =
)t
A3.3)
e Q'
, Q', со)— дифференциальный спектральный коэффици-
коэффицигде t
ент Эйнштейна; Q и Q' — совокупность
ориентацию дипольного момента частицы
тора падающей радиации (рис. 60).
Интеграл
f Q',
углов, которые дают
и электрического век-
векco)dco
212
Рис. 60. Ориентация матричных элементов
дипольного момента для переходов k-*-l
в двух частных случаях может быть
заменен приближенными выраже-
выражениями. Во-первых, если вещество с
относительно узкими уровнями энер-
энергии возбуждается излучением широ-
широкого спектрального состава, тогда
и (со) можно вынести из-под знака
интеграла и поэтому
L = «Ы J Щр N cico = b\fu (©„). A3.4)
со
Во-вторых, если спектральная ширина "линии падающего света,
в частности генерируемого излучения Асог, много меньше есте-
естественной ширины линии перехода i-*-j, то за знак интеграла
выносится значение коэффициента bjO (со) в частоте облучения
= Ь$ (сог) j и (со) dio = Ь\? (сог) иг,
A3.5)
где «г — плотность энергии возбуждающего потока. Поскольку
спектральные характеристики для дальнейшего не существенны,
то вместо интеграла 1а будет применяться его условная и
сокращенная запись /ш = bjputi. Детализация интеграла должна
проводиться в каждом конкретном случае отдельно.
Угловую зависимость вероятности перехода ptJ- удобно выра-
выразить с помощью четырех углов ф, ф, g, i\.j (рис. 60).
Первые два угла определяют ориентацию некоторого фикси-
фиксированного вектора DOT/, g — угол между матричными элемен-
элементами Dti и Dm,. Угол т]г;. дает положение Di} на поверхности
конуса, осью которого служит вектор Dm;.
При изотропном распределении число частиц, векторы Dm,
которых лежат в пределах #ч-# + d$, ф -f- <p + dy, а векторы
D^ — в интервале от ци до ци -\- dx\u, равно
4я
2я
n —
8я2
п sin
Эти частицы находятся в тождественных условиях по отноше-
отношению к возбуждающему свету. Все вероятности переходов у них
одинаковы, поэтому функция распределения при стационар-
213
ном режиме облучения удовлетворяет следующей системе
уравнений:
n n
«I (Й) 2 Pij-^LnjPji = ° (*' = 1, 2, 3, ... , JV, »=? /). A3.6)
/ /
Числа tii рассчитаны на единичный телесный угол dQ и еди-
единицу угла r\ij. Так как общее число частиц неизменно, а их
повороты отсутствуют, то справедливо равенство
п, (Q) =
8я2
A3.7)
Следовательно, из N уравнений системы A3.6) линейно неза-
независимых будет только N—1.
Подставляя произвольное, но фиксированное nh из A3.7)
в A3.6) и отбрасывая k-e уравнение, находим
\фк
где введены обозначения
% = Ры —Pa U
0". ан = Phi
и> ci = Pw О3-9)
Решение системы линейных уравнений A3.8), как известно,
имеет вид
8jt2 D
8я2
1ФЬ
A3.10)
где D — определитель системы A3.8). Определители ?>,• полу-
получаются из D заменой соответствующего столбца на столбец,
составленный из коэффициентов Cj. Порядок определителей
равен N—1, так как отсутствует k-я строка и k-й столбец.
Распределение частиц по энергетическим уровням подчи-
подчиняется некоторым общим закономерностям, которые можно
исследовать с помощью формул A3.10). В работе [414] (см.
также [87]) показано, что если внешнее излучение частоты
r.w индуцирует переходы только между уровнями т, I, то на-
населенности этих уровней можно представить в виде
X
Пт (Uml = 0) +
1 + V
A3.11)
214
щ (Q) =
A3.12)
причем 11т = 1т1. Через пт (ит1 =0) и щ (ит1 = 0) обозначено
значение населенностей m-го и 1-го уровней при отсутствии
возбуждения в одной исследуемой частоте <от1. В частном слу-
случае, когда все ии = 0, пт (ит1 = 0) и щ (ит1 — 0) даются форму-
формулой Больцмана. Параметры
'¦mi ~
A3.13)
зависят от всех вероятностей переходов, от всех utj, но не зависят
В системе с N уровнями энергии может быть не более
N(N—1) вероятностей переходов рц. Если ни одно из рц не
равно нулю, то определитель D содержит Л/^ слагаемых,
каждое из которых будет произведением N—1 вероятностей.
Для больших N функция распределения имеет громоздкий
вид. Ее можно несколько упростить, если с самого начала
приравнять нулю все вероятности переходов, которые не
играют существенной роли в изучаемых процессах.
Параметры нелинейности. Формулы A3.11) и A3.12) по-
позволяют сделать некоторые общие выводы, справедливые для
всех систем с дискретными уровнями энергии (кроме гармо-
гармонического осциллятора и систем, у которых радиация задан-
заданной частоты индуцирует переходы между несколькими парами
уровней *)).
Если ат1ит1 < 1, то изменения населенностей уровней под
действием света плотности ит1 происходят по линейному зако-
закону. При
> (Рш-+°°)>
ИЛИ
mgl
ёт Si
где gm и g-, — статистические веса m-го и 1-го уровней. С рос-
ростом накачки разность населенности уровней уменьшается, а при
равных статистических весах стремится к нулю.
Формулы A3.11) и A3.12) позволяют рассчитать мощ-
мощность и коэффициент поглощения, вынужденный дихроизм,
мощность и поляризацию люминесценции, порог и мощность
*' В этом случае определители будут зависеть не только от umi, но и от
f
ufnl'
т- д' а Формулы A3.11) и A3.12) ие применимы.
215
генерации, если частицы находятся в резонаторе. Во все пере-
перечисленные характеристики войдет параметр ami, величина
которого определяет уровень накачки, необходимый для на-
наступления отклонений от линейной оптики. Поэтому в работе
[419] параметры ami названы параметрами нелинейности и
составлен общий рецепт для их вычисления.
Поскольку явный вид вероятности вынужденного перехода
Pmt зависит от способа возбуждения, то при общем рассмо-
рассмотрении из psmi не выделялась плотность возбуждающего света
Пт\. Поэтому здесь введены параметры нелинейности, высту-
выступающие как сомножители в произведении ocmip^i.
При интерпретации экспериментальных результатов воз-
возбуждающий свет обычно характеризуется плотностью потока
S в вт/см2, а в качестве параметра нелинейности выбирается
величина, стоящая в виде сомножителя около 5 в формулах
типа A3.11) и A3.12). Связь между параметрами нелиней-
нелинейности и их размерности легко определить из равенства безраз-
безразмерных произведений
тлХгml ml kl ml TfiV ^lo.l^J
При возбуждении изотропным светом psml = Bmluml = Bml X
X Smlfvg, где vg — групповая скорость света. В этом случае
Система частиц с N уровнями энергии характеризуется набо-
набором N (N—1) параметров нелинейности, рассчитываемых по
формуле A3.13). Для двухуровневой системы имеется только
один параметр нелинейности. В случае изотропной радиации он
имеет вид
. • SnO + gi/g.)
21
A3.15)
Согласно A3.15), произведение a2i«2i(l+gi/g2) не пре-
превосходит отношения вероятности индуцированных переходов
B12U21 K вероятности спонтанных переходов Ац. В видимой и
тем более в ультрафиолетовой области спектра вероятности
вынужденных переходов при всех практически достижимых
плотностях радиации накачки, не считая лазерного луча,
малы по сравнению с вероятностью спонтанных переходов.
Поэтому нелинейные эффекты в двухуровневой системе труд-
трудно наблюдаемы.
216
При переходе к инфракрасной области спектра и далее к
радиоволнам отношение
gjgl
exp (fia/kT) — 1
A3.16)
быстро возрастает. В далекой инфракрасной области оно ста-
становится больше единицы уже при комнатной температуре. Но
так как плотность радиации внешних потоков значительно
больше фона теплового испускания, то, следовательно,
B12u21/A2i% 1 и законы линейной оптики теряют силу.
Характерно, что значение параметра нелинейности двух-
двухуровневой системы не связано однозначно с абсолютным
значением вероятностей переходов или длительностью жизни
возбужденного состояния т. Если
расстояния между
A3.15а)
то 0&21 является однозначной функцией
уровнями энергии и не зависит от т:
A
Фон теплового испускания и неоптические переходы приво-
приводят лишь к уменьшению параметра нелинейности аи ^cc2i .
Аналогичные закономерности наблюдаются и в собственных
полупроводниках (§ 14).
Система частиц с тремя уровнями характеризуется тремя
параметрами нелинейности. В частности, для возбуждения в
канале 1->3 имеем [421]
P-23 A + gl/gs)
Ра (Рзз + P°3i) +
A3.17)
Согласно A3.17), в отличие от двухуровневых систем пара-
параметр а31 не связан однозначно с расстоянием между уровнями
энергии ?з и ?i и определяется свойствами системы в целом.
Значение аз1 велико, если внешнее излучение индуцирует пе-
переходы на третий, лабильный, уровень, а возбужденные части-
частицы накапливаются на втором, метастабильном, уровне, при-
причем тг^>тз. Возбуждение непосредственно на метастабильный
уровень не эффективно ввиду малости коэффициента поглоще-
поглощения «12 ~ 1/Т2.
Из анализа формулы A3. 13) следует, что выводы, полу-
полученные при рассмотрении двух- и трехуровневых систем, каче-
217"
ственио справедливы для частиц с произвольным числом
уровней энергии.
Насыщение поглощения изотропной, линейно поляризован-
поляризованной и естественной радиации. Если возбуждение производится
изотропным светом, то, согласно A3.11) и A3.12), полные на-
населенности уровней равны
A3.18)
A3.19)
+ amlUml
1 + V,
ml
, Отсюда следует общее выражение для коэффициента погло-
поглощения изотропного света
У ml/ /10 ОЛ\
справедливое для системы частиц с произвольным числом
уровней и совпадающее по форме с A3.1).
При возбуждении анизотропным светом вероятности пере-
переходов становятся функциями углов # и ф, задающих ориента-
ориентацию матричного элемента дипольного момента перехода
Так, дифференциальные коэффициенты Эйнштейна для
спонтанных и вынужденных переходов с испусканием света,
поляризованного по осям г и х, равны
аг (Q) = — A cos2^, bz (Q) = ЗВ cos2^,
8л
A3.21)
ах (Q) = —
, bx (fi) =
cos2
Расчеты коэффициента поглощения линейно поляризованного.
кл'пи естественного к601 света, распространяющегося вдоль оси
у, приводят к формулам
^K^]' A3-22)
клм = к0
= ко _L Г 1 _ (уа 1\ аг№ , а 1 .
aS [ \ У а } J
A3.23)
218
Здесь опущены штрихи около а и индексы (ml), так как фор-
формулы справедливы для любой пары уровней, и введено обо-
обозначение
а =
3aS
A3.24)
Если умножить A3,20), A3.22) и A3.23) на vgu, то полу-
получатся выражения для мощностей поглощения изотропного,
линейно поляризованного и естественного света, Wa=vgUK.
Из рис. 61 видно, что при одних и тех же значениях S мощ-
мощность- поглощения имеет наибольшее значение, если частицы
возбуждаются изотропным светом. Несколько медленнее
растет Wn при возбуждении естественным светом, а самая
нижняя кривая относится к поглощению линейно поляризо-
поляризованной радиации.
Хотя формулы A3.20), A3.22) и A3.23) заметно отлича-
отличаются друг от друга, графики зависимости коэффициентов по-
поглощения к113, /слп, кест от aS практически совпадают
(рис. 61).
Если S—>-oo, то независимо от способа возбуждения коэф-
коэффициент поглощения стремится к нулю, а мощность поглоще-
поглощения достигает своего предельного значения Wn(oo). Расчеты
показывают [87, 419], что мощность люминесценции также
достигает своего предельного значения (насыщения). Это да-
дает основание называть такие нелинейные явления эффектами
насыщения.
Формула A3.20), определяющая зависимость коэффици-
коэффициента поглощения от накачки и справедливая для системы
частиц с произвольным числом уровней энергии при изотроп-
изотропном возбуждении, как видно из рис. 61, служит хорошим при-
приближением, если возбуждающий свет анизотропен. Она верна
для положительных и отрицательных Ко и поэтому нашла
широкое применение в теории оптических квантовых генера-
генераторов.
Специфические свойства каждой конкретной системы за-
заключены в параметрах нели-
нелинейности. Анализ этих пара-
параметров позволяет изучить не-
нелинейные свойства вещества.
Рнс. 61. Зависимость коэффициен-
коэффициента и мощности поглощения от ин-
интенсивности изотропного (]), есте-
естественного B) и линейно поляри-
поляризованного света C)
219
Рис. 62. Зависимость населенности от-го уровня от ориентации матричного
элемента дипольного момента частицы. Кривые 1—3 соответствуют значе-
значениям aS, равным 0,2; 2; 200; а—я^=0, б—п°тФ0
Вынужденный дихроизм. Если возбуждающий свет анизо-
анизотропен, то возникает анизотропия в распределении возбужден-
возбужденных и невозбужденных частиц по углам. Например, при воз-
возбуждении направленным светом с электрическим вектором,
ориентированным по оси г, населенности верхнего и нижнего
уровней равны [87, 418]
1
nl
Ы1
1
4я
1 + 3amlS cos2* '
nj + llmS cos2*
A3.25)
A3.26)
Согласно A3.25) и A3.26), несмотря на первоначальное
беспорядочное распределение частиц по углам, как для воз-
возбужденных, так и для невозбужденных частиц имеется вполне
определенная ориентация дипольных моментов, вызванная
анизотропией возбуждающего излучения и зависящая от его
интенсивности, температуры окружающей среды и вероятно-
вероятностей оптических "и неоптических переходов (рис. 62). В резуль-
результате этого при интенсивностях возбуждения, достаточных для
наступления эффектов насыщения, возникает вынужденный
дихроизм, т. е. зависимость коэффициента поглощения от по-
поляризации и направления распространения поглощаемого
света.
За меру вынужденного дихроизма принимается величина
?> =
A3.27)
где к у и к±— коэффициенты поглощения двух линейно поля-
поляризованных лучей, электрические векторы которых совпадают
с направлением наибольшего значения вынуждающей силы и
перпендикулярны к нему. Величина D может принимать как
220
положительные, так и отрицательные значения от + 1 до
—1.
Расчеты дихроизма, вызываемого направленными потока-
потоками линейно поляризованного или естественного света, приво-
приводят к формулам [87, 419]1
дЛ.П
+ 1) arctg V3aS + V3aS
A /3 — aS) arctg
?V \7^ъ > О3-28)
V3aS '
= (q-3)ArthVra_+3/a . Q
(a + 1) Arth у a ~Va
3)Arth/|a|
(a<0). A3.29)
(|а|—l)Arth/|a| +/|c
Из анализа A3.28) и A3.29) следует, что при
дихроизм равен нулю. С ростом S возникает дихроизм отри-
отрицательного знака, и при aS->oo D-> ¦—1. Это означает, что
возбуждающий свет уменьшает коэффициент поглощения.
При возбуждении отрицательными потоками излучения (§ 7)
5<0, наоборот, появляется дихроизм положительного знака,
так как отрицательные потоки увеличивают коэффициент по-
поглощения.
При всех значениях aS дихроизм, создаваемый естествен-
естественной радиацией, по абсолютному значению меньше, чем при
возбуждении линейно поляризованным светом, |/)ест|<|/)лп|.
Изотропная радиация, естественно, дихроизма не вызывает
ни при каких значениях параметра нелинейности.
Более сложный случай создания дихроизма двумя потока-
потоками направленной радиации рассмотрен в [426].
Деполяризация люминесценции. В результате анизотропии
в распределении возбужденных частиц по углам люминесцен-
люминесценция, распространяющаяся в различных направлениях, будет
в той или иной степени поляризована. Если наблюдение лю-
люминесценции производится вдоль оси у, то степень поляриза-
поляризации определяется формулой (§ 7)
Шг Wx
р = л л
A3.30)
где Wzn и Wxn — компоненты мощности люминесценции, поляризо-
поляризованной по осям z я х соответственно.
Если в качестве вещества взять совокупность гармониче-
гармонических осцилляторов, то как в классической, так и в квантовой
теории поляризация люминесценции не будет зависеть от ин-
интенсивности возбуждающего света. Оказывается, это спра-
221
ведливо только по отношению к гармоническому осциллятору.
Во всех других системах степень поляризации люминесценции
определяется не только характером анизотропии внешнего
возбуждения, но и его интенсивностью.
При возбуждении направленными потоками линейно поля-
поляризованного и естественного света, распространяющимися
вдоль оси х, и наблюдении вдоль оси у поляризация люми-
люминесценции равна [87, 419]
\-3/2
— 3(a1S)~
3/2
4/3 + KaiSP' -
arctg/o^S
"ест —
(a — 1)[3J/ a + (a — 3) Arth/a 1
A3.31)
A3.32)
a (a/3 + 1) + (a2 — 1) Arth V'a '
где а-t — 3a.
Формула A3.31), полученная первоначально П. П. Фео-
филовым [158] для частного случая, имеет такие же границы
применимости, как и выражения A3.11), A3.12).
Если aS-Cl, то Рл.п=1/2, Рест = 1/3. Это результаты клас-
классической теории люминесценции. С увеличением aS степень
поляризации при любом способе возбуждения уменьшается и
в пределе (aS-voo) стремится к нулю.
С помощью формул A3.11) и A3.12) легко рассчитать сте-
степень поляризации для любого угла наблюдения люминес-
люминесценции.
Обобщение классической формулы Левшина. Под действи-
действием внешней радиации частоты a>mi может возникнуть люми-
люминесценция и в других каналах соц. Ее поляризация, очевидно,
будет зависеть не только от интенсивности возбуждающего
света, но и от угла | между матричными элементами Dm; и
D{j. При прежних условиях возбуждения линейно поляризо-
поляризованным светом и наблюдении люминесценции вдоль оси у
степень поляризации равна [415]
P°..B~3sm%)
A3.33)
Величина Р0.. выражается формулой A3.31) и дает значение сте-
степени поляризации при совпадении направлений векторов Dml
и D
u
р
= 0).
Если в A3.33) подставить значение Р°и
справедливое
при aS С 1» то оно переходит в формулу Левшина G.65)> полу-
полученную в рамках классической электродинамики и справедливую
при отсутствии эффектов насыщения, .
222
Анизотропия в распределении возбужденных частиц по
углам обеспечивает также высокую степень поляризации из-
излучения, генерируемого в лазерах на растворах сложных мо-
молекул [427].
Гармонический осциллятор — уникальная модель веще-
вещества. Гармонический осциллятор, будучи основной моделью
вещества в классической оптике, не потерял своего значения и
в квантовой теории. Он используется в ней не только как мо-
модель вещества, но и в качестве модели электромагнитного по-
поля, которое при квантовании представляется в виде набора
осцилляторов. Эта модель используется при рассмотрении
дисперсии света, поляризованной люминесценции, колебатель-
колебательных спектров сложных молекул и кристаллов в других об-
областях оптики и спектроскопии. Последовательное рассмотре-
рассмотрение поглощения света, люминесценции, законов кинетики
свечения и естественного контура линии квантового гармониче-
гармонического осциллятора выполнено в работах [149, 428—430].
Гармонический осциллятор обладает бесконечным числом
эквидистантных уровней энергий. Энергия уровня с номе-
номером v равна
1/2)/гсо0.
A3.34)
<;. В дипольном приближении оптические переходы возможны
k только между соседними уровнями (Ди=±1), причем коэф-
«-I фициенты Эйнштейна для переходов с и-го уровня вниз про-
\ порциональны номеру уровня:
ЗтНа
•™vv-l —
— и.
Зтс3
A3.35,
A3.36)
Коэффициенты AQ и Бо характеризуют переходы между пер-
первым и нулевым уровнями.
Рассматривая вынужденное испускание как отрицатель-
отрицательное поглощение, мощность поглощения п осцилляторов можно
выразить суммой
'о- A3.37)
В силу специфических свойств осциллятора эта сумма рас-
рассчитывается без нахождения распределения осцилляторов по
уровням энергии nv(u, T, t). Числа nv(u, T, t) в общем случае
зависят от плотности возбуждения, температуры Т и времени t.
223
Учитывая, что BViJ)+1 — BVtV_1 = Bo, находим [428]
Wn = ВоиНао У nv (и, Т, t) = пВ0иНа>0 = n^~ «> A3.38)
¦?5>
ос
I
к (со) й(л =
' п
Зпгс
A3.39)
Как видно из A3.39), коэффициент поглощения гармоническо-
гармонического осциллятора не зависит ни от плотности возбуждающего
света, ни от температуры. Формула A3.39) совпадает с ин-
интегралом Кравца, полученным в классической электродина-
электродинамике.
С учетом оптических переходов между всей совокупностью
уровней на основании G.1) мощность люминесценции можно
представить в виде
D-i] «о) К =
№=1
A3.40)
Эта формула справедлива как для стационарного, так и для
нестационарного режима облучения. Последнее слагаемое в
A3.40) равно мощности поглощения планковского излучения.
Поэтому выражение A3.40) полностью соответствует опре-
определению люминесценции как превышению над фоном тепло-
теплового испускания.
С помощью несложных математических выкладок с учетом
A3.35), A3.36) выражение A3.40) преобразуется к линейному
дифференциальному уравнению [87, 419]
4
at
" @
A3.41)
Уравнение A3.41) позволяет избежать громоздких расче-
расчетов при нахождении населенности бесконечной совокупности
уровней и наиболее просто рассчитать мощность люминесцен-
люминесценции как в стационарном, так и в нестационарном режиме об-
облучения. В соответствии с классической теорией из A3.41)
следует экспоненциальный закон затухания и разгорания из-
излучения осциллятора и отсутствие деполяризации люминес-
люминесценции при интенсивном возбуждении [429]. Простой экспо-
224
ненциальный закон затухания получен также .путем прямого
вычисления люминесценции с использованием функции рас-
распределения, которая выражается довольно сложной форму-
формулой [149].
В классической электродинамике отсутствует аналог урав-
уравнения A3.41). Для нахождения излучения осциллятора обыч-
обычно вначале рассчитываются его вынужденные колебания под
действием электромагнитного поля. Если и зависит от време-
времени, то решение задачи связано с громоздкими выкладками.
Поэтому расчет люминесценции на основании A3.41) пред-
представляется наиболее простым способом исследовать люминес-
люминесценцию осциллятора не только в квантовой, но и в классиче-
классической теории излучения.
Из квантовой электродинамики следует, что естественная
ширина энергетических уровней гармонического осциллятора
возрастает пропорционально номеру уровня. Исходя из этого,
можно было бы ожидать расширения линии при возбуждении
диполя на высокие энергетические уровни. Однако к гармони-
гармоническому осциллятору не применим общий вывод квантовой
теории излучения, согласно которому ширина линии опреде-
определяется суммой ширин нижнего и верхнего энергетических
уровней;
Вследствие специфических свойств осциллятора испущен-
испущенный им квант света нельзя приписать какому-либо конкрет-
конкретному переходу, так как он мог возникнуть как при переходе
системы с первого на нулевой уровень, так и при переходе с
любого уровня на соседний нижележащий уровень. Учитывая
эту неопределенность, методами квантовой электродинамики
показано [430], что независимо от начального запаса энергии
осциллятора естественный контур спектральной линии всегда
дается известной классической формулой
1
-1-7 -
л («> — «o
A3.42)
где у0=Ао/2 — полуширина линии.
Ранее аналогичный результат был получен В. Вайскопфом
и Е. Вигнером, а также Ф. И. Федоровым для частного случая,
когда осциллятор в начальный момент времени находится на
втором возбужденном уровне [431, 432].
Таким образом, все результаты классической и квантовой
теорий, относящиеся к оптическим свойствам гармонического
осциллятора, не просто соответствуют, а полностью совпада-
совпадают между собой. Для гармонического осциллятора при всех
интенсивностях возбуждения справедливы законы линейной
оптики: мощности поглощения и люминесценции прямо про-
пропорциональны интенсивности возбуждающего света; коэффи-
15. Зак. 312
225
циенг поглощения не зависит ни от уровня возбуждения, ни
от температуры; вынужденный дихроизм и деполяризация
люминесценции отсутствуют.
Анализ показывает [87, 419], что эффекты насыщения в
принципе невозможны только в системах, обладающих сле-
следующими квантовомеханическими свойствами: а) число энер-
энергетических уровней не ограничено; б) уровни расположены
эквидистантно; в) переходы возможны только между сосед-
соседними уровнями; г) вероятности переходов пропорциональны
номеру уровня; д) все матричные элементы дипольного мо-
момента параллельны друг другу. Перечисленные характеристи-
характеристики можно рассматривать как своеобразное определение гар-
гармонического осциллятора.
Для того чтобы отсутствовали эффекты насыщения, систе-
система должна обладать всеми свойствами от а) до д). Но тогда
это будет гармонический осциллятор и ничего более.
Так как ни один из реальных атомов, молекул или кристал-
кристаллов не обладает всей совокупностью перечисленных свойств,
то отсюда следует общий вывод: во всех веществах с дискрет-
дискретным или зонным энергетическим спектром при определенных
плотностях возбуждающего света неизбежно наступают эф-
эффекты насыщения. Закон Бугера нарушается, мощности по-
поглощения и люминесценции стремятся к предельным значе-
значениям, поляризация люминесценции уменьшается и возникает
вынужденный дихроизм.
После появления лазерных источников света осталось
единственное препятствие, которое может не позволять на-
наблюдать нелинейные оптические явления на некоторых веще-
веществах,— это относительно низкий порог разрушения вещества
под действием мощных потоков излучения.
§ 14. ПРОСВЕТЛЕНИЕ ПОЛУПРОВОДНИКОВ
НА ЧАСТОТЕ ВОЗБУЖДАЮЩЕГО СВЕТА
Модель двух дискретных уровней. При исследовании про-
просветления собственных полупроводников на частоте возбужда-
возбуждающего света целесообразно обсудить вначале модель двух
дискретных уровней [433].
Замена широких энергетических зон дискретными уровня-
уровнями означает крайнюю идеализацию полупроводника. Однако
двухуровневая модель заслуживает рассмотрения, поскольку
она позволяет учесть биполярный характер оптических пере-
переходов в полупроводниках, который приводит к специфической
зависимости коэффициента поглощения от интенсивности воз-
возбуждающего света, характерной и для более сложных моделей
полупроводника. Биполярность переходов заключается в том,
226
что для их осуществления необходим не только электрон в ис-
исходном состоянии, но и вакантное место (дырка) в конечном
состоянии.
Пусть степени вырождения нижнего и верхнего электрон-
электронных состояний равны Ni и N2 соответственно. Общее число
электронов на уровнях равно
=n=N1. A4.1)
При стационарном режиме облучения светом частоты <о,
равной расстоянию между уровнями энергии ha>—E2—Еи ско-
скорости поглощения света и спонтанной рекомбинации равны.
Поэтому можно составить следующее скоростное уравнение:
(Л' + В'и + da) Щ (Nt -ih) = (В'и + d12) nx (N2 - /g. A4.2)
Здесь Л' и В' — коэффициенты, аналогичные коэффициентам
Эйнштейна А п В для спонтанных и вынужденных переходов.
При этом (§ 7)
Л' А Йо>3
О'
В
D
В
где v и vg— фазовая и групповая скорости света, d2\ и d\2 —
вероятности неоптических переходов.
Величины А' и В'и равны вероятности рекомбинации
электрона и дырки в расчете на единицу объема, поэтому раз-
размерности [А'] = см3-сек-1 и [В'] = эрг~1 -см6-сект2 отличаются
от размерностей [А]=сек~* и [В] =эрг-1-см3-сек~2. Разность
Ni—л, определяет концентрации дырок на нижнем уровне.
Подставляя A4.1) в A4.2) и вводя обозначение
В'и
из A4.2) находим
1
A4.4)
и, = ¦
л, =
46A _
A4.5)
A4.6)
При отсутствии возбуждения (ы = 0) и температуре Т=6
величина 6 также равна нулю и, согласно A4.5), A4.6), «2=0,
nl = Ni — n, т. е. все электроны находятся на нижнем уровне
15* 227
и полностью его заполняют. Если ы-»-оо, то A—|)->-0, и после
приближенного извлечения корня будем иметь
„._„
Если возбуждение отсутствует, но Т=?=0, тогда, подставляя в
A4.4) вместо и функцию Планка G.2), находим | =
= ехр(—Hco/kT). В этом случае населенности уровней выража-
выражаются функцией распределения Ферми — Дирака. Причем ес-
если ехр[(?г—F)/kT]'3>l, то уровень Ферми равен
(Н.7)
Эта формула аналогична соответствующему выражению для
собственного полупроводника [2].
С помощью A4.5) и A4.6) находим коэффициент погло-
поглощения в максимуме линии с шириной Дог.
. к [Шш) - -i- [B'nL (N, - п2) - В'п2 (N, - %)] to :
1
Вводя параметр нелинейности
A4.8)
A4.9)
и^Щ (А' -]¦¦ dn) До
й обозначая предельное значение коэффициента поглощения через
- N,N»B'Hu), A4.10)
из
A4.8) получим для dn = 0 [433—435]
x(o)m)
к (»т) = 1
A4.11)
где S = vmAui.
При <xS« 1 формула A4.11) практически совпадает с выра-
выражением
A4.12)
228
Согласно A4.12), небольшие отклонения коэффициента поглоще-
поглощения от исходного значения, вызванные возбуждающим светом,
равны
Ак (©J = я (©J - к (coj - к (am)V^S. A4.13)
Как будет показано ниже, формула A4.11), а следователь-
следовательно, и коренная зависимость Ак от 5 справедлива для всех
моделей собственных и компенсированных прямозонных полу-
полупроводников и подтверждается на опыте [436—438] при квад-
квадратичном законе рекомбинации.
Если а5^>1, то A4.12) переходит в обычное выражение
A3.20), справедливое для атомных и молекулярных систем
во всем интервале значений.
Сравнивая A3.20) и A4.12), легко видеть, что в полупро-
полупроводниках уменьшение коэффициента поглощения под действи-
действием возбуждающего света происходит вначале с большей ско-
скоростью, чем в атомных и молекулярных системах. Согласно
A4.12), при aS = 0,01 коэффициент поглощения уменьшается
не на 1 %', как в случае A3.20), а на 9%. Графики функций
A3.20), A4.11) и A4.12) приведены на рис. 63.
Модель параболических зои с правилом отбора по волново-
волновому вектору. Эта одна из основных моделей, применяемая для
рассмотрения многих электрических и оптических явлений в
полупроводниках (§ 6).
Пусть полупроводник возбуждается светом в узком спект-
спектральном интервале Awi, в окрестности частоты ац. Под дейст-
действием внешнего возбуждения электроны будут переходить из
валентной зоны в зону проводимости, где их концентрация
Ряс. 63. Графики функций A3.20), A4.11), A4.12) — кривые 1, 2, 3
соответственно
229
Рис. 64. Модель параболических зон
станет больше, чем при термодинами-
термодинамическом равновесии. Одновременно про-
происходит обратный процесс спонтанной,
вынужденной и безызлучательной ре-
рекомбинации.
Так как время установления равно-
равновесия между носителями в пределах
одной зоны порядка 10~и—10~12 сек,
а время рекомбинации, как правило,
больше 10~10 сек, то распределение
электронов по уровням энергии зоны
проводимости Ес и валентной зоны Ev будет характеризоваться
функцией Ферми—Дирака
1
n
ехр
E±zL.
kT
1
т.
-1 exp —-x— le -i- 1
1
mT
, x
A4.14)
m
h i
и двумя квазиуровнями Ферми Fe и F„=Fh для электронов и дырок
соответственно. Здесь введены обозначения: х = (йю — Eg)/kT,
тг = memh (me -f- mh)~l — приведенная масса; те и mh — эффек-
эффективные массы электрона и дырки; ?е = (Fe — E^jkT, t,h =
= (Ev0 — Fh)lkT — приведенные квазиуровни Ферми (рис. 64).
При возбуждении межзонных переходов уравнение баланса и
уравнение электронейтральности можно представить в виде [242,
433]
к Ю S К) А»
r]to
(I4-
A4.16)
me W Мил — мощность и квантовый выход люминесценции;
F2(Q~ интеграл Ферми-Дирака C.18). Интегрирование^
Йуи^1/2У проводится по xc = (Ec-Ea)lkT и xv -
=(Ev0 ~Ev)jkT соответственно.
230
Величины Ес и Ev связаны между собой законами сохранения
ргии и имп и одно
(hft)-
с ду аконами сохранения
энергии и импульса и однозначно определяются частотой испус-
испускаемого света:
\ h 1
A4.17)
Коэффициент поглощения на произвольной частоте и мощ-
мощность люминесценции WM (со) равны [242]
к (со) = к (со)
ехр Uh-^
ГПи
I til-
ехр | —^ х ¦
/Л-
где
A4.20)
1 Dcv 12>
— интегральные коэффи-
циенты Эйнштейна; Dcv — матричный элемент дипольного момен-
момента; и — магнитная проницаемость в системе СИ [105];
(Ы-Е8L2 A4.21)
—приведенная плотность состояний в зонах.
С учетом A4.17) — A4.21) уравнение баланса A4.15) легко
представить в виде
« К)
5 =
V (Ьсо1 — Eg)
1/2
X
ее
1
xl/2dx
ехр i-^Lx—t
L \ те
ехр
• A4.22)
При выводе A4.22) сделано предположение, что квантовый
вы
= ?»/Ь, и для краткости S(©1) Дсо1 обозначено через S S ~
. Уравнение электронейтральности решается в аналитическом
виде только в двух случаях: а) Г = 0 и б) полупроводник не
231
вырожден, так что функции Ферми—Дирака можно заменить
экспонентами.
В первом случае из C.18) и A4.16) находим
mete = mhlh, me (Fe - FJ = mh (Ev0 - Fh). A4.23)
Выражение в квадратных скобках A4.18) равно — 1 для всех
частот (о<;A)и„в и равно 1 для а>>а>инв, где соивв — частота ин-
инверсии, в которой коэффициент поглощения обращается в нуль.
Приравнивая показатели экспонент, получим
ho)IWB = AF = Fe-JF, = ?g + (^ + Q^r. A4.24)
Знаменатель под интегралом в A4.22) равен единице для
всех лг<л;инв и обращается в бесконечность, если х>хат, где
тг
Поэтому интеграл в A4.22) равен
= 'J^uFe~Ec0f2; A4.25)
Из A4.22) и A4.25) следует
-Е -Г-
Л/2 П2/3
2ю!
m
тТ \ с2/з
A4.26)
AF = Ее+
.1/2 ,2/3
Формулы (,14.26) справедливы при 5>0, AF <&©!, так как при
их выводе предполагалось наличие вырожденных электронов и
дырок в зонах. Они показывают, по какому закону при темпе-
температуре абсолютного нуля движутся квазиуровни Ферми в зонах
оа инверсии (о = AF/h с ростом плотности потока
раур
и частота инверсии (оинв
П
у р
и частота инвер инв = AF/h с ростом плотности потока
возбуждающего света. При о)<о)инв и о)>о)инв коэффициент
поглощения соответственно равен к(ю) = —я (со) и /с (со)|—- и(а>).
Во втором случае, когда возбуждение недостаточно велико,
чтобы вызвать вырождение электронов и дырок в зонах, т. е.
232
ехр(-у»Ги ехр(— ?Л)»1*\ формулы A4.16), A4.18) и
A4.22) можно заменить на более простые выражения [433]:
mh
к (а) = х(ю) 11—ехр
S =
пгг
mh
r-x+th -ехр —
т„
3/2 3
о /2
A4.27)
)¦
A4.28)
A4.29)
Определяя ехр(?е-}-?Л) из A4.27) и A4.28) и подставляя
A4.29), приходим к следующему уравнению для к(щ):
-aS= 1 —
к К)
A4.30)
где параметр нелинейности
2л:
Л/2
,3/2
ffl«
3/4
X
X ехр -
хл
3/4
\ mh
Решая A4.30), находим [433—435]
ехр —
m.
\ 12
A4.31)
A4.32)
что по форме совпадает с A4.11). Однако параметр а имеет
здесь другое значение, а формула A4.32) справедлива для
модели параболических зон только при отсутствии вырожде-
вырождения.
Параметр нелинейности а однозначно определяет мини-
минимальные плотности возбуждающего потока, при которых
становится заметным просветление полупроводника. Соглас-
Согласно A4.32), при «5 = 0,001 Ak(@i)=x(g>i)— /с(©,) =0,03к(со,).
Следовательно, коэффициент поглощения уменьшается на 3%
от исходного, когда 5=5rain= Ю».
Как видно из A4.31), параметр нелинейности не зависит
от квадрата матричного элемента перехода. Поэтому если
время жизни возбужденного состояния определяется главным
*) В этом случае Fe расположено ниже для зоны проводимости, a Fh —
выше потока валентной зоны, поэтому Се<0 и ?л<0.
233
образом оптическими переходами, а безызлучательная реком-
рекомбинация слабо влияет на т, то параметр нелинейности практи-
практически не зависит от т. Порядок величины а определяется
прежде всего шириной запрещенной зоны, частотой возбужде-
возбуждения и температурой. Нарушения закона Бугера легче всего
наблюдать в полупроводниках с небольшой шириной запре-
запрещенной зоны, поскольку Smin~?'|. Аналогичная закономер-
закономерность была установлена и для квантовомеханических систем
с дискретными уровнями энергии (§ 13).
При har—Eg a = 0, так как в этой модели поглощение от-
отсутствует. С увеличением coi значение а резко возрастает и до-
достигает своего максимального значения, а затем убывает тем
резче, чем ниже температура (рис. 65, а).
Температурная зависимость а достаточна сложна (рис.
65, б), однако, начиная с некоторого значения 7, зависящего
от частоты возбуждения, при его дальнейшем увеличении а
убывает. Подобно атомным и молекулярным системам (§ 13),
в полупроводниках повышение температуры уменьшает эф-
эффект насыщения.
Зависимость коэффициента поглощения от интенсивности
возбуждающего света в условиях вырождения полупроводни-
полупроводника может быть рассчитана только путем численного решения
уравнения электронейтральности и уравнения баланса A4.22),
которое для этой цели удобно представить в виде
aS=|[-^M ехр -^-xJ + f-^M х
. mh I \ mh
х ехр
[-Ы
2/ (?., У
A4.33)
где через I(te, уг) обозначен интеграл в A4.22).
О ЮО 200 BOOT'
Рис. 65. Зависимость параметра нелинейности для модели параболических
зон с правилом отбора по волновому вектору от частоты возбуждения (а)
при Т, °К: 1 — 4; 2 —20; 3 — 77; 4 — 300 и температуры (б) при Нщ— ЕЙ, эв;
У—2-10-2; 2— Ю-2; 3—5-10
234
-2
/
/
1
1 8
9 10
в
Рис. 66. Номограммы—решения урав-
нения A4.16). Цифры на кривых—
величина отношения mh/me
Графики зависимости Z,h от
Ze для собственных и компенси-
компенсированных полупроводников,
построенные на основаниях ре-
решения уравнения электроней-
электронейтральности, показаны на рис.
66 [242]. Для me = mh получает- -Ч
ся прямая линия ?/» = ?<.. Чем
больше отношение mh/me, тем
дальше в область отрицательных значений заходит t,h при
?е^0. Линейная зависимость между ?е и t,h при гпъ.фте отсут-
отсутствует. Поэтому результаты, которые иногда в теории получа-
получают, полагая me=mh, могут качественно отличаться от зависи-
зависимостей, справедливых для реальных полупроводников, где,
как правило, те^=ти-
На рис. 67 приведены графики функции /c(aS), построен-
построенные на основании точных решений уравнений A4.16) и
A4.33). Там же для сравнения показана зависимость к от aS,
даваемая формулой A4.32) (пунктирная кривая). Характерно,
что все сплошные кривые не только сливаются с пунктирной
в области малых значений Д/с(coi), но и в целом мало отлича-
отличаются от нее по форме. Это означает, что переход от невырож-
невырожденного полупроводника к вырожденному хорошо передается
формулой A4.32). В полном соответствии с этой формулой
A/c~yaS для невырожденного полупроводника и A/c~aAS
в случае вырождения, где AS — небольшое изменение S.
В области больших значений aS любую кривую (рис. 67)
можно аппроксимировать графиком функции (l + a'S)~!»
« 1/a'S. Значение а' может быть как больше, так и меньше а.
Например, для кривых 2 и 3 а' соответственно равно 8,45 а и
0,55 а.
Указанная зависимость к от S справедлива для всех без
исключения веществ, у которых мощность поглощения Wn(S)
стремится к конечному пределу при S-»-oo. Действительно, из
условия
limW7n(S) = lim/c(S)-S = const, A4.34)
S-*oo S-*oo
следует
,wo\ _ c°nst ... .-
Такой же вывод для частного случая сделан в работе [439].
235
Рис. 67. Зависимость коэффициента поглощения от aS, построенная на
основании A4,32) (пунктирная кривая) и точного решения уравнений
A4.16) и A4.33) при тс=0,О72 т, тЛ=0,5 т, ?« = 1,52 эв, f = t>e=0,875X
Х1010 см-сек-\ т)'=1: У — Г=10°К, Лщ— Eg= 10~3 эе; 2 — Г=10, Йсо,—?« =
= 5-10-3; 3 —Г=80, Йо)!—?г = 10-2; 4—Г=300°К, Am,—?«= 1С эз
Модель параболических зон без правил отбора по волно-
волновому вектору. Если в модели параболических зон правила от-
отбора по к не выполняются, то коэффициент поглощения и мощ-
мощность люминесценции могут быть представлены в виде •(§ 6)
B"(a)gc(Ee)gv(Ev)[fe(Ev)-fe(Ec))dEc,
A4.36)
Г
J
hco+Ясо
№л(со) = Ьа> f A'(®)ge(E}gv(Ev)fe(E}[l-fe(EJ]dEe, A4.37)
где коэффициенты А" (со) и Б" (со) пропорциональны квадрату мат-
матричного перехода, отношение Л"(со)/В" (со) удовлетворяет равенству
A4.3), а размерности равны И"(со)] = эрг-см3, [Б"(со)] = смв х
1
х сек'
При отсутствии вырождения из A4,36) и A4.37) следуют при-
приближенные равенства [133]:
к (о) = к (со) {1 —
оо
1
1
rjhco
Л (со) dco =
A4.38)
A4.39)
236
Здесь введены обозначения:
/ (со) =
В" (со) gc
ho)
ойх(<»)
•' V\ kT
X
A4.40)
х exp
Eg — hco
~ kT
hco
¦ hco + Ес
dco
kT
1
dEc,
A4.41)
A4.42)
v
g
B"(<*)gc(E'c)gv(Ev)dEc A4.43)
— предельный коэффициент поглощения.
Преобразовывая A4.39) с помощью A4.27), A4.38) и
A4.39), вновь приходим к уравнению A4.30) с решением
A4.32). В этом случае параметр нелинейности а равен
iK)+exp
A4.44)
Последние результаты получены без использования конкрет-
конкретного вида функций распределения и имеют общий характер.
Для модели параболических зон справедливо A4.27), а плот-
плотности состояний выражаются формулами C.8). Следователь-
Следовательно, при г| = const, А"(со) и В"(со), не зависящих от Ес, имеем:
/3 = —1-— Ь (kTK А" (со) (memhf/2, A4.42а)
-— В" Юс^Ь (тетЛK/2(hco! — Egf, A4.43a)
(со ) = / (со ) = —-—-~—h-5(memhf/2 X
y. (coj =
~Ec/kT
+ > E0(hoh-Eg-Ec) e ^ dEc, A4.41а)
ч)
о
237
exp
mh
2 У \ т„
Подставляя последние формулы в A4.44), получим
A4.45
а =
32v2o2kT
mh
то
112
, A4.-46)
где
о 5= j Ух (хо—х) e~xdx, х0 = (И©! — Eg)/kT. A4.47)
Модель гауссовых примесных зон. В легированных полупро-
полупроводниках примесные зоны могут иметь гауссово распределение
плотностей состояний (§ 2)
A4.48)
где Yd и Va — ширина донорной и акцепторной зон; Ed и ?° —
центры зон. В этом случае коэффициент поглощения и мощность
люминесценции будут выражаться интегралами [433]:
X
х exp
Fh-E'a
kT
—i
j
dE'd,
A4.49)
2 / р' \2
X
X exp
]
-Ь 1 I d?d-
A4.50)
Здесь E'f = Ed — El, E'a = Е°а — Еа^Ы — Е9 — Е'„, E0 = E°d-
— ^a, Fe = Fe — Ed, Fh = E°a—Fh—квазиуровни Ферми, отсчитыва-
отсчитываемые от центров соответствующих зон.
Предполагая, что нижняя зона полностью заполнена, а верх-
верхняя пуста, и проводя интегрирование в A4.49), находим предель-
предельный коэффициент поглощения:
238
V« У Yd + У а '• Yd + Уа
ё A4.51)
Согласно A4.51), полоса поглощения имеет гауссов контур, а ее
ширина определяется величиной к yd + уа .
При отсутствии вырождения и достаточно высоких температу-
температурах, когда выполняются неравенства
Yd
AkT '
уа
для этой модели также справедлива формула A4.32), а параметр
нелинейности можно представить в виде A4.44), где вместо инте-
интегралов /г((ог), /2(a>j) и /3 необходимо подставить выражения:
d + уа)
/з=
где
-Ed)dEd =
f
0= exp(—
J
A4.53)
, A4.54)
2kT
Если, кроме того, полупроводник компенсированный, то из
уравнения электронейтральности следует
2 2
rt-rt+J^fc. A4.55)
239
Подстановка A4.51)— A4.54) в A4.44) дает
а
exp —
Td + Га
y4.
]}¦
— bmQ
S + y2!>
A4.56)
Для точных расчетов зависимости к от 5 использовалось
уравнение A4.15), а связь между Fе и Fh находилась из урав-
уравнения электронейтральности. Полученная кривая соответст-
соответствует формуле A4.56) только в указанных выше пределах.
Следовательно, выражение для а по сравнению с A4.32)
имеет более узкие границы применимости.
Аналогичным образом можно рассмотреть переходы с уча-
участием хвостов плотности состояний и другие модели рекомби-
рекомбинации. Во всех случаях, если функции Ферми — Дирака заме-
заменить экспонентами, расчеты приводят к формуле A4.32).
Специфика модели полностью отражается в параметре нели-
нелинейности.
Влияние легирующих примесей на характер зависимости
коэффициента поглощения от накачки. Введение в кристалл
больших концентраций легирующих примесей может привести
к вырождению либо электронов, либо дырок даже при отсут-
отсутствии внешнего возбуждения. Формула A4.32) в этом случае
не применима.
Модель двух узких уровней, с помощью которой была по-
получена качественно правильная зависимость к от 5В в собст-
собственных полупроводниках, позволяет рассмотреть некоторые
закономерности, появляющиеся и в некомпенсированных полу-
полупроводниках. Чтобы осуществить вырождение электронов или
дырок при отсутствии возбуждения, рассмотрим модель, для
которой справедливо вместо A4.1) уравнение электроней-
электронейтральности
пг + п2 = п = N2, N2 Ф Nx. A4.57)
В частности, значения N2 и Ni могут быть равны плотностям
состояний донорного и акцепторного уровней.
Уравнение баланса A4.2) с учетом A4.57) представим
в виде
«5 к —
= 0, A4.58)
где а по-прежнему выражается формулой A4.9). Отсюда находим
концентрации электронов на уровнях [435]:
240
л, ~
1 Г NJ
¦aS
A4.59)
f.
A4.60)
При отсутствии возбуждения E = 0) и из A4.59) и A4.60)
следует:
A4.61)
Если N2> Nlt то n2 = N2 — Nv n1 = N1. Наоборот, когда
N2 < Nv n2 = 0, п^ — N2. В первом случае все состояния нижнего
уровня заполняются, а часть электронов остается на втором уров-
уровне. Поэтому при N2IN1 ^> 1 уровень Ферми будет расположен до-
достаточно близко ко второму уровню. Больцмановское распределе-
распределение будет не применимо.
Во втором случае не все состояния первого уровня будут
заняты электронами. Увеличивая NJN2, можно получить вы-
вырождение дырок на первом уровне.
Если aS-voo, то
/г, =
А'2.
N '
A4.62)
Подставляя A4.61) в A4.8), находим предельные значения
> = 0, Г = 0) коэффициента поглощения:
„2 В' ЬСО .. 1Т
Nt>N2.
г 2
A4.63)
Если S =f= 0, то с помощью A4.8), A4.59) и A4.60) получим
16. Зак. 312
241
X Ы + N22) + ВД aS + 2 (Nt + N2) \~ (n2 - N, -
1/21— 1
1
Учитывая A4.63) и вводя безразмерные величины
и h = Nt/N2 > 1, будем иметь соответственно:
к =
A4.64)
= N2INt>l
A4.64а>
IJ
A4.646>
При отсутствии возбуждения обе формулы дают начальное
значение коэффициента поглощения. Если ^ = ^=1, то A4.64)
переходит в A4.11). Если же lt > 1 или /2> 1, что означает вы-
вырождение электронов или дырок соответственно, a aS<^ 1, то при-
приближенные значения A4.64а) и A4.646) равны
к =
1 -\-aaS
A4.65)
где а = [1±(/Г — I)] при М,>Nt и а = /2(/22 — I) при N2< Nt..
Следовательно, при наличии вырождения электронов или дырок
небольшие изменения коэффициента поглощения пропорциональны
S, а не У^ S , как в собственных полупроводниках. Если aS ^> 1,
то к->0 по закону A3.20), однако значение ииа для начального'
и конечного участков кривой могут не совпадать. В целом при
Nt Ф N2 зависимость к от S более сложна, чем это следует из.
A3.20). Если Л?2 > Nt или Л\ > Л^2, то отсутствуют участки кри-
кривой k(S), которые можно аппроксимировать формулой A4.12).
Рассмотрим теперь более сложную модель примесного по-
полупроводника, состоящую из двух параболических зон и двух
дискретных уровней (рис.68).
Введение примесей в полупроводники изменяет распределе-
распределение электронов по зонам как при термодинамическом равно-
равновесии (§ 3), так и в условиях интенсивного возбуждения..
242
Рис. 68. Схема оптических переходов в
примесном полупроводнике
Вместе с тем возникают новые ка-
каналы рекомбинации электронов и
дырок. Эффективное время жизни
электронов в зоне проводимости
уменьшается. Появляются также но-
новые полосы примесного поглощения,
которые могут перекрываться с по-
полосой собственного поглощения.
Уравнение электронейтральности и уравнение баланса в
этом случае имеют вид:
t A4.66)
1
-k^o^S =
1
1
A4.67)
где п и р—концентрации электронов и дырок в зонах; Nа и N$—
число ионизированных акцепторов и доноров; nd = Nd — N~a, na =
= Na— Na~\ Ba, Bd и Bda — константы излучательной рекомбина-
рекомбинации, а ца, rjd и y\da — квантовые выходы люминесценции при опти-
оптических переходах зона проводимости — акцепторный уровень, до-
норный уровень—валентная зона и донорный уровень — акцеп-
акцептор соответственно (§ 6). При выводе A4.67) предполагалось, что
примесное поглощение на частоте а>г отсутствует.
Чтобы выяснить влияние новых каналов рекомбинации на
насыщение поглощения, предположим вначале, что полупро-
полупроводник практически компенсированный и при малых интенсив-
ностях возбуждения электроны в зоне и на донорных уровнях,
а дырки в валентной зоне и на акцепторных уровнях не вы-
вырождены и характеризуются квазиравновесным распределе-
распределением.
Заменяя функцию Ферми—Дирака на соответствующие
экспоненциальные функции, с учетом C.8) находим
n = Nc ехр Се, Р = Nv exp Ch,
nd = Nd ехр (е„ + Q, ра =Na ехр (ев + ?й),
= ?сО'
Nc =2
mekT
3/2
m
;kT
A4.68)
36*
243
Подстановка A4.68) в A4.66) и A4.67) приводит к следу-
следующей системе уравнений:
- Ь, A4.66а)
где
а =
к(«о1M = ехр(?
Nc + Nd exp ed
A4.67а)
Nv+Naexpea'
Г3
Интеграл h дается выражением A4.42).
Если полупроводник компенсированный, то Ь — 0 и совме-
совместное решение уравнений A4.38), A4.66а) вновь приводит к
формуле A4.32), причем [435]
a = к К) [It К) сГх<- + /, К) а
X
X
1
1
Л*.
A4.69)
A4.41). При Nd =
где ^(coj) и /„(©Л равны A4.40) и
формула A4.69) переходит в A4.44).
Согласно A4.69), введение примеси в полупроводник
уменьшает параметр нелинейности тем больше, чем больше
концентрация доноров и акцепторов, постоянные рекомбина-
рекомбинации и глубины залегания уровней ed и еа. Глубины залегания
определяют в значительной степени населенности примесных
уровней и интенсивность примесной люминесценции.
Если в легированном полупроводнике носители не вырожде-
вырождены, то A/c~yS, так же как и в собственном, хотя параметр не-
нелинейности может быть во много раз меньше.
4
г о
1
* ^
i
\ i f
с
Рис. 69. Номограммы — решения урав-
уравнения электронейтральности для JVa=O,
Л^ = 1016 см-3 A); 10" B); 1018 C);
1019 еж-3 {4)
244
Рис. 70. Зависимость коэффициента поглощения GaAs д-типа от интенсив-
интенсивности накачки при Л^ = 1016 см~3 (/); 1017 B); 1018 C); 1019 см~3 D).
Штриховые кривые /' и 4' построены по формулам A4.11) и A3.20) соот-
соответственно, Г=300°К, Ясс,— ?« = 20 мэв
В сильно легированном некомпенсированном полупровод-
полупроводнике распределение электронов и дырок по зонам одновре-
одновременно не может быть описано даже приближенно функцией
Больцмана. Поэтому в уравнение электронейтральности
A4.66) неизбежно под знаком интеграла должна войти функ-
функция Ферми — Дирака, что не позволяет решить его в аналити-
аналитическом виде.
Уравнения A4.66) и A4.67) решались численно для полу-
полупроводника n-типа с различной концентрацией доноров. При
расчетах предполагались модель параболических зон с прави-
правилом отбора по волновому вектору и значения параметров, ха-
характерных для GaAs. Коэффициент поглощения рассчитывал-
рассчитывался по формуле A4.18). Как видно из рис. 69, номограммы для
и, и 'Qe значительно отличаются от аналогичных номограмм,
полученных для собственного полупроводника (рис. 66).
В целом зависимость коэффициента поглощения от накач-
накачки более сложна, чем это следует из формул, и в аналитиче-
аналитическом виде не выражается (рис. 70). Смещение кривых вправо
с увеличением концентрации доноров означает, что примеси
уменьшают эффект насыщения собственного поглощения.
Плотность потока, необходимая для получения заметного
уменьшения к(а>), может увеличиваться за счет примесей на
несколько порядков. При концентрации доноров 1016 смгг за-
зависимость коэффициента поглощения от интенсивности воз-
возбуждения, как и в собственном полупроводнике, можно ап-
аппроксимировать формулой A4.11) (кривые 1 и 1'). С увели-
увеличением Nd, приводящим к вырождению электронов в зоне
проводимости, эта зависимость все больше соответствует фор-
245
Рис. 71. Схема нзлучательнон и Оже-рекомбинации в трехуровневой моде-
модели собственного полупроводника (а) н в модели параболических зон (б)
муле A3.20) (кривые 4 и 4') *>. Указанные закономерности ка-
качественно справедливы и для других моделей вещества.
Насыщение поглощения в условиях рекомбинации Оже.
В полупроводниках при мощном возбуждении создаются боль-
большие концентрации электронов и дырок к увеличивается взаи-
взаимодействие между ними. Поэтому заметную, а иногда и ре-
решающую роль среди рекомбинационных процессов начинает
играть ударная, или Оже-рекомбинация, при которой энергия,
освободившаяся в результате рекомбинации электрона и дыр-
дырки, передается третьему свободному носителю (§ 11). Оче-
Очевидно, ударная рекомбинация будет препятствовать увеличе-
увеличению концентрации свободных носителей в зонах и может рез-
резко изменить зависимости коэффициента и мощности погло-
поглощения от интенсивности возбуждающего света.
Рассмотрим этот вопрос вначале с помощью модели трех
дискретных уровней [440]. Пусть уровень с энергией Е] соот-
соответствует валентной зоне, уровень Е2 расположен вблизи дна
зоны проводимости, а Еъ — в зоне проводимости на расстоя-
расстоянии, примерно равном Eg от уровня Е2 (рис. 71, а).
Предположим, что уровни Е\ и Е2 N кратно вырождены,
а числа электронов на них обозначим через П\ и п2. Тогда
уравнение электронейтральности можно представить в виде
A4.1), а населенность третьего уровня считать пренебрежимо
малой.
При стационарном режиме возбуждения выполняется урав-
уравнение баланса
*> Для детального сравнения графиков k(S), рассчитанных численными ме-
методами или измеренных на опыте, с графиками функций A3.20), A4.11)
(К \
— — 1 Jot lg Sh сравни-
сравните /
вать их с прямыми линиями
J2 l)=lgas, lg
-о-
1
lgaS.
A4.70)
к 1 - . ¦ ~ \ к ! 2
Таким путем легко установить, какие участки кривой к (S) соответству-
соответствуют формулам A3.20) или A4.11).
246
Здесь введены обозначения:
RB = B1
— скорость возбуждения;
#и = ^21 «2 (N — «l) =
A4.71)
A4.72)
«2,
A4.73)
Rom^qn\{N^nl) = qn\ A4.74)
— скорости излучательной и Оже-рекомбинации; q — коэф-
коэффициент ударной рекомбинации.
В принципе возможна ударная рекомбинация с участием
двух дырок и одного электрона. Однако учет второго типа ре-
рекомбинации не дает качественно новых результатов. <] по-
помощью последних формул приходим к кубическому уравнению
для п2:
3 , А2\ 2 , 0 B\2U А2\
П2 -\ П2 -\- 2 —-— •
В
A4.75)
Действительное решение A4.75), полученное методом Кардано,
выражается формулой
Л'21 A4.76)
где
n2 = a + b —
A'2i
3*7
27
J_
2
J_
" 27
J
2
N +
¦1
<7
A21
N2
N +
BKu
1/3
с =
8 / A2l
27
4
q
A'2\
B\2u
N* + —
421
С
_ jL
27
5
N3
B[2u\2
A21 )
27
Bnu
1/2
247
Рис. 72. Зависимость концентрации свободных электроиов от интенсивности
возбуждения при iV= 1018 си-3, Л = 10-24 ом3-се/с-1, <7=10-24 слр-сек-1 (¦/),
Ю-27 B); Ю-311 C), <7=0 (штриховая кривая)
Графики зависимости числа электронов на втором уровне от
интенсивности возбуждения в логарифмическом масштабе пред-
представлены на рис. 72. Вначале п2 растет как -у/^Ви/А . Когда
становится сравнимым с Nq, рост замедляется и при В\2 и>
Nq n2 достигает своего предельного значения, равного N/2.
Если q = 0, то для п2 получается более простая формула
В12и
4121
В\2и В]2и
—Т'— "Г :—Т>
421
421
A4.77)
Когда Bi2M< Аь п2 растет как J/b'^m/^p a насыщение на-
наступает при В\2 и > Л2ь
По тангенсу угла наклона tgcp графиков п2 можно судить о
соотношении между коэффициентами спонтанной и Оже-рекомби-
нации. Если tgcp =—, то A2i~^> Nq, при tgcp =—, наоборот,
2, о
Л21 <C Nq. В первом случае Оже-процессами можно пренебречь,
во втором они играют определяющую роль. Так как Л^ соответ-
соответствует эффективной плотности состояний в зонах C.11), возра-
возрастающей с температурой Т как Г372, то при увеличении темпера-
температуры роль ударной ионизации будет возрастать и неравенство
qN < A'2\ может поменяться на обратное неравенство.
Согласно A4.72), при любых значениях q и Л21 мощность
поглощения Wn = RJi(>il растет вначале (/г2<СЛ^) линейно с
увеличением накачки. Насыщение поглощения определяется
теми же условиями, что и насыщение п2. Если излучательная
рекомбинация преобладает над ударной рекомбинацией, то,
248
как видно из A4.73), A4.74) и рнс. 72, до наступления насы-
насыщения
Яи~и, Яоше~«3/2. A4.78)
Если, наоборот, решающую роль играет Оже-рекомбинация, то
Яи~ы2/3, Доже~и. A4.79)
Измерение скоростей роста излучательной рекомбинации
н фотопроводимости, пропорциональной п-2, наряду с изуче-
изучением времени жизни свободных носителей позволяет судить о
роли Оже-рекомбинацин в каждом конкретном случае.
Для модели параболических зон (рис. 71, б) уравнение ба-
баланса имеет вид [440]
Л
где
hft»
K(a)S,
A4.80)
A4.81)
A4.82)
Л J ЛЬ©
о
= [ j q (Ее, El) п (Е'с) п (Е"с) dEc dE"c [ р (Ev) dEv. A4.83)
Здесь г] — по-прежнему квантовый выход люминесценции; q (Ec,
Ес) — коэффициент ударной рекомбинации.
Усредняя коэффициент q(Ec, Ec) по всем энергиям и учиты-
учитывая, что RHc?L Апр, из A4.80) — A4.83) получим
к (a) S — — Апр + qn2p,
hft г)
A4.84)
где к (ft») выражается формулой A4.18).
Уравнение A4.84) численно решалось совместно с уравнением
электронейтральности, п = р, для параметров арсенида галлия
mc=0,072, mo=0,5m, ?^=1,43эв, Г = 300°К, х(ю) = 2-104х
X (lift» — EgI'12 см'1, А = 7-100 см3-сек'1 при ц — 1 и энергии
возбуждающих квантов lift»! = 1,44 эв.
Графики зависимости концентрации электронов от интен-
интенсивности возбуждения напоминают кривые на рис. 72. Из ана-
24»
„«
ю°
w° юг ю* ю6
Рис, 73. Зависимость скорости Оже-рекомбинации от интенсивности света
при G=Ю-30 (/), Ю-27 B), Ю-м C) смь-сек^: а — трехуровневая модель;
б—модель параболических зон
лиза кривых Rome(S) (рис. 73) следует, что когда q = 10~24 см6Х
Хсекг\ насыщение ударной рекомбинации наступает при
5* = Ю9—1010 вт/см2. С уменьшением q граница между восхо-
восходящим и горизонтальным участками графика перемещается в
сторону меньших значений 5*. Однако начиная с q= 10~27 см6Х
Хсект1, дальнейшее уменьшение этого параметра только
уменьшает значение #оже, но не отражается по величине S*.
При значениях nq<A эффекты насыщения определяются
только соотношением между вероятностями спонтанных и вы-
вынужденных переходов.
Если q = 0, коэффициент поглощения начинает убывать
при S*~103 вт/см2. Чем больше q, тем больше должно быть
значение 5*, чтобы стали заметными нарушения Бугера
(рис. 74), причем qS* = const. Этот результат неочевиден, по-
поскольку R0-me~n2p. Таким образом, если при возбуждении по-
полупроводника можно создать такую концентрацию электро-
электронов, что qn*^>A, то плотность накачки, при которой наступают
эффекты насыщения, будет полностью определяться Оже-ре-
комбинацией. В тех случаях, когда закон Бугера начинает
нарушаться при меньших концентрациях, чем необходимо
для выполнения этого неравен-
неравенства, влиянием ударной реком-
рекомбинации на эффекты насыще-
насыщения можно пренебречь.
Рис. 74. Зависимость коэффициента
поглощения от интенсивности света
при q, равном /—0; 2—10~26 смеХ
Хсек~и, 3—КН"; 4—104 см?-сек-1
250
§ 15. ДЕФОРМАЦИЯ СПЕКТРОВ ПОГЛОЩЕНИЯ
И ЛЮМИНЕСЦЕНЦИИ.
НАСЫЩЕНИЕ УСИЛЕНИЯ
Однородное и неоднородное уширение спектральных линий.
В предыдущем параграфе показано, что под действием мощ-
мощных потоков света коэффициент поглощения на частоте воз-
возбуждения уменьшается до нуля. Естественно возникает воп-
вопрос об изменении поглощательной способности вещества на
других частотах. Остается ли она постоянной или изменяется
по определенному закону?
В общем случае на этот вопрос нельзя дать однозначного
ответа. Характер изменения всего спектра поглощения при
возбуждении монохроматическим светом зависит и от природы
спектра и от условий постановки опыта, и от способа возбуж-
возбуждения. При этом прежде всего необходимо различать однород-
однородное и неоднородное уширение линий.
На опыте всегда наблюдается поглощение излучения
большим числом частиц, к которым относятся атомы газа, мо-
молекулы раствора, экситоны, электроны, дырки и примесные
центры в кристаллах и т. п. Спектральная линия называется
однородно уширенной, если ее контур совпадает с контуром
линии поглощения одной частицы. Если же наблюдаемый кон-
контур линии — это сравнительно широкая огибающая кривая
совокупности более узких контуров отдельных частиц, то ли-
линия будет называться неоднородно уширенной.
К однородно уширенным линиям относятся в первую оче-
очередь все естественные контуры линий. Естественная ширина
линий связана с взаимодействием вещества с нулевыми элек-
электромагнитными полями. Это взаимодействие в принципе не-
неустранимо и приводит к спонтанным переходам. Естественные
контуры линий каждого отдельного атома и их совокупности
совпадают. По этой же причине к однородному относится уши-
уширение линий, связанное со столкновениями между частицами.
Б результате столкновений уменьшается время жизни в
возбужденном состоянии каждого атома. Поэтому возбуж-
возбужденный уровень расширяется, что отражается на ширине
линий.
Допплеровское уширение линий служит типичным приме-
примером неоднородного уширения. Как в случае свободных атомов,
так и в случае экситонов движение частиц относительно реги-
регистрирующего прибора приводит к смещению линии излучения
каждой частицы в отдельности. Величина смещения атомных
линий определяется скоростью движения атомов, экситонных
линий — кинетической энергией экситонов (см. (8.3) и (8.5)).
В результате максвелловского распределения частиц по ско-
скоростям вместо узких линий, характеризующих излучение од-
251
Ф,
Рис. 75. Образование провала («про-
жнгание дырки») в контуре неодно-
неоднородно уширенной линии поглощения
при возбуждении светом с часто-
частотой «1
ной частицы, прибор регистри-
регистрирует более широкие симметрич-
симметричные (атомы) или асимметрич-
асимметричные (экситоны) линии излуче-
излучения совокупности частиц.
К неоднородно уширенным относятся также линии, воз-
возникающие в результате оптических переходов частиц, рас-
распределенных по подуровням широких сплошных энергетиче-
энергетических полос или зон. Полосы поглощения и люминесценции
сложных молекул и полупроводников следует считать неодно-
неоднородно уширенными. Они получаются в результате наложения
и слияния большого числа линий, характеризующих переходы
отдельных частиц с заданными значениями энергии.
Неоднородное уширение линий и полос становится замет-
заметным только в том случае, если средний разброс линий отдель-
отдельных чаетиц больше, чем однородная ширина линии каждой
частицы в отдельности. Путем изменения условий экспери-
эксперимента можно иногда осуществить плавный переход от одного
типа уширения к другому.
Внешнее возбуждение, если оно приводит только к пере-
перераспределению частиц по энергетическим уровням, не может
изменить контура однородно уширенных линий *). Если число
поглощающих частиц уменьшается вследствие перевода ча-
частиц в возбужденное состояние, то линия поглощения умень-
уменьшается вся в целом, а ее контур остается неизменным.
Для неоднородно уширенной линии ситуация будет.значи-
будет.значительно сложнее. Если ширина линии возбуждающего света
Дал меньше неоднородной ширины линии поглощения веще-
вещества Асои, то накачка будет оказывать селективное действие на
частицы. Поглощать свет и переходить в возбужденное состоя-
состояние будут в основном частицы, настроенные в резонанс со све-
световыми колебаниями. В спектре поглощения может образо-
образоваться провал (рис. 75).
Возможность образования провала и его глубина опреде-
определяются соотношением скоростей процессов, которые умень-
уменьшают долю частиц, способных поглощать частоту ©ь и вос-
восстанавливают исходный контур линии поглощения.
*> Тонкие эффекты, связанные с деформацией естественного контура линии
поглощения, рассмотрены в [441].
252
При неоднородном уширении за счет эффекта Допплера
заполнение провала происходит в результате столкновений
между частицами, приводящих к изменению их скоростей и
положений линий поглощения в спектре. Индивидуальные ли-
линии поглощения частиц, входящие в состав неоднородно уши-
уширенной линии, как бы перемешиваются в пределах общего
контура поглощения. Скорость перемешивания может быть
настолько большой, что провала в спектре не будет, а интен-
интенсивность линии поглощения будет уменьшаться без деформа-
деформации ее контура.
В спектре поглощения полупроводников также возможно
«прожигание дырок», если скорость накачки превысит или
сравнится со скоростями релаксационных процессов. Тогда
распределение электронов и дырок в зонах будет значительно
отличаться от распределения Ферми — Дирака. Лазерная
спектроскопия вплотную подошла сейчас к решению вопроса
о характере неравновесного распределения носителей в зонах
в подобных случаях. Однако специфика полупроводников
заключается в том, что даже если провалы в спектре отсут-
отсутствуют, контур полосы поглощения в целом при интенсивном
возбуждении должен деформироваться и может заходить в
область отрицательных значений к. Рассмотрим эти процессы
более подробно.
Начальный этап изменения спектров поглощения и люми-
люминесценции. Аналитические решения уравнения электроней-
электронейтральности и уравнения баланса, полученные в предыдущем
параграфе для собственных полупроводников, позволяют про-
проследить не только за уменьшением поглощения на частоте воз-
возбуждающего света, но и рассмотреть начальный этап измене-
изменения всего спектра собственного поглощения. Подставляя
A4.38) и A4.39) в A4.5), с учетом A4.27) находим
-Г * = Г-
/2J ' I
к ((Oj) S
,3/2
A5.1)
где к(щ)8 — мощность поглощения внешнего возбуждающего
света; /3 от накачки не зависит (см. A4.42)).
Так как формула A4.38) справедлива не только для ©ь
но и для произвольной частоты (a>Eglh, то, преобразовывая
ее совместно с A5.1), получим [434]
к (ю) = х (ю) 11 Н а (ш, ©i) S +
•m
A5.2)
253
Здесь' введено обозначение
a (a, ©j) = a fa)
к fa)
: а fa)
к fa)
A5.3)
K(ft»)ft»1 " " x(tt>)
где a fa) задано формулой A4.44). Второе равенство в A5.3) за-
записано на основании того, что
a fa
«N
Переход от /с (ю) к и (со) в A5.3) означает пренебрежение по-
поправками второго порядка малости.
Так как на краю полосы фундаментального поглощения
значение x(tt>) быстро возрастает, то параметр а(со, ft»i) будет
резко уменьшаться с увеличением ft». Следовательно, внешнее
возбуждение приводит не просто к смещению, а к деформации
длинноволнового края полосы поглощения, причем
A5.4)
Мощность люминесценции в этом приближении, согласно
A4.37), равна
A5.5)
где
сю
7f (ft.) = hft. j A" (ft.) gc (Ec)gv (Ec - Ы) dEc A5.6)
— предельное значение мощности люминесценции, которое
реализуется при условии, что все состояния зоны проводимо-
проводимости заняты, а состояния валентной зоны свободны. Как видно
из A5.5), при отсутствии вырождения с увеличением накачки
интенсивность рекомбинационного излучения растет одинако-
одинаково во всех частотах, причем
ехр
kT
ехр (EglkT)
Wn
A5.7)
На основании G.36), A5.5) и A5.7) легко установить, что
квантовый выход люминесценции в этом случае не зависит от
интенсивности возбуждения и равен \\, где усреднение про-
проведено по спектру люминесценции.
Пределы деформации спектров поглощения и люминесцен-
люминесценции. Максимально возможное значение коэффициента погло-
254
Рис. 76. Изменение спектра поглоще-
поглощения под действием возбуждающего
света для модели параболических
зон с правилом отбора по к при Т —
=80 °К, ?«=1,52 эв [242]. Цифры па
кривых — значения S в квт/см2.
