/
Автор: Кутателадзе С.С.
Теги: теплопроводность теплопередача теплофизика гидроаэродинамика
Год: 1979
Текст
С. С. КУТАТЕЛАДЗЕ
ОСНОВЫ
ТЕОРИИ
ТЕПЛО -
ОБМЕНА
¦ИЗДАНИЕ ПЯТОЕ, ДОПОЛНЕННОЕ
МОСКВА- АТОМ ИЗ ДАТ-1979
' F&>~9
УДК 536.24
Кутателадзе С. С. Основы теории теплообмена. — Изд.
5-е перераб. и доп. — М: Атомиздат, 1979, 416 с.
В книге сжато изложены основные проблемы современной теории*
теплообмена, в том числе многие выходящие за рамки стандартных
курсов.
Особое внимание уделено турбулентному переносу тепла в одно-
однородных и неоднородных средах, в частности асимптотическим свой-
свойствам турбулентного пограничного слоя при сложных граничных
условиях. Значительное место занимают также гидродинамические
закономерности теплообмена при конденсации и" кипении. Как в тео-
теоретическом изложении, так и в приводимых экспериментальных мате-
материалах содержится большое число оригинальных результатов. Bee-
результаты доведены до формы расчетных зависимостей и рекомен-
рекомендаций.
В данное, пятое, издание включены новые материалы по тепло-
теплообмену в пакетах ц засыпках, радиационно-конвективному и неста-
нестационарному теплообмену, переработаны и дополнены главы по ки-
кипению и конденсации и по теплообмену в разреженном газе.
Книга рассчитана на научных работников, инженеров-исследова-
инженеров-исследователей, аспирантов и студентов старших курсов университетов и поли-
политехнических институтов, работающих или специализирующихся в об-
области теплофизики и физической гидроаэродинамики.
Рис. 286. Табл. 49. Список литературы 301 наименование.
ОЛОАО Q11
KAQ,/ni4 -о 11—79-2303010000 © Атомиздат, 197$
Uo4(Ul)—/У
ПРЕДИСЛОВИЕ
Первое издание этой книги вышло ограниченным тиражом в 1954 г. и пред-
представляло собой курс лекций, читавшихся инженерам высшей квалификации.
Два последующих (в 1957 и 1962 гг.), существенно дополненных издания были
выпущены Машгизом. Английский перевод третьего издания был опубликован
в 1963 г. (Е. Arndld Publishers, London, Academic Press Inc., New York). Сибир-
Сибирское отделение издательства «Наука» выпустило четвертое издание в 1970 г.
В 1976 г. четвертое издание книги было удостоено премии им. И. И. Ползуно-
ва АН СССР.
За эти годы книга складывалась как учебное пособие в значительной мере
монографического характера, отражающее деятельность определенной научной
школы. В создании ее отдельных глав принимали участие доктора наук В. М. Бо-
ришанский. Э. П. Волчков, А. Г. Кирдяшкин, А. И. Леонтьев, Б. П. Миро-
нов, В. Е. Накоряков, А. К. Ребров, Н. А. Рубцов, Е. М. Хабахпашева и не-
некоторые другие мои коллеги по Институту теплофизики и Центральному кот-
лотурбинному институту.
В этом издании за счет некоторого сокращения традиционного материала
расширено изложение новых проблем ,и результатов.
Академику AL А. Стыриковичу, членам-корреспондентам Академии наук
СССР Б. С. Петухову и В. И. Субботину я признателен за просмотр рукописи.
Рукопись данного издания подготовлена В. Ю. Чеховичем, Н. И. Козин-
ской, Э. Г. Маленковой.
Хотя этот труд в определенной мере и коллективный, но за недостатки
и упущения, которые обнаружит читатель, ответствен только я.
С. С. КУТЛТЕЛЛДЗЕ
СПИСОК УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ
И ИНДЕКСОВ
УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
А — поглощательная способность тела
а = к/ср,— коэффициент температуропроводности, м2/с
а* — скорость распространения звука, м/с
с — удельная теплоемкость, Дж/(кг-К)
cj — коэффициент трения
и — диаметр, м
Е — плотность поверхностного или > полусферического излучения-, Вт/м2
F — площадь поверхности нагрева, поверхности раздела фаз и т. п., м2
g — ускорение силы тяжести, м/с2
= Fnpik — средняя.взаимная поверхность излучения между двумя телами, м2
; /*0=х6 — соответственно оптическая глубина и толщина слоя поглощающей среды;
i — удельное теплосодержание (энтальпия), Дж/кг
/ — интенсивность или яркость излучения, Вт/(ср-м2)
k — коэффициент теплопередачи, Вт/(м2-К)
ka — степень турбулентности потока
kn (h) — экспоненциальный интеграл
L — полная высота (длина) поверхности нагрева (охлаждения), м
/'—линейный размер, м
р — давление, Па
Q — количество тепла или общий тепловой поток, Дж или Вт
q — плотность теплового потока, Вт/м2
<7кр — плотность теплового потока, при которой происходит смена пузырькового
режима-кипения пленочным режимом (первая критическая плотность
теплового потока), Вт/м2
<7Крв — плотность теплового потока, при которой происходит разрушение сплош-
. ' яюй паровой пленки на поверхности нагрева и восстанавливается пузырь-
пузырьковый режим кипения (вторая критическая плотность теплового потока),
Вт/м2 '
Qy —7 плотность внутреннего источника тепла, Вт/м3
R — радиус, м
г — скрытая теплота парообразования, Дж/кг
t — время, с
Т — абсолютная температура, К
Ткъ — критическая температура (в термодинамическом смысле), К
Т* — температура торможения, К
Т" — температура насыщения пара, К
и — объемная плотность лучистой энергии, Дж/м3
V — объем, м3
V — пульсационная составляющая вектора скорости, м/с
v — удельный объем, м3/кг
Vtct/P — «динамическая скорость», или «скорость касательного напряжениям
м/с
w — скорость течения, м/с
w" — скорость течения пара или газа в двухфазной системе, м/с.
х, у, z — координаты
а — коэффициент теплоотдачи, Вт/(м2-К)
Р — коэффициент рассеяния излучения в объеме среды, м -1
6 — толщина, м
8 — излучательная способность тела (среды)
? — коэффициент гидравлического сопротивления -
= v*y/v — безразмерное расстояние от стенки
0, ф — безразмерная температура
х — константа структуры турбулентного потока со значительным попереч-
поперечным градиентом скорости
X — коэффициент теплопроводности, Вт/(м-К)
\х — коэффициент динамической вязкости, Па-с
v = \х/р — коэффициент кинематической вязкости, м2/с
g — безразмерная координата
р — плотность, кг/м3
a — коэффициент поверхностного натяжения, Н/м
<уп — нормальное напряжение, Па
о0 — постоянная Стефана — Больцмана, Вт/(м2-К4)
т — касательное напряжение, Па
средний разрешающий угловой коэффициент излучения между двумя те-
телами
4>ik — средний угловой коэффициент излучения между t-ым и k-ыи телами
^ik — средний разрешающей уэдфвой коэффициент излучения между двумя
телами с учетом экра*н*$*ра&щя промежуточной средой
чргь — средний угловой коэффициент' излучения между двумя телами (зонами)
с учетом экранирования промежуточной средой
Q — площадь поперечного сечения, ад*
со — безразмерная скорость течеРЦЛ
ИНДЕКСЫ
гр — граничный
к — конвективный
кр — критический
от — относительный
п — падающий
э — эффективный
с — собственный
р — радиационный
ст — стенка (твердая поверхность)
Т — турбулентный, тепловой
н — нормальный к поверхности
х, А — поглощенный
R, р — соответственно отраженный и рассеянный (объемная среда)
i,- k — номера изотермических зон (тел)
о — относится к масштабной точке системы
' — показывает, что величина относится к твердой или жидкой фазе
* — показывает, что величина относится к паровой (газовой) фазе
—, ~ — показывает относительное значение величины
- — знак осреднения
1
Глава _
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ В ТЕОРИИ
ТЕПЛООБМЕНА
11. ПРЕДМЕТ TEOMfff ТЕПЛООБМЕНА
При соприкосновении двух тел, щфрщпх различную температуру, проис-
происходит обмен энергией движения структурных частиц (молекул, атомов, сво-
свободных электронов), вследствие чего интенсивность движения частиц тела,
имевшего меньшую температуру, увеличивается, а интенсивность движения
частиц тела с более высокой температурой уменьшается. В результате одно из
соприкасающихся тел нагревается, а другое остывает. Поток энергии, переда-
передаваемой частицами более горячего тела частицам тела более холодного, называ-
называется тепловым потоком.
Таким образом, для возникновения теплового потока, т. е. процесса тепло-
теплообмена между различными областями пространства, заполненного веществен-
вещественной средой, необходимо и достаточно, чтобы в этих областях имели место неоди-
неодинаковые температуры. Иначе говоря, единственным условием возникновения
теплообмена является наличие разности температур между рассматриваемыми
телами. При этом тепловой поток направлен в сторону меньших температур.
Значимость процесса теплообмена как в природе, так и в технике опреде-
определяется тем, что свойства тел самым существенным образом зависят от темпера-
температуры, т. е. от их теплового состояния. Последнее же, в свою очередь, опреде-
определяется условиями теплообмена, которые поэтому оказывают решающее влияние
на процессы изменения агрегатного состояния вещества, на течение химических
реакций (в частности, процесса горения), механические, электроизоляцион-
электроизоляционные, магнитные и другие свойства тел.
Именно этими обстоятельствами и объясняются бурное развитие теории
теплообмена в XX веке и то исключительное внимание, которое ей уделяется
в физике планетарных процессов, энергетике, химической технологии и в ряде
других отраслей науки и техники. Предметом теории теплообмена являются
процессы переноса тепла из одной части пространства в другую.
Наряду с рассмотренным случаем теплообмена непосредственно в вещест-
вещественной среде, являющегося следствием движения структурных частиц, имеет
место также перенос теплоты посредством лучеиспускания (например, в косми-
космических процессах). Поэтому следует различать теплообмен путем непосредст-
непосредственного соприкосновения тел и лучистый теплообмен, когда энергия передается
от одного тела к другому посредством электромагнитного поля.
В вещественной среде распространение тепла, в конечном счете, всегда свя-
связано с тепловым движением структурных частиц. Однако непосредственный
перенос определенных порций теплоты из одной области в другую может про-
происходить не только в результате последовательного обмена энергией частиц,
заполняющих пространство между рассматриваемыми областями, но и в ре-
результате перемещения состоящих из большого количества молекул объемов
среды.
Процесс распространения тепла только вследствие движения структурных
частиц называется теплопроводностью, а процесс теплопередачи, обусловлен-
обусловленный перемещениями молярных объемов среды, — конвекцией.
Таким образом, существуют три способа переноса тепла: теплопроводность
(кондукция), перемешивание (конвекция) и излучение (радиация). В действи-
действительных процессах все эти три способа теплообмена обычно сопутствуют друг
другу и часто связаны с переносом массы (диффузией), т. е. имеет место слож-
сложный тепло- и массообмен.
В теории теплопередачи расчет сложного теплообмена осуществляется с по-
помощью методов, обобщающих результаты раздельного изучения каждого из
трех первичных способов переноса тепла. Следовательно, основным методом
теории теплопередачи является расчленение сложного теплообмена- на его со-
составляющие по способу (механизму) переноса тепла и изучение этих состав-
составляющих методами математической физики и научного опыта.
При рассмотрении сложного теплообмена с сильно меняющимися в прост-
пространстве и времени температурными полями могут возникать задачи, которые не
сводятся к моделям с квазиавтономными частными процессами теплообмена.
В этих случаях понятия коэффициентов теплопередачи и теплоотдачи вообще
лишены отчетливого смысла. Необходима постановка задачи, в достаточно об-
общей форме описывающей как механизмы теплопереноса в отдельных элементах
системы, так и их взаимодействия на границах раздела тел и фаз. Такие задачи
называются сопряженными, и их конкретное рассмотрение, как правило,
весьма индивидуализировано конкретными краевыми условиями. Общая же
их постановка всегда опирается на основные уравнения, рассматриваемые
в последующих главах этой книги.
Практически большинство процессов, рассматриваемых теорией теплообме-
теплообмена, протекает при взаимодействии твердых тел и жидких сред в областях, раз-
размеры которых чрезвычайно велики по сравнению с длиной свободного пробега
структурных частиц (атомов, молекул). Так, в объеме газа, равном 10~3 мм3,
при давлении 9,8-104 Па и температуре 273 К содержится примерно 1016 мо-
молекул. Поэтому такие статистические понятия, как температура, давление,
теплоемкость, вязкость и т. п., могут быть приписаны даже таким малым
элементам системы, которые с физико-математической точки зрения могут рас-
рассматриваться в данном случае как дифференциалы ее объема.
Это означает, что в большинстве проблем теплообмена твердые и жидкие
среды, составляющие систему, рассматриваются как непрерывные. Исключе-
Исключение приходится делать только для взаимодействия тел с весьма разреженным
газом, когда размеры тела становятся соизмеримыми с длиной пути свободного
пробега молекул.
1.2. ПОЛЕ ТЕМПЕРАТУР И ПОЛЕ ТЕПЛОВЫХ ПОТОКОВ
Выше было указано, что возникновение теплового потока связано не с аб-
абсолютным значением температуры тела, а с наличием разности температур в
различных его точках. Но разности температур можно приписать вполне оп-
определенное направление, а именно: если соединить прямой две точки тела, то
разность между их температурами можно считать положительной в направле-
направлении более высоких температур и отрицательной в направлении более низких
температур.
Соединим сплошными линиями все точки некоторого плоского сечения тела,
имеющие в данный момент времени одинаковую температуру. В трехмерном
пространстве эти линии равных температур (изотермы) перейдут в соответст-
соответствующие изотермические поверхности. Такое пространственное геометрическое
место точек, в которых рассматриваемая физическая величина имеет одинако-
одинаковое значение, называется поверхностью уровня. Очевидно, что поверхности
уровня, и в частности интересующие нас изотермические поверхности, никогда
не пересекаются друг с другом, ибо в данной точке пространства в данный
момент времени возможно только одно значение данной физической величины.
Интенсивность изменения температуры в каком-либо направлении может
быть охарактеризована густотой (плотностью) изотерм на некотором линейном
отрезке As, т. е. производной dT/ds.
Если отрезок As направлен по касательной к изотерме, то температура на
бесконечно малом удалении от данной точки в этом направлении не меняется,
и в таком случае dT/ds = 0. Наоборот, в направлении нормали к изотерме зна-
значение dT/ds будет наибольшим, так как в этом направлении расстояние между
двумя изотермами наименьшее. Следовательно,
(d77ds)MaKC = dT/dn. A.2.1)
7
i Вектор- п dT/dn называется температурным градиентом (grad *Г) и опреде-
определяет наибольшую скорость изменения температуры по нормали к изотерме
в данной точке пространства. Очевидно, что температурный градиент как
производная существует тогда, когда поле температур является непрерывным,
а функция
T = T(x;y;z; t)y A.2.2)
выражающая математически это поле, дифференцируема.
Таким образом, скалярному полю температур соответствует векторное поле
температурных градиентов, а условие возникновения теплового потока можно
формулировать как условие неравенства нулю величины grad Т. Соответствен-
Соответственно этому тепловой поток направлен по линии температурного градиента, в об-
обратную сторону по отношению к последнему.
1.3. КОЭФФИЦИЕНТЫ ТЕПЛООТДАЧИ И ТЕПЛОПЕРЕДАЧИ
В некоторых случаях количество тепла, приобретаемого или отдаваемого
телом, при прочих равных условиях приблизительно пропорционально по-
поверхности тела и разности между его температурой и температурой окружаю-
окружающей среды. Поэтому для практических расчетов установившегося (постоянного
во времени) теплового потока, подводимого (или отводимого) к твердой поверх-
поверхности от обтекающих ее жидкости или газа, исторически установилась формула
Q = aATFt, A.3.1)
где AT = Тст — Т — разность между средними температурами поверхности
F и потока жидкости (газа), К; t — время, с. Множитель пропорциональ-
пропорциональности между величиной Q и произведением ATFt, обозначаемый буквой а,
называется коэффициентом теплоотдачи и имеет размерность Вт/(м2- К).
| Как будет ясно из дальнейшего, формула A.3.1) отнюдь не отражает дей-
действительной зависимости теплового потока от температуры, физических свойств
/и размеров тел, находящихся в тепловом взаимодействии. По существу, эта
I формула является только некоторым формальным приемом, переносящим все
'трудности расчета теплопередачи на определение коэффициента а, который
обычно в меньшей степени зависит от размеров поверхности теплообмена и от
температурного напора, чем тепловой поток Q.
При расчетах теплопередачи от одной жидкой среды к другой, отделенной
от первой твердой стенкой, в расчетной практике пользуются выражением,
аналогичным формуле A.3.1), но множитель пропорциональности обозначают
буквой k и называют коэффициентом теплопередачи:
Q = kATFt. A.3.2)
Здесь AT = 7\ — Т2 — разность между средними температурами потока жид-
жидкости (газа), отдающего тепло, и потока жидкости (газа), воспринимающего
это тепло, К.
1.4. ТЕРМИЧЕСКОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ
Рассматривая величину AT как разность температурных уровней, можем
представить формулу A.3.1) в виде, аналогичном закону сопротивления для
электрического тока, а именно:
Q = ATFi/R*a, A.4.1)
где R? = 1/а — сопротивление теплообмену между твердой поверхностью
и омывающей ее жидкостью (газом), м2- К/Вт.
Аналогично этому можно переписать и формулу A.3.2):
. Q = ATFt/Rl, A.4.2)
8 \
где Rl = \lk — сопротивление теплопередаче от одной жидкости к другой
через разделяющую их твердую стенку, м2- К/Вт.
Величины R* называются термическими сопротивлениями. Удобство их
введения в расчет теплопередачи заключается в том, что термическое сопротив-
сопротивление сложной системы представляет собой простую сумму частных термиче-
термических сопротивлений, т. е.
A<*<л). A.4.3)
В соответствии с этим общий коэффициент теплопередачи выражается через
коэффициенты теплоотдачи различных частей системы более сложно, а именно:
)-1 (ККп). A.4.4)
Величина q = аД7\ имеющая размерность Вт/м2, называется плотностью
теплового потока. Плотность тепловою потока является мерой тепловой напря-
напряженности поверхности нагрева.
1.5. БАЛАНСНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛООБМЕННОГО
АППАРАТА
Как уже было сказано, в действительных процессах все три способа тепло-
теплообмена— теплопроводность, конвекция и излучение сопутствуют? друг другу,
т. е. имеет место сложный теплообмен. Если ведется расчет теплсюбметамезкду
потоком жидкости (газа) и некоторым телом, т. е. вычисляется теплоотдача к.
поверхности этого тела, исходной расчетной формулой является выражение
или
Q = (aK + ap)FAT. A.5.2)
Здесь Q — тепловой поток в единицу времени, а индексы «к» и «р» обозначают
теплоотдачу конвекцией и излучением.
При расчетах теплопередачи от одной жидкой среды к другой (например,
от пара к воде в трубах конденсатора) вместо коэффициента теплоотдачи вво-
вводится коэффициент теплопередачи. При этом входящие в выражение для k зна-
значения коэффициента теплоотдачи слагаются из коэффициентов теплоотдачи кон-
рекдией и излучением, т. е. расчетный коэффициент теплоотдачи
а = ак + ар. A.5.3)
Практически излучение учитывают только при теплообмене с газовой сре-
средой, так как капельные жидкости в большинстве тепловых расчетов можно
считать непрозрачными для теплового излучения. Методы вычисления коэф-
коэффициентов теплоотдачи в различных условиях рассмотрены в последующих
гладах. Однако при переходе от частных способов теплоотдачи к сложному теп-
теплообмену возникают качественно новые особенности, существенно усложняю-
усложняющие задачу.
Основным вопросом в этом случае является выяснение того, что следует по-
понимать в выражении A.3.2) под разностью температур сред, так как эти тем-
температуры меняются вдоль течения вследствие самого процесса теплопередачи
(греющая среда охлаждается, нагреваемая среда повышает свою температуру).
Очевидно, в таком случае уравнение A.3.2) следует писать в интегральной фор-
форме и совмещать с уравнением теплового баланса системы:
Q= \kATdF. A.5.4)
F
Во многих случаях оказывается возможным считать коэффициент теплопе-
теплопередачи k постоянным по всей поверхности нагрева, т. е. вводить некоторым об-
образом усредненное значение этой величины. В таком случае уравнение A.5.4)
принимает вид
A.5.5)
где
ATdF. A.5.6)
F J
Величина ДГ называется средней разностью температур или средним тем-
температурным напором. Знак осреднения k в уравнении A.5.5) опущен. Совме-
Совмещая A.5.5) с уравнением теплового баланса для стационарной теплопередачи,
получаем систему уравнений
]
Q = c1G2(T11-T12)] A.5.7)
Q = c2G2(T22-T21). J
Здесь си с2 — удельные теплоемкости греющей и нагреваемой сред при посто-
постоянном давлении, Дж/(кг- К); Gb G2 — массовые расходы сред, кг/с; Ги, Т12 —
температура греющей среды на входе и выходе, К; Г12, Т22 — температура на-
нагреваемой среды на входе и выходе, К.
Коэффициент теплопередачи k в этом случае обычно вычисляют по значе-
значениям" а, отнесенным к температурам сред, осредненным по ходу течения.
Как явствует из предыдущих разделов, допущение о постоянстве k по всей по-
верх№<^#ёшюобмена, вообще говоря, весьма условно, и в некоторых случаях
такое^рЬа?ение задачи оказывается невозможным (например, в случае изме-
изменений^: rfo длине трубы при конвекции). При этом производят расчеты, разби-
разбивая поверхность теплообмена на отдельные участки, в пределах которых коэф-
коэффициент теплопередачи можно считать постоянным с достаточной для данного
расчета степенью точности.
1.6. СРЕДНИЙ ТЕМПЕРАТУРНЫЙ НАПОР
Для элементарной поверхности теплообмена dF (сечение х) система A.5.7)
примет вид:
dQ^k^-T^dF; ]
dQ=—c1G1dT1; A.6.1)
dQ = c2G2dT2. J
Знак минус во втором из этих уравнений взят потому, что в результате тепло-
теплопередачи температура греющей среды понижается.
Далее будем полагать, что поверхность нагрева с обеих сторон омывается
параллельными потоками жидкости. При этом, если направления течения сред
совпадают, то такое течение будем называть прямотоком, а если направления
течения сред противоположны (на 180°) — противотоком. Совмещая втброе
и третье уравнения системы A.6.1), можно написать
Совмещая это уравнение с первым уравнением системы A.6.1), получаем
d (АТ)/АТХ = d G\ — Т2I{ТХ — Т2)х = — zdF, A.6.3)
где z = k [(^А) + (caGa)]. Интегрируя уравнение A.6.3) при z = const,
лолучаем
1ПМТ "КТЛ--*Р' л A.6.4)
Здесь А7\ = G\ — Г^^о — температурный напор на входе греющей среды
в рассматриваемую область. Подставляя это выражение для А71 в уравнение
A.5.6), получаем
exp(z/)df fexp(—zF) — l]. A.6.5)
F J zF
10
Так как в этом уравнении интегрирование распространяется на всю поверх-
поверхность нагрева, то величина Д7\ ехр (— zF) представляет собой, согласно урав-
уравнению A.6.4), температурный напор на выходе греющей среды ЛГ2 = (Тг —
— T2)X=F. С другой стороны, — zF = In (Д7УД7\), и, следовательно,
ln(A7yA7\)
A.6.6)
Эта величина называется среднелогарифмическим температурным напором
При прямотоке Д7\=ГП—Г21 и ДГ2=Т12—Г22; при противотоке ДГ^Гц—Г„
и ДТ2 = Г12— Г21. Из этих выражений видно, что при одной и той же началь-
начальной температуре греющей среды при противотоке можно получить более высо-
Рис. 1.1. Изменение температур теплоно-
теплоносителей при прямотоке (а—C\G\>c2G2\
б — c\G\<c2G2) и противотоке (в —
CiGi<c2G2\ г — clGx>c2G2)
Рис. 1!2. Различные схемы течения теп-
теплоносителей в аппаратах:
а — прямоток; б — противоток; в — перекрест-
перекрестный ток; г — смешанный противоточно-прямо-
точный ток; д — перекрестно-противоточный
ток, е, ж — смешанные токи при наличии от-
клоняющих перегородок
кую температуру нагреваемой среды, т. е. в целях подогрева противоток яв-
является наиболее целесообразной формой организации движения теплоносите-
теплоносителей (рис. 1.1).
При изменении агрегатного состояния, когда температура одной из сред G\)
остается постоянной и равной температуре фазового превращения Т\ формула
A.6.6) принимает вид
Г^—• A-6.7)
Как видно из рис. 1.2, наряду с прямотоком и противотоком могут иметь
место смешанные формы течения. Вычисление средних разностей температур
в этих случаях весьма громоздко и не имеет принципиального значения. На
рис. 1.3 для некоторых схем течения приведены значения вспомогательных
функций i|) (Р; R), при помощи которых определяют средний температурный
напор по формуле
AT = ih • (Тц—т22)—(Г12—т21)
1п[(Гп-Г22)/(Г12-Г21)] '
A.6.8)
Вспомогательные параметры Р и R также являются функциями начальных
и конечных температур сред
A.6.9)
11
R=(Tn-T12)/(T22-T21).
0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 P
0,9
(
«5
\
\
1"
- r
1
\
" ^
e
Ss
V
\|
u
1
1
=^
ч
\
N
\
s
N V
\ 1 \
\ \
1 \
:
} 0,1 0,5 0,5 0,7 0,9 P
0,1 0,5 0,5 0,7 P
1.7. ХОД РАСЧЕТА ТЕПЛОПЕРЕДАЧИ
Обычно при расчете теплопередачи невозможно сразу определить темпера-
температурный уровень процесса во всех точках системы. Так, если заданы начальные
температуры теплоносителей, то конечные температуры обычно можно опреде-
определить только путем последовательных приближений. Но так как от температур-
температурного уровня зависит и коэффициент теплопередачи (через входящие в него ве-
величины а и Я), то тепловой расчет еще более усложняется.
Применяемый в этом случае метод последовательных приближений заклю-
заключается в том, что в первом приближении задаются вероятными значениями не-
неизвестных температур, или коэффициентов теплопередачи, или тепловых пото-
потоков и затем, выполнив все вычисления, в поверочном расчете определяют эти
величины. Если между вычисленными и принятыми значениями имеет место
12
@,8
@,6
>
NN
\ \
\l \
с
|i
\
=2
\
\
\
4
—a.
¦«,
s
V
\
s
\
s
4
\
\
«=;
4
\
\
\
\
\
\
\
L
\
\
\
1
\
0 0^ 0,4 0,6- 0,8 P
A
-T22
V
12
Рис. 1.З. Графики поправочных коэффициентов к среднелогарифмической
разности температур для некоторых схем течения
«большое расхождение, то расчет повторяют, приняв новые исходные значения
неизвестных величин в соответствии с тенденцией, обнаруженной поверочным
расчетом. Проведение таких расчетов и удачный выбор исходных значений до-
достигаются, конечно, в результате большой практики.
Для наиболее ответственных агрегатов (ядерные реакторы, паровые котлы,
камеры сгорания и т. п.) ход теплового расчета обычно стандартизируют и из-
излагают в виде норм.
1.8. ОДНОМЕРНАЯ МОДЕЛЬ ЖИДКОСТНОГО
ОХЛАЖДЕНИЯ ЯДЕРНОГО РЕАКТОРА
В аппаратах с тепловыделением, не зависящим от процесса теплопередачи,
-основной задачей теплового расчета является определение поля температур в
тепловыделяющих элементах и потоке охлаждающей среды. При этом следует
.определить максимальные температуры материала и жидкости для сравнения
их с условиями безопасного режима работы. В условия безопасного режима ра-
работы входят, в частности, допустимый температурный предел работы конст-
конструкционных материалов, температура насыщения жидкости при охлаждении
•без кипения и первая критическая плотность теплового потока при охлаждении
?, кипением.
13
Рассмотрим охлаждение трубчатого элемента ядерного реактора некипя-
щей жидкостью. Для простоты физические свойства" жидкости будем считать
неизменными по" длине канала. Распределение
ЪУц : ^ ^j тепловыделения
синуса
запишем в виде закона
2Х+11
A.8.1)
Рис. 1.4. Распределение темпера-
температур и теплового потока по длине
канала, охлаждаемого водой, при
синусоидальном продельном рас-
распределении тепловогоЬпотока
где <7макс — максимальная плотность теплово-
теплового потока, имеющая место в центре канала;
% — постоянная данного канала.
Влиянием входного участка на величину
а пренебрегаем, полагая, что канал достаточ-
достаточно длинен. Тепловой* баланс элемента трубы
имеет вид
qnDdx = cpw (я/4) D2 dTx- = anD (TCT — Tx)dx.
A.8.2)
Здесь Тх — средняя температура жидкости в сечении; w — средняя рас-
расходная скорость жидкости; D — внутренний диаметр трубы. Вводя в это выра-
выражение значение q из A.8.1) и решая попарно члены равенства A.8.2), находим
nDcpw
-cos я
Температура жидкости на выходе из активной зоны
2cos-
nDcpw
2Х+1
A.8.3)
A.8.4)
A.8.5)
Максимальная температура стенки находится при данном распределении плот-
плотности теплового потока не в конце трубы, а в некоторой точке ее второй поло-
половины. Положение этой точки определяется условием dTCT/dx = 0.
На рис. 1.4 показан характер распределения теплового потока, температуры
стенки тепловыделяющего элемента и температуры охлаждающей жидкости
по длине реактора.
2
Глава _ _
УРАВНЕНИЕ РАСПРОСТРАНЕНИЯ
ТЕПЛА В ВЕЩЕСТВЕННОЙ СРЕДЕ
2.1. ГИПОТЕЗА О ПРЯМОЙ ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТИ
ВЕКТОРА ТЕПЛОВОГО ПОТОКА ГРАДИЕНТУ
ТЕМПЕРАТУР
При стационарном процессе теплообмена и постоянной плотности теплово-
теплового потока количество тепла, проходящего через некоторый элемент тела, пря-
прямо пропорционально площади рассматриваемого элемента и промежутку вре-
времени. Для нестационарного процесса такого рода пропорциональность может
быть сохранена только в том случае, если мы будем рассматривать весьма ма-
малые промежутки времени и площади. В соответствии с этим
d2Q = qdFdt. B.1.1)
где dF — элементарная площадь, через которую проходит тепловой поток;
dt — элементарный период времени; d2Q — элементарный поток тепла, кото-
который рассматривается в данном случае как дифференциал второго порядка (по-
(поскольку величины dF и dt рассматриваются как дифференциалы первого поряд-
порядка). Величина q, имеющая размерность Вт/м2, представляет собой вектор теп-
теплового потока, направленный по нормали к площадке в сторону, обратную на-
направлению градиента температур.
В середине XVIII столетия М. В. Ломоносов указал [1], что количество теп-
теплоты, передаваемое от одного тела к другому, пропорционально разности коли-
количеств движения составляющих эти тела «частиц», т. е. молекул. Количество
движения, передаваемое молекулам, пропорционально разности их кинети-
кинетических энергий в рассматриваемых областях тела, т. е. пропорционально раз-
разности температур этих областей. Формально в математическую физику это по-
положение было введено в начале XIX столетия в виде гипотезы Био-Фурье о
прямой пропорциональности вектора теплового потока градиенту температуры:
q=—A,grad7\ B.1.2)
Знак минус показывает взаимообратную направленность вектора теплового
потока и градиента температур, а множитель пропорциональности X рассмат-
рассматривается как некоторая физическая характеристика, именуемая коэффициен-
коэффициентом теплопроводности. Размерность коэффициента теплопроводности
В действительности коэффициент теплопроводности данного вещества от-
отнюдь не является строго постоянной величиной, а так же, как и другие физи-
физические характеристики (удельная теплоемкость, коэффициент вязкости и т. п.),
меняется с изменением состояния тела и, в первую очередь, в связи с изменени-
изменением его температуры. Так, коэффициент теплопроводности газов возрастает с
повышением температуры (рис. 2.1). То же наблюдается и у многих теплоизо-
теплоизоляционных твердых материалов (рис. 2.2). У чистых металлов коэффициент
теплопроводности уменьшается с ростом температуры (рис. 2.3), а у жидко-
жидкостей эта зависимость подчас имеет весьма сложный характер (рис. 2.4. и 2.5).
Так, коэффициент теплопроводности воды в некотором интервале температур
возрастает, а затем уменьшается (рис. 2.6). В газах импульс и энергия теплово-
теплового движения передаются при непосредственном взаимодействии (столкнове-
(столкновении) молекул, вследствие чего коэффициенты теплопроводности, вязкости и
диффузии пропорциональны друг другу:
Я ~ ср ~ cpD, B.1.3)
где D — коэффициент диффузии, м2/с.
15
?
0,2
\0,04
CD
0,02
0,01
/
/
/
/
7/
J
/'
8
/
7
0,20
0,16
E
со
0,08
0,04
/
/
J
~~—
<?
^4
\
0,08
0,06
?0,04
0,02
§
r
1
f
\
\
5
\
6
\
s
200
400
600 T,K
Рис. 2.1. Температурные зависимости
коэффициентов теплопроводности не-
некоторых газов при нормальном дав-
давлении:
/ — водород; 2 — гелий; 3 — неон; 4 — ар-
аргон; 5 — воздух; 6 — азот; 7 — двуокись уг-
углерода; 8 — фреон-12; 9 — фреон-11
Рис. 2.2. Температурные зависимости коэффи-
коэффициентов теплопроводности некоторых изоляци-
изоляционных материалов:
/ — асбест; 2 — инфузорная земля; 3 — трепельный"
кирпич (обожженный); 4—пробковая мелочь; 5—*
88%-ный карборундовый кирпич; 6 — 57%-ный карбо-
карборундовый кирпич
480
400
520
240
160
80
J
5
8
9
-
—^—¦
.
Ша
¦—,
6-
—¦—.
—
—'—
¦
Щ
Рис. 2.3. Температурные зависимости
коэффициентов теплопроводности не-
некоторых металлов:
1 — медь 100%-ная; 2 — медь 99,9%-ная; 3 —
алюминий 99,7%-ный; 4 — алюминий 99,0%-
ный; 5 —марганец 100%-ный; 6 — марганец
99,6%-ный; 7 —цинк 99,8%-ный; 5 — плати-
платина 100%-ная; 9 — никедь 99%-ный; 10 — ни-
никель 97%-ный; 11 — железо 99,2%-ное; 12 —
свинец технически чистый
50.
Рис. 2.4. Температурные зависимое™
коэффициентов теплопроводности не-
некоторых жидкостей:
/ — глицерин; 2 — уксусный ангидрид; 3 —
масляная кислота; 4 — пропилацетат; 5 —
амиловый спирт; 6 — масло ВМ-4; 7 — б
бензол; 8—дибромэтан-
16
В неметаллических конденсированных
средах энергия теплового движения пере-
передается в основном за счет колебаний мо-
молекул, т. е. имеет место фононная тепло-
теплопроводность. В чистых конденсированных
металлах теплота переносится движением
свободных электронов, что обусловливает
высокую теплопроводность и пропор-
пропорциональность ^^ ее электропроводности.
В сплавах фононная и электронная теп-
теплопроводности! могут быть соизмеримыми.
Для кристаллов имеет место анизотропия
теплопроводности, т. е. значение X не оди-
одинаково в направлении различных осей
кристалла.
0,7
0,6
0,5
?
п
¦ 1
1
- 1
1
и—,
1
1
1
Sn
Pb
1
1
1
! Си
-
2,8
2,0
1,6
'400 800 1200 1600T,K
Рис. 2.5. Температурные зависимости
коэффициентов теплопроводности не-
некоторых жидких металлов по данным
Л. П. Филиппова
Таким образом, в уравнении B.1.2) множитель пропорциональности А, в
общем случае следует рассматривать как некоторую функцию температуры и
координат, а следовательно, и времени. Однако во многих практически интерес-
0,8
0,6
?
0,2
7
-.
\
10
10 Па
\
л
\ ki 5
\ Ух
\ ,
2-Ю7
¦
100
200
J00
400
500
600 Т,%
Рис. 2.6. Температурные зависимости коэффициентов теплопроводности
воды и водяного пара
ных случаях с достаточной степенью точности оказывается возможным считать
величину Я постоянной, вводя в расчет ее некоторое среднее значение в данном
интервале температур.
2.2. УРАВНЕНИЕ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ТЕПЛА
В ВЕЩЕСТВЕННОЙ СРЕДЕ
Вывод дифференциального уравнения распространения тепла основан на
применении закона сохранения и превращения энергии. Для тепловых процес-
процессов этот закон выражается в виде первого начала термодинамики, которое
для единицы объема движущейся среды можно записать в виде уравнения
= p[du + d {w2/2)].
B.2.1)
Здесь Qv — количество тепла, втекающего в единицу объема среды за единицу
времени, Вт/м3; Lv — работа, совершаемая внешними силами над единицей объ-
объема среды за единицу времени, Вт/м3; и — внутренняя энергия одного кило-
килограмма среды, Дж/кг; w — скорость движения (течения) среды, м/с.
Уравнение B.2.1) выражает то обстоятельство, что изменение полной энер-
энергии тела, складывающееся в данном случае из его внутренней энергии ра и
кинетической энергии рш2/2, обусловлено количеством теплоты, подводимой к
17
телу, и внешней работой, совершаемой над телом. Поскольку рассматривается
движение элемента потока жидкости, то работа в данном случае связана с из-
изменением давления и внутренним трением текущей среды. Внутренняя энергия
среды связана с ее энтальпией (теплосодержанием) уравнением
du = di — d(p/p). B.2.2)
Для совершенного газа di = cp dT. Воспользовавшись этими соотношениями,
получаем
du + d (ш2/2) = di + d (w2/2)—р-1 dp + /?p~2 dp. B.2.3)
Выделим в рассматриваемом теле объем V, ограниченный поверхностью F.
Уравнение теплового баланса этого объема, отнесенное к единице времени,
можно записать в виде
f Qv dV + f qdF =* f qv dV. B.2.4)
V F V
Внутренние источники тепла могут возникать вследствие излучения, объем-
объемных химических реакций, радиоактивного распада вещества, прохождения
электрического тока, работы трения и т. п. Первый член этого уравнения пред-
представляет собой изменение теплосодержания рассматриваемого объема; второй
член — количество тепла, ушедшее через поверхность F путем теплопровод-
теплопроводности; третий — количество тепла, выделенное внутренними источниками
(если qv имеет знак минус, то в теле находятся стоки тепла).
Между потоком вектора через замкнутую поверхность F, ограничивающую
объем F, и расходимостью (дивергенцией) вектора существует связь, выражае-
выражаемая формулой Гаусса — Остроградского:
f qdF= \]divqdV. B.2.5)
F V i
Преобразование B.2.5) справедливо, если в объеме V нет сильных разрывов
функции. Следовательно, в тепловой задаче это означает, что область V не
должна включать границы раздела фаз. Вводя преобразование B.2.5) в левую
часть уравнения B.2.4), находим
Qv = div (Jtgrad T) + qv. B.2.6)
В прямоугольных координатах
div q = dqjdx + dqy/dy + dqjdz. B.2.7)
Если принять гипотезу B.1.2), то
qt = —КдТ/дхг. B.2.8)
Тогда выражение B.2.6) в прямоугольных координатах имеет вид
Qv = л i М + Qvm B.2.9)
V дх* ^ ду* д22 / дх дх ^ ду ду ^ dz dz f K }
Подставляя это значение Qv в уравнение B.2.1) и принимая во внимание
соотношение B.2.3), получаем уравнение Фурье — Кирхгофа:
}(д2Т а2 Г , д2Т\ дХ дТ дХ дТ дХ дТ
дх2 ду2 ' П dz2 ) дх дх ду ду dz dz
EB,,o,
Это уравнение параболического типа, т. е. имеет нестационарные решения
при бесконечно большой скорости распространения теплового возмущения.
Реальная же скорость распространения теплового возмущения в вещественной
среде имеет порядок не более средней скорости теплового движения структур-
структурных частиц, а для излучения равна скорости распространения электромагнит-
18
ных волн. Однако во многих практических приложениях можно ограничиться
уравнением распространения тепла в форме B.2.10).
Оно содержит давление р, скорость течения среды w и плотность р. Следова-
Следовательно, для общего решения задачи о теплообмене в движущейся вещественной
среде к уравнению B.2.10) необходимо присоединить еще уравнения, опре-
определяющие поле скоростей и связь между термодинамическими параметрами
состояния среды. Такое замыкание системы дифференциальных уравнений
теплообмена в движущейся вещественной среде достигается присоединением,
к уравнению распространения тепла уравнений движения и сплошности по-
потока жидкости и уравнения состояния.
Полные производные по времени от давления, теплосодержания, квадрата-
скорости и плотности являются функциями координат и времени, в связи с чем
полный дифференциал любой из них:
Отсюда
dt + gdx + ?dy+3-dz. B.2.11)
dt dx ду dz
dtp __д<р ду dx_ _дф_ jly_ _дф_ dz__ ^ 2 12V
dt dt dx dt ду dt dz dt
Величины dxldt = wx\ dy/dt = wy; dzldt = wz представляют собой проек-
проекции вектора скорости течения среды на соответствующие координаты. Таким
образом, рассматриваемая полная производная распадается на две с физичес-
физической точки зрения разные части. Первый член правой части выражения B.2.12)
характеризует изменение данной величины, связанное с изменением поля этой
величины во времени. Сумма остальных трех членов правой части выражения
B.2.12) характеризует изменение данной величины, происходящее в связи с пере-
перемещением рассматриваемого элемента среды из одной точки пространства в дру-
другую. Иначе говоря, частная производная dy/dt представляет собой скорость
изменения ф во времени в той точке пространства, в которой элементарный объ-
объем среды находится в данный момент времени, а сумма
wx dy/dx + wy dy/dy + wz dy/dz = (w, grad-ф) B.2.13}
представляет собой скорость изменения ф, обусловленного перемещением эле-
элементарного объема среды dV из точки со значением ф -= фх в точку со значением
Ф = Ф2-
В связи с изложенным величина dy/dt называется местным или локальным
изменением, а величина (w, grad ф) — изменением перемещения или конвектив-
конвективным изменением. Для того чтобы подчеркнуть непосредственную связь произ-
производной dy/dt с движущейся средой (субстанцией), ее обозначают специальным
символом Dy/dt и называют субстанциональной производной:
Dy/dt = dy/dt + wx dy/dx + wydy/dy + wz dy/dz B.2.14)
или, в векторной форме:
y gгadф). B.2.15)
2.3. ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
Вводя полученное выше значение субстанциональной производной в урав-
уравнение B.2.10), получаем
д*Т д*Т . д*Т\ дХ дТ дХ дТ_ д%__дТ_ __
" а dz2 ) дх дх ду ду дг dz V ~
дх2 ду2
( di . di , di , di \ .
\ dt дх ду dz ]
, dw2/2 . dw2/2 . dw2/2
dt dx dy dz j
?У B-зл>
В векторной форме это уравнение имеет вид
5L 2!!5? B.3.2)
p + p
t р at at at
При умеренных скоростях течения жидкости, когда работа внешних сил и
кинетическая энергия потока малы по сравнению с его энтальпией (т. е. прак-
практически можно пренебречь влиянием изменения давления и кинетической энер-
,гией), уравнение распространения тепла в вещественной среде существенно
упрощается и принимает вид
div (ugrad T) + qv = pDi/dt. B.3.3)
Если коэффициент теплопроводности и удельную теплоемкость среды мож-
можно с достаточной точностью считать постоянными, то
XV2 T + qv=cpDT/di. B.3.4)
В неподвижной среде, в частности в твердом теле, w = 0 и при постоянных
«физических свойствах
XV2 T + qv = cpdT/dt B.3.5)
При отсутствии внутренних источников тепла, умеренных скоростях тече-
течения и постоянных физических свойствах среды уравнение распространения теп-
тепла принимает наиболее простую форму (уравнение Фурье — Остроградского
;[21):
— V2 Т = дТ/dt + (w, grad T). B.3.6)
Ф
В это уравнение Я, с (для газа ср) и р входят не порознь, а вместе — в виде
•комплекса
а.= Уф, B.3.7)
играющего здесь ту же роль, что и коэффициент диффузии в уравнении массо-
переноса.
Очевидно, что всякий комплекс, составленный из нескольких физических
характеристик, может, в свою очередь, рассматриваться как новая физическая
величина, характеризующая некоторые особые свойства среды.
Комплекс а, имеющий размерность м2/с, представляет собой отношение ко-
коэффициента теплопроводности среды к ее объемной теплоемкости. Это отноше-
отношение можно рассматривать как меру скорости изменения температуры единицы
объема тела при прохождении через него теплового потока, пропорционально-
пропорционального X. В соответствии с этой трактовкой .комплексная физическая характеристи-
характеристика B.3.7) называется коэффициентом температуропроводности среды или коэф-
коэффициентом диффузии тепла. Таким образом, скорость изменения температур-
температурного поля во времени в твердом теле и жидкости, текущей с умеренной ско-
скоростью, при отсутствии внутренних источников тепла зависит только от одной
физической характеристики — коэффициента температуропроводности.
При стационарном процессе дТ/dt = 0 и, поскольку а Ф О,
0. B.3.8)
Следовательно, конфигурация стационарного температурного поля в непод-
неподвижной среде с постоянными физическими свойствами и без внутренних ис-
источников тепла не зависит от физических свойств среды, а определяется толь-
только формой рассматриваемого тела и распределением температуры на его гра-
границах. '
20
При наличии внутренних источников тепла стационарное температурное
поле в неподвижной среде с постоянными свойствами примет вид
V2T + qv/k=--0. B.3.9)
В этом случае конфигурация температурного поля зависит от геометрии тела,
плотности внутреннего источника тепла и коэффициента теплопроводности
среды.
В среде, движущейся с умеренной скоростью, стационарное температурное
поле определяется уравнением
W*T + qv/cp=(vr, gradT). B.3.10)
Следовательно, в это^ случае конфигурация температурного поля зависит от
коэффициента теплопройбдности и объемной теплоемкости ср.
При отсутствии внутренних источников тепла стационарное температурное
тюле в среде с постоянными физическими свойствами, движущейся с умерен-
умеренной скоростью, зависит только от коэффициента температуропроводности.
2.4. ТЕМПЕРАТУРА ТОРМОЖЕНИЯ
Запишем сумму диффере*щадлыщх операторов в правой части уравнения
<B.3.2) как
«+#/2) (.)
Величина
i*=^i + w*/2 B.4.2)
имеет размерность энтальпии и, очевидно, является некоторой специфической
характеристикой энергетического состояния потока.
Для газов в довольно широко^ интервале температур удельную теплоем-
теплоемкость можно считать постоянной и
T* = T + w2/2cp. B.4.3)
Физический смысл этой величины может быть выяснен из следующих сообра-
соображений. Полная энергия потока складывается из его энтальпии и кинетической
энергии, т. е. равна t*. При изоэнтропическом торможении полная энергия
потока не изменяется, т. е.
iw=0 = i* = const, B.4.4)
В связи с этим величина i* называется энтальпией торможения, а вели-
величина Т* — температурой торможения. Эти величины играют важную роль
при исследовании теплообмена в потоках, двигающихся с большими скоро-
скоростями.
2.5. УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ С КОНЕЧНОЙ
СКОРОСТЬЮ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ВОЗМУЩЕНИЯ
Простейшая модель с конечной скоростью распространения теплового воз-
возмущения была предложена Вернотом. Эта модель представляет собой обобще-
обобщение модели Био — Фурье путем введения времени релаксации теплового пото-
потока tT. Тогда
q + /r^i-=_Xgradr. B.5.1)
Скорость распространения теплового возмущения может быть связана со вре-
временем тепловой релаксации через коэффициент температуропроводности»
Иэ соотношения размерностей имеем
B-5-2)
21
При кинетической и фонтанной проводимостях йеличина wr имеет порядок ско-
скорости звука, что и позволяет оценивать вклад первого и второго членов левой
части формулы B.5.1) в решение задач нестационарной теплопроводности.
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ломоносов М. В. Размышления о причине теплоты и холода. Новые комментарии
Петербургской Академии-наук, т. 1, 1750.
2. Остроградский М. В. Замечания по теории теплоты. Записки С.-Петербургской Ака-
Академии наук, т. 1, 1831.
3. Пехович А. И., Жидких В. М. Расчеты теплового режима твердых тел. Изд. 2-е, перераб.
и доп. Л., «Энергия», 1976.
4. Fourier I. В. Theorie analitique de la chaleur, Paris, 1822.
5. Kirchhoff G. Vorlesungen uber Mathematik, Physik, Mechanik, B. U. Vorlesungen uber
die Theorie der Warme, Leipzig, 1894.
6. Vernotte P. La nouvelle equation dela chaleur; peut—il у avoir propagation? — In: Jour-
nees international de la transmission de la chaleur. V. 1. Paris, 1961, p. 17.
3
Глава
УРАВНЕНИЯ ГИДРОДИНАМИКИ
3.1. СВЯЗЬ МЕЖДУ ПОЛЕМ ТЕМПЕРАТУР И
ПОЛЕМ СКОРОСТЕЙ В ДВИЖУЩЕЙСЯ СРЕДЕ
Наличие конвективного члена в уравнении B.3.1) показывает, что в движу-
движущейся среде теплообмен осуществляется не только за счет теплопроводности,
но и вследствие переноса тепла перемещающимися частицами среды (жидкости,
газа). При этом интенсивность конвективного переноса тепла пропорциональ-
пропорциональна мгновенному значению скорости течения среды в данной точке пространства.
Следовательно, конфигурация поля температур в движущейся среде сущест-
существенным образом зависит от конфигурации поля скоростей.
С другой стороны, температурное поле вызывает нарушение однородности
физических свойств среды. В областях с более высокой температурой плот-
плотность среды вследствие теплового расширения уменьшается, и получается не-
неустойчивое распределение плотности. Элементы жидкости приходят в движение,
обусловленное температурным полем. Если жидкость (газ) не подвергается
какому-либо внешнему механическому воздействию, побуждающему ее к пере-
перемешиванию (например, воздействию насоса), то единственным источником дви-
движения среды в этом случае оказывается процесс теплообмена. Такое движение
жидкости или газа называется свободной тепловой конвекцией, в отличие от
вынужденной конвекции, когда движение среды обусловливается внешним воз-
воздействием.
Кроме того, наличие неоднородного температурного поля обусловливает
и переменность вязкости жидкости, что также сказывается на характере поля
скоростей.
Таким образом, поля температур и скоростей в движущейся среде являются
следствием тепловых и механических взаимодействий и, строго говоря, не мо-
могут рассматриваться в отрыве друг от друга. При этом поле температур всегда
самым существенным образом зависит от поля скоростей. В отношении же поля
скоростей можно выделить такие течения, в которых тепловое воздействие весь-
весьма мало по сравнению с воздействием внешнего побудителя движения. Поэтому
в условиях вынужденной конвекции часто пренебрегают влиянием поля темпе-
температур на поле скоростей и учитывают только обратное воздействие.
Этот прием имеет важное методологическое значение, так как самым суще-
существенным образом упрощает исследование теплообмена в ряде практически
важных задач с дозвуковыми скоростями течения.
3.2. УРАВНЕНИЕ СПЛОШНОСТИ ПОТОКА ЖИДКОСТИ
Система дифференциальных уравнений гидродинамики строится на основе
законов сохранения массы и энергии. Рассмотрим поток жидкости через по-
поверхность /\ замыкающую объем V. В случае несжимаемой жидкости суммар-
суммарный расход жидкости через поверхность равен нулю. В случае сжимаемой
жидкости часть ее может задержаться или вытечь из рассматриваемого объема.
При этом плотность жидкости в данной точке пространства будет возрастать
или уменьшаться в единицу времени со скоростью dp/dt. Следовательно, изме-
изменение количества вещества в объеме V будет
= f div(pw)dV. C.2.1)
V
23
Знак минус при dp/dt взят потому, что плотность жидкости в рассматривае-
рассматриваемом объеме возрастает тогда, когда приращение расхода жидкости по коорди-
координатам меньше нуля, и убывает, когда приращение расхода положительно.
Из уравнения C.2.1) следует, что
C.2.2)
или в прямоугольных координатах
¦f"+1г{pWx)+ii{pWy)+ir(pWz)=°- C*2*3)
Для установившегося течения сжимаемой жидкости, когда dp/dt = О,
div(pw)=0. C.2.4)
Для несжимаемой жидкости уравнение сплошности принимает вид
divw-О. ' C.2.5)
3.3. УРАВНЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
В вязкой жидкости возможны как нормальные напряжения, так и напряже-
напряжения сдвига. Нормальные напряжения обусловливаются наличием сил давле-
давления, а напряжения сдвига вызываются трением между слоями жидкости, дви-
двигающимися с различной скоростью. Напряжения сдвига (или касательные на-
напряжения) в жидкости зависят от градиента скорости. По закону Ньютона для
одномерного течения
%xy = \idwx/dy. C.3.1)
Жидкости, подчиняющиеся этому закону, называются ньютоновскими, а
множитель пропорциональности |i — коэффициентом внутреннего трения или
динамическим коэффициентом вязкости жидкости. Этот коэффициент имеет
размерность Па-с, т. е. размерность импульса силы, отнесенного к единице
поверхности трения.
Уравнения движения невязкой жидкости были составлены Эйлером. Навье
и Стоке обобщили эти уравнения для случая течения жидкости, подчиняющейся
закону трения Ньютона. В векторной форме уравнение движения ньютонов-
ньютоновской жидкости имеет вид
( |) C.3.2)
Здесь Dw/dt — вектор с проекциями Dwjdt, Dwjdt и Dwjdt\ S — тензор ско-
ростей деформаций, компонентами которого являются:
дх '
1 ldwv
2 1 дх
I / dwz
I /
2 (
-+•
. 4-_
dwx
dy
dwx
dy
dwx ¦
dx dz
24
В проекциях на прямоугольные координаты векторному уравнению C.3.2)
соответствует система уравнений:
-^— r —; г
dwy
дх
¦)]-
= —д-Е- + ±- Га (
JH!M
a*
+ JZ*-X\ +2-1-
C.3.3)
Для изотермического течения несжимаемой жидкости, когда вязкость
и плотность постоянны, из уравнения C.3.2) следует:
pDw/dt = gp—grad/?+jiV2w. C.3.4)
Здесь V2w — вектор с проекциями V2wx, V2wy и V2wz.
Работа потока, отнесенная к единице объема текущей среды, равна
2 dt
C.3.5)
где
dwx
дх
+ 1
dwy
dwz
~~дГ
dwx
17
Выражение
dz
dwz
дх
+ ¦
dz
diss F (w) = 2S3 — — (div wJ
О
C.3.6)
C.3.7)
называется функцией рассеяния (диссипации) механической энергии потока.
Это рассеяние энергии происходит путем перехода ее в теплоту в результате
действия внутреннего трения жидкости.
3.4. ПОДЪЕМНАЯ СИЛА, ОБУСЛОВЛЕННАЯ
НЕОДНОРОДНОСТЬЮ ТЕМПЕРАТУРНОГО ПОЛЯ
Допустим, что температура Т в рассматриваемой точке отличается от тем-
температуры То в некоторой определенной области или точке потока. Приняв То
за начало отсчета температурного уровня, обозначим через AT разность тем-
температур Т — То.
Соотношение плотности жидкости в двух рассматриваемых точках (облас-
(областях) потока равно
ро/р= 1 + РДГ, C.4.1)
где р — коэффициент объемного расширения, 1/К. Отсюда
р0 - р = ррДГ. C.4.2)
Подъемная (архимедова) сила единицы объема определяется выражением
C.4.2), умноженным на g и взятым с обратным знаком.
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. М., «Наука», 1970.
2. Седов Л. И. Механика сплошной среды. М., «Наука», 1973, Т. I, 536 с; Т. 2, 584 с.
3. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М., «Наука», 1968.
25
4
Гтва жш
*" УРАВНЕНИЯ ОСРЕДНЕННОГО
ТУРБУЛЕНТНОГО ПОТОКА
4.1. ТУРБУЛЕНТНОСТЬ
Путем ввода краски в поток жидкости или дыма в поток газа, движущихся
в канале с прозрачными стенками, можно наблюдать траектории отдельных
элементов изучаемого потока. При этом оказывается, что характер движе-
движения существенно меняется при переходе от одних значений скоростей течения
к другим.
В области малых скоростей окрашенные частицы следуют в потоке по впол-
вполне определенным плавным траекториям, все время сохраняя движение в на-
направлении вектора средней скорости потока, а возникающие в потоке случай-
случайные нерегулярности не развиваются, а гаснут. Этот вид движения называется
ламинарным (слоистым) течением. При этом под средней скоростью потока при
р = const понимается отношение
D.1.1)
где А^ — промежуток времени, за который производится осреднение, с. При
некотором значении средней расходной скорости потока упорядоченное тече-
течение резко нарушается: в потоке возникают пульсации скорости, подкрашенные
струйки быстро размываются, отдельные объемы («комки») жидкости начинают
двигаться поперек потока и даже в обратном направлении к общему осреднен-
ному движению.
Возникшее нерегулярное, случайное в отношении малых элементов потока
движение является весьма устойчивым в среднем и единственным реально су-
существующим в области значительных скоростей течения. Таким образом, наи-
наиболее характерным видом движения жидкой среды является движение, не
упорядоченное в малых элементах потока. Такого рода течение называется
турбулентным.
В области скоростей, при которых имеет место ламинарное течение, не толь-
только капельные жидкости, но и газы во многих случаях могут рассматриваться
как практически несжимаемые среды. Кроме того, при вынужденном течении
обычно можно пренебречь действием силы тяжести. Уравнения движения
и сплошности установившегося течения при этих условиях примут вид
L grad rp4-\V2 w = (w, grad),'w;
P
D.1.2)
Если величины р и v заданы, то уравнения D.1.2) содержат только два неиз-
неизвестных: давление р и скорость течения w. Следовательно, движение рассмат-
рассматриваемого потока определяется вполне однозначно, если известны геометриче-
геометрическая конфигурация канала, кинематическая вязкость жидкости и поле скоро-
скоростей течения или поле относительных перепадов давления ((Vp) grad р).
Выбирая в качестве независимой переменной скорость течения жидкости,,
имеем в качестве определяющих параметров потока три величины {v; w\ /}.
Здесь / — характерный геометрический размер канала (для круглой трубы-
/ = D)\ w — осредненная по сечению канала скорость течения жидкости. Со-
Составляя безразмерную комбинацию этих трех величин, получаем комплекс
D.1.3)
26
Рейнольде показал, что переход от одного режима течения жидкости к дру-
другому происходит при некотором определенном значении этого безразмерного
комплекса, а именно: при движении жидкости в круглой трубе ламинарное
течение имеет место, когда Re < 2000, а турбулентное — при Re > 2000.
, Комплекс Re получил наименование критерия режима движения и называет-
называется числом Рейнольдса. Как будет показайо в дальнейшем, этот критерий име-
имеет весьма общее значение, характеризуя основные гидродинамические свойства
потока. Таким образом, можно сказать^что число Рейнольдса характеризует
степень устойчивости потока по отношению к внешним и внутренним возму-
возмущениям. :г г *
Значение числа Re, нри котором царушается устойчивость течения жидко-
жидкости, называется критическим-и обозначается символом ReKp. При Re< ReKP
любшвозмущения, возникающие в потоке, с течением времени затухают и не
могут изменить, общий ламинарный характер течения. Наоборот, при Re>
> ReKp любые, даже весьма малые, возмущения самопроизвольно возрастают
и приводят к неустойчивости течения, т. е. к турбулизации потока.
Опыты показали, что путем удаления источников возмущений можно ис-
искусственно затянуть ламинарное движение в области значений числа Re ^>
> ReKP. Таким образом удавалось сохранять ламинарное течение в круглой
трубе при Re до 50 000. Однако при этом малейшее возмущение мгновенно на-
нарушало устойчивость такого течения и переводило его в турбулентное.
На значение ReKp существенно влияет форма потока. Например, в сходя-
сходящихся каналах (конфузоры) критическое значение числа Рейнольдса больше,
чем в цилиндрической трубе, а в расширяющемся потоке (диффузоре) это число
может быть весьма малым.
I
4.2. УРАВНЕНИЯ ОСРЕДНЕННОГО ТУРБУЛЕНТНОГО
ТЕЧЕНИЯ ЖИДКОСТИ
Турбулентное течение характеризуется беспорядочным перемещением внут-
внутри потока отдельных объемов жидкости, существенно больших тех, к которым
еще можно применить понятие дифференциального объема сплошной среды.
Следовательно, общие уравнения гидродинамики приложимы и к турбулент-
турбулентному течению.
При этом необходимо тем или иным способом учесть статистическую при-
природу турбулентности. Опыт показывает, что инерционные приборы (например,
трубка Пито), помещенные в турбулентный поток, дают достаточно устойчивые
во времени показания, т. е. значения скоростей и температур в турбулентном
потоке за достаточно большой промежуток времени в среднем остаются постоян-
постоянными. Таким образом, при установившемся осредненном движении потока его
средняя за некоторый промежуток времени At скорость течения w остается по-
постоянной, истинные же (актуальные) скорости элементов потока непрерывно
отклоняются от этого среднего значения как по величине, так и по направлению.
Наблюдать эти отклонения можно с помощью термоанемометра, доплер-ла-
зерного анемометра, электронного стробоскопа и других малоинерционных
методов.
Актуальную скорость можно представить в виде суммы
w = w-fV, D.2.1)
где w — вектор осредненной скорости в данной точке потока; V — вектор
пульсационной составляющей истинной скорости, дающий отклонение этой
скорости по величине и направлению от осредненного значения. Значение ос-
осредненной скорости потока в данной точке определяется интегралом
w = -~ \ vidt, D.2.2)
27
где промежуток времени At должен быть достаточно большим по сравнению
с периодом пульсации скорости, чтобы для различных промежутков времени
результат осреднения был один и тот же. Отсюда очевидно, что
= 0, D.2.3)
А*
поскольку за период At все пульсационные составляющие скорости взаимно
Компенсируются.
Пульсации скорости вызывают в подтоке также пульсации давления, темпе-
температуры (в случае теплообмена), концентрации растворенного вещества (в слу-
случае диффузии) и т. п. Связь между пульсационнымк составляющими и осред-
ненными значениями этих величин может быть определена по формула** того
же типа, что приведенные выше выражения D.2.1) и D.2.2) для скорости
течения.
Так как турбулентные пульсации согласно всем имеющимся наблюдениям
не упорядочены, то, следовательно, осредненные характеристики турбулент-
турбулентного потока имеют статистическую природу, аналогично параметрам системы,
состоящей из большого числа беспорядочно перемещающихся частиц, с тем, од-
однако, принципиальным отличием, что сами элементы турбулентного потока не
являются устойчивыми в пространстве и времени.
Обозначим пульсацию плотности через б и пульсацию расхода через /:
р = р +S;
D.2.4)
pwz = pwz +/j.
Принимая во внимание уравнение сплошности C.2.2), можно написать, что
г, DWX
dt
д (pwx) | д (pwx wx) . д (pwy wx) | д (pwz wx)
dx . ду dz
dt
Dwy _ d(pwy) ._ d(pwxwy) ,
9 dt " dt дх'
ду
.
Dwz = d(pwz) d(pwxwz) . d (pwy wz) ^
dt dt dx dy
d (pwz wy)
Tz ;
d (pwz wz)
dz
D.2.5)
Подставим эти значения проекций вектора pDw/dt в уравнения C.3.3) и про-
произведем по типу D.2.2) операцию осреднения по времени величин, входящих
в эти уравнения. Получим
dpwx , dpwxwx , dpwy wx | dpwzwx __ dp Lo d dwx
dt dx dy dz dx dx dx
ду
ду
dwy \ , d_ I dwx ¦ dwz \ 2a/
dx ) dz ^ \ dz dx ) 3 dx P \
дх
dwy , dwz
dy dz
D.2.6)
Аналогичные выражения могут быть составлены и для двух других проекций.
Осредненное уравнение сплошности имеет вид
Ф _|_ dpwx |
dt dx
dy
|
dz
D.2.7)
28
Далее, следуя Рейнольдсу, примем следующие правила осреднения.
1. Вторичное осреднение по той же переменной не изменяет значения, по-
полученного после первого осреднения, т. е. если
D.2.8)
j
At
то
ф= -1- Г фл=ф
д(
D.2.9>
Последнее означает, что на отрезке At величина ф может рассматриваться или;
как постоянная, или как линейная функция времени.
2. Осредненное произведение осредненного значения на актуальное значе-
значение равно произведению осредненных значений, т. е.
Ф<ф = ф1|). D.2.10)
3. В соответствии с равенством D.2.3), если пульсационная составляющая
величины ф есть Ф, то
= 0,
D.2.11)
At
При этом значение А^ существенно больше периода пульсации.
Принимая во внимание эти соотношения, находим
pwxwx = [pwx
= pwx wx
pwx== (р +6) [wx+Vx) = pa
Соответственно
-J- — = —" Х -4- CIW.. 70).. -1 ОГО).. W.. -I П70).. 70).
D.2.12)
ox
oy
oz
D.2.13)
Подставив эти выражения в уравнение D.2.6) и приняв во внимание уравнение
сплошности D.2.7), получим уравнения осредненного движения сжимаемой
жидкости в следующем виде:
dt
дх
dy
dz
дх
dx dx ' dy \ dy dx
2 d ( dwx , dwy , dxa
л " x dx dy d<
dz
dz
dx
¦)-
dt
dx
— dwv . — dw
dz
dwy
dwx
dy
d dwu
—- \i —2-
dy dy
— \i •
dz \ dz
ti-
tidy.
[ dwy , dwz
dwx . dwy , dwz
n— г*
dwz \ .
^2 /
D.2.14)
dx
dz
dy
dy
dz
dz
dz
д
dz
dwx , дщ
dx
dy
dwz
dz
Пульсации расхода связаны с пульсациями плотности и скорости соотно-
соотношениями вида
k. D.2.15)
Если плотность и вязкость жидкости остаются неизменными при изменении
р и Ту то р = const, \i = const, 6 = 0, и уравнения D.2.14) и D.2.7) переходят
б известные уравнения Рейнольдса:
dwx
dx
dy
dz
= 0.
D.2.16)
Из этих уравнений видно, что в осредненном движении пульсации скорости
вызывают появление членов, стоящих в квадратных скобках и аналогичных по
«смыслу членам вязкого трения. Они называются членами турбулентного тре-
трения и выражают потерю энергии в результате переноса количества движения
значительными (молярными) объемами жидкости, перемещающимися вследст-
вследствие пульсации скорости в потоке.
Нагляднее всего можно пояснить эту мысль на примере установившегося
плоского потока, осредненное движение которого параллельно оси х, а скорость
w является функцией только координаты у. В этом случае из уравнений D.2.16)
•следует, что
dx * dy* dy ч * * "'
Введя обозначение для турбулентных касательных напряжений
и заметив, что
dp __ dx
dx dy
d? w
dy*
d I ddF\
dy \ T dy ) '
D.2.17)
D.2.18)
D.2.19)
30
получим выражение для суммарных касательных напряжений
D.2.20)
Величина рт рассматривается при этом как некоторый коэффициент турбу-
турбулентной «вязкости» и называется коэффициентом турбулентного переноса ко-
количества движения. Следует отчетливо представлять, что величина [х^, так же
как и аналогичные ей коэффициенты турбулентного переноса теплоты и массы,
о которых будет идти речь в дальнейшем, отнюдь не является неким физи-
физическим свойством текущей среды. Так, в потоке жидкости с постоянными р-
и [г величина |ir зависит от абсолютного значения |л, числа Рейнольдса потока
и координат. В развитом турбулентном потоке \хт % ц.
Можно показать, что степень турбулентности потока может быть оценена
отношением среднеквадратичного значения пульсационной составляющей ско-
скорости и средней скорости — критерием Кармана:
ш2
зш
4.3. УРАВНЕНИЕ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ТЕПЛА
D.2.21)
В неизотермическом турбулентном потоке следствием пульсаций скорости
является также и пульсация температуры. В этом случае можно написать
, D.3.1)
где 0 — пульсация температуры Т.
В соответствии с уравнением сплошности можно записать:
Аналогично уравнению D.2.12)
)( ) p. D.3.3)
Для простоты выкладок ограничимся рассмотрением уравнения распростране-
распространения тепла B.3.1) для скоростей течения, при которых члены, пропорциональ-
пропорциональные квадрату скорости, относительно малы. Используя уравнение D.3.2) и про-
произведя осреднение, получим
^ & Щ?&у <4.3.4>
Используя зависимость D.3.3) и уравнение сплошности, приводим выраже-
выражение D.3.4) к виду
— (—cp 66) + — (—ср jx 6) +— (—ср ]у е) + — {—ср и б)
dt дх ду oz
' D.3.5)
Для стационарного, развитого турбулентного потока, когда турбулентный
перенос теплоты много больше молекулярного, из последнего уравнения сле-
следует
ср
+-?-(-cpjz&)+qv. D.3.6)
31
Члены, стоящие в правой части этого уравнения, характеризуют турбулент-
турбулентную теплопроводность. При р = const и X = const уравнение D.3.5) принима-
принимает относительно простую форму:
Т + div (— V0) +qv/cpp = DT/dt,
D.3.7)
где
д
дх
При qv = 0 уравнение D.3.7) может быть приведено к виду
a div [A + ЯгA) grad Т] = DT/dt.
D.3.8)
Здесь Хт — коэффициент турбулентной теплопроводности, компонентами ко-
которого являются:
, = cppVzel^-.
дТ
D.3.9)
4.4. ТУРБУЛЕНТНОЕ ТРЕНИЕ И ТУРБУЛЕНТНАЯ
ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ В ПЛОСКОМ ПОТОКЕ ЖИДКОСТИ
В плоском, установившемся и развитом турбулентном потоке (т. е. при
ц И- и ХТ^>Х), когда поперечные градиенты скоростей и температур много
•больше продольных, а продольный градиент давления много больше попереч-
поперечного, из уравнений D.2.7), D.2.14) и D.3.6) следует система уравнений:
д
ду
дТ
дх
др
дх
д
ду
дх
дх
,
ду
D.4.1)
Эта система описывает движение и теплообмен в турбулентном ядре потока
жидкости в плоской трубе и в плоском пограничном слое при достаточно уме-
умеренных скоростях течения.
Из D.4.1) следует, что для такого течения
D.4.2)
Входящие в эти выражения величины можно выразить в виде явной функ-
функции пульсации плотности б, имея в виду зависимость D.2.15) и то, что
•Отсюда для рассматриваемого потока
i 0. D.4.3)
D.4.4)
32
При р = const б = 0 и из уравнения D.4.4) следует
D.4.5)
Если пульсации плотности связаны только с температурным полем (т. е.
р = р (Г)), но не зависят от р, что хорошо выполняется у капельных жидкостей
и приближенно при дозвуковом течении газа, то
8=р-р= -рре, D.4.6)
где Р — температурный коэффициент объемного расширения жидкости, К.
При этом условии
D 4 7)
В этих уравнениях отчетливо обнаруживается тесная связь между коэффи-
коэффициентами турбулентного переноса тепла и количества движения.
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Проблемы турбулентности. Сб. статей. Под ред. М.А. Великанова и Н. Т. Швейковско-
го. М.—Л., Объед. науч.-техн. изд-во НКТП СССР, 1936. Авт.: О. Рейнольде,
Л. Прандтль, Т. Карман, К. Тейлор и др.
2. Хинце И. О. Турбулентность. Пер. с англ. М., Физматгиз, 1963.
3. Van Driest E. R. Note on effects of density fluctuations on the turbulent skin friction of
an insulated flat plate at high supersonic speeds.— «J. Aeron. Sci.», 1953, vol. 20, N 5,
p. 360.
2 Зак. 795
5
Глава
^ КРАЕВЫЕ УСЛОВИЯ
5.1.ВРЕМЕННЫЕ И ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ КРАЕВЫЕ
УСЛОВИЯ
Совокупность уравнений распространения тепла в движущейся среде, сплош-
сплошности и движения вязкой жидкости в общей форме описывает все процессы
теплообмена путем теплопроводности и конвекции. В этом смысле говорят, что
данная система уравнений описывает (является математической моделью) не-
некоторый класс физических явлений. Число различных единичных явлений,,
входящих в данный класс, неограниченно велико. Это обстоятельство находит
математическое отображение в том факте, что всякое дифференциальное урав-
уравнение имеет сколь угодно большое число частных решений. Решение, соответ-
соответствующее данной конкретной задаче, выбирается с помощью краевых условий.
Временные краевые условия определяют поле переменных, входящих в
уравнения данного класса физических явлений, в начальный или конечный мо-
момент времени протекания рассматриваемого конкретного процесса. Простран-
Пространственные краевые условия определяют значения переменных на границах об-
области, в которой протекает рассматриваемый процесс. В связи с этим такого-
такогорода условия называются также граничными. Таким образом, краевые условия
дают те конкретные значения величин, которые выделяют определенное еди-
единичное явление из всего класса явлений той же физической природы.
Для стационарного (установившегося) процесса, т. е. такого процесса, в
котором поля характеризующих его переменных не меняются во времени, вре-
временные краевые условия отпадают. Поэтому единичный стационарный процесс
однозначно выделяется путем задания только граничных условий.
5.2. КРАЕВЫЕ УСЛОВИЯ К УРАВНЕНИЯМ
ГИДРОДИНАМИКИ
При рассмотрении задач, связанных с движением жидкой среды, важнейшим
пространственным краевым условием является скорость течения в непосред-
непосредственной близости к твердой ограждающей поверхности (стенки канала, по-
поверхность обтекаемого тела). В том случае, когда неподвижная твердая стенка
непроницаема, нормальная к ее поверхности составляющая вектора относи-
относительной скорости потока среды равна нулю. Если на ограждающих поверхнос-
поверхностях в результате какого-либо физического или химического процесса происхо-
происходит поглощение или выделение жидкости, то нормальная к стенке состав-
составляющая вектора скорости потока среды определяется скоростью протекания
соответствующего процесса на стенке.
В отношении составляющей вектора относительной скорости потока, каса-
касательной к твердой стенке, опытом установлено, что на стенке она равна нулю.
Это обстоятельство является следствием «прилипания» всякой реальной жид-
жидкости к твердой поверхности. Исключение составляет только движение сильно
разреженного газа, когда длина свободного пробега молекул становится боль-
большой по сравнению с поперечным размером канала, по которому этот газ дви-
движется.
Таким образом, если плоскость хг касательна в данной точке к поверхно-
поверхности ограждения и у нормальна к ней, то составляющие вектора скорости тече-
течения на стенке равны
Ю = ш = 0; j
Здесь WyiCT — объемная скорость поглощения (выделения) жидкости на твер-
твердой стенке, м3/(м2-с); /ст — массовая скорость того же процесса, кг/(м2-с).
34
Величина wytCT считается положительной, если она направлена от стенки в
глубь потока. В этом случае и величину /ст считают положительной, а количест-
количество текущей среды возрастает в направлении осредненного движения потока.
При поглощении части среды на стенке величине /ст приписывают знак минус.
В этом случае скорость WytCT направлена из потока к стенке, а количество
текущей среды в направлении осредненного движения уменьшается.
В соответствии со сказанным составляющие градиента скорости на твердой
стенке
(dwx/dx)CT = (dwz/dz)CT = 0; 1
где тст — касательные напряжения на стенке, Па. В местах втеканий и стока
жидкости должны быть заданы распределения скоростей и давления.
5.3. КРАЕВЫЕ УСЛОВИЯ К УРАВНЕНИЯМ
ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
Временные краевые условия к уравнению распространения тепла сводятся
к заданию скалярной функции
T = T0(x;y\z}f E.3.1)
дающей распределение температуры в рассматриваемой области в некоторый
момент времени. Пространственные краевые условия сводятся к заданию ус-
условий теплообмена на ограждающих поверхностях. Способов задания таких
условий три.
Пространственное краевое условие первого рода задается распределением
температуры на ограждающих поверхностях как функции положения точки по-
поверхности и времени. Эта функция должна быть задана для всех точек ограж-
ограждающих поверхностей. В ряде практически важных задач оказывается возмож-
возможным положить, что температура на твердой стенке одинакова во всех ее точках.
Пространственное краевое условие второго рода задается тепловым потоком,
пронизывающим ограждающую поверхность, как функцией точки этой поверх-
поверхности и времени.
Пространственное краевое условие третьего рода связывает температуру
твердой стенки с температурой окружающей среды через заданное значение
коэффициента теплоотдачи от стенки к этой среде. В этом случае температура
в данной точке ограждающей поверхности
где То — характерная температура среды. Выражая плотность теплового пото-
потока q через градиент температуры в твердой стенке, получаем
ТСТ = ТО~ (кст/а) (дТ/дп)ст, E.3.3)
или
(дТ/дп)ст= -(аДст)(Гст-Г0). E.3.4)
Величина h = а/ЯСт имеет размерность м" и называется относительным
коэффициентом теплоотдачи. Величина, обратная относительному коэффи-
коэффициенту теплоотдачи, т. е.
1/А = Я,ст/а, E.3.5)
имеет размерность длины и называется дополнительной стенкой. Физический
смысл этого термина заключается в том, что значение дополнительной стенки
равно толщине плоского слоя, имеющего ту же теплопроводность, что и рас-
рассматриваемое твердое тело, в котором при данном тепловом потоке q имеет место
перепад температур:
&Т = ТСТ-Т0. E.3.6)
2* 35
5.4. УСЛОВИЯ МЕХАНИЧЕСКОГО И ТЕПЛОВОГО
ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ НА ГРАНИЦАХ ФАЗ
В МНОГОФАЗНОЙ СИСТЕМЕ
В ряде процессов, например при изменении агрегатного состояния теплоно-
теплоносителя, поток состоит из смеси жидкости и ее пара. В воздушных подъемниках
(эрлифтах) имеет место совместное движение по трубам извлекаемой жидкости
и увлекающего ее газа. Совместное течение жидкости и газа (или пара) получило
общее наименование двухфазного потока*.
В двухфазном потоке существуют кроме внешних поверхностей (стенок ка-
канала) также и внутренние поверхности — поверхности раздела фаз. Перемеще-
Перемещения элементарных объемов каждой из фаз в области, ограниченной поверхно-
поверхностями раздела, определяются обычно уравнениями движения. Однако на по-
поверхностях раздела фаз возникают силовые и тепловые взаимодействия. Эти
взаимодействия определяют изменения полей скорости, давления, температуры
и тепловых потоков при переходе из одной точки пространства к другой,
отделенной от первой поверхностью раздела фаз.
Таким образом, при рассмотрении теплообмена и движения в двухфазном
потоке необходимо: 1) в пространственных и временных краевых условиях за-
задать поля скоростей (а тем самым и распределение на контурах и во времени)
обеих фаз потока и соответственно краевые условия по температурам и давле-
давлениям; 2) определить уравнения, описывающие взаимодействие фаз потока, т. е.
условия равновесия поверхности раздела.
Выделим контрольной поверхностью F замкнутую область V, заключаю-
заключающую в себе поверхность раздела фаз. К поверхности F приложены нормальные
напряжения ап и касательные напряжения ттр. Условие динамического рав-
равновесия рассматриваемой области будет иметь вид
Г gpdV + f Gn dF+ Г ттр dF = Mdwo/df, E.4.1)
V F F
где M — масса, заключенная в объеме V\ dvtjdt — ускорение иентра массы
этого объема.
С другой стороны,
" OndF;
F"
Предположим, что объем V стремится к нулю, стягивая поверхность F к по-
поверхности раздела фаз Frv. Тогда массовые и инерционные силы, пропорцио-
пропорциональные V, также обращаются в нуль. С другой стороны, нормальные и каса-
касательные напряжения, будучи перпендикулярными друг другу, взаимно не урав-
уравновешиваются. Следовательно, условие динамического равновесия на границе
раздела фаз распадается на условие попарного равенства нормальных и каса-
касательных напряжений:
т' — т"
1тр,гр — 1тр,гр«
* Поток жидкости или газа, несущий распыленные в нем твердые частицы, также яв-
является двухфазным. Однако в силу различий в механизмах движения, обусловленных, в
первую очередь, постоянством формы твердых частиц и переменностью формы газовых
пузырей, такой поток называется запыленным или диспергированным.
36
Если координата у направлена по нормали к поверхности раздела фаз,
а плоскостью касательна к ней в данной точке, то согласно уравнениям гидро-
гидродинамики
ап = оу = — р + B/3) \х div w + 3\idwy/dy- '
E.4.4)
),zy = И' (dwjdy -f dwyldz).
При этом следует иметь в виду скачок давления, вызываемый кривизной по-
поверхности раздела фаз и определяемый формулой Лапласа:
/7рР = ррР -f_ а A //?! -f-1//?2)« E.4.5)
Здесь 7?! и /?2 — главные радиусы кривизны границы раздела в данной точке,
м. Если выпуклость поверхности раздела обращена в сторону жидкости, то
радиусы кривизны имеют знак плюс, если в сторону газа, то знак минус.
Из условия отсутствия скольжения фаз в местах их контакта следует, что
w'xz гр == Wxz гр« E.4.6)
Составляя тепловой баланс рассматриваемого объема V и предполагая, что
этот объем стремится к нулю в результате стягивания вокруг него поверхности
раздела фаз, получим уравнение равенства тепловых потоков, пронизываю-
пронизывающих эту поверхность со стороны жидкости и газа:
, = — X" (дТ"/дп)ГХ) + (Г — Г)гр/гр. E.4.7)
Здесь /гр — аналогично величине /ст уравнения E.2.1) — плотность потока
вещества через поверхность раздела, кг/(м2-с).
