Автор: Кутателадзе С.С.
Теги: теплопроводность теплопередача теплофизика гидроаэродинамика
Год: 1979
Текст
С. С. КУТАТЕЛАДЗЕ
ОСНОВЫ
ТЕОРИИ
ТЕПЛО -
ОБМЕНА
¦ИЗДАНИЕ ПЯТОЕ, ДОПОЛНЕННОЕ
МОСКВА- АТОМ ИЗ ДАТ-1979
' F&>~9
УДК 536.24
Кутателадзе С. С. Основы теории теплообмена. — Изд.
5-е перераб. и доп. — М: Атомиздат, 1979, 416 с.
В книге сжато изложены основные проблемы современной теории*
теплообмена, в том числе многие выходящие за рамки стандартных
курсов.
Особое внимание уделено турбулентному переносу тепла в одно-
однородных и неоднородных средах, в частности асимптотическим свой-
свойствам турбулентного пограничного слоя при сложных граничных
условиях. Значительное место занимают также гидродинамические
закономерности теплообмена при конденсации и" кипении. Как в тео-
теоретическом изложении, так и в приводимых экспериментальных мате-
материалах содержится большое число оригинальных результатов. Bee-
результаты доведены до формы расчетных зависимостей и рекомен-
рекомендаций.
В данное, пятое, издание включены новые материалы по тепло-
теплообмену в пакетах ц засыпках, радиационно-конвективному и неста-
нестационарному теплообмену, переработаны и дополнены главы по ки-
кипению и конденсации и по теплообмену в разреженном газе.
Книга рассчитана на научных работников, инженеров-исследова-
инженеров-исследователей, аспирантов и студентов старших курсов университетов и поли-
политехнических институтов, работающих или специализирующихся в об-
области теплофизики и физической гидроаэродинамики.
Рис. 286. Табл. 49. Список литературы 301 наименование.
ОЛОАО Q11
KAQ,/ni4 -о 11—79-2303010000 © Атомиздат, 197$
Uo4(Ul)—/У
ПРЕДИСЛОВИЕ
Первое издание этой книги вышло ограниченным тиражом в 1954 г. и пред-
представляло собой курс лекций, читавшихся инженерам высшей квалификации.
Два последующих (в 1957 и 1962 гг.), существенно дополненных издания были
выпущены Машгизом. Английский перевод третьего издания был опубликован
в 1963 г. (Е. Arndld Publishers, London, Academic Press Inc., New York). Сибир-
Сибирское отделение издательства «Наука» выпустило четвертое издание в 1970 г.
В 1976 г. четвертое издание книги было удостоено премии им. И. И. Ползуно-
ва АН СССР.
За эти годы книга складывалась как учебное пособие в значительной мере
монографического характера, отражающее деятельность определенной научной
школы. В создании ее отдельных глав принимали участие доктора наук В. М. Бо-
ришанский. Э. П. Волчков, А. Г. Кирдяшкин, А. И. Леонтьев, Б. П. Миро-
нов, В. Е. Накоряков, А. К. Ребров, Н. А. Рубцов, Е. М. Хабахпашева и не-
некоторые другие мои коллеги по Институту теплофизики и Центральному кот-
лотурбинному институту.
В этом издании за счет некоторого сокращения традиционного материала
расширено изложение новых проблем ,и результатов.
Академику AL А. Стыриковичу, членам-корреспондентам Академии наук
СССР Б. С. Петухову и В. И. Субботину я признателен за просмотр рукописи.
Рукопись данного издания подготовлена В. Ю. Чеховичем, Н. И. Козин-
ской, Э. Г. Маленковой.
Хотя этот труд в определенной мере и коллективный, но за недостатки
и упущения, которые обнаружит читатель, ответствен только я.
С. С. КУТЛТЕЛЛДЗЕ
СПИСОК УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ
И ИНДЕКСОВ
УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
А — поглощательная способность тела
а = к/ср,— коэффициент температуропроводности, м2/с
а* — скорость распространения звука, м/с
с — удельная теплоемкость, Дж/(кг-К)
cj — коэффициент трения
и — диаметр, м
Е — плотность поверхностного или > полусферического излучения-, Вт/м2
F — площадь поверхности нагрева, поверхности раздела фаз и т. п., м2
g — ускорение силы тяжести, м/с2
= Fnpik — средняя.взаимная поверхность излучения между двумя телами, м2
; /*0=х6 — соответственно оптическая глубина и толщина слоя поглощающей среды;
i — удельное теплосодержание (энтальпия), Дж/кг
/ — интенсивность или яркость излучения, Вт/(ср-м2)
k — коэффициент теплопередачи, Вт/(м2-К)
ka — степень турбулентности потока
kn (h) — экспоненциальный интеграл
L — полная высота (длина) поверхности нагрева (охлаждения), м
/'—линейный размер, м
р — давление, Па
Q — количество тепла или общий тепловой поток, Дж или Вт
q — плотность теплового потока, Вт/м2
<7кр — плотность теплового потока, при которой происходит смена пузырькового
режима-кипения пленочным режимом (первая критическая плотность
теплового потока), Вт/м2
<7Крв — плотность теплового потока, при которой происходит разрушение сплош-
. ' яюй паровой пленки на поверхности нагрева и восстанавливается пузырь-
пузырьковый режим кипения (вторая критическая плотность теплового потока),
Вт/м2 '
Qy —7 плотность внутреннего источника тепла, Вт/м3
R — радиус, м
г — скрытая теплота парообразования, Дж/кг
t — время, с
Т — абсолютная температура, К
Ткъ — критическая температура (в термодинамическом смысле), К
Т* — температура торможения, К
Т" — температура насыщения пара, К
и — объемная плотность лучистой энергии, Дж/м3
V — объем, м3
V — пульсационная составляющая вектора скорости, м/с
v — удельный объем, м3/кг
Vtct/P — «динамическая скорость», или «скорость касательного напряжениям
м/с
w — скорость течения, м/с
w" — скорость течения пара или газа в двухфазной системе, м/с.
х, у, z — координаты
а — коэффициент теплоотдачи, Вт/(м2-К)
Р — коэффициент рассеяния излучения в объеме среды, м -1
6 — толщина, м
8 — излучательная способность тела (среды)
? — коэффициент гидравлического сопротивления -
= v*y/v — безразмерное расстояние от стенки
0, ф — безразмерная температура
х — константа структуры турбулентного потока со значительным попереч-
поперечным градиентом скорости
X — коэффициент теплопроводности, Вт/(м-К)
\х — коэффициент динамической вязкости, Па-с
v = \х/р — коэффициент кинематической вязкости, м2/с
g — безразмерная координата
р — плотность, кг/м3
a — коэффициент поверхностного натяжения, Н/м
<уп — нормальное напряжение, Па
о0 — постоянная Стефана — Больцмана, Вт/(м2-К4)
т — касательное напряжение, Па
средний разрешающий угловой коэффициент излучения между двумя те-
телами
4>ik — средний угловой коэффициент излучения между t-ым и k-ыи телами
^ik — средний разрешающей уэдфвой коэффициент излучения между двумя
телами с учетом экра*н*$*ра&щя промежуточной средой
чргь — средний угловой коэффициент' излучения между двумя телами (зонами)
с учетом экранирования промежуточной средой
Q — площадь поперечного сечения, ад*
со — безразмерная скорость течеРЦЛ
ИНДЕКСЫ
гр — граничный
к — конвективный
кр — критический
от — относительный
п — падающий
э — эффективный
с — собственный
р — радиационный
ст — стенка (твердая поверхность)
Т — турбулентный, тепловой
н — нормальный к поверхности
х, А — поглощенный
R, р — соответственно отраженный и рассеянный (объемная среда)
i,- k — номера изотермических зон (тел)
о — относится к масштабной точке системы
' — показывает, что величина относится к твердой или жидкой фазе
* — показывает, что величина относится к паровой (газовой) фазе
—, ~ — показывает относительное значение величины
- — знак осреднения
1
Глава _
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ В ТЕОРИИ
ТЕПЛООБМЕНА
11. ПРЕДМЕТ TEOMfff ТЕПЛООБМЕНА
При соприкосновении двух тел, щфрщпх различную температуру, проис-
происходит обмен энергией движения структурных частиц (молекул, атомов, сво-
свободных электронов), вследствие чего интенсивность движения частиц тела,
имевшего меньшую температуру, увеличивается, а интенсивность движения
частиц тела с более высокой температурой уменьшается. В результате одно из
соприкасающихся тел нагревается, а другое остывает. Поток энергии, переда-
передаваемой частицами более горячего тела частицам тела более холодного, называ-
называется тепловым потоком.
Таким образом, для возникновения теплового потока, т. е. процесса тепло-
теплообмена между различными областями пространства, заполненного веществен-
вещественной средой, необходимо и достаточно, чтобы в этих областях имели место неоди-
неодинаковые температуры. Иначе говоря, единственным условием возникновения
теплообмена является наличие разности температур между рассматриваемыми
телами. При этом тепловой поток направлен в сторону меньших температур.
Значимость процесса теплообмена как в природе, так и в технике опреде-
определяется тем, что свойства тел самым существенным образом зависят от темпера-
температуры, т. е. от их теплового состояния. Последнее же, в свою очередь, опреде-
определяется условиями теплообмена, которые поэтому оказывают решающее влияние
на процессы изменения агрегатного состояния вещества, на течение химических
реакций (в частности, процесса горения), механические, электроизоляцион-
электроизоляционные, магнитные и другие свойства тел.
Именно этими обстоятельствами и объясняются бурное развитие теории
теплообмена в XX веке и то исключительное внимание, которое ей уделяется
в физике планетарных процессов, энергетике, химической технологии и в ряде
других отраслей науки и техники. Предметом теории теплообмена являются
процессы переноса тепла из одной части пространства в другую.
Наряду с рассмотренным случаем теплообмена непосредственно в вещест-
вещественной среде, являющегося следствием движения структурных частиц, имеет
место также перенос теплоты посредством лучеиспускания (например, в косми-
космических процессах). Поэтому следует различать теплообмен путем непосредст-
непосредственного соприкосновения тел и лучистый теплообмен, когда энергия передается
от одного тела к другому посредством электромагнитного поля.
В вещественной среде распространение тепла, в конечном счете, всегда свя-
связано с тепловым движением структурных частиц. Однако непосредственный
перенос определенных порций теплоты из одной области в другую может про-
происходить не только в результате последовательного обмена энергией частиц,
заполняющих пространство между рассматриваемыми областями, но и в ре-
результате перемещения состоящих из большого количества молекул объемов
среды.
Процесс распространения тепла только вследствие движения структурных
частиц называется теплопроводностью, а процесс теплопередачи, обусловлен-
обусловленный перемещениями молярных объемов среды, — конвекцией.
Таким образом, существуют три способа переноса тепла: теплопроводность
(кондукция), перемешивание (конвекция) и излучение (радиация). В действи-
действительных процессах все эти три способа теплообмена обычно сопутствуют друг
другу и часто связаны с переносом массы (диффузией), т. е. имеет место слож-
сложный тепло- и массообмен.
В теории теплопередачи расчет сложного теплообмена осуществляется с по-
помощью методов, обобщающих результаты раздельного изучения каждого из
трех первичных способов переноса тепла. Следовательно, основным методом
теории теплопередачи является расчленение сложного теплообмена- на его со-
составляющие по способу (механизму) переноса тепла и изучение этих состав-
составляющих методами математической физики и научного опыта.
При рассмотрении сложного теплообмена с сильно меняющимися в прост-
пространстве и времени температурными полями могут возникать задачи, которые не
сводятся к моделям с квазиавтономными частными процессами теплообмена.
В этих случаях понятия коэффициентов теплопередачи и теплоотдачи вообще
лишены отчетливого смысла. Необходима постановка задачи, в достаточно об-
общей форме описывающей как механизмы теплопереноса в отдельных элементах
системы, так и их взаимодействия на границах раздела тел и фаз. Такие задачи
называются сопряженными, и их конкретное рассмотрение, как правило,
весьма индивидуализировано конкретными краевыми условиями. Общая же
их постановка всегда опирается на основные уравнения, рассматриваемые
в последующих главах этой книги.
Практически большинство процессов, рассматриваемых теорией теплообме-
теплообмена, протекает при взаимодействии твердых тел и жидких сред в областях, раз-
размеры которых чрезвычайно велики по сравнению с длиной свободного пробега
структурных частиц (атомов, молекул). Так, в объеме газа, равном 10~3 мм3,
при давлении 9,8-104 Па и температуре 273 К содержится примерно 1016 мо-
молекул. Поэтому такие статистические понятия, как температура, давление,
теплоемкость, вязкость и т. п., могут быть приписаны даже таким малым
элементам системы, которые с физико-математической точки зрения могут рас-
рассматриваться в данном случае как дифференциалы ее объема.
Это означает, что в большинстве проблем теплообмена твердые и жидкие
среды, составляющие систему, рассматриваются как непрерывные. Исключе-
Исключение приходится делать только для взаимодействия тел с весьма разреженным
газом, когда размеры тела становятся соизмеримыми с длиной пути свободного
пробега молекул.
1.2. ПОЛЕ ТЕМПЕРАТУР И ПОЛЕ ТЕПЛОВЫХ ПОТОКОВ
Выше было указано, что возникновение теплового потока связано не с аб-
абсолютным значением температуры тела, а с наличием разности температур в
различных его точках. Но разности температур можно приписать вполне оп-
определенное направление, а именно: если соединить прямой две точки тела, то
разность между их температурами можно считать положительной в направле-
направлении более высоких температур и отрицательной в направлении более низких
температур.
Соединим сплошными линиями все точки некоторого плоского сечения тела,
имеющие в данный момент времени одинаковую температуру. В трехмерном
пространстве эти линии равных температур (изотермы) перейдут в соответст-
соответствующие изотермические поверхности. Такое пространственное геометрическое
место точек, в которых рассматриваемая физическая величина имеет одинако-
одинаковое значение, называется поверхностью уровня. Очевидно, что поверхности
уровня, и в частности интересующие нас изотермические поверхности, никогда
не пересекаются друг с другом, ибо в данной точке пространства в данный
момент времени возможно только одно значение данной физической величины.
Интенсивность изменения температуры в каком-либо направлении может
быть охарактеризована густотой (плотностью) изотерм на некотором линейном
отрезке As, т. е. производной dT/ds.
Если отрезок As направлен по касательной к изотерме, то температура на
бесконечно малом удалении от данной точки в этом направлении не меняется,
и в таком случае dT/ds = 0. Наоборот, в направлении нормали к изотерме зна-
значение dT/ds будет наибольшим, так как в этом направлении расстояние между
двумя изотермами наименьшее. Следовательно,
(d77ds)MaKC = dT/dn. A.2.1)
7
i Вектор- п dT/dn называется температурным градиентом (grad *Г) и опреде-
определяет наибольшую скорость изменения температуры по нормали к изотерме
в данной точке пространства. Очевидно, что температурный градиент как
производная существует тогда, когда поле температур является непрерывным,
а функция
T = T(x;y;z; t)y A.2.2)
выражающая математически это поле, дифференцируема.
Таким образом, скалярному полю температур соответствует векторное поле
температурных градиентов, а условие возникновения теплового потока можно
формулировать как условие неравенства нулю величины grad Т. Соответствен-
Соответственно этому тепловой поток направлен по линии температурного градиента, в об-
обратную сторону по отношению к последнему.
1.3. КОЭФФИЦИЕНТЫ ТЕПЛООТДАЧИ И ТЕПЛОПЕРЕДАЧИ
В некоторых случаях количество тепла, приобретаемого или отдаваемого
телом, при прочих равных условиях приблизительно пропорционально по-
поверхности тела и разности между его температурой и температурой окружаю-
окружающей среды. Поэтому для практических расчетов установившегося (постоянного
во времени) теплового потока, подводимого (или отводимого) к твердой поверх-
поверхности от обтекающих ее жидкости или газа, исторически установилась формула
Q = aATFt, A.3.1)
где AT = Тст — Т — разность между средними температурами поверхности
F и потока жидкости (газа), К; t — время, с. Множитель пропорциональ-
пропорциональности между величиной Q и произведением ATFt, обозначаемый буквой а,
называется коэффициентом теплоотдачи и имеет размерность Вт/(м2- К).
| Как будет ясно из дальнейшего, формула A.3.1) отнюдь не отражает дей-
действительной зависимости теплового потока от температуры, физических свойств
/и размеров тел, находящихся в тепловом взаимодействии. По существу, эта
I формула является только некоторым формальным приемом, переносящим все
'трудности расчета теплопередачи на определение коэффициента а, который
обычно в меньшей степени зависит от размеров поверхности теплообмена и от
температурного напора, чем тепловой поток Q.
При расчетах теплопередачи от одной жидкой среды к другой, отделенной
от первой твердой стенкой, в расчетной практике пользуются выражением,
аналогичным формуле A.3.1), но множитель пропорциональности обозначают
буквой k и называют коэффициентом теплопередачи:
Q = kATFt. A.3.2)
Здесь AT = 7\ — Т2 — разность между средними температурами потока жид-
жидкости (газа), отдающего тепло, и потока жидкости (газа), воспринимающего
это тепло, К.
1.4. ТЕРМИЧЕСКОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ
Рассматривая величину AT как разность температурных уровней, можем
представить формулу A.3.1) в виде, аналогичном закону сопротивления для
электрического тока, а именно:
Q = ATFi/R*a, A.4.1)
где R? = 1/а — сопротивление теплообмену между твердой поверхностью
и омывающей ее жидкостью (газом), м2- К/Вт.
Аналогично этому можно переписать и формулу A.3.2):
. Q = ATFt/Rl, A.4.2)
8 \
где Rl = \lk — сопротивление теплопередаче от одной жидкости к другой
через разделяющую их твердую стенку, м2- К/Вт.
Величины R* называются термическими сопротивлениями. Удобство их
введения в расчет теплопередачи заключается в том, что термическое сопротив-
сопротивление сложной системы представляет собой простую сумму частных термиче-
термических сопротивлений, т. е.
A<*<л). A.4.3)
В соответствии с этим общий коэффициент теплопередачи выражается через
коэффициенты теплоотдачи различных частей системы более сложно, а именно:
)-1 (ККп). A.4.4)
Величина q = аД7\ имеющая размерность Вт/м2, называется плотностью
теплового потока. Плотность тепловою потока является мерой тепловой напря-
напряженности поверхности нагрева.
1.5. БАЛАНСНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛООБМЕННОГО
АППАРАТА
Как уже было сказано, в действительных процессах все три способа тепло-
теплообмена— теплопроводность, конвекция и излучение сопутствуют? друг другу,
т. е. имеет место сложный теплообмен. Если ведется расчет теплсюбметамезкду
потоком жидкости (газа) и некоторым телом, т. е. вычисляется теплоотдача к.
поверхности этого тела, исходной расчетной формулой является выражение
или
Q = (aK + ap)FAT. A.5.2)
Здесь Q — тепловой поток в единицу времени, а индексы «к» и «р» обозначают
теплоотдачу конвекцией и излучением.
При расчетах теплопередачи от одной жидкой среды к другой (например,
от пара к воде в трубах конденсатора) вместо коэффициента теплоотдачи вво-
вводится коэффициент теплопередачи. При этом входящие в выражение для k зна-
значения коэффициента теплоотдачи слагаются из коэффициентов теплоотдачи кон-
рекдией и излучением, т. е. расчетный коэффициент теплоотдачи
а = ак + ар. A.5.3)
Практически излучение учитывают только при теплообмене с газовой сре-
средой, так как капельные жидкости в большинстве тепловых расчетов можно
считать непрозрачными для теплового излучения. Методы вычисления коэф-
коэффициентов теплоотдачи в различных условиях рассмотрены в последующих
гладах. Однако при переходе от частных способов теплоотдачи к сложному теп-
теплообмену возникают качественно новые особенности, существенно усложняю-
усложняющие задачу.
Основным вопросом в этом случае является выяснение того, что следует по-
понимать в выражении A.3.2) под разностью температур сред, так как эти тем-
температуры меняются вдоль течения вследствие самого процесса теплопередачи
(греющая среда охлаждается, нагреваемая среда повышает свою температуру).
Очевидно, в таком случае уравнение A.3.2) следует писать в интегральной фор-
форме и совмещать с уравнением теплового баланса системы:
Q= \kATdF. A.5.4)
F
Во многих случаях оказывается возможным считать коэффициент теплопе-
теплопередачи k постоянным по всей поверхности нагрева, т. е. вводить некоторым об-
образом усредненное значение этой величины. В таком случае уравнение A.5.4)
принимает вид
A.5.5)
где
ATdF. A.5.6)
F J
Величина ДГ называется средней разностью температур или средним тем-
температурным напором. Знак осреднения k в уравнении A.5.5) опущен. Совме-
Совмещая A.5.5) с уравнением теплового баланса для стационарной теплопередачи,
получаем систему уравнений
]
Q = c1G2(T11-T12)] A.5.7)
Q = c2G2(T22-T21). J
Здесь си с2 — удельные теплоемкости греющей и нагреваемой сред при посто-
постоянном давлении, Дж/(кг- К); Gb G2 — массовые расходы сред, кг/с; Ги, Т12 —
температура греющей среды на входе и выходе, К; Г12, Т22 — температура на-
нагреваемой среды на входе и выходе, К.
Коэффициент теплопередачи k в этом случае обычно вычисляют по значе-
значениям" а, отнесенным к температурам сред, осредненным по ходу течения.
Как явствует из предыдущих разделов, допущение о постоянстве k по всей по-
верх№<^#ёшюобмена, вообще говоря, весьма условно, и в некоторых случаях
такое^рЬа?ение задачи оказывается невозможным (например, в случае изме-
изменений^: rfo длине трубы при конвекции). При этом производят расчеты, разби-
разбивая поверхность теплообмена на отдельные участки, в пределах которых коэф-
коэффициент теплопередачи можно считать постоянным с достаточной для данного
расчета степенью точности.
1.6. СРЕДНИЙ ТЕМПЕРАТУРНЫЙ НАПОР
Для элементарной поверхности теплообмена dF (сечение х) система A.5.7)
примет вид:
dQ^k^-T^dF; ]
dQ=—c1G1dT1; A.6.1)
dQ = c2G2dT2. J
Знак минус во втором из этих уравнений взят потому, что в результате тепло-
теплопередачи температура греющей среды понижается.
Далее будем полагать, что поверхность нагрева с обеих сторон омывается
параллельными потоками жидкости. При этом, если направления течения сред
совпадают, то такое течение будем называть прямотоком, а если направления
течения сред противоположны (на 180°) — противотоком. Совмещая втброе
и третье уравнения системы A.6.1), можно написать
Совмещая это уравнение с первым уравнением системы A.6.1), получаем
d (АТ)/АТХ = d G\ — Т2I{ТХ — Т2)х = — zdF, A.6.3)
где z = k [(^А) + (caGa)]. Интегрируя уравнение A.6.3) при z = const,
лолучаем
1ПМТ "КТЛ--*Р' л A.6.4)
Здесь А7\ = G\ — Г^^о — температурный напор на входе греющей среды
в рассматриваемую область. Подставляя это выражение для А71 в уравнение
A.5.6), получаем
exp(z/)df fexp(—zF) — l]. A.6.5)
F J zF
10
Так как в этом уравнении интегрирование распространяется на всю поверх-
поверхность нагрева, то величина Д7\ ехр (— zF) представляет собой, согласно урав-
уравнению A.6.4), температурный напор на выходе греющей среды ЛГ2 = (Тг —
— T2)X=F. С другой стороны, — zF = In (Д7УД7\), и, следовательно,
ln(A7yA7\)
A.6.6)
Эта величина называется среднелогарифмическим температурным напором
При прямотоке Д7\=ГП—Г21 и ДГ2=Т12—Г22; при противотоке ДГ^Гц—Г„
и ДТ2 = Г12— Г21. Из этих выражений видно, что при одной и той же началь-
начальной температуре греющей среды при противотоке можно получить более высо-
Рис. 1.1. Изменение температур теплоно-
теплоносителей при прямотоке (а—C\G\>c2G2\
б — c\G\<c2G2) и противотоке (в —
CiGi<c2G2\ г — clGx>c2G2)
Рис. 1!2. Различные схемы течения теп-
теплоносителей в аппаратах:
а — прямоток; б — противоток; в — перекрест-
перекрестный ток; г — смешанный противоточно-прямо-
точный ток; д — перекрестно-противоточный
ток, е, ж — смешанные токи при наличии от-
клоняющих перегородок
кую температуру нагреваемой среды, т. е. в целях подогрева противоток яв-
является наиболее целесообразной формой организации движения теплоносите-
теплоносителей (рис. 1.1).
При изменении агрегатного состояния, когда температура одной из сред G\)
остается постоянной и равной температуре фазового превращения Т\ формула
A.6.6) принимает вид
Г^—• A-6.7)
Как видно из рис. 1.2, наряду с прямотоком и противотоком могут иметь
место смешанные формы течения. Вычисление средних разностей температур
в этих случаях весьма громоздко и не имеет принципиального значения. На
рис. 1.3 для некоторых схем течения приведены значения вспомогательных
функций i|) (Р; R), при помощи которых определяют средний температурный
напор по формуле
AT = ih • (Тц—т22)—(Г12—т21)
1п[(Гп-Г22)/(Г12-Г21)] '
A.6.8)
Вспомогательные параметры Р и R также являются функциями начальных
и конечных температур сред
A.6.9)
11
R=(Tn-T12)/(T22-T21).
0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 P
0,9
(
«5
\
\
1"
- r
1
\
" ^
e
Ss
V
\|
u
1
1
=^
ч
\
N
\
s
N V
\ 1 \
\ \
1 \
:
} 0,1 0,5 0,5 0,7 0,9 P
0,1 0,5 0,5 0,7 P
1.7. ХОД РАСЧЕТА ТЕПЛОПЕРЕДАЧИ
Обычно при расчете теплопередачи невозможно сразу определить темпера-
температурный уровень процесса во всех точках системы. Так, если заданы начальные
температуры теплоносителей, то конечные температуры обычно можно опреде-
определить только путем последовательных приближений. Но так как от температур-
температурного уровня зависит и коэффициент теплопередачи (через входящие в него ве-
величины а и Я), то тепловой расчет еще более усложняется.
Применяемый в этом случае метод последовательных приближений заклю-
заключается в том, что в первом приближении задаются вероятными значениями не-
неизвестных температур, или коэффициентов теплопередачи, или тепловых пото-
потоков и затем, выполнив все вычисления, в поверочном расчете определяют эти
величины. Если между вычисленными и принятыми значениями имеет место
12
@,8
@,6
>
NN
\ \
\l \
с
|i
\
=2
\
\
\
4
—a.
¦«,
s
V
\
s
\
s
4
\
\
«=;
4
\
\
\
\
\
\
\
L
\
\
\
1
\
0 0^ 0,4 0,6- 0,8 P
A
-T22
V
12
Рис. 1.З. Графики поправочных коэффициентов к среднелогарифмической
разности температур для некоторых схем течения
«большое расхождение, то расчет повторяют, приняв новые исходные значения
неизвестных величин в соответствии с тенденцией, обнаруженной поверочным
расчетом. Проведение таких расчетов и удачный выбор исходных значений до-
достигаются, конечно, в результате большой практики.
Для наиболее ответственных агрегатов (ядерные реакторы, паровые котлы,
камеры сгорания и т. п.) ход теплового расчета обычно стандартизируют и из-
излагают в виде норм.
1.8. ОДНОМЕРНАЯ МОДЕЛЬ ЖИДКОСТНОГО
ОХЛАЖДЕНИЯ ЯДЕРНОГО РЕАКТОРА
В аппаратах с тепловыделением, не зависящим от процесса теплопередачи,
-основной задачей теплового расчета является определение поля температур в
тепловыделяющих элементах и потоке охлаждающей среды. При этом следует
.определить максимальные температуры материала и жидкости для сравнения
их с условиями безопасного режима работы. В условия безопасного режима ра-
работы входят, в частности, допустимый температурный предел работы конст-
конструкционных материалов, температура насыщения жидкости при охлаждении
•без кипения и первая критическая плотность теплового потока при охлаждении
?, кипением.
13
Рассмотрим охлаждение трубчатого элемента ядерного реактора некипя-
щей жидкостью. Для простоты физические свойства" жидкости будем считать
неизменными по" длине канала. Распределение
ЪУц : ^ ^j тепловыделения
синуса
запишем в виде закона
2Х+11
A.8.1)
Рис. 1.4. Распределение темпера-
температур и теплового потока по длине
канала, охлаждаемого водой, при
синусоидальном продельном рас-
распределении тепловогоЬпотока
где <7макс — максимальная плотность теплово-
теплового потока, имеющая место в центре канала;
% — постоянная данного канала.
Влиянием входного участка на величину
а пренебрегаем, полагая, что канал достаточ-
достаточно длинен. Тепловой* баланс элемента трубы
имеет вид
qnDdx = cpw (я/4) D2 dTx- = anD (TCT — Tx)dx.
A.8.2)
Здесь Тх — средняя температура жидкости в сечении; w — средняя рас-
расходная скорость жидкости; D — внутренний диаметр трубы. Вводя в это выра-
выражение значение q из A.8.1) и решая попарно члены равенства A.8.2), находим
nDcpw
-cos я
Температура жидкости на выходе из активной зоны
2cos-
nDcpw
2Х+1
A.8.3)
A.8.4)
A.8.5)
Максимальная температура стенки находится при данном распределении плот-
плотности теплового потока не в конце трубы, а в некоторой точке ее второй поло-
половины. Положение этой точки определяется условием dTCT/dx = 0.
На рис. 1.4 показан характер распределения теплового потока, температуры
стенки тепловыделяющего элемента и температуры охлаждающей жидкости
по длине реактора.
2
Глава _ _
УРАВНЕНИЕ РАСПРОСТРАНЕНИЯ
ТЕПЛА В ВЕЩЕСТВЕННОЙ СРЕДЕ
2.1. ГИПОТЕЗА О ПРЯМОЙ ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТИ
ВЕКТОРА ТЕПЛОВОГО ПОТОКА ГРАДИЕНТУ
ТЕМПЕРАТУР
При стационарном процессе теплообмена и постоянной плотности теплово-
теплового потока количество тепла, проходящего через некоторый элемент тела, пря-
прямо пропорционально площади рассматриваемого элемента и промежутку вре-
времени. Для нестационарного процесса такого рода пропорциональность может
быть сохранена только в том случае, если мы будем рассматривать весьма ма-
малые промежутки времени и площади. В соответствии с этим
d2Q = qdFdt. B.1.1)
где dF — элементарная площадь, через которую проходит тепловой поток;
dt — элементарный период времени; d2Q — элементарный поток тепла, кото-
который рассматривается в данном случае как дифференциал второго порядка (по-
(поскольку величины dF и dt рассматриваются как дифференциалы первого поряд-
порядка). Величина q, имеющая размерность Вт/м2, представляет собой вектор теп-
теплового потока, направленный по нормали к площадке в сторону, обратную на-
направлению градиента температур.
В середине XVIII столетия М. В. Ломоносов указал [1], что количество теп-
теплоты, передаваемое от одного тела к другому, пропорционально разности коли-
количеств движения составляющих эти тела «частиц», т. е. молекул. Количество
движения, передаваемое молекулам, пропорционально разности их кинети-
кинетических энергий в рассматриваемых областях тела, т. е. пропорционально раз-
разности температур этих областей. Формально в математическую физику это по-
положение было введено в начале XIX столетия в виде гипотезы Био-Фурье о
прямой пропорциональности вектора теплового потока градиенту температуры:
q=—A,grad7\ B.1.2)
Знак минус показывает взаимообратную направленность вектора теплового
потока и градиента температур, а множитель пропорциональности X рассмат-
рассматривается как некоторая физическая характеристика, именуемая коэффициен-
коэффициентом теплопроводности. Размерность коэффициента теплопроводности
В действительности коэффициент теплопроводности данного вещества от-
отнюдь не является строго постоянной величиной, а так же, как и другие физи-
физические характеристики (удельная теплоемкость, коэффициент вязкости и т. п.),
меняется с изменением состояния тела и, в первую очередь, в связи с изменени-
изменением его температуры. Так, коэффициент теплопроводности газов возрастает с
повышением температуры (рис. 2.1). То же наблюдается и у многих теплоизо-
теплоизоляционных твердых материалов (рис. 2.2). У чистых металлов коэффициент
теплопроводности уменьшается с ростом температуры (рис. 2.3), а у жидко-
жидкостей эта зависимость подчас имеет весьма сложный характер (рис. 2.4. и 2.5).
