Текст
LIGHT SCATTERING
BY SMALL PARTICLES
H. С van de Hulst
New York. John Wiley & Sons, Inc.
London. Chapman & Hall, Ltd.
1957
Г. ван де Хюлст
РАССЕЯНИЕ СВЕТА
МАЛЫМИ ЧАСТИЦАМИ
Перевод с английского
Т. В. Водопьяновой
Под редакцией
В. В. Соболева
ИЗДАТЕЛЬСТВО ИНОСТРАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Москва 1961
АННОТАЦИЯ
В книге видного голландского астрофизика Г. ван де Хюлста
излагается теория рассеяния света малыми частицами с примене-
применениями теории к физике, астрономии, химии и метеорологии.
В первой части книги рассмотрены свойства частиц, знание кото-
которых необходимо для описания оптических характеристик состоящей
из них среды. Вторая часть посвящена теоретическому рассмотре-
рассмотрению различных задач рассеяния света. В третьей части рассмотрены
практические приложения теории. Здесь химик, метеоролог, астро-
астроном и физик найдут ценные практические рекомендации по примене-
применению изложенных в книге методов.
Книга предназначена для научных работников, аспирантов и
студентов старших курсов университетов. Многочисленные графики
и таблицы делают книгу полезной как справочиик.
Редакция астрономии и геофизики
ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ
Книга известного голландского астрофизика Г. ван де Хюл-
Хюлста «Рассеяние света малыми частицами» предназначена для
довольно широкого круга читателей. Вопросы, рассматривае-
рассматриваемые в этой книге, представляют интерес для физиков и астроно-
астрономов, химиков и метеорологов.
Представители указанных наук, пользующиеся в своих ис-
исследованиях результатами теории рассеяния света малыми час-
частицами, сталкиваются с одной существенной трудностью. В раз-
различных монографиях, затрагивающих вопросы рассеяния света,
обычно говорится о них слишком поверхностно, так что не воз-
возникает ясного представления о том, какой физический процесс
описывается той или иной формулой, которая к тому же зачас-
зачастую дается в «готовом» виде. Попытка обратиться к оригиналь-
оригинальным работам по теории рассеяния света тоже редко бывает ус-
успешной, так как чтение этих работ требует значительной мате-
математической подготовки.
Книга ван де Хюлста имеет совсем другой характер. Говоря
его собственными словами, автор «подходит к предмету не
с точки зрения математика, требующего строгости и математи-
математической ясности, а, скорее, с точки зрения физика-практика,
пытающегося составить себе четкую картину каждого эффекта».
Это резко отличает книгу ван де Хюлста от многих других руко-
руководств по дифракции света, делая ее доступной весьма широ-
широкому кругу научных работников.
Достоинством изложения является также стремление автора
Довести решение различных задач до численных результатов.
Многочисленные графики и таблицы делают книгу полезной и
просто как справочник.
Значительное место в книге ван де Хюлста занимает изложе-
изложение результатов, полученных самим автором. В книге приведены
ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ
новые численные расчеты, рассмотрены некоторые специальные
случаи теории, выяснены границы применимости приближенных
методов. Поэтому книга представляет ценность и для теорети-
теоретиков, занимающихся вопросами рассеяния излучения.
Книга снабжена довольно подробной, хотя и далеко не пол-
полной библиографией. Особенно досадно, что автор почти не
знает работ советских ученых. В частности, ему осталась неиз-
неизвестной вышедшая десять лет назад монография К- С. Шиф-
рина «Рассеяние света в мутной среде», целиком посвященная
изложению вопросов, которые рассматриваются в настоящей
книге. Некоторые результаты, найденные впервые в упомянутой
монографии, были впоследствии заново получены ваи де Хюл-
стом.
При редактировании русского перевода книги ван де Хюлста
мною сделан ряд примечаний, частью поясняющих текст, а ча-
частью обращающих внимание читателя па некоторые важные ис-
исследования, не упомянутые автором. В приведенные автором
списки литературы включено небольшое число обзоров и моно-
монографий советских ученых (они отмечены звездочкой).
Большую помощь при редактировании оказали мне В. В. Ива-
Иванов и И. Н. Минин. В переводе книги приняла участие
В. С. Малкова. За это выражаю им искреннюю благодарность.
В. В. Соболев
ПРЕДИСЛОВИЕ
• Рассеяние электромагнитных волн однородным шаром при-
принадлежит к числу проблем, решение которых известно. Впервые
я встретился с этой проблемой, когда мне для астрофизического
исследования понадобились некоторые числовые данные и кри-
кривые. Вскоре мне пришлось убедиться в том, что переход от фор-
формул, содержащих решение, к надежным числам и кривым не так
прост. Последующие беседы и переписка с исследователями,
особенно с работающими в области химии, показали, что и
в других областях науки встречаются с теми же затруднениями.
Исследования, которые легли в основу этой книги, были на-
начаты в 1945 г. с целью собрать воедино данные, содержащиеся
в литературе, а также заполнить пробелы там, где это требова-
требовалось. К первоначальной теме было добавлено несколько родст-
родственных проблем, в частности рассеяние цилиндрами.
Для большей ясности изложения проблемы математической
физики, касающиеся рассеивающих свойств отдельных частиц
(часть II), были отделены от проблем, возникающих в специаль-
специальных областях их использования (часть III). Свойства частиц,
знание которых необходимо для описания оптических характе-
характеристик состоящей из них среды, рассматриваются отдельно
в общем виде (часть I).
Почти все главы содержат новые формулы или числовые ре-
результаты. Они отмечаются в ссылках на литературу в конце
каждой главы. С годами списки литературы постепенно увели-
увеличивались; вероятно, они довольно полны, но систематического
изучения библиографии не делалось.
Хотя книга носит математический характер, однако требо-
требования математической строгости не определяют стиль изложе-
изложения.
Аргументация, основанная на физической интуиции, исполь-
использована везде, где она способствует уяснению предмета лучше,
8 ПРЕДИСЛОВИЕ
чем математические доказательства. Простые результаты, воз-
возникающие при ряде специальных допущений, нередко получа-
получаются обоими путями. Учитывая пожелания своих коллег, я не
уклонялся от некоторой непоследовательности в выборе уровня
изложения. Например, глава 17, близкая по своему уровню
к настоящей научной статье, содержит меньше объяснений эле-
элементарных подробностей, чем некоторые предыдущие главы, ко-
которые могут служить пособием для научных работников без
специальной математической подготовки.
Не имея возможности выразить личную признательность
многочисленным друзьям и коллегам за помощь, оказанную мне
в процессе работы над книгой, я хочу поблагодарить их как за
предоставленную информацию, так и за стимулирующие во-
вопросы.
Г. ван де Хюлст
Лейден, Нидерланды
Март, 1957
ЧАСТЬ I
Основы теории рассеяния
1. ВВЕДЕНИЕ
1.1. Рассеяние, поглощение, ослабление
Эта книга посвящена рассеянию света. Вряд ли когда-ни-
когда-нибудь свет наблюдается непосредственно от источника. В боль-
большинстве случаев свет, который мы видим, попадает в наш глаз
окольным путем. Глядя на дерево или на дом, мы видим диф-
фузно отраженный солнечный свет. Глядя на облако или на
небо, мы видим рассеянный солнечный свет- Даже электриче-
электрическая лампа не посылает нам свет непосредственно от светя-
светящейся нити — часто мы получаем только свет, рассеянный ее
матовой стеклянной колбой. Каждый, занимающийся изучением
света или его применений в промышленных целях, встречается
с проблемой рассеяния.
Рассеяние часто сопровождается поглощением. Лист дерева
выглядит зеленым потому, что он рассеивает зеленый свет эф-
эффективнее, чем красный. Падающий на лист красный свет по-
поглощается; это значит, что энергия превращается в некоторую
другую форму (какую именно — не имеет сейчас значения) и
перестает существовать как красный свет. Поглощение преоб-
преобладает в таких веществах, как уголь и черная сажа; оно почти
отсутствует (в видимой области спектра) в облаках.
Как рассеяние, так и поглощение изымают энергию из про-
пронизывающего среду светового пучка, и пучок затухает. Это за-
затухание, которое называется ослаблением или экстинкцией, об-
обнаруживается, когда мы смотрим прямо на источник света.
Солнце, например, бледнее и краснее при заходе, чем в полдень.
Это указывает на ослабление солнечных лучей на их длинном
пути сквозь воздух; оно велико для всех длин волн, но больше
в синей части спектра, нежели в красной. По одному этому на-
наблюдению нельзя судить о том, что именно в основном ответст-
ответственно за ослабление — рассеяние или поглощение. Но, рассмат*
ривая сбоку слой воздуха, через который светит Солнце, мы ви-
видим, что синий свет действительно рассеивается значительно
сильнее. Измерения показывают, что весь свет, изымаемый из
первоначального пучка, преобразуется в рассеянный свет. Сле-
Следовательно, в этом случае именно рассеяние, а не поглощение
обусловливает ослабление.
12 I. ВВЕДЕНИЕ
Иногда употребляется иная терминология (однако она не
рекомендуется). Термин «поглощение» употребляется тогда
в смысле ослабления, как оно определено выше1. Действитель-
Действительное же поглощение называется чистым поглощением или
истинным поглощением. В этой книге повсюду будет употреб-
употребляться терминология, введенная выше, так что
Ослабление = Рассеяние +Поглощение.
1.2. Налагаемые ограничения
В этой книге рассматриваются только некоторые стороны
явления рассеяния.
Первое ограничение состоит в предположении, что рассеян-
рассеянный свет всегда имеет ту же частоту (т. е. ту же длину волны),
что и рассеиваемый свет2. Явления, подобные эффекту Рамана,
или вообще процессы, включающие какие-либо квантовые пере-
переходы, исключаются.
1.21. Рассеяние независимыми частицами
Второе, наиболее важное ограничение состоит в том, что
рассматриваются независимые частицы. Суть дела состоит при-
приблизительно в следующем: предметом изучения в этой книге
является рассеяние четко ограниченными отдельными части-
частицами, такими, какие встречаются в туманах, тогда как рассея-
рассеяние диффузной средой, подобной, например, раствору высоко-
высокомолекулярного полимера, в книге не рассматривается.
Это различие можно уточнить. Если свет проходит через со-
совершенно однородную среду, он не рассеивается. Только неод-
неоднородности вызывают рассеяние. В действительности всякая ма-
материальная среда имеет неоднородности, поскольку она состоит
из молекул, каждая из которых действует как рассеивающий
центр. Однако эффективность рассеяния зависит от взаимного
расположения этих молекул. В идеальном кристалле при темпе-
температурах, близких к абсолютному нулю, расположение молекул
становится регулярным; в результате интерференции волн, рас-
рассеянных каждой из молекул, происходит только изменение ско-
скорости распространения света в кристалле, но рассеяния света
не возникает. С другой стороны, статистические флуктуации
взаимного расположения молекул в газе или в жидкости ведут
1 Например, в термине «межзвездное поглощение».
2 Такое рассеяние может быть названо^ когерентным. Однако этот термин
часто употребляется в ином смысле: говорят, что ансамбль частиц рассеивает
некогерентно, если положения отдельных частиц подвержены достаточно силь-
сильным вариациям (разд. 1.21).
1.2. НАЛАГАЕМЫЕ ОГРАНИЧЕНИЯ 13
к появлению рассеяния, порой весьма сильного. В этих приме-
примерах, будут ли молекулы расположены регулярно или нет, конеч-
конечный результат является коллективным эффектом рассеяния све-
света всеми молекулами. Поэтому теория рассеяния должна
подробно исследовать фазовые соотношения между волнами,
рассеиваемыми соседними молекулами. Любая из проблем,
в которой главная трудность состоит в точном описании взаимо-
взаимодействия между частицами, называется проблемой рассеяния
зависимыми частицами и не рассматривается в этой книге1.
Часто, однако, неоднородности являются инородными те-
телами, взвешенными в среде. Наглядными примерами являются
капли воды и пылинки в атмосферном воздухе или пузырьки
воздуха в воде и в молочном стекле. Если такие частицы доста-
достаточно далеки друг от друга, рассеяние одной частицей можно
изучать безотносительно к присутствию других. Это явление
будет называться рассеянием независимыми частицами; только
оно и является предметом изучения в этой книге.
Можно отметить, что волны, рассеиваемые в одном и том же
направлении различными частицами, облучаемыми одним и тем
же световым пучком, все же связаны некоторыми фазовыми
соотношениями и могут интерферировать. То обстоятельство,
что длина волны сохраняется при рассеянии неизменной, озна-
означает, что рассеянные волны оказываются или в фазе и усили-
усиливают друг друга, или в противофазе и гасят одна другую, или,
наконец, будут в каком-нибудь промежуточном фазовом соотно-
соотношении. Предположение о том, что рассеивают независимые ча-
частицы, означает, что систематическое соотношение между этими
фазами отсутствует. Незначительное перемещение одной
частицы или небольшое изменение угла рассеяния может пол-
полностью изменить фазовые сдвиги. В результате оказывается, что
для всех практических целей интенсивности света, рассеянного
различными частицами, должны складываться без учета фазы.
Создается впечатление, что рассеяние различными частицами
является некогерентным, хотя, строго говоря, это неверно2.
Исключение должно быть сделано для углов рассеяния, практи-
практически равных нулю. В этих направлениях нельзя наблюдать рас-
рассеяние в обычном смысле (см. гл. 4).
Как велико должно быть расстояние между частицами, чтобы
рассеяние являлось рассеянием независимыми частицами? Пред-
1 См. литературу в конце этой главы. Литература приведена повсюду
в конце каждой главы.
2 Точнее, при рассеянии на независимых частицах волны, рассеянные раз-
различными частицами, строго когерентны с облучающей эти частицы волной, но
ие когерентны между собой. Только в этом смысле и применяется термин «не-
«независимые частицы». — Прим. ред.
14 1. ВВЕДЕНИЕ
верительные оценки показали, что взаимное расстояние, в три
раза превышающее радиус, является достаточным условием не-
независимости 1. Это может не являться общим правилом, но более
подробное обсуждение выходит за рамки этой книги. В большин-
большинстве практических задач частицы разделены значительно боль-
большими расстояниями. Даже самый плотный туман, состоящий из
капелек диаметром 1 мм, сквозь который свет может проникать
только на 10 м, содержит примерно 1 капельку в 1 см3; это озна-
означает, что взаимные расстояния раз в двадцать больше радиуса
капель. То же самое справедливо для многих коллоидных раство-
растворов.
1.22. Однократное рассеяние
Третье ограничение состоит в пренебрежении влиянием мно-
многократного рассеяния. При практических экспериментах обычно
имеют дело с облаками и растворами, образованными множе-
множеством одинаковых частиц. Очевидно, что для тонкого и разре-
разреженного облака, содержащего М рассеивающих частиц, интен-
интенсивность рассеяния облаком в М раз больше интенсивности рас-
рассеяния отдельной частицей, и энергия, изымаемая облаком из
падающего на него пучка (ослабление), также в М раз больше,
чем для одной частицы. Эта простая пропорциональность числу
частиц сохраняется лишь в том случае, если падающее на каж-
каждую частицу излучение по существу совпадает с первоначаль-
первоначальным облучающим пучком.
Каждая частица одновременно подвергается облучению све-
светом, рассеянным другими частицами. Вместе с тем первоначаль-
первоначальный пучок может испытывать ослабление в результате действия
других частиц. Если эти эффекты являются сильными, то мы го-
говорим о многократном рассеянии, и простой пропорциональности
не существует. Примером такого случая может служить белое
облако на небе. Такое облако подобно плотному туману: его
капельки можно рассматривать как независимые рассеивающие
центры. Однако полная интенсивность рассеянного облаком
света не пропорциональна числу содержащихся в облаке капе-
капелек, так как не каждая капелька освещается в полной мере пря-
прямым солнечным светом. Капли внутри облака могут совсем не
получать прямого солнечного света, а толькй диффузный свет,
рассеянный другими каплями. Большая часть выходящего из
облака света испытала последовательные рассеяния двумя или
1 Это справедливо только в том случае, если расстояние между частицами
одновременно заметно превышает длину световой волны. — Прим.. ред.
1.2. НАЛАГАЕМЫЕ ОГРАНИЧЕНИЯ 15
большим числом капелек. Было оценено (для очень толстого
облака), что только около 10% выходящего из облака света
испытало лишь однократное рассеяние.
Многократное рассеяние не представляет собой новой физи-
физической проблемы, так как предположение о независимости рас-
рассеивающих частиц, означающее, что каждую капельку можно
считать находящейся в свободном пространстве и облучаемой
светом отдаленного источника, остается справедливым незави-
независимо от того, является ли этим источником Солнце или источ-
источник— другая капелька. Тем не менее нахождение интенсивности
рассеянного света внутри и вне облака является чрезвычайно
трудной математической задачей. Эта задача изучалась во мно-
многих направлениях. Обычно она называется проблемой переноса
излучения. Общеизвестными примерами применений этой теории
могут служить задачи о переносе излучения в звездных атмо-
атмосферах и о рассеянии нейтронов в атомном реакторе. Случаи, ко-
которые до сих пор изучались, сравнительно просты как в отноше-
отношении условий однократного рассеяния (изотропное рассеяние,
релеевское рассеяние), так и в отношении характеристик самого
рассеивающего облака (слой бесконечной или конечной толщины
с плоскими границами, шар). За подробностями мы отсылаем
читателя к литературе.
Простая и убедительная проверка отсутствия многократного
рассеяния состоит в удвоении концентрации частиц в исследуе-
исследуемой среде. Если интенсивность рассеянного света также удвоится,
то основную роль играет только однократное рассеяние.
-Другим критерием может служить ослабление. Интенсивность
проходящего сквозь изучаемую среду светового пучка умень-
уменьшается благодаря ослаблению до е~хот ее первоначального
значения. Здесь т означает оптическую толщину среды вдоль на-
направления пучка. Если т<^0,1, то преобладает однократное рас-
рассеяние; для 0,1 <^т<^0,3 может быть необходима поправка за рас-
рассеяние второго порядка. Для еще больших значений оптической
толщины приобретает значение весь комплекс эффектов много-
многократного рассеяния. Он может и не помешать определению рас-
рассеивающих свойств отдельной частицы, но, конечно, делает
интерпретацию значительно более сложной. Если для изучае-
изучаемой среды оптическая толщина не является малой во всех
направлениях, то неизменно требуется соблюдать предосторож-
предосторожности.
Заканчивая этот раздел, можно отметить, что в этой книге
рассматривается только самый простой случай, встречающийся
в теории многих частиц. Это дает возможность более тщательно
изучить теорию рассеяния одной частицей.
16 I. ВВЕДЕНИЕ
1.3. Исторический обзор
Правильному пониманию интересующего нас предмета значи-
значительно поможет обзор истории исследований в этой области,
даже если он будет вынужденно кратким и сможет осветить их
только в общих чертах.
Природа света служила предметом гипотез и исследований
почти для всех выдающихся ученых XVII в. Закон Снелля,
кольца Ньютона, принцип Гюйгенса и принцип Ферма относятся
к этой эпохе. Общее представление сводилось к тому, что свет —
это нечто в эфире, подобное звуку в воздухе. Однако явление
поляризации в рамках таких представлений, казалось, вело
к неодолимым трудностям, так что до конца столетия решения
проблемы о природе света не было найдено. Немногое добавил
в этом направлении и XVIII в.
Решающие шаги были сделаны в начале XIX столетия Юнгом
и Френелем. Юнг изучал явление дифракции и показал, что
картина максимумов и минимумов в затененном пространстве
позади волоска обусловлена интерференцией волн, огибающих
его с обеих сторон. Природа этих волн оставалась для Юнга не-
неясной. Френель показал, что эти волны порождаются невозму-
невозмущенным фронтом волны по обе стороны от препятствия. Давая
такое объяснение, Френель основывался на старом принципе
Гюйгенса, согласно которому каждая точка волнового фронта
может рассматриваться как источник вторичных волн. Сочетание
этого принципа с принципом интерференции Юнга дало естест-
естественное объяснение правилу Гюйгенса о том, что огибающая вто-
вторичных волн образует новый волновой фронт. Если часть перво-
первоначального фронта волны преграждается препятствием, система
вторичных волн является неполной, что и ведет к возникнове-
возникновению явлений дифракции. Полное согласие, полученное между
теорией и опытами во многих трудных проблемах, не оставило
сомнений в правильности объяснения, данного Френелем. Оно
будет служить основой подхода ко многим проблемам, рас-
рассматриваемым в этой книге.
Окончательное объяснение поляризации было дано Юнгом,
высказавшим мысль о том, что в эфире могут существовать по-
поперечные волны подобно тому, как это имеет место в твердых
телах. По счастливой случайности в тот же период времени Ма-
люсом было сделано открытие, что при отражении света проис-
происходит его поляризация, а Брюстер измерил и«тенсивности поля-
поляризованных компонентов при различных углах падения. Исходя
из идеи Юнга о поперечных волнах, Френель смог вывести эти
интенсивности теоретически из простого граничного условия, что
тангенциальный компонент амплитуды колебания должен быть
непрерывен.
1.3. ИСТОРИЧЕСКИЙ ОБЗОР 17
Одним из выдающихся достижений конца XIX в. явилась
электромагнитная теория света Максвелла, связавшая между со-
собой электрические и оптические явления. Соответственно новая
форма граничных условий требует непрерывности тангенциаль-
тангенциальной составляющей электрического поля. Однако это уточнение
не всегда существенно для нашей проблемы. Многие задачи рас-
рассеяния, включая поляризационные эффекты, можно сформули-
сформулировать как в терминологии Френеля, так и на современном языке
посредством электрического и магнитного полей.
XIX столетие, в особенности его вторая половина, было эпо-
эпохой замечательных успехов математической физики. Пуассон,
Коши, Грин, Кирхгоф и особенно Стоке и Релей — вот очень не-
неполный перечень имен, если его можно считать достаточным.
Однако, за исключением обсуждения Стоксом вопроса о природе
естественного и частично поляризованного света как суперпози-
суперпозиции многих поляризованных волн (разд. 5.13 этой книги), основ-
основные проблемы оптики не были решены. Поиски направлялись
скорее на умение математически формулировать сложные явле-
явления, чем на проникновение в физическую сущность простых яв-
явлений. Были найдены координатные системы, в которых волновое
уравнение допускает разделение переменных. Толкование Фре-
Френелем принципа Гюйгенса было математически обосновано
Кирхгофом. Бесселевы и родственные им функции стали могу-
могущественным оружием. Проблемой, типичной для той эпохи, было
рассеяние света однородным шаром, что является одной из глав-
главных тем этой книги. Она оказалась одной из весьма трудных
проблем, и, хотя многие частные случаи были рассмотрены ра-
ранее, ее полное решение было сформулировано Ми только
в 1908 г.'
Этот период окончился с появлением квантовой механики.
Дебай был, возможно, последним, изучавшим проблемы рассея-
рассеяния такого типа с преданностью делу, проницательностью и ма-
математическим мастерством, отличавшими ученых XIX в. Вскоре
после этого большинство первоклассных физиков-теоретиков
стало посвящать свое время исследованиям по квантовой меха-
механике или в других актуальных областях. Проблемы рассеяния,
рассматриваемые в этой книге, стали предметом изучения для
лиц, занимающихся прикладными науками и заинтересованных
в числовых результатах, или пишущих диссертации, одним из
которых был автор. Происходило постепенное накопление фор-
формул и числовых результатов, но важных идей за этот период до-
добавилось немного.
1 В действительности полное решение было получено на 9 лет ранее Ля-
вом (А. Е. Love, Proc. Lond. Math. Soc, 30, 308, 1899). — Прим. ред.
2 Заказ № 374
18 1. ВВЕДЕНИЕ
Конечным этапом этой короткой и чрезвычайно упрощенной
истории вопроса является довольно любопытное возвращение
к тематике предыдущих лет. Новый интерес к этой проблеме выз-
вызван рядом весьма различных причин, начиная с появления вы-
вычислительных машин и кончая такими, как изобретение радио-
радиолокатора и развитие квантовой механики. Новые исследования
в астрономии и в химии также побуждают к проведению более
обширных расчетов, чем выполненные до сих пор. Важно отчет-
отчетливо видеть роль квантовой механики в этом процессе. Аналогия
между движущимися электронами и волнами света или звука
оказала значительное влияние на ранний период развития кван-
квантовой механики. Так, было очевидно, что рассеяние электрона
атомом должно иметь много общего с рассеянием света или звука
твердой частицей. К концу 30-х годов квантовая механика раз-
развилась столь далеко, что появилась необходимость в точных
расчетах сечений рассеяния. К этому времени были созданы но-
новые методы, которые частично были видоизменением методов,
разработанных в оптике за тридцать или более лет до того, ча-
частично же носили новый характер. Это побуждало к новым ис-
исследованиям проблем рассеяния в оптике. Метод фазовых
сдвигов и вариационные методы были новыми и нашли теперь
применение также и в оптических задачах.
1.4. Схема книги
Книга посвящена одной теме: однократному рассеянию света
независимыми частицами. Это значит, что рассматриваются
только такие экспериментальные условия, при которых частицы
находятся настолько далеко друг от друга, что каждая из них
подвергается воздействию параллельного пучка лучей (т. е. из-
излучению от удаленного источника), и имеется достаточное про-
пространство для формирования волн, рассеянных каждой частицей,
без возмущения их вследствие присутствия других частиц. Книга
состоит из трех частей, в которых излагаются три различные
стороны предмета.
Часть I. В этой части приводятся общие теоремы для ча-
частиц, которые могут иметь произвольные размеры, форму и
строение. Показывается, что рассеяние на любых частицах ко-
конечных размеров полностью характеризуется четырьмя ампли-
амплитудными функциями Si, S2, S3 и S4, которые являются комплекс-
комплексными функциями направлений падения излучения и рассеяния.
Знания этих функций достаточно для вычисления интенсив-
интенсивности и поляризации рассеянного света, полных сечений рассея-
рассеяния, поглощения и ослабления частицы, а такжедля вычисления
лучевого давления, действующего на частицу. Для случая одно-
1.4. СХЕМА КНИГИ 19
родных шаров нужны только две такие функции Si@) и 5г@),
где 0 — угол рассеяния.
Глава 2 содержит все, что может быть выражено в терминах
интенсивностей, без введения фаз и комплексных чисел. В главе 3
вводятся фазы и комплексные амплитуды. В главе 4 содержатся
основные теоремы, полученные для отдельной частицы, а та.кже
для среды, состоящей из независимых частиц; раздел 4.42 — один
из тех, на которые чаще всего даются ссылки, так как он содер-
содержит формулы для однородных шаров. В главе 5 суммируются
упрощения, возникающие, если в распределении частиц произ-
произвольного вида по ориентациям имеются элементы симметрии.
Ча сть II. Это главная часть книги. В ней проводится опре-
определение амплитудных функций для многих видов частиц. Эти
главы содержат много перекрестных ссылок, так как различные
частные случаи часто имеют общий предельный случай. Конеч-
Конечной целью в каждом случае является определение амплитудной
функции и сечений. Мы можем грубо выделить три группы глав.
В главах 6—8 рассматриваются частицы, не имеющие спе-
специальной формы. Они очень малы, очень «мягки» 1 и очень ве-
велики.
Главы 9—14 относятся к однородным шарам произвольного
размера. Во всех формулах имеются два параметра: х = 2яаГк
(а — радиус, X — длина волны) и т — показатель преломления.
Проведено строгое решение (Ми), рассмотрены его предельные
формы, и многие числовые результаты представлены в таблицах
и на графиках. Представление о содержании этих глав можно
получить лучше всего из оглавления и из раздела 10.1.
Главы 15—17 посвящаются частицам других правильных
форм, именно длинным круговым цилиндрам, частицам различ-
различных других геометрических форм и большим телам с плавно
меняющейся кривизной.
Часть III. В этой части описаны избранные приложения ко
многим областям химии, физики, метеорологии и астрономии.
В то время как предыдущие части являются достаточно пол-
полными, в этой части имеется в виду дать только типичные при-
примеры практических задач, для которых изложенные ранее теории
имели существенное значение. Некоторые общие черты таких
прикладных задач рассматриваются в главе 18; в главах 19—-21
приводятся примеры из различных областей. Для ученого, не
интересующегося специально математической стороной дела, мо-
может оказаться полезным прежде всего обратиться к главе, по-
посвященной его области, где он найдет ссылки на необходимые
формулы, графики и таблицы из предыдущих разделов.
1 То есть мало отличаются по своим свойствам от окружающей среды. —
Прим. ред.
2*
20 ЛИТЕРАТУРА
ЛИТЕРАТУРА
Обзор коллективных эффектов при рассеянии на полимерах и т. д., ие
излагаемых в этой книге, дай в работах:
Oster G., Chem. Revs., 43, 319 A946).
Zimm В. H., Doty P., Stein R., Theory and Application of Light
Scattering, New York, John Wiley & Sons (готовится к печати).
* Розенберг Г. В., Успехи физ. наук, 69, 57 A959).
«Многократное» рассеяние, также исключенное из поля зрения, рассматрива-
рассматривалось следующими авторами:
Chandrasekhar S., Radiative Transfer, Oxford Univ. Press, 1950
(Русский перевод: Чандрасекар С, Перенос лучистой энергии, ИЛ,
М., 1953.)
Kourganoff V., Basic Methods in Transfer Problems, Oxford, Oxford
Univ. Press, 1952.
van d e H u 1 s t H. C, The Atmospheres of the Earth and Planets,
2nd ed., chap. 3, G. P. Kuiper, ed., Chicago, Univ. of Chicago Press, 1952.
(Русский перевод 1-го издания: ван де Хюлст X., Рассеяние излуче-
излучения в атмосферах Земли и планет, гл. 3 в сб. «Атмосферы Земли
и планет», под ред. Дж. П. Койпера, ИЛ, М., 1951.)
* Соболев В. В., Перенос лучистой энергии в атмосферах звезд и
планет, Гостехиздат, М., 1956.
Прекрасной книгой по истории изучаемого предмета является книга Уит-
текера:
W h i 11 a k e г Е. Т., A History of the Theories of Aether and Electri-
Electricity, 2nd ed., part I, London, Longmans, Green & Co., 1952.
2. СОХРАНЕНИЕ ЭНЕРГИИ И ИМПУЛЬСА
2.1. Диаграмма рассеяния и фазовая функция
В соответствии с ограничениями, сформулированными в гл. I
(разд. 1.2), мы будем рассматривать изолированную частицу
произвольных размеров и формы, освещенную весьма удаленным
источником света. Нас будут интересовать свойства рассеянного
этой частицей света на больших расстояниях от нее. Это соот-
соответствует предположению о том, что частицы достаточно далеко
удалены друг от друга, чтобы могло сформироваться поле рас-
рассеянного излучения (предположение независимости, разд. 1.21).
Наиболее важной характеристикой рассеянной волны яв-
является ее интенсивность. Под интенсивностью / мы будем пони-
понимать поток энергии через единицу площади; в системе CGS еди-
единицей интенсивности служит эрг[см2- сек. В оптике эта величина
называется облученностью. Как падающую, так и рассеянную
волну в любой точке, достаточно удаленной от источника, можно
рассматривать как распространяющуюся в одном определенном
направлении или, точнее, внутри малого телесного угла, содер-
содержащего это направление. Термин «интенсивность», употребляе-
употребляемый в этой книге, относится к полному потоку энергии в этом
телесном угле. При этом волны предполагаются также монохро-
монохроматическими, т. е. соответствующими одной частоте или малому
интервалу частот. Интенсивность относится к полному потоку
энергии в этом интервале. При переходе к другим единицам
(единицы MKS: вт/м2) формулы не меняются, за исключением
того случая, когда / выражено непосредственно через напря-
напряженности электрического и магнитного полей. Исключая этот
случай, а также формулы, дающие лучевое давление, за / можно
принимать освещенность, т. е. световой поток на единицу пло-
площади (единицы: лм[м2=лк).
Ни падающий, ни рассеянный свет не характеризуются пол-
полностью своей интенсивностью; их дополнительные характери-
характеристики суть поляризация и фаза. Фазы не могут измеряться
непосредственно, но они существенны при корректной формули-
формулировке законов рассеяния поляризованного света. Поэтому во вто-
второй, главной части этой книги мы повсюду будем иметь дело
с функциями рассеяния Si@,cp) и 52(Э,ф), которые являются
комплексными величинами и описывают амплитуды и фазы
рассеянных волн. В этой главе мы ограничиваемся только теми
22
2. СОХРАНЕНИЕ ЭНЕРГИИ И ИМПУЛЬСА
соотношениями, которые можно сформулировать в энергетиче-
энергетических терминах (интенсивности) безотносительно к фазам. Фазы
вводятся в гл. 3 и применяются к теории рассеяния в гл. 4 и 5.
На достаточном удалении рассеянная волна приобретает ха-
характер сферической волны, в которой поток энергии направлен
от рассеивающей частицы. На-
Направление рассеяния, т. е. направ-
направление от частицы к рассматривае-
рассматриваемой точке, характеризуется углом
рассеяния Ь, отсчитываемым
от направления распростране-
распространения падающего светового пуч-
пучка, и азимутальным углом ф
(рис. 1).
Пусть /о — интенсивность па-
падающего света, /—интенсивность
рассеянного света в некоторой
точке на большом расстоянии
г от частицы и k — волновое
число, определяемое соотноше-
соотношением k = 2n/K, где А.— длина вол-
волны в окружающей частицу среде.
Так как / должно быть пропорционально /о и г~2, мы можем
написать
! 1
Рис. 1. Определение угла рассея-
рассеяния. На этом и на других рисун-
рисунках падающий свет идет снизу.
F, у)
1 ~
Здесь F(9,ф) является безразмерной функцией направления
(F/k2 имеет размерность площади), но не зависит от г.
Она зависит также от ориентировки частицы по отношению
к падающей волне и от состояния поляризации падающей волны.
Относительные значения / или F можно нанести на поляр-
полярную диаграмму в функции угла 8 для фиксированно^ плоскости
рассеяния, содержащей направление падающего светового
пучка. Эта диаграмма называется диаграммой рассеяния дан-
данной частицы. Если F(Q, ф) разделить на k2Cpac., где ClPac. есть
площадь, определяемая ниже, то получится другая функция на-
направления, называемая фазовой функцией1 или функцией рас-
рассеяния2. Функция рассеяния безразмерна, и ее интеграл по всем
направлениям равен 1.
1 Понятие фазы здесь заимствовано из астрономии (лунные фазы) и не
имеет ничего общего с фазой световой волны.
2 В нашей литературе чаще используется термин «индикатриса рассея-
рассеяния». — Прим. ред.
2.3. СОХРАНЕНИЕ ИМПуЛЬСА. ЛУЧЕВОЕ ДАВЛЕНИЕ 23
2.2. Сохранение энергии
Пусть полная энергия, рассеиваемая по всем направлениям,
будет равна энергии, падающей на площадь Срас.. С помощью
этого определения и предыдущего уравнения имеем
Рас. = -й- F(Q,v)d<o,
где d@=sin BdQdqs — элемент телесного угла, а интегрирование
производится по всем направлениям. Аналогично энергию, по-
поглощенную внутри частицы, примем равной энергии, падающей
на площадь СПОгл.» а суммарную энергию, изымаемую частицей
из первоначального пучка, положим равной энергии, падающей
на площадь Сосл.. Закон сохранения энергии требует, чтобы
^осл.== (-'рас.~т~ ^-тюгл.*
Величины Сосл., Срас., Спогл. называются соответственно сече-
сечениями ослабления, рассеяния и поглощения'. Они имеют раз-
размерность площади. Вообще говоря, они являются функциями
ориентации частицы и состояния поляризации падающего света.
Для непоглощающих частиц Сосл. = Срас,. Это сечение иногда
будет обозначаться через С без индекса.
2.3. Сохранение импульса. Лучевое давление
Согласно теории Максвелла, световая волна переносит не
только энергию, но и импульс. Направление импульса совпадает
с направлением распространения волны, а его величина опреде-
определяется соотношением
т. Энергия
Импульс = f ,
где с — скорость света. Мы будем рассматривать составляю-
составляющую импульса в направлении распространения падающей волны
(которое в дальнейшем будет называться «направлением впе-
вперед»). Импульс, изымаемый из первоначального пучка, пропор-
пропорционален Сосл.- Часть этого импульса, пропорциональная СПОГл.»
уже не возвращается частицей, но некоторая доля части им-
импульса, которая пропорциональна Срзс., компенсируется направ-
направленным вперед компонентом импульса рассеянного частицей
1 Или соответственно коэффициентами ослабления, рассеяния и поглоще-
поглощения. — Прим. перев.
24 2- СОХРАНЕНИЕ ЭНЕРГИИ И ИМПУЛЬСА
света. Этот компонент для волны, рассеянной в произвольном
направлении, пропорционален /cosS. Поэтому направленный
вперед компонент импульса, переносимого рассеянным излуче-
излучением, пропорционален
COS e Cpac. =,-^-JF(9)9) COS О da,.
Это уравнение определяет средневзвешенное значение cos О
с функцией рассеяния в качестве весовой функции. Примеры
рассматриваются в разд. 10.62 и 12.5. Отсюда следует, что часть
направленного вперед компонента импульса, теряемого падаю-
падающим пучком и не возмещаемого направленным вперед компо-
компонентом импульса рассеянной волны, пропорциональна величине
Для непоглощающих частиц
Сдавя.= A—cosO) С.
Этот импульс передается рассеивающей частице. Поэтому рас-
рассеивающая частица испытывает некоторую силу в направлении
распространения падающей волны. Это хорошо известное явле-
явление лучевого давления'. Испытываемая частицей сила равна
силе, с которой падающий свет действует на площадь Сдавл.
абсолютно черной поверхности. Ее величина равна
Сила=/0Сдавл./с.
Вообще говоря, частица будет подвергаться также действию
составляющей силы, перпендикулярной направленно распро-
распространения падающего света. Ее величину можно найти аналогич-
аналогичным образом. Однако в облаке случайно ориентированных ча-
частиц влияние этой составляющей исчезает. Кроме того, на час-
частицу действует момент вращения. Для его расчета нужно знать
не только поле рассеянной волны вдали от частицы, но и выс-
высшие члены его разложения по г~1.
1 При изложении вопроса о сохранении энергии и импульса автор ие де-
делает различия между системой координат, в которой покоится частица (лабо-
(лабораторная система), и системой координат, в которой равен нулю суммарный
импульс системы, состоящей из частицы и падающего кванта (система центра
инерции). Правильное изложение этого вопроса читатель может найти, на-
например, в книге Л. Шифф, Квантовая механика, ИЛ, М., 1957, гл. V.—
Прим. ред.
2.5. ДИАГРАММА РАССЕЯНИЯ ДЛЯ ПОЛЯРИЗОВАННОГО СВЕТА 25
2.4. Факторы эффективности
Большинство частиц имеет очевидное геометрическое попе-
поперечное сечение G. Например, для1 шара радиуса a G = na2. Без-
Безразмерные постоянные
Уосл. 1==С<осл./">
У рас. = ^рас./^»
Упогл.==
Удавл. —
назовем соответственно факторами эффективности ослабления,
рассеяния, поглощения и лучевого давления. В общем случае
они зависят от ориентации частицы и от состояния поляризации
падающего света. Для сферических частиц они не зависят ни от
того, ни от другого. Во всех случаях имеем
Уосл.= У рас. Т Упогл •
2.5. Диаграмма рассеяния для поляризованного света
Исследование зависимости F(B, ф) от формы и размера рас-
рассеивающей частицы является главной темой этой книги, и ему
будут посвящены гл. 6—17. Зависимость F(B,q>) от состояния
поляризации падающего света будет рассматриваться при этом
лишь постольку, поскольку она может быть сформулирована
безотносительно к фазовым эффектам. Вывод можно найти
в разд. 4.41, 5.13 и 5.14.
Исчерпывающие соотношения, указывающие, каким образом
связаны интенсивности и состояния поляризации рассеянного и
падающего световых пучков, содержатся в матричном уравне-
уравнении
{/, Q, U, K} = isF5-F-{/o,Qo,?/o,Vro}-
Здесь /, Q, U и V — параметры Стокса для рассеянного света,
смысл-которых разъяснен в разд. 5.13, а /0, Qo, Но и Vo — соот-
соответствующие параметры для падающего светового пучка. Мат-
Матрица F состоит из 16 компонентов, каждый из которых является
вещественной функцией направлений падения и рассеяния. Пер-
Первое из четырех уравнений, содержащихся в этом матричном
соотношении, имеет вид
1 = ~Ш ( ^н'о + Fl2Q0 -r- FUUQ -f- FUVO}.
26 2. СОХРАНЕНИЕ ЭНЕРГИИ И ИМПУЛЬСА
Сравнивая это уравнение с уравнением разд. 2.1, находим
Это соотношение показывает характер зависимости F от состоя-
состояния поляризации падающего света, которое определяется вели-
величинами Qo//o. t/o/^o и Vo//o- Если падающий свет естественный,
последние величины равны нулю, так что
В самом общем случае матрица F несимметрична. Для от-
отдельной частицы число независимых постоянных сводится к 7,
так как между 16 элементами матрицы существует 9 соотноше-
соотношений (разд. 5.14). Для облака, состоящего из множества частиц,
число независимых постоянных равно 16. Однако в наиболее
интересных практически случаях (разд. 5.2 и 5.3) соотношения
симметрии уменьшают число независимых постоянных. Напри-
Например, матрица рассеяния для однородной сферической частицы
характеризуется тремя независимыми постоянными: ц, г2 и б,
которые являются функциями угла 0 (разд. 4.42 и 9.31). В этом
случае 10 из 16 постоянных равны нулю, а остальные 6 являются
квадратичными функциями комплексных амплитудных функций
5]@) и S2@). Окончательные формулы можно найти в разд. 4.42.
2.6. Рассеяние и ослабление облаком, содержащим множество
частиц
Пусть облако содержит множество рассеивающих частиц и
является оптически тонким, так что интенсивность падающего
света /0 для каждой частицы одна и та же (см. разд. 1.22).
Тогда для каждой частицы, обозначенной индексом г, можно
написать уравнение
Т 1 Г~* /л \ 7
Частицы не обязательно должны быть одинаковыми. Суммиро-
Суммированием- мы находим, что формула того же вида, что и первое
уравнение разд. 2.1, справедлива для облака в целом и что
Здесь суммирование основано па предположении, что фазовыми
эффектами можно пренебречь (разд. 1.22).
Эту формулу можно применить к элементу объема V протя-
протяженной среды, содержащей в единице объема N одинаковых
частиц, каждая из которых характеризуется одной и той же
2.6. РАССЕЯНИЕ И ОСЛАБЛЕНИЕ ОБЛАКОМ 27
функцией FF,qp). Число чистиц в этом элементе равно тогда
NV, и интенсивность рассеянного света на расстоянии г дается
выражением
/ = ^¦/=¦(8,?)/о-
Если площадь проекции рассматриваемого элемента объема
на это направление равна А, то рассеянное излучение будет на-
наблюдаться внутри телесного угла Air2, так что средняя яркость
(лучистость) рассеивающего элемента будет
р NVF F, у) /0
В фотометрических терминах /0 есть освещенность, В — све-
светимость; они измеряются в лм/стер или св/м2.
В эти результаты можно ввести много очевидных изменений.
Среди них упомянем одно: если имеется поляризация, то фор-
формула суммирования остается в силе для каждого из 16 элемен-
элементов Fik отдельно.
Аналогичная формула сложения справедлива для сечений
Сосл., Срас. и Спогл.- Несколько неясный физический смысл этого
довольно очевидного предположения разъясняется в разд. 4.22 и
4.3.
Обычным примером использования этих результатов может
служить ослабление света в облаке сферических частиц одина-
одинакового строения, но различного размера. Здесь фактор эффек-
эффективности <2осл.(я) и сечение ослабления Сосл.(а) =яа2<2ОСл.(а) яв-
являются функциями радиуса а. Пусть в 1 см3 имеется N(a)da
со
П
частиц с радиусами от а до a + da, так что \ N(a)da = N дает
полное число частиц в 1 еж3. Коэффициент ослабления среды,
который равен полному сечению на 1 см3 (разд. 4.3), будет
00
= J na2Q(a)N(a)da.
о
Часто бывает желательно переменную интегрирования а заме-
заменить переменной х = 2па/Х.
3. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН В ВАКУУМЕ
В предыдущих главах мы имели дело только с интенсивно-
стями. В дальнейшем мы будем характеризовать волну не только
интенсивностью, но и фазой. Последняя играет важную роль
в гл. 4 (общая формула ослабления) и в гл. 5 (общее определе-
определение поляризованного света).
Как предисловие к этим и дальнейшим главам мы рассмот-
рассмотрим наиболее простую задачу: фазовые соотношения в плоской
волне, распространяющейся в вакууме. Эта задача была впервые
успешно рассмотрена Френелем.
3.1. Принцип Гюйгенса в формулировке Френеля
3.11. Комплексные числа
Комплексные амплитуды являются необходимым аппаратом
для математического описания волновых явлений. Кратко напом-
напомним их определение и простейшие свойства. Амплитуду а и фазу
а периодической волны объединяют в комплексную амплитуду:
А = ает = a cos a + ш sin a.
Здесь i— мнимая единица}/ — 1. Комплексное число можно пред-
представить графически в виде точки на плоскости (комплексная
плоскость), если отложить действительную часть (a cos а) по го-
горизонтали вдоль «вещественной» оси, а мнимую часть (a sin а)-—
по вертикали вдоль «мнимой» оси. Множители —1 и i можно все-
всегда записать в экспоненциальной форме:
— 1 = elK, i = еЫ12.
Физическая величина, представленная комплексным выраже-
выражением, содержащим множитель А, предполагается всегда чис-
численно равной вещественной части этого выражения. Интенсив-
Интенсивность волны пропорциональна квадрату амплитуды и может быть
записана различными способами:
| .Д |2 = Л • Л * = (a cos a + ia sin а) (a cos а — ia sin а) = а2.
3.1. ПРИНЦИП ГЮЙГЕНСА В ФОРМУЛИРОВКЕ ФРЕНЕЛЯ
29
Вертикальные черточки обозначают модуль, или абсолютную
величину, а звездочка обозначает комплексно сопряженную ве-
величину (г заменяется на —г, где бы оно ни встречалось, явно
или неявно).
3.12. Вывод формулы Френеля
Пусть источник света находится на бесконечности, так что
мы имеем плоскую волну постоянной интенсивности. Предполо-
Предположим, что волна распространяется в положительном направле-
4' в'
ШИП
Рис. 2. Объяснение прямолинейного
распространения согласно Френелю.
нии z. Далее, пусть t — время, % — длина волны, й = 2яД — вол-
волновое число, с — скорость света, со = kc — круговая частота. Поле
световой волны можно тогда представить комплексным выраже-
выражением !
и = е~Шг+ш .
Здесь и может представлять любую составляющую электри-
электрического или магнитного полей; в начале XIX в., когда свет еще
рассматривался как упругие колебания эфира, эта функция на-
называлась «возмущением».
Поляризованный свет характеризуется двумя такими ампли-
амплитудами. Все рассуждения, проводимые в этой главе, относятся
в равной степени к каждой из этих двух амплитуд в отдельности,
разумеется, лишь в том приближении, в котором они вообще
1 Выбор знака при i произволен. Сделанный в тексте выбор положитель-
положительного i во временном множителе является классическим и соответствует клас-
классической форме комплексного показателя преломления (разд. 14.1). В этой
книге мы сохраним его всюду. В современной литературе стал более общепри-
общепринятым другой выбор знака при L
30 3. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН В ВАКУУМЕ
справедливы. Это означает, что состояние поляризации сохра-
сохраняется. Для простоты теория рассматривается только для одной
амплитуды.
Плоскости г = const являются плоскостями постоянной фазы
и поэтому называются волновыми фронтами. Рис. 2 показывает
два таких волновых фронта (/ и //) на расстоянии / друг от дру-
друга, которое мы полагаем значительно большим длины волны:
Возмущение волнового фронта / можно рассматривать как при-
причину наступающего через 1/с секунд возмущения на фронте //.
Грубо говоря, возмущение в А' вызывается возмущением в А,
возмущение в В'— возмущением в В, что соответствует прямо-
прямолинейному распространению возмущения. Однако это правило
выполняется только приближенно. Например, если весь свет
слева от А заэкранирован, то в А' нет резкого края тени. Оче-
Очевидно, возмущение в А' вызвано до некоторой степени возмуще-
возмущением во всех точках, близких к А. Гюйгенс наглядно пояснил эту
идею, предположив, что все точки / являются центрами вторич-
вторичных сферических волн и что огибающая этих волн определяет
новый фронт волны // (принцип Гюйгенса). Таким путем он смог
объяснить законы отражения и преломления, но вопрос о том,
в какой степени среда, окружающая А, участвует в формирова-
формировании возмущения в А', оставался открытым. Поэтому не могло
быть создано количественной теории.
Весьма правдоподобное решение этой проблемы нашел Фре-
Френель; высокая точность этого решения доказывалась тем, что
были успешно решены многие задачи дифракции. Впоследствии
выяснилось, что это решение является приближением строгой
формулы (справедливым всегда при Ы^>\). Френель предполо-
предположил, что вторичные волны от всех точек / будут взаимодейство-
взаимодействовать в А' (или в какой-либо точке вне /) согласно гфинципу ин-
интерференции, только что открытому Юнгом. Это значит, что вы-
вызванные этими волнами возмущения должны складываться (каж-
(каждое с учетом его собственной фазы).
Пусть dS — элемент поверхности плоскости /, лежащий па
расстоянии г от А'. Тогда испускаемая dS сферическая волна
вызывает в А' возмущение
„—Ikr
qdS-—-и
г
Здесь Ui является возмущением в некоторой точке плоскости /,
a q — постоянная, которая будет определена позже. Введя пря-
прямоугольные координаты на плоскости / с началом в А, имеем
dS = dx dy,
3.1. ПРИНЦИП ГЮЙГЕНСА В ФОРМУЛИРОВКЕ ФРЕНЕЛЯ 31
и если мы предположим, что влияние на возмущение в А' оказы-
оказывают только те точки фронта /, для которых
то
В знаменателе выражения для возмущения можно заменить г че-
через /. Таким образом, аналитическое выражение принципа Гюй-
Гюйгенса принимает вид
21
"I"
— CO — 00
ure
Здесь ui оставлено под знаком интеграла, так как в задачах диф-
дифракции tij, вообще говоря, является функцией х и у: например,
там, где свет экранирован, «i = 0; там же, где он не экранирован,
В случае, рассматриваемом в этом разделе, Uj не зависит от
хну. Тогда записанные выше интегралы будут интегралами
типа
— ikx* , —Ы -Ы
е к dxY/
J
(Если пределы не равны оо, то этот интеграл называется инте-
интегралом Френеля). В таком случае принцип Гюйгенса записы-
записывается в виде
Множители /, как и следовало ожидать, сокращаются, поскольку
из первой формулы этого раздела нам известно, что в результате
должно быть
и п = e-^'uj.
Отсюда, наконец, определяется постоянная q:
Окончательным результатом является следующее заключение.
Элемент dS волнового фронта, характеризующегося воз-
возмущением «j, вызывает в точке, находящейся на расстоя-
32 3. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН В ВАКУУМЕ
нии г и лежащей в направлении, не слишком уклоняю-
уклоняющемся от направления распространения волны, возмуще-
возмущение, равное
r\
ure ikrdS.
Этой формулы достаточно для весьма точного решения боль-
большинства задач дифракции. Приведенный здесь вывод очень схо-
сходен с выводом, данным Френелем в 1818 г.
3.13. Количественные примеры
Применения этой формулы настолько хорошо известны,
что мы можем отослать интересующихся подробностями
к учебникам по физической оптике. В этой книге непосредствен-
непосредственные приложения этой формулы рассматриваются, например,
в разд. 8.2 (дифракция на непрозрачных телах) и в разд. 11.3
(дифракция на прозрачных шярах).
В большинстве учебников подчеркивается относительность
вклада различных элементов поверхности dS в окончательный
результат. Например, если, как это показано на рис. 2, ищется
возмущение на расстоянии / от волнового фронта /, то этот вол-
волновой фронт можно разбить на последовательные зоны, для ко-
которых фаза выражения ехр (—ikr) такова, что элементы поверх-
поверхности в таких зонах дают в конечную амплитуду вклады проти-
противоположных знаков. Это—зоны Френеля. Центральные зоны дей-
действуют наиболее эффективно, наружные — менее эффективно,
так как фазы последних меняются настолько быстро, что их сум-
суммарное действие гасится. Действие всех точек запаздывает по
фазе относительно А, так как ВА'~^>АА'. Среднее запаздывание
фазы равно я/2; оно компенсируется множителем i в формуле
Френеля, приведенной в конце разд. 3.12.
Следует особо подчеркнуть, что эта формула допускает очень
простые количественные применения. Количественное определе-
определение эффективной площади, используемое для точных расчетов
интенсивности, формулируется следующим образом.
Амплитуда на расстоянии / за фронтом плоской волны
такова, как если бы площадь 1% волнового фронта давала
вклад с одной и той же фазой, а оставшейся части волно-
волнового фронта не существовало бы вообще.
Применение этого правила можно иллюстрировать несколь-
несколькими примерами.
1. Анаберационная линза помещается в параллель-
параллельный пучок света. Во сколько раз интенсивность в фокусе превос-
превосходит интенсивность в невозмущенном пучке? Ответ: свет по-
попадает в фокус с одной и той же фазой со всей площади линзы
3.2. СХОДЯЩИЕСЯ И РАСХОДЯЩИЕСЯ ПУЧКИ ЛУЧЕЙ 33
S, находящейся на расстоянии /, где/—-фокусное .расстояние.
Если бы линза отсутствовала, свет поступал бы эффективно с
площадки X/, расположенной на том же расстоянии. Таким обра-
образом, амплитуда увеличится в S/Xf раз, интенсивность — в S2IX2/2
раз. Эта формула является точной для линзы любой формы
и может быть получена значительно более сложным путем из
теории дифракции Фраунгофера вблизи фокуса.
2. Прямолинейное распространение. Световой пу-
пучок длины / может существовать только в том случае, если его
ширина велика по сравнению с ~\f~kl . Поскольку / должно
быть много больше X, чтобы предшествующая теория имела
вообще какой-то смысл, то необходимо, чтобы ширина пучка
была заметно больше А,, а для случая длинных пучков—-еще
значительно больше. Более точно: пучок лучей ширины порядка
рХ может существовать независимо на длине порядка р2Х.
Отсюда совершенно определенно следует, что в частице размера
порядка X или меньше проследить лучи по законам геометриче-
геометрической оптики невозможно. Этот метод допустим лишь для частиц
значительно больших размеров; приложения его см. в разд. 8.1
и 13.24.
3.2. Сходящиеся и расходящиеся пучки лучей
3.21. Амплитуда вне фокальной линии
В предыдущих разделах рассмотрение проводилось для плос-
плоской волны. Автору не известно, рассматривал ли сам Френель
сходящиеся и расходящиеся пучки лучей. Распространить его
рассуждения на этот случай настолько просто и в то же время
настолько важно, что это будет сделано здесь же. Применение
полученных результатов дано в разд. 12.22.
Небольшой участок искривленного волнового фронта харак-
характеризуют обычно двумя главными радиусами кривизны. Нор-
Нормали к волновому фронту сходятся на расстоянии /, от волно-
волнового фронта в одной главной плоскости и на расстоянии/2 в дру-
другой, перпендикулярной первой. Пучок света, приходящий от этого
волнового фронта, является астигматичным с фокальными ли-
линиями, лежащими на расстояниях f х и /2от фронта. Рис. 3, а ил-
иллюстрирует пример сходящегося пучка с положительными /t и /2.
Если одна или обе фокальные линии находятся позади фронта, то
соответствующие значения /х и (или) /2отрицательны.
Рис. 3, б показывает, что происходит в одной из главных плос-
плоскостей. F обозначает фокус, так что FA = FB=f. Используя прин-
принцип Гюйгенса согласно Френелю, мы определяем возмущение
в точке Р, где АР = 1. Отрезок РВ длиннее, чем РА, если Р нахо-
3 Заказ № 374
34
3. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН В ВАКУУМЕ
дится перед F, и короче РА, если Р лежит позади фокуса. В обо-
обоих случаях имеем
РВ-РЛ-Ц-1--+).
Формула остается в силе также для расходящегося пучка лучей
(отрицательное/). Интегрирование с учетом принципа Гюйгенса
a 6
Рис. 3. Геометрия астигматического
пучка, используемая для объяснения
фазового соотношении.
всегда приводит к интегралу того же типа, что и в разд. 3.12.
Единственная разница по сравнению с плоскими волнами состоит
в замене множителя 1// в показателе на {\\1—1//). Так как это
верно для двух главных плоскостей, то в результате имеем
Эта простая формула дает все, что нам нужно как в отноше-
отношении интенсивности, так и в отношении фазы в Р. Можно сделать
следующие замечания.
1. Интенсивность в Р равна
1 1
1
/1 /2
3.2. СХОДЯЩИЕСЯ И РАСХОДЯЩИЕСЯ ПУЧКИ ЛУЧЕЙ 35
Рассматривая геометрию рис. 3, а, мы находим, что этот ре-
результат согласуется с простым правилом: интенсивность обратно
пропорциональна поперечному сечению пучка, полученному на
основании законов геометрической оптики (прямолинейное рас-
распространение). То же правило непосредственно следует из за-
закона сохранения энергии в пучке.
2. Фазовые множители равны 1 или е в зависимости от
того, будет ли знак разности /—/ положительным или отрица-
отрицательным. Если мы переходим фокальную линию, то этот знак ме-
меняется с положительного на отрицательный. В результате полу-
получаем такое правило: при прохождении через фокальную линию
фаза в астигматическом пучке лучей увеличивается на я/2.
После прохождении через две фокальные линии фаза увели-
увеличивается на я, что означает простое изменение знака возмуще-
возмущения или амплитуды. Это остается в силе также для пучка лучей
с одним фокусом (где две фокальные линии можно считать совпа-
совпадающими). «Опережение» по фазе на я/2 означает кажущееся
укорочение отрезка пути на Я,/4. Этот сдвиг фазы имеет сущест-
существенное значение, например, в теории радуги и в других примерах,
когда функция рассеяния вычисляется на основании геометриче-
геометрической оптики (разд. 12.22 и 13.2).
3. Для случая плоской волны было найдено, что площадь
фронта при А, дающая эффективный вклад в возмущение в Р,
равна XI. В случае астигматического пучка она становится рав-
равной
1
/2
Оба множителя дают размеры эффективной площади, измерен-
измеренные в главных плоскостях. Это можно выразить также в виде
правила: эффективная площадь в XI раз больше квадратного
корня из приращения интенсивности от фронта до точки Р.
Если ищется возмущение на очень большом расстоянии /
в пучке, мы находим, что интенсивность уменьшается как 1/Р,
а эффективная площадь начального фронта, определяющая эту
интенсивность, равна ХУ fxf2 и не зависит от I.
3.22. Амплитуда на фокальной линии или вблизи нее
Только что выведенные формулы не верны ни для фокуса, ни
Для фокальной линии, ни вблизи них. Дело в том, что большая
концентрация света должна быть обусловлена большой эффек-
эффективной площадью, которая может оказаться слишком большой
36 3. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН В ВАКУУМЕ
для того, чтобы предыдущие приближения оставались в силе.
Точно в фокусе или на фокальной линии, согласно формулам,
площадь оказывается бесконечной. Протяженность эффектив-
эффективной площади становится бесконечной в одном направлении, если
/ =fi или/=/2;она становится бесконечной во всех направле-
направлениях, если нам нужно вычислить интенсивность в фокусе, где
I — f\ — ft-
Очевидно, бесконечная эффективная площадь нереальна,
так что наши формулы должны быть изменены с учетом реаль-
реальных свойств волнового фронта. Бесконечность устраняется уче-
учетом одного из следующих двух обстоятельств:
1. Если пучок имеет конечное поперечное сечение, опреде-
определяемое диафрагмой, размер эффективной площади, которая стре-
стремится сделаться бесконечной (т. е. один или оба множителя вы-
выражения, данного выше, в п. 3), должен быть заменен реальной
шириной пучка.
Это справедливо для классических явлений дифракции (Фра-
унгофера), например для дифракции в хорошем телескопе. Ин-
Интенсивность точно в фокусе в таком случае будет
, , (ПлощадьJ
JF~JA' (Х/J "" »
как это следует из пропорциональности интенсивности квадрату
эффективной площади (см. пример 1 в разд. 3.1.3).
2. Если пучок имеет аберрации, предположение о совершенно
круглом поперечном сечении волнового фронта неверно, и более
точное интегрирование по формуле Френеля дает конечный ре-
результат. В этом случае при интегрировании по волновому фронту
следует удерживать члены более высоких порядков, чем х2 и у2.
Точный результат зависит от природы этих членов более высоких
порядков. Этот вопрос имеет большое значение в современных
методах расчета линз. В рамках этой книги он является основ-
основным ключом к теории явлений радуги и глории, которые можно
охарактеризовать математически как «фокальные линии на бес-
бесконечности» (разд. 13.2 и 13.3).
3.3. Строгая теория дифракции
Изложение принципа Гюйгенса в этой главе проведено в соот-
соответствии с первой удачной формулировкой этого принципа Фре-
Френелем и непосредственно следует интуитивным рассуждениям
Гюйгенса.
Формулировка, данная Кирхгофом примерно сорок лет спу-
спустя после Френеля, менее наглядна, но строже. Она положила
начало целому ряду исследований в области математической фи-
3.3. СТРОГАЯ ТЕОРИЯ ДИФРАКЦИИ 37
зики, содержание которых несколько уклоняется от основной
темы этой книги. Читатели, знакомые с дифракционными зада-
задачами такого типа, могут испытывать некоторые затруднения
в установлении их связи с содержанием настоящей книги. Чтобы
помочь им в этом отношении, мы дадим в этом разделе краткий
обзор.
Различие между всеми этими задачами проще всего выяснить,
рассмотрев, в каких смыслах употребляется термин «дифрак-
«дифракция».
/. Дифракция — малое отклонение от прямолинейного распро-
распространения. Первоначальный смысл термина «дифракция» озна-
означает небольшое отклонение от прямолинейного распространения
или, говоря несколько шире, от направления луча, распростра-
распространяющегося согласно законам геометрической оптики. Такие от-
отклонения происходят, если на пути пучка света поместить какое-
нибудь препятствие. Они малы только тогда, когда размеры пре-
препятствия велики по сравнению с длиной волны. В этих случаях
применима теория Френеля, обсуждавшаяся в предыдущих раз-
разделах. Строго эта теория справедлива лишь асимптотически для
случая очень больших размеров и очень малых углов. Дифрак-
Дифракция в этом смысле включает как дифракционные картины Фре-
Френеля (не вблизи фокуса), так и дифракционные картины Фраун-
гофера (вблизи фокуса или на бесконечности в параллельном
пучке лучей).
Слово «дифракция» в этом смысле встречается во многих
общепринятых физических терминах, таких, как «дифракционная
картина телескопа» и «дифракционная теория аберраций». В та-
таком смысле оно будет употребляться также и в этой книге,
а именно как закон рассеяния, который выполняется асимпто-
асимптотически для очень больших частиц и для весьма малых углов.
Для дифракции в этом смысле выполняются следующие правила:
а) Законы дифракции одинаковы для скалярных (например,
звуковых) и для световых волн.
б) Для света дифракционные эффекты не зависят от поляри-
поляризации и состояние поляризации падающего света сохраняется.
в) Дифракция зависит не от материала (непрозрачного)
тела, а только от формы его геометрической проекции в пучке
света. Более подробно это изложено в разд. 8.2. Обобщение на
случай прозрачных частиц, для которых справедливы правила
(а) и (б), дано в разд. 11.3.
2. Дифракция — волновое движение при наличии препятствия
заданного размера, формы и строения. Стало довольно обычным
употреблять слово «дифракция» для наиболее широкого обобще-
обобщения описанного выше явления дифракции. Все проблемы, обсуж-
обсуждению которых посвящена большая часть этой книги, являются
38 3. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН В ВАКУУМЕ
проблемами дифракции в таком общем смысле этого слова. Они
требуют полного решения уравнений Максвелла с заданными
граничными условиями. Такое решение можно выполнить только
для тел простых геометрических форм (см. разд. 16.1). Когда тер-
термин «дифракция» встречается в этом смысле, обычно его можно
заменить термином «рассеяние». Автор большей частью пред-
предпочитал поступать таким образом, например в заглавии этой
книги. Это позволило сохранить в книге термин «дифракция»
в более ограниченном смысле п. 1 (см. выше, стр. 37), где он
относится к асимптотическим формулам для частиц' очень боль-
больших размеров и для очень малых углов рассеяния.
3. Дифракционная формула — интегральное соотношение,
справедливое для функции, удовлетворяющей волновому урав-
уравнению. Формула, которая может заменить формулу Френеля для
произвольных углов, была дана Гельмгольцем и Кирхгофом.
Эта формула (один частный случай см. в разд. 17.23) выражает
поле в точке Р через поля и их производные на замкнутой по-
поверхности S, окружающей Р.
Эта хорошо известная формула обладает следующими свой-
свойствами:
а) Первоначально она была выведена только1 для скалярных
волн. Для электромагнитных волн следует дать новую, до неко-
некоторой степени сходную с ней формулировку. При этом мы дол-
должны точно учесть поляризацию волн, так как в формулах Е и Н
не равноправны. Теория дифракции, основанная на этой фор-
формуле, дает разные результаты для различной поляризации.
б) Эта формула не является очевидным выражением интуи-
интуитивного принципа Гюйгенса.
в) Хотя эта формула является строгой, она не дает точного
решения обобщенных задач дифракции, упомянутых выше, в п. 2,
так как в таких задачах поля неизвестны во всем пространстве и
мы не можем найти поверхности S, на которой они известны.
Кирхгоф применял эту формулу, помещая S вдоль непрозрачного
экрана и его отверстий и затем на очень большом расстоянии
вокруг Р. Он предполагал, что поле на темной стороне непроз-
непрозрачных экранов равно нулю, а в отверстиях — полю падающей
волны. Это верно только асимптотически для случая очень ма-
малых длин волн, а тогда решение Кирхгофа сводится к решению
Френеля.
г) Формула Кирхгофа разрешает один важный запутанный
вопрос. Ни Гюйгенс, ни Френель не были в состоянии показать,
почему построение волнового фронта нельзя выполнить точно
таким же образом в обратном направлении, т. е. в направлении,
противоположном действительному распространению. Если вы-
выполнить переход от формулы Кирхгофа к формуле, рассмотрен-
3.3. СТРОГАЯ ТЕОРИЯ ДИФРАКЦИИ 39
ной в разд. 3.12, причем члены, содержащие поля на S, взять
отдельно от членов, содержащих производную поля, то получим
равные величины, умноженные соответственно на 1 и на cost)
Это означает, что суммарный множитель для направлений, близ-
близких к направлению вперед, будет близок к 2, а для направле-
направлений, близких к направлению назад, будет близок к нулю.
4. Дифракция — рассеяние плоской частицей. Здесь имеется
в виду рассеяние на плоских экранах с отверстиями, на полу-
полуплоскостях и т. д. Иногда теория, посвященная такого рода за-
задачам о дифракции, называется плоской теорией дифракции.
Исторически интерес к плоским экранам был вызван условиями
эксперимента и тем обстоятельством, что, согласно теории диф-
дифракции в смысле п. 1, толстые и тонкие тела с одинаковой формы
проекциями на пучок света дают одинаковую дифракционную
картину. Поэтому естественно было выбрать для рассмотрения
простейший случай бесконечно тонкого экрана.
Вскоре стало ясно, что понятия непрозрачности и малой тол-
толщины совместимы только в случае полностью отражающих эк-
экранов. В теории Максвелла (ср. разд. 14.1) не существует чер-
черного и тонкого экрана. Таким образом, была сформулирована за-
задача, являющаяся частным случаем проблемы рассеяния, опре-
определенной в п. 2. Это — задача о решении уравнений Максвелла
со специальными граничными условиями на поверхностях
экрана. Когда эти условия были сформулированы корректно,
стала разрешима задача для полос и отверстий произвольного
размера. Условие полного отражения формально можно заме-
заменить заданием поверхностного импеданса.
Литература, посвященная этим задачам, очень обширна по
следующим причинам: во-первых, они имеют важное значение
в радиотехнике; во-вторых, «краевые» условия оказались не так
просты, как можно было ожидать, и, кроме того, часто получали
неверные решения; в-третьих, они оказались благодатным полем
для применения вариационного метода. Этот метод основывается
на возможности составления интегральных уравнений таким об-
образом, что пробное решение ограниченной точности дает другое
решение более высокого порядка точности. Несколько числовых
примеров приводятся в разд. 16.22 и 16.23.
Условие бесконечно малой толщины экрана удовлетворяется
с достаточной точностью для сантиметровых волн, экранирован-
экранированных металлическими пластинками (толщиной много меньше К).
Оно совсем не удовлетворяется в случае световых волн, экрани-
экранированных металлическими пластинками, например в щели спек-
спектрографа. Здесь возникает совсем иная проблема, так как «край»
щели следует считать телом конечной толщины с радиусом кри-
кривизны, много большим К. Эта задача рассматривается в гл. 17.
40 ЛИТЕРАТУРА
ЛИТЕРАТУРА
И в этом случае превосходный исторический обзор дан г? книге Уитте-
кера (см. литературу в конце гл. 1). Зоны Френеля относятся к элементар-
элементарной теории физической оптики (см. любой хороший учебник). Сдвиг фазы
на я при прохождении через фокус (разд. 3.21) был открыт и изучен Гуи
в 1890 г. Дифракционная картина вблизи фокуса (разд. 3.22) впервые изу-
изучалась Райхе и Дебаем:
R e i с h e F., Ann. Physik, 29, 65, 401 A909);
D e b у е P., Ann. Physik, 30, 755 A909).
и в качестве «дифракционной теории аберрации» приобрела большое значе-
значение в теории расчета линз; см., например,
Picht J., Optische Abbildung, Braunschweig, Vieweg, 1931.
* Тудоровский А. И., Теория оптических приборов, том I, Изд-но
АН СССР, М.-Л., 1948.
Более современная трактовка той же проблемы в общем виде дана в ра-
работе
К а у I., Keller J. В., J. Appl. Phys., 25, 876 A964).
С теорией Кирхгофа можно познакомиться по большинству учебников; ее
обобщение на случай электромагнитных волн было дано Коттлером и дру-
другими. Превосходными обзорами этого математически трудного предмета
(а также и теории скалярной дифракции) являются работы:
Baker В. В., С о р s о п Е. Т., The Mathematical Theory of Huygens'
Principle, Oxford, Clarendon Press, 2nd ed., 1950.
Bouwkamp G. J., Reps. Progr. Phys., 17, 35 A954).
4. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН В СРЕДЕ,
СОДЕРЖАЩЕЙ РАССЕИВАЮЩИЕ ЧАСТИЦЫ
Эта глава содержит общие соотношения, в которые входит
фаза рассеянной волны.
Определение комплексной амплитудной функции S@, ф),
описывающей амплитуду и фазу рассеянной скалярной волны,
дано в разд. 4.1. Амплитудная функция в направлении вперед
(9=0) есть S@). Ее значение определяет ослабление, что по-
показано двумя путями: в разд. 4.2 для случая отдельной частицы
и в разд. 4.3 для среды в целом. В последнем случае получена
также фазовая скорость в среде.
Рассуждения, приведенные в этих разделах, справедливы для
световых волн в частном (но довольно часто встречающемся)
случае, когда 5@) не зависит от поляризации. Общая задача
для поляризованного света, где появляются четыре амплитудные
функции, сформулирована в разд. 4.4. При этом предполагается,
что взаимные расстояния между частицами много больше Я,.
Связь с теорией молекулярной оптики, где это условие не выпол-
выполняется, выясняется в разд. 4.5.
4.1. Амплитудная функция отдельной частицы
Пусть выбранная частица произвольного вида и строения
освещается плоской скалярной волной бесконечной протяженно-
протяженности, идущей из отрицательного направления г. Поместим начало
координат где-нибудь внутри частицы. «Возмущение» падающего
света можно записать в виде
Исторически сложившийся термин «возмущение» употреблен
здесь для того, чтобы подчеркнуть далеко идущую аналогию
между всеми видами волн. Результаты разд. 4.2 и 4.3 справед-
справедливы для любого рода скалярных волн (звуковые волны, элект-
электронные волны и т. д.), а также для электромагнитных волн (све-
(световые волны) при условии, что определяемые в разд. 4.41 функ-
функции S]@) и S2@) совпадают, а функции 5з@) и 54@) равны 0.
Эти условия удовлетворяются для однородных сферических ча-
частиц. При 'этих условиях результаты разд. 4.2 и 4.3 верны для
света с произвольным состоянием поляризации.
42 4. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН В СРЕДЕ
Рассеянная волна на большом расстоянии является сфериче-
сферической расходящейся волной с амплитудой, обратно пропорцио-
пропорциональной расстоянию г. Поэтому мы можем записать ее в виде
-Ikr+iiot
tt SF)
дав тем самым определение амплитудной функции рассеиваю-
рассеивающей частицы 5@, ф). Множитель i добавляется в знаменателе
для удобства в дальнейшем, а множитель k — для того, чтобы
сделать S(Q, у) безразмерной. Следует обратить внимание на
выбор знака при i, произведенный в разд. 3.12. Объединяя два
предыдущих выражения, имеем
.- ikr + ikz
Амплитудная функция является, вообще говоря, комплексной и
может быть записана также в виде
S (9, Ф) == s • е'%
где s положительно, а а вещественно и обе они являются функ-
функциями 0 и ф. Фаза а зависит от выбора начала координат и ог
выбора знака, что существенно при наличии поляризации. Значе-
Значения а — я/2<0 означают запаздывание фазы рассеянной волны.
Амплитуда S не зависит от этих условий. Интенсивность про-
пропорциональна квадрату амплитуды. Как прямое следствие этого
имеем
/ _ S2 (9, ?) г
¦"рас. fgfl °"
"рас.
Любая точка в пространстве пересекается волнами двух си-
систем: падающей и рассеянной. Рассматривая лишь математиче-
математическую точку пространства, потоки энергии этих двух волн раз-
разделить нельзя, но анализируя свет, падающий на поверхность Ог
(рис. 4), мы можем различить каждую из этих волн, распростра-
распространяющихся в своем собственном направлении и со своей собствен-
собственной интенсивностью. Физически это означает, что нужно пользо-
пользоваться телескопом с объективом О', имеющим достаточную раз-
разрешающую силу, чтобы разделить изображения первичного ис-
источника (падающий свет) и вторичного источника (рассеиваю-
(рассеивающая частица). Это разделение можно осуществить даже при
очень малых 0, если использовать большой объектив О', распо-
женный на очень большом расстоянии (О' пропорционально У~~г).
Таким образом, функция S@, ф) имеет физический смысл для
всех направлений.
4.2. ОСНОВНАЯ ФОРМУЛА ОСЛАБЛЕНИЯ
43
I у
Рис. 4. Идеализированный экспери-
эксперимент для измерения ослабления одной
частицей.
4.2. Основная формула ослабления
4.21. Отдельная частица
Для направления вперед (9=0) то же самое определение
остается в силе из соображений непрерывности: на падающую
волну накладывается сферическая волна, амплитуда и фаза ко-
которой характеризуются амплитудной функцией
S @ ) = s @)е**Щ .
Фаза а@) не зависит от выбора начала координат и знака
при i для поляризованного света, если этот выбор один и тот же
для падающих и для рассеянных волн. Эксперимент, с помощью
которого могла бы наблюдаться эта сферическая волна, невыпол-
невыполним, так как в телескопе с объективом О (рис. 4) первичный и
вторичный источники видны в одном и том же направлении; их
изображения совпадают. Мы вычислим полную интенсивность
этого комбинированного изображения, получающегося в боль-
большом телескопе на очень большом расстоянии.
Положим, что плоскость объектива соответствует 2=const.
Пусть (х, у, z) —точка в этой плоскости в пределах контура
44 4. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН В СРЕДЕ
объектива О. Для выбранной точки х и у много меньше г, так
что
Складывая амплитуды и0 и и падающей и рассеянной волн,
получаем
Большое расстояние означает, что второй член в скобках много
меньше 1. Интенсивность света, падающего на любую точку плос-
плоскости объектива О, находится возведением в квадрат модуля
этого выражения
Интегрируя это выражение по всей площади объектива О, мы
найдем полную интенсивность комбинированного изображения
О —С,
где О и С — интегралы от первого и второго слагаемых. Объясне-
Объяснение этого результата состоит в том, что полное количество света,
попадающего в телескоп, уменьшается из-за наличия частицы.
Величина ослабления такова, как если бы площадь С объектива
была прикрыта. Это — явление ослабления, описанное в гл. 2. По-
Поэтому, согласно введенному ранее обозначению, в дальнейшем
вместо С мы будем писать С0Сл-
Двойной интеграл по dxdy, с помощью которого опреде-
определяется Сосл, содержит два интеграла Френеля, из которых каж-
каждый дает множитель ]/2тг,г//& , если пределы становятся бес-
бесконечными (см. разд. 3.12). В результате получаем
Сосл. = ^-Re E@)}.
Это — основная формула ослабления. Предыдущий вывод по-
показывает, что в действительности процесс ослабления состоит не
в экранировании волны, а в более тонком явлении интерферен-
интерференции. Рассеянная волна изымает часть энергии из первоначаль-
первоначальной волны путем интерференции. «Активная площадь» интегра-
интегралов имеет порядок zX. Телескоп будет регистрировать полное ос-
ослабление, если только его диаметр значительно больше У zk.
С увеличением z линейный размер активной площади увеличи-
увеличивается какУ^г. Итак, волна, рассеянная вперед, имеет все более
и более слабое влияние, поскольку ее энергия распределяется по
4.3. ОСЛАБЛЕНИЕ И ДИСПЕРСИЯ В СРЕДЕ 45
кругу все большего радиуса, так что общая изымаемая энергия
остается постоянной и равной энергии, падающей на площадь
Ьосл-
4.22. Облако, состоящее из множества частиц
Рассмотрим облако, состоящее из множества независимо рас-
рассеивающих не обязательно одинаковых частиц, каждая из ко-
которых характеризуется своей амплитудной функцией S,-@, ф).
Индекс i обозначает отдельную частицу. Точную амплитудную
функцию для всего облака можно было бы вывести, отнеся сна-
сначала все амплитудные функции к общему началу координат, а за-
затем сложив их. Преобразование к общему началу повлекло бы за
собой большие фазовые сдвиги, зависящие от точных положений
частиц. Эти сдвиги имеют случайную природу и быстро меняются
даже в течение одного эксперимента. Таким образом, интерфе-
интерференционные явления, которые характеризуются возможностью
складывать амплитуды, практически не наблюдаются. Следова-
Следовательно, должны складываться интенсивности, а не амплитуды.
Это выражается формулой
/(в, ф)=2л(в, Ф).
Интегрируя по всем направлениям, находим как следствие этого
г —Ус
°рас. —^j"j, рас-
Для 8== 0 положение иное. Перемещение начала координат не
меняет фазы, и интерференция имеет место независимо от точ-
точного положения частиц. Повторяя аргументацию предыдущего
раздела, находим для облака частиц
и как следствие этого
г —Ус
I
Таким образом, найдено, что по совершенно различным причинам
сечения рассеяния и ослабления отдельных частиц должны скла-
складываться для получения соответствующих сечений для всего
облака. Простым вычитанием находим, что то же правило сохра-
сохраняется и для сечений поглощения.
4.3. Ослабление и дисперсия в среде, содержащей
рассеивающие частицы
Рассмотрим экспериментальную установку, изображенную на
рис. 5. Плоскоп^араллельный слой, содержащий множество оди-
одинаковых и одинаково ориентированных рассеивающих частиц,
46
4. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН В СРЕДЕ
каждая из которых описывается амплитудной функцией 5@, ср),
освещается снизу. Пусть слой имеет толщину / и пусть на еди-
единицу объема приходится N частиц. Поле в Р обусловлено рас-
рассеянием на всех частицах слоя, но волна в Р, направленная вперед,
подвергается когерентному влиянию только со стороны частиц
в «активном» объеме слоя, который совпадает с несколькими
центральными зонами Френеля, видимыми из точки Р. При до-
Рис. 5. Ослабление и дисперсия в
плоскопараллельном слое, содержа-
содержащем много частно.
статочно большом PO = z вклад дают только малые углы. Полная
амплитуда в Р тогда будет
ikr
где суммирование распространяется на все частицы в «актив-
«активном» объеме. Если имеется бесконечное множество таких частиц,
знак суммирования можно заменить на
N dx dy dz.
Непосредственное интегрирование дает
Этот результат формально можно представить как влияние ком-
комплексного показателя преломления среды в целом. Если рассмат-
рассматриваемый слой заменить слоем из однородного вещества с ком-
4.3. ОСЛАБЛЕНИЕ И ДИСПЕРСИЯ В СРЕДЕ 47
плексным показателем преломления т, близким к 1, то слой из-
изменит амплитуду волны на множитель
e-m&-» = \ — ikl(m— 1).
Следовательно, формальный показатель преломления среды
имеет значение
т = 1 — iS @) • 2nNk~3.
/->
Если мы выпишем отдельно вещественную и мнимую части т со-
согласно формуле
т = п — in'
(разд. 14.1), то найдем, что эта важная формула содержит два
результата. Вещественная часть
п = 1 + 2л#/г-31т { 5 @)}
определяет запаздывание (или опережение) фазы волны, про-
прошедшей через среду. Это есть не что иное, как явление диспер-
дисперсии: фазовая скорость волны, проходящей сквозь среду, равна
с/п. Мнимая часть
п' = 2nNk~3 Re { S @)}
определяет уменьшение интенсивности. Вообще коэффициент по-
поглощения в среде с комплексным показателем преломления есть
y=2kn' (разд. 14.1). Здесь то же формальное соотношение дает
полный коэффициент ослабления
Y = inNk-2 Re { 5 @)} .
Учитывая результат разд. 4.21, эту формулу можно записать
также в виде
Итак, чтобы получить у, нужно просуммировать сечения ослабле-
ослабления всех частиц в единице объема.
Мы не будем пытаться дать полный анализ предположений,
при которых этот результат верен. Одно из них состоит в том, что
т близко к 1 (ср. разд. 4.5). Кажется очевидным, что при опре-
определенных условиях точку Р можно взять внутри слоя. Последо-
Последовательное влияние многих слоев сведется тогда к влиянию од-
ного толстого слоя с показателем преломления т. Следовательно,
для любого значения / влияние слоя на величину амплитуды вы-
выражается множителем
e-ikl (m-l^
Следует осторожнее подходить к использованию этого пока-
показателя преломления. Формальное «поглощение» не является по-
48 4. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН В СРЕДЕ
глощением в собственном смысле слова, а представляет собой
рассеяние по всем направлениям плюс, возможно, поглощение
внутри рассеивающих частиц. «Отраженный» от слоя свет нельзя
получить из формулы, содержащей этот показатель преломления;
его следует вычислять при помощи функции рассеяния для 8=л.
4.4. Ослабление и дисперсия поляризованного света
4.41. Общий случай
В предыдущих разделах этой главы для простоты были опу-
опущены поляризационные эффекты. Две основные формулы —• ос-
основная формула ослабления (разд. 4.2) и комплексная формула
дисперсии (разд. 4.3) — в том виде, как они даны, правильны:
а) для любого типа скалярных волн, б) для световых волн при
некоторых простых условиях; см. разд. 4.1 и ниже. Общие вы-
выражения, включающие все поляризационные эффекты, полу-
получаются следующим образом.
Как будет показано в следующей главе, рассеяние в любом
направлении списывается четырьмя амплитудными функциями
Su 52, 53 и 54; все они являются функциями 8 и ф и образуют
матрицу S(8, ф) из четырех элементов. Таким образом, опре-
определение S(Q, ф) в разд. 4.1 должно быть заменено выражением
Подробности обозначений ' см. в гл. 5. Соответствующая матрица
интенсивностей F имеет 16 элементов; она была упомянута
в разд. 2.5.
Полагая 8=0, мы получим четыре комплексных числа Si@),
5г@), 53@) и 54@), образующих матрицу S@) из четырех
элементов. Рассуждения, приведенные в разд. 4.3, можно теперь
легко обобщить и таким образом получить, что электрическое
поле в точке Р над слоем будет
ЕЛ _ 11 - qS2 @) , - qS3 @)
,Er)~\ -gS4@), l-^
rneq=2nNlk-2.
Этим уравнением описывается ряд эффектов: а) различие фа-
фазовых скоростей плоско поляризованного све,та с различными
плоскостями колебаний (двойное лучепреломление); б) различие
1 Мы следуем обозначениям Чандрасекара, у которого / и г означают по-
последние буквы слов parallel и perpendicular.
4.4. ОСЛАБЛЕНИЕ И ДИСПЕРСИЯ ПОЛЯРИЗОВАННОГО СВЕТА 49
фазовых скоростей света, поляризованного по кругу, с различ-
различным направлением вращения (вращение плоскости поляриза-
поляризации); в) различное ослабление плоско поляризованного света
с различными плоскостями колебаний (линейный дихроизм);
г) различие ослаблений света, поляризованного по кругу с раз-
различным направлением вращения (круговой дихроизм).
Перечисленные эффекты можно далее выразить введением
матрицы из четырех элементов m вместо скаляра /и, использо-
использованного в разд. 4.3, но практически это не требуется. Один част-
частный случай, который упоминается почти повсюду в этой книге,
приведен в разд. 4.42.
Если множество частиц различного рода или различной
ориентации образуют облако или среду, то применимы правила
разд. 4.22. Рассеивающие свойства в произвольном направлении
можно найти, образуя суммы каждого из компонентов матрицы
F в отдельности. Таким же образом ослабление и дисперсия на-
находятся суммированием компонентов матрицы S@). Этими пра-
правилами в их наиболее общем виде придется пользоваться редко;
важные применения они находят для сред, где частицы ориенти-
ориентированы хаотически или имеют определенные свойства симмет-
симметрии; см. разд. 5.2—5.4.
4.42. Сферические частицы
Формулы для сферических частиц, которыми пользуются
IB 95% всех практических приложений, очень просты, если даже
допускается произвольная поляризация падающего света.
Сферические частицы имеют S3 = S4 = 0. Таким образом, для
любого направления имеются две комплексные амплитудные
функции. Этими функциями являются 5i(8) и 52@); они зави-
зависят только от угла рассеяния 0. Матричное уравнение для произ-
произвольного направления 0=7^0 дает теперь два соотношения:
i = S2 F)
— Et 0 ,
где индексы г я I относятся к случаям, когда электрический век-
вектор соответственно перпендикулярен и параллелен плоскости рас-
рассеяния.
Возводя в квадрат модули этих выражений, получаем для ин-
интенсивности света, поляризованного в плоскости рассеяния,
т h г
4 Заказ № 374
50 *• РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН В СРЕДЕ
я перпендикулярно ей
i _ h i .
1 — kW °'
для естественного падающего света
/_ 1 h + h г
1 — 2 ~Ш~'а'
где
^ = 15,FI» и /а = |5
Эти три уравнения являются частными случаями соотноше-
соотношений, связывающих параметры Стокса для падающего и рас-
рассеянного света. В общем виде они таковы (см. разд. 5.14):
U0 >
где б определяется соотношениями
5, (в)-УХ-в*", Si(B)=V^-eht, 8 = 0,-0,.
Для рассеяния вперед F = 0) случай сферических частиц допу-
допускает дополнительное упрощение в силу того, что 5]@)=52@).
Мы обозначим эту величину через 5@) без индекса. Тогда вто-
второе матричное уравнение разд. 4.41 приводится к скалярному
уравнению
E=[\~gS@))E0,
которое выполняется для любой составляющей электрического
(или магнитного) поля в отдельности и тождественно уравне-
уравнению, выведенному для скалярных волн (разд. 4.3).
Мы приходим к выводу, что все результаты предшествующих
разделов справедливы без ограничений для света с произволь-
произвольным состоянием поляризации при условии, что рассеивающие ча-
частицы являются однородными сферическими частицами. Здесь
нет двойного лучепреломления или дихроизма какого-либо рода.
Действие среды на проходящую волну в точности такое же, как
4.5. СВЯЗЬ С ТЕОРИЕЙ МОЛЕКУЛЯРНОЙ ОПТИКИ 51
и действие среды с комплексным показателем преломления
(разд. 4.3)
т=\— i2aNk-3S{0).
Сечение ослабления на одну частицу равно (разд. 4.2)
Деля его на геометрическое поперечное сечение ла2 и вводя обо-
обозначение x = ka, получаем фактор эффективности (разд. 2.4)
4.5. Связь с классической теорией молекулярной оптики
Читатели, знакомые с классической теорией молекулярной
оптики, могут чувствовать себя неудовлетворенными, прочитав
предыдущие разделы. Теория молекулярной оптики объясняет
показатель преломления среды (например, жидкости или газа),
исходя из свойств рассеивающих молекул. Может показаться,
что эта же задача обсуждалась и была решена в разд. 4.3 для
частиц произвольного типа (которые м"огут быть и молекулами).
Досадное обстоятельство состоит в том, что результаты оказы-
оказываются не одни и те же. Формула Лорентц—Лоренца, получен-
полученная в молекулярной оптике, не тождественна общей формуле
для гп, выведенной в разд. 4.3. Однако обе формулы выражают
показатель преломления данной среды как целого (/и) через
характеристики индивидуальных частиц, рассеивающих свет.
Решение этого парадокса заключается в том, что обе фор-
формулы имеют различные области применения. Обсуждение под-
подробностей этого вопроса здесь не представляется возможным,
однако следующие краткие рассуждения помогут установить
фундаментальное различие между теориями, из которых следуют
обе формулы. Для удобства будем считать, что частицы нахо-
находятся в вакууме; N — их число в 1 см3.
1. Формула Лорентц—Лоренца. Условие состоит в том, что
взаимные расстояния между частицами малы по сравнению
с длиной волны X. Отсюда с необходимостью вытекает, что раз-
размеры самих частиц много меньше Я. Тогда рассеяние частицами
характеризуется их поляризуемостью (которая для удобства
считается изотропной, разд. 6.11). Формула Лорентц—Лоренца
основана на предположении, что в сферическом объеме радиуса
К имеется много частиц. Поле, действию которого подвергается
52 4, РАСПОСТРАНЕНИЕ ВОЛН В СРЕДЕ
молекула, обусловлено полями, рассеянными довольно большим
количеством других молекул, расположенных со всех сторон. Эти
поля близки по фазе к падающему свету. Статистическое дей-
действие этих полей приводит к формуле Лорентц—Лоренца.
Далее, считается, что молекулы могут быть упакованы плотно
и а может быть по порядку величины близка к величине объема
V отдельной частицы. Это значит, что т может значительно от-
отклоняться от 1. Именно это и делает формулу Лорентц—Лоренца
важной для практических целей. Значение т вещественно, если
вещественно а. Это значит, что ослабление средой имеет место
только в том случае, когда в частицах происходит истинное по-
поглощение. (Однако в а имеется мнимый член второго порядка,
обязанный своим происхождением рассеянию; дальнейшие по-
подробности см. в разд. 6.13.)
2. Формула разд. 4.3. Условие состоит в том, что взаимные
расстояния между частицами велики по сравнению с длиной
волны. Они должны быть также велики по сравнению с разме-
размером частиц (если размеры частиц были бы больше X). Это озна-
означает, что плотная упаковка исключается. Мы видели, что при
этих условиях распространение волны описывается функцией
рассеяния вперед 5@) для каждой частицы (мы рассматриваем
только простейший случай, упомянутый в разд. 4.42) и что пока-
показатель преломления среды будет
т = 1 — i • 2nNk~3S ( 0) (А=2яД).
В этом случае значительная часть поля (которое имеет систе-
систематические фазовые соотношения с первоначальной волной) воз-
возникает не от всех соседних частиц, а только от частиц, которые
находятся почти непосредственно в направлении назад от рас-
/-*
сматриваемой точки. Значение т, найденное из этой формулы,
всегда близко к 1, а его отклонения от 1 за счет мнимой части
могут быть почти столь же велики, как и отклонения за счет
вещественной части, даже если сами частицы не поглощают свет,
а только рассеивают его.
Дальнейшая разница между теориями п. 1 и 2 состоит в том,
что теорию, на которой основана формула п. 1, можно обобщить
так, что она даст количество излучения, отраженного от слоя
(резко ограниченного) некоторой среды.
Для теории п. 2 подобное обобщение невозможно. Это проис-
происходит оттого, что вывод формулы п. 1 основан на учете рассея-
рассеяния по всем направлениям, в то время как выводы п. 2 основаны
на учете рассеяния только вперед1. Излучение, «отраженное»
1 В своей статье Юрик и Эймеит A949) пренебрегают этим различием.
ЛИТЕРАТУРА 53
назад от слоя вещества, при условиях п. 2 оказывается в точно-
точности суммой излучений, рассеиваемых назад отдельными части-
частицами, согласно разд. 2.16, независимо от границ или формы слоя
при условии, что многократное рассеяние не учитывается.
3. Общий случай. Было бы жаль оставить эти формулы так,
как они есть, не указав их взаимосвязи. Можно построить случай,
общий для п. 1 и 2, если предположить в п. 1, что взаимные рас-
расстояния очень велики, или если предполагать в п. 2, что частицы
очень малы.
В случае, рассмотренном в п. 1, предположение о больших
расстояниях формально недопустимо. Однако оно означает, что
рассеянного поля, противодействующего полю первоначальной
волны, просто не существует; следовательно, формула все-таки
I—*
должна считаться правильной. Когда в формуле п. 1 т близко
к 1, правая часть переходит в т2—1 или в том же приближении
I—*
в 2 (т—1). С другой стороны, в случае п. 2 для очень малых
частиц можно написать S@)=?fe3a; см. разд. 6.12- В результате
получаем как из 1, так и из 2
in—\=2naN.
При весьма специальном условии, состоящем в том, что ча-
частицы имеют объем V и состоят из однородного вещества с коэф-
коэффициентом преломления т, близким к 1, получается, как и в
разд. 6.22, соотношение 2ла=(т— \)V, которое приводит к еще
более простой формуле
т— \ = (т— \)NV.
Она выражает тот очевидный результат, что т—1 пропорцио-
пропорционально занятой частицами доле NV всего объема.
Существовала некоторая путаница в вопросе о том, писать ли
в формулах при т, близком к 1, т2—1 или 2(т—1). Для формул,
полученных в этой главе, математически это совершенно безраз-
безразлично, но так как формула Лорентц—Лоренца содержит т2, то
обычно предпочитают обозначение с т2. Рассуждения, приведен-
приведенные в разд. 4.3, не дают оснований для подобного предпочтения.
ЛИТЕРАТУРА
В этой главе часть вопросов рассматривается впервые. Интуитивный
подход к проблеме связи между ослаблением и рассеянием вперед заимство-
заимствован из статьи:
van d e H u ! s.t H. С, Physica fs Grav.), 15, 740 A949).
54 ЛИТЕРАТУРА
В то время автор не знал, что эта теорема ослабления имеет уже почтен-
почтенную историю в квантовой механике и в теории звука; см., например,
Feenberg E., Phys. Rev., 40, 40 A932).
Heisenberg W., Z. Physik, 120, 513 A943).
Levine H., Schwinger J., Phys. Rev., 74, 958 A948).
Wick Q. C, Phys. Rev., 75, 1459 A949).
Lax M., Phys. Rev., 78, 306 A950).
Morse P. M., Feshbach H., Methods of Theoretical Physics, part II,
p. 1069, 1547, New York, McGraw-Hill Book Co., 1953.
(Русский перевод: Морс Ф. М. и Фешбах Г., Методы теоретической
физики, том II, ИЛ, М., 1960.)
* Шифф Л., Квантовая механика, гл. V, ИЛ, М., 1957.
Автор не представлял также, что та же самая проблема встречается в за-
задаче о распространении волн (разд. 4.3). Она была предложена и решена
для малых диэлектрических и металлических частиц (фактически без учета
¦ослабления) в работах:
Rayleigh, Phil. Mag., 47, 375 A899) (Sci. Papers 247),
Maxwell Garnett J. C, Phil. Trans., 203, 385 A904); 205, 237
A906)
и в более общей форме в статье
Gans R., Hap pel H., Ann. Physik, 29, 294 A909),
¦однако эта проблема привлекала внимание и более современных авторов:
Schoenberg E., Z. Physik, 109, 127 A936).
Urick R. J., Ament W. S., J. Acoust. Soc. Amer., 21, 115 A949).
Z i m m B. H., D a n d 1 i k e r W. В., J. Phys. Chem., 58, 644 A954).
Обобщение на случай поляризованного света (разд. 4.4) проводится обыч-
обычными методами. Формула Лорентц — Лоренца (разд. 4.5) и связанные с ней
вопросы обсуждаются во многих книгах; см., например,
Born M., Optik, sees. 73, 74, Berlin, J. Springer, 1933.
(Русский перевод: Борн М., Оптика, ОНТИ Украины, 1937).
* Волькенштейи М. В., Молекулярная оптика, Гостехиздат, М,
1951.
5. ПОЛЯРИЗОВАННЫЙ СВЕТ И СООТНОШЕНИЯ
СИММЕТРИИ
Все процессы рассеяния приводят к поляризации. Задачи рас-
рассеяния, которые можно решить без явного учета состояния поля-
поляризации падающего и рассеянного света, весьма редки. Выше
(например, разд. 2.5) мы не определяли полностью зависимость
процесса рассеяния от состояния поляризации падающего света.
Общая формулировка задачи заслонила бы основные вопросы.
Теперь мы исправим это упущение и опишем, каким образом
частицы произвольного вида рассеивают свет, имеющий наибо-
наиболее общее состояние поляризации.
5.1. Наиболее общее состояние поляризации
Характерная разница между скалярной волной (подобной
звуку) и векторной волной (подобной свету) состоит в том, что
в первом случае требуется одна амплитуда, во втором — две для
описания волны, распространяющейся в некотором направлении.
Интенсивность скалярной волны с точностью до постоянного
множителя определяется квадратом амплитуды
Соответствующие формулы для световых волн, полученные Сток-
сом, в большинстве учебников не приводятся. По этой причине
краткий вывод этих формул дается в этом разделе. В основе
формул лежат те же физические процессы, которые определяют
формулу /=Л2, а математическая сторона вопроса здесь не так
сложна, как может показаться на первый взгляд.
5.11. Плоскость отсчета
Рассмотрим пучок света некоторой частоты, распространяю-
распространяющийся в одном направлении. Выберем плоскость отсчета так,
что направление распространения лежит в этой плоскости. Обо-
Обозначим через г единичный вектор нормали к этой плоскости
(в произвольном направлении), а через 1 единичный вектор в этой
.плоскости, перпендикулярный направлению распространения.
56 5. ПОЛЯРИЗОВАННЫЙ СВЕТ И СООТНОШЕНИЯ СИММЕТРИИ
Взаимное расположение векторов выберем таким образом, чтобы
произведение rxl совпадало с направлением распространения.
Обозначение векторов соответствует последним буквам англий-
английских слов perpendicular и parallel. В принципе выбор плоскости
отсчета является произвольным. В задачах о рассеянии мы
всегда будем в.качестве общей плоскости отсчета для двух лучей
выбирать плоскость, содержащую падающий и рассеянный лучи
5.12. Простые волны
Под простой волной мы подразумеваем решение уравнения
Максвелла в виде плоской волны с произвольной, т. е. эллипти-
эллиптической поляризацией. Электрический вектор перпендикулярен
направлению распространения волны, так что его можно пред-
представить в виде
E=Re[Ell+Err],
где Ег и Ег— комплексные осциллирующие функции. Параметры
Стокса определяются следующим образом:
Q=ElEl*~ErEr*.
V=i(ElEr* -?r?z*),
где звездочка обозначает комплексно сопряженную величину.
Эти параметры являются вещественными числами, удовлетво-
удовлетворяющими соотношению
I2 = Q2+U2+V2.
Первый параметр / представляет собой интенсивность, т. е. по-
поток энергии через единицу площади. Другие параметры имеют
ту же размерность. Постоянный множитель, общий для всех че-
четырех параметров, для удобства опущен. Иногда вместо / и Q
пользуются величинами /t=EiEi* и Ir=ErEr*. В таком случае
полная система будет (Д /r, U, V).
Если заданы волновое число k и круговая частота со, то про-
произвольная простая волна определяется положительными ампли-
амплитудами аи аг и фазами еь ег с помощью соотношений
Ei=aie~iz> e-ihz+itot.
Er=ar e~u
Это дает
Q=a;2—аД
5.1. НАИБОЛЕЕ ОБЩЕЕ СОСТОЯНИЕ ПОЛЯРИЗАЦИИ
57
?/=2агаг cos б,
]/=2щаг sin б,
Независимо мы можем дать геометрическое представление
простой волны с наиболее общей (эллиптической) поляризацией,
а именно
E = apcosPsin (со?—kz + a) -faqsinpcos (со?—kz + a).
Здесь р и q — единичные векторы вдоль большой и малой оси,
а2 —интенсивность, а — фазовый угол. Эллиптичность дается ве-
величиной tg J3; если она равна
нулю, мы имеем линейную по-
поляризацию, —1 дает левую
круговую, а +>1 дает правую
круговую поляризацию. Ориен-
Ориентация эллипса дается углом %
(рис. 6).
Геометрическое определе-
определение посредством величин а, а,
р, % можно сравнить с анали-
аналитическим определением с по-
мощью величин аг, аг, 8ь ег-
Путем простых преобразова-
преобразований получаем соотношения
+ sin2 p sin2 %),
Рис. 6. Параметры, определяющие со-
состояние поляризации простой (эллип-
(эллиптически голяризованиой) волны. Вол-
Волна распространяется перпендикуляр-
перпендикулярно плоскости рисунка по направлению
от читателя
a2 = a2 (cos2 p sin2 х + sin2 p cos2
tg(a + ei)=—
Следовательно,
tg8=
sin 2x
Итак, параметры Стокса в геометрических обозначениях будут
/ = а2,
Q = a2 cos 2p cos 2%,
G = a2cos2psin2x,
l/=a2sin2p.
Если выбрана другая плоскость отсчета, то изменится только х-
так что /, Q2 + U2 и V являются инвариантами этого преобразо-
преобразования. Если как 1, так и г взять в противоположном направлении,
параметры Стокса не меняются.
58 5. ПОЛЯРИЗОВАННЫЙ СВЕТ И СООТНОШЕНИЯ СИММЕТРИИ
5.13. Реальный свет и оптическая эквивалентность
Реальный свет состоит из множества «простых волн», которые
быстро сменяют друг друга. Длительность когерентного цуга
волн оказывается порядка 10~8 сек или короче в зависимости
от резкости спектральной линии, которая используется как источ-
источник монохроматического света. Поэтому измеряемые интенсив-
интенсивности относятся всегда к суперпозиции многих миллионов про-
простых волн с независимыми фазами.
Под параметрами Стокса всего пучка света мы будем пони-
понимать суммы
где индекс i обозначает каждую независимую простую волну,
а все постоянные множители опять опущены. Теперь имеем
Знак равенства имеет место только в том случае, когда ji и %
одни и те же для всех простых волн; в таком случае свет назы-
называется полностью поляризованным. Во всех других случаях он
называется частично поляризованным, кроме случая, когда
Q = U=V=Q, что является определением естественного, или не-
поляризованного,света.
Значение параметров Стокса видно из следующего рассу-
рассуждения. Пусть простая волна с произвольным состоянием поля-
поляризации проходит через какой-либо оптический прибор, не вы-
вызывающий некогерентных эффектов, так что выходящая волна
остается тоже простой. Прибор может вызывать рассеяние, отра-
отражение или преломление, а также может содержать двоякопре-
ломляющие кристаллы, пластинки поляроида, пластинки в чет-
четверть волны и т. д. Входящая волна представляется двумя состав-
составляющими поля Ею и Ег0 относительно произвольной плоскости
отсчета, проходящей через направление распространения входя-
входящего пучка. Подобно этому выходящая волна представляется
составляющими поля Et и Ет относительно плоскости отсчета,
проходящей через выходящий пучок.
В оптических приборах невозможно введение нелинейных эле-
элементов (возможные в радиотехнических приборах). Так как
имеют место только линейные процессы, то
Ei=A zEiq+А зЕго,
Er=A4E10+А\Его.
Вычисляя параметры Стокса выходящей волны (/, Q, U, V), на-
находим, что их можно выразить через параметры Стокса для вхо-
5.1. НАИБОЛЕЕ ОБЩЕЕ СОСТОЯНИЕ ПОЛЯРИЗАЦИИ 59
дящей волны (/о, Qo, Uo, Vo) посредством другого линейного пре-
преобразования, которые мы запишем в сокращенном виде:
(АО. U,V)=F-(Io,Qo, U0,V0).
Здесь F — матрица с 16 компонентами, каждый из которых яв-
является вещественным числом, представляющим собой квадра-
квадратичную форму из коэффициентов А\, Лг, А3 и Л4. В явном виде
она выводится в разд. 5.14.
Рассмотрим теперь реальный (частично поляризованный)
пучок света. Точно следуя определениям, т. е. суммируя пара-
параметры для простых волн как для входящего, так и для выходя-
выходящего луча, находим, что конечная формула преобразования
точно такая же, что и приведенная выше, с той же самой мат-
матрицей F.
Принцип оптической эквивалентности гласит: с помощью ка-
каких угодно приборов невозможно отличить друг от друга суммы
различных некогерентных простых волн, которые вместе могут
образовать пучок с одними и теми же параметрами Стокса
(I,Q,U,V).
Физическое обоснование этого принципа следующее: при
любом лабораторном методе измерения степени поляризации
пучка употребляется прибор, который, как было отмечено выше,
выполняет линейное преобразование (призма Николя, пластинка
в четверть волны), а затем измеряется интенсивность. Получен-
Полученные выше формулы показывают, что такие приборы могут да-
давать только линейные комбинации первоначальных параметров
Стокса. Различными приборами можно измерять различные
комбинации, так что можно воспользоваться (с помощью хорошо
известных методов) некоторым набором приборов для опреде-
определения каждого из четырех параметров Стокса порознь. Однако
это все, что мы можем получить.
Принцип оптической эквивалентности показывает, что пара-
параметры Стокса не только интересны сами по себе, но и пред-
представляют собою полную систему величин, которые необходимы
для характеристики интенсивности и состояния поляризации
светового пучка, поскольку этот пучок является предметом прак-
практического анализа. Теоретически пучки с одинаковыми парамет-
параметрами Стокса могут различаться, но эти различия нельзя изме-
измерить. В частности, существует только один вид естественного
света
(I,Q,U,V) = (/,0,0,0),
который теоретически может быть составлен из простых волн
самыми разнообразными способами.
60
5. ПОЛЯРИЗОВАННЫЙ СВЕТ И СООТНОШЕНИЯ СИММЕТРИИ
5.14. Вид матрицы преобразования
Теперь остается написать матрицу преобразования F для
любого данного процесса. При этом полезно исходить из матрицы
{А А )
А4 А,
числа
для амплитуд. Введем вещественные
Mk =
= | A
-Dv = Djk = -L (AjAl - AkA)).
Здесь /, k=\, 2, 3, 4; звездочка обозначает комплексно сопря-
сопряженные числа. В этом случае прямая подстановка дает преобра-
преобразование для /, Q, U, V, выражаемое матрицей
I(мг + мз +Щ *м,)> 1 {Щ ~М3 • М4 -М,), SZ3 + S4l,-Da -D4;
f =
S23 -
1
Dz
Эта матрица содержит 7 независимых постоянных, которые
получаются из 8 постоянных, входящих в величины А, если не
учитывать несущественную фазу. Итак, между 16 коэффициен-
коэффициентами должно быть 9 соотношений. Эти соотношения не были
выведены в явной форме.
Несколько более проста, но менее симметрична матрица,
определяемая равенством
Uo, Vo).
Она имеет вид
F' =
М3
- D.
23
м4,
2о
¦1!
24(
2D24, 2D
24,
81,
•^21
Указанные выше наиболее общие формулы вряд ли когда-
либо понадобятся, так как в большинстве практических случаев
свойства симметрии уменьшают число независимых постоянных.
5.1. НАИБОЛЕЕ ОБЩЕЕ СОСТОЯНИЕ ПОЛЯРИЗАЦИИ
61
Чрезвычайно важен один простой случай. Если А3=А4 =
уравнения преобразования для поля выражаются просто:
В этом случае матрица F' принимает очень простой вид:
F' =
О
О
О
О
М,
О
О
о
о
D,
О
О
D
21
'21
?21
где встречаются только 3 независимых параметра, так как здесь
имеется одно соотношение: S2j2+?>2i2 = -Л^2 -^i•
В этом случае полная система уравнений преобразования па-
параметров Стокса такова:
/ I Д 12./
11 и 2 го >
U = \AX\- |Л2|- {t/0cos8-l/0sin8},
V = | Ах | • | А21 • { и0 sin 8 + Vo cos Ь },
где 6 — разность фаз А\ и Л2.
В виде примера можно привести действие надлежащим обра-
образом ориентированной пластинки в четверть волны с
10 0 0
0 10 0
0 0 0-1
А =
0 0 1
о
преобразующей эллиптически поляризованную волну
(/о, Qo, UQ, V0) = (l,FOs2p,0,sin2p)
в линейную волну
(/, Q,U,V) = (l, cos 2p, - sin 2p, 0).
Рассеяние произвольной частицей (разд. 4.41) определяет
преобразование, применяемое к амплитуде падающей волны и
дающее амплитуды рассеянной волны. Роль матрицы А выпол-
выполняет матрица преобразования S. Соответствующее преобразова-
преобразование параметров Стокса можно получить из приведенных выше
уравнений. Частицы сферической формы имеют матрицу рассея-
рассеяния простейшего типа, в которой 53(б) =S4@) =0. Соответ-
62 S. ПОЛЯРИЗОВАННЫЙ СВЕТ И СООТНОШЕНИЯ СИММЕТРИИ
ствующие формулы для интенсивности были даны в разд. 4.42.
Данные выше полные уравнения преобразования для параметров
Стокса позволяют сделать следующие заключения: падающий
линейно поляризованный свет с произвольной плоскостью поля-
поляризации (единственное ограничение: У=0) дает, вообще говоря,
эллиптически поляризованный свет. Однако если падающий свет
плоско поляризован в одной из главных плоскостей, то он остается
линейно поляризованным в соответствующей плоскости, и нам
следует рассматривать только первые два уравнения преобразо-
преобразования. Главным образом такие случаи мы и будем рассматри-
рассматривать в этой книге.
5.2. Соотношения симметрии для рассеяния в произвольном
направлении
5.21. Общий метод
Весь остаток этой главы посвящен следующей задаче: облако
или среда, состоящая из рассеивающих частиц, содержит мно-
множество одинаковых частиц, различным образом ориентирован-
ориентированных в пространстве. Каковы будут упрощения матрицы рассеяния
при определенных предположениях относительно распределения
ориентации? В то же время мы рассмотрим упрощения, возни-
возникающие из дополнительного предположения о том, что частицы
двух сортов, из которых одни являются зеркальными отражения-
отражениями других, представлены в равных количествах. Если частицы
имеют плоскость симметрии, они оказываются своими собствен-
собственными зеркальными отражениями, и второе предположение вы-
выполняется автоматически.
Подобные вопросы изучались раньше для различных частных
случаев. Цель этой главы состоит не в том, чтобы дать подробный
вывод, а скорее в том, чтобы привести для справок полный обзор
различных соотношений симметрии. Следует различать множе-
множество частных случаев; некоторые из них соответствуют довольно
искусственным предположениям, которые вряд ли встретятся
в практических задачах.
Общий метод состоит в следующем. Если матрица рассеяния
частицы известна для некоторого заданного положения и задан-
заданного направления, то известна также матрица рассеяния той же
частицы или ее зеркального отражения для определенных сим-
симметричных положений. Это справедливо прежде всего для четы-
четырех комплексных элементов амплитудной матрицы S, определен-
определенной в разд. 4.41. Соответствующие соотношения для 16 вещест-
вещественных элементов матрицы интенсивностей F, определенной в
разд. 2.5, легко получить с помощью формулы, данной в
5.2. СИММЕТРИЯ ДЛЯ РАССЕЯНИЯ В ПРОИЗВОЛЬНОМ НАПРАВЛЕНИИ 63
разд. 5.14, где амплитудная матрица обозначается через А вме-
вместо S. Элементы матриц F должны складываться, если в одной и
той же среде встречаются вместе различные частицы или ча-
частицы, ориентированные по-разному. Это следует из того сооб-
соображения, что волны, рассеянные этими частицами, существенно
некогерентны (разд. 1.22 и 4.22). В результате сложения неко-
некоторые недиагональные элементы конечной матрицы F исчезают,
а другие становятся равными между собой, в зависимости от
того, какие именно предположения сделаны.
Этот и следующие разделы в значительной степени написаны
под влиянием статьи Ф. Перрена A942). Перрен разобрал только
случай хаотической ориентации, так что его формулы имеют
менее общий характер. При этом он рассматривает только мат-
матрицу интенсивностей и ее свойства относительно преобразований,
но не упоминает амплитудную матрицу. Его метод кажется более
утомительным и сложным, чем наш, в котором используются
трансформационные свойства значительно более простой ампли-
амплитудной матрицы. Результаты Перрена и наши совпадают во всех
случаях, которые он рассматривал.
В согласии с обозначениями Перрена запишем (только в этой
главе) матрицу F в виде
а, Ь, Ья b
as
«4
Если не делается вообще никаких предположений, то квад-
квадратичные соотношения между элементами матрицы F для дан-
данной частицы в заданном положении теряются при сложении
элементов различным образом ориентированных частиц. В та-
таком случае они заменяются неравенствами, которые мы не бу-
будем учитывать. Поэтому, вообще говоря, имеется 16 независимых
параметров. При различных предположениях относительно сим-
симметрии, сделанных ниже, число независимых параметров умень-
уменьшается. Одинаковые элементы будут обозначаться одним и тем
же символом, нулевые элементы — нулем.
5.22. Окончательные формулы
Если мы рассматриваем направление, для которого угол рас-
рассеяния не равен ни 0, ни 180°, то направления падения и рассея-
рассеяния определяют плоскость, которая называется плоскостью рас-
рассеяния. Она принимается за плоскость отсчета (плоскость ZOY
на рис. 7). Как обычно, перпендикулярный единичный вектор г
64
5. ПОЛЯРИЗОВАННЫЙ СВЕТ И СООТНОШЕНИЯ СИММЕТРИИ
является нормалью к этой плоскости (направление его произ-
произвольно). Направления единичных векторов 1 и Г в таком случае
определяются требованием, чтобы вектор rXl лежал в направ-
направлении распространения падающего света, а вектор rXl'— в на-
направлении распространения рассеянного света. Линию в плоско-
плоскости рассеяния, которая делит пополам угол я—0 между падаю-
падающим и рассеянным лучом, назовем биссектрисой; плоскость,
X
Рис. 7. Пары единичных векторов
(г, 1) и (г, Г), описывающие состоя-
состояния поляризации падающего и рас-
рассеянного света. Плоскость ZOY —
плоскость рассеяния.
проведенную через биссектрису и перпендикулярную плоскости
рассеяния, — плоскостью биссектрисы.
Заданное положение частицы принимается за начальное по-
положение а. Существуют три других положения, при которых мат-
матрицу рассеяния можно выразить через те же коэффициенты, что
и в положении а. Поворот на 180° относительно биссектрисы при-
приводит ту же частицу в положение б, которое мы назовем взаим-
взаимным положением по отношению к а. Зеркальное отражение отно-
относительно плоскости рассеяния дает положение в — зеркальное
отражение первоначальной частицы. Зеркальное отражение отно-
относительно плоскости биссектрисы дает другое положение г зер-
зеркально отраженной частицы. Любые два из этих трех последо-
последовательных преобразований дают третье. Например, положение
г является взаимным положением по отношению к положению в.
Это иллюстрируется рис. 8, где одна частица изображается
в виде фигурки с поднятой вверх левой рукой, а ее зеркальное
5.2. СИММЕТРИЯ ДЛЯ РАССЕЯНИЯ В ПРОИЗВОЛЬНОМ НАПРАВЛЕНИИ
65
изображение — в виде фигурки с поднятой вверх правой рукой.
Для всех четырех случаев, представленных на этом рисунке,
предполагается, что падающий свет приходит снизу, а угол рас-
рассеяния равен 45° (как на рис. 7). Соответствующие амплитудные
матрицы имеют соответственно вид (все — для рассеяния в одном
и том же направлении):
(а) (б) (в) (г)
(S2S3\ / S2-SA I S2 -S3\ (S2S4
1 l
Примем эти трансформационные свойства без подробного до-
доказательства. Преобразование (а)->-(в) доказывается просто,
Рис. 8. Два положения произвольной частицы и два по-
положения ее зеркального отражения, приводящие к появ-
появлению соотношений симметрии для функций рассеяния.
так как, не считая замены знака одной координаты, это все та же
задача рассеяния, которая подлежит решению. Преобразование
(а)-»-(б) является теоремой взаимности для векторных волн. Она
является естественным обобщением теоремы взаимности для
рассеяния скалярных волн. Блатти Вайскопф A952) доказывают
эту теорему, вводя инверсию времени и разлагая сходящуюся
сферическую волну по плоским волнам. Морс и Фешбах A953)
доказывают ее на основании вариационного принципа для ампли-
амплитуды рассеянного света. Подобным же образом можно доказать
эту теорему для векторного случая. Косвенное доказательство
можно основывать на теоремах взаимности для антенн, рассмот-
рассмотрев взаимность четырехполюсника, состоящего из двух антенн,
связанных через рассеивающую частицу (Силвер, 1949). Прямое
доказательство было сформулировано Саксоном A955).
Наконец, преобразование (а)-»-(г) получается последователь-
последовательным применением двух других.
Теперь мы сделаем некоторые предположения о распределе-
распределении частиц по этим положениям. Каждая система предположе-
Заказ М> 374
66 5. ПОЛЯРИЗОВАННЫЙ СВЕТ И СООТНОШЕНИЯ СИММЕТРИИ
ний обозначается числом от 1 до 13. Четыре системы предполо-
предположений приводят к определенным свойствам симметрии матрицы
F при произвольном 0. Окончательные формулы были получены
с помощью метода, изложенного в разд. 5.21, однако все под-
подробности вывода опущены.
1. Облако содержит один сорт частиц. Для каждой частицы,
находящейся в некотором положении, имеется частица во взаим-
взаимном положении. Складывая матрицы F для положений (а) и (б),
мы находим матрицу со следующей симметрией:
10 параметров.
2. Облако содержит частицы и их зеркальные отражения. Для
всякой частицы в положении (а) имеется отраженная частица
в положении (в). В результате матрица убудет
Ьх 0 0 \
flj О О
n n , ; 8 параметров.
. О 0 с2 а4 /¦
3. Облако содержит частицы и их зеркальные отражения. Для
всякой частицы в положении (а) имеется зеркально отраженная
частица в положении (г). (Это чрезвычайно искусственное пред-
предположение.) Матрица F имеет вид
а2 bi
L" I; 10 параметров.
р4
-Ьь —Ь2 а4.
4. Облако содержит частицы и их зеркальные отражения, при-
причем делаются любые два из предыдущих предположений. Третье
предположение следует автоматически, гак что имеется одина-
одинаковое количество частиц в положениях (а), (б), (в) и (г). Полу-
Получающаяся в результате матрица F имеет вид
0 0
0 . о
о параметров.
ьх
0
0
«2
0
0
0
«3
-л
5.3. СООТНОШЕНИЯ СИММЕТРИИ ДЛЯ 0 = 0 и 180° 67
5. Облако содержит один вид (асимметричных) частиц со
случайной ориентацией. Тогда выполняется предположение 1 и,
как и ,в этом случае, матрица имеет 10 параметров.
6. Облако содержит частицы и их зеркальные отражения в
равных количествах и со случайной ориентацией, или облако со-
состоит из частиц, имеющих плоскость симметрии и ориентирован-
ориентированных случайным образом. Это предположение включает систему
предположений 4, и матрица также имеет 6 параметров.
5.3. Соотношения симметрии для 8 = 0 и 180°
Углы рассеяния 0 = 0 и 180° требуют отдельного рассмотре-
рассмотрения. Угол 0, близкий к 0°, означает, что рассеянный свет распро-
распространяется почти в том же направлении, что и нерассеянный;
обычно это называют «рассеянием вперед». Угол 0=180° опре-
определяет свет, рассеивающийся назад в направлении на источник;
мы назовем это «рассеянием назад». Можно отметить, что прежде
в литературе часто использовалась другая терминология. Так,
в качестве угла рассеяния принимался угол я—0 и даже вы-
выражения «вперед» и «назад» иногда употреблялись в обратном
смысле.
Как в случае 0 = 0°, так и в случае 0= 180° особенность состоит
в том, что плоскость рассеяния не является единственной. Любую
плоскость, проведенную через ось (совпадающую с направле-
направлениями падающего и рассеянного лучей), можно рассматривать
как плоскость рассеяния. Таким образом, согласно условию,
принятому для других углов, любую плоскость, проведенную че-
через эту ось, можно выбрать за плоскость отсчета, по отношению
к которой определяются амплитуды и параметры Стокса для па-
падающего и рассеянного лучей.
Не исключена возможность, что в силу некоторых физиче-
физических причин, например действия тяготения или магнитного поля,
одна из плоскостей, проходящих через ось, выделена и играет
роль плоскости, относительно которой распределение частиц об-
обладает определенными свойствами симметрии. В настоящем раз-
разделе мы исключаем эту возможность, поскольку формулы преды-
предыдущего раздела остаются тогда в силе без изменений.
5.31. Рассеяние вперед
Пусть некоторая плоскость выбрана в качестве плоскости
отсчета, и пусть некоторая ориентация частицы выбрана за на-
начальное положение (а). Матрицу рассеяния для этого случая (а)
IS S \
обозначим опять через S; ее элементы (о2 с3). Кроме опре-
68 5. ПОЛЯРИЗОВАННЫЙ СВЕТ И СООТНОШЕНИЯ СИММЕТРИИ
деленных в разд. 5.22 положений (б), (в) и (г), теперь имеется
бесконечное множество положений частицы, при которых мат-
матрицу рассеяния можно выразить через те же элементы. Эти по-
положения образуются из одного из них поворотом частицы вокруг
оси на произвольный угол ф. То же преобразование матрицы
рассеяния получается и в том случае, если фиксировать частицу,
а плоскость отсчета повернуть на угол ф в обратном направ-
направлении.
Поворот плоскости отсчета на угол ф меняет диаду амплитуд
(Ei Er) некоторого светового луча таким образом, что это соот-
соответствует умножению этой диады на матрицу
с s\
с ./. где c = coscp, s = sincp.
Угол ф считается положительным в направлении вращения ча-
часовой стрелки, если смотреть вдоль направления распростране-
распространения луча. Это правило должно применяться дважды, так как
плоскость отсчета поворачивается как для падающих, так и для
рассеянных волн. В результате матрица S заменяется матрицей
R,, • S • R-,,, с элементами
c2S2 + csS3 + csS4 + s2Sv ~csS2 + c2Ss -
csS2 - s2Sz + c2SA + csSu -f-s2S2 - csS3 —
Подобные, хотя и несколько более сложные трансформацион-
трансформационные свойства имеет квадратная матрица F четвертого порядка.
Матрица упрощается при одном предположении, а именно в
предположении о вращательной симметрии в облаке. Под вра-
вращательной симметрией мы будем понимать предположение о том,
что при вращении всего облака вокруг оси распределение частиц
по всем возможным ориентациям не меняется. Это означает, что
для любой данной ориентации (а) имеется большое число других
ориентации (а'), которые получаются из (а) поворотом вокруг
оси на угол ф, и что углы ф распределены равномерно в интервале
от 0 до 2я. Поэтому вращательная симметрия является свой-
свойством распределения ориентации в облаке, а не свойством от-
отдельных частиц.
Если мы не хотим вводить предположений о симметрии отно-
относительно избранной плоскости, проходящей через ось, то при
заданном положении (а) положения (б) и (в) предыдущих раз-
разделов определяются неоднозначно. Однако положение (г) опре-
определяется однозначно, так как здесь «плоскость биссектрисы»
перпендикулярна оси. Таким образом, для 8=0° имеет смысл
только система предположений 3 разд. 5.22, и разультат остается
тот же. Предположение о вращательной симметрии можно
5.3. СООТНОШЕНИЯ СИММЕТРИИ ДЛЯ 0 = 0 и 180° 69
делать или в комбинации с какой-либо из предыдущих систем
предположений (случаи 8—11), или независимо от них (слу-
(случай 7). Например, предположение 2 имеет смысл в комбинации
с предположением о вращательной симметрии, поскольку это
означает, что при отражении относительно любой плоскости,
проходящей через ось, получаются равные количества частиц
Итак, для 0 = 0° имеется следующий ряд возможностей.
3, Количества частиц и зеркальных частиц равны. Для любой
частицы в одном положении имеется ее зеркальное отражение
в положении, получающемся при отражении относительно плос-
плоскости, перпендикулярной оси. Это предположение тождественно
предположению 3 разд. 5.22, и, как было получено там, оконча-
окончательная матрица имеет 10 параметров.
7. Имеется один сорт (асимметричных) частиц в облаке. Сде-
Сделано только предположение о вращательной симметрии. Комби-
Комбинированная матрица F будет
0 0 Ъъ\
а2 bi 0 \
. п I; б параметров.
— 04 «2 О J
0 0 aj
8. Имеется один сорт (асимметричных) частиц. Предположе-
Предположение о вращательной симметрии делается одновременно с систе-
системой предположений 1. Это значит, что в перевернутом, т. е. во
взаимном положении находится ровно половина частиц. В ре-
результате имеем
а,
0
0
К
0
а2
~*4
0
0
*4
а,
0
Ьь\
0 \
°
aj
; 5 параметров
9. Частицы и зеркальные частицы встречаются в равных ко-
количествах. Предположение о вращательной симметрии делается
одновременно с системой предположений 2. Это означает, что
для любой частицы имеется частица, которая является ее зер-
зеркальным отражением относительно некоторой плоскости, прове-
проведенной через ось. В результате имеем
0 0 0
3 параметра.
70 5. ПОЛЯРИЗОВАННЫЙ СВЕТ И СООТНОШЕНИЯ СИММЕТРИИ
10. Частицы и зеркальные частицы встречаются в равных ко-
количествах. Предположение о вращательной симметрии делается
одновременно с системой предположений 3, т. е. с предположе-
предположением о зеркальной симметрии относительно плоскости, перпенди-
перпендикулярной оси. В результате имеем
0 0
о
4 параметра.
" /
0
11. Частицы и зеркальные частицы встречаются в равных ко-
количествах. Предположение о вращательной симметрии делается
одновременно с системой предположений 4, т. е. со всеми преды-
предыдущими предположениями. В результате матрица F не упро-
упрощается более, чем матрица, уже полученная в п. 9. Имеется 3
параметра.
12. Хаотическая ориентация для одного сорта асимметричных
частиц. Результат тот же, что и в п. 8. Имеется 5 параметров.
13. Хаотическая ориентация равных количеств частиц и зер-
зеркальных частиц или частиц, которые являются их собственными
зеркальными отражениями. Результат тот же, что в п. 11 или в
п. 9. Имеется 3 параметра.
5.32. Рассеяние назад
В случае 0=180° положение во многих отношениях сходно
с положением в случае 0 = 0°. Здесь также плоскость рассеяния
не определена; имеется одна «ось», вдоль которой падающее из-
излучение распространяется в одном направлении, а рассеянное
излучение — в обратном. Поворот плоскости отсчета на угол ф
меняет диаду (EL, Er) так же, как и раньше, но требует, чтобы
матрица S была заменена на R_<p SR_? с элементами
\
Vj + a + ^r,, 2 + csS3 - csSA + c25, Г
И в этом случае для квадратной матрицы F четвертого порядка
выполняются аналогичные свойства симметрии.
Прежде чем применить эти формулы к различным предпо-
предположениям относительно распределения частиц по всем возмож-
возможным ориентациям, мы должны отметить одну очень любопытную
теорему. Хотя плоскость рассеяния является неопределенной, бис-
биссектриса для 0=180° определяется однозначно. Эта биссектриса
совпадает с падающим и рассеянным лучами, т. е. с линией.
~csS2 + c2Ss + s254 - csSx
5.3. СООТНОШЕНИЯ СИММЕТРИИ ДЛЯ 0 = 0 и 180° 71
соединяющей частицу и первоначальный источник света. Таким
образом, поворот на 180° относительно этой биссектрисы, пере-
переводящий частицу во взаимное положение, является также пово-
поворотом на 180° вокруг оси. Согласно принципу взаимности, мат-
/ С С \
рица рассеяния частицы в новом положении будет I 2С ~4 ,
а согласно формуле вращения, она останется без изменения.
Так как обе матрицы должны быть одинаковыми, то отсюда
следует теорема:
Матрица рассеяния для произвольной частицы, отне-
отнесенная к произвольной плоскости отсчета, имеет при 0= 180°
свойство 5з+54 = 0.
В дальнейшем матрицу при 0=180° мы будем писать в виде
-St i
Перечень различных систем предположений, которые могут
привести к определенным свойствам симметрии окончательной
матрицы F без введения избранной плоскости, проходящей через
ось, становится теперь довольно простым.
0а. Никаких предположений не делается. Только что выве-
выведенная теорема дает матрицу F с симметрией типа
«1 Ьх Ьг Ьь
bi «2 b4 I
, __. , I; Ш параметров.
Ьь Ь6 -I
1а. Предположения тождественны предположениям п. 1. За-
Замена на взаимное положение является попросту поворотом на
180°, при котором матрица F не меняется. Результат такой же,
как в случае 0а: 10 параметров.
7а. То же предположение, что и в случае 7. Облако состоит
из одного сорта (асимметричных) частиц, и предположение о
вращательной симметрии делается без каких-либо дополнитель-
ных предположений. В результате матрица F имеет вид
4 параметра.