В рамке показаны те же кривые в
более широком спектральном интер-
интервале. Для Аш—Ев>250 мэв все кри-
кривые сливаются в одну [434]
щения x(tt») на заданной часто-
частоте реализуется тогда, когда все
нижние состояния заняты элек-
электронами, а верхние пусты.
В другом предельном случае,
когда все верхние состояния за-
заняты, а нижние состояния свободны, коэффициент поглоще-
поглощения отрицателен и равен —x(ft>), а мощность люминесценции
достигает своего предельного значения WSP(ft»). При исчезаю-
ще малом возбуждении контур полосы люминесценции, со-
согласно A5.5), определяется формулой
A5.8).
В реальных условиях эксперимента спектры поглощения и люми-
люминесценции деформируются таким образом, что занимают проме-
промежуточное положение между x(ft») и —х (ft»), W1^ (а) ё~ /к и
W"p (со) соответственно.
На рис. 76 показана деформация спектра поглощения под
действием возбуждающего света при Г = 80°К. Кривые по-
построены на основании численного решения уравнения электро-
электронейтральности A4.16) для mhlme = 7 (см. рис. 66) и уравне-
уравнения баланса A4.15) для модели параболических зон с пра-
правилами отбора по к, для которой
к (ft.) = a (ft.) (hft. - Ef2 [fe (Ev) - fe {Ec)},
A5.9)
где a (ft») слабо зависит от ft», а Ес и Ev удовлетворяют равен-
равенствам A4.17). Кривые справедливы для собственного полупро-
полупроводника GaAs, возбуждаемого стоксовой компонентой вынуж-
вынужденного комбинационного рассеяния /?рлинии рубина в ни-
нитробензоле (йй»]^1,62 эв).
Первая кривая, построенная при S = 0, характеризует ко-
коэффициент поглощения при отсутствии электронов в зоне про-
проводимости. Внешнее возбуждение вначале деформирует фор-
255
Рис. 77. Зависимость спектров поглощения и люминесценции от температу-
температуры при: а — постоянном значении AF—Eg = 8 мэв, б — постоянном уровне
возбуждения, когда «=8,9-1016 см~3: 1, Г — Г=20°К; 2, 2' — 40- 3 3' — 80
4, 4' — 200; 5, 5' — 300 °К [242]
му края полосы поглощения в соответствии с формулой A5.2),
а затем с ростом 5 приводит к появлению отрицательных
значений к(а). В пределе, когда S-+oo, точка пересечения
кривой к(а) с осью абсцисс приближается к ы = ы1.. Для
co>ft»i коэффициент поглощения больше нуля при любых
значениях плотности потока возбуждающего света. С уве-
увеличением S точка пересечения перемещается вправо
только до тех пор, пока кЫ^ остается величиной, большей
нуля.
Температурную зависимость формы полосы поглощения и ре-
комбинационного излучения можно проследить на рис. 77. Кри-
Кривые рис. 77, а построены при постоянном значении разности
квазиуровней Ферми AF, что обеспечивает пересечение кривых
к (со) с осью абсцисс в одной точке независимо от температуры.
Значение Fе — Ес0 изменяется от 8,9 мэв при Т = 20 °К до 54 мэв
при Т = 300 °К. Характерно, что с повышением температуры ча-
частота ft»m, соответствующая наибольшему коэффициенту усиления
() Е TO hA
m,
Kyc(w) = — к (
kT^>AF— Eg
из рис. 77, a,
у
уменьшается. Если
то, как показано в [442]
ф
hft»
у
Af,
аналитически
если же
и видно
Eg +—(AF — Eg). Таким
больший отрицательный коэффициент поглощения
интервале частот
образом, наи-
расположен в
1
(AF - Еа)
AF G = 0). A5.10)
256
I
На рис. 77, б приведены графики к(&) и
Wa
= b(a>)(b(o-Egy/2fe(Ec)H-fe(Ev)}, A5.11)
где Ес и Ev удовлетворяют A4.17), а Ь(а) слабо зависят от ю,
построенные для модели параболических зон с правилом от-
отбора по к [242] при условии, что число электронов в зоне про-
проводимости постоянно, п = 0,89-1017 см~3. С повышением тем-
температуры область отрицательных значений к(а) сужается,
а при Г = 200 и 300 °К значение к (а) положительно для всех
частот. Частота ют перемещается влево быстрее, чем точка
пересечения к(ы) с осью абсцисс в соответствии с условием
A5.10).
Минимальное значение п, обеспечивающее появление отрица-
отрицательного коэффициента при комнатной температуре, можно опре-
определить из условия AF = Е„ или Le -\- t,h~0. С помощью рис. 66
находим, что для rnh\me = 7 это условие выполняется, когда
,8, Fе = 45,5 мэв. Подставляя значение Fe в C.6), полу-
полуСе =1
чим
п =
2я2
2kTme
п
= 1,38-1018слГ3
для me = 0,072m.
Изменение температуры приводит к сильной деформации
спектра люминесценции. Если Г = 20 и 40 °К, то максимум
излучения расположен между точками Eg и AF. С повышением
температуры он смещается в сторону больших частот. При
постоянной концентрации электронов в зоне проводимости это
смещение максимума сопровождается резким понижением
всего спектра люминесценции (рис. 77, б). На рис. 77, а кри-
кривые, соответствующие Г = 200 и 300 °К, лежат достаточно вы-
высоко, поскольку они построены для случая, когда рост темпе-
температуры сопровождается увеличением числа электронов.
В работах [443, 444] насыщение поглощения в полупро-
полупроводниках рассчитано методом матрицы плотности. Аналити-
Аналитические выражения для к(S) получены для нескольких сильно
идеализированных случаев. Решающее значение имеют огра-
ограничения, накладываемые на распределение электронов по
энергиям. Предполагается, что либо п(Е) вообще не зависит
от энергии уровня Е, либо вероятность заполнения равна 1
для всех энергий, меньших уровня Ферми F, и равна 0 для
E>F. Во втором случае зависимость к от 5 в модели парабо-
параболических зон с правилом отбора по волновому вектору элек-
электрона по существу отсутствует и получается тривиальный
результат: к(а) =х(ю) при ha^AF и к(а)=—х(ш), если
257
17. Зак. 312
Формулы, определяющие зависимость коэффициентов по-
поглощения и усиления от концентрации избыточных носителей,
без обоснования приведены в работе [445]. Зависимость к от
5 содержится в формулах в неявном виде. Раскрывая ее при-
приближенно для частного случая, Ф. Стерн получил закон ослаб-
ослабления света в веществе, который следует из A3.20) (см. § 17).
Общие закономерности насыщения усиления. Интенсивные
потоки света, проходя через активную среду с инверсной на-
населенностью, могут заметно изменить распределение электро-
электронов по энергетическим уровням и отразиться на величине
коэффициента усиления. При термодинамическом равновесии,
как известно, инверсная населенность отсутствует во всех без
исключения системах. Чтобы получить усиливающую среду,
вещество необходимо подвергнуть оптической, электрической,
химической или какой-либо иной накачке. Поэтому последо-
последовательное рассмотрение насыщения усиления — это значи-
значительно более сложная задача, чем изучение насыщения погло-
поглощения. Необходимо изучать взаимодействие света с вещест-
веществом в условиях, когда вещество дополнительно подвергается
воздействию мощной накачки, создающей инверсную населен-
населенность.
Поскольку зависимость коэффициента поглощения от 5 в
общем случае не удалось выразить аналитическими формула-
формулами, то трудно ожидать, что коэффициент усиления кус(со) как
функция 5 может быть представлен аналитически. Для уста-
установления связи /сус = /E) необходимо проводить численные
расчеты, которые оправданы только при конкретной постанов-
постановке задачи. Поэтому целесообразно отметить только некоторые
общие закономерности [434]. Решение задачи для модели
двух резких уровней несколько дополнит общую картину.
Стационарное уравнение баланса для полупроводника, на-
находящегося под действием накачки и светового монохромати-
монохроматического потока, можно представить в виде
= Ra + Q, A5.12)
где Rn, R,, и Q — скорости накачки, люминесценции и неопти-
неоптических переходов соответственно. Если на частоте сох среда т
поглощает, а усиливает свет, то «(«>,) будет отрицательно, а
кус (со1) = — к (со) — положительно.
Учитывая, что мощность люминесценции и коэффициент по-
поглощения связаны между собой универсальным соотношением
G.18), из A5.12) для AF~bkT и Псо > kT находим
, hco,
ехр —
AF
kT
1 - aS
A5.13)
258
Здесь параметр а в общем случае зависит от S:
а —
h2co?
hco?
где «.,(»,)= 1Рл(в>1)/1м>1 в см'5-сек'1/сек'1.
Логарифмируя A5.13), находим
AF = ho)! + kT In aS
+aS
A5.14)
A5.15)
Если интенсивность зондирующего света 5->сс, то AF-^-h^
независимо от знака «(со^, а скорости всех процессов при по-
постоянном RH достигают предельного значения.
Коэффициент усиления, согласно A5.12) и A5.14), равен
к.
'ус '
nv
со.
aS
A5.16)
где а < 0. В условиях предельного насыщения /?л (о>2) и а пе-
перестают зависеть от S, a KyC (coj-> 0 как 1/5. Для малых 5 ве-
величины /?л (сох) и а будут иметь другое значение, также слабо
зависящее от 5, если /?н велико.
При оптической накачке узкой спектральной линией в частоте
се2 скорость накачки /?н равна к (со.,) 5H/hco2. В случае инжекции
тока плотности / через р — n-переход лазерного диода RH —
— r\'j,'ed, где е — элементарный заряд; d — толщина активной об-
области; ц'— инжекционная эффективность. При бомбардировке по-
полупроводниковой пластины пучком быстрых электронов Ra —
= yjled, где уе — число электронно-дырочных пар, генерируемых
одним электроном накачки (см. § 20, 25).
Насыщение усиления в двухуровневой схеме. Рассмотрим для
определенности активную среду, создаваемую при инжекции то-
тока через р — п-переход [446]. Пусть инверсная населенность со-
создается между двумя резкими уровнями. Тогда уравнение балан-
баланса A5.12) примет вид
-^j" --^-«yCS=—/?л, A5.17)
ed ha ц
где
кус —
1
В' hco (n2Nl — niN2),
= N2
Вводя безразмерные величины
|х = r)B'S/A'vgAa, g2 =
A5.18)
A5.19)
A5.20)
A5.21)
259
из A,5.17)— A5.20) находим
(^ + ^)A+
nz
]1/2
A5.22)
1
-^-1)
1/2
A5.23)
Кус = —^—ь«Л- —(JV? + jv|)—к^ + .
и„Дсо [ 2 2
+¦ (ivx + tf2)[-j
1/2
A5.24)
Если / = 0, формулы A5.22) —A5.24) переходят в A4.59),
A4.60) и A4.64). Коэффициент усиления станет отрицательным.
Если ?х = 0, а
g2 = |™ = Л^2 (Nt + N2y2, A5.25)
то кус обращается в нуль. Минимальный ток, при котором кус =
= 0, назовем током инверсии (§ 21):
/инв
edA'N\ N\
A5.25а)
При /</инв кус<0, если />/инв, кус>0.
Если ввести обозначение к = N^^B' h «/ugA(o и для простоты
предположить, что Nx — Л^2 = Л/', то из A5.24) получим
A5.26)
Как видно из A5.26), кус изменяется от —к до к. Нижний
предел (—к) достигается при |i = |2 = 0. Значение кус = к реа-
реализуется при некотором ^2тах<1- Характерно, что даже в рас-
рассмотренном здесь простейшем случае зависимость коэффи-
коэффициента усиления от интенсивности света достаточно сложна и
не выражается формулами A3.20) или A4.11).
На основании приведенных в этом параграфе расчетов и
результатов работ [242, 433, 435, 442—446] можно сделать
260
следующие выводы. Зависимости коэффициентов поглоще-
поглощения и усиления в полупроводниках от интенсивности возбуж-
возбуждения в общем случае простыми функциями в явном виде не
выражаются.
Решить задачу аналитически удается только для несколь-
нескольких определенных схем энергетических уровней полупровод-
полупроводника. Для собственных и компенсированных полупроводников
при невырожденном распределении носителей заряда по уров-
уровням энергии насыщение поглощения описывается формулой
A4.11), которая для области малых значений 5 дает зависи-
зависимость к~ A + yaS)-1. Если имеется вырождение по электро-
электронам или дыркам вследствие легирования полупроводника или
дополнительного возбуждения, то насыщение поглощения или
усиления можно приближенно аппроксимировать формулой
A3.20), где а уменьшается с увеличением степени легирова-
легирования и уровня возбуждения полупроводника. При больших
плотностях радиации к обратно пропорционально 5 незави-
независимо от механизма рекомбинации.
Поглощение света свободными носителями значительно
усложняет зависимость коэффициента межзонного поглоще-
поглощения от интенсивности возбуждения. При определенном соот-
соотношении между параметрами функция к(S) становится немо-
немонотонной: с ростом 5 значение к(S) вначале увеличивается,
затем уменьшается. Если 5->оо, то к(S) стремится не к нулю,
а к некоторому конечному значению [446].
Вопрос о насыщении поглощения (усиления) для случая,
когда не успевает установиться равновесное распределение
частиц по возбужденным уровням (неоднородное уширение
спектральной линии), рассматривался в работе [447], посвя-
посвященной газовым лазерам, и в [448] для экситон-фононного
спектра полупроводника. В обоих случаях получена прибли-
приближенная формула
K A5.27)
r
yr 1+aS
Дополнительные сведения по эффектам насыщения и мето-
методика эксперимента будут рассмотрены в § 17.
§ 16. ДВУХФОТОННОЕ ПОГЛОЩЕНИЕ
Коэффициент двухфотонного поглощения. Создание в 1960 г.
первого оптического квантового генератора на рубине не толь-
только положило начало бурному развитию квантовой электрони-
электроники, но и послужило мощным стимулом для обнаружения и
всестороннего исследования широкого круга явлений нели-
нелинейной оптики. Сейчас интенсивно исследуются: нелинейные
261
Рис. 78. Схема двухфотонных переходов: а — поглощение двух фотонов;
б — испускание двух фотонов; в — поглощение фотона ftwj и испускание
фотона Йо>2; г — поглощение фотона ЙШг и испускание фотона ftwj. Штри-
Штриховыми линиями показаны виртуальные (реально не существующие) уров-
уровни энергии
свойства сред (зависимость коэффициентов отражения, погло-
поглощения и показателя преломления от интенсивности света, об-
обратный эффект Фарадея, эффект Штарка, многофотонное
поглощение); взаимодействие полей в нелинейной среде (са-
(самофокусировка луча); вынужденное рассеяние света (комби-
(комбинационное рассеяние, рассеяние Мандельштама—Бриллюэна и
Фабелинского — Старикова); преобразование световых ча-
частот (параметрическая генерация, получение разностных и
суммарных частот, удвоение частоты и т. д.). Нелинейная оп-
оптика выделилась в самостоятельный раздел физики. Ей посвя-
посвящены тысячи оригинальных статей и большое количество мо-
монографий, обзоров и сборников [449—458].
Нелинейные оптические явления можно рассматривать как
в классической теории с привлечением квантовомеханиче-
ских представлений, так и в рамках чисто квантовой теории
излучения. В классической электродинамике, в основе которой
лежат уравнения Максвелла, предполагается, что при боль-
больших напряженностях электрического <о и магнитного Ж полей
высокочастотные электрическая и магнитная проницаемости
-> ->
будут функциями & и 36. Уравнения Максвелла становятся
нелинейными, принцип суперпозиции нарушается и возникает
взаимодействие волн различных частот. Если, например, на
вещество падает излучение.двух частот u>i и «2, то возникают
колебания обертонов 2соь 3«ь ..., 2«2, Зо>2, •¦•; суммарные и раз-
разностные частоты @i±«2, 2«±(о2, @i±2«2 и т. д.
При определенных, довольно общих предположениях век-
вектор нелинейной поляризуемости среды можно разложить в ряд
по степеням фурье-компонент электромагнитного поля. В ли-
линейной оптике учитывается только первый член разложения.
Учет второго члена позволяет рассчитать двухфотонные про-
процессы (рис. 78), третьего члена — трехфотонные процессы
и т. д.
262
В настоящем параграфе рассматриваются только двухфо-
тонное поглощение и испускание в полупроводниках и явле-
явление самоиндуцированной прозрачности.
Вероятности двухфотонных переходов в системе частиц с
дискретными уровнями энергии рассчитывались еще в 30-х
годах, сразу же после возникновения квантовой теории излу-
излучения. Эти вероятности получаются во втором приближении
теории возмущения [43]. С помощью первого приближения, как
показано в § 6, рассчитываются вероятности однофотонных
переходов.
Предположим, что на образец падает два пучка света: один
с частотой «ь волновым вектором xi, вектором поляризации е[
и плотностью фотонов в пучке Nu а второй со значениями со-
соответствующих величин, равными «2, иг, ег, Л/^. Тогда в ди-
польном приближении вероятность перехода с поглощением
квантов света «ь «2 и коэффициент поглощения /сB>(«2) будут
выражаться формулами [459, 460]
т
«2e2
\Mcv(k)l4[Ec(k)-Ev(k)
_ У °2
A6.1)
A6.2)
где- ei и 62 — диэлектрические проницаемости образца на ча-
частотах «1 И &J- ¦
Входящий в A6.1) матричный элемент Мс„(к) называется
составным, так как он составлен из комбинаций матричных
элементов импульсов электрона р/< (к) для переходов между
энергетическими зонами / и /' в точке к зоны Бриллюэна:
.(elPc/(k))(P/,(k)e2)
/ (к)) (pfp (к) ej
A6.3)
Суммирование в A6.3) распространяется по всем промежу-
промежуточным зонам, включая зоны с и v. Следовательно, в двух-
фотонном переходе между двумя заданными состояниями
участвуют все квантовомеханические состояния вещества,
включая начальное и конечное. Если бы все промежуточные
состояния давали равноценный вклад в составной матричный
элемент, то задача теории многофотонных переходов была бы
чрезвычайно сложной. Оказывается, что в зависимости от зон-
зонной структуры полупроводника, симметрии кристалла, вели-
величины матричных элементов отдельных переходов, поляризаций
2:3
и частот падающих квантов света основной вклад в составной
матричный элемент для заданного двухквантового перехода
вносит небольшое число промежуточных состояний. Поэтому
задача приближенного расчета Мси(к) значительно упроща-
упрощается. Из сказанного очевидно, что расчеты, выполненные для
одного конкретного случая, могут быть не применимы для рас-
рассмотрения других случаев.
Дельта-функция в формуле A6.1) означает что при двух-
фотонном поглощении сумма энергий двух поглощенных фо-
фотонов равна разности энергий Ес—Ev, т. е. закон сохранения
энергии имеет вид
Ес (к) — Ev (к) =
+ h«2.
A6.4)
Наряду с двухфотонным поглощением происходят и другие
двухфотонные переходы: одновременное испускание двух
квантов света при переходе электрона с уровня Ес(к) на уро-
уровень Ev(k), поглощение фотона с энергией Нац и испускание
фотона с энергией Й«2 и наоборот. В зависимости от величины
энергий фотонов вещество переходит либо на верхний, либо
на нижний энергетический уровень (рис. 78). Во всех случаях
должен выполняться закон сохранения энергии: энергия си-
системы вещество + поле до и после двухфотонного перехода
остается неизменной. Формула A6.4) справедлива для про-
процессов, показанных на рис. 78, а, б. Для двух других случаез
имеем
?С(Ю —•Ег(к) = Л(о1 —h(o2. A6.5)
Если известна частота одного фотона, то закон сохранения
энергии A6.5) позволяет рассчитать частоту другого фотона.
В дипольном приближении однофотонные переходы могут
быть либо разрешенными, либо запрещенными (§ 6). Посколь-
Поскольку в составной матричный элемент A6.3) входят произведения
матричных элементов, характеризующих однофотонные пере-
переходы между состояниями Ec+^Ej, Ev+±Ej, то возможны три
типа двухфотонных переходов: разрешенно-разрешенные (оба
однофотонные переходы разрешены), разрешенно-запрещен-
ные (один переход разрешен, второй запрещен) и запрещен-
но-запрещенные (оба перехода запрещены).
Коэффициент двухфотонного поглощения в полупроводни-
полупроводниках впервые рассчитан применительно к кристаллу CdS в ра-
работах [461, 462]. Модель вещества состояла из трех зон: од-
одной валентной зоны и двух зон проводимости. Все зоны ха-
характеризуются изотропной массой и параболическим законом
дисперсии. Более высокая зона проводимости рассматрива-
рассматривалась как промежуточная, и из всей суммы A6.3) вычислялось
только первое слагаемое в фигурных скобках.
264
Более последовательная теория двухфотонного поглоще-
поглощения поляризованного света в CdS с учетом всех зон проводи-
проводимости и валентных зон развита в работах [459, 460]. Для со-
составного матричного элемента получено выражение
?;(к)-?с(к)-1ко2
т
\<k)-Ev(k)-:
(e2"V (P«?l) I A6 6)
справедливое при малых значениях k(|k|<^l/d, d — постоянная
решетки). Суммирование по / в A6.6) проводится по всем зонам
проводимости и валентным зонам, кроме зон v и с; тг — приве-
приведенная масса. Промежуточные зоны, для которых рс/- (к) и pJD (к)
равны нулю, при расчетах не учитываются. Значения матричных
элементов в точке к = 0 обозначены через рс/ и р;1Г
Для разрешенно-разрешенных переходов расчеты по формулам
A6.1) — A6.3) дают [459, 462]
к^ (<ва) = a, [h К + «2) - Egy/2 S1; A6.7)
где Sx = VgNjhai! — плотность первого потока излучения. Для за-
прещенно-разрешенных и запрещенно-запрещенных переходов по-
получено соответственно
(со2) = а2 [h К + <о2) - ?//2 Sv
) К) = а3 [Ъ К + «2) - ?gF2 S.
A6.8)
A6.9)
Коэффициенты at зависят от ориентации векторов поляриза-
поляризации обоих лучей и относительно слабо зависят от частоты «2.
Экспериментальное изучение частотной зависимости коэф-
коэффициента поглощения позволяет определить тип оптических
переходов при двухфотонном поглощении. В зависимости от
зонной структуры кристалла и условий эксперимента может
либо преобладать один тип переходов, либо наблюдаться их
суперпозиция.
Расчеты коэффициента поглощения [459, 460] по форму-
формулам A6.2) и A6.6) для лазерного линейно поляризованного
излучения («[) и естественного света («г), одновременно рас-
распространяющихся в кристалле CdS, приводят к следующей
общей формуле для кB>()
кЪ («e!)=o1 [h («!+«,) - Eg]W Sx -Но, [h K+«2) - ?//2 Sv
A6.10)
Здесь зависимость а\ и а2 от со2 достаточно слабая и ею
можно пренебречь. Если векторы ei и е2 взаимно перпендику-
265
лярны и лежат в плоскости, перпендикулярной к оптической
сси С, то а\<^а2 и справедлива формула A6.8). При всех дру-
других ориентациях векторов поляризации выполняется обратное
неравенство ai^>a2 и можно пользоваться выражением A6.7).
Если непрерывно изменять угол между вектором поляризации
первого лазерного луча и оптической осью кристалла, то мож-
можно плавно перейти от частотной зависимости коэффициента
поглощения к^Ц&г), даваемой формулой A6.7), к частотной
зависимости A6.8) [459].
Как видно из последних формул, межзонное двухфотонное
поглощение так же, как и однофотонное поглощение, характе-
характеризуется пороговым значением энергий фотонов: поглощение
отсутствует, если
Ьоах + Ьо^ < ?g. A6.11)
Коэффициент двухфотонного поглощения прямо пропорцио-
пропорционален интенсивности возбуждающего света. В общем случае,
если в одном элементарном акте поглощается i одинаковых
фотонов, то коэффициент поглощения можно представить
в виде
к<0 = p,S'-', A6.12)
где Рг — параметр; S — плотность потока.
В арсениде галлия и селениде кадмия валентная зона со-
состоит из подзоны легких дырок, подзоны тяжелых дырок, со-
соприкасающихся в точке к = 0, и отщепленной от них на величи-
величину Л третьей подзоны. При возбуждении кристалла излучением
неодимового лазера (й«=1,17 эв) основной вклад в двух-
двухфотонное поглощение будут вносить состояния валентной зо-
зоны. Расчеты /с^(со), проведенные для этого случая, дают
[463, 464]
(со) =
ее2 (hcoM
. A6.13)
При /=1 формула определяет коэффициент поглощения, свя-
связанного с переходами валентная подзона тяжелых дырок —
зона проводимости; индекс / = 2 относится к подзоне легких
дырок.
При выводе A6.13) предполагалось, что фотоны испуска-
испускаются одним монохроматическим источником света, поэтому
«1 = 0J= со, ei = e2 = e. Так же как и при однофотонном погло-
поглощении, графиком функции /сB'(о)) для заданной ориентации,
вектора поляризации служит одна плоская кривая. Если же
происходит поглощение двух фотонов с различными энергия-
энергиями, то функция /сB)(соь иг) может быть представлена двух-
двухмерной поверхностью.
266
Двухфотонное поглощение света при непосредственном
возбуждении экситонов рассчитано в работах [465, 466], а
для примесных полупроводников — в [467]. Общий метод рас-
расчета многофотонного поглощения света связанными электро-
электронами в твердых телах развит Л. В. Келдышем [468].
Условия экспериментального наблюдения двухфотонного
поглощения. Коэффициент двухфотонного поглощения растет
пропорционально интенсивности возбуждающего света. Одна-
Однако его нельзя сделать слишком большим, так как порог раз-
разрушения поверхности кристалла под действием лазерного
излучения ограничивает сверху интенсивность возбуждающего
света. Значение /сB'(со) часто не превосходит нескольких
обратных сантиметров. В области межзонного и прямого эк-
ситонного поглощения коэффициент двухфотонного поглоще-
поглощения пренебрежимо мал по сравнению с коэффициентом одно-
фотонного поглощения. С другой стороны, если /tcoi+ftco2<?g,
то двухфотонное поглощение отсутствует. В собственном полу-
полупроводнике спектральный интервал, в котором можно наблю-
наблюдать двухфотонное поглощение, ограничен неравенствами
?g<-bco1 + hco2<2?g. A6.14)
При этом наиболее благоприятные условия для изучения
/сB'(соь м2) будут около верхней границы указанного интер-
интервала.
Двухфотонное поглощение наблюдалось во многих полу-
полупроводниках: в Ge, в соединениях AniBv и AUBVI и смешан-
смешанных кристаллах [458]. Основные экспериментальные законо-
закономерности качественно хорошо согласуются с теорией. В от-
отдельных случаях зафиксировано количественное соответствие.
Иногда результаты теории и эксперимента расходятся более
чем на порядок.
В соответствии с теорией на опыте проявляется анизотропия
двухфотонного поглощения. Величина кB)(соь со2) сильно зави-
зависит от взаимной ориентации электрических векторов падаю-
падающего света и углов между оптической осью Си векторами t\ и
е2. Эта зависимость обнаружена не только в кристаллах с низ-
низкой симметрией решетки. Она имеется и в кубических кри-
кристаллах [469]. В кристалле CdS при возбуждении его линейно
поляризованным излучением рубинового лазера коэффициент
двухфотонного поглощения минимален, если электрический
ректор световой волны направлен вдоль оптической оси. С уве-
увеличением угла между ей С до 60—70° значение /сB)(со) возра-
возрастает примерно в два раза (рис. 79). Аналогичная закономер-
закономерность обнаружена и в смешанных кристаллах CdSxSei_x [470].
Отношение между параметрами рх/Рц близко к 1,5, где рл и
6ц соответствуют ориентациям е_1_С и е||С.
267
отн. ед
Рис. 79. Зависимость коэффициента двух-
двухфотонного поглощения излучения рубино-
рубинового лазера в кристалле CdS от углов меж-
между направлением поляризации излучения
и оптической осью кристалла. Сплошной
линией изображена теоретическая зависи-
зависимость [459]
О 20 40 60 if, град
С изменением значения х от 0,18 до I ширина запрещен-
запрещенной зоны смешанных кристаллов CdS^Se^x увеличивалась от
1,86 до 2,45 эв. При возбуждении таких кристаллов излучени-
излучением рубинового лазера (й«=1,78 эв) обнаружена сильная за-
зависимость коэффициента двухфотонного поглощения от шири-
ширины запрещенной зоны (рис. 80). Увеличение параметров р±
становится особенно резким, когда ширина запрещенной зоны
приближается к энергии возбуждающих квантов.
Экспериментальная кривая рис. 80 от начала до конца не
описывается какой-либо одной зависимостью типа A6.8),
A6.9). По-видимому, вклад в двухфотонное поглощение сме-
смешанных кристаллов дают различные типы оптических перехо-
переходов, удельный вес которых изменяется с увеличением ширины
запрещенной зоны. Аналогичная зависимость к<2)(«) от Её
получена для смешанных кристаллов ZnxCdi_.xS [471] и
ZibCdi^cSe [472].
В работе [473] ширина запрещенной зоны фосфида кадмия
(CdP2) и фосфида цинка (ZnP2) варьировалась путем изме-
изменения температуры от 80 до 300 °К. Полученная для Pj зави-
зависимость от Eg хорошо аппроксимируется графиком функции
A6.9), что свидетельствует о разрешенно-разрешенном типе
оптических двухфотонных переходов в этих кристаллах.
Поскольку при изменении температуры или состава ком-
компонент смешанных кристаллов изменяется не только ширина
Рис. 80. Зависимость параметра двух-
двухфотонного поглощения р от ширины за-
запрещенной зоны смешанных кристаллов
CdSSei-x при e_LC [470]
268
1.0
0,6
0,2
iff 48 2,0 2,2
CdSe
CdS
запрещенной зоны, но и зонная структура в целом (§ 12), то
частотную зависимость коэффициента двухфотонного погло-
поглощения в чистом виде можно изучить только путем вариации
энергии возбуждающих фотонов. Для этой цели используются
либо лазер с неизменной частотой генерации в сочетании с
сбычными лампами, дающими широкий спектр излучения,
либо лазеры с плавно перестраиваемой частотой генерации
[474].
В § 13 показано, что отклонения от линейной оптики при
однофотонном поглощении достигают наибольшего значения,
когда возбуждающий свет линейно поляризован. Двухфотон-
Двухфотонное поглощение как одно из проявлений нелинейных оптиче-
оптических свойств вещества также максимально для линейно поля-
поляризованного излучения. В частности, оно больше, чем для
света, поляризованного по кругу [475, 476].
Фотолюминесценция и фотопроводимость при двухфотон-
ном возбуждении. О возникновении двухфотонного поглоще-
поглощения можно судить не только по ослаблению света, проходяще-
проходящего через кристалл, но и по появлению фотолюминесценции и
фотопроводимости. Если двухфотонное поглощение достаточ-
достаточно интенсивно, то измерение зависимости пропускания плоско-
плоскопараллельных пластин от интенсивности света позволяет опре-
определить параметр р в формуле A6.11). Методика обработки
экспериментальных данных изложена в § 17. При слабом двух-
фотонном поглощении надежно зафиксировать его по ослабле-
ослаблению света довольно трудно, поскольку в любом полупровод-
полупроводнике имеется рассеяние света и поглощение, свободными носи-
носителями.
При однофотонном возбуждении полоса люминесценции,
как правило, смещена в длинноволновую часть спектра по от-
отношению к частоте возбуждающего света «ь Поэтому сам*,
факт появления люминесценции с энергией фотонов /шл>'.
>й«1 можно рассматривать как первый признак двухфотон- ¦
ного поглощения. Второй признак связан с различной зависи-
зависимостью мощности люминесценции от интенсивности падающе-
падающего света при одно- и двухфотонном возбуждениях.
Поскольку энергия возбуждения трансформируется в
кристалле по многим каналам, то зависимость мощности
одной полосы фотолюминесценции от мощности поглощения
Wn в общем случае на отдельных участках кривой можно
аппроксимировать формулой
w л —
A6.15)
где т)л— средний по полосе энергетический
ценции.
выход люминес-
J
269
Раскрывая A6.15) для одно- и двухфотонного поглощения
с учетом A6.11), находим
=i1a/cS", A6.16)
= ЛлРЗ2"- A6.17)
Следовательно, при двухфотонном поглощении показатель
степени в формуле A6.15) в два раза больше, чем при одно-
фотонном возбуждении одной и тон же полосы люминесцен-
люминесценции.
Люминесценция возникает в результате спонтанных опти-
оптических переходов в веществе. Поэтому ее спектр не должен
зависеть от способа возбуждения, если только люминесценция
во всех случаях обусловлена одним и тем же механизмом.
Действительно, иногда отмечается, что спектры фотолюми-
фотолюминесценции сульфида кадмия [462], германия [477] и некото-
некоторых других полупроводников при одно- и двухфотонном воз-
возбуждениях практически совпадают между собой. Однако
двухфотонное поглощение обладает и весьма важной специ-
спецификой. Оно позволяет производить объемное возбуждение
полупроводника, так как падающий свет распространяется в
слабо поглощающей среде и глубоко проникает в нее. При
сднофотонном возбуждении люминесцирует в основном толь-
только приповерхностный слой. Как уже неоднократно отмечалось
(§ 10, 11), оптические свойства этого слоя могут значительно
отличаться от свойств кристалла в целом. Поэтому на опыте
часто наблюдается сильное изменение спектра люминесценции
при переходе от однофотонного к двухфотонному возбуж-
возбуждению.
На рис. 81 показаны спектры фотолюминесценции моно-
монокристалла CdS, полученные при 77 °К и возбуждении линией
ртути (^, = 3660 А) и излучением рубинового лазера с импульс-
импульсной добротностью (А = 6943А) [478]. При одНофотонном воз-
ЧВОО ?900 5000 5100 52005300 1,Х
Рис. 81. Спектры фотолюминесценции одного из образцов CdS при одно-
фотонном (/) и двухфотонном'B, 3) возбуждении: 2 — 5В = 2,3 Мет/см2;
3 — SB = 20 Мет/см2
270
Суждении наблюдается интенсивная голубая полоса люми-
люминесценции, соответствующая бесфононной аннигиляции экси-
тона А (^, = 4870 А), слабая линия его фононного повторения
(^=4940 А) и слабо выраженная зеленая полоса, обусловлен-
обусловленная рекомбинацией свободных электронов с дырками, захва-
захваченными на примесные уровни.
При двухфотонном возбуждении полоса бесфононной ан-
аннигиляции экситона отсутствует для всех плотностей воз-
возбуждающего света вплоть до пороговых значений, когда
разрушается поверхность кристалла [478, 479]. В голубой об-
области спектра наблюдаются две узкие полосы, одна из кото-
которых отсутствовала при возбуждении излучением ртутной лам-
лампы. Анализ этих полос показывает, что они связаны с излуче-
излучением свободного экситона с испусканием одного или двух
фононов (см. § 8). По-видимому, дефекты приповерхностного
слоя обеспечивают выполнение закона сохранения импульса
для большего числа экситонов, поэтому бесфононная линия и
наблюдается только при однофотонном возбуждении. Так или
иначе различие в спектрах люминесценции при одно- и двух-
двухфотонном возбуждениях связано с тем, что в первом случае
светится приповерхостный слой, а в другом—весь объем кри-
кристалла.
Фотопроводимость при двухфотонном возбуждении изу-
изучена в фосфиде галлия [480], теллуриде цинка [480 а, 481] и
других полупроводниках. Двухфотонное поглощение пред-
представляет особый интерес для возбуждения генерации в полу-
полупроводниках [481] (гл. IV).
Прохождение ультракоротких импульсов света через полу-
полупроводниковые кристаллы. В работе [482] теоретически пред-
предсказано, а в [483] экспериментально обнаружено явление
самоиндуцированной прозрачности среды при прохождении
через нее ультракоротких импульсов света. Это явление отли-
отличается от обычного насыщения поглощения и наблюдается
при выполнении двух условий. Во-первых, длительность све-
светового импульса т должна быть много меньше периода Т2 са-
самого быстрого релаксационного процесса в среде:
х«Т2. A6.18)
Во-вторых, безразмерная площадь импульса f>0 при однофо-
однофотонном поглощении должна удовлетворять условию
2, t)dt>n,
A6.19)
где \р\ — модуль матричного элемента дипольного момента
перехода; $ (z, t) — напряженность электрического поля све-
271
товой волны в точке z в момент времени t. Для двухфотонного
поглэщения второе условие аналогично A6.19), только вместо
р стоит составной матричный элемент, а под знаком интегра-
интеграла — напряженность электрического поля в квадрате.
Самопрозрачность первоначально была обнаружена при
прохождении пикосекундных импульсов излучения рубиново-
рубинового лазера через рубиновые стержни [483] и импульсов излу-
излучения ССулазера (т = 200—300 нсек) через газ SF6 [484].
Теория явления для полупроводников развита в [485—488].
На рис. 82 построен график зависимости энергии излуче-
излучения, прошедшего через смешанный кристалл CdSo,6Seo,4, or
энергии падающего ультракороткого импульса (т^2-10~и
сек) неодимового лазера, работавшего в режиме самосинхро-
самосинхронизации мод [489]. До некоторого порогового значения энер-
энергии падающего излучения пропускание образца составляет
менее 10~3. Затем наступает резкое увеличение прозрачности,
пропускание увеличивается более чем на два порядка. При
возбуждении такого же образца импульсами с длительностью
3-10~8 сек вообще нг удалось зарегистрировать прошедшего
излучения.
В случае двухфотонного поглощения коэффициент погло-
поглощения вначале должен расти пропорционально 5 (см.
A6.12)), а затем вследствие самоиндуцированной прозрач-
прозрачности уменьшаться. Результаты расчета зависимости коэффи-
коэффициента двухфотонного поглощения приведены на рис. 83 [488].
Качественно эффект самоикдуцированной прозрачности
можно представить так. Передний фронт светового импульса,
встречая на своем пути резонансную среду, переводит ее в
возбужденное состояние. Возвращаясь в исходное состоя-
состояние, среда отдает энергию на заднем фронте импульса. Такая
перекачка энергии возможна, если длительность импульса
меньше «фазовой памяти» среды, и приводит к уменьшению
скорости распространения импульса более чем на порядок.
ПО.Ззк
120
т
80
60
40
20
о
2 4 0 8,
Снижение скорости распространения
пикосекундного импульса излучения
неодимового лазера до 4-Ю8 см/сек
наблюдалось в арсениде галлия при
77 °К [490, 491].
Рис. 82. Зависимость энергии ультракороткого
импульса света Е, прошедшего через кристалл
CdSo,6Seo 4, от энергии падающего излучения
Ео [489]
272
Рис. 83. Зависимость коэффициента
двухфотонного поглощения GaAs от
параметра импульса $о{®~$2)-
Пунктирная кривая для некогерент-
некогерентного взаимодействия ультракоротко-
ультракороткого импульса с GaAs [488]
Опыты показывают, что достаточно нарушить хотя бы одно
из условий A6.18), A6.19), как эффект самопрозрачности ис-
исчезает. Энергия и длительность импульса света задаются ре-
режимом работы лазера. Величину Т2 в газах варьируют путем
изменения давления газов. В полупроводниках значение Тг
резко уменьшается с повышением температуры, поэтому са-
самопрозрачность легче наблюдать при низких температурах.
Зависимость пропускания образцов CaAs от % исследована в
работах [492, 493]. Теоретически этог вопрос рассмотрен
в [494].
§ 17. НАСЫЩЕНИЕ ПОГЛОЩЕНИЯ
В КОНЕЧНЫХ ОБЪЕМАХ ВЕЩЕСТВА
Зависимость пропускания плоскопараллельных пластин от
интенсивности света. Формулы A3.20) — A3.23), A4.11),
A5.27), A6.12), дающие зависимость коэффициента погло-
поглощения от плотности потока возбуждающего света, справедли-
справедливы для тонкого слоя, в пределах которого можно пренебречь
зависимостью интенсивности возбуждающего света от глуби-
глубины его проникновения. Если толщина слоя равна d, то условие
применимости этих формул можно представить в виде /cd<Cl-
Так как к зависит от частоты и интенсивности возбуждения,
то это условие может часто не выполняться. Поэтому для ин-
интерпретации экспериментальных данных обычно выводятся
формулы, которые связывают параметры вещества с плотно-
плотностями потоков, падающих на переднюю стенку пластины ко-
конечной толщины So и вышедшего из него 5<j.
Пусть возбуждающий свет падает перпендикулярно пло-
плоскости пластинки, вдоль оси х. Так как учет влияния отра-
отраженного света на мощность поглощения чрезвычайно
усложняет задачу, то будем считать, что на заднюю поверх-
поверхность фильтра нанесены просветляющие покрытия и ее коэф-
коэффициент отражения R' равен нулю. Современные методы по-
позволяют уменьшить коэффициент отражения полупроводников
с 30 до 0,01% [495]. Если коэффициент отражения передней
стенки, расположенной в точке х=0, равен R, то 5@)=50A —
18. Зак. 312
273
—7?).»3адача сводитс'я к нахождению интенсивности света в-
точке x=d.
Как было показано в предыдущих параграфах, ослабление
или усиление света в пластинке связано с различными меха-
механизмами оптических переходов в полупроводниках. Кроме
того, в веществе могут быть оптические неоднородности, рас-
рассеяние света на которых характеризуется коэффициентом
рассеяния р. Обозначая сумму всех коэффициентов поглоще-
поглощения, усиления и рассеяния одной буквой K(S), дифференци-
дифференциальный закон Бугера представим в виде
dS(x) = —K(S)S(x)dx. A7.1)
Он справедлив как в линейной оптике, где К не зависит от ин-
интенсивности возбуждающего света, так и в области нелиней-
нелинейной оптики и означает, что ослабление света в бесконечно
тонком слое dx равно поглощению и рассеянию свега в этом
слое.
Для слоя толщины d = x2—Х\ уравнение решается методом
разделения переменных:
S(x,) i 'х,
A7.2)
J K(S)S
S(xt) Xl
Если K(S) =к и не зависит от S, то из A7.2) следует обыч-
обычный интегральный закон Бугера
S(d) = S(Q)e-kd, A7.3)
установленный экспериментально еще в 1729 г. Найдем
интеграл A7.2) для нескольких наиболее важных частных
случаев [496].
1. Предположим, что р = 0, а коэффициент поглощения вы-
выражается формулой A4.11). Тогда из A7.2) для Xi = 0 сле-
следует:
aS
S@)
1
m
+ /pfM
dS
= -xd, A7.4)
S @) exp (— xd)
aS @)
.aS@)_[/(^^)-4-aS(d)
In
/ aS@)
+ oS@)
<xS@)
aS(d)
7T12
aS(d)-\ aS(d)
A7.5)
274
Если эффекты насыщения отсутствуют (а = 0), то из A7.5)
вновь следует интегральный закон Бугера A7.3). При aS<Cl
для всех значений 5 от S(d) до 5@) вместо A7.5) можно
пользоваться более простым соотношением
a
= in
или
(-0
^- exp (xd)], A7.6а)
где t = S(d)/S0 = S(d)(l— R)/S@) — пропускание фильтра.
2. Пусть величина К равна сумме четырех слагаемых:
К =
1 -f aS 1+aS
A7.7)
Первое слагаемое соответствует межзонному поглощению,
второе — поглощению света свободными неравновесными но-
носителями; кр— коэффициент поглощения свободными равно-
равновесными носителями р = const.
Подстановка A7.7) в A7.2) и интегрирование дают
In
1
л. акр -г-.pa
(S@)
In
¦ S (d) exp [(к -f к -f- p) d]
A7.8)
- р
кР + Pa) S (d) a- у + к., -+- р
При а = р = кр = р = 0 A7.8) также переходит в A7.3). Если
кр=Р=0, формула A7.8) приводит к известному соотношению [497]
A7.9)
р ! paS (d) J-x + p1
Пренебрегая эффектом насыщение (a = 0), из A7.8) находим
'Л (x-rKp4-P)S@) A710)
[xpS @)+к+кр+р) ехр [(х+ кр -р) d]~S @) ир
или
[xpS0(l-^L-x4-/.. . .. . „ ., . . _
A7.10а)
При р = 0 выражение A7.10) совпадает с формулой, получен-
полученной в [498] без учета эффектов насыщения.
275
Согласно A7.9), с увеличением интенсивности возбуждаю-
возбуждающего света пропускание фильтра возрастает, оставаясь в пре-
пределах
A _ #) ^-(к+рМ ^ < A _ #) e-od. A7. Н)
Наоборот, из формулы A7.10а) следует, что пропускание умень-
уменьшается от t = A — R) ехр [— (х + кр -1- р) d] до нуля с ростом .S
от 0 до оо.
Если в образце одновременно существенную роль играют
н эффекты насыщения и увеличение поглощения свободными
носителями, то зависимость пропускания от S будет иметь
сложный вид.
Подставляя в A7.8) S@)=0 и S(O)=e», получим исход-
исходное /@) и предельное /(оо) значения пропускания:
t @) = A — R) ехр [— (х -г /ср -!- р) d],
i i Р
/ (оо) = A — R) ехр | — ( -?- х -г кр
р d
A7.12)
Предельное значение пропускания весьма чувствительно к
отношению параметров а и р и резко уменьшается с ростом
р/а (обычно х^Кр + р).
Исследование формулы A7.8) показывает, что с ростом
интенсивности возбуждения пропускание изменяется моно-
монотонно. Если а>р, оно растет, а при а<р убывает. Когда
pS(d) становится значительно больше \,t приближается к
своему предельному значению и в дальнейшем практически
не зависит от So (рис. 84).
3. Простое решение задачи гакже можно получить, если
отражение противоположной грани фильтра R'^O, но воз-
возбуждающий свет вызывает практически полное просветление
фильтра.
В этом случае поглощение в фильтре приближается к
своему предельному значению и можно пользоваться закона-
О 10
10
Рис. 84. Зависимость пропускания плоскопараллельной пластины от интен-
интенсивности света для а=10~2 см2/квт, кр + р = 2 см-1, /? = 0,3, Я' = 0; 1 — х =
= 50 см-1, Р=10-3 см2/квт, d=10 см; 2 —к=100, Р=10-3; d=10;
3 — х=50, ,f5=5-10-2, d=10~2; 4-х =50 см-1, |3=10-3 см2/квт, d=0,l см
276
ми линейной оптики. С учетом многократных отражений выхо-
выходящий поток выражается формулой
fo + A*)dl s A7.13)
где кп = хр/а — кр -j- p — предельное значение суммы A7.7) при
S0-voo; Ак — x/aS — небольшая поправка к кп.
Если (кп -f А/с) d С 1, то ехр [— (кп h дк) d] ^ 1 — (кп + Ак) d,
а в знаменателе A7.13) экспоненту можно положить равной еди-
единице.
Это дает
S(d) =
l — RR'
A7.14)
Величина Ак определяется суммой всех потоков, возникших
внутри фильтра в результате многократных отражений от граней.
В точке х эта сумма при R' = R равна
Подставляя это значение S(x) в Д/с из A7.14), находим
Р
14-/?
1 —
¦ х -t- к,
р
р) d|S0-^}. A7.15)
На графике зависимости S(d) от So должны наблюдаться
два линейных участка: один в области малых значений S,o и
второй при больших So. Формула A7.15) —уравнение второго
участка. Если предполагать, как это сделано в [499], что по-
поглощение обусловлено оптическими переходами с уровней
компенсированных акцепторов и электроны рекомбинируют
на акцепторах со временем т, то
? _*>., A7.16)
т
а
где Na—концентрация акцепторов. Подставляя A7.16) в
A7.15) и полагая р = р = кр = 0, приходим к простой формуле
A7.17)
S(d)
1 + R
Выражение, аналогичное A7.17), приводится в [499] и ис-
используется авторами для определения т*>. Если кр+.рОс,
*) Если при выводе A7.17) предположить, что S(x) равно 50A—R), а не
So, то полученное выражение совпадает с формулой B.32) работы [499].
277
р р/а, то, измеряя пропускание при малых интенсив-
ностях света и пренебрегая кр + р, из первого равенства
A7.12) находим к.
Измерение пропускания на втором линейном участке зави-
зависимости S(d) от So (при больших интенсивностях) позволяет
определить отношение р/а. Из A7.12) получим
р ln(l-K)-lnf(oo)
а 1пA—Я) —Ы@)
Если, кроме того, р<Са, то, определяя точку пересечения
прямой A7.15) с осью S(d), получим соотношение для пара-
параметра
« = --*! 1=*-, A7.19)
S°(d) 1 + Я
где S°(d)—координата точки пересечения, лежащей ниже
нуля. Таким образом, с помощью формул A7.18) — A7.19)
легко определить три параметра: и, а и р.
4. В заключение рассмотрим случай, когда изменение
коэффициента поглощения пластины связано с TV-фотонным
поглощением. Пусть коэффициент поглощения, связанного со
всеми другими механизмами оптических переходов, в задан-
заданном интервале значений 5 постоянен [500]. Тогда на основа-
основании A6.2) имеем
K(S) = x + $NSN-K A7.20)
Подставляя G.20) в A7.2) и выполняя интегрирование, находим
S(d) =
Если
. A7.21)
5@)№-?»--^-[1-.
Р
и можно пренебречь единицей в фигурных скобках A7.21), то
выходящий поток равен
Sm(d) =e-^r-iL(i_
A7.22)
и не зависит от величины падающего потока. Следовательно,
плоскопараллельные пластинки, поглощение которых харак-
характеризуется коэффициентом A7.20), могут служить ограничи-
ограничителями света. По мере увеличения падающего потока So вы-
выходящий поток вначале увеличивается, а затем достигает
своего максимального значения A7.22) и остается постоян-
постоянным при
278
Если xd^Cl, то, разлагая экспоненциальную функцию в
ряд, из A7.22) получим
S^d^Ktf-ljM]1^- A7.23)
Для двухфотонного поглощения отсюда следует
Sm(d)~-^-, A7.24)
что соответствует Sm(d) = (l-i-10) Мвт/см2 при типичных
значениях р2=@,1-М) см/Мет и d=l см.
Для интерпретации экспериментальных данных по двухфо-
тонному поглощению формулу A7.21) удобно преобразовать
к виду
So _ exp (xd) , p2[exp(xd)—
'1
S(d)
°"
Отношение S0/S(d) линейно зависит от интенсивности воз-
возбуждающего света. Прямая линия, проведенная через экспе-
экспериментальные точки, отсекает по оси ординат отрезок, равный
первому слагаемому A7.25), а ее тангенс угла наклона равен
коэффициенту при So. Это позволяет рассчитать параметры к
и р2 [500—503].
Интеграл A7.2) легко берется и для других функций K(S).
В частности, в [448] он рассчитан для случая, когда K(S)
определяется формулой A5.27).
Экспериментальные методы обнаружения эффектов на-
насыщения.-Разработано несколько методов экспериментального
обнаружения и исследования зависимости коэффициента по-
поглощения вещества от интенсивности проходящего через него
света.
В простейшем случае [499] на пути параллельного пучка
света ставится фокусирующая линза, а исследуемый образец
перемещается вдоль оси х (рис. 85, а). При неизменном об-
общем потоке света плотность потока, падающего на образец,
зависит от его положения. Поэтому если фильтр просветля-
просветляется, то при его перемещении выходящий поток будет изме-
изменяться. Варьируя с помощью фильтров интенсивность падаю-
падающего света, можно установить, при каких наименьших
значениях плотности потока начинает проявляться нелиней-
нелинейность поглощения.
Второй простой способ обнаружения нарушений закона
Бугера связан с перестановкой местами нейтрального свето-
светофильтра и исследуемого образца [504]. Такая перестановка
влияет на интенсивности выходящего потока только в случае,
279
О Ф
а о
Рис. 85. Экспериментальные способы обнаружения нелинейного поглощения
света в веществе: о — образец, ф —: фильтр, пр — приемник
если коэффициент поглощения образца зависит от S (рис.
85,6).
Для более детальных исследований эффектов насыщения
создаются установки, позволяющие измерять интенсивность
как падающего, так и прошедшего света [505, 506]. Для изме-
измерения падающего излучения обычно некоторая его часть от-
отводится в сторону с помощью светоделительной пластинки
(рис. 85, в). Иногда в этой установке производится замена
местами нейтрального фильтра и исследуемого образца [507].
Величина падающего потока может быть определена и без
прямого измерения, если применять отградуированные свето-
светофильтры и один раз измерить весь падающий поток [508].
Наиболее полную информацию можно получить при ис-
использовании двух световых потоков (рис. 85, г): одного воз-
возбуждающего и второго зондирующего 53опд [509, 437]. Таким
путем зафиксирована деформация спектра поглощения CdS
в широком спектральном интервале при возбуждении одной
лазерной линией [437].
На рис. 86, а в качестве примера приведена зависимость
пропускания кристаллов ZnTe с р = 4-1017 смгъ от So. До неко-
некоторого значения S*o (К) кривые идут горизонтально, что означа-
означает независимость пропускания образцов от So. При даль-
дальнейшем увеличении So пропускание увеличивается. Две верх-
верхние кривые вновь выходят на горизонтальный участок [506].
280
Плотность потока возбуждающего света, при которой на-
наступает заметное изменение пропускания кристаллов, умень-
уменьшается с ростом К возбуждающего света. Такая зависимость
S"o (К) качественно согласуется с теоретическими расчетами
(рис. 84). Практически полное насыщение поглощения наблю-
наблюдалось для возбуждающего света с А. = 5325 и Я, = 5312А.
Иной характер имеет зависимость t(S0) для образцов с
р = 5-1018 и р = 9,21018 см-3 (рис. 86, б, в). В области при-
примесной полосы поглощения кристаллов наблюдалось как уве-
увеличение пропускания (рис. 86, б, 3—5), так и уменьшение
(рис. 86, б, 1; в, 1—8).
. о ^Р Р /ha
0,01 0,1
S/Зо
0,055
10 Sg,MSm/CMs
Рис. 86. Зависимость оптического пропускания образцов ZnTe от плотности
потока возбуждающего света с длиной волны к [506]. На вставках показана
оптическая плотность образцов при малых интенсивностях света в спект-
спектральном интервале 1,95—2,35 эв; а — р = 4-1017 см~3 к, 4- / — 5325 2 —
5312, 3 — 5300, 4 — 5285; б —р = 5-1018 см~3 к, Л: / — 5545, 2 — 5620,
3 — 5780, 4 — 5900, 5 — 6060; в — /7 = 9,2-1018 см-3, к. А: / — 6060, 2 — 5970,
3 — 5920, 4 — 5880, 5 — 5820, 6 — 5700, 7 — 5585, 8 — 5530
281
Коэффициент отражения R кристаллов ZnTe во всем ин-
интервале изменения So оставался постоянным. Как показано в
[438], зависимость R от So связана с металлизацией поверх-
поверхности полупроводника. В работе [506] повреждение поверх-
поверхности образца не наблюдалось. В качестве источника света
использовался лазер на красителе, длина волны генерации
которого изменялась от 5285 до 6060 А.
Иногда за меру интенсивности света внутри образца при-
принимается яркость фотолюминесценции, сопровождающей
рекомбинацию носителей. Пользуясь этим методом, легко
допустить ошибку, поскольку мощность фотолюминесценции
полупроводников прямо пропорциональна интенсивности воз-
возбуждающего света только в частных случаях.
Экспериментальное изучение эффектов насыщения значи-
значительно отстает от теории. Большинство опытов до сих пор но-
носит предварительный, качественный или полуколичественный
характер, и вся эта область исследования находится в далеко
незавершенной стадии своего развития.
Расчет функции K(S) на основании экспериментальных
данных. Как было показано выше, если известна зависимость
коэффициента поглощения пластины от интенсивности света,
то расчет зависимости пропускания t от So не составляет тру-
труда. В большинстве случаев эта задача решается аналитически.
Значительно труднее по измеренной функции t(S0) найти
K(S). На опыте измеряется интегральный по толщине пла-
пластины эффект и переход к функции К (S) может оказаться
неоднозначным.
Рассмотрим один из возможных вариантов опыта, позво-
позволяющего определить K(S). Пусть зависимость коэффициента
поглощения от S не известна, однако на опыте установлено,
что с ростом So пропускание фильтра монотонно возрастает.
В этом случае коэффициент поглощения можно представить в
виде
К= , A7.26)
1/(S)'
где f(S) —функция, график которой необходимо найти из
экспериментальных данных по пропусканию. Используя
A7.26) в дифференциальном законе Бугера A7.1), имеем
S(d)
Г f(S)dS , Г 5@) . ,.] Л7О7,
I i->—^ = In —— ехр(—xd).. A7.27)
S@)
Уравнение A7.27) имеет неоднозначное решение. Вместо
f(S) можно взять VaS, aS, (a.S)n или любую другую функцию
от aS и для заданных пределов интегрирования подобрать
282
параметр таким, что A7.27) будет удовлетворено. При любом
выборе f(S) участок реальной кривой K(S) в интервале
S(d) —S@) заменяется другой кривой. Подбор параметра а
во всех случаях позволяет получить необходимый эффект про-
просветления. Проводя серию измерений для различных S@)r
начиная с максимально возможного Sm@) и выбирая 5г@)
последующего измерения равным S(d),-i предыдущего, мож-
можно найти значения для всех участков и построить график
K(S). Этот график будет состоять из отдельных отрезков и в
целом может быть разрывным в точках Si@). Поскольку вы-
выбор f(S) неоднозначен, то в качестве критерия правильности
найденной зависимости может служить непрерывность по-
построенного графика K(S). Во всех случаях уменьшение интер-
интервалов S,@)—Si(d) будет приближать полученные отрезки
кривых к истинному значению функции K(S). Следовательно,
необходимо выбирать по возможности более тонкие фильтры.
Если в качестве f(S) взять focS, то параметр а будет рас-
рассчитываться по формуле A7.6). Для /(S)=aS из A7.21) на-
находим
о = lnf-^exp(xd)!. A7.28)
S@)-S(d) [S@) ;J
Из A7.27) могут быть получены выражения для а и при
других выборах функции /(S). Поиски новых функций /(S)
целесообразно производить только после того, как на опыте
будет установлено, что использование faS и aS не позволяет
получить достаточно гладкой кривой k(S).
Условие равномерного возбуждения просветляющегося
цилиндрического стержня. Для изучения нелинейных свойств
вещества исследуемые образцы целесообразно брать в виде
плоскопараллельных пластин. Однако в различных устройст-
устройствах квантовой электроники и оптотехники могут использовать-
использоваться нелинейные среды и другой геометрической формы. Напри-
Например, активное вещество твердотельных лазеров обычно
изготавливается в виде вытянутых стержней с круглым, ква-
квадратным, прямоугольным и другими сечениями. Расчет рас-
распределения плотности энергии возбуждающего света в таких
объемах представляет трудоемкую задачу даже в линейном
приближении. Она решается, как правило, путем численных
расчетов [511]. В работе [512] развит метод последователь-
последовательных приближений, позволяющий определить зависимость
плотности радиации накачки и(х, у, z) и коэффициента погло-
поглощения как функций координат точки (х, у, z) и интенсивности
возбуждения. Сущность метода сводится к следующему. Вна-
Вначале решается линейная задача и определяется функция
и°(х, у, z) в нулевом приближении. Полученные значения
и°(х, у, z) подставляются в функцию к[и(х, у, z)]. Для опре-
283
деленных таким образом значений к(х, у, z) вновь находится
функция uw(x, у, ,z) в первом приближении. Эта процедура
повторяется до тех пор, пока Ф\х, у, z) практически переста-
перестанет зависеть от номера приближения /. Расчеты показывают,
что с увеличением i функция Ф)(х, у, z) быстро приближается
к своему истинному значению. Уже во втором-третьем при-
приближении получаются удовлетворительные результаты.
На рис. 87 показано распределение плотности монохрома-
монохроматической диффузной радиации накачки q(p, kR0)=u'/u в
цилиндре с показателем преломления п=1,76 в линейном
случае, когда сш = 0 (формула A3.20)), и для трех значений
аи просветляющегося стержня. Здесь и и и'— плотности энер-
энергии излучения на внутренней боковой поверхности цилиндра
и на произвольном расстоянии R от его оси соответственно;
Ro — радиус цилиндра; p = R/Ro- Во всех случаях наблюдается
качественно одинаковый вид кривых <7(р), однако количест-
OLU=2
0,2 0,4 0,6 0,8 Р
Рис. 87. Распределение относительной плотности диффузной радиации в
просветляющемся цилиндре. Цифры на кривых — значения произведения
#[512]
284
венные различия весьма существенны. Например, при аи = 5,
xRo = 2 плотность радиации на оси стержня в просветляющем-
просветляющемся стержне в 6 раз выше, чем в непросветляющемся.
В тех случаях, когда в линейном приближении при неко-
некотором подборе параметров вещества и интенсивности накачки
реализуется примерно равномерное распределение накачки по
всему объему вещества, можно, не решая нелинейной задачи,
определить условия, при которых осуществляется равномер-
равномерное распределение радиации по сечению просветляющегося
стержня. В этом можно убедиться на примере цилиндра, для
которого в линейном случае при некотором значении %Ro = b =
=п [511] относительная плотность q распределена почти
равномерно и равна qQ. При п=1,76 6^1,8, <70~0,42 (см.
штриховую кривую на рис. 87 при ос = 0).
Допустим теперь, что и в просветляющемся стержне до-
достигнуто равномерное распределение, <7 = const. Это означает,
что к = const. Но для постоянного к справедливо условие
равномерного распределения, полученное при решении линей-
линейной задачи. С учетом A3.20) его можно представить в виде
Ь. ' A7.29)
1 4- qoau
При аи = 2, 5 и 8 для рубинового стержня получаем соответст-
соответственно х/?о = 3,3; 5,6 и 7,8. Рассчитанные для этих значений
nRo штриховые кривые на рис. 87 действительно соответству-
соответствуют наиболее равномерному распределению. Условие равно-
равномерного распределения накачки, записанное в общей форме
к(и') Ro = b, справедливо и в том случае, если зависимость
к \и') имеет более сложный вид, чем в A3.20).
§ 18. ЭКСИТОН-ЭКСИТОННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ
ПРИ НИЗКИХ ТЕМПЕРАТУРАХ
Появление новых линий излучения. В 1966 г. Ж. Хейнс [513]
исследовал фотолюминесценцию серии образцов кремния при
температурах 18 и 3°К. Если температура образцов была
18 °К, то в спектре люминесценции наблюдались линии, об-
обусловленные аннигиляцией непрямых экситонов с испускани-
испусканием одного или двух ГО-фопонов или одного ГЛ-фонона (§ 4).
При 3 °К в спектре оставалась только одна экситонная линия,
связанная с испусканием поперечного оптического фонона.
Интенсивность остальных линий становилась пренебрежимо
малой. Вместо них в спектре появились три новые линии не-
неизвестного происхождения. Все они были смещены в инфра-
285
красную область относительно линий экситонного излучения
примерно на 15 мэв.
Новые линии не были связаны с какими-либо поверхност-
поверхностными состояниями, их положение и интенсивность не зависели
от характера примеси в кристалле. Они наблюдались в образ-
образцах р- и /г-типа. В то время как интенсивность экситонной
линии /э увеличивалась пропорционально интенсивности воз-
возбуждающего света /в, новая наиболее интенсивная линия /м
росла, как /|. При повышении температуры до 10 °К новые
линии исчезали *>.
В дальнейшем при низких температурах и высоких уров-
уровнях возбуждения аналогичные линии излучения были обнару-
обнаружены в ZnO [515], CuCl [516], Ge [517], Cu2O [518], CdS,
CdSe и других полупроводниках [519]. Опыты показали, что
в объеме полупроводника происходят некие качественные из-
изменения, которые проявляются не только в появлении указан-
указанных линий излучения, но и в других физических явлениях.
Полупроводник может стать оптически неоднородным, и в нем
появляется интенсивное рассеяние света [520, 521], скачком
изменяется его проводимость [393, 522], в далекой инфра-
инфракрасной области спектра обнаруживаются широкие полосы
поглощения и полоса излучения [523].
Ж. Хейнс рассматривал новые линии излучения как дока-
доказательство образования экситониых молекул (биэкситонов) в
полупроводниках. Аналогичные линии в германии [517] были
интерпретированы как излучение экситонных капель, возмож-
возможность существования которых была обоснована Л. В. Келды-
Келдышем [524—526].
К настоящему времени достаточно четко выкристаллизо-
выкристаллизовались две точки зрения на совокупность всех эксперимен-
экспериментальных фактов, связанных с коллективными свойствами
экситонов в полупроводниках. Одни авторы считают, что при
гелиевых температурах экситоны связываются попарно и об-
образуют молекулы, подобно молекулам водорода. Если кон-
концентрация молекул становится достаточно высокой, то может
происходить их конденсация с образованием экситонной жид-
жидкости. Другие авторы отрицают возможность существования
биэкситонов и полагают, что экситонная жидкость образуется
непосредственно из свободных экситонов. В обоих случаях
допускается переход системы плотно упакованных экситонов
из диэлектрического в металлическое состояние с резким
возрастанием проводимости. Кроме того, возможна бозе-эйп-
штейновская конденсация экситонов.
*' Новая линия излучения в германии наблюдалась впервые в 1959 г. при
2°К [514]. Однако эта линия не была исследована, поэтому работа [514]
не привлекла такого внимания, как работа Ж. Хейнса [513].
286
Хотя в полупроводнике достаточно легко создать плотную
упаковку экситонов, они не могут образовать упорядоченную
систему типа кристаллических решеток ни при каких темпера-
температурах и плотностях. Если бы такую кристаллическую решетку
удалось искусственно создать, она немедленно расплавилась
бы уже при абсолютном нуле, так как амплитуда нулевых
колебаний экситона, масса которого порядка массы электро-
электрона, сравнима с постоянной решетки [526]. Известно, что твер-
твердые тела начинают плавиться, когда амплитуда колебаний
атомов становится равной 0,1 величины от межатомных рас-
расстояний.
Учитывая актуальность затронутых вопросов, рассмотрим
более подробно экситон-экситонное взаимодействие в полу-
полупроводниках-
Экситонные молекулы. Экситоны большого радиуса в из
вестном смысле аналогичны атому водорода и позитронию
(§ 5). Поэтому целесообразно продолжить эту аналогию и
при рассмотрении коллективных свойств указанных частиц.
Возможность связывания электрона с позитроном, одного
электрона с двумя позитронами и двух электронов с двумя
позитронами была теоретически проанализирована еще в
1946 г. [527]. Из расчетов следовало, что первые два образо-
образования должны быть устойчивы к диссоциации, а последнее
неустойчиво. Однако в работе [528] связанная система из
двух электронов и двух позитронов названа позитроннои моле-
молекулой и сделан вывод о возможности ее существования.
Позитроний и системы из трех частиц действительно обна-
обнаружены на опыте [529]. Существование позитронных молекул
пока экспериментально не доказано.
В 1958 г. М. Ламперт показал [530], что в неметалличе-
неметаллических твердых телах возможно образование подвижных и непо-
неподвижных комплексов типа позитроннои молекулы, которые он
назвал экситонными молекулами, или биэкситонами. В этом же
году была опубликована работа С. А. Москаленко [531], по-
посвященная теории экситонов большого радиуса в щелочно-
галоидных кристаллах. В ней также отмечалась возможность
спарирования экситонов при условии, что энергия их взаимо-
взаимодействия имеет достаточно глубокий минимум при некотором
расстоянии между экситонами. Аналогичная идея высказана и
в отношении френкелевских экситонов малого радиуса в ра-
работе [532].
Метод расчета энергии связи водородоподобных молекул
основан на адиабатическом приближении, когда предполага-
предполагается, что ядра атомов покоятся, а движутся только электроны.
Для атомов водорода, в которых отношение масс электрона и
ядра равно 1/1840, адиабатическое приближение дает хорошие
результаты. Рассчитанное [533] и экспериментально изме-
287
Рис. 88. Зависимость отношения энергии связи
экситонной молекулы к энергии ионизации экси-
тона от параметра o = mc\mh [535]
репное значения энергии связи молекулы
водорода практически совпадают и равны
4,7 эе, что составляет 1/3 от энергии иони-
ионизации атома водорода A3,6 эв). Для по-
зитронной молекулы рассчитанная энер-
энергия связи [534] составляет 0,985 эв, т. е.
примерно 1/7 часть энергии ионизации по-
позитрония (?„ = 6,8 эв).
Исходя из аналогии зкситона с позитронием и атомом водоро-
водорода, можно ожидать, что энергия связи зкситонной молекулы ?„
будет заключена в пределах A/7-г 1/3) Еэ, где Еэ—энергия свя-
связи зкситона. Отношение ?м /Еэ будет тем больше, чем меньше
отношение эффективных масс электрона и дырки а = me/mh.
Теоретические расчеты полностью подтверждают этот качест-
качественный вывод [535]. Как видно из рис.88, отношение Е^/Е°э до-
достигает наибольшего значения, равного 0,3, когда а = 0, и умень-
уменьшается до 0,0273 при а= 1.
В кристалле CuCl отношение эффективных масс а — 0,025, а
энергия связи зкситона Еэ = НО мэв. Поэтому энергия связи би-
экситона составляет большую величину (~46леэв), наблюдаемую
на опыте [536]. Для непрямого экситона в германии, в котором
а = 0,75, Е°э = 3,5 мэв, аналогичные оценки дают ?„ ~ 0,1 мэв,
что меньше значения kT при гелиевых температурах.
Это вывод теории послужил основанием для ряда авторов
с самого начала отрицать возможность образования биэкси-
тонов в полупроводниках с малой эффективной массой дырок.
Однако необходимо иметь в виду, что именно для случая
равных эффективных масс погрешность теории достигает
наибольшего значения. Учет анизотропии эффективных масс
электронов и дырок и других особенностей зонной структуры
может дать большее значение для ?° . Во всяком случае, если
новые линии излучения в германии связаны с биэкситонами,
то энергия их связи значительно больше теоретических оценок.
Спектр излучения германия при 4,2 °К и двухфотонном
возбуждении излучением диспрозиевого лазера (ft(Di =
= 0,53 эв) исследован в работе [537]. Более узкая коротко-
коротковолновая линия G13,5 мэв) возникает в результате аннигиля-
аннигиляции свободного экситона с испусканием 1,Л-фонона (рис. 89).
Длинноволновая линия G08 мэв) может быть отнесена к из-
лучательной рекомбинации биэкситона. Расстояние между
288
максимумами полос составляет 5,5 мэв и соответствует энер-
энергии связи зкситонной молекулы. Для кремния эта величина
равна 15 мэв [513].
Если при рекомбинации одного зкситона в молекуле весь
импульс молекулы передается оставшемуся зкситону, то энер-
энергия испущенного фотона равна
Ьшм = ?м(Км)-?э(Кэ). A8.1)
Для энергии зкситона, находящегося в основном состоянии, из
(8.6) находим
A8.2)
где Кэ и Мд — волновой вектор и масса экситона.
Энергию экситонной молекулы можно представить в виде
2(Eg.
E°3)-E°M
4М,
A8.3)
Два первых слагаемых определяют энергию покоящегося зксито-
зкситона. Она меньше суммы энергий двух входящих в нее экситонов
на величину энергии связи Е„. Последнее слагаемое характери-
характеризует кинетическую энергию зкситонной молекулы с массой 2М3.
Так как по условию Км = Кэ, то из A8.1) следует
A8.4)
—м -g -* — 4МЭ
Как видно из A8.4), в результате поступательного движения
бизкситонов линии их излучения должны быть расширены.
В условиях термодинамического равновесия, когда выпол-
выполняется принцип детального равновесия, скорость образования
бизкситонов равна скорости их диссоциации. Если эти скоро-
скорости значительно больше скоростей всех других процессов, при-
приводящих к изменению концентраций зкситонов па и зкситонных
молекул /гм, то приближенное равен-
равенство сохранится и при отсутствии
термодинамического равновесия.
Если, как в германии, связывание
зкситонов в биэкситоиы сопровож-
Рис. 89. Спектр излучения германия при
4,2 °К и двухфотонном возбуждении (ftcoi =
=0,53 эв)
19. Зак, 312
705 710 715tiwjeS
289
дается испусканием фононов, а их развал поглощением фоно-
фононов, то будет выполняться равенство [538, 539]
Anl (I + Nq) = nJ]qe~^'kT, A8.5)
где А — постоянная; Nq — число фононов в заданном состоянии;
АЕ = ЕМ-ЫЯ A8.6)
— кинетическая энергия, приобретаемая экситонной молеку-
молекулой в момент ее образования. Другая часть выделившейся
энергии haq уносится фононом. При термодинамическом рав-
равновесии населенность фононных состояний определяется
функцией F.33).