Так, коэффициент теплопроводности воды в некотором интервале температур
возрастает, а затем уменьшается (рис. 2.6). В газах импульс и энергия теплово-
теплового движения передаются при непосредственном взаимодействии (столкнове-
(столкновении) молекул, вследствие чего коэффициенты теплопроводности, вязкости и
диффузии пропорциональны друг другу:
Я ~ ср ~ cpD, B.1.3)
где D — коэффициент диффузии, м2/с.
15
?
0,2
\0,04
CD
0,02
0,01
/
/
/
/
7/
J
/'
8
/
7
0,20
0,16
E
со
0,08
0,04
/
/
J
~~—
<?
^4
\
0,08
0,06
?0,04
0,02
§
r
1
f
\
\
5
\
6
\
s
200
400
600 T,K
Рис. 2.1. Температурные зависимости
коэффициентов теплопроводности не-
некоторых газов при нормальном дав-
давлении:
/ — водород; 2 — гелий; 3 — неон; 4 — ар-
аргон; 5 — воздух; 6 — азот; 7 — двуокись уг-
углерода; 8 — фреон-12; 9 — фреон-11
Рис. 2.2. Температурные зависимости коэффи-
коэффициентов теплопроводности некоторых изоляци-
изоляционных материалов:
/ — асбест; 2 — инфузорная земля; 3 — трепельный"
кирпич (обожженный); 4—пробковая мелочь; 5—*
88%-ный карборундовый кирпич; 6 — 57%-ный карбо-
карборундовый кирпич
480
400
520
240
160
80
J
5
8
9
-
—^—¦
.
Ша
¦—,
6-
—¦—.
—
—'—
¦
Щ
Рис. 2.3. Температурные зависимости
коэффициентов теплопроводности не-
некоторых металлов:
1 — медь 100%-ная; 2 — медь 99,9%-ная; 3 —
алюминий 99,7%-ный; 4 — алюминий 99,0%-
ный; 5 —марганец 100%-ный; 6 — марганец
99,6%-ный; 7 —цинк 99,8%-ный; 5 — плати-
платина 100%-ная; 9 — никедь 99%-ный; 10 — ни-
никель 97%-ный; 11 — железо 99,2%-ное; 12 —
свинец технически чистый
50.
Рис. 2.4. Температурные зависимое™
коэффициентов теплопроводности не-
некоторых жидкостей:
/ — глицерин; 2 — уксусный ангидрид; 3 —
масляная кислота; 4 — пропилацетат; 5 —
амиловый спирт; 6 — масло ВМ-4; 7 — б
бензол; 8—дибромэтан-
16
В неметаллических конденсированных
средах энергия теплового движения пере-
передается в основном за счет колебаний мо-
молекул, т. е. имеет место фононная тепло-
теплопроводность. В чистых конденсированных
металлах теплота переносится движением
свободных электронов, что обусловливает
высокую теплопроводность и пропор-
пропорциональность ^^ ее электропроводности.
В сплавах фононная и электронная теп-
теплопроводности! могут быть соизмеримыми.
Для кристаллов имеет место анизотропия
теплопроводности, т. е. значение X не оди-
одинаково в направлении различных осей
кристалла.
0,7
0,6
0,5
?
п
¦ 1
1
- 1
1
и—,
1
1
1
Sn
Pb
1
1
1
! Си
-
2,8
2,0
1,6
'400 800 1200 1600T,K
Рис. 2.5. Температурные зависимости
коэффициентов теплопроводности не-
некоторых жидких металлов по данным
Л. П. Филиппова
Таким образом, в уравнении B.1.2) множитель пропорциональности А, в
общем случае следует рассматривать как некоторую функцию температуры и
координат, а следовательно, и времени. Однако во многих практически интерес-
0,8
0,6
?
0,2
7
-.
\
10
10 Па
\
л
\ ki 5
\ Ух
\ ,
2-Ю7
¦
100
200
J00
400
500
600 Т,%
Рис. 2.6. Температурные зависимости коэффициентов теплопроводности
воды и водяного пара
ных случаях с достаточной степенью точности оказывается возможным считать
величину Я постоянной, вводя в расчет ее некоторое среднее значение в данном
интервале температур.
2.2. УРАВНЕНИЕ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ТЕПЛА
В ВЕЩЕСТВЕННОЙ СРЕДЕ
Вывод дифференциального уравнения распространения тепла основан на
применении закона сохранения и превращения энергии. Для тепловых процес-
процессов этот закон выражается в виде первого начала термодинамики, которое
для единицы объема движущейся среды можно записать в виде уравнения
= p[du + d {w2/2)].
B.2.1)
Здесь Qv — количество тепла, втекающего в единицу объема среды за единицу
времени, Вт/м3; Lv — работа, совершаемая внешними силами над единицей объ-
объема среды за единицу времени, Вт/м3; и — внутренняя энергия одного кило-
килограмма среды, Дж/кг; w — скорость движения (течения) среды, м/с.
Уравнение B.2.1) выражает то обстоятельство, что изменение полной энер-
энергии тела, складывающееся в данном случае из его внутренней энергии ра и
кинетической энергии рш2/2, обусловлено количеством теплоты, подводимой к
17
телу, и внешней работой, совершаемой над телом. Поскольку рассматривается
движение элемента потока жидкости, то работа в данном случае связана с из-
изменением давления и внутренним трением текущей среды. Внутренняя энергия
среды связана с ее энтальпией (теплосодержанием) уравнением
du = di — d(p/p). B.2.2)
Для совершенного газа di = cp dT. Воспользовавшись этими соотношениями,
получаем
du + d (ш2/2) = di + d (w2/2)—р-1 dp + /?p~2 dp. B.2.3)
Выделим в рассматриваемом теле объем V, ограниченный поверхностью F.
Уравнение теплового баланса этого объема, отнесенное к единице времени,
можно записать в виде
f Qv dV + f qdF =* f qv dV. B.2.4)
V F V
Внутренние источники тепла могут возникать вследствие излучения, объем-
объемных химических реакций, радиоактивного распада вещества, прохождения
электрического тока, работы трения и т. п. Первый член этого уравнения пред-
представляет собой изменение теплосодержания рассматриваемого объема; второй
член — количество тепла, ушедшее через поверхность F путем теплопровод-
теплопроводности; третий — количество тепла, выделенное внутренними источниками
(если qv имеет знак минус, то в теле находятся стоки тепла).
Между потоком вектора через замкнутую поверхность F, ограничивающую
объем F, и расходимостью (дивергенцией) вектора существует связь, выражае-
выражаемая формулой Гаусса — Остроградского:
f qdF= \]divqdV. B.2.5)
F V i
Преобразование B.2.5) справедливо, если в объеме V нет сильных разрывов
функции. Следовательно, в тепловой задаче это означает, что область V не
должна включать границы раздела фаз. Вводя преобразование B.2.5) в левую
часть уравнения B.2.4), находим
Qv = div (Jtgrad T) + qv. B.2.6)
В прямоугольных координатах
div q = dqjdx + dqy/dy + dqjdz. B.2.7)
Если принять гипотезу B.1.2), то
qt = —КдТ/дхг. B.2.8)
Тогда выражение B.2.6) в прямоугольных координатах имеет вид
Qv = л i М + Qvm B.2.9)
V дх* ^ ду* д22 / дх дх ^ ду ду ^ dz dz f K }
Подставляя это значение Qv в уравнение B.2.1) и принимая во внимание
соотношение B.2.3), получаем уравнение Фурье — Кирхгофа:
}(д2Т а2 Г , д2Т\ дХ дТ дХ дТ дХ дТ
дх2 ду2 ' П dz2 ) дх дх ду ду dz dz
EB,,o,
Это уравнение параболического типа, т. е. имеет нестационарные решения
при бесконечно большой скорости распространения теплового возмущения.
Реальная же скорость распространения теплового возмущения в вещественной
среде имеет порядок не более средней скорости теплового движения структур-
структурных частиц, а для излучения равна скорости распространения электромагнит-
18
ных волн. Однако во многих практических приложениях можно ограничиться
уравнением распространения тепла в форме B.2.10).
Оно содержит давление р, скорость течения среды w и плотность р. Следова-
Следовательно, для общего решения задачи о теплообмене в движущейся вещественной
среде к уравнению B.2.10) необходимо присоединить еще уравнения, опре-
определяющие поле скоростей и связь между термодинамическими параметрами
состояния среды. Такое замыкание системы дифференциальных уравнений
теплообмена в движущейся вещественной среде достигается присоединением,
к уравнению распространения тепла уравнений движения и сплошности по-
потока жидкости и уравнения состояния.
Полные производные по времени от давления, теплосодержания, квадрата-
скорости и плотности являются функциями координат и времени, в связи с чем
полный дифференциал любой из них:
Отсюда
dt + gdx + ?dy+3-dz. B.2.11)
dt dx ду dz
dtp __д<р ду dx_ _дф_ jly_ _дф_ dz__ ^ 2 12V
dt dt dx dt ду dt dz dt
Величины dxldt = wx\ dy/dt = wy; dzldt = wz представляют собой проек-
проекции вектора скорости течения среды на соответствующие координаты. Таким
образом, рассматриваемая полная производная распадается на две с физичес-
физической точки зрения разные части. Первый член правой части выражения B.2.12)
характеризует изменение данной величины, связанное с изменением поля этой
величины во времени. Сумма остальных трех членов правой части выражения
B.2.12) характеризует изменение данной величины, происходящее в связи с пере-
перемещением рассматриваемого элемента среды из одной точки пространства в дру-
другую. Иначе говоря, частная производная dy/dt представляет собой скорость
изменения ф во времени в той точке пространства, в которой элементарный объ-
объем среды находится в данный момент времени, а сумма
wx dy/dx + wy dy/dy + wz dy/dz = (w, grad-ф) B.2.13}
представляет собой скорость изменения ф, обусловленного перемещением эле-
элементарного объема среды dV из точки со значением ф -= фх в точку со значением
Ф = Ф2-
В связи с изложенным величина dy/dt называется местным или локальным
изменением, а величина (w, grad ф) — изменением перемещения или конвектив-
конвективным изменением. Для того чтобы подчеркнуть непосредственную связь произ-
производной dy/dt с движущейся средой (субстанцией), ее обозначают специальным
символом Dy/dt и называют субстанциональной производной:
Dy/dt = dy/dt + wx dy/dx + wydy/dy + wz dy/dz B.2.14)
или, в векторной форме:
y gгadф). B.2.15)
2.3. ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
Вводя полученное выше значение субстанциональной производной в урав-
уравнение B.2.10), получаем
д*Т д*Т . д*Т\ дХ дТ дХ дТ_ д%__дТ_ __
" а dz2 ) дх дх ду ду дг dz V ~
дх2 ду2
( di . di , di , di \ .
\ dt дх ду dz ]
, dw2/2 . dw2/2 . dw2/2
dt dx dy dz j
?У B-зл>
В векторной форме это уравнение имеет вид
5L 2!!5? B.3.2)
p + p
t р at at at
При умеренных скоростях течения жидкости, когда работа внешних сил и
кинетическая энергия потока малы по сравнению с его энтальпией (т. е. прак-
практически можно пренебречь влиянием изменения давления и кинетической энер-
,гией), уравнение распространения тепла в вещественной среде существенно
упрощается и принимает вид
div (ugrad T) + qv = pDi/dt. B.3.3)
Если коэффициент теплопроводности и удельную теплоемкость среды мож-
можно с достаточной точностью считать постоянными, то
XV2 T + qv=cpDT/di. B.3.4)
В неподвижной среде, в частности в твердом теле, w = 0 и при постоянных
«физических свойствах
XV2 T + qv = cpdT/dt B.3.5)
При отсутствии внутренних источников тепла, умеренных скоростях тече-
течения и постоянных физических свойствах среды уравнение распространения теп-
тепла принимает наиболее простую форму (уравнение Фурье — Остроградского
;[21):
— V2 Т = дТ/dt + (w, grad T). B.3.6)
Ф
В это уравнение Я, с (для газа ср) и р входят не порознь, а вместе — в виде
•комплекса
а.= Уф, B.3.7)
играющего здесь ту же роль, что и коэффициент диффузии в уравнении массо-
переноса.
Очевидно, что всякий комплекс, составленный из нескольких физических
характеристик, может, в свою очередь, рассматриваться как новая физическая
величина, характеризующая некоторые особые свойства среды.
Комплекс а, имеющий размерность м2/с, представляет собой отношение ко-
коэффициента теплопроводности среды к ее объемной теплоемкости. Это отноше-
отношение можно рассматривать как меру скорости изменения температуры единицы
объема тела при прохождении через него теплового потока, пропорционально-
пропорционального X. В соответствии с этой трактовкой .комплексная физическая характеристи-
характеристика B.3.7) называется коэффициентом температуропроводности среды или коэф-
коэффициентом диффузии тепла. Таким образом, скорость изменения температур-
температурного поля во времени в твердом теле и жидкости, текущей с умеренной ско-
скоростью, при отсутствии внутренних источников тепла зависит только от одной
физической характеристики — коэффициента температуропроводности.
При стационарном процессе дТ/dt = 0 и, поскольку а Ф О,
0. B.3.8)
Следовательно, конфигурация стационарного температурного поля в непод-
неподвижной среде с постоянными физическими свойствами и без внутренних ис-
источников тепла не зависит от физических свойств среды, а определяется толь-
только формой рассматриваемого тела и распределением температуры на его гра-
границах. '
20
При наличии внутренних источников тепла стационарное температурное
поле в неподвижной среде с постоянными свойствами примет вид
V2T + qv/k=--0. B.3.9)
В этом случае конфигурация температурного поля зависит от геометрии тела,
плотности внутреннего источника тепла и коэффициента теплопроводности
среды.
В среде, движущейся с умеренной скоростью, стационарное температурное
поле определяется уравнением
W*T + qv/cp=(vr, gradT). B.3.10)
Следовательно, в это^ случае конфигурация температурного поля зависит от
коэффициента теплопройбдности и объемной теплоемкости ср.
При отсутствии внутренних источников тепла стационарное температурное
тюле в среде с постоянными физическими свойствами, движущейся с умерен-
умеренной скоростью, зависит только от коэффициента температуропроводности.
2.4. ТЕМПЕРАТУРА ТОРМОЖЕНИЯ
Запишем сумму диффере*щадлыщх операторов в правой части уравнения
<B.3.2) как
«+#/2) (.)
Величина
i*=^i + w*/2 B.4.2)
имеет размерность энтальпии и, очевидно, является некоторой специфической
характеристикой энергетического состояния потока.
Для газов в довольно широко^ интервале температур удельную теплоем-
теплоемкость можно считать постоянной и
T* = T + w2/2cp. B.4.3)
Физический смысл этой величины может быть выяснен из следующих сообра-
соображений. Полная энергия потока складывается из его энтальпии и кинетической
энергии, т. е. равна t*. При изоэнтропическом торможении полная энергия
потока не изменяется, т. е.
iw=0 = i* = const, B.4.4)
В связи с этим величина i* называется энтальпией торможения, а вели-
величина Т* — температурой торможения. Эти величины играют важную роль
при исследовании теплообмена в потоках, двигающихся с большими скоро-
скоростями.
2.5. УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ С КОНЕЧНОЙ
СКОРОСТЬЮ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ВОЗМУЩЕНИЯ
Простейшая модель с конечной скоростью распространения теплового воз-
возмущения была предложена Вернотом. Эта модель представляет собой обобще-
обобщение модели Био — Фурье путем введения времени релаксации теплового пото-
потока tT. Тогда
q + /r^i-=_Xgradr. B.5.1)
Скорость распространения теплового возмущения может быть связана со вре-
временем тепловой релаксации через коэффициент температуропроводности»
Иэ соотношения размерностей имеем
B-5-2)
21
При кинетической и фонтанной проводимостях йеличина wr имеет порядок ско-
скорости звука, что и позволяет оценивать вклад первого и второго членов левой
части формулы B.5.1) в решение задач нестационарной теплопроводности.
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ломоносов М. В. Размышления о причине теплоты и холода. Новые комментарии
Петербургской Академии-наук, т. 1, 1750.
2. Остроградский М. В. Замечания по теории теплоты. Записки С.-Петербургской Ака-
Академии наук, т. 1, 1831.
3. Пехович А. И., Жидких В. М. Расчеты теплового режима твердых тел. Изд. 2-е, перераб.
и доп. Л., «Энергия», 1976.
4. Fourier I. В. Theorie analitique de la chaleur, Paris, 1822.
5. Kirchhoff G. Vorlesungen uber Mathematik, Physik, Mechanik, B. U. Vorlesungen uber
die Theorie der Warme, Leipzig, 1894.
6. Vernotte P. La nouvelle equation dela chaleur; peut—il у avoir propagation? — In: Jour-
nees international de la transmission de la chaleur. V. 1. Paris, 1961, p. 17.
3
Глава
УРАВНЕНИЯ ГИДРОДИНАМИКИ
3.1. СВЯЗЬ МЕЖДУ ПОЛЕМ ТЕМПЕРАТУР И
ПОЛЕМ СКОРОСТЕЙ В ДВИЖУЩЕЙСЯ СРЕДЕ
Наличие конвективного члена в уравнении B.3.1) показывает, что в движу-
движущейся среде теплообмен осуществляется не только за счет теплопроводности,
но и вследствие переноса тепла перемещающимися частицами среды (жидкости,
газа). При этом интенсивность конвективного переноса тепла пропорциональ-
пропорциональна мгновенному значению скорости течения среды в данной точке пространства.
Следовательно, конфигурация поля температур в движущейся среде сущест-
существенным образом зависит от конфигурации поля скоростей.
С другой стороны, температурное поле вызывает нарушение однородности
физических свойств среды. В областях с более высокой температурой плот-
плотность среды вследствие теплового расширения уменьшается, и получается не-
неустойчивое распределение плотности. Элементы жидкости приходят в движение,
обусловленное температурным полем. Если жидкость (газ) не подвергается
какому-либо внешнему механическому воздействию, побуждающему ее к пере-
перемешиванию (например, воздействию насоса), то единственным источником дви-
движения среды в этом случае оказывается процесс теплообмена. Такое движение
жидкости или газа называется свободной тепловой конвекцией, в отличие от
вынужденной конвекции, когда движение среды обусловливается внешним воз-
воздействием.
Кроме того, наличие неоднородного температурного поля обусловливает
и переменность вязкости жидкости, что также сказывается на характере поля
скоростей.
Таким образом, поля температур и скоростей в движущейся среде являются
следствием тепловых и механических взаимодействий и, строго говоря, не мо-
могут рассматриваться в отрыве друг от друга. При этом поле температур всегда
самым существенным образом зависит от поля скоростей. В отношении же поля
скоростей можно выделить такие течения, в которых тепловое воздействие весь-
весьма мало по сравнению с воздействием внешнего побудителя движения. Поэтому
в условиях вынужденной конвекции часто пренебрегают влиянием поля темпе-
температур на поле скоростей и учитывают только обратное воздействие.
Этот прием имеет важное методологическое значение, так как самым суще-
существенным образом упрощает исследование теплообмена в ряде практически
важных задач с дозвуковыми скоростями течения.
3.2. УРАВНЕНИЕ СПЛОШНОСТИ ПОТОКА ЖИДКОСТИ
Система дифференциальных уравнений гидродинамики строится на основе
законов сохранения массы и энергии. Рассмотрим поток жидкости через по-
поверхность /\ замыкающую объем V. В случае несжимаемой жидкости суммар-
суммарный расход жидкости через поверхность равен нулю. В случае сжимаемой
жидкости часть ее может задержаться или вытечь из рассматриваемого объема.
При этом плотность жидкости в данной точке пространства будет возрастать
или уменьшаться в единицу времени со скоростью dp/dt. Следовательно, изме-
изменение количества вещества в объеме V будет
= f div(pw)dV. C.2.1)
V
23
Знак минус при dp/dt взят потому, что плотность жидкости в рассматривае-
рассматриваемом объеме возрастает тогда, когда приращение расхода жидкости по коорди-
координатам меньше нуля, и убывает, когда приращение расхода положительно.
Из уравнения C.2.1) следует, что
C.2.2)
или в прямоугольных координатах
¦f"+1г{pWx)+ii{pWy)+ir(pWz)=°- C*2*3)
Для установившегося течения сжимаемой жидкости, когда dp/dt = О,
div(pw)=0. C.2.4)
Для несжимаемой жидкости уравнение сплошности принимает вид
divw-О. ' C.2.5)
3.3. УРАВНЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
В вязкой жидкости возможны как нормальные напряжения, так и напряже-
напряжения сдвига. Нормальные напряжения обусловливаются наличием сил давле-
давления, а напряжения сдвига вызываются трением между слоями жидкости, дви-
двигающимися с различной скоростью. Напряжения сдвига (или касательные на-
напряжения) в жидкости зависят от градиента скорости. По закону Ньютона для
одномерного течения
%xy = \idwx/dy. C.3.1)
Жидкости, подчиняющиеся этому закону, называются ньютоновскими, а
множитель пропорциональности |i — коэффициентом внутреннего трения или
динамическим коэффициентом вязкости жидкости. Этот коэффициент имеет
размерность Па-с, т. е. размерность импульса силы, отнесенного к единице
поверхности трения.
Уравнения движения невязкой жидкости были составлены Эйлером. Навье
и Стоке обобщили эти уравнения для случая течения жидкости, подчиняющейся
закону трения Ньютона. В векторной форме уравнение движения ньютонов-
ньютоновской жидкости имеет вид
( |) C.3.2)
Здесь Dw/dt — вектор с проекциями Dwjdt, Dwjdt и Dwjdt\ S — тензор ско-
ростей деформаций, компонентами которого являются:
дх '
1 ldwv
2 1 дх
I / dwz
I /
2 (
-+•
. 4-_
dwx
dy
dwx
dy
dwx ¦
dx dz
24
В проекциях на прямоугольные координаты векторному уравнению C.3.2)
соответствует система уравнений:
-^— r —; г
dwy
дх
¦)]-
= —д-Е- + ±- Га (
JH!M
a*
+ JZ*-X\ +2-1-
C.3.3)
Для изотермического течения несжимаемой жидкости, когда вязкость
и плотность постоянны, из уравнения C.3.2) следует:
pDw/dt = gp—grad/?+jiV2w. C.3.4)
Здесь V2w — вектор с проекциями V2wx, V2wy и V2wz.
Работа потока, отнесенная к единице объема текущей среды, равна
2 dt
C.3.5)
где
dwx
дх
+ 1
dwy
dwz
~~дГ
dwx
17
Выражение
dz
dwz
дх
+ ¦
dz
diss F (w) = 2S3 — — (div wJ
О
C.3.6)
C.3.7)
называется функцией рассеяния (диссипации) механической энергии потока.
Это рассеяние энергии происходит путем перехода ее в теплоту в результате
действия внутреннего трения жидкости.
3.4. ПОДЪЕМНАЯ СИЛА, ОБУСЛОВЛЕННАЯ
НЕОДНОРОДНОСТЬЮ ТЕМПЕРАТУРНОГО ПОЛЯ
Допустим, что температура Т в рассматриваемой точке отличается от тем-
температуры То в некоторой определенной области или точке потока. Приняв То
за начало отсчета температурного уровня, обозначим через AT разность тем-
температур Т — То.
Соотношение плотности жидкости в двух рассматриваемых точках (облас-
(областях) потока равно
ро/р= 1 + РДГ, C.4.1)
где р — коэффициент объемного расширения, 1/К. Отсюда
р0 - р = ррДГ. C.4.2)
Подъемная (архимедова) сила единицы объема определяется выражением
C.4.2), умноженным на g и взятым с обратным знаком.
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. М., «Наука», 1970.
2. Седов Л. И. Механика сплошной среды. М., «Наука», 1973, Т. I, 536 с; Т. 2, 584 с.
3. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М., «Наука», 1968.
25
4
Гтва жш
*" УРАВНЕНИЯ ОСРЕДНЕННОГО
ТУРБУЛЕНТНОГО ПОТОКА
4.1. ТУРБУЛЕНТНОСТЬ
Путем ввода краски в поток жидкости или дыма в поток газа, движущихся
в канале с прозрачными стенками, можно наблюдать траектории отдельных
элементов изучаемого потока. При этом оказывается, что характер движе-
движения существенно меняется при переходе от одних значений скоростей течения
к другим.
В области малых скоростей окрашенные частицы следуют в потоке по впол-
вполне определенным плавным траекториям, все время сохраняя движение в на-
направлении вектора средней скорости потока, а возникающие в потоке случай-
случайные нерегулярности не развиваются, а гаснут. Этот вид движения называется
ламинарным (слоистым) течением. При этом под средней скоростью потока при
р = const понимается отношение
D.1.1)
где А^ — промежуток времени, за который производится осреднение, с. При
некотором значении средней расходной скорости потока упорядоченное тече-
течение резко нарушается: в потоке возникают пульсации скорости, подкрашенные
струйки быстро размываются, отдельные объемы («комки») жидкости начинают
двигаться поперек потока и даже в обратном направлении к общему осреднен-
ному движению.
Возникшее нерегулярное, случайное в отношении малых элементов потока
движение является весьма устойчивым в среднем и единственным реально су-
существующим в области значительных скоростей течения. Таким образом, наи-
наиболее характерным видом движения жидкой среды является движение, не
упорядоченное в малых элементах потока. Такого рода течение называется
турбулентным.
В области скоростей, при которых имеет место ламинарное течение, не толь-
только капельные жидкости, но и газы во многих случаях могут рассматриваться
как практически несжимаемые среды. Кроме того, при вынужденном течении
обычно можно пренебречь действием силы тяжести. Уравнения движения
и сплошности установившегося течения при этих условиях примут вид
L grad rp4-\V2 w = (w, grad),'w;
P
D.1.2)
Если величины р и v заданы, то уравнения D.1.2) содержат только два неиз-
неизвестных: давление р и скорость течения w. Следовательно, движение рассмат-
рассматриваемого потока определяется вполне однозначно, если известны геометриче-
геометрическая конфигурация канала, кинематическая вязкость жидкости и поле скоро-
скоростей течения или поле относительных перепадов давления ((Vp) grad р).
Выбирая в качестве независимой переменной скорость течения жидкости,,
имеем в качестве определяющих параметров потока три величины {v; w\ /}.
Здесь / — характерный геометрический размер канала (для круглой трубы-
/ = D)\ w — осредненная по сечению канала скорость течения жидкости. Со-
Составляя безразмерную комбинацию этих трех величин, получаем комплекс
D.1.3)
26
Рейнольде показал, что переход от одного режима течения жидкости к дру-
другому происходит при некотором определенном значении этого безразмерного
комплекса, а именно: при движении жидкости в круглой трубе ламинарное
течение имеет место, когда Re < 2000, а турбулентное — при Re > 2000.
, Комплекс Re получил наименование критерия режима движения и называет-
называется числом Рейнольдса. Как будет показайо в дальнейшем, этот критерий име-
имеет весьма общее значение, характеризуя основные гидродинамические свойства
потока. Таким образом, можно сказать^что число Рейнольдса характеризует
степень устойчивости потока по отношению к внешним и внутренним возму-
возмущениям. :г г *
Значение числа Re, нри котором царушается устойчивость течения жидко-
жидкости, называется критическим-и обозначается символом ReKp. При Re< ReKP
любшвозмущения, возникающие в потоке, с течением времени затухают и не
могут изменить, общий ламинарный характер течения. Наоборот, при Re>
> ReKp любые, даже весьма малые, возмущения самопроизвольно возрастают
и приводят к неустойчивости течения, т. е. к турбулизации потока.
Опыты показали, что путем удаления источников возмущений можно ис-
искусственно затянуть ламинарное движение в области значений числа Re ^>
> ReKP. Таким образом удавалось сохранять ламинарное течение в круглой
трубе при Re до 50 000. Однако при этом малейшее возмущение мгновенно на-
нарушало устойчивость такого течения и переводило его в турбулентное.
На значение ReKp существенно влияет форма потока. Например, в сходя-
сходящихся каналах (конфузоры) критическое значение числа Рейнольдса больше,
чем в цилиндрической трубе, а в расширяющемся потоке (диффузоре) это число
может быть весьма малым.
I
4.2. УРАВНЕНИЯ ОСРЕДНЕННОГО ТУРБУЛЕНТНОГО
ТЕЧЕНИЯ ЖИДКОСТИ
Турбулентное течение характеризуется беспорядочным перемещением внут-
внутри потока отдельных объемов жидкости, существенно больших тех, к которым
еще можно применить понятие дифференциального объема сплошной среды.
Следовательно, общие уравнения гидродинамики приложимы и к турбулент-
турбулентному течению.
При этом необходимо тем или иным способом учесть статистическую при-
природу турбулентности. Опыт показывает, что инерционные приборы (например,
трубка Пито), помещенные в турбулентный поток, дают достаточно устойчивые
во времени показания, т. е. значения скоростей и температур в турбулентном
потоке за достаточно большой промежуток времени в среднем остаются постоян-
постоянными. Таким образом, при установившемся осредненном движении потока его
средняя за некоторый промежуток времени At скорость течения w остается по-
постоянной, истинные же (актуальные) скорости элементов потока непрерывно
отклоняются от этого среднего значения как по величине, так и по направлению.
Наблюдать эти отклонения можно с помощью термоанемометра, доплер-ла-
зерного анемометра, электронного стробоскопа и других малоинерционных
методов.
Актуальную скорость можно представить в виде суммы
w = w-fV, D.2.1)
где w — вектор осредненной скорости в данной точке потока; V — вектор
пульсационной составляющей истинной скорости, дающий отклонение этой
скорости по величине и направлению от осредненного значения. Значение ос-
осредненной скорости потока в данной точке определяется интегралом
w = -~ \ vidt, D.2.2)
27
где промежуток времени At должен быть достаточно большим по сравнению
с периодом пульсации скорости, чтобы для различных промежутков времени
результат осреднения был один и тот же. Отсюда очевидно, что
= 0, D.2.3)
А*
поскольку за период At все пульсационные составляющие скорости взаимно
Компенсируются.
Пульсации скорости вызывают в подтоке также пульсации давления, темпе-
температуры (в случае теплообмена), концентрации растворенного вещества (в слу-
случае диффузии) и т. п. Связь между пульсационнымк составляющими и осред-
ненными значениями этих величин может быть определена по формула** того
же типа, что приведенные выше выражения D.2.1) и D.2.2) для скорости
течения.
Так как турбулентные пульсации согласно всем имеющимся наблюдениям
не упорядочены, то, следовательно, осредненные характеристики турбулент-
турбулентного потока имеют статистическую природу, аналогично параметрам системы,
состоящей из большого числа беспорядочно перемещающихся частиц, с тем, од-
однако, принципиальным отличием, что сами элементы турбулентного потока не
являются устойчивыми в пространстве и времени.
Обозначим пульсацию плотности через б и пульсацию расхода через /:
р = р +S;
D.2.4)
pwz = pwz +/j.
Принимая во внимание уравнение сплошности C.2.2), можно написать, что
г, DWX
dt
д (pwx) | д (pwx wx) . д (pwy wx) | д (pwz wx)
dx . ду dz
dt
Dwy _ d(pwy) ._ d(pwxwy) ,
9 dt " dt дх'
ду
.
Dwz = d(pwz) d(pwxwz) . d (pwy wz) ^
dt dt dx dy
d (pwz wy)
Tz ;
d (pwz wz)
dz
D.2.5)
Подставим эти значения проекций вектора pDw/dt в уравнения C.3.3) и про-
произведем по типу D.2.2) операцию осреднения по времени величин, входящих
в эти уравнения. Получим
dpwx , dpwxwx , dpwy wx | dpwzwx __ dp Lo d dwx
dt dx dy dz dx dx dx
ду
ду
dwy \ , d_ I dwx ¦ dwz \ 2a/
dx ) dz ^ \ dz dx ) 3 dx P \
дх
dwy , dwz
dy dz
D.2.6)
Аналогичные выражения могут быть составлены и для двух других проекций.
Осредненное уравнение сплошности имеет вид
Ф _|_ dpwx |
dt dx
dy
|
dz
D.2.7)
28
Далее, следуя Рейнольдсу, примем следующие правила осреднения.