8а. То же предположение, что и в случае 8. Матрица та же,
что и в п. 7а: 4 параметра.
72 5. ПОЛЯРИЗОВАННЫЙ СВЕТ И СООТНОШЕНИЯ СИММЕТРИИ
Па. Те же предположения, что и в случаях 9, 10 или 11, так
как при 9=180° одно предположение включает другое. Облако
содержит частицы и их зеркальные отражения в равных коли-
количествах. Предположение о вращательной симметрии делается
одновременно с предположением, что для любой частицы имеется
ее зеркальное отражение относительно любой плоскости, прове-
проведенной через ось. Матрица имеет вид
а,
0
0
0
0
а2
0
0
0
0
-а2
0
° \
0 1
°
; 3
параметра.
12а. Хаотическая ориентация для одного сорта асимметричных
частиц. Результат тот же, что и в п. 7а. Имеется 4 параметра.
13а. Хаотическая ориентация равных количеств частиц и зер-
зеркальных частиц или частиц, являющихся собственными зеркаль-
зеркальными отражениями. Результат такой же, что и в Па. Имеется
3 параметра.
5.4. Соотношения симметрии для дисперсии и ослабления
В предыдущих разделах рассматривалась интенсивность рас-
рассеянного света. В них мы пользовались следующим правилом:
матрицы F для отдельных частиц должны складываться. Осно-
Основанием этому служило правило о возможности сложения интен-
сивностей, что в свою очередь зависит от предположения о том,
что можно пренебречь фазовыми соотношениями между волнами,
рассеянными различными частицами (разд. 4.22). Следовательно,
выведенные выше для 0 = 0 правила симметрии наверняка не вы-
выполняются при 0 = 0. Эти правила верны для углов, достаточно
малых, чтобы в силу непрерывности можно было положить мат-
матрицу рассеяния равной матрице рассеяния для 0 = 0. Это требует,
чтобы 0<CCVa. если а — линейный размер наибольших из ча-
частиц; тем не менее угол должен быть достаточно велик, чтобы
внести соответствующие сдвиги фаз для частиц с различными
положениями.
5.41. Формальные результаты
Точно при 9 = 0° рассеянный свет наблюдать нельзя, но интер-
интерференция рассеянной волны с падающей вносит изменения в кар-
картину распространения волны. Подробное объяснение дано в гл. 4.
В простом случае сферических частиц это означает, что мы
5.4. СООТНОШЕНИЯ СИММЕТРИИ ДЛЯ ДИСПЕРСИИ И ОСЛАБЛЕНИЯ 73
можем определить фазовую скорость по мнимой части 5@), а ос-
ослабление— по действительной части S@); см. разд. 4.42. Рас-
Распространение волны в наиболее общем случае определяется мат-
матрицей с 4 компонентами (разд. 4.41):
fS2(O), 5,@)
,54@), 5,@)
Большое отличие от предшествующих разделов состоит в том,
что свет рассеивается всеми частицами точно в фазе. Поэтому
должны складываться компоненты матрицы S@), а не компо-
компоненты матрицы F. Четыре комплексных коэффициента имеют
8 независимых параметров (существенна также и фаза). Итак,
мы имеем:
0. Никаких предположений; симметрия вида
, , 8 параметров.
(X &
Это наиболее общая комбинация линейного и кругового двойного
лучепреломления и линейного и кругового дихроизма.
Предположения, которые можно сделать о симметрии, в точ-
точности совпадают с предположениями, делавшимися в предыду-
предыдущих разделах. Сложение матриц S непосредственно дает ниже-
нижеследующие результаты, представленные здесь наряду с каче-
качественной интерпретацией. Объем этой книги не допускает
подробного обсуждения этого вопроса. Все эффекты можно выве-
вывести из общей формулы распространения, данной в разд. 4.41.
При существовании некоторой избранной плоскости, прове-
проведенной через ось, эта плоскость принимается за плоскость от-
отсчета, и матрица будет такова (ср. разд. 5.22):
/ Ъ с \
случай A) I I ; 6 параметров.
\ с & I
Все эффекты, а именно: линейное и круговое двойное лучепре-
лучепреломление, линейный и круговой дихроизмы, все еще имеют место,
но связь между ними выражена не слишком явно.
(Ь 0\
случай B) или D) I „ I ; 4 параметра.
Есть только линейное двойное лучепреломление и дихроизм. При
выборе другой плоскости отсчета тип симметрии нарушается.
74 5- ПОЛЯРИЗОВАННЫЙ СВЕТ И СООТНОШЕНИЯ СИММЕТРИИ
При отсутствии избранной плоскости, проведенной через ось,
за плоскость отсчета можно принять произвольную плоскость
(ср. разд. 5.31):
(Ь с \
случай C) I I ; 6 параметров,
у с о, ]
И в этом случае интерпретация не слишком очевидна. При выборе
другой плоскости отсчета сохраняется тип симметрии, но не ве-
величины а, Ь и с;
I a с\
случай G), (8) или A2) I ) ; 4 параметра.
Тип симметрии и значения комплексных величин а и с инва-
инварианты относительно вращения плоскости отсчета.
Применяя матрицу преобразования этого вида к диаде
(?;, ?г) =СA,±г), которая соответствует правой и левой круго-
круговой поляризации, находим, что круговая поляризация сохра-
сохраняется, а С умножается на a±ic. Это означает круговое двойное
лучепреломление и круговой дихроизм. Если с = 53@)—чисто
вещественное число, то существует только кругрвой дихроизм.
Если с=53@) —чисто мнимое число, то существует только кру-
круговое двойное лучепреломление; этот эффект известен обычно
как оптическое вращение плоскости поляризации;
[а 0\
случай (9), A0) или A3) п ; 2 параметра.
В этом наиболее простом случае нет двойного лучепрелом-
лучепреломления или дихроизма какого-либо рода. Этот случай мы можем
назвать случаем скалярного распространения. Двумя парамет-
параметрами здесь являются вещественная и мнимая части 5@), кото-
которые, согласно разд. 4.3 или 4.42, определяют коэффициент ослаб-
ослабления и показатель преломления среды, состоящей из рассеиваю-
рассеивающих частиц. Эти два параметра одинаковы для любого состояния
поляризации падающего света, и это состояние поляризации со-
сохраняется при распространении волны в среде. Полные формулы
для среды, состоящей из сферических частиц, даются в разд. 4.42.
5.42. Заключение
Среда, состоящая из произвольных, не хаотически ориенти-
ориентированных частиц, может вызывать любые эффекты линейного и
кругового двойного лучепреломления в комбинации с дихроиз-
5.4. СООТНОШЕНИЯ СИММЕТРИИ ДЛЯ ДИСПЕРСИИ И ОСЛАБЛЕНИЯ 75
мом. Так как частица как целое характеризуется матрицей рас-
рассеяния S, то не имеет значения, вызывается ли какая-либо асим-
асимметрия в S формой или строением этих частиц. Например, ли-
линейное двойное лучепреломление вызывается удлиненными
частицами из однородного вещества, равно как и шарами, веще-
вещество которых обладает двойным лучепреломлением.
Чтобы имело место линейное двойное лучепреломление,
нужно по крайней мере выполнение условий случая 2, т. е. суще-
существование зеркальной симметрии по отношению к избранной
плоскости. Тогда круговое двойное лучепреломление исклю-
исключается.
Чтобы иметь круговое двойное лучепреломление (оптическое
вращение), нужно по крайней мере выполнение условий случая
7, т. е. наличие асимметричных частиц (мы можем также ска-
сказать— оптически активных частиц одного сорта) и вращатель-
вращательная симметрия в их распределении. Тогда линейное двойное луче-
лучепреломление исключается.
Хаотическая ориентация приводит к круговому двойному лу-
лучепреломлению, если частицы оптически активны и если оба
сорта не представлены в равных количествах (случай 12). Хао-
Хаотическая ориентация дает скалярное распространение, если ча-
частицы не являются оптически активными или если присутствуют
совместно равные количества частиц одного и другого сорта
(случай 13).
Вообще говоря, линейный дихроизм встречается вместе с ли-
линейным двойным лучепреломлением, а круговой дихроизм —
с круговым двойным лучепреломлением. Это происходит вслед-
вследствие того, что, вообще говоря, числа Si@), 52@), 53@) и
54@) могут иметь любые комплексные значения. Однако сле-
следует сделать еще одно замечание. Изложенная теория имеет
практические приложения в основном в молекулярной физике и
в теории распространения сантиметровых волн в искусственных
сложных средах.
В обоих случаях частицы, вероятно, малы по сравнению
с длиной волны. В этой области теории рассеяния матрица S@)
имеет частный вид и не допускает всех возможностей, отмечен-
отмеченных выше. Линейное двойное лучепреломление вызывается со-
совсем просто; далее, если частицы не поглощают, то линейный
дихроизм не встречается (частицы не обязательно должны быть
дихроичными). Круговое двойное лучепреломление или дихроизм
не возникают в первом приближении (релеевское рассеяние) и,
следовательно, незначительны до тех пор, пока частицы малы по
сравнению с длиной волны.
76 ЛИТЕРАТУРА
ЛИТЕРАТУРА
Параметры Стокса и принцип оптической эквивалентности введены Сток-
сом:
Stokes G. С, Trans. Cambr. Phil. Soc, 9, 399 A852).
Современное изложение дано в работах:
Perrin F., J. Chem. Phys., 10, 415 A942).
Clark Jones R., J. Opt. Soc. Amer., 37, 107, 110 A947).
В последней статье приводится формула для экспериментального определения
параметров. Применение к комптоновскому рассеянию выполнено Фано:
Fa по V., J. Opt. Soc. Amer., 39, 859 A949).
Ряд применений к задачам многократного рассеяния дан Чандрасекаром:
Chandrasekhar S., Radiative Transfer, Oxford, Oxford Univ. Press,
1950. (Русский перевод: Чандрасекар С, Перенос лучистой энергии,
ИЛ, М., 1953.)
Интересное обобщение, включающее спектральный анализ волны, было
предложено в статье Вольфа:
Wolf E., Nuovo Cimento, 12, 884 A954).
Явное выражение для матрицы преобразования в разд. 5.14 выведено
заново. Принцип взаимности (разд. 5.22) в его наиболее элементарной форме
получен Релеем:
Rayleigh, Theory of Sound, Vol. I, sees. 107—111, London, Macmil-
lan and Co., 1877.
(Русский перевод: Релей, Теория звука, том I, 1955.)
Относительно доказательства теоремы взаимности для рассеяния скаляр-
скалярных волн сошлемся на следующие книги:
В 1 a t t J. M., W e i s s k о р f V. F., Theoretical Nuclear Physics,
p. 336—339, 5B8—530, New York, John Wiley and Sons, 1952.
(Русский перевод: Блатт Дж., Вайскопф В., Теоретическая ядерная
физика, ИЛ, М., 1954.)
Morse P. M., Feshbach H., Methods of Theoretical Physics,
part II, p. Ы30—1131, New York, McGraw-Hill Book Co., 1953.
(Русский перевод: Морс Ф. М., Фешбах Г., Методы теоретической
физики, том II, ИЛ, М., I960.)
Теоремы взаимности в теории антенн рассматриваются в книге:
Silver S. (ed.), Microwave Antenna Theory and Design, chap. 2,
M. I. T. Radiation Laboratory Series, 12 A949).
Теорема взаимности для векторных волн доказана Саксоном:
Saxon D. S., Lectures on the Scattering of Light (Notes prepared by
R. S. Fraser), p. 78—100, U. С L. A. Dept. of Meteorology, 1955.
Saxon D. S., Phys. Rev., 100, 1771 A955).
Разделы о соотношениях симметрии написаны под влиянием цитирован-
цитированной выше статьи Перрена; использован новый метод, и число рассмотренных
случаев значительно расширено.
ЧАСТЬ II
Частицы некоторых частных
видов
Теория, изложенная в части I, позволяет решить
любую проблему рассеяния или распространения из-
излучения, если для каждой отдельной частицы, ориенти-
ориентированной в пространстве определенным образом, из-
известны четыре компоненты матрицы рассеяния
Теория, рассматриваемая в части II, позволяет вы-
вычислить эти функции рассеяния для частиц некоторых
частных видов. Эта часть книги имеет три самостоя-
самостоятельных раздела. На частицы, исследуемые в гл. 6—8,
налагаются ограничения, связанные с их размером
(или с комбинацией размера и показателя преломле-
преломления) ; эти частицы могут иметь произвольную форму.
В гл. 9 — 14 изучаются сферические частицы; в гл. 15—
17 рассматриваются частицы других геометрических
форм.
6. ЧАСТИЦЫ, МАЛЫЕ ПО СРАВНЕНИЮ
С ДЛИНОЙ ВОЛНЫ
Частицы, рассматриваемые в этой главе, могут иметь произ-
произвольную форму; они малы по сравнению с длиной волны как
вне, так и внутри частицы, что поясняется более подробно
в разд. 6. 4.
6.1. Поляризуемость и релеевское рассеяние
6.11. Случай, когда поляризуемость является тензором
Упрощение, вводимое малым размером, состоит в том, что ча-
частицу можно рассматривать как помещенную в однородное элек-
электрическое поле Ео, которое мы назовем «действующим полем».
Собственное поле частицы, обусловленное ее электрической поля-
поляризацией, видоизменяет это поле как внутри частицы, так и
вблизи нее. Суммарное поле будет обозначаться через Е. Пусть
р — индуцированный дипольный момент; в таком случае при-
применима формула электростатики
р = аЕо.
Это соотношение определяет поляризуемость частицы а. Так как
размерность Е — заряд/площадь, а размерность р — произведе-
произведение заряда на длину, то а имеет размерность объема. Для слу-
случая однородных тел с объемом V мы введем также среднюю
объемную поляризуемость а', положив а = а'1Л Величина а' яв-
является безразмерной.
В общем случае а является тензором. Это означает, что на-
направления р и Ео совпадают только тогда, когда поле приложено
в одном из трех взаимно перпендикулярных направлений.
Пусть эти направления характеризуются единичными векторами
пь пг и п3. Тогда частица характеризуется тремя компонентами
тензора аь аг и аз таким образом, что любое внешнее поле
дает дипольный момент
р =
80 6. ЧАСТИЦЫ, МАЛЫЕ ПО СРАВНННИЮ С ДЛИНОЙ ВОЛНЫ
Эти формулы, известные из электростатики, остаются без из-
изменения, если действующим полем является периодическое поле
падающей плоско поляризованной волны
р Jmt.
с0 е ,
тогда индуцированный дипольный момент будет
Компоненты тензора поляризуемости могут быть комплексными;
они могут зависеть от со. Теперь мы можем напомнить некоторые
факты, хорошо известные из теории электромагнитного излуче-
излучения. Колеблющийся диполь излучзет во всех направлениях.
v
Рис. 9. Рассеяние электрическим диполем.
Этот вид рассеяния называется релеевским рассеянием. Пусть
точка Р находится на расстоянии г^§>Х от частицы и лежит в на-
направлении, которое образует с р угол у (рис. 9). Электрическое
поле рассеянной волны равно величине
умноженной на единичный вектор, направленный по компоненту
р, перпендикулярному радиусу-вектору.
Соответствующие интенсивности падающего и рассеянного
излучений будут (в гауссовых единицах; усреднение по времени
вектора Пойнтинга)
Интегрируя / по большой сфере, находим, что полная энергия,
рассеянная во всех направлениях в единицу времени, равна
W=^-k*c\p |2,
и, деля это выражение на /о, получаем сечение рассеяния
6.1. ПОЛЯРИЗУЕМОСТЬ И РЕЛНЕВСКОЕ РАССЕЯНИЕ 81
где |а| определяется соотношением
a I, m, n — направляющие косинусы Ео относительно трех глав-
главных осей тензора поляризуемости.
Необходимо проводить четкое различие между направле-
направлениями, которые здесь вводятся. Значение |а| определяется- ори-
ориентацией Ео по отношению к частице; направление распростра-
распространения падающего света может быть любым. С другой стороны,
угловое распределение рассеянного света определяется углом
с направлением р. Интенсивность рассеянного света равна нулю
в направлении р, но может иметь ненулевое значение в направ-
направлении Ео. Высказанные здесь соображения можно представить
в виде формул. Для наиболее общего случая, когда сц, аг и аз
не равны, а падающий свет является эллиптически поляризован-
поляризованным или естественным светом, формулы для интенсивности со-
содержатся в неявном виде в решении для частиц с хаотической
ориентацией, приведенном в разд. 6.5.
6.12. Случай, когда поляризуемость изотропна
В наиболее простом случае, когда
картина значительно упрощается. Тогда направления р и Ео
всегда совпадают, и в предыдущих формулах а можно рассмат-
рассматривать как скаляр. Поэтому угол у измеряется углом между
направлением рассеяния и Ео. Если, как и прежде, 9 — угол рас-
рассеяния, то для составляющей в плоскости рассеяния (/-компо-
(/-компонент) y^SO0 — 9, а для составляющей, перпендикулярной этой
плоскости (r-компонент), у = 90°. Тогда поле рассеянной волны
получается с помощью тензора рассеяния (разд. 4.41):
/52 53\ /cos6 О
U4 V^'*3*! О 1
Кроме того, мы можем перейти прямо к интенсивностям и найти,
например, для естественного падающего света с интенсивностью
/о интенсивность рассеянного света
, A +COS2 6) k*\a\a ,
— 2г2 7<>-
В этом выражении единица получается из Si (9) и соответствует
r-компоненту (электрический вектор перпендикулярен плоско-
плоскости рассеяния), a cos2 9 получается из S2(9) и соответствует
6 Заказ J* 374
82 s. частицы, малые по сравнению с длиной волны
/-компоненту рассеянного света (электрический вектор в плоско-
плоскости рассеяния).
Рис. 10 иллюстрирует эту формулу хорошо известной диа-
диаграммой рассеяния. Сплошная линия обозначает полную интен-
интенсивность, пунктирные линии — интенсивности поляризованных
компонентов; свет, рассеянный под углом 90°, полностью поляри-
поляризован в направлении г. Хотя эта диаграмма обычно рассматри-
рассматривается как индикатриса релеевского рассеяния, однако следует
1*2
Рис. 10. Релеевское рассеяние: полярная диаграмма интенсив-
интенсивности рассеянного света в случае, когда падающее излучение
неполяризовано; / — интенсивность поляризованного излучения
с электрическим вектором, перпендикулярном плоскости чер-
чертежа; 2 — интенсивность поляризованного излучения с электри-
электрическим вектором, лежащим в плоскости чертежа; сумма 1+2
равна полной интенсивности.
отметить, что она верна только при том условии, что падающий
свет является естественным, а частицы изотропны (т. е. а—ска-
а—скаляр). Для анизотропных частиц свет, рассеянный под углом 90°,
не является полностью поляризованным (разд. 6.52). Формулы
для падающего света произвольной (частично эллиптической)
поляризации могут быть получены из разд. 4.42.
6.13. Поглощающие частицы
Поглощающие частицы характеризуются комплексными зна-
значениями поляризуемости. В простом случае, когда а1 = <Х2 = аз = аг
амплитудная функция для 0 = 0° является скаляром
так что с помощью общего соотношения разд. 4.21 находим
6.2. НЕКОТОРЫЕ ПРОСТЫЕ ПРИМЕНЕНИЯ 83
Здесь необходима небольшая, поправка. Использованное только
что общее соотношение должно давать сечение ослабления, ко-
которое включает как рассеяние, так и поглощение. То, что при
подстановке вещественного значения а результат равен 0, пока-
показывает, что рассеяние здесь не учтено. Это вызывается тем об-
обстоятельством, что мы пренебрегли обратным действием излуче-
излучения на колеблющийся диполь. Это обратное действие фактически
вызывает небольшое запаздывание фазы р по отношению к Ео
даже для непоглощающей частицы. Сечение рассеяния вычис-
вычисляется проще всего интегрированием интенсивности рассеянного
света по всем направлениям, как это сделано в разд. 6.11. Пол-
Полное сечение ослабления есть
^осл. — ^рас. ~г" ^погл. )
где Срас. следует взять из разд. 6.11, а СПОгл. дается формулой,
приведенной выше. Если бы мы пожелали получить непосред-
непосредственно Сосл. из общей формулы ослабления, нам следовало бы
воспользоваться более точной формулой для 5@), которая вклю-
включает обратное действие излучения:
5 @) = ik*a + -J- k6a2.
Более полное исследование членов высших порядков можно вы-
выполнить с помощью строгой теории для сферических частиц, для
которых разложение в ряды дается в разд. 10.3 и 14.21. Это ис-
исследование показывает, что если а вещественно, то полученное
выше второе слагаемое 5@) действительно является первым
вещественным членом, но существуют также и мнимые члены по-
порядка k5.
Важно заметить, что при а, не зависящем от Я, рассеяние про-
пропорционально h~4V2, а поглощение — X~lV. Для очень малых
частиц (У->0) поглощение, если оно вообще имеет место, стано-
становится главным эффектом.
Более общий случай, когда а — тензор, не представляет серь-
серьезных затруднений. В этом случае 5@) заменяется четырехком-
понентным тензором, и среда, состоящая из таких частиц, может
оказаться дихроичной. Все подробности можно получить из
разд. 4.41.
6.2. Некоторые простые применения
6.21. Определение размера и числа частиц
Разд. 6.13 был посвящен главным образом ослаблению. Если
рассматривается среда, состоящая из малых рассеивающих и
поглощающих частиц, и если в соответствии с теорией, изложен-
6»
84 6. ЧАСТИЦЫ, МАЛЫЕ ПО СРАВНЕНИЮ С ДЛИНОЙ ВОЛНЫ
ной в разд. 4.3, записать комплексный показатель преломления
среды в виде
т = п — in!,
то эффект ослабления выражается величиной п'. Столь же су-
существенное значение имеет вещественная часть показателя пре-
ломления п (совпадающая с т для непоглощающих частиц). По
существу, когда еще до 1850 г. Томсон, Мозотти и другие начали
исследовать показатели преломления для среды (такой, как газ
или жидкость), они тоже имели в виду среду, состоящую из ма-
малых рассеивающих частиц. Связь наших формул с классическими
формулами молекулярной оптики была выяснена в разд. 4.5. При
простейших условиях — малые частицы, далеко отстоящие друг
от друга,— показатель преломления дается формулой п. 3
разд. 4.5, которую можно вывести из обеих этих теорий. Если,
кроме того, предположить, что а вещественно, мы имеем
n=l+2naN.
Здесь нужно сделать важное замечание. Диаграмма рассея-
рассеяния одинакова для всех частиц с размерами много меньше К.
Поэтому определить размер частиц по виду диаграммы рассея-
рассеяния нельзя. Интенсивность рассеянного света пропорциональна
количеству частиц N в 1 см3, которое, вообще говоря, неизвестно,
так что для определения размеров частиц в этом случае недоста-
недостаточно знать одну только интенсивность.
К счастью, имеется возможность скомбинировать два эф-
эффекта. Измерения рассеяния (под углом 90° или проинтегриро-
проинтегрированного по всем углам) дают величину Na2. Измерения показа-
показателя преломления среды дают величину Na. Поэтому мы можем
найти отдельно N и а. Таким образом, проблема оказывается ре-
решенной, так как, зная N и плотность среды, мы сразу находим
массу одной частицы, или, зная массу и строение каждой ча-
частицы, находим объем., которому а, вообще говоря, пропорцио-
пропорционально.
Принцип, описанный выше в общих чертах, служит основой
для; большого числа практических приложений. В течение дли-
длительного времени он применялся для определения числа Авогадро
по изучению света, рассеиваемого идеальным газом с извест-
известным показателем преломления (например, воздухом) (разд.
6.53). Совсем недавно он возродился в качестве чрезвычайно
эффективного метода определения молекулярного веса высодо-
молекулярных полимеров и более простых молекул (метод Де-
Девая; см. разд. 19.12). Подробности этих методов, а также фор-
формулы здесь пришлось опустить.
6.2. НЕКОТОРЫЕ ПРОСТЫЕ ПРИМЕНЕНИЯ 85
Важно отметить в этой связи, что столь же легко и с той же
точностью аналогичные методы могут применяться к любой
среде, состоящей из малых твердых частиц или капелек, при ус-
условии, что длина волны достаточно велика по сравнению с их
размером. Так как а пропорционально объему одной частицы V,
то показатель преломления п зависит (в этом приближении)
только от объемной концентрации NV и не зависит от размера
частиц. Однако рассеяние при данной объемной концентрации
тем эффективнее, чем крупнее частицы.
6.22. Частицы с показателем преломления, близким к 1
Дипольный момент р твердой частицы в электрическом поле
равен
где dV — элемент объема частицы и Р—-поляризация на единицу
объема, которая в любой точке внутри частицы дается выраже-
выражением
где Е — электрическое поле, а т — комплексный показатель
преломления в этой точке. Это является прямым следствием
уравнений Максвелла. Затруднение состоит в том, что Е в свою
очередь зависит от поляризации частицы. Этой трудности не воз-
возникает, когда т близко к 1 во всей частице. Тогда поле Е можно
принять равным действующему полю Ео, и мы имеем
а== "Т
Если, кроме того, частица однородна, то
Оба результата не зависят от направления (а изотропно), и
они остаются в силе для частиц произвольной формы. Отсюда
следует, что сечения, согласно разд. 6.11 и 6.13, имеют вид
СПОгл.=—kV\m(m,2— 1).
При условиях, принятых в этом разделе, с помощью формулы
т2 = е —
2 = е — 4гс/ —
10
86 6. ЧАСТИЦЫ, МАЛЫЕ ПО СРАВНЕНИЮ С ДЛИНОЙ ВОЛНЫ
(разд. 9.12 и 14.1), где w = kc, e«l и у = 4ла/с, последнее выра-
выражение приводится к виду
Этот результат следует также непосредственно из расчета джоу-
лева тепла, выделяющегося в частице.
Во всех формулах для случая т, близкого к 1, мы можем
заменить с одной и той же степенью приближения т2—1 на
2(т—1). В частности, для всей среды имеем
т=\+{т— \)NV
<ср. разд. 4.5 и 6.21).
6.23. Свободные электроны
Другим очень простым приложением является поведение сво-
свободных электронов. Свободный электрон (заряд —е, масса гп),
находящийся в действующем осциллирующем поле Ео с круговой
частотой со, излучает как диполь р = аЕо, где
_
Для (a = kc это дает
п R7 • 1 С)-24 см
n = 1
Первый результат является точным выражением коэффициента
томсоновского рассеяния; он не зависит от длины волны, так как
зависимость а от со исключает k4 из общей формулы. Второй ре-
результат является приближением (для п, близких к 1) более об-
общей формулы Лорентца для газа из свободных электронов,
имеющей вид
/И(й2
Следует сделать два замечания.
1. Это не единственный пример, когда п<^1, а фазовая
рость больше с. Очень часто — именно, всегда, когда мнимая
часть 5@) отрицательна,— такой результат имеет место для
сред, состоящих из частиц размером порядка к.
2. При очень большой частоте связанные электроны рассеи-
рассеивают свет, как «фактически свободные» электроны. Это проис-
происходит при рассеянии рентгеновских лучей. В результате показа-
6.3. ШАРЫ И ЭЛЛИПСОИДЫ 87
тель преломления большинства сред для рентгеновских лучей
близок к 1 и лишь слегка меньше ее. Следовательно, чтобы вы-
вычислить рассеяние рентгеновских лучей твердой частицей, в сущ-
сущности, всегда нужно пользоваться формулами гл. 7.
6.3. Шары и эллипсоиды
Единственный нетривиальный случай, когда поляризуемость
частицы можно вычислить элементарным путем, это случай одно-
однородных шаров и эллипсоидов. Для таких частиц наведенное поле,
обусловленное поляризацией, а следовательно, также и полное
поле Е, постоянны внутри частицы. Интересующихся подробным
выводом мы отсылаем к другим источникам и приводим только
результаты и некоторые числовые данные.
6.31. Шары
Лорентц показал, что шары с радиусом а и объемом V неза-
независимо от направления имеют
. у= ^~* а3.
Непосредственная подстановка в формулы разд. 6.11 и 6.13 дает
Срас. и Спогл.; разделив полученные выражения на па2, находим
факторы эффективности (x=ka)
Q8 , /»2 — 12 / /и2 — 1 \
рас. 3 «2 + 2 ' ^погл. Ы Ш1 V /»2 + 2 У '
Они являются первыми членами разложений в ряды, выводимых
в разд. 10.3 и 14.21. В частном случае очень больших т
Относительно полностью отражающих шаров (т=оо) см.
разд. 10.61..В частном случае тп, близких к 1,
| m - 112, Qnor., = - 4f- Im (m - 1).
6.32. Эллипсоиды
Если направление Ео совпадает с направлением одной из глав-
главных осей эллипсоида (/=1, 2, 3), то для любой точки внутри
эллипсоида
^8 6- ЧАСТИЦЫ, МАЛЫЕ ПО СРАВНЕНИЮ С ДЛИНОЙ ВОЛНЫ
где Lj — три множителя, зависящие от отношений осей. Объеди-
Объединяя это уравнение со вторым уравнением разд. 6.22, мы можем
исключить Е и найти р:
p
Отсюда следует уравнение
4ica/ J ' /П2 — 1 '
которое дает три главных значения <ц, аг, аз тензора поляризуе-
поляризуемости.
Для; произвольного отношения полуосей а, Ь и с имеем
00
_з_ ji_ _i_ •
о 2 (s + а2) 2 (S+62) 2 (s + с2) 2
Формулы для L2 и L3 получаются из формулы для Lx с по-
помощью циклических подстановок. Всегда выполняется соотно-
соотношение
Шары имеют L = -x- независимо от направления, откуда мы полу-
получаем формулы разд. 6.31. Ниже приводится сводка формул для
L для различных частных случаев.
Сфероиды (Ь = с)
вытянутые (а>6):
2 1 b2 j 1 — «
е2 1 *
сплюснутые (а
а, близкое к Ь, вытянутые или сплюснутые:
. _ 1 , 4 Ъ — а
Li~ 3 ' 15 а '
Числовые значения приводятся в табл. 1.
Плоский эллиптический диск (Ь^>а,
Li=l, L2=L3=0.
Длинный эллиптический цилиндр
г п / ___?_ г _ Ь
^i —и, ^2—у-^-, ь3 — -f+T •
6.3. ШАРЫ И ЭЛЛИПСОИДЫ
Для эллипсоидов, не принадлежащих к этим частным видам,
L\, Li, L3 можно найти численным интегрированием или снять их
значения с графиков Осборна A945). Впрочем, иногда более
удобной и достаточно точной оказывается интерполяция. Табл. 2
является наглядным примером такой интерполяции. Иногда по-
полезно правило, состоящее в том, что приближенные решения
(h< h, 4) получаются из соотношений
i • ¦ * о а о с
Ошибки | /—L | во всех случаях не превышают 0,036.
Таблица 1. Значения L для сфероидов (Ь — с)
Ь/а
0 (стержни)
0,2
0,4
0,6
0,8
1 (шары)
Вытянутые
0,000
0,056
0,134
0,210
0,276
0,333
и
0
0
0
0
0
0
,500
,472
,433
,395
,362
,333
0
0
0
0
0
1
alb
(диски)
,2
,4
,6
,8
(шары)
Сплюснутые
1,000
0,750
0,588
0,478
0,396
0,333
0,000
0,125
0,206
0,261
0,302
0,333
Таблица 2. Пример интерполяции
а Ь с
Эллиптический диск . .
Вытянутый сфероид . .
Интерполяция
Сплюснутый сфероид . .
Эллиптический цилиндр
1 3 0
1 3 1
1 3 2
1 3 3
1 3 оо
0,000 0,000 1,000
0,445 0,110 0,445
0,579 0,157 0,264
0,636 0,182 0,182
0,750 0,250 0,000
Далее, сечения рассеяния и поглощения получаются путем
вычисления си, аг и аз из уравнения, приведенного в начале этого
раздела, и последующей подстановки этих значений в любое
уравнение разд. 6.11 или 6.13. Эти формулы справедливы как
при вещественных, так и при комплексных значениях т.
90
6. ЧАСТИЦЫ, МАЛЫЕ ПО СРАВНЕНИЮ С ДЛИНОЙ ВОЛНЫ
В табл. 3 приводятся формулы для поляризуемости для не-
некоторых значений L и даваемые ими числовые значения для не-
некоторых т. Эти числа показывают, насколько сильно зависит
поляризуемость, а следовательно, и эффективность рассеяния
малой частицей, как от ее показателя преломления, так и от ее
формы. Сильно вытянутые сфероиды (иглы) имеют L = 0 в на-
направлении длины и L = '/2 для поперечных направлений; плоские
эллиптические диски имеют L=l для поля, приложенного пер-
перпендикулярно их плоскости, и L = 0 для поля, приложенного в их
плоскости.
Таблица 3. Некоторые характерные значения величины 4па/К
1-=0
1 - з
L 2
L - 1
т = 2,0
3,00
1,50
1,20
0,75
т « 1,5
1,250
0,882
0,769
0,556
т 1,25
0,562
0,474
0,439
0,360
Произвольное т
/Я2 —1
3(/и2—1)
«2-1-2
2(/и2—1)
/и2+1
/»2—1
«2
Применение этих формул можно проиллюстрировать число-
числовым примером. Пусть плоско поляризованное излучение падает
перпендикулярно на иглу, длина и толщина которой малы по
сравнению с к. В этом случае сечение рассеяния будет наиболь-
наибольшим, если электрическое поле приложено вдоль иглы, и наимень-
наименьшим, если оно перпендикулярно игле. Для очень удлиненной
иглы отношение сечений рассеяния равно
C/1,2J=6,25 при т = 2
и
@,562/0,439J=1,64 при /п=1,25.
Если, однако, игла металлическая, то показатель преломле-
преломления будет комплексным, например
/я= 1,27—1,37/.
В таком случае
т2—1= —1,27—3,48»
Ana/V=—1,27—3,48/
6.3. ШАРЫ И ЭЛЛИПСОИДЫ 91
для поля вдоль оси (L=0) и
4na/V= 1,77—1,10/
для поля поперек оси (L=ll2). Тогда отношение сечений погло-
поглощения будет равно отношению мнимых частей, т. е.
3,48/1,10 = 3,16.
6.33. Эллипсоиды из анизотропного вещества
Кларк Джонс A945) рассмотрел распространение этих ре-
результатов на эллипсоиды из анизотропного вещества. В уравне-
уравнениях появляются два тензора, а именно: L (с главными осями,
совпадающими с главными осями эллипсоида, и с главными зна-
значениями Lj, определенными выше) и е, соответствующий на-
нашему т-, ориентация которого зависит от осей вещества (напри-
(например, кристалла), из которого вырезан эллипсоид. Основные урав-
уравнения таковы:
Е=Е0—L-4nP,
4яР=(е— 1)Е.
Как и для изотропных веществ, Р оказывается постоянной, так что
р = Р1/=аЕо, где а — снова тензор. Исключение Е дает явное вы-
выражение для а, которое оказывается сложным, если не сущест-
существует зависимости между одиентацией эллипсоида и е. Исключе-
Исключение Р дает
6.34. Сферические оболочки
В последнее время внимание привлекла проблема шара, по-
покрытого концентрической сферической оболочкой из другого ве-
вещества '. Пусть (рис. 11)
e = ei для 0<^r<^qa,
е = б2 Для qa<^r<^a,
8=1 для г> а.
Сведения о поляризуемости а такого тела найти в литера-
литературе довольно затруднительно, хотя весьма вероятно, что кто-
нибудь уже решал эту задачу. Однако это решение содержится
в неявном виде в полном решении для рассеяния электромагнит-
1 Эта задача была впервые решена К. С. Шифриным (Изв. АН СССР, сер.
геофиз., № 2, 15, 1952). — Прим. ред.
92 6. ЧАСТИЦЫ. МАЛЫЕ ПО СРАВНЕНИЮ С ДЛИНОЙ ВОЛНЫ
ных волн произвольной длины волны телами этого типа (см. разд.
16.1). Выражение для коэффициента ах можно заимствовать
у Гюттлера A952). Из сравнения формул разд. 6.12 и 10.3 имеем
Рис. 11. Шар, покрытый сферической
оболочкой из другого вещества.
для случая, когда размер мал по сравнению с длиной волны;
а
О1 \и) — °2 V-7 — lR a — ^Г а1л .
где x=ka. Тем самым найдено значение а. Окончательно имеем
Я. = (
В частных случаях, когда q—0, или Q—\, или ei — ег, или Бг=1,
это выражение сводится к формуле для однородного шара. В слу-
случае, когда 8i = l, е2=е, т. е. для полой сферической оболочки,
оно может быть преобразовано к виду
(ч + 2) (?1 -Ь 2?2) + Ф B*2 — 2) (н —
Табл. 4 дает некоторые числовые значения для е=81 (вода
для очень низких частот). Таблица показывает, что полая водя-
водяная оболочка толщиной в Vs наружного радиуса обладает поля-
поляризуемостью, которая лишь на 5% ниже поляризуемости сплош-
сплошной сферической капли воды с тем же самым внешним радиу-
радиусом. Поляризуемость составляет половину поляризуемости
сплошного шара, когда толщина оболочки составляет 2% ее ра-
радиуса.
6.4. РЕЛЕЕВСКОЕ РАССЕЯНИЕ; МАЛЫЕ ЧАСТИЦЫ с т - оо
93
Таблица 4. Поляризуемость полой оболочки с а — 81
Q
0
0,464
0,585
0,670
0,737
0,794
Ф
0
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
о/а3
0,964
0,959
0,950
0,942
0,930
0,914
и
0,843
0,888
0,929
0,965
0,980
0,990
q*
0,60
0,70
0,80
0,90
0,94
0,97
г/а3
0,894
0,851
0,794
0,648
0,521
0,352
6.4. Условия существования релеевского рассеяния;
малые частицы с т = оо
До сих пор мы принимали очевидное условие, состоящее
в том, что внешнее поле можно рассматривать как однородное:
1) размер много меньше
(для шара
Однако для наличия релеевского рассеяния требуется выполне-
выполнение второго условия. Действующее поле должно проникать в ча-
частицу настолько быстро, чтобы электростатическая поляризация
устанавливалась за время, малое по сравнению с периодом ко-
колебания. Скорость внутри частицы равна с/т. Таким образом,
второе условие таково:
2) \т\- размер<§Я/2я (для шара |mx|<i).
Так как длина волны внутри частицы равна К/т, то мы можем
выразить это условие еще и в такой форме: размер должен быть
мал по сравнению с длиной волны внутри частицы. Если усло-
условие A) выполняется, а B) нет, то мы находимся в «резонансной
области». Здесь внутреннее поле не совпадает по фазе с внеш-
внешним полем. Волны проникают в частицу медленно, и они могут
породить различные системы стоячих волн. Кроме электриче-
электрического дипольного излучения, мы имеем магнитное дипольное из-
излучение, квадрупольное излучение и т. д.; каждое из них всту-
вступает в резонанс при вполне определенных значениях отношения
размера к длине волны. Этот резонанс связан с собственными
колебаниями частицы. Для эллипсоидов в этом случае не было
разработано общей теории. Резонансные эффекты для шаров
рассматриваются в разд. 10.5 и 14.31.
94 6- ЧАСТИЦЫ, МАЛЫЕ ПО СРАВНЕНИЮ С ДЛИНОЙ ВОЛНЫ
Если \т\ очень велико, то может оказаться выполненным ус-
условие, обратное условию B), в то время как условие A) остается
справедливым. Это означает, что поле вряд ли вообще проникает
в частицу. Причиной чаще всего является настолько большая
проводимость, что толщина «скин-слоя» (разд. 14.41) мала по
сравнению с радиусом.
В пределе при т=оо тело оказывается идеальным проводни-
проводником, и внутреннее поле равно нулю. Из-за простоты этого условия
оно часто использовалось на практике. Однако такие «малые
идеально проводящие» частицы не соответствуют малым части-
частицам, рассматриваемым в других разделах этой главы. Они не
удовлетворяют сделанным предположениям, поскольку размер
частицы не мал по сравнению с длиной волны внутри частицы.
Поэтому для них требуется отдельная теория. Несколько более
подробный вывод для шаров дается в разд. 10.61. Рассеяние сла-
слагается из электрического дипольного и магнитного дипольного
излучений. Аналогичную проблему для однородных эллипсоидов
(включая шары) можно решать следующим формальным спо-
способом.
Пусть как электрическое, так и магнитное поля падающей
волны ориентированы вдоль главной оси эллипсоида, и пусть
соответствующие значения L (разд. 6.32) будут La и Lm. После
подстановки т2 = оо в формулу разд. 6.32 электрическая поля-
поляризуемость оказывается равной
Используя правило из примечания на стр. 138 (разд. 9.11),.
при \i = 0 имеем аналогичное уравнение для магнитной поляри-
поляризуемости:
V
На рис. 12 показана часть поверхности сферы с центром
в рассеивающей частице. Здесь Ео, Но и F представляют собой
направления электрического и магнитного полей и направление
распространения падающей волны. Произвольное направление,
определяемое углами 0 и ср, можно также охарактеризовать уг-
углами у и р с электрическим и магнитным диполями, причем
cos Y = sin G cos ср. cos p = sin G sin cp.
Поля, излучаемые соответственно электрическим и магнитным
диполями, будут
Ее = Не — С a sin v,
и
Em = Hm = Ca' sin p,
6.4. РЕЛЕЕВСКОЕ РАССЕЯНИЕ: МАЛЫЕ ЧАСТИЦЫ с m - - со
95
где C = E0k2r~l exp (—ikr). Опуская фазовый множитель и прини-
принимая во внимание, что а' отрицательно, получим (как показано
на рисунке), что Ее направлено по Ео и Нт направлено противо-
противоположно Но. Разлагая и складывая составляющие полей по на-
направлениям 0 и ф, которые ясны из рисунка, получим
Еь = С (a cos G + а') cos ф,
Еч = — С (а -\- а' cos G) sin ф.
F
?- компонент
Рис. 12. Ориентация векторов при
суммарном диполыю-электрическом и
дипольно-магнитном рассеянии ма-
малым проводящим эллипсоидом.
Интенсивность и состояние поляризации рассеянного излучения
определяются этими формулами. Интенсивность равна
/ = _^l[a2(i -sin2 6 cos2 сэ) +а'2A -sin2 6 sin2 <p) +
+ 2aa'cos6].
Интегрированием находим сечение рассеяния
Положив в этих уравнениях a = a3, a' = o~a3> можно получить
формулы для шаров (разд. 10.61). Формулы для очень плоских
сфероидов (дисков) в случае нормального падения излучения
(разд. 16.22) находятся подстановкой а = 4а3/3я, а' — —са2/3
(пренебрежимо мало); здесь а — большая и с — малая полуоси.
Интересно отметить, что любой идеально проводящий сфе-
сфероид, освещенный линейно поляризованным излучением с Н,
Э6 6. ЧАСТИЦЫ. МАЛЫЕ ПО СРАВНЕНИЮ С ДЛИНОЙ ВОЛНЫ
параллельным оси, имеет ту же самую диаграмму рассеяния, что
и идеально проводящий шар, так как у такого сфероида всегда
0' = —а/2.
6.5. Малые частицы с хаотической ориентацией
В этом разделе рассматривается рассеяние облаком, состоя-
состоящим из множества малых одинаковых частиц, которые ориенти-
ориентированы случайным образом. Этот случай не требует пространного
объяснения. Расчет для,- одной частицы с заданной ориентацией
следует из теории, изложенной в разд. 6.11; суммарное действие
многих частиц рассмотрено в гл. 5.
6.51. Матрица рассеяния для одной частицы
Малая частица характеризуется тремя главными компонен-
компонентами аь аг и а3 ее тензора поляризуемости. Ориентация частицы
в пространстве определяется тремя взаимно перпендикуляр-
перпендикулярными единичными векторами Пь п2 и п3, которые дают направле-
направления трех осей, соответствующих этим значениям поляризуемости.
Пусть падающий свет распространяется в направлении z, и
пусть направление, в котором мы хотим найти интенсивность рас-
рассеянного света, лежит в плоскости ZOY (см. рис. 7, разд. 5.22).
Обозначим через пх, пу, п2 единичные векторы в направлении
осей, а через 0 — обычный угол рассеяния. Пары векторов, по от-
отношению к которым определяется состояние поляризации, это
A0, г0) = (п„, пх)
для падающей волны и
A, г) = (пу cos G — nz sin G, nT)
для рассеянной волны.
Электрический вектор падающего света записывается в наи-
наиболее общем виде следующим образом:
Ео = EOl n у + ЕОгпх.
С помощью линейных соотношений
пх = спщ
Щ — ^21^1 -j- С22П2 + С23П3,
Пг = С31П! -f- С32П2 + С33П3
его можно зап-исать в виде, удобном для применения теории
разд. 6.11. Тем самым находится индуцированный дипольный
6.5. МАЛЫЕ ЧАСТИЦЫ С ХАОТИЧЕСКОЙ ОРИЕНТАЦИЕЙ 97
момент р и, наконец, умножением р на пх, пу и nz — его состав-
составляющие по осям. Окончательные значения таковы:
рх = EOrPn -f- ЕаР 12,
Ру — ЕогРгг + Е01Р22,
где постоянные Р обозначают величины
Электрическое поле Е рассеянной волны является составляю-
составляющей р, перпендикулярной радиусу-вектору и умноженной на
выражение
В наших обозначениях Е можно записать в'виде
E — Ei (n^cos G — nrsin G) + Ernx.
Следовательно,
Ег = (py cos Ь - рг sin 6) k4~ikr ¦ -i-,
Таким образом, мы получили окончательные формулы, с по-
помощью которых Ei и Ет выражаются в виде линейных комбинаций
?;о и Его. В обозначениях разд. 4.41 матрица преобразования бу-
будет
^ /P22cos6 — P23sin6, P12cos&— P13sin
Ik \ p D
Эта матрица выражает в самой общей форме рассеяние поляри-
поляризованного света любого вида (включая случай эллиптической по-
поляризации) малой частицей с любой ориентацией.
6.52. Рассеянный свет и факторы деполяризации
Для того чтобы найти суммарное действие всех частиц, нам
нужно вычислить матрицу преобразования параметров Стокса
согласно формуле разд. 5.14. Элементы этой матрицы содержат
произведения Приведенных выше элементов. Эти произведения
являются квадратичными по Р, т. е. четвертого порядка по cik и
второго порядка по а. Мы должны взять средние от этих произве-
произведений по всевозможным ориентациям частиц.
Из соображений симметрии ясно, что многие из произведений
7 Заказ № 374
98
6. ЧАСТИЦЫ, МАЛЫЕ ПО СРАВНЕНИЮ С ДЛИНОЙ ВОЛНЫ
при усреднении дают 0. Единственные неисчезающие члены чет-
четвертого порядка — это члены типа
?н* (четвертая степень направляющего косинуса)Ср = Vs.
Сц'сц' (квадраты косинусов из одной и той же строки или столбца)^ = Vis.
Сц%а' (квадраты косинусов из разных строк и разных столбцов)Ср_ — Vis,
"цСцСлСа (элементы, общие для двух строк и для двух столбцов),^ — —'/м-
Вывод этих средних с помощью углов Эйлера можно опустить.
Из соображений симметрии ясно также, что остаются только
два члена второго порядка по а. Мы обозначим их через
причем здесь учтено, что а могут быть комплексными (звездочки
обозначают комплексно сопряженные величины); А и В — веще-
вещественные.
Отсюда следует, что сохраняются только следующие произве-
произведения множителей Р с ненулевыми средними значениями:
p\\Piv Р^Р%2, РгзР*зз> среднее значение = ЗА -f 2B;
РцР*12> ^23^23' ^з^зи среднее значение = А — В;
P*
1И 22>
DP*
ОЗМ!»
р р*
'XV 33'
среднее значение = А + 4в.
Непосредственная подстановка в матрицу преобразования
(разд. 5.14) дает теперь интенсивность рассеянного света в рас-
расчете на одну частицу облака:
\v
к'
)sin-9, ~[(?Л * ЗВ) sin7/?,. 0 0\
sin* в, [ZA*5B)(l-{ sin2 в), О О
0 BА+ЗВ) cos в, 0
Г) 5BcosB \V0
6.5. МАЛЫЕ ЧАСТИЦЫ С ХАОТИЧЕСКОЙ ОРИЕНТАЦИЕЙ
99
Эта матрица есть не что иное, как матрица F, определенная
в разд. 5.13 и использовавшаяся всюду в последующих разделах
гл. 5. Видим., что соотношения симметрии выполняются. Найден-
Найденное выше выражение имеет симметрию:
случая 6, разд., 5.22, при произвольном 0,
случая 13, разд. 5.31, при 9=0°,
случая 13а, разд. 5.32, при 6= 180°.
Однако в этом случае принято пользоваться матрицей F',
определенной в разд. 5.14. Тогда соотношение имеет вид
/,
Bf\*3B) cos*В +А-В, Л-В,
А-В,
ЗА * 2В,
О (ZA + 3B) cos в, О
0
О
5Всоъв
o
'го
"о
Эта формула содержитувсе данные об интенсивности и поля-
поляризации рассеянного света в случае, когда падающий свет имеет
произвольное состояние поляризации. Имеются два простых слу-
случая (оба в представлении /;, Ir, U, V).
1. Падающий свет является естественным светом
4-Ль 4" 7°> 0, О).
Свет, рассеянный под углом 0 = 90°, имеет параметры
4-/0?V-2BA-2?, 4А+Я, 0, 0),
т. е. он является частично плоско поляризованным, а отношение
интенсивностей /,//г = Д определяется выражением
2А — 2В
4А
2. Падающий свет является плоско поляризованным в напра-
направлении г, так что его параметры равны @, /о, 0, 0). Свет, рассеян-
рассеянный под углом G = 90°, характеризуется параметрами
/0&4г-2(Л — В, ЗА + 2В, 0, 0),
100 S. ЧАСТИЦЫ. МАЛЫЕ ПО СРАВНЕНИЮ С ДЛИНОЙ ВОЛНЫ
и отношение интенсивностей равно
А —В
у —
ЗЛ + 2В
Величины А и А' являются факторами деполяризации '; они свя-
связаны между собой соотношениями
1 + Д' ' 2 — Д '
Оба фактора деполяризации равны 0, если поляризуемость изо-
изотропна, и они имеют наибольшие значения А = 1/2, А' = 1/3, если
частица может быть поляризована только в одном направлении.
Эти формулы применяются чаще всего при рассмотрении рас-
рассеяния отдельными молекулами; значения А для многих молекул
даются, например, Стюартом A936). Измерения рассеяния поз-
позволяют получить только одно соотношение между тремя значе-
значениями поляризуемости сц, а2, аз- Для определения второго соот-
соотношения требуется совсем иной эксперимент (эффект Керра).
Третье соотношение получается при измерении значения показа-
показателя преломления (см. ниже).
6.53. Прошедший свет; показатель преломления и ослабление
Плоская волна, пропущенная средой, претерпевает изменение
интенсивности (ослабление) и фазы (показатель преломления)
согласно общим формулам гл. 4. Матрица рассеяния для 0 = 0°
есть
/5,@) $з@)\
\SA@) 5,@)/ 1 Ч1-1а, 1-ш
Эта матрица определяет распространение волны, если ориен-
ориентация частиц не хаотична. При случайной ориентации нужно
усреднить отдельные элементы; недиагональные элементы исче-
исчезают, а диагональные элементы равны между собой, так как
Мы принимаем эти равенства за определение а. Имеется соот-
соотношение
3|а|2 = ЪА + ЮВ.
1 Происхождение этого несколько неудачного термина связано с тем, что
до 1930 г. отношение Ii'Ir для частично поляризованного пучка .обычно обо-
обозначали как его деполяризацию. Этот термин не имеет прямого отношения
к теориям рассеяния.
6,5. МАЛЫЕ ЧАСТИЦЫ С ХАОТИЧЕСКОЙ ОРИЕНТАЦИЕЙ Ю1
В результате мы снова имеем дело со случаем «скалярного» рас-
распространения, рассмотренным в разд. 4.3 и 4.42, причем
S@) = ik3a.
Окончательное значение т, равное
т = 1 -f 2лЛГа,
учитывает эффекты вещественного показателя преломления
n=l+2.-t;VRe(a)
и ослабления, вызываемого поглощением. Среднее сечение по-
поглощения на частицу будет, так же как и в разд. 6.13,
С„огл. = — 4л/г1т(а).
Однако, как и для случая изотропных частиц, а еще не учи-
учитывает обратного действия излучения на диполь, так что вели-
величину полного рассеяния нужно вычислять отдельно. (При веще-
вещественном а только этим и вызывается ослабление.) Полное рас-
рассеяние легче всего вычисляется для падающего естественного
света. Интегрирование выражения
/ = k*r~21 4А + В - -i- BА + 35) sin2 Ь ) /0
по поверхности сферы радиуса г дает Срас./0. Находим
Г -Ml. КА-
'-'рас. " з ип,
коэффициент ослабления среды (при отсутствии поглощения)
есть у = -/VCpac..
Объединяя этот результат для Срас. с формулой для п — 1
(при отсутствии поглощения), получим
,
2*4 (?-lJ ,
T»
1 3* TV
где
jr ЗЛ 3 B + А)
^ Л i- 25 б - 7Л >
а Д — фактор деполяризации, определенный в конце разд. 6.52.
102 ЛИТЕРАТУРА
Вместо (га—IJ чаще пишут -г (га2—IJ, хотя для данного
приближения это не дает большей точности. Заменяя k на 2лД,
получаем результат
__ 8*3 (я 2— iJ
т~ 3X4 дг " -^'
весьма сходный по форме с выражением, впервые выведенным
Кабанном, а также с формулой, данной в работе Вокулера A951).
Последняя формула связывает две непосредственно наблю-
даемые величины: га — наблюдаемый показатель преломления
газа или среды, состоящей из малых частиц, и у —коэффициент
затухания в среде на единицу длины. Эта формула широко при-
применялась в теории атмосферного ослабления. Эксперименталь-
Экспериментальное исследование Вокулера показало, что более ранние измере-
измерения фактора деполяризации содержали систематическую ошибку.
Например, значения для воздуха
принятое раньше А = 0,0415, /=1,073;
по измерениям Вокулера А = 0,031, /= 1,054.
Новые значения дают совершенно правильное значение N.
ЛИТЕРАТУРА
Основные темы этой главы изложены в обычных руководствах и спра-
справочниках:
S t r a 11 о n J. A., Electromagnetic Theory, New York, McGraw-Hilt
Book Co., 1941.
(Русский перевод: Стрэттон Дж. А., Теория электромагнетизма, Гос-
техиздат, М.—Л., 1948.)
Born M., Optik, Berlin, J. Springer, 1933.
(Руский перевод: Борн М., Оптика, ОНТИ Украины, 1937.)
Stuart H. A., Handund Jahrb. Chem. Physik, 811, 1 A936).
Первыми статьями по релеевскому рассеянию являются статьи Релея:
Rayleigh, Phil. Mag., 41, 107, 274, 447 A871) (Sci. Papers 8 and 9).
Решение для эллипсоидов (разд. 6.32) дано в работах:
Rayleigh, Phil. Mag, 44, 28 A897) (Sci. Papers 230);
Gans R., Ann. Physik, 37, 881 A912),
а обобщение этого решения на частицы, состоящие из анизотропного веще-
вещества (разд. 6.32), — в статье
Clark Jones R., Phys. Rev., 68, 93, 213 A945).
Графики для быстрого определения множителей L. даны Осборном:
Osborn J. A., Phys. Rev., 67, 351 A945).'
В разд. 6.34 и 6.4 результаты в значительной степени являются новыми.
Задача об анизотропных частицах с хаотической ориентацией (разд. 6.5)
впервые была решена Релеем:
ЛИТЕРАТУРА ЮЗ
R ay lei gh, Phil. Mag., 35, 373 A918) (Sci. Papers 430).
Решение приводится в упомянутых учебниках и в книге
С a b а п n e s J., La diffusion moleculaire de la lumiere, Paris, Les pres-
presses universitaires de France, 1929.
Самое последнее определение числа Авогадро методом, описанным в об-
общих чертах в разд. 6.53, принадлежит Вокулеру:
Vaucouleurs G. de, Ann. phys., 6, 211 A961).
Интенсивность и поляризацию голубого света дневного неба можно найти
из теории многократного рассеяния по закону Редея. Эта теория, которая
использует параметры Стокса (разд. 6.52), рассматривалась следующими
авторами:
van de Hulst H. С, The Atmospheres of the Earth and Planets,
chap. 3, 2nd ed.,- G. P. Kuiper, ed., Chicago, Univ. of Chicago Press,
1952.
(Русский перевод 1-го издания: Атмосферы Земли н планет, под ред.
Дж. П. Койпера, гл. 3, ИЛ, М., 1951),
а полное решение дано в работах:
Chandrasekhar S., Radiative Transfer, Oxford, Oxford Univ.
Press, 1950.
(Русский перевод: Чандрасекар С, Перенос лучистой энергии, ИЛ,
М., 1953.)
Chandrasekhar S., Elbert D. D., Trans. Amer. Phil. Soc, 44,
643 A954).
7. РАССЕЯНИЕ РЕЛЕЯ-ГАНСА
В этой главе делаются следующие предположения:
1. Показатель преломления по отношению к окружающей
среде (который может быть комплексным) близок к 1:
2. «Фазовый сдвиг» мал:
2ka\m—
Здесь к = 2л/к и а — длина порядка размера частицы. Для ша-
шаров а обозначает их радиус.
Следовательно, налагается ограничение на размер частицы;
однако это ограничение состоит не в том, что размер частицы
должен быть много меньше X, как в гл. 6, но оно охватывает и
более широкий круг частиц с размерами много меньше л/| т—\ \.
3. Будет показано, что как следствие этого фактор эффектив-
эффективности мал:
<2осл.<1-
Совокупности условий 1 и 2 также достаточно для характери-
характеристики области применимости теории, изложенной в этой главе.
Окончательные формулы настолько просты, что они использова-
использовались' очень часто, иногда за пределами их применимости. Они
справедливы, например, при рассеянии рентгеновских лучей под
малыми углами и при рассеянии большинством молочных стекол.
7.1. Общие формулы
7.11. Частицы cm — I >0
Основой теории рассеяния Релея— Ганса является обычное
релеевское рассеяние. В разд. 6.12 мы нашли, что любая малая
частица объема dV имеет функции рассеяния
П
a
где, согласно разд. 6.22, при условии 1 мы имеем
(от2— \)dV m—\ ,.,
a == av .
a = = —jt
Недиагональные функции рассеяния S3@) и 54@) равны нулю.
7.1. ОБЩИЕ ФОРМУЛЫ Ю5
Эта формула применяется к каждому отдельному элементу
объема рассеивающей частицы. В силу условия 2 «действующее»
поле, которое воздействует на каждый элемент объема, не отли-
отличается заметно от первоначальной волны ни по фазе, ни по ам-
амплитуде. Волна проходит через частицу приблизительно так, как
если бы частицы совсем не было. Подобным же образом очень
слабая волна, рассеянная элементом объема в некотором направ-
направлении, может выйти из частицы, не будучи измененной или воз-
возмущенной наличием других элементов объема.
Мы не будем пытаться доказать эти утверждения формаль-
формальным путем на основании условия 2. Их справедливость очевидна
для больших частиц (ka~^>\), которые подчиняются законам лу-
лучевой оптики.
Следовательно, физическое обоснование рассеяния Релея—
Ганса очень простое: каждый элемент объема дает релеевское
рассеяние независимо от других элементов объема. Волны, рас-
рассеянные в данном направлении всеми этими элементами, интер-
интерферируют вследствие различия в положении элементов объема
в пространстве. Для того чтобы рассчитать ^интерференционные
эффекты, нам нужно привести фазы всех рассеянных волн к об-
общему началу координат и затем сложить комплексные ампли-
амплитуды. Это значит, что к выражению, данному выше, добавля-
добавляется фазовый множитель е'8. Теперь каждый элемент дает
S2(8)j - 2. * "" I cos 0,
а для всей частицы
lF)l
a(8)f=
Sa(8)f= 2,
где
Фазы б зависят от 0 и от положения Р. Их можно вычислить
следующим образом. Пусть единичный вектор в направлении па-
падающего пучка будет п, а в направлении рассеянной волны т.
Обозначим произвольное начало координат через О, а вектор
ОР — через г. Расстояние от (бесконечно удаленного) источника
до Р больше расстояния от О на гп, а расстояние от Р до (беско-
(бесконечно удаленного) наблюдателя меньше расстояния от О на rm.
Запаздывание фазы луча, рассеянного в Р, по сравнению с лучом,
рассеянным в О, находится сложением этих двух эффектов и ум-
умножением на k:
б =?г(т — п).
106
7. РАССЕЯНИЕ Р1-:ЛЕЯ-ГАНСА
Вектор m — п имеет длину 2 sin | вдоль биссектрисы угла
между направлениями m и —п. Это можно показать также гео-
геометрически. На рис. 13 OQ — биссектриса угла АОВ. Плоскость,
проведенная через Р перпендикулярно этой биссектрисе, пересе-
пересекает ее в Q, так что OQ = b. Все точки в этой плоскости имеют
один и тот же фазовый сдвиг
S = kb ¦ 2 sin -I .
Это наводит на мысль интегрировать
по «слоям», перпендикулярным биссект-
биссектрисе, причем каждый слой имеет площадь
В и толщину db. Тогда
ikb-2sin —
db.
Рис. 13. Геометрия рас-
рассеяния Релея — Ганса:
п — направление паде-
падения излучения н m—на-
m—направление рассеяния;
для удобства г изобра-
изображено в той же плоско-
плоскости, что и m и п.
Итак, мы можем заключить, что ам-
амплитуда рассеянной волны есть просто
амплитуда, найденная для релеевского
рассеяния и умноженная на функцию
R(Q, ф), которая не зависит от поляриза-
поляризации. Таким образом, поляризация рас-
рассеянного света оказывается точно такой
же, как для релеевского рассеяния. В ча-
частности, естественный падающий свет при
0 = 90° дает полностью поляризованный
свет.
Интенсивность находится умножением
интенсивности релеевского рассеяния на
\R(Q, ф) |2. Естественный падающий свет
интенсивности /0 дает (разд. 6.12 и
6.22) интенсивность рассеянного света
/ =
COS2 8 №V2 / m —
А-2
Для большинства частиц, имеющих простую геометрическую
форму, множитель ^@, ф) можно найти простым интегрирова-
интегрированием. При 0 = 0° мы имеем R = 1; таким образом, в направлении
вперед сохраняется релеевское рассеяние. В других направле-
направлениях |/?|<1. Общий результат дает картину с наибольшей яр-
яркостью в направлении малых углов.
7.2. ШАРЫ 107
7.12. Поглощающие частицы и частицы с т<С 1
Все формулы, полученные выше, справедливы для комплекс-
комплексных значений т, близких к 1, и только в формуле для интенсив-
интенсивности (т—IJ следует заменить на \т—112.
Если внешняя среда не является вакуумом, то возможны ве-
вещественные значения т, меньшие 1; например, для молочного
стекла т имеет значения от 0,90 до 0,95. Такие условия явля-
являются также обычными при рассеянии рентгеновских лучей. Ин-
Интересно, что показатели преломления l-f-е и 1—е, где е мало,
дают в точности одинаковую картину рассеяния. Это верно
также и для более общей задачи, рассмотренной в гл. 11. Однако
если е не очень мало, то это правило перестает быть справедли-
справедливым. Тогда для т<^\ и т > 1 требуются отдельные численные
расчеты.
Частицы с комплексным т не только рассеивают, но и погло-
поглощают. Так как амплитуда световой волны, рассеянной вперед,
является в точности амплитудой, вычисленной для релеевского
рассеяния, то и формула поглощения та же, что и для релеев-
релеевского рассеяния (разд. 6.31):
Qnoi-л. = — ^pIm (т<1 — 1) = — -у-Im (/га — 1).
Физически это ясно: падающая волна является фактически
невозмущенной, так что каждый элемент объема поглощает не-
независимо от других элементов., а полное поглощение, как и для
релеевского рассеяния, пропорционально полному объему.
То, что полное поглощение в противоположность полному рас-
рассеянию не уменьшается по сравнению с поглощением, даваемым
формулами для малых частиц, тем самым увеличивает роль
поглощения (ср. разд. 6.13).
7.2. Шары
7.21. Диаграмма рассеяния
Рассеяние шаром при условиях, рассматриваемых в этой
главе, впервые изучалось Релеем A881) и значительно позднее
независимо от него Гансом A925I.
1 Теория Релея—Ганса была распространена на полидисперсные системы
Рокаром (I. R о с а г d, Rev. d'Optique, 9, 27, 1930). Однако в работе Рокара
допущена ошибка, которая была недавно обнаружена и исправлена К. С. Шиф-
риным и В. Ф. Раскиным (Труды Главн. геофиз. обе, вып. 100, 1960).—
Прим. ред.
108 7. РАССЕЯНИЕ РЕЛЕЯ — ГАНСА
Обозначим радиус через а и сделаем подстановки
6
х = ka, Ь = za, и = 2х sin -у, 8 = г«,
тогда «ломтик» имеет толщину adz и радиус а~\/ 1—2 2, так что
мы можем выполнить интегрирование сразу:
#(9,?)=-f-
-l
где
l
з Г
О (и) = -»- | cos zu • A — 22) afz =
о
= —g- (sin « — и cos «) = у k^Jз_(и).
2
Числовые значения функции G(u) и ее нули можно найти
в разд. 7.4.
При этих условиях полные амплитудные функции для шара
принимают вид
S, (б)
а интенсивность рассеянного света для естественного падающего
света будет
Этой формуле можно придать иной вид с помощью подстановок
-х", V = -j-w3 и т. д.
Согласно общему правилу, изложенному в разд. 7.11, интен-
интенсивность в направлении вперед является в точности интенсив-
интенсивностью релеевского рассеяния, так как G@) = l. При малых >:
рассеяние назад несколько меньше рассеяния вперед; с увеличе-
увеличением х эта асимметрия делается все более и более заметной. Для
х=2,25 при 0 = 180° появляется минимум, соответствующий пер-
первому корню G(u). При последующем увеличении х этот мини-
минимум превращается в темное кольцо, которое постепенно сдви-
сдвигается к малым углам. При л;=3,87 появляется новый минимум
при 0=180° и т. д. Для больших значений х концентрация света
в направлении 0=0° увеличивается настолько и в области ма-
малых 6 оказывается так много минимумов, что картина рассеяния
7.2. ШАРЫ 109
имеет сходство (однако не тождественна) с картиной дифракции
Фраунгофера; относительно перехода от одной картины к дру-
другой см. разд. 11.33.
Если наблюдать картину рассеяния под фиксированным уг-
углом 6, то при увеличении размера частицы мы видим ряд макси-
максимумов и минимумов, сдвигающихся все более к направлению впе-
вперед. Подсчитывая минимумы, мы можем в принципе оценить раз-
размер частицы.'
7.22. Полное рассеяние
Следующим вопросом будет нахождение полного рассеяния.
Интегрируя / по большой сфере и деля результат на па2, нахо-
находим фактор эффективности Qpac. (равный Qoc.i., так как мы имеем
дело с диэлектрическими шарами). Путем прямого интегриро-
интегрирования находим
QPac. = lm— П2Ф (х),
где
тс
ср (х) = -j- х4 Jo2 Bx sin 4") • 0 + cos2 6) sin
о
Релей нашел, что функция ф(л:) имеет вид
? (х)= А + 2х2 - -^i?. _ -^L-d _ cos 4x) -h
где y = 0,577 — постоянная Эйлера, a Ci — интегральный косинус,
определяемый формулой
COS U
Г COS
Интегралы отдельно по передней полусфере @<0<я/2) и по
задней полусфере (я/2<[0<^л) были вычислены Райдом и Ку-
Купером. В данном случае удобнее пользоваться таблицами, чем
формулами (см. табл. 5, стр. ПО).
Последний столбец дает приближенные оценки cos 0, которые
могут быть полезны при расчетах лучевого давления (см.
разд. 2.3).
При х<^1 мы имеем равные значения для передней и для
задней полусфер и приходим снова к релеевскому рассеянию при
по
7. РАССЕЯНИЕ РЕЛЕЯ — ГАНСА
Таблица 5. Полное рассеяние шаром в области Релея — Ганса
X
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
0,00187
0,0285
0,133
0,379
0,813
1,44
2,24
3,20
Передняя
полусфера
0,00094
0,0147
0,072
0,218
0,500
0,96
1,64
2,54
Задняя
полусфера
0,00093
0,0138
0,061
0,161
0,313
0,48
0,60
0,66
cos Ь
0,00
0,02
0,04
0,09
0,16
0,24
0,32
0,39
X
1,8
2
3
4
6
8
10
4,28
5,50
14,49
27,84
67,0
122,5
194,0
Передняя
полусфера
3,68
5,03
14,26
27,49
66,7
122,1
193,7
Задняя
полусфера
0,60
0,47
0,23
0,35
0,33
0,36
0,33
cos в
0,46
0,53
0,79
0,91
0,98
1,00
1,00
что дает в согласии с разд. 6.31
П 32
Wpac. — 27
Предельный случай х^>1 дает ф(х) — 2х2, причем это значение
целиком обусловлено интегралом по передней полусфере; инте-
интеграл по задней полусфере сводится к 1 — In 2 = 0,31. Поэтому для
больших х
Этот результат будет получен совершенно иным путем
в разд. 11.22. Он остается в силе, пока выполняется условие 2
на стр. 105, так что во всех корректных применениях теории рас-
рассеяния Релея — Ганса мы имеем Qpic.^.U чт0 согласуется с ут-
утверждением 3 в начале этой главы (стр. 104).
7.23. Сферические объекты с неоднородным распределением
плотности
Общая теория разд. 7.11 и 7.12 ни в коем случае не ограничена
случаем однородных частиц. Простой пример неоднородных
частиц — это скопление дискретных рассеивающих центров, рас-
рассмотренное в разд. 7.5. Другой простой случай, который следует
обсудить теперь, — это случай частицы, в которой объемная по-
поляризуемость а' имеет сферически симметричное распределение.
Рассмотрим сначала сферическую оболочку радиуса а, тол-
толщины da, объема \лаЫа с объемной поляризуемостью а'. С по-
помощью тех же самых подстановок, что и в разд. 7.21, мы полу-
получаем «срез» в форме кольца луковицы с
В = 2яайа, Ь = а dz,
7.2. ШАРЫ
так что интегрирование дает
В
sin ( 2ка sin -к i ,
Та же функция встречается в разд. 7.32.
Возьмем далее совокупность таких оболочек, образующих
тело, у которого а' является функцией только расстояния от
центра г. Тогда поляризуемость всей частицы будет
V (г) dr,
и простое интегрирование дает
со / о ¦
\ С sin 2kr sin -s-,
я (в, ?)=4- J4тсгv <г) —-—г-1-dr-
о 2kr sin -у
Эта формула была выведена впервые Эренбергом и Шефером
A932) для рассеяния рентгеновских лучей.
В качестве простейшего примера мы можем отметить частицу,
у которой of подчиняется гауссову распределению, с наиболь-
наибольшим значением в центре
a,e-(fJ
Предположим, что ао' вещественно. Входящая в формулу Релея
поляризуемость всей частицы равна
з
Дополнительный амплитудный множитель #@, ср), получаемый
из предыдущей формулы или путем непосредственного «рас-
«расслоения», есть
. Тогда для падающего неполяризованного света интенсивно-
интенсивности /0 интенсивность рассеянного света в любом направлении
равна
DJ
112 7. РАССЕЯНИЕ РЕЛЕЯ - ГАНСА
откуда интегрированием находим сечение рассеяния (разд. 2.2)
где p = k2a2. При разложении этого выражения по степеням а
наибольшим членом будет
С — —
рас. о
что согласуется с результатами, полученными для релеевского
рассеяния (разд. 6.11).
Эта модель была предложена Петерлином A951) как простое
представление центров возмущения в кристалле, а Харт и Монт-
ролл A951) принимали ее в качестве модели некоторых высоко-
высокомолекулярных полимеров. Последние авторы дают показатель,
меньший истинного на множитель Ал. Петерлин замечает, что а
(или эффективное значение а) можно определить по наклону кри-
кривой, получающейся при нанесении логарифма выражения
/(e)/(l+cos20) в функции 2sin у. Отношение /A35°)//D5°)
уменьшается от 0,87 при 2аД = 0,1 до 0,11 при 2а/А = 0,4. Во всех
формулах А = 2я/& означает длину волны в окружающей среде
или \лк.1щ, если По — показатель преломления среды.
Расчеты на основании этой модели можно распространить на
большие значения ka, для которых сдвигом фазы нельзя прене-
пренебрегать. В таком случае мы приходим к задаче, рассматриваемой
в гл. 11 (для уточнения см. разд. 11.1). В результате оказывается,
что сечение, получаемое по методу разд. 11.21, равно
1
Сосл. = 2~а2 j 0 - cos qz) -Ц- = 2~а2 G + In q - Ci q),
где q = 2ka/a2, 7 = 0,57721, a Ci q — интегральный косинус. По фи-
физическому смыслу q представляет собой сдвиг фазы для луча,
проходящего через центр тела. Тот же результат был получен
независимо Глаубером.
«Промежуточный случай» в смысле разд. 11.1 получается из
этой формулы при очень малых q и из предыдущей — при очень
больших ka. Обоими путями приходим к такому результату:
0 "
7.3. ЭЛЛИПСОИДЫ И ЦИЛИНДРЫ ИЗ
7.3. Эллипсоиды и цилиндры
С помощью формулы разд. 7.11 вычисление R(Q, ф) можно
провести без труда для частиц разнообразных форм. Мы даем
здесь результаты для нескольких простых форм, однако при
желании этот список можно продолжить.
7.31. Эллипсоиды
Рассмотрим эллипсоид с произвольными осями, облучаемый
светом, падающим по произвольному направлению; интенсив-
интенсивность рассеянного света ищется в. другом произвольном направ-
направлении. Пусть две плоскости, касательные к эллипсоиду и перпен-
перпендикулярные биссектрисе Ь, пересекают эту биссектрису в точках
С и D. В отличие от того, что имеет место для шаров, точки С
и Дне совпадают с точками, в которых эти плоскости касаются
эллипсоида. Слои, отсекаемые плоскостями, перпендикулярными
b и пересекающими b в Q, являются эллиптическими слоями од-
одной и той же формы. Их объемы уменьшаются с увеличением
величины OQ таким же образом, как для шаров. Только макси-
максимальное значение OQ будет другим: оно равно не радиусу, как
для шаров, а величине OC—OD. Интегрирование приводит к той
же функции
?) = O Bk ОС -sin -i-).
Она отличается от функции для шаров только аргументом, по-
поскольку ОС зависит теперь от направлений падения и рассеяния,
т. е. от 0 и ф. Мы не будем выражать это формулой, так как гео-
геометрическое определение яснее; вычисление ОС по трем полуосям
и направляющим косинусам падающего и рассеянного света
является геометрической задачей.
Полное рассеяние для эллипсоидов вычисляется не так про-
просто, как для шаров.
7.32. Круговые цилиндры конечной длины
Другая форма, для которой можно легко и точно рассчитать
рассеяние Релея — Ганса, — это круговой цилиндр. Пусть его
длина будет /, а диаметр 2а, и пусть для луча, пересекающего
цилиндр в любом направлении, сдвиг фазы будет мал. Ориента-
Ориентация цилиндра по отношению к падающей волне произвольна.
Интегрирование по объему (разд. 7.11) нелегко провести по
слоям, перпендикулярным биссектрисе, но оно легко выпол-
выполняется по круговым слоям, перпендикулярным оси цилиндра.
8 Заказ № 374
114 7. РАССЕЯНИЕ РЕЛЕЯ-ГАНСА
Пусть р — угол между осью цилиндра и биссектрисой. Интегри-
Интегрирование по одному круговому диску радиуса а дает
ship),
где F(u) определяется так:
~ shi
Числовые значения и нули этой функции даются в разд. 7.4.
В этом интегрировании фаза была отнесена к центру диска.
Интегрируя по всем дискам, которые образуют цилиндр длины I,
мы относим фазы к центру цилиндра, вводя тем самым допол-
дополнительный фазовый сдвиг
который дает следующий дополнительный множитель в R(Q, ф):
Ilk sin -- -z cos 3
2
1 С
e
Y
dz = ЕШ sin-^- cos,3 j,
где?(и) определяется формулой
l
E{u)= \ zostudt = ^-= V— /i (и).
j
Числовые значения этой функции также можно найти в разд. 7.4.
Окончательный множитель R(Q, ф), на который нужно умножить
амплитуду в формуле Релея, равен
#@, rp) =
Как F, так и Е равны 1, если их аргументы много меньше 1. Та-
Таким образом, мы сразу находим результаты для частных случаев:
Тонкий диск (Ы <? 1): R F, 7) = F Bka sin -|- sin p ) .
(fi \
^/ sin ~y cos p J .
7.3. ЭЛЛИПСОИДЫ И ЦИЛИНДРЫ
115
Отношение аргументов равно tgp/tgp0, где р0 определяется
условием tgpo=//2a. Всегда, когда р значительно отличается от
р0, даже если диски или цилиндры не очень тонки, можно исполь-
использовать упрощенное выражение. При tgp<Ctgp0 применимо выра-
выражение для тонкого стержня, так
как до тех пор, пока Е не ста-
станет весьма малым, F останется
равным 1. При tgp>tgp0 мы
можем применять формулу для
тонкого диска, так как, пока F
не станет очень малым, Е остает-
остается равным 1.
Зависимость р от 0 и ф делает-
делается явной, если мы определяем
направление оси цилиндра (п)
по отношению к направлению
распространения падающего све-
света (I) и рассеянного света (s)
с помощью углов а и ф (рис. 14).
Тогда биссектриса (Ь) имеет на-
направление, показанное на рисун-
рисунке, и
Рис. 14. Сферический треуголь-
треугольник, показывающий положение
оси цилиндра (п) по отноше-
отношению к направлениям падения
излучения (i) и рассеяния (s).
Биссектриса имеет направле-
направление (Ь).
cos Р = — cos a sin ^ \- sin а cos -у cos «p.
Полное рассеяние при произвольной ориентации и произволь-
произвольных размерах можно найти интегрированием интенсивности
(разд. 7.11) по всем направлениям рассеяния. Мы рассмотрим
только один частный случай, который послужит проверкой рас-
расчетов в разд. 15.32 и 15.41.
Возьмем очень длинный цилиндр A^>2а, В0««90о), и пусть ось
цилиндра перпендикулярна падающему излучению (а = 90°).
Тогда из-за множителя Е рассеянный свет концентрируется
вблизи направлений, перпендикулярных оси. Обозначая угол
между (п) и (s) через 90° — е (рис. 14), имеем cos <p = sin e/sin8,
так что cos B = sin e/2 sin -5- . Поэтому для малых е имеем
RF, <р) = F[2ka sin-i-) E (-i-kl sin e) .
Соответствующая интенсивность рассеяния Релея — Ганса для
падающего плоско поляризованного света будет
COS2 6,
116 7. РАССЕЯНИЕ РЕЛЕЯ — ГАНСА
где x=ka. Верхнее значение справедливо для случая I (электри-
(электрическое поле, параллельное оси), а нижнее значение — для слу-
случая II (магнитное поле, параллельное оси). Интегрирование дол-
должно включать только узкую зону около меридианалыюй плоско-
плоскости. Поэтому элемент телесного угла будет просто йЫг. Инте-
Интеграл, деленный на геометрическое поперечное сечение 2а/, дает
фактор эффективности
Qpac.=-f (ОТ - I)» 9 (Л),
где
y(x) = xs \ F2\2x sin-g-jdQ (для случая I)
6
п.
е (jc) = х3 j Я [2х sin ^-)cos26rf9 (для случая II).
о
Операции интегрирования не проводились, однако асимптотиче-
асимптотические формулы просты. Для малых х множитель F2 можно опу-
опустить, и мы получаем формулы для очень тонких цилиндров-
(разд. 15.41). Для больших х оба случая дают один и тот же
результат
и поэтому
Это — результат для цилиндров в промежуточном случае (в смы-
смысле разд. 11.1). Он согласуется с выражением для малых р, полу-
полученным в разд. 15.32.
Те же самые результаты можно получить, интегрируя интен-
интенсивность по замкнутой поверхности, окружающей частицу
в ближней зоне (зона 2 по терминологии разд. 15.22), где
Вывод можно предоставить читателю '.
1 Для ряда вопросов представляет интерес не только полное сечение рас-
рассеяния, но и сечение рассеяния назад. Оно подробно рассмотрено в работах
К. С. Шифрина (Докл. АН СССР, 94, 673, 1954; Труды Главн. геофиз. обе,
вып. 46, 1955). — Прим. ред.
7.3. ЭЛЛИПСОИДЫ И ЦИЛИНДРЫ 117
7.55. Дифракция на полупрозрачном круглом диске
Возьмем цилиндр в виде круглого диска A<^а), и пусть диск
перпендикулярен падающему свету. Тогда в формулах разд. 7.32
мы имеем р = 90°— |- , и диаграмма рассеяния представляет
собой две отчетливые системы лепестков: одну — в направлении
вперед, а другую — в направлении назад. Для этих систем интен-
интенсивность в направлениях точно вперед и назад определяется
формулами
/?@) = 1, R A80°) =E(kl).
Исключая направления, близкие к 180° (или предполагая ?/<g;l),
имеем точно
R(Q)=F(ka sinG).
Не случайно, что та же функция с тем же аргументом встре-
встречается в формуле для дифракции на непрозрачном круглом диске
(при перпендикулярном падении). Мы можем установить эту
связь следующим образом.
1. При x = ka и о = Ы(т— 1) только что полученный резуль-
результат сохраняется при а^$>1, т— 1<С1 и р<С1; значения х и Ы
произвольны. Сделаем теперь дополнительное предположение
о том, что kl^$>\, так что и х^>\. Интенсивность в переднем ле-
лепестке диаграммы рассеяния, который в этом случае является
наибольшим, будет (с учетом того, что V = ла21)
I = xi^m~lJ12 I0F>(xsin6) A + cos*6).
2. Совершенно иной подход, аналогичный используемому
в гл. 11, приводит к формуле
из которой следует, что
Эти формулы справедливы только для малых углов и при выпол-
выполнении условий т—1<?;1 и л:>1. При дополнительном предпо-
предположении; что р имеет большую мнимую часть, они описывают
известную дифракцию на непрозрачном диске (разд. 8.31).
Вместо этого мы введем дополнительное условие р<^1 (р веще-
вещественное) и тем самым получим совокупность условий, при ко-
которых эту теорию можно применять наравне с изложенной выше
теорией рассеяния Релея — Ганса; имеем
118 7. РАССЕЯНИЕ РЕЛЕЯ-ГАНСА
Соответствующий фактор эффективности находится аналогичным
образом из S@) интегрированием по всем направлениям
Это — аналог законов Q = '/гр2 для шаров (разд. 7.22 и 11.22) и
Q = 2/3ip2 для цилиндров (разд. 7.32 и 15.32) в соответствующем
промежуточном случае.
7.34. Хаотически ориентированные стержни и диски
Коэффициент, на который нужно умножить интенсивность
в формуле Релея, чтобы получить усредненную картину для слу-
случайно ориентированных частиц, в области Релея—Ганса имеет
вид
где значения 0 (и <р) рассматриваются как фиксированные, а ин-
интегрирование по телесным углам относится к ориентациям, кото-
которые могут иметь частицы '.
Исходя из формулы для тонких стержней длины /, находим
1 2г
~~rv> Г т-"> / о\ j / п\ 1 Г Sin W , I Sin Z \ 2
/?2 = J ?2 (z cos р) rf (cos р) = — J-^— dw-y—^-) .
о о
Здесь z=kl sin -^, а интегральную функцию (интегральный си-
синус) можно найти в таблицах Янке и Эмде или в других табли-
таблицах. При интегрировании лепестки и резкие минимумы дифрак-
дифракционной картины исчезают. Однако, если Ы больше 1, остается
характерная асимметрия, состоящая в резкой вытянутое™ в на-
направлении малых углов. Это дает быстрый способ оценок / при
исследовании вирусов.
Аналогичный результат можно написать для хаотически
ориентированных дисков
1
sin j3} d (cos p) = _|_ {j
Здесь z=2ka sin-^. Те же результаты получаются при приме-
применении формулы, эквивалентной формуле Дебая (разд. 7.5), для
хаотически ориентированных тел, состоящих из дискретных рас-
рассеивающих центров (Краткий и Пород, 1949).
1 Для частиц, не имеющих оси симметрии, требуется интегрирование по
трем углам Эйлера.
7.4. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ Е(и), F (и), О (ы) Ц9
7.4. Некоторые свойства функций Е(и), F(u), G(u)
Введенные в этой главе функции Е(и), F(u) и G(u) явля-
являются группой сходных функций. Это — бесселевы функции по-
порядка '/г, 1 и 3/2, деленные на первый член разложения в ряды
тех же функций. При и = 0 каждая из функций равна 1, а прибли-
приближенные выражения их таковы:
Для малых и Для больших и
?"(») 1^+ E(u) sinu
/=¦(«) = ! -х+ ••• ^H=/
О (И) = 1 - ii_ + . . . о (И) = - -^ cos и
Эти функции появляются в книге дважды в двух различных кон-
контекстах. В настоящей главе они получаются в результате инте-
интегрирования по объему рассеивающего тела; их аргу-
аргументы имеют вид u = 2kb sin-^, и формулы верны как для малых,
так и для больших значений kb. В разд. 8.31 и 8.32 Е(и) и F(u)
получаются в результате интегрирования по поверх-
поверхности экранированной части волнового фронта, и они опреде-
определяют соответственно дифракционную картину непрозрачной
полосы (или цилиндра) и круглого диска (или шара). Аргумен-
Аргументом является sin 0, и формулы выводятся только для больших х
и. малых 0. Связь между этими как будто бы независимыми ре-
результатами выясняется для случая дисков в разд. 7.33.
Числовые значения этих функций представлены в табл. 6.
Квадраты этих величин входят в формулы для интенсивности
рассеянного света. Приведены также значения корней, которые
необходимы для вычисления углов, при которых образуются тем-
темные кольца.
В заключение приведем некоторые часто используемые ин-
интегралы. Они встречаются в выражениях для полного рассеяния,
когда kb (или х) очень велико:
оо
f
о
Таблица 6. Функции, определяющие наиболее часто встречающиеся
дифракционные картины
и
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
2,2
2,4
2,6
2,8
3,0
3,2
3,4
3,6
Е(и)
1,000
0,993
0,974
0,941
0,897
0,842
0,777
0,704
0,625
0,541
0,455
0,368
0,281
0,198
0,120
0,047
—0,018
—0,075
—0,123
F (к)
1,000
0,995
0,980
0,956
0,922
0,880
0,830
0,774
0,712
0,646
0,577
0,505
0,433
0,362
0,293
0,226
0,163
0,105
0,053
О (и)
1,000
0,996
0,934
0,965
0,938
0,904
0,863
0,817
0,766
0,711
0,653
0,593
0,531
0,468
0,403
0,346
0,287
0,231
0,179 !
и
3,8
4,0
4,2
4,4
4,6
4,8
5,0
5,2
5,4
5,6
5,8
6,0
7
8
9
10
11
12
—0,161
—0,189
—0,208
—0,216
—0,216
—0,208
—0,192
—0,170
—0.143
—0,113
—0,080
-0,047
0,094
0J24
0,046
-0,054
—0,091
—0,045
F (и)
0,007
—0,033
—0,066
—0,092
—0.112
—0,124
—0,131
-0,132
—0,128
—0,119
-0,107
-0,092
--0,001
0,059
0,054
0,009
—0,032
--0.037
G (и)
0,131
0.087
0,048
0,014
-0,015
—0,038
—0,057
—0,071
--0,080
—0.085
—0,086
—0,084
-0,040
0,013
0,035
0,024
—0,002
—0.018
Нули функции
? = 0
и = 3,142
6,283
9,425
12,566
/=• = 0
и = 3,832
7,016
10,173
13,324
к = 4,
7,
ю,
14,
0
49
73
90 ¦
08
?2
и
Половинная
1
1,39
и
интенсивность
=
1
1
~2
61
G2
и —.
^^
I,
1
81
7.5. ДИСКРЕТНЫЕ РАССЕИВАЮЩИЕ ЦЕНТРЫ; ФОРМ-ФАКТОР 121
7.5. Дискретные рассеивающие центры; форм-фактор
Рентгеновские лучи проходят сквозь частицу фактически бес-
беспрепятственно и поэтому представляют типичный пример, для
которого выполняются условия этой главы. Хотя детальное рас-
рассмотрение рассеяния рентгеновских лучей выходит за рамки этой
книги, тем не менее некоторые правила, касающиеся примене-
применения результатов этой главы к рассеянию рентгеновских лучей*
могут оказаться полезными.
Основной факт состоит в том, что каждый слабо связанный
электрон в атоме, в молекуле или в большей частице рассеивает
свет согласно томсоновской формуле рассеяния (разд. 6.23). На-
Назовем эту частицу «атомом», и пусть он содержит Z рассеиваю-
рассеивающих электронов. Амплитуды света, рассеянного каждым элек-
электроном в некотором направлении, должны складываться. Аргу-
Аргументация, точно такая же, как и в разд. 7.11, приводит теперь
к заключению, что, приняв за основу рассеяние одним электро-
электроном, мы должны умножить:
амплитуду — на ZR @, ф) = /
интенсивность — на Z2\R(Q, ф) |2= | f\2=F.
Множители/и F называются форм-факторами. Для естествен-
естественного падающего света интенсивности /0 интенсивность света, рас-
рассеянного атомом, оказывается равной (ср. разд. 6.23)
, l + ccs") е* ит
I — гг" -~" о ' ' п ¦
2 r^ml с*
Вычисление/и F аналогично расчетам, приведенным в пред-
предшествующих разделах. Можно выделить два случая.
1. Предполагается, что распределение электронов непре-
непрерывно. Это справедливо для плотности вероятности в атоме и,
кроме того, такое распределение можно принимать для больших
частиц, имеющих сферическую форму. Здесь непосредственно
применим любой из результатов предшествующих разделов.
В частности, оказываются полезными результаты для сферически
симметричного распределения, полученные в разд. 7.23.
2. Электроны рассматриваются как дискретные рассеиваю-
рассеивающие центры. В этом случае интегралы разд. 7.11 заменяются
суммами по Z электронам. Очевидным аналогом формулы
разд. 7.11 является выражение
z
122 ЛИТЕРАТУРА
где / = ^exp (i6j), a Sj— сдвиг фазы для /-го электрона. Умно
жение на комплексно сопряженное число дает
) к
Двойная сумма дважды включает все комбинации, для которых
]фк, и имеет всего Z2 членов.
Если распределение электронов в атоме остается фиксиро-
фиксированным, но для атома допустимы все случайные ориентации, то
можно получить значение F для данного 9, усредненное по всем
ориентациям. В результате получим
— у* V7 sln
j ft 2Щк Sin "У
где ajh — расстояние между /-м и &-м электронами. Эта формула
была впервые получена Дебаем в 1915 г.
ЛИТЕРАТУРА
Термин «рассеяние Релея — Ганса» не очень точен, так как оба автора
сделали многое в области теорий рассеяния различного рода. Употребление
этого термина в литературе соответствует теме этой главы, и нет оснований
для замены его другим.
Сошлемся на следующие статьи:
Rayleigh, Phil. Mag., 12, 81 A881) (Sci. Papers 74).
Gans R., Ann. Physik, 76, 29 A925).
Полные формулы для шаров (разд. 7.22) были получены в работах:
Rayleigh, Ргос. Roy. Soc, A90, 219 A914) (Sci. Papers 381).
Ryde J. W., Proc. Roy. Soc, A131, 451 A931).
RydeJ. W., Cooper B. S., Proc. Roy. Soc, A131, 464 A931).
Hart R. W., Mo n troll E. W., J. Appl. Phys., 22, 376 A951).
Формулы для сферических оболочек (разд. 7.23) даны Релеем:
Rayleigh, Proc. Roy. Soc, A94, 296 A918) (Sci. Papers 427).
Формулы для шара с гауссовым распределением поляризуемости (разд. 7.23)
даны в работе
Peterlin A., Kolloid Z., 120, 75 A951)
и в статье Гарта и Монтролла; соответствующие формулы для шаров боль-
больших размеров принадлежат Глауберу; это указано в статье
Mont roll E. W., Greenberg J. M., Proc. Symposia Applied
Math., Amer. Math. Soc, 5, 103 A954).
Решение для прямых круговых цилиндров (разд. 7.32) было получено
независимо, хотя нет уверенности, что этот результат является новым. Резуль-
ЛИТЕРАТУРА 123
тат для случайно ориентированных жестких стержней (разд. 7.34) полу-
получен (другим способом) в работах:
Neugebauer Т., Ann. Physik, 42, 509 A943).
Zumm В. Н., Stein R. S., Doty P., Polymer Bull., 1, 90 A945).
Результат для хаотически ориентированных тонких дисков впервые полу-
получен Кратким и Породой:
Kratky О., Porod G., J. Colloid Sci., 4, 35 A949).
Табл. 6 была вычислена впервые. Интегралы можно получить из более
общего интеграла, приведенного у Ватсона:
Watson G. N., Theory of Bessel Functions, p. 403, Cambridge, Cam-
Cambridge Univ. Press, 1922.
(Русский перевод: Ватсон Г. Н., Теория бесселевых функций, ИЛ, М.,
1949.)
Аналогичные или тождественные результаты получены в теории рассея-
рассеяния рентгеновских лучей под малыми углами почти для всех задач, рас-
рассмотренных в этой главе. Форм-фактор для произвольной частицы со слу-
случайной ориентацией (разд. 7.5) получен в статье
D e b у е P., Ann. Physik, 46, 809 A915),
а для сферически симметричных частиц (разд. 7.23) — в работе
Ehrenberg W., S chafer К., Physik. Z., 33, 97 A932).
Общее изложение и обсуждение частных случаев, относящихся к рас-
рассеянию рентгеновских лучей, дается в работах:
Trieschmann H. G., Hand und Jahrb. Chem. Physik, 8II, 105
A936).
Guinier A., Ann. Phys., 12, 161 A939).
F о u r n e t G., G u i n i e r A., J. phys. radium, 11, 516 A950).
G u i n i e r A., F о u г п et G., Small-Angle Scattering of X-Rays, New
York, John Wiley & Sons, 1955.
Частный случай многократного рассеяния рассматривается в статье:
Dexter D. L., Be em an W. W., Phys. Rev., 76, 1782 A949).
8. ЧАСТИЦЫ, ОЧЕНЬ БОЛЬШИЕ ПО СРАВНЕНИЮ
С ДЛИНОЙ ВОЛНЫ
8.1. Основные различия между дифракцией,
отражением и преломлением
Для рассмотрения проблем рассеяния большими частицами
требуется совершенно иной подход, чем тот, который применялся
в случае малых частиц. Основное отличие состоит в том, что па-
падающий пучок света, образующий фронт плоской волны бесконеч-
бесконечной протяженности, можно считать состоящим из отдельных
составных лучей, каждый из которых распространяется вдоль со-
совершенно определенного пути. Согласно изложенному в разд. 3.13,
можно считать, что малым участком протяженного волно-
волнового фронта определяется луч, который имеет самостоя-
самостоятельное существование на протяжении некоторого участка своего
пути независимо от фронта волны в целом. Длина этого участка /
требует ширины порядка У"/А, и вообще для самостоятельного
существования луча ширина должна быть больше А. Для ча-
частицы, превосходящей по размеру длину волны в 20 или более
раз, можно провести довольно четкое различие между лучами,
падающими на частицу, и лучами, проходящими мимо частицы.
Среди первых можно выделить лучи, падающие на различные
части поверхности частицы. О таких лучах можно сказать, что
они локализованы.
Экспериментальное пояснение понятия локализации состоит
в следующем: на пути падающего луча света можно таким обра-
образом поместить экран с отверстием, чтобы действию света подвер-
подвергался определенный участок частицы. Здесь имеет место тот же
самый принцип, что и в методе Гартмана для исследования каче-
качества линз или зеркал. Метод Гартмана применим только в том
случае, если частица велика по сравнению с длиной волны.
Линза телескопа является действительно прекрасным примером
такой частицы. Формальное подтверждение этого принципа ло-
локализации на основе точного решения проблемы рассеяния для
шара или цилиндра дается асимптотическими выражениями
(разд. 12.3).
Лучи, падающие на частицу и проходящие мимо нее, вызы-
вызывают два различных явления A и 2, см. ниже); согласно терми-
терминологии, принятой в этой книге, оба они включены в общее по-
понятие рассеяния.
8.1. ОСНОВНЫЕ РАЗЛИЧИЯ 125
/. Отражение и преломление. Лучи, падающие на поверх-
поверхность частицы, частично отражаются и частично преломляются.
Преломленный свет может выйти после повторного преломления,
происходящего, возможно, после нескольких внутренних отра-
отражений. Свет, как выходящий подобным образом, так и непосред-
непосредственно отраженный от внешней поверхности частицы, дает вклад
в полное рассеяние частицей. Энергия, которая не выходит из
частицы, теряется за счет поглощения внутри нее. Очевидно, ко-
количество поглощенной и рассеянной энергии, а также угловое
распределение и поляризация рассеянного света заметно за-
зависят от формы и строения частицы и от условий на ее поверх-
поверхности. Формулы для гладких шаров выводятся в разд. 12.21.
Отражение может быть зеркальным или диффузным. Теория
диффузного отражения не будет рассматриваться в этой книге.
Мы лишь напомним, что любая достаточно малая часть диф-
фузно отражающей поверхности должна представлять собой
систему, подчиняющуюся обычным законам волновой оптики
(например, это может быть волнистая поверхность с плоскими
участками различных ориентации). Статистический эффект обыч-
обычного отражения от этих поверхностей вызывает явление, извест-
известное как диффузное отражение. Им может обладать только по-
поверхность с размерами, значительно превышающими длину
волны. По этой причине понятие диффузного отражения встре-
встретится только в настоящей главе (разд. 8.42).
2. Дифракция. Лучи, проходящие вне частицы, образуют
фронт плоской волны, часть которого, по форме и размеру соот-
соответствующая геометрической тени частицы, теряется. Согласно
принципу Гюйгенса, эта неполнота волнового фронта приводит
к появлению определенного углового распределения интенсивно-
интенсивности (на очень больших расстояниях от частицы), известного под
названием картины дифракции Фраунгофера. Хотя термин
«дифракция» часто употребляется для всего процесса рассеяния,
мы сохраним его специально для случая дифракции Фраунгофера
(см. разд. 3.3). В этой дифракционной картине распределение
интенсивности зависит от формы и размера частицы, но не зави-
зависит от ее строения или природы ее поверхности. Например, чер-
черное (полностью поглощающее) тело, белое (диффузно отражаю-
отражающее) тело, полностью отражающее тело или стеклянное тело
одной и той же формы — все они дают одинаковые дифракцион-
дифракционные картины. Дифрагированный свет (определяемый в этом
смысле) имеет то же состояние поляризации, что и падающий,
и его дифракционная картина не зависит от этой поляризации.
Два только что описанных явления различаются не только по
тому, как они зависят от природы частицы, по также и по угло-
угловому распределению рассеянного света. Пусть размер частицы
126 8. ЧАСТИЦЫ, ОЧЕНЬ БОЛЬШИЕ ПО СРАВНЕНИЮ С ДЛИНОЙ ВОЛНЫ
фиксирован, а длина волны постепенно уменьшается. Диаграмма
рассеяния, обусловленная отражением и преломлением, вызы-
вызывается лучами, которые можно локализовать все более и более
отчетливо, и в конце концов она приблизится к картине, соот-
соответствующей теории геометрической оптики. В то же время; ди-
дифракционная картина будет все более и более сжиматься в узкий,
но очень интенсивный лепесток вокруг направления вперед, т. е.
6 = 0°. В действительности разделение, описываемое в этом раз-
разделе, можно провести строго только в том случае, когда частица
очень велика, т. е. если этот лепесток очень узок. В этом предель-
предельном случае вся картина состоит из двух частей: из очень узкого
и очень интенсивного центрального лепестка, обусловленного
дифракцией B), и из менее интенсивного излучения по всем на-
направлениям, зависящего от оптических свойств частицы A).
Если, наоборот, увеличивать Я, то мы достигнем в конце кон-
концов такого положения, когда обе картины окажутся сравнимыми
по интенсивности и по угловому размеру. Это означает в общем,
что теория больших частиц оказывается несостоятельной и что
для решения задачи требуются более строгие методы. Исключе-
Исключение составляют частицы с показателем преломления, близким к 1.
Для них существует некоторый интервал размеров, при которых
существуют одновременно обе картины со сравнимыми интен-
сивностями, интерферирующие между собой (амплитуды склады-
складываются) (см. разд. 11.3). В последующих разделах мы не будем
рассматривать этот исключительный случай и примем, что ди-
дифракционная картина значительно интенсивнее и много уже, чем
картина отражения и преломления
8.2. Общая теория дифрагированного света
8.21. Принцип Бабине
Для очень больших частиц дифрагированный свет можно вы-
выделить из остальной картины рассеяния, поскольку он сосредото-
сосредоточен лишь при очень малых углах 6. Общую формулу можно вы-
вывести, основываясь на двух мысленных экспериментах.
Эксперимент 1. Заменяем частицу черным диском, по
форме и размеру соответствующим площади ее геометрической
тени. Неполный волновой фронт, проходящий вне диска, тожде-
тождествен волновому фронту, проходящему вне частицы. Значит, ди-
дифрагированный свет одинаков для частицы и для диска как по
амплитуде, так и по фазе.
Эксперимент 2. Весь фронт волны, за исключением от-
отверстия, форма которого соответствует геометрической тени ча-
частицы, закрывается черным экраном.
8.2. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ДИФРАГИРОВАННОГО СВЕТА
127
В обоих экспериментах задан частично экранированный
фронт плоской волны. «Возмущение» в любой точке позади этого
волнового фронта можно вывести из принципа Гюйгенса в фор-
формулировке Френеля (разд. 3.12). При объединении обеих частей
волнового фронта он остается без изменения и получается обыч-
обычная плоская волна. Поэтому возмущение в любой точке в экспе-
эксперименте 1 равно возмущению в плоской волне минус возмущение,
найденное в эксперименте 2. Исключая из рассмотрения, плоскую
волну, мы можем установить, что возмущения в обоих опытах
Рис. 15. Дифракция на большом теле,
имеющем площадь геометрической тени G.
равны по величине и противоположны по знаку. Их квадраты,
определяющие интенсивность дифрагированного света, равны.
Таким образом, оба эксперимента дают тождественные картины
рассеяния. Этот результат известен как принцип Бабине. Если
термин «дифракция» употребляется в более общем смысле, изло-
изложенном в разд. 3.3(г), тогда для принципа Бабине также тре-
требуется более общая формулировка (разд. 16.21).
Выберем ось z в направлении распространения падающего
света, и пусть начало координат О находится в области тени вол-
волнового фронта. Возмущение ищется в удаленной точке Р
(рис. 15) с полярными координатами (г0, 0, q>).
Расстояние от Р до точки (х, у, 0), лежащей в затененной об-
области, будет
r=r0— (xcos (p+.j/sin(p)sinB.
При этом предполагается, что квадратичные члены по х и у много
меньше X, что правильно при
го^>(Максимальный размер GJIX.
128 8. ЧАСТИЦЫ, ОЧЕНЬ БОЛЬШИЕ ПО СРАВНЕНИЮ С ДЛИНОЙ ВОЛНЫ
Физически это означает, что если смотреть из Р, то тень нахо-
находится глубоко внутри центральной зоны Френеля. Возмущение
в Р при условиях эксперимента 1, т. е. возмущение, вызываемое
дифракцией на частице, определяется как
о
ир = щГ** - -§*- е~Шг°^ е-1к{хео"г+уЛп1Г)'м dxdy.
Здесь щ — возмущение первоначальной волны на плоском
волновом фронте, проходящем через О. Первый член представ-
представляет плоскую волну; согласно разд. 3.1, мы вычли из него возму-
возмущение, которое было бы найдено в эксперименте 2. Двойной ин-
интеграл, входящий в эту формулу, обозначим через
где О = JJ dxdy—геометрическая площадь тени, а
D F) ?) = -^ j j" е-ik {х cos ф + у sin 9) sin e dxdy
есть комплексная функция, равная 1 при Э = 0°. В сущности
эта функция описывает амплитуду в дифракционной картине.
Сравнивая только что полученные результаты с общим опреде-
определением амплитудных функций 5@, ф), данным в разд. 4.41, на-
находим, что в том приближении, в котором справедлива рассмат-
рассматриваемая теория дифракции, 53@, ф) и 54(Э, ср) равны 0,
a S\(Q, ф) и S2(Q, ф) равны между собой и представляются в виде
5 (G, 9) = -?¦ OD F, ?) = -Ц- QD F, ?).
Следовательно, мы можем применить формулы разд. 4.42 и найти
интенсивность рассеянного света
В частном случае (при 6 = 0°) D—\, что можно проверить с по-
помощью формулы Френеля, полученной в разд. 3.12. .
Из того, что полная энергия, рассеянная в процессе дифрак-
дифракции, равна G/o (см. следующий раздел), следует, что выполняется
соотношение
от) ал
я
о о
Эта формула может служить для проверки вычисления Z)(9, ф).
Несколько частных примеров функции D(Q, ф) для частиц
простых форм приводится в разд. 8.3.
8.2. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ДИФРАГИРОВАННОГО СВЕТА 129
8.22. Парадокс ослабления
Полное ослабление частицей, очень большой по сравнению
с длиной волны, можно найти двумя способами.
Во-первых, можно рассмотреть, что происходит с энергией.
Вся энергия, падающая на частицу, оказывается рассеянной или
поглощенной, т. е. в любом случае изымается из проходящей
волны. Это дает эффективное сечение, равное геометрической
площади G. Кроме того, мы имеем дифракцию, дающую картину
углового распределения, которая, согласно принципу Бабине,
тождественна дифракционной картине от отверстия площади G.
Это дает дифракцию (что эквивалентно рассеянию под малыми
углами) также с сечением G. Полная энергия, изымаемая из про-
проходящей волны, соответствует сечению
Сосл. = 2G,
т. е. фактору эффективности Qo<ai.=2.
Второй метод является непосредственным применением общей
формулы ослабления, полученной в разд. 4.21. Подставляя
•М^ — 2п u'
сразу находим, что Сосл —2G.
Этот замечательный парадокс, состоящий в том, что большая
частица изымает из падающего пучка количество света в два
раза больше того, который на нее падает, интересен во многих
отношениях. Его парадоксальный характер исчезает, если вспом-
вспомнить точные предположения, которые мы сделали при его вы-
выводе. Мы предполагаем; что 1) весь рассеянный свет, включая
рассеяние под малыми углами, считается изъятым из пучка и
2) наблюдение проводится на очень большом расстоянии, т. е.
далеко за пределами зоны, где можно различить тень. Цветоч-
Цветочный горшок на окне не пропускает в комнату только падающий
на него солнечный свет, а не двойное его количество, тогда как
метеорит того же размера где-нибудь в межзвездном простран-
пространстве между звездой и одним из наших больших телескопов будет
экранировать двойное количество света. Если бы множество та-
таких камней заполняло межзвездное пространство, то свет, рас-
рассеянный при отражении и преломлении, 0ыл бы виден как слабое
свечение всего неба, а дифрагированный свет — в виде узких
гало вокруг каждой звезды. Если измеряется яркость звезды без
этих гало, нам следует принять Q = 2. Однако если бы метод из-
измерения охватывал целиком дифракционное гало вместе с изо-
изображением звезды (а это безусловно так, если объектив теле-
телескопа меньше, чем этот камень), то было бы законно принять*
9 Заказ N» 374
130 8. ЧАСТИЦЫ. ОЧЕНЬ БОЛЬШИЕ ПО СРАВНЕНИЮ С ДЛИНОЙ ВОЛНЫ
Q= 1. Точно такие же соображения справедливы для коллоидных
растворов, причем эффективное значение Q, зависящее от угло-
углового отверстия измерительного прибора, можно вычислить (см.,
например, Гампрехт и Слепцевич, 1953).
8.3. Дифракция на больших шарах и на толстых цилиндрах
8.31. Шары
Шар имеет круглую тень радиусом а и площадью G = na2.
Функция D(Q, ф) находится непосредственным интегрированием
и имеет вид
где x=ka. Та же функция встречается в разд. 7.32 в другой связи;
таблица ее значений и нулей дана в разд. 7.4. Ее квадрат пред-
представляет распределение интенсивности. Это распределение такое
же, что и в дифракционной картине для круглого отверстия —
с центральным максимумом и темными и светлыми кольцами,
хорошо известными каждому, имевшему дело с телескопом
(рис. 16). Первое темное кольцо находится при
2таг sin 8 _ QQ
U = j- = О,ОО.
В дальнейшем (разд. 11.31 и 12.32) нам понадобится полное
выражение амплитудных функций с соответствующей фазой. Воз-
Возвращаясь к разд. 8.21, находим, что
С /fl\ _ С /fi\ _ Г1 Jl (* Sln fl)
8.32. Цилиндры.
Почти во всяком положении длинный цилиндр имеет тень,
являющуюся прямоугольником со сторонами бис. Выбирая
оси х и у соответственно вдоль сторон Ъ и с, непосредственным
интегрированием получаем
D F, ср) = Е (-у- kb sin 0 cos <p ) Е Г-i- kc sin 8 sin <p ) ,
где функция Е(и)= -— затабулирована в разд. 7.4. Она соот-
соответствует хорошо известной'дифракционной картине от прямой
щели. Первый минимум Е(и) имеет место при ы=3,14.
Дифракция на длинных цилиндрах с хаотической ориентацией
представляет собой задачу, которая совсем не так проста, как
кажется. Эта задача яужна в теории дифракции на ледяных
8.3. ДИФРАКЦИЯ НА БОЛЬШИХ ШАРАХ И ТОЛСТЫХ ЦИЛИНДРАХ 131
иглах в перистых облаках; в работе Пернтера и Экснера было
дано ошибочное решение, которое в течение длительного времени
использовалось в метеорологической литературе. На ошибку
обратил вниманиеМейер A950).
Пусть цилиндры имеют длину / и диаметр 2а, где /3>а, при-
причем обе эти величины много больше К. Мы должны найти сумму
интенсивности в данном направлении F, ф), обусловленных
дифракцией на каждом цилиндре. Проще всего разделить эту
сумму на общее число цилиндров в облаке, с тем чтобы полу-
получить среднюю интенсивность света, дифрагированного на одном
цилиндре. С помощью формулы разд. 8.21 находим для нее
Сначала возьмем среднее по всем стержням, которые наклонены
на угол у относительно направления распространения. Они имеют
G = 2~al sin y=const, так что должно быть найдено только сред-
среднее по всем азимутальным углам t|> от
D2 = Е2 (kaQ cos ф) Е1 (-i- /W6 sin ? sin
Точного значения среднего не получено, однако если мы ограни-
ограничимся углами, для которых Ш sin у>1, то только малые углы i|j
дают вклад в среднее, которое после небольших преобразований
принимает вид
Среднее от G2D2 содержит v
J
о
так что, объединяя эти результаты, получаем
при
Важно отметить наличие множителя 6 в знаменателе, который
появляется в дополнение к зависимости от 6, имеющейся, в обыч-
обычной дифракционной картине прямого стержня. Этот множитель
был опущен Пернтером и Экснером. Если добавить этот множи-
множитель, то точно так же, как и для шаров, в светлых кольцах ин-
132
8. ЧАСТИЦЫ, ОЧЕНЬ БОЛЬШИЕ ПО СРАВНЕНИЮ С ДЛИНОЙ ВОЛНЫ
тенсивность / пропорциональна 0~3 и никакой существенной раз-
разницы между дифракцией на водяных каплях и дифракцией на
беспорядочно ориентированных ледяных иглах не остается. Обе
картины сравниваются на рис. 16.
Для контроля можно умножить интенсивность на 2nr2QdQ и
проинтегрировать, с тем чтобы найти полное количество рассеян-
Шары
Рис. 16. Относительные интенсивности в первом и втором дифракционных
кольцах при дифракции на шарах и хаотически ориентированных цилинд-
цилиндрах с радиусами а.
ного света. То, что эта формула неверна для очень малых Q, не
имеет значения. В результате получаем, как это и должно быть,
что
со
J
IG
8.4. Большие выпуклые частицы со случайной ориентацией
В этом разделе рассматриваются две теоремы, относящиеся
к большим выпуклым частицам, ориентированным случайным
образом. Такими частицами являются, например, эллипсоиды,
стержни, диски, обломки камней, кристаллы.
8.4. БОЛЬШИЕ ВЫПУКЛЫЕ ЧАСТИЦЫ СО СЛУЧАЙНОЙ ОРИЕНТАЦИЕЙ 133
8.41. Среднее геометрическое поперечное сечение
Среднее геометрическое поперечное сечение выпуклой ча-
частицы, ориентированной случайным образом, составляет 'Д пло-
площади ее поверхности.
Доказательство этой теоремы несложно. Выпуклая частица
при освещении ее с любой стороны имеет светлую и темную сто-
стороны, разделенные замкнутой кривой на ее поверхности. Любая
малая площадка поверхности dS находится на темной стороне,
если ее внешняя нормаль составляет угол меньше 90° с направле-
направлением распространения падающего света; она находится на свет-
светлой стороне, если этот угол больше 90°. При хаотической ориен-
ориентации множества одинаковых частиц нормали к соответствую-
соответствующим площадкам поверхности всех частиц также расположены
хаотически. Площадка dS является темной для половины поло-
положений и косо освещена для другой половины. Простым интегри-
интегрированием находим, что на нее в среднем падает излучение
1/4IodS. Интегрируя по всей поверхности, находим
что и доказывает теорему. Самым простым примером является
шар с G = па2, S = 4яа2. По-видимому, эта одна из тех теорем,
которые открывались и переоткрывались много раз. Автор не
рассматривал литературу по этому вопросу. Простое обобщение
этой теоремы на случай невыпуклых частиц дать невозможно.
8.42. Диаграмма отраженного излучения
Диаграмма рассеяния, обусловленная отражением от очень
больших выпуклых частиц, ориентированных случайным обра-
образом, тождественна с диаграммой рассеяния при отражении от
очень больших шаров из того же самого вещества с теми же свой-
свойствами поверхности.
Эта теорема следует из тех же соображений. При предполо-
предположении о случайной ориентации нормали к любому элементу по-
поверхности распределены таким же образом, как нормали ко всем
элементам поверхности на шаре. Поэтому и картина рассеяния
при отражении должна быть одна и та же. Эта теорема не при-
применима к другим составляющим диаграммы рассеяния, а именно
к преломленному и дифрагированному свету (см. разд. 8.1).
Можно привести несколько примеров.
134 8. ЧАСТИЦЫ. ОЧЕНЬ БОЛЬШИЕ ПО СРАВНЕНИЮ С ДЛИНОЙ ВОЛНЫ
Полностью отражающие частицы с гладкой поверхностью.
Отражение является зеркальным и полным. В разд. 12.44 пока-
показано, что для шаров рассеяние путем отражения изотропно и что
естественный падающий свет дает естественный рассеянный
свет. В силу только что доказанной теоремы то же самое сохра-
сохраняется для выпуклых частиц других форм. Интенсивность рас-
рассеянного света в расчете на одну частицу на расстоянии г равна
Металлические частицы с гладкой поверхностью. Отражение
является зеркальным, но частичным. Преломленный свет погло-
поглощается, так что он не искажает диаграммы рассеяния.
В разд. 12.44 показано, что для шаров отраженный свет имеет
плоский максимум в направлении вперед, т. е. 0 = 0° (дифраги-
(дифрагированный свет имеет очень резкий максимум в том же напра-
направлении). Имеют место эффекты поляризации. Все результаты не-
непосредственно применимы к выпуклым частицам других форм.
Белые частицы. Отражение является полным, но диффузным.
Понятие «белое», подобно понятию диффузного отражения, имеет
смысл только для участков поверхности с размерами много
больше % (разд. 8.1). Точный закон диффузного отражения зави-
зависит от природы поверхности или от причины диффузного отра-
отражения, но обсуждение этого вопроса выходит за рамки этой
книги. Большинство белых поверхностей подчиняется (довольно
точно) закону Ламберта. Этот закон утверждает, что поверх-
поверхностная яркость белой поверхности одна и та же во всех напра-
направлениях независимо от направления освещения. В соответствии
с этим законом можно постулировать, что отраженный свет яв-
является неполяризованным независимо от поляризации падающего
света. Если элемент поверхности dS получает поток FdS, то он
отражает поток cosa-FdS/я на единицу телесного угла в напра-
направлении, которое образует с нормалью угол а.
Диаграмма рассеяния на шаре, элементы поверхности кото-
которого подчиняются закону Ламберта, была вычислена и табулиро-
табулирована Шёнбергом A929). По сравнению со случаем изотропного
рассеяния (частицы с гладкой поверхностью) имеем дополнитель-
дополнительный множитель («коэффициент усиления»)
/(<>) =-Jr (sine-ecosO),
так что
,_ W(8)
Табл. 7 дает некоторые значения /@). Максимум интенсивности
находится в направлении 0 = 180°, т. е. в направлении назад,
ЛИТЕРАТУРА
135
к источнику света. Качественно это иллюстрируется Луной, хотя
она не следует закону Ламберта. В полнолуние {Q = 180°) Луна
наиболее яркая; в новолуние (9 = 0°) Луна темная. Луна
с гладкой поверхностью или планета, покрытая отражающим
океаном, показали бы как раз обратный эффект. В полнолуние
она имела бы светлое пятно в центре, но была бы еще ярче
вблизи края лунной поверхности около новолуния. Остальной
диск выглядел бы черным.
Таблица 7. Рассеяние белым шаром, диффузно отражающим
по закону Ламберта
в
0°
10
20
30
40
50
60
/(в)
0
0,0015
0,0119
0,0395
0,0917
0,1742
0,2907
е
70°
80
90
100
НО
120
130
/(в)
0,443
0,630
0,849
1,093
1,355
1,624
1,888
е
140°
150
160
170
180
/(8)
2,134
2,349
2,527
2,628
2,667
ЛИТЕРАТУРА
Теория разд. 8.1 является классической и была создана Френелем, Пуас-
Пуассоном и другими около 1820 г. Полезна книга
Gray A., Matthews G. В., A Treatise on Bessel Functions and
Their Applications to Physics, London, Macmillan & Co, 2nd ed., 1922.
(Русский перевод: Грей Э., Мэтьюз Г. Б., Функции Бесселя и их
приложения к физике и механике, ИЛ, М., 1953.)
Принцип Бабине относится к 1837 г. Вот несколько статей, в которых
рассматривается парадокс ослабления в оптике (разд. 8.22):
Struve О., Ann. astrophys., I, 143 A938);
Bricard J., J. phys., 4, 57 A943); Compt. rend., 223, 1164 A946).
van d e H u 1 s t H. C, Thesis Utrecht, Recherches astron. Obs. d'Utrecht,
11, part 1, p. 10 A946).
Sinclair D., J. Opt. Soc. Amer., 37, 475 A947).
Brillouin L., J. Appl. Phys., 20, 1108 A949).
Аналогичные объяснения имеются в акустике и волновой механике; см.,
например,
136 ЛИТЕРАТУРА
Wergeland H., Avhandl. Norske Videnskaps-Akad. Oslo, I. Mat.
Naturvid. KL, No. 9 A945).
В 1 a 11 J. M., W e i s s к о p f V. F., Theoretical Nuclear Physics,
p. 324, New York, John Wiley & Sons, 1962.
(Русский перевод: Блатт Дж. и Вайскопф В., Теоретическая ядерная
физика, ИЛ, М., 1954.)
Morse P. M., Feshbach H., Methods of Theoretical Physics, part II,
p. 1381, 1555, New York, McGraw-Hill Book Co., 1953.
(Русский перевод: Морс Ф. М., Фешбах Г., Методы теоретической
физики, том II, ИЛ, М., 1960.)
В этих книгах в качестве дифрагированной волны рассматривается волна,
образующая тень. Хотя математически это верно, поскольку в ближней зоне
эта волна гасит первоначальную волну позади частицы, этот термин может
вызвать неправильную мысль о том, что тень образуется с помощью неко-
некоторого более тонкого эффекта, чем простое экранирование.
Зависимость от угловой апертуры измерительных инструментов вычис-
вычислена Гампрехтом и Слепцевичем:
G u m р г е с h t R. О., S 1 i е р с е v i с h С. М., J. Phys. Chem., 57, 90
A953).
Относительно задачи о хаотически ориентированных иглах (разд. 8.32)
сошлемся на работы:
Pernter J. M., Ex пег F. M., Meteorologische Optik, Vienna,
W. Braumiiller, 1910.
Meyer R., Ber. deut. Wetterdienstes U. S. Zone, Bad Kissingen, 12,
182 A950).
Фазовая функция для белых сферических частиц (разд. 8.42) рассматри-
рассматривается Шёнбергом:
Schoenberg E., Handb. Astrophys., 2, 255 A929),
который затабулировал lg f/@)// A80°)] при нескольких предположениях
о законе диффузного отражения.
9. СТРОГАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ ДЛЯ ШАРОВ
ПРОИЗВОЛЬНОГО РАЗМЕРА
(ТЕОРИЯ МИ)
Все проблемы теоретической оптики являются проблемами
теории Максвелла; поэтому, когда требуется полное формальное
решение, их нужно рассматривать именно в этом смысле. Не-
Нередко физическое понимание сущности задачи приводит к цели
быстрее, чем выводы из формального решения заданной системы
уравнений, и поэтому в некоторых случаях следует отдать пред-
предпочтение такому способу решения задачи. Вот почему в этой
книге уравнения Максвелла не появлялись до настоящей главы.
Рассеяние света однородным шаром не может рассматриваться
в общем виде иначе, как путем формального решения уравне-
уравнений Максвелла с соответствующими граничными условиями. Чи-
Читатели, для которых математическая сторона этого решения не
представляет интереса, могут обратиться сразу к разд. 9.3, где
даны окончательные результаты, а также к гл. 10—15, где рас-
рассматриваются частные случаи и приводятся числовые резуль-
результаты.
9.1. Уравнения Максвелла
9.11. Общие уравнения
Полное изложение теории Максвелла не входит в задачу этой
книги. Читателю рекомендуется обратиться к превосходным со-
современным учебникам. Автор отсылает читателя к «Теории элект-
электромагнетизма» Стрэттона A941), однако в настоящей книге ис-
используются иные единицы и другие обозначения, чем у Стрэттона.
Можно отметить кратко следующие пункты:
1. Применяется гауссова система единиц, которая^ исполь-
использовалась во всех классических статьях по этому вопросу. Это —
нерационализированные электростатические единицы CGS для
Е, D, I, a, p и электромагнитные единицы для Я. Такой выбор
обеспечивает удобный симметричный вид формул. Недостаток
его состоит в том, что переход от полей к токам и зарядам более
сложен, однако этот недостаток не является существенным для
расчетов такого рода, какие приводятся здесь.
2. Автор пользуется временным множителем exp (iat), в то
время как Стрэттон использует ехр (—Ш). Этот выбор, даю-
138 9. СТРОГАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ ДЛЯ ШАРОВ (ТЕОРИЯ МИ)
щий показатель преломления с отрицательной мнимой частью,
является классическим. Ему следовали также при составлении
некоторых современных таблиц.
3. Выбор угла 0 как угла между направлениями распростра-
распространения падающей волны и рассеянной волны (см. рис. 1, 13, 15, 19)
тот же, что у Стрэттона. Классический выбор в качестве угла
рассеяния дополнительного угла я—0 был неудачным.
Уравнения Максвелла имеют вид
rotH = i^- + 4-^, A)
где
D = eE и [ = 0Е,
Обозначения здесь таковы: t—время, с — скорость света,
Н — напряженность магнитного поля, Е — напряженность элект-
электрического поля, D — электрическая индукция, I — плотность
тока, е — диэлектрическая постоянная, а — электропроводность.
Магнитная проницаемость \х, принята равной 1, так как это верно
для всех приложений, которые мы будем рассматривать •. Если
\ьф\, то оно появляется во всех формулах в качестве второго
параметра наряду с показателем преломления т, определенным
ниже.
Третье независимое уравнение выражает сохранение заряда:
dlv ' + ЧГ = °« <3)
где р — плотность заряда.
В дальнейшем нам понадобятся следующие три производных
уравнения. Взяв дивергенцию от обеих частей уравнения A),
получаем
4* div I + -~ div D = 0. D)
Объединяя это уравнение с уравнением C), находим, что всегда
div D = 4яр, E)
1 Одно из преимуществ сохранения в этих формулах ц состоит в том, что
граничные условия для внешних полей на идеально проводящей поверхности
[разд. 9.14, уравнения Bв) и Fв)] те же, что и в случае граничных условий
на поверхности раздела вакуума и произвольной среды (разд. 9.13), если для
последней мы положим е —»оо, ц ->¦ 0. Эта теорема применяется в разд. 10.4.
9.1. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА 139
если это верно в некоторый момент времени. Таким же образом
дивергенция от обеих частей уравнения B) дает
div H = 0. F)
В последующих пунктах мы найдем, какой вид принимают эти
уравнения при тех частных условиях, с которыми приходится
иметь дело в наших задачах. Например, уравнение A) принимает
вид уравнения Aа), A6) и Aв).
9.12. Периодические поля
Теперь и далее мы будем рассматривать периодические яв-
явления с круговой частотой со. Все величины удобно представить
в виде комплексных функций времени:
А = (а + Ф) еш,
где подразумевается, что физическая величина, представляемая
А, равна вещественной величине Г?е(Л). Символ Re означает, что
берется вещественная часть. При наличии такой периодичности
уравнения Максвелла принимают значительно более простой
вид:
rotH = CkmzE, (la)
rotE = — tktt, Ba)
где
у О) 2it
~с~ Г~
Как k, так и т являются чрезвычайно важными параметрами:
k — это постоянная распространения (волновое число) ' в вакуу-
вакууме. Отсюда следует, что длина волны в вакууме K = 2n/k. Исполь-
Использование в формулах той или другой из этих величин — k или
Я — часто является делом вкуса. Параметр m есть комплексный
показатель преломления среды для частоты со. Следовало бы
отметить, что, вообще говоря, m нельзя определить по статиче-
статическим значениям е и а, и его следует определять по измерениям
при круговой частоте со.
Взяв дивергенцию от обеих частей уравнения Aа), получим
в соответствии с уравнением D)
div(/n2E)=0. Da)
1 В русской литературе обычно употребляют второй из этих терминов; он
использован всюду в дальнейшем. — Прим. ред.
140 9. СТРОГАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ ДЛЯ ШАРОВ (ТЕОРИЯ МИ)
В однородной среде, где m=const, дивергенция Е обращается
в 0, так что согласно уравнению E) плотность заряда о равна
0. Другой результат, относящийся к однородной среде, который
можно получить из уравнений Aа) и Bа), состоит в том, что лю-
любая! составляющая Е или Н по осям прямоугольной системы
координат удовлетворяет скалярному волновому уравнению
Наиболее простой вид решения соответствует плоской волне.
Плоская волна, распространяющаяся в положительном направле-
направлении z, имеет вид
yh __ gikmz-\-iu>t
Отсюда видим, что km есть волновое число в среде с показате-
показателем преломления т. Волна затухает, если т имеет отрицатель-
отрицательную мнимую часть, и не затухает при вещественном т. В послед-
последнем случае К/т есть длина волны в среде.
9.13. Граничные условия
Рассмотрим резкую границу между однородными средами
Пусть среда 1 характеризуется величинами еь о\, ти а среда
2— величинами ег, Ог, ю-ъ Как т\, так и т2 предполагаются ко-
конечными; случай бесконечного т см. в разд. 9.14. Пусть п —
нормаль к поверхности границы, направленная в сторону среды
2. Тогда с помощью хорошо известного предельного перехода
уравнения Aа) и Bа) дают граничные условия для тангенциаль-
тангенциальных составляющих
nX(H2-Hi) = 0, A6)
пХ(Ег —Е0 = 0. B6)
В соответствии с уравнениями D) и F) граничные условия для
нормальных составляющих имеют вид
п • (т22Е2 — mizEi) = 0, D6)
n-(H2— Hi) = 0. F6)
Подобно уравнениям D) и F), эти уравнения не являются не-
независимыми. Их можно вывести, комбинируя уравнения Aа) и
Bа), выполняющиеся для обеих сред, с уравнениями A6) и B6),
выполняющимися на границе.
Систему уравнений можно сделать полной путем введения по-
поверхностной плотности заряда б. Поверхностные заряды изме-
изменяются под действием нормальных составляющих плотностей
токов в обеих средах.
9.1. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА 141
Что касается уравнения C), выражающего сохранение за-
заряда, то для границы оно принимает вид
g- = 0. C6)
Совместно с уравнением D6) это уравнение в полном соответст-
соответствии с уравнением E) дает
п-(е2Е2 —е1Е1)=4яб. E6)
Здесь нет поверхностных токов; они существуют только при бес-
бесконечных rhi и т2. Заряды на поверхности равны нулю при веще-
вещественных mi и т2, т. е. на границе между двумя диэлектриками.
Это утверждение относится к периодически меняющемуся заряду,
так как мы рассматриваем только периодические явления; стати-
статический поверхностный заряд может существовать всегда.
9.14. Скин-условия; идеальные проводники
В случае хорошо проводящей среды, подобной металлическим
проводникам для частот инфракрасной области и радиочастот,
имеют место иные условия на поверхности. Если поля вызваны
внешними источниками, то они проникают только в тонкий по-
поверхностный слой проводника.
В этом разделе мы полагаем, что среда 2 является вакуумом,
а среда / — металлом с толщиной скин-слоя, малой по сравне-
сравнению с длиной волны в вакууме. Это верно, если 4шт/со (обозна-
(обозначенное в разд. 14.41 через ц) велико по сравнению с 1. Здесь и
в последующих формулах все физические константы относятся
к металлу.