Из условия отсутствия скачка температур следует, что 77Р = Г"гр, где
Ггр — температура фазового превращения, соответствующая давлению в рас-
рассматриваемой точке поверхности раздела фаз. Но при температуре насыщения
разность теплосодержаний пара и жидкости i" — i' = г, где г — скрытая теп-
теплота парообразования, Дж/кг.
Таким образом, окончательно условия теплового взаимодействия на гра-
границах раздела фаз запишутся в виде уравнений:
Угр~Угр> E.4.8)
Если рассматривается тепловое взаимодействие на границе раздела фаз без
изменения агрегатного состояния (например, на границе раздела двух жидко-
жидкостей или двух твердых тел), то во втором уравнении E.4.8) следует положить
/гр = 0.
Условия теплового взаимодействия тогда примут вид
где индексами 1 и 2 обозначены величины, относящиеся к двум соприкасаю-
соприкасающимся телам.
Из уравнений E.4.9) видно, что на границе раздела двух тел температура
меняется непрерывно, а градиент температур в случае неравенства коэффици-
коэффициентов теплопроводности соприкасающихся сред — скачкообразно. Если ско-
скорость перемещения границы раздела фаз по нормали к оси у есть wyyrVy то нор-
нормальная составляющая вектора скорости жидкой фазы на границе раздела
К)гР = avfrp ± /гр/р\ E.4.10)
а соответствующая составляющая вектора скорости газовой фазы
(^)гр = О>у,гр ± /гр/Р"- E.4.11)
37
л Таким образом, нормальные составляющие вэдторрв скорости фаз на гра-
границе разделу равны друг другу только при /гр =?= О, т. е. при отсутствии про-
процесса фазового превращения. В этом случае
, .w;p==-w;p. E.4.12)
5.5. РЕАКТИВНАЯ СИЛА ПРИ ФАЗОбОМ ПРЕВРАЩЕНИИ
Неравенство велцчин (w'y)rp , и (w'y)rp при наличии процесса фазрвого пре-
превращения приводит к тому, что количество движения потока вещества /гр
меняется при переходе через поверхность раздела фаз. Изменение количества
движения потока вещества, меняющегб агрегатное состояние, вызывает появ-
появление реактивной силы, приложенной по нормали к поверхности раздела фаз:
Ря = /гр«~ ОгР; E.5.1)
РП = (/УР*)О-Р7Р'). E.5.2)
Массовая скорость фазового превращения
irv = <rjr> E.5.3)
где qa — плотность теплового потока, идущего на изменение агрегатного
состояния, отнесенная к единице поверхности раздела фаз.
Подставляя значение /гр в уравнение E.5.2), получаем
Рп = (Й/Р-гг«)A-р7р#).1 ' E.5.4)
Воспользовавшись последней формулой, легко показать, что реакция, вы-
вызываемая изменением скорости течения при прохождении через поверхность
раздела фаз, обычно невелика.
6
Глава
УСЛОВИЯ ПОДОБИЯ ПРОЦЕССОВ
ТЕПЛООБМЕНА
6.1. ПОНЯТИЕ О ПОДОБИИ ФИЗИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ
Законы природы и их математические модели, являясь отражением объек-
объективной реальности, в наиболее общих формулировках не зависят от выбора си-
системы мер. В общей форме это есть проявление того фундаментального экс-
экспериментального факта, что локально физический мир описывается законами
геометрии подобия. Иными словами, множество размерных величин, харак-
характеризующих некоторый конкретный процесс, в действительности эквивалентна
множеству некоторых безразмерных комплексов этих величин. Наибольшее
возможное число этих комплексов определяется следующей формулой анализа
размерностей:
т = i — z. F.1.1)
Здесь т — общее число безразмерных комплексов; i — общее число размерных
переменных, характеризующих данный процесс; z — число первичных размер-
размерностей, из которых составлены эти переменные.
Если процесс описывается множеством уравнений
0} A<*'<л), F.1.2)
rjxeDi — некоторые размерные операторы, то каждое из этих уравнений может
быть приведено к безразмерной форме путем деления на один из членов ряда.
Рассмотренные в предыдущих главах основные дифференциальные уравнения
теплопереноса и гидродинамики состоят из операторов вида
D = aybdcy/dxc, [F.1.3)
где а — некоторый параметр, например физическое свойство; х, у — перемен-
переменные; Ь, с — натуральные числа. Введем безразмерные переменные вида
у = у/у0; ~х = х/х0, [ F.1.4)
где индекс 0 означает, что величина отнесена к некоторой масштабной точке си-
системы, и приведем уравнения F.1.2) с операторами типа F.1.3) к безразмер-
безразмерному виду путем деления каждого из уравнений на размерную часть первого
члена. Получим множество уравнений
2 )t = 0 1 F.1.5)
в котором комплексы имеют вид
/Cle(flyS + 1/^o)i(^/^S+I)i. [F.1.6)
Процессы, в которых безразмерные функции yt (хь) тождественны, называ-
называются подобными. Иначе говоря, подобными являются процессы одной и той же
физической природы, у которых поля безразмерных параметров геометриче-
геометрически тождественны.
6.2. КРИТЕРИИ ПОДОБИЯ
Поскольку в подобных процессах безразмерные поля одноименных величин
тождественны, то абсолютные значения этих величин отличаются друг от дру-
друга только масштабом, т. е. в двух подобных процессах значения одноименных
величин в сходственных пространственно-временных точках отличаются друг
от друга на некоторый постоянный множитель преобразования. i
39
Пространственно-сходственными точками называются точки, сходственные
геометрически. Это означает, что если А и В — геометрические фигуры, при-
причем В получено преобразованием подобия ф из Л, то геометрически сходствен-
сходственной к точке х из фигуры А называется точка ср (х) из фигуры В. Очевидно, что
свойство точек быть геометрически сходственными является отношением экви-
эквивалентности (и, в частности, рефлексивно).
Временная координата, поскольку релятивистские эффекты здесь не рас-
рассматриваются, ничем не отличается от пространственных координат. Тем са-
самым определяются четырехмерные нерелятивистские пространственно-времен-
пространственно-временные сходственные точки.
Нетрудно заметить, что хотя множители преобразования отдельных вели-
величин, характеризующих данный процесс, могут быть неодинаковыми, однако
для соблюдения подобия между ними должна существовать определенная взаи-
взаимосвязь. В самом деле, тождественность безразмерных полей означает, что
в подобных процессах безразмерные дифференциальные операторы имеют одно
и то же значение. В символах это положение выражается записью
(ср* дс ф/д^)* = idem, F.2.1)
где idem — «одно и то же» в отличие от символа const, означающего «постоян-
«постоянное значение».
С другой стороны, рассматриваемые процессы имеют одну физическую при-
природу и соответственно описываются одними и теми же основными уравнения-
уравнениями. Следовательно, для подобных процессов должно быть также удовлетворено
все уравнение F.1.5) в целом. Последнее возможно только тогда, когда наряду
с условиями F.2.1) будет также выполнено условие
Kt = idem. F.2.2)
Таким образом, в подобных процессах безразмерные комплексы К имеют
одно и то же значение и называются критериями подобия. При этом следует от-
отчетливо помнить, что подобие требует не равенства всех критериев друг другу,
а одинаковости значений одноименных критериев, т. е. условие F.2.2) в раз-
развернутой форме имеет вид
Кг= idem;
/С2== idem;
Кт = idem.
F.2.3)
Из уравнений F.1.5) видно, что число критериев равно числу членов урав-
уравнения без единицы, т. е.
т = п— 1. F.2.4)
6.3. ЗАВИСИМЫЕ И НЕЗАВИСИМЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ.
УСЛОВИЯ ОДНОЗНАЧНОСТИ
Физический процесс полностью описывается некоторой системой основных
уравнений и присоединенных к ним краевых условий в том случае, когда эта
система является замкнутой. Тогда в принципе существует некоторая функция
у* = ф|(*1; *2; *3;-; хп)9 г(б.з.1)
где f/j — искомая неизвестная (зависимая) переменная; xt — независимые пере-
переменные, входящие в основную систему уравнений.
Для того чтобы выяснить, какие из входящих в уравнения переменных яв-
являются независимыми, необходимо определить следующие условия протека-
протекания изучаемого процесса: 1) геометрические свойства системы, в которой про-
происходит процесс (включая и координатную систему); 2) существенные для это-
этого процесса физические характеристики тел, образующих систему; 3) началь-
40
ное или конечное состояние системы; 4) условия на границах системы в течение
процесса.
Как видно, этот перечень представляет собой расширенное определение
краевых условий и называется условиями однозначности физическрго процес-
процесса. Таким образом, условия однозначности являются комплексом физических
и математических условий, обеспечивающим локальное существование и един-
единственность решения заданной системы уравнений.
Величины, входящие в условия однозначности, задаются внешним образом
по отношению к основным уравнениям и являются поэтому независимыми пере-
переменными, множество которых однозначно определяет протекание данного фи-
физического явления. В соответствии с этим все остальные переменные, входящие
в основные уравнения, являются зависимыми переменными.
6.4. КОМБИНИРОВАНИЕ КРИТЕРИЕВ.
СОБСТВЕННО КРИТЕРИИ ПОДОБИЯ
Рассмотренная выше безразмерная форма основных уравнений может быть
получена путем деления ряда на любой из его членов, а не только на первый,
как это было сделано в уравнениях F.1.5). При этом нельзя указать какие-
либо твердые правила выбора того или иного члена в качестве делителя. Следо-
Следовательно, форма критериев /Сь получающихся в результате приведения урав-
уравнения к безразмерному виду, вообще говоря, случайна, и количество возмож-
возможных форм зависит от числа членов уравнения. Неизменным остается только об-
общее число критериев, определяемое формулой F.2.4).
Таким образом, первичные критерии, содержащиеся в уравнениях типа
F.1.5), могут состоять из масштабов как независимых, так и зависимых пере-
переменных.
Допустим, что некоторая система основных уравнений содержит т крите-
критериев F.2.3). Очевидно, что множество условий {Kt = idem}, где i = 1,2,. . .,
m, эквивалентно множествам вида {Kt/Kj = idem}, где / фиксировано.
Отсюда следует, что комбинация двух или нескольких первичных критери-
критериев также является критерием подобия. Однако общее число критериев подобия
данного явления остается неизменным, т. е. не зависит от тех перестановок и
рекомбинаций отдельных критериев, которые производятся внутри системы
F.2.3). Установленное правило комбинирования критериев подобия позволяет
внутри любой системы первичных критериев выделить такие, которые состояли
бы только из величин, входящих в условия однозначности.
Таким образом, каждой системе первичных критериев подобия
{/Ci; Кг\ К3; ...; Кт) F.4.1)
эквивалентна система критериев подобия
{К*^ Ка2; Ка3', •••; Кат ; К$г; K^\ /Срз; ...; К$т }, F.4.2)
а Э
где та критериев Ка составлено как из зависимых, так и из независимых пере-
переменных и тр критериев /Ср составлено только из условий однозначности. При
этом та + Щ = /я, т. е. общее число критериев F.4.1) и F.4.2) одно и то же.
Как уже было указано ранее, совокупность условий однозначности полно-
полностью определяет протекание данного процесса. В связи с этим критерии типа
Кр, представляющие собой безразмерную форму условий однозначности, назы-
называются определяющими, а критерии типа Ка — неопределяющими, любой из
которых является функцией системы определяющих критериев. Иными сло-
словами, размерной функциональной связи F.3.1) всегда соответствует некоторая
безразмерная связь типа
K^ Kh; ...; К^т ). F.4.3)
41
Отсюда непосредственно следует основное правило моделирования, сформу-
сформулированное в свое время М. В. Кирпичевым и А. А. Гухманом: подобны процес-
процессы, у которых подобны условия однозначности и численно одинаковы опреде-
определяющие критерии.
Каждая точка функции F.4.3) соответствует группе подобных процессов,
а множество точек этой зависимости эквивалентно множеству групп данного
класса. При анализе размерностей число определяющих критериев устанавли-
устанавливается формулой, аналогичной F.1.1), т. е.
Щ = 1Ъ— ZP> F.4.4)
где ?р — число независимых переменных данного процесса; z§ — число пер-
первичных размерностей, из которых составлены независимые переменные.
6.5. КРИТЕРИИ ПОДОБИЯ КАК ОБОБЩЕННЫЕ
БЕЗРАЗМЕРНЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ
В разд. 6.4 безразмерные параметры мы образовывали путем деления значе-
значения некоторой величины в данной точке на значение той же величины в масштаб-
масштабной точке. Теперь поступим несколько иначе. Выпишем уравнения теплопро-
теплопроводности и движения несжимаемой жидкости, полагая, что величины Л, с,
р, \i остаются постоянными в данном процессе:
aV2 Т + Qv/cp = дТ/dt + (w, grad Т);
g — A/р) grad /7 +vV2w = dw/d/ + (w, grad)w;
F.5.1)
Так как температура и давление входят в эти уравнения только под знаками
дифференциальных операторов, то уравнения F.5.1) определяют не абсолют-
абсолютные значения Т и р, а их отклонения от температуры и давления в некоторой
масштабной точке. Поэтому уравнения F.5.1) можно переписать так:
aV2 (AT) + qv/cp = д (AT)/dt + (w, grad (AT));
g— A /p) grad (Ap) + vV2 w = dw/dt+ (w, grad) w;
div
F.5.2)
где AT и Ар — соответствующие перепады температур и давлений, определен-
определенные относительно некоторых заданных значений То и р0. Разделим первое и$
этих уравнений на величину аАГ0//§, а второе и третье — на величину wq/10,
где ДГ0 — масштабный перепад температур; w0 — масштаб скорости и /0 —
масштаб длины.
Введя масштабные величины и физические характеристики (рассматривае-
(рассматриваемые в данном случае как постоянные) непосредственно под знаки дифферен-
дифференциальных операторов, получим
F.5.3)
Здесь # = AT/AT0 — безразмерный температурный напор; со = w/w0 — без-
безразмерная скорость; х s= jk//0, у = y/lo> z = z/l0 — безразмерные координаты
в дифференциальных операторах этих уравнений.
Полученные безразмерные уравнения F.5.3) содержат ряд комплексов в
виде самостоятельных членов уравнения, сомножителей при диффгренциальных
операторах и непосредственно под знаками дифференциальных операторов.
Таким образом, уравнения F.5.3) представляют собой связь между крите-
критериями подобия, выступающими в них в качестве не только безразмерных пара-
42
метров при дифференциальных операторах, как в уравнениях типа F.1.5),
но ив качестве обобщенных переменных.Это обстоятельство позволяет строить!
безразмерные поля точечных значений соответствующих критериев рассматри-
рассматриваемого процесса.
6.6. ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ НЕКОТОРЫХ
КРИТЕРИЕВ ПОДОБИЯ
Рассмотренные выше уравнения теплопроводности и движения несжимае-
несжимаемой жидкости дают семь критериев подобия:
{wl/a\ w2/gl\ Ap/pw2; wl/v, at/I2] wt/l; qvl2/kAT}. F.6.1)
Физический смысл некоторых из этих величин непосредственно ясен из
самой их записи. Так, очевидно, что комплекс Ap/pw2 является мерой отноше-
отношения перепада статических давлений в потоке Ар к его динамическому напору
pw2l2. Комплекс wt/l можно трактовать как отношение времени протекания про-
процесса к некоторому масштабу, равному времени перемещения рассматривае-
рассматриваемого элемента жидкости со скоростью w на пути /. Комплекс qyl2/XAT можно
рассматривать как меру отношения количества тепла qyP, выделившегося в
теле, к количеству тепла (k/l) ATI2, прошедшему через тело за счет теплопро-
теплопроводности. При этом величина I3 является масштабом объема тела, I2 — мерой
поверхности и / — мерой толщины. Остальные комплексы системы F.6.1)
требуют более детального исследования.
Раскрывая значение коэффициента температуропроводности, представим
комплекс wl/a в виде отношения cpw /(k/l). Числитель этого отношения можно
рассматривать как изменение теплосодержания потока в осевом направлении
при изменении температуры на 1°, а знаменатель — как тепловой поток за
счет теплопроводности при поперечном градиенте температур 1°. Следователь-
Следовательно, критерий wl/a является мерой отношения тепла, переносимого конвекцией,
к теплу, проникающему в поток за счет теплопроводности.
Физический смысл комплекса w2/gl становится ясным, если умножить и раз-
разделить это выражение на плотность жидкости р. Очевидно, что величина
pw2/gpl является мерой отношения динамического напора потока (его кинети-
кинетической энергии) к силе тяжести, пропорциональной gpl.
Умножая и деля комплекс wl/v на w, легко установить, что этот уже извест-
известный нам критерий режима движения представляет собой меру оЬюьЦения' дина-
динамического напора потока pw2/2 (силы инерции) к силе вязкого трения, про-
пропорциональной \i (wit).
Наконец, комплекс atУ/2, рассматриваемый как,отношение масштаба коли-
количества тепла, притекшего за счет теплопроводности (k/l)l2f, к масштабу измене-
изменения теплосодержания тепла ф/3, является мерой скорости изменения темпера-
температуры тела при неустановившемся тепловом состоянии.
6.7. КРИТЕРИЙ ТЕПЛОВОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
ПРИ ФИЗИКО-ХИМИЧЕСКОМ ПРЕВРАЩЕНИИ ВЕЩЕСТВА
Все физико-химические превращения разделяются на гомогенные и гетеро-
гетерогенные. В первом случае превращение вещества происходит во всем рассмат-
рассматриваемом объеме, а во втором — только-по поверхности раздела. Легко уста-
установить, что скорость превращения вещества при гомогенном процессе в несжи-
несжимаемой жидкости
¦ dG=^pdfvwdV. F.7.1)
При этом платность, возникающего внутреннего распределенного источника
тепла . ' , i >. )
* qv = rdGfdV=rpdiv*9 *'•'- F.7.2)
43*
где г—теплота реакции. Подставляя это выражение в критерий
получаем
ГО/2 ,. rpl0W0 _,. /о -7 о\
w ° div w = w div о. F.7.3)
Таким образом, безразмерное уравнение теплопроводности в потоке несжи-
несжимаемой жидкости при гомогенной реакции имеет вид
div«=—55L_. F.7.4)
или, выделяя критерий wolo/a, можно записать
При гетерогенном превращении, когда реакция протекает на поверхностях
раздела, тепловое взаимодействие реагирующих веществ определится уравне-
уравнением E.4.8). Приведя последнее к безразмерному виду и принимая во внимание,
что gn = pwn = p"w'n, получаем
(onrn . (о. /.о)
а X { dln /rp
Из сопоставления уравнений F.7.5) и F.7.6) следует, что специфические
особенности теплообмена при любом физико-химическом превращении характе-
характеризуются значением введенного в свое время автором критерия г/сД7, пред-
представляющего собой отношение скрытой теплоты реакции г к теплоте перегрева
(переохлаждения) данной фазы At = cAT.
6.8. БЕЗРАЗМЕРНЫЙ КОЭФФИЦИЕНТ ТЕПЛООТДАЧИ
В связи с тем что непосредственно на границе с обтекаемым твердым телом
скорость жидкости равна нулю, тепловой поток передается через пристеночный
слой только теплопроводностью, т. е. может быть выражен уравнением
q=-X(dT/dn)CTJ F.8.1)
где X — коэффициент теплопроводности жидкости; (дТ/дп)ст — градиент тем-
температуры в тонком слое жидкости, непосредственно контактирующем с твер-
твердой стенкой.
С другой стороны, вводя коэффициент теплоотдачи, можем написать
q = a(Tn-T0). F.8.2)
Совмещая эти два выражения теплового потока на границе твердого тела и
жидкости, получаем
аД Т =—Х (дТ/дп)ст F.8.3)
или, в безразмерном виде,
alo/X=-(d$/dtn)CT. F.8.4)
Величину alJX можно рассматривать как безразмерную форму коэффици-
коэффициента теплоотдачи.
Основные критерии подобия приведены в табл. 6.1.
44
Таблица 6.1
Основные критерии подобия гидродинамических и тепловых процессов
Критерий
Символ
Наименование
Пояснение
wt
I
wl
V
gl
а
v Ре
а ~~ Re
Ар
pay2
gl*_ Re2
v2 = Fr
w
a*
Vgo(9f -p")
at
r r
Ho
Re
Fr
Pe
Pr
Eu
Ga
M
k
Fo
К
Критерий гидродинами-
гидродинамической гомохронности
Критерий режима дви-
движения (число Рейноль-
дса)
Критерий гравитацион-
гравитационного подобия (число
Фруда)
КрИТерИЙ ТЕПЛОВОГО.
подобия (число Пекле^
Критерий подобия тем
полей (число Прандтля)
Критерий подобия по-
полей давления (число Эйле-
Эйлера)
Критерий подобия по-
полей свободного течения
(число Галилея)
Критерий газодинами-
газодинамического подобия (число
Маха — Маиевского)
Критерий устойчивости
двухфазной системы (вве-
(введен автором)
Критерий тепловой го-
гомохронности (число
Фурье)
Тепловой критерий фа-
фазового превращения (вве-
(введен автором)
Характеризует скорость изменения
поля скоростей течения среды во
времени
Характеризует гидродинамический
режим потока, являясь мерой отноше-
отношения в потоке сил инерции и молеку-
молекулярного трения
Является мерой отношения сил
инерции и тяжести в однородном
потоке
Является мерой отношения молеку-
молекулярного и конвективного переносов
тепла в потоке
Является мерой подобия темпера-
температурных и скоростных полей в потоке
(при Рг = 1 и grad p = 0 поля темпе-
температур и скоростей подобны)
Является мерей отношения сил дав-
давления и инерции в потоке
Является мерой отношения сил мо-
молекулярного трения и тяжести в по-
потоке. В форме критерия Грасгофа
= GaPA7 характеризует взаимодей-
взаимодействие сил молекулярного трения и
подъемной силы, обусловленной раз-
различием плотностей в отдельных точ-
точках неизотермического потока
Является мерой отношения между
скоростью течения среды и^скоростью
распространения в ней упругих де-
ско-
скоХарактеризует критическую
рость газовой (паровой) фазы
Характеризует связь между ско-
скоростью изменения температурного
поля, физическими свойствами и раз-
размерами тела
Является мерой отношения тепло-
теплового потока, идущего на фазовое
превращение вещества, к теплоте
перегрева (переохлаждения) одной из
фаз по отношению к температуре
насыщения.
В форме Ja = /Cp///p' представляет
меру отношения теплоты фазового
превращения к теплоте перегрева
(переохлаждения) одной из фаз в
объемных единицах и называется
часто критерием Якоба.
В форме q/rpw=Nu/K Ре является
мерой отношения скорости фазового
превращения q/rp к скорости течения
данной фазы.
В форме <7//rpv=Nu//CPr является
мерой отношения инерционных сил в
потоке, возникающих под влиянием
процесса фазового превращения, к
силам внутреннего трения, т. е. пред-
представляет собой специфическую форму
критерия Re
45
Критерий
G
al
X
a
CfW
al
Символ
We
Nu
St
Bi
Наименование-
Критерий поверхност-
поверхностного натяжения (крите-
(критерий Вебера)
пиент теплротда.чи (кри-
(критерий Нуссельта)
Критерий конвективщ}-
'терии Стентона)
Критерий краевого по-
подобия (критерий Био)
Продолжение табл. 61.
Пояснение
Является мерой влияния давления,
создаваемого поверхностным слоем;
молекул
Характеризует связь между интен-
интенсивностью теплоотдачи и температур-
температурным полем в пограничном слое
Является мерой отношения интен^
сиЙТТОтЙ* 'гёплоотдачи &_ удельного»
теплосодержания потока
Характеризует связь между полем,
температур в твердом теле и усло-
условиями теплоотдачи на его поверхно-
поверхности, являясь мерой отношения внут-
внутреннего и внешнего термических со-
сопротивлений
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Гухман А. А. Введение в теорию подобия. М., «Высшая школа», 1963.
2. Кирпичев М. В. Теория подобия. М., Изд-во АН СССР, 1953.
3. Кутателадзе С. С, Ляховский Д. Н., Пермяков В. А. Моделирование теплоэнергети-
теплоэнергетического оборудования. М., «Энергия», 1966.
4. Седов Л. И. Методы подобия и размерности в механике. М., Гостехтеориздат, 1954.
5. Эйгенсон Л. С. Моделирование. М., «Советская наука», 1952.
7
Глава
УСТАНОВИВШИЙСЯ ТЕПЛОВОЙ ПОТОК
В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ
7.1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ СТАЦИОНАРНОЙ
ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
При w = О и dTldt = О из уравнения B.3.4) следует уравнение стационар-
стационарной теплопроводности в неподвижной среде:
= O. G.1.1)
При постоянном .коэффициенте теплопроводности (к = const) и отсутствии
внутреннего источника тепла (qy = 0) уравнение температурного поля макси-
максимально упрощается и сводится к условию равенства нулю лапласиана темпе-
температуры
V27 = 0,
т. е. в прямоугольных координатах:
д2 Т/дх2 + д2 Цду2 + д2 T/dz2 = 0, G.1.2)
в цилиндрических координатах:
^+JL^l + _LZL + ^L = o, G.1.3)
dR* R dR ^ R* дер* ^ dz* V '
в сферических координатах:
д>Т 2 дТ cos^ дТ 1 д>Т l_^L=0 GМ)
dR* R OR #2sino|) дЦ> /?2 дЦ>* R2 sin2 г|) аФ2 ' v ' ' ;
В случае изотропного тела с коэффициентом теплопроводности, являющимся
функцией только температуры, целесообразно ввести функцию
т
и = $Ш\ гдеХ = Я(Г). G.1.5)
о
Дифференцируя функцию U по координатам, получаем
; G.1.6)
Теперь уравнение теплопроводности G.1.1) можно переписать в виде
V*T + qv = 0, G.1.8)
и при ду = 0
V2?/ = 0. G.1.9)
Тепловой поток через заданную поверхность F определяется формулой
Q=-fo-??-dF, G.1.10)
J дп
F
или в соответствии с G.1.6)
Q=-^dF. G.1.11)
F
47
У геометрически подобных тел с аналогично заданными граничными условия-
условиями функции
ф Г а «/-(/,)
J (Ui-Ut)dn K }
F
должны иметь одно и то же значение. Следовательно, стационарный тепловой
поток через твердое тело, коэффициент теплопроводности которого является
функцией температуры, определяется в общем виде формулой
Q = (U1—U2)<b. G.1.13)
Здесь U1 и IJ — значения функций U в характерных местах тела (например)
на внутреннем и внешнем изотермических контурах). Величина Ф в этой фор-
формуле характеризует геометрические свойства тела и называется формфак-
тором.
При X = const из G.1.13) следует, что
Q = Х{Т1 — Т2)Ф. G.1.14)
Как видно, величина формфактора обратно пропорциональна термическому
сопротивлению тела при постоянном коэффициенте теплопроводности X = 1.
Разность значений функций 1)г и U2 может быть определена так:
$ (З^ХФ^-Тг). G.1.15)
Здесь
Таким образом, тепловой поток в изотропных телах с коэффициентом тепло-
теплопроводности, являющимся функцией температуры, может вычисляться по фор-
формулам, выведенным для случая X = const, при подстановке в эти формулы
среднего коэффициента теплопроводности, определенного по формуле G.1.16).
Если поверхности, ограждающие данное тело, изотермические, то граничные
условия к уравнениям G.1.1) и G.1.8) всегда подобны. Действительно, в этом
случае на контурах системы соответственно заданы условия:
тх т2
7\ = const, f/i= J XdT = const; T2 = const], f/2 = ^ UT = const.
При X = const U = XT и, следовательно, в геометрически подобных телах с
подобно заданными граничными условиями поле температур для тела с X =
= const подобно полю функции U для тела с X = X (Т).
Обычно с достаточной для большинства практически важных задач точно-
точностью можно считать коэффициент теплопроводности или постоянным, равным
его среднему значению в данном интервале температур, или линейно меняю-
меняющимся с температурой:
X = а + ЬТ. G.1.17)
В последнем случае
U = аТ + Т2Ь/2 G.1.18)
и поле температур связано с полем функции U (т. е. с полем температур для
тела той же конфигурации и X = const) формулой
7= {alb) AЛ+2Ш/а2-1). G.1.19)
48
7.2. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ЧЕРЕЗ ПЛОСКУЮ СТЕНКУ
Рассмотрим плоскую стенку из однородного материала. Высоту и длину
стенки будем считать настолько большими по сравнению с ее толщиной б,
что температура в этих направлениях практически не меняется. Для этих
условий
d2U/dx2 = 0; U = U1 — x(U1—U2)j6. G.2.1)
Тепловой поток, проходящий через 1 м2 поверхности стенки, равен
д= —dU/dx = АТХ/8, G.2.2)
где AT = 7\ — Т2 — разность температур поверхностей стенки. При этом
принимается, что 7\ > Г2.
Когда X = const, линейной функции U соответствует линейное же распреде-
распределение температуры:
Т=Т1+х(Т1~Т2)/8. G.2.3)
При линейно меняющемся с температурой коэффициенте теплопроводности
поле температур определяется через поле функции U — в данном случае фор-
формула G.2.1) — по формуле G.1.18). Поскольку эти связи не зависят от конфигу-
конфигурации тела, далее все задачи рассматриваются для наиболее простого случая
А, = const.
При установившемся процессе и отсутствии внутренних источников тепла
тепловой поток, проходящий через любое сечение многослойной стенки, один
и тот же, т. е. при dqldx = О
i)+l/a2](l<^</2). G.2.4)
Здесь аг — коэффициент теплоотдачи от более горячей среды к поверхности
стенки, Вт/(м2- К); ос2 — коэффициент теплоотдачи от стенки к более холод-
холодной среде, Вт/(м2- К); 7\ — температура горячей среды, К2; Т2 — температура
холодной среды, К; Xt — коэффициент теплопроводности i-го слоя стенки,
Вт/(м- К); 6f — толщина /-го слоя стенки, м.
Введя обозначения
(К^/1), G.2.5>
можем написать
д = к(Тг- Т2). G.2.6)
Здесь k — коэффициент теплопередачи через многослойную плоскую стенку,
Вт/(м2.К).
Величина Rl = \lk является общим термическим сопротивлением много-
многослойной стенки и слагается из термических сопротивлений 1/аь 1/а2 и терми-
термического сопротивления собственно стенки:
. G.2.7)
Частные температурные напоры могут быть выражены через полную раз-
разность температур с помощью формул
7\-Fct,i = G\-7V>&*i; )
^сТ, t-TCTt l+1=OTi-r2) ket/Xt; G.2.8>
^ст, n+i — Т2 = (Тх— T2)k/a2. ]
7.3. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ЧЕРЕЗ ЦИЛИНДРИЧЕСКУЮ
СТЕНКУ
На внутренней поверхности цилиндра задана температура 7\, а на наруж-
наружной Т2. Внутренний радиус равен /?ь наружный R2. Длина цилиндра достаточ-
достаточно велика для того, чтобы пренебречь потоком тепла к его торцам вдоль
оси г. При этих условиях в уравнении теплопроводности G.1.3) температура
является функцией только одной координаты — радиуса R:
+0^ Tln <7зл>
Отсюда тепловой поток через цилиндрическую стенку
dR )rx
где L — длина цилиндра.
Для многослойной цилиндрической стенки
dQ/dR = 0; Q = k* G\ - Г2) I, G.3.3)
где
)(l<f<n). G.3.4)
Величина /г* называется коэффициентом теплопередачи с поверхности тру-
трубы длиной 1 м и равна тепловому потоку, проходящему через цилиндрическую
стенку длиной 1 м при разности температур Г С.
Если относить количество тепла не к 1 м длины трубы, а к площади ее внут-
внутренней поверхности или наружной поверхности изоляции, то
С = МяЯй+11(Г1-Г1),|
где
ft, = k*/2nRn+i.
Для промежуточных температур многослойной цилиндрической стенки су-
существуют уравнения:
1— ^ст,1~(^1— * 2) к I *Я»1\1&1,
G.3.7)
Цилиндрическая тепловая изоляция в отличие от изоляции плоской может
иметь некоторое конечное значение критического диаметра, соответствующего
максимуму теплового потока. Действительно, тепловое сопротивление трубы
<: цилиндрической изоляцией равно
(i + Lln^+L ln^2 +!V G.3.8)
Здесь Dx — внутренний диаметр трубы; D2 — наружный диаметр трубы; DH3—
наружный диаметр изоляции; А,тр — коэффициент теплопроводности материа-
материала трубы; Хиз — коэффициент теплопроводности изоляции.
Продифференцировав это выражение по DH3 и при условии a = const, по-
получаем формулы Власова:
8— l/a2DH3 ;
-l/2^3; G.3.9)
^кР = 2?Wa2; а2 R*ldDl3 =¦• а2/8яА,»3 > 0.
Следовательно, при Dn3 = DKp тепловое сопротивление трубы минимально
и соответственно тепловой поток достигает наибольшего значения.
Критический диаметр изоляции не зависит от размеров трубопровода и
коэффициента теплоотдачи аи а определяется только коэффициентом теплопро-
теплопроводности изоляции и коэффициентом теплоотдачи в окружающую изоляцию
50
среду. Чем лучше изоляционный материал, т. е. чем меньше его коэффициент
теплопроводности, и чем интенсивнее охлаждение изоляции, т.е. чем больше a2t
тем меньше критический диаметр изоляции.
Толщину изоляции, при которой тепловой поток становится равным тепло-
потерям неизолированного трубопровода, можно найти из уравнения
Изоляция становится эффективной тогда, когда сопротивление теплопере-
ходу от поверхности неизолированной трубы к окружающей среде становится
меньше термического сопротивления тепло-
переходу через слой изоляции (рис. 7.1):
1 ^ 1 ,_ ?>из ,. 1_ G.3.11)
Стсюда диаметр эффективной изоляции
должен быть больше значения /)из,э, опре-
определяемого из условия
Li= In Dh3' э G.3.12)
из'э
И3
In
2
Рис. 7.1. Тепловые потери через ци-
линдрическую изоляцию в зависи-
мости от ее толщины:
/-плохая изоляция B\13<а2 d2).;
2-хорошая изоляция
Рассмотренное решение справедливо, ког-
когда а2 не зависит от температуры поверхности
изоляции и ее диаметра. Это условие с из-
известным приближением выполняется при вы-
вынужденном продольном обтекании изоляции
охлаждающей средой. При вынужденном поперечном обтекании изоляции
можно полагать (при прочих равных условиях) а2 = AD^3n, где п порядка
0,2—0,4. Тогда
J*l =_!_/_! 1=М G.3.13)
и критический диаметр изоляции
-"). G.3.14)
При. свободной конвекции сс2 = А^Тт/D1-3, где АГ — разность темпера-
температур поверхности изоляции и охлаждающей среды. Таким образом, с утолще-
утолщением изоляции а2 будет уменьшаться даже при больших значениях А,пз.
7.4. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ЧЕРЕЗ ШАРОВУЮ СТЕНКУ
Имеем полый симметричный шар, на внутренней поверхности которого за-
задана температура Тг и на наружной Г2. Температура является в этом случае
функцией только одной координаты — радиуса шаровой поверхности:
d2T
dR2
G.4.1)
G.4.2)
Для многослойной шаровой стенки уравнение для теплового потока можно-
записать в виде
G.4.3)
51
Следует обратить внимание, что сферический источник радиуса Rly погружен-
погруженный в неограниченную однородную среду (R2 -^оо, Т -+Т2), имеет конечный
минимальный стационарный тепловой поток
Тг—Тг). (ТАЛ)
dx
7.5. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ВДОЛЬ СТЕРЖНЯ
ПОСТОЯННОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ
На рис. 7.2 изображена схема к задаче о теплопроводности вдоль стержня
{прямого ребра). Одним торцом стержень плотно соединен с твердой поверх-
поверхностью (трубы, корпуса двигателя и т.п.), имеющей температуру 7\. Темпера-
Температура среды, окружающей стержень, равна То. Коэффициент теплоотдачи от
боковой поверхности стержня к среде обозначим через а, коэффициент тепло-
теплоотдачи от свободного торца стержня к сре-
/ де — через aL.
Вследствие возможного различия в тем-
температурах и условиях обтекания боковой и
торцовой поверхностей стержня в общем
случае а^ ф а. Далее предположим, что теп-
°(l лопроводность материала стержня достаточно
велика, чтобы можно было считать темпера-
температуру по его поперечному сечению практически
неизменной. Собственно говоря, эта предпо-
предпосылка равносильна утверждению, что вследст-
вследствие большого отношения длины стержня к
его поперечному размеру частные производные
дТ/ду и dT/dz существенно меньше частной
производной dTldx.
Изменение количества тепла, протекающего через поперечное сечение стерж-
стержня, составит dQ = d (—XQ dTldx). При установившемся процессе это тепло
отдается за счет теплоотдачи через элемент боковой поверхности стержня dF =
= Pds, где Р — периметр стержня, м; ds — дифференциал криволинейной ко-
координаты, направленной по поверхности стержня вдоль оси х. Если толщина
стержня б, то ds = Vl + A/4) (d8/dxJ~ttx. Отсюда уравнение теплопередачи
в стержне принимает вид
Рис. 7.2. Схема прямого ребра
—
dx
dx
A/4) (d8/dxJ
G.5.1)
Знак минус в левой части этого уравнения взят потому, что при Т > То
тепловой поток вдоль стержня уменьшается вследствие теплоотдачи с его боко-
боковой поверхности.
Рассматривая плоское ребро (площадь сечения и периметр стержня не ме-
меняются вдоль координаты х), можем написать:
= aP(T—T0)/KQ.
G.5.2)
Температура вдоль стержня непрерывно меняется, причем максимально
возможное ее изменение лежит в пределах от 7\ до Го. Нетрудно убедиться,
что частное решение дифференциального уравнения G.5.2), удовлетворяющее
указанному характеру рассматриваемого физического процесса, может быть
лредставлено в виде экспоненциальной функции
Т — Т^о = С exp (mx),
где Сит — постоянные.
Дифференцирование этого уравнения дает
d2 T/dx2 = Cm2 exp (mx).
G.5.3)
G.5.4)
52
Подставляя эти значения Т — То и d2T/dx2 в уравнение G.5.2), получаем
Cm2 ехр (пгх) = (аР/Щ С ехр (пгх), '
откуда
m = ±VaP/XQ. G.5.5)
Следовательно, уравнению G.5.2) удовлетворяют два частных решения типа
G.5.3). В одном решении показатель экспоненты положителен, а в другом —
отрицателен. Как известно, общим решением рассматриваемого дифференци-
дифференциального уравнения является сумма его частных решений, т. е.
Т—T0 = Ciexp (mx)+C2 ехр { — пгх), G.5.6)
где m — положительное значение корня G.5.5). Постоянные интегрирования Сх
и С2 определяются из граничных условий в начале и конце стрежня. При х = 0
Т = 7\. При определении температуры на свободном торце стержня (х = L)
необходимо учесть, что количество тепла, передаваемого к этому торцу за
счет теплопроводности вдоль стержня, отдается через поверхность торца
в окружающую среду, т. е.
—X (dT/dx)L = oll (TL- To). G.5.7)
Из первого граничного условия имеем 7\ — То = Сг + С2. Отсюда Т —То=
= Сг [ехр (пгх) — ехр (— тх)]+ (Тг — То) ехр (— пгх).
Используя условие G.5.7), находим, что
(dT/dx)L = m {Сг [ехр (ml) + ex p (—mL)] — (Тг — То) ехр (—mL)}\
кроме того,
TL — TQ = Сг[ехр (mL)— ехр (— mL)] + (Тг — Т0) ехр (—mL).
Подставляя значения (dT/dx)i и TL — То в уравнение G.5.7) и вводя обоз-
обозначение
п = aL/Ki = +Va2L Q/aXP, G.5.8)
получаем значение первой константы интегрирования:
Г (Т т ч A— /г) ехр (—mL)
(—mL)-\-n [ехр (mL)—ехр (—
Соответственно
(l+ft)exp(mL)
Г =(Т Т)
0
ехр (mL) + ехр (—mL) -f-я [ехр (mL) — ехр (—mL)]
Таким образом, окончательно получаем
Т=Т \ (Т Т) n
G 5 9^
2[ch(mL)-/zsh(mL)] > К • • )
TlE*G.5.10)
0 ch (mL) — п sh (mL)
Когда теплоотдача от свободного торца стержня мала или торец хорошо изо-
изолирован, можно положить аи = 0. В этом случае п = 0 и соответственно
Т=_Т , (Т _т v ехр[—m(L^A:)] + exp[m(L —х)] ^ ^ j j.
0 У г о) 2ch(mL) ; V — /
ch (mL)
Раскрывая значение ch (mL), перепишем формулу G.5.11) следующим об-
образом:
(Т0-Т0)\ exP;-mL> +^Ш /[exp(mL)+exp(-mL)]
L ехр (—тх) ехр (m*) J /
53
При стержне бесконечной длины (L = оо), ехр (—mL) = О и
Т = Т0 + (Тг-Т0)ехр(^тх). G.5.13)
Последняя формула дает распределение температур вдоль стержня весьма
большой длины по сравнению с его поперечным сечением (теоретически беско-
бесконечно длинный стержень). ^
Количество тепла, отдаваемое стержнем окружающей среде, равно количе-
количеству тепла, втекающему в стержень через его закрепленный торец:
Q=—XQ(dT/dx)x==Q. G.5.14)
Дифференцируя уравнение G.5.9) и подставляя полученное значение dTldx
при х = 0 в уравнение G.5.14), получаем: :
а) теплоотдача стержня конечной длины
д^шт^-г/;';^^;^; G.5.15)
ch (mL) + п sh (mL)
б) теплоотдача стержня с изолированным свободным торцом
Q = Шш G\ —Го) th (mL)) G.5.16)
в) теплоотдача стержня бесконечной длины
Q-XQm^-To), G.5.17)
где m имеет положительное значение по формуле G.5.5).
7.6. ПРЯМОЕ РЕБРО ПОСТОЯННОГО ТЕПЛОВОГО
НАПРЯЖЕНИЯ
В ребре постоянной толщины плотность теплового потока резко уменьшает-
уменьшается вдоль оси х. Так, например, закону распределения температуры по длине
бесконечного стержня, выражаемого формулой G.5.13), соответствует закон
изменения плотности теплового потока
q= —XdT/dx = km(T1~T0)exp(—mx). G.6.1)
Очевидно, что материал ребра использовался бы более эффективно, если
бы теплонапряжение единицы его поперечного сечения оставалось постоянным
или почти постоянным.
Зададимся условием, чтобы плотность теплового потока
q = {lm)x=Q{Ti-TQ) G.6.2)
оставалась постоянной вдоль всего ребра, а на свободном конце ребра устано-
установилась температура, практически равная температуре окружающей среды.
При этом условии
T^qx/X; j
где L — высота ребра. При достаточно широком ребре, когда его ширина Я>6,
можно положить
m =
G.6.4)
где б — толщина ребра у его основания.
Воспользовавшись уравнениями G.6.3) и G.6.4), находим, что в рассматри-
рассматриваемом случае высота ребра и его толщина у основания должны находиться
в определенном соотношении, а именно:
L/ao = BBi)-i/2f G.6.5)
где Bi =аб0Д.
54
Подставляя в уравнение; G.5.1) значение Т из системы G.6.3) и принимая
во внимание, что в тонких ребрах (dbldxJ <^ 1, после интегрирования полу-
получаем
*Г1Г' G'6'6)
Подставляя в это уравнение значение L/60 из выражения G.6.5), находим,
что толщина свободного торца ребра 6L = 0,5 б0. Обычно в целях большей про-
простоты изготовления параболический профиль ребра заменяется трапециевид-
трапециевидным.
7.7. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ В ПРЯМОМ ТРАПЕЦИЕВИДНОМ
И В ПЛОСКОМ КРУГЛОМ РЕБРАХ
Схемы этих задач с указанием систем координат даны на рис. 7.3 и 7.4. Тол-
Толщина прямого трапециевидного ребра б = 2х tg ср. Подставляя значение б
в выражение G.6.4) для Q и далее в G.5.1), получаем уравнение
2Х d2
1 — Q = 0.
G.7.1)
Здесь
г-
Для плоского круглого ребра
Xtgcp
Подставляя эти величины в G.5.1), приходим к уравнению
dz
-0 = 0,
2 *2
G.7.2)
где z2 = R]/^X8/2a — текущий безразмерный радиус.
Рис. 7.З. Схема трапециевидного ребра
Рис. 7.4. Схема круглого ребра
Решения двух последних уравнений известны и даются в цилиндрических
функциях. Решения эти громоздки, и их удобнее представлять в виде расчет-
расчетных графиков (рис. 7.5—7.7).
На рис. 7.5 е = QF'/FQ', где Q — тепло, отдаваемое ребром, Вт; Q' — то
же по формуле G.5.15), Вт; F — поверхность рассчитываемого ребра, м2; F'—
поверхность прямоугольного ребра, длина, высота и толщина которого равны
55
1,15
1,05
0,95
.
П rri—
0,75
(Т2/^=10
¦—«*_
1 .
0
0;2 0,4 0,6 0,8
Рис. 7.5. График для расчета количества
тепла, отводимого трапециевидным ребром
0,9
0,7
0,5
R?/R}=1,0
——
1J^
2^
w
в
Q,S
0,2
0,1
I,
/
I
i
/
/
/ /
———'
.—"
-"
.
^-—-^
—
. ¦
, ¦'
0,10
0?6
0,04
0,03
0,02
-—¦
0,01
0,005-
0?02_
W L/Do
0,2 0,4 0,6 0,8 i92
Рис. 7.6. График для расчета количества
тепла, отводимого круглым ребром
Рис. 7.7. График для расчета количе-
количества тепла, отводимого коническим
шипом
длине, высоте и средней толщине рассматриваемого ребра, м2. На том же
рисунке #2 = (Г2 — Т0)/(Т1 — То).
На рис. 7.6. е — Q/Fq, где q — количество тепла, передаваемого с единицы
поверхности прямоугольного ребра длиной 1 м и толщиной, равной толщине
данного круглого ребра.
На рис. 7.7 Q = (я?0/2) G\ — То) №.
7.8. КОЭФФИЦИЕНТ ЭФФЕКТИВНОСТИ ОРЕБРЕНИЯ
Применение оребрения поверхности нагрева особенно эффективно в тех
случаях, когда коэффициент теплоотдачи от одной среды существенно больше,
чем коэффициент теплоотдачи к другой среде. Так, например, оребрение труб
весьма эффективно, когда внутри трубы течет вода или жидкий металл, а
с внешней стороны — газ. Применяется оребрение и со стороны жидкости и
даже конденсирующихся паров, имеющих малые коэффициенты теплоотдачи
(некоторые холодильные агенты).
Для односторонне оребренной поверхности можно составить систему урав-
уравнений:
= *1F(T-TCTtl);
G.8.1)
Здесь F — основная поверхность теплообмена; Fov — поверхность оребрения;
? — коэффициент эффективности оребрения.
Решая эту систему уравнений, получаем
= kF (Тг - Г2),
G.8.2)
56
Рис. 7.8. Коэффициент эффективности круглых ребер с цилиндрическим осно-
основанием
где k = И/аг + 8СТАСТ + F/a2 (F + EFq^)]'1. Отсюда отчетливо видно, что
при ссх ^> а2 общий коэффициент теплопередачи можно существенно увеличить
путем оребрения так, чтобы имело место условие EF0V > F.
Коэффициент эффективности оребрения Е всегда меньше единицы, посколь-
поскольку средняя температура поверхности ребра меньше температуры у его основа-
основания. Поскольку температура у основания ребра 7\ совпадает с температурой
основной поверхности теплообмена F, то количество тепла, переданное оребре-
нием, будет равно
QOp = aF0PG\-T0)?. G.8.3)
0,8
0,6
0,4
0,2
Кбадратные ребра
~с цилиндрическим
основанием
X N
1,1
'о
/
-*
0,8
Q
Рис. 7.9. Коэффициент эффективности квадратных ребер с цилиндрическим основанием
и ребер с прямым основанием (г|) = 0,9 для прямых и поперечных ребер на овальной
трубе; г|) = 0,85 для поперечных ребер на круглых трубах)
57
Отсюда в соответствии с формулой G.5.16) для прямого ребра постоянной тол-
толщины
На рис. 7.8 и 7.9 приведены составленные Э.С. Карасиной графики для опре-
определения Е круглых поперечных ребер, квадратных поперечных ребер и ребер
с прямым основанием. На рис. 7.9 дан также график для определения коэффи-
коэффициента 8Д, на который следует умножить величину Е в случае трапециевидно-
трапециевидного сечения ребра.
7.9. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ В СТЕРЖНЕ И ШАРЕ
С ВНУТРЕННИМИ ИСТОЧНИКАМИ ТЕПЛА
Внутренние источники тепла могут возникать при прохождении через тело
электрического тока, при фазовых переходах, химических превращениях, ра-
радиоактивном распаде, внутреннем трении и т. п.
Вычислим распределение температур в плоской стенке и цилиндрическом
стержне с равнораспределенными внутренними источниками, т. е. когда qv
имеет одно и то же значение во всех точках стержня. Для плоской стенки, когда
Т является функцией только координаты х, из уравнения теплопроводности
следует
= 0; Т = — х2 qv/21 + ^x+C^ G.9.1)
где Сх и С2 — постоянные интегрирования.
Положим, что со стороны поверхности, которая принята за начало отсчета
координаты х, стенка омывается средой с температурой 7\ и коэффициентом
теплоотдачи аг. Со стороны другой поверхности среда имеет температуру Т2
и коэффициент теплоотдачи а2. Пусть Тх > Г2. Тепловой поток через поверх-
поверхности-стенки равен « .
д1== -ЩТ/йх^о^ъРгТ^; 1
q2 = -X (dT/dx)x^6 = а2 (Гст§2 -Т2) = q + 9SJ
Определяя изч этих условий Сг и С2, находим выражение для температур
стенки:
^^ст,2+ ^тг (б2—х2)+ --i- (Г2 —ГстД) (б— х), G.9.3)
откуда
_ Га+ (оы/аа+ «1 б/Я) 7t +^ F/cx2 + 62,/2X) _ ^ п ^
т г , 71Г,УуF/«,+ Д/2Ц , дуб
т l+oeA+o./ax a2 7
Если одна поверхность стенки, например со стороны л: = 0, настолько хорошо
изолирована, что можно принять ах = 0 и соответственно (dT/dx)x==0 = 0, то
58
Тст.1 -T^ + qv,(б/а2 + б2/2Я); ,
Рассмотрим теперь температурное поле в цилиндрической односторонне
охлаждаемой стенке. Когда Т является функцией только радиуса J?, имеем:
d*T • 1 dT Qv _n
~^ 77Г i 1— — ^>
fl?2 ' R dR X
p dT - Qv
4%
G.9.7)
Поскольку цилиндр односторонне охлаждаемый, то с поверхности охлажде-
охлаждения отводится только тепло, выделившееся в цилиндре за счет внутренних
источников. Это тепло равно
q* = n{Rl-R\)qv. G.9.8)
Если цилиндр охлаждается с внешней поверхности, то
q*=-X(dT/dR)Ri 2яЯ2 = a2nR2(Т„л-Щ (? д g
(dT/dR)Rl = 0. I
Здесь Ri и R2 — внутренний и внешний радиусы цилиндра; То — температура
охлаждающей среды.
Определяя отсюда значения постоянных интегрирования и подставляя их
в интеграл уравнения G.9.7), получаем выражение для температурного поля
*l \ 1 _ / ^_J1 + 1 - (AY _2 (А.J1П _Ь1 . G.9.10)
r2[ [r, Л [rJ [rJ r} -v ;
Температура внутренней поверхности цилиндра
В том случае, когда известно значение ТстД (например, путем измерения
в опытах), константа С2 может быть вычислена из уравнения G.9.7) при Т =
= Гст,1 и R = 7?! и
^[b (i)"] G.9.12)
Для сплошного круглого стержня G?х = 0) уравнение температурного поля
имеет вид
Температура на оси стержня
^1(^) G.9.14)
Температура на поверхности стержня
G.9.15)
Если цилиндр охлаждается с внутренней стороны, то граничные условия
можно записать в виде <7* = а2я7?х (Гстд — 70); (dT/dR)R2 = 0.
59
Соответственно
•* стД —
стД
G.9.17)
* Ст,2 —
Для шара с равномерным отводом тепла по его поверхности
Здесь Гст — температура наружной поверхности шара; То — температура ок-
окружающей среды; Ro — радиус шара. Отсюда выражение для определения тем-
температурного поля в шаре имеет вид
Т = Гст + (qv/Gk) (Rl—R). G.9.20)
Температура в центре шара
ц== ' ct~t~Qv ао/Ьа, (/.y.zl)
и температура поверхности шара
TCT=T0-tqvRQ/3a. G.9.22)
7.10. СУПЕРПОЗИЦИЯ ПОЛЕЙ ТЕМПЕРАТУР
Если в теле имеются сосредоточенные источники и стоки тепла, описывае-
описываемые линейным дифференциальным уравнением, причем граничное условие тепло-
теплообмена также линейно, то температурные поля, создаваемые отдельными ис-
источниками, независимы друг от друга. Следовательно, результирующее тем-
температурное поле является суммой темпера-
температурных полей, создаваемых отдельными ис-
источниками и стоками тепла. Это свойство та-
таких полей позволяет сравнительно просто
решать ряд задач путем введения в расчет
фиктивных стоков или источников тепла.
В качестве примера рассмотрим тепловые по-
потери неизолированного круглого трубопро-
трубопровода, заложенного в грунт (рис. 7.10). В полу-
полубесконечный массив на глубину h заложен
трубопровод диаметром D. На поверхности
трубопровода Т = Ти на всей поверхности
массива Т = То. Последнее условие означает
весьма интенсивное охлаждение поверхности
грунта или достаточное заглубление трубы,
так как в ином случае поверхность массива
над трубопроводом была бы прогрета значи-
значительно сильнее, чем более удаленные области.
Заменим рассматриваемый трубопровод
линейным источником с той же плотностью
тепловыделения (+?*, Вт/м). На плоскости
чертежа этот источник изобразится точкой mv
Далее, поместим над поверхностью грунта
зеркальное отображение нашей системы. При
Рис. 7.10. Задача о трубопроводе этом отображение источника пгъ находящееся
в полуограниченном массиве в точке т2, будем рассматривать как сток с
60
тепловыделением (—q*). Таким образом, получаем неограниченный массив
с источником, стоком и изотермой Го, изображающей поверхность грунта.
В таком случае изотермические поверхности независимых полей источника
и стока должны иметь вид концентрических окружностей. Применяя к ним
формулу G.3.2), можем написать
T'-T0=-(q*/2nl)\n(R'/y0); |
Здесь А, — коэффициент теплопроводности грунта; R' и R" — радиусы, прове-
проведенные в данную точку от источника и стока; у0 — расстояние по нормали от
поверхности грунта до источника и стока.
Суммируя эти поля, получаем
"-T0 = (q*/2nX)\n(R"/R'). G.10.2)
Поместим начало координат на пересечении оси т^т* с поверхностью грун-
грунта. В этом случае
} G.ю.з>
Я'2 =х>+(у0-у)%;\
Подставляя эти значения радиусов R' и R" в уравнение G.10.2), получаем
Т-То = JL ln[^ + ^ + y)all/a, G.10.4)
Согласно последнему выражению, изотермы результирующего поля имеют
вид окружностей, центр которых перемещается вниз отточки т1 по мере умень-
уменьшения Т. Поскольку поверхность трубопровода является окружностью, ее
можно отождествить с изотермой Т = 7\. Для точки k на верхней образующей
трубы
G.10.5)
где h — глубина залегания оси трубы; Ro = D/2 — радиус трубы.
Для точки п на нижней образующей трубы
Rn = 2R0-Rk.\
Кроме того,
G.10.7>
поскольку точки k и п принадлежат одной и той же изотерме.
Из этих соотношений следует, что
R'klR'k = (Rl + D)/(D-Rfr,\ ш
R"k-R'k=2h — D. J
Следовательно, для любой точки изотермы 7\
R' R'k D у \ D
Подставляя это значение R"IR' в G.10.2), получаем формулу Форхгеймера:
q*= 2як(Т,-Т0) _ G.10.10).
Тепловой поток с участка трубопровода длиной L равен
Q = q*L. G.10.11)
61
to
Таблица 7.1
Термическое сопротивление тел различной формы
1. В третьей графе приведено термическое сопротивление тела R* или (при погружении тела в массив) ограждающего слоя до его поверх-
поверхности при постоянных температурах на контурах тела и массива равных Гст> х и TCTt 2; R* = (TCT>1 — Гст, 2)/Q> К/Вт.
2. В четвертой графе приведено полное термическое сопротивление Rz=(T—To)/Q, где Т и То—соответственно температуры греющей и на-
нагревающей сред.
3. Геометрические параметры k, b/a и A0 = f(a) характеризуют соотношение сторон прямоугольника и число сторон правильного я-угольника.
Их числовые значения приведены ниже
Ь/а
1,00
1,25
1,50
1,75
k
0,08290
0,03963
0,01781
0,00816
п
3
4
5
6
1,13916
0,54159
0,32131
0,21339
Ь/а
2,00
2,25
2,50
3,00
k
0,00373
0,00170
0,00078
0,00016
п
7
8
9
10
Ао
0,15214
0,11397
0,08832
0,07076
Форма тела и его
расположение
Плоская протяженная
стенка
Цилиндрическая протя-
протяженная стенка
Расчетная схема
( fi>
V V/
Термическое сопротивление тела
* ~ XLa
(здесь и дальше L—длина тела)
R~2nLXln Rl
Политое термическое сопротивление
с учетом теплоотдачи на контурах
1/1 б 1 \
La \a,i А аг/
1/1 1 /?2 1 \
2 2^lUi^i+ A, lnRi + a2R2)
Полый шар
Труба в квадратной
изоляции
Труба, эксцентрично
расположенная в круглой
изоляции
Одиночная труба в по-
полуограниченном массиве
In
Г)* _____ / _
р* 1
У № + RiJ
У (R^RiJ
1 |" h
при h
Rl /?2/
— S24 У(/?2 — ^lJ — S2
i/fM2 il-
KUi r
2h
\ Г)
>4R
• = — Г -L+-L/_L__LU -i-1
J_
При наличии цилиндрической изоляции:
3 = 0,55а,
7"
(при квадратной изоляции
где а —сторона квадрата)
При ат/?2 ^>1 для изолированной трубы:
г1
ПроДолжение табл. 7.1
Форма тела и его
расположение
Расчетная схема
Термическое сопротивление тела
Полное термическое сопротивление
с учетом теплоотдачи на контурах
Две трубы в полуогра-
полуограниченном массиве
Ряд труб одинакового
диаметра с одной и той
же температурой в полу-
полуограниченном массиве
(Х2Т0
2nkL
X
R2
X
X
/ *, /<из 2ЛХ \
|— In + In +
[Г ¦
+ (i2)
Для трубы 2 индексы 7 и 2 меняются местами.
Для одной из труб
[* hBjxA
+
Tlnfe
/
sh 2я
v
Ряд труб одинакового
диаметра с одной и той
же температурой в мас-
массиве, ограниченном двумя
параллельными плоско-
плоскостями
Прямоугольный канал
большой протяженности
в полуограниченном мас-
массиве
Протяженная тонкая
пластина в полуограни-
полуограниченном массиве
Шар в полуограничен-
полуограниченном массиве
O
СП
ато
77,
\//////////л
Т
Я
сс2Т0
Для одной из труб
2nLk
In —- sh —
[nR \ s \
п* .
In-
3,5/1
При 0,5<Л/а<12:
для вертикальной пластины
0,42/ h \о,24
*—г(т) :
для горизонтальной пластины
при
Термическое сопротивление на поверх*
ности массива учитывается заменой ве-
величины h суммой / + Л/
То же
О)
Продолжение табл. 7.1
Форма тела и его
расположение
Расчетная схема
Термическое сопротивление тела
Полное термическое сопротивление
с учетом теплоотдачи на контурах
Вертикальный цилиндр
в полуограниченном мас-
массиве
Круглое кольцо в по-
полуограниченном массиве
Шар, наполовину за-
загубленный в полуограни-
полуограниченный массив. Весь теп-
тепловой поток направлен в
массив
Круглая пластина на
поверхности полуограни-
полуограниченного массива. Тепло-
Тепловой поток направлен в
массиве
2R
Без учета теплоотдачи с верхнего торца
1 , 2h
*'1
С учетом теплоотдачи с верхнего торца
2в2М \п B/R) "*"
При
2R,
Термическое сопротивление на поверх-
поверхности массива учитывается заменой ве-
величины h суммой h-\-X/a
Прямоугольная пласти-
пластина на поверхности полу-
полуограниченного массива.
Тепловой поток направ-
направлен в массив
Круглая пластина в
неограниченном массиве
с температурой Т2
Труба в прямоугольной
изоляции
Труба в правильной
n-угольной изоляции
л
J
6
паХ
/?¦==
4а
R
nkL
O
00
Продолжение табл. 7.1
Форма тела и его
расположение
Расчетная схема
Термическое сопротивление тела
Полное термическое сопротивление
с учетом теплоотдачи на контурах
Эллиптическая труба,
софокусно расположенная
в изоляции эллиптиче-
эллиптической формы
Полоса, фокально рас-
расположенная в эллипти-
эллиптической изоляции
Прямоугольная пласти
на в неограниченном мас-
массиве с температурой Т$
1
c + d
2rikL % a+b
1 c + d
In
#* =
1 Ja
2naK b
* Здесь и далее а) термическое сопротивление стенки трубы считается пренебрежимо малым, б) под температурой То понимается температура среды над поверхностью
массива. Температура массива на бесконечном удалении от источника теплового потока также равна То. В практических расчетах подземных трубопроводов за вели-
величину То на основе опытных данных принимают естественную температуру грунта на глубине залегания оси трубопроводов.
Далее можно найти
и поле температур
ln
Т-То
21n [h/R0—
G.10.12)
G.10.13)
Этим методом может быть решен также ряд других задач по теплопроводно-
теплопроводности в системах сложной конфигурации. Так, Е. П. Шубиным была решена зада-
задача о двух трубопроводах в полуограниченном массиве с неодинаковыми тем-
температурами и диаметрами; И. А. Иоффе решил задачу о температурном поле в
полуограниченном массиве с бесконечным рядом одинаково нагретых труб.
В тех случаях, когда метод наложения полей оказывается неприменимым,
возможно применение метода конформных отображений. Последним методом,
например, А. С. Синельников решил задачу о теплопроводности через квад-
квадратную изоляцию трубопровода.
Этими и другими методами математической физики решено большое число
частных задач о теплопроводности в телах различной формы (табл. 7.1).
7.11. УЧЕТ ВНЕШНЕГО ТЕРМИЧЕСКОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ
МЕТОДОМ ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ СТЕНКИ
Приведенные выше задачи характеризуются, в частности, тем, что на поверх-
поверхности рассматриваемых тел температура постоянная, т. е. одна из изотерм сов-
совпадает с поверхностью тела. В случае симметричного тела это условие выпол-
выполняется, когда коэффициент теплоотдачи имеет постоянное значение на всех
точках поверхности. В случае несимметричной системы, например трубопро-
трубопровода в полубесконечном пространстве,
условие постоянства температуры на кон-
контуре осуществляется только при весьма
интенсивном ее охлаждении (теоретически
при а = оо).
В общем случае термическое сопротив-
сопротивление такой системы оказывается функ-
функцией безразмерных геометрических пара-
параметров и критерия Bi = а/М,ст. Как ука-
указывалось в гл. 5, величина б' = Яст/а
имеет размерность длины и называется до-
дополнительной стенкой в связи с тем, что в
плоской стенке толщиной б' при данном
потоке q имел бы место перепад температур
TVr — Tq. При решении задач типа опре-
определения теплопроводности через плоскую
или цилиндрическую стенку учет внешних
термических сопротивлений, пропорциональных 1/а, не представляет затруд-
затруднений. Иное дело, когда приходится рассматривать задачи более сложные.
Так, в задаче о тепловых потерях трубопровода, заложенного в грунт, нет
возможности просто суммировать термическое сопротивление грунта, вычис-
вычисленное по формуле G.10.10), с термическим сопротивлением воздуха над грун-
грунтом. Действительно, при конечном значении а меняется термическое сопротив-
сопротивление собственно грунта, так как его поверхность перестает быть изотермиче-
изотермической. Кроме того, неясно, как вычислить собственно внешнее термическое сопро-
сопротивление, когда поверхность грунта бесконечно велика. В то же время точное
решение уравнения теплопроводности с граничным условием третьего рода
существенно сложнее, чем при задании граничного условия постоянной тем-
температуры контура. В подобных случаях оказывается возможным удовлетвори-
Рис. 7.11. Экспериментальное ( )
и расчетное ( ) поля темпера-
температур вокруг одиночного теплопровода;
Л/Я = 3,75; Bi = 0,26
69
тельно учесть конечное значение а путем введения в расчетную формулу, полу-
полученную для случая а = оо, линейного размера системы, увеличенного на тол-
толщину дополнительной стенки б'.
При этом, однако, относительная величина 67/ должна быть настолько
мала, чтобы теоретическое распределение температур в дополнительной стенке
было близким к линейному. В качестве примера рассмотрим кривые распреде-
распределения температур над трубопроводом в грунте по формуле G.10.13). Обозна-
Обозначим через h длину участка с резко выраженным криволинейным распределением
температур, а через б' — длину участка, в котором распределение температур
близко к прямолинейному. Отношение 67/i имеет порядок 0,4. Следовательно,
в том случае, когда величина 8'/h = XCT/ah = 1/Bi меньше 0,4, конечную ве-
величину а можно учесть, введя в формулу G.9.2) вместо истинной глубины
залегания трубопровода h величину йэк = й + б'. Насколько хорошо в данном
случае оправдывается этот прием, видно из рис. 7.11, на котором сопоставлено
опытное температурное поле с температурным полем, вычисленным по формуле
G.10.13) при замене величины h величиной hQK.
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Варшавский Г. А. Определение тепловых потоков в твердом теле при стационарном ре-
режиме для случая, когда коэффициент теплопроводности является функцией температу-
температуры.— «Журн. эксперим. теор. физ.», 1936, т.6, вып. 3, с. 282.
2. Варшавский Г. А. Исследование некоторых задач теплопроводности при коэффициенте
теплопроводности, зависящем от температуры.— «Журн. прикл. механ. и техн. физ.»,
1961, №3, с. 3—15.
2а. Гребер Г., Эрк С. Основы учения о теплообмене. М.—Л., ОНТИ, 1936.
3. Проблемы теплофикации. Л.—М., ОНТИ, 1936 (Тр. ЦКТИ, вып. 11).
4. Шорин С. Н. Теплопередача. М.—Л., Госстройиздат, 1952.
5. Шубин Е. П. Материалы, методы устройства и расчет тепловой изоляции трубопрово-
трубопроводов. М., Госэнергоиздат, 1948.
8
" " НЕУСТАНОВИВШИЙСЯ ТЕПЛОВОЙ
ПОТОК В ТВЕРДОМ ТЕЛЕ
БЕЗ ВНУТРЕННИХ ИСТОЧНИКОВ
8.1. УРАВНЕНИЕ НЕСТАЦИОНАРНОГО ТЕМПЕРАТУРНОГО
ПОЛЯ
При отсутствии внутренних источников тепла уравнение теплопроводности
B.3.6) принимает вид
ay*T = dT/dt. (8.1.1)
Вводя безразмерные координаты Ф = A77A7Y, х = х/10; у = y/l0; z = z/lo>
где АТ0 — начальный температурный напор; /0 — характерный линейный
размер тела, приводим уравнение (8.1.1) к виду
у# (81 2)
Из этого уравнения видно, что безразмерная температура является функ-
функцией критерия Фурье
Fo = at //§, (8.1.3)
т. е. сходственные времена пропорциональны квадрату линейного масштаба
тела и обратно пропорциональны коэффициенту диффузии тепла.
Среди практических задач о нестационарной теплопроводности важнейшее
значение имеют две группы процессов: а) тело стремится к тепловому равно-
равновесию; б) температура тела претерпевает периодические изменения. К первой
группе относятся процессы прогрева и охлаждения тел, помещенных в среду
с некоторым заданным тепловым состоянием, например прогрев болванки в
печи, охлаждение закаливаемой детали и т. п. Ко второй группе относятся
процессы в периодически действующих подогревателях, например тепловой
процесс регенераторов, кладка которых периодически то нагревается дымовыми
газами, то охлаждается воздухом, который сам при этом подогревается. В этом
случае процесс периодического колебания температуры и теплового потока
называют тепловыми волнами.
Проблема решения уравнения (8.1.1) является чисто математической. Спе-
Специальные физические соображения приходится привлекать только при задании
соответствующих начальных и граничных условий. Однако в огромном числе
практически важных задач и эта проблема, по существу, снимается возмож-
возможностью принять температуру тела в начальный момент времени одинаковой
во всех его точках. Температуру на поверхности тела обычно можно считать
или постоянной за время протекания процесса, или зависящей от постоянного
коэффициента теплоотдачи и меняющейся по заданному закону температуры
окружающей среды (последнюю также во многих случаях можно считать по-
постоянной).
Аналитический метод решения уравнения теплопроводности (8.1.1) пер-
первоначально был развит в работах Фурье и в дальнейшем нашел широкое при-
применение в самых разнообразных областях математической физики. Метод
Фурье применительно к фундаментальным задачам теории теплопроводности
был подробно разработан Г. Гребером, Г. Карслоу, А. В. Лыковым, А. Н. Ти-
Тихоновым и другими исследователями.
Широкое применение в решении сложных задач теории теплопроводности
нашли операционные методы. Определяя Т через функцию U = *\ЫТУ можно
привести уравнение (8.1.1) к виду
V2U = q>(U)dU/dt, (8.1.4)
где „ер (U) = а.
71
Однако в задачах нестационарной теплопроводности введение функции U
не дает такого общего результата, как в задачах о стационарном температурном
поле. Некоторые частные решения уравнения (8.1.4) были исследованы
К. И. Страховичем.
В рамках данной книги мы ограничимся рассмотрением нескольких наи-
наиболее распространенных задач нестационарной теплопроводности с целью вы-
выявления общих физических особенностей такого рода процессов. Для более
детального ознакомления с этой проблемой следует обратиться к специальной
литературе по теории теплопроводности, среди которой наиболее подробными
являются монографии Г. Карслоу и Д. Егера и А. В. Лыкова.
8.2. РЕШЕНИЕ В ВИДЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
ДВУХ ФУНКЦИЙ
Существует ряд решений (интегралов) уравнения Фурье. Одним из них,
имеющим большое практическое значение, является произведение двух функ-
функций, из которых одна связана только с координатами, а другая — только
со временем:
Т = ф(х; */;z;)<P@; * = Ф (*; У\ z) Ф (Fo). (8.2.1)
Дифференцируя это уравнение и подставляя соответствующие производные
в~уравнение (8.1.2), получаем
фУ2ф = г|хр'. (8.2.2)
Таким образом, для того чтобы выражение (8.2.1) удовлетворяло уравне-
уравнению (8.1.1), необходимо, чтобы функции г|э и ф, не зависящие друг от друга,
удовлетворяли условию
V2 г|)/г|) = ф'/Ф = const. (8.2.3)
Если тело с некоторой температурой Т (х\ у, г) погружено в среду с темпе-
температурой Го, отличной от температуры этого тела, то в результате возникаю-
возникающего процесса теплообмена тело стремится к тепловому равновесию с окру-
окружающей средой. Когда То > Г, тело нагревается, когда То < 7, тело охлаж-
охлаждается. При отсутствии в теле внутренних источников тепла температура
во всех его точках будет меняться во времени монотонно, стремясь к темпе-
температуре окружающей среды.
Легко заметить, что если в абсолютных координатах нагрев и охлаждение
тела изображаются двумя кривыми, то в безразмерных координатах оба про-
процесса изображаются одной и той же кривой, так как при прочих равных усло-
условиях величина dft/dFo и при охлаждении, и при нагреве меньше нуля.
Действительно, при нагреве начальная температура тела 7\ меньше тем-
температуры тела в момент времени / и меньше температуры окружающей среды
Го, т. е. T1<Tt<. То\ при охлаждении, наоборот, 7\ > Tt > То. При этом
для обоих случаев безразмерная температура Ф — (Tt — Т^I(Тг — То) в на-
начальный момент равна единице, а при достижении полного теплового равно-
равновесия (Tt = То) равна нулю. Этому условию удовлетворяет экспоненциальная
функция
Ф = ехр( — P2Fo), (8.2.4)
где Р — некоторая постоянная, что непосредственно следует из уравнения
(8.2.3). Подставляя это значение ф (Fo) в выражение (8.2.1), получаем
Ф = г|) ехр (—P\Fo); Зф/dFo- — р2 ехр (~р2 Fo); ф'/Ф = -Р2^ (8.2.5)
Подставляя последнее выражение в (8.2.3), получаем уравнение, опреде-
определяющее функцию координат:
У2г|>+Р2г|> = 0. (8.2.6)
72
Это решение легко обобщается для случая» когда коэффициент температу-
температуропроводности, оставаясь одним и тем же во всех точках тела в данный момент
времени, непрерывно изменяет свое значение в течение процесса, т. е. когда
а = / (*).
При таком условии переход от уравнения (8.1.1) к уравнению (8.2.6) может
быть осуществлен введением функции времени, определенной как
Ф=ехрГ —
(8.2.7)
8.3. ТЕМПЕРАТУРА— ФУНКЦИЯ ОДНОЙ КООРДИНАТЫ
И ВРЕМЕНИ
Важнейшими частными случаями рассматриваемой проблемы являются
процессы, в которых температура — функция только одной координаты.
Уравнение (8.2.6) можно переписать в обыкновенных дифференциалах, и
тогда оно примет вид:
для протяженной плоской стенки
.p*(SH0; (8.3.1)
для протяженного цилиндра
J^+J ¦^fL+^(S)=O; (8.3.2)
для шара
, При этом в уравнении (8.3.1) безразмерная координата g = х/8у где б —
в данном случае полутолщина стенки, а в уравнениях (8.3.2) и (8.3.3) I = /
здесь Ro — характерный радиус тела.
Уравнению (8.3.1) удовлетворяют тригонометрические функции
(8.3.4)
pg).| '
Решения уравнения (8.3.2) имеют вид
№) (8.3.5)
где Jo и Yo — функции Бесселя первого и второго рода нулевого порядка.
Решениями уравнения (8.3.3) являются функции
cos (р?) .
(8.3.6)
sin """
Эти функции, являющиеся частными интегралами рассмотренных диффе-
дифференциальных уравнений, распадаются на две группы — четные и нечетные.
Суммируя гр! и а|з2, получаем:
для протяженной плоской стенки
д = [Сг cos (pje/6) + C2sin (px/6)] exp (—р«а//б2); (8.3.7)
для протяженного цилиндра
* = [Ci Jo ®R/Ro)+ C2 Ya (PR/Ro)] exp (—p2 at/Rl); (8.3.8)
для шара
sin (P#/#0)J exp (—p^ a///?§). (8.3.9)
73.
т= JL exp[ ~(Р4~*J];
exp ( — z2dz)
Существуют процессы теплопроводности, которые нельзя описать рассмот-
рассмотренными выше решениями, представляющими температуру в виде произведения
двух частных функций, каждая из которых зависит только от одной переменной.
Тогда применяются функции иного типа, в которых рассмотренное выше раз-
разделение невозможно.
Дифференцированием и подстановкой можно показать, что, например,
функции
(8.3.10)
j
также являются интегралами дифференциального уравнения
ad*T/dx2 = dTldL (8.3.11)
8.4. МОНОТОННЫЙ ПЕРЕХОД К ТЕПЛОВОМУ
РАВНОВЕСИЮ
Рассмотрим плоскую стенку толщиной 26. С обеих сторон стенка охлаж-
охлаждается одинаково интенсивно средой с температурой, равной Го. В начальный
момент времени стенка была равномерно прогрета до температуры 7\. В рас-
рассматриваемом случае температурное поле во все время процесса симметрично
относительно оси стенки, так как с обеих сторон последняя охлаждается оди-
одинаково. Следовательно, ty (х) должна быть четной функцией, и в формуле
(8.3.7) следует положить С2 = 0:
d = Ccos(pg)exp (—P2Fo). (8.4.1)
Здесь ? = х/8; Fo = at/62. Краевые условия имеют вид
/ = 0; Т = 71; *=6; дТ/дх=-(а/Х) (Тст-Т0). (8.4.2)
Приводя пространственное краевое условие к безразмерному виду, получаем
(д*№в,= -В106.,, (8.4.3)
где Bi = абД. Дифференцируя уравнение (8.4.1) и подставляя полученное
значение производной в уравнение (8.4.3), находим
Р sin р = Bi cos p. (8.4.4)
Этот результат показывает, что пространственные краевые условия опре-
определяют значение постоянной р и оставляют для постоянной С произвольное
значение. Последнее находится с помощью краевых условий. Значения первых
пяти корней уравнения (8.4.4) приведены в табл. 8.1.
Согласно теории дифференциальных уравнений общее решение строится
как сумма частных решений, т. е. в рассматриваемом случае
<& = 2С, cos (P, I) exp (—pj Fo) A < i < oo). (8.4.5)
В начальный момент
^ = 0; Fo = 0; exp (—62Fo)= 1; ф=1. (8.4.6)
Отсюда
SC, cos (Р, Б) = 1 A < i < оо). (8.4.7)
В теории рядов Фурье показано, что коэффициенты
J «1 (I) COS (р< I) dl
Сг = *-=! . (8.4.8)
1 +i
+i
j cos» (Pi Б) «
74
Значение корней уравнения ^ sin Р = Bi cos C
Таблица 8.1
Bi
оо
1000
100
50
20
10
4,0
1,0
0,5
0,1
0,01
0
Pi
1
1.57=y*
1,57
1,56
1,54
1,50
1,43
1,26
0,86
0,65
0,31
0,10
0
32
3
4,71 = — п
4,71
4,66
4,62
4,49
4', 30
3,93
3,42
3,29
3,17
3,14
я
Р.
5
7,85 = —п
7,84
7,77
7,70
7,49
7,22
6,-81
6,43
6,36
6,30
6,28
2я
7
11,00 = —я
10,98
10,88
10,78
10,51
10,20
9,78
9,52
9,47
9,43
9,42
Зя
Э.
9
14,15 = — я
14,13
14,00
13,87
13,55
13,22
12,87
12,65
12,61
12,57
12,57
4я
В данном случае
= 1 и
2 sin
sin Pi cos
Окончательно получаем
sin Pi cos (pi дг/б)
(8.4.9)
Pi + sin Pj-cos
exp(_p?Fo)A<t-<oo)t (8Л10)
Изменение теплосодержания стенки проще всего определить по формуле
+6
Q = cpF С (Tx—T)dx. (8.4.11)
-б
Начальное теплосодержание стенки, отсчитанное от температуры То, равно
Q0 = 2cpF8(T1-T0). (8.4.12)
Отсюда, принимая во внимание, что
получаем выражение для относительных тепловых потерь стенки
-|-=у J<l-*)<? (8.4.13)
Подставляя сюда значение ¦& из уравнения (8.4.10), получаем
Jcos(P,6)dg(l<i<oo).
(8.4.14)
Qo
i sin р,-
—l
Интегрирование дает выражение
sin2
+ Pi cos Рг sin pi
[1 —exp (—pf Fo)] A < i < со). (8.4.15)
75
Не останавливаясь на деталях решения уравнений для цилиндра и шара,
поскольку с физической точки зрения они не содержат ничего нового по срав-
сравнению с рассмотренным выше примером, приведем окончательные формулы:
для сплошного протяженного цилиндра
хр(—р? at/Rl)(l <л ^ оо); (8.4.16)
Pi)
-[1—ехр( —р? atlRl)](l <« 00).] (8.4.17)
Qo
2л Щ
П (vi)
(Pi) + Jl (Pi)
Здесь J1 = Jd — функция Бесселя первого рода первого порядка.
Гля сплошного шара
sinfr-frcosp,
pi-sin p, cos
pj/?//?0
4~ = 62 4- Й
i —SHI P; COS
_exp (_p7
«,). (8 4Л8)
oo). (8.4.19)
Значения первых пяти корней уравнений P«/i(P) = Bi/0(P) и Р cos P =
— A — Bi) sin P приведены в табл. 8.2 и 8.3.
Таблица 8.2
Значение корней уравнения $J1 (P) =Biyo (P)
Bi
оо
50
20
10
4
2
2
2
2
1
,405
,35
,29
,17
,906
5,520
5,41
5,26
5,03
4,60
8
8
8
7
7
Р.
,654
,48
,25
,96
,52
11,792
11,56
11,27
10,94
10,54
Р6
14,931
.
—
1
0
0
0
0
Bi
,0
,5
,1
,05
1
0
0
0
0
Pi
,253
,940
,443
,315
Р*
4,08
3,96
3,86
3,85
3,832
Р.
7,16
7,09
7,03
7,02
7,016
со.