Обозначая число неравновесных фононов через N" в об-
общем случае имеем
Nq = N°g+Nl A8.7)
При гелиевых температурах обычно hcoq ^> кТ и, следовательно,
Ng = ехр (— bwq/kT). - A8.8)
Если возбуждение сравнительно невелико, так что iV*< 1, то
из A8.5) следует
пя = Ап1е^'кТ. A8.9)
В этом случае на опыте должна наблюдаться квадратичная
зависимость интенсивности биэкситонной люминесценции от
интенсивности экситонного излучения.
С ростом накачки число N" растет пропорционально пи и мо-
может стать значительно больше №ч. Тогда вводя новый коэффици-
коэффициент пропорциональности Аг и полагая, что по-прежнему iV"<l,
на основании A8.5) имеем
пм = А1ПзеАЕ/2кТ, A8.10)
т. е. квадратичная зависимость A8.9) переходит в линейную.
Такой переход действительно наблюдается на опыте и воз-
возможность объяснить его на основании биэкситонной кон-
концепции служит основным доводом при доказательстве воз-
возможности существования экситонных молекул [538, 539].
Из формулы A8.10) следует, что если бы число фононов
Nq не зависело от концентрации биэкситонов, то квадратичная
зависимость пм от па наблюдалась бы при любом уровне воз-
возбуждения. Такие условия создаются в процессе затухания
послесвечения. В германии, например, время жизни фононов
значительно больше времен жизни экситонов и биэкситонов.
290
Поэтому в процессе затухания Nq практически постоянно, а
пм и пэ изменяются от исходных значений до нуля. Опыты по-
показывают, что в этом случае действительно пм~па {538]. При
однофотонном возбуждении экситоны создаются только в при-
приповерхностном слое и связь /гм=/("э) может быть сильно
искажена за счет влияния поверхностных состояний [540].
Как видно из A8.9) и A8.10), температурная зависимость
отношения пм/пэ на квадратичном участке кривой /гм=/(яэ)
характеризуется энергией «активации» Е°ы, а на линейном —
энергией АЕ/2. Это различие также зафиксировано на опыте
[541]. На основании представлений об экситонных молекулах
объясняются кинетика и другие коллективные свойства экси-
экситонов в полупроводниках [542].
Экситонная жидкость. Идея о возможности образования
капель экситонной жидкости е полупроводниках была выдви-
выдвинута и обоснована Л. В. Келдышем [524, 526, 543]. Экситон-
ные капли могут образоваться при гелиевых температурах и
таких высоких концентрациях экситонов, когда расстояние
между ними становится сравнимым с радиусом экситона гэ.
Последнее условие можно представить в виде
1.
A8.11)
Для того чтобы капля была устойчивой, энергия связи экси-
экситона в капле ЕК должна быть значительно больше кинетиче-
кинетической энергии частиц, т. е. kT<^EK.
Приближенные оценки концентрации экситонов в капле
«к приводят к значениям пк«3-1017 см~3 для германия и
пк~3-1018 см~3 для кремния [521]. В качестве одного из важ-
важных доводов того, что новые линии в германии и кремнии свя-
связаны с экситонными каплями, а не с биэкситонами, выдвига-
выдвигается тот факт, что рассчитанные контуры новых линий лучше
всего соответствуют эксперименту, если взять пк = 2,6-1017 см~3
для германия и пК = 3,7-1018 см~3 для кремния. Эти значения пк
на порядок превосходят концентрации биэкситонов, которые
должны быть при тех же условиях эксперимента.
В работе [544] наблюдалась кубическая зависимость ин-
интенсивности излучения ноеой линии /к от интенсивности излу-
излучения свободных экситонов /э. Такая закономерность легко
объясняется на основании простой модели капель [545].
Пусть в объеме полупроводника образуются сферические кап-
капли радиуса RK, причем RK меньше длины свободного пробега
экситона. Если тепловая скорость экситонов равна vT, то поток
экситонов на поверхность капли nRlvTna в стационарном режиме
4 п
равен сумме скорости рекомбинации внутри капли — nR3 —— и
291
потоку носителей заряда через поверхность капли в объем кри-
кристалла в результате теплового выброса:
= — nR3
3
4я/?М ехр (— фТ), A8.12)
где тк— среднее время жизни электронов и дырок в капле; ф—
работа выхода; А — постоянная, слабо зависящая от темпе-
температуры.
Если температура образца такова, что тепловым выбросом
носителей из капли можно пренебречь, то из A8.12) следует,
что радиус капли будет прямо пропорционален концентрации
зкситонов. Предполагая, что концентрация капель iVK не зави-
зависит от уровня возбуждения и определяется концентрацией
центров конденсации, находим, что их общий объем равен
к=— nR3NK.
к 3 к
A8.13)
При постоянной плотности частиц в капле интенсивность их
излучения будет изменяться пропорционально VK- Следова-
Следовательно,
IK~Nll A8.14)
С увеличением температуры растет скорость теплового выбро-
выброса носителей из капли, и последним слагаемым в A8.12)
нельзя пренебрегать. В общем случае радиус капли определя-
определяется выражением
Как видно из последней формулы, при заданном значении
концентрации свободных зкситонов существует предельное
значение температуры Гпр, при котором радиус капли обра-
обращается в нуль. При более высоких температурах капли во-
вообще не могут образовываться. Охлаждение полупроводника
ниже температуры Гпр сопровождается резким ростом ра-
радиуса зкситонных капель.
Температурная зависимость излучения свободных эксито-
нов и капель, вытекающая из A8.12) при некоторых частных
предположениях, хорошо согласуется с экспериментальными
результатами работы [545]. Однако на опыте обнаружена и
противоположная закономерность: с ростом температуры
радиусы капель могут увеличиваться [545а].
В кремнии при концентрации свободных электронов п —
= 4-1017 см~3 новая линия излучения с максимумом при
1,082 эв начинает формироваться, когда температура стано-
становится ниже 25 °К (рис. 90). При 15 °К она более интенсивна,
292
Рис. 90. Формирование новой линии из- и,
лучения кремния при понижении темпе- Д
ратуры и концентрации электронов, рав- 10
ной 1018 см-3: 1 — Т=20°К, -2—15,
3—Т=4,2 "К [546] в
чем линия излучения свободных
экситонов. С понижением темпе-
температуры до 4,2 °К излучение сво-
свободных экситонов становится пре-
пренебрежимо малым, а интенсив-
ность линии 1,082 эв увеличива-
ется еще больше [546].
После прекращения возбуждения линии излучения сво-
свободных зкситонов и капель в кремнии затухают по экспонен-
экспоненциальному закону, однако зремя жизни свободных зкситонов
тэ = 54-7 мксек на порядок больше, чем время жизни зкситон-
зкситонных капель TK = 0,4-f-0,5 мксек [547, 548]. Поглощение света
свободными носителями на частоте «о—1,21 эв/h в процессе
послесвечения изменяется по такому же закону, как суммар-
суммарное излучение двух линий [547—549]. На рис. 91 показано
изменение поглощения свободными носителями при различ-
различных температурах от ЗЗдо5°К. Прямая линия при Т—
= 33 °К в полулогарифмическом масшатабе соответствует
чисто зкспрненциальному закону затухания со средним вре-
временем тэ = 5-!-7 мксек. При температурах 20, 15 и 10 °К закон
затухания выражается суммой двух экспонент. Если Г=5°К,
наблюдается только одна экспонента с тк = 0г4 мксек [547].
Несмотря на то что удельный вес поглощения, связанного
с экситонными каплями, быстро растет с понижением темпе-
температуры или с повышением уровня возбуждения, суммарное
поглощение света электронами и дырками, входящими в со-
состав свободных экситонов или экситонной жидкости, остается
постоянным. Это означает, что сечение по-
глощения света носителями не изменяет-
ся ПрИ конденсации зкситонов в капли
[547-549]. ¦
Рис. 91. Изменение кинетики поглощения света
(ft<Bo=l,21 эв) свободными носителями в кремнии
при интенсивном возбуждении (я=4-1017 см~3)
и различных температурах [547]: 1 — 5СК, 2—10,
3—15, 4 — 20, 5 — 33°К
293
Появление экситонных капель делает полупроводник
оптически неоднородным, и в нем должно наблюдаться рас-
рассеяние света на каплях. Такое рассеяние было обнаружено и
исследовано в работе [520] на образцах германия при 2,1 °К.
Из сравнения теоретических и экспериментальных данных по
угловому распределению рассеянного света авторы определи-
определили радиусы капель экситонной жидкости. При скоростях воз-
возбуждения 4,5-1018 и 1,8- 1018 см-^секг1 они оказались равными
/?к = 8,8 и 3,4 мкм соответственно. При. этом в каждой капле
содержится 107—108 неравновесных электронов и дырок.
Капли экситонного конденсата, так же как и свободные эк-
ситоны, могут перемещаться в кристалле. Поэтому размеры
области рекомбинационного излучения несколько больше раз-
размеров области возбуждения образца. Увеличение размеров из-
излучающего объема определяется диффузионной длиной излу-
излучающих центров и временем жизни возбужденного состояния.
На рис. 92 показано пространственное распределение излу-
излучения свободных экситонов и экситонного конденсата в герма-
германии (линии 714,2 и 709,6 мэв соответственно) [521, 550].
Образец возбуждался модулированным излучением гелий-нео-
гелий-неонового лазера (Я,= 1,15 мкм) в виде полоски шириной 0,15 мм
и высотой 2 мм. Диффузионная длина свободных экситонов,
рассчитанная с помощью рис. 92, оказалась равной 4-10~2 см,
а диффузионная длина капель на порядок меньше. При этом
учитывалось, что в отличие от кремния в германии время
жизни экситонных конденсатов не меньше, а в 2—3 раза боль-
больше тэ.
Если исследуемый образец германия поместить в электри-
электрическое поле напряженностью 2,5 в/см, то область рекомбина-
рекомбинационного излучения с Йсо = 709,6 мэв (рис. 92, кривая 2) сме-
смещается в сторону положительного заряда [551]. Это означает,
что электронно-дырочные капли имеют отрицательный заряд.
Оригинальный метод наблюдения капель в полупроводни-
полупроводниках разработан в работах [552, 553]. На одной из сторон хи-
химически полированной пластины из чистого германия /г-типа
"'с помощью двух прижимных заостренных
Рис. 92. Пространственное распределе-
распределение излучения свободных экситонов (/)
и экситонных капель B) в германии.
Ширина полоски возбуждающего света
0,15 мм [550]
1,0 1,5 $01,**
294
Рис. 93. Спектры резонансного погло-
поглощения (/) и испускания B) чистого
германия р-типа (р<1012 см~г) при
1,6 "К и возбуждении излучением
100-ватной лампы через фильтр КДР
[554]
%(<*>) 500 ZOO 100 мкм
10 15%'щмзб
вольфрамовых контактов создавалась точечная р—п—р-струк-
тура. Расстояние между контактами составляло несколько
десятых долей миллиметра. В качестве детектора капли слу-
служил р—«-переход, смещенный в обратном направлении. Поле
в этом р—/г-переходе было достаточно сильным, чтобы разор-
разорвать каплю на свободные электроны и дырки. При возбужде-
возбуждении пластины импульсами света (Д/=1,5 мксек) от лампы
ИСШ-100 вначале возникал обычный импульс фототока,
обусловленный появлением в образце свободных носителей.
С увеличением интенсивности возбуждающего света на фоне
пологого импульса фототока возникают один, два и целая се-
серия более острых импульсов. Пластины толщиной 0,5-М мм
возбуждались со стороны, противоположной той, на которой
была р—п—р-структура. Поэтому электронно-дырочные кап-
капли диффундировали через пластину и попадали в область
р—п-перехода, где и распадались на свободные носители.
Каждый импульс фототока свидетельствует о разрушении
одной капли.
В работах [523, 554] исследовалось поглощение и испу-
испускание чистого германия в диапазоне длин волн от 20 до
1000 мкм. При Т^.2 °К и высоких уровнях межзонного возбуж-
возбуждения обнаружено новое физическое явление в виде резонанс-
резонансного поглощения и излучения (рис. 93) в далекой инфракрас-
инфракрасной области (~140 мкм). Изменение интенсивности возбуж-
возбуждающего света практически не влияет на поглощение ма-
максимумов полосы поглощения. Эту полосу нельзя объяснить
поглощением свободными носителями, интенсивность которого
должна монотонно возрастать с увеличением длины волны
(§ 10). Средняя энергия поглощаемых и испускаемых фотонов
значительно больше энергии ионизации свободных экситонов.
Поэтому при интерпретации указанной полосы поглощения
механизм ионизации экситонов необходимо исключить так же,
как и роль примесей, влияние которых на спектры поглощения
в далекой ИК-области начинает проявляться при концентра-
концентрациях, больших 1014 см~3.
Очевидно, поглощение и испускание света в этой области
связано с коллективным взаимодействием экситонов. Предпо-
295
лагаЪ образование электронно-дырочных капель, авторы
[523, 554] на основании экспериментальных данных рассчита-
рассчитали концентрацию пк=2 • 1017 см3 и время жизни носителей в
капле тк~10~5 сек.
Люминесцентно-спектроскопические проявления коллек-
коллективных взаимодействий экситонов в кремнии и германии каче-
качественно аналогичны. Однако имеется резкое различие в зна-
значениях величин квантовых выходов излучения капель цк и зна-
значениях тк. Согласно [555], в германии и кремнии эти величины
равны: tK(Ge)=20 мксек, T)K(Ge)=0,8, xK(Si) =0,18 мксек,
ijK(Si) =0,5-10~3. Уменьшение значений тк и т)к на два-три по-
порядка при переходе от германия к кремнию связано с боль-
большим значением вероятности безызлучательной Оже-рекомби-
нации в кремнии, чем в германии. В сплавах германия и
кремния резкое падение значений тк и т)к начинается, когда со-
содержание кремния превышает 12% [555]. При этом происхо-
происходит изменение зонной структуры сплава: минимум зоны прово-
проводимости переходит из направления A11) в направление A00)
и создаются более благоприятные условия для Оже-рекомби-
нации (§ 11). Изменение зонной структуры германия в ре-
результате одноосного сжатия также может привести к падению
интенсивности излучения конденсата на два порядка [556,
557]. В кремнии^ где цк мало, одноосное сжатие практически
не отражается на интенсивности излучения электронно-дыроч-
электронно-дырочных капель [558].
Бозе-эйнштейновская конденсация экситонов и экситонных
молекул. Элементарные частицы и квазичастицы, обладаю-
обладающие нулевым и целочисленным спином, подчиняются стати-
статистике Бозе — Эйнштейна и называются бозонами. Число бо-
бозонов в любом квантовом состоянии- ничем не ограничено.
Этим они отличаются от фермионов (частиц с полуцелым спи-
спином), подчиняющихся принципу Паули, согласно которому в
одном квантовом состоянии не может быть более одной из со-
совокупности тождественных частиц.
Еще А. Эйнштейн [559], показал, что Бозе-частицы иде-
идеального газа могут накапливаться на "самом нижнем энергети-
энергетическом уровне при температуре газа ниже температуры вырож-
вырождения. Это квантовое явление получило название бозе-эйн-
штейновской конденсации. В отличие от фазового перехода
пар — жидкость бозе-эйнштейновская конденсация происхо-
происходит в пространстве импульсов и не сопровождается увеличени-
увеличением концентрации частиц в единице объема. Распределение
конденсированных частиц по координатам остается равно-
равномерным.
В принципе бозе-эйнштейновская конденсация должна
происходить в системе любых Бозе-частиц. Однако газ, состоя-
состоящий из реальных частиц, обычно превращается в жидкость
296
ш
J
f
/
/
a
f
4
\
\
4
4
^—
t 1
<
6
•<•
41-
%
-0,5 О 0,5 1,0 id
681 581,5 662 662,51т
Рис. 94. Рассчитанный спектр люминесценции бозе-конденсированного со-
состояния экситонных молекул при 0°К (сплошная кривая) н спектр люминес-
люминесценции тех же молекул в неконденсированном состоянии для 8,2 "К (пунк-
(пунктирная кривая) (а) и спектр люминесценции CdSe при 1,8 °К и возбжуде-
нии пикосекундными импульсами света [565] (б)
раньше, чем достигается температура вырождения. (Исклю-
(Исключение— гелий). Бозе-эйнштейновская конденсация должна со-
сопровождаться скачкообразным изменением термодинамиче-
термодинамических, акустических, электрических и оптических характери-
характеристик газа.
Экситоны и экситонные молекулы обладают целочислен-
целочисленным спином и относятся к Бозе-частицам. Ряд физических
явлений, связанных с их бозе-эйнштейновской конденсацией,
рассмотрен С. А. Москаленко и другими авторами [560—562].
В состоянии бозе-эйнштейновской конденсации экситон-
ный или биэкситонный газ должен испускать узкую линию
излучения, так как отсутствует ее уширение, связанное с по-
поступательным движением частиц [563]. Эта линия должна на-
наблюдаться на длинноволновом крыле более широкой полосы
излучения, относящейся к несконденсировакным частицам
(рис. 94). Долгое время на опыте не удавалось получить бозе-
эйнштейновскую конденсацию экситонов. По-видимому, это
было связано с трудностями охлаждения экситонов до нуж-
нужных температур при высоких уровнях возбуждения. В резуль-
результате неупругих соударений двух экситонов, один из них анни-
аннигилирует, а-второй получает дополнительную кинетическую
энергию. Поэтому температура экситонного газа, как прави-
правило, выше температуры кристаллической решетки.
Благоприятные условия для охлаждения зкситонов име-
имеются при возбуждении полупроводника пикосекундными им-
импульсами света. В таких условиях сразу создается высокая
концентрация экситонов, а их разогрев за счет превращения
части энергии падающего света в тепло минимален.
297
ВЪзбуждая CdSe пикосекундными импульсами излучения
неодимового лазера при 1,8 °К, авторы [564, 565] наряду с ши-
широкой полосой излучения экситонных молекул обнаружили не-
необычайно узкую линию люминесценции. Положение в спектре
и ширина этой линии (рис. 94) дали основание интерпретиро-
интерпретировать ее как излучение экситонных молекул в состоянии бозе-
эйнштейновской конденсации. Необходимо, однако, иметь в
виду, что узкая линия излучения может возникнуть также
и в результате стимулированного испускания экситонных мо-
молекул. Оно было обнаружено, в частности, в монокристаллах
CdS [566].
Многообразие форм коллективного взаимодействия носи-
носителей. Не все экспериментальные результаты, полученные
при изучении коллективных свойств экситонов в полупровод-
полупроводниках, нашли однозначное объяснение. Часть из них интер-
интерпретируется либо с помощью модели биэкситонов, либо на
основании представления об электронно-дырочных каплях.
Внешне может показаться, что участники дискуссии зани-
занимают непримиримые позиции [521, 538, 542, 567]. Однако бо-
более глубокий анализ литературы показывает, что сама логика
фактов все более сближает позиции различных авторов. Уже
сейчас можно говорить о ряде бесспорных положений. По-ви-
По-видимому, в ближайшие годы дискуссия по этому вопросу исчез-
исчезнет вовсе.
Во-первых, без представления об электронно-дырочных
каплях нельзя объяснить всей совокупности эксперименталь-
экспериментальных результатов по коллективным взаимодействиям эксито-
экситонов. Это признают и сторонники биэкситонов. Все новые и
новые опыты показывают, что такие капли действительно об-
образуются в полупроводниках при низких температурах и высо-
высоких уровнях возбуждения. Если сам факт существования
электронно-дырочных капель неопровержимо доказан и обще-
общепризнан, то вопрос о механизме их образования, несмотря на
всю его важность и научную значимость, представляется более
частным, второстепенным.
Во-вторых, нет оснований утверждать, что во всех полу-
полупроводниках и во всех условиях опыта механизм образования
капель один и тот же. По-видимому, их несколько и в даль-
дальнейшем усилия исследователей будут сосредоточены на выяс-
выяснении преобладающего механизма для каждого конкретного
случая. По отношению к кремнию и германию предполагается,
что капли образуются либо из экситонов, либо из биэкситонов.
Какая бы точка зрения ни была правильной, она не подходит
для объяснения процесса образования капель в арсениде гал-
галлия, помещенном в электрическое поле. При полях в 4 в/см
свободные и связанные экситоны существовать не могут. Тем
не менее электронно-дырочные капли образуются [389].
298
Очевидно, исходным материалом для них могут служить толь-
только свободные электроны и дырки.
В-третьих, для таких кристаллов, как CuCl, ZnO, CdS,
CdSe, возможность существования экситонных молекул до-
доказана теоретически и экспериментально. Имеются данные,
указывающие на наличие биэкситонов в кремнии и германии.
Из всего вышесказанного следует, что коллективные взаи-
взаимодействия носителей в полупроводниках разнообразны и не-
недостаточно изучены. Поэтому на данном этапе изучения этой
проблемы более конструктивной и плодотворной представля-
представляется точка зрения, допускающая существование как электрон-
электронно-дырочных капель, так и экситонных молекул.
Гла*ва IV
ПОЛУПРОВОДНИКОВЫЕ ЛАЗЕРЫ
§ 19. ИСХОДНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ КВАНТОВОЙ
ЭЛЕКТРОНИКИ
Возникновение новой науки. Квантовая электроника — на-
наука, изучающая усиление и генерацию электромагнитных волн,
устройство, принцип работы и применение квантовых усили-
усилителей, генераторов и преобразователей излучения. Ее зарожде- *
ние относится к концу 1954— началу 1955 г., когда Н. Г. Басо-
Басовым и А. М. Прохоровым в СССР и Дж. Гордоном, Г. Зейге-
ром и Ч. Таунсом в США был создан первый молекулярный
генератор электромагнитных волн СВЧ диапазона (Я,=
= 1,26 см). Рабочим веществом этого генератора (мазера)
служил пучок молекул аммиака NH3, пролетающих через
объемный резонатор.
В 1960 г. Т. Нейман создал первый оптический квантовый
генератор (лазер) ца основе кристаллов рубина — окиси алю-
алюминия АЬОз с примесью ионов хрома Сг3+, замещающих
в решетке атомы алюминия. Новый источник света генериро-
генерировал мощные импульсы монохроматического когерентного
света (Х=0,694 мкм). В следующем году А. Джаван, У. Бен-
нетт и Д. Гаррисон построили первый газовый гелий-нео-
ковый лазер (л, = 0,633 мкм), работающий в непрерывном
режиме. В конце 1962—начале 1963 г. практически одновре-
одновременно из нескольких научных центров поступили сооб-
сообщения (§ 20) о получении генерации инфракрасного излуче-
излучения при инжекции тока через р — n-переход в арсениде
галлия.
В дальнейшем была получена генерация света при оптиче-
оптическом и электронном возбуждении полупроводников. Большое
количество сведений по истории возникновения квантовой
электроники и ее развития за первое десятилетие содержится в
работе [568].
Значительным достижением квантовой электроники яви-
явилось создание в 1967 г. белорусскими физиками Б. И. Степа-
Степановым, А. Н. Рубиновым и В. А. Мостовниковым лазеров на
растворах органических красителей с перестраиваемой чаето-
300
той1 генерации. Одновременно такие же приборы были созда-
созданы в США и ФРГ.
Начиная с 1960 г. за короткий срок получена генерация на
сотнях новых объектов. Сюда входят кристаллы, стекла,
пластмассы, газы, жидкости, полупроводники. Генерируют па-
пары воды и обычный воздух, ионизованные газы и плазма.
Оптические квантовые генераторы (ОКХ) весьма разно-
разнообразны по своему устройству, размерам, мощности, спект-
спектральным и пространственно-временным характеристикам ге-
генерируемого излучения. Труба газового лазера на СО2 может
быть длиною несколько метров, а размеры лазерного диода
составляют обычно доли миллиметра. Импульсная мощность
рубинового и неодимового ОКТ на 10—15 порядков больше
мощности гелий-неонового лазера. Однако несмотря на все
разнообразие, лазеры всех типов имеют много общего. Любой
из лазеров условно можно представить состоящим из трех ос-
основных частей: активной среды, системы накачки и оптическо-
оптического резонатора. В качестве связующего звена в лазерах приме-
применяются различные системы управления. Рассмотрим более
подробно основные части лазера.
Активные среды. Работа квантовых генераторов и усили-
усилителей света основана на использовании стимулированного
(вынужденного) испускания (§ 6). Существование такого ис-
испускания постулировано в 1916 г. А. Эйнштейном, который
показал, что без стимулированного испускания невозможно
установление термодинамического равновесия между излуче-
излучением и веществом. Стимулированное испускание — вынужден-
вынужденный процесс, в результате которого под действием первичных
квантов света появляются новые фотоны, а вещество теряет
часть своей энергии.
Замечательное свойство стимулированного испускания, от-
отмеченное П. Дираком в 1927 г., заключается в том, что возни-
возникающие в результате испускания вторичные кванты света со-
совершенно неотличимы от первичных фотонов. И падающие и
возникшие фотоны имеют в точности одинаковые частоты,
фазы, поляризации и направления распространения. Стиму-
Стимулированное испускание выступает как отрицательное погло-
поглощение и уменьшает ослабление потока света в веществе
(§ 13). Если в некотором веществе стимулированное испуска-
испускание преобладает над поглощением, то свет, проходя через
такое вещество, будет не ослабляться, а усиливаться. Это
означает, что в законе Бугера A7.3) величина к отрицательна.
Вещество, для которого коэффициент поглощения на одной
или нескольких частотах меньше нуля, называется в кванто-
квантовой электронике активной средой.
В веществе с дискретными уровнями энергии коэффициент
поглощения на частоте Юг;= (Еi—Ej)/h равен [87]
301
(Внп. - BtJn,) tico0. =
ltl(n, — -iLn,\tuu,s. A9.1)
где Вj{ = Bijgjlgi — коэффициент Эйнштейна для вынужденных
переходов; п, g — населенности и статистические веса уровней;
vg— групповая скорость света (§13).
Согласно A9.1), коэффициент поглощения отрицателен при
условии, что
А. > п1
Si gj
Так как при термодинамическом равновесии
Jh
A9.2)
A9.3)
неравенство A9.2) называется условием инверсной населен-
населенности.
В случае прямых межзонных переходов в полупроводни-
полупроводниках коэффициент поглощения A4.18) можно представить в
виде
к(со) = х(соШ?„)-/Л?е)]- A9-4)
Он будет отрицателен, если fe(Ec)>fe(Ev). При термодинами-
термодинамическом равновесии это невозможно, так как EC>EV. Если же
полупроводник выведен из состояния термодинамического
равновесия, а распределение электронов и дырок в зонах ха-
характеризуется двумя квазиуровнями Ферми Fe и Fh соответ-
соответственно, то из требования к<0 следует условие инверсной на-
населенности в полупроводниках на частоте со=(?с—Ev)/h
[569]:
AF = Fe-Fh>Ec-Ev. A9.5)
На основании универсального соотношения G.11) можно сде-
сделать вывод, что условие инверсной населенности A9.5) спра-
справедливо и в том случае, когда правила отбора по волновому
вектору не выполняются. Оно незначительно видоизменяется
для оптических переходов, сопровождающихся поглощением
и испусканием фононов [570].
Хотя с ростом температуры вещества населенности верх-
верхних энергетических уровней увеличиваются, а число частиц в
основном состоянии уменьшается, из приведенных соотноше-
соотношений следует, что простым нагреванием вещества до самых
высоких температур нельзя создать инверсную населенность и
302
получить отрицательный коэффициент поглощения. Для этой
цели в квантовой электронике разработано несколько спосо-
способов возбуждения вещества, называемых обычно накачкой.
Первое предложение использовать стимулированное испус-
испускание для усиления электромагнитных волн было высказано
В. А. Фабрикантом в его докторской диссертации в 1939 г.
Однако практически эта идея была реализована значительно
позже при создании мазеров, лазеров, квантовых усилителей
электромагнитного излучения и других устройств квантовой
электроники.
Способы накачки. В первом мазере на молекулах аммиа-
аммиака инверсная населенность создавалась путем пространствен-
пространственного разделения возбужденных и невозбужденных частиц.
Молекулы аммиака имеют два уровня, расстояние между
которыми примерно равно 0,1 мэв. Даже при температуре
жидкого азота (?Г=6,8 мэв) населенности этих уровней прак-
практически равны. Для сортировки молекул применяется квадру-
польный конденсатор, создающий неравновесное электриче-
электрическое поле. В этом поле молекулы, находящиеся на верхнем
энергетическом уровне, фокусируются ближе к оси резонато-
резонатора, а невозбужденные молекулы удаляются от оси. На выходе
конденсатора в приосевой области концентрация возбужден-
возбужденных частиц оказывается больше, чем невозбужденных.
Атомы и молекулы, обладающие магнитными моментами,
сортируются в неоднородных магнитных полях.
Универсальным способом возбуждения генерации служит
оптическая накачка. Она незаменима для твердотельных и
жидкостных лазеров. С помощью оптического возбуждения
создается инверсная населенность в газах и полупроводни-
полупроводниках. Для оптического возбуждения используется излучение
мощных импульсных ламп и лазерных источников. Маломощ-
Маломощные твердотельные лазеры могут генерировать при возбуж-
возбуждении сфокусированным солнечным светом.
Основным методом возбуждения генерации в газах служит
электрический разряд. Механизм возбуждения такой же, как
в газосветных лампах. Если стеклянную или кварцевую труб-
трубку наполнить газом при низком давлении и приложить к ее
концам высокое напряжение, то после поджкга искрой воз-
возникнет электрический разряд. Электроны будут разгоняться
в поле и бомбардировать атомы (молекулы), вызывая их иони-
ионизацию и переход на более высокие энергетические уровни.
В результате образуется инверсная населенность одной или
нескольких пар уровней. В трубках электроионизационных
лазеров газ находится при высоком давлении, а свободные
электроны создаются с помощью потока частиц высоких энер-
энергий. Таким путем удается получить более высокие значения
коэффициента усиления.
303
В «полупроводниках инверсная населенность впервые была
создана при инжекции тока через р — п-переход (§ 20).
В дальнейшем оказалось возможным возбудить генерацию с
помощью оптической накачки и при бомбардировке пучком
быстрых электронов. Доказана возможность получения актив-
активной среды при возбуждении полупроводников импульсным
электрическим полем.
В газодинамических лазерах газовая смесь нагревается до
температуры две тысячи градусов. Образуется сверхзвуко-
сверхзвуковой поток, который, выходя из сопла, быстро расширяется и
охлаждается. На уровнях со сравнительно большим време-
временем жизни остается значительное число частиц и возникает
инверсная населенность.
Активная среда может возникнуть также в результате хи-
химических реакций. Например, в смеси газов водорода и фто-
фтора возможна цепная химическая реакция, в результате кото-
которой образуются молекулы фтористого водорода в возбужден-
возбужденном состоянии и можно получить генерацию на длине волны
~3 мкм. Возбужденные молекулы HF способны передавать
свою энергию молекулам другого газа, в частности ССЬ.
Тогда генерируется излучение с длиной волнц 10,6 мкм, харак-
характерное для лазеров на СОг.
Оптические резонаторы. Простейшим оптическим резона-
резонатором, широко применяемым во всех типах лазеров, служит
интерферометр Фабри — Перо, состоящий из двух плоскопа-
плоскопараллельных пластин, расположенных на расстоянии I друг от
друга (рис. 95). В качестве одной пластины можно использо-
использовать глухое зеркало, коэффициент отражения которого близок
к единице, а пропускание равно нулю. Вторая пластина долж-
должна быть полупрозрачной, чтобы генерируемое излучение могло
выйти из резонатора. Для увеличения коэффициента отраже-
отражения поверхностей пластин на них обычно наносятся много-
многослойные диэлектрические отражающие покрытия. Поглоще-
Поглощение света в таких покрытиях практически отсутствует. Иног-
Иногда отражающие покрытия наносятся непосредственно на
плоскопараллельные торцы стержней активной среды. Тогда
необходимость в выносных зеркалах отпадает.
Вследствие большого значения показателя преломления
полупроводниковых материалов коэффициент отражения гра-
границы раздела воздух—-кристалл достигает значения 0,35 и
более. Поэтому естественные параллельные грани кристалла
образуют достаточно хороший резонатор для лазера и отра-
отражающие покрытия применяются редко.
В качестве глухого зеркала в оптическом резонаторе мож-
можно использовать прямоугольную призму (рис. 95, б). Лучи све-
света, падающие перпендикулярно к внутренней плоскости приз-
призмы, в результате двукратного полного внутреннего отражения
304
Рис. 95. Типы оптических резонаторов для лазеров: а — интерферометр
Фабри—Перо; б — призменный резонатор; в — конфокальный; г — полу-
полуконцентрический; д — составной; е — кольцевой. Заштрихованные прямо-
прямоугольники — стержни активной среды
выходят из нее в направлении, параллельном оси резонатора.
Если призму вращать вокруг оси, перпендикулярной плоско-
плоскости рисунка, то получится резонатор с модулированной доб-
добротностью. Другой способ модуляции добротности связан с
введением в резонатор просветляющихся фильтров (§ 17).
Вместо плоских пластин в оптических резонаторах могут
использоваться вогнутые полупрозрачные зеркала. Два зерка-
зеркала с одинаковыми радиусами кривизны, расположенные так,
что их фокусы находятся в одной точке Ф .(рис. 95, в), обра-
образуют конфокальный резонатор. Расстояние между зеркалами
по оси резонатора равно радиусу кривизны зеркал l=R.
Если это расстояние уменьшить в два раза, так, чтобы фокус
одного зеркала оказался на поверхности другого, то получит-
получится софокусный резонатор. Резонатор, образованный плоским
и сферическим зеркалами с 1—R (рис. 95, г) называется по-
полуконцентрическим [571].
Для научных исследований и различных практических
целей применяются более сложные резонаторы, состоящие не
20. Зак. 312
305
только из зеркал, но и других оптических элементов, позволя-
позволяющих контролировать и изменять характеристики лазерного
излучения. На рис. 95, д в качестве примера показан состав-
составной резонатор, в котором суммируется генерируемое излуче-
излучение от четырех активных элементов. В лазерных гироскопах
используется кольцевой резонатор, в котором два луча распро-
распространяются в противоположных направлениях по замкнутой
ломаной линии (рис. 95, е).
Для характеристики качества резонатора в радиотехнике
обычно вводится величина, называемая добротностью. Чис-
Численно добротность Q равна умноженному на 2л отношению
полного запаса энергии в резонаторе Е к потерям энергии за
один период S.E:
Q = 2я —.
Если при отсутствии вынуждающей силы энергия в резо-
резонаторе убывает по экспоненциальному закону
Е = Еое-?У, A9.7>
то
|Д?| = 2у?Г= " " 2Я
со„
и, следовательно,
2у
Аи
Здесь Т и coo — период и круговая частота собственных коле-
колебаний резонатора; Ли = 2-у— ширина полосы пропускания.
В случае гармонического осциллятора 2у равно ширине спект-
спектральной линии излучения (§ 13) [87]. Поэтому добротность
можно определить еще как отношение собственной частоты
колебаний системы к ширине испускаемой спектральной
линии.
В квантовой электронике оптические резонаторы более
удобно характеризовать коэффициентом потерь, который вво-
вводится при рассмотрении энергетического условия генерации.
Энергетическое и интерференционное условия получения
генерации. Получение генерации излучения упрощенно можно
представить так. Рабочее вещество лазера помещают в резо-
резонатор и включают систему накачки. Под действием внешнего
возбуждения создается инверсная населенность уровней, а
коэффициент поглощения в некотором спектральном интерва-
интервале становится меньше нуля. В процессе возбуждения еще до
создания инверсной заселенности рабочее вещество начинает
люминесцировать. Проходя через активную среду, спонтанное
306
излучение усиливается. Величина усиления определяется про-
произведением коэффициента усиления на длину пути света в
активной среде. В каждом типе резонаторов имеются такие
избранные направления, что лучи света вследствие отражения
от зеркал -проходят через активную среду в принципе беско-
бесконечное число раз, или, что то же самое, проходят сколь угодно
длинный путь в активной среде. Именно в этих направлениях
возникает генерируемое излучение.
Плотность энергии генерируемого излучения в резонаторе
становится столь большой, что она во много раз превосходит
фон спонтанного испускания на генерируемых частотах. По-
Поэтому связь характеристик генерируемого излучения с поро-
породившим его люминесцентным фоном практически исчезает.
Мощность генерации, угол расходимости и спектральный со-
состав лазерного луча определяются главным образом парамет-
параметрами резонатора, коэффициентами усиления кус и внутренних
оптических потерь р активной среды.
В интерферометре Фабри — Перо бесконечное число раз
активную среду могут пройти только лучи, распространяющие-
распространяющиеся параллельно оси резонатора. Все остальные лучи, падаю-
падающие на пластинки под углом к оси резонатора, после одного
или нескольких отражений выходят из него. Это обеспечивает
узкую направленность генерируемого луча (§ 21).
Несмотря на то что луч света можно заставить пройти в
активной среде сколь угодно длинный путь, его интенсивность
не станет бесконечно большой. Генерируемый луч наряду с
усилением испытывает и оптические потери. Первый неустра-
неустранимый вид потерь, называемых внутренними оптическими по-
потерями, связан с рассеянием излучения в активной среде.
Интенсивность рассеянного луча в элементарном объеме ве-
вещества прямо пропорциональна интенсивности падающего
света 50 [572]. Поэтому чем длиннее путь света в активной
¦ среде, тем больше его потери на рассеяние. В то же время
коэффициент усиления уменьшается с ростом 5о (§ 15). Этих
двух факторов достаточно, чтобы интенсивность лазерного
излучения не увеличивалась до бесконечности.
Второй вид потерь связан с выходом части излучения за
пределы резонатора через полупрозрачные зеркала, с дифрак-
дифракцией на краю зеркал и с поглощением в зеркалах.
В стационарном режиме мощность генерации всего
объема активного вещества равна сумме всех потерь энергии
излучения за единицу времени. Исходя из этого требования
легко рассчитать коэффициент потерь резонатора Фабри —
Перо для случая, когда коффициент усиления практически
одинаков для всех участков рабочего вещества.
Проследим путь луча от левого зеркала (рис. 95, а) к пра-
правому и обратно в исходную точку. Если в начальной точке его
20«
307
интенсивность равна Su то на границе со вторым зеркалом
она станет равной Siexp[(%c—p)l]- От второго зеркала с ко-
коэффициентом .отражения г2 отразится луч с интенсивностью
r2Siexp[(/cyc—p)l]. После прохождения обратного пути и от-
отражения от первого зеркала для интенсивности луча в исход-
исходной точке будем иметь
Из требования стационарности генерации вытекает, что Si = Slt
следовательно,
или
«_ = — In—-4=- + Р = ^- A9Л2)
I У гхг2
Равенство A9.12) можно рассматривать как энергетиче-
энергетическое условие генерации в резонаторе Фабри — Перо. Из него
следует, что в стационарном режиме генерации коэффициент
усиления равен коэффициенту потерь кп.
Первое слагаемое, входящее в кп, характеризует потери
излучения, связанные с его выходом из резонатора и отнесен-
отнесенные к единице длины пути света в активной среде
1
1
A9.13)
Чем больше длина активного стержня и больше коэффициенты
отражения зеркал, тем меньше потери резонатора. Параметр
р определяется оптической неоднородностью активной среды,
дифракцией и поглощением света на зеркалах резонатора.
Кроме энергетического условия для получения генерации
необходимо, чтобы удовлетворялось интерференционное усло-
условие существования стационарного электромагнитного поля в
резонаторе. Если нет зазора между активной средой и зерка-
зеркалами резонатора, то интерференционное условие для резона-
резонатора Фабри — Перо имеет вид [497]
l = s—, A9.14)
где s — целое число. Согласно A9.14), генерируются только
такие типы электромагнитных колебаний, половина длины
волны которых укладывается целое число раз на длине резо-
резонатора. Одновременно это служит условием образования
стоячих волн в резонаторе.
ft
Учитывая, что в ненагруженном резонаторе энергия волны
убывает по экспоненциальному закону
и, следовательно, Д<о == Krvg, с помощью A9.9) находим связь
между добротностью резонатора и коэффициентом потерь:
-_^L — 2я
A9.9а)
Для кг = 20 см х и К = 1 мкм из A9.9а) находим
Генерация по трехуровневой и четырехуровневой схемам.
Минимальная плотность накачки, достаточная для возникно-
возникновения генерации, называется порогом генерации, или просто
порогом. При оптической накачке порог характеризуется ми-
минимальной плотностью энергии возбуждающего света ип или
соответствующей ип плотностью потока Sn или количеством
электрической энергии Еп, запасенной в питающих лампы
вспышки конденсаторах и достаточной для получения ия.
Общие выражения для порога и мощности генерации си-
систем с дискретными уровнями энергии получены в работе
[421]. Эти формулы позволяют разделить лазеры на две груп-
группы: трехуровневые и четырехуровневые независимо от факти-
фактического числа энергетических уровней в рабочем веществе.
Такая классификация играет важную роль в понимании ме-
механизма генерации и с некоторыми оговорками применима к
полупроводниковым лазерам. На этом вопросе необходимо
остановиться более подробно.
Рассмотрим систему частиц с произвольным числом уров-
уровней энергии. Пусть частицы возбуждаются изотропной радиа-
радиацией на частоте (лти а генерация возникает на одной из частот
co,i- Так как частота генерации сог обычно лежит вблизи мак-
максимума линии поглощения, коэффициент усиления можно
представить в виде
1ко„
где A(o"j — ширина линии поглощения.
Вводя обозначение
кп (юг) pgA<og- _
б*
:К)
A9.15)
A9.16)
и подставляя A9.15) в A9.12), приходим к новой форме
условия стационарной генерации
Si
n,-z±- — п. = i
A9.17)
308
30»
Параметр 8Jt — безразмерная величина, равная отношению коэф-
коэффициента потерь к максимальному значению коэффициента погло-
поглощения %п (сог), достигаемому при п} = п, т. е. %п (сог) = кп (сог,
tlj = Л).
Из формулы A9.17), выражающей закон сохранения энер-
энергии в резонаторе, следует, что для получения генерации недо-
недостаточно создать инверсную населенность, определяемую не-
неравенством A9.2). Для генерации необходимо, чтобы избыток
частиц на верхнем уровне составлял вполне определенную
долю от общего числа частиц. Если gj=:gi, то эта доля
равна б,».
Из A9.17) следует, что при отсутствии внешнего возбуж-
возбуждения, когда
, A9.18)
Si
генерация невозможна даже в идеальном резонаторе, для
которого 8ц=Ъ, а добротность Q->oo. Для осуществления
генерации необходимо вывести систему из состояния термо-
термодинамического равновесия. При этом могут реализоваться два
качественно различных случая. В первом случае уровень / —
основной уровень вещества, во втором / — возбужденный
уровень.
Если / — основной уровень и на нем до начала возбужде-
возбуждения находится Ю17—1019 частиц, то для осуществления гене-
генерации на частоте юц необходимо перевести на ?-й уровень
большое число частиц, сравнимое по порядку величины с п.
Это легко сделать в таких веществах, в которых i-й уровень
метастабильный и на нем происходит накопление возбужден-
возбужденных частиц (§ 13). Простейшей моделью аналогичных веществ
служит система частиц с тремя уровнями энергии, в которой
второй уровень метастабильный.
Если же /-й уровень относится к числу возбужденных, то
при низких температурах на нем может быть сколь угодно
мало частиц. Поэтому создание инверсной населенности уров-
уровней i, /, необходимое для генерации, возможно без существен-
существенного обеднения частицами основного состояния. Это важное
обстоятельство накладывает отпечаток на характер поглоще-
поглощения, люминесценции и генерации активного вещества в резо-
резонаторе. Поэтому принято различать трехуровневые и четырех-
четырехуровневые оптические квантовые генераторы.
Генерация в полупроводниках и сложных молекулах, как
правило, происходит по четырехуровневой схеме, поскольку
верхние уровни валентной зоны и основной электронно-коле-
электронно-колебательной полосы, безусловно, относятся к возбужденным
уровням.
310
Населенности уровней, входящие в A9.17), зависят и от ин-
интенсивности накачки ит1, и от плотности генерируемого излуче-
излучения ui} в резонаторе. Если положить плотность генерируемого из-
излучения и1} — 0, то формула A9.17) будет определять пороговое
значение радиации накачки Umi-
Учитывая A3.10) и представляя определители в виде
A9.19)
Dj (utJ = 0) = Eff + AjBhluhl,
после несложных преобразований находим
nB
Здесь
kl
a, =¦
о
. nf(l—e
а..
A9.20)
— положительные параметры,
N
— параметр нелинейности в канале т-^-1. Через п,- обозначе-
обозначено число частиц на /-м уровне при отсутствии внешнего воз-
возбуждения.
В трехуровневых генераторах щ близко или равно общему
числу частиц п, поэтому пороговое значение радиации накач-
накачки не равно нулю даже в идеально хорошем резонаторе с
Кц(шг)=0 (б,ч = О). В четырехуровневых лазерах /-й уровень
относится к возбужденным уровням и ft/-*-0, если температура
среды достаточно низкая. Поэтому при б,»-Я) порог генерации
стремится к нулю. Генерация четырехуровневых лазеров воз-
возможна при малых плотностях радиации накачки.
Плотность энергии генерируемого излучения внутри резо-
резонатора легко рассчитать, если учесть, что коэффициент уси-
усиления выражается в явном виде как функция щ = м#"(юг)Дюг,
где Аюг — ширина линии генерируемого излучения.
Обозначая коэффициент усиления вещества на частоте генера-
генерации при отсутствии резонатора (tiiS = 0) через к?/ (сог), на ос-
основании A3.20) находим
4 К)
4я К) =
1 + Оу
A9.21)
311
Подстановка A9.21) в A9.12) дает
к?/ К) — *п К)
A9.22)
аика((от)
Коэффициент потерь выражается формулой A9.12), рецепт вы-
вычисления параметров нелинейности аи изложен в § 13. Коэффи-
Коэффициент усиления к% (<ог) при возбуждении вещества в канале т-и
на основании общего решения балансных уравнений (§ 13) можно
представить в виде
к°ц (сог)
- к
Sml = 0) + nfj (юг) amlSml
A9.23)
Если возбуждение отсутствует, Sml = 0, то коэффициент уси-
усиления равен исходному коэффициенту поглощения кп((от, Sm;=0),
взятому с обратным знаком. При amlSml -> оо коэффициент уси-
усиления стремится к своему предельному значению, равному к"/ (сог).
Значение к",- (сог) может быть как положительным, так и отрица-
отрицательным, поскольку оно определяется разностью (Дг^/&— Л;)-
Очевидно, генерация возможна только на таких частотах, для ко-
которых к",- (мг) > 0.
В этом случае, как видно из A9.23), при слабом возбуждении
коэффициент усиления меньше нуля, затем обращается в нуль
при некотором значении S°mt, которое можно рассматривать как
порог генерации в идеальном резонаторе с кп=0. Значение Кц(фг)
увеличивается от 0 до щ с ростом накачки от Smi до оо.
В трехуровневых лазерах кн (<ог, Sml = 0) и к,™ (о>г) сравнимы
по порядку величины. Поэтому amlSmi ж 1 и коэффициент уси-
усиления становится положительными на нелинейном участке кривой
A9.23). В четырехуровневых генераторах, к которым относятся и
полупроводниковые лазеры, к?;(о>г) может быть на несколько по-
порядков больше первого слагаемого в числителе A9.23). Тогда в
некотором интервале значений Sml, удовлетворяющих условию
a S° <a S -С 1 A9.24)
будет наблюдаться линейная зависимость коэффициента уси-
усиления от накачки. Обозначая коэффициент пропорционально-
пропорциональности через р, эту зависимость можно выразить формулой
Расчеты, проведенные для резонатора Фабри — Перо, показы-
показывают [497], что мощность генерации W^ во всем объеме активно-
активно312
го вещества V и поток генерации S^, выходящий через оба зер-
зеркала, связаны с urcj соотношениями
¦hV, A9.26)
«r+P
/cr+p
A9.27)
Из формул A9.26), A9.27) в качестве частных случаев
следуют выражения для порога и мощности генерации трех- и
четырехуровневого генераторов, которые подробно исследова-
исследованы в работах [146,421,435,573—578], где изучена зависи-
зависимость порога и мощности генерации лазеров от вероятностей
переходов, ширины линий, вырождения уровней и температу-
температуры. В этих работах выяснено также влияние на процесс гене-
генерации дополнительных уровней энергии, которые участвуют в
поглощении возбуждающего света или генерируемого излуче-
излучения, и рассчитан порог генерации с учетом перекрытия линии
генерации и новой полосы поглощения, возникающей после пе-
перехода частиц в возбужденные состояния.
В формулы для порога и мощности генерации входят те
же параметры, которые определяют спектральный состав и
интенсивность поглощения, испускания, а также длительность
и квантовый выход люминесценции. Поэтому систематическое
изучение спектрально-люминесцентных характеристик веще-
вещества может служить основой для поиска новых генерирующих
сред [146,435,577].
Влияние резонатора на поглощение света и люминесцен-
люминесценцию. При отсутствии оптического резонатора всегда можно
выбрать такой достаточно малый объем вещества, при кото-
котором мощность поглощения и люминесценции в нем будут
однозначными функциями вероятностей переходов и интенсив-
интенсивности возбуждающего света. Только в некоторых случаях при-
приходится учитывать процессы перепоглощения и вторичной
люминесценции.
Вещество, помещенное в резонатор, подвергается сильно-
сильному воздействию не только накачки, но и усиленной люминес-
люминесценции и генерируемого излучения. Возникают дополнитель-
дополнительные вероятности вынужденных переходов, сравнимые или
даже превосходящие по величине вероятности спонтанных пе-
переходов. Плотность энергии усиленной люминесценции и гене-
генерации определяется спектроскопическими свойствами веще-
вещества, накачкой и параметрами резонатора. Поэтому нет одно-
однозначной связи между населенностью уровней, мощностями
поглощения и люминесценции, с одной стороны, и интенсив-
интенсивностью возбуждения данного конкретного вещества, с другой.
313.
wr
-1
\
1
-2
-1
Рис. 96. Трехуровневая (а) и четырехуровневая (б) схемы оптического
квантового генератора. Стрелками показаны направления оптических пе-
переходов при возбуждении (wB) и в процессе генерации ((Or)
Бее эти величины становятся функциями параметров резона-
резонатора.
С возникновением генерации в стационарном или квази-
квазистационарном режимах плотность генерируемого излучения
внутри резонатора поддерживается на таком уровне, что при
всех накачках выше пороговой удовлетворяется энергетиче-
энергетическое условие генерации A9.17) tiigjlgi—n.j = 8jin.
В простейшей схеме трехуровневого лазера оптическая на-
накачка производится в канале 1—3, а генерация происходит с
уровня 2 (рнс. 96, а).
Если второй уровень метастабильный, то /г3<С«г и п3<^.п2
практически при всех реально достижимых накачках [573].
В режиме генерации населенности второго и первого уровней
будут связаны соотношением A9.17) при i = 2 и / = 1 и равен-
равенством п\ + п.2 = п. Это означает, что населенности уровней не
будут зависеть от плотности радиации накачки. Увеличение
поступления частиц на метастабильный уровень с ростом «31
компенсируется более интенсивными переходами 2->-1 за счет
увеличения вероятности индуцированных переходов *> (рис.
97). График «з на рис. 97 сливается с осью абсцисс. Когда
значения «3i малы, величина практически постоянна, а п2 ра-
растет пропорционально «si (сплошные кривые). Это — область
линейной оптики. По мере накопления частиц на метастабиль-
ном уровне населенность основного состояния падает, а рост
«2 замедляется. Сплошная кривая пг(мз1), относящаяся к
частицам вне резонатора, стремится к верхнему пределу,
близкому к п. При ыз1-*-оо населенность первого и третьего
уровней стремится к нулю (точнее к прц/рш, если gi=g%,
см. § 13).
Если вещество помещено в резонатор, то графики nt (и31) бу-
будут задаваться сплошными линиями только до порога генерации.
*) Это справедливо до тех пор, пока га3 пренебрежимо мало. В принципе
Bi3«3i может стать сравнимым с Лзь Тогда начнет проявляться нелиней-
нелинейность в канале З-s-l и п3/#з будет стремиться к j
ЗН
При и31 > 1 возникнет генерация и пх (м31, ul\), пг (м31, uli) ос-
останутся практически постоянными (пунктирные линии).
Как видно из рис. 97, б графики зависимости мощности по-
поглощения возбуждающего света, генерации и люминесценции
(Wfj = пгАиЪв>и) от плотности радиации накачки при и[}=О име-
имеют тенденцию к насыщению, проявляющуюся в нарушении зако-
закона Бугера (§13) и в нелинейной зависимости W",- от м31.
Введение отражающих зеркал приводит к накоплению внут-
внутри резонатора радиации частоты сог, преобладанию вынужден-
вынужденных переходов в 2->-1 над спонтанными и под влиянием этого к
резкому изменению оптических свойств вещества.
Появление значительных вынужденных переходов 2-*-1
равносильно снятию метастабильности второго уровня, играю-
играющей важную роль в наступлении эфектов насыщения. Между
первым и вторым уровнями происходит интенсивный обмен
частицами, который по скорости может превосходить все
остальные процессы в системе. Так как при этом числа пх и п2
перестают зависеть от мощности накачки, в системе восста-
восстанавливаются все линейные зависимости оптических характе-
характеристик от мощности накачки н3ь Мощность поглощения ра-
растет пропорционально «si. Мощность люминесценции №^
также пропорциональна ы3ь что связано с линейной зависи-
зависимостью «з от накачки. Поскольку значение п3 на несколько
порядков меньше п\ и п2, то линейный рост п3 с увеличением
«31 практически не отражается на величинах п\ и п2. В прин-
принципе с возникновением генерации люминесценция в канале
2-vl несколько подавляется, так как 112A1^ #0)<n2(«2i =0)-
7&Ю
[
[
ч
"л—
— —
—
2,5 5,0 7,5
25
50
75
Рис. 97. Зависимость населенностей уровней (а), мощностей поглощения,
люминесценции и генерации (б) от плотности радиации накачки. Пунктир-
Пунктирные кривые относятся к режиму генерации, сплошные — к отсутствию гене-
генерации [435, 573]
315
1
Однако анализ формул и графиков показывает, что возни-
возникновение генерации и ее быстрый рост после преодоления по-
порога в стационарном режиме связаны в основном не с умень-
уменьшением люминисценции и других потерь в канале 2-vl, а с
резким скачкообразным возрастанием количества поглощен-
поглощенной энергии. Часть этой добавочно поглощенной энергии не-
неизбежно расходуется на рост люминесценции и тепловых по-
потерь в каналах 3->1 и 3->-2. Остальная часть идет на увеличе-
увеличение стимулированного испускания.
Приведенные рассуждения справедливы для стационарно-
стационарного режима возбуждения. В нестационарном режиме возмож-
возможны такие ситуации, когда значительная часть энергии гене-
генерации возникает за счет подавления люминесценции.
§ 20. ЗАВИСИМОСТЬ ПОРОГОВОГО ТОКА
ОТ СПЕКТРОСКОПИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК
ВЕЩЕСТВА И ПАРАМЕТРОВ РЕЗОНАТОРА
Активный слой иижекционных гомо- и гетеролазеров. Еще
до появления первого лазера на рубине была обоснована воз-
возможность получения стимулированного испускания в полу-
полупроводниках [569, 570, 579—581]. На опыте вначале было
зафиксировано сужение линии излучения полупроводниковых
диодов на основе арсенида галлия, что свидетельствовало о
получении инверсной населенности [582], и вскоре появились
сообщения о получении, генерации [583—586].
Создание квантовых генераторов на полупроводниках не
только расширило круг веществ, пригодных для генерации
света, но и открыло новые возможности получения активной
среды, управления частотой и интенсивностью лазерного из-
излучения. Большим достижением полупроводниковой кванто-
квантовой электроники явилось создание гетеролазеров, работаю-
работающих в непрерывном режиме при комнатной и более высоких
температурах [587—590].
Активная среда в инжекционных лазерах получается при
инжекции электронов и дырок через р—«-переход или через
гетеропереход. В узком смысле слова р—«-переходом назы-
называется условная граница раздела двух областей кристалла,
одна из которых имеет дырочный тип проводимости, а вто-
вторая— электронный. Гетеропереход—это граница раздела
между двумя различными полупроводниками, образующими
единый кристалл. В зависимости от типа проводимости полу-
полупроводников могут быть р—«-гетеропереходы, р—р- или
«—«-гетеропереходы.
Поскольку в лазерах на р—«-переходах используется один
полупроводник, то они называются гомолазерами в отличие
316
от гетеролазеров, для получения которых нужно не менее
двух различных полупроводников.
Лазерные р—«-переходы получают двумя способами: ли-
либо путем диффузии примеси в заранее выращенный кристалл
(диффузионные р—«-переходы), либо путем наращивания на
поверхность полупроводника с заданным типом проводимо-
проводимости слоя того же полупроводника с другим типом проводимо-
проводимости (эпитаксиальные р—«-переходы) [591, 592]. При полу-
получении гетеропереходов полупроводники легируются в процес-
процессе роста [590, 593].
Коэффициент отражения на границе полупроводниковый
кристалл—воздух достаточно высок (~0,35), поэтому для
получения оптического резонатора в инжекцнонном лазере
не требуется специальных зеркал. Достаточно сделать два
торца диода параллельными друг другу и перпендикулярны-
перпендикулярными к р—«-переходу. В кубических кристаллах резонатор
обычно получают путем скалывания пластинки с имеющимся
в ней р—«-переходом по кристаллографическим плоскостям.
Чтобы плоскость р—«-перехода была перпендикулярна зерка-
зеркалам резонатора, перед проведением диффузии или наращива-
наращиванием эпитаксиального слоя пластинка ориентируется (§ 1),
шлифуется и полируется так, что поверхность диффузии ста-
становится перпендикулярной к поверхностям скола.
Лазерный диод обычно имеет форму прямоугольного па-
параллелепипеда, длина граней которого составляет от десятков
микрон до 1—2 мм. Получена генерация и на более длинных
диодах — до 11 мм [594].
Грани параллелепипеда, параллельные плоскости р—п-
перехода, металлизируются, и к ним подводятся электриче-
электрические контакты. Боковые грани диода матируются. Если их-
сделать плоскопараллельными, то образуется четырехсторон-
четырехсторонний резонатор.
Электронные процессы, происходящие в инжекционном
лазере, достаточно сложны, и их строгое количественное опи-
описание до сих пор отсутствует. Рассмотрим их качественно на
примере лазерного диода с р—«-переходом.
Пусть плоскость р—«-перехода перпендикулярна оси х
(рис. 98). Хотя однородный полупроводник при любом уровне
легирования остается электрически нейтральным, в слоях, с
двух сторон примыкающих к р—«-переходу, электронейтраль-
электронейтральность отсутствует [595, 596]. В результате диффузии дырок
из р-области в «-область и диффузии электронов в обрат-
обратном направлении около р—«-перехода создается область
объемного заряда <7Об, а нейтральными будут только удален-
удаленные участки полупроводника (I и II на рис. 98, а). В р-области
объемный заряд отрицательный, а в «-области — положи-
положительный.
317
Объемный заряд создает внутреннее электрическое поле
ёвн (рис. 98, в), направленное из n-области в р-область.
В этом поле электрон приобретает дополнительную потен-
потенциальную энергию U(x), которую можно представить в виде
= U0-e$ SBn{x)dx.
B0.1)
В интервале значений х от 0 до Х\ U(x) практически по-
постоянно и равно своему максимальному значению UQ. При
х>х$ U(х) равно нулю. Это означает, что с переходом из р- в
«-область электростатический потенциал электрона возраста-
возрастает (рис. 98, г), в нейтральных областях диода он постоянен.
Изменение потенциальной энергии электрона вблизи р—га-
перехода приводит к искривлению энергетических зон полу-
полупроводника (рис. 98, д). Между
р- и «-областями диода при от-
отсутствии внешнего воздействия
устанавливается термодинами-
термодинамическое равновесие и распреде-
распределение электронов и дырок ха-
характеризуется одним уровнем
Ферми Fo, хотя в р-области Fo
расположено в пределах ва-
валентной зоны, а в «-области
уровень Ферми заходит в зону
проводимости.
Если к диоду приложить
электрическое напряжение в
прямом направлении (плюс на
р-области), то искривление зон
Рис. 98. Электронные характеристики
лазерного р—га-перехода: а — ней-
нейтральные области диода (I и II),
между ними область объемного за-
заряда; б, в, г — пространственное рас-
распределение объемного заряда, внут-
внутреннего электрического поля и элек-
электростатического потенциала соответ-
соответственно; д — искривление энергетиче-
энергетических зон под действием внутреннего
электрического поля; е—образова-
е—образование слоя с инверсной населенностью
(заштриховано) при ннжекцни тока
через р—га-переход
t
V
уменьшится, поскольку внешнее электрическое поле направ-
направлено против & вн и уменьшает потенциальный барьер, создан-
созданный внутренним полем (рис. 98, е). Электроны и дырки будут
двигаться навстречу друг другу. Их квазиравновесное распре-
распределение по энергии будет характеризоваться двумя уровнями
•Ферми Fe и Fh (§ 7). При этом в некотором слое полупровод-
полупроводника может оказаться, что Fe—Fh>Eg, т. е. будет выполнено
условие инверсной населенности (§ 19).
При одинаковой концентрации электронов и дырок уро-
уровень Ферми в «-области заходит глубже в зону проводимо-
проводимости, чем в валентную зону в р-области, так как плотность со-
состояний в зоне проводимости обычно меньше, чем в валент-
валентной зоне. В результате этого активный слой, как видно из
рис. 98, е, смещен в р-область диода *\
Важнейшее отличие гетеропереходов от простых р—«-пе-
р—«-переходов связано со скачкобразным изменением ширины за-
запрещенной зоны на границе раздела двух полупроводников.
Величина скачка запрещенной зоны AEg равна алгебраиче-
алгебраической сумме разрывов дна зоны проводимости Д?со и потолка
валентной зоны Д?„о:
AEg = АЕс0
АЕ
СО*
B0.2)
Для гетероперехода GaAs — GaP установлено: АЕс0 = 0,67, AEvQ=
=0,15, A?g=0,82 эв. В гетеропереходах Al/ja^As—GaAs разрыв
валентной зоны отсутствует, поэтому AEg = А~ЕС <; 0,76 эв [593].
Для создания лазерных гетеропереходов наиболее подхо-
подходящей оказалась пара полупроводников AlAs—GaAs, так как
постоянные кристаллической решетки этих материалов (п\ =
= 5,65А для GaAs и а2=5,6бА для AlAs) почти равны [597,
598]. В инжекционных лазерах используется несколько ти-
типов гетер остр у ктур на основе AlxGai-^As—GaAs. Простейшей
из них является гетероструктура с одним р—«-гетероперехо-
р—«-гетеропереходом (рис. 99, а), в которой р-область характеризуется боль-
большей шириной запрещенной зоны, чем n-область, поскольку
для нее берется Х\>х%, а Её растет с увеличением значения х
в форме AlxGai_xAs. Односторонняя гетероструктура состоит
из р—р-гетероперехода , (х\>Х2) и р—n-перехода в узкозон-
узкозонном материале (рис. 99,6). В двусторонней гетероструктуре
два гетероперехода, причем Xi^xz>x2 (рис. 99, г). В модифи-
модифицированной двойной гетероструктуре (LOC-структуре) между
р—р-гетеропереходом и п—«-гетеропереходом создается
р—n-переход в узкозонном материале (рис. 99, г) [593, 599].
*' Слой диода от х, до х%, в котором заключен объемный заряд и изменя-
изменяются многие характеристики полупроводника, называется переходным
слоем (переход от /)-типа к га-типу). Этот переходный слой часто имеют
в виду, когда употребляют термин «р—га-переход».
318
319
Цо сравнению с простыми р—«-переходами гетерострукту-
ры, особенно двойные, обладают двумя важными преимуще-
преимуществами, которые обеспечивают более низкий порог генерации
при комнатной температуре. Во-первых, ширина запрещен-
запрещенной зоны в активной области двойной гетероструктуры мень-
меньше, чем Eg в пассивных областях. Поэтому инжектированные
в активную область носители находятся в потенциальной яме.
Потенциальные барьеры гетеропереходов препятствуют расте-
растеканию области рекомбинации за пределы активного слоя.
В то же время в гомолазерах область рекомбинации, т. е.
объем кристалла, где рфЬ и пфО, может быть значительно
больше активного слоя (рис. 98, е). Во-вторых, гетерострукту-
гетероструктуры обладают значительно лучшими волноводными свойства-
свойствами, чем активный слой р—«-перехода.
Вследствие ограничения активной области потенциальны-
потенциальными барьерами в гетеролазерах стало возможным явление су-
перинжекции, заключающееся в создании в активной области
концентрации носителей более высокой, чем равновесная
концентрация этих же носителей в эмиттере. На рис. 100 пока-
показано, как уровень Ферми Fo, находившийся при термодина-
термодинамическом равновесии ниже дна зоны проводимости в п-обла-
сти, в результате суперинжекции заходит в зону проводимости
в активной области [590]. Поэтому в гетеролазерах отпадает
необходимость применять сильное легирование, которое со-
сопровождается появлением в активной области большой кон-
концентрации дефектов.
Как видно из рис. 98, активная область гомолазера не-
неоднородна. Она характеризуется градиентами концентраций
электронов и дырок и зависимостью коэффициента усиления
от координат. В гетеролазерах активный слой более одноро-
однороден. В этом параграфе рассматривается в основном, -модель
однородного активного слоя, так как она позволяет в чистом
а
Р
*/
л
Р
*/
S
р
Ч
я
Ч
Р
б
Р
ч
я
Р
р
г
0
л
Ч
Рис 99 Схемы лазерных гетероструктур на основе твердых растворов A4As
и GaAs (*,, х2, х3 — значения х в формуле Al*Gai-*As, причем обычно
Xi>x2<x3): а —простой р—«-гетеропереход; б — односторонняя гетеро-
структура с р—«-переходом в материале х2 и р—р-гетеропереходом, созда-
создающим потенциальный барьер для инжектируемых электронов; б —дву-
—двусторонняя гетероструктура с р—р- и р—«-гетеропереходами; г —двусто-
—двусторонняя гетероструктура с р—«-переходом в материале х2 и двумя
гетеропереходами
320
т-
Рис. 100. Зонная диаграмма лазерной дву-
двусторонней гетероструктуры (рис. 99, в) при
термодинамическом равновесии (а) и в ре-
режиме генерации (б) [590]
виде исследовать зависимость поро-
порога и мощности генерации от спектро-
спектроскопических характеристик вещест-
вещества и параметров резонатора.
Соотношение между пороговым
током, мощностью и квантовым вы-
выходом люминесценции. Для стацио-
стационарной генерации справедливо ско-
скоростное уравнение, вытекающее из уравнения непрерывности
для тока [594, 600]:
?0
J [Ял +Q' + Яш] dV,
v
B0.3)
где / — полный ток через диод; Rn, Rr, Q и Яш — скорости
люминесценции, стимулированной, безызлучательной и инду-
индуцированной шумами рекомбинации в генерирующей части
диода в расчете на единицу объема. Штрихами отмечены те
же величины, но для негенерирующих частей области реком-
рекомбинации диода. Величина х\' равна отношению разности элек-
электронных токов в и- и р-областях на значительном удалении
от р—n-перехода к полному току через диод. Лазерные дио-
диоды имеют высокую концентрацию легирующих примесей
(Ю^—Ю20 см~3), поэтому т)'«1 и в дальнейшем значение ц'
полагается равным единице. Интегрирование B0.3) проводит-
проводится по генерирующей и негенерирующей частям диода.
Энергетическим условием стационарной генерации слу-
служит требование равенства максимального коэффициента уси-
усиления Кус коэффициенту потерь кп. Для резонаторов типа
Фабри—Перо это равенство имеет вид A9.12).
Минимальный ток, при котором удовлетворяется условие
A9.12), а Яг=0, будет пороговым током. Поскольку в пороге
нет смысла делить область рекомбинации на генерирующую
и негенерирующую части, то, полагая в B0.3) Rr= 0 и объе-
21, Зак. 312
321
диняя интегралы, получаем выражение для плотности порого-
порогового тока
/„ = - Г (R, + Q + Rm)dV=-[ —
¦ s J « J Чл
B0.4)
где s — площадь р — «-перехода;
Лл
—квантовый выход люминесценции. Если влияние шумов не-
незначительно, то, согласно B0.4), можно считать, что /п обрат-
обратно пропорционально т\я-
Полное число квантов, генерируемых в диоде, на основа-
основании B0.3) можно представить в виде
RrdV =—[/-/(/)], B0.5)
е -
где
0=7"\ <*л-
RJdV +
Q' + Rm) dV.
B0.6)
С учетом A9.27) из B0.5) приходим к выражению для мо-
мощности генерации
Jtl^ . B0.7)
Формула B0.7) получена из скоростного уравнения, рав-
равносильного закону сохранения энергии, и имеет широкие
границы применимости. Она справедлива как при линейной,
так и при нелинейной зависимости Sr от /.
Существует ряд методов подавления шумов в инжекцион-
ном лазере (§ 24). Поэтому рассмотрим вначале порог генера-
генерации без учета радиационного шума. В инжекционных лазерах
толщина активного слоя обычно меньше, чем толщина слоя,
в котором происходит рекомбинация. В активном слое реком-
бинируег только некоторая часть ц" носителей, пересекших
р—n-переход. Поэтому вводя ц" и опуская в B0.4) второе сла-
слагаемое, получим
-His. = _L «п. dV /20.8)
ed V ,) Лл
322
где интегрирование проводится только в пределах объема ак-
активного слоя V.
Предполагая, что испускание в Активном слое однородно, и
вынося /?л/т1л в B0.8) за знак интеграла, получаем
/п =
ed
B0.9)
Выражение для #л при учете фона теплового испускания
(см. § 21) имеет вид G.17). Спектр люминесценции опреде-
определяется энергетическим распределением инжектируемых в ак-
активный слой носителей. Это распределение задается квази-
квазиуровнями Ферми Fe для электронов и Fh для дырок и темпера-
температурой дивда Т. Для лазерных полупроводников, таких, как
например GaAs, обычно h(a^$>kT и, кроме того, вблизи порога,
когда выполняется условие AF^>kT, скорость люминесценции
практически совпадает со скоростью спонтанной рекомбина-
рекомбинации, равной
Вычисление порога генерации основано на совместном
решении уравнения баланса B0.3), уравнения электроней-
электронейтральности типа A4.66) и энергетического условия генерации
A9.12). При расчетах применяется следующий формальный
прием. Задается значение уровня Ферми для электронов Fe
и из уравнения нейтральности определяется уровень Ферми
для дырок Fh- По известным Fe и Fh рассчитываются коэффи-
коэффициент усиления и мощность люминесценции. Максимальное
значение /cyc(ft>) по условию равно коэффициенту потерь, а /п
связано с Rn соотношением B0.9). Таким образом, устанав-
устанавливается связь между /п и /сп.
Зависимость порога генерации от толщины активного
слоя. Имеется три фактора, которые в принципе могут при-
приводить к зависимости порогового тока от толщины активного
слоя. Во-первых, при заданном количестве носителей, инжек-
инжектированных через р—n-переход или гетеропереход, их кон-
концентрация в активной области будет тем больше, чем меньше
объем этой области. С увеличением толщины активного слоя
уровень заполнения зон будет уменьшаться. Этот фактор учи-
учитывается формулой B0.9), согласно которой пороговый ток
прямо пропорционален d.
Во-вторых, если толщина активного слоя сравнима с дли-
длиной волны генерации Хт, то коэффициент потерь через пара-
параметр р будет функцией d.
В-третьих, уровень радиационного шума в лазере в
значительной степени определяется геометрией активной сре-
среды (§ 24). Поэтому в тех случаях, когда шумы оказывают
21»
зга
заметное влияние на порог генерации, степень этого влияния
может зависеть от толщины активного слоя.