Эти предположения являются дальнейшим сужением предпо-
предположений, сделанных в разд. 9.13. Поэтому граничные условия
A6) — F6), полученные в разд. 9.13, оказываются правильными
также и здесь, однако можно получить дополнительно другую
систему уравнений, так называемые скин-условия. Различие по-
поясняется на рис. 17. При обычном выводе граничных условий для
тангенциальных составляющих рассматривается контур, обра-
образованный линией 2 вне среды и линией / в среде вблизи поверх-
поверхности. Для нормальных составляющих контур заменяется парал-
параллелепипедом с нижним основанием 1 и верхним 2. В обоих слу-
случаях можно считать справедливым, что вертикальные стороны
бесконечно малы. Следовательно, граничные условия A6)—F6)
являются точными и относятся к полям в верхней части скин-
слоя.
Поскольку скин-слой является тонким, то небезынтересно рас-
рассмотреть другой контур. Основание этого контура можно поме-
142
9. СТРОГАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ ДЛЯ ШАРОВ (ТЕОРИЯ МИ)
стать на любой уровень значительно ниже скин-слоя, где поля
фактически равны нулю. В этом случае на рисунке верхнее и
нижнее основание контура образуются линиями 2 и 0. Вертикаль-
Вертикальные стороны этого контура малы, но не бесконечно малы. Та-
Таким образом, скин-условия, получаемые подобным путем, яв-
являются приближенными, а не точными.
Рис. 17. Условия в граничном слое
хорошего проводника.
Пусть ось г направлена по п, ось у — вдоль горизонтальных
сторон контура, а ось х — перпендикулярно им. Интегрирование
A а) по площади контура дает
— #2у = ikm2 )
Здесь сохранен только вклад от верхней стороны контура. Ниж-
Нижняя сторона дает 0, так как она находится ниже скин-слоя.
Вклад вертикальных сторон невелик'. Предполагая, что е яв-
является малой частью т?, мы можем написать соотношение
с помощью которого последнее уравнение обращается в
Окончательно в векторных обозначениях имеем
где
1 J 'т
,dz.
1 По порядку величины он оказывается меньше главного члена в
но подробный вывод этого результата слишком сложен.
раз,
9.1. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА 143
Тангенциальные составляющие объемных токов в скин-слое после
интегрирования по глубине скин-слоя дают квазиповерхностный
ток j. С помощью формулы Aв) величина j определяет танген-
тангенциальную составляющую внешнего магнитного поля. В то же
время существуют, как и раньше, нормальные составляющие
объемных токов, вызывающие появление действительных по-
поверхностных зарядов. Новое уравнение сохранения заряда, по-
получаемое из уравнения C), написанного для скин-слоя, и урав-
уравнения C6) на границе, будет
(Зв)
Способом, сходным с использованным при выводе формулы Aв),
находим приближенное соотношение
однако его правая часть по порядку величины меньше, чем пра-
правая часть Aв) в | т \~х раз, так что в большинстве случаев мы мо-
можем ею пренебречь и написать
п X Е2 = 0. Bв)
Имеем производные уравнения, соответствующие уравнениям
D)-F):
lam • Е2 = — 4я Div j, Dв)
п-Е2 = 4я6 Eв)
и
п-Н2 = 0. Fв)
Эти уравнения строго следуют из уравнений Aв) — (Зв) и из
уравнений Максвелла для вакуума. Следовательно, полную си-
систему уравнений Aв)—Fв) можно использовать для получения
решения уравнений Максвелла в вакууме (среда 2), ограничен-
ограниченном проводником'.
Идеальный проводник. Если а стремится к оо, то m-voo, и
металл становится идеальным проводником. Тогда уравнения
Aв) — Fв) выполняются строго, a j является действительным по-
поверхностным током. Важно отметить, что граничные условия для
идеально отражающего вещества являются идеализацией скин-
условий Aв) — Fв) для неидеального проводника, но не яв-
являются прямым следствием граничных условий A6) — F6).
1 Приближенные граничные условия на поверхности проводящих тел в
нашей литературе называются обычно граничными условиями Леонтовича.—
Прим. ред.
144 ^¦ СТРОГАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ ДЛЯ ШАРОВ (ТЕОРИЯ МИ)
9.2. Формальное решение Ми
9.21. Решение векторного волнового уравнения
Обозначим сферические координаты точки Р, как обычно,
через (г, в, ф), а через г — вектор ОР, имеющий компоненты
с прямоугольными координатами {х, у, z) или
г cos ф sin 8, г sin ф sin 8, г cos 6.
В этих координатах скалярное волновое уравнение
допускает разделение переменных и имеет частные решения вида
Здесь пи/ — целые числа:
первый множитель может быть или косинусом, или синусом; вто-
второй множитель является присоединенным полиномом Лежандра;
третий множитель может быть любой сферической бесселевой
функцией, связанной с обычными бесселевыми функциями соот-
соотношением
Общее решение скалярного волнового уравнения есть линейная
комбинация таких частных решений.
В силу формул Aа) и Bа) векторы поля Е и Н в однородной
среде удовлетворяют векторному волновому уравнению
ДА + k2m2A = 0.
Частные решения этого уравнения можно получить из следую-
следующей теоремы, которая принимается без доказательства. Если
ф удовлетворяет скалярному волновому уравнению, то векторы
Мф и Щ, определяемые формулами
МФ = rot (пр), G)
т1гЩ = rot Мф, (8)
удовлетворяют векторному волновому уравнению и, кроме того,
связаны соотношением
тШ*, = rot Щ (9)
Это как раз то, что требуется. Если и и v являются двумя реше-
решениями скалярного волнового уравнения, a Mu, Nu, М„, N,, — про-
9.2. ФОРМАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ МИ 145
I
извбдными векторными полями, то простая подстановка пока-
показывает, что уравнения Максвелла Aа) и Bа) удовлетворяются
при;
E-M. + /N..
Составляющие Мф и N^ в развернутом виде даются формулами
Mr = 0, mkNr =
М 1 г)
г sin 0 <*р ' тя^ц—— ОгбЬ
1 ^(гф) .„ 1 * (г
Следовательно, составляющие Е и Н можно выразить через ска-
скалярные решения и и v и их первые и вторые производные.
Однако эти формулы в дальнейшем не потребуются.
9.22. Определение коэффициентов из граничных условий
Теперь мы обратимся к задаче Ми — рассеянию плоской
волны однородным шаром. Чтобы упростить обозначения, пред-
предположим, что внешняя среда представляет собой вакуум (т2—\)
и вещество шара имеет произвольный показатель преломления
т. Предположим, что падающее излучение линейно поляризо-
поляризовано. Возьмем начало координат в центре шара, положительное
направление оси z — в направлении распространения падающей
волны, ось х—в плоскости колебаний электрического вектора
падающей волны. Тогда падающая волна единичной амплитуды
описывается формулами
Е = &хе ~ikz +tmt
где dx и ау — единичные векторы, направленные по осям х и у-
Можно доказать (однако вывод мы опускаем), что эти же са-
самые поля можно записать в форме, принятой без доказательства
в разд. 9.21, если выбрать в качестве и и v следующие функции:
Внешняя падающая волна
со
и = еш cos о V (_ if ~t~ P\ (cos 6) jn (kr),
oo
v = еш sin ? V (- if ^L pi (cos Q) jn {kr)t
10 Заказ № 374
146 9. СТРОГАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ ДЛЯ ШАРОВ (ТЕОРИЯ МИ)
где /п — сферическая бесселева функция, получаемая из бессоле-
бессолевой функции первого рода J \_.
Этот вид формул для падающей волны определяет также вид
полного решения. Поле вне шара состоит из падающей волны
плюс рассеянная волна. Рассмотрение граничных условий и,ус-
и,условий на бесконечности приводит к заключению, что следующее
предположение является достаточно общим:
Внешняя рассеянная волна
со
и = e'mt cos ср N [— ап (— /)"] ^у—т-тт Р\. (cos *0 ^л2) (^г)>
00
v = eZu>' sin с? V [_ fen (_ i)n] -~^\^ P\ (cos 6) AW (Jfer).
Подобно рядам для падающей волны эти ряды содержат част-
частные решения только с 1=1; ап и Ьп — коэффициенты, которые
надлежит определить. Сферическая функция Бесселя Л(„2) (kr) по-
получается из бесселевой функции второго рода #2._1 {kr); она
2
выбрана потому, что ее асимптотическое поведение
в комбинации с множителем exp(ico^) представляет расходя-
расходящуюся сферическую волну, как это и требуется для рассеянной
волны.
Подобно этому поле внутри шара можно представить фор-
формулами:
Влутренняя волна
v = elh>t sin ср %" /га^„(— /)" /" _Г n Z3^ (cos 6)/„ (mkr).
n-l
Здесь с„ и с?„ — другая пара неопределенных коэффициентов,
а выбор jn(tnkr) определяется тем, что показатель преломления
равен /пив начале координат поля конечны.
Чтобы найти неопределенные коэффициенты, воспользуемся
граничными условиями [разд. 9.13, уравнения A6) и B6)]. Не
считая дифференцирования по 8 и ф и множителей, которые со-
9.2. ФОРМАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ МИ 147
впадают для волн внутри и вне шара, обе составляющие поля
(Ев ;И Яср ) содержат выражения
v и
т дг
Составляющие #е и Нч содержат
д (rv)
ти и
дг
Эти четыре выражения должны иметь равные значения по обе
стороны поверхности раздела г=а, где а — радиус шара.
. Выражения упрощаются, если ввести новый набор функций,
которые отличаются от сферических бесселевых функций допол-
дополнительным множителем г:
Ф„ (z) = zja(z) = /-f Sa+±{z) = Sn (г),
Xn (z) = - znn (z) = - ]/-f Nn+.i. (z) = Cn (z),
Это функции Риккати — Бесселя. В настоящее время наиболее
употребительны обозначения Sn и С„. Мы пользуемся обозначе-
обозначениями ij)n, %п и ?п, введенными Дебаем в 1909 г. В силу соотно-
соотношения
Н™ (z) = Jn(z)-lNn(z)
имеем
?„ (г) =-ф„ (г) Ч- «»(z).
Производные этих функций будут обозначаться штрихами.
Аргументами являются
л; = ka = —jj—, у = /га^а.
Здесь и в последующих главах наиболее важным параметром
является параметр х, равный отношению длины окружности
шара к длине волны.
В этих обозначениях граничные условия, выражающие не-
непрерывность четырех функций, заключенных в квадратные скоб-
скобки, принимают вид
\ти\: ^я (*) - а&п (х) = тсЛп (У),
[ ] *п И - "п 'Сп (х) = сп Ф; (у),
ю*
148 ^• строгая теория рассеяния для шаров (теория ми)
ф; w - *„ с; м = «ц. ф; (у)-
Исключая с„ из первой пары уравнений и с?„ — из второй, по-
получаем решения
_ Фп (У) */. (*) ~ «Фи (У) Фп (*)
*„ (У) Ся (*) - тф„ (у) ?„ (х) '
Для сп и rfn мы находим выражения в виде дробей соответст-
соответственно с теми же знаменателями, а общий числитель дается выра-
выражением
Ч>»' (х) In (х) - гр„ (х) ?„' (х) = /.
Этим завершается решение задачи. Поле в любой точке внутри и
вне шара выражено теперь через известные функции.
9.3. Окончательные выражения для амплитудных функций
и факторов эффективности
9.31. Амплитудные функции
Решение Ми< набросок которого приведен в предыдущих раз-
разделах, дает поля в любой точке внутри и вне частицы. Задача,
поставленная в гл. 4 (разд. 4.1 и 4.42), сводилась к рассмотрению
только рассеянного поля на очень больших расстояниях от шара.
Подставляя вместо h\(kr) приведенное выше асимптотическое
выражение, для рассеянной волны находим выражения
л-1
sin ср V Ъп ^±^ /» (cos б).
л-1
При выводе тангенциальных составляющих поля с помощью
уравнений G) — A0) (разд. 9.21) появляются следующие функ-
функции угла рассеяния:
(cos 6).
9.3. ОКОНЧАТЕЛЬНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ
149-
На рис. 18 показаны значения этих функций для п от 1 до 6.
Другие выражения для этих функций имеют вид
dcos6 -
х„ (cos в) = cos 6 • к„ (cos 6) - sin 6
5 -
Рис. 18. Две системы функций угла рассеяния 6, встречающиеся в форму-
формулах Ми, для и от 1 до 6.
Окончательные выражения для составляющих поля можно за-
записать в виде
- Е^ = tfe - -
, F),
150
0. СТРОГАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ ДЛЯ ШАРОВ (ТЕОРИЯ .МИ)
где
0) f anxn (cos 6)
2^
F) = 2 T
Эти поля дают расходящуюся сферическую волну, амплитуда
и состояние поляризации которой зависят от направления. Ра-
Радиальные составляющие Ет и
Нт также можно получить из
решения Ми, однако они стре-
стремятся к нулю быстрее, чем 1/г.
Остается доказать, что функ-
функции 5](G) и 52(8) являются ам-
амплитудными функциями в
смысле, определенном в разд.
4.42. Учитывая произведенный
ранее выбор знака, мы получим
картину, представленную на
рис. 19. Плоскость отсчета выб-
выбрана так, что она содержит
-У направления распространения
падающей и рассеянной волн.
Перпендикулярные и парал-
параллельные составляющие элек-
электрического поля падающей
вслны имеют вид
Рис. 19.
векторов
Разложение
падающей
волн.
электрических
н рассеянной
а для рассеянной волны
Таким образом видно, что функции, обозначенные здесь через
5] (8) и S2(9), полностью совпадают с амплитудными функциями,
определенными в разд. 4.42. Компоненты матрицы 53(8) и 54(8)
равны нулю. Если излучение произвольной интенсивности и со-
состояния поляризации падает на шар, то с помощью формул
разд. 4.42 можно сразу написать интенсивность и состояние по-
поляризации рассеянной волны в любом направлении. Вообще го-
говоря, рассеянный свет является эллиптически поляризованным,
если даже падающий свет имеет линейную поляризацию, так как
5]@) и 52(8) являются комплексными числами с различными
фазами.
9.3. ОКОНЧАТЕЛЬНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ 151
В самом общем случае вычисления, содержащиеся в задаче
Ми, сводятся к вычислению величин
U = | Si @) |2 и h = | S2 @) |2
и разности фаз 6 (разд. 4.22) в функции угла рассеяния 0. Чаще
всего табулируются только м и i2; этого оказывается достаточно
для определения рассеяния неполяризованного света.
Если нужна фазовая функция (разд. 2.1), то ее можно вычи-
вычислить после табулирования ц, /2 и Q0M.- Иначе ее можно записать
в виде рядов по функциям Лежандра с коэффициентами, выра-
выраженными непосредственно через коэффициенты Ми с помощью
выражении, полученных Чу и Черчиллем A955).
Наиболее употребительные формулы собраны в разд. 9.4.
9.32. Окончательные выражения для факторов эффективности
Эти факторы, определенные для частиц общего вида в
разд. 2.4, можно легко вычислить из амплитудных функций. Фак-
Фактор эффективности ослабления можно определить по амплитуд-
амплитудной функции при 0 = 0. Как Si(9), так и 52@) при 0 = 0 имеют
значение
Здесь были использованы соотношения
То, что имеется только одна функция 5@), находится в согла-
согласии со случаем наивысшей симметрии, рассмотренным в
разд. 5.41; это означает, что ослабление не зависит от состояния
поляризации падающего света. Значение Qoai. следует из соотно-
соотношения (разд. 2.4 и 4.21)
так что
Будучи выражено через коэффициенты Ми, Qozn. запишется
в виде
л-1
152 О- СТРОГАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ ДЛЯ ШАРОВ (ТЕОРИЯ МИ)
Остальные сечения, согласно определениям, приведенным в
разд. 2.2 и 2.4, получаются интегрированием по всем углам рас-
рассеяния. Вид функции F(Q, ф), определяющей интенсивность рас-
рассеянного света в произвольном направлении, согласно разд. 2.1,
¦можно написать сразу для частного случая падающего линейно
поляризованного света, рассмотренного в предыдущих разделах
(см. рис. 19). Находим
F F, ф) = h F) cos2 ф -f zj @) sin2 ф.
Интегрирование по всем направлениям с учетом того, что
дает тогда с помощью уравнений разд. 2.2 и 2.3
Qpac. = ¦%• = 4" j I'l <в) "" ^ <°) } Sitl Ы Ь
О
и подобным же образом
^Т ¦ Qpac. з^- J { /х F) + 12 F)} cos б sin
о
Если падающий свет имеет произвольную (например, частично
эллиптическую) поляризацию, получаются те же самые полные
¦сечения; доказательство можно предоставить читателю. После
нахождения этих величин сечения поглощения и лучевого дав-
давления получаются вычитанием:
Уггогл. — Уосл. —
cpac.i
<2давл. = <2осл. — COS 0 • Qpac..
Преобразование приведенных выше результатов к выраже-
выражениям, содержащим коэффициенты Ми, оказывается не очень
простым. Так как S\ и 52 представлены в виде бесконечных рядов,
то их квадраты i\ и /г имеют вид двойных бесконечных рядов.
Однако после интегрирования по 0 большинство членов в двой-
двойных рядах обращается в нуль в силу условий ортогональности
для Яп и хп. Эти ряды исследовались Дебаем, к работе которого
9.4. ФОРМУЛЫ ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКОГО УПОТРЕБЛЕНИЯ 153-
мы отсылаем за дальнейшими подробностями. Результаты ока-
оказываются следующими:
п=Х
2п + 1
Дальнейшее преобразование, которое полезно только при ве-
вещественном показателе преломления, будет дано в разд. 10.21.
9.4. Формулы, рекомендуемые для практического употребления
Хотя предшествующие формулы являются общими и точ-
точными, однако полезно иметь для некоторых простых условий
уравнения, удобные для практического употребления. Они содер-
содержатся в формулировках, данных выше, и мы не будем давать
каких-либо дополнительных пояснений их вывода.
Одна частица, ослабление. По радиусу а и длине волны л
находим х = 2ла/%. Если шар находится не в вакууме, а погру-
погружен в однородную среду, то в этой, формуле следует использо-
использовать длину волны во внешней среде, равную ^вак./'^среды. Таблицы
функций Ми обычно дают факторы эффективности Q0M. (х, т).
Если /о — интенсивность падающего света (вт/м2), то незави-
независимо от состояния поляризации падающего пучка на шар при-
придется пучок в Bосл. • ла2 • /0. Поглощенная часть и часть, рассе-
рассеянная по всем направлениям, получаются заменой Qoc,i. соответ-
соответственно На Qnoi-л. И Qpac.
Одна частица, интенсивность рассеянного света. Обычно таб-
таблицы дают i\ и г2 в функции х, m и 6. Пусть г — расстояние от
центра шара, a k = 2n/%. При падении на шар естественного
света интенсивности /0 (вт/м2) свет, рассеянный в любом направ-
направлении, имеет частичную линейную поляризацию. Его интенсив-
интенсивность (вт/м2) равна
/ — -^о ('1 + h)
где члены i\ и г2 относятся к интенсивности света, плоскость ко-
колебаний которого соответственно перпендикулярна и параллель-
154 9- СТРОГАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ ДЛЯ ШАРОВ (ТЕОРИЯ .МИ)
на плоскости, проходящей через направления распространения
падающего и рассеянного пучков. Под плоскостью колебаний
света мы понимаем плоскость колебаний электрического вектора.
Степень поляризации равна (i\—ii)l(}i + h)~
Полные формулы для поляризованного падающего света
даны в разд. 4.42.
Среда, содержащая N частиц на единицу объема. Предполо-
Предположим сначала, что эти частицы являются одинаковыми шарами,
находящимися в вакууме. Интенсивность излучения, рассеянного
единицей объема в заданном направлении, попросту в N раз
больше интенсивности, упомянутой выше. Она зависит от состоя-
состояния поляризации падающего света.
На расстоянии / интенсивность распространяющегося пучка
уменьшается в e~tl раз, где коэффициент ослабления y незави-
независимо от состояния поляризации падающего света вычисляется по
формуле
Y = NiiaZQ0CJ1..
В то же время распространяющаяся волна запаздывает. Ослаб-
Ослабление и запаздывание описываются совместно комплексным по-
показателем преломления среды
m= l — iS@)-2nNk-3.
Если частицы имеют различные радиусы, причем в единице
объема N(a)da частиц имеют радиусы от а до a + da, то
о
где Qocn. зависит от а через посредство аргумента х = 2ла/%.
Частицы, взвешенные в среде с показателем преломления, от-
отличным от 1. Для того чтобы сохранить простые выражения, мы
всюду в этой книге предполагаем, что среда, в которой взвешены
частицы, является вакуумом, однако обобщение делается элемен-
элементарно. Пусть внешняя среда имеет показатель преломления т2
(вещественный), а шары имеют показатель преломления тк
(вещественный или комплексный). Значения т. и К, используемые
всюду в этой книге, равны
^ __ ^вак.
т, '
и,следовательно,
2-о 2т.ат1
х~—~г~ —
ЛИТЕРАТУРА 155
Все функции от х и от т остаются без изменения, кроме ком-
комплексного показателя преломления среды со взвешенными ча-
стицами, который теперь будет равен т-т2.
Общее доказательство этих соотношений можно получить,
приняв с самого начала во всех формулах т2 за независимый па-
параметр.
ЛИТЕРАТУРА
Изложение уравнений Максвелла до некоторой степени соответствует
изложению Стрэттона:
S t r a 11 о n J. A., Electromagnetic Theory, New York, McGraw-Hill Book
Co., 1941.
(Русский перевод: Стрэттон Дж. А., Теория электромагнетизма, Гос-
техиздат, М.-Л., 1949.)
Обсуждение граничных и скин-условий в соответствии с обычными уравне-
уравнениями (разд. 9.12—9.14) дается впервые.
Решение Ми (разд. 9.2 и 9.3) дано в работе
Mie G., Ann. Physik, 25, 377 A908).
Вариант этого решения можно найти в книге Стрэттона и в работах:
Debye P., Ann. Physik, 30, 59 A909).
Bateman H., Electrical and Optical Wave Motion, Cambridge, Cam-
Cambridge Univ. Press, 1915.
Born M., Optik, Berlin, J. Springer, 1933.
(Русский перевод: Борн М., Оптика, ОНТИ Украины, 1937.)
Для того чтобы облегчить вычислительную работу, предлагалось мно-
множество преобразований. Из них мы упомянем метод фазовых углов
(разд. 10.4) и метод логарифмических производных функций, которым поль-
пользовались Инфельд и Аден:
Infeld L., Quart. Appl. Math., 5, 113 A947).
Aden A. L., J. Appl. Phys., 22, 601 A951).
Коэффициенты для выражения фазовой функции (разд. 2.1) в виде ря-
рядов функций Лежандра можно вычислить по формулам, данным Чу и Чер-
Черчиллем:
Chu С. М., Churchill S. W., J. Opt. Soc. Amer., 45, 958 A955).
Относительно ссылок на числовые результаты см. гл. 10 и 14.
10. СФЕРИЧЕСКИЕ ЧАСТИЦЫ БЕЗ ПОГЛОЩЕНИЯ
В этой главе рассматриваются главным образом сферические
частицы из непоглощающего (диэлектрического) вещества. Это
означает, что электрическая проводимость ст равна нулю и по-
показатель преломления вещества т является вещественной по-
постоянной.
Это предположение само по себе еще не вводит значительного
упрощения, однако оно позволяет дать обзор тех упрощений,
которые возникают в предельных случаях при больших или ма-
малых значениях т и х. Этот обзор дается в разд. 10.1. Некоторые
предельные случаи рассматриваются в этой главе (разд. 10.3,
10.5 и 10.6), другие — в последующих главах A1 и 12).
Мы не ограничиваемся рассмотрением непоглощающих частиц
только в том случае, когда при более общем предположении, со-
состоящем в том, что ст=^=О, уравнения достаточно просты для того,
чтобы результат можно было сформулировать сразу. '
10.1. Исследование области m — х
Все формулы, выведенные в предыдущей главе, имеют два
параметра: тих. Параметр х, характеризующий размер, мо-
может принимать значения от 0 до оо. Показатель преломления
т может принимать значения от 1 до оо для шаров в вакууме
и может быть меньше 1, если окружающая среда не является
вакуумом (например, пузырьки воздуха в воде). Для удобства
мы пренебрегаем последней возможностью и ,на рис. 20 пока-
показываем схематическую диаграмму, на которой любая комбина-
комбинация хит представлена точкой внутри квадрата. Каждой точке
соответствует своя диаграмма рассеяния, определенная вели-
величина фактора эффективности ослабления, лучевого давления
и т. д.; однако число точек, для которых такие обстоятельные
расчеты были выполнены, невелико, несмотря на то, что за по-
последнее время подобных расчетов было проведено много. Глав-
Главным образом по этой причине важно установить, какой способ
рассмотрения проблемы является более простым и в какой об-
области диаграммы т—х выбранные приближенные методы явля-
являются законными.
10.1. ИССЛЕДОВАНИЕ СБЛАСТИ т - х
157
Теоретическая структура диаграммы т—х становится попят-
попятной, если мы примем во внимание три основных способа класси-
классификации частиц. Первый способ состоит в классификации рас-
рассеивающих шаров по их размерам. Имеется постепенный переход
от типичных свойств рассеяния малыми сферическими частицами
к свойствам рассеяния большими шарами. Важность такой клас-
классификации хорошо известна и очевидна из точных формул. Мы
уже применяли ее в гл. 6 и 8 к малым частицам произвольных
форм.
61
6
ав /\
0
\
2х(т-1)
\
СО
/ f V
l^A *
У-1
J
Рис. 20. Обзор предельных случаев в области
ОТ—X.
Второй способ состоит в классификации по величине т. Упро-
Упрощения, которые имеют место для малых т, известны давно.
В противоположном случае мы имеем т = оо, т. е. полностью
отражающие вещества. И здесь также имеется постепенный пе-
переход.
Третий способ состоит в классификации по фазовым сдвигам.
Изменение фазы светового луча, проходящего сквозь шар вдоль
его диаметра, равно
2а (т— 1)-2л/% = 2х(т— 1).
Процессы рассеяния оказываются совершенно различными
в зависимости от того, велики или малы фазовые сдвиги по срав-
сравнению с 1. Линия раздела является приблизительно диагональю
158 Ю. СФЕРИЧЕСКИЕ ЧАСТИЦЫ ВЕЗ ПОГЛОЩЕНИЯ
квадрата на рис. 20. Подразделение не является отчетливым.
Любопытно, что такой способ классификации не отмечается
в большинстве монографий, посвященных этому вопросу, хотя
в аналогичных задачах, относящихся к квантовой механике, он
имеет первостепенное значение '. Этот способ классификации был
использован в гл. 7.
Наибольшие математические упрощения и наиболее ясная
физическая интерпретация формул рассеяния были получены
в точках плоскости т—х, находящихся далеко от двух линий
раздела, т. е. в точках, удовлетворяющих по крайней мере двум
из следующих неравенств:
или ,
т — 1 <С 1 или т — 13> 1,
х(т— 1)<1 или х(т—
Возможные случаи представлены в табл. 8, где «ж» означает
малое, «б» — большое и «яр» — произвольное.
Из табл. 8, иллюстрируемой рис. 20, видно, что имеется шесть
граничных участков ()—6), в которых один из параметров может
иметь произвольное значение, начиная почти от 0 до бесконеч-
бесконечности. Простые формулы или упрощенные методы вычислений,
которые справедливы для этих участков, обсуждаются в разде-
разделах, указанных в таблице. Попарно они перекрывают участки,
занумерованные числами 61, 12, 23 и т. д. Для этих угловых уча-
участков справедливы даже более простые формулы, чем в боль-
большинстве граничных участков; для них в табл. 8 дается формула
для фактора эффективности ослабления Q. Для каждого из угло-
угловых участков можно получить совпадающие результаты с по-
помощью несколько отличающихся друг от друга подходов, харак-
характерных для перекрывающихся, граничных участков. Например,
формула ослабления для участка 12 будет
Q = 2*2(m— IJ,
что следует независимо из теории Релея—Ганса (участок /) и
из совершенно отличной от нее теории аномальной дифракции
(участок '2).
Прежде чем перейти к подробному обсуждению соответствую-
соответствующих свойств явления рассеяния во всех граничных участках,
дадим здесь их краткое описание. Совершим обход диаграммы
т—х, начав с верхнего левого угла.
1 Приближения, основанные на предположении, что фазовые сдвиги малы,
называются в квантовой механике «приближением Борна».
10.1. ИССЛЕДОВАНИЕ ОБЛАСТИ т-х
159
Таблица 8. Граничные участки области т-х
Участок
61
1
12
2
23
3
34
4
45
5
56
6
X
м
up
б
б
б
б
б
пр
м
м
м
м
м
м
м
м
м
пр
б
б
б
б
б
пр
х (т - 1)
м
м
м
пр
б
б
б
б
б
пр
м
м
Глава или раздел
7.2 (область Релея — Ганса)
11 (аномальная дифракция)
12 (большие шары)
10.6 (полное отражение)
10.5 (оптический резонанс)
6.3 (релеевское рассеяние)
Формула ослабления
32
0-27 (*-1J*4
0 2 (т — 1Jjc2
0-2,
0-2
ю 4
0=-| *4
Левая сторона (участок 5) дает наиболее простую картину.
Здесь малы как х, так и сдвиг фазы. В формулах Ми наиболь-
наибольшее значение имеет один член с коэффициентом а\, который со-
соответствует электрическому дипольному рассеянию. Это — реле-
релеевское рассеяние, рассмотренное с более общей точки зрения
в гл. 6. При переходе в нижний левый угол становятся существен-
существенными как Ь\, так и члены с л>1. Имеются четко определенные
значения х, при которых один из этих членов играет большую
роль; это указывает на явление резонанса. Перемещаясь из этой
области оптического резонанса (участок 5) вдоль нижней сто-
стороны квадрата, мы попадаем в область полностью отражающих
шаров (участок 4). Полями внутри шара можно пренебречь, и
коэффициенты Ми будут особенно простыми; имеется достаточно
числовых результатов, чтобы проследить постепенный переход
от малых шаров к большим. Затем мы входим в область геомет-
геометрической оптики (участок 3), которая занимает правую сторону
квадрата. Диаграмма рассеяния является комбинацией дифрак-
дифракционной картины (зависящей от х, но не от т) с диаграммой
отражения и преломления (зависящей только от т). Как сле-
следует из разд. 8.22, в этой области Q = 2. В нижнем конце этого
участка преобладает отражение, и при подъеме вдоль вертикаль-
вертикальной границы диаграммы преломление шаром увеличивается все
более. В верхней части большая часть света проходит после
160 10- СФЕРИЧЕСКИЕ ЧАСТИЦЫ БЕЗ ПОГЛОЩЕНИЯ
двух преломлений без внутреннего отражения. Если теперь т—1
продолжает уменьшаться, то проходящий свет отклоняется мень-
меньше, и его интенсивность увеличивается. В конце концов его ин-
интенсивность становится сравнимой с интенсивностью дифраги-
дифрагированного света. Здесь появляется оптическая интерференция, и
мы входим в верхний правый угол (участок 2). В этом участке
диаграммы свет рассеивается в дифракционные кольца с ано-
аномальными размерами и распределением яркости.
Предельный случай малых фазовых сдвигов приводит нас к
верхней стороне квадрата. Все фазовые сдвиги малы. Рассеяние
Релея—Ганса, которое происходит в этом участке, рассматрива-
рассматривалось при более общих предположениях в гл. 7. Его можно пони-
понимать как одновременное релеевское рассеяние всеми элементами
объема шара. Чисто геометрические интерференционные эффекты
дают диаграмму рассеяния с последовательными светлыми и
темными кольцами. Для больших х большая часть света на
правлена преимущественно вперед. С уменьшением х углы между
кольцами расширяются, кольца одно за другим исчезают при
6=180°. Наконец, когда х делается много меньше 1, все интер-
интерференционные эффекты пропадают, и мы возвращаемся к обыч-
обычному релеевскому рассеянию. Тем самым наш обход завершен.
Остается нерассмотренной центральная часть плоскости
т — х. Здесь следует избрать путь прямых расчетов по форму-
формулам Ми1. И даже в этом случае правильные методы интерполя-
интерполяции числовых результатов можно предложить только при хоро-
хорошем понимании эффектов, с которыми приходится сталкиваться
в граничных участках.
10.2. Одно существенное упрощение
10.21. Введение фазовых углов
Вещественное значение т означает отсутствие поглощения,
так что мы заранее знаем, что Qpac. = QoM.. Это не вытекает оче-
очевидным образом из строгих формул разд. 9.32, но становится
ясным после следующего преобразования.
Пусть m вещественное, тогда вещественны х и у = тх. В та-
таком случае вещественны и функции $п (х), -ф„ (у) и %п (у), но функ-
функция ?,п(х) является комплексной, так что коэффициенты а„ и Ьп
1 В формулах Ми можно произвести переход к другим разложениям
(разд. 12.35), однако, если не пользоваться приближениями, эти разложения
непригодны.
10.2. ОДНО СУЩЕСТВЕННОЕ УПРОЩЕНИЕ 161
также комплексны. Определим вещественные углы ап и В„ таким
образом:
Ф„ (У) Фл (х) - mi(n (у) +; {х)
^п (У) Хл (•*) — т^п (у) гп (-*)
— т'^п (У) '^п (х) — Од (у) <ЬД (х)
^Фл (У) Хл (•*¦) — ^п (У) In (•*)
Тогда на основании формул, выведенных в разд. 9.22, коэффи-
коэффициенты ап и Ьп равны
и путем простого геометрического преобразования получаем
Геометрическое место точек а„ и Ьп в комплексной плоскости —
окружность с центром в точке @, 1/2) и радиусом '/г (рис 21).
Геометрическим и аналитическим путем можно показать, что
Re (ап) = | а„ р = sin2 а„ = -i- (I - cos 2«„),
Re (bn) = \ bn p = sin2p, = -i- A - cos 23n),
чем доказывается, что <ЭОсл. и Qpac. имеют общее значение
оо
Q
Bя --]) (sin2 а« +sin2 ?»)•
л - 1
То же преобразование можно сделать при комплексных зна-
значениях m (поглощающие шары). В этом случае главное преиму-
преимущество теряется, так как ап и 6„ комплексны, и вещественная
часть ап больше не равна квадрату его модуля, так что и
Vpac. т= Уосл. •
Определение углов ап и 6„ дополняется требованием, чтобы
они были равны 0 при х = 0 и были бы непрерывными функци-
Н Заказ .V; 374
162
10. СФЕРИЧЕСКИЕ ЧАСТИЦЫ БЕЗ ПОГЛОЩЕНИЯ
ями х. Для т—\ они также равны 0 и являются непрерывными
функциями т. Однако, когда мы переходим от очень больших
значений т к т = оо> появляются разрывы непрерывности (см.
разд. 10.6).
Переход от комплексных коэффициентов ап и Ь„ к веществен-
вещественным углам а„ и Р« означает существенное упрощение. Можно
составить график зависимости ап и {Зп от m или х. Такие графики
позволяют нам проверить точность вычислений и выявить ошибки
на той стадии вычислений, где это нужнее всего, так как после
суммирования по п ошибки обнаруживаются с трудом. Эти гра-
Рис. 21. Геометрическое место точек
комплексной плоскости, соответству-
соответствующих
коэффициентам ап и Ъп
является окружностью.
фики помогают нам также лучше понять, каким образом из об-
общего решения получаются решения для различных предельных
случаев.
В частности, мы пользовались графиками, дающими значения
ап и рп для всех п в функции х при фиксированном значении
показателя преломления /п. Рис. 22 является примером такого
графика, построенного для пг-=2 в области значений х от 0 до
4,25. Все углы аа и рп растут с ростом х, но скорость их возра-
возрастания подвержена значительным колебаниям, и через опреде-
определенные интервалы эти кривые пересекаются. Порядок, в котором
располагаются углы при одном значении х, например вдоль пра-
правого края рис. 22, не обнаруживает какой-либо заметной зако-
закономерности. В прежней литературе эта закономерность была еще
менее заметна, так как комплексные числа ап и Ьп были даны
. 10.2. ОДНО СУЩЕСТВЕННОЕ УПРОЩЕНИЕ
163
240
Рис. 22. Графики зависимости фазовых углов ап и C„ от х
при яг=2,0.
с дополнительными комплексными множителями. Например,
в таблицах Лоуана даны величины
А = i
2 v
¦In -1
n(n
164 Ю. СФЕРИЧЕСКИЕ ЧАСТИЦЫ БЕЗ ПОГЛОЩЕНИЯ
Углы а„ и рп, использованные для построения графиков
рис. 22, были вычислены с помощью этих таблиц. Те же коэффи-
коэффициенты даются в таблицах Блюмера. Не удивительно, что четкой
закономерности в поведении вещественной и мнимой частей этих
комплексных чисел не проявляется, за исключением перемены
знака, обусловленной множителем ?2п= (—1)п.
10.22. Свойства узлов
Наиболее интересное свойство кривых, изображенных на
рис. 22, состоит в существовании точек, в которых
Любую такую точку мы назовем узлом. Из формул (в начале
разд. 10.21) видно, что имеются узлы двух типов. Если г|)„(г/) =0,
то
Уд
\а ч frr
будем говорить, что этим соотношением определяется узел пер-
первого рода. Если же ^'п(у) = 0, то
tg» -At* =- ''ЛХ) ¦
будем говорить, что этим соотношением определяется узел вто-
второго рода.
Для дальнейшего упрощения введем углы бп и еп, 'являю-
'являющиеся функциями х и определяемые соотношениями
tgu*) H& ъ*л*) -п(х)
при дополнительном условии, что они непрерывны и обращаются
в нуль при А" = 0. Обозначение 6П (х) соответствует обозначениям
Лоуана и Морса; еп(х)—функция, определяемая впервые
(разд. 10.4). Эти функции дают все, что нам нужно для решения
задачи о рассеянии полностью отражающим шаром, так как фа-
фазовые углы для пг = оо определяются (см., кроме того, разд. 10.6)
соотношениями
а„ = — гп (х), р„ = — бп {х).
Для вычисления полных кривых ап и р„ при любом положи-
положительном значении тфоо функций 6п(х) и еп(х) недостаточно.
Они дают только точные абсциссы и ординаты узлов. Соответ-
10.2. ОДНО СУЩЕСТВЕННОЕ УПРОЩЕНИЕ 165
ствующие формулы очень просты. Свойства узлов можно сум-
суммировать следующим образом '.
Узлы первого рода (на рис. 22 они отмечены квадратиками):
если
6n(mx)=kn (k=l, 2, 3,...),
то
<Хп = Рп = Рп-1 = (Зп+1 = kn Ьп (X)
и, далее,
d*n
dx dx dx
Узлы второго рода (на рис. 22 они отмечены кружками):
если
е„(тдг)=Ая (А = 0, 1,2, 3V...),
то
а„ = р„ = &я— en(jc).
Можно допустить, что существуют и другие простые соотно-
соотношения; например, в аналогичных случаях для цилиндров частные
производные по m и х в узлах также можно взять из соответ-
соответствующих'таблиц (разд. 15.31). Те соотношения, которые приве-
приведены выше, уже оказались весьма полезными при выявлении не-
некоторых вычислительных ошибок. Особенно замечательны свой-
свойства узлов первого рода. В таком узле одновременно пересека-
пересекаются четыре кривые, из которых три имеют общую наклонную
касательную, а одна кривая имеет горизонтальную касательную.
Например, на рисунке в узле при лг=2,88 пересекаются три на-
наклонные кривые Pi, ct2 и Рз, которые касаются друг друга, однако
взаимно не пересекаются. Далее, кривая C2 имеет горизонталь-
горизонтальную касательную. В этом узле все четыре угла равны 137°.
Кривые для величины ao = p_i и po = a_i представлены на ри-
рисунке пунктирными линиями. Они подчиняются тем же прави-
правилам, что и другие фазовые углы, но они не нужны в расчетах,
так как разложение в ряды в формулах Ми начинается с п—\.
10.23. Функции дп(х) и еп(х)
Этот раздел имеет характер приложения, в котором для спра-
справок собраны некоторые полезные формулы. Выводы опущены.
1 Эти выражения для ап и Р„ следуют из выражений для tg оя и для (g |3„,
данных ранее. Член Лтт следует из условия, что все углы должны обращаться
в нуль при и-' 1. Дополнительные свойства узлов первого рода впервые были
отмечены но время вычислении, а затем с помощью рекуррентных формул
для бесселеиых функций было показано, что они выполняются строго.
166 10. CO!-PH4F:CKHF ЧАСТИЦЫ BF.3 ПОГЛОЩЕНИЯ
Исходными являются уравнения разд. 10.22
+рЗ = *п(х) te~ — '^п(Х)
" -In (X) ' *"*п . •
Функции \|-„ (а-) и х« (*) были определены в разд. 9.22.
При « = 0: гро (а) = sin а, г|)</ (а) = cos a,
/о (а-) = cos д;, уУ (х) = sin л-,
откуда
'о \л) — л, -о \л/ — л 2 "
При и— 1:
,, / ч sinx , , л l^i ¦ cosx
1 X 'IV Х~ j ' X
, ч cos х , ' / \ /' 1 1 \ sin jc
"У I I1" I 1 ciny -у I УI ( I 1 г* Г\ С У
откуда
bl(x) = x — arctg*, Sl(*) = x - arc
При любом n\
и аналогично для %п (а).
Углы 6„ (х) и е„ (а-) ведут себя по-разному в зависимости
от того, будет ли (n+-j-)/x мало, близко к ] или велико. Имеем
е.„ (п) = е„ (л + 1).
Между этими значениями к„ (jc) достигает минимума при
х— у п(п+ 1). При п-*-оо имеем
е« (п +¦ г) ^ -- -J- = -зг' 8« 'п+4-) -^ -f=30°-
При (ft+-y)/A = cosT<l асимптотические выражения будут
где / определяется соотношением /=sint — tcost (ср.
разд. 12.33). При малы\(я + Tjfx полезны асимптотические раз-
10.2. ОДНО СУПи-ХТВПННОЕ УПРСНЦГ.НИК
167
ложения в ряды, основанные на разложениях Ханкеля бесселе-
бесселевых функций:
« / \ ЯП , , и . U2 — Зи .
"¦ ' 2~'~ " j- т $хз ~г • • •»
(и -[- 1) т:
и
х
причем
и =
п(п+\)
Приближенные выражения для нулей tg бп (х) и tgere(*) таковы:
ЪЛх) = Ы при x =
= ** при * = (*-f^
Значения нулей tgdn (*) и tge« (л:) даны в табл. 9. Число-
Числовые значения 6„ (х) и е„ (дг) даны в табл. 10. Более под-
подробные значения 6п(х) можно взять из таблиц Морса и др.
Функция Ьп'{х), приведенная в этих таблицах, не совпадает
с функцией еп(х). Значения функции гп(х) были вычислены по
таблицам Морса с помощью формулы, данной в разд. 10.4.
Таблица 9. Положение узлов для шаров
6„ - 180°
360°
540°
720°
900°
1080°
гп - 0°
180°
35(Р
510°
720°
900°
3
б
9
12
15
18
0
142
,283
,425
,566
,708
,849
4
7
10
14
17
20
1
,493
,725
,904
,067
,221
,371
5,764
9,095
12,323
15,515
18,089
6,988
10,417
13,698
16,924
20,122
4
8,183
11,705
15,040
18,301
21,526
9
12
16
5
,36
,97
,36
С)
10,52
11,68
Корни уравнения <\п (у) — 0
9,30
1
4
7
10
14
17
571
,712
,854
,996
,137
,279
9,
6,
9,
12,
15.
18
744
117
317
186
641
796
3,870
7,443
10,713
13,921
17,103
4,973
8,722
12,064
15,314
18,521
6
9
13
16
19
,062
,968
,380
,674
,916
7
11
14
18
,18
,20
,69
,02
8
12
,27
,42
Корин уравнения уп(у)— 0
Таблица 10а. Значения 5Я (х) в градусах
X
0,
0,
1,
1,
2
2
3
4
6
7
8
9
10
п
ч
0
5
0
5
0
5
0
0
0,0
28,6
57,3
85,9
114,6
143,3
171,9
229,2
286,5
343,7
401,1
458,4
515,7
573,0
1
0,0
2,1
12,3
29,6
51,2
75,0
100,3
153,2
207,8
263,2
319,2
375,5
432,0
488,7
2
0,0
1,0
5,4
15,1
29,8
43,2
91,9
140,8
192,4
245,6
299,8
354,8
410,1
3
0,0
0,4
2,3
7,4
16,7
46,4
86,2
131,7
180,6
221,6
284,1
337,5
1
4
0
0
1
3
17
45
81
124
171
220
270
0
2
,0
,5
,7
,1
,9
,7
2
,2
,9
5
0
0
0
4
18
44
78
119
163
210
0
,1
,4
,5
,4
,1
,6
.1
,5
,6
0
0
0
5
19
43
76
114
157
,0
,7
,3
,0
,3
,0
,5
,0
7
0
0
1
6
19
42
73
ПО
0
1
0
,0
,5
,7
,8
,6
8
0,
0,
1,
6
19
42
71
0
1
3
6
9
1
9
9
0,
0,
1,
7
20
41
0
2
6
2
2
7
10
0,0
0,3
1,9
7,7
20,5
1
0
0
2
8
1
,0
,4
,2
,1
12
0
0
0
2
0
1
5
4
1-4
0,0
0,1
0,6
Таблица 106. Значения еп (х) в градусах
\. п
X \
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
4
5
6
7
8
9
10
0
-90,0
--61,4
—32,7
—4,1
24,6
53,3
81,9
139,2
196,5
253,7
311,1
368,4
425,7
483,0
1
0,0
-5,0
-32,7
-43,9
—31,7
—11,3
12,4
64,1
118,2
173,5
229,3
285,6
342,1
398,7
>2
0,0
-0,1
-1,7
-11,6
—31,7
--39,6
—31,3
5,6
52,4
103,3
156,2
210,3
265,0
320,2
,ч
0,0
-0,7
-4,1
—15,1
-31,3
-31,1
1,0
44,1
92,0
142,4
194,6
247,9
4
0,0
-0,2
-1,5
-6,2
—31,1
-30.9
-2,2
37,6
82,9
131,2
181,7
5
0,0
-0,1
-0,6
—7,8
—30,8
-30,8
—4,7
32,5
75,6
122,0
6
0,0
-1,0
—9,3
—30,8
—30,8
—6,7
28,4
69,4
7
0,0
—0,1
—1,4
-10,5
—30,8
—30,7
-8,4
24,9
8
0,0
—0,2
—1,9
—11,5
—30,7
—30,6
—9,7
9
0,0
-0,3
—2,3
-12,4
—30,7
—30,6
10
0,0
—0,4
—2,8
—13,3
—30,6
11
0,0
—0,5
—3,2
—14,0
12
0,0
-0,6
—3,7
13
0,0
—0,7
170 Ю- СФЕРИЧЕСКИЕ ЧАСТИЦЫ БЕЗ ПОГЛОЩЕНИЯ
10.3. Вычисление с помощью разложений в ряды
Необходимость получения числовых результатов по форму-
формулам Ми обусловлена множеством применений этой теории. Из-за
вариаций размеров частиц и (или) длины волны обычно нужны
числовые данные для фиксированного показателя преломления
т и некоторого интервала значений х. На выбор того или дру-
другого метода вычислений могут влиять такие соображения, как
требуемая точность, вопрос о том, ищется ли коэффициент ослаб-
ослабления или интенсивности рассеянного света, и, наконец, вопрос
о том, имеются ли в распоряжении электронные вычислитель-
вычислительные машины. Тем не менее следующие советы могут оказаться
полезными.
1. Если как х, так и тх меньше 0,8, нужно пользоваться раз-
разложениями в ряды (см. этот раздел).
2. Если х>0,8 и вычисление вообще выполнимо, следует поль-
пользоваться фазовыми углами (разд. 10.4).
3. Часто могут оказаться полезными приближения, схемати-
схематически описанные в разд. 10.1 и более подробно изложенные в по-
последующих главах.
В области малых х и тх релеевское рассеяние с коэффици-
коэффициентом а, и фазовым углом щ является преобладающим. Для по-
получения более точных результатов вычислений удобно пользо-
пользоваться разложениями в ряды. В литературе имеются следующие
разложения. Положим
2__i з т.2 — 2
2
о
3 nfi + 2 ' " 5 т> + 2
тогда
ах — s.v3 (\ + tx2-] ), Pj = suxb -\ ,
так что
Оосл. = Qpac = 6S2^ (I + 2^2 + ...)==
с той же точностью имеем
„9 / я,? _1_ Q \ С п,2 .1. О \
9/ , ч I Х2 GИ2 + 3) (/И* + 2)
_
10.3. ВЫЧИСЛЕНИЕ С ПОМОЩЬЮ РАЗЛОЖЕНИЙ В РЯДЫ 171
M. = 6s*.** [1 + B* - и - w) х* +...] =
3 X \ nfi + 2 j L 15 (m2 + 2) Bm2 + 3) x + ¦¦¦]¦
Эти формулы полезны, если второй член в скобках не превосхо-
превосходит 0,10—0,20. В противном случае следует принять во внимание
большее число членов; целесообразно также перейти к методу
фазовых углов.
Можно отметить, что в том же приближении коэффициенты
Ми имеют вид
ai = isx3 (I + tx2 — isx3), b\ = isux5,
a2 = iswxr>, 62 = • • ¦ •
Эти формулы остаются в силе и для комплексных значений т,
так что они дают непосредственно точное значение сечения ослаб-
ослабления для поглощающих шаров (разд. 14.21).
В этой области значений х интенсивности рассеянного света
также можно найти с помощью разложений в ряды. Преобла-
Преобладающий член в а\ дает релеевское рассеяние с
/И2—1\2
уо г» / —
•V i\ Ley —
в согласии с разд. 6.31. Для релеевского рассеяния диаграмма
рассеяния совершенно симметрична, и свет, рассеянный под пря-
прямыми углами, полностью поляризован (t2=0 при 9 = 90°). Эти
свойства изменятся, если в формулы ввести следующие члены
с t, и и w. Первые несколько функций, зависящих от 9, таковы:
.11 (cos 8) = 1, n2(cos 0) = 3 cos 0,
xi (cos 6) = cos 0, T2 (cos 8) = 3 cos 20.
Если в общую формулу для Si (разд. 9.31) подставить эти вы-
выражения и предыдущие выражения для а1; Ь\ и 62, мы получим
Si=~T (ai~i + *i"i) -г 4" (а2я2 + *aTa) + • • • ,
. что после некоторых преобразований переходит в
•S, = ^- { 3 + C* -f Зи cos 6 + ow cos 6) х2 - 3/sJc3 + . . .} .
172 Ю- СФЕРИЧЕСКИЕ ЧАСТИЦЫ БЕЗ ПОГЛОЩЕНИЯ
Подобно этому уравнение для 52 принимает вид
S2 = т (а^ -[- Vi) ¦+- -g- (a2x2 -г *2-2) -!- • • • =
^ { 3 cos 0 + C* cos 0 + Зм + 5«> cos 26) jc2 -
— Зил:3 cos 0 -j- . . . } .
Опущенные члены в фигурных скобках имеют порядок г( и выше.
Если вычислить i"i = |5il2 и i2 = \S2\2 и провести необходимое инте-
интегрирование по 0, то можно снова получить данные выше выра-
выражения ДЛЯ Qoc.i., COS 0 И «Эдавл,-
Эти формулы показывают, что диаграмма рассеяния начи-
начинает отклоняться от обычной релеевской диаграммы, как только
приобретают значение члены второго порядка, содержащие /, и
и w. Эти отклонения интересны в двух отношениях.
1. Интенсивность рассеяния вперед становится больше, чем
интенсивность рассеяния назад, так как непосредственная под-
подстановка 0 = 0° дает
S1 @) = S2 @) = -^- { 3 + Ct + Зм + 5да) л-2 -
— Зил:3 -f . . . },
в то время как подстановка 0= 180° дает
Sl A80°) = — S2 A80°) = -^- { 3 + C* — Зи — ода) л-2 -
— Зил;3 -f- . . . } •
Интенсивности рассеянного света пропорциональны квадратам
абсолютных значений амплитуд. Отношение этих квадратов
равно
Интенсивность рассеяния вперед 1 . 2/ ,5
• = 1 + 4л-2 (и -f
Интенсивность рассеяния назад \ ' 3
. , 4x2 (/и2-|_4) (ти2 + 2) ,
"" +15 2/п2 + 3 г- • • • •
Это выражение справедливо с точностью до отброшенных членов
(порядка х4 и выше). Оно всегда больше 1, так что рассеяние
вперед всегда сильнее, чем рассеяние назад, покуда выполняются
предположения этого раздела. Случай т=оо, когда рассеяние
назад является более сильным, сюда не входит, так как он про-
противоречит предположению о том, что тх мало (см. разд. 10.61).
2. Свет, рассеянный под прямым углом (8 = 90°), поляризо-
поляризован все еще сильно, но уже не полностью. Это следует из того.
iu.3. ВЫЧИСЛЕНИЕ С ПОМОЩЬЮ РАЗЛОЖЕНИЙ В РЯДЫ 173
что при 0 — 90° (снова с точностью до членов высших порядков)
(и A W\X2 - *2 («'-!) (я*+ 2)
_ (и _
Sl ~Г 3
Известно, что релеевское рассеяние, характеризуемое при угле
90° только величиной U, дает интенсивность рассеянного света,
пропорциональную х4, т. е. Я~4. Свет, поляризованный в другом
направлении, имеет теперь интенсивность, которая оказывается
по порядку величины слабее в х4 раз. Эта интенсивность, которую
можно обнаружить, наблюдая рассеяние сферическими части-
частицами под углом 90° в «неправильной» поляризации, пропорцио-
пропорциональна х8, т. е. Я,"8. В этом случае цвет становится более насы-
насыщенно синим, чем тот синий цвет, который соответствует релеев-
скому закону Яг4, обусловливающему голубизну неба. Тиндаль
назвал его «остаточным голубым цветом».
Для некоторого угла больше 90° имеет место почти полная
поляризация. Имеется угол, несколько больший 90°, при котором
|5г1 принимает минимальное значение, почти равное нулю. Фор-
Формула показывает, что 52 = 0 с точностью до х2, когда
COS Й = — [U гЯ1Ц2=
15Bm2-i-3)
Это — то же выражение, что и данное выше, но с обратным зна-
знаком, показывающим, что 0>90°. Для этого угла S2/5i имеет по-
порядок х4, т. е., пока допустимо настоящее приближение, факти-
фактически равно нулю. Это — характерное свойство диаграммы рас-
рассеяния для малых шаров. С увеличением размера нулевое зна-
значение S2 (точка максимальной поляризации) сдвигается от 6 = 90°
в направлении 0=180°, и положение этого угла можно исполь-
использовать для измерения размера частиц.
При дальнейшем увеличении размера наряду с аь Ъ\ и агнадо
учитывать и последующие коэффициенты, а также более высокие
степени х. Диаграммы рассеяния делаются более сложными, и,
вообще говоря, следует обратиться к строгому решению. Это
предостережение относится ко всем формулам, полученным в
этом разделе, и особенно к простым выражениям для отношения
рассеяния вперед к рассеянию назад, а также для угла наиболь-
наибольшей поляризации. Некоторые авторы придавали слишком боль-
большое значение этих формулам. Однако они имеют мало преиму-
преимуществ, если не считать их простоты. Они описывают первона-
первоначальные отклонения от релеевского рассеяния, однако уже вскоре
отклонения делаются настолько сильными, что следует приме-
применять полные формулы Ми.
Обобщение метода разложений в ряды на случай частиц про-
произвольной формы упоминается в разд. 16.13.
174
10. СФЕРИЧЕСКИЕ ЧАСТИЦЫ БЕЗ ПОГЛОЩЕНИЯ
Иллюстрацией изложенного может служить числовой пример.
В табл. 11 мы сравниваем значения, вычисленные по формулам,
приведенным выше, со значениями из таблиц Лоуана, основан-
основанными непосредственно на формулах Ми. Согласие оказалось
вполне удовлетворительным.
Рис. 23. Диаграмма рассеяния для шаров
с т=2 и х=\, показывающая характерное
преобладание рассеяния вперед, h и ('г на-
нанесены отдельно.
Таблица 11. Вычисления с учетом члена, дающего релеевское
рассеяние, и первого из членов высших порядков малости
(т= 1,33, х = 0,5)
Углы в радианах
Оосл.
Направление вперед
Направление назад
| Si/Si | при 6 = 90°
Угол, при котором /<,
Величина
S
t
и
W
{ Я1
h
1 п
1 отношение амплитуд
1 отношение интенсивностей
"« 0
Согласно
вышеприве-
вышеприведенным
формулам
0,1360
-0,0368
0,1256
0,0960
0,01684
0,000534
0,000244
0,00681
1,119
1,252
0,00740
90°25'
Согласно
Лоуану
—
—
—
0,01679
0,000525
0,000238
0,00677
1,116
1,245
0,00755
'
10.4. ВЫЧИСЛЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ ФАЗОВЫХ УГЛОВ 175
Диаграмма рассеяния для т—2, х=\, изображенная на
рис. 23, является примером, когда указанные отклонения выра-
выражены более резко (и когда одновременно настоящее приближе-
приближение уже является неудовлетворительным); см. также диаграммы
на рис. 25 (разд. 10.4).
10.4. Вычисления с помощью фазовых углов
Для любого х, заключенного примерно между 0,5 и 30, метод
фазовых углов может считаться самым быстрым методом для
получения точных и полных числовых результатов. Формулы,
основанные на строгом решении, даны выше и не требуют каких-
либо пояснений. Необходимо лишь соблюдать два правила: избе-
избегать ошибок и экономить время, затрачиваемое на вычисления.
Влияние этих двух обстоятельств уменьшается или совсем устра-
устраняется при вычислениях на быстродействующих счетных маши-
машинах; однако они имеют значение при выборе метода вычислений
на настольных машинах. Удобным и надежным оказался сле-
следующий метод, значительно отличающийся от традиционных.
1. Нужно вычислить положение всех узлов в требуемой обла-
области и нанести их на график, подобный графикам рис. 22. Для
этого этапа работы необходимы таблицы функций 6„(х) и еп(х)
(табл. 9 и 10, разд. 10.23). Значения у = тх, для которых
6п(тх)=0 или еп (тх)=0, можно взять сначала из табл. 9.
Деля найденное у на т, мы находим значение х, которое является
абсциссой узла. Значение 6„(х) или еп(х) получается затем с по-
помощью интерполяции из табл. 10, а разность этой величины и
kn дает фазовый угол ап = рп, т. е. ординату узла.
2. Через эти узлы можно провести приблизительные контуры
кривых, но обычно требуются довольно точные значения ап и
?5„ для промежуточных значений х. Таким образом, второй этап
состоит в вычислении ап и р„ для некоторых избранных значе-
значений х. Следует пользоваться полными формулами (разд. 10.21),
а также таблицами функций грп(*) и %п{х) или сферических
бесселевых функций. Ход вычислений определяется наличием
таблиц.
Вычисления этого типа можно ускорить, если воспользоваться
вспомогательными таблицами Лоуана, Морса, Фешбаха и Лакса
A946), или сокращенно LMFL. Наряду с другими функциями
эти таблицы дают углы а*, р* (звездочка добавляется для
того, чтобы отличить это обозначение от принятого нами), ^п, 6»
и Ьп, являющиеся функциями х, определяемыми соотношениями
.176 Ю- СФЕРИЧЕСКИЕ ЧАСТИЦЫ БЕЗ ПОГЛОЩЕНИЯ
п„ (х)
tg Т„ (x) = tg 3„ (л) cos ?; (л) sec а; (х).
Для наших целей несколько неудачно, что углы выражены через
сферические бесселевы функции ]п(х) и пп(х) и их производные,
а не через функции Риккати ¦— Бесселя (ср. разд. 9.22)
г|;п (Х) = xjn (x),
Хп (х) = — хпп (х),
имеющие производные
Хп {X) = —Пп (X) —ХПп' (X).
Если мы выразим наши формулы для ап и рп (являющихся фазо-
фазовыми углами) через эти функции, то после некоторых преобра-
преобразований получим
tg ?„ = — tg Sn (jc) -
¦ an (У) - tg fn (-0
Дробные выражения в обеих формулах можно привести к виду,
удобному для логарифмирования, преобразовав их к виду
_ tcr 8 'gT-'g* = _ tg v sin(g*-9>
S tg? — tg?* tg ' sinO* —ч>) •
Очевидно, что в первой формуле мы должны пользоваться
а во второй
tg ф = tg ал* (у).
10.4. ВЫЧИСЛЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ ФАЗОВЫХ УГЛОВ 177
Аналогичные преобразования для круговых цилиндров приво-
приводятся в разд. 15.31.
Можно еще заметить, что в таблицах LMFL не приводится
функция еп(х), введенная здесь (разд. 10.23). В обозначениях
этих таблиц эта функция может быть определена таким об-
образом:
3. После этого отступления мы перейдем к третьему этапу,
который состоит в следующем: наносим все вычисленные значе-
значения ап и рп на основной график и проводим кривые через эти
точки и через известные узлы. На этом этапе могут оказаться
чрезвычайно полезными свойства узлов, суммированные в разд.
10.2. Весь этот этап работы можно выполнить с помощью автома-
автоматических вычислительных машин. Однако обычно этот этап вы-
вычислений имеет две цели, а именно: выявление ошибок вычисле-
вычислений и экономию времени, если результаты требуются для многих
значений х. Дело в том, что окончательные результаты (этап
4) можно получить для многих х путем определения из этих кри-
кривых значений ап и р„, хотя большая часть работы (этап 2) огра-
ограничивается относительно немногими значениями х. Обычно две
точки между любыми двумя узлами определяют кривые с до-
достаточной точностью.
4. На последнем этапе вычисляется сечение Q (разд. 10.21)
или интенсивности рассеянного света ц и г'г (разд. 9.31 и 10.21)
в зависимости от того, что именно требуется. В обоих случаях
табулируются все значения ап и р„ для заданной комбинации
(т, х), а также для п= 1,2,. . . до тех пор, пока углы не сде-
сделаются меньше 1°. Затем находят cos2ctn и cos2pn, a Q полу-
получается путем простых умножений и сложений. Этот метод можно
снова пояснить числовым примером (табл. 12, стр. 178).
Таким путем определяется одна точка кривой ослабления. На
рис. 24 (стр. 178) показаны кривые ослабления, вычисленные
для многих значений т.
Число десятичных знаков в табл. 12 приблизительно соответ-
соответствует требованиям практики. Округление ап и р„ до целых гра-
градусов обычно обеспечивает достаточную точность. Тогда ошибка
в определении косинуса двойного угла не будет превосходить
0,017, и как следствие путем простого вероятностного расчета на-
находим, что случайная ошибка каждой отдельной суммы будет
приблизительно 0,02х'и при х^>\. Это дает 0,03хи для их
12 Заказ Kb 374
178
10. СФЕРИЧЕСКИЕ ЧАСТИЦЫ БЕЗ ПОГЛОЩЕНИЯ
Таблица 12. Вычисления с помощью фазовых углов
(пример: т - 2, х — 3)
л
1
2
3
4
"«
164°
149°
78°
6°
К
154°
136°
145°
5°
1 COS 2ап
0,152
0,530
1,914
0,022
Сумма
1 cos 23П
0,384
0,965
0,658
0,015
X A cos2<xn)
0,46
2,65
13,40
0,20
16,71
27
Bя + 1) X
1,15
4,82
4,61
0,14
10,72
43
5 -
г -
Следовательно, Q = 27,43/х2= 27,43/9 = 3,05.
i Т
ж,
'0
ж
1 1 !
1 1 1 1
IJ5
ч- '^\^
i i i i
о
Рис. 24. Кривые ослабления для шаров при шести значениях
показателя преломления. На рисунке не показаны все мелко-
мелкоструктурные колебания («рябь»). (Ср. рис. 32.)
суммы и 0,03/ \^х для средней ошибки в Q, вызванной округле-
округлением а„ и р„ до целых градусов. При х=3 эта ошибка уже
меньше 1 % значения Q.
10.5. ОБЛАСТЬ ОПТИЧЕСКОГО РЕЗОНАНСА 179
Для вычисления ii(Q) и i2(Q) в дополнение к значениям фазо-
фазовых углов необходима таблица функций jtn(cos0) и tn(cos0).
Часть численных результатов, полученных этим способом, пред-
представлена графически на рис. 25 (стр. 180—181), который позво-
позволяет также произвести сравнение с диаграммами рассеяния
очень длинных цилиндров для случая, когда излучение падает
перпендикулярно оси (разд. 15.34).
10.5. Область оптического резонанса
Нижний левый угол квадрата т—х (см. рис. 20) является об-
областью оптического резонанса. В этой области х мало, а т ве-
велико. При этих условиях шары имеют определенные типы элект-
электрического и магнитного колебаний, которые являются почти са-
самовозбуждающимися. Если значение у=тх благоприятствует
возбуждению такого типа, колебание с большой амплитудой мо-
может возбуждаться падающей волной относительно малой ампли-
амплитуды, однако для слегка меньшего или большего у это неверно.
Поэтому кривая ослабления имеет характерные резонансные
пики. Кроме того, если тх постепенно возрастает и проходит ре-
резонансное значение, то диаграмма рассеяния также сильно из-
изменяется.
10.51. Свободные колебания шара
Следуя диссертации Дебая, исследуем сначала, при каких
условиях происходят полностью самовозбуждающиеся колеба-
колебания. Эти условия состоят в том, что знаменатели выраже-
выражений для ап и Ьп обращаются в нуль. Это означает, что найдено
решение уравнений Максвелла, для которого колебание и «рас-
«рассеяние» происходит без участия падающей волны. Уравнения
имеют вид
для электрического 2п-польного колебания
для магнитного 2п-польного колебания
т$'п (У) In (х) — фп (у) Ь'„{х) = 0.
Из соотношения (конец разд. 9.22)
12*
m =2 шары
m = 1,55 шары
0° 50"
П0 ПП° ЮП°
120° 150° 180° 0° 50° 60° 90° 120° 150° 180°
Рис. 25. Пример диаграмм рассеяния, вычисленных по строгим
формулам: т — показатель преломления, х=2яаД. Па всех графиках
логарифмы интепсивностей (одно деление — 10 единиц) нанесены в
функции угла рассеяния (одно деление —30°).
. Шары (формулы разд. 9.31): сплошные кривые — и, пунктирные
— г'г- Значения для Ч =0° и 180° указаны сбоку. Для т = 2; 1,55 и
1,33 они взяты из таблиц Лоуана A948), для /и =1,50 они были полу-
m = 1,33 шары
¦--1,50 шары
0,053
0.047
0,0169
0° JO" 60° SO" 120° 150° WO" 0° 30° 60" 90° 120° 150
QOOH
чены возведением в квадрат модулей амплитуд, затабулированиых
Релеем (Sci. Papers'344, 1910).
Цилиндры (формулы в разд. 15.13): сплошные кривые — случай I
(Е параллельно оси); пунктирные — случай II (Н параллельно
оси). Числа сбоку являются квадратами модулей амплитуд, затабу-
лированных Релеем (Sci. Papers, 434, 1918). Они равны — ^(б)!
182 Ю. СФЕРИЧЕСКИЕ ЧАСТИЦЫ БЕЗ ПОГЛОЩЕНИЯ
мы видим, что при т=\ корней не существует. Для любого дру-
другого значения т корни этих уравнений х являются комплекс-
комплексными. Если корни близки к вещественному значению х, то резо-
резонанс имеет место для шаров определенного размера, даваемого
этим вещественным значением.
Ограничимся сейчас рассмотрением случая очень больших т.
Сразу видим, что существует один вид корней для всех больших
значений т, а также и для т—оо. При т = оо они являются кор-
корнями уравнений
?я(х) = 0 (электрические колебания)
?„(х) =0 (магнитные колебания).
При п=[ это дает, например, х — ±0,86 + 0,50i (электрические ко-
колебания), x—l,00i (магнитные колебания). Для тфоо корни
слегка сдвинуты, однако большая мнимая часть остается. Это
означает, что существование этих типов колебаний совсем не-
незначительно влияет на рассеяние и ослабление шарами. Эти ко-
колебания не вызывают типичного явления резонанса.
Однако имеется вторая система типов колебаний. Этих коле-
колебаний не существует при т=оо, так как они происходят при фик-
фиксированных значениях у = тх, и поэтому при т-^-оо они происхо-
происходят при все меньших значениях х. При х<^А мы имеем
Поэтому уравнения для второй системы корней будут
магнитные колебания: фя(у)+ -у'К(У) — ®-
электрические колебания: Уп(у)-\ п—+л (У) = 0;
Второе уравнение тождественно уравнению ipn_i(y) =0. (Де-
бай не отмечает этого пункта в своей дискуссии.) Обозначая че-
через гп любой корень уравнения ij>n(y) =0, мы имеем магнитные
мультипольные колебания в точности при у=^п-\, а электриче-
электрические мультипольные колебания в первом приближении при у =
=г„A j^-J . Значения гп можно найти в табл. 9 (разд.
10.23). Корни, найденные таким образом, вещественны. Колеба-
Колебания, которые им соответствуют, по существу, не затухают, если
только т так велико, что х = у/т оказывается очень малым. Их
можно рассматривать как обычные стоячие волны, которые удер-
удерживаются внутри шара вследствие большого коэффициента внут-
внутреннего отражения; они не затухают, когда т вещественно.
В этом случае на кривой ослабления можно ожидать очень вы-
10.5. ОБЛАСТЬ ОПТИЧЕСКОГО РЕЗОНАНСА 183
сокого и очень резкого резонансного пика. Расчеты показывают,
что пики остаются резкими для любого значения /п>5. Наиболее
сильный пик, соответствующий магнитному дипольному колеба-
колебанию, имеет у = го = п. Его эффект проявляется в виде горба на
кривой ослабления вплоть до т=1,33, где он располагается
вблизи х = 2,4 (см. рис. 24). В электрическом дипольном члене
с коэффициентом а,\ резонанса нет.
Между прочим, мы можем заметить, что типы колебаний по-
полой сферы можно найти таким же образом. Это — важная тех-
техническая проблема. В этом случае у=2яа/Х, где а — радиус, Я, —
длина волны внутри полости, а х относится к длине волны в стен-
стенке полости. Таким образом, х оказывается большим и комплекс-
комплексным, а т = у/х — очень малым и тоже комплексным. В первом
приближении уравнения имеют вид
$'п(у) = ® Для электрических типов колебаний,
4>п (у) = 0 для магнитных типов колебаний.
Небольшая таблица корней дается в книге Стрэттона; другие
значения можно найти в табл. 9 (разд. 10.23). Нет общего пра-
правила, согласно которому какой-либо результат для шара может
быть применен к полости, или наоборот. Уравнения сходны, но
не сводятся друг к другу.
10.52. Резонансные эффекты в теории Ми
Теперь мы переходим к проблеме рассеяния. Здесь уместно
посмотреть, каким образом явление резонанса проявляется на
графиках фазовых углов а„ и р„. Для примера на рис. 26 схема-
схематически представлена кривая фазовых углов для т = 9. Это — по-
показатель преломления воды для очень больших длин волн (ди-
(диэлектрическая постоянная равна 81), и значение m является
почти наибольшим из встречающихся на практике (ср. разд.
14.3).
График был построен по точкам, представляющим все узлы.
Кривые ссо и Ро (не требующиеся в формулах) имеют симметрич-
симметричный периодический характер и строились по точным формулам.
Другие кривые проводились от руки через узлы с соблюдением
всех правил относительно касательных в узлах (разд. 10.3). Углы
очень мало изменяются сначала вблизи 0°, затем вблизи 180 и
360°, т. е. как раз вблизи углов, для которых коэффициенты Ми
равны 0. Однако при переходе от 0 до 180° и т. д. углы быстра
проходят значения 90 и 270°, где коэффициенты равны 1.
184
10. СФЕРИЧЕСКИЕ ЧАСТИЦЫ БЕЗ ПОГЛОЩЕНИЯ
В этом случае ап и Ь„ быстро обходят весь круг в комплексной
плоскости (см. рис. 21, разд. 10.21). Их действительные части до-
достигают максимальных значений ап — \ или 6И=1, когда ап или
Р„ равны 90, 270° и т. д. Можно сказать, что значения х, при ко-
360°
27/7"
180°
90°
I
- Слабое
- Сильное
- Слабое
1 1
1
1
1
>- Сильное qi у
/ 1
;
Г
1
1 ,
1 [J
1
Шары
/
;
I
o'r^Z
i
f
A «i
/
1
1
Ы
1
1
1
1
1
Аг «2
j
1
/
i
у
n
A
—-•
~~ Of
i
/
^J3 -
0.2
0,4
06
х
0,8
Рис. 26. График фазовых углов а„ и Р„ в функции х при т=9. Слова
«слабое» и «сильное» относятся к влиянию на ослабление (или
рассеяние); сильное влияние определяет точки резонанса.
торых достигается этот максимум, определяют точки резонанса.
Ход кривых показывает, что точка резонанса а„ предшествует
точке резонанса рп+1 и что обе они несколько предшествуют узлу
первого рода, который имеет место при х = г„. Это хорошо со-
согласуется с положениями точек резонанса, полученными выше
из собственных типов колебаний шара.
10.5. ОБЛАСТЬ ОПТИЧЕСКОГО РЕЗОНАНСА 185
Исследование явления резонанса с помощью фазовых углов
в некоторых отношениях имеет ряд преимуществ по сравнению
с исследованием с помощью собственных типов колебаний.
Прежде всего оно полезно и в том случае, когда условия т>1 и
х<^\ не выполняются строго. Даже значения т = 9 и х=0,346 из
нашего примера не'находятся в такой области, для которой мож-
можно было бы ожидать сохранения в силе асимптотических формул.
Действительно, мы можем наблюдать полное нарушение явле-
явления резонанса, если мы допустим, что т постепенно уменьшается.
Эмпирически отмечалось, что большинство кривых ослабления
имеют «горбы»; значения х, характеризующие положения пер-
первых горбов, таковы:
т . . .
х . . .
у=тх .
. 9
. 0,346
. 3,11
2
1,6
3,2
1,55
2,0
3,1
1,5
2,0
3,0
1,33
2,4
3,2
Ясно, что первый горб вызывается всегда магнитным диполь
ным членом с коэффициентом Ь\. Асимптотически при т->-оо ре-
резонанс имеет место при г/=3,14. При т=9 резонансный характер
все еще хорошо сохраняется. Для меньших значений т (т=2
или 1,5) появление горба вызывается просто внезапным увеличе-
увеличением рь без полного обхода коэффициентом Ъ\ круга в комплекс-
комплексной плоскости.
Другое преимущество использования фазовых углов состоит
в том, что мы можем легко определить, как велико ослабление
в резонансном пике. Ограничимся сейчас асимптотическими ус-
условиями т»1 и x<cl. Удерживая только один член в формуле
для Q, при условии, что или а„, или Ьп равны 1, имеем
q_ 2Bя + 1)
и, следовательно,сечение
Таким образом, мы находим, что в точке резонанса сечение
ослабления не зависит от размера, а фактор эффективности Q
значительно больше 1. В магнитном дипольном пике Q=6/x2
(если пренебречь всеми остальными членами). При т=9 и х=
= 0,346 это дает Q — 50, что значительно превышает наибольшее
значение Q=5,7, показанное на рис. 24 для не очень больших т.
Ширину резонансного пика можно определить из угла наклона,
под которым кривая фазового угла проходит точку резонанса.
Диаграмма рассеяния в области резонанса принимает много
довольно странных форм, за исключением случаев резонансных
пиков, где преобладает чисто электрическое, или магнитное ди-
186 Ю. СФЕРИЧЕСКИЕ ЧАСТИЦЫ БЕЗ ПОГЛОЩЕНИЯ
полыюе, или мультипольное излучение. За всеми подробностями
рекомендуем обратиться к общим формулам для «Si F) и 52@).
Резонанс имеется также для комплексных значений т (разд.
14.31).
10.6. Полностью отражающие шары (т = оо)
В предельном случае т — оо все формулы делаются особенно
простыми. Это может означать предельный случай больших мни-
мнимых или больших вещественных значений т; в обоих случаях
результат будет один и тот же.
Фактической причиной больших т обычно является большая
проводимость а, и тогда
т = У ц/2 — i i^/2.
Эта формула применяется к металлам в инфракрасной и санти-
сантиметровой областях; при этом, когда частота стремится к нулю,
i]->-oo (разд. 14.41).
Из-за своей простоты случай т=оо часто служит примером,
используемым на практике в задачах о рассеянии. Например, за-
задача о рассеянии идеально проводящим шаром произвольного
размера была решена за несколько лет до того, как Ми дал ре-
решение для произвольных значений показателя преломления. При
рассмотрении результатов для т = оо следует иметь в виду, что
этот используемый на практике пример в некотором отношении
не является показательным. Например, даже самые малые шары
с т—оо не дают релеевского рассеяния. Блюмер A926) отметил
это (кажется, с удивлением) при вычислении большого набора
диаграмм рассеяния. Причина такого отклонения указывалась
в разд. 6.4; условия существования релеевского рассеяния со-
состоят в том,что
х->-0 и тх->-0,
и, конечно, они не выполнимы при т = оо.
10.61. Малые полностью отражающие шары
Релеевское рассеяние и рассеяние шарами с т = оо представ-
представляют собой две совершенно различные физические задачи. В слу-
случае релеевского рассеяния мы предполагаем полное и мгновен-
мгновенное проникновение полей в частицу. Положив т = оо, мы предпо-
предполагаем, что поля совсем не проникают в частицу. Переход между
>тими крайними случаями можно описать следующим образом.
1. Если переход делается с помощью значений гп, характер-
характерных для поглощающих (металлических) частиц, то «толщина
скин-слоя» много больше а для релеевского рассеяния и много
10.6. ПОЛНОСТЬЮ ОТРАЖАЮЩИЕ ШАРЫ (т -. сх>) 187
меньше а при т-^-оо. В переходной области, толщина скин-слоя
сравнима с радиусом шара а. Это приводит к сложным форму-
формулам, однако без типичных явлений резонанса.
2. Если провести этот переход с помощью возрастающих ве-
вещественных значений т, мы сталкиваемся с резонансными яв-
явлениями, описанными в разд. 10.5. Большое значение т факти-
фактически означает полное отражение падающей волны, так что
картина вне резонансных пиков та же, что и для т = оо. Однако
большое значение т означает также, что волны внутри шара ока-
оказываются почти полностью отраженными от границ. Это — ус-
условие образования стоячих волн, которые ответственны за ре-
резонансный эффект.
Таким образом, ясно, что задача об очень малых шарах с
т=со должна рассматриваться независимо от задачи, которая
излагалась в гл. 6. Формулы для фазовых углов запишутся про-
просто в виде (разд. 10.22)
а„ = — е„ (*), Рп = — 8„ (*)•
Остальные результаты получаются с помощью подстановки в об-
общие формулы (разд. 9.31 и 9.32, с подстановкой из 10.21); их
можно дать с некоторыми пояснениями. Первые несколько членов
разложений при малых х будут
В свою очередь это приводит к следующим разложениям:
Qpac = Qoc,= Q = 4-4 + 4-6----
Q с^Гб =_-1
3 Л ^ 45
». = О - COS 6) Q =-?-
X6-
Диаграмма рассеяния не имеет симметричной формы релеев-
ского рассеяния. Это один из немногих примеров, когда рассея-
рассеяние происходит в основном в направлении назад, как показывает
отрицательное значение cos 8 = —0,4. В результате фактор эффек-
эффективности лучевого давления превосходит фактор эффективности
ослабления. Диаграмма рассеяния для очень малых частиц
с т = оо изображена на рис. 27. График дает полярную диаграм-
диаграмму величин
?l (в) = | Si (в) | * И B (в) = | S2 (в) | 2,
188 Ю. СФЕРИЧЕСКИЕ ЧАСТИЦЫ БЕЗ ПОГЛОЩЕНИЯ
где
--1-cosO),
Интенсивность рассеяния вперед составляет '/э интенсивности
рассеяния назад.
Причина такой странной картины состоит в том, что, кроме
электрического дипольного излучения, вступает в действие также
магнитное дипольное излучение. Исследование комбинирован
ной диаграммы этих скрещенных диполей для эллипсоида с про-
произвольными отношениями осей дано в разд. 6.4.
Рис. 27. Диаграмма рассеяния для
очень малых, полностью отражающих
шаров. Преобладает рассеяние в на-
.правлении назад к источнику.
Полезно добавить основанный на простейших уравнениях вы-
вывод для шаров. Как и в случае релеевского рассеяния (разд.
6.1), мы можем рассматривать поля падающей волны Ео и Но
как однородные. Поле поверхностных зарядов, индуцированных
полем Ео, оказывается в точности полем электрического диполя
р, расположенного в центре; р направлено параллельно Ео. Пусть
у — угол некоторого произвольного направления с р; тогда поле
диполя имеет компоненты
Р _ 2jocosf p
далее, поле падающей волны имеет компоненты
Ео, г = Ео cos Т, Ео, т = — Ео sin Т-
Граничное условие требует, чтобы тангенциальные компоненты
10.6. ПОЛНОСТЬЮ ОТРАЖАЮЩИЕ ШАРЫ (т ». сх>) 189
обращались в 0 при г = а, так что
Р=а*Е0.
Пока вывод соответствует выводу для релеевского рассеяния
(см. разд. 6.31) при условии, что выполнен переход т-^-оо.
Кроме поверхностных зарядов, имеются поверхностные токи.
Они могут существовать лишь при т = оо (разд. 9.14). Магнит-
Магнитное поле поверхностных токов является в точности полем магнит-
магнитного диполя т, расположенного в центре и параллельного Но.
Пусть р — угол с направлением Но; тогда
гг 2/recos3 f_r m sin 3
далее,
HOr = Ho cos|3, HOt9= — Ho sin 3.
Граничное условие требует, чтобы радиальные компоненты обра-
обращались в нуль при г = а, так что
m = - -i- я3Н0.
Следовательно, мы имеем суперпозицию полей излучающего
электрического диполя и перпендикулярного ему излучающего
магнитного диполя. Отношение их амплитуд равно —'/г- Сумми-
Суммируя оба поля, мы получаем диаграмму интенсивности, показан-
показанную выше. Знак минус обусловливает благоприятные условия ин-
интерференции в направлении назад.
10.62. Частицы промежуточных и больших размеров
Для любого значения х > 0,4 факторы эффективности и диа-
диаграмму рассеяния полностью отражающего шара лучше всего
находить с помощью точных формул. Углы 6п(х) и Вп(х) можно
взять непосредственно из таблиц (разд. 10.23) или вычислить,
исходя из их определений. Дальнейшее вычисление проводится
как для конечного ш, согласно разд. 10.4.
Некоторые численные результаты приведены в табл. 13. Срав-
Сравнение прежних расчетов друг с другом и с вновь вычисленными
значениями, данными в таблице (вплоть до х=10), показывает,
что ошибки в 1 или 2% являются обычными, а иногда встре-
встречаются и большие ошибки. В табл. 13 третий десятичный знак не-
ненадежен. Значения ослабления для x>10 взяты у Болла, Гам-
прехта и Слепцевича A954). Даже эти расчеты, выполненные
с помощью вычислительных машин, содержат ошибки, так как
значения Q=2,006; 2,014; 2,009 и 2,053, данные этими авторами
соответственно для х = 40, 45, 50 и 65, являются неприемлемыми.
Другие значения, данные в табл. 13, определяют плавную кри-
190
10. СФЕРИЧЕСКИЕ ЧАСТИЦЫ БЕЗ ПОГЛОЩЕНИЯ
Таблица 13.
X
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
ьо
1,1
1,2
Q
0,00034
0,0054
0,028
0,086
0,218
0,466
0,795
1,257
1,696
2,036
2,230
2,280
Факторь
Qcosb
—0,00013
—0,0021
—0,011
—0,031
—0,072
—0,143
-0,224
—0,320
—0,382
—0,385
—0,342
—0,242
эффективности для г
Vдавл.
0,00047
0,0075
0,039
0,117
0,290
0,609
1,019
1,577
2,078
2,421
2,572
2,522
шаров
X
1,
1,
1,
1,
1,
2,
2,
3,
3,
4,
5,
10,
3
4
5
6
8
0
5
0
5
0
0
0
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Q
,267
,204
,155
,115
,136
,209
,171
,172
,136
,140
,116
,061
шлностью отражающих
Q cos h
—0,113
+0,018
0,156
0,286
0,495
0,623
0,728
0,851
0,876
0,929
0,965
1,006
Фдавл. j
2,380
2,186
1,999
1,829
1,641
1,586
1,443
1,321
1,260
1,211
1,151
1,055
X
15
20
25
30
35
55
60
70
75
80
85
90
С
2,
2,
2,
2,
2,
2,
2
2,
2
2,
2
2
?
043
033
027
023
020
013
012
011
010
010
009
009
вую, которую можно очень хорошо представить для значений х
от 6 до 90 эмпирической формулой
или (столь же хорошо) формулой
_ 2
Q = 2 + 0,07x 3
0,49х~' .
Последняя кривая найдена построением зависимости х'!з (Q—2)
в функции х~~Чг. Соображения, побудившие искать эмпирическую
формулу в таком виде, станут понятными в гл. 17.
Те же результаты представлены графически на рис. 28. Ос-
Ослабление достигает своего максимального значения Q0CJI. = 2,28
при х=1,2; световое давление имеет максимум Фдавл. = 2,57 при
х=_1,12. Знак cos0 меняется при х=1,38. При больших значениях
ух диаграмма рассеяния дает обычное преобладание рас-
рассеяния вперед над рассеянием назад.
Более наглядное пояснение изменения в диаграмме рассеяния
показано на рис. 29 (стр. 192). Мы нанесли отношения \SX @) \/х
и | S2 (8) \/х в функции 0 для значений х = V2, 1, 3,5 и 10. Отметим,
10.6. ПОЛНОСТЬЮ ОТРАЖАЮЩИЕ ШАРЫ (т -со)
191
W—
Рис. 28. Факторы эффективности ослабления Q и светового давления
(Здавл. для полностью отражающих шаров. Дана также их разность
Q cos Ь и ее слагаемые порознь.
что, за исключением линейной (вместо логарифмической) шкалы,
эти диаграммы сравнимы с диаграммами рассеяния, показан-
показанными на рис. 25 (разд. 10.4). Начиная с х = 3, диаграммы рас-
рассеяния можно ясно разделить на две части: на дифрагирован-
дифрагированный свет (вблизи направления вперед) и на отраженный свет
(для всех других направлений). Количественное согласие весьма
удовлетворительно даже для таких малых значений, как х=3.
Центральный пик дифракционной картины имеет величину
•S(O) = ~у х2> так чт0 l«S@)|/x=1/2^- Тонкая сплошная линия
указывает дальнейшее распределение по углам в дифракцион-
дифракционной картине, согласно асимптотической формуле для больших
х (разд. 8.31 и 12.32). Согласно асимптотической формуле, отра-
отраженный свет распределен изотропно (разд. 8.42 и 12.44):
5,FI =|
-i-
что также находится в полном согласии со средним ходом кри-
кривых, изображенных на рис. 29.
Тот факт, что асимптотические формулы удовлетворительно
представляют диаграмму рассеяния для столь малых значений,
как х = 3, является исключением. Для таких показателей прелом-
преломления, как гп= 1,2; 1,33 или 1,5, картина будет совершенно иной.
30° 60° 90° 120° 150° ISO
Рис. 29. Диаграммы рассеяния для полностью отражающих
шаров. Ординаты пропорциональны амплитудам рассеянного
света с направлениями поляризации 1 и 2. График для дс='/2
дает для сравнения закон рассеяния для очень малых полно-
полностью отражающих частиц, а графики для х=3, 5 и 10 представ-
представляют дифракцию Фраунгофера и диаграмму, обусловленную
простым отражением.
ЛИТЕРАТУРА 193
Теоретически это понятно. Теория, изложенная в гл. 11, показы-
показывает, что в последнем случае эффекты интерференции дифраги-
дифрагированного света и отраженного света сохраняются до больших
значений х. Подобная интерференция между отраженным и ди-
дифрагированным светом происходит для т=оо, однако она огра-
ограничена малой областью углов (например, значениями 0 от 20 до
60° для х=10 на рис. 29). В частности, при 0 = 0 интерференции
в обычном смысле слова не происходит. Вместо этого сколь-
скользящее отражение совместно с дифракцией света в направлении
вперед видоизменяет картину дифракции более тонким образом.
Этот эффект будет описан в гл. 17 как эффект «оптического
края».
ЛИТЕРАТУРА
Исследование области т — х (разд. 10.1), а также свойств фазовых уг-
углов и узлов (разд. 10.2) взято автором с некоторыми улучшениями из его
прежней работы:
van de Hu.lst Н. С, Thesis Utrecht, Recherches astron. Obs.
d'Utrecht, 11, part 1 A946).
Разложения в ряды (разд. 10.3) были даны Шёнбергом и Юнгом:
Schoenberg Е., Jung В., Astron. Nachr., 253, 261 A934)
и в улучшенной форме Шаленом:
Schalen С, Meddelande Uppsala Astron Obs., 64 A936).
Разложение для <Здавл- было дано также Дебаем:
Debye P., Ann. Physik, 30, 59 A909).
Резонансная область (разд. 10.5) впервые исследовалась Дебаем в только
что упомянутой работе. То, что для малых полностью отражающих шаров
релеевское рассеяние должно быть дополнено магнитным дипольным излу-
излучением (разд. 10.61), было сформулировано впервые Томсоном:
Thomson J. J., Recent Researches in Electricity and Magnetism,
p. 407, Oxford, Oxford Univ. Press, 1693.
Остальные результаты для m = со (разд. 10.62) были вычислены следую-
следующими авторами:
Schwarzschild К., Sitzber. bayer. Akad. Wiss. Math, naturw. KI-
31, 293 A901);
Deb aye P., Ann. Physik, 30, 59 A909).
Nicholson J. W., Month. Not. Roy. Astron. Sec, % 544A910),
P г о u d m a n J., D о о d s о n A. T, .Kennedy G., $4tfL frans. Roy,
Soc, A217, 279 A918),
а также авторами, цитируемыми в нижеследующей библиографии.
13 Заказ № 374
194 ЛИТЕРАТУРА
КРАТКАЯ БИБЛИОГРАФИЯ ЧИСЛЕННЫХ РАСЧЕТОВ С ПОМОЩЬЮ
ТЕОРИИ МИ
ВСПОМОГАТЕЛЬНЫ!-: ТАБЛИЦЫ
В разд. 10.4 сделана ссылка на работу
Lowan A. N., Morse P. M., Feshbach H., Lax M., Scattering
and Radiation from Circular Cylinders and Spheres, Tables of Ampli-
Amplitudes and Phase Angles, Washington, U. S. Navy. 1946.
Эти таблицы охватывают значения аргумента х=0@,1) 10,0'. Применение
к цилиндрам описывается в разд. 15.31. Выдержка из этих таблиц содер-
содержится в книге:
Morse P. M., Fe shb ach H., Methods of Theoretical Physics, vol. 2,
p. 1565, 1576, 1928—1933. New York, McGraw-Hill Book Co., 1953.
(Русский перевод: Морс Ф. М., Фешбах Г., Методы теоретической
физики, том II, ИЛ, М., 1960.)
Некоторые родственные функции для цилиндров, используемые в разд. 15.52,
затабулированы в работе
Lax M., Feshbach H., J. Acoust. Soc. Amer., 20, 108 A948).
Наиболее важная таблица функций Риккати — Бесселя для веществен-
вещественных значений аргумента, полученная с помощью электронной вычислитель-
вычислительной машины ЭНИАК, опубликована Гампрехтом и Слепцевичем:
Qumprecht R. О., Sliepcevich С. М., Tables of Riccati—Bessel
Functions for Large Arguments and Orders, Willow Run Research
Center, Univ. of Michigan Press, 1961.
Она охватывает значения аргумента х = 1 A) 10 E) 100 A0) 200 E0) 400 и,
кроме того, содержит около 60 промежуточных и больших значений аргу-
аргумента вплоть до х = 640. Порядок функций доходит до п = 420.
Таблицы угловой функции т.п и т„: для п=\ AL20, 0 =0°A°) 10°
A0°) 180°:
Qumprecht R. О., Slie.pcevich С. М., Tables of Functions of
First and Second Partial Derivatives of Legendre Polynomials, Willow
Run Research Center, Univ. of Michigan Press, 1951,
и для п = 1 A) 32, 6 =0° B,5°) 180°:
Q u с k e г F. Т., С о h n S. H., J. Colloid Sci., 8, 55E A953).
1 Это обозначение указывает, что таблица составлена для значений аргу-
аргумента от 0 до 10,0 с постоянным интервалом 0,1.
ТАБЛИЦЫ ДЛЯ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ ]95
Таблицы для вещественных значений m
Ниже дается список вычислительных работ, которые известны
автору. Работы, представляющие меньший интерес и выполнен-
выполненные до 1925 г., опущены. Этот список включает результаты для
т = оо (полностью отражающие шары; разд. 10.62). Для по-
поглощающих шаров см. список в разд. 14.22. Для шаров, покры-
покрытых оболочкой, т. е. для концентрических шаров из различных ве-
веществ, см. разд. 16.11. В статьях могут содержаться все или часть
следующих данных:
С. Коэффициенты Ми в той или иной форме.
А. Комплексная амплитуда рассеянного света для двух на-
направлений поляризации.
/. Интенсивность рассеянного света для двух направлений
поляризации.
Q. Факторы эффективности полного рассеяния или ослабле-
ослабления.
Р. Фактор эффективности светового давления.
В этом списке не принимается во внимание небольшая раз-
разница в обозначениях, требующая простого умножения, чтобы сде-
сделать числа сравнимыми. Если дано А при 0 = 0, то тем самым
в неявной форме приведено и Q.
13*
Источник
Debye P., Ann. Physik,
S с h i rman n M. A.,
Wise. Wien, Math, naturw.
127, 1559 A918)
R а у 1 e i g h, Proc. Roy.
A910) (Sci. Papers 344)
Ray В. В., Proc. Indian
vation Sci., 7, 10 A921); 8,
Шулейкин В. В., Phil
A924)
Blumer H., Z. Physik,
38, 304 A926)
Stratton J. A., Houg
Phys. Rev., 38, 159 A931)
30, 59 A909)
Sitzber. Akad.
Ki. Abt. lla,
Soc, A84, 25
. Assor. Culti-
23 A923)
. Mag, 48, 307
32, 119 A925);
hton H. G.,
m
1,33
1,5
2
oo
2,0
1,5
1,333
1,466
1,32
1,25
1,33
1,5
oo
1,33
X
1; 2; 3; 4
1; 2; 3; 4
13 значеиий < 3
0,5 @,5) 3
От 0,70 до 1,49
1; 1,5; 1,75; 2; 2
12
5
i; з
¦ 0,4; 0,8; 1,6; 4;
1,5; 3; 12
4
0,1; 0,5; 1; 3; 5;
От 1 до 15
,6
(8 значеиий)
,25
8
10
Табулированные велнчнны
Только Р
/ A1 углов, от 0 до 180°)
/ @, 60°, 90°, 120°, 180°)
С, / B5 углов, от 0 до 180°)
С, I A3 углов, от 0 до 180°)
Г, / @, 20°, 40°, 60°, 90°,
120°, 140°, 160°, 180°)
С, I @, 10°, 20°, 30°, 45°,
60°, 70°, 80°, 90°, 100°,
110°, 120°, 135°, 150°, 160°,
170°, 180°)
Q, только график
.Casper
151 A932);
Go tz F
63 A935)
Источник
son Т., Kolioid-Z.,
65, 162 A933)
W. P., Astron. Nachr.,
lingelha rd H., F r i e ss H ,
loid-Z., 81, 129 A937)
Greens
422 A938)
P a r a n j
d у a P. S
333 A939)
R u e dy
99 A943);
Hoil H.
t e i n J. L , Harvard Obs.
pe Q. R., Naik J. G.,
, Proc. Indian Acad. Sci
60,
255,
Kol-
Circ,
Vai-
, A9,
R., Can. J. Research, A21, 79,
A22, 53 A944I
, Optik, 1, 213 A946)
1
1
1
1
2
1
1
m
,50
,56
,63
oo
,44
oo
,33
,33
4/3
X
От 1 до 3,16
От 1 до 3,16
От 1 до 3,89
От 0,1 до 2,0 A4
3; 4; 5; 6; 8; 10;
0,4; 1; 1,5; 2; 2,5;
0,1; 0,3; 0,5; 0,8;
5; 10
0,1; 0,4; 0,6; 0,8;
5; 10
значении);
12; 20
3; 4; 6; 8
1- '>• 3; 4;
1; 2; 3; 4;
4 A) 10; 12; 15; 20; 30
1/8; 1/4; 3/8; 1/2;
От 0,3 до 4,5
3/4; 1
Табулированные величины
С, графики / (8)
) Q
} I B5 углов, от 0 до 180°)
Q
I (через 10°)
Q
С, I, Q
') Цитируется М. Л. Ксрксром [К е г к е г М. L., J. Opt. Soc. Amer., 45, 1081 A955)].
Источник
Табулированные величины
Barnes M. D., Kenyon A. S.,
Zaiser E. M., La Мег V. К., J. Col-
Colloid Sci., 2, 349 A947)
Hoil H., Optik, 4, 173 A948)
Low an A. N., Tables of Scattering
Functions for Spherical Particles, Natl. Bur.
Standards (U. S.). Appl. Math. Series 4,
Washington, Govt. Printing Office A948)
Hough ton li. G., Chalker W. R.,
J. Opt. Soc. Amer., 39, 955 A949)
Riley J. D., Calculations of Light In-
Intensity Functions, U. S. Naval Research La-
Laboratory, Radio Division III, ORB Informa-
Information Bull. 9, 8 June 1949 ¦
.Durbin E. J., NACA Techn. Note
2441, August 1951
1,5
4/3
4/3
1,33
1,44
1,55
2,00
1,50
4 3
1,486
1.20
От 0,5 до 12,0 B8 значений)
4,8; 5,4; 6,0
От 6,6 до 18,0 B4 значения)
От 0,5 до 6,0 A5 значений)
От 0,5 до 12,0 C2 значения)
От 7 до 24 C3 значения)
0,5 @,1) 3,0
0,1 @,1) 0,6 @,2) 1,2
Q
С, I (через 10°), Q
С, / @, 90°, 180°), Q
С, А и I (через 10°), Q
С, Q
Q
I (через 10°), Q
/ B0°, 30°, 40° и 140°, 150°,
160°), Q
Цитируется М. Л. Керкером (см. выше),
Источник
G u m p г е с h t R. O., S 1 i e p с е-
v i с h С. М., Light-Scattering Function!-
for Spherical Particles, Willow Run Rese-
Research Center, Univ. of Michigan Press, 1951
Bar у E. dc, Opiik, 9, 319 A952)
Guinprecht R. O., Neng-IunSung
Jin H. Chin., Sliepcevich С. М.,
J. Opt. Soc. Araev., 42, 226 A952)
Qumprecht R. O., Sliepce-
Sliepcevich С M., J. Phys. Chem., 57, 90
A953)
Goldberg В., J. Opt. Soc. Amer., 43,
1221 A953)
Kerker M. L., Per lee H. E.,
J. Opt. Soc. Amer., 43, 49 A953)
1,2
1,33
1,4
1,44
1,5
1,6
4/3
1,33
1,20
1,33
1,44
1,33
2,00
Табулированные величины
• От 1 до 4 (много значений);
} 5; 6; 8; 10 E) 100 A0) 200
' E0) 400
От 4,8 до 15
6; 8; 10 E) 40
20; 80
20; 30; 40; 60; 80; 100; 200; 400
20; 80; 150
От 0 до 30 с очень малыми
интервалами
От 1,30 до 2,80 A2 значений,
отсутствующих в таблицах
Лоуама)
С, / (только 90°). Q
I C0°, 60°, 120°, 150°)
А и / [0° A°) 10° A0°) 180°]
А и / [0 @°,2) 1° для
больших х, от 0° до 7°
для меньших х\
Только график Q
С, А и I (только для 90°)
Вой
Источник
R. H., Gumprech
R.
S 1 i е р с е v i с h С. М., J. Opt.
Amer, 44, 18 A954)
John
Terrel
M. 1. Т.
Hell
J. Chem.
Hell
A955)
son J. C, El dridg
1 J. R., Sci. Rept., 4
Dept. of Meteorology
e r W., Pangonls
Phys., 22, 948 A954)
er W., J. Chem. Plus.,
e R.
0.,
Soc.
Q,
A954),
W.
23,
J-,
342
m
0,80
0,90
0,93
oo
1,29
oo
1,05
1,10
1,15
1,20
1,25
1,30
1,05
1,10
1,15
1,20
1,25
1,30
От 1 до ПО
От 1 до 200
От 1 до 200
.D-)**
От 1,0 до 1?
0,5; 1; 2; 4;
1
0,2 @,2) 7
1
J
1
8 A) 15
X
A8
B0
B4
6; 8
,3 <
3,2;
,0
значений)
значений)
значения)
; 10 E) 90
22 значения)
12; 25
Табулированные велкчнны
Только Q
1
фактически затабулированы значения 1153 Q/x. Полные данные публикуются в J. Chem. Phys. A957).
Источник
Табулированные величины
Kerker M. L., Cox A. L, J. Opt.
Soc. Amer., 45, 1080 A955); Document
4677, American D cumentation Institute
Qucker F. Т., Office of the 1 ublira-
tion Board, U, S. Dept. of Commerce, Re-
Report No. PB 107016. Available from Library
of Congress, Photoduplication Service
P e n n d о r f R., J. Meteorol., 13, 219
A956) '
Penndorf R., Tables of Mie Scatte-
Scattering Functions for Spherical Particles, Geo-
Geophysical Research Paper No. 45, in prepa-
preparation, C-mbridge Air Force Research Center
Pang on is W. J., Heller W., Ja-
Jacobs on A. W., Tables of Light Scatte-
Scattering Functions for Spherical Particles, in
preparation, Detroit, Wayne University Press
* Шифрин К. С, Докл. АН СССР,
77, 607 A951)
* Ш и ф р и и К. С, Труды Всесоюзн.
заочи. лесотехи. ин-та, № 1 A955)
2,00
2,00
1,33
1,33
1,33
1,40
1,44
1,486
1,50
1,05
10
15
20
25
1,30
1,33
оо
От 3,3 до 12,5 A1 значений)
От 1,3 до 12,5 B3 значения)
От 3,3 до 18,5 E3 значения)
0,1 @,1) 8,0 @,2) 30,0;
30 A) 45
0,1 @,1) 30,0
0,1 @,1) 30,0
0,2 @,2) 7,0 A,0) 15,0 и
некоторые избранные значе-
значения
60
1,5; 2,0; 4,0; 6,2; 7,0; 8,0; 9,3
С
I (только 40°)
С, Q
Q, сглажено
С, / (через 5°), Q
С, I (через 10°), Q
С, I (через 45°), Q
I @, 1°, 2°, 5°, 10° A0°)
170°, 175°, 178°, 179°, 180°)
А, С, I (90°)
11. СФЕРИЧЕСКИЕ ЧАСТИЦЫ С ПОКАЗАТЕЛЕМ
ПРЕЛОМЛЕНИЯ, БЛИЗКИМ К 1
11.1. Выделение предельных случаев
Рассеяние частицей обусловлено тем, что ее показатель пре-
преломления т отличен от показателя преломления внешней среды,
который во всех наших выводах полагается равным 1. Таким
образом, при т=\ рассеяния нет, а при т, близких к 1, рассея-
рассеяние мало. Если т— 1 очень мало, картина рассеяния одинакова
как при т— 1<Т), так и при т— 1>0. Для удобства мы поло-
положим т>1.
Раньше, в разд. 6.22 и повсюду в гл. 7 (рассеяние Релея —
Ганса), делались ссылки на асимптотические формулы для
т->1. Однако этот вопрос не был рассмотрен там до конца. Ис-
Исследование области т — х, данное в разд. 10.1, показало, что при
т->1 имеются два важных предельных случая. Это — рассеяние
Релея — Ганса (рассмотренное для шаров в разд. 7.2) и ано-
аномальная дифракция, излагаемая в этой главе. Во всех ранее
опубликованных работах проблема аномальной дифракции оста-
осталась нерассмотренной, и термин «аномальная дифракция» пред-
предлагается здесь для любой теории, основанной на предположе-
предположениях, что
т— 1<1, х>1.
Причина существования этих двух различных предельных
случаев заключается в следующем. Введем обозначение о =
= 2х (т—1). Релей проводил переход т->1 при произвольном
(фиксированном) значении х. При этом р->0, что соответствует
условию, введенному в гл. 7. Это означает также, что Qom.-^O,
так что теория гл. 7 ограничивается относительно малыми фак-
факторами эффективности.
Однако для фиксированного т всегда имеется значение х,
вблизи которого Qocn. возрастает почти от 0 до величины по-
порядка 2, что является его предельным значением при х~>°о
(разд. 8.22). Это значение х возрастает с уменьшением т, и ока-
оказывается (см. рис. 24), что положения на кривой характерных
максимумов и минимумов, а также участков возрастания кривой
определяется фиксированным значением р. В теории аномальной
дифракции р полагается фиксированным, и затем совершается
переход т-^-1. Отсюда следует, что х->оо, a Qoc.i. становится
11.1. ВЫДЕЛЕНИЕ ПРЕДЕЛЬНЫХ СЛУЧАЕВ
203
равным определенной величине (разд. 11.2), и диаграмма рас-
рассеяния пробегает ряд «гомологических диаграмм» (разд. 11.3).
Во многих приложениях существенны только частицы, эффек-
эффективность ослабления которых относительно велика. Для таких
приложений при т—>1 применима теория аномальной дифрак-
дифракции.
Возможные случаи суммируются в табл. 14. Эту таблицу
можно расматривать как часть исследования, данного в разд. 10.1
(рис. 20), и поэтому пять ее столбцов обозначены соответствую-
соответствующим образом. Правильное описание физических процессов в об-
области Релея — Ганса сводится к интерференции света, незави-
независимо рассеянного всеми элементами объема. Для области ано-
аномальной дифракции это будет прямолинейное распространение
и последующая дифракция согласно принципу Гюйгенса. В этой
области интенсивность рассеянного света всегда концентрируется
вблизи первоначального направления распространения.
Хотя сама аномальная дифракция представляет собой пре-
предельный случай (т—у\ и х-^оо), она в свою очередь имеет
также два предельных случая, а именно, р -»-0 и р->-оо. Для
обоих этих случаев, которым в таблице соответствуют столбцы
С12) и B3), формулы можно взять из других глав, и они будут
служить проверкой формул для произвольного р.
Таблица 14. Предельные случаи при т-—\
F1)
Малые х
Малые р.
(релеевское
рассеяние)
A)
Рассеяние
A2)
Большие х
Малые р
(промежуточный)
случай)
Релея — Ганса
(разд. 7.2)
B) B3)
Большие х
Большие р
(геометрическая
оптика плюс
дифракция
Аномальная
дифракция
(разд. 11.2 н 11.3)
Промежуточный случай1 (р очень мало). При малых 9, т.е.
для углов, которые только и являются существенными в рас-
рассматриваемой теории, согласно разд. 7.21 имеем
S, F) = S2 F) = ijfi (m - 1)
2
(m - 1) О (и),
1 Переход от рассеяния Релея — Ганса к аномальной дифракции для ци-
цилиндров н дисков кратко описан в разд. 7.32 и 7.33. В частности, было пока-
показано, что, исходя из этих двух случаев, можно получить такие же формулы
для промежуточного случая.
204 П. СФЕРИЧЕСКИЕ ЧАСТИЦЫ С ПОКАЗАТЕЛЕМ ПРЕЛОМЛЕНИЯ, БЛИЗКИМ К 1
где u=xQ, a G (и) затабулировано в разд. 7.4. Соответствующее
полное рассеяние или ослабление получается из разд. 7.22 в виде
Qpac. = Qoc». = 2 (ГЛ. - IJ X2 = 4 Р2-
Случай геометрической оптики плюс дифракция (р очень ве-
велико). Полные формулы для Si @)=S2 @), которые следуют из
теории гл. 12, даны в разд. 11.31. Для направления вперед они
имеют вид
Первый член обусловлен дифракцией, второй—-центральным
пучком, т. е. пучком, который проходит сквозь шар вдоль диа-
диаметра и лишь незначительно преломляется. Так как р^>1, то пер-
первый член является основным. Соответствующее значение ослаб-
ослабления <2осл. = 2. Осциллирующий второй член заставляет дейст-
действительное значение Qocn, колебаться около этого предела. В тоже
время формулы для дфО (разд. 11.3) показывают, что диа-
диаграмма, соответствующая второму члену, шире, чем диаграмма,
соответствующая первому. Рассеянная энергия, соответствую-
соответствующая каждой из диаграмм, одинакова; таким образом, дифраги-
дифрагированный и преломленный свет можно отделить друг от друга'
в смысле, указанном в разд. 8.1.
Если р постепенно уменьшается, то преломленный свет де-
делается все более и более интенсивным и в то же время более
сконцентрированным вблизи 9=0, так что обе диаграммы стре-
стремятся все более сделаться почти равными по интенсивности и по
ширине. Интерференционные эффекты становятся сильнее, и
в конце концов полное разделение оказывается невозможным.
Это будет показано в разд. 11.32.
11.2. Кривая ослабления
11.21. Общая формула
Предположение о том, что х = 2яа/К очень велико, означает,
что мы можем проследить луч в пределах всего шара. Дополни-
Дополнительное предположение, что m очень близко к 1, означает, что
луч почти не претерпевает каких-либо отклонений на двух гра-
границах, которые он пересекает, так что фактически он не прелом-
преломляется. Кроме того, энергия, отраженная на этих границах, пре-
пренебрежимо мала, так как коэффициенты отражения Френеля
стремятся к 0, когда т-> 1. Таким образом, наличие шара ме-
меняет поле в точке Q за шаром (рис. 30) только по фазе, но не по
11.2. КРИВАЯ ОСЛАБЛЕНИЯ
205
амплитуде. Путь, пройденный в среде с показателем преломле-
преломления т (вместо 1), равен 2а sin т. Таким образом, запаздывание
фазы в Q равно
2а sin т- (т — l)-^- = psiriT,
где р =2х (т—1). Физический смысл р состоит в следующем:
р означает запаздывание фазы, претерпеваемое центральным лу-
лучом, проходящим через шар по диа-
диаметру.
Поле на всей плоскости V, кото-
которую следует взять за шаром не
очень далеко от него, теперь изве-
известно. Если мы положим его рав-
равным 1 во всех точках вне круга
геометрической тени, то в точке,
которая находится на расстоянии
a cost от центра этого круга,
оно будет e~l?sim , так как запаз-
запаздывание фазы соответствует отри-
отрицательной мнимой величине пока-
показателя (ср. разд. 3.12 и 4.1). Непо-
Непосредственное применение принципа
Гюйгенса дает теперь как ослаб-
ослабление (этот раздел), так и диа-
диаграмму рассеяния (разд. 11.3).
На всей плоскости V поле пер-
первоначальной плоской волны равно 1.
Внутри круга геометрической тени оно заменяется на e-'PsUK.
Таким образом, поле, которое добавляется к полю первоначаль-
первоначальной волны, равно g-'PsIm— 1 (только внутри круга тени). Это До-
Добавочное поле определяет рассеянную волну. Для непрозрач-
непрозрачного тела имеется только член —1, и он дает, согласно
разд. 8.22,
И I И I I I
Рис. 30. Прохождение луча
через шар.
где
О
-II
~
dx dy =
G является площадью геометрической тени. Обобщение на слу-
случай наличия дополнительного члена, обусловленного лучами,
проходящими сквозь шар, таково:
5(°)==-Й-
206 !'¦ СФЕРИЧЕСКИЕ ЧАСТИЦЫ С ПОКАЗАТЕЛЕМ ПРЕЛОМЛЕНИЯ, БЛИЗКИМ К1
Этот результат можно получить в точности тем же методом, ко-
который использован в разд. 8.21.
Интеграл можно выразить через элементарные функции. Мы
будем пользоваться полярными координатами внутри круга тени.
Тогда элементом площади является площадь кольца
— 2яа cos id {a cos т) = 2яа2 cos т sin тdr.
Таким образом,
о
Интегрированием по частям находим определенный интеграл
Y
K{w)= J A - е~ ws'm") cost sin xrfx =
о
1 p~w fi~w __ 1
2 w ' и>2 *
Результат, выраженный через эту функцию, будет
и (ср. разд. 9.32)
Вывод остается в силе и для комплексных, так же как и для
вещественных значений т, при условии, что
\т— 1 |<1.
Ниже мы рассмотрим обе эти возможности.
11.22. Сферические частицы без поглощения (вещественные пг)
Кривая, описываемая в комплексной области соотношением
x~*S @) = К (*р),
изображена на рис. 31. Учетверенная вещественная часть этой
функции есть
QoM. = 2 - -j sin р + ^-A-cosp).
Это — одна из самых полезных формул в теории Ми,
так как она определяет характерные особенности кривой ослаб-
11.2. КРИВАЯ ОСЛАБЛЕНИЯ
207
ления не только при т, близких к 1, но даже при столь больших
значениях т, как от = 2. Это показано на рис. 32 (стр. 208), где
нанесены кривые ослабления для m=l,5, m=l,33, т = 0,93,
т = 0,80 и. т->1. Шкала р. нанесенная снизу, справедлива для
всех пяти графиков. Соответствующие шкалы х зависят от т.
Для т=1,05 или 0,95 область, представленная на чертеже, со-
соответствует интервалу х от 0 до 200.
т близко к1
2
-0,2-
Рис. 31. График функции A@)=x~2S@) в комплексной плоскости для пока-
показателей преломления, очень близких к 1; р — текущая переменная.
Наиболее характерной чертой является наличие последова-
последовательности максимумов и минимумов. Максимумы имеют место
тогда, когда член — e~l?sinz складывается с членом 1 в ин-
интеграле, по которому вычисляется Q0M.. Так как один член опи-
описывает прошедший сквозь шар (дважды преломленный) свет,
а другой — дифрагированный свет (в смысле, определенном
в разд. 8.1), мы можем также сказать: максимумы на кривой
ослабления обусловлены сложением дифрагированного и прохо-
проходящего света при интерференции, минимумы — вычитанием при
интерференции. Теперь становится понятным, почему кривая ос-
ослабления для полностью отражающих шаров (разд. 10.62,
рис. 28) не обнаруживает максимумов и минимумов. Мы видим
также, почему для капли воды (т = 4/з), где 88% падающей энер-
энергии проходит без отражения (см. разд. 13.11), картина остается
т—i—I—i—i—i—г
I I I I I 1 I I I
I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I 1 I
5 10
р=2х\т-1\
Рис. 32. Кривые ослабления, вычисленные по формулам Ми при
ff»=l,5; 1,33; 0,93 и 0,8. Масштаб х выбраи таким образом, что мас-
масштаб р=2г|/п—1| одинаков для этих четырех кривых, а также для
кривой ослабления прн /п=1±е.
11.2. КРИВАЯ ОСЛАБЛЕНИЯ
209
фактически той же, что и для т, близкого к 1. Более мелкие де-
детали кривой ослабления невозможно объяснить таким простым
путем.
Табл. 15 дает положения максимумов и минимумов, взятых
по кривым ослабления без учета «ряби». Значения, найденные
с помощью экстраполяции, даны в скобках. Абсциссы р совпа-
совпадают очень хорошо. Для больших р максимумы имеют место при
р = (&+3/4) -2я, а минимумы при р= {k+lU) -2n, где k — целое.
Ординаты Q систематически растут с ростом т. Этот эффект,
обусловленный скользящим отражением, рассматривается
в разд. 13.42 и 17.26.
Таблица 15. Максимумы и минимумы кривых ослаблеиия
1-й
1-й
2-й
2-й
3-й
3-й
4-й
т
максимум
минимум
максимум
минимум
максимум
минимум
максимум
X
Q
Р
X
Q
р
X
Q
р
X
Q
р
X
Q
р
X
Q
р
X
Q
р
о,
10,
2,
4,
18,
1,
7,
8
5
4
2
3
4
3
0,93
29
2,9
4,1
54
1,4
7,6
77
2,3
10,8
3
4
1
7
2
10
1
14
2
17
1
20
2
23
173
09
542
63
,404
,79
,734
,00
,246
,16
,814
,33
,178
,52
1,33
6,2
3,9
4,1
11,5
1,6
7,6
16,4
2,8
10,8
21,4
1,9
14,1
26,0
2,5
17,2
30,5
2,0
20,3
C5,6)
B,3)
B3,6)
1,5
4,2
4,3
4,2
7,7
1,8
7,7
10,9
3,0
10,9
14,2
2,0
14,2
17,3
2,6
17,3
20,3
2,0
20,3
23,5
2,5
23,5
2
2,
5,
4,
4,
1,
8,
5,
3,
10,
G,
B
A4,
(8
B
A7
2
8
4
0
7
0
4
1
8
0)
0)
0)
6)
7)
2)
14 Заказ Jfe 374
210 11. СФЕРИЧЕСКИЕ ЧАСТИЦЫ С ПОКАЗАТЕЛЕМ ПРЕЛОМЛЕНИЯ. БЛИЗКИМ К 1
Разложение K(w) в ряд при малых w дает
г, 1 \ W W2 W3
А (Щ = -g g- + -gg
так что
так как нечетные степени w дают чисто мнимую величину. Это
выражение было также найдено в качестве асимптотического вы-
выражения для рассеяния Релея — Ганса при лг-^-оо (разд. 7.22).
Оно представляет собой промежуточный случай, упомянутый
в разд. 11.1.
11.23. Комплексные значения т; черное тело
Обозначим показатель преломления через пг = п — in'. Требо-
Требование |/га—1 | - 1 означает, что как п— 1, так и п' должны быть
много меньше 1. Чтобы поглощение было положительным, п'
должно быть положительным; п—1 может иметь любой знак,
но мы примем, что оно положительно. Обозначим через tg p от-
отношение
п'
Это отношение может иметь любое значение от 0 до с». Как и
раньше, введем вещественный параметр
р = 2х(п-1);
тогда сдвиг фазы луча, проходящего через центр шара, равен.
р* = 2х(пг— 1) = рA — *tgP).
Вещественная часть обозначает действительный сдвиг фазы,
а мнимая — затухание амплитуды.
Фактор эффективности ослабления
что после некоторых преобразований оказывается равным
(p _
Числовые значения, полученные с помощью этого уравнения,
даны в табл. 16 для различных значений р. При р = 0 это выра-
Таблица 16. Ослабление и поглощение частично поглощающими шарами
с т, близкими к 1
р \ 'г?
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
2,2
2,4
2,6
2,8
3,0
3,5
4,0
4,5
5,0
5,5
6,0
6,5
7,0
7,5
8,0
8,5
9,0
9,5
10,0
Q
0
0
0,00
0,02
0,08
0,18
0,31
0,47
0,66
0,88
1,11
1,35
1,60
1,84
2,08
2,31
2,51
2,70
3,03
3,17
3,11
2,88
2,55
2,19
1,87
1,64
1,55
1,58
1,71
1,91
2,12
2,29
15°
0,>7
0,00
0,09
0,21
0,36
0,53
0,71
0,90
1,09
1,28
1,47
1,64
1,80
1,95
2,08
2,19
2,2В
2,42
2,46
2,43
2,34
2,23
2,14
2,07
2,02
1,99
1,99
2,00
2,02
2,03
2,04
30°
0,58
0,00
0,10
0,35
0,54
0,74
0,93
1,11
1,28
1,43
1,57
1,69
1,80
1,89
1,96
2,02
2,06
2,13
2,14
2,13
2,Ю
2,08
2,05
2,04
2,03
2,02
2,02
2,02
2,02
2,02
2,02
45°
1,00
0,00
0,26
0,52
0,76
0,97
1,16
1,32
1,46
1,58
1,68
1,76
1,82
1,87
1,91
1,94
1,96
1,98
2,00
2,00
2,00
2,00
2,00
2,00
2,00
2,00
2,00
2,00
2,00
2,00
2,00
О
^ПОГЛ.
45°
1,00
0,00 .
0,23
0,40
0,53
0,63
0,70
0,76
0,80
0,84
0,86
0,89
0,90
0,92
0,93
0,94
0,95
0,96
0,97
0,97
0,98
0,98
0,99
0,99
0,99
0,99
0,99
0,99
0,99
0,99
1,00
14*
212 П. СФЕРИЧЕСКИЕ ЧАСТИЦЫ С ПОКАЗАТЕЛЕМ ПРЕЛОМЛЕНИЯ. БЛИЗКИМ К 1
жение приводится к выражению для шаров без поглощения
(разд. 11.22). Эти же данные представлены графически на
рис.33. Кривая, отмеченная значком ? = 0, совпадает с нижней
кривой рис. 32.
1 -
1
Qocj,
/1
?,- ,
—г—i—\ 1 ' 1 ¦"
/0° \
/5° \
45°
ill i i I i
10
Рис. 33. Влияние мнимой части показателя преломления иа кривую ослаб-
ослабления при т, близких к 1. Показатель преломления равен 1 + е — (8tg|3
(е мало).
Энергию, поглощенную внутри шара, вычислить тоже просто.
Множитель фазового сдвига ехр (—гр* sinт) содержит множи-
множитель ехр (—2jm'sinт), характеризующий уменьшение ампли-
амплитуды. Следовательно, уменьшение интенсивности оказывается
равным ехр (—^n'sint), а доля
| g— toi'sin -с
первоначального луча поглощается внутри шара. Интегрирова-
Интегрирование по всем падающим лучам приводит снова к интегралу типа
К (w). После интегрирования поглощенная доля всей энергии,
11.2, КРИВАЯ ОСЛАБЛЕНИЯ 213
падающей на шар, которая, по определению, обозначается ф„огл.,
оказывается равной
Спогл. = 2К D*л').
Значения Qno™., вычисленные по этой формуле, представлены
пунктирными кривыми на рис. 33; значения Qnora. для одного зна-
значения р даны в табл. 16. Аргумент можно записать также в виде
Ахп' = 2р tg p = 2ау,
где а — радиус шара, а у — коэффициент поглощения его веще-
вещества на единицу длины (разд. 14.1).
Вид кривых рис. 33 объясняется просто. Поглощение внутри
шара уменьшает амплитуду прошедшего света. Таким образом,
эффекты интерференции с дифрагированным светом делаются
менее заметными: максимумы уменьшаются, а минимумы под-
поднимаются. Если свет почти не проходит сквозь шар (т. е.
С?погл.->1). то нет интерференции с дифрагированным светом, и
мы имеем просто фОсл. = 2, что справедливо для любого большого
непрозрачного тела (разд. 8.22).
Показательно также исследовать ход кривых для малых зна-
значений р. Разложение функции К (w) в ряд дает
и, вычитая, получаем
Это полностью согласуется с тем, что нам известно из предыду-
предыдущих глав. Основной член в ослаблении обусловлен поглощением.
Выражение, данное в разд. 7.12, сводится к такому:
Q Л Л
Рпогл. == -J- П'Х =-3- p tgP
J 3 p tgP = -j-OT,
откуда в согласии с разд. 6.22 СП0ТЛ.=у V.
Как разъяснялось в разд. 7.12, эта формула справедлива по-
повсюду в области Релея — Ганса, а, следовательно, также и в про-
промежуточном случае (в смысле разд. 11.1), что мы и подтвердили
в этом разделе. Путем обобщения рассуждений разд. 7.22 (на
случай комплексных т) можно найти, что в промежуточном слу-
случае основной член, дающий рассеяние, равен
что также согласуется с результатом, полученным выше.
214 11. СФЕРИЧЕСКИЕ ЧАСТИЦЫ С ПОКАЗАТЕЛЕМ ПРЕЛОМЛЕНИЯ, БЛИЗКИМ К 1
Для произвольного неравного нулю значения tgfS при р->оо
Qnor.i.->-1 • Физически это означает, что здесь мы имеем тело,
большое по сравнению с длиной волны, которое поглощает все
падающее излучение, т. е. классическое черное тело.
Наоборот, мы можем установить, какими свойствами должно
обладать однородное тело, чтобы оно было «черным». Для того
чтобы вообще можно было говорить о «геометрически падаю-
падающем» излучении, поперечные размеры тела должны быть значи-
значительно больше А, т. е. д;>1. Далее, чтобы избежать отражения
на поверхности, нам нужно иметь т->-1, включая как л-»-1, так
и п'-*-0. Наконец, для того чтобы сделать тело непрозрачным,
необходимо, чтобы его размер в направлении пучка был бы до-
достаточным для поглощения всего излучения, т. е. хп'^$>1. Эти
условия являются в точности теми условиями, которые рассмат-
рассматривались выше. Таким образом, они характеризуют классическое
черное тело в теории Максвелла. Эта аргументация имеет на-
настолько общий характер, что пригодна для тел различных форм.
Важное следствие состоит в том, что экран в теории дифракции
никогда не может быть в одно и то же время черным и очень
тонким (ср. примечание на стр. 383).
Описанное выше черное тело имеет «альбедо» У2, определяе-
определяемое отношением Qpac./Qo<^.- Это — следствие объединения картин
дифракции и рассеяния, что мы вынуждены сделать, если хотим
сохранить непрерывный переход от малых частиц к большим.
Если пренебречь дифрагированным светом, то альбедо равно 0.
11.3. Картины аномальной дифракции
Интерференция между дифрагированным и проходящим
¦сквозь шар светом влияет не только на амплитудную функцию
5 @) (разд. 11.2), но также на функцию S@) для всех других
значений 0, для которых дифрагированный свет имеет заметную
величину. Результатом является ряд довольно странных диа-
диаграмм рассеяния. Они имеют некоторое сходство с дифракцион-
дифракционными кольцами Фраунгофера (разд. 8.31) по последовательности
светлых и темных колец для малых значений 0, но отличаются
по распределению интенсивности. Для водяных капель (т=1,33)
эти кольца были названы картинами аномальной дифракции.
Однако теория для водяных капель более сложна (разд. 13.41).
Предлагаемая теория ограничивается рассмотрением случая
т->1.
11.31. Гомологические диаграммы рассеяния
Здесь параметр р = 2х (ш—1) снова имеет первостепенное
значение. Рассмотрим пример капельки воды (т=4/з) диамет-
диаметром 3 мк, рассеивающей оранжевый свет (А/2я = 0,1 мк). Тогда
11.3. КАРТИНЫ АНОМАЛЬНОЙ ДИФРАКЦИИ 215
х=15, а сдвиг фазы центрального луча р = 2/3л:=10. Он не на-
настолько велик, чтобы можно было пренебречь эффектами интер-
интерференции, как это ясно видно из кривой ослабления (см. рис. 32).
Далее вообразим uiap с т = 7/б диаметром 6 мк, на который па-
падает свет той же длины волны. Здесь т— 1 имеет вдвое меньшее,
а х — вдвое большее значение, чем в предыдущем примере, так
что сдвиг фазы р остается неизменным. Это означает, что эф-
эффекты интерференции имеют сходный характер. Об этих приме-
примерах можно сказать, что ими определяются гомологические диа-
диаграммы рассеяния. Диаграмма .во втором примере в два раза
уже и в четыре раза интенсивнее, чем в первом, однако особен-
особенности этой диаграммы почти те же.
Математически эта мысль формулируется следующим обра-
образом: если т—1 и 0 меняются пропорционально Их, так что1
р = 2х {т — 1) и z = xQ
являются постоянными, тогда функции
x~2Si (х, т, 0) и x-zS2 (x, m, 0)
при х-*-оо, т—>-1 и Q->-0 стремятся к общему пределу, который
является функцией только риг. Обозначим эту функцию через
А (р, г). При 2 = 0, т. е. также при 0 = 0, она должна сводиться к
Л(р, 0)=S(Q)/x2 = K(ip),
где К (ip) определено в разд. 11.21. В вычислениях для простоты
мы ограничимся вещественными значениями /пир. Для вычисле-
вычисления А (о, z) можно предложить три метода.
Первый метод. Мы применяем принцип Гюйгенса к пло-
плоскости V, расположенной за шаром (см. рис. 30). Выберем ось ?
в направлении распространения, и пусть направление, в котором
ищется рассеянный свет, лежит в плоскости ? О |, образующей
небольшой угол 0 с осью ?. Тогда, просто вводя в формулу
разд. 11.21 дополнительный множитель, имеем
S F) = -g- Г Г A - е- i?sin~- )e~ дае d\
Здесь интеграл следует взять по площади круга радиуса а;
далее; х определяется соотношением
G2 COS2T — |2 _|_ ТJ_
(I
1 Совершенно безразлично, пишем ли мы хО, х sin 6 или 2х sin -g- или
какую-либо иную подобную функцию. Теория этого раздела «граничит» с тео-
' б
рией гл. 7, где соответствующим аргументом является 2х sin-y, и с теорией
гл. 8, где аргументом является х sin 0.
216 И. СФЕРИЧЕСКИЕ ЧАСТИЦЫ С ПОКАЗАТЕЛЕМ ПРЕЛОМЛЕНИЯ, БЛИЗКИМ К 1
Перейдем к полярным координатам с помощью равенств
| = a cos т cos ф, т] = a cos т sin <p, dl,dr\ == a2 cos tdq> d (cos т).
Интегрирование по ф можно осуществить непосредственно, вое-
пользовавшись интегралом
1 L
л— /г cos т cos ю _/ г / \
e <vd<? = J0(z cos ~),
где х= ka, z=xQ. Таким образом, получаем
т
А (р> z) =-^- = J A - е~ ip s'm%) Jo (z cos ¦:) cos x sin x dx.
о
Второй метод. Мы можем также исходить из строгого реше-
решения Ми. В следующей главе мы выведем асимптотические фор-
формулы для ап и р„ при jc-^-oo. Если т-^-1, в этих формулах
остается только член с р=\ (свет, прошедший сквозь шар), и
после некоторых преобразований находим
«« = Рп = 4" Р sin x-
Последующие преобразования совершенно аналогичны обыч-
обычному выводу дифракционной картины шара (разд. 12.32). Сфе-
Сферические гармоники представляются приближенно с помощью
бесселевых функций вблизи 0=0, а сумма заменяется интегра-
интегралом. В результате мы получим тот же интеграл.