1. Вторичное осреднение по той же переменной не изменяет значения, по-
полученного после первого осреднения, т. е. если
D.2.8)
j
At
то
ф= -1- Г фл=ф
д(
D.2.9>
Последнее означает, что на отрезке At величина ф может рассматриваться или;
как постоянная, или как линейная функция времени.
2. Осредненное произведение осредненного значения на актуальное значе-
значение равно произведению осредненных значений, т. е.
Ф<ф = ф1|). D.2.10)
3. В соответствии с равенством D.2.3), если пульсационная составляющая
величины ф есть Ф, то
= 0,
D.2.11)
At
При этом значение А^ существенно больше периода пульсации.
Принимая во внимание эти соотношения, находим
pwxwx = [pwx
= pwx wx
pwx== (р +6) [wx+Vx) = pa
Соответственно
-J- — = —" Х -4- CIW.. 70).. -1 ОГО).. W.. -I П70).. 70).
D.2.12)
ox
oy
oz
D.2.13)
Подставив эти выражения в уравнение D.2.6) и приняв во внимание уравнение
сплошности D.2.7), получим уравнения осредненного движения сжимаемой
жидкости в следующем виде:
dt
дх
dy
dz
дх
dx dx ' dy \ dy dx
2 d ( dwx , dwy , dxa
л " x dx dy d<
dz
dz
dx
¦)-
dt
dx
— dwv . — dw
dz
dwy
dwx
dy
d dwu
—- \i —2-
dy dy
— \i •
dz \ dz
ti-
tidy.
[ dwy , dwz
dwx . dwy , dwz
n— г*
dwz \ .
^2 /
D.2.14)
dx
dz
dy
dy
dz
dz
dz
д
dz
dwx , дщ
dx
dy
dwz
dz
Пульсации расхода связаны с пульсациями плотности и скорости соотно-
соотношениями вида
k. D.2.15)
Если плотность и вязкость жидкости остаются неизменными при изменении
р и Ту то р = const, \i = const, 6 = 0, и уравнения D.2.14) и D.2.7) переходят
б известные уравнения Рейнольдса:
dwx
dx
dy
dz
= 0.
D.2.16)
Из этих уравнений видно, что в осредненном движении пульсации скорости
вызывают появление членов, стоящих в квадратных скобках и аналогичных по
«смыслу членам вязкого трения. Они называются членами турбулентного тре-
трения и выражают потерю энергии в результате переноса количества движения
значительными (молярными) объемами жидкости, перемещающимися вследст-
вследствие пульсации скорости в потоке.
Нагляднее всего можно пояснить эту мысль на примере установившегося
плоского потока, осредненное движение которого параллельно оси х, а скорость
w является функцией только координаты у. В этом случае из уравнений D.2.16)
•следует, что
dx * dy* dy ч * * "'
Введя обозначение для турбулентных касательных напряжений
и заметив, что
dp __ dx
dx dy
d? w
dy*
d I ddF\
dy \ T dy ) '
D.2.17)
D.2.18)
D.2.19)
30
получим выражение для суммарных касательных напряжений
D.2.20)
Величина рт рассматривается при этом как некоторый коэффициент турбу-
турбулентной «вязкости» и называется коэффициентом турбулентного переноса ко-
количества движения. Следует отчетливо представлять, что величина [х^, так же
как и аналогичные ей коэффициенты турбулентного переноса теплоты и массы,
о которых будет идти речь в дальнейшем, отнюдь не является неким физи-
физическим свойством текущей среды. Так, в потоке жидкости с постоянными р-
и [г величина |ir зависит от абсолютного значения |л, числа Рейнольдса потока
и координат. В развитом турбулентном потоке \хт % ц.
Можно показать, что степень турбулентности потока может быть оценена
отношением среднеквадратичного значения пульсационной составляющей ско-
скорости и средней скорости — критерием Кармана:
ш2
зш
4.3. УРАВНЕНИЕ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ТЕПЛА
D.2.21)
В неизотермическом турбулентном потоке следствием пульсаций скорости
является также и пульсация температуры. В этом случае можно написать
, D.3.1)
где 0 — пульсация температуры Т.
В соответствии с уравнением сплошности можно записать:
Аналогично уравнению D.2.12)
)( ) p. D.3.3)
Для простоты выкладок ограничимся рассмотрением уравнения распростране-
распространения тепла B.3.1) для скоростей течения, при которых члены, пропорциональ-
пропорциональные квадрату скорости, относительно малы. Используя уравнение D.3.2) и про-
произведя осреднение, получим
^ & Щ?&у <4.3.4>
Используя зависимость D.3.3) и уравнение сплошности, приводим выраже-
выражение D.3.4) к виду
— (—cp 66) + — (—ср jx 6) +— (—ср ]у е) + — {—ср и б)
dt дх ду oz
' D.3.5)
Для стационарного, развитого турбулентного потока, когда турбулентный
перенос теплоты много больше молекулярного, из последнего уравнения сле-
следует
ср
+-?-(-cpjz&)+qv. D.3.6)
31
Члены, стоящие в правой части этого уравнения, характеризуют турбулент-
турбулентную теплопроводность. При р = const и X = const уравнение D.3.5) принима-
принимает относительно простую форму:
Т + div (— V0) +qv/cpp = DT/dt,
D.3.7)
где
д
дх
При qv = 0 уравнение D.3.7) может быть приведено к виду
a div [A + ЯгA) grad Т] = DT/dt.
D.3.8)
Здесь Хт — коэффициент турбулентной теплопроводности, компонентами ко-
которого являются:
, = cppVzel^-.
дТ
D.3.9)
4.4. ТУРБУЛЕНТНОЕ ТРЕНИЕ И ТУРБУЛЕНТНАЯ
ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ В ПЛОСКОМ ПОТОКЕ ЖИДКОСТИ
В плоском, установившемся и развитом турбулентном потоке (т. е. при
ц И- и ХТ^>Х), когда поперечные градиенты скоростей и температур много
•больше продольных, а продольный градиент давления много больше попереч-
поперечного, из уравнений D.2.7), D.2.14) и D.3.6) следует система уравнений:
д
ду
дТ
дх
др
дх
д
ду
дх
дх
,
ду
D.4.1)
Эта система описывает движение и теплообмен в турбулентном ядре потока
жидкости в плоской трубе и в плоском пограничном слое при достаточно уме-
умеренных скоростях течения.
Из D.4.1) следует, что для такого течения
D.4.2)
Входящие в эти выражения величины можно выразить в виде явной функ-
функции пульсации плотности б, имея в виду зависимость D.2.15) и то, что
•Отсюда для рассматриваемого потока
i 0. D.4.3)
D.4.4)
32
При р = const б = 0 и из уравнения D.4.4) следует
D.4.5)
Если пульсации плотности связаны только с температурным полем (т. е.
р = р (Г)), но не зависят от р, что хорошо выполняется у капельных жидкостей
и приближенно при дозвуковом течении газа, то
8=р-р= -рре, D.4.6)
где Р — температурный коэффициент объемного расширения жидкости, К.
При этом условии
D 4 7)
В этих уравнениях отчетливо обнаруживается тесная связь между коэффи-
коэффициентами турбулентного переноса тепла и количества движения.
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Проблемы турбулентности. Сб. статей. Под ред. М.А. Великанова и Н. Т. Швейковско-
го. М.—Л., Объед. науч.-техн. изд-во НКТП СССР, 1936. Авт.: О. Рейнольде,
Л. Прандтль, Т. Карман, К. Тейлор и др.
2. Хинце И. О. Турбулентность. Пер. с англ. М., Физматгиз, 1963.
3. Van Driest E. R. Note on effects of density fluctuations on the turbulent skin friction of
an insulated flat plate at high supersonic speeds.— «J. Aeron. Sci.», 1953, vol. 20, N 5,
p. 360.
2 Зак. 795
5
Глава
^ КРАЕВЫЕ УСЛОВИЯ
5.1.ВРЕМЕННЫЕ И ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ КРАЕВЫЕ
УСЛОВИЯ
Совокупность уравнений распространения тепла в движущейся среде, сплош-
сплошности и движения вязкой жидкости в общей форме описывает все процессы
теплообмена путем теплопроводности и конвекции. В этом смысле говорят, что
данная система уравнений описывает (является математической моделью) не-
некоторый класс физических явлений. Число различных единичных явлений,,
входящих в данный класс, неограниченно велико. Это обстоятельство находит
математическое отображение в том факте, что всякое дифференциальное урав-
уравнение имеет сколь угодно большое число частных решений. Решение, соответ-
соответствующее данной конкретной задаче, выбирается с помощью краевых условий.
Временные краевые условия определяют поле переменных, входящих в
уравнения данного класса физических явлений, в начальный или конечный мо-
момент времени протекания рассматриваемого конкретного процесса. Простран-
Пространственные краевые условия определяют значения переменных на границах об-
области, в которой протекает рассматриваемый процесс. В связи с этим такого-
такогорода условия называются также граничными. Таким образом, краевые условия
дают те конкретные значения величин, которые выделяют определенное еди-
единичное явление из всего класса явлений той же физической природы.
Для стационарного (установившегося) процесса, т. е. такого процесса, в
котором поля характеризующих его переменных не меняются во времени, вре-
временные краевые условия отпадают. Поэтому единичный стационарный процесс
однозначно выделяется путем задания только граничных условий.
5.2. КРАЕВЫЕ УСЛОВИЯ К УРАВНЕНИЯМ
ГИДРОДИНАМИКИ
При рассмотрении задач, связанных с движением жидкой среды, важнейшим
пространственным краевым условием является скорость течения в непосред-
непосредственной близости к твердой ограждающей поверхности (стенки канала, по-
поверхность обтекаемого тела). В том случае, когда неподвижная твердая стенка
непроницаема, нормальная к ее поверхности составляющая вектора относи-
относительной скорости потока среды равна нулю. Если на ограждающих поверхнос-
поверхностях в результате какого-либо физического или химического процесса происхо-
происходит поглощение или выделение жидкости, то нормальная к стенке состав-
составляющая вектора скорости потока среды определяется скоростью протекания
соответствующего процесса на стенке.
В отношении составляющей вектора относительной скорости потока, каса-
касательной к твердой стенке, опытом установлено, что на стенке она равна нулю.
Это обстоятельство является следствием «прилипания» всякой реальной жид-
жидкости к твердой поверхности. Исключение составляет только движение сильно
разреженного газа, когда длина свободного пробега молекул становится боль-
большой по сравнению с поперечным размером канала, по которому этот газ дви-
движется.
Таким образом, если плоскость хг касательна в данной точке к поверхно-
поверхности ограждения и у нормальна к ней, то составляющие вектора скорости тече-
течения на стенке равны
Ю = ш = 0; j
Здесь WyiCT — объемная скорость поглощения (выделения) жидкости на твер-
твердой стенке, м3/(м2-с); /ст — массовая скорость того же процесса, кг/(м2-с).
34
Величина wytCT считается положительной, если она направлена от стенки в
глубь потока. В этом случае и величину /ст считают положительной, а количест-
количество текущей среды возрастает в направлении осредненного движения потока.
При поглощении части среды на стенке величине /ст приписывают знак минус.
В этом случае скорость WytCT направлена из потока к стенке, а количество
текущей среды в направлении осредненного движения уменьшается.
В соответствии со сказанным составляющие градиента скорости на твердой
стенке
(dwx/dx)CT = (dwz/dz)CT = 0; 1
где тст — касательные напряжения на стенке, Па. В местах втеканий и стока
жидкости должны быть заданы распределения скоростей и давления.
5.3. КРАЕВЫЕ УСЛОВИЯ К УРАВНЕНИЯМ
ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
Временные краевые условия к уравнению распространения тепла сводятся
к заданию скалярной функции
T = T0(x;y\z}f E.3.1)
дающей распределение температуры в рассматриваемой области в некоторый
момент времени. Пространственные краевые условия сводятся к заданию ус-
условий теплообмена на ограждающих поверхностях. Способов задания таких
условий три.
Пространственное краевое условие первого рода задается распределением
температуры на ограждающих поверхностях как функции положения точки по-
поверхности и времени. Эта функция должна быть задана для всех точек ограж-
ограждающих поверхностей. В ряде практически важных задач оказывается возмож-
возможным положить, что температура на твердой стенке одинакова во всех ее точках.
Пространственное краевое условие второго рода задается тепловым потоком,
пронизывающим ограждающую поверхность, как функцией точки этой поверх-
поверхности и времени.
Пространственное краевое условие третьего рода связывает температуру
твердой стенки с температурой окружающей среды через заданное значение
коэффициента теплоотдачи от стенки к этой среде. В этом случае температура
в данной точке ограждающей поверхности
где То — характерная температура среды. Выражая плотность теплового пото-
потока q через градиент температуры в твердой стенке, получаем
ТСТ = ТО~ (кст/а) (дТ/дп)ст, E.3.3)
или
(дТ/дп)ст= -(аДст)(Гст-Г0). E.3.4)
Величина h = а/ЯСт имеет размерность м" и называется относительным
коэффициентом теплоотдачи. Величина, обратная относительному коэффи-
коэффициенту теплоотдачи, т. е.
1/А = Я,ст/а, E.3.5)
имеет размерность длины и называется дополнительной стенкой. Физический
смысл этого термина заключается в том, что значение дополнительной стенки
равно толщине плоского слоя, имеющего ту же теплопроводность, что и рас-
рассматриваемое твердое тело, в котором при данном тепловом потоке q имеет место
перепад температур:
&Т = ТСТ-Т0. E.3.6)
2* 35
5.4. УСЛОВИЯ МЕХАНИЧЕСКОГО И ТЕПЛОВОГО
ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ НА ГРАНИЦАХ ФАЗ
В МНОГОФАЗНОЙ СИСТЕМЕ
В ряде процессов, например при изменении агрегатного состояния теплоно-
теплоносителя, поток состоит из смеси жидкости и ее пара. В воздушных подъемниках
(эрлифтах) имеет место совместное движение по трубам извлекаемой жидкости
и увлекающего ее газа. Совместное течение жидкости и газа (или пара) получило
общее наименование двухфазного потока*.
В двухфазном потоке существуют кроме внешних поверхностей (стенок ка-
канала) также и внутренние поверхности — поверхности раздела фаз. Перемеще-
Перемещения элементарных объемов каждой из фаз в области, ограниченной поверхно-
поверхностями раздела, определяются обычно уравнениями движения. Однако на по-
поверхностях раздела фаз возникают силовые и тепловые взаимодействия. Эти
взаимодействия определяют изменения полей скорости, давления, температуры
и тепловых потоков при переходе из одной точки пространства к другой,
отделенной от первой поверхностью раздела фаз.
Таким образом, при рассмотрении теплообмена и движения в двухфазном
потоке необходимо: 1) в пространственных и временных краевых условиях за-
задать поля скоростей (а тем самым и распределение на контурах и во времени)
обеих фаз потока и соответственно краевые условия по температурам и давле-
давлениям; 2) определить уравнения, описывающие взаимодействие фаз потока, т. е.
условия равновесия поверхности раздела.
Выделим контрольной поверхностью F замкнутую область V, заключаю-
заключающую в себе поверхность раздела фаз. К поверхности F приложены нормальные
напряжения ап и касательные напряжения ттр. Условие динамического рав-
равновесия рассматриваемой области будет иметь вид
Г gpdV + f Gn dF+ Г ттр dF = Mdwo/df, E.4.1)
V F F
где M — масса, заключенная в объеме V\ dvtjdt — ускорение иентра массы
этого объема.
С другой стороны,
" OndF;
F"
Предположим, что объем V стремится к нулю, стягивая поверхность F к по-
поверхности раздела фаз Frv. Тогда массовые и инерционные силы, пропорцио-
пропорциональные V, также обращаются в нуль. С другой стороны, нормальные и каса-
касательные напряжения, будучи перпендикулярными друг другу, взаимно не урав-
уравновешиваются. Следовательно, условие динамического равновесия на границе
раздела фаз распадается на условие попарного равенства нормальных и каса-
касательных напряжений:
т' — т"
1тр,гр — 1тр,гр«
* Поток жидкости или газа, несущий распыленные в нем твердые частицы, также яв-
является двухфазным. Однако в силу различий в механизмах движения, обусловленных, в
первую очередь, постоянством формы твердых частиц и переменностью формы газовых
пузырей, такой поток называется запыленным или диспергированным.
36
Если координата у направлена по нормали к поверхности раздела фаз,
а плоскостью касательна к ней в данной точке, то согласно уравнениям гидро-
гидродинамики
ап = оу = — р + B/3) \х div w + 3\idwy/dy- '
E.4.4)
),zy = И' (dwjdy -f dwyldz).
При этом следует иметь в виду скачок давления, вызываемый кривизной по-
поверхности раздела фаз и определяемый формулой Лапласа:
/7рР = ррР -f_ а A //?! -f-1//?2)« E.4.5)
Здесь 7?! и /?2 — главные радиусы кривизны границы раздела в данной точке,
м. Если выпуклость поверхности раздела обращена в сторону жидкости, то
радиусы кривизны имеют знак плюс, если в сторону газа, то знак минус.
Из условия отсутствия скольжения фаз в местах их контакта следует, что
w'xz гр == Wxz гр« E.4.6)
Составляя тепловой баланс рассматриваемого объема V и предполагая, что
этот объем стремится к нулю в результате стягивания вокруг него поверхности
раздела фаз, получим уравнение равенства тепловых потоков, пронизываю-
пронизывающих эту поверхность со стороны жидкости и газа:
, = — X" (дТ"/дп)ГХ) + (Г — Г)гр/гр. E.4.7)
Здесь /гр — аналогично величине /ст уравнения E.2.1) — плотность потока
вещества через поверхность раздела, кг/(м2-с).
Из условия отсутствия скачка температур следует, что 77Р = Г"гр, где
Ггр — температура фазового превращения, соответствующая давлению в рас-
рассматриваемой точке поверхности раздела фаз. Но при температуре насыщения
разность теплосодержаний пара и жидкости i" — i' = г, где г — скрытая теп-
теплота парообразования, Дж/кг.
Таким образом, окончательно условия теплового взаимодействия на гра-
границах раздела фаз запишутся в виде уравнений:
Угр~Угр> E.4.8)
Если рассматривается тепловое взаимодействие на границе раздела фаз без
изменения агрегатного состояния (например, на границе раздела двух жидко-
жидкостей или двух твердых тел), то во втором уравнении E.4.8) следует положить
/гр = 0.
Условия теплового взаимодействия тогда примут вид
где индексами 1 и 2 обозначены величины, относящиеся к двум соприкасаю-
соприкасающимся телам.
Из уравнений E.4.9) видно, что на границе раздела двух тел температура
меняется непрерывно, а градиент температур в случае неравенства коэффици-
коэффициентов теплопроводности соприкасающихся сред — скачкообразно. Если ско-
скорость перемещения границы раздела фаз по нормали к оси у есть wyyrVy то нор-
нормальная составляющая вектора скорости жидкой фазы на границе раздела
К)гР = avfrp ± /гр/р\ E.4.10)
а соответствующая составляющая вектора скорости газовой фазы
(^)гр = О>у,гр ± /гр/Р"- E.4.11)
37
л Таким образом, нормальные составляющие вэдторрв скорости фаз на гра-
границе разделу равны друг другу только при /гр =?= О, т. е. при отсутствии про-
процесса фазового превращения. В этом случае
, .w;p==-w;p. E.4.12)
5.5. РЕАКТИВНАЯ СИЛА ПРИ ФАЗОбОМ ПРЕВРАЩЕНИИ
Неравенство велцчин (w'y)rp , и (w'y)rp при наличии процесса фазрвого пре-
превращения приводит к тому, что количество движения потока вещества /гр
меняется при переходе через поверхность раздела фаз. Изменение количества
движения потока вещества, меняющегб агрегатное состояние, вызывает появ-
появление реактивной силы, приложенной по нормали к поверхности раздела фаз:
Ря = /гр«~ ОгР; E.5.1)
РП = (/УР*)О-Р7Р'). E.5.2)
Массовая скорость фазового превращения
irv = <rjr> E.5.3)
где qa — плотность теплового потока, идущего на изменение агрегатного
состояния, отнесенная к единице поверхности раздела фаз.
Подставляя значение /гр в уравнение E.5.2), получаем
Рп = (Й/Р-гг«)A-р7р#).1 ' E.5.4)
Воспользовавшись последней формулой, легко показать, что реакция, вы-
вызываемая изменением скорости течения при прохождении через поверхность
раздела фаз, обычно невелика.
6
Глава
УСЛОВИЯ ПОДОБИЯ ПРОЦЕССОВ
ТЕПЛООБМЕНА
6.1. ПОНЯТИЕ О ПОДОБИИ ФИЗИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ
Законы природы и их математические модели, являясь отражением объек-
объективной реальности, в наиболее общих формулировках не зависят от выбора си-
системы мер. В общей форме это есть проявление того фундаментального экс-
экспериментального факта, что локально физический мир описывается законами
геометрии подобия. Иными словами, множество размерных величин, харак-
характеризующих некоторый конкретный процесс, в действительности эквивалентна
множеству некоторых безразмерных комплексов этих величин. Наибольшее
возможное число этих комплексов определяется следующей формулой анализа
размерностей:
т = i — z. F.1.1)
Здесь т — общее число безразмерных комплексов; i — общее число размерных
переменных, характеризующих данный процесс; z — число первичных размер-
размерностей, из которых составлены эти переменные.
Если процесс описывается множеством уравнений
0} A<*'<л), F.1.2)
rjxeDi — некоторые размерные операторы, то каждое из этих уравнений может
быть приведено к безразмерной форме путем деления на один из членов ряда.
Рассмотренные в предыдущих главах основные дифференциальные уравнения
теплопереноса и гидродинамики состоят из операторов вида
D = aybdcy/dxc, [F.1.3)
где а — некоторый параметр, например физическое свойство; х, у — перемен-
переменные; Ь, с — натуральные числа. Введем безразмерные переменные вида
у = у/у0; ~х = х/х0, [ F.1.4)
где индекс 0 означает, что величина отнесена к некоторой масштабной точке си-
системы, и приведем уравнения F.1.2) с операторами типа F.1.3) к безразмер-
безразмерному виду путем деления каждого из уравнений на размерную часть первого
члена. Получим множество уравнений
2 )t = 0 1 F.1.5)
в котором комплексы имеют вид
/Cle(flyS + 1/^o)i(^/^S+I)i. [F.1.6)
Процессы, в которых безразмерные функции yt (хь) тождественны, называ-
называются подобными. Иначе говоря, подобными являются процессы одной и той же
физической природы, у которых поля безразмерных параметров геометриче-
геометрически тождественны.
6.2. КРИТЕРИИ ПОДОБИЯ
Поскольку в подобных процессах безразмерные поля одноименных величин
тождественны, то абсолютные значения этих величин отличаются друг от дру-
друга только масштабом, т. е. в двух подобных процессах значения одноименных
величин в сходственных пространственно-временных точках отличаются друг
от друга на некоторый постоянный множитель преобразования. i
39
Пространственно-сходственными точками называются точки, сходственные
геометрически. Это означает, что если А и В — геометрические фигуры, при-
причем В получено преобразованием подобия ф из Л, то геометрически сходствен-
сходственной к точке х из фигуры А называется точка ср (х) из фигуры В. Очевидно, что
свойство точек быть геометрически сходственными является отношением экви-
эквивалентности (и, в частности, рефлексивно).
Временная координата, поскольку релятивистские эффекты здесь не рас-
рассматриваются, ничем не отличается от пространственных координат. Тем са-
самым определяются четырехмерные нерелятивистские пространственно-времен-
пространственно-временные сходственные точки.
Нетрудно заметить, что хотя множители преобразования отдельных вели-
величин, характеризующих данный процесс, могут быть неодинаковыми, однако
для соблюдения подобия между ними должна существовать определенная взаи-
взаимосвязь. В самом деле, тождественность безразмерных полей означает, что
в подобных процессах безразмерные дифференциальные операторы имеют одно
и то же значение. В символах это положение выражается записью
(ср* дс ф/д^)* = idem, F.2.1)
где idem — «одно и то же» в отличие от символа const, означающего «постоян-
«постоянное значение».
С другой стороны, рассматриваемые процессы имеют одну физическую при-
природу и соответственно описываются одними и теми же основными уравнения-
уравнениями. Следовательно, для подобных процессов должно быть также удовлетворено
все уравнение F.1.5) в целом. Последнее возможно только тогда, когда наряду
с условиями F.2.1) будет также выполнено условие
Kt = idem. F.2.2)
Таким образом, в подобных процессах безразмерные комплексы К имеют
одно и то же значение и называются критериями подобия. При этом следует от-
отчетливо помнить, что подобие требует не равенства всех критериев друг другу,
а одинаковости значений одноименных критериев, т. е. условие F.2.2) в раз-
развернутой форме имеет вид
Кг= idem;
/С2== idem;
Кт = idem.
F.2.3)
Из уравнений F.1.5) видно, что число критериев равно числу членов урав-
уравнения без единицы, т. е.
т = п— 1. F.2.4)
6.3. ЗАВИСИМЫЕ И НЕЗАВИСИМЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ.
УСЛОВИЯ ОДНОЗНАЧНОСТИ
Физический процесс полностью описывается некоторой системой основных
уравнений и присоединенных к ним краевых условий в том случае, когда эта
система является замкнутой. Тогда в принципе существует некоторая функция
у* = ф|(*1; *2; *3;-; хп)9 г(б.з.1)
где f/j — искомая неизвестная (зависимая) переменная; xt — независимые пере-
переменные, входящие в основную систему уравнений.
Для того чтобы выяснить, какие из входящих в уравнения переменных яв-
являются независимыми, необходимо определить следующие условия протека-
протекания изучаемого процесса: 1) геометрические свойства системы, в которой про-
происходит процесс (включая и координатную систему); 2) существенные для это-
этого процесса физические характеристики тел, образующих систему; 3) началь-
40
ное или конечное состояние системы; 4) условия на границах системы в течение
процесса.
Как видно, этот перечень представляет собой расширенное определение
краевых условий и называется условиями однозначности физическрго процес-
процесса. Таким образом, условия однозначности являются комплексом физических
и математических условий, обеспечивающим локальное существование и един-
единственность решения заданной системы уравнений.
Величины, входящие в условия однозначности, задаются внешним образом
по отношению к основным уравнениям и являются поэтому независимыми пере-
переменными, множество которых однозначно определяет протекание данного фи-
физического явления. В соответствии с этим все остальные переменные, входящие
в основные уравнения, являются зависимыми переменными.
6.4. КОМБИНИРОВАНИЕ КРИТЕРИЕВ.
СОБСТВЕННО КРИТЕРИИ ПОДОБИЯ
Рассмотренная выше безразмерная форма основных уравнений может быть
получена путем деления ряда на любой из его членов, а не только на первый,
как это было сделано в уравнениях F.1.5). При этом нельзя указать какие-
либо твердые правила выбора того или иного члена в качестве делителя. Следо-
Следовательно, форма критериев /Сь получающихся в результате приведения урав-
уравнения к безразмерному виду, вообще говоря, случайна, и количество возмож-
возможных форм зависит от числа членов уравнения. Неизменным остается только об-
общее число критериев, определяемое формулой F.2.4).
Таким образом, первичные критерии, содержащиеся в уравнениях типа
F.1.5), могут состоять из масштабов как независимых, так и зависимых пере-
переменных.
Допустим, что некоторая система основных уравнений содержит т крите-
критериев F.2.3). Очевидно, что множество условий {Kt = idem}, где i = 1,2,. . .,
m, эквивалентно множествам вида {Kt/Kj = idem}, где / фиксировано.
Отсюда следует, что комбинация двух или нескольких первичных критери-
критериев также является критерием подобия. Однако общее число критериев подобия
данного явления остается неизменным, т. е. не зависит от тех перестановок и
рекомбинаций отдельных критериев, которые производятся внутри системы
F.2.3). Установленное правило комбинирования критериев подобия позволяет
внутри любой системы первичных критериев выделить такие, которые состояли
бы только из величин, входящих в условия однозначности.
Таким образом, каждой системе первичных критериев подобия
{/Ci; Кг\ К3; ...; Кт) F.4.1)
эквивалентна система критериев подобия
{К*^ Ка2; Ка3', •••; Кат ; К$г; K^\ /Срз; ...; К$т }, F.4.2)
а Э
где та критериев Ка составлено как из зависимых, так и из независимых пере-
переменных и тр критериев /Ср составлено только из условий однозначности. При
этом та + Щ = /я, т. е. общее число критериев F.4.1) и F.4.2) одно и то же.
Как уже было указано ранее, совокупность условий однозначности полно-
полностью определяет протекание данного процесса. В связи с этим критерии типа
Кр, представляющие собой безразмерную форму условий однозначности, назы-
называются определяющими, а критерии типа Ка — неопределяющими, любой из
которых является функцией системы определяющих критериев. Иными сло-
словами, размерной функциональной связи F.3.1) всегда соответствует некоторая
безразмерная связь типа
K^ Kh; ...; К^т ). F.4.3)
41
Отсюда непосредственно следует основное правило моделирования, сформу-
сформулированное в свое время М. В. Кирпичевым и А. А. Гухманом: подобны процес-
процессы, у которых подобны условия однозначности и численно одинаковы опреде-
определяющие критерии.
Каждая точка функции F.4.3) соответствует группе подобных процессов,
а множество точек этой зависимости эквивалентно множеству групп данного
класса. При анализе размерностей число определяющих критериев устанавли-
устанавливается формулой, аналогичной F.1.1), т. е.
Щ = 1Ъ— ZP> F.4.4)
где ?р — число независимых переменных данного процесса; z§ — число пер-
первичных размерностей, из которых составлены независимые переменные.
6.5. КРИТЕРИИ ПОДОБИЯ КАК ОБОБЩЕННЫЕ
БЕЗРАЗМЕРНЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ
В разд. 6.4 безразмерные параметры мы образовывали путем деления значе-
значения некоторой величины в данной точке на значение той же величины в масштаб-
масштабной точке. Теперь поступим несколько иначе. Выпишем уравнения теплопро-
теплопроводности и движения несжимаемой жидкости, полагая, что величины Л, с,
р, \i остаются постоянными в данном процессе:
aV2 Т + Qv/cp = дТ/dt + (w, grad Т);
g — A/р) grad /7 +vV2w = dw/d/ + (w, grad)w;
F.5.1)
Так как температура и давление входят в эти уравнения только под знаками
дифференциальных операторов, то уравнения F.5.1) определяют не абсолют-
абсолютные значения Т и р, а их отклонения от температуры и давления в некоторой
масштабной точке. Поэтому уравнения F.5.1) можно переписать так:
aV2 (AT) + qv/cp = д (AT)/dt + (w, grad (AT));
g— A /p) grad (Ap) + vV2 w = dw/dt+ (w, grad) w;
div
F.5.2)
где AT и Ар — соответствующие перепады температур и давлений, определен-
определенные относительно некоторых заданных значений То и р0. Разделим первое и$
этих уравнений на величину аАГ0//§, а второе и третье — на величину wq/10,
где ДГ0 — масштабный перепад температур; w0 — масштаб скорости и /0 —
масштаб длины.
Введя масштабные величины и физические характеристики (рассматривае-
(рассматриваемые в данном случае как постоянные) непосредственно под знаки дифферен-
дифференциальных операторов, получим
F.5.3)
Здесь # = AT/AT0 — безразмерный температурный напор; со = w/w0 — без-
безразмерная скорость; х s= jk//0, у = y/lo> z = z/l0 — безразмерные координаты
в дифференциальных операторах этих уравнений.
Полученные безразмерные уравнения F.5.3) содержат ряд комплексов в
виде самостоятельных членов уравнения, сомножителей при диффгренциальных
операторах и непосредственно под знаками дифференциальных операторов.
Таким образом, уравнения F.5.3) представляют собой связь между крите-
критериями подобия, выступающими в них в качестве не только безразмерных пара-
42
метров при дифференциальных операторах, как в уравнениях типа F.1.5),
но ив качестве обобщенных переменных.Это обстоятельство позволяет строить!
безразмерные поля точечных значений соответствующих критериев рассматри-
рассматриваемого процесса.