10,27
10,22
10,19
10,18
10,174
р5
—
—
—
13,324
Таблица 8.3
Значение корней уравнения р cos Р = A—Bi) sin
Bi
со
50
20
ЛО
4
Pi
3,14
3,08
2,98
2,84
2,45
6,28
6,12
5,98
5,72
5,23
Рз
9,42
9,24
8,98
8,66
8,20
12,57
12,31
12,00
11,65
11,25
Bi
1,
0,
0,
0,
0
0
5
1
05
Р
1
1
0
0
0
,57
,17
,54
,39
Р
4,
4,
4,
4,
4,
2
71
60
52
51
49
Рз
7,85
7,79
7,74
7,72
7,72
10,99
10,95
10,91
10,91
10,90
В общем случае нестационарная теплопроводность характеризуется функ-
функциональными связями типа
at/Ц l/l0);
oA; at/II),
(8.4.20)
(8.4.21)
где Zo — характерный линейный размер; / — текущая координата. На рис. 8.1
'и 8.2 приведены диаграммы Д. В. Будрина и Г. Гребера, построенные по при-
приведенным выше формулам. Эти диаграммы позволяют определить температуру
центра тела, температуру поверхности тела и изменение его теплосодержания
в процессе охлаждения или прогрева.
76
8 10 12 П IS 18 20 22 24 26 Fo
0,07
8 10 12 П 16 18 20 22 2426 Fo
Pnc. 8.1 а, б
\v\\\\\\\\\\>.
10 12 Я Fa
0,01
Рис. 8.1 в, г
F 0=0,25 0,4 F 0=0,1
FQ=0,05
0 0,02 0,06 0,1 0,5 0,9 4 8 12 16
О 0,02 0,06
Рис. 8.1. Определение температуры в зависимости от Fo и Bi при То—const в средней
плоскости (а) и на поверхности пластины (б); на оси (в) и на поверхности цилинд-
цилиндра (г); в центре (д) и на поверхности шара (е)
Как видно из рис. 8.3, медленнее всего охлаждается плоская стенка и
быстрее всего шар, т.е. кривые располагаются в порядке изменения отношения
поверхности тела к его объему. Чем больше это отношение (при R = idem),
тем быстрее изменяется температура тела.
8.5. ТЕМПЕРАТУРНОЕ ПОЛЕ В ТЕЛЕ ПРИ ТЕМПЕРАТУРЕ
ВНЕШНЕЙ СРЕДЫ, ЛИНЕЙНО МЕНЯЮЩЕЙСЯ
ВО ВРЕМЕНИ
Рассмотрим протяженную пластину толщиной 26. В начальный момент
времени пластина имеет температуру, равную температуре окружающей
среды Гоо. С этого момента (t = 0) окружающая среда начинает изменять свою
температуру по закону
То = 7^H + bt. (8.5.1)
79
a
о»
0,5
0
a
у
у
/
^=
/
/ /
-^
/*
/
Ж
~7_
«
/
/
у
/у
уУ
=^
—-—
*
—
^^
:^—
0,0
0 ^
«——
- —
—
70'
7/?7
A/
/
/
/
'У
^<:
У
^y
у
/
4,
/
У
у у
/
/
к /
/
/ A
У
У
л
/
У
/
vV
y\
у
у
/
/Г
У
m
^ *
^-
^=—
1
r i
n-3
1Ои
101
BL
Рис. 8.2. Определение тепловых потерь в зависимости от Fo и Bi при Го =
= const пластины (а), цилиндра (б) и шара (в)
0,5
"*—_
4
\\.
^.
^*—^
^
'— —
—
0,2
0,3
0,4
F0
Рис. 8.3. Температура в центре или на оси некоторых тел при Го=const,
6 = /?о и Bi = oo:
/ — неограниченная плита; 2 — бесконечно длинная квадратная балка; 3 — бесконечно-
длинный цилиндр; 4 — куб; 5 — цилиндр с высотой, равной диаметру; 6 — шар
к
0,8
0,6
0,5
ОЛ
0,3
0,2
0,10
0,08
0,06
0,05
0,0k
0,03
0,02
0,01
w////y/
Wf////?Z
8 10 12 П 16 18 20 22 24 26 Fa
8 10 12 14- 16 18 20 22 24 26 Fa
Рис. 8.4. а, б
8 10 12 П 16 18 ZO ZZ 24 26 Fo
8 10 12 П 16 18 20 ZZ Zb 26 Fo
Рис. 8 4 б, г
0,01
8 10 12 П 16 18 20 22 24- 26 Fo
8 10 12 П 16 18202224-26 F0
Рис. 8.4. Определение температуры в зависимости от Fo и Bi при Го=ГОо+6^ в средней
плоскости (а) и на поверхности пластины (б); на оси (в) и на поверхности цилиндра
(г); в центре (д) и на поверхности шара (е)
.0,01
10 12 П 1618 202224 26 Fo
8 10 12 П 16 18 20 2224 26 Fo
Рис. 8.5 а, б
8 10 12 П 16 18 20 22 24 26 Fo
Рис. 8.5. Определение тепловых потерь в зависимости от Fo и Bi при То = Тоо+Ы пла-
пластины (а), цилиндра (б) и шара (в)
В этом случае в качестве масштаба разности температур целесообразно выб-
выбрать разность температур среды в моменты времени t и в начале процесса.
Тогда выражение для безразмерной температуры в данный момент времени
в данной точке тела можно записать в виде
ф, = Т (х; t) — Top = T-Tqq
То-Too bt
Безразмерное температурное поле будет описываться тогда некоторой
функцией
Ф' = д'(*/6; Bi; Fo). (8.5.3)
В задачах такого рода весьма эффективным оказывается решение уравне-
уравнения теплопроводности операторным методом. Подробное изложение такого
рода решений задач нестационарной теплопроводности дано в монографии
А. В. Лыкова. Для рассматриваемого здесь случая соответствующее решение
имеет вид
(8.5.2)
1
2Fo
sin В; COS (В; х/6)
i
Bi I 6 /J
! exp(-pfFo)(l<t<oo).
(8.5.4)
На рис. 8.4 приведены графики для определения температуры на поверх-
поверхности и в центре тела, а на рис. 8.5 — соответствующих потерь тепла, состав-
составленные автором и А. А. Винниковым для условий прогрева или охлаждения
по уравнению (8.5.1).
8.6. РЕГУЛЯРНЫЙ РЕЖИМ ОХЛАЖДЕНИЯ
Как было выяснено выше, закон охлаждения тел различной формы может
быть выражен рядом
i"<oo) (8.6.1)
85
0,2
0,04 0,12 0,20 0,28 0,56 0,44 Fo
Рис. 8.6. Определение коэффициента г по формуле (8.6.4) для пластины (а), бесконеч-
бесконечно длинного цилиндра (б) и цилиндра с высотой, равной радиусу (в)
где коэффициенты Р^ быстро возрастают с увеличением номера члена ряда.
Поэтому чем больше время охлаждения, т. е. чем больше критерий Fo, тем
меньше значение старшего члена ряда по сравнению с предшествующими.
В конце концов, после некоторого значения Fo все члены ряда становятся
пренебрежимо малыми по сравнению с первым членом, т. е. через определенный
промежуток времени закон охлаждения с большой степенью точности может
быть выражен одночленной формулой
# = Сх ij? (px ?) ехр (—р? Fo). (8.6.2)
Логарифмируя это выражение, получаем
1пд = 1п[С1'ф(р1^)]—Р! Fo. (8.6.3)
Таким образом, в координатах In О, Fo (полулогарифмическая анаморфоза)
закон охлаждения при больших значениях Fo выражается прямой линией.
Соответствующая прямая должна также получаться, если откладывать не без-
безразмерные величины, а непосредственно In AT
и /, где А71 = Т — 70.
Режим охлаждения, определяемый форму-
формулой (8.6.2), называется регулярным (упорядо-
(упорядоченным). Степенью регуляризации температур-
температурного режима тела можно назвать отклонение
температуры, определенной по формуле (8.6.2),
от истинной температуры, определенной по
формуле (8.6.1):
ZC, ф (Р, I) exp (- p? Fo)
<оо).
(8.6.4)
Рис. 8.7. Схема графика для опре-
определения темпа охлаждений
На рис. 8.6 приведены составленные Д. В. Будриным и Е. Л. Сухановым
графики для определения значения е при изменении температуры центра
различных тел.
Темпом изменения температуры в данной точке тела можно назвать ве-
величину
м = MTWo^MTWo) ^ (8 6 5)
Здесь 7\ и Т2 — температуры в данной точке тела в моменты времени t± и t2\
То — постоянная температура окружающей среды (рис. 8.7).
Из формулы (8.6.3) следует, что в регулярном режиме темп изменения тем-
температуры
т = р2а//§, (8.6.6)
т. е. является одним и тем же для всех точек данного тела.
При Bi —>-оо рх -^PiMaKG> гДе значение Р1макс зависит только от геомет-
геометрической формы тела. Следовательно, величину
К = (/О/Р1максJ (8.6.7)
можно назвать коэффициентом формы при регулярном режиме нагрева или
охлаждения тела. Для рассмотренных ранее трех канонических тел этот
коэффициент определяется первым числом табл. 8.1—8.3 (табл. 8.4)
Эффективные методы исследования тепловых свойств веществ методом ре-
регулярного режима были созданы Г. М. Кондратьевым.
Таблица 8.4
Коэффициент формы некоторых тел
Форма тела
Протяженная пластина
Протяженный цилиндр
Шар
Характерный линейный
размер 10
Полутолщина б
Радиус Ro
Радиус Ru
' 1макс
я/2
2,405
я
к
4 (б/яJ
0,173Я*
(Яо/я)а
87
8.7. ОХЛАЖДЕНИЕ ВЫСОКОТЕПЛОПРОВОДНОГО ТЕЛА
Элементарным с точки зрения анализа, но практически важным является
случай изменения температуры весьма теплопроводного тела. Из уравнения
V2T==-^~ (8.7.1)
следует, что при X ->оо температура во всех точках тела всегда одна и та же.
Этому условию практически соответствуют прогрев и охлаждение тонких
металлических изделий.
Тепловой баланс тела можно записать в виде уравнения
cpVdT = aF (Т— Го) dt (8.7.2)
Интегрируя, получаем
In-Inl^-I^L/, (87.3)
Tl-T0 icpV K !
где 7\ — начальная температура тела.
Таким образом, режим охлаждения тела с бесконечно большой теплопровод-
теплопроводностью всегда является регулярным.
Формула (8.7.3) применяется для вычисления изменения температуры в вы-
высокотеплопроводных деталях электрических машин и т. п. Покажем это
на примере расчета вращающегося металлического регенератора. Такого рода
регенераторы выполняются из тонких стальных листов, вращающихся на оси
и попеременно проходящих через охлаждаемую и нагреваемую среды. При этом
средой практически омываются обе стороны листов.
Если периоды прохождения листов через обе среды одни и те же, то время
одного периода t = \12п, где п — число оборотов регенератора. Если отсеки
регенераторов неодинаковы, т. е. в области нагрева находится поверхность Fh
а в области охлаждения F2, то время пребывания'в первом отсеке t1 = F1/Fn, а
время пребывания во втором отсеке t2 = F2IFn. "Здесь F = Fx + F2 — пол-
полная поверхность регенератора.
По формуле (8.7.3) средняя температура металла в момент выхода из об-
области подогрева
(^) (8.7.4)
В момент входа в область подогрева (выхода из области охлаждения) сред-
няя температура металла
Т,=Т2-{Гг-Тп) ехр ( ^Л.). (8.7.5)
\ cpoFn )
Здесь ах и а2 — коэффициенты теплоотдачи от среды к металлу в области на-
нагрева и охлаждения; Тг и Т2 — средние температуры греющей и нагреваемой
сред; б — толщина листов, из которых составлена поверхность регенератора;
Ф — объемная теплоемкость металла. Решая эти уравнения в отношении сред-
средней температуры металла на входе в область подогрева, находим
(8.7.6)
1— ехр[ — (m1+m2)]
где
mi= 2&i FjcpFdn и m2 = 2a2 F2/cpF8n.
Во всех этих формулах под величинами F± и F2 понимается полная поверх-
поверхность соприкосновения листов регенератора с соответствующей средой, т. е.
при двустороннем омывании металла учитываются обе стороны листов.
88
Количество тепла, приобретаемое металлом от греющей среды и отдаваемое
нагреваемой среде в единицу времени
Q^aiMri-rj, (8.7.7)
Гм = (l/^i) JTMdt — средняя температура металла за время пребывания
о
где
о
в области нагрева. Подставляя в это выражение значения
(8.7.8)
получаем
FJFn
j
exp(—
dt.
(8.7.9)
Интегрирование дает
Q = 2cp8Fn(T1—Ti)[l~exp(—m1)]=
0,8
0,6
0,4
0,2
0
о/
I
10 20 JOn,oS/c
rp T«)x ^ИС- ^' Зависимость теплопроиз-
водительности одного из типов вра-
^tl-expt-m^ni-expf-m,)] (8J10) ™^ регенератора от числа
1—ехр [ — (Щ-\-Щ)] О—опыт; расчет
Раскрывая неопределенности, возникающие при я->оо, находим, что
наибольшее количество тепла, передаваемого в регенераторе от горячей среды
к холодной,
Умакс
(8.7.11)
Практически величина QMaKC достигается при сравнительно небольшой ско-
скорости вращения, что видно из графика, приведенного на рис. 8.8.
Преобразуя несколько формулу (8.7.11), получаем
(8.7.12)
Так как F± представляет собой поверхность части регенератора, омывае-
омываемой горячей средой, то отсюда видно, что наибольший теплообмен в регенера-
регенеративном подогревателе равен количеству тепла, передаваемому через стенку
в обычном подогревателе с поверхностью F = F± и коэффициентом тепло-
теплопередачи
2)-1. (8.7.13)
Отношение FJF-^ можно рассматривать как коэффициент оребрения в обы-
обыкновенном подогревателе. Этот коэффициент уменьшает термическое сопро-
сопротивление с той стороны, где коэффициент теплоотдачи ниже.
Таким образом, выгода регенеративного аппарата заключается в его кон-
конструктивном преимуществе — компактности и возможности перераспределения
поверхности нагрева в соответствии с соотношением коэффициентов теплоот-
теплоотдачи греющей и нагреваемой сред.
89
8.8. ТЕПЛОВЫЕ ВОЛНЫ
В ряде процессов, происходящих в аппаратах, в частности в двигателях,
совершается периодическое повторение рабочего цикла, в продолжение которо-
которого температура рабочей среды и корпуса двигателя меняется по определенному
закону. При этом имеет место периодическое изменение температурного поля.
Закон этого изменения уже не зависит от начального состояния системы,
а определяется периодической функцией времени.
На рис. 8.9 представлены температурные графики различного рода перио-
периодически повторяющихся тепловых процессов. Периодическую функцию можно
представить с помощью гармонического
анализа в виде суммы различных косину-
косинусоид.
Начальное состояние тела в рассматри-
рассматриваемом случае уже не имеет значения, так
как предполагается, что периодический
процесс совершается достаточно длитель-
длительное время, т. е. состоит из большого числа
отдельных периодов (циклов).
При периодически меняющейся темпе-
температуре на поверхности тела общий инте-
интеграл уравнения теплопроводности можнс
также разыскивать в виде произведена
двух функций (8.2.1). Однако в этом слу
чае уже нельзя представлять ф (Fo) в вид
экспоненциальной функции с веществен
ным коэффициентом р. Необходимо выб
рать такую функцию, которая изображал;
бы периодическое изменение температурь
во всех точках рассматриваемого тела
Такому требованию удовлетворяет функцш
-Тч
Ту
Т
= exp(ip2Fo),
(8.8.1
Рис. 8.9. Температурные графики не-
некоторых периодических процессов:
а — сложный гармонический; б — синусо-
синусоидальный; в — треугольный; г — пилообраз-
пилообразный; д — цилиндр (ступенчатый)
где i = У—1.
Соответствующая подстановка (8.8.1) в основное уравнение (8.1.1) привс
дит к уравнению
у21|,_ф2^==0, (8.8.2
определяющему вид функции координат ty.
Рассмотрим, следуя Г. Греберу, полуограниченное пространство, темпе
ратура на поверхности которого под внешним воздействием претерпевае
периодические гармонические колебания около нулевого значения.
Воспользовавшись известным преобразованием У^Г=±A — \)УТ12, ш
репишем уравнение (8.8.2) в следующем виде:
*—[±A -i
(8.8.;
С помощью формулы ехр (—icp) = cos ф — i sin ф частное решение ураи
нения теплопроводности, содержащее функцию времени в виде зависимое!
(8.8.1), приводится к сумме действительной и мнимой частей
J2>
где
90
Сг ехр (]-"|Л/2 р*7 «) cos (P2 FoJ-Kl/2 p*
С2 ехр (—VW P*/6) sin (P2 Fo—1/T/2 Р^/
(8.8.4
(8.8i
При экспоненте оставлен только знак минус, так как при положительном
показателе степени колебания температуры возрастали бы по мере увеличения
х, что физически невозможно.
Пусть температура на поверхности тела меняется по закону
Фо __, q. cos Bnt/to)y (8.8.6)
где ftm — максимальная амплитуда колебания температуры на поверхности
тела; t0 — продолжительность периода колебания. Тогда постоянные интег-
интегрирования равны: Сх = /0'т; С2 = 0; Р = 2n82fat0 и
ft = ftmexp( —xVn/ at0) cos (*]/ я/ ato — 2nt/to). (8.8.7)
Таким образом, возникает семейство тепловых волн с длиной порядка х =
= Y2nat0. Тепловой поток через поверхность тела
Q = -XF j (дТ/дх)х=0 dt. (8.8.8)
При интегрировании этого уравнения за полный период результирующий
тепловой поток равен нулю. Интегрирование за полупериод дает выражение
2 *-А (8.8.9)
Это количество теплоты, которое за один полупериод аккумулируется те-
телом, а во втором полупериоде отдается им окружающей среде.
Весьма подробно такого рода процессы рассмотрены в монографиях Гре-
бера, Карслоу, А. В. Лыкова. Процессы нестационарной теплопроводности
при перемещающихся поверхностных источниках тепла (что важно знать, на-
например, в процессах сварки) рассмотрены в работе Н. Н. Рыкалина.
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Гребер Г., Эрк С, Григулль У. Основы учения о теплообмене. Пер. с англ. М., Изд-во
иностр. лит., 1958.
2. Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел. Пер. с англ. М., «Наука», 1964.
3. Любимова Е. А. Термина Земли и Луны. М., «Наука», 1968.
4. Кондратьев Г. М. Регулярный тепловой режим. М., Гостехтеориздат, 1954.
5. Лыков А. В. Теория теплопроводности. М., Гостехтеориздат, 1952.
6. Лыков А. В., Михайлов Ю. А. Теория тепло- и массопереноса. М., «Высшая школа»,
1967.
7. Пехович А. И., Жидких В. М. Расчеты теплового режима твердых тел. Изд. 2-е,
перераб. и доп. Л., «Энергия», 1976.
8. Рыкалин Н. Н. Расчеты тепловых процессов при сварке. М., Машгиз, 1951.
9. Страхович К. И. Некоторые задачи теплопроводности в твердых телах с переменными
теплофизическими характеристиками. — «Инж.-физ. журн.», 1958, № 3, с. 3.
9
Глава
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ
КОНВЕКТИВНОГО ТЕПЛООБМЕНА
9.1. УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПЕРЕНОСА
Работа Lv в основном уравнении теплопереноса B.3.1) определяется фор-
формулой C.3.5). Произведя соответствующую подстановку и замечая, что сог-
согласно уравнению сплошности C.2.3) (—р/р) (Dp/dt) = р div wy получаем
div (kgrad T) + qv +\i diss F (w) = pDi/dt—Dp/dt. (9.1.1)
При отсутствии внутреннего источника тепла (теплота трения уже учтена
введением функции рассеяния)
div (Ji grad Г) +fidiss/r(w) = pDi/dt—Dp/dt. (9.1.2)
Для стационарного процесса при qv = О
div {% grad T) + \л diss F (w) = p (w, grad *) — (w, grad p). (9.1.3)
Операторы diss F (w)- и Dp/dt пропорциональны квадрату скорости тече-
течения потока. Поэтому в области достаточно умеренных скоростей их значения
малы по сравнению с двумя другими членами уравнения (9.1.2). В таком
случае практически справедливо уравнение B.3.2), которое при q = 0 при
мет вид
div (Я grad Т) = pDildt. (9.1.4)
9.2. СВЯЗЬ МЕЖДУ ТЕПЛООТДАЧЕЙ И ТРЕНИЕМ
Рассмотрим уравнения теплопроводности и движения жидкости с постоян
ными физическими свойствами, скорость течения которой достаточно мала,
чтобы пренебречь квадратичными членами указанных уравнений. В безраз-
безразмерной форме эти уравнения имеют вид F.5.3). При отсутствии внутреннего
источника тепла и безнапорном течении
V2 # = dd/dFo + Pr Re (со, grad О);
V2 о = Рг dco/dFo + Re (<o, grad о); (9.2.1)
div<o = 0.
Здесь # = (Т — ТО)/(ТСТ — То) — безразмерная температура; со = w/w0-
безразмерная скорость течения.
Легко заметить, что при условии Рг = 1 уравнения теплопроводности i
движения в (9.2.1) становятся тождественными относительно переменных i
и со, что означает тождество полей размерных величин Т и w при подобным об
разом заданных краевых условиях.
На поверхности стенки в случае ее непроницаемости сост = Фст=0
По линии распределения TQ и w0 подобие граничных условий будет выпол
нено, если (Гст — ТО)Х/(ТС~Т — То)о = wOx/woo = f (х/10). Здесь (Гст — Го)
и wOx — текущие значения масштабов температурного напора и скорости
(Тст — То) и w00 — значения этих масштабов в сечении х = 0.
Условию Рг = 1 с большой точностью соответствуют многоатомные газы
приближенно другие газы, а также некоторые капельные жидкости в опреде
ленных интервалах температур (табл. 9.1, 9.2).
Течение в заполненных трубах является напорным, и, следовательно, есш-
в этом случае и существует известное подобие профилей скоростей и температур,
то оно является приближенным. Опыт показывает, что такое приближенное по
добие имеет место только при развитом турбулентном течении среды с Рг = 1
и при подобным образом заданных граничных условиях.
92
Таблица 9.1
Число Рг для газов
Таблица 92*
Число Рг для воды
Количество
атомов в
молекуле
Рг
1
2
3
4 и более
-0,
~о,
-0,
—Л
66
75
84
т, °с
100
160
170
180
200
250
310
320
350
1
1
1
1
0
0
1
1
1
Рг
,75
,10
,05
,00
,93
,86
,02
,11
,60
При наличии подобия по-
полей температур и скоростей
можно найти связь между
коэффициентами теплоотдачи
и трения, не прибегая к непо-
непосредственному интегрирова-
интегрированию уравнения теплопровод-
теплопроводности. Действительно, в не-
некотором плоском потоке
f - (Х+М!Г!У ¦ (9-2-2)
или
т
(9.2.3)
Здесь \1т и %т — коэффициенты турбулентной вязкости и теплопроводности.
Знак осреднения во времени над величинами Т и w опущен. Если поля темпе-
температур и скоростей подобны, то
i _ [ (9.2.4)-
Последнее подобие непосредственно следует из уравнения D.4.6). Но обя-
обязательным условием такого подобия является равенство единице числа Рг, когда
%>= cp\i. Следовательно, в рассматриваемом случае
q/x = cp(TCT-T0)/w0. (9.2.5)
На стенке
q = a(TCT-T0), (9.2.6)
где а — коэффициент теплоотдачи, и
rCT = cfpwl/2, (9.2.7)
где cf — коэффициент трения.
Подставляя эти выражения в (9.2.5), находим, что при подобии полей тем-
температур и скоростей коэффициенты теплоотдачи и трения связаны простой
-зависимостью
'-cf/2. (9.2.8)
Это выражение называется аналогией Рейнольдса. Введя характерный линей-
линейный размер /0 (например, расстояние от входной кромки пластины), получим
Nu = Ре су/2, (9.2.9)
или, принимая ео внимание, что при Рг=1 Pe = Re,
Nu=Recf/2. (9.2.10)
9.3. ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ
При плавном безотрывном обтекании тела потоком жидкости продольная
составляющая скорости течения на стенке равна нулю, а на ближайшем уда-
удалении в глубь потока имеет конечное значение. Отсюда следует, и опыт это
подтверждает, что в пристенной области должно иметь место наиболее су-
существенное изменение скорости течения. Соответственно именно в этой об-
области и должно наиболее отчстлиео проявляться действие вязкости. При пло-
плоском течении касательные напряжения на стенке со стороны жидкости
. (9.3.1)
93
Величина dwjdy может быть сопоставлена с величиной wo/8, где w0 —•
скорость потока на большом удалении от тела (т. е. скорость невозмущенного
потока) и б — некоторый линейный размер, имеющий порядок толщины при-
пристенного слоя жидкости, в котором скорость меняется от 0 до значения, близ-
близкого к w0. Принимая во внимание (9.2.7), находим
(9.3.2)
где Rex = wox/v их — координата, направленная вдоль обвода тела вниз
по течению. Известно, что в первом приближении cf « Re-", где п ^ 0,5.
Следовательно,
'ReS-\ (9.3.3)
т. е. даже при п = 0,5 6/х « 0,01 при Rex « 104. Для воздуха при атмосфер-
атмосферном давлении, Т = 293 и ш0 = 10 м/с этому значению числа Рейнольдса еоот-
ветствует длина х = 0,0157 м, а для воды при Т = 293 К и w = 1 м/с х = 0,01 м.
Этим числам соответствует абсолютное значение б порядка 10~4 м.
Таким образом, при практически реализуемых в большинстве случаев
параметрах б <g 10, где /0 — характерный размер обтекаемого тела.
Слой б, в котором отчетливо проявляется действие вязкости и происходит
наиболее существенное изменение скорости по нормали к обтекаемой поверх-
поверхности, называется гидродинамическим пограничным слоем. В плоском гидро-
гидродинамическом пограничном слое, вследствие того что б < /0, имеют мест© ус-
условия
dwjdy^dwjdx;
x; )
jdx2. J K ' ' '
Из уравнения сплошности следует, что в этом случае
dwy/ду « —dwjdx <C dwjdy. (9.3.5)
Соответственно из уравнения движения следует, что в пограничном слое
др/ду<^др/дх. (9.3.6)
Таким образом, статическое давление можно считать постоянным по се-
сечению пограничного слоя. При этих условиях из уравнения Навье—Стокса и
уравнения сплошности следуют уравнения Прандтля для плоского погранич-
пограничного слоя:
дх 1 ду \г ду J * \ dt л дх у ду
(9.3.7)
dpwjdx -г dpWy/dy = 0.
На внешней границе гидродинамического пограничного слоя w « w9, и,
следовательно, в области у > б течение можно считать безвязкостным. Отсю-
Отсюда следует, что
дх
Тепловым пограничным слоем называется пристенная область, в которой
существенно проявляются тепловые возмущения, т. е. то расстояние бр, на ко-
котором температура потока меняется от Тст до значения, весьма близкого к тем-
температуре невозмущенного потока То. Толщина теплового пограничного слоя
определится из условия
(9.3.9)
94
Соответственно при достаточно больших значениях числа Нуссельта в тепло-
тепловом пограничном слое д2Т/ду2 > д2Т/дх2.
Ниже приведены соотношения между толщинами теплового и динамиче-
динамического пограничных слоев:
Рг
8Г
<!
>б
1
б <б
Уравнение теплопереноса аналогично уравнению (9.3.7) принимает вид
Строго говоря, граничные условия к уравнениям (9.3.7) и (9.3.10) следует
записать так:
= 1 ст>1
(9.3.11)
На непроницаемой стенке wy, ст = 0. Эти условия показывают, что распреде-
распределение скоростей и температур в пограничных слоях асимптотически прибли-
приближается к соответствующим значениям в невозмущенном потоке. В этом смысле
говорят об асимптотическом пограничном слое. Однако весьма плодотворным
оказывается введение понятия о пограничном слое конечной толщины. Переход
от асимптотического слоя к слою конечной толщины можно осуществить за-
заменой второй строки условий (9.3.11) условиями
: = A-8)^0; 1
' = A-е)Г0, J
(9.3.12)
где е—заранее заданная малая величина.
9.4. СИСТЕМА ОСНОВНЫХ УРАВНЕНИЙ ТЕПЛООБМЕНА
В ПОТОКЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА
Как уже указывалось в гл. 2, присоединяя к уравнению теплопереноса
уравнения движения, сплошности и состояния среды, а также учитывая за-
зависимость [х и X от Ту получаем систему основных уравнений, определяющих
теплообмен в сжимаемой среде.
Для установившегося теплообмена в потоке газа, подчиняющегося уравне-
уравнению Клапейрона—Менделеева,
div (XgradT) + |xdiss77(w) = p(w, grad I) — (w, grad p)\
— grad (p + — \i div w) +2 div(uS) = p (w, grad w);
div(pw) = 0;
Для плоского пограничного слоя получаем:
ду \ ду ] \
dwx
ду
дх
др
дх ^
дх
di
ду
dwx
dp
дх
ду
= 0;
(9.4.1)
(9.4.2)
Подставляя в первое из этих уравнений выражение для др/дх из второго урав-
уравнения, получаем
а Л дТ \ , .. / dwv \2 , а Л. dwx
(9.4.3)
^
Замечая, что
ду '
dwx
ду
д ( dwx \ д
ду у ду ) ду
[приводим уравнение теплопереноса плоского пограничного слоя к виду
ду
—
(9.4.4)
или, при Ср = const,
дТ* , , дТ*
-Ir) • (9А5>
где Г* — температура торможения. Последнее уравнение было предложено
М. Ф. Широковым.
При Рг = 1 в уравнении (9.4.5) вместо двух переменных Г* и w\/2cp ос-
остается только температура торможения. Кроме того, в этом случае К = \хср, и
¦система уравнений (9.4.2) может быть записана в виде
а /.. дТ* \ . /_.. дТ* , ... дТ*\
ду Г
дх
ду V ду
дх ду \ ду )
I
дх
•
(9.4.6)
ду
Отсюда непосредственно следует, что в общем случае при Рг = 1, др/дх = О,
ср = const и подобии граничных условий в пограничном слое имеет место по-
подобие полей скоростей и энтальпий торможения.
Для жидкости с постоянными физическими свойствами при w\/2cp <^ T
уравнения плоского пограничного слоя существенно упрощаются и прини-
принимают вид:
а д*т _ дт_ _аг_ *
дх у ду
_др_
дх
ду*
_\_
Р
\
(9.4.7)
дх
,
9.5. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЛОСКОГО
СТАЦИОНАРНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ
НА НЕПРОНИЦАЕМОЙ ПОВЕРХНОСТИ
От дифференциальных уравнений пограничного слоя можно перейти к ин-
интегральным уравнениям, проинтегрировав систему (9.4.6) почленно в пределах
от 0 до 6^ для уравнения теплопереноса и от 0 до б для уравнений движения
и сплошности.
Уравнение теплопереноса при Рг = 1 с учетом уравнения сплошности
можно привести к виду
6j- 6j, 6j-
ср ср J ду [ ду j J дх J ду
о о о
Величина ср вынесена за знак интегрирования, так как для газа ее обычно
можно считать постоянной. Замечая, что
бг »v бг
J ду у т j дх *
о о
где То — температура торможения невозмущенного потока, получаем
б f бт1
a d С * * d С
—*—= \ pwxT dy—Го \ Р^х dy. (9.5.2)
О О
Это уравнение может быть преобразовано к виду
_а = Щ* [ Г 1 dw0 | I d(TCT-Tp ( 1 ф0 |,fi^ [
Ро^о ^ L и>о dx Тст—Tl dx po dx \
+ _i_iaj-?&_,*,, (9.5.3)
Ср Ро Щ
где
и
б J1
Тст-n
(9.5.4)
(9.5.5)
Индекс 0 показывает, что величина относится к невозмущенному потоку.
Формула (9.5.4) является обобщенным понятием коэффициента теплоотда-
теплоотдачи, отнесенного не к разности термодинамических температур стенки и потока,
а к разности температуры стенки и температуры торможения потока. В гл. 12
будет показано, что удобнее вместо температуры торможения потока в это
выражение вводить температуру стенки при ее изоэнтропическом обтекании.
Величина 8J-* является некоторой линейной характеристикой, называемой тол-
толщиной потери теплосодержания. В общем случае при Рг = 1 и др/дх = О
коэффициент теплоотдачи следует определять через разность энтальпий, т. е.
полагать
^ = q/(iCT - «), (9-5.6)
где /ст — энтальпия потока при параметрах на поверхности тела.
Уравнения движения и сплошности принимают вид:
дх
ду ду
ал:
pwy
dy;
(Р^г/
дх
dy.
(9.5.7)
4 Зак. 795
97
При этом предполагается, что стенка непроницаема, т. е. при у = 0 pwy = 0.
Решая эти уравнения совместно, получаем
б б
^wxdy = TCT-6-&-. (9.5.8)
о о
При этом принято во внимание, что в соответствии с формулой интегрирова-
интегрирования по частям и уравнением сплошности
б б б
? dy ^^
0
б
о о
Для стационарного течения из уравнения (9.3.8) следует, что
— др/дх =powodwo/dx, (9.5.9)
и уравнение (9.5.8) приводится к виду
JE f/ J*!l ^^J^*. (9.5.10)
+ B+6)+
2 dx w0 dx p0 dx
Здесь
J poo \ w0
0
б
* = I [ 1 —*-*— dy.
(9.5.11)
Величина б** называется толщиной потери импульса, а величина б* —
толщиной вытеснения.
Разность
б б
w0 j pwx dy— j pwl dy = p0 wl 6**
о о
представляет собой изменение кинетической энергии потока под влиянием
трения, т. е. в канале толщиной б** как бы концентрируется этот дефект им-
б
пульса. Соответственно разность ро^об — $ри>э4у = Р(№<А* представляет собой
о
уменьшение расхода жидкости через область пограничного слоя вследствие
проявления того же трения. Таким образом, если контуры рассматриваемого
тела увеличить на толщину б*, то такой контур обтекается при данных усло-
условиях потенциальным потоком. Иначе говоря, линии тока потенциального те-
течения выталкиваются трением на расстояние б*.
Интегральное соотношение импульсов для пограничного слоя было введено
Карманом. Характеристические толщины пограничного слоя пропорциональны
его условной толщине б. Так, например,
^r^(IH)U) (9.5.12)
Роа>о I Тп-Т1
Однако если экспериментальное определение б условно и связано с точ-
точностью измерений, вычисление б*, б** и 6f* по экспериментальным полям
скоростей и температур более точно и определенно. Последнее тем более су-
98
щественно, что значение этих величин отнюдь не связано с представлением
о слое конечной толщины и, по существу, рассмотренные выше интегралы могут
браться в пределах от 0 до оо. Конечное значение этих интегралов при верхнем
пределе, равном бесконечности, обусловливается резким изменением скоро-
скоростей в узкой области порядка б и температур также в узкой области порядка 8Т.
Интегральные уравнения пограничного слоя могут быть решены, если
каким-либо способом заданы профили скоростей и теператур или так назы-
называемые законы сопротивления и теплообмена
(9.5.13)
<*/сррои>о = т(кет), J
где
Re** = w0 6**/v0; Re" = w0 8*t/v0. (9.5.14)
Для жидкости с постоянными физическими свойствами при w%/2cp < 7
интегральные уравнения плоского пограничного слоя принимают вид
-L-L dw° + ! *1т**-то)]бУ- (95 15)
dx I w0 dx TCT — T0 dx J \ • • /
TCT _ <tf** 1 ^ПУ0 /ос*
где
6T
(9.5.16)
rCT-r0
f
J Wq \ Wo
0
(9.5.17)
9.6. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КАСАТЕЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ
И СКОРОСТЕЙ В ПЛОСКОМ ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ
Поле касательных напряжений в потоке жидкости и газа весьма консерва-
консервативно относительно режима течения. Так, при стационарном, неускоренном
течении в осесимметричном канале распределение касательных напряжений
iiq поперечному сечению одинаково зависит от безразмерного радиуса как для
ламинарного, так и для переходного и турбулентного режимов течения. Ав-
томодельность поля касательных напряжений относительно режима течения
с большой степенью точности выполняется и в Пограничном слое при внешнем
обтекании твердых тел.
Из уравнения движения и общих соображений о физических свойствах
стационарного плоского пограничного слоя несжимаемой жидкости, обтекаю-
обтекающей непроницаемую поверхность, следует, что на его границах должны вы-
выполняться следующие условия:
у = 0, wx = wv = 0, т = тст; —dp/dx f дх/ду = 0; д2 т/ду2 = 0]; | /д 6 1)
у = 8, wx = wOi т = 0, дт/ду = 0, д2х/ду2=*0. J
Таким образом, имеются хорошо фиксированные условия, позволяющие
аппроксимировать неизвестное распределение касательных напряжений в по-
пограничном слое с помощью степенного полинома. Шести условиям для каса-
4* 99
тельного напряжения соответствует полином пятой степени. При течении без
градиента давления этот полином^имеет_вид ~
где ? =jdP — относительное расстояние от стенки.
Практически для решения многих задач оказывается возможным ограни-
ограничиться кубической параболой, коэффициенты которой определяются из усло-
условий
I = 0, т = 1,
5=1, т = 0,
= F/tCT) dp/dx;
(9.6.3)
После вычислений находим, что данная аппроксимация профиля каса-
касательных напряжений имеет вид
где
д 6 dp \iw0 б2 dw0
тст dx тст 6 v dx
В данном случае не удовлетворяется условие dh/dy2 = 0.
(9.6.4)
(9.6.5)
Таблица 9.3
Сопоставление касательных напряжений т, вычисленных по полиномам разных степеней
Полином
1-3?2 + 2|з
1_2|з + ?4
l_10g3+l5g4_6g5
0
1
1
1
0,1
0,972
0,992
0,991
0,2
0,896
0,985
0,942
0,3
0,784
0,954
0,836
0,4
0,648
0,887
0,682
0,5
0,500
0,812
0,500
0,6
0,352
0,697
0,317
0,7 | 0,8
0,216
0,554
0,163
0,104
0,385
0,058
0,9
0,028
0,198
0,008
1
0
0
0
Практически достаточность аппроксимации (9.6.4) для вычисления т
видна из табл. 9.3. Сопоставление с экспериментальными данными Миклея
для обтекания пластины показано на рис. 9.1. Величина Лх = F2/v) dwjdx
представляет собой специфическую
форму записи числа Рейнольдса, в ко-
котором ?юль скорости выполняет про-
произведение 8dwo/dx. Эта величина на-
называется параметром Польгаузена,
предложившего метод решения урав-
уравнения импульсов для ламинарного
пограничного слоя путем аппрокси-
0
0,2 0,4 0,6 0,8
Рис. 9.1. Распределение касательных напря-
напряжений в турбулентном пограничном слое по
формуле~т= 1—3g2+2g3
мации профиля скоростей. Аппрокси-
Аппроксимация профиля касательных напря-
напряжений, являющаяся более общей,
была введена К. К.__Федяевскйм.
Распределение продольной составляющей вектора скорости определяется
из уравнения
т - (|i + Иг) dwjdy. (9.6.6)
Отсюда следует, что при [i = const и
=* / (I)
wo Н'И'о J
(9.6.7)
100
При 1=1 со = 1, и, следовательно,
lt) . (9.6.8)
liw0 yj l+\iTl\>>
Таким образом, аппроксимирующий профиль скоростей определится интег-
интегральным соотношением
со= Г —dl[[ dl\ . (9.6.9)
J 1 + И/1* \J 1 + V/V )
Подставляя в последнее выражение значение \хт = 0 и значение т из уравне-
уравнения (9.6.4), находим аппроксимирующий профиль скоростей в ламинарном
пограничном слое при \х = const:
l-J±l*-±Z*Ll*+±Z±Ll\ (9.6.10)
2 2 о
Приняв определенную схему турбулентного обмена, т. е. задав связь между
/ и ?, можно вычислить распределение скоростей и в турбулентном погра-
пограничном слое.
9.7. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПЛОТНОСТИ ТЕПЛОВОГО ПОТОКА
И ТЕМПЕРАТУРЫ В ПЛОСКОМ ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ
На границах плоского стационарного теплового пограничного слоя должны
выполняться условия:
на непроницаемой стенке у = 0, q = qCTy dq/ду = 0;
на границе с невозмущенным (в отношении теплового состояния) потоком
у = бт, q = 0, dqldy = 0.
Этим условиям удовлетворяет аппроксимирующая кубическая парабола
4 = 1-3^+2^, (9.7.1)
где
Распределение- температур по оси у можно определить из уравнения
q= —(Ь+Ьт)дТ/ду, (9.7.2)
откуда следует, что при Я= const
аб ~
Здесь
(9.7.4)
где в « 1. При 1т = 1 * = 1 и
^ ]\ (9.7.5)
Таким образом, при X = const профиль температур определится соотно-
соотношением
(9.7.6)
101
Подставляя в последнее выражение значение Кт = 0 и q из уравнения (9.7.1),
находим аппроксимирующий профиль температур в ламинарном тепловом
пограничном слое при X = const:
. (9.7.7)
9.8. ПОЛУЭМПИРИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ ТУРБУЛЕНТНОГО
ОБМЕНА В ПЛОСКОМ НЕСЖИМАЕМОМ ПОТОКЕ
ВБЛИЗИ ТВЕРДОЙ СТЕНКИ
Рассмотренные в гл. 4 осредненные уравнения движения и теплообмена
в турбулентном потоке оказываются незамкнутыми, так как в них появляются
члены, содержащие неизвестные величины пульсаций скорости и темпера-
температуры. Длительное время не удавалось построить теорию, позволяющую вы-
вычислить эти величины, не прибегая к эксперименту. В связи с этим широкое
распространение получили так называемые полуэмпирические теории турбу-
турбулентности, в основу которых положено предположение о том или ином виде
связи между переносимой турбулентными пульсациями величиной (количество
движения, количество теплоты, напряженность вихря и т. п.) и соответствую-
соответствующими осредненными параметрами потока.
Основы полуэмпирической теории турбулентности были заложены Прандт-
лем и Тэйлором.
Уравнение Рейнольдса показывает, что мерой интенсивности турбулент-
турбулентных пульсаций может являться величина l/т/р. Особенно отчетливо это видно
при рассмотрении области плоского потока, достаточно удаленной от твердой
стенки. В этом случае \1т^> М- и полное касательное напряжение практически
равно тг. Тогда из формулы D.2.18) следует, что
(9.8.1)
Величина с* = }^т/р имеет размерность скорости и_называется скд^юспгью_каг
сательных напряжений_ цли динпщищг^рй скоростью.
Обычно в качестве характерного принимают значение этой величины на по-
поверхности стенки:
^zYJ^K- (9-8-2)
Рассмотрим соотношение между турбулентным и молекулярным трением,
в плоском турбулентном потоке несжимаемой жидкости без градиента давления
Оно может зависеть только от абсолютного уровня касательных напряжении^
их распределения по толщине потока, расстояния от стенки и двух физических
характеристик среды — плотности и молекулярной вязкости, т. е.
Цг = /(тст,р,[х,*/,6), (9.8.3)
где о — толщина потока.
Из величин, находящихся под знаком функции, можно составить два безраз-
безразмерных комплекса: относительное расстояние от стенки и число Рейнольдса,
построенное по локальной скорости касательного напряжения и расстоянию
от стенки:
r\ = v*j//v. (9.8.4)
Таким образом, зависимость (9.8.3) можно представить в виде связи трех
безразмерных величин:
I). (9.8.5)
На некотором удалении от стенки, когда~молекулярное трение практически
перестает влиять на турбулентные пульсации скорости, функция f должна
принять форму, в которой отсутствует величина \х. Этому условию соответст-
соответствует зависимость
MpW = M?). (9-8-6)
102
Если вблизи стенки /2 меняется слабо, то в области у±<1 у <С & (где у1 —
толщина слоя, в котором существенно проявляется молекулярное трение)
|лг^хру*#. (9.8.7)
Здесь х — некоторая константа, характеризующая структуру турбулентного
потока. Тогда __
хт = Нт dw/dy = хри* у dw/dy,
и поскольку при у > уг %т = ру*2, то окончательно
тг = р(хг/ dw/dyJ. (9.8.8)
Эта формула означает, что в ядре турбулентного пограничного слоя между
пульсационными компонентами скорости течения существует корреляция:
VX~VV~ ydw/dy. (9.8.9)
Формула (9.8.8) может быть обобщена введением некоторой характерной
длины
l = yf{l), (9.8.10)
причем в области уг < у <^ б / (?) « const = х.
При таком обобщении формула (9.8.8) примет вид
dw
~w
dw
(9.8.11)
где введение модуля производной скорости по нормали к стенке обусловлено
необходимостью сохранения знака
Формула (9.8.11) впервые была
получена Тэйлором. Прандтль наз-
назвал величину / длиной пути переме-
перемешивания. При этом он исходил из
аналогии между турбулентным пе-
перемещением условных молей жид-
жидкости и движением молекул в газе.
В этой схеме величина / является
аналогом длины свободного пробега
молекул. Такая схема, как выяс-
выяснилось в дальнейшем, не является
достаточной, поскольку в турбу-
турбулентном потоке переносы в дейст-
действительности осуществляются спект-
спектром пульсаций. Однако сама форму-
формула (9.8.8) оказалась весьма эффек-
эффективной и, как это было показано
выше, получается в качестве пер-
первого приближения из общих сооб-
соображений о свойствах плоского тур-
турбулентного потока.
Во внешней части пограничного
слоя имеет место условие
I -+ ххб, (9.8.12)
касательного напряжения.
0,04 —i
0,02
Рис. 9.2. Распределение коэффициента турбу-
турбулентной вязкости по радиусу трубы в изотер-
изотермическом потоке несжимаемой жидкости
причем константы х и хх связаны
друг с другом.
На рис. 9.2 показаны изменения кинематического коэффициента турбу-
турбулентной вязкости vT = [XjVp и длины пути перемешивания по радиусу гладкой
трубы по опытам И/Никурадзе. При Re < 105 влияние молекулярного трения
проявляется в некоторой степени во всей толще потока. При Re > 105 турбу-
турбулентные характеристики потока практически не зависят от молекулярной вяз-
вязкости среды.
103
Для пограничного слоя на пластине хх = 0,07 — 0,09. При течении в тру-
трубе это значение примерно в два раза больше в связи с тем, что максимальный
масштаб турбулентных пульсаций в этом случае имеет порядок двух толщин
(радиусов) пограничного слоя. Около стенки действительно оправдывается
формула (9.8.8), причем по этим опытам % = 0,4. При течении в шероховатых
трубах на значительном удалении от выступов значение / такое же, как и при
течении в гладких трубах с большими числами Re.
Тэйлор обратил внимание на то, что при отсутствии действия вязкости
каждая частица жидкости может сохранять свою завихренность, в то время как
возможно изменение ее количества движения под влиянием местных пульсаций
давления. Если все существующие в течении вихри имеют оси, перпендику-
перпендикулярные к направлению осредненного течения и к направлению градиента ос-
редненной скорости, то течение будет двумерным.
Введем в уравнение движения плоского невязкого пограничного слоя ве-
величину вихря
JL/^^) (9.8.13)
++2 (98Л4)
р ду dt дх \ 2 ) у v '
Осредняя это уравнение с введением пульсационной составляющей вихря со',
получаем
ду дх
Получим
Отсюда следует, что
р дх дх \ 2 / У dt ' л дх у ду v
и для равномерного вдоль оси х потока
dxT/dy = p2Vy\(u'. (9.8.17)
Осредненное напряжение вихря в каком-либо слое равно ~к-~н~у Иу слеД°"
вательно, при перемещении на длине пути перемешивания переносится избы-
, d ( 1 dw\
точная завихренность —^\YTly T# е*
2a'=—ld2w/dy2. (9.8.18)
Отсюда
dpldx = d%Tldy = p/V^ d2w/dy2y (9.8.19)
в то время как по Прандтлю
(9.8.20)
dx v dy\ y dy
Эти выражения совпадают только при независимости IVу от у. Измерения
распределения температур в следе за телом подтвердили правильность идеи
Тэйлора.
На пространственные течения полуэмпирическая теория длины пути сме-
смешения Прандтля наиболее эффективно была перенесена Н. И. Булеевым.
На других полуэмпирических теориях турбулентности мы здесь останавливать-
останавливаться не будем, отсылая читателя к литературе, названной в конце этой главы.
Укажем только, что М. А. Гольдштиком и автором значение константы к
104
было определено теоретически, исходя из теории максимальной квазилами-
квазиламинарной устойчивости турбулентности пограничного слоя. Эта теория позво-
позволила впервые вычислить и другие важнейшие характеристики плоского тур-
турбулентного пограничного слоя несжимаемой жидкости.
9.9. СВЯЗЬ МЕЖДУ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ТУРБУЛЕНТНОЙ
ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ И ВЯЗКОСТИ
Из рассмотрения теплопроводности в направлении оси у в плоском турбу-^
лентном потоке несжимаемой жидкости в соответствии с уравнением D.4.6)
qT = cppV~&. (9.9.1)
Следовательно, пульсация Vy переносит избыточное теплосодержание cppS.
По аналогии с переносом количества движения или вихря можно положить
(9.9.2)
dw df
— —
dy dy
Здесь h — длина пути рассеяния теплосодержания, в общем случае не обя-
обязательно равная длине пути гидродинамического перемешивания /. Сопостав-
Сопоставляя эти выражения с соответствующими
выражениями для турбулентного трения,
можно написать
V = ecp|ir, (9.9.3)
или
(9.9.4)
1,0 0,8 0,6 0,4
0,8 r/R
Рис. 9.4. Изменение турбулентного числа
Р по радиусу трубы для значений Re—
Рис. 9.3. К определению турбулент-
турбулентного числа Прандтля:
У—Рг =1 (схема Прандтля); = C,2-f-7,3) • 105
2 —Рг7, = 0,75 (эксперимент);
3 — Рг =0,5 (схема Тэйлора)
Здесь е — коэффициент неподобия рассеяния тепла и количества движения
в результате турбулентных пульсаций скорости. Величина, обратная е, имеет
смысл числа Прандтля для турбулентного обмена:
Ртт = ср |хгАг. (9.9.5)
По Прандтлю эта величина равна 1, по Тейлору 0,5. На рис. 9.3 приведены
данные о соотношении турбулентных коэффициентов диффузии импульса и
тепла в свободных струях, а на рис. 9.4 — аналогичные данные для погра-
пограничного слоя в трубе. v
9.10. ТУРБУЛЕНТНЫЙ ПЕРЕНОС В ВЯЗКОМ ПОДСЛОЕ
На поверхности жесткой, непроницаемой пластины при отсутствии сколь-
скольжения имеют место условия
{у = 0, wx = wy = 0, Vx = Vy = 0}. (9.10.1)
105
Отсюда следует, что при
(9-10.2)
Следовательно, в непосредственной близости от твердой стенки существует об-
область течения, в которой распределение скоростей практически полностью опре-
определяется молекулярным трением. Эта область турбулентного пограничного слоя
x
0,4
0,2
о
о
О v
ь •— • •
10
20
50
Рис. 9.5. Относительные значения пульсаций скорости в канале
с параллельными сгенками:
называется вязким подслоем. Условную толщину вязкого подслоя мы будем обо-
обозначать, как и ранее, через уъ полагая, что при
{О <*/<#!, Иг <€[*}. (9.10.3)
Однако это не означает малости соотношения Хт и X, поскольку последнее за-
зависит по формуле (9.9.4) еще и от значения числа Прандтля жидкости. Поэ-
Поэтому при Рг ^> 1 турбулентный и молекулярный переносы теплоты в вязком
подслое могут быть вполне соизмеримы.
Очевидно, что под влиянием молекулярного трения корреляция типа
(9.8.9) между пульсационными компонентами скорости течения будет нару-
нарушаться. Действительно, если положить
Ух - (dwx/dy)CT у = (тст/(х) у,
то из уравнения неразрывности пульсационного течения следует, что
у*
(9.10.4)
(9.10.5)
Отсюда следует, что в вязком подслое турбулентное трение пропорционально
расстоянию от стенки в степени не меньше третьей:
{У < Уъ Vx - Wx;
(9.10.6)
На рис. 9.5 приведены экспериментальные данные Е. М. Хабахпашевой
и Е. С. Михайловой, показывающие, что продольная компонента турбулентной
пульсации скорости действительно пропорциональна продольной компоненте
осредненной скорости.
Из соотношений (9.10.2) и (9.10.6) следует, что
^РЛ3. (9.10.7)
у-+ 0
106
Для турбулентного переноса тепла в вязком подслое необходимо учесть то
обстоятельство, что пульсация температуры 0 коррелирует с компонентой
пульсации скорости Vyj т. е. в предельном случае при у ->-0
{Wy~Vl~tf; ЯгД^РгРгт]4}. (9.10.8)
При этом
Рг^Р4'3. (9.10.9)
Более детальный анализ показывает, что зависимость (9.10.8) тем точнее, чем
больше число Прандтля.
9.11. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТЕЙ В ПЛОСКОМ
НЕСЖИМАЕМОМ ПОТОКЕ ВБЛИЗИ СТЕНКИ
Введя в уравнение D.2.20) выражение хт из соотношения (9.8.8), получим
т = iidw/dy + p/2 (dw/dyJ. (9.11.1)
При этом в области вязкого подслоя (у < уг) т > тт.
В переменных ф = w/v* и ц = v*y/v уравнения для касательных напряже-
напряжений примут вид (при dp/dx = 0):
в области 0 < т] < т)г, где цг = v*y±h9
dy/dy- т = 0; " (9.11.2)
в области т] > r]i
-^+(^т)^J-т=0. (9.11.3)
Здесь и далее под величиной v* понимается динамическая скорость на стенке.
Из условия монотонности профиля скоростей следует, что
(Лр/*|)Л1-о =(d<p/dT|)ih + o. (9.11.4)
Если принять во внимание, что уг < б и, следовательно, в области у < уг
х« 1, то из выражения (9.11.3) следует, что при г] < щ
^"~ ф = т]. (9.11.5)
Из уравнения (9.1^.3) следует, что при г) > y]j
где в соответствии с выражением (9.11.5) ф2 = tix.
Рассмотрим область значений л > ^i» B которой достаточно точно выпол-
выполняется зависимость (9.8.7) и условие т« 1. В этом случае уравнение (9.11.3)
принимает вид
|^y-l=O, (9.11.7)
а его интеграл равен
Ф = Ф1+ —1п(т|/ти). (9.11.8)
Если условно профиль (9.11.5) распространить до ц = цъ то фх = т|1#
На рис. 9.6 в полулогарифмических координатах изображен профиль скоро-
скоростей в плоском турбулентном потоке несжимаемой жидкости по ряду экспери-
экспериментальных данных. По этим данным х = 0,4 и % = 11,6. Логарифмический
профиль скоростей (9.11.8) практически существует почти до оси симметрии
при течении в замкнутом канале и нарушается во внешней области погранич-
пограничного слоя.
107
Обычно логарифмический профиль скорости удобно записывать в форме
Ф = С# + A/х) In г]. (9.11.9)
Из (9.11.8) С% = гц — A/х) In т)ь что при х = 0,4 и % = 11,6 дает значение
С* - 5,5.
Для приближенной оценки характера изменения скорости потока в области
между вязким подслоем и турбулентным ядром можно, например, принять
допущение о том, что турбулентное трение на границе вязкого подслоя равно
Рис. 9.6. Закон распределения скоростей в турбулентном потоке несжи-
несжимаемой жидкости
нулю. Наиболее простое выражение для турбулентных касательных напряже-
напряжений, удовлетворяющее этому требованию и условию, что при у > ух 1 = щ,
имеет вид
рх2 (у—УхJ (dw/dyJ,
(9.11.10)
чему соответствует значение
I ж к (у — yj. (!9.11.11)
Подставляя это значение / в уравнение (9.11.6) и интегрируя его при т = 1,
получаем
(л —TiiJ . 1 1
(9.11.12)
При г\ > % это уравнение переходит в (9.11.9), причем С* = %+
+ — (In 4х — 1). По этой формуле приведенным выше экспериментальным
значениям х и С* соответствует значение г^ = 6,8. Формула (9.11.12) дает
несколько более крутое изменение скорости в промежуточном слое турбулент-
турбулентного потока, чем это следует из опытов.
Рядом авторов (Ван-Дрист, Дейслер, Рейхардт, Лин, Левич, Лойцянский)
были предложены полуэмпирические и эмпирические зависимости для опреде-
определения профиля скоростей в турбулентном пограничном слое. Однако для об-
области совместного действия молекулярной и турбулентной вязкости они или
имеют весьма сложный и неудобный для дальнейших 'операций вид,
или авторы разбивают профиль на значительное число отдельных участков.
108
Практически, как предложил в свое время Карман, достаточно разбить по-
пограничный слой на три зоны, две из которых аппроксимируются логарифми-
логарифмическими формулами. С расчетной точки зрения в ряде случаев бывает удоб-
удобным заменить универсальный закон распределения скоростей в турбулент-
турбулентном потоке простым степенным выражением типа
Ф = Аг\п. (9.11.13)
При этом логарифмический профиль скоростей является огибающей семейства
степенных профилей. Коэффициенты А и п могут быть вычислены из логариф-
логарифмического профиля скоростей.
Степенной аппроксимации профиля скоростей соответствуют и степенные
формулы для коэффициента гидравлического сопротивления. Средняя расход-
расходная скорость несжимаемой жидкости в круглой трубе
_ Ro
w = — f wRdR, (9.11.14)
где Ro — радиус трубы.
Подставляя сюда распределение скоростей по формуле (9.11.13) и принимая
во внимание, что ср = 1/~8/?, где ? — коэффициент гидравлического сопротив-
сопротивления, получаем
(9.11.15)
L /л. j
где __
Re=2R0w/v. (9.11.16)
Для отношения средней расходной скорости к скорости на оси трубы
^/^макс = 2/A +П)(п + 2). (9.11.17)
При п = 1/7 получаем формулу Блазиуса
Т O^IRDp» — 0,25 /Q 1 1 1Я\
пригодную для гладких труб в области 104< Re < 105.
Строго говоря, логарифмический профиль скоростей следует рассматривать
как некоторый факт, выражающий существование универсального закона
распределения скоростей ф (т]) при обтекании окрестности непроницаемой
пластины турбулентным неограниченным изотермическим потоком несжимае-
несжимаемой жидкости. Во всех остальных случаях имеют место другие распределения
скоростей.
9.12. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ПОЛУЭМПИРИЧЕСКИХ
ВЫРАЖЕНИЙ ДЛЯ ТУРБУЛЕНТНЫХ ПЕРЕНОСОВ
В НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ НА ПЛОСКИЙ
ПОТОК ГАЗА
Рассмотренные выше формулы полуэмпирической теории турбулентности
построены на соотношениях типа V ~ dw/dy и 0 ~ dT/dy. Применяя эти
соотношения к формулам D.4.7), получаем
-IL = /2 (ЛШ)%-§Wy /2 *L -^L-p/з (*L\2 iL. (9.12.1)
p \ dy ) dy dy \ dy ] dy
Qt /2 dw dT Q_ /2/ dT \2 а1Я( dT \2 dw ,g ^ 2)
cp9 dy dy \ dy J \ dy ] dy
где p ^ ]7, w ^ wf T e^T, p = 1/Г. Если положить I = куу то при Р = 0 или
dT/dy = 0 формула (9.12.1) переходит в формулу Прандтля (9.8.7) для изо-
изотермического течения несжимаемой жидкости.
109
9.13. ПОРЯДОК ВЕЛИЧИНЫ ВЯЗКОГО ПОДСЛОЯ
НА НЕПРОНИЦАЕМОЙ ПОВЕРХНОСТИ
Формула (9.8.8) показывает, что в окрестности стенки, но вне вязкого под-
подслоя турбулентное течение непосредственно связано с градиентом осредненной
скорости течения. В случае течения без градиента давления во всех точках
пограничного слоя dwjdy > dwjdx и формулы (9.8.8) и (9.8.11) можно запи-
записывать в полных дифференциалах.
При течении с градиентом давления условие dwjdy > dwjdx выполняется
только в окрестности стенки. Во внешней же области пограничного слоя может
иметь место и соотношение dwjdy <^ dwjdx.
Действительно, в окрестности твердой стенки всегда существует макси-
максимум касательных напряжений и соответственно величины dwjdy. Величина
же dwjdx в этой области мала, поскольку на стенке она точно равна нулю.
Во внешней области пограничного слоя величина dwjdx имеет порядок dwjdxy
а величина dwjdy стремится к нулю.
Параметр
djd
idwx/dy
можно рассматривать как меру влияния продольного градиента давления
на характеристики турбулентности в пограничном слое.
Выше было показано, что при ух < у < б этот параметр всегда мал, и,
следовательно, в данной области закон турбулентного трения практически
автомоделей. В этом смысле можно говорить о консервативности закона тур-
турбулентного трения в окрестности стенки.
Принимая во внимание этот факт и то, что в области перехода от турбулент-
турбулентного ядра к вязкому подслою молекулярное и турбулентное трения соизме-
соизмеримы, можем написать
(Jpf° . (9.13.2)
ду
Отсюда следует, что внутренняя граница преобладания турбулентного" закона
трения определяется безразмерным комплексом
(9ЛЗ-3>
ду
где индекс 1 означает, что все величины относятся к точке у ¦= уг. Поскольку
в данном случае
(9.13.4)
то параметру (9.13.3) эквивалентен параметр
4i = (»*ft/v). (9.13.5)
При dp/dx = 0 в области у < б и* « i?T> т. е. при двухслойной схеме тур-
турбулентного пограничного слоя
Th« 10. (9.13.6)
Величина $ег является некоторым критическим значением числа Рейнольд-
са, определяющим возможность существования вязкого течения даже в крайне
неблагоприятных условиях проникновения из внешней области пограничного
слоя мощных трубулентных возмущений. Полагая % = 6, находим, что
Re2 = 36. Это значение действительно того же порядка, что и нижний теоре-
теоретический предел устойчивости плоского ламинарного потока с наложенной
на него произвольной системой возмущений. Значению у\г = 11,6 соответст-
соответствует число Rex =134.
ПО
9.14. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ ЗАКОНЫ ТРЕНИЯ
И ТЕПЛООБМЕНА
При очень больших числах Рейнольдса турбулентный пограничный слой
обладает некоторыми замечательными свойствами. В частности, при
Re-^оо отношения Cflc\% и St/St0 выражаются теоретическими зависимо-
зависимостями, не содержащими в себе констант турбулентности. Здесь cfo и St0 —
значения коэффициента трения и числа Стентона при обтекании непроницаемой
пластины неограниченным, изотермическим, турбулентным пограничным
слоем.
Введем в формулу (9.8.8) значение т из уравнения (9.12.1) и представим
полученное уравнение в следующем виде:
xCTx=p(ldwJdyf{l-^). (9.14.1)
Здесь ^ — коэффициент, учитывающий влияние пульсаций плотности,
~= х/тст = f (?) — закон распределения касательных напряжений по попе-
поперечному сечению пограничного слоя.
С другой стороны, можно написать
(9.14.2)
где р0 — плотность потока вне динамического пограничного слоя.
Разделим обе части уравнения (9.14.1) на произведениеj^^гдеjr0—закон
распределения касательных напряжений на непроницаемой пластине, обте-
обтекаемой изотермическим пограничным слоем. Проинтегрировав это уравнение,
получим
Здесь W = (Cf/CfO)Ke** — относительное изменение коэффициента трения при
сопоставлении для условий Re** = idem; сох — безразмерная скорость на
границе вязкого подслоя;
где ?i = r/i/S — безразмерная толщина вязкого подслоя.
Величины (ох и ^ однозначно связаны друг с другом через уравнения дви-
движения и теплопроводности в вязком лодслое. Поэтому для их вычисления
достаточно знать температурные функции X (Г), \х (Т) и условие устойчивости
узкого подслоя, определяющее величину уг. Отсутствие строгого определения
последнего и составляет основную трудность решения уравнения (9.14.3)
в области конечных чисел Рейнольдса.
Следует обратить также особое внимание на определение числа Рейнольд-
Рейнольдса, при котором производится сопоставление истинного коэффициента трения
Cf с эталонным (стандартным) С/о. Поскольку величины шои6** определяются
вполне стандартным образом для любого пограничного слоя, то неоднознач-
неоднозначность выбора величины Re** связана с отнесением входящих в нее физических
характеристик потока р и \i к той или иной характерной температуре. Наибо-
Наиболее определенными, очевидно, являются или величина То, или величина Гст.
Поскольку в общем случае имеют место зависимости
;M;...); (9.14.5)
*;M;...)f (9.14.6)
что непосредственно следует из уравнений движения и теплопроводности
вязкого подслоя и условия его устойчивости (например, из оценки по значению
), то единственным требованием является одинаковое определение величины
111
Re** при определении ? и ?х. Известный произвол в определении Re**
в настоящее время имеется только вследствие отсутствия достаточно хорошего
теоретического определения функций (9.14.6). Мы в качестве основного опре-
определения примем в Re** значение кинематической вязкости при температуре
Т Э R
р
То. Эти трудности снимаются при переходе к числам Re—>-оо, так как с ростом
числа Рейнольдса его влияние на значения коэффициентов трения, тепло- и
массообмена в турбулентном потоке все больше уменьшается. В качестве эта-
эталона при определении W естественно выбрать наиболее простое течение,
каковым является продольное обтекание гладкой непроницаемой пластину
потоком изотермической несжимаемой жидкости^ Для этих условий
Zo = 1 — оI0; со1о = г]10Vcfo/2;
(9.14.7)
Здесь б** = б**/б — относительная толщина потери импульса. Учитывая
эти зависимости, формулу (9.14.4) можно записать в виде
(9.14.8)
Рассмотрим свойства интегралов (9.14.5) и (9.14.8) при очень больших
числах Рейнольдса. Последнее отнюдь не означает, что речь идет о больших
скоростях течения или значительной протяженности обтекаемых потоком
тел. Сколь угодно большие числа Рейнольдса могут иметь место при вполне
конечных скоростях течения и малых толщинах пограничного слоя, если рас-
рассматривать жидкость с «исчезающей вязкостью», т. е. когда коэффициент вяз-
вязкости стремится к нулю, но строго в нуль не обращается.
Из формулы (9.13.3) следует, что i± ~ v, а из уравнения (9.12.1), что
Полагая далее
получаем
р ' / т
wy/w0~w0 dd/dx~w0 (б/б**) cf,
(9.14.9)
(9Л410)
Поскольку при обтекании гладкой поверхности коэффициент трения с ростом
числа Рейнольдса стремится к нулю, из этих оценок следует, что в потоке
с «исчезающей вязкостью» имеют место условия
т. е. происходит вырождение вязкого подслоя и пульсаций плотности. Соот-
Соответственно при Re -^oo из выражения (9.14.3) следует, что
рт0
(9.14.12)
112
где
"¦'"¦* " VT0 -^-. (9.14.13)
) j
Из выясненных ранее свойств турбулентного пограничного слоя следует, что
{приЕ-^Ei то->1, Г-^хН; при^-^1 т~->0). (9.14.14)
Кроме того, по своей физической природе зависимости то(|) и / (?) являются
непрерывными и гладкими. Поэтому подынтегральные функции в уравнении
(9.14.12) можно аппроксимировать полиномом вида
2'6' (Ki<n)9 (9.14.15)
в котором на интервале 0 < ? < 1
— >2fli6'>° A<*<л)- (9.14.16)
Вводя значение "J/"t0 из уравнения (9.14.15) в уравнение (9.14.13), находим,
что
Zoo = In Ex/In Е10. где Er-*0; Sw-^0. (9.14.17)
Таким образом, при Re ->оо в интегральном соотношении (9.14.8) выпа-
выпадают члены, содержащие коэффициенты aiy которые в общем случае зависят
от возмущающих факторов.
При течении без градиента давления из формулы (9.13.5) следует
lnEi= —In Re**+ 111% 6** Кг/су. (9.14.18)
Из логарифмического профиля скоростей следует, что при Re -^cx»
т. е. второй член формулы (9.14.18) — число ограниченное и
lnEiolRe^co->-lnRe**. (9.14.19)
Таким образом, при весьма больших числах Рейнольдса существует пре-
предельный относительный закон трения, выражаемый интегральным соотно-
соотношением Кутателадзе—Леонтьева:
/ ——
_?12_Ло-^ !li!-; ?^0. (9.14.20)
J V рот? In Re**
Для течения без градиента давления это соотношение принимает вид
"ш-=—-'¦ (914-21>
Отношение то/т в этом интеграле легко определяется в соответствии с сообра-
соображениями, изложенными в разд. 9.6. Отношение р/р0 связано с отношением
Т/То через уравнение состояния. Для совершенного газа, поскольку в погра-
пограничном слое др/ду = 0, р/р0 = TJT.
При наличии приближенного подобия полей скоростей и энтальпий тор-
торможения можем записать:
= Ц — Агресо — (я|)*—1)со2. (9.14.22)
Здесь if = Тст/Т0 — так называемый первый температурный фактор; я|э* =
= T*cJTq — кинетический температурный фактор; Агр = яр —яр* — фак-
фактор теплообмена; 8 — коэффициент неподобия полей температур и скоростей.
113
Более подробно о величинах гр и г|э* будет сказано в последующих главах. Зна-
Значение 8 в первом приближении равно отношению (8/8т)пУ где п — показатель
степени профиля скоростей. В случае обтекания пластины газом при условии,
что и динамический, и тепловой слой развиваются с ее передней кромки,
Аналогично уравнению (9.14.3) из формулы (9.9.2) следует относительный
закон теплообмена
где
гт = УЩ\ ]/^L^L. (9.14.24)
? У 1-рг 1т
здесь q = q/qci: — относительная плотность теплового потока в точке ?>т =
= у/8т; St = a/cPopowo — число Стентона; гь = 1Т11 — коэффициент неподо-
неподобия тепловой и гидродинамической длин пути смешивания. Свойства величин
Рг, ?т\, ZT аналогичны свойствам р, 1Ъ Z, т. е. при Re -> оо
IV-
*ZToo. (9.14.25)
При этом, естественно, в последнем уравнении распределения скорости и
температуры нужно брать для условий турбулентного течения с вырожден-
вырожденным вязким подслоем.
Предельные законы теплообмена в своей общей формулировке сложнее
законов трения. Поэтому при значительных нарушениях подобия температур
и скоростей функции W и 4?s могут существенно различаться.
Так, например, в области диффузорного течения (dp/dx>0) турбулентного
пограничного слоя с постоянными физическими свойствами значение W может
быть существенно меньше единицы при любых числах Рейнольдса, в то время
как значение Ws при конечных числах Рейнольдса пограничного слоя почти
не меняется с ростом градиента давления.
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Бетчелор Д. Теория однородной турбулентности. М., Изд-во иностр. лит., 1955.
2. Булеев Н. И. Теоретическая модель механизма турбулентного теплообмена в потоках
жидкости.— В сб.: Теплопередача. М., Изд-во АН СССР, 1962, с. 64.
3. Кутателадзе С. С. Пристенная турбулентность. Новосибирск, «Наука», 1973.
4. Линь Цзя-цзяо. Теория гидродинамической устойчивости. Пер. с англ. М., Изд-во
иностр. лит., 1958.
5. Монин А. С, Яглом А. М. Статистическая гидромеханика, ч. 1. М., «Наука», 1965;
ч. 2. М., «Наука», 1967.
6. Проблемы турбулентности. Сборник пер. статей. М.— Л., ОНТИ, 1936. Авт.: О Рей-
Рейнольде, Л. Прандтль, К. Тейлор, Т. Карман и др.
7. Ротта И. Турбулентный пограничный слой в несжимаемой жидкости. Пер. с англ. Л.,
«Судостроение», 1967.
8. Таунсенд А. Структура турбулентного потока с поперечным сдвигом. Пер. с англ. М.,
Изд-во иностр. лит., 1959.
9. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. Пер. с нем. М., «Наука», 1969.
Пша
ю
ТЕПЛООТДАЧА ПРИ ВНЕШНЕМ
ОБТЕКАНИИ ТЕЛ НЕСЖИМАЕМОЙ
ЖИДКОСТЬЮ
10.1. ХАРАКТЕР ВНЕШНЕГО ОБТЕКАНИЯ
При внешнем обтекании тел потоком жидкости наблюдаются две сущест-
существенно различные формы течения: безотрывное и отрывное обтекание. В по-
последнем случае струи жидкости отделяются от поверхности тела и образуют
в непосредственной близости от нее вихревую область. Наличие того или другого
типа обтекания зависит как от формы
тела, так и от числа Рейнольдса.
Явление отрыва пограничного слоя
от непроницаемой поверхности связано
с взаимодействием поля давления и силы
трения в пристенной области. Внутри
пограничного слоя скорость течения
всегда меньше скорости на его внешней
границе. Продольный же градиент дав-
давления постоянен по всему поперечному
сечению пограничного слоя и связан
только со скоростью во внешней обла-
области. Для стационарного течения эта
связь выражается формулой (9.5.9).
Поэтому при диффузорном течении, когда dp/dx > 0, кинетическая энергия
потока внутри пограничного слоя недостаточна для полного преодоления на-
направленного ему навстречу действия поля давления. В результате положи-
Рис. 10.1. Схема деформации профилей
в диффузорной области течения погра-
пограничного слоя
Рис. 10.2. Фотография отрывного обтекания цилиндра.
тельный градиент давления вызывает внутри пограничного слоя торможение,
а затем остановку и обратный ток жидкости около обтекаемого ею тела. Точ-
Точка, в которой значение величины dwjdy на стенке обращается в нуль, харак-
характеризует начало возникновения обратного тока и называется точкой отрыва.
Очевидно, что в точке обращения течения трение равно нулю (рис. 10.1).
115
В действительности отрыв пограничного слоя происходит, конечно,
не в какой-то точно фиксированной точке, а охватывает некоторую конечную
область. За областью отрыва возникает вихревое движение жидкости, сопро-
сопровождающееся резким возрастанием общего аэродинамического сопротивления
тела (рис. 10.2).
При конфузорном течении (dp/dx < 0) поток ускоряется, направление дви-
движения жидкости совпадает с направлением действия поля давления и условия,
необходимые для отрыва пограничного слоя, отсутствуют. Пограничный слой
1 w
ламинарный
Небозмущенное течение
т
пограничный слои ^
Г)
—** Турбулентный
пограничный слои
\ ламинарный подслой
/////^(//
Зона перехода
Рис. 10.3. Схема пограничного слоя
на внешней поверхности обтекаемого тела не следует смешивать с вязким
подслоем в турбулентном потоке. Пограничный слой может быть как ламинар-
ламинарным, так и турбулентным (рис. 10.3).
Таким образом, внешнее обтекание тела неограниченным потоком жид-
жидкости существенно отличается от течения в замкнутых каналах, в частности,
тем, что на теле достаточной протяженности возможно существование в различ-
различных его областях как ламинарного, так и переходного и развитого турбулент-
турбулентного течений.
10.2. ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ НА ПЛАСТИНЕ
(ТОЧНОЕ РЕШЕНИЕ)
Рассмотрим пластину, продольно-обтекаемую ламинарным погранич-
пограничным слоем жидкости с постоянными физическими свойствами. Скорость течения
достаточно мала, и теплотой трения можно пренебречь, течение стационарное,
температура на всей поверхности пластины одна и та же, dp/dx = 0.
Уравнения пограничного слоя имеют вид:
wx dwjdx +wy dwjdy = vd2 wjdy2;
dwjdx + dwy/dy --= 0;
wx дТ/дх + wy дТ/ду = ад2 Т/ду2
A0.2.1)
при граничных условиях: у = 0, wx = 0, wy = 0, Т = Гст; у = оо, wx =
= wOy Т = Го.
Эти уравнения преобразуются в два обыкновенных дифференциальных
уравнения, если ввести новые переменные:
A0.2.2)
где ip — функция тока, связанная с компонентами скорости течения извест-
известными соотношениями
A0.2.3)
116
В новых переменных система уравнений принимает вид
1 = 0
A0.2.4)
при граничных условиях: 1 = 0, ? = 0, ?' = 0, ¦& = 0; | = оо, ?' = 2, ¦& = 1.
Профиль скоростей находят через функцию ?, которая впервые была вы-
вычислена Блазиусом. Компоненты скорости течения находят по формулам
В табл. 10.1 приведены значения ? по вычислениям Хауерта.
A0.2.5)
Таблица 10.1
Значения функции ? для ламинарного пограничного слоя на плоской продольно-
обтекаемой пластине
S 2
0
0
0
0
0
0
0
0
ft
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
,1
,2
,3
,4
,5
,6
,7
3
',9
,0
,1
,2
,3
,4
,5
,6
,7
,8
,9
0
0
0
0
0
0
0
с
с
с
с
с
(
с
,00664
,02656
,05974
,10611
,16557
,23795
,32298
,42032
), 52952
), 65003
),78120
), 92230
,07252
,23099
1,39682
1,56911
1,74696
[,92954
>,11605
V
0
о,
о,
0,
о,
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Wo
06641
13277
19894
26471
32979
39378
45627
51676
57477
62977
68132
,72899
,77246
,81152
,84605
,87609
,90177
,92333
,94112
0,
0,
0,
0,
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
с-
33206
33199
33147
33008
32739
32301
31659
30787
29667
28923
26675
,24835
,22809
,20646
,18401
,16136
,13913
,11788
,09809
,08013
1=
2,
2,
2,
2.
2,
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
4
—
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
1
,2
,3
,4
,5
,6
,7
,8
,9
,0
2,
2,
2,
2,
3,
3,
3,
3
3
4,
4
4
4
4
5
5
5
5
5
6
6
1
30576
49806
69238
88826
08534
28329
48189
68094
88131
07990
27964
48948
67938
87931
07928
27926
,47925
,67924
,87924
,07923
,27923
w
?'=—
Wo
0,95552
0,96696
0,97587
0,98269
0,98779
0,99155
0,99425
0,99616
0,99748
0,99838
0,99898
0,99937
0,99961
0,99977
0,99987
0,99992
0,99996
0,99998
0,99999
1,00000
1,00000
0,06424
0,05052
0,03897
0,02948
0,02187
0,01591
0,01134
0,00793
0,00543
0,00365
0,00240
0,00155
0,00098
0,00061
0,00037
0,00022
0,00013
0,00007
0,00004
0,00002
0,00001
Решение уравнения, определяющего поле температур, имеет вид
fexpf-Prfj
о \ о
Отсюда
где
ду)ст 2 V vx
/(Pr)=
A0.2.6)
A0.2.7)
A0.2.8)
117
Средний коэффициент теплоотдачи по пластине определяется формулой
L
A0.2.9)
1
а = — \ах dx,
откуда
Значения функции / (Рг) приведены в табл. 10.2.
Значения / (Рг) для ламинарного пограничного слоя на
плоской продольно-обтекаемой пластине
A0.2.1
Таблица 10.2
Рг
/(Рг)
Рг
/(Рг)
о;ооз
0,0556
10,0
1,46
0,005
0,0770
15,0
1,67
0,01 1 0,1
0,104
50
2,50
0;266
100
3,14
0,7
0,586
300
4,52
1,0
0,664
500
5,32
3,0
0,956
1000
6,54
7,0
1,29
3000
9,60
ИЛИ
Для гидродинамического пограничного слоя точное решение дает значение
c/=0f664(v/a;0 хH'5 A0.2.11)
c/==0,44/Re**. A0.2.12)
10.3. ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ
ПЛАСТИНЫ, ОБТЕКАЕМОЙ ЛАМИНАРНЫМ
ПОГРАНИЧНЫМ СЛОЕМ
(ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ)
Из условия
получим
2
fax
21** 1~
Re*
A0.3.1)
A0.3.2)
б** =б**/б-
Здесь Re** = a>06**/v0, v> = wjwo, I = y/8, jl =
относительные параметры пограничного слоя.
При постоянных физических свойствах потока и аппроксимации профиля
скоростей полиномом (9.6.10) в рассматриваемом случае имеем
{Л = 0; со-21—2i3 + g4; б** = 0,П75; (?<Эсо/<^)ст==2}. A0.3.3)
Подставляя отсюда соответствующие величины в уравнение A0.3.2), находим,
что в данном приближении
cf = 0,47/Re**, A0.3.4)
что на 6% отличается от точного решения. Уравнение импульсов (9.5.16) при
др/дх = 0 принимает весьма простую форму:
d8**/dx^Cf/2. A0.3.5)
При автомодельности скоростей и температур относительно продольной коор-
координаты (т. е. одинаковости функций со (Q и Ь{1) для всех поперечных сечений
пограничного слоя)
1 !?CT^ const. A0.3.6)
118
Соответственно из равенства A0.3.5) и уравнения A0.3.2) получим:
./Э?)ст ]
°Re* ' 1 A0.3.7)
9
б Re.
Здесь б = б/х — относительная толщина пограничного слоя; б0 = 80/х, где
б0 — значение б при х = 0; Rex = wox/vo — число Рейнольдса, где х — теку-
текущее значение координаты. При р = const, 'jx = 1, б0 = 0 в приближении
A0.3.3)
/e; VU. A0.3.8)
10.4. ТЕПЛООТДАЧА ПЛАСТИНЫ, ОБТЕКАЕМОЙ
ЛАМИНАРНЫМ ПОГРАНИЧНЫМ СЛОЕМ
ПРИ Рг>1 (ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ)
Вследствие аналогичности граничных условий вид интерполяционных
профилей скоростей и температур оказывается одинаковым, т. е. при поли-
полиноме четвертой степени
wx/w0 = 2у/6-2 (у/бK + (у/бL; |
(ТТ)/(ТТ) 2у/82(у/8Г+(у/8)\ J
Здесь следует обратить внимание на то существенное обстоятельство, что,
несмотря на аналогичность выражений A0.4.1), поля скоростей и температур,
вообще говоря, не подобны, поскольку при Рг Ф 1 8Т ф б.