Третий метод (приближенный). Предполагалось, что про-
простейший метод получения А (р, z) состоит в сложении амплитуд-
амплитудных функций для дифрагированного и проходящего сквозь шар
света:
А (р, z) = Лдиф. (р, z) + Лпр. (р, г).
Излучение, дифрагированное на непрозрачном диске или на
шаре, при условиях этого раздела (большие частицы, малые
углы) определяется формулой, полученной в разд. 8.31 и 12.32:
которая дает
А * (о z\ — JlB)
Пропущенное излучение имеет
А — ~if e~iy
11.3. КАРТИНЫ АНОМАЛЬНОЙ ДИФРАКЦИИ 217
где у= V$2+z2. Это выражение следует из формулы, полученной
в разд. 12.43:
5,(в) = 5а(в) = ?LL/e
если воспользоваться соотношением 0=-2(j,ctgt и сделать под-
подстановки
А = x~zS, p = 2хц, z = xQ,
из которых также следует, что j/=p/sint.
Этим заканчивается вычисление обоих членов ЛДИф. и Апр..
Однако допущение, что их сумма является точным выражением
А (р, z), не подтверждается вычислением по точной формуле,
что мы сейчас кратко покажем.
11.32. Разложение интеграла
Интегральное выражение для А (р, z), полученное с помощью
первого (или второго) метода, является точным для любого
комплексного значения m в пределе при т->1; следовательно,
р может, быть комплексным. Дальнейшее рассуждение ограничи-
ограничивается вещественными значениями тир. Пусть Re Л и Im A
означают вещественную и мнимую части А (р, z). С помощью
подстановки у= к — т находим
те
т
Im А — j sin (p cos -f) Jo (z sin 7) sin 1 cos
0
что является вторым интегралом Сонина с n=lh, m = 0. Он равен
где, как и раньше, y2=p2+z2, a ipi({/)—функция Риккати —
Бесселя, определенная в разд. 9.22.
Вещественную часть можно выразить через известные функ-
функции с помощью разложений в ряды. Мы дадим два разных раз-
разложения, полезных соответственно при малых и при больших
значениях р. Первый ряд получается разложением 1—cos (p cosy)
по степеням pcosv- Отдельные члены интегрируются с помощью
первого интеграла Сонина, и окончательный ряд
сходится для любой комбинации риг.
218 П. СФЕРИЧЕСКИЕ ЧАСТИЦЫ С ПОКАЗАТЕЛЕМ ПРЕЛОМЛЕНИЯ, БЛИЗКИМ К I
Это разложение позволяет рассмотреть (и вычислить) откло-
отклонения от рассеяния Релея — Ганса. Если z имеет фиксированное
не равное нулю значение, а р принято весьма малым, то у при-
приблизительно равно г. Мнимая часть пропорциональна о, а веще-
вещественная часть р2, так что мнимая часть преобладает, и сум-
суммарный результат в первом приближении будет
Это совпадает с результатом разд. 7.21, если мы воспользуемся
тем обстоятельством, что 0 мало, так что и^г. Если р не очень"
мало, отклонения от формулы Релея— Ганса будут следующими:-
аргумент и (или z) следует заменить на у и прибавить вещест-
вещественную часть.
Разложение Re Л при больших значениях р менее очевидно.
Оно скорее подсказывается разделением света на дифрагирован-
дифрагированный и преломленный, чем ищется путем прямого асимптотиче-
асимптотического разложения. Дифракционный член порождается единицей
в подынтегральном выражении, что ясно видно при сравнении
интегралов разд. 11.31 и 8.21. Мы встретимся с ним снова при
рассмотрении асимптотического выражения формул Ми
(разд. 12.32).
Следует ожидать, что преломленный свет будет представлен
в А (р, г) слагаемым, имеющим при больших значениях р асимп-
асимптотический видгр)г2ехр (—iy), а мнимая часть этого слагаемого
равна полученной выше для всех значений р. Простое выраже-
выражение, удовлетворяющее этим условиям, это
(p,z) = -?¦ j/f //«> (у) = -§- С, (у).
3
T
Можно ожидать, что его вещественная часть
¦W± (У)-=--?/.! (У)
будет входить слагаемым в Re А. Обозначения t,\ (у) и xi (у)
взяты из разд. 9.22. Способ нахождения следующих членов не
будет описываться подробно. Автор просто провел двойное раз-
разложение в ряды по степеням риги затем сгруппировал все
члены с одинаковой степенью р. Результат с учетом двух посту-
постулированных членов имеет вид
11.3. КАРТИНЫ АНОМАЛЬНОЙ ДИФРАКЦИИ 219
При р >z этот ряд сходится подобно геометрической прогрес-
прогрессии со знаменателем —22/р2. Вне области его сходимости этим
рядом еще можно пользоваться как полусходящимся. Формула
для 1тА была проверена с помощью подобного же разложения,
которое оказалось много проще, так как в нем присутствуют
только четные степени у= У р2 4- z1.
Результаты, полученные выше, убедительно показывают, что
нельзя просто складывать члены, обусловленные дифракцией и
преломлением. Заменяя Лпр.(р, г) (конец разд. 11.31) новым
выражением Л'пр. (р, г), определенным выше, мы можем
вычислить совершенно точно мнимую часть суммы для
всех р, но вещественная часть все же требует добавления
«остатка», начиная с члена —•/о(г). Это заключение не яв-
является неожиданным. Точное исследование условий, на которых
основано приближение геометрической оптики (разд. 12.3), по-
показывает, что вообще нет никаких оснований ожидать для не
очень больших значений о простого сложения дифрагированного
света и света, рассеянного согласно законам геометрической
оптики.
Переходя к 2 = 0, мы получим результат для излучения, рас-
рассеянного вперед:
Л(р0) 4 + С
Эти три члена обусловлены соответственно дифракцией, прелом-
преломлением и «остатком». Выразив ?i(p) через тригонометрические
функции, получим
Это выражение тождественно функции K(ip), как это и должно
быть (разд. 11.21).
11.33. Числовые результаты
Теперь можно суммировать результаты этого раздела. Всюду
в этом разделе мы имели дело с очень большими частицами
(д;^>1), показатель преломления которых очень близок к 1
(m—l<Clj. Все эти частицы имеют диаграммы рассеяния,
в которых около направления вперед концентрируется неполя-
ризованный свет большой интенсивности; рассеивающие свой-
свойства этих частиц зависят при этом только от параметра р =
= 2х(щ— 1), если не считать масштабных множителей для углов
и интенсивностей. Это выражается функцией A(o,z), где 2 = *8.
Для очень малых р верна теория Релея—Ганса с последова-
220 П. СФЕРИЧЕСКИЕ ЧАСТИЦЫ С ПОКАЗАТЕЛЕМ ПРЕЛОМЛЕНИЯ, БЛИЗКИМ К 1
тельностью минимумов при z=4,49; 7,73 и т. д. (разд. 7.21 и 7.4).
Для очень больших р верна теория дифракции Фраунгофера
с последовательностью минимумов при z = 3,83; 7,02 и т. д.
(разд. 7.4 и 8.31). В настоящем разделе даются формулы для'
вычисления промежуточных форм, а именно картин аномальной
дифракции, которые имеют место при не слишком больших
значениях р. Числовые результаты представлены на рис. 34
в виде гипсометрической карты. Координатами являются z (про-
(пропорциональное углу рассеяния) и р (пропорциональное раз-
размеру). Расстояние точки от начала координат (верхний левый
угол) равно ц. Контуры дают абсолютное значение функции
1000Л (о, г). Интенсивности пропорциональны \А\2. Вспоминая,
что
находим (ср. разд. 4.22 или 9.4), что интенсивность света, рас-
рассеянного отдельной частицей (независимо от поляризации па-
падающего света), равна
Карта была вычерчена путем выбора ряда значений гири
вычисления Im Л и Re Л по данным выше формулам. Например,
2 = 2, р=|/20, у=1/2Тдали 1тЛ = — 0,0694; Re A = 0,4690, если
использовать 8 членов первого разложения; Re Л =0,4691, если
использовать два главных члена плюс 6 членов «остатка» во
втором разложении. Эти значения дают
U 12 = (Im ЛJ + (Re ЛJ = 0,225; | Л 1 = 0,474.
При построении этой карты особое внимание уделялось поло-
положениям максимумов, минимумов, седловых точек и нулей.
Этой картой следует пользоваться следующим образом: по
горизонталям расположены диаграммы рассеяния отдельной
частицы; частица характеризуется сдвигом фазы р луча, прохо-
проходящего через центр; вертикальные линии соответствуют фикси-
фиксированным точкам в классической дифракционной картине; чет-
четверть окружности с центром в точке О соединяет между собой
все точки с постоянным у. Лучи, приходящие в точки такого круга
после двух преломлений, согласно закону Снелля приобретают
одинаковые сдвиги фаз.
Максимумы и минимумы чередуются закономерно. С одной
стороны, они разделены вертикальными линиями, соответствую-
соответствующими темным кольцам в асимпотогической дифракционной кар-
картине B = 3,8; 7,0; 10,2; 13,3), с другой — кругами, для которых
фазы прошедшей и дифрагированной волн отличаются на л/2
12
Рис. 34. Гипсометрическая карта, показывающая значе-
значения амплитудной функции |4|=|;r2S| в области ано-
аномальной дифракции; z=xb, ?=2х(т—1).
222 П. СФЕРИЧЕСКИЕ ЧАСТИЦЫ С ПОКАЗАТЕЛЕМ ПРЕЛОМЛЕНИЯ, БЛИЗКИМ К I
(у=2п, Зя, 4я, 5я, ...). Седловые точки расположены вблизи
точек пересечения этих кругов с вертикальными линиями.
При интерпретации относительных высот максимумов и ми-¦
нимумов мы должны различать три случая.
1. Преобладает дифрагированный свет. Это относится к цент-
центральному пику B=0) и, кроме того, ко всем ярким кольцам,
если р стремится к очень большим значениям.
2. Преобладает свет, прошедший сквозь частицу. На плоско-
плоскости рис. 34 это соответствует максимумам и минимумам в мес-
местах расположения второго яркого кольца B = 8,4) и третьего
кольца B=11,6).
3. В месте расположения первого дифракционного кольца
B = 5,1) мы наблюдаем постепенный переход от случая 2 к слу-
случаю 1. При р=10 свет, проходящий сквозь частицу, все еще не-
несколько сильнее, чем дифрагированный свет, и их наложение
вызывает глубокий минимум, однако при р = 16 картина будет
обратной. Здесь прошедший свет будет слабее дифрагирован-
дифрагированного на вершине первого дифракционного максимума, но он бу-
будет преобладать над дифрагированным светом на небольшом
расстоянии от этой вершины. Поэтому на гипсометрической
карте здесь будет седловая точка, ограниченная двумя нулями.
Аналогичное положение повторяется для всех следующих зна-
значений р, когда амплитуды дифрагированного и проходящего
сьета имеют противоположные знаки. Высоты седловых точек
приближаются к конечному значению 0,066, обусловленному
только дифракцией, а нули отодвигаются к положениям темных
колец в чисто дифракционной картине B=3,83 и 7,02). Подоб-
Подобная же последовательность нулей проходит вблизи централь-
центрального максимума. Первый нуль расположен при
р = 7,2; 2 = 2,9; у = 7,73.
Остальные нули этой последовательности все более и более при-
приближаются к линии z=3,83.
Практическое значение только что рассмотренной диаграммы
ограничено тем обстоятельством, что условие близости пока-
показателя преломления к 1 редко выполняется. Однако диаграмма
очень хорошо показывает особенности картины рассеяния, кото-
которые следует ожидать даже при таких больших значениях т,
как 1,33 (вода). Это иллюстрируется некоторыми примерами,
подробно рассмотренными в разд. 13.41. В частности, см. рис. 51
и 52, где сплошные кривые построены по рис. 34, а значения для
водяных капель обозначены соответствующими символами.
Таким образом, видно, что простая теория этой главы оказы-
оказывается совершенно достаточной для приближенного описания
встречающегося в природе явления аномальной дифракции.
11.4. ОСЛАБЛЕНИЕ В ОБЛАСТИ СПЕКТРАЛЬНОЙ ЛИНИИ 223
11.4. Ослабление в области спектральной линии
Предположим, что сферическая частица состоит из вещества,
имеющего показатель преломления, почти постоянный для об-
обширной области длин волн, за исключением линии (или полосы)
поглощения.
В этой линии поглощения показатель преломления т имеет
мнимую часть, а вещественная часть отличается от обычного
значения. Не так просто выяснить, каким образом эти измене-
изменения влияют на рассеивающие свойства частицы любого задан-
заданного размера. Вообще говоря, решение нельзя найти, не прибе-
прибегая к полным расчетам по строгим.формулам для комплексных
значений т (гл. 14). Однако простой вид уравнений для т,
близких к 1, дает нам возможность выяснить, по крайней мере
в двух случаях, каким образом линия поглощения влияет на
ослабление частицей. Эти случаи таковы: 1) очень малые час-
частицы; 2) слабые линии поглощения в «мягких» частицах до-
довольно большого размера.
Пусть вещество подчиняется классической теории дисперсии.
Его преломляющие свойства характеризуются величиной
р — 3(/И2— 1) _
Здесь т — комплексный показатель преломления, е и те —за-
—заряд и масса электрона, со — круговая частота. Суммирование
следует распространить на все линии поглощения, причем каж-
каждая из них характеризуется своей собственной частотой со;-, своей
постоянной затухания \j и силой осциллятора f/, Nj обозначает
число молекул на 1 см3, способных вызвать появление линии
поглощения. Эта фомулировка относится также к веществам,
в которых перемешаны молекулы различного вида.
11.41. Малые частицы
Шар радиуса а<^Х имеет сечение поглощения
Спогл. = ад2<2погл. = ад2 • ^- х 1ш (- F) = ~ Im (- F),
где V — объем поглощающего шара. Это сечение находится
в тесной связи с атомным сечением поглощения:
mec
224 П. СФЕРИЧЕСКИЕ ЧАСТИЦЫ С ПОКАЗАТЕЛЕМ ПРЕЛОМЛЕНИЯ, БЛИЗКИМ К 1
Это соотношение можно получить, если обозначить Х/2я через
с/со, где с — скорость света, и сделать затем обычное предполо-
предположение, что линия распространяется на интервал, который мал
по сравнению с собственной частотой. Простое преобразование
дает тогда
Здесь NjV — полное число молекул в шаре, которые могут по-
поглощать линию /; таким образом, частица, малая по сравнению
с длиной волны, поглощает в точности ту же энергию, которая
была бы поглощена всеми молекулами частицы вместе, если бы
они находились в газообразном состоянии. Очевидно, это утвер-
утверждение не распространяется на дополнительные частоты ре-
решетки, которые появляются при объединении молекул в частицу.
Частицы, для которых справедливо это правило, имеют очень
малое сечение рассеяния. Их сечение ослабления внутри спек-
спектральной линии обусловлено главным образом истинным погло-
поглощением и превышает ослабление вне линии во много раз. При
измерении ослабления обычным способом с помощью спектро-
фотометрии непрерывного по спектру источника, дающего
непрерывный спектр и наблюдаемого сквозь облако этих час-
частиц, получается линия «поглощения», которая действительно
вызывается истинным поглощением.
11.42. Большие частицы с показателем преломления, близким к 1
Пусть величина F вблизи спектральной линии или полосы
состоит из двух частей: из постоянной вещественной части F,,,
обусловленной удаленными собственными частотами, и из пере-
переменной части, обусловленной собственной частотой соо. В таком
случае мы можем заменить формулу дисперсии выражением
р р л fg
где v — 2(со — coo/y, a Fc и Fa— вещественные постоянные. Это
уравнение является хорошим приближением к действительному
показателю преломления дли слабых и сильных, широких и уз-
узких полос поглощения. В дальнейшем мы ограничиваемся вы-
вычислением для случая Fc nFa, малых по сравнению с 1. В таком
случае это предположение будет верно также для \т — 11, и
мы можем написать
11.4. ОСЛАБЛЕНИЕ В ОБЛАСТИ СПЕКТРАЛЬНОЙ ЛИНИИ
225
Параметр 2х(т—1), играющий большую роль, вне линии
имеет значение p = xFc, а в пределах линии
-70
В пределах линии применима теория разд. 11.23.
Геометрическое место точек \/(i — v) в комплексной пло-
плоскости— круг с центром в точке @,—l/2i) и радиусом 7г. Та-
Таким образом, если начать с малых частот (отрицательные v),
то мы увидим сначала посте-
постепенное увеличение веществен-
вещественной части, соответствующее
нормальной дисперсии. Прио =
=—1 мнимая часть становится
равной вещественной части, ко-
которая начинает уменьшаться
Это уменьшение продолжается
до точки о= + 1 (аномальная
дисперсия), тогда как мнимая
часть проходит через макси-
максимум при о=0; наконец, для
больших положительных зна-
значений v вещественная часгь
снова увеличивается до тех
пор, пока она не достигнет
своего нормального значения.
Влияние этого на ослабление
лучше всего пояснить числовым
примером. Такой пример дан
на рис. 35. Предполагается, что
PalFc=lU- Например, при р =3
из рис. 33 (или из табл. 16)
видно, что вне линии Q0«i.=
=2,70 (v = ± оо). Внутри линии
при 0=1 получается
10
3 -
2 -
1 -
О
1 1 1
2 -
I
• Л малые Я большие
Рис. 35. Изменение ослабления, вызы-
вызываемого шарами различных размеров,
в пределах линии поглощения. Иногда
поглощение определяет уменьшение
ослабления, вызываемого шаром.
р * = 2,62—0,38 i = 2,62 A —I tg8°).
Соответствующее значение Q0«i., которое находится из табл. 16
с помощью интерполяции, равно 2,23. Таким путем были постро-
построены кривые рис. 35.
С первого взгляда эти результаты кажутся неожиданными.
Однако их можно легко понять, если учесть, что на ослабление
оказывают влияние изменения как в вещественной части пока-
показателя преломления п, так и в его мнимой части п'. Частные
13 Заказ № 374
226 И. СФЕРИЧЕСКИЕ ЧАСТИЦЫ С ПОКАЗАТЕЛЕМ ПРЕЛОМЛЕНИЯ, БЛИЗКИМ К 1
производные Q0CJ1. по л и п'могут иметь любой знак (зависящий
от значения р), так что в результате могут получиться кривые
различного вида. Только очень малые частицы обнаруживают
обычный контур линии поглощения (разд. 11.41). При р = 2 Q0M.
фактически не зависит от п', так что кривая сходна с кривой
дисперсии. Наконец, при р =4 ослабление внутри линии погло-
поглощения меньше ослабления вне линии. Если бы этот случай имел
место в межзвездном пространстве, то линию поглощения меж-
межзвездных частиц можно было бы принять по ошибке за эмиссион-
эмиссионную линию звезды.
11.5. Среда, состоящая из частиц различных размеров
Коэффициент ослабления у в среде, состоящей из частиц
различных размеров, приведен в разд. 9.4. Нет больших основа-
кий возвращаться к этому вопросу в этой главе, чем в какой-либо
другой, если не считать того, что при различных распределениях
частиц по размерам окончательные выражения получаются
очень простыми. Это можно проиллюстрировать следующими
примерами. Пусть в 1 см3 содержитсяNQf (a/a{)d(alai) частиц
с радиусами между а и a + da. Тогда полное геометрическое
сечение на 1 см3 будет
о
а полное фактическое сечение ослабления
о = Ыош\ j Q0M. (a) / (и)
о
Можно говорить, что отношением
определяется фактор эффективности ослабления всей среды.
Пользуясь выражением для QOwi.» данным в начале разд. 11.22,
находим
1) если/(и) = 1/и (и < 1) и/(и)=О (и > 1),
то
Q= 2 + 8рг2 (— 1 + cos Pl + С + In pi— CipO,
где Ci — интегральный косинус, а С = 0,577 — постоянная Эй-
Эйлера;
2) если /(«) = 1 (и¦< 1) и/(и) =0 (и > 1),
11.5. СРЕДА, СОСТОЯЩАЯ ИЗ ЧАСТИЦ РАЗЛИЧНЫХ РАЗМЕРОВ 227
ТО
Q = 2 + 12рг2 A + cos pi) — 24pr3 sin Pl;
3) если / («)=:<?-«,
то
Q = 2 + 2 A + pi*) -1-4A + Pl2) ~\
Во всех этих выражениях
p! = 2kai (m — 1).
Быть может, наиболее подходящим способом определения
B)
Рис. 36. Примеры кривых ослабления для смеси частиц
различных размеров с т, близкими к единице; / — ча-
частицы одинакового размера.
эффективного радиуса для смеси может служить следующий
способ:
3 Полный объем
ЭФФ- 4 Полное геометрическое поперечное сечение
В примерах 1, 2 и 3 этот эффективный радиус равен соответст-
соответственно 21гО-\, 3A«i и 2>п\. На рис. 36 представлены графически
з функции величины
Рэфф. = 2&аЭфф. (т — 1)
15*
228 П. СФЕРИЧЕСКИЕ ЧАСТИЦЫ С ПОКАЗАТЕЛЕМ ПРЕЛОМЛЕНИЯ, БЛИЗКИМ К1
факторы ослабления Q для распределений A), B) и E), кото-
которые сравниваются с фактором ослабления для частиц одинако-
одинакового размера. Как и следовало предполагать, чертеж показывает,
что характерные особенности кривых сглаживаются, если име-
имеются частицы самых различных размеров.
1.6. Обобщение на случай не слишком малых значений т — 1
Большое внимание, которое уделяется предельному случаю
m-П в литературе и в гл. 7 и 11, вызвано не только математи-
математической стороной дела. Во многих приложениях встречаются ча-
частицы, имеющие вещественные значения т, заключенные между
1,1 и 1,5 (водяные капли в воздухе, протеины в воде и т. д.). Мно-
Многие исследователи, начиная еще с Релея, надеялись, что точное
решение для предельного случая /л->-1 может оказаться первым
этапом в нахождении простых формул для значений т—1, не
являющихся весьма малыми.
Систематическое исследование этой возможности было вы-
выполнено только в последнее время в области квантовой меха-
механики. Приближение, названное нами в оптике рассеянием Ре-
Релея— Г^нса, известно в квантовой механике как приближение
Борна. 'то приближение оказывается первым членом борнов-
ского [.изложения, получающегося, если задачу о рассеянии
сформулировать с помощью интегрального уравнения и решать
это уравнение методом последовательных приближений. Это
разложение и различные его модификации подробно рассмот-
рассмотрены Морсом и Фешбахом A953). Но как аналитическими ме-
методами, так и путем численных расчетов трудно продвинуться
дальше второго приближения.
При рассмотрении более высоких порядков величины т—1
строгое различие между предельными случаями, описанными
в гл. 7 (рассеяние Релея — Ганса) ив гл. 11 (аномальная диф-
дифракция), исчезает. Однако оказывается, что в большинстве оп-
оптических приложений более применима последняя теория. Рас-
Рассеяние Релея — Ганса ограничено областью, где Q<1. Оно имеет
место при малых значениях х, так что для строгого решения до-
достаточно нескольких членов в формулах Ми. Однако область
аномальной дифракции включает всю область значений х, в кото-
которой ослабление обнаруживает большие флуктуации. Поскольку
первый максимум находится вблизи х=2,0/(/п—1), то х прини-
принимает довольно большие значения, и было бы желательно
получить приближенное аналитическое решение. Такое решение
можно было бы найти из разложения, в котором первый член
давал бы аномальную дифракцию. Однако такого разложения
до сих пор не получено.
11.6. ОБОБЩЕНИЕ НА СЛУЧАИ НЕ СЛИШКОМ МАЛЫХ ЗНАЧЕНИИ от - 1 229
В этом случае интуитивно чувствуется явная необходимость
расширения проблемы. Вывод предыдущих разделов следует
дополнить, включив в него эффекты преломления и отражения.
Результаты оказываются не очень хорошими, если это обобще-
обобщение проводится методами геометрической оптики. Эта задача
рассматривается в разд. 13.41, 13.42 и 17.26.
До нек<.;орой степени успешной оказалась попытка Харта и
Монтролл.: основанная на строгих формулах и опубликованная
кми в двух статьях A951). Эти авторы рассматривают сначала
случай скалярных волн. Значительная часть их первой статьи
и вся вторая (в которой они рассматривают цилиндры, сплюс-
сплюснутые сфероиды и тонкие диски) посвящены скалярной проб-
проблеме. Харт и Монтролл исходят из строгого решения в форме
бесконечных рядов с коэффициентами ап и Ьп (в наших обо-
обозначениях, разд. 9.22) для поля рассеянной волны и с коэффи-
коэффициентами сп и dn для внутреннего поля. Они заменяют числи-
числители эквивалентными выражениями, достаточно простыми для
внутреннего поля (разд. 9.22), но принимают приближенное
выражение для знаменателей. Это приближение основано на
приближении, которое выполняется при п<^.х, и поэтому может
быть названо приближением центрально падающего света
(разд. 12.31). Однако, поскольку в предельном случае m-И это
приближение дает точные значения при любых п, авторы наде-
надеются, что оно может оказаться полезным и для других п.
В таком случае сумму можно найти строго, что дает (для
скалярного случая и в наших обозначениях, разд. 4.1)
о* /fl\ _
е
Цт — \)x
_ rgiCtn-l)r _2_
где r=(m — 1)/(/л+1) (коэффициент отражения Френеля,
12.21), x=ka,
w = х A + т? -\- 2т cos 0) 2,
i_
v = х A -г- т? — 2т cos 6) 2 .
Звездочка означает комплексно сопряженное число; выбор знака
перед i у Харта и Монтролла противоположен нашему.
230 П- СФЕРИЧЕСКИЕ ЧАСТИЦЫ С ПОКАЗАТЕЛЕМ ПРЕЛОМЛЕНИЯ, БЛИЗКИМ К I
Далее, Харт и Монтролл не пользуются функцией 5@), а на-
находят полное ослабление интегрированием по всем углам. Его
невозможно выполнить в конечном виде, если не делать даль-
дальнейших приближений. Они пренебрегают всеми членами, содер-
содержащими г, аппроксимируя таким образом 5* (8) выражением
Jz_ (w)
S* F) = - im (m - 1)jc3У%к el(m~1)x —Цг— .
w
Это выражение после возведения его в квадрат и интегрирова-
интегрирования дает без каких-либо дополнительных приближений (в на-
наших обозначениях)
Qpac = ™2т (т - IJ { Ф {тх - х) - Ф (тх + х) },
где
• w -4 {Л. w+А, <•>)=4г I' - -I;2- +
2
I 2A— cos2u)
Эта формула является окончательным результатом для скаляр-
скалярных волн. В пределе при т-*-1, если р = 2х(/л— 1) фиксировано,
второй член делается пренебрежимо малым, и формула прини-
принимает вид, полученный в разд. 11.22. Однако при фиксированном
х и /л-э-1 она не дает точного результата для случая рассеяния
Релея — Ганса (для скалярных волн). Эта формула не дает
также предельного значения Q=2 при фиксированном т и
л:->-оо. Для электромагнитных волн получается подобный же ре-
результат, и он имеет те же недостатки. Кроме того, получается,
что интенсивность рассеянного света не зависит от поляризации.
Все это легко объясняется сделанными предположениями, но
оказывается очень далеким от успешной теории для не слишком
малых значений т—1. Даже соьп^дение в пределе с результа-
результатом разд. 11.2 является несколько озадачиваюшим, так как если
бы в наших формулах было выполнено приближение централь-
центрально падающего света, то в этом предельном случае результат
оказался бы неверным.
Возможно, наиболее ценная идея в исследовании Монтролла
и Харта содержится в их второй статье. Они заметили, что совер-
совершенно строго для любого вида частиц поле в некоторой точке
вне частицы можно выразить объемным интегралом от полей
внутри частицы. Доказательство проще всего для скалярных
волн, а также для частицы, не имеющей дискретной границы,
11.6. ОБОБЩЕНИЕ НЛ СЛУЧАИ НЕ СЛИШКОМ МАЛЫХ ЗНАЧЕНИИ т — 1 231
для которой т является непрерывной функцией пространствен-
пространственных координат и равно нулю вне некоторого объема V.
Обозначим полное поле через i^^o+^s, где г|зо — падаю-
падающая плоская волна, а г|з,,— добавочное поле, которое вне V яв-
является полем рассеянной волны. В таком случае мы имеем
у = 0 ,
/гЧ'о = О
и, вычитая, получаем уравнение
V2i|>s + k^s = (kz — m2k2) ф,
которое имеет решение
п cfelr-rji
J
Очевидно, что вне V подынтегральное выражение равно нулю,
а множитель k2(l—/л2) в пределе для однородной частицы
можно вынести за знак интеграла. В подынтегральном выраже-
выражении я|5 — полное поле в любой точке внутри частицы.
Эта формула имеет ту же точность, что и, например, интег-
интегральная формула Кирхгофа в теории дифракции, однако ее при-
применение ограничено подобным же образом, так как внутреннее
поле никогда не задается, а должно быть сначала получено.
Однако вполне возможно, что лучше делать приближенные
предположения для внутреннего поля, чем для поля рассеянной
волны, и тогда формула оказывается применимой. Монтролл и
Харт показали это в применении к «мягким» цилиндрам (беско-
(бесконечным и конечным, сплюснутым сфероидам и тонким дискам)
для скалярного случая. Кроме того, они показали, что их преж-
прежние приближения для шара согласуются с этой формулой.
Можно легко провести обобщение на случай электромагнит-
электромагнитных волн, и, возможно, эта формула сможет положить начало
новым успехам в решении проблемы для не очень «мягких» шаров.
Саму по себе попытку Харта и Монтролла нельзя назвать удач-
удачной. Числовые примеры показывают, что ослабление при т-*-\
должно быть увеличено на некоторую мало меняющуюся вели-
величину, которая не стремится к 0 при х->оо. Получающиеся в ре-
результате значения Q достаточно точны в области
В разд. 17.26 предполагается, что фактическое увеличение,
иллюстрируемое рис. 32, допускает ясное физическое толкова-
толкование, а именно оно заключается во влиянии скользящего отраже-
отражения на «краю» шара.
232 ЛИТЕРАТУРА
ЛИТЕРАТУРА
Большинство результатов этой главы было получено впервые автором:
van deHulst Н. С. Thesis Utrecht, Recherches Obs. astron.
d'Utrecht, 11, part 1 A946); 11, part 2 A948).
Аномальная дифракция как самостоятельный предельный случай, видимо, не
упоминается в более ранних работах. Точные формулы для Q в перекрываю-
перекрывающихся областях F1), A2) н B3) впервые даны в работе
Jobst G., Ann. Physik, 78, 157 A925).
Ссылки на числовые результаты, приведенные на рис. 32, можно найти
в конце гл. 10.
Первый и второй интегралы Сонина (разд. 11.32) можно найти в книге
Ватсона:.
Watson G. N., Theory of Bessel Functions, p. 373, 376, Cambridge,
Cambridge Univ. Press, 1922.
(Русский перевод: Ватсон Г. Н., Теория бесселевых функций, ИЛ,
М., 1949.)
Расчеты разд. 11.4 (спектральная линия) и 11.5 (распределение по раз-
размерам) были выполнены автором в его цитированной выше статье 1948 г.
с целью применения к межзвездным частицам. См. также ссылки в конце
гл. 21.
В разд. 11.6 рассматриваются формулы для «мягких» частиц, полученные
Хартом и Монтроллом:
Hart R. W., Montroll E. W., J. Appl. Phys., 22, 376 A951),
Mont г о.11 Е. W., Hart R. W., J. Appl Phys., 22, 1278 A951)
и суммированные в работе
Montroll E. W., Green berg J. M., Proc. Symposia Applied Math.,
Amer. Math. Soc, 5, 103 A954).
Систематическую сводку эквивалентных проблем квантовой механики можно
найти у Морса н Фешбаха:
Morse P.M., F e s h b а с h H., Methods of Theoretical Physics,
part II, chap. 9, New York, McGraw-Hill Book Co., 1953.
(Русский перевод: Морс Ф. М., Фешбах Г., Методы теоретической
физики, т. II, ИЛ, М., 1960.)
и в статье Шнффа:
Schiff L. I., Phys. Rev., 103, 443 A956).
12. СФЕРИЧЕСКИЕ ЧАСТИЦЫ ОЧЕНЬ БОЛЬШИХ
РАЗМЕРОВ
12.1. Общий обзор
Для электромагнитных волн законы геометрической оптики
являются асимптотическими законами, справедливыми в пре-
предельном случае очень малых длин волн. Поэтому ясно, что в на-
настоящей главе, где рассматривается рассеяние сферическими
частицами, очень большими по сравнению с длиной волны,
предметом изучения будет служить переход к законам геомет-
геометрической оптики.
Однако было бы неправильным ожидать, что диаграмма рас-
рассеяния для таких сферических частиц полностью определяется
законами геометрической оптики. Во-первых, необходимым усло-
условием, помимо большого размера частицы (хЗ>1), является боль-
большой сдвиг фазы р=2х (т~~ 1), т. е. показатель преломления ча-
частицы должен достаточно отличаться от показателя преломле-
преломления окружающей среды (разд. 11.1). Во-вторых, чтобы рассчитать
эффекты интерференции между различными лучами, выхо-
выходящими из. частицы, необходимо учитывать фазы. В-третьих,
приближение геометрической оптики неприменимо к частицам
сколь угодно больших размеров при углах, под которыми наблю-
наблюдаются радуги и глория. В-четвертых, только половина полного
рассеяния обусловлена отражением и преломлением на шаре.
Другая половина вызывается дифракцией на шаре и образует
дифракционную картину Фраунгофера.
Выделение этих двух частей (полного рассеяния. — Ред.) на
основании принципа Гюйгенса обсуждалось в разд. 8.1.
В разд. 12.32 оно получено из решений Ми для шаров. Основные
пункты этого выделения можно сформулировать следующим об-
образом. Диаграмма, соответствующая геометрической оптике, до-
довольно широка и имеет не слишком большую интенсивность; она
образуется в результате отражения и преломления лучей, па-
падающих на шар. Дифракционная картина ограничена малыми
углами, рассеянный свет имеет большую интенсивность и скон-
сконцентрирован около направления вперед; дифракция возникает
из-за неполноты волнового фронта, проходящего через шар. Пол-
Полная энергия излучения в обеих картинах (для шаров без погло-
поглощения) равна энергии, приходящейся на геометрическое попе-
поперечное сечение па2.
234
12. СФЕРИЧЕСКИЕ ЧАСТИЦЫ ОЧЕНЬ БОЛЬШИХ РАЗМЕРОВ
Включение дифракционной картины в полную диаграмму
рассеяния не является произвольным. Начиная с релеевского
рассеяния, где такое разделение невозможно, при увеличении
размера частиц мы не встречаем определенного размера, при ко-
котором это разделение делается возможным. В принципе оно
всегда остается нечетким. Теория Ми описывает точную картину
одновременного действия обоих эффектов.
Рассмотрим теперь подробнее, что происходит с лучами, па-
падающими на шар. Из той части волны, которая падает на шар,
мы можем выделить узкий пучок, ширина которого значительно
2
Рис. 37. Распространение светового
луча внутри шара согласно геометри-
геометрической оптике.
больше X, но все еще мала по сравнению с радиусом шара а. Та-
Такой пучок называется «лучом», как это принято в геометрической
оптике. Пример дан на рис. 37. Когда этот луч падает на поверх-
поверхность, он дает отраженный и преломленный лучи. Направление
преломленного луча определяется законом Снелля, а интенсив-
интенсивность и фаза обоих лучей — коэффициентами Френеля, которые
будут приведены в следующем разделе. Подобное же разделение
на преломленный и отраженный лучи происходит, когда прелом-
преломленный луч снова достигает поверхности: часть его преломляется
и выходит из шара, тогда как другая часть испытывает внутрен-
внутреннее отражение. Так продолжается до бесконечности. В резуль-
результате вся энергия падающего луча определенным образом распре-
распределяется среди выходящих лучей (или частично поглощается
при прохождении внутри шара). Это распределение можно рас-
рассчитать. Если такой расчет провести для всех лучей, падающих
на шар, и результаты сложить, мы получим диаграмму рассея-
рассеяния, соответствующую законам геометрической оптики. Этот
12.1. ОБЩИЙ ОБЗОР 235
расчет дается в разд. 12.2. Поскольку все выходящие лучи
когерентны, то все лучи, наблюдаемые в одном направлении,
интерферируют между собой. Этот эффект будет включаться
нами в диаграмму, определяемую геометрической оптикой.
Эта простая схема распространения луча имеет одно исклю-
исключение: интенсивность на фокальной линии (или в фокусе) и
вблизи от нее не дается законами геометрической оптики. Дей-
Действительно, на фокальной линии законы геометрической оптики
дают бесконечную интенсивность, так что мы можем просто ска-
сказать, что эти законы неправильны всегда, когда в результате
будут получаться бесконечности (или очень большие величины).
Причина, по которой законы геометрической оптики не выполня-
выполняются на фокальной линии, была выяснена в разд. 3.22. Большая
интенсивность вблизи фокальной линии означает, что следует
учитывать настолько широкую область волнового фронта падаю-
падающей волны, что волновой фронт в этой области недостаточно
характеризовать двумя радиусами кривизны. Более того, может
оказаться существенной и разность амплитуд в пределах этой
области.
Шары, на которые падает плоская волна, определяют две
системы фокальных линий:
I. Любая точка пересечения двух соседних лучей в меридиа-
нальном сечении есть точка фокальной кривой. Вся фокальная
кривая представляет собой окружность, описанную вокруг оси
и лежащую в плоскости, перпендикулярной оси.
II. Любая точка пересечения оси с лучом есть точка фокаль-
фокальной линии, так как соответствующие лучи в других меридианаль-
пых сечениях имеют ту же точку пересечения с осью. Полной
фокальной линией является вся ось, как перед шаром, так и за
ним.
Все точки вблизи этих кривых и прямой, лежащие как внутри,
так и вне шара, являются точками, где интенсивность очень
велика и не может быть рассчитана на основании геометрической
оптики. Поскольку главной целью этой книги является опреде-
определение поля рассеянной волны на очень большом расстоянии от
частицы, мы должны найти фокальные линии на бесконечности,
т. е. выходящие пучки с волновым фронтом, имеющим в некото-
некоторой точке бесконечный радиус кривизны. Из таких соображений
можно объяснить два явления из числа наиболее тонких природ-
природных явлений рассеяния. Соответственно двум системам I и II
для конечных расстояний мы имеем:
I. Выходящие пучки, имеющие волновой фронт с точкой пере-
перегиба. Этими пучками определяются радуги.
II. Выходящие пучки, параллельные оси, но не совпадающие
с ней. Этими пучками определяется часть диаграммы рассеяния
236 '2. СФЕРИЧЕСКИЕ ЧАСТИЦЫ ОЧЕНЬ БОЛЬШИХ РАЗМЕРОВ
вблизи углов 8 = 0 и 180°. Вблизи 8=0 интенсивная дифракция
Фраунгофера преобладает над всеми другими эффектами.
Вблизи 6 = 180° только что описанные пучки порождают глорию.
Вопрос об использовании геометрической оптики для нахож-
нахождения рассеяния при больших х можно теперь резюмировать
следующим образом. За исключением особых углов ', расчеты
распространения луча и интенсивности, основанные на законах
геометрической оптики, дают правильную диаграмму рассеяния
(разд. 12.2 и 12.3).
Особые области вблизи фокальных линий или фокусов до-
допускают простое толкование с помощью принципа Гюйгенса —
Френеля. Волновой фронт вдали от фокальной линии, амплитуду
и фазу которого можно рассчитать методами лучевой оптики,
рассматривается как заданный фронт. Этого метода вполне до-
достаточно для очень больших шаров; он дает точные выражения
для диаграммы рассеяния, включая особые углы (разд. 13.2
и 13.3).
С другой стороны, мы имеем формулы Ми. Они дают точные
диаграммы рассеяния для шаров любого размера, включая те,
для которых параметр х=2па!к является очень большим. К этим
формулам можно обращаться всякий раз, когда возникает сом-
сомнение в применимости приближения лучевой оптики. Таким об-
образом, наша задача сводится к четырем пунктам.
1. Показать, что формулы Ми асимптотически при х->-оо
приводят к принципу локализации лучей и фундаментальному
разделению на дифрагированный, преломленный и отраженный
свет.
2. Доказать, что лучи, падающие на шар, дают диаграмму,
тождественную по интенсивности и фазе диаграмме, полученной
на основании геометрической оптики.
3. Оценить размер частицы, т. е. значение х, выше которого
эти асимптотические формулы дают достаточное приближение.
Одни особенности асимптотической диаграммы проявятся для
гораздо меньших значений х, чем другие; получаются значения
от х=3 (для изотропного рассеяния полностью отражающими
шарами, рис. 29) до х=5000 (для радуги, рис. 47). Было бы не-
неразумно искать радугу в результатах строгих расчетов для
лг=301
4. Выяснить, существуют ли какие-либо иные методы, помимо
полного численного расчета по формулам Ми, с помощью кото-
1 Математически радуги имеют место внутри произвольно малого угла
М под любым углом 6. Однако большинство из них обусловлено очень боль-
большим числом внутренних отражений и имеет пренебрежимо малую интенсив-
интенсивность. Практически наблюдаются только радуги с р—2 (одно внутреннее отра-
отражение) и с р=3 (два внутренних отражения).
12.2. ИНТЕНСИВНОСТЬ И ФАЗА, ОПРЕДЕЛЯЕМЫЕ ЗАКОНАМИ ОПТИКИ 237
рых можно получить довольно точные результаты для значений
х ниже этих пределов. Эта задача является особенно важной и
в то же время особенно трудной для 8 = 0 и включает проблему
нахождения соответствующей формулы ослабления.
12.2. Интенсивность и фаза,
определяемые законами геометрической оптики
В этом разделе наша цель состоит в получении диаграммы
рассеяния для очень больших шаров на основании законов луче-
лучевой оптики с правильным учетом фаз. В разд. 12.3 мы получим
те же асимптотические формулы из решения Ми. Обоими путями
мы получим комплексные амплитуды Si F) и S2 (9),определение
которых дано в разд. 4.42. Индекс / относится к падающему и
рассеянному свету с электрическими колебаниями, перпендику-
перпендикулярными плоскости рассеяния. Индекс 2 относится к электриче-
электрическим колебаниям в этой плоскости. Эти случаи рассматриваются
отдельно.
12.21. Интенсивность
Пусть шар имеет вещественный показатель преломления т.
На рис. 37 (стр. 234) свет падает снизу. Место падения какого-
либо луча характеризуется азимутальным углом ф и расстоянием
его от оси. Последнее записывается в виде a cost, где а — радиус
шара и т — угол между падающим лучом и поверхностью; т=90°
означает нормальное падение, а т=0 — касательное падение. Вы-
Выбор этого угла, а не дополнительного по отношению к нему угла
сделан впервые Дебаем; это несколько упрощает формулы.
Конечный пучок света характеризуется величинами dqp и их.
Пусть свет в этом пучке плоско поляризован в одном из двух
главных направлений, и пусть /0 обозначает его интенсивность.
Поток энергии в этом пучке будет
/о<22 cos т sin т dxd(f.
Эта энергия распределяется путем последовательного отра-
отражения или преломления между отдельными лучами, обозначае-
обозначаемыми индексами р = 0, 1, 2 и т. д., как это показано на рис. 37.
Угол %' между поверхностью и направлением луча внутри шара
дается законом Снелля
cos 1' = —^- cos т;
все выходящие лучи образуют с поверхностью угол т.
Коэффициенты отражения Френеля имеют вид
sinQr-t') _ tg(t-t')
238 12- СФЕРИЧЕСКИЕ ЧАСТИЦЫ ОЧЕНЬ БОЛЬШИХ РАЗМЕРОВ
Чаще ими пользуются в виде
sin т— msinx' m sin т — sint'
1 sinx-j-Trasinx' ' 2 тга sin т-)-sin x' '
к которому их можно привести с помощыо-закона Снелля.
Эти коэффициенты выражают ртношение амплитуды отра-
отраженной волны к амплитуде падающей, если плоская волна, ли-
линейно поляризованная в одном из двух главных направлений,
падает из вакуума на плоскую поверхность среды с показателем
преломления т.
Доли отраженной энергии будут п2 и г22. Такая же доля от-
отражается при внутреннем отражении, но знаки г\ и г2 изменя-
изменяются на обратные. Доли преломленной энергии будут 1—Г\2 и
1—г22 как при первом преломлении, так и при выходе из ча'стицы.
Таким образом, полная энергия падающего пучка с поляриза-
поляризацией в направлении / делится на части Г]2 для луча с р = 0,
A—Г]2J для луча с р=1, Т\2 A—Г!2J для луча с р=2 и т. д. Мы
обозначим эти части через ei2 и положим по определению
ei = г± для р = О,
в! = A — Г!2) ( - п)р-1 для р = 1, 2, 3
То же определение с индексом 2 используется для другого на-
направления поляризации.
Пучок света, наблюдаемый в одном из этих двух направлений,
характеризуется малым интервалом dQ около угла рассеяния 8.
Из рис. 37 мы можем заключить, что полное отклонение от пер-
первоначального направления дается выражением
8' = 2т — 2рт',
которое определяет угол рассеяния в интервале @, л) с по-
помощью формулы
8' = k • 2я + qQ,
где k — целое число, a q= + 1 или —1. Дифференцирование с уче-
учетом закона Снелля даег
dx * tgt' >
откуда
rfx
Выходящий луч сосредоточен в телесном угле sin 8d8dqp, т. е.
на большом расстоянии г от шара падает на площадь
12.2. ИНТЕНСИВНОСТЬ И ФАЗА, ОПРЕДЕЛЯЕМЫЕ ЗАКОНАМИ ОПТИКИ 239
г2 sin QdQdy. Деля выходящий поток на эту площадь, мы полу-
получаем интенсивность
е2/qu2 cost Sin td-zdo Д2
где
г-. sin t cost
. sinfl -^
I и1
и подобным же образом для h (p, т). Иногда D называют расхо-
расходимостью.
Чтобы учесть малый коэффициент поглощения y вещества
шара, следует добавить некоторый множитель. Так как полная
длина пути в шаре равна 2pasinT', дополнительный множитель
будет e-2^aslnx'
Амплитуду и фазу рассеянного света можно выразить через
«амплитудные функции» 5i(9) и 52(8), определенные в разд. 4.42
и применяемые повсюду в этой книге. Только что полученные
интенсивности дают лишь квадраты модулей
/i@)=|Si@)|2 и h (9) = I 52 F)!2.
Сравнение с формулами разделов 4.42 и 9.4 показывает, что
ii F) = x?zi2D, h (9) = x4?D.
Для очень больших капель, рассматриваемых в этой главе,
оказывается удобным также другое понятие, а именно коэффи-
коэффициент усиления по отношению к изотропному рассеивателю. Этот
коэффициент усиления определяется как отношение интенсив-
интенсивности рассеянного света к интенсивности, которая наблюдалась
бы в любом направлении, если бы капля рассеивала всю падаю-
падающую энергию изотропно.
Коэффициент усиления, усредненный по всему телесному
углу 4л, равен 1:
Изотропное рассеяние означало бы распределение излучения
a- по поверхности шара 4лг2. Таким образом,
и из сравнения с приведенными выше формулами находим
q — 4'! — 4а2 П О -^3- — 4е2 D
240 12- СФЕРИЧЕСКИЕ ЧАСТИЦЫ ОЧЕНЬ БОЛЬШИХ РАЗМЕРОВ
Для естественного падающего света коэффициент усиления
есть среднее (подробности см. в разд. 4.42):
0(°
Таким образом, мы выполнили расчет для отдельного луча,
характеризуемого величинами (т, р). Под одним и тем же углом
выходит множество таких лучей. Обычный прием состоит в сло-
сложении их интенсивностей
или подобным же образом в получении сумм ii и «2 или G\ и Gz.
Можно отметить, что одно значение р может дать 0, 1 или больше
слагаемых в этих суммах в соответствии с различными углами
падения т, которые дают один и тот же угол рассеяния.
12.22. Фаза
Сложение интенсивностей отдельных выходящих лучей не
вполне корректно. Все лучи возникают из одной и той же па-
цающей волны и являются когерентными по фазе, так что
должны складываться их комплексные амплитуды, и истинной
интенсивностью будет квадрат модуля суммарной амплитуды.
Если фазовые эффекты исчезают при усреднении, что может
быть обусловлено малыми отличиями в размерах, то результат
усреднения сводится действительно к простому сложению интен-
интенсивностей. Если фазовые эффекты не исчезают при усреднении,
то оптическая интерференция между различными выходящими
лучами вызывает появление многочисленных максимумов и ми-
минимумов на диаграмме рассеяния с углами между максимумами
порядка 180°/jc«s30°^/a. Строгие формулы Ми определяют эти
максимумы и минимумы точно и полностью. Рассчитаем теперь
фазы на основании лучевой оптики.
Напишем _ _
S1(B)=Viiehl и 52@) = у/а^.
Нужно найти фазы а\ и сг2- Как определено в разд. 4.1, <Xi и сг2
равны я/2 плюс опережение по фазе реального луча по отноше-
отношению к гипотетическому лучу, рассеянному без потери фазы
в центре шара. Эта фаза определяется тремя физическими эф-
эффектами.
/. Изменение фазы при отражении. По определению, фаза
волны, меняющей свое направление при отражении или прелом-
преломлении, относится к составляющей, перпендикулярной обоим на-
направлениям, т. е. к Е — при поляризации в направлении / и
к Н — при поляризации в направлении 2. Оказывается, что пре-
преломление не изменяет фазу, но отражение может изменить знак
12.2. ИНТЕНСИВНОСТЬ И ФАЗА, ОПРЕДЕЛЯЕМЫЕ ЗАКОНАМИ ОПТИКИ 241
амплитуды и, следовательно, ввести сдвиг фазы я. Это выра-
выражается коэффициентами Френеля (разд. 12.21). Например, пер-
перпендикулярное падение дает
1-го т~ 1
' 1 + т ' ^
оба выражения означают, что при внешнем отражении
Е меняет знак на обратный, а знак Н сохраняется. При угле,
большем угла Брюстера, для которого г2 = 0, оба коэффициента
отрицательны; для скользящего отражения они приближаются
к —1. При внутреннем отражении знаки противоположны. Все
эти возможные изменения знака были уже учтены при определе-
определении множителей ei и ег.
2. Фаза, определяемая длиной оптического пути. Отраженный
луч (р=0) имеет более короткий путь, чем луч, по отношению
к которому отсчитывается фаза; это дает положительный сдвиг
фазы. Преломленные лучи (р=1, 2, 3...) имеют более длинный
путь и, следовательно, отрицательный сдвиг фазы. Простые гео-
геометрические соображения совместно с тем обстоятельством, что
длина пути внутри шара должна умножаться на 2я/иД вместо
2яД, приводят к выражению
б = 2х (sin т — p/nsinT.'),
которое должно входить слагаемым в сг. В качестве проверки
дифференцированием находим формулу
dd=xcosrdQ'.
Можно показать, что этим выражается условие того, что выходя-
выходящие лучи имеют перпендикулярный волновой фронт.
3. Сдвиги фазы, определяемые фокальными линиями. При
прохождении через любую фокальную линию фаза опережается
на я/2 (разд. 3.21); таким образом, мы должны сосчитать число
фокальных линий, находящихся вдоль всего пути луча. Оказы-
Оказывается, что лучи проходят через
p-±-(\-s)
фокальных линий типа I, описанного в разд. 12.1, и через
- 2k + 4 A - q)
фокальных линий типа II. Эти выражения справедливы для
любого пучка, характеризуемого (р, т). Определение целых чи-
чисел р, k, q дано выше, а е обозначает +1 или —1 в соответствии
16 Заказ № 374
242 12. СФЕРИЧЕСКИЕ ЧАСТИЦЫ ОЧЕНЬ БОЛЬШИХ РАЗМЕРОВ
со знаком dQ'/dx. Полный сдвиг фазы, появляющийся из-за фо-
фокальных линий,равен
Полная фаза. Объединяя сдвиги фаз, обусловленные этими
тремя эффектами, получаем
или
о2) = ~-\- (фаза et или е2) + 8 -\- ~ (р — 2k -\-
с этой фазой полная амплитудная функция принимает вид
и аналогично для S2 F).
12.3. Интенсивность и фаза, даваемые формулами Ми
Теперь мы снова будем исходить из строгих выражений для
Si (8) и S2 F), полученных в разд. 9.31.
Нашей целью является вывод той же окончательной фор-
формулы, что и полученная в предыдущем разделе. Достаточно дать
формальное решение, основанное на асимптотических разложе-
разложениях бесселевых функций и сферических гармоник при больших
х и п. Однако полезно также показать физический смысл каж-
каждого этапа этого решения. Наше доказательство будет матема-
математически неполным; отбрасывание некоторых членов будет обос-
обосновываться физическими соображениями, хотя его следовало бы
доказать рассмотрением асимптотических разложений. Для озна-
ознакомления с этими доказательствами рекомендуем читателю
обратиться к оригинальным статьям.
12.31. Принцип локализации
Результаты Ми представляют собой ряды с фиксированным х,
в которых п — целое число, изменяющееся от 1 до оо. Практиче-
Практические численные расчеты показывают, что фазовые углы ап и
рп велики при п<Х резко уменьшаются при п, близких к х, и
становятся фактически равными нулю, когда п превосходит х
на 2 или на 3. Это подтверждается асимптотическими выраже-
выражениями. Члены порядка п получаются из бесселевых функций по-
порядка п+ -ту. Эти функции имеют весьма различные асимптоти-
асимптотические выражения в зависимости от того, будет ли я+-о~ меньше
12.3. ИНТЕНСИВНОСТЬ И ФАЗА, ДАВАЕМЫЕ ФОРМУЛАМИ МИ 243
или больше х. При пЛ—к- <^х они имеют характер осциллирую-
осциллирующих функций, тогда как при п+-^- >х их основное свойство со-
состоит в экспоненциальном убывании с возрастанием п — х.
Такое поведение можно разъяснить с помощью принципа ло-
локализации, согласно которому член порядка п соответствует
лучу, проходящему па расстоянии (я+-g-) А/2я от начала коор-
координат. При п+-^-=х это расстояние в точности равно радиусу
шара; члены с n+-iy <^x соответствуют лучам, падающим на
шар, тогда как другие члены, стремящиеся к нулю, соответствуют
лучам, проходящим мимо шара.
Принцип локализации входит в неявном виде в асимптоти-
асимптотические формулы Дебая, полученные в 1908 г., потому что, как мы
увидим ниже, члены с определенным значением п дают асимпто-
асимптотические выражения, содержащие коэффициенты отражения
Френеля для определенного угла падения. Понятно, что сам Де-
бай не останавливается на объяснении этого соответствия между
слагаемыми и более или менее локализованными лучами. Од-
Однако после развития квантовой механики такой подход стал
очень заманчивым, так как он показывает полную аналогию
с эффектами, известными в квантовой механике. Волновое урав-
уравнение для электрона, сталкивающегося с центром возмущения, —
это уравнение Шредингера. Решение имеет вид ряда с целыми
значениями квантового числа момента количества движения /.
Длина волны де Бройля равна X=h/mv, где т — масса, v — ско-
скорость и h — постоянная Планка. Если считать, что электрон ло-
локализован и проходит на расстоянии d от центра, то момент
количества движения Ihj2n должен быть равен mvd. Это дает
d=lX/2a. В действительности точной локализации не наблю-
наблюдается, но среднее значение d равно A + -^-) к/2л. Смысл этой
формулы не совсем ясен, так же как не вполне ясны все модели,
в которых электроны рассматриваются как локализованные. Од-
Однако эта формула удобна для практических расчетов. В равной
степени принцип локализации отдельных слагаемых в формулах
Ми является не строгим законом, а скорее вспомогательным
принципом.
12.32. Дифракционная часть
Каждый коэффициент Ми
16*
244 12. СФЕРИЧЕСКИЕ ЧАСТИЦЫ ОЧЕНЬ БОЛЬШИХ РАЗМЕРОВ
состоит из двух слагаемых: одно из них не зависит от природы
частицы, а другое зависит от нее. Это подразделение соответ-
соответствует разделению диаграммы рассеяния, объясненному
н разд. 8.1 и 12.1. Первое слагаемое, выражаемое единицей, дает
дифракционную картину Фраунгофера, а слагаемое е~21ап или
0-2гр„ —рассеяние при отражении и преломлении. Это разде-
разделение полезно только при больших ап и р„, и потому его следует
делать только для членов с л + -у<Х что соответствует лучам,
падающим на шар '.
Картина дифракции Фраунгофера получается следующим
образом. При фиксированном
и при п-> со асимптотические формулы для сферических гармо-
гармоник будут
ъп (COS 6) = -у Л (Л -И) { Л («) + Л(«) },
х„ (COS б) = -у « (« + 1) { Л (и) — Л (а) }•
Полагая
1-у ДЛЯ П-\- у <Л,
1
О для п + у > л,
находим
где суммирование должно проводиться от п=\ до некоторого це-
целого числа, близкого к х. Сумму можно заменить интегралом, и
в результате получим
Этот результат совпадает с результатом разд. 8.31, за исключе-
исключением разницы в аргументах х sin 0 и xQ. Это дает различе в выс-
высших порядках по 0, которым мы пренебрегаем.
1 Если углы ап и р„ малы даже для этих членов, мы находимся в обла-
области рассеяния Релея—Ганса; в таком случае разделение не имеет смысла,
и никаких следов дифракции Фраунгофера не остается.
12.3. ИНТЕНСИВНОСТЬ И ФАЗА, ДАВАЕМЫЕ ФОРМУЛАМИ МИ
245
12.33. Отраженный и преломленный свет
Для второго слагаемого в коэффициентах Ми нужны более
длинные преобразования. Опять следует рассматривать только
члены с п+~2-<х Определим х и g выражениями
п + -§" — х cos х,
?" = Л Sin х.
Рис. 38 показывает смысл этих вели-
величин на основании принципа лока-
локализации. Все длины выражены в
единицах Я/2я. Угол т, принимае-
принимаемый здесь за новую переменную
в формулах Ми, совпадает с уг-
углом падения, определенным в
разд. 12.21. Таким же способом
мы определяем угол х' соотноше-
соотношением
п + -?- = х' cos х',
где х'=тх. Мы предполагаем, что
т вещественно. Это определение
т' совпадает с определением угла
преломления на основании закона
Снелля.
ЛГ-Л-5-
Рис. 38. Луч и угол падения т„
" „ , _ определяемые согласно принци-
Для больших х формула Ватсона п/ локализации членом я-го
дает
порядка.
1 (X) -
g
где
и ф = g — z — (п + -y) ".
Ограничимся сейчас случаем z^$>l. В силу этого' предположе-
предположения мы исключаем члены, для которых g оказывается по-
порядка x'h , а х— п —я порядка х'Ь и меньше. Это означает,
что мы исключаем лучи с почти касательным падением. При
аг=1ООО из рассмотрения выпадает тем самым только 2% падаю-
246 12. СФЕРИЧЕСКИЕ ЧАСТИЦЫ ОЧЕНЬ БОЛЬШИХ РАЗМЕРОВ
щего излучения, а при х->ооэту краевую область можно опу-
опустить точно так же, как мы уже опустили члены, соответствующие
лучам за краем. Дальнейшее рассмотрение этих краевых чле-
членов дается в разд. 17.2.
При z^>l формула Ватсона принимает вид
где
d(fx)
/ = Sinx — 'COS i, ^
Соответствующая формула с аргументом х' содержит величину
/' = sin х' — х' cos x'.
Отделяя вещественную и мнимую части и опуская множитель
l/2/лх, в обозначениях разд. 9.22 имеем
(х) = -ll[Ystore) ¦ х'п (х) = cos (xf - ч/4),
¦ ф; (х) = sin {xf - я/4)
и соответствующие формулы с x',f, %'. Подстановка этих функ-
функций в формулу разд. 10.21 для ап после некоторых преобразо-
преобразований дает
= sin(xf-x'f') -
ваний дает
где Г2 — коэффициент отражения Френеля, определенный в разд.
12.21; та же формула с Г\ дает tg pn. После дальнейших преобра-
преобразований .получаем
- 2«„ 21 (xf -х'Г) 1 _ ir
р л
~ l
и аналогично для рп с коэффициентом г\.
Узлы, где ап = рп, исследовались для непоглощающих шаров
произвольного размера в разд. 10.22. Они все еще существуют
в асимптотическом случае. Если
x'f = Ы± те/4,
где / — целое число, дробь в только что полученной формуле
равна 1, и мы находим
ал = К = 1~ ± "Г - Xf-
12.3. ИНТЕНСИВНОСТЬ И ФАЗА, ДАВАЕМЫЕ ФОРМУЛАМИ МИ 247
Верхний знак соответствует узлам второго рода, нижний знак —
первого. Вблизи центрального падения (п<х, т ~ я/2) мы
имеем/=/' = 1, так что в узлах
Дробь в асимптотической формуле можно представить в виде
геометрической прогрессии плюс дополнительный член. Обозначив
мы можем выполнить разложение следующим образом:
Заменяя снова г% на г\, мы находим выражение для рп-
В этих разложениях появляются коэффициенты ei и Ег, опреде-
определенные в предыдущем разделе. Очевидно, отдельные члены соот-
соответствуют отдельным лучам с р = 0, 1, 2 и т. д., рассмотренным
там же.
Для сферических гармоник также следует подставить асимп-
асимптотические формулы. При фиксированном 0 и «->ооимеем
При любом большом п этих формул оказывается недоста-
недостаточно в области, близкой к направлению вперед @ = 0) и к на-
направлению назад @—я). Вблизи направления вперед они допол-
дополняются асимптотическими формулами, использовавшимися
в разд. 12.32. Аналогичные формулы для направления назад при-
применяются в разд. 13.32. Более точно только что полученные
формулы справедливы при sin0^§>—, а применявшиеся прежде
имеют место при 0 <С 1. Эти формулы перекрываются в обла-
области, где
4
За исключением углов, соответствующих направлениям, близким
к направлению вперед и к направлению назад, мы находим, что
порядок величны т„ в nsin0 раз больше, чем я„; поэтому
величиной лп можно пренебречь и достаточно удержать
только хп.
Этим разрешается один важный вопрос. Формула для Si (9),
полученная на основании геометрической оптики (разд. 12.22),
содержит гъ тогда как 52@) содержит только г2. Формулы Ми
248 12. СФЕРИЧЕСКИЕ ЧАСТИЦЫ ОЧЕНЬ БОЛЬШИХ РАЗМЕРОВ
для Si и 52 содержат как ап, так и Ъп и, следовательно, одно-
одновременно г\ и г2. Теперь видно, что этот парадокс разрешается
тем, что множитель, содержащий «другой» коэффициент отраже-
отражения, умножается на пп, пренебрежимо малое по сравнению с т,.
при условиях, обычных для очень больших шаров. В особой об-
области углов вблизи 9 = 0 или 180° Наличие «другого» коэффи-
коэффициента можно объяснить на основании принципа Гюйгенса, что
будет показано в разд. 13.31.
Конечный этап состоит в суммировании, которое дает Si (9)
и S2 F). Имеем
22
р л-1
Запишем косинус в виде
Q
где q — —1 и +1. Тогда, используя очевидные подстановки, по-
получаем
р q л = 1
где
Ga = (p + \)^- + 2(xf- px'f) -f
Мы вычислим эту сумму по методу «стационарной фазы».
Идея, лежащая в его основе, состоит в том, что комплексные
члены почти полностью компенсируют друг друга, если только
несколько членов не будут иметь примерно равную фазу. Следо-
Следовательно, рассматривая х, 9, р и q как фиксированные величины,
мы пытаемся найти значение п, ближе других удовлетворяющее
соотношению
Gn—Gn-l-\-k-2n = 0 (k—целое число).
Заменяя разность производной и преобразуя ее с помощью
соотношений
d __ J_ d _ 1 d
dn x d cos x x sin т dz '
находим, что это условие имеет вид
2*=0, A)
12.3: ИНТЕНСИВНОСТЬ И ФАЗА, ДАВАЕМЫЕ ФОРМУЛАМИ МИ 249
что соответствует уравнению луча в геометрической оптике. Ин-
Интенсивность этого луча получается суммированием членов, близ-
близких к значению п, для которого выполняется это условие.
Si@) не меняется при замене Gn на #п = (?п+2яп&. В этом
случае стационарная фаза имеет место, когда dHn/dn — 0. Пусть
«о — корень этого уравнения, который не обязательно должен
быть целым числом. Теперь мы убедились в возможности замены
суммы интегралом. Так как вклад в этот интеграл дают только
значения, близкие к п0, то все множители, за исключением экспо-
экспоненциальных, являются почти постоянными. Остающийся ин-
интеграл от экспоненты является во втором приближении интегра-
интегралом Френеля. Если он распространен на область от —оо до
+ оо и если s обозначает ±1, он равен
Опуская индекс 0 и дифференцируя левую часть уравнения A)
по п, находим, что
Н" = 1 —
"о , х sin х dz '
Это выражение показывает, что s имеет знак dQ'/dx и что в тео-
теории радуги требуется приближение более высокого порядка, до-
ходящее до Н„'".
Теперь можно объединить амплитуды, но для фазы требуется
еще одно преобразование. Умножая уравнение A) на
П Ц- -тр = X COS т = X' COS х'
и вычитая произведение из Нп, получаем
Конечный результат получается отбрасыванием знака сум-
суммирования:
5Х (б) = х<
8infl
что совпадает с результатом, полученным в разд. 12.22. Следует
отметить, что этот результат справедлив только для одной кон-
конкретной системы целых чисел р, q, s и k. Чтобы получить полную
амплитудную функцию, следует сложить результаты, соответст-
250 12- СФЕРИЧЕСКИЕ ЧАСТИЦЫ ОЧЕНЬ БОЛЬШИХ РАЗМЕРОВ
вующие всем возможным системам этих целых чисел, т. е. всем
возможным лучам, выходящим в направлении 0.
Стоит посмотреть, каким образом все параметры, которые
должны были вводиться в предшествующем разделе (разд. 12.22),
последовательно появляются в формальном выводе этого раз-
раздела. Ограничения, введенные в предшествующих разделах из
очевидных физических соображений, в этом разделе оказались
необходимыми из математических соображений.
12.34. Область применимости выведенных формул;
возможные обобщения
Каков минимальный размер, при котором только что получен-
полученные асимптотические формулы дают хорошее приближение к ре-
реальной амплитудной функции? Для этого требуется выполнение
двух важных условий: 1) возможность опустить высшие члены
в разложении Нп в ряд Тэйлора и 2) допустимость замены
остальных множителей на постоянные. Число членов, дающих
эффективный вклад в сумму, имеет порядок
Ап =
/2iu:sin-
Углы и коэффициенты отражения в этом интервале можно рас-
рассматривать как почти постоянные, если соответствующая область
изменения х мала, скажем, меньше 0,1 рад. Это дает
xsinx М'
Таким образом, вообще говоря, достаточное приближение
к асимптотической картине будет получаться примерно при
х = 10—20, т. е. для диаметров, превышающих длину волны
в 3—6 раз. Меньшие значения х, например х = 3 или 5, доста-
достаточны в благоприятном случае изотропного рассеяния, имеющем
место при m = оо (рис. 29, разд. 10.62). Однако для лучей, па-
падающих близко к краю (почти касательное падение), и для лу-
лучей, падающих под углами, близкими к углам радуг, требуются
значительно большие значения х. Это будет показано подробнее
для случая радуги в разд. 13.24.
Сходный результат можно получить из рассмотрения зон
Френеля, аналогичного тому, которое было выполнено в разд. 3.21.
Малую эллиптическую площадку, перпендикулярную падающему
пучку, можно принять за эффективную площадь, посылающую
рассеянный свет вдоль любого заданного луча в заданном на-
12.3. ИНТЕНСИВНОСТЬ И ФАЗА, ДАВАЕМЫЕ ФОРМУЛАМИ МИ 251
правлении. Центр этой площадки соответствует геометрическому
лучу. Ее ось в радиальном направлении имеет длину ^ Ая,
а ее ось в азимутальном направлении приблизительно равна
X -1 Г л: cost
sin 6 '
Для того чтобы избежать эффектов кросс-поляризации, допу-
допустим, что эта ось меньше xk радиуса шара, т. е.
——-—"> 25.
COST ^
Эффекты кросс-поляризации выражаются строго членами
с JTn(cos0), которыми мы пренебрегли (ср. разд. 13.32).
Подводя итог,-можно сказать, что приближение лучевой оп-
оптики будет достаточным, если эффективная площадь мала как
в радиальном, так и в азимутальном направлениях. Она стано-
становится относительно большой в радиальном направлении при при-
приближении к углу, дающему радугу, и в азимутальном направ-
направлении при приближении к углу, определяющему глорию. При
этих особых углах приближение неприменимо ни для каких х,
как бы велики они ни были, и следует ввести члены более высо-
высоких порядков. В первом случае они дают радугу, во втором—
глорию.
12.35. О некоторых более эффективных методах
Итак, мы убедились в том, что из решения Ми способом
асимптотических разложений и методом стационарной фазы
можно получить ряд формул, тождественных формулам, давае-
даваемым лучевой оптикой. Но нельзя ли пойти дальше в этом направ-
направлении и получить формулы, являющиеся заметно более точными,
чем приближение лучевой оптики, и в то же время столь же при-
пригодными в случае частиц очень больших размеров? Поиски реше-
решения этой важной задачи были предприняты рядом авторов, в осо-
особенности Ван дер Полем и Бреммером, Юнггреном и Францем.
Исследование Ван дер Поля и Бреммера A937) было посвя-
посвящено главным образом проблеме распространения радиоволн от
вертикальной дипольной антенны вокруг шарообразной Земли.
В своей статье они дают разложения для функций, дающих по-
потенциал применительно к этой задаче, четырьмя различными
способами.
1. «Гармонический ряд» с членами целого порядка п, связан-
связанный с разложением по сферическим гармоникам и потому анало-
аналогичный решению Ми, которое лежит в основе нашего рассмот-
рассмотрения проблемы рассеяния.
252 12- СФЕРИЧЕСКИЕ ЧАСТИЦЫ ОЧЕНЬ БОЛЬШИХ РАЗМЕРОВ
2. «Ряд по вычетам» с членами целого порядка s, где
ns — это s-e (комплексное) значение п, для которого
Nn (х, у) = 0.
Здесь Nn (x, у) — знаменатель, появляющийся в п-и члене гар-
гармонического ряда, если его определение распространить на не-
нецелые комплексные значения п. Величины х = ka и у = tnka
соответствуют нашим х и у. Этот ряд по вычетам получается из
гармонического ряда с помощью преобразования, которое здесь
можно только кратко наметить. Во-первых, сумма заменяется
интегралом по контуру от той же функции с дополнительным
множителем 1/cos я/г; значения п+ „-, где п — целое, являются
полюсами функции 1/cos я/г. Затем контур заменяется эквивалент-
эквивалентным ему контуром, не охватывающим эти полюса, однако вклю-
включающим полюса первоначальной функции, т. е. нули Nn(x, у).
Эти нули являются также нулями знаменателя наших коэффи-
коэффициентов ап (разд. 9.22), если эти коэффициенты рассматривать
как функции комплексной переменной пК
3. Представление коэффициента \lcosnn в ряде по вычетам
в виде
оо
т = О
Можно показать, что целое число т соответствует числу полных
обходов волны вокруг земного шара. Для радиоволн можно пре-
пренебречь всеми членами, кроме члена с т = 0.
4. Получение коэффициентов первоначального гармонического
ряда с целым индексом К, который соответствует нашему р— 1,
т. е. числу внутренних отражений в шаре. Вывод двух начальных
членов и геометрической прогрессии совершенно аналогичен вы-
выводу разд. 12.33. Существенная разница состоит в том, что
Ван дер Поль и Бреммер преобразуют этим способом точные
коэффициенты. Коэффициенты отражения Френеля заменяются
«коэффициентами сферического отражения».
Важное значение этой работы Ван дер Поля и Бреммера
очевидно, так как во многих отношениях она идет дальше ме-
метода, впервые предложенного Дебаем и примененного нами
в разд. 12.33. Кроме того, этот метод оказался удобным для полу-
получения числовых результатов в случае радиоволн. Хотя этот ме-
1 Наша функция г|)п (х) (обозначение заимствовано у Дебая; разд. 9.22)
совпадает с используемой Юнггреном, однако Ван дер Поль и Бреммер поль-
пользуются тем же символом для jn{x)=^n(x)/x [и аналогично для ?*„' (¦*) и
12.3. ИНТЕНСИВНОСТЬ И ФАЗА, ДАВАЕМЫЕ ФОРМУЛАМИ МИ 253
тод и является в принципе более эффективным, непосредственный
вклад Ван дер Поля и Бреммера в проблему рассеяния не идет
дальше третьего приближения для формул Ми, которое после
соответствующих приближений приводит к теории Эри
(разд. 13.23).
Результаты Юнггрена A948) менее значительны, поскольку
он не дает решения реальных математических задач. Он начинает
преобразование точного решения с разделения коэффициентов
Ми на два начальных члена плюс бесконечная геометрическая
прогрессия. Это разложение аналогично разложению, только что
приведенному в п. 4, а также разложению, выполненному
в разд. 12.33. Оно должно получиться тождественным послед-
последнему, если ввести асимптотические выражения Дебая для ци-
цилиндрических функций при \n-Jf--\jx, значительно меньших 1.
В этом случае единственная разница с разд. 12.33 состоит в том,
что асимптотические выражения вводятся до разложения, а не
после него. После суммирования первый член дает дифрагиро-
дифрагированный свет, второй — свет, отраженный от шара, третий (первый
член бесконечной геометрической прогрессии) дает дважды пре-
преломленный свет и т. д., как разъяснялось в разд. 12.31 и дальше.
Затем излагается теория радуги, основанная на преобразовании
суммы в интеграл, однако результат не идет дальше приближе-
приближения Эри (разд. 13.23). Во всех этих результатах пренебрегиется
членами, соответствующими областям близ края (п, близкие к х)
и за краем (п^>х).
Вторая статья Юнггрена A949) посвящена специально рас-
расчету рассеяния вперед; делается попытка правильно учесть крае-
краевые члены. Для выполнения асимптотических разложений это
требует применения «особого ряда Дебая». Однако после много-
многочисленных преобразований и приближений оказывается, что
дважды преломленное излучение дается формулой, тождествен-
тождественной (во всяком случае для 0, близких к 0) формуле, следующей
из геометрической оптики (разд. 12.21 и 12.22), или дебаевскому
приближению для формул Ми (разд. 12.33). Юнггрен отмечает,
что метод перевала не применим в случае отраженного света.
Вместо этого он предлагает добавить числовое значение суммы
членов с (х — хц*) < п < х к аналитическому выражению суммы
членов для меньших п согласно приближению Дебая. К сожале-
сожалению, никаких числовых результатов не приводится. Здесь уместно
возразить, что члены с х < п < (х-\-х'3) также соответствуют
особой области, и можно ожидать, что их влияние окажется того
же порядка. Таким образом, проблема рассеяния вперед или
почти вперед, вызываемого скользящим отражением на краю
254 J- сферический частицы очень больших размеров
шара, остается нерешенной. Эта задача будет вновь рассмотрена
в разд. 17.26.
Последний этап работы Юнггрена заключается в сложении
эффектов дифракции, отражения и преломления >при 0 = 0 или
вблизи него и, таким образом, в нахождении теоретических кон-
контуров интенсивности для картин аномальной дифракции. Эта
задача и ее применение к определению размеров капель относи-
относительно просты; они обсуждаются в разд. 13.41.
Наиболее важным результатом мы обязаны Францу A954).
Его работа является непосредственным продолжением исследо-
исследования Ван дер Поля и Бреммера с одним существенным улучше-
улучшением. Интеграл по п, полученный с помощью строгих преобразо-
преобразований из ряда с членами, зависящими от целого индекса п, пре-
преобразуется в ряд по вычетам не сразу, а после предварительного
разделения его на две части. Одну часть оставляют в виде ин-
интеграла по п; она соответствует асимптотически для больших х
значению, получаемому из геометрической оптики. Вторая часть
преобразуется в ряд по вычетам и физически связана с поверх-
поверхностными волнами, рассматриваемыми в разд. 17.3—17.5. Пре-
Преимущество этого разделения состоит не только в том, что проще
усматривается согласие с результатами, получаемыми из гео-
геометрической оптики, но также и в том, что остающиеся ряды вы-
вычетов оказываются быстро сходящимися. Статья Франца A954)
содержит все подробности этого метода в приложении к полно-
полностью отражающим цилиндрам и шарам для акустического слу-
случая. Бекман и Франц энергично взялись за проблему оптической
дифракции на шарах и цилиндрах из произвольного вещества.
Окончательные результаты этого исследования ожидаются
с большим интересом.
12.4. Некоторые частные результаты
Формулы для больших шаров, полученные в предыдущих
разделах, просты и понятны. Однако прослеживание распростра-
распространения каждого луча с помощью коэффициентов отражения Фре-
Френеля является трудоемким. По этой причине расчеты диаграммы,
обусловленной геометрической оптикой, были выполнены только
для одного показателя преломления т = 4/з; они выполнены
почти до конца1. Эти результаты приводятся в разд. 13.12, где
также графически поясняется смысл параметров k, q, p и s
(см. рис. 41). Здесь будут даны отдельные разрозненные резуль-
результаты для других значений т.
1 Впоследствии соответствующий расчет для большого пузырька воздуха
в воде (/п=0,750) был выполнен Дж. Дейвисом (G. E. D a v i s, J. Opt. Soc.
Amer., 45, 572, 1955).
12.4. НЕКОТОРЫЕ ЧАСТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
255
О -
12.41. Распределение энергии по лучам
Числовые значения коэффициентов Френеля, рассчитанные
заново, даны на рис. 39. Способ их изображения необычен, но
удобен для интерполяции. Коэффициенты для двух различных
направлений поляризации показаны отдельно: левая половина
дает —Г\, а правая половина дает +г2, причем обе величины на-
нанесены в зависимости от sin т. Представленные таким образом
0,5
0,2
0,1
0,04
0,01 Г
О г*
0,01 |
0,04
0.1
-05- 0,2
0.5
Рис. 39. Коэффициенты отражения Френеля г\ и Гг в функции от
sin т для случая отражения от тел с показателем преломления 1,1;
1,333; 2; 4 и 10. Шкала справа (г2) дает долю отраженной энергии.
обе кривые образуют одну плавную кривую. Центральная часть
рисунка (sint= 1) соответствует падению на центр шара, т. е.
перпендикулярному падению; здесь —ri = r2=(/n—1)/(тп+1).
Края рисунка соответствуют падению на край, т. е. касательному
падению; здесь Г\ = г% = —1. Шкалы угла падения т и отражен-
отраженных долей Л]2 и г22 добавлены для удобства. Угол Брюстера, где
г2 = 0, можно найти из уравнения tgx = \[т.
Небезынтересно знать точно, какая доля падающего света
отражается от поверхности шара, какая доля преломляется шаром
0° 10° 20° 30° АО" 50°60" 90° 60°50°40° 30°
г— —г
256
12. СФЕРИЧЕСКИЕ ЧАСТИЦЫ ОЧЕНЬ БОЛЬШИХ РАЗМЕРОВ
без внутреннего отражения и т. д. В формулах эти случаи обо-
обозначаются параметрами р=0, 1,... (см. рис. 37). Искомая доля/
находится с -помощью соотношения
1
Здесь е2— упомянутая доля для узкого пучка, падающего под
углом т, a d(cos2t) пропорционально площади проекции поверх-
поверхности, на которую падает эта энергия. Интегрирование следует
проводить отдельно для каждого направления поляризации и ре-
результаты усреднить:
4
В табл. 17 даны значения/,полученные численным интегрирова-
интегрированием для трех значений т. Ошибки в числовых результатах, ве-
вероятно, меньше 0,5% (т. е. 5 единиц в таблице).
Таблица 17. Распределение энергии падающего пучка между светом,
отраженным непосредственно (р = 0). дважды преломленным (р = 1),
испытавшим однократное внутреннее отражение (р = 2) и т. д.
(в таблице даны 1000 /)
р
0
1
2
3
4
>4
/¦
102
822
62
10
2
2
т =¦ *i
А
30
946
20
2
1
1
1
/
66
884
41
6
2
1
/,
260
574
120
30
8
8
т = 2
Л
62
882
52
4
/
161
728
86
17
4
4
т " 4
Л
520
248
118
56
26
32
Л
212
632
118
28
8
2
/
366
440
118
42
17
17
1 Более точные значения даны в табл. 20 (разд. 13.11).
Возможно также аналитическое интегрирование, так как под-
подстановка новой переменной « = sinT/sin-r' приводит к интегра-
интегралам от рациональных функций. Результат интегрирования пер-
первых двух членов"для поляризации в направлении / будет:
для р = 0 /j =
для р = 1
5 (т + 1L
12.4. НЕКОТОРЫЕ ЧАСТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
257
Числовые значения, полученные на основе этих выражений,
удовлетворительно согласуются с результатами численного ин-
интегрирования; они были использованы при составлении табл. 17
и 20. Буцериус A946) дал то же выражение для р = 0, но фор-
формула для р = 1 ошибочна; его вычисление также ограничивается
случаем поляризации в направлении /. Аналитическое интегри-
интегрирование для поляризации в направлении 2 приводит к сложным
выражениям.
12.42. Значения т, меньшие 1
Вывод, данный а разд. 12.21, не распространяется на случай,
когда показатель преломления меньше 1. Этот случай имеет
место, например, при наличии пузырька воздуха в воде. Обоб-
Обобщить эту теорию на такой случай сравнительно просто. Падаю-
Падающие лучи, для которых cosT>m, испытывают полное отраже-
отражение, так как закон Снелля приводит к недопустимому значению
cost'. Таким образом, доля /падающего света, которая полно-
полностью отражается, составляет 1 — т2. Для остающейся доли мы
используем правило, состоящее в том, что (с точностью до
знака) коэффициенты Френеля остаются без изменения, если
т и т' поменять местами, а т заменить на \/т. Таким образом,
доли/для любого р получаются с помощью той же операции
интегрирования, что и выше; единственная разница состоит
в том, что cos2т заменяется на cos2t', который по закону Снелля
равен m~2cos2f. В результате относительное распределение по
различным значениям р оказывается таким же, каким оно было
для 11т, однако все значения /уменьшены в т2 раз. Табл. 18
дает окончательные значения.
Таблица 18. Распределение энергии падающего света для показателей
преломления, меньших и больших 1 (в таблице даны 1000/)
р
Полное отражение
0
1
2
3
4
>4
0
1000,
1/4
937
23
27
7
4
1
1
1/2
750
40
182
22
4
1
1
т
3/4
438
37
49-7
23
3
' 1
1
1
1000
4/3
60
884
41
6
2
1
2
161
728
86
17
4
4
4
366
440
118
42
17
17
оо
1000
17 Заказ К» 374
258
12. СФЕРИЧЕСКИЕ ЧАСТИЦЫ ОЧЕНЬ БОЛЬШИХ РАЗМЕРОВ
Угловое распределение отраженного и преломленного света
нельзя определить путем добавления какого-либо простого мно-
множителя, так как углы 0', определенные в разд. 12.21, будут дру-
другими, если т и т/ поменять местами. Единственным исключением
будет р=\, где О'=2т — 2т'. Здесь распределение интенсив-
интенсивности по углам совершенно одинаково для показателей прелом-
преломления т и 1/т, если не считать масштабного множителя т2
в интенсивностях. Это иллюстрируется рис. 40.
Прырек воздуха в воде
3
Рис. 40. Эквивалентные геометрические лучи в шарах при т, равных
4/3 и 3/4.
12.43. Значения т, близкие к 1
При т и Mm, близких к 1, весь свет имеет р = 1. Тогда для
этих двух значений показателя преломления полная диаграмма
рассеяния будет одна и та же. Это является частной иллюстра-
иллюстрацией (для случая шаров больших размеров) общего правила
о том, что диаграммы рассеяния для т — 1 +р, и /п = 1 — ц ока-
оказываются одинаковыми при ц-»-0 (ср. разд. 7.12 и 11.1).
Полная диаграмма рассеяния в этом предельном случае вы-
вычисляется следующим образом. Предположим, что т = 1 + ц, где
[о, положительно и очень мало. Коэффициенты отражения стре-
12.4. НЕКОТОРЫЕ ЧАСТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ 259
мятся к 0, а члены с р= 1 остаются и имеют ei = ег = 1. Прене-
Пренебрегая членами высших порядков по ц/sin-r, имеем
%' — Т = [A Ctg Т.
Это приближение не применимо при малых sin-r, т. е. при каса-
касательном падении, однако вклад таких лучей мал. С помощью
дальнейших подстановок имеем
_ 6' = -+- 6 = 2ц ctg х, k = 0, <7 = -l,
dx sin2x' slnt
Тогда с помощью формул разд. 12.22 получаем
Здесь т — известная функция 0; мы можем написать
sin2 х =
Окончательное распределение интенсивности находится возве-
возведением в квадрат модуля S\ и 52:
Этот результат показывает, что преломленный свет образует ле-
лепесток в направлении вперед, который тем уже, чем меньше [а.
Дальнейшее обсуждение этого случая можно найти в разд. 11.31.
12.44. Значения т, близкие к со; металлы
Совершенно иное положение имеет место, если m настолько
велико, что коэффициенты отражения для всех практических це-
целей при всех углах 1 равны
1 Имеется все же угол Брюстера, для которого г2=0, но он находится на-
настолько близко к направлению касательного падения, что этот угол оказы-
оказывается в области, где все равно имеются отклонения от геометрической оп-
оптики.
17*
260 12- СФЕРИЧЕСКИЕ ЧАСТИЦЫ ОЧЕНЬ БОЛЬШИХ РАЗМЕРОВ
В таком случае играет роль только отраженный свет (р = 0),
и в формулах разд. 12,2 мы имеем
ft = 0, q = \, s=\,
6' = 6 = 2т, dQ/dx = 2, б = 2х sin т,
так что
— Si F) = 52 @) = J- ш**™1"".
Квадраты модулей будут i\ = ii = j- л;2, и коэффициент уси-
усиления постоянен и равен единице. Это показывает, что интен-
интенсивность отраженного излучения не зависит от направления:
гладкий, полностью отражающий шар с радиусом, большим по
сравнению с длиной волны, рассеивает свет путем отражения
изотропно. Это правило выполняется как при /п—>-оо, так и при
т-)-0. Оно остается в силе также для несферических частиц
с хаотической ориентацией при условии, что они выпуклые
(разд. 8.42). Однако, кроме отраженного, мы имеем дифрагиро-
дифрагированный свет с узкой диаграммой в направлении вперед.
В этой связи можно отметить обобщение на случай металли-
металлических шаров. Все доказательства, имеющиеся в этой главе, были
основаны на предположении, что т вещественно. Нетрудно дать
обобщения на случай комплексных т. Здесь существуют две воз-
возможности.
1. Поглощение внутри шара настолько слабо, что после про-
прохождения через шар луч все же имеет измеримую интенсивность.
Ввиду того что размеры предполагаются большими, это озна-
означает, что комплексная часть т много меньше 1 (тип 3, разд. 14.1).
В таком случае это обстоятельство не оказывает влияния на
распространение луча и значение е, однако каждый луч испы-
испытывает ослабление в соответствии с расстоянием, пройденным
им внутри шара. Следовательно, единственное изменение в окон-
окончательных формулах разд. 12.2 и 12.3 состоит во введении мно-
множителя e-2^asinx' в формулы для 5, F) и 52@).
2. Другая возможность состоит в том, что поглощение доста-
достаточно велико для того, чтобы преломленный луч оказался пол-
полностью поглощенным. Это имеет место, если шар металлический.
Тогда остается только отраженный свет (р = 0), как это имеет
место для полностью отражающих шаров, однако амплитуда
и фаза отраженного света являются функциями т, т. е. 0. Они по-
получаются из формул Френеля для Г\ и г2 при комплексных зна-
значениях т. Перпендикулярное падение дает частичное отражение,
однако касательное падение всегда дает отражение с г\ = —1,
12.4. НЕКОТОРЫЕ ЧАСТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ 261
г2 = 1. Диаграмма отраженного света, следовательно, несколько
интенсивнее в направлении вперед, но не в такой сильной сте-
степени, как в случае дифрагированного света.
12.45. Рассеяние вперед
Имея в виду главным образом формулу ослабления, важно
получить формулу для 5@), включающую фазу. Она слагается
из следующих членов:
I. Дифракция
-^х2 (разд. 8.31, 11.21, 12.32).
II. Скользящее отражение
2~ ix (разд. 12.44 при г1 = г2 = — 1).
Однако эта формула неточна, поскольку в данном случае фор-
формулы лучевой оптики неприменимы. См. разд. 17.24—17.26, где
даны улучшенные формулы.
III. Почти центральные лучи; здесь
г - г - 1~т
Г1 — ' Г2 — 1 + Я1 '
Пусть т = 90° — у. т' = 90° — у'. гДе У и У' очень малы. Тогда
откуда
k = ^-A —р), q имеет знак величины (—1 + р/т), s = —q,
1
D =
~1+ m\
При p = 1 (внутреннего отражения нет) и т > 1 это дает член
в 5@), равный
_ v 2m2 2/.v {т -
(ml)(m2l) W
который при т-*-1 обращается в
(разд. 11.32). При р = 3 (два внутренних отражения) и т<3
имеем
i ХГ2 (I __ Г2\ 1 ie-я* от - и
\т )
262 12. СФЕРИЧЕСКИЕ ЧАСТИЦЫ ОЧЕНЬ БОЛЬШИХ РАЗМЕРОВ
IV. Наконец, некоторый вклад в направление 9 = 0 могут да-
давать лучи, падающие под наклонными углами, что требует по
крайней мере двух внутренних отражений, т. е. р = 3. Это — эф-
эффекты, подобные образованию глории (ср. разд. 13.31), не имею-
имеющие большого значения.
12.5. Лучевое давление
Наконец, можно рассмотреть лучевое давление, действующее
на большой диэлектрический шар. Теория разд. 2.3 показывает,
что для расчета лучевого давления нужно знать среднее значе-
значение cos 0.
Для больших шаров мы можем отделить эффекты геометри-
геометрической оптики (отражение и преломление) от дифракционных
эффектов. Факторы эффективности (сечение /яа2), в том числе
в случае, когда шары поглощающие, можно записать так:
Фактор эффективности
ослабления ....
Фактор эффективности
рассеяния
Среднее значение cos О
для рассеянного
света 1 g \ + w
Эта таблица определяет g и ш; если не учитывать дифракцию,
w — степень белизны, или альбедо. Эти значения следует под-
подставить в общее соотношение
<2давл. = <2осл. — COS 6 Qpac. .
Можно видеть, что дифрагированный свет дает нулевой эффект.
Это и понятно: фактически процесс дифракции не передает шару
(или частице другой формы) никакого импульса. Однако рас-
рассеянный свет дает
<2давл. = \—Wg,
т. е. для шара без поглощения
<2давл. = 1 — ?•
Числовое значение g можно вычислить на основании распре-
распределения интенсивности, полученного в разд. 13.2. Очевидный, но
длинный путь состоял бы в получении полного распределения
интенсивности, последующем умножении на cos 9 и интегрирова-
интегрировании. Более короткий метод мы получим, если заметим, что лю-
Дифрагиро-
Дифрагированный свет
1
1
Отраженный
и прелом-
преломленный свет
1
w
Совмести
2
1 -|- w
1 + wg
12.5. ЛУЧЕВОЕ ДАВЛЕНИЕ 263
бой отдельный луч, характеризующийся т, р и направлением по-
поляризации, например У, переносит падающую энергию
ha2 cos -t sin т dx dcp • г\
в направлении, для которого
cos б = cos 0' --= Re (eil Tip ')¦
Произведение этих двух выражений следует проинтегрировать
по т и ф и просуммировать по р. Выразив е? через Г\, находим,
что суммирование от р = 1 до оо можно выполнить как для гео-
геометрической прогрессии. Член с р = 0 остается выделенным.
После ряда преобразований (которые не приводятся), получаем
выражение
л1 2rUl — cos 2т') cos2т+ (l — г?) cos Bт — 2т')
= /
и такое же выражение для g2, где вместо Г\ стоит г2.
Для естественного падающего света
8—
2
Единственные опубликованные числовые результаты заключены
в небольшом графике в диссертации Дебая. С этого графика
сняты следующие значения:
т 1 1,1 1,333 1,5 2 '3 4 оо
! — Фдавл. = S ¦ ¦ ¦ -1,00 0,92 0,74 0,64 0,40 0,10 0,04 0,00
cos1=y + T^ • • • ll00 °'96 °-87 °'82 °'70 °'55 °'52 °'50
В случае необходимости более точные значения можно рас-
рассчитать по данным выше формулам. Обобщение этих формул на
случай поглощения внутри шара оказывается также чрезвычайно
простым. При неполном поглощении преломленных лучей отно-
отношение членов геометрической прогрессии определяется извест-
известным множителем. Если преломленные лучи поглощаются полно-
полностью, вклад в g дают только отраженные лучи, и мы имеем для
одного направления поляризации, например для направления 1,
1
'l= J|r,|2d(C0Sax),
W-,
g1w1
1
= J \r1\2 cos 2тй? (cos2 т),
264 ЛИТЕРАТУРА
а для обоих направлений вместе, т. е. для естественного падаю-
падающего света,
w = -L (Wl + m,), gw = -j- (g1w1 -j- g2w2),
откуда (Здавл. можно вычислить так, как это было сделано выше.
ЛИТЕРАТУРА
Полное соответствие между результатами, полученными на основании
лучевой оптики и на основе асимптотической формы формул Ми, было пред-
представлено впервые в таком виде автором:
van d e H u I s t H. С, Thesis Utrecht, Recherches astron. Obs. d'Ut-
recht, 11, part 1 A946).
Что касается метода, то эта работа не идет дальше принципа, описанного
в общих чертах Дебаем:
Debye P., Ann. Physik, 30, 59 A909).
Хотя эта теория является классической, иногда допускались ошибки; см.,
например, работу Мекке:
Mecke R., Ann. Physik, 62, 623 A920),
который не учел достаточно строго изменение фазы в фокусе, а также ра-
работу Блюмера:
Blumer H., Z. Physik, 38, 920 A926),
которому не удалось выделить дифракцию и отражение.
Более строгий математический метод (разд. 13.35) был дан Ван дер-
Полем и Бреммером:
van der Pol В a 11 h, Bremmer H., Phil. Mag., 24, 141, 825
A937).
Bremmer H., Terrestrial Radio Waves, New York, Elsevier, 1949.
Однако в исследовании рассеяния диэлектрическими шарами этот метод не
был развит дальше тех результатов, которые можно получить также с по-
помощью законов лучевой оптики. Это относится также к работам:
Ljunggren Т., Arkiv Mat., Astron., Fysik, 36A, No. 14 A948).
Ljunggren Т., Arkiv Fysik, 1, 1 A949).
Более успешное исследование асимптотики было выполнено Францем и Бек-
маном:
Franz W., Z. Naturforsch., 9a, 705 A954).
Beckmann P., Franz W., Z. angew. Math, und Mechanik
(в печати, 1956).
Результаты разд. 12.4 являются простым уточнением результатов пред-
предшествующих разделов. В разд. 12.41 мы ссылались на работу
Bucerius H., Optik, 1, 188 A946).
В разд. 12.5 даны результаты, касающиеся лучевого давления, взятые
из цитированной выше диссертации Дебая, но с более простым выводом
и несколько дополненные.
13. ОПТИКА ДОЖДЕВОЙ КАПЛИ
Дождь, дымка и туман — вот несколько примеров рассеиваю-
рассеивающих сред, состоящих из малых частиц сферической формы. Ча-
Частицами являются капли воды. Показатель преломления воды
колеблется в видимой части спектра от т = 1,330 (красные лучи,
Я=0,7 мк) до т= 1,342 (фиолетовые, Х = 0,4 мк). Вот почему
было выполнено так много расчетов для частных значений
т = 1,33, или т = 4/з- Некоторые числовые результаты приве-
приведены в разд. 13.1. Другие задачи, большей частью связанные
с водяными каплями, но теоретически более сложные, рас-
рассматриваются в разд. 13.2—13.4.
13.1. Некоторые числовые результаты
13.1. Диаграмма рассеяния согласно геометрической оптике
В этом параграфе представлены результаты расчета на осно-
основании формул предыдущей главы. Расчет был выполнен для
m = 4/з- Он дает диаграмму рассеяния большой водяной капли;
уточнения, необходимые вблизи углов, для которых простая те-
теория дает бесконечную интенсивность (радуга, глория), будут
рассмотрены отдельно.
Первая задача состоит в вычислении коэффициентов Фре-
Френеля для m = 4/3 при различных углах падения т. Их можно снять
с рис. 39 (разд. 12.41). Числовые значения даны в табл. 19
(стр. 266). Их квадраты г\ и г\ дают интенсивности отраженного
света в долях падающего. Эта доля равна 0,0204 при перпенди-
перпендикулярном падении, и она равна 1 при касательном падении. Угол
Брюстера, при котором волна с поляризацией в направлении 2
не отражается, равен т=36°,9.
Следующий этап состоит в нахождении направления, в кото-
котором луч 'выходит из шара. Это направление определяется урав-
уравнением (разд. 13.21)
О'= 2т— 2рт\
Рис. 41 (стр. 267) дает значения 0' в функции т для различных
значений р.
Этот рисунок служит также для нахождения параметров k,
q и s, определенных в разд. 12.21 и 12.22. Для любого /?>2
266
13. ОПТИКА ДОЖДЕВОЙ КАПЛИ
Таблица 19. Квадраты коэффициентов отражения Френеля при т — 4 3
-
0°
1°
2°
3°
4°
5°
1,0000
0,9239
0,8536
0,7888
0,7290
0,6740
2
н
1,0000
0,8689
0,7546
0,6552
0,5687
0,4933
-.
10°
15°
20°
25°
30°
35°
0
0
0
0
0
0
2
Г1
,4572
,3143
,2200
, 1573
,1153
,0865
2
Г1
0,2388
0,1107
0,0473
0,0172
0,0043
0,0001
-.
40°
50°
60°
70°
80°
90°
0
0
0
0
0
0
2
г\
,0669
.0433
,0310
,0245
,0214
,0204
0
0
0
0
0
0
9
Г2
,0005
,0059
,0120
,0166
,0195
,0204
имеется максимум 0', который иногда является максимумом,
а иногда минимумом 0. Эти точки, где отклонение луча не ме-
меняется при малых изменениях т, определяют радуги. Решая
уравнение dO'/dr = 0, мы находим, что эти экстремальные зна-
значения 0 достигаются тогда, когда
При т = 4/з эта формула определяет положение двух главных
радуг:
р = 2, т=30°,6,
0=138°,О (минимум);
р = 3, т=18°,2,
6=128°,7 (максимум).
Теперь мы должны суммировать все лучи, выходящие в одном
и том же направлении, определяемом углом рассеяния 0. Это
удобно делать с помощью рис. 42, где данные рис. 41 перерас-
перераспределены так, чтобы показать, какие углы 8 имеют место для
каждого набора параметров. Угол падения т, приводящий
к этому значению угла 0, следует взять из рис. 41. На рис. 42
представлены значения 0 для некоторых особо интересных точек:
с означает центральный луч (перпендикулярное падение,
т = 90°), е — луч, падающий на край (касательное падение,
т = 0), а г означает радугу.
Чтобы получить представление о распределении энергии
между этими лучами, автор разделил область изменения 0 на
6 интервалов по 30° и для каждого интервала рассчитал полную
энергию рассеянного света для любого р. Результаты этого рас-
расчета представлены в табл. 20 (стр. 269) в долях полной падаю-
падающей энергии (отдельно для двух направлений поляризации). Они
Рис. 41. Угол выхода геометрического луча о'
п функции угла падении х Для луча, испытавшего
при прохождении внутри капли с т=4/3 р—1
внутреннее отражение. Максимумы определяют
радуги.
в
р S И q 0" 30° 60" 90° 120° 150" 180е
0 / 0 1
1 10-1
2-101
2 10-1
3-111
3 111
4-1 1-1
4-111
е
С
i
с;82°8
г
щи
С
с
1
I I I i
5-121
5-1 1-1
5 1 1-1
| 1128'
е;165,°5
7
е: т.
I
г
41,
е-28.°8
С!
i
i
_L
' e;54"
Рис. 42. Данные рис. 41 в виде диаграммы: с —
центральный луч, г — радуга, в — касательный луч.
268 13. ОПТИКА ДОЖДЕВОЙ КАПЛИ
к ¦ •
получены путем численного интегрирования je2d(cos2t) в соот-
соответствующих пределах. Например, для р=1 рассеяние под уг-
углами от 0 до 30° получается при т из промежутка от 90° до
39°50'. Для р = 2 и 3 один интервал 0 соответствует различным
промежуткам т; интегралы по этим промежуткам представлены
отдельно. Суммы интегралов для заданного р соответствуют
всему промежутку интегрирования по т от 0 до 90 °. Эти суммы
тождественны суммам, уже приведенным (с меньшей точностью)
в табл. 17 (разд. 12.41). Хотя расчеты, необходимые для по-
построения таблицы, подобной табл. 20, теоретических трудностей
не представляют, однако они требуют значительной затраты вре-
времени. Точность на рис. 42 составляет 1—2 единицы последней
значащей цифры.
Данные табл. 20 наглядно показывают, каким образом рас-
распределяется энергия, рассеянная водяной каплей. Изотропное
рассеяние дало бы распределение, пропорциональное долям пол-
полного телесного угла 4л, соответствующим каждому интервалу 0;
эти доли равны соответственно 0,067; 0,183; 0,250; 0,250; 0,183
и 0,067. Таким образом, деление результатов, приведенных
в табл. 20, на эти числа дает средний коэффициент усиления
в каждом интервале по отношению к изотропно рассеивающей
частице. Этот средний коэффициент усиления приблизительно
равен 9 для первого промежутка, он меньше 2 для второго про-
промежутка и равен 0,04 и 0,01 (поляризации в направлениях 1 и 2
соответственно) для промежутка от 90 до 120°. Очень большой
диапазон изменения интенсивности рассеянного света делает
бесполезным изображение этого распределения с помощью по-
полярной диаграммы рассеяния. Лучше всего нанести lnt'i и 1пг2
в зависимости от 0 (ср. рис. 44 в разд. 13.12).
Далее, мы хотим найти интенсивность рассеянного света или
коэффициент усиления по отношению к изотропному рассеива-
телю для любого заданного значения 0. С этой целью мы должны
делать интервалы Д0 в табл. 20 все уже и уже >и найти предель-
предельное значение коэффициента усиления при Д0->-О. Сомнительно,
существует ли этот предел математически, так как интенсивность
света, рассеянного бесконечно большим шаром, имеет точки бес-
бесконечной интенсивности в каждой радуге, и вероятно, что такие
точки лежат в любом интервале, сколь бы узок он ни был. Од-
Однако это возражение не существенно, так как бесконечности ис-
исчезают из-за конечных размеров дождевой капли и, что более
важно, только первая и вторая радуги (с р = 2 и 3) имеют за-
заметную интенсивность. Из табл. 20 видно, что все остальные
радуги вместе несут меньше чем 0,5% падающей энергии, а две
наиболее интенсивные из них (р = 4 и 5) расположены под
углами, где велико рассеяние с р = 1.
Таблица 20. Доли падающей энергии, рассеянной различными лучами в заданных промежутках 8 (для
большой капли воды)!
р
0
1
2
3
4
>5
Для всех/)
0-30
321
5469
0
5790
-
184
5776
0
5960
30-
342
2618
1
26
15
3002
-60°
62
3429
1
10
4
3506
60—90
194
130
2
326
°
2
251
0
253
Интерва
л 0
90-120°
101
{"
114
18
0
2
20
120
48
523
82
7
660
-150°
28
122
20
2
172
150-180°
14
J72
122
108
13
45
31
89
Псе
1020
8217
617
98
26
22
10000
9
307
9456
198
23
10
6
10000
1 В каждом столбце первое число относится к поляризации в направлении /, второе — к поляризации
в направлении 2.
270 13- ОПТИКА ДОЖДЕВОЙ КАПЛИ
Сужение интервалов 0 и деление на соответствующий телес-
телесный угол выполнено аналитически в разд. 12.21. Табл. 21 была
вычислена по формулам G\ = 4е?О и G2 = 4е|:Д данным
в разд. 12.21. Таким образом, мы находим полную диаграмму
рассеяния для обоих направлений поляризации. В таблицу до-
добавлены интенсивности в двух «ветвях», совпадающих при
р = 2 и 3; в точке возврата расположены радуги. В этих обла-
областях мы должны быть особенно осторожными из-за эффектов
интерференции; подробности см. в разд. 13.22. Для всех других
углов практически можно просто складывать различные интен-
интенсивности, например при 8=60°:
Gi = 0,115+ 0,270 = 0,385,
G2 = 0,004 + 0,482 = 0,486.
Значения интенсивности для центрального луча (т = 90°) по-
получаются из простой формулы, полученной как предельный слу-
случай общего уравнения (разд. 12.45), а именно
Касательные лучи дают нулевой коэффициент усиления, кроме
случая р = 0, где мы получаем Gi = G2=l как для полностью от-
отражающего шара. В отличие от случая р = 1, когда основной
вклад в интенсивность в направлении 0 = 0 дают лучи с р — 1,
эту величину в принципе нельзя отделить от дифрагированного
света, как будет показано ниже (разд. 17.22 и 17.26).
Табл. 21 показывает те же основные особенности распределе-
распределения интенсивности, которые проявились и в табл. 20. Интерполя-
Интерполяция табулированных значений даст интенсивность для любого
угла с точностью в несколько процентов, исключая область ра-
радуг. Содержание этого раздела и, в частности, составление
табл. 21 повторяют исследование Винера. Расчеты Винера и ав-
автора выполнены в основном с помощью логарифмической ли-
линейки. Сопоставление с таблицей Винера, дающей значения
g- (?i и g- G2, показывает, что различия доходят до 8%. Табл. 21
кажется более точной. Винер сгладил радуги с помощью тео-
теории, учитывающей влияние размеров капель; теоретически она
недостаточно обоснована. Поэтому его результаты для р — 2
и 3 не представляют интереса.
13.12. Диаграмма рассеяния, даваемая формулами Ми. Вопросы,
связанные с интерполяцией
К настоящему времени имеется много результатов, получен-
полученных на основе строгих формул Ми и представленных в виде таб-
таблиц. Библиография по этому вопросу дана в конце гл. 10. Вы-
Таблица 21. Диаграмма рассеяния очень большой капли воды (от = 4/3I
9
0°
5°
10°
15°
20°
25°
30°
40°
50°
60°
70°
80°
90°
100°
110°
120°
130°
140°
150°
160°
170°
180°
р
1,000
0,822
0,674
0,553
0,457
0,381
0,314
0,220
0,157
0,115
0,086
0,067
0,053
0,043
0,036
0,031
0,027
0,025
0,023
0,021
0,021
0,020
1,0002
0,701
0,493
0,352
0,239
0,156
0,111
0,047
0,017
0,004
0,000
0,000
0,003
0,006
0,009
0,012
0,015
0,017
0,018
0,020
0,020
0,020
15,
14,
13,
10,
8,
5,
4,
1,
0,
0,
0,
0,
р --
35
54
27
75
09
85
15
951
838
270
051
000
¦ 1
15,35
14,60
13,49
11,12
8,61
6,44
4,77
2,501
1,257
0,482
0,112
0,001
Рассеяния нет
р
р
- 3
п
Очень малая интенсив-
интенсивность
0,001
0,001
0,002
0,005
0,026
0,000
0,000
0,000
0,0003
0,0163
Рассеяния нетЗ
1,000
0,264
0,Ш
0,082
0,078
0,0903
0,1833
0,093
0,075
0,078
1 Числа дают „коэффициент усиления" относительно изотропного рас-
рассеяния (отдельно для поляризации в направлениях / и 2).
2 С учетом дифракции; неотделимо от нее.
3 В области первой и второй радуг; эти интенсивности в большей сте-
степени, чем другие, зависят от размера.
272 13- ОПТИКА ДОЖДЕВОЙ КАПЛИ
борка из этих данных представлена графически на рис. 25
(разд. 10.4). Наиболее полными таблицами в настоящее время
являются таблицы Лоуана с соавторами, а также таблицы Гам-
прехта с сотрудниками. Они являются также наиболее точными.
Все вычисления для этих таблиц, вплоть до автоматической пе-
печати всех коэффициентов Ми, были выполнены с помощью элек-
электронной машины ЭНИАК. Функции Лежандра яп(8) и тп@)
вычислялись на счетно-аналитической машине ИБМ. Оконча-
Окончательные умножения и сложения, дающие диаграмму рассеяния,
а именно: сначала комплексные амплитуды, а затем интенсивно-
интенсивности, также были выполнены на счетно-аналитической машине.
Что мы можем и что мы хотим получить, основываясь на этих
результатах?
Во-первых, важно отметить, что формулы Ми дают точное
решение задачи о рассеянии; например, значения i\ и г'г при
т = 1,33, х = 35, 0 = 130° дают интенсивности света, рассеянного
идеально гладким шаром в точности указанного размера точно
под указанным углом. Они дают все самые тонкие эффекты ин-
интерференции лучей, проникающих или не проникающих внутрь
этого шара; короче говоря, они являются точными. С их по-
помощью можно проверить любую приближенную теорию, стремя-
стремящуюся приблизиться к точному решению. Следовательно, там,
где приближенная теория является недостаточной или если воз-
возникает сомнение в ее правильности, ее можно дополнить ссылкой
на точные результаты. В частности, это будет сделано для фор-
формулы ослабления (разд. 13.42).
Во-вторых, эти точные результаты всегда являются непол-
неполными, так как они затабулированы для определенных интерва-
интервалов х (размеров) и для определенных интервалов 0 (углов).
Без сомнения, авторы этих таблиц надеялись, что табулирован-
табулированные значения будут характерными, т. е. близкие интенсивности
будут иметь место и для нетабулированных значений х и 0.
Однако это не всегда так и, следовательно, нужна тщательная
интерполяция.
Этот вопрос имеет большое практическое значение. При по-
попытках объяснения зодиакального света и света, рассеянного
атмосферами Венеры и Марса, пользовались интенсивностями
и степенью поляризации, рассчитанными по формулам Ми. Ясно,
что в таких случаях представляют интерес не столько определен-
определенные точные размеры, сколько большой ряд значений х. Для рас-
расчета диаграммы рассеяния облака частиц с заданным распреде-
распределением частиц по размерам прежде всего нужно выполнить ин-
интерполяцию, дающую надежные значения для всех промежуточ-
промежуточных значений х, а затем интегрирование, дающее требуемое ре-
решение.
13.1. НЕКОТОРЫЕ ЧИСЛОВЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ 273
Качественно влияние интерполяции состоит в том, что при
изменении х многочисленные максимумы и минимумы меняют
свое положение. В таком случае конечный эффект интегрирова-
интегрирования сведется к тому, что эти максимумы и минимумы в значитель-
значительной степени «замоются». Только некоторые из них, которые ока-
оказываются как бы «закрепленными», подобно первым дифрак-
дифракционным кольцам и главному пику радуги, все еще могут ос-
остаться видимыми.
В предыдущем абзаце описывается хорошо знакомое явление.
Интерференционные полосы исчезают, если не принять всех воз-
возможных предосторожностей для сохранения точных размеров
пластинки интерферометра и монохроматичности света. Формулы
Ми дают нечто похожее на интерференционную картину. При
практическом использовании этих формул обычно стремятся
сгладить большую часть этих интерференционных эффектов и
рассматривать некоторую среднюю картину.
Исследуем теперь, насколько надежной может быть интерпо-
интерполяция по опубликованным таблицам.
Интерполяция по 8. В таблицах Лоуана и Гампрехта интер-
интервалы равны 10° (кроме области, близкой к 0е). Угловое расстоя-
расстояние между последовательными максимумами или между после-
последовательными минимумами в полной диаграмме рассеяния (ii
или i2 рассматриваются отдельно) составляет около 180°/*. Это
означает, что вся диаграмма содержит от 0 до 180° приблизи-
приблизительно х максимумов и х минимумов на кривой i\ и столько же
на кривой i2. Это является прямым следствием числа минимумов
и максимумов функций яп (cos 8) и хп (cos 8).
При х=5 или меньше табулированные значения в достаточ-
достаточной степени определяют полную диаграмму, так как для нанесе-
нанесения кривой, имеющей примерно 5 максимумов, 19 точек доста-
достаточно. Иллюстрацией могут служить кривые, изображенные на
рис. 25 (разд. 10.4).
При д:=10 кривая, вычерченная от руки путем нанесения i\
(или i2) в функции 0 с интервалами в 10е, уже дает совершенно
ошибочные результаты. При использовании комплексных ампли-
амплитуд получается более точная интерполяция. В таблицах Гам-
Гампрехта и Лоуана применяется обозначение
и вещественные и мнимые части табулируются отдельно. Мы мо-
можем одновременно нанести обе эти части в виде диаграммы в
комплексной области или каждую из них отдельно в функции 8.
И тот и другой методы дают более надежную интерполяцию; луч-
лучше всего их объединить. Кривые, получающиеся в комплексной
плоскости, очень характерны. Поэтому на рис. 43 показан ряд
18 заказ № 374
274
13. ОПТИКА ДОЖДЕВОЙ КАПЛИ
кривых для меньших значений х с меньшим числом оборотов.
Один полный оборот, при котором обычно имеют место два мак-
максимума и два минимума, охватывает интервал 0 порядка 360°/*-
Окончательная диаграмма рассеяния для т=1,33, х= 10, по-
построенная таким образом на основании данных Гампрехта, пред-
Рис. 43. Пример интерполяционных кривых в комплексной об-
области для амплитуд рассеянного света.
ставлена на рис. 44. Величины задавались через интервал 10е;
ясно, что непосредственной интерполяции было бы недостаточно.
При х=20 и больше этим методом, вероятно, также не удается
выявить все детали диаграммы рассеяния. Представляется, что
единственным правильным методом будет повторение последней
части точного расчета для большего числа значений 0 с интерва-
интервалом, например, в 2°,5. В виде иллюстрации Гампрехт и его
соавторы построили диаграмму рассеяния для т=1,33, х=40, но
совершенно очевидно, что больше половины максимумов и мини-
13.1. НЕКОТОРЫЕ ЧИСЛОВЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
275
мумов на ней не показаны. Кроме того, неизвестно, достаточно
ли хорошо совпадают точки, которые были вычислены, с усред-
усредненной кривой, проведённой между максимумами и минимумами.
Это затрудняет вывод практических заключений непосредственно
из этих данных.
Интерполяция по х. Интерполяция по размеру важнее, но зато
и труднее. Начнем с уравнений перехода от обозначений Лоуана
и Гампрехта к обозначениям, принятым в этой книге. Отмечая
временно жирным шрифтом обозначения Лоуана и Гампрехта,
'0000
Рис. 44. Диаграмма рассеяния для /п=1,33 и х=Ю, основанная на
интерполировании данных Гампрехта.
имеем
для коэффициентов Ми:
'In 4- 1 an 4-1
p - 2Я + 1
" n{n+\)
- 1
для амплитудных функций:
U* = R (U*) + /I (ii*) = — iSi @),
i2* = R (i2*) + a (i2*) = + /52 @).
Наши амплитудные функции выражаются через табулированные
величины следующим образом:
18*
276 13. ОПТИКА ДОЖДЕВОЙ КАПЛИ
Кроме того, угол, употребляемый в этих таблицах, является до-
дополнительным к 8:
Y = 180° —8
В разделах '12.21 и 12.33 мы видели, что при х->-оо 5, (8)/лг
и 52 F)/х стремятся к фиксированным значениям, не считая фа-
фазовых эффектов и интерференции. Поэтому рационально интер-
интерполяцию между различными значениями х проводить с помощью
этих функций.
Для пробы автор рассмотрел свет, рассеянный под углом
8=60° для области значений х от 3 до 40 (т=1,33). Эта область
значений х как будто достаточно охватывается таблицами Лоу-
ана и Гампрехта. Все наши результаты поясняются рис. 45.
В каждом квадрате дается в комплексной плоскости график ам-
амплитудной функции, деленной на х. В квадратах А, В и Д пред-
представлены 5iF0°)/x, в квадратах Б, Г и Е — S2F0c)/x. Для всех
квадратов шкала одна и та же; одно малое деление равно 0,1.
В квадратах А я Б даются результаты, взятые из таблиц
Лоуана и Гампрехта для х от 3 до 10. До х=6 через заданные
точки очень легко проводится плавная кривая. При х от б до 10
кривые оказываются значительно более неопределенными, од-
однако общий характер кривой (например, число витков) опреде-
определяется вполне уверенно.
В квадратах В и Г приведены данные для значений х от 10
до 40 с интервалами в 5 единиц, табулированные Гампрехтом
и его соавторами. Кажется, что эти данные определяют довольно
плавную кривую, и необдуманная интерполяция, без сомнения,
дала бы плавные кривые. Однако эти кривые неверны, что можно
показать двумя путями.
Во-первых, экстраполяция результатов, полученных для квад-
квадратов А я Б, указывает, что кривые в обоих квадратах В и Г
должны делать приблизительно полный оборот между значе-
значениями х=10 и х=15. Во-вторых, результаты должны быть близ-
близкими к результату, который можно получить из лучевой оптики.
Поэтому, применяя формулы лучевой оптики, можно получить
более ясное представление о характере этой кривой. Обращаясь
к табл. 21 (разд. 13.11), находим, что существенны только лучи
с р — 0 и р=\. Конкретные данные для т=1,33 можно получить
из формул, приведенных в разд. 12.2. Имеем:
р = 0 (отражение от шара):
г=30°; sinT=0,500; cost = 0,866;
8i = — 0,338; 82 = —0,066; D = 0,250; 6 = x;
is,Fo°)
хотЗдоЮ\-
Правильные
точки
Правильные
кривые
Mil
I/O в^
{\
- 4,8
Mil
1
.и —
4 ^
19)
1
МММ
А~_
МММ
-
-
-iol
— \\
~|
1
/в
5
iss
I 1 1
^-
F0")
1 1
-,
4,
1 1
1 1
3
j
W
1 1
1
I -
ч
у
8г
Б _
1
х атШдо4О
Правильные
точки
Неверные
кривые
ММ
15
Ую
-
~\ \ м
1
25 У
I
1 1 Г 1 1
35
2°\40 ~
-
в Z
М 1 1 М
1 ¦
-
-10
I М I I I
I
ГТП"
/го
15
1 1
! 1
25
^-°—-
1 1
1 Т
3D
_J
1 1
1 1
¦ М , 1
f :
\40-
г~
1
хот15до25г-
Мучевая
оптика
Полные
кривые
Рис. 45. Интерполирование по размеру для интепсивностеи света,
рассеянного под углом 60°; т=1,33.
278 ;S- ОПТИКА ДОЖДЕВОЙ КАПЛИ
р= 1 (преломленный луч):
т=12,°9; т'=42,°9;
sin т = 0,223; cos т = 0,975;
81 = 0,633; 62 = 0,848; D = 0,157; б=—1,366*.
Таким образом, окончательные формулы с учетом фазы прини-
принимают вид
» = - 0,169/6* - - 0,252«е- 1'М6" ,
= _ о,ОЗЗ/е" - 0,338fe-1>366".
Отдельные слагаемые представляют точки в комплексной обла-
области, перемещающиеся с различными скоростями по отдельным
окружностям в противоположных направлениях. Можно легко
построить полную кривую; она изображена в квадратах Д и Е
рис. 45 для значений х от 15 до 25.
Что же показывают эти кривые? Прежде всего они показы-
показывают, что приближение лучевой оптики в этой области еще не
дает вполне точного результата, но что фазы совпадают удовле-
удовлетворительно (если сравнить В с Д или Г с Е, то мы находим, что
все точки лежат в соответствующих четвертях). Далее, они по-
показывают, что в квадратах В и Г точные интерполяционные кри-
кривые, соединяющие точки, нанесенные па В и Г, совершают пол-
полный оборот вокруг начала координат между каждой парой нане-
нанесенных точек. Наконец, мы видим, что первое впечатление, будто
5iF0°)/x относительно мало в интервале х от 20 до 30, совершен-
совершенно неверно. Оказывается, что в этой области значения х, крат-
кратные 5, попадают в нижнюю часть кривой, т. е. создают взаимное
гашение отраженных и преломленных лучей в результате интер-
интерференции. Однако в той же области значений х имеет место и
сложение интенсивностей, точно так же, как оно наблюдается
и вблизи х = 8, 10 и 40. Это является наглядным примером слу-
случая, когда даже полное рассмотрение значений, затабулирован-
ных Гампрехтом, все же может создать ошибочное впечатление
о порядках величин. Мы полагаем, что этот случай не является
исключением. Шаг по х в 5 единиц просто слишком велик, чтобы
можно было быть уверенными в интерполяционных кривых. Во-
Вообще говоря, можно посоветовать обратиться к формулам луче-
лучевой оптики, как это было кратко намечено здесь.
Кривая, изображенная в квадрате Е, более типична для угла
с одним преобладающим лучом в диаграмме рассеяния. Факти-
Фактически все излучение характеризуется р=1 (преломленный луч),
что также видно из табл. 21 (разд. 13.11). Это значит, что интер-
13.2. РАДУГА 279
ференционные эффекты малы (но не отсутствуют совсем) и что
значение S2F0c)/x относительно постоянно. Это дает нам воз-
возможность сделать более тщательное сравнение точных амплитуд
(квадрат Г) с амплитудами, полученными на основании лучевой
оптики (квадрат Е). Видно, что первые амплитуды должны быть
приблизительно в 1,4 раза больше последних; это означает, что
истинные интенсивности все же в 2 раза больше интенсивностей,
вычисленных на основании лучевой оптики. Расхождение на та-
такую величину не является неожиданным, так как значение
cost=0,975 указывает, что геометрический луч падает очень
близко к краю и при х=40 все еще оказывается лежащим в об-
области, где приближения разд. 12.33 неправомочны.
13.2. Радуга
Радуга является одним из красивейших явлений природы.
Она оказывала влияние на искусство и мифологию всех народов
и привлекала внимание ученых на протяжении четырех столе-
столетий. При беглом просмотре старинной литературы создается впе-
впечатление, что увлечение этой проблемой проступает даже сквозь
самые сухие расчеты. И сам автор надеется, что в последующем
изложении, несмотря на краткость и вынужденную ограничен-
ограниченность в отношении исторических фактов, ему удастся до неко-
некоторой степени показать читателю эту математическую красоту.
13.21. Краткий обзор; теория Декарта
Правильное объяснение явления радуги было дано де Доми-
нисом A611). Декарт развил его объяснение и подтвердил экс-
экспериментально, а Спиноза впервые рассчитал положение радуги
с помощью аналитической геометрии. Отклонение луча, претер-
претерпевшего одно внутреннее отражение, при изменении угла паде-
падения проходит через минимум. Большая часть света, содержаще-
содержащегося в падающем параллельном пучке, выходит под углами, очень
близкими к этому углу наименьшего отклонения, и поэтому дает
весьма большую интенсивность вблизи этого угла. Красота ра-
радуги увеличивается тем, что этот угол несколько различен для
разных цветов из-за различия показателей преломления. По-
Поэтому белый солнечный свет дает радугу из интенсивно окрашен-
окрашенных полос, расположенных рядом. Показатель преломления
^ = 4/з (оранжевые лучи), к которому относятся наши дальней-
дальнейшие расчеты, дает минимальный угол рассеяния 8= 138°,0. Таким
образом, радуга расположена в 42° от противосолнечной точки.
Положение максимума для красных лучей находится на 1°,5
дальше от противосолнечной точки, чем для фиолетовых. Мы уви-
280 13- ОПТИКА ДОЖДЕВОЙ КАПЛИ
дим, что эти максимумы расширяются при уменьшении размера
капель. Для капель с радиусами а<50 мк их ширина составляет
несколько градусов, так что цвета в значительной степени пере-
перекрываются. Это вызывает появление «белой радуги». Для капель
любого размера луч, который не является лучом минимального
отклонения, выходит под большим углом 8 (т. е. ближе к про-
тивосолнечиой точке), чем этот последний. Следовательно, внут-
внутренняя (фиолетовая) сторона радуги всегда ярка.
Вторая радуга объясняется аналогично первой. Она вызы-
вызывается лучами, претерпевшими два внутренних отражения, и на-
находится при 0= 128°,7, т. е. на расстоянии 5Р,3 от противосол-
нечной точки. В этом случае яркая сторона находится в направ-
направлении меньших 0; цвета больше раздвинуты и расположены в
обратном порядке. Область между двумя радугами относительно
темная. Это также ясно из схемы, приведенной на рис. 42.
13.22. Интерференция; формула Маскара
В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением главной ра-
радуги (лучи ср = 2). В ярком свете вблизи радуги со стороны боль-
больших 0 часто можно различить окрашенные полосы, известные
(по старой терминологии) как дополнительные дуги. Они обус-
обусловлены наличием последовательных максимумов и минимумов
в распределении монохроматической интенсивности. В этой яр-
яркой части при любом угле совпадают два луча с углами паде-
падения меньшим и большим, чем угол, дающий минимальное откло-
отклонение. Дополнительные дуги являются эффектом оптической ин-
интерференции этих двух лучей. Не удивительно, что это объясне-
объяснение было предложено впервые Юнгом, открывшим принцип ин-
интерференции, примером которого служит это прекрасное явление
природы.
Как только появляются эффекты интерференции, мы поки-
покидаем область геометрической оптики. Положение максимумов,
включая первый максимум, являющийся главной радугой, зави-
зависит от размера капельки. Интерференционные максимумы и ми-
минимумы имеют место под любым углом, где, согласно рис. 42,
совпадают несколько лучей. Однако обычно они так близки друг
другу и при изменении размера или длины волны сдвигаются
настолько быстро, что не наблюдаются в природе. В том исклю-
исключительном случае, который дает радугу, они разделены боль-
большими промежутками и сдвигаются не так быстро. Это явление
мы поясним числовым примером.
А. На некотором расстоянии от радуги. Два луча, дающие
вместе интенсивность света, поляризованного в направлении /,
13.2. РАДУГА 281
рассеянные под углом 8 = 60°, определяются величинами р = 0,
т = 30°,0 и р=1, 0= 13°,0. Их интенсивности (выраженные через
коэффициенты усиления по отношению к изотропно рассеиваю-
рассеивающей частице), взятые из табл. 21, равны а2=0,115 и 62 = 0,270.
Если ф — разность фаз, то полная интенсивность, получающаяся
как квадрат абсолютного значения суммы комплексных ампли-
амплиа2 -\- b1 + lab cos ф.
туд, равна'
Она изменяется от максимума (с + 6J = 0,738 до минимума
(а— 6J=0,032. Таким образом, интенсивность в максимуме в 23
раза больше интенсивности в минимуме. Применяя формулу
разд. 13.12, находим далее
^ = 2,47; -|S 1,84jc.
Первое уравнение означает, что изменения Дх=1,3 достаточно
для сдвига фазы на я, т. е. для превращения максимума в ми-
минимум. Капли радиусом а=100 мк имеют х=1000. Только что
полученный результат показывает, что дисперсия в размерах
капли или в длине волны, меньшая 1%, полностью уничтожает
эти максимумы и минимумы. Наблюдаемая интенсивность есть
среднее между максимумом и минимумом: а2+62 = 0,385. Вто-
Вторая формула показывает, что максимумы отстоят друг от друга
на Д6 = 360°/1.84* = 196°/*, т. е. только на некоторую долю гра-
градуса.
Б. Вблизи радуги. Интерференционные максимумы радупг
отстоят друг от друга дальше, чем обычные полосы, и значитель-
значительно менее чувствительны к изменениям размера. На основании
рис. 47 мы можем ожидать, что при х=1000 главная радуга ото-
отодвинута на 2°,5 от ближайшего максимума и что размер частиц
должен измениться на 40%, чтобы второй максимум сдвинулся
на 1° (см. рис. 47). Главная радуга сдвигается медленнее, макси-
максимумы высших порядков — значительно быстрее. Число видимых
дополнительных дуг дает грубую оценку дисперсии размероа
капель.
Теперь мы можем рассчитать, когда разность фаз ф двух лу-
лучей, выходящих под одним и тем же углом 0, равна 2лК, и тем
самым найти положение максимума. Здесь К=0 для главной ра-
радуги, К=\, 2 и т. д. для следующих максимумов. Часть разности
фаз, обусловленная разностью оптической длины пути, равна
Дб = 6а— б6,
1 Мёбиус ссылается на это выражение как на формулу Маскара (Maskart,.
1892). Эта формула должна быть известна еще со времени Френеля.
282
13. ОПТИКА ДОЖДНВОЙ КАПЛИ
где а относится к лучу, падающему ближе к центру, b — к лучу,
падающему ближе к краю, и обе величины 6 можно найти с по-
помощью разд. 12.22:
б = 2х (sin т — рт sin т').
Эта часть соответствует на рис. 46 разности пути RQ. Однако это
еще не все (как это предполагал Юнг в статье 1804 г.), так как
из рисунка интуитивно чувствуется, что разность фаз между
«окрестностью Q» и «окрестностью Р» меньше Аб. Это действи-
1 2315
Рис. 46. Изображение в одном масштабе пяти равноотстоящих
лучей, участвующих в образовании первой радуги (т=4/3).
Дополнительный чертеж: схематическое изображение волно-
волнового фронта в О, даваемого кубическим уравнением.
тельно так. Согласно теории, изложенной в разд. 3.21, в эффек-
эффективном пути имеется дополнительная разность в Х/4, т. е. раз-
разность фазы я/2. С формальной стороны, изложенной в разд. 12.22,
этот дополнительный член возникает из-за того, что для двух
лучей s имеет разные знаки. Из того же раздела видно, что дру-
другой причиной наличия разности фаз может быть различие зна-
знаков коэффициентов отражения Френеля для двух лучей. Этот
эффект, который имеет место только для поляризации в направ-
направлении 2, редко оказывается существенным; он разбирается в
разд. 13.24. Рассмотрим теперь только распределение света в ра-
13.2. рлдугл 283
дуге для поляризации в направлении /, где интенсивность значи-
значительно больше.