В инжекционных лазерах параметр р характеризует сле-
следующие виды потерь: рассеяние и поглощение генерируемого
излучения на неоднородностях активного слоя, дифракцион-
дифракционные потери, поглощение света в пассивных областях, погло-
поглощение в зеркалах резонатора. Поглощение света свободными
носителями в активной области входит в /сус(о)).
Обычно потери излучения в инжекционных лазерах рас-
рассчитываются в рамках электромагнитной теории плоских ди-
диэлектрических волноводов [593, 601, 602]. Волноводный ка-
канал образуется самим активным слоем, диэлектрическая про-
проницаемость которого е несколько больше, чем в окружающих
пассивных областях. В гомолазерах относительные измене-
изменения е невелики: Де/е=10~4—10~3. В гетеролазерах вследствие
сильной дисперсии е вблизи края собственного поглощения
скачок значения е на границе активной и пассивных областей
на один-два порядка больше.
Важнейшей характеристикой волновода является пара-
параметр оптического ограничения Г, равный отношению потока
излучения, заключенного в пределах активного слоя, ко все-
всему потоку. Этот параметр зависит от толщины активного
слоя, скачков диэлетрической проницаемости на его грани-
границах и от типа электромагнитной волны. Для симметричного
волновода он определяется безразмерной приведенной тол-
толщины слояЛ, равной [593]:
D =
2nd
B0.10)
где X — длина волны излучения в активной среде.
Из расчетов следует, что для каждого типа волн, кр&ме
нулевого, существует критическое значение DKp. Если
•0<Аф, то локализация волны отсутствует. С ростом D вы-
выше Д<р параметр Г резко возрастает и приближается к еди-
единице при D, равном нескольким единицам.
Чем больше значение Г, тем меньше потери света в волно-
волноводе. Из B0.10) следует, что при одинаковом отношении d/X
в гетеролазерах значения D и Г будут значительно больше,
чем в гомолазерах. Высокое качество волноводов в гетеролазе-
гетеролазерах Связано еще и с тем, что пассивные области имеют боль-
большую ширину запрещенной зоны, чем активный слой, поэтому
генерируемое излучение в пассивных областях поглощается
слабо.
Из приведенных соображений вытекает, что как в гомо-
гомолазерах, так и в гетеролазерах имеется некоторая оптималь-
оптимальная толщина активного слоя dOm при которой порог генера-
324
ции минимален. В лазерах с d<don порог повышается вслед^
ствие ухудшения волноводных свойств активного слоя. Если
d>don, то порог растет из-за уменьшения концентрации
электронов и дырок в активной области. Кроме того, он мо-
может возрасти в результате повышения уровня радиационного
шума при больших к.
Повышение порога генерации с увеличением толщины
активного слоя в гетеролазерах наблюдается на опыте [589,
603]. Вопрос об оптимизации величины d рассмотрен в рабо-
работе [604].
Зависимость порогового тока от коэффициента потерь в
модели параболических зон. Один из возможных механизмов
рекомбинации в полупроводниковом лазере связан с меж-
межзонными переходами. При расчетах обычно используют мо-
модель параболических зон. Такое приближение оказывается,
по-видимому, достаточно хорошим при высоких температурах
и большой величине коэффициента потерь кп, когда роль хво-
хвостов плотности состояний, образующихся при сильном леги-
легировании, незначительна. Модель параболических зон исполь-
использовалась для расчета порогового тока инжекционных лазеров
неоднократно [106, 605]. Приводимое ниже изложение вопро-
вопроса основано на работах [435, 600, 606—610].
Модель параболических зон рассмотрим в двух крайних
случаях: прямых межзонных переходов и переходов без пра-
правила отбора. Число спонтанных переходов в единице объема
за единицу времени, согласно F.21), F.23), равно в первом
случае
во втором
fe(Ec)fh(Ev),
B0.11)
(kT)
Ес0) (Е + Ev0 - Ес)
Xfe(Ec)fh(Ec-E)dEc
B0.12)
Соотношение между коэффициентом усиления и гсл можно пред-
представить (§ 7) в виде
kyc(E) = 3- [l _
rm(E), B0.13)
где ro/ao = E*/n2v*hs. Величина a0 для прямых переходов и пе-
переходов без правил отбора равна соответственно
4 V 2 е21M I2
V mch2nE
т
B0.14)
325
8me2lMj2 lmcmv
n2dh6 n E \ m
\3/2
B0.15)
Частота излучения, коэффициент усиления на которой макси-
максимален, находится из условия равенства нулю производной от
/суо(?) по ? и определяется расстоянием между квазиуровнями
Ферми AF. В общем случае для прямых переходов получается
довольно громоздкое выражение [607], принимающее, однако,
простой вид, если 0 < t,e + ?л С 1 • В этом случае энергия фо-
фотона в максимуме спектра усиления равна Ег= Eg+ (AF— Eg)/3
(§ 15). В указанном приближении, которое справедливо при вы-
высоких температурах и несильном возбуждении, коэффициент уси-
усиления в случае прямых переходов равен
«ye (E) = ao
AF--E
B0.16)
2 (kTf2 ' 1 + chle '
где а0 определяется выражением B0.14). При заданных Г и AF
наибольший коэффициент усиления получается, когда ?е« 0, что
соответствует промежуточно легированному полупроводнику р-ти-
па, если mv > тс. Соотношение между величиной Ег и максималь-
максимальным коэффициентом усиления, равным в пороге генерации /сп,
имеет вид
¦" "''
B0.17)
В рассматриваемом приближении для модели параболических зон
без правил отбора получено [606]
= а n(E-Egf(AF-E)
a° l6(kTK(l-chQ
B0.18)
где а0 задается B0.15). Соотношение между энергией Ег = Eg-
+ 2 (AF — Eg)/3 и коэффициентом потерь къ имеет вид
= кТ\—П + chte) -^ь . B0.19)
/cn I'/3
Подставляя B0.12) в B0.9), проводя интегрирование под знаком
интеграла Ra — J rcn(E)dE и используя B0.19), получаем выра-
выражение для плотности порогового тока [606]
ей
п
rokTFl/2 (Q X
B0.20)
326
В области малых потерь /п зависит от /сп в степени 1/3. При
некотором минимальном токе
/инв = ~^т ~ rokTFm (С) Fin {- У B0.21)
максимальный коэффициент усиления активного слоя равен
нулю. Если /</иив, среда может только поглощать излучения,
при />/инв на некоторой частоте возникает усиление. Поэто-
Поэтому значение тока, при котором Кус==0, будем называть током
инверсии. Параметр /ИНв имеет наибольшее значение в про-
промежуточно легированном полупроводнике р-типа и умень-
уменьшается с переходом к сильно легированному полупроводнику
р- или и-типа. Для диода с компенсированной областью ре-
рекомбинации, когда концентрации ионизованных доноров и
акцепторов равны, ]'тв~Т3.
В общем случае аналитическое выражение для зависимо-
зависимости порогового тока от коэффициента потерь получить не
удается. Результаты численного расчета, проведенного при ва-
вариации параметров в широких пределах, изложены в рабо-
работах [606, 607].
Как видно из рис. 101, при увеличении коэффициента по-
потерь от 0 до 150 смгх порог генерации в компенсированном
полупроводнике с параметрами арсенида галлия превышает
/инв не более чем в два раза. Ток инверсии при высоких тем-
температурах достигает больших значений. Для й = 2 мкм и вре-
времени жизни носителей т—10~9 сек из графиков находим
/инв (80 °К) =600 а/см3, /„нвC00 °К) =2100 а/сМ*.
Начальные участки кривых на рис. 101 можно аппрокси-
аппроксимировать формулой
/n = /HHB + p-1«S. B0.22)
где Р"—коэффициент пропорциональности, а <7<1- В дальнейшем
зависимость /п от к^ становится линейной и удовлетворяет фор-
формуле
/п = /о + Р'Ч- B0-23)
Рис. 101. Зависимость порога генерации от
коэффициента потерь в модели параболиче-
параболических зон с правилом отбора по волновому
вектору для компенсированного полупро-
полупроводника с параметрами арсенида галлия
при температурах, °К: / — 300; 2 — 200;
3 — 80; 4 — 40 [600]
Параметр /о равен отрезку, который отсекает прямая B0.23)
на оси /. Формула B0.23) дает правильное значение порога
только на линейном участке кривой /п(кц), поскольку при кп-^0
/п стремится к /инв, а не к /о.
Из расчетов следует [606, 607], что в модели параболи-
параболических зон как с правилом отбора по волновому вектору, так
и без правила отбора при больших ка зависимость ja от кп
вновь может стать нелинейной и аппроксимируется соотно-
соотношением
/п = ,'„ + р-ЬЙ B0.24)
cq>l.
Как показано на рис. 102, легирование диода по-разному,
в зависимости от кп, влияет на величину порогового тока. Для
малых кп порог генерации с переходом от компенсированного
полупроводника к полупроводнику n-типа сначала умень-
уменьшается, а затем монотонно увеличивается. С переходом к по-
полупроводнику р-типа /п проходит через максимум. Для боль-
больших кп превышение концентрации доноров над акцепторами
приводит к повышению порога. Легирование акцепторами
вызывает уменьшение /п в случае прямых переходов, а для
переходов без правила отбора имеется минимум ja, соответ-
соответствующий промежуточно легированному полупроводнику
р-типа. Очевидно, для полупроводников с равными эффек-
эффективными массами электрона и дырки графики будут симме-
симметричными [605].
Ток инверсии и параметр /0. Формула B0.24) отличается
от B0.22) не только значением показателя степени q. Главное
отличие заключается в том, что параметр /0 по физическому
смыслу и величине, как правило, не совпадает с /Инв- Инвер-
Инверсный ток — это порог генерации в идеальном резонаторе с
кп=0. Величина /0 появляется в теории как параметр аппрок-
аппроксимации. В зависимости от участка кривой /п(кп), который
-V -2
Рис. 102. Влияние степени легирования на порог генерации в случае пря-
прямых переходов (а) и переходов без правила отбора (б). Цифры иа кри-
кривых— значения кп/оо, тн/те—7
328
Рис. 103. Зависимость параметра /о от
выбора участков кривой, которые аппро-
аппроксимируются прямыми линиями B0.23)
аппроксимируется функциями B0.23) или B0.24), значение
/о может быть больше /ИНв, равно /ИНв или меньше /Ш1в- При
всегда положительном /ИНв параметр /0 может принимать от-
отрицательные значения. Это проиллюстрировано иа рис. 103,
где показаны различные варианты аппроксимации некоторой
условной кривой/п(кп) прямыми линиями B0.23).
В двух случаях параметр /0 совпадает с /ю,в. Во-первых,
если аппроксимируется начальный участок кривой /п(кп),
как показано на рис. 103. Во-вторых, если во всем исследуе-
исследуемом интервале значений ка, начиная с кп = 0, пороговый ток
линейно зависит от ка. Строго говоря, ни один из этих случаев
не реализуется на опыте. Поэтому при интерпретации экспе-
экспериментальных данных необходимо учитывать отличие пара-
параметра /о ОТ/инв-
Параметр /0 относится к числу основных характеристик
лазерного диода. Как видно из дальнейшего, он входит в вы-
выражения для коэффициента усиления, порога, мощности и
к.п.д. генерации, в формулы, определяющие влияние радиа-
радиационных шумов, нестационарный режим генерации и т. д.
Инженерный расчет полупроводниковых лазеров, как инжек-
ционных, так и с оптической и электронной накачкой, невоз-
невозможен без учета /0*>.
В работе [606] рассчитаны параметры jo и р-1 примени-
применительно к арсеииду галлия. Прямая B0.23) проводилась по
двум точкам: /сп = 20 и 150 см~]. Из расчетов следует, что для
модели параболических зон с правилом отбора по волновому
вектору температурная зависимость /о и р более слабая, чем
для той же модели, но без правила отбора. Если в первом
случае /о~^1>5, $~Т~1, то во второй модели /о~Р>5, а
Р~Г~2>2. С ростом концентрации примеси одного типа зави-
зависимость /о от температуры становится еще более сильной.
*- Величина /0 содержится и в электромагнитной теории Ф. Стерна, который
пришел к выводу, что из-за наличия хвостов плотности состояний в зо-
зонах /о=О. Ф. Стерн допускал возможность получения на опыте конечно-
конечного значения /0, пренебрежимо малого по сравнению с порогом [601].
Этот вывод, возможно, справедливый в некоторых случаях относительно
Уинв, оказался ошибочным применительно к параметру /0 (§ 21).
329
При расчетах толщина активного слоя считалась постоянной.
Фактически с ростом температуры область генерации и ре-
рекомбинации расширяется, а квантовый выход люминесцен-
люминесценции падает. Поэтому на опыте можно ожидать, что пара-
параметр р будет убывать с ростом температуры еще быстрее.
Действительно, в работе [611] зафиксировано р~Г~2'6.
Формулы B0.22) — B0.24) справедливы при условии, что ко-
коэффициент потерь резонатора равен максимальному значению ко-
коэффициента усиления к™сах. Следовательно, до порога генерации
зависимость к™ах от плотности тока в тех пределах, в которых
справедливы формулы B0.22) — B0.24), можно представить в виде
или
B0.25)
B0.26)
где п=1/<7 может быть больше и меньше единицы. При до-
достижении порога генерации максимальный коэффициент уси-
усиления становится равным коэффициенту потерь и не зависит
больше от тока, если только /cn=const.
В резонаторах с селективными потерями, где кп зависит
от длины волны излучения, частота генерации определяется
точкой касания кривых кп(о)) и кус(а) (рис. 104), а приведен-
приведенные выше формулы не применимы.
В литературе широкое распространение получили эмпири-
эмпирические формулы для порога и коэффициента усиления в ак-
активной области [591]
/п = p-i&n = p-1 (kT + a), B0.27)
КУС = Р/.
B0.28)
где а отождествляется с коэффициентом оптических потерь.
Формула B0.27) служит непосредственным обобщением
экспериментальных данных о линейной зависимости порога
Vе
Рис. 104. Определение частоты гене-
генерации в резонаторе с неселективны-
неселективными (<Ог) и селективными (о)г) опти-
оптическими потерями
330
от коэффициента потерь. Выражение B0.28) следует из
B0.27) и энергетического условия генерации кп = кус.
Из сравнения B0.23) и B0.27) следует [594]
Р/.
Р-
B0.29)
Таким образом, параметр а в B0.27) состоит из комбинации
трех физически разных параметров. Только если /о=О, он
определяет внутренние оптические потери, т. е. совпадает с р.
Теоретические предпосылки, приведшие к формуле B0.28)
и объясняющие ее широкое распространение, проанализиро-
проанализированы в работах [608, 612]. Вопрос об экспериментальном
определении параметра /0 и его численном значении рассмо-
рассмотрен в следующем параграфе.
Стимулированное испускание с участием хвостов зон и
примесных зон. Модель параболических зон позволяет опи-
описать ряд закономерностей, наблюдаемых в инжекционных ла-
лазерах. Вместе с тем у нее имеются некоторые недостатки.
Известно, что пороговый ток при низких температурах прак-
практически не зависит от температуры [591]. Расчет же в рам-
рамках этой модели не дает четко выраженного участка на кри-
кривой ju(T) с практически постоянным значением порога. Оче-
Очевидно, при низких температурах, а для малых значений кп и
при более высоких температурах стимулированное испуска-
испускание происходит с участием хвостов зон и примесных зон. Рас-
Рассмотрим несколько возможных механизмов оптических пе-
переходов.
1. Для модели двух гауссовых примесных зон скорость
спонтанного испускания A4.50) можно представить в ви-
виде [613]
kT
exp —
?„-?„
X
ехр I _ [l
fe(Ed)fh(Ed-E)dEd. B0.30)
Численные расчеты зависимости порогового тока от коэф-
коэффициента потерь проводились при различных температурах в
случае компенсированной области и представлены на
рис. 105, а. С уменьшением /сп величина /п понижается до ну-
нуля. Это обусловлено наличием хвостов примесных зон. В
области больших усилений кривые доходят до точки гсп=х,
где к — наибольший коэффициент усиления, равный
VnkT
4лЬе21 М \%NaNd
cm2 n EkT
B0.31)
331
10
0,1
511.1%
JO
to
\/x
100 T, °K
Рис. 105. Зависимость /п от ки (а) и Т (б) в модели гауссовых зон.
Na — Nd = 5-10" см~3, аа=36 мэв, (Jd = 85 мэв. Цифры на кривых: а — 7"°К;
б— значения ки/у. [613]
Если для оценки использовать данные, относящиеся к GaAs
[59], то оказывается, что величина х превосходит на один-
два порядка реальные величины кп. В интервале кп/х =
= 0,001-f-0,05 зависимость /п/кп описывается функцией B0.24),
в которой значение /0 можно положить равным нулю. Пока-
Показатель q с ростом температуры уменьшается от 1,12 при низ-
низких температурах до 0,6 при комнатной температуре.
Температурная зависимость порогового тока в лазерном
диоде показана на рис. 105, б. При низких температурах по-
порог практически постоянен, причем с возрастанием кп интер-
интервал температур, для которых /п неизменно, расширяется.
В этом случае ширина полосы спонтанного испускания опре-
определяется распределением состояний в хвостах примесных зон.
В области высоких температур /п~7"т, где /п>2 для малых
потерь и уменьшается с их ростом. В интервале 60-^240 °К за-
зависимость /п(кп) носит экспоненциальный характер. Подобные
зависимости наблюдались на опыте [611, 614]. Вывод о том, что
участок постоянного тока при низких температурах обуслов-
обусловлен хвостом плотности состояний, подтверждается также ре-
результатами рассмотрения переходов между хвостами основ-
основных зон, спадающими по закону, отличному от гауссова [63,
615].
Влияние легирования на величину порогового тока рас-
рассматривалось для 80 °К. Характер зависимости /п(кп) прак-
практически не нарушается с изменением концентраций примесей
в активном слое [613]. Значительное превышение концен-
концентрации одной примеси над другой приводит к повышению /п
вследствие расширения примесной зоны.
Как и в случае параболических зон, для гауссовых зон
большие участки кривых !а(кп) можно достаточно точно опи-
описать прямой B0.23). При этом параметр /0 для низких тем-
332
ператур, а также при сильном легировании получается отри-
отрицательным. Наблюдаемые на опыте отрицательные значения
a = p+i|3/o [616] свидетельствуют об отклонении от линейно-
линейности функции /п(кп) и о том, что /о<О (рис. 103). Параметр р
менее чувствителен к выбору точек аппроксимации, чем /0.
При низких температурах р практически не зависит от Т. Об-
Обнаруженные экспериментально для GaAs диффузионных ла-
лазерных диодов большие вариации параметра р при измене-
изменении концентрации примеси в подложке, по-видимому, связа-
связаны с изменением толщины и волноводных свойств активного
слоя [608].
Как отмечалось выше, в активном слое распространяется
не все генерируемое излучение, а только некоторая его
часть Г. Поэтому активный слой характеризуется эффектив-
эффективным коэффициентом усиления, который в линейном прибли-
приближении на основании B0.25) можно выразить формулой
„Ус ро /; ; \ о* /; ; ч /ОП QO\
/vjriax ~— г \/ JO/ — г \/ JO/ \?\J.O?j
Для нулевого типа электромагнитной волны в инжекционном
лазере на основе CaAs параметр увеличивается от 0,5 до 0,95
с ростом толщины активного слоя от 0,5 до 2 мкм [617]. Для
более высоких типов колебаний значение Г меньше. Следо-
Следовательно, экспериментально наблюдаемая температурная за-
зависимость коэффициента пропорциональности р* обусловле-
обусловлена зависимостью от температуры функции распределения
Ферми—Дирака, толщины активного слоя (см. B0.9)) и па-
параметра Г.
Если в модели гауссовых зон аа и o<i устремить к нулю, то
получится двухуровневая модель, для которой задача нахож-
нахождения Кус, Гсп и /д решается аналитически (§ 14). В частности,
для порога генерации получено [613]
ed
E>AEfe(Edo)fh(EaO)
B0.33)
где fe(Ed0), fh(Ea0) — вероятности заполнения электроном донор-
ного уровня и дыркой акцепторного уровня соответственно, Ел;
ж Ем — Еа0 » кТ. При fh (Еа0) ж 1, либо fe (Ed0) ж 1 переходы
с поглощением света практически отсутствуют, а соотношение
B0.33) совпадает с известной формулой, |полученной в работе
[618].
Для общего случая, определяя fe (Ed0) и fh (Ea0) из энергети-
энергетического условия генерации кус = x[fe(Ed0) + fh(Ea0) — 1] = ка и
уравнения электронейтральности Na[\—fh (Ea0)] =Nd[l — fe (Ed0)]
и подставляя полученные значения в B0.33), находим
333
где
/п " /пнв "г Р
/инв
NaNd кп
B0.34)
E2AE
1 _|_ 9 "°"<* -
B0.35)
С уменьшением кп значение /п приближается к плотности тока
инверсии /инв. Из B0.34) следует, что зависимость порога от по-
потерь нелинейна, а тангенс угла наклона касательной к кривой
Уп (ка) с увеличением кп •< х BO3paqTaeT, но не более чем в два
раза. При малых потерях кп < х из B0.34) вновь приходим к вы-
выражению B0.23) с /0 = /инв, где |3 задается формулой B0.35).
В рассматриваемом случае дискретных уровней получается 0 <
/оинв
2. Пусть генерация возникает при оптических переходах между
параболической зоной проводимости и дискретным акцепторным
уровнем. Тогда
U
(?а0), B0.36)
где Ег — Ес0 — Еа0. Форма полосы спонтанного испускания опре-
определяется распределением электронов в зоне проводимости fe, а ее
интенсивность прямо пропорциональна вероятности заполнения
акцепторного уровня энергии Еа0 дырками fh. Энергия фотона
в максимуме полосы Ет > Е% Н kT и задается положением
квазиуровня Ферми Fe согласно уравнению [613, 619]
р р
т 2
kT
— 1 ехр
kT
= ехр
kT
. B0.37)
Ширина полосы испускания больше, чем 1, 8 kT, и с ростом
возбуждения полупроводника увеличивается, а максимум сдви-
сдвигается в коротковолновую сторону, причем для Fe ~> Есо + kT ве-
величина Ет становится меньше Fe — ?„0. Максимальный коэффи-
коэффициент усиления равен
чЗ/2
к
Кус
(АГ)"" 1+cft
kT
, B0.38)
334
где
4 V 2 е21М |а
У ятсЬРпЕ
т
3/2
B0.39)
При достаточно высоких температурах и несильном возбуждении,
когда 0 < AF — Е% ^ kT, частота генерации удовлетворяет усло-
условию Ег = Е2 + (AF — ?г)/3. В этом приближении, подставляя
B0.36) в B0.9), легко получить соотношение [613]
ей
/п
X 1+3A
л
rokT-
'1/2'
1+exptr
V «о
X
B0.40)
где ?"нв соответствует току инверсии /инв, величина которого оп-
определяется температурой и степенью легирования диода.
3. Если при генерации происходят оптические переходы из
параболической зоны проводимости в гауссову акцепторную зону,
то
Ecu
X ехр
Ja0
лг
-J]
fe(Ec)fh(Ec-E)dEc. B0.41)
Спектр испускания B0.41) подробно исследован для слу-
случая, когда концентрация акцепторов вдвое превышает кон-
концентрацию доноров [613]. Показано, что полоса имеет асим-
асимметричную форму как при высоких, так и при низких темпе-
температурах. Ее длинноволновой край описывается гауссианом, а
коротковолновой спадает приближенно как ехр(—E/kT).
Ширина полосы при высоких температурах получается боль-
больше, чем ширина распределения энергетических состояний в
примесной зоне. При низких же температурах она меньше
ширины акцепторной зоны, хотя и во много раз превышает kT.
Зависимость порогового тока от коэффициента потерь в
этой модели оптических переходов в общих чертах такая же,
как и для переходов между гауссовыми зонами. Кривую
1п(кп) можно аппроксимировать функцией B0.24), где q для
полупроводника с параметрами GaAs в интервале значений
кп = 50— 150 см-1 изменяется от 1,03 при низких температурах
до 0,34 при комнатной температуре [613]. Для рассчитанной
температурной зависимости порога генерации характерно
335
также* наличие пологого участка, обусловленного хвостом
акцепторной зоны.
4. В легированном полупроводнике оптические переходы
совершаются с участием как основных, так и примесных со-
состояний. Если активный слой лазера расположен в р-области
диода, то решающую роль играют переходы зона проводимо-
проводимости—акцепторные состояния и межзонные переходы. В этом
случае при сильном легировании, хотя и перекрываются при-
примесные состояния с состояниями валентной зоны, может ока-
оказаться, что функция плотности суммарных состояний немоно-
немонотонна, а имеет перешеек вблизи потолка валентной зоны.
В спектрах испускания и усиления этому перешейку соот-
соответствует небольшой провал. На рис. 106 показаны графики
функций гсп(Е) и КуС(Е), рассчитанные для арсенида галлия,
содержащего акцепторные состояния с Яао=34 мэв [610].
Чем выше кривая, тем для большего уровня возбуждения она
получена.
Как видно из рис. 106, б, вначале в спектре усиления на-
наблюдается один максимум, соответствующий переходам из
зоны проводимости на акцепторные состояния. С увеличением
интенсивности возбуждения на кривой кус(Е) появляется вы-
выступ, который быстро растет и в дальнейшем превращается в
основной максимум спектра усиления. Ясно, что в веществе
с двумя максимумами в спектре усиления при определенных
условиях может происходить скачкообразное изменение часто-
частоты генерации. Пусть, например, коэффициент потерь моно-
-1
Рис. 106. Изменение спектров испускания (а) и усиления (б) с ростом воз-
возбуждения: Т = а — 200 °К; б— 300 °К. Черточки на кривых соответствуют
значениям (AF—E2)lkT [108]
336
Рис. 107. Немонотонная зависимость порога
генерации от температуры в лазере с электрон- jf(
ным возбуждением на основе p-GaAs [620] 9
тонно увеличивается. Тогда вместе с
повышением порога частота генерируе- q
мого излучения станет монотонно воз- 80 Ш 240 Т°К
растать (рис. 106, б). Так будет проис-
происходить до тех пор, пока коротковолно-
коротковолновый пик в спектре усиления не поднимется выше длинноволно-
длинноволнового пика. В тот момент, когда максимальное значение к1С(а)
перейдет от одного пика к другому, и произойдет скачкообраз-
скачкообразное увеличение частоты генерации.
Наличие перешейка в функции плотности состояний может
в принципе привести к аномальной зависимости порога гене-
генерации от температуры. С повышением температуры концен-
концентрация равновесных носителей в зонах растет. Поэтому мо-
может оказаться, что для получения необходимого коэффициен-
коэффициента усиления при высокой температуре на переходах зона—
зона нужна меньшая накачка, чем для получения такого же
значения кус на переходах зона—примесь. Иными словами, с
ростом температуры вступает в действие более эффективный
механизм генерации на зона-зонных переходах. При низких
температурах он блокируется оптическими переходами с уча-
участием примесных состояний.
Немонотонное увеличение порога генерации с повышением
температуры наблюдалось на образцах арсенида галлия р- и
n-типа, возбуждаемых пучком быстрых электронов [620].
Так, в образце р-типа с концентрацией дырок р = 2-1018 см~3
при увеличении температуры с 215 до 240 °К порог генерации
заметно уменьшается (рис. 107).
Модель сильно легированного полупроводника, в которой
функция плотности состояний имеет перешеек, позволяет так-
также объяснить основные закономерности в спектрах генерации
инжекционных гетеролазеров на основе GaAs с модулирован-
модулированной добротностью (§ 22). Аналогичным механизмом объясня-
объясняется немонотонная зависимость мощности люминесценции
n-GaAs от температуры [621].
Поглощение излучения свободными носителями в актив-
активном слое. Подобно тому как при вычислении коэффициента
поглощения гармонического осциллятора учитываются опти-
оптические переходы между всей совокупностью бесконечного чи-
числа энергетических уровней (§ 13), так и для нахождения
коэффициента усиления активной среды необходимо прини-
принимать во внимание все переходы, которые индуцирует генери-
22. Зак. 312
337
pyewde излучение *>. Такие переходы между возбужденными
уровнями происходят, например, в хелатных соединениях ред-
редкоземельных элементов [577], в органических красителях и
других веществах.
Поглощение света свободными носителями в полупроводни-
полупроводниках играет в процессе генерации такую же роль, как три-
плет-триплетные переходы в твердотельных лазерах. Под
действием внешнего излучения электрон и дырка могут либо
рекомбинировать с испусканием кванта света, либо поглотить
квант света и перейти на более высокие энергетические уров-
уровни в пределах зоны (§ 10).
Если кс.н(со)— коэффициент поглощения свободными носите-
носителями, a /cJ3c(ft>)— коэффициент усиления, возникающий в резуль-
результате инверсной населенности в активном слое, то энергетическое
условие генерации A9.12) можно представить в виде
/сус (со) = кГ3 (со) - /сс.н(со) = кг + р.
B0.42)
Величину /Сс.н(со) можно было бы перенести в правую часть
равенства B0.42) и объединить с параметром р. Тогда новый
коэффициент внутренних оптических потерь р/ = р + кс.н(со)
характеризовал бы кроме других видов потерь и поглощение
излучения свободными носителями в активном слое [617].
При вычислении порогового тока не имеет значения, куда
включается величина /сс.н(со): в коэффициент усиления как
слагаемое с отрицательным знаком или как добавка к пара-
параметру р. В обоих случаях численные значения порогового то-
тока будут совпадать. Однако представляется нецелесообразно
присоединять к параметру величину, явно зависящую от тока.
Поглощение света свободными носителями уменьшает
коэффициент усиления в активной среде и обрезает длинно-
длинноволновый край спектра усиления [601, 608, 622]. Поэтому
разность квазиуровней Ферми для электронов и дырок AF
(§ 15), необходимая для получения положительного коэффи-
коэффициента усиления, не может быть меньше некоторого мини-
минимального значения AFminX), зависящего от выбранной моде-
модели вещества и температуры. Отсюда следует, что ток инвер-
инверсии никогда не равен нулю, так же как не равно нулю
поглощение свободными носителями в легированном полу-
полупроводнике. В собственном полупроводнике /сс.н(со) может
быть пренебрежимо малым. Но в этом случае отсутствуют
хвосты зон и, как показано выше, /инвт^О даже при отсутствии
поглощения излучения свободными носителями. Поскольку
() зависит от уровня накачки, то учет этой величины в
*' Только благодаря такому подходу в квантовой электродинамике удалось
показать, что естественный контур линии излучения гармонического
осциллятора ие зависит от иаселеииости уровней [87, 430].
338
B0.42) приводит не только к большим значениям тока инвер-
инверсии, но и изменяет форму кривой /п(/сп) [608, 622]. В формулах
аппроксимации B0.22) — B0.26) изменяются параметры /0, Р и
q, хотя сами формулы можно использовать при интерпретации
результатов эксперимента.
Температурная зависимость порогового тока для неодно-
неоднородного активного слоя. Как показано в начале параграфа,
активный слой инжекционного гомолазера пространственно
неоднороден. В направлении, перпендикулярном плоскости
р—я-перехода, имеется градиент концентрации электронов и
дырок. Методика расчета порогового тока с учетом простран-
пространственной неоднородности развита Г. Е. Пикусом [596, 623].
Численные расчеты проведены для модели параболических
зон с правилом отбора по волновому вектору в предположе-
предположении, что в активном слое концентрация доноров постоянна, а
распределение акцепторов задается линейной функцией
Na (x) — Nd = — Ndy (x — х0), B0.43)
где х0 — координата точки с равными концентрациями до-
доноров и акцепторов; у — параметр, зависящий от условий
диффузии и определяющий наклон прямой B0.43).
Учет неоднородности активного слоя позволяет не только
количественно уточнить результаты, полученные для одно-
однородного слоя, но и приводит к важному качественно новому
результату. Оказывается, даже при межзонных переходах в
области низких температур имеется некоторый интервал тем-
температур ДГ, в пределах которого порог практически не зави-
зависит от Т. Для однородной активной области полочка на
кривой ]а(Т) получалась, только если оптические переходы про-
происходили с участием хвостов основных или примесных зон
(рис. 105,6). В случае переходов между параболическими
зонами такой полочки нет.
Следовательно;, при объяснении наблюдаемого на опыте по-
постоянства /д в некотором интервале температур [591] необ-
необходимо учитывать два фактора—хвосты зон и неоднородность
активного слоя — и в каждом конкретном случае выяснять,
какой из факторов играет решающую роль. Из расчетов
[596] следует, что размеры полочки AT увеличиваются с ро-
ростом величины градиента концентрации Nay- Чем больше
градиент концентрации, тем больше влияние неоднородности
активного слоя на температурную зависимость порога гене-
генерации. Очевидно, полочка будет получаться и в том случае,
когда оба фактора действуют одновременно, т. е. активный
слой неоднороден, а генерация происходит с участием хво-
хвостов зон. Расчеты подтверждают этот вывод [624].
Учет зависимости функции плотности состояний от уровня
заполнения зон. Обычно при расчетах спектров поглощения,
22*
339
усиления, люминесценции, порогового тока и других харак-
характеристик полупроводника функция плотности состояний пред-
предполагается заданной и не зависящей от уровня возбуждения
системы. Это предположение носит приближенный характер.
Строго говоря, зона проводимости и валентная зона, особен-
особенно хвосты зон, деформируются в процессе заполнения их
электронами и дырками. Это происходит потому, что свобод-
свободные носители экранируют кулоновское взаимодействие заря-
зарядов в кристалле.
При возбуждении полупроводника уровень заполнения зо-
зоны зависит от функции плотности состояний g(E), а само g(E)
зависит от уровня заполнения. Поэтому для строгого расчета
спектров усиления, спонтанного испускания и порогового тока
необходимо решать самосогласованную задачу и при этом
учитывать зависимость вероятности оптических переходов от
энергии. Такая самосогласованная задача решена в [68, 625].
Из расчетов следует, что в активной области типичных ин-
жекционных гомолазеров на основе арсенида галлия хвост
зоны проводимости пренебрежимо мал по сравнению с хво-
хвостом валентной зоны. Поэтому в процессе генерации уровень
Ферми находится в пределах параболической части зоны про-
проводимости, а не ее хвоста. Этим, по-видимому, объясняются
удовлетворительные результаты, которые получены в теории
порога генерации с помощью модели параболических зон.
§ 21. МОЩНОСТЬ И К.П.Д. ГЕНЕРАЦИИ
ЛАЗЕРНЫХ ДИОДОВ
Рост люминесценции после преодоления порога. Мощность ге-
генерации в общем случае выражается формулой B0.7). В не-
неявном виде через функцию /(/) в ней содержится, зависи-
зависимость порога и мощности генерации от радиационных шумов
и нагрева диода.
В идеально однородном слое, находящемся при постоянной
температуре, после преодоления порога скорости люминесцен-
люминесценции Rsi и неоптических переходов остаются постоянными и не
зависят от накачки (§ 19). Это следует из условия, что в ре-
режиме стационарной генерации при возбуждении выше поро-
порога коэффициент усиления кус, однозначно, связанный с Ял,
остается равным коэффициенту потерь. Поэтому всякое уве-
увеличение скорости накачки будет компенсироваться равным
увеличением скорости генерации. На этой основании функ-
функцию /(/) в B0.7) иногда считают постоянней и равной поро-
пороговому току.
В реальных диодах генерирующий слеш всегда меньше
объема, в котором происходят процессы люминесценции и не-
340
w
Рис. 108. Спектры люминесценции,
выходящей из зеркальных (/) и из
боковых грубо шлифованных граней
B) диода- / = 2,5 w, ш = 0,5 мм, / =
= 560 а/см2 [612]
оптической рекомбинации. Да-
Даже в бездислокационных дио-
диодах с однородным ближним по-
полем излучения к генерирующе-
генерирующему слою со стороны р- и «-об-
«-областей прилегают люминесци-
рующие слои. В рядовых дио-
диодах целые участки активной
среды не охвачены генерацией, картина ближнего поля имеет
пятнистую структуру.
Кроме того, с ростом тока диод греется, спектр усиления
расширяется (§ 15). Можно ожидать, что некоторая часть
тока у, превышающего порог, будет расходоваться на увели-
увеличение скорости люминесценции и безызлучательной рекомби-
рекомбинации в иегенерирующих частях диода.
Для проверки этого предположения были поставлены спе-
специальные опыты: измерялась мощность краевой люминесцен-
люминесценции GaAs диода, выходящей из боковых граней диода и не
искаженной резонатором [608, 626]. Спектр люминесценции,
выходящей из зеркальных граней резонатора, при увеличении
плотности тока деформируется вследствие влияния резонато-
резонатора и изменения коэффициента поглощения с током. В диодах
с грубо шлифованными боковыми гранями и отношением дли-
длины к ширине l/w, превышающим единицу, спектр люминес-
люминесценции из боковых граней оставался по форме, как правило,
практически неизменным в некотором интервале значений /
вблизи и выше порога генерации.
На рис. 108 приведены спектры люминесценции, выходя-
выходящей из зеркальных (/) и боковых B) граней резонатора при
одной и той же плотности тока через диод. На частоте инвер-
инверсии (Оинв, для которой коэффициент усиления равен нулю, ин-
интенсивности люминесценции спектров 1 и 2 приняты одинако-
одинаковыми. Спектр люминесценции, выходящей из зеркальных
граней резонатора, сужен, усилена его длинноволновая
часть.
Хотя форма полосы люминесценции из боковых граней
диода практически не изменялась, ее мощность увеличивалась
с током >и после порога генерации (рис. 109), что означа-
означает увеличение функции f(j) B0.6) после преодоления по-
порога.
341
Бели на опыте наблюдается линейная зависимость мощно-
мощности генерации от тока, то это однозначно показывает, что /(/)
также линейная функция и ее можно представить в виде
f (!)--= in + Y (/-/„). < B1-1)
Где -у — параметр, не зависящий от j и показывающий, какая
часть тока, превышающего порог, бесполезно расходуется и
не дает вклада в генерацию.
Подставляя B1.1) в B0,7), получаем
Кг
е кг -|- р
B1.2)
Величина A—у) равна отношению числа испущенных в ак-
активном слое квантов стимулированного излучения к избыточ-
избыточному над порогом числу носителей тока, прошедших через
р — «-переход, и является дифференциальным внутренним
квантовым выходом генерации г\г~ 1—у-
По аналогии с t]r можно ввести понятие внешнего диффе-
дифференциального квантового выхода генерации г\г, равного отно-
отношению числа вышедших из резонатора генерируемых квантов
света к избыточному над порогом числу носителей тока, про-
прошедших через активный слой. В соответствии с этим опреде-
определением из B1.2) находим
кг
sAj/е
кт -f- p
B1.3)
Внешний квантовый выход генерации равен произведению
т)г на функцию выхода излучения
F =
B1.4)
После преодоления порога мощность генерации резко воз-
возрастает с током, а рост спонтанного испускания заметно за-
Sffla
Рис. 109. Зависимость интенсивности люминесценции, выходящей из боко-
боковой грани, от тока [626]
342
медляется. При двух-трех порогах интенсивность стимули-
стимулированного испускания на три-четыре порядка выше наблюдае-
наблюдаемой электролюминесценции. Однако было бы ошибочно думать,
что суммарная скорость спонтанной и неоптической рекомбина-
рекомбинации в диоде также пренебрежимо мала. На самом деле она
сравнима или даже больше суммарной скорости стимулиро-
стимулированного испускания. Это связано с нитевидной структурой
генерации. При сравнении скоростей стимулированного и
спонтанного испускания следует учитывать, что функция
выхода генерируемого излучения /сг/(/сг+р) составляет обыч-
обычно десятки процентов, в то время как только доли процента
электролюминесценции выходят из диода и регистрируются
прибором. Следовательно, параметр -у может быть достаточно
большим и его нельзя полагать равным нулю.
Если /(/) растет с током быстрее, чем линейно, то Sr будет
достигать насыщения и может начать уменьшаться вплоть до
полного исчезновения генерации. Такой эффект, вызванный
нагреванием диода, наблюдался на опыте [627]. Исследова-
Исследование нелинейного роста /(/') может оказаться полезным для
выяснения физических процессов, происходящих в диоде.
Однако поскольку в этой области к.п.д. резко падает, в даль-
дальнейшем мы ограничимся рассмотрением только линейного
приближения.
Внутренний квантовый выход генерации. Иногда его сме-
смешивают с квантовым выходом люминесценции. Однако это не
только физически разные величины, но между ними нет одно-
однозначной связи [608]. Квантовый выход люминесценции опре-
определяется только отношением скоростей спонтанной и безыз-
лучательной рекомбинации. Квантовый выход генерации ха-
характеризует лазерный прибор в целом, активную среду и
резонатор. Если, например, нанести царапины на зеркала ре-
резонатора, то 11л не изменится, а цг может значительно умень-
уменьшиться. Величина цг служит количественной мерой, показы-
показывающей, насколько реальный лазер приближается к идеально
однородному генерирующему слою, в котором после преодо-
преодоления порога скорости всех процессов, кроме генерации, оста-
остаются постоянными и вся избыточная над порогом энергия на-
накачки превращается в энергию генерируемого излучения, т. е.
Очевидно, цг должно коррелировать с картиной ближнего
поля излучения, что и подтвердилось на опыте [628].
Измерения проводились при температуре жидкого азота и
возбуждении генерации импульсами тока продолжительностью
1 мксек и частотой следования 60 гц. Значение цГ находилось
*) Для того чтобы Tir было равно единице, требуется не только однород-
однородность активного слоя, ио и равенство нулю коэффициента поглощения
свободными носителями активной области на частоте генерации.
343
Рис. ПО. Ближнее поле лазерных диодов: 1 — спонтанное излучение;
2, 3, 4 — стимулированное излучение; Пг=0,1; 0,3; 0,5 соответственно
(Х300) [628]
из измеренной зависимости внешнего дифференциального
квантового выхода генерации от коэффициента полезных по-
потерь излучения в резонаторе. Картина ближнего поля наблю-
наблюдалась и фотографировалась с помощью инфракрасного мик-
микроскопа МИК-1-
При токах ниже порогового ближнее поле спонтанного из-
излучения во всех диодах однородно. С началом генерации в
области р — n-перехода возникает одна или несколько гене-
генерирующих точек, интенсивность излучения которых заметно
превышает интенсивность люминесценции в остальной части
области рекомбинации. При небольшом увеличении тока выше
порога число генерирующих нитей возрастало. G ростом тока
свыше 2/п количество генерирующих нитей, как правило, оста-
оставалось неизменным, увеличивалась только их яркость.
В интервале значений плотности тока /, в котором изменя-
изменяется число генерирующих пятен, возрастание мощности гене-
генерации происходит быстрее, чем по линейному закону.
В дальнейшем устанавливается линейная зависимость.
На рис. 110 в качестве примера приведены типичные кар-
картины ближнего поля трех диодов одинаковой геометрии, но
с резко отличающимся квантовым выходом генерации при на-
накачке в три порога. У первого диода достаточно ярко генери-
генерируют только три нити, находящиеся на значительном удале-
удалении друг от друга. Во втором диоде число ярких пятен вели-
велико и они расположены достаточно близко. В третьем диоде
яркие пятна сливаются в сплошную полосу. Внутренний кван-
квантовый выход генерации у этих диодов соответственно равен
0,1; 0,3 и 0,5.
Экспериментальные данные, полученные для других дио-
диодов, также подтверждают наличие ярко выраженной корре-
корреляции между картиной ближнего поля излучения и величиной
344
цг- Сущность этой корреляции сводится к следующему: у
диодов, изготовленных из одного и того же материала и имею-
имеющих одинаковые размеры, чем больше суммарная площадь
светящихся точек картины ближнего поля, тем больше кван-
квантовый выход генерации. Следовательно, картина ближнего
поля может использоваться для экспрессной оценки вели-
величины TJr-
Оптимальный режим генерации. Рассмотрим выражения
для мощности и к.п.д. • генерации в линейном приближении,
когда выполняется соотношение B1.2), а зависимость поро-
порогового тока от коэффициента потерь задается формулой
B0.23). Такое приближение имеет широкие границы примени-
применимости и справедливо в больших интервалах изменений тока и
коэффициента потерь.
Подставляя B0.23) в B1.2), приходим к развернутой
формуле для мощности генерации [594]
Ьсо.
кг
B1.5)
При неизменных других параметрах и / = const мощность
генерации B1.5) с увеличением длины диода / вначале возра-
возрастает, а затем стремится к своему предельному значению.
Насыщение достигается, когда кг становится меньше р. Обоз-
Обозначая ширину диода через w = s/l, из B1.5) получаем
In
lim Sr = w ¦
1-У0О
—/о —Р"ХР)"
2р
B1.6)
В условиях насыщения рост мощности генерации в активном
слое вследствие увеличения длины диода полностью компен-
компенсируется увеличением внутренних потерь. В то же время
мощность генерации в расчете на единицу длины Srjl как
функция Кг при / = const имеет максимум. Его положение лег-
легко найти, если производную от Sr/l по кг приравнять нулю.
Это приводит к условию [600]
K-rm
— P.
B1.7)
где Куо равно тому максимальному коэффициенту усиления в
активной области, который был бы при заданном токе и от-
отсутствии генерации. Условие B1.7) справедливо и для твердо-
твердотельных лазеров [497]. Обозначая напряжение, приложенное
к р — «-переходу, через U, а последовательное сопротивление
345
диода в расчете на единицу площади через Ro, с помощью
B1.5) получаем выражение для к.п.д. инжекционного лазера
Ьа„
Г} =
sUU + RJ2)
! — /о — Р"Х(«г + Р)
B1.8)
Условие работы лазерного диода с максимальным к. п. д.
при заданной плотности тока и слабой зависимости т)г от кт имеет
вид B1.7). При этом максимальный к. п. д. цт равен
Цт = ¦
(V i-iJi - v р/Р/ Г
eU
B1.9)
Кривые, рассчитанные по формуле B1.9), приведены на
рис. 111. Максимальный к.п.д. при заданном / существенно за-
зависит как от последовательного сопротивления диода ^о, так
и от коэффициента внутренних оптических потерь р. Для ма-
малых значений Ro и р достигается высокий к.п.д. при сравни-
сравнительно небольших токах. Когда р~1 см-1, /?0~Ю~5 ом-см2 и
Y=0, можно ожидать получения к.п.д. около 80%. Однако
реальные значения ц ограничиваются величиной г|г, которая
обычно меньше единицы [628].
пв
0.5
E
Рис. 111. Зависимость г\'т от> плотности тока / (а = е?//Йшг«1, р=600 а/см2,
Р=3,3-Ю-2 сл/о),р, см-1: 1,2, 3 и 4 — 1; Г,2', 3' и 4'—10; /?о, ом-см2:
1 и 1' — 0; 2 и 2' — Ю-5; 3 и 3' — 10; 4 и 4' — 10~3 [608]
346
Рис. 112. Зависимость -с\т от коэффициента потерь кг. a=eU[h(Or&\, /o=
=500 а/см2, р=3,3-Ю-2 см/а, R0/U=7-l0-s см2/а. Цифры на кривых —зна-
р, см~1; штриховые линии построены по B1.11) при замене р в функ-
функции выхода B1.4) величиной о = р+Р]'о [608]
чения
Функция r\(j) для любого данного лазерного диода дости-
достигает максимального значения при некотором jm, которое свя-
связано с /п простым соотношением [626]
При этом
Цт =
Ьсог
Кг
кг
(/ 1 + RJJU
B1.10)
B1.11)
Для диодов с большим пороговым током величина /т больше, но
максимальный к. п. д. достигается при меньшем числе порогов.
Кривые, рассчитанные по формуле B1.11), показаны на рис. 112.
При некотором оптимальном коэффициенте полезных потерь к°пт
получается наибольший к. п. д. для лазерного диода с задан-
заданными параметрами. С увеличением р значение к°пт растет, а пре-
Дельный к. п. д. iinp уменьшается.
Иногда при оценках наибольших значений мощности генера-
генерации и к. п. д. в функции выхода B1.4) вместо параметра р ис-
используется величина а, которая берется из экспериментальных
данных по зависимости /п от кп. Подобные оценки справедливы
только в том случае, когда параметр /0 — 0 [608] (§ 20). Оче-
Очевидно, пренебрежение параметром /0 может привести в некоторых
случаях к существенной ошибке в определении оптимального зна-
значения кт и в оценке предельных значений мощности генерации и
347
к п.* д. Как видно из рис. 112, это особенно заметно для малых
р'(получаем к?пт^55 см'1 и tinp^0,35 с использованием ос из
B0.29) вместо'*™1 «* 10 см'1 и г}пр«0,56 при р = 1 см'1).
Условие предельного к. п. д. определяется при постоянстве
остальных параметров равенством нулю частных производных от
г} по / и кг и сводится к системе двух уравнений B1.7) и B1.10).
Подставляя B1.10) в B1.7) и обозначая х = к°т + р, приходим
к уравнению 4-й степени [626]
U ^=0.
Решение этого уравнения, полученное методом понижения степени,
имеет вид
2 I
Р/о /
где
+ 2
2 +
Vi+y
3 +<?) ~
1/2
1/3
P*-qL,
Р =
2Р/о
Зр
1+1
B1.12)
B1.13)
Р 1
Зная внутренние параметры лазерного диода и подставляя их
значения в B1.12) и B1.13), можно определить величину к°пт, а
по B1.7) либо B1.10) — плотность оптимального тока, при кото-
которых инжекционный лазер будет работать с наиболее высоким
к. п. д. Вводя обозначение ф = (Р/о + х) R0/$U, формулу для пре-
предельного к. п. д. представим в виде
eU
Пг
--ЧA''1+ф--
B1.14)
Общее выражение B1.14) сводится в частном случае /0 = 0 к со-
соотношению, приведенному в работе [629]. Формулы B1.12) и B1.14)
упрощаются, если выполняется условие р <<С р/0/ < 1 + U/Rojo .
В этом случае х = V$j0 У 1 + U/Rojo , а ф = RJJU. Тогда
Г1пр =
Выражение B1.15) позволяет оценить верхний предел для
к. п. д. лазерного диода при заданных параметрах. Уменьшение
последовательного сопротивления Ro особенно важно для полу-
полупроводников с малой шириной запрещенной зоны и при высоких
температурах, когда значение /0, как показано в § 20, быстро
возрастает. Уменьшение любого из параметров Ro, p, /п и р"
приводит к увеличению предельного к. п. д. Величина к°т убы-
убывает с уменьшением р, Р, /0 и увеличением Ro. При малом Р зна-
значение т)пр практически не зависит от /0. Для больших Р зависи-
зависимость iinp от /0 становится сильнее, а от р слабее.
Анализ формул показывает [608], что высокий предельный
к.п.д. достигается при больших полезных потерях и, следова-
следовательно, для диодов малой длины. Это значит, что такие диоды
будут давать небольшие мощности генерации. Для получения
значительных мощностей необходимо, как следует из B1.5),
увеличивать размеры диода. С увеличением длины, однако,
поток генерируемого излучения приближается к некоторому
предельному значению, определяемому формулой B1.6).
Существенное влияние на величину предельной мощности при
заданных / и w оказывает коэффициент внутренних потерь р.
Например, при / = 5000 а/см2, /0 = 500 а/см2, fi = 3 • 10~2 см/а,
Л = г2=0,32, йсог=1,5 эв, w = 0,05 см и y = 0 для р=10 см~1 на-
находим предельное значение мощности генерации Sr=36 вт.
Для р=1 см~1 это значение равно Sr=382 вт. Но получить
мощности, близкие к предельным, в случае малых р можно
только для длинных диодов, изготовление которых связано с
большими технологическими трудностями.
Зависимость к.п.д. и мощности генерации от длины диода
показана на рис. 113. Каждая кривая начинается на оси аб-
абсцисс в точке, определяемой выражением
— In——
348
/н = .,_ g- . B1.16)
Оптимальный к.п.д. получается при сравнительно малой мощ-
мощности генерации. Для р^1 смгх с увеличением длины от
оптимального значения до 5 мм коэффициент полезного дейст-
действия уменьшается незначительно, в то время как мощность ге-
генерации возрастает почти на 90 вт. Для больших р с увеличе-
увеличением / к.п.д. уменьшается существенно, a Sr возрастает на
меньшую величину. Таким образом, для малых р путем увели-
увеличения длины можно получить достаточно большую выходную
мощность, а к.п.д. при этом будет незначительно отличаться
от предельного значения.
При оценке использовались наиболее типичные параметры
GaAs.
' 349
0<гзч е,ш
Рис. 113. Зависимость мощности генерации ST и к.п.д. т| от длины диода /
(/?о=Ю-4 ом-см\ U=l,5 в, аи=0,05 см, r,=r2=0,32, frvr=l,5 эв, / =
=5000 а!см2, /0=500 а/см*, C=3-10~2 см/а). Цифры на кривых — значения
р-', см-1; сплошные линии — т); штриховые Sr [626]
Экспериментальное определение лазерных параметров.
Как показано выше, порог, мощность, к.п.д., условия опти-
оптимального режима генерации и другие лазерные характеристи-
характеристики определяются набором одних и тех же параметров. К ним
относятся коэффициент внутренних оптических потерь р,
удельный коэффициент усиления р, плотность нулевого тока
/о, внутренний квантовый выход генерации х\г= 1—у.
Для выяснения основных каналов потерь энергии в лазе-
лазерах и для поиска путей снижения порога и увеличения мощно-
мощности генерации разработана экспериментальная методика
определения лазерных параметров [594, 600, 608]. Если пре-
пренебречь величиной /о, то эта задача сильно упрощается. Изме-
Измерение зависимости порога от коэффициента потерь позволяет
сразу же найти а и § [591].
Для экспериментального определения параметров ($, /0 и р до-
достаточно поставить два опыта. Во-первых, путем изменения длины
диода или коэффициентов отражения зеркал резонатора измерить и
построить график зависимости /и от кт——In , во-вторых,
2/ rtr2
найти значение к^, при котором достигает максимума (/=const).
Эти опыты непосредственно дают значения правых частей урав-
уравнений:
Р"ХР +/о = /п («г = 0), B0.17)
B1.18)
</ —/o)PP—P=Krm-
B1.19)
if
Здесь Д/П/Дкг— тангенс угла наклона прямой /п(кг); /п(/сг = 0) =
~ /п @) — отсекаемый ею отрезок ординаты.
Для нахождения внутреннего квантового выхода генерации не-
необходимо дополнительно измерить в абсолютных единицах 5Г и
воспользоваться формулой B1.2). Если 5Г измерено при несколь-
нескольких значениях /, то можно пользоваться выражением
n "•"• — c "Jr /91 90^
l|r • —— . \4l.4VJ
кг + р sh(or Ay
Параметры р и т)г можно найти также, если измерить внеш-
внешний квантовый выход генерации г\'г = т)гкг (кг + р) при несколь-
нескольких значениях кт и построить график зависимости 1/г^ от 1/к/.
_4= ^ L + _L
Чт % Кг Х\т
B1.21)
350
В указанных координатах формула B1.21) служит уравне-
уравнением, прямой, которая по оси ординат отсекает отрезок, рав-
равный 1/г|г, а тангенс угла наклона определяется отношением
р/Лг [630].
Экспериментальные исследования внутренних параметров
были выполнены в работах [594, 608, 609, 631, 632]. Кванто-
Квантовые генераторы изготовлялись из арсенида галлия ?г-типа, ле-
легированного теллуром с концентрацией электронов Aч-2)Х
ХЮ18 см3. Диффузия цинка проводилась в механически поли-
полированные пластины, ориентированные по плоскости A11), в
отпаянных кварцевых ампулах при температуре 850 °С с избы-
избыточным давлением мышьяка.
Глубина залегания р — «-перехода составляла 25-^30 мкм.
Резонаторы типа Фабри — Перо изготовлялись скалыванием
по плоскостям A10). Две другие стороны обрабатывались
шлифовальным порошком М10. Диоды с помощью прижим-
прижимных контактов укреплялись на залуженный индием медный
хладопровод криостата с.жидким азотом. Излучение возбуж-
возбуждалось прямоугольными импульсами тока длительностью
1 мксек и частотой следования 60 гц.
Для определения ^ и /п@) изменялась длина исходного
длинного диода путем последовательного откалывания слоев
толщиной 150—300 мкм.
Такая методика измерений позволила свести к минимуму
вариации параметров из-за неоднородности пластины, р — п-
перехода и других факторов, которые не контролируются при
изготовлении серии диодов.
Как правило, в диодах на основе арсенида галлия, наблю-
наблюдается линейная зависимость /п от обратной длины резонато-
резонатора 1/1 (рис. 114). Это справедливо до некоторого значения /0.
351
Рис. 114. Зависимость плотности по-
порогового тока /п от обратной длины
резонатора GaAs лазерного дио-
диода [608]
Если длина диода больше /0, наблюдается значительный раз-
разброс точек функции /п(/) и тенденция к росту /п. Для различ-
различных диодов значение 10 изменялось от 3,5 до 2,6 мм. Лазерные
параметры определялись для диодов, у которых /</о.
Экспериментальные кривые зависимости Sr от / для одного
из диодов при двух значениях тока приведены на рис. 115.
Максимум кривых в соответствии с B1.19) сдвигается с уве-
увеличением плотности тока в сторону меньших длин диодов.
При отклонении от оптимальной длины отношение SF/l умень-
уменьшается быстрее, чем это следует из формулы B1.2). Вероятно,
в этом случае внутренний квантовый выход генерации начи-
начинает зависеть от длины диода. Значения параметров для
различных диодов приведены в табл. 5. ,
Как видно из таблицы, параметр /о принимает большие
значения и мало отличается от порога для длинных диодов.
Вместе с тем величина а на порядок больше, чем коэффициент
внутренних оптических потерь р.
Порог и мощность генерации в инжекционных лазерах в
значительной степени зависят от технологии изготовления
р—«-переходов. В работе [631] исследована серия из 25
диффузионных и эпитаксиальных гомолазеров на основе GaAs.
Часть диодов подвергалась высокотемпературному отжигу,
который обычно снижает порог генерации.
Наиболее типичные результаты приведены в табл. 6. Из
нее следует, что в результате отжига как в диффузионных, так
и в эпитаксиальных диодах произошло увеличение удельного
коэффициента усиления р, дифференциального внутреннего
квантового выхода т)г и коэффициента внутренних оптических
потерь р. Параметр /0 уменьшился в 5—6 раз в эпитаксиаль-
Рис. 115. Зависимость Sr/l от дли-
длины диода при /, а/см2: 1—2000; 2—
3000 [612]
1.0
0 10 2,5 е,*М
352
Таблица 5
Значения р, /0, р и а для GaAs диффузионных диодов при Т = 80°К
р
а
№
Р.
к,
, ю-
= р-
диода
см-1
а-см-2
2, см-а-1
-Р/о. см-1
71
3,6
2400
0,78
22
91
5,4
2400
1,2
28
82
3,8
1600
1,65
30
88
2
1500
1,6
26
92
1
620
3,26
21
99
1
460
6,4
30
ных и почти на порядок в диффузионных лазерах. Дополни-
Дополнительно в таблице приводятся значения величины a = p+ip/o,
которая помимо оптических потерь включает также слагае-
слагаемое р/о и значительно отличается от р.
Как уже отмечалось [628], дифференциальный внутренний
квантовый выход генерации определяется в основном неодно-
неоднородностью области рекомбинации и прежде всего пятнистой
структурой ближнего поля. Исследования показывают, что в
результате термообработки уменьшается плотность дислока-
дислокаций вблизи р — «-перехода. Ближнее поле становится более
однородным, и генерируют некоторые новые участки активной
области, которые не генерировали до термообработки. Это и
приводит к увеличению х\т.
Удельный коэффициент усиления р и величина /0 характе-
характеризуют эффективность создания инверсной заселенности в
Таблица 6
Внутренние лазерные параметры и плотности пороговых токов
в эпитаксиальных (Э) и диффузионных (Д) GaAs диодах при температуре
жидкого азота
№ диода
ЭГ)
Э2*)
ЭЗ
Э4
Д5*>
Д6*)
Д7
Д8
Д9
дю
ДП
Д12
/и, а/см'
при Кг =
= 20 см-1
2800
3100
920
780
4700
3500
1400
1100
920
1200
1200
970
0,34
0,30
0,41
0,68
0,12
0,13
0,24
0,21
0,25
0,22
0,25
0,22
Р-10*, см/а
1,8
1,6
4,0
8,5
0,8
1,2
2,6
3,1
3,9
2,7
2,6
3,0
/о, а/см'
1600
1700
250
380
2000
1700
77
97
130
НО
78
100
р, см'1
3,8
3,3
7
14
2,0
1,4
14
12
9
8
8
6
а, см'1
32
30
17
46
18
22
16
15
16
11
10
9
*) Без термообработки.
23. Зак. 312
353
диод*е. Эти параметры определяются концентрацией и распре-
распределением по энергетическим уровням носителей тока в актив-
активной области. В результате термообработки активный слой
становится, по-видимому, более компенсированным, что так-
также должно заметно уменьшать значение /о и несколько изме-
изменять величину р (§ 20).
Показателем качества волноводной структуры инжекцион-
ного лазера служит параметр р. Как видно, величина р в ре-
результате отжига во всех случаях увеличивается. В то же вре-
время параметр а может как увеличиваться, так и уменьшаться
[633]. Ухудшение волноводных свойств диода согласуется с
наблюдаемым расширением светящейся области. Однако в
настоящее время трудно однозначно указать причины увели-
увеличения р. Имеющаяся литература по волноводным свойствам
диодных лазеров не дает возможности прямо связать измене-
изменения скачков диэлектрической проницаемости с изменениями
структуры активной области в результате термообработки.
Таким образом, уменьшение порога после отжига обуслов-
обусловлено уменьшением /0 и увеличением р. Мощность излучения
возрастает вследствие увеличения t]r и уменьшения /п. Если
бы не увеличивались внутренние оптические потери р, то мож-
можно было бы ожидать еще большего увеличения мощности и
уменьшения порога генерации в результате термообработки.
Вслед за первым экспериментальным определением вели-
величины /о [594] этот параметр был измерен в [634] и для диф-
диффузионного диода на основе GaAs оказался равным /0 =
= 485 ajcM2. Затем /0 было измерено при комнатной темпера-
температуре. В диффузионных и эпитаксиальных GaAs лазерных дио-
диодах и гетеролазерах значения /о соответственно равны 3950,
19500 и 2000 а/см2 [635]. Таким образом, результаты теорети-
теоретических расчетов, приведенных в § 20, количественно и качест-
качественно подтверждены на опыте.
§ 22. СПЕКТРАЛЬНЫЕ И ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ
ХАРАКТЕРИСТИКИ
ГЕНЕРИРУЕМОГО ИЗЛУЧЕНИЯ
Типы электромагнитных колебаний в оптическом резонаторе.
Индикатриса и спектр излучения оптического квантового ге-
генератора определяются типами электромагнитных колебаний
(модами), которые устанавливаются в оптическом резонаторе.
Поэтому расчет спектральных и пространственных характери-
характеристик излучения, выходящего из резонатора, сводится в основ-
основном к решению уравнений Максвелла для нелинейной оптиче-
оптической среды с граничными условиями, определяемыми формой
и поверхностью активного вещества и зеркалами резонатора.
354
Как правило, найти точные решения уравнений Максвелла
для реального квантового генератора не удается. Однако
свойства лазерного излучения можно изучить на основании
решения совокупности упрощенных задач.
В качестве моделей резонаторов, поддающихся теоретиче-
теоретическому расчету, рассматриваются бесконечно протяженные
плоскопараллельные слои и волноводные трубки [497, 602],
открытые резонаторы без боковых поверхностей и идеальные
резонаторы с идеально проводящими металлическими стенка-
стенками, наполненные диэлектриком с линейными оптическими
свойствами и т.п. [636—638].
Простым примером идеального резонатора служит прямо-
прямоугольный ящик, коэффициент отражения стенок которого ра-
равен единице. Если вещество, заполняющее резонатор, харак-
характеризуется постоянными значениями диэлектрической s и маг-
магнитной [л проницаемости, то решения уравнения Максвелла
для такого резонатора находятся легко.
Проекции на оси х, у, z амплитуды электрического вектора
$, электромагнитной волны
—last
?{t)=?e
являющейся частным решением уравнений Максвелла
B2.1)
rot
dt
= 0.
B2.2)
4я
rot 4t -— = j, dlV8<f = 4яр,
С 01 С
при токе смещения j = 0 и плотности зарядов р = 0 выражаются
формулами
?х = Ах cos (kxx) sin (kyy) sin (kzz),
gy = Ay sin (kj) cos (kyy) sin (kzz),
gz = Az sin (kxx) sin (kyy) cos (kzz).
B2.3)
Здесь Ax, Ay, Az — постоянные величины.
На поверхности стенок резонатора электрическое поле
имеет только нормальную составляющую, а магнитное поле —
только тангенциальную составляющую [638]. Если п — нор-
нормаль к поверхности, то граничное условие можно представить
в виде
[ni]=0. B2.4)
23*
355
Из граничных условий следует, что волновые векторы принимают
только дискретный ряд значений
я
«x.
я
я
nz,
B2.5)
где 1Х, I 1г — длина ребер прямоугольного резонатора вдоль
осей х, у, г, а числа пх, пу, пг принимают значения 0, ±1,
±2, ...
Следовательно, в прямоугольном идеальном резонаторе,
как и в резонаторах всех других типов, устанавливается
дискретный набор электромагнитных колебаний с частотами
со (пх, пу, пг) =
ж
П(@)
V т
B2.6)
Последняя формула получена путем подстановки B2.5) в выра-
выражение для квадрата волнового вектора
&2 = k\ + k\ + k\ = 8(х(о2/с2, B2.7)
вытекающее из уравнений Максвелла.
Одна из целей, преследуемых при создании оптических
квантовых генераторов, заключается в том, чтобы получить
остронаправленный луч света. Достижению этой цели способ-
способствует вытянутая форма резонатора, когда, например, lz зна-
значительно больше 1Х и 1У (способ получения направленного
луча, где это условие необязательно, будет рассмотрен ниже).
С учетом выделенного направления в резонаторе, в рас-
рассматриваемом-примере оси г, электромагнитные волны в резо-
резонаторе можно разделить на две группы: поперечно-электри-
поперечно-электрические G?-волны) и поперечно-магнитные (ТМ-волны, Т-
transversal).
В электрическом векторе ГЕ-волны отсутствует составля-
составляющая вдоль оси 2, т. е. Sz=0. Колебания электрического век-
вектора происходят в плоскости, перпендикулярной оси z (ср.
70- и ГЛ-фононы, § 4). Для ГМ-волн, наоборот, 9?z = 0. Век-
Вектор магнитного поля лежит в плоскости, перпендикулярной
оси z. По наличию продольной составляющей Г?-волны иног-
иногда называются магнитными, а 7М-волны — электрическими.
Кроме указанных двух типов могут быть еще волны вы-
вырожденного типа, у которых отсутствует продольная составля-
составляющая как электрического, так и магнитного поля (ТЕМ-
волны).
Многие характеристики излучения газовых и твердотель-
твердотельных лазеров хорошо описываются с помощью модели откры-
открытого резонатора, в которой не учитывается влияние боковых
356
Рис. 116. Распределение энергии в плоскости хоу ТЕМ-волн Не—Ne опти-
оптического квантового генератора со сферическими зеркалами [640]
поверхностей активной среды, а граничные условия формули-
формулируются только для зеркал резонатора. Простейшим из таких
резонаторов является интерферометр Фабри — Перо, состоя-
состоящий из двух плоскопараллельных зеркал. А. Фокс и Т. Ли
показали, что в открытом резонаторе также устанавливаются
вполне' определенные типы колебаний, хотя плоская волна
существовать в нем не может из-за дифракции на краях зер-
зеркал [639]. Расчет по методу А. Фокса и Т. Ли основан на по-
последовательном и многократном применении принципа Гюйген-
Гюйгенса для электромагнитных волн.
Распределение энергии в плоскости хоу для ТЕМпхп -волн
легко экспериментально наблюдать в газовых лазерах. Осо-
Особенно четкая картина /получается для низших типов колеба-
колебаний, т. е. для волн с небольшим значением чисел пх и пу. На
рис. 116 приведены фотографии структуры поля излучения
Не—We лазера со сферическими зеркалами, полученные в ра-
работе [640]. Ось х направлена горизонтально, а у—вертикально.
Как видно из рисунка, только при нулевом типе колебаний
ТЕМоо вся энергия генерируемого излучения сосредоточена в
одном центральном луче. Уже для пх=пу=3 поле излучения
имеет довольно сложную структуру.
Все типы колебаний с волновым вектором /г, параллель-
параллельным оси резонатора (пх=пу = 0), называются аксиальными
(осевыми) типами колебаний, или модами. ТЕМПхп -волны, у
которых хотя бы один индекс пх или"% не равен нулю, отно-
относятся к неаксиальным (угловым) модам, поскольку у них вол-
волновой вектор направлен под некоторым углом к оси резона-
резонатора.
357
Расстояние в спектре излучения между ближайшими осе-
осевыми модами легко рассчитать, исходя из интерференционно-
интерференционного условия генерации A9.14), вытекающего из граничных
условий для уравнений Максвелла.
Если \ и Я2 > Хг — длины волн в вакууме, а п (Ях) и п (Я2)—
соответствующие показатели преломления активной среды в ре-
резонаторе, то на основании A9.14) имеем
= 2 п (кг) I, я2Я2 = 2 п (Я2) /, B2.8)
где s1 и s2 — целые числа; / — расстояние между зеркалами. Для
соседних в спектре излучения типов аксиальных волн $2 = 8^^ — 1,
поскольку Я2 > кг.
Так как п (Я) в пределах ДЯ = Я2 — Х1 изменяется незначи-
незначительно, то справедлива формула
dn(%)
dX
(К-Ю-
B2.9)
Вычитая первое равенство B2.8) из второго и учитывая B2.9),
находим
Я Я - h
Л2 — Л1 — Тг
2/ *L
dk
л—л^
2/ п(Я2)-Я2
dn
B2.10)
Обычно 1~^>Х, поэтому Я2 » Х1 и индексы около Я можно опу-
опустить:
ДЯ= _Л___ . B2.11)
21 п—Я
dX
Для Я = 1 мкм, I = 1 мм, п = 3, 5 и dn/dX = О из B2.11) еле-
о
дует ДЯ = 1, 4 А. С увеличением длины резонатора ДЯ умень-
уменьшается обратно пропорционально /. Справедливость формулы
B2.11) подтверждена во многих экспериментальных работах.
Одномодовый и многомодовый режимы генерации. Теория
идеальных резонаторов устанавливает, какие типы электро-
электромагнитных колебаний в принципе могут существовать в резо-
резонаторе. Вопрос о том, какие волны реально будут генериро-
генерироваться и какое будет соотношение между амплитудами
различных типов колебаний, выходит за рамки этой теории.
Чтобы определить модовый состав генерируемого излучения,
необходимо при решении уравнений Максвелла учесть нели-
358
нейные оптические свойства активной среды (зависимость
8 от S) и выход излучения за пределы резонатора. Задача эта
весьма сложная и решается обычно приближенно.
В двух крайне идеализированных случаях картина генера-
генерации представляется в следующем виде. Предположим, что
генерируемое излучение не оказывает обратного действия на
активную среду. Коэффициент усиления полностью опреде-
определяется спектроскопическими свойствами вещества и накачкой.
Тогда генерация мод будет происходить независимо друг от
друга. С ростом накачки процесс генерации будет распростра-
распространяться на все новые и новые моды. Генерировать будут все
моды, для которых коэффициент потерь меньше или равен
коэффициенту усиления.
В другом крайнем случае после возникновения генерации
на одной или нескольких модах вся избыточная над порогом
энергия возбуждения трансформируется в энергию излучения
этих мод. Генерируемое излучение вызывает интенсивные вы-
вынужденные переходы и препятствует увеличению уровня ин-
инверсной населенности. После начала генерации коэффициент
усиления остается постоянным при всех интенсивностях воз-
возбуждения, превышающих порог, а число генерируемых мод не
изменяется.
Опыты доказывают, что реальная картина генерации за-
заключена между этими крайними случаями. Действительно, ча-
часто генерация возникает на одной моде. С ростом накачки ин-
интенсивность этой моды быстро растет. До поры до времени она
подавляет генерацию других мод. Однако подавляет не пол-
полностью. При дальнейшем увеличении накачки в спектре гене-
генерации появляется вторая мода, затем третья <и т. д.