Перепишем уравнение энергии (9.5.15) в виде (при dwjdx = dAT/dx = От
(Ю.4.2)
и подставим в него значения wxy T и dT/dy из уравнения A0.4.1).
После интегрирования получим
"•-к {4 [0ЛЗЗ-0@214(А.)а + 0,0055(^K]}= %- . A0.4.3)
При Рг ^ 1 возмущения, обусловленные молекулярным трением, распрост-
распространяются на большую область, чем возмущения, обусловленные молекуляр-
молекулярной теплопроводностью.
Следовательно, при v>a6^5r и значение отношения б^/б лежит между
единицей и нулем. При этом значение величины, стоящей в квадратных скоб-
скобках последнего уравнения, меняется в пределах от 0,133 до 0,117, т. е. всего
на 14%. Принимая в первом приближении среднее значение, равное 0,125,
приводим уравнение A0.4.3) к весьма простому выра^нию относительно 6f\
. A0.4.4)
+ 8H 24Д
[dx 2 dx ' w0
Находя интеграл этого обыкновенного ди<^ференциального уравнения отно-
относительно 8т и подставляя в него значение б/йз уравнений A0.3.7), окончатель-
окончательно получаем
A0.4.5)
Если на входной кромке (ху^О) толщина пограничного слоя бг = 0, то
С = 0 и х
$т = 5,72 (a/v)!/3 (vx/woy /2. A0.4.6)
119
Поскольку при обтекании пластины средой, имеющей Рг = 1, должно
иметь место точное подобие полей температур и скоростей, то в этом случае
8Т = б. Сопоставляя формулы A0.3.7) и A0.4.6), находим, что с точностью
до 2% при ламинарном пограничном слое и Рг ^ 1
A0.4.7)
Коэффициент теплоотдачи
^ р1=Ы1 » (,0.4.8)
ду ]у=0 6Т
ИЛИ
St=26f*/Pe**, A0.4.9)
где
Подставляя в уравнение A0.4.8) значение б^, получаем
аЛ. = 0,35ХРг1/3 (wjvxfl2. A0.4.11)
Средний коэффициент теплоотдачи пластины длиной L
L
а = — {axdx=0JKPvl^(w0/vLyf2 A0.4.12)
0
или в критериальной форме, полагая Nu = aWk и Re = w0L/v, можно запи-
записать
N'u = 0,7Pr1/3Re1/2. A0.4.13)
Второе приближение, дающее практически точный результат, получаем,
вводя в квадратные скобки формулы A0.4.3) значение бг/б по формуле A0.4.7)
первого приближения.
Решение имеет вид
Nu = 0,715(Pr — 09№Pt1's + 0№1I/3W2. A0.4.14)
Эта формула дает практически полное совпадение с точным решением, которое
при Рг > 0,6 хорошо аппроксимируется формулой
Nu = 0,664Pr1/3 Re1/2. A0.4.15)
10.5. ТЕПЛООТДАЧА ПЛАСТИНЫ, ОБТЕКАЕМОЙ
ЛАМИНАРНЫМ ПОГРАНИЧНЫМ СЛОЕМ ПРИ Рг<1
(ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ)
При Рг < 1 б < бг, т. е. тепловой пограничный слой проникает в область
гидродинамически невозмущенного потока. Если свободная турбулентность
этого потока мала, то профиль температур A0.4.1) можно сохранить и в данном
случае, причем интеграл (9.5.5), определяющий величину 6J-*, распадается
на две области — область 0 < у < б, в которой скорость течения меняется
от 0 до соо, и область у ^ б, в которой скорость течения равна скорости невоз-
невозмущенного потока. Отсюда
dy,
J I vr \ иу / \ or / J
6
120
или
A0.5.1)
Определяя порядок отношения 8/8т по формуле A0.4.7), находим, что уже
при Рг^0,1 в уравнении A0.5.1) можно пренебречь членами, содержащими
6/бг в степенях, больших единицы. Интегрируя уравнение A0.5.1) при этом
условии, получаем
8Т«3,65 л[ °* . A0.5.2)
г A— 6/St)w0
При Рг ->-0 б/бг -^0, чему соответствует значение толщины теплового слоя
8T = 3,65Vluc/w0. A0.5.3)
Сопоставление последней формулы с первой формулой A0.3.8) показывает,
что при Рг -> 0
б/бг-^^бРг1/2. A0.5.4)
Ниже приведено сопоставление значений величин ]/l — б/б^, рассчитан-
рассчитанных при помощи формул A0.4.7) и A0.5.4):
Pr^v/a 0,1 0,05 0,01 0,005 0
"|/"l — Рг1/3 0,731 0,795 0,885 0,910 1
V\ — l,6Pr1/2 .... 0,700 0,795 0,915 0,943 1
Как видно, для области чисел Рг, характерных для жидких металлов, практи-
практически можно пользоваться любым из этих приближений.
Выбирая более простое расчетное выражение, после подстановки значения
Ьт из формул A0.4.7) в A0.5.4) и осреднения по длине пластины получаем
Nu « 1,11/"A—Рг1/3)Ре, A0.5.5)
где
Pe=w0L/a. A0.5.6)
Таким образом, в области 0 < Рг <^ 1 увеличение числа Прандтля несколько
снижает интенсивность теплоотдачи по сравнению с решением для потенци-
потенциального обтекания (w = const, Рг = 0). Объясняется это тем, что при Рг > 0
в данном решении учитывается деформация профиля скорости в непосредствен-
непосредственной окрестности стенки.
10.6. ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ
ПЛАСТИНЫ, ОБТЕКАЕМОЙ ТУРБУЛЕНТНЫМ
ПОГРАНИЧНЫМ СЛОЕМ
Как уже указывалось в гл. 9, отклонение истинного изотермического
турбулентного профиля скоростей на пластине от логарифмического имеет
место только в области значений 0,9 < со < 1. Поэтому закон трения при про-
продольном обтекании пластины турбулентным пограничным слоем с постоянны-
постоянными физическими свойствами можно вычислить из распределения скоростей
по уравнению (9.11.9). Имеем
Подставляя в эту формулу у = б и со = 1, находим
.—Lln-?* . A0.6.2)
х v
121
Соответственно можно получить новое, удобное выражение логарифмической
профиля скоростей:
A0.6.3
Этому профилю соответствуют значения:
# = 8*/6**=A— (\/у)
Введя это значение 8** в формулу A0.6.3), получим закон трения:
JL=C, ___!_,„
Cf К
X —
_1_
A0.6.4
A0.6.с
Подставляя в последнее выражение значения С* = 5,5, х = 0,4 и замеча?
что разность первых двух членов его правой части меняется весьма слабо, пс
лучаем относительно простой логарифмический закон трения Кармана:
су/2 = B,5 In Re** + 3,8)~2. A0.Ы
Для степенной аппроксимации турбулентного профиля скоростей типа (9.11.1с
б** =
A + 2п)
C/ = 5Re**-m;
(Ю.6.;
Если турбулентный пограничный слой развивается с передней кромки пласт
ны (х = 0, б = 0), то из формулы A0.6.7) и уравнения импульсов A0.3
следует, что
cy = 51Re-wi> A0.6:
где
A0.6
Значения коэффициентов в формулах для cf даны в табл. 10.3.
В области 104< Re** < 106 хорошие результаты дает формула Фолкне
^ = 0,0131 Re**-1/6. A0.6.1
Таблица
Значения параметров степенного распределения скоростей
п
А
6**
Я
т
1/7
8,74
0,0975
1,28
0,250
9
0
1
0
1/8
,71
,0890
,25
,222
1/9
10,6
0,0818
1,22
0,200
1/10
11,5
0,0757
1,20
0,182
п
тх
В
5,
0
0
0
1/7
,200
,0252
,0576
0
0
0
1/8
,182
,0206
,0450
0
0
0
1/9
,167
,0190
,0362
0
0
0
1/1
,15
.01
,03
122
Если турбулентный слой развивается с передней кромки так, что при х = О
$ = 0, то этой формуле соответствует формула
c/ = 0,0263Rej1/7. A0.6.11)
В области закона распределения скоростей по степени п = 1/8 E • 105 <
<Re*< 1 • 107)
Г'~ Р A0.6.12)
10.7. ТЕПЛООТДАЧА ПЛАСТИНЫ, ОБТЕКАЕМОЙ
ТУРБУЛЕНТНЫМ ПОГРАНИЧНЫМ СЛОЕМ
С ПОСТОЯННЫМИ ФИЗИЧЕСКИМИ СВОЙСТВАМИ
Для газов и неметаллических жидкостей практически удовлетворительные
результаты дает аналогия Рейнольдса с поправкой на число Прандтля в виде
простого сомножителя. По данным опытов Б. С. Петухова, А. А. Детлафа,
В. В. Кириллова, А. Б. Амбразявичюса и др. можно полагать при 0,5 <
<Рг<50
A0.7.1)
Соответственно для п « 1/8
Nu* = 0,0288Рг0'4 Re^8; A0.7.2)
Nux = 0,036Pr0'4 Re?fa- A0.7.3)
При турбулентном пограничном слое металлической жидкости, покрываю-
покрывающей всю пластину (х = 0; 6 = 0; 103 < Ре < 10б), по расчетам, выполненным
Е. Д. Федоровичем под руководством автора, имеет место зависимость
Nu = 0,46 Ре0*65. A0.7.4)
10.8. НЕИЗОТЕРМИЧЕСКИЙ ЛАМИНАРНЫЙ
ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ ГАЗА
НА ПЛАСТИНЕ
Пусть Рг = 1, dp/dx = 0, Тст = const и вязкость газа подчиняется фор-
формуле Сезерленда
^о + С_ШЗ/2>
1 го т + С [ То ) V '
Здесь С — константа данного газа, имеющая размерность абсолютной темпе-
температуры. Будем называть величину
Цс = С/Т0 A0.8.2)
температурным фактором Сезерленда или вторым температурным фактором.
Рассмотрим задачу о теплообмене и трении в приближении, соответствующем
распределению касательных напряжений поперек'пограничного слоя по куби-
кубической параболе. Сформулированным выше условиям соответствует система
уравнений:
A0.8.3)
^= -?_ = .
123
Профиль скоростей определится из уравнения
со =
A0.8.4
Если при х = 0 б = О, то из уравнения импульсов следует, что
б -I / 2 (jid(t)/d?)ci»
х г о Re~
(Ю.8.;
it
2
Результаты численного решения системы уравнений A0.8.3) показан
на рис. 10.4, из которого видно, что неизотермичность слабо влияет на трени
и теплообмен в ламинарном пограничном слое. Нормальным и высоким темш
0,05 0,15
шЕ
Ж
7
1
N
^^
- —i
==:
¦ .
^—
=^
«^
1,00
0,98
0,96
0,94
0,92
0,90
0
г
Рис. 10.4. Зависимость.относительного коэффициента трения ^? от тем-
температурного фактора i|) для различных значений второго температурного
фактора фс
ратурам потока, т. е. малым значениям фактора г|)с, соответствует весы
медленное снижение коэффициентов трения и теплоотдачи с ростом темпер
турного фактора гр. В области низких температур потока (ipc ^ 1) имеет мес
обратная тенденция.
Слабое влияние неизотермичности потока в данном случае связано с вз
имной компенсацией влияния изменения вязкости и теплопроводное!
Действительно, повышение вязкости утолщает пограничный слой,* но одн
временное возрастание коэффициента теплопроводности уменьшает его те
мическое сопротивление.
124
10.9. НЕИЗОТЕРМИЧЕСКИЙ ТУРБУЛЕНТНЫЙ
ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ ГАЗА
НА ПЛАСТИНЕ
Рассмотрим ту же задачу, что и в предыдущем параграфе, но для турбу-
турбулентного пограничного слоя. Подставляя в уравнение (9.14.3) значения
х = Tq и ро/р из второй формулы A0.8.3), находим, что
При Re -> оо
¦0, Z^l и
A0.9.1)
A0.9.2)
В области я|) » 1 предельный закон A0.9.2) может быть записан в прибли-
приближенной форме:
^«^-1/2. A0.9.3)
Теоретические расчеты и экспериментальные данные показывают, что ве-
величина W является довольно слабой функцией числа Рейнольдса. Поэтому
V
0 0,
?
1,8
5 1
П R
и,о
0,2
/
Кг**-
/ 104
103
105 оо
0 /2,5/ /50/ 5,
5 if
Рис. 10.5. Влияние неизотермичности на трение и теплообмен в дозву-
дозвуковом турбулентном пограничном слое газа
для области конечных чисел Re вполне удовлетворительные результаты дает
подстановка в уравнение A0.9.1) значений функции (Oj и Z, взятых в форме,
точной для ф = 1, т. е. если положить
Z— 1 —(дх.
A0.9.4)
В области 1|э < 1 и конечных чисел Re;^F «1, а в области яр >1; ? « ^Re-^oo.
Используя это обстоятельство, расчетные формулы можно записать в следую-
следующем виде:
2 r-t
з—8,2 A|?_ 1) 1^с/оЧ-
? A0.9.6)
125
Подставив в последние формулы значение cf0 из уравнения A0.6.6), получим:
'; (Ю.9.7)
Как видно из рис. 10.5, при турбулентном течении влияние неизотермич-
ности в области гр > 1 заметно больше, чем при ламинарном. При этом из со-
сопоставлений решений для ламинарного и турбулентного пограничных слоев
ясно, 4TOJ3 поюл^нш^
H3MeHeHHejuiorao^^
10.10. ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ
КРИВОЛИНЕЙНОЙ ПОВЕРХНОСТИ
' Уравнение импульсов (9.5.10) можно записать в следующей форме:
^- + ReL(l+H-№)f = ReL±L. A0.10.1)
dx 2
Здесь Re** = w0 6**/v0 — текущее число Рейнольдса, построенное по тол-
толщине потери импульса; Re/, = w0L/v0 — текущее числе Рейнольдса, пост-
построенное по длине контура L; / = E**/оуо) (dwjdx) — формпараметр, характе-
характеризующий аэродинамическую кривизну потока; Н = б*/б**—формпара-
б*/б**—формпараметр, представляющий собой отношение толщин вытеснения и потери импуль-
импульса; М = wo/ao — число Маха; р0, v0, а0 — плотность, кинематическая вяз-
вязкость и скорость звука на внешней границе слоя в данном сечении х\ х —
координата, направленная вниз по потоку вдоль обвода контура; L — полная
длина контура или другой его характерный размер (хорда, диаметр); х = xlL —
относительное расстояние по обводу контура.
Полная длина контура рассчитывается от его передней кромки до задней
или от точки разветвления потока до задней кромки тела.
Рассмотрим течение среды с постоянными физическими свойствами. Тогда
коэффициент трения в общем случае будет функцией числа Re** и аэродинами-
аэродинамической кривизны контура. Локальной характеристикой последнего фактора
может служить формпараметр f, а интегральной — распределение скорости w0
по контуру L, т. е. функция
w = Wq/Wqo = w{x)» A0.10.2)
Здесь w00 — характерная скорость, например скорость на бесконечности.
В однопараметрическом приближении
cf = ct(R#*;f);\ (Ш03)
tf = #(Re**;/).J
Совместное решение уравнений A0.10.1) и A0.10.3) дает возможность
рассчитать распределение основных параметров пограничного слоя вдоль
контура. ' ;
Для ламинарного пограничного слоя имеются точные решения некоторых
классов течения, характеризуемых видом функции A0.10.2), полученные
Фолкнером и Скэн, Хоуартом, Гертлером и Виттингом, А. А. Дородницыным
и др. Приближенные методы были предложены в работах Кармана и Польгау-
зена, Л. Г. Лойцянского и др. Подробное изложение основных из этих методов
дано в монографиях Л. Г. Лойцянского.
Здесь мы ограничимся приведением результирующей таблицы однопа-
раметрического решения, полученного Н. Е. Кочиным и Л. Г. Лойцянским
126
Характеристики изотермического ламинарного пограничного
слоя по приближенному однопараметрическому решению
Таблица 10.4
/Re**
-0,089
-0,085
-0,08
-0,07
-0,06
-0,05
-0,04
-0,03
-0,02
-0,01
-0,00
cf Re**
0,000
0,038
0,078
0,142
0,194
0,240
0,284
0,324
0,362
0,400
0,438
V
0,000
0,086
0,178
0,324
0,444
0,547
0,649
0,740
0,825
0,912
1
н
3,85
3,66
3,50
3,28
3,12
3,00
2,90
2,82
2,74
2,67
2,61
н
1,47
1,40
1,34
1,26
,20
,15
1,11
1,08
,05
1,02
1
f Re**
0,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,085
—
cf Re**
0,438
0,472
0,506
0,540
0,572
0,604
0,636
0,670
0,700
0,714
—
1
1,08
1,15
1,23
1,31
1,38
1,45
1,53
1,60
1,63
и
2,61
2,55
2,50
2,46
2,41
2,36
2,32
2,28
2,24
2,22
и
1
0,975
0,957
0,942
0,924
0,905
0,890
0,874
0,857
0,850
—
A0.10.4)
A0.10.5)
(табл. 10.4). Как видно, по этому решению отрыв изотермического ламинар-
ламинарного пограничного слоя происходит при значении формпараметра
/кр = — 0,089/Re**,
а закон трения может быть выражен интерполяционной формулой
гР = A — /K/4
с погрешностью до 3% .
Для турбулентного пограничного слоя теоретическое определение всего
комплекса параметров отрыва впервые было сделано в однопараметрическом
приближении автором и А. И. Ле-
Леонтьевым. Для изотермических усло-
условий по этому решению
{/кр=-0,01; б*; = 0,16;
#кр=1,87}, A0.10.6)
а зависимость A0.10.3) определяемся
графиками рис. 10.6.
Экспериментальные данные Нику-
радзе и Фуруа хорошо подтверждают
это решение в отношении величин
б^р и #кр. Что касается значения
/кр, достаточно точных эксперимен-
экспериментальных данных пока не имеется и
оно, видимо, лежит в пределах
0,005 <|/кр |< 0,01.
Из сопоставления формул A0.10.4)
и A0.10.6) видно, что отрыв ламинар-
ламинарного пограничного слоя наступает при
меньшем значении формпараметра /,
чем отрыв слоя турбулентного. Кроме того, универсальной характеристикой
0,8
0,6
V
\
Щ
ХуЫО5
-10s
к
0,2
0 0,2 <0,4 0,6 0,8 f
Рис. 10.6. Закон трения в диффузорной об-
области
отрыва ламинарного пограничного слоя является произведение f
у турбулентного пограничного слоя — собственно формпараметр /.
Введем в рассмотрение функцию
**
Re
¦)Гкр/. A0.10.7)
Здесь Г = 2//с/0 — формпараметр Бури —Лойцянскрго. Тогда уравнение им-
импульсов можно записать в виде (/~= /У/кр).
2 d*?^ = F(j^ ( A0.10.8)
dx
127
При 7 = 0 W = WT, F(O) = ?r; при J= 1 V = 0, F A) = -A+Якр) Г кр.
Здесь ^7 — относительное изменение коэффициента трения под влиянием
б П <х>, и поэ-
поэкр
фф
неизотермичности при обтекании пластины. При Re кр , о
тому в области больших чисел Рейнольдса вполне приемлемо приближение
F{J)~WT-A +Якр)Гкр/. A0.10.9)
Вводя это выражение F (/) в уравнение A0.10.8) и определяя закон трения
степенной формулой, получаем
2Re**w
Интегрируя это уравнение для условий изотермического течения
находим
Re4
\+т
В Re
X
¦i
A0.10.10)
Фт = 1),
A0.10.11)
Здесь Xi = 1 + Якр; %2 = 1 + A + m) A + Якр); Re0 = oyooLo/v; l^- !
безразмерная координата начала развития рассматриваемого пограничного
слоя. Далее, по распределению Re** определяется и распределение коэффи-'
циента трения. :
Более подробное изложение этой проблемы можно найти в монографиях, !
приведенных в списке литературы к данной главе.
10.11. КОНСЕРВАТИВНОСТЬ ЗАКОНА ТЕПЛООБМЕНА
ОТНОСИТЕЛЬНО ГРАДИЕНТА ДАВЛЕНИЯ
При dp/dx Ф 0 нарушается одно из основных условий существования
подобия полей температур и скоростей. При этом процесс теплообмена зна-
значительно менее чувствителен к аэродинамической кривизне тела, чем трение.
Это обстоятельство обнаруживается уже при сопоставлении распределений
касательных напряжений и плотностей тепло-
Wf^z I I I I I вого потока по поперечному сечению погранич-
пограничного слоя. Так, в точке / = /кр по уравнению
0,8\ PVi 1 1 1 (9.6.4)
0,6
0,2
о
2
V
\
1
1
V
\
\
ч
0,2 0,4 0,6 0,8 §
2?2+?3), A0.11.1)
в то время как соответствующее приближение
закона распределения ? выражается формулой
(9.7.1) независимо от значения параметра f.
Таким ^образом, в пределах аппроксимации за-
законов т (I) и q (I) кубической параболой рас-
распределение теплового потока автомодельно от-
относительно градиента давления. На рис. 10.7
эти зависимости показаны графически. Как вид-
видно, в пристенной области при / = /кр ход зави-
зависимостей т (?) и q (I) совершенно различен.
Произведем оценку закона теплообмена в точ-
точке отрыва пограничного слоя, т. е. там, где
должно иметь место наибольшее отклонение от закона теплообмена для пла-
пластины (/ = 0). При этом ограничимся рассмотрением пограничного слоя с по-
постоянными физическими свойствами и Рг « 1.
В случае ламинарного пограничного слоя распределению касательных на-
напряжений A0.11.1) соответствует профиль скоростей
A0.11.2)
Рис. 10.7. Распределение каса-
касательных напряжений (/) и теп-
тепловых потоков B) в точке от-
отрыва пограничного слоя
128
Из условия, что при I = 1 со = 1 следует
р = —Гкр .
Далее, полагая Гкр = —0,089, получаем
¦ кр. A0.11.3)
A0.11.4)
= 0,143 8 2Г—0,0868?- + 0,0176К A0.11.5)
где 8т = 8т/8.
Подставляя это выражение 6f* в формулу A0.4.9), находим, что в точке
отрыва динамического пограничного слоя
St/Sto«l,216f— 0,736? + 0,1464г- A0.11.6)
Расчеты по последней формуле приведены в табл. 10.5.
Таблица 10.5
Значение Ys
8г/8
St/Sto
в
точке отрыва
0,5
0,22
пограничного
0,75
0,31
слоя
1
0,62
1,
0,
25
81
1
0
,5
,86
2
1
,0
,23
В случае турбулентного пограничного слоя выражению Якр по формулам
A0.10.6) и A0.6.7) соответствует профиль скоростей в ядре:
со = ?°>43 A0.11.7)
и в области вязкого подслоя:
со= — ГКр?2/26к;2, A0.11.8)
где 6kJ = 0,16. Последняя формула следует из уравнения A0.11.2) при ? ->0:
1т — — . (Ю.П.9)
Для оценки значения числа Стентона в точке отрыва турбулентного погра-
пограничного слоя положим 1Т « / « 0,4Vtq?, q=l, что соответствует логариф-
логарифмическому профилю скоростей при / = 0,
Рг « I, 8Т « I. Тогда
1
St « 0,0685 Г — dl
J dt,
%
0,8
0f0295g;-43(l—
A0.11.10)
dtgpn
О О <
О
о 5
> с
О
Г ^
о
0 .
Здесь
fRe**°>2*
0,1
/^** /,Л 11 11ч Рис- 10-8- Влияние градиента дав-
lj кр/бкр. A0.11.11) ления на теплообмен
Определяя ?ькр по пересечению профилей скоростей A0.11.7) и A0.11.8), на-
находим по выражению A0.11.10):
St^0,048/Re**0»37. A0.11.12)
Из приведенных в табл. 10.6 оценок видно, что интенсивность теплообмена
зависит от градиента давления существенно меньше, чем аэродинамическое
трение. При этом в точке отрыва число Стентона при конечных числах Рей-
нольдса отнюдь не равно нулю.
5 Зак. 795
129
Таблица 10.6
Значение xts
Re**
St/Sto
в точке
Ы0-
1,64
отрыва
i
турбулентного
5-103 1 1.
1,24 1,
пограничного слоя
104
14
5
0
105
83
1
0
• 10е
,42
се
0
На рис. 10.8 показаны экспериментальные данные А. И. Леонтьева,
А. Н. Обливина и П. Н. Романенко, подтверждающие консервативность закона
теплообмена в диффузорной области течения турбулентного пограничного
слоя.
10.12. ИНТЕГРАЛ УРАВНЕНИЯ ЭНЕРГИИ
Уравнение энергии пограничного слоя (9.5.3) при М
писано в форме
dRe*T* Re*T* dAT
dx
1 может быть за-
заA0.12.1)
где Re*T* = wo6t*/vo
энергии. Полагая
dx *T
¦ число Рейнольдса, построенное по толщине потери
после интегрирования получаем
х
AT
A0.12.2)
A0.12.3)
По найденному значению Re** определится локальное значение числа Стен-
тона: St = Ч^Б^. Показатель степени при числе Прандтля в формуле A0.12.1)
для газов и неметаллических жидкостей можно принимать: для ламинарного
пограничного слоя п ж 0,7, для турбулентного пограничного слоя п я^ 0,6.
Коэффициенты Вит берут соответственно степенному закону трения для дан-
данной области значений числа Рейнольдса.
Если задано не распределение температуры стенки, а закон подвода тепла
через нее дСТ(х), то уравнение A0.11.12) удобно переписать в более компакт-
компактной форме:
d /а^п.^ч <7стМ A0.12.4)
dx
cp \iq
Отсюда
A0.12.5)
Выражая Ref* через число Стентона, можно привести это уравнение к виду
-im/d+m)
Х0 Re0 w0 Ys Pr"
Pr
A0.12.6)
где nx = 1 + m — n.
В практических расчетах влиянием градиента давления на закон теплообме-
теплообмена обычно пренебрегают и во всех формулах полагают Ws = ^т-
130
10.13. ТЕПЛООТДАЧА ПРИ ОБТЕКАНИИ ШАРА
Шар представляет собой плохо обтекаемое тело, не имеющее преимущест-
преимущественного направления. В приведенной на рис. 10.9 зависимости коэффициента
сопротивления шара от числа Рейнольдса потока ? определен по формуле
Z = 2F/pwbQ, A0.13.1)
где f _ СИЛа гидродинамического сопротивления; Q — характерная площадь
сечения тела. Для продольно обтекаемой пластины Fi}'1 ^ тст. Для шара
Q = nRo, где Ro — радиус.
200
100
50
40
20
10
6
4
2
1
0,6
ОА
0,2
0,06
\
ft
ч
у,
1
Ч
V
\
1
\
1 I
г- f
—
If»
Mr
|(
т
1
|!
\
-J
—1
II
j
10"'
10°
ю1
10*
ю5
Re
Рис. 10.9. Зависимость коэффициента сопротивления шаров от числа Рейнольдса:
_. — . кривая, рассчитанная по теории Стокса; Q —данные Шиллера —Шми^еля; • — Либстера;
Э —Ал лена, С\ — Визельсберга A921 г.); (? — Визельсберга A926 г.)
Число Рейнольдса в данном случае определено по диаметру шара и скорости
набегающего потока:
Re = 2RowJv. A0.13.2)
В области чисел Re < 2 действует закон Стокса
F = 6яц#0 w0; ? = 24Re-x. A0.13.3)
Далее коэффициент сопротивления уменьшается обратно пропорционально
числу Рейнольдса в степени, меньшей единицы, и в области чисел 2 • 103<
< Re < 2 • 105 остается почти постоянным и равным в среднем 0,4.
Возникновение этой первой области автомодельности коэффициента сопро-
сопротивления шара по отношению к числу Рейнольдса обусловлено возникнове-
возникновением отрыва ламинарного пограничного слоя при Re > 2 • 103 и возникно-
возникновением «сопротивления давления». Последнее означает, что большая часть
сопротивления обусловлена не трением в пограничном слое на лобовой части
шара, а разностью статических давлений в лобовой части и в вихревой зоне,
возникающей в кормовой области течения.
Наконец, в области чисел Re > 2 • 105 возникает новый, отчетливый кри-
кризис сопротивления и при Re > 106 имеет место вторая автомодельная область
с ? ^ 0,2. Это явление связано с турбулизацией пограничного слоя при боль-
больших числах Рейнольдса и соответствующим сдвигом точки отрыва ближе
к кормовой области течения.
Для шара можно установить минимальное значение коэффициента тепло-
теплоотдачи, которое имеет место при w0 -+Q к определяется теплопроводностью
от сферического источника, погруженного в неограниченную однородную
« 131
Nu
600
400
500
200
100
80
60
40
20
10
Ре Рг
* Ляхобстй A957) 500-2800 0,717
+ Ляхобский A947) 5-50 0,717
* Выр у боб 70-2600 0,65
° Сокольский 0,5-2600 0,695
° Лойцянский-Шбаб55000-500000 0/2
v] Г 150-770 0,594
:«— tZ &
oJ I 2-586 2,68
* l Кацнельсон \ 170-5000 100
* \ \ 50-1670 1000
° J Тимофеева [ 12-400 8000
— —
^—-
о
¦^a©^ о
i .*
>
2, о
Г
' о
Tcnfi
xJwv
*&\
roo
el'
о
!
i
i
j
1
—
i
0,1 0,2 0,4 0,6 0,81,0 2 4 6 8 10 20 40 60 80100 200 Re
Рис. 10.10. Опытные данные о теплоотдаче шара
среду. По формуле G.4.2) при R± = D/2, где D = 2R0 — диаметр сферы, и
Т. A0.13.4)
Отсюда формально определенное минимальное значение коэффициента теплоот-
теплоотдачи находят по формуле
а -> l/RQ\ NuMWH = aMHHDA = 2. A0.13.5)
Сводка опытных данных по теплоотдаче при квазиизотермическом ста-
стационарном обтекании сфер, выполненная Б. Д. Кацнельсоном и Ф. А. Тимо-
Тимофеевой-Агафоновой, представлена на рис. 10.10. Эта зависимость описывается
эмпирической формулой
Р»|< I Nu = 2 + 0,03Pr°.33 Re°>5* +0,35Pr°>35 Re0'5*. A0.13.6)
При помещении сферы по оси свободно набегающей струи наблюдается улуч-
улучшение обтекания при соизмеримости диаметров струи и сферы. Эксперимен-
Экспериментальные данные С. И. Исатаева и 3. Ж. Жанабаева, приведенные на рис. 10.11,
показывают снижение сопротивления более чем на порядок при диаметре
струи, равном половине диаметра обтекаемой сферы.
Исследование влияния температурного фактора при обтекании сферы га-
газом было выполнено 3. С. Леонтьевой, И. П. Васиной, И. А. Максимовым
для умеренных чисел Рейнольдса и А. В. Лебедевым для больших чисел Рей-
нольдса. На рис. 10.12 приведены зависимости коэффициента сопротивления
сферы от температурного фактора яр, числа Рейнольдса и относительного диа-
диаметра струи. Как видно, при небольших числах Рейнольдса и практически
неограниченном потоке влияние температурного фактора при ТСТ > То
весьма значительно и противоположно тому, которое имеет место при безотрыв-
безотрывном обтекании тел. Это влияние существенно снижается с ростом числа Рей-
Рейнольдса и особенно с уменьшением относительного диаметра струи.
Выход на автомодельность относительно диаметра струи от температурного
фактора практически не зависит и имеет место при Остр > 1,5 D. Рассмот-
132
—i
н
i
1
0,60
0,40
0,20
0,10
0,08
0,06
OftA
QJJ3
y 0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 D/d
Рис. 10.11. Влияние относительного
диаметра струи на коэффициент со-
сопротивления шара при Re= @,5-f-
-rl)-105
0,5
Рис. 10.12. Зависимость коэффициента со-
сопротивления шара от относительного диа-
диаметра струи при различных значениях тем-
температурного фактора и чисел Рейнольдса
ренный эффект связан главным образом со смещением точки отрыва и частично
с изменением плотности среды в кормовой области течения.
На коэффициент теплоотдачи температурный фактор влияет у плохо обте-
обтекаемых тел меньше, чем на гидравлическое сопротивление. Объясняется это
тем, что теплообмен в основном определяется развитием нормального погра-
пограничного слоя на лобовой части тела и вторичного пограничного слоя в вихре-
вихревой зоне за точкой отрыва.
10.14. ТЕПЛООТДАЧА ПРИ ПОПЕРЕЧНОМ ОБТЕКАНИИ
ОДИНОЧНОГО ЦИЛИНДРА
Зависимость коэффициента гидравлического сопротивления имеет вид, по-
показанный на рис. 10.13. Там же нанесено сопротивление трения в пограничном
слое на лобовой части цилиндра. Качественно картина та же, что и для сферы.
На рис. 10.14 показано изменение картины поперечного обтекания цилиндра
с ростом числа Рейнольдса. Отчетливо виден процесс возникновения отрыва
пограничного слоя и формирования кормовой вихревой зоны. На рис. 10.13
видно, что первая автомодельная зона лежит в области чисел 5 • 102 < Re <
60
40
20
10
6
4
2
1
0,6
0,4
09
\
\
s
ч
s
ч,
•к,
•
г
o-d=0,05MM <*-7,9
• -0,1 ъ-42,0
o-OyJ е-80
ф 1,0 ® 300
9-3,0
XX
ft
¦-L
^
\
1
10'
103
Re
Рис. 10.13. Зависимость коэффициента сопротивления круглых цилиндров различных
диаметров d от числа Рейнольдса (измерения Визельсберга)
133
<< 2 • 105 и характеризуется значением ? ^ 1,2. Вторая автомодельная об-
область имеет место при Re > 5 • 105 и характеризуется значением ? <^ 0,3.
Для цилиндра конечной длины ? уменьшается.
Рис. 10.14. Влияние числа Рейнольдса на течение жидкости за круглым цилиндром
На рис. 10.15 кривая 1 представляет изменение относительного коэффи-
коэффициента теплоотдачи по окружности поперечно обтекаемого цилиндра при
Рг « 1. Кривая 2 показывает распределение относительного коэффициента
теплоотдачи при поперечном обтекании цилиндра жидким натрием, т. е. при
Рг <^ 1. Уменьшение коэффициента
теплоотдачи от лба цилиндра к его
середине (относительно направле-
направления потока) связано с нарастанием
в этой области пограничного слоя.
В точке минимума начинается воз-
возрастание коэффициента теплоотда-
теплоотдачи, связанное с развитием вихре-
образования в кормовой области
цилиндра. Отчетливо видно вырож-
вырождение зон влияния отрыва погра-
пограничного слоя (Р > 80°) для среды
с Рг « 1.
По опытам с потоком воздуха
естественной турбулентности най-
1,0
0,8
0,4
\
\
\
\
\
/
/
-л
\
\ \
V
л
/ I
2
\
\
—^
\
\ /
/
/
у
200 160 120 80 40 0 40 80 120?0,град
Рис. 10.15. Распределение теплоотдачи по ок-
окружности цилиндра, обтекаемого воздухом A)
и жидким металлом {2)
дены значения коэффициентов С и
т (табл. 10.7) в степенной формуле:
Nu = CRew. A0.14.1)
Как в случае обтекания пластины, так и здесь при больших числах Re
закон теплоотдачи оказывается почти точно совпадающим с законом для тур-
турбулентного течения в трубе. Физические свойства относятся к средней темпе-
температуре потока. Пересчет на жидкость с Рг Ф 0,72 может быть произведен
по формуле
Nu^ l,14CPr°'4Re™. A0.14.2)
134
Таблица 10.7
Значения коэффициентов С и т в формуле A0.14.1)
по ряду экспериментальных данных при Рг = 0,72
Re
С
т
5—80
0,81
0,40
80^5 103
0,695
0,46
@,5-7-5) -Ю4
0,197
0,60
>5-104
0,023
0,80
Опыты Ульзамера, В. И. Гомелаури, А. А. Жукаускаса и др. подтверж-
подтверждают возможность использования формулы A0.14.2) для практических расчетов.
По Гильперту влияние температурного фактора при поперечном обтекании
газом бесконечного цилиндра определяется эмпирической формулой
а/а0 = \\)т/4, A0.14.3)
т. е. влияние температурного фактора для теплоотдачи плохо обтекаемого тела
обратно его влиянию в безотрывном течении.
Угол между направлением потока и осью цилиндра называется углом атаки.
Приведенные выше формулы справедливы для угла атаки |3 = 90°. На рис. 10.16
представлены результаты опытов по влиянию угла атаки на относительное
изменение теплоотдачи цилиндра. В обла-
области углов 90—70° теплоотдача остается
практически на одном и том же уровне.
При Р < 70° коэффициент теплоотдачи су-
существенно снижается. Для тел призма-
призматической формы данные о теплоотдаче по-
получены Л. Д. Берманом и др.
На теплоотдачу одиночной трубы замет-
заметно влияет также степень турбулентности
набегающего потока жидкости. Степень
возрастания теплоотдачи при увеличении
степени турбулентности набегающего по-
потока видна из табл. 10.8, составленной
М. А. Михеевым.
При Рг <<С 1 меняется как характер распределения коэффициента теплоот-
теплоотдачи по окружности трубы, так и его зависимость от скорости набегающего
потока.
Таблица 10.8
0,8
0,6
—-»
HIM
/III
N.
\
\
90
70 50
JO J3,Bpad
Рис. 10 16. Влияние угла
теплоотдачу цилиндра
атаки на
Степень изменения коэффициента теплопередачи одиночного
цилиндра в потоках с неодинаковой турбулентностью
Автор
Гильперт
Михеев
Рейнер и Форнем
Мак-Интайр
Эйгенсон
a/aj
1,00
1,08
1,18
1,50
1 60
Условия приведения опыта
Свободная струя на выходе из сопла
Замкнутая труба с успокоительной решеткой
Замкнутая труба с успокоительной решеткой
после вентилятора
Замкнутая труба без успокоительной решетки
сразу после вентилятора
Разомкнутая труба, но при наличии турбули-
зирующей решетки
135
При Рг -^0 поток можно считать потенциальным. Для этих вырожденных
условий обтекание цилиндра было изучено Перси и Уинни, а также Грошем
и Цессом. Это решение имеет вид
J
Тст = const, Nu -* 1,23]Аре. j
Эти формулы могут быть обобщены на числа 0 < Рг <^ 1 поправкой типа фор-
формулы A0.5.5), т. е. представлены в виде
Pr«l, Nu = CK(l— Рг1/з)ре. A0.14.5)
Здесь число Пекле
Pe = w0D/a. A0.14.6)
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Басина И. П., Максимов И. А. Исследование аэродинамического сопротивления сфе-
сферической частицы при теплообмене и горении.— «Теплоэнергетика», 1969, № 1, с. 75.
2. Жидкометаллические теплоносители. Изд. 3-е, перераб. и доп. М., Атомиздат, 1976.
Авт.: В. М. Боришанский, С. С. Кутателадзе, И. И. Новиков, О. С. Федынский.
3. Зы си на-Моложен Л. М., Зысин Л. В., Поляк М. П. Теплообмен в турбомашинах. Л.,
«Машиностроение», 1974.
4. Исатаев С. И., Жанабаев 3. Ж. Теплоотдача шара при струйном обтекании.— «Инж.-
физ. журн.», 1968, т. 14, № 4, с. 586.
5. Кутателадзе С. С, Леонтьев А. И. Тепломассообмен и трение в турбулентном по-
пограничном слое. М., «Энергия», 1972.
6. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. Изд. 3-е, перераб. и доп. М., «Наука»,
1970.
7. Федяевский К. К., Гиневский А. С, Колесников А. В. Расчет турбулентного погра-
пограничного слоя несжимаемой жидкости. Л., «Судостроение», 1973.
8. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. Пер. с нем. М., «Наука», 1969.
9. Hilpert R. Warmeabgabe von geheizten Drahten und Rohren im Luftstrom. — «For-
schung. Ing.-Wes.», 1933, Bd 4, N 4, S. 215.
10. Ulsamer J. Die Warmeabgabe eines Drahtes oder Rohres an einen senkrecht zur Achse
Stromenden Gas-oder Flussigkeitsstrom.—«Forschung. Ing.-Wes.», 1932, Bd3, N 2, S. 94.
11
[лава
ТЕПЛООТДАЧА ПРИ ТЕЧЕНИИ
НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ В ТРУБАХ
11.1. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТЕЙ
И ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ
ПРИ ИЗОТЕРМИЧЕСКОМ ТЕЧЕНИИ
При установившемся прямолинейном, симметричном, изотермическом ла-
ламинарном течении ускорение потока Dw/dt = О, и уравнение движения в ци-
цилиндрических координатах примет вид
ИЛИ
JL(*!L) & A1.1.2)
dR \ r dR ) dx
Левая часть этого уравнения представляет собой изменение по радиусу
касательных напряжений в симметричном цилиндрическом ламинарном по-
потоке, а правая — силы давления, действующей на столб жидкости единичной
длины с сечением nR2.
Интегрируя это уравнение и принимая во внимание условия
Q; R = R0, w = 0}, A1.1.3)
получаем параболический закон распределения скоростей:
где #0 — внутренний радиус трубы. Средняя расходная скорость
w=— f 2nRwdR=—*± -4L . A1.1.5)
о
Совмещая две последние формулы, находим
w = 2w[l— (R(RoJ]. A1.1.6)
Таким образом, при ламинарном течении скорость на оси трубы в два раза
больше средней скорости. В гидравлических расчетах падение давления на еди-
единицу длины изотермического потока выражается формулой Дерси
A1.1.7)
Подставляя сюда значение w из уравнения A1.1.5), находим, что при лами-
ламинарном течении в круглой трубе
? = 64/Re, A1.1.8)
где Re = wD/v.
Рассмотренные закономерности впервые были установлены в работах
Гагена и Пуазейля. Для каналов некруглого сечения зависимость ? (Re) имеет
тот же характер, но меняется численное значение множителя пропорциональ-
пропорциональности (табл. 11.1).
При развитом турбулентном течении распределение скоростей в основной
части потока хорошо описывается формулой (9.11.9). Сопоставление профилей
скоростей в ламинарном и турбулентном потоках показано на рис. 11.1.
137
Значение ?Re при ламинарном течении в каналах
различного поперечного сечгния (в качестве определяющего
размера принят эквивалентный гидравлический диаметр DD =
Таблица
Форма поперечного сечения канала
Круг (h = b = D)
Эллипс (Ь — большая ось; h — малая ось)
Прямоугольник (Ь — большая сторона; h — мень-
меньшая сторона)
{
Квадрат (h—длина стороны)
Равносторонний треугольник (h—длина стороны)
Круглое кольцо (/г— ширина кольца)
V
h/b
1
0,7
0,5
0,3
0,2
0,1
0
0,1
0,2
0,25
0,333
0,5
1
1
°э
D
1,17/z
1,30/г
1,44/1
1,50/г
l,55/i
2/г
1,82/г
1,67/г
1,60/г
1,50/г
1,33/г
/г
0.58/г
2/г
?Re
64
65
68
73
76
78
96
85
76
73
69
62
57
53
96
С большой степенью точности среднюю скорость турбулентного течения можно
описать уравнением
: : = -?т- f (Ro-y) (с* + - in -*JL)dy.
R2o J \ к v )
Уо
Вычисляя этот интеграл и отбрасывая малые члены, получаем
A1.1.9
/
1
\
/
f
/
2,0
\
\
\
\
\
\
\
\
\
2х
0,8 0,4 0 0,4 0,8 R_
Рис. 11.1. Профили скоростей в
трубе:
/ — ламинарное течение; 2 — трубулент-
ное течение
И^макс
0,75
0,65
0,55
1
1
t
W
I
J
3,0 ЗА 3,8 4,2 igRe
Рис. 112 Зависимость ш/шмакс от Re
Сила давления, действующая на жидкость в установившемся прямолиней-
прямолинейном потоке, уравновешивается касательными напряжениями, т. е.
— nR2 dp/dx =-2nRx. A1.1.11
Отсюда касательные напряжения на стенке трубы
Ro dp =^ w2p A1.1.12
138
и соответственно
A1.1.13)
Подставляя это значение у* в уравнение A1.1.10) и вводя численные зна-
значения С^ = 5,5' и х — 0,4, получаем связь между коэффициентом сопротив-
сопротивления и числом-Re для развитого турбулентного течения в гладкой трубе:
l/j/"^0,881n (Re]/^) — 0,9". * A1.1.14)
Полученное выражение не разрешается алгебраически относительно ?,
но хорошо аппроксимируется в области 104< Re< 105 эмпирической формулой
Блазиуса:
2\ . A1.1.15)
а в областное > 105 — эмпирической формулой Никурадзе:
? = 0;0032 + 0,221 /Re0'237. A1.1.16)
В области-2000 < Re.< 5000 имеет место весьма неустойчивая форма те-
течения,—.переходная между ламинарными развитым турбулентным режимами*
В области турбулентного течения значение величины до/домакс близко к 0,8—
0,9 (рис: 11.2).
'2,6
5,4
LgRe
Рис. 11 3. Коэффициент сопротивления труб с однородной зернистой шерохова-
шероховатостью
/__О//г = 30; 2 — D//* = 61,2; 3 — D/k= 120; 4 — D/k = 252; 5 — D/k = 50i; 6 — D/k =
= 1014; 7 —кривая соответствует закону сопротивления при ламинарном течении ? = 64 /Re;
# — закону сопротивления при турбулентном течении ?=0,316/Re ' в гладкой трубе
Гидравлическое сопротивление шероховатых труб оказывается таким же,
как и у гладких тр?б,- до тех пор, пока толщина вязкого подслоя больше вы-
высоты выступов шероховатости k. После того как выступы шероховатости по-
попадают в турбулентную область потока, около них начинается вихр?о0разо-
вание, и вязкое трение перестает заметно влиять на профиль скоростей течения
в основной массе жидкости. Как видно из рис. 11.3, при достаточно значи-
значительных числах Re в шероховатых трубах имеет место независимость (автомо-
дельность) коэффициента сопротивления от этого критерия. м .
189
0,040
0,055
0,050
0,025
4-106
10
5-Ю6 Re
Рис. 11.4. Коэффициент сопротивления технических стальных труб
Эти результаты получены в лабораторных условиях с достаточно однород-
однородной зернистой шероховатостью. В эксплуатационных условиях шероховатость
труб весьма неоднородна, вследствие чего переход к автомодельной области
осуществляется постепенно. Закон сопротивления технических стальных труб
показан на рис. 11.4 по данным Мурина.
11.2. ТЕПЛООТДАЧА ПРИ ЛАМИНАРНОМ ТЕЧЕНИИ
Записав уравнение теплопереноса в цилиндрических координатах
положив в нем для установившегося осесимметричного прямолинейного лами-
ламинарного потока
O; wR = 0} A1.2.2)
и подставив значения w из уравнения A1.1.6), получим
а2г 1 зт 2w г« / /г \2i ar a2r
а/?2 /г а/? ~" а I I /г0
dx
а*2
A1.2.3)
Введем следующие безразмерные координаты, полагая температуру стенки
трубы постоянной:
A1.2.4)
{* = (Тст - Т)/(ТСТ - Тг)\ I = R/Ro, X = x/R0}9
где Тг — температура жидкости при входе в трубу.
140
Уравнение A1.2.3) примет вид
A1.2.5)
где Ре = wD/a — критерий Пекле.
Расчеты показывают, что уже при Ре > 10 величину д2$/дХ2 можно счи-
считать пренебрежимо малой по сравнению с первым членом правой части урав-
уравнения A1.2.5), т. е. полагать, что
дХ
A1.2.6)
Как при нагревании, так и при охлаждении жидкости безразмерная темпе-
температура Ф убывает вдоль течения. В связи с этим разыскиваем частное решение
уравнения A1.2.6) в виде произведения
двух функций, аналогично тому как это
делалось при исследовании тела, стремя-
стремящегося к тепловому равновесию.
Полагая
A1.2.7)
0,8
и "дифференцируя A1.2.7), получаем
Ре
Ре/
-Р2-^-); A1.2.8) о
¦ехр —
/
\
\
/
<
\
/
\.
X
/ //
Хг1\\
//
/
Ре
Подставляя эти значения производных '
в уравнение A1.2.6), после сокращения на
ехр (—Р2Х/Ре) приходим к обыкновенному В_ 0,8 0,4 0
дифференциальному уравнению второго ^о
порядка:
Рис. 11.5. Функции %i в формуле
-—+—-—+|32A--?2)^ = 0, A1.2.9)
A1.2.10)
A1.2.11)
общее решение которого имеет вид A ^ i <g: oo)
Краевые условия:
S=l, 0 = 0,
По вычислениям Нуссельта
-ф|(Э = Л,Х|(Б). A1.2.12)
Коэффициенты рг и At приведены в табл. 11.2, а функция %t изображена на
рис. 11.5.
Средняя по сечению трубы температура определяется формулой
— Г wTRdR.
о
A1.2.13)
141
Таблица
Значения коэффициентов в формулах A1.2.10) и A1.2.12)
11.2
i
Ai
l
2,705
-! 1,477
2
6,66
—0,810
3
10,3
+ 0,385
Подставляя сюда значение Т из уравнения A1.2.10), получаем
*x-0,819exp(--14,62aA:/^D2)+ 0,0976 ехр(— 88y2ax/wD2) +
+ 0,0189 exp( — 2\2ax/wD2) + .... A1.2.14)
Дифференцируя последнее уравнение, находим
— (д#/д|)?=1-1,498 ехр( — 14,62ях/шО2)+ 1,114ехр (—88,2ax/wD2) +
+ 0,503ехр( — 2\2axjwD2) + .... A1.2.15)
Граничное условие на стенке трубы имеет вид
ссж(Тст-Гх)= -К(дТ/ду)ет, (П.2.16)
Принимая во внимание, что у = Ro — /?, можем записать:
о.х (Тст-Тх) = X (dT/dR)Ro. A1.2.1/)
Из выведенных формул видно, что теплоотдача при ламинарном течении
жидкости в трубе определяется комплексом ax/wD2. На рис. 11.6 изображено
изменение критерия
Nux--=Dax/X
A1.2.18)
с ростом значения указанного ранее комплекса для нескольких типов каналов.
Для круглой трубы предельное (наименьшее) значение критерия Нуссельта
равно 3,66.
Nu
80
60
40
20
10
8е
4
4 0 9 /
1 10 * 10 10 10
Рис. 11.6. Зависимость критерия Nu от комплекса PeD/x при ламинар-
ламинарном течении (а отнесено к средпелогарифмической разности тем-
температур) :
; _ круглая труба; 2 — плоская щель; 3 — равносторонний треугольник
Повышенное значение коэффициента теплоотдачи во входном участке
объясняется тем, что температурное поле формируется постепенно на некото-
некотором расстоянии от места начала обогрева. При этом градиент температуры вбли-
вблизи стенки трубы меняется от бесконечности в начальном сечении, где теорети-
теоретически температура по всему сечению постоянна и на стенке имеет место скачок
температуры от Тст до 7\, до значения, соответствующего уже стабилизиро-
стабилизированному температурному полю.
=
<* *
142
При задании условия постоянства плотности теплового потока на стенке
трубы (q = const) значения среднего коэффициента теплоотдачи оказываются
несколько более высокими, чем при условии Тст = const. Стабилизированное
значение числа Nu при q = const для круглой трубы равно 4,36.
Решения, изображенные на рис. 11.6, могут быть аппроксимированы с дос-
достаточной для практических целей точностью двумя линиями: а) при значениях
определяющего комплекса PeD/L, меньших некоторого числа (см. табл. 11.3)
Nu = const; б) при других значениях этого комплекса Nu ~ (PeD/LI/3.
Для расчета теплоотдачи при ламинарном течении жидкости (без учета
свободной конвекции) в каналах сложной геометрии с постоянной температу-
температурой стенки могут быть использованы формулы, приведенные в табл. 11.3.
Таблица 11.3
Формулы для расчета теплопередачи при ламинарном течении в каналах с различной
формой сечения
Профиль канала
Круглая труба диамет-
диаметром D
Плоская щель шириной 6
Равносторонний тре-
треугольник, длина сто-
стороны h
Эквивалентный
диаметр
D3 = 26
D3=0,58/z
Область
чисел Ре Dg/L
>12
<12
>70
<70
>7
<7
Число Nu
Nu = l,61 (PeD/LI/3
Nu = 3,66
NH=l,85(PeD9/II/3
NU = 7,50
№=l,50(PeD9/LI/3
Nu = 2,70
Таблица 11.4
Значение чисел Nu при ламинарном течении в области стабилизованной
теплоотдачи
Профиль канала
Закон изменения темпера-
температуры стенки
Автор расчета
Круглая труба диаметром D
Постоянная
Меняется линейно
3,66
4,36
Грэц, Нуссельт
Игл и Фергюссон
Плоская щель, обогреваемая Постоянная
с обеих сторон (D3 = 2 6) | Меняется линейно
7,5
8,24
Хапеман и Эрет
Янсен
Плоская щель, обогреваемая
с одной стороны (Da = 2 6)
Постоянная
Меняется линейно
4,86
5,40
Эльз ер
Янсен
Равносторонний треугольник
(D3 = 0,58 h)
Постоянная
3,1
В. К. Мигай
Равнобедренный треугольник
/ 2 h
\ 3 \+VBh,LY + \
угол р при вершине:
20°
40°
80°
90°
100°
Постоянная
2,7
3,0
3,5
3,7
3,8
В. К- Мигай
143
В табл. 11.4 приведены значения числа Нуссельта Nu = aDQ/k при лами-
ламинарном течении для каналов с различной формой сечения и для различных
законов изменения температуры стенки канала. На теплоотдаче при ламинар-
ламинарном течении существенно сказывается свободная конвекция. Подробно проб-
проблема теплообмена при ламинарном течении в трубах рассмотрена в монографии
Б. С. Петухова.
11.3. УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПЕРЕНОСА В ТУРБУЛЕНТНОМ
ПОТОКЕ
Рассматривая установившийся осесимметричный поток и полагая, что теп-
теплопроводность в радиальном направлении много больше, чем в осевом, можем
написать осредненное уравнение теплопереноса в следующем виде:
- -— (—VR 0) = и>„ — П1 3 П
R dR I ' dRK * ' x дх ' { >
или иначе:
Поскольку при рассмотрении турбулентных течений мы будем оперировать
только величинами, осредненными за период пульсации, то в дальнейшем их
локальные значения будем писать без знака осреднения.
Подстановка в уравнение A1.3.2) значения Хт из уравнения (9.9.4) дает ос-
основное уравнение для определения температурного поля при турбулентном
течении в трубе:
\(i + B)R\
dR [ { ^ a ii ) dR \ а дх
Введя безразмерные переменные
l = R/R0; X = x/R0; Ъ = {ТСТ-Т)/(ТСТ-ТХ); | A
(d = w/w; Pv = v/a\ Pe = wD!a> J
получим уравнение
Сопоставление этого уравнения с уравнением A1.2.4) показывает, что
в отличие от ламинарного потока в турбулентном теплообмен зависит не толь-
только от критерия Ре, но и от критерия Рг.
Коэффициент теплоотдачи связан с температурным полем уравнением
A1.2.17), которое при принятом в этом разделе определении имеет вид
N1^ = 2C0/C^. A1.3.6)
Средня^ по сечению трубы температура
Яо 1
Л Г wR#dR = 2 twlMl = J?x = l. A1.3.7)
l J j
По тем же причинам, что и в ламинарном потоке, коэффициент теплоот-
теплоотдачи ос при турбулентном течении имеет повышенные значения в начальном
участке трубы и постепенно снижается до некоторого постоянного значения,
определяемого только физическими свойствалш жидкости, ее скоростью тече-
течения и диаметром трубы. В связи с этим общее решение уравнения A1.3.5)
также может разыскиваться в виде произведения двух функций типа A1.2.7).
144
При этом уравнение A1.3.5) приводится к уравнению в обыкновенных диффе-
дифференциалах
^[^] 0, A1.3.8)
где
Решение этого уравнения зависит от выбора вида функций —-(?) и со (?).
11.4. СВЯЗЬ МЕЖДУ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ТЕПЛООТДАЧИ
И ТРЕНИЯ
При турбулентном течении в трубе с числом Рг = 1 имеет место прибли-
приближенное подобие полей температур и скоростей. Следовательно, в этом случае
можно воспользоваться для стабилизированного течения формулой (9.2.10).
При этом следует иметь в виду, что в данном случае cf = ?/4. Последнее не-
непосредственно видно из сопоставления - -
формул (9.2.7) и A1.1.12). Следова- "
тельно, при турбулентном течении и
Рг = 1
Nu = Re ?/8. A1.4.1)
Здесь Nu = aD/k и Re = wD/vy где
D — внутренний диаметр трубы.
В табл. 11.5 приведены результаты
расчетов по формуле A1.4.1) при зна-
значениях коэффициента трения ?, взятых
по результатам опытов с гладкими тру-
трубами. На рис. 11.7 приведенные в
табл. 11.5 данные представлены в лога-
логарифмической анаморфозе. Обнаруживает-
Обнаруживается весьма важное с практической точки
зрения обстоятельство, а именно: через
все расчетные точки можно провести
одну логарифмическую прямую, откло-
отклоняющуюся от точных данных на ± 3%
в широком интервале значений Re — от
логарифмической прямой:
10*
i
о/
7,5%']
i
II
у
C+KF\
о/
/
/
/
/
J
10° Re
Рис. 11.7. Зависимость Nu от Re при
Pr=l:
по формуле A1.4.1);
по формуле A1.4.2)
—интерполяция
2 • 104 до 2 • 106. Уравнение этой
Nu-0,023Re°>8,
или в другой форме
A1.4.2)
A1.4.3)
Таблица 11.5
Значения критерия Nu=Dcc/X, рассчитанные по формуле A1.4.1) по данным ? для
гладких труб при изотермическом течении (расчет справедлив для сред с Рг=1)
Re
Nu
0,0316
39,5
2- 10*
0,0266
66,5
5
0,
. ю*
0211
132
1
0
•Ю8
,0177
221
2
0
0155
388
5
0
• 106
0126
789
МО»
0,0115
1440
2-106
0,0105
2620
145
Этот результат соответствует подстановке в формулу A1.4.1) значения
? = 0,184 Re-°>2. A1.4.4)
Последнее уравнение показывает, что критерий St менее чувствителен к из-
изменению числа Re, чем критерий Nu. В табл. 11.6 приведено сопоставление
значений, полученных по формуле A1.4.2), с данными табл. 11.5, показываю-
показывающее их хорошее соответствие.
Таблица 11.6
Сопоставление расчетов по интерполяционной формуле A1.4.2) с расчетами по формуле
A1.4.1) (расчет справедлив для сред с Рг=И)
Re
По формуле A1.4.1)
По формуле A1.4.2)
Расхождение по отношению
к формуле A1.4.1), %
МО*
39,5
36,5
—7,6
2-10*
66,5
63.5
—4,4
5-10*
132
132
0,0
1 -105
221
230
+4,0
2- Ю5
388
400
+ 3,0
5- 105
789
816
+3,5
1 • 106
1440
1450
+0,7
2 • 10«
2620
2520
+3,8
Для случая Рг Ф 1 необходимо рассмотреть общее решение уравнения
A1.3.6), которое, очевидно, имеет вид
Nu = O(Pr; Re; X). A1.4.5)
11.5. РЕШЕНИЕ ПРИ ЛИНЕЙНОМ ИЗМЕНЕНИИ
ТЕМПЕРАТУРЫ СТЕНКИ
Тепловой поток, проходящий через контрольную поверхность единичной
длины
QR = — 2nR (X +Я7) dT/dR, A1.5.1)
и соответственно уравнение A1.3.2)» можно переписать в виде
Частный интеграл
IX
¦J
dR
A1.5.2)
A1.5.3)
выражает собой количество тепла, втекающее в объем потока, ограниченный
рассматриваемой контрольной поверхностью радиуса R. Взяв частные инте-
интегралы по радиусу от обеих частей уравнения A1.3.3), получим
2nX
Далее, вычисляя частный интеграл
Яо
dR = Гс
дх
A1.5.5)
получаем температуру потока на рассматриваемой контрольной поверхности
радиуса R в сечении х.
146
Совмещение уравнений A1.5.4) и A1.5.5) дает
R
Ro J WR (дТ/дх) dR
\ 5
Тст-Т=—\ -5 dR.
a J (l + P)/?
Приводя последнее уравнение к безразмерному виду, получаем
#=—— — dt A1.5.7)
2 J A+вРгц/|1)Е V '
П])и линейном изменении температуры стенки вдоль трубы температурное
поле можно представить, как это сделали Игл и Фергюссон, в виде двучлена
Т(х\ R\ = Ax + f(R). A1.5.8)
При постоянной плотности теплового потока вдоль всей трубы (dqCT/dx = 0)
из выражения A1.5.8) непосредственно следует, что
А = дТ/дх = 2qcJ(cpwR0), A1.5.9)
или в безразмерных величинах
™-« itj ?i_ *L = ?«_ = _2^l . A1в5Л0)
ах ах Гст-Г ал: ср5 Ре
Гст
В результате такой подстановки безразмерная температура оказывается
прямо пропорциональной числу Нуссельта:
dl A1.5.11)
Вводя это выражение ft в уравнение A1.3.8), находим, что для рассматри-
рассматриваемых условий
' /' jWi \
Nu-^2 «? °- dl\dl, (П.5.12)
о I
или
% У
I
^'dl. A1.5.13)
Это удобное интегральное соотношение было получено Лайном.
В основной области турбулентного потока профиль скоростей весьма поло-
пологий, и скорости в данной точке мало отличаются от средней скорости по се-
сечению, т. е. в ядре потока со « 1. Если принять со = 1, то такое приближение
соответствует линейному распределению плотности теплового потока по ра-
радиусу трубы.
Действительно, подставляя в выражение A1.3.9) значение дТ/дх из урав-
уравнения A1.5.9) и полагая w = w, получаем
; ?S ±JL A1.5.14)
iRqRLq%
dR dR Ro
147
Интегрирование этого уравнения в пределах от R до 0 дает
qR = qR/Ro = q(l~y/Ro)> A1-5.15)
где q — плотность теплового потока на внутренней поверхности трубы; у -
расстояние от внутренней поверхности трубы в глубь потока.
Положив в формуле A1.5.13) со = 1, получаем для безразмерного коэффи-
коэффициента теплоотдачи следующее простое выражение:
Nu«2D ^ ) . A1.5.16)
^J 1 + еРгцгДг ) ]
Таким образом, стабилизированное значение коэффициента теплоотдачи
при турбулентном течении зависит не только от коэффициента теплопровод-
теплопроводности среды и диаметра трубы, как это имеет место при ламинарном течении,
но и от отношения via и скорости течения жидкости (через величину (Xr/fi)*,
11.6. ТЕПЛООТДАЧА К ТУРБУЛЕНТНОМУ ПОТОКУ
ПРИ Рг>1
Для сред с числом Рг ^ 1 в основной части потока значение е близко к 1.
Так, по опытам Людвига, вблизи стенки е « 1,08, достигая на оси трубы зна-
значения 1,48.
Для развития процесса теплообмена при числах Рг > 1 существенна имен-
именно пристенная область, в которой имеет место наиболее сильное изменение тем-
температуры текущей среды. Поэтому в той же мере, как и приближение A1.5.14),
в уравнении A1.5.16) можно положить 8=1. Это обстоятельство существен-
существенно облегчает вычисление интеграла в последней формуле.
Обращаясь к профилю скоростей в плоском турбулентном потоке, замеча-
замечаем, что такой поток можно разделить на три области: 1) турбулентное ядро,
распределение скоростей в котором с высокой степенью точности выражается
формулой (9.11.9); в этой области трение практически полностью определяется
турбулентным перемешиванием; 2) промежуточный слой, распределение ско-
скоростей в котором определяется в первом приближении формулой (9.11.12);
в этой области молекулярное и турбулентное трения соизмеримы, причем роль
молекулярного трения увеличивается по мере уменьшения расстояния от твер-
твердой стенки; 3) вязкий слой, в котором решающее значение имеет молекулярное
трение, и распределение скоростей с большой степенью точности выражается
формулой (9.11.5).
Как видно из формулы (9.11.12) и рис. 9.2, распределение скоростей в про-
промежуточном слое имеет сложный характер. Однако оно достаточно хорошо ап-
аппроксимируется полулогарифмической прямой аналогично профилю скоростей
в турбулентном ядре. При этом, конечно, константы Qhx имеют другие зна-
значения/чем в формуле (9.11.9), являясь чисто эмпирическими коэффициентами.
Такая аппроксимация существенно упрощает вычисление интеграла в формуле
A1.5.16).
Входящая в формулы для распределения скоростей величина ц связана с
относительным радиусом ? следующим отношением:
1-?). A1.6.1)
Как видно из табл. 11.7, толщина вязкого слоя настолько мала, что в его
пределах можно считать ?3 = 1. Толщина промежуточного слоя несколько
больше толщины вязкого слоя, и при малых числах Re значение ?3 в этом слое
может отличаться на 10—30% от единицы.
* Полагая в выражении A1.5.16) \iT = 0 и подставляя в него w из формулы A1.1.6),
находим, что стабилизированное значение а при ламинарном течении и q = const onpe-
деляется условием Nu ж 4,36. Это значение несколько больше полученного в разд. 11.3
значения Nu = 3,66 для случая Тст = const.
148
Таблица 11.7
Значения относительного радиуса границы вязкого слоя ?0, относительной толщины
этого слоя 1—?о» относительного расстояния промежуточного слоя от стенки трубы g2
относительной величины этого слоя 1 —12 и комплекса Re К С/32 (принято: тH = 6,8;
тJ=ЗО; С—п0 табл- и-5)
Re
Бо
1—Бе
1—Б.
Re FC/32
ыо*
0,9784
0,0216
0,9050
0,09§0
314
5-10*
0,9947
0,0055
0,9758
0,0242
1280
5-Ю6
0,9971
0,0029
0,9872
0,0128
2310
1 • 10е
0,99932
0,00068
0,9970
0,0030
9900
5.10е
0,99964
0,00036
0,99841
0,00159
18 900
Изложенное позволяет для случая Pr ^ 1 представить формулу A1.5.16)
в следующем виде*:
Nu
+1
— l
A1.6.2)
Первый из интегралов A1.6.2) характеризует термическое сопротивление
ядра потока, обусловленное полностью турбулентным перемешиванием. Вто-
Второй — промежуточного слоя, в котором молекулярный и турбулентный пере-
переносы тепла соизмеримы. Третий — вязкого слоя, в котором интенсивность тур-
турбулентных пульсаций весьма мала, вследствие чего они сказываются на тепло-
теплообмене только при больших значениях Рг.
Координата ? = 0 соответствует оси трубы, ?2 — условной границе проме-
промежуточного слоя, 1г — условной толщине вязкого слоя, которая может в из-
известной мере отклоняться от истинного значения ?о в зависимости от способа
аппроксимации профиля скоростей в промежуточном слое.
Для каждой из рассмотренных трех областей потока существуют следую-
следующие расчетные соотношения:
турбулентное ядро:
dw/dy
• = xReVi
* Здесь следует иметь в виду, что применение интеграла A1.5.16) при одновременном
введении в рассмотрение переменной интенсивности турбулентного переноса по радиусу
трубы объясняется тем, что, положив в выражении A1.5.13) значение со = 1, отнюдь
нельзя при этом считать постоянным и отношение \iT/\i. Иначе говоря, неравномерность
поля скоростей, локализованная в узком пристенном слое, существенно сказывается на
термическом сопротивлении потока, но мало влияет на полный расход жидкости.
149
промежуточный слой*:
V х' v
т — тг + to/
dw/dy
|xr/|i«x'Re|/"S732"(l— ?) — 1;
вязкий слой:
= у*
Воспользовавшись этими соотношениями, вычислим каждый из трех инте-
интегралов уравнения A1.6.2):
PrxReVe/32(l—
L h !L
_ ln l/
PrxReVg/32 I. % I7 32 2 V Re
Re
При Re > 104 с погрешностью
Г2 **
И- PrxReVg/32 V Л2
KJ
Далее
Г У dl С
: ^ \
J 1 + РГ [lT/[l J
in «l l/^-H . (П.6.3)
Л Г 32 2)
Prx' ReVS/32(l— g) — (Pr— 1)
52
Prx'Re"l/?/32 L l + Pr^'rii—1) ReV?/32
где
Ргк' ReVe/32
При Re > 104 с погрешностью ^1%
t- Prx'Re УС/32 l+Prfx'T)!— 1)
fe2
* Это выражение хорошо аппроксимирует опытные данные о распределении скоро-
стей в промежуточном слое. Впервые такая аппроксимация была сделана Т. Карманом и
В. А. Швабом. Ими же были выведены впервые формулы теплоотдачи по «трехслойной»
схеме турбулентного потока. Однако в этих формулах не учитывался турбулентный
перенос в вязком подслое
160
Полагая по графику рис. 9.6 ц2 -= 30 и г^ -= 6, находим, что х' = 0,2.
Подставляя значения интегралов из уравнений A1.6.3) и A1.6.4) в выражение
A1.6.2), получаем
Nu = -^Re/(Pr; Re), A1.6.5)
о
где
/(Pr; Re) = (х l/-°- Рг)
1 \ V I /
In
l/ + In
,5.l2 V 32 x' 1 + Pr (x' "Hi—1)
? f^I
+ xPrRel/ -?- f ^ I • A1.6.6)
I7 32 J 1-|-Ргцг/|* J V '
¦si
При значениях Рг порядка единицы величина Рг (х 7-/A в вязком слое имеет
порядок \1т/\1у т. е. много меньше единицы. Следовательно, при Рг с^. 1
Г й
J l-f-Рг
4
Цг/ц Re
и соответственно после подстановки численных значении х, х , т]ь ц2 получаем
l-i
~+2,4Рг
12 In 1+5Рг
1 + 0,2 Рг
A1.6.7)
Сопоставление формулы A1.6.5) с формулой A1.4.1), выведенной из весьма
общих соображений для сред с Рг — 1, приводит к условию
/A; Re) - 1. A1.6.8)
Некоторые значения функции / (Рг; Re), вычисленные по формуле A1.6.7)
приведены ниже:
Re Рг = 1 Рг-2 Рг-5 Рг==10
104 0,990 1,33 1,78 2,1
106 0,995 1,63 2,30 3,1
Полученное решение с большой степенью точности удовлетворяет общему
условию A1.6.8).
Как видно из этого расчета, интенсивность теплоотдачи в турбулентном по-
потоке возрастает с увеличением числа Рг жидкости, причем степень его влияния
несколько повышается в области больших числе Re. Такой характер функции
/ (Pr; Re) вполне соответствует физической сущности рассматриваемого явле-
явления, ибо с увеличением числа Re возрастает роль термического сопротивления
турбулентного ядра потока.
При числах Рг ^> 1 перенос тепла за счет турбулентных возмущений, про-
проникающих в вязкий слой из турбулентной области потока, становится соизме-
соизмеримым с молекулярной теплопроводностью. В этом случае в третьем интеграле
уравнения A1.6.2) уже нельзя пренебрегать значением величины Рг jlItVjli
по сравнению с единицей. Качественное различие турбулентных пульсаций
в вязком слое и в ядре потока заключается в том, что возмущения в вязком
слое не могут возникать и развиваться самопроизвольно, а проникают из тур-
турбулентного ядра, затухая по мере приближения к твердой стенке. В связи с этим
изменение интенсивности турбулентного переноса с расстоянием от стенки в
вязком подслое существенно больше, чем в ядре потока. По формуле (9.10.8)
коэффициент турбулентной теплопроводности в вязком подслое можно запи-
записать в форме (Рг > 1)
A1.6.9)
151
где р — множитель пропорциональности. Значение этого коэффициента мо-
может быть найдено из данных по теплоотдаче или диффузии при больших чис-
числах Рг, когда значение величины Хт/к оказывается порядка единицы и более.
Подставляя выражение Хт из A1.6.9) в третий интеграл уравнения A1.6.2),
получаем
1
dl 1
l+XT/X Re
«2-T]f
где
Подставив это выражение в уравнение A1.6.6), получим
или, после подстановки численных значений х, х', г)х и тJ,
...ReVC , О1_ 1+5Рг 1 К '
Здесь
Ф <Рг> = _ «, ,1» п. Ы "!+ аТ11У,!+ !2 + 2 arctg 23п?.) , A1.6.12)
Анализ опытных данных по массообмену в трубах при больших диффузи-
диффузионных числах Рг показывает, что коэффициент Рг « 1,4 • 10~4. Графически
зависимость ф (Рг) изображена на рис. 11.8.
При малых и умеренных значениях Рг турбулентная теплопроводность
в промежуточном слое сравнительно невелика. Поэтому в этом случае оказыва-
оказывается возможным ограничиться так называемой двухслойной схемой турбулент-
турбулентного потока. По этой схеме поток разбивается на две части — ламинарный под-
подслой и турбулентное ядро. Условная граница между ними находится как точ-
точка пересечения прямолинейного профиля скоростей в ламинарном подслое
с логарифмическим профилем в турбулентном ядре. Соответствующее значение
гц равно 11,6.
Полагая в уравнении A1.6.10) 112 = 11!= 11,6 и ф (Рг) = 1, получаем тео-
теоретическую формулу для двухслойной схемы потока:
Nu= °'14^PrRe . A1.6.13)
ln(ReVS/290) + 4,6P
Эта упрощенная формула пригодна для газов и неметаллических жидко-
жидкостей при Рг < 5.
При Рг -*¦ оо
ср(Рг) V 8
A1.6.14)
2я
152
Таким образом, при больших числах Прандтля, рг = 1,4 • 10 4 и гц = 6
Nu = 0,035 Pr^Rel/E. A1.6.15)
На рис. 11.9 дано сопоставление формулы A1.6.11) и предельной формулы
A1.6.15) с рядом экспериментальных данных*, систематизированных Сполдин-
гом и Джайятиллаком в координатах Y — Рг, где Y = Рг Re]/?/8/Nu. Прак-
Y
0,4
ч
N.
N
1
J LgPr
Рис. 11.8. Значения ф(Рг) по
формуле A1.6.12) при ? = 0,03
Рис. 11.9. Сопоставление форму-
формулы A1.6.11) (/) и предельной
формулы A1.6.15) B) с экспе-
экспериментальными данными
10е
10*
10
.../¦¦
X";
10
10s
Рг
тически формулой A1.6.15) можно пользоваться при значениях Рг > 100 с от-
отклонением от расчета по общей формуле A1.6.11) менее 5%.
По формуле A1.1.14)
ln(Rel/C)=l,13/VrC+l,
и формула A1.6.10) может быть представлена в виде
Nu = . yr*L
Здесь
/(Рг)= 0.3Б6 In
0,426 Ргф(Рг),
A1.6.16)
A1.6.17)
причем численные коэффициенты скорректированы в пределах 1—2% так, что-
чтобы при Рг = 1 и f A) = 1 осуществлялся точный переход к формуле A1.4.1).
Как видно из табл. 11.8, функция / (Рг) в этой формуле при Рг < 100
удовлетворительно аппроксимируется простой степенной зависимостью, вве-
введенной ранее из других соображений Рибо.
Введя в выражение A1.6.16) аппроксимацию f (Рг) из табл. 11.8 и значение
t = 0,184Re-°»2, получим достаточно простую и надежную расчетную форму-
формулу для области чисел 0,5 < Рг < 200:
Nu =
0,023 Рг Re0'8
A1.6.18)
* Использованы опытные данные В. И. Барнета и А. Коубак, Е. Бернадо и С. Айанас,
Т. Н. Чилтона и А. П. Колберна, А. Ж- Эди, Е. Р. Жиланда и Т. К. Шервуда, М. Д. Гри-
ла и Л. Гидеона, М. Л. Джексона и Н. X. Сиглска, С. Ж. Кауфмана и Ф. Д. Иселси,
С. С. Лина, Е. В. Дентона, X. С. Гэскилла и Ж. Л. Путнема, В. Ж. Морриса и Ф. X. Уит-
Уитмена.
153
Таблица 11.8
Значения функции / (Рг) в формуле A1.6.16)
Рг
/ (Рг)
рг2/3
0
0
0
,7
,70
,79
1
1
1
5
2
2
,83
,93
10
4
4
,47
,65
25
8
8
,28
,56
100
22
21
,4
,6
200
37
34
,1
,2
1000
129
100
В области 0,5 < Рг < 25 удовлетворительные результаты дает степенная
формула, структура которой была впервые предложена Нуссельтом:
Nu = 0,023 Рг0'4 Re0»8. A1.6.19)
В табл. 11.9 дано сопоставление расчетов по формуле A1.6.16) и ее частным
аппроксимациям. Для практических расчетов теплоотдачи неметаллических
жидкостей можно рекомендовать формулу A1.6.18) при числах Рг < 200 и
формулу A1.6.15) при Рг > 200. При расчете теплоотдачи газов и других сред
с числами Рг, близкими к 1, можно пользоваться формулой A1.6.19).
Таблица 11.9
Сопоставления чисел Nu, вычисленных по различным формулам для стабилизированного
течения в прямой гладкой трубе в области чисел Рг>1
Формула
A1.6.16)*
A1.6.18)
A1.6.19)
10*
39,5
36,5
36,5
1
10»
1440
1450
1450
10*
96,5
89
91,5
0
10*
5020
4890
3640
Рг
Re
10*
198
196
230
100
10»
11500
12 000
9 150
10*
238
248
304
200
10»
14 100
15 300
12О00
* Значения ? взяты из табл. 11.5.
Более детальное представление о температурном поле и поле тепловых по
токов можно получить, решая уравнение A1.3.2) путем последовательных при
ближений.
Замечая, что
Г R
тст
можем написать:
<7/?/<7ct
)(Ь. A1.6.20
При этом в соответствии с выражением A1.1.11) тк/тст = R/Ro- Имея задан
Яг?!Яст
ный профиль скорости, вычисляем интеграл A1.6.20) при -^-—= 1. И
полученного распределения температур корректируем отношение ^/^ст п\
тем балансирования количества теплоты, переносимого в осевом и радиально1
направлениях. При скорректированном значении этой величины вновь произ
водится интегрирование A1.6.20). Результаты таких расчетов, произведении
Рейхардтом, а также Б. С. Петуховым и В. Н. Поповым, показали, что дл
сред с числами Рг > 1 функция qR/qCT = f (\) мало отличается от линейно!
Рассмотренные в этом разделе формулы применимы для расчетов теплоот
дачи при турбулентном течении в трубах газов, воды, масел и других немета:
лических жидкостей.
154
11.7. ТЕПЛООТДАЧА К ТУРБУЛЕНТНОМУ ПОТОКУ
ПРИ Рг<1
Расплавленные металлы имеют числа Рг порядка 10~2 и менее. В связи
с этим металлические жидкости образуют особый класс теплоносителей, харак-
характеризуемый с точки зрения теории теплообмена тем, что у них a»v.
Числами Рг, существенно меньшими единицы, обладает также сильно иони-
ионизованный газ. При таких малых числах Рг молекулярная теплопроводность
становится соизмеримой с турбулентной теплопроводностью не только в вяз-
вязком и промежуточных слоях, но и в турбулентном ядре потока. При этих ус-
условиях интеграл A1.5.16) необходимо брать с учетом соизмеримости к и Кг
по всему сечению турбулентного потока. С другой стороны, в этом случае как
в вязком, так и в промежуточных слоях безусловно преобладает молекулярная
теплопроводность. Так, например, при Рг = 0,01 и г) = 30 (? « 1)
КТ1К « Рг щ1 = 0,01 • 0,4 • 30 = 0,12.
Для этих же условий на расчетной границе вязкого подслоя в двухслойной
схеме турбулентного потока
КТ1К « 0,01 • 0,4 • 11,6 - 0,046.
Таким образом, даже на внешней границе переходного слоя интенсивность
турбулентного переноса тепла в металлических жидкостях существенно меньше
молекулярной теплопроводности.
Ограничиваясь в связи с этим двухслойной схемой турбулентного потока,
запишем уравнение A1.5.16) следующим образом:
Г
.)
где
Р = ex PeVtj32. A1.7.2)
В предельном случае, при Рг = 0 и q = const
i \-i
A1.7.3)
Поскольку (о-> 1 при Re-^oo, то это решение следует рассматривать
как предельное при Рг ->0 и Re ->oo.
По более общей формуле A1.5.13) при подстановке в нее закона распределе-
распределения скоростей по закону степени п = 1/7
= 6,8. A1.7.4)
Расчеты для случая Тст = const дают значение числа Nu порядка 5,2—5,5.
Таким образом, в стабилизированном турбулентном потоке при Рг ->-0
число Nu стремится к некоторому постоянному значению. Однако это значение
больше того, которое имеет место при ламинарном течении с параболическим
распределением скоростей.
Высокая теплопроводность жидкостей, обладающих электронной проводи-
проводимостью, может привести квтому, что теплосодержание объемов, перемещающих-
перемещающихся в результате турбулентных пульсаций, может рассеиваться быстрее, чем ко-
количество движения. Соответственно коэффициент 8 будет меньше единицы.