6.6. ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ НЕКОТОРЫХ
КРИТЕРИЕВ ПОДОБИЯ
Рассмотренные выше уравнения теплопроводности и движения несжимае-
несжимаемой жидкости дают семь критериев подобия:
{wl/a\ w2/gl\ Ap/pw2; wl/v, at/I2] wt/l; qvl2/kAT}. F.6.1)
Физический смысл некоторых из этих величин непосредственно ясен из
самой их записи. Так, очевидно, что комплекс Ap/pw2 является мерой отноше-
отношения перепада статических давлений в потоке Ар к его динамическому напору
pw2l2. Комплекс wt/l можно трактовать как отношение времени протекания про-
процесса к некоторому масштабу, равному времени перемещения рассматривае-
рассматриваемого элемента жидкости со скоростью w на пути /. Комплекс qyl2/XAT можно
рассматривать как меру отношения количества тепла qyP, выделившегося в
теле, к количеству тепла (k/l) ATI2, прошедшему через тело за счет теплопро-
теплопроводности. При этом величина I3 является масштабом объема тела, I2 — мерой
поверхности и / — мерой толщины. Остальные комплексы системы F.6.1)
требуют более детального исследования.
Раскрывая значение коэффициента температуропроводности, представим
комплекс wl/a в виде отношения cpw /(k/l). Числитель этого отношения можно
рассматривать как изменение теплосодержания потока в осевом направлении
при изменении температуры на 1°, а знаменатель — как тепловой поток за
счет теплопроводности при поперечном градиенте температур 1°. Следователь-
Следовательно, критерий wl/a является мерой отношения тепла, переносимого конвекцией,
к теплу, проникающему в поток за счет теплопроводности.
Физический смысл комплекса w2/gl становится ясным, если умножить и раз-
разделить это выражение на плотность жидкости р. Очевидно, что величина
pw2/gpl является мерой отношения динамического напора потока (его кинети-
кинетической энергии) к силе тяжести, пропорциональной gpl.
Умножая и деля комплекс wl/v на w, легко установить, что этот уже извест-
известный нам критерий режима движения представляет собой меру оЬюьЦения' дина-
динамического напора потока pw2/2 (силы инерции) к силе вязкого трения, про-
пропорциональной \i (wit).
Наконец, комплекс atУ/2, рассматриваемый как,отношение масштаба коли-
количества тепла, притекшего за счет теплопроводности (k/l)l2f, к масштабу измене-
изменения теплосодержания тепла ф/3, является мерой скорости изменения темпера-
температуры тела при неустановившемся тепловом состоянии.
6.7. КРИТЕРИЙ ТЕПЛОВОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
ПРИ ФИЗИКО-ХИМИЧЕСКОМ ПРЕВРАЩЕНИИ ВЕЩЕСТВА
Все физико-химические превращения разделяются на гомогенные и гетеро-
гетерогенные. В первом случае превращение вещества происходит во всем рассмат-
рассматриваемом объеме, а во втором — только-по поверхности раздела. Легко уста-
установить, что скорость превращения вещества при гомогенном процессе в несжи-
несжимаемой жидкости
¦ dG=^pdfvwdV. F.7.1)
При этом платность, возникающего внутреннего распределенного источника
тепла . ' , i >. )
* qv = rdGfdV=rpdiv*9 *'•'- F.7.2)
43*
где г—теплота реакции. Подставляя это выражение в критерий
получаем
ГО/2 ,. rpl0W0 _,. /о -7 о\
w ° div w = w div о. F.7.3)
Таким образом, безразмерное уравнение теплопроводности в потоке несжи-
несжимаемой жидкости при гомогенной реакции имеет вид
div«=—55L_. F.7.4)
или, выделяя критерий wolo/a, можно записать
При гетерогенном превращении, когда реакция протекает на поверхностях
раздела, тепловое взаимодействие реагирующих веществ определится уравне-
уравнением E.4.8). Приведя последнее к безразмерному виду и принимая во внимание,
что gn = pwn = p"w'n, получаем
(onrn . (о. /.о)
а X { dln /rp
Из сопоставления уравнений F.7.5) и F.7.6) следует, что специфические
особенности теплообмена при любом физико-химическом превращении характе-
характеризуются значением введенного в свое время автором критерия г/сД7, пред-
представляющего собой отношение скрытой теплоты реакции г к теплоте перегрева
(переохлаждения) данной фазы At = cAT.
6.8. БЕЗРАЗМЕРНЫЙ КОЭФФИЦИЕНТ ТЕПЛООТДАЧИ
В связи с тем что непосредственно на границе с обтекаемым твердым телом
скорость жидкости равна нулю, тепловой поток передается через пристеночный
слой только теплопроводностью, т. е. может быть выражен уравнением
q=-X(dT/dn)CTJ F.8.1)
где X — коэффициент теплопроводности жидкости; (дТ/дп)ст — градиент тем-
температуры в тонком слое жидкости, непосредственно контактирующем с твер-
твердой стенкой.
С другой стороны, вводя коэффициент теплоотдачи, можем написать
q = a(Tn-T0). F.8.2)
Совмещая эти два выражения теплового потока на границе твердого тела и
жидкости, получаем
аД Т =—Х (дТ/дп)ст F.8.3)
или, в безразмерном виде,
alo/X=-(d$/dtn)CT. F.8.4)
Величину alJX можно рассматривать как безразмерную форму коэффици-
коэффициента теплоотдачи.
Основные критерии подобия приведены в табл. 6.1.
44
Таблица 6.1
Основные критерии подобия гидродинамических и тепловых процессов
Критерий
Символ
Наименование
Пояснение
wt
I
wl
V
gl
а
v Ре
а ~~ Re
Ар
pay2
gl*_ Re2
v2 = Fr
w
a*
Vgo(9f -p")
at
r r
Ho
Re
Fr
Pe
Pr
Eu
Ga
M
k
Fo
К
Критерий гидродинами-
гидродинамической гомохронности
Критерий режима дви-
движения (число Рейноль-
дса)
Критерий гравитацион-
гравитационного подобия (число
Фруда)
КрИТерИЙ ТЕПЛОВОГО.
подобия (число Пекле^
Критерий подобия тем
полей (число Прандтля)
Критерий подобия по-
полей давления (число Эйле-
Эйлера)
Критерий подобия по-
полей свободного течения
(число Галилея)
Критерий газодинами-
газодинамического подобия (число
Маха — Маиевского)
Критерий устойчивости
двухфазной системы (вве-
(введен автором)
Критерий тепловой го-
гомохронности (число
Фурье)
Тепловой критерий фа-
фазового превращения (вве-
(введен автором)
Характеризует скорость изменения
поля скоростей течения среды во
времени
Характеризует гидродинамический
режим потока, являясь мерой отноше-
отношения в потоке сил инерции и молеку-
молекулярного трения
Является мерой отношения сил
инерции и тяжести в однородном
потоке
Является мерой отношения молеку-
молекулярного и конвективного переносов
тепла в потоке
Является мерой подобия темпера-
температурных и скоростных полей в потоке
(при Рг = 1 и grad p = 0 поля темпе-
температур и скоростей подобны)
Является мерей отношения сил дав-
давления и инерции в потоке
Является мерой отношения сил мо-
молекулярного трения и тяжести в по-
потоке. В форме критерия Грасгофа
= GaPA7 характеризует взаимодей-
взаимодействие сил молекулярного трения и
подъемной силы, обусловленной раз-
различием плотностей в отдельных точ-
точках неизотермического потока
Является мерой отношения между
скоростью течения среды и^скоростью
распространения в ней упругих де-
ско-
скоХарактеризует критическую
рость газовой (паровой) фазы
Характеризует связь между ско-
скоростью изменения температурного
поля, физическими свойствами и раз-
размерами тела
Является мерой отношения тепло-
теплового потока, идущего на фазовое
превращение вещества, к теплоте
перегрева (переохлаждения) одной из
фаз по отношению к температуре
насыщения.
В форме Ja = /Cp///p' представляет
меру отношения теплоты фазового
превращения к теплоте перегрева
(переохлаждения) одной из фаз в
объемных единицах и называется
часто критерием Якоба.
В форме q/rpw=Nu/K Ре является
мерой отношения скорости фазового
превращения q/rp к скорости течения
данной фазы.
В форме <7//rpv=Nu//CPr является
мерой отношения инерционных сил в
потоке, возникающих под влиянием
процесса фазового превращения, к
силам внутреннего трения, т. е. пред-
представляет собой специфическую форму
критерия Re
45
Критерий
G
al
X
a
CfW
al
Символ
We
Nu
St
Bi
Наименование-
Критерий поверхност-
поверхностного натяжения (крите-
(критерий Вебера)
пиент теплротда.чи (кри-
(критерий Нуссельта)
Критерий конвективщ}-
'терии Стентона)
Критерий краевого по-
подобия (критерий Био)
Продолжение табл. 61.
Пояснение
Является мерой влияния давления,
создаваемого поверхностным слоем;
молекул
Характеризует связь между интен-
интенсивностью теплоотдачи и температур-
температурным полем в пограничном слое
Является мерой отношения интен^
сиЙТТОтЙ* 'гёплоотдачи &_ удельного»
теплосодержания потока
Характеризует связь между полем,
температур в твердом теле и усло-
условиями теплоотдачи на его поверхно-
поверхности, являясь мерой отношения внут-
внутреннего и внешнего термических со-
сопротивлений
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Гухман А. А. Введение в теорию подобия. М., «Высшая школа», 1963.
2. Кирпичев М. В. Теория подобия. М., Изд-во АН СССР, 1953.
3. Кутателадзе С. С, Ляховский Д. Н., Пермяков В. А. Моделирование теплоэнергети-
теплоэнергетического оборудования. М., «Энергия», 1966.
4. Седов Л. И. Методы подобия и размерности в механике. М., Гостехтеориздат, 1954.
5. Эйгенсон Л. С. Моделирование. М., «Советская наука», 1952.
7
Глава
УСТАНОВИВШИЙСЯ ТЕПЛОВОЙ ПОТОК
В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ
7.1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ СТАЦИОНАРНОЙ
ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
При w = О и dTldt = О из уравнения B.3.4) следует уравнение стационар-
стационарной теплопроводности в неподвижной среде:
= O. G.1.1)
При постоянном .коэффициенте теплопроводности (к = const) и отсутствии
внутреннего источника тепла (qy = 0) уравнение температурного поля макси-
максимально упрощается и сводится к условию равенства нулю лапласиана темпе-
температуры
V27 = 0,
т. е. в прямоугольных координатах:
д2 Т/дх2 + д2 Цду2 + д2 T/dz2 = 0, G.1.2)
в цилиндрических координатах:
^+JL^l + _LZL + ^L = o, G.1.3)
dR* R dR ^ R* дер* ^ dz* V '
в сферических координатах:
д>Т 2 дТ cos^ дТ 1 д>Т l_^L=0 GМ)
dR* R OR #2sino|) дЦ> /?2 дЦ>* R2 sin2 г|) аФ2 ' v ' ' ;
В случае изотропного тела с коэффициентом теплопроводности, являющимся
функцией только температуры, целесообразно ввести функцию
т
и = $Ш\ гдеХ = Я(Г). G.1.5)
о
Дифференцируя функцию U по координатам, получаем
; G.1.6)
Теперь уравнение теплопроводности G.1.1) можно переписать в виде
V*T + qv = 0, G.1.8)
и при ду = 0
V2?/ = 0. G.1.9)
Тепловой поток через заданную поверхность F определяется формулой
Q=-fo-??-dF, G.1.10)
J дп
F
или в соответствии с G.1.6)
Q=-^dF. G.1.11)
F
47
У геометрически подобных тел с аналогично заданными граничными условия-
условиями функции
ф Г а «/-(/,)
J (Ui-Ut)dn K }
F
должны иметь одно и то же значение. Следовательно, стационарный тепловой
поток через твердое тело, коэффициент теплопроводности которого является
функцией температуры, определяется в общем виде формулой
Q = (U1—U2)<b. G.1.13)
Здесь U1 и IJ — значения функций U в характерных местах тела (например)
на внутреннем и внешнем изотермических контурах). Величина Ф в этой фор-
формуле характеризует геометрические свойства тела и называется формфак-
тором.
При X = const из G.1.13) следует, что
Q = Х{Т1 — Т2)Ф. G.1.14)
Как видно, величина формфактора обратно пропорциональна термическому
сопротивлению тела при постоянном коэффициенте теплопроводности X = 1.
Разность значений функций 1)г и U2 может быть определена так:
$ (З^ХФ^-Тг). G.1.15)
Здесь
Таким образом, тепловой поток в изотропных телах с коэффициентом тепло-
теплопроводности, являющимся функцией температуры, может вычисляться по фор-
формулам, выведенным для случая X = const, при подстановке в эти формулы
среднего коэффициента теплопроводности, определенного по формуле G.1.16).
Если поверхности, ограждающие данное тело, изотермические, то граничные
условия к уравнениям G.1.1) и G.1.8) всегда подобны. Действительно, в этом
случае на контурах системы соответственно заданы условия:
тх т2
7\ = const, f/i= J XdT = const; T2 = const], f/2 = ^ UT = const.
При X = const U = XT и, следовательно, в геометрически подобных телах с
подобно заданными граничными условиями поле температур для тела с X =
= const подобно полю функции U для тела с X = X (Т).
Обычно с достаточной для большинства практически важных задач точно-
точностью можно считать коэффициент теплопроводности или постоянным, равным
его среднему значению в данном интервале температур, или линейно меняю-
меняющимся с температурой:
X = а + ЬТ. G.1.17)
В последнем случае
U = аТ + Т2Ь/2 G.1.18)
и поле температур связано с полем функции U (т. е. с полем температур для
тела той же конфигурации и X = const) формулой
7= {alb) AЛ+2Ш/а2-1). G.1.19)
48
7.2. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ЧЕРЕЗ ПЛОСКУЮ СТЕНКУ
Рассмотрим плоскую стенку из однородного материала. Высоту и длину
стенки будем считать настолько большими по сравнению с ее толщиной б,
что температура в этих направлениях практически не меняется. Для этих
условий
d2U/dx2 = 0; U = U1 — x(U1—U2)j6. G.2.1)
Тепловой поток, проходящий через 1 м2 поверхности стенки, равен
д= —dU/dx = АТХ/8, G.2.2)
где AT = 7\ — Т2 — разность температур поверхностей стенки. При этом
принимается, что 7\ > Г2.
Когда X = const, линейной функции U соответствует линейное же распреде-
распределение температуры:
Т=Т1+х(Т1~Т2)/8. G.2.3)
При линейно меняющемся с температурой коэффициенте теплопроводности
поле температур определяется через поле функции U — в данном случае фор-
формула G.2.1) — по формуле G.1.18). Поскольку эти связи не зависят от конфигу-
конфигурации тела, далее все задачи рассматриваются для наиболее простого случая
А, = const.
При установившемся процессе и отсутствии внутренних источников тепла
тепловой поток, проходящий через любое сечение многослойной стенки, один
и тот же, т. е. при dqldx = О
i)+l/a2](l<^</2). G.2.4)
Здесь аг — коэффициент теплоотдачи от более горячей среды к поверхности
стенки, Вт/(м2- К); ос2 — коэффициент теплоотдачи от стенки к более холод-
холодной среде, Вт/(м2- К); 7\ — температура горячей среды, К2; Т2 — температура
холодной среды, К; Xt — коэффициент теплопроводности i-го слоя стенки,
Вт/(м- К); 6f — толщина /-го слоя стенки, м.
Введя обозначения
(К^/1), G.2.5>
можем написать
д = к(Тг- Т2). G.2.6)
Здесь k — коэффициент теплопередачи через многослойную плоскую стенку,
Вт/(м2.К).
Величина Rl = \lk является общим термическим сопротивлением много-
многослойной стенки и слагается из термических сопротивлений 1/аь 1/а2 и терми-
термического сопротивления собственно стенки:
. G.2.7)
Частные температурные напоры могут быть выражены через полную раз-
разность температур с помощью формул
7\-Fct,i = G\-7V>&*i; )
^сТ, t-TCTt l+1=OTi-r2) ket/Xt; G.2.8>
^ст, n+i — Т2 = (Тх— T2)k/a2. ]
7.3. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ЧЕРЕЗ ЦИЛИНДРИЧЕСКУЮ
СТЕНКУ
На внутренней поверхности цилиндра задана температура 7\, а на наруж-
наружной Т2. Внутренний радиус равен /?ь наружный R2. Длина цилиндра достаточ-
достаточно велика для того, чтобы пренебречь потоком тепла к его торцам вдоль
оси г. При этих условиях в уравнении теплопроводности G.1.3) температура
является функцией только одной координаты — радиуса R:
+0^ Tln <7зл>
Отсюда тепловой поток через цилиндрическую стенку
dR )rx
где L — длина цилиндра.
Для многослойной цилиндрической стенки
dQ/dR = 0; Q = k* G\ - Г2) I, G.3.3)
где
)(l<f<n). G.3.4)
Величина /г* называется коэффициентом теплопередачи с поверхности тру-
трубы длиной 1 м и равна тепловому потоку, проходящему через цилиндрическую
стенку длиной 1 м при разности температур Г С.
Если относить количество тепла не к 1 м длины трубы, а к площади ее внут-
внутренней поверхности или наружной поверхности изоляции, то
С = МяЯй+11(Г1-Г1),|
где
ft, = k*/2nRn+i.
Для промежуточных температур многослойной цилиндрической стенки су-
существуют уравнения:
1— ^ст,1~(^1— * 2) к I *Я»1\1&1,
G.3.7)
Цилиндрическая тепловая изоляция в отличие от изоляции плоской может
иметь некоторое конечное значение критического диаметра, соответствующего
максимуму теплового потока. Действительно, тепловое сопротивление трубы
<: цилиндрической изоляцией равно
(i + Lln^+L ln^2 +!V G.3.8)
Здесь Dx — внутренний диаметр трубы; D2 — наружный диаметр трубы; DH3—
наружный диаметр изоляции; А,тр — коэффициент теплопроводности материа-
материала трубы; Хиз — коэффициент теплопроводности изоляции.
Продифференцировав это выражение по DH3 и при условии a = const, по-
получаем формулы Власова:
8— l/a2DH3 ;
-l/2^3; G.3.9)
^кР = 2?Wa2; а2 R*ldDl3 =¦• а2/8яА,»3 > 0.
Следовательно, при Dn3 = DKp тепловое сопротивление трубы минимально
и соответственно тепловой поток достигает наибольшего значения.
Критический диаметр изоляции не зависит от размеров трубопровода и
коэффициента теплоотдачи аи а определяется только коэффициентом теплопро-
теплопроводности изоляции и коэффициентом теплоотдачи в окружающую изоляцию
50
среду. Чем лучше изоляционный материал, т. е. чем меньше его коэффициент
теплопроводности, и чем интенсивнее охлаждение изоляции, т.е. чем больше a2t
тем меньше критический диаметр изоляции.
Толщину изоляции, при которой тепловой поток становится равным тепло-
потерям неизолированного трубопровода, можно найти из уравнения
Изоляция становится эффективной тогда, когда сопротивление теплопере-
ходу от поверхности неизолированной трубы к окружающей среде становится
меньше термического сопротивления тепло-
переходу через слой изоляции (рис. 7.1):
1 ^ 1 ,_ ?>из ,. 1_ G.3.11)
Стсюда диаметр эффективной изоляции
должен быть больше значения /)из,э, опре-
определяемого из условия
Li= In Dh3' э G.3.12)
из'э
И3
In
2
Рис. 7.1. Тепловые потери через ци-
линдрическую изоляцию в зависи-
мости от ее толщины:
/-плохая изоляция B\13<а2 d2).;
2-хорошая изоляция
Рассмотренное решение справедливо, ког-
когда а2 не зависит от температуры поверхности
изоляции и ее диаметра. Это условие с из-
известным приближением выполняется при вы-
вынужденном продольном обтекании изоляции
охлаждающей средой. При вынужденном поперечном обтекании изоляции
можно полагать (при прочих равных условиях) а2 = AD^3n, где п порядка
0,2—0,4. Тогда
J*l =_!_/_! 1=М G.3.13)
и критический диаметр изоляции
-"). G.3.14)
При. свободной конвекции сс2 = А^Тт/D1-3, где АГ — разность темпера-
температур поверхности изоляции и охлаждающей среды. Таким образом, с утолще-
утолщением изоляции а2 будет уменьшаться даже при больших значениях А,пз.
7.4. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ЧЕРЕЗ ШАРОВУЮ СТЕНКУ
Имеем полый симметричный шар, на внутренней поверхности которого за-
задана температура Тг и на наружной Г2. Температура является в этом случае
функцией только одной координаты — радиуса шаровой поверхности:
d2T
dR2
G.4.1)
G.4.2)
Для многослойной шаровой стенки уравнение для теплового потока можно-
записать в виде
G.4.3)
51
Следует обратить внимание, что сферический источник радиуса Rly погружен-
погруженный в неограниченную однородную среду (R2 -^оо, Т -+Т2), имеет конечный
минимальный стационарный тепловой поток
Тг—Тг). (ТАЛ)
dx
7.5. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ВДОЛЬ СТЕРЖНЯ
ПОСТОЯННОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ
На рис. 7.2 изображена схема к задаче о теплопроводности вдоль стержня
{прямого ребра). Одним торцом стержень плотно соединен с твердой поверх-
поверхностью (трубы, корпуса двигателя и т.п.), имеющей температуру 7\. Темпера-
Температура среды, окружающей стержень, равна То. Коэффициент теплоотдачи от
боковой поверхности стержня к среде обозначим через а, коэффициент тепло-
теплоотдачи от свободного торца стержня к сре-
/ де — через aL.
Вследствие возможного различия в тем-
температурах и условиях обтекания боковой и
торцовой поверхностей стержня в общем
случае а^ ф а. Далее предположим, что теп-
°(l лопроводность материала стержня достаточно
велика, чтобы можно было считать темпера-
температуру по его поперечному сечению практически
неизменной. Собственно говоря, эта предпо-
предпосылка равносильна утверждению, что вследст-
вследствие большого отношения длины стержня к
его поперечному размеру частные производные
дТ/ду и dT/dz существенно меньше частной
производной dTldx.
Изменение количества тепла, протекающего через поперечное сечение стерж-
стержня, составит dQ = d (—XQ dTldx). При установившемся процессе это тепло
отдается за счет теплоотдачи через элемент боковой поверхности стержня dF =
= Pds, где Р — периметр стержня, м; ds — дифференциал криволинейной ко-
координаты, направленной по поверхности стержня вдоль оси х. Если толщина
стержня б, то ds = Vl + A/4) (d8/dxJ~ttx. Отсюда уравнение теплопередачи
в стержне принимает вид
Рис. 7.2. Схема прямого ребра
—
dx
dx
A/4) (d8/dxJ
G.5.1)
Знак минус в левой части этого уравнения взят потому, что при Т > То
тепловой поток вдоль стержня уменьшается вследствие теплоотдачи с его боко-
боковой поверхности.
Рассматривая плоское ребро (площадь сечения и периметр стержня не ме-
меняются вдоль координаты х), можем написать:
= aP(T—T0)/KQ.
G.5.2)
Температура вдоль стержня непрерывно меняется, причем максимально
возможное ее изменение лежит в пределах от 7\ до Го. Нетрудно убедиться,
что частное решение дифференциального уравнения G.5.2), удовлетворяющее
указанному характеру рассматриваемого физического процесса, может быть
лредставлено в виде экспоненциальной функции
Т — Т^о = С exp (mx),
где Сит — постоянные.
Дифференцирование этого уравнения дает
d2 T/dx2 = Cm2 exp (mx).
G.5.3)
G.5.4)
52
Подставляя эти значения Т — То и d2T/dx2 в уравнение G.5.2), получаем
Cm2 ехр (пгх) = (аР/Щ С ехр (пгх), '
откуда
m = ±VaP/XQ. G.5.5)
Следовательно, уравнению G.5.2) удовлетворяют два частных решения типа
G.5.3). В одном решении показатель экспоненты положителен, а в другом —
отрицателен. Как известно, общим решением рассматриваемого дифференци-
дифференциального уравнения является сумма его частных решений, т. е.
Т—T0 = Ciexp (mx)+C2 ехр { — пгх), G.5.6)
где m — положительное значение корня G.5.5). Постоянные интегрирования Сх
и С2 определяются из граничных условий в начале и конце стрежня. При х = 0
Т = 7\. При определении температуры на свободном торце стержня (х = L)
необходимо учесть, что количество тепла, передаваемого к этому торцу за
счет теплопроводности вдоль стержня, отдается через поверхность торца
в окружающую среду, т. е.
—X (dT/dx)L = oll (TL- To). G.5.7)
Из первого граничного условия имеем 7\ — То = Сг + С2. Отсюда Т —То=
= Сг [ехр (пгх) — ехр (— тх)]+ (Тг — То) ехр (— пгх).
Используя условие G.5.7), находим, что
(dT/dx)L = m {Сг [ехр (ml) + ex p (—mL)] — (Тг — То) ехр (—mL)}\
кроме того,
TL — TQ = Сг[ехр (mL)— ехр (— mL)] + (Тг — Т0) ехр (—mL).
Подставляя значения (dT/dx)i и TL — То в уравнение G.5.7) и вводя обоз-
обозначение
п = aL/Ki = +Va2L Q/aXP, G.5.8)
получаем значение первой константы интегрирования:
Г (Т т ч A— /г) ехр (—mL)
(—mL)-\-n [ехр (mL)—ехр (—
Соответственно
(l+ft)exp(mL)
Г =(Т Т)
0
ехр (mL) + ехр (—mL) -f-я [ехр (mL) — ехр (—mL)]
Таким образом, окончательно получаем
Т=Т \ (Т Т) n
G 5 9^
2[ch(mL)-/zsh(mL)] > К • • )
TlE*G.5.10)
0 ch (mL) — п sh (mL)
Когда теплоотдача от свободного торца стержня мала или торец хорошо изо-
изолирован, можно положить аи = 0. В этом случае п = 0 и соответственно
Т=_Т , (Т _т v ехр[—m(L^A:)] + exp[m(L —х)] ^ ^ j j.
0 У г о) 2ch(mL) ; V — /
ch (mL)
Раскрывая значение ch (mL), перепишем формулу G.5.11) следующим об-
образом:
(Т0-Т0)\ exP;-mL> +^Ш /[exp(mL)+exp(-mL)]
L ехр (—тх) ехр (m*) J /
53
При стержне бесконечной длины (L = оо), ехр (—mL) = О и
Т = Т0 + (Тг-Т0)ехр(^тх). G.5.13)
Последняя формула дает распределение температур вдоль стержня весьма
большой длины по сравнению с его поперечным сечением (теоретически беско-
бесконечно длинный стержень). ^
Количество тепла, отдаваемое стержнем окружающей среде, равно количе-
количеству тепла, втекающему в стержень через его закрепленный торец:
Q=—XQ(dT/dx)x==Q. G.5.14)
Дифференцируя уравнение G.5.9) и подставляя полученное значение dTldx
при х = 0 в уравнение G.5.14), получаем: :
а) теплоотдача стержня конечной длины
д^шт^-г/;';^^;^; G.5.15)
ch (mL) + п sh (mL)
б) теплоотдача стержня с изолированным свободным торцом
Q = Шш G\ —Го) th (mL)) G.5.16)
в) теплоотдача стержня бесконечной длины
Q-XQm^-To), G.5.17)
где m имеет положительное значение по формуле G.5.5).
7.6. ПРЯМОЕ РЕБРО ПОСТОЯННОГО ТЕПЛОВОГО
НАПРЯЖЕНИЯ
В ребре постоянной толщины плотность теплового потока резко уменьшает-
уменьшается вдоль оси х. Так, например, закону распределения температуры по длине
бесконечного стержня, выражаемого формулой G.5.13), соответствует закон
изменения плотности теплового потока
q= —XdT/dx = km(T1~T0)exp(—mx). G.6.1)
Очевидно, что материал ребра использовался бы более эффективно, если
бы теплонапряжение единицы его поперечного сечения оставалось постоянным
или почти постоянным.
Зададимся условием, чтобы плотность теплового потока
q = {lm)x=Q{Ti-TQ) G.6.2)
оставалась постоянной вдоль всего ребра, а на свободном конце ребра устано-
установилась температура, практически равная температуре окружающей среды.
При этом условии
T^qx/X; j
где L — высота ребра. При достаточно широком ребре, когда его ширина Я>6,
можно положить
m =
G.6.4)
где б — толщина ребра у его основания.
Воспользовавшись уравнениями G.6.3) и G.6.4), находим, что в рассматри-
рассматриваемом случае высота ребра и его толщина у основания должны находиться
в определенном соотношении, а именно:
L/ao = BBi)-i/2f G.6.5)
где Bi =аб0Д.
54
Подставляя в уравнение; G.5.1) значение Т из системы G.6.3) и принимая
во внимание, что в тонких ребрах (dbldxJ <^ 1, после интегрирования полу-
получаем
*Г1Г' G'6'6)
Подставляя в это уравнение значение L/60 из выражения G.6.5), находим,
что толщина свободного торца ребра 6L = 0,5 б0. Обычно в целях большей про-
простоты изготовления параболический профиль ребра заменяется трапециевид-
трапециевидным.
7.7. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ В ПРЯМОМ ТРАПЕЦИЕВИДНОМ
И В ПЛОСКОМ КРУГЛОМ РЕБРАХ
Схемы этих задач с указанием систем координат даны на рис. 7.3 и 7.4. Тол-
Толщина прямого трапециевидного ребра б = 2х tg ср. Подставляя значение б
в выражение G.6.4) для Q и далее в G.5.1), получаем уравнение
2Х d2
1 — Q = 0.
G.7.1)
Здесь
г-
Для плоского круглого ребра
Xtgcp
Подставляя эти величины в G.5.1), приходим к уравнению
dz
-0 = 0,
2 *2
G.7.2)
где z2 = R]/^X8/2a — текущий безразмерный радиус.
Рис. 7.З. Схема трапециевидного ребра
Рис. 7.4. Схема круглого ребра
Решения двух последних уравнений известны и даются в цилиндрических
функциях. Решения эти громоздки, и их удобнее представлять в виде расчет-
расчетных графиков (рис. 7.5—7.7).
На рис. 7.5 е = QF'/FQ', где Q — тепло, отдаваемое ребром, Вт; Q' — то
же по формуле G.5.15), Вт; F — поверхность рассчитываемого ребра, м2; F'—
поверхность прямоугольного ребра, длина, высота и толщина которого равны
55
1,15
1,05
0,95
.
П rri—
0,75
(Т2/^=10
¦—«*_
1 .
0
0;2 0,4 0,6 0,8
Рис. 7.5. График для расчета количества
тепла, отводимого трапециевидным ребром
0,9
0,7
0,5
R?/R}=1,0
——
1J^
2^
w
в
Q,S
0,2
0,1
I,
/
I
i
/
/
/ /
———'
.—"
-"
.
^-—-^
—
. ¦
, ¦'
0,10
0?6
0,04
0,03
0,02
-—¦
0,01
0,005-
0?02_
W L/Do
0,2 0,4 0,6 0,8 i92
Рис. 7.6. График для расчета количества
тепла, отводимого круглым ребром
Рис. 7.7. График для расчета количе-
количества тепла, отводимого коническим
шипом
длине, высоте и средней толщине рассматриваемого ребра, м2. На том же
рисунке #2 = (Г2 — Т0)/(Т1 — То).
На рис. 7.6. е — Q/Fq, где q — количество тепла, передаваемого с единицы
поверхности прямоугольного ребра длиной 1 м и толщиной, равной толщине
данного круглого ребра.
На рис. 7.7 Q = (я?0/2) G\ — То) №.
7.8. КОЭФФИЦИЕНТ ЭФФЕКТИВНОСТИ ОРЕБРЕНИЯ
Применение оребрения поверхности нагрева особенно эффективно в тех
случаях, когда коэффициент теплоотдачи от одной среды существенно больше,
чем коэффициент теплоотдачи к другой среде. Так, например, оребрение труб
весьма эффективно, когда внутри трубы течет вода или жидкий металл, а
с внешней стороны — газ. Применяется оребрение и со стороны жидкости и
даже конденсирующихся паров, имеющих малые коэффициенты теплоотдачи
(некоторые холодильные агенты).
Для односторонне оребренной поверхности можно составить систему урав-
уравнений:
= *1F(T-TCTtl);
G.8.1)
Здесь F — основная поверхность теплообмена; Fov — поверхность оребрения;
? — коэффициент эффективности оребрения.