На рис. 117 приведены спектры спонтанного и стимулиро-
стимулированного испускания GaAs инжекционных гомолазеров при
различных значениях тока инжекции. Если /</п, то наблюда-
наблюдается только широкая полоса люминесценции (рис. 117, а).
При /»/и на фоне этой полосы возникает первый пичок сти-
стимулированного испускания (рис. 117, б). С ростом накачки
его интенсивность быстро увеличивается. Высота пичка ста-
становится на несколько порядков больше максимума полосы
люминесценции. Поэтому на рис. 117, в, где масштаб по оси
ординат уменьшен во много раз по сравнению с масштабом
рис. 117, б, контур полосы люминесценции приближается к оси
абсцисс. Когда плотность тока превышает порог в 1,1 раза,
спектр генерации состоит уже из двух мод. В дальнейшем ге-
генерация становится многомодовой.
Основные причины многомодового характера генерации
сводятся к следующему. Во-первых, каждая мода имеет при-
присущие только ей пространственную неоднородность и специфи-
359
ческую локализацию в активной среде. Ни одна из мод не
может снимать энергию со всей активной среды. Даже если
какой-либо тип колебаний охватывает всю активную среду,
внутри резонатора устанавливаются стоячие волны с узлами
и пучностями. Участки активной среды, расположенные в уз-
узлах волны, практически не отдают своей энергии генерирую-
генерирующей моде. Уровень инверсной населенности таких участков с
ростом накачки повышается. Поэтому создаются благоприят-
благоприятные условия для генерации других типов волн, пучности и
узлы которых иначе локализованы в пространстве. В инжек-
ционных лазерах часто генерируют отдельные нити активной
среды (см. рис. ПО). Ясно, что в этом случае мода, генери-
генерирующая в одной нити, не может подавить генерацию мод в
других нитях.
Во-вторых, генерирующая мода может хотя бы незначи-
незначительно «прожечь дырку» в спектре усиления (см. рис. 75), так
что коэффициент усиления для соседних в спектре мод станет
больше, чем для генерирующей.
В третьих, из-за ряда причин, рассматриваемых в § 24,
процесс генерации во времени всегда носит пичковый харак-
характер. Даже в условиях непрерывной генерации в целом время
генерации отдельной моды сравнительно невелико. Срыв гене-
генерации на одной моде способствует появлению генерации на
других модах.
гЗО
*15\
_L
LL1
8386 №3 8508 8557 8?вЗ
8500 8483
6500 8Ш 8500 Х,Х
Рис. 117. Спектры люминесценции и генерации GaAs лазерного диода, по-
полученные В. А. Самойлюковичем и Г. И. Рябцевым при Т=80°К (длина
диода /=0,45 мм, ширина 0,32 мм): а — /=2,0 а; 6 — 3,2; б —3,3; г —3,5;
д — 7,0 а
360
В предыдущем параграфе было показано, что после пре-
преодоления порога мощность люминесценции инжекционных ла-
лазеров продолжает расти с увеличением тока инжекции
(см. рис. 109). Следовательно, не только одна мода, но даже
все генерирующие моды в целом не могут полностью стабили-
стабилизировать уровень инверсной населенности. Хотя и значитель-
значительно медленнее, чем до порога генерации, но неуклонно коэффи-
коэффициент усиления активной среды с увеличением накачки про-
продолжает расти, что неизбежно приводит к появлению новых
генерирующих мод.
Если генерация возникла вначале на частоте со^ то для этой
частоты кус((л) = кп (щ). Для всех остальных мод с частотами
Wj справедливо неравенство
«ye
1.
B2.12)
Чем меньше отношение B2.12), тем труднее получить генера-
генерацию на второй моде, если первая мода уже генерирует.
В системах с дискретными уровнями энергии (газовых и
твердотельных лазерах) коэффициент усиления выражается
функцией с достаточно острым максимумом. Поэтому проще
осуществить одномодовую генерацию в резонаторе с неселек-
неселективными потерями, т. е. при /сп(со), практически одинаковом
для всех частот в пределах полосы усиления. В лазерах на
растворах сложных молекул и в полупроводниковых ОКХ
коэффициент усиления выражается плавной функцией. Чтобы
отношение B2.12) было значительно меньше единицы, необ-
необходимо использовать резонаторы с селективными потерями,
т. е. искусственно увеличивать добротность для узкого интер-
интервала частот. Это достигается, например, нанесением на зерка-
зеркала интерференционных отражающих покрытий. Коэффициент
отражения таких покрытий на заданной частоте <Л\ значитель-
значительно больше, чем на соседних частотах.
Для получения одномодовой генерации широко применя-
применяются дифракционные решетки, которые используются в каче-
качестве одного из зеркал резонатора. При этом если постоянная
решетки равна Ь, а нормаль к решетке расположена под углом
# к оси резонатора, то будет генерировать мода, длина волны
которой удовлетворяет условию
Я = 26 sin О. - B2.13)
Путем изменения угла О легко осуществить плавную пере-
перестройку частоты генерации.
В лазерах с выносными зеркалами применяется также
пространственная селекция мод, когда с помощью узких диа-
361
фрагм# ликвидируются боковые лепестки индикатрисы излу-
излучения.
Если специально не проводить селекции мод, то в инжек-
ционных лазерах вторая мода часто появляется уже при воз-
возбуждающем токе, превышающем порог всего на 5—20%, в
редких случаях одна мода генерирует до 2-кратного превы-
превышения порога. Лучшие результаты получаются в лазерах с
очень малой (десятки микрон) шириной активной области, в
пределах которой генерирует только одна нить (полосковые
лазеры).
Путем уменьшения длины резонатора можно увеличить рас-
расстояние между модами А^ и создать более благоприятные
условия для одномодовой генерации. В лазерах на основе
арсенида галлия с четырехсторонним резонатором, где дости-
достигается более равномерное распределение излучения в пре-
пределах активного слоя, уменьшение площади р — п-перехода
до 10~5 см2 позволило получить одномодовую генерацию при
10-кратном превышении порога генерации [641]. В лазерах с
большей длиной волны излучения одномодовая генерация
реализуется при еще большем числе порогов накачки.
Наименьшая ширина линии излучения при одномодовой ге-
генерации определяется добротностью резонатора, плотностью
генерируемого излучения в резонаторе и флуктуациями фазы
и амплитуды волны, т. е. степенью ее когерентности. В рабо-
работе [642] при мощности генерации 5г=240 мквт лазерного
диода на основе Pbo,88Sno,2iTe получена ширина линии Avr =
= 54 кгц (Я.г= 10,6 мкм, ЛЯ.= 1,9-10~4 А), что близко к тео-
теоретическому пределу. Методы селекции мод рассмотрены в
обзоре [643].
Как было показано ранее (рис. 76, формулы B0.17),
B0.38)), с •увеличением уровня инверсной населенности мак-
максимум коэффициента усиления смещается в спектре в сторо-
сторону больших частот. Так как частота генерации обычно соот-
соответствует максимальному коэффициенту усиления, а порог ге-
генерации является функцией коэффициента потерь кп-=
= %с(«г), то частоту генерации можно представить как функ-
функцию порога
а>Р = <ог(/„). B2.14)
Функция B2.14) и соответствующие ей графики называют-
называются спектрально-пороговой характеристикой лазера. Путем
простого изменения неселективного коэффициента потерь
удается изменить энергию генерирующих квантов на десятки
миллиэлектрон-вольт [613, 644].
Частота генерации полупроводниковых лазеров легко пере-
перестраивается не только с помощью селективных элементов,
вводимых в резонатор, или изменения добротности резонатора
362
в целом, но и путем всевозможных внешних воздействий на
активную среду (§ 12): гидростатического [645, 646] и одно-
одноосного давления [647], магнитного поля [648], изменения тем-
температуры и т. п. Смещение линии генерации происходит и при
изменении концентрации легирующих примесей [649]. Вариа-
Вариации концентраций компонентов тройных соединений позволяет
перекрыть лазерным излучением огромный диапазон частот
[650—653]. Это создает благоприятные предпосылки для ши-
широкого применения полупроводниковых лазеров в спектроско-
спектроскопии в качестве источников интенсивного монохроматического
излучения. Особую ценность они представляют для инфра-
инфракрасной спектроскопии, где до сих пор отсутствуют мощные
источники излучения.
Экспериментальное определение спектра усиления актив-
активной среды на основании универсального соотношения G.18).
Спектр усиления, мощность люминесценции и разность ква-
квазиуровней Ферми для электронов и дырок в активной обла-
области инжекционного лазера относятся к величинам, которые
трудно измерить на опыте. Теоретический расчет может дать
только приближенные значения этих величин, поскольку ряд
исходных данных, в частности плотности состояний, между
'которыми совершаются оптические переходы, вероятности
неоптичееких переходов и потери люминесценции, как прави-
правило, точно неизвестны.
При накачках, превышающих пороговую, коэффициент
усиления в активной области обычно определяется только для
частоты генерации, где он равен коэффициенту потерь. Отно-
Относительно квазиуровней Ферми для электронов и дырок досто-
достоверно известно только, что их разность больше, чем энергия
генерируемых квантов света (соотношение A9.5)). Основная
трудность в определении абсолютного значения мощности лю-
люминесценции внутри диода связана с тем, что неизвестно, ка-
какая доля от общего излучения выходит из диода и может быть
зарегистрирована прибором.
Методика экспериментального определения абсолютных значе-
значений №л(со), /сус (со) и AF в лазерных диодах на основе универ-
универсального соотношения предложена в работе [654]. Для лазерных
диодов обычно .выполняются неравенства Ьсо ~^> kT, и AF ^> kT,
поэтому соотношение G.18) упрощается:
У, И
к (со)
ho3
1
exp
frco
kT
= /(«, AF, T).
B2.15
363
Если измерить на опыте в относительных единицах спектр
люминесценции, то, варьируя А/7, на основании B2.15) легко
рассчитать серию кривых /с (о) = W:1 (<a)/f (о, А/*', Т). В лазер-
лазерных диодах генерация осуществляется на частоте сог, коэффи-
коэффициент усиления на которой достигает максимального значе-
значения. Поэтому, измерив (ог, из серии кривых к(&) следует вы-
выбрать ту, которая имеет максимум усиления в точке ©=©г.
Значение AF для этой кривой и будет искомым расстоянием
между квазиуровнями Ферми. Учитывая далее, что в точке
сог выполняется условие —«;(©)=:кп, находим абсолютное зна-
значение к (а) по всему спектру в пределах измеренной полосы
люминесценции. После определения AF и к (со) по формуле
B2.15) рассчитывается спектр люминесценции в абсолютных
единицах. Площадь, ограниченная кривой №л(со) и осью ча-
частот о, равна интегральной по частоте мощности люминес-
люминесценции.
Данная методика определения А/7, /с(о) и ^л(со) примени-
применима только в том случае, если регистрируемый спектр люми-
люминесценции по форме совпадает со спектром люминесценции,
которая содержится в активном слое и не искажена усиленной
люминесценцией. Излучение, выходящее из зеркал резонато-
резонатора, при больших токах инжекции всегда искажено (см.
рис. 108), и поэтому необходимо измерять люминесценцию,
которая выходит из боковых граней диода. Путем матирова-
матирования боковых граней и уменьшения ширины диода измеряемый
спектр может быть максимально приближен к спектру люми-
люминесценции внутри диода.
В работе [654] ширина диода выбиралась так, чтобы при
ее дальнейшем уменьшении для заданного значения плотности
тока форма спектра люминесценции не изменялась. Измере-
Измерения проводились на диодах из арсенида галлия, технология
изготовления которых и методика определения параметров
описаны в работе [594].
На рис. 118 приведен спектр люминесценции, выходящей
из области р — n-перехода перпендикулярно оси резонатора,
при плотности тока / = /п=560 а-смг2. Длина диода / =
= 2,5 мм, площадь р— n-перехода s=l,25-10~2 см2 и коэффи-
коэффициент внутренних оптических потерь р=1,5 см~1. Энергия ге-
генерируемых фотонов и коэффициент потерь были равны h(or=
= 1,461 ±0,002 эв, /сп=6,1 см~К На рисунке приведены также
три кривые для коэффициента поглощения, построенные для
различных близких значений AF. Как легко видеть, положе-
положение минимумов кривых /с (о) весьма чувствительно к измене-
изменению AF. Поэтому основным источником ошибок в определении
расстояния между квазиуровнями Ферми в данном методе
будут погрешности в измерении спектра люминесценции. Если
предположить, что спектр люминесценции измерен точно, тог-
364
Рис. 118 Коэффициент усиления (AF= 1,465; 1,467; 1,469 эв) и мощность
люминесценции в активной области лазерного диода
да в исследованном диоде находим значение AF= 1,467 эв, так
как кривая к (со) имеет минимум в частоте генерации при этом
значении AF. Значения к (со) в различных точках спектра при-
приведены на рисунке, а интегральная по частоте мощность люми-
люминесценции равна Wa = 0,89 Мвт-см~3.
Полученные значения Wn можно использовать в свою оче-
очередь для оценки эффективной ширины люминесцирующей
области с?Эф с помощью равенства
oft ш — г. _J_ *.,(. /оо 1 а\
Эф Л 1л Л* y4±fl\JJ
где «л — частота в максимуме полосы люминесценции; г]л —
внутренний квантовый выход люминесценции.
Подставляя в B2.16) значение псол = 1,469 эв, ']=¦.
= 560а-см~2, т)л = 0,7, находим с?Эф = 6,5 мкм, что весьма близ-
близко к наблюдаемой толщине светящейся области диода
— 10 мкм. Это служит косвенным подтверждением правиль-
правильности найденных абсолютных значений величин AF, к (а) и
Угол расходимости лазерного луча. Обычно подчеркивает-
подчеркивается острая направленность лазерного луча. При этом упускает-
365
ся из виду, что малый угол расходимости не является неотъ-
неотъемлемым свойством генерируемого излучения. При многомо-
довой генерации телесный угол, в котором распространяется
излучение, может быть достаточно большим. Лазеры с четы-
четырехсторонним' резонатором генерируют практически во всех
направлениях. Малым углом расходимости характеризуется,
как правило, только одномодовый режим генерации или же
совокупность аксиальных мод. К сожалению, такое ценное
свойство отсутствует у инжекционных лазеров даже при одно-
модовой генерации. Это связано с малыми размерами активно-
активного слоя.
Нижним пределом угла расходимости служит дифракцион-
дифракционный угол, который обусловлен волновой природой света и не
зависит от источника излучения. Например, при дифракции
плоской волны на круглом отверстии диаметром d (дифрак-
(дифракция Фраунгофера) первое кольцо, соответствующее минимуму
излучения и ограничивающее центральный луч, удовлетворяет
условию [156]
sinO = 1,22 — , B2.17)
й
где # — угол, под которым виден из отверстия радиус первого
кольца. Для малых значений О угол расходимости централь-
центрального луча (на половине его интенсивности) приближенно ра-
равен A рад = 57,296 град)
А#п = 1,22 — рад = 69,9— град. B2.18)
d d
Для гелий-неонового газового лазера с л = 0,633 мкм и
внутренним диаметром трубки 7 мм из B2.18) находим
ДОД=0,38'. Примерно таким же малым дифракционным углом
расходимости характеризуется рубиновый лазер. Однако если
у газовых лазеров, активная среда которых обладает высокой
степенью оптической однородности, реальный угол расходимо-
расходимости луча A—2') приближается к дифракционному углу рас-
расходимости, то у рубинового ОКГ расходимость генерируемого
излучения значительно больше ДОД. У твердотельных и жид-
жидкостных оптических квантовых генераторов ширина лазерно-
лазерного луча определяется не дифракцией света, а оптическими
неоднородностями активной среды, главным образом возник-
возникшими в процессе накачки и генерации (термические линзы и
т. п.).
У инжекционных лазеров наблюдается обратная ситуа-
ситуация: основная причина большой расходимости генерируемого
излучения — это его дифракция при выходе из активного
слоя. Для длины волны излучения лазерного диода на основе
366
Рис. 119. Распределение излучения инжекционного QaAs лазера в плоскости
р—га-перехода при одномодовой (а) и многомодовой генерации (б) [655}
GaAs и d=2, 3, 4, 5 мкм из B2.17) следует соответственно
АО = 30,8, 20, 14,9, 11,8°. Неоднородности активного слоя при-
приводят к дополнительному расширению луча, однако в целом
они играют второстепенную роль по сравнению с дифракцией
света.
Ширина активного слоя лазерного диода обычно состав-
составляет десятки или сотни микрон, поэтому угол дифракции из-
излучения в плоскости р—n-перехода (Г) на один-два порядка
меньше, чем в плоскости В, перпендикулярной к Г. Для опре-
определенности будем считать, что плоскость р—n-перехода рас-
расположена горизонтально (Г), а плоскость В — вертикально.
Опыты показывают [655], что в высококачественных лазер-
лазерных диодах, работающих в одномодовом режиме, расходимо-
расходимости луча в плоскости р—n-перехода порядка Г (рис. 119, а).
При многомодовой генерации, естественно, луч становится
широким и в этой плоскости. В вертикальной плоскости угол
расходимости составляет 10° и более (рис. 120, а). В некото-
некоторых диодах индикатриса излучения в 5-плоскости отклонена
от плоскости р—n-перехода в сторону n-типа (рис. 120,6).
Это связано с асимметрией волновода, который образуется в
лазерном диоде: пассивная область n-типа характеризуется
меньшим коэффициентом поглощения генерируемого излуче-
излучения, чем р-область.
Теоретические и экспериментальные исследования кар-
картины ближнего и дальнего поля излучения гетеролазеров по-
показывают, что с достаточной степенью точности активный
слой можно моделировать плоским металлическим волново-
волноводом, заполненным диэлектриком, а угловое распределение
излучения в вертикальной плоскости, как и у гомолазеров,
367
определяется дифракцией волноводной волны на открытом
конце волновода [656]. Поскольку при необходимости умень-
уменьшить пороговый ток в гетеролазерах приходится делать ма-
малой толщину активного слоя, то это неизбежно приводит к
большому углу расходимости лазерного луча [657—659].
Некоторые детали этой проблемы рассмотрены в работе [660].
Инжекционные лазеры по своим размерам близки к точеч-
точечным источникам излучения. Поэтому с помощью оптических
систем можно резко уменьшить угол расходимости лазерного
луча или сфокусировать его на малую площадку.
Рис. 120. Симметричная (а) и асимметричная (б) индикатрисы излучения
инжекционного GaAs лазера в плоскости, перпендикулярной плоскости
р—я-перехода
Лазеры с распределенной обратной связью. Выше отме-
отмечалось, что вместо одного из зеркал резонатора можно ис-
использовать дифракционную решетку. Это позволяет произво-
производить селекцию генерирующих мод и перестраивать частоту
излучения.
В 1971 г. теоретически и экспериментально показано, что
использование пространственных периодических структур ти-
типа фазовых решеток дает возможность создать беззеркальный
резонатор для генерации света [661]. Оптические квантовые
генераторы с таким резонатором получили название лазеров
с распределенной обратной связью.
Если в активной среде показатель преломления и коэффи-
коэффициент усиления изменяются вдоль оси х по косинусоидально-
му закону
п (х) = п + пх cos (Кх), B2.19)
K,c(*) = Kyc + KiycCGs(to), B2.20)
то пороговое условие генерации в беззеркальном резонаторе при
достаточно больших значениях ехрBку0/) имеет вид [661]:
\2
4кус ехр Bк7С1) =
ЯП,
2
Кус
B2.21)
Здесь К=2п/А, А — постоянная фазовой решетки; / — длина
активной среды вдоль оси х. Когда решетка создается моду-
модуляцией только показателя преломления или только коэффи-
коэффициента усиления, то из B2.21) следуют более простые поро-
пороговые условия.
Обратная связь в беззеркальных резонаторах устанавли-
устанавливается вследствие брегговского отражения электромагнитной
волны от периодической структуры, при этом длина волны
нулевой аксиальной моды удовлетворяет условию
2п
= А,
B2.22)
а расстояние в спектре между s-й и s — 1-й неаксиальными мо-
модами, когда ^0 С 2dn, равно
К — Ь.-1 2s — 1
2dn
B2.23)
где d — толщина активного слоя.
В работе [661] фазовая решетка с Л=0,3 мкм создава-
создавалась путем фиксирования в желатиновой пленке интерферен-
интерференционной картины, создаваемой двумя когерентными лучами
от He-Cd лазера. После этого пленка пропитывалась раство-
раствором родамина 6Ж и высушивалась. При возбуждении излу-
излучением азотного лазера наблюдалась генерация с Яг=0,68 мкм
368
24. Зак. 312
369
и шириной линии АА.<0,5А. Расстояние между модами удов-
удовлетворяло условию B2.23).
Путем изменения постоянной решетки Л, что достигалось
изменением угла между интерферирующими лучами, получе-
получена перестройка частоты генерации [662]. Весьма малая шири-
ширина спектральной линии одной моды ДХ. = 0,005А для аналогич-
аналогичного лазера зафиксирована в работе [663].
В лазерах с одномерной решеткой картина дальнего поля
излучения на экране имеет вид узких линий. Если сделать
двухмерную решетку, то на экране будут наблюдаться от-
отдельные точки [664], как при дифракции рентгеновских лучей в
кристалле. Это наводит на мысль о возможности создания
лазеров рентгеновских лучей. Теория этого вопроса уже раз-
разрабатывается [665].
Обратная активная связь устанавливается не только при
модуляции п и КуС в толще активной среды, но и когда ди-
дифракционная решетка создана на поверхности достаточно
тонкого волноводного слоя [666, 667]. Такая решетка позво-
позволяет вводить излучение в волноводный слой и выводить его
обратно [668]. Электромагнитная теория лазеров с распреде-
распределенной обратной связью изложена в работах [669—678].
После беззеркальных лазеров на твердых растворах кра-
красителей были созданы аналогичные полупроводниковые ОКХ
с оптическим возбуждением [679—681] и инжекционные ге-
теролазеры [682, 683]. На рис. 121, а показана конструкция
GaAs лазера с оптической накачкой. Возбуждающий свет
падает перпендикулярно гофрированной поверхности, а гене-
генерируемое излучение распространяется в плоскости решетки.
Наиболее ценными для различных оптоэлектронных устройств
представляются инжекционные гетеролазеры, у которых ла-
лазерный луч выводится через контактную поверхность диода
(рис. 121,6). Дифракционный угол расходимости таких лучей
Рис. 121. Полупроводниковые лазеры с распределенной обратной связью:
а — GaAs лазер с оптической накачкой [681]; б—инжекционный лазер на
двойной гетероструктуре: / — оптические контакты; 2 — p-GaAs; 3 —
p-AlxGai-xAs; 4, 6—n-GaAs; 5 — n-AbGai-xAs [683]
370
будет сравнительно небольшим, и их легко ввести в волокон-
волоконные волноводы. Кроме того, открываются новые возможности
создания больших матриц инжекционных лазеров, необходи-
необходимых для практического применения.
§ 23. РАДИАЦИОННЫЙ ШУМ В ЛАЗЕРАХ
Люминесценция — неустранимый источник радиационного
шума в лазерах. В активной среде лазера кроме генериру-
генерируемых мод всегда присутствует излучение других типов, кото-
которое создает помехи для процесса генерации и называется
радиационным шумом. К радиационному шуму относятся
тепловое излучение, люминесценция, замкнутые типы колеба-
колебаний, не имеющие выхода из резонатора, излучение, возника-
возникающее в результате рассеяния лазерного луча на оптических
неоднородностях активной среды, и внешнее излучение, про-
проникающее в активную среду. В лазерах с оптической накач-
накачкой мощным источником шума служит возбуждающий свет.
В инжекционных лазерах этот тип шумов отсутствует.
В видимой, ближней инфракрасной и тем более в ультра-
ультрафиолетовой областях спектра при комнатной и более низких
температурах фон теплового излучения незначителен и им
можно пренебречь (§ 7). Путем соответствующей обработки
боковых поверхностей замкнутые моды можно устранить, а в
оптически совершенных кристаллах рассеяние генерируемого
потока свести к минимуму. Принципиально неустранимым
источником радиационного шума служит люминесценция. Она
возникает в результате спонтанных оптических переходов, при
которых возбужденное вещество возвращается в состояние
термодинамического равновесия. Спонтанные переходы обу-
обусловлены взаимодействием вещества с нулевыми электромаг-
электромагнитными полями и принципиально не устранимы [43, 87].
Если между какими-либо двумя квантовомеханическими со-
состояниями вещества происходят вынужденные оптические
переходы, то неизбежно будут происходить и спонтанные пе-
переходы. Спонтанные переходы могут осуществляться и без вы-
вынужденных, если отсутствует электромагнитное поле, а стиму-
стимулированное испускание без спонтанного в принципе невоз-
невозможно.
При заданной плотности энергии возбуждающего света
и(и>) отношение вероятностей спонтанного перехода к вынуж-
вынужденному прямо пропорционально о3 (см. G.3), A4.3),
A4.19), A4.20)). С переходом от коротких радиоволн с
X = 50 м к видимому свету (Я=0,5 мкм) это отношение уве-
увеличивается в 1024 раз. В радиофизике спонтанные переходы
обычно не учитываются, а в оптике, наоборот, до появления
24*
371
лазеров вынужденные переходы считались пренебрежимо ма-
малыми (§ 13).
Поскольку создание инверсной населенности, необходимой
для получения генерации, связано с сильным возбуждением
вещества, то активные среды лазеров, как правило, интенсив-
интенсивно люминесцируют. При этом спектр усиления частично пере-
перекрывается со спектром люминесценции (см. рис. 118), а ин-
интенсивность люминесценции, распространяющейся в усили-
усиливающей среде, возрастает экспоненциально.
Как уже было показано (§ 13, 14), уровень инверсной на-
населенности вещества определяется соотношением между ско-
скоростью возбуждения и суммой скоростей всех процессов, воз-
возвращающих вещество к состоянию термодинамического
равновесия. Очевидно, при любой заданной скорости возбуж-
возбуждения с увеличением объема активной среды неизбежно дол-
должен наступить момент, когда скорости оптических переходов,
индуцированные усиленной люминесценцией, превысят ско-
скорость накачки и уровень инверсной населенности начнет па-
падать. Следовательно, если не принять меры к подавлению
усиленной люминесценции, то она может стать непреодоли-
непреодолимым препятствием на пути создания активной среды значи-
значительных размеров.
Ограничения, накладываемые радиационными шумами на
линейные размеры активных сред, можно сформулировать
так: произведение разности (кус—р) на наибольший линей-
линейный размер среды L не может быть больше некоторого чи-
числа Gnp, т. е.
(Kyc-p)L = G<Gup. B3.1)
Подобно тому как изменение фазы волны определяется
не пройденным ею расстоянием, а длиной оптического пу-
пути nL, так и плотность энергии усиленной люминесценции
связана с произведением (кус—р)?-
Конкретные значения числа Gnp зависят от ширины и сте-
степени перекрытия спектров усиления и люминесценции, от
геометрической формы активной среды, от граничных усло-
условий и от верхнего предела реально допустимых скоростей
возбуждения. Величина накачки ограничена сверху, в частно-
частности, порогом разрушения вещества под действием света в ла-
лазерах с оптическим возбуждением и током пробоя в инжек-
ционных лазерах.
Для любого вещества наибольшие значения числа G,ip
можно получить, если активной среде придать форму вытя-
вытянутого стержня и ликвидировать отражение люминесценции
как от его боковой поверхности, так и от торцов. Толщина
стержня d должна быть оптимальной, так как с уменьшением
d плотность шума понижается, а параметр р может резко
372
возрасти (§ 20). В этом случае люминесценция, возникаю-
возникающая в любой точке стержня, может беспрепятственно поки-
покидать активную среду в любом направлении. Усиливаться бу-
будет только та ее часть, которая распространяется вдоль стер-
стержня. Такие идеальные условия на опыте создать трудно.
Кроме того, без отражающих поверхностей отсутствует обрат-
обратная оптическая связь и нельзя получить генерацию когерент-
когерентного излучения. Поэтому большой практический интерес
представляет активная среда в виде вытянутого стержня, с
отражающими торцевыми поверхностями.
Согласно A9.12), при пороговой накачке число G для та-
таких стержней равно
1 / 1 \
B3.2)
Если ri = r2=0,368, что характерно для полупроводниковых
лазеров, то G = l. Достаточно длинные рубиновые стержни
также генерируют без специальных отражающих зеркал.
Обратная оптическая связь образуется за счет френелевского
отражения света от торцов стержня. Для рубина при нор-
нормальном падении света ri = r2 = 0,08, что соответствует G = 2,5.
При ri = r2 = 0,04 (коэффициент отражения стекла) из B3.2)
следует G = 3,2. Таким образом, во всех известных до сих пор
ла-зерах число G не превышает нескольких единиц.
Если ширина активного слоя больше его длины, то нера-
неравенство B3.1) будет относиться к ширине диода. Комбинируя
B3.1) с A9.12), приходим к ограничению отношения ширины
слоя L к длине /;
L ^^Щ B3.3)
I
1п
ш
В результате усиления спектр люминесценции, выходящей
из зеркальных граней резонатора, значительно отличается от
спектра неусиленной люминесценции. Если коэффициент уси-
усиления не зависит от координат точки активной среды и плот-
плотности энергии радиационных шумов, а является только функ-
функцией частоты излучения, то легко рассчитать усиление люми-
люминесценции в резонаторе Фабри—Перо.
Пусть длина активного стержня равна /, а площадь попе-
поперечного сечения s (рис. 122). Выделим в стержне бесконечно
тонкий слой dx. Мощность люминесценции этого слоя в рас-
расчете на единичный интервал частот равна Wn(o))sdx. Из этой
величины некоторая часть ?,Wn(a)sdx будет распространять-
распространяться перпендикулярно к зеркалу 2, а вторая такая же часть —
перпендикулярно к зеркалу 1. Эти два потока будут много-
многократно проходить через стержень, усиливаясь или ослабляясь
373
e-x
Рис. 122. Схема усиления люминесценции в резонаторе Фабри—Перо
в зависимости от знака разности (ку0—р) и теряя энергию
при каждом отражении на полупрозрачных зеркалах.
Поток люминесценции, обусловленный слоем dx и выходя-
выходящий через вторую грань, выражается двумя геометрическими
прогрессиями
52л(со, x)dx = S'2jl (со, х) dx
(со,
= lWn (со) sdx A — г2) е
(кУс~р)/ [е-{кус-р
\dx =
A +
- nrJiK^-p)l
где
vc-p)/
Интегрируя B3.4) по л: от 0 до /, получим
Здесь
52°л (со) = |^л (со)
— /у
, B3.4)
B3.5)
. B3.6)
B3.7)
уя
— поток люминесценции, выходящей через второе зеркало стерж-
стержня при условии, что кус — р = 0. Контур 5°л («>) совпадает со
спектром люминесценции, не искаженным поглощением и уси-
усилением люминесценции в активной среде. В диодах с малой ши-
шириной активной области 5°л (со) соответствует спектру люминес-
люминесценции, выходящей из боковых граней резонатора [654]. Если
измерить на опыте 52л(со) и SJ^co), то с помощью формулы
B3.6) можно рассчитать значение кгс — р для всех значений со
в пределах полосы усиления.
Коэффициент потерь радиации шума. Плотность энергии
радиационных шумов в активной среде определяется скоро-
374
стью выделения шума в каждой точке активной среды, уси-
усилением шумов и их потерями. Степень усиления шума зави-
зависит от размеров активной среды и коэффициентов отражения
на ее границах. Потери шума связаны либо с его выходом за
пределы резонатора, либо поглощением в рабочем веществе.
В теории твердотельных лазеров показана возможность
расчета радиационного шума на основании уравнений пере-
переноса. Даже в линейном приближении задача оказывается
весьма сложной и до сих пор решена только для простейших
частных случаев. Наиболее полно этот вопрос изложен в рабо-
работе [684]. Исследование шумов в полупроводниковых лазерах
практически только начинается *'. При этом наиболее перспек-
перспективными и целесообразными представляются полуэмпириче-
полуэмпирические методы исследования. В теории сравнительно легко по-
получить общие" формулы для плотности радиации шума. Вхо-
Входящие в эти формулы параметры необходимо определять на
опыте.
Одним из таких параметров является коэффициент потерь
шума кш, аналогичный коэффициенту потерь ка для генери-
генерирующих мод. Величина кш имеет смысл среднего значения не-
некоторой функции, зависящей от координат вещества и на-
направления распространения шума.
В стационарном режиме поступление радиации шума
компенсируется ее потерями. С помощью параметра кш урав-
уравнение баланса для люминесцентного шума можно предста-
представить в виде [685]
Wn
л (со) + J vgKjc (со) ил (со) dV = кш J vgun (со) dV. B3.8)
Вынося за знак интеграла в B3.8) среднее по объему значение
/сус(со), получим среднюю плотность люминесценции
"л И =
vgV [кш — кус(со)]
B3.9)
С помощью B3.9) по известным из опыта значениям ^л(со) и
/сус(со) (§ 22) можно рассчитать плотность шума мл(со).
Так как Wa (со) = Ьсо (* гл (со) dV, где гл (со) — скорость спон-
V
тайной рекомбинации в расчете на единичный спектральный
*) В радиотехнике, а иногда и в квантовой электронике шумами называют-
называются неупорядоченные флуктуации амплитуды и фазы генерируемого излу-
излучения. Эта проблема не имеет прямого отношения к радиационным шу-
шумам и в настоящем параграфе не рассматривается (см. § 24).
375
интервал, с помощью B3.9) находим скорость индуцируемой шу-
шумами рекомбинации
hco
кус (со) гп (со) da
B3.10)
Исследование коэффициента потерь шума позволяет связать
лазерные характеристики диода с его геометрией, состоянием бо-
боковых поверхностей, оптическими и волновыми свойствами актив-
активной области. В работе [685] значение кш рассчитано для диода
с идеально матированными торцевыми и боковыми гранями и
полностью поглощающими пассивными областями. Из расчетов
следует, что кш уменьшается с ростом площади р— п-перехода,
как nm~l/f/s , где s =/до. Поскольку коэффициент потерь кп
тоже уменьшается, как 1//, неравенство /сш>/сп выполняется
только в некотором интервале длин. Диод может генерировать,
если его длина заключена в пределах
'mln < ' < 'шах> B3.11)
для которых кш > кп. Границы изменения / раздвигаются, если
ширина диода уменьшается. С ростом р значения /тах и /т1п
сближаются и для некоторого предельного значения рар гене-
генерация аксиальных мод вообще невозможна.
Влияние шума на порог генерации. Формула B0.4) в об-
общем виде учитывает зависимость порога генерации от скоро-
скорости рекомбинации, индуцированной радиационными шумами.
Однако при расчете порогового тока для различных механиз-
механизмов оптических переходов в полупроводниках до сих пор ра-
радиационный шум не учитывался. Возвращаясь теперь к фор-
формуле B0.4) и учитывая B3.10), для плотности порогового
тока будем иметь [685]
/п ~ /г
(to
гл (со) dco
B3.12)
Здесь /п0 — плотность порогового тока при отсутствии шумов,
подробно исследованная в § 20.
Второе слагаемое в B3.12) в зависимости от знака коэф-
коэффициента усиления распадается на две части: положитель-
положительную и отрицательную. Первая часть дает увеличение порога
генерации из-за роста скорости рекомбинации, вызванной
усиленной люминесценцией. Отрицательный член характери-
характеризует роль той части люминесценции, которая поглощается в
активной области и увеличивает инверсную населенность.
376
Рис. 123. Зависимость плотности порого- /
вого тока от коэффициента потерь ра- -~
диационного шума кш </по
Эта часть люминесценции служит
дополнительной оптической на-
накачкой кристалла. С увеличением
квантового выхода люминесцен-
люминесценции ее роль как радиационного
шума возрастает.
Если в пределах спектра люминесценции коэффициент потерь
шума /сш 3> кус (со) и слабо зависит от со, то выражение B3.12)
упрощается:
/п=/
по
«ш
B3-13)
где к7С — эффективный коэффициент усиления, полученный пу-
путем усреднения /суо(со) по спектру люминесценции.
Формула B3.13) позволяет оценить относительный вклад
усиления и поглощения люминесценции в пороговый ток.
При /сУс>0 преобладает усиленная люминесценция. Если
кус<0, то более существенна оптическая накачка излучением
шума.
Как видно из B3.12), если /сш-^кус (сог) =Кп(а>г), то порог
генерации стремится к бесконечности. Схематически зависи-
зависимость /п от кш—кп представлена на рис. 123.
Кривая 1 соответствует малым положительным значениям
/Сус(оэ), когда для больших кш оптическая накачка преобла-
преобладает над дополнительной рекомбинацией, вызванной усилен-
усиленной люминесценцией.
Если Кус (со) велико и решающую роль играет усиленная
люминесценция, то значение /п всегда больше /по и монотон-
монотонно растет с уменьшением кш (кривая 2).
В случае, когда максимальный коэффициент усиления линей-
линейно связан с током, плотность порогового тока можно предста-
представить в виде суммы /п0 и некоторой добавки, зависящей от ра-
радиационного шума. Обозначая через кус максимальное значение
коэффициента усиления при отсутствии шума и резонатора, по-
получим
vyc
Р0"—/о)
j, иш)
1 +F(j, «J
B3.14)
Здесь F (/, Мщ) — функция плотности тока и радиации шума,
которую во многих случаях можно аппроксимировать произведе-
произведением параметра нелинейности а на t^-.Fd, иш) = аиш [446].
377
При пороговом токе кус = кп, поэтому из B3.14) следует
/п = h + Р"^ (L, иш) = /по + Р~^ (/п. «ш) V B3.15)
Варьируя, плотность радиации шума в диоде, например, пу-
путем изменения его длины и ширины, можно эксперименталь-
экспериментально исследовать и оценить нелинейные свойства системы.
Рассеяние генерируемого излучения в активной среде. По-
После преодоления порога в резонаторе наряду с генерируемым
монохроматическим излучением появляется рассеянная ра-
радиация на частоте генерации. Расчет, аналогичный выводу
B3.10), дает для средней скорости рекомбинации, индуциро-
индуцированной рассеянным излучением,
Г)Р
Дш =
ркп
r (кш — кп)
B3.16)
где р' — средний коэффициент рассеяния генерируемого излу-
излучения.
С учетом B3.16) функцию /(/) в B0.7) можно представить
в виде [419, 385]
= jn + yjj - Уп)
TnS..
Здесь ул равно относительной части тока сверх порога, которая
расходуется на увеличение скоростей спонтанной и неоптической
рекомбинации,
Гр = B3.18)
кш кп
— параметр, изменяющийся от 0 до сю.
Подставляя B3.17) в B0.7), находим
„ Ьсо„ 1 — v к-
.9 — к г_ . _ «л /: : \ "т
Г" U In)
1+Гг
B3.19)
• р *г + Р
Если /сш-жп, то Гр->сю, а мощность генерации стремится к
нулю.
Вводя параметр
ТР = , | Р , B3.20)
Р "Г Кш • Кп
показывающий, какая часть тока, превышающего порог, расхо-
расходуется на рассеянное излучение, вместо B3.19) получим'
«V +Р
т-— . B3.21)
378
На основании B3.21) внутренний квантовый выход генерации
можно выразить формулой
т|г = A — y) = A — Тл) (! —" ТР)- B3.22)
Рассеяние генерируемого излучения наблюдалось на опыте
[686] и служит еще одной причиной снижения величины т)г-
На основании измерения интенсивности рассеянного излуче-
излучения, выходящего из различных точек боковой поверхности
диода, авторы установили, что в резонаторе Фабри—Перо с
малыми значениями коэффициентов отражения зеркал плот-
плотность потока генерируемого излучения в центре диода мень-
меньше, чем около зеркал. Это согласуется с результатами теоре-
теоретических расчетов для твердотельных лазеров [684].
Через параметр уР внутренний квантовый выход генера-
генерации B3.22) также зависит от геометрии лазера [685]. Еще
раз доказан сделанный ранее (§ 21) вывод о том, что значе-
значение т)г характеризует лазерный диод в целом и не имеет пря-
прямого отношения к квантовому выходу люминесценции.
Инжекционный лазер с непланарным р—п-пьреходом. Из
всех типов лазеров инжекционные полупроводниковые кван-
квантовые генераторы стоят на последнем месте по мощности ге-
генерации как в импульсном, так и в непрерывном режиме
работы. Этот серьезный недостаток в некоторых случаях сво-
сводит на нет все достоинства инжекционных ПКХ и сдерживает
их практическое применение. Поэтому поиски путей повышения
мощности излучения полупроводниковых лазеров были и оста-
остаются одной из важнейших задач полупроводниковой кванто-
квантовой электроники.
Для получения мощного лазерного луча в последнее вре-
время предложено несколько способов суммирования излучения
большого числа маломощных ПКГ. Однако лазерные системы
в виде стопы р—п-переходов [687] или матрицы [688], со-
состоящей из отдельных излучателей, дают в целом некогерент-
некогерентное излучение и могут применяться в тех случаях, когда ре-
решающее значение имеет только направленность и монохрома-
монохроматичность света, а не его когерентные свойства.
Некоторые новые возможности для повышения мощности
когерентного луча открывают многолучевые лазеры, состоя-
состоящие по существу из большого числа диодов, объединенных
одной подложкой и связанных генерируемым излучением, ко-
которое частично проходит через все диоды [689, 690].
В принципе работу по увеличению мощности когерентного
луча можно вести в двух направлениях. Во-первых, путзм
улучшения качества лазера увеличивать съем энергии излу-
излучения с единицы объема активной среды и, во-вторых, увели-
увеличивать сам генерирующий объем.
379
В полупроводниковых лазерах возможности значительного
увеличения удельной мощности генерации WT(V) (вт/см3)
практически исчерпаны. Например, в инжекционном лазере
с типичной площадью р—я-перехода порядка s=10~2 см2 и
толщиной активной области d—\ мкм уже при мощности ге-
генерируемого луча Sr=10 вт имеем Wr(V) ~ST/sd~ 107 вт/смя.
Плотность выходящего потока излучения столь высока, что
на зеркалах резонатора образуются выколки и наступает де-
деградация всего объема активной области. По этой причине
нецелесообразны значительное увеличение длины диода или
разработка любых других конструкций, в которых будет до-
достигаться более высокая плотность потока излучения. Остает-
Остается единственный путь: увеличение площади р—я-перехода за
счет увеличения ширины диода и эксплуатации лазера в мяг-
мягком режиме работы.
В инжекционных лазерах с плоским р—я-переходом с
увеличением ширины диода резко снижается порог генерации
неаксиальных и замкнутых мод и создаются благоприятные
условия для усиления люминесценции, распространяющейся
в направлении, перпендикулярном к оси резонатора. Поэтому
мощность генерации не только не увеличивается с увеличени-
увеличением ширины диода, но даже уменьшается. Для каждой задан-
заданной длины диода существует предельное значение его шири-
ширины Wnp, такое, что если ширина диода больше Wsp, то гене-
генерация аксиальных мод вообще невозможна [685, 691].
Это означает, что в лазерах с плоским р—я-переходом су-
существуют ограничения длины и ширины диода принципиаль-
принципиального характера, которые нельзя преодолеть совершенствова-
совершенствованием технологии получения слоя или повышением качества
кристалла. Многократное увеличение площади генерирующе-
генерирующего слоя может быть достигнуто только путем отказа от пла-
нарности р—я-переходов, которая с момента появления
ПКГ и до последнего времени считалась необходимым при-
признаком хороших лазерных диодов.
В работе [692] предложена конструкция инжекционного
лазера с поверхностью р—я-перехода, близкой к цилиндри-
цилиндрической поверхности, образующая которой перпендикулярна
зеркалам резонатора, а направляющая напоминает синусоиду
(рис. 124). Непланарный р—я-переход был получен путем
диффузии Zn в пластину GaAs, легированную Те, полирован-
полированная сторона которой имела форму цилиндрической повер-
поверхности. Радиус кривизны в каждой точке направляющей вы-
выбирался таким, чтобы подавить усиленную люминесценцию и
генерацию [693] в боковом направлении. Форма образую-
образующей кривой может быть произвольной, за исключением глад-
гладких замкнутых прямых типа эллипса в окружности. Мощный
лазер в виде кругового цилиндра сделать нельзя, поскольку
380
Рис. 124. Схема диода с непланарным р—га-
переходом
при большом радиусе не будет по-
подавлен волноводный эффект, а при
малом радиусе цилиндра будет ма-
мала площадь р—я-перехода. Лазеры
с непланарным р—я-переходом от-
открывают перспективный путь полу-
получения луча большой мощности. Опыты показывают, что порог
генерации таких лазеров практически не зависит от ширины
диода.
и-тип
§ 24. ВРЕМЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ГЕНЕРАЦИИ
Динамические режимы работы лазеров. По временным харак-
характеристикам работа любого лазера может быть отнесена к
одному из четырех видов: непрерывная генерация, импуль-
импульсная свободная генерация, генерация коротких (наносекунд-
ных) импульсов излучения в режиме модулированной доброт-
добротности и генерация сверхкоротких (пикосекундных) импуль-
импульсов в режиме синхронизации мод.
Из всех типов оптических квантовых генераторов только на
газовых лазерах была получена непрерывная генерация сразу
же в момент их создания. Генерация всех других лазеров по-
получалась вначале только в импульсном режиме. Твердотель-
Твердотельные лазеры средней мощности без принудительного охлажде-
охлаждения работают в режиме одиночных импульсов. При оптиче-
оптической накачке большая часть энергии возбуждающего света
превращается в тепло. Температура рабочего стержня повы-
повышается, он становится оптически неоднородным, а порог
генерации резко растет. Поэтому после каждой вспышки ла-
лазер необходимо охлаждать в течение нескольких минут, что-
чтобы вернуть его в рабочее состояние. Водяное охлаждение
стержня позволило создать частотные лазеры, дающие де-
десятки или сотни импульсов в секунду. Маломощные твердо-
твердотельные лазеры с низким порогом генерации и малым объе-
объемом активного вещества работают в непрерывном режиме *\
Непрерывная генерация инжекционных гомолазеров бы-
была получена вначале при температуре жидкого гелия и только
спустя несколько лет при температуре жидкого азота. Ком-
*) Литературу по всем вопросам квантовой электроники легко найти с по-
помощью [694] и ежегодных библиографических указателей [695], где от-
отражено более 33000 работ с 1958 по 1973 г.
381
натные температуры оказались для них непреодолимым
барьером. Ни уменьшение ширины активного слоя, ни все-
всевозможные улучшения теплоотвода и качества диодов не дали
желаемого результата. При комнатной и более высоких тем-
температурах лазеры на р—n-переходах работают только в им-
импульсном режиме. И только с созданием инжекционных лазе-
лазеров на гетеропереходах (§ 20) этот барьер был преодолен.
Непрерывная генерация может быть стационарной и не-
нестационарной. Опыты показывают, что стационарно генериру-
генерирует, как правило, одна мода. В этом случае интенсивность ла-
лазерного луча и его частота практически постоянны во време-
времени и лишь незначительно колеблются около своих средних
значений.
Если одновременно генерирует несколько мод, то в резуль-
результате конкуренции между ними характеристики лазерного лу-
луча становятся нестационарными. Скоростная временная
развертка показывает, что излучение состоит из коротких,
чаще всего хаотических импульсов, каждый из которых име-
имеет еще более тонкую временную структуру. Мгновенный
спектр излучения изменяется во времени и отличается от
спектра, усредненного за большой промежуток времени. По-
Поэтому и для описания непрерывной генерации необходимо
привлекать такие временные характеристики, как ширина
пичков, средняя частота их повторения, амплитудная и ча-
частотная автомодуляция. Набор таких параметров увеличива-
увеличивается при описании генерации, модулированной внешними си-
силами.
При импульсном возбуждении генерации весь интервал
времени от начала подачи возбуждающего импульса ^ = 0 до
конца генерации можно разбить на четыре участка. На пер-
первом участке, называемом временем задержки, активное ве-
вещество возбуждается, а генерация отсутствует. Второй уча-
участок — это переходный период. Уровень инверсной населен-
населенности вещества и интенсивность генерации релаксируют и
выходят на режим непрерывной генерации. После этого и до
конца импульса накачки генерация характеризуется такими
же параметрами, как в непрерывном режиме работы лазера.
Это третий период, которого не будет, если длительность им-
импульса возбуждения AtB меньше переходного периода. В чет-
четвертом периоде мощность генерации без накачки релаксирует
к нулю.
Как только появились оптические квантовые генераторы,
сразу же наметились две противоположные тенденции в рабо-
работах, направленных на изменение временных характеристик
лазерного излучения. Одна тенденция связана со стремлением
получить либо непрерывную генерацию, либо как можно
больше увеличить частоту повторения импульсов излучения.
382
В работах другого направления, наоборот, предпринимаются
всевозможные попытки, чтобы уменьшить длительность им-
импульса генерации.
Большим достижением на пути сокращения длительности
генерируемого излучения стало создание резонаторов с мо-
модулированной добротностью. Модуляция добротности может
быть активной и пассивной. В первом случае одно из зеркал
резонатора, а чаще всего призма быстро вращается вокруг
оси, перпендикулярной к оси резонатора. Резонатор оказы-
оказывается настроенным только в периодически повторяющиеся
небольшие промежутки времени (как 8-функция), когда вра-
вращающееся зеркало или соответствующая грань призмы па-
параллельны неподвижному зеркалу. В этот промежуток време-
времени и происходит генерация. Для активной модуляции приме-
применяются также различные оптические затворы, вводимые з
резонатор.
Пассивная модуляция добротности осуществляется с по-
помощью просветляющихся фильтров (§ 17). В невозбужден-
невозбужденном состоянии такой фильтр характеризуется малой величи-
величиной оптического пропускания на частоте генерации. Это
соответствует большому коэффициенту потерь резонатора.
При возбуждении активного вещества оно начинает сильно
люминесцировать и может возникнуть генерация в низко до-
добротном резонаторе, образованном естественными гранями
самого вещества, а не выносными зеркалами. Усиленная лю-
люминесценция или генерация быстро просветляет пассивный
затвор, добротность резонатора резко возрастает, и развивает-
развивается наносекундный (в твердотельных лазерах — гигантский)
импульс излучения.
В инжекционных лазерах модуляция добротности может
происходить непроизвольно из-за оптической неоднородности
или неоднородного возбуждения активной области.
При определенных условиях короткие импульсы генера-
генерации имеют регулярную временную структуру: они состоят из
серии сверхкоротких импульсов, возникающих в результате
сложения нескольких близких типов колебаний. Такие им-
импульсы излучения открывают новые возможности для исследо-
исследования быстропротекающих процессов. В настоящем пара-
параграфе кратко рассматриваются лишь основные временные
характеристики лазерного излучения.
Время задержки генерации. Теория нестационарной гене-
генерации твердотельных лазеров, основанная на решении урав-
уравнений баланса, наиболее полно изложена в [696]. Времен-
Временным характеристикам излучения инжекционных лазеров
посвящены обзоры [697, 698]. Рассчитаем время задержки ге-
генерации, опираясь на результаты, полученные в предыдущих
параграфах этой главы.
383
Средняя по объему активной области концентрация элек-
электронов и плотность генерируемого излучения в объеме дио-
диода нг удовлетворяют следующим уравнениям [610, 699]:
!к. , B4.1)
B4.2)
dn
dt
Л7
ed
dt
где t — время, остальные обозначения прежние.
Предполагая биполярный закон рекомбинации (§ 7)
#л = Апр B4.3)
и учитывая, что кус = Р (/ — /0), уравнения B4.1) и B4.2) можно
преобразовать к виду
dt
Л1
ed
п) _ v?^- n(N + n)q
+ n) G - v?joq - г
B4.4)
B4.5)
Здесь учтено уравнение электронейтральности
р = п + N, Na-Nd>0,
B4.6)
где Na и Nd — концентрации акцепторов и доноров, а через
G = иг/Ег обозначено число генерируемых квантов.
Кинетические уравнения B4.4) и B4.5) позволяют определить
зависимости n(t) и q(t) в период установления стационарного со-
состояния. До начала генерации qr = 0. Тогда в случае прямо-
прямоугольного импульса тока длительности А^в решение этих урав-
уравнений выражается соотношением
In
[(-х^Г
X
X
_ n(N + 1) \~' 1 =
B4.7)
Согласно B4.7), концентрация электронов увеличивается со вре-
временем от п = 0 до n(AtB). Если AtB->-oo, то п(А^в) приближает-
приближается к стационарному значению
= ]/'
edA
- 4- ¦ B4-8)
384
После прекращения возбуждения уменьшение концентрации
электронов описывается формулой
In
B4.9)
Из анализа B4.7) следует, что с увеличением плотности то-
тока время установления стационарного режима уменьшается.
Если за время импульса тока концентрация электронов п
достигает порогового значения пп, то из уравнения B4.4)
можно оценить время задержки t3 между началом генерации
и импульсом накачки. Учитывая, что величина пи определя-
определяется формулой B4.8) при /'=/" , получаем
I1»".
- /п
B4.10)
где /п — порог генерации в стационарном режиме,
л# '
си =
+
Ж" ¦ i/'
4^V2 ' V
B4.11)
edAN2
1 +
edAN
По сравнению с выражением, приведенным в работе [700], в
формуле B4.10) учитывается зависимость времени жизни элект-
электронов от плотности тока, что необходимо делать при малых зна-
значениях N. Для достаточно больших N коэффициенты ах и а2
порядка 1 и формула B4.10) упрощается
/3 = т0 In
/ ~
B4.12)
При т]л = 1 параметр т0 равен времени жизни электронов тсп,
обусловленному спонтанной рекомбинацией, а выражение B4.12)
совпадает с известной формулой работы [700].
Согласно B4.10), значение t3 уменьшается с увеличением /"
при фиксированном превышении порога генерации ///'". Увеличе-
Увеличение степени легирования Л^ также уменьшает время задержки,-
а зависимость t3(j") становится слабее. Если полагать, что /"
обратно пропорционально т)'т]л, то уменьшение цл, например,
с ростом температуры или из-за дефектов, кристалла приводит
к уменьшению t3. С другой стороны, изменения инжекционной
эффективности г\' не отражаются на величине задержки.
25. Зак. 312
385
При учете радиационного шума в уравнение B4.1) надо
добавить член, описывающий вынужденные оптические пере-
переходы под действием люминесценции. Если реабсорбция люми-
люминесценции существенна, то в случае, когда величина /"
уменьшается с увеличением ширины диода (§ 23), задержка
может возрасти по сравнению с t3 при малой плотности ра-
радиации шума. Таким образом, изменения плотности люмине-
люминесценции в объеме диода при изменении его размеров могут
явиться одной из причин наблюдаемой на опыте [701] зави-
зависимости времени задержки от площади р—я-перехода.
Как видно из B4.12), график зависимости t3 от 1п[//(/—
—/п )]_ выражается отрезком прямой, тангенс угла наклона
которой равен т0. Это позволяет по измеренной на опыте за-
зависимости времени задержки от плотности тока определить
время жизни электронов т0. Для GaAs инжекционных лазеров
получено то = 2 нсек, а время нарастания стимулированного
испускания было менее 0,2 нсек [700].
Формула B4.10) связывает время задержки генерации с
многими параметрами, характеризующими активный слой.
Поэтому не удивительно, что на опыте обнаружена зависи-
зависимость h от технологии получения р—я-переходов, от концен-
концентрации легирующих примесей, от термообработки и геоме-
геометрических размеров диодов [697, 698]. Значительное влия-
влияние на время задержки оказывает температура. В ряде
диодов обнаружено увеличение значения C на два. порядка в
небольшом интервале температур около некоторой переходной
температуры Гпер [702—704]. Характерно, что одновременно с
увеличением времени задержки при небольшом превышении
плотности тока над порогом наблюдается генерация в ре-
220 240 260 280 300 320 Т
Рис. 125. Зависимость порогового тока гетеролазера на основе CaAs-
GaxAli_*As от температуры: / — область свободной генерации; //—область
модулированной добротности; /// — область спонтанного испускания [705].
Вертикальная черта соответствует переходной температуре
386
жиме модулированной добротности. Это иллюстрируется -
рис. 125.
Механизм модуляции добротности и причины больших зна-
значений времени задержек связываются с наличием в кристал-
кристалле особых поглощающих центров (ловушек), которые стано-
становятся активными при определенных температурах. До тех
пор, пока не наступит насыщение поглощения света ловушка-
ловушками, инверсная населенность не может достигнуть уровня, не-
необходимого для получения генерации [703]. В литературе
предложено несколько моделей поглощающих центров,
однако вопрос этот нельзя считать окончательно решенным
[706].
Зависимость порогового тока от длительности возбуждаю-
возбуждающего импульса. Уровень инверсной населенности и коэффи-
коэффициент усиления вещества зависят не только от плотности
тока, но и от длительности импульса возбуждения. Вплоть до
установления стационарного режима (если разогреванием
активной среды можно пренебречь) чем продолжительнее
импульс накачки, тем больше коэффициент усиления.
Если длительность импульса А^в неизменна, то с уменьше-
уменьшением плотности тока инжекции время задержки, согласно B4.10),
возрастает. Минимальная плотность тока, при которой t3 = А^в>
будет импульсным порогом генерации /Цмп. При больших tz
(меньших /) генерации не будет, так как после прекращения
действия импульса возбуждения вещество возвращается в состоя-
состояние термодинамического равновесия. Если генерация не возникла
до конца импульса накачки, значит, ее не будет и позже. На
опыте это правило иногда может нарушаться [704].
Подставляя в B4.10) t3 = А^в и учитывая, что при этом / =
= /Г", находим связь между импульсным порогом генерации,
длительностью импульса и стационарным порогом:
1
/п — /п
-а.Д/До
B4.13)
1 — a2e
В тех случаях, когда справедлива формула B4.12), в B4.13)
^«fla^l. Как видно из B4.13), если А^в>т0, импульсный
порог генерации практически равен /". Когда А^в становится
сравнимым с т0, /пМП начинает возрастать и стремится к беско-
_^ J!°_ In о,.
нечности при А^в -s
ai
Эти выводы согласуются с экспериментальными результата-
результатами [707], приведенными на рис. 126. Как видно из рисунка, при
А^в « 3 нсек импульсный порог генерации лазера с двумя гете-
гетеропереходами в три раза больше /"• Аналогичные результаты
получены в других опытах.
25*
387
Рис. 126. Зависимость порога
генерации от длительности воз-
возбуждающего импульса для ии-
жекционных лазеров с диффу-
диффузионным р—п-переходом (/),
с одним B) и двумя C) гете-
гетеропереходами [707]
20дЦ,нсек
Переходный режим генерации. Для рассмотрения переходно-
переходного режима генерации введем новые переменные величины [699]
х = п — пп, y = q — qCT. B4.14)
Пороговое значение концентрации электронов пп выражается фор-
формулой B4.8), в которую необходимо подставить значение стацио-
стационарного порога. С учетом B0.23) из B4.8) находим
Полагая в B4.1) и B4.2) производные по времени равными нулю
и решая алгебраические уравнения, находим число квантов, гене-
генерируемых в стационарном режиме:
ed
B4.16)
Если положить внутренний квантовый выход генерации т)г»
дат)' равным единице, то формулу B4.16) можно получить с по-
помощью A9.27) и B1.2).
Линеаризуя систему уравнений B4.1) и B4.2), получим
dx
dt
= -Ш- 2пп)
edA
1
vfed
na) - /0 у,
х —
dy_
dt
B4.17)
B4.18)
Исследование на устойчивость по первому приближению показы-
показывает, что стационарное решение B4.15), B4.16) асимптотически
устойчиво по Ляпунову.
Если выполняется условие
/о > 2 (/„ — /0), B4.19)
1т
388
где
^0 ~1~ ft Л
edA
B4.20)
то решение системы уравнений B4.17) и B4.18) описывает зату-
затухающие колебания
п — п„
ехР ( — — ) cos <¦>„*,
ехр
B4.21)
sin (coK^— ф0),
частота которых равна
1 — /о
B4.22)
Im /o \ /m /o
Оценки для типичных параметров GaAs инжекционных лазе-
лазеров показывают, что необходимое условие колебаний B4.19) всег-
всегда выполняется, а пульсации излучения возникают практически
сразу выше порога. Область пульсаций соответствует прибли-
приближенно условию
\/п /о)
/п
2(/т-/о)
< / < 2/т — /,,,
B4.23)
причем нижняя граница пульсаций не превышает B/'п — /0).
Постоянная времени затухания колебаний населенности и ин-
интенсивности излучения т определяется выражением
= vgKn
-if- . B4.24)
1т /о
С ростом / пульсации излучения затухают быстрее. Условие чет-
четких пульсаций сокт>2я оказывается более жестким, чем B4.22),
так как необходимо выполнение неравенства
1т — /о > 2Dл2 + !) (L — /о)- B4.25)
Интервал четких пульсаций соответствует приближенно условию
/п +
1т /о
4я2
¦in-
B4.25а)
Колебания населенности и пульсации излучения имеют один
и тот же период, но они сдвинуты по фазе относительно друг
друга на величину А = (- ср0 = \- arctg сокт, которая
зависит от тока и вблизи / = 2/п — /0 составляет практически
А ^ я/2.
389
o i г
/7,3 6,3
5 6
7
21,3 S8
f
3
г
1
n
r,
i Up off
5,6
S
i Чет
\u
* JUULA A/v/\z\sn^>
2 3 4 5 6
Of Z 3 4 5 6 t,HCBK
Рис. 127. Переходный процесс установления стационарного режима гене-
генерации при ///„=1,5: а—кп=10 см-1, геп = 2,44-1016 см-3, qCT = l,47-10'* см-3;
б — кв=20, пп=3,62-1016, <?ст = 1-Юи; в —/сп = 50 см~\ лп=7,0Ы016 см~\
<?ст== 8,82-1013 см~3
Машинный расчет системы нелинейных уравнений B4.4)
и B4.5) показывает, что колебания населенности в начальные
моменты времени носят пилообразный характер, первые
пички излучения по интенсивности в несколько раз превосхо-
превосходят стационарное значение и имеют длительности порядка
100 псек, время формирования начального пичка излучения
составляет около 1 нсек, а расстояние между соседними пип-
пипками уменьшается со временем до периода, равного 2л/сок
(рис. 127). В качестве исходных данных брались параметры,
характерные для GaAs лазерных диодов при температуре
жидкого азота: /о = 500 а/см2, р = 2-10 см/а, iV= 1018 смтг,
Л/т1л=Ю~9 см3/сек, fg = 8,5-109 см/сек, затравочное число
квантов равнялось 105 см'3, б = 4у]'цп/едА№=Л0-* см2/а.
Как видно, стационарный режим генерации устанавливает-
устанавливается практически в течение 10 нсек после начала импульса тока.
На переходном участке частота пульсаций излучения возра-
возрастает с увеличением / и кп в качественном согласии с опытом
[708—710]. Если длительность импульса накачки больше
времени релаксации, то для интерпретации эксперименталь-
экспериментальных данных по импульсной генерации можно пользоваться ре-
результатами стационарной теории.
390
В работе [709] для периода колебаний генерируемого из-
излучения в переходном режиме получена формула
к =
1
м.
B4.26)
где тр — время жизни фотонов в резонаторе; М — величина, сла-
слабо зависящая от т0, тр и порогового тока.
В частном случае, когда /0 = 0, на основании B4.22) можно
получить B4.26). Для этого необходимо пренебречь вторым сла-
слагаемым под знаком корня в B4.22), положить /0 = 0 и учесть,
что т0 = f\jAN, a r^1 = Kavg (см. вывод A9.9а)).
Зависимость Т"к — (/7/п—1)"/2 качественно подтверждается
на опыте. Для лазера с двойным гетеропереходом в [711] полу-
получено Тк — 1 нсек вблизи порога иГ„ = 0,2 нсек при / = 3/п,
Релаксационные колебания населенностей зон и нтенсив-
ности излучения без учета параметра /0 (модель экспоненци-
экспоненциальных хвостов зон) рассчитаны также в [712] и других ра-
работах.
Амплитудная и частотная автомодуляция излучения. Из
решения кинетических уравнений типа B4.1), B4,2) для одно-
однородного активного слоя следует, что после переходного режи-
режима релаксационных колебаний должен наступить стационар-
стационарный режим излучения, если только накачка не изменяется во
времени. На опыте действительно наблюдалась стационарная
генерация в одномодовом [713, 714] и двухмодовом режимах
[715]. В то же время многомодовая генерация всегда неста-
нестационарна. Несмотря на постоянное возбуждение, генерация
имеет характер незатухающих регулярных или чаще всего
нерегулярных пульсаций (пичков). Во всех типах лазеров
происходит внутренняя автомодуляция излучения. Иногда она
наблюдается и в одномодовом режиме работы ОКГ [716].
На рис. 128 показаны срисованные осциллограммы излу-
излучения инжекционного лазера с выносным резонатором [717].
Если / превышает порог на 8%, то автомодуляция излучения
незначительна. При ///п=1,1 появляются отчетливые пички.
С увеличением / частота следования их растет, пички стано-
становятся более регулярными. Когда / превышает порог на 20%
(рис. 128, г), колебания интенсивности лазерного луча стано-
становятся хаотическими как по форме, так и по интенсивности.
Тем не менее средний период повторения пичков задается
периодом релаксационных колебаний интенсивности Тк на пе-
переходном режиме [711]. Каждому пичку присущ свой модо-
вый состав излучения [718, 719]. В одном пичке возбуждается
одновременно от одной до шести мод, а наиболее часто три-
четыре типа колебаний. Очередность появления мод от пичка
к пичку схематически показана на рис. 129, а.
391
0 201, шеек
Рис. 128. Амплитудная автомодуляция световых импульсов инжекционного
лазера с выносным зеркалом (/=35 см) при токах, превышающих порог
иа 8% (а), 10 (б), 15 (в), 20% [697]
Мгновенный спектр генерации непрерывно изменяется и
отличается от спектра усредненного по времени (рис. 129, б).
Центр тяжести мгновенного спектра (наиболее интенсивная
мода) совершает нерегулярные колебания вдоль оси длин
волн.
Для получения регулярных колебаний интенсивности
модулируется, в частности, инжекционный ток. Если частота
колебаний переменной составляющей тока не сильно отлича-
отличается от средней частоты пульсаций свободной генерации, то
удается полностью и весьма эффективно синхронизировать
пички излучения. Синхронизация пичков носит резонансный
характер и наблюдалась в диапазоне частот от 0,4 до
1, 75 Ггц [716, 720].
S
9050 Ш
9080
Рис. 129. Схема появления отдельных типов колебаний в пичках излучения
инжекциониого лазера с одним гетеропереходом в системе QaAs—AlAs (a)
и усредненный по времени спектр генерации (б) прн ///„ = 1,06. Темные
кружки — наиболее интенсивные моды [718]
392
Наряду с автомодуляцией интенсивности излучения проис-
происходит и автомодуляция длины волны каждой моды в отдель-
отдельности, что указывает на изменение оптической длины резона-
резонатора п/ [714]. Частотная автомодуляция также может быть
синхронизирована током инжекции [721] и в конечном итоге
приводит к увеличению ширины спектральной линии гене-
генерации.
Амплитудная и частотная автомодуляция лазерного излу-
излучения при постоянном во времени возбуждении свидетельст-
свидетельствует о том, что либо энергетическое, либо интерференционное
условие генерации, либо оба условия одновременно изменяют-
изменяются во времени. Иными словами, коэффициент потерь, коэффи-
коэффициент усиления и оптическая длина резонатора являются
функциями плотности генерируемого излучения в резонаторе
иг(а>, t), а через нее и функциями времени:
*п И = ^i [«г К 01. Кус И = ?21/. "г К 01.
n(co)Z =
B4.27)
Каковы бы ни были физические причины, условий B4.27),
если хотя бы одно из них использовать в теории, то для опре-
определенного соотиошеия параметров получается нестационар-
нестационарный режим генерации.
Пусть, .например, в оптический резонатор помещен про-
стветляющийся фильтр (§ 17). До начала генерации его
коэффициент поглощения на частоте (ог достаточно большой,
что обеспечивает большое значение порога. С появлением ге-
генерации фильтр просветляется, а мощность генерации резко
возрастает. Это приводит к понижению уровня инверсной на-
населенности за счет вынужденных переходов. Мощность гене-
генерации падает, а фильтр затемняется. Порог вновь возрастает,
что дополнительно снижает мощность генерации. Когда иГ(ы)
минимально, наиболее быстро возрастает уровень инверсной
населенности и создаются предпосылки для генерации нового
импульса излучения. Так устанавливается автоколебатель-
автоколебательный режим генерации.
В лазерах с пространственно неоднородным возбуждением,
в частности в лазерных диодах [722—726], роль просветляю-
просветляющегося фильтра играют менее возбужденные участки актив-
активной среды.
Так как для создания необходимого значения коэффициен-
коэффициента усиления всегда требуется некоторое конечное время и ве-
величины скоростей спонтанных и стимулированных переходов
тоже конечны, то и уменьшение, и увеличение коэффициента
потерь с ростом иг(со) может привести к пичковому режиму
генерации.
393
В работах [727, 728] развита теория нестационарной гене-
генерации в предположении, что показатель преломления кри-
кристалла нелинейно зависит от интенсивности света. Поэтому
появление генерируемого излучения в активном слое диода
уменьшает величину скачка диэлектрической проницаемости
на границах активного, слоя и пассивных областей. Волновод-
ные свойства активного слоя ухудшаются, генерируемая вол-
волна глубже проникает в пассивные области и больше шоглоща-
ется. Короче говоря, коэффициент внутренних оптических по-
потерь р, входящий как слагаемое в коэффициент потерь,
возрастает с увеличением плотности генерируемого излучения.
Этого предположения достаточно, чтобы получить режим не-
незатухающих автоколебаний.
Причины нестационарности коэффициента усиления такие
же, как и причины многомодового режима генерации (§ 23).
Важнейшая из них — это несовпадение пространственной ло-
локализации различных типов колебаний в активной среде.
С другой стороны, нестационарный режим генерации создает
благоприятные предпосылки для многомодовой генерации
[714, 729]. Если изменения оптической длины резонатора
меньше Яг/2, то возможна стационарная одномодовая генера-
генерация, сопровождающаяся частотной модуляцией излуче-
излучения [714].
Генерация наносекундных импульсов излучения в режиме
модулированной добротности. Для модуляции добротности в
твердотельных лазерах применяются вращающиеся зеркала и
призмы, играющие роль глухих зеркал резонаторов, электро-
электрооптические затворы, пьезооптические диафрагмы и просветля-
просветляющиеся фильтры [730]. Такие фильтры называются обычно
пассивными затворами, так как их открывает само генерируе-
генерируемое излучение. Путем модуляции добротности получают один
мощный моноимпульс или серию импульсов, длительность ко-
которых в зависимости от параметров резонатора, активной
среды, модулирующего элемента и интенсивности накачки
варьируется от единиц до десятков и сотен наносекунд.
Как отмечалось выше, в полупроводниковых лазерах обна-
обнаружена внутренняя модуляция добротности, приводящая к
увеличению времени задержки и сокращению длительности
импульса. Кроме того, получена генерация сверхкоротких им-
импульсов в инжекционных лазерах и лазерах с электронной
накачкой (§ 26) при неоднородном возбуждении активной
среды.
Неодородное возбуждение активного слоя легче всего со-
создать в разрезных диодах (рис. 130), у которых на контактной
поверхности сделана канавка, параллельная зеркалам резо-
резонатора. Две части диода оказываются электрически изолиро-
изолированными друг от друга. Степень возбуждения одной части оп-
394
Рис. 130. Зависимость частоты повторения <вк и длительности импульсов
генерации (а) разрезного диода (б) от 1\ при /2 = 8 а
ределяется током 1\, а второй части — током /2. В то же время
общий плоский р — м-переход обеспечивает надежную опти-
оптическую связь между частями диода, разделенными канавкой.
В [723] обе части диода возбуждались независимыми ге-
генераторами тока. Амплитуды импульсов тока плавно изменя-
изменялись от 0 до 60 а. При определенном значении тока h и /ь в
несколько раз превышающем h, в течение всей длительности
тока А^в~Ю мсек наблюдалась генерация регулярных им-
импульсов излучения длительностью порядка 1 нсек и с часто-
частотой повторения более 1 Ггц. С увеличением тока /i при посто-
постоянном /2 значение сок увеличивалось, а длительность импульса
А/г уменьшилась (рис. 130). Область значений h и 1% где
наблюдается генерация наносекундных импульсов, исследова-
исследована в [722].