155
Вычисляя интегралы в выражении A1.7.1) при 8 = 1 и принимая во вни-
внимание, что Tjjj/32/S <C Re, находим:
Nu « 2Р
Р+3
21/Р2
(УР2+4Р—Р +2хРг)(УР*+4Р—Р)
2Р
При Рг ->0
\Ура + 4Р УР2+4Р—Р
-1
A1.7.5)
A1.7.6)
На рис. 11.10 приведены результаты расчетов по формуле A1.7.5) при чис-
числах Рг, характерных для жидкометаллических теплоносителей. Как видно,
в координатах Nu—Re обнаруживается чрезвычайно сильное влияние числа
10°Re
Рис. 11.10. Зависимость Nu от Re
и Рг по формуле A1.7.5)
102т
101 ~
10°
1 Illl I I I I I
Е У^
- у
/
Рг
0,005
0,010
0,050
i 11 11
?=/
о
•
д
?=0,5
0
0
V
I III
101
102 Ре
Рис. 11.11. Данные рис. 11.10 в
системе координат ANu—Ре
Рг. На рис. 11.11 те же данные приведены в системе координат, более соот-
соответствующей физическим закономерностям, определяющим теплоотдачу при
малых числах Рг. На этом графике величина ANu = Nu — 8 характеризует
вклад турбулентного переноса в общую интенсивность теплообмена. Отчетливо
Ре
Рис. 11.12. Сопоставление расчетов по формуле A1.7.7) с опытными данными по
теплоотдаче хорошо очищенного Na:
х —данные Кириллова, Субботина, Суворова, Троянова; О — Хабахпашевой; # —Пирогова
видно, что практически имеет место однозначная зависимость ANu от критерия
Ре, которая может быть аппроксимирована логарифмической прямой
Nu « NuMHH + 0,044 Ре0»75„ A1.7.7)
При q = const и Re<106 NuMHH^6,8, а при 7СТ= const NuMHH»5,2.
156
Первые опыты по теплоотдаче при вынужденном течении жидкого металла
были проведены М. А. Стыриковичем, А. Р. Сориным и И. Е. Семеновкером.
Высокие температуры, интенсивный теплообмен, окисляемость, высокая теп-
теплопроводность, агрессивное воздействие на металл труб и датчиков измеритель-
измерительных приборов создают исключительные трудности при изучении жидкометал-
лических теплоносителей. Подробное изложение этой проблемы дано в работах
автора, М. А. Михеева, В. И. Субботина, В. М. Боришанского и др. Особенно
подробно влияние чистоты металла на теплообмен изучено в работах В. И. Суб-
Субботина и его сотрудников.
На рис. 11.12 приведено сопоставление расчетов по формуле A1.7.7) с ря-
рядом экспериментальных данных, полученных при наиболее тщательной очист-
очистке металла от окислов и других примесей. На рис. 11.13 дано сопоставление
Ре
Рис. 11.13. Сопоставление расчетов по схеме с утолщенным подслоем с опытными
данными по теплоотдаче свинца, висмута:
• — данные М. А. Михеева, В. А. Баума; 4 —К. Д. Воскресенского; П—О. С. Федынского •
°"\7- ~ Боришанского, С. С. Кутателадзе, Л.Л.Шнейдермана, Л. И. Иващенко;
х —М. X. Ибрагимова, В. И. Субботина; расчетная кривая
расчетов по схеме с утолщенным тепловым подслоем с рядом других экспери-
экспериментов. Можно констатировать, что имеющиеся в настоящее время достаточно
надежные экспериментальные результаты лежат в области, ограниченной
указанными предельными расчетами.
Для вычисления теплоотдачи к жидким металлам, не подвергающимся спе-
специальной систематической очистке, можно рекомендовать эмпирическую фор-
формулу М. А. Михеева, В. А. Баума, К. Д. Воскресенского и О. С. Федынского:
A1.7.8)
Эта формула пригодна для стабилизированной теплоотдачи, практически имею-
имеющей место у труб с L > 30D.
В области 5 < LID < 30 по опытам П. С. Кондратьева следует вводить по-
поправочный коэффициент
eL = l,7(D/LH'16. A1.7.9)
11.8. ТЕМПЕРАТУРНЫЙ ФАКТОР
При рассмотрении в предыдущих разделах задач о конвективном тепло-
теплообмене в трубе физические свойства принимались постоянными, не меняющими-
меняющимися с температурой, т. е. не учитывалось влияние температурного поля на фи-
физические свойства потока, и полученные решения, строго говоря, справедливы
только для весьма малых температурных напоров АТ=ТСТ — Т. В действи-
действительности физические свойства жидкости меняются под влиянием температур-
157
ного поля, устанавливающегося в результате процесса теплообмена между по-
поверхностью нагрева (охлаждения) и потоком. В результате этого отклоняются
от изотермического профиля как профиль скоростей, хакиддофильхемаеват^
(говоря об «изотермическом» профиле температур, мы имеем в виду безразмер
ный профиль при ДГ ->0). Соответственно меняются и значения коэффициен-
коэффициентов теплоотдачи.
Суть задачи сводится к тому, что дифференциальные уравнения теплооб
мена и движения необходимо записывать в форме, учитывающей переменность
входящих в них физических свойств, и присоединять к ним функции, опреде
ляющие зависимости этих свойств от температуры. При этом в основных диффе
ренциальных уравнениях процесса «физические константы» попадают также
под знак дифференциального оператора. В этой связи уравнения теплоперено-
са и движения, написанные в предположении постоянства физических свойств,
должны быть заменены следующей, более сложной системой уравнений:
2div(|xS)— grad ('/>+—
V з
dt
= c(T); p =
A1.8.1
Для того чтобы привести к безразмерному виду такую систему уравнений,
необходимо ввести масштабы не только линейных размеров, температур и ско
ростей, но и соответствующих физических свойств. В качестве последних мож-
можно принять значения, отнесенные^ к температуре стенки (А,ст, jiCT, cCT, pCTi
или к средней температуре потока (Хо, ji0, c0, р0), или к какой-либо другой мас-
масштабной точке. Выбрав в качестве масштабной температуры
туру потока, получим из системыГA1.8.1):, V
div (A grad *) = -2- f^t -г Ре (ю, grad 0I;
— div [JL s(<
Re |_N
grad (Eu div w ) =
3 Re
Po
_P_
Po
A1.8.2!
Здесь физические свойства в критериях отнесены к^редней по теплосодержа-
теплосодержанию температуре потока^т. е. а - J-c^ ""
Eu - AP/(Po wl)\ F^= aQ t/Ц Ho
/0/v0; )
= w0 t/l0. J
A1.8.3
У капельных жидкостей температурные функции физических свойств имеют
разнообразный характер, и нет практической возможности учесть их влияние
строго единообразным способом. Иначе дело обстоит с газами, относительное
изменение физических свойств которых достаточно однозначно следует за отно-
относительным изменением абсолютных температур.
Плотность газов практически меняется обратно пропорционально темпера-
температуре, т. е. в каждом поперечном сечении потока
Р/Ро = То/Т.
A1.8.4)
158
Вязкость газов хорошо подчиняется формуле Сезерленда
; (П.8.5)
,Ю 1+С/Т
где С — постоянная, характеризующая свойства данного газа.
В силу условия Pr = const и относительно слабой зависимости удельной
теплоемкости, .от температуры Ша « \i/\i0.
~^~ЕГ свою очередь,
77Г0=гф —(ф—1H, A1.8.6)
сх/То — Так называемый температурный фактор,
следует, что для сильно неизотермического потока газа*
Nu = (P(Pr; Re; X; ф; ярс), A1.8.7)
где ^с = Tg/С—- второй температурный фактор.
В пербом приближении
Nu «Фх(Рг; Re; X; яр). A1.8.8)
Когда интервал температур Гст — 70 таков, что температурные функции
физических свойств можно достаточно точно аппроксимировать линейной за-
зависимостью, то
ХДо « W^o — ФстАо — 1) О- A1.8.9)
Здесь под X следует понимать любое из существенных для процесса физиче-
физических свойств. Как видно, в этом случае переменность физических свойств с тем-
температурой для любых сред может быть учтена введением под знак функции
в выражении A1.4.5) отношений
{XCT/V, И'ст/Ио; сст/с0; рст/ро}, A1.8.10)
т. е. можно написать
Nu « Ф(Рг; Re; А,СТДО; iWlV, Рст/Ро; сст/с0\ X). A1.8.11)
Этот результат справедлив и при экспоненциальной зависимости физических
свойств среды от температуры, которая для ряда свойств жидких сред значи-
значительно универсальнее линейной.
Действительно, если в определенном интервале температур
iG1—То)], A1.8.12)
ТО . „ --_
A1.8.13)
и в выражении A1.8.11) новые параметры не появляются.
Отсюда видно, что в принципе невозможно учесть влияние на теплоотда-
теплоотдачу переменности «физических констант» с температурой путем введения толь-
только одного комплексного.фактора Ргст/Рг0, как это часто делается при эмпириче-
эмпирическом представлении опытных данных.
У многих капельных жидкостей значения ?jJ),h X меняются с температурой
относительно меньше, чем вязкость \i (табл. 11.10). Для.таких сред с удовлетво-
удовлетворительным приближением можнсГ ограничиться зависимостью
Nu^O(Pr; Re; V> X), A1.8.14)
где
* Аналогичная зависимость должна иметь место и для коэффициента аэродинамичес-
аэродинамического сопротивления.
159
Таб лица 11.10
Относительное изменение физических свойств некоторых
жидкостей в интервале температур 10—100 °С
Жидкость
Вода
Трансформаторное
масло
Масло МК
1
1
1
е
Рю
,04
,09
,08
1,
0,
0,
0
88
80
0
1
1
о
«Г
,84
,10
,17
е
=i
4,
15,
175
6
3
Жидкость
Бензол
Глицерин
Дифенил
1
1
1
е
о
/Pi
а
,12
,11
,07
0,
1,
0,
о
¦—
90
3
83
1
0
1
о
«г
,12
,96
,11
о
a
А
2,9
300
Еще раз подчеркнем, что этот результат справедлив и при экспоненциаль
ной зависимости вязкости от температуры, являющейся более универсальной
для жидкостей, чем линейная.
11.9. ВЛИЯНИЕ ТЕМПЕРАТУРНОГО ФАКТОРА НА ТРЕНИЕ
И ТЕПЛООБМЕН ПРИ ТУРБУЛЕНТНОМ ТЕЧЕНИИ ГАЗА
При заметном изменении физических свойств под действием температуры
динамическая задача (задача об определении потерь давления и сил трения в по-
потоке) не может быть отделена от тепловой задачи, что непосредственно следует
из системы уравнений A1.8.1).
1,0
0,6
0,4
а
обо
А
•
о с
tf..
<# о3
эо ^ «
• 1
о
' А
О
) О
—
1,2
1,6
2,0
2,4
2,8
Рис. 11.14. Сопоставление расчета по формуле A0.9.6) с экспери-
экспериментальными данными:
• —данные Л. Н. Ильина; Q — NACA; А —Л. И. Иващенко;
(j—Л. Н. Ильина
Соответственно необходимо изменить и расчетное уравнение для потерь
давления при течении жидкости в трубе. Вместо формулы A1.1.7) для неизо-
неизотермического течения пишут обобщенное уравнение Бернулли
do — dw
dx dx
pww.
A1.9.1
Здесь осреднение произведено по сечению трубы. Формулы A0.9.5) и A0.9.6)
применимы и в данном случае. При этом в них следует подставлять значение
сп = So/4. Практически в области 1 < г|) < 4 можно пользоваться формулой
A0.9.3).
П
)
При Гст = const
или <7cj = const возможно прямое сопоставление этих
( 11 О
р ст 7cj р
формул с экспериментальными данными (рис. 11.14). Однако при произволь-
произвольном задании теплового потока ситуация существенно усложняется и непосред-
непосредственно использование зависимостей типа A1.8.14) не приводит к достаточно
общим результатам.
160
РАССМОТРИМ ТРЧР""Р гяч^ R круглой трубр ня тятфм удалении от ВХОДа. где
возникшие при входе пограничные слои слились на осл^хо^бы. Отождествляя
радиус трубы с толщиной пограничного слоя при внешнем обтекании, прини-
принимаем обычный степенной закон теплообмена
st = ?ст = А ур A1.9.2)
где Ws « (St/Sto)Re** =if~o,5 — относительный закон теплообмена. Из урав-
уравнения неразрывности следует, что
где
fe=f f) ff) (n.9.4)
Здесь индексом 0 обозначены параметры по оси трубы, а индексом 1 — пара-
параметры на входе. Нетрудно показать, что при \io/\lo1 = (Т0/Т01)п*
4 (Г0/Г01)"> /, (г|5)
где
С учетом этих зависимостей из выражения A1.9.2) следует:
h""\ A1.9.7)
Из уравнения баланса тепла следует:
..pv
4 j <
»I (П.9.8)
где
О
Подставив в уравнение A1.9.7) это соотношение, получим
\-\-rixm
.A1.9.10)
Функции /х, f2 и f3 в общем случае зависят от неизотермичности потока.
пустим, что неизотермичность не оказывает заметного влияния на степенное
распределение скоростей и температур по сечению канала. Как показано Vpa-
ббтахБ. С. Петухгова, В. Н. Попова и Дейслера, это допущение можно считать
вполне приемлемым. Полагая в области стабилизированного течения ^и*
_,.^ A1.9.11)
и учитывая, что для газов имеет место соотношение A1.8.4), получаем:
fx-0,40811)-0'163; /2 = 0,068я|)-°'318; /8 = 0,408. A1.9.12)
6 Зак. 795 161
Тогда при т =_ 0,2 и пг = 0,75
"~ де+п.^уи^О.ООвб, A1.9.13)
т. е. практически этот параметр не зависит от температурного фактора. Разре-
Разрешая уравнение A1.9.10) относительно яр, получаем
* ••
'
1
•
¦
» *
— -
t *=
^^
— • —
A1.9.14)
000
000
200 Б
О 20 40 60 80 100 120 j/tf
Рис. 11.15. Сопоставление результатов расчета
температуры стенки ( по формуле
где
X
X
(t) т]
X
4 j qCT dx
X
i + ;
Nur1.
A1.9.15)
A1.9.17); — по методике С. С. Кута-
теладзе и А. И. Леонтьева) с опытами п ,, л „ , ,,„„„„„„ „ /ii n о\
В. И. Лельчука и Б. В. Дядякина (....); Хн- С Учет0М УРавненИЯ A1.9.8) МОЖ-
длина начального участка для Re^^O4 НО записать:
1.9.16)
Эта формула выведена автором совместно с А. И. Леонтьевым и А. К. Пиме-
новым. По данным П. Н. Романенко и Н. В. Крыловой, в области стабилизиро-
стабилизированного течения А = 0,0069 и т = 0,2. Принимая пг « п = 0,75, получаем
1970<7c2TD|
?— 1 01
X
4 j* qCT dx
0
Pr0
01 T
01
X
1 +
у
2,3
1 +
985
1 +
Pr
Oi
0,84
1+-
4 j (
A1.9.17)
Как видно из рис. 11.15, теоретический расчет по формуле A1.9.17) на-
находится в удовлетворительном соответствии с опытом на участке стабилизиро-
стабилизированного течения. Штрихами представлены результаты расчета начального уча-
участка по методике автора и А. И. Леонтьева. Пересечение расчетных кривых
определяет длину участка стабилизации.
Из работы П. Н. Романенко и Н. В. Крыловой следует, что значение кри-
критерия ReT, при котором уже не сказывается влияние условий на входе, при-
162
мерно равно 104. На рис. 11.15 показаны длины начальных участков, подсчи-
подсчитанные на основании этого значения критерия Rer*. Как видно, результаты та-
такого расчета находятся в хорошем соответствии с указанной выше методикой
определения длины начального участка.
11.10. ВЛИЯНИЕ ТЕПЛОВОГО ПОТОКА НА ТЕПЛООТДАЧУ
ПРИ ТЕЧЕНИИ КАПЕЛЬНЫХ ЖИДКОСТЕЙ
Как указывалось выше, для большинства капельных жидкостей характерны
существенное влияние температуры на коэффициент вязкости и относительное
постоянство других физических характеристик. В связи с этим могут быть при-
применены зависимости типа A0.8.14), в которых в качестве температурного фак-
фактора выступает величина
A1.10.1)
Только в области околокритических (в термодинамическом смысле) темпе-
температур начинают существенно меняться все физические свойства жидкости.
Теплоотдача металлических жидкостей весьма мало зависит от вязкости, а их
коэффициент теплопроводности зависит от температуры не очень сильно. В свя-
связи с этим для жидкометаллических теплоносителей поправку на температурный
фактор практически можно не вводить, относя все входящие в расчетные фор-
формулы физические характеристики жидкости к средней температуре потока.
Отнесение физических свойств жидкости к средней температуре потока при-
приводит обычно к существенному уменьшению влияния температурного фактора
и является общепринятым. Для ламинарного течения неметаллических жид-
жидкостей Зидер и Тэйт нашли, что
«/«о^О^стH'14'. A1.10.2)
где а0 рассчитано при отнесении физических свойств среды к То. Этот результат
подтверждается и обширными экспериментальными исследованиями Б. С. Пе-
тухова.
Как уже указывалось выше, вязкость жидкости в широком интервале тем-
температур можно представить экспоненциальной функцией вида
[i-^expt-^r-T^)] A1.10.3)
или, после перехода к безразмерной температуре,
=ф{Г*. A1.10.4)
Рассмотрим стабилизированное, стационарное, турбулентное течение в глад-
гладкой трубе по трехслойной схеме. Изменение вязкости будем учитывать лишь
в вязком подслое (поскольку числа Рг >1), полагая в нем изменение температу-
температуры линейным. Для вязкого подслоя, где в данном случае т « тст, применим
критерий устойчивости {v*ylvI = const. Последний справедлив по крайней
мере в областях г|)^, близких к единице. Принимая для трехслойной схемы пото-
потока v*y/v\1 = 6, v*y/v\2 = 30, решая методом последовательных приближений
уравнение распределения температуры A1.5.11) при этом критерии устойчиво-
устойчивости и учитывая A1.5.16), определим границы вязкого и промежуточного слоев
ух и у2 и значения безразмерных температур на этих границах Ох и Ф.,. Влия-
Влияние теплового потока на теплоотдачу определится соотношением
-/?
Nu
Nu0 r to Re |/ ? ^ x ^l + Prfr'Tfa-iAiip/iio)
ln 4,5т]2 К 32
A1.10.5)
163
где ? = 8 (v*/wJ — коэффициент гидравлического сопротивления в неизо-
неизотермических условиях. Распределение скоростей в вязком подслое с учетом
изменения вязкости по соотношению A1.10.3)
W""—1). A1.Ю.6)
Безразмерная скорость на границе вязкого подслоя увеличивается при подводе
тепла к жидкости (арТ1 < 1) и уменьшается при охлаждении ее (ф^ "> 1). По-
Поскольку законы распределения скоростей в промежуточном слое и турбулент-
0
0,2
0,4
Рис. 11.16. Сравнение экспериментальных данных по коэффициентам гидравлического
сопротивления (точки) с расчетом при нагреве теплоносителя (кривые) :
• — Re ж B,5-6,0)- 104, Рг = 3,4 — 11,0 (вода, местные значения; данные Б. С. Петухова);
^ — Re ж @,5— 1,2)- 1 О4, Рг ж 87 (трансформаторное масло, данные Б. С. Петухова); С — Re =
B,6 - 10,2) • 10* (вода; данные В. В. Яковлева); Q — Re = @,4 - 2,7) 10«, Рг = 6,0 - 6,5 (во-
(вода; данные М. А. Михеева, С. С. Филимонова, Б. А. Хрусталева), -)—Re= G,9— 1 6,3) • 1 О4 (вода;
данные О. Г. Новичковой); Д—Re—A — 2)-10б, Рг = 3,5 (вода, данные Ф. Kpaina и М Зоммер-
филда); О — Re=A4,0 - 7,8) • 104,Рг = 23 - 30 (/г-бутиловый спирт; данные Ф. Крайта и
М. Зоммерфилда); ®—Re = A,3— 1 1) • 1 О4, Рг — 7 — 8 (вода, данные Р. В. Аллена и Е. Р. Эккер-
та); расчет при Re= 10* и Рг=5; при Re= 1 О4 и Рг =--5; — • ?/?0 =
1/3°14
ном ядре потока можно считать неизменными, то при подводе тепла к жидкости
коэффициент гидравлического сопротивления будет уменьшаться, а при охлаж-
охлаждении жидкости — увеличиваться.
Результаты расчетов по описанной схеме при Re = 105, Рг = 5 и iiIip = jib
а также экспериментальные данные ряда авторов приведены на рис. 11.16
и 11.17. Линия 9 на рис. 11.17 соответствует эмпирической формуле Б. С. Пе-
Петухова
= %0'11. A1.10.7)
Для расчета коэффициента гидравлического сопротивления при 1 << Рг <С
< 10 можно воспользоваться формулой
С/?о = *Л'88. (П.10.8)
предложенной М. А. Михеевым (см. рис. 11.16). С ростом числа Прандтля
величина ?/?0 при нагреве жидкости будет увеличиваться.
164
По данным Б. С. Петухова, при 1 <
40
,,,0.28 Pi—0.25.
ч .и
A1.10.9)
В области околокритических состояний жидкости происходит сильное
изменение всех физических свойств. При этом имеет место ярко выраженный
максимум в зависимости теплоемкости (и соответственно числа Рг) от темпера-
температуры (фазовый переход второго рода).
Рис. 11.17. Сравнение экспериментальных данных по теплообмену (точки) с расче-
расчетом при нагреве теплоносителя (кривые):
D — Re=(l -т- 60). 104, рг==з - 12 (вода; данные Б. С. Петухова); • —Re = B,6 - 1 0 2) • 1 0+,
Рг = 2 -г 12, l/d=60 (вода; данные В. В. Яковлева); О — Re =^ B,6 -г- 1 0,2) • 1 О4, Рг = 2 — 12 ,'
//</=30 (вода; данные В. В. Яковлева); ^ — средние значения Nu, Re = B-r 10)-1 О4, Рг = 3 -f-
11 (вода; данные В. В. Яковлева). C~Re = D - 7) • 1 О4, Рг = 30 (/2-бутиловый спирт; данные
Ф. Крайта и М Зоммерфилда); Л —Re =A,3- 1 1) • 1 О4, Рг = 7 — 8 (вода; данные Р. В. Аллена
и Е. Р. Эккерта); расчет при Re= 105, Рг = 5; при Re= 10+, Рг = 5;
011 025
Если температурный напор стенка—поток весьма мал, то, как показали
опыты В. Е. Дорощука, В. Л. Лельчука и В. В. Медникова, а также А. А. Ар-
Арманда, Н. В. Тарасовой и А. С. Конькова, формула A1.6.20) дает вполне удов-
удовлетворительные результаты и в околокритической области. Однако при значи-
значительных тепловых потоках возникают
существенные отклонения, не снимае-
снимаемые поправками типа A1.10.7) или
A1.10.9).
На рис. 11.18 приведена экспе-
экспериментальная зависимость коэффи-
коэффициента теплоотдачи от температуры
потока при турбулентном течении во-
воды в трубе. Как видно, в области
околокритических температур имеют
место ярко выраженные максимумы,
70
50
J0
Чо3
"—=
Uss:
I
/l
2-J \
/A
/Ук\
!
340 350 360 370 380 390 7",°C
Рис. 11.18. Зависимость Nu/Re0-8 от темпе-
температуры воды при /? = 235-105Па по опытам
А. А. Арманда:
Дж/кг
=30,5- 10~2 Дж/кг; 2 — q/pw = 52 • 1 0
соответствующие «пикам» теплоемко-
теплоемкости. В общем случае для области
околокритических параметров следует
различать три основных случая тепло-
теплообмена.
1. Температура стенки меньше температуры, при которой имеет место мак-
максимум теплоемкости для данного давления: Тст << Тт. В этом случае имеет
место монотонное изменение физических свойств от ядра потока до стенки,
причем удельная теплоемкость возрастает в направлении от стенки к потоку,
" """ 0.
а дср/дТ
165
2. Температура стенки больше температуры максимума теплоемкости
Тст > Тт. В этом случае также происходит монотонное возрастание удельной
теплоемкости в направлении от стенки к потоку, но дср/дТ < 0.
3. Температура стенки больше, а температура ядра потока меньше тем-
температуры максимума теплоемкости: То < Тт < ТСТ. В этом случае межд\
осью потока и стенкой имеет место максимум теплоемкости.
В работе Е. А. Краснощекова и В. С. Протопопова предложена эмпириче-
эмпирическая зависимость вида
a/ao = (p,o/fiCTH'11 (ЯСТЛОH'33 (ср/Ср0H'35, A1.10.10)
где ср = (iCT — io)/(TCT — То) — некоторая эффективная удельная теплоем-
теплоемкость, определенная по разности теплосодержаний среды при Тст и То.
Автором и А. И. Леонтьевым была получена теоретическая зависимость
вида
/ ^ \ 2
A1.10.11)
а° \ Уро/Рст+1
которая удовлетворительно (± 15%) согласуется с опытными данными для
случая 2, т. е. когда по сечению потока дср/дТ < 0.
Отсюда следует, что для теплообмена при околокритических параметрах
важно в первую очередь соотношение рст/р0-
11.11. ТЕПЛООБМЕН И ТРЕНИЕ ВО ВХОДНОМ
УЧАСТКЕ ТРУБЫ
Во входном участке трубы пограничный слой развивается обычным образом
до тех пор, пока противоположные точки его внешней границы не сольются.
При этом, если общий расход среды по трубе постоянен, скорость течения в не-
невозмущенном ядре меняется вследствие утолщения пограничного слоя.
В невозмущенном ядре потока в меру справедливости модели пограничного
слоя конечной толщины трение отсутствует и изменение давления вдоль осред-
ненного течения однозначно связано с изменением скорости, так же, как и во
внешней задаче, т. е.
dp/dx = р0 w0 dwjdx. (ll.ll.l)
С другой стороны, из уравнения сплошности следует, что
До
о
2o--2 J (Plw0-pw)RdRy A1.11.2)
Я6
или
б
Rl-2$(l--^)(R0-y)dy = (R0-{>r. A1.11.3)
О
Здесь у = Ro — R — расстояние по нормали от стенки и б* — толщина вы-
вытеснения.
Таким образом, в цилиндрическом пограничном слое
г- б -jl/2
При 6*«
166
J V РоЩ
о
В области слившегося изотермического пограничного слоя (б = /?0, р = р0)
и при степенном распределении скорости
Ro У
A1.11.6)
При п = 1/7 по формуле A1.11.6) б* = 0,095 вместо б* = 0,125 в плоском по-
пограничном слое.
Измеряя распределения давления и скорости течения по оси трубы в об-
области б < Ro> можно найти экспериментальное значение толщины вытеснения
по формуле
-dp/dwo = polwol(l-8*/RoJ. A1.11.7)
Уравнения импульсов и энергии сохраняют прежнюю форму, если б**
и 8г* определять соответствующим образом с учетом кривизны пограничного
слоя. Когда их значения заметно меньше радиуса трубы, то поправка та же,
что и в формуле A1.11.5) для толщины вытеснения.
Консервативность законов трения и теплообмена имеет место и в данном
случае, т. е. функции cf (Re**) и St (Re*/) сохраняют свой вид, несмотря на
изменение формы записи толщин потери импульса и энергии вследствие кри-
кривизны пограничного слоя.
Покажем это на примере закона трения в области распределения скоростей
с показателем степени п = 1/7. По данным, приведенным в предыдущей главе,
для плоского изотермического пограничного слоя в этом случае
су = 0,0252 Re**-1/4. A1.11.8)
В области слившегося пограничного слоя б = Ro и
*ст = (С/8) Р^2 = (су/2) рш20. A1.11.9)
Здесь величина cf отнесена к скорости на оси трубы. Соответственно
t> = 4(w0/~wJ cf. A1.11.10)
Подставляя в это выражение значения Су из A1.11.8), находим, что
где
В рассматриваемом случае
*** С I у W7 Г 1 I у Vi7M л у \ л л л™
о**= М- 1—/-JL- 1—тг)лу = °>07°;
J \ Яо / L V Ro I \\ Ro I
о
Н = 0,095/0,070 = 1,35; ср = 0,02.
Соответственно по формуле A1.11.11) ? = 0,33/Re0'25, что только на 5%
отличается от A1.1.15). Перепишем уравнение импульсов A0.10.1) в виде
9dRe**/tfX + Re(l + //)/-Rec//2. A1.11.12)
Здесь Re** = oyo6**/v, Re = wD/v и X =xlD. В данном случае формпара-
метр может быть выражен через коэффициент сопротивления ?, а именно
= =ф2 -2 . A1.11.13)
w0 dx 4 Ro
Полагая ?/4 « cf и зная, что при п = 1/7 в области б < Ro б** <С 0y07R0,
находим, что на отрезке 0 < б < Ro в уравнении A1.11.12) второй член имеет
значение « 0,22 (Recy/2). Поэтому в первом приближении можно сохранить
уравнение импульсов в форме, соответствующей обтеканию пластины. Тогда
167
в области закона распределения скоростей с п = 1/7 и при развитии турбулент-
турбулентного пограничного слоя с передней кромки трубы
X ~ Рр- 0,25.
~К ' ¦ A1.11.14)
Здесь индексом 0 обозначено сечение, в котором сливаются пограничные слои.
При Рг & 1 эти соотношения справедливы и для теплоотдачи.
Из первой формулы A1.11.14) получаем при 104 < Re < 106 относительную
длину начального участка 10 < Хо < 21. Эти значения Хо близки к экспери-
экспериментальным. Однако переменность условий на входе в трубу и, в частности,
изменение степени турбулизации входящего потока с ростом числа Re, воз-
возможность существования на переднем участке ламинарного пограничного слоя
и другие обстоятельства приводят к довольно различным экспериментальным
данным и о длине участка, на котором стабилизируются трение и теплооб-
теплообмен, и о значении 8Х.
Во всяком случае, из сравнения уравнений A1.11.14) с данными табл. 11.3
видно, что протяженность входного участка при турбулентном течении замет-
заметно меньше, чем при ламинарном.
11.12. ТЕПЛООБМЕН ПРИ ПРОДОЛЬНОМ ТЕЧЕНИИ
В КАНАЛАХ НЕЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ФОРМЫ
Для замкнутых каналов, поперечное сечение которых нецилиндрично, ко-
коэффициент теплоотдачи является функцией всей совокупности геометрических
характеристик рассматриваемого канала. Например, для треугольного канала
дополнительной характеристикой является отношение его сторон. Некоторые
решения для ламинарного режима течения были приведены в разд. 11.2,
При турбулентном течении тонкий вязкий подслой почти не меняет своих
размеров при изменении формы сечения канала. Наблюдается только утолще-
утолщение вязкого подслоя и возможны появления локальных токов в углах канала.
В результате закономерности для средней теплоотдачи при турбулентном тече-
течении остаются близкими для каналов различной формы. Однако локальные
коэффициенты теплоотдачи могут меняться весьма значительно.
В практических расчетах в качестве основной геометрической характери-
характеристики канала пользуются так называемым гидравлическим эквивалентным диа-
диаметром
D9 = 4Q/P. A1.12.1)
Здесь Q — площадь свободного («живого») поперечного сечения канала; Р —
смоченный периметр канала.
При турбулентном продольном обтекании неметаллической жидкостью па-
пакета труб
a/ao&(D9/D)*-*, A1.12.2)
где а0 — коэффициент теплоотдачи при течении в трубе диаметром, равным
наружному диаметру труб пакета D. При течении в кольцевых каналах с на-
наружной теплообменной поверхностью
а/ао« 1—0,14 (D!/D2)o.6. A1.12.3)
Поскольку такого рода эмпирических формул предложено довольно много,
в практических расчетах следует ориентироваться на те или иные нормативные
материалы.
11.13. ТЕПЛООБМЕН ПРИ ТЕЧЕНИИ ХИМИЧЕСКИ
РЕАГИРУЮЩИХ ГАЗОВЫХ ТЕПЛОНОСИТЕЛЕЙ
Если в рассматриваемом диапазоне температур возможны процессы диссо-
диссоциации или ассоциации молекул теплоносителя, то возникает проблема, при-
примыкающая к задачам о температурном факторе и теплообмене при фазовых пере-
переев
ходах. При этом необходимо учитывать как изменения фактических свойств
среды с изменением структуры молекул, так и теплоту реакции и время релак-
релаксации.
Рис. 11.19. Изменение относительных концентраций рко компонентов смеси
N2O4^=2NO2^ 2NO + O2 в зависимости от температуры и времени пребы-
пребывания газа в канале t> с:
1-Рхо; 1' — Р2о (^= 1 000); 2' — р20 (84); 3'— р20D); 4' — Р20@,4); 5' — р20@,04);
6'—р2о @,0035), /"—6"—р4о соответственно; пунктирная линия—равновесные условия
Теплота реакции в данном случае может быть учтена введением эффек-
эффективной теплоемкости системы. Насколько сложна возникающая ситуация,
видно на примере расчетов состояния системы, исходным продуктом которой
является четырехокись азота (рис. 11.19).
т,х
700
600
500
400
а
у
о ,
У
У
800
600
о
0,2 0,4 0,6 /,м
400
5
у
У
У
L .
-
_ ¦
0
0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 /,м
Рис. 11.20. Распределение температуры стенки и газа по длине трубы при II стадии
реакции диссоциации BNO2:^2NO-|-O2) при времени пребывания газа в трубе
0,017 с (а) и 0,03 с (б):
/ — температура стенки, 2 — температура газа, рассчитанная с учетом химического неравнове-
неравновесия; 3 — температура газа, рассчитанная по условиям химического равновесия; •—эксперимен-
•—экспериментальные значения температуры газа на входе и выходе из трубы
При течении диссоциирующего газа без фазовых переходов система опреде-
определяющих критериев может быть составлена аналогично той, которая возникает
для области фазового перехода второго рода. При этом в качестве теплоемкости
при параметрах стенки принимается величина
Ср. ст=(*ст — Q/(Tct — Ть). A1.13.1)
169
Общий расчет теплообмена должен учитывать время пребывания элементар
ного объема газа в канале и время релаксации. Как могут влиять эти параме
тры на изменение температуры по каналу, видно из примера, приведенного ш
рис. 11.20.
^
A
A
A
A
A A
¦ A A
X
x
A
A
x
x*
x %/
2-Ю4
7 В 9 10S
Re
Рис. 11.21. Обработка экспериментальных данных по теплообмену при на-
нагреве системы N2O4^^2NO2:
# — /7=1,0 -и 3,0 МПа; х— р = 3,0 -г 5,5 МПа; А — р = 6,0 -f- 8,5 МПа
Влияние неравновесности процесса на теплоотдачу диссоциирующего га-
газа, текущего в трубе, отчетливо видно на рис. 11.21.
Детальное изложение этой проблемы имеется в работах А. К. Красина
В. Б. Нестеренко, Б. С. Петухова, А. И. Девойно и др.
11.14. ВЛИЯНИЕ ШЕРОХОВАТОСТИ СТЕНКИ ТРУБЫ
НА ТЕПЛООТДАЧУ
При ламинарном течении, когда теплопроводность во всех точках потокг
одинакова, термическое сопротивление слоя, текущего между бугорками ше
роховатости стенки, пренебрежимо мало, по сравнению с термическим сопро
тивлением всей толщи потока. Не сказывается шероховатость стенки и на гид
родинамических характеристиках ламинарного течения в связи с относительнс
слабым изменением скорости около стенки.
Иначе обстоит дело с турбулентным потоком. В последнем наиболее сущест
венные изменения скорости и температуры (при Рг ^ 1) происходят в непо
средственной близости к стенке, на расстояниях, которые могут быть соизме
римы с высотой бугорков шероховатости. Как видно из рис. 11.3, при опреде
ленных значениях Re (зависящих от относительной шероховатости k/R0) ше
роховатость стенок трубы вызывает коренное изменение в зависимости гидрав-
гидравлического сопротивления от скорости течения. Это изменение в автомодельное
области приЕодит к незагисимости гидродинамических характеристик поток
от молекулярного трения и в связи с этим от числа Re.
Однако на тепловые процессы молекулярный перенос продолжает влиять
и при турбулентном течении в области квадратичного закона сопротивления
Это влияние выражается через термическое сопротивление вязкого пристенно
го слоя, текущего между бугорками шероховатости и отделяющего собственж
стенку от турбулентного ядра потока. Таким образом, граничные условия \
уравнениям движения и теплообмена при обтекании шероховатой поверхносп
оказываются неодинаковыми. Распределение скоростей в этом случае сущест
венно зависит от торможения потока на бугорках шероховатости. Распределение
же температур зависит как от торможения потока (через поле скоростей), так
170
и от теплопроводности в вязком подслое и в том случае, когда его толщина ста-
становится меньше высоты бугорков шероховатости. В связи с этим даже при
условии Рг = 1 и grad p = 0 в турбулентном потоке, обтекающем шерохова-
шероховатую поверхность, нет точного подобия полей скоростей и температур. Оценить,
по крайней мере качественно, влияние шероховатости на теплоотдачу можно
на основе следующих допущений: 1) теплопроводностью бугорков шерохова-
шероховатости и вносимым ими загромождением вязкого подслоя можно пренебречь;
2) толщина вязкого подслоя в общем слу-
случае есть функция высоты бугорков шеро- Nu
ховатости 400
A1.14.1) joo
200
140
100
6b
6
4,
//
120-
500^
OO-
J
//,
V
I
\ 1O5Re
но в первом приближении ^ имеет то же
значение, что и при течении в гладкой тру-
трубе; 3) в области ух <С у < k интенсивность
турбулентного обмена приближенно выра-
выражается так же, как и в ядре потока или
промежуточном слое.
При таком рассмотрении интенсивность
теплоотдачи в шероховатой трубе выра-
выражается той же функцией чисел Re, Pr и ?,
что и в гладкой трубе, но значения ? в
эту формулу следует подставлять с учетом
влияния шероховатости. При этом следует
отметить, что, согласно обстоятельным опытам, в ядре потока величина к
оказывается одной и той же независимо от шероховатости.
В табл. 11.11 приведены значения числа Nu, рассчитанные для газа с Рг = 1
по формуле A1.6.13) при различных Dlk. Закон сопротивления взят в соответст-
соответствии с данными рис. 11.3.
Таблица 11.11
Сопоставление значений чисел Nu/? для гладких груб и труб с зернистой шерохова-
шероховатостью Рг=1 (расчет по формуле A1.6.13) и рис. 11.3)
Рис. 11.22. Влияние шероховатости на
теплоотдачу в трубе по табл. 11.11
Re
ЫО4
5.10*
2-Ю5
D/k
оо
39,5/0,0316
132/0,021
388/0,0155
500 | 120
39,5/0,0316
133/0,022
456/0,0182
39,5/0,0316
156/0,0323
560/0,0362
60
42,0/0,039
181/0,0450
610/0,0456
Таким образом, в шероховатых трубах интенсивность теплоотдачи возра-
возрастает относительно меньше, чем коэффициент гидравлического сопротивления.
При этом влияние шероховатости на показатель степени в зависимости Nu от Re
оказывается не очень большим — изменение числа Re от 1 • 104 до 2 • 105
(в 20 раз) изменяет число Nu для гладкой трубы в 9,8 раза (средний показатель
степени при Re равен 0,76), а для трубы с шероховатостью Dlk = 60 — в 14,5
раза (средний показатель степени 0,89). Графически результаты этих расчетов
показаны на рис. 11.22.
11.15. ВЛИЯНИЕ ВНУТРЕННЕГО ИСТОЧНИКА ТЕПЛА
Внутренний источник тепла возникает в потоке жидкости, несущей радио-
радиоактивную взвесь, в потоке радиоактивного раствора, при прохождении электри-
электрического тока через электролит или жидкий металл и т. п. Рассмотрим влияние
этого фактора на коэффициент теплоотдачи при течении жидкости в круглой
трубе, достаточно длинной для того, чтобы можно было пренебречь влиянием
входного участка.
171
Введя в зависимость A1.3.3) внутренний источник плотностью qy, полу-
получим уравнение
Яу R WR дТ
*« К ""г * 1 dR *
а дх
A1.15.1)
Интегрируя в пределах от 0 до R при условиях qv = const, после приведения
к безразмерному виду находим значение
2aGct-T) ^
Введем в это выражение значение д$/дХ из A1.5.10), определяя значение
коэффициента теплоотдачи по обычной формуле
—Л. A1.15.3)
где qCT — плотность теплового потока, пронизывающего стенку трубы, Вт/м2.
В результате находим, что
dlldt-
A1.15.4)
Здесь Z = qvRQ/2qCT — относительная плотность источника тепла. Выра-
Выражение, стоящее в фигурных скобках, может быть приведено к виду
— —
— m.
-а
0,8
0,6
-
-
-
-
1-
dt
A1.15.5)
0,8 0,4
0,4
Отсюда видно, что степень влияния внутрен-
внутреннего источника тепла пропорциональна ве-
величине
Рис. 11.23. Влияние внутреннего
источника тепла на коэффициент
теплоотдачи:
/ — по формуле A115 7); 2 — по фор-
формуле A1 15 8)
=~- \<оЫ-
(ПЛ5.6)
При @=1 А ~ 0, т. е. в предельно развитом турбулентном потоке коэффи-
коэффициент теплоотдачи не зависит от плотности внутреннего источника.
Первый член уравнения A1.15.4) тождествен уравнению A1.5.14), т. е.
представляет собой величину 1/Nuo, где Nu0 — значение числа Нуссельта
при qy = 0.
Для ламинарного течения с параболическим профилем скоростей из урав-
уравнения A1.15.4) запишем:
а/а0 = A + 0.272Z)-1. A1.15.7)
Для турбулентного течения с распределением скоростей по закону степени
1/7 и при числе Рг = 0
а/а0 - A + 0.0834Z)-1. A1.15.8)
На рис. 11.23 показаны результаты расчетов по этим формулам.
172
В общем влияние внутреннего источника на коэффициент теплоотдачи не-
невелико. При Z > О коэффициент теплоотдачи несколько уменьшается вследст-
вследствие более интенсивного нагрева слоев потока, имеющих меньшую скорость те-
течения. При стоке тепла (Z < 0) коэффициент теплоотдачи несколько возрастает.
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1 Аладьев И. Т. Экспериментальное определение локальных и средних коэффициентов
теплоотдачи при турбулентном течении жидкости в трубах.— «Изв. АН СССР. Сер.
ОТН», 1951, № 11, с. 1669.
2. Вопросы теплообмена. Сб. статей. Отв. ред. М. А. Михеев. М., Изд-во АН СССР, 1959.
3. Вопросы теплообмена. Пер. с англ. М.— Л., Госэнергоиздат, 1959.
- 4. Гидродинамика и теплообмен в атомных энергетических установках. (Основы расчета).
М., Атомиздат, 1975. Авт.: В. И. Субботин, М. X. Ибрагимов, П. А. Ушаков и др.
5. Жидкометаллические теплоносители. Изд. 3-е М., Атомиздат, 1976. Авт.: Кутате-
ладзе С. С, Боришанский В. М., Новиков И. И., Федынский О. С.
6. Ильин Л. Н. О влиянии температуры на конвективную теплоотдачу. М., Машгиз,
1951. (Тр. ЦКТИ, кн. 18).
7. Киприянов И. В. Теплоотдача и сопротивление газового потока в каналах с продоль-
продольно омываемыми поверхностями нагрева. М., Машгиз, 1952. (Тр. ЦКТИ, кн. 22).
8. Краснощекое Е. А., Протопопов В. С. К вопросу о теплообмене при течении углекис-
углекислоты и воды в сверхкритической области параметров состояния.— «Теплоэнергетика»,
1960, № 10, с. 94.
9. Кутателадзе С. С, Леонтьев А. И. Турбулентный пограничный слой сжимаемого газа.
Новосибирск, Изд-во СО АН СССР, 1962.
10. Лельчук В. Л., Елфимов Г. И. Теплообмен от стенки к углекислому газу при турбу-
турбулентном течении в круглой трубе и больших тепловых нагрузках.— «Инж.-физ.
журн.», 1963, т. 6, № 12, с. 1 1.
11. Лельчук В. Л., Елфимов Г. И. Теплоотдача к турбулентному потоку аргона внутри
трубы при больших температурных напорах и высоких температурах стенки.— «Теп-
«Теплофизика высоких температур», 1964, т. 2, № 2, с. 243.
12. Лельчук В. Л., Дядякин Б. В. Теплоотдача от стенки к турбулентному потоку воздуха
внутри трубы и гидравлическое сопротивление при больших температурных напо-
напорах. — В сб. «Вопросы теплообмена», М., Изд-во АН СССР, 1959, с. 123.
13. Миллионщиков М. Д. Турбулентные течения в пограничном слое и трубах. М. ,«Нау-
,«Наука», 1969.
/14) Методика и зависимости для теоретического расчета теплообмена и гидравлического
~" сопротивления теплообменного оборудования АЭС, РТМ 24 031 05—72. М., Минтяж-
маш, 1974.
15. Мигай В. К. Теплообмен в треугольном канале при ламинарном течении.— «Инж.-
физ. журн.», 1958, № 7, с. 18.
16. Петухов Б. С. Теплообмен и сопротивление при ламинарном течении жидкости в тру-
трубах. М., «Энергия», 1967.
17. Петухов Б. С, Генин Л. Г., Ковалев С. А. Теплообмен в ядерных энергетических уста-
установках. М., Атомиздат 1974.
18. Стырикович М. А., Семеновкер И. Е. Теплообмен при очень низких значениях чисел
Рг. — «Журн. техн. физ.», 1940, т. 10, № 16, с. 1324.
19. Теплообмен в химически реагирующих газовых теплоносителях. Под ред. А. К. Кра-
Красина, В. Б. Нестеренко, А. Н. Девятко. Минск, «Наука и техника», 1971.
20. Теплообмен при высоких тепловых нагрузках и других специальных условиях. М.,
Госэнергоиздат, 1959.
21. Шваб В. А. К теории теплопередачи в турбулентном потоке. Тр. ЛПИ, Разд. физ.-
мат. наук, вып. 1, 1937.
22. Latzko H. Der Warmeubergang an einem turbulenten Fliissigkeits-oder Gasstrom. —
«Abhandl. a us des Aerodyn. Inst. an der Techn. Hochschule, Aachen», 1930, Hf. I, S. 63.
23. Lyon R. Liquid metal heat — transfer coefficients. — «Chem. Eng. Progr », 1951,
vol. 47, N 75, p. II.
24. Nusselt W. Der Warmeubergang in Rohrleitungen. — «VDI Forschungsheft», 1910,
Hf. 89, S. I.
12
Глава ш ^ ш
~ " ТЕПЛООБМЕН ПРИ БОЛЬШИХ
СКОРОСТЯХ ТЕЧЕНИЯ ГАЗА
12.1. СВЯЗЬ МЕЖДУ ТЕМПЕРАТУРОЙ ТОРМОЖЕНИЯ
И СКОРОСТЬЮ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ЗВУКА В ГАЗЕ
Для плоского пограничного слоя температура торможения
*/2cp. A2.1.1)
Из термодинамики известно, что скорость распространения звука в газе,
подчиняющемся уравнению Клапейрона—Менделеева, определяется адиаба-
адиабатической сжимаемостью среды:
a* = Vkp/p = VcpT(k — l), A2.1.2)
где k = cp/cv — показатель адиабаты.
Подставляя в уравнение A2.1.1) значение термодинамической температуры
потока 7\ выраженное через скорость звука, находим, что в потоке газа
Т* = Т(\+ ±zLm*\. A2.1.3)
Здесь величина
М = w/a* « wVp/p A2.1.4)
представляет собой отношение скорости течения среды к скорости распростра-
распространения в ней звука, т. е. является критерием, характеризующим сжимаемость
среды под воздействием динамических сил в потоке.
12.2. КОЭФФИЦИЕНТ ВОССТАНОВЛЕНИЯ ТЕМПЕРАТУРЫ
И ОБОБЩЕННЫЙ КОЭФФИЦИЕНТ ТЕПЛООТДАЧИ
Термодинамическая температура потока может быть измерена только та-
таким термоприемником, относительная скорость которого равна нулю. В ином
случае термометр будет показывать некоторую температуру, промежуточную
между термодинамической температурой и температурой торможения. В общем
случае
2cp, A2.2.1)
где г — так называемый коэффициент восстановления, который зависит от
физических свойств потока, режима течения, геометрической формы и физиче-
физических свойств обтекаемой поверхности (измерителя). При этом предполагает-
предполагается, что теплообмен излучением пренебрежимо мал. Температура, которая уста-
устанавливается на поверхности тела при отсутствии в нем каких-либо тепловых
потоков (т. е. теплопередачи по нормали и растечек тепла вдоль этой поверх-
поверхности вследствие теплопроводности), называется равновесной температурой.
Равновесная температура стенки ГсТ определяется формулой A2.2.1),
причем коэффициент восстановления в этом случае зависит только от свойств
потока и геометрии обтекаемой поверхности. Для газа при заданной форме тела
коэффициент восстановления в' случае равновесной температуры
г = r(Pr; k\ M; Re). A2.2.2)
Для продольно обтекаемой пластины при ламинарном пограничном слое
г да l/PF, а при турбулентном пограничном слое г да -j^Pr. При поперечном
обтекании проволок газом по В. С. Жуковскому при Re < 3000
г = @,355 + 2,14Pr) (k - 1). A2.2.3)
174
Исследования коэффициента восстановления для различных областей зна-
значений чисел Re были проведены В. С. Жуковским и Л. М. Зысиной-Моложен
(табл. 12.1). На рис. 12.1 приведены расчетные зависимости коэффициента
восстановления от числа Рг при обтекании плоской пластины. Как видно, у не-
неметаллических жидкостей (Рг<1) равновесная температура стенки Т1Т
может существенно превышать температуру торможения в невозмущенном по-
потоке То- Объясняется это тем, что вблизи стен-
стенки интенсивность диссипации работы трения
пропорциональна \iw2, а отвод выделившейся
теплоты от теплоизолированной стенки в ядро
потока жидкости пропорционален X (TJT—Го).
Отсюда при подобии между трением и тепло-
теплообменом Т?т = Го, а при v > а теплоотвод
через пограничный слой затрудняется и
Гтс > Tq. В турбулентном пограничном слое
такое подобие нарушается при Рг Ф 1 только
вследствие процессов молекулярного трения
и молекулярной теплопроводности в тонком
вязком подслое. Поэтому зависимость вели-
г
10
г
2
1
0,4
в—-
- 9-
. —^
4 10и
ю1
10z Pr
Рис. 12.1. Коэффициент восстанов-
восстановления при обтекании пластин:
/ — ламинарный пограничный слой; 2 —
турбулентный пограничный слой
чины г от числа Рг для турбулентного пограничного слоя слабее, чем для ла-
ламинарного пограничного слоя. Значения коэффициента восстановления при
течении в трубах близки к соответствующим значениям для пластины.
Таблица 12.1
Коэффициенты восстановления при поперечном обтекании воздухом проволок
(Рг = 0,72; /г = 1,40)
Re
Г
3000
0.76
3000 — 20 000
Неустойчивые значения
20 000 — 140 000
Л1>0,7
0,92
140 000
dr/dRe<0
Таким образом, характерной величиной, определяющей поток энтальпии,
является разность энтальпии при параметрах на стенке и энтальпии изоэн-
тропического торможения с учетом коэффициента восстановления. Поэтому
определение (9.5.6) коэффициента теплоотдачи по разности энтальпии стен-
стенки и энтальпии торможения в общем случае целесообразно записать в форме
q = a(ilT—iCT), A2.2.4)
где *'ст= i0 + rwo/2 — равновесная энтальпия стенки. Эта формула имеет то
достоинство, что всегда дает при iCT = i*T правильное значение теплового
потока q = 0.
12.3. ТЕПЛООТДАЧА К ПЛАСТИНЕ
Рассмотрим течение при отсутствии скачков уплотнения. В случае об-
обтекания пластины потоком газа при Рг= 1, ср = const и др/дх — 0 уравне-
уравнения теплопроводности и движения пограничного слоя (9.4.2) становятся
однотипными относительно 7* и wx. Следовательно, в рассматриваемом
случае имеет место подобие полей температур торможения и скоростей.
Из условия подобия следует, что
G* — ТСТ)/(ТО — TCT) = wx/w0. A2.3.1)
Здесь индексом 0 обозначены температура торможения и скорость течения
вне пограничного слоя. Из последнего выражения следует, что
Т — Т -4-
1 — ' ст т
+ ¦
2ср
wQ
2ср
w0
- -x(<!L) ^A_(dwx_) (т _т __!М
— I | — I / I ст 0 I •
\ оу /ст w0 \ ду /ст у 2ср I
A2.3.2)
A2.3.3)
G5
Выражая градиент скорости у стенки через напряжение трения тст, получаем
A2.3.4)
Это выражение совершенно аналогично формуле (9.2.5) для потока медленно
движущейся жидкости и отличается от него только тем, что термодинамиче-
термодинамическая температура ядра потока замещена в ней температурой торможения.
Вводя в уравнение A2.3.4) обобщенное значение коэффициента теплоот-
теплоотдачи по формуле A2.2.4) и выражая тст через
Гст>7о v У локальное значение коэффициента трения cf, по-
q /Ly^ лучаем
У^о А/< 7-0 «/(Ро wo) = cf/2t A2.3.5)
нагребается / ,
— или, при ср = const,
Тело a/(cppowo) = cf/2. A2.3.6)
охлаждается
В формуле A2.3.5) коэффициент теплоотда-
теплоотдачи выражен через разность энтальпий, а в фор-
SOS ме„ГсРувеТлР„ЧеИн3„МемсНКоЯ муле A2.3.6)-через разность температур. Как
роста течения газа видно, формула A2.3.6) совершенно тождест-
тождественна формуле (9.2.8); при этом, однако, следует
обратить внимание на то, что в нее входит значение плотности среды при опре-
определенной температуре Т = То. При Рг « 1 практически можно полагать
A2.3.7)
Введя в формулу A2.3.3) значение критерия М = wo/a* no формуле A2.1.3),
можем написать (Рг = 1)
( ±±] A2-3.8)
Из этого выражения видно, что при Тст > То увеличение скорости течения
(т. е. увеличение числа Мо) вначале вызывает рост, а затем падение теплового
потока. При
A2А9)
тепловой поток равен нулю и при дальнейшем увеличении числа Мо меняет
знак. Таким образом, если Гст > 70, то пластина отдает тепло потоку до тех
пор, пока Af0 < f/ j^ri (^-l) . и начинает получать тепло от потока газа,
когда знак неравенства меняется. Когда термодинамическая температура ядра
потока больше температуры стенки, тепловой поток всегда направлен от газа
к пластине (рис. 12.2).
12.4. КОЭФФИЦИЕНТ ТРЕНИЯ ПЛАСТИНЫ
ПРИ ЛАМИНАРНОМ ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ
Относительная плотность газа в данной точке может быть определена из
уравнения состояния через температуру П и соответствующее ей расчетное
давление р00. Отсюда
= рПКРооТ) " A2.4.1)
или, принимая во внимание, что в пограничном слое др/ду -Ои, следователь-
следовательно, р = рОу
Р/Роо = РоП1(РооТ). A2.4.2)
176
Изменение состояния газа вне пограничного слоя происходит адиабатически,
и, следовательно,
Poo \ То / \ 2ср 10 J
Уравнение температурного поля A2.3.2) можно переписать следующим обра-
образом:
Т = П \ 1 — и2 +(-^ — l)( 1 — —) 1, A2.4.4)
где и =
A2.4.5)
2 + (Л— 1)М2
Совмещая формулы A2.4.2)—A2.4.4), находим, что
?
A U) \l й+( )(\ 4
Poo L \ то 1\ U
Уравнение импульсов для безградиентного обтекания примет вид
- \)(\ - 4]У\ A2.4.6)
1\ U ) \
A2.4.7)
б
где б**= ( рШдс—A— ^-\dy— толщина потери импульса, отнесенная
J Роо^о \ Щ I
о
J
о
к плотности роо-
Подставляя в равенство A2.4.7) значение р/р00 по уравнению A2.4.6), по-
получаем
б
тст
Роо^о
= ^Г «^(l_?!?LW A2.4.8)
о
_ P
Здесь dv\ = — dy, и соответственно
г 00
-^)]V A2.4.9)
Отсюда видно, что введенная А. А. Дородницыным переменная ц позволяет
свести уравнение импульсов для газа к форме уравнения импульсов для пото-
потока несжимаемой жидкости.
Тогда коэффициент трения можно выразить:
_2тст_ =2-^-A_77Г2I/A~Л) A2.4.10)
poowl dx x >
После этих преобразований расчет ламинарного пограничного слоя газа можно
вести аналогично расчету ламинарного слоя несжимаемой жидкости, введя
в полином, аппроксимирующий профиль скоростей, вместо расстояния от
стенки у величину т). Кроме того, необходимо учесть переменность вязкости.
Л. Е. Калихман распространил на эту задачу метод Польгаузена, которым
мы уже пользовались в гл. 10.
177
Предположим что
I* = h>o (тщу = 1*00 [l - «2 +(ТС?/П — 1) (l — п/77)]п;
п/U - Лх т]/б 4- Л2 (л/бJ + А, (т1/б)Ч Л4 (tj/6L ; j A2.4.11)
GS-Г*) (П~ТСТ) = Б,т|/б +В2 (г]/бJ + В3(л/8K + В4(т|/б)«.)
При */ = ^ ру^шо. |
ду
ду \ ду
Переходя к переменной Дородницына т), получаем:
при т) = О
~) дЛ-) =0,
при г) = б
Аналогичные условия составляют для температуры. По этим граничным
условиям вычисляют коэффициенты Аг и Вг в системе A2.4.11). Расчеты, вы-
выполненные Л. Е. Калихманом, привели к формуле
п \(л-1)/2
где Re = wolho. Здесь
2Л A44-1-12Л— 5Л2)
315
л =
A2.4.12)
A2.4.13)
ч
¦^—
¦
i
— -
1А
1,0
и z 4 о а /ст
т*
Рис. 12.3. Функция F в форму-
формуле A2.4.12) при л = 0,7
Для п = 0,7 функция F приведена на
рис. 12.3 и может быть аппроксимирована фор-
формулой
A2.4.14)
Соответственно для газа с п = 0,7 при ламинар-
ламинарном пограничном слое на пластине с безгра-
безградиентным обтеканием
A2.4.15)
Здесь С/о — коэффициент трения для ламинарного пограничного слоя несжи-
несжимаемой жидкости при том же значении Re. Формуле A2.4.15) также можно
придать вид
= yp-°>"y*-°>0\ A2.4.16)
где г|э = Тст/Т0 — температурный фактор в его обычной форме; гр* = То/То —
величина, которая также может рассматриваться как особая форма темпера-
температурного фактора, связанного с преобразованием кинетической энергии потока
в теплоту. В обобщенной форме, пригодной для газа с Рг Ф 1,
A2.4.17)
178
Как уже говорилось ранее, эта величина может быть названа третьим или
кинетическим температурным фактором. При сопоставлении коэффициентов
трения по числу Re** в рассматриваемом случае
Y = (cf/cf.)R*. = 4'-0'22 Г'08- A2-4.18)
12.5. ПРОФИЛЬ СКОРОСТЕЙ В ТУРБУЛЕНТНОМ
ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ
НА НЕПРОНИЦАЕМОЙ ПЛАСТИНЕ
Рассматривается распределение скоростей в плоском турбулентном погра-
пограничном слое быстротекущего газа в окрестности стенки. Полагая т « 1, Р » О
и / ~ у, запишем
. «Рп^.х.^,_=.у. A2.5.1)
A2.5.2)
Из соотношения A2.3.1) следует, что
Т/То = 1 f D.* —1)A —со2) 4-
где
И 0) =
ф ф * (ст 7
Формула A2.5.2) соответствует формуле (9.14.22) при е = 1. При Агр = О
теплообмен отсутствует, т. е. имеет место адиабатическое обтекание поверх-
поверхности Подставляя значение Т/То из уравнения A2.5.2) в соотношение A2.5.1),
»-Рст
20
1
15
10
5
0
у
/
1
7
/
//
//
1
/
2,36
2,07 ^
1,23
0 ^
/
//
**"
/
У/
/У,
' У У
уУ /
<' У
л
/
/
/
/
10
10е
Рис. 12.4. Распределение скоростей в пограничном слое на пла-
пластине при сверхзвуковом течении газа (М0 = 5)
179
находим следующее выражение для профиля скоростей в пристенной области
турбулентного ядра пограничного слоя газа:
г* sin
+Z4 In —
Ул.
A2.5.3)
Здесь
Zi='
A2.5.4)
- до,1 /" с/ до*
Функция ®i = —у -~ = -f, где шх — скорость течения на расчетной границе
вязкого подслоя ух.
Формула A2.5.3) может быть названа законом распределения скоростей
по синусу логарифма расстояния от стенки. При г|э = г|э* = 1 эта формула пе-
переходит в логарифмическую для изотермического турбулентного пограничного
слоя несжимаемой жидкости. В вязком подслое
-;<о)]л-^-, A2.5.5)
где п — показатель степени в первой из формул A2.4.11). Интеграл этого урав-
уравнения дает зависимость, которая может быть сращена с зависимостью A2.5.3),
если известна величина
*; Re**),
A2.5.6)
которая может быть оценена, например, из условия (9.13.16).
Как видно из рис. 12.4, профили скоростей имеют сложный характер и ме-
менее заполнены, чем в изотермическом потоке.
12.6. КОЭФФИЦИЕНТ ТРЕНИЯ И ТЕПЛООТДАЧИ
ПЛАСТИНЫ ПРИ ТУРБУЛЕНТНОМ
ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ
Подставляя в уравнение (9.14.3) значение x = f0 и определяя р/р0 =
= Т/То по формуле A2.5.2), находим, что при
При Re->oo
или
arcsin
1/4 (ф* — ]
— arcsin
1/4 (яр*—1) (-ф*
0, г
¦1 И
Г arcsin
—1L-
-arcsin
A2.6.1)
A2.6.2)
A2.6.3)
180
В области конечных чисел Рейнольдса функции со1 и г в соответствии с урав-
уравнением A0.9.4) можно вычислить по формулам
о)!« ll,6]/cfo/2 при if< 1
щж UfiV4ooCfj2 при ^
Здесь Too определяется по формуле A2.6.3).
(cf\
^^v^^^^^w
\ М = 9,9
О
6,0
7,0
lgRex
муле A2. 6 1) при (x)t= 11,6
2= 1 —СОГ, Л-ф= 0
Рис 12.6. Зависимость с//с/о от М и Дя|? при г = 0,9, рас-
рассчитанная по формуле A2.6.2)
0,8
Рис 12.5. Сопоставление теоретических расчетов с опыт-
опытными данными при больших числах М:
— расчет по формуле A2. 6. 3); расчет по форму-
ле A2. 6. 1) при Ai{) = 0 и о)! = 11 >6}/^f0/2; расчет по фор-
форA2.6.4)
\
/ 0,5
/ °
/ -0,5
/,-1,0
Y -3,0
На рис. 12.5 дано сопоставление расчетов по этим формулам с опытами
Маттинга, Чепмена и Нейхолма, охватывающих диапазон чисел Rex до 108
и чисел М до 10. На рис. 12.6 отчетливо видно, что в области Агр < 0 трение
повышается, а в области Дгр > 0 уменьшается.
12.7. ТРЕНИЕ И ТЕПЛООБМЕН В ТУРБУЛЕНТНОМ
ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ ДИССОЦИИРОВАННОГО ГАЗА
При М > 10 температура торможения столь велика, что начинается диссо-
диссоциация молекул газа. Когда температура относительно еще невелика, а ско-
скорости течения весьма значительны, характерное время рекомбинации молекул
и атомов можно считать большим по сравнению с характерным временем турбу-
турбулентной диффузии. Тогда при условии подобия массовых концентраций атомов
и скоростей течения
>-ест)<о, A2.7.1)
где е — степень диссоциации. Пренебрегая энергией вибрации атомов и огра-
ограничиваясь рассмотрением двухатомных молекул, можем написать
ео)/A-е). . A2.7.2)
Связь между скоростью и температурой для рассматриваемых условий имеет
вид
JT_= 7 + Зест Л^Звр., 7+Звс, Л @A_@)_М^1
Го 7+38 \7+Зе 7+Зе ^ I К ' 7+Зе
. A2,7,3)
18»
Предельный закон трения имеет форму
1
.7.4)
A2.7.5)
Re-ooU У Г 1+8
Отсюда при квазиизотермическом течении газа получаем
\ 1 г~
CU e=0 /Re**, М, ф \ К е +1
где е = A + ео)/A + 8ст)- Численное решение уравнения A2.7.4) показы-
показывает, что отношение cf/cf, 8==0 при М = idem, if> = idem и Re** = idem
слабо зависит от этих параметров. Поэтому практически почти всегда можно
пользоваться формулой A2.7.5).
Для двухатомных газов 0,5 < 8 < 2 и 0,75 < cf/cft 8 = 0 < 1,3. Более
сложные случаи теплообмена и трения при сверхзвуковых течениях рассматри-
рассматриваются в специальных монографиях.
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Дородницын А. А. Пограничный слой в сжимаемом газе.— «Прикл. матем. и ме-
хан.», 1942, №6, с. 449.
2. Жуковский В. С. Измерение температуры газового потока при весьма больших скоро-
скоростях.— «Журн. техн. физ.», 1938, т. 8, № 21, с. 1938.
3. Зысина-Моложен Л. М. Измерение температур в быстродвижущемся газовом потоке.
Машгиз, 1950. (Тр. ЦКТИ, кн. 18).
4. Калихман Л. Е. Газодинамическая теория теплопередачи.— «Прикл. матем. и ме-
хан.», 1946, т. 10, вып. 4, с. 3.
5. Кутателадзе С. С., Леонтьев А. И. Теплообмен и трение в турбулентном погранич-
пограничном слое. М.— Л., «Энергия», 1972.
6. Кутателадзе С. С. Пристенная турбулентность. Новосибирск, «Наука», 1973.
7. Основы теплопередачи в авиационной и ракетной технике. Под общ. ред. В. К. Кошки-
Кошкина. М., Оборонгиз, 1960. Авт.: В. С. Авдуевский, Ю. И. Данилов, В. К. Кошкин и др.
13
Глава
ТЕПЛООБМЕН И ТРЕНИЕ
ПРИ ПЕРЕНОСЕ ВЕЩЕСТВА
13.1. МАССООБМЕН И ТЕПЛОПЕРЕДАЧА
Во многих случаях переносы количества движения и тепла происходят од-
одновременно с переносом массы вещества, обусловленным различием концен-
концентраций компонент системы в различных ее областях. Так, одним из эффектив-
эффективных способов ограждения тела от воздействия высокотемпературного газа яв-
является «пористое» охлаждение. В этом случае охлаждающая среда (газ, ис-
испаряемая жидкость) вводится в пограничный слой основного потока через по-
пористую стенку и, диффундируя по направлению к ядру течения, существенно
меняет интенсивность теплообмена.
Тепло- имассообмен неразрывно связаны друг с другом в процессах измене-
изменения агрегатного состояния теплоносителя при испарении жидкости в газ, кон-
конденсации из паро-газовой смеси, при интенсивной термодиффузии и в ряде
других случаев. В этой главе рассматриваются некоторые общие свойства таких
процессов и имеющие достаточно общее значение проблемы теории бинарного
пограничного слоя на проницаемых поверхностях. В последующих главах эти
проблемы рассматриваются применительно к ряду других явлений (кипящие
слои, кипение и т. п.).
13.2. УРАВНЕНИЯ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ
Диффузией называется самопроизвольный перенос вещества из области
с большей его концентрацией в область с меньшей концентрацией. Аналогично
теплообмену перенос вещества (массообмен) может осуществляться как за счет
молекулярного движения, так и конвекцией. Одной из важных форм мблярного
переноса вещества является турбулентная диффузия в газах и жидкостях.
Так же, как и теплопроводность, диффузия описывается линейной связью
между плотностью потока и градиентом потенциала. В газах эта аналогия пере-
переходит в почти полную тождественность механизмов переноса. Как известно
из кинетической теории в газе,
XttCypD, A3.2.1)
где D — коэффициент самодиффузии.
При совместном протекании нескольких процессов такого рода возникают
некоторые эффекты, являющиеся результатом их взаимодействия. При взаимо-
взаимодействии диффузии и теплопроводности плотность потока вещества описывается
уравнением
j = — DlgradC — D2grad7\ A3.2.2)
т. е. перенос вещества происходит под воздействием как разности концентра-
концентраций С, так и разности температур Т. Это явление называется термодиффузией.
По Чепмену и Каулингу плотность одномерного потока массы при отсутст-
отсутствии конвекции и термодиффузии
/'= —Dpdp'/dy. A3.2.3)
Здесь D — коэффициент диффузии, м2/с; р — плотность смеси, кг/м3; р' =
= р7р — относительная плотность компоненты с индексом \ Наличие полей
давления и других сил вызывает эффекты баро- и динодиффузии.
Во многих случаях, особенно в турбулентных потоках, этими эффектами
можно пренебречь, и мы на них останавливаться не будем, отсылая читателей
к специальной литературе. Поэтому, если ограничиться определением плот-
183
ности потока вещества по равенству A3.2.2), уравнение диффузии в плоском
бинарном пограничном слое можно написать в форме
На рис. 13.1 показана схема тепловых потоков, возникающих в плоском би-
бинарном ^пограничном слое. Возникает тепловой поток, связанный с потоком
массы /', и уравнение распространения тепла в плоском пограничном слое
принимает вид (без учета термо-, ба-
т | I I "''°У г°
р д ( у
ро- и динодиффузий)
dwx \2
-w~
dp
дх
di
да*
—
ду
= pwx-%- + pwyj±-, A3.2.5)
дх ду
где
q* = ХдТ/ду + (cPi -сро) (Т-То) /'.
A3.2.6)
Рис. 13.1. Схема тепловых потоков к фор- Здесь (кроме принятых обозначений)
муле A3.2.G) Ср1 — удельная теплоемкость среды,
подаваемой в пограничный слой; ск-
скудельная теплоемкость основного потока; /' — диффузионный поток рассмат-
рассматриваемой компоненты.
Производные энтальпии смеси и температуры связаны уравнением
di
ду
дТ
ду
ду
где ср = сРо + (cPl — сРо) р' — удельная теплоемкость смеси.
Отсюда можно написать, что
оу
-«?*= — -r- + (cPt ~сра) (Т-То) A -Le),
с оу
A3.2.7)
A3.2.8)
где Le = a/D — число Льюиса. Уравнение движения пограничного слоя, на-
написанное относительно параметров смеси, сохраняет нормальный вид.
Вдув или отсос газа или жидкости через пористую поверхность, испарение,
конденсация или химическая реакция на обтекаемой поверхности приводят
к тому, что на последней нормальная составляющая вектора скорости течения
не равна нулю. Таким образом, при массообмене граничные условия на
стенке, обтекаемой сплошной средой, имеют вид
Следует различать полупроницаемую и полностью проницаемую стенки. В пер-
первом случае при бинарной смеси поток /с'т ф 0, а поток /?т = 0. Во втором
случае поверхность полностью проницаема для обеих компонент.
13.3. ТРОЙНАЯ АНАЛОГИЯ
Из уравнений A3.2.4) и A3.2.5) следует, что при Pr = Le = 1 и dp/dx = 0
уравнения движения, теплопроводности и диффузии становятся тождествен-
тождественными относительно параметров w, Г и р'.
Следовательно, если при этом имеет место также подобие граничных усло-
условий, то существует и подобие полей скоростей, температур и относительных
концентраций. Это так называемая тройная аналогия, когда
с+ с+ г /О /1 'Х % 1 \
OL/) -== vJL =— L f I ?. llO.O.ly
184
Здесь Sti> = $/w0, где Р — коэффициент массоотдачи, определяемый со-
соотношением
Р = /ст/(Рст-р6). A3.3.2)
Частные аналогии имеют вид (при dp/dx = 0и подобии граничных условий)
Pr = v/a=l, St = Су/2;
A3.3.3)
= l, StD =St.
Для последнего случая коэффициенты тепло- и массоотдачи связаны формулой
Льюиса:
Р = а/(с,р). A3.3.4)
13.4. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КАСАТЕЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ
И ТЕПЛОВОГО ПОТОКА
В ПЛОСКОМ ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ
НА ПОЛУПРОНИЦАЕМОЙ ПОВЕРХНОСТИ
Уравнение движения плоского пограничного слоя в непосредственной ок-
окрестности твердой стенки имеет вид (поскольку в этой области wx « 0)
—dp/dx + dr/dy->- pWydwJdy. A3.4.1)
В общем случае механизм трения может быть и турбулентным. Вследствие
этого интерполяционный профиль касательных напряжений целесообразно
строить, не вводя в него непосредственно вязкость.
Возьмем частный интеграл от выражения A3.4.1) по оси у так, чтобы верх-
верхний предел интегрирования был весьма мало удален от поверхности стенки.
Тогда можно положить, что
+ Рст^ст = /ст A3.4.2)
о
г-**с* + -%-У + 1ст*>х. A3.4.3)
Аппроксимируя профиль касательных напряжений кубической параболой
так, чтобы в области Е «Ос точностью до малых второго порядка выполня-
выполнялось условие A3.4.3), получим
т = 1 —3g2 + 2|3 +(Л§ + ^i со) A —gJ, A3.4.4)
или
т0
Здесь Ьг = 2jCT/cf — фактор проницаемости стенки, построенный по истинно-
истинному коэффициенту трения; Ь = 2jCT/cf0 — фактор проницаемости стенки, по-
построенный по эталонному коэффициенту трения (Re** = idem; dp/dx = 0;
Jct = 0); 7ст = /cT/po^o — относительный поток массы через стенку.
При 7ст = 0 формула A3.4.4) переходит в формулу (9.6.4). Сопостав-
ние расчета по формуле A3.4.4) с опытами Миклея в обработке Бартля и Лидо-
на при dp/dx = 0 дает качественное хорошее совпадение (рис. 13.2).
Однако в количественном отношении аппроксимационная формула хорошо
описывает результаты измерений в пристенной области проницаемой пластины
и хуже в ядре пограничного слоя.
185
о
1
T#°1-JE*+2
О
О
ч
О >
0,2
0,4 0,6
0,8
Рис. 13.2. Сопоставление результатов рас-
расчета по формуле A3.4.4) с опытными дан-
данными по распределению касательных напря-
напряжений по сечению турбулентного погранич-
пограничного слоя для непроницаемой A) и прони-
проницаемой B) стенок (/ст = 0,003; & = 1,3; гЬ =
= 0,455)
Уравнение распространения тепла
в непосредственной окрестности стен-
стенки (у « 0, wx « 0) можно записать
в виде
dQ/dj + j' (сР0-сР1)дТ/дулъ
~сР,ст1стдТ/ду, A3.4.6)
где /' = — Dp (др'/ду)ст. Интегри-
Интегрируя, находим, что в непосредственной
окрестности стенки
4™qCT—[j'(cPo — cPl) +
+ cPtCTjCT](T-TCT). A3.4.7)
Далее, используя соотношения
A3 4 8)
= (?р1 сро) Рст + с]H;
pc-r WCT = jCT— /',
можно привести выражение A3.4.7) к виду
4&qCT + cPl /ст (Т—Тст). A3.4.9)
С учетом этого граничного условия (остальные остаются теми же, что и
рассмотренные в гл. 9) аппроксимация кубической параболой дает
Уе8Ч/Чо = хР8 + Ьт^/A+21т)9 . A3.4.10)
где д — безразмерная температура (при -ф* « 1 О = (Т — ТСТ)/(ТО — Гст);
Ьт = CpJCT/cPo St0 — тепловой фактор проницаемости стенки.
13.5. ПРЕДЕЛЬНЫЙ ЗАКОН ТРЕНИЯ
В ТУРБУЛЕНТНОМ ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ
НА ПОЛУПРОНИЦАЕМОЙ ПЛАСТИНЕ
Если при Re ->oo на полупроницаемой пластине показатель степени в сте-
степенной аппроксимации профиля скоростей п -+0 (так же, как на пластине не-
непроницаемой), то г^ -> 1, а сумма 1 + 2\ в уравнении A3.4.5) по всему интер-
интервалу значений ?, кроме точки 5 = 1, стремится к 1.
Принимая во внимание эти соображения и подставляя в выражение
(9.14.12) распределение т из уравнения A3.4.5) при Л = 0, находим, что
1
dco
A3.5.1)
Аналогично течению с градиентом давления в рассматриваемом случае
тоже возможна ситуация, при которой коэффициент трения обращается в нуль.
Это явление связано с оттеснением основного пограничного слоя от твердой
сгенки при вдуве через нее поперечного потока вещества.
Полагая в выражении A3.5.1) W = 0, получаем выражение для критиче-
критического значения параметра вдува при Re-^oo:
1 v 2
dec
Усоро/р
A3.5.2)
Замечательной особенностью этих уравнений является то, что для их реше-
решения не требуется знания распределения скоростей течения в пограничном слое.
Достаточно знать только связь между относительной плотностью р/р0 и безраз-
безразмерной скоростью со, которую для газов легко установить через тройную ана-
аналогию.
186
13.6. ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ
НА ПОЛУПРОНИЦАЕМОЙ ПЛАСТИНЕ
Простейшая постановка этой проблемы сводится к решению системы урав-
уравнений:
д ( dwx \ dwx , dw^
— I [я—±-\ — руих ±_ —
ду \ ду ) дх
, dpwy
дх
¦ = 0;
ду
дТ до' дТ
—~--Z- = pcpWx—
дТ
х -^-^- = pcpwx-^-+pcpwy-—,
ду ду дх ду
д (гл до' \ до'
ду I дх
др'
ду
при граничных условиях
Dp
Z7
1—p
= Г0, р'=0, wx =
A3.6.1)
A3.6.2)
Изучение этой системы было выполнено в работах Бирона, Эккерта и др.
Подробный обзор теоретических и экспериментальных данных, появившихся
к 1959 г., был сделан Гроссом, Хартнеттом, Мессоном и Гейзли.
20
10
\
\
\
\
к
¦
\
s
Уст
Рис. 13.3. Влияние воздушною
вдува на локальное значение коэф-
коэффициента трения плоской пласти-
пластины при постоянных свойствах ла-
ламинарного потока
V
\
Sl
5,55
10
5,18
2
Рис. 13.4. Зависимость ^(b) при р =
= p0 и dp/dx = 0:
1 —ламинарное течение; 2 — турбулентное
течение при Re -> <x>; 3 — турбулентное
течение при Re** = 2000
Результаты вычислений для пластины, обтекаемой однородным ламинар"
ным пограничным слоем с постоянными физическими свойствами, показаны на
рис. 13.3. На рис. 13.4 эти же результаты представлены в координатах W — Ь.
Точка оттеснения пограничного слоя определяется значением Ькр = 3,35.
Кривую на рис. 13.3 можно аппроксимировать формулой
>F = (l —^foL/3. A3.6.3)
Здесь b = blbKV — относительная величина фактора проницаемости стенки.
На рис. 13.5 и 13.6 приведены результаты численных решений системы
A3.6.1) для бинарных ламинарных пограничных слоев.
187
Закон теплообмена в рассматриваемых условиях определяется обычным
соотношением для ламинарного пограничного слоя на пластине: St = Pi~2/3 :;
X Cf/2. Эккерт, Хейдей и Минкевич несколько уточнили результаты, приведен-
приведенные в обзоре Гросса и др. Однако предложенные ими расчетные формулы не-
неудовлетворительны в области значений b > 0,6.
9l
X;
\
V
*
it
\
1,0
2,0 ?
кт\
Рис. 13.5. Влияние массопереноса
на значение коэффициента трения
в ламинарном потоке на плоской
пластине
0 0,05 0,10 0,15 0,20 г ./К
JV^J
Рис. 13 6. Влияние массопереноса на значение
коэффициента восстановления в ламинарном по-
потоке на плоской пластине
Более целесообразно результаты численных решений уравнений ламинар-
ного пограничного слоя на проницаемой пластине аппроксимировать формулой
A3.6.3), полагая в ней
fcKP= 1,83 Ге ]/1+.0,50 (г|) —1) +0,22 (г|)*—1) , A3.6.4)
где 8 — отношение молекулярных масс газа основного потока и газа, подавае-
подаваемого через стенку. Кроме того, в данном случае
Cf=cfoWTy A3.6.5)
где WT — поправка на температурный фактор и сжимаемость.
13.7. ЭФФЕКТ ТЕРМОДИФФУЗИИ
В бинарном ламинарном пограничном слое в определенных условиях су-
существенно проявляется термодиффузия. Особенно существен здесь эффект
Дюфо, заключающийся в возникновении градиента температуры при адиа-
Рис. 13.7. Зависимость теплового по-
потока от разности температур и пара-
параметра проницаемости стенки при об-
обтекании лобовой точки пористого тела
системой воздух—водород
1,00
0,92
/
/
°о .
Аргон
Фреон-12
—w—
—о—
0,8
1,5
Рис. 13 8. Равновесная температура по-
пористой адиабатической пластины при
вдуве инородного газа в турбулентный
пограничный слой воздуха
188
батической диффузии. В результате температура поверхности адиабатической
пористой пластины может существенно отличаться от температуры вне погра-
пограничного слоя. Таким образом, здесь также целесообразно ввести понятие адиа-
адиабатической температуры стенки, сохранив за этой величиной обычное ее обоз-
обозначение, и определять тепловой поток, как обычно в таких случаях, по формуле
q = a(T*CT~TCT). A3.7.1)
При этом коэффициент теплоотдачи а консервативен относительно эффекта
термодиффузии (рис. 13.7).
В турбулентном пограничном слое этот эффект существенно меньше, что
видно из данных П. А. Романенко и Ю. П. Семенова, показанных на рис. 13.8.
13.8. ТУРБУЛЕНТНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ ГАЗА
НА ПОЛУПРОНИЦАЕМОЙ ПЛАСТИНЕ ПРИ
Ниже излагается решение, следующее из теории пограничного слоя с ис-
исчезающей вязкостью.