Решая эту систему уравнений, получаем
= kF (Тг - Г2),
G.8.2)
56
Рис. 7.8. Коэффициент эффективности круглых ребер с цилиндрическим осно-
основанием
где k = И/аг + 8СТАСТ + F/a2 (F + EFq^)]'1. Отсюда отчетливо видно, что
при ссх ^> а2 общий коэффициент теплопередачи можно существенно увеличить
путем оребрения так, чтобы имело место условие EF0V > F.
Коэффициент эффективности оребрения Е всегда меньше единицы, посколь-
поскольку средняя температура поверхности ребра меньше температуры у его основа-
основания. Поскольку температура у основания ребра 7\ совпадает с температурой
основной поверхности теплообмена F, то количество тепла, переданное оребре-
нием, будет равно
QOp = aF0PG\-T0)?. G.8.3)
0,8
0,6
0,4
0,2
Кбадратные ребра
~с цилиндрическим
основанием
X N
1,1
'о
/
-*
0,8
Q
Рис. 7.9. Коэффициент эффективности квадратных ребер с цилиндрическим основанием
и ребер с прямым основанием (г|) = 0,9 для прямых и поперечных ребер на овальной
трубе; г|) = 0,85 для поперечных ребер на круглых трубах)
57
Отсюда в соответствии с формулой G.5.16) для прямого ребра постоянной тол-
толщины
На рис. 7.8 и 7.9 приведены составленные Э.С. Карасиной графики для опре-
определения Е круглых поперечных ребер, квадратных поперечных ребер и ребер
с прямым основанием. На рис. 7.9 дан также график для определения коэффи-
коэффициента 8Д, на который следует умножить величину Е в случае трапециевидно-
трапециевидного сечения ребра.
7.9. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ В СТЕРЖНЕ И ШАРЕ
С ВНУТРЕННИМИ ИСТОЧНИКАМИ ТЕПЛА
Внутренние источники тепла могут возникать при прохождении через тело
электрического тока, при фазовых переходах, химических превращениях, ра-
радиоактивном распаде, внутреннем трении и т. п.
Вычислим распределение температур в плоской стенке и цилиндрическом
стержне с равнораспределенными внутренними источниками, т. е. когда qv
имеет одно и то же значение во всех точках стержня. Для плоской стенки, когда
Т является функцией только координаты х, из уравнения теплопроводности
следует
= 0; Т = — х2 qv/21 + ^x+C^ G.9.1)
где Сх и С2 — постоянные интегрирования.
Положим, что со стороны поверхности, которая принята за начало отсчета
координаты х, стенка омывается средой с температурой 7\ и коэффициентом
теплоотдачи аг. Со стороны другой поверхности среда имеет температуру Т2
и коэффициент теплоотдачи а2. Пусть Тх > Г2. Тепловой поток через поверх-
поверхности-стенки равен « .
д1== -ЩТ/йх^о^ъРгТ^; 1
q2 = -X (dT/dx)x^6 = а2 (Гст§2 -Т2) = q + 9SJ
Определяя изч этих условий Сг и С2, находим выражение для температур
стенки:
^^ст,2+ ^тг (б2—х2)+ --i- (Г2 —ГстД) (б— х), G.9.3)
откуда
_ Га+ (оы/аа+ «1 б/Я) 7t +^ F/cx2 + 62,/2X) _ ^ п ^
т г , 71Г,УуF/«,+ Д/2Ц , дуб
т l+oeA+o./ax a2 7
Если одна поверхность стенки, например со стороны л: = 0, настолько хорошо
изолирована, что можно принять ах = 0 и соответственно (dT/dx)x==0 = 0, то
58
Тст.1 -T^ + qv,(б/а2 + б2/2Я); ,
Рассмотрим теперь температурное поле в цилиндрической односторонне
охлаждаемой стенке. Когда Т является функцией только радиуса J?, имеем:
d*T • 1 dT Qv _n
~^ 77Г i 1— — ^>
fl?2 ' R dR X
p dT - Qv
4%
G.9.7)
Поскольку цилиндр односторонне охлаждаемый, то с поверхности охлажде-
охлаждения отводится только тепло, выделившееся в цилиндре за счет внутренних
источников. Это тепло равно
q* = n{Rl-R\)qv. G.9.8)
Если цилиндр охлаждается с внешней поверхности, то
q*=-X(dT/dR)Ri 2яЯ2 = a2nR2(Т„л-Щ (? д g
(dT/dR)Rl = 0. I
Здесь Ri и R2 — внутренний и внешний радиусы цилиндра; То — температура
охлаждающей среды.
Определяя отсюда значения постоянных интегрирования и подставляя их
в интеграл уравнения G.9.7), получаем выражение для температурного поля
*l \ 1 _ / ^_J1 + 1 - (AY _2 (А.J1П _Ь1 . G.9.10)
r2[ [r, Л [rJ [rJ r} -v ;
Температура внутренней поверхности цилиндра
В том случае, когда известно значение ТстД (например, путем измерения
в опытах), константа С2 может быть вычислена из уравнения G.9.7) при Т =
= Гст,1 и R = 7?! и
^[b (i)"] G.9.12)
Для сплошного круглого стержня G?х = 0) уравнение температурного поля
имеет вид
Температура на оси стержня
^1(^) G.9.14)
Температура на поверхности стержня
G.9.15)
Если цилиндр охлаждается с внутренней стороны, то граничные условия
можно записать в виде <7* = а2я7?х (Гстд — 70); (dT/dR)R2 = 0.
59
Соответственно
•* стД —
стД
G.9.17)
* Ст,2 —
Для шара с равномерным отводом тепла по его поверхности
Здесь Гст — температура наружной поверхности шара; То — температура ок-
окружающей среды; Ro — радиус шара. Отсюда выражение для определения тем-
температурного поля в шаре имеет вид
Т = Гст + (qv/Gk) (Rl—R). G.9.20)
Температура в центре шара
ц== ' ct~t~Qv ао/Ьа, (/.y.zl)
и температура поверхности шара
TCT=T0-tqvRQ/3a. G.9.22)
7.10. СУПЕРПОЗИЦИЯ ПОЛЕЙ ТЕМПЕРАТУР
Если в теле имеются сосредоточенные источники и стоки тепла, описывае-
описываемые линейным дифференциальным уравнением, причем граничное условие тепло-
теплообмена также линейно, то температурные поля, создаваемые отдельными ис-
источниками, независимы друг от друга. Следовательно, результирующее тем-
температурное поле является суммой темпера-
температурных полей, создаваемых отдельными ис-
источниками и стоками тепла. Это свойство та-
таких полей позволяет сравнительно просто
решать ряд задач путем введения в расчет
фиктивных стоков или источников тепла.
В качестве примера рассмотрим тепловые по-
потери неизолированного круглого трубопро-
трубопровода, заложенного в грунт (рис. 7.10). В полу-
полубесконечный массив на глубину h заложен
трубопровод диаметром D. На поверхности
трубопровода Т = Ти на всей поверхности
массива Т = То. Последнее условие означает
весьма интенсивное охлаждение поверхности
грунта или достаточное заглубление трубы,
так как в ином случае поверхность массива
над трубопроводом была бы прогрета значи-
значительно сильнее, чем более удаленные области.
Заменим рассматриваемый трубопровод
линейным источником с той же плотностью
тепловыделения (+?*, Вт/м). На плоскости
чертежа этот источник изобразится точкой mv
Далее, поместим над поверхностью грунта
зеркальное отображение нашей системы. При
Рис. 7.10. Задача о трубопроводе этом отображение источника пгъ находящееся
в полуограниченном массиве в точке т2, будем рассматривать как сток с
60
тепловыделением (—q*). Таким образом, получаем неограниченный массив
с источником, стоком и изотермой Го, изображающей поверхность грунта.
В таком случае изотермические поверхности независимых полей источника
и стока должны иметь вид концентрических окружностей. Применяя к ним
формулу G.3.2), можем написать
T'-T0=-(q*/2nl)\n(R'/y0); |
Здесь А, — коэффициент теплопроводности грунта; R' и R" — радиусы, прове-
проведенные в данную точку от источника и стока; у0 — расстояние по нормали от
поверхности грунта до источника и стока.
Суммируя эти поля, получаем
"-T0 = (q*/2nX)\n(R"/R'). G.10.2)
Поместим начало координат на пересечении оси т^т* с поверхностью грун-
грунта. В этом случае
} G.ю.з>
Я'2 =х>+(у0-у)%;\
Подставляя эти значения радиусов R' и R" в уравнение G.10.2), получаем
Т-То = JL ln[^ + ^ + y)all/a, G.10.4)
Согласно последнему выражению, изотермы результирующего поля имеют
вид окружностей, центр которых перемещается вниз отточки т1 по мере умень-
уменьшения Т. Поскольку поверхность трубопровода является окружностью, ее
можно отождествить с изотермой Т = 7\. Для точки k на верхней образующей
трубы
G.10.5)
где h — глубина залегания оси трубы; Ro = D/2 — радиус трубы.
Для точки п на нижней образующей трубы
Rn = 2R0-Rk.\
Кроме того,
G.10.7>
поскольку точки k и п принадлежат одной и той же изотерме.
Из этих соотношений следует, что
R'klR'k = (Rl + D)/(D-Rfr,\ ш
R"k-R'k=2h — D. J
Следовательно, для любой точки изотермы 7\
R' R'k D у \ D
Подставляя это значение R"IR' в G.10.2), получаем формулу Форхгеймера:
q*= 2як(Т,-Т0) _ G.10.10).
Тепловой поток с участка трубопровода длиной L равен
Q = q*L. G.10.11)
61
to
Таблица 7.1
Термическое сопротивление тел различной формы
1. В третьей графе приведено термическое сопротивление тела R* или (при погружении тела в массив) ограждающего слоя до его поверх-
поверхности при постоянных температурах на контурах тела и массива равных Гст> х и TCTt 2; R* = (TCT>1 — Гст, 2)/Q> К/Вт.
2. В четвертой графе приведено полное термическое сопротивление Rz=(T—To)/Q, где Т и То—соответственно температуры греющей и на-
нагревающей сред.
3. Геометрические параметры k, b/a и A0 = f(a) характеризуют соотношение сторон прямоугольника и число сторон правильного я-угольника.
Их числовые значения приведены ниже
Ь/а
1,00
1,25
1,50
1,75
k
0,08290
0,03963
0,01781
0,00816
п
3
4
5
6
1,13916
0,54159
0,32131
0,21339
Ь/а
2,00
2,25
2,50
3,00
k
0,00373
0,00170
0,00078
0,00016
п
7
8
9
10
Ао
0,15214
0,11397
0,08832
0,07076
Форма тела и его
расположение
Плоская протяженная
стенка
Цилиндрическая протя-
протяженная стенка
Расчетная схема
( fi>
V V/
Термическое сопротивление тела
* ~ XLa
(здесь и дальше L—длина тела)
R~2nLXln Rl
Политое термическое сопротивление
с учетом теплоотдачи на контурах
1/1 б 1 \
La \a,i А аг/
1/1 1 /?2 1 \
2 2^lUi^i+ A, lnRi + a2R2)
Полый шар
Труба в квадратной
изоляции
Труба, эксцентрично
расположенная в круглой
изоляции
Одиночная труба в по-
полуограниченном массиве
In
Г)* _____ / _
р* 1
У № + RiJ
У (R^RiJ
1 |" h
при h
Rl /?2/
— S24 У(/?2 — ^lJ — S2
i/fM2 il-
KUi r
2h
\ Г)
>4R
• = — Г -L+-L/_L__LU -i-1
J_
При наличии цилиндрической изоляции:
3 = 0,55а,
7"
(при квадратной изоляции
где а —сторона квадрата)
При ат/?2 ^>1 для изолированной трубы:
г1
ПроДолжение табл. 7.1
Форма тела и его
расположение
Расчетная схема
Термическое сопротивление тела
Полное термическое сопротивление
с учетом теплоотдачи на контурах
Две трубы в полуогра-
полуограниченном массиве
Ряд труб одинакового
диаметра с одной и той
же температурой в полу-
полуограниченном массиве
(Х2Т0
2nkL
X
R2
X
X
/ *, /<из 2ЛХ \
|— In + In +
[Г ¦
+ (i2)
Для трубы 2 индексы 7 и 2 меняются местами.
Для одной из труб
[* hBjxA
+
Tlnfe
/
sh 2я
v
Ряд труб одинакового
диаметра с одной и той
же температурой в мас-
массиве, ограниченном двумя
параллельными плоско-
плоскостями
Прямоугольный канал
большой протяженности
в полуограниченном мас-
массиве
Протяженная тонкая
пластина в полуограни-
полуограниченном массиве
Шар в полуограничен-
полуограниченном массиве
O
СП
ато
77,
\//////////л
Т
Я
сс2Т0
Для одной из труб
2nLk
In —- sh —
[nR \ s \
п* .
In-
3,5/1
При 0,5<Л/а<12:
для вертикальной пластины
0,42/ h \о,24
*—г(т) :
для горизонтальной пластины
при
Термическое сопротивление на поверх*
ности массива учитывается заменой ве-
величины h суммой / + Л/
То же
О)
Продолжение табл. 7.1
Форма тела и его
расположение
Расчетная схема
Термическое сопротивление тела
Полное термическое сопротивление
с учетом теплоотдачи на контурах
Вертикальный цилиндр
в полуограниченном мас-
массиве
Круглое кольцо в по-
полуограниченном массиве
Шар, наполовину за-
загубленный в полуограни-
полуограниченный массив. Весь теп-
тепловой поток направлен в
массив
Круглая пластина на
поверхности полуограни-
полуограниченного массива. Тепло-
Тепловой поток направлен в
массиве
2R
Без учета теплоотдачи с верхнего торца
1 , 2h
*'1
С учетом теплоотдачи с верхнего торца
2в2М \п B/R) "*"
При
2R,
Термическое сопротивление на поверх-
поверхности массива учитывается заменой ве-
величины h суммой h-\-X/a
Прямоугольная пласти-
пластина на поверхности полу-
полуограниченного массива.
Тепловой поток направ-
направлен в массив
Круглая пластина в
неограниченном массиве
с температурой Т2
Труба в прямоугольной
изоляции
Труба в правильной
n-угольной изоляции
л
J
6
паХ
/?¦==
4а
R
nkL
O
00
Продолжение табл. 7.1
Форма тела и его
расположение
Расчетная схема
Термическое сопротивление тела
Полное термическое сопротивление
с учетом теплоотдачи на контурах
Эллиптическая труба,
софокусно расположенная
в изоляции эллиптиче-
эллиптической формы
Полоса, фокально рас-
расположенная в эллипти-
эллиптической изоляции
Прямоугольная пласти
на в неограниченном мас-
массиве с температурой Т$
1
c + d
2rikL % a+b
1 c + d
In
#* =
1 Ja
2naK b
* Здесь и далее а) термическое сопротивление стенки трубы считается пренебрежимо малым, б) под температурой То понимается температура среды над поверхностью
массива. Температура массива на бесконечном удалении от источника теплового потока также равна То. В практических расчетах подземных трубопроводов за вели-
величину То на основе опытных данных принимают естественную температуру грунта на глубине залегания оси трубопроводов.
Далее можно найти
и поле температур
ln
Т-То
21n [h/R0—
G.10.12)
G.10.13)
Этим методом может быть решен также ряд других задач по теплопроводно-
теплопроводности в системах сложной конфигурации. Так, Е. П. Шубиным была решена зада-
задача о двух трубопроводах в полуограниченном массиве с неодинаковыми тем-
температурами и диаметрами; И. А. Иоффе решил задачу о температурном поле в
полуограниченном массиве с бесконечным рядом одинаково нагретых труб.
В тех случаях, когда метод наложения полей оказывается неприменимым,
возможно применение метода конформных отображений. Последним методом,
например, А. С. Синельников решил задачу о теплопроводности через квад-
квадратную изоляцию трубопровода.
Этими и другими методами математической физики решено большое число
частных задач о теплопроводности в телах различной формы (табл. 7.1).
7.11. УЧЕТ ВНЕШНЕГО ТЕРМИЧЕСКОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ
МЕТОДОМ ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ СТЕНКИ
Приведенные выше задачи характеризуются, в частности, тем, что на поверх-
поверхности рассматриваемых тел температура постоянная, т. е. одна из изотерм сов-
совпадает с поверхностью тела. В случае симметричного тела это условие выпол-
выполняется, когда коэффициент теплоотдачи имеет постоянное значение на всех
точках поверхности. В случае несимметричной системы, например трубопро-
трубопровода в полубесконечном пространстве,
условие постоянства температуры на кон-
контуре осуществляется только при весьма
интенсивном ее охлаждении (теоретически
при а = оо).
В общем случае термическое сопротив-
сопротивление такой системы оказывается функ-
функцией безразмерных геометрических пара-
параметров и критерия Bi = а/М,ст. Как ука-
указывалось в гл. 5, величина б' = Яст/а
имеет размерность длины и называется до-
дополнительной стенкой в связи с тем, что в
плоской стенке толщиной б' при данном
потоке q имел бы место перепад температур
TVr — Tq. При решении задач типа опре-
определения теплопроводности через плоскую
или цилиндрическую стенку учет внешних
термических сопротивлений, пропорциональных 1/а, не представляет затруд-
затруднений. Иное дело, когда приходится рассматривать задачи более сложные.
Так, в задаче о тепловых потерях трубопровода, заложенного в грунт, нет
возможности просто суммировать термическое сопротивление грунта, вычис-
вычисленное по формуле G.10.10), с термическим сопротивлением воздуха над грун-
грунтом. Действительно, при конечном значении а меняется термическое сопротив-
сопротивление собственно грунта, так как его поверхность перестает быть изотермиче-
изотермической. Кроме того, неясно, как вычислить собственно внешнее термическое сопро-
сопротивление, когда поверхность грунта бесконечно велика. В то же время точное
решение уравнения теплопроводности с граничным условием третьего рода
существенно сложнее, чем при задании граничного условия постоянной тем-
температуры контура. В подобных случаях оказывается возможным удовлетвори-
Рис. 7.11. Экспериментальное ( )
и расчетное ( ) поля темпера-
температур вокруг одиночного теплопровода;
Л/Я = 3,75; Bi = 0,26
69
тельно учесть конечное значение а путем введения в расчетную формулу, полу-
полученную для случая а = оо, линейного размера системы, увеличенного на тол-
толщину дополнительной стенки б'.
При этом, однако, относительная величина 67/ должна быть настолько
мала, чтобы теоретическое распределение температур в дополнительной стенке
было близким к линейному. В качестве примера рассмотрим кривые распреде-
распределения температур над трубопроводом в грунте по формуле G.10.13). Обозна-
Обозначим через h длину участка с резко выраженным криволинейным распределением
температур, а через б' — длину участка, в котором распределение температур
близко к прямолинейному. Отношение 67/i имеет порядок 0,4. Следовательно,
в том случае, когда величина 8'/h = XCT/ah = 1/Bi меньше 0,4, конечную ве-
величину а можно учесть, введя в формулу G.9.2) вместо истинной глубины
залегания трубопровода h величину йэк = й + б'. Насколько хорошо в данном
случае оправдывается этот прием, видно из рис. 7.11, на котором сопоставлено
опытное температурное поле с температурным полем, вычисленным по формуле
G.10.13) при замене величины h величиной hQK.
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Варшавский Г. А. Определение тепловых потоков в твердом теле при стационарном ре-
режиме для случая, когда коэффициент теплопроводности является функцией температу-
температуры.— «Журн. эксперим. теор. физ.», 1936, т.6, вып. 3, с. 282.
2. Варшавский Г. А. Исследование некоторых задач теплопроводности при коэффициенте
теплопроводности, зависящем от температуры.— «Журн. прикл. механ. и техн. физ.»,
1961, №3, с. 3—15.
2а. Гребер Г., Эрк С. Основы учения о теплообмене. М.—Л., ОНТИ, 1936.
3. Проблемы теплофикации. Л.—М., ОНТИ, 1936 (Тр. ЦКТИ, вып. 11).
4. Шорин С. Н. Теплопередача. М.—Л., Госстройиздат, 1952.
5. Шубин Е. П. Материалы, методы устройства и расчет тепловой изоляции трубопрово-
трубопроводов. М., Госэнергоиздат, 1948.
8
" " НЕУСТАНОВИВШИЙСЯ ТЕПЛОВОЙ
ПОТОК В ТВЕРДОМ ТЕЛЕ
БЕЗ ВНУТРЕННИХ ИСТОЧНИКОВ
8.1. УРАВНЕНИЕ НЕСТАЦИОНАРНОГО ТЕМПЕРАТУРНОГО
ПОЛЯ
При отсутствии внутренних источников тепла уравнение теплопроводности
B.3.6) принимает вид
ay*T = dT/dt. (8.1.1)
Вводя безразмерные координаты Ф = A77A7Y, х = х/10; у = y/l0; z = z/lo>
где АТ0 — начальный температурный напор; /0 — характерный линейный
размер тела, приводим уравнение (8.1.1) к виду
у# (81 2)
Из этого уравнения видно, что безразмерная температура является функ-
функцией критерия Фурье
Fo = at //§, (8.1.3)
т. е. сходственные времена пропорциональны квадрату линейного масштаба
тела и обратно пропорциональны коэффициенту диффузии тепла.
Среди практических задач о нестационарной теплопроводности важнейшее
значение имеют две группы процессов: а) тело стремится к тепловому равно-
равновесию; б) температура тела претерпевает периодические изменения. К первой
группе относятся процессы прогрева и охлаждения тел, помещенных в среду
с некоторым заданным тепловым состоянием, например прогрев болванки в
печи, охлаждение закаливаемой детали и т. п. Ко второй группе относятся
процессы в периодически действующих подогревателях, например тепловой
процесс регенераторов, кладка которых периодически то нагревается дымовыми
газами, то охлаждается воздухом, который сам при этом подогревается. В этом
случае процесс периодического колебания температуры и теплового потока
называют тепловыми волнами.
Проблема решения уравнения (8.1.1) является чисто математической. Спе-
Специальные физические соображения приходится привлекать только при задании
соответствующих начальных и граничных условий. Однако в огромном числе
практически важных задач и эта проблема, по существу, снимается возмож-
возможностью принять температуру тела в начальный момент времени одинаковой
во всех его точках. Температуру на поверхности тела обычно можно считать
или постоянной за время протекания процесса, или зависящей от постоянного
коэффициента теплоотдачи и меняющейся по заданному закону температуры
окружающей среды (последнюю также во многих случаях можно считать по-
постоянной).
Аналитический метод решения уравнения теплопроводности (8.1.1) пер-
первоначально был развит в работах Фурье и в дальнейшем нашел широкое при-
применение в самых разнообразных областях математической физики. Метод
Фурье применительно к фундаментальным задачам теории теплопроводности
был подробно разработан Г. Гребером, Г. Карслоу, А. В. Лыковым, А. Н. Ти-
Тихоновым и другими исследователями.
Широкое применение в решении сложных задач теории теплопроводности
нашли операционные методы. Определяя Т через функцию U = *\ЫТУ можно
привести уравнение (8.1.1) к виду
V2U = q>(U)dU/dt, (8.1.4)
где „ер (U) = а.
71
Однако в задачах нестационарной теплопроводности введение функции U
не дает такого общего результата, как в задачах о стационарном температурном
поле. Некоторые частные решения уравнения (8.1.4) были исследованы
К. И. Страховичем.
В рамках данной книги мы ограничимся рассмотрением нескольких наи-
наиболее распространенных задач нестационарной теплопроводности с целью вы-
выявления общих физических особенностей такого рода процессов. Для более
детального ознакомления с этой проблемой следует обратиться к специальной
литературе по теории теплопроводности, среди которой наиболее подробными
являются монографии Г. Карслоу и Д. Егера и А. В. Лыкова.
8.2. РЕШЕНИЕ В ВИДЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
ДВУХ ФУНКЦИЙ
Существует ряд решений (интегралов) уравнения Фурье. Одним из них,
имеющим большое практическое значение, является произведение двух функ-
функций, из которых одна связана только с координатами, а другая — только
со временем:
Т = ф(х; */;z;)<P@; * = Ф (*; У\ z) Ф (Fo). (8.2.1)
Дифференцируя это уравнение и подставляя соответствующие производные
в~уравнение (8.1.2), получаем
фУ2ф = г|хр'. (8.2.2)
Таким образом, для того чтобы выражение (8.2.1) удовлетворяло уравне-
уравнению (8.1.1), необходимо, чтобы функции г|э и ф, не зависящие друг от друга,
удовлетворяли условию
V2 г|)/г|) = ф'/Ф = const. (8.2.3)
Если тело с некоторой температурой Т (х\ у, г) погружено в среду с темпе-
температурой Го, отличной от температуры этого тела, то в результате возникаю-
возникающего процесса теплообмена тело стремится к тепловому равновесию с окру-
окружающей средой. Когда То > Г, тело нагревается, когда То < 7, тело охлаж-
охлаждается. При отсутствии в теле внутренних источников тепла температура
во всех его точках будет меняться во времени монотонно, стремясь к темпе-
температуре окружающей среды.
Легко заметить, что если в абсолютных координатах нагрев и охлаждение
тела изображаются двумя кривыми, то в безразмерных координатах оба про-
процесса изображаются одной и той же кривой, так как при прочих равных усло-
условиях величина dft/dFo и при охлаждении, и при нагреве меньше нуля.
Действительно, при нагреве начальная температура тела 7\ меньше тем-
температуры тела в момент времени / и меньше температуры окружающей среды
Го, т. е. T1<Tt<. То\ при охлаждении, наоборот, 7\ > Tt > То. При этом
для обоих случаев безразмерная температура Ф — (Tt — Т^I(Тг — То) в на-
начальный момент равна единице, а при достижении полного теплового равно-
равновесия (Tt = То) равна нулю. Этому условию удовлетворяет экспоненциальная
функция
Ф = ехр( — P2Fo), (8.2.4)
где Р — некоторая постоянная, что непосредственно следует из уравнения
(8.2.3). Подставляя это значение ф (Fo) в выражение (8.2.1), получаем
Ф = г|) ехр (—P\Fo); Зф/dFo- — р2 ехр (~р2 Fo); ф'/Ф = -Р2^ (8.2.5)
Подставляя последнее выражение в (8.2.3), получаем уравнение, опреде-
определяющее функцию координат:
У2г|>+Р2г|> = 0. (8.2.6)
72
Это решение легко обобщается для случая» когда коэффициент температу-
температуропроводности, оставаясь одним и тем же во всех точках тела в данный момент
времени, непрерывно изменяет свое значение в течение процесса, т. е. когда
а = / (*).
При таком условии переход от уравнения (8.1.1) к уравнению (8.2.6) может
быть осуществлен введением функции времени, определенной как
Ф=ехрГ —
(8.2.7)
8.3. ТЕМПЕРАТУРА— ФУНКЦИЯ ОДНОЙ КООРДИНАТЫ
И ВРЕМЕНИ
Важнейшими частными случаями рассматриваемой проблемы являются
процессы, в которых температура — функция только одной координаты.
Уравнение (8.2.6) можно переписать в обыкновенных дифференциалах, и
тогда оно примет вид:
для протяженной плоской стенки
.p*(SH0; (8.3.1)
для протяженного цилиндра
J^+J ¦^fL+^(S)=O; (8.3.2)
для шара
, При этом в уравнении (8.3.1) безразмерная координата g = х/8у где б —
в данном случае полутолщина стенки, а в уравнениях (8.3.2) и (8.3.3) I = /
здесь Ro — характерный радиус тела.
Уравнению (8.3.1) удовлетворяют тригонометрические функции
(8.3.4)
pg).| '
Решения уравнения (8.3.2) имеют вид
№) (8.3.5)
где Jo и Yo — функции Бесселя первого и второго рода нулевого порядка.
Решениями уравнения (8.3.3) являются функции
cos (р?) .
(8.3.6)
sin """
Эти функции, являющиеся частными интегралами рассмотренных диффе-
дифференциальных уравнений, распадаются на две группы — четные и нечетные.
Суммируя гр! и а|з2, получаем:
для протяженной плоской стенки
д = [Сг cos (pje/6) + C2sin (px/6)] exp (—р«а//б2); (8.3.7)
для протяженного цилиндра
* = [Ci Jo ®R/Ro)+ C2 Ya (PR/Ro)] exp (—p2 at/Rl); (8.3.8)
для шара
sin (P#/#0)J exp (—p^ a///?§). (8.3.9)
73.
т= JL exp[ ~(Р4~*J];
exp ( — z2dz)
Существуют процессы теплопроводности, которые нельзя описать рассмот-
рассмотренными выше решениями, представляющими температуру в виде произведения
двух частных функций, каждая из которых зависит только от одной переменной.
Тогда применяются функции иного типа, в которых рассмотренное выше раз-
разделение невозможно.
Дифференцированием и подстановкой можно показать, что, например,
функции
(8.3.10)
j
также являются интегралами дифференциального уравнения
ad*T/dx2 = dTldL (8.3.11)
8.4. МОНОТОННЫЙ ПЕРЕХОД К ТЕПЛОВОМУ
РАВНОВЕСИЮ
Рассмотрим плоскую стенку толщиной 26. С обеих сторон стенка охлаж-
охлаждается одинаково интенсивно средой с температурой, равной Го. В начальный
момент времени стенка была равномерно прогрета до температуры 7\. В рас-
рассматриваемом случае температурное поле во все время процесса симметрично
относительно оси стенки, так как с обеих сторон последняя охлаждается оди-
одинаково. Следовательно, ty (х) должна быть четной функцией, и в формуле
(8.3.7) следует положить С2 = 0:
d = Ccos(pg)exp (—P2Fo). (8.4.1)
Здесь ? = х/8; Fo = at/62. Краевые условия имеют вид
/ = 0; Т = 71; *=6; дТ/дх=-(а/Х) (Тст-Т0). (8.4.2)
Приводя пространственное краевое условие к безразмерному виду, получаем
(д*№в,= -В106.,, (8.4.3)
где Bi = абД. Дифференцируя уравнение (8.4.1) и подставляя полученное
значение производной в уравнение (8.4.3), находим
Р sin р = Bi cos p. (8.4.4)
Этот результат показывает, что пространственные краевые условия опре-
определяют значение постоянной р и оставляют для постоянной С произвольное
значение. Последнее находится с помощью краевых условий. Значения первых
пяти корней уравнения (8.4.4) приведены в табл. 8.1.
Согласно теории дифференциальных уравнений общее решение строится
как сумма частных решений, т. е. в рассматриваемом случае
<& = 2С, cos (P, I) exp (—pj Fo) A < i < oo). (8.4.5)
В начальный момент
^ = 0; Fo = 0; exp (—62Fo)= 1; ф=1. (8.4.6)
Отсюда
SC, cos (Р, Б) = 1 A < i < оо). (8.4.7)
В теории рядов Фурье показано, что коэффициенты
J «1 (I) COS (р< I) dl
Сг = *-=! . (8.4.8)
1 +i
+i
j cos» (Pi Б) «
74
Значение корней уравнения ^ sin Р = Bi cos C
Таблица 8.1
Bi
оо
1000
100
50
20
10
4,0
1,0
0,5
0,1
0,01
0
Pi
1
1.57=y*
1,57
1,56
1,54
1,50
1,43
1,26
0,86
0,65
0,31
0,10
0
32
3
4,71 = — п
4,71
4,66
4,62
4,49
4', 30
3,93
3,42
3,29
3,17
3,14
я
Р.
5
7,85 = —п
7,84
7,77
7,70
7,49
7,22
6,-81
6,43
6,36
6,30
6,28
2я
7
11,00 = —я
10,98
10,88
10,78
10,51
10,20
9,78
9,52
9,47
9,43
9,42
Зя
Э.
9
14,15 = — я
14,13
14,00
13,87
13,55
13,22
12,87
12,65
12,61
12,57
12,57
4я
В данном случае
= 1 и
2 sin
sin Pi cos
Окончательно получаем
sin Pi cos (pi дг/б)
(8.4.9)
Pi + sin Pj-cos
exp(_p?Fo)A<t-<oo)t (8Л10)
Изменение теплосодержания стенки проще всего определить по формуле
+6
Q = cpF С (Tx—T)dx. (8.4.11)
-б
Начальное теплосодержание стенки, отсчитанное от температуры То, равно
Q0 = 2cpF8(T1-T0). (8.4.12)
Отсюда, принимая во внимание, что
получаем выражение для относительных тепловых потерь стенки
-|-=у J<l-*)<? (8.4.13)
Подставляя сюда значение ¦& из уравнения (8.4.10), получаем
Jcos(P,6)dg(l<i<oo).