Такую работу инжекционных лазеров по аналогии с твер-
твердотельными лазерами, имеющими пассивные затворы, следует
относить к генерации в режиме модулированной добротности.
Роль пассивного затвора разрезного диода играет менее воз-
возбужденная его часть.
Исследованию свойств разрезных диодов, особенно их би-
стабильному и триггерному режиму генерации, посвящено мно-
много работ [697, 707, 726, 713—734], поскольку эти приборы
перспективны для создания логических элементов вычисли-
вычислительных машин. Длительность импульсов генерации таких
диодов в режиме внутренней модуляции добротности иногда
составляет десятые доли наносекунд [735].
Генерация пикосекундных импульсов излучения в режиме
самосинхронизации мод. Еще в 1964 г. было замечено [736],
что кроме свободной генерации и работы лазеров в режиме мо-
модулированной добротности возможен еще один качественно
отличный режим генерации, когда испускается серия ультра-
ультракоротких импульсов излучения (УКИ). В отличие от релакса-
395
циойных колебаний, период которых, согласно B4.26), умень-
уменьшается с увеличением уровня возбуждения, период повторе-
повторения УКИ не зависит от накачки и определяется формулой
* \rtfvr ~~
уки
21
С
B4.28)
где по-прежнему / — длина резонатора; с — скорость света.
Длительность импульса генерации обратно пропорциональна
числу генерирующих мод s:
уки _
S
2/
CS
B4.29)
Период повторения УКИ соответствует периоду межмодо-
вых биений для аксиальных типов колебаний. Это означает,
что УКИ возникают в результате самосогласованной генера-
генерации и интерференции нескольких аксиальных типов колебаний.
В литературе рассматривается несколько механизмов генера-
генерации в режиме самосогласования мод [737, 738]. Остановимся
только на флуктуационном механизме возникновения УКИ,
для реализации которого в полупроводниковых лазерах
имеются благоприятные условия.
В соответствии с флуктуационным механизмом процесс воз-
возникновения УКИ можно представить так. В резонаторе на-
наряду с активной средой имеется просветляющийся фильтр.
Сразу же после преодоления порога начинается генерация
многих аксиальных мод. В результате интерференции мод с
беспорядочным распределением фаз возникают хаотичные, но
с самого начала ультракороткие пички генерации. Это линей-
т*%***^
Ш % тек
Рис. 131. Ультракороткие импульсы генерации в режиме синхронизации
мод: а — в лазере на неодимовом стекле [738]; б — в лазерном диоде
с внешним зеркалом резонатора прн /=75 см
396
Л.
ная сгадия генерации, поскольку ее характеристики не связа-
связаны с наличием нелинейного поглотителя. На нелинейной ста-
стадии генерации происходит резкое усиление наиболее интен-
интенсивных пичков и подавление всех остальных флуктуации
интенсивности. Возрастание интенсивности пичков сопровож-
сопровождается уменьшением их длительности. В этом процессе решаю-
решающую роль играют нелинейные оптические свойства активной
среды и просветляющегося фильтра. Временная развертка ге-
генерации лазера на неодимовом стекле [738] позволяет про-
проследить, как из совокупности беспорядочных пичков возни-
возникает серия ультракоротких импульсов, показанная на рис.
131, а.
У полупроводниковых лазеров с длиной резонатора, со-
составляющей обычно сотые доли сантиметра, период генерации
УКИ, согласно B4.28), по порядку величины равен 10~12—
10~и сек. Получить осциллограмму таких импульсов, по-види-
по-видимому, невозможно. Поэтому применяются косвенные методы
изучения временной структуры генерации, в частности интерфе-
рометрический метод [739],
Генерацию полупроводниковых лазеров в режиме синхро-
синхронизации мод сравнительно легко наблюдать, если увеличить
период УКИ путем увеличения длины резонатора с помощью
выносных зеркал. На рис. 131, б показана осциллограмма
излучения инжекционного лазера с внешним зеркалом и дли-
длиной резонатора /=75 см [740]. Как видно из рисунка, на
фоне релаксационных колебаний имеется серия УКИ с перио-
периодом, равным 21/с=5 нсек.
В лазерах с пассивным затвором возникает автосинхрони-
автосинхронизация мод. Для активной синхронизации мод модулируют
либо накачку, либо добротность резонатора с частотой, рав-
равной разности частот аксиальных типов колебаний.
Применение пикосекундных импульсов света открывает но-
новые возможности для научных исследований и практических
приложений. Они позволили, в частности, измерить время
жизни фононов ~3-10~12 сек (см. § 7, горячая люминес-
люминесценция).
§ 25. ПОЛУПРОВОДНИКОВЫЕ ЛАЗЕРЫ
С ОПТИЧЕСКИМ И ЭЛЕКТРОННЫМ
ВОЗБУЖДЕНИЕМ
Особенности оптической накачки. Полупроводниковые квантовые
генераторы с оптическим возбуждением на основе GaAs [741,
742], CdS [743, 744], InSb [745], InAs [745, 746] были созданы
в 1965 г., а затем на основе CdSe [747, 748], CdSK — CdSe1_x
[749 — 751], Cd.Hg^Te [752], Pb^Sn^Te [753] и на других
полупроводниках (табл. 7) [481].
397
Таблица 7
Полупроводниковые вещества, генерирующие
при возбуждении пучком быстрых электронов (е)
при оптической иакачке (S) и при инжекции тока
через /7—га-переход (/) или контакт металл —
полупроводник (/*)
Продолжение табл. 7
Вещшбо
ZnS
GaH
ZqO
ZnSe
CdS
Zn^OcL Be
ZnTe
G(ScIn1-xP
SaSe
GaP^e^
CdSe
CdSlAs2
CdTe
.Gads'
AlGaPAs
GVn1-xA8
InP
AlGaAsSb
InSe
^x^i-x
GalnPAa
0dSnP2
Ga^^e
Ar, mkm
0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0.8 0,9 1,0 if 1,2
e
1 1 e
№ e
1
1
8
S
S
e
S
L
e
s 1
1
S
a
S
s
i
S 1
ИГ
e
e
e
II a 1 s 1
1
=
s
I
J
e
S
3
e
S
j 1
шшш
i
i НИЩ
j
e
i
1 S 1
3
Ьещестк
GaSb
In2Se
InPX*31-x
GaSIn1-xA3
InAs
Ge^Fb^^S
lnAsxSb1-x
Те
Od^H^.^e
PbS.
PbSxSe1_xl
InSb
PbS^e^
InSb
Ge^^^Te
PWe
PbSe
Sa^Pb^^ Se
/ г j
el
e
i
i
s
Х„шш
4 5 I
i
1 e s
Hims
Д
e
p
s
e
3
II s
s
e
Sip!!
T
1
f 7 8 9 10 11
IUli
e | s |
i
I i
Illll i
III
s
e
j
i
I
e
IS,
e
i
¦illlilh
j»l illll—
31 Illlllr"
s
U2t
Ш9
m
mkm
m
Оптическое возбуждение генерации, так же как и люминес-
люминесценции, связано с однофотонным или двухфотонным поглоще-
поглощением внешнего излучения в активной среде. При однофотон-
ном возбуждении энергия квантов внешнего излучения Ни>в
должна быть больше ширины запрещенной зоны. В случае
двухфотонного поглощения, как показано в § 16, необходимо,
чтобы Йсов было больше Eg/2. Двухфотонное возбуждение по-
позволяет создать инверсную населенность на большей глубине
от поверхности образца, так как коэффициент двухфотонного
поглощения обычно невелик. Поэтому возбуждающий свет
можно направлять как перпендикулярно, так и параллельно
оси резонатора. Если hiaB~>Eg, то инверсная населенность
создается только в приповерхностном слое толщиной в не-
399
t
5
Рис. 132. Схема оптического возбуж-
возбуждения генерации в полупроводииАах
[754]: / — излучение неодимового ла-
лазера иа иттрий-алюмиииевом грана-
гранате G„в = 1,06 мкм); 2,3 — цилиндри-
цилиндрические лиизы; 4 — образец из GaAs;
5 — хладопровод; 6 — генерируемое
излучение
сколько микрон и осуществляется обычно поперечный вариант
накачки, когда генерируемое излучение распространяется пер-
перпендикулярно к направлению распространения возбуждающе-
возбуждающего света (рис. 132). Чтобы получить узкую полоску активного
вещества, возбуждающий свет фокусируется цилиндрически-
цилиндрическими линзами.
В качестве источников оптической накачки полупроводни-
полупроводников применяется чаще всего излучение твердотельных, газо-
газовых и инжекционных лазеров. Так, для однофотонного воз-
возбуждения арсенида галлия используется либо непосредственно
излучение рубинового лазера, либо первая стоксова компо-
компонента вынужденного комбинационного рассеяния этого излу-
излучения в жидком азоте [741]. Для двухфотонного возбуждения
GaAs подходит излучение неодимового лазера. Таким путем
получена непрерывная генерация при комнатной температуре
[754]. Двухфотонное поглощение второй гармоники излучения
неодимового лазера позволило возбудить широкозонный полу-
полупроводник ZnS и получить генерацию в ультрафиолетовой
области спектра с Яг=0,33 мкм [755]. При двухфотонном
возбуждении излучением рубинового лазера смешанных кри-
кристаллов CdSxSei_K получена генерация в интервале Яг=
=510—555 мкм [756]. Плотность излучения маломощного
газового гелий-неонового лазера оказывается достаточной для
возбуждения генерации в монокристаллах CdSe [757],
GaAsi-жРгс [758] и других полупроводниках.
Хотя мощность генерации инжекционных лазеров состав-
составляет десятки ватт, площадь поперечного сечения генерируемо-
генерируемого луча на зеркале резонатора обычно меньше 10~4 см2.
Поэтому плотность светового потока достигает больших значе-
значений и достаточна для создания инверсной населенности в по-
полупроводниках. Инжекционный лазер на основе GaAs исполь-
использовался для возбуждения генерации в InSb, InAs [745, 746],
InP [759] и других полупроводниках. Так как излучение ин-
инжекционных лазеров характеризуется большим углом расхо-
400
димости (§ 22), то для увеличения плотности накачки возбу-
возбуждаемую пластинку прикрепляют к зеркалу резонатора ла-
лазерного диода. Схема поперечного варианта накачки тонких
полупроводниковых пластин инжекционным лазером показа-
показана на рис. 133 [760].
Для оптического возбуждения генерации в полупроводни-
полупроводниках наиболее перспективны лазеры йа растворах органических
красителей и других соединениях с перестраиваемой часто-
частотой излучения [761—766]. Эти лазеры позволяют производить
мощную накачку кристаллов на любой длине волны — от
ближней ультрафиолетовой до ближней инфракрасной обла-
области спектра. Они оказываются пока незаменимыми при изу-
изучении спектральных характеристик нелинейных оптических
явлений в полупроводниках [506].
Объем активной среды и мощность генерации полупро-
полупроводниковых лазеров с оптической накачкой может быть на
два-три порядка больше, чем в инжекционных лазерах. Так, в
арсениде галлия при однофотонном возбуждении в импульс-
импульсном режиме получена мощность более 40 кет [767]. По
сравнению с интенсивностью излучения в пороге мощность ге-
генерации возрастает на четыре-пять порядков, а затем стре-
стремится к насыщению (рис. 134). Аналогичная закономерность
наблюдалась и в других работах [481].
В отличие от лазеров нар — «-переходах активная среда
полупроводниковых квантовых генераторов с оптической
накачкой пространственно однородна. В качестве активной
среды могут быть полупроводники n-типа, р-типа, слабо и
1 -П.
Рис. 133. Схема возбуждения тонких полупроводниковых пластин с по-
помощью иижекционного лазера
26. Зак. 312
401
?¦/0
Ч
+Я'
Рис. 134. Зависимость мощности генерации
(в одну сторону) лазера от мощности оптиче-
оптической накачки при Я.в = 8281 А, Г = 80°К,
1=4 мм
сильно легированные образцы, или, что
наиболее важно, собственные полупро-
полупроводники. В относительно чистых полу-
полупроводниках важную роль в поглоще-
поглощении и испускании света играют
экситоны (§ 8, 18). В ряде работ зафи-
ftO 5IOz5H^Sg ксиррвана генерация излучения на не-
непрямых экситонных переходах.
Наряду с возбуждением пучком быстрых электронов
оптическая накачка позволяет получить стимулированное
испускание в тех полупроводниках', для которых еще не раз-
разработана технология создания р — я-переходов или гетеропе-
гетеропереходов. Кроме того, в пространственно однородном веществе
с контролируемой концентрацией примесей значительно про-
проще установить физическую природу оптических переходов.
При любом способе возбуждения возможна генерация на
оптических переходах зона — зона, зона — примесь и при-
примесь — примесь. Эти механизмы генерации подробно изучены
в теории инжекционных лазеров. Полученные там результаты
можно использовать для изучения ПКГ с оптической накач-
накачкой. Необходимо только учесть, что в отличие отинжекционных
лазеров, в которых скорость возбуждения прямо пропорцио-
пропорциональна току инжекции, при оптической накачке коэффициент
поглощения активной среды является функцией плотности
возбуждающего света (§ 14, 16). В случае однофотон-
ного возбуждения может наступить насыщение поглощения,
а при двухфотонном возбуждении коэффициент поглощения
растет пропорционально падающему потоку. На примере ла-
лазеров с однофотонным возбуждением покажем, как результа-
результаты, полученные в теории лазерных диодов, можно применить
для рассмотрения закономерностей генерации при других спо-
способах возбуждения. Отдельного обсуждения заслуживает
экситонный механизм генерации.
Порог генерации с учетом насыщения поглощения возбуж-
возбуждающего света [768]. Рассмотрим вариант накачки, когда
возбуждающий и генерируемый свет распространяется во
взаимно перпендикулярных направлениях. В этом случае мож-
можно первоначально ограничиться исследованием генерации
тонкого слоя, в пределах которого интенсивность накачки по-
постоянна. В пластинчатых лазерах толщиной 1—2 мкм такой
слой будет охватывать весь генерирующий объем.
402
В стационарном режиме генерации справедливы равенства
f\
I
= Rr
Q,
кус
= кп
B5.
где RB — скорость возбуждения; RT, Ra и Q — по-прежнему
скорости генерации, люминесценции и безызлучательной ре-
рекомбинации.
При накачке достаточно узкой спектральной линией ско-
скорость Rb просто выражается через коэффициент поглощения
на частоте возбуждения o>i и плотность потока возбуждающе-
возбуждающего света:
й, S) S (со) d® = /с(ю„ S) S. B5.2)
hco
С ростом накачки коэффициент усиления активной среды
растет. Минимальное значение S — Sn, при котором удовлет-
удовлетворяется условие кУс((дг)—кп и #г=0, будет порогом.
Расчеты и экспериментальные данные по инжекционным
лазерам, приведенные в § 20, показывают, что максимальный
коэффициент усиления в линейном приближении выражается
формулой B0.25).
Из сравнения скоростного уравнения B5.1) с соответству-
соответствующими уравнениями для инжекционных лазеров B0.3) сле-
следует, что эти уравнения переходят друг в друга, если произве-
произвести замену (г]"= 1)
RB =** lied.
Следовательно, для тех механизмов рекомбинации, для
которых справедливо B0.25), при оптической накачке и от-
отсутствии резонатора будем иметь
кус (со) = р2 (RB — R°B). B5.3)
Здесь параметры Pj и RB соответствуют аналогичным параметрам
для инжекционных лазеров:
Р2 ~ edf>, Rl ~ io/ed.
Пусть под действием возбуждающего света коэффициент
поглощения на частоте «i уменьшается по произвольному за-
закону A7.26). Тогда на основании B5.1) и B5.3) находим вы-
выражения для пороговых скорости и плотности возбуждающего
потока:
Яп = #в + РГЧ, B5-4)
~^^п, B5.5)
, sa)
к, s0)
где So связано с R°B уравнением So =
, So).
26*
403
Согласно B5.4), как и в инжекционных лазерах, пороговая
скорость накачки линейно растет с увеличением коэффициента
потерь, а пороговая плотность потока связана с ки более слож-
сложным выражением B5.5). Линейная зависимость будет только при.
отсутствии насыщения поглощения, когда f (©1; S) = 0. В этом
случае
5п = So 4 h&l ки. B5.6>
Pi* К)
Для инжекционных лазеров на арсениде галлия при 77°К ти-
типичны следующие значения параметров: /0 = 500 а/см2, р =.
= 3-10~2 см/а, d — 5 • 10~4 см, что соответствует величинам
R°B ¦=, 6,25-10+24 см-3-сек~\ pt = 2,4-10~24 см2-сек. При Ых =
= 1,5 да = 2,4-102 эрг, и(©^ = 500 см'1 из B4.8) находим.
So ~ 3 квт/см2, Sn — C + 0,2/сп) квт/см2, где кп выражается
в см'1.
Если юзбуждающии свет просветляет полупроводник, то по-
пороговая плотность потока может возрасти во много раз по сравне-
сравнению с приведенными оценками. Нижний предел порога So =
= limSn при /cu-^0 для /(©^ S) = aS (см. § 17) связан с
Rl простым соотношением
1 — CtnWjAB/X^©!) I —- Ctoo
где So — значение So при а = 0.
Графически зависимость So от RB выражается отрезками ги-
гипербол, которые начинаются в точке So = 0, /?в = 0 и уходят в.
бесконечность при R°B = % (©^/сЛ©^ Если Rl > к^^/аЫ^ то-
получить генерацию при оптическом возбуждении на частоте а>х
невозможно.
Параметр нелинейности а относится к числу важнейших
характеристик нелинейных свойств вещества. Некоторые ме-
методические вопросы экспериментального определения а рас-
рассмотрены в § 17. Аналитические выражения для а, примени-
применимые в частных случаях, приведены в § 14. Параметр нелиней-
нелинейности зависит от ширины запрещенной зоны Eg как a~Eg и
весьма чувствителен к изменению температуры и частоты воз-
возбуждающего света. Для а=0,01; 0,1 и 0,3 см2/квт из B5.7)
находим соответственно S0=3,l; 4,3 и 30 квт/см2 при So =¦
= 3 квт/см2.
Подставляя B5.7) в B5.5) и полагая f (щ, S) — aS, получим
= So -f
B5.8)
404
Рис. 135. Зависимость пороговой
плотности возбуждающего потока
от коэффициента потерь для S'Q =
=3 квт/см2, Awi/PiX(o)i)=0,2 квт/см
при различных значениях параметра
нелинейности; а=0,1 (/), 0,05 B),
0,01 C), 0 D)
$я,и6т/смг
80
60
40
20
4
40 80кп,СМ
-f
или
S — up -г ши^д/^к ywt)
П 1 г О' I V ,О / \Т~ ' *. ¦ '
1 — <Х [оо + nWjKjj/pjX (©j)J
Согласно B5.9), при малых а должна наблюдаться практически
линейная зависимость Sn от а. С увеличением а происходит рез-
резкое возрастание порога. В пластинках, в которых не выполняет-
выполняется неравенство
а < [So 4 hWi/Cn/Pi* ЮГ1 , B5.10)
генерация невозможна при любом уровне возбуждения (рис. 135).
Мощность и к.п.д. генерации. По аналогии с инжекционны-
ми лазерами (§21) предположим, что после преодоления порога
увеличение Rn + Q происходит по линейному закону
-Яп), B5.11)
где у — безрамерный параметр.
Учитывая, что полный поток генерируемого излучения Sr
связан с Rr соотношением A9.27), с помощью B5.1), B5.2),
B5.9) находим
Sr = wld^nr. "^ (S -Sn) ^ =
®i 1 + aSn кг 4- Р
= wlb{{\ -a(S0
(S'o
B5.12)
Здесь | =
b = -^- ^^(©^ d
«г 4- р
При увеличении длины активной области поток генерируемого
излучения вначале возрастает, а затем стремится к пределу, рав-
равному
lim Sr = w -^ In -JL- лгхКМ
'— «i Vrji P
x
X {[1 - a (So 4- &>)] Sb - (So + gp)}.
B5.13)
405
Предельное значение мощности генерации, согласно B5.13),
в значительной степени определяется коэффициентом внутрен-
внутренних потерь и может достигать больших значений в оптически
совершенных кристаллах, где р мало.
Мощность генерации, отнесенная к единице длины, как
функция кг имеет максимум. Приравнивая производную от
Sr по кг нулю, приходим к следующему соотношению:
- р =
V
¦P.
B5.14)
где КуС — значение коэффициента усиления, которое было бы
при отсутствии резонатора. Равенство B5.14), выраженное через
КуС и р, справедливо для инжекционных и твердотельных лазе-
лазеров (§ 21).
Коэффициент полезного действия лазера равен
т, =
Jr
SBwl
P
B5.15)
При постоянном уровне возбуждения значение т] достигает
максимума, когда параметры активной среды удовлетворяют
условию B5.14). С ростом накачки величина г\ растет и стремит-
стремится к пределу, равному
кг
сог
со,
кг
Как показано выше, в выражение для порога, мощности и
к.п.д. генерации входят параметры р, р\, So, у и а. Эти же па-
параметры определяют условия оптимального режима работы лазе-
лазера B5.14) и максимальный коэффициент полезного действия. При-
Приведенные формулы позволяют определить все параметры на
основании экспериментальных данных. Одна из возможных схем
эксперимента сводится к следующему.
1. Измеряется насыщение поглощения на частотеcoi и оп-
определяется параметр нелинейности а.
2. Измеряется порог генерации при двух значениях кг. Это
позволяет по формуле B5.9) найти Ei и выражение
в котором неизвестны только So и р.
406
3. Экспериментально находится значение кгт, соответствую-
соответствующее максимуму Sr. Тогда формула B5.14) будет вторым урав-
уравнением для So и р.
4. Производится измерение в абсолютных единицах Sr и
по формуле B5.13) рассчитывается х\Т.
При экспериментальном определении лазерных парамет-
параметров толщину генерирующего объема следует выбирать так,
чтобы в пределах всей пластинки плотность возбуждающего
света была практически постоянной. Это условие будет выпол-
выполнено, если x(coi)d<^l + aSn. Найденные таким образом пара-
параметры, за исключением цТ, будут справедливы и для толстых
пластин, так как они характеризуют свойства активного веще-
вещества и не зависят от уровня возбуждения.
Просветление пассивных областей пластинчатых лазеров
[769]. Генерация в тонких A—5 мкм) полупроводниковых
пластинах при оптической накачке [757—770] характеризует-
характеризуется важной особенностью, которая еще не получила однознач-
однозначного объяснения и требует дальнейшего исследования.
Как показано в § 15, предельный коэффициент усиления
в активной среде по своей величине не может быть больше ко-
коэффициента поглощения этой среды при отсутствии накачки
и условии, что все нижние состояния заняты электронами, а
верхние свободны. Поэтому если пучок света проходит после-
последовательно активные (а) и пассивные (п) участки одного и
того же вещества длины /а и /п, то его усиление на пути /а
будет полностью компенсировано ослаблением в пассивной
области при /п^/а.
Однако вопреки ожиданиям усиление даже в маленьком
пятнышке тонкой пластинки способно перекрыть потери в
пассивной области во много раз большей длины. В работе
[771] получена генерация тонких пластин чистого и слабо
примесного CdSe при длине пассивной области, более чем в
10 раз превышающей /а-
Рассмотрим этот вопрос подробнее. Пусть коэффициент уси-
усиления в активной области равен кус(со), а коэффициент погло-
поглощения пассивной области — кпас (со). Тогда энергетическое усло-
условие генерации можнб представить в виде
Кус (СО) =
1
2/„
In
1
Ра + [Рп + Кпас И1 ~- = «л-
'а B5.16)
Для прямых переходов между параболическими зонами (§ 6)
имеем:
4с (со) = a (hco - El)l/2 [fe (Ее, К) - fe (?„, ПI B5.17)
кпас (со) = a (hco
[fe (?„, Fl) - fe (Ec, Fae)]. B5.18)
407
В'слабо примесном невозбужденном полупроводнике кшс((?>)&
¦яг а (ha — ?g))/2 • Следовательно, если /п > /а, а Е\ = Eg, то
удовлетворить условию генерации B5.16) невозможно. Аналогич-
Аналогичная трудность возникает при интерпретации генерации л-GaAs
пластин с электронным возбуждением [772]. Поэтому сделано
предположение, что в активной области вследствие экранирую-
экранирующего действия свободных носителей происходит уменьшение ши-
ширины запрещенной зоны, а ка (со) может быть на порядок боль-
больше, чем Кпас(«) на той же частоте [772]. По расчетам авторов
{772], при увеличении концентрации электронов и дырок от п =
= 2-1016 см~3, р = 0 до п = р — Ю18 смГъ ширина запрещенной
зоны в GaAs при Т = 300 °К уменьшается на 90 мэв.
Идея о сужении запрещенной зоны широко используется
при интерпретации экспериментальных данных по пластин-
пластинчатым лазерам [771, 773, 774]. Она позволяет объяснить не
только причину генерации пластинки с пассивными областя-
областями, но и ответить на вопрос, почему энергия генерируемого
кванта в слабо легированных образцах меньше Eg [774, 775],
а с ростом накачки частота генерации в некоторых образцах
уменьшается [773, 776]. Однако возможна и иная интерпрета-
интерпретация экспериментальных данных.
Люминесценция и вынужденное просветление полупро-
полупроводника так же, как и сужение запрещенной зоны, могут не
только обеспечить выполнение условия генерации B5.16), но
и привести к сдвигу частоты генерации с ростом накачки.
Полупроводниковые пластины обладают хорошими волно-
водными свойствами. Все лучи света, идущие из любой точки
внутри пластины, испытывают полное внутреннее отражение,
если угол их падения больше #=arcsin(l/n). Для полупро-
полупроводников показатель преломления п~3,5, #~16°, что соот-
соответствует телесному углу, равному 0,08л. Если в пластине на-
находится источник света со сферической индикатрисой излу-
излучения, то только за счет полного внутреннего отражения 96%
света остается в пластине. Для лучей, распространяющихся
в указанном телесном угле, коэффициент отражения колеб-
колеблется от 0,3 до 1. Поэтому практически все рекомбинационное
излучение полупроводника остается в пластинке и распрост-
распространяется между ее поверхностями. При квантовом выходе
порядка 0,7—0,8 поток люминесценции в пластинке будет
сравним с потоком возбуждающего света, а его плотность
только на один-два порядка ниже плотности потока накачки.
Наличие резонатора и усиление в активной среде приводят
к возникновению усиленной люминесценции с индикатрисой,
вытянутой вдоль оси резонатора, и высокой плотностью пото-
потока. После преодоления порога само генерируемое излучение
еще больше просветляет пассивную область.
408
Рис. 136. Графики /са(а>) (сплошные кривые) и кп (штриховые) при раз-
различных степенях просветления пассивной области для Г=80°К, ра + рп Ь
'а
+ —- In—=52 см~\ /а=0,5 см, /п=0,2. На кривых указаны значения
2«а rir2
F"—Eco в мэв. Точки касания кривых определяют энергию генерируемого
кванта света
Как показано в § 14, в чистом арсениде галлия просвет-
просветление края полосы поглощения начинается (Т=77°К) при
плотностях потока порядка 1 квт/см2 или плотности лучи-
лучистой энергии ~ 1 эрг/см3. Так как плотность потока накачки на
три-четыре порядка больше этой величины, то просветление
тонких полупроводниковых пластин спонтанной и вынужден-
вынужденной фотолюминесценцией представляется весьма вероятным.
На рис. 136 приведены графики правой и левой частей
B5.16), построенные для различной степени просветления
пассивной области. При расчете кривых использовались
формулы B5.17), B5.18) и решение уравнения электроней-
электронейтральности для чистого арсенида галлия [430]. Чем больше
просветлена пассивная область, тем меньше /сПас(«) и /са(и),
а точка касания кривых перемещается в сторону меньших ча-
частот. Эта закономерность справедлива в большей или меньшей
степени при вариации параметров U, In, p в широких преде-
пределах *>.
Введение примеси в полупроводник создает новые каналы
рекомбинации электронов и дырок, существенно не изменяя
коэффициента поглощения при межзонных переходах. Поэто-
Поэтому для просветления сильно легированного полупроводника
требуются плотности потока на несколько порядков больше,
чем для просветления чистого материала (см. § 14). Это под-
подтверждается на опыте [499]. Возможно, поэтому высокая
*» При возбуждении пластины инжекционным лазером пассивные области
будут образовываться вследствие неоднородной генерации возбуждаю-
возбуждающего лазера (см. рис. 110).
409-
прозрачность обнаружена в пластинках из слабо примесного
полупроводника [771].
К дополнительным доводам в пользу просветления пас-
пассивных областей пластинчатых лазеров относятся следующие.
Во-первых, на опыте обнаружено [777] просветление пласти-
пластины в частоте возбуждающего света йо>1 = 1,527 эв при Eg =
= 1,513 эв (Т—77°К). Уменьшение ширины запрещенной
зоны, наоборот, приводит к увеличению коэффициента погло-
поглощения. При Л?| = 90 мэв [772] коэффициент поглощения в
GaAs (без учета заполнения зон) на частоте /koi = 1,527 эв
должен стать равным 6,4 • 103 см~1. Во-вторых, в оптически
связанных инжекционных лазерах пассивные области про-
просветляются как под действием стимулированного излучения,
так и под действием спонтанного излучения [778].
Таким образом, при рассмотрении механизма генерации
тонких пластин, временного и спектрального поведения мод
необходимо иметь в виду не только сужение запрещенной
зоны в активной области, но и возможность просветления
пассивных областей. Какое из этих явлений в том или ином
случае играет решающую роль, покажут дальнейшие опыты.
Уменьшение Е\ легко обнаружить, в частности, по смещению
длинноволнового края полосы спонтанного испускания в ак-
активной области, а просветление пассивной области можно за-
зафиксировать с помощью дополнительного светового луча.
Экситонный механизм генерации излучения. Люминесцен-
Люминесценция, возникающая при спонтанной аннигиляции экситонов,
подробно рассмотрена в § 8. Очевидно, наряду со спонтанной
возможна и стимулированная аннигиляция экситонов как
процесс, обратный экситонному поглощению света.
Ранее уже отмечалось (§ 5), что представление об эксито-
нах большого радиуса как о водородоподобных частицах вы-
выходит за рамки зонной теории твердого тела. Поэтому совме-
совмещение энергетической схемы экситона с электронным спект-
спектром энергии в значительной степени условно. В такой же мере
условно представление и об аннигиляции экситонов. С одной
стороны, внутренняя и кинетическая энергия экситонов при их
аннигиляции полностью передается электромагнитному полю
и кристаллической решетке, включая всевозможные дефекты
решетки. Это позволяет рассчитать контуры линий экситон-
ной люминесценции (§ 8). С другой стороны, аннигиляцию
экситонов нельзя представить как полное исчезновение частиц
в некотором ограниченном объеме пространства, подобно тому
как из кюветы откачиваются частицы газа. Если в кювете
спектрографа не останется, например, атомов водорода, то
исчезнут и все линии водородного поглощения.
В кристалле же наблюдаются пики экситонного поглоще-
поглощения при формальном отсутствии самих экситонов. Интенсив-
410
» 4»
ность этих пиков пропорциональна концентрации всех валент-
валентных электронов, которые могут участвовать в образовании
экситонных состояний.
Следовательно, полупроводник, в котором отсутствуют, но
могут быть образованы экситоны, необходимо характеризо-
характеризовать плотностью заполненных нулевых экситонных состояний
Л'эо, равной числу валентных электронов в единице объема
кристалла (Л^э0~ 1022 см-3).
То, что называется основным состоянием экситона (уро-
(уровень Ei=Ec0—Еэ), будет одновременно возбужденным со-
состоянием кристалла как целого.
С учетом стимулированной рекомбинации и ионизации эк-
экситонов коэффициент поглощения, обусловленный образова-
образованием экситонов в основном состоянии, можно приближенно
представить в виде
I *и (о)
уэо
уэо
«8 =
N.
30
N,
B5.19)
31
где хэ (со) — коэффициент экситонного поглощения кристалла при
отсутствии экситонов; п3 — число экситонов на уровне Ег;
ии (со)/Л^э1 — коэффициент поглощения, обусловленный ионизацией
одного экситона; Nal — степень вырождения первого экситонного
уровня. Конкретный вид функции к3 (со) для частных случаев
приведен в § 8.
Существование экситонов как свободных квазичастиц возмож-
возможно только при условии, что г3эпэ < 1, т. е. что они не занимают
всего объема кристалла. Поскольку радиус экситонов равен де-
десяткам ангстрем (§ 5), то из этого неравенства вытекает, что пя
должно быть не более 1019-=- 1020 смгъ. Следовательно,
«
B5.20)
и отрицательное поглощение на прямых экситонных перехо-
переходах, согласно B5.19), практически невозможно.
В случае стимулированной аннигиляции экситона с испус-
испусканием одного фонона обратным процессом будет одновре-
одновременное поглощение фотона и фонона. Испускание фоиона мо-
может быть спонтанным и вынужденным, а поглощение только
вынужденным.
Отношение вероятности испускания фонона к вероятно-
вероятности поглощения, согласно F.33), определяется формулой
к
= exp (tuaJkT).
B5.21)
411
С помощью B5.21) находим выражение для коэффициента экси-
тонного поглощения на частоте первого фононного повторения
ехр
Jb- еЬе>я/кТ\ 4
4- Х„ ((О - (О )
B5.22)
"э1
Если h(og ^> kT, то из B5.22) следует предельное значение ко-
коэффициента поглощения:
-ш0)-^-. B5.23)
"эо
?э1
При х((о — ©д) == 5-10* см-1, п3 = 1018 см~3, N31 = N30 =
= 1022 cm~s из B5.23) находим
к (о) — bia) = —5 см'1 -f- 10~4хи((о —- (од).
Если ни((з)—(о?)<5-104 см~\ то коэффициент поглощения
будет отрицательным. Таким образом, при аннигиляции экси-
экситонов с испусканием одного или нескольких фононов можно по-
получить генерацию излучения. На опыте действительно наблю-
наблюдается стимулированное испускание либо на фононном повто-
повторении линий свободных экситонов, либо при рекомбинации
связанных экситонов [481]. Последние по своим спектроско-
спектроскопическим свойствам приближаются к примесным центрам в
кристаллах.
По аналогии с G.19) концентрацию экситонов на основ-
основном уровне можно выразить формулой
B5.24)
пэ - N3l ехр (FJkT).
Здесь ^э
справедливо неравенство
электрохимический потенциал экситонов, отсчитывае-
V
мый от основного экситонного уровня. Так как na<N3V то
F3<0. B5.25)
Исходя из общих термодинамических соображений, можно
показать [605], что
F'a = F'e + F'h, B5.26)
где Fe и F'h — по-прежнему квазиуровни Ферми для электронов
и дырок, отсчитываемые от дна зоны проводимости вверх и от
потолка валентной зоны вниз соответственно.
При межзонных переходах минимальная энергия испускаемых
квантов света равна Eg, поэтому условие инверсной населенности
A9.5) имеет вид AF>Eg, или Fe + Fh> 0. Однако, согласно
412
B5.25) и B5.26), Fe + Fk<0. Следовательно, связывание элек-
электронов и дырок в экситоны делает невозможным создание ин-
инверсной населенности между собственными энергетическими зо-
зонами полупроводника.
Приведенные рассуждения справедливы, если экситоны
можно представить как совокупность невзаимодействующих
частиц, подчиняющихся статистике Бозе — Эйнштейна и на-
находящихся в равновесии с электронами и дырками. Опыты
показывают, что в некоторых кристаллах при концентрации
экситонов 1016—Ю17 см- заметную роль в испускании и по-
поглощении света начинают играть неупругие экситон-экситон-
ные столкновения и Оже-рекомбинация.
В результате столкновения энергия и импульс одного
экситона передаются другому экситону. Первый экситон
аннигилирует с испуканием фотона, а второй либо ионизи-
ионизируется, либо переходит на более высокий экситонный уро-
уровень (рис. 137). Если второй экситон переходит с первого,
основного уровня на второй, то энергия фотона, испущенного
первым экситоном, согласно E.13), будет равна
h(o = (Eg - Е°э) - -j- Е°э =-- E, - -L El. B5.27)
Как видно из B5.27), экситон-экситонное взаимодействие
приводит к смещению экситонной линии испускания в длин-
длинноволновую область спектра. Если столкновения экситонов
сопровождаются их ионизацией, то смещение линии будет еще
больше чем на величину 3?з/4- В то же время линия экситон-
экситонного поглощения по-прежнему соответствует энергии Е\. Это
создает благоприятные предпосылки для получения значи-
значительных коэффициентов усиления в системе взаимодействую-
взаимодействующих экситонов. Спектр усиления для экситонов в кристалле
CdS рассчитан в [779] и показан на рис. 138.
При расчетах учитывалось поглощение из-
излучения свободными носителями.
Полосы экситонного излучения, смещен-
смещенные в длинноволновую область относитель-
относительно Е\, наблюдались в CdS, CdSe, ZnO [780,
781], ZnTe [782, 783] и других полупровод-
полупроводниках. В [784] детально рассмотрены свой-
Рис. 137. Схема иеупругого экситои-экситоииого рас-
рассеяния с учетом взаимодействия экситоиов с фото-
фотонами [779]
-А"
0
к
413
Рис. 138. Рассчитанные спектры
усиления, обусловленные неупругим
рассеянием экситоиов в CdS при
Т = 80 °К, иэ = 3.10м см~3 (•/) и
Г = 300°К, пэ=1017 см~3 B), 1=
()]
)
[779]
ства стимулированного испускания, обусловленного экситон-
экситонным взаимодействием, и проведено сравнение теории с
экспериментом.
Возбуждение генерации пучком быстрых электронов.
Стимулированное испускание при электронном возбуждении
впервые было получено в 1964 г. в монокристаллах CdS
[785, 786], InSb, InAs [787], GaAs [788], GaSb[789], а в по-
последующие годы — в CdSe [790], CdTe [791], PbSe, PbTe,
PbS [792], ZnS i[793], ZnTe [794] и других полупроводниках
(см.табл.7).
Для получения пучка быстрых электронов используются
электронные пушки и ускорители [795, 796]. Образец при-
прикрепляется к хладопроводу и помещается в вакуум. Быстрые
электроны, проникая в глубь кристалла, ионизируют на своем
пути атомы решетки. Возникшие первичные электроны имеют
достаточно большую энергию, чтобы ионизировать новые
атомы и выбить из них вторичные электроны и т. д. Развива-
Развивается лавинообразный процесс, приводящий к появлению в
кристалле большой концентрации свободных горячих электро-
электронов и дырок. Носители быстро термализуются, и создается
инверсная населенность.
При оптическом возбуждении минимальная энергия кван-
кванта света, необходимая для создания одной электронно-дыроч-
электронно-дырочной пары, равна Eg. В случае электронного возбуждения на
создание одной пары свободных носителей требуется энергия
примерно в три раза большая, чем Eg [29, 30]. Если плот-
плотность тока быстрых электронов с энергией Ее равна /, а глу-
глубина их проникновения в кристалл — de, то скорость возбуж-
возбуждения можно выразить формулой
B5.28)
ede3Eg
Здесь уе л? Ee/3Eg — коэффициент размножения, равный числу
свободных электронов, созданных одним быстрым электроном.
414
Глубина проникновения электронов в кристалл увеличи-
увеличивается с ростом их энергии и достигает 30 мкм при Ее= 100 кэв
(рис. 139).
В § 20 показано, что порог генерации резко возрастает, ког-
когда толщина активной области становится сравнимой или меньше
длины волны генерируемого излучения. Это накладывает ограни-
ограничения на Ее снизу. Минимальное значение Е?1П, при котором
удалось получить генерацию, равно 5 кэв. Если Ее < Efm, то
глубина проникновения электронов в кристалл, а следовательно,
и толщина активного слоя оказываются слишком малыми, чтобы
можно было преодолеть дифракционные потери излучения.
Чем больше Ее, тем в большем объеме создается инверс-
инверсная населенность и можно получить более мощную генера-
генерацию. Однако при ?е>100—200 кэв во многих полупроводни-
полупроводниках (рис. 139) поток электронов создает радиационные
дефекты, повышающие порог и снижающие мощность генера-
генерации [797].
Формулы и физические представления, развитые в теории
инжекционных лазеров, с небольшими видоизменениями мож-
можно использовать для рассмотрения закономерностей работы
полупроводиковых лазеров с электронной накачкой. Необхо-
Необходимо учесть только, что одному горячему электрону соответ-
соответствует уе электронов, инжектированных через р—п-переход,
а толщина активного слоя является функцией энергии элек-
электронов, т. е.
/ B5.29)
test
ens (Щ
In it (SI)
In As (In)
6a As (as) 273
InP (In) 270
In SB /TnJ
In se (rn)
IMS Ms)
GaAs (Gaj
Cds (s)
In P (P)
0
№
iso a'mkm
Рис. 139. Связь между энергией электронов Ее и глубиной их проникнове-
проникновения в полупроводник de. Слева отмечены пороговые энергии возникновения
радиационных дефектов [797]
415
В первом равенстве B5.29) введены обозначения: jimm — плот-
плотность инжекционного тока; /е—плотность тока пучка свобод-
свободных электронов. В приводимых ниже формулах используется
только величина /е. Поэтому индекс около / опущен.
Принимая во внимание B5.29), на основании B0.9),
B0.23), B0.25), B1.2) и B1.8) в линейном приближении по-
получим формулы для максимального коэффициента усиления,
порога, мощности и к. п. д. генерации при возбуждении пучком
быстрых электронов тех веществ, которые изучались в § 20, 21:
= Р (/ — /о) Уе
/п = Р~Ч
h(or
a-L)
Kr
*r + Р
B5.30)
B5.31)
B5.32)
•B5.33)
где d — толщина активной области, для которой рассчитан
или измерен параметр (J. При выводе B5.33) учтено, что
мощность проникших в кристалл электронов равна ,s}Eeje.
Как видно из рис. 139, в небольшом интервале изменений
A?e зависимость глубины проникновения электронов от Ее
можно аппроксимировать отрезком прямой, т. е. положить
de~Ee. Так как ye^Ee/3Eg, то отношение de/ye в пределах АЕ
будет слабо зависеть от Ее (с увеличением Ее отношение de/y.e
возрастает).
Поэтому, согласно B5.31), при значениях Ее, соответ-
соответствующих de~>!kr, порог генерации будет возрастать с увеличе-
увеличением Ее. В этом случае для заданного значения / объем ак-
активного слоя с ростом значения Ее будет увеличиваться бы-
быстрее, чем число электронно-дырочных пар, что приводит к
снижению уровня инверсной населенности. В области значе-
значений de<.KT резко возрастает величина кп в результате увели-
увеличения дифракционных потерь излучения (§ 20) и вследствие
больших значений вероятностей неоптических переходов в
приповерхностном слое (§ 11). Это должно приводить к зна-
значительному повышению генерации. Указанные закономерно-
закономерности наблюдаются на опыте [798, 799] (рис. 140).
Из анализа B5.32) следует, что с увеличением длины ак-
активного слоя мощность генерации вначале возрастает, а за-
затем стремится к насыщению. В отличие от этого мощность
416'
I
№
20
30
Рис. 140. Зависимость плотности порогового тока от энергии электронов
для арсенида галлия: образец № 138 — Л^ = 12,9- Ю18 см~3, Л^а=6,43-1018
см-3 (/); образец № 139 — Nd=3,l ¦ Ю18 см~3 и JVa=2,54-1013 см~3 B) при
Г=300°К (а) и 85 °К (б) [798]
генерации в расчете на единицу длины ST/l имеет максимум,
положение которого определяется условием B1.7).
Для соответствующих условий эксперимента отношение
к.п.д. лазера с электронным возбуждением к к.п.д. инжек-
инжекционного лазера, согласно B1.8) и B5.33), равно
eU
1 +
и
B5.34)
Поскольку eU/Eg близко к единице, а ^о/июк может быть зна-
значительно меньше U, то из B5.34) следует, что к.п.д. лазера
с электронным возбуждением при прочих равных условиях
почти в три раза меньше, чем к.п.д. лазерных диодов.
Если в качестве затраченной энергии взять энергию всех
электронов, падающих на поверхность активной среды, то по-
Рис. 141. Схемы многоэлементных полупроводниковых лазеров с продоль-
продольной (а) и поперечной (б) накачкой пучком быстрых электронов [796]
27. Зак. 312
417
лучится еще меньшее значение ц'е, связанное с це формулой
г); = A — #е)г]е. B5.35)
Здесь Re — коэффициент отражения электронов. В кристал-
кристаллах, состоящих из тяжелых атомов, значение Re достигает
50% [795].
Для лазеров с электронным возбуждением справедливы
общие закономерности, установленные при рассмотрении ра-
радиационных шумов и нестационарного режима генерации ин-
жекционных лазеров. В частности, при электронном возбуж-
возбуждении наблюдается вынужденная синхронизация мод [800],
& период пульсаций излучения в режиме свободной генерации
удовлетворяет формуле B4.26) [801].
Угол расходимости излучения ПКХ с электронной накач-
накачкой такой же, как и при оптическом возбуждении. Основное
ограничение мощности генерации связано с радиационными
шумами (§ 23), препятствующими генерации в большом
объеме активной, среды. Для подавления шумов предложено
несколько конструкций многоэлементных лазеров [796].
В лазере типа «излучающее зеркало» активный слой разделен
канавками, заполненными поглощающим веществом (рис.
141, а). Электронный луч направляется параллельно оси ре-
резонатора. Благодаря общему выносному зеркалу удается
осуществить оптическую связь между всеми элементами и
значительно снизить угол расходимости. В другой конструк-
конструкции лазера секции активного вещества располагаются сту-
ступеньками на общем хладопроводе (рис. 141,6). Суммарная
мощность многоэлементных лазеров с электронной накачкой
достигает 1,5 Мет.
ЛИТЕРАТУРА
1. А. Ф. Иоффе. Физика полупроводников. М,—Л., Изд-во АН СССР,
.1957.
2. Р. С м и т. Полупроводники. М„ ИЛ, 1962.
3. В. М. Глазов, С. Н. Чижевская, Н. Н. Глаголева. Жидкие
полупроводники. М., «Наука», 1967.
4. 3. У. Борисова. Химия стеклообразных полупроводников. Л., ЛГУ,
1972.
5. 3. Мет фес сель, Д. К- Мат тис. Магнитные полупроводники. М.,
«Мир», 1972.
6. Я- А. У г а й. Введение в химию полупроводников. М., «Высшая шко-
школа», 1965,
7. Химическая связь в полупроводниках и полуметаллах. Минск, «Наука
и техника», 1972.
8. О. М а д е л у н г. Физика полупроводниковых соединений элементов
III и V групп. М., «Мир», 1967.
9. К- Хилсум и А. Роу з-И н с. Полупроводники типа А3В5. M., ИЛ,
1963.
10. Г. Джон с. Теория зон Бриллюэна и электронные состояния в крис-
кристаллах. М., «Мир», 1968.
11. Г. Б. Б о кий. Кристаллохимия. М., «Наука», 1971.
12. А. Ф. Городецкий, А. Ф. Кравченко, Е. М. Самойлов.
Основы физики полупроводников и полупроводниковых приборов.
Новосибирск, «Наука», 1966.
13. Г. В. Штрайтвольф. Теория групп в физике твердого тела. М.,
«Мир», 1971.
14. Р. Н о к с, А. А л ь б е р т. Симметрия в твердом теле. М., «Наука», 1972.
15. Б. Ф. О р м о н т. Введение в физическую химию и кристаллохимию
полупроводников. М., «Высшая школа», 1968.
16. Травление полупроводников. М., «Мир», 1965.
17. С. А м е л и н к с. Методы прямого наблюдения дислокаций. М., «Мир»,
1968.
18. С. С. Горелик, Л. Н. Расторгцев, Ю. А. С каков. Рентгено-
Рентгенографический и электронно-оптический анализ. М., «Металлургия», 1970.
19. Y. N a n n i с h i. Precise determination of the orientation of the A00) axis
of III—V compounds for junction lasers. Rev. Scient Instrum., 37, 111,
1966.
20. Я- И. Френкель. Кинетическая теория жидкостей. М.—Л., Изд-во
АН СССР, 1959.
21. Н. М о т т, Р. Г е р н и. Электронные процессы в иоиных кристаллах. М.,
ИЛ, 1950.
22. Ф. Зейтц. Современная теория твердого тела. М.—Л., ГИТТЛ, 1949.
23. Ф. Дж. Б л а т т. Физика электронной проводимости в твердых телах.
М,. «Мир», 1971.
24. Б. И. Б о л т а к с. Диффузия и точечные дефекты в полупроводниках.
Л., «Наука», 1972.
27* . 419
25. У, Данлэп. Введение в физику полупроводников. М., ИЛ, 1959.
26. Р. Г. Р о д е с. Несовершенства и активные центры в полупроводниках.
М., «Металлургия», 1968.
27. Дефекты в кристаллах полупроводников. М., «Мир», 1969.
28. В. Рид. Дислокация в кристаллах. М., Металлургиздат, 1957.
29. В. С. Вавилов. Действие излучений на полупроводники. М., Физ-
матгиз, 1963.
30. В. С. Вавилов, Н. А. Ухии. Радиационные эффекты в полупровод-
полупроводниках и полупроводниковых приборах. М., Атомиздат, 1969.
31. Действие излучений на полупроводники и изоляторы. М., ИЛ, 1954.
32. В. Д. Ткачев, В. И. У р е и е в. О термодефектах в кристаллах чис-
чистого германия. ФТП, 4, 2190, 1970.
33. М. Т. Л а п п о, В. Д. Т к а ч е в. О дивакаисии в кремнии, облученном
быстрыми нейтронами. ФТП, 4, 2192, 1970.
34. В. Д. Т к а че в, В. И. Уренев. Об эффективности образования и
природе радиационных дефектов структуры в германии. ФТП, 4, 2405,
1970.
35. А. С. П а п е й к о, Э. Е. Р а д о в с к и й, В. Ф. С т е л ь м а х, В. Д, Т к а-
ч е в. Радиационные нарушения в арсениде галлия, легированном
медью. ФТП, 4, 142, 1970.
36. В. Д. Ткачев, А. Ф. Плотников, В. С. Вавилов. О природе
локальных центров с глубокими уровнями в кремнии, облученном бы-
быстрыми электронами. ФТТ, 5, 3188, 1963.
37. А. Н. С е в ч е н к о, В. Д. Т к а ч е в, П. Ф. Л у г а к о в. Энергетический
спектр радиационных нарушений в кремнии. ДАН СССР, 169, 562,
1966.
38. А. И. А н с е л ь м. Введение в теорию полупроводников. М.—Л., Физ-
матгиз, 1962.
39. Дж. 3 а й м а н. Современная квантовая теория. М., «Мир», 1971.
40. И. М. Ц и д и л ь к о в с к и й. Электроны и дырки в полупроводниках.
Энергетический спектр и динамика. М., «Наука», 1972.
41. П. С. Киреев. Физика полупроводников, 1—2. Томск, М., «Высшая
школа», 1969.
42. И. И. Петровский. Электронная теория полупроводников. Введе-
Введение в теорию. Минск, «Высшая школа», 1964.
43. В. Гайтлер. Квантовая теория излучения. М., ИЛ, 1956.
44. Д. И. Б л о х и н ц е в. Основы квантовой механики. М., «Высшая шко-
школа», 1963.
45. F. Bloc h. Ober die Quantenmechanik der Elektronen in Kristallgittern.
Zeitschr. f. Physik, 52, 555, 1928.
46. Дж. 3 а й м а н. Вычисление блоховских функций. М., «Мир», 1973.
47. Дж. 3 а й м а н. Принципы теории твердого тела. М., «Мнр», 1966.
48. Ч. К и т т е л ь. Квантовая теория твердых тея. М., «Наука», 1967.
49. Ч. Киттель. Введение в физику твердого тела. М., Физматгиз, 1963.
50. М. А. Е л ь я ш е в и ч. Атомная и молекулярная спектроскопия. М.,
Физматгиз, 1962.
51. А. В. Соколов, В. П. Широковский. Метод теории групп в
квантовой физике твердого тела (точечная симметрия). УФН, 60, 617,
1956 (пространственная симметрия). УФН, 71, 485, 1960.
52. Г. Я. Любарский. Теория групп и ее ирименеиие в физике. М.,
Физматгиз, 1957.
53. Е. В и г н е р. Теория групп. М., ИЛ, 1961.
53а. Г, Л. Бир, Г. Е. Пи кус. Симметрия и деформационные эффекты
в полупроводниках. М., «Наука», 1972.
54. L. Boukaert, R. Smolychowski, E. Wigner. Theory of Bril-
louin zones and symmetry properties of wave function in crystals. Phys.
Rev., 50, 58, 1936.
420
55. Дж. К а л л у э й. Теория энергетической зонной структуры. М., «Мир»,
1969.
56. Полупроводники. М., ИЛ, 1962.
57. В. Л. В о нч-Бр у ев и ч. Вопросы электронной теории сильно легиро-
легированных полупроводников. В кн.: Физика твердого тела. М., Изд-во АН
СССР, 1965, стр. 127—236.
58. Н. Мотт, У. Туз. Теория проводимости по примесям. УФН, 79, 691,
1963.
59. G. Lucovsky. Mechanism for radiative recombination in GaAs p—n
junctions. Phys. Quant Electronics, Conf. Proc. N. Y., San. Francisco,
Toronto, London, Sydney, McGran-Hill, Book Company, 1966, p. 467.
60. О. В. Е м е л ь я н е н к о, Т. С. Лагунова, Д. Н. Н а с л е д о в, Г. К.
Талалакин. Образование и свойства примесной зоны в «-GaAs.
ФТТ, 7, 1315, 1965.
61. R. Eyraard, G. Duraffourg. The impurity density-of-states tails
in neutral semiconductors: application to the diffusion current in GaSb
p—n junctions J. Phys. D: Appl. Phys., 6, 66, 1973.
62. E. O. Kane. Thomas — Fermi approach to impure semiconductor band
structure. Phys. Rev., 131, 79, 1963.
63. F. S t e г п. Effect of band tails on stimulated emission of light in semi-
semiconductors. Phys. Rev., 148, 186, 1966.
64. Л. В. Келдыш, Г. П. Прошко. Инфракрасное поглощение в силь-
сильно легированном германии. ФТТ, 5, 3378, 1963.
Т. N. Morgan. Broadening of impurity bands in heavily doped semi-
65.
66.
conductors. Phys. Rev., 139 A, 343, 1965.
B. I. H a 1 p e r i n, M. L a x. Impurity band tails in the high-density limit.
I. Minimum counting methods. II. Higher order corrections. Phys. Rev.,
148, 782, 1966; II. Phys. Rev., 153, 802, 1967.
67. M. Lax, B. I. H a 1 p e r i n. Impurity band tails in degenerate semicon-
semiconductors. J. Phys. Soc. Japan, 21, 218, 1966,
68. С J. Hwang. Properties of spontaneous and stimulated emission in
GaAs junction lasers. I. Densities of states in the active regions. Phys.
Rev. B: Solid State, 2, 4117, 1970.
69. Б. И. Шкловский, А. Л. Эфрос. Хвосты плотности состояний в
сильно легированных полупроводниках. ФТП, 4, 305, 1970.
70. С. J. Hwang. Calculation of Fermi energy and band tail parameters
in heavity doped and degenarate «-type GaAs. J. Appl. Phys., 41, 2668,
1970.
71. Дж. Б л е к м о р. Статистика электронов в полупроводниках. М.,
«Мир», 1964.
72. В. И. Фистуль. Сильно легированные полупроводники. М., «Наука»,
1967.
73. Л. Л. К о р е н б л и т, А. А. Ш т е й и б е р г. Графический метод опре-
определения химического потенциала в полупроводниках. ЖТФ 26, 938,
1956.
74. С. И. П е к а р. Неприменимость распределения Ферми—Дирака к элек-
электронам примесных центров в полупроводниках и кристаллофосфорах.
ЖЭТФ, 26, 238, 1956.
75. С. И. П е к а р. Исследования по электронной теории кристаллов. М.—>
Л., Гостехиздат, 1951.
76. А. Эйнштейн. Теория излучения Планка и теория удельной тепло-
теплоемкости. Собрание трудов, 3. М., «Наука», 1966, стр. 184- Ann. Phys.,
22,180, 1907. .
77. Дж. Слэтер. Диэлектрики, полупроводники, металлы. М., «Мир»,
78. Дж. 3 а й м а н. Электроны и фононы. М., ИЛ. 1962.
79. Ф. И. Федоров. Теория упругих волн в кристаллах. М., «Наука»,
1965.
421
80. Л.»С. Стильбанс. Физика полупроводников. М., «Советское радио»,
1967.
81. И. В. Смирнов. Курс высшей математики, т. 2. М., «Наука», 1967.
82. А. Пуле, Ж-П. М а т ь е. Колебательные спектры и симметрия крис-
кристаллов. М., «Мир», 1973.
83. Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. Теория поля. М., «Наука», 1973.
84. Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. Статистическая физика. М., «Нау-
«Наука», 1964.
85. М. В. В о л ь к ен шт ей н, Л. А. Грибов, М. А. Е л ь я ш е в и ч,
Б. И. С т е п а н о в. Колебания молекул. М., «Наука», 1972.
86. Дж. Б лек мор. Физика твердого состояния. М., «Металлургия», 1972,
87. Б. И. Степанов, В. П. Гр и б к о в с к и*й. Введение в теорию лю-
люминесценции. Минск, Изд-во АН БССР, 1963; В. I. S t ер а п 6 V, V. Р.
Gribkovskii. Theory of Luminescence. English translation. London,
ILIFFE. Books. LTD, 1968. London. Gordon and Breach, 1971.
88. Л. Д. Ландау, E. M. Лифшиц. Квантовая механика, ч. 1. М.,
Физматгиз, 1963.
89. Д. П а й н с. Элементарные возбуждения в твердых телах. М «Мир»,
• 1965.
90. Я- И. Френкель. О превращении света в тепло в твердых телах.
1, II. Собрание избранных трудов, 2, М.—Л., Изд-во АН СССР, 1956,
стр. 126, 157; Phys, Rev., 37, 17, 1931; 1276, 1931.
91. Е. Ф. Г р о с с, Н. А. К а р р ы е в. Поглощение света кристаллами заки-
закиси меди в инфракрасной и видимой части спектра. ДАН СССР 84,
261, 1952.
92. Е. Ф. Гросс, Н. А. К а р р ы е в. Оптический спектр экситона. ДАН
СССР, 84, 471, 1952.
93. В. М. Агранович, В. Л. Гинзбург. Кристаллооптика с учетом
пространственной дисперсии и теория экснтонов. М., «Наука», 1965.
94. Polarons and Excitons. The Proceeding of the Scottish University Sum-
Summer School in Theoretical Physics, 1962.
95. P. H о к с. Теория экситонов. М., «Мир», 1966.
96. А. С. Д а в ы до в. Теория молекулярных экситонов. М., «Наука», 1968.
97. В. М. Агранович. Теория экситонов. М., «Наука», 1968.
98. Б. 3 а х а р ч е н я, Р. Сей с ян. Диамагнитные экситоны в полупро-
полупроводниках. УФН, 97, 193, 1969.
99. Е. Ф. Г р о с с. Спектр возбуждения экситонов в кристаллической ре-
решетке. УФН, 63, 575, 1957.
100. Е. Ф. Гросс. Экситон и его движение в кристаллической решетке
УФН, 76, 433, 1962.
101. Е. Ф. Гросс, С. А. Пермогоров, Б. С. Р а з б и р и н. Аннигиля-
Аннигиляция экситоиов и экситон-фононное взаимодействие. УФН 103 431
1971.
102. Экситоны в полупроводниках. М., «Наука», 1971.
103. Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. Механика. М., «Наука», 1973.
104. J. Appel. Polarons. New York—London, Acad. Press 1968- Solid State
Physics, 21, 193, 1968.
105. F. Stern. Elementary Theory of the optical Properties of Solids Solid
States Physics, 15, 299, 1963.
106. G. Lasher, F. Stern. Spontaneous and stimulated recombination ra-
radiation in semiconductors. Phys. Rev., 133A, 553, 1964.
107. T. P. Me. Lean, B. Se., Ph. D. The absorption ed
conductors. Progress in semiconductors. 5, 53, 1960.
108. J Bardeen, F. J. Blatt, L. H. Hall. Indirect Transitions from the
Valence to the Conduction Bands. Photoconductivity Conference New
York, 1954/1956, p. 146—154.
109. H. Y. Fan, M. L. Shepherd, W. Spit zer. Infrared Absorption and
422
spectrum of semi-
Energy-Band Structure of Germanium and Silicon. Photoconductivity
Conference. New York, 1954/1956, p. 184.
110. T. Mo с с. Оптические свойства полупроводников. М., ИЛ, 1961.
111. Ж. Панков. Оптические процессы в полупроводниках. М., «Мир»,
1973.
112. С. И. В а в и л о в. Вступительное слово на совещании по вопросам лю-
люминесценции, созванном физико-математическим отделением АН СССР
5—10 октября 1944 г. Собр. соч., 2, 186, 1952.
113. Б. И. Степанов П. А. Апанасевич. О классификации вторично-
вторичного свечения. ДАН СССР, 116, 772, 1957.
114. Б. И. Степанов, А. П. Апанасевич. О понятиях фотолюминес-
фотолюминесценции и рассеяния. Изв. АН СССР, сер. физич., 22, 1380, 1958.
115. Б. И. Степанов, П. А. Апанасевич. Классификация вторично-
вторичного свечения. Опт. и спектр., 7, 437, 1959.
116. К- К- Ре б а не. Элементарная теория колебательной структуры спек-
спектров примесных центров кристаллов. М., «Наука», 1968.
117. Е. Ф. Г р о с с, С. А. П е р м о г о р о в, В. В. Т р а в н и к о в, А. В.
Селькин. Вторичное свечение экситонов в кристаллах CdS. Сб. «Фи-
«Физика примесных центров в кристаллах». Таллин, Изд-во АН ЭССР,
1972, стр. 627.
118. М. Н. Аленцев, В. В. Антонов-Романовский, Б. И. С т е-
п а н о в, М В. Фок. О выходе резонансной флуоресценции атомов.
ЖЭТФ, 28, 253, 1955.
119. Б. И. Степанов. Универсальное соотношение между спектрами по-
поглощения и люминесценции сложных молекул. ДАН СССР, 112, 839,
1957.
120. Н. А. Борисевич. Возбужденное состояние сложных молекул в га-
газовой фазе. Минск, «Наука и техника», 1967.
121. Б. И. Степанов. О границах применимости универсального соотно-
соотношения между спектрами поглощения и люминесценции сложных моле-
молекул. ЖПС, 17, 245, 1972.
122. Б. И. Степанов, В. П. Грибковский. Об аналогии оптических
свойств сложных молекул и полупроводников. Опт. и спектр., 27, 583,
1969.
123. Б. И. Степанов, В. П. Грибковский. Применение понятия хи-
химического потенциала для описания оптических свойств сложных мо-
молекул. Изв. АН СССР, сер. физич., 34, 513, 1970.
124. В. П. Грибковский, Б. И. Степанов. Универсальное соотноше-
соотношение между спектрами поглощения и люминесценции в полупроводни-
полупроводниках при больших интенсивностях возбуждения. ДАН СССР, 183, 67,
- 1968.
125. W. Van Roosbroeck, W. Shoe lev. Photon-radiative recombina-
recombination of electrons and holes in germanium. Phys. Rev., 94, 1558, 1954;
Проблемы физики полупроводников. М., ИЛ, 1957, стр. 122.
126. Y. Р. V а г s h n i. Band-to-band radiative recombination in groups IV,
VI, and III—V semiconductors. I. Phys. Status. Solidi, 19, 459, 1967.
Band-to-band radiative recombination in groups IV, VI and III—-V semi-
semiconductors. II. Phys. Status. Solidi, 20, 9, 1967. Излучательная реком-
рекомбинация в полупроводниках. М., «Наука», 1972, стр. 9—124.
127. В. В. Антонов-Романовский, Б. И. Степанов, М. В. Фок,
А. П. X а п а н ю к. Выход люминесценции системы частиц с тремя
уровнями энергии. ДАН СССР, 105, 50, 1955.
128. Б. И. Степанов. Отрицательная люминесценция н отрицательный
фотоэффект. Опт. и спектр., 1, 125, 1956.
129. Б. И. Степанов. Отрицательная люминесценция. Тр. Ин-та физики
и матем. АН БССР, вып. 1, Минск, 1956, стр. 46.
130. Б. И. Степанов. Основы спектроскопии отрицательных световых
потоков. Минск, Изд-во Б ГУ, 1961.
423
131. Б. И. С т е п а н о в, Я- С. X в а щ е в с к а я. Получение спектров погло-
поглощения с помощью холодных источников света. ДАН СССР, 116, 588,
1957.
132. Б. И. Степанов, Я-М. Хващевская. Спектроскопия отрицатель-
отрицательных потоков лучистой энергии. Изв. АН СССР, сер. физич., 22, 1089,
1958.
133. С. М. Рыбкин. Фотоэлектрические явления в полупроводниках. М.,
Физматгиз, 1963.
134 С И Вавилов. Выход флуоресценции растворов красителей. Собр.
соч., I. M., Изд-во АН СССР, 1954, стр. 150.
135. С. И. Вавилов. Выход люминесценции растворов красителей в за-
зависимости от длины волны возбуждающего света. Собр. соч., I. M.,
Изд-во АН СССР, 1954, стр. 222.
136. С. И. В а в и л о в. Выход и длительность флуоресценции. Собр. соч., I.
М., Изд-во АН СССР, 1954, стр. 424.
137. В. Л. Левшин. Фотолюминесценция жидких и твердых веществ. М.,
ГИТТЛ, 1951.
138 Б. И. С теп а н о в. Люминесценция сложных молекул. Минск, Изд-во
АН БССР, 1955.
139. В. Л. Левшин. Замечания о понятиях «выход», «средняя длитель-
длительность» и «закон затухания» люминесценции и их применение. Опт.
и спектр., 11, 362, 1961.
140. G. С. Dousmanis, С. W. Mueller, H. Nelson, К. G. Petrin-
g e г. Evidence of refrigerating action by means of photon emission in
semiconductor diodes. Phys. Rev., 133A, 316, 1964.
141. M. A. We in stein. Thermodynamic Limitation on the conversion of
heat into light. JOSA, 50, 594, 1960.
142. Ю. Н. Николаев, М. В. Фок. Принципы преобразования электри-
электрической энергии в световую. Тр. Физич. института АН СССР, 50,
106, 1970.
143. С. И. Вавилов. Люминесценция и ее длительность. Собр. соч., 2. М.,
Изд-во АН СССР, 1952, стр. 293.
144. Ф. А. Бута ев а, В. А. Фабрикант. Влияние параметров разря-
разряда на интенсивность линий 1850 и 2537 А в люминесцентных лампах.
Изв. АН СССР, сер. физич., 13, 271, 1949.
145. Ф. А. Бутаева, В. А. Фабрикант. Чувствительность люминофо-
люминофоров для люминесцентных ламп в коротковолновом ультрафиолетовом
излучении. Изв. АН СССР, сер. физич., 21, 541, 1957.
146. Методы расчета оптических квантовых генераторов под ред. Б. И. Сте-
Степанова, т. I. Минск, «Наука и техника», 1966.
147. К- И. Б р и ц ы и, В. С. Вавилов. О процессе фотоионизации в крем-
кремнии. Опт. и спектр., 8, 861, i960.
148. И. Н. Б р о н ш т е й н, К. А. С е м е н д я е в. Справочник по математи-
математике. М., «Наука», 1964.
149. В. П. Г р и б к о в с ки й, П. А. А п а н а с е в и ч, Б. И. Степанов.
Оптические свойства гармонического осциллятора. Тр. Ин-та физики
и матем. АН БССР, вып. 3, 131, 1959.
150. Р. Бью б. Фотопроводимость твердых тел. М., ИЛ, 1962.
151. A. Many, R. Bray. Life time of excess carriers in semiconductors.
Prog. Semicond., 3, 117, 1958.
152. А. Э. Юнович. Излучательная рекомбинация в р—га-переходах в по-
полупроводниках. Сб. «Инжекционная электролюминесценция». Тарту,
Изд-во ТГУ, 1968.
153. W. P. Dumke. Spontaneous radiative recombination in semiconduc-
semiconductors. Phys. Rev., 105, 139, 1957.
154 W. P. Dumke. Optical transitions linvolving impurities in semiconduc-
semiconductors. Phys. Rev., 132, 1998, 1963.
155.
ж'
1
1
Ш
f
л
t »
1
1
1
I
1
1
1
1
1
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172.
173
174
175
176.
177.
178.
179.
P. E. Landsberg. A contribution to the recombination statistics of
excess carriers in semiconductors. Proc. Phys. Soc, B70, 282, 1957.
Г. С. Л а н д с б е р г. Оптика. М., ГИТТЛ, 1952.
P. Дитиберн. Физическая оптика. М., «Наука», 1965.
П. П. Феофилов. Поляризованная люминесценция атомов, моле-
молекул и кристаллов. М., Физматгиз, 1959.
A. Yablonskii. Zur Theorie der Polarisation der photolumineszenz
von Forbstofflosungen. Ztschr. f. Physik, 96, 236, 1936.
C. И. Вавилов. Природа элементарных осцилляторов и поляриза-
поляризация фотолюминесценции. Собр. соч., 2. М., Изд-во АН СССР, 1952.
К- Ребане, П. С а а р и. Время распада кванта локального колеба-
колебания N07" на фононы в кристалле КС1. Изз. АН ЭССР, физ.-мат., 17,
241, 1968.
П. С а а р и, К- Ребане. «Горячая» люминесценция в спектрах вто-
вторичного свечения КС1—NO, и КВг—N0^- Изв. АН ЭССР, физ.-мат.,
18, 255, 1969.
P. S a a r i, К. Rebane. Hot luminescence lines in the secondary ra-
radiation spectrum of KC1—NO2 and KJBr—NO2 crystals. Solid State
Comm., 7, 887, 1969.
R. Avarmaa, K. Rebane. Rotational structure of vibronic absorption
and luminescence spectra of N07" impurity molecules in potassium halide
crystals. Phys. Status Solidi, 35, 107, 1969.
R. Avarmaa, P. S a a r i. Spectroscopic investigation of rotational re-
relaxation rates in KC1—NO7. Phys. Status. Solidi, 36, K177, 1969.
Т. Б. Т а м м. О «горячей» люминесценции в системах Шпольского.
Опт. и спектр., 32, 623, 1972.
К- К- Ребане. Вторичное свечение примесного центра кристалла.
Тарту, ИФА АН ЭССР, ротапринт, 1970.
К- К- Ребане. Вторичное свечение примесного центра кристалла.
Изв. АН СССР, сер. физнч., 35, 1324, 1971.
К- К- Ребане, П. М. С а ар и, Т. X. Мауринг. Горячая люми-
люминесценция примесных молекулярных ионов в щелочногалоидных крис-
кристаллах. Изв. АН СССР, сер. физич., 37, 848, 1973.
R. I. S г а г 1 е t, Y. F. F i g u e i r a, H. M a h r. Direct measurement of
picosecond lifetimes. Appl. Phys. Lett., 13, 71, 1968.
P. M. Rentzepis. Direct measurements of radiationless transitions in
liquids. Chem. Phys. Lett., 2, 117, 1968.
M. M. Mai ley, P. M. Rentzepis. Picosecond molecular relaxation
displayed with crossed laser beams. Chem. Phys. Lett., 3, 534, 1969.
D. Von der Linde, A. Laubereau, W. Kaiser. Molecular Vib-
Vibrations in Liquids: Direct measurement of the Molecular dephasing time;
determination of the shape of Picosecond Light Pulses. Phys. Rev. Lett.,
26, 954, 1971.
R. R. A 1 f a n 0, S. L. Shapiro. Optical phonon lifetime measured di-
directly with picosecond pulses. Phys. Rev. Lett., 26, 1247, 1971.
A. N i t z a n, J. J о r t n e r, P. M. Rentzepis. Peculiarities of the non-
radiative decay of a single vibronic level in polyatomic molecules. Chem.
Phys. Lett., 8, 445, 1971.
H. Коротеев. Прямые измерения ультракоротких времен жизни
оптических фононов. УФН, 106, 735, 1972.