Максимум оказывается в тех направлениях, для которых пол-
полная разность фаз А6—я/2 является целым числом, скажем /<-2л.
Таким образом,
Эта же формула с /(=72, 3fa и т. д. дает минимумы. Положения
максимумов и минимумов для различных х были вычислены по
этой формуле и представлены на рис. 47 (стр. 289). Очевидно,
для значений 9, больших 165°, интерференции нет, так как луча b
не существует.
13.23. Аппроксимация волнового фронта кубическим уравнением;
теория Эри
До сих пор мы пользовались лучевой оптикой. Другими сло-
словами, мы предполагали, что волновые фронты вблизи любой
точки достаточно характеризуются нормалями к ним и локаль-
локальными радиусами кривизны. Это приближение перестает быть
справедливым вблизи радуги. Следующим приближением более
высокого порядка будет аппроксимация волнового фронта куби-
кубическим уравнением. На рис. 46 изображены в одном масштабе
пять лучей, из которых средний является лучом минимального
отклонения. К волновому фронту в В сразу после выхода лучей
мы должны применить принцип Гюйгенса. Удобно, однако не
необходимо, заменить его виртуальным волновым фронтом в О,
где касательная в точке перегиба проходит через центр шара.
На этом фронте лучи находятся фактически на том же расстоя-
расстоянии друг от друга, что и на фронте падающей волны в А. Введем
прямоугольные координаты: v вдоль упомянутой выше касатель-
касательной и и вдоль нормали в обратном направлении. (См. дополни-
дополнительный чертеж на рис. 46.)
Уравнение волнового фронта имеет вид
„ _ hvs
За2 >
где а — радиус капли, a h — постоянная; /г = 4,89 для первой ра-
радуги (/z = 27,86 для радуги с двумя внутренними отражениями).
Мы можем получить h следующим путем. Пусть 0О — угол радуги,
a to — соответствующий ей угол падения. Тогда для т=То имеем
284 13. ОПТИКА ДОЖДЕВОЙ КАПЛИ
и, дифференцируя, получим
йГх2 2tgT0 '
так что для смежных углов
Имеем, далее,
da
u
dv
И
v = a cos х — a cos -0 ~ — а (х — то) sin "о!
это дает
dv 4a2 sin2 т0 tg т0 '
откуда путем интегрирования получаем постулированное выше
выражение с
=4*4.^0И-89
В теории Эри предполагается, далее, постоянство амплитуды
вдоль действующей части этого фронта. В таком случае ампли-
амплитудная функция для света, рассеянного под любым углом 9, про-
пропорциональна величине
J e
— со
где й = 2л;Д. Эри определил и вычислил «интеграл радуги»:
со
/(г)= ("cos-?-(**-*»)<#•
Только что полученную амплитуду можно привести к такому
виду, комбинируя подынтегральные выражения для положитель-
положительных и отрицательных v и пользуясь подстановками
4h
13.2. РАДУГА
285
Геометричеоки / означает расстояние вдоль касательной от точки
перегиба до точки, где фронт отклоняется от этой касательной
на Х/4. Интенсивность в радуге пропорциональна/2(г). Высоты
максимумов и значения г, при которых достигаются эти макси-
максимумы и минимумы, даны в табл. 22.
Таблица 22. Максимумы и минимумы интеграла радуги
г
1,08
2,50
3,47
4,36
5,15
5,89
6,58
7,24
7,87
1,005
0
0,615
0
0,510
0
0,450
0
0,412
к
0
1
2
3
4
Y-t
Главная радуга
Первый дополнительный мак-
максимум ._
Второй дополнительный мак-
максимум
Третий дополнительный макси-
максимум . . . :
Четвертый дополнительный
максимум
1,19
3,47
5,15
6,53
7,87
¦1,11
0,620
0,510
0,450
0,412
К волновому фронту, приближенно представленному кубиче-
кубическим уравнением, мы можем применить тот же принцип интер-
интерференции, который в разд. 13.22 применялся к истинному волно-
волновому фронту. Результат состоит в том, что направление нормали
есть 0 — %=hv2/a2, а разность хода (рис. 46)
= 4и =
С помощью того же метода, который использовался в разд. 13.22,
это приводит к следующей формуле, дающей положение макси-
максимумов:
286 '3- ОПТИКА ДОЖДЕВОЙ КАПЛИ
т. е.
2
1
3 / •
Сравнение, проведенное в табл. 22, показывает, что эта прибли-
приближенная формула почти в точности справедлива для всех мак-
максимумов, кроме основного.
Интеграл радуги Эри позволяет, кроме того, получить сле-
следующие данные. Интенсивность в геометрическом положении
(Э=138°,0, 2=0) составляет около 45% интенсивности главного
максимума. На том же расстоянии в другом направлении (г =
= — 1,0) она падает до 5%. Расширение радуги пропорциональна
ее смещению.
Множитель перед/2(z) можно получить весьма просто путем
сопоставления результата, полученного на основании лучевой
оптики, со средним значением/2(z) для больших z. Мы ограни-
ограничимся доказательством для поляризации в направлении /. Раз-
Разлагая вблизи луча радуги, находим
= 2,54(т-то) = 2,2б/б-60.
Принимая другие множители в G\ постоянными для луча радуги
и удваивая эту величину, так как два луча налагаются (без ин-
интерференции), мы находим коэффициент усиления по отношению-
к изотропно рассеивающей частице
С другой стороны, интеграл радуги можно вычислить во втором
приближении для каждой из его точек стационарной фазы, т. е.
t= ±]/г/3. Сумма квадратов этих интегралов равна
1 0,73
она снова соответствует интенсивности двух лучей, сложенной
без учета интерференции. Значение/2(г) в максимуме (табл. 22)-
в два раза больше этой величины.
Сравнивая два полученных выражения, имеем окончательную-
формулу полной теории Эри
О, = 2,851/ */»(*).
13.2. РАДУГА 287
Соответствующее значение для поляризации в направлении 2
оказывается в 25 раз меньше, поскольку el во столько раз
меньше ef.
13.24. Вывод с помощью формул Ми; границы применимости су-
существующих теорий радуги
Границы применимости различных теорий в литературе не
указаны. Однако ясно, что все рассмотренные до сих пор теории
являются приближенными. Лишь решение Ми является строгим
(гл. 9). Время от времени делались попытки создать более точ-
точную теорию радуги путем получения из формул Ми асимптоти-
асимптотического выражения. Эти попытки позволили получить прибли-
приближение Эри, но и только. Вывод отличается от вывода разд. 12.33
(приближение второго порядка) только тем, что дается один сле-
следующий член, т. е. член третьего порядка разложения в ряд Тэй-
лора. Окончательные формулы сложны, но полностью подтверж-
подтверждают приближение Эри. Кроме того, результаты Ван дер Поля
и Бреммера A937), а также результат Юнггрена A948), кото-
которые применяют более точные методы преобразования (разд.
12.35), приводятся путем различных приближений к тому же
виду. Буцериус A946) сделал интересную попытку включить
члены пятого порядка.
При подходе к проблеме только что излагавшимся более тра-
традиционным способом коренных усовершенствований не сделано
и не предложено. Исключение следует сделать для численного
интегрирования, выполненного Мёбиусом A910, 1913), который
применил принцип Гюйгенса к действительному волновому
фронту. Результаты расчетов Мёбиуса для стеклянных цилинд-
цилиндров показывают, что по крайней мере положения максимумов
не очень отличаются от положений, определяемых простой тео-
теорией интерференции. До некоторой степени этот результат со-
сохраняется в силе также для случая водяных капель для области
значений х от 3 до 30. Мёбиус провел интегрирование в этой
области весьма малых х, основываясь на неправильном представ-
представлении о границах применимости своей теории. Много лет спустя
его ученик Розенберг A922) расширил эти расчеты, дополни-
дополнительно учтя (для той же области значений х) вторую радугу и
свет, отраженный от шара. Оба автора с гордостью приводят
огромное количество результатов, полученных путем численного
интегрирования, однако эти результаты следует считать беспо-
бесполезными.
Дадим теперь обзор различных теорий радуги (т. е. упрощен-
упрощенных формул или методов приближенного расчета) и оценим гра-
288 13. ОПТИКА ДОЖДЕВОЙ КАПЛИ
ницы их применимости. Быть может, это составит наиболее цен-
ценный вклад в дальнейшее исследование и явится единственным
новым результатом этого раздела.
Во-первых, рассмотрим лучи. На рис. 46 (стр. 282) изобра-
изображены лучи, падающие на расстояниях от оси, определяемых сле-
следующим образом: cost = 0,78; 0,82; 0,86; 0,90 и 0,94. Луч 3 яв-
является лучом наименьшего отклонения; лучи 2 и 4 отклоняются
на 24 и 30', лучи 1 я 5 — на 1°20' и 2°50' соответственно. Наблю-
Наблюдаемая разница в отклонении показывает, что лучи 1 я 5 оказы-
оказываются далеко за пределами области симметричного приближе-
приближения третьего порядка. То же следует из разности коэффициентов
sj, которая для лучей 1 и 5 равна соответственно 0,134 и 0,062.
Мы можем с уверенностью сказать, что приближение Эри при-
применимо в качестве количественной теории радуги лишь в том
случае, когда лучи с отклонением больше чем примерно полгра-
полградуса от геометрической радуги отсутствуют. Кроме того, это оз-
означает, что ее применение ограничивается только такими значе-
значениями х, для которых главный максимум сдвинут, скажем,
меньше чем на 20' от геометрического положения.
Таким образом, применимость теории Эри ограничена х>5000
или для света с Х/2я = 0,1 мк каплями радиусом больше 0,5 мм.
Область применимости теории Эри на рис. 47 обозначена черным
прямоугольником. Мы можем добавить, что дождевые капли
обычно достаточно велики и что экспериментальная проверка
(например, Мёбиуса) была выполнена также с большими ша-
шарами или цилиндрами1.
Вне прямоугольника, соответствующего теории Эри, мы все
еще можем применять принцип Гюйгенса. Основное предполо-
предположение состоит в том, что законы геометрической оптики спра-
справедливы от фронта падающей волны А до фронта выходящей
волны В (см. рис. 46). Это выражается, между прочим, в пред-
предположении о том, что потери на отражение при падении и при
выходе луча одинаковы. Однако свет, достигающий В или его
окрестностей, возникает на участке фронта А шириной порядка
1/2Ха. Пять изображенных лучей, с различными коэффициен-
коэффициентами отражения и т. д., относительно независимы при уТКа<.
<0,08 а, что дает
а>300Х или х=2яаД>2000.
Это также является очень строгим ограничением. Только для
столь больших и еще больших х мы можем найти распределение
интенсивности в главном максимуме радуги с помощью числен-
1 В дальнейшем Мёбиус пытался учесть эллиптичность и рассчитал гео-
геометрическое положение радуги для эллипсоида с произвольным отношением
осей и с произвольным направлением паления излучения.
13.2. РАДУГА
289
ного интегрирования вдоль волнового фронта В (Мёбиус), а ин-
интенсивности и положения других максимумов и минимумов —
с помощью интерференционного метода (Маскар). Однако, по
всей вероятности, почти правильные положения максимумов
можно получить и для значений х, лежащих значительно ниже
этого предела.
Укажем дальнейшие ограничения, налагаемые на изложенные
выше теории. Свет, отраженный от шара (р = 0), при 0>158°
20°
ю'
Край
Центр -1
138
40" 140
60°
755'
70' 160'
165'
80° 170'
90° 180'
CJ5
Интерференция с лучами, отраженными от шара
\Касателиные
Л1/ЧЦ
j. V- "Глория
Эффекты кросс - поляризации
х-1000 500
а=100мк
200
100 80
Юмк
60
40
4 мк
30
25
20
2мк
Рис. 47. Диаграмма для установлении пределов применимости различных
теории радуги. Ординаты: угол рассеяния (линейная шкала) и угол паде-
падения т (нелинейная шкала, с обратным направлением отсчета). Абсциссы:
t лга/з (линейная шкала) и дс=2яа/Х (нелинейная шкала).
становится ярче света одной ветви радуги. Здесь теория интер-
интерференции оказывается несостоятельной или, вернее, ее следует
дополнить учетом света, отраженного от шара. Внешняя ветвь
лучей радуги оканчивается при 0=165°, но не резко. Асимпто-
Асимптотические формулы для цилиндрических функций, которыми
нужно пользоваться при преобразовании коэффициентов Ми в
выражения, содержащие угол падения т (разд. 12.33), вблизи
края оказываются неприменимыми. Эта особая область грубо
з /
определяется неравенством т<1/г/ х, и ее граница на рис.47
19 Заказ Л« 374
290 13- ОПТИКА ДОЖДЕВОЙ КАПЛИ
указана параболой. При этомлмеется достаточное основание для
продолжения этой параболы также и вниз, что мы и сделали на
рисунке. Внутри нижней половины этой параболы некоторое зна-
значение могут иметь «краевые лучи», хотя, согласно геометриче-
геометрической оптике, они туда не проникают.
Конечным эффектом будет появление кросс-поляризации
из-за того, что в формулах Ми нельзя пренебречь rrn(cos0) по
сравнению с хп (cos 6) (снова ср. разд. 13.3). Беря п порядка х,
находим, что 0= 10/x.nn(cos 0) будет порядка 10% от хп (cos 0).
Этот предел также указан на чертеже. Ниже него появляются
эффекты кросс-поляризации. Область, где существенны краевые
лучи и кросс-полярнзация, можно рассматривать как область
глории (разд. 13.32).
Можно сделать следующее заключение. При х<30 (а для
некоторых точек вплоть до х = 400) выполнены точные расчеты
по теории Ми, а при х=2000 надежные результаты дает
принцип Гюйгенса. Количественная теория радуги для всего
«провала» 30<х<2000 отсутствует, хотя положения максимумов
и минимумов можно определить по рис. 47, а распределение ин-
интенсивности можно приблизительно получить по теории Эри.
До сих пор можно только догадываться о точной форме диа-
диаграммы рассеяния для обоих направлений поляризации в об-
области радуги вблизи х— 100. Теорию для упомянутого «провала»,
вероятно, можно создать путем продуманных преобразований
высших приближений к формулам Ми. Эту теорию можно было
бы проверить с помощью данных, содержащихся в таблицах
Гампрехта и его соавторов.
После этого несколько неутешительного вывода упомянем
об одном интересном явлении. До сих пор мы рассматривали
только поляризацию в направлении 1. Интенсивность при поля-
поляризации в направлении 2 в приближении Эри составляет 0,04
интенсивности при поляризации в направлении / и имеет анало-
аналогичное распределение. Однако резкое изменение г2 в зависимо-
зависимости от т ограничивает применимость приближения Эри при этом
направлении поляризации даже в большей степени, чем при
другом. По табл. 20 и 21 можно рассчитать, что отношение интен-
сивностей при поляризации в направлениях 2 и 1 возрастает до
0,10 при 0=140° и до 0,23 для полного излучения в области от
138 до 150°. Дальше 0=150° значения т настолько далеки от угла
Брюстера, что обе ветви имеют значительную интенсивность, так
что можно ожидать интерференционных максимумов при поля-
поляризации в направлении 2. Однако знак коэффициента отражения
двух интерферирующих лучей различен. Таким образом, макси-
максимум при поляризации в направлении 2 имеет место для угла,
где мы имеем минимум при поляризации в направлении /, и
13.3. глория 291
наоборот. Это явление наблюдалось Брикаром A940) в моно-
монохроматическом свете луча прожектора, рассеянного туманом.
К сожалению, точных данных не приводится. Он пользовался
каплями порядка 2а=10 мк, откуда х = 50, и обнаружил сме-
смещенные максимумы между углами 9= 150 и 160°, т. е. точно в той
области рис. 47, где они и ожидаются.
Очевидно, теория, в которой полностью пренебрегают поля-
поляризацией и пользуются коэффициентами отражения для есте-
естественного света, не может давать правильных количественных
результатов. Такие теории можно найти в работах Винера A909)
и Малкуса, Бишопа и Бриггса A948).
13.3. Глория
Дифракционные венцы, или окрашенные круги, окружающие
Солнце или Луну, когда они закрыты тонкой вуалью облаков,
хорошо известны. Их теория рассматривается в разд. 8.31
и 12.32.
Похожее явление может иногда наблюдаться в направлении,
противоположном направлению на источник. Если стоять на вер-
вершине горы, то можно наблюдать свою собственную тень, спро-
спроектированную на облако или слой легкого тумана, находящиеся
ниже этой вершины. Заметно постепенное возрастание интен-
интенсивности отраженного света по направлению к голове тени, а при
благоприятных условиях вокруг головы появляются несколько
окрашенных колец. Это явление называется глорией. Оно часто
наблюдается в легком тумане на вершинах гор, а также с само-
самолета. Центр колец сдвигается от тени головной части самолета
на облаке к тени его "хвостовой части в зависимости от положения
наблюдателя в самолете. Раз или два глория изучалась в лабо-
лабораторных условиях.
Прежде явление глории объясняли обычной дифракцией ка-
каким-то образом отраженного света на передних каплях облака.
Это объяснение является неправильным, так как: 1) его геомет-
геометрическая сторона не обоснована; 2) относительные диаметры
колец не удовлетворяют обычной теории дифракции; 3) свет ко-
колец сильно поляризован. Правильное объяснение заключается
в том, что эти необычные изменения интенсивности света, рассе-
рассеянного близ направления назад, присутствуют уже в диаграмме
рассеяния отдельной капли. В таком случае полная теория дол-
должна основываться на формулах Ми, однако мы увидим, что глав-
главные особенности можно объяснить совсем просто на основе прин-
принципа Гюйгенса.
292
13. ОПТИКА ДОЖДЕВОЙ КАПЛИ
13.31. Излучение тороидального волнового фронта
В разд. 12.1 мы видели, что приближение лучевой оптики
дает бесконечную интенсивность (?> = оо), кроме случая радуг,
еще в одном случае, а именно для лучей, имеющих
sin 8 = 0 и sin2t#0.
Принимая во внимание действительную форму волнового фронта,
эту бесконечность можно устранить. Только что приведенное
условие допускает две возможно-
возможности: 0 = 0 и 180°. Все особенности
в направлении вблизи 6 = 0
(рассеяние вперед) замываются
более яркими кольцами, вызы-
вызываемыми дифракцией света на
шаре. Поэтому мы сосредоточим
наше внимание на области вбли-
вблизи U=180°, т. е. на глории.
На рис. 48 представлен про-
простейший пример светового луча
abcde, удовлетворяющего требуе-
требуемому условию. Изображены так-
также смежные лучи, выходящие
под углами, мало отличающи-
отличающимися от 180°. Поэтому линейный
фронт падающей волны пре-
Рис. 48. Схема распространения луча образуется в круговой фронт вы-
глории. Картина имеет вращатель-ХОДЯщеи волны, имеющей мни-
ную симметрию относительно оси ся.мый фокус в точке F. Весь рису-
рисунок мы должны вращать вокруг
оси cs, и все выходящие лучи, определенные таким образом,
интерферируют друг с другом. Они определяют тороидальный
волновой фронт, который кажется исходящим из фокального
круга, описываемого фокусом F. Соответствующую интерферен-
интерференционную картину можно получить, исходя из принципа Гюйгенса.
Наиболее интересная особенность излагаемой проблемы со-
состоит в том, что оба направления поляризации нельзя рассмат-
рассматривать порознь. Пусть падающая волна линейно поляризована
и колебания ее электрического вектора происходят в плоскости
рис. 48. Тогда для изображенных лучей волна поляризована
в направлении, параллельном плоскости рассеяния и выходит
с амплитудой, содержащей множитель е2. Однако в перпенди-
перпендикулярной плоскости та же волна проявляется как волна с коле-
колебаниями, происходящими в плоскости, перпендикулярной плос-
13.3. глория 293
кости рассеяния, так что после прохождения ее амплитуда про-
пропорциональна е\. Обе прошедшие волны продолжают колебаться
в одном и том же направлении и могут интерферировать. Эта
интерференция лучей, лежащих в различных азимутальных плос-
плоскостях, напоминает таким образом интерференцию лучей, имею-
имеющих различные направления поляризации.
Рис. 49 поясняет используемые нами обозначения. Окруж-
Окружность изображает фокальный круг, из которого, как кажется,
исходит тороидальная волна; пусть его радиус будет г'. Рассчи-
Рассчитаем интенсивность, излучаемую в направлении, образующем
Рис. 49. Разложение электрических
векторов в элементарной теории гло-
рии.
с осью малый угол у, причем проекция этого направления на
плоскость рис. 49 направлена вправо, как показано стрелкой е.
Компоненты светового вектора А выходящей волны, колеблю-
колеблющейся параллельно и перпендикулярно плоскости, проведенной
через ось и через е, обозначены соответственно через А2 и А\.
Пусть сначала падающий свет будет линейно поляризован
в направлении а, образующем с упомянутым фиксированным
направлением угол гр. Свет, выходящий из произвольной точки
фокального круга, положение которой определяется углом ф,
состоит из двух компонентов, входящих с амплитудами
cos (г|)—ф) в радиальном направлении и sin (i|)—ф) в тангенци-
тангенциальном направлении (против часовой стрелки). Амплитуды, с ко-
которыми выходят эти компоненты, равны
радиальный компонент: C2cos(i|) — ф),
тангенциальный компонент: Ci sin (if — ф);
постоянные Сг и С2 пропорциональны соответственно ei и е2.
Чтобы получить векторы амплитуд полной выходящей световой
294 '3. ОПТИКА ДОЖДЕВОЙ КАПЛИ
волны, мы должны для каждой точки круга разложить выхо-
выходящий вектор на компоненты, параллельные Ах и А2. Они равны
ai (ф) = (Ci cos2(p-f- Сг sin2 ф) sin \Jj — (Ci — C2) sin ф cos фcos ip,
a2 (ф) = (С\ — C2) sin ф cos ф sin if — (Ci sin2 <p+C2 cos2 ф) cos ip.
Обозначая г'smy~rfy = u, находим теперь, что полные ампли-
амплитуды выходящего света равны
2г.
Необходимые для преобразования этого выражения определен-
определенные интегралы
е~'"cos ф cos2 odf = -1 { Л («) - Л («)},
о
2т.
1 г1 1
1 I „ — /И COS ф . о г 1 < г / \
-ъг)е sm^do=-T{J0(u)
о
2тс
о
связаны с интегралом Зоммерфельда, определяющим бесселевы
функции.
Естественный падающий свет можно рассматривать как су-
суперпозицию некогерентных линейно поляризованных волн с хао-
хаотически распределенными направлениями колебания. Поэтому,
усредняя эти интенсивности по г|), мы получаем множитель
sin2i)) = cos2i|) = 7г как в А\, так и в А\. Опуская множитель '/в,
для интенсив»остей имеем окончательно
Л = [С, { /о (и) — /2 (ы)} + Сг {/о (и) + /2 (и)}]2,
и для обоих направлений поляризации вместе
/ = 2 (Ci + С2J/о2 (и) + 2 (Ci — С2J/22 (ы).
Эти формулы характеризуют описанный эффект интерференции
во всей его сложности. Если бы интерференции 'между лучами,
лежащими в различных азимутальных плоскостях, не было, то
интенсивности /Ii2 содержали бы только коэффициенты CIi2 с тем
же индексом. В рассматриваемой теории это выполняется для
13.з. глория 295
больших углов, так как множитель /0 (u)+J2 (и) убывает как
игЧх1 и в качестве главного члена остается
/0 (и) ~ /2 (и) = у± cos (и - -f ) ,
так что 1\ содержит Си а /2 содержит С2. В действительности для
цовольно больших углов у «эффективная площадь» волнового
фронта сокращается до двух участков на тороидальной поверх-
поверхности вокруг двух точек, в которых нормали к этой поверхности
имеют'требуемое направление. Тогда будет достаточно простой
теории интерференции двух лучей того же типа, что и теория
радуги Маскара (разд. 13.22). Таким путем можно было бы
также найти общий множитель интенсивности, стоящий перед
только что полученными выражениями.
13.32. Теория, основанная на формулах Ми
Ниже излагается в общих чертах теория глории, основанная
на формулах Ми. Допустим, что \ = я—д мало. Тогда асимпто-
асимптотические выражения функций Лежандра будут (ср. соответ-
соответствующие выражения для малых 6 в разд. 12.32):
т„ (cos 8) = (- 1)" -J- (л + 1) { /0 (г) - 72 (г)},
где г=(п + Ч2) у. Амплитудные функции S{ (Э) и S2 @) (разд.
9.31) точно в направлении назад имеют вид
со
S1 A80°) = - S2 A80°) = V -У- Bп + 1) (- 1)" (- ап + Ь„).
л=1
Если мы имеем дело с большими значениями х, порядка 100
или 200, большая часть слагаемых в этой сумме будет взаимно
компенсироваться, однако мы можем предположить, что вблизи
некоторого значения ./V члены порядка
.... N~3, N — 2, N—\, N,N+l,N + 2,N + 3,...
имеют почти одинаковые фазы, так что полная амплитуда по-
получается заметной величины. Эта «стационарная фаза» опре-
определяет луч в геометрической оптике; следовательно, мы непо-
непосредственно (хотя и не очень точно) перевели основную идею
рис. 48 на язык теории Ми.
296 13. ОПТИКА ДОЖДЕВОЙ КАПЛИ
Сделав эти предположения, положим, по определению,
Cl= VB« + 1)(-1)»*я и с2
где суммирование распространяется только на члены в непо-
непосредственной близости от n = N, а дальнейшими членами прене-
пренебрегают. Тогда полные амплитудные функции для любого ма-
малого значения у принимают вид
S, A80° - Т) = 4 С2 { Л («) + Л («) } + 4 с^ У<> W - Л («) ! ,
- 52 A80° - Т) = -1 с, { Л (а) + Л (и)} + -\~с2 { /0 (и) -- /2 (и)},
где u = Ny. Интенсивности в обоих направлениях поляризации
пропорциональны квадратам абсолютных значений этих функ-
функций. Результат, получаемый таким образом, находится в полном
согласии с формулой, полученной в предыдущем разделе. В ча-
частности, теперь мы можем видеть, что появление члена с «дру-
«другими» коэффициентами Френеля в строгих формулах вблизи
6 = 0 и 180° обусловлено очень простым интерференционным эф-
эффектом. Это разрешает вопрос, с которым мы встретились впер-
впервые в разд. 12.33.
Было бы желательно получить более точно коэффициенты С\
и Сг этого раздела, а также коэффициенты Сх и С2 предыдущего
и тем самым доказать точное соответствие в предельном случае
очень больших шаров. Этот вывод будет опущен (нет оснований
ожидать каких-либо затруднений), так как перед нами стоит
более трудная задача. При т=1,33 луча, подобного изображен-
изображенному на рис. 48, не существует! Как показывает табл. 23, этот
луч существует только при т, заключенном между у 2 и 2.
Простейший луч, удовлетворяющий этим условиям при т = 4/з>-
это — луч, характеризуемый т=56°, р — Б D внутренних отраже-
отражения). Конечно, этот луч не имеет ничего общего с глорией, на-
наблюдаемой в природе, так как оценка полной интенсивности^
соответствующей р — Ъ (ср. табл. 20), показывает, что такие лучи
вряд ли вообще дадут что-либо доступное наблюдениям.
Значительно более вероятное объяснение состоит в том, что
к истине все-таки ближе рис. 48. Несмотря на то, что в пределе
при х—уоо (лучевая оптика), луч, подобный этому, невозможен
при т=Г,33, его влияние может ощущаться для меньших зна-
значений х. Область вблизи края, где законы лучевой оптики не
применимы (разд. 12.33 и 17.2), можно определить следующими,
условиями:
^ 1 !
з/—; cosx_ 2 т <. 2 • 3
Vх- v
3/
х2
13.3. ГЛОРИЯ
297
Луч глории для т=1,5 (см. табл. 23) попадает в эту краевую
область при х<350. Вполне вероятно, что для подобных значе-
значений х, скажем от 100 до 300, краевые лучи при т=],33 также
Таблица 23. Углы падения, необходимые для рассеяния назад после
одного внутреннего отражения
2
1
1
1
,0
,9
,8
,7
90°
54°
38°
20°
cos -.
;
0
0,59
0,78 ;
0,90
1
1
1
1
т
,6
,5
,41
,33
16°
7°
0°
0,96
0,999
1,00
дают глорию. На основании исследования, проведенного в разд.
17.42, в этом случае распространение света можно представить
с помощью луча, как и на рис. 48, однако связанного с одним
или несколькими малыми участками поверхностной волны, как
показано на рис. 86 (стр. 436). Положения такой теории можно
суммировать следующим образом. Параметрами в теории
разд. 13.31 являются г' и Ci/C2. Так как весьма вероятно, что
играют роль лучи, близкие к краевым, г' приблизительно равно а,
а аргумент бесселевых функций и определяется так же, как при
обычной дифракции, а именно
где а — радиус капли. Значение С{/С2 совершенно неопределенно.
Классическая теория с коэффициентами Френеля оказывается
вообще неприменимой. Формулы Ми могут выручить нас только
до тех пор, пока на основании численных расчетов в этой области
значений х можно судить, каковы значения Ci и С2. Фольц со-
сообщил автору, что результаты Гампрехта согласуются со зна-
значениями отношения СУС2 от 0,1 до 0,3 при л: от 10 до 30 и со
значением Ci/C2 = 0 при х = 40. Теория поверхностной волны так-
также приводит к определенно большей интенсивности для поля-
поляризации в направлении 2; действительно, при условиях, которые
не применимы непосредственно к настоящей задаче,
' 2
298 13- ОПТИКА ДОЖДЕВОП КАПЛИ
13.33. Числовые результаты и сравнение с наблюдениями'
Из-за отсутствия надежного теоретического определения от-
отношения Ci/C2 можно попытаться оценить его из наблюдений.
Мы приведем результаты нескольких расчетов.
1. С1 = С2. Глория полностью неполяризована. Центральное
поле очень светлое, а темные кольца расположены при м=2,5;
5,6; 8,7; 11,8;... .
2. С\ =—С2. Глория снова неполяризована. Противосолнеч-
ная точка темна и окружена светлым кольцом при « = 3,1. Тем-
Темные кольца расположены при « = 5,2; 8,5; 11,6; .... В статье Бу-
цериуса рассматривалось только это отношение.
3. Ci = 0. Интенсивности для этого случая показаны на рис. 50.
В центральном поле, исключая противосолнечную точку, преоб-
преобладает «другое» направление поляризации (с индексом 1). При
« = 2,3 мы видим довольно темное кольцо, в котором поляризация
меняет знак. Яркое кольцо при « = 3,5 и все другие кольца почти
полностью поляризованы в «надлежащем» направлении (с ин-
индексом 2). Они разделены темными кольцами при « = 5,4; 8,6;
11,7;....
Данные о глориях на природных облаках собраны Пернтером
и Экснером A910). Измерения на искусственном тумане вместе
с качественными наблюдениями поляризации были опублико-
опубликованы Мирделем A919). Эти данные, хотя и полученные без со-
современной наблюдательной техники, ясно показывают, что слу-
случай 3 (Ci = 0) близок к действительному значению (см. также
разд. 20.3).
Существуют четкие отличия глории от обычных венцов; все
их можно объяснить на основе излагаемой теории.
1. Изменчивость глории и венцов. Очевидно, что интерферен-
интерференция лучей, которые преломляются противоположными сторонами
водяной капли, будет более чувствительна к незначительным де-
деформациям капелек, чем это имело место для радуг, в которых
интерферируют только соседние лучи, или для венцов, в которых
интерферируют непреломленные лучи.
2. Внешние кольца глории значительно более резко выражены,
чем внешние кольца обычных венцов. В одном случае можно
было наблюдать до 5 минимумов. Это объясняется тем, что ин-
интенсивность в глории уменьшается пропорционально 1/у, в то
время как обычные венцы подчиняются закону I/O3.
3. Последняя бросающаяся в глаза особенность заключается
в размытости первого темного кольца, которое при нормальном
1 См. также разд. 20.3.
13.3. ГЛОРИЯ
299
солнечном освещении наблюдается как первое красное кольцо.
Мирдель называет его «незначительной депрессией, разделяющей
внутреннюю и внешнюю части центрального поля». Эта размы-
размытость первого темного кольца становится понятной, если при-
приблизительно верно распределение интенсивности, приведенное
на рис. 50. Дальнейшее увеличение первого яркого кольца про-
2
Рис. 50. Интенсивность и поляризация в глории в предположении, что Ci = 0.
исходит при приближении к случаю 2, когда С\ и С2 имеют раз-
разные знаки. Оценивая на основании описания Мирделя, что
О 30 <Г Яркость первого кольца . „ ™
' Яркость центрального поля ^ ' '
находим, что значение либо С2/Си либо Ci/C2 заключено между
0 и —0,25.
Дополнительные данные можно получить из наблюдений по-
поляризации, выполненных Мирделем. Из того факта, что картина
вращается при вращении анализатора (призмы Николя), заклю-
заключаем, что существует круговая симметрия, так что стеклянные
пластинки в опыте Мирделя не могли оказать существенного
влияния. Дополнительность цветов центрального поля и колец
300
13. ОПТИКЛ ДОЖДЕВОЙ КАПЛИ
указывает на различные плоскости поляризации, что находится
в согласии с рис. 50. Преобладающей поляризацией во всех ярких
кольцах будет поляризация, для которой электрический вектор
колеблется в радиальном направлении. Это показывает, что,
если не учитывать знаков, C2>Ci. Однако тангенциальная ком-
компонента также видна. Оценивая ее интенсивность более чем в 4%
от полной интенсивности колец, находим С\\Сч > 0,04. Вместе
с прежними данными это указывает на то, что СУСг должно быть
около —'А или —'/б- Эта оценка основана на лабораторных дан-
данных. Данных о наблюдениях поляризации реальных глорий, по-
видимому, не опубликовано. Случайные наблюдения с самолета,
любезно сообщенные автору О. Струве и М. Мипнартом, под-
подтверждают это состояние поляризации. Систематическое иссле-
исследование могло бы дать ценные дополнительные данные.
Наконец, можно исследовать радиусы колец. Для обычных
венцов радиусы колец обратно пропорциональны размерам ка-
капелек. Однако уже давно было отмечено, что размеры колец
глорий не согласуются с этой старой теорией. Обозначим радиусы
темных колец через уь Y2. Уз и т- Д- При С{ = 0 рассматриваемая
теория дает
Yi:Y2:Y3:Y4 = 2,3:5,4:8,6: 11,7 = 0,43: 1,00: 1,60:2,17.
Для других значений CxjC2 эти отношения не очень отличаются
от приведенных. В табл. 24 приводятся наблюденные и вычис-
вычисленные отношения.
Таблица 24. Соотношения радиусов темных колец,
Наблюдатель
Мирдель
Среднее из не-
нескольких на-
наблюдений
Вегенер
Теория
Свет
Белый
Красный
Фотографиче-
Фотографический
Белый
Фотографи-
Фотографический
Сх - 0
/-> 1/~> ЛИГ
*~* 1 /*~*2 z=^ —",iO
Ci/C2=-1
Облако
Искусственное
Природное
-
0,34
0,46
0
0
0
0
+ 0,05
Л .0,05
,41
,43
,35
,61
1
1
1
Yj.'Ti
,66-1 0,03
,6Н + 0,04
1,59
,67+0,06
A,74I
1,60
1,61
1,37
1 Определено неуверенно
13.4. ДИФРАКЦИЯ И ОСЛАБЛЕНИЕ 301
: Согласие между теорией и наблюдениями почти такое, какого
мбжно было ожидать. Поправки на угловой размер Солнца не
вносились, и предполагалось, что измеренные наблюдателями
края красных колец дают положения темных колец в монохро-
монохроматической картине для желтого света'. Этим вводится значи-
значительная неопределенность, однако отношение 62/6! = 1,80, имею-
имеющее место для обычных дифракционных венцов, достаточно
сильно отличается от табулированных значений и тем самым
вновь показывает, что эта теория не применима к глории.
На основе предлагаемой теории измерения различных темных
колец дают для размера капелек разумную величину. По сред-
средним диаметрам, равным приблизительно 2у1 = 1°30', 2у2 = 3°50',
2уз=6о30', находим, что л;=160 для желтого света, т. е. 0,028 мм
для среднего диаметра водяных капель в облаках, на которых
наблюдалась глория.
13.4. Дифракция и ослабление
Особый интерес представляет рассматриваемая в этом раз-
разделе амплитуда света, рассеянного под углом 9 = 0 и вблизи него.
13.41. Аномальная дифракция на водяных: каплях
Мекке A920) был первым, обратившим внимание на то, что
существует некоторый интервал размеров капель, для которого
преломленный и отраженный свет в направлениях вблизи 0 = 0,
а также дифрагированный свет имеют амплитуды сравнимой
величины. При этом он полагал, что интерференция этих трех
компонентов может вызвать эффекты аномальной дифрак-
дифракции.
С того времени эта проблема была тщательно изучена для
предельного случая т, близких к 1. Тогда лучом, отраженным
от шара, можно пренебречь, и интерференция происходит только
между двумя компонентами, а именно: между дифрагированным
и преломленным светом. Кроме того, в этом случае исчезают
поляризационные эффекты. Полные численные результаты даны
в разд. 11.33. Ниже будет показано, что эти результаты вполне
надежны даже для т~ 1,33, если приближенно ищется смещение
максимумов и минимумов или качественная оценка изменения
амплитуды. Однако, получив все это, естественно потребовать
большего и посмотреть, нельзя ли построить график для т= 1,33
и для обоих направлений поляризации, соответствующий рис. 34.
1 См. книгу Пернтера и Экснера (стр. 460).
302 13- ОПТИКА ДОЖДЕВОЙ КАПЛИ
Предположения Мекке дают наиболее простой подход к этой
задаче. Ответ уже имеется в разд. 12.2, где даны амплитуды и
фазы упомянутых трех компонентов. Числовые значения интен-
сивностей преломленного и отраженного света приведены в
табл. 21 (разд. 13.11), а числовые значения амплитуды дифраги-
дифрагированного света — в табл. 6 (разд. 7.4). Нужно только ввести со-
соответствующий множитель, учесть фазу и провести суммирование.
Когда Мекке впервые выполнил это, он допустил ошибку: не
учел изменения фазы при прохождении через фокус. Более позд-
поздние расчеты, основанные на том же принципе, но с правильными
фазами, были выполнены Брикаром A946) и Юнггреном A949).
Численные расчеты в области х от 19 до 30 провел Рамачандран
A943), однако автор не имел возможности провести подробное
сравнение.
Брикар A946) начинает свою статью с простого сложения
интенсивностей, однако в последующих разделах вычисляет
также фазы и складывает три компонента с соответствующими
фазами, не рассматривая отдельно двух направлений поляри-
поляризации. В табл. I своей статьи он дает результирующую интен-
интенсивность без фазовых эффектов, а в табл. II — с учетом их; обе
таблицы охватывают область х=2па/% от 10 до 37 и область
х sinG от 0 до Ю,4.
Юнггрен A949) был более требовательным и заранее не
удовлетворился приближениями, которые можно получить из
геометрической оптики. Однако после ряда остроумных преобра-
преобразований формул Ми компонент преломленного света оказался
точно соответствующим этому приближению, к тому же с пра-
правильной фазой (см. также разд. 12.35). Юнггрен правильно заме-
замечает, что подобное преобразование отраженного света невоз-
невозможно, так как приближения Дебая членов с п, близкими к х
(почти касательные лучи), оказываются другими. Это сообра-
соображение не было учтено Мекке и Брикаром. Решение Юнггрена для
отраженного света является неполным, и, к сожалению, оно опу-
опубликовано без подробностей. Как будет показано в гл. 17, эта
проблема действительно чрезвычайно трудна. К счастью, отра-
отражение количественно незначительно, если не считать главного
дифракционного пика, который из-за отражения оказывается
значительно выше, что следует из самой простой теории (разд.
13.42 и 17.26). В разд. 11.6 рассматривался еще более плодотвор-
плодотворный метод Гарта и Монтролла.
Более современные расчеты, основанные на формулах Ми для
х=15, 20, 25, 30, 35, 40, можно непосредственно сравнить с при-
приближенными теориями; это сравнение будет показано на двух
рисунках. Интервалы по х и Э слишком велики, чтобы обеспе-
обеспечить достаточный численный материал.
13.4. ДИФРАКЦИЯ И ОСЛАБЛЕНИЕ
303
12
Рис. 51. Распределение интенсивности в карти-
картинах аномальной дифракции для водяных капель
с х=30, 35 и 40. Даиа средняя интенсивность для
обоих направлений поляризации. Жирная линия
с точками — точные данные для /п=4/3; кре-
крестики—приближенная формула Юнггрена для
т=4/3; тонкая линия — кривые для т, близких
к 1; пунктир — дифракционная формула Фраунго-
фера.
На рис. 51 представлена дифракционная картина для трех
размеров: х=30; 35; 40 (соответствующих при А = 0,63 мк каплям
радиусами 3; 3,5; 4 мк). Графики представляют собой кривые ам-
амплитуд в функции х sin0; указаны также значения Э. Квадраты
ординат пропорциональны интенсивностям, так что реальные
304 13- ОПТИКА ДОЖДЕВОЙ КАПЛИ
расхождения оказываются сильнее, чем предполагалось. Орди-
Ординаты будут
Л1 = Xi — ~tf~ ' - ~ -*3 ~ ~X2~ "
Точки и кривые для двух направлений поляризации порознь не
нанесены, так как их разность всегда остается меньше, чем это
можно изобразить на рисунке: \А\—Л2|<0,01. На каждой части
рис. 51 изображены три кривые:
1) Кривые, соединяющие точки, рассчитанные на основе стро-
строгой теории в статье Гампрехта и его соавторов. Точки располо-
расположены с интервалом 1° для 0 от 0 до 10°.
2) Кривые А при т—>\ при значениях о=2х(т—1)=2х/3.
Эти амплитуды были определены и вычислены в разд. 11.3, а тон-
тонкие линии на рис. 51 вычерчены по значениям, непосредственно
полученным по гипсометрической карте (см. рис. 34).
3) Кривая, дающая диаграмму рассеяния непрозрачного
диска. Эта кривая представляет только дифракционный компо-
компонент, для которого, согласно разд. 8.31,
Si S2 J\ (x sin 0) 1 „. ...
функция F{u) табулирована в разд. 7.4.
4) Кроме того, некоторые данные, взятые по кривым Юнг-
грена и переведенные в используемые нами единицы, обозначены
крестиками.
Сравнивая эти кривые, мы видим, что центральный максимум
смещается вверх и вниз немного (более точно это рассматри-
рассматривается в разд. 13.42), что второй максимум (первое яркое коль-
кольцо) показывает очень сильные расхождения и что третий и сле-
следующие максимумы все же не похожи на классическую ди-
дифракционную картину для этих значений х.
Из рис. 51 видно также, что теория, развитая для случая
т->-1, правильно воспроизводит особенности точной картины.
Однако значения Юнггрена еще ближе к точным значениям.
Значения х=30; 35; 40 показывают крайние случаи. Это можно
видеть непосредственно из рис. 52. На этом рисунке даны поло-
положения минимумов в дифракционной картине, но не показаны
интенсивности максимумов или минимумов. Абсциссой является
х sin Э, однако несколько прямых линий позволяют получить дей-
действительные значения углов. Представлены четыре группы ре-
результатов.
1) Некоторые данные, полученные по формулам Ми. Из таб-
таблиц Гампрехта с соавторами и из рис. 5 были получены следую-
13.4. ДИФРАКЦИЯ И ОСЛАБЛЕНИЕ
305
шие оценки (с точностью до Г):
х 25 30 35 40
Первый минимум при х sin 9 .... 10° 6° 7° 5°
Этими таблицами можно пользоваться только для углов боль-
больше 10°.
и
45
Рис. 52. Положения минимумов интенсивности в
картинах аномальной дифракции: х=2ла/к. О —
угол рассеяния. Сплошные кривые дают положе-
положения для т ->- 1 с ординатамир =2х(га—1), ука-
указанными справа. Пунктирные кривые дают поло-
положения, вычисленные Брикаром для иодяиых
капель (т=4/3); ордината х указана слева. Ром-
Ромбики дают положения минимумов по строгим фор-
формулам Ми, а крестики — по приближению Юиг-
грена. Внизу указаны положения минимумов, опре-
определяемые только дифракцией (большие частицы).
2) .Минимумы, взятые из таблицы Брикара. Они соединены
пунктирными линиями. Соответствующий график в статье Бри-
Брикара ненадежен.
3), Значения, полученные по графикам Юнггрена.
4) Минимумы, снятые с гипсометрической карты (см. рис. 34)
20 заказ № 374
306 13. ОПТИКА ДОЖДЕВОЙ КАПЛИ
при m-П. Из этой карты видно, что отдельные минимумы меня-
меняются при возрастании размеров капель. Для некоторого размера
второй максимум может сделаться настолько слабым, что он исче-
исчезает, а два минимума, расположенные рядом с ним, сливаются
в один. Это происходит при х=13 и 25 и, кроме того, при х=35
(или очень близко к этому значению х). Для еще больших зна-
значений х, представленных на рисунке, кривая, указывающая по-
положение первого минимума, колеблется с уменьшением ампли-
амплитуды около асимптотического положения х sin 0=3,83.
Все эти данные тоже хорошо согласуются между собой. Зна-
Значения для /и = 4/3 кажутся слегка сдвинутыми влево по сравне-
сравнению со значениями при т->-1. Точные данные хорошо согласу-
согласуются как с теорией, развитой для случая т->-1, так и с теориями
Брикара и Юнггрена для т = 4/3.
На основании менее полного материала, чем тот, который был
использован здесь, Найк A954) указал, что-данные, полученные
на основании теории Ми, также объясняют, почему измерения
дифракционных колец на каплях радиусами меньше 5 мк при
использовании обычной теории всегда дают значения а, несколь-
несколько большие правильных (которые можно найти по скорости па-
падения). Это хорошо иллюстрируется рис. 52: не считая таких
размеров, для которых первый минимум делается размытым, мы
видим, что обычно он лежит между xs'in 0=3,0 и 3,5 вместо клас-
классического значения 3,83. Паранджпе и Пател A954) также за-
заключили, что теория Рамачандрана лучше, чем формула для
однородного диска.
Наконец, мы можем выяснить, возможно ли успешное построе-
построение полной гипсометрической карты для т = 4/3, подобной той,
которая была получена на рис. 34 для т->1. В настоящее время
прямым и надежным способом построения такой карты было бы
продолжение вычислений Гампрехта и его соавторов, т. е. в ос-
основу расчетов карты были бы положены непосредственно фор-
формулы Ми (отдельно для двух направлений поляризации). Другой
способ, где используются приближенные теории, аналогичные
принятым в исследовании Брикара и Юнггрена, едва ли может
обеспечить значительно лучшее приближение, чем теория для
m-П. Однако если бы была сделана попытка к созданию более
полной теории типа теории Мекке, то следует принять во вни-
внимание следующее.
1. Для малых р имеется «остаток» даже в пределе /п-»-1 (ср.
разд. .11.32).
2. Для малых х преломленный свет не подчиняется законам
геометрической оптики, так как амплитуда (коэффициент отра-
отражения и т. д.) меняется вдоль площади, по которой проводится
интегрирование. (Этот пункт тесно связан с п. 1.)
13.4. ДИФРАКЦИЯ И ОСЛАБЛЕНИЕ 307
3. При любых х отраженный свет не подчиняется законам
геометрической оптики, если Э мало. Условие справедливости
формул геометрической оптики есть (ср. разд. 17.11)
Если х = 30, это дает 0>2О°, что указывает на необходимость
учитывать этот эффект.
4. «Рябь», наблюдаемая в численных результатах для Э=0
(разд. 13.42), вызывается, вероятно, совершенно другой причи-
причиной и может толковаться как своего рода глория в направлении
вперед (разд. 17.52). Это явление будет давать дополнительный
член для любого значения 0, не выходящий за рамки классиче-
классической дифракционной картины.
13.42. Излучение в направлении вперед; кривая ослабления
Числовые результаты для 0=0 значительно полнее, чем для
других значений Э. Они имеются или в виде амплитуды рассея-
рассеяния вперед S (х, 0), или в виде фактора эффективности ослаб-
ослабления (например, разд. 9.32):
На рис. 53 (стр. 308) показан результат для т=1,33. Рисунок
дает график 4S@)/x2 в комплексной области для л: от 0 до 15, со-
согласно расчетам Лоуана и Гукера. Большая часть точек осно-
основана на точных расчетах; остальные точки были нанесены с по-
помощью интерполирования; график является полным для интер-
интервала по х, равного 0,1.
На рис. 32 (разд. 11.22) средняя кривая является графиком
вещественных частей. Это —кривая ослабления, вычисленная
Гольдбергом для х от 0 до 30. Оба рисунка можно сравнить с со-
соответствующими рисунками для т—>-1 (рис. 31 и 32, нижняя кри-
кривая). Бросающееся в глаза сходство основных особенностей
видно уже из рис. 32. Вопрос, привлекавший внимание многих
авторов, состоит в нахождении простой приближенной формулы,
которая давала бы почти точные значения ослабления при раз-
различных значениях т (например, от 1,20 до 1,60) и при всех х,
больших примерно 5, где строгие расчеты становятся громозд-
громоздкими.
Лучшая формула, которую можно предложить на основе ис-
исследований, выполненных в этой книге, это
*(«. щ - 4-*-*(.+.??._.,»— "-'+
+ @,46 - 0,80/) х3 + „Рябь".
20*
308
13. ОПТИКА ДОЖДЕВОЙ КАПЛИ
При т= 1,33 формула принимает вид
-l ,975x (sin 0,66x +• * cos 0,66x)
+ @,46 - 0,80/) *Т + «Рябь".
Соответствующая формула ослабления имеет вид
Q (Х) =2—7,90л:-1 sin 0,66л:+1,84л;-1/» +«Рябь».
Слагаемые расположены в порядке их значимости. Можно
отметить следующие отличия от формул для х-^оо, полученных
на основе приближения лучевой оптики и собранных в разд. 12.45.
45@)
Вещественная часть
Рис. 53. Кривая 4S(Q)/x2 в функции х в комплексной области при
т=1,33. Вещественная часть— фактор эффективности ослабления Q.
Первое слагаемое: дифракция — без изменения.
Второе слагаемое: преломленный луч (р=1)—без измене-
изменения. Соответствующие члены, обусловленные центральными лу-
ЛИТЕРАТУРА 309
чами, прошедшими по диаметру 3, 5 и более раз, опущены, так
как в рассматриваемой области значений т они оказываются
численно несущественными.
Третье слагаемое: скользящее отражение — существенные от-
отличия. Указанный вид этого слагаемого основан на теоретиче-
теоретическом выводе и проверен числовыми результатами (разд. 17.26);
точное значение коэффициента остается несколько неопределен-
неопределенным. Существенно, что в отличие от приближения лучевой оптики
для члена, выражающего отражение (разд. 12.45), этот член
имеет вещественную часть. Поэтому кривая ослабления сдви-
сдвигается вверх, так что средняя кривая лежит выше Q = 2. С возра-
возрастанием х этот член уменьшается медленнее, чем член, учиты-
учитывающий преломление. Таким образом, для частиц очень боль-
больших размеров (х>100) этот член является главным.
Четвертое слагаемое: «рябь» на кривой ослабления — харак-
характеризуется небольшими колебаниями с периодом по х около 0,8.
На кривой 5 @) она изображается своего рода эпициклами.
Автору не удалось получить эмпирической или теоретической
формулы, но в разд. 17.52 делается попытка объяснить это
явлением, подобным глории, связанным с поверхностными
волнами.
ЛИТЕРАТУРА
Расчеты диаграммы рассеяния, основанные иа законах геометрической
оптики, впервые были выполнены Винером:
Wiener Chr, Abhandl. Kaiser-Leopold-Carol, deut. Akad. Naturforsch.,
73 A907); 91 A909).
Более полные результаты для значений 8 от 0 до 25° даиы Брикаром:
Bricard J., J. phys., 4, 57 A943).
Все числовые данные разд. 13.11 вычислены впервые. Источники, откуда
брались результаты, основанные иа формулах Ми (разд. 13.12), даны в конце
гл. 10. Обсуждение проблемы интерполяции проводится на основе метода,
использовавшегося в работах автора:
v a n d e H u ] s t Н. С, J. Colloid Sci., 4, 79 A949).
van de Ни 1st II. С, Mem. Acad. Roy. Sci. Liege, 15 (Rep. Intern.
Astrophys. Symposium), 89 A955).
Раздел о теориях радуги является в значительной степени новым. В ча-
частности, рис. 47 дается впервые. Формула Эри выводится во многих учебни-
учебниках. Более точные методы, основанные на теории Ми, рассматривались в ра-
работах:
van der Pol Bait h, Bremmer H., Phil. Mag., 24, 141, 825 A937).
Bucerius H.. Optik, 1, 188 A946).
310 ЛИТЕРАТУРА
Ljunggren Т., Arkiv Mat., Astron., Fysik, 36A, No. 14 A948).
Более полные расчеты, основанные на принципе Гюйгенса, были выполнены
следующими авторами:
Mobius W., Ann. Physik, 33, 1493 A910);
по существу то же и в работе:
Abhandl. sachs. Ges. Wiss., Math. phys. KU 30, 107 A907).
Mobius W., Ann. Physik, 40, 736 A913);
по существу то же и в работе:
Preisschr. Jablonski Ges., 42 A912).
Rosenberg J., Ann. Physik, 68, 414 A922).
M a 1 к u s W. V. R., В i s h о p R. H., В r i g g s R. O., Nat. Advisory
Comm. Aeronaut., Tech. Notes, No. 1622 A948).
Последние авторы, по-видимому, повторили ошибку в расчете фазы, допу-
допущенную Юнгом, которая была объяснена в конце разд. 13.22.
Любопытный эффект чередующихся максимумов в двух направлениях
поляризации (конец разд. 13.24) был отмечен в измерениях Брикара:
В г i с а г d J., Ann. phys., 14, 148 A940).
Рассмотрение глории в значительной степени основано на работе автора:
van d e H u I s t Н. С, J. Opt. Soc. Amer., 37, 16 A947).
Можно полагать, что другие теории, например теории Брикара A940, см.
выше) и Буцериуса (см. выше), неправильны, однако предложенная теория
все еще несовершенна. Данные наблюдений взяты из работ следующих авто-
авторов:
Pernter J. M., Ex пег F M., Meteorologische Optik, Vienna,
W. Braumuller, 1910.
Mierdel F., Beit. Physik freien Atmosphare, 8, 95 A919).
Более полные данные наблюдений имеются в разд. 20.3. Обзор проблем,
связанных с радугой и глорией, дан также Мейером:
Meyer R., Himmelswelt, 56, 169 A949).
Теория аномальной дифракции, обусловленная наложением дифрагиро-
дифрагированного, отраженного и преломленного света, впервые предложена Мекке:
Me eke R., Ann. Physik, 62, 623 A920).
Ошибки в фазе, встречающейся в этой статье, удалось избежать при
последующем рассмотрении той же задачи:
Ramachandran G. N., Proc. Indian Acad. Sci., A17, 202 A943).
Bricard J., Ann. geophys., 2, 231 A946).
Ljunggren Т., Arkiv Fysik, 1, 1 A949).
Сошлемся, далее, на работы:
Naik J. G., J. Colloid Sci., 9, 393 A954).
P a r a n j p e M. M., P a t e 1 D. Т., J. Univ. Bombay, 22, 1 A954).
В разд. 13.42 собраны новые результаты, более полно представленные
в разд. 17.26.
14. ПОГЛОЩАЮЩИЕ СФЕРИЧЕСКИЕ ЧАСТИЦЫ
Это последняя глава, посвященная обсуждению числовых ре-
результатов теории Ми (гл. 9), а также приближенным методам и
их физической интерпретации. В ней рассматриваются комплекс-
комплексные значения т. Формулы для комплексных т уже приводились
во всех тех случаях, когда их можно было получить как простое
обобщение формул для вещественного т (см. разд. 6.13, 6.4, 7.12,
8.42, 11.23, 12.21, 12.44 и 12.5).
14.1. Комплексный показатель преломления
Распространение электромагнитных волн круговой частоты со
в однородной среде с проводимостью а, диэлектрической по-
постоянной е и магнитной проницаемостью, равной 1, можно оха-
охарактеризовать комплексным показателем преломления
m =
Эта хорошо известная формула была получена в разд. 9.12.
Используется нерационализированная электростатическая си-
система единиц; временной множитель берется в виде exp ( + iat).
Относительно перехода к обычным единицам проводимости
см. разд. 14.41. Обозначая
находим п2 + п'2 = е, 2пп' — 4жт/со, откуда мы можем выразить
пи п' через е, а и со.
Электрическое и магнитное поля (короче, амплитуды) волны,
распространяющейся в направлении z, пропорциональны
g;ft {ct—mz) -—. gi<vt—imkz
где k = 2лД = со/с, а к — длина волны в вакууме. Таким обра-
образом, вектор Пойнтинга, определяющий интенсивность волн, про-
пропорционален
g— 2kn'z—- (r—jz
Величина y = 2&я' = 4лп'/Х — коэффициент поглощения; его
размерность смгх.
14. ПОГЛОЩАЮЩИЕ СФЕРИЧЕСКИЕ ЧАСТИЦЫ
Постоянные виз сильно зависят от а> и приближаются
к своим статическим значениям только при очень малых часто-
частотах. Чтобы пайти точные значения, следует провести измерения
при каждой частоте. С этой целью были выполнены измерения
поглощения в очень тонком слое и измерения интенсивности и по-
поляризации волны, отраженной от плоской поверхности. Такие
измерения дали надежные значения п я п' для многих веществ и
ряда длин волн. Как и предполагалось, измерения в далекой ин-
инфракрасной области, начатые Хагеном и Рубенсом, показали по-
постепенный переход е и а к их статическим значениям. В этом
предельном случае глубина проникновения у1 связана с толщи-
толщиной скин-слоя (разд. 14.41).
Существует огромное количество различных поглощающих
веществ и соответствующее множество приближений к строгим
формулам Ми. Ниже приводятся пять типичных примеров, а так-
также указываются разделы, где можно найти подробности соответ-
соответствующих расчетов по теории Ми.
Тип 1.т= 1,27— l,37t(cp. разд. 14.2).
Это показатель преломления железа при % = 0,420 мк. Для
всех металлов при частотах, соответствующих оптической об-
области, как п, так и п' оказываются порядка единицы. Они заметно
меняются с длиной волны, что можно заключить сразу по цвету
различных металлов. Большие металлические шары поглощают
количество энергии порядка половины излучения, падающего на
их поверхность. Очень малые сферические частицы поглощают
пропорционально их объемам, и поглощение превосходит пол-
полное рассеяние.
Тип 2. т = 37 — 4It (ср. разд. 14.4).
Это показатель преломления платины при X = 10 мк (инфра-
(инфракрасная область). Для всех металлов при низких частотах п п п'
очень велики и почти равны. Вещество является почти полностью
отражающим. Лишь малая часть, составляющая в этом примере
4% перпендикулярно падающего излучения, преломляется, по-
попадает в металл и поглощается.
Тип 3. т=1,5 — 0,000 П (ср. разд. 14.5).
Такой показатель преломления можно приписать черному
стеклу. Пластинка толщиной 1 мм, имеющая такое значение т,
пропускала бы только 8% падающей интенсивности. Таким об-
образом, диэлектрик, который считается сильно поглощающим,
имеет значение п', которое все же очень мало. Для шаров из та-
такого вещества поглощение можно не рассматривать, за исключе-
исключением случая очень больших значений х. Однако каждый диэлек-
14.2. ОБЩИЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА; МЕТАЛЛИЧЕСКИЕ ШАРЫ 313
трик будет поглощать при частотах, близких к собственным ча-
частотам. Вблизи самих собственных частот показатель преломле-
преломления имеет тип 1 (металлическое поглощение). Между крайними
типами 1 и 3 существует постепенный переход.
Тип 4.т = 8,90 — 0,69/ (ср. разд. 14.3).
Показатель преломления воды при частоте 3000 Мгц,
К = 10 см. Это значение близко к статическому значению
т = У е = 9. Рассеивающие свойства дождевой капли при
такой частоте сильно напоминают свойства полностью отражаю-
отражающего шара. Большое значение п в комбинации с малым значе-
значением п' дает в результате значительные резонансные пики. Су-
Существует постепенный переход между типами 1 и 4.
Tan 5. m=l,01 — 0,01 г (ср. разд. 11.23 и 14.5).
Сферическая частица, имеющая такой гипотетический показа-
показатель преломления, вела бы себя подобно почти черному телу,
если только х значительно больше 100. В теории Максвелла абсо-
абсолютно черного тела не существует. Можно получить только при-
приближение к нему при выполнении двух условий:
а) Отражается ничтожная доля энергии, так что \т—1|<^1.
б) Шар непрозрачен, так что п'х^>\. Поскольку из условия
(а) следует, что п'<^1, то черное тело можно осуществить только
в пределе при х —у оо.
Конечно, все многообразие поглощающих сред не исчерпы-
исчерпывается этими пятью типами. Очень часто описание с помощью-
комплексного показателя преломления вообще не является пра-
правильным вследствие неоднородности вещества. Однако в качестве
рабочей схемы такое деление будет полезным.
14.2. Общие методы расчета; металлические шары
Напомним правило, сформулированное в разд. 9.4: если шар
находится в прозрачной среде с вещественным показателем пре-
преломления п0, отличным от 1, то значение т, которое следует ис-
использовать во всех формулах, равно действительному показателю
преломления рассеивающего шара, деленному на п0, и при вы-
вычислении х — 2'па/Х следует использовать длину волны в среде,
а не в воздухе.
Пример. Частицы золота (т = 0,57 — 2,45с при К = 0,550 мк)
в воде («о = 1,333). При проведении опытов в желтом свете
(К = 0,550 мк) для расчетов следует принять показатель прелом-
преломления 0,43 — 1,84t и длину волны 0,412 мк.
314 Н. ПОГЛОЩАЮЩИЕ СФЕРИЧЕСКИЕ ЧАСТИЦЫ
14.21. Разложение в ряды.
Численные расчеты для комплексных значений т предста-
представляют новое затруднение, так как таблиц функций Риккати —
Бесселя г|)„ для комплексных аргументов нет. В этом случае ока-
оказывается мало полезным и метод фазовых углов, с таким успехом
применявшийся для вещественных т, так как эти углы сами яв-
являются комплексными величинами. Если п, или п', или одновре-
одновременно оба показателя имеют особенно большие или особенно ма-
малые значения, можно предложить специальные приближенные
методы; они обсуждаются в последующих разделах.
Для обычных показателей преломления (например, типа 1
или типа 4, см. выше), по-видимому, нет иного пути, чем исходить
из определений и точных формул. Такой расчет состоит из сле-
следующих этапов (см.гл.9):
tn
и производные -> , И- „ г>
н / \Ь„ J \ Значения Q
Этот метод допускает ряд вариантов.
A. Вычисляем \рп(тх) и \рп'(тх) или любую необходимую их
комбинацию с помощью разложений в ряды или по рекуррент-
рекуррентным формулам. Другие функции имеют вещественные аргументы,
и их можно получить из таблиц. Дальнейшие расчеты ведем с по-
помощью численных подстановок. Удобная форма рекуррентных
соотношений была получена, например, Гукером и Коном,
а также Аденом в его методе «логарифмических производных».
Б. Представляем все бесселевы функции в виде степенных ря-
рядов по х и получаем таким образом коэффициенты а„ и bn в виде
степенных рядов по х. Коэффициенты в этих степенных рядах
являются; функциями т. Из этих рядов находим числовые значе-
значения а„ и bn.
B. Можно пойти дальше и выразить <30СЛ. и Qnora. в виде сте-
степенных рядов по х и получить из этих рядов их значения. После
выполнения этапа Б это делается просто.
При малых х (приблизительно при х<0,6) метод В имеет
решающее преимущество, состоящее в том, что он дает резуль-
результаты в аналитическом виде, что позволяет выявить всевозможные
неточности. Для больших значений х методы Б и В оказываются
сложнее, чем метод А. При использовании любого метода, прежде
чем построить определенную кривую, например кривую QOcn.
в функции х, нужно вычислить большое количество точек.
Большая часть разложений в ряды уже была дана. Опреде-
Определим s, t, и и w в функции т, как и в разд. 10.3; теперь эти вели-
14.2. ОБЩИЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА; МЕТАЛЛИЧЕСКИЕ ШАРЫ 315
чины имеют-комплексные значения. Главные члены разложения
аи Ъ\ и а2 совпадают тогда с приведенными в разд. 10.3, а ампли-
амплитудная функция при 6=0, точно так же, как для вещественных
т, есть
S @) = -i- [6isx3 + is F* + 6и + lOw) хь + №х6 -f- . . . ] .
Однако если взять вещественную часть соответственно формуле
(разд. 9.32)
то первые члены, обращающиеся в нуль для вещественных т,
в данном случае остаются, и в результате имеем
О - - Im Ux -^^1- + — х
Чосл.— lm L4JC m^ -+- 2 + 15 ¦*
Первый член оказывается главным членом, дающим поглощение;
он был получен в разд. 6.31 в теории для малых частиц произ-
произвольной формы. Для рассеяния получаем (см. разд. 6.31 и 10.3)
Qpac. — X'
¦4_°
3"
Ч-
Несмотря па то, что эта формула тождественна формуле реле-
евского рассеяния, она не обязательно означает, что интенсив-
интенсивность рассеянного света пропорциональна Я, так как показа-
показатель преломления большинства металлов очень сильно зависит
от а. Это служит причиной того, что коллоидные растворы ме-
металлов имеют цвета, отличные от голубого цвета неба, даже если
частицы очень малы. Это было совершенно ясно показано в пер-
первоначальной работе Ми.
В табл. 25 (стр. 316) приведены некоторые примеры коэффи-
коэффициентов главных членов и приблизительная область значений х,
в которой достаточно только первого члена.
Рассмотренные выше разложения в ряды, являющиеся ос-
основой для, любого расчета с помощью метода В, были получены
Шёнбергом и Юнгом A934, 1937) и использовались также Ша-
лёном (см. ниже) для проверки результатов, вычисленных с по-
помощью методов А и Б. В своей первой статье Шёнберг и Юнг
приводят множители, входящие в главные члены, дающие погло-
поглощение и рассеяние, более чем для 100 значений т, соответствую-
соответствующих показателям преломления металлов Pt, Fe, Cu, Ni, Ag, Аи,
Zn, Mg, Al, Na, К (по отношению к вакууму) для ряда длин волн
316
И. ПОГЛОЩАЮЩИЕ СФЕРИЧЕСКИЕ ЧАСТИЦЫ
Таблица 25. Главные члены, дающие поглощение и рассеяние, для
избранных значений т
Характеристика
т
т.2
«2 — 1
mi+2
Упогл.
Vpac.
Од юго
члена доста-
достаточно при
Вещество
Золото в воде
)¦ =- 0,60 мк
вом.
X - 0,45 мк
воды
0,23 -2,22/
—4,84—1,26/
1,887 0,393/
1,57л:
9,85л
дг<0,3
Железо
X - 0.44 мк
1,27—1,37/
—0,26—3,48/
0,655—0,690/
2,76л:
2,41.v4
л-<0,3
Вода
к = 3 л»л
3,41-1,94/
7,87—13,23/
0,891 0,146/
0,58л:
2.18.V*
л-< 0,12
Вода
). = 3 см
8,18—1,96/
63,1—32,1/
0,960—0,018/
0,07л:
2,44л4
х < 0,06
МдеальныГ
проводник
СО
со
1
0
3,33л:4 г)
л-<0,6
1) В этот результат входит также магнитно-дшюльное излучение (разд.
10. 61).
в видимой области. В своей второй статье они дополняют разло-
разложение Qoc-ч. в ряд членом с х5 и вычисляют коэффициенты четы-
четырех членов, необходимых тогда, для 28 значений т. Пренебрегая
членами высших порядков, они вычисляют значения Qoc.i. для
значений х вплоть до х = 0,9. Однако это далеко выходит за
границы применимости метода В; с помощью этих разложений
результаты с достаточной точностью можно получить только для
.г < 0,5 или 0,6.
14.22. Обзор числовых результатов
Опишем теперь результаты, полученные путем численного
суммирования рядов Ми (метод А, разд. 14.21).
Полные расчеты функций Ми для комплексных значений m
были выполнены несколькими авторами. Для читателей, желаю-
желающих сравнить свои экспериментальные или теоретические дан-
данные с данными, имеющимися в литературе, в табл. 26 дается пол-
полный список значений m и областей х. В этой книге не предста-
представляется возможным обсуждать вопрос о надежности этих значе-
значений пг для отдельных металлов и длин волн. Следует предосте-
предостеречь читателей, что некоторые из этих величин получены на осно-
основании старых измерений ичто постоянные могут отличаться для
Таблица 26. Комплексные значения т,
для которых были выполнены расчеты.
Аэрозоли, видимая область
Автор
Шалён
Шалён
Шалёи
Шалён
Шалён
Зенфтлебен
и Бенедикт
Керкер
т
1,16—1,27/
1,27-1,37/
1,34—1,45/
1,38—1,50/
1,51—1,63/
1,70—1,84/
1,33—2,30/
1,46—2,68/
1,44—2,88/
1,50—3,10/
1,54—3,26/
1,58—3,42/
1,74-3,80/
0,84—2,91/
0,93—3,18/
1,05—4,49/
1,41—4,10/
1,93—4,66/
2,62—5,08/
1,17-1,76/
1,14—2,05/
' 1,10—2,34t
1,00—2,28/
0,89—2,23/
0,65—2,43/
0,62—2,63/
0,56-3,01i
0,06—1,84/
0,05—2,21/
1,59—0,66/
1,46—4,30/
Металл
Железо
ш
я
а
я
Никель
п
ш
ш
„
п
я
Цннк
в
»
ш
ш
ш
Медь
*
•
щ
ш
w
ш
«
Натрий
Углерод
Ртуть
X, мк
0,395
0,440
0,468
0,508
0,589
0,668
0,395
0,440
0,468
0,508
0,550
0,589
0,668
0,395
0,440
0,468
0,508
0,589
0,668
0,395
0,440
0,500
0,535
0,550
0,575
0,589
0,630
0,435
0,546
0 ,491
0,546
Верхни»
X
3,98
3,57
3,57
3,18
2,78
2,50
2,39
2,14
1,00
1,00
1,71
1,00
1,00
2,39
3,57
3,57
1,99
2,78
1,71
2,39
2,14
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
2,14
1,71
1,12
5,00
предел
1а, мк
0,50
0,50
0,53
0,51
0,52
0,53
0,30
0,30
0,15
0,16
0,30
0,19
0,21
0,30
0,50
0,53
0,32
0,52
0,36
0,30
0,30
0,16
0,17
0,18
0,18
0,19
0,20
0,30
0,30
0,18
0,87
Гидрозоли, видимая область
Автор
Ми
Файк
Файк
т
1,27—1,27/
1,30—1,29/
0,83-1,51/
0,59—1,67/
0,43—1.84/
0,28—2,22/
0,31—2,65/
0,16—1,70/
0,21—2,62/
0,30—3,66/
0,33—4,42/
0,72—2,46/
0,96—2,90/
1,10—3,12/
1,27—3,47/
Металл
Золото в воде
п п
я
я
»
я
Серебро в воде
Ртуть в воде
я
ш
я
в воздухе
0,420
0,450
0,500
0,525
0,550
0,600
0,650
0,420
0,525
0,650
0,750
0,420
0,500
0,550
0,650
мк
в воде
0,313
0,336
0,374
0,393
0,412
0,450
0,438
0,313
0,393
0,488
0,564
0,313
0,374
0,412
0,438
Всрхни
X
1,58
1,41
1,41
1,41
1,41
1,41
1,41
2,00
1,53
1,58
1,58
2,83
2,00
2,00
1,73
л предел
2а, мк
0,16
0,15
0,17
0,18
0,19
0,20
0,22
0,20
0,20
0,25
0,28.
0,2»
0,24
0,26
0,27
Водяные капли, инфракрасная область
Автор
Джонсон,
Элдридж и
Терелл
т (практический
пример)
1,29—0,064/
1,29-0,129/
1,29—0,322/
1,29-0,645/
1,29—1,161/
1,29-1,290/
1,29—1,419/
1,29—2,234/
1,29—2,580/
1,29—2,902/
1,29—5,160/
1,29—129/
Верхний
предел х
18,0
7,0
25,0
6,6
1,0
6,0
1,0
6,0
2,0
2,0
2,0
2,0
т (вода)
1,14—0,114/
1,17—0,210/
1,22—0,061/
1,28-0,051/
1,28—0,294/
1,33—0,013/
1,33—0,040/
1,33—0,399/
1,42—0,014/
X, мк
11,0
11,9
10,0
8,5
12,6
4,6
7,0
13,5
3,6
Верхний
предел х
17,5
17,5
17,5
17,5
17,5
17,5
17,5
17,5
17,5
ЛИТЕРАТУРА
319
Автор
Лоуан
Аден
Водяные капли,
т
(вода при 18°С)
3,41—1,94/
4,21—2,51/
5,55—2,85/
6,41—2.86/
7,20—2,65/
8,18—1,96/
8,90-0,69/
9,01-0,43/
сантиметровая
>., мм
3
5
9
12,5
17
30
100
162
область
Верхний предел
X
5,00
3,00
2а, мм
4,78
4,78
2,00 ' 5,73
1,30
7,03
1,00 9,56
0,60 19,1
6,0
310
ЛИТЕРАТУРА к табл. 26
Шален:
Schalen С, Uppsala astron. Obs. Ann., 1, No. 2 A939);
Schalen C, Wernberg G., Meddelande Uppsala asiron. Obs.,
No. 83 A941); Schalen C, Uppsala astron. Obs. Ann., 1, No. 9
A945).
Зенфтлебен и Бенедикт:
Senftleben H., Benedict E., Ann. Physik, 60, 297 A919).
Керкер:
Kerker M., Tech. Rept., 1, Division of Research and Indu-
Industrial Service, Clarkson College of Technology, Potsdam, N. Y., 195,3;
см. также J. Opt. Soc. Amer., 45, 1081 A955).
Mu:
Mie G., Ann. Physik, 25, 377 A908).
Файк:
Feik R., Ann. Physik, 77, 573 A925).
(Примечание; в этом томе одна и та же нумерация страниц
встречается дважды.)
Джонсон, Элдридж и Терелл:
Johnson J, С, Е1 d г i d g e R. G., T e г т е 11 J. R., Sci. Rept.
4, 19Э4, М. 1. Т., Dept. of Meteorology.
Лоуан:
L о w a n A. N., Tables of Scattering Functions for Spherical
Particles, Natl. Bur. Standards (U. S.), Appl. Math. Series, 4 A949),
Washington, D. C, Govt. Printing Office.
Аден:
Aden A. L., J. Appl. Phys., 22, 601 A961).
320
14. ПОГЛОЩАЮЩИЕ СФЕРИЧЕСКИЕ ЧАСТИЦЫ
Таблица 27. Сравнение Обозначений
А
А
Шалён
также Ми а
V
в
также Дебай VM
Настоящая книга
X
п
180° — в
1 . _3
1 _,
4 Voc.i. х
1
-§"<?р.=.B1:а>
Оосл. A+COS
»)*.
-4
О
Лоуан
a
С1
/С («•;
К(т*;
«)
«)
Настоящая
книга
X
ап
К
Оосл.
Орас.
металлов в виде тонких слоев и, конечно, для коллоидных рас-
растворов, не являющихся строго лиофобньши.
Для всех значений т, приведенных в табл. 26, и для ряда из-
избранных значений х цитируемые авторы дают числовые значения
величин, эквивалентных коэффициентам ап и Ьп и факторам эф-
эффективности Qom. и Qpac- Некоторые результаты из статьи Ми
приведены в разд. 19.21, рис. 90. Коэффициенты Шалёна впослед-
впоследствии были использованы Шалёном и Вернбергом A941) для
расчета Bдавл.; к сожалению, была допущена ошибка в знаке, так
что были затабулированы и нанесены на график значения
(l + cos6)QOCJI вместо <3давл.= A—cos0)QoM.- Шалён A945)
вычислил диаграмму рассеяния для частиц железа и аппрокси-
аппроксимировал фазовую функцию формулой вида
/(8)= !
Расчеты Керкера относятся к значениям 0 от 30 до 150° с интер-
интервалом 10°. Аден рассматривал только рассеяние назад @ = 180°).
Пояснение обозначений, использованных этими авторами,
дается в табл. 27. На рис. 54 представлены все результаты для
14.2. ОБЩИЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА; МЕТАЛЛИЧЕСКИЕ ШАРЫ
321
факторов эффективности для одного частного значения т,
а именно т=\,27— 1,37г. Этот график был построен по данным
Шалёна, за исключением точек для т = оо, которые были вычи-
вычислены с помощью метода, изложенного в разд. 14.23.
Простого метода проверки отдельных коэффициентов, подоб-
подобного описанной в гл. 10 проверке фазовых углов, не существует.
Однако если значения ап и Ьп наносятся как точки на комплекс-
комплексной плоскости, то получается плавная кривая. Геометрическое
место точек а{ и Ь\ для т = 1,27— 1,37/ показано на рис. 55.
(стр. 322). Концы стрелок соответствуют значению х —3,93. (См.
также разд. 14.23.)
Важно знать, сколько членов нужно вычислить, чтобы полу-
получить точный результат с помощью разложения в ряд. Предполо-
Предположим, что нам нужно рассчитать значение <30Сл.- Из таблицы Ша-
Шалёна видно, что вклад, который дает аь будет преобладающим
при х <^ 1,0. При х = 1,0 каждый из членов, содержащих а^ и biy
дает 5—10% полного ослабления. Вклад в рассеяние будет
меньше, так что Qpac. можно рассчитать только по ал для значе-
Орас
Qpac-cosb
Рис. 54. Факторы эффективности ослабления, светового давления,
поглощения и рассеяния при т=1,27—1,37г. В правой части рисунка
дана грубая интерполяция между вычисленными значениями и зна-
значениями при Х=ос.
21 Заказ № 374
322
14. ПОГЛОЩАЮЩИЕ СФЕРИЧЕСКИЕ ЧАСТИЦЫ
ний х вплоть до 1,4. Вблизи х = 2 вклады а3 и 62 в ослабление
становятся каждый порядка 10%.
Таблицы Лоуана относятся к значительно большим значе-
значениям т. Здесь а\ и bi почти равноценны; а^ и Ь% приобретают зна-
Рис. 55. Геометрическое место точек,
соответствующих коэффициентам щ и
&i при т=1,27—1,37(.
чение вблизи х = 1,0; а3 и Ьъ — вблизи х = 1,8; а4 и Ь4 — вблизи
х = 2,6 и т. д. Вблизи этих значений вещественная и мнимая
части этих коэффициентов оказываются порядка 0,01.
Таким образом, видна характерная разница в относительном
значении этих членов. Заключение Шалёна, что а2 и Ъ\ (описы-
(описывающие электрическое квадруполыюе и магнитное дипольное
излучение) оказываются одного и того же порядка, согласуются
с теми результатами, которые обычно получаются для диэлектри-
диэлектрических шаров (а также в атомной физике). Это объясняется тем,
что первые члены разложений этих коэффициентов в ряды оказы-
оказываются порядка х5 (см. разд. 10.3). Однако эти разложения за-
зависят от разложения! бесселевых функций как с аргументами х,
так и с аргументами тх. Приведенного небольшого количества
членов достаточно только, скажем, при \т\х <^ 0,6. Расчеты Лоу-
Лоуана, в которых \т\ заключено в интервале примерно от 2 до 9,
можно поэтому сравнивать с этими разложениями в ряды самое
большее до х = 0,3.
Поведение коэффициентов для больших значений х (Лоуан)
лучше всего сравнивать с их поведением при т.= оо (разд. 10.62).
При т — оо ап и Ъп оказываются одного и того же порядка, а зна-
значения, при которых они начинают играть роль, хорошо согласу-
согласуются со значениями, указанными выше. Это соответствие пояс-
14.2. ОБЩИЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА; МЕТАЛЛИЧЕСКИЕ ШАРЫ
323
няется также табл. 28, где в виде примера приводятся более по-
подробные результаты расчета для одного значения х и для не-
нескольких значений т. Максимальное ослабление достигается
вблизи х=1,5 для значений Шалёна и вблизи jf= 1,0 или 1,1 для
значений Лоуана.
Одно важное дополнение к имеющимся числовым данным
представлено на рис. 56 (стр. 324). Этот рисунок дает сечения
ослабления, рассчитанные Джонсоном, Элдриджем и Тереллоы
A954) для ряда показателей преломления, вещественная часть
которых остается постоянной и равна 1,29, а мнимая часть ме-
меняется от 0 до оо. Для нулевого предела кривая ослабления
весьма сходна с кривыми рис. 24 (разд. 10.4) и рис. 32 (разд.
11.22). Для бесконечного предела это будет кривая, изображен-
изображенная на рис. 28 (разд. 10.62). Показатель преломления записы-
записывается в виде т = 1,29A—ik). Все точки вычислены на быстродей-
быстродействующей электронной счетной машине Массачусетского техно-
технологического института. Хотя из сравнения с рис. 32 ясно, что по-
полученных точек недостаточно, чтобы показать все незначитель-
незначительные колебания, тем не менее постепенное изменение в ходе кри-
кривых иллюстрируется очень хорошо. При &<0,5 их можно сравнить
Таблица 28. Пример расчета
Si
/
ax
b\
a2
b2
аъ
Ьъ
S @°)
A80°)
Q0CJ]
<?pac.
VПОГЛ.
/ @°)
A80°)
cosO
m
0,
0,
0,
0,
0,
0,
1
0
= 3,41-
x =
5538 + 0
1780 — 0
0468 + 0
0270 — 0
0008 + 0
0013 — 0
,290 + 0
,512 + 0
3,053
1,669
1,384
1,734
0,416
0,30
-1,94/
1,3
,2475/
,2153/
,1050/
,0228/
,0044(
,0003/
,268/
,391 i
n
0,
0,
0,
0,
0,
0,
1
0
г=7,20-
x-l,
5153 + 0
1730 — 0
0305 + 0
,0201—0
0004 + 0
0014 — 0
,165 + 0,
,484 + 0,
2,758
1,860
0,898
1,439
0,604
0,31
-2,65/
3
,3563/
,2792/
,1055 /
,0415/
,0045/
,0019/
285/
608 i
0
0
0
0
0
0
0
0
m = oo
^=1,3
,474 + 0,499/
,141—0,348/
,011 +0,106/
,003 — 0,053/
,000 + 0,005/
,000 — 0,003/
,957 + 0,366/
,478 + 0,903/
2,266
2,266
0,0
1,050
1,044
—0,05
21'
о
1
' f,
и
и
i
ш
1
J
—и
1 =
/
/7
//
i
1
4=4
/2
/173
' .1
-I
¦~-^___^^
/ л J ~
/
/
m-
— 0,25
— 0,10
— 0,05
— o
1 1 1 1 1
m=l,29(l-ik)
/\
h=0,05 X
: ^-^ л
. ,o-o o^ \
fr^\. k=025 \
1 L I 1 1
1 1 1 1 1 1
С44* .•?
1 1
i » »
1
-
k=0 -
^\
005
0,25
VA »*—"^ Асимптотическое
v • значение
i i i i
i i
-
1
4 - Г
3 -
2 -
О
10
12
14
16
18 20
Рис. 56. Постепенное изменение кривой ослабления при изменении мнимой масти показателя преломления
[согласно расчетам Джонсона, Элдриджа и Терелла для т= 1,29A—ik)].
14.2. ОБЩИЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА; МЕТАЛЛИЧЕСКИЕ ШАРЫ 325
с кривыми рис. 33 (разд. 11.23). При k>\ наибольшее значение
достигается между х — 1 и 2, что для k~ 1,1 более подробно иллю-
иллюстрируется рис. 54. Точное поведение при k^>2 не вполне ясно.
Автор добавил кривую в более крупном масштабе для области
0<^х<^1; линейные приближения (см. разд. 14.21) имеют коэф-
коэффициенты
О 0,30 0,75 1,50 2,65 1,50 0,23
при k 0 0,1 0,25 0,5 1 2 4
Максимальный коэффициент, равный 2,72, будет при /г = 1,23.
14.23. Асимптотические формулы для больших значений х
При увеличении размера шаров вид диаграммы рассеяния и
значения <2ОСЛ., Qpac-, Qno™., cos 0 и QMBJI_ стремятся к определен-
определенным пределам. Из них только QOC]1, можно получить сразу из об-
общей теории, так как он равен 2 (разд. 8.22). Асимптотическое
поведение коэффициентов Ми также является простым; напри-
например, на рис. 55 положения коэффициентов приближаются к ок-
окружности с радиусом 0,26, равным половине абсолютной вели-
величины коэффициента отражения Френеля для перпендикулярного
падения.
Диаграмма рассеяния большого металлического шара, по-
подобно диаграмме рассеяния полностью отражающего шара, со-
состоит из двух частей, из которых одна обусловлена дифракцией,
а другая — отражением. Единственное отличие состоит в том, что
отраженный свет содержит множители \г\ |2 и |г2|2 соответственно
для двух направлений поляризации; здесь Г\ и г2 — коэффи-
коэффициенты отражения Френеля. Эти две части являются единствен-
единственными компонентами, следующими из теории разд. 12.44, которая
основана на геометрической оптике. Дополнительный компонент,
обусловленный «рассеянием» поверхностных волн (разд. 17.32
и 17.4), не учитывается. Неотраженная часть падающего света
поглощается и дает Qn0™.-
Вводя коэффициенты отражения в формулы для т=оо
{разд. 12.44), получаем
5г (Щ = ~ ш-,е2"»1п т6
и аналогично 52F), откуда для естественного падающего света
(разд. 4.42)
где а — радиус шара. Эта формула при 9=180° применялась
Хаддоком для вычисления асимптотического значения радарного
326
14. ПОГЛОЩАЮЩИМ СФГ.РИЧЕСКИЕ ЧАСТИЦЫ
сечения1 (разд. 14.32). Определения разд. 2.1—2.4 теперь
дают
Qnoi-л. = 1 - «»,
|г2|2) cos 2--d (cos2 -) ==
Слагаемое, равное 1, добавлено из-за дифракционной части, как
объяснялось в разд. 12.5, где были введены обозначения w и g.
Наконец, фактор эффектив-
эффективности лучевого давления есть
(разд. 12.5)
Формулы для /-, и г2 приведе-
приведены в разд. 12.21. Числовой при-
пример, рассчитанный при /?г = 1,27—
—1,377, представлен на рис. 57, где
даны только квадраты абсолют-
абсолютной величины, но не фаза ком-
комплексных чисел Г\ и r2; R =
= V2(|ril2+|r2|2). Легко видеть, что
на этом рисунке w определяется
площадью под кривой R, а абсцис-
Рис. 57. Квадраты абсолютных значе-са центра тяжести этой площади
ний коэффициентов отражения Фре оавна '/гП+Я)
неля при т-1,27-1.37/. " Приближенная формула для
Qnoi-л., найденная аналитическим
интегрированием и применимая при | т | > 2, дана в конце
разд. 14.42.
При /72=1,27—1,37/ имеем:
w = 0,34, wg = 0,05, g = 0,14,
Qpac. = 1,34, QnorJI. = 0,66, QMM. = 0,95.
Эти величины нанесены на рис. 54. Из кривой, построенной
в функции 1/х, видно, что возможно плавное интерполирование
между точно вычисленными точками (л:<:з,5) и предельными
точками при х=оо.
Так антор называет сечение рассеяния назад. — Прим. ред.
14.3 ВОДА В ОБЛАСТИ САНТИМЕТРОВЫХ ВОЛН 327
Конечно, недостаточно полагаться на такое сомнительное ин-
интерполирование. Поэтому некоторые авторы пытались вычислить
не только предельное значение при х=оо, но и получить асимпто-
асимптотическую формулу, т. е. часть кривой для очень больших значе-
значений х. В своей диссертации Дебай поставил такую проблему, но
не обсуждал ее. Наиболее полная и в основе своей правильная по-
попытка такого рода была сделана йобстом, который вывел слож-
сложную формулу для функции Qoc.i. (x) ¦ В качестве числового при-
примера он рассчитал кривые для частиц золота и связал их с точ-
точными кривыми для х<4,4, вычисленными Ми. йобст надеялся,
что асимптотические кривые справедливы для любых х>2,5.
Разумеется, предположение о том, что асимптотическая кривая
будет начинаться уже с х = 2,5, слишком оптимистично, и пра-
правильность формулы йобста вызывает сомнение, поскольку в бо-
более простом случае т — оо она определенно неверна (разд. 10.62,
17.22).
Представляется почти несомненным, что по аналогии с эмпи-
эмпирическими результатами для т = оо (разд. 10.62) диаграмма
рассеяния для всех углов, исключая направления, близкие к на-
направлениям вперед и назад, будет полностью соответствовать
теории для очень больших шаров при любых х, больших при-
примерно 3—5. Однако совершенно несомненно, что при х порядка 10
или 20 происходят довольно сильные изменения в значении 5@),
а следовательно, в значении Qocn. и виде дифракционной картины.
Это связано с тем, что скользящее отражение (касательные
лучи) сильно влияет на значение 5@). Типичное отличие от слу-
случая т = оо состоит в том, что коэффициенты отражения Г\ и гг
имеют для скользящего отражения равную фазу, так что интер-
интерференционные эффекты в противоположность случаю ш = оо не
стремятся вызвать гашения. Кроме того, вблизи угла, Для кото-
которого |r2l имеет минимум (т. е. для угла, сравнимого с углом Брю-
стера для вещественных т), наблюдается резкое изменение
фазы г2. Это определяет странный изгиб на кривой ослабления
Для упомянутых больших значений т. Эта проблема рассматри-
рассматривается в разд. 17.25.
14.3. Вода в области сантиметровых волн
14.31. Резонансные эффекты
Сакстои дал обзор комплексных показателей преломления
жидкой воды для ряда частот и температур. Для численных рас-
расчетов коэффициентов Ми были отобраны величины, приведенные
в табл. 26. Они образуют переход от вещественного значения
т= 1,33 в видимой областп к т = 9,0 для очень низких частот.
328
14. ПОГЛОЩАЮЩИЕ СФЕРИЧЕСКИЙ ЧЛСТИЦЬ
Довольно большое значение \т\ делает возможным оптиче-
оптический резонанс (ср. разд. 10.5). Этот резонанс происходит при
сильном затухании, так что результаты не очень сходны с резуль-
результатами для чистых диэлектриков. Мы исследуем, в какой степени
U.1
50
m=8,l8-i.Q6i
0,05
Вещественная часть
Рис. 58. Резонансный круг, опи-
описываемый коэффициентом маг-
магнитного диполыюго излучения
&,; m = 8,90 — 0,69».
О 0,05
Вещественная часть
Рис. 59. Резонансный эффект в
случае более сильного затуха-
затухания, чем на рис. 58.
этот резонанс при наличии затухания сказывается па характери-
характеристиках рассеяния.
В разд. 10.5 отмечалось, что сильные резонансные эффекты
имеют место при больших и вещественных значениях т или при
близких к ним. Самым большим резонансным пиком является
пик, обусловленный коэффициентом Ъ\ (магнитное дипольное из-
излучение); он наблюдается вблизи пх=я. На рис. 58 показано
геометрическое место точек а{ и Ъ\ в комплексной плоскости, на-
14.3. ВОДЛ В ОБЛАСТИ САНТИМЕТРОВЫХ ВОЛИ 329
несенных по данным таблиц Лоуана для m=8,90—0,69f. График
Ь\ показывает типичный оборот по всему кругу, описанный
в разд. 10.5 для вещественных значений т. Круг расположен
между х=0,30 и 0,40, так что пик является довольно резким. Диа-
Диаметр круга мал; наибольшее значение вещественной части 6Ь до-
достигаемое в этом примере при х=я/8,90 = 0,35, равно 0,050, тогда
как для любого вещественного т оно равно 1. Это непосред-
непосредственно обусловлено наличием мнимой части т, вызывающей за-
затухание стоячих волн. Электрический дипольный резонанс вблизи
х=0,50 виден на кривой щ.
На рис. 59 даны соответствующие графики для т = 8,18—1.96Л
Большая величина члена, дающего затухание, сгладила резонанс
в а\ и значительно ослабила его в Ь\.
В случаях, когда резонансный эффект достаточно выражен,
именно, когда т = п—in', причем п велико, а п' мало, его величину
можно оценить по следующим формулам. Пусть р1 определяется
так же, как в разд. 10.21; теперь это комплексная функция х и т.
Вблизи точки резонанса х мало, однако у = тх не мало, так что
будет достаточно аппроксимировать функции от х их первыми
членами:
/л W=7
Это приводит к выражению
3 ^i(y) + y\>[ (у)
= ~з~ L ^ ~^ ~W z y~j'
которое вблизи точки резонанса можно представить в виде
По этому значению tgPi можно вычислить значение Ь\ и любые
Другие величины.
Числовой пример: т = 8,90—0,69г. При х=0,352 у ближе
всего к л, а именно г/ = 3,14—0,254i. Для этого значения у при-
приближенная формула дает
tg |3i = — 0,0145 @,40 + 3,36i) = — 0,006 — 0,054t.
330
1!. ПОГЛОЩАЮЩИЙ СФИРИЧР.СКИЕ ЧАСТИЦЫ
Это значение достаточно мало, чтобы можно было написать
bi^ifii-i tg Pi = 0,054 — 0,006i.
Точное значение Ьх (интерполированное по таблице Лоуана)
равно 0,050—0,008i. Значение а\ не пренебрежимо мало по
сравнению с ним, так что диаграмма рассеяния обусловлена не
просто магнитио-дипольным членом, как это бывает в случае,
когда резонанс выражен более сильно. Влияние этого эффекта
па кривые ослабления отчетливо видно на рис. 60.
3
I I I Г
0.5
15
Рис. 60. Кривые ослабления, обнаруживающие резонанс-
резонансные пики (для трех значений показателя преломления).
Мы можем заключить, что достаточно сравнительно ма-
малого значения п!', чтобы в значительной степени уменьшить резо-
резонансный пик. Вообще говоря, расчет с помощью строгих формул
(разд. 14.21) надежнее и проще, чем специальная теория эф-
эффекта резонанса.
Опыты с дециметровыми волнами были выполнены Шефером
и Вильмсеном A924). Шарообразные сосуды из тонкого стекла
A—2 мм) с диаметрами от 8 до 19 см наполнялись дистиллиро-
дистиллированной водой; затем проводились измерения дифракции, причем
источник и приемник помещались на конечном расстоянии. Мни-
Мнимая часть показателя преломления значительно меньше для этих
14.3. ВОДЛ В ОБЛАСТИ САНТИМЕТРОВЫХ ВОЛН 331
длин волн. В области х от 0,3 до 0,7 можно обнаружить шесть
резонансных значений в полном согласии с теорией для т = 9.
Эти значения также можно получить приближенно из рис. 26
(разд. 10.52). Такие же шары из металла или шары, покрытые
оловянной фольгой, не обнаруживают выраженного резонанса.
14.32. Рассеяние назад
Действие объекта на рассеяние излучения назад к источнику
@=180°) удобно представить радарным сечением о рассеяния на-
назад. Это сечение можно определить как умноженную на 4я энер-
энергию излучения, рассеянного назад в телесном угле 1 стер, делен-
деленную на энергию излучения, падающего на единицу площади.
В обозначениях, принятых в этой книге (например, разд. 4.42),
оно выражается так:
4кгУ (г, 180°)
а = 75 *
Преобразуя это выражение с помощью соотношений
Г (г fn— /0f'"l(°)+'2(8)]
и
и A80°) = /2 A80°) = |S! A80°) |2,
получим
и, деля его па геометрическое поперечное сечение G = mo2, имеем
(при x=ka)
Л. =г 4 | Si A80°) Р
G ~" x'i
Поскольку
-*яA80г)=-тлA80с) = (-1)»--? (я ¦ 1),
то из разд. 9.31 имеем
со
- S, A80°) = S2 A80=) = ^ (п. + 4 Y- 1)" К - Ьп).
Если частица изотропно рассеивает свет, падающий на ее
геометрическое сечение, то ее радарное сечение равно геометри-
геометрическому поперечному сечению: a/G=l. Это следует из определе-
определения, а также из подстановки формулы |Sj@)| = x/2, полученной
в разд. 12.44 для больших полностью отражающих шаров.
332
14. ПОГЛОЩАЮЩИЕ СФЕРИЧЕСКИЕ ЧАСТИЦЫ
В виде примера мы можем рассчитать а для данных, исполь-
использованных в первом столбце табл. 28. Здесь Х=3 мм, т = 3,41 —
— l,94t, x=l,30, |SA80")|2=0,416. Эти значения дают а=0,62 мм,
<3 = яа2=1,21 мм'2, ст=1,19 мм2, а/4я = 0,094 мм2 и o/G = 0,983. Ha
рис. 61 изображена полная кривая значений o/G, рассчитанная
Хаддоком для /. =3 мм. Кривые для других длин волн очень
сходны; все они имеют первый максимум вблизи х=1, очень глу-
7 -
1.00
-0.41
Рис. 61. Радарное сечение ст, рассчитанное для рассея-
рассеяния назад каплями воды при Л = 3 мм (Хаддок) и для
полностью отражающих шаров.
бокий минимум вблизи х= 1,65 и т. д. Это ясно указывает на то, что
эти колебания не обусловлены резонансным эффектом типа, опи-
описанного в разд. 14.31. Совершенно такие же колебания имеются
также на кривой для полностью отражающих шаров (т = оо),
рассчитанной впервые с этой целью. Результаты представлены
на рис. 61 и в табл. 29. Приведены также значения прих=оо, ко-
которые просто пропорциональны квадратам коэффициентов отра-
отражения Френеля для перпендикулярного падения (разд. 12.44).
Была также рассчитана фаза волны, рассеянной назад. Угол "ф,
определяемый соотношением
Таблица 29. Радарные сечения водяных капель (при
и полностью отражающих шаров
и 18°С)
X
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
вода
0,0003
0,0053
0,028
0,087
0,223
0,490
0,935
1,523
1,875
1,956
1,755
1,398
0,983
0,582
0,267
a
m = со
0,0009
0,014
0,072
0,222
0,528
1,076
1,744
2,622
3,315
3,614
3,627
3,154
2,465
1,780
1,103
Ф '
m - со
0
0
1 О
—2°
—3°
—6°
go
—14°
—18°
-23°
—26°
—27°
—28°
—26°
—20°
X
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
5,0
CO
ff/O
вода
0,044
0,087
0,223
0,443
0,610
0,511
0,302
0,659
0,248
0,594
0,328
0,416
m = со
0,575
0,327
1,007
1,720
0,517
1,000
Ф
m = oo
3°
57°
89°
107°
178°'
CO-
-go-
Рис. 62. Фаза волны, рассеянной назад пол-
полностью отражающим шаром (определение
см. в тексте).
334 '4. ПОГЛОЩАЮЩИЕ СФЕРИЧЕСКИЕ ЧАСТИЦЫ
дан в табл. 29 и на рис. 62. Асимптотическая формула
¦ф = 2х — я,
которую легко получить из разд. 12.44, дается прямой линией.
Аден A951) провел измерения рассеяния назад водяными
каплями для Я= 16,23 см. Эти измерения проведены в области
значений х от 0,74 до 5,90 и фактически были выполнены с полу-
полусферическими пеностироловыми оболочками, наполненными во-
водой и лежащими на металлической пластине (диаметры от 3,7
до 30 см). Результаты оказались в прекрасном согласии с расче-
расчетами o/G, выполненными самим Аденом, которые, в свою очередь,
согласуются с результатами Хаддока. Измеренная фаза также
очень хорошо следует кривой рис. 62 при надлежащем учете раз-
разницы в ее определении.
Таким образом, теория и опыт очень хорошо контролируют
друг друга, однако это все же не означает, что мы имеем объяс-
объяснение чрезвычайно сильных колебаний. Правильное объяснение,
рассматриваемое несколько подробнее в разд. 17.41, состоит
в том, что поверхностная волна, возбужденная касательным па-
падением вблизи края, обходит шар '/г, 1'/2, 2'/г и т. д. раз, все
время излучая. Излучение назад значительно усиливается тогда
эффектом типа глории (разд. 13.31) и имеет амплитуду, сравни-
сравнимую для малых значений х с амплитудой света, отраженного на-
назад от центра освещенной поверхности.
14.4. Металлы в инфракрасной области
14.41. Показатель преломления; закон Хагена — Рубенса
Комплексный показатель преломления металлов m = n—in'
зависит от длины волны значительно сильнее, чем показатель
преломления п диэлектрического вещества. В ультрафиолетовой
и видимой областях его изменения происходят нерегулярно, но
для длин волн, больших 2 мк, его поведение одинаково для всех
металлов: Как п, так и п' увеличиваются с ростом длины волны
и в то же время они все более и более приближаются друг
к другу.
Объяснение этого следует из определения тп2 (разд. 9.12 и
14.1). Мы можем записатьт2 в виде
т2 = е — ir\,
где т] — вещественное число, выражаемое в классических обозна-
обозначениях теоретической физики (в гауссовых единицах) следую-
следующим образом:
г\ = 4яст/со. A)
14.4. МЕТАЛЛЫ В ИНФРАКРАСНОЙ ОБЛАСТИ 335
Пусть индекс «пр.» обозначает величину, выраженную в практи-
практических единицах (в единицах М. К-S., система Джорджи), при-
принятых теперь в электротехнике. Тогда формулы перехода
а (сек-') = 9-\0Цом-м- сек-1) X *пР. {~~^)
и
л 2гсс 2л ХЗ- 108 (л . сек'1)
I (м)
дают
Ы) Х Х«р- И Х 60 ож- B>
Третья система единиц применяется обычно в оптике, в ин-
инфракрасной области. Здесь w — удельное сопротивление
в ом-мм2-м~1, а X — длина волны в мк. В этом случае формула
примет вид
1--S-1. да
Само число т] не зависит от используемых единиц и растет
с ростом длины волны. Таким образом, мнимая часть т2 де-
делается все более и более преобладающей. Следовательно, асимп-
асимптотические выражения будут
Эта формула была экспериментально подтверждена измере-
измерениями коэффициентов отражения. При падении светового пучка
на плоскую металлическую поверхность часть R энергии отра-
отражается, а другая часть 1 —R поглощается. При перпендикуляр-
перпендикулярном падении поглощенная часть равна (разд. 12.21)
Эта формула известна под названием закона Хагена—Рубенса.
Наблюдения для длин волн, больших 5 мк, хорошо согласуются
с этим законом. Эта формула не содержит никаких произволь-
произвольных постоянных.
В разд. 14.1 мы получили коэффициент поглощения у, кото-
которым пользовались в других разделах D.3, 11.23, 12.21, 12.44). Его
обратное значение -у" — это длина, на которую волна может
переместиться в среде, пока ее интенсивность уменьшится в е раз
от первоначальной величины.
336 14- ПОГЛОЩАЮЩИЕ СФЕРИЧЕСКИЕ ЧАСТИЦЫ
В асимптотическом приближении, используемом в настоящем
разделе (т) ^> 1), длина у~1 равна половине «толщины скин-слоя» б,
употребляемой в теории электричества, так как б — длина, ко-
которую волна проходит, пока ее амплитуда не уменьшится до Не
первоначальной. Так как
y-L-
то в практических единицах имеем
т-1 {м) = _^- = l = 0,0145
Формулу
(Стрэттон, стр. 493) можно привести к тому же выражению
с помощью подстановок
«в = 2я • 3 • \08к-\ \ц = цо = 4л • Ю-7,
так как повсюду в этой книге мы предполагаем, что магнитная
проницаемость ц веществ равна магнитной проницаемости ва-
вакуума.
Числовой пример. Серебро при комнатной температуре имеет
а = 5,55-1017, о„р. = 6,14- 107. При Я = 30 мк = 3-\0~5 м полу-
получаем со = 6,3 • 1013 сек'1. Таким образом, посредством фор-
формулы A) или B) находим т) = 1,11 05, что дает m = 236 —
— 2361; I —Ro=0,0085; у = 1,0 • Ю-6 см и 6 = 2 • 10~6 см. Для
этой длины волны приближение будет вполне удовлетворитель-
удовлетворительным.
Термин «толщина скин-слоя» чаще применяется в области
значительно более низких частот. Увеличивая длину волны в 1010
раз, мы добавляем множитель 1010 в ц и 105вб и приходим к бо-
более привычным значениям: v=l кгц, X = 300 000 м, б = 2 мм.
Более подробное изложение этого вопроса имеется в других
руководствах.
14.42. Поглощение шаром
Теперь мы рассмотрим металлический шар произвольного
размера, подвергающийся действию инфракрасного излучения.
Только что полученное значение m настолько близко к оо, что
рассеяние этим шаром фактически такое же, как и при m = оо.
Поэтому фактор эффективности поглощения <2,Югл. должен быть
малым для любого размера. Для того чтобы найти правильные
приближенные формулы для этой малой величины, требуется
14.4. МЕТАЛЛЫ В ИНФРАКРАСНОЙ ОБЛАСТИ 337
более тщательное исследование точных формул гл. 9. Так как
преобразования несколько громоздки, то приводится только
краткое перечисление результатов.
Пусть, как обычно, х = 2я/'к и г= ]/2iqx; тогда у = тх —
= -s-(l—i). В зависимости от порядка величины вещественных
параметров л; и г по отношению к 1 можно выделить пять обла-
областей размеров:
A) B) C) D) E)
х мало х мало х мало х произвольно х велико
г мало г произвольно г велико г велико г велико
В областях A), B) и C) х повсюду мало, и ах и &i — един-
единственные необходимые коэффициенты. После замены функций х
в точных формулах (разд. 9.22) их главными членами выраже-
выражения примут вид
2 . з 1 — Шт\~1 , _ 2 . з 1 — G
1 3 i + 2/Gt]" l 3 1 + 2G
где
2 ф,(У>
что можно точно записать в виде
где
1 — у cigy
В этой области сечение рассеяния мало по сравнению с сечением
поглощения, и
QnoM.»Qoci. = 6л;-2 Re { ai + 6i} •
Эти два члена будут обозначаться соответственно через Q(ai)
и Q(bi). Дальнейшие преобразования дают
Разложение в ряд для области A) имеет вид
10 ~ 700 ^ • • •' " ~" 3 90 1890
Отсюда
22 Заказ Кч 374
338 14- поглощающие сферические частицы
Таким образом, окончательный результат для области A) будет
*">Спогл. ~" чсосл. ~ | |Т^ ^i-*- "Г • • • •
Довольно любопытно, что область A) должна быть подразде-
подразделена на две части: Aа) и A6). В области Aа) наибольшим
будет первый член, в области A6) —второй. Вблизи х= \0ц~1
они имеют один и тот же порядок величины.
Пренебрегая членами, содержащими е~г, для области C)
имеем приближенно
что дает
Здесь вторая величина больше. Таким образом, в области C)
Quo™, оказывается практически постоянным.
В области B) все выражения можно найти из сотношения
, ,_.j _ 2i_ 1_ (sh r — sin r) —- i (sti r + sin r)
г2 г chr — cos r
Здесь, как и в соседних областях A6) и C), член Q(bi) имеет
больший порядок величины, чем Q(fli). Окончательная формула
для области B) будет
О ~ г) ~ п iu \ 6х / 2 sh r — sin r \
Vnom. ¦ • Voc.i. ¦ ¦ Ч.К \) г \ г chr— cosr)'
Приведем некоторые числовые значения, рассчитанные по этой
формуле и охватывающие области между уже данными прибли-
приближенными формулами:
x~1Q(bl). . 0,0665 0,256 0,50 0,67 0,71 0,67 0,56 0,48-
при л.... 1 2 3 4 5 6 8 10
Рассмотрим теперь области от C) до E) включительно, где
г очень велико. В пределах этих областей рассеяние сферической
частицей практически такое же, как и рассеяние полностью отра-
отражающим шаром (т = оо). Это видно, например, из главных чле-
членов разложений а.\ и Ъ\ в области C):
2 . о . , 1 • О ,
ах — -д- IX3 -+-..., о1 = — -j 1хъ + . . . .
Переход от относительно большого поглощения (альбедо,
близкое к 0) к относительно большой эффективности рассеяния
14.4. МЕТАЛЛЫ В ИНФРАКРАСНОЙ ОБЛАСТИ 339
(альбедо, близкое к 1) совершается в области C). При иссле-
исследовании формул для этой области обнаруживается, что погло-
поглощение и рассеяние имеют один и тот же порядок величины,
когда Л» 1, т. е. вблизи я = т]~''». Это означает, что, если
только ц не очень велико (порядка 108 или около этого), практи-
практически вся область C) характеризуется относительно большим
поглощением.
В области D) постепенно приобретают значение коэффи-
коэффициенты, следующие за а\ и Ь\. Все результаты относительно
диаграммы рассеяния и сечения рассеяния можно взять из
разд. 10.62. Было бы интересно вычислить в этой области Qn0™.
как функцию х, однако это не было выполнено1. Исходя из ре-
результата, полученного для соседних областей C) и E), можно
предположить, что Qno™. порядка 1/]/т].
Область E) —это область больших шаров, где справедливы
законы геометрической оптики; здесь применимы формулы
разд. 14.23. Для любого большого т приближенные формулы для
интенсивности отраженных частей луча, образующего с поверх-
поверхностью угол т, будут
| г2|2 = 1 —Ар (sin7)-1 + 8p2(sirn;)-2 + . . .,
I ri |2 = 1 — 4р sin т -f- 8р2 (sin тJ + . ..,
где p = Re (m~l). Удерживая только линейные члены по р, со-
согласно формуле разд. 14.23 получим
где два отдельных слагаемых относятся к направлениям поляри-
поляризации 1 и 2. Это приводит к окончательной формуле для об-
области E):
^ПОГЛ. — 3 У 7] •
Сделанные приближения не выполняются вблизи касательных
направлений падения, однако это не оказывает существенного
влияния на результат интегрирования.
1 Формула, данная Морсом, и Фешбахом (М or s e, Fe shb а с h, Me-
Methods of Theoretical Physics, part II, p. 1885, New York, Me Graw-Hill)
(русский перевод: Морс Ф. М. н Фешбах Г., Методы теоретической физики,
т. II, ИЛ, М., 1960), получена в предположении, что тангенциальный компо-
компонент магнитного поля на поверхности Hf тот же, что и для идеального про-
проводника. Потери за счет поглощения пропорциональны интегралу н\ по по-
поверхности при условии, что толщина скин-слоя много меньше а. Эта формула,
вероятно, должна быть тождественна формуле, которую можно получить пре-
преобразованием строгого решения прн единственном предположении, что г очень
велико.
22*
340
14. ПОГЛОЩАЮЩИЕ СФЕРИЧЕСКИЕ ЧАСТИЦЫ
Можно заметить, что при допустимом приближении sin т'=1,
достаточно справедливом и для не слишком больших \т\, коэф-
коэффициенты Френеля принимают вид
S п т
sin т - т т
sin т -f- m '
sin -. ¦]
т
i
О
-1
-2
-3
-4
~ 5
-б
-7
— Я
~9-5
1111
т=200-200 с
-
- ('О
/
(la)/
1
B)i
1
1
(*)
м
1 :
i
i
i
',(рас)
i
i
i
i
,i i i
f
(погл)
1
45)
-
-
-
1
-4 -3 -2 -1
1д х
Рис. 63. Схематическая кривая ослабления
для шаров с т=200 —200г в логарифми-
логарифмическом масштабе.
и интегрирование можно провести точно, что дает
= -j (/i + /а), где
/2 = то же выражение с # = У
Эти выражения преобразуются к виду, полученному выше для
случая, когда т) очень велико.
Случайно оказалось, что последние формулы имеют то пре-
преимущество, что они применимы для значительно меньших т,
14.4. МЕТАЛЛЫ В ИНФРАКРАСНОЙ ОБЛАСТИ
341
Таблица 30. Факторы
X
0,00001
0,00002
0,00005
0,0001
0,0002
0,0005
0,001
0,002
0,005
0,01
0,02
0,05
0,1
0,2
0,5
1
2
5
10
20
г
0,004
0,008
0,02
0,04
0.0S
0,2
0,4
0,8
2
4
8
20
40
80
200
400
800
2000
4000
8000
эффективности
е„ОГл.
1,5-10-э
3,1-10-9
8,8-10-9
2,6-10-8
1,1-10-7
1,4-10-6
1,1-10-'
1,1-10-4
1,3-Ю-з
0,007
0,011
0,013
0,014
0,015
?
р
р
0,013
0,013
0,013
[ при от = 200 —
рас.
2,7-10-20
4,3-Ю-19
2,7-Ю-16
4,3-Ю-1'
1,7-10-"
2,7-10—'2 .
5- Ю-11
2-10-9
3,3-10-8
5,3-10-7
2,1-10-5
3,3-Ю-4
0,005
0,22
2,04
2,21
2,12
2,06
2,03
200 г
Область
Aа)
A6)
B)
C)
D)
E)
например таких, какие имеют место для металлов в видимой
области спектра. В виде пояснения приведем следующие ре-
результаты, рассчитанные для лг=1,32 — l,32i; т]=3,50 с учетом
формулы для q:
/, = 0,56; /2 = 0,79; Qa0Tn. = 0,67;
их можно сравнить со значениями
/, = 0,56; f2 = 0,76; QnorJI. = 0,66,
полученными путем численного интегрирования точных значе-
значений для т=\,27—l,37t. Сходный результат при Я = 0,45 мк
получается также из кривой Иобста для поглощения шаровыми
частицами золота, взвешенными в воде, а именно Qno™. = 0,65
при соответствующем показателе преломления /и =1,30—l,29t
(табл. 26).
342 ы- поглощлющш; сфг.рпчнские- частицы
Результаты, полученные в этом разделе, суммированы
в табл. 30 и иллюстрируются рис. 63, дающим окончательные
значения факторов эффективности для одного частного значения
т. Мы приняли т = 200 — 200г, что соответствует т] = 80000.
г = 400 х.
14.5. Аналитическое продолжение
Исследования, проведенные в предшествующих разделах,
имели характер комментариев к строгому решению Ми. Хотя
и были получены приближенные выражения, но в сомнительных
случаях можно просто использовать точное решение. Представ-
Представляет интерес область размеров, где значения х малы и где
обычно требуется только несколько членов.
Это не относится к настоящему разделу, где рассматри-
рассматриваются значения т типа т— 1,5— in! {n мало). Заслуживает
внимания область значений х, где кривая ослабления показывает
ряд максимумов и минимумов, а диаграмма рассеяния переходит
от релеевской к диаграмме больших шаров; эта область подобна
области для вещественного т = 1,5 и охватывает значения х
примерно от 0,5 до 1,5. Главную трудность представляют вычис-
вычисления бесселевых функций для комплексных аргументов1, хотя
то, что эти аргументы близки к вещественным значениям, должно
ввести значительные упрощения.
К счастью, имеется изящный метод, в котором более прямо
используется факт непосредственной близости т к веществен-
вещественному значению.
Если точно известна функция F(x) для некоторой области
значений вещественного аргумента х, часто оказывается возмож-
возможным продолжить эту функцию в комплексную область. Это озна-
означает, что можно однозначно определить функцию F(z) ком-
комплексной переменной z (в пределах некоторой области комплек-
комплексной плоскости), обладающую тем свойством, что она регулярна
в этой области и равна заданной функции на действительной оси.
Этот переход от области действительных переменных в область
комплексных переменных называется аналитическим продолже-
продолжением. Функция F(z) будет, вообще говоря, комплексной, хотя
в некоторых участках она может быть вещественной.
Этот метод можно применять строго тогда, когда заданная
функция имеет все производные. Это верно для всех функций,
которые мы встречали в этой книге, за исключением тех, которые
1 Джонсон, Элдридж и Терелл A954) производили вычисления на авто-
автоматических счетных машинах (см. табл. 26).
14.5. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ 343
обозначены символами Re, Im или | [, т. е. тех, для которых дейст-
действительная и мнимая части данной функции рассматривались
отдельно. Это означает, что мы не можем (непосредственно) при-
применять этот метод к Qn0TJI., Qpac., Qocn., но что мы можем приме-
применить его непосредственно к 5 (х, 0), 5 @) и т. д.
Функция 5 (т, х, 0) известна для вещественных значений т
из предыдущих глав. Для комплексных значений т ее можно по-
получить с помощью аналитического продолжения. Мы рассмот-
рассмотрим только получение кривой ослабления. Оно основано на про-
продолжении S(m, х, 0) в комплексную область. Сам метод очень
прост; нужно представить эту (комплексную) функцию по воз-
возможности точнее аналитической формулой. В таком случае
можно надеяться, что эта формула, примененная к комплекс-
комплексным т, даст точные значения для любого комплексного т, ко-
которое близко к тем вещественным значениям, из которых мы ис-
исходим. Однако здесь мы не будем обсуждать подробно матема-
математическую сторону этого вопроса.
Для аналитического продолжения можно воспользоваться
любой формулой, вытекающей из теории для вещественных т.
В действительности это уже было выполнено с формулой разло-
разложения в ряд для малых х (выведенной в разд. 10.3 и обобщенной
в разд. 14.21) и в более отчетливой форме с формулой для т.,
близких к 1 (выведенной в разд. 11.21 и обобщенной
в разд. 11.23).
Однако на практике метод оказывается более полезным, если
заданные значения для вещественных т получены не по простой
формуле, а путем численных расчетов. Выбор приближенной
формулы тогда произволен; можно выбрать степенные ряды,
ряды синусов и косинусов, ряды показательных функций и т. д.
Хорнстейн, который разрабатывал метод расчета для вычисления
таблиц Лоуана, пользовался степенными рядами.
Функция Qocn. (в обозначениях Хорнстейна К) дополнена мни-
мнимой частью L, чтобы получить аналитическую функцию, равную
2
в наших обозначениях —^ S@). Как К, так и L рассчитывались
численно для фиксированного значения х и для вещественных
значений т, равных 1,44; 1,45; 1,46; ... ; 1,55. Затем обе функции
разлагаются в _ряд Тэйлора по степеням t = т—1,50. Далее,
t можно заменить на t — in', так что
т=1,50-И— in'.
Беря снова вещественную часть функции, найденной таким
образом, Хорнстейн получает B0Сл. для этого значения т и для
•344
ЛИТЕРАТУРА
того же фиксированного значения х. Например, результат для
х = 3 таков:
Q0CJI. = C,4180 + 6,8978/ — 25,68/2 + 8,2/3 + 396/4) +
+ E,7433 — 15,720/ + 312.9/2) п' +
+ B5,68 — 24,6/ — 23,76 i2) п'2 —
— 104,Зп'3 + 386/г'4.
Для очень малых п' играет роль только слагаемое, содержащееп'
в первой степени. Результаты для т = 1,50 — in' даны в табл. 31.
Зта таблица подтверждает ход кривой ослабления, показанный
на рис. 33 (разд. 11.23) и на рис. 56; максимумы и минимумы по-
постепенно сглаживаются. Подобный метод в применении к ци-
цилиндрам описывается в разд. 15.52.
X
0,5
0,6
1,0
1,2
1,5
1,8
2,0
2,4
2,5
3,0
Таблица 31.
0,0146
0,0302
0,215
0,395
0,753
1,349
1,798
2,333
2,540
3,418
Ослабление <
т=1
Q
осл.
+ 1,13
+ 1,42
-2,75
+ 3,35
+ 4,25
+ 3,78
+ 1,42
+ 1,42
+ 1,11
+ 5,74
,50 —
п'
п'
п'
п'
п'
п'
п'
п'
п'
п'
сферическими
itt'(n' мало)
X
3,2
3,6
4,0
4,5
4.8
1 5,0
1 5,5
6,0
1 6,5
i 7,0
i
частицами с
осл.
3,532 — 4,
4,185 — 12
4,052 — 8,
4,202-13
3,819 — 7,
3,928 - 11
3,182 — 2,
2,904 — 2,
2,368-3,
1,848+ 11
26 п'
,10 п'
28 п'
,56 п'
14 п'
,41 п'
57 п'
49 п'
98 п'
,75 п'
ЛИТЕРАТУРА
Характерные черты оптики металлов (разд. 14.1) рассмотрены Гансом
и Борном:
Gans R., Handbuch Exp. Phys., 19, 201 A928).
Born M., Optik, Berlin, J. Springer, 1933
(Русский перевод: М. Борн, Оптика, ОНТИ Украины, 1937),
а для инфракрасной области (разд. 14.41)—Шефером и Матоши:
Schaefer С, Л1 a t о s s i F., Das ultrarote Spectrum, Berlin,
J. Springer, 1930.
литература 345
Первые расчеты для металлических сферических частиц были выпол-
выполнены Ми:
Mie G, Ann. Physik, 25, 377 A908).
Рекуррентные формулы в том виде, в каком они применялись.
в разд. 14.21 (А), даны Аденом, Гукером и Коном:
Aden Л. U J. Appl. Phys., 22, 601 A951).
Gucker F. Т., Conn S. H., J. Colloid Sci., 8, 555 A953).
Разложения в ряды (разд. 14.21) получены Шёнбергом, Юнгом и Ша-
лёном:
Schoenberg E., Jung В., Astron. Nachr., 253, 261 A934).
Schoenberg E., Jung В., Mitt. Sternw. Breslau, 4, 61 A937).
S с h a 1 ё n C, Meddelande Uppsala astron. Obs., 64 A936).
Числовые результаты, приведенные в разд. 14.22, взяты из этих статей
и из литературы, данной к табл. 26.
Вопрос об асимптотических формулах (разд. 14.23) рассматривался
йобстом:
Jobst G., Ann. Physik, 76, 863 A925).
Расчеты для водяных капель в области сантиметровых волн (разд. 14.31)
выполнены Лоуаном (см. список литературы к табл. 26). Рассеяние назад
было вычислено следующими авторами:
Haddock F., Paper presented at the U.R.S.I.— I.R.E. meeting,.
Washington, D. C, 1947, Report NRL Progress, June 1956, p. 15;
Aden A. L., J. Appl. Phys., 22, 601 A951).
и измерено Аденом. Расчеты для т= эо в разд. 14.32 сделаны впервые. Ре-
Резонансные эффекты измерены Шефером и Вильмсеном:
Schafer С, Wilmsen К., Z. Physik, 24, 345 A924).
Формулы для металлических сферических частиц в инфракрасной обла-
области (разд. 14.42) были получены автором:
van de Hulst H. С, Thesis Utrecht, chap. 12,
и даны здесь в более полном виде. Метод аналитического продолжения
(разд. 14.5) описан и применен в таблицах Лоуана (см. список литературы
к табл. 26).
15.
КРУГОВЫЕ ЦИЛИНДРЫ
15.1. Строгое решение уравнений Максвелла
Бесконечно длинные круговые цилиндры из однородного ве-
вещества, на которые падает плоская волна излучения, дают за-
задачу о рассеянии, до некоторой степени сходную с задачей о рас-
рассеянии однородными шарами. Эта задача близка к задаче Ми
(гл. 9), если падающий свет распространяется перпендикулярно
оси цилиндра. Этот случай будет рассмотрен подробно
(разд. 15.12, 15.13 и 15.23). Сначала покажем, что наклонное па-
падение приводит к более сложным формулам (разд. 15.11).
15.11. Наклонное падение излучения
Координаты, которыми мы будем пользоваться, представлены
на рис. 64. Ось z направлена по оси цилиндра, ось х располо-
расположена в плоскости, содержащей ось z и направление падения,
а ось у перпендикулярна этой плоскости. Координаты г и 0 опре-
определяются формулами
х = г cos 0, t/ = r sin 0.
Уравнения Максвелла имеют вид уравнений Aа) и Bа)
разд. 9.12. Мы опять выразим Е и Н с помощью уравнения A0)
разд. 9.21 через четыре вектора Mu, Nu, М„, Nv, получаемых из
двух решений (и и v) скалярного волнового уравнения. Эти век-
векторы подчиняются тем же соотношениям (8) и (9) разд. 9.21,
однако вывод их из функций и и v иной. Определение, которым
здесь следует пользоваться и которое заменяет уравнение G)
разд. 9.21, имеет вид
Щ =rot (а2-г)з),
где а., —единл-и1ыи .^,ч;ор в направлении z, а -ф — или и, или v.
Доказательство гого, что М и N обладают теми же свойствами,
что и в разд. 9.21, опускается.
Частные решения скалярного волнового уравнения в одно-
однородной среде с показателем преломления т имеют в цилиндри-
цилиндрических координатах вид
Ьп = ем Zn [г У тЧ2 -h2)e
- ihz -
15.1. СТРОГОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА 347
где /г — произвольно, п — целое, a Zn — любая бесселева функ-
функция порядка п. Компоненты векторов М и N, соответствующие
частному решению этого вида, равны
Mz = 0, mkNz = (тЧ2— h2) 6.
~? E^ "
(Случай I) (Случай 11)
Рис. 64. Координаты и ориентация векторов, принятые
для цилиндров. В последующих разделах а=0 .
Плоская волна, распространяющаяся в пустоте в направле-
направлении, указанном на рис. 64, представляется скалярной волновой
функцией
•ь piuit—ik (х cos a ~- z sin а)
которая после подстановки /г = й sin ее, / = k cos а принимает
вид
ф _. giwt — Их — ihz
Соответствующие векторы Ми N получаются проще всего
из выражения ротора в прямоугольных координатах. Находим
Му = Що, kNy = О,
Мг = 0, kNz = /2ф0.
Это решение можно использовать для построения плоской элек-
электромагнитной волны, распространяющейся в том же направле-
направлении. Рассмотрим отдельно два простых случая. (Произвольную
348 15. КРУГОВЫЕ ЦИЛИНДРЫ
эллиптически поляризованную волну можно образовать как ли-
линейную комбинацию этих двух решений с комплексными коэффи-
коэффициентами.)
Случай I. Положим и = tyo, v = 0. Непосредственная подста-
подстановка М„ и Nu в уравнения дает
Ех = — sin a, Ez = cos а, Ну = —1,
причем общий множитель Ни опущен.
Случай II. Положим и = 0, v = -ф0. Тогда, опуская общий
множитель ilv, имеем
Нх = — sin a, Нг = cos а, Еу = \.
Направления векторов для каждого из случаев показаны на
рис. 64.
Прежде чем это представление падающей волны можно будет
использовать для решения задачи о рассеянии, гро следует раз-
разложить в ряд по элементарным волновым функциям. Пользуясь
тождеством
= ^ ( - t)"Jr,
П -¦• —со
находим
00
6О = еш -ihz 2 (— 0" In (lr) e>»\
что и требовалось получить, так как l--=\/ k2 — /г2и в пустоте т= 1.
Это решение следует дополнить предположением о возможно-
возможности подобных разложений с неопределенными коэффициентами
как для внешней рассеянной волны, так и для волны внутри ча-
частицы. Хотя мы ограничили наше рассмотрение предположением,
что для падающей волны v = 0 (случай I) или и = 0 (случай II),
однако, очевидно, для рассеянной волны и для волны внутри ча-
частицы необходимо ввести и и и о. Таким образом, как в случае I,
так и в случае 11 требуются четыре системы неопределенных ко-
коэффициентов.
Граничные условия требуют, чтобы h оставалось одним и тем
же для всех волн; для рассеянной волны радиальная функция
есть
а для волны внутри частицы
/„ (г V m2k2 /г2)
Граничные условия [уравнения A6) и B6) разд. 9.13]требуют,
чтобы тангенциальные компоненты Е и Н были непрерывными
15.1. СТРОГОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА 349
на поверхности г=а. В каждой элементарной волне и и v эти
компоненты содержат следующие выражения:
dv , ink / г г ч да inh
Следовательно, граничные условия для и и v состоят в том,
что эти четыре выражения должны быть равны при г = а внутри
и вне частицы. Это дает четыре линейных уравнения, связываю-
связывающих четыре неопределенных коэффициента в случае I, а также
четыре других уравнения, связывающих четыре других коэффи-
коэффициента в случае II. Любую из этих систем четырех уравнений
можно решить и получить полное решение задачи, так как тогда
поля в любой точке пространства известны.
Следует отметить, что в обоих случаях эти четыре уравнения
нельзя разбить на две системы независимых уравнений, как это
возможно для сферических частиц (разд. 9.22). Поэтому выраже-
выражения для коэффициентов будут более громоздкими. Эту задачу
рассматривали подробнее Веллман A937) и Уайт A955).
15.12. Перпендикулярное падение
Перпендикулярное падение означает, что в предыдущих
уравнениях сс = О, так что l — k и /г = 0. Из приведенных выше гра-
граничных условий сразу видно, что функции и и и не встречаются
теперь одновременно. Таким образом, предположение о том, что
о = 0 для падающей волны (случай II), влечет за собой равенство
его нулю также для рассеянной волны и для волны внутри ча-
частицы. Подобно этому в случае II и = 0 для всех воли. Обозначая
Fn = einb + iwt (— 1)"
и объединяя сразу одной формулой падающую и рассеянную
волны, имеем:
Случай I. v = 0 (E параллельно оси)
со
при г>а и= ^ Fn [Jn(kr) — bnHr,(kr)\,
00
при г<а и = У FndnJn (mkr),
П —со
ди
при г = а. ти и т -г- непрерывны.
Случай II. и = 0 (Н параллельно оси)
00
при r>a v= У Fn[Jn(kr)
350 is. круговые цилиндры
00
при г<а у = V FnCnJn (mkr),
п =-— оо
при г = a m2v и -^- непрерывны.
Неопределенные коэффициенты bn, dn, an и сп обозначены
в таком порядке для последующего сравнения с рассеянием сфе-
сферическими частицами. Здесь и во всех последующих формулах
функция Hn(kr) обозначает функцию Ханкеля второго рода
Нп™ B) = /„ B) - Мп B).