(8.4.14)
Qo
i sin р,-
—l
Интегрирование дает выражение
sin2
+ Pi cos Рг sin pi
[1 —exp (—pf Fo)] A < i < со). (8.4.15)
75
Не останавливаясь на деталях решения уравнений для цилиндра и шара,
поскольку с физической точки зрения они не содержат ничего нового по срав-
сравнению с рассмотренным выше примером, приведем окончательные формулы:
для сплошного протяженного цилиндра
хр(—р? at/Rl)(l <л ^ оо); (8.4.16)
Pi)
-[1—ехр( —р? atlRl)](l <« 00).] (8.4.17)
Qo
2л Щ
П (vi)
(Pi) + Jl (Pi)
Здесь J1 = Jd — функция Бесселя первого рода первого порядка.
Гля сплошного шара
sinfr-frcosp,
pi-sin p, cos
pj/?//?0
4~ = 62 4- Й
i —SHI P; COS
_exp (_p7
«,). (8 4Л8)
oo). (8.4.19)
Значения первых пяти корней уравнений P«/i(P) = Bi/0(P) и Р cos P =
— A — Bi) sin P приведены в табл. 8.2 и 8.3.
Таблица 8.2
Значение корней уравнения $J1 (P) =Biyo (P)
Bi
оо
50
20
10
4
2
2
2
2
1
,405
,35
,29
,17
,906
5,520
5,41
5,26
5,03
4,60
8
8
8
7
7
Р.
,654
,48
,25
,96
,52
11,792
11,56
11,27
10,94
10,54
Р6
14,931
.
—
1
0
0
0
0
Bi
,0
,5
,1
,05
1
0
0
0
0
Pi
,253
,940
,443
,315
Р*
4,08
3,96
3,86
3,85
3,832
Р.
7,16
7,09
7,03
7,02
7,016
со.
10,27
10,22
10,19
10,18
10,174
р5
—
—
—
13,324
Таблица 8.3
Значение корней уравнения р cos Р = A—Bi) sin
Bi
со
50
20
ЛО
4
Pi
3,14
3,08
2,98
2,84
2,45
6,28
6,12
5,98
5,72
5,23
Рз
9,42
9,24
8,98
8,66
8,20
12,57
12,31
12,00
11,65
11,25
Bi
1,
0,
0,
0,
0
0
5
1
05
Р
1
1
0
0
0
,57
,17
,54
,39
Р
4,
4,
4,
4,
4,
2
71
60
52
51
49
Рз
7,85
7,79
7,74
7,72
7,72
10,99
10,95
10,91
10,91
10,90
В общем случае нестационарная теплопроводность характеризуется функ-
функциональными связями типа
at/Ц l/l0);
oA; at/II),
(8.4.20)
(8.4.21)
где Zo — характерный линейный размер; / — текущая координата. На рис. 8.1
'и 8.2 приведены диаграммы Д. В. Будрина и Г. Гребера, построенные по при-
приведенным выше формулам. Эти диаграммы позволяют определить температуру
центра тела, температуру поверхности тела и изменение его теплосодержания
в процессе охлаждения или прогрева.
76
8 10 12 П IS 18 20 22 24 26 Fo
0,07
8 10 12 П 16 18 20 22 2426 Fo
Pnc. 8.1 а, б
\v\\\\\\\\\\>.
10 12 Я Fa
0,01
Рис. 8.1 в, г
F 0=0,25 0,4 F 0=0,1
FQ=0,05
0 0,02 0,06 0,1 0,5 0,9 4 8 12 16
О 0,02 0,06
Рис. 8.1. Определение температуры в зависимости от Fo и Bi при То—const в средней
плоскости (а) и на поверхности пластины (б); на оси (в) и на поверхности цилинд-
цилиндра (г); в центре (д) и на поверхности шара (е)
Как видно из рис. 8.3, медленнее всего охлаждается плоская стенка и
быстрее всего шар, т.е. кривые располагаются в порядке изменения отношения
поверхности тела к его объему. Чем больше это отношение (при R = idem),
тем быстрее изменяется температура тела.
8.5. ТЕМПЕРАТУРНОЕ ПОЛЕ В ТЕЛЕ ПРИ ТЕМПЕРАТУРЕ
ВНЕШНЕЙ СРЕДЫ, ЛИНЕЙНО МЕНЯЮЩЕЙСЯ
ВО ВРЕМЕНИ
Рассмотрим протяженную пластину толщиной 26. В начальный момент
времени пластина имеет температуру, равную температуре окружающей
среды Гоо. С этого момента (t = 0) окружающая среда начинает изменять свою
температуру по закону
То = 7^H + bt. (8.5.1)
79
a
о»
0,5
0
a
у
у
/
^=
/
/ /
-^
/*
/
Ж
~7_
«
/
/
у
/у
уУ
=^
—-—
*
—
^^
:^—
0,0
0 ^
«——
- —
—
70'
7/?7
A/
/
/
/
'У
^<:
У
^y
у
/
4,
/
У
у у
/
/
к /
/
/ A
У
У
л
/
У
/
vV
y\
у
у
/
/Г
У
m
^ *
^-
^=—
1
r i
n-3
1Ои
101
BL
Рис. 8.2. Определение тепловых потерь в зависимости от Fo и Bi при Го =
= const пластины (а), цилиндра (б) и шара (в)
0,5
"*—_
4
\\.
^.
^*—^
^
'— —
—
0,2
0,3
0,4
F0
Рис. 8.3. Температура в центре или на оси некоторых тел при Го=const,
6 = /?о и Bi = oo:
/ — неограниченная плита; 2 — бесконечно длинная квадратная балка; 3 — бесконечно-
длинный цилиндр; 4 — куб; 5 — цилиндр с высотой, равной диаметру; 6 — шар
к
0,8
0,6
0,5
ОЛ
0,3
0,2
0,10
0,08
0,06
0,05
0,0k
0,03
0,02
0,01
w////y/
Wf////?Z
8 10 12 П 16 18 20 22 24 26 Fa
8 10 12 14- 16 18 20 22 24 26 Fa
Рис. 8.4. а, б
8 10 12 П 16 18 ZO ZZ 24 26 Fo
8 10 12 П 16 18 20 ZZ Zb 26 Fo
Рис. 8 4 б, г
0,01
8 10 12 П 16 18 20 22 24- 26 Fo
8 10 12 П 16 18202224-26 F0
Рис. 8.4. Определение температуры в зависимости от Fo и Bi при Го=ГОо+6^ в средней
плоскости (а) и на поверхности пластины (б); на оси (в) и на поверхности цилиндра
(г); в центре (д) и на поверхности шара (е)
.0,01
10 12 П 1618 202224 26 Fo
8 10 12 П 16 18 20 2224 26 Fo
Рис. 8.5 а, б
8 10 12 П 16 18 20 22 24 26 Fo
Рис. 8.5. Определение тепловых потерь в зависимости от Fo и Bi при То = Тоо+Ы пла-
пластины (а), цилиндра (б) и шара (в)
В этом случае в качестве масштаба разности температур целесообразно выб-
выбрать разность температур среды в моменты времени t и в начале процесса.
Тогда выражение для безразмерной температуры в данный момент времени
в данной точке тела можно записать в виде
ф, = Т (х; t) — Top = T-Tqq
То-Too bt
Безразмерное температурное поле будет описываться тогда некоторой
функцией
Ф' = д'(*/6; Bi; Fo). (8.5.3)
В задачах такого рода весьма эффективным оказывается решение уравне-
уравнения теплопроводности операторным методом. Подробное изложение такого
рода решений задач нестационарной теплопроводности дано в монографии
А. В. Лыкова. Для рассматриваемого здесь случая соответствующее решение
имеет вид
(8.5.2)
1
2Fo
sin В; COS (В; х/6)
i
Bi I 6 /J
! exp(-pfFo)(l<t<oo).
(8.5.4)
На рис. 8.4 приведены графики для определения температуры на поверх-
поверхности и в центре тела, а на рис. 8.5 — соответствующих потерь тепла, состав-
составленные автором и А. А. Винниковым для условий прогрева или охлаждения
по уравнению (8.5.1).
8.6. РЕГУЛЯРНЫЙ РЕЖИМ ОХЛАЖДЕНИЯ
Как было выяснено выше, закон охлаждения тел различной формы может
быть выражен рядом
i"<oo) (8.6.1)
85
0,2
0,04 0,12 0,20 0,28 0,56 0,44 Fo
Рис. 8.6. Определение коэффициента г по формуле (8.6.4) для пластины (а), бесконеч-
бесконечно длинного цилиндра (б) и цилиндра с высотой, равной радиусу (в)
где коэффициенты Р^ быстро возрастают с увеличением номера члена ряда.
Поэтому чем больше время охлаждения, т. е. чем больше критерий Fo, тем
меньше значение старшего члена ряда по сравнению с предшествующими.
В конце концов, после некоторого значения Fo все члены ряда становятся
пренебрежимо малыми по сравнению с первым членом, т. е. через определенный
промежуток времени закон охлаждения с большой степенью точности может
быть выражен одночленной формулой
# = Сх ij? (px ?) ехр (—р? Fo). (8.6.2)
Логарифмируя это выражение, получаем
1пд = 1п[С1'ф(р1^)]—Р! Fo. (8.6.3)
Таким образом, в координатах In О, Fo (полулогарифмическая анаморфоза)
закон охлаждения при больших значениях Fo выражается прямой линией.
Соответствующая прямая должна также получаться, если откладывать не без-
безразмерные величины, а непосредственно In AT
и /, где А71 = Т — 70.
Режим охлаждения, определяемый форму-
формулой (8.6.2), называется регулярным (упорядо-
(упорядоченным). Степенью регуляризации температур-
температурного режима тела можно назвать отклонение
температуры, определенной по формуле (8.6.2),
от истинной температуры, определенной по
формуле (8.6.1):
ZC, ф (Р, I) exp (- p? Fo)
<оо).
(8.6.4)
Рис. 8.7. Схема графика для опре-
определения темпа охлаждений
На рис. 8.6 приведены составленные Д. В. Будриным и Е. Л. Сухановым
графики для определения значения е при изменении температуры центра
различных тел.
Темпом изменения температуры в данной точке тела можно назвать ве-
величину
м = MTWo^MTWo) ^ (8 6 5)
Здесь 7\ и Т2 — температуры в данной точке тела в моменты времени t± и t2\
То — постоянная температура окружающей среды (рис. 8.7).
Из формулы (8.6.3) следует, что в регулярном режиме темп изменения тем-
температуры
т = р2а//§, (8.6.6)
т. е. является одним и тем же для всех точек данного тела.
При Bi —>-оо рх -^PiMaKG> гДе значение Р1макс зависит только от геомет-
геометрической формы тела. Следовательно, величину
К = (/О/Р1максJ (8.6.7)
можно назвать коэффициентом формы при регулярном режиме нагрева или
охлаждения тела. Для рассмотренных ранее трех канонических тел этот
коэффициент определяется первым числом табл. 8.1—8.3 (табл. 8.4)
Эффективные методы исследования тепловых свойств веществ методом ре-
регулярного режима были созданы Г. М. Кондратьевым.
Таблица 8.4
Коэффициент формы некоторых тел
Форма тела
Протяженная пластина
Протяженный цилиндр
Шар
Характерный линейный
размер 10
Полутолщина б
Радиус Ro
Радиус Ru
' 1макс
я/2
2,405
я
к
4 (б/яJ
0,173Я*
(Яо/я)а
87
8.7. ОХЛАЖДЕНИЕ ВЫСОКОТЕПЛОПРОВОДНОГО ТЕЛА
Элементарным с точки зрения анализа, но практически важным является
случай изменения температуры весьма теплопроводного тела. Из уравнения
V2T==-^~ (8.7.1)
следует, что при X ->оо температура во всех точках тела всегда одна и та же.
Этому условию практически соответствуют прогрев и охлаждение тонких
металлических изделий.
Тепловой баланс тела можно записать в виде уравнения
cpVdT = aF (Т— Го) dt (8.7.2)
Интегрируя, получаем
In-Inl^-I^L/, (87.3)
Tl-T0 icpV K !
где 7\ — начальная температура тела.
Таким образом, режим охлаждения тела с бесконечно большой теплопровод-
теплопроводностью всегда является регулярным.
Формула (8.7.3) применяется для вычисления изменения температуры в вы-
высокотеплопроводных деталях электрических машин и т. п. Покажем это
на примере расчета вращающегося металлического регенератора. Такого рода
регенераторы выполняются из тонких стальных листов, вращающихся на оси
и попеременно проходящих через охлаждаемую и нагреваемую среды. При этом
средой практически омываются обе стороны листов.
Если периоды прохождения листов через обе среды одни и те же, то время
одного периода t = \12п, где п — число оборотов регенератора. Если отсеки
регенераторов неодинаковы, т. е. в области нагрева находится поверхность Fh
а в области охлаждения F2, то время пребывания'в первом отсеке t1 = F1/Fn, а
время пребывания во втором отсеке t2 = F2IFn. "Здесь F = Fx + F2 — пол-
полная поверхность регенератора.
По формуле (8.7.3) средняя температура металла в момент выхода из об-
области подогрева
(^) (8.7.4)
В момент входа в область подогрева (выхода из области охлаждения) сред-
няя температура металла
Т,=Т2-{Гг-Тп) ехр ( ^Л.). (8.7.5)
\ cpoFn )
Здесь ах и а2 — коэффициенты теплоотдачи от среды к металлу в области на-
нагрева и охлаждения; Тг и Т2 — средние температуры греющей и нагреваемой
сред; б — толщина листов, из которых составлена поверхность регенератора;
Ф — объемная теплоемкость металла. Решая эти уравнения в отношении сред-
средней температуры металла на входе в область подогрева, находим
(8.7.6)
1— ехр[ — (m1+m2)]
где
mi= 2&i FjcpFdn и m2 = 2a2 F2/cpF8n.
Во всех этих формулах под величинами F± и F2 понимается полная поверх-
поверхность соприкосновения листов регенератора с соответствующей средой, т. е.
при двустороннем омывании металла учитываются обе стороны листов.
88
Количество тепла, приобретаемое металлом от греющей среды и отдаваемое
нагреваемой среде в единицу времени
Q^aiMri-rj, (8.7.7)
Гм = (l/^i) JTMdt — средняя температура металла за время пребывания
о
где
о
в области нагрева. Подставляя в это выражение значения
(8.7.8)
получаем
FJFn
j
exp(—
dt.
(8.7.9)
Интегрирование дает
Q = 2cp8Fn(T1—Ti)[l~exp(—m1)]=
0,8
0,6
0,4
0,2
0
о/
I
10 20 JOn,oS/c
rp T«)x ^ИС- ^' Зависимость теплопроиз-
водительности одного из типов вра-
^tl-expt-m^ni-expf-m,)] (8J10) ™^ регенератора от числа
1—ехр [ — (Щ-\-Щ)] О—опыт; расчет
Раскрывая неопределенности, возникающие при я->оо, находим, что
наибольшее количество тепла, передаваемого в регенераторе от горячей среды
к холодной,
Умакс
(8.7.11)
Практически величина QMaKC достигается при сравнительно небольшой ско-
скорости вращения, что видно из графика, приведенного на рис. 8.8.
Преобразуя несколько формулу (8.7.11), получаем
(8.7.12)
Так как F± представляет собой поверхность части регенератора, омывае-
омываемой горячей средой, то отсюда видно, что наибольший теплообмен в регенера-
регенеративном подогревателе равен количеству тепла, передаваемому через стенку
в обычном подогревателе с поверхностью F = F± и коэффициентом тепло-
теплопередачи
2)-1. (8.7.13)
Отношение FJF-^ можно рассматривать как коэффициент оребрения в обы-
обыкновенном подогревателе. Этот коэффициент уменьшает термическое сопро-
сопротивление с той стороны, где коэффициент теплоотдачи ниже.
Таким образом, выгода регенеративного аппарата заключается в его кон-
конструктивном преимуществе — компактности и возможности перераспределения
поверхности нагрева в соответствии с соотношением коэффициентов теплоот-
теплоотдачи греющей и нагреваемой сред.
89
8.8. ТЕПЛОВЫЕ ВОЛНЫ
В ряде процессов, происходящих в аппаратах, в частности в двигателях,
совершается периодическое повторение рабочего цикла, в продолжение которо-
которого температура рабочей среды и корпуса двигателя меняется по определенному
закону. При этом имеет место периодическое изменение температурного поля.
Закон этого изменения уже не зависит от начального состояния системы,
а определяется периодической функцией времени.
На рис. 8.9 представлены температурные графики различного рода перио-
периодически повторяющихся тепловых процессов. Периодическую функцию можно
представить с помощью гармонического
анализа в виде суммы различных косину-
косинусоид.
Начальное состояние тела в рассматри-
рассматриваемом случае уже не имеет значения, так
как предполагается, что периодический
процесс совершается достаточно длитель-
длительное время, т. е. состоит из большого числа
отдельных периодов (циклов).
При периодически меняющейся темпе-
температуре на поверхности тела общий инте-
интеграл уравнения теплопроводности можнс
также разыскивать в виде произведена
двух функций (8.2.1). Однако в этом слу
чае уже нельзя представлять ф (Fo) в вид
экспоненциальной функции с веществен
ным коэффициентом р. Необходимо выб
рать такую функцию, которая изображал;
бы периодическое изменение температурь
во всех точках рассматриваемого тела
Такому требованию удовлетворяет функцш
-Тч
Ту
Т
= exp(ip2Fo),
(8.8.1
Рис. 8.9. Температурные графики не-
некоторых периодических процессов:
а — сложный гармонический; б — синусо-
синусоидальный; в — треугольный; г — пилообраз-
пилообразный; д — цилиндр (ступенчатый)
где i = У—1.
Соответствующая подстановка (8.8.1) в основное уравнение (8.1.1) привс
дит к уравнению
у21|,_ф2^==0, (8.8.2
определяющему вид функции координат ty.
Рассмотрим, следуя Г. Греберу, полуограниченное пространство, темпе
ратура на поверхности которого под внешним воздействием претерпевае
периодические гармонические колебания около нулевого значения.
Воспользовавшись известным преобразованием У^Г=±A — \)УТ12, ш
репишем уравнение (8.8.2) в следующем виде:
*—[±A -i
(8.8.;
С помощью формулы ехр (—icp) = cos ф — i sin ф частное решение ураи
нения теплопроводности, содержащее функцию времени в виде зависимое!
(8.8.1), приводится к сумме действительной и мнимой частей
J2>
где
90
Сг ехр (]-"|Л/2 р*7 «) cos (P2 FoJ-Kl/2 p*
С2 ехр (—VW P*/6) sin (P2 Fo—1/T/2 Р^/
(8.8.4
(8.8i
При экспоненте оставлен только знак минус, так как при положительном
показателе степени колебания температуры возрастали бы по мере увеличения
х, что физически невозможно.
Пусть температура на поверхности тела меняется по закону
Фо __, q. cos Bnt/to)y (8.8.6)
где ftm — максимальная амплитуда колебания температуры на поверхности
тела; t0 — продолжительность периода колебания. Тогда постоянные интег-
интегрирования равны: Сх = /0'т; С2 = 0; Р = 2n82fat0 и
ft = ftmexp( —xVn/ at0) cos (*]/ я/ ato — 2nt/to). (8.8.7)
Таким образом, возникает семейство тепловых волн с длиной порядка х =
= Y2nat0. Тепловой поток через поверхность тела
Q = -XF j (дТ/дх)х=0 dt. (8.8.8)
При интегрировании этого уравнения за полный период результирующий
тепловой поток равен нулю. Интегрирование за полупериод дает выражение
2 *-А (8.8.9)
Это количество теплоты, которое за один полупериод аккумулируется те-
телом, а во втором полупериоде отдается им окружающей среде.
Весьма подробно такого рода процессы рассмотрены в монографиях Гре-
бера, Карслоу, А. В. Лыкова. Процессы нестационарной теплопроводности
при перемещающихся поверхностных источниках тепла (что важно знать, на-
например, в процессах сварки) рассмотрены в работе Н. Н. Рыкалина.
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Гребер Г., Эрк С, Григулль У. Основы учения о теплообмене. Пер. с англ. М., Изд-во
иностр. лит., 1958.
2. Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел. Пер. с англ. М., «Наука», 1964.
3. Любимова Е. А. Термина Земли и Луны. М., «Наука», 1968.
4. Кондратьев Г. М. Регулярный тепловой режим. М., Гостехтеориздат, 1954.
5. Лыков А. В. Теория теплопроводности. М., Гостехтеориздат, 1952.
6. Лыков А. В., Михайлов Ю. А. Теория тепло- и массопереноса. М., «Высшая школа»,
1967.
7. Пехович А. И., Жидких В. М. Расчеты теплового режима твердых тел. Изд. 2-е,
перераб. и доп. Л., «Энергия», 1976.
8. Рыкалин Н. Н. Расчеты тепловых процессов при сварке. М., Машгиз, 1951.
9. Страхович К. И. Некоторые задачи теплопроводности в твердых телах с переменными
теплофизическими характеристиками. — «Инж.-физ. журн.», 1958, № 3, с. 3.
9
Глава
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ
КОНВЕКТИВНОГО ТЕПЛООБМЕНА
9.1. УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПЕРЕНОСА
Работа Lv в основном уравнении теплопереноса B.3.1) определяется фор-
формулой C.3.5). Произведя соответствующую подстановку и замечая, что сог-
согласно уравнению сплошности C.2.3) (—р/р) (Dp/dt) = р div wy получаем
div (kgrad T) + qv +\i diss F (w) = pDi/dt—Dp/dt. (9.1.1)
При отсутствии внутреннего источника тепла (теплота трения уже учтена
введением функции рассеяния)
div (Ji grad Г) +fidiss/r(w) = pDi/dt—Dp/dt. (9.1.2)
Для стационарного процесса при qv = О
div {% grad T) + \л diss F (w) = p (w, grad *) — (w, grad p). (9.1.3)
Операторы diss F (w)- и Dp/dt пропорциональны квадрату скорости тече-
течения потока. Поэтому в области достаточно умеренных скоростей их значения
малы по сравнению с двумя другими членами уравнения (9.1.2). В таком
случае практически справедливо уравнение B.3.2), которое при q = 0 при
мет вид
div (Я grad Т) = pDildt. (9.1.4)
9.2. СВЯЗЬ МЕЖДУ ТЕПЛООТДАЧЕЙ И ТРЕНИЕМ
Рассмотрим уравнения теплопроводности и движения жидкости с постоян
ными физическими свойствами, скорость течения которой достаточно мала,
чтобы пренебречь квадратичными членами указанных уравнений. В безраз-
безразмерной форме эти уравнения имеют вид F.5.3). При отсутствии внутреннего
источника тепла и безнапорном течении
V2 # = dd/dFo + Pr Re (со, grad О);
V2 о = Рг dco/dFo + Re (<o, grad о); (9.2.1)
div<o = 0.
Здесь # = (Т — ТО)/(ТСТ — То) — безразмерная температура; со = w/w0-
безразмерная скорость течения.
Легко заметить, что при условии Рг = 1 уравнения теплопроводности i
движения в (9.2.1) становятся тождественными относительно переменных i
и со, что означает тождество полей размерных величин Т и w при подобным об
разом заданных краевых условиях.
На поверхности стенки в случае ее непроницаемости сост = Фст=0
По линии распределения TQ и w0 подобие граничных условий будет выпол
нено, если (Гст — ТО)Х/(ТС~Т — То)о = wOx/woo = f (х/10). Здесь (Гст — Го)
и wOx — текущие значения масштабов температурного напора и скорости
(Тст — То) и w00 — значения этих масштабов в сечении х = 0.
Условию Рг = 1 с большой точностью соответствуют многоатомные газы
приближенно другие газы, а также некоторые капельные жидкости в опреде
ленных интервалах температур (табл. 9.1, 9.2).
Течение в заполненных трубах является напорным, и, следовательно, есш-
в этом случае и существует известное подобие профилей скоростей и температур,
то оно является приближенным. Опыт показывает, что такое приближенное по
добие имеет место только при развитом турбулентном течении среды с Рг = 1
и при подобным образом заданных граничных условиях.
92
Таблица 9.1
Число Рг для газов
Таблица 92*
Число Рг для воды
Количество
атомов в
молекуле
Рг
1
2
3
4 и более
-0,
~о,
-0,
—Л
66
75
84
т, °с
100
160
170
180
200
250
310
320
350
1
1
1
1
0
0
1
1
1
Рг
,75
,10
,05
,00
,93
,86
,02
,11
,60
При наличии подобия по-
полей температур и скоростей
можно найти связь между
коэффициентами теплоотдачи
и трения, не прибегая к непо-
непосредственному интегрирова-
интегрированию уравнения теплопровод-
теплопроводности. Действительно, в не-
некотором плоском потоке
f - (Х+М!Г!У ¦ (9-2-2)
или
т
(9.2.3)
Здесь \1т и %т — коэффициенты турбулентной вязкости и теплопроводности.
Знак осреднения во времени над величинами Т и w опущен. Если поля темпе-
температур и скоростей подобны, то
i _ [ (9.2.4)-
Последнее подобие непосредственно следует из уравнения D.4.6). Но обя-
обязательным условием такого подобия является равенство единице числа Рг, когда
%>= cp\i. Следовательно, в рассматриваемом случае
q/x = cp(TCT-T0)/w0. (9.2.5)
На стенке
q = a(TCT-T0), (9.2.6)
где а — коэффициент теплоотдачи, и
rCT = cfpwl/2, (9.2.7)
где cf — коэффициент трения.
Подставляя эти выражения в (9.2.5), находим, что при подобии полей тем-
температур и скоростей коэффициенты теплоотдачи и трения связаны простой
-зависимостью
'-cf/2. (9.2.8)
Это выражение называется аналогией Рейнольдса. Введя характерный линей-
линейный размер /0 (например, расстояние от входной кромки пластины), получим
Nu = Ре су/2, (9.2.9)
или, принимая ео внимание, что при Рг=1 Pe = Re,
Nu=Recf/2. (9.2.10)
9.3. ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ
При плавном безотрывном обтекании тела потоком жидкости продольная
составляющая скорости течения на стенке равна нулю, а на ближайшем уда-
удалении в глубь потока имеет конечное значение. Отсюда следует, и опыт это
подтверждает, что в пристенной области должно иметь место наиболее су-
существенное изменение скорости течения. Соответственно именно в этой об-
области и должно наиболее отчстлиео проявляться действие вязкости. При пло-
плоском течении касательные напряжения на стенке со стороны жидкости
. (9.3.1)
93
Величина dwjdy может быть сопоставлена с величиной wo/8, где w0 —•
скорость потока на большом удалении от тела (т. е. скорость невозмущенного
потока) и б — некоторый линейный размер, имеющий порядок толщины при-
пристенного слоя жидкости, в котором скорость меняется от 0 до значения, близ-
близкого к w0. Принимая во внимание (9.2.7), находим
(9.3.2)
где Rex = wox/v их — координата, направленная вдоль обвода тела вниз
по течению. Известно, что в первом приближении cf « Re-", где п ^ 0,5.
Следовательно,
'ReS-\ (9.3.3)
т. е. даже при п = 0,5 6/х « 0,01 при Rex « 104. Для воздуха при атмосфер-
атмосферном давлении, Т = 293 и ш0 = 10 м/с этому значению числа Рейнольдса еоот-
ветствует длина х = 0,0157 м, а для воды при Т = 293 К и w = 1 м/с х = 0,01 м.
Этим числам соответствует абсолютное значение б порядка 10~4 м.
Таким образом, при практически реализуемых в большинстве случаев
параметрах б <g 10, где /0 — характерный размер обтекаемого тела.
Слой б, в котором отчетливо проявляется действие вязкости и происходит
наиболее существенное изменение скорости по нормали к обтекаемой поверх-
поверхности, называется гидродинамическим пограничным слоем. В плоском гидро-
гидродинамическом пограничном слое, вследствие того что б < /0, имеют мест© ус-
условия
dwjdy^dwjdx;
x; )
jdx2. J K ' ' '
Из уравнения сплошности следует, что в этом случае
dwy/ду « —dwjdx <C dwjdy. (9.3.5)
Соответственно из уравнения движения следует, что в пограничном слое
др/ду<^др/дх. (9.3.6)
Таким образом, статическое давление можно считать постоянным по се-
сечению пограничного слоя. При этих условиях из уравнения Навье—Стокса и
уравнения сплошности следуют уравнения Прандтля для плоского погранич-
пограничного слоя:
дх 1 ду \г ду J * \ dt л дх у ду
(9.3.7)
dpwjdx -г dpWy/dy = 0.
На внешней границе гидродинамического пограничного слоя w « w9, и,
следовательно, в области у > б течение можно считать безвязкостным. Отсю-
Отсюда следует, что
дх
Тепловым пограничным слоем называется пристенная область, в которой
существенно проявляются тепловые возмущения, т. е. то расстояние бр, на ко-
котором температура потока меняется от Тст до значения, весьма близкого к тем-
температуре невозмущенного потока То. Толщина теплового пограничного слоя
определится из условия
(9.3.9)
94
Соответственно при достаточно больших значениях числа Нуссельта в тепло-
тепловом пограничном слое д2Т/ду2 > д2Т/дх2.
Ниже приведены соотношения между толщинами теплового и динамиче-
динамического пограничных слоев:
Рг
8Г
<!
>б
1
б <б
Уравнение теплопереноса аналогично уравнению (9.3.7) принимает вид
Строго говоря, граничные условия к уравнениям (9.3.7) и (9.3.10) следует
записать так:
= 1 ст>1
(9.3.11)
На непроницаемой стенке wy, ст = 0. Эти условия показывают, что распреде-
распределение скоростей и температур в пограничных слоях асимптотически прибли-
приближается к соответствующим значениям в невозмущенном потоке. В этом смысле
говорят об асимптотическом пограничном слое. Однако весьма плодотворным
оказывается введение понятия о пограничном слое конечной толщины. Переход
от асимптотического слоя к слою конечной толщины можно осуществить за-
заменой второй строки условий (9.3.11) условиями
: = A-8)^0; 1
' = A-е)Г0, J
(9.3.12)
где е—заранее заданная малая величина.
9.4. СИСТЕМА ОСНОВНЫХ УРАВНЕНИЙ ТЕПЛООБМЕНА
В ПОТОКЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА
Как уже указывалось в гл. 2, присоединяя к уравнению теплопереноса
уравнения движения, сплошности и состояния среды, а также учитывая за-
зависимость [х и X от Ту получаем систему основных уравнений, определяющих
теплообмен в сжимаемой среде.
Для установившегося теплообмена в потоке газа, подчиняющегося уравне-
уравнению Клапейрона—Менделеева,
div (XgradT) + |xdiss77(w) = p(w, grad I) — (w, grad p)\
— grad (p + — \i div w) +2 div(uS) = p (w, grad w);
div(pw) = 0;
Для плоского пограничного слоя получаем:
ду \ ду ] \
dwx
ду
дх
др
дх ^
дх
di
ду
dwx
dp
дх
ду
= 0;
(9.4.1)
(9.4.2)
Подставляя в первое из этих уравнений выражение для др/дх из второго урав-
уравнения, получаем
а Л дТ \ , .. / dwv \2 , а Л. dwx
(9.4.3)
^
Замечая, что
ду '
dwx
ду
д ( dwx \ д
ду у ду ) ду
[приводим уравнение теплопереноса плоского пограничного слоя к виду
ду
—
(9.4.4)
или, при Ср = const,
дТ* , , дТ*
-Ir) • (9А5>
где Г* — температура торможения. Последнее уравнение было предложено
М. Ф. Широковым.
При Рг = 1 в уравнении (9.4.5) вместо двух переменных Г* и w\/2cp ос-
остается только температура торможения. Кроме того, в этом случае К = \хср, и
¦система уравнений (9.4.2) может быть записана в виде
а /.. дТ* \ . /_.. дТ* , ... дТ*\
ду Г
дх
ду V ду
дх ду \ ду )
I
дх
•
(9.4.6)
ду
Отсюда непосредственно следует, что в общем случае при Рг = 1, др/дх = О,
ср = const и подобии граничных условий в пограничном слое имеет место по-
подобие полей скоростей и энтальпий торможения.