R. R. А 1 f а п о, S. С. S h a p i r о. Direct measurement of the vibratio-
nal decay of dye molecules in the excited state. OPT. Communs, 6, 93,
1972.
D. R i с a r d, W. H. L о w d e г m i 1 k, Y. D u с u i n g. Direct observation
of vibrational relaxation of dye molecules in solution. Chem. Phys.
Lett., 16, 617, 1972.
G. Beck, J. K. Thomas. Picosecond Observations of Some Ionic and
excited-state processes in liquids. J. Phys. Chem., 76, 3856, 1972.
424
425
180 С Е В 1 е i I, J. G. G а у. Exciton line widths and the phonon interaction
in CdS. II—VI Simic. Сотр. Intern. Conf. N. Y.—Amst., 1967, p. 360.
181 K. J. Elliott. Intensity of optical absorption by excitons. Phys. Rev.,
108, 1384, 1957.
182. В. В. Соболев, В. И. Донецких. Спектры и структура зон крис-
кристаллов CdS, CdSe, CdTe. Изв. АН МолдССР, сер. физ.-техн. и матем.
наук, № 3, 27, 1972.
183. Р. П. С ей с ян, М. А. Абдуллаев. Тонкая структура экситонного
поглощения в кристаллах арсенида галлия. ФТП, 7, 811, 1973.
184 D D Sell. Resolved free-exciton transitions in the optical-absorption
spectrum of GaAs. Phys. Rev. B: Solid-State, 6, 3750, 1972.
185. A. Balder eschi, N. O. L i p a r i. Direct exciton spectrum in dia-
diamond and zinc-blende semiconductors. Phys. Rev. Lett., 25, 373, 1970.
186. A. Baldereschi, N. O. Lipari. Energy levels of direct excitons in
semiconductors with regenerate bands. Phys. Rev. B: Solid State, 3,
439, 1971.
187. N. O. Lipari, A. Baldereschi. Energy levels of indirect excitons
in semiconductors with degenerate bands. Phys. Rev. B: Solid State, 3,
2497, 1971.
188. Г. Е. Пикус, Г. Л. Б и р. Тонкая структура экситонных уровней со
структурой вюрцита. ФТП, 7, 119, 1973.
189. А. И. А н с е л ь м, Ю. А. бирсов. Длина свободного пробега нелока-
лизованного экситона в полярном кристалле. ЖЭТФ, 30, 719, 1956.
190. К- К- Ребане, В. Г. Федосеев, В. ВТ X и ж н я к о в. К теории
низкотемпературных спектров поглощения и люминесценции экситонов
Ваньс-Мотта. Тр. IX Междун. конф. по физике полупроводников. Л.,
«Наука», 1969, стр. 455.
191. С. Benoit a la Guillaume, M. Voos. Luminescence line shape
' of free excitons in pure Ge. Solid State Commun., 12, 1257, 1973.
192. T. Nishino, M. Takeda, Y. Hamakawa. Analysis of derivative
spectrum of indirect exciton absorption in silicon. Solid State Commun.,
12, 1137, 1973.
193. M. С a r d о п a. Modulation Spectroscopy. New York—London, Acade-
Academic Press, Solid State Phys. Suppl., 1969.
194. P. E. Холстед. Излучательная рекомбинация в области края полосы
поглощения. Сб. «Физика и химия соединений А2В6». М., «Мир», 1970,
стр. 296.
195. J. J. Hop field. The quantum chemistry of bound extion complexes.
Phys. semiconduct. Paris, 1964, p. 725.
196. D. G. Thomas, M. Gershenzon, J. J. Hop field Bound exci-
excitons in GaP. Phys. Rev., 131, 2397, 1963.
197. В. В. Соболев. Природа тонкой структуры линий краевого погло-
поглощения монокристаллов селенида и сульфида кадмия. Опт. и спектр.,
20, 673, 1966.
198. С. А. Москаленко, М. И. Ш м и г м о к. Об энергетическом спектре
экситонов в кристаллах типа CdS. ФТТ, 6, 3534, 1964.
199. М. Борн, Хуан Кунь. Динамическая теория кристаллических ре-
решеток. М., ИЛ, 1956.
200. С. И. П е к а р. Добавочные световые волны в кристаллах и эксито-
нах поглощения. УФН, 77, 309, 1962.
201. Е. Ф. Гросс, С. А. Премогоров, В. В. Травников, А. В.
Селькин. Светоэкситоны в кристаллах CdS. ФТТ, 13, 699, 1971.
202. W. С. Т a i t, R. L. W e i h e r. Contribution of scattering of polaritons
by photons to absorption of light waves in II—VI crystals. Phys Rev,
166, 769, 1968.
203. E. Gross, S. P e r m о g о г о v, V. Travnikov, A. Y. S e 1 k i n. Hot
426
f
exitons and exciton excitation spectra. J. Phys. Chem. Solids, 31, 2595,
1970.
204. E. Ф. Г р о с с, С. А. П е р м о г о р о в, В. В. Т р а в и и к о в, А. В.
Селькин. Спектроскопическое проявление времени жизни свободных
экситонов. ФТТ, 14, 1388, 1972.
205. Н. J. S t о с к е г, Н. К о р 1 а п. Theory of oscillatory photoconductivity
in semiconductors: Boltzmann-equation approach. Phys. Rev., 150, 619,
1966.
206. R. M. Maritin, С. М. Varma. Cascade theory of inelastic scattering
of light. Phys. Rev. Lett., 26, 1241, 1971.
207. Э. Л. Н о л л е. О рекомбинации через экситонные состояния в полу-
полупроводниках. ФТТ, 9, 122, 1967.
208. В. П. Грибковский, Г. П. Яблонский, П. Г. Лукашевич.
Тушение экситонной фотолюминесценции теллурида цинка в электри-
электрическом поле. ФТП, 8, 2210, 1974.
209. Б. М. Ашкинадзе, С. М. Рывкин, И. Д. Ярошецкий. Терми-
Термическая и ударная ионизация экситонов в GaP при двухфотонном воз-
возбуждении. ФТП, 3, 535, 1969.
210. В. Л. Броуде, И. И. Тартаковский, В. Б. Тимофеев. Кине-
Кинетика люминесценции свободных и связанных экситонов в кристаллах
CdS. ФТТ, 14, 3531, 1972.
211. Э. Л. Н о л л е. Кинетика рекомбинации через экситонные состояния
в полупроводниках. ФТП, 2, 1679, 1968.
212. Р. А. Балтрамеюнас, Ю. Ю. Войткуе, Ю. К- Вищакас. Фо-
Фотопроводимость и люминесценция в монокристаллах селенистого кад-
кадмия при возбуждении двойными оптическими переходами. Литовский
физический сб., 9, 515, 1969.
213. F. Urbach. The long-wavelength edge of photographic sensitivity and
the electronic absorption of solids. Phys. Rev., 92, 1324, 1953.
214. Y. Toyzawa. Theory of line-shapes of the exciton absorption bands.
Prog. Theor. Phys., 20, 53, 1958.
215. Y. Toyzawa. A proposed model for the explanation of the Urbach
rule. Prog. Theor. Phys., 22, 455, 1959.
216. Y. Toyzawa. The Urbach rule and the exciton-lattice interaction.
Techn. Rept. ISSP, A, № 119, 68, 1964.
217. Ю. П. Гнатенко, В. М. Кур и к. Экситон-фононное взаимодействие
в CdS. ФТТ, 12, 1143, 1370.
218. Ю. П. Гнатенко, М. В. Кури к. Экситон-фононное взаимодействие
в кристаллах CdSe и CdS—CdSe. Опт. и спектр., 29, 339, 1970.
219. Ю. П. Гнатенко, М. В. Кури к. Экспериментальные закономерно-
закономерности правила Урбаха в полупроводниках AnBvn. ФТП, 5, 1347, 1971.
220. D. Dunn. Urbach's rule in an electron-phonon model. Phys. Rev., 174,
855, 1968.
221. В. Л. Бонч-Б ру ев и ч. Квазиклассическая теория движения частиц
в случайном поле. Сб. «Статистическая физика и квантовая теория
поля». М., «Наука», 1973.
222. Е. Burns tein. Anomalous optical absorption limit in InSb. Phys.
Rev., 93, 632, 1954.
223. T. S. Moss. The interpretation of the properties of indium antimonide.
Proc. Phys. Soc, B67, 775, 1954.
224. J. I. Pankove, P. A i grain. Optical absorption of arsenic-doped de-
degenerate germanium. Phys. Rev., 126, 956, 1962.
225. В. П. Грибковский, П. Я- Старостин. Об эффекте Бурнштей-
на-Мосса в арсеииде галлия «-типа. Вестник БГУ, сер. I, № 1, 61, 1975.
226. D. E. Hill. Infrared transmission and fluorescence of doped gallium
arsenide. Phys. Rev., 133, 866, 1964.
227. A. S. Fil ipchenko, D. N. N a s 1 e d о v, L. N. R a d a i k i n a, I. I.
427
Ratner. The Moss-Burstein Effect in «-type InSb Crystals doped with
Selenium and Tellurium. Phys. Stat. Sol. (a), 14, 71, 1972.
228. W. К о h п. Shallow impurity in silicon and germanium. Solid State
Phys., 5, 257, 1957.
229. Ю. В. Ш м а р ц е в, А. Д. Решенюк, Е. М. К и с т о в а. Поглощение
инфракрасного излучения в фосфиде галлия ге-типа. IV. Фотоиониза-
Фотоионизация доноров с переходом электронов в более высокую зону проводи-
проводимости. ФТП, 4, 195, 1970.
230. Е. Haga. Infrared absorption of semiconductor at low temperatures.
J. Phys. Soc. Japan, 19, 2030, 1964.
231. E. Haga. Optical properties due to donor electrons in semiconductors.
J. Phys. Soc, Japan, 20, 735, 1965.
232. R. A. Chapman, W. G. Hutchinson. Photoexcitation and photo-
ionization of neutral manganese acceptors in gallium arsenide. Phys.
Rev. Lett., 18, 443, 1967.
233. С H. Henry, K. Nassau, J. W. S h i e v e r. Optical studies of shal-
shallow acceptors in CdS and CdSe. Phys. Rev. B: Solid State, 4, 2453, 1971.
234. O. Christensen. Absorption from Neutral Acceptors in GaAs and
GaP. Phys. Rev. B: Solid State, 7, 1426, 1973.
235. E. M. Гершензон, Г. Н. Гольцман, Н. Г. Птицына. Иссле-
Исследование возбужденных состояний доноров в GaAs. ФТП, 7, 1870, 1973.
236. А. Д. Решенюк, Л. Г. Забелина, Ю. И. Уха нов, В. М. Туч-
Тучке в и ч, Ю. В. Ш м а р ц е в. Поглощение инфракрасного излучения
в фосфиде галлия re-типа. Тр. IX Междун. конф. по физике полупро-
полупроводников, 1. Л., «Наука», 1959, стр. 236.
237. И. А. К у р о в а, В. А. Морозова, В. М. Я р Ц е в. О сечении фото-
фотоионизации акцепторных уровней золота в германии «-типа. ФТП, 7,
1712, 1973.
238. Э. П. Синявский, В. А. Коварский. Квазиклассическая оценка
поперечников многофононного захвата в некондоновском приближении
для деформационного взаимодействия. ФТТ, 9, 1464, 1967.
239. G. Lucovsky. On the photoionizatdon of deep impurity centers in
semiconductors. Solid State Communs, 3, 299, 1965.
240. В. Л. Б онч-Бр у е в и ч. К теории захвата носителей заряда глубо-
глубокими ловушками в гомеополярных полупроводниках. Вестник МГУ,
Физика, астрономия, 12, 5, 1971.
241. W. Shockley, W. Т. Read. Jr. Statistics of the Recombinations of
Holes and Electrons. Phys. Rev., 87, 835, 1952.
242. В. П. Грибковский. Beoti АН БССР, сер. ф1з.-матэм. навук, № 4,
95, 1966.
243. D. M. Eagles. Optical absorption and recombination radiation in semi-
semiconductors due to transitions between hydrogen-like acceptor impurity
levels and the conduction band. J. Phys. Chem. Solids., 16, 76, 1960.
244. Я- Е. Покровский, К- И. Свистунов а. Некоторые особенности
излучательного захвата электронов на атомы индия и галлия в крем-
кремнии. ФТТ, 5, 1880, 1863.
245. Я. Е. Покровский, К- И. Свистунов а. Излучательный захват
носителей заряда на примесные атомы в кремнии и германии. ФТТ, 6,
19, 1964.
246. G. Lucovsky. Gaussian impurity bands in GaAs. Solid State Comm-
Communs, 3, 105, 1965.
247. А. Л. Эфрос. Плотность состояний и межзонное поглощение в силь-
сильно легированных полупроводниках. УФН, 111, 451, 1973.
248. J. J. Н о р f i e 1 d, D. G. T h о m a s, M. G e r s h e n z о п. Pair spectra in
GaP. Phys. Rev. Lett., 10, 162, 1963.
249. D. G. Thomas, M. Gershenzon, F. A. Trumbore. Pair spectra
and «edge» emission in gallium phosphide. Phvs. Rev., 133A, 269, 1964.
250. Л. Меркам, Ф. Вильяме. Конфигурационное взаимодействие
428
и корреляционные эффекты в спектрах донорно-акцепторных пар. Изв.
АН СССР, сер. физич., 37, 803, 1973.
251. F Williams. Donor-acceptor pairs in semiconductors. Phys. Stat.
Sol., 25, 493, 1968.
252. А. Э. Ю н о в и ч. Излучательная рекомбинация и оптические свойства
фосфида галлия. Сб. «Излучательная рекомбинация в полупроводни-
полупроводниках». М., «Наука», 1972, стр. 224.
253. S. S h i о п о у a. Luminescence of Lattices of the ZnS type. Luminescen-
Luminescence of inorganic solids. Academic Press. New York and London, 1966,
p. 205.
G. H. D б h 1 e r. The Kinetics of donor—acceptor Transitions in ZnS
254.
255.
type phosphors. Phys. Status. Solidi, 45, 705, 1971.
D. G. Thomas, J. J. H о p f i e 1 d, W. M. A u g u s t у п i a k. Kinetics
of radiative recombination at randomly distributed donors and acceptors.
Phys. Rev., 140A, 202, 1965.
256. E. Закс, А. Гальперин. Энергетический сдвиг излучения донорно-
акцепторных пар. Изв. АН СССР, сер. физич., 37, 551, 1973.
257. Е. Z а с к s, А. Н а 1 р е г i n. Dependence of the Peak Energy of the Pair
Photolum-inescence Band on Excitation Intensity. Phys. Rev. B: Solid
State, 6, 3072, 1972.
258. В. А. Д о б р е г о. Расчет люксампериых характеристик прыжковой
фотопроводимости. ФТТ, 8, 3506, 1966.
В. П. Д о б р е г о, И. С. Ш л и м а к. Межпримесная излучательная
259.
260.
рекомбинация в компенсированном германии. ФТП, 1, 1478, 1967.
U. H e i m. Evidence for donor-acceptor recombination in InP by time-
resolved photoluminescence spectroscopy. Solid State Communs. 7, 445,
1969.
261. A, H. П и x н и н, Д. А. Я с ь к о в, Г. Ф. Глинский. Кинетика меж-
примасной излучательной рекомбинации в фосфиде галлия. ФТТ, 12,
386, 1970.
262. Н. Y. F а п. Infrared absorption in semiconductors. Rept. Progr. Phys.,
19, 107, 1956.
263. H. Y. F a n, W. S p i t z e r, R. J. С о 11 i n s. Infrared absorption in n-type
germanium. Phys. Rev., 101, 566, 1956.
264. H. J. G. Meyer. Infrared absorption by conductor electrons in germa-
germanium. Phys. Rev., 112, 298, 1958.
265. R. Rosenberg, M. Lax. Free-carrier absorption in «-type Ge. Phys.
Rev., 112,843, 1958.
266. W. P. D u m k e. Quantum theory of free carrier absorption. Phys. Rev.,
124, 1813, 1961.
267. А. А. Гринберг, Н. А. Б р ы н с к и х. Теория поглощения света сво-
свободными носителями тока в полупроводниках, охватывающая кванто-
квантовую и классическую области частот. ФТП, 5, 1271, 1971.
268. И. Г. Л а н г. К теории инфракрасного поглощения свободными носи-
носителями тока. ФТТ, 15, 2136, 1973.
269. 3. А. Демиденко. О поглощении света свободными носителями
в полупроводниках с непараболическей зоной. ФТП, 4, 2106, 1970.
270. Т. А. Алиев, Ф. М. Г а ш и м з а д е. К теории поглощения света сво-
свободными носителями в полупроводниках с непараболической зоной.
ФТП, 6, 458, 1972.
271. В. Л. Гуревич, И. Г. Л а н г, Ю. А. Фирсов. О роли оптических
фононов в инфракрасном поглощении свободными носителями в полу-
полупроводниках. ФТТ, 4, 1252, 1962.
272. S. Visvanathan. Free carrier absorption due to polar modes in the
III—V compound semiconductors. Phys. Rev., 120, 376, 1960.
273. E. Haga, H. К i m u r a. Free-carrier infrared absorption and determi-
determination-potential constant in га-type InSb. J. Phys. Soc. Japan, 18, 777,
1963.
429
274 Ц. Hag a, H. Kimura Free-carrier infrared absorption in 111—V se-
semiconductors. 11 inAs. J. Phys. Soc. Japan, 19, 471, 1964.
275. E. Haga, H. Kimura. Free-carrier infrared absorption in 111—V se-
semiconductors. III. GaAs, InP, GaP and GaSb. J. Phys. Soc. Japan, 19,
658, 1964.
276. E. Haga, H. Kimura. Free-carrier infrared absorption in III—V se-
semiconductors IV. Inter-conduction band transitions. J. Phys. Soc. Japan,
19, 1596, 1964.
277. W. P. Dumke, M. R. Lorenz, G. D. Petti t. Intra- and interband
free carrier absorption and the fundamental absorption edge in «-type
InP. Phys. Rev. B: Rev. Solid State, 1, 4668, 1970.
278. H. Y. Fan. Effects of free carriers on the optical properties. Semicond.
a Semimetals, 3, 405, 1967.
279. E. П. Р а ш е в с к а я, В. И. Ф н с т у л ь. Инфракрасное поглощение
арсенида галлия с примесями VI группы. ФТТ, 9, 3618, 1967.
280. Y. В. Arthur, А. С. В а у n h a m, W. F a w с е 11, E. G. S. Paige.
Optical absorption due to free holes in germanium: a comparison of the-
theory and experiment. Phys. Rev., 152, 740, .1967.
281. 3. А. А д ж и м у р а д о в, Г. Б. Б а г д у е в. Поглощение на свободных
носителях в теллуре прн высоких температурах. ФТП, 3, 1338, 1969.
282. О. В. В а к у л е н к о, М. П. Лисица, Я- Ф- К о и о н е ц. Инфракрас-
Инфракрасное поглощение носителями в сернистом свинце. ФТТ, 8, 1698, 1966.
283. S. Yamada, Y. Kawasaki, О. Nishida. Free carrier absorption
in и-type CdTe crystals. Phys. Stat. Solidi., 26, 77, 1968.
284. С. И. Р а д а у ц а н, А. Е. Ц у р к а н. Теллурид цннка. Кишинев, изд-во
«Штиинца», 1972.
285. Б. М. В у л, А. Ф. Плотников, В. М. С а л ь м а и, А. А. Соколо-
Соколова, В. А. Чапннн. Поглощение света свободными носителями в кри-
кристаллах re-GdTe. ФТП, 2, 1243, 1968.
286. М. П. Лисица, В. Н. М а л и н к о, Е. В. Пндлисный, Г. Г. Ц е-
б у л я. Поглощение свободными носителями в GaAs, InAs и Ge. ФТП,
3, 1439, 1969.
287. М. П. Лисица, В. Н. Малин ко, В. С. Н и к о н ю к, Н. Е. Нево-
Неволе ц к и и, Г. Г. Ц е б у л я. Поглощение свободными носителями в
CdTe «-типа. ФТП, 3, 1576, 1969.
288. F. Herman, J. С all away. Electronic structure of the germanium
crystal. Phys. Rev., 89, 518, 1953.
289. W. Kaiser, R. J. Collins, H. Y. Fan. Infrared absorption in p-type
germanium. Phys. Rev., 91, 1380, 1953.
290. H. В. В r i g g s, R. С F1 e t с h e r. Absorption of infrared light by free
carriers in germanium. Phys. Rev., 91, 1342, 1953.
291. W. G. Spitser, Y. M. Whelan. Infrared absorption and electron
effective mass in n-type gallium arsenide! Phys. Rev., 114, 59, 1959.
292. R. Brauns tein, E. O. Kane. The valence band structure of the
III—V compounds. Jour. Phys. Chem. Sol. 23, 1423, 1912.
293. W. M. Becker, A. K. R a m d a s, H. Y. Fan. Energy band structure
of gallium antimonide. Journ. Appl. Phys. Suppl. 32, 2094, 1961.
294. W. J. Turner, W. E. Relse. Infrared absorption in га-type aluminium
antimonide. Phys. Rev., 117, 1003, 1960.
295. G. W. G obeli, H. Y. Fan. Infrared absorption and valence band in
indium antimonide. Phys. Rev., 119, 613, 1960.
296. G. D. Clark, J r. N. H о 1 о п у a k. Jr. Optical properties of gallium
arsenide-phosphide. Phys. Rev., 156, 913, 1967.
297. A. N. К a h n. Theory of the infrared absorption of carriers in germanium
and silicon. Phys. Rev., 97, 1647, 1955.
298. E.JD. Kane^ Energy band structure in p-type germanium and silicon.
299.
430
J. Phys. and Chem. Solids., 1, 82, 1956.
Ю. B. Ill м а р ц е в, А. Д. Р е м е н ю к. Поглощение инфракрасного из-
излучения в фосфиде галлия «-типа. III. О структуре зоны проводимо-
проводимости. ФТП, 3, 1697, 1969.
300. В. Н. Мурзин. Низкотемпературное поглощение в германии, обусло-
обусловленное переходами в валентной зоне. ФТП, 7, 1610, 1973.
301. S. S. Mitra. Vibration spectra of solids. Solid State Phys., 13, 1, 1962.
302. А. А. Марадулин, Э. Монтролл, Дж. В ей с. Динамическая
теория кристаллической решетки в гармоническом приближении. М.,
«Мир», 1965.
303. К- Б. Т о л н ы г о. Состояние теории поляризационных и валентных
кристаллов. УФН, 74, 269, 1961.
304. В. И. 3 а к р ж е в с к и й, Л. Н. П и х т н и, Д. А. Я с ь к о в. Оптиче-
Оптическое поглощение на колебаниях решетки н локальные колебания бора
в фосфиде галлия. ФТТ, 13, 2635, 1971.
305. D A. Kleinman, W. G. Spitzer. Infrared lattice absorption of
GaP. Phys. Rev., 118, 110, 1960.
306. W. С о с h r a n, S. J. F r axy, F. A. Johnson, J. "E. Quarr ington,
N. Williams. Lattice absorption in gallium arsenide. J. Appl. Phys.
Suppl., 32,2102, 1961.
307. W. J. Turner, W. E. Reese. Infrared lattice bands in AlSb. Phys.
Rev., 127, 126, 1962.
308. Э. В. Шпольский. Атомная физика, т. 2. М.—Л., Гостехиздат, 1959.
309 A. R. В е a 11 i е, Р. Т. L a n d s b e r g. Auger effect in semiconductors.
Proc. Roy. Soc, A249, 1959.
310. P. T. Landsberg, A. R. В е a 11 i e. Auger effect in semiconductors.
J. Phys. and Chem. Solids, 8, 73, 1959.
311. A. R. В e a 11 i e, P. T. L a n d s b e r g. Onedimensional overlap functi-
functions and their application to Auger recombination in semiconductors.
Proc. Roy. Soc, A258, 486, 1960.
312. E. А. Боброва, В. С. Вавилов, Г. Н. Галкин. Межзонная удар-
ударная рекомбинация в кремнии и германии. ФТТ, 13, 3528, 1971.
313. A. R. В е a 11 i e, G. S m i t h. Recombination in semiconductors by a light
hole auger transition. Phys. Status Solidi, 19, 577, 1967.
314 Y. T a n e. Electron impact ionization in semiconductors. J. Phys. Chem.
Solids, 8, 215, 1959.
315. A. R. Beattie. Quantum efficiency in InSb. J. Phys. and Chem. Solids,
23, 1049, 1962.
316. В. Н. Ивахно, Д. Н. На еле до в. Зависимость квантового выхода
от энергии фотонов для р—«-переходов в InSb. ФТТ, 6, 2094, 1964.
317. Т. Masumi. Auger recombination in InAs, GaSb, InP and GaAs.
J. Appl. Phys., 43, 4114, 1972.
318. В. Л. Бон ч-Б руевич, Ю. В. Гуляев. К теории ударной рекомби-
рекомбинации в полупроводниках. ФТТ, 2, 465, 1960.
319. Е. И. Т о л н ы г о, К- Б. Т о л н ы г о, М. К- Ш е й и к м а н. Оже-реком-
бииация с участием носителей, связанных на различных центрах. ФТТ,
7, 1790, 1965.
320. D. Shone. Zur Theorie der Auger-Pozesse in 111—V-Halbleitern. Z. Na-
turforsch., 24a, 1752, 1969.
321. H. С. Бары не в. Междузонная рекомбинация электронов и дырок
в арсениде индия. ФТТ, 6, 3027, 1964.
322. В. Г. Алексеева, И. В. Карпова, С. Г. Калашников. Зави-
Зависимость времени жизни электронов и дырок в германии от их концен-
концентрации. ФТТ, 1, 529, 1959.
323. И. В. Карпова, С. Г. Калашников. Время жнзнн электронов
и дырок в сильно легированном германии. ФТТ, 5, 301, 1963.
324. R. Conrad t, J. Aengenheister. Minori by carrier lifetime in
highly doped Ge. Solid State Commun, 10, 521, 1972.
325. 1. V. Karpova, S. G. Kalashnikov. Lifetime of electrons and ho-
431
Jes in heavily doped germanium. Rept. Internal Conf. Phys. Semicon-
Semiconductors. Exeter, 1962; London. Inst. Phys. and Phys. Soc, 1962, p. 880.
326. J. D. Beck, R. С о n r a d t. Auger-recombination in Si. Solid State
Communs., 13, 93, 1973.
327. Л.М. Блинов, Е. А. Боброва, В. С, Вавилов, Т.Н. Галкин.
О рекомбинации неравновесных носителей в кремнии при высоких
уровнях фотовозбуждения. ФТТ, 9, 3221, 1967.
328. D. M. S a g I e s. The phonon-assisted Auger effect in semiconductors.
Proc. Phys. Soc, 78, 204, 1961.
329. J. S. Blatemore. Recombination processes in tellurium. Proc. Conf.
Semiconductors, Phys. Prague, 1961, p. 981.
330. Г. Г. Ковалевская, Д. Н. Наслёдов, С. В. Слободчиков.
Межзонная излучательная и ударная рекомбинация в 1пР. ФТП, 4,
780, 1970.
331. J. С. Tsang, P. J. Dean, Р. Т. L a n d s b e r g. Concentration quen-
quenching of luminescence by donors or acceptors in gallium phosphide and
the impurity-band Auger model. Phys. Rev., 173, 814, 1968.
332. J. M. D i s h m a n. Radiative and nonra-diative recombination at neutral
oxygen in p-type GaP. Phys. Rev. B: Solid State, 3, 2588, 1971.
333. R. Conradt, W. Waidelich. Indirect band-to-band Auger recom-
recombination in Ge. Phys. Rev. Letters, 20, 8, 1968.
334. J. I. Pankove, L. T о m a s e 11 a, B. F. Williams. Identification of
auger electrons in GaAs. Phys. Rev. Lett., 27, 29, 1971.
335. О. И. Львов, В. Л. Фридрих. К вопросу о переходах автоиониза-
автоионизационного типа с участием экситонов. Вестник ЛГУ, 16, 141, 1966.
336. С. Constantinescu, A. Goldenblum, M. Sostarichi. Au-
Auger effect and radiative recombination in re-GaAs-p-Al GaAs heterojuncti-
heterojunctions. Rev. roum. Phys., 16, 969, 1971.
337. К. Н. Z s с h a n e r. Auger recombination in heavily doped p-type CaAs
Solid State Communs, 7, 1079, 1969.
338. L. R. We is berg. Auger recombination in GaAs. J. Appl Phys , 39
6096, 1968. '
339. L. Hul dt. Band-to-band Auger recombination in inderect gap semicon-
semiconductors. Phys. Status. Solidi (a), 8, 173, 1971.
340. G. F. Neumark. Auger theory at defects application to states with
two bound particles in GaP. Phys. Rev. B: Solid State, 7, 3802, 1973.
341. P. T. Landsberg. Non-radiative transitions in semiconductors Phys
Stat. Solidi, 41, 457, 1970. "
342. P. T. Landsberg, N. J. Adams. Radiative and auger processes in
semiconductors, J. Luminescence, 7, 3, 1973.
343. А. В. Ржанов. Электронные процессы на поверхности полупровод-
полупроводников. М., «Наука», 1971.
344. Ю. Ф. Новотоцки й-В л а с о в. Исследование природы доминирую-
доминирующих центров рекомбинации на реальной поверхности германия Тр ФИ
АН БССР, 48, 3, 1969. F'
345. I. G. Neizvestny, V. N. Ovsyuk. Statistics of recombination thro-
through quasicontinuous spectrum of surface states. Physica Status Solidi
(a), 18, 465, 1973.
346. V. L. В о n с h-B r u e v i с h, E. G. Landsberg. Recombination me-
mechanisms. Phys. Status. Solidi, 29, 9, 1968.
347. M. D. S t u r g e. Optical absorption of gallium arsenide between 0 6 and
2.75 ev. Phys. Rev., 127, 768, 1962.
348. Y. P. Varshni. Temperature dependence of the energy gap in semi-
semiconductors. Physica, 34, 149, 1967.
349. E. J. Johnson. Absorption near the fundamental edge. Semiconduct-
Semiconductors and Semimetals. N. Y. Academic Press, 3, 153, 1967.
350. H. И. В и т р и х о в с к и й, М. В. К У р и к, В. С. М а н т а р а. Край по-
432
глощения одноосно деформированных кристаллов CdS. ФТП, 7, 931,
1973.
351. С. И. Субботин, В. В. Панфилов, Л. Ф. Верещагин, Р. Т.
Молчанова, Г. А. Ахундов. Смещение максимума экситонного
поглощения и фазовый переход в селениде галлия под действием гид-
гидростатического давления. ДАН СССР, 202, 1039, 1972.
352. I. В а 1 s I e v. Influence of uniaxial stress on the indirect absorption
edge in silicon and germanium. Phys. Rev., 143, 636, 1965.
353. В. Поль, Д. Варсиауэр. Роль давления при исследовании полу-
полупроводников. Сб. «Твердые тела под высоким давлением». М., «Мир»,
1966, стр. 205.
354. Л. А. Каплянский, Л. Г. Суслина. Деформационное расщепле-
расщепление основной экситонной линии в спектре отражения ZnTe. ФТТ, 7,
2327, 1965.
355 F H Poll a k, R. L. A g g а г w a I. Eifects of uniaxial stress on the
free and bound exciton in GaSb at 1,7°K. Phys. Rev. B: Solid State, 4,
432, 1971.
356. К. Брэдли. Применение техники высоких давлений при исследова-
исследовании твердого тела. М., «Мир», 1972.
357. А. Л. Полякова. Физические принципы работы полупроводниковых
датчиков механических величин. Акустический журнал, 8, 1, 1972.
358. Л. В. Келдыш. О влиянии сильного электрического поля на оптиче-
оптические характеристики непроводящих кристаллов. ЖЭТФ, 34, 1138, 1958.
359 W. F r a n г. Einfluss eines elektrischen Feldes auf eine optische Absor-
ptionskante. Z. Naturforsch., 13a, 484, 1958.
360. В. С. Вавилов, К- И. Брицын. Влияние сильного электрического
поля на поглощение света кремнием. ФТТ, 2, 1937, 1960.
361. К- И. Брицын, В. С. Вавилов. Влияние электрического поля вы-
высокой частоты на край основной полосы оптического поглощения крем-
кремния. ФТТ, 3,2497, 1961.
362. И. А. Меркулов, В. И. П е р е л ь. Электропоглощение в полупро-
полупроводниках с крупномасштабными флуктуациями концентрации приме-
примесей. ФТП, 7, 1197, 1973.
363. С. Ф. Тимошев. О примесном поглощении света в сильном электри-
электрическом поле ниже края поглощения. ФТТ, 14, 2621, 1972.
364. В. К. С у б аш и е в, Г. А. Ч а л и к я н. Эффект Франца—Келдыша и
оптическое поглощение GaPxAsi-*. Тр. IX Междун. конф. по физике
полупроводников, 1. Л., «Наука», 1969, стр. 397.
365. Т. Lukes, К. Т. S. Somaratha. Optical absorption in Semiconduc-
Semiconductors with high impurity concentrations in the presence of an electric
field. J. Phys. C: Solid State Phys., 3, 2044, 1970.
366. Г. А. Ч а л и к я н, В. К- С у б а ш и е в, П. К и ш а к. Эффект Франца-
Келдыша в фосфиде галлия. ФТТ, 10, 442, 1968.
367. П. X а н д е р. Экситоны и эффект Франца—Келдыша. Тр. IX Междун.
конф. по физике полупроводников, 1. Л., «Наука», 1969, стр. 403.
368. Л. В. Келдыш, О. В. Константинов, В. И. Перед ь. Эффекты
поляризации при межзонном поглощении света в полупроводниках
в сильном электрическом поле. ФТП, 3, 1042, 1969.
369. S. Tomjyama, Y. I t о. Changes of refractivity and nonlinear optical
phenomena by Franz—Keldysh effect of silicon. Japan J. Appl. Phys.,
5, 1132, 1966.
370. M Tokatsuji Franz—Keldysh effect of refractive index at frequency.
Japan J. Appl. Phys., 6, 118, 1967.
371. G. H. Wannier. Wave functions and effective Hamiltonian for Bloch
electrons in an electric field. Phys. Rev., 117, 432, 1960.
372. J. С a 11 a w a y. Optical absorption in an electric field. Phys. Rev., 130,
549, 1963.
28. Зак. 312
433
373 #J. С а 11 a w а у. Optical absorption in an electric field. Phys. Rev., 134,
998, 1964.
374. A. G. Chynoweth, G. H. Wannier, R. A. Logan, D. E. Tho-
Thomas. Observation of Stark splitting of energy bands by means of tun-
tunnelling transitions.
375 В В Snavely Electric-field-induced oscillations in absorption edge
of CdS. Bull. Amer. Phys. Soc, 10, 344, 1965.
376. В. С. Вавилов, В. Б. Стопачинскнй, В. Ш. Чанбарисов.
Осцилляции оптического поглощения в CdS, возникающие в сильных
электрических полях. ФТТ, 8, 2660, 1966.
377 L M Lambert. Measurement of optical absorption in an electric field.
' Phys. Rev., 138, 1569, 1.965.
378. Ю. А. Курский, В. Б. Стопачинский. Электронные состояния
и межзонные оптические переходы в сильных электрических полях в
полупроводниках. ФТП, 1, 106, 1967.
379. Д. Б. Куше в,"В. И. Соколов, В. К- С у б а ш е в. Электропоглоще-
Электропоглощение арсенида галлия. ФТТ, 13, 2965, 1971.
380 С В. D u k e. Optical adsorption by excitions in a strong electric field.
Phys. Rev. Lett., 15, 625, 1965.
381. С. В. Duke, M. E. Alferieff. Solvable model of a hydrogenic sys-
system in a strong electric field: application to optical absorption in semi-
semiconductors. Phys. Rev., 145, 583, 1966.
382. H. I. R a 1 p g h. On the theory of the Frank— Keldysh effect. J. Phys.
(Proc. Phys. Soc), Cl, 378, 1968.
383. D. F. Blossey. Wannier exoiton in an electric field. I. Optical absor-
absorption by bound and continuum states. Phys. Rev. B: Solid State, 2, 3976,
1970.
384. D. F. Blossey. Wannier exciton in an electric field. II. Electroabsorp-
tion in directband-gap solids. Phys. Rev. B: Solid State, 3. 1382, 1971.
385. H. L a n g e. The influence of an electric field on the В, и=1 ground sta-
. te exciton line of CdS and CdSe single crystals. Phys. State Solidi (B),
48,791, 1971.
386. M. Борисов, И. Палов, А. Ангелов, М. Миляшев. Эффект
Шварка экситоиов и электрооптический эффект в монокристаллах сер-
сернистого кадмия. Тр. IX Междун. конф. по физике полупроводников, 1,
Л., «Наука», 1969, стр. 148.
387. В. М. А с и и н, А. А. Р о г а ч е в, С. М. Рыбкин. Ударная ионизация
экситонов в германии. ФТП, 1, 1740, 1967.
388. Б. М. А ш к и н а д з е, И. П. К р е ц у, С. Л. П ы ш к и н, С. М. Р ы в-
к и н, И. Д. Ярошецкий. Влияние электрического поля и темпера-
температуры на интенсивность экситонного излучения GaP. ФТТ, 10, 3681, 1968.
389. В. С. Багаев, Л. И. Падучих, В. Б. Стопачинский. Низко-
Низкотемпературная фотолюминесценция GaAs в условиях сильного взаимо-
взаимодействия неравновесных носителей. Письма ЖЭТФ, 15, 508, 1972.
390. Q. H. F. V г е h e n. Interband optical absorption in crossed electric and
magnetic fields in germanium. Phys. Rev., 145, 675, 1966.
391. Э. И. Заварицкая. Ударная ионизация примесей в германии при
низких температурах. Тр. ФИАН СССР, 37, 41, 1967.
392. V. М. A s n i n, G. L. E r i s t a v i, A. A. R о g а с h e v. Effect of Weak
fields on the absorption edge in doped germanium. Phys. Stat. Sol., 29,
443, 1968.
393. А. А. Рогач ев. Новые исследования экситонов в германии. Тр. IX
Междун. конф. по физике полупроводников, 1. Л., «Наука», 1969.
394. Г. Дрессельхауз, М. Дрессельхауз. Магнитооптические
эффекты в твердых телах. Сб. «Оптические свойства полупроводников
А3Вб», «Мир», 1970, стр. 313.
395. Арсенид галлия. Получение, свойства и применение. М., «Наука», 1973.
434
396. Ю. И. У х а и о в Магнетооптический эффект Фарадея в полупровод-
полупроводниках, УФН, 109, 667, 1973.
397. А. М. 3 л о б и н, П. С. Зырянов, Горячие электроны полупроводни-
полупроводников в квантующем магнитном поле. УФН, 104, 333, 1971.
398 Т Н Lee H Y. Fan. Faraday rotation in p-type semiconductors. Phys.
Rev., 165, 927, 1968.
399. Л. Д. Ландау. Диамагнетизм металлов. Собрание трудов, 1. М.,
«Наука», 1969, стр. 47.
400. А. Г. Самойлович, Л. Л. Коренблит. Квантовая теория кине-
кинетических явлений в полупроводниках. ЖТФ, 27, 2673, 1957.
401. А. Н. Kahn, H. P. R. F r e d er i ks e. Oscillatory behavier of magnetic
susceptibility and electronic conductivity. Solid state phys., 9, 257, 1959.
402. M. Кардона. Модуляционная спектроскопия. М. «Мир», 1972.
403. Я. Т а у ц. Оптические свойства полупроводников. М., «Мир», 1967.
404. Тр. I Международной конференции по модуляционной спектроскопии
(Таксон, США). Surface Sci., 37, 1973.
405. С. И. Вавилов. Микроструктура света. Собр. соч., 2. М., Изд-во
АН СССР, 1954.
406. С. И. Вавилов, В. Л. Л е в ш и н. Соотношение между флуоресцен-
флуоресценцией и фосфоресценцией в твердых и жидких средах. Собр. соч., 1. М.,
Изд-во АН СССР, 1954, стр. 195.
407. С. И. Вавилов. О независимости коэффициента поглощения света
от яркости. Собр. соч., 1. М., Изд-во АН СССР, 1954, стр. 80.
408. G. N. Lewis, D. L i p k i n, Т. Т. М a g e 1. Reversible photochemical
Processes in rigid media. A Study of the phosphorescent State. J Amer.
Chem. Soc, 63, 3005, 1941.
409. Б. Я- Свешников, Абсорбция и фосфоресценция органических фос-
фосфоров при насыщении светом. ДАН СССР, 51, 675, 1946.
410. С. В. Чердынцев. Оптическая анизотропия фосфоров с органиче-
органическими красителями при освещении поляризационным светом. ЖЭТФ,
18, 352, 1948.
414. С. В. Чердынцев, И. И. Басерман. Оптическая анизотропия
фосфоров с органическими красителями при освещении поляризован-
поляризованным светом. ЖЭТФ, 18, 360, 1948.
412. R. Karplus, J. Schwinger. A note on saturation in microwave
spectroscopy. Phys. Rev., 73, 1020, 1948.
413. Б. И. Степанов. О квантовом выходе излучения. ДАН СССР, 99,
971, 1954.
414. В. П. Грибковский. Вероятностный метод расчета спектроскопи-
спектроскопических характеристик системы частиц с /V-уровнями энергии. ДАН
БССР, 4, 284, 1960.
415. В. П. Грибковский. Зависимость поляризации Р-фосфоресцеицин
от иитенсивиости возбуждающего света. ДАН БССР, 4, 199, 1960.
416. В. Л. Грибковский, Б. И. Степанов. О совпадении результа-
результатов классической и квантовой теорий взаимодействия света с гармони-
гармоническим осциллятором. Изв. АН СССР, сер. физич., 24, 529, 1960.
417. Б. И. Степанов, В. П. Грибковский. Нелинейные оптические
явления в системе частиц с тремя уровнями энергии. Изв. АН СССР,
сер. физич., 24, 534, 1960.
418. Б. И. Степанов, В. П. Грибковский. Зависимость поляризации
люминесценции системы частиц с тремя уровнями энергии от интенсив-
интенсивности света. Опт. и спектр., 8, 224, 1960.
419. В. П. Грибковский. Нелинейные оптические явления и границы
применимости классической теории гармонического осциллятора. Авто-
Автореферат кандидатской диссертации. Минск, 1960.
420. В. П. Грибковский. Нелинейные оптические явления. Сб. «Взаи-
«Взаимодействие неравновесного излучения с веществом». Минск Изд-во
АН БССР, 1965, стр. 66.
28*
435
421. *Б. И. Степанов, В. П. Грибковский. Применение вероятност-
вероятностного метода для расчета оптических квантовых генераторов света.
УФН, 82, 201, 1964. '
422. П. А. Апанасевич. О вероятностном методе расчета свойств, по-
поглощения и испускания. Изв. АН СССР, сер. физич., 24, 509, 1960.
423. П. А. Апанасевич. Поглощение и преобразование потоков излуче-
излучения. Опт. и спектр., 14, 612, 1963.
424 П А Апанасевич. Поглощение мощных немонохроматических по-
потоков излучения. ДАН БССР, 7, 22, 1963.
425. А. М. Ратнер, А. М. Фишер. О применимости приближения ди-
диэлектрической проницаемости и балансных уравнений в теории лазера.
Сб. «Квантовая электроника и оптика». Харьков, Изд-во АН УССР,
1970, стр. 96.
426. В. П. Грибковский, Б. И. Степанов. Зависимость коэффициен-
коэффициента поглощения от интенсивности и углового распределения облучаю-
облучающей радиации. Опт. и спектр., 14, 484, 1963.
427. А. Н. С е вч енк о, А. А. Ковалев, В. А. П и л и п о в и ч, Ю. В.
Раз вин. О поляризованном излучении генерации растворов органи-
органических красителей. ДАН СССР, 179, 562, 1968.
428. Б. И. Степанов, В. П. Грибковский. Поглощение и люминес-
люминесценция гармонического осциллятора. ДАН СССР, 121, 446, 1958.
429. В. П. Гр и б к о в с к и й, Б. И. Степанов. Поляризация люминес-
люминесценции гармонического осциллятора. Опт. и спектр., 8, 176, 1960.
430. В. П. Грибковский. Естественный контур спектральной линии
гармонического осциллятора. Весш АН БССР, сер. ф1з.-тэхн. навук,
№ 1, 43, 1960.
431. V. Weisskopf, E. Wigner. Uber die naturarliche Liniebreite in
der Strahlung des harmonischen Oszillators. Zeitschr. f. Physik, 65, 18,
1930.
432. В. И. Федоров. Применение метода функционалов к некоторым во-
вопросам теории излучения. Уч. зап. ЛГУ, сер. физич., 146, 33, 1952.
433. В. П. Грибковский. О нарушении закона Бугера в полупроводни-
полупроводниках. ФТП, 3, 944, 1969.
434. В. П. Грибковский. Насыщение люминесценции, поглощения и
усиления света в полупроводниках. Сб. «Квантовая электроника и ла-
лазерная спектроскопия». Минск, Ин-т физики АН БССР, 1971, стр. 212.
435. В. П. Грибковский. Люминесценция, поглощение и стимулирован-
стимулированное испускание света при интенсивном возбуждении. Автореферат док-
докторской диссертации. Минск, 1972.
436. Э. И. А д и р о в и ч, П. И. Книгин. Фотопроводимость при больших
световых потоках и эффективное сечение бимолекулярной рекомбина-
рекомбинации в кремнии. ДАН СССР, 158, 570, 1964.
437. Е. Y. С о п w а у. Linght-induced modulation of broad-band optical ab-
' sorption in CdS. J. Appl. Phys., 41, 1689, 1970.
438. Л. И. Блинов, В. С. Вавилов, Г. Н. Галкин. Изменение оптиче-
оптических свойств и концентрации носителей заряда в Si и GaAs при ин-
интенсивном фотовозбуждении рубиновым ОКХ. ФТП, 1, 1351, 1967.
439. О. С. 3 и н е ц, В. Л. С т р и ж е в с к и й. Фотоэффект в полупроводни-
полупроводниках при высоких уровнях освещения. ФТП, 2, 1215, 1968.
440. В. П. Грибковский, Г. Н. Яскевич. Оже-рекомбинация в по-
полупроводниках при интенсивном возбуждении. ЖПС, 20, 406, 1974.
441. П. А. Апанасевич. Нелинейная поляризация под действием ре-
резонансного немонохроматического излучения. ЖПС, 12, 231, 1970.
442. О. Н. К р о х и н. Коэффициент усиления и эффект насыщения в полу-
полупроводниках при однородном возбуждении. фТТ, 7, 2612, 1965.
436
443. Ю. Л. Климонтович, Э. В. Погорелова. О поляризации полу-
полупроводников с учетом насыщения (модель двух зон). ЖЭТФ, 50, 605,
1966.
444. Ю. Л. Климонтович, Э. В. Погорелова. К теории оптическо-
оптического возбуждения полупроводников. Поглощение и дисперсия при одно-
фотонных и двухфотонных процессах. ЖЭТФ, 51, 1722, 1966.
445. F. Stern. Saturation in Semiconductor Absorbers and Amplifier of
Light. Physics of Quantum Electronics, Conf. Proc. San Juan Puerto
Rico, 1966, p. 442
446. В. К- Кононенко, В. П. Грибковский. Эффект насыщения в
полупроводниковых усилителях света и фильтрах. Опт. и спектр., 29,
975, 1970.
447. W. W. R i g г о d. Gain saturation and output power of optical masers.
J. Appl. Phys., 34, 2602, 1963.
448. А. Ф. Д и т е, В. Б. Т и м о ф е е в, В. М. Ф а й н, Э. Г. Я ш и н. Насы-
Насыщение поглощения в экситон-фоионном спектре CdSe. Препринт ИФ ТТ
АН СССР. М., 1969.
449. В. М. Ф а й н, Я. И. X а н и н. Квантовая радиофизика. М., «Советское
радио», 1965.
450. Н. Б л о м б е р г е н. Нелинейная оптика. М., «Мир», 1966.
451. В. М. Файн. Фотоны и нелинейные среды. В кн.: Квантовая радио-
радиоэлектроника, т. 1. М., «Советское радио», 1972.
452. М. Шуберт, Б. Вильгельм и. Введение в нелинейную оптику.
М., «Мир», 1973.
453. А. М. Б о н ч-Б руевич, В. А. Ходовой. Многофотонные процессы.
УФН, 85, 3, 1965.
454. Л. Н. О вен дер. Нелинейные оптические эффекты в кристаллах.
УФН, 86, 3, 1965.
455. Нелинейная оптика. Новосибирск, «Наука», 1968.
456. Нелинейные процессы в оптике. Новосибирск, «Наука», 1970.
457. Нелинейные свойства твердых тел. М., «Мир», 1972.
458. В. И. Б р е д и х и н, М. Д. Г а л а н и н, В. Н. Г е н к и н. Двухфотон-
ное поглощение и спектроскопия. УФН, ПО, 3, 1973.
459. М. С. Бе с п а л о в, Л. А. К. у л е в с к и й, В. П. Макаров, А. М.
Прохоров, А. А. Тихонов. Анизотропия в спектре двухфотон-
ного поглощения в CdS. ЖЭТФ, 55, 144, 1968.
460. М. С. Бес п а л о в, Л. А. К у л е в с к и й, В. П. Макаров, А. М.
Прохоров, А. А. Т и х о н о в. Анизотропия в спектре двухфотонного
поглощения в CdS. Тр. IX Междунар. конф. по физике полупроводни-
полупроводников. 1. Л., «Наука», 1969, стр. 219.
461. R. Braunstein. Nonlinear optical effects. Phys. Rev., 125, 475, 1962.
462. R. Braunstein, N. Ockman. Optical double — photon absorption
in CdS. Phys. Rev., 134, BA), 499, 1964.
463. H. Г. Басов, A. 3. Г р а с ю к, И. Г. 3 у б а е в, В. А. К а ту л и н,
О. Н. Крохин. Полупроводниковый квантовый генератор с двух-
фотонным оптическим возбуждением. ЖЭТФ, 50, 551, 1966.
464. А. 3. Г р а с ю к, И. Г. Зубарев, А. Н. М е н ц е р. Анизотропия
двухфотонного поглощения при оптическом возбуждении ПКГ на CdSe.
ФТТ, 10, 543, 1968.
465. А. И. Бобрышева, С. А. Москаленко, М. И. Шмиглюк.
К расчету силы осциллятора при двухфотонном поглощении в экситон-
ное состояние. ФТП, 1, 1469, 1967.
466. R. Louden. Theory of nonlinear optical processes in semiconductors
and insulators. Proc. Phys. Soc, 80, 952, 1962.
467. В. И. Пономаре нк о. Теория нелинейных оптических явлений
в примесных полупроводниках. Сб. «Квантовая электроника», вып: I.
Киев, «Наукова думка», 1966, стр. 13.
437
468. Л. В. Келдыш. Ионизация в поле сильной электромагнитной волны.
ЖЭТФ, 47, 1945, 1964.
469. А. М. Данишевский, Е. Л. Ивченко, С, Ф. Кочегаров,
М. И. Степанова. Зависимость коэффициента двухфотониого погло-
поглощения от поляризации света в полупроводниках кубической симметрии.
Письма ЖЭТФ, 16, 625, 1972.
470. М. С. Бро дин, К. А. Дмитренко, В. Я-Резииченко. Двух-
фотонное поглощение смешанных кристаллов CdSxSei-* на частоте
рубинового лазера. ФТТ, 13, 1584, 1971.
471. М. С. Б родин, С. Г. Шевель, Ф. Ф. М о ж а р о в с к и й. Двух-
фотонное поглощение излучения рубинового лазера в смешанных кри-
кристаллах ZibCdi-zS. ФТП, 5, 2340, 1971.
472. М. С. Б р о д и н, Д. Б. Г о е р. Двухфотонное поглощение излучения
рубинового лазера в полупроводниковых кристаллах ZnSe и
Zn*Cdi-*Se. ФТП, 5, 256, 1971.
473. М. П. Л и с и ц а, П. Е. М о з о л ь, И. В. Ф е к е ш г а з н. Температур-
Температурное изменение коэффициента двухфотонного поглощения в фосфиде
кадмия и цинка. Квантовая электроника, 1, 714, 1974.
474. В. К. Конюхов, Л. А. Кулевский, А. М. Прохоров. Спектр
двухфотонного поглощения в CdS вблизи края основного поглощения.
ДАН СССР, 173, 1048, 1967.
475. Е. Л. И в ч е н к о, Е. Ю. П е р м и н. Поляризационные свойства много-
многофотонного межзонного поглощения света в кубических кристаллах.
ФТТ, 15, 2781, 1973.
476. Л. И. Ивченко. Двухфотонное поглощение и оптическая ориен-
ориентация свободных носителей в кубических кристаллах. ФТТ, 14, 3489,
1972.
477. Б. В. Зубов, Л. А. Кул ев ски й, В. П. Макаров, Т. М. М у-
рина, А. М. Прохоров Двухфотонное поглощение в германии.
Письма ЖЭТФ, 9, 221, 1969.
478. Б. М. Аш кин а дз е, И. Д. Я р о шец к и й. О люминесценции CdS
при двухфотонном возбуждении. ФТП, 1, 1706, 1967.
479. В. Л. Броуде, Н. Ф. Прокоп ю к, В. Б. Тимофеев, В. М.
Ф а й н. Двухфотонное возбуждение экситонов в кристаллах серни-
сернистого кадмия. ФТТ, И, 1063, 1969.
480. Б. М. А ш к и н а д з е, С. Л. П ы ш к и н, С. М. Р ы в к и н, И. Д. Я р о-
ш е ц к и й. Фотопроводимость фосфида галлия при возбуждении ги-
гигантскими импульсами рубинового лазера. ФТП, 1, 1017, 1967.
480а. Г. П. Яблонский. Фотопроводимость теллурида цинка при лазер-
лазерном возбуждении. ФТП, 8, 1359, 1974.
481. М. С. Бродин. Лазеры на однородных полупроводниках при опти-
оптическом возбуждении. Сб. «Квантовая электроника», вып. 5. Киев,
«Наукова думка», 1971, стр. 33.
482. S. L. М с С а 11, Е. L. H a h п. Coherent light propagation through an
inhomogeneously broadened 2-level system. Bull. Am. Phys. Soc, 10,
1189, 1965.
483. S. L. M с С a 11, E. L. H a h n. Self-induced transparency by pulsed co-
coherent light. Phys. Rev. Lett., 18, 908, 1967.
484. O. K. N. Ratel, R. E. S lusher. Self-induced transparency in gases.
Phys. Rev. Lett., 19, 1019. 1967.
485. И. А. П о луэкто в, Ю. М. Попов. Эффект «самопрозрачности» в
полупроводниках. Письма ЖЭТФ, 9, 542, 1969.
486. Ю. П. Л и с о в е ц, И. А. П о л у э к т о в, Ю. М. П о п о в, В. С. Р о й т-
б е р г. Прохождение когерентного ультракороткого импульса света
через полупроводник. Сб. «Квантовая электроника», № 5. М., «Совет-
«Советское радио», 1971, стр. 28.
487. N. Т z о а г, J. I. G е г s t е п. Self-induced transparency in semiconduc-
semiconductors. Phys. Rev. Lett., 28, 1203, 1972.
438
,489.
490.
491.
488. Т. Л. Гв ар дж а л а дзе, И. А. Полуэктов, В. С. Р о й т б е р г.
Эффекты когерентности при взаимодействии ультракороткого импульса
света с GaAs в условиях двухфотонного межзонного поглощения. Крат-
Краткие сообщ. по физ., № 3, 7, 1973.
Ф. Б р ю к н е р, В. С. Д н е п р о в с к и й, Д. Г. К о з у к, В, У. X а т т а-
р о в. Самоиндуцированная прозрачность в полупроводнике при одно-
фотонном возбуждении ультракоротким импульсом света. Письма
ЖЭТФ, 18, 27, 1973.
Т. Л. Г в а р д ж а л а д з е, А. 3. Г р а с ю к, И. Г. 3 у б а р е в, П. Г.
Крюков, О. Б. Шатберашвили. Взаимодействие ультракорот-
ультракороткого импульса неодимового лазера с GaAs. Письма ЖЭТФ, 13, 159,
1971.
Т. Л. Гв ар д ж а л а дз е, А. 3. Г р а с ю к, В. А. Коваленко.
Самопрозрачность в арсениде галлия при двухфотонном взаимодействии
с ультракоротким световым импульсом. ЖЭТФ, 64, 446, 1973.
492. И. Г. 3 у б а р е в, Ю. А. Матвеец, А. Б. М и р о н о в, О. Б. Ш а т-
берашвили. Аномально высокая прозрачность арсеиида галлия
при взаимодействии с пикосекундными импульсами света. Изв. АН
СССР, сер. физич., 37, 2099, 1973.
493. А. 3. Гр а с ю к, И. Г. 3 у б а р е в, В. В. Л о б к о, Ю. А. М а т в е е ц,
А. Б. Миронов, О. Б. Шатберашвили. Зависимость двухфо-
двухфотонного поглощения в GaAs от длительности световог<3 импульса.
Письма ЖЭТФ, 17, 584, 1973.
494. И. П. П о л у э к т о в, Ю. М. П о п о в, В. С. Р о й т б е р г. Распро-
Распространение ультракороткого импульса света в полупроводниках в усло-
условиях двухфотонного резонанса. Сб. «Квантовая электроника», № 4. М.,
«Советское радио», 1972, стр. 111.
495. В. В. Широкшина, Э. Н. Константинов. Увеличения интен-
интенсивности свечения электролюминесцентных низковольтных диодов
арсенида галлия. Опт. и спектр., 20, 173, 1966.
496. В. П. Грибковский. Зависимость пропускания полупроводниковых
фильтров от интенсивности света. ЖПС, 13, 805, 1970.
497. Методы расчета оптических квантовых генераторов, 1. Под. ред. Б. И.
Степанова. Минск, «Наука и техника», 1966.
А. А. Г р и н б е р г, Р. Ф. М е х т и е в, С. М. Рыбкин, В. М. С а л-
манов, И. Д. Ярошецкий. Поглощение лазерного излучения и
разрушение в полупроводниках. ФТТ, 9, .1390, 1967.
499. А. Е. Michel, M. I. Nathan. Saturation of the optical absorption
in GaAs. Appl. Phys. Lett., 6, 101, 1965.
500. В. В. Арсеньев, В. С. Днепровский, Д. Н. Кнышко,
A. Н. П е н и н. Нелинейное поглощение и ограничения интенсивности
света в полупроводниках. ЖЭТФ, 56, 760, 1969.
501. М. П. Л и с и ц а, П. И. С и д о р к о, П. Е. М о з о л ь, Н. И. В и т р и-
ховский. Двухфотонное поглощение в монокристаллах CdSxSei-*.
Сб. «Квантовая электроника», № 5. М., «Советское радио», 1972,
стр. 133.
502. D. А. К 1 ё i п га а п, R. С. Miller, W. А. N о г d 1 о m d. Two-photon
absorption of Nd laser radiation in GaAs. Appl. Phys. Lett., 23, 243, 1973.
503. J. F. R e i n t j e s, J. С. М с G г о d d y. Inderect twophoton transitions in
Si at 1,06 цт. Phys. Rev. Lett., 30, 901, 1973.
И. Д. К о н ь к о в, А. Г. Р о з а н о в, Н. В. Ч е б у р к и н. О просвет-
просветлении марки стекла КС-19 некогерентным излучением. ЖПС, 6, И8,
1967.
B. С. Д и е п р о в с к и й, Д. Н. К л ы ш к о, А. Н. П е н и н. Нелиней-
Нелинейное поглощение излучения рубинового лазера в CdS, ZnS и SIS. Сб.
«Нелинейная оптика». Новосибирск, Изд-во АН СССР, 1968, стр. 83.
506. Л. Г. 3 и м и н, В. П. Г р и б к о в с к и й. Изменение пропускания мо-
иокристаллических пластин ZnTe под действием лазерного возбужде-
возбуждения. ФТП, 7, 1252, 1973.
439
498.
504.
505.
507. Л. Н. Галкин. Эффект просветления в кристаллах ZnS (CO) под
действием гигантских импульсов рубинового оптического квантового
генератора. ДАН СССР, 170, 315, 1966.
508. М. П. Лисица, Н. Р. Кумин, П. Н. Коваль, В. И. Г е е ц.
Влияние излучения лазера на прозрачность стекол КС-19. Опт. и
спектр., 23, 981, 1967.
509. М. С. Б р о д и н, А. М. К а м у з. Исследование интенсивного излуче-
излучения рубинового лазера на оптические свойства кристалла CdS. УФЖ,
14, 517, 1969.
510 J P. Woerdman. Difraction of light by laser generated free carriers
in Si: dispersion or absorption? Phys. Lett., A32, 305, 1970.
511. Ф. К- Рутковский, В. П. Грибковский. Распределение и по-
поглощение радиации накачки. В кн.: Методы расчета оптических кван-
квантовых генераторов, 2, под ред. Б. И. Степанова. Минск, «Наука и тех-
техника», 1968, стр. 7.
512. Ф. К. Рутковский, В. П. Грибковский. Распределение плот-
плотности интенсивной радиации в поглощающем образце. ЖПС, 3, 32,
1965.
513 J R. Haynes. Experimental observation of the excitonic molecule.
Phys. Rev. Lett., 17, 860, 1966.
514. B. Guillaume, O. Parodi. Effet Zeeman sur la lumiere de
recombinaison intrinsegue dans le la germanium. J. Electr. Control, 6,
356, 1959.
515. J. R. P а с k a r d, D. А. С a m p b e 11, W. С. Т a i t. Evidence for indi-
indirect annihilation of free excitons in II—IV semiconductor lasers. J. Appl.
Phys, 38, 5255, 1967.
516. A Mysyrowicz, J. B. Grun, R. Levy, А. В i v a s, S. Nikiti-
n e. Excitonic molecule in CuCl. Phys. Lett., 26A, 615, 1968.
517. Я. Е. Покровский, К- И. С в и с т у н о в а. Возникновение конден-
конденсированной фазы неравновесных носителей в германии. Письма ЖЭТФ,
9, 435, 1969.
518. Е Ф Гросс, Ф И. Крейнгольд. Биэкситон в кристалле "Си2О.
Письма ЖЭТФ, 12, 98, 1970.
519. R Levy, J. В Grun. Optical properties of Strongly Excited Direct
Band GaP Materials. Phys. Stat. Solidi (a), 22, 11, 1974.
520. Я. Е. Покровский, К. И. Свистунов а. Рассеяние каплями
конденсированной фазы неравновесных носителей в германии. Письма
ЖЭТФ, 13, 297, 1970.
521. Я- Е. Покровский. Оптические явления, возникающие при конден-
конденсации неравновесных электронов и дырок в полупроводниках. Сб. «Не-
«Нелинейные процессы в оптике», вып. 2. Новосибирск, Изд-во АН СССР,
1972, стр. 302.
522. В. М. А с н и н, А. А. Р о г а ч е в, С. М. Рыбкин. Переход к метал-
металлическому типу проводимости при большой концентрации экситонов.
ФТП, 1, 1742, 1967.
523. В. С. В а в и л о в, В. А. 3 а я ц, В. Н. М у р з и н. Резонансное погло-
поглощение, рассеяние и излучение электронно-дырочных капель в германии
в области их плазменной частоты. Письма ЖЭТФ, 10, 304, 1969.
524. Л. В. Келдыш. Заключительное слово. Тр. IX Междун. конф. по
физике полупроводников, т. 2. Л., «Наука», 1969, стр. 1384.
525. Л. В. Келдыш, А. Н. Козлов. Коллективные свойства экситонов
в полупроводниках. ЖЭТФ, 54, 978, 1968.
526. Л. В. Келдыш. Коллективные свойства эксигонов в полупроводни-
полупроводниках. Сб. «Экситоны в полупроводниках». М., «Наука», 1971, стр. 5.
527. A. Wheeler. Polyelectrons. Annals of the New York Academy of Scien-
Sciences. 48, 221, 1946.
528. E. A. H у 11 e r a a s, А. О г e. Binding Energy of the Positronium mole-
molecule. Phys. Rev., 71, 493, 1947.
440
529. M. D e u t s с h. Evidence for the formation of positronium in gases.
Phys. Rev., 82, 455, 1951.
530. M. A. L a m p e r t. Mobile and immobile effective-mass-particle comple-
complexes in nonmetallic solids. Phys. Rev, 1, 450, 1958.
531. С. А. М о с к а л е н к о. К теории экситона Moira в щелочно-галоидиых
кристаллах. Опт. и спектр, 5, 147, 1958.
532. R. Е. М е г г i f i e 1 d. Interaction of excitation wames in a onedimensio-
nal molecular crystal. Bull. Amer. Phys. Soc, 11, 4, 163, 1959.
533. H. M. James, A. S. С о о 1 i d g e. A Correction and Addition to the
Discussion of the Ground State of H2. J. Chem. Phys., 3, 129, 1935.
534. R. R. S h a r m a. Binding energy of the positronium molecule Phys. Rev,
11,36, 1968.
535. O. Akimoto, E. Hanamura. Binding energy of the excitonic mole-
molecule. Solid State Commun, 10, 253, 1972.
536. H. S о u m a, T. G о t о, Т. О h t a, M. U о t a. Formation and radiative
recombination of free excitonic molecule in CuCl by ruby laser excitation.
J. Phys. Soc. Japan, 29, 697, 1970.
537. Б. B. 3 у б о в, В. А. К а л и н у ш к и н, Т. М. М у р и и а, А. М. П р о-
хоров, А. А. Р о г а ч е в. Излучательная рекомбинация в германии
при объемном возбуждении. Сб. «Нелинейные процессы в оптике». Но-
Новосибирск, Изд-во АН СССР, 1972.
538. В. М. А с н и н, А. А. Р о г а ч е в, Н. П. С а б л и н а. Биэкситоны в
германии. ФТП, 4, 808, 1970.
539. В. М. Аснин, Б. В. Зубов, Т. М. Мурина, А. М. П р о х о р о в,
А. А. Р о г а ч е в, Н. И. С а б л и н а. Излучагельная рекомбинация
биэкситонов в германии. ЖЭТФ, 62, 737, 1972.
540. В. М. А с н и н, А. А. Рогач ев, Н. И. Саблина. Кинетика излу-
чательной рекомбинации биэкситонов в Ge. ФТП, 5, 1846, 1971.
541. А. А. Р о г а ч е в. Биэксигоны и конденсация экситонов в полупровод-
полупроводниках. Изв. АН СССР, сер. физич, 37, 229, 1973.
542. Н. И. Саблина. Взаимодействие экситонов в германии. Авторефе-
Автореферат кандидатской диссертации. Л, ФТИ, 1972.
543. Л. В. Келдыш. Электронно-дырочные капли в полупроводниках.
УФН, 100, 514, 1970.
544. Я- Е. Покровский, К. И. Свистунов а. Рекомбинационное из-
излучение конденсированной фазы неравновесных носителей заряда в
германии. ФТП, 4, 491, 1970.
545. А. С. Каминский, Я. Е. Покровский, Н. В. Алкеев. Кон-
Конденсация неравновесных носителей заряда в Si. ЖЭТФ, 59, 1937, 1970.
545а. В. С. Б а г а е в, Н. А. П е н и н, Н. Н. С и б е л ь д и н, В. А. Цвет-
Цветков. Влияние температуры на условия конденсации электронов в гер-
германии. ФТТ, 15, 3269, 1973.
546. Б. М. Аш к и н а дз е, И. П. Крецу, С. М. Рыв кии, И. Д. Я р о-
ш е ц к и й. Коллективные свойства экситонов в кремнии. ЖЭТФ, 58,
507, 1970.
547. А. А. П а т р и н. Исследование неравновесных явлений в кремнии при
высоких уровнях возбуждения. Автореф. канд. дис. Минск, 1971.
548. В. М. Ashkina dze, I. P. Kretsu, A. A. P a t r i n, I. D. Yaro-
s h e t s k i i. Infrared absorption by excitons and associates in sili-
silicon. Phys. Stat. Solidi, 46, 495, 1971.
549. Б. М. Ашкинадзе, А. А. Патрин, И. Д. Ярошецкий. Погло-
Поглощение света неравновесными носителями и рекомбинация в кремнии
при высоких уровнях возбуждения. ФТП, 5, 1681, 1971.
550. Я. Е. Покровский, К- И. Свистунов а. Диффузия неравновес-
неравновесных носителей заряда в германии при низких температурах ФТТ 13
1485, 1971.
551. Я- Е. Покровский, К. И. Свистунов а. Отрицательный заряд
электронно-дырочных капель в германии. Письма ЖЭТФ, 19, 92, 1974.
441
552. Ef. M. Аснин, А. А. Р о г а ч е в, Н. И. Сабли на. Гигантские
флуктуации фототока в германии. Письма ЖЭТФ, 11, 162, 1970.
553. В. М. А с н и и, А. А. Р о г а ч е в, Н. И. С а б л и н а. Электронно-ды-
Электронно-дырочные капли в германии. ФТТ, 14, 399, 1972.
554. В. С. Вавилов, В. А. 3 а я ц, В. Н. Мурз и и. Низкотемператур-
Низкотемпературное резонансное поглощение и излучение Ge в далекой инфракрасной
области при оптической генерации носителей. Сб. «Экситоны в полу-
полупроводниках». М., «Наука», 1971, стр. 32.
555. Я. Е. Покровский, К. И. Свистунов а, Н. В. Алкиев. Влия-
Влияние зонной структуры на механизм рекомбинации конденсированных
носителей заряда в германии, кремнии и их сплавах. ФТТ, 14, 3306,
1972.
556. В. С. Б а г а е в, Т. И. Г а л к и н а, О. В. Г о г о л и н, Л.В.Келдыш.
Движение электронно-дырочных капель в германии. Письма ЖЭТФ,
10, 309, 1969.
557. В. С. Б а г а е в, Т. И. Галкина, О. В. Г о г о л и н. Коллективные
свойства экситонов в Ge. Сб. «Экситоиы в полупроводниках». М.,
«Наука», 1971, стр. 19.
558. Б. М. Аш к и н а дз е, И. П. Крецу, А. А. П а т р и н, И. Д. Я р о-
шецкий. Коллективные свойства экеитонов в кремнии в условиях
одноосного сжатия. ФТП, 4, 2206, 1970.
559. А. Эйнштейн. Квантовая теория одноатомного идеального газа.
Второе сообщение. Собрание научных трудов, 3. М., «Наука», 1966,
стр. 489.
560. С. А. Москаленко. Обратимые оптикогидродинамические явления
в низкотемпературном идеальном экситонном газе. ФТТ, 4, 276, 1962.
561. С. А. Москаленко. О фазовом переходе второго рода при бозе-
эйнштейновской конденсации экситонов в деформированной решетке.
ЖЭТФ, 45, 1159, 1963.
562. С. А. Москаленко. Бозе-эйнштейновская конденсация экситонов
и биэкситонов. Кишинев, Изд-во АН МССР, 1970.
563. Е. Ханамура. Теория спектра излучения полупроводников при
больших плотностях возбуждения. Изд-во АН СССР, сер. физич., 37,
347, 1973.
564. Н. Kuro da, S. Shionoya, H. Saito, E. Hanamura. Observa-
Observation of the Bose condensation of excitonic molecules in CdSe. Solid State
Commun., 12, 533, 1973.
565. H. Kuro da, S. Shionoya, H. Saito, E. Saito, E. Hanamu-
Hanamura. Bose Condensation of Excitonic Molecules in CdSe. Solid State Com-
Commun. J. Phys. Soc, Japan, 35, 534, 1973.
566. Y. Segawa, S. N a m b a. Stress-induced stimulated emission from
•excitonic molecule in CdS. Solid State Commun., 14, 779, 1974.
567. Ya. I. Pokrovskii. Condensation of поп-equilibrium charge carriers
in semiconductors. Phys. Stat. Solidi (a), 11, 385, 1972.
568. И. М. Д у и с к а я. Возникновение квантовой электроники М , «Наука»,
1974.
569. Н. Г. Б а с о в, О. Н. К Р о х и н, Ю. М. П о п о в. Получение состояний
с отрицательной температурой в р—л-переходах вырожденных полу-
полупроводников. ЖЭТФ, 40, 1879, 1961.