Разрешение этих уравнений относительно коэффициентов произ-
производится просто и дает:
Случай I
ь = _ nJ'n (У) Jn (х) — Jn (У) J'n (,х)
~'U'('HA)J()H'{
Случай //
" /„(У) Нп (•*) — mJn (у) Нп (х) '
где штрихи обозначают производные, a x=ka, y = mka. Можно
легко проверить, что
п —п п — п'
так что фактические расчеты содержат только коэффициенты
с п = 0, 1,2, 3,... .
15.13. Поля на бесконечности
Теперь коэффициенты известны, и мы перейдем к определе-
определению полей на больших расстояниях с помощью асимптотического
выражения
-ikr + mn + i) ?-
В виде примера рассмотрим случай I. Падающая волна опреде-
определялась формулой
Рассеянная волна получается из функции и, которая при
имеет вид
Tl(b)=
П *- — оо
15.2. СЕЧЕНИЯ И ФАКТОРЫ ЭФФЕКТИВНОСТИ 351
7*! (G) имеет смысл, подобный смыслу амплитудной функции
5 (G) в случае конечных частиц. Исходя из определений, мы на-
находим, что Ez (компонент электрического поля, параллельный
оси) всюду пропорционально и. Таким образом, интенсивность
пропорциональна ]и\2. Если /0 обозначает интенсивность падаю-
падающего света (вт/м2), а / — интенсивность света (вт/м2), рассеян-
рассеянного в направлении G на большом расстоянии г от оси цилиндра,
то
Так как для бесконечных цилиндров рассеянный свет откло-
отклоняется только в одном измерении, / уменьшается как 1/г, а не
как 1/г2.
В случае II магнитное поле параллельно оси цилиндра и про-
пропорционально v. Формулы тождественны формулам случая I, за
исключением множителя Т, который имеет здесь вид
(в) = 2 я/"9 = а0 + 2 ^ в» cos лв
л=1
15.2. Сечения и факторы эффективности
Бесконечно длинные цилиндры не входят в общую схему гл. 4.
Они не дают на больших расстояниях расходящейся сферической
волны, так что мы не можем ни определить функции рассеяния
•S'i, 2, з, 4 F). ни использовать общую формулу ослабления, полу-
полученную в разд. 4.2.
Однако имеется возможность решить этот вопрос двумя спо-
способами. В разд. 15.21 мы даем общее определение двух функций
Т\ F) и Т2 F), соответствующих бесконечно длинным цилиндрам
произвольной формы и размера, а в разд. 15.22 мы рассматри-
рассматриваем цилиндры большой, но не бесконечной длины, так что к ним
применимы определения гл. 4..Мы увидим, что оба способа дают
одни и те же факторы эффективное! и.
15.21. Общие выражения для бесконечно длинных цилиндров
Оставим на время предположение, что цилиндры являются
круговыми и однородными. Настоящий раздел относится к ци-
цилиндрам в более общем смысле. Система координат та же, что
использовалась выше. Поперечное сечение может иметь произ-
произвольную форму, а значения пг на плоскости ху могут быть про-
произвольными, но не должны зависеть от z. Тем самым включаются
352 15. КРУГОВЫЕ ЦИЛИНДРЫ
круговые эллиптические цилиндры, трубы, полосы, стержни
и т. д. Желательно получить для таких цилиндров теорему, ана-
аналогичную «общей теореме ослабления» для конечных частиц,
(разд. 4.21).
Амплитуду падающей волны можно записать в виде
c, — ikx -'-- hot
Можно не уточнять, является ли и0 г-компонентом электромаг-
электромагнитной волны или амплитудой скалярной волны. Примем без
доказательства, что амплитуда рассеянной волны при больших г
определяется выражением
Зависимость от г такова, что соответствует любой расходящейся
цилиндрической волне; Г (9) дает зависимость от 9, а постоянные
множители были добавлены в силу причин, которые станут по-
понятны позже. Интегрируя интенсивность рассеянного света по
всем углам 9 и в пределах длины / в направлении z, мы получим
полную энергию, рассеянную участком цилиндра длины / (ср.
разд. 15.13):
Эту величину можно записать, по определению, в виде
' ' ^рас.' 'о*
Здесь срас. — сечение рассеяния на единицу длины. Его можно
также назвать эффективной шириной, так как полное количе-
количество рассеянного света равно количеству света, падающего на
полоску ширины срас. Выполняя интегрирование, получаем
2т.
Эффективную ширину ослабления сосл. можно определить подоб-
подобным же образом, однако ее вывод требует рассуждений, анало-
аналогичных тем, которыми мы пользовались в разд. 4.21 или 4.41.
Мы воспользуемся ходом рассуждений, изложенным в разд. 4.21,
к которому и отсылаем читателя за подробностями. Суммар-
Суммарная амплитуда падающей и рассеянной волн для очень малых
6 и больших г есть
15.2. СЕЧЕНИЯ И ФАКТОРЫ ЭФФЕКТИВНОСТИ 353
а суммарная интенсивность
3-1 iky'
' (CY\ о 4 ~2Г
Эта интенсивность интегрируется по прямоугольному объективу
со стороной а в направлении г и со стороной Ь в направлении у.
Интегрирование по z дает множитель а; интегрирование по у
дает выражение, содержащее интеграл Френеля (разд. 3.12).
После некоторых упрощений находим, что полная интенсивность,
полученная объективом, равна
а (Ь — Сел.),
где
Это — эффективная ширина ослабления произвольного цилиндра
бесконечной длины.
Наиболее простое применение этих результатов, аналогичное
рассмотренному в разд. 8.22, относится к цилиндрам, геометри-
геометрическая ширина которых g (ширина тени) много больше К. Обыч-
Обычная теория дифракции дает
откуда сосл. = 2?, так что парадокс ослабления подтверждается.
15.22. Цилиндры конечной длины
Рассмотрим теперь цилиндр большой, но конечной длины.
Не очень существенно, будут ли концы прямыми или круглыми.
По-прежнему предполагается, что направление распространения
падающего излучения перпендикулярно оси. Такой цилиндр яв-
является телом конечных размеров, так что к нему должны быть
применимы определения и теоремы гл. 4. Для исследования рас-
рассеяния и ослабления подобными длинными иглами или полосами
необходимо связать теорию частиц конечных размеров [с ампли-
амплитудной функцией 5(ф,0)] с теорией бесконечно длинных цилин-
цилиндров [с амплитудной функцией Г(8)]. Для удобства мы сразу
рассмотрим поле в направлении вперед, т. е. в направлении рас-
распространения падающего света, и вблизи него. Пусть / — длина
цилиндра, а а — постоянная порядка его ширины при ширине,
большей X, или порядка К при ширине, меньшей X. Тогда в трех
различных зонах (рис. 65) волны будут вести себя по-разному.
23 Заказ ,\° 374
354
15. КРУГОВЫЕ ЦИЛИНДРЫ
Зона 1. r<g.a2lX. В этой зоне распространение волны будет
сложным. Здесь широкие частицы имеют тень, а узкие — поле
индукции.
Зона 2. а2Д<Сг<С/2Д- В этой зоне, исключая область вблизи
концов цилиндра, рассеянная волна и.меет характер цилиндри-
цилиндрической волны, так что в этом случае применимы формулы разд
15.21, содержащие Т. Это следует из физических соображений:
часть цилиндра, которая фактически образует поле в точке этой
зоны, будет иметь длину порядка V г%, которая значительно
меньше /. Таким образом, если координата z этой точки нахо-
Рис. 65. Определение амплитуды сферической волны па бесконечности
при рассеянии цилиндром очень большой, но конечной длины.
дится довольно далеко внутри области (—1\%, '/г), занимаемой
цилиндром, это поле не отличается существенно от поля, созда-
создаваемого цилиндром бесконечной длины. Если координата г на-
находится далеко от этой области, поле является невозмущенным.
Зона 3. г»/2Д. В этой зоне рассеянная волна ведет себя как
сферическая волна, так что здесь применимы формулы гл. 4,
содержащие 5. Мы можем вывести 5 из Т следующим образом.
Пусть п лежит во второй зоне. Амплитуда в точке Р' с коорди-
координатами х'=г\, у', z' есть
при —5"
^- и 0, если г' лежит вие этой области (см. за-
15.2. СЕЧЕНИЯ И ФАКТОРЫ ЭФФЕКТИВНОСТИ 355
штрихованную область иа рис. 65). Пусть Р — точка в третьей
зоне с координатами x=rcosq>, y = 0, z = r sin <p, где ф — малый
угол. Применим принцип Гюйгенса (разд. 3.12)
где р — расстояние РР'. С достаточной точностью имеем
р = г — / — г' sin cp;
в множителе перед интегралом р уже заменено' на г. Интегри
рование по у' дает полный интеграл Френеля (разд. 3.12)
Интегрирование по z' дает интеграл стандартного типа:
?
2"
г-,, . Sin U , „ ,,
где ?(и)= —^— является одной из функции, затабулированных
в разд. 7.4. В итоге имеем
а это действительно амплитуда сферической волны, так как она
уменьшается как 1/г.
Вывод для ВФО совершенно такой же; только Г@) следует
заменить на Г(8). Распространение этих результатов иа электро-
электромагнитные волны, т. е. волны с поляризацией, получается просто
добавлением индекса У или 2 к Г (9) соответственно случаям I
или II.
Таким образом, мы нашли, что амплитудная функция 5(9,ф),
определенная в разд. 4.1 для произвольных частиц и скалярных
волн,равна
в случае электромагнитных волн добавляются индексы / или 2
(разд. 4.41); члены, дающие кросс-поляризацию, практически
равны нулю.
Можно отметить, что 9 и ф имеют теперь иной смысл: в этой
формуле 9 представляет собой географическую долготу, ф — гео-
23*
356 15. КРУГОВЫЕ ЦИЛИНДРЫ
графическую широту, если ось цилиндра является полярной
осью, а плоскость ху — экваториальной плоскостью. Рассеяние
сосредоточено главным образом в узком поясе вокруг экватора.
Рассеяние на высоких широтах, например в положительном и
отрицательном направлении г, зависит от формы концов цилин-
цилиндра и дает малый вклад в полную величину рассеяния.
Сечение ослабления для цилиндра получается из теоремы
разд. 4.21 (скалярные волны) или разд. 4.41 (электромагнитные
волны). При 6 = 0, ф=0 имеем
так что
Это формально подтверждает очевидное соотношение, состоя-
состоящее в том, что сечение цилиндра длины / в / раз больше его эф-
эффективной ширины. Здесь сделано весьма важное предположе-
предположение о существовании зоны 2, т. е. /^>а, или, говоря словами,
длина должна быть значительно больше ширины и, кроме того,
значительно больше длины волны. Подобный же результат
легко получить для сечения рассеяния.
15.23. Окончательные формулы для круговых цилиндров
Вернемся теперь к круговым цилиндрам радиуса а. Деля
Сосл. на геометрическое поперечное сечение 2а/ или сжл, на гео-
геометрическую ширину 2а, в каждом случае мы получаем фактор
эффективности
Я Я{Т@)}
где x=ka, и подобным же образом
2-
После подстановки 7"i (в) и Г2@), которые точно определяют
функцию Т для электромагнитных волн (разд. 15.13), эти выра-
выражения примут вид ' (аналогично разд. 9.32)
1 Индексы 1 а 2 (относящиеся соответственно к случаям I и II) будут
добавляться к факторам эффективности только в тех случаях, когда возможны
недоразумения.
15.3. ЧИСЛОВЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДЛЯ ВЕЩЕСТВЕННЫХ т 357
в случав 1
в случае II
СО СО
л — —со л = — оо
Для вычисления этих рядов иногда бывает полезно опреде-
определить фазовые углы EП и ап с помощью выражений
= rnJn (у) Jn (х) - /„ (у) Jn (х)
mJ'n(y)Nn{x) -Jn(y)Nn(x) '
Jn(y)Jn{x)~mJn(y)j'n(x)
t
g" -/„ (У) Nn (x) - mJn (y) N'n (x)
Тогда имеем формулы, совпадающие с формулами для шаров
(разд. 10.21):
h = tg^n п — tgan
Углы р„ и an вещественны только в случае вещественных т и
Re^ = l bn I2 = sin^ рл = -I A - cos 2{y,
Re an = |an |2 = sin2 an = -^- A - cos 2an),
так что
для случая 1
со
- <2осл. = Qpac. = 4"
для случая II
со
Qom. = Qpac. = -? 2 (! ~ C0S 20t«)-
Л = — СО
15.3. Некоторые числовые результаты для вещественных т
15.31. Фазовые углы и узлы
Получение числовых результатов из аналитического решения
требует длинных вычислений. Они имеют так много общего с рас-
расчетами для шаров, рассмотренными в предыдущих главах, что
в данном случае можно обойтись без подробных пояснений. В од-
358
15. КРУГОВЫЕ ЦИЛИНДРЫ
ном отношении настоящая задача даже проще: углы ($„ и ап
относятся к различным физическим задачам (случай I и слу-
случай II) и не должны появляться одновременно в окончательных
18О'\-
Рис. 66. Фазовые углы при рассеянии цилиндрами с т—1,50.
Квадратиками обозначены узлы первого рода, кружками —
узлы второго рода.
формулах. Однако целесообразно выполнять расчеты для обоих
случаев сразу.
На рис. 66 дан пример фазовых углов в функции х для
/п=1,50. Их можно было бы рассчитать непосредственно по таб-
таблицам бесселевых функций и их производных, однако работа зна-
15.3. ЧИСЛОВЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДЛЯ ВЕЩЕСТВЕННЫХ т 359
чителыю сократится, если воспользоваться таблицами Лоуана,
Морса, Фешбаха и Лакса (сокращенно LMFL). Формулы оказы-
оказываются весьма сходными с формулами, полученными для сфери-
сферических частиц (разд. 10.4). В разделе таблиц LMFL, относя-
относящемся к круговым цилиндрам, затабулировано пять углов.
Обозначения уп, б„ и Ьп' мы принимаем без изменения, а к а„
и рп добавляем звездочку для того, чтобы отличить их от фазовых
углов. Определения их таковы:
xJ' (х) '
Jn(x)
tg Тя (х) = tg 8„ (х) cos p; (x) sec < (x).
Тангенсы фазовых углов (tgj3n и tgan) можно записать
(опуская общий индекс п и аргумент х) в виде
- ta со — ta a* oin Л1* — оЛ
где подстановка <pn(*)= a* (tnx) дает tgpn (случай I), а подста-
подстановка tg <рл (х) = —; tg a* ;mx) дает tg an (случай II).
Тем самым формулы приведены к виду, удобному для лога-
логарифмирования. Расчет был выполнен для 13 значений х вплоть
до х = 6,4 и охватывал для каждого х все те значения п, при ко-
которых углы не оказывались меньше 2°. Вторым этапом был
расчет узлов, что обеспечивало также лучшую интерполяцию.
Узлы, определяемые равенством an = Pn, могут быть двух родов
(аналогично разд. 10.22):
Узел первого рода. Если 6п (тх) =kn, то
dx dx dx dx
Узел второго рода. Если б„' (tnx) =&я, то
Свойства узлов первого рода были угаданы из аналогии со сфе-
сферической задачей. Они подтвердились при построении графика
углов, а также были строго доказаны с помощью рекуррентных
формул для бесселевых функций. Другое свойство,
ao = Pi,
360 15- КРУГОВЫЕ ЦИЛИНДРЫ
видно из рисунка, и можно легко показать, что оно верно для
всех х и т, включая комплексные значения. На рис. 66 узлы
первого рода показаны квадратиками, а узлы второго рода —
кружками. Значения тх=у, при которых находятся эти узлы,
оказываются одними и теми же для всех значений т, так как
они являются нулями соответственно Jn (у) и 1п' (у) ¦ Табл. 32
может оказаться полезной для справок.
В целях дальнейшего контроля, а также в качестве подго-
подготовки к исследованию, которое будет изложено в разд. 15.52,
казалось уместным найти также выражения для производных
фазовых углов в узлах. Длинные расчеты, которые невозможно
приводить, дают следующие результаты. Приведены соответ-
соответственно производные по х при фиксированном т и производные
по т при фиксированном х.
Узлы первого рода
дх ~ ' dm ~ тТ '
т? — 1 да„ тх
дх Т ' dm T '
Узлы второго рода
m V \ /и2*2/'
дх V ' dm
да„ (т2_Мл2
дх Vrrftxi ' dm mV
Здесь
I ;= — i у (*^O ~i ¦* * «\^) \ '—-" *~o ' *"* n (*^O j
? I д \ / i /j j ? ti \ /
it TtX r ri% / \ I »rf2/ \\ "RX i r r i / \ 11
V = ~2~ { Jn ' W + Nn (X})=~\Hn W 1 •
Функцию Г можно взять прямо из таблиц, вычисленных Лаксом
и Фешбахом A948).
Числовой пример: т=1,25. Узел первого рода расположен
при п = 3, аг=5,Ю. Здесь а3=Рз=63°; Т= 1,024,
-^8- == 0, 4^~ = 3,39 A94°),
¦ = 0,47 B7°), -^- = 5,30 C04°).
Таблица 32. Положения узлов для круговых цилиндров
В„ (у) = 180°
360
540
720
900
1080
К (У) = 0
180
360
540
720
900
1080
л
0
2,405
5,520
8,654
11,792
14,931
18,071
0
3,832
7,016
10,173
13,324
16,471
19,616
1
3,832
7,016
10,173
13,324
16,471
19,616
1,841
5,331
8,526
11,706
14,864
2
5,136
8,417
11,620
14,796
16,960
3,054
6,706
9,970
13,171
16,348
3
6,380
9,761
13,015
16,223
19,409
4,201
8,015
11,346
14,586
17,789
4
7,588
11,065
14,373
17,616
20,827
5,317
9,282
12,682
15,964
19,196
5
8,771
12,338
15,700
18,980
22,218
6,42
10,51
6
9,94
7
Корни уравнения Jп (у) = 0
7,50
8,58
Корни уравнения J'n (у) = 0
362
15. КРУГОВЫЕ ЦИЛИНДРЫ
Узел второго рода расположен при /2 = 6, л: = 6,0. Здесь а6=Рб=27°;
1/=0,625,
-^- = 0,90 E2°), -^~ = 4,32 B48°),
.58 Cd ), -т=-= 2.J к
дх
В табл. 33 дан пример последнего этапа расчета. Факторы эф-
эффективности Q рассчитаны отдельно для случаев I и II, причем
использовались углы, данные на рис. 66, и формулы, приведенные
в конце разд. A5.23.
О
Рис. 67. Кривые ослабления для очень длинных цилиндров
в случае I (E параллельно оси) и в случае II (Н параллельно
оси), рассчитанные для трех различных значений показателя
преломления.
15.3. ЧИСЛОВЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДЛЯ ВЕЩЕСТВЕННЫХ т
363
Таблица 33. Пример расчета ослабления (от =1,5, jc = 2,4)
Л
0
1
2
з'
4
2<х
п
122°,4
141°,0
116°,0
12°,0
0°,8
Сумма:
2?п
141°,0
119°,4
71°,6
22°, 4
2°,8
1 —cos2a,,
0,7681
1,777
1,438
0,023
0,000
4,006
l-cos2?B
0,889'
1,491
0,684
0,075
0,001
3,140
Сумма, деленная на -к-х: Q2 = 3,338, Qt = 2,617
1 При и = 0 добавлен множитель 1/2.
Результат показан на рис. 67 совместно с кривыми Q при
т=1,25, полученными подобным же образом. Видно, что ход
кривых в общем тот же, что и в случае сферических частиц
(рис. 32, разд. 11.22). Различие между Qi и Q2 сравнительно мало
и тем меньше, чем меньше значение т. Сходство кривых Q вы-
выявилось за счет нанесения их с различным масштабом по х, так
что они имеют общую шкалу р = 2 (т—\)х.
15,32. Показатель преломления, близкий к 1
На рис. 67 представлен также предельный вид кривой при
m-*-l. Весьма простое видоизменение вывода для сферических
частиц, проведенного в разд. 11.21, дает для случаев I и II
Q (р) = 2 Re J A - е-ip cos T) cos -^7 =
= 2 \ [1 — cos (pcos i)\ cos
0
После интегрирования по частям это выражение принимает вид
к
Q(p) = 2pj sin (pcos f) sin2ydy,
364 15. КРУГОВЫЕ ЦИЛИНДРЫ
что в я раз больше интеграла, определяющего функцию Струве
первого порядка, так что
Эта функция была взята прямо из таблиц Янке — Эмде и нане-
нанесена внизу на рис. 67. Для больших значений р использовано
тождественное выражение 2 + 7tQj(p); Q2 (о) также можно найти
в таблицах Янке — Эмде. В пределе при р >-»-оо мы находим
Q=2, как это и должно быть. При очень малых р результат при-
принимает вид
этот результат был получен также в разд. 7.32. Это — формула
для промежуточного случая (в смысле разд. 11.1).
15.33. Полностью отражающие цилиндры
Предположение о том, что т = оо (полное отражение), при-
приводит, как и для шаров (разд. 10.62), к некоторому упрощению.
Фазовые углы равны
причем оба их можно взять прямо из таблиц LMFL. В табл. 34
даны числовые результаты для некоторых значений х. Имея
в виду дальнейшее, мы дополнили фактор эффективности ослаб-
ослабления обозначаемой через Р мнимой частью функции, из кото-
которой он получен (разд. 15.23):
Вещественные части представлены на рис. 68 графически в функ-
функции х. График функции в комплексной области представлен на
рис. 80 (разд. 17.24). В отличие от кривых ослабления, которые
мы встречали до сих пор, значение Qi(x) начинается при х=0
не от 0, а от оо. Это подтверждается разложением в ряд при
малых х.
В случае I доминирующим коэффициентом является коэффи-
коэффициент, содержащий Kо- Его точное выражение таково
'Таблица 34. Значения Q + iP для цилиндров при от = оо
X
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
4,5
5,0
9,5
10,0
Случай Г
(Е параллельно оси)
4,572 — 5,574;
3,696 — 3,347;
3,319 —2,528?
3,101—2,060;
2,957 — 1,761;
2,740— 1, 340;
2,621 —1,ЮН
2,530 — 0,950;
2,471—0,836;
2,361— 0,637;
2,337 — 0,594;
2,221—0,386;
2,213 —0,373(
Случай 11
(Н параллельно оси)
0,029 + 0,332i
0,206 + 0,656i
0,533 + 0,885 г
0,834 + 0,880J
1,000 +0,7871
1,200 + 0,728 i
l,359 + 0,650i
l,447 + 0,599i
1,517 + 0,545;
1,639 + 0,449;
1,665 + 0,424;
1,789 + 0,296;
1,797+0,288;
3 -
7 -
Qg(ELocu)
i
Ш=оо
—
. ¦
1
1
¦
1
X
Рис. 68. Кривые ослабления для очень длин-
длинных, полностью отражающих цилиндров при
двух состояниях линейной поляризации па-
падающего света.
366 15- КРУГОВЫЕ ЦИЛИНДРЫ
где l=\ + ln -^-, a y = 0-577 — постоянная Эйлера. При учете
только этого члена окончательное выражение будет
Qi / р f*
его действительная часть при х<0,4 дает ослабление с точностью
ДО 5%.
В случае II преобладающие члены ао и сц имеют при малых л
равные, но противоположные по знаку фазовые углы:
«о — а1 — ~5~ '
откуда
Интересный вопрос о непосредственном получении этих резуль-
результатов с помощью аргументации, аналогичной той, которая ис-
использовалась в случае сферических частиц (разд. 10.61), не ис-
исследовался.
Числовые значения при больших х можно представить эмпи-
эмпирическими формулами
Ql + tPi = 2 + { 1,00 — 1,730 * ~'и,
Q2 + iP2 = 2 — @,86— 1,490 *-'/'— @,36 + 0,730 яг1':
Эти выражения были получены в предположении, что разность,
которую они составляют с асимптотическим значением Q = 2,
/
~
Р—0, будет пропорциональна х~ /з. Коэффициенты брались с гра-
графиков, в которых умноженная на дга/з разность с Q=2 наноси-
наносилась в зависимости от х~^и. Можно полагать, что эти выражения
дают почти точные значения для любого х>3. Более подробное
исследование вопроса об асимптотическом поведении можно
найти в разд. 17.21 — 17.24.
15.34. Диаграммы рассеяния
Если фазовые углы вычислены, будь то для конечного т или
для т = оо, то полные диаграммы рассеяния мбжно получить
без особого труда из 7"i(9) и Г2@), определенных в разд. 15.13.
То же справедливо и для фактора эффективности лучевого дав-
давления. Результаты весьма сходны с результатами для сфериче-
сферических частиц. На рис. 25 (разд. 10.4) представлены некоторые при-
примеры диаграмм, рассчитанных Релеем A918).
15.4. ОЧЕНЬ ТОНКИЕ ЦИЛИНДРЫ 367
15.4. Очень тонкие цилиндры
15.41. Диэлектрические иглы
Если в предшествующих формулах положить х<^\, то мы бу-
будем иметь дело с иглами диаметром много меньше X. Таким тон-
тонким иглам соответствуют разложения по степеням х, сходные
с разложениями, данными в разд. 10.31 для непоглощающих и
в разд. 14.21 для поглощающих сферических частиц. Рис. 66
(разд. 15.31) показывает, что при малых х фазовые углы р0 и oti
являются преобладающими, затем приобретают значение ссо и pi,
равные между собой, и еще позже фазовые углы с я = 2, 3 и т. д.
Это подтверждается разложением в ряд. Разлагая в ряды
формулы, с помощью которых определяются а„ и рп (разд.
15.23), находим
Ро = —С"*2- 1)+ •• •,
iw:2 пО- — 1 .
ai —~4 па + 1 + ••¦'
Общие формулы для факторов эффективности ослабления имеют
вид:
Случай I
Случай II
Главными будут члены, содержащие соответственно Ро и сц. Та-
Таким образом, в пределе для очень тонких игл имеем
W2~ 4 Х (/тг2+1J
их отношение
Q\ _ («2-ЫJ
368 15. КРУГОВЫЕ ЦИЛИНДРЫ
Например,
при от=1,25 Q1=0,39x3, Q2 = 0,119х\ -?*- = 3,28;
при от = 1,50 Ql = 1,93х3, Q2 = 0,364х3, ^ = 5,30.
Эти формулы применимы, если как х, так и тх меньше чем 0,4.
Выше этого значения следует учесть члены порядка х4 в р0 и cci
(не приведенные здесь), а также члены, содержащие а0 и Pi.
При т-»-1 значения Qi и Q2 не делаются равными, что можно
было предполагать заранее, но их отношение стремится к 2. Этот
парадоксальный результат объясняется автоматически, если мы
попытаемся понять, почему в случае I главным является член
с п = 0, а в случае II — член с п = 1 (более точно, с п = ± 1).
Ключом является формула для релеевского рессеяния несфе-
несферическими частицами. Из разд. 6.32 получаем для очень длин-
длинных круговых цилиндров следующие значения фактора деполяри-
деполяризации L и поляризуемости а.
Случай I (электрическое поле параллельно оси):
L — 0, так что —у- = т2 — 1 .
Случай II (электрическое поле перпендикулярно оси):
L = -i- , так что ^у- = 2{'?1Z\) ¦
Условие о том, что цилиндр находится в практически однород-
однородном поле, выполняется в настоящем разделе в силу предположе-
предположений, что направление падения перпендикулярно оси и радиус
мал. Однако другие предположения, необходимые для наличия
релеевского рассеяния, а именно условие, что все размеры много
меньше К, не выполняется, так как формулы, полученные в пре-
предыдущих разделах, верны для цилиндров, очень длинных по
сравнению с длиной волны.
Рассмотрим участок такого цилиндра, который значительно
длиннее радиуса, но короче К. Этот участок дает релеевское рас-
рассеяние, описываемое формулами, упомянутыми выше. Весь ци-
цилиндр слагается из множества таких участков, рассеянный свет
которых интерферирует. Эта интерференция во много раз умень-
уменьшает интенсивность рассеянного света, за исключением направ-
направлений, которые очень близки к направлению, перпендикулярному
оси цилиндра. Интерференция вырезает, так сказать, двумерный
слой из трехмерной диаграммы релеевского рассеяния. Этот слой
параллелен плоскости ху (см. рис. 64), а любое направление
в этом слое характеризуется только одним углом 9. Здесь появ-
15.4. ОЧЕНЬ ТОНКИЕ ЦИЛИНДРЫ 339
ляется разница между случаем I и случаем II. В случае I излу-
излучающий диполь параллелен оси, так что плоскость ху перпенди-
перпендикулярна диполю. Это означает, что рассеяние во всех направле-
направлениях в этой плоскости одинакова. Функция рассеяния изотропна
(в этой плоскости), и это объясняет, почему член с п = 0 яв-
является преобладающим. В случае II излучающий диполь лежит
в плоскости ху. Излучение в плоскости ху является наиболее
сильным в направлениях, перпендикулярных диполю (9=0 и
180°) и равно нулю в направлении диполя @=90°). Интенсив-
Интенсивность рассеянного света в любом направлении пропорциональна
cos20. To, что амплитуда содержит множитель cosO, проявляется
в строгих формулах в том, что преобладающим является член
с п= 1.
Примем теперь, что т очень близко к 1. Тогда два значения
поляризуемости равны, как это и должно быть в соответствии
с разд. 6.22. Однако слой, вырезанный из релеевской диаграммы,
¦в случае I благоприятнее, чем в случае II. Различие состоит
в множителе cos2 9, среднее значение которого по всем углам от
О до 180° равно 7г. Это в точности равно отношению Q2/Q1, кото-
которое мы и пытались объяснить.
Другие полезные формулы для предельного случая т, близ-
близких к 1, можно найти в разд. 7.32, где описывается рассеяние
Релея — Ганса цилиндрами произвольной длины и ширины при
произвольной ориентации.
15.42. Поглощающие частицы
Вернемся к нашей первоначальной задаче: очень длинные,
очень тонкие цилиндры и перпендикулярное падение. Теперь мы
будем искать значения Qi и Q2 для случая, когда эти цилиндры
являются поглощающими (металлическими). Непосредственное
применение формул разд. 15.23 и 15.41 дает, если удерживать
только главные члены:
Случай I
<Эосл. = 4" Re b0 = 4- Re (i%) = --^\m (?0) =
= ^-Im(m2 — 1),
и аналогично
Случай II
Qoc*. = TRe (ai + a-i) = -г- Re (a,) = — — Im («,) =
24 Заказ № 374
370 15. КРУГОВЫЕ ЦИЛИНДРЫ
Любопытно сравнить этот результат со случаем диэлектриков
(разд. 15.41) и отметить, что здесь появляется множитель 2, так
что в пределе при т-*-\ значения QOcn. в обоих случаях теперь
равны. Это можно легко понять, рассматривая физическую сто-
сторону задачи. Ослабление теперь обусловлено поглощением
внутри цилиндра, и эффекты интерференции не имеют значения.
Безразлично, будут ли цилиндры длинными, короткими или
сравнимыми с X. Действительно, эти формулы совпадают с фор-
формулами для цилиндров, все размеры которых много меньше к,
в чем можно убедиться с помощью разд. 6.13 и 6.32.
15.5. Некоторые результаты для комплексных т
15.51. Кривые ослабления для т= |/2 G—i)
Отсутствие таблиц бесселевых функций для комплексных ар-
аргументов делает расчет ослабления поглощающими цилиндрами,
равно как и поглощающими шарами, очень трудоемким. Если на-
намечается большая работа, то стоит сделать разложение в ряды,
как это сделал Шалён для случая сферических частиц (разд.
14.21). Однако вместо этого мы хотим сейчас привести один пока-
показательный пример. Был выбран показатель преломления т =
= ]/2 A—г), так как при этом разложение в ряд функции
становится особенно простым, поскольку
Это значение т близко к реальным значениям, которые имеют
место, например, для частиц железа в воздухе. Кроме того, для
этого значения т мы имеем
/п (У) = /в (тх) = (—1)" [Ьег„ Bх) + i bein Bx)],
где bern(z) и bein(z) — функции, затабулированные в связи с ря-
рядом технических задач.
Было решено сделать вычисления при
х=0,2; 0,4; 0,6; 0,8; 1,0; 1,4; 2,0; 3,0 и 4,0.
Первый этап состоял в табулировании бесселевых функций,
которые оказались нужны до п = 7. Они были получены из сле-
следующих источников (см. литературу в конце главы):
/„ (х) и /„' (х), Nn (x) и Nn' {x) — у Ватсона;
15.5 НЕКОТОРЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДЛЯ КОМПЛЕКСНЫХ т 371
Ьег„ и bein для я от 0 до 5 и целых значений х — у Мак-Лах-
линз;
Ьег„ и bein для п = 0 и всех значений х — у Янке и Эмде;
J\(y) для п=^=0 и дробных значений х — из разложения в ряд;
J[(y) для я = 6 и 7 — с помощью соотношения
Л(У) Л(У)Л(У)
/„ (у) во всех случаях — с помощью соотношений
Когда функции были затабулированы, прямая подстановка
в формулы разд. 15.12 дала значения коэффициентов ап и Ьп.
Они даны в табл. 35 (стр. 372—373).
За недостатком времени для вычислений было невозможно
проверить независимо каждый этап расчета. Был применен ряд
способов контроля, и некоторые ошибки были исправлены. С по-
помощью графиков было с несомненностью установлено отсутствие
грубых ошибок. Некоторые значения были добавлены путем экст-
экстраполяции. Кривые ап и Ъп в функции х в комплексной области
сходны с кривыми для сферических частиц (разд. 14.22 и рис.
55). При х-»-оо геометрическое место точек приближается к ок-
окружности с центром в точке 1/2 и радиусом
м-1
' т +1
= 0,263.
Коэффициенты табл. 35 следует просуммировать от —оо до
оо. Это означает, что, например, Т\@) слагается из bo плюс
I-&2+ ¦ ¦ •)• В таблице даны значения этих сумм, а также ве-
величина
(ср. разд. 15.23).
Поскольку
/и2 — 1 = — 1 — 4г
и
из разд. 15.42 получаем формулы для малых х:
Случай I QOcn. = 2ях = 6,28х.
Случай II <20СЛ. = 8пх/\7 = 1,47*.
24*
Таблица 35. Коэффициенты для металлических цилиндров с т = У 2 A — /) для случая I
(Е параллельно оси) и для случая II (Н параллельно оси1)
К
ап
Случай I
/г = 0
/г = 1
л = 2
л = 3
^(О)
"Tri@>
Случай П
л =0
л= 1
п = 2
л = 3
7"j@)
4-^2@)
@
@
0
@
@
@
0
х - 0,4
,276 — 0,108;)
,009- 0,002г)
,294 — 0,112;
1,47 — 0,56;
,009 —0,002 г)
,074 + 0,093;)
,001 + 0,002;-)
,159 + 0,188;
0,80+0,94;
0
0,
@,
0,
1
0,
0,
@,
@,
0,
1
лг-0,6
4511 —0,1760;
0383 — 0,019о;
0005 — 0,0002/)
5287 — 0,2156;
,762 — 0,719;
0383 — 0,01961
1732 + 0,1746;
0078+0,0130/)
0001 +0,0002;)
4045+0,3560;
,348+1,187;
лг — 0,8
0,5881—0,1693;
0,0914 — 0,0612;
@,0030-0,0015;)
0,7769 — 0,2946;
1,942 — 0,736;
0,0914 — 0,0611/
0,2798 + 0,2238;
@,0244+0,0370;)
@,0005 + 0,0009;)
0,7008 + 0,4623;
1,752 + 1,156;
х- 1
0,6859 — 0,1105;
0,1603- 0,1250;
0,0115-0,0063/
0,0003 — 0,0001;
1,0301—0,3733;
2,060—0,747;
0,1603 — 0,1251;
0,3554 + 0,2442;
0,0591 +0,0718;
0,0020 + 0,0033/
0,9933 + 0,5135/
1,937+ 1,027/
д--1,4
х-2
Д--4
Случай I
ьп\ „-i
0,7361 + 0,0809;
0,3321 —0,2502/
@,600 — 0,0490/)
0,5033+0,2588/
0,6333—0,2468;
0,1827 — 0,1915/
0,2643 — 0,1118/
0,6902 + 0,1946/
0,5950 — 0,2954/
0,7043 — 0,1637;
0,2543 + 0,1075;
0,7670 + 0,1108/
Случай I
/2=3
bn
/2=4
/2 = 5
я = 6
/2 = 7
/2 = 8
Г,@)
2
Случай II
/2 = 0
л=1
/2 = 2
/2 = 3
я = 4
/2 = 5
/2=6
/2 = 7
* /2=8
7^@)
2
ж-1,4
@,0030 — 0
1,5263 — 0
2,180 — 0
0,3322 — 0
0,3834+0
@,1780 + 0
@,0160+0
@,0010 + 0
1,4890 + 0,
2,127 + 0,
,0020/)
5215/
745/
2502/
2406/
1300/)
0230/)
0020/)
5410/
773/
0
0
0
2
с
0
0
0
0
0
0
2,
2
х-2
,0301 — 0,0282/
,0023 — 0,0015/
0001-0,0000/
2048 — 0,6773/
',205-0,677/
6337 -0,2468/
2736+0,1267/
4663 + 0,1718/
1456 + 0,1030/
0099 + 0,0135/
0004 + 0,0007/
4253 + 0.5946/
,425 + 0,595/
х-З
0,1884-0
0,0412 — 0
0,0054 — 0
0,0004 — 0
3,3060 — 0
2,204-^-0
0,6902 + 0
0,3909 -0
0,3693 + 0
0,5016 + 0
0,2189 + 0
0,0242 + 0
0,0016 + 0
@,001+0
3,7034 + 0
2,469 + 0
,2219/
,0507/
,0049/
0003/
8690/
579/
1946/
2354/
1693/
1154/
1018/
0258/
0023/
0002/)
5534 /
369/
x-i
0,5685 — 0,3215/
0,1918—0,2401/
0,0481—0,0693/
0,0107 — 0,0120/
@,0012- 0,0012/)
@,0001 -0,0001/)
4,3877—1,0155/
2,194— 0,508/
0,2543 + 0,1075/
0,7577 — 0,0428/
0,3036 — 0,1329/
0,4320+0,1711/
0,5169 + 0,0762/
0,2680+0,0791/
0,0374+0,0437/
@,0032 + 0,0060/)
@,0003 + 0,0004/)
4,8925 +0,5091/
2,446 + 0,255/
1 Росл, двляется вещественной частью чисел, данных в нижних строках. Скобки указывают, что значения могут
содержать некоторую ошибку,
4374
15. КРУГОВЫЕ ЦИЛИНДРЫ
Из графика Ьо/х2 и а\\х2 в комплексной плоскости можно видеть,
при каких значениях х это приближение становится удовлетвори-
удовлетворительным. Оказывается, что даже при л:=0,2, для которого
bo = 0,097 — 0,032/, Q0M.. i = 0,97,
ai = 0,0164 — 0,0260/, <Эосл.. 2 = 0,33,
отклонение в случае I составляет больше 20%. Нам следует огра-
ограничиться х, меньшими 0,1, чтобы с уверенностью пользоваться
этими приближениями для очень тонких цилиндров.
Рис. 69. Кривые ослабления для очень длинных метал-
металлических цилиндров с т=1,41— 1,41».
На рис. 69 изображены окончательные кривые ослабления.
Прямые линии, проведенные через начало координат, показы-
показывают линейное приближение для тонких цилиндров. Каждая кри-
кривая в отдельности по своему характеру сходна с кривыми ослаб-
ослабления для поглощающих шаров, что объяснялось в связи с рис. 54
(разд. 14.22). Наиболее интересный результат состоит в том, что
эти две кривые пересекаются. Ослабление для обоих направле-
направлений поляризации одинаково при х=1,18 (Q0CJ1.—2,12). Для мень-
меньших х более сильное ослабление претерпевает излучение с элект-
электрическим вектором, параллельным оси (случай I). Для больших
х более сильное ослабление претерпевает излучение с магнит-
магнитным вектором, параллельным оси (случай II).
Существование этой точки пересечения было известно из экс-
экспериментов с конца прошлого столетия. Первый эффект (малые
15.5 НЕКОТОРЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДЛЯ КОМПЛЕКСНЫХ т 375
х, т. е. длина волны, большая по сравнению с радиусом) был по-
получен в опытах с рассеянием радиоволн на проволочных решет-
решетках. Он известен как эффект Герца и повседневно используется
при расчете антенн. Второй эффект (большие*, т. е. длина волны,
малая по сравнению с радиусом) был обнаружен в опытах по
пропусканию света проволочными решетками и известен как
эффект Дюбуа. Такие проволочные решетки широко использо-
использовались в качестве дифракционных решеток перед объективами
астрономических телескопов. Здесь имеет место небольшой, но
заметный поляризационный эффект со знаком, как раз противо-
противоположным знаку, обычному для радиоволн. Свет с вектором Е,
параллельным оси, проходит с большей интенсивностью.
Автор полагает, что на рис. 69 показан первый теоретический
результат, из которого можно видеть существование точки пере-
пересечения и определить ее положение..Однако это не означает, что-
найдено полное объяснение. Объяснение эффекта Герца (малые
х) совсем просто, так как он следует из формул для малых ча-
частиц (разд. 6.32). Хорошего объяснения эффекта Дюбуа никогда
не было дано. Оно также не получается просто из предыдущих
расчетов, так как мы еще не рассмотрели асимптотического по-
поведения при х-*-оо. В разд. 17.25 мы увидим, что положение яв-
является довольно сложным, но что можно добиться удовлетвори-
удовлетворительного понимания эффекта Дюбуа, рассматривая интерферен-
интерференцию дифрагированной волны и краевой волны, обусловленной
скользящим отражением. На рис. 81 (разд. 17.25) показаны зна-
значения Q + iP в комплексной области, взятые из табл. 35.
15.52. Цилиндры из слабо поглощающего вещества
Метод аналитического продолжения, который обсуждался
в связи с рассеянием сферическими частицами в разд. 14.5, мо-
можно применить также и к цилиндрическим частицам. Этот метод
и расчеты, приведенные в этом разделе, были разработаны в виде
отдельного исследования Элске ф. П. Смит.
Исходным пунктом являются формулы из конца разд. 15.23.
Аналитическое продолжение на комплексные значения m воз-
возможно, если имеются результаты для ряда значений т. В на-
настоящей задаче было найдено полезным применение метода ана-
аналитического продолжения отдельно к каждому фазовому углу да
проведения суммирования.
Функции ап и р„ вещественны при вещественных т и имеют
комплексные значения при комплексных т. Цель первого этапа
;расчета состоит в нахождении их значений для показателя пре-
преломления т—jfx, где ц мало. Примем на время обозначение уг-
углов и производных с аргументом т без штриха, а углов и произ-
376 15. КРУГОВЫЕ ЦИЛИНДРЫ
водных с аргументом т—i\i со штрихом. Разлагая в ряд Тэй-
лора, получим (для случая I)
Удерживая только член первого порядка и подставляя в фор-
формулы разд. 15.23 значение
получаем пока для случая I
2
c.l = — ^ L 1 —
^ L 1 — cos 2pn e
П =—CD
д?п ар
Т ^ 4^ - C0S 2'3« " 2"^
и путем вычитания находим
Л - — оо
Вообще говоря, приближение первого порядка в разложении Тэй-
лора применимо только при условии, что показатели малы. Это
приводит к дальнейшему упрощению, а именно
dm
n = — оо
Во всех этих суммах члены порядка п и —п равны. Формулы
для другого направления поляризации (случай II, Н парал-
параллельно оси) получаются путем замены р„ на а„.
Эти уравнения можно проверить путем применения их к очень
тонким цилиндрам. Из формул разд. 15.41 для сц и рп получаем:
Случай I QI10rJI. % Q0CJI. я
Случай II <ЭП0ГЛ. % Q0M. ^s тис
Те же результаты получаются в предельном случае малых fx
с помощью непосредственной подстановки т — i\i в формулы
разд. 15.42.
Для получения числовых результатов для конкретного зна-
значения показателя преломления, например 1,50—0,10 i, был вы-
15.5 НЕКОТОРЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДЛЯ КОМПЛЕКСНЫХ т 37Т
бран следующий метод. Значения а™ и р„ для иг=1,50 и 1,25 из-
известны из расчетов, приведенных в разд. 15.31 (см. рис. 66). Для
настоящей цели были рассчитаны новые значения для иг = 2,00'
и 1,10. Однако для получения полных кривых а„ и рп в функции
т при фиксированном значении х этих значений все же недоста-
недостаточно. Дополнительные данные были получены путем нанесе-
нанесения на график узлов, где ап = &п. Формулы для производных
dfynldm и да„/дт даны в разд. 15.31.
Из определений tgctn и tgpn (разд. 15.23) можно также по-
получить, что
lim
т-
Всех этих данных вместе взятых оказалось вполне достаточно-
для проведения от руки кривых для ряда выбранных значений
х, по которым можно оценить не только значения первых произ-
производных по иг, но также и производных высших порядков.
Так как практически а„ и $п возрастают в среднем как иг—1,
оказалось более удобным нанести отношения а„/(иг—1) if
р„/(иг—1). Производные этих функций будут:
д ! «п \ = * ( д«п _ ап
dm \ т — 1 / т — \ \ дт т — 1
и аналогично для рГ1. Эти кривые можно продолжать через иг= 1
в область /п<1 и в этой области также использовать узлы для
определения общего характера кривых. На рис. 70 дается при
мер с одним узлом при иг = 0,92.
Эти кривые, которые были построены для х=1, 2, 3, 4, ...
охватывают область иг приблизительно от 1 до 2,5. По ним были
взяты значения первых производных при иг= 1,25 и 1,5. Построив,
графики этих производных в функции х, их можно проинтер-
полировать для других значений х. Любые ошибки этой графиче-
графической интерполяции не оказывают большого влияния на конечный
результат, так как при переходе обратно к производным самой
величины а„ с помощью соотношений
(и аналогично для р„) преобладающим будет второй член.
Итак, все данные, входящие в полученные выше общие фор-
формулы, известны. На рис. 71 показаны числовые результаты для
1Г,1)''
120'
90'
60'
30'
! ¦
1 a>
\A
<
f0 X-
-^
\
-7
2_/
У
i ¦
2
fio fir*o I
hi
1, ¦
/,5 2
/77
2,5
Рис. 70. График фазовых углов, деленных на т—1, в функции w
для цилиндров фиксированного размера (х = 2). Квадратиками обо-
обозначены узлы первого рода, кружками — узлы второго рода.
12 3 4 5
Рис. 71. Кривые ослабления для очень длинных цилиндров из слабо по-
поглощающего вещества.
ЛИТЕРАТУРА 379
m=l,50—0,10 f, а также для m—l,25—0,1 Of. Уравнения каса-
касательных при малых т будут
при т = 1,25 — 0,1 Of, Qi = 0,393х, Q2 = 0,237х;
при т= 1,50 — 0,1 Of, Q, = 0,471 х; Q2 = 0,176x.
Отклонения от кривых для вещественных т не очень велики
и имеют тот же характер, что и для сферических частиц (разд.
14.5). Они сходны для двух направлений поляризации, так что
такие цилиндры могут вызывать поляризацию света почти так
же эффективно, как и полностью прозрачные цилиндры. Однако
дело оказывается иным, если j.i становится порядка т—1
и больше. Тогда получаются такие кривые, как на рис. 69 (разд.
15.51), и, наконец, для очень больших fx кривые должны стать
такими же, что и для полностью отражающих цилиндров (рис.
68, разд. 15.32).
ЛИТЕРАТУРА
Полное решение для цилиндров произвольного радиуса с произвольным
показателем преломления в случае перпендикулярного падения впервые дан»
Релеем:
Ray lei gh, Phil. Mag., 12, 81 A881) (Sci. Papers 74)
и независимо Игнатовским:
von Ignatowsky W., Ann. Physik, 18, 495 A905).
Численные расчеты в статье Игнатовского и в статьях
Seitz W., Ann. Physik, 16, 746 A905.); 19, 554 A905); von Igna-
Ignatowsky W., Ann. Physik, 23, 905 A907)
относятся к металлическим проволокам в сантиметровом диапазоне (Х = 30 см).
Пример для оптической длины волны (золотая проволока с 2яа/Х = 3) был
рассчитан Зейтцем:
Seitz W., Ann. Physik, 21, 1013 A906).
Шефер и Гроссман вновь получили полное решение, выполнили расчеты
для вещественного значения т = 9 и провели сравнение с экспериментами
для водяных цилиндров при X. = 24 см:
Schaefer С, Sitzber. Koniglich Preuss. Akad. Wiss. Berlin, 11, 326-
A909).
Schaefer C, Grossmann Q., Ann. Physik, 31, 455 A910).
Тило продолжил эти расчеты, учтя лучевое давление:
Thilo С, Ann. Physik, 62, 531 A920).
Числовые результаты для х = 0,4 @,4) 2,4; 0 = 0 C0°) 180° (см. рис. 25)
были получены Релеем:
Rayleigh, Phil. Mag., 36, 365 A918) (Sci. Papers 434).
Приближенные формулы для очень малых значений 2па1Х содержатся во
многих из этих статей, а также в более ранних статьях Дж. Дж. Томсонэ
.380 ЛИТЕРАТУРА
и другчх авторов. Метод нахождения асимптотического поведения при боль-
больших размерах впервые ясно изложен Дебаем:
Debye P., Physik. Z., 9, 775 A908).
Несмотря на то, что позже эта задача широко изучалась Шпоном и Пфен-
нингером:
Spohn H., Physik. Z., 2.1, 444, 469, 501, 5118 A920).
Pfenninger H., Ann. Physik, 83, 753 A927),
никаких полезных числовых результатов получено ие было.
Современным учебником, дающим подробное решение для перпендику-
перпендикулярного падения, является, например, книга Стрэттоиа:
S t r a 11 о п J. A., Electromagnetic Theory, New York, McGraw-Hill,
1941. (Русский перевод: Стрэттон Дж., Теория электромагнетизма,
Гостехиздат, М. — Л., 1948).
к которой мы отсылаем читателя за доказательством вспомогательных фор-
формул, упоминаемых в разд. 15.11 и 15.12. Полное решение для случая на-
наклонного падения (разд. 15.11) дано в работах:
Wellmann P., Z. Astrophys., 14, 195 A937).
Wait J. R., Can. J. Phys., 33, 189 A955).
Burberg R., Z. Naturforsch., lla, 300 A956).
Результаты Веллмаиа оказались неверными. Статья Уайта содержит также
¦более простые формулы для коэффициентов, получающиеся при некоторых
частных предположениях относительно х и т. по-прежнему для произволь-
произвольного угла падения, дополняя таким образом результаты разделов 15.32,
15.33 и 15.41.
Экспериментальные исследования и расчеты, касающиеся рассеяния волн
от источников, находящихся на конечном расстоянии, выполнены Оберхет-
тингером и Кодисом:
Oberhettinger F., Ann. Physik, 43, 136 A943).
Kodis R. D., J. Appl. Phys., 23, 249 A952).
Форма, в которой представлено решение при перпендикулярном паде-
падении, а также введение функций 7\ (в) и Гг (в) (разд. 15.13) являются но-
новыми. Рассмотрение случая цилиндров произвольного сечения (разд. 15.21
и 15.22) также приводится здесь впервые. Однако та же задача рассматри-
рассматривалась раньше в работе
Twersky V., J. Appl. Phys., 25, 859 A954).
Асимптотическое значение Q = 2 для цилиндров получено также в статьях:
Papas С. Н., J. Appl. Phys., 21, 318 A950).
3 о г g п i ь F. Е., Р а р a s С. Н., Randwertprobleme der Mikrowel-
ienphysik, Berlin, Springer Verlag, 1956.
В разд. 15.31 и 15.52 сделана ссылка на следующие таблицы вспомога-
вспомогательных функций:
Lowan A. N., М о г s е P. M., Feshbach H., Lax M., Scaterring
and Radiation from Circular Cylindres and Spheres, Tables of Ampli-
Amplitudes and Phase Angles, Washington, D. C, U. S. Navy. 1946.
L a x M., Feshb ach H., J. Acoust. Soc. Amer., 20, 108 A94Й).
ЛИТЕРАТУРА 381
Jahnke E., E m d e F., Tables of Functions, New York, Dover Publi-
Publications A945).
(Русский перевод: Янке Е., Эмде Ф., Таблицы функций с формулами
и кривыми, Физматгиз, М., 1959.)
Результаты, представленные на рис. 67, впервые были опубликованы
в статье
van de Hulst Н. С, Astrophys. J., 112, 1 A960).
Остальные результаты разд. 15.3 и 15.4 получены и вычислены заново. Не-
Несомненно, они частично содержатся в литературе прошлых лет.
Расчеты для т = ]/~2~A — i) (разд. 15.51) были выполнены А. Гроотен-
дорстом и автором в 1950 г. и основаны на данных из следующих книг:
Watson G. N., A Treatise on the Theory of Bessel Functions, Cam-
Cambridge, Cambridge Univ. Press, 1944.
(Русский перевод: Ватсон Г. Н., Теория бесселевых функций, ИЛ,
М., 1949.)
F 1 е t с h е г А., М i 11 е г J. С. P., R о s e n h e a d L., An Index of
Mathematical Tables, London, Scientific Сотр. Service, Ltd., 1946.
McLachlan N. W., Bessel Functions for Engineers, Oxford, Oxford
Univ. Press, 2nd ed., 1941.
Хороший обзор вопроса о поляризации света длинными цилиндрами (эф-
(эффект Герца и эффект Дюбуа) дан Шефером и Матоши:
S с h a e f е г С, М a t о s s i F., Das ultrarote Spektrum, Berlin, J. Sprin-
Springer, 1930.
Расчеты в разд. 15.52 были выполнены Элске ф. П. Смит в 1951 г.
16.
ЧАСТИЦЫ ДРУГИХ ФОРМ
16.1. Методы решения задачи о рассеянии
Общая проблема, стоящая в части II этой книги (гл. 6—17),
состоит в решении задачи о рассеянии плоской волны, падаю-
падающей па частицу заданной формы, размера и состава. Это равно-
равносильно задаче о решении уравнений Максвелла с заданными гра-
граничными условиями.
Давая обзор задач о рассеянии, Эпштейн A919) писал:
«Чтобы найти новые решения основных уравнений, отвечаю-
отвечающие частным видам граничных поверхностей, применялись два
метода. А. Зоммерфельд с помощью теории функций дал метод
нахождения ветвящихся решений волнового уравнения. Даль-
Дальнейшая процедура, посредством которой он удовлетворяет гра-
граничным условиям для этих решений, состоит в обобщении метода
зеркальных изображений Томсона. Другой метод, который ока-
оказался удачным, состоит в преобразовании основных уравнений
к таким криволинейным координатам, что поверхности разрыва
параметров соответствуют постоянному значению одного пара-
параметра. К сожалению, применимость обоих методов органичена,
и пока было решено только несколько случаев».
Метод Зоммерфельда применим лишь к частицам частного
вида — с плоскими границами (полуплоскость, клин); его при-
применение к физическим задачам ограничивается также предполо-
предположением, что частицы— идеальные проводники '. Родственная за-
задача об идеально проводящем полубесконечном конусе также
была решена строго (Зигель и Алперин, 1952; Зигель, Алперин,
Криспин, Хантер, Клейнман, Ортвайн и Шенстед, 1953). Мы не
станем рассматривать эти решения, но в дальнейшем познако-
познакомимся с исследованиями, выполненными для тел без резких вы-
выступов и резких границ.
Несколько в стороне от вопросов, рассматриваемых в этой
книге, стоят задачи о рассеянии двумя близкими шарами
(Тринкс, 1935), о рассеянии полусферическим или полуцилинд-
полуцилиндрическим выступом на проводящей полуплоскости (Тверский,
1951 и 1954), о дифракции на проволочных решетках с надлежа-
1 Зоммерфельд дает также решение для черного экрана в предположе-
предположении, что энергия затухает во втором листе римановой поверхности. Автору
не удалось понять физическую интерпретацию этого предположения.
16.1. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ О РАССЕЯНИИ 383
щим учетом взаимного влияния проволок, о рассеянии атмосфер-
атмосферными неоднородностями или волнистыми поверхностями со ста-
статистически распределенными неровностями (ср. разд. 21.1) и, на-
наконец, об излучении антенн различных форм. Все эти задачи
имеют некоторое сходство с задачами, перечисленными ниже.
Ссылки на статьи, посвященные некоторым из этих задач, даны
в обзоре Баукампа A954) по теории дифракции.
Из обширной литературы о проволочных решетках и о не-
непосредственно связанных с этим вопросах укажем только неко-
некоторые из последних работ: Вессель A939), Макферлайн A946),
Хёнерягер A948), Тверский A952 а, Ь), Льюис и Кейси A952),
Гроувс A953), Сторер и Севик A954), Уайт A954).
16.11. Разделение переменных в волновом уравнении; однородные
тела
Метод, применявшийся к шарам (гл. 9) и к цилиндрам (гл.
15), состоял в разделении переменных в векторном волновом
уравнении, записанном в криволинейных координатах, которые
выбраны таким образом, что поверхность частицы совпадает
€ одной из координатных поверхностей. Тот же метод можно при-
применить к частицам ряда других форм. Вывод всех координат-
координатных систем, в которых векторное волновое уравнение допускает
такое разделение, см., например, у Спенсера A951) и у Морса к
Фешбаха A953).
Метод разделения переменных применялся в следующих слу-
случаях:
/. Круговые цилиндры. Решение было дано в гл. 15.
2. Эллиптические цилиндры. Разделение переменных с по-
помощью функций Матье впервые было выполнено Зигером A908)
и Айчи A908). Из-за дополнительного параметра окончательные
уравнения значительно сложнее, чем уравнения для кругового
цилиндра, хотя их общая структура та же. Так же, как для ша-
шаров и круговых цилиндров, решение имеет вид ряда с бесконеч-
бесконечным числом коэффициентов. Для полностью отражающих эллип-
эллипсоидальных цилиндров произвольного размера и для излучения,
падающего в направлении, перпендикулярном оси цилиндра на
«плоскую сторону», т. е. перпендикулярно большой оси обра-
образующего эллипса, оно было получено в статье Эпштейна. Чис-
Числовой результат дан для предельного случая плоской полосы
с шириной много меньше К. С тех пор численные расчеты для
плоской полосы были значительно расширены (разд. 16.23). За-
Задача, рассмотренная Синклером A951), а именно вывод диа-
диаграмм антенн, помещенных вблизи цилиндров эллиптического по-
поперечного сечения, эквивалентна задаче нахождения полей на та-
таких цилиндрах, обусловленных падающей плоской волной.
384 16. ЧАСТИЦЫ ДРУГИХ ФОРМ
3. Параболические цилиндры. Это — тема диссертации Эп-
штейна A914). И в этом случае уравнения значительно проще.
Строгое аналитическое решение можно получить так же легко,
как для шаров или круговых цилиндров, но для численных рас-
расчетов трудность состоит в медленной сходимости рядов. Если не
считать показателя преломления параболического цилиндра,
то входящий сюда параметр — это постоянная
kp = 2лрД,
где р — параметр образующей параболы (ее уравнение у2— 2рх).
Решение Зоммерфельда для отражающей полуплоскости полу-
получается в том случае, если этот параметр стремится к нулю, а по-
показатель преломления — к бесконечности. Эпштейн находит, что
для очень тонких экранов при перпендикулярном падении отно-
отношение амплитуд, рассеянных краем в тех случаях, когда элект-
электрический вектор параллелен и перпендикулярен краю (случай I
и II), равно tg(n/4+6/2). Конечная толщина уменьшает ампли-
амплитуду в случае II и увеличивает ее в случае I. Если параболиче-
параболический цилиндр не обладает идеальной проводимостью, то его
влияние на поле излучения вообще мало в случае II и велико
в случае I. Дальнейшее исследование параболических цилиндров
дано Кеем A953). Райе A954) и Келлер A956) вывели асимпто-
асимптотические выражения для больших kp, которые можно получить
с помощью преобразования Ватсона.
4. Шары. См. гл. 9—14.
5. Сфероиды. Эпштейн утверждает, что попытки найти строгое
решение были неудачными. Просматривая более позднюю лите-
литературу, мы нашли, что еще одна попытка была сделана Мёглихом
A927) для идеально проводящих сплюснутых сфероидов. Позже
оказалось, что его решение дает неправильный ответ в предель-
предельном случае плоского круглого диска. Полное решение для иде-
идеально проводящего вытянутого сфероида для случая плоской
волны, падающей на «острие», было дано Шульцем A950) и чис-
численно сосчитано для полуосей 2,01^/2я и 0,201Я,/2л.
Более полные числовые результаты для радарных сечений
в случае падения на «острие» для вытянутого сфероида с отноше-
отношением полуосей 10 : 1 были рассчитаны по этим формулам Зи-
гелем, Джере, Марксом и Слитором A953). Кривая представлена
довольно полно для значений 2лаД от 0 до 2; были рассчитаны
несколько точек при 2ла/К от 2 до 6 (а — большая полуось).
В первом максимуме, имеющем место при 2яаД=1,4, радарное
сечение в 4,4 раза больше величины пЬУа2, которая является пре-
предельным значением для малых длин волн. Формулы для идеально
проводящего сплюснутого сфероида в случае излучения, падаю-
16.1. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ О РАССЕЯНИИ 385
щего вдоль оси, были получены Раухом A953), который ссы-
ссылается на более раннюю работу Лейтнера и Спенса A950).
' В предельном случае очень малых размеров или большой
длины волны результат для любого эллипсоида оказывается про-
простым, если только эллипсоид не является идеальным проводни-
проводником (разд. 6.32). Для идеально проводящего эллипсоида, где
вдобавок имеет значение магнитное дипольное излучение (разд.
6.4), результат будет несколько сложнее.
Дальнейшие успехи в решении задач 2 и 5 в значительной
степени зависят от развития теории и от составления таблиц
функций Матье и сфероидальных функций, что в настоящее
время успешно выполняется.
6. Параболоиды вращения. Поля, вызываемые отражением
плоской волны, падающей на параболоид вращения с вогнутой
стороны, изучались довольно подробно в связи с использованием
этих параболоидов в качестве зеркал радиолокаторов или ра-
радиотелескопов (Пинни, 1946, 1947; Бухольц, 1948). Дифракция
волны, падающей на параболоид с выпуклой стороны, была ис-
исследована Хортоном и Кералом A951) '.
7. Плоские диски и полосы. Они представляют собой вырож-
вырожденные случаи рассмотренных выше частиц и подробно изуча-
изучались (разд. 16.22 и 16.23).
8. Более сложные задачи, которые можно решить с помощью
метода разделения переменных. Они включают рассеяние двумя
близкими шарами (Иринке, 1935), двумя параллельными прово-
проводящими круговыми цилиндрами (Роу, 1953а), а также проводя-
проводящей плоскостью, ограниченной с края проводящим круговым ци-
цилиндром произвольного радиуса (С. Н. Карп, цитируемый Роу,
1953 b).
16.12. Составные тела
Формулы становятся более сложными, хотя и не более труд-
трудными, по существу, если вместо одной граничной поверхности,
отделяющей «частицу» от «среды», мы имеем две или более гра-
границ, каждая из которых отделяет области пространства, где по-
показатель преломления имеет постоянное значение.
Простейшей задачей этого рода является хорошо известная
задача об отражении от покрытой пленкой плоской поверхно-
поверхности. Эквивалентной задачей для шаров является рассеяние и
1 Задаче о дифракции на параболоиде вращения посвящены также ра-
работы В. А. Фока и других; см., в частности, сборник «Дифракция электро-
электромагнитных волн па некоторых телах вращения» (Изд.-во «Советское радио»,.
М., 1957). —Ярил. ред.
25 Заказ № 374
386 16. ЧАСТИЦЫ ДРУГИХ ФОРМ
ослабление однородным шаром, покрытым концентрической
сферической оболочкой из другого вещества. Формулы были по-
получены Гюттлером A952), а также Аденом и Керкером A953).
В исследовании Гюттлера учитываются электрические и магнит-
магнитные дипольпые, а также электрические квадрупольные члены, и
поэтому можно провести сравнение его результатов с формулами
для однородных шаров, приведенными в разд. 10.3.
Уравнения Адена и Керкера использовались для расчета од-
одного примера с целью применения в метеорологии (разд. 20.43);
позже более подробные расчеты сделал Шарфман A954). В рас-
расчетах Шарфмана внутренний шар с радиусом а является идеаль-
идеальным проводником, а наружная оболочка с радиусами а и а + Ь яв-
является диэлектриком с е, меняющимся от 2,56 до <х>. Оказалось,
что радарное сечение проходит через максимум, если а/К и 6Д
остаются фиксированными, а е изменяется. Можно отметить, что
объяснение этого резонансного эффекта Шарфманом, в котором
проводящее ядро играет существенную роль, не является един-
единственно правильным, поскольку резонанс имеет место также для
однородных диэлектрических шаров с такими же большими зна-
значениями е. Распространение поверхностных волн на цилиндри-
цилиндрическом проводнике, покрытом цилиндрической диэлектрической
оболочкой, было рассмотрено Хориучи A951, 1953).
16.13. Интегральные уравнения и вариационные методы
Другим важным методом является вариационный метод. Он
был разработан Швингером и другими и оказался весьма по-
полезным для приближенного, но довольно точного решения мно-
многих задач. Принцип этого метода в применении к скалярной про-
проблеме дифракции на отверстии в плоском экране состоит в сле-
следующем.
С помощью принципа Гюйгенса дифрагированное излучение
в любом направлении можно выразить через интеграл, содержа-
содержащий амплитуду на отверстии ср. Эта функция ср сама является
решением трудно разрешимого интегрального или интегро-диф-
ференциального уравнения. Однако с помощью этого уравне-
уравнения можно преобразовать первое выражение для дифрагирован-
дифрагированного поля в несколько более сложное выражение, имеющее то
преимущество, что оно остается стационарным относительно ма-
малых отклонений от строгого решения для <р. Это означает, что при
подстановке в это новое выражение не совсем правильной функ-
функции ф для дифрагированного света все же получаются по суще-
существу правильные результаты. В таком случае с помощью подхо-
подходящего предположения можно представить функцию ф простым
15.1. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ О РАССЕЯНИИ 387
выражением с неопределенными коэффициентами и найти эти
коэффициенты из условия стационарности. Иногда даже удается
найти вполне строгое решение, используя бесконечно большое
число коэффициентов.
Недостаток места не позволяет дать более подробного изло-
изложения. Однако заметим, что этот метод вполне оправдал себя и
что подобные же методы можно, конечно, разработать для реше-
решения проблем рассеяния объемными частицами.
Одной из таких проблем является дифракция на закруглен-
закругленном крае толстого слоя с радиусам кривизны, большим длины
волны. В этом случае неизвестной функцией является распреде-
распределение тока на поверхности. Интегральное уравнение удалось ре-
решить численно, и, таким образом, пет необходимости применять
вариационный принцип, поскольку поле на большом расстоя-
расстоянии можно получить путем непосредственного интегрирования
(разд. 17.23).
Интегральное уравнение для поверхностных токов было ре-
решено для тонких проволок и полос конечной длины Ван Флеком,
Блохом и Хамермешем A947), а дополнительные данные были
получены Таем A952). Оказалось, что рассеяние, в том числе
и рассеяние назад, проводящими проволоками длины 2/ и диа-
диаметром 2а зависит от отношений 21/а и 2/Д. Резонанс имеет ме-
место при 2//А,= '/2, 3/2, 5/2, . ¦. для очень тонких проволок и при не-
несколько меньших значениях, если а/21 не пренебрежимо мало.
Даны угловые распределения для резонансного и нерезонансного
дифрагированных излучений. С увеличением диаметра нерезо-
нерезонансное излучение возрастает сильно, резонансное — лишь не-
немного.
Если длина волны мала по отношению к характерным раз-
размерам тела, то можно получить приближенные решения в пред-
предположении, что поверхностные токи в любой точке тела с плавно
меняющейся кривизной те же, что и для случая волны, падаю-
падающей на плоскую отражающую поверхность с тем же направле-
направлением нормали. В таком случае с помощью некоторого варианта
принципа Гюйгенса можно рассчитать излучение, рассеянное
в произвольном направлении, а также радарное сечение. Это мо-
можно называть (если не пользоваться слишком определенным тер-
термином) приближением физической оптики. Результаты для раз-
разнообразных тел затабулировали Зигель, Алперин, Бонковский,
Криспин, Маффет, Шенстед и Шенстед A953). Наиболее серьез-
серьезный недостаток этого метода состоит в том, что в нем пренебре-
гается поверхностными волнами, которые могут обходить вокруг
тела (разд. 17.32), так что можно ожидать, что этот метод бу-
будет точнее давать радарные сечения бесконечных тел (парабо-
(параболоид, полубесконечный конус), чем конечных (Шар, сфероид).
25*
388 16. ЧАСТИЦЫ ДРУГИХ ФОРМ
16.14. Разложение по степеням отношения размера к длине волны
В предыдущих разделах мы видели, что разложения в сте-
степенные ряды применимы для частиц, хотя и малых, но недоста-
недостаточно малых, чтобы воспользоваться решением, в котором дей-
действующие поля могут считаться однородными (гл. 6). Такие раз-
разложения были даны в разд. 10.3 (диэлектрические шары), 10.61
(полностью отражающие шары), 14.21 (поглощающие шары) и
15.4 (круговые цилиндры). Все разложения проводились по сте-
степеням x,=ka, где k = 2n/l и а— радиус; разложения во всех слу-
случаях получались, исходя из строгого решения для произволь-
произвольных X.
Встает вопрос: нельзя ли рассчитать несколько членов таких
рядов, если даже нет строгого решения для произвольного раз-
размера? Эта важная проблема была успешно решена Стивенсо-
Стивенсоном A953а). Стивенсон рассматривает однородное тело произ-
произвольной формы, имеющее комплексную диэлектрическую посто-
постоянную е + 4яга/(о (соответствующую нашему т2 при ином выборе
знака при t) и магнитную проницаемость ц. Это означает, что его
исследование охватывает как диэлектрические (а=0, (х=1), так
и полностью отражающие частицы (е=оо, ц=0). Если считать,
что Е и Н разложены в степенные ряды по k, то коэффициенты
можно найти в виде решений некоторых хорошо известных задач
теории потенциала. Разумеется, первый из них дает поляриза-
поляризацию тела в стационарном и однородном электрическом и магнит-
магнитном полях (разд. 6.1 и 6.4). Другие члены рядов являются реше-
решениями последовательно более сложных задач теории потенциала.
Это означает, что в принципе проблема решена и требует только
вычисления определенных интегралов, которые можно написать
в явном виде. Переход от ближнего поля к полю на больших
расстояниях содержит известные математические трудности, об-
обсуждать которые здесь не представляется возможным.
Решение Стивенсона было бы логичнее рассматривать в гл. 6
этой книги, поскольку оно относится к частицам произвольной
формы и является естественным обобщением релеевского рассея-
рассеяния. На практике полное решение такого рода удается получить
только для эллипсоидов. Стивенсон A953 Ь) решил эту задачу
для эллипсоида с учетом трех членов ряда, в которых поля изме-
изменяются как k2 (релеевское рассеяние), как k3 (этот член обра-
обращается в нуль) и как k4. Конечные формулы для шаров содержат
как частные случаи формулы, данные в разд. 10.3 и 10.61. В слу-
случае перпендикулярного падения окончательные формулы для
идеально проводящего эллиптического диска при произвольном
направлении падения совпадают с первыми членами разложения
16.2. ПЛОСКИЕ ПОЛНОСТЬЮ ОТРАЖАЮЩИЕ ЧАСТИЦЫ 389
Баукампа (разд. 16.22). Исследование рассеянных полей вблизи
и вдали от сплюснутого сфероида при нормальном падении, вы-
выполненное Таем A952), основано на сходном принципе.
16.2. Плоские полностью отражающие частицы
16.21. Принцип Бабине
В математической физике много внимания уделялось так на-
называемым плоским задачам дифракции (ср. разд. 3.3). В этих
задачах единственным препятствием на пути падающей волны
является плоская пластина заданной формы. Она может прости-
простираться до бесконечности, иметь отверстия заданной формы и
т. д. Идеально тонкая и идеально непрозрачная пластина дол-
должна быть полностью отражающей. На практике при использо-
использовании металлических пластин и волн сантиметрового диапазона
условия «тонкости» и «непрозрачности» таковы (разд. 14.41):
й^>толщины скин-слоя,
где d — толщина пластины. В дальнейшем мы будем рассмат-
рассматривать идеально тонкие полностью отражающие пластины.
В связи с этим возникает новая проблема. Мы знаем, что как
на освещенной, так и на теневой сторонах для идеального про-
проводника выполняются обычные граничные условия (разд. 9.14).
В действительности пластина имеет ненулевую толщину и за-
закругляется на краях, так что вдоль всей «поверхности края»
также выполняются те же условия. Однако в пределе при исче-
исчезающей толщине никакой поверхности края не будет, и должна
выполняться новая система граничных условий, которая пред-
предписывает определенное поведение полей в свободном простран-
пространстве вблизи края. В прошлом эти «условия на ребре» вызывали
значительные трудности. Авторитетное изложение этого вопроса
дано Баукампом A954), который пишет:
«Компонент электрических полей, касательный к краю, стре-
стремится к нулю вблизи края как "^D,где D — расстояние от края.
Тангенциальный компонент магнитного поля также остается ко-
конечным на крае, однако все остальные компоненты электромаг-
электромагнитного поля стремятся у края к бесконечности как j/Z). Не-
Несмотря на наличие этих особенностей, край не излучает энергии:
векторы Е и Н квадратично интегрируемы по любой области
трехмерного пространства».
Любопытно, что эти условия окончательно не доказаны. Они
были получены из строгих решений в случае задачи Зоммер-
фельда о полуплоскости, и, кроме того, они содержатся в стро-
390 16. ЧАСТИЦЫ ДРУГИХ ФОРМ
гом решении задачи о круглом диске. Поэтому Баукамп выска-
высказывает предположение: «можно ожидать, что тот же тип особен-
особенностей встречается на любом резком крае, будет ли препятствие
плоским или искривленным, и особенности не будут зависеть
от формы края».
Из тех же условий следует, что плотность тока на экране
имеет компонент, нормальный к этому краю, который стремится
к нулю как У D, в то время как компонент, тангенциальный
к краю, стремится к бесконечности как \/'У D. Плотность заряда
также стремится к бесконечности как \\У D.
Другая новая проблема состоит в правильной формулировке
принципа Бабине. В разд. 8.21 мы применяли принцип Бабине
в его наиболее простой первоначальной форме. Он дается там
в виде приближения, выполняющегося в теории дифракции, ко-
которая сама является приближенной теорией для больших дисков
и отверстий, а также для малых углов (термин «дифракция» упо-
употребляется в смысле п. 1 разд. 3.3). При определении дифрак-
дифракции как строгой теории для полностью отражающих пластин
(в смысле п. 4 разд. 3.3) следует также дать строгую формули-
формулировку принципа Бабине. Она была найдена несколько лет назад
и также приводится в обзорной статье Баукампа:
«Обозначим через (f, g) произвольное падающее поле, где i
означает электрический, a g — магнитный векторы. «Дополни-
«Дополнительное падающее поле» определим как (—g, f), где первый век-
вектор электрический, а второй магнитный. Оба поля удовлетворяют
уравнениям Максвелла. Сначала мы рассматриваем дифракцию
поля (f, g) на идеально проводящем плоском экране S нулевой
толщины. Далее мы рассматриваем дифракцию дополнительного
поля (—g, f) на таком отверстии А в идеально проводящем эк-
экране, что отверстие во второй задаче имеет тот же размер и
форму, что и экран в первой задаче (<4=S). Для простоты на-
назовем вторую дифракционную задачу дополнительной дифрак-
дифракционной задачей. Строгая форма принципа Бабине утверждает,
что решение одной из этих задач дает сразу решение другой.
В первой задаче полное поле всюду в пространстве имеет вид
(f+Es, g + Hs), где рассеянное поле (Es, Hs) обусловлено элект-
электрическими токами, индуцированными на экране падающим по-
полем. В дополнительной задаче мы можем выделить поля впереди
и позади отверстия. Обозначим через (Ео, Но) полное поле в ос-
освещенном полупространстве (г<Ю) при отсутствии отверстия
в экране, а через (Ed, Hd) —дифрагированное поле при наличии
отверстия. Последнее поле образует полное поле позади отвер-
отверстия, но перед отверстием полное поле есть (Eo+Ed, Ho+Hd).
16.2. ПЛОСКИЕ ПОЛНОСТЬЮ ОТРАЖАЮЩИЕ ЧАСТИЦЫ 391
Теперь в соответствии со строгой формой принципа Бабиие имеем
простые соотношения
Ed = Н\ н* = ±Е« B^0)».
Функции Esf , Esy>d и Hsz-d четные, a Usf , H^d и Es/ —
нечетные функции г.
Практическое значение принципа Бабине состоит в том, что
решение для прямой щели (в проводящем экране) сразу дает
решение для параллельной полосы, а решение для круглого от-
отверстия сразу дает решение для круглого диска. Так как в этой
книге мы занимаемся только изолированными частицами, нас
интересуют главным образом задачи о «диске» и о «полосе»; со-
сообразно с этим приведем имеющиеся ^результаты.
16.22. Результаты для круглого диска
Пусть па полностью отражающий круглый диск радиуса а
падает плоская электромагнитная волна с длиной волны А. и на-
направлением распространения, перпендикулярным плоскости дис-
диска. Решение этой задачи о рассеянии зависит только от пара-
параметра
х = ka = 2яаД,
а рассеянные поля можно выразить через две амплитудные функ-
функции Si F) и 5г@) точно так же, как и для шаров.
После того как аналитическое решение этой задачи было дано
Мейкснером и Андриевским A950) 1, Андриевский провел ее тща-
тщательное численное исследование A953). Один важный резуль-
результат относится к полному сечению рассеяния. После деления его
на площадь ла2 получается Q(x)— фактор эффективности рас-
рассеяния или ослабления.
Формула для малых х (применимая при %<0,8) имеет вид
27*2 л i't 25ЛТ 18375Х ' •
Первый член дает излучение электрического диполя р = -^-Ео,
расположенного в центре диска. Это значение поляризуемости
получается также в том случае, если в формуле для сплюснутого
сфероида совершить предельный переход к бесконечной сплю-
сплющенности (разд. 6.4). Как это и должно быть, при x-voo Q—>-2.
Промежуточная часть была рассчитана Андриевским и представ-
представлена на рис. 72. Максимум Q = 3,4 достигается около лс= 1,6.
1 Другим методом та же задача была решена Н. Н. Лебедевым и
И. П. Скальской (Ж. техн. физ., 29, 700, 1959). — Лрыл*. ред.
392
16. ЧАСТИЦЫ ДРУГИХ ФОРМ
Андриевский дает далее диаграммы распределения ампли-
амплитуды рассеянного света и интенсивности в двух главных плоско-
плоскостях для х=10. Интенсивность рассеянного света в обеих пло-
плоскостях получается преимущественно из мнимых частей ампли-
амплитуд, соответствующих вещественным частям наших Si@) и 5гF),
и весьма близка к интенсивности рассеянного света, получаю-
получающейся из обычной теории дифракции Фраунгофера. Это неуди-
неудивительно и в точности соответствует нашим прежним результа-
J -
1 -
г
1
I 1
\
V
1 1
1 1
Диск, п
^*» *^
\ I
1 !
—--^
] 1
1
¦"-
1
1
— —^
1
10
ka
Рис. 72. Ослабление плоским круглым диском радиуса а,
состоящим из идеально проводящего вещества; абсцисса
х=2ла/Х.
там для полностью проводящего шара (разд. 10.62, рис. 29).
Другие диаграммы представляют распределение полей на обеих
сторонах диска и на оси '.
16.23. Результаты для параллельной полосы
Пусть на полностью отражающую полосу ширины 2а и бес-
бесконечной длины падает плоская электромагнитная волна с дли-
длиной волны X и направлением распространения, перпендикуляр-
перпендикулярным полосе. Как и в гл. 15, мы различаем:
Случай I — линейная поляризация с Е, параллельным длине
полосы.
1 Задача о дифракции на круглом диске для случая наклонного падения
была рассмотрена К. А. Лурье (Ж- техн. физ., 29, 1421, 1959). — Прим. ред.
16.2. ПЛОСКИЕ ПОЛНОСТЬЮ ОТРАЖАЮЩИЕ ЧАСТИЦЫ 393
Случай II — линейная поляризация с Е, перпендикулярным
длине полосы.
Дополнительная задача о прямой щели подробно рассматри-
рассматривалась в работе Баукампа. Чтобы перейти к временному множи-
множителю ехр( — io)i), мы меняем знак i, на основании принципа
Бабине меняем местами случаи 1 и II и к амплитудам добав-
добавляем множитель —1. Тогда результаты можно записать в форме,
предложенной в разд. 15.21 для цилиндров произвольного попе-
поперечного сечения; получим
r, \ ( 3 . 1 . 9Й\
11" T\P~~i--r-Tsm eJ
x
Здесь к = ка и р = \х\ (~ух) + -ути,где -у= 1,781 и In ^ = 0,57721 —
постоянная Эйлера. Эквивалентные формулы даны Мюллером
и Вестфалем A953) '. Полное сечение (рассеяния или ослабле-
ослабления) можно получить или путем интегрирования, или с помо-
помощью формулы
c R
выведенной в разд. 15.21. Используя последнюю формулу, полу-
получаем факторы эффективности
•* J
21п
4 )
Эти псевдостепенные ряды являются полезными приближе-
приближениями для малых х. В статье Баукампа дается еще один член.
При х>0,6 числовые значения следует находить более эффек-
эффективным методом. Лучшим способом является строгое решение
задачи о дифракции, выраженное через функции Матье. Рис. 73
основан на значениях, рассчитанных Скавлемом и приведенных
в статье Баукампа. Проверка с помощью данных выше формул
дает хорошее совпадение при х<4),5. Общий характер этих кри-
1 Общий метод решения задач дифракции на плоских экранах был раз-
разработан Г. А. Гринбергом (Ж. техн. физ., 28, 542, 1958); см. также Г. А. Г р и н-
берг, Докл. АН СССР, 129, 295 A959); Ю. В. Пименов, Ж. техн. физ..
29, 597 A959). — Прим. ред.
394
ЛИТЕРАТУРА
1
Y
—' i
i
Полоса,
i
i
¦—-
i
i
-
1
2 -
1 -
ha
Рис. 73. Фактор эффективности ослабления
для плоской полосы бесконечной длины и
ширины 2а в случае, когда излучение падает
перпендикулярно плоской стороне и линейно
поляризовано с Е. параллельным длине
(кривая /), или с Н, параллельным длине
(кривая 2).
вых сходен с характером кривых рис. 68 (разд. 15.33) для пол-
полностью отражающих цилиндров; Q2 достигает максимального
значения 2,48 около л: =1,70. Асимптотические формулы для
больших х можно получить разнообразными методами (Бюргер,
'.954; Имаи, 1956; Клеммов, 1956).
ЛИТЕРАТУРА
В разд. 16.1 цитировались следующие статьи на различные темы:
Epstein P. S., Enzyklopadie math. Wiss., 5, Teil 3, 4S8 A919).
Siege 1 К. M., Alperin H. A., Studies in Radar Cross Sections-Ill,
Willow Run Research Center, Univ. of Michigan Press, 1952.
S i e g e 1 K. M., A 1 p e r i n H. А., С r i s p i n J. W., Hunter H. E.,
К 1 e i n m a n R. E., О r t h w e i n W. C, Schensted С. Е., Studies
in Radar Cross Sections-IV, Willow Run Research Center, Univ. of
Michigan Press, 1953.
Twersky V., J. Appl. Phys, 22, 825 A951); 25, 859 A954).
Bo u wkam p С J., Repts. Progr. in Phys., 17, 35 A954).
Wessel W., Hochfrequenztechnik und Elektrotechnik, 54, 62 A939).
ЛИТЕРАТУРА 395
Ma с Far lane G. G., J. Inst. Elec. Engrs. London, 93, 1523 A946).
Honerjager R., Ann. Physik, 4, 25 A948).
Twer sky V., J. Appl. Phys., 23, 407, 1099 A982).
Lewis E. A., Casey J. P., J. Appl. Phys., 23, 605 A952).
Groves W. E., J. Appl. Phys., 24, 845 A953).
Store г J. E., Sevick J., J. Appl. Phys., 25, 360 A954).
Wait J. R., Can. J. Phys., 32, 571 A954).
Изложение различных вопросов, относящихся к задачам дифракции,
можно найти также в книгах:
* Гринберг Г. А., Избранные вопросы математической теории
электрических и магнитных явлений, Изд-во АН СССР, М.—Л., 1948.
* Потех и н А. И., Некоторые задачи дифракции электромагнитных
волн, Изд-во «Советское радио», М., 1948.
* А1 с и ц е р Дж. Р., Дифракция и рассеяние радиоволн, Изд-во «Со-
«Советское радио», М., 1958.
Условия разделения переменных рассматривали Спенсер и Морс и Феш-
бах:
Spencer D. E., J. Appl. Phys., 22, Э8'6 A951).
Morse P. M., Feshbach H., Methods of Theoretical Physics, New
York, McGraw-Hill Book Co., 1953.
(Русский перевод: Морс Ф. М., Фешбах Г., Методы теоретической
физики, т. I, ИЛ, М., 1958.)
Рассеяние однородными телами рассматривалось в статьях следующих ав-
авторов:
Sieger В., Ann. Physik, 27, 626 A908).
Aichi К., Ргос. Tokyo Math. Phys. Soc, 4, 966 A908).
Sinclair G., Proc. I.R. E., 39, 660 A951).
Epstein P. S., Thesis Miinchen, 1914.
Kay I., N. Y. Univ. Math. Research Group, Research Rept. EM-52,
1953.
Rice S. 0., Bell System Tech. J., 33, 417 A954).
Keller J. В., Trans. I. R. E., AP-4, 312 A956).
Moglich F., Ann. Physik, 83, 609 A927).
Schultz F. V., Studies in Radar Cross-Sections—I, Willow Run Re-
Research Center, Univ. of Michigan Press, 1950.
Siege 1 K. M., Gere B. H., Marx J., S 1 e a t о r F. В., Studies in
Radar Cross Sections — XI, Willow Run Research Center, Univ. of
Michigan Press, 1953.
Rauch L. M., Studies in Radar Cross Sections—IX, Willow Run Re-
Research Center, Univ. of Michigan Press, 1953.
Leitner A., S pence R. D., J. Franklin Inst., 249, 299 A950).
P i nney E., J. Math, and Phys., 25, 49 A946); 26, 42 A947).
Bucholz H., Ann. Physik, 2, 185 A948).
H orton С W., Karal F. C, J. Appl. Phys., 22, 575 A951).
Trinks W., Ann. Physik, 22, 561 A935).
396 ЛИТЕРАТУРА
Row R. V., Cruft Laboratory Techn. Rept. 170, Cambridge, Harvard
Univ. Press A953a).
Row R. V., J. Appl. Phys., 24, 144-8 A953b).
Теорию и таблицы функций Матье и сфероидальных волновых функций
можно найти в работах:
McLachlan N. W., Theory and Application of Mathieu Functions,
Oxford, Oxford Univ. Press, 1947.
(Русский перевод: Мак-Лахлан Н., Теория и приложения функций
Матье, ИЛ, М., 1953.)
Natl. Bur. Standards Mathematical Tables Project, Tables Relating to
Mathieu Functions, New York, Columbia Univ. Press, 1951.
Meixner J., Schafke F. W., Mathieu Functions and Spheroidal
Functions with Applications to Physical and Technical Problems, Ber-
Berlin, J. Springer, 1954.
Flammer C, J. Appl. Phys., 24, 121S A953a).
Stratton J. A., Morse P. M., Chu L. J., Little J. D. C,
С о r b a t 6 F. J., Spheroidal Wave Functions, New York, Technology
Press of M. I. T. and John Wiley & Sons, 1956.
Задача о двух концентрических шарах (разд. 16.12) была рассмотрена
следующими авторами:
Guttler A., Ann. Physik, 11, 65 A952),
Aden A. L., Kerker M. L, J. Appl. Phys., 22, 1242 A951),
Scharfman H., J. App]. Phys., 25, 1053 A954);
родственную eii задачу рассмотрел Хориучи:
Horiuchi К., J. Appl. Phys., 22, 504 A951); 24, 961 A953).
Вариационный метод (разд. 16.13) используется во многих статьях.
В настоящее время полезными обзорами могут служить статья Баукампа
и книга Морса и Фешбаха, указанные выше, а также книга
Borgnis F. Е., Р а р a s С. Н., Randwertprobleme der Mikrowellen-
physik, Berlin, Springer Verlag, 1955.
Проволоки конечной длины исследовали Ван Флек, Блох, Хамермеш
и Тай:
van V 1 е с k J. Н., В 1 о с h F., Hamermesh M., J. Appl. Phys., 18,
274 A947).
Tai С. Т., J. Appl. Phys., 23, 909 A952).
Приближение физической оптики применялось к телам различных форм
в следующей работе:
Siege] К. М., Alperin H. A., Bonkowski R. R., Cri-
Crispin J. W., Maffett A. L., Schensted С. Е., Schen-
sted I. V., Studies in Radar Cross Sections — VIII, Willow Run Re-
Research Center, Univ. of Michigan Press, 1953.
Разложения в степенные ряды (разд. 16.14) использовались следующими
авторами:
Stevenson A. F., J. Appl. Phys., 24, 1134 A953а); 24, 1443 A953b).
ЛИТЕРАТУРА 397
Tai С. Т., Trans I. R. E., PGAP-I, February, 1962.
Главной работой, относящейся к разд. 16.2, является указанный выше
обзор Баукампа, в котором имеется много ссылок на литературу и приво-
приводятся различные подробности. Вывод формул и результаты для круглого
диска (разд. 16.22) можно найти в работах:
Meixner J., Andrejewski W., Ann. Physik, 7, 157 A950).
Andrejewski W., Z. angew. Physik, 5, 178 A953).
Flammer C, J. Appl. Phys., 24, 1234 A953b).
Обобщение на случай дипольного источника, расположенного на ко-
конечном расстоянии, было выполнено Мейкснером:
Meixner J., Ann. Physik, 12, 227 A953).
Задача о плоской полосе (разд. 16.23) рассматривалась следующими авто-
авторами:
Skavlem S., Arch. Math. Naturvidenskab, 51, 61 A951).
Miiller R., Westphal K., Z. Physik, 134, 245 A9513).
Burger A. P., Thesis Delft, Nationaal luchtvaart Laboratorium (Am-
(Amsterdam), Report F. 157 A954).
Imai I., Trans. I. R. E., AP-4, 233 A956).
Clemmov P. C, Trans. I. R. E., AP-4, 282 A956).
17. КРАЕВЫЕ ЭФФЕКТЫ
И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ВОЛНЫ
В этой главе мы не налагаем никаких условий на форму ча-
частиц, за исключением того, что их радиусы кривизны значительно
больше длины волны. Показатель преломления в принципе
произволен, но большинство результатов относится к т=оо.
Плоская волна, приходящая из бесконечности, падает на тело .
под косыми углами вблизи его «краев». При этом возникают
два эффекта:
А. Особое распределение полей и токов вблизи края, в значи-
значительной степени не зависящее от остальной формы частицы и
приводящее к появлению особого члена в амплитуде света, рас-
рассеянного вперед (краевые эффекты).
Б. Волновое движение, которое продолжается вдоль поверх-
поверхности частицы в область тени. Если частица не слишком велика,
волна может полностью обойти вокруг нее (поверхностная
волна).
Эти эффекты имеют место помимо обычных явлений дифрак-
дифракции, отражения и преломления для больших частиц, изученных
в гл. 8 и 12. В литературе имеется очень мало работ, где рассмат-
рассматриваются эти эффекты.
В этой главе проблема рассматривается частично теорети-
теоретически, частично эмпирически на основе числовых результатов,
полученных путем строгих расчетов.
17.1. Рассеяние вперед оптическим краем
В этом разделе мы будем иметь дело только с полями на
больших расстояниях. Поля на поверхности и вблизи нее рас-
рассматриваются в разд. 17.23, 17.31 и 17.32.
В зависимости от того, будет ли длина волны большой или
малой по сравнению с толщиной экрана, непрозрачный экран,
используемый в экспериментах по дифракции, можно идеали-
идеализировать двумя совершенно различными способами, если для
этих экспериментов ищется простая теория.
В опытах в сантиметровом диапазоне тонкий непрозрачный
экран определяется тем, что его толщина много меньше X и тем
не менее она велика по сравнению с толщиной скин-слоя. В та-
1. РАССЕЯНИЕ ВПЕРЕД ОПТИЧЕСКИМ КРАЕМ 399
ком случае экран является полностью отражающим, и к нему
применима обычная теория дифракции, кратко изложенная
в разд. 16.2. Под «краем» мы понимаем кривую раздела осве-
освещенной и неосвещенной частей поверхности экрана (а также
непосредственно прилегающую к ней область). Под «профилем»
мы понимаем граничную кривую между веществом экрана и
внешней средой, получающуюся в поперечном сечении, перпен-
перпендикулярном краю. Профиль может быть кругом, прямоугольни-
прямоугольником или он может иметь острый выступ (клин), но в эксперимен-
экспериментах в сантиметровом диапазоне профиль края, по-видимому, не
играет роли.
Края щели спектрографа или сходные с ними оптические
экраны имеют толщину, большую чем длина волны. Небольшого
поглощения в веществе экрана оказывается достаточно, чтобы
сделать его непрозрачным, так что он не обязательно является
полностью отражающим. Хотя часто делались попытки сделать
его клиновидным, в действительности профиль оказывается за-
закругленным с большим радиусом кривизны. Например, радиус
кривизны острого лезвия бритвы может быть 1—2 мк. Случай,
когда радиус кривизны велик по сравнению с длиной волны,
будем называть случаем оптического края'. Он представляет
собой специальную проблему дифракции, обзор которой будет
дан ниже.
Мы намерены показать, что скользящее отражение от за-
закругленных краев в оптическом случае дает компонент света,
рассеянного вперед, который видоизменяет обычную дифракци-
дифракционную волну. Это предположение было сделано еще Юнгом и
Френелем, хотя практически из-за этого возникают лишь неболь-
небольшие эффекты, проявляющиеся только в строгих теориях. Физи-
Физически очевидно, что форма частицы вдали от края не оказывает
влияния на поля вблизи края (не считая эффектов поверхност-
поверхностных волн). Это представление было сформулировано Фоком как
«принцип локального поля».
17.11. Амплитудная функция цилиндрического края; цилиндры
с двумя краями
Плавно закругленная поверхность имеет две главные плос-
плоскости, проходящие через нормаль в любой точке Е. Эти плоско-
плоскости взаимно перпендикулярны. Радиусы кривизны кривых, по
которым эти плоскости пересекают тело, называются главными
' Очевидно, проблема распространения радиоволн вокруг Земли, а также
вокруг пологих холмов связана с проблемой оптического края в эксперимен-
экспериментах по дифракции.
400
17. КРАЕВЫЕ ЭФФЕКТЫ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ВОЛНЫ
радиусами кривизны поверхности в этой точке. Пусть Е — точка
на геометрическом крае рассеивающего тела, т. е. на кривой,
разделяющей освещенную и темную стороны тела, если мы пре-
пренебрегаем всеми эффектами дифракции. Для простоты предпо-
предположим, что направление распространения падающего света ле-
лежит в одной из главных плоскостей. Пересечение этой плоскости
с поверхностью частицы является «профилем» края, а R— ра-
радиусом кривизны этой кривой в точке Е. Другая главная плос-
плоскость параллельна волновому фронту падающей волны. Радиус
I I t I I I t I t Г ! I
Рис. 74. Поперечное сечение произвольного цилиндра,
перпендикулярное оси.
кривизны S тела в этой плоскости является также радиусом'
кривизны тени, отбрасываемой телом на экран, перпендикуляр-
перпендикулярный волне.
Мы можем предположить, что краевые явления зависят
только от кривизны профиля R, но не от 5, так что дальше S не
будет упоминаться. Условие состоит в том, чтобы как R, так и
S были много больше К; однако не обязательно, чтобы 5 было
больше R. Справедливость этих утверждений обнаружится
позже (разд. 17.21).
Нашим первым примером, дающим одновременно определе-
определение амплитудной функции, является цилиндр с произвольным,
но конечным профилем; излучение падает перпендикулярно оси.
В этом случае мы имеем два края с радиусами кривизны R и R'
(рис. 74). Предположим, что падающий свет плоско поляризо-
поляризован или вдоль краев, или перпендикулярно к ним.- Времен-
17.1. РАССЕЯНИЕ ВПЕРЕД ОПТИЧЕСКИМ КРАЕМ 401
ной множитель пусть будет eimt, как и в предыдущих главах, но
вопреки обычному его выбору в теории дифракции.
Обозначим через v в случае I (E параллельно краю) электри-
электрическое поле, а в случае II (Н параллельно краю) магнитное
поле. Согласно общей формулировке разд. 15.21, рассеянное ци-
цилиндром поле на большом расстоянии можно представить в
виде
""¦ - 1кг
Здесь О — точка на (произвольно выбранной) оси, Р — удален-
удаленная точка, 9 — угол рассеяния и г — расстояние Р от оси. В даль-
дальнейшем для краткости мы будем писать формулы только для
случая I; формулы для случая II получаются путем замены ин-
индекса 1 на 2.
Если цилиндр непрозрачен, а 8 не близко к нулю [более
з
точно: 9^>1/)/ kR (разд. 17.21)], тогда Г(9) образуется в ре-
результате действия одного или нескольких участков, где происхо-
происходит внешнее отражение в направлении G. Теория, основанная
на геометрической оптике, так же проста, как и теория, изложен-
изложенная в разд. 12.21 и 12.22; для каждого из этих участков она дает
значение ,
Л/
у
-гхе .
Здесь п — коэффициент отражения Френеля, a R — локальный
радиус кривизны профиля. В этой формуле фаза отнесена к ло-
локальной оси кривизны. Если фаза отнесена к точке края Е, пока-
показатель оказывается равным Zm/^ + ikR Bsin~2—sinG), что при
G<cl равно 3ni/4 + ix93/8.
Почти касательные лучи, которые будут отражаться в на-
направлении, близком к направлению вперед, порождают крае-
краевые эффекты. Если исключить из рассмотрения некоторые осо-
особенно неправильные формы, то мы можем предположить, что
при 9, близких к 0, 71отр-@) переходит в другую функцию, ко-
которую мы обозначим через 7,кр- (R, 9). Здесь R — радиус кри-
кривизны на крае. Если цилиндр с двумя краями непрозрачен, его
можно охарактеризовать тремя параметрами: геометрической
шириной тени g и радиусами кривизны двух краев R и R' (рис.
74). Тогда его полная амплитудная функция, определенная
в разд. 15.21, имеет вид
sin СУ-kg sin б)
Г, (Ь) = Щ- —Y V т?- (Я.9)
_L kg sin О
26 Заказ № 374
402
17. КРАЕВЫЕ ЭФФЕКТЫ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ВОЛНЫ
Первый член следует из обычной теории дифракции Фраун-
гофера; множитель kg/2 получен в разд. 15.21, второй множи-
множитель— в разд. 8.32. Дополнительные члены являются краевыми
членами. Они зависят от локальных радиусов кривизны (R или
R'), угла 0, вещества цилиндра, длины волны и состояния поля-
поляризации падающего света (случай I — индекс / или случай II —
индекс 2), а также зависят от изменений фазы, обусловленных
выбором точки отсчета.
Представляется вероятным, что при этих предположениях
краевые члены не зависят от других параметров. Формальное
доказательство для полностью отражающих тел (от = оо) можно
найти в статьях Фока.
Результат для 0 = 0 по-прежнему для случая I будет
Тг @) =-f + 7-JP- (/?, 0) + 7-JP- (R',0),
откуда путем умножения действительной части на 4/k можно
найти эффективную ширину ослабления с (разд. 15.21). Таким
образом,
с = 2^ + с«р- (/?) 4- с«
где
Аналогично для случая II:
Эти величины зависят от радиуса кривизны, от длины волны,
от состояния поляризации падающего света и, возможно, также
от показателя преломления цилиндра.
С помощью этих определений, зависящих от постулирован-
постулированной, но до сих пор не доказанной формы асимптотических реше-
решений, наша задача сводится к определению функций Tf'(R, 0) и
Tzp'(R, 0), а также производных функций cip" {R) и с?р" (R).
Прежде чем приступить к определению этих функций, мы пока-
покажем их применение к телам различных форм.
17.12. Экран с одним цилиндрическим краем
Дифракция на экране, закрывающем полуплоскость и имею-
имеющем один прямой цилиндрический край с радиусом кривизны R,
также проста. Ее нельзя отнести ни к одной из предыдущих глав,
поскольку на больших расстояниях эта дифракционная картина
не стремится к какому-либо фиксированному распределению по
углам 0.
17.1. РАССЕЯНИЕ ВПЕРЕД ОПТИЧЕСКИМ КРАЕМ
403
Пусть на рис. 75, на котором представлено перпендикулярное
сечение экрана, Е будет краевой точкой, отделяющей освещен-
освещенную и темную стороны. Обозначим через v0 амплитуду невозму-
невозмущенной волны на фронте, проходящем через Е, и пусть
F (и) = С (и) — iS (и) =
dt
есть интеграл Френеля; F (оо) = -g- A—i). Если, как и повсюду
в этой книге, временной множитель равен ехр( + цо?), то полная
х
t t t t t t I t t t t
Рис. 75. Поперечное сечение непро-
непрозрачного экрана.
амплитуда в удаленной точке Р, имеющей координаты
x=r sin 0, где 0 мало (рис.75), дается формулой
= rcos0,
jr.
Первый член, в котором и = х У k/лг, получается в результате
применения принципа Гюйгенса — Френеля (разд. 3.12) к сво-
свободной части волнового фронта; он описывает картину дифрак-
дифракции Френеля, рассматриваемую во многих руководствах. Второй
член, в котором индексы / и 2 обозначают два возможных на-
направления поляризации, взят из разд. 17.11.
Единственное условие, налагаемое на предыдущую формулу,
состоит в том, что 0<С1. Если 0 переходит из области тени в ос-
освещенную область, первое слагаемое меняется от 0 до величины,
равной амплитуде невозмущенной волны, а второе слагаемое —
ст 0 до величины, равной амплитуде отраженной волны (разд.
26*
404 17- КРАЕВЫЕ ЭФФЕКТЫ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ВОЛНЫ
17.11). Интересно исследовать, какое изменение происходит
быстрее всего. «Характерные углы» дифракционной картины
Френеля по порядку величины равны
з
для краевых волн они будут иметь порядок Q~\lY~~kR. Таким
образом, «краевая картина» будет относительно широкой по
сравнению с картиной Френеля, если
т. е. если
В большинстве эспериментов z^>R, a R^>\, так что это ус-
условие полностью выполняется. Например, эксперимент с l/k =
= К12п — 0,\ мк, R = 10 мк, 2=1 см дает дифракционную картину
шириной около 0,1 мм, тогда как краевая волна простирается
на несколько миллиметров по обе стороны.
Из этих прикидочных соображений видно, что в области 6,
где картина Френеля показывает характерные колебания, мы
можем написать
-—- - ikz
Если бы Tip' (Ri, 0) и Tlv' (R, 0) были вещественными, допол-
дополнительный член означал бы лишь небольшое изменение в аргу-
аргументе F(—и), т. е. сдвиг дифракционной картины Френеля.
В действительности эти числа комплексны. Как всегда в таких
случаях, результаты практически проще всего рассмотреть с по-
помощью спирали Корню, которая является графиком F (и) в ком-
комплексной области. Картина не только смещается, но и слегка
меняет свою форму.
Аналитически мы можем поступить следующим образом.
Определим и' из условия, что ^(оо) —F(—и')\ равно абсолют-
абсолютной величине выражения в скобках в данной выше формуле.
Следуя Артману A950), мы можем вычислить значение и' в об-
области и, близких к 0. Получаем
\- О - /) + и'
Отсюда после небольших преобразований, пользуясь тем, что и
мало, находим
"' = и - /-4"Re
17.1. РАССЕЯНИЕ ВПЕРЕД ОПТИЧЕСКИМ КРАЕМ 405
Второй член выражает смещение френелевской картины вблизи
и = 0, что согласуется с результатом Артмана.
17.13. Сфероиды и шары
Пусть вытянутый или сплюснутый сфероид с полуосями а, а
и b освещается плоской плоско поляризованной волной с на-
направлением распространения, параллельным оси вращения. Ра-
Радиус круга тени есть а, а радиус кривизны края R — b^la; предпо-
предположим, что R и а много больше X. Для простоты рассмотрим
только волну, рассеянную вперед. Ее амплитуда и фаза полно-
полностью описываются амплитудной функцией 5@), не зависящей
от поляризации, так что здесь применимы формулы разд. 4.42.
Мы можем предположить, что
Первое слагаемое следует из разд. 8.22 при геометрическом по-
поперечном сечении G = na2. Выражение для второго слагаемого
можно получить следующим образом. Участок окружности
длины l=ad<f рассеивает свет как цилиндрический край. Если
электрическое поле падающей волны параллельно какому-ни-
какому-нибудь участку окружности, он дает в 5@) вклад, равный
Этот результат основан на предпоследней формуле разд.
15.22; он справедлив в зоне 3 по терминологии этого раздела.
Если эта часть окружности параллельна магнитному полю, спра-
справедлива та же формула с индексом 2. Если электрическое поле
образует с краем произвольный угол qp, мы должны разложить
его на параллельные и перпендикулярные колебания, применить
вышеуказанные формулы и результаты сложить. Из соображе-
соображений симметрии очевидно, что только компоненты, колеблющиеся
в первоначальном направлении, дают после интегрирования по
всему краю ненулевой результат. Эти компоненты таковы:
7-fP- (/?, 0) cos2 cp + 7-«р- (/?, 0) sin2 <p] ;
после интегрирования по всему краю получим
S-ф. (/?, 0) = ka [7fp- (/?, 0) + Ту- (/?, 0)].
Сечение ослабления, которое определяется значением S@) со-
согласно основной формуле разд. 4.21, равно
где cKf-(/?) и c™-(R) определены в предыдущем разделе.
406 17- КРАЕВЫН ЭФФЕКТЫ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ВОЛНЫ
В разд. 17.24 и далее мы сравним числовые результаты для
круговых цилиндров и шаров. Здесь R = a, x = ka. Факторы эф-
эффективности Qqcj,., полученные путем деления на геометрические
поперечные сечения, будут
для круговых цилиндров:
случай! Qoc.i.=2 + Q,kp- (x);
случай II <2ОСЛ = 2 + Q2kp- (л-);
для шара (независимо от поляризации):
В этих формулах мы обозначили
4
Тот факт, что краевой член для шара оказывается не сред-
средним, а суммой краевых слагаемых для цилиндра в двух случаях,
может показаться странным. Он обусловлен тем, что тень шара
имеет отношение длины окружности к площади в два раза боль-
большее, чем тень цилиндра. Многие другие тела, включая эллип-
эллипсоиды общего вида, параболоиды, параболические цилиндры,
можно рассмотреть таким же образом. Конечные формулы мо-
могут быть несколько сложнее, но при условии, что все размеры
много больше X, они будут содержать только определенные
выше функции.
17.2. Точный вид краевых функций
17.21. Некоторые эвристические соображения
Когда писалась эта глава, в литературе не было точных фор-
формул для краевых функций 7ip" (R, 6) и 7*2Р" (R, 0) даже для
простейшего случая /п = оо, 0 = 0. Полезно подойти сначала к этой
задаче с помощью соображений эвристического характера. Они
ке приводят к численно правильным результатам и могут быть
не очень убедительны. Зато они показывают, как сложную зави-
зависимость от радиуса, поляризации и показателя преломления
можно понять из простых соображений.
Сначала сделаем, может быть, слишком уж упрощенное пред-
предположение, что все почти касательные волны сначала отража-
отражаются в соответствии с законом Френеля для плоской границы.
Когда главный фронт падающей волны достигает края, отра-
отраженный фронт искривляется, как показано на рис. 76. Падаю-
Падающий свет идет снизу. Е — точка края на границе между «осве-
17.2. ТОЧНЫЙ ВИД КРАЕВЫХ ФУНКЦИИ
407
щенной» и «темной» частями; OE = R — радиус кривизны края,
ЕТ — невозмущенный фронт. Луч, который шел бы вдоль PQ, за
время, в течение которого он достиг бы Q, отклоняется к точке S.
Такие отраженные лучи образуют вместе фронт ES. Простое
геометрическое рассмотрение дает
PS = PQ = R sin т,
ЕТ = QT — QE = R sin т • sin 2т — R A — cos т),
ST = R sin -с A — cos 2-е) = 2R sin3 x.
I t I It ! 1 f I
Рис. 76. Диаграмма, иллюстрирующая возможность интерференции
невозмущенной волны (волновой фронт ЕТ) и волны, образованной
при почти скользящем отражении (волновой фронт ES).
Приближение малых т, которые только и важны в настоящем
рассмотрении, имеет вид
Кроме того, пока допустимо приближение лучевой оптики, отра-
отраженное излучение распределяется по фронту ES, в три раза бо-
более широкому, чем первоначальный фронт QE, так что ампли-
амплитуда в \1У~3 раз больше первоначальной амплитуды, имеющейся
на фронте ЕТ.
Близкое расположение фронтов ЕТ и ES вызывает интерфе-
интерференцию, которая является эффективной, скажем, при Т~
Это означает, что
т.
з <
2k
408 17. КРАЕВЫЕ ЭФФЕКТЫ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ВОЛНЫ
так что
и для предельного луча
я \2
Это показывает, что касательные лучи определяют особые ин-
интерференционные эффекты, если они падают на расстояниях от
края, не превышающих долю полного радиуса, равную
1/ ~\f {kRJ. Это есть как раз то условие для краевых лучей,
которое использовалось раньше при рассмотрении радуги и гло-
рии (разд. 13.24 и 13.32).
Чтобы найти знак амплитуды отраженной волны, предполо-
предположим сначала, что тело состоит из полностью отражающего ве-
вещества (т = оо). Тогда, если электрическое ноле Е параллельно
краю (случай I), коэффициент отражения будет п=—1 (разд.
12.44), что означает, что проходящая волна ЕТ ослабляется от-
отраженной волной ES. В этом случае дифракционная картина
такова, как если бы край срезал сравнительно большую часть
падающей волны. По терминологии разд. 17.11 C\(R) положи-
положительно. Однако в случае II (Н параллельно краю) г2=1, прохо-
проходящий фронт усиливается и c2(R) отрицательно. Полностью
отражающие шары обнаруживают смешанный эффект, при ко-
котором C[(R) и c2(R) дают в результате почти точно 0 (разд.
17.24).
Совсем иной результат получается для диэлектриков или ме-
металлов. Если показатель преломления вещественный и не слиш-
слишком большой, соответствующие лучи (см. выше) имеют более на-
наклонные углы падения, чем угол Брюстера. Таким образом, Г\ и
Гг оба отрицательны, хотя г2 имеет несколько меньшее значение.
Это свидетельствует о том, что в обоих случаях большая часть
фронта срезается, a C\(R) и c2(R) положительны. Смешанный
эффект, наблюдающийся для сферических частиц, также поло-
положителен. Именно по этой причине фактор эффективности ослаб-
ослабления систематически выше 2 и приближается к Q=2 только
при очень больших х. Это верно как для шаров, так и для ци-
цилиндров, как для диэлектриков, так и для металлов.
Однако, если m довольно велико, а х не слишком велико, из-
изменение фазы под углом Брюстера или соответствующее изме<
нение при металлическом отражении может происходить как
раз в интервале углов, дающих вклад в краевые функции. Это
может привести к очень сложным явлениям (разд. 17.25).
17.2. ТОЧНЫЙ ВИД КРАЕВЫХ ФУНКЦИЙ
409
Возвращаясь к более простому предположению, именно
т = оо, мы можем отметить, что, разумеется, интегрирование па
криволинейному волновому фронту ES не дает амплитуды.
Рис. 77. Диаграмма, иллюстрирующая раз-
разность хода касательного луча и криволи-
криволинейного пути А В.
находящейся точно в фазе (при г= + 1) с невозмущенной волной.
Интеграл будет следующего типа:
где п = 3/2, /3 =0,4514—0,7819/. Таким образом, применение
принципа Гюйгенса — Френеля к волновому фронту ES дает
?, 0) =
= У А/?г1>8@,123 - 0,213/).
Числовой множитель этого результата недостаточно точен (oir
слишком мал: примерно в 2,0 раза для поляризации в направле-
направлении 1 и примерно в 1,75 раза для поляризации в направлении 2,
разд. 17.24). Однако полученный результат все же дает пра-
правильную функциональную зависимость от kR, а также правиль-
правильную фазу. Множитель е~^г означает, что кривые TKf- (R,0) к
410 17- КРАЕВЫЕ ЭФФЕКТЫ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ВОЛНЫ
TK!>-(R,0) и кривые Q + iP в комплексной области прибли-
приближаются к асимптотической точке (kR = oo) вдоль направления,
образующего с вещественной осью угол 60°. Разность фаз, рав-
равная 60°, соответствует разности пути К/6, что является «эффек-
«эффективной величиной» пути ST (рис. 76), получающейся в резуль-
результате интегрирования. Ее можно сравнить с разностью пути Я/8
при .интегрировании по параболическому фронту в одном изме-
измерении (разд. 3.12 и 3.21).
Отмстим, наконец, почему эти соображения слишком упро-
упрощены. Мы допускали большой произвол, рассматривая только
отражение непосредственно падающего света и только один вол-
волновой фронт, а именно фронт, проходящий через Е. «Элементар-
«Элементарные волны», возникающие из «вторичных источников» Гюйгенса,
могут снова упасть на поверхность и отразиться. В действитель-
действительности мы должны применить такое рассуждение ко всей после-
последовательности волновых фронтов. Артман описывает это как
«многократную дифракцию». Аппроксимируя искривленный про-
профиль многоугольником, он снова приходит к выводу, что ампли-
3
туда рассеянного света пропорциональна У kR.
Еще более интересным является то, что эти рассуждения
можно применить и при отсутствии плоской падающей волны.
Тогда мы получаем графическое изображение поверхностной
волны, распространяющейся вдоль искривленной поверхности.
Порядковые оценки получаются очень простым путем (однако,
может быть, не самым убедительным) из рис. 77. Здесь между
А и В изображены два оптических пути: криволинейный, на фик-
фиксированном расстоянии от поверхности, и прямой, включающий
скользящее отражение. На вопрос о том, как велика может быть
хорда АВ, чтобы разность этих двух путей была порядка А.,'от-
А.,'ответ дает простое геометрическое рассмотрение. Угол ВОА=2е,
BB'=AA'=R?\2, AB=2Re и разность хода равна Яе3/3. Поэтому
з
по порядку величины г=1/У kR, что означает, что поверхност-
поверхностная волна занимает область вплоть до расстояния порядка
(kR)~V3 • /?=&-'/» • R1'3 от поверхности и включает хорды порядка
(kR)-'/*-R=k~*h-R'u. Те же результаты следуют из строгой
теории (разд. 17.32).
77.22. Вывод из асимптотической формы полного решения
Чтобы наиболее простым, хотя и не самым красивым спосо-
способом получить точные значения краевых функций T"f- (R, 0) и
TKg- (R, 0), нужно исходить из полного аналитического решения
17.2. ТОЧНЫЙ ВИД КРАЕВЫХ ФУНКЦИЙ 411
проблемы рассеяния для тела простой геометрической формы.
Таким телом может быть, например, круговой или параболиче-
параболический цилиндр или шар. Краевые функции можно получить с по-
помощью асимптотического разложения амплитуд рассеяния при
больших R '. Менее строгий вариант этого метода состоит в ис-
использовании эмпирической формулы, представляющей числовые
результаты, полученные из точного решения для сравнительно
больших значений kR (разд. 17.24).
Прямой аналитический подход был использован Артманом
A950). Исходя из эвристических соображений, сходных с при-
приведенными в разд. 17.21, он дает полное решение задачи о рас-
рассеянии идеально проводящим круговым цилиндром. Если не счи-
считать разницы в обозначениях, это решение тождественно реше-
решению, приведенному в разд. 15.33. Для больших расстояний и
малых углов дифракции сделаны приближения, а суммирование
по п заменено интегрированием. Из этого интеграла выделена
часть, дающая обычную дифракцию, и часть, дающая краевую
волну. Главная трудность заключается в оценке последней части
интеграла с помощью асимптотических разложений функций
Ханкеля для больших kR и для значений \kR — п\, которые
з
остаются меньше 5 ]/ kR.
К сожалению, имеются основания подозревать, что этот очень
длинный вывод содержит ошибки. Одно из них состоит в том, что
асимптотическая формула для T^(R, 6) при больших значе-
3
ниях OI\^kR не вполне согласуется с формулой, следующей
из геометрической оптики (разд. 17.11) и имеющей вид
7^p-(#, @=V
TzkR Sin -— 3r.l , ix'P
При переходе от обозначений Артмана к принятым нами полу-
получается та же формула, за исключением последнего члена в пока-
показателе, для которого Артман получает +пс03/24.
Другое основание подозревать наличие ошибки состоит в том,
что числовые значения, полученные Артманом для 8 = 0, не согла-
1 Асимптотические решения получаются непосредственно с помощью ме-
метода Люнеберга — Клайна (Luneburg — Kline). Относительно применения
к различным формам частиц, а также относительно наиболее общих асимпто-
асимптотических разложений см. статьи Фридлендера и Келлера (F г i e d I a n d е г F. G.,
Keller J. В., Commun. Pure and Applied Math., 8, 387, 1955) и Келлера,
Льюиса и Секлера (Keller J. В., L e w i s R. M., S е с k 1 е г В. D., С о m-
mun. Pure and Applied Math., 9, No. 2, June, 1956).
412 17. КРАЕВЫЕ ЭФФЕКТЫ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ВОЛНЫ
суются с результатами, найденными двумя другими способами
(разд. 17.24). Его результат в наших обозначениях имеет вид
кр. (Rt 0) = 1,90е~ ~ |А kR = @,95 - 1,64/) ]/" kR,
, 0) = - 1,02 е~ ~ у kR = (_ о,51 + 0,88/) \/~ kR.
Исследование этого рода для шаров было выполнено в 1925 г.
Йобстом. Он рассматривает полностью отражающие шары,
а также металлические шары. Если мы примем', что его 2D со-
соответствует нашему Q0M., конечная формула для т = оо примет
вид
П -911 - J I <°-468>2 |
JC1
-]¦
Из числовых результатов очевидно, что эта формула неверна.
Конечный результат для частиц золота более сложен, и его не
так легко проверить.
Близкое к изложенным исследование для цилиндров, осно-
основанное на более ранней работе Шпона, было выполнено Пфен-
нингером. Его работа претендует на большее, чем работа Арт-
мана, в которой цилиндры предполагаются металлическими. Ко-
Конечные формулы сложны и не представлены в форме, удобной
для численных расчетов.
Фок упоминает, что он выполнил расчет такого рода для
параболоида вращения и произвольного угла падения, что дало
ему возможность проверить асимптотические формулы для про-
произвольных отношений радиусов кривизны. Кажется, никаких
подробностей этого в высшей степени интересного расчета опуб-
опубликовано не было.
17.23. Вывод из интегрального уравнения для поверхностных
токов
Совершенно иной подход к проблеме состоит в применении
принципа Гюйгенса в его строгой форме к цилиндрическому
телу, поперечное сечение (профиль) которого имеет такую
форму, что kR^$>\, а в других отношениях произвольно. На
рис. 78 представлена плоскость, перпендикулярная оси цилиндра.
1 Некоторые авторы критиковали йобста за то, что ои опустил множи-
множитель 2. Это должно быть результатом определения, так как в другой статье
йобста (Ann. Physik, 78, 15, 1925) тот же множитель отсутствует в хорошо
известной формуле релеевского рассеяния.
17.2. ТОЧНЫЙ ВИД КРАЕВЫХ ФУНКЦИЙ 413
Принцип Гюйгенса позволяет выразить поле в произвольной
точке Р пространства через поля на двух кривых: на контуре Г,
который охватывает цилиндр, и на замкнутой кривой 5, лежа-
лежащей на очень большом расстоянии. Если Р находится между
этими двумя кривыми, а источник света находится фактически
на бесконечности, т. е. вне S, то интеграл по 5 дает поле падаю-
падающего излучения, интеграл по Г — поле излучения, рассеянного
цилиндром. В одной и той же формуле можно предусмотреть
возможность того, что Р расположено на Г, что было подробно
Рис. 78. Контуры интегрирования при при-
применении принципа Гюйгенса.
рассмотрено Мауэ A949). Сначала мы рассмотрим только слу-
случай II, когда магнитное поле параллельно оси. Уравнение имеет
вид
Cv (Р) = ?,пад. (Р) - j ^-v (Q) ds.
Здесь С=\, если Р находится вне Г, и С = '/2, если Р лежит на
Г; v — полное магнитное поле в любой точке, опад. — падающее
поле, Q — точка на Г, v — внутренняя нормаль к Г, ds— линей-
линейный элемент Г; расстояние PQ есть гь а
Предположим теперь, что Г есть граничная кривая между
проводником и вакуумом, т. е. «профиль» цилиндра. Первое при-
применение приведенной выше формулы — это случай, когда Р на-
находится на Г; формула дает интегральное уравнение магнитного
поля на поверхности цилиндра, которое можно решить. Второе
применение упомянутой формулы — это случай, когда Р нахо-
414
17. КРАЕВЫЕ ЭФФЕКТЫ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ВОЛНЫ
днтся на очень большом расстоянии от Г; формула дает (во вто-
втором члене) рассеянное поле на большом расстоянии, которое мы
и ищем. Первый шаг был сделан Фоком для асимптотического
случая kR^>\. Второй простейший шаг будет изложен несколько-
подробнее '.
Решение Фока дается в виде
Здесь
з /—2Щ
V —
где R — радиус кривизны, k = 2n/K, z — прямоугольная коорди-
координата, отсчитываемая в направлении, обратном направлению рас-
распространения падающего света, а гх — координата точки края Е.
Далее, G* (|) есть комплексная функция, которая стремится
к 0 при ?-»—оо (далеко на темной стороне) и к 2 при |->-оо
(далеко на освещенной стороне). Последнее значение появляется
потому, что коэффициент отражения в случае II будет г2=1, так
что падающее поле удваивается. Звездочка напоминает о том,
что мы должны изменить знак i в таблице Фока, так как мы
пользуемся временным множителем е\~ш. В табл. 36 даны не-
некоторые значения G*=\ G \ е-{1 , взятые из работы Фока.
Таблица 36.
Значения функции Фока G (?)
—6
—5
—4
—3
—2
j
0
1
0,0093
0,0223
0,0537
0,1300
0,315
0,738
1,399
1,861
т
4405°
2536°
1339°
603°
211°
45,7°
0
-3,7°
с
—0,5
0
0,5
1
2
3
4
5
а*
1,029 — 0,252 i
1,399
1,678 + 0,1151
1,857+ 0,119 г
1,981 + 0,050 i
1,998+ 0,018 г
2,000 + 0,008г
2,000+ 0,004 г
1 Частое применение вариационных методов иногда создает впечатление,
что точное сечеиие можно получить только из стационарного представления
(В о г g n i s F. E., Papas С. К, Randwertprobleme der Mikrowellenphysik,
Berlin, Springer Verlag, 1955, примечание иа стр. 59). Это неверно: при из-
известных точных плотностях тока достаточно простого представления.
17.2. ТОЧНЫЙ ВИД КРАЕВЫХ ФУНКЦИЙ
415
Пусть теперь Р — очень удаленная точка, лежащая в на-
направлении вперед на расстоянии г от начала координат О (вы-
(выбранного где-нибудь внутри тела). Поле в этой точке будет
V (Р) = Упад. (Р) + Vрас. (Р).
В допустимом приближении имеем rx
ttttttttttttttr
Рис. 79. Разбиение контура интегрирования для получения краевых членов.
так что принцип Гюйгенса в строгой формулировке, упомянутой
выше, дает
— - ikr С k Sin т
*W (Я) = - ?w (О) е ^ j ущ^ О* (I) ds.
Это выражение допускает представление в виде, постулирован-
постулированном в первой формуле разд. 17.11, если мы напишем
Т @) = -j- f sin х G* (?) ds.
г
Выделение трех слагаемых
Т @) = -Ц- + Цр- (R, 0) + 7-«р- (R', 0)
достигается следующим делением пути интегрирования (рис.79).
Буквы S и L обозначают точки, выбранные достаточно далеко
на теневой и на освещенной сторонах.
416 17- КРАЕВЫЕ ЭФФЕКТЫ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ВОЛНЫ
От 5 до ? с множителем G*, 1
от Е до L с множителем G*—2 ) краевое слагаемое.
От Е к L, U и до ?' с множителем 2: классическая дифрак-
дифракция.
От U до ?' с множителем G*—2, }
от ?' до S' с множителем G* ) кРаевое слагаемое.
Средняя часть дает классическую дифракцию на полосе ши-
ширины
g= f sin ids.
ELL
Достаточно рассмотреть только одно краевое слагаемое. Напи-
Напишем в нем
sin х =
з /—2~
так что
где
о
О
Численное интегрирование с помощью таблицы Фока для G(|)
дает
/ = - 0,299 + 0,527/,
У = -0,239 + 0,416/,
_ / + У=-0,538 + 0,943/,
У 4 (/ + У) = - 0,855 + 1,500/,
так что
4Г?Р- (R, 0) = y~kR (- 0,855 + 1,500/).
Соответствующее решение для случая I (E параллельно оси)
пока не получено1 . Наиболее простое интегральное уравнение
1 После того как это было написано, внимание автора привлекло важное
исследование С. Раиса (Rice S. О., Bell. System Tech. J., 33, 417, 1954), осно-
основанное на преобразовании Ватсона решения для параболических цилиндров.
Эта работа подтверждает во всех деталях результаты Фока для случая 11
и дает также соответствующее решение для случая I.
17.2. ТОЧНЫЙ ВИД КРАЕВЫХ ФУНКЦИЙ 417
для этого случая таково:
i- v (Р) = vmA. (Р) + j -? v (Q) ds,
где и представляет собой ср-компонент Н (т. е. тангенциальный
компонент Н, перпендикулярный оси) или z-компонент поверх-
поверхностного тока. Это уравнение отличается от уравнения для слу-
случая II не только знаком плюс, но также и тем, что |опад.| в случае II
постоянно, а в случае I пропорционально sin т, где т опреде-
определяется как угол между нормалью в точке Q и нормалью в крае-
краевой точке Е.
Мауэ решил оба уравнения аналитически для круговых ци-
цилиндров при произвольных kR. Это решение, полученное с помо-
помощью рядов Фурье, снова приводит к классическому решению ме-
методом разделения переменных (разд. 15.33) и поэтому не дает
преимущества для численных расчетов. Франц и Депперман
рассматривали оба уравнения в предельном случае больших/г/?.
Числовые результаты ограничиваются бегущей волной, т. е.
асимптотическим видом v(P) в теневой части поверхности да-
далеко от края (разд. 17.32), а также нахождением путем итера-
итерации значения в краевой точке. Совпадение с результатами Фока
для случая II превосходно, а именно v(Е) = 1,399 опад.(?). На
основании вариационного принципа Кодис A956) получил для
з
случая I Re[2T1KP-(/?,0)]=0,523yr x, что неплохо согласуется
с эмпирическим коэффициентом, равным 0,50.
Можно отметить, что проблема расчета поля кругового ци-
цилиндра, вызываемого волной, падающей из бесконечности, об-
ратна задаче о расчете полей на большом расстоянии, излучае-
излучаемых цилиндрическими антеннами или щелями на поверхности
цилиндра. Сенсипер A953) приводит десятки статей и сообще-
сообщений, посвященных этой последней задаче. Укажем наиболее до-
доступные из них: Картер A943), Силвер и Саундерс A950 а, Ь),
Уайт и Кахана A955). Сравнение подробных результатов может
оказаться полезным.
17.24. Эмпирические формулы для т = <х>
Простой способ получения оценки краевых слагаемых со-
состоит в следующем: исходя из строгих решений для цилиндров
или шаров, получить поля на больших расстояниях для больших
x=ka численно и вывести эмпирическую формулу, описываю-
описывающую асимптотическое поведение. Автор проделал это для сле-
следующих случаев.
1. Круговые цилиндры, т=оо. Формулы и числовые значения
были даны в разд. 15.33. В этом разделе можно также найти
27 Заказ № 374
418
17. КРАЕВЫЕ ЭФФЕКТЫ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ВОЛНЫ
эмпирические формулы для больших х. Согласно разд. 17.11,
полная формула для B/х)Т@) имеет вид 2+ (А\х)Тк& (/?,0);
поэтому
-2
Рис. 80. График Q + iP для идеально проводящих ци-
цилиндров бесконечной длины. Вещественная часть Q яв-
является фактором эффективности ослабления. Числа на
кривых соответствуют величинам х—2па1Х.
Последний результат чрезвычайно хорошо совпадает со значе-
значением, полученным в разд. 17.23 с помощью таблицы Фока. На
рис. 80 нанесены в комплексной области функции
Из этого рисунка видно, что в соответствии с эвристическими
рассуждениями (разд. 17.21) эти функции стремятся к асимпто-
асимптотическому значению 2 с противоположных сторон по направле-
направлениям, образующим с вещественной осью угол 60°. Однако ско-
скорости приближения различны.
17.2. ТОЧНЫЙ ВИД КРАЕВЫХ ФУНКЦИЙ 419
2. Шары, т = оо. В соответствии с разд. 17.13 асимптотиче-
екая формула для —j S@) должна быть
Это выражение можно обозначить через Q+iP, так как его'ве-
его'вещественная часть и в этом случае равна фактору эффективности
ослабления Q. После подстановки значений, полученных в п. 1,
имеем
_ з_
Q-f IP = 2 + @,14 -0,24/)* з + ....
Совпадение с числовыми результатами и эмпирическими фор-
формулами разд. 10.62 здесь не слишком убедительно. Однако под-
подтверждается основная черта, а именно существование лишь не-
небольшого превышения Q над, 2; при эмпирических коэффициен-
коэффициентах столь малой величины относительные ошибки могут быть
большими. К сожалению, правильная асимптотическая формула
для шаров при т = оо все еще остается неизвестной. Депперман
и Франц не пошли дальше первого наибольшего слагаемого 2.