Для жидкости с постоянными физическими свойствами при w\/2cp <^ T
уравнения плоского пограничного слоя существенно упрощаются и прини-
принимают вид:
а д*т _ дт_ _аг_ *
дх у ду
_др_
дх
ду*
_\_
Р
\
(9.4.7)
дх
,
9.5. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЛОСКОГО
СТАЦИОНАРНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ
НА НЕПРОНИЦАЕМОЙ ПОВЕРХНОСТИ
От дифференциальных уравнений пограничного слоя можно перейти к ин-
интегральным уравнениям, проинтегрировав систему (9.4.6) почленно в пределах
от 0 до 6^ для уравнения теплопереноса и от 0 до б для уравнений движения
и сплошности.
Уравнение теплопереноса при Рг = 1 с учетом уравнения сплошности
можно привести к виду
6j- 6j, 6j-
ср ср J ду [ ду j J дх J ду
о о о
Величина ср вынесена за знак интегрирования, так как для газа ее обычно
можно считать постоянной. Замечая, что
бг »v бг
J ду у т j дх *
о о
где То — температура торможения невозмущенного потока, получаем
б f бт1
a d С * * d С
—*—= \ pwxT dy—Го \ Р^х dy. (9.5.2)
О О
Это уравнение может быть преобразовано к виду
_а = Щ* [ Г 1 dw0 | I d(TCT-Tp ( 1 ф0 |,fi^ [
Ро^о ^ L и>о dx Тст—Tl dx po dx \
+ _i_iaj-?&_,*,, (9.5.3)
Ср Ро Щ
где
и
б J1
Тст-n
(9.5.4)
(9.5.5)
Индекс 0 показывает, что величина относится к невозмущенному потоку.
Формула (9.5.4) является обобщенным понятием коэффициента теплоотда-
теплоотдачи, отнесенного не к разности термодинамических температур стенки и потока,
а к разности температуры стенки и температуры торможения потока. В гл. 12
будет показано, что удобнее вместо температуры торможения потока в это
выражение вводить температуру стенки при ее изоэнтропическом обтекании.
Величина 8J-* является некоторой линейной характеристикой, называемой тол-
толщиной потери теплосодержания. В общем случае при Рг = 1 и др/дх = О
коэффициент теплоотдачи следует определять через разность энтальпий, т. е.
полагать
^ = q/(iCT - «), (9-5.6)
где /ст — энтальпия потока при параметрах на поверхности тела.
Уравнения движения и сплошности принимают вид:
дх
ду ду
ал:
pwy
dy;
(Р^г/
дх
dy.
(9.5.7)
4 Зак. 795
97
При этом предполагается, что стенка непроницаема, т. е. при у = 0 pwy = 0.
Решая эти уравнения совместно, получаем
б б
^wxdy = TCT-6-&-. (9.5.8)
о о
При этом принято во внимание, что в соответствии с формулой интегрирова-
интегрирования по частям и уравнением сплошности
б б б
? dy ^^
0
б
о о
Для стационарного течения из уравнения (9.3.8) следует, что
— др/дх =powodwo/dx, (9.5.9)
и уравнение (9.5.8) приводится к виду
JE f/ J*!l ^^J^*. (9.5.10)
+ B+6)+
2 dx w0 dx p0 dx
Здесь
J poo \ w0
0
б
* = I [ 1 —*-*— dy.
(9.5.11)
Величина б** называется толщиной потери импульса, а величина б* —
толщиной вытеснения.
Разность
б б
w0 j pwx dy— j pwl dy = p0 wl 6**
о о
представляет собой изменение кинетической энергии потока под влиянием
трения, т. е. в канале толщиной б** как бы концентрируется этот дефект им-
б
пульса. Соответственно разность ро^об — $ри>э4у = Р(№<А* представляет собой
о
уменьшение расхода жидкости через область пограничного слоя вследствие
проявления того же трения. Таким образом, если контуры рассматриваемого
тела увеличить на толщину б*, то такой контур обтекается при данных усло-
условиях потенциальным потоком. Иначе говоря, линии тока потенциального те-
течения выталкиваются трением на расстояние б*.
Интегральное соотношение импульсов для пограничного слоя было введено
Карманом. Характеристические толщины пограничного слоя пропорциональны
его условной толщине б. Так, например,
^r^(IH)U) (9.5.12)
Роа>о I Тп-Т1
Однако если экспериментальное определение б условно и связано с точ-
точностью измерений, вычисление б*, б** и 6f* по экспериментальным полям
скоростей и температур более точно и определенно. Последнее тем более су-
98
щественно, что значение этих величин отнюдь не связано с представлением
о слое конечной толщины и, по существу, рассмотренные выше интегралы могут
браться в пределах от 0 до оо. Конечное значение этих интегралов при верхнем
пределе, равном бесконечности, обусловливается резким изменением скоро-
скоростей в узкой области порядка б и температур также в узкой области порядка 8Т.
Интегральные уравнения пограничного слоя могут быть решены, если
каким-либо способом заданы профили скоростей и теператур или так назы-
называемые законы сопротивления и теплообмена
(9.5.13)
<*/сррои>о = т(кет), J
где
Re** = w0 6**/v0; Re" = w0 8*t/v0. (9.5.14)
Для жидкости с постоянными физическими свойствами при w%/2cp < 7
интегральные уравнения плоского пограничного слоя принимают вид
-L-L dw° + ! *1т**-то)]бУ- (95 15)
dx I w0 dx TCT — T0 dx J \ • • /
TCT _ <tf** 1 ^ПУ0 /ос*
где
6T
(9.5.16)
rCT-r0
f
J Wq \ Wo
0
(9.5.17)
9.6. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КАСАТЕЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ
И СКОРОСТЕЙ В ПЛОСКОМ ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ
Поле касательных напряжений в потоке жидкости и газа весьма консерва-
консервативно относительно режима течения. Так, при стационарном, неускоренном
течении в осесимметричном канале распределение касательных напряжений
iiq поперечному сечению одинаково зависит от безразмерного радиуса как для
ламинарного, так и для переходного и турбулентного режимов течения. Ав-
томодельность поля касательных напряжений относительно режима течения
с большой степенью точности выполняется и в Пограничном слое при внешнем
обтекании твердых тел.
Из уравнения движения и общих соображений о физических свойствах
стационарного плоского пограничного слоя несжимаемой жидкости, обтекаю-
обтекающей непроницаемую поверхность, следует, что на его границах должны вы-
выполняться следующие условия:
у = 0, wx = wv = 0, т = тст; —dp/dx f дх/ду = 0; д2 т/ду2 = 0]; | /д 6 1)
у = 8, wx = wOi т = 0, дт/ду = 0, д2х/ду2=*0. J
Таким образом, имеются хорошо фиксированные условия, позволяющие
аппроксимировать неизвестное распределение касательных напряжений в по-
пограничном слое с помощью степенного полинома. Шести условиям для каса-
4* 99
тельного напряжения соответствует полином пятой степени. При течении без
градиента давления этот полином^имеет_вид ~
где ? =jdP — относительное расстояние от стенки.
Практически для решения многих задач оказывается возможным ограни-
ограничиться кубической параболой, коэффициенты которой определяются из усло-
условий
I = 0, т = 1,
5=1, т = 0,
= F/tCT) dp/dx;
(9.6.3)
После вычислений находим, что данная аппроксимация профиля каса-
касательных напряжений имеет вид
где
д 6 dp \iw0 б2 dw0
тст dx тст 6 v dx
В данном случае не удовлетворяется условие dh/dy2 = 0.
(9.6.4)
(9.6.5)
Таблица 9.3
Сопоставление касательных напряжений т, вычисленных по полиномам разных степеней
Полином
1-3?2 + 2|з
1_2|з + ?4
l_10g3+l5g4_6g5
0
1
1
1
0,1
0,972
0,992
0,991
0,2
0,896
0,985
0,942
0,3
0,784
0,954
0,836
0,4
0,648
0,887
0,682
0,5
0,500
0,812
0,500
0,6
0,352
0,697
0,317
0,7 | 0,8
0,216
0,554
0,163
0,104
0,385
0,058
0,9
0,028
0,198
0,008
1
0
0
0
Практически достаточность аппроксимации (9.6.4) для вычисления т
видна из табл. 9.3. Сопоставление с экспериментальными данными Миклея
для обтекания пластины показано на рис. 9.1. Величина Лх = F2/v) dwjdx
представляет собой специфическую
форму записи числа Рейнольдса, в ко-
котором ?юль скорости выполняет про-
произведение 8dwo/dx. Эта величина на-
называется параметром Польгаузена,
предложившего метод решения урав-
уравнения импульсов для ламинарного
пограничного слоя путем аппрокси-
0
0,2 0,4 0,6 0,8
Рис. 9.1. Распределение касательных напря-
напряжений в турбулентном пограничном слое по
формуле~т= 1—3g2+2g3
мации профиля скоростей. Аппрокси-
Аппроксимация профиля касательных напря-
напряжений, являющаяся более общей,
была введена К. К.__Федяевскйм.
Распределение продольной составляющей вектора скорости определяется
из уравнения
т - (|i + Иг) dwjdy. (9.6.6)
Отсюда следует, что при [i = const и
=* / (I)
wo Н'И'о J
(9.6.7)
100
При 1=1 со = 1, и, следовательно,
lt) . (9.6.8)
liw0 yj l+\iTl\>>
Таким образом, аппроксимирующий профиль скоростей определится интег-
интегральным соотношением
со= Г —dl[[ dl\ . (9.6.9)
J 1 + И/1* \J 1 + V/V )
Подставляя в последнее выражение значение \хт = 0 и значение т из уравне-
уравнения (9.6.4), находим аппроксимирующий профиль скоростей в ламинарном
пограничном слое при \х = const:
l-J±l*-±Z*Ll*+±Z±Ll\ (9.6.10)
2 2 о
Приняв определенную схему турбулентного обмена, т. е. задав связь между
/ и ?, можно вычислить распределение скоростей и в турбулентном погра-
пограничном слое.
9.7. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПЛОТНОСТИ ТЕПЛОВОГО ПОТОКА
И ТЕМПЕРАТУРЫ В ПЛОСКОМ ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ
На границах плоского стационарного теплового пограничного слоя должны
выполняться условия:
на непроницаемой стенке у = 0, q = qCTy dq/ду = 0;
на границе с невозмущенным (в отношении теплового состояния) потоком
у = бт, q = 0, dqldy = 0.
Этим условиям удовлетворяет аппроксимирующая кубическая парабола
4 = 1-3^+2^, (9.7.1)
где
Распределение- температур по оси у можно определить из уравнения
q= —(Ь+Ьт)дТ/ду, (9.7.2)
откуда следует, что при Я= const
аб ~
Здесь
(9.7.4)
где в « 1. При 1т = 1 * = 1 и
^ ]\ (9.7.5)
Таким образом, при X = const профиль температур определится соотно-
соотношением
(9.7.6)
101
Подставляя в последнее выражение значение Кт = 0 и q из уравнения (9.7.1),
находим аппроксимирующий профиль температур в ламинарном тепловом
пограничном слое при X = const:
. (9.7.7)
9.8. ПОЛУЭМПИРИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ ТУРБУЛЕНТНОГО
ОБМЕНА В ПЛОСКОМ НЕСЖИМАЕМОМ ПОТОКЕ
ВБЛИЗИ ТВЕРДОЙ СТЕНКИ
Рассмотренные в гл. 4 осредненные уравнения движения и теплообмена
в турбулентном потоке оказываются незамкнутыми, так как в них появляются
члены, содержащие неизвестные величины пульсаций скорости и темпера-
температуры. Длительное время не удавалось построить теорию, позволяющую вы-
вычислить эти величины, не прибегая к эксперименту. В связи с этим широкое
распространение получили так называемые полуэмпирические теории турбу-
турбулентности, в основу которых положено предположение о том или ином виде
связи между переносимой турбулентными пульсациями величиной (количество
движения, количество теплоты, напряженность вихря и т. п.) и соответствую-
соответствующими осредненными параметрами потока.
Основы полуэмпирической теории турбулентности были заложены Прандт-
лем и Тэйлором.
Уравнение Рейнольдса показывает, что мерой интенсивности турбулент-
турбулентных пульсаций может являться величина l/т/р. Особенно отчетливо это видно
при рассмотрении области плоского потока, достаточно удаленной от твердой
стенки. В этом случае \1т^> М- и полное касательное напряжение практически
равно тг. Тогда из формулы D.2.18) следует, что
(9.8.1)
Величина с* = }^т/р имеет размерность скорости и_называется скд^юспгью_каг
сательных напряжений_ цли динпщищг^рй скоростью.
Обычно в качестве характерного принимают значение этой величины на по-
поверхности стенки:
^zYJ^K- (9-8-2)
Рассмотрим соотношение между турбулентным и молекулярным трением,
в плоском турбулентном потоке несжимаемой жидкости без градиента давления
Оно может зависеть только от абсолютного уровня касательных напряжении^
их распределения по толщине потока, расстояния от стенки и двух физических
характеристик среды — плотности и молекулярной вязкости, т. е.
Цг = /(тст,р,[х,*/,6), (9.8.3)
где о — толщина потока.
Из величин, находящихся под знаком функции, можно составить два безраз-
безразмерных комплекса: относительное расстояние от стенки и число Рейнольдса,
построенное по локальной скорости касательного напряжения и расстоянию
от стенки:
r\ = v*j//v. (9.8.4)
Таким образом, зависимость (9.8.3) можно представить в виде связи трех
безразмерных величин:
I). (9.8.5)
На некотором удалении от стенки, когда~молекулярное трение практически
перестает влиять на турбулентные пульсации скорости, функция f должна
принять форму, в которой отсутствует величина \х. Этому условию соответст-
соответствует зависимость
MpW = M?). (9-8-6)
102
Если вблизи стенки /2 меняется слабо, то в области у±<1 у <С & (где у1 —
толщина слоя, в котором существенно проявляется молекулярное трение)
|лг^хру*#. (9.8.7)
Здесь х — некоторая константа, характеризующая структуру турбулентного
потока. Тогда __
хт = Нт dw/dy = хри* у dw/dy,
и поскольку при у > уг %т = ру*2, то окончательно
тг = р(хг/ dw/dyJ. (9.8.8)
Эта формула означает, что в ядре турбулентного пограничного слоя между
пульсационными компонентами скорости течения существует корреляция:
VX~VV~ ydw/dy. (9.8.9)
Формула (9.8.8) может быть обобщена введением некоторой характерной
длины
l = yf{l), (9.8.10)
причем в области уг < у <^ б / (?) « const = х.
При таком обобщении формула (9.8.8) примет вид
dw
~w
dw
(9.8.11)
где введение модуля производной скорости по нормали к стенке обусловлено
необходимостью сохранения знака
Формула (9.8.11) впервые была
получена Тэйлором. Прандтль наз-
назвал величину / длиной пути переме-
перемешивания. При этом он исходил из
аналогии между турбулентным пе-
перемещением условных молей жид-
жидкости и движением молекул в газе.
В этой схеме величина / является
аналогом длины свободного пробега
молекул. Такая схема, как выяс-
выяснилось в дальнейшем, не является
достаточной, поскольку в турбу-
турбулентном потоке переносы в дейст-
действительности осуществляются спект-
спектром пульсаций. Однако сама форму-
формула (9.8.8) оказалась весьма эффек-
эффективной и, как это было показано
выше, получается в качестве пер-
первого приближения из общих сооб-
соображений о свойствах плоского тур-
турбулентного потока.
Во внешней части пограничного
слоя имеет место условие
I -+ ххб, (9.8.12)
касательного напряжения.
0,04 —i
0,02
Рис. 9.2. Распределение коэффициента турбу-
турбулентной вязкости по радиусу трубы в изотер-
изотермическом потоке несжимаемой жидкости
причем константы х и хх связаны
друг с другом.
На рис. 9.2 показаны изменения кинематического коэффициента турбу-
турбулентной вязкости vT = [XjVp и длины пути перемешивания по радиусу гладкой
трубы по опытам И/Никурадзе. При Re < 105 влияние молекулярного трения
проявляется в некоторой степени во всей толще потока. При Re > 105 турбу-
турбулентные характеристики потока практически не зависят от молекулярной вяз-
вязкости среды.
103
Для пограничного слоя на пластине хх = 0,07 — 0,09. При течении в тру-
трубе это значение примерно в два раза больше в связи с тем, что максимальный
масштаб турбулентных пульсаций в этом случае имеет порядок двух толщин
(радиусов) пограничного слоя. Около стенки действительно оправдывается
формула (9.8.8), причем по этим опытам % = 0,4. При течении в шероховатых
трубах на значительном удалении от выступов значение / такое же, как и при
течении в гладких трубах с большими числами Re.
Тэйлор обратил внимание на то, что при отсутствии действия вязкости
каждая частица жидкости может сохранять свою завихренность, в то время как
возможно изменение ее количества движения под влиянием местных пульсаций
давления. Если все существующие в течении вихри имеют оси, перпендику-
перпендикулярные к направлению осредненного течения и к направлению градиента ос-
редненной скорости, то течение будет двумерным.
Введем в уравнение движения плоского невязкого пограничного слоя ве-
величину вихря
JL/^^) (9.8.13)
++2 (98Л4)
р ду dt дх \ 2 ) у v '
Осредняя это уравнение с введением пульсационной составляющей вихря со',
получаем
ду дх
Получим
Отсюда следует, что
р дх дх \ 2 / У dt ' л дх у ду v
и для равномерного вдоль оси х потока
dxT/dy = p2Vy\(u'. (9.8.17)
Осредненное напряжение вихря в каком-либо слое равно ~к-~н~у Иу слеД°"
вательно, при перемещении на длине пути перемешивания переносится избы-
, d ( 1 dw\
точная завихренность —^\YTly T# е*
2a'=—ld2w/dy2. (9.8.18)
Отсюда
dpldx = d%Tldy = p/V^ d2w/dy2y (9.8.19)
в то время как по Прандтлю
(9.8.20)
dx v dy\ y dy
Эти выражения совпадают только при независимости IVу от у. Измерения
распределения температур в следе за телом подтвердили правильность идеи
Тэйлора.
На пространственные течения полуэмпирическая теория длины пути сме-
смешения Прандтля наиболее эффективно была перенесена Н. И. Булеевым.
На других полуэмпирических теориях турбулентности мы здесь останавливать-
останавливаться не будем, отсылая читателя к литературе, названной в конце этой главы.
Укажем только, что М. А. Гольдштиком и автором значение константы к
104
было определено теоретически, исходя из теории максимальной квазилами-
квазиламинарной устойчивости турбулентности пограничного слоя. Эта теория позво-
позволила впервые вычислить и другие важнейшие характеристики плоского тур-
турбулентного пограничного слоя несжимаемой жидкости.
9.9. СВЯЗЬ МЕЖДУ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ТУРБУЛЕНТНОЙ
ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ И ВЯЗКОСТИ
Из рассмотрения теплопроводности в направлении оси у в плоском турбу-^
лентном потоке несжимаемой жидкости в соответствии с уравнением D.4.6)
qT = cppV~&. (9.9.1)
Следовательно, пульсация Vy переносит избыточное теплосодержание cppS.
По аналогии с переносом количества движения или вихря можно положить
(9.9.2)
dw df
— —
dy dy
Здесь h — длина пути рассеяния теплосодержания, в общем случае не обя-
обязательно равная длине пути гидродинамического перемешивания /. Сопостав-
Сопоставляя эти выражения с соответствующими
выражениями для турбулентного трения,
можно написать
V = ecp|ir, (9.9.3)
или
(9.9.4)
1,0 0,8 0,6 0,4
0,8 r/R
Рис. 9.4. Изменение турбулентного числа
Р по радиусу трубы для значений Re—
Рис. 9.3. К определению турбулент-
турбулентного числа Прандтля:
У—Рг =1 (схема Прандтля); = C,2-f-7,3) • 105
2 —Рг7, = 0,75 (эксперимент);
3 — Рг =0,5 (схема Тэйлора)
Здесь е — коэффициент неподобия рассеяния тепла и количества движения
в результате турбулентных пульсаций скорости. Величина, обратная е, имеет
смысл числа Прандтля для турбулентного обмена:
Ртт = ср |хгАг. (9.9.5)
По Прандтлю эта величина равна 1, по Тейлору 0,5. На рис. 9.3 приведены
данные о соотношении турбулентных коэффициентов диффузии импульса и
тепла в свободных струях, а на рис. 9.4 — аналогичные данные для погра-
пограничного слоя в трубе. v
9.10. ТУРБУЛЕНТНЫЙ ПЕРЕНОС В ВЯЗКОМ ПОДСЛОЕ
На поверхности жесткой, непроницаемой пластины при отсутствии сколь-
скольжения имеют место условия
{у = 0, wx = wy = 0, Vx = Vy = 0}. (9.10.1)
105
Отсюда следует, что при
(9-10.2)
Следовательно, в непосредственной близости от твердой стенки существует об-
область течения, в которой распределение скоростей практически полностью опре-
определяется молекулярным трением. Эта область турбулентного пограничного слоя
x
0,4
0,2
о
о
О v
ь •— • •
10
20
50
Рис. 9.5. Относительные значения пульсаций скорости в канале
с параллельными сгенками:
называется вязким подслоем. Условную толщину вязкого подслоя мы будем обо-
обозначать, как и ранее, через уъ полагая, что при
{О <*/<#!, Иг <€[*}. (9.10.3)
Однако это не означает малости соотношения Хт и X, поскольку последнее за-
зависит по формуле (9.9.4) еще и от значения числа Прандтля жидкости. Поэ-
Поэтому при Рг ^> 1 турбулентный и молекулярный переносы теплоты в вязком
подслое могут быть вполне соизмеримы.
Очевидно, что под влиянием молекулярного трения корреляция типа
(9.8.9) между пульсационными компонентами скорости течения будет нару-
нарушаться. Действительно, если положить
Ух - (dwx/dy)CT у = (тст/(х) у,
то из уравнения неразрывности пульсационного течения следует, что
у*
(9.10.4)
(9.10.5)
Отсюда следует, что в вязком подслое турбулентное трение пропорционально
расстоянию от стенки в степени не меньше третьей:
{У < Уъ Vx - Wx;
(9.10.6)
На рис. 9.5 приведены экспериментальные данные Е. М. Хабахпашевой
и Е. С. Михайловой, показывающие, что продольная компонента турбулентной
пульсации скорости действительно пропорциональна продольной компоненте
осредненной скорости.
Из соотношений (9.10.2) и (9.10.6) следует, что
^РЛ3. (9.10.7)
у-+ 0
106
Для турбулентного переноса тепла в вязком подслое необходимо учесть то
обстоятельство, что пульсация температуры 0 коррелирует с компонентой
пульсации скорости Vyj т. е. в предельном случае при у ->-0
{Wy~Vl~tf; ЯгД^РгРгт]4}. (9.10.8)
При этом
Рг^Р4'3. (9.10.9)
Более детальный анализ показывает, что зависимость (9.10.8) тем точнее, чем
больше число Прандтля.
9.11. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТЕЙ В ПЛОСКОМ
НЕСЖИМАЕМОМ ПОТОКЕ ВБЛИЗИ СТЕНКИ
Введя в уравнение D.2.20) выражение хт из соотношения (9.8.8), получим
т = iidw/dy + p/2 (dw/dyJ. (9.11.1)
При этом в области вязкого подслоя (у < уг) т > тт.
В переменных ф = w/v* и ц = v*y/v уравнения для касательных напряже-
напряжений примут вид (при dp/dx = 0):
в области 0 < т] < т)г, где цг = v*y±h9
dy/dy- т = 0; " (9.11.2)
в области т] > r]i
-^+(^т)^J-т=0. (9.11.3)
Здесь и далее под величиной v* понимается динамическая скорость на стенке.
Из условия монотонности профиля скоростей следует, что
(Лр/*|)Л1-о =(d<p/dT|)ih + o. (9.11.4)
Если принять во внимание, что уг < б и, следовательно, в области у < уг
х« 1, то из выражения (9.11.3) следует, что при г] < щ
^"~ ф = т]. (9.11.5)
Из уравнения (9.1^.3) следует, что при г) > y]j
где в соответствии с выражением (9.11.5) ф2 = tix.
Рассмотрим область значений л > ^i» B которой достаточно точно выпол-
выполняется зависимость (9.8.7) и условие т« 1. В этом случае уравнение (9.11.3)
принимает вид
|^y-l=O, (9.11.7)
а его интеграл равен
Ф = Ф1+ —1п(т|/ти). (9.11.8)
Если условно профиль (9.11.5) распространить до ц = цъ то фх = т|1#
На рис. 9.6 в полулогарифмических координатах изображен профиль скоро-
скоростей в плоском турбулентном потоке несжимаемой жидкости по ряду экспери-
экспериментальных данных. По этим данным х = 0,4 и % = 11,6. Логарифмический
профиль скоростей (9.11.8) практически существует почти до оси симметрии
при течении в замкнутом канале и нарушается во внешней области погранич-
пограничного слоя.
107
Обычно логарифмический профиль скорости удобно записывать в форме
Ф = С# + A/х) In г]. (9.11.9)
Из (9.11.8) С% = гц — A/х) In т)ь что при х = 0,4 и % = 11,6 дает значение
С* - 5,5.
Для приближенной оценки характера изменения скорости потока в области
между вязким подслоем и турбулентным ядром можно, например, принять
допущение о том, что турбулентное трение на границе вязкого подслоя равно
Рис. 9.6. Закон распределения скоростей в турбулентном потоке несжи-
несжимаемой жидкости
нулю. Наиболее простое выражение для турбулентных касательных напряже-
напряжений, удовлетворяющее этому требованию и условию, что при у > ух 1 = щ,
имеет вид
рх2 (у—УхJ (dw/dyJ,
(9.11.10)
чему соответствует значение
I ж к (у — yj. (!9.11.11)
Подставляя это значение / в уравнение (9.11.6) и интегрируя его при т = 1,
получаем
(л —TiiJ . 1 1
(9.11.12)
При г\ > % это уравнение переходит в (9.11.9), причем С* = %+
+ — (In 4х — 1). По этой формуле приведенным выше экспериментальным
значениям х и С* соответствует значение г^ = 6,8. Формула (9.11.12) дает
несколько более крутое изменение скорости в промежуточном слое турбулент-
турбулентного потока, чем это следует из опытов.
Рядом авторов (Ван-Дрист, Дейслер, Рейхардт, Лин, Левич, Лойцянский)
были предложены полуэмпирические и эмпирические зависимости для опреде-
определения профиля скоростей в турбулентном пограничном слое. Однако для об-
области совместного действия молекулярной и турбулентной вязкости они или
имеют весьма сложный и неудобный для дальнейших 'операций вид,
или авторы разбивают профиль на значительное число отдельных участков.
108
Практически, как предложил в свое время Карман, достаточно разбить по-
пограничный слой на три зоны, две из которых аппроксимируются логарифми-
логарифмическими формулами. С расчетной точки зрения в ряде случаев бывает удоб-
удобным заменить универсальный закон распределения скоростей в турбулент-
турбулентном потоке простым степенным выражением типа
Ф = Аг\п. (9.11.13)
При этом логарифмический профиль скоростей является огибающей семейства
степенных профилей. Коэффициенты А и п могут быть вычислены из логариф-
логарифмического профиля скоростей.
Степенной аппроксимации профиля скоростей соответствуют и степенные
формулы для коэффициента гидравлического сопротивления. Средняя расход-
расходная скорость несжимаемой жидкости в круглой трубе
_ Ro
w = — f wRdR, (9.11.14)
где Ro — радиус трубы.
Подставляя сюда распределение скоростей по формуле (9.11.13) и принимая
во внимание, что ср = 1/~8/?, где ? — коэффициент гидравлического сопротив-
сопротивления, получаем
(9.11.15)
L /л. j
где __
Re=2R0w/v. (9.11.16)
Для отношения средней расходной скорости к скорости на оси трубы
^/^макс = 2/A +П)(п + 2). (9.11.17)
При п = 1/7 получаем формулу Блазиуса
Т O^IRDp» — 0,25 /Q 1 1 1Я\
пригодную для гладких труб в области 104< Re < 105.
Строго говоря, логарифмический профиль скоростей следует рассматривать
как некоторый факт, выражающий существование универсального закона
распределения скоростей ф (т]) при обтекании окрестности непроницаемой
пластины турбулентным неограниченным изотермическим потоком несжимае-
несжимаемой жидкости. Во всех остальных случаях имеют место другие распределения
скоростей.
9.12. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ПОЛУЭМПИРИЧЕСКИХ
ВЫРАЖЕНИЙ ДЛЯ ТУРБУЛЕНТНЫХ ПЕРЕНОСОВ
В НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ НА ПЛОСКИЙ
ПОТОК ГАЗА
Рассмотренные выше формулы полуэмпирической теории турбулентности
построены на соотношениях типа V ~ dw/dy и 0 ~ dT/dy. Применяя эти
соотношения к формулам D.4.7), получаем
-IL = /2 (ЛШ)%-§Wy /2 *L -^L-p/з (*L\2 iL. (9.12.1)
p \ dy ) dy dy \ dy ] dy
Qt /2 dw dT Q_ /2/ dT \2 а1Я( dT \2 dw ,g ^ 2)
cp9 dy dy \ dy J \ dy ] dy
где p ^ ]7, w ^ wf T e^T, p = 1/Г. Если положить I = куу то при Р = 0 или
dT/dy = 0 формула (9.12.1) переходит в формулу Прандтля (9.8.7) для изо-
изотермического течения несжимаемой жидкости.
109
9.13. ПОРЯДОК ВЕЛИЧИНЫ ВЯЗКОГО ПОДСЛОЯ
НА НЕПРОНИЦАЕМОЙ ПОВЕРХНОСТИ
Формула (9.8.8) показывает, что в окрестности стенки, но вне вязкого под-
подслоя турбулентное течение непосредственно связано с градиентом осредненной
скорости течения. В случае течения без градиента давления во всех точках
пограничного слоя dwjdy > dwjdx и формулы (9.8.8) и (9.8.11) можно запи-
записывать в полных дифференциалах.
При течении с градиентом давления условие dwjdy > dwjdx выполняется
только в окрестности стенки. Во внешней же области пограничного слоя может
иметь место и соотношение dwjdy <^ dwjdx.
Действительно, в окрестности твердой стенки всегда существует макси-
максимум касательных напряжений и соответственно величины dwjdy. Величина
же dwjdx в этой области мала, поскольку на стенке она точно равна нулю.
Во внешней области пограничного слоя величина dwjdx имеет порядок dwjdxy
а величина dwjdy стремится к нулю.
Параметр
djd
idwx/dy
можно рассматривать как меру влияния продольного градиента давления
на характеристики турбулентности в пограничном слое.
Выше было показано, что при ух < у < б этот параметр всегда мал, и,
следовательно, в данной области закон турбулентного трения практически
автомоделей. В этом смысле можно говорить о консервативности закона тур-
турбулентного трения в окрестности стенки.
Принимая во внимание этот факт и то, что в области перехода от турбулент-
турбулентного ядра к вязкому подслою молекулярное и турбулентное трения соизме-
соизмеримы, можем написать
(Jpf° . (9.13.2)
ду
Отсюда следует, что внутренняя граница преобладания турбулентного" закона
трения определяется безразмерным комплексом
(9ЛЗ-3>
ду
где индекс 1 означает, что все величины относятся к точке у ¦= уг. Поскольку
в данном случае
(9.13.4)
то параметру (9.13.3) эквивалентен параметр
4i = (»*ft/v). (9.13.5)
При dp/dx = 0 в области у < б и* « i?T> т. е. при двухслойной схеме тур-
турбулентного пограничного слоя
Th« 10. (9.13.6)
Величина $ег является некоторым критическим значением числа Рейнольд-
са, определяющим возможность существования вязкого течения даже в крайне
неблагоприятных условиях проникновения из внешней области пограничного
слоя мощных трубулентных возмущений. Полагая % = 6, находим, что
Re2 = 36. Это значение действительно того же порядка, что и нижний теоре-
теоретический предел устойчивости плоского ламинарного потока с наложенной
на него произвольной системой возмущений. Значению у\г = 11,6 соответст-
соответствует число Rex =134.