При обтекании пластины неограниченным потоком многоатомного газа
dpldx = 0, Le = Pr = 1 и имеет место тройная аналогия:
Если в основном потоке концентрация вдуваемого газа равна нулю, то
р7рст=1— со. A3.8.2)
Газовая постоянная смеси связана с плотностью известным соотношением, вы-
вытекающим из закона Клапейрона—Менделеева:
»? (?—!) + !. A3.8.3)
где R = RJRo. В силу постоянства давления поперек пограничного слоя
ро/р = RT/(R0T0). A3.8.4)
Далее будем рассматривать потоки, в которых ро =- 0. Тогда
Ро/р = (Т/Го)[1+Рст(Д-1)A-с«))]. A3.8.5)
Из соотношения A3.8.1) следует, что
-(¦
2 |iCT
т. е.
If
-(Dp
ду
С другой стороны, можно написать, что
A3.8.7)
1
9owo \ ду /ст
Подставляя значение второго члена этого уравнения из уравнения A3.8.7)
и принимая во внимание, что
Рст^ст _~, -
— рст Уст»
рошо
получаем
A3.8.9)
189
Для многоатомных газов точно, а для других приближенно Le = Pr = 1
PcT = V(l+fei). A3.8.1
Таким образом, для рассматриваемых условий
В свою очередь,
JL =_??o>. r_i?T /_?ст ^^ш — ^*—1)со21 ; A3.8.12)
7^0 СР I «о \ h I J
—^ : 1 Ч 5i—/^.??1 1 ^A_са); A3.8.13)
Сро 1+&1 V СРо 1
сро /г0 (^i— 1)
где k — показатель адиабаты.
Из этих формул видно, что в ряде случаев при дозвуковых течениях
Ро/Р = Ч>1 —М>1—IK A3.8.15)
где % = ро/рст (табл. 13.1).
Таблица 13.1
Расчетные формулы для определения параметра ifo. в некоторых системах
Тип слоя
Дозвуковой пограничный
Однородный нс изотерми-
изотермический
Формула
Ро
Рст
Тип слоя
Неоднородный изотерми-
изотермический
Неоднородный из смеси
газов одинаковой атом-
атомности, неизотермиче-
неизотермический
Формула
h (~ •
11/, 1
xCR—1I
J
Подставляя значение относительной плотности газа из последнего выраже-
выражения в уравнение A3.8.12), получим следующие формулы:
In-
1—¦
У =
% > i;
In
-th) (i+fci)
'l^l J
arccos
ЧГ= [
arctg
/
arctgl/ A*L_] .
A3.8.16)
A3.8.17)
A3.8.19)
Для однородного изотермического пограничного слоя р = р0, и предельный
закон трения на пластине имеет исключительно простой вид:
? = A— 6/4J; A3.8.20)
6кр-4; A3.8.21)
7ст.кр = 2с/,. A3.8.22)
190
Замечательно, что формулы A3.8.17) и A3.8.19) вполне удовлетворительно
аппроксимируются выражением, сочетающим формулы A3.8.20) и A0.9.2),
а именно:
A3.8.23)
Закон теплообмена в рассмотренных случаях, в соответствии с наличием трой-
тройной аналогии, определяется первой строкой системы A3.3.3). При числах
Прандтля, мало отличающихся от единицы, можно вводить обычную поправку
типа St = Pr-0'6^.
13.9. ПАРАМЕТРЫ ТУРБУЛЕНТНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ
В ТОЧКЕ ОТТЕСНЕНИЯ ОТ ПЛАСТИНЫ
*
В непосредственной окрестности стенки механизм трения молекулярный,
и решение уравнения A3.4.1) при dp/dx = 0 имеет вид
©= — (ехр^- — 1 ) . A3.9.1)
При /ст = 0 из этой формулы следует обычное линейное распределение ско-
скоростей в вязком подслое. В точке оттеснения пограничного слоя
Y = 0, icT = PoWQbKpVc^/2, A3.9.2)
причем значение Ькр всегда конечно. При этих условиях из равенства A3.9.1)
следует, что в точке оттеснения со = 0, т. е. вместо вязкого подслоя возникает
область с заторможенным в продоль-
продольном направлении течением. Это явле-
явление аналогично эффекту «острого
дутья» в струевых процессах. Здесь,
однако, не следует забывать, что эти
рассуждения верны только в обычном
приближении «двухслойной схемы»
турбулентного пограничного слоя.
Рассмотрим теперь турбулентное
ядро пограничного слоя, полагая
функцию / (?) консервативной и вы-
вычисляя ее из логарифмического про-
профиля скоростей. Имеем
"/ = 0,461/^. A3.9.3)
Эта зависимость неверна во внешней
части пограничного слоя, но при инте-
интегрировании поперек слоя это обстоя-
обстоятельство не дает существенной по-
погрешности. Вид же функции A3.9.3)
очень удобен для дальнейших опе-
операций.
Как уже указывалось выше, при
больших числах Re функция ? (со)
близка во всех точках к нулю, кроме
0
. -"
2
А
\
4
f
о
0,2 0,4 0,6 0,8 w_
Рис. 13.9. Сопоставление профиля скоро-
скоростей, рассчитанного по формуле A3.9.9), с
результатами экспериментов Б. П. Мироно-
Миронова и П. П. Луговского:
О —Re;x = 4,2»105; A—Rex=5-106;
X—Rex= 5,35- 105; # — Rex= 1,5 • 1 О5; 0 —
Re**= 1320 (критический вдув); /—теоретичес-
/—теоретическое распределение скоростей w/w0 =(y/&I/1;
2— w/wo = 2y/6 — 2 (у/6K-\-(у/б)*; 3,4 — w/wo =
/2 1n(W6)l2 C-Re**
-Re*
У fo
=2600)
у р
о)=1. Поэтому при Л = 0, яр = 0 и
Re-^oo из уравнения A3.4.5) сле-
следует, что
*/(Ро wo) = Ъ> /ст. кр cu. A3J9.4)
Выражая т по формуле (9.6.4) и / по формуле A3.9.3), после интегрирования
получаем уравнение
со
Vcopo/p
= 2,5Vr/CTiKpln-r?
A3.9.5)
кр
191
При ? = 1 и (о=1
-о,4
Кр 2
Соответственно
I
A3.9.6
A3.9.7)
В этих формулах Ь^р — критическое значение фактора проницаемости стенки
при Re ->-op, определяемое по формуле A3.5.2). Поскольку в точке оттеснения
сох = 0, то
A* <у2 U /10 Q о\
Полагая в первом приближении (поскольку в теории рассматриваются боль-
большие числа Рейнольдса) 2=1, находим, что при р = const в области 1г < | < 1
о) = A + 2,5l/c^/2 In ?J. A3.9.9)
Сопоставление расчетных и экспериментальных значений профиля скоро-
скоростей дано на рис. 13.9. В табл. 13.2 приведены значения параметров Н и б**
для случая безградиентного турбулентного пограничного слоя.
Таблица 13.2
Значения параметров Н и б** на пластине при турбулентном пограничном слое
н
6**
н
$**
HI
при
при
при
при
Re**
b = 0
6=0
b = bKr>
2- 10s
1,28
0,0859
1,53
0,1274
1,19
1,49
1 • 10*
1,23
0,0756
1,44
0,117
1,17
1,55
...о.
1,18
0,0652
1,40
0,105
1,18
1,605
bio»
1,15
0,0569
1,33
0,095
1,15
1,668
с»
1
0
1
0
1
1
13.10. ДВА ВАЖНЫХ ЧАСТНЫХ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ
ИМПУЛЬСОВ ДЛЯ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ НА ПЛАСТИНЕ
Интегральное соотношение импульсов на проницаемой поверхности имеет
вид
dd**/dx
4- Н) -/ст = Cf/2,
A3.10.1)
т. е. в нем появляется величина относительного потока массы через поверх-
поверхность стенки.
При dp/dx = 0 и f = 0 уравнению импульсов можно придать форму
d Re**/d Re* = (V + b) cfj2. A3.10.2)
Два канонических случая определяются условиями Ь = const и /ст = const.
Далее будем полагать, что пограничный слой данного режима (ламинарный,
или турбулентный) развивается так, что на передней кромке х = 0 и б = 0.
Закон трения в заданном интервале чисел Re** аппроксимируется обычными
степенными формулами:
A3.10.3)
192
Здесь
и В1 =
Кроме того, введем обозначения:
A3Ло.4)
Величина Y представляет собой отношение действительного коэффициента
трения при данном значении Re* к коэффициенту трения на непроницаемой
поверхности при том же Re*. Величина b построена по значению коэффициента
трения на непроницаемой пластине при данном значении Re*.
При b = const и Тст = const W = const, и интеграл уравнения A3.10.2)
при условии х = 0, б = 0 имеет вид
§ A3.10.5)
отсюда следует, что при Ъ = const, 6*=0 = 0, Т = const
A3.10.6)
Приb = &кр ^ = *Р = 0. а при Ь = — Y ? = с». При ламинарном погранич-
пограничном слое тх = 1/2 и
• • ¦
A3.10.7)
Используя формулу A3.6.3), можем записать:
*
Ь=-
УA-~ьL'3+ькрЪ
A3.10.8)
При турбулентном пограничном слое в области закона распределения скоростей
по степени п = 1/7 m = 1/5 и
A3.10.9)
,256H*4 '
Ь
256H,4 •
а рассматриваемое течение существует в области значений параметров вдува:
A3.10.10)
7 Зак. 795 ' ^93
При условиях 7ст = const, Т = const, 8х=0 = 0, m = 1/4 интеграл урав
нения A3.10.2) имеет вид
Rex = —- [р4 Re** —2р3 Re*3/4 +
3P4(l + PR/4)
,
' — 12(l+pRe**'/4)ln(l+PRe**1/'1)]. A3.10.11
Здесь р =%/4В.
Разлагая логарифм из этой формулы в ряд и ограничиваясь первыми пятью
членами разложения, получаем
[R 14/5
-2-0+PRe**1/4)ReJ . A3.10.12i
Соответственно
^ A-0,256;' 1
A+0,256H-2 ' I
Ъ-_ b \ A3.10.13)
A + 0,256)°.2 '
и _ л. и — q 5
Область существования такого течения
' A3.10.14)
Из этих формул следует, что при Ь -*— с» ? -^— ft, т. е.
тст1 -*—/ста;0. A3.10.15)
Этот результат справедлив и для ламинарного пограничного слоя.
13.11. ЗАКОНЫ ТРЕНИЯ И ТЕПЛООБМЕНА
В ТУРБУЛЕНТНОМ ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ ГАЗА
ПРИ КОНЕЧНЫХ ЧИСЛАХ РЕЙНОЛЬДСА
В точке оттеснения пограничного слоя от проницаемой пластины при любом
значении Re величина ^ = 0 и
j
— f I/ 1 + 2g flfoY • A3.11.1)
z J F copo/p /
о '
В первом приближении ? (со) определится по уравнению A3.9.5) при г = 1.
Тогда, принимая во внимание равенство A3.9.8), можно написать
1 г ч,,1
; V_ZL ) , A3Л1.2)
а величину W вычислять по формуле A3.8.20). Результаты соответствующих
расчетов приведены в табл. 13.3 и 13.4.
Зависимости "$"(&) для изотермического бинарного пограничного слоя газа
и ЬКр (ф/?) для бинарного пограничного слоя газа показаны на рис. 13.10
и 13.11.
На рис. 13.12 показано сопоставление теории с рядом опытов для однород-
однородного пограничного слоя, а на рис. 13.13 — для неоднородных пограничных
слоев.
194
Таблица 13.3
Таблица 13.4
Значения 6кр для однородного дозвукового Значения 6кр и Ьт кп при наличии подобия
ппгпяничного слоя газа на пластине .. р т> КР F ww«n«
пограничного слоя газа на пластине
ф
0,25
0,50
1
2
4
Re**
2-Ю3
11,6
7,96
5,18
3,23
1,92
1- 10*
11,0
7,54
4,92
3,06
1,83
10,0
6,87
4,48
2,79
1,67
00
9,25
6,21
4,00
2,47
1,46
полей скоростей и концентраций (изотерми-
(изотермический пограничный слой, Re—э-оо, величи-
величины *6кр и *ЬТ^ кр для условий Ь — const и
Система
Воздух—воздух
Гелий—воздух
Водород—воздух
*кр
4,00
0,89
0,52
Ь Т, кр
4,00
4,60
7,30
*кР
3,02
0,91
0,59
*
ЬТ, кр
3,02
3,36
4,90
При положительном продольном градиенте давления и постоянной плот-
плотности из уравнений (9.14.12) и A3.4.4) методом последовательных приближений
можно получить следующую зависимость для критического значения параметра
вдува:
= 0 —
кр
3/2>
A3.11.3)
где ЬКр. л«= о определяется по формуле A3.11.2); Ко = — F/8**/J/cf0; Яо кр =
= -F/6**/)Kp2/cfo, F//8**)кр определяется по формуле A0.10.6). '
?
0,2
О
ч
1
v =d-—)z
o<
10
8
6
4
J
2
0,2
0,4
0,6
0,8 Ь_
Г
f
^ -
!J
240*4
\i-W5c '
\1-1O6'
s
ss
2 3 4 в 8 1 2 3 4 6 810
Рис. 13.10. Сопоставление расчетов по формулам
A3.8.17) и A3.8.19) при определении 6кр по фор-
формулам A3.8.16) и A3.8.18) с расчетами по фор-
формуле A3.8.23)
Рис. 13.11. Влияние теплообмена и
неоднородности вдуваемого газа на
критический параметр проницаемости
Формулой A3.11.3) можно пользоваться и для расчетов неизотермических
течений, определяя величину &кр, я = о;^ по формулам A3.8.16), A3.8.18)
и полагая
ЧкР;ч>=Л, кР [2/(]/":ij?+ 1)]2. A3.11.4)
На рис. 13.14 кроме карты режимов течения в турбулентном погра-
пограничном слое со вдувом при продольном градиенте давления приведе-
приведены вспомогательные рисунки, дающие представление о типичном измене-
изменении различных характеристик пристенного потока. Кривая А на рис. 13.14
указывает границу наступления оттеснения пограничного слоя (критических
параметров вдува) при изотермическом течении и однородном вдуве. С ростом
диффузорности параметр Ькр уменьшается. На рис. 13.15 показано соответствие
зависимости A3.11.3) с опытами Б. П. Миронова и П. П. Луговского, проведен-
проведенными индикаторным методом для Хо ^ 0.
При наличии неизотермичности, сжимаемости, неоднородности вдува кри-
кривая Л смещается вверх или вниз в соответствии с формулами A3.8.16), A3.8.18),
7* 195
A3.11.3), A3.11.4), что изображено на рис. 13.14, а. С ростом конфузорности
fcKp увеличивается.
Для значений Яо < Яокр и параметров вдува Ъ < Ькр (А,о), соответствую-
соответствующих области, лежащей ниже кривой Л, имеем cf > 0, St > 0, "рст < 100%
в соответствии с формулами A3.8.22), A3.11.2). С ростом вдува в этой области
f
0,8
0,4
Су
К
о
К
"•К
К-
О о»^.
о ^4'
о о
¦—*
1,0
2,0
Рис. 13.12. Сопоставление расчетов по формуле A3.8.23) при
6Кр для Re** = blO4 с опытами Миклея и Паппаса и Окуно:
• — опыты Миклея в обработке Лидона; А —опыты Паппаса и Окуно;
О—опыты Хаккера; Э—опыты П. А. Романенко и В.Н. Харченко
существенно возрастают продольные и поперечные пульсации скорости, одна
ко возвратно-вихревых течений не наблюдается. Профили скорости становятся
менее заполненными. При этом в зоне оттеснения (на границе А) профили ско-
скорости в условиях различных комбинаций вдува и продольного градиента дав-
Рис. 13.13. Сопоставление теоретического расчета с опытными данными Паппаса и Оку-
Окуно (а) и П. А. Романенко и В. Н. Харченко (б) при вдуве инородных газов:
• — гелий —воздух (Af = 0,3; 0,7; m=0,153); О—воздух —воздух; С — фреон-12 — воздух; х —ге-
—гелий—воздух; Э —воздух —воздух; Д —фреон-12 — воздух; расчет по формуле A3.8.22) при
определении &кр для Re** =10*, m=0,25
ления становятся практически одинаковыми, за исключением зоны, близкой
к критическому значению Хо. Формпараметр для отрывного профиля при от-
отсутствии вдува и для профиля в зоне оттеснения при отсутствии градиента дав-
давления имеет довольно близкие значения (соответственно 1,86 и 1,57).
При переходе через границу Л в область сверхкритических вдувов (b>bKV)
возникают особенности в пристенном течении, которые удобно проследить при
изменении значений параметра Ко в сторону его уменьшения от критического
значения. При Хо = ^0,кр и b = 0 вблизи стенки возникают возвратно-вихре-
возвратно-вихревые течения, которые непосредственно омывают стенку (см. рис. 13.14, ж).
196
Спектры
пульсаций
Возвратные
течения
Гистограмма
мгновенных
скоростей
Градиент температуры
Изменение теплообмена
102 10s 104 к 0 0,2 1,01 О0*10,2 0,6
О Ь*2 4 5 10 15 20 Ьт 0/0,01 0,02 Т
Оттеснение-отрыв
Cf от 100% до О
St * »
рш от 0 до 100%
Конфузор
Рис. 13.14. Карта режимов течения в турбулентном слое со вдувом и продольным градиентом давления
"кр
X
\
»
\::
Одной из характеристик
пограничного слоя при
о
10 20
J0
наступления отрыва
Яо = А,0>кр является
равенство нулю осредненного во времени локаль-
локального коэффициента трения. Наличие вихрей сви-
свидетельствует о возникновении следующей ста-
стадии развития пристенного течения в условиях
диффузорности, когда воздействие потока на по-
поверхность за счет трения направлено в противо-
противоположную сторону по сравнению со скоростью
на внешней границе пограничного слоя («отри-
(«отрицательное» значение cf).
Для режимов при 0 < Хо < Я0>кр и Ь >
> 6кр (К)у располагающихся над 'кривой Л,
также является характерным возникновение
возвратно-вихревых течений, которые свиде-
свидетельствуют о переходе величины Cf через нуле-
нулевое значение (см. рис. 13.14, /с, л). На графике
рис. 13.14, л (и подробнее на рис. 13.16) кри-
кривые 7,J?, 3 соответственно означают долю вре-
времени t из общего времени наблюдения, в течение
которого на относительной ординате регистри-
регистрировались возвратное, восходящее и поступательное течения. Граница А, опре-
определяемая в опытах по возникновению вихревых течений, выражена довольно
резко: при Ь = 0,75&кр (Хо) вихри еще не наблюдаются, при Ь = 1,1 Ькр (К)
вихри уже хорошо развиты. Вследствие вдува эти вихри находятся на некото-
некотором расстоянии от стенки, непо-
непосредственно над которой возни-
возникает слой оттеснения.
Гидродинамические особенно-
особенности этого слоя оттеснения удоб-
удобнее проследить при режимах с
А,о = 0. При увеличении вдува,
Рис. 13.15. Изменение критиче-
критического параметра вдува при по-
положительном градиенте давле-
давления— зависимость A3.11.13)
(# — опыты проведены инди-
индикаторным методом)
N
100
50
N=196
Т..
0 0,2 0,4 0,6 0,8 t 0 0,2 0,4 0,6 0,8 t
0,1 их, м/с
Рис. 13.16. Распределение вероятности направле-
направления течения вблизи стенки для разных значений
Ъ и/:
/ — возвратные потоки; 2 — потоки по нормали к стенке;
3 — в направлении главного течения
Рис. 13.17. Гистограмма рас-
распределения мгновенных значе-
значений продольной скорости в при-
пристенной области пограничного
слоя
198
как уже отмечалось, существенно возрастает максимум пульсаций скорости
в пристенной зоне и существенно уменьшается значение средней скорости и.
Вследствие этого непосредственно в окрестности стенки могут возникать отри-
отрицательные значения мгновенной скорости и= и + и'.
При параметре вдува Ъ ж 17 на относительном расстоянии от стенки \ =
- 0,003 гистограмма мгновенных скоростей становится симметричной относи-
относительно положительных и отрицательных
значений скорости (см. рис. 13.14,(9, и
13.17). Таким образом, осреднение мгно-
мгновенных значений скорости и ее произ-
производной по времени или по ансамблю дает
среднюю величину и = 0 и~С/ = 0. От-
Отмечавшиеся при Я0>0 возвратно-вихре-
возвратно-вихревые течения вырождаются при Яо = О
в возвратно-поступательные. Об этом сви-
свидетельствуют также данные рис. 13.14,6,
обозначения для которого приняты те
же, что и для рис. 13.14, л, и 13.16.
Такие течения на пористой поверхности
и их трансформация при изменении Яо
регистрировались в опытах Б. П. Ми-
Миронова и П. П. Луговского с помощью
скоростной киносъемки (см. рис. 13.14,
/с, ж), методом стробоскопической ви-
визуализации (см. рис. 13.14, д) и в опы-
опытах Б. П. Миронова и А. А. Зеленгура с помощью четьфехнитевого датчика
направления потока с центральной обогреваемой нитью, схема расположе-
расположения которого показана в верхней части рис. 13.16. Этот датчик состоял из
нагреваемой нити и трех расположенных около нее @, 90 и 180°) термометров
сопротивления (см. рис. 13.16).
0А 0в ОС 0D 0Е
0,02 0,04
(т'-т)/(т'-тй)
Рис. 13.18. Профили температуры вблизи
стенки:
А — 6 = 20,6, / = 0; 5—6=19,7, / = 2,7-10-1
С— 6=18,6, /=0; D — I - -- -~ о
?—6=11,8, /=0
19,7, f = 2,7-103;
17,1,/ = 2,9.10-3;
о
1
о
А
1
О
• (
Г
>
^
р
о
0,8
0,6
0,4
0,2
О 1 2 ^ J 4 5 10 15 Ьт
Рис. 13.19. Теплоотдача на проницаемой поверхности (Ь* при /= B,6-=-
-f-3)-10-3);
с_/=0; 4 — / = 2,6-10-3; # — /=3-10-3
Гидродинамические особенности слоя оттеснения проявляются также через
изменения коэффициента перемежаемости и спектра пульсаций скорости, полу-
полученных в опытах Б. П. Миронова, А. И. Алимпиева и В. Н. Мамонова. Коэффи-
Коэффициент перемежаемости у, характеризующий границу турбулентного погранич-
пограничного слоя, при Ъ > ЬКр меняется от нуля на внешней границе до единицы внутри
пограничного слоя и снова до нуля вблизи стенки (см. рис. 13.14, г). Это оз-
199
начает, что пограничный слой «всплывает» над слоем оттеснения. Спектры пуль-
пульсации вектора скорости по частотам указывают на то, что в слое оттеснения уста-
устанавливается такое течение, которое сохраняет особенности спектра вдуваемой
среды при Ъ -^оо (см. рис. 13.14, б, спектр У). Эта особенность проявляется,
например, в том, что внесенные при каких-либо частотах возмущения в спектр
пульсации при Ь -»¦ оо остаются неизменными в некоторой пристенной области,
когда Ь > ЬКр- Кроме того, спектр около стенки 1 отличается от спектра в ядре
пограничного слоя 2 (см. рис. 13.14, б).
Индикаторные измерения концентрации вдуваемой среды на стенке подтвер-
подтверждают, что в слое оттеснения рст ->¦ 100%. Исследования температурных полей
вблизи стенки, проведенные в опытах Б. П. Миронова и А. А. Зеленгура, дают
нулевые значения градиента температуры в пределах возможной точности этих
измерений (см. рис. 13.14, е, з, и 13.18). Переход через границу А в область
Ь > ^кр (^о) приводит к существенным изменениям теплоотдачи от вдува
вследствие возникновения специфических вихревых течений (рис. 13.14, ж,
и 13.19). До достижения значения Ь* = ЬКр (Ю относительная функция тепло-
теплообмена "ЧР" в зависимости от параметра вдува Ьт для dp/dx = 0 и dpldx>§
остается одной и той же. При Ь > Ъ* наблюдается более интенсивное снижение
теплоотдачи с ростом вдува. При этом вследствие сильных пульсаций скорости
вблизи стенки тепловое оттеснение наступает позже динамического.
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Берман Л. Д. Испарительное охлаждение циркуляционной воды. М.—Л., Госэнерго-
издат, 1957.
2. Волчков Э. П., Кутателадзе С. С, Леонтьев А. И. Взаимодействие затопленной
турбулентной струи с твердой стенкой.— «Журн. прикл. мех. и техн. физ.», 1965
№ 2, с. 50.
3. Иевлев В. М. Турбулентное движение высокотемпературных сплошных сред. М.,
«Наука», 1975.
4. Кутателадзе С. С, Леонтьев А. И. Тепломассообмен и трение в турбулентном погра-
пограничном слое. М., «Энергия», 1972.
5. Кутателадзе С. С., Леонтьев А. И., Миронов Б. П. Turbulent boundary layer with
mass injection and longitudinal pressure gradient in finite Reynolds number region.—
In: JSME, Semi-International Symposium, Tokyo, Japan, 1967, p. 225.
6. Миронов Б. П., Луговской П. П. Исследование картины течения в пристенной обла-
области турбулентного пограничного слоя при вдуве и положительном градиенте. —
«Инж.-физ. журн.», 1973, т. 25, №2, с. 251.
7. Франк-Каменецкий Д. А. Диффузия и теплопередача в химической кинетике. М.,
Изд-во АН СССР, 1947.
8. Эккерт Э. Р., Дрейк Р. М. Теория тепло- и массообмена. М.—Л., Госэнергоиздат, 1961.
9. Эккерт Э. Р., Хейдей А. А., Минкевич В. Ж. Тепло- и массоперенос. Сб. докл., т. III.
М., Госэнергоиздат, 1963.
10. Экспериментальное исследование пристенных турбулентных течений. Новосибирск,
«Наука», 1975. Авт.: С. С. Кутателадзе, Б. П. Миронов, В. Е. Накоряков, Е. М. Ха-
бахпашева.
11. Gross J. F., Hartnett J. P., Masson D. J., Gazley С A. Review of binary boundary layer
characteristics. The RAND Corporation, 1959.
12. Turbulent heat transfer on permeable surface at large injection and adverse pressure gra-
gradient.— «5 th Intern. Heat Transfer Conference», Tokyo, Japan, 1974, p. 109. Auth.:
Б. П. Миронов, А. И. Алимпиев, А. А. Зеленгур, В. Н. Мамонов.
Глава
14
ТЕПЛОВЫЕ ЗАВЕСЫ
14.1. ТИПЫ ЗАВЕС
При обтекании твердых тел газом, нагретым до высокой температуры, или
жидкой агрессивной средой можно организовать пограничный слой, который
на определенном участке будет иметь существенно меньшую температуру или
малую концентрацию агрессивного
вещества. Имеется несколько спо-
способов организации таких защит-
защитных слоев или завес (рис. 14.1).
Наиболее важной является подача
защитной струи через встроенный
в тело пористый участок, соответ-
соответствующую щель, насадку. Кроме
того, можно создать охлаждаемый
участок в головной части тела, а
остальную его часть не охлаждать
или охлаждать менее интенсивно.
Здесь мы рассмотрим некоторые
свойства таких завес, связанные с
вырождением теплового погранич-
пограничного слоя, и способ применения
интегральных соотношений им-
импульсов и энергии к взаимодейст-
взаимодействию затопленной струи с твердой
стенкой.
Изложение асимптотических
свойств тепловых завес основы-
основывается на работах автора и
А. И. Леонтьева, а изложение ин-
интегральных соотношений для вза-
взаимодействия тела с затопленной струей — на работе автора, А. И. Леонтьева
и Э. П. Волчкова.
При этом, для простоты, там, где это не будет особо оговорено, рассматри-
рассматриваются квазиизотермические течения.
Рис. 14.1. Схемы тепловой защиты адиабатиче-
адиабатических пластин с предвключенным участком теп-
теплообмена (а), с предвключенным пористым
участком (б) и с газовой завесой через щеле-
щелевую насадку (в)
14.2. ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ В ТЕПЛОВОЙ ЗАВЕСЕ
НА АДИАБАТИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ
Для квазиизотермического пограничного слоя уравнение энергии можно
записать в форме
A4.2.1)
dx №т>
где Re*T* = w0 &*T*/v и 1с = x/L.
« Следует напомнить, что это выражение является точным при любом распре*
делении температур и скоростей во внешнем потоке. Пусть с сечения х = хх
рассматриваемое тело адиабатично, т. е. тепловой поток через его поверхность
п = 0. Тогда в области х > хг
Re*T* AT = const.
A4.2.2)
201
Эффективность тепловой завесы принято характеризовать величиной
G = (T0-TCT)/(T0-TCTt О*] A4.2.3)
Здесь То — температура внешнего потока; ТСт — температура стенки в дан-
данной точке; ТотЛ — температура стенки при х = хг.
Из уравнения A4.2.2) следует, что
A4.2.4)
Используя известные свойства пограничного слоя, можно написать, что
(Тст =const; Рг « 1) => FГ < б**); A4.2.5)
Тст = const;
Рг«1; /«
В области х> х1 такое подобие динамического и теплового пограничного слоев
нарушается вследствие изменения граничных условий, а именно:
(а; > хг\ qCT = 0) =ф- (дТ/ду = 0 в точках у = 0 и у = 6т). A4.2.7)
В этих условиях выравнивание температуры внутри пограничного слоя, осо-
особенно турбулентного, наиболее интенсивно происходит в пристенной области,
где производная dwjdy имеет наибольшее значение. Одновременно из-за под-
подсоса газа из внешнего потока температура пограничного слоя при х ->-оо стре-
стремится к То. Отсюда следует предельное соотношение Кутателадзе—Леон-
Кутателадзе—Леонтьева для вырожденного пограничного слоя на адиабатической поверхности:
при х->оо дст = 0; Т -+ТСТ-+ТО
1 1
т** р / Т— Гст \ р I A4.28)
о о
Это наибольшее возможное значение толщины потери энергии, соответствую-
соответствующее такому распределению температур, при котором в основной части погра-
пограничного слоя температура близка к температуре стенки. Как известно, при обыч-
обычных значениях чисел Re** в области / = 0 распределение скоростей и темпера-
температур удовлетворительно описывается степенными зависимостями с п = 1/7.
При / = fKP для профиля скоростей п ж 1/2, а профиль температур почти не
меняется. Таким образом, в рассматриваемом здесь случае имеем
г~ , е ~ , х *ij^ = ^ б;*^0,097; 6**^0,16;
Рг«1- Re**^104- x->oo(^0; ^*^^0'87'
Ч =/кР» $Т, макс = 0,70.
Как видно, при любом градиенте давления относительная толщина потери
энергии на непроницаемой адиабатической поверхности, расположенной за
зоной теплообмена, при j:-^oo в области конечных чисел Рейнольдса стано-
становится близкой к единице.
Этот результат подтверждается измерениями профилей температур в об-
области тепловой завесы. Так, в опытах Нишиваки, Xкрата и Тзучида отношение
значения 8^* в пограничном слое завесы к значению 6f* в обычных условиях
близко к 6. Предельное же отношение по уравнению A4.2.9) равно 9.
202
14.3. АДИАБАТИЧЕСКАЯ ПЛАСТИНА
С ПРЕДВКЛЮЧЕННЫМ УЧАСТКОМ ТЕПЛООБМЕНА
Схема задачи приведена на рис. 14.1, а.
A4.3.1)
Здесь следует обратить внимание на то, что в области х > х1 тепловой погра-
пограничный слой хотя и растягивается в соответствии с уравнением A4.2.8),
но не может выйти за рамки динамического слоя, поскольку существенное тур-
турбулентное перемешивание имеет место только при dwjdy Ф 0.
Для условий A4.3.1) формула A4.2.4) может быть записана в виде
е = 6Г/(Рв**), A4.3.2)
где р = 6f*/6**. При л: —>- atx р —>-1, при х —>-оо р -> Рмакс. Квазиизотермиче-
Квазиизотермический" динамический пограничный слой развивается независимо от процесса
теплообмена, и, следовательно, для пластины в области закона распределения
скоростей по степени п = 1/7
6Г/в** = (*1/хH'8 A4.3.3)
И при X -^оо
в + рм^кс(*1/*H'8. A4.3.4)
При х ->*i в ->- 1, и простейшая интерполяция может быть записана в виде
в«[1 +р^к2с5 (х—хд/хД-0-*. A4.3.5)
Полагая Рмакс = 9, имеем
A4.3.6)
Эта формула вполне удовлетворительно подтверждается опытами Рейнольдса,
Кейса и Клайна.
14.4. АДИАБАТИЧЕСКАЯ ПЛАСТИНА
С ПРЕДВКЛЮЧЕННЫМ ПОРИСТЫМ УЧАСТКОМ
Схема задачи приведена на рис. 14.1, б. Через пористую вставку на участ-
участке 0 < х < хг в пограничный слой вдувается холодный газ. В соответствии
с данными гл. 13 для пористого участка имеем уравнения:
dx &т dx \ A4.4.1)
Срг /ст (^СТ — Tl) = а (Т0 — Тст). J
Здесь Ьт = /CT/(Po^oSto) — тепловой фактор проницаемости стенки; /ст —
массовая скорость потока через стенку; Тг — начальная температура охлаждаю-
охлаждающего газа.
При этом предполагается, что газ нагревается в пористой стенке от Т1 до
Гст, полностью воспринимая тепло от потока горячего газа. Соответственно
?s = St/St0-/Fr, A4.4.2)
где
K=cPl (TCT-TJ/cp. (T0-TCT). A4.4.3)
В рассматриваемых условиях однородного пограничного слоя
ср, = сРо и К = (ТСТ-Т1)/(ТО-ТСТ).
При TCT = const и 6Y=0 = 0
J +Щ (U 4 4)
203
Здесь
il—b- и
1 Г
т!= I /с
М- J
, dx.
В области х > хх справедлива формула A4.2.4), которая в данном случае при-
принимает вид
-/С), A4.4.5)
где кг = (ГСТ1 — ТХ)/(ТО — ГСТ1), а в К вводится текущее значение Тст
в области х > хх. Отсюда
50
20
10
S
6
4
J
7 V<^
4
й
/
у
г
<
л)
У
,с
/
V
•
>>
й-
/
V
A4.4.6)
В области 0 < х < лгх Re" =
= Re* *, а в области х > хх Ref* =
= PRe**. Из уравнения импуль-
импульсов получим (см. гл. 10)
A4.4.7)
где Л и т — коэффициенты сте-
степенной аппроксимации закона тре-
трения, a ReA* = wQ (x — xj/v.
При л:-^о Re>Re>Rer
4 5 6 8 10
20 30 40
Рис. 14.2. Сопоставление теоретического расче-
расчета (кривая) с опытными данными (точки)
A4.4.8)
где Rex = woxx/v.
Лляп=1/7 Л = 0,0128, т = 1/4,
Рмакс - 9 и К-й),33 ReJ? • 8/ReCTl-l.
A4.4.9)
Интерполяционная формула может быть записана в виде
0,25ReAjc
— 1.
A4.4.10)
На рис. 14.2 дано сопоставление формулы A4.4.10) с опытами Нишиваки
jh В. П. Комарова.
14.5. АДИАБАТИЧЕСКАЯ ПЛАСТИНА С ГАЗОВОЙ ЗАВЕСОЙ
Схема задачи приведена на рис. 14.1, в.
Основной поток газа имеет скорость w0 и температуру То. Через щелевую
насадку высотой s вдувается тот же газ со средней скоростью в выходном сече-
сечении, равной wx, и температурой Тх. Физические свойства газа постоянны,
•<7ст = 0.
На участке 0<х<хг ТСТ = TCTl = 7\; с сечения х = хг начинает
развиваться тепловой пограничный слой вследствие перемешивания завесы
с основным потоком.
При х > хх
в = (Т0-ТСГ)/(Т0-Т,) = 6f:/(p6«). A4.5.1)
При х->оо ип= 1/7из уравнения A4.4.7) следует, что
6**^0,036* Re^0-2.
A4.5.2)
204
В сечении хг толщина потери энергии
h
A4.5.3)
где h __ ширина затопленной струи.
0,0
0,1
о о
° ^
(Vn
о|
—О-
о
о
!
1
!?t i
щ
n
°i
о
14
о
оо
О
о
J С
10
20 30 40 50 60 80 100
200 J00 WQx
Рис. 14.3. Сопоставление теоретического расчета эффективно-
эффективности струйного охлаждения с опытами:
^ — данные работы [6]; О—[7]; результат расчета по формуле
A4.5.11)
Тепловой и материальный балансы струи в сечении хх имеют вид
h
[ ср pwx Tdy = cPl рх w1T1s + сРо р0 w0 To (h —5);
A4.5.4)
A4.5.5)
A4.5.6)
Подставляя в уравнение A4.5.1) значение б** из выражения A4.5.2) и значение
65-* из равенства A4.5.6), находим, что при х -^оо
f pwx dy =
В рассматриваемом случае рх = p0 и cPl = cPo, т. е.
в
27,8
Рмакс
A4.5.7)
где Res = wtfh — число Рейнольдса на срезе насадки. При рмакС = 9 по-
получим
0->3,1 Res°'2[^is/(w0 x)]°>\ A4.5.8)
Интерполяционную формулу запишем в следующем виде (х>х1):
в « fl +0,24 Res'25 ^(^-^i)]-0'8 . (Н.5.9)
L ws J
В области 0 < х < хг в = 1. Из теории свободной затопленной струи можно
принять, что при хюг < w0
^L ^ @,107 + 0,037 -^-Г* 1°^ • A4.5.10)
205
Если пренебречь участком хъ т. е. принять некоторый запас надежности заве-
завесы, получим
e~M. A4.5.11)
На рис. 14.3 дано сопоставление последней формулы с опытами Себана и
Паппела и Траута.
14.6. НЕАДИАБАТИЧЕСКАЯ ПЛАСТИНА С ГАЗОВОЙ
ЗАВЕСОЙ
Определим для области х > х± коэффициент теплоотдачи формулой, ана-
аналогичной формуле A2.2.4), для течения с большими скоростями:
а = 9ст/G1ст-71ст). A4.6.1)
Здесь Т1Т — адиабатическая температура стенки, т. е. та температура, которая
устанавливается в области завесы при qCT = 0. Пусть при х > хг и qCT = О
в пограничном слое установится некоторое распределение температуры
Т* = Т*(у\х), A4.6.2)
такое, что при у = 0 Г* = Т*т и при у = 8Т Т* = То. Тогда можно напи-
написать уравнение теплового баланса пограничного слоя в виде
Яс=~ \ ср pwx(T-T*)dy. A4.6.3)
о
При Т = Г* и qCT = 0 имеет место обтекание адиабатической стенки. Урав-
Уравнение A4.6.3) имеет вид, тождественный обычному уравнению теплового по-
пограничного слоя, и переходит в последнее при ГсТ* = То, т. е. при отсутствии
тепловой завесы. Следовательно, если закон теплообмена St (Ref*) сохраняет
консервативность, то коэффициент теплоотдачи в уравнении A4.6.1) можно
определять по обычным формулам. Опыты Гартнетта, Эккерта и Биркебака
подтверждают этот вывод.
14.7. ИНТЕГРАЛЬНОЕ СООТНОШЕНИЕ ИМПУЛЬСОВ
ПРИ ВЗАИМОДЕЙСТВИИ ЗАТОПЛЕННОЙ СТРУИ
С ПЛОСКОЙ ПЛАСТИНОЙ
Рассмотрим на рис. 14.4 плоскую струю, вытекающую из щели и распростра-
распространяющуюся вдоль гладкой плоской стенки. Начиная с сечения х = 0 нарастает
пристеночный пограничный слой до толщины б1э на внешней границе которого
имеет место максимум скорости. Толщина струи в сечении х равна б2, и уравне-
уравнение импульсов имеет вид
б2
±^wldy=—xCT. A4.7.1)
Полагая, что при у = бх dwjdy = 0ит = 0 для контура 1—2—3—4, можем
написать, что
-?- f pwi dy + w0 ± [ 9wx dy = 0. A4.7.2)
dx J ax J
6t о
Тогда, разбивая в уравнении A4.7.1) пределы интегрирования на интервалы
0—бх и 81—б2, получим
-j- f pwxdy—j-\pwldy = тст. A4.7.3)
dx J dx J
о о
wo j
dx J
о
206
Это уравнение приводится к виду
или
~ Ро wl 6** + р0 w0 (б*- дг) ^- = тст
Re*
dx
A4.7.4)
A4.7.5)
Л>; x = x/s; wo = wo/ws;
Здесь Re** =
Толщина вытеснения и потери импульса в данном случае:
о
PqWq
A4.7.6)
Уравнение A4.7.5) имеет нетриви-
нетривиальную форму, так как помимо х
обычных формпараметров Н И f Рис. 14.4. Схема течения в полу ограниченной
содержит в себе еще и соотноше- затопленной струе
ние Si/6**.
Кроме того, следует обратить внимание и на то обстоятельство, что в дан-
данном случае величина dwjdx не связана с градиентом давления, который в до-
дозвуковой затопленной струе практически равен нулю. При распределении ско-
скоростей в пристенном пограничном слое по закону п = 1/7 имеем
1+/У —6x76**= — 8.
A4.7.7)
14.8. ТРЕНИЕ И ТЕПЛООБМЕН ПРИ ВЗАИМОДЕЙСТВИИ
ЗАТОПЛЕННОЙ СТРУИ С ТВЕРДОЙ СТЕНКОЙ
Полагая, что законы трения и теплообмена сохраняют консервативность
и в данной ситуации, запишем уравнение A4.7.5) в виде
ах
Re** dw0
wo
dx
A wo
Re**m
Res.
A4.8.1)
При п = 1/7 A = 0,0128; m = 0,25; Сг = — 8. Поскольку 8г <? б2, закон из-
изменения максимальной скорости в пристеночной струе можно принять таким
же, что и в свободной струе с начальным сечением 2s, т. е.
w0 =
Интегрируя A4.8.1) в пределах о
A4.8.2)
до х, получим
A(l+m)C2Kes~x1+a
\i
При х > xx
V
207
Отсюда при п = 1/7 и
В опытах Сигалла было найдено, что при х> 30
cfi= 0,0865 (^oa:/v)-0.2,
или с учетом выражения A4.8.2)
40
JO
20
10
8
6
A4.8.5)
A4.8.6)
A4.8.7)
A4.8.8)
О
о
-
-
-
1
8
1
1
1
-^
Д
1
*^
1
^^
1
i
¦^
щ
1
!
6 8 10
20
40 60 80 100
200
400 x/S
Рис. 14.5. Коэффициент теплообмена в полуограниченкой струе:
а, Ь, с— результат расчетов соответственно по формулам A4.8.11). A4.8.12),
A4.8.13); А—данные работы [4] при 7\,т = const; О—Данные работ [7, 8] при
<7CT = const, 3 <(Qw)sr(pwHO < 9; П — данные работы [7] при <7СТ = const, 1,05 <
< (pw)s/(pw)oo < 1,1
Эта формула отличается от A4.8.5) всего на 5%. Себан и Бэк нашли, что в спут-
ном потоке сЗ< ps^s/(Po^o) < 9 величина w0 в затопленной струе меняется
по закону
шо = 3,6х-°*45. A4.8.9)
Из уравнений A4.8.4) и A4.8.9) следует, что при слабом спутном потоке
cfl/2 = 0,0314/(Res°'12^°'n). A4.8.10)
Эта формула также удовлетворительно подтверждается опытами. Полагая для
турбулентного потока
находим, что:
а) для затопленной пристеночной струи в неограниченном неподвижном
пространстве
'2(^Pr)-°'6; A4.8.11)
б) для пристеночной струи в слабом неограниченном спутном потоке
3<^М><9; St = 0,113Res-°'2Pr-0-6x-0'56. A4.8.12)
На рис. 14.5 дано сопоставление расчетов по этим формулам с опытами
Себана и Бэка. Там же нанесены данные Себана для ws ^ w0, которые, естест-
естественно, описываются обычной формулой для пластины:
A4.8.13)
208
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Акатнов Н. И. Распространение плоской турбулентной струи вдоль твердой, гладкой
и шероховатой поверхностей.— «Изв. АН СССР. Сер. ОТН. Механика и машинострое-
машиностроение», 1960, № 1, с. 27.
2. Волчков Э. П., Кутателадзе С. С, Леонтьев А. И. Взаимодействие затопленной тур-
турбулентной струи с твердой стенкой.— «Журн. прикл. механ. и техн. физ.», 1965, № 2,
с. 50.
3. Кутателадзе С. С, Леонтьев А. И. Теплообмен и трение в турбулентном пограничном'
слое. М., «Энергия», 1972.
4. Мейерс Г. Е., Шауер И. И., Юстис Р. Н. Теплообмен в плоских турбулентных струях:
у стенки.— «Тр. амер. об-ва инженеров-механиков» (рус. пер.), 1963, сер. С, т. 85„
№ 3, с. 209.
5. Nishiwaki N., Hirata M., Tsuchida A. Heat transfer on a surface covered by cold air
film. — In: Intern. Developments in Heat Transfer. 1961 Intern. Conf., Pt. 4. New
York 1961, Sec. A, p. 675.
6. Papell S., Trout A. M. Experimental investigation of air film-cooling applied to an1
adiabatic wall by means of axially discharging slot. NASA.TND-9, 1959.
7. Seban R. A. Heat transfer and effectiveness for a turbulent boundary layer with tangenti-
tangential fluid injection.— «Trans. ASME», ser. C, 1960, v. 82, N 4, p. 303.
8. Seban R. A., Back L. H. Velocity and temperature profiles in a wall jet.— «Intern. J..
Heat and Mass Transfer», 1961, v. 3, N 4, p. 255.
Глава
15
ТЕПЛООБМЕН В ПАКЕТАХ И ЗАСЫПКАХ
15.1. ПОПЕРЕЧНОЕ ОБТЕКАНИЕ ПАКЕТОВ ЦИЛИНДРОВ
Поверхности нагрева, набираемые из отдельных труб, образуют пакеты,
обтекаемые жидкостью или газом. Основными типами пакетов являются кори-
коридорный, шахматный (рис. 15.1) и пакеты с разрывами. Геометрически кори-
коридорные и шахматные пакеты однозначно определяются наружным диаметром
цилиндров D, поперечным шагом sx и продольным s2. Так как передние трубы
турбулизуют поток, то интенсивность теплоотдачи повышается от ряда к ряду
по направлению течения теплоносителя.
На рис. 15.2 показана схема обтекания труб в свободном коридорном па-
пакете. Как видно из рис. 15.3, распределение статического давления вокруг
одной из труб такого пакета, по измерениям А. Жукаускаса, В. Макарявичю-
са и А. Шланчяускаса, существенно более равномерно, чем при обтекании оди-
одиночного цилиндра. С увеличением продольного шага неравномерность поля
давления увеличивается.
В тесных коридорных пакетах основное течение приближается к течению в ка-
каналах (рис. 15.4). При больших продольных шагах поток, проходя через узкое
сечение данного ряда, начинает развиваться в кормовом пространстве как за-
затопленная струя. Таким образом, в тесных пакетах все цилиндры, кроме пер-
первого ряда, обтекаются потоком с квазиструевым распределением скоростей
(рис. 15.5).
Коридорный
Шахматный
Рис. 15.1. Схемы расположения труб в пучке
Рис. 15.2. Обтекание продольного ряда труб
210
На рис. 15.6 показаны, по опытам
Г. А. Михайлова, эпюры коэффициен-
коэффициентов теплоотдачи для труб, находящих-
находящихся в коридорном пучке. Отчетливо
видны взаимодействие последующих
рядов труб с аэродинамическими сле-
следами предшествующих рядов и посте-
постепенная стабилизация условий обтека-
обтекания после третьего-четвертого ряда.
Таким образом, коэффициент теп-
теплоотдачи пучка труб в квазиизотер-
квазиизотермическом потоке определяется неко-
некоторой функцией
Nu - Ф (Рг; Re; sJD] s2/D; Z),
A5.1.1)
0,4
-0,4
-0,8
-1,2
\
\
\
\
\
\ >
\
\
\
\
\
\
\
\
\
\
V
s
WO \
1,25 |
I
1,5 _ \ _
4^
60
90
120 150 <р,град
Рис. 15.3. Перепад статического давления
вокруг трубы в продольном ряду (пунктир-
(пунктирная линия соответствует обтеканию одиноч-
одиночного цилиндра идеальной жидкостью)
где Z — номер ряда по направлению
течения.
Первый ряд труб любого пучка на-
находится в условиях, соотвегствующих
обтеканию одиночного цилиндра.
Исключение составляют только пучки с весьма тесным поперечным шагом,
когда возникает взаимодействие пограничных слоев соседних труб. Последую-
Последующие ряды труб в коридорном пучке попадают в вихревую область, образую-
образующуюся за впереди стоящими трубами. Условия омывания в этой области
Рис. 15.4. Схема течения в сжатом коридорном пучке
Циркуляционная зона , Диффузорная зона
Рис. 15.5. Схема спутного течения за первым рядом
211
хуже, чем в лобовой части одиночной трубы, максимальное значение локаль-
локального коэффициента теплоотдачи сдвигается вглубь по течению потока.
В шахматном пучке взаимодействующие трубы отстоят друг от друга на
большем расстоянии, чем в коридорном пучке, и поэтому омывание глубоко
расположенных труб мало отличается
по характеру от омывания труб пер-
первого ряда.
Обширные исследования теплоот-
теплоотдачи от газа к пучкам труб были про-
проведены В. М. Антуфьевым, Л. С. Ка-
заченко и Г. С. Белецким, а также
Н. В. Кузнецовым. Обзор последую-
последующих работ и новые результаты можно
найти в монографии А. Жукаускаса,
В. Макарявичюса и А. Шланчяуска-
са. Анализ показывает, что практиче-
практически наиболее целесообразным оказы-
оказывается метод обобщения при отнесе-
отнесении всех физических свойств к темпе-
температуре потока и скорости течения,
рассчитанной по узкому сечению па-
пакета (ряда). Тогда формула для тепло-
теплоотдачи в пучке имеет вид
160 120 80 40 0 40 80
Рис. 15.6. Распределение теплоотдачи
окружности труб в коридорном пучке
по
Re". A5.1.2)
За определяющий размер принят наружный диаметр трубы.
Обработка опытных данных, проведенная под руководством Н. В. Кузнецо-
Кузнецова, позволяет рекомендовать при Re > 6 • 103 следующие расчетные формулы
<при Рг = 0,72):
1) коридорные пучки
Nu =0,177 Cz Re0»64, A5.1.3)
где Cz — поправка на число рядов в продольном направлении; берется по
графику рис. 15.7;
0,94
0,88
0/8
0,70
II
1
1
1
^—
8 12 16 20 Z
в
4,0
5,5
5,0
2,0*
>
/
V
//
г
0,2 0,4 0,6 D/S
Рис. 15.7. Коэффициент Сг для па-
пакета труб коридорного A) и шах-
шахматного B) пучков
Рис. 15.8. Зависимость коэффици-
коэффициента В от конфигурации и разме-
размеров коридорного A) и шахматно-
шахматного B) пучков труб
2) шахматные пучки при (s1 — D)/(sd — D) < 0,7
Nu = 0,27CzRe0'6;
3) шахматные пучки при (s1 — D)/(Sd — D) > 0,7
\0,25
sd-D
где Cz берется по графику рис. 15.7.
В этих формулах
sd =
A5.1.4)
A5.1.5)
A5.1.6)
212
По данным А. Жукаускаса и др., в пакетах труб п « 0,36, т. е. для неме-
неметаллических сред практически можно пользоваться формулой A0.14.3) при
введении в нее соответствующего значения коэффициента С. При Re > 105
показатель степени при числе Рейнольдса возрастает до 0,8.
В литературе имеются и другие эмпирические расчетные предложения.
Для предельного случая металлических теплоносителей (Рг -^0), по расчетам
Цесса и Грома, имеют место следующие зависимости:
q = const, Nu = 0,946 У В Ре;
Тст = const, Nu = 0,718 уТГРё",
A5.1.7)
где значение коэффициента В берется по графику (рис. 15.8).
На рис. 15.9 приведен ряд экспериментальных данных о теплообмене при
поперечном обтекании пакетов труб щелочными металлами (Ре рассчитан по
скорости потока в узком зазоре, Рг = 0,007 ч- 0,02).
Как видно, при таких значениях Рг конфигурация пакетов влияет отно-
относительно мало.
Широкое распространение имеют пакеты оребренных труб, главным обра-
образом в аппаратах с газовыми и жидкими теплоносителями, имеющими малые ко-
коэффициенты теплопроводности и теплоемкости или большую вязкость. При об-
Ми
*^0
—
О-,
0
9
О
*
ь
0х >
р
Nu
-9- у?
< -<
\
\
осЗ1
i
i
й
у
>
4
&
$
а
д-
y-d'
^ а
6 J%
а ^
rf Л
*
•
6 6
х (,
" 1
• 1
Л А
- А 2 е /,
* 3 о- 1*
^•4-^1
* 5 Ф /
- ¦ 6 J^r i
Д
1
0
о
ь
ь
8
а
Г
Л.
ч
Д
>
S 4 6 8 10 2 4 6 8 10* 2 4 6
Рис. 15.9. Средняя теплоотдача при поперечном обтекании пучков труб жидким
металлом:
J=\7W™2UU°-P*™m^0K613^?^l'l3*lt<*9' s2/jD= ЫЗч-1,69); 5 —18 — шахматные пучки (sJD =
текании ребристых труб условия обтекания различных элементов поверхности
теплообмена могут быть существенно неодинаковыми. Поэтому рассмотрений
в гл. 7 задачи о теплопроводности в ребрах, на поверхности которых имеет ме-
место постоянное значение коэффициента теплоотдачи, далеко не всегда могут
служить основанием для расчетов повышенной точности.
Кроме условий обтекания на теплообмен в оребренных поверхностях влияют
и теплофизические свойства материалов ребер, например в стационарном режи-
режиме — их теплопроводность. Соотношения условий теплоотдачи к ребру и тепло-
теплопроводности в самом ребре определяют поле температур на поверхности ребра
й распределение тепловых потоков. Все это, а также многочисленность возмож-
возможных конструкций оребрения делает невозможным построение универсальных
зависимостей, связывающих значение коэффициента С в формулах типа A5.1.2)
213
b
X
•c
D
•d
о
n
П
4
X
О
[o*x
о
D
О
П
о
'x
OjS
Re,104
Рис. 15.10. Теплоотдача пучка труб из раз-
различных металлов:
П — нержавеющая сталь; о — углеродистая сталь;
Л—магний; х —алюминий; # —медь
с геометрией и теплопроводностью
ребристой поверхности.
Можно только считать, что пока-
показатель степени при числе Прандтля
во всех случаях почти постоянен и
равен 0,33—0,40.
На рис. 15.10 показаны результа-
результаты опытов В. Ф. Юдина и Л. С. Тох-
таровой с пакетом труб, имеющих по-
поперечное одновинтовое оребрение.
Отчетливо видно влияние теплопро-
теплопроводности материала при Х<
< 50 Вт/(м • К). Действительным
критерием этого влияния, конечно,
является число Био, т. е. соотношение коэффициента теплоотдачи к ребру и
его внутреннего термического сопротивления.
В литературе к главе указаны некоторые работы, позволяющие ориентиро-
ориентироваться в данном вопросе.
15.2. ПРОДОЛЬНОЕ ОБТЕКАНИЕ ПАКЕТОВ ЦИЛИНДРОВ
При продольном обтекании цилиндров компоновка возможна от максималь-
максимально тесной до весьма разреженной. В первом случае образуется система отдель-
отдельных каналов сплошной конфигурации (рис. 15.11). Во втором случае имеет
место практически независимое обтекание отдельных цилиндров (труб).
Для канала, образованного тремя дужками окружности, по опытам
М. X. Ибрагимова, В. И. Субботина и др., средний коэффициент теплоотдачи
при турбулентном течении на 30—40?^ выше
рассчитанного по формуле для круглой трубы
при введении в качестве характерного линейно-
линейного^ размера гидравлического диаметра
D9 = 4Q/Py A5.2.1)
где Р — периметр и Q — площадь поперечного
сечения канала.
Для каналов с 1,15 <С s/D < 1,25 можно
пользоваться расчетом по гидравлическому диа-
диаметру, не вводя в формулу для круглой трубы
поправочного множителя. Однако здесь важно
часто не столько знание среднего коэффициента
теплоотдачи, сколько его локальные значения,
особенно в застойных углах тесного канала. Для продольно омываемых па-
пакетов труб по экспериментам Э. К. Калинина и Г. А. Дрейцера
Nu = @,032s/D — 0,0144) Re°>8Pr°>33. A5.2.2)
Понятие среднего коэффициента теплоотдачи вообще может оказаться в ряде
случаев бессодержательным. Кроме того, в каналах сплошной конфигурации
значение а существенно зависит от принятого закона осреднения температур.
Так, по данным В. К. Кошкина, Э. К. Калинина и др., в одном из узких
продольно омываемых пакетов имело место соотношение условных средних
коэффициентов теплоотдачи
? И
j а (ф) dq> j Тст (ф) dcp — 1
Рис. 15.11. Продольное обтека-
обтекание максимально тесной упа-
упаковки цилиндров
к
A5.2.3)
В. И. Субботин с сотрудниками исследовали распределения температур-
температурного напора стенка—жидкость в тесном пучке труб (рис. 15.12) и коэффициен-
коэффициентов теплоотдачи в пакетах с плотной упаковкой (рис. 15.13). Для продольно
214
SO 60 90 120 150 180 210 240 270 300
Рис. 15.12. Распределение температурного напора стенка—жидкость
по периметру трубы в пучке (s/D~l)
Nu
2
10°
8
6
\ \
•
?-
8 W
2 Ре
Рис. 15.13. Зависимость теплоотдачи от скорости в координатах Nu=f(Pe) для пуч-
пучков различной геометрической конфигурации:
А —плотная шахматная упаковка, ртуть; •—плотная коридорная упаковка, ртуть; о—плотная
коридорная упаковка, сплав 22%Na — 78%К
Nu
20
10
г»
~[
Г*
<
•ai
Г
у
D С
ф ф
<? п
Хг-1 л J
dOd "
С
О в
•X
Iй ¦
V
1
X
м
:х J
Г*
1
1
1
< X
л
с
о
м
П
Х<
1
Л
о
г С И
дд '
1?к
О
>
А А
J
6 8 10
20
Рис. 15.14. Зависимость Nu от Ре при обтекании трубы жидкими металлами:
А, 4> •.О — Рг = 0,025; П, Э — Рг=0,007; ¦• X — Рг = 0,03
обтекаемых жидким металлом пакетов труб с sID = 1,2 -^ 1,5 ряд данных,
получен В. М. Боришанским и его сотрудниками (рис. 15.14). Со значительным
разбросом экспериментальные данные группируются вокруг простой линейной
зависимости
Nu = 6-f 0,006 Ре. A5.2/4)
Подробно данные о течении жидких металлов рассмотрены в монографии
автора, В. М. Боришанского, И. И. Новикова и О. С. Федынского.
15.3. ПАКЕТЫ ШАРОВ
Схемы простых упорядоченных расположений шаров в пространстве могут
быть различны (рис. 15.15). Во многих случаях применяются щи*еты из тел
других форм (призмы, короткие цилиндры, кольца и т. п.). Заь^пленные слои
таких тел мы будем называть пакетами или неподвижными Слоями.
215
Пакет характеризуется геометрической формой составляющих его элемен-
элементов, их характерными размерами, поверхностью и пористостью. Объемная
пористость определяется формулой
Ф=1— Рп/Рт, A5.3.1)
где рп — плотность пакета (слоя, насыпки) и рт — плотность твердой компо-
компоненты (собственно тел, образующих пакет).
Пористость монодисперсного слоя шаров меняется от 0,476 при максималь-
максимально рыхлой структуре до 0,259 при максимально плотной структуре. В первом
Рис. 15.15. Регулярные расположения шаров, поддерживающих друг друга, в про-
пространстве:
1 —вид сверху; // — вид спереди
приближении связь между пористостью слоя и числом мест контактов данного
шара с соседними (координационное число Nk) линейна:
Ф = 0,693—0,0372#А. A5.3.2)
Средняя расходная скорость течения сквозь слой определяется как
aT=G/(Qpq>). A5.3.3)
Здесь G — массовый расход газа (жидкости) через поперечное сечение слоя
площадью й; р — плотность текущей среды.
Средняя максимальная расходная скорость течения определяется по мини-
минимальному проходному сечению слоя я|э. Для монодисперсного слоя шаров
^макс « G/(Qpl>). A5.3.4)
Для кубической структуры слоя <р = 0,476 и *ф = 0,215; для тетраэдриче-
ской ф = 0,259 и г|) = 0,0931. Эквивалентный гидравлический диаметр слоя
определяется формулой
?>э = 4ф/[/0A-ф)], A5.3.5)
где /о — удельная поверхность частиц. Для шара /0 = 6/D.
Многие расчетные формулы по сопротивлению и теплоотдаче в слоях ча-
частиц построены по эквивалентному диаметру и средней расходной скорости.
Соответствующее выражение для градиента давления по толщине слоя имеет
вид
АЫ -8 A5.3.6)
dx 2Ф3
Для монодисперсного слоя шаров
— dp/dx = 3?эр^2/(ф3?). A5.3.7)
Коэффи1иент гидравлического сопротивления в последней формуле определя-
определяется эмпкоическими зависимостями:
0<Re9<2.103; ^ = 36,4/Re3'+0,45; |
2.103<Rea<M05. ?3=i09/ReS4 ]
216
При ламинарном режиме течения в слое коэффициент теплоотдачи от сфери-
сферических частиц к протекающей жидкости может быть определен по формуле
Пфеффера:
e1/3 , A5.3.9)
1 — A — ФM/3
где
2—3A -
—ФM^3 —2A —
На рис. 15.16 приведен ряд экспериментальных данных М. Э. Аэрова
л О. М. Тодеса о зависимости Nu (Pr, Re) в области чисел Рейнольдса частицы
10'
ю1
CL
10'
1 I I I IIII I
10*
Рис. 15.16. Результаты опытов по испарению элементов зернистого
слоя из нафталина в газ:
О» ?¦ ¦»•» 3— стальные шарики (D =3,19-^19,35 мм); X, 4 — катализатор
таблетки (D = 6,65mm, // = 6,95 мм и D = 9,l мм, //=10,2 мм); Л —кольца Ра-
шига (D = tf = 8 мм)
слоя от 0,2 до 1000. Эти опыты для различных областей изменения Re описы-
описываются зависимостями
Re90'85;
2 < Rea < 30; Nua = 0,72 Pr1 /3 Re"
,47 .
Rea>30;
0,39Pr1/3 Re90'64.
A5.3.10)
15.4. КИПЯЩИЙ СЛОЙ
Если слой частиц удерживается в неподвижном состоянии некоторой объем-
объемной силой (гравитационной, центробежной, магнитной), то при достижении
определенного значения динамического напора текущей через слой жидкости
наступает нарушение устойчивости и возникает так называемое псевдоожижен-
ное состояние слоя твердых частиц. Такой взрыхленный динамическим воз-
воздействием жидкой среды слой называют также кипящим.
Возникновение кипящего слоя можно характеризовать первым критиче-
критическим значением скорости течения жидкости через слой. Полное разрушение,
сопровождающееся выносом всех или большинства частиц слоя, характеризуется
второй критической скоростью течения жидкости через слой. В промежуточной
области кипящий слой обладает механизмом саморегулирования, основанным
на дисбалансе подъемной силы, действующей на частицы, и изменением ско-
скорости течения с изменением порозности слоя. Повышение динамического напора
в какой-то части слоя приводит к увеличению свободного прохода для текущей
217
среды и, следовательно, к уменьшению ее скорости и динамического воздейст-
воздействия на твердые частицы.
Однако такой слой обладает рядом неустойчивостей, о которых кратко будет
показано в соответствующем разделе этой главы. Пока что мы будем считать его
достаточно однородным. Основным условием возникновения псевдоожиженного
слоя является равенство градиента
гидродинамического сопротивления в
слое насыпному весу этого слоя
(рис. 15.17).
Эффективная модель однородного
монодисперсного кипящего слоя ша-
шаров была предложена М. А. Гольд-
штиком. Геометрия такого слоя опре-
определяется формулами
..._/ 1-Фо У/3
D -()
•
10*
10
10~2
10}
-
-
I 10 10}
- /
/
4v
10s
106
107 kv
1~ Фо
A5.4.1)
Рис. 15.17. Зависимость критического числа
Рейнольдса начала псевдоожижения от чис-
числа Архимеда слоя
Здесь s — расстояние между частица-
частицами слоя; ф — порозность кипящего
слоя; ф0 — порозность плотного слоя
с тем же расположением частиц; i|) —
минимальное проходное сечение; ар0 _ минимальное проходное сечение в
плотном слое. Для кипящего слоя можно принять
— 1э17A—фJ/з.
A5.4.2)
Двужидкостная модель кипящего слоя предполагает, что хаотическое дви-
движение твердых частиц аналогично движению молекул и, следовательно, в при-
F _ ближении элементарной (бернуллиевской) мо-
дели газа можно написать
пульсов в следующем виде:
уравнение им-
им" / 0,7 0,4(р
Рис. 15.18. Зависимость F от по-
розности ф
где рт — парциальное давление «газа твер-
твердых частиц»; х — координата, направленная
против вектора силы тяжести.
В плотном кипящем слое частицы распо-
расположены так близко друг к другу, что в про-
процессе их соударений с контрольной площад-
площадкой участвует лишь один ближайший слой
(гипотеза монослойной экранировки взаимо-
взаимодействия частиц). Тогда парциальное давле-
давление «газа твердых частиц» определяется из-
известным соотношением кинетической теории
газов:
A5.4.4)
где С — средняя скорость хаотического движения частиц, а I — расстояние
между частицами, определяющие длину их свободного пробега. М. А. Гольд-
штик показал, что основную роль в генерации хаотического движения частиц
кипящего слоя играет поперечная сила Магнуса, возникающая при обтекании
вращающегося тела.
В результате представляется разумной следующая модель кипящего слоя.
Возникновение движения обусловлено гидродинамической неустойчивостью
218
конфигурации покоя, возникающей при достижении критической скорости
фильтрации. После возникновения движения решающую роль приобретает пе-
передача энергии от потока жидкости к слою частиц с помощью эффекта Магнуса.
Этот эффект возникает вследствие вращения частиц, поддерживаемого в про-
400-
200
0,24
0,28 Цм О
0,1
0,2 L,m
Рис. 15.19. Распределение плотностей в полидисперсном кипящем слое при
различных скоростях потока (а), по высоте кипящего слоя (б) и по высоте
кипящего слоя для зон малых плотностей (в)
цессах соударений друг с другом и стенкой. Сила взаимодействия потока с вра-
вращающимися частицами при w > С может быть записана формулой
A5.4.5)
Окончательное выражение для им-
импульса имеет вид
A-/г2JРт
1-ф
1—Фо
/3
— 1
10г
10
у
ШШ1
20
10s
A5.4.6)
Здесь k — коэффициент восстановле-
восстановления для неупругого удара. Макси-
Максимальное значение импульса имеет ме-
место при ф = 0,65 (рис. 15.18). Для
устойчивости плотного слоя необхо-
необходимо выполнение условия dpjd(\ —
— ф) < 0, что возможно при ф < 0,65.
Отсюда можно показать, что усло-
условием существования плотного слоя
является неравенство
0,17 < ш/ш0 < 0,42, A5.4.7)
где w0 — скорость свободного витания частицы.
Реальный переход от состояния плотного слоя к состоянию квазиравновес-
квазиравновесного витания определяется пунктирным прямоугольником на рис. 15.18. Эк-
Эксперимент подтверждает, что над плотным слоем частиц может иметь место
слой весьма малой концентрации, т. е. «пар» из частиц, выносимых из основ-
основного слоя. Скорость витания определяется известной формулой
Рис. 15.20. Теплоотдача в кипящих слоях:
/—область экспериментальных данных; 2 — расчет-
расчетная зависимость
A5.4.8)
219
где ?0 — коэффициент гидравлического сопротивления твердой частицы. На
рис. 15.19 приведены экспериментальные данные, подтверждающие эту мо-
модель для плотных слоев.
Как видно из рис. 15.20, в принятых координатах опытные данные имеют
достаточно большой разброс, т. е. здесь еще далеко до однозначных резуль-
результатов. Для оценок можно пользоваться формулой
Ыи^СОЗРг1/3!^. A5.4.9)
15.5. НЕОДНОРОДНОСТИ И НЕУСТОЙЧИВОСТИ
В СЛОЕ ЧАСТИЦ
Здесь нет возможности сколь-либо подробно осветить эту важную техно-
технологическую проблему, и мы ограничимся только одним примером.
В неподвижных слоях возникают пристенный эффект и неоднородность
плотности распределения частиц по слою. На рис. 15.21 приведены соответ-
/?,мм -
400
J00
200
100
if 400
500 1000р,кгМ*
а
,мм
400
J00
200
100
- jo
I
200^
I
I ZOOjy
У 150^-
i
--*
1 1 1
10 40
Рис. 15.21. Распределение локальной плотности р (а) и ее относи-
относительной пульсации б (б) по оси колонки для разных значений вы-
высоты неподвижного слоя Lo, мм
ствующие данные для одного из реакторов по М. Э. Аэрову и О. М. Тодесу.
Газораспределителем в данном случае служит перфорированная решетка.
В кипящем слое малой высоты поток жидкости (газа) может пробивать ка-
каналы, в результате чего значительная часть текучей среды проходит без взаимо-
взаимодействия с твердыми частицами.
220
В слое возможно образование пузырей, т. е. пространства, практически
не заполненного твердыми частицами.
Во вращающихся неконцентрированных слоях возникают неустойчивости
типа волн на внешней границе слоя, образования «рукавов», удивительна
напоминающих фотографии спиральных галактик, собирание частиц в большие
комки, совершающие индивидуальное вращение в закрученном потоке текущей
среды.
Все эти эффекты влияют и на процессы теплообмена в слое.
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Антуфьев В. М., Белецкий Г. С. Теплоотдача и сопротивление трубчатых поверхнос-
поверхностей в поперечном потоке. М., Машгиз, 1948.
2. Антуфьев В. М. Эффективность различных форм конвективных поверхностей нагрева.'
д1.-_Л., «Энергия», 1966.
3. Аэров М. Э., Тодес О. М. Гидравлические и тепловые основы работы аппаратов со
стационарным и кипящим зернистым слоем. Л., «Химия», 1968.
4. Берман Л. Д. Испарительное охлаждение циркуляционной воды. М., Госэнергоиздат,,
1957.
5. Гольдштик М. А. Элементарная теория кипящего слоя.— «Журн. прикл. механ. и
техн. физ.», 1972, № 6, с. 106.
6. Жидкометаллические теплоносители. М., Атомиздат, 1973. Авт.: В. М. Боришанский,
С. С. Кутателадзе, И. И. Новиков, О. С. Федынский.
7. Жаворонков Н. М. Гидравлические основы скрубберного процесса и теплоотдача в
скрубберах. М., «Сов. наука», 1944.
8. Жукаускас А., Макарявичус В., Шланчяускас А. Теплоотдача пучков труб в попереч-
поперечном потоке жидкости. Вильнюс, «Минтис», 1968.
9. Забродский С. С. Гидравлика и теплообмен в псевдоожиженном слое. М.— Л., Гос-
энергоиздат, 1963.
10. Карасина Э. С. Теплообмен в пучках труб с поперечными ребрами. — «Изв. Всесоюз.
теплотехн. ин-та», 1952, № 12, с. 12.
11. Кошкин В. К., Калинин Э. К. Теплообменные аппараты и теплоносители. М., «Ма-
«Машиностроение», 1971.
12. Кузнецов Н. В., Щербаков А. 3., Титова Е. Я. Новые расчетные формулы для аэро-
аэродинамического сопротивления поперечно обтекаемых трубных пучков.— «Теплоэнер-
«Теплоэнергетика», 1954, № 9, с. 27.
13. Ляпин М. Ф. Теплоотдача и аэродинамическое сопротивление гладкотрубных пучков
при больших числах Re газового потока.— «Теплоэнергетика», 1956, № 9, с. 49.
14. Методика и зависимости для теоретического расчета теплообмена и гидравлического
сопротивления теплообменного оборудования АЭС, РТМ24 031 05—72. М., Минтяж-
маш, 1972.
15. Михайлов Г. А. Конвективный теплообмен в пучках труб.— «Советское котлотурбо-
строение», 1939, № 12, с. 434.
16. Петровский Ю. В., Фастовский В. Г. Современные эффективные теплообменники.
М.— Л., Госэнергоиздат, 1962. (Тр. ВЭИ, вып. 70).
17. Сыромятников М. И., Васанова Л. К., Шиманский Ю. Н. Тепло- и массообмен в ки-
кипящем слсе. М., «Химия», 1967.
18. Тепловые и гидравлические характеристики пучков из труб с поперечными ребрами
при продольном обтекании — «Теплоэнергетика», 1973, № 6, с. 70. Авт. : О. С. Вино-
Виноградов, П. И. Пучков, А. В. Иванова и др.
19. Тепловой расчет котельных агрегатов (нормативный метод). М.—Л., Госэнергоиздат,
1957.
20. Шолохов А. А., Минашин В. Е. Теплообмен при продольном течении жидкости в пуч-
пучках стержней.— «Атомная энергия», 1968, т. 25, вып. 4, с. 280.
21. Юдин В. Ф., Тохтарова Л. С. Теплоотдача и сопротивление пучков оребренных труб
с различными высотами и шагами ребер при больших числах Re.— «Энергомашино-
«Энергомашиностроение», 1972, № 12, с. 21.
22. Юдин В. Ф., Тохтарсва Л. С. Влияние теплопроводности ребер и теплоносителя на
теплоотдачу пучков ребристых труб при поперечном омывании. — «Теплоэнергети-
«Теплоэнергетика», 1971, № 9, с. 66.
23. Siennicki S. Ргасе Institute techniki cieplnej, Lod 7, 1964.
Гтва ^л м л ГИДРОДИНАМИКА И ТЕПЛООБМЕН
16
В СРЕДАХ С НЕЛИНЕЙНЫМ ЗАКОНОМ
МОЛЕКУЛЯРНОГО ТРЕНИЯ
16.1. ЖИДКОСТИ С НЕЛИНЕЙНОЙ КРИВОЙ ТЕЧЕНИЯ
Кривой течения называют зависимость между касательными напряжениями
и градиентом скорости в плоском одномерно ламинарном изотермическом
потоке, когда скорость w меняется только по нормали к направлению течения.
У жидкостей, подчиняющихся закону трения Ньютона, в рассматриваемых
условиях
¦ = fx = const A6.1.1)
dw/dy
и кривая течения линейна.
Идеальный газ является наиболее точной моделью ньютоновской жидкости.
Практически таково поведение и реальных жидкостей с небольшими молеку-
молекулами. Жидкости с большими молекулами имеют нелинейные кривые течения
и могут быть разделены на несколько классов.
1. Жидкости с однозначной, но нелинейной связью между напряжением
и скоростью сдвига в данной точке*. Мы будем называть их жидкостями
со структурной вязкостью.
2. Жидкости с меняющейся во времени связью между напряжением и ско-
скоростью сдвига. Мы будем называть их жидкостями с нестационарным законом
трения.
3. Жидкости вязкоупругие, т. е. проявляющие частичное упругое восстанов-
восстановление формы после снятия напряжения.
Системы, состоящие из мелких твердых частиц, в неньютоновской жидкости
ведут себя в целом как среды с нелинейной кривой течения. В такого рода сре-
средах перестройка ориентации молекул и их взаимодействия в процессе течения
влияет не только на коэффициент вязкости (х, определяемый по формуле
A6.1.1), но и на другие коэффициенты переносов. Однако во многих случаях
коэффициент теплопроводности меняется существенно меньше, чем коэффи-
коэффициент вязкости.
Следует также отметить, что вследствие большой вязкости жидкостей с круп-
крупными молекулами их течение в практических условиях обычно является лами-
ламинарным.
Ниже мы рассмотрим главным образом некоторые вопросы гидродинамики
и теплообмена жидкостей со структурной вязкостью.
16.2. СВЯЗЬ МЕЖДУ ТЕКУЧЕСТЬЮ И КАСАТЕЛЬНЫМИ
НАПРЯЖЕНИЯМИ В ПОТОКЕ ЖИДКОСТИ
со структурной вязкостью
Анализ экспериментальных данных показывает, что текучесть ср = ц-1
является более простой функцией касательных напряжений т, чем собственно
динамический коэффициент вязкости.
Значительное число сложных эмпирических выражений, основанных на
более или менее удачной аппроксимации нелинейной кривой течения в некото-
некотором интервале напряжений или скоростей сдвига, не нашло широкого исполь-
использования, а наиболее распространенная степенная формула Оствальда, подку-
*
dw d I dx \ _ dy
~d^~ = ~dy~ \dT) ~~ 1Г = Y>
/ — время, у = dx/dy — сдвиг и у — скорость сдвига.
222
пая простотой последующих операций с нею, не выдерживает критики ни
с точки зрения соответствия предельным свойствам <р (т), ни с точки зрения
размерности входящих в нее коэффициентов.
Ниже излагаются результаты, полученные автором совместно с Е. М. Ха-
бахпашевой и В. И. Поповым. На рис. 16.1 схематично показана общая зави-
зависимость ф (т) для случая dyldx > 0 при т > хг по экспериментальным данным
ряда авторов. В области т< т0 ф = 0 и жидкость проявляет так называемую
условную упругость. В области т0 < т < х1 поведение жидкости характери-
характеризуется постоянной текучестью <р0. Естественно, что в определении тх есть
некоторая условность, ибо переход от постоянной текучести ф0 к переменной
осуществляется плавно на некотором от-
отрезке Ат.
Величину хг назовем пределом устой-
устойчивости макроструктуры жидкости, а
ф0 — нулевой текучестью. Соответственно
текучесть при т -^оо обозначим ф^*.
В качестве масштаба изменения текучести
естественно выбрать разность ф^ — ф0, а
в качестве искомой переменной — дефект
текучести ф^ — <р. Тогда из величин ср,
Фо» Фоо и т — Ti можно образовать два без-
безразмерных комплекса, вводя некоторую ве-
величину в, которая может служить мерой
структурной стабильности жидкости:
{ф* = (ф°о — ф)/(фоо — Фо) и
Т# = в(Т—^/(фоо — фо)}- A6.2.1)
Зависимость
растающей
Рис. 16.1. Зависимость ф от т
(т#) имеет одинаковый характер для жидкостей как с воз-
возФо), так и с уменьшающейся (ср^ < <р0) текучестью. При
\ 0
этом всегда d?yjdx% > 0, и текучесть жидкости можно формально описать
уравнением
dy^ = —ф" dx%. A6.2.2)
Соответственно
при хо<х<хг Ф* = 1; A6.2.3)
при т>т1э п = 1 фНс = ехр(—т*); A6.2.4)
при т>т1, пф\ ф* = [1—т*A—л)]1/»-11). A6.2.5)
Отсюда следует, что текучесть при п = 1 характеризуется набором пяти
величин:
{V, т1; Фо; фоо; в}. A6.2.6)
В сильно структурированных жидкостях разрушение структуры под влия-
влиянием напряжения сдвига приводит к значительному изменению текучести.
К таким жидкостям относятся расплавы полимеров, концентрированные
суспензии, пасты, битумы и т. п. Для слабо структурированных жидкостей
(растворов полимеров, низкоконцентрированных суспензий, эмульсий, латек-
сов) под действием напряжения сдвига текучесть меняется сравнительно слабо.
При достаточно малых т^ практически интересная область удовлетворитель-
удовлетворительно описывается первыми двумя-тремя членами разложения уравнения
A6.2.4)**. Переписав его с учетом уравнения A6.2.1) в виде
Ф = фоо— (фоо — фо)ехр[—в(т—-т^Дфоо— Фо)]» A6.2.7)
получим
= фо-{-в(т-т1)-(в2/2)(т-т1J/(Фоо-Фо)
* У так называемых дилатантных жидкостей фД
** Следует также иметь в виду, что у большинства жидкостей %\'.
A6.2.8)
223
или, ограничиваясь двумя первыми членами разложения,
-ti). A6.2.9)
Последняя формула весьма удобна для построения приближенных методов
расчета течения жидкостей со структурной вязкостью. Поэтому целесообразно
в теории выделить специальный подкласс жидкостей с линейным законом теку-
текучести. Для дилатантной жидкости перед вторым членом формулы A6.2.9) сле-
следует ставить знак минус.
16.3. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТЕЙ И ГИДРАВЛИЧЕСКОЕ
СОПРОТИВЛЕНИЕ ПРИ СТАБИЛИЗИРОВАННОМ
ИЗОТЕРМИЧЕСКОМ ТЕЧЕНИИ ЖИДКОСТИ
С ЛИНЕЙНЫМ ЗАКОНОМ ТЕКУЧЕСТИ
При ламинарном течении жидкости в цилиндрическом канале распределение
касательных напряжений имеет вид
т = тст?, A6.3.1)
где I = R/Ro — безразмерный радиус.
При т0 = 0 и т < тх в результате интегрирования уравнения
dwldR = — Ф (т —
w/W
)> A6.3.2)
1
k
ш
1
//
I
к
In
п
/
//
т
(-2,6
-2,4
-2,2
-л
-?
-1,0
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
"^
=5;
0
V
л
И
¦т.-?