570. М. G. А. В е г п а г d, G. D u r a f f о и г g. Laser conditions in semicon-
semiconductors. Phys. Stat. Solid, 1, 69, 1961.
571. Э. Г. Пестов, Г. М. Л а ш и н. Квантовая электроника. М, Воен-
издат, 1972.
572. А. П. Иванов. Оптика рассеивающих сред. Минск, «Наука и техни-
техника», 1969.
573. Б. И. Степанов, В. П. Г р и б к о в с к и й.. Влияние вырождения
энергетических уровней и потерь радиации на оптические характеристи-
характеристики трехуровневого квантового генератора. ДАН БССР, 7, 17, 1963.
442
574. Ю. А. А н а н ь е в, В. П. Г р иб к о в с к и й, А. А. М а к, Б. И. С т е-
панов. Оптические свойства четырехуровневого квантового генера-
генератора. ДАН СССР, 150, 507, 1963.
575. Б. И. С т е п а н о в, А. М. С а м с о н, В. П. Г р и б к о в с к и й. Влияние
характеристик вещества иа свойства генерируемого излучения. Изв.
АН СССР, сер. физич., 27, 473, 1963.
576. Б. И. Степанов, В. П. Г р и б к о в с к и й. Учет расщепления ме-
тастабильного - уровня трехуровневого квантового генератора. ДАН
БССР, 7, 305. 1963.
577. В. П. Грибковский, В.В.Кузнецова. О возможности полу-
получения отрицательного коэффициента поглощения в хелатных соедине-
соединениях редкоземельных элементов. ЖПС, 1, 340, 1964.
578. Б. И. Степанов, В. П. Грибковский. Определение возможно-
возможности получения инверсной заселенности уровней на основании люми-
несцентно-спектроскопических характеристик вещества. Изв. АН СССР,
сер. физич., 29, 1335, 1965.
579. Н. Г. Б а с о в, Б. М. В у м, Ю. М. Попов. Квантовомеханические
полупроводниковые генераторы и усилители электромагнитных коле-
колебаний. ЖЭТФ, 37, 587, 1959.
580. Н. Г. Б а с о в, О. Н. Е р о х и н, Ю. М. П о п о в. Генерация, усиление
и индикация инфракрасного и оптического излучения с помощью кван-
квантовых систем. УФН, 72, 161, 1960.
581. Э. И. А д и р о в и ч, Е. М. К у з н е цо в а. О возможности инверсного
распределения электронов в вырожденных полупроводниках. ФТТ, 3,
3339, 1961.
582. Д. Н. Н а с л е до в, А. А. Рогаче в, С. М. Р ы в к и н, Б. В. Ца-
Царе н к о в. Рекомбинационное излучение арсенида галлия. ФТТ, 4,
1062, 1962.
583. R. N. Hall, G. E. Fen пег, J. О. К i п s 1 е у, Т. J. S о 11 у s, R. О.
К а г 1 s о п Coherent light emission from GaAs junctions. Phys. Rev.,
Lett., 9, 366, 1962.
584. M. I. N a t h a n, W. P. D u m k e, G.Burns, F. H. D i 11, G. L a s h e r.
Stimulated emission of radiation from CaAs p-п junctions. Appl. Phys.
Lett., 1, 63, 1962.
585. T. M. Q u i s t, R. H. R e d i k e r, R. J. К е у е г s, W. E. К r a g, B. La x,
A L. MeWhorter, H. J. Zoiger. Semiconductor rnaser of GaAs.
Appl. Phys. Lett., 1, 91, 1962.
586. В. С. Б а г а е в, Н. Г. Б а с о в, Б. М. В у л, Б. Д. К о п ы л о в с к и й,
О. Н. Крохи н, Е. П. Маркин, Ю. М. П о п о в, А. Н. Хвоще в,
А. П. Ш о т о в. Полупроводниковый квантовый генератор иа р—п-пе-
реходе в GaAs. ДАН СССР, 150, 275, 1963.
587. Ж. И. Алферов, В. М. Андреев, В. И. К о р о л ь к о в, Е. Л.
Портной, Д. Ц. Третьяков. Когерентное излучение в эпитак-
сиальных структурах с гетеропереходами в системе AlAs—GaAs. ФТП,
2, 1545, 1948.
588. Ж. И. Алферов, В. М. Андреев, Е. Л. Портной, М. К. Т р у-
к а н. Инжекциониые лазеры на основе гетеропереходов в системе
AlAs—GaAs с низким порогом генерации при комнатной температуре.
ФТП, 3, 1328, 1969.
589. Ж. И. А л ф е р о в, В. М. А н д р е е в, Д. 3. Г а р б у з о в, Ю. В. Ж и-
л е е в, Е. П. М о р о з о в, Е. Л. П о р т н о и, В. Г. Т р о ф и м. Влияние
компенсации на излучательную рекомбинацию в п- и p-GaAs. ФТП, 4,
1826, 1970.
590. Ж. И. Алферов. Инжекционные гетеролазеры. Сб. «Полупроводни-
«Полупроводниковые приборы и их применение», вып. 25. М., «Советское радио», 1971,
стр. 204.
591. М. П и л к у и. Иижекционный лазер. УФН, 98, 295, 1969.
443
592. H, Kress el. Semiconductor lasers. Lasers, vol. 3. New York, 1971,
1—110.
593. П. Г. Елисеев. Инжекционные лазеры на гетеропереходах (обзор).
Сб. «Квантовая электроника», вып. 6 A2). М., «Советское радио», 1972.
594. В. А. Самойлюкович, В. П. Грибковский, Р. В. Ефремо-
Ефремова, Л. А. К Р а в ц о в, А. К- Л я х о в и ч. Методика определения
внутренних параметров лазеров на р—n-переходах. ЖПС, 8, 50, 1968.
595. Т. М. А г а х а и я н. Основы транзисторной электроники. М., «Энергия»,
1974.
596. Г. Е. П и к у с. Основы теории полупроводниковых приборов. М.,
«Наука», 1965.
597. Н. А. Горбнова. Химия алмазоподобных полупроводников. Л.,
Изд. ЛГУ, 1963.
598. Ж. И. Алферов, В. М. Андреев, В. И. К о р о л ьк о в, Е. Л.
Портной, Д. Н. Троянов. Гетеропереходы ALGai-iAs—GaAs.
Сб. «Физика электронно-дырочных переходов и полупроводниковых
приборов». Л., «Наука», 1969, стр. 260.
599. Ж. И. Алферов, В. М. Андреев, П. Г. Ел и с е е в, И. 3. П и н-
с к е р, Е..Л. Портной Инжекционный гетеролазер, работающий при
температуре 163 °С. ФТП, 4, 2388, 1970.
600. В. П. Грибковский. Определение параметров и оптимального ре-
режима работы инжекционных лазеров. ЖПС, 6, 669, 1967.
601. F. Stern. Stimulated emission in semiconductors. Semiconductors and
Semimetals, 2. N. Y., Acad. Press., 1966, p. 371.
602. A. M. Гончаренко, В. А. Карпенко, С. Н. Столяров. Волно-
водиые свойства р—n-переходов и электромагнитная теория инжек-
инжекционных лазеров. Препринт Ин-та физики АН БССР. Минск, 1970
603. В. И. Б о роду л и и, В. П. К о н я е в, Г. Н. М а л я в к и н а, Г. Т.
Пак, А. И. Петров, Н. А. Прудникова, В. И. Швейкин. Ис-
Исследование инжекционных квантовых генераторов с широкой активной
областью. Квантовая электроника, 1, 1220, 1974.
604. П. Г. Елисеев. Об оптимальной толщине активного слоя в гетеро-
лазере. Сб. «Квантовая электроника», № 3. М., «Советское радио»,
1971, стр. 120.
605. В. С. Машке вич. Кинетическая теория лазеров. М., «Наука», 1971.
906. В. К- Кононенко, В. П. Грибковский. О зависимости порого-
порогового тока от потерь в модели межзоиных переходов без правил отбора.
ЖПС, 9, 789, 1968.
607. В. К- Коионенко, В. П. Грибковский. Влияние легирования
на пороговый ток в инжекционном лазере. Изв. АН БССР, сер. физ.-
мат., 3, 98, 1968.
608. В. П. Грибковский, В. К- Кононенко, В. А. Самойлюко-
Самойлюкович. Внутренние параметры иижекционных лазеров и их эксперимен-
экспериментальное определение. Препринт Ин-та физики АН БССР. Минск, 1970.
609. В. П. Грибковский, В. К- Кононеико, В. А. Самойлюко-
Самойлюкович. Основные каналы потерь энергии в инжекционных лазерах. Сб.
«Квантовая электроника и лазерная спектроскопия». Минск, Ин-т фи-
физики АН БССР, 1971.
610. В. К- Кононеико. Теоретическое исследование энергетических ха-
характеристик инжекционных лазеров. Автореферат кандидатской дис-
диссертации. Ин-т физики АН БССР. Минск, 1972.
611. М. Pilkuhn, Н. Rupprecht, S. В 1 u m. Effect of temperature on
the stimulated emission from GaAs p—n junctions. Solid State Electron,
7, 905, 1964.
612. V. P. Gribkovskii, V. К. К о п о п е n k о, V. A. S a m о i 1 у и с о-
v i с h. The internal parameters of injection lasers Phys. Stat. Solidi
(a),3, 333, 1970.
444
613. В. П. Грибковский, В. К- Кононеико. Генерация излучения
на переходах с участием гауссовых примесных зои. ЖПС, 12, 45, 1970.
614. В. И. Л е с к о в и ч, Г. Т. Пак, А. И. Петров, Н. П. Ч е р и о у с о в,
8. И. Швейкин. О температурной зависимости плотности порогово-
порогового тока полупроводниковых лазеров на арсениде галлия. ФТП, 1, 1440,
* 1967.
615 К Unger. Spontane und induzierte Emission in Laserdioden, II. Be-
riicksichtigung der Zustandsdichteschwanze. Zs. f. Phys., 207, 332, 1967.
616 Y Na nichi. Variation of the gain factor GaAs lasers with photon and
current densities. J. Appl. Phys., 37, 3009, 1966.
617. F. Stern. Radiation confinement in semiconductor lasers. 7-e Congr.
internet, phys. semiconduct. Paris, 1964, vol. 4, Paris, 1965, p. 165.
618. С J. Lasher. Threshold relations and diffraction loss for injection
lasers. IBM, j., 7, 58, 1963.
619 В. К- К о и о н е н к о> О ширине полосы люминесценции в лазерных
диодах. Изв. АН БССР, сер. физ.-матем., № 4, 106, 1970.
620. О. V. В о g d а п к е v i с h, N. А. В о г i s о v, I. V. К г и к о v а, В. М.
Lavrushin. Temperature dependence of laser threshold current den-
density and emission spectra in electronbeam pumped gallium arsenide
lasers. Phys. Stat. Sol., 29, 715, 1968.
621. В. К- Кононенко. Об учете поглощения свободными носителями
в активной области полупроводникового лазера. ЖПС, 11, 1012, 1969.
622. V. I. Osinsky, N. N. Winogradoff. Excitation and temperature
dependence of band-edge photoluminescence in gallium arsenide. Phys.
Rev., В., 3, 3341, 1971.
623. Г. Е. Пику с. Пороговый ток полупроводникового лазера. ФТТ, 7,
3536, 1965.
624. L. P. G о d е п к о, V. S. M a s h к е v i с h. Threshold theory of laser
generation in p—n junctions with exponential band tails. Phys. Stat.
Solidi (a), 17, 125, 1973.
625. С J. Hwang. Properties of spontaneous and stimulated emission in
GaAs junction lasers. II. Temperature dependence of threshold current
and excitation dependence of superradiance spectra. Phys. Rev., В 2,
4126, 1970.
626. В. П. Грибковский, В. К- Коноиенко, В. А. Самойлюко-
Самойлюкович. О выходной мощности и к.п.д. иижекционного лазера, ФТП, 5,
1606, 1971.
С27. М. Н. Pilkuhn, H. S. Rupprecht. Junction heating of GaAs
injection lasers during continuous operation. IBM J. Res. and Developm,
9, 400, 1965.
628. В. Ф. Воронин, В. П. Грибковский, В. А. Самойлюкович.
Корреляция между внутренним дифференциальным квантовым выхо-
выходом генерации и картиной ближнего поля инжекциоииых лазеров.
ЖПС, 14, 531, 1971.
629. Ю. И. Кружи лин, В. И. Швейкин. О предельной эффективности
инжекционного лазера. Радиотехника и электроника, 13, 1628, 1968.
630. G. Cheroff, F. Stern, S. Triebwasser. Quantum efficiency of
GaAs injection lasers. Appl. Phys. Lett., 2, 173, 1963.
. 631. В. П. Грибковский, В. К- Кононенко, В. А. Самойлюко-
Самойлюкович. Влияние термообработки иа характеристики инжекционних ла-
лазеров. Сб. «Квантовая электроника», № 9. М., «Советское радио>; 1172,
стр. 103.
632. В. А. Самойлюкович. Исследование внутренних параметров GaAs
инжекционных лазеров. Автореферат кандидатской диссертации. Ин-т
физики АН БССР. Минск, 1971.
633. В. Г. Кари а ухо в, И. В. Крюкова, А. И. Петров. Влияние
структуры р—п-перехода иа параметры лазерных диодов из арсенида
галлия. ФТП, 1. 1362, 1967.
445
634. IO. И. Кружи лин. Параметры активной области инжекциониого
лазера. Сб. «Физика электроиио-дырочных переходов и полупроводни-
полупроводниковых приборов». Л., «Наука», 1969, стр. 64.
635. Г. Т. Пак, А. И. Петров, Е. Г. Ф а й н б о м, Н. П. Черноусое,
В. И. Швейки н, И. В. Я шумов. Внутренние параметры инжек-
ционных лазеров при 300 °К. Квантовая электроника, № 5. М., «Совет-
«Советское радио», 1971, стр. 99.
636. Дж. Бирнбаум. Оптические квантовые генераторы. М., «Советское
радио», 1967-
637. Л. А. Вай'иштейи. Открытые резонаторы и открытые волноводы.
М„ 1966.
638. Дж. Джексон. Классическая электродинамика. М., «Мир», 1965.
639. А. Ф о к с, Т. Л и. Резонансные типы колебаний в интерферометре
квантового генератора. Сб. «Лазеры». М., 1963, стр. 325.
640. Н. Kogelnik, W. W. Rigrod. Visual display of isolated optical
resonator modes. Proc. IRE, 50, 220, 1962.
641. П. Н. Елисеев, В. П. Страхов. Одномодовая генерации в инжек-
циоииых лазерах. Письма ЖЭТФ, 16, 606, 1972.
642. Е. D. H i n k 1 е у, С. F r e e d. Direct observation of the Lorentzian line
shape as limited by quantum phase noise in a laser above threshold.
Phys. Rev. Lett., 23, 277, 1969.
643. П. Г. Елисеев, Н. Н. Шуйкии. Одномодовые и одночастотные
иижекциоиные лазеры (обзор). Сб. «Квантовая электроника», № 3
A5). М., «Советское радио», 1973, стр. 5.
644. П. Г. Елисеев. Исследование инжекционных квантовых генераторов.
Труды ФИАН СССР, 52. М., «Наука», 1970, стр. 3.
645. И. И. 3 а с а в и ц к и й, А. И. Лихтер, Э. Г. Пель, А. П. Ш о т о в.
Перестройка частоты излучения инжекционных лазеров иа основе PbSe
при гидростатических давлениях. ФТП, 6, 2206, 1972.
646. И. И. Засавицкий, Б. Н. Мационашвили, В. И. Погодин,
А. П. Ш о т о в. Влияние гидростатического давления на спектры излу-
излучения лазеров Pbi-xSn*Se. ФТП, 8, 732, 1974.
647. N. В. Ratel, J. E. Ripper, Р. В rosso n. Behavior of threshold
current and polarization of stimulated emission of GaAs injection lasers
under uniaxial stress. IEEE J. Quant. Electron., 9, 338, 1973.
648. K. W. N i 11, F. А. В 1 u m, A. R. С a 1 a w a, T.C.Harma n. High-
resolution spectroscopy using magnetic-field-tuned semiconductor laseij.
Appl. Phys. Lett., 21, 132, 1972.
649. С. П. Гричешкина, А. П. Шотов. Сдвиг линии излучения ин-
инжекционных лазеров иа основе InSb при увеличении концентрации
акцепторных примесей. Краткие сообщ. по физ., № 7, 33, 1973.
650. Ж. И. Алферов, В. М. Андреев, Т. Я. Белоусова, В. И. Б о-
родулнн, В. А. Гор бы л ев, Г. Т. П а к, А. И. П ет р о в, Е. Л.
Портной, Н. П. Черноусое, В. И. Швейки н, И. В. Яшумов.
Эффективные инжекционные гетеролазеры, работающие в диапазоне
длин волн 7400—9000 А. ФТП, 6, 568, 1972.
651. К. W. N i 11, F. А. В 1 u m, A. R. С а 1 a w а, Т. С. Н а г m a n. PbS,-*Se*
tunable lasers for high-resolution infrared spectroscopy. J. Nonmetals, 1,
211,1973.
652. G. A. A n t e 1 i f f e, S. G. Parker. Characteristics of tunable
Pbi-*Sn*Te junction lasers in the 8—12 m region. J. Appl. Phy= 44,
4145, 1973.
653. K. W. N i 11, A. J. Strauss, F. А. В 1 u m. Tunable cw. Pbo. 98 Cdo.
0.2 diode lasers emitting at 3.5 m: applications to ultrahighresolution
spectroscopy. Appl. Phys. Lett., 22, 677, 1973.
654. В. П. Грнбковский, В. А. Самойлюкович. Определение ко-
коэффициента усилении, мощности люминесценции и расстояния между
квазиуровнями Ферми в инжекционных лазерах. ЖПС, 11, 170, 1969.
446
655. G. E. F e n n e r, J. D. Kings-ley. Spatial distribution of radiation
from GaAs lasers. J. Appl. Phys., 34, 3204, 1963.
656. M. В. Андреев, В. И. Бороду ли и, В. П. Коняев, Г. Т. Пак,
А. И. Петров, Е. Л. Портной, В. И. Ш в е й к и и. Пространствен-
Пространственное распределение излучения гетеролазера. ФТП, 6, 1972.
657. A. R. Goodwin, D. H. Lovelace, P. R. S е 1 w e у. Near- and far-
field emission distributions of mesa stripe geometry double heterostruc-
ture lasers. Optoelectron, 4, 311, 1972.
658. P. А. К i r k b y, G. H. B. Thompaon. The effect of double hetero-
junction waveguide parameters on the far field emission patterns of
lasers. Opto-electron, 4, 323, 1972.
659. EC, Case y, Jr, M. B. P a n i s h, J. L. M e r e. Beam divergence of the
emission from double-heterostructure injection lasers. J. Appl. Phys.,
44, 5470, 1973.
660. P. Ф. К а з а р и н о в, О. В. Константинов, 3. И. П е р е л ь, А. Л.
Эфрос. К электромагнитной теории инжекциоиного_лазера. ФТТ, 1,
1506, 1965.
661. Н. Kogelnik, С. V. Shank. Stimulated emission in a periodic struc-
structure. Appl. Phys. Lett., 18, 152, 1971.
662. С V. Shank, J. E. В j о r k h о 1 m, H. К о g e 1 n i k. Tunable distribu-
ted-feedback dye laser. Appl. Phys. Lett., 18, 395, 1971.
663. I. P. Kaminov, H. P. Weber, E. A. Chan dross. Poly (methyl
methacrylate) dye laser with internal diffraction grating resonator.
Appl. Phys. Lett., 18,497, 1971.
064. S. Wang, S. Sheem. Two-dimensional distributed-feedback lasers
and their applications. Appl. Phys. Lett., 22, 460, 1973.
665. A. Y a r i v. Analytical consiberations of Bragg coupling coefficients and
distributed-feedback x-ray lasers in single crystals. Appl. Phys. Lett.,
25, 105, 1974.
666. D. P. S с h i n k e, R. G. Smith, E. G. Sprencer. M. F. О a 1 v i n.
Thin-film distributed-feedback laser fabricated bv ion milling. Appl.
Phys. Lett., 21, 494, 1972.
667 P. Z о г у. Laser oscillation in leaky corrugated optical waveguides.
Appl. Phys. Lett., 22, 125, 1973.
668. M. L. D a k s s, L. К u h n, P. F. H e i d r i с h, B. A. S с о 11. Grating
coupler for efficient excitation of optical guided waves in thin films.
Appl. Phys. Lett., 16, 523, Г970.
669. L L. H о р e. Theory of optical grating couplers. Optics communs, 5,
179, 1972.
670. H. Kogelnik, С V. Shank. Coupled-Wave theory of distributed
feedback lasers. J. Appl. Phys., 43, 2327, 1972.
671. P. Ф. К а з а р и н о в, Р. А. С у р и с. Инжекционный гетеролазер с ди-
дифракционной решеткой на контактной поверхности. ФТП, 6, 1359,
1972.
672. Н. Kogelnik, С. V. Shank, J. Е. В j о г k h о 1 m. Hybrid scattering
in periodic waveguides. Appl. Phys. Lett., 22, 135, 1973.
673. S. Wang. Proposal of periodic layered waveguide structures for distri-
distributed lasers. J. Appl. Phys., 44, 767. 1973.
674. D. E. De W a m e s, W. F. Hall. Conditions for laser oscillations in
distributed-feedback waveguides. Appl. Phys. Lett., 23, 28, 1973.
675. S. R. С h i n n. Effects of mirror reflectivity in a distributed-feedback
laser. IEEE J. Quant. Electron., 9, 574, 1973.
676. J. E. В j о г к h о 1 m, T. P. Sosnowski, С V. S h a n k. Distributed-
feedback lasers in optical waveguides deposited on anisotropic substra-
substrates. Appl. Phys. Lett., 22, 132, 1973.
677. В. А. Киселев. О возбуждении тонкопленочного волновода с по-
помощью объемной дифракционной решетки. Квантовая электроника, 1,
320, 1974.
447
678. R. F. Cordero, S. Wang. Threshold condition for thin-film distribu-
ted-feedback lasers. Appl. Phys. Lett., 24, 474, 1974.
679. H. W. Y e n, M. N а к a m u r a, E. G a r m i r e, S. S о m e к h, A. Y a-
riv, H. L. Garvin. Optically pumped GaAs waveguide lasers with
a fundamental 0,11 ц corruagation feedback. Opt. Communs., 9, 35, 1973.
680. M. N а к a m u r a, H. W. Y e n, A. Y a r i v, E. G a r m i r e, S. S о m e к h,
H. L. Garvin. Laser oscillation in epitaxial GaAs waveguides with
corrugation feedback. Appl. Phys. Lett., 23, 224, 1973.
681. M. Nakamura, A. Y a r i v, H. W. Yen, S. Somekh, H. L. G a r-
v i n. Optically pumped GaAs surface laser with corrugation feedback.
Appl. Phys. Lett., 22, 516, 1973.
682. D. R. S с if res, R. D. В u r n h a m, W. S t r e i f e r. Distributed-feed-
back singe heterojunction GaAs diode laser. Appl. Phys. Lett., 25, 203,
1974.
683. Ж- И. Алферов, С. А. Г у р е в и ч, Р. Ф. К а з а р и н о в, В. Р. Ла-
Ларионов, М. Н. Мизеров, Е. Л. Портной. Инжекционный гете-
ролазер с выводом излучения через дифракционную решетку. ФТП, 8,
2051, 1974.
684. А. М. Самсон. Радиационный шум в твердотельных генераторах.
В кн.: Методы расчета оптических квантовых генераторов, 2. Минск,
«Наука и техника», 1968.
€85. В. К- К о н о и е н к о, В. П. Грибковский. Влияние радиационного
шума на порог и мощность генерации инжекционного лазера. ФТП, 5,
1875, 1971.
686. R. Ulbrich, M. H. Pilkuhn. Longitudinal photon flux distribution
in low-Q semiconductor lasers. Appl. Phys. Lett., 16, 516, 1970.
687. M. H. Заргорьянц, И. А. Крыканов, С. И. Колоненкова,
3. И. Г у с е в а, Е. М. О р л о в. О суммировании мощности излучения
инжекционных ОКТ. Радиотехника и электроника, 16, 447, 1971.
688. R. G r a i n g, Y. W. С г о v e. High average-power gallium arsenide
illuminators. IEEE, J. QE, 6, 373, 1970.
689. О. Н. П р о з о р о в, Л. А. Р и в л и н, С. Д. Я к у б о в и ч. Протяжен-
Протяженный полупроводниковый квантовый генератор с излучающей решеткой.
Письма ЖЭТФ, 12, 282, 1970.
690. О. Н. П розоров, Л. А. Ривлин, Н. В. Шелков, С. Д. Я к у-
б о в и ч. Исследование многолучевого ¦ полупроводникового лазера с
излучающей решеткой. КЭ, 1, 169, 1974.
691. Г. И. Ряб це в, В. П. Грибковский, В. А. С а м о й л го к о в и ч.
Экспериментальное исследование влияния радиационного шума на по-
порог генерации инжекционных лазеров. ЖТФ, 45, 919, 1975.
692. В. П. Грибковский, В. А. Самойлюкович, В. А. Андреи-
ч е в. Инжекционный лазер с иепланарным р—n-переходом. ЖПС, 18,
140, 1973.
693. J. Н. С а г г а п, L. A. D'A s а г о, J. С. D у m е n t, G. J. Н е г s k o-
w i t z. GaAs lasers utilizing light propagation along curved junctions.
IEEE J. Quant. Electron., 6, 367, 1970.
694. Оптические квантовые генераторы (лазеры). Библиограф, указатель
отечеств, и зарубежн. литературы с 1958 по июнь 1963 г. М., «Наука»,
1964.
695. Оптические квантовые генераторы. Указатель отечеств, и иностран. ли-
литературы. Минск, АН БССР, 1965—1974.
696. А. М. Самсон. Нестационарная генерация. В кн.: Методы расчета
оптических квантовых генераторов, 2. Минск, «Наука и техника», 1968.
697. Н. Г. Басов, В. В. Никитин, А. С. Семенов. Динамика излу-
излучения инжекционных полупроводниковых лазеров. УФН, 97, 561, 1969.
698. И. С. Манак, В. А. Фигурин. Временные характеристики полу-
полупроводниковых источников излучения на основе GaAs. ЖПС 15 949,
1972.
448
699. В. К- Кононенко, В. П. Грибковский. Кинетика установления
стационарного режима генерации инжекционных лазеров ФТП, 7, 653,
1973.
700. К. К о n n e r t h, С. Lanza. Delay between current pulse and light
emission of a gallium arsenide injection laser. Appl. Phys. Letters, 4,
120, 1964.
701. Ю. А. Д р о ж б и н, Ю. П. 3 а х а р о в, В. В. Никитин, А. С. С е-
м е н о в, В. А. Я к о в л е в. Исследование некоторых временных харак-
характеристик ПКГ на р— n-переходе GaAs. ФТП, 1, 1575, 1967.
702. J. С. D у m e n t, J. E. Ripper. Temperature behavior of stimulated
emission delays in GaAs diodes and a proposed trapping, model. IEEE
J. QE, 4, 155, 1968.
703. J. E. Ripper. Time delays and Q-switching in junction lasers. I.
Theory. IEEE J. Quant. Electron. 5, 391, 1969.
704. J. E. Ripper, J. С D у m e n t. Time delays and Q-switching in junc-
junction laser. II. Computer calculation and comparison with experiments.
IEEE, J. Quant. Electron., 5, 396, 1969.
705. E. A. Ulmer, Jr., I. Hayashi. Internal Q-switshing in GaAs—
Ga^Al.-xAs heterostructure lasers. IEEE J. QE, 6, 297, 1970.
706. J. E. R i p p e r, J. A. R о s s i. Delays and Q Switching in Semiconductor
Laser-still an Open Question IEEE J. Quant. Electron., 10, 435, 1974.
707. В. А. Г о р б ы л е в, Г. Т. Пак, А. И. Петров, Н. П. Черноусое,
В. И. III в е й к и н, И. В. Я ш у м о в. Зависимость иижекционных лазе-
лазеров от длительности импульса тока накачки. Сб. «Квантовая электро-
электроника», № 5. М., «Советское радио», 1971, стр. 97.
708. В. Д. К У р н о с о в, В. И. М а г а л я с, А. А. П л е ш к о в, Л. А. Р и в-
л и н, В. Г. Т р у х а н, В. В. Ц в е т к о в. Автомодуляция излучения
инжекцнонного полупроводникового квантового генератора. Письма
ЖЭТФ, 4, 449, 1966.
709. Ю. П. 3 а х а р о в, И. К- К о м п а н е е ц, В. В. Н и к и т и н, А. С. С е-
м е н о в. Исследование работы инжекционного ПКГ на GaAs в режиме
пульсаций излучения. ФТП, 3, 864, 1969.
710. В. В. Н и к и т и н, А. С. С е м е н о в, В. П. С т р а х о в. Исследование
пульсаций излучения инжекционного лазера на GaAs в непрерывном
режиме генерации. Письма ЖЭТФ, 9, 516, 1969.
711. Л. Н. Курбатов, В. И. Мол оч ев, В. В. Н и к и т и н, А. И. Ш а-
р и н. Временные характеристики в лазерах с двойным гетероперехо-
гетеропереходом. Сб. «Квантовая электроника», № 6. М., «Советское радно», 1971,
стр. 110.
712. М. J. A d a m s. A theory of oscillations in the output of GaAs junction
lasers. Phys. Stat. Sol. (a), 1, 143, 1970.
713. А. П. Богатое, П. Г. Елисеев, М. А. Мань к о, Чань Минь
Т х а й. О влиянии составного резонатора на когерентность излучения
инжекционного ПКГ. Краткие собрания по физике ФИАН, № 9, 60,
1971.
714. А. П. Б о г а т о в, П. Г. Е л и с е е в, Л. П. И в а н о в, А. С. Л о г и-
нов, К- Я- Сенаторов. О кинетике спектра излучения инжекцион-
инжекционного' лазера с односторонним гетеропереходом. Сб. «Квантовая элек-
электроника», № 5, iA7). M., «Советское радио», 1973, стр. 14.
715. Ю. П. Захаров, В. А. К о в а л ен к о, В. Ф. Л и т в и н о в, В. Н.
Морозов, В. В. Никитин, А. С. С е м е н о в, В. Л. Смирнов.
Влияние пульсаций интенсивности излучения инжекционного лазера на
спектр его генерации. Сб. «Квантовая электроника», № 4. М., «Совет-
«Советское радио», 1971, стр. 99.
716. К- Я- С е н а т о р о в, А. С. Л о г и н о в, Л. П. И в а н о в, Б. С. В в е-
денский, В. В. Розанов. Модуляция излучения инжекционного
лазера с двусторонним гетеропереходом. Квантовая электроника, 1,
160, 1974.
29. Зак. 312
449
718.
719.
721.
722.
717. Ю.'П.' Захаров, В. В. Никитин, В. Д. С а м о й л о в, А: В. У с-
пенский А. А Шеропов. Бистабильный режим работы ПКТ на
GaAs. ФТП, 2, 750, 1968.
A. П. Б о г а т о в, П. Г. Е л и с е е в, В. И. П а н т е л е е в, Е. Г.Шев-
Г.Шевченко. Сравнение мгновенного и усредненного спектров излучения
инжекционного лазера в режиме самопроизводных пульсаций. Сб.
«Квантовая электроника», № 5. М., «Советское радио», 1971, стр. 93.
N. С h i п о п е, R. Ito. Spectral behaviors of spontaneously pulsing
double-heterostructure injection lasers. J. Jap. Appl. Phys., B, 575, 1974.
720. Ю. П. 3 a x a p о в, И. Н. К о м п а н е е ц, В. В. Н и к и т и н, А. С. С е-
м е н о в. Синхронизация импульсов света, генерируемых полупровод-
полупроводниковым квантовым генератором на арсениде галлия. ЖЭТФ, 53, 1553,
1967.
Ю. А. Быковский, В. Л. Величанский, В. А. Масло в,
B. Л. Смирнов. Частотная модуляция полупроводникового лазера
током инжекции. Сб. «Квантовая электроника», № 3. М., «Советское
радио», 1971, стр. 90.
Н. Г. Басов, В. Н. Морозов, В. В. Никитин, А. С. Семенов.
Исследование режима пульсаций излучения ПКГ на GaAs. ФТП, 1,
1570, 1967.
723. Ю. А. Дрожбин, Ю. П. Захаров, В. В. Н и к и т и н, А. С. С е-
м е н о в, В. А. Яковлев. Генерация ультракоротких световых им-
импульсов на полупроводниковом квантовом генераторе на GaAs. Письма
ЖЭТФ, 5, 180, 1967.
724 Н. Г. Б а с о в, В. Н. М о р о з о в О теории динамики инжекционных
лазеров. ЖЭТФ, 57, 617, 1969.
725. Kobayashi Kohroh. "An analysis of -pulsation in coupledcavity
structure semiconductor lasers. IEEE J. Quant. Electron., 9, 449, 1973.
В. Д. Курносое, А. Т. Семенов. Двухрезонаторный инжекцион-
ный лазер с сильной оптической связью. Квантовая электроника, 1,
35, 1974.
Р. Г. Аллахвердян, В. Н. Морозов, А. Н. Ораевский,
А. Ф. Сучков. Влияние нелинейности показателя преломления на
динамику излучения полупроводниковых лазеров. Сб. «Квантовая
электроника», № 6. М., «Советское радио», 1971, стр. 53.
Р. Г. Аллахвердян, А. Н. Ораевский, А. Ф. Сучков. Ди-
Динамика излучения полупроводниковых лазеров с показателем прелом-
преломления, зависящим от интенсивности излучения. Журнал техн. физ., 43,
1024, 1973.
729. В. Н. М о р о з о в. К теории многомодовой генерации в полупроводни-
полупроводниковых лазерах. Квантовая электроника, 1, 634, 1974.
730. Б. Р. Белостоцкий, Ю. В. Л ю б а в с к и й, В. М. Овчинников.
Основы лазерной техники. Твердотельные ОКГ. М., «Советское радио»,
1972.
731. А. А. Ш е р о н о в. Эффект гашения в оптически связанных инжекцион-
инжекционных лазерах на GaAs. ФТП, 3, 368, 1969.
732. R. S а 1 a t h е, С. Voumard, H. W e b e r. Optical coupling of two
diode lasers. Phys. Status Solidi (a), 20, 527, 1973.
733. K. Kobayashi. An analysis of pulsation in coupled cavity structure
semiconductor lasers. Nee Res. and Develop., 31, 72, 1973.
734. O. T a d a h i r o, Y. S h i g e r u. A limitation on repetition rate of
pulsations of junction lasers due to the repetitively Q-switched mecha-
mechanism. IEEE J. Quant. Electron, 9, 366, 1974.
735. П. Г. Елисеев, Л. П. Иванов, А. С. Л о г и н о в, Е. П. Н и к и-
т и н. Внутренняя модуляция добротности в инжекционных лазерах
с односторонним гетеропереходом. Сб. «Квантовая электроника», № 5,
A7). М., «Советское радио», 1973, стр. 116.
726.
727.
728.
450
736. L. Е. Н а г g г о v e, R. L. F о г к, М. А Р о 11 а с к. Locking of He—Ne
laser modes induced by synchronous intracavity modulation. Appl. Phys.
Lett., 5, 4, 1964.
737. P. G. К г у u к о v, V. S. Letokhov. Fluctuation mechanism of ultra-
short pulse generation by laser with saturable absorber. IEEE J. QE, 8,
766, 1972.
738. П. Г. К Р ю к о в, Ю. А. М а т в е е ц, С. В. Ч е к а л и н. Исследование
процессов формирования ультракоротких лазерных импульсов. Пре-
Препринт ФИАН СССР, № 10, 1974.
739. X. К- Б а х е р т, П. Г. Е л и с е е в, М. А. М а н ь ко, В. К- Петров,
3. Рааб.В. П. Страхов, Чамь Мннь Тхай. Исследование
пикосекундной структуры и режима ультракоротких импульсов излу-
излучения инжекционных лазеров интерферометрическим методом. Кванто-
Квантовая электроника, 1, 1988, 1974.
740. В. Н. М о р о з о в, В. В. Н и к и т и н, А. А. Ш е р о н о в. Самосинхро-
Самосинхронизация типов колебаний в инжекционном ПКГ на GaAs. Письма
ЖЭТФ, 7, 327, 1968.
741. Н. Г. Б а с о в, А. 3. Грасюк, В. А. К а т у л и н. Индуцированное
излучение в арсениде галлия при оптическом возбуждении. ДАН СССР,
161, 1306, 1965.
742. Н. Г. Басов, А. 3. Грасюк, И. Г. Зубарев, В. А. К а т у л и н.
Генерация в GaAs при двухфотонном оптическом возбуждении излуче-
излучением ОКГ на неодимовом стекле. Письма ЖЭТФ, 1, 29, 1965.
743. В. К. Конюхов, Л. А. Кул е век и й, А. М. Прохоров. Опти-
Оптический генератор CdS при двухфотонном возбуждении рубиновым
лазером. ДАН СССР, 164, 1012, 1965.
744. Н. Г. Б а с о в, А. 3. Грасюк, И. Г. Зубарев, В. А. Катулин.
Генерация в CdS при двухфотонном оптическом возбуждении излуче-
излучением ОКГ на рубине. ФТТ, 7, 3639, 1965.
745. R. J. Ph e I a n, Jr., R. H. R e d i ke r. Optically pumped semiconductor
laser. Appl. Phys. Lett., 6, 70, 1965.
746. I. M e 1 n g a i 1 i s. Optically pumped InAs laser. IEEE J. Quant Elec-
Electron., 1, 104, 1965.
747. A. 3- Грасюк, В. Ф. Ефимков, И. Г. Зубарев, В. А. Кату-
Катулин, А. Н. М е н ц е р. Полупроводниковый квантовый генератор на
CdSe с двухфотонным оптическим возбуждением. ФТТ, 8, 1953, 1966.
748. N. Н о 1 о п у a k, Jr., M. D. S i г к i s, G. E. S t i 11 m a n, M. R. J о h n-
son. Laser Operation of CdSe pumped with a Ga(AsP) laser diode
Proc. IEEE, 54, 1068, 1966.
749. M. С. Броди и, Н. И. Витриховский, С. В. Закревский,
В. Я. Резниченко. Генерация на смешанных кристаллах CdSx—
CdSei-x при возбуждении излучением рубинового ОКГ. ФТТ, 8,
3084, 1966.
750. М. С. Б р о д и и, С. В. 3 а к р е в с к и й, В. С. М а ш к е в и ч, В. Я.
Резниченко. О механизме генерации лазерного излучения в кри-
кристаллах CdSx—CdSei-x при двухфотонном возбуждении. ФТП, 1,
595, 1967.
751. Исследование лазерной генерации кристаллов CdSx—CdSei_x при
двухфотонном возбуждении. Квантовая электроника, № 3, 62. Киев,
«Наукова думка», 1969.
752. L. Me I n g a I i s, A. J. S t r a u s s. Spontaneous and coherent photolumi-
nescence in CdxHg!_xTe. Appl. Phys. Letters., 8, 179, 1966.
753. J. O. D i m m о с k, L. M e 1 n g a i 1 i s, A. J. S t г а и s s. Band structure
and laser action in PbxSn^xTe. Phys. Rev. Letters, 16, 1193, 1966.
754. S. R. С h i n n, J. A. R о s s i, C.M.Wolfe, A. M о о г a d i a n. Opti-
Optically pumped room-temperature GaAs lasers. IEEE J. QE, 9, 294, 1973.
29*
451
755. А.,Г Акманов, В. С. Днепровский, А. И. Коврнзнн,
A. Н. Пенни. Генерация в ZnS при двухфотонном оптическом воз-
возбуждении излучением второй гармоники лазера на неодиме. ЖЭТФ,
53 1293 1967
756. J. *В i lie, H.Liebing, P. Men gel, G. Scheiber. Tunable laser
emission of CdSxSe^x graded band gap crystals by twophoton excita-
excitation. Phys. Status Solidi (a), 12, K91, 1972.
757. M. R. Johnson, N. Holonyak, Jr., M. D. S i r k i s, E. D. Boose.
Volume excitation of an ultrathin continuous-wave CdSe at 6900 A out-
output. Appl. Phys. Lett., 10, 281, 1967.
758 R. D. D u p u i s, N. H о 1 о n у a k, Jr., M. H. L e e, J. С Campbell,
M. G. С r a f о r d, D. F i n n, D. L. К е u n e. Laser operation of
GaAsi-xP*: N (x=0,37, 77 °K) on photopumped NH3 pair transitions.
Appl. Phys. Lett., 22, 369, 1973.
759. П. Г. Елисеев, И. И с м а и л о в, Л. И. М и х а й л и к а. Спонтанная
и когерентная фотолюминесценция фосфида индия. ФТП, 3, 945, 1969.
760 М R Johnson, N. Holonyak, Jr. Optically pumped thin-platelet
semiconductor lasers. J. Appl. Phys., 39, 3977, 1968.
761. Б. И. С т е п а н о в, А. Н. Р у б и н о в, В. А. М о с т о в и и к о в. Опти-
Оптическая генерация в растворах сложных молекул. Письма ЖЭТФ, 5,
144, 1967.
762. Б. И. Степанов, А. Н. Рубинов. Оптические квантовые генера-
генераторы на растворах органических красителей. УФН, 95, 45, 1968.
763. М. М. Л о й к о, В. А. М о с т о в н и к о в, В. С. М о т к и н, А. Н. Р у-
б и н о в, Оптический квантовый генератор на растворах органических
красителей. ПТЭ, № 3, 198, 1972.
764. Б. В. Б о к у т ь, Н. С. К а з а к, А. Г. Мащенко, В. А. М о с т о в-
ников. Генерация мощного излучения с перестройкой спектра в обла-
области 280—386 мм. Письма ЖЭТФ, 15, 26, 1972.
765. Н. А. Борисевнч, Л. М. Болотько, В. В. Грузинский,
B. А. То л к а ч е в. Генерация растворов кумаринов при возбуждении
импульсной лампой. ЖПС, 14, 148, 1971.
766. Н. А. Борисевнч, В. В. Грузинский. Генерация растворов
органических соединений в ультрафиолетовой и коротковолновой ви-
видимой области спектра. Сб. «Квантовая электроника и лазерная спек-
спектроскопия». Минск, Ин-т физики АН БССР, 1971, стр. 81.
767. Н. Г. Б а с о в, А. 3. Г р а с ю к, В. Ф. Е ф и м к о в, В. А. К а т у л и н.
Полупроводниковый квантовый генератор на -GaAs при оптическом
возбуждении излучением с энергией квантов, близкой к ширине запре-
запрещенной зоны. ФТТ, 9, 88, 1967.
768. В. П. Грнбковскнй. Насыщение поглощевня в полупроводнико-
полупроводниковых лазерах с оптической накачкой. ЖПС, 16, 627, 1972.
769. В. П. Грнбковскнй, Г. Н. Монсеенко. О возможном механиз-
механизме генерации тонких полупроводниковых пластин. ЖПС, 14, 713, 1971.
770. G. E. S tillman, M. D. Sirkis, J. A. Ro.ssi, M. R. Jon son,
N. Holonyak, Jr. Volume excitation of an ultrathin singlemode CdSe
laser. Appl. Phys. Lett., 9, 268, 1966.
771. N. Holonyak, Jr., M.R.Johnson, D. L. К е u n e. High transpa-
transparency of thin platelet semiconductor lasers. IESE J. Quant. Electron.,
4, 199, 1968.
772. H. Г. Басов, О. В. Б о г д а н к е в и ч, В. .Д. Гончаров, Б. М.
Лаврушнн, В. Ю. Сурзиковский. Полупроводниковый кван-
квантовый генератор на арсеннде галлня с плоским резонатором. ДАН
СССР, 168, 1283, 1966.
773. N. Holonyak, Jr., M. R. Johnson, J. A. Rossi, W. О. Groves.
Many-body wavelength shift in a semiconductor laser. Appl. Phys. Lett.,
12, 151, 1968.
452
774. P. D. D a p k u s, N. H о 1 о n у a k, Jr., J. -A. R о s s i, F. V. W i 11 i-
a m s, D. A. H i g h. Laser transition and wavelength limits of GaAs.
J. Appl. Phys., 40, 3300, 1969.
775. J. A. R о s s i, N. H о 1 о n у a k, Jr., P. D. D a p k u s, F. V. W i 11 i-
a m s, J. W. В u r d. Ehe laser transition and photon energy of GaAs in
the lightly-doped limit. Appl. Phys. Lett., 13, 117, 1968.
776. D. L. К e u n e, J. A. R о s s i, N. H о 1 о n у a k, Jr., P. D. D a p k u s.
Time behavior of laser modes in GaAs platelet lasers. J. Appl. Phys.,
40, 1934, 1969.
777. P. D. D a p k u s, N. H о 1 о n у a k, Jr., R. D. В u r n h a m, D. L. К е u-
n e. Direct observation of a dynamic Burnstein shift in a GaAs: Ge pla-
platelet laser. Appl. Phys. Lett., 16, 93, 1970.
778. В. А. Г p e x н e в, В, Д. Курносое, А. А. П л e ш к о в, О. Н. П р о-
зоров, Л. А. Р-нвлнн, А. Т. Семенов, В. В. Цветков, В. С.
Шнльднев. Переходные процессы в ннжекционных квантовых ге-
генераторах с сильными оптическими связями. Сб. «Физика электронно-
дырочных переходов н полупроводниковых приборов». Л., «Наука»,
1969, стр. 30.
779. А. Г. М о л ч ан о в, Ю. М. Попов, А. М. Т ру п н л нн. Усиление
света в полупроводниках прн рекомбинации экснтонов высокой кон-
концентрации. Квантовая электроника, 1, 1258, 1974.
780. С. Benoit a la Guillaume, J. M. Debever, F. Salvan.
Radiative recombination in highly excited CdS. Phys. Rev., 177, 567,
1969.
781. D. Magde, H. M a h r. Exciton-exciton interaction in CdS, CdSe and
ZnO+. Phys. Rev. Lett., 24, 890, 1970.
782. В. П. Грнбковскнй, Н. А. Дроздов, А. А. Патрнн, В. Д.
Ткачев, Г. П. Яблонский. Излучательная рекомбинация свобод-
свободных экснтонов в ZnTe прн высоком уровне оптического возбуждения.
ЖПС, 21, 1009, 1974.
783. Г. П. Яблонский. Фотолюминесценция и фотопроводимость в тел-
луриде цинка при оптическом возбуждении. Автореферат кандидатской
диссертации. Минск, 1975.
784. Э. Л. Н о л л е. Вынужденное излучение света нендеальным экснтон-
ным газом в полупроводниках. ФТП, 8, 1463, 1974.
785. Н. Г. Басов, О. В. Богданкевич, А. Г. Девятков. Возбуж-
Возбуждение полупроводникового квантового генератора пучком быстрых
электронов. ДАН СССР, 155, 783, 1964.
786. Н. Г. Басов, О. В. Богданкевнч, А. Г. Девятков. Оптиче-
Оптический квантовый генератор на кристалле CdS с возбуждением быстрыми
электронами. ЖЭТФ, 47, 1588, 1964.
787. С. Benoit a la Guillaume, J. M. Debever. Effet laser par bom-
bardement electronique. «7-e Congr. internet phys semiconduct. Paris,
1964, vol. 4». Paris, 1965, 255.
788. С. Е. Hurwitz, R.J. Keyes. Electron-beam-pumped GaAs laser.
Appl. Phys. Lett., 5, 139, 1964.
789. C. Benoit a la Guillaume, J. M. Debever. Effet laser dans
l'antimoniure de gallium par bombardement electronique. Compt. Rend.
Acad. Sci., 259, 2200, 1964.
790. H. Г. Басов, О. В. Богданкевич, А. Н. Печен о в, Г. Б. Аб-
дулаев, Г.А.Ахундов, Э. Ю. Салаев. Индуцированное излу-
излучение в монокристалле при возбуждении быстрыми электронами. ДАН
СССР, 161, 1059, 1965.
791. В. С. Вавилов, Э. Л. Нолле. Оптический квантовый генератор на
CdTe с электронным возбуждением. ДАН СССР, 164, 73, 1965.
792. С. Е. Hurwitz, A. R. Calawa, R. H. Rediker. Electron beam
pumped lasers of PbSe and PbTe. IEEE J. Quant Electron., 1, 102, 1965.
453
793 C.E Hurwitz. Efficient ultraviolet laser emission in electron-beam
' excited ZnS. Appl. Phys. Lett., 9, 116, 1966.
794. A. H. В л а с о в, Г. С. К о з и н а, О. Б. Ф е д о р о в а. Стимулирован-
Стимулированное излучение монокристаллов теллурида цинка при возбуждении
быстрыми электронами. ЖЭТФ, 52, 434, 1967.
795. С. В. Королев, И. М. О л и х о в, . Д. М. Петров. Электронное
возбуждение полупроводниковых лазеров. Электр, промышл., № 2, 22,
1973.
796. О. В. Богданкевич. Конструкции и некоторые возможные приме-
применения полупроводниковых лазеров с возбуждением электронным пуч-
пучком (обзор). Сб. «Квантовая электроника», № 6 A8). М., «Советское
радио», 1973, стр. 5.
797. О. В. Богданкевич, В. В. Кален дин, И. В. Крюкова, И. Б.
Ковш. Характеристики квантового генератора на арсениде галлия
с накачкой пучком электронов высокой энергии. Сб. «Квантовая элек-
электроника», № 3. М., «Советское радио», 1971, стр. 29.
798. Н. А. Борисов, Б. М. Л а в ру ш и н, Л. В. Лебедев, С. С.
Стрельченко. Параметры лазера с электронной накачкой на ар-
арсениде галлия с двойным легированием. Квантовая электроника, 1,
2399, 1974.
799. Ю. А. Быковский, И. Г. Гончаров, И. Т. Рассохин, А. Ф.
Узкий. Полупроводниковые лазеры с гетероструктурой при электрон-
электронной накачке. Квантовая электроника, 1, 141, 1974.
800. О. В. Богданкевич, Б. И. Васильев, А. С. Насибов, А. Н.
П е ч е н о в. Вынужденная синхронизация продольных мод в полу-
полупроводниковом лазере с электронной накачкой. Квантовая электрони-
электроника, 1, 1264, 1974.
801. О. В. Богданкевич, Б. И. Васильев, А. С. Насибов, А. 3.
О б и д и н, А. Н. П е ч е н о в, М. М. Зверев. Исследование динамики
излучения полупроводникового лазера типа «излучающее зеркало»,
с внешним резонатором. Квантовая электроника, 1, 149, 1974.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Авогадро число 24, 63
Адиабатическое приближение 27
Активные среды 301
Активный слой гетеролазера 320
гомолазера 318
Акцептор 25, 150
Аналогия оптических свойств
сложных молекул и полупро-
полупроводников 101—105
Биэкситоны 287, 298
Ближнее поле излучения 344
Борна — Кармана условие 30, 35,
67, 81
Борна — Оппенгеймера прибли-
приближение 27
Боровский радиус 48, 83
Бугера закон 92, 274, 301
— нарушение 279, 315
Вектор базисный 11
— волновой 72, 87
— нормали 72«
— трансляции 11, 12, 40
Вероятности переходов 212
Волновое число 67
Время жизни носителей 114—117,
189, 190
фононов 121—124
экситонных капель 292, 293
Вульфа и Брэгга формула 22
Гармонический осциллятор 116,
223—226
контур линии 225
мощность люминесценции
224
мощность поглощения 224
Гауссова кривая 50
Генерации временные характерис-
характеристики 381
•— время задержки 383
— интерференционное условие 308
— квантовый выход 342—345, 379
— к. п. д. 346—349, 406, 416, 417
— мощность 313, 322, 342, 345, 378,
405, 406, 416
— оптимальный режим 345, 406
— переходный режим 387
— частота пульсаций 389, 391
— экситонный механизм 410
— энергетическое условие 308
Генерация в режиме автомодуля-
автомодуляции 391
многомодовом 358
одиомодовом 358
модуляции добротности 394,
395
синхронизации мод 395
Гетероструктуры 319—321
Глубина проникновения электро-
электронов 415
Двухфотонная люминесценция
269, 270
— переходы 262
— поглощение 261, 272
Дебаевское экранирование 50
Деполяризация люминесценции
221
Дефекты кристаллов 23
радиационные 26, 415
Деформация спектров 251
Дислокации 24
Дисперсии закон 66
Дисперсионные кривые полярито-
нов 137
экситонов 127, 137, 413
фононов 69, 74
фотонов 137
Дихроизм 211, 220, 221
Добротность резонатора 306, 309,
394, 395
Донор 25, 150
Донорно-акцепторные пары 161
энергия 162
вероятность перехода 163
спектры излучения 166, 167
455
Дырки 25, 45, 46
Дырочный ток 46
Дюлоига и Пти закон 77
Запрещенной зоны зависимость от
давления 195, 196
температуры 192
скачок 318
сужение 149
Захват и эмиссия носителей 150—
157
Зоммерфельда модель 28
Зонная структура AlSb 174
Зонная теория 26
Зоны Бриллюэна 11, 36, 37, 40—
42, 66, 72, 91, 200
Зоны примесные 48—50
Импульс фонона 76
— электрона 29, 36
Инверсной населенности условие
302 \
Интегралы Ферми—Дирака 55, 56
Камерлинга-Оннеса эксперименты
63
Квазичастицы 77
Квантовая электроника 261, 300
Кирхгофа закон 102
Классификация вторичного свече-
свечения 98
— решеток 14
— твердых тел 61
— электронных состояний 41
Колебаний нулевых энергия 76
— обозначения ветвей 75
— число ветвей 74
Колебания акустические и оптиче-
оптические 64, 68—71, 74, 95
— молекул 73
— плазмы 178
— решетки одномерной 65
трехмерной 72
— струны 66, 67
Коэффициент отражения плазмы
182
Коэффициента поглощения зави-
зависимость от возбуждения 211,
218, 224, 228, 229, 233, 235, 236,
238, 242, 246, 250, 254, 255, 261,
275, 278
Коэффициент поглощения света в
легированном полупроводнике
148, 152
внутризонного 174
двухфотонного 265, 266, 268
локальными колебаниями 177
при межзонных переходах
91—95
456
решеткой 177
свободными носителями 85,
167—172
Коэффициент потерь 308
внутренних оптических 307
радиации шума 374, 376
Коэффициент усиления 258, 259—
261, 308, 309, 311, 312, 326, 365,
377, 403; 416
Крамерса-Кронига соотношения
207
Кронекера символы 12, 73
Лазер инжекционный 316
— многоэлементный 417
— пластинчатый 407
— с непланарным р—я-переходом
379—381
— с оптическим возбуждением 397
— с распределенной обратной
связью 369
— с электронным возбуждением
414
— трехуровневый и четырехуров-
четырехуровневый 309—312, 314
Лазерного излучения ближнее по-
поле 344
дальнее поле 357
расходимость 365
спектр 260, 392
Лазерный р—я-переход 318
Лауэграммы 22
Левшина — Перрена формула 121
Левшина формула 121
обобщение 222
Легирование слабое, среднее,
сильное 49
Люминесценции деполяризация
211, 221
— длительность 98, 114, 115
— квантовый выход 111—115
— метод расчета 98, 99
— мощность 231
— поляризация 121
— определение 97, 99
— предельное значение 254
— термодинамический к.п.д. ИЗ
— энергетический выход 111, 112
Люминесценция в резонаторе 313,
340
— горячая 121,'138—144, 190
— донорно-акцепторных пар 166,
167
— как источник шума 371
— отрицательная 105, 112
— примесная 160
— усиленная 341, 374
— экситонная 131, 132, 135, 136
Максвелловское распределение по
скоростям 125
Масса эффективная 43
Матрица группы 42
— решетки 13
Миллера индексы 18
Модель гауссовых примесных зон
238
— глубокого дефекта 155
— двух уровней 226, 259, 333
— Зоммерфельда 28
— Кронига и Пенни 32
Накачки способы 303, 304
Насыщение поглощения 218
в конечных объемах 273
в лазерах 402
— усиления 259
Нелинейные оптические явления
108, 210
Нормальные координаты 75
Объем элементарной ячейки 11, 13
Ограничители света 278
Оператор взаимодействия 86
— Гамильтона 26, 27
— импульса 86
— Лапласа 80
— набла 87
Оптика линейная 108
Оптические переходы в легиро-
легированном полупроводнике 150
донорно-акцепторных пар 162
запрещенные 93
зона — примесь 159"
непрямые 91
прямые 91
разрешенные 93
экситонов 126
Оптические постоянные 207
Оптическое возбуждение 303, 397
Отрицательное возбуждение 107,
112
— потоки 107, 112
Параметр нелинейности 215, 228,
233, 234, 237, 239, 311
— оптического ограничения 324
— а=р+Р/оЗЗО, 331, 353
— Р 327—334, 350—354
— /о 327—333, 350—354
—/инв 330, 331, 353
— р 307, 308, 350—354
Плотность состояний 31, 32, 54
в магнитном поле 206
приведенная 93, 231
экситонных 143, 411
— энергии волны 88
Поверхность Ферми 53
Поглощение планковской радиа-
радиации 98, 99
Поглощение света двухфотонное
261
краевое 91, 193
примесное 152, 157
при сжатии 197
решеткой 175
свободными носителями 167
экситонами 127— 130
Позитроний 79
Позитронная молекула 287
Показатель преломления 207
Полупроводник вырожденный 54 -
— невырожденный 54
—п-типа 62
>-р-типа 62
Полупроводников основные свой-
свойства 7
— типы 7, 8
Поляризация излучения 118
Поляроны 77, 83, 84
Порог генерации 311, 402
Порогового тока зависимость от
длительности импульса 387
коэффициента потерь 325
мощности и выхода люми-
люминесценции 323
поглощения свободными
носителями 338
радиации шума 374
толщины активного слоя
323
энергии электронов 416,
417
Пороговый ток 316, 327, 328, 330,
332, 333, 335
Примесные зоны 49
— уровни 46, 47
Принцип детального равновесия
155, 193
— соответствия 44
Проводимость дырочная 62
— электронная 62
Произведение поро 57
Пропускание образцов ZnTe 281
Пропускание фильтра 276
Просветление полупроводников в
модели двух уровней 226
¦ — гауссовых зои 238
примесных 240
с Оже-рекомбинацией 245
— цилиндрического стержня 283
Разрезной диод 394, 395
Рассеяние генерируемого излуче-
излучения 378, 379
Расстояние между модами 358
457
Резонатор оптический 304, 309,
313, 330
типы колебаний 354
Рекомбинации константа 96, 103,
104, 117
— сечение 117, 118
Рекомбинационное излучение 99,
100
Рекомбинация безызлучательная
117
— доиорно-акцепторных пар 162
— Оже 151, 185—191, 245—250
— Шокли—Рида 155, 156
Решетка алмаза 18
— Браве 15, 16,
— обратная 11—13
— прямая 10, 11
— цинковой обманки 18
Ридберга постоянная 82
Русбрека и Шокли формула 103
Самоиндуцированная прозрачность
271—273
Самосогласованное поле 28
Светоэкситоны 137, 138
Сила осциллятора 152, 153
Симметрии виды 15
— группы 42, 43
— элементы 15—17
Симметрия решетки 11, 12
Сингонии кристаллов 14, 15
Скорость возбуждения 414
— групповая 44, 45, 68
— звука 67
— люминесценции 107—109
—носителей тепловая 117
— Оже-рекомбинации. 188
— переходов 88—90
— поглощения 89
— суммарной рекомбинации 95, 96,
102
— фазовая 67
Составной матричный элв1мент 263,
265
Спектр люминесценции CdS 131,
139, 270
— CdSe 132, 297
— GaAs 341, 360, 365
— GaP 136
— Ge 135, 167, 289
— InP 166
— Si 160, 293
— отражения InSb 182
Спектр поглощения AlSb 173
CdS 197, 202
CO2 209
GaAs 130, 193, 197, 365
GaP 152
458
Ge 203, 295
PbS 171
Si 152
Температура Дебая 62, 64
— лазерного излучения 107
ТемплОемкости теория Борна —
Кармана 64, 65
— Дебая 63, 64
— Эйнштейна 63
Теплоемкость грамматома 63
Ультракороткие импульсы 271—
273, 395—397
Универсальное соотношение Степа-
Степанова 100
для полупроводников
и сложных молекул 102—104
Уравнение вековое3
— осциллятора 224
— кинетическое 140
общее ршение 211
— Максвелла 355
— Ньютона 44
— Шредингера 26, 29, 32, 80, 153,
205
— электроиейтральности 53, 144,
230, 235, 240, 243, 245
Урбаха правило 144
Уровень Ферми 52—54, 59—61, 106,
228, 232, 340
в р—я-переходе 318, 319
Уровни Ландау 205
— примесей 46, 47
Условие равномерного распреде-
распределения накачки 285
Уширение линий неоднородное
251—253
однородное 251
Фабри—Перо интерферометр 304,
307, 308
Фактор спинового вырождения 58,
59
Ферми—Дирака интегралы 55, 56
Фононов число 95
Фононы 75
Функция Блоха 38, 39, 92, 154
— Бозе—Эйнштейна 51
— выхода излучения 342
— Максвелла—Больцмаиа 51, 52
— Планка 98
— Ферми—Дирака 51, 52, 89, 90,
96, 101, 230
— Г 96
— б 87
Хвосты зон 49, 50, 331, 340
Химическая связь 8
Химический потенциал молекул
105
Холла постоянная 49
Частота инверсии 104
— колебаний плазмы 180, 181
— циклотронная 204
Частота инверсии 104
Экситона движение 79
— ионизация 201
— масса 80
— механизм термализации 139, 140
— радиус 83
— тепловая скорость 291
— уровни энергии 81—83
— энергия ионизации 82, 129
Экситон Ванье—Мотта 26, 78
Экситонное излучение 125
в электрическом поле 202
— поглощение 128, 129, 133, 134
— — в электрическом поле 202, 203
при давлении 197
Экситонов бозе-эйнштейновская
конденсация 296
— неравновесное распределение
138
Экситонные капли 291—296
Экситонный механизм генерации
410
— молекулы 287
Экситон связанный 135, 136
Экситон-фононное взаимодействие
132
Экситон Френкеля 26, 78
Экситои-экситонное взаимодейст-
взаимодействие 285
Электронные характеристики р—
я-перехода 318
Электроотрицательность атома 8,
9
Эмиссия электронов 191
Энергия донорно-акцепторных пар
163
— ионизации атома 8
— средства к электрону 8
— электроотрицательности 8
Энтропия поля 112
Эффект Бурштейна—Мосса 147—
149
— Допплера 125
— Келдыша—Франца 198, 199
— Штарка 200, 201
— Фогта 204
Эффекты насыщения 210, 226
методы обнаружения 279
Явление Фарадея 204
Ячейка Вигнера—Зейтца 11, 41
— простая 17
— элементарная 11
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
Глава I. Общая характеристика полупроводников . . . .
§ 1. Кристаллическая природа полупроводников ....
Типы полупроводников G). Химическая связь в кристаллах (8). Прямая и обрат-
обратная решетки A0). Классификация кристаллических решеток A4). Индексы
Миллера A8). Определение ориентации кристаллов B0). Несовершенства в
кристаллических структурах B3).
§ 2. Электронные состояния в твердых телах
Исходные положения зонной теории B6). Модель Зоммерфельда. Плотность
состояний B8). Модель Кроиига и Пении. Энергетические зоны C2). Функции
Блоха C8). Зоны Бриллюэна D0). Классификация электронных состояний D1).
Эффективная масса D3). Дырки D5). Энергетические уровни примесей D6).
§ 3. Статистика электронов в полупроводниках ....
Функция Ферми—Дирака E1). Уровень Ферми в собственном невырожденном
полупроводнике E3). Интегралы Ферми—Дирака E5). Произведение ПоРо E7).
Фактор спинового вырождения примесного уровня E8). Смещение уровня Фер-
Ферми при легировании полупроводника E9). Классификация твердых тел на про-
проводники, изоляторы и полупроводники F1).
§ 4. Колебания кристаллической решетки ......
Температура Дебая F2). Колебания одномерной решетки, состоящей из одина-
одинаковых атомов F5). Линейная цепочка, состоящая из атомов двух сортов F8).
Гармонические колебания трехмерной решетки G2). Фоноиы G5).
§ 5. Экситоны и поляроны
26
51
62
77
Квазичастицы в твердых телах G7). Трансляционное и внутреннее движение
экситоиов большого радиуса G9). Поляроны (83).
Глава II. Основные механизмы взаимодействия света с полу-
полупроводниками 85
Вводные замечания (85)
§ 6. Оптические переходы зона—зона ?6
460
Скорости стимулированных и спонтанных переходов (86). Край полосы соб-
собственного поглощения (91). Скорость суммарной спонтанной рекомбина-
рекомбинации (95).
§ 7. Люминесценция
Определение люминесценции Вавилова—Видемаиа (97). Универсальное соотно-
соотношение между спектрами поглощения и люминесценции A00). Отрицательная
люминесценция A05). Линейная и квадратичная скорости люминесценции A07).
Энергетический и квантовый выход люминесценции A09). Длительность люми-
люминесценции и времена жизии избыточных носителей A14). Поляризация излуче-
излучения A18). Горячая люминесценция A21).
97
§ 8. Экситоиный механизм поглощения и испускания света
Специфика экситонных оптических переходов A24). Прямые оптические пере-
переходы свободных экситонов A26). Непрямые экситонные оптические переходы
A30). Связанные экситоны A35). Светоэкснтоиы (поляритоны) A37). Неравно-
Неравновесное распределение экситонов по кинетической энергии A38). Кинетические
уравнения A40). Правило Урбаха A44).
124
§ 9. Оптические переходы в примесном полупроводнике
Эффект Бурштейна—Мосса A47). Захват и эмиссия носителей заряда дефек-
дефектами кристалла A50). Примесное краевое поглощение и испускание A57). Ре-
Рекомбинация донорио-акцепториых пар A61).
147
§ 10. Поглощение инфракрасного излучения свободными носи-
носителями и кристаллической решеткой 167
Оптические переходы электронов и дырок в пределах одной зоны (подзоны)
<167). Поглощение света при переходах между подзонами одной вырожденной
зоны A72). Поглощение света кристаллической решеткой A75). Собственные
колебания плазмы A78).
§ 11. Безызлучательная рекомбинация
Рекомбинация Оже A82). Поверхностная рекомбинация A91). Неоптпческие
переходы в дефектах кристалла A92).
182
§ 12. Изменение оптических свойств
действием внешних сил
полупроводников под
Зависимость ширины запрещенной зоны от температуры A92). Влияние давле-
давления на зонную структуру A95). Эффект Келдыша—Франца A98). Эффект Штар-
жа B00). Ионизация экситоиов в электрическом поле B02). Магнетооптические
явления B03). Модуляционная спектроскопия B06).
192
Глава III. Поглощение света и фотолюминесценция при интен-
интенсивном возбуждении 210
§ 13. Эффекты насыщения в системах с дискретными уровнями
энергии 210
461
Огранич%нность законов линейной оптнкн B10). Общее решение системы ста-
стационарных кинетических уравнений B11). Параметры иелниейности B15). На-
Насыщение поглощения изотропной, -линейно поляризованной и естественной
радиации B18). Вынужденный дихроизм B20). Деполяризация люминесценции
B21). Обобщение классической формулы Левшина B22). Гармонический осцил-
осциллятор — уникальная модель вещества B23).
§ 14. Просветление полупроводников на частоте возбуждаю-
возбуждающего света 226
Модель двух дискретных уровнен B26). Модель параболических зон с правилом
отбора по волновому вектору B29). Модель параболических зои без правил от-
отбора по волновому вектору B36). Модель гауссовых примесных зон B38). Влия-
Влияние легирующих примесей иа характер зависимости коэффициента поглощения
от накачки B40). Насыщения поглощения в условиях рекомбинации Оже B46).
§ 15. Деформация спектров поглощения и люминесценции. *
Насыщение усиления . 251
Однородное и иеодиородиое ушнреиие спектральных линий B51). Начальный
этап изменения спектров поглощения и люминесценции B53). Пределы дефор-
деформации спектров поглощения и люминесценции B54). Общие закономерности на-
насыщения усиления B58). Насыщение усиления в двухуровневой схеме B59).
§ 16. Двухфотонное поглощение 261
Коэффициент двухфотонного поглощения B61). Условия экспериментального
наблюдения двухфотонного поглощения B67). Фотолюминесценция и фотопро-
фотопроводимость при двухфотонном возбуждении B69). Прохождение ультракоротких
импульсов света через полупроводниковые кристаллы B71).
§ 17. Насыщение поглощения в конечных объемах вещества 273
Зависимость пропускания плоскопараллельиых пластин от интенсивности света
B73). Экспериментальные методы обнаружения эффектов насыщения B79).
Расчет функции K(S) на основании экспериментальных данных B82). Условие
равномерного возбуждения просветляющегося цилиндрического стержня B83).
§ 18. Экситои-экситонное взаимодействие при низких темпе-
температурах 285
Появление новых линий излучения B85). Экситонные молекулы B87). Экситои-
ная жидкость B91). Бозе-эйнштейиовская конденсация экситонов и экситон-
ных молекул B96). Многообразие форм коллективного взаимодействия носи-
носителей B98).
Ю
t
Глава IV. Полупроводниковые лазеры
§ 19. Исходные положения квантовой электроники
Возникновение новой иауки C00). Активные среды C01). Способы накачкн C03).
Оптические резонатору C04). Энергетическое и интерференционное условия по-
л\чения генерации C06). Генерация по трехуровневой н четырехуровневой схе-
схемам C09). Влияние резонатора на поглощение света и люминесценцию C13).
462
300
300
Э16
340
354
§ 20. Зависимость порогового тока от спектроскопических ха-
характеристик вещества и параметров резонатора
Активный слой инжекцноиных гомо- и гетеролазеров C16). Соотношение между
пороговым током, мощностью и квантовым выходом люминесценции C21). За-
Зависимость порога генерации от толщины активного слоя C23). Зависимость по-
порогового тока от коэффициента потерь в модели параболических зон C25). Ток
инверсии и параметр /0 C28). Стимулированное испускание с участием хвостов
зон и примесных зон C31). Поглощение излучения свободными носителями в
активном слое C37). Температурная зависимость порогового тока для неодно-
неоднородного активного слоя C39). Учет зависимости функции плотности состояний
от уровня заполнения зон C39).
§ 21. Мощность и к.п.д. генерации лазерных диодов
Рост люминесценции после преодоления порога C40). Внутренний квантовый
^выход генерации C43). Оптимальный режим генерации C45). Эксперименталь-
Экспериментальное определение лазерных параметров C50).
§ 22. Спектральные и пространственные характеристики гене-
генерируемого излучения
Типы электромагнитных колебаний в оптическом резонаторе C54). Одномодо-
вый и миогочодовый режимы генерации C5S) Экспериментальное определение
спектра усиления активной среды на основании универсального соотношения
G.18) C63). Угол расходимости лазерного луча C65). Лазеры с распределенной
обратной связью C69).
§ 23. Радиационный шум в лазерах 371
Люминесценция — неустранимый источник радиационного шума в лазерах C71).
Коэффициент потерь радиации шума C74). Влияние шума иа порог генерации
(ЗТ'6). Рассеяние генерируемого излучения в активной среде C78). Иижекцион-
ный лазер с непланарным р—п-переходом C79).
§ 24. Временные характеристики генерации 381
Динамические режимы работы лазеров C81). Время задержки генерации C83).
Зависимость порогового тока от длительности возбуждающего импульса C87).
Переходный режим генерации C88). Амплитудная и частотная автомодуляция
излучения C91). Генерация ианосекундных импульсов излучения в режиме
модулированной добротности ¦ C94). Генерация пикосекундных импульсов излу-
излучения в режиме самосинхронизации мод C95).
§ 25. Полупроводниковые лазеры с оптическим и электронным
возбуждением 397
Особенности оптической накачки C97). Порог генерации с учетом насыщения
поглощения возбуждающего света [768] D02). Мощность и к.п.д. генерации D05).
Просветление пассивных областей пластинчатых лазеров [769] D07). Экситонный
механизм генерации излучения D10). Возбуждение генерации пучком быстрых
электронов D14).
Литература .
Предметный указатель
419
455