Формула, полученная йобстом (разд. 17.22), наверняка содер-
содержит ошибку 1.
17.25. Краевые функции для металлических цилиндров и шаров
Как и в предыдущих разделах, мы хотим предостеречь от
стремления рассматривать результаты, полученные для т = оо,
как характерные для различных веществ. Попытки строгого ана-
аналитического вывода асимптотических формул для произвольных
m (подобного выводу, приведенному в разд. 17.22), приводят
к запутанным формулам. Поэтому полезно попытаться подойти
к этому случаю эмпирически, основываясь на численных резуль-
результатах, подтверждаемых эвристическими соображениями.
Как только ka = x превосходит 1, любая волна, проходящая
через металлическую частицу, поглощается, и ею можно практи-
практически пренебречь. Поэтому единственное отличие по сравненин>
со случаем полностью отражающих частиц будет в граничных
условиях. Для плоских волн они приводят к коэффициентам
отражения Френеля, и мы уже отмечали (разд. 17.21), что знак
Гч при касательном падении и конечном m отличается от знака
при т = оо. В соответствии с этим мы предполагаем, что для
цилиндров значения Q + iP при двух направлениях поляризации
1 Асимптотическое решение задачи о дифракции плоской электромагнит-
электромагнитной волны иа проводящей сфере дано А. А. Федоровым (Радиотехника и-
электроника, 3, № 12, 1958); см. также Wu Т. Т., Phys. Rev. 104, 120L
A956). — Прим. ред.
27*
420
17. КРАЕВЫЕ ЭФФЕКТЫ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ВОЛНЫ
стремятся к пределу 2 не с противоположных сторон, а с одной
стороны, именно со стороны Qi + tPi в случае т — оо.
Сплошная линия на рис. 81 является полным графиком дан-
данных, приведенных в табл. 35 для т— )/2~A—i) (разд.15.51).
Значение х=4, являющееся верхним пределом этих расчетов,
слишком мало, чтобы можно было высказать предположения
относительно вида асимптотической формулы. Однако качест-
Случай ll(HWocu)
- OA^s^*
0.2 /
Случай 1 (Е\\оси)
06
а —•¦
0.6 о
Ю
\2
)«'
8 1 \
(ia-l,4l -I.Alt)
Рис 81. График Q + iP для цилиндров бесконечной длины
с т=уг2A—I). Вещественная часть Q является фактором
эффективности ослабления. Числа иа кривых соответствуют
величинам х=2ш/Х.
венно эти данные подтверждают предположения: при х=А кри-
кривая для случая I приближается к пределу вдоль правильной
асимптоты, но кривой для случая II предстоит еще совершить
большой поворот. Пунктирное продолжение дает предположи-
предположительный дальнейший ход кривой.
Немного больше можно получить точным способом, исклю-
исключая решение полного интегрального уравнения с новыми гранич-
граничными условиями. Однако мы можем проверить предыдущую
интерпретацию следующим образом. Углы падения, играющие
з
роль в краевых эффектах, доходят примерно до т=1ДЛх: (разд.
з
17.21). Примем т=1/]/2л: за эффективный угол. При х=4 эф-
17.2. ТОЧНЫЙ ВИД КРАЕВЫХ ФУНКЦИЙ
421
фективный угол равен '/2 рад, т. е. примерно 30°. На рис. 82 по-
показано поведение коэффициентов отражения для m = Y2{\ — i),
рассчитанных по уравнениям разд. 12.21. Если вспомнить, что
асимптота на рис. 81 соответствует Г]=Г2=—1, мы увидим, что
обе функции отклоняются от асимптоты в надлежащем направ-
направлении и приблизительно на надлежащий угол. В частности, точка
на кривой // для х = 4 находится приблизительно под прямым
углом к асимптоте; это соответствует значению г2 для т = 30°.
Рис. 82. Коэффициенты отражения ^Френеля
для внешнего отражения от тела с т= У^'2 A —i),
нанесенные в комплексной области в функции угла
с поверхностью.
Вид кривых ослабления для металлических шаров (разд.
14.22, рис. 54) можно теперь также понять немного лучше. Если,
следуя основной формуле разд. 17.13, мы сложим ординаты кри-
кривых / и // на рис. 69 и вычтем 2, то действительно получим быст-
быстрый рост вещественной части при малых х, некоторую задержку
для л; от 2 до 4 и медленный спад кривой после этого.
17.26. Краевые функции для диэлектрических цилиндров и шаров
Па вид кривых ослабления для диэлектрических цилиндров
(рис. 67) и шаров (рис. 24 и 32) большое влияние оказывают
эффекты интерференции между центрально прошедшим излуче-
излучением и излучением, дифрагировавшим вокруг частицы. Этот эф-
эффект объяснен в разд. 11.22 и 13.42; он целиком объясняет боль-
большие флуктуации в Q с максимумом при 2х(т—1) =4,0 и т. д.
Следующая бросающаяся в глаза особенность этих кривых
состоит в том, что кривая, усредненная по этим флуктуациям,
лежит выше асимптоты Q = 2. В первом максимуме Q достигает
значений от 3,5 до 4, в первом минимуме оно лишь чуть меньше 2.
422 17- КРАЕВЫЕ ЭФФЕКТЫ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ВОЛНЫ
Этот эффект можно приписать «краевому отражению», что бу-
будет обосновано ниже.
Третьей особенностью является наличие малых колебаний.
В этом разделе они не будут приниматься во внимание; попытка
объяснения с помощью некоторой модификации поверхностной
волны дана в разд. 17.52.
Прил: = 4 «эффективный угол падения» оказывается близким
к т=30° (разд. 17.25). Угол Брюстера для /п=1,33 находится
при т = 36°,9 (разд. 13.11). Это означает, что уже при х=А крае-
краевые слагаемые для двух направлений поляризации будут иметь
одинаковый знак и при возрастающих х они будут все более
приближаться друг к другу. Это предсказание качественно со-
согласуется с немногими результатами, имеющимися для диэлек-
диэлектрических цилиндров, представленными на рис. 67 (разд. 15.31).
В дальнейшем мы будем рассматривать шары, для которых
имеется более обширный численный материал.
Исходя из данных, приведенных в работе Гампрехта и его
сотрудников для 8=0, автор этой книги сначала преобразовал
эти данные в S@), так что вещественная и мнимая части S@)
оказались известными для обширного ряда значений х вплоть
до л:=400. Формулы преобразования даны в разд. 13.12. В разд.
12.45 мы собрали формулы для членов, ожидаемых в S@) при
больших х.
После вычитания главного члена y*2' обусловленного диф-
дифракцией, разность обнаруживает обычные большие колебания.
После вычитания также и преломленного света (р = 1) большие
разности исчезают, и на комплексной плоскости остается ряд
точек, показывающих малые отклонения от довольно четко вы-
выраженного закона. Малые колебания являются «рябью», пока-
показанной на рис. 32. Остающийся член можно интерпретировать
как краевой член SKv- (a, 0), так как член с р = 3 численно несу-
несуществен. Поэтому предварительная формула имеет вид
Ь{У)— 2 х Х (m+i)(m2I) W
Исходя из этой формулы, автор нанес для /л=1,33 функцию
_L s @) - 4- х + 1,975 (sin 0,66л: + / cos 0,66x)
з __
в зависимости от Ух и получил следующий эмпирический закон:
— Skp- (а, 0) = @,46 - 0,62/)
17.2. ТОЧНЫЙ ВИД КРАЕВЫХ ФУНКЦИЙ 423
или, если допустить существование постоянного слагаемого,
-1- S*p- (а, 0) = 1 + / + @,30 - 0,78/) х^.
Мнимый коэффициент является менее определенным, чем ве-
вещественный, поскольку число значений, для которых есть опуб-
опубликованные значения мнимой части S@), мало (х = ...,15, 20,
25, 30, 35, 40, 100, 200, 400). Вещественные части S@) можно
также получить по значениям Qoc.i., которые опубликованы для
гораздо большего числа значений х. В самих таблицах был обна-
обнаружен ряд незначительных противоречий, хотя главной причиной
неопределенности является, конечно, «рябь», до сих пор не пред-
представленная формулой (теоретической или эмпирической). Кроме
того, использовались данные о <3ОСЛ. при т=1,20. При нанесе-
нанесении
"f- Qoci. — 4" Х + 2'975 Sin °'40х
3
в функции Ух оказалось, что эмпирическое соотношение для
т= 1,20 имеет вид
Re -L S"p-(а, 0) =0,51x3 (или 1+0.3U3).
Посмотрим теперь, каких коэффициентов нам следует ожидать.
В разд. 17.13 мы показали, что
• (а, 0) = х [7-ур- (а, 0) + Тр (а, 0)].
Как объяснялось в разд. 17.21, заменив знак при 7"к|- (а,0)
на обратный, мы можем пользоваться формулами для полно-
полностью отражающих тел (разд. 17.23 и 17.24). Поэтому
— -L
-^ 5кр- (а, 0) = -\ {A,00 - 1,73/) х3 + @,86 - 1,49/) х3 J =
1
= @,46 - 0,80/) х'з.
Коэффициент достаточно хорошо совпадает с коэффициентами
в эмпирических соотношениях для /п=1,33 и 1,20. Во всяком
случае, как вещественная, так и мнимая части имеют правиль-
правильный знак и порядок величины, который к тому же совершенно
отличен от порядка величины при т = оо. Это является удовлет-
удовлетворительным заключением пробных расчетов, изложенных
в этом разделе. Более тщательный анализ всей проблемы может
обнаружить дальнейшие существенные особенное™, не отмечен-
отмеченные выше.
424 17- КРАЕВЫЕ ЭФФЕКТЫ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ВОЛНЫ
Для практических целей мы можем оценить из графиков, что
члены в 5@)/х, которые не учитывались, включая и «рябь»,
обычно остаются меньше 0,5 при лг> 100. Это означает, что эти
члены вводят в
неопределенность, меньшую 2/х. Поэтому полуэмпирическая
формула
П _о Sm2 sin[2x(m— 1)] , , Q ^--j-
^осл. —^ (m + 1)(m2_i) x -I-1*0-*
вероятно, дает значения, правильные с точностью до 1% для всех
значений л:>100, /п<2.
Статья Болла, Гампрехта и Слепцевича A954), в которой
приводятся числовые результаты для шаров с /п = 0,8; 0,9 и 0,93,
позволяет определить коэффициент независимым образом. Как
видно из рис. 32 (разд. 11.22), кривые лежат систематически
ниже кривой для т=\ ±е. Эта перемена знака на обратный
объясняется тем, что Г\ = г2— + \ для скользящего отражения от
среды с т<1. Формула, которая кажется достаточно хорошо
представляющей эти числовые данные, такова:
<3 = 2 + Слагаемое, определяемое преломлением—• B,5±0,6)л:~/з.
Ситуацию на крае нельзя сравнивать с ситуацией при т>1 из-за
наличия полного отражения. Это может быть каким-то образом
связано с тем обстоятельством, что коэффициент 2,5±0,6 ока-
оказывается немного больше, чем коэффициент 1,8, полученный
выше.
17.3. Поверхностные волны
17.31. Литературные данные
В литературе, посвященной электромагнитным волнам, по-
поверхностным волнам уделяется большое внимание. В этой книге
мы подходим к предмету не с точки зрения математика, требую-
требующего строгости и математической ясности, а, скорее, с точки
зрения физика-практика, пытающегося составить четкую кар-
картину каждого эффекта, на который он обратил внимание и кото-
который имеет реальное значение. В конечном итоге, хотя подход
к проблеме различен, эти точки зрения не приводят к различ-
различным результатам. В разд. 17.4 и 17.5 обсуждаются (численно
важные) эффекты рассеяния шарами и цилиндрами, связанные
с поверхностными волнами. Если это предварительное исследо-
17.3. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ВОЛНЫ 425
вание побудит к новому строгому рассмотрению этих задач
в прикладной математике, то эта глава оправдает свое назначе-
назначение1.
Задачей, привлекавшей наибольшее внимание, является рас-
распространение волн вдоль поверхности, разделяющей проводник
конечной проводимости и диэлектрик (или вакуум). Уже в на-
начале этого столетия были сделаны попытки объяснить распрост-
распространение радиоволн за горизонт посредством таких поверхност-
поверхностных волн.
Один тип волны, являющийся ясным и строгим решением
уравнений Максвелла, представляет собой волну, фронт которой
наклонен вперед и которая следует вдоль плоской поверхности
Земли, затухая как в горизонтальном, так и в вертикальном на-
направлениях. Она поляризована таким образом, что вектор Н гори-
горизонтален. Эти волны называются волнами Ценнека, так как
в 1907 г. Ценнек высказал мысль, что такие волны вызываются
излучением вертикально расположенной дипольнои антенны. Это
предположение было подтверждено расчетами Зоммерфельда
A909), но в 1916 г. Вейль предложил другое преобразование,
при котором этот компонент обращается в нуль. С современной
точки зрения Вейль был прав: волны Ценнека не присутствуют
в излучении антенн, и, следовательно, они не играют никакой
роли в дальнем распространении радиоволн.
Имеются серьезные основания, в силу которых волны Цен-
Ценнека несущественны в нашем рассмотрении. Сильное влияние
поверхностной волны наблюдается при рассеянии назад иде-
идеально проводящими шарами и цилиндрами (разд. 17.41); оно
наблюдается в обоих направлениях поляризации. При т-^оо
волна Ценнека не исчезает, но она теряет характер поверхност-
поверхностной волны. Исчезает наклон фронта, исчезает затухание, исче-
исчезает и поле в проводнике. Остается обычная плоско поляризован-
поляризованная волна в вакууме вдоль идеально проводящей поверхности,
содержащей вектор Н. Очевидно, такая волна не представляет
для нас интереса; с другим направлением поляризации она даже
не существует.
Приближение Вейля также содержит компонент, который
может рассматриваться как поверхностная волна. Этот компо-
компонент обращается в нуль при т->-оо, так что он никак не может
использоваться в какой-либо связи с только что упомянутой
проблемой рассеяния назад. Однако он имеет некоторое сход-
1 После того как была написана эта глава, внимание автора привлекла
неопубликованная работа Франца, являющаяся важным шагом в этом на-
направлении.
426
17. КРАЕВЫЕ ЭФФЕКТЫ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ВОЛНЫ
ство с поверхностными волнами на поверхности раздела двух
диэлектриков, которые будут рассматриваться ниже.
Существование поверхностной волны на границе раздела
двух непоглощающих сред впервые обсуждалось Шмидтом
A938) для волн в упругих средах (звуковые волны, сейсмиче-
сейсмические волны). Подобные же световые волны тщательно исследо-
исследовались Оттом A942, 1949). В этих исследованиях поверхностная
волна возбуждается точечным источником (диполем), располо-
расположенным в оптически плотной среде. Для удобства мы будем го-
говорить о поверхности стекло — воздух. Источник, находящийся
Воздух
В
С
Стекло
Рис. 83. Образование поверхностной волны и головной
волны источником А, находящимся в среде с большим
показателем преломления (по Отту).
в стекле в точке А (рис. 83), излучает сферическую волну, т. е.
лучи во всех направлениях. Среди них имеются лучи, падающие
на поверхность под большими углами, частично преломляю-
преломляющиеся и частично отражающиеся. Среди них есть также лучи,
которые падают на поверхность не очень круто и полностью
отражаются. Луч АВ, падающий под предельным углом, допус-
допускающим переход в другую среду, по закону Снелля дает прелом-
преломленный луч, касательный к поверхности. Согласно формуле Фре-
Френеля, он имеет интенсивность, равную нулю, но из решения Отта
видно, что он имеет некоторую конечную интенсивность. В лю-
любой точке (С или С") этот луч может послать энергию назад
внутрь стекла под тем же предельным углом в направлении CD
или CD'. В результате наблюдаемый эффект является волной
с фронтом DD', распространяющейся внутрь стекла. Поскольку
относительно AZ имеется вращательная симметрия, это будет
коническая волна. В силу ее сходства с головной волной корабля
или пули она была названа головной волной Шмидта.
Пусть BC=s, а проекция расстояния от А до D есть г (см.
рис. 83). Фаза волны в D совпадает с ожидаемой: она запазды-
запаздывает но отношению к фазе в А из-за добавочного оптического
17.3. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ВОЛНЫ 427
пути т- (АВ) + 1 • (ВС) +т- (CD). Интенсивность пропорци-
пропорциональна /г2 /~l s~3. Если А и D расположены близко к поверхно-
поверхности, это означает пропорциональность г~4, т. е. значительно более
быстрое убывание, чем для свободной сферической волны. В том
состоянии поляризации, когда Е расположено в вертикальной пло-
плоскости, т. е. Н параллельно поверхности, головная волна силь-
сильнее, чем в случае, когда Е параллельно поверхности раздела.
Если принять, что сила источника одинакова, отношение интен-
сивностей равно mi.
Меккер A949) экспериментально получил световые поверх-
поверхностные волны и, кроме того, кратко изложил теорию в более
доступной форме. Он особенно подчеркивает, что должно суще-
существовать много других методов, с помощью которых могут соз-
создаваться такие поверхностные волны. В частности, легко видеть,
что если стеклянный шар большого радиуса поместить в парал-
параллельный пучок света, мы встречаемся на краях с касательным
лучом, подобным ВС на рис. 83, и эта картина будет наблю-
наблюдаться всякий раз, когда преломленный краевой луч снова до-
достигает поверхности.
Для наблюдения таких волн другим способом можно напра-
направить резко отсеченную с одной стороны плоскую волну к поверх-
поверхности раздела стекло — воздух со стороны стекла. При угле па-
падения, равном предельному углу, поверхностная волна уносит
в сторону некоторую долю энергии и вызывает доступное измере-
измерениям перемещение отраженной плоской волны. Этот эффект
уменьшается по обе стороны от предельного угла. Теория этого
явления рассматривалась Артманом (особенно в статье 1951а),
а опыты были проведены Гоосом и Генхен A947, 1949).
/7.52. Волны на поверхности идеального проводника
Из краткого обзора, приведенного в предыдущем разделе,
видно, что в литературе раньше не упоминалось о существовании
волн, которые могут распространяться по поверхности идеально
проводящего тела. Однако такие волны существуют, и это ясно
утверждается Францем и Депперманом A952, 1954). Кроме
того, косвенные указания на них содержатся в работе Фока
A946) '.
Причина, по которой эти «скользящие» волны могли оста-
оставаться незамеченными раньше, состоит в том, что они наблю-
наблюдаются только в случае искривленной поверхности. В исследова-
1 Одной из последних работ, посвященных этому вопросу, является
статья Л. А. Вайнштейна и А. А. Федорова (Радиотехника и электроника,
<>, N° 1, 1961); в ней можно найти также ссылки на другие работы в этой об-
области. — Прим. ред.
428 17- КРАЕВЫЕ ЭФФЕКТЫ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ВОЛНЫ
иии Зоммерфельда и Вейля рассматриваются преимущественно
плоские поверхности, а обобщение этого исследования на случай
сферических поверхностей, очень искусно выполненное Ван дер
Полем и Бреммером (разд. 12.35), по-видимому, не дало ничего
существенно нового.
Фок, а также Франц и Депперман в своих исследованиях ис-
исходят из интегрального уравнения для поля на поверхности. Этот
метод для одного направления поляризации был объяснен
в разд. 17.23. Для удобства мы можем опять ограничиться слу-
случаем, изображенным на рис. 79 (цилиндрические тела). Поверх-
Поверхностная волна появляется в точке края Е и вблизи нее и распро-
распространяется дальше в область тени вдоль кривой ES. Когда она
продвинется достаточно далеко в область тени, она становится
затухающей периодической волной, свойства которой не зависят
от того, каким именно образом она появилась. Фок дал строгое
решение для поверхностной волны и механизма ее появления
(для одного направления поляризации), но он не интерпретиро-
интерпретировал асимптотический вид своей функции G (?) как поверхност-
поверхностную волну. Франц и Депперман A952) дали строгое решение для
точки края ' и полностью рассмотрели решение однородного ин-
интегрального уравнения, описывающего поверхностные волны.
Они ясно понимали, что практическое значение имеет только наи-
наименее затухающая поверхностная волна, но они взяли неверную
амплитуду. Эта ошибка была исправлена позже (Депперман и
Франц, 1954), и исправленная формула находится в полном со-
согласии с результатом Фока.
Наиболее сильные поверхностные волны существуют при
линейной поляризации, когда вектор Н параллелен поверхности
(поляризация в направлении 2). Суммируем кратко количест-
количественные формулы, относящиеся к этим волнам.
Пусть радиус кривизны R постоянен; x=kR. Пусть Q — точка
на поверхности, лежащая далеко в области тени на угловом рас-
расстоянии ф от точки Е. Ее расстояние от Е вдоль поверхности есть
^?ср, ее расстояние но прямой от волнового фронта, проходящего
через Е, будет Rs,iny = z (в данном случае z измеряется в на-
направлении, противоположном тому направлению, в котором z от-
считывалось в разд. 17.23). Если падающее поле имеет в Е
амплитуду, равную 1, то для амплитуды в Q Фок находит (знак г
изменен на обратный)
1 За исключением небольшой численной ошибки; значение С@) должно
быть 1,399, в согласии с результатом Фока (Франц, частное сообщение).
17.3. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ВОЛНЫ 429
где \ = —z у k/2R2. Франц и Депперман получают (также
с обратным знаком при /)
[з _
-top - 2,332 (i-V^ + i-/)^
[
/24
Поскольку
/?ср = z -4- -g^2" ~Ь (пренебрежимо малые члены),
то показатели при е в обоих выражениях приводятся к виду
- ix'f - @,699 -j- 0,403/) л/ х «р.
Этот простой результат можно интерпретировать следующим об-
образом. Фаза такова, как если бы волна распространялась вдоль
криволинейной поверхности со скоростью с/ A+0,403 л;~2/з). Од-
Однако удобнее представить себе, что волна распространяется со
скоростью с на эффективном расстоянии R(l +0,403 лг2/з) от
центра кривизны, т. е. на расстоянии 0,403 x~Vs Л!—403&~2/з/?~'/з
от поверхности. Это очень хорошо согласуется с функциональной
зависимостью расстояния ЕТ (рис. 76) от k и R, установленной
в разд. 17.21.
Затухание таково, что при обходе половины круга вокруг ци-
з
линдра (я рад) амплитуда уменьшается в е~%х^ раз от пер-
первоначального значения. При *=8 это означает уменьшение
амплитуды до 0,018 первоначальной величины. Таким образом,
поверхностная волна при *>8 сильно затухает и имеет столь ма-
малые числовые значения, что она несущественна.
При R-+oo эта поверхностная волна (по-прежнему для поля-
поляризации в направлении 2) делается незатухающей плоской вол-
волной Максвелла бесконечной протяженности в радиальном
направлении, т. е. волной того же типа, в который вырождается
волна Ценнека, если проводимость становится бесконечной.
Можно добавить несколько слов о затухании поверхностных
волн вообще. Затухание волн Ценнека или волн Вейля — Нор-
Нортона (разд. 17.31) вызывается потерями на джоулево тепло в не-
неидеальном проводнике. Для эквивалентных волн на поверхности
диэлектрика (Отт) экспоненциального коэффициента затухания
не получено. Поверхностные волны, рассматриваемые в настоя-
настоящих разделах, затухают по совершенно иной причине. Огибая
поверхность, они непрерывно рассеивают энергию в направлении
вперед по касательной к поверхности. Это «рассеивание» можно
430
17. КРАЕВЫЕ ЭФФЕКТЫ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ВОЛНЫ
Таблица 37 Свойства поверхностных волн на проводящих телах!
Плоская поверхность
Криволинейная поверхность
Идеальный про-
проводник
Частично прово-
проводящее тело
Поляризация в направ-
направлении /: волны нет
Поляризация в направ-
направлении 2: плоская неза-
незатухающая волна
Поляризация в направ-
направлении /: волны нет
Поляризация в направ-
направлении 2: волна Ценнека,
затухающая из-за потерь
на джоулево тепло
Поляризация в направле-
направлении /: слабая поверхностная
волна (Франц и Депперман)
Поляризация в направлении 2:
сильная поверхностная волна,
затухающая из-за „рассеива-
„рассеивания" (Франц и Депперман)
Поляризация в направлении /:
слабая поверхностная волна
Поляризация в направлении 2:
сильная поверхностная волна,
затухающая из-за „рассеива-
„рассеивания" и джоулевых потерь
1 Поляризация в направлении / означает, что Е параллельно поверхности;
поляризация в направлении 2— Н параллельно поверхности.
вычислить по принципу Гюйгенса тем же способом, который
объяснялся в разд. 17.23. Подробные формулы были выведены
Францем и Депперманом.
Уравнения для поверхностной волны для поляризации в на-
направлении / (Е параллельно поверхности) также решены Фран-
Францем и Депперманом. Численно эта волна имеет меньшее значе-
значение. При R->oo она исчезает, как и следовало ожидать из тех
соображений, что граничные условия для идеального проводника
(разд. 9.14) не допускают распространения вдоль его поверх-
поверхности плоской волны с Е, параллельным поверхности.
Поверхностные волны, распространяющиеся вокруг частично
проводящих тел, до сих пор подробно не изучены. Мы можем
предполагать, что их затухание обусловлено обоими факторами.
Здесь можно предложить много проблем, подлежащих дальней-
дальнейшему исследованию, однако нет необходимости предвосхищать
их результаты.
Предварительные заключения суммированы в табл. 37.
17.4. РАССЕЯНИЕ НАЗАД 431
17.4. Рассеяние назад
17.41. Рассеяние назад цилиндрами и шарами с т=оо
Расчет «рассеивания» поверхностной волны в данном направ-
направлении представляет собой довольно простую задачу. Он требует
лишь применения принципа Гюйгенса в одной из его строгих
форм. Поле задано во всех точках поверхности. Ищется поле
в точке Р, лежащей на очень большом расстоянии в заданном
направлении. Наибольший вклад в интеграл по поверхности дает
область вблизи точки (или точек) Q, где касательная направлена
к Р, так как именно вблизи этих точек в подынтегральном выра-
выражении имеет место стационарная фаза. Для больших частиц мы
можем принять, что вклад других частей поверхности пренебре-
пренебрежимо мал и что интенсивность «рассеивания» в направлении Р
зависит только от интенсивности поверхностной волны и локаль-
локального радиуса кривизны в Q.
Только что описанный метод фактически тождествен методу,
применявшемуся в разд. 17.23, где рассчитывалась «краевая
функция» для рассеяния вперед. Единственная разница состоит
в том, что в упомянутом разделе мы рассчитывали «рассеивание»
прямо из области, где волна возникает; тогда как в проблеме
рассеяния назад поверхностная волна уже повернулась на угол я
и поэтому имеет свою асимптотическую форму, не зависящую от
механизма ее появления.
«Рассеивание» в любом направлении также определяется по-
поверхностной волной, которая обошла тело 1, 2 или более раз. Это
остается справедливым для рассеяния вперед или назад, а также
для любого другого направления. Эти вклады можно сложить
как геометрическую прогрессию, хотя при х>4 они численно
несущественны и в дальнейшем рассматриваться не будут.
Франц и Депперман применили теорию поверхностной волны
к задаче расчета радарного сечения полностью отражающих
цилиндров и шаров. Мы не будем приводить всего вывода,
а ограничимся только результатами, приведя их в наших обоз-
обозначениях и опустив члены меньших порядков по х, часть которых
вошла в расчеты Франца и Деппермана.
Цилиндры, случай 11 (Н параллельно оси): полная амплитуд-
амплитудная функция при 0=я будет Готр. (я)+7"пов. (я), где
— е 4
3
в. («) = 2,92 у ту хе
432
17. КРАЕВЫЕ ЭФФЕКТЫ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ВОЛНЫ
Таким образом, добавление к амплитуде второго члена увели-
увеличивает радарное сечение, полученное по отражению согласно
законам геометрической оптики, на множитель.
2'92 ~ 2>2° Vx~l ("П + 5-l
1
Шары: Радарное сечение, полученное по отражению согласно
законам геометрической оптики (равное па2), увеличивается на
множитель
1
з /—¦
хе
-2,20 V x-l[ -j?- + 5,14* + 1,27 Y х)
В этом уравнении не учитывается влияние поверхностной волны,
затухающей значительно сильнее и соответствующей случаю ци-
цилиндров при поляризации в направлении /.
Представляет некоторый интерес сравнить эти выражения со
значениями, полученными путем непосредственного расчета
обычным методом. Радарное сечение для полностью отражаю-
отражающих шаров показано для интервала значений х от 0 до 3 на
рис. 61, а соответствующая фаза — на рис. 62 (разд. 14.32).
Радарные сечения для идеально проводящего цилиндра были
рассчитаны по формулам разд. 15.33 и представлены на рис. 84.
Максимумы и минимумы на обоих рисунках разделены прибли-
приблизительно интервалом Ах=1,18. Расчеты для цилиндров совер-
совершенно отчетливо показывают, что поверхностная волна имеет
значение только при поляризации в направлении 2. Легкая вол-
волнистость на кривой для поляризации в направлении / указывает
на существование слабой поверхностной волны также при дру-
другом направлении поляризации. Это хорошо согласуется с ре-
результатами разд. 17.32.
Положения максимумов и минимумов определяются фазой
добавочного множителя в приведенных выше формулах. За-
Запишем
/ = 0,04 + 0,82л + 0,20л3 ;
в таком случае их положения будут таковы (п-
Цилиндры, максимум при /' = п,
Шары, максимум при f — n-
целое число):
17.4. РАССЕЯНИЕ НАЗАД
433
Цилиндры, минимум при
Шары, минимум при
J т~ 4 •
Положения, рассчитанные по этим уравнениям, очень хорошо
согласуются с рис. 61 и 84, что означает применимость асимпто-
асимптотических формул для значений х от х=2 или 3. Для точного сов-
Рис. 84. Радарное сечение идеально проводящего кру-
кругового цилиндра бесконечной длины, деленное на его
значение, даваемое геометрической оптикой. Направле-
Направление распространения падающей волиы предполагается
перпендикулярным оси цилиндра; х=2ла/Х, где а —
радиус.
падения следует добавить члены более высоких порядков по 1/х.
Расстояние между максимумами должно быть
1 1
df _ L '
dx 0,82 -f 0,07* 3
что равно 1,18 вблизи х = 3 и увеличивается до 1,20 вблизи х=10.
Физически / означает (исключая небольшое запаздывание при
выходе волны, равное 0,04) разность между двумя световыми
28 Заказ № 374
434 17. КРАЕВЫЕ ЭФФЕКТЫ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ВОЛНЫ
путями, представленными на рис. 85, выраженную в длинах волн.
Поскольку (разд. 17.32) q^ A +0,40х~а/з)а, разность хода равна
/1 м 2_
2а + nq = \х 14 + 4-1 + 0,20Хх3,
что после деления на Я, дает/—-0,04. Поверхностные волны, об-
обходящие шар, имеют путь, который будет короче на !/4 Л,, так как
они должны пройти через фокус в F. Этот выигрыш фазы па
своей природе в точности тот же, что и выигрыш фазы обычной
волны при прохождении фокальной линии (разд. 3.21).
Амплитуда колебания также требует некоторого пояснения.
Формула, полученная выше для цилиндров, хорошо согласуется
с амплитудой, представленной рис. 84. Формула для шаров дает
амплитуду, которая кажется преуменьшенной вдвое. Пока этот
факт не нашел объяснения.
Результаты для шаров отличаются от результатов для ци-
цилиндров в двух существенных пунктах. Во-первых, колебания для
шаров имеют значительно большую амплитуду, чем колебания
для цилиндров. Первый минимум даже приближается к нулю.
Колебания оказываются значительно сильнее, чем мы можем
получить, например, при усреднении результатов для двух
направлений поляризации для цилиндров. Физическая причина
аналогична той, которая привела в разд. 12.21 согласно геометри-
геометрической оптике к бесконечности при рассеянии назад от шаров,
а именно одновременное действие излучения, поступающего
с одинаковой фазой от всего круга. В случае цилиндра излучение
поступает с двух противоположных сторон, а направление рас-
рассеяния назад не имеет преимущественного положения среди дру-
других направлений. Следовательно, для цилиндров интенсивности
света, рассеянного под произвольным углом, должны иметь ха-
характер, совершенно аналогичный тому, который представлен на
рис. 84. В случае шаров, однако, направление рассеяния назад
является исключительным направлением. Здесь уместны рассуж-
рассуждения разд. 13.31. Этот пример является по существу идеальным
примером «глории» с CJC2 — O, наложенной на центрально отра-
отраженный свет и интерферирующей с ним.
Это полуколичественное описание поверхностных волн не мо-
может заменить строгого исследования, содержащегося в цитиро-
цитированных статьях. Однако оно может служить для того, чтобы сде-
сделать результаты этих работ более доступными.
17.42. Глория при т—1,33
Глория, наблюдаемая при рассеянии водяными каплями, об-
обсуждалась довольно подробно в разд. 13.31 —13.33. Остается
17.4. РАССЕЯНИЕ НАЗАД
435
выяснить вопрос о том, не может ли существование поверхност-
поверхностных волн пролить какой-нибудь новый свет на эту проблему.
Одно из затруднений состояло в том, что луча, изображен-
изображенного на рис. 48, при /л = 1,33 не существует. Существование та-
такого луча было бы реальным, если бы волна при своем появле-
появлении (А), или при полном отражении {В), или при выходе (С)
могла «проскочить» по окружности 14° (рис. 86). Это действи-
действительно возможно. Ситуация в В и С весьма сходна с ситуацией
В
Рис. 85. Вклад поверхностной
волны в рассеяние назад иде-
идеально проводящим цилиндром
или шаром.
Рис. 86. Вклад поверхностной
волны в рассеяние назад
диэлектрическим цилиндром
или шаром.
при образовании поверхностных волн в теории Отта (разд. 17.31;
освещение из плотной среды под предельным углом полного от-
отражения). Ситуация в А иная, однако, анализируя результаты
предыдущих разделов, можно прийти к заключению, что здесь
также образуются поверхностные волны. Таким образом,
имеются три возможности для того, чтобы «проскочить» 14° по
окружности или хотя бы часть этого пути. Интенсивность должна
быть значительной. Таким же путем мы можем попытаться объ-
объяснить поляризацию. Если поверхностная волна появляется
только в В, для отношения амплитуд в двух направлениях поля-
поляризации теория Отта дает множитель п2, причем поляризация
в направлении 2 (Н перпендикулярно плоскости чертежа) будет
сильнее. Иными словами, по терминологии разд. 13.3, Ci\C\=n2 =
= 1,7. Это не согласуется с эмпирическим результатом C2/Ci = —4,
28*
436 17- КРАЕВЫЕ ЭФФЕКТЫ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ВОЛНЫ
полученным в разд. 13.33, если не считать того, что С2 действи-
действительно имеет большее абсолютное значение.
Настоящий раздел имеет только характер предварительного
исследования; подробная теория, базирующаяся на этих общих,
принципах, должна полностью объяснить явление глории.
17.5. «Рябь» на кривой ослабления
17.51. Эмпирические данные
То, что некоторые особенности числовых результатов теории
Ми качественно получили удачное объяснение с помощью поверх-
поверхностных волн, позволяет поставить вопрос, нельзя ли аналогич-
аналогичное объяснение применить к другим явлениям.
Так, до сих пор мы не объяснили одного интересного явления,
а именно наличия «ряби» на кривой ослабления для диэлектри-
диэлектрических шаров (в интервале т от 1,2 до 2,0). Основные черты
этих кривых понятны: асимптотическое значение Q = 2 при
jf-*-oo (разд. 8.22); большие флуктуации, максимумы и мини-
минимумы которых расположены при фиксированных значениях
р = 2х(т—1) (разд. 11.22); и, наконец, то, что средняя кривая,
относительно которой наблюдаются эти флуктуации, располо-
расположена выше Q = 2 (разд. 17.26). «Рябь» представляет собой
быстрые флуктуации величины Q с амплитудой ±0,15, численно
несущественные для практических применений.
Существование «ряби» было доказано с полной достовер-
достоверностью в работе Кэмбриджского научно-исследовательского
центра ВВС США (CAFRC) '. Большинство других расчетов
было выполнено со слишком большим шагом по х, чтобы выявить
«рябь». Таблицы CAFRC были получены на электронной счетной
машине ИБМ-701. Они охватывают область значений х от 0 до 30-
с малыми интервалами по х и были выполнены для т= 1,33; 1,40;
1,44; 1,486 и 1,50. Этого материала достаточно, чтобы выявить
основные свойства «ряби». Они таковы:
1. «Рябь» не ограничивается каким-либо одним значением т.
Она проявляется приблизительно в одинаковой степени на всех
пяти кривых.
2. «Рябь» имеет четкую периодичность: пики и провалы пов-
повторяются через интервалы по х, равные приблизительно 0,80 для
всех рассмотренных значений т.
3. «Рябь» не является чистой синусоидальной волной. Она до
некоторой степени напоминает кривую биения двух синусоидаль-
1 Автор считает своим долгом выразить признательность д-ру Р. Пен-
дорфу, любезно предоставившему этот материал до его опубликования.
17.5, «РЯБЬ» НА КРИВОЙ ОСЛАБЛЕНИЯ 437
ных волн слегка отличающихся периодов, однако это описание
весьма грубо. В некоторых областях наблюдаются двойные пики
с интервалом 0,8, а в некоторых — одиночные, как указано ниже.
Двойные пики одинако- Одиночные пики
вой амплитуды вблизи вблизи
т=1,33 х=201/2 -«=30
/и =1,40 х=17Чг лг=27'/2 '
т=1,44 ?=14 лг=23'/2
т= 1,486 *=12 *=20
т=1,50 *=12 *=19Vs
4. Так как эти значения х приблизительно пропорциональны
\/(т—1), характер ряби (двойной или одиночный горб) имеет
тенденцию повторяться для одного и того же значения
р = 2х(т—1), т. е. для некоторого фиксированного положения на
главных флуктуациях. Однако это не совсем точно; например,
двойные пики равной величины расположены при т=1,33
во втором минимуме кривой ослабления, при /л =1,44-—на
спаде от второго максимума ко второму минимуму и при
т=1,50 — на втором максимуме.
5. «Рябь» имеет также мнимый компонент, о чем свидетель-
свидетельствует график для /и=1,33 в комплексной области (рис. 53, разд.
13.42).
17.52. Предварительное объяснение с помощью поверхностных
волн
«Рябь» следует понимать как эффект интерференции между
волной, дифрагированной в направлении вперед (гл. 12 и 13),
и волной, не замеченной до сих пор. Отраженных или преломлен-
преломленных лучей, которые могли бы остаться незамеченными, нет. Цен-
Центральный луч, испытавший два внутренних отражения и прохо-
проходящий диаметр трижды, имеет по отношению к лучу, проходя-
проходящему через шар, отставание по фазе, равное 2хCш—1). Таким
образом, период между пиками должен быть я/Cт—1), что со-
составляет от 1,05 при /л = 1,33 до 0,90 при /л=1,50, так что это не
может являться объяснением. Более того, вычисленная ампли-
амплитуда здесь слишком мала.
Посмотрим, что могут дать поверхностные волны. Рис. 87 изо-
изображает луч QA, падающий на край шара или цилиндра (на-
(например, водяной капли или струи воды). Сначала этот луч даст
волну АА'', распространяющуюся вдоль поверхности. В любой
точке поверхности эта волна будет терять энергию из-за двух
эффектов: 1) преломления внутрь капельки вдоль АВ или А'В',
как указано в теории Отта поверхностных волн в диэлектриках;
2) «рассеивания» в направлении вперед вдоль АР и А'Р' и т. д.
438
17. КРАЕВЫЕ ЭФФЕКТЫ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ВОЛНЫ
Весьма маловероятно, что первоначальная поверхностная волна
сможет обойти весь шар или цилиндр и все же дать эффект, до-
доступный наблюдениям.
Предположим, что первый эффект (преломление внутрь
капли) вызывает более сильное затухание. Тогда из простых
геометрических соображений ясно, что эта энергия возвращается
к поверхности. При преломлении в А она возвращается в В, и при
преломлении в А' она возвращается в В'. Это означает, что в В
начинается новая поверхностная волна, которая усиливается за
счет последующих вкладов в каждой точке В' и распространяется
Q
ими
Риг. 87. Усиление поверхностной волны на диэлектрическом теле
за счет воли, распространяющихся сквозь тело.
в направлении ВВ'В". Все эти вклады совпадают по фазе. На не-
некотором расстоянии за точкой В (которое нельзя оценить точно)
амплитуда должна достигать максимума.
Спрямление пути вдоль АВ или А'В' внутри тела означает
увеличение оптического пути. Если а — радиус, т — показатель
преломления, a cosa=l//n, находим по закону Снелля, что АВ
стягивает дугу 2а. Оптическая длина будет m-AB = 2atga и
равна длине АР+РВ в вакууме, где Р — пересечение касатель-
касательных к шару, проходящих через А и В. Таким образом, увеличе-
увеличение оптического пути по сравнению с волной, обходящей тело
кратчайшим путем, равно
2 atga — 2 aa = ha.
17.5. «РЯБЬ» НА КРИВОЙ ОСЛАБЛЕНИЯ 439
Теперь нетрудно понять, что происходит. Обходя вокруг тела,
волна пройдет вдоль N отрезков спрямленного пути и каждый
раз будет терять фазу, соответствующую оптическому пути ha.
Тогда полный оптический путь вокруг тела будет
2яа + Nha.
Вероятно, N будет близко к максимальному возможному
числу: например, при /п = |/2 мы можем иметь четыре спрямлен-
спрямленных отрезка, из которых каждый стягивает дугу я/2, но более
вероятно, что имеются только три спрямленных отрезка. Сводка
числовых значений h и вероятных значений N приведена
в табл. 38 (стр. 440). Менее вероятные значения даны в скобках.
При увеличении этого оптического пути на целую длину волны
будет иметь место усиливающая или ослабляющая интерферен-
интерференция с главным компонентом (с дифрагированным светом). Сле-
Следовательно, расстояние между пиками в «ряби» должно даваться
выражением
А Bла + Nha) = %
и, таким образом,
* * 2№С1 1
Дх = Д -^j- = д^ •
Таблица указывает, что для значений т от 1,33 до 1,50, для кото-
которых были рассчитаны таблицы CAFRC, вероятные значения Ах
лежат в пределах от 0,83 до 0,79. Это находится в удовлетвори-
удовлетворительном согласии с эмпирическим значением 0,80 и служит под-
подтверждением предложенного объяснения.
Большая неопределенность задачи, а именно неопределен-
неопределенность в N, объясняет также существование сложной картины
биений. Например, возможно, что поверхностная волна распро-
распространяется вдоль поверхности от А до В, ослабляясь не очень
сильно. Характер интерференции новой поверхностной волны, об-
образованной в В и В' выходящим излучением, и волны, которая
осталась на поверхности, определяется тогда тем, будет ли раз-
разность оптического пути ha равна целому числу длин волн или нет.
Аналогичные явления в интерференционных картинах будут по-
повторяться, если
A (ha) = I,
так что
Значения, представленные в последнем столбце табл. 38, вполне
согласуются со значениями х, при которых имеет место двойной
пик. На основании приведенного здесь предварительного объя-
440
ЛИТЕРАТУРА
Таблица
т
1,1
1,2
1,333
1,414
1,5
2
38.
2я
(рад)
2V2T"
0,860
1,171
1,446
1,571
1,682
2,094
Предполагаемый-период
2tga
2V2T"
0,917
1,328
1,764
2,000
2,236
3,464
h
0,057
0,157
0,318
0,429
0,554
1,370
.ряби"
N
7
F)
5
D)
4
C)
D)
3
3
B)
3
B)
и
период ее
1
. , Л'й
1 + 1Г
0,94
@,95)
0,89
@,91)
0,83
@,87)
@,78)
0,83
0,79
@,85)
0,60
@,70)
биения
2п
ПО
40
19,8
14,6
11,3
4,6
снения нельзя ответить на вопрос, почему именно при этих значе-
значениях картина биения должна иметь такой характер. Грубое сов-
совпадение частот наводит на мысль о том, что точная теория
«ряби» должна основываться на поверхностных волнах того
типа, который рассматривался в данном разделе.
Этот раздел является также лишь предварительным исследо-
исследованием. Благодаря новым работам Бекмана и Франца (ср. разд.
12.35) стало возможным строгое исследование комбинированного
эффекта поверхностных волн и спрямления пути через шар с по-
помощью ряда по вычетам, основанного на преобразовании Ват-
сона. Числовые результаты еще не получены.
ЛИТЕРАТУРА
Проблема оптического края наиболее ясно изложена Артманом:
Artmann К., Z. Physik, 127, 468 A950),
а сводка его результатов и экспериментальные применения даны в статье
Artmann K-, Ann. Physik, 7, 209 A950).
Рассмотрение рассеяния света цилиндром с одним или двумя краями
A7.11 и 17.12) с помощью краевой функции также дано Артманом. Кроме
того, дифракция на одном крае рассматривалась в статье В. А. Фока:
Фок В. A., Abhandl. Sowj. Physik, 2, 7 A951),
где имеются ссылки на его более раннюю работу.
Формулировка для шара A7.13) является новой. Эвристическая аргу-
аргументация (разд. 17.21) отлична от аргументации Артмана, хотя и приводит
к тому же результату.
ЛИТЕРАТУРА 441
Попытки вывести из полного решения асимптотические формулы, кото-
которые содержали бы какие-либо другие члены, кроме членов, определяемых
геометрической оптикой и дифракцией, предпринимались много раз с тех
пор, как Дебай впервые дал свои асимптотические ряды для бесселевых
функций; такие попытки для металлических и полностью отражающих ша-
шаров были сделаны Иобстом:
Jobst G., Ann. Physik, 76, 863 A925)
и для цилиндров Шпоном и Пфенниигером:
Spohn H., Physik. Z., 21, 444, 469, 501, 518 A920).
Pfenninger H., Ann. Physik, 83, 753 A927).
Дальнейшие попытки были предприняты Артмаиом в его первой статье, где
обсуждался случай частиц цилиндрической формы с m = оо (разд. 17.22);
случай цилиндров с произвольным т (разд. 12.35) рассматривался Юштре-
иом:
Ljunggren Т., Arkiv Fysik, I, 1 A949).
Интегральные уравнения для токов на поверхности идеально проводя-
проводящего тела в теории дифракции были сформулированы и изучены следую-
следующими авторами:
Майе A. W., Z. Physik, 126, 601 A949).
В о г g п i s F. E., Papas С. Н., Randwertprobleme der Mikrowellenphy-
sik, Berlin, Springer Verlag, 1955.
Для полей вблизи края цилиндра (разд. 17.23) они были решены В. А. Фо-
Фоком:
Фок В. A., J. Phys. U.S. S. R., 10, 130 A946);
сводка его результатов содержится в статье
Фок В. A., Phil. Mag., 39, 149 A948).
Следующую статью В. А. Фока
Фок В. A., J. Phys. U. S. S. R., 10, 399 A946),
которая содержит результаты для поглощающих цилиндров, автору достать,
не удалось. Числовые результаты решения Фока были применены к расчету
краевого слагаемого в разд. 17.23. Впервые этот результат был представ-
представлен в работе автора:
van de Hulst Н. С, Trans. I. R. E., AP-4, 195 A966).
Исследования, тесно связанные с упомянутыми выше работами, выполнены
Кодисом:
Kodis К. D., Trans. I. R. Е., АР-4, 580 A956),
а также некоторыми докладчиками на Анн-Арборском симпозиуме по теории
электромагнитных волн, сообщения которых опубликованы в цитированном
томе Trans. I. R. Е.
Из литературы об излучении цилиндрических антенн и щелей на по-
поверхности круговых цилиндров сошлемся на следующие работы:
Carter P. S., Proc. I. R. Е., 31, 671 01943).
Silver S., S aunders W. К., J. Appl. Phys., 21, 153, 745 (i'950).
Scnsiper S., Cylindrical Radio Waves, Hughes Aircraft Co., Techni-
Technical Memorandum 310, June 15, 1953.
442 ЛИТЕРАТУРА
Wait J. R., Kahana S., Can. J. Technol., 33, 77 A95S).
Обсуждение числовых результатов для идеальных проводников, метал-
металлических и диэлектрических тел (разд. 17.24—17.26) проводится впервые.
Результаты для /и<1 заимствованы из работы
Boll R. Н., G u m р г е с h t R. О., S 1 i е р с е v i с h С. М., J. Opt. Soc.
Amer., 44, 18 A954).
Поверхностные волны (разд. 17.31) обсуждались, например, Франком
и Мизесом и Стрэттоном:
Frank P., van Mises R., Die Differential- und Integralgleichungen
der Mechanik und Physik, 2nd ed., S. 918, Braunschweig, Vieweg, 1935.
(Русский перевод: Франк Ф. и Мизес Р., Дифференциальные и ин-
интегральные уравнения математической физики, ОНТИ, М.—Л., 1937.)
S t r a 11 о n J. A., Electromagnetic Theory, p. 584, New York, McGraw-
Hill, 1941.
(Русский перевод: Стрэттон Дж. А., Теория электромагнетизма, Гос-
техиздат, М. — Л., 1948.)
Кроме того, в этих книгах обсуждаются классические работы Ценнека, Зом-
мерфельда и Вейля. Исследование волн на поверхности раздела двух диэлек-
диэлектриков содержится в работах:
Schmidt О., Physik. Z., 39, 869 A938),
Ott H., Ann. Physik, 41,443 A942),
О 11 H., Ann. Physik, 4, 432 A948),
Maecker H., Ann. Physik, 4, 409 A948),
Gerj u о у Е., Comrnun. Pure and Applied Math., 6, 73 A952),
Friedrich s К. О., К e 11 e r J. В., J. Appl. Phys., 26, 961 A955).
Смежная задача о смещении отраженной волны исследовалась экспери-
экспериментально и теоретически следующими авторами:
Goos F., Lindberg-Hanchen H., Ann. Physik, 1, 333 A941);
5, 251 A949).
Artmann K., Ann. Physik, 8, 270, 285 A961).
Проблема исследования поверхностной волны («скользящей волны»)
на идеально проводящих цилиндрах и шарах (разд. 17.32) была сформули-
сформулирована и рассмотрена на основе интегральных уравнений, полученных Мауэ
(цит. соч.):
Franz W., Depperma п п К., Ann. Physik, 10, 361 A952),
D е р р е г m а п п К., F г а п z W., Ann. Physik, 14, 253 A954),
Franz W., G a 1 1 e R., Z. Naturforsch., 10a, 374 A955).
Эти исследования частично повторяют одну из более ранних работ Фока.
Дано также строгое объяснение рассеяния назад полностью отражающими
цилиндрами и шарами (разд. 17.41).
Рассмотрение явления глории (разд. 17.42), а также предварительное
объяснение «ряби» на кривых ослабления (разд. 17.52) дано впервые. Число-
Числовые данные, на которые мы ссылались в разд. 17.51, опубликованы только
частично; см.
Goldberg В., J. Opt. Soc. Amer., 43, 1221 A953).
ЧАСТЬ III
Применения
18. ЭКСПЕРИМЕНТЫ ПО РАССЕЯНИЮ
И ОСЛАБЛЕНИЮ КАК МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ
Поскольку предыдущие главы содержат более сложные фор-
формулы, чем те, с которыми предпочитает иметь дело обычный ис-
исследователь-экспериментатор, настоящая глава начинается но-
новым обзором проблем рассеяния. Этот обзор предназначен для
тех читателей, которые интересуются прежде всего практиче-
практическими применениями теории. Последующие главы (с 19 по 21)
имеют в известном смысле самостоятельное значение, так что,
обратившись к ним, химик или астроном сможет найти указания,
какие части изложенной теории представляют для него интерес.
18.1. Предварительные замечания
Сначала вспомним те ограничения, которые мы наложили
в гл. 1 на задачи рассеяния, рассматриваемые в этой книге.
1. В этой книге, как правило, не рассматриваются среды,
в которых рассеивающие частицы распределены так плотно, что
их взаимодействие усложняет проблему.
2. В этой книге не рассматривается рассеяние света средами
или облаками, в которых свет, прежде чем выйти из среды, испы-
испытывает несколько последовательных рассеяний (многократное
рассеяние). В задачах о многократном рассеянии даже самый
простой закон рассеяния отдельными частицами (изотропное
рассеяние) приводит к сложным математическим проблемам.
3. В этой книге исследуется дисперсия и затухание пучка
света, проходящего сквозь среду в случае, когда отдельные ча-
частицы отстоят далеко друг от друга и их рассеивающие свойства
известны (гл. 4).
Имеется множество различных естественных сложных сред,
состоящих из малых рассеивающих частиц, распределенных в од-
однородном веществе (например, туман, межзвездная пыль); еще
более разнообразные примеры таких сред дают продукты техни-
технической деятельности людей, получающиеся по желанию человека
или невольно (индустриальный дым, коллоидные растворы).
В большинстве этих примеров рассеяние света оказывается са-
самым легким методом обнаружения частиц и очевидным способом
их дальнейшего исследования. Наблюдения и опыты проще всего
446 18. ЭКСПЕРИМЕНТЫ ПО РАССЕЯНИЮ И ОСЛАБЛЕНИЮ
интерпретировать тогда, когда частицы распределены не слишком
плотно, а исследуемые образцы настолько малы, что многократ-
многократные рассеяния несущественны.
Большинство расчетов, рассмотренных в предыдущих главах,
было предпринято ради специальных приложений. Иногда одна
и та же математическая задача ставилась исследователями двух
или трех различных областей. Например, формулы разд. 7.2
были выведены независимо в рентгеноструктурном анализе и при
изучении рассеивающих свойств молочного стекла. Попутно об-
обсуждались другие задачи, не нашедшие пока непосредственного
применения.
В последующих главах сделана попытка восстановить перво-
первоначальный порядок исследования в рассматриваемых областях::
1. Дается формулировка задачи, относящейся к определенной
области науки.
2. Описываются встречающиеся в этой задаче явления рас-
рассеяния и ослабления.
3. Это приводит к оценке размеров, длины волны, показателя
преломления и т. д. по порядку величины.
4. Затем делаются ссылки на одну из предыдущих глав, в ко-
которой подробно обсуждается этот частный вид рассеяния, и при-
приводится несколько примеров.
Этим исчерпывается круг вопросов, рассматриваемых в каж-
каждом из последующих приложений теории. Однако все исследова-
исследование в каждой области этим не завершается. Естественно, затем
будут рассматриваться обычно следующие вопросы:
5. Подробное сравнение расчетов рассеяния с опытами и на-
наблюдениями.
6. Обсуждение расхождений с расчетными значениями и из-
изменений, которые следует ввести в рабочую гипотезу на основа-
основании как этого сравнения, так и физических и химических свойств
рассеивающих частиц.
Таким образом, изучение явлений рассеяния носит скорее ха-
характер метода, чем цели исследования. Оно может оказать хоро-
хорошую помощь, но не способно и не может заменить исчерпываю-
исчерпывающее исследование рассматриваемых явлений. По этой причине
применения, описываемые в последующих главах, являются ско-
скорее иллюстрациями метода, а не всесторонним обсуждением того
или иного вопроса. По той же причине автор не пытался дать
полного обзора всех применений или собрать воедино результаты
экспериментов. Это следует предоставить специалистам в соот-
соответствующих областях. Есть одна область применений, значение
которой быстро возрастает, где ставится обратная задача. В тео-
теории искусственных сложных сред задача состоит не в определе-
определении путем эксперимента свойств рассеивающих частиц, а в созда-
18.2. КОГДА ИЗМЕРЕНИЯ РАССЕЯНИЯ ЭФФЕКТИВНЫ? 447
нии рассеивающих частиц с такими характеристиками, чтобы
¦среда имела заданные свойства. Пример приводится в разд. 19.42.
К литературе по рассеянию исследователь чаще всего обра-
обращается тогда, когда он предполагает использовать эксперименты
по рассеянию для более детального изучения малых частиц тех
или иных типов. В этом случае уместно поставить следующие
три вопроса:
Когда измерения рассеяния наиболее эффективны?
Какого рода измерения следует проводить?
Какие свойства рассеивающих частиц можно определить из
этих измерений?
Ответы на эти вопросы рассматриваются в последующих раз-
разделах.
18.2. Когда измерения рассеяния наиболее эффективны?
Следующие обстоятельства, взятые порознь или вместе, могут
побудить исследователя предпочесть метод рассеяния другим
способам исследования.
1. Размер частицы имеет порядок длины волны (видимого)
света. Для частиц значительно меньшего или значительно боль-
большего размера измерения рассеяния менее эффективны. Очень
малые частицы дают релеевское рассеяние, и ни одна из легко из-
измеримых характеристик не зависит от их размера. Только срав-
сравнение величины, которая является линейной функцией объема
частицы (например, показатель преломления сложной среды),
с величиной, которая является квадратичной функцией (напри-
(например, интенсивность рассеянного света), позволяет определить
размер (разд. 6.53 и 19.12).
Очень большие частицы также обнаруживают весьма малые
различия в характеристиках рассеяния. Кроме того, их можно
изучать под микроскопом. Этот значительно более эффективный
и непосредственный метод следует предпочесть исследованию
с помощью рассеяния во всех случаях, когда это возможно. Здесь
к рассмотрению рассеяния исследователя могут привести другие
обстоятельства (п. 2 и 3).
2. Частицы труднодоступны для непосредственных изменений.
Это условие имеет место для всех астрономических и для боль-
большинства метеорологических исследований. Все наблюдательные
данные относительно пыли в межзвездном пространстве или
в атмосферах планет являются данными о рассеянии и ослабле-
ослаблении такими облаками пыли. Именно по этой причине необходи-
необходимость точных расчетов характеристик рассеяния острее всего
ощущается в астрономии. Большинство приведенных нами выше
448 18. ЭКСПЕРИМЕНТЫ ПО РАССЕЯНИЮ И ОСЛАБЛЕНИЮ
расчетов было выполнено для астрономии. Еще до 1900 г. такие
расчеты были выполнены для изучения воздействия светового
давления на хвосты комет. Позже внимание ученых привлекла
проблема межзвездной материи, причем вначале была мода на
металлические частицы сферической формы, затем на диэлектри-
диэлектрические сферические частицы и еще позже — на частицы эллип-
эллипсоидальной и цилиндрической формы (разд. 21.4).
Туман и облака в воздухе в любое время доступны измере-
измерениям лабораторными средствами с воздушных шаров и самоле-
самолетов. Однако значительно легче проводить оптические измерения
или радиолокационные наблюдения с наземной станции. С дру-
другим случаем, когда возникли аналогичные проблемы, столкну-
столкнулась исследовательская группа, изучавшая процессы в доменных
печах. Нужно было определить размер и число частиц сажи,
вылетающих в вытяжную трубу. При оседании на металлический
зонд они коагулируют и становятся неразличимыми. В горячий
поток газа поместить микроскоп нельзя, но легко направить на
него луч видимого света или ультрафиолетового излучения и из-
измерить интенсивность и угловое распределение рассеянного
света.
Другой типичный пример недоступных частиц имеет место
в 11-дюймовой сверхзвуковой аэродинамической трубе Ланглея.
Из-за быстрого расширения воздуха в сопле этой трубы темпера-
температура воздуха может упасть ниже его температуры кипения. Ту-
Туман из капелек жидкого воздуха наблюдается затем в измери-
измерительной части аппаратуры. Капельки имеют радиусы порядка
5-10~6 см, т. е. х=0,6 для зеленой линии ртути. Это было опре-
определено по кривой пропускания, а также на основании измерения
диссимметрии и поляризации (Дербин, 1951).
3. Требуется быстрый метод для постоянных наблюдений.
При таком условии выбор часто падает на метод рассеяния.
Например, в химической промышленности по цвету коллоидных
взвесей можно осуществлять чувствительный контроль правиль-
правильности размера. Другие методы проверки, включая использование
поляризованного света или отношения интенсивности света, рас-
рассеянного под двумя различными углами, могут оказаться даже
более чувствительными и столь же удобными для современной
техники. Расчеты, приведенные в этой книге, могут помочь вы-
выбрать лучший метод.
18.3. Какого рода измерения следует проводить?
В то время как астрономы должны собирать и интерпретиро-
интерпретировать все доступные данные, исследователь, работающий в лабо-
лаборатории, находится в совершенно ином положении. Если объект
18.3. КАКОГО РОДА ИЗМЕРЕНИЯ СЛЕДУЕТ ПРОВОДИТЬ? 449
исследования, например коллоидный раствор, задан, исследова-
исследователь может сделать выбор из разнообразных способов измерений.
Измерения рассеяния, ослабления и преломления входят в рамки
этой книги. Во всех этих измерениях можно по желанию выби-
выбирать распределение падающего света по длинам волн и его со-
состояние поляризации. Теоретическая интерпретация проще всего,
если пользоваться определенной длиной волны и определенным
состоянием поляризации. Опыты легче всего проводить с белым
естественным светом (белый — это значит распределенный по
большому интервалу длин волн в видимом спектре; естествен-
естественный— значит неполяризованный; см. разд. 5.13.). То обстоятель-
обстоятельство, что предпочтение отдается белому или естественному свету,
может иметь практические основания, но обычно полезно ввести
в пучок цветной или поляризационный фильтры, или оба сразу.
Их можно поместить в осветительное или в приемное устройство,
или в то и другое одновременно. При использовании современ-
современных фотоэлементов измерение относительных интенсивностей
с точностью до 1 % не должно составить труда.
18.31. Рассеяние
В дальнейшем мы будем предполагать, что свет, некогерентно
рассеянный большим количеством частиц, измеряется одновре-
одновременно. На рис. 88 изображены основные части прибора. При-
Приборы, используемые для исследования рассеяния света на прак-
практике, были описаны Стейном и Доти A946), Дебаем A946),
Спейсером и Брайсом A946), Зиммом A948). Большинство из-
сделанных ниже замечаний остаются в силе также в том случае,
если свет, рассеянный одной частицей (явление Типдаля), на-
наблюдается под ультрамикроскопом или с помощью фотоэлектри-
фотоэлектрического счетчика частиц (разд. 19.3). В литературе обычно при-
принято называть плоскость рис. 88, содержащую направления рас-
распространения падающего и рассеянного света, горизонтальной
плоскостью и описывать линейную поляризацию положением
(вертикальным или горизонтальным) электрического вектора.
Вертикальное положение электрического вектора соответствует
тому, которое мы в разд. 4.4 и далее называли перпендикуляр-
перпендикулярным положением (индекс/-).
Если частицы сферические и если падающий пучок вертикаль-
вертикально поляризован при помощи поляризационного фильтра, то рас-
рассеянный свет также будет вертикально поляризован (если только
не происходит многократного рассеяния) и будет иметь интенсив-
интенсивность, пропорциональную r'i. Поэтому дополнительное введение
вертикально поляризующего фильтра в приемную систему не
29 Заказ К» 374
450
18. ЭКСПЕРИМЕНТЫ ПО РАССЕЯНИЮ И ОСЛАБЛЕНИЮ
должно вносить изменений (за исключением поглощения
в фильтре), а введение горизонтально поляризующего фильтра
будет уменьшать интенсивность до нуля.
Свойства симметрии несферических частиц обсуждались
в гл. 5. Простые практические следствия этих свойств симметрии
были указаны Кришнаном
A934—1936) и позже были
проверены многими авторами.
В случае сферических частиц,
когда мы имеем отдельные диа-
граммы рассеяния для верти-
кального и горизонтального
электрических векторов, первая
диаграмма (t'i(9)) обычно об-
обнаруживает более отчетливые
детали, чем вторая (t'2(9)), и
обе диаграммы имеют больше
деталей, чем диаграмма рас-
рассеяния для неполяризованного
света.
С теоретической точки зре-
зрения наиболее простым измере-
измерением является измерение ин-
интенсивности света определен-
определенной длины волны и определен-
определенной поляризации, рассеянного
под определенным углом (в
единичном телесном угле). Ин-
Интенсивность рассеянного света
для отдельной частицы дана в
разд. 2.1 и 4.1, для ансамбля
частиц (например, для заштри-
заштри88)
V
р
хованной области на рис. 88)
в разд. 2.6 и 4.22. Такое «про-
«простое измерение» осуществить
трудно, так как, не считая
конечности интервала длин
волн, из-за конечной ширины
отверстия или щели в осве-
осветительном и приемном устрой-
устройствах приходится иметь дело с некоторым интервалом углов.
В некоторых опытах использовались сходящиеся пучки света,
сами по себе дающие определенный интервал углов.
Поскольку абсолютное измерение сечения рассеяния частицы
для определенного угла 9 предполагает трудоемкую калибровку
Рис, 88. Схема установки для изме-
измерения рассеянного света. 5 — источ-
источник света; L\ и L2 — линзы с диа-
диафрагмами; F\ и F<l — цветной и поля-
поляризационный фильтры; D — прием-
приемник, например фотоэлемент; С — ван-
ванна для раствора; заштрихованная об-
область — рассеивающий объем.
18.3. КАКОГО РОДЛ ИЗМЕРЕНИЯ СЛЕДУЕТ ПРОВОДИТЬ? 451
источника света, учет потерь на отражение и т. д., то чаще про-
проводят относительные измерения:
а) рассеяния под одним углом относительно другого: измере-
измерения диссимметрии, или, более полно, диаграммы рассеяния;
б) горизонтальной поляризации в зависимости от вертикаль-
вертикальной под заданным углом, т. е. измерения степени поляризации
рассеянного света при естественном падающем свете;
в) в одной длине волны по отношению к другой: измерения
цвета или спектров Тиндаля высших порядков (разд. 19.22).
Большое разнообразие частиц требует разнообразных эф-
эффективных методов и приборов. Наиболее подходящий выбор
можно предоставить изобретательности и склонностям читателя.
Табл. 39 (разд. 18.4), набор диаграмм рассеяния на рис. 25
(разд. 10.4), а также примеры, приводимые в последующих гла-
главах, могут помочь сделать этот выбор.
18.32. Ослабление
Ослабление можно измерить, наблюдая интенсивность / ис-
источника света, прошедшую через некоторый объем, содержащий
рассеивающие частицы. Если /0 — интенсивность того же источ-
источника света, наблюдаемого через тот же объем, не содержащий
рассеивающих частиц, отношение интепсивностей будет
/До = е~\
где / — длина пути в данной среде, а у называется по-разному:
коэффициент ослабления (разд. 4.22, 4.3 и т. д.), мутность, коэф-
коэффициент затухания; его размерность (длина).
На рис. 89 представлена схема прибора для измерения ослаб-
ослабления. Чтобы быть уверенным, что измеряется только свет от
источника, а не часть рассеянного света, по крайней мере на од-
одном конце пути света следует поместить линзу. Полностью этого
не удается достичь: хотя математически можно определить ослаб-
ослабление света точечного источника (разд. 4.2), любым инструмен-
инструментом, применяемым па практике, измеряется ослабленный свет
источника плюс некоторое количество света, рассеянного под ма-
малыми углами. В приборе, схема которого представлена на
рис. 89, эти углы определяются диафрагмами перед лампой и
фотоэлементом.
Некоторые авторы нашли удобным ввести эффективный или
видимый коэффициент поглощения, который получается, если
в вышеприведенной формуле положить / равным измеренной
энергии источника и рассеянного света в малом конусе. Этот
видимый коэффициент поглощения зависит от апертуры прибора.
Для малых частиц и частиц, сравнимых с длиной волны, разница
29*
452
18. ЭКСПЕРИМЕНТЫ ПО РАССТОЯНИЮ И ОСЛАБЛЕНИЮ
ничтожна. Для больших частиц дифрагированный свет так
сильно сконцентрирован вблизи направления вперед, что значи-
значительная часть его или даже весь дифрагированный свет попадает
в апертуру инструмента. Таким образом, если размер частиц уве-
увеличивать, не меняя прибора, видимое сечение ослабления умень-
уменьшается от величины удвоенного геометрического поперечного
сечения до значения, равного этому сечению, тогда как полное
сечение ослабления остается вдвое большим геометрического.
Гампрехт и Слепцевич A953) провели подробный расчет види-
Рис. 89. Схема установки для измерения ослабления (по Льюису и Лоти-
ану). F — нить лампы; S и А — диафрагмы; L\ и L2 — линзы; С и С — кю-
неты для образца и чистого растворителя; S\ и S2 — щели монохрома-
тора М; D—приемник (например, фотоэлемент).
мого ослабления для апертуры от 0 до 1°,4. Если апертура при-
прибора сама определяется дифракцией, что приблизительно осуще-
осуществляется в большинстве астрономических телескопов, то можно
сформулировать простое правило: если объектив телескопа зна-
значительно больше межзведиых частиц, то отношение видимого се-
сечения к геометрическому сечению равно 2; это отношение будет
приближаться к 1 только в том случае, если частицы оказыва-
оказываются больше объектива.
Относительное измерение ослабления можно провести, срав-
сравнивая ослабление в двух длинах волн (цвет заходящего Солнца!)
или в двух направлениях поляризации. Если в последнем случае
обнаружится разница, то данная среда дихроична (разд. 19.4
и 21.4).
18.4. К КАКИМ ВЫВОДАМ МОЖНО ПРИЙТИ? 453
Значительно более трудную задачу представляет сравнение
ослабления с интенсивностью рассеянного света (под одним уг-
углом или проинтегрированной по всем углам). Однако это един-
единственный прямой метод определения поглощения внутри частиц,
или их альбедо (разд. 2.2). Пользоваться им следует с большой
осторожностью, поскольку сравниваются совершенно разные ве-
величины.
18.33. Показатель преломления сложной среды
Еще одна величина, обычно не упоминаемая в связи с пробле-
проблемами рассеяния, но иногда поддающаяся точному измерению,—
это показатель преломления вещества, представляющего собой
среду с распределенными в ней частицами. Теоретически этот
показатель преломления тесно связан с ослаблением: оба можно
рассчитать одинаково просто, а вместе они образуют комплекс-
комплексный показатель преломления сложной среды (разд. 4.3 и 4.4).
Показатель преломления для видимой области можно измерить
с помощью рефрактометра или интерферометра, а в сантиметро-
сантиметровом диапазоне — с помощью волновода.
Если показатель преломления различен для разных состояний
поляризации, сложная среда обладает двойным лучепреломле-
лучепреломлением и (или) вращением плоскости поляризации. Применения
этого явления в области молекулярного рассеяния весьма разно-
разнообразны. В технике сантиметровых волн искусственные диэлек-
диэлектрики приобретают все большее и большее значение (Зюскинд,
1952). Полные формулы для частиц произвольного размера даны
в разд. 4.41.
18.4. К каким выводам можно прийти
на основании этих измерений?
Измерения рассеяния и ослабления дают нам возможность
определить (по крайней мере в принципе) размер и распределе-
распределение частиц по размерам, их форму и ориентацию, а также их хи-
химический состав. Однако из этих измерений не все свойства ча-
частиц можно получить с одинаковой точностью. Мы упомянем
некоторые из этих свойств в том порядке, в каком их можно по-
получить. Частицы молекулярного размера рассматривались в разд.
6.21; см. также разд. 19.12.
1. Концентрация, или число частиц в единице объема. Если рас-
рассеяние или ослабление отдельной частицей известно, достаточно
одного простого измерения, чтобы получить концентрацию. Наибо-
Наиболее употребительный способ состоит в использовании измерен-
измеренного коэффициента ослабления, равного
Y = NCocn.,
454 18- ЭКСПЕРИМЕНТЫ ПО РАССЕЯНИЮ И ОСЛАБЛЕНИЮ
и в определении N с помощью принятого значения С0Сл.- Анало-
Аналогично можно использовать интенсивность рассеянного света
(разд. 4.22). Обычно эта задача объединяется с задачей опреде-
определения размера и (или) состава, которые в первую очередь нужны
для нахождения сечения Сосл.-
2. Размер является самым важным параметром, и его легче
всего определить; в теории для частиц сферической формы диа-
диаметром 2а параметр х=2ла/к имеет наибольшее значение. Наи-
Наиболее важные методы суммированы в табл. 39. Диаграммы рас-
рассеяния (см. рис. 25) могут служить дальнейшей иллюстрацией.
Табл. 39 относится к диэлектрическим сферическим частицам
с не слишком большим показателем преломления (например,
водя:ные капли в воздухе). Границы этих областей до некоторой
степени произвольны и зависят от точности прибора.
Величины, данные в табл. 39, можно дополнить многими дру-
другими; изобретательность исследователя и конкретная цель, кото-
которую он себе поставил, будут решающими при выборе правиль-
правильного метода. При желании эти методы можно стандартизировать,
и это было до некоторой степени осуществлено в химии.
Для металлических частиц метод будет иной, особенно если
они малы. В релеевской области чувствительным критерием раз-
размера является отношение рассеяния к поглощению или к полному
ослаблению. Переходная область уже, чем для диэлектрических
шаров, и аномальная дифракция не наблюдается; снова лучшими
критериями являются ширина главного лепестка или зависи-
зависимость ослабления от X.. Для больших частиц самым лучшим кри-
критерием размера являются дифракционные кольца.
Если частицы находятся не в вакууме или в воздухе, то сле-
следует пользоваться длиной волны Я=Я,о/т0, где Ъ.о — длина волны
в воздухе, а т0 — показатель преломления среды, в которой на-
находятся частицы. С помощью табл. 40 (стр. 456) можно легко
ориентироваться в значениях х для аэрозолей и гидрозолей.
3. Распределение по размерам обычно определяется с боль-
большим трудом, особенно когда есть также другие неизвестные па-
параметры, например форма или состав частиц. Можно сделать по-
попытку определить распределение по размерам, выполняя очень
точные измерения рассеяния и (или) ослабления и сравнивая
результаты с расчетами, выполненными для различных заданных
функций распределения по а.
fia практике оказывается целесообразным произвести пред-
предварительно некоторый отбор частиц по размерам, чтобы устра-
устранить частицы, намного меньшие или большие среднего. Кроме
того, всячески рекомендуется пользоваться очень узкой обла-
областью длин волн, так как на функцию распределения параметров
455
Таблица 39. Обзор критериев для определеиия размера водяных капель
Интервал
х
Интервал
диаметров
для красных
лучей
Величины, чувствительные к изменениям
размера
Малые капли
(релеевское
рассеяние)
Область, где
существенны
три слагаемых
Область
сложных диа-
диаграмм рассея-
рассеяния
Аномальная
дифракция
Большие кап-
капли (обычная
дифракция)
0-0,5
0,5—1
1—10
10—50
50— оо
0—0,1 мк
0,1— 0,2 мк
0,2—2 мк
2-10 мк
10 мк — оо
Отношение любой величины, квад-
квадратичной по V (интенсивность рас-
рассеянного света, ослабление), к любой
величине, линейной но V (показатель
преломления сложной среды, разность
плотностей сложной среды и раство-
растворителя). Подробности см. в разд. 6.21
и 19.12 (V—объем капли)
Угол максимальной поляризации,
или степень поляризации для 90°, или
цвет света, рассеянного под любым
углом, или отношение интенсивностей
света, рассеянного под углами 45 и
135° (диссимметрия). См. разд. 10.3
и 19. 12
Зависимость ослабления от длины
волны; ширина главного лепестка
рассеяния по половинной интенсив-
интенсивности; углы любых различимых мак-
максимумов или минимумов в диаграмме
рассеяния; спектры Тиндаля высших
порядков. Примеры см. в разд. 19. 22,
20. 3 и 21.2
Угловые положения минимумов и
максимумов в дифракционной карти-
картине. См. разд. 13. 41
Диаметры дифракционных колец
или углы между ними; положение
максимума радуги и углов между
добавочными максимумами; диаметры
колец глорий; цвета всех этих явле-
явлений, если свет источника белый
См. разд. 8.31, 13.24 и 13.33
456
18. ЭКСПЕРИМЕНТЫ ПО РАССЕЯНИЮ И ОСЛАБЛЕНИЮ
Радиус а
0,01
0,02
0,04
0,05
0,1
0,2
0,4
0,5
1
2
4
5
Таблица 40. Значения
Аэрозоли
У-а -0,40
к1 - 2>5
г -15>7
* = 0,16
л: = 0,31
л: = 0,63
л: = 0,79
л: =1,57
„ О 1
л: = 6,3
л: = 7,9
л: =15,7
л: = 31
jc = 63
л: =79
0,50
2,0
12,6
0,13
0,25
0,50
0,63
1,26
2,5
5,0
6,3
12,6
25
50
63
X ДЛЯ
0,67
1,5
9,4
0,09
0,19
0,38
0,47
0,94
1,9
3,8
4,7
9,4
19
38
47
аэрозолей и гидрозолей'
Гидрозоли
>ч> = 0,40
V1 - 2,5
? = 20,9
* = 0,21
л: = 0,42
х = 0,84
х = 1,05
х*= 2,1
х = 4,2
лг = 8,4
х=10,5
х=2\
л: = 42
л: =84
д:=105
0,50
2,0
16,8
0,17
0,34
0,67
0,84
1,7
3,4
6,7
8,4
17
34
67
84
0,67
1,5
12,6
0,13
0,25
0,50
0,63
1,3
2,5
5,0
6,3
13
25
50
63
1 я, Ад и А выражены в мк.
x=2naf% дисперсия значений X оказывает почти такое же влия-
влияние, что и дисперсия значений а.
4. Форму рассеивающих частиц в среде с хаотической ориен-
ориентацией рассеивателей обычно определить трудно. В виде при-
примера мы можем упомянуть задачу о дифракционных кольцах,
возникающих на водяных каплях или на хаотически ориентиро-
ориентированных ледяных иглах. Разница в распределении интенсивности
и в положениях максимумов и минимумов для соответствующих
размеров заметна, но мала (рис. 16, разд. 8.32).
Тем не менее можно придумать самые различные способы чув-
чувствительного контроля, особенно если пользоваться поляризован-
поляризованным светом. Стандартный способ для очень малых частиц или
молекул состоит в определении факторов деполяризации
(разд. 6.52), из которых можно получить по крайней мере одно
соотношение между элементами тензора поляризуемости. Другие
методы, также основанные на контроле наличия элементов S3 и S4
в матрице рассеяния (разд. 4.41), были предложены Кастлером.
ЛИТЕРАТУРА 457
Подобные методы контроля имеются и для сантиметрового диа-
диапазона. Например, радиолокационное устройство, испускающее и
принимающее излучение с круговой поляризацией, может обна-
обнаружить объект только в том случае, если он имеет несферическую
форму.
К этому же пункту можно отнести и условия на поверхности
рассеивающей частицы (шероховатой или гладкой). Этот вопрос
возникает только по отношению к частицам, много большим К.
Различие довольно простое. Разница между «белой» и «гладкой»
полностью отражающей частицей объяснялась в разд. 8.42. Точно
так же можно понять, что гладкий твердый стеклянный шар бу-
будет давать эффекты, до некоторой степени сходные с радугой,
в то время как шероховатый стеклянный шар (поверхность мато-
матового стекла) их не дает.
5. Ориентацию частиц, имеющих особую форму, и вытянутых
частиц можно определить довольно легко как методами рассея-
рассеяния, так и методами ослабления. Если ориентация не хаотична,
нужно просто рассчитать рассеивающие свойства для различных
ориентации и применить теорию, изложенную в гл. 4 и 5. При-
Примером может служить определение ориентации межзвездных ча-
частиц из наблюденного эффекта межзвездной поляризации
(разд. 21.4).
ЛИТЕРАТУРА'
Durbin E. J., NACA Techn. Note 2441, August, 1951.
Stein R. S., Doty P.M., J. Amer. Chem. Soc, 68, 159 A946).
Debye P. P., J. Appl. Phys., 17, 392 A946).
Speiser R., В rice B. A., J. Opt. Soc. Amer., 36, 364 A946).
Zimm В. Н., J. Chem. Phys., 16, 1099 A948).
Krishnan R. S., Proc. Indian Acad. Sci., Al, 211 A934); A2, 221
A935); A3, 126 A936).
Gumprecht R. 0., S 1 i e p с e v i с h С. М., J. Phys. Chem., 57, 90
A953).
Susskind C, J. Brit. Inst. Radio Engrs., 12, 49 A952).
1 Дана в том порядке, в каком она цитируется в это» главе
19. ПРИМЕНЕНИЯ В ХИМИИ
19.1. Рассеяние малыми частицами и макромолекулами
19.11. Эффект Тиндаля
Коллоидные растворы можно отличить от обычных с по-
помощью простого эксперимента, основанного на способности кол-
коллоидных растворов к относительно сильному рассеянию света.
Луч света большой интенсивности, проходящий в темноте сквозь
золь, отчетливо виден со всех сторон. Это явление лучше всего
наблюдается при наличии очень малых непоглощающих частиц,
подобных взвешенным частицам эмульсии мастики или очень
легкому дыму. Рассеянный свет имеет голубой цвет, и при наблю-
наблюдении перпендикулярно лучу""он оказывается полностью поля-
поляризованным, пр-итем электрический вектор перпендикулярен
плоскости.лцоходящей через падающий и рассеянный лучи. При
плоско поляризованТГом~ТГадающём 1Гвете для наблюдателя, рас-
расположенного в плоскости Я, луч отчетливо виден сбоку; он не
виден, если наблюдатель находится в плоскости Е.
Эти особенности соответствуют закону релеевского рассеяния,
подробно рассмотренному в гл. 6. Рассеянный свет впервые изу-
изучался Брюкке A852), Фарадеем A857) и весьма подробно Тин-
далем (начиная с 1869 г.). В ряде статей, опубликованных
в 1871 г., Релей объяснил его излучением индуцированных элек-
электрических диполей частиц. Большая часть этих работ имела
целью найти объяснение голубого цвета неба; опыты проводились
с дымом. Только в 1899 г. Релей высказал предположение, что не
взвешенные в воздухе капельки, а сами молекулы воздуха могут
быть рассеивающими частицами. Эта интерпретация была под-
подтверждена путем определения числа частиц по показателю пре-
преломления и коэффициенту ослабления (разд. 6.53). Это число
совпадает с известным числом Авогадро. Современные определе-
ления числа Авогадро по рассеянию как в лабораторных усло-
условиях, так и непосредственно в атмосфере дают его значение
с точностью до 1 % •
Первые лабораторные опыты по релеевскому рассеянию чи-
чистыми газами относятся к 1913 г., опыты с анизотропными части-
частицами с учетом деполяризации (разд. 6.52)—к 1918 г. (Релей,
1918). Изложение теории и описание опытов дано Кабанном
A929). Дополнительный множитель/ в формуле ослабления не
имеет очень большого значения, однако в строгом исследовании
19.1. РАССЕЯНИЕ МАЛЫМИ ЧАСТИЦАМИ И МАКРОМОЛЕКУЛАМИ 459
его следует учитывать. Применение этих формул достаточно по-
подробно изложено Остером A948). Они справедливы для малых
несферических коллоидных частиц, а также для анизотропных
молекул.
Густой синий цвет в явлении Тиндаля ослабевает, если ча-
частицы слишком велики и если объем золя настолько велик, что
становится существенным многократное рассеяние. Для первого
случая важно, является ли частица молекулой, хаотически скру-
скрученной в виде неплотного шарика (разд. 19.12), или она является
жидким или твердым шаром с показателем преломления, отлич-
отличным от показателя преломления среды (разд. 19.2). Предполо-
Предположим, что относительный показатель преломления равен 1,25—1,5.
Тогда первые признаки выхода за пределы релеевской области
из-за большого размера частиц таковы:
1) отношение интенсивностей рассеяния в переднюю полу-
полусферу под некоторым углом (9i<90°) и под симметричным уг-
углом в заднюю полусферу @2=18О°—0i) становится больше 1;
вперед рассеивается больше света, чем назад;
2) максимум поляризации сдвигается к углу 9>90°;
3) следовательно, поляризация при 0 = 90° становится мень-
меньше 100%.
Эти признаки были описаны Релеем в 1881 г. Математиче-
Математически эти явления описываются формулой, имеющей три члена
(электрическое дипольное, магнитное дипольное и электрическое
квадрупольное излучение; см. разд. 10.3). Второй признак осо-
особенно удобен для оценок размера частиц, но, подобно другим
признакам, он не годится, если приобретают значение члены бо-
более высоких порядков (см. табл. 39, разд. 18.4).
Голубой цвет изменяется также, если показатель преломле-
преломления частиц в видимой области меняется селективно в зависимо-
зависимости от Ъ. Это имеет место для некоторых золей металлов и дымов
(разд. 19.21). Тогда, если только размер частицы достаточно мал,
полная поляризация при 0=90° сохраняется.
19.12. Молекулы и макромолекулы
Рассеянию света цепочками молекул и высокомолекулярными
полимерами посвящено множество теоретических и эксперимен-
экспериментальных исследований. Эта тема составляет значительную часть
обзорной статьи Остера A948); готовится к печати отдельная мо-
монография Зимма и Доти, посвященная этому вопросу. Поэтому
мы не будем рассматривать эту тему подробно. Тем не менее
нужно посвятить ей краткий раздел", чтобы показать, что, несмо-
несмотря на большие различия в терминологии и в обозначениях, ча-
частные случаи, рассмотренные в гл. 6 и 7 этой книги, относятся
также и к разбавленным растворам макромолекул.
460 19. ПРИМЕНЕНИЯ В ХИМИИ
Если все размеры молекул значительно меньше длины волны,
например меньше 72<А> то применима теория гл. 6. Принцип, ле-
лежащий в основе метода определения молекулярного веса, объяс-
объясняется в разд. 6.21 и 6.53, и следует сделать только одно заме-
замечание: мутность t, измеряемая в химии, тождественна нашему
коэффициенту ослабления у.
Пусть с — концентрация (в г/см3), NA — число Авогадро, М —
молекулярный вес; тогда число молекул, растворенных в 1 см3,
будет N=,NAcjM. Пусть, далее, Хо—длина волны в пустоте, п0 —
показатель преломления растворителя, п — раствора; тогда наше
*-*
п является относительным показателем преломления n/tio, а наше
X есть koftio. Уравнение мутности для очень разбавленных раство-
растворов, согласно разд. 6.53, есть тогда
т = НсМ,
где
Я содержит только известные (NA) или измеримые (п—я0) вели-
величины. Таким образом, измеряя тис, можно определить молеку-
молекулярный вес.
Вместо мутности можно измерять связанное с ней простым со-
соотношением рассеяние под углом 90°. Если монохроматический
свет недостаточно интенсивен, можно пользоваться также белым
светом (Керкер, 1952).
Если молекулы по размерам больше 7го Я и имеют вид прямых
стержней (вирусы) или скрученных цепочек (полистиролы),
можно по-прежнему считать, что они подвергаются действию по
существу невозмущенного излучения. Поэтому в этом случае рас-
рассеяние можно получить из релеевского рассеяния на основании
принципа, называемого в химической литературе «внутренней
интерференцией». Он соответствует тому, что мы назвали рассея-
рассеянием Релея—Ганса (разд. 7.11). Множитель, который следует
добавить к формуле для интенсивности рассеянного света, т. е.
квадрат нашей функции /?(9, ф), можно назвать множителем
Дебая (ср. разд. 7.5). Множитель, который следует ввести в фор-
формулу для мутности или ослабления на малых частицах, иногда
называется коэффициентом диссипации; его расчет для шаров
можно найти в разд. 7.22.
По Зимму, характерные размеры частиц полистирола таковы:
молекулярный вес всей цепочки 1000 000; длина звена порядка
о
10 А; все звенья скручены в шарик диаметром 1000 А и больше.
19.2. ГИДРОФОБНЫЕ РАСТВОРЫ 461
Вильяме и Баккус A949) описывают пример весьма однород-
однороден о
ных частиц полистирола с диаметром 2а=2590 А±40 А. При
о о
Х, = 5000 А, т. е. в растворителе около 3500 А, мы имеем
лг = 2ла/А, = 2,3. Это значение достаточно мало, чтобы было при-
применимо приближение Релея—Ганса. Это приблизительно то зна-
значение, при котором в рассеянии назад появляется первый нуль
интенсивности (разд. 7.21). Следовательно, в большинстве опы-
опытов в этой области приходится иметь дело с относительно простой
диаграммой рассеяния, для которой фактор диссимметрии
/D5°)//A35°) достаточно характеризует размер. Для примене-
применения неизменной релеевской формулы многие авторы нашли по-
полезным экстраполировать измеренные интенсивности до 0 = 0. По
поводу технических подробностей мы отсылаем к упомянутым
статьям. Значительно более трудный вопрос о не очень разбав-
разбавленных растворах выходит за рамки этой книги.
Другим характерным примером является рассеяние вирусом
табачной мозаики. Частицы представляют собой тонкие жесткие
стержни, имеющие длину, сравнимую с длиной волны видимого
света. В исследовании Остера, Доти и Зимма A947) приведены
размеры стрежней, определенные с помощью электронного ми-
микроскопа: средняя длина 0,270 мк, диаметр 0,015 мк. Диаметры
достаточно малы для того, чтобы можно было применить теорию
Релея—Ганса. В разд. 7.34 приведена соответствующая фор-
формула для интенсивности света, рассеянного беспорядочно ориен-
ориентированными стержнями. Длину можно определить из измерений
оптической диссимметрии. При Ао=О,54б мк в воздухе, т. е. при
Х = 0,409 мк в растворителе (воде), отношение интенсивностей
при 6=42,°5 и 137,°5 оказалось равным 1,94. В этом случае из
кривой, построенной по формуле разд. 7.34, следует, что /Д=0,66;
это соответствует длине, равной 0,270 мк, что прекрасно согла-
согласуется с результатами исследований на электронном микроскопе.
Диаметр нельзя определить непосредственно, однако оценка, по-
полученная на основании молекулярного веса (М = 40<106), кото-
который дают измерения мутности, снова согласуется с данными
электронномикроскопических исследований.
19.2. Гидрофобные растворы
19.21. Цвета растворов золота
Коллоидные растворы делятся на лиофобные и лиофильные
(гидрофобные и гидрофильные, если растворитель — вода).
В гидрофобных растворах коллоидные частицы не соединяются
с молекулами воды; в гидрофильных растворах они гидролизу-
462 19. ПРИМЕНЕНИЯ В ХИМИИ
ются, как, например, частицы Fe(OHK, или набухают и обра-
образуют гель. Все гидрофобные и некоторые гидрофильные растворы
дают хороший пример идеализированной задачи о независимых
частицах в однородной среде, исследованию которой посвящена
эта книга.
К числу наиболее строго лиофобпых растворов относятся кол-
коллоидные растворы золота в воде. С тех пор как они были впер-
впервые получены, их цвета привлекали внимание экспериментаторов.
Более того, когда впервые Ми нашел полное решение задачи
о рассеянии света однородным шаром A908), его целью было
объяснение цветов растворов золота. Общее решение теперь
часто называется решением Ми, и исторически будет правильно
считать объяснение цветов растворов золота первым практиче-
практическим применением этого решения.
Растворы золота можно получить различными способами.
Литературу по этому вопросу читатель может найти у Фрёнд-
лиха A932).
Густав Ми в большой статье 1908 г. получил строгие формулы
рассеяние света для однородных шаров, содержащие только
первые три члена, коэффициенты которых мы обозначили через
аи Ъ\ и а2. Он рассчитал сечения ослабления, рассеяния и погло-
поглощения для ряда длин волн и размеров. При этом он отметил, что
рассеяние (но не ослабление) определяется почти полностью
членом с аь который представляет дипольное рассеяние; это,
между прочим, означает, что зависимость полного рассеяния от
длины волны та же, что и зависимость рассеяния под углом 90°.
В статье Ми рассчитаны также некоторые значения поляризации
и ряд диаграмм рассеяния. При численных расчетах использова-
использовались значения показателей преломления, определенные Хагеном
и Рубенсом, умноженные на 3Д, чтобы получить показатель пре-
преломления относительно воды (см. табл. 26, разд. 14.22). Расчеты
Ми сравнивались с качественными эспериментами Штёйбинга, и
результаты сравнения оказались настолько хорошими, что их
следует воспроизвести здесь более подробно. Употреблявшаяся
Ми терминология и обозначения сравниваются ниже с нашей
терминологией и обозначениями. Коэффициенты, затабулирован-
ные Ми, имеют то же определение, что и коэффициенты, исполь-
использовавшиеся впоследствии Шалёном (разд. 14.21).
Терминология и Терминология и обозначения,
обозначения Ми принятые в этой книге
К' (полное рассеяние) Qpac CUq) (рассеяние)
К" (чистое поглощение) Qnora. Cha) (поглощение)
К (поглощение) QOCJ] C/4a) (ослабление)
КК' К" 2>2 2
19.2. ГИДРОФОБНЫЕ РАСТВОРЫ
463
На рис. 90 представлены числовые результаты для шаров
трех различных размеров. К и Q приняты за ординаты. Частицы
с 2а = 0,04 мк образуют красный золь золота, так как ослабление
имеет максимум при 0,53 мк. Рассеянный свет имеет желто-зеле-
желто-зеленый цвет, но он очень слаб. Эти свойства присущи и очень малым
частицам; они отражают особенности показателя преломления,
а не влияние размера частиц. Средний рисунок показывает, что
свет белого источника, проходящий сквозь раствор с 2а = 0,10 мк,
0,45 0.55 0,65мл
За -0,04 мк
0,65мк
Рис. 90. Факторы эффективности Q ослабления, рассеяния и погло-
поглощения сферическими частицами золота в воде, согласно расчетам Ми.
Абсцисса — длина волны в воздухе; 2а — диаметр частиц.
наблюдается как пурпурно-красный, так как максимум ослабле-
ослабления сдвигается к 0,58 мк; при этом цвет рассеянного света изме-
изменяется до оранжево-коричневого, а его интенсивность значи-
значительно увеличивается. Правый рисунок показывает кривые для
2а = 0,14 мк, т. е. типичный голубой золь золота: максимум ос-
ослабления сдвинут к красной части спектра @,61 мк). Рассеяние
стало сильнее, чем поглощение, а диаграммы рассеяния имеют
уже большой пик в направлении вперед (эффект Ми).
Зерафиц A952) приводит значения показателей преломления
золота, определенные в последнее время. Его фотоэлектрические
О
измерения, выполненные для области от 2900 до 5000 А, показы-
показывают хорошее согласие с расчетами, кроме случая очень малых
о
частиц диаметром 30 А, которые показывают дополнительное по-
поглощение в ультрафиолетовой области. Этот эффект почти исче-
464 1Э- применения в химии
о
зает для частиц с диаметрами около 100 А и должен обусловли-
обусловливаться реальным изменением оптических свойств золота, что
также обнаружилось в опытах Вольтера A939, 1940) с тонкими
слоями. Более полные данные о показателях преломления ме-
металлов можно найти, например, у Мотт-Джонса A936) и
Вейца A948).
Свойства малых частиц золота приобретать (в проходящем
свете) рубиново-красный цвет с давних пор используется при
производстве различных сортов рубинового стекла.
Другими металлами, образующими лиофобные растворы, яв-
являются ртуть, серебро и платина. Показатель преломления этих
металлов не обнаруживает особых изменений в видимой области,
так что если частицы малы, то рассеянный свет является голу-
голубым, а проходящий — желтым или красным. Большое количество
расчетов для серебра и ртути с помощью формул Ми было вы-
выполнено Файком A925). За сведениями о значениях показателей
преломления и о размерах частиц, для которых были выполнены
расчеты, мы снова отсылаем читателя к табл. 26, разд. 14.22.
При увеличении размеров частиц наблюдается ряд меняющихся
цветов, однако согласие с теорией Ми не слишком хорошее. Ве-
Вероятно, это расхождение до некоторой степени вызывается не-
несферической формой частиц. Ганс разработал теорию для эллип-
эллипсоидов, малых по сравнению с длиной волны (разд. 6.32); он и
другие авторы объясняли результаты измерений на металличе-
металлических золях на основе этой теории (см. Фрёпдлих, цит. соч.).
Однако обобщение теории Ми (включая члены более высоких
порядков, чем диполыюе рассеяние) на частицы эллипсоидальной
формы все еще не доведено до получения нужных числовых ре-
результатов (разд. 16.11). В ряде статей Вигель A929, 1930 а, Ь)
исследовал распределение по размерам в золях серебра различ-
различными методами, включая микрофотографию и метод Дебая—Ше-
рера. Другое исследование того же автора A953) подтверждает
расхождения с теорией Ми для золей серебра, полученных мето-
методом обработки перекисью; с помощью фотографий, полученных
с электронным микроскопом, покачано, что частицы дискооб-
дискообразны.
Мы можем прийти к заключению, что применение теории Ми
к металлическим золям встречает два серьезных затруднения:
1) форма частиц может быть несферической;
2) показатель преломления частиц может быть не таким, как
для больших масс металла.
По-видимому, слишком много внимания уделялось первому
затруднению и слишком мало второму. При современном уровне
исследований не остается сомнений относительно отклонения
форм частиц от сферической, так как всегда можно пронаблю-
19.2. ГИДРОФОБНЫЕ РАСТВОРЫ 465
Дать на электронном микроскопе характерные примеры колло-
коллоидных растворов. Такие выборочные измерения в комбинации
с хорошей теорией рассеяния могут служить основой рабочих ме-
методов для оптического контроля размеров и формы частиц.
19.22. Гидрозоли серы
Гидрозоли серы легко получить, например, путем смешива-
смешивания разбавленных растворов соляной кислоты и тиосульфата
натрия. Тогда молекулярно диспергированная сера конденси-
конденсируется в капельки переохлажденной серы, и эти капельки растут
по мере старения золя. Показатель преломления относительно
воды равен 1,44. При отсутствии инородных ядер конденсации
капельки формируются только после того, как будет достигнуто
определенное перенасыщение. Тогда их первоначальные радиусы
оказываются порядка 0,01 мк. Для видимого света (например,
С
Яо/яо=О,4ОА) это означает, что лг = 2яаД порядка 0,17, так что эти
капешьки рассеивают свет согласно закону Релея.
Кин и Портер A913) отметили изменения цвета проходящего
света по мере старения золей. Эти изменения соответствуют из-
изменениям наклона кривых ослабления (рис. 32, разд. 11.22) с из-
изменением значений х. В то же время в диаграмме рассеяния появ-
появляется все больше и больше максимумов, т. е. все больше и
больше окрашенных полос, если для освещения используется
белый свет. Эти дополнительные полосы называются спектрами
Тиндаля высших порядков. Первые следы их появления были
обнаружены Раем A921, 1923), а также Раманом и Раем A922).
Теоретические диаграммы рассеяния были рассчитаны Лоуаном
(см. литературу к гл. 10).
Ламер с сотрудниками провели большое исследование в этой
области, а также исследовали аэрозоли серы (разд. 19.3). Обзор
этих исследований дан в работах Ламера A948), а также Синк-
Синклера и Ламера A949). В тщательно проверенных условиях были
приготовлены монодисперсные золи серы, что позволило изучить
много химических задач, связанных с ростом частиц, давлением
пара и т. д. Мы рассмотрим только оптические явления. В соот-
соответствии с разд. 18.31 и 18.32 их можно разделить на две группы.
Пропускание света. Правильность закона Бера для этих зо-
золей, т. е. строгая пропорциональность между 1п-т-и концентра-
цией, проверялась Дайнгаром и Смелли A952). Размер частиц
можно определить из сравнения двух кривых: теоретической кри-
кривой зависимости Qocn. от 2ла/Х и экспериментальной кривой 1п-т-
в функции 1/Я. Если абсциссы и ординаты обеих кривых выра-
30 Зак,-,з К> 374
466
19. ПРИМЕНЕНИЯ В ХИМИИ
жены в логарифмических масштабах, то оба графика можно
сдвинуть так, чтобы они совпали. Сдвиг по абсциссе дает ра-
радиус а, сдвиг по ординате, после некоторых преобразований,
дает концентрацию. Этот метод нельзя применить к самым ма-
малым частицам (разд. 18.4), но он пригоден в области а от 0,3 до
0,8 мк (Варне и Ламер, 1946). Вариант этого способа, который
может оказаться удобным, состоит в умножении ординат на х~р,
где р подбирается так, чтобы сместить максимум в подходящее
положение (Ламер, Инн, Вильсон, 1950).
Рис. 91. Ослабление частицами гидрозоля сульфата ба-
бария с радиусами 4,6 мк, согласно измерениям Льюиса и
Лотиаиа для обширной области длин волн (точки). Кри-
Кривая ' дает теоретические значения при т, близких к 1.
Если данные имеются только для малой области длин волн,
можно также использовать наклон кривой ослабления в данном
месте, даваемый показателем а {ср. разд. 20.21).
Исследование рассеяния и пропускания света
лями серы в ультрафиолетовых лучах вплоть
где частицы не являются идеальными диэлектриками, было вы-
выполнено Кеньоном и Ламером A949). Соответствующая теория
обсуждалась в гл. 14 этой книги.
Мы можем проиллюстрировать метод сравнения наблюдае-
наблюдаемого пропускания с теоретической кривой ослабления исследо-
исследованием, в котором использовалась еще более широкая область
длин волн. Льюис и ЛотианA954) измерили пропускание света
аэрозолями и гидрозолями сульфата бария в области длин волн
от 0,4 до 2 мк. На рис. 91 представлены их результаты для ча-
частиц BaSO4 с радиусом а = 4,6 мк, находящихся в воде. Теорети-
гидрозо-
до 2050 А,
19.2. ГИДРОФОБНЫЕ РАСТВОРЫ 467
ческая кривая и данные наблюдений изображены на том же ри-
рисунке, но не в логарифмическом масштабе. В этом исследовании
размер частиц был измерен с помощью микроскопа, а число их
подсчитано. Таким образом, фактор эффективности Q был изме-
измерен непосредственно без применения произвольного масштаб-
масштабного множителя в вертикальном направлении. Масштабный мно-
множитель в горизонтальном направлении был выбран таким обра-
образом, чтобы получить наилучшее соответствие кривых. Было
получено эмпирическое соотношение
р = 11 ТкГ1.
Поскольку теоретическое выражение для о есть
получаем
Ала (п — По) = 11 мк.
При а = 4,6 мк это дает п—«0=0,19, так что показатель прелом-
преломления частиц (относительно воздуха) равен
л =1,33+ 0,19 = 1,52.
Точность этого метода могла бы обеспечить даже следующий де-
десятичный знак.- В этом примере относительно малый показатель
преломления (т= 1,52/1,33= 1,14) позволяет применить метод
пропускания света к частицам, приблизительно в четыре раза
большим предела, при котором он был бы пригоден для случая
гидрозолей серы.
Абсолютные измерения мутности на монодисперсных поли-
стиролах и на поливинил-толуоловых латексах с диаметрами от
0,1 до 7 мк были выполнены Хеллером, Ипелом и Табибяном
A954). Получающийся в результате диаметр согласуется с точ-
точным диаметром, определенным электронным микроскопом,
с ошибкой порядка 10%.
Рассеяние. Опыты, основанные на свойствах рассеянного
света, можно разделить на две группы.
1) Малые частицы. Диаграммы рассеяния для частиц
размером 0,5<;с<2 существенно отличаются от релеевской, но
не имеют сложных максимумов и минимумов, которые появля-
появляются при больших х- Из табл. 39 (разд. 18.4) видно, что для
суждения о размере можно использовать диссимметрию или поля-
поляризацию. Метод отношения интенсивностей света с различными
направлениями поляризации был разработан для практического
30*
468
19. ПРИМЕНЕНИЯ В ХИМИИ
применения и оказался эффективным для радиусов 0,05 мк<.а<.
<0,2 мк (Керкер и Ламер, 1950). Его можно применять также,
используя белый свет, что показано расчетами Керкера A950),
а также более поздними экспериментами на аэрозолях (Керкер
и Хамптон, 1953). Отношение интенсивностей горизонтально и
вертикально поляризованных компонентов рассеянного света из-
измеряется для одного угла. График этого отношения в функции
размера изображен на рис. 92 (для относительного показателя
0,2 мк
Рис. 92. Отношения интенсивностей света,
поляризованного в двух перпендикулярных
направлениях (при т=1,44), в функции ра-
радиуса для двух углов рассеяния. Кривые
вычислены для белого света (по Керкеру).
преломления т=1,44 и для угла 0=110°). Этот угол оказывается
несколько более удобным, чем 9=90°. Соответствующие отноше-
отношения для белого света приблизительно совпадают с отношениями
для монохроматического света с Я = 0,54 мк.
2) Частицы больших размеров. Как только в угло-
угловом распределении рассеянного света появляется несколько ма-
максимумов, ни один из параметров в отдельности не определяет
однозначной функции размера. Ламер и его сотрудники пока-
показали, что для гидрозолей монодисперсиои серы можно наблюдать
до девяти максимумов.Использована только вертикальная поля-
поляризация (в направлении /). Поскольку человеческий глаз более
19.2. ГИДРОФОБНЫЕ РАСТВОРЫ
469
чувствителен к различиям в цвете, чем к контрастам интенсивно-
интенсивности, в белом свете, дающем окрашенные полосы в угловом рас-
распределении, полосы наблюдаются даже лучше. Это—спектры
Тиндаля высших порядков, и Ламер считает число этих поряд-
порядков равным числу наблюдаемых красных полос (Ламер и
Варне, 1946).
Конечно, в этом случае интерпретация менее ясна, чем для
монохроматического света, поскольку красная полоса может
wo
100
100
от
I I II I М I И t ! 1 I I I I
Красный, х
V
Отношение кр/зелен
I I I I I I I I I I I I I I I I I
0" 30" 60" 90" 120" 150* 180*
в
Рис. 93. Кривые логарифма интенсивности рас-
рассеянного света для двух различных длин волн и
логарифма отношения этих интеисивностей
в функции угла рассеяния. Радиус частицы равен
0,38 мк.
быть обусловлена максимумом в красной области или минимумом
в зеленой. Эти минимумы более резки и более многочисленны
(из-за меньшей длины волны), так что, как правило, порядки Ла-
мера можно интерпретировать как минимумы в зеленой части
спектра. Пользоваться этим правилом следует с осторожностью.
Пример расчета для /и =1,44 (ван де Хюлст, 1948) представлен
на рис. 93. При желании подобные графики можно построить на
основании рис. 25, разд. 10.4.
Из опытов (Варне, Кеньон, Зейсер и Ламер, 1947; Джонсон
470 19- ПРИМЕНЕНИЯ В ХИМИИ
и Ламер, 1947) следует, что гидрозоли серы показывают следую-
следующее число порядков:
Радиус (мк) 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6
Число порядков ... 2 4 6 8 10
С помощью несовершенного инструмента, в котором золь на-
наблюдается визуально посредством небольшого телескопа, поло-
положения порядков можно определить с точностью до 1°, что даст
радиусы с точностью до 0,003 мк, или приблизительно до 1%.
Наконец, мы можем упомянуть об исследовании гидрозолей
пятиокиси ванадия с т=1,20—0,17/ относительно воды при
Х=0,546 мк, в котором измерения поглощения и рассеяния света
проводились вместе с исследованиями на электронном микро-
микроскопе (Керкер, Джонс, Рид, Янг и Шёнберг, 1954). Это исследо-
исследование дает хорошую иллюстрацию несовершенства теории Ганса,
обнаруживающуюся по мере того, как частицы, имеющие форму
стержня, увеличиваются. Длина частицы в хорошо выдержан-
выдержанном золе составляет около 2 мк.
19.3. Аэрозоли
Изучение аэрозолей, т. е. находящихся в воздухе частиц ми-
микроскопического или субмикроскопического размера, в последнее
время приобретает все более важное значение. Те аэрозоли,
которые представляют интерес прежде всего для метеорологии,
рассматриваются в гл. 20, аэрозоли биологического происхожде-
происхождения (споры и бактерии) просто упоминаются. Со многими ви-
видами твердых и жидких аэрозолей мы встречаемся при изучении
вопросов загрязнения воздуха в индустриальных районах земного
шара. Твердые аэрозоли (например, индустриальный дым) со-
состоят из очень неправильных частиц, и они являются сильно по-
полидисперсными. Оба эти свойства делают применение любого
тонкого метода исследования рассеяния света невозможным
или, во всяком случае, малообещающим. Тем не менее все же
остаются верными простые правила, состоящие в том, что рас-
рассеяние пропорционально концентрации и что более крупные ча-
частицы имеют более вытянутую вперед диаграмму рассеяния. Ис-
Исходя из этих принципов, можно разработать полезные приборы
для постоянных наблюдений. Общий обзор вопроса об индуст-
индустриальном дыме см. у Дринкера и Хэтча A936).
Оптические методы полезнее всего тогда, когда они приме-
применяются после предварительного отбора частиц по размеру дру-
другими способами. Эллисон A954) провел исследование рассеяния
света полидисперсным порошком. Прибор для измерения полиди-
19.3. АЭРОЗОЛИ 471
сперсности с помощью стабилизации в сочетании с измерением
рассеяния света описан Гампрехтом и Слепцевичем A953).
Этот метод, при котором используются одновременно рассеяние
света и стабилизация, был проверен Керкером, Коксом и Шён-
Шёнбергом A955) с помощью электронного микроскопа при изуче-
изучении аэрозолей серы и ртути.
Аэрозоли, приготовленные в контролируемых условиях для
специальных целей, имеют частицы (обычно в виде жидких ка-
капелек), значительно более однородные по размерам. Эти аэро-
аэрозоли очень разнообразны: от аэрозолей большой плотности, ис-
используемых в качестве дымовых завес, до золей в виде капелек
ядовитой жидкости весьма незначительной концентрации, приме-
применяемых при борьбе с насекомыми-вредителями. Для того чтобы
сделать инсектицидные жидкости наиболее эффективными, их
также следует разбрызгивать в виде аэрозолей из частиц конт-
контролируемого размера.
Созданием генератора аэрозолей, который может вырабаты-
вырабатывать монодисперсные аэрозоли из самых разнообразных жидко-
жидкостей, мы обязаны Синклеру и Ламеру A941). Принцип генера-
генератора состоит в собирании паров жидкости струей горячего
воздуха и последующем медленном охлаждении воздуха при про-
пропускании его через трубу (Ламер, Инн и Вильсон, 1950). Подхо-
Подходящими веществами для проведения экспериментов по рассеянию
света являются: 99-процентная серная кислота (H2SO4), дибутил-
фталат (ДБФ) и диоктилфталат (ДОФ). Стандартный дым
ДОФ, состоящий из частиц радиусом 0,3 мк, используется для
проверки дымовых фильтров противогазов. Показатель прелом-
преломления т равен 1,49. Для проверки различных способов определе-
определения размера частиц Дербин A951) использовал дымы хлористого
аммония с частицами, имеющими радиус около 0,4 мк.
Методы определения размера таких аэрозолей оптическими
средствами весьма сходны с методами, применяемыми для гидро-
гидрозолей и описанными в разд. 19.22. Они детально проверялись Ла-
мером, Инном и Вильсоном A950), Инном A951), Керкером и
Хэмптоном A953). Определение размеров больших частиц не-
несложно, поскольку к ним с одинаковым успехом можно приме-
применить методы пропускания света и спектров Тиндаля высших по-
порядков. Метод определения отношения интенсивностей света
с различными направлениями поляризации применим к части-
частицам с радиусами вплоть до нижнего предела а = 0,08 мк. Этот
предел выше, чем для гидрозолей, так как длина волны в воздухе,
являющемся в данном случае «растворителем», будет больше.
В обоих случаях этот нижний предел соответствует л:=2л;аД~1.
Казалось бы, применение метода диссимметрии могло бы отодви-
отодвинуть эту границу еще ниже, однако Ламер с сотрудниками ут-
472 19- ПРИМЕНЕНИЯ В ХИМИИ
верждают, что любой оптический метод измерения размера ча-
частиц практически непригоден при а <0,08 мк. Они нашли изящ-
изящное решение, дающее возможность выращивать такие частицы,
контролируя их рост. Это достигается, если подвергать частицы
H2SO4 действию водяного пара или частицы ДБФ действию пара
летучего растворителя, например толуола или ксилола. Радиус
может увеличиться в 10 раз, что по закону Релея увеличивает
площадь рассеяния каждой частицы в 106 раз. Практически ре-
рекомендуется увеличить радиус в 5 раз с целью вывести размер
частицы за пределы области Релея. Поэтому реальный выигрыш
в эффективности рассеяния будет меньше. Размер выросших
частиц легко определяется по отношению интенсивностей света
с различными направлениями поляризации, а первоначальный
размер получается делением на 5.
Другая проблема состоит в измерении концентрации и распре-
распределения частиц по размерам в аэрозолях очень слабой концент-
концентрации. Эта проблема, безусловно важная при проверке противо-
противогазов, изучалась Гукером и О'Конски. Измерительный прибор
Тиндаля недостаточен для подлежащих испытанию концентра-
концентраций порядка 10~9 г/л и слабее. Лучший метод состоит в подсчете
импульсов света, рассеянного отдельными частицами во время
их пролета сквозь пучок света. Эти импульсы можно регистриро-
регистрировать электронным счетчиком (Гукер, О'Конски, Пикар и Питтс,
1947; Гукер и О'Конски, 1949 а,Ь).
В одном варианте фотоэлектрического счетчика (Гукер и
Роуз, 1954) используется то, что большинство частиц рассеивает
свет преимущественно вперед; свет, рассеянный в интервале уг-
углов от 1 до 20°, собирается и измеряется фотоумножителем.
Можно зарегистрировать от 1 до 1000 импульсов в минуту. Для
получения только света, рассеянного частицами, размеры кото-
которых лежат в некотором узком диапазоне, можно применить се-
селектор высоты импульса. Калибровочную кривую зависимости
высоты импульса от размера частицы можно получить с по-
помощью контрольных образцов известного размера или рассчи-
рассчитать ее непосредственно по теории Ми. Указанные авторы не про-
проводили интегрирования интенсивностей, даваемых формулами
Ми, по углу от 1 до 20°, а для ориентировки пользовались графи-
графиками зависимости полного сечения от а. Такие кривые можно по-
построить по кривым ослабления (например, рис. 24), умножая Q
на яа2; пример дан на рис. 94. Другой вариант (О'Конски и Дойл,
1955) состоит в применении прибора общего назначения, который
может служить или счетчиком, или интегрирующим фотометром.
Нижним пределом чувствительности для отдельных частиц яв-
является диаметр 0,3 мк. Для калибровки использовались однород-
однородные контрольные аэрозоли с частицами диаметром от 0,13 до
19.3. АЭРОЗОЛИ
47а.
1,17 мк. Таким путем диаметры можно определить со стандарт-
стандартным отклонением до 8%-
Хорошо известный метод получения аэрозоля из небольших
жидких капелек состоит в адиабатическом расширении насыщен-
насыщенного пара. Этот метод используется в камере Вильсона. Па-
ранджпе с сотрудниками изучал этот метод в течение многих лет
и получил замечательные результаты. Размер капли подбирается
Рис. 94. Кривая полного сечения рассеяния (в квадратных
микронах) в функции радиуса (в микронах).
путем введения в камеру контролируемого количества очищен-
очищенного дыма. Паранджпе и Шингр A951) дают диаграммы рассея-
рассеяния капель с а = 1,88 мк, измеренные в монохроматическом
свете с X = 0,5893 мк, так что х = 20,0. Измерения были выпол-
выполнены фотоэлектрическим способом для хлороформа (т= 1,449),
бензола (т= 1,504), анилина (т= 1,590), сероуглерода (т =
= 1,632) для углов от 0=10° до 0=160° с интервалами в 5°.
Даны также теоретические значения для тех же х, 0 и т. В ре-
результате оказалось, что измеренные и рассчитанные положения
максимумов находятся почти в идеальном согласии друг с дру-
другом. В измеренной области хлороформ показывает 14 максиму-
максимумов, как это и предсказывается расчетами.
474 is- применения в химии
Важной работой по методике измерений является исследова-
исследование Лио A929), посвященное поляризации рассеянного или диф-
фузно отраженного света. При небольшой поляризации точность
измерений доходит до 0,1%- Его экспериментальные результаты
содержат данные для водяных капель с размером 2а=1 мм;
300 мк; 35 мк; 5 мк и 2,5 мк, вероятно, со значительной диспер-
дисперсией размеров в каждом случае. Очень большие капли дают
в точности ту зависимость поляризации от угла, которую можно
было ожидать из теории геометрической оптики (разд. 13.11).
Это иллюстрируется рис. 99 (разд. 20.3); там же дано более под-
подробное обсуждение этого вопроса.
19.4. Анизотропные среды
19.41. Дихроизм и двойное лучепреломление.
Оптическую анизотропию коллоидного раствора можно иссле-
исследовать теми же методами, с помощью которых изучается анизо-
анизотропия одноосного кристалла. Возможными эффектами являются
двойное лучепреломление, дихроизм, вращение плоскости поляри-
поляризации (круговое двойное лучепреломление) и круговой дихроизм.
Формально все эти эффекты можно объединить в один, а именно
в эффект, состоящий в том, что комплексный показатель прелом-
преломления т плоской волны, распространяющейся в том же направле-
направлении, оказывается различным для различных состояний поляри-
поляризации волны. Математическая формулировка была дана в разд.
4.41. Появление линейного и кругового двойного лучепреломле-
лучепреломления, а также дихроизма (в зависимости от свойств симметрии
рассеивающих частиц) рассматривалось в разд. 5.41 и 5.42.
Здесь мы ограничимся линейным двойным лучепреломлением
и дихроизмом. Если только сам растворитель не является анизо-
анизотропным, подобная анизотропия существует только при одно-
одновременном выполнении следующих двух условий:
а) рассеивающие частицы анизотропны. Это может быть
обусловлено их формой, или они могут состоять из анизотропного
вещества;
б) частицы должны иметь преимущественную ориентацию
в пространстве, так как хаотическая, ориентация не может дать
двойного лучепреломления (разд. 5.41).
Наличие преимущественной ориентации может иметь различ-
различные причины: течение раствора, ультразвуковые волны, проходя-
проходящие сквозь раствор или внешнее электрическое или магнитное
поле. Каждая из этих причин определяет одно преимуществен-
преимущественное направление, играющее роль оси одноосного кристалла.
Пусть направление распространения плоско поляризованной све-
19.4. АНИЗОТРОПНЫЕ СРЕДЫ 475
товой волны взято перпендикулярно оси; в таком случае комплек-
комплексный показатель преломления равен
/и0б. = л0б. — iti'oe. для обыкновенного луча
(Е перпендикулярно оси),
/Инеоб. = Лнеоб. — ^я'необ. для необыкновенного луча
(Е параллельно оси).
Двойное лучепреломление существует в том случае, когда веще-
вещественные части различны: при лНеоб. — "об. > 0 оно называется
положительным. Если различны мнимые части, имеет место ди-
дихроизм. Для обоих лучей связь между значением т и рассеиваю-
рассеивающими свойствами отдельных тел выражается фундаментальным
соотношением (разд. 4.3)
т = по{\ — t2Sli2(O) -2я?г3).
Здесь мы предположили, что растворитель имеет показатель
преломления щ, что волновое число k = 2ялоДо и что суммирова-
суммирование проводится по всем частицам (число которых N), находя-
находящимся в единице объема A см3). Если плоскость отсчета берется
проходящей через «ось» раствора, то мы должны взять для
обыкновенного луча Si@), а для необыкновенного луча S2@).
Мы предполагаем, что 53@) и S4@) или их суммы по всем части-
частицам равны нулю. Функции Si@) и S2@) должны рассчитываться
трудоемким способом на основе теории рассеяния. За подробно-
подробностями читатель может обратиться к следующим разделам:
Эллипсоиды с размерами много меньше К или с малым фазо-
фазовым сдвигом — разд. 6.32 и 7.31.
Малые эллипсоиды из анизотропного вещества — разд. 6.33.
Малые идеально проводящие эллипсоиды — разд. 6.4.
Длинные цилиндры, которые значительно толще к — в при-
приближении разд. 8.32 двойного лучепреломления нет, а по более
точной теории разд. 17.2 оно незначительно.
Длинные круговые цилиндры из изотропного вещества и про-
произвольного по сравнению с X диаметра — гл. 15.
Эллипсоиды, размер произвольный (приближенная теория),—
разд. 16.11.
Данная выше формула применима к коллоидным растворам,
в которых взвешенными частицами занята относительно малая
доля общего объема. Это значит, что оптическая теория основана
на совокупности условий II, приведенных в разд. 4.5.
Можно отметить, что при условиях I, разд. 4.5, именно, когда
частицы весьма малы, а объемная концентрация относительно
велика, применимы несколько иные формулы. Для этого случая
при наличии ориентированных эллипсоидов Винер A909) предло-
предложил приближенные формулы, которые на практике оказались
довольно точными. Более точные формулы для среды, содержа-
476 19. ПРИМЕНЕНИЯ. В ХИМИИ
щей шары, были получены Бруггеманом A935), а для среды, со-
содержащей эллипсоиды, — Низелем A952).
За общим обзором искусственного двойного лучепреломления
рекомендуем обратиться к Фрёндлиху A932), а также к Петер-
лину и Стюарту A943). Теория двойного лучепреломления по-
потока рассматривалась Шерага с сотрудниками A951, 1952). Для
случая коллоидных частиц, ориентированных ультразвуковыми
волнами, теория была дана Ока A939, 1940). Акустическое двой-
двойное лучепреломление можно использовать на практике в каче-
качестве метода измерения интенсивности ультразвуковых волн. Пре-
Предыдущие главы содержат материал, на основании которого
можно оценить, какие частицы наиболее пригодны для этой цели.
Свойства коллоидного раствора графита с ориентированными
частицами исследовались Керелем и Шацманом A955).
В однородном электрическом поле жидкие капельки стано-
становятся вытянутыми в направлении ноля. Эксцентриситет возра-
возрастает с увеличением напряженности поля и с увеличением раз-
размера. О'Конски с сотрудниками теоретически A953) и экспери-
экспериментально A955) показали, что для водяных капель радиусом
0,9 мм в поле 11 кв/см эксцентриситет достигает 0,6 (отношение
осей 1,25).
19.42. Пленочные поляроиды
Предыдущая теория находит важное применение в случае
пленочных поляроидов. Естественный дихроизм вещества, по-
подобно естественному двойному лучепреломлению, обусловлен
его анизотропной молекулярной структурой. Отношение двух
коэффициентов поглощения для двух направлений линейной по-
поляризации называется коэффициентом дихроизма. В естествен-
естественных дихроичных кристаллах он может достигать 10 (турмалин).
Серийные пленочные поляроиды состоят из небольших игл дих-
роичного вещества, вкрапленных в среду; получены коэффици-
коэффициенты дихроизма, большие 100. Теория поглощения такими иг-
иглами, малыми но сравнению с X, дана Кларком Джонсом A945)
и приведена в разд. 6.33. В таких поляроидах дихроизм обуслов-
обусловлен главным образом дихроизмом каждого кристалла.
Другой метод получения дихроичного вещества состоит во
введении в среду ориентированных игл металла, который сам
по себе не является дихроичным. Говорят, что подобное сложное
вещество обладает дихроизмом формы (подобно тому как слож-
сложная среда, содержащая ориентированные диэлектрические иглы^1
обнаруживает двойное лучепреломление, обусловленное фор-
формой). Такие металлические поляроиды были получены: 1) путем
восстановления солей металлов до металлов в ориентированных
19.5. РАЗНЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ 477
линейных высокомолекулярных полимерах; 2) путем сильной
деформации слоя желатина, первоначально содержащего хаоти-
хаотически ориентированные металлические частицы. Другие методы
упоминаются Беркманом, Бёмом и Цохером A926). Эти авторы
дают также качественные измерения двойного лучепреломления
и дихроизма, основанные на цветах проходящего света.
О количественных измерениях на образцах поляроидов из
серебра, золота и ртути сообщалось Ландом и Уэстом A946).
Наиболее типичный эффект в случае серебра состоит в том, что
при колебаниях, параллельных большим осям игл (положитель-
(положительный дихроизм, R>\), красный цвет претерпевает большее по-
поглощение. В фиолетовом свете картина будет обратной (отрица-
(отрицательный дихроизм, R<1). Для промежуточной длины волны
R = 1 и вещество будет недихроичным.
Теория таких сложных сред описывается в разд. 4.41. Для
частиц, много меньших К, следует пользоваться формулами
разд. 6.32; результат имеет вид
n in 1 1т(от2_1)
1т
V nfi + 1 )
С помощью этой формулы Винер получил, что серебряные иглы
в воздухе дают инверсию дихроизма вблизи 0,380 мк. При вве-
введении их в среду с п=1,33 рассчитанная точка инверсии оказы-
оказывается при 0,480 мк. Ни значения R, ни положение этой точки
инверсии не должны меняться с изменением размера, пока иглы
остаются достаточно тонкими, так как эти результаты обуслов-
обусловлены лишь изменением показателя преломления в зависимости
от длины волны.
Однако наблюдаемый факт сдвига точки инверсии с увели-
увеличением размера показывает, что многие из игл недостаточно
тонки. Из кривых рис. 69 (разд. 15.51) видно, что может приоб-
приобрести значение другой эффект — именно, инверсия, обусловленная
размером металлических проволочек, даже если пренебречь из-
изменением показателя преломления в зависимости от К. Реальные
образцы, вероятно, показывают оба эффекта одновременно.
Только численный расчет Qi и Q2 в функции размера для каж-
каждого встречающегося здесь показателя преломления позволил бы
сделать детальное сравнение теории с наблюдениями.
19.5. Разные приложения
Применения в области физики и химии и в соответствующих
отраслях промышленности отнюдь не ограничиваются примене-
применениями, рассмотренными в предыдущих разделах. Несколько дру-
других случаев приводятся в табл. 41, но их можно было бы доба-
Таблица 41. Некоторые задачи рассеяния
Объект изучения
Рассеяние рентгенов-
рентгеновских лучей под малыми
углами
Рассеяние неоднород-
иостями в твердом теле
Молочное стекло
Оптическое исследова-
исследование частиц сажи в пла-
пламени
Целлюлозное волокно
Вирусы
Кровяные тельца
Прохождение света че-
эез проволочные решет-
решетки
Радиолокационное от-
отражение от проволоч-
проволочных решеток
Радиолокационное от-
отражение от метеорных
следив
Форма частиц
Разнообразная
»
Шар
Разнообразная
Круговые цилинд-
цилиндры
Разнообразная
Круговые цилинд-
цилиндры и т. п.
Та же
Цилиндры конеч-
конечной длины
т
Очень близкие
к 1
Близкие к 1
0,9
Комплексные
1,3
1,1-1,2
1,1—1,2
1,4—1,4/
Близкие к оо,
частичное пог-
поглощение
от 0 до 1
Типичные значени}
X
Большие
Малые
Средние
Малые
Большие
Средние
Большие
»
Малые
Средние
i
2х{т—1)
Очень малые
Малые
<1
Комплексные
Большие
<1
Разные
Большие
Близкие к оо
Средние
Соответствующая
глава
7
7
7 и 11
14
13 и 15
7 и 19
(разд. 19.12)
11
15 и 17
15 и 16
15
Литера-
Литература, см.
стр. 479
14
[2]
[3]
[4]
15]
[6]
[7]
И
[9]
[10]
ЛИТЕРАТУРА 479
ЛИТЕРАТУРА к табл. 41
1. Guinier A., Fournet С, Small-Angle Scattering of X-Rays, New
York, John Wiley & Sons, 1955.
2. Peterlin A., Kolloid-Z., 120, 75 A951).
3. R у d e J. W., Cooper B. S., Proc. Intern. Illumination Congr., p. 387,
410, Cambridge, Cambridge Univ. Press, 1931.
4. Sen f tie ben H., Benedict E., Ann. Physik, 60, 297 A919); N a o-
s e r G., P e p p e r h о f f W., Kolloid-Z., 125, 33 A952).
5. Hermans P. H., Contribution to the Physics oj Cellulose Fibres, Am-
Amsterdam, Elsevier Publ. Co., 1946.
6. Oster G., Science, 103, 306 A946); Gucker F. T, Science, 110, 372
A949).
7. Verveen D., Diameter-, dikte-, volume- en oppervlaktebepaling van Eryt-
hrocyten met behulp van lichtbuigingseffect, Thesis Utrecht, Nijkerk, G. F.
Callenbach N. V., 1949.
8. См. литературу к гл. 15.
9. См. литературу к гл. 16.
10. Kaiser Т. R., Closs R. L., Phil. Mag., 43, 1 A952); Kaiser T. R.,
Meteors (Special Suppl. No. 2, J. Atm. and Terrest. Phys.), 55, London,
Pergamon Press, 1955.
(Русский перевод: Метеоры, сб. статей, ИЛ, М., 1959.)
вить значительно больше. Ясно, что невозможно дать даже крат-
краткий обзор всех этих вопросов. Тем не менее для читателя может
оказаться полезной ссылка на наиболее подходящую главу этой
книги, а также на одну или две статьи из имеющихся в лите-
литературе.
ЛИТЕРАТУРА'
Из литературы о малых частицах и высокомолекулярных полимерах
(разд. 19.11 и 19.12) укажем следующие работы:
Rayleigh, Phil. Mag., 41, 107,274,447A171) (Sci. Papers 8,
and 9).
Rayleigh, Phil. Mag., 47, 375 A899) (Sci. Papers 247).
Rayleigh, Phil. Mag., 12, 81 A881) (Sci. Papers 74).
Cabannes J., La diffusion moleculaire de lumiere, Paris, Les Pres-
Presses universitaires de France, 1929.
Rayleigh, Phil. Mag., 35, 373 A918) (Sci. Papers 430).
Oster G., Chem. Revs., 43, 319 A946).
Ziram В. Н., D о t у Р. М., Theory and Application of Light Scatte-
Scattering, New York, John Wiley (готовится к печати).
Kerker M. L., J. Chem. Phys., 20, 1653 A952).
Дана в том порядке, в каком она цитируется в этой главе.
480 ЛИТЕРАТУРА
Zimm В. Н., J. Chem. Phys., 16, 1099' A948).
Williams R. С, Backus R. C, J. Appl. Phys., 20, 224 A949).
OsterG, Doty P. M., Zimm B. H., J. Amer. Chem. Soc, 69, 1193
A947).
Относительно золей металлов (разд. 19.21) мы ссылались на работы:
Mie G., Ann. Physik, 25, 377 A908).