-оА
/л
\/
10
710
\
1
7
\
л
\\
где т = — (Я/2) (do/dx)y получим про-
профиль скорости:
XS) —
-—V
При тх = 0 и линейном законе теку-
текучести
A6.3.3)
получим
w _ Тст^офр
[0-?2) +
4 — тстA-Ы; A6.3.4)
¦ ^о фо
.20
-\ тст
3 фо
_
A6.3.5)
A6.3.6)
R/Ro 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 R/Ro
Рис. 16.2. Распределение скоростей по фор-
формуле A6.3.7)
w
1 + 4тст 0/5фо
Фл/гпкг. — — —
"макс
w
1 + 2тст 9/Зфр
1+4тст0/5фо
A6.3.7)
A6.3.8)
где оумакс — максимальная скорость на оси трубы; w — средняя расходная
скорость.
Из рис. 16.2 следует, что при в>0 профиль скоростей более заполнен,
чем при течении жидкостей с линейной кривой течения (в = 0). При в <0
профиль менее заполнен.
224
В рассматриваемом случае число Рейнольдса потока целесообразно строить
в виде
Reo = илОфо р, A6.3.9)
где Фо = 1/м-о — нулевая текучесть (при т ->0).
—¦—:
10-^
10
ю2
-2-1012 iqRe^
Рис. 16.3. Зависимость % от Re0 по формуле A6.3.10)
Учитывая формулу A6.3.6), находим, что
о 8тст = 5 л /77
где р = QpwV(p0 (рис. 16.3).
A6.3.10)
16.4. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТЕЙ И ГИДРАВЛИЧЕСКОЕ
СОПРОТИВЛЕНИЕ ПРИ ПРОДОЛЬНОМ ИЗОТЕРМИЧЕСКОМ
ОБТЕКАНИИ ПЛАСТИНЫ
В этом случае профиль касательных напряжений аппроксимируется фор-
формулой (см. гл. 9)
т«тстA-3|2 + 2?3). A6.4.1)
Распределение продольной составляющей вектора скорости при линейном
законе текучести определяется уравнением
A6.4.2)
Отсюда
5 7
A6.4.3)
При I = 1 w = йУ0> гДе ^о"— скорость набегающего потока, и, следовательно,
35 ф0
A6.4.4)
Тогда
Т
W0
26 0
00 фо
8 Зак. 795
A6.4.5)
225
Выражение для коэффициента трения с учетом формулы A6.4.4) можно
записать так:
cf =
2тст
35
26P
(л/
[у
1 +
208р
35 Re,
— 1
A6.4.6)
где Re6 = w0 8щ р и р = врш§/ф0.
16.5. СВЯЗЬ МЕЖДУ ИСТИННОЙ И КАЖУЩЕЙСЯ
ТЕКУЧЕСТЬЮ
При экспериментальном определении реологических характеристик жид-
жидкости непосредственно вычисляется не истинный закон ф (т), а связь между
так называемой кажущейся текучестью фк и касательным напряжением сдвига
на стенке прибора тст. Так, например, в капиллярном вискозиметре по изме-
измеренному расходу жидкости Q и падению давления АР находят величины
Фк = SLQ/jtRb Др и тст = Ro Ap/2L,
A6.5.1)
где Ro и L — радиус и длина капилляра. В области т < тх фк = ф0, а в области
т > Ti Ф (т) Ф Фк (т)- Из формул A6.5.1) следует:
Ro. A6.5.2)
A6.5.3)
Сопоставляя выражения A6.5.2) и A6.3.6), находим, что
Характер функций <р (т) и фк (т) аналогичен, а значение в может быть оп-
определено по вк в соответствии с формулой A6.5.3). Поэтому проверку реоло-
реологического уравнения A6.2.4) можно производить по данным вискозиметриче-
ских измерений, т. е. в виде фк (тст).
Г
SC
1,9
?
0,7
2,4
2,0
0,8
-
-
i
1
/
•/
>/.
-*•
CL
0,8
0,7
?0,5
§:?
5в 0,5
kV?t
О 1
'Па
V
ч
•
6
г
Г
S
О 2 4 6 8 10
Ж2Па
О 10 50 50 70 90 110тст,Па.
Рис. 16.4. Зависимость кажу-
кажущейся текучести фк от каса-
касательного напряжения сдвига на
стенке:
с —битум M-III (Г = 20°С, фо =
==0,38-10-2 м2/(Н-с), Фоо =
= 2-10-2 м2/(Н-с), To = 10s Па);
б —1,69 %-ный раствор резины в
толуоле (Г = 24° С, фо = 7 м2/(Н-с),
Фоо = 51 м2/(Н-с)); в—47,4 %-ный
стгор крахмала в глюкозе
Как видно из рис. 16.4 и 16.5, в пределах точности опытов и оценки значе-
значений ф0 и фоо реологический закон A6.2.7) проявляется совершенно отчетливо.
Следует обратить внимание на то, что раствор крахмала в глюкозе является
дилатантным. Из опытов также следует, что в интервале 10 ^ т ^ 100 Па
текучесть раствора резины в толуоле увеличивается с ростом т практически по
226
10
9
8
7
6
. 5
\
V*
\. О
n\
^_
\
°\
о
-—'—.
\
о
.
2
—-/
• "—^^^^
—^
12
18
20
24
Рис. 16.5. Зависимость ф* от т*:
У —поливиниловый спирт в воде —2,5%, п= — 1, Tt = 0, то = 0; 2 — полиме-
гакрилат в бензоле— 0,025%, л=1, Ti = 0, хо = 0; 5 —карбоксиметилцеллюлоза
вводе —1 %, п = 0, Tt = 5 Па, то = 0; 4 — резина в толуоле —1,69%, п— — 1,
Т! = 2,5 Па, то=^0; 5 —битум M-III, п=— 6, Ti==0, то=1,25-103 Па
линейному закону. Для битума область линейного закона текучести простирает-
простирается до т = 3000 Па. Таким образом, экспериментальные данные подтверждают
существование жидкостей с линейным законом текучести в практически
интересном интервале напряжений сдвига.
16.6. ТЕПЛООТДАЧА ПРИ ЛАМИНАРНОМ ТЕЧЕНИИ
ЖИДКОСТЕЙ С ЛИНЕЙНЫМ ЗАКОНОМ ТЕКУЧЕСТИ
Рассмотрим случай течения жидкости в круглой трубе при небольших
тепловых нагрузках, когда Х> ср и р можно считать постоянными по сечению,
а текучесть ф — зависящей только от значения т. Тогда для гидродинами-
гидродинамически установившегося потока при Ре > 10 уравнение теплопереноса можно
записать в виде
d2T/0R2 + (\/R)dT/dR = (I/a) wxdT/dx,
A6.6.1)
где wx для жидкостей с линейным законом текучести определяется формулой
A6.3.4).
Поскольку для жидкостей со структурной вязкостью число Прандтля,
как правило, много больше единицы, то тепловой пограничный слой занимает
лишь узкую пристенную область. Поэтому можно ввести новую переменную
у = Ro — R и в области теплового пограничного слоя пренебречь членами
с I « y/Ro B степени выше первой. Тогда распределение скоростей вблизи
стенки примет вид
+тств/ф0),
или с учетом формулы A6.3.6)
где
A6.6.2)
A6.6.3)
A6.6.4)
1 + 4тст е/5ф0
(% — коэффициент, учитывающий структурно-вязкие свойства жидкости).
8* 227
При бт < Ro слой жидкости, участвующий в теплообмене, можно считать
плоским и уравнение A6.6.1) записать в виде
y
Ro дх
ду* *
A6.6.5)
Результат решения аналогичной задачи для жидкостей с линейной кривой
течения (% = 1) приведен в табл. 11.3. При % Ф 1 получим
A6.6.6)
A6.6.7)
где Nu — среднее значение числ Чуссельта на длине L. Аналогичные выра-
выражения можно получить и для граненых условий второго рода (qCT = const).
Таким образом, для граничных условий как первого, так и второго рода
отношение коэффициентов теплоотдачи при ламинарном течении жидкостей
с линейным законом текучести к коэффициентам теплоотдачи ньютоновских
жидкостей при одинаковых значениях PeD/x равно:]
A6.6.8)
где % определяется формулой A6.6.4). Сопоставление с экспериментом пока-
показано на рис. 16.6.
Из формулы A6.6.4) следует, что % изменяется в пределах от 1,0 до 1,25.
Поэтому при малых тепловых потоках числа Нуссельта для жидкостей с линей-
линейным законом текучести будут отличаться от их значений для ньютоновских
жидкостей не более чем
га 10%.
Следует отметить, что
м когие неньютоновские
жидкости обладают значи-
значительной вязкостью. В ряде
случаев это делает необхо-
необходимым учет влияния на
теплообмен диссипации ме-
механической энергии. Рас-
Распределение теплоты трения
определяется законами из-
изменения скорости и рео-
реологических характеристик
J0
20
Ь
/
к
5
1
о.
->
10*
(i/Pe)(x/d)
Рис. 16.6. Теплоотдача в круглой трубе для 1%-ного
раствора полиакриламида (/— расчет для ньютонов-
ньютоновской жидкости (%=\)
среды. В свою очередь,
вязкость неньютоновских жидкостей не только зависит от градиента ско-
скорости, но и может сильно меняться с изменением температуры. Таким об-
образом, распределение теплоты трения по сечению и длине канала не может
быть задано наперед. Решение этой задачи о неизотермическом течении и
теплообмене с учетом диссипации механической энергии проводится путем
численного интегрирования системы дифференциальных уравнений движения
и энергии и уравнений, описывающих зависимость реологических свойств
жидкости от температуры.
Как указывалось в гл. 11, уравнения типа A6.6.6) и A6.6.7) справедливы
для начального участка трубы, когда PeD/x > 12. Поскольку у жидкостей со
структурной вязкостью число Прандтля велико, то в большинстве практических
случаев эти уравнения справедливы по всей длине.трубы.
228
16.7. гидравлическое сопротивление '
и теплообмен при турбулентном течении
структурно-вязких жидкостей
Если неньютоновское трение в жидкости не приводит к существенной де-
деформации распределения компонент турбулентных пульсаций, то толщина вяз-
вязкого подслоя остается малой по сравнению с диаметром трубы. В таком случае
напряжение сдвига и текучесть в области 0 < у < ух практически равны их
значениям на стенке. При этом сохраняется критерий, характеризующий устой-
устойчивость вязкого подслоя ньютоновских жидкостей, т. е.
(у* y/v)± = у* ух рсрс = const.
A6.7.1)
В турбулентном ядре потока рейнольдсовы напряжения не зависят от моле-
молекулярной вязкости, т. е. турбулентные касательные напряжения автомодель-
ны относительно зависимости ср (т). Отсюда следует, что распределение скоростей
в турбулентном потоке струк-
структурно-вязких й z
безразмерных
жидкостей в
координатах
совпадает с универсальным
профилем скорости для ньюто-
ньютоновских жидкостей, если без-
безразмерную координату опре-
определять по текучести на стенке.
Аналогично коэффициент ги-
гидравлического сопротивления
при турбулентном течении ?
можно определить по фор-
формулам для ньютоновских
жидкостей, введя в число' Re значение вязкости жидкости на аенке.
Однако зависимостью коэффициента гидравлического сопротивления в виде
? (Иест)^пользоваться неудобно, так как при заданных значениях средней ско-
скорости w и диаметра трубы D для определения ? необходимо применять метод
итераций (задаваясь сначала значением тст, определять фст и ReCT, а затем
определив ?, уточнить трт = ?ра>2/8 и т. д.).
Для структурно-вязких жидкостей с линейным законом текучести A6.2.9),
подставив в формулу для определения коэффициента гидравлического сопро-
сопротивления ньютоновских жидкостей
Рис. 16.7 Зависимость ? от Re0 при различных значе-
значениях р
получим
\lVl =O,88[Reo]/? A +СЭ/8)]—0,9.
A6.7.2)
A6.7.3)
Зависимость ? (Re0, P) при турбулентном течении жидкости представлена
на рис. 16.7. При Р > 100 формула A6.7.3) может быть аппроксимирована вы-
выражением
?=?0—0,П Reo°'30np-2), A6.7.4)
где ?0 — коэффициент сопротивления, определяемый по формулам для нью-
ньютоновских жидкостей.
^Аналогично при расчете коэффициента теплообмена жидкостей со структур-
структурной вязкостью можно воспользоваться обычными формулами для ньютоновских
жидкостей, подстарляя в них значения чисел Рейнольдса и Прандтля, вычис-
вычисленные по вязкости на стенке. Однако в большинстве случаев для структурно-
229
вязких жидкостей числа Прандтля велики (Рг > 100), и практически все тер-
термическое сопротивление сосредоточено в пределах вязкого подслоя. В этом
случае для определения безразмерного коэффициента теплообмена в предпо-
предположении, что свойства жидкости не зависят от температуры, можно восполь-
воспользоваться приближенной формулой
Nu = 0,035RecyTPrl/4 = 0,035Re0PrJ/*K?(l + 0W/4, A6.7,5)
где Re0 и Рг0 определяются по нулевой текучести.
16.8. ВЛИЯНИЕ ПОЛИМЕРНЫХ ДОБАВОК
НА ТУРБУЛЕНТНОЕ ТЕЧЕНИЕ ВОДЫ
В 1948 г. Томсом было обнаружено, что при турбулентном течении жид-
жидкости добавка полимера (полиметилметакрилата в монохлорбензол) снижает
гидравлическое сопротивление потока. В дальнейшем были найдены полимеры,
эффективно снижающие гидравли-
гидравлическое сопротивление при течении
воды, причем эффект возрастало
увеличением молекулярной массы
полимеров. При одинаковых моле-
молекулярных массах более эффектив-
эффективными оказываются полимеры, мо-
молекулы которых имеют линейную
структуру с малым количеством
боковых ветвей. Для некоторых
полимеров было обнаружено суще-
ствование оптимальных концентра-
концентраций, при которых снижение сопро-
сопротивления достигает насыщения
(или максимума). Эти оптимальные
концентрации малы и неодинаковы
у различных полимеров. Слабые
растворы высокополимеров прояв-
проявляют эффект снижения сопротивле-
сопротивления в турбулентном режиме не при
всех числах Рейнольдса, а лишь
при достижении определенного для
каждого раствора значения скоро-
скорости касательного напряжения на
стенке.
Наибольшее внимание в послед-
последние годы было уделено таким вы-
высокомолекулярным веществам, как
полиэтиленоксид, полиакриламид,
гуаровая смола. Опыты показали,
что в трубах малого диаметра сни-
снижение сопротивления может дости-
достигать 70%, в то время как концен-
концентрация полимера составляет лишь
сотые или тысячные доли процента.
Введение в поток воды высокополимерных добавок изменяет структуру
пристенной турбулентности. Как установлено в опытах Е. М. Хабахпаше-
вой и Б. В. Перепелицы, основное действие высокомолекулярных добавок
проявляется в снижении интенсивности поперечных компонент пульсационной
скорости. Это приводит к деформации профиля средней скорости, причем про-
промежуточная зона потока, в которой молекулярная и турбулентная вязкости
соизмеримы по величине, увеличивается в размерах (рис. 16.8).
Рис. 16.8. Профили скоростей в безразмерных
координатах:
/, 4 —0,007%-ный раствор полиэтиленоксида
(?/?о = О,23, ?/?о = 0, 65); 2, 3 — 0,012%-ный раствор
г.олиакриламида (?/?0 = 0,35, ?/?0 = 0,54); 5 — вода
230
Снижение интенсивности турбулентного обмена в пристенной области те-
течения вызывает увеличение термического сопротивления в потоке. При этом
роль промежуточной зоны потока в процессе теплообмена сильно возрастает.
Если при течении воды (Re = 5 • 104, Рг = 7) термическое сопротивление вяз-
вязкого подслоя составляет примерно 2/3 полного термического сопротивления
потока, то в слабом растворе полимера (полиакриламида) термическое сопро-
сопротивление промежуточной области может превысить сопротивление вязкого
подслоя примерно в полтора раза. Отмеченные выше факты приводят к тому,
что снижение гидравлического сопротивления путем введения высокополи-
высокополимерных добавок в поток воды сопровождается пропорциональным или более
сильным снижением интенсивности теплообмена.
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Кутателадзе С. С, Попов В. И., Хабахпашева Е. М. К гидродинамике жидкостей с пе-
переменной вязкостью.— «Журн. прикл. механ. и техн. физ.», 1966, № 1, с. 45.
2. Некоторые вопросы гидродинамики и теплообмена структурно-вязких сред.— В сб.:
Тепло-и массообмен в неньютоновских жидкостях. Под ред. А. В. Лыкова| и
Б. М. Смольского. М., «Энергия», 1968. Авт.: С. С. Кутателадзе, Е. М. Хабахпашева,
В. Б. Лемберский, В. И. Попов.
3. Рейнер М. Деформация и течение. Пер. с англ. М., Изд-во иностр. лит., 1963.
4. Смольский Б. М., Шульман 3. П., Гориславец В. М. Реодинамика и теплообмен нели-
нелинейно вязкопластичных материалов. Минск, «Наука и техника», 1970.
5. Уилкинсон У. Л. Неньютоновские жидкости. Пер. с англ. М., «Мир», 1964.
6. Хабахпашева Е. М. Теплообмен при течении неньютоновских жидкостей в трубах.—
В сб.: Реология (полимеры и нефть). Тр. Всесоюз. школы по реологии, 1977 г., Ново-
Новосибирск. Под ред. Г. В. Виноградова и др. Новосибирск, 1977, с. 93.
7. Шульман 3. П. Конвективный тепломассоперенос реологически сложных жидкостей.
М., «Энергия», 1975.
8. Экспериментальное исследование пристенных турбулентных течений. Новосибирск,
«Наука», 1975. Авт.: С. С. Кутателадзе,Б. П. Миронов, В. Е. Накоряков, Е. М. Ха-
Хабахпашева.
9. Metzner А. В. Heat transfer in non-Newtonian fluids.—In: Advances in Heat Transfer.
Vol. 2. New York, Acad. Press, 1965, p. 357—396.
17
Глава
ТЕПЛООТДАЧА ПРИ СВОБОДНОЙ
КОНВЕКЦИИ
17.1. СВОБОДНАЯ ТЕПЛОВАЯ КОНВЕКЦИЯ
ОКОЛО ТВЕРДОЙ ПОВЕРХНОСТИ
Свободной конвекцией называется движение, возникающее вследствие
различия плотностей неодинаково нагретых частей жидкой среды. Это оп-
определение следует уточнить в том смысле, что при свободной конвекции воз-
возникают специфические циркуляционные токи между поверхностью нагрева
(или охлаждения) и ядром жидкой среды. Таким образом, в такое ограничен-
ограниченное понятие свободной конвекции не входят течения, хотя и обусловленные
разностью плотностей в различных точках среды, но имеющие вполне опреде-
определенное одностороннее направление, например движение газа при естественной
тяге в дымовой трубе. В таких случаях хотя разность плотностей и является
побудителем движения, но сам механизм процесса в значительной мере тож-
тождествен обычному вынужденному течению.
Фундаментальный вклад в исследования теплообмена при свободной теп-
тепловой конвекции был внесен Л. Лоренцем, В. Бекманом, В. С. Жуков-
Жуковским, М. А. Михеевым, Л. С. Эйгенсоном, Е. Шмидтом.
Фотографии движения воздуха около нагретой высокой плиты показывают,
что на ее нижней части образуется утолщающийся ламинарный пограничный
слой. На некотором расстоянии от нижнего среза плиты ламинарное течение
нарушается и возникает специфическая тепловая турбулентность.
В области ламинарного пограничного слоя интенсивность теплоотдачи
уменьшается с увеличением размера тела, так как возрастает толщина этого слоя.
В области тепловой турбулентности условия теплообмена определяются беспо-
беспорядочным движением, характер которого статистически одинаков для различ-
различных частей поверхности нагрева, достаточно протяженных по сравнению с раз-
размерами отдельных вихрей. В этой области коэффициент теплоотдачи не зависит
от размера тела.
Если твердое тело, введенное в жидкую среду, холоднее последней, то кар-
картина движения получается обратной, т. е. более холодные частицы жидкости
будут двигаться около поверхности охлаждения сверху вниз.
Рассмотрим свободную конвекцию в условиях, когда размеры тела, нарушаю-
нарушающего тепловое равновесие, малы по сравнению с объемом окружающей его
жидкости. В этом случае область теплового и гидродинамического возмущения
локализуется около рассматриваемого тела. Вне этого пограничного слоя жид-
жидкость можно считать неподвижной. Градиент давления в неподвижной жид-
жидкости равен gp0, где р0 — плотность невозмущенной среды. Соответственно
в уравнении движения можно произвести подстановку:
gp— grad/? = —бСррДГ—р0)—grad/?^ —gp^Ar—grad рЛ, A7.1.1)
где рд = р — р0 — динамическая составляющая давления, обусловленная
свободной конвекцией жидкости в тепловом пограничном слое; р0 — гидро-
гидростатическое давление вне пограничного слоя. При не очень больших разностях
температур, т. е. когда АТ/Т0 <^ 1, влиянием переменности плотности на урав-
уравнение сплошности и на вязкостные члены уравнения движения можно прене-
пренебречь. Система основных уравнений принимает вид:
t gradT);
(g^, grad) w;
divw = 0;
A7.1.2)
232
В более общем случае эти уравнения следует писать с учетом переменности
р, \i и X.
Условия однозначности рассматриваемой задачи включают в себя форму
и размеры возмущающего тела, распределение температуры на его поверхности
и ее абсолютный уровень, температуру невозмущенной жидкости, ее физические
параметры (Я, a, v, p, C) и значение ускорения g. Скорость течения среды w
является в данном случае функцией процесса, т. е. не входит в условия одно-
однозначности, а полностью определяется заданием перечисленных выше неза-
независимых переменных.
При этих условиях однозначности система уравнений A7.1,2) для стабили-
стабилизированного течения дает два определяющих критерия: Рг == via и Grs
=== (g/3/v2)pA7\ Таким образом, при свободной конвекции в неограниченном
объеме при Д77Г0 < 1 в общем случае
Nu - Ф (Рг; Gr). A7.1.3)
Если предположить, что решающее значение для теплообмена при свобод-
свободной конвекции имеет термическое сопротивление ламинарного слоя около
возмущающего тела, то в уравнении движения можно отбросить инерционный
член, т. е. положить Dwldt = 0. При таком упрощении исходная система урав-
уравнений дает только один определяющий критерий — число Рэлея:
Ra = (g/3/va)pA7, A7.1.4)
представляющее собою произведение критериев Грасгсфа и Прандтля, т. е.
в этом случае ¦>
Nu = Ox(Gr • Рг). A7.1.5)
При свободной конвекции, когда собственное движение жидкости полностью
определяется процессом теплообмена, нельзя раздельно рассматривать теп-
тепловой и гидродинамический пограничные слои. Однако общие соображения об
относительной глубине распространения влияния молекулярного трения и мо-
молекулярной теплопроводности, характеризуемой отношением via, остаю??й
справедливыми и в данном случае.
Следовательно, при Рг ^> 1 область существенного проявления молекуляр-
молекулярной теплопроводности равна или меньше области существенного проявления
молекулярной вязкости. Именно для этих условий физически обосновано ука-
указанное выше упрощение уравнения движения в результате отбрасывания инерг
ционного члена.
17.2. ТЕПЛООТДАЧА В ОБЛАСТИ ЛАМИНАРНОГО
ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ ПРИ
Представленные на рис. 17.1 опытные данные показывают, что при Рг « 1
основная область тепловых и гидродинамических возмущений при свободной
конвекции действительно сосредоточена в относительно узком слое жидкости
около поверхности теплообмена. Около вертикальной пластины такой погра-
пограничный слой будет плоским, а давление в каждом его горизонтальном сечении
равно гидростатическому давлению в невозмущенной области. Распределение
температур и скоростей в таком пограничном слое определится системой урав-
уравнений A7.1.2), упрощенной в соответствии с общими соображениями, изло-
изложенными в гл. 9:
ад2 Tidy2 = wx дТ/дх + wv дТ/ду;
gP AT + vd2 wjdy2 = wx dwjdx + wy dwjdy;
A7.2.1)
233
Здесь координата х направлена вверх вдоль пластины, а координата г/—по
нормали к пластине в глубь потока. Впервые эта задача была решена для
воздуха Лоренцем. В дальнейшем для случая постоянной температуры стенки
Польгаузен ввел новые переменные:
r^Q/*-1/4; if = 4vCx3/4/(r|). A7.2.2)
Здесь г|э — функция тока (wx = dty/ду; wy = — dip/dx); С = Vg$ATI№.
Компоненты вектора скорости в этом случае равны:
C2dfldr\\ wy = \Cx-1'2 (r\df/dr\—3f). A7.2.3)
Рис. 17.1. Распределение скоростей (а) и температур (б) в воздухе около нагретой
вертикальной пластины. (Точки — экспериментальные данные Шмидта и Бекмана;
сплошная линия — решение Польгаузена)
Подставляя эти значения wx и wy в первые три уравнения системы A7.2.1),
после соответствующих преобразований получаем два обыкновенных диффе-
дифференциальных уравнения:
где fl = (Г — ТО)/(ТСТ — То) — безразмерная температура. Граничные ус-
условия принимают вид
л=оо> д=0; г=0. } AШ
Соответственно
а=— ХСх-^К?. A7.2.6)
Среднее значение коэффициента теплоотдачи по всей пластине
О
Эти уравнения решаются численными методами.
Для случая постоянного теплового потока аналогичным образом могут быть
введены переменные:
A7.2.7)
234
При этом
Результаты расчетов, выполненных Польгаузеном, Шу, Саундерсом, Григгом
иСперроу, приведены в табл. 17.1.
Таблица 17.1
Результаты точного решения системы уравнений A7.2.1) для ламинарного пограничного
слоя на вертикальной пластине при свободной конвекции в неограниченном объеме
Рг
0,1
1
10
100
Гст = const
5EGI—1/4
0,219
0,535
1,10
2,07
Nu(GrPr)—1/4
0,389
0,535
0,616
0,655
q = const
NuGr1/4
0,237
0,573
1,17
2,18
Nu(GrPr)— */4
0,421
0,573
0,655
0,690
Как видно, интенсивность теплоотдачи с поверхности пластины при постоян-
постоянной плотности теплового потока примерно на 7% выше, чем в случае постоянной
температуры, а упрощенная функциональная связь типа A7.1.5) выполняется
отнюдь не точно. При этом в случае Рг < 1 погрешность возрастает весьма зна-
значительно. Так, например, при изменении числа Рг от 1 до 10 значение комплекса
Nu(Gr • Рг)/4 изменяется на 15%, а при изменении числа Рг от 1 до 0,1 —
на 27%.
В области 1 • 10< GrPr < 5 • 102, когда приближение пограничного
слоя становится недействительным, опытные данные при Рг ^ 1 удов-
удовлетворительно описываются эмпирической формулой М. А. Михеева:
= 1,18 (GrPrI/8.
A7.2.8)
При GrPr < 10 начинает заметно сказываться форма тела. При этих зна
чениях GrPr для тонких проволочек опытами найдено значение Nu = 0,45,
хотя по модели чистой теплопроводности для цилиндра и пластины при Gr -+
->0 Nu -^0. Для шара минимальное значение Nu, как известно из предыду-
предыдущих глав, равно 2.
Физические свойства в рассмотренных формулах рекомендуется относить
к средней расчетной температуре, равной (Гст + Т0)/2.
17.3. ГИДРОДИНАМИКА И ТЕПЛООБМЕН В ОБЛАСТИ
РАЗВИТОЙ ТЕПЛОВОЙ ТУРБУЛЕНТНОСТИ ПРИ
Как уже указывалось в начале этой главы, при возникновении свободной
тепловой турбулентности наблюдается автомодельность теплоотдачи отно-
относительно линейного размера поверхности теплообмена. Этому факту соответ-
соответствует закон теплоотдачи вида
Nu = С (GrPrI/».! A7.3.1)
Опытные данные, полученные для газов и неметаллических жидкостей, дают
среднее значение множителя пропорциональности С « 0,130. Эта формула
применима при значениях GrPr > 2 • 107. Сводка экспериментальных данных
по теплоотдаче при свободной тепловой конвекции дана на рис. 17.2.
Первая модель тепловой турбулентности была предложена автором в
1935 г. в виде пристенного квазиламинарного течения с постоянным собственным
значением числа Рейнольдса и внешнего струйного турбулентного движения.
235
Проведенные в дальнейшем измерения полей скорости и температуры подтвер-
подтвердили основные идеи этой модели и дали отчетливое представление о деталях
свободной тепловой турбулентности. При обтекании вертикальной пластины
средой с переменной плотностью и постоянными другими свойствами в непо-
непосредственной окрестности поверхности теплообмена (у < yj возникает вяз-
ig(GrPr)
Рис. 17.2. Зависимость критерия Nu от критерия GrPr для горизонтальных
проволок и труб (штриховые линии) и шаров, вертикальных проволок и
труб (сплошные линии) по опытам с газами и жидкостями при Pl
кий подслой с линейным изменением средней температуры Т (у). При этом
дТ/дх = 0. Пренебрегая величиной pVxVyy можем записать:
A7.3.2)
Отсюда следует, что при у < уг
Gr
Re
Re /!
2 1_
6
A7.3.31
Здесь
V Re /i
По экспериментальным данным, при изменении числа Прандтля от 0,7 до
17 отношение собственных чисел Грасгофа и Рейнольдса вязкого подслоя и от-
относительная разность температур в нем остаются постоянными с точностью
до нескольких процентов. Практически можно полагать, что при 0,7<Рг<
< 20 в вязком подслое
wx/wx х= 1,4(<//</1)~0,5(///г/1J + 0,1 (у/угK. A7.3.4
236
Средняя толщина вязкого подслоя при течении около вертикальной пла-
пластины, по экспериментальным данным А. Г. Кирдяшкина, В. П. Ивакина и
Чизрайта, равна
61 = 3,9(v2/g|3ArI/3 Рг1/6. A7.3.5)
Во внешней части пограничного слоя (у > ут> где ут — координата мак-
максимальной скорости wx% m) течение имеет общие черты с затопленными турбу-
турбулентными струями (рис.* 17.3),
25
г именно:
У> Ут>
dwjdy *
t const.
^ const;
A7.3.6)
Наблюдается линейная за-
зависимость толщины внешней
части пограничного слоя от
продольной координаты х,
т. е. линейные изотахи и/ит
пересекаются в полюсе
хп*хлрA — алЛ*т). A7.3.7)
Здесь Хкр — координата на- Рис 173 Распределение параметров пограничного
чала турбулентного погранич- слоя при свободной тепловой турбулентности
ного слоя: ал, ат — соот-
соответствующие средние значения коэффициентов теплоотдачи ламинарной и
турбулентной свободной конвекции.
(У-Ут)/(Уу*-Ут)
Рис. 17.4. Профили продольной компоненты осредненной скорости течения (/) и сред-
средней температуры B) в турбулентном пограничном слое при свободной тепловой кон-
конвекции у вертикальной пластины 2-1010<Ra<4-1011 (экспериментальные данные Чиз-
Чизрайта; А. Г. Кирдяшкина и В. П. Ивакина)
Координата изотахи wXt i/t = 0,5 wxy m определяется формулой
У\/2 —Ут ~ 0,02 (х—х0). A7.3.8)
Как видно из данных рис 17.4, профили скоростей и температур:
с, т = / 1(У — Ут)/(У\/2 —Ут)\\ } /jy 3 9)
аффинно-подобны во внешней части пограничного слоя.
237
Для области у > ут интегральные соотношения импульсов и энергии мож-
можно записать в виде
сю
j (дхюЦдх — pgd) dy + Tm/p— (wx wy)m = 0;
A7.3.10)
Ят/сР P ~ J (dwx Ыдх) dy + (wy O)TO = 0.
Здесь * = (Г — TJI{Tm — TJ — безразмерная температура; тто —касатель-
—касательное напряжение в точке ут. Если принять условия:
Гт-Гоо-(х-х0Г; wXt
A7.3.11)
dyjdx = const; qm = qCT,
то из анализа интегральных соотношений A7.3.10) следует, что п = 1/3,
m = — 1/3, к = 2/3, и если пренебречь членом тт/р, то
По опытам, проведенным автором совместно с А. Г. Кирдяшкиным и В. П. Ива-
киным, константы в этих формулах равны: Сх =•¦= 2,1, С2 « 16,4.
17.4. ТЕПЛООТДАЧА ПРИ Рг<1
К свободной конвекции жидких металлов приведенные выше расчетные фор-
формулы неприменимы. При отношении via <^ 1 существенное влияние молекуляр-
молекулярной теплопроводности при свободной или вынужденной конвекции распростра-
распространяется далеко в область потока, охваченную беспорядочным турбулизованным
течением жидкости. В этом случае при сохранении представления о решаю-
решающем влиянии молекулярного переноса на собственно процесс теплопровод-
теплопроводности следует считаться с тем, что скоростное поле в пределах большей части
теплового пограничного слоя зависит главным образом от инерционных сил.
Отбрасывая во втором уравнении системы A7.1.2) третий (вязкий) член,
получаем один определяющий критерий
(glVa2) рАГ - GrPr2. A7.4.1)
Следовательно, при Рг <^ 1 опытные данные должны лучше обобщаться
уравнением
Nu = Ф2 (GrPr2). A7.4.2)
Следует заметить, что эта зависимость была предложена Буссинеском еще
до предложения Нуссельтом зависимости A7.1.5). Однако обе формулы
предлагались для одних и тех же сред, т. е. вводились чисто формально.
Данный нами выше анализ связи между критериями Gr и Рг в зависимости
от областей значений критерия Рг позволяет физически обосновать примени-
применимость каждой из этих предельных функций к соответствующим группам ре-
реальных жидкостей. Опыты с рядом жидких металлов подтвердили эти выводы.
При этом в области Pr2Gr от 10 до 104
Nil» 0,53 (GrPr2I/4. A7.4.3)
17.5. ТЕПЛООТДАЧА В ЖИДКИХ И ГАЗОВЫХ СЛОЯХ
В горизонтальных слоях, подогреваемых снизу, возникают условия, при
которых более холодная жидкость расположена над более теплой. В жидкостях
и газах, плотность которых уменьшается с увеличением температуры, это ведет
к неустойчивому состоянию. Когда перепады температуры между двумя твер-
238
дыми поверхностями, ограничивающими слой жидкости или газа, достаточно
малы, так что число Ra < 1700, слой неподвижен. Когда же число Ra ^ 1700,
в слое возникают периодические ячеистые течения вида валиков или полиго-
полигональных структур.
Вид устойчивых ячеистых течений зависит от изменения физических свойств
жидкости с температурой. При слабой зависимости свойств жидкости от тем-
температуры устойчивой является валиковая структура течения. Для этилового
спирта в стационарном режиме теплообмена конвективное течение имеет вали-
R ^ R 10R Вб
Ra < 10RaKp. Выбор длин волн для устойчивой
р р р
ковую структуру при RaKp
валиковой структуры имеет
случайный характер.
При значительных ко-
количествах твердых частиц
в слое и слабой нестацио-
нестационарности, создаваемой осе-
оседанием частиц, устойчивы-
устойчивыми являются трехмерные
полигональные структуры
до значений числа Рэлея
Ra » 5 • 10\ а далее они
сменяются неустойчивыми
валиками с коротковолно-
коротковолновым течением по оси по-
последних. Относительный
размер ячеек (I'll ж 2)
больше, чем у валиковых
структур (Т/1 = 1,2, _где
/ — толщина слоя, а /' —
средний размер валика).
По мере увеличения числа Ra горизонтальный размер валика возрастает,
подъемный и опускной потоки локализуются по вертикальным образующим
валика. По большей части валика (xlV = 0,3-^0,75) вертикальная составляю-
составляющая скорости валика мала и течение близко к плоскопараллельному.
На рис. 17.5 представлены полученные В. С. Бердниковым и А. Г. Кирдяш-
киным экспериментальные значения числа Пекле (Pem = wXt m //а), опре-
определенного по максимальной горизонтальной скорости wXt m в отдельных ячей-
ячейках, при различных значениях числа Ra. В области чисел RaKp ^ Ra < 5х
X 104 имеет место зависимость
SO
50
40
30
20
1 ...
/!
/
/
/
'S
\
1 . .
i i .
j.5 I
111
* 1
о
у*
1 =
•-2,5м
,-3,15
Д-5,51
и-4
v-$1
о-4
9-3,5
*-4
ч
3 4
10*
3 4
Рис. 17.5. Зависимость Рет от Ra для валиков и поли-
полигональных ячеек при различных высотах слоя / (Рг«16)
Pem==0,24(Ra-RaKP)i/
A7.5.1)
характерная для надкритической области, как это показано в общем случае
Л. Д. Ландау.
Значение Рет не зависит от вида ячеистого течения. В области малой над-
критичности (RaKp ^ Ra < 4 • 103) согласно экспериментам Сильвестона
имеет место зависимость
Nu = 1 + 1,4 A — RaKp/Ra). A7.5.2)
В диапазоне значений числа Рэлея 4 • 103 ^ Ra < 105, где течение имеет
квазиячеистый характер,
Nu = 0,23
A7.5.3)
В области же течения, имеющего турбулентный характер A05< Ra < 109),
опытные данные Мулля и Райера, Сильвестона, Глоуба и Дропкина аппрокси-
аппроксимируются зависимостью
Nu = 0,085Ra
A7.5.4)
239
В горизонтальном слое жидкости со свободной верхней границей тепловой
гравитационной конвекции может сопутствовать термокапиллярная, вызван-
вызванная изменением поверхностного натяжения от температуры. При изменении
температуры вдоль свободной поверхности возникает термокапиллярная сила,
направленная в сторону уменьшения температуры. Трение на свободной по-
поверхности из-за термокапиллярных сил можно записать в форме
A7.5.5)
дТ [дх
ду
Соотношение между термокапиллярной силой и силой молекулярного тре-
трения может быть охарактеризовано безразмерным комплексом — числом Ма-
рангони:
Ma = blAT/\ia, A7.5.6)
где b = да/дТ.
Механизм неустойчивости подогреваемого снизу слоя жидкости со свобод-
ной границей зависит от толщины слоя. В тонком слое (/ < 1Ь = У b/pgp)
возникновение конвективного течения определяется главным образом термока-
Рис. 17.6. Распределения средней температуры по высоте слоя
(а) (профили вблизи поверхностей теплообмена показаны в
большем линейном масштабе координаты у — шкала справа)
и температуры и трения вдоль свободной поверхности в от-
отдельной мелкомасштабной приповерхностной ячейке (б) гори-
горизонтального слоя этилового спирта в турбулентном режиме
(Ra = 0,92-107; ДГ=1,1ГС, Nu = 22). Экспериментальные дан-
данные В. С. Бердникова и А. Г. Кирдяшкина
пиллярными силами. В слое же с / > 1Ь основную роль в возникновении
неустойчивости играют термогравитационные силы. Для многих жидкостей
1Ъ = 2-^5 мм.
Исследования коэффициентов теплообмена, а также структуры потока у
свободной поверхности при турбулентном режиме течения показали, что в го-
горизонтальных слоях этилового спирта с / > 1Ъ наблюдается увеличение ин-
интенсивности процессов переноса вблизи свободной поверхности из-за термо-
термокапиллярной конвекции.
Коэффициент теплообмена, определенный по перепаду температуры в по-
пограничном слое, у свободной поверхности примерно в три раза больше, чем
у жесткой нижней (рис. 17.6, а). Визуальные исследования показали, что вбли-
240
зи свободной поверхности существуют мелкомасштабные ячеистые течения на
фоне крупномасштабных, соизмеримых с толщиной слоя (рис. 17.7). Мелко-
Мелкомасштабные ячейки зарождаются в области подъемных потоков крупномасштаб-
крупномасштабных течений и «дрейфуют» с осредненной скоростью крупномасштабных дви-
движений. Наиболее вероятная длина волны мелкомасштабного течения обычна
много меньше высоты слоя (I'll ж 0,03-^-0,06 при / = 40 мм для этилового
спирта).
На рис. 17.6, б показаны профиль температуры вдоль свободной поверх-
поверхности в отдельной мелкомасштабной ячейке, градиент температуры вдоль
поверхности (дТ/дхH, а следовательно, и трение т = (до/дТ) (дТ/дхH =
= (х (dwx/dyH, возникающее из-за изменения поверхностного натяжения от
температуры.
Соотношение между термокапиллярными и термогравитационными силами
в ячеистом слое у свободной поверхности можно оценить, предполагая, что
Рис. 17.7. Схема течения в турбулентном горизонтальном слое жидкости
со свободной поверхностью теплообмена
глубина его соизмерима с горизонтальным масштабом ячейки. Так как числа
Рэлея и Марангони пропорциональны перепаду температуры, что при фикси-
фиксированных значениях толщины слоя и физических параметров жидкости связь
между ними линейная (Ra = Ma(Jpg/2/b). Действие термогравитационных сил
будет соизмеримо с действием термокапиллярных, если значения чисел Ма-
Марангони и Рэлея одного порядка.
Различие в интенсивности переноса в пограничных слоях вблизи свободной
и жесткой поверхностей теплообмена объясняется тем, что у свободной поверх-
поверхности работают совместно термогравитационный и термокапиллярный меха-
механизмы переноса.
На рис. 17.8 представлены зависимости числа Nu от числа Ra для слоев
с одной свободной границей теплообмена и для слоев с жесткими поверхно-
поверхностями. Наблюдается увеличение коэффициента теплоотдачи через слой жидко-
жидкости при наличии свободной поверхности теплообмена на 30% из-за термока-
термокапиллярного переноса.
В вертикальных слоях жидкости, теплоизолированных по торцам, существует
подъемное течение вблизи горячей поверхности теплообмена и опускное у хо-
холодной. Для Ra < 103 в слоях жидкости НИ > 1 при наличии конвективных
токов профиль температуры по толщине слоя линейный, т. е. имеет место режим
теплопроводности и Nu = 1. При дальнейшем увеличении числа Рэлея об-
образуются пограничные слои вблизи каждой поверхности теплообмена (режи-
(режимы пограничного слоя). В этом случае коэффициент теплопередачи зависит
и от параметра НИ. Из-за многообразия возникающих вторичных течений
при потере устойчивости первичного потока хороших данных о зависимости
NUj ~ ф (НИ) при фиксированных значениях Ra и Рг пока нет.
24J
Рис. 17.8. Зависимость Nu от Ra для горизонтальных сло-
слоев жидкости:
Л— эксперименты В. С. Бердникова и А. Г. Кирдяшкина для
слоев этилового спирта со свободной поверхностью теплообмена
(Рг = 16); О — вода, Шу, Гольдштейн; • — вода, Россби; 4 — вода,
Гарон; Э и Q — эксперименты Глоуба и Дропкина для значений
Рг=104 и 350 соответственно
18, 5 - 104<Ra<
Сомерскейлза можно
Для области параметров 0,02 < Рг < 11 560, 5 <
<С 7 • 108 экспериментальные данные Дропкина
описать формулой
Nu = С (a) Ra0»33 Pr0'074, A7.5.7)
где С (а) — коэффициент, зависящий от угла наклона (а = 0 — горизонталь-
горизонтальное положение) при подогреве снизу. Его значения в зависимости от а приве-
приведены ниже:
а, град 0 30 45 60 90
С (а) 0,07 0,065 0,06 0,057 0,05
17.6. СОВМЕСТНОЕ ВЛИЯНИЕ СВОБОДНОЙ
И ВЫНУЖДЕННОЙ КОНВЕКЦИИ
При малых скоростях вынужденного движения жидкой среды и заметных
разностях температур скорость свободной конвекции оказывается соизмеримой
со скоростью течения, обусловленной внешним побудителем. В этом случае
интенсивность теплоотдачи зависит как от критерия Gr, так и от критерия Re. /
При этом в последний критерий входит скорость вынужденного течения. Та-
ким образом, в общем случае (при заданной геометрии)
Nu = Ф (Pr; Gr; Re). A7.6.1)
По опытам Д. Н. Ляховского, обобщенным в виде графика на рис. 17.9,
совместное воздействие вынужденной и свободной конвекции на теплоотдачу
шаров наблюдается при Re< 150. Влияние тепловой гравитационной конвек-
конвекции на поле скорости и температуры при течении жидкости и газа в каналах
различной конфигурации наблюдается уже при относительно небольшой плот-
плотности теплового потока в ламинарных и турбулентных режимах течения.
Для вертикальных труб при совпадении направления вынужденной и сво-
свободной конвекции в области установившегося теплового потока (x/D > 40)
экспериментальные данные Б. С. Петухова и Б. К. Стригина описываются с по-
погрешностью ±10% следующими формулами:
для Raa/Re2 < 10~4
для RaJRe2 > 10
= [1+720 (Raa/Re2)]
Nu/Nuo = 3,97 (Ra/Re2I/».
-l
A7.6.2)
A7.6.3)
242
20
40
Рис. 17.9. Совместное влияние вынужденной и свободной конвекции на теплоотдачу
шара при Рг = 0,72
Здесь
Nu0 = (g/8) Re Рг/К +1,27 V
(Рг2/3 — 1),
A7.6.4)
где g = A,82 lgRe — 1,64) — коэффициент трения;
K=l+900/Re; ^aa = ^gd*dTmldx ; Re = wd/v.
va
Эти формулы описывают экспериментальные данные в области значений пара-
параметров 300 < Re < 3 • 104, 5 • 103 < Raa < 8 • 106 и 2 < Рг < 6. При
Raa/Re2 ^ 104 наблюдается снижение теплоотдачи, связанное, по-видимому,
с некоторым уменьшением интенсивности турбулентности под влиянием сво-
свободной конвекции.
При противоположном направлении свободной и вынужденной конвек-
конвекции Б. С. Петуховым и Б. К. Стригиным получено следующее соотношение,
описывающее их эксперименты
с погрешностью ±10%:
Nu/Nuo = [l +
+ 0,031 (Raa/Re)]i/3 -
-0,15exp{-2[(Raa/Re-8)]2}.
A7.6.5)
Второй член в правой части
этого уравнения пренебрежимо
мал при Raa/Re> 16. Уравне-
Уравнение A7.6.5) справедливо в об-
области значений критериев подо-
подобия: 300 < Re< 2,5 • 104, 5х
X 103< Raa< 1,3 • 107 и
2 < Рг < 6.
В горизонтальной подогре-
подогреваемой трубе совместное дейст-
действие тепловой гравитационной и
вынужденной конвекции приво-
приводит к существенному различию
коэффициента теплообмена по пе-
1,0
?
?
1,0
0,8
,пИ11
ШЕ
гпттп
i
1
т
%
т
1
Ij
L
ш
1
0
2
т
#
ГП1
tt
i
f
fill"
i i
1
il
W
8 8 10° 2 4 S8101 2 4 6 8102 2 4
Рис. 17.10. Совместное влияние вынужденной и
свободной конвекции на теплообмен в горизон-
горизонтальных трубках [12]:
/ — низ трубы; 2 — верх трубы; 3 — среднее значение по
периметру трубы
риметру трубы. Наименьшее зна- «" „V
чение теплообмена наблюдается в верхней части канала. Это расхождение
в локальных коэффициентах теплообмена, \ как следует из эксперимента
Б. С. Петухова, А. Ф. Полякова, Ю. А. Шехтера и В. А. Кулешова
(рис. 17.10), возрастает с увеличением отношения числа Грасгофа данного
243
течения Grg = g^qCTd*h2K к числу Грасгофа, при котором возникает тепловая-
гравитационная конвекция в вынужденном потоке:
—l)Re-W8].
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Бояринцев Д. М. Теплопередача через жидкостные и газовые прослойки.— «Журн
техн. физ.», 1950, т. 20, № 9, с. 1084.
2. Дропкин Д., Сомерскейлз Е. Теплоотдача путем естественной конвекции в жидко-
жидкостях, ограниченных двумя параллельными плоскими поверхностями, которые распо-
располагаются под различными углами наклона к горизонтали.— «Тр. амер. об-ва инж,-
мех., сер. С. Теплопередача», 1965, № 1, с. 94.
3. Жидкометаллические теплоносители. Изд. 2-е. М., Атомиздат, 1967. Авт.-
С. С. Кутателадзе, В. М. Боришанский, И. И. Новиков, О. С. Федынский.
4. Кирпичев М. В., Михеев М. А., Эйгенсон Л. С. Теплопередача. М.— Л., Госэнерго-
издат, 1940.
5. Кутателадзе С. С, Кирдяшкин А. Г., Ивакин В. П. Турбулентная естественная кон-
векция у вертикальной изотермической пластины.— «Докл. АН СССР», 1974, т. 217
№ 6, с. 1270.
6. Кутателадзе С. С, Кирдяшкин А. Г., Бердников В. С. Поле скорости в конвективной
ячейке горизонтального слоя жидкости при тепловой гравитационной конвекции.-
«Изв. АН СССР. Физ. атмосферы и океана», 1974, т. 10, № 2, с. 137.
7. Кутателадзе С. С, Кирдяшкин А. Г., Бердников В. С. Влияние термокапиллярных
сил на процессы переноса у свободной поверхности жидкости в горизонтальном слое
при турбулентной тепловой гравитационной конвекции.—«Докл. АН СССР», 1976
т. 231, №2, с. 309.
8. Ляховский Д. Н. Конвективный теплообмен сферических взвешенных частиц с окру-
жающей средой.— «Котлотурбостроение», 1947, № 5.
9. Михеев М. А. Основы теплопередачи. М.— Л., Госэнергоиздат, 1956.
10. Петухов Б. С. Турбулентное течение и теплообмен в трубах при существенном влия-
нии термогравитационных сил. — В кн.: Труды Международного семинара по турбу.
лентной свободной конвекции. Дубровник, СФРЮ, 1976, с. 701.
11. Чизрайт Р. Естественная турбулентная конвекция на вертикальной плоской поверх-
ности.— «Труды амер. об-ва инж.-мех., сер. С. Теплопередача», 1968, т. 90, № i
с. 1—9.
12. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. Пер. с нем. М., «Наука», 1969.
13. Hermann R. von. Warmeubergang bei freier Konvektion. — «Phys. Z.», 1932, Jrg. 33
N 11, S. 425.
18
Глава
IV
ТЕПЛООБМЕН В РАЗРЕЖЕННЫХ ГАЗАХ
18.1. ОСОБЕННОСТИ ПРОЦЕССОВ ПЕРЕНОСА
В РАЗРЕЖЕННОМ ГАЗЕ
Вопросы теплообмена в разреженном газе имеют серьезное значение в тех-
технологических процессах при глубоком вакууме и в расчетах деплового режима
тел, летающих в верхних слоях атмосферы. Согласно молекулярно-кинетиче-
ской теории газов кинематическая вязкость, характеризующая скорость рас-
распространения сдвиговых возмущений,
v ~ Vv~v/p, A8.1.1)
а температуропроводность, характеризующая скорость распространения теп-
тепловых возмущений,
a~lvcD~(l/p)vc0. A8.1.2)
Здесь 7 — средняя длина свободного пробега молекул, ас/ — средняя ариф-
арифметическая скорость молекул.
Следствием этих соотношений является увеличение толщины погранич-
пограничного слоя с уменьшением плотности. При этом возможны такие условия, когда
допущения в выводе уравнений пограничного слоя становятся неприемлемыми:
течение даже при больших скоростях может стать ползущим.
Когда плотность газа столь мала, что средняя длина свободного пробега
молекул Т соизмерима с характерным линейным размером L тела или тол-
толщиной пограничного слоя, ударной волны и т. п., газ нельзя рассматривать
как сплошную среду. Отношение средней длины свободного пробега к ха-
характерному линейному масштабу называется числом Кнудсена и характери-
характеризует степень разреженности газа. Дискретность структуры газа проявляется
при значениях числа Кп > 0,01.
При числах Кп>1 процессы переноса в газах практически перестают зави-
зависеть от столкновения между молекулами. Такой режим физических переносов
в газе называется свободно-молекулярным. Между континуумным и свободно-
молекулярным режимами существуют промежуточные режимы, специфические
особенности которых определяются условиями течения. Область разреженных
газов охватывает для покоящегося газа диапазон значений 0,01 < Кп < оо,
для движущегося — режимы от весьма вязкого ламинарного течения до сво-
свободно-молекулярного.
Число Кнудсена имеет глубокую связь с газодинамическими параметрами
М и Re. Из кинетической теории газов следует, что
JL—L-i/X. A8.1.3)
Re L V kn v '
Таким образом, если характерным размером является размер тела (свобод-
(свободно-молекулярный поток), то
, A8.1.4)
если же толщина ламинарного пограничного слоя, то
Kn = ]/S~ M/]/*Re. A8.1.5)
Следовательно, при M/]/^Re < 1 поток сплошной, при M/]/*Re > 1 —свободно-
молекулярный.
245
18.2. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ МОЛЕКУЛ С ПОВЕРХНОСТЬЮ.
СВОБОДНО-МОЛЕКУЛЯРНЫЙ ПЕРЕНОС ТЕПЛА
Кроме плотности газа в свободно-молекулярном потоке для процессов
переноса существенны также обмен энергией и импульсом при столкнове-
столкновении молекул со стенкой и распределение скоростей молекул. Полнота
энергообмена молекул на стенке характеризуется коэффициентом термической
аккомодации
сс=(еп~е0)/(еп-ест)> A8.2.1)
где ?ш е0 — потоки энергии падающих и отраженных молекул; ест — поток
энергии, который уносился бы от стенки при полном энергообмене, т. е. при
условии, когда энергия отраженных молекул соответствует температуре стенки.
По экспериментальным данным, для воздуха и конструкционных материа-
материалов коэффициенты термической аккомодации изменяются в пределах от 0,87
до 0,97. Для газов с небольшой молекулярной массой коэффициент аккомо-
аккомодации на поверхности специально очищенных металлов имеет малое значение.
Например, для пары гелий — вольфрам а « 0,02.
Обмен касательным импульсом характеризуется коэффициентом аккомо-
аккомодации касательного импульса
G = (wn—w0)/wn; A8.2.2)
индексы «п» и «о» относятся к падающим и отраженным молекулам, w — осред-
ненное значение тангенциальной скорости. Если а = 0, отражение молекул
от стенки полностью зеркальное, если о = I — диффузное.
Для небольших скоростей молекул (порядка сотен метров в секунду) из-
известно, что аккомодация касательного импульса совершенна, а» 1 и можна
использовать представление о диффузном рассеянии.
Расчеты процессов переноса тепла у элемента поверхности при установив-
установившемся течении проведены Эпштейном для малых скоростей, Столдером и Жу-
Жуковым, Цзяном и другими исследователями для больших скоростей. Резуль-
Результаты теории свободно-молекулярного переноса тепла изложены далее согласно
Цзяну, Шаафу, Пробстину.
Плотность теплового потока при свободно-молекулярном течении
Ясв.ш = ос(еп-ест). A8.2.3)
В одноатомном газе поверхностью воспринимается только энергия посту-
поступательного движения молекул. Поэтому
ОО 00 ОО
= j j ^~mv*vxfdvxdvydvt. A8.2.4)
— оо —оо О
Здесь v — полная скорость молекулы в пространстве х, у, z; m — масса мо-
молекул и / — функция распределения скоростей, численно выражающая плот-
плотность молекул в единице объема пространства скоростей. Первым приближе-
приближением в рассматриваемой проблеме является принятие равновесного или мак-
свелловского распределения скоростей.
При наличии невозмущенной скорости потока газа
t= Ро схр Г (ух—w sin дJ+(уу+ w cos QJ+сЧ /18 2 5^
1 h [ 2RT0 J* V ' * '
Для многоатомных газов необходимо учитывать внутреннюю энергию
молекул, равномерно распределенную по степеням свободы в случае термоди-
термодинамического равновесия. Поток внутренней энергии молекул на поверхность
2. A8.2.6)
246
Здесь / = E — 3k)I(k — 1) — число степеней свободы, принимающих участие
ь энергообмене; Nu — число молекул, падающих на единицу поверхности
в единицу времени:
A8.2.7)
оо оо оо
#п= f \ \vxfdvxdvudvz.
— оо — оо О
Таким образом, для многоатомных газов
еп = епост + евн. A8.2.8)
Можно показать, что поток энергии отраженных молекул многоатомного
ест •-= D+ j)NumRTCT/2. A8.2.9)
Подставляя значения еи и ест в уравнение A8.2.3) и принимая аккомодацию
энергии одинаковой по всем степеням свободы, после интегрирования полу-
получаем
к— 1 2(/г-
¦]{ехр[ — (Ssin9J] +
A8.2.10)
Здесь
q — угол атаки.
Из формул A8.2.10) можно по-
получить значение равновесной тем-
температуры стенки. При S > 1
<7св.м ~
— аро w3 sin 0 х
10
0,6
хм —
k+l
0,4
Теоретический преде/ - свободно-молекулярный
/
Л
Д ?/
Л
Эк
А
:пе
ам
*•>
римент
инарны
//U///UK
альныи
1 поток
пред,
VI
+
0,12 0,20 0,40 0,80 1,2 2,0 4,0 8,0 12,0 Кп
Рис. 18.1. Экспериментальные данные о коэф-
коэффициенте восстановления температуры при об-
обтекании цилиндра:
О—Дьюи, М = 5,8; • —Лауфер и Маккелелан, М =
= 3,0; Н Шерман, М = 2 и 4; А —Столдер и др.,
М=1,9 - 3,2
,_ A8.2.11)
2 (Л-1) Го J
Отсюда следует, что при qCB. м =
= 0 и больших числах Маха отно-
отношение адиабатической температуры
стенки к температуре торможения
потока равно
TZTlT*&2k/(k+l). A8.2.12)
Таким образом, в свободно-мо-
свободно-молекулярном потоке Тст>Т*, т. е.
коэффициент восстановления боль-
больше его значения в сплошном по-
потоке газа. Он не зависит от коэф-
коэффициента аккомодации в том случае, когда теплообмен только конвективный.
Из формулы A8.2.11) для сильно охлаждаемого тела (S > Тст/Т0) и при
полной аккомодации (а = 1) получим
q = A /2) р0 w3 si n 0. A8.2.13)
Это значение теплового потока — предельное при свободно-молекулярном пере-
переносе— составляет половину рассеиваемой энергии, приходящейся на единицу
поверхности и вычисленной по сопротивлению тела в потоке с большими
числами М.
На рис. 18.1 изображена экспериментально полученная зависимость от-
относительного коэффициента восстановления г от числа Кнудсена при обтека-
обтекании цилиндра воздухом:
г = (г-гд)/(гсв.м-гл), A8.2.14)
247
где Гл — коэффициент восстановления в ламинарном потоке (здесь принята
Гд ^ о,94). Из графика видно, что свободно-молекулярный режим имеет место
при Кп > 10.
Интегрируя уравнение A8.2.10) по поверхности, можно получить суммар-
ный тепловой поток для выпуклого тела любой формы. В частности, для ци-
цилиндра, сферы и плоской пластины с углом атаки
0 = 0 на рис. 18.2 по расчетам Оппенгейма дана
зависимость числа pSt от S:
A8.2.15)
J3St
4
\
/
2
5
2k
*?~Тст)
где f общая поверхность тела. Множитель
Р = 2&/сб (k + 1) взят для удобства сравнения с
числом St в сплошном потоке (а — коэффициент
термической аккомодации). Из рис. 18.2 видно,
что при S = yr?/2 M > 3 закон теплообмена для
цилиндра и сферы практически не зависит от
числа М и тепловой поток определяется парамет-
параметрами ро и w. Для пластины число St принимает
предельное значение, равное нулю при весьма больших скоростях, согласна
3аВдТГтеплоо?Га в^под^ижном газе (S = 0) с температурой Т уравнение
A8.2.10) для выпуклых тел принимает вид
A8.2.16)
/ 2 3 4 5 S 7S
Рис. 18.2. Теплообмен в свобод-
свободно-молекулярном потоке:
/ — цилиндр; 2 — сфера; 3 — пла-
пластина
Для тела в неограниченном объеме
A8.2.17)
Простейшим случаем теплообмена в ограниченном объеме является перенос
между двумя параллельными пластинами, когда влиянием краевых эффектов
можно пренебречь. Если пластины имеют коэффициенты аккомодации о,
и а2 и температуры Тх и Г2, то
' A8.2.18)
<7св.м _ /~-
При рассмотрении переноса тепла в объеме более сложной формы интегри-
интегрирование уравнений для молекулярного переноса энергии существенно^услож-
существенно^усложняется, так как необходимо при этом учитывать взаимное расположение эле-
элементов поверхностей, участвующих в тепловом взаимодействии
Определенная выше граница свободно-молекулярного режима (Kn ~ 10)
справедлива для газа, движущегося с малой скоростью или покоящегш
а также для неохлаждаемого тела при гиперзвуковых скоростях. Если тело
Сильно охлаждается, то при высоком коэффициенте аккомодации скорость
™енных молекул'будет намного меньше, скорости налетающих, i«плотность
потока молекул от тела будет столь большой, что возможные столкновения,шж-
ду молекулами вблизи тела будут играть существенную роль Еэтомслучае
критерием свободно-молекулярного режима является число Кнудсена, наиден-
наиденное по средней длине свободного пробега отраженных молекул:
KnCT = /CT/L>l. A8.2.19)
Величина~/ст имеет порядок 7Я>: Здесь 70 - средняя длина свободного
пробега молекул перед ударной волной. „„„-.„
Решение интегрально-дифференциального уравнения Больцмана в кинети-
кинетической теории газов для случая почти сЕободно-молекулярного потока, когда
248
необходимо учитывать первые столкновения отраженных молекул, показывает,
что относительное значение теплового потока на стенке
<7/<7св.м = 1 — "/Кпст, A8.2.20)
где в частном случае сферы х = 0,38+2,26 vCT/w. Эта формула справедлива
в диапазоне 1 < Кпст < 5.
18.3. ТЕЧЕНИЕ СО СКОЛЬЖЕНИЕМ И ТЕМПЕРАТУРНЫМ
СКАЧКОМ
На расстоянии от стенки, равном средней длине свободного пробега моле-
молекул, процессы переноса можно считать свободно-молекулярными, и в этой
области возникают скачки скорости (скольжение) и температуры.
Молекулярно-кинетическая теория газов с точностью до множителя, близ-
близкого к единице, дает значение скольжения и температурного скачка у стенки
в виде
!() . A8.3.2)
a k+l Рг \ду/ст
Здесь Тг, ст — температура газа у стенки. Величина ? = 2[B/а — 1)] [kl(k +
+ 1)] называется коэффициентом скачка. Второй член в уравнении A8.3.1)
выражает влияние термомолекулярного течения—движения газа в направле-
направлении возрастания температуры.
Как видно из этих формул, скольжение и температурный скачок существуют
при любом давлении, проявляясь в слое Кнудсена толщиной A4-2) I. Так как
при больших давлениях / мало, значения ws и АГ, пропорциональные 7, пре-
пренебрежимо малы по сравнению со значением скорости течения и температур-
температурного напора. На этом и основана гипотеза прилипания газа к стенке в динамике
сплошной среды.
При значениях Кп > 0,01 выражения A8.3.1) и A8.3.2) можно ввести
в граничные условия уравнений Навье — Стокса и энергии и далее искать
решение для значений коэффициентов трения и теплообмена.
Многочисленные теоретические исследования в этом направлении основа-
основаны на использовании уравнений пограничного слоя с граничными условиями,
учитывающими разрежение. Принципиальным здесь является вопрос о воз-
возможности такого течения, когда уравнения пограничного слоя остаются спра-
справедливыми при наличии влияния скольжения и температурного скачка.
Относительная скорость скольжения выражается через критерии М и Re
следующим образом:
•L^.lfJs.) «JL^.«^_. A8.3.3)
w w \ ду /CT ay 6 y^
Для описания движения уравнениями пограничного слоя достаточно усло-
условия Re > 1. Из приведенных соотношений ясно, что если при значении Re > 1
значением величины M/]/Re нельзя пренебречь, относительное значение ско-
скорости скольжения может оказаться существенным.
Задача об учете скольжения при обтекании полубесконечной плоской пла-
пластины потоком вязкого газа решена Б. П. Шидловским в приближениях тео-
теории пограничного слоя. Решение сводится к задаче Блазиуса с предположением
о линейности связи между [х и Т. Проведенный анализ не обнаруживает влия-
влияния разрежения на температуру адиабатической стенки. При наличии тепло-
теплообмена для заданной температуры стенки температурный скачок
=0,664
249
Полуэмпирическим вариантом такого подхода является анализ обтекания
сферы разреженным газом, выполненный Кэвено. Он воспользовался представ-
представлением температурного скачка как температурного перепада на эффективном
контактном тепловом сопротивлении между газом и стенкой. В этом случае
ао/а = 1 + ЦТ/Рт) К А), A8.3.5)
где а0 и а — коэффициенты теплообмена при одинаковых тепловых потоках
соответственно при отсутствии и наличии температурного скачка; !¦ вводится
как коэффициент скачка из формулы A8.3.1). Формулу A8.3.5) можно преоб-
преобразовать к виду
1 /Nu = 1 /Nu0 +1 Kn/Pr. A8.3.6)
Значение числа Nu0 для сплошного несжимаемого вязкого потока около
сферы взято из работы Дрейка и Бэкера. Кэвено получил удовлетворительное
согласование формулы A8.3.6) с экспериментами в режиме дозвуковых ско-
скоростей, приняв по опытным данным I = 3,42. Величина | учитывает коэффи-
коэффициент аккомодации, атомность газа и допущения, связанные с принятой схе-
Nu
1,0
0,8
0,6
0,2
Я
л У
/
/
V \-<
\
/
¦
+ ^'
-^ **
У
-
t'
-—^Г^
из
0
М=
+ -о,г
а-0,17
v-0,21
о-0,37
ъ-0,59
ь-0,69
6 8 10
20
40 SO
100
Re
Рис. 18.3. Теплообмен в дозвуковом потоке разреженного газа
при 0,1<М<0,5:
/ — расчет для свободно-молекулярного течения при М«0; 0,1: 0,37; 0,59
матизацией. Поэтому ее значение должно определяться для конкретных усло-
условий экспериментально. На рис. 18.3 показано влияние разрежения на теплооб-
теплообмен сферы по опытам Кэвено.
Для разреженного газа вследствие относительно больших размеров возму-
возмущенной области первое приближение теории пограничного слоя оправдывает-
, ся не всегда даже при малых числах Кнудсена. Во-первых, следует иметь в виду
необходимость учета влияния толщины вытеснения б* на течение потока вне
пограничного слоя. Во-вторых, для сравнительно небольших тел (б ~ L)
нужно учитывать кривизну поверхности и ударной волны.
Ван-Дайк показал, что влияние температурного скачка на теплообмен
может иметь такой же порядок, как и упомянутые выше эффекты. В частности,
он нашел связь между тепловым потоком q в лобовой точке сферы для условий:
k = 1,4; Рг = 0,7; \i ~ Г; -ф = 0,2; М > 1 и тепловым потоком qR для сплош-
сплошного ламинарного пограничного слоя без приближений высшего порядка:
Я = <7л [1+@,584—0,115+0,122+0—0,157) е], A8.3.7)
250
Слагаемые при параметре 8 в случае 8 = 3,02 Re//2 суть влияния внешней
завихренности (+0,584), продольной кривизны (—0,115), поперечной кривизны
(+0,122), скольжения @), температурного скачка (— 0,157). В диапазоне
0,04 <е< 0,23 результаты теории Ван-Дайка подтверждены экспериментами.
ygapH
18.4. ОСОБЕННОСТИ ТЕПЛООБМЕНА
ПРИ ГИПЕРЗВУКОВЫХ СКОРОСТЯХ
Специфической особенностью гиперзвуковых течений разреженного газа
является необходимость учета сложного взаимодействия ударной волны с по-
пограничным слоем. Для сильно разреженных газов это взаимодействие приобре-
приобретает характер гиперзвукового
уже при числах М » 3—4. ^.^~~~"~т
Схематически рассмотрим ре- ^^^**** ^^~-
жимы такого рода течения в ^ ^
окрестности твердого тела, на-
например плоской пластины
(рис. 18.4). У передней кромки
пластины на расстоянии порядка
длины свободного пробега поток
можно считать свободно-молеку-
свободно-молекулярным, постепенно переходя-
переходящим в область начала формиро-
формирования ударной волны и погра-
пограничного слоя. Эту область
иногда называют сращенным
слоем. Затем наблюдается об-
область вязкого течения, ограни-
ограниченная ударной волной в виде
С/10Я
Поверхность пластины
ш
Сра-
ииен
Вяз-
Вязкий
C/IOU
Сильное
взаимо-
взаимодействие
MVC
Слабое
взаимодействие
»1
Континуумное течение , без скольжения
Рис. '18.4. Зоны обтекания пластины разреженным
газом. Числа М и Re — по параметрам невозму-
невозмущенного потока; С=\1То/цоТ
достаточно отчетливо выражен-
выраженной поверхности разрыва. Далее
ударная волна отходит от погра-
пограничного слоя, и ее воздействие на параметры последнего следует учитывать
через поля скорости и давления между ударной волной и сформировавшим-
сформировавшимся пограничным слоем. Здесь необходимо принимать во внимание и вторич-
вторичное воздействие пограничного слоя на течение за ударной волной.
Асимптотические области сильного и^_слабого взаимодействий различают
по параметру взаимодействия M3]/"C/)/~Re, характеризующему распределение
давления в невязкой части потока, индуцированное пограничным слоем.
По оценкам Хейса и Пробстина, тем-
температурный скачок и скольжение не ока-
оказывают влияние на трение и теплообмен jq2
плоской пластины в области, где
10
1 10 Ю2
Рис. 18.5. Локальный теплообмен на
пластине при М=10; /гст(оу2/2)-1 = 0,1;
Рг = 0,1; ро/р= 1/6 (в ударной волне);
?=1,4:
/ — классический пограничный слой; 2 —
сильное взаимодействие; 3 — вязкий слой;
4 — теоретический предел для вязкого слоя;
5 — свободно-молекулярный перенос
Т»]/^Т~' A8.4.1)
На рис. 18.5 показаны результаты рас-
расчета теплообмена для различных областей
течения газа около пластины. Рассматри-
Рассматриваются такие условия, когда на всей рас-
расчетной длине пластины для теплообмена
существен только один режим взаимодей-
взаимодействия ударной волны с пограничным слоем.
Из характера зависимостей следует необ-
необходимость учета различных режимов, осо-
особенно в переходной области (в данном кон-
конкретном случае при 10 < Re< 103). В этой
: 4
251
постановке задачи очевидны принципиальные трудности адекватного описания
термогазодинамических явлений, особенно если учесть условность выделения
отдельных зон. До настоящего времени не существует устоявшейся точки
зрения на пределы использования модели сплошной среды в области малых чи-
чисел Рейнольдса при гиперзвуковых скоростях (в том числе с граничными ус-
условиями температурного скачка и сколь-
скольжения). Определенные успехи в этом
направлении достигнуты в последние го-
годы с помощью численных методов для
обтекания пластин и затупленных тел.
В начале 1960-х годов была разра-
разработана теория тонкого ударного слоя,
основанная на модели слоя между удар.
ной волной и поверхностью тела, имею-
имеющего толщину, малую по сравнению
с радиусом затупления. При Re =
о^о^о < 20 эта теория в области
чисел М & 10 дает значения трения в
лобовой точке, качественно и количе-
количественно отличающиеся от результатов
по модели сплошной среды в более общей
постановке, без ограничений на толщину
сжатого слоя.
Однако Джейн и Эйдимоти показали, что сомнения в применимости урав-
уравнений Навье — Стокса для описания течения в сращенном сжатом слое (ко-
(когда пограничный слой сращен с ударной волной) возникли вследствие исполь-
использования рядом авторов сильных упрощающих предположений, в том числе
R? 1000 __
Рис. 18.6. Коэффициент восстановления
температуры в лобовой точке:
расчет; с— опыты Хикмана и Жедта
0,4
- и i л
4 5 7
i i i i i i i i
1
1 « 1 1 ...
0,1
W
10
100 к2
Рис. 18.7. Теплообмен в лобовой точке при сверхзвуковом обтекании
газом низкой плотности (штриховкой обозначена область экспери-
экспериментальных точек):
/ — теория тонкого сжатого слоя по Ченгу.; 2 — теория вихревого взаимодей-
взаимодействия; 3 — решение Джейна и Эйдимоти с учетом скольжения; 4 — то же,
без учета скольжения; 5 — свободно-молекулярный поток; 6 — опыты Видала
и Уиттлифа; 7 — опыты Бойлана
использования модели тонкого ударного слоя, а также пренебрежения гранич-
граничными условиями скольжения и температурного скачка на поверхности.
Джейн и Эйдимоти для получения решения вблизи критической области
сферы разлагали переменные параметры в ряд около оси симметрии и в урав-
уравнениях сохраняли только члены, соответствующие приближению рассматри-
рассматриваемого порядка. Граничными условиями были кинетические уравнения для
скорости скольжения и температурного скачка. Полученная система уравнений
решалась численно методом конечных разностей. В качестве иллюстраций на
рис. 18.6 приведены данные по коэффициенту восстановления температуры
252
в воздухе при М = 10 в сравнении с данными Хикмана и Жедта для М = 2ч-6.
Превышение температуры восстановления на теплоизолированной стенке над
температурой торможения в толстом вязком слое может быть обусловлено тем,
что скорость генерации тепла за счет рассеяния энергии превышает скорость
теплоотвода.
Результаты расчета теплообмена на холодной стенке показаны на
рис. 18.7 в координатах Сн — k2y где Сн = q (h0 — hCT)/powo, а /г2 =
= [(Y "~ 1)/ (Y+ 1)] 1/2 Re (\io/To) (Tq/\xo). По этим данным, модель сплошной
среды в количественном отношении справедлива до удивительно низких чисел
Рейнольдса, где теория тонкого сжатого слоя и теория вихревого взаимо-
взаимодействия (по Ченгу) оказываются некорректными. Расчетная зависимость на
рис. 18.7 при k2 « 0,2 достигает свободно-молекулярного предела. В диапа-
диапазоне k2 = 0,4ч-10 поведение этой зависимости согласуется с эксперименталь-
экспериментальными данными Видала и Уиттлифа. Эксперименты Бойлана дают заниженные
результаты.
Сравнение результатов расчета теплового потока по модели сплошной среды
с данными, полученными методом Монте-Карло, показывает, что уравнения
Навье — Стокса могут быть использованы для расчетов вплоть до значений
Кп « 0,5.
18.5. РЕЛАКСАЦИОННЫЕ ЭФФЕКТЫ ПРИ ОБТЕКАНИИ ТЕЛ
РАЗРЕЖЕННЫМ ГАЗОМ
Если время релаксации, например время установления термодинамического
равновесия между степенями свободы, соизмеримо или больше характерного
газодинамического времени, течение в возмущенной области потока около тела
неравновесно. В зависимости от степени неравновесности возможно замора-
замораживание энергообмена между теми или иными степенями свободы или внутри
них. Эти эффекты особенно значительны в градиентных* потоках низкой
плотности. Типичная ситуация при обтекании тел разреженным газом в пере-
переходном режиме — замороженность ионизационных и химических процессов,
а также процессов колебательной релаксации. В энергообмене участвуют
вращательные и поступательные степени свободы. Диффузионные процессы
в случае течения газовых смесей вносят существенчый вклад в формирование
потока. Ниже рассмотрен пример с влиянием поступательной релаксации.
При сверхзвуковом обтекании затупленных тел диффузия влияет на струк-
структуру головной ударной волны и сжатого слоя перед телом. Зона с повышенным,
давлением (лобовая область) оказывается обогащенной тяжелыми частицами
вследствие градиента давления вдоль линий тока и кривизны линий тока вбли-
вблизи точки торможения. Концентрационная диффузия и термодиффузия умень-
уменьшают эффект разделения. С лобовой поверхностью затупленного тела взаимо-
взаимодействует поступательно неравновесный газ. Если компоненты смеси обладают
одинаковыми статической температурой и поступательной скоростью в набе-
набегающем потоке, то увеличение концентрации тяжелой компоненты в зоне тор-
торможения приводит к увеличению полной энтальпии локально в этой зоне па
сравнению с неиозмущенной областью, и, как следствие, к увеличению коэф-
коэффициента восстановления температуры (при определенных условиях — зна-
значительно больше единицы).
Рис. 18.8 иллюстрирует описанный процесс при обтекании сферы диа-
диаметром 40 мм смесью азота и Еодорода с начальной концентрацией Д» =
== пмш/(пцш + Ян2) = 0,24. По параметрам невозмущенного потока М =
= 3,5, Re = 140. Данные получены в экспериментах А. А. Бочкарева,
В. Г. Приходько и А. К. Реброва.
В измерениях параметров потока (плотности, температуры и концентра-
концентрации) использована электронно-пучковая диагностика. Линии равной кон-
концентрации характеризуют структуру ударной волны и сжатого слоя. Провал
значения / в переднем фронте ударной волны соответствует обогащению этой
области легким газом. Повышение концентрации азота за ударной волной
до значения / = 0,42 — результат диффузионного разделения.
25а
Существенное влияние разделения на теплообмен сказывается в диапазоне
чисел Рейнольдса 10 < Re < 2000. Наблюдаемый в экспериментах тепловой
эффект бародиффузионного разделения смеси учитывается числом Стентона,
если в качестве определяющей температуры использовать температуру восста-
восстановления. На рис. 18.9 показаны результаты обобщения экспериментальны\
данных по теплообмену в лобовой точке при обтекании сферы смесью азота
0J8
St
0,75
0,5
025
# !
E ¦
i
5,0
10
Рис. 18.8. Поле концентраций около сферы
при сверхзвуковом обтекании смесью азота
и водорода
Рис. 18.9. Теплообмен в лобовой точке при
обтекании сферы разреженной газовой
смесью
и водорода. Здесь ft'1 = (Re/M2?) (\io/To) (T/p),(T = П + TJ/2. Кружками
показаны экспериментальные данные А. А. Бочкарева, В. Г. Приходько,
А. К. Реброва, штриховкой — эксперименты И. Ф. Заварзиной, сплошной
кривой — расчеты Ченга.
18.6. СВОБОДНАЯ КОНВЕКЦИЯ В РАЗРЕЖЕННОМ ГАЗЕ
Основной особенностью свободной конвекции в разреженном газе является
то, что тепловые и гидродинамические возмущения при снижении плотности
не локализуются у теплоотдающей поверхности. Толщина пограничного слоя
может даже превосходить размеры теплоотдающего тела. Поэтому допущения
Шмидта и Бекмана, положенные в основу решения Польгаузена, становятся
неприемлемыми. Другими словами, в теоретическом плане для описания сво-
свободной конвекции нельзя исходить из уравнений пограничного слоя. Течение
здесь вязкостное, с возможным влиянием температурного скачка.
Интенсивность теплообмена с учетом разрежения газа в квазиизотермиче-
квазиизотермических условиях свободной конвекции определяется зависимостью типа
Nu = f (Ф; Gr; Pr; Kn), A8.6.1)
где Ф — формпараметр.
С увеличением разрежения значение GrPr уменьшается пропорциональ-
пропорционально квадрату плотности, и влияние этого критерия вырождается. Все более
существенным становится влияние геометрии тела. Рис. 18.10 отчетливо
показывает это. В предельном случае отсутствия свободной конвекции, ког-
когда GrPr ->0, газ представляет собой сплошную среду, анализ теплопроводно-
теплопроводности в неограниченном объеме дает для сферы Nu ->-2, а для цилиндра Nu->0.
Дискретность структуры газа проявляется при значении числа Кп > 0,02.
На рис. 18.11 на примере теплообмена горизонтального цилиндра диаметром
0,07 мм показаны характерные режимы переноса тепла. В области чисел
Кп > 0,02 происходит резкое падение интенсивности теплообмена вследствие
влияния температурного скачка.
При значительном разрежении может проявляться эффект ограниченности
объема, в котором находится рассматриваемое тело. При GrPr ->0 вследствие
молекулярной теплопроводности к оболочке конечных размеров число Nu
254
приобретает постоянное значение, превосходящее предельно малое для нео-
неограниченного объема. Этот факт иллюстрируется экспериментальной зави-
зависимостью на рис. 18.12.
1
0,8
?
0,4
-0,6
¦
5
2
>^
" /
/
/
Ю'5 10~J W~J 10 WJQrPr
Рис. 18.10. Теплообмен при свободной
конвекции в неограниченном объеме:
1 — горизонтальный цилиндр; 2 — верти-
вертикальная пластина; 3 —сфера
Вязкостный
режим
Кп < 0.02
0,07
Ю'д 10~7 10~5 10~3 Ю'1
Рис. 18.11. Режимы теплообмена для гори-
горизонтального цилиндра
Так как для цилиндров различных диаметров при одинаковом числе Кп
величины GrPr кратны кубу диаметров, в координатах Nu — GrPr данные по
теплообмену обобщаются только до значений Кп =• 0,02. Для более глубоких
разрежений можно применить метод Кэвено, изложенный ранее в разд. 18.3.
2
1
0Я
8
Нолекулярно-
вязкостныи
режим
Кп > 0,02
> Вязкостный
III
4SI-
режим
07
Рис. 18.12. Режимы теплообмена при сво-
свободной конвекции:
/ — сплошная среда; 2 — опыты А. К. Реброва
в ограниченном объеме в вакууме
У
0 0,2 0,4 0,6 0,8 Кп
Рис. 18.13. Влияние числа Кнудсена
на теплообмен цилиндров в воздухе
по опытам А. К. Реброва
На рис. 18.13 приведены результаты такой обработки экспериментов для теп-
теплообмена цилиндров. В диапазоне 0 < Кп < 0,6 эта зависимость линейна, что
подтверждает справедливость подхода, но не универсальность полученных
численных значений. В данном случае необходимо еще точное знание коэффи-
коэффициента аккомодации.
18.7. ВАКУУМНАЯ ИЗОЛЯЦИЯ
Факт уменьшения теплопроводности из-за наличия температурного скачка
широко используется в технике для осуществления вакуумной и вакуумно-
порошковой изоляции.
Если разрежение таково, что для переноса тепла существенны еще молеку-
молекулярные столкновения, то теплообмен подчиняется зависимости A8.3.6). При
свободно-молекулярном переносе тепла между плоскими стенками справедлива
формула A8.2.18).
255
«о
В криогенной технике широкое распространение получила вакуумно-
порошковая многослойная изоляция. Эффективная теплопроводность порош-
порошковой изоляции, как видно из рис. 18.14, при снижении давления от атмосфер-
атмосферного до 0,1 Па уменьшается более чем на порядок. Причем влияние темпера-
температурного скачка сказывается на коэффи-
коэффициенте теплопроводности для магнезии
уже при атмосферном давлении, для
силикоаэрогеля — при более высоких
давлениях, а для мипоры — при давле-
давлении ~ 13 кПа.
Объясняется это тем, что перенос
тепла газом, заполняющим порошок,
происходит в переходном свободно-моле-
свободно-молекулярном режиме при высоких давле-
давлениях, так как число Кп в порах вели-
велико. Поэтому даже неглубокая откачка
существенно увеличивает тепловое со-
сопротивление.
Лучшие образцы многослойной изо-
изоляции при давлении меньше 0,133 Па
^io /*наче™я эффективного коэффициента теплопроводности порядка
10 Вт/(м • К), что уже приближается к свойствам высоковакуумной изоля-
изоляции с экранированием жидким азотом.
40
50
20
10
4-
7f
/
/
?
5
ю°
ю1 W2 ю3 р, па
Рис. 18.14. Кажущаяся теплопроводность
порошковых теплоизоляторов в интерва-
интервале температур 78—290 К:
/ — магнезия; 2 — мипора; 3 — силикоаэрогель
8
11
12.
13.
14
15
17.
18.
19.
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Газовая динамика. Сб. статей. Пер. с англ. и нем. М., Изд-во иностр. лит., 1950.
2. Газодинамика разреженных газов (Тр. I Междунар. конф. по динамике разреженных
газов, 1959). Пер. с англ. и франц. М., Изд-во иностр. лит., 1963.
3. Дэшман С. Научные основы вакуумной техники. Пер. с англ. М., «Мир», 1964.
4. Заварзина И. Ф. Экспериментальные исследования локальных тепловых 'потоков на
сфере и сферическом притуплении осесимметричного тела.— «Изв. АН СССР. Меха-
Механика жидкости и газа», 1970, № 4, с. 157.
5. Каганер М. Г., Глебова Л. И. Теплопроводность изоляционных материалов под ва-
вакуумом.— «Кислород», 1959, № 1, с. 13.
6. Кайт Дж., Мэдден А., Пайрет Е. Теплопередача естественной конвекцией при по-
пониженном давлении.— В кн.: «Механика». Сб. переводов, 1955, № 1, с. 29.
7. Ребров А. К. Теплообмен при свободном движении около горизонтального цилиндра
в разреженном воздухе.— «Инж.-физ. журн.», 1961, т. 4, № 9, с. 32.
Теплообмен в лобовой точке затупленного тела, обтекаемого сверхзвуковым разре-
разреженным потоком азотно-водородной смеси. —«Журн. прикл. механ. и техн. физ»
1973, № 6, с. 88. Авт.: А. А. Бочкарев, В. А. Косинов, В. Г. Приходько, А. К. Ребров!
9. Шидловский В. П. Введение в динамику разреженного газа. М., «Наука», 1965.
10. Cheng H. К.- Viscous hypersonic blunt-body problems and the Newtonian theory.—
«Fundamental Phenomena in Hypersonic Flow». Proc. Intern. Symp. Ithaca, New York
Cornell Univ. Press,, 1966, p. 90.
Cheng H. K. Hypersonic shock layer theory of the stagnation region at low Reynolds
number.— «Proc. Heat Trans, and Fluid Mech. Inst.», Stanford, Calif. Stanford Univ
Press, 1961, p. 161.
Dewey С F. Hot wire measurements in low Reynolds number hypersonic flows.— «ARS
J.», 1962, v. 31, N12, p. 1709.
Diffusive effects of recovery temperature in supersonic flow rarefied gas mixture.— In'
4-th Intern. Heat Transfer Conf. Versailles, Sept. 1970. Paris, 1970, v. 3, p. FC 6 4
Auth.: S. S. Kutateladze, A. A. Bochkarjov, V. G. Prikhodko, A. K. Rebrov.
Drake R. M., Backer G. H. Heat transfer from spheres to a rarefied gas in supersonic
flow.— «Trans. ASME», 1952, v. 74, N 7, p. 1241.
Hickman R. S., Giedt W. H. Heat transfer to a hemispherical cylinder of low Reynolds
numbers.— «AIAA Journ.», 1963, v. 1, N 3, p. 665.
16. Jain A. C, Adimurthy V. Hypersonic merged stagnation shock layers. Part I: Adiaba-
tic wall case. Part II. Cold wall case.— «AIAA Journ.», 1974, v. 12, N 3, p. 110.
Kavanau L. L. Heat transfer from spheres to a rarefied gas in subsonic flow.— «Trans
ASME», 1955, v. 77, N 5, p. 617.
Oppenheim A. K. Generalized theory of convective heat transfer in a free-molecule
flow.— «J. Aeron Sci.», 1953, v. 20, p. 49.
Probstein R. F. Heat transfer in rarefied gas flow.— In: Theory Fundamental Research
Heat Transfer.— ASME, Proc. annu. meet. Soc, 1963, p. 33.
Глава
ТЕПЛООТДАЧА ПРИ КОНДЕНСАЦИИ
ПАРА НА ТВЕРДЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ
19.1. ПЛЕНОЧНАЯ И КАПЕЛЬНАЯ КОНДЕНСАЦИЯ
При конденсации пара на поверхности охлаждения жидкая фаза (конден-
(конденсат) выпадает в виде сплошной пленки или отдельных капель. Пленочная
конденсация возникает на поверхностях, смачиваемых выпадающим конден-
конденсатом, капельная конденсация —на несмачиваемых поверхностях охлаждения.
При пленочной конденсации на вертикальной, достаточно длинной стенке
(рис. 19.1) в верхней части пленки, когда ее толщина и соответственно скорость
течения невелики, имеет место чисто ламинарное движение с плоской границей
раздела фаз. В дальнейшем на поверхности пленки начинают возникать волны,
приводящие к некоторому уменьшению средней толщины пленки конденсата.
Под влиянием волнообразования и общего увеличения толщины скорости те-
течения пленки в последней начинают развиваться сначала квазитурбулентные,
а затем и турбулентные пульсации.
При турбулентном течении волны имеют обычно пилообразный характер
с глубоким проникновением в глубь течения (рис. 19.2). Однако на осредненные
характеристики течения эти волны влияют мало.
На поверхности конденсата устанавливается темпе-
температура, практически равная температуре насыще-
насыщения. Например, в случае конденсации чистого водя-
водяного пара при атмосферном давлении переохлажде-
переохлаждение поверхности конденсатной пленки по сравнению
с температурой насыщения составляет 0,02 -f- 0,05 К.
При капельной конденсации значительная часть
поверхности охлаждения свободна от макроскопиче-
макроскопических слоев жидкости. Вследствие этого коэффициенты
теплоотдачи при капельной конденсации паров не-
неметаллов значительно выше, чем при пленочной.
Например, коэффициенты теплоотдачи при пленочной
конденсации водяного пара атмосферного давления
имеют порядок G—12) • 103 Вт/(м2 • К), а при капель-
капельной конденсации —D—10) • 104 Вт/(м2 • К). Практи-
Практически в современных конденсаторах всегда происхо-
происходит пленочная конденсация паров. Исключение со-
составляют конденсаторы ртутного пара, в которых обычно имеет место ка-
капельная конденсация.
У паров металлов различия в интенсивности теплоотдачи при пленочном и
капельном типах конденсации практически стираются, так как термическое
сопротивление жидкометаллической пленки оказывается весьма малым. При
наличии в паре примеси инертного газа у поверхности конденсата образуется
диффузионный пограничный слой, существенно влияющий на скорость притока
конденсирующегося пара к поверхности охлаждения и тем самым уменьшаю-
уменьшающий скорость конденсации.
19.2. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛООБМЕНА
ПРИ ПЛЕНОЧНОЙ КОНДЕНСАЦИИ
ЧИСТОГО НАСЫЩЕННОГО ПАРА
Здесь и в дальнейшем рассматривается конденсация паров неметаллов, т. е.
веществ, конденсат которых, имеет число Рг > 0,5.
Как уже было указано выше, опыт показывает, что, за исключением случая
глубокого вакуума, термическое сопротивление собственно пара у неметалли-
Ofi/асть
ламинарного
течения
пленки
Опасть
турбулентного
течения
пленки
Рис. 19.1. Схема течения
пленки конденсата на
вертикальной поверхно-
поверхности
9 Зак. 795
257
ческих теплоносителей пренебрежимо мало по сравнению с термическим сопро-
сопротивлением пленки конденсата. Поэтому в теории пленочной конденсации чи-
чистого пара неметаллических сред считают, что на границе раздела фаз уста-
устанавливается температура, равная температуре насыщения в ядре паровой
фазы.
Рис. 19.2. Осциллограммы стекания пленки воды по вертикальной стенке
Таким образом, основную систему уравнений теплообмена при пленочной
конденсации чистого насыщенного пара можно представить в следующем виде.
Уравнения теплопереноса и движения пленки конденсата:
g (p' — р")— grad р + fxy2 w = dw/d/-f- (w,rgrad)Jw;
divw = 0.
A9.2.1)
258
Условия взаимодействия фаз на границе конденсата и пара:
гр
±li {dwldn)VJi = gn Wo, + A/2) Cj p" <;
Условия теплообмена на поверхности охлаждения:
-К (дТ/дп)СТ = а (Г -Гст). A9.2.3)
При этом следует иметь в виду, что тепловой поток через поверхность плен-
пленки конденсата, определяемый вторым уравнением системы A9.2.2), и тепловой
поток через поверхность охлаждения, определяемый уравнением A9.2.3),
строго говоря, не равны друг другу. Это обстоятельство связано с тем, что
в пленке конденсата температура меняется от Т" до Гст и, следовательно,
средняя температура конденсата меньше температуры насыщения. Для плоской
пленки при ср = const средняя температура конденсата
Т = ( J Twdy\ I l\\wdy j = Г-ф (Т"-Тст), A9.2.4)
где ф = {Т" — ТI(Т" — Гст) < 1 — относительное переохлаждение конден-
конденсата; б — толщина пленки; у — координата, нормальная к поверхности ох-
охлаждения.
Отсюда общее количество тепла, выделяющееся при конденсации одного
килограмма насыщенного пара и передаваемое поверхности охлаждения,
A9.2.5)
где gn — массовая скорость конденсации, кг/(м2 • с).
В условия однозначности рассматриваемого процесса входят физические
свойства пара и конденсата, содержащиеся в этих уравнениях, размеры и
форма поверхности охлаждения, разность температур AT = Т" — Тст или
плотность теплового потока q = а (Т" — Гст), скорость течения пара и ее
направление по отношению к направлению вектора силы тяжести. Скорость
течения жидкой фазы в условия однозначности не входит, так как течение
конденсата полностью определяется действием силы тяжести и трением пара
о поверхность пленки.
Анализируя уравнения A9.2.1)—A9.2.3) методом подобия, найдем, что в
общем случае при заданной геометрии поверхности охлаждения теплоотдача
для пленочной конденсации чистого насыщенного пара выражается следующим
критериальным уравнением:
q; ; ; ; . A9.2.6)
Влияние поверхностного натяжения на процесс пленочной конденсации
сравнительно невелико. При течении на вертикальной поверхности изменение
поверхностного натяжения влияет на среднюю толщину пленки в области
ламинарного течения в связи с некоторым изменением возникающих на ее
поверхности капиллярных волн.
При конденсации на горизонтальных трубах поверхностное натяжение
приводит к тому, что конденсат стекает с нижней образующей трубы не непре-
непрерывной струей, а периодически, каплями. При больших скоростях течения
пара, импульс, вносимый конденсирующимся паром в пленку конденсата,
i = qw'm/r9 A9.2.7)
чему соответствует предельное значение коэффициента^трения пара о поверх-
поверхность конденсатной пленки
; Tp"). A9.2.8)
9* J 259
Следует обратить внимание на то обстоятельство, что нет необходимости
сохранять линейный размер поверхности конденсации I одновременно в четы-
четырех критериях. Часто оказывается более удобным сохранить эту величину
только в одном из определяющих критериев. В качестве такого критерия целе-
целесообразнее всего принять критерий Архимеда Ar = gl3 A — p7p')/v2, по-
поскольку сила тяжести проявляется в той или иной мере при любом течении кон-
конденсата. При этом остальные критерии должны быть скомбинированы с кри-
критерием Аг так, чтобы в них исключалась величина /. После такого преобразо-
преобразования получим:
N* = — = Ф, ——
я L'gu-p'vp') J [ v2
fev(l-p-/p')]1/3
A929)
[v2 1 V3
—,, „ выступает в качестве некото-
некоторого масштаба линейных размеров пленки конденсата, возникающих в резуль-
результате взаимодействия гравитационных сил и сил молекулярного трения. При
давлении р < 0,5 ркр значение величины р'7р' < 0,1, и ею практически можно
пренебречь.
Сразу же следует обратить внимание и на то важное обстоятельство, что
число Рейнольдса пленки конденсата весьма просто выражается через его мас-
массовый расход и представляет собой специфическую комбинацию критериев
Nu, К и Рг. Действительно,
^^ V A9.2Л0)
Гст) [I
где G — количество конденсата, протекающего через данное сечение на полосе
шириной 1 м, кг/ (м • с), и а — средний коэффициент теплоотдачи на участке L.
Отсюда следует связь между числом Рейнольдса пленки конденсата и крите-
критериями теплообмена:
Re = NW[Pr(K+cp)], A9.2.11)
т. е. зависимости A9.2.9) эквивалентна зависимость
а Г v2 11/3=ф \^-l\ — -?LV— - G • w"
Я L «ГA—PVP') J 21 v2 [ [p'j' a 'fi ' [gv(l-p"/P')]1/3
x
X
;
»'(i-pvp'I/8
19.3. ЛАМИНАРНОЕ ТЕЧЕНИЕ ПЛЕНКИ
НА ВЕРТИКАЛЬНОЙ ПОВЕРХНОСТИ
ПРИ МЕДЛЕННОМ ДВИЖЕНИИ ПАРА
Теория теплоотдачи при плоском ламинарном течении пленки конденсата
была создана Нуссельтом. В плоской пленке при ламинарном течении, когда
К^> ф, с хорошей степенью точности можно считать распределение темпе-
температур практически линейным, т. е. полагать
V2T = 0. A9.3.1)
В таком случае первое из уравнений A9.2.1) выпадает из рассмотрения.
Если, далее, пренебречь в уравнении движения инерционными силами, то
можно положить, что
g(pf — pff) + lid2w/dy2==0. A9.3.2)
260
В случае медленно движущегося пара w0T «Ои, согласно третьему урав-
уравнению A9.2.2), (dw/dy)rv = 0. На стенке скорость конденсата w = 0. При этих
граничных условиях двойное интегрирование уравнения A9.3.2) дает парабо-
параболический профиль скоростей в пленке конденсата:
Р' Р" *9 /fc I tA О~~ /fc 1 +*\ /1ПОО\
w = g-?—?- б2[I— — t") = 3w[l~— I2. A9.3.3)
И'
где 5 = f//S-
Величина относительного переохлаждения конденсата при принятых до-
допущениях, т. е. при линейном распределении температуры и параболическом
распределении скорости,
б
[wdy
о
Нормальная составляющая вектора скорости конденсата на границе раз-
раздела фаз может быть вычислена через изменение количества конденсата вдоль
оси х. Для этого выделим двумя параллельными сечениями объем конденсата
6 • 1 • dx. Количество конденсата, втекающего через поверхность 1 • dx>
dG = p'wndx. Изменение количества конденсата вдоль оси х равно dG =
б
= p'd (| wdy). Приравнивая друг другу эти выражения, находим, что
о
б
Подставляя это значение wn во второе уравнение A9.2.2) и полагая дТ/дп =
= АГ/б, получаем уравнение
/б х
J^Ldx=8dnwdy\. A9.3.6)
Если такую подстановку произвести в уравнение A9.2.5), т. е. отнести расчет
к полному потоку тепла, пронизывающему поверхность охлаждения, получим
— dx= 8d([wdy\ A9.3.7)
Р'[г+Фс(Г"-:гст)]] \l J
Очевидно, что первое уравнение даст несколько завышенное, а второе несколь-
несколько заниженное значения толщины пленки конденсата.
Подставляя в уравнения A9.3.6) и A9.3.7) значение w из выражения
A9.3.3) и интегрируя при AT = const, находим, что толщина пленки конден-
конденсата при ламинарном течении на расстоянии х от верхней кромки поверхности
охлаждения определяется неравенством
1/4. A9.3.8)
При ф = 3/8 и К = 5 расхождение в определении толщины пленки менее 2%,
а при К = 10 — менее 1 %.
Более подробно этот Еопрос был рассмотрен Д. А. Лабунцовым, который
показал, что влиянием конвективного переноса тепла и силами инерции в пло-
плоской ламинарной пленке можно пренебрегать при Рг > 1 и К > 5.
Коэффициент теплоотдачи в рассматриваемом случае определяется по тер-
термическому сопротивлению плоской стенки, т. е.
а = А/б. A9.3.9)
261
Подставляя сюда значение б из A9.3.8), получаем коэффициент теплоотда-
теплоотдачи в сечении х:
Среднее значение коэффициента теплоотдачи на стенке высотой L \
Выраженная в критериях, формула A9.3.11) принимает вид
. A9.3.12)
Здесь Nu = aLM,; Ar = (gL3/v2) A — p7p'); К = гI (сЛГ). Выраженная через
число Рейнольдса пленки формула A9.3.12) принимает вид
N* = №lAr-i/3 =0,925 Re-1/3. A9.3.13)
При постоянном теплоотводе по всей поверхности охлаждения
q = АД Г/6 = const, A9.3.14)
и" уравнение A9.3.6) принимает вид
\ p'p<rl A9.3.15)
,6 ч
-±-dx = dl \wdy\\=g p'~
Отсюда после интегрирования и подстановки найденного значения б в формулу
A9.3.9) получим, что при q = const
п — \
х"
Ц A9.3.17)
N*=l,04Re-i/3# A9.3.18)
Таким образом, для одинаковых значений числа Re пленки конденсата
коэффициент теплоотдачи при постоянном теплоотводе по всей поверхности
охлаждения примерно на 13% выше, чем при постоянной температуре стенки.
Вопрос о влиянии переменности физических свойств конденсата (р =
= const; с = const; \i = varia; A, = varia) с температурой на теплоотдачу
при ламинарном течении пленки был исследован К. Д. Воскресенским и не-
несколько уточнен Д. А. Лабунцовым. Последний показал, что если физические
свойства конденсата относить к температуре насыщения, то влияние темпера-
температурного фактора может быть учтено введением в формулу A9.3.11) множи-
множителя
ег = (ЯстАоK/8(^о/^тI/8. A9.3Л9)
f Здесь индекс «0» означает, что величина определяется при Т = Т", а индекс
«ст» — что при Т = Тст. Формула A9.3.19) справедлива при 0,5 < А,0/А,ст <
<2 и 0,1< щ/Цст^ 1. Поправка эта обычно невелика, о чем можно судить
по данным табл. 19.1.
262
Таблица 19.1
Поправка на переменность физических свойств конденсата по формуле A9.3.19) для воды
ДГ=(Г"-ГСТ),°С
10
20
50
ет
р=98,1 кПа
0,975
0,965
0,900
р=492 кПа
0,990
0,985
0,935
р = 981 кПа
0,990
0,985
0,960
р=98Ю кПа
1,01
1,01
1,02
Чисто ламинарное течение конденсата практически реализуется при зна-.
чениях Re < 10. Волнообразование вызывает некоторое повышение коэффи-
коэффициента теплоотдачи по сравнению с формулой Нуссельта. Можно полагать,
что в этой области течения пленки конденсата
A9.3.20)
A9.3.21)
Nu=l,13(ArPrK)I/4',
N*=l,18Re-I/3.
19.4. ТУРБУЛЕНТНОЕ ТЕЧЕНИЕ ПЛЕНКИ
НА ВЕРТИКАЛЬНОЙ ПОВЕРХНОСТИ
ПРИ МЕДЛЕННОМ ДВИЖЕНИИ ПАРА
Будем по-прежнему рассматривать плоскую пленку при К» фи медленно
двигающемся паре. Пренебрегая силами инерции, можем написать, что каса-
касательные напряжения в пленке
T==g-(p'— p")(8~ у). A9.4.1)
При наличии молекулярного трения, когда т = \idw/dy, уравнение A9.4.1)
дает параболический профиль скоростей A9.3.3). В случае турбулентного те-
течения по аналогии с пограничным слоем несжимаемой жидкости на пластине
можно принять, что в пленке устанавливается логарифмический профиль
скоростей.
Тепловой поток в направлении нормали к поверхности охлаждения опре-
определяется формулой
и соответственно
или при X = const
q = — (X + Хт)дТ/ду
__ Г qdy
1 ^
, —1
1-Хт/Х
A9.4.2)
A9.4.3)
A9.4.4)
Здесь ах = ql(T" — Тст) — локальное (в сечении х) значение коэффициента
теплоотдачи; \j= у/8 — относительное расстояние по нормали от поверхности
охлаждения; q = q/qCT — функция изменения плотности теплового потока
по толщине пленки (qCT — плотность теплового потока у поверхности охлаж-
охлаждения).
Согласно уравнению A9.4.1) скорость касательного напряжения на стенке
в данном случае
t>c*T=l/TCT/p' =
—р7р')-
A9.4.5)
263
Отсюда следует, что
где щ = vCT8/v — безразмерная толщина пленки и 'р" = р'7р'. Подставляя
это значение б в уравнение A9.4.4) и принимая во внимание связь между ат
и jiT, приходим к следующему интегральному соотношению:
— Г ^-Г/3 = ^/3( f qdq I . A947,
* U(l-p") J 1б Ц l + PrtiT/ti J К Л>/|
При К > ф ^ ^ 1.
Практически для физического анализа процесса достаточно ограничиться
рассмотрением двухслойной схемы. Количественные результаты для наиболее
важной области значений чисел Рг конденсата при этом также оказываются
удовлетворительными.
Соответствующие выражения для турбулентной вязкости будут иметь вид:
при 0<y<ll,6v/i?T [хг = 0; J
при #>11,6v/0ct Рт ж 0,15р'У2dw/dy. J
В данном случае, согласно уравнению A9.4.3),
и в области, где \хт > \л9
E. A9.4.9)
Подставив эти значения \iT в уравнение A9.4.7) и выполнив интегрирова-
интегрирование в предположении, что во всей области т)>11,6 [хг^>[л, после соответ-
соответствующих преобразований получим формулу*
" A9.4.10)
Кчв-И.б J
При т]5 > 11,6 она принимает вид
A9.4.11)
Практически** последней формулой можно пользоваться при всех значениях
т]а > 50. Некоторые результаты расчетов по формулам A9.4.10) и A9.4.11)
приведены в табл. 19.2.
Подставив в уравнение материального баланса пленки логарифмический
профиль скоростей, найдем связь между числом Рейнольдса пленки и ее без-
безразмерной толщиной:
Re = т|в C,0 + 2,5]1пг]б) -39. A9.4.12)
Учет переменности касательных напряжений по толщине пленки (т. е.
отклонение от логарифмического профиля скоростей) не приводит к существен-
существенному повышению точности расчета числа Рейнольдса.
* При медленно двигающемся паре в области у ^ б dw'dy ^ 0, т. е. указанное усло-
условие не выполняется. Однако на значении интеграла это обстоятельство отражается мало
(при Рг > 0,5).
** Так, например, при Рг = 1 и т]6 = 50 расчет по формуле A9.4.9) дает отклонение
от расчета по соотношениям A9.4.8) всего на 2%.
264
Таблица 19.2
Локальные коэффициенты теплоотдачи при турбулентном течении пленки конденсата
ч
15
30
50
60
100
200
Re
103
307
,590
757
1410
3210
ах
а,
Рг=1
0,175
0,186
0,200
0,206
0,230
0,266
Г
[
•\
g О-р"/Р')
Рг=1,75
0
0
0
0
0
0
,189
.213
,238
,249
,280
,333
Pr = 3
0,198
0,232
0,266
0,280
0,321
0,388
1/3
Pr=5
0,204
0,246
0,284
0,300
0,350
0,430
300
1 000
4 000
7 000
20 000
Re
5 140
20 200
94 500
176 000
555 000
ах
К
Pr=l
0
0
0
0
0
,288
,381
,534
,615
,827
Г
1
Рг =
0
0
0
0
1
2A—Р"
= 1,75
,367
,500
,723
,842
,14
/р')
Рг=3
0
0
0
1
1
,430
,610
,900
,06
,45
1/3
J
Pi
0
0
1
1
1
482
690
04
24
71
19.5. СРЕДНИЙ КОЭФФИЦИЕНТ ТЕПЛООТДАЧИ
ПРИ СМЕШАННОМ ТЕЧЕНИИ ПЛЕНКИ КОНДЕНСАТА
НА ВЕРТИКАЛЬНОЙ СТЕНКЕ
Средний коэффициент теплоотдачи в заданном диапазоне чисел Рейнольдса
пленки конденсата может быть определен формулой
Re
A9.5.1)
или, при смешанных режимах течения,
а = алКекр + ат(Ке—ReKp). ¦ A9.5.2)
Здесь ReKp — условное значение числа Рейнольдса перехода от ламинарно-
волнового режима течения пленки конденсата к турбулентному (или квази-
квазитурбулентному) режиму; ал и а^ — соответствующие средние значения коэф-
коэффициентов теплоотдачи.
0,8
0,6
I
0,4
П1
•
/ t
»—,
•
i
4
V4
в
—<
и—
(А
••
г'
¦в4
"i
4
1
/
r.fl
f
ю1
ю2
Re = G/t>
Рис. 19.3. Зависимости между числами подобия N* и Re при пленочной конденсации
фрсона-21 на вертикальной поверхности:
/ — расчет ло 4©рмуле A9.3.13); 2 — jii нря, осреднягсщая экспериментальные данные; 3 — расчет
по форм улам A9. 3. 11), A9. 4. 10), A9. 5. 2) при ReKp=100 и Рг = 3
На рис. 19.3, где приведены данные опытов автора, И. И. Гогонина и
А. Р. Дорохова, отчетливо наблюдается отклонение от закона ламинарной
теплоотдачи при Re> 100. В то же время действительное турбулентное течение
пленки конденсата начинается при Re > 400, что видно из результатов изме-
измерений трения, показанных на рис. 19.4. Это расхождение можно объяснить
тем, что волны на внешней поверхности пленки конденсата увеличивают поверх*
265
20
10
о
I
*
L _оЗг °
J О
2 4 /0 2 4 10s Re
Рис. 19.4. Зависимость коэффициента трения от числа Рейнольдса пленки
О—экспериментальные данные, полученные ^электродиффузионным методом;
Q — расчет по средней толщине пленки 6 т=р?б. Па; • — данные Хо и Хаммг-
ла; / — расчет для ламинарной гладкой пленки по Нуссельту; // — расчет 6
для волновой пленки по Капице; /// — расчет б по A9. 4.12)
0,1
i
<—•
Ал
2 5 4 5 S 8 10z
S 4 & 6 8 10s
2 Re
Рис. 19.5. Зависимость N* от Re при конденсации паров воды на наружной
поверхности труб:
теоретический расчет при ReKp=100; О""~опыты С. С. Кутателадзе (Рг =
= !,75); А—опыты В. А. Гудемчука (Рг=1,75); •— опыты Н. В Зозули [(Re < 125,
Рг = 2,9 -г 4,2 и Re > 125, Рг=1,72)
0,8
0,6
0,4
0,2
^^
^*
«к.
:=
: =
JPr=5
it
-^
,
^-—¦
——-
,—-
г—"
_-—
««-
^^
---
101
Re ю*
Рис. 19.6. Зависимость N, от Re для пленки конденсата при различных чис-
числах Рг. При Re<100 расчет по формуле A9.3.21); при Re>100— A9.4.10)
ность контакта и повышают эффективное значение ее коэффициента теплопро-
теплопроводности. Последнее можно рассматривать как возникновение квазитурбулент-
квазитурбулентной теплопроводности и распространить формулу A9.4.10) на область чисел
Рейнольдса пленки, меньших 400, т. е. ввести в формулу A9.5.2) некое услов-
условное критическое число Рейнольдса ReKpjj!. На рис. 19.3 приведены результаты
расчета при ReKp:}: для конденсации паров фреона, а на рис. 19.5 — для кон-
конденсации паров воды. Как видно, имеет место не только качественно пра-
правильное описание экспериментальных фактов, но и близкое количественное
согласие.
В табл. 19.3 даны значения
Re
N. = 1 Г isL-dRe, A9.5.3)
** Re-100 J v ;
100
рассчитанные по формулам A9.4.10) и A9.4.12).
Графики, приведенные на рис. 19.6, рассчитаны по формулам A9.3.21),
A9.4.10) и табл. 19.3.
Таблица 19.3
Средние значения числа N^.x=NuTAr~{^f рассчитанные по формулам A9.4.10)
и A9.4.12). ReKps){=100
\. Pf
Re ^\^
120
200
300
500
1000
2 000
3 000
5 000
10 000
20 000
1
0,173
0,174
0,177
0,183
0,196
0,214
0,227
0,246
0,278
0,318
2
0,191
0,197
0,204
0,215
0,237
0,267
0,287
0,318
0,368
0,430
3
0,198
0,206
0,214
0,229
0,256
0,291
0,316
0,353
0,413
0,487
4
0,201
0,210
0,220
0,237
0,266
0,305
0 332
0,373
0,440
0,522
5
0,203
0,213
0,224
0,241
0,273
0.314
0,343
0,386
0,458
0,546
6
0,207
0,218
0.230
0,249
0,283
0,328
0,361
0,409
0,487
0,585
Таким образом, теплообмен при пленочной конденсации пара имеет весьма
сложный характер, и при больших числах Рейнольдса пленки конденсата
можно наблюдать области ламинарного течения с гладкой границей разде-
раздела фаз, ламинарно-волнового течения, области с квазиавтомодельным и с
развитым турбулентным теплообменом.
19.6. ВЛИЯНИЕ СКОРОСТИ ТЕЧЕНИЯ ЧИСТОГО ПАРА
НА ТЕПЛООТДАЧУ ПРИ КОНДЕНСАЦИИ
НА ВЕРТИКАЛЬНОЙ ПОВЕРХНОСТИ
Движение пара вызывает трение на границе раздела фаз в соответствии с
третьим уравнением A9.2.2)*. Это трение в случае, если направление течений
пара совпадает с направлением силы тяжести, создает дополнительную движу-
движущую силу. При этом скорость течения пленки увеличивается, толщина: ее
уменьшается и коэффициент теплоотдачи возрастает. " '
При течении пара снизу вверх, т. е. обратно направлению силы тяжести;
пленка тормозится потоком пара, и коэффициент теплоотдачи уменьшается.
Когда сила трения пара превысит силу тяжести, вся пленка потечет вверх,
и коэффициент теплоотдачи начнет возрастать по мере увеличения скорости
пара.
(I* +
* При турбулентном течении пленки необходимо учитывать суммарную вязкость
267
При ламинарном течении пленки первая константа интегрирования урав-
уравнения движения конденсата
с
2ц
+
A9.6.1)
Выражение для профиля скорости течения конденсата после второго интег-
интегрирования уравнения движения принимает вид (С2 определяется, как и ра-
ранее, из условия, что при у = 0 w = 0)
W =
A9.6.2)
Вычисляя j wdy и подставляя в выражение A9.3.7), получаем уравнение
Г9'
2ц
A9.6.3)
При Z = [cfo»p72g6 (р' — р")] > 1 (быстродвижущийся пар) и AT = const
из уравнения A9.6.3) следует, что
«*= V-
r ((>'-(
При Z > 1 и 9 = cons t
A9.6.4)
A9.6.5)
а = 2^=1.
rp'c}
A9.6,6)
Соответственно найдем, что в случае быстродвижущегося пара и ламинарного
течения пленки конденсата:
при А Г = const
A9.6.7)
при q = const
[gv(l-p")]"/3Re-1/6. A9.6.8
Здесь а0 — значение коэффициента теплоотдачи при wn = 0; Re = qLlr\i-
число Рейнольдса пленки в конце поверхности охлаждения; v?T = w"Y^Cf p"/2pf -
скорость касательного напряжения в пленке на границе с паром.
Подставив в последние формулы предельное значение cf из уравнения
A3.10.15), как было предложено Цессом, получим предельные зависимости для
2» 1:
ДТ=: const, Nux->jj/af*/Cv');
q = const, Nux\-*-Yw''x/Bv').
A9.6.9)
A9.6.10)
Таким образом, при больших скоростях течения пара в ламинарном режиме
течения конденсата коэффициент теплоотдачи не зависит от плотности теплового
потока.
268
Таблица 19.4
Значения отношения а/а0 при ламинарном течении пленки и движении пара сверху вниз
(а>"=const; At = const)
с^р"а0
2gp'l
а/а0
0
1
0,144
1,06
0,577
1,19
1,290
1,38
2,308
1,59
3,61
1,78
8,11
2,30
14,43
2,75
22,50
3,19
32,47
J3.59
Общее решение для w" = const, полученное Нуссельтом, приведено в
табл. 19.4 и 19.5, где а0 — значение коэффициента теплоотдачи при том же
значении AT1, что и в случае движущегося пара и w" = 0. Подставляя сюда
значение С/ из формулы A9.2.8), можно получить хорошее приближение в ши-
широком диапазоне скоростей течения пара.
Таблица 19.5
Значения отношения а/а0 при ламинарном течении пленки и движении пара снизу вв рх
(a^const; A/=»const)
0,0147 0,0590 0,2353
0,830
1,475
1,753
2,303,61
8,11
14,43
22,50
32,47
а/а
0,995
0,982
0,914
0,731
0,910
1,144
1,35
1,65 2,24
2,70
3,18
3,59
При турбулентном течении пленки конденсата и течении пара сверху вниз
касательные напряжения определяются формулой (bk <^ 1):
* = 8 (р' -Р") (S -У) + cj P" шЗт/2.
При больших скоростях течения
%ж(с1 /2) р" w»1 « тст = const
и
\1Т « 0,4 цт].
Соответственно при ць > 11,6 и Cfp"w > g6p'
где
v* = w" Vp" с',72 -у Vqw"/(rp') .
A9.6.11)
A9.6.12)
A9.6.13)
A9.6.14)
A9.6.15)
19.7. ТЕПЛООТДАЧА ПРИ КОНДЕНСАЦИИ ПАРА
ВНУТРИ ТРУБЫ
Рассмотрим напорное течение парожидкостной смеси в трубе при Гот <
< Т" и локальном массовом паросодержании х. Тогда касательные напряжения
на внутренней поверхности трубы будут равны
- _
ОТ
4 аг
A9.7.1)
269
где D — внутренний диаметр трубы; z — координата, направленная по оси
трубы вдоль течения. Определим локальный коэффициент теплоотдачи по
приближенной формуле
/ 1
'-D 9 Г
Здесь ф — доля сечения, занятая паром; I = R/ROi где R — текущий радиус;
Ro — внутренний радиус трубы.
Полагая, как при решении задачи об однородном потоке в трубе, |хт =
= 0,4 pvlTyi и разбивая поток на ламинарный подслой и турбулентное ядро,
получаем
Nuz~ ^-^^ , A9.7.3)
In [(I —Уф)/A1,6 Уф)] RejJ:+4,65Pr
где Re* - v*0 D/v.
Из гидравлики газожидкостных смесей известно, что
A9.7.4)
Здесь х — массовое паросодержание потека в данном поперечном сечении тру-
трубы и f)" = p'Vp' — относительная плотность пара.
Принимая во внимание, что величина ср входит в уравнение A9.7.3) под
знаком логарифма, можно заключить, что в первом приближении зависимость
Nu от Re* при конденсации их парожидкостной смеси в трубе должна быть
такого же вида, что и при теплоотдаче к однородному потоку. Тогда с учетом
предельного перехода к формуле A1.6.19) при х = 0 можно написать интер-
интерполяционную зависимость вида
Nuz«0,023Pr0'4 Re°'8y"l+(p7p"— 1)*. A9.7.5)
Здесь Re = 4G/n\iD, где G — массовый расход смеси, кг/с.
Эта формула была предложена и проверена экспериментально Е. П. Ана-
Ананьевым, Г. Н. Кружилиным и Л. Д. Бойко. Практически в интервале хг<
< х < х2 можно считать, что
Ш ^0,011Рг0'4 Re0'8 [Kl+(P'/P" —1)*! + Kl + (p7/p"-l)*2 ]. A9.7.6)
19.8. ТЕПЛООТДАЧА ПРИ КОНДЕНСАЦИИ ЧИСТОГО ПАРА
НА ВНЕШНЕЙ ПОВЕРХНОСТИ ГОРИЗОНТАЛЬНЫХ ТРУБ
В случае непрерывного стекания конденсата с нижней образующей гори-
горизонтальной трубы общая связь между критериями подобия имеет тот же харак-
характер, что и для вертикальных труб. Меняются лишь численные значения коэф-
коэффициентов, и вместо высоты L в критерии подобия войдет наружный диаметр D.
Действие силы тяжести на пленку конденсата, текущую по наклонной пло-
плоскости, пропорционально синусу угла наклона этой плоскости к горизонту 0,
т. е. в уравнении движения величина р' — р" должна быть умножена на
sin p. Направив координату х по касательной к поверхности пленки и принимая
во внимание, что в обычных условиях б <? D, можно положить
dx = (D/2) dp. A9.8.1)
270
Введя в уравнение A9.3.3) поправку на sin Р, подставив в выражение A9.3.6)
значение dx из формулы A9.8.1), получим следующее уравнение для толщины
пленки конденсата, ламинарно текущей по внешней поверхности горизонталь-
горизонтальной трубы в медленно движущемся паре:
6d (б3 sin р) = о 3^АГО dp. A9.8.2)
Введя обозначение Z = 2gp'(p' — p")r64/C [лАДТТ?) и заметив, что
d (б2 sin Р) = Зб2 sin pd6 + б2 cos dp, получим уравнение относительно Z:
C/4) sin p dZ/dp + Z cos р — 1 = 0. A9.8.3)
Нуссельт представил решение этого уравнения в форме
Z = sin-4/3p(— fsin^pdp + c). A9.8.4)
Очевидно, на верхней образующей трубы толщина пленки конденсата имеет
конечное значение, что возможно, если С = 0. Вычисления для одиночной
трубы дают формулу (в предположении непрерывного стекания струй конден-
конденсата с нижней ее части)
'— . A9.8.5)
U
Если число Рейнольдса пленки определить как
Re = qnD/(\ir), A9.8.6)
то из формулы A9.8.5) следует, что
а Г V2 1I/3
— I — I =0.95Re~1/3. A9.8.7)
Как видно, при таком определении числа Рейнольдса закон ламинарного
теплообмена практически совпадает с точностью до константы для пленочной
конденсации на горизонтальных трубах и вертикальной стенке. Этот важный
факт имеет место также в переходной и турбулентной областях закона тепло-
теплообмена при пленочной конденсации пара.
В действительности стекание конденсата происходит периодически, от-
отдельными каплями, что не отражается заметно на средней теплоотдаче по всей
трубе, поскольку число капель велико и течение в среднем сохраняется симмет-
симметричным. Опыты И. И. Гогонина и А. Р. Дорохова показали, что при изменении
диаметра трубы (числа Вебера) и при постоянном числе Рейнольдса пленки
величина критерия (а/К) (v2/g A — р7I/3 имеет слабый максимум при D = 2.
В случае пакетов труб, сдвинутых относительно друг друга по горизонтали
в соседних по вертикали рядах (т е. при любом не коридорном расположении
труб), капли с верхних труб попадают на боковые образующие нижних труб,
и симметрия течения нарушается. Этому нарушению симметрии пленки кон-
конденсата в известной мере препятствует действие поверхностного натяжения.
При одном и том же значении показателя степени в зависимости Nu ~ Re"
влияние гидродинамического воздействия потока конденсата, натекающего
сверху на данную трубу, может быть учтено параметром
(l/GnJG«(K*</0. A9.8.8)
где Gt — количество конденсата, образовавшегося в единицу времени на тру-
трубе i-vo ряда гидродинамических взаимодействующих труб пакета. При лами-
ламинарном течении пленки это условие выполняется, и из формулы A9.8.4)
следует, что
а, = еа1в A9.8.9)
271
я/я0
16
14
12
10
¦
¦
1
г
(
э (рреон-2/
• гексан
¦ этано/i
ч °
—«^.
Л Г^
0 *9(р'
d вода.
7
О
о
1
10
15 we
Рис. 19.7. Зависимость безразмерной длины
волны от критерия Вебера, рассчитанного
по формуле A9.8.12), при конденсации на го-
горизонтальных трубах различных жидкостей
Здесь ах — средний коэффициент теп-
теплоотдачи верхней (первой) трубы
ряда взаимодействующих труб и 8 —
функция от (VGn) 2Gj. Более общей
является зависимость
Nu (Re2, Pr, We), A9.8.10)
где Re^ — число Рейнольдса пленки
конденсата, рассчитанное по полному
натекающему количеству конденсата:
A9.8.11)
Число Вебера, записанное здесь в
форме
/ — p")/o. A9.8.12)
где а — коэффициент поверхностного
волн и пульсаций, возникающих при
витационных сил. Как видно из рис. 19
вается только при малых числах We.
натяжения, характеризует влияние
взаимодействии капиллярных и гра-
.7, изменение длины волны обнаружи-
0,3
-
-
-
—
—
-
_
Z
1
г
as
Р
—
-
!
=
1
Т
?
1
\
i
1
. -
1
—
\
и
1
f
1
I
—
—
J * 5 6 789101 2 5 4 5 6789Ю2 2 5 4 5 6 789105
Рис. 19.8. Конденсация неподвижного пара на пакете горизонтальных труб:
^—водяной пар (опыты С. С. Кутателадзе); Э — фреон-21 (И. И. Гогонин, А. Р. Дорохов,
В.И. Сосунов); О —фреон-12 (Янг и Воленберг); А—водяной пар (опыты В.П.Исаченко, А. Ф. Глуш-
кова); • — фреон-12 (С. С. Кутателадзе, И. И. Гогонин, *В. И. Сосунов); пунктирная линия—рас-
линия—расчет по формуле A9.8.7); сплошная линия — расчет по формуле A9.4. 10)
На рис. 19.8 показаны результаты опытов И. И. Гогонина и А. Р. Дорохова,
проведенных под руководством автора, для конденсации паров фреона на ко-
коридорном пакете горизонтальных труб. Здесь еще более отчетливо, чем в опытах
с вертикальными трубами, обнаруживается существование области теплооб-
сс/ос0
5
-
-
X
• i i i Т 1
х/
1
1
X
1
'а
III I I I I
X
1
•
*\
1
**>
1
L
1
i i i i
-^
i
W
1
1
га
«-«
--
i 1 i i
1
|
/^ 2 5 4 5 6 78910'1 2 5 4 5 678910° 2 5 4 5 6789101 x4(Fr/Pr-K)
Рис. 19.9. Влияние скорости течения пара на теплоотдачу при конденсации на горизон-
горизонтальной трубе разных диаметров (ао — экспериментальные значения коэффициента теп-
теплоотдачи неподвижного пара):
О—фреон-21, D=16mm; л—фреон-21; D = 2,5 мм: ? — фреон-12; ?>=16 мм; X —водяной пар;
D=19 мм (Л. Д. Берман, Ю. А. Туманов); линия—расчет по формуле Фуджи, Уехара, Курата
272
мена, квазиавтомсдельной относительно числа Рейнольдса пленки конден-
конденсата.
На рис. 19.9 показаны экспериментальные данные С. С. Кутателадзе,
И. И. Гогонина и А. Р. Дорохова о влиянии скорости течения пара на тепло-
теплоотдачу при ламинарном течении конденсата по горизонтальной трубе. В ка-
качестве определяющего критерия взят интерполяционный комплекс
X4Fr/PrK, A9.8.13)
предложенный в работе Фуджи, Уэхара, Курата. Здесь
19.9. ПЛЕНОЧНАЯ КОНДЕНСАЦИЯ НА НИЖНЕЙ
ПОВЕРХНОСТИ ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ ПЛИТЫ
При конденсации пара на нижней поверхности горизонтальной плиты
(потолок), достаточно большой по сравнению с отдельными каплями, стекание
конденсата происходит путем отрыва от пленки отдельных капель. Поскольку
вероятность образования капель статистически одинакова для всех частей
плиты, средняя во времени толщина пленки и соответственно коэффициент теп-
теплоотдачи не зависят от протяженности поверхности конденсации. Толщина
пленки и размеры отдельных капель определяются соотношением сил поверх-
поверхностного натяжения и тяжести.
Корень квадратный из этого соотношения имеет размерность длины и яв-
является масштабом свободно возникающих образований конденсата. Таким
образом, принципиальный интерес данного процесса заключается в том, что он
не зависит от действительных размеров поверхности охлаждения, а связан
только с размерами образования новой фазы, определяемыми взаимодействую-
взаимодействующими в потоке силами. При этом статистический характер процесса образо-
образования и отрыва капель приводит к значительным колебаниям величины а около
некоторого среднего значения.
С такого рода соотношениями особенно часто приходится сталкиваться при
рассмотрении двухфазных систем, в которых одна из фаз сильно дисперги-
диспергирована, в частности, при пузырьковом кипении и капельной конденсации. Для
рассматриваемого случая В. Д. Попов нашел экспериментальную зависимость
вида
-"¦ Г « 11/2 = o,l5pLJL[ ? f2(i_p")_O'/4. A9.9.1)
* L*(P'-P')J U v* U(P'-P") J CAT j K '
Полезно обратить внимание на то, что в данном случае критерий Архимеда
представляет собой отношение двух «внутренних» линейных масштабов потока:
Ari/з = Г 2 11/2 Г ^_1-1'3. A9.9.2)
9.10. ВЛИЯНИЕ ВЛАЖНОСТИ И ПЕРЕГРЕВА ПАРА
Если пар обладает влажностью х, то часть влаги будет выпадать вместе с кон-
конденсирующимися порциями пара. Наибольшее количество влаги, могущее
выпасть на поверхности пленки конденсата, равно влагосодержанию сконден-
сконденсировавшегося пара. Количество тепла, выделяющееся при выпадении на по-
поверхности охлаждения 1 кг конденсата (включая влагу пара), равно фг, где
A — *)<<р< 1. A9.10.1)
Следовательно, если для сухого насыщенного пара имеется зависимость а (г),
то для влажного пара при прочих равных условиях
1>^> «И1-*I ^ A9.10.2)
ссо а (г)
Здесь а — коэффициент теплоотдачи при заданном х\ а0 — то же при х = 0.
273
Из формулы A9.10.2) следует, что при ламинарном течении наличие влаж-
влажности пара несколько ухудшает теплоотдачу, а при турбулентном — несколько
улучшает. Однако это влияние невелико. Так, для ламинарного течения,
согласно выражению A9.10.2),
A9.10.3)
а0
т. е. при х = 10% значение величины а/а0 лежит в пределах от 1 до 0,975.
Процесс конденсации перегретого пара начинается также при соприкосно-
соприкосновении с поверхностью, имеющей температуру ниже температуры насыщения.
При стационарном процессе конденсации перегретого пара тепловой поток че-
через поверхность раздела фаз определится уравнением
-X (дТ/ду)гр = (г + с" d) gn + q2,
A9.10.4)
где gn — массовая скорость конденсации; q2 = о^ — количество тепла, под-
подводимого к пленке конденсата за счет конвективной теплоотдачи от нескон-
денсированной части перегретого пара. Изменение коэффициента теплоотда-.
чи за счет перегрева определится формулой
а
а0
; а
г +С ft
1-р
а (г),
A9.10.5)
где р = q2lq. При ламинарном течении пленки конденсата и медленно движу-
движущемся паре
а
а0
/1+с
19.11. КАПЕЛЬНАЯ КОНДЕНСАЦИЯ
Для возникновения процесса конденсации необходимо существование цент-
центров конденсации, характерный размер которых может быть определен по фор-
формуле Томсона:
10'
\
78910'3 2 5 4 5 S78910'2 Re
2аГ"
A9.11.1)
Вследствие температурного
градиента в каплях и микро-
микропленках конденсата возникает
течение с характерной скоростью
iwG = (AT/ii)(do/dT), A9.11.2)
определяемой взаимодействием
термокапиллярной силы и вяз-
вязкого трения в конденсате.
Используя величины RK и
wa, можно образовать критерии
Нуссельта и Рейнольдса. При-
Присоединив к ним критерий Пран-
дтля, характеризующий взаимо-
Рис. 19.10 Данные по теплоотдаче
при капельной конденсации водяного
пара:
П — Я=@,16 -J- 0,9)- 10е Па, Гнам; О-
Р = 0,35.10» Па, Нэгль и др.; д—р=
= A,02 Ч- 1,04). 10» Па, Ши и Крейз; V-
/> = 0,12-10* Па, М.И. Лапшин и И. Я. Кон-
федератов
274
действие теплового и динамического пограничного слоев, и критерий фазового
перехода, получим
{Nu=aRjX'; Re = wGRjv'; Pr = v'/a'\ K = r/(ckT)}. A9.11.3)
На рис. 19.10 дана обработка ряда экспериментальных данных из книги
8. П. Исаченко.
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ананьев Е. П., Бойко Л. Д., Кружилин Г. Н. Теплопередача при конденсации пара в
горизонтальной трубе.— В кн.: International Developments in Heat Transfer. Proc.
1961—1962 Heat Transfer Conf. Pt 2. New York, Amer. Soc. Mech. Eng., 1961.
2. Вопросы теплообмена при изменении агрегатного состояния вещества. Сб. статей.
Под общ. ред. С. С. Кутателадзе. М.— Л., Госэнергоиздат, 1953.
3. Вопросы теплоотдачи и гидравлики двухфазных сред. Сб. статей. Под общ. ред.
С. С. Кутателадзе. М.— Л., Госэнергоиздат, 1961.
4. Воскресенский К. Д. Расчет теплообмена при пленочной конденсации с учетом зави-
зависимости физических свойств конденсата от температуры. М., Изд-во АН СССР, ОТ К,
1948.
«J5. Гогонин И. И., Дорохов А. Р., Сосунов В. И. Теплоотдача при конденсации пара на
, пучке гладких горизонтальных труб. — «Теплоэнергетика», 1977, № 4, с 33.
6. Гогонин И. И., Дорохов А. Р. Экспериментальное исследование теплообмена при кон-
конденсации движущегося пара фреона-21 на горизонтальных цилиндрах. — «Журн.
прикл. механ. и техн. физ.», 1976, № 2, с. 133.
7. Исаченко В. П. Механизм и критериальные уравнения теплоотдачи при капельной
конденсации пара.— «Теплоэнергетика», 1962, № 9, с. 81.
*8. Исаченко В. П. Теплообмен при конденсации М., «Энергия», 1977.
9. Капица П. Л. Волновое течение тонких слоев вязкой жидкости. — «Журн. эксперим.
и теор. физ.», 1948, № 1, с. 3.
10. Кутателадзе С. С. Теплопередача при конденсации и кипении. М., Машгиз, 1952.
11. Лабунцов Д. А. Теплоотдача при пленочной конденсации чистых паров на вертикаль-
вертикальных поверхностях в горизонтальных трубах. —«Теплоэнергетика», 1957, №7, с. 72.
12. Миропольский 3. Л. Теплоотдача при конденсации пара высокого давления внутри
труб.— «Теплоэнергетика», 1962, № 3, с. 79.
13. Черный Г. Г. Ламинарные движения газа и жидкости в пограничном слое с поверхно-
поверхностью разрыва.— «Изв. АН СССР, ОТН», 1954, № 12, с. 38.
14. Черный Г. Г. Конденсация движущегося пара на плоской поверхности.— «ДАН
СССР», 1955, т. 101, № 1, с. 39.
15. Cess D. Laminar-films condensation on a flat plate in the absence of a body force.— «Z.
Ang. Math. Phys.», 1960, Bd II, S. 426.
16. Fujii Т., Uehara H., Kurata Ch. Laminar filmwise condensation of flowing vapour on
a horizontal cylinder.— «Intern. J. Heat and Mass Transfer», 1972, v. 15, N 2, p. 235—
—246.
17. Nusselt W. Die Oberflachenkondensation des Wasserdampfes. Teil I, II.— «Z. VDI»t
1916, N 27, S. 541; N 28, S. 569.
20
Глава i
КОНДЕНСАЦИЯ НА СВОБОДНОЙ
ПОВЕРХНОСТИ ЖИДКОСТИ
20.1. ТЕПЛООБМЕН В СВОБОДНО ПАДАЮЩЕЙ СТРУЕ
В многочисленных теплообменных аппаратах происходит непосредственное
соприкосновение пара со струями жидкости. В этом случае повышается ско-
скорость конденсации пара и создается возможность значительного развития по-
поверхности охлаждения путем дробления потока жидкости на отдельные тонкие
струи и капли. Одновременно при непосредственном соприкосновении с паром
жидкость дегазируется, что особенно важно при подготовке питательной воды
паровых котлов и других агрегатов.
Теоретическое рассмотрение такой задачи относительно просто в предполо-
предположении, что струя жидкости является непрерывной на всем расчетном участке,
а влиянием пульсаций, обусловленных взаимодействием сил тяжести, инер-
инерции и поверхностного натяжения, можно пренебречь. Полученные для этих
условий соотношения справедливы от устья сопла до места начала распада струи
на капли. В области дробления струи практически приходится ограничиваться
только опытом.
Напишем уравнение распространения тепла в цилиндрических координа-
координатах, полагая, что в струе имеет место как изотропная турбулентная, так и
молекулярная теплопроводность. Кроме того, можно считать, что радиальный
градиент температур много больше осевого градиента. При этих условиях
уравнение теплопереноса имеет вид
тх^^±^(^1+±ЕЛ9 B0.1.1)
дх ср [dR* R dR ) V ;
Введем безразмерные координаты X = x/R0\ I = R/Rx\ * = {Т" — Г)/(Г"-—7\).
Здесь wx и Rx — скорость и радиус струи на расстоянии х от устья сопла;
Ro и R — радиус сопла и текущий радиус струи; 7\ — начальная температура
струи. Как обычно, ищем частное решение в виде произведения двух функций:
О = ЛехР[-р2/(Х)]гН?), B0.1.2)
где А и Р — произвольные постоянные. В изотропном турбулентном потоке
интенсивность молярных переносов пропорциональна скорости и линейному
размеру струи, т. е.
KT = e*cpwxRx, B0.1.3)
где е% —эмпирический коэффициент*. Подставляя значение Хт из формулы
B0.1.3) в уравнение B0.1.1) и приводя уравнение к безразмерному виду,
получаем
^ iL=iil+_LiL. B0.1.4)
Ro (e+ 8* wx Rx) дХ aga i dl
Значение / (X) в формуле B0.1.2) выбираем так, чтобы
d f , Y, _ R0(a+'z*wxRx) ,9n .
~^fW ^щ . B0.1.5)
Выражения для локальной скорости и локального радиуса свободно падающей
цилиндрической струи имеют вид
Л &; B0.1.6)
B0.1.7)
* Аналог коэффициента х в формулах переноса в неизотропном потоке.
276
Для площади поверхности струи
Скорость струи в месте выхода из сопла определяется формулой
B0.1.9)
где г] — коэффициент сопротивления отверстия сопла; h — напор жидкости
перед насадкой. Значения коэффициента сужения струи ср приводятся в кур-
курсах гидравлики. Величина ц ~ 0,95—0,98.
Для групп отверстий в металлическом листе толщиной 6 = 1,55 • 10~3 м
щ = 0,80-^-0,81 для отверстий диаметром 5 • 10~3 м и 0,85—0,88 для отверстий
диаметром 3 • 10 м.
Подставляя в уравнение B0.1.5) значения wx и Rx, находим, что
tm-j
X
Ro(a+ e*wxRx) ^ _ а ^ .
wx R* w0 Ro
[(
• Ч-Й=*а_х)'»_ 1]. (ШЛО)
При ламинарном течении струи, когда Re < ReKp, e* = 0 и
f(X)=ax/(w0Rl). B0.1.11)
Дифференцируя выражение B0.1.2) и подставляя соответствующие производ-
производные в уравнение B0.1.4), получаем
PS d№ ^4UJ~; ^ }
Решение имеет вид
Ф (PI) = d Jo № + C2 Yo () I). B0.1.13)
Граничные условия: ? = 1, •& = 0, я|> @|) = 0. Начальные условия: х = 0
0= 1.
При g == 0, т. е. на оси струи, функция Бесселя нулевого порядка первого
рода Jo имеет конечное значение, а функция Бесселя нулевого порядка второго
рода Yo уходит в бесконечность. Следовательно, для того чтобы на оси струи
получить конечное значение температуры, необходимо положить константу
интегрирования С2 равной нулю. Тогда <р (р?) = C±J0 (P?),
B0.1.14)
Из начальных условий следует, что ^AtJQ (p^) = 1. Как известно, в этом
случае Л, = 2/рЛ (Р*).
По таблицам функций Бесселя находим значения р, при которых* Jo (P^) =
= 0, и определяем Jo ($&) по рис. 20.1.
Средняя температура жидкости в сечении х
1
E2 B0.1.15)
Окончательно
**= T"t7Tt =0,6915exp[-5,78/(X)] +
1 —1 г
+ 0,1312exp[—30,47/(X)] +0,0534 exp[ —74,87/(X)]+... B0.1.16)
Эти вычисления соответствуют первой строке табл. 20.1.
277
Таблица 20.1
Значения коэффициентов ряда
B0.1.14)
Таблица 20.2
1
о
3
4
5
2,405
5,520
8,653
11,791
14,931
+1,605
— 1,060
+0,850
—0,730
+0,647
Значения
f (х)
0,01
0,05
0,10
По формуле
B0.1.16)
0,732
0,545
0,385
По формуле
B0.1.17)
0,645
0,515
0,385
Расхождение,
%
12
5
0
В табл. 20.2 дано сопоставление расчетов по формуле B0.1.16) с расчетами
по упрощенной формуле, в которой сохранен только первый член ряда:
0,691 ехр[—5,
B0.1.17)
Как видно, для большинства практических расчетов упрощенной форму-
формулой можно пользоваться уже при / (X) > 0,005. Логарифмируя выражение
B0.1.17), получаем удобное расчетное уравнение
B0.1.18)
На рис. 20.2 приведено сопоставление расчетов по формуле B0.1.18) при
значениях е* = 5 • 10 и ф = 0,85 с результатами опытов, проведенных
Рис. 20.1. Графики функций /o(P*?) для
?=1, 2, 3, 4, 5
0,2 0,4 OS 0}8t=R/Rt
Рис. 20.2. Конденсация пара на струе
воды для различных диаметров сопла Z)o
и длины струи L; р=98-103 Па:
7 —Do = 3,0 мм, L = 450 мм; 2 — Do = 5,07 мм,
L=450 мм; 3 — ?>0 = 7,05 мм, L = 300 мм
12
10
V
V
о
* Ut I
У
А. А. Захаровым и Р. Г. Черной*. Некоторое систематическое отклонение опыт-
опытных точек вверх от теоретических кривых может быть связано с неустранимый
в опытах дополнительным подогревом жидкости в приемной воронке. Кроме
того, возможны ограниченные вариации значения в зависимости от устройства
насадки, из которой происходит истечение жидкости.
* Значение е^ вычислено по данным измерений Никурадзе в области потока, где цт*&
ж const.
278
В общем виде расчетную формулу B0.1.18) можно записать так:
° T" Tx
где значения Съ С2 и / (х) определяются по табл. 20.3.
B0 1.19)
Таблица 20.3
Значение коэффициентов
Форма струи
Свободно падающая
цилиндрическая струя
Свободно падающая
плоская струя
Плоская односторонне
обогреваемая струя пос-
постоянной толщины
С.
0,160
0,092
0,092
! (X)
С
2,52
1,075
1,075
для разных форм струи
f (X)
+ —e*w° l(l+ T§x) ll
4w% I а г*\\( 2ф?^л:\3/2 "j
3 Ф3^бо \ ^o^o 2 / [ \ w% j J
[ wo6o + 2 j 60
20.2. КОНДЕНСАЦИЯ НА СТРУЕ, ВТЕКАЮЩЕЙ
В ПАРОВОЕ ПРОСТРАНСТВО
С БОЛЬШОЙ СКОРОСТЬЮ
Условие отсутствия заметного изменения скорости струи на ее границе
с паром выполняется только при малых относительных скоростях течения фаз.
При больших скоростях трение струи о пар создает пограничный слой с сильно
меняющимися скоростями. В таком слое
коэффициент турбулентной теплопроводно-
теплопроводности становится переменным по сечению
струи, и интенсивность теплообмена начи-
начинает резко возрастать.
Г. Н. Абрамовичем и А. П. Проскуря-
Проскуряковым была рассмотрена такого рода зада-
яа, причем в решении учитывалось терми-
термическое сопротивление только образующего-
образующегося пограничного слоя в жидкой струе, но
«е ядра струи.
Полученное этими авторами решение
имеет вид
а = 324фшхФ (К), B0.2.1)
где
К = г/[с (Г — Г)].
Значения функций Ф (К) приводятся ниже:
0
15 Wf, М/С
Рис. 20.3. Зависимость условного ко-
коэффициента теплоотдачи от скорости
истечения струи воды в паровое про-
пространство (р = 98-103 Па, L = 800 мм):
/ — расчет по формуле B0.2.1); 2 — по фор-
формуле B0 1.18)
К
<D
(К) . . .
500
0,100
150
0,149
62,5
0,198
32,2
0,246
18,9
0,288
8
0
,14
,370
4,30
0,423
Это решение неприменимо при малых скоростях истечения струи и больших
значениях К (т.е. при 7\ ->Г"), поскольку при этих условиях по формуле
<20.2.1) а ->0.
Н. М. Зингером были проведены опыты со струями, вытекаюшими в па-
паровое пространство со скоростями 10—25 м/с. Измерения полей температур
279
на различных расстояниях от сопла показали, что имеет место значительная
деформация поля температур, связанная, в частности, с нарушением сплош-
сплошности жидкой струи.
Как видно из рис. 20.3, опытные данные лежат между расчетами по фор-
формулам B0.1.8) и B0.2.1), поскольку первая из этих формул, относящаяся
к малым скоростям, не учитывает интенсификации теплообмена в пограничном
слое, а вторая — значительного термического сопротивления ядра струи.
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Абрамович Г. Н. Турбулентные свободные струи жидкостей и газов. М.—Л., Госэнер-
гоиздат, 1948.
2. Вопросы теплообмена при изменении агрегатного состояния вещества. Сб. статей под
общ. ред. С. С. Кутателадзе. М.—Л., Госэнергоиздат, 1953.
3. Кутателадзе С. С. Теплопередача при конденсации и кипении. М., Машгиз, 1952.
1
ТЕПЛООТДАЧА ПРИ КИПЕНИИ
ОДНОРОДНЫХ ЖИДКОСТЕЙ
21.1. ДВА ОСНОВНЫХ РЕЖИМА КИПЕНИЯ
Кипением называется процесс парообразования в толще жидкости. Кипение
начинается тогда, когда температура внутри жидкости оказывается выше тем-
температуры насыщения (кипения) при данном давлении. Если в жидкость по-
погружена некоторая поверхность нагрева, температура которой выше темпе-
температуры насыщения при данном давлении (Гст > Т"), то на ней возникает
процесс парообразования. Величина перегрева жидкости в момент вскипания
по сравнению с температурой насыщения при данном давлении над плоскостью
зависит от наличия тех или иных потенциальных центров парообразования
(микровпадины, микропузырьки газа, искусственные неоднородности на по-
поверхности нагрева и т. п.). Эти эффекты имеют значение при малых плотностях
теплового потока. Если вся жидкость значительно перегрета против темпера-
температуры насыщения (например, в результате резкого сброса давления,) то паровые
пузыри образуются по всей ее толще—жидкость вскипает во всем занимаемом
ею объеме.
В зависимости от плотности теплового потока, подводимого к жидкости
через поверхность нагрева, на последней возникают отдельные паровые пу-
пузыри или образуется сплошной слой пара. Первый процесс называется пузырь-
пузырьковым кипением, второй — пленочным. При пузырьковом кипении жидкость
30
24
18
12
6
;•
?
/
/I
1
у
Г
a
.A
2 4 6 8 10 12 <{.105Ът/м2 0 100
A
|t~l X
ц_
#
\
4
\
\
5
A
500
500
700 AT, К
Рис. 21 1. Зависимость теплоотдачи от теплового потока (а) и температурного напо-
напора (б) при кипении в большом объеме воды
непосредственно омывает поверхность нагрева, причем ее пограничный слой
интенсивно разрушается (турбулизуется) возникающими паровыми пузыря-
пузырями. Кроме того, всплывающие пузыри увлекают из пристенного слоя в ядро
потока присоединенную массу перегретой жидкости, что создает интенсивный
молярный перенос теплоты от поверхности нагрева к массе кипящей жидкости.
Следствием этого является высокая интенсивность теплоотдачи при пузырь-
пузырьковом кипении, возрастающая с увеличением числа действующих центров
парообразования и количества образующегося пара.
При пленочном кипении жидкость отделена от поверхности нагрева слоем
пара, с внешней стороны которого время от времени отрываются и всплывают
крупные пузыри. Вследствие относительно малой теплопроводности парового
слоя интенсивность теплоотдачи при пленочном кипении существенно меньше,
чем при пузырьковом.
281
Возникновение того или иного вида кипения определяется плотностью теп-
лового потока у поверхности нагрева, ее физическими свойствами (в частности,
смачиваемостью), физическими свойствами жидкости и гидродинамическим
режимом потока в целом.
Условия перехода от одного режима (вида) кипения к другому и области их
существования отчетливо выявляются при построении зависимости коэффи-
Рис. 21.2. Переход от однофазной конвекции к пленочному кипению
(бензол, диаметр нагревателя 1,5 мм, р=0,Ы05 Па, g= 1,5-105 Вт/м2)
циента теплоотдачи от плотности теплового потока, или разности темпера-
температур поверхности нагрева и насыщения: AT = Тст — Т".
На рис. 21.1, а показана типичная зависимость коэффициента теплоотдачи
от плотности теплового потока при кипении в условиях свободной конвекции
на поверхности с большим количеством вероятных центров парообразования.
Левая, круто возрастающая ветвь кривой ОА выражает закон теплоотдачи прю
282
пузырьковом кипении, нижняя ветвь БД — при пленочном. Кривая А Б
соответствует переходному режиму.
Как видно из рис. 21.1, б, при постепенном увеличении теплового потока,
задаваемого независимо от процесса теплообмена в кипящей жидкости (радио-
(радиоактивный распад, электрообогрев и т. п.), по достижении точки А пузырьковое
кипение скачкообразно сменяется пленочным (линия А Г). Возврат к пузырь-
пузырьковому кипению обычно происходит при значительно меньшем тепловом по-
потоке, чем при пленочном кипении. Этому переходу соответствует область
около точки Б.
Таким образом, имеет место определенный гистерезис в тепловых и гидро-
гидродинамических явлениях, связанных с переходом от одного режима кипения
к другому. Приходится говорить о двух критических плотностях теплового по-
потока: <7KPl, при которой происходит переход от пузырькового кипения к пленоч-
пленочному, и <7кр2, при которой происходит разрушение сплошного парового слоя
и восстановление пузырькового режима кипения. В области значений плот-
плотности теплового потока, лежащих между qKVl и qRV2 (т. е. между точками А
и Бу см. рис. 21.1, а), возможно устойчивое существование обоих режимов кипе-
кипения или даже их длительное совместное сосуществование на разных частях
одной и той же поверхности нагрева.
Паровая пленка обычно возникает в отдельных местах поверхности нагрева
при достижении значений q 2? qKVt и далее с конечной скоростью распростра-
распространяется по всей поверхности нагрева. Аналогично при снижении теплового по-
потока до значений q < qKVt происходят локальные разрушения пленки с по-
-следующим распространением пузырькового кипения на всю поверхность на-
нагрева.
На поверхностях нагрева, обедненных центрами парообразования, про-
процесс кипения имеет нестабильный характер, а интенсивность теплообмена
колеблется между условиями конвекции однофазного потока и развитого пу-
пузырькового кипения (рис. 21.2). При этом возможен непосредственный пере-
переход от однофазной конвекции жидкости к режиму пленочного кипения.
Нормальный процесс перехода от пузырькового кипения к пленочному
впервые был изучен экспериментально Никайямой. Процессы нестабиль-
нестабильного кипения впервые детально были изучены в работах В. И. Субботина и
Д. Н. Сорокина, С. С. Кутателадзе, Н. Н. Мамонтовой и Б. П. Авксентюка.
21.2. ТЕМПЕРАТУРНОЕ ПОЛЕ
Температура жидкости и пара вблизи раздела фаз равна температуре фазо-
фазового превращения (насыщения), соответствующей давлению в данной точке
<{с учетом кривизны границы раздела фаз).
При пузырьковом кипении, когда поверхность нагрева непосредственно омы-
омывается жидкостью, основное падение температуры происходит в тонком при-
пристенном слое жидкости. В этом случае вследствие высокой интенсивности тепло-
теплоотдачи конвектирующей жидкости и малой теплопроводности пара можно счи-
считать, что практически все тепло передается от поверхности нагрева к жидкости,
а затем уже паровым пузырям путем испарения в них жидкости.
При пленочном кипении тепло передается непосредственно пару, находя-
находящемуся в слое, отделяющем жидкость от поверхности нагрева, и далее идет на
испарение жидкости с границы раздела фаз. Таким образом, в паровом слое
устанавливается непрерывное поле, изменяющееся от температуры поверх-
поверхности нагрева до температуры насыщения.
Изложенное хорошо иллюстрирует то обстоятельство, что при теплообмене,
-сопровождающемся изменением агрегатного состояния, температурный напор
может существовать в любой из фаз, как в возникающей (в данном случае пар),
так и в исчезающей (в данном случае жидкость).
В ряде случаев (закалка, непрерывное литье металлов, охлаждение двига-
двигателей и т. п.) поверхность нагрева может иметь температуру, существенно
Польшую температуры насыщения, хотя основная масса охлаждающей жидко-
283
сти остается недогретой до этой температуры. В таком случае имеется некото-
некоторая изотермическая поверхность, по одну сторону которой жидкость перегрета,
а по другую недогрета до температуры насыщения. Первая область назы-
называется кипящим граничным слоем, вторая — холодным ядром потока. В пер-
первой происходит парообразование, во второй — конденсация пара.
21.3. ПУЗЫРЬКОВОЕ КИПЕНИЕ, ЧАСТОТА
И СКОРОСТЬ РОСТА ПАРОВЫХ ПУЗЫРЕЙ
При пузырьковом кипении паровые пузыри возникают в отдельных местах
поверхности нагрева — центрах парообразования. Вырастая до определенно-
определенного размера, паровые пузыри отрываются и всплывают в толще жидкости, об-
образуя над центром парообразования столбы пара. При этом перегрев основ-
основной массы жидкости весьма невелик (порядка 0,01—0,1° С). Поэтому при на-
наличии на поверхности нагрева или в объеме жид-
жидкости достаточного числа центров парообразова-
парообразования кипение практически начинается по дости-
достижении поверхностью нагрева температуры, на
десятые доли градуса превышающей темпера-
температуру насыщения жидкости при данном давле-
давлении. Однако если поверхность обеднена центра-
центрами парообразования, жидкость в сосуде может
быть значительно перегрета. Например, в глад-
кой, хорошо промытой стеклянной колбе ди-
дистиллированная и дегазированная вода может
быть легко нагрета до 115—120° С при атмо-
атмосферном давлении, а при особой тщательности
опыта и более 200° С.
Перегретая жидкость при введении в нее предметов, которые могут служить
центрами парообразования (песчинки, пузырьки воздуха и т. п.), мгновенно
вскипает, образуя в начале процесса большие пузыри пара, и ее температура
снижается до нормального уровня. Обнаруживается также влияние материала
поверхности нагрева на температуру закипания чистой жидкости. Установле-
Установлено, что центрами парообразования являются микроуглубления в поверхности
нагрева, заполненные воздухом или другим газом. Схемы возникновения па-
парового пузыря в микроуглублении показаны на рис. 21.3 по Бэнкову. Если
рассмотреть идеализированную схему возникновения паровой фазы в жидко-
жидкости, заполняющей коническую впадину, то радиус возникающей границы раз-
раздела фаз
R = RJ cos (9 — р). B1.3.1)
Здесь /?х — радиус конуса на линии соприкосновения стенки, жидкости и па-
пара; 0 — угол смачивания; р — угол раскрытия конуса.
В свою очередь, краевой угол связан с коэффициентом поверхностного на-
натяжения на границах пар—жидкость, пар—стенка и жидкость—стенка фор-
формулой
= о?т—<Тст. B1.3.2)
Рис. 21.3.
пузыря в
дине
Схема образования
несмачиваемой впа-
Вероятность образования паровой фазы в результате флуктуации плотности
в некоторой точке перегретой жидкости определяется известной формулой ста-
статистической физики
о со ехр [ — пТ" o*/k (ф" ДГJ].
B1.3.3)
Здесь k — постоянная Больцмана; А Г — перегрев жидкости против темпера-
температуры насыщения над плоской поверхностью раздела фаз. Минимальный пе-
перегрев жидкости должен соответствовать температуре насыщения над поверх-
поверхностью раздела фаз данной кривизны.
284
Превышение давления в пузыре определяется формулой E.4.5), т. е. для
сферической поверхности
/ B1.3.4)
Кроме того, кривизна поверхности раздела вызывает изменение температуры
насыщения по сравнению с Т" над плоскостью при том же давлении, соответ-
соответствующее разности давлений
W B1.3.5)
Р'—Р"
Отсюда равновесная температура насыщения в паровом пузыре радиуса R
П = Г' + -^(Аргр + Ар") = Т" -Н
dT°
2ар'
dp x~rrp ' "r ' " ' dp
По известной термодинамической зависимости
Отсюда минимальный радиус возникающего пузыря равен
2ар' dT" 2T" а
Амии —
ЛПР'-Р") dp
гр"АТ
B1.3.6)
B1.3.7)
B1.3.8)
Теоретическое значение перегрева при возникновении кипения по форму-
формуле B1.3.8) вполне удовлетворительно согласуется с опытами Гриффитса^и Уол-
Уоллеса (рис. 21.4). На рис. 21.5 показан характер распределения числа действую-
1-Г
S5.
1
I
77
~ип—
xj
60
80
Рис. 21.4. Сопоставление теоретических и экспериментальных значений степени перегре-
перегрева при пузырьковом кипении. Средняя линия проведена по уравнению B1.3.8) для
?)=0,0482 мм, две другие дают погрешность при вероятной (оценочно) ошибке изме-
измерения диаметра устья впадины, равной 2,54-10 мм; верхняя линия для ?=0,0456 мм,
а нижняя для D = 0,0508 мм:
п__ установившаяся скорость образования пузырей; д—скорость от 5 до 1/5 с-1; о—скорость мень-
меньше 1/5 с-1; Н—«мертвая» впадина; О —прекращение процесса образования пузырей; х —начало
этого процесса
щих центров парообразования п по частотам возникновения паровых пузырей
по опытам Л. М. Зысиной-Моложен. Максимумы на кривых соответствуют наи-
наиболее вероятной частоте образования пузырей при данных конкретных усло-
условиях (состояние поверхности нагрева, тепловой поток, давление, физические
свойства жидкости). Эти кривые наглядно иллюстрируют статистическую
природу пузырькового кипения.
На рис. 21.6 приведены схемы развития отдельных пузырей на горизонталь-
горизонтальной поверхности нагрева. Как видно, не существует четкой геометрии трой-
тройного контакта паровой, жидкой и твердой компонент системы поверхность на-
285
грева — кипящая жидкость. Значительная часть пара проникает в пузырь из
тонкой жидкой подложки, остальная часть — за счет испарения по внешнем;
контуру пузыря. Имеется значительное количество исследований этого про-
процесса, обзор которых можно найти в монографиях Кумо, Ван-Оверкерка.
статьях Фритца, Плессета, Фостера, Н. Н. Мамонтовой и др.
Можно рассмотреть два предельных случая. Когда тепло подводится из
массы жидкости нестационарной теплопроводностью, автомодельной относи-
относительно линейного размера системы.
Тогда из анализа размерностей сразу
следует известное соотношение
so
0
<•"
1
1
У
/
по
у
2J7-105 ~
ч
\
1Ь
20
10
О
10 20 30 40 50 SO 70 1/С
Рис. 21.5. Распределение числа действую-
действующих центров парообразования по часто-
частотам возникновения паровых пузырей
qrj)~AT\S%cp'/t. B1.3.9)
Строго говоря, это рассмотрение от-
относится к пузырю, растущему внутри
объема перегретой жидкости. При росте
парового пузыря на поверхности нагрева
значительная часть тепла подводится
через тонкую жидкую подложку,
Д. А. Лабунцов рассмотрел эту задач;
в квазистационарном приближении.
Полагая, что толщина жидкой подлож-
подложки пропорциональна радиусу пузыря,
можем написать
(X/R)R*ATdt~rp"R2dR, B1.3.10)
7777777777 откуда следует
Рис. 21.6. Схемы формообразования пу- # = Р*|/ЯДТ/Дгр'). B1.3.11)
зырей на горизонтальной поверхности _
нагрева Коэффициент р# зависит от угла сма-
смачиваемости поверхности нагрева и для
обычных пар стенка —жидкость равен примерно 3,5. Время формирования
пузыря до отрывного радиуса по этой модели равно
Л=-^(-^)\ B1.3.12)
Масштабом скорости роста пузырей может служить произведение отрывного
диаметра пузыря и частоты его образования:
D0[U = 2?rp/(i|?rp"), B.1.3.13)
где Do = 2R0 — диаметр пузыря в момент отрыва от поверхности нагрева;
U — частота образования пузырей на данном центре генерации пара; ip < 1 -
коэффициент, учитывающий время омывания поверхности нагрева жидкостью
между моментом отрыва одного пузыря и моментом зарождения следующего
пузыря.
По модели B1.3.12), с точностью до коэффициента яр,
Отрывной диаметр пузыря определяется моментом наступления равновесия
подъемной силы, силы поверхностного натяжения (прилипания) и динамическо-
динамического воздействия потока. Последнее слагается из гидродинамического сопротивле-
сопротивления и воздействия инерции присоединенной к движению границы раздела фаз
массы жидкости.
При росте пузыря на горизонтальной плите, помещенной в большом объеме
непроточной жидкости, уравнение равновесия сил в момент отрыва в первом
приближении можно записать в следующем виде:
(я/о)Р8 g(р' — Р")]^;(л/3) SDo p' (dR/dt)^ + q> (9) nD0 a. B1.3.15)
286
Здесь R — текущий радиус пузыря; ? — эффективный коэффициент гидроди-
гидродинамического сопротивления росту пузыря; а — коэффициент поверхностного-
натяжения; ф (Э) — некоторая функция краевого угла смачивания 9. Первый
qлeн этого уравнения представляет собою архимедову силу, отрывающую пу-
пузырь от стенки, второй член — гидродинамическое сопротивление движению
пузыря и третий — силу поверхностного натяжения, прижимающую ножку
пузыря к стенке. Отсюда
Do « CS/16) Fr + K(9?2/246)Fr2+6<p(9), B1.3.16>
где в данном случае
Fr = —
dt
?cr(l-p"/p')
D0=D0Vg(p'—p")lo.
-О по вычислениям Фритца для гладкой поверхности можно принять
• 0,029,
20
npnFr
" B1.3.17)
если угол 9 выражен в градусах.
Из выражения B1.3.14) видно, что скорость роста пузыря на стенке уве-
увеличивается обратно пропорционально плотности пара, т. е. с уменьшением
давления. Вследствие этого в соответствии с формулой B1.3.16) при кипении
под давлением меньше атмосферного наблюдается резкое увеличение от-
отрывных диаметров паровых пузырей
и существенное изменение частоты их
образования.
При значительном вакууме пу-
пузырьковое кипение на гладких по-
поверхностях отсутствует, а за режи-
режимом свободной конвекции жидкости
непосредственно возникает пленоч-
пленочное кипение.
На рис. 21.7 отчетливо видна ли-
линейная зависимость между величина-
величинами Do и Fr при достаточно больших
значениях последнего критерия.
Здесь в число Фруда подставлялась
средняя [скорость роста пузырей,
т. е.
*/
/
/
• вот
Этилобь
х спирт
9 Бензол
ш
ю
w0 = Dou/(l —
B1.3.18)
Рис. 21.7. Зависимость Do от Fr по опытным»
данным Н. Н. Мамонтовой (р=9,8-103 —
— 9,8-Ю4 Па)
Скорость роста паровых пузырей является некоторой характеристикой
гидродинамического режима в пристенном слое кипящей жидкости, посколь-
поскольку процесс роста паровых пузырей создает интенсивную турбулизацию жид-
жидкости около поверхности нагрева, на чт