Freundlich H., Kapillarchemie, Band II, Leipzig, Akad. Verlags-
gesellschaft M. В. Н., 1932.
Seraph in В., Ann. Physik, 10, 1 A952).
Mott N. F., Jones J., The Theory and Properties of Metals and
Alloys, chap. 3, London, Oxford Univ. Press, 1936.
Weisz K., Z. Naturforsch., 3a, 143 A948).
Feick K., Ann. Physik, 77, 573 A925).
(В этом томе эта страница повторяется дважды; ссылка относится
ко второй стр. 573.)
Wo Iter H., Z. Physik, 113, 547 A939).
Wolter H., Z. Physik, 115, 696 A940).
Золи серы и сходные с ними золи, не имеющие заметного поглощения
(разд. 19.22), исследовались следующими авторами:
Keen В. A., Porter A. W., Proc. Roy. Soc. London, A89, 370 A913).
Ray В., Proc. Indian Assoc. Cultivation Sci., 7, 10 A921); 8, 23 A923).
Ram an С V., Ray В., Proc. Roy. Soc, London, A102, 151 A922).
La Mer V. K., J. Phys. & Colloid Chem., 52, 65 A948).
S i n с 1 a i r D., L a MerV. K, Chem. Revs., 44, 245 A949).
D i n e g a r R. H., S m e 1 1 i e R. H., J. Colloid Sci., 7, 270 A952).
В a rnes M. D., L a MerV. K-, J. Colloid Sci., 1, 79 A946).
La MerV.K, lnnE.C. Y., W i 1 s о n I. В., J. Colloid Sci., 5, 471
A950).
Ken у on A. S., La MerV. K, J. Colloid Sci., 4, 163 A949).
Lewis P. C, Lothian G. F., Brit. J. Appl. Phys., Nottingham Conf.
Suppl. A954).
Heller W., E p e 1 J. N.. T a b i b i a n R. M., J. Chem. Phys., 22, 1777
A954).
Kcrker M. L., L a MerV. K.,J. Amer. Chem. Soc, 72, 3516 A950).
Kerker M. L., J. Colloid Sci., 5, 165 A950).
Kerker M. L., Hampton M. I., J. Opt. Soc. Amer., 43, 370 A953).
La Mer V. K., Barnes M. D., J. Colloid Sci., 1, 71 A946).
van d e H u 1 s t H. C, J. Colloid Sci., 4, 79 A949).
Barnes M. D, Kenyon A. S, Zai ser E. M., La Mer V. K, J.
Colloid Sci., 2, 349 A947).
Johnson I., La Mer V. K, J. Amer. Chem. Soc, 69, 1148 A947).
К e r k e r M. L., J о n e s G. L., R e e d J. В., Y a n g С N. P., Schoen-
berg M. D., J. Phys. Chem., 58, 1147 A954).
ЛИТЕРАТУРА 481
Из литературы, посвященной исследованию аэрозолей, укажем работы:
Drinker P., Hatch Т. F., Industrial Dust, New York, Mc-Graw-
Hill, 1936.
El Iison J. M. K., Brit. J. Appl. Phys., Nottingham Conf. Suppl., 1954.
Gumprecht R. O., Sliepcevich С. М., J. Phys. Chem., 57, 95
A963).
Kerker M. L., Cox A. L., Schoenberg M. D., J. Colloid Sci.,
10, 413 A955).
La Mer V. K., I n n E. С Y., Wilson I. В., J. Colloid Sci., 5, 471
(.1950).
Durbin E. J., NACA Techn. Note 2441, August, 1951.
Inn E. С Y., J. Colloid Sci., 5, 368 A931).
Kerker M. L., Hampton M. Г., J. Opt. Soc. Amer., 43, 370 A953).
G u с k e r F. Т., О ' К о n s k i С. Т., P i с a r d H. В., P i 11 s J. N.. J.
Amer. Chem. Soc, 69, 2422 A947).
G u с k e r F. Т., О ' К о п s k i СТ., Chem. Revs., 44, 373 A949); J. Col-
Colloid Sci., 4, 541 A949).
Gucker F. Т., Rose D. G., Brit. J. Appl. Phys., Nottingham Conf.
Suppl. A954).
O'Konski С. Т., Doyle G. J., Anal. Chem., 27, 694 A955).
Paranjpe M. M., S h i n g r e M. V., J. Univ. Bombay, 18, part. 5,
No. 29 A951).
Lyot В., Ann. observ. Paris-Meudon, 8, No. 1, см. стр. 125—134 A929).
Из обширной литературы по анизотропным системам (разд. 19.41 к
19.42) укажем следующие работы:
Bruggemann D. A. G., Ann. Physik, 24, 636 A935).
Niesel W., Ann. Physik, 10, 336 A952).
Freundlich H., Kapillarchemie, Band II, Leipzig, Akad.
Verlagsgesellschaft M. B. H., 1932.
P e t e r 1 i n A., Stuart H. A., Doppelbrechung insbesondere Kunstli-
che Doppelbrechung, Leipzig, Becker und Erler, 1943.
Scheraga H. A, E d s a I 1 J. Т., G a d d J. O., J. Chem. Phys., 19,
1101 A951).
С erf R., Sheraga H. A., Chem. Revs., 51, 185 A952).
Oka S., Kolloid-Z., 87, 37 A939).
O'Konski С. Т., Thacher H. C, J. Phys. Chem., 57, 955 A953).
О ' К о n s k i С. Т., G u n t h e г R. L., J. Colloid Sci., 10, 563 A965).
Cayrel R., Schatzman E., Ann. astrophys., 17, 555 A954).
Clark Jones R., Phys., Rev., 68, 93, 213 A945).
В e r k m a n S, Boehm J, Zocher H., Z. physik. Chem., 124, 83
A926).
Land E. H., West CD., Colloid Chemistry, vol. 6, p. 160, New York,
Reinhold Publ. Corp., 1946.
31 Заказ № 374
20.
ПРИМЕНЕНИЯ В МЕТЕОРОЛОГИИ
Свет солнца и звезд ослабляется при прохождении сквозь
земную атмосферу. Изучение этого эффекта астрономического
ослабления в функции длины волны является одним из способов
исследования рассеивающих свойств атмосферы. Более деталь-
детальную информацию можно получить из распределения света по
небу в дневных условиях (также в функции длины волны). Оба
типа измерений — измерения ослабления и рассеяния — можно
воспроизвести с искусственными источниками света, например
с лучом прожектора, и в таком случае их можно использовать
для исследования таких плотных сред, как туман или дождь.
Совсем недавно в качестве эффективного метода исследований
добавилась радиолокация.
20.1. Компоненты ослабления
При ясном небе ослабление имеет три компонента, вызы-
вызываемых:
а) релеевским рассеянием на молекулах воздуха;
б) рассеянием на аэрозоле (дымка и пыль);
в) селективным поглощением молекулами воздуха.
Рассеянный свет, наблюдаемый при ясном небе, обусловлен
только компонентами (а) и (б).
Компонент (а) подчиняется обычному закону Я,. Небольшие
вариации в релеевском рассеянии вызываются сезонными изме-
изменениями общей протяженности атмосферы (воздушной массы),
изменениями в содержании воды и водяного пара, и, возможно,
изменениями числа очень малых водяных капель с а<0,02 ж/с.
Компонент (б) обусловлен рассеянием на различных части-
частицах, обычно с радиусами меньше 1 мк. Он подвергается весьма
сильным изменениям от места к месту и во времени, и его при-
присутствие в значительной степени ответственно за разнообразие
цветов неба.
Компонент (в) включает, кроме полос молекулярного погло-
поглощения О2, Н2О, СО2 и т. д., непрерывные полосы Шаппюи (озон),
которые охватывают значительную часть видимого спектра и
вызывают кажущееся нарушение закона К'*, если отсутствует
аэрозоль.
20.2. АТМОСФЕРНАЯ ДЫМКА 483
В разд, 20.2 приводится несколько примеров исследований
аэрозоля. Относительно изучения других компонентов можно со-
сослаться на обзоры Пернтера и Экснера A910), Дорно A919),
Миннарта A940), Миддлтона A941), ван де Хюлста A949),
Секеры A951), Нойбергера A951). Хотя диаграмма однократ-
однократного релеевского рассеяния достаточно проста, задача о строгом
учете второго и последующих многократных рассеяний с учетом
поляризации становится чрезвычайно сложной и впервые была
успешно решена Чандрасекаром A950), а также Чандрасекаром
и Элберт A954). См. также статьи Дайрме.нджана и Секеры
A954, 1955).
Многократное рассеяние, учитывающее диффузное отраже-
отражение от земли, рассматривалось в более элементарном случае
изотропного однократного рассеяния ван де Хюлстом A948,
1949). Дальнейшее теоретическое рассмотрение этой задачи,
а также некоторые данные наблюдений имеются в 19-м разделе
диссертации Фольца A954).
Аэрозоль, упомянутый выше, представляет собой легкую
дымку и в повседневной жизни лишь едва заметен. Видимые
(и временами весьма неприятные) дымка, туман, облака и па-
падающий дождь содержат значительно большее количество жид-
жидкой воды и одновременно частицы значительно более крупного
размера, приблизительно от 5 до 20 мк для тумана и от 200 до
2000 мк для дождя. Оптические явления, вызываемые такими
большими каплями, оказываются совсем иными; они будут об-
обсуждаться отдельно в разд. 20.3. Увеличение размера частиц
приводит к одному интересному следствию: способность про-
проникновения инфракрасного излучения сквозь туман лишь нена-
ненамного больше, чем для видимого света. Только переход к радио-
радиоволнам дает значительное улучшение (разд. 20.41).
При рассмотрении ослабления мы предполагаем,'что имеется
в виду истинный коэффициент ослабления и что его можно из-
измерить. Для этого требуется точечный источник и хороший опти-
оптический прибор, которым можно измерить свет источника, отделив
его от рассеянного света. Миддлтон A949) показал, что это тре-
требование в условиях обычных наблюдений в тумане с телефото-
телефотометрами не выполняется, и рассчитал соответствующие по-
поправки.
20.2. Атмосферная дымка
20.21. Закон ослабления
Ослабление в дымке или в легком тумане проще всего можно
изучать путем наблюдений горизонтального пучка света. Пред-
Предположим на мгновение, что в 1 см3 имеется п частиц одного и
31*
484 20- ПРИМЕНЕНИЯ В МЕТЕОРОЛОГИИ
того же радиуса а; тогда коэффициент ослабления на единицу
длины будет (разд. 2.6)
у = na2nQ,
где Q — фактор эффективности ослабления, определенный в
разд. 2.4 и рассмотренный весьма подробно в гл. 6—17. Таким
образом, луч, проходящий путь, равный / см, уменьшает свою
интенсивность в
е-и= 10-°ли-а
раз по сравнению с интенсивностью, которую он имел бы при
отсутствии какого-либо ослабления. После вычитания из наблю-
наблюдаемого ослабления молекулярного ослабления и селективного
поглощения получается остаток, обусловленный дымкой. Такой
остаток есть даже в те дни, которые принято считать «очень
ясными». Аналогичным образом можно провести наблюдения
ослабления солнечного света. В таком случае I следует заменить
на h sec z, где h — эффективная толщина слоя дымки, a z— зе-
зенитное расстояние Солнца.
Кривая Q для воды (показатель преломления /п=1,33), при-
приведенная на рис. 32, показывает, что первый максимум появ-
появляется при х = 2ла/Х = 6. Таким образом, длина волны А.тах, при
которой появляется этот максимум, очень близка к радиусу.
Прежде чем ссылаться на некоторые исследования кривой
ослабления дымки, следует сначала подчеркнуть, что дисперсия
размеров частиц часто настолько велика, что делает интерпре-
интерпретацию полученных результатов фактически невозможной, и, во-
вторых, что показатель преломления в сухом воздухе иногда
может быть ближе к 1,50, чем 1,33, благодаря наличию полукри-
полукристаллических солей (Юнге, 1952, а также Фольц, 1954).
Горизонтальный пучок. На основании фотометрических ис-
исследований Васси A939) и Дессан A946) выделяют четыре слу-
случая, которые можно интерпретировать незначительным разли-
различием эффективных размеров частиц.
1. Ослабление приблизительно нейтрально; а = ^гаах>0,8 мк.
о
2. Максимум ослабления при 5000 А; а=А.шах =0,5 мк.
о
3. Ослабление постепенно уменьшается от 6000 до 4000 А;
а = ^тах = 0,6ж/с.
о
4. Максимум ослабления при 4000 А; а = А.тах=0,4 мк.
Данные об ослаблении явились первым доказательством
того, что даже в местах с очень сухим климатом в чистой атмо-
атмосфере вплоть до высоты 3000 м встречаются капельки с диамет-
диаметром приблизительно 1 мк. Кроме того, Дессан A947) собрал
такие капли на паутине небольшого паука и наблюдал их под
микроскопом. Обычно функция распределения по радиусам имеет
максимум вблизи а=0,5 мк.
20.2. АТМОСФЕРНАЯ ДЫМКА 485
Вертикальное ослабление. Из измерений ослабления Гёц
A944) делает заключение, что наиболее часто встречающиеся
радиусы капелек оказываются равными а = 0,3 мк для легкой
дымки и а=0,4 мк для плотной дымки.
Поскольку большинство метеорологических исследований
основано на обширном наблюдательном материале, вполне есте-
естественно стремление выразить характеристики ослабления только
небольшим числом параметров. Поэтому многие авторы пользу-
пользуются эмпирической формулой А. Ангстрема A929):
•у—А,-" .
Очевидно, для релеевского рассеяния а = 4, а для нейтрального
ослабления а = 0. Эмпирические значения а для атмосферной
дымки, изученные в большом числе Шюппом A949), обычно
колеблются от 1 до 2. При а<1 (относительно большие частицы)
вокруг Солнца обычно имеется яркая белая область (ореол).
Небо может быть сравнительно ярко-голубым, несмотря на силь-
сильную замутненность, при условии, что а>2.
То же представление закона ослабления в ограниченной об-
области длин волн попросту степенью % применялось в различных
областях (Хеллер, Клевенс и Оппенгеймер, 1946; Хеллер и Васси,
1946; Ламер, 1948). Разумеется, значения а нетрудно получить
из теоретических кривых ослабления. На рис. 95 эти значения
о
представлены в функции х, а также в функции а для ^ = 5000 А
и для показателей преломления 1,33; 1,29; 1,29—0,064 i и 1,29—
— 0,32/. «Рябь» на кривой ослабления не принималась во внима-
внимание. Такие кривые можно использовать в качестве калибровоч-
калибровочных кривых, т. е. для получения радиуса а по наблюдаемому
показателю степени а, если только имеется уверенность, что
аэрозоль достаточно монодисперсен.
Остается несколько неясным, почему вообще формула Анг-
Ангстрема применима к водяным каплям с радиусами порядка
0,5 мк, поскольку теоретическая кривая ослабления не напоми-
напоминает чисто степенного закона. Гёц A944) решает этот вопрос,
допуская, что одновременное присутствие наряду с водяными
каплями поглощающей пыли, для которой он берет без доста-
достаточных оснований кривую для случая /п = оо (рис. 28, разд. 10.62),
сглаживает большие флуктуации на кривой ослабления для во-
водяных капель. Более вероятно, что это сглаживание вызывается
наложением широкого спектра размеров'частиц.
Легко показать, что степенной закон распределения, при ко-
котором имеется
dN = С ¦ а-°-Ча
капель на 1 см3 с размерами, заключенными в интервале da.
4S6
20. ПРИМЕНЕНИЯ В МЕТЕОРОЛОГИИ
(X
4
3
2
1
0
-1
-2
\
\
\v
+
—
—
1
/77=7JJ^
//129 ——
///1.29-0,0611
'///l,29-0,32i
V
/
\
л\,.,
\\
i
V
\
/
/
i /i
h
7 /
/ /
J
t—
\
v >
/\
/ \
\
\
\
\
V
_
-
_
\
V
-
У-
ю
х
15
20
Рис. 95. Значения показателя степени а в степенном представ-
представлении закона ослабления, рассчитанные для монодисперсных
частиц при четырех различных показателях преломления,
в функции параметра размера х=2ш1\.
будет давать ту же зависимость от длины волны независимо
от того, какую форму имеет кривая ослабления Q(x). Для коэф-
коэффициента полного ослабления имеем (разд. 2.6)
т (X) =
(a) dN =
da =
Этот интеграл сходится при 2<у<6. Из этой формулы видно,
что показатель степени а в формуле для у связан с показателем
степени v в функции распределения по размерам таким образом:
a = v — 2.
20.2. АТМОСФЕРНАЯ ДЫМКА 487
Эмпирически определенные значения а от 1 до 2 дают значения
у от 3 до 4. Эти соотношения были указаны Фольцем A954),
который провел также численное интегрирование в пределах, не
равных 0 и с». Другие интегрирования, которые могут ока-
оказаться полезными в связи с этим вопросом, приведены в
разд. 11.5.
На практике дисперсия размеров может оказаться не столь
большой, как предполагалось выше. Тем не менее приведенные
расчеты показывают, что опирающаяся на предположение о мо-
монодисперсности непосредственная проверка эмпирических значе-
значений а ненадежна.
20.22. Диаграмма рассеяния
Диаграмму рассеяния атмосферной дымки нельзя исследо-
исследовать так же просто, как ее закон ослабления, так как из-за при-
присутствия повторного рассеяния из света неба нельзя просто вы-
выделить компонент, обусловленный молекулярным рассеянием, и
компонент, обусловленный дымкой. Тем не менее фотометрия
распределения света по дневному небу может дать довольно
правильное представление о диаграмме рассеяния аэрозоля, осо-
особенно в связи с тем, что его присутствие в атмосфере обычно
ограничивается нижними 3000 м. Измерения поляризации света
будут значительно труднее, и, насколько известно автору, они
не проводились'.
Другой метод состоит в изучении рассеяния света прожектора.
Установка в этом случае имеет точно тот же вид, что и на
рис. 88 (разд. 18.31), но без контейнера.
Результаты измерений различных типов были опубликованы
Халбертом A941), Регером и Зидентопфом A946), Бульрихом
A947), Фольцем A954), Стжалковским A955) и другими2.
Трудность интерпретации и здесь связана с большой дисперсией
размеров капель. В табл. 42 (ван де Хюлст, 1949) для ряда зна-
значений х даются теоретические значения величины „ 2 (Л-р-М
основанные па расчетах, приведенных в разд. 9.3 и 10.4. Как
подробно показано в разд. 13.12, флуктуации будут сглажены
1 Обширные исследования рассеяния света в земной атмосфере, выпол-
выполненные в СССР, изложены в книге: Е. В. Пясковска я-Ф есенкова,
Исследование рассеяния света в земной атмосфере, Изд-во АН СССР, М.,
1957; там же приведена подробная библиография работ в этой области. —
Прим. ред.
2 Разнообразные работы в этом направлении были выполнены в СССР;
см., например, сборник: Н. С. Георгиевский, А. Я. Д р и в и н г , Н. В. 3 о-
лотавина, Г. В. Розенберг, Е. М. Фейгельсон, В. С. Хазанов,
Прожекторный луч в атмосфере, Изд-во АН СССР, М., 1960. — Прим. ред.
488
20. ПРИМЕНЕНИЯ В МЕТЕОРОЛОГИИ
Таблица 42. Теоретические значения T-Ai\(
2х I
при т — 1,33
X
0,6
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,6
4,0
5,0
6,0
8,0
10,0
12,0
15,0
20,0
25,0
30,0
35,0
40,0
а при
\ -- 0,5 мк
0,048
0,08
0,12
0,16
0,20
0,24
0,29
0,32
0,40
0,48
0,64
0,80
0,96
1,2
1,6
2,0
2,4
2,8
3,2
Большие х
дифракция
геометриче-
геометрическая оптика
0°
0,0060
0,053
0,29
0,99
2,37
4,62
8,5
12,3
23,4
34,8
46,0
36
23
104
120
244
231
445
401
Л-2
4
4,09
10°
0,0059
0,052
0,28
0,95
2,24
4,30
7,7
10,8
19,1
25,7
24,4
¦ 8,6
4,2
16,9
3,0
0,2
14,9
2,3
1,2
0
3,37
30°
0,0051
0,044
0,22
0,70
1,39
2,33
3,2
3,6
3,1
1,57
2,4
2,2
1,1
0,7
0,5
0,9
1,2
1,5
1,97
0
1,15
6(Г
0,0035
0,027
0,11
0,26
0,32
0,13
0,13
0,13
0,41
0,26
0,40
0,37
0,14
0,24
0,15
0,13
0,12
0,18
0,20
0
0,11
9Э—180»
(среднее)
0,0034
0,018
0,035
0,015
0,04
0,03
0,06
0,05
0,07
0,08
0,10
0,01
—
0,02
0,32
0,06
0,06
0,09
0,07
0
0,05
дисперсией размеров. Относительные интенсивности, измеренные
Ригером и Зидентопфом в области от 30 до 170°, оказываются
в удовлетворительном согласии с любым значением х от 2,5
до оо. Например, от 90 до 30° интенсивность увеличивается в
15 раз. Интенсивности от 10 до 30° дают х = 5 для длины волны
о
5000 А, т. е. а—0,4 мк. Это хорошо согласуется с данными, полу-
получающимися по кривой ослабления (разд. 20.21). Фольц A954)
20.2. АТМОСФЕРНАЯ ДЫМКА 48&
довольно подробно рассматривает прожекторные измерения и
при этом отмечает, что отношение интенсивностей /(90°)//B0°)
меняется от 5 при очень ясном небе (дальность видимости
100 км) до 70 при легком тумане (дальность видимости меньше
1 км).
Быстрое увеличение яркости с приближением к Солнцу на
расстояние в несколько градусов вызывается главным образом
более крупными частицами в атмосфере. Если эти частицы
(капли или ледяные иглы) являются сравнительно моиодисперс-
ными, мы наблюдаем вокруг Солнца дифракционные венцы.
В противном случае имеется яркий белый «ореол». Некоторые
фотометрические данные относительно этого ореола даны ван де
Хюлстом A949) и много дополнительных данных — Фольцем
A954).
Фольц A954) пытался получить результаты, представляющие
интерес для метеорологии, собирая данные за многие дни при
различных условиях. Яркость неба измерялась в различных цве-
цветах на угловых расстояниях от Солнца от 0°,2 до 120°. Учитывая
одновременно изменение цвета и угловую зависимость, можно
(более отчетливо в Арозе, чем во Франкфурте) выделить сле-
следующие случаи, которые, по-видимому, имеют отношение к фи-
физической предыстории воздушных масс (рис. 96).
Тип А. Полярный холодный воздух. По направлению к Солнцу
небо постепенно становится ярче и белее; это происходит без
скачков.
Тип В. Наблюдается после рассасывания обширных слоистых
облаков. Рассеяние часто оказывается очень сильным. Около
Солнца имеется яркий белый диск радиусом около 35°.
Тип С. Изредка встречается в воздушных массах после обиль-
обильных дождей. Голубовато-белая зона вокруг Солнца, окруженная
красноватым ободком при 0 = 30°.
Правильная интерпретация различий никоим образом не
является очевидной. Фольц рассчитал ряд теоретических кривых
по формулам Ми, основываясь на законе распределения по раз-
размерам, упомянутом в разд. 20.21. В этом случае относительная
диаграмма рассеяния в целом одинакова для всех X, и спектраль-
спектральное распределение также одно и то же при всех 9. Тот же прин-
принцип лежит в основе исследования Мёллера, де Бари и Крога
A953). Фольц объясняет реально наблюдаемые диаграммы
предположением о существовании некоторых отклонений от
стандратных распределений с v = 3 и 4. По-видимому, в действи-
действительности этот метод лучше, чем просто подбор одного размера
капли, лучше всего удовлетворяющего наблюдениям. Хотя рас-
рассматривались радиусы частиц от 0,1 до 30 мк, Фольц приходит
к заключению, что различие между упомянутыми выше типами
490
20. ПРИМЕНЕНИЯ В МЕТЕОРОЛОГИИ
А, В и С определяется только распределением в области от 0,15
до 0,6 ж/с.
Ввиду этого было бы интересно провести дополнительно чи-
численные интегрирования, чтобы получить диаграммы рассеяния
для распределения, при котором размеры различаются только
1
Тип С
Тип В
Тип А
Множитель
10
г
— ^ч
N
;
Г 10" 60° 91
Бледно--
Бледно-голубой
Белый
Белый
\
_
" 0,45мк
_ 0,57 мк
"^Багровый
1
Белый
\s
N>
N
Голубой
\\
\
\
Кмазцр
\ныи '
\\
\ \
Гот/Л
\бой\
X
Лазур-
\ ныи
ч \
\
Рис. 96. Типичные распределения интен-
интенсивности и цветов ясного неба в функции
углового расстояния от Солнца (по Фольцу).
Шкала интенсивности логарифмическая и
имеет произвольный нуль-пункт для ка-
каждого из трех типов кривых.
в 2—3 раза. Одно интересное замечание можно сделать сразу же.
Для каждого показателя преломления при одних характерных
углах обычно расположены максимумы, а при других — мини-
минимумы. Например, из рис. 52 (разд. 13.41) сразу видно, что для
некоторого диапазона размеров капель (х от 9 до 16, так что а
о
равно от 0,7 до 1,3 мк при А.=5000 А ) водяные капли имеют ми-
минимум вблизи 9 = 22°. В другом участке (х от 19 до 26, так что
20.2. АТМОСФЕРНАЯ ДЫМКА 491
а равно от 1,5 до 2,1 мк) первый минимум расположен вблизи
6=10°.
Далее, обращаясь к рис. 34 (разд. 11.33), находим, что рез-
резкий максимум имеет место при р = 2х(т—1)=6, z=xsin0 = 4,8.
Для водяных капель (т=1,33) он наблюдается при х = 9,
а = 0,7 мк и расположен под углом 9 = 32°. Для показателя пре-
преломления т=\,Ъ максимум наблюдается при л; = 6, а = 0,5 мк
и находится под углом 0 = 42°. Частицы близких размеров будут
также давать максимум при этих или близких к ним углах, и этот
максимум останется в проинтегрированной диаграмме рассея-
рассеяния дымки. Поэтому возможно, что внезапное падение за 0 = 35°,
отмеченное Фольцем (тип В), попросту отражает особенности
диаграммы рассеяния любой смеси водяных капель с размерами
порядка от 0,5 до 1 мк.
Эти полуколичественные соображения не могут заменить пол-
полного интегрирования интенсивностей Ми. Дальнейшее исследо-
исследование в этом направлении может дать интересные результаты.
20.23. Аэрозоли вулканических извержений и лесных пожаров
Теперь можно назвать два вида аэрозоля, присутствующих
во всей земной атмосфере. Один из них — вулканическая пыль,
другой — масляные капельки, образующиеся при возгонке де-
дерева во время больших лесных пожаров.
Самые замечательные оптические явления, вызванные вулка-
вулканической пылью, наблюдались после извержения Кракатау в
1883 г. Необычное распределение света по небу и красивые за-
закаты были видны почти по всему земному шару и отмечались
даже три года спустя. За сто лет до этого, после большого из-
извержения в Исландии, Солнце и Луна в июне и июле 1783 г.
были «красными, как вишневый сок» (Мелмор, 1953).
Одно из недавних извержений, о котором имеется некоторый
фотометрический материал,—-это извержение Катмаи в июне
1912 г. Гёц A944) отмечает, что данные об ослаблении, полу-
полученные на Маунт-Вилсон, в Алжире и в Швеции, дают удиви-
удивительно сходные результаты. Он объясняет их наложением дымки
(т=1,33, радиус капелек не приводится, но, по-видимому, равен
0,5—0,6 мк) и пыли (ап = оо, радиус частиц от 0,17 до 0,22 мк).
Рассеяние на вулканической пыли вызывает так называемое
кольцо Бишопа — красноватый круг вокруг Солнца радиусом
примерно 30°. Фольц пользуется тем же названием для любого
красноватого кольца радиусом 10° или больше. Для аэрозоля
типа С пределы составляют 20 и 30°, а для аэрозоля, вызываю-
вызывающего «голубое Солнце» (см. ниже) — 10 и 30°. Всего проще объ-
объяснить это наличием такого узкого спектра размеров, что первый
492 20. ПРИМЕНЕНИЯ В МЕТЕОРОЛОГИИ
минимум в дифракционной картине для зеленого света приводит
к появлению оттенка дополнительного к нему красного цвета.
Это объяснение аналогично старой теории цветов дифракцион-
дифракционных венцов, в которой внешний край первой красной зоны обычно
рассматривался как первый минимум для «белого» света с
i = 0,56 мк. Для красной зоны, достигающей 35°, это дает
а = 0,56 мк. Совершенно иное толкование, основанное на учете
наличия очень широкого спектра размеров частиц, было пред-
предложено Фольцем. Идея состоит в том, что малый показатель сте-
степени v в функции распределения по размерам приводит к малому
показателю а в функции распределения по длинам волн
(разд. 20.21), вследствие чего и получается красноватый цвет.
Поэтому наблюдение красноватого цвета под определенным
углом 0 указывает на малый показатель степени v в спектре
размеров частиц, которые наиболее эффективно рассеивают под
этим углом. Таким образом, изменения цвета в зависимости от
0 объясняются изменением v в зависимости от а. Для проверки
того, действительно ли предложенная функция распределения по
размерам удовлетворяет наблюдениям, можно провести числен-
численное интегрирование (например, для двух длин волн). За под-
подробностями мы рекомендуем обратиться к работе Фольца.
23 сентября 1950 г. большие лесные пожары бушевали в про-
провинции Альберта (Канада). Голубой цвет Солнца, вызванный
ими, привлек всеобщее внимание. Елена Хогг A950) сообщает,
что в последующие дни в Онтарио Солнце имело синеватый цвет.
Частицы дыма переносились ветром в Европу и достигли Вели-
Великобритании 26 сентября, где они оказались на высоте от 9000
до 13 000 ж (Балл, 1951). О наблюдениях сообщили Гатри A950)
и Вильсон A951). Вильсон провел фотометрию Солнца в момент,
когда облака рассеялись; при этом Солнце имело густой цвет
индиго. Солнце было слабее, чем обычно на такой высоте (около
о
20° над горизонтом), на 10,9 звездных величин при 6300 А, на
10,0 звездных величин при 4400 А и на 10,2 звездных величин
о
при 4000 А; 10 звездным величинам соответствует множитель
о
10 000 в интенсивности. Минимум ослабления при 4400 А можно
объяснить преобладанием частиц размера а, определяемого со-
соотношением
0,26 (мк)
а =
т—\
где т — вещественный показатель преломления. Оно непосред-
непосредственно следует из соотношения (разд. 11.22)
Pmin = ~1— (т— 1) = 7,4.
20.3. ОПТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ В ОБЛАКАХ, ТУМАНЕ И ДОЖДЕ 493
Так как т должно быть близким к 1,5, находим, что а = 0,5 мк.
Однако Вильсон считает, что 8 звездных величин следует
приписать «нейтральному» ослаблению очень крупными части-
частицами. Быть может, более вероятно, что спектр размеров частиц
был очень широкий, типа рассмотренного в разд. 11.5.
Фольц A954) отмечает, что здесь также наблюдалось кольцо
Бишопа, ширина которого равнялась 15°, что можно объяснить
предположением, что функция распределения по радиусам имеет
верхний предел 0,6 мк. Это неплохо согласуется с предыдущей
оценкой, хотя хотелось бы иметь более точные числовые данные.
20.3. Оптические явления в облаках, тумане и дожде
Капли облаков, тумана и дождя намного больше капель
дымки, описанной в предыдущем разделе. Очевидно, облако мо-
может содержать также значительное количество капелек меньших
размеров,-хотя радиусы капель, преимущественно определяющих
особенности ослабления и рассеяния, заключены в интервале
от 5 до 20 мк.
Это означает, что ослабление практически постоянно во всей
ультрафиолетовой, видимой и ближней инфракрасной областях.
Трудно предсказать, где именно максимум кривой ослабления
будет спадать, так как правило Ятах. = а выполняется только для
показателя преломления 1,33, а полосы поглощения инфракрас-
инфракрасного излучения видоизменяют показатель преломления и добав-
добавляют к нему мнимую часть. Это отличие, во всяком случае, не
будет улучшать прозрачность облака в далекой инфракрасной
области, так как ослабление для поглощающих сферических ча-
частиц (рис. 54, разд. 14.22) достигает максимума при меньших
значениях х (больших К), чем ослабление для диэлектрических
сферических частиц (рис. 24, разд. 10.4). Этот вопрос не имеет
большого значения, так как область длин волн от 5 до 20 мк
не представляет большого интереса для какого-либо исследова-
исследования, а селективное поглощение водяным паром и другими моле-
молекулами воздуха велико.
Надежные измерения в области длин волн от 0,4 до 5,5 мк
были выполнены Арнюльфом, Брикаром и Вере A950). В этой
области ослабление остается постоянным с точностью до ±10%.
Измерения выполнимы, кроме того, в миллиметровом и санти-
сантиметровом диапазонах. В этом случае облачные и даже дождевые
капли меньше X, и хорошее приближение дает формула Релея
(разд. 20.41). В настоящем разделе мы будем рассматривать
только свет видимой и ближней инфракрасной областей
A<2мк).
Поскольку кривая ослабления не позволяет сделать надеж-
надежных заключений о размере капель, мы можем рассмотреть ха-
494 20. ПРИМЕНЕНИЯ В МЕТЕОРОЛОГИИ
рактеристики рассеяния. Конечно, в этом случае возможны также
непосредственные измерения отдельных капель, например, по-
посредством высокоскоростной фотографии, но они лишены пре-
преимущества быстрой оценки преобладающих размеров капли
в довольно болыпом объеме воздуха (ср. разд. 18.2). Общие ха-
характеристики рассеяния одни и те же для любой капли с а^>Х,
за исключением следующих явлений, которые зависят от раз-
размера:
1) дифракционные венцы (разд. 8.31 и 13.41);
2) радуги (разд. 13.2);
3) глория (разд. 13.3).
Рис. 97 позволяет быстро ориентироваться в этих явлениях.
Подробности см. на рис. 42, разд. 13.11.
Вторичная радуга
X (вода)
радуга
Глария (вода)
Рис. 97. Схема наиболее известных оптических явлений в ат-
атмосфере, обусловленных каплями воды и кристаллами льда.
Угол между последовательными дифракционными кольцами,
а также угол между кольцами глорий пропорционален х~1, или
Х/а. Углы между последовательными максимумами («дополни-
(«дополнительные дуги») на яркой стороне радуги, а также сдвиг радуги
относительно положения, определяемого геометрической опти-
оптикой, пропорционален х'\ или (k/af3. Рис. 47 дает представле-
представление о положении этих максимумов.
Все эти три явления принадлежат к удивительно красивым
явлениям природы. В этом случае падающим светом является
солнечный свет, состоящий из излучения, принадлежащего об-
обширной области длин волн, и, кроме того, поступающий из источ-
источника, имеющего угловой размер примерно в полградуса. Полу-
Получающиеся в результате цвета, воспринимаемые нормальным
глазом, были рассчитаны для дифракционных венцов и радуг
различными авторами (Принс и Реезинк, 1944; Бухвальд, 1943).
Результаты этих расчетов можно использовать для оценки раз-
размера капли на основании наблюдений радуги и венцов в есте-
20.3. ОПТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ В ОБЛАКАХ, ТУМАНЕ И ДОЖДЕ 495
ственных условиях. Обычный, хотя и более грубый метод сво-
сводится к предположению, что красные или красноватые полосы
приблизительно совпадают с минимумами в диаграмме для зеле-
зеленого света, к которому глаз наиболее чувствителен. Согласно
Фраунгоферу, «эффективная длина волны белого света», соот-
соответствующая этому правилу, равна 0,57 мк (Пернтер—Экснер,
1910, стр. 460).
Туман
Сканирующее Фотоэлемент Источник
зеркала света
Рис. 98. Прибор для измерения размеров капель путем
сканирования интенсивности в искусственной радуге
(по Малкусу, Бишопу и Бриггсу).
Если ищутся действительно количественные результаты,
лучше взять искусственный точечный источник и выделить узкую
полосу длин волн с помощью фильтра или спектрографа. Всеми
тремя явлениями пользовались для измерения таким путем раз-
размеров капель в облаках и туманах. На рис. 98 дана схема воз-
возможного устройства прибора, предложенного Малкусом, Бишо-
Бишопом и Бриггсом A948).
При количественной интерпретации распределения света в
дифракционных венцах мы должны помнить о явлении ано-
496 20. ПРИМЕНЕНИЯ В МЕТЕОРОЛОГИИ
мальной дифракции (разд. 11.33). Высота второго максимума
(первое яркое кольцо) и положение первого минимума подвер-
подвержены сильным колебаниям при любом х<50, т. е. при а<4 мк.
Подробности можно видеть на рис. 51 и 52. Высота следующего
кольца и положения следующих минимумов могут не достигать
своих нормальных значений вплоть до х=100, т. е. до а = 8 мк.
Вне области рис. 52 простая теория интерференции, изложенная
в разд. 11.31, является приблизительно правильной.
Эти рассуждения показывают, что, как правило, для углов,
больших 5°, дифракционные венцы нельзя объяснить с помощью
излагаемой в учебниках простой теории. Это иллюстрируется
также спектрофотометрией дифракционных венцов водяных ка-
капель, выполненной Тойхером A939). Его данные получены для
двух углов @ = 9°10' и 14°20') и охватывают область значений
а от 4,4 до 11 мк и X от 0,43 до 0,66 мк, т. е. х. от 40 до 160. Это
как раз та область, в которой наблюдается аномальное поведе-
поведение второго и третьего максимумов. В разд. 13.33 обсуждались
некоторые количественные наблюдения глории, поскольку они
были нужны для подтверждения теоретических соображений,
так как это единственное явление, для которого нет полной тео-
теории. Дополнительные данные о наблюдениях глории в естествен-
естественных условиях см. у Пепплера A939), Дима A942) и Аренберга
A948). По-видимому, нет оснований сомневаться в правильно-
правильности предложенной в разд. 13.31 и 17.42 теории, рассматривающей
глорию как излучение тороидального волнового фронта, возни-
возникающего за счет касательно падающих лучей, испытавших одно
внутреннее отражение при участии поверхностной волны. Отли-
Отличия от дифракционных венцов состоят в следующем:
а) различные отношения радиусов колец;
б) сильная поляризация;
в) наблюдается больше колец, так как интенсивность убы-
убывает как A80°—0)~>, а не по закону <~0~3, справедливому для
дифракционных венцов.
К сожалению, автору не удалось найти измерений, в которых
к одному и тому же облаку или туману применялось бы более
одного метода оценки размера капель (по венцам, радуге и гло-
глории). Такие измерения, естественно, желательны для дальней-
дальнейшей проверки теории глории.
Наконец, можно упомянуть о некоторых исследованиях, в ко-
которых особое внимание уделено исследованию поляризации рас-
рассеянного света. Для исследования света, рассеянного разнообраз-
разнообразными твердыми поверхностями и аэрозолями, Лио A929) приме-
применял весьма чувствительный визуальный поляриметр (ср. разд.
19,3). Его результаты для капелек с радиусами примерно 1 мм
и 0,25 мк показаны на рис. 99, где пунктирная кривая представ-
20.3. ОПТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ В ОБЛАКАХ, ТУМАНЕ И ДОЖЛЕ
497
ляет данные табл. 21 (разд. 13.11). Отличительными особенно-
особенностями являются отрицательная поляризация дважды преломлен-
преломленного компонента, положительная поляризация отраженного
света и наложенные на нее два положительных пика, обуслов-
обусловленные первой и второй радугами. С уменьшением размера кри-
кривая постепенно меняется, что иллюстрируется экспериментальной
кривой для 2а = 5 мк (х = 30). Радуги замываются и сдвигаются
W
Вторая раира Первая радуга
0,5
-0.5
Теория
—а=1мм Лио ~\
--• а *=10-50мк Покровский ) Опыты
— а=2,5мк Лио J
J
Рис. 99. Степень поляризации света, рассеянного водяными каплями раз-
различных размеров, даваемая теорией и экспериментом.
так, как предсказано в разд. 13.24 (рис. 47). Хотя для этой об-
области значений х числовые данные и были рассчитаны, но вслед-
вследствие трудностей интерполирования, рассматривавшихся в разд.
13.12, детального сравнения опыта с теорией выполнить не
удается.
Сходное, хотя и менее полное исследование было выполнено
Покровским A927). В первой статье он описывает измерения по-
поляризации света, рассеянного очень мелкими капельками, обра-
образованными при конденсации пара, вытекающего из сопла. Во вто-
второй статье аналогичное исследование проведено для крупных
капелек (диаметром больше 100 мк), полученных с помощью
32 Заказ № 374
498 20. ПРИМЕНЕНИЯ В МЕТЕОРОЛОГИИ
пульверизатора. Результаты последней работы также представ-
представлены на рис. 99; вероятно, они менее точны, чем измерения Лио
для промежуточных размеров, которые на этом рисунке не по-
показаны.
Брикар A940) опубликовал исследование естественных ту-
туманов. Найденные им преобладающие радиусы капель таковы:
Слоистые облака а = 4,2 ж
Кучевые облака д = 5,4 мк
Слоисто-кучевые облака а = 7,6 мк
Дождевые слоистые облака а = 9,8 мк
В той части книги, которая посвящена оптическим задачам,
он дает обзор различных классических теорий; неприемлемым
представляется только его объяснение глории. В двух более ко-
коротких статьях (Брикар, 1941, а, Ь) приводятся данные об интен-
интенсивности для ряда углов 0 от 10 до 50 и от 140 до 172°. По Бри-
кару, поляризация радуг находится в согласии с теорией и с
лабораторными измерениями, показанными на рис. 99, а именно
она положительна, т. е. электрический вектор касателен к дугам
радуги. Далее в этой статье он сообщает, что максимумы сдви-
сдвигаются на место минимумов при наблюдении радуги сквозь пла-
пластинку поляроида, которая пропускает только более слабый ком-
компонент (Е перпендикулярно дугам). Объяснение этого явления
было предложено в разд. 13.24. Несколько озадачивающим яв-
является сообщение Брикара о том, что кольца глории имеют тот
же знак поляризации, что и радуги. Это противоречит приведен-
приведенным в разд. 13.33 данным, полученным в лаборатории и в есте-
естественных условиях.
До сих пор не упоминались облака, состоящие из малых
ледяных частиц (перистые, перисто-слоистые). Для этих облаков
остается в силе основное замечание, а именно что размеры ча-
частиц много больше К, так что можно применять законы геомет-
геометрической оптики.
Ледяные иглы в виде шестигранных призм в сочетании с их
тенденцией к упорядоченной ориентации в спокойной атмосфере
вызывают красивые явления гало. Подробное описание и теория
этого явления даны в книгах Пернтера и Экснера A910), Мин-
нарта A940) и Фиссера A943).
Дифракционные венцы, вызываемые ледяными иглами и во-
водяными каплями, сходны, но не совсем одинаковы. Из табл. 6
(разд. 7.4) сразу видно, что минимумы в дифракционной картине
для цилиндров (функция ?(«)) расположены на постоянном
расстоянии друг от друга, в то время как в дифракционной кар-
картине для сферических частиц (функция F(u)) угол от центра до
20.4. РАДИОЛОКАЦИОННАЯ МЕТЕОРОЛОГИЯ 499
первого минимума значительно больше, чем от первого до вто-
второго минимума. Эта разница должна быть заметна также в вен-
венцах, наблюдаемых вокруг Солнца и Луны, хотя непосредственное
сравнение выполнимо с трудом из-за того, что свет белый, а
источник протяженный.
Из теоретических соображений считали, что интенсивность
во внешних кольцах венца, даваемого облаком из частиц льда,
будет уменьшаться менее круто, чем в венце, даваемом водяными
каплями. Мейер A950) показал, что это заключение непра-
неправильно; его аргументация приводится в разд. 8.32; кроме того,
он привел наблюдательные данные, свидетельствующие об от-
отсутствии явления типа глории в облаках, состоящих из частиц
льда.
20.4. Радиолокационная метеорология и затухание
сантиметровых волн
При применении все более и более коротких радиоволн
A0 см, 3 см, 1,25 см, 6 мм) во время второй мировой войны и
после нее обнаружилось, что влияние дождя и тумана все более
и более усиливается. Практически значение имеют два эффекта.
1. Затухание радиоволн, обусловленное дождем и туманом,
уменьшает мощность при однократном прохождении и еще силь-
сильнее влияет на радиоэхо, так как радиоволны проходят путь
дважды. Этот же эффект требует введения поправок при радио-
радиоастрономических наблюдениях на очень коротких волнах.
2. Отражение от облаков и грозовых туч воспринимается как
радиолокационное отражение. Грозы, наблюдаемые на экране
радиолокатора, могут иногда мешать наблюдению отражений от
кораблей и т. д. С помощью этого метода можно провести клас-
классификацию самих гроз и изучать их развитие. Это является но-
новой специальной областью радиолокационной метеорологии.
20.41. Затухание в тумане и дожде
Подробные обзоры этого вопроса с многочисленными табли-
таблицами и рисунками опубликованы Райдом A947) и Голдстейном
A951). Эти таблицы построены так, что дают в готовом виде
оценки всех относящихся сюда величин. Чтобы показать, какие
именно важные факторы определяют эти результаты, в после-
последующем изложении мы приведем несколько примеров и поясне-
пояснений к ним.
Для капель очень малых размеров можно применять формулы
гл. 6, точнее, формулы разд. 6.13, поскольку вода является ча-
частично поглощающим веществом. Они показывают, что ослабле-
32*
500
20. ПРИМЕНЕНИЯ В МЕТЕОРОЛОГИИ
ние определяется главным образом поглощением и что оно про-
пропорционально объему частицы. Для таких частиц затухание в
облаке пропорционально содержанию жидкой воды и поэтому
может быть выражено в дб/км на 1 г/ж3. В табл. 43 приведены
значения этой величины, полученные Райдом. Они очень сильно
зависят от температуры, так как мнимая часть т2 сильно ме-
меняется с температурой. Затухание при 0°С равно приблизительно
удвоенному табулированному значению, а при 40°С половине
этого значения. По таблицам Лоуана автор оценил, при каком
значении х=2яа/Х отклонение от закона пропорциональности
объему достигает 10%. Эти значения и соответствующие радиусы
капель также приведены в табл. 43 (см. также табл. 25, разд.
14.21).
Таблица 43. Затухание сантиметровых воли на очень малых
водяных каплях
). (см)
Затухание
на малых
каплях
при 18°С
(об/км на
г;мя)
Отклонение достигает
10% при
г.а//
0,2
0,5
0,7
1,0
1,25
7,14
1,65
0,876
0,438
0,280
0,18
0,12
0,10
0,09
0,08
а (см)
). (см)
0.006
0,010
0,011
0,014
0,016
2.0
3,0
5,0
10,0
Затухание
на малых
каплях
при 18°С
(дб/км на
3
0,112
0,050
0,0178
0,0045
Отклонение достигает
10% при
х = 2г.а/\
0,06
0,05
0,03
0,03
а (см)
0,019
0,024
0,024
0,032
Это означает, что для большинства облаков и туманов (ра-
(радиусы капель меньше 0,01 см=100 мк) пропорциональность за-
затухания объему является удовлетворительным приближением,
но для всех видов дождя требуется учет последующих членов
рядов Ми. Даже моросящий дождь, в котором обычно капли
имеют а = 0,05 см, оказывается выше этого предела при Я,= 10 см;
здесь нельзя применять приближение, справедливое для малых
частиц, несмотря на то, что длина волны больше радиуса в
200 раз!
Для длин волн больше 10 см можно получить лучшее прибли-
приближение, если пренебречь мнимой частью и всюду пользоваться
сечениями рассеяния для т = 9. Практически не очень нужно
иметь формулу, так как затухание на этих длинах волн при лю-
любых обстоятельствах пренебрежимо мало.
При заданном весе увеличение размера капли дает вначале
большее сечение ослабления. Отношение достигает максимума
при а от 0,01 X до 0,02 К (|тх|=»1) и затем медленно падает.
20.4. РАДИОЛОКАЦИОННАЯ МЕТЕОРОЛОГИЯ
501
Это следует из значений Q(x)/x, где Q(x) —фактор эффектив-
эффективности ослабления (см. рис. 60, разд. 14.31). Так как сечение ос-
лабления капли равно zta2Q{x) см2, а вес -^- паъ, то сечение
равно -?- Q(x)/x см2/г. После умножения этой величины на
0,434 получается коэффициент ослабления в дб/км на 1 г/ж3,
предельные значения которого при малых х даны в табл. 43.
Широкий спектр размеров капель делает несколько затруд-
затруднительным оценку того, что будут давать различные типы дож-
дождя. Покажем на одном примере, какие расчеты здесь требуются.
Таблица 44. Затухание волн с X = 1 см в очень сильном дожде
при 18°С
а
(см)
0,025
0,05
0,075
0,10
0,125
0,15
0,175
0,20
0,225
0,25
0,275
0,30
0,325
Интеграл
„Эффективное
значение"
пМножитель
ропорциональ-
ности
Результат
4 1 , ^
— r.a'vn(a)da
о
A0—вм/сек)
0,3
1,1
2,5
3,9
4,7
5,0
4,2
2,5
1,6
0,8
0,6
0,4
0,2
27,8
3,60
р = 100 мм/час
V
(м/сек)
2,1
3,9
5,3
6,4
7,3
7,9
8,4
8,7
9,0
9,2
9,4
9,5
9,6
7,0
— na*n[a)da
о
(г/л1)
0,14
0,28
0,47
0,61
0,64
0,63
0,50
0,29
0,18
0,09
0,06
0,04
0,02
3,95
1
М =
= 3,95г/л*з
^ОСЛ.
(см'/г)
1,9
4,4
8,9
15,3
15,4
13,8
12,4
10,8
9,5
8,5
7,7
7,2
6,7
11,7
сосл. "(a)de
{слР/м2)
0,3
1,2
4,2
9,3
9,8
8,7
6,2
3,1
1,7
0,8
0,5
0,3
0,1
46,2
0,434
т' =
=20,1 дбкм
502 20. ПРИМЕНЕНИЯ В МЕТЕОРОЛОГИИ
Обозначим радиус капли через а, и пусть n(a)da — число
капель на 1 м3 с радиусами, лежащими в интервале da. В табл.
44 этот интервал равен da=0,025 см. Все данные этой таблицы
взяты из статьи Голдстейна. Во втором столбце приводится ре-
результат интегрирования, дающего полную скорость выпадения
осадков. Вклад капель каждого интервала размеров пропорцио-
пален произведению относительного объема 10~6 • -^-яа3п(а)йа
и скорости падения v. Коэффициент пропорциональности равен
3,6, и полная скорость выпадения осадков будет 100 мм/час
(очень сильный дождь). Делением ее на значения v, приведен-
приведенные в третьем столбце, получаем относительный объем и путем
интегрирования — массу жидкой воды М = 3,95 г/л3. Плотность
воды принята равной 1 г/см3. Деля значение интеграла, приве-
приведенное во втором столбце, на значение интеграла из четвертого
столбца, получаем эффективную скорость падения 7,0 м/сек.
Предпоследний столбец дает значения
Срел. _ 3- Q (х)
4 , ~ 21 х
при Я=1 см для показателя преломления, соответствующего Х =
= 1 см при 18°С. Произведения соответствующих значений из
четвертого и пятого столбцов дают значения, приведенные в по-
последнем столбце. Интегрирование по ним дает полное сечение
в см2 на м3. Деление интеграла, приведенного в шестом столбце,
на интеграл, данный в четвертом столбце, дает «эффективное»
значение, приведенное в пятом столбце. Таким образом, исполь-
используемый в этой книге коэффициент ослабления у=46,2- 10~6 см~х;
путем умножения на 0,434" 106 приходим к более привычным
единицам: у'=20,1 дб/км.
Этим заканчивается рассмотрение примера.
Единственный параметр, который легко измерить на прак-
практике, это скорость выпадения осадков р, но даже она подвер-
подвержена большим локальным и временным изменениям. Поэтому
принято рассчитывать отношение у'/р. Результаты Голдстейна,
дополненные интерполированием, приведены в табл. 45.
Из этой таблицы видно, что для тех моделей дождя, на кото-
которых были основаны расчеты, затухание радиоволн не строго про-
пропорционально скорости выпадения осадков. При Х<1 см отно-
отношение \'/р уменьшается с увеличением выпадения осадков, а при
А> 1 см оно растет. Это объясняется тем, что капли моросящего
дождя в среднем меньше капель умеренного дождя; при очень
сильном дожде капли еще больше. Это дает два эффекта: 1) из-
изменение скорости падения, вследствие, чего отношение М/р
20.4. РАДИОЛОКАЦИОННАЯ МЕТЕОРОЛОГИЯ
503
Таблица 45. Отношение затухания к скорости выпадения осадков
при 18°С
Длина
волны
0,5
0,6
1,0
1,25
у' /р (дб,'км на 1 мм''час)
моросящий
дождь,
0-25
мм/час
1,20
0,64
0,42
0,15
0,086
умеренный
дождь,
4 мм/час
0,65
0,50
0,40
0,19
0,12
Очень силь-
сильный дождь,
100 мм /час
0,33
0,29
0,27
0,20
0,15
Длина
волны
Х=2,0
3,0
5,0
10,0
у'Ip i дб/км на 1 мм/час \
моросящий
дождь,
0-25
мм/час
0,024
0,0089
умеренный
дождь,
4 мм/час
0,042
0,017
0,0028
0,0003
Очень силь-
сильный дождь,
100 мм/час
0,06
0,032
0,005
0,0003
уменьшается с возрастанием скорости выпадения осадков, и
2) изменение фактора Сосл/-д-яа3.
Значение имеет только второй эффект. Для радиоволн с дли-
длиной волны 1 см наиболее часто встречающиеся капли являются
также наиболее эффективными, так что сдвиг в ту или другую
сторону не оказывает большого влияния. Для радиоволн с дли-
длиной волны 3 см наиболее часто встречающиеся капли имеют
меньший размер, чем те, которые являются наиболее эффектив-
эффективными; следовательно, возрастающий размер капель в сильном
дожде будет увеличивать эффективность. При А = 0,3 см капли,
встречающиеся чаще всего, будут уже больше наиболее эффек-
эффективных; поэтому возрастание размера капель в более сильном
дожде будет уменьшать эффективность.
20.42. Радиолокационные наблюдения дождя и облаков
Рассеяние назад сантиметровых волн дождевыми каплями и
ледяными кристаллами имеет большое значение в метеороло-
метеорологии, так как им определяется само существование радиолока-
радиолокационной метеорологии.
Интересной особенностью расчетных радарных сечений водя-
водяных капель (разд. 14.32) является наличие больших флуктуа-
флуктуации (см. рис. 61). В обзоре Голдстейна они неправильно на-
называются резонансами; правильное объяснение с помощью по-
поверхностной волны, огибающей каплю, рассматривалось в разд.
17.41. На практике значение этих флуктуации для современной
радиолокационной метеорологии незначительно, так как первый
максимум появляется при * = 2яа/А,= 1,0, что при локации на
6 мм дает капли радиусом 1 мм. Следовательно, в большинстве
504
20. ПРИМЕНЕНИЯ В МЕТЕОРОЛОГИИ
случаев обычные капли как раз достигают (или не вполне дости-
достигают) первого максимума и только очень большие капли дости-
достигают первого минимума.
Для капель очень малых размеров мы можем применить ре-
леевское приближение, для которого имеем
а 3 _ ¦ 1 т.2 — 1 12
~G
— — — П — 4
Здесь а — радарное сечение, a G — геометрическое поперечное
сечение па2. Это приближение дает результаты, правильные по
2 -
1
I
1
/ \
/ \
/
Зсм,
1,25см.
Змм,
Л
1
т=
т =
т =
1
8,18-1,96 i
6,41 — 2,861
3,41- 1,94 i
-
0.1
1.5
Рис. 100. Отношение радарного сечения водяной капли к сече-
сечению, рассчитанному в релеевском приближении, для трех длин
волн. Абсцисса х=2яаД, а —радиус капли.
порядку величины вплоть до х=1. Например, сравнивая кривую
рис.61 (А,=3 мм, т = 3,41 — 1,941) с приближением Релея, мы
находим, что при х<0,93 отклонение остается меньше 20%.
Этот предел значительно выше тех значений х, при которых пе-
перестает быть применимой формула затухания на малых каплях
(разд. 20.41). На рис. 100 изображен график, дающий для трех
значений т отношение действительного значения а к значению а
в приближении Релея.
Тот факт, что радарное сечение может более чем вдвое пре-
превышать значение, даваемое приближением Релея, вызывается
20.4. РАДИОЛОКАЦИОННАЯ МЕТЕОРОЛОГИЯ 505
магнитно-дипольным резонансом, что было объяснено в разд.
14.31. Резонансный эффект велик только тогда, когда мнимая
часть показателя преломления п' мала. Так как п' сильно умень-
уменьшается с возрастанием температуры (при Я^З см), резонанс-
резонансные эффекты должны увеличиваться с ростом температуры. Если
повторение подробных расчетов для многих значений т оказы-
оказывается нецелесообразным, теория раздела 14.31 может дать
представление об ожидаемой величине этого эффекта.
Так как множитель 2 не имеет значения для большинства
практических расчетов, приближение Релея можно использо-
использовать вплоть до х=1. Большие капли дождя относительно более
существенны для отражения, чем для затухания (разд. 20.41).
Числовой пример: Для типичной летней грозы мы можем
взять следующие значения из статьи Голдстейна. Скорость вы-
выпадения осадков 30 мм/час, содержание жидкой воды М=\ г/м3.
Эффективный радиус капли для расчетов отражения а = 0,18 см.
что дает я = 41 капля на 1 м3. При Я = 9,2 см получаем x = 0,123
я в приближении Релея a/G = 4 • 0,93 • @,123) 4=8,5 • 10~4 и а =
= 8,6-10~9 м2. Таким образом, сечение на единицу объема бу-
будет псг = 3,5 • 10~7 М'1, т. е. на 65 дб ниже уровня 1 м~[.
Проблемы радиолокационной метеорологии не ограничи-
ограничиваются дождевыми каплями. Нам нужно рассмотреть также
лед. Его показатель преломления равен 1,75 со слабой зависи-
зависимостью от Я и с небольшим мнимым членом. В обзорной статье
Райда A947) даны подробные таблицы для следующих случаев.
1. Сферические градины, радиусы до 1 см; поглощение в 10
или более раз меньше, чем поглощение при дожде с той же ско-
скоростью выпадения осадков. Отражение несколько меньше, чем
отражение при дожде, кроме случая, когда градины очень боль-
большие.
2. Небольшие ледяные кристаллы и отдельные снежинки раз-
размером до 2 мм; затухание мало, интенсивность отражения не
очень отличается от интенсивности отражения при дожде с той
же скоростью выпадения осадков.
3. Снежные хлопья, состоящие из кристаллических агрегатов
приблизительно сферической формы, размером до 2 см. В этом
случае применялось только приближение, справедливое при раз-
размере частиц, много меньшем длины волны. Интенсивность от-
отражения значительно превышает интенсивность отражения для
отдельных кристаллов.
4. Тающие кристаллические агрегаты; здесь снова исполь-
используется предположение, что частицы значительно меньше длины
волны. Предполагается, что лед, вода и воздух перемешаны, так
что рассматривается однородная частица со средним коэффи-
коэффициентом преломления. Позже это предположение подвергалось
506 20. ПРИМЕНЕНИЯ В МЕТЕОРОЛОГИИ
критике (разд. 20.43). С помощью обычной теории Ми можно
дать обобщение на случай частиц большего размера (гл. 10 и
14).
20.43. «Полоса таяния» при радиолокационном отражении
Среди многих проблем, привлекающих внимание ученых в по-
последнее время, следует особо упомянуть яркие полосы, наблю-
наблюдаемые с помощью наземных радиолокаторов в облаках, даю-
дающих осадки. Боуэн A951) дал хороший обзор метеорологиче-
метеорологических условий, при которых эти полосы появляются. Встречаю-
Встречающаяся чаще других так называемая «полоса таяния» наблю-
наблюдается у основания облака, где, прежде чем выпасть в виде
дождя, ледяные частицы тают. Менее заметная полоса иногда
встречается на более высоком уровне и может совпадать с уров-
уровнями, где замерзают переохлажденные частицы воды. Количе-
Количественное изучение яркой полосы было выполнено Остином и Бе-
мисом A950).
Интенсивное отражение от яркой полосы вызывается резким
пиком в сечении отражения на единицу объема на уровне,
где происходит таяние. Было предложено по крайней мере че-
четыре эффекта, которые могут играть существенную роль в об-
образовании этого пика, и обычно считают, что количественную
теорию можно получить, рассматривая совместное влияние этих
явлений. Эти явления состоят в следующем:
а) увеличение показателя преломления после таяния;
б) увеличение скорости падения после таяния;
в) коалесценция;
г) уменьшение радарного сечения по достижении сфериче-
сферической формы.
За количественным рассмотрением того, каким образом эти
эффекты действуют совместно, мы можем отослать читателя
к статье Лабрума A952 Ь). Из этого исследования видно, что
слабо заметная яркая полоса должна вызываться уже эффек-
эффектами (а) и (б). Это обусловлено тем обстоятельством, что при
сравнении отражения от слоев, лежащих выше и ниже слоя тая-
таяния, большее .радарное сечение водяных капель по сравнению
с радарным сечением ледяных частиц возмещается их большей
скоростью падения, но конечная скорость падения достигается
только постепенно, что происходит после того, как частицы уже
имеют большое радарное сечение. Коалесценция (в) дает до-
дополнительный фактор увеличения по сравнению с отражениями
от вышележащих слоев. Эффекты несферичности (г) дают до-
дополнительный фактор увеличения по сравнению с отражениями
от нижележащих слоев, что отмечают, в частности, Атлас, Кер-
20.4. РАДИОЛОКАЦИОННАЯ МЕТЕОРОЛОГИЯ 507
кер и Хичфелд A953). Критическая дискуссия завела бы нас
слишком далеко в область проблем метеорологии.
В этой работе оказалось нужным рассчитать радарные сече-
сечения тающих снежных хлопьев. В качестве модели рассматри-
рассматривался ледяной щар, покрытый сферической водяной оболочкой.
Теория для произвольного отношения радиуса к Я была разра-
разработана Аденом и. Керкером A951), а также Гюттлером A952).
Керкер, Ланглебен и Гаи A951) применили ее к одному практи-
практическому примеру: Х=\0 см, внешний радиус 0,2 см, радиус ле-
ледяного ядра переменный. Возникает вопрос, нельзя ли сложные
формулы заменить более простыми ввиду того, что отношение
радиуса к длине волны довольно мало. Это действительно так.
Имеем в обычных обозначениях x = 2n,alk = 0,\26, и, обращаясь
к рис. 100. мы находим, что это отношение мало ровно настолько,
что релеевское приближение (электрически-диполыюе рассея-
рассеяние) справедливо с точностью до 10%. Соответствующая фор-
формула для поляризуемости а тела со сферической оболочкой была
дана в разд. 6.34. Радарное сечение пропорционально квадрату а.
Результаты, приведенные Керкером, Ланглебеном и Ганом,
очень сходны с результатами, приведенными для полых водяных
оболочек в табл. 4 (разд. 6.34). В частности, в обоих случаях
найдено, что водяной пленки толщиной в 7б радиуса достаточно
для того, чтобы тело стало рассеивать почти так же эффективно,
как наполненный водою шар.
Таким образом, эффект, содействующий появлению яркой по-
полосы, состоит в том, что тающие частицы, вероятно, проходят
стадию максимальной эффективности, в которой они обладают
двумя свойствами, обусловливающими большое сечение рассея-
рассеяния: 1) несферической формой, обусловленной ядром из льда,
2) большим показателем преломления, обусловленным водяной
оболочкой. Этот эффект был продемонстрирован Лабрумом
П952а) в опытах с тающими образцами, помещенными в волно-
волновод.
Исследование влияния формы частицы, проведенное Атла-
Атласом, Керкером и Хичфелдом, целиком основано на приближе-
приближении, справедливом для частиц малых размеров. По этой при-
причине их теоретическое рассмотрение влияния хаотической ориен-
ориентации должно быть тождественно теории Релея A918), которая
излагалась в разд. 6.52 (интенсивность рассеянного света) и
в разд. 6.53 (ослабление). Из формулы разд. 6.52 мы сразу на-
находим интенсивность при 0= 180°
не зависящую от поляризации падающего света, а также, если
падающий свет линейно поляризован, и отношение
508 20. ПРИМЕНЕНИЯ В МЕТЕОРОЛОГИИ
Интенсивность перпендикулярно поляризованного компонента _ А — В
Интенсивность параллельно поляризованного компонента ЗА + 2В
Атлас, Керкер и Хичфелд называют это последнее отношение
«деполяризацией». Подстановку значений поляризуемости для
вытянутых и сплюснутых сфероидов из разд. 6.32 в выражения
для А и В (разд. 6.52) можно выполнить непосредственно. Для
конкретного случая, когда т = 1,75 (лед) и отношение осей 1 : 5,
автор по этим формулам нашел, что относительные значения
4А + В, определяющие «коэффициент усиления» радарного се-
сечения по отношению к шару того же объема, таковы:
4А + В Деполяризация
Шары - 1,00 0,000
Вытянутые сфероиды A:5) . . .1,20 0,024
Сплюснутые сфероиды A:5). . .1,31 0,025
Эти эффекты проявляются гораздо сильнее, если взять показа-
показатель преломления воды, что, возможно, по существу правильно,
если ледяные стержни и диски покрыты тонкой пленкой воды.
В последнем случае при отношении осей 1 : 5 случайно ориен-
ориентированные продолговатые сфероиды по сравнению с шарами
того же объема имеют «коэффициент усиления», равный 7, а хао-
хаотически ориентированные сплюснутые сфероиды — «коэффи-
«коэффициент усиления», равный 4. Деполяризация равна 0,20 B0%)
для продолговатых и 0,08 — для сплюснутых сфероидов. Ко-
Конечно, можно получить даже большие значения «коэффициента
усиления», если частицы имеют преимущественную ориентацию,
способную обеспечить большую поляризуемость для электриче-
электрического вектора падающего пучка. Числовые значения приводятся
в цитируемой статье.
Та же теория содержится в более ранней статье Керкера
A950); кроме того, рассматривается кросс-поляризованный ком-
компонент, обусловленный многократным рассеянием. Найдено, что
он несуществен.
Наконец, можно отметить, что теория, изложенная в разд.
6.52, содержит также готовые формулы для падающего света
с произвольным состоянием поляризации. Интересные резуль-
результаты можно получить для круговой поляризации. Мы уже от-
отмечали (разд. 5.32), что из соображений симметрии сфериче-
сферические частицы произвольного размера, освещенные излучением,
поляризованным по кругу, при рассеянии назад могут давать из-
излучение только с тем же состоянием круговой поляризации. Для
несферических частиц это неверно. Поэтому высказывалась
ЛИТЕРАТУРА 509
мысль (Кеннаф, 1951; Уайт, 1951), что радиолокационные уст-
устройства, испускающие и принимающие излучение, поляризован-
поляризованное по кругу в противоположных направлениях, можно исполь-
использовать для уничтожения влияния капель сферической формы.
Это дало бы чувствительный метод обнаружения эффектов не-
несферичности формы частиц или вторичного рассеяния.
ЛИТЕРАТУРА1
Общие обзоры по метеорологической оптике и исследования, посвящен-
посвященные многократному рассеянию чистым воздухом (разд. 20.1), можно найти
в следующих работах:
Р enter J. M., Exner F. M., Meieorologische Optik, Vienna, W. Brau-
mffller, 1910.
D о r n о С, Physik der Sonnen und Himmelsstrahlung, Braunschweig,
Vieweg, 1919.
*Броунов П. И., Атмосферная оптика, Гос. техн. изд-во, 1924.
Minnaert M., Light and Colour in the Open Air, London, Q. Bell,
1940.
(Русский перевод: Миннарт М., Свет н цвет в природе, Физматгиз,
М., 1958.)
Mid diet on W. E. К., Visibility in Meteorology, 2nd ed., Toronto,
Univ. of Toronto Press, 1941.
van de Hulst H. C, Scattering in the Atmospheres of the Earth and
the Planets, chap. 3, The Atmospheres of the Earth and Planets, 1st ed.,
Q. P. Kuiper, ed., Univ. of Chicago Press, 1949. (To же во
2-м изд. 1952 г.)
(Русский перевод: ван де Хюлст X., Рассеяние излучения в атмо-
атмосферах Земли и планет, гл. 3, сб. «Атмосферы Земли и планет», под
ред. Дж. П. Койпера, ИЛ, М., 1951.)
Sekara Z., Compendium of Meteorology, T. F. Malone, ed., p. 79,
Boston, Amer. Meteor. Soc, 1951.
Neuberger H., там же, стр.61.
С h a n d r a s e k h a r S., Radiative Transfer, Oxford, Oxford Univ.
Press, 1950.
(Русский перевод: Чандрасекар С, Перенос лучистой энергии, ИЛ,
М., 1953.)
Chandrasekhar S., Elbert D. D., Trans. Amer. Phil. Soc, 44,
643 A95-1).
Deirmendjian D., Sekara Z., Tellus, 6, 362 A954); Nature, 175,
459 A955).
van de Hulst 11. C, Astrophys. J., 108, 220 A948).
Дана в том порядке, в каком она цитируется в этой главе.
510 ЛИТЕРАТУРА
Mid diet on W. E. K., J. Opt. Soc. Amer., 39, 576 A949).
Вопросу об ослаблении атмосферной дымкой (разд. 20.21) посвящены
следующие статьи:
V о 1 z F., Thesis Mainz, 1954 (Вег. deut. Wetterdienstes, Nr. 13, Band ?,
1954).
Junge C, Ann. Meteorol., Beiheft A952).
Vassy A., Vassy E., J. Phys., 10, 75, 403, 459 A939).
Dessens H., Ann. geophys., 2, 68 A946); 3, 68 A947).
Gotz F. W. P., Verhandl. schweiz. naturforsch. Ges., S. 88, 1944.
Angstrom A., Geograf. Ann., II, 156 A929).
Schiiepp W., Arch. Meteorol. Qeophys. u. Bioklimatol., Ser. B, 1,
257 A949).
Heller W., К 1 e v e n s H. В., Oppenheimer H., J. Chem. Phys.,
14, 569 A946).
Heller W., Vassy E., J. Chem. Phys., 14, 505 A946).
La M e r V. K., J. Phys. and Colloid. Chem., 52, 65 A948).
Рассеяние атмосферной дымкой (разд. 20.22) рассматривали следующие
авторы:
Hulburt Е. О., J. Opt. Soc. Amer., 31, 467 A941).
Reeger E, Siedentopf H.. Optik, 1, 15 A946).
В u 11 r i с h K., M 6 11 e r F., Optik, 2, 301 A947).
Volz F., цитировано выше.
Strzalkowski A., Acta Astronomica (Warszawa), 5, 95 A955).
Volz F., Photographie u. Wiss. (Agfa Mitteilungen), 3, 3 A954).
Moller F., de Вагу Е., К г о g Q., Qeofisica pura e applicata (Mi-
lano), 26, 141 A953).
Аэрозоли вулканических извержений и лесных пожарон (разд. 20.23)
изучались следующими авторами:
Melmore S., Observatory, 73, 105 A953).
G 61 z F. W, P., цитировано выше.
Dor no С, цитировано выше.
Hogg H. S., J. Roy. Astron. Soc. Can., 44, 241 A950).
Bull G. A., Meteorol. Mag., 80, 1 A951).
Guth rie W. G., Irish Astron. J, 1, 122 A950).
Wilson R., Mon. Not. Roy. Astron. Soc, 111, 478 A951).
Volz F., цитировано выше.
По поводу оптических явлений в больших каплях (разд. 20.23) см. гл. 13,
а также работы:
Arnulf A., Bricard J., Veret С, Recherche aeronaut., No. 15,
27 A950).
Prins J. A., Reesinck J. J. M., Physica, 11, 49 A944).
Buchwald E., Ann. Physik, 43, 488 A943).
Giint her S., Optik, 5, 240 A949).
Pernter J. M., Exner F. M., цитировано выше.
ЛИТЕРАТУРА 511
М а 1 к u s W. V. R., В i з h о р R. H., В г i g g s R. O., NACA Techn.
Notes 1622 A918).
Teucher R., Physik. Z., 40, 90 A939).
Peppier W., Wetter, 56, 173 A939).
Diem M, Ann. Hydrograph., 70, 142 A942).
Ah re n berg D. L., J. Opt. Soc. Amer., 38, 481 A948).
van de Hulst H. C, J. Opt. Soc. Amer., 37, 16 A947).
Bricard J., Ann. phys., 14, 148 A940); Compt. rend., 213, 136 A941a);
495 A941b).
Meyer R., Ber. deut. Wetterdienstes U. S. Zone, Nr. 12 A950).
L у ot В., Ann. observ. Paris-Meudon, 8, No. 1, 125—134 A929).
Покровский Г. И., Z. Physik, 43, 394, 769 A927).
Visser S. W., Optische verschijnselen aan de hemel, Qorinchem, Noor-
duyn, 1943.
Общим введением в область радио- и радиолокационной метеорологии
(разд. 20.41 и 20.42) могут служить работы:
R у d e J. W., Meteorological Factors in Radio Wave Propagation, Rept.
Phys. Meteorol. Soc, London, p. 169, 1947.
Goldstein H., Propagation of Short Radio Waves, D. E. Kerr, ed.,
parts of chaps. 7 and 8, Radiation Laboratory Series, No. 13, New
York, McGraw-Hill Book Co., 1951.
Marshall J. S., Hitschfeld W., Gunn K. L. S., Advances in
Radar Weather, Abvances in Geophysics, vol. 2, chap. 2, Lands-
berg H. E., ed., New York, Academic Press, 1965.
Рассмотрение некоторых специальных проблем, в частности «яркой по-
полосы таяния» (разд. 20.43), дано в следующих работах:
В о wen E. G., J. Atm. and Terrest. Phys., 1, 125 A961).
Austin P. M, BemisE. C, J. Meteorol., 7, 14-5 (I960).
Labrum N. R., J. Appl. Phys., 23, 1324 A952b).
Atlas D., К e r k e r M. L., Hitschfeld W.F J. Atm. and Terrest.
Phys., 3, 108 A953).
Aden A. L., Kerker M. I.., J. Appl. Phys., 22, 1242 A951).
Guttler A., Ann. Phys., 11, 65 A952).
Kerker M. L., Langleben P., G u n n K. L. S., J. Meteorol., 8, 424
A951).
Labrum N. R., J. Appl. Phys., 23, 1320 A952a).
Kerker M. L., Stormy Weather Research Group, McGill Univ. Re-
Research Rept. MW-1, 1950.
Kennaugh E. M., (Ohio State Univ. Research Foundation), Paper
at I. R. E. Convention, New York, March, '1951.
White W. D., (Airborne Inst. Lab., Mineola, L. I., N. Y.), Paper at
I. R. E. Convention, New York, March, 1951.
21. ПРИМЕНЕНИЯ В АСТРОНОМИИ
21.1. Введение
Развитие рассмотренных в этой книге теорий рассеяния света
с самого начала было тесно связано с астрономией. В связи с
теорией хвостов комет еще до 1900 г. были выполнены расчеты
действия светового давления на идеально проводящие шары.
Начиная с 1930 г. много внимания уделялось исследованию оп-
оптических свойств межзвездных частиц. Более поздние работы
по рассеянию на цилиндрах были предприняты с целью объяс-
объяснить межзвездную поляризацию.
Совершенно очевидно, что астрономия нуждается в теории
рассеяния света, поскольку здесь не применимы используемые
в других областях науки, вспомогательные методы, такие, как
взвешивание и подсчет, исследования с электронным микроско-
микроскопом, определение скорости падения в воздухе и т. д. Вряд ли
мы узнали бы о существовании межпланетной или межзвездной
пыли, если бы рассеяние или ослабление на них, или одновре-
одновременно то и другое, были бы недоступны наблюдениям. В дейст-
действительности, однако, основные данные, полученные путем ин-
интерпретации этих оптических наблюдений, дополняются физиче-
физическими и химическими теориями, описывающими свойства таких
пылинок в окружающих их газовой среде и поле излучения. На-
Настоящий обзор является неполным, поскольку в нем сумми-
суммируются только оптические свойства и не учитываются физико-
химические процессы.
Большое практическое значение в астрономии имеет мерца-
мерцание звезд. Оно возникает из-за неправильных вариаций показа-
показателя преломления в атмосфере, а именно в тропосфере в случае
оптического мерцания и в ионосфере при мерцании «радиозвезд».
Теоретическое рассмотрение обоих этих случаев выходит за
рамки этой книги, так как было бы весьма искусственным рас-
рассматривать отдельные «неоднородности» как изолированные ча-
частицы. В таком приближении потребовалась бы теория рассея-
рассеяния типа теории, изложенной в гл. 11, дополненная формулами
для многократного рассеяния. Из обширной литературы, осно-
основанной на более строгих методах, мы можем назвать статьи Пе-
кериса A947), Букера и Гордона A950), Хыоиша A951), Чан-
драсекара A952) и Фейера A954).
21.2. ПЛАНЕТНЫЕ АТМОСФЕРЫ 513
Представляется несомненным, что аналогичное явление, но
в значительно большем масштабе происходит во внешней ко-
короне Солнца. Радиоволны, излучаемые более глубокими слоями
или каким-либо галактическим источником, который случайно
оказывается покрыт короной, отклоняются от своего первона-
первоначального направления на множестве местных неоднородностей
электронной плотности. Это вызывает размывание и расширение
радиоизображения Солнца, или покрытого точечного источника
(в метровом диапазоне). Оценки диаметров неоднородностей
заключены между 1 и 105 км (Хьюиш, 1955).
21.2. Планетные атмосферы
Известно, что в солнечной системе десять планет и их спут-
спутников имеют атмосферу. Четыре планеты — Юпитер, Сатурн,
Нептун и Уран — имеют очень мощные атмосферы; наиболее
тщательно изучалась первая из этих планет. Земля и Венера
имеют умеренно плотные атмосферы. Остальные четыре тела —
Плутон, Тритон, Марс и Титан, из которых наибольшее внима-
внимание справедливо уделялось Марсу, имеют разреженные ат-
атмосферы. Физическая метеорология некоторых из этих планет
может оказаться столь же сложной, как и земная. Для всех тел
незначительная доля жидких или твердых частиц, содержа-
содержащихся в газовой атмосфере, может менять или даже определять
их внешний вид. Так как присутствие таких частиц влияет на
все непосредственные источники информации, такие, как спект-
спектроскопические и фотометрические исследования отражаемого и
испускаемого излучения, то их изучение имеет чрезвычайно
важное значение. Для Юпитера, Венеры и Марса мы дадим крат-
краткий обзор современного состояния вопроса. Большинство приво-
приводимых данных взято из книги «Атмосферы Земли и планет», под
ред. Дж. П. Койпера B-е изд., 1952).
Юпитер. На основании множества соображений Койпер при-
приходит к заключению, что основанием видимой атмосферы Юпи-
Юпитера служит верх облачного слоя, состоящего из твердых ча-
частиц аммиака. Температура равна примерно 160°К. Верх этого
облачного слоя, быть может, не плоский, а состоит из множе-
множества отдельных облаков с большими промежутками между ними.
Оценки размера частиц не делалось, так как кривая поляриза-
поляризации для диффузного отражения облачным слоем может наблю-
наблюдаться только от 180°—9 = 0 до 11°. Возможно, что некоторая
часть голубого рассеянного света, возникающего над облачным
слоем, вызывается не газовой атмосферой, а частицами аммиака
с размерами много меньше Я, так как на фотографиях, сделан-
33 Заказ № 374
514
21. ПРИМЕНЕНИЯ В АСТРОНОМИИ
ных в ультрафиолетовых лучах, иногда видны вуаль и легкие
облака, не видимые на фотографиях в инфракрасных лучах.
Очевидно, что такие частицы будут подчиняться законам релеев-
ского рассеяния (гл. 6).
Венера. Видимая яркая желтоватого цвета (альбедо 0,76) '
поверхность Венеры также представляет собой верх сплошного
облачного слоя. Здесь степень поляризации отраженного света,
которая оказывается в любой момент примерно одинаковой для
0.04
180° 150
(полнаяфаза)
120' 90°
Угол рассеяния
60°
30"
Рис. 101. Степень поляризации спета, отраженного Венерой,
в функции угла рассеяния (по измерениям Лио).
всех освещенных точек диска, может быть измерена для фазовых
углов почти от 0 до 180°. Кривая изменения поляризации, полу-
полученная Лио A929), представлена на рис. 101. Она послужила
отправным пунктом для многих предположений о химическом
составе облаков и спектре размеров их частиц.
Оптическая задача, с которой мы здесь встречаемся, это за-
задача о лучистом переносе (или многократном рассеянии) в тол-
толстом слое, частицы которого имеют сложные диаграммы рас-
рассеяния для двух направлений поляризации. Для более сложных
диаграмм, чем в случае релеевского рассеяния, решения этой
задачи в форме, удобной для проведения численных расчетов,
не получено. Даже в случае релеевской диаграммы для точного
решения требуется громадная аналитическая и вычислительная
работа (Чандрасекар и Элберт, 1954). На основе решений, по-
полученных Чандрасекаром для простых фазовых функций, ван
де Хюлст A952) и Горак A954) получили для планетных атмо-
атмосфер полезные числовые данные.
1 Это значение явно завышено. По Ресселу сферическое альбедо Венеры
равно 0,59, по Аллену (Astrophysical Quantites, 1955) оно равно 0,61.— Прим.
ред.
21.2. ПЛАНЕТНЫЕ АТМОСФЕРЫ 515
В качестве очень грубого приближения можно принять, что
иыходящее из атмосферы излучение является неполяризован-
ним, если оно последовательно рассеивалось частицами два или
более раз. Пусть это излучение в q раз интенсивнее излучения,
выходящего после однократного рассеяния. Эта последняя доля
имеет степень поляризации однократного рассеяния
которую можно рассчитать по формулам, приведенным в этой
книге. Тогда наблюдаемая поляризация должна быть равна
p/(\+q). Ясно, что q зависит от направлений падения и выхода,
а также от вида диаграммы рассеяния. Приняв, что q заключено
в интервале от 2,5 до 6, что представляется достаточно разум-
разумным (ван де Хголст, 1952), Лио объясняет ход полученной им
кривой присутствием водяных капелек с диаметрами, близкими
к 2,5 мк. Приблизительное согласие можно установить из срав-
сравнения рис. 101 с экспериментальной кривой для 2о = 2,5 мк (не
показанной на рис. 99).
Койпер возражает на это, что желтоватый цвет остается не-
объясненным и что в некоторые дни облачный слой Венеры по-
понижается столь быстро, что для объяснения этого требуются ча-
частицы с диаметром по крайней мере в 20 мк. Его предположе-
предположение о присутствии мелкого песка (S1O2 с окраской окислами же-
железа) было подвергнуто критике Мензелом и Уипплом A955).
В частном сообщении Койпер указал на другую возможность,
а именно на присутствие кристаллов NH4.
Очевидно, многое еще предстоит решить. Необходимы бо-
более полные расчеты многократного рассеяния; многое могли бы
дать измерения поляризации в различных длинах волн.
Марс. Изучение планеты Марс постепенно привело к обра-
образованию громадного набора наблюдательных данных; не менее
сильное впечатление производит большое количество теоретиче-
теоретических расчетов. Благодаря всему этому метеорология Марса по
своей сложности начинает приближаться к метеорологии Земли.
Соответствующие обзоры имеются в книге Койпера B-е изд.,
1952) и в книге Вокулёра A954). Здесь мы приводим краткую
сводку данных, относящихся к твердым частицам в атмосфере
Марса.
В видимом свете наблюдается твердая поверхность Марса,
в том числе полярные шапки из тонкого слоя снега из кристал-
кристаллов НгО, а также зеленые и коричневые области, на которых мо-
может быть жизнь. Однако на фотографиях, полученных в синих
и ультрафиолетовых лучах, видна атмосферная дымка, которая
определенно не является газовой из-за ее малого альбедо в уль-
33*
516 21. ПРИМЕНЕНИЯ В АСТРОНОМИИ
трафиолетовых лучах, а также из-за происходящих временами
прояснений. Вокулёр называет этот слой дымки «фиолетовым
слоем».
Относительно природы частиц фиолетового слоя были сде-
сделаны три предположения:
а) лед (НгО в твердом состоянии), размер 0,3—0,4 мк, вы-
высота 5—10 км (Койпер);
б) сухой лед (СО2 в твердом состоянии), размер 0,3 мк, вы-
высота 45 км (Гесс);
в) углерод (С3 в твердом состоянии), никаких предположе-
предположений относительно размера и высоты (Розен).
Один из важных фактов, полученных из наблюдений, состоит
в том, что при уменьшении I от 6000 до 4500 А непрозрачность
фиолетового слоя довольно резко возрастает. При интерпрета-
интерпретации на основании кривых ослабления для непоглощающих ча-
частиц, данных на рис. 24 (разд. 10.4) и на рис. 32 (разд. 11.22)
для шаров и на рис. 67 (разд. 15.31) для цилиндров, это при-
приводит фактически к предположению, что 2а(т—1) порядка
0,2 мк. В таком случае, если принять показатель преломления
т=1,33, получим диаметр 2а = 0,6 мк. Объяснение максимумов
и минимумов на кривой ослабления (разд. 11.22 и 13.42) как
будто указывает на то, что для частиц иной формы, например
для ледяных кристаллов, можно наблюдать такой же ход кривой
ослабления, какой был рассчитан для гладких цилиндров и ша-
шаров. Ненадежность данных и малый интервал длин волн не по-
позволяют получить этим способом более точную интерпретацию.
Розен предположил, что сильное увеличение непрозрачности в си-
синем свете является не эффектом размера, а вызывается полосой
поглощения частиц углерода, которая наблюдалась также
в звездах типа N. Это предположение не подтверждается физи-
физическими соображениями.
Койпер сделал несколько оценок размеров частиц дымки из
физических соображений. Например, частицы размером 2а>
>60 мк будут падать слишком быстро. Однако его наиболее точ-
точная оценка выполнена на основе следующих чисто оптических
соображений.
Утверждая, что при Л=4700 А слой дымки все еще настолько
тонок, что влияние многократного рассеяния на отраженное из-
излучение пренебрежимо мало, и что все же он достаточно толст,
чтобы сделать поверхность фактически невидимой, Койпер объ-
объясняет данные для этой длины волны, предполагая однократное
рассеяние смесью ледяных шаров различных размеров. Тогда
должны получить объяснение как наблюдаемая степень поляри-
поляризации (для которой Койпер принимает р= +0,05 при 180°—9 =
21.2. ПЛАНЕТНЫЕ АТМОСФЕРЫ 517
= 20°), так и отражательная способность планеты (для кото-
которой Койпер берет Я = 0,08).
На основании сделанных предположений R можно положить
равным направленности (или фазовой функции) частиц при
0=160°. Она определяется как отношение энергии, рассеянной
в единичный телесный угол в этом направлении, к средней энер-
энергии, рассеянной в единичный телесный угол во всех направле-
направлениях, т. е. в обозначениях предыдущих глав
4*
Койпер дает таблицу р и R, основанную на таблицах Лоуана
для т= 1,33, и с помощью пробных расчетов для различных сме-
смесей находит, что некоторый спектр размеров частиц с центром
при х от 2,0 до 2,5, т. е. при 2а от 0,3 до 0,4 мк, будет удовлетворять
наблюденным значениям р и R для 0=160°. Более точный рас-
расчет можно сделать с помощью интерполяционного метода, опи-
описанного в разд. 13.12 (рис. 43) и использованного для построе-
построения рис. 102 (разд. 21.3). Ввиду неточности физических данных
вряд ли стоит это делать. Однако можно отметить, что данные
относительно частиц больших, чем те, что рассматривались Кой-
пером, были рассчитаны после этого Гампрехтом, Сунгом, Чи-
Чином и Слепцевичем (см. библиографию к гл. 10). При х=\0,
m =1,33 и 9=160° эти таблицы дают такие значения: р=+0,48
и ^? = 0,44. Относительно малое число частиц этого размера мо-
может определять характеристики отраженного от планеты излуче-
излучения. Объяснение сильного увеличения р и R по отношению к дан-
данным, приведенным Койпером, состоит в том, что здесь ощущается
влияние максимума, соответствующего главной радуге. Это мо-
можно видеть из рис. 47 (разд. 13.24). При х=40 (первый мини-
минимум радуги) R падает до значения 0,16.
Кроме почти постоянного слоя дымки, на Марсе иногда по-
появляются облака. На основании тщательного изучения всех
имеющихся данных Вокулёр различает три типа облаков, обо-
обозначаемые названиями цветов («голубой», «белый» и «желтый»).
Эти термины соответствуют скорее методам, с помощью которых
они наблюдались, чем их истинным цветам. Их главные харак-
характеристики таковы.
Голубые облака: самые высокие в атмосфере; вероятно, бо-
более плотные части в слое дымки; поляризация положительна
при 180°—9<23°; природа частиц, точно не известна, но их раз-
размеры порядка 0,4 мк, как это рассмотрено выше.
518 21. ПРИМЕНЕНИЯ В АСТРОНОМИИ
Белые облака: промежуточные но высоте, хотя, вероятно, это
общее название для различных типов, один из которых, быть
может, в действительности совпадает с голубыми облаками. Для
тех облаков, для которых была измерена поляризация, она ока-
оказалась отрицательной при 180° —0<20°, так что облака могут со-
состоять из крупных ледяных кристаллов Bа=1 мк или больше).
Сравните кривые для водяных капель, изображенные иа рис.
99, разд. 20.3.
Желтые облака: облака нижнего уровня, почти несомненно
состоящие из мелкой пыли пустынь, разносимой ветрами. Оце-
Оценок размера частиц нет.
21.3. Межпланетная пыль и зодиакальный свет
Общие характеристики зодикального света не оставляют
сомнения в том, что ои представляет собой солнечный свет, рас-
рассеянный межпланетным веществом, распределенным приблизи-
приблизительно симметрично относительно плоскостей планетных орбит.
Однако сразу не ясно, что это за вещество. Вначале казалось
очевидным предположить, что главным рассеивающим агентом
является крупная пыль или даже обломки камней. Согласно
этому предположению, все рассеяние света вызывалось бы диф-
диффузным отражением от поверхности этих обломков, что для наи-
наиболее простого случая (закон Ламберта) изложено в разд. 8.42.
Дифракционные эффекты были бы несущественны.
Другие представления, которые господствуют в настоящее
время, появились в основном в связи с двумя обстоятельствами.
1) Наблюдаемая степень поляризации зодиакального света в
главном конусе (от 30 до 60° от Солнца) выше, чем это можно
объяснить с помощью одних только твердых частиц. Приблизи-
Приблизительно половина наблюдаемой интенсивности может быть обус-
обусловлена рассеянием на свободных электронах. 2) Не находит
подтверждения предположение о том, что увеличение яркости
с уменьшением углового расстояния от Солнца обусловлено
исключительно пространственным увеличением плотности
с уменьшением расстояния от Солнца. Существенную часть
этого увеличения следует приписать эффекту Ми (преимуще-
(преимущественное рассеяние вперед). При углах меньше 5°, т. е. в F-ko-
роне. большая часть света обусловлена частицами с диаметрами
2а порядка 10 мк и больше; этот эффект достаточно хорошо опи-
описывается классической формулой дифракции Фраунгофера
(разд. 8.31 и 12.32). Для углов более 30° следует применять
полные формулы Ми. Во всяком случае, диаграммы рассеяния,
изображенные на рис. 25, дают достаточно данных для обсуж-
обсуждения этой проблемы. Широкий спектр размеров частиц делает
дифракционные кольца неразличимыми. Наблюдаемое распре-
21.3. МЕЖПЛАНЕТНАЯ ПЫЛЬ И ЗОДИАКАЛЬНЫЙ СВЕТ
519
деление яркости можно объяснить при довольно широких пред-
предположениях о распределении по размерам, химическом составе
(альбедо) и распределении пылинок в пространстве. Более под-
подробный обзор можно найти у Миннарта A955).
Для оценки интенсивности, обусловленной электронной со-
составляющей, по наблюдаемой поляризации зодиакального света
нужно знать степень поляризации света, рассеянного пылевой
0.60
ОАО
0,20 -
О
-020 -
-
1
1 1 1
у 0,75а
V
1 1 1
-1,25 а
V.
1 1
1 i I
/^ .
i i i
i > i
-
-
-0,11
i 1 I
6 8
2ка/л
Ю
12
16
Рис. 102. Степень поляризации света, рассеянного в направле-
направлении 0=60° облаком сферически* частиц с показателем пре-
преломления 1,33 и с рамерами от 0,75 а до 1,25 а; х=2ла/к.
составляющей. Для обломков камней ее можно рассчитать пу-
путем интегрирования эмпирических данных о поляризации света,
диффузно отраженного от поверхностей камней. Для сравни-
сравнительно малых частиц часто делалось предположение о том, что
частое изменение знака степени поляризации, вытекающее из
формул Ми (отчетливо показанное на рис. 44, разд. 13.12),
исчезнет после интегрирования по соответствующему распреде-
распределению по размерам. Это предположение не подтверждается. Оно
определенно неверно в предельном случае очень больших частиц
(геометрическая оптика), и необходим расчет, чтобы получить
этот результат для частиц меньших размеров. Результаты при-
приближенного расчета, выполненного для 9 = 60°, представлены
на рис. 102 (ван де Хюлст, 1955). Расчет основан на предпо-
предположении, что рассеянный свет для каждого из направлений
поляризации (/ или 2) пропорционален
1,25л-,,
Г /i,2 {х) х~2 dx,
0J5xa
520 21. ПРИМЕНЕНИЯ В АСТРОНОМИИ
так что размеры заключены в интервале от 0,75 по до 1,25 по.
Видно, что р колеблется между —0,10 и —0,20, прежде чем при-
приблизиться к значению —0,11, даваемому геометрической опти-
оптикой. Прежде чем можно будет обсуждать значение этого резуль-
результата для астрономии, нужно выполнить дополнительно интегри-
интегрирование по 8 и учесть закон пространственного распределения
частиц.
21.4. Пылинки в межзвездном пространстве
Около 1930 г. подтвердилось давнишнее предположение
о том, что галактическая система содержит межзвездное веще-
вещество, вызывающее сильное ослабление любого удаленного объ-
объекта. С тех пор стало ясно, что из-за этого плотного тумана опти-
оптические наблюдения удаленных частей Галактики (например, ее
ядра) оказываются невозможными. Все наблюдения показы-
показывают, что распределение этого вещества чрезвычайно нерегу-
нерегулярно и что большая его часть собрана в плотные облака. Если
говорить о большем масштабе, то группы облаков определенно
связаны со спиральными рукавами. Это затрудняет определение
среднего ослабления. В наших окрестностях оно может дости-
достигать 2,5 зв. вел./кпс для видимого света E500 А). Преобразуя
это с помощью соотношений
1 зв. вел. = 4 дб, что соответствует е0-92
1 кпс= 1000 пс = 3,08*1021 см,
получаем у= 1,5 • 10~22 см~1.
Наиболее веским аргументом в пользу объяснения этого эф-
эффекта действием малых твердых частиц является то, что другие
рассеивающие или поглощающие агенты исключаются. Количе-
Количество других частиц, необходимое для объяснения межзвездного
ослабления, либо дает чрезмерно большую плотность (например,
рассеивающие электроны, разд. 6,23, плюс равное количество
протонов), либо неприемлемо по другим причинам (например,
поглощающие ионы Н~). Пылинки, по размерам значительно
меньшие или значительно большие длины волны, также дают
слишком малое отношение сечения ослабления к массе1. Это
отношение пропорционально а3 при а^.Х и от1 при a^>h(a—¦
радиус, К — длина волны).
Данные о распределении по размерам, о форме и составе
межзвездных пылинок можно вывести из наблюдаемых харак-
1 Дж. Платт отметил, что большое отношение ослабления к массе можно
о
получить для малых частиц с размерами порядка 10 А, если они состоят из
легких элементов н имеют незаполненные электронные энергетические уровни
(Astrophys. J., 123, 486, 1956).
21.4. ПЫЛИНКИ В МЕЖЗВЕЗДНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
521
теристик, которые можно резюмировать следующим образом.
Цвет прошедшего света. Ослабление является сильным
в ультрафиолетовой области и слабым в инфракрасной. Точный
закон слегка отклоняется от закона А?1 и удивительно сходен
для всех исследованных звезд (рис. 103).
Линейная поляризация прошедшего света. Причиной этого
явления, открытого в 1949 г., считаются различные значения
коэффициентов ослабления для света, поляризованного по-раз-
по-разному (дихроизм межзвездной среды). Для звезд, у которых этот
30 33
Рис. 103. Характерные данные наблюдений межзвездного
ослабления. Значения ослабления для двух направле-
направлений поляризации нанесены в функции X'1 для звезды со
средним поглощением и сильной поляризацией.
эффект выражен наиболее сильно, разность составляет прибли-
приблизительно 6°/о полного ослабления в видимом свете. Эта разность
(вертикальное расстояние между двумя кривыми на рис. 103)
слегка уменьшается в сторону инфракрасной части спектра;
отношение поляризации к ослаблению возрастает в сторону ин-
инфракрасной части спектра.
Цвет, угловое распределение и поляризация рассеянного
света. Вполне надежные данные о рассеянном свете отсутствуют.
Цвет отражательных туманностей сходен с цветом освещающих
их звезд, и иногда наблюдаются большие значения поляризации.
Интерпретация обычно остается неопределенной, так как поло-
положение звезды по отношению к туманности неизвестно. Если
говорить несколько шире, то исследование диффузного галакти-
522
21. ПРИМЕНЕНИЯ В АСТРОНОМИИ
чсского света дает нам доказательства того, что межзвездные
пылинки имеют довольно большое альбедо (Bрас./Фосл. ^0,4) и
довольно резко направленную фазовую функцию (cos 9 ^0,4).
Возможные комбинации этих двух величин, например, таковы:
0,9 и 0,5; 0,7 и 0,7 или 0,5 и 0,9. Эти значения ненадежны, а зави-
зависимость от длины волны неизвестна.
Сводка количественных данных, относящихся к ослаблению
и поляризации, представлена на рис. 103. Рисунок основан на
измерениях ослабления, выполненных Уитфордом A948), с уче-
учетом поправки, полученной Люсьен Диван A954) для ультра-
ультрафиолетовой части спектра (Аг1>2,5), а также на измерениях
поляризации, проведенных Хилтнером (частное сообщение).
Шкала ординат произвольна. Она была выбрана так, что соот-
соответствует звезде, испытавшей довольно сильное покраснение.
Расстояние между кривыми, т. е. эффект поляризации, показано
почти максимальное из наблюдаемых. Соответствующие число-
числовые данные приведены в табл. 46.
Таблица 46. Типичная зависимость межзвездного ослабления
и поляризации от длины волны
(ж*)
Oi
0,52
1
1,52
2
2,5
3
3,51
X
(мк)
2,000
1,000
0,667
0,500
0,400
0,333
0,286
А,
(зв. вед.)
0
0,10
0,44
0,98
1,41
1,80
2,17
2,46
А.
(зв. вел.)
0
0,08
0,38
0,89
1,31
1,70
2,07
2,36
2\А, + Аа)
(зв. вел.)
0
0,09
0,41
0,94
1,36
1,75
2,12
2,41
А,
(зв
0
0
0
0
0
0
0
0
-А,
вел.)
,02
,06
,09
,10
,10
,10
,ю
А
1
1
1
1
1
1
1
г!А,
?
,25
,16
,10
,07
,06
,05
,04
1 Экстраполированные значения.
2 Ненадежные значения.
Интерпретация этих кривых была предметом многочисленных
исследований (см. работу ван де Хюлста, 1955).
Мы видим, что если отвлечься от эффекта поляризации, то
эти кривые весьма сходны с многими из кривых ослабления,
21.4. ПЫЛИНКИ В МЕЖЗВЕЗДНОМ ПРОСТРАНСТВЕ 523
рассчитанных по теории Ми и изображенных, например, нз
рис. 24 (разд. 10.4) и рис. 32 (разд. 11.22). Приблизительно
можно представить, что спад максимума кривой начинается при
Х"'=4 или л = 5. Таким образом, в качестве грубой оценки раз-
размера частиц имеем (например, при т=1,25): 2яаД = 8 при
А, = 4,5 мк~1 и, следовательно, 2а — 0,56 мк. Ван де Хюлст A946,
1949) и другие показали, что нетрудно подобрать функцию рас-
распределения частиц по размерам (ср. разд. 11.5), которая будет
точно воспроизводить наблюденные кривые. Таким образом, из
наблюдений нельзя получить однозначно ни распределение ча-
частиц по размерам, ни значение показателя преломления. Однако
если распределение частиц по размерам выбрано, то произве-
произведение среднего размера наш— 1 можно определить с точностью
до 5%.
Удовлетворительное представление кривой ослабления можно
также получить в предположении металлических частиц сфери-
сферической формы (Гюттлер, 1952). По-видимому, это исключается,
если мы сравним ход кривой для малых Я на рис. 103 с ходом
кривой для малых х на рис. 54 (разд. 14.22). Однако комплекс-
комплексный показатель преломления меняется в зависимости от Я таким
образом, что делает кривую, рассчитанную для шаровых частиц
железа с 2а = 0,08 мк, похожей, хотя бы грубо, на кривую, вы-
выведенную из наблюдений. Аргументом против этого предполо-
предположения, даваемым наблюдениями, являются значения альбедо и
компоненты рассеяния вперед. Из кривой рис. 54 при х=0,6, со-
соответствующем 2а = 0,08 мк, Я = 0,42 мк, находим
Альбедо = Qpac./Qoci. = 0,15,
COS 9 = COS 0 Qpac./Qpac. = 0,1.
Комбинация этих значений совершенно не соответствует тому,
что следует из наблюдений.
Если обратиться к эффекту межзвездной поляризации, мы
снова найдем, что данные наблюдений, касающиеся зависимости
от длины волны, соответствуют, по крайней мере приближенно,
теоретическим расчетам. Это следует из сравнения кривых
рис. 103 с кривыми для длинных диэлектрических цилиндров,
показанными на рис. 67 (разд. 15.31). В обеих группах кривых
разница между кривыми почти постоянна в большом интервале,
но уменьшается соответственно в направлении малых значений
Я и р = 4ла(т—1)А,~'. Если подобрать подходящую функцию
распределения по радиусам, нерегулярности в теоретических
кривых окажутся сглаженными и можно добиться хорошего
524 21- ПРИМЕНЕНИЯ В АСТРОНОМИИ
согласия между теорией и наблюдениями. Примесь металличе-
металлических частиц цилиндрической формы (рис. 69, разд. 15.51) также
дала бы правильную зависимость от длины волны, если бы
интервал наблюдений соответствовал значениям х от 0,1 до 0,6,
так что 2а=0,06 мк. Для учета изменения т в зависимо-
зависимости от Я нужно было бы провести дополнительные трудоемкие
расчеты.
Из этих сравнений становится понятной трудность, состоя-
состоящая в том, что приблизительно правильный порядок величины
поляризации получается в предположении наличия очень длин-
длинных полностью ориентированных игл. Любое предположение
о менее идеальной ориентации, как, например, вращение отно-
относительно ориентированной оси в теории Дэйвиса—Гринстейна,
а также о форме, не столь резко отклоняющейся от сферической
формы, будет заметно уменьшать предполагаемую величину
поляризации. Так как до настоящего времени не получено фор-
формул для эллипсоидов произвольного размера (ср. разд. 16.11),
большинство авторов обращаются в своих исследованиях к фор-
формулам, справедливым для размеров, много меньших К, известных
как теория Ганса (разд. 6.32). Эти формулы позволяют провести
полный расчет для любой заданной функции распределения по
ориентациям и поэтому дают по крайней мере первоначальное
представление об уменьшении поляризации из-за неполной ори-
ориентированности. Дэйвис A955 а, Ь) привел формулы к виду,
удобному для применения в астрономии. Однако их надлежит
применять в инфракрасной области; именно в этой области
должно найти объяснение вытекающее из рис. 103 и из табл- 46
большее, чем в видимой или фотографической области, отноше-
отношение Ai/A2. Чтобы обойти это затруднение, следовало бы предпо-
предположить, что поляризация вызывается только очень малыми пы-
пылинками, так что область Ганса охватывает всю наблюдаемую
область К. Однако это дало бы неправильную зависимость по-
поляризации от X.
С целью объяснения межзвездной поляризации было выпол-
выполнено несколько экспериментальных исследований. Фик A952,
1953) ориентирует вытянутые частицы дыма из Fe2 Оз в магнит-
магнитном поле переменной напряженности, доходя до насыщения.
Приблизительные размеры таковы: длина — 4 мк, диаметр —
0,5 мк. В результате получается сильный положительный ди-
дихроизм. Теоретическое рассмотрение Фика ограничивается об-
областью, рассмотренной в гл. 6, т. е. частицами с размерами,
много меньшими длины волны. Керель и Шацман A955) изу-
изучали дихроизм, вызываемый ориентированными чешуйками
графита.
21.4. ПЫЛИНКИ В МЕЖЗВЕЗДНОМ ПРОСТРАНСТВЕ 525
Уменьшение амплитуд волн, излучаемых звездами (т. е. эф-
эффект ослабления), теоретически сопровождается изменением
фазы этих волн. Это изменение фазы должно зависеть от А, и
может быть различным для двух направлений поляризации.
Поэтому интересно выяснить, не могут ли появиться какие-либо
эффекты, доступные наблюдениям.
Соответствующая теория изложена в разд. 4.41 и 4.5. Не рас-
рассматривая сначала поляризацию, видим, что формула разд. 4.3
m=rn — Cnr = \ — i- 2nNk-sS @)
устанавливает связь между 1) мнимой частью показателя пре-
преломления межзвездного пространства п', связанной с величиной
ослабления в звездных величинах А соотношением
0,92A=2k$n'dz,
и 2). вещественной частью п, определяющей запаздывание фазы
Ф выражением
ф = k \ (п— \)dz.
В обеих формулах интеграл берется по лучу зрения от наблю-
наблюдателя до данной звезды. Таким образом, их отношение равно
-?. - о 46 Im
Re [5@)] '
Достаточно взглянуть на кривые 5@), приведенные на рис. 31
(разд. 11.22) и на рис. 53 (разд. 13.42), чтобы убедиться, что это
отношение порядка 1. Таким образом, для звезды, которая еще
может наблюдаться (Л<10), запаздывание (или опережение)
фазы никогда не превышает некоторой части одного периода.
Это соответствует пренебрежимо малому времени; следова-
следовательно, нужно полностью отказаться от высказывавшегося ранее
в литературе предположения, что запаздывание фазы в синем
и красном свете должно определять время прохождения, отли-
отличающееся на несколько минут (эффект Нордмана-—Тихова).
Отношение ф/Л делается больше для очень малых диэлек-
диэлектрических частиц и становится наибольшим для непоглощающих
молекул. Простая связь с теорией показателя преломления мо-
молекулярного газа кратко изложена в разд. 4.5. Из сравнения
с рассеянием и запаздыванием фазы, обусловленными земной
атмосферой, видно, что очень малые частицы также неспособны
дать в межзвездном пространстве запаздывание по фазе, до-
доступное наблюдениям.
526 ЛИТЕРАТУРА
Дифференциальный фазовый сдвиг между двумя компонен-
компонентами поляризации для данной длины волны можно измерить
более точно обычными методами измерения двойного прелом-
преломления. Вполне вероятно, что дихроизм межзвездного простран-
пространства сопровождается двойным преломлением. Мнимые части
амплитудных функций 7"i @) и Т2@), по вещественным частям
которых были построены рис. 67 (разд. 15.31) и 69 (разд. 15.51),
не рассчитывались. Поэтому точное предсказание невозможно.
Грубо мы можем ожидать разность того же порядка, скажем
10%. Это означало бы, что если бы мы имели источник, излу-
излучающий линейно поляризованный свет с сильной поляризацией
(нечто вроде Крабовидпой туманности) позади достаточно
сильно затемняющего слоя, в котором ориентация межзвездной
поляризации составляет угол 45° с направлением поляризации
источника, то мог бы получиться эффект, доступный наблюде-
наблюдению. Этот эффект состоял бы в появлении эллиптического ком-
компонента порядка нескольких процентов от приходящего излу-
излучения.
Наконец, интересным применением теории Ми является ра-
расчет теплового излучения межзвездными пылинками, которое
составляет основную потерю их внутренней энергии и поэтому
определяет их температуру. Так как излучаемые волны лежат
в далекой инфракрасной области, т. е. имеют длины волн зна-
значительно большие, чем размер частиц, мы должны пользоваться
формулами для Qnor.t., вытекающими из теории Ми (гл. 14).
Согласно закону Кирхгофа, излучение в Qnoi-л. раз больше зна-
значения, рассчитанного на основе излучения черного тела. Осно-
Основываясь на этом, ван де Хюлст A946, 1949) оценил, что тем-
температура межзвездных пылинок, будь то металлических или ди-
диэлектрических, скорее равна 10—20°, чем традиционному зна-
значению з°к.
ЛИТЕРАТУРА1
Относительно рассеяния на неоднородностях показателя преломления
(разд. 21.1) сошлемся на работы:
Pekeris С. L., Phys. Rev., 71, 268 A947).
Booker H. G., Gordon W. E., Proc, I. R. E., 38, 401 A950).
Hewish A., Proc. Roy. Soc. London, A209, 81 A961).
Chandrasekhar S., Mon. Not. Roy. Astron. Soc, 112, 475 A952).
Fejer J. A., Proc. Roy. Soc. London, A220, 455 A954).
Hewish A., Proc. Roy. Soc. London, A228, 238 A965).
1 Дается в том порядке, в каком она цитируется в тексте.
ЛИТЕРАТУРА 527
* Татарский В. И., Теория флуктуационных явлений при распро-
распространении волн в турбулентной атмосфере, Изд-во АН СССР, М.,
1959.
* Чернов Л. А., Распространение волн в среде со случайными не-
однородностями, Изд-во АН СССР, М., 1958.
* Труды совещания по исследованию мерцания звезд, Изд-во АН
СССР, М., 1959.
Рассеяние в атмосферах планет (разд. 21.2) рассматривали следующие
авторы:
К u i р е г G. P., The Atmospheres of the Earth and Planets, 2nd ed.,
G. P. Kuiper, ed., chap. 12, Chicago, Univ. of Chicago Press, 1952.
(Русский перевод 1-го изд., Атмосферы Земли и планет, сб., под
ред. Дж. П. Койпера, гл. 12, ИЛ, М., 1951.)
Lyot В., Ann. Obs. Paris-Meudon, 8, 70 A929).
Chandrasekhar S., Elbert D. D., Trans. Amer. Phil. Soc, 44,
643 A954).
van de Hulst H. C, The Atmospheres of the Earth and Planets,
2nd ed., G. P. Kuiper, ed., chap. 3, Chicago, Univ. of Chicago Press,
1952.
(Русский перевод: ван де Хюлст X., гл. 3 в сборнике «Атмосферы
Земли и планет», под ред. Дж. П. Койпера, ИЛ, М., 1951.)
Horak H. G., Astrophys. J., 112, 445 A950).
Vaucouleurs G., Physics of the Planet Mars, London, Faber and
Faber, 1954.
(Русский перевод: Вокулёр Ж., Физика планеты Марс, ИЛ, M.t
1956.)
Menzel D. H., Whip pie F. L., Publ. Astron. Soc. Pacific, 67, 161
A965).
*Амбарцумян В. А., Мус тел ь Э. Р., Северный А. Б.,
Соболев В. В., Теоретическая астрофизика, гл. VIII, Гостех-
издат, М., 1952.
Обзоры по рассеянию межпланетной пылью (разд. 21.3) даны М. Мин-
нартом и Г. ван де Хюлстом:
Minnaert M., Les particules solides dans les astres (Rept. Intern.
Astrophys. Symposium), Mem. soc. roy. sci. Liege, quatrieme serie,
15, 15 A955).
van de Hulst H. С, там же, стр. 89,
и другими авторами в той же книге.
Относительно ослабления и поляризации межзвездными пылинками
можно сослаться на следующие работы:
Whit ford А. Е„ Astrophys. J., 107, 102 A948).
Divan L., Ann. astrophys., 17, 456 A954).
van d e Hulst H. C, Les particules solides dans les astres,
цит. соч., 15, 393 A955).
528 ЛИТЕРАТУРА
van de Hulst H. C, Recherches astron. Obs. d'Utrecht, 11, part I,
1946; part 2, 1949.
Guttler A., Z. Astrophysik, 31, 1 A952).
Davis L., Les particules solides dans les astres, цит. соч., 15,
584 A955).
Davis L., Vistas in Astronomy, I, p. 336, London and New York, Per-
gamon Press, 1955.
Fie к Е., Z. Physik, 138, 183 A954); 140, 318 A956).
Schatzraan E., Cayrel R., Ann. astrophys., 17, 556 A954).
Межзвездной поляризации посвящена также обзорная статья:
"Пикельнер С. Б., Успехи физ. наук, 58, 285 A956).
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие к русскому изданию 5
Предисловие 7
Часть I. ОСНОВЫ ТЕОРИИ РАССЕЯНИЯ
1. ВВЕДЕНИЕ : 11
1.1. Рассеяние, поглощение, ослабление 11
1.2. Налагаемые ограничения 12
1.21. Рассеяние независимыми частицами 12
1.22. Однократное рассеяние 14
1.3. Исторический обзор 16
1.4. Схема книги 18
2. СОХРАНЕНИЕ ЭНЕРГИИ И ИМПУЛЬСА 21
2.1. Диаграмма рассеяния и фазовая функция 21
2.2. Сохранение энергии 23
2.3. Сохранение импульса. Лучевое давление 2&
2.4. Факторы эффективности . 25
2.5. Диаграмма рассеяния для поляризованного света ... 25
2.6. Рассеяние и ослабление облаком, содержащим множество
частиц : 26
3. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН В ВАКУУМЕ 28
3.1. Принцип Гюйгенса в формулировке Френеля 28
3.11. Комплексные числа 28
3.12. Вывод формулы Френеля 2&
3.13. Количественные примеры 32
3-2. Сходящиеся и расходящиеся пучки лучей 33
3.21. Амплитуда вне фокальной линии 33
3.22. Амплитуда на фокальной линии или вблизи нее . . 35
3.3. Строгая теория дифракции 36
4. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН В СРЕДЕ, СОДЕРЖАЩЕЙ
РАССЕИВАЮЩИЕ ЧАСТИЦЫ 41
4.1. Амплитудная функция отдельной частицы 41
4.2. Основная формула ослабления 43
4.21. Отдельная частица 43-
4.22. Облако, состоящее из множества частиц .... 45
34 Заказ № 374
530 СОДЕРЖАНИЕ
4.3. Ослабление и дисперсия в среде, содержащей рассеиваю-
рассеивающие частицы 45
4.4. Ослабление и дисперсия поляризованного света ... 48
4.41. Общий случай 48
4.42. Сферические частицы 49
4.5. Связь с классической теорией молекулярной оптики . . 51
5. ПОЛЯРИЗОВАННЫЙ СВЕТ И СООТНОШЕНИЯ
СИММЕТРИИ , . 55
5.1. Наиболее общее состояние поляризации 55
5.11. Плоскость отсчета 55
5.12. Простые волны 56
5.13. Реальный свет и оптическая эквивалентность ... 58
5.14. Вид матрицы преобразования 60
5.2. Соотношения симметрии для рассеяния в произвольном
направлении 62
5.21. Общий метод 62
5.22. Окончательные формулы 63
5.3. Соотношения симметрии для 0=0 и 180° 67
5.31. Рассеяние вперед 67
5.32. Рассеяние назад 70
5.4. Соотношения симметрии для дисперсии и ослабления 72
5.41. Формальные результаты 72
5.42. Заключение 74
Часть II. ЧАСТИЦЫ НЕКОТОРЫХ ЧАСТНЫХ
ВИДОВ
-6. ЧАСТИЦЫ, МАЛЫЕ ПО СРАВНЕНИЮ С ДЛИНОЙ ВОЛНЫ 79
6.1. Поляризуемость и релеевское рассеяние 79
6.11. Случай, когда поляризуемость является тензором 79
6.12. Случай, когда поляризуемость изотропна .... 81
6.13. Поглощающие частицы 82
6.2. Некоторые простые применения 83
6.21. Определение размера и числа частиц 83
6.22. Частицы с показателем преломления, близким к. 1 85
6.23. Свободные электроны 86
6.3. Шары и эллипсоиды 87
6.31. Шары 87
6.32. Эллипсоиды 87
6.33. Эллипсоиды из анизотропного вещества 91
6.34. Сферические оболочки 91
6.4. Условия существования релеевского рассеяния; малые ча-
частицы с т= с° 93
СОДЕРЖАНИЕ 531
6.5. Малые частицы с хаотической ориентацией 96
6.51. Матрица рассеяния для одной частицы ..... 95
6.52. Рассеянный свет и факторы деполяризации .... 97
6.53. Прошедший свет; показатель преломления и ослаб-
ослабление 100
7. РАССЕЯНИЕ РЕЛЕЯ —ГАНСА 104
7.1. Общие формулы 104
7.11. Частицы с т—1>0 104
7.12. Поглощающие частицы и частицы с т<\ .... Ю7
7.2. Шары 107
7.21. Диаграмма рассеяния 107
7.22. Полное рассеяние 109
7.23. Сферические объекты с неоднородным распреде-
распределением плотности ПО
7.3. Эллипсоиды и цилиндры 113
7.31. Эллипсоиды 113
7.32. Круговые цилиндры конечной длины 113
7.33. Дифракция на полупрозрачном круглом диске ... 117
7.34. Хаотически ориентированные стержни и диски ... 118
7.4. Некоторые свойства функций Е(и), F(u), G(u) . . . . 119
7.5. Дискретные рассеивающие центры; форм-фактор .... 120
8. ЧАСТИЦЫ, ОЧЕНЬ БОЛЬШИЕ ПО СРАВНЕНИЮ С ДЛИ-
ДЛИНОЙ ВОЛНЫ 124
8.1. Основные различия между дифракцией, отражением и
преломлением 124
8.2. Общая теория дифрагированного света 126
8.21. Принцип Бабине 126
8.22. Парадокс ослабления 129
8.3. Дифракция на больших шарах и на толстых цилиндрах 130
8.3L Шары 130
8.32. Цилиндры 130
8.4. Большие выпуклые частицы со случайной ориентацией 132'
8.41. Среднее геометрическое поперечное сечение .... 133,
8.42. Диаграмма отраженного излучения 133
9. СТРОГАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ ДЛЯ ШАРОВ ПРОИЗ-
ПРОИЗВОЛЬНОГО РАЗМЕРА (ТЕОРИЯ МИ) 137
9.1. Уравнения Максвелла 137
9.11. Общие уравнения 137
9.12. Периодические поля 139
9.13. Граничные условия 140
9.14. Скин-условия; идеальные проводники 141
9.2. Формальное решение Ми 144
34*
532 СОДЕРЖАНИЕ
9.21. Решение векторного волнового уравнения 144
9.22. Определение коэффициентов из граничных условий 145
9.3. Окончательные выражения для амплитудных функций и
факторов эффективности 148
9.31. Амплитудные функции 148
9.32. Окончательные выражения для факторов эффек-
эффективности 151
9.4. Формулы, рекомендуемые для практического употребления 153
10. СФЕРИЧЕСКИЕ ЧАСТИЦЫ БЕЗ ПОГЛОЩЕНИЯ 156
10.1. Исследование области т—х 156
10.2. Одно существенное упрощение 160
10.21. Введение фазовых углов 160
10.22. Свойства узлов 164
10.23. Функции f>n(x) и еп (х) 165
10.3. Вычисление с помощью разложений в ряды 170
10.4. Вычисления с помощью фазовых углов 175
10.5. Область оптического резонанса 179
10.51. Свободные колебания шара 179
10.52. Резонансные эффекты в теории Ми 183
10.6. Полностью отражающие шары (/п=оо) 186
10.61. Малые полностью отражающие шары 186
10.62. Частицы промежуточных и больших размеров . . 189
11. СФЕРИЧЕСКИЕ ЧАСТИЦЫ С ПОКАЗАТЕЛЕМ ПРЕЛОМЛЕ-
ПРЕЛОМЛЕНИЯ, БЛИЗКИМ К 1 202
11.1. Выделение предельных случаев 202
11.2. Кривая ослабления ; 204
11.21. Общая формула 204
11.22. Сферические частицы без поглощения (веществен-
(вещественные т) 206
11.23. Комплексные значения т\ черное тело 210
11.3. Картины аномальной дифракции 214
11.31. Гомологические диаграммы рассеяния 214
11.32. Разложение интеграла : 217
11.33. Числовые результаты 219
11.4. Ослабление в области спектральной линии 223
11.41. Малые частицы 223
11.42. Большие частицы с показателем преломления,
близким к 1 224
11.5. Среда, состоящая из частиц различных размеров . . . 226
11.6. Обобщение на случай не слишком малых значений т— 1 228
СОДЕРЖАНИЕ 533
12. СФЕРИЧЕСКИЕ ЧАСТИЦЫ ОЧЕНЬ БОЛЬШИХ РАЗМЕРОВ
12.1. Общий обзор 233
12.2. Интенсивность и фаза, определяемые законами геометри-
геометрической оптики 237
12.21. Интенсивность 237
12.22 Фаза 240
12.3. Интенсивность и фаза, даваемые формулами Ми . . . 242
12.31. Принцип локализации 242
12.32. Дифракционная часть . 243
12.33. Отраженный и преломленный свет 245
12.34. Область применимости выведенных формул; воз-
возможные обобщения 250
12.35. О некоторых более эффективных методах .... 251
12.4. Некоторые частные результаты : 254
12.41. Распределение энергии по лучам 256
12.42. Значения т, меньшие 1 257
12.43. Значения т, близкие к 1 258
12.44. Значения т, близкие к оо; металлы 259
12.45. Рассеяние вперед 261
12.5. Лучевое давление 262
13. ОПТИКА ДОЖДЕВОЙ КАПЛИ 265
13.1. Некоторые числовые результаты 265
13.11. Диаграмма рассеяния согласно геометрической оп-
оптике 265
13.12. Диаграмма рассеяния, даваемая формулами Ми.
Вопросы, связанные с интерполяцией 270
13.2. Радуга 279
13.21. Краткий обзор; теория Декарта 279
13.22. Интерференция; формула Маскара 280
13.23. Аппроксимация волнового фронта кубическим урав-
уравнением; теория Эри 283
13.24. Вывод с помощью формул Ми; границы применимо-
применимости существующих теорий радуги 287
13.3. Глория 291
13.31. Излучение тороидального волнового фронта . . . 292
13.32. Теория, основанная на формулах Ми 295
13.33. Числовые результаты и сравнение с наблюдениями 298
13.4. Дифракция и ослабление 301
13.41. Аномальная дифракция на водяных каплях . . . 301
13.42. Излучение в направлении вперед; кривая ослаб-
ослабления 307
14. ПОГЛОЩАЮЩИЕ СФЕРИЧЕСКИЕ ЧАСТИЦЫ 311
14.1. Комплексный показатель преломления 311
14.2. Общие методы расчета; металлические шары 313
534 СОДЕРЖАНИЕ
14.21. Разложение в ряды 314
14.22. Обзор числовых результатов 316
14.23. Асимптотические формулы для больших значений х 325
14.3. Вода в области сантиметровых волн 327
14.31. Резонансные эффекты 327
14.32. Рассеяние назад 331
14.4. Металлы в инфракрасной области 334
14.41. Показатель преломления; закон Хагена — Рубенса - 334
14.42. Поглощение шаром 336
14.5. Аналитическое продолжение , . . . 342
15. КРУГОВЫЕ ЦИЛИНДРЫ 346
15.1. Строгое решение уравнений Максвелла . 346
15.11. Наклонное падение излучения 346
15.12. Перпендикулярное падение 349
15.13. Поля на бесконечности 350
15.2. Сечения и факторы эффективности 351
15.21. Общие выражения для бесконечно длинных ци-
цилиндров 351
15.22. Цилиндры конечной длины 353
15.23. Окончательные формулы для круговых цилиндров 356
15.3. Некоторые числовые результаты для вещественных т 357
15.31. Фазовые углы и узлы . ¦. 357
15.32. Показатель преломления, близкий к 1 363
15.33. Полностью отражающие цилиндры 364
15.34. Диаграммы рассеяния 366
15.4. Очень тонкие цилиндры 367
15.41. Диэлектрические иглы 367
15.42. Поглощающие частицы 36&
15.5. Некоторые результаты для комплексных т 370
15.51. Кривые ослабления для m=|/2U—0 370-
15.52. Цилиндры из слабо поглощающего вещества . . . 375
16. ЧАСТИЦЫ ДРУГИХ ФОРМ 382
16.1. Методы решения задачи о рассеянии 382
16.11. Разделение переменных в волновом уравнении;
однородные тела 383-
16.12. Составные тела 385
16.13. Интегральные уравнения и вариационные методы 386
16.14. Разложение по степеням отношения размера к длине
волны 388
16.2. Плоские полностью отражающие частицы 389
16.21. Принцип Бабине 389
16.22. Результаты для круглого диска 391
16.23. Результаты для параллельной полосы 392
СОДЕРЖАНИЕ 535
17. КРАЕВЫЕ ЭФФЕКТЫ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ВОЛНЫ ... 398
17.1. Рассеяние вперед оптическим краем 398
17.11. Амплитудная функция цилиндрического края; ци-
цилиндры с двумя краями 399
17.12. Экран с одним цилиндрическим краем 402
17.13. Сфероиды и шары : . . 405
17.2. Точный вид краевых функций 406
17.21. Некоторые эвристические соображения 406
17.22. Вывод из асимптотической формы полного решения 410
17.23. Вывод из интегрального уравнения для поверхност-
поверхностных токов 412
17.24. Эмпирические формулы для т= оо 417
17.25. Краевые функции для металлических цилиндров и
шаров : 419
17.26. Краевые функции для диэлектрических цилиндров
и шаров 421
17.3. Поверхностные волны 424
17.31. Литературные данные 424
17.32. Волны на поверхности идеального проводника . . 427
17.4. Рассеяние назад 431
17.41. Рассеяние назад цилиндрами и шарами с т= °о 431
17.42. Глория при т= 1,33 434
17.5. «Рябь» на кривой ослабления 436
17.51. Эмпирические данные 436
17.52. Предварительное объяснение с помощью поверх-
поверхностных волн 437
Часть III. ПРИМЕНЕНИЯ
18. ЭКСПЕРИМЕНТЫ ПО РАССЕЯНИЮ И ОСЛАБЛЕНИЮ КАК
МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ 445
18.1. Предварительные замечания 445
18.2. Когда измерения рассеяния наиболее эффективны? . . 447
18.3. Какого рода измерения следует проводить? 448
18.31. Рассеяние 449
18.32. Ослабление 451
18.33. Показатель преломления сложной среды .... 453
18.4. К каким выводам можно прийти на основании этих из-
измерений? 453
19. ПРИМЕНЕНИЯ В ХИМИИ 458
19.1. Рассеяние малыми частицами и макромолекулами . . . 458
IS.11^ Эффект Тиндаля 4S5,
19.12. Молекулы и макромолекулы 459
536 СОДЕРЖАНИЕ
19.2. Гидрофобные растворы . 461
19.21. Цвета растворов золота 461
19.22. Гидрозоли серы 465
19.3. Аэрозоли : 470
19.4. Анизотропные среды 474
19.41. Дихроизм и двойное лучепреломление 474-
19.42. Пленочные поляроиды 476
19.5. Разные приложения 477
20. ПРИМЕНЕНИЯ В МЕТЕОРОЛОГИИ 482
20.1. Компоненты ослабления 482
20.2. Атмосферная дымка 483
20.21. Закон ослабления 483
20.22. Диаграмма рассеяния 487
20.23. Аэрозоли вулканических извержений и лесных по-
пожаров 491
20.3. Оптические явления в облаках, тумане и дожде . . . 493
20.4. Радиолокационная метеорология и затухание сантимет-
сантиметровых волн 499
20.41. Затухание в тумане и дожде 499
20.42. Радиолокационные наблюдения дождя и облаков 503
20.43. «Полоса таяния» при радиолокационном отражении 50Д
21. ПРИМЕНЕНИЯ В АСТРОНОМИИ 512
21.1. Введение : : =>1<>
21.2. Планетные атмосферы oi3
21.3. Межпланетная пыль и зодиакальный свет 518
21.4. Пылинки в межзвездном пространстве ....... 520
Ван де Хюлст
Рассеяние света
малыми частицами
Редактор Л. В. САМСОН ЕНКО
Художник Н. А. УСАЧЕВ
Художественный редактор Е. И. П О Д М А Р Ь К О В А
Технический редактор. В. П. Р Ы Б К И Н А
Сдано в производство 20/VI I96I г. Подписано к печати 22/XI 1961 г.
Бумага 60x90'/,,,. Бум. л. 16,8. Печ. л. 33,5. Уч.-изд. л. 30,2. Изд. .N° 27/019.
Цена 2 р. 31 к. Зак. 374.
ИЗДАТЕЛЬСТВО ИНОСТРАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ.
Москва, Ново-Алексеевская. 52.
Типография № 8 Управления полиграфической промышленности Ленсовнархоза
Ленинград, Прачечный пер., д. № б.
ОПСЧАТКИ
Стра-
Страница
176
190
267
368
424
429
494
Строка
11 св.
6 сн.
Рис. 42, в табл.
3-я строка сверху,
крайняя цифра
справа
19 св.
19 св.
7 св.
13 св.
1'2 си. ¦
Напечатано
У~х
1
2 (яг2—1)
т?— 1
B,5±0F)лг-/3
=403й-23Л™1'3
х*!3
Следует читать
-У.<*>
X
—1
2 (я»2—1)
m2+l
B,5±0,6) л:'3
ух f
=0,403 й/3Л1/3
v-2/3
Заказ № 374