ПО
9.14. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ ЗАКОНЫ ТРЕНИЯ
И ТЕПЛООБМЕНА
При очень больших числах Рейнольдса турбулентный пограничный слой
обладает некоторыми замечательными свойствами. В частности, при
Re-^оо отношения Cflc\% и St/St0 выражаются теоретическими зависимо-
зависимостями, не содержащими в себе констант турбулентности. Здесь cfo и St0 —
значения коэффициента трения и числа Стентона при обтекании непроницаемой
пластины неограниченным, изотермическим, турбулентным пограничным
слоем.
Введем в формулу (9.8.8) значение т из уравнения (9.12.1) и представим
полученное уравнение в следующем виде:
xCTx=p(ldwJdyf{l-^). (9.14.1)
Здесь ^ — коэффициент, учитывающий влияние пульсаций плотности,
~= х/тст = f (?) — закон распределения касательных напряжений по попе-
поперечному сечению пограничного слоя.
С другой стороны, можно написать
(9.14.2)
где р0 — плотность потока вне динамического пограничного слоя.
Разделим обе части уравнения (9.14.1) на произведениеj^^гдеjr0—закон
распределения касательных напряжений на непроницаемой пластине, обте-
обтекаемой изотермическим пограничным слоем. Проинтегрировав это уравнение,
получим
Здесь W = (Cf/CfO)Ke** — относительное изменение коэффициента трения при
сопоставлении для условий Re** = idem; сох — безразмерная скорость на
границе вязкого подслоя;
где ?i = r/i/S — безразмерная толщина вязкого подслоя.
Величины (ох и ^ однозначно связаны друг с другом через уравнения дви-
движения и теплопроводности в вязком лодслое. Поэтому для их вычисления
достаточно знать температурные функции X (Г), \х (Т) и условие устойчивости
узкого подслоя, определяющее величину уг. Отсутствие строгого определения
последнего и составляет основную трудность решения уравнения (9.14.3)
в области конечных чисел Рейнольдса.
Следует обратить также особое внимание на определение числа Рейнольд-
Рейнольдса, при котором производится сопоставление истинного коэффициента трения
Cf с эталонным (стандартным) С/о. Поскольку величины шои6** определяются
вполне стандартным образом для любого пограничного слоя, то неоднознач-
неоднозначность выбора величины Re** связана с отнесением входящих в нее физических
характеристик потока р и \i к той или иной характерной температуре. Наибо-
Наиболее определенными, очевидно, являются или величина То, или величина Гст.
Поскольку в общем случае имеют место зависимости
;M;...); (9.14.5)
*;M;...)f (9.14.6)
что непосредственно следует из уравнений движения и теплопроводности
вязкого подслоя и условия его устойчивости (например, из оценки по значению
), то единственным требованием является одинаковое определение величины
111
Re** при определении ? и ?х. Известный произвол в определении Re**
в настоящее время имеется только вследствие отсутствия достаточно хорошего
теоретического определения функций (9.14.6). Мы в качестве основного опре-
определения примем в Re** значение кинематической вязкости при температуре
Т Э R
р
То. Эти трудности снимаются при переходе к числам Re—>-оо, так как с ростом
числа Рейнольдса его влияние на значения коэффициентов трения, тепло- и
массообмена в турбулентном потоке все больше уменьшается. В качестве эта-
эталона при определении W естественно выбрать наиболее простое течение,
каковым является продольное обтекание гладкой непроницаемой пластину
потоком изотермической несжимаемой жидкости^ Для этих условий
Zo = 1 — оI0; со1о = г]10Vcfo/2;
(9.14.7)
Здесь б** = б**/б — относительная толщина потери импульса. Учитывая
эти зависимости, формулу (9.14.4) можно записать в виде
(9.14.8)
Рассмотрим свойства интегралов (9.14.5) и (9.14.8) при очень больших
числах Рейнольдса. Последнее отнюдь не означает, что речь идет о больших
скоростях течения или значительной протяженности обтекаемых потоком
тел. Сколь угодно большие числа Рейнольдса могут иметь место при вполне
конечных скоростях течения и малых толщинах пограничного слоя, если рас-
рассматривать жидкость с «исчезающей вязкостью», т. е. когда коэффициент вяз-
вязкости стремится к нулю, но строго в нуль не обращается.
Из формулы (9.13.3) следует, что i± ~ v, а из уравнения (9.12.1), что
Полагая далее
получаем
р ' / т
wy/w0~w0 dd/dx~w0 (б/б**) cf,
(9.14.9)
(9Л410)
Поскольку при обтекании гладкой поверхности коэффициент трения с ростом
числа Рейнольдса стремится к нулю, из этих оценок следует, что в потоке
с «исчезающей вязкостью» имеют место условия
т. е. происходит вырождение вязкого подслоя и пульсаций плотности. Соот-
Соответственно при Re -^oo из выражения (9.14.3) следует, что
рт0
(9.14.12)
112
где
"¦'"¦* " VT0 -^-. (9.14.13)
) j
Из выясненных ранее свойств турбулентного пограничного слоя следует, что
{приЕ-^Ei то->1, Г-^хН; при^-^1 т~->0). (9.14.14)
Кроме того, по своей физической природе зависимости то(|) и / (?) являются
непрерывными и гладкими. Поэтому подынтегральные функции в уравнении
(9.14.12) можно аппроксимировать полиномом вида
2'6' (Ki<n)9 (9.14.15)
в котором на интервале 0 < ? < 1
— >2fli6'>° A<*<л)- (9.14.16)
Вводя значение "J/"t0 из уравнения (9.14.15) в уравнение (9.14.13), находим,
что
Zoo = In Ex/In Е10. где Er-*0; Sw-^0. (9.14.17)
Таким образом, при Re ->оо в интегральном соотношении (9.14.8) выпа-
выпадают члены, содержащие коэффициенты aiy которые в общем случае зависят
от возмущающих факторов.
При течении без градиента давления из формулы (9.13.5) следует
lnEi= —In Re**+ 111% 6** Кг/су. (9.14.18)
Из логарифмического профиля скоростей следует, что при Re -^cx»
т. е. второй член формулы (9.14.18) — число ограниченное и
lnEiolRe^co->-lnRe**. (9.14.19)
Таким образом, при весьма больших числах Рейнольдса существует пре-
предельный относительный закон трения, выражаемый интегральным соотно-
соотношением Кутателадзе—Леонтьева:
/ ——
_?12_Ло-^ !li!-; ?^0. (9.14.20)
J V рот? In Re**
Для течения без градиента давления это соотношение принимает вид
"ш-=—-'¦ (914-21>
Отношение то/т в этом интеграле легко определяется в соответствии с сообра-
соображениями, изложенными в разд. 9.6. Отношение р/р0 связано с отношением
Т/То через уравнение состояния. Для совершенного газа, поскольку в погра-
пограничном слое др/ду = 0, р/р0 = TJT.
При наличии приближенного подобия полей скоростей и энтальпий тор-
торможения можем записать:
= Ц — Агресо — (я|)*—1)со2. (9.14.22)
Здесь if = Тст/Т0 — так называемый первый температурный фактор; я|э* =
= T*cJTq — кинетический температурный фактор; Агр = яр —яр* — фак-
фактор теплообмена; 8 — коэффициент неподобия полей температур и скоростей.
113
Более подробно о величинах гр и г|э* будет сказано в последующих главах. Зна-
Значение 8 в первом приближении равно отношению (8/8т)пУ где п — показатель
степени профиля скоростей. В случае обтекания пластины газом при условии,
что и динамический, и тепловой слой развиваются с ее передней кромки,
Аналогично уравнению (9.14.3) из формулы (9.9.2) следует относительный
закон теплообмена
где
гт = УЩ\ ]/^L^L. (9.14.24)
? У 1-рг 1т
здесь q = q/qci: — относительная плотность теплового потока в точке ?>т =
= у/8т; St = a/cPopowo — число Стентона; гь = 1Т11 — коэффициент неподо-
неподобия тепловой и гидродинамической длин пути смешивания. Свойства величин
Рг, ?т\, ZT аналогичны свойствам р, 1Ъ Z, т. е. при Re -> оо
IV-
*ZToo. (9.14.25)
При этом, естественно, в последнем уравнении распределения скорости и
температуры нужно брать для условий турбулентного течения с вырожден-
вырожденным вязким подслоем.
Предельные законы теплообмена в своей общей формулировке сложнее
законов трения. Поэтому при значительных нарушениях подобия температур
и скоростей функции W и 4?s могут существенно различаться.
Так, например, в области диффузорного течения (dp/dx>0) турбулентного
пограничного слоя с постоянными физическими свойствами значение W может
быть существенно меньше единицы при любых числах Рейнольдса, в то время
как значение Ws при конечных числах Рейнольдса пограничного слоя почти
не меняется с ростом градиента давления.
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Бетчелор Д. Теория однородной турбулентности. М., Изд-во иностр. лит., 1955.
2. Булеев Н. И. Теоретическая модель механизма турбулентного теплообмена в потоках
жидкости.— В сб.: Теплопередача. М., Изд-во АН СССР, 1962, с. 64.
3. Кутателадзе С. С. Пристенная турбулентность. Новосибирск, «Наука», 1973.
4. Линь Цзя-цзяо. Теория гидродинамической устойчивости. Пер. с англ. М., Изд-во
иностр. лит., 1958.
5. Монин А. С, Яглом А. М. Статистическая гидромеханика, ч. 1. М., «Наука», 1965;
ч. 2. М., «Наука», 1967.
6. Проблемы турбулентности. Сборник пер. статей. М.— Л., ОНТИ, 1936. Авт.: О Рей-
Рейнольде, Л. Прандтль, К. Тейлор, Т. Карман и др.
7. Ротта И. Турбулентный пограничный слой в несжимаемой жидкости. Пер. с англ. Л.,
«Судостроение», 1967.
8. Таунсенд А. Структура турбулентного потока с поперечным сдвигом. Пер. с англ. М.,
Изд-во иностр. лит., 1959.
9. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. Пер. с нем. М., «Наука», 1969.
Пша
ю
ТЕПЛООТДАЧА ПРИ ВНЕШНЕМ
ОБТЕКАНИИ ТЕЛ НЕСЖИМАЕМОЙ
ЖИДКОСТЬЮ
10.1. ХАРАКТЕР ВНЕШНЕГО ОБТЕКАНИЯ
При внешнем обтекании тел потоком жидкости наблюдаются две сущест-
существенно различные формы течения: безотрывное и отрывное обтекание. В по-
последнем случае струи жидкости отделяются от поверхности тела и образуют
в непосредственной близости от нее вихревую область. Наличие того или другого
типа обтекания зависит как от формы
тела, так и от числа Рейнольдса.
Явление отрыва пограничного слоя
от непроницаемой поверхности связано
с взаимодействием поля давления и силы
трения в пристенной области. Внутри
пограничного слоя скорость течения
всегда меньше скорости на его внешней
границе. Продольный же градиент дав-
давления постоянен по всему поперечному
сечению пограничного слоя и связан
только со скоростью во внешней обла-
области. Для стационарного течения эта
связь выражается формулой (9.5.9).
Поэтому при диффузорном течении, когда dp/dx > 0, кинетическая энергия
потока внутри пограничного слоя недостаточна для полного преодоления на-
направленного ему навстречу действия поля давления. В результате положи-
Рис. 10.1. Схема деформации профилей
в диффузорной области течения погра-
пограничного слоя
Рис. 10.2. Фотография отрывного обтекания цилиндра.
тельный градиент давления вызывает внутри пограничного слоя торможение,
а затем остановку и обратный ток жидкости около обтекаемого ею тела. Точ-
Точка, в которой значение величины dwjdy на стенке обращается в нуль, харак-
характеризует начало возникновения обратного тока и называется точкой отрыва.
Очевидно, что в точке обращения течения трение равно нулю (рис. 10.1).
115
В действительности отрыв пограничного слоя происходит, конечно,
не в какой-то точно фиксированной точке, а охватывает некоторую конечную
область. За областью отрыва возникает вихревое движение жидкости, сопро-
сопровождающееся резким возрастанием общего аэродинамического сопротивления
тела (рис. 10.2).
При конфузорном течении (dp/dx < 0) поток ускоряется, направление дви-
движения жидкости совпадает с направлением действия поля давления и условия,
необходимые для отрыва пограничного слоя, отсутствуют. Пограничный слой
1 w
ламинарный
Небозмущенное течение
т
пограничный слои ^
Г)
—** Турбулентный
пограничный слои
\ ламинарный подслой
/////^(//
Зона перехода
Рис. 10.3. Схема пограничного слоя
на внешней поверхности обтекаемого тела не следует смешивать с вязким
подслоем в турбулентном потоке. Пограничный слой может быть как ламинар-
ламинарным, так и турбулентным (рис. 10.3).
Таким образом, внешнее обтекание тела неограниченным потоком жид-
жидкости существенно отличается от течения в замкнутых каналах, в частности,
тем, что на теле достаточной протяженности возможно существование в различ-
различных его областях как ламинарного, так и переходного и развитого турбулент-
турбулентного течений.
10.2. ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ НА ПЛАСТИНЕ
(ТОЧНОЕ РЕШЕНИЕ)
Рассмотрим пластину, продольно-обтекаемую ламинарным погранич-
пограничным слоем жидкости с постоянными физическими свойствами. Скорость течения
достаточно мала, и теплотой трения можно пренебречь, течение стационарное,
температура на всей поверхности пластины одна и та же, dp/dx = 0.
Уравнения пограничного слоя имеют вид:
wx dwjdx +wy dwjdy = vd2 wjdy2;
dwjdx + dwy/dy --= 0;
wx дТ/дх + wy дТ/ду = ад2 Т/ду2
A0.2.1)
при граничных условиях: у = 0, wx = 0, wy = 0, Т = Гст; у = оо, wx =
= wOy Т = Го.
Эти уравнения преобразуются в два обыкновенных дифференциальных
уравнения, если ввести новые переменные:
A0.2.2)
где ip — функция тока, связанная с компонентами скорости течения извест-
известными соотношениями
A0.2.3)
116
В новых переменных система уравнений принимает вид
1 = 0
A0.2.4)
при граничных условиях: 1 = 0, ? = 0, ?' = 0, ¦& = 0; | = оо, ?' = 2, ¦& = 1.
Профиль скоростей находят через функцию ?, которая впервые была вы-
вычислена Блазиусом. Компоненты скорости течения находят по формулам
В табл. 10.1 приведены значения ? по вычислениям Хауерта.
A0.2.5)
Таблица 10.1
Значения функции ? для ламинарного пограничного слоя на плоской продольно-
обтекаемой пластине
S 2
0
0
0
0
0
0
0
0
ft
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
,1
,2
,3
,4
,5
,6
,7
3
',9
,0
,1
,2
,3
,4
,5
,6
,7
,8
,9
0
0
0
0
0
0
0
с
с
с
с
с
(
с
,00664
,02656
,05974
,10611
,16557
,23795
,32298
,42032
), 52952
), 65003
),78120
), 92230
,07252
,23099
1,39682
1,56911
1,74696
[,92954
>,11605
V
0
о,
о,
0,
о,
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Wo
06641
13277
19894
26471
32979
39378
45627
51676
57477
62977
68132
,72899
,77246
,81152
,84605
,87609
,90177
,92333
,94112
0,
0,
0,
0,
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
с-
33206
33199
33147
33008
32739
32301
31659
30787
29667
28923
26675
,24835
,22809
,20646
,18401
,16136
,13913
,11788
,09809
,08013
1=
2,
2,
2,
2.
2,
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
4
—
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
1
,2
,3
,4
,5
,6
,7
,8
,9
,0
2,
2,
2,
2,
3,
3,
3,
3
3
4,
4
4
4
4
5
5
5
5
5
6
6
1
30576
49806
69238
88826
08534
28329
48189
68094
88131
07990
27964
48948
67938
87931
07928
27926
,47925
,67924
,87924
,07923
,27923
w
?'=—
Wo
0,95552
0,96696
0,97587
0,98269
0,98779
0,99155
0,99425
0,99616
0,99748
0,99838
0,99898
0,99937
0,99961
0,99977
0,99987
0,99992
0,99996
0,99998
0,99999
1,00000
1,00000
0,06424
0,05052
0,03897
0,02948
0,02187
0,01591
0,01134
0,00793
0,00543
0,00365
0,00240
0,00155
0,00098
0,00061
0,00037
0,00022
0,00013
0,00007
0,00004
0,00002
0,00001
Решение уравнения, определяющего поле температур, имеет вид
fexpf-Prfj
о \ о
Отсюда
где
ду)ст 2 V vx
/(Pr)=
A0.2.6)
A0.2.7)
A0.2.8)
117
Средний коэффициент теплоотдачи по пластине определяется формулой
L
A0.2.9)
1
а = — \ах dx,
откуда
Значения функции / (Рг) приведены в табл. 10.2.
Значения / (Рг) для ламинарного пограничного слоя на
плоской продольно-обтекаемой пластине
A0.2.1
Таблица 10.2
Рг
/(Рг)
Рг
/(Рг)
о;ооз
0,0556
10,0
1,46
0,005
0,0770
15,0
1,67
0,01 1 0,1
0,104
50
2,50
0;266
100
3,14
0,7
0,586
300
4,52
1,0
0,664
500
5,32
3,0
0,956
1000
6,54
7,0
1,29
3000
9,60
ИЛИ
Для гидродинамического пограничного слоя точное решение дает значение
c/=0f664(v/a;0 хH'5 A0.2.11)
c/==0,44/Re**. A0.2.12)
10.3. ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ
ПЛАСТИНЫ, ОБТЕКАЕМОЙ ЛАМИНАРНЫМ
ПОГРАНИЧНЫМ СЛОЕМ
(ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ)
Из условия
получим
2
fax
21** 1~
Re*
A0.3.1)
A0.3.2)
б** =б**/б-
Здесь Re** = a>06**/v0, v> = wjwo, I = y/8, jl =
относительные параметры пограничного слоя.
При постоянных физических свойствах потока и аппроксимации профиля
скоростей полиномом (9.6.10) в рассматриваемом случае имеем
{Л = 0; со-21—2i3 + g4; б** = 0,П75; (?<Эсо/<^)ст==2}. A0.3.3)
Подставляя отсюда соответствующие величины в уравнение A0.3.2), находим,
что в данном приближении
cf = 0,47/Re**, A0.3.4)
что на 6% отличается от точного решения. Уравнение импульсов (9.5.16) при
др/дх = 0 принимает весьма простую форму:
d8**/dx^Cf/2. A0.3.5)
При автомодельности скоростей и температур относительно продольной коор-
координаты (т. е. одинаковости функций со (Q и Ь{1) для всех поперечных сечений
пограничного слоя)
1 !?CT^ const. A0.3.6)
118
Соответственно из равенства A0.3.5) и уравнения A0.3.2) получим:
./Э?)ст ]
°Re* ' 1 A0.3.7)
9
б Re.
Здесь б = б/х — относительная толщина пограничного слоя; б0 = 80/х, где
б0 — значение б при х = 0; Rex = wox/vo — число Рейнольдса, где х — теку-
текущее значение координаты. При р = const, 'jx = 1, б0 = 0 в приближении
A0.3.3)
/e; VU. A0.3.8)
10.4. ТЕПЛООТДАЧА ПЛАСТИНЫ, ОБТЕКАЕМОЙ
ЛАМИНАРНЫМ ПОГРАНИЧНЫМ СЛОЕМ
ПРИ Рг>1 (ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ)
Вследствие аналогичности граничных условий вид интерполяционных
профилей скоростей и температур оказывается одинаковым, т. е. при поли-
полиноме четвертой степени
wx/w0 = 2у/6-2 (у/бK + (у/бL; |
(ТТ)/(ТТ) 2у/82(у/8Г+(у/8)\ J
Здесь следует обратить внимание на то существенное обстоятельство, что,
несмотря на аналогичность выражений A0.4.1), поля скоростей и температур,
вообще говоря, не подобны, поскольку при Рг Ф 1 8Т ф б.
Перепишем уравнение энергии (9.5.15) в виде (при dwjdx = dAT/dx = От
(Ю.4.2)
и подставим в него значения wxy T и dT/dy из уравнения A0.4.1).
После интегрирования получим
"•-к {4 [0ЛЗЗ-0@214(А.)а + 0,0055(^K]}= %- . A0.4.3)
При Рг ^ 1 возмущения, обусловленные молекулярным трением, распрост-
распространяются на большую область, чем возмущения, обусловленные молекуляр-
молекулярной теплопроводностью.
Следовательно, при v>a6^5r и значение отношения б^/б лежит между
единицей и нулем. При этом значение величины, стоящей в квадратных скоб-
скобках последнего уравнения, меняется в пределах от 0,133 до 0,117, т. е. всего
на 14%. Принимая в первом приближении среднее значение, равное 0,125,
приводим уравнение A0.4.3) к весьма простому выра^нию относительно 6f\
. A0.4.4)
+ 8H 24Д
[dx 2 dx ' w0
Находя интеграл этого обыкновенного ди<^ференциального уравнения отно-
относительно 8т и подставляя в него значение б/йз уравнений A0.3.7), окончатель-
окончательно получаем
A0.4.5)
Если на входной кромке (ху^О) толщина пограничного слоя бг = 0, то
С = 0 и х
$т = 5,72 (a/v)!/3 (vx/woy /2. A0.4.6)
119
Поскольку при обтекании пластины средой, имеющей Рг = 1, должно
иметь место точное подобие полей температур и скоростей, то в этом случае
8Т = б. Сопоставляя формулы A0.3.7) и A0.4.6), находим, что с точностью
до 2% при ламинарном пограничном слое и Рг ^ 1
A0.4.7)
Коэффициент теплоотдачи
^ р1=Ы1 » (,0.4.8)
ду ]у=0 6Т
ИЛИ
St=26f*/Pe**, A0.4.9)
где
Подставляя в уравнение A0.4.8) значение б^, получаем
аЛ. = 0,35ХРг1/3 (wjvxfl2. A0.4.11)
Средний коэффициент теплоотдачи пластины длиной L
L
а = — {axdx=0JKPvl^(w0/vLyf2 A0.4.12)
0
или в критериальной форме, полагая Nu = aWk и Re = w0L/v, можно запи-
записать
N'u = 0,7Pr1/3Re1/2. A0.4.13)
Второе приближение, дающее практически точный результат, получаем,
вводя в квадратные скобки формулы A0.4.3) значение бг/б по формуле A0.4.7)
первого приближения.
Решение имеет вид
Nu = 0,715(Pr — 09№Pt1's + 0№1I/3W2. A0.4.14)
Эта формула дает практически полное совпадение с точным решением, которое
при Рг > 0,6 хорошо аппроксимируется формулой
Nu = 0,664Pr1/3 Re1/2. A0.4.15)
10.5. ТЕПЛООТДАЧА ПЛАСТИНЫ, ОБТЕКАЕМОЙ
ЛАМИНАРНЫМ ПОГРАНИЧНЫМ СЛОЕМ ПРИ Рг<1
(ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ)
При Рг < 1 б < бг, т. е. тепловой пограничный слой проникает в область
гидродинамически невозмущенного потока. Если свободная турбулентность
этого потока мала, то профиль температур A0.4.1) можно сохранить и в данном
случае, причем интеграл (9.5.5), определяющий величину 6J-*, распадается
на две области — область 0 < у < б, в которой скорость течения меняется
от 0 до соо, и область у ^ б, в которой скорость течения равна скорости невоз-
невозмущенного потока. Отсюда
dy,
J I vr \ иу / \ or / J
6
120
или
A0.5.1)
Определяя порядок отношения 8/8т по формуле A0.4.7), находим, что уже
при Рг^0,1 в уравнении A0.5.1) можно пренебречь членами, содержащими
6/бг в степенях, больших единицы. Интегрируя уравнение A0.5.1) при этом
условии, получаем
8Т«3,65 л[ °* . A0.5.2)
г A— 6/St)w0
При Рг ->-0 б/бг -^0, чему соответствует значение толщины теплового слоя
8T = 3,65Vluc/w0. A0.5.3)
Сопоставление последней формулы с первой формулой A0.3.8) показывает,
что при Рг -> 0
б/бг-^^бРг1/2. A0.5.4)
Ниже приведено сопоставление значений величин ]/l — б/б^, рассчитан-
рассчитанных при помощи формул A0.4.7) и A0.5.4):
Pr^v/a 0,1 0,05 0,01 0,005 0
"|/"l — Рг1/3 0,731 0,795 0,885 0,910 1
V\ — l,6Pr1/2 .... 0,700 0,795 0,915 0,943 1
Как видно, для области чисел Рг, характерных для жидких металлов, практи-
практически можно пользоваться любым из этих приближений.
Выбирая более простое расчетное выражение, после подстановки значения
Ьт из формул A0.4.7) в A0.5.4) и осреднения по длине пластины получаем
Nu « 1,11/"A—Рг1/3)Ре, A0.5.5)
где
Pe=w0L/a. A0.5.6)
Таким образом, в области 0 < Рг <^ 1 увеличение числа Прандтля несколько
снижает интенсивность теплоотдачи по сравнению с решением для потенци-
потенциального обтекания (w = const, Рг = 0). Объясняется это тем, что при Рг > 0
в данном решении учитывается деформация профиля скорости в непосредствен-
непосредственной окрестности стенки.
10.6. ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ
ПЛАСТИНЫ, ОБТЕКАЕМОЙ ТУРБУЛЕНТНЫМ
ПОГРАНИЧНЫМ СЛОЕМ
Как уже указывалось в гл. 9, отклонение истинного изотермического
турбулентного профиля скоростей на пластине от логарифмического имеет
место только в области значений 0,9 < со < 1. Поэтому закон трения при про-
продольном обтекании пластины турбулентным пограничным слоем с постоянны-
постоянными физическими свойствами можно вычислить из распределения скоростей
по уравнению (9.11.9). Имеем
Подставляя в эту формулу у = б и со = 1, находим
.—Lln-?* . A0.6.2)
х v
121
Соответственно можно получить новое, удобное выражение логарифмической
профиля скоростей:
A0.6.3
Этому профилю соответствуют значения:
# = 8*/6**=A— (\/у)
Введя это значение 8** в формулу A0.6.3), получим закон трения:
JL=C, ___!_,„
Cf К
X —
_1_
A0.6.4
A0.6.с
Подставляя в последнее выражение значения С* = 5,5, х = 0,4 и замеча?
что разность первых двух членов его правой части меняется весьма слабо, пс
лучаем относительно простой логарифмический закон трения Кармана:
су/2 = B,5 In Re** + 3,8)~2. A0.Ы
Для степенной аппроксимации турбулентного профиля скоростей типа (9.11.1с
б** =
A + 2п)
C/ = 5Re**-m;
(Ю.6.;
Если турбулентный пограничный слой развивается с передней кромки пласт
ны (х = 0, б = 0), то из формулы A0.6.7) и уравнения импульсов A0.3
следует, что
cy = 51Re-wi> A0.6:
где
A0.6
Значения коэффициентов в формулах для cf даны в табл. 10.3.
В области 104< Re** < 106 хорошие результаты дает формула Фолкне
^ = 0,0131 Re**-1/6. A0.6.1
Таблица
Значения параметров степенного распределения скоростей
п
А
6**
Я
т
1/7
8,74
0,0975
1,28
0,250
9
0
1
0
1/8
,71
,0890
,25
,222
1/9
10,6
0,0818
1,22
0,200
1/10
11,5
0,0757
1,20
0,182
п
тх
В
5,
0
0
0
1/7
,200
,0252
,0576
0
0
0
1/8
,182
,0206
,0450
0
0
0
1/9
,167
,0190
,0362
0
0
0
1/1
,15
.01
,03
122
Если турбулентный слой развивается с передней кромки так, что при х = О
$ = 0, то этой формуле соответствует формула
c/ = 0,0263Rej1/7. A0.6.11)
В области закона распределения скоростей по степени п = 1/8 E • 105 <
<Re*< 1 • 107)
Г'~ Р A0.6.12)
10.7. ТЕПЛООТДАЧА ПЛАСТИНЫ, ОБТЕКАЕМОЙ
ТУРБУЛЕНТНЫМ ПОГРАНИЧНЫМ СЛОЕМ
С ПОСТОЯННЫМИ ФИЗИЧЕСКИМИ СВОЙСТВАМИ
Для газов и неметаллических жидкостей практически удовлетворительные
результаты дает аналогия Рейнольдса с поправкой на число Прандтля в виде
простого сомножителя. По данным опытов Б. С. Петухова, А. А. Детлафа,
В. В. Кириллова, А. Б. Амбразявичюса и др. можно полагать при 0,5 <
<Рг<50
A0.7.1)
Соответственно для п « 1/8
Nu* = 0,0288Рг0'4 Re^8; A0.7.2)
Nux = 0,036Pr0'4 Re?fa- A0.7.3)
При турбулентном пограничном слое металлической жидкости, покрываю-
покрывающей всю пластину (х = 0; 6 = 0; 103 < Ре < 10б), по расчетам, выполненным
Е. Д. Федоровичем под руководством автора, имеет место зависимость
Nu = 0,46 Ре0*65. A0.7.4)
10.8. НЕИЗОТЕРМИЧЕСКИЙ ЛАМИНАРНЫЙ
ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ ГАЗА
НА ПЛАСТИНЕ
Пусть Рг = 1, dp/dx = 0, Тст = const и вязкость газа подчиняется фор-
формуле Сезерленда
^о + С_ШЗ/2>
1 го т + С [ То ) V '
Здесь С — константа данного газа, имеющая размерность абсолютной темпе-
температуры. Будем называть величину
Цс = С/Т0 A0.8.2)
температурным фактором Сезерленда или вторым температурным фактором.
Рассмотрим задачу о теплообмене и трении в приближении, соответствующем
распределению касательных напряжений поперек'пограничного слоя по куби-
кубической параболе. Сформулированным выше условиям соответствует система
уравнений:
A0.8.3)
^= -?_ = .
123
Профиль скоростей определится из уравнения
со =
A0.8.4
Если при х = 0 б = О, то из уравнения импульсов следует, что
б -I / 2 (jid(t)/d?)ci»
х г о Re~
(Ю.8.;
it
2
Результаты численного решения системы уравнений A0.8.3) показан
на рис. 10.4, из которого видно, что неизотермичность слабо влияет на трени
и теплообмен в ламинарном пограничном слое. Нормальным и высоким темш
0,05 0,15
шЕ
Ж
7
1
N
^^
- —i
==:
¦ .
^—
=^
«^
1,00
0,98
0,96
0,94
0,92
0,90
0
г
Рис. 10.4. Зависимость.относительного коэффициента трения ^? от тем-
температурного фактора i|) для различных значений второго температурного
фактора фс
ратурам потока, т. е. малым значениям фактора г|)с, соответствует весы
медленное снижение коэффициентов трения и теплоотдачи с ростом темпер
турного фактора гр. В области низких температур потока (ipc ^ 1) имеет мес
обратная тенденция.
Слабое влияние неизотермичности потока в данном случае связано с вз
имной компенсацией влияния изменения вязкости и теплопроводное!
Действительно, повышение вязкости утолщает пограничный слой,* но одн
временное возрастание коэффициента теплопроводности уменьшает его те
мическое сопротивление.
124
10.9. НЕИЗОТЕРМИЧЕСКИЙ ТУРБУЛЕНТНЫЙ
ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ ГАЗА
НА ПЛАСТИНЕ
Рассмотрим ту же задачу, что и в предыдущем параграфе, но для турбу-
турбулентного пограничного слоя. Подставляя в уравнение (9.14.3) значения
х = Tq и ро/р из второй формулы A0.8.3), находим, что
При Re -> оо
¦0, Z^l и
A0.9.1)
A0.9.2)
В области я|) » 1 предельный закон A0.9.2) может быть записан в прибли-
приближенной форме:
^«^-1/2. A0.9.3)
Теоретические расчеты и экспериментальные данные показывают, что ве-
величина W является довольно слабой функцией числа Рейнольдса. Поэтому
V
0 0,
?
1,8
5 1
П R
и,о
0,2
/
Кг**-
/ 104
103
105 оо
0 /2,5/ /50/ 5,
5 if
Рис. 10.5. Влияние неизотермичности на трение и теплообмен в дозву-
дозвуковом турбулентном пограничном слое газа
для области конечных чисел Re вполне удовлетворительные результаты дает
подстановка в уравнение A0.9.1) значений функции (Oj и Z, взятых в форме,
точной для ф = 1, т. е. если положить
Z— 1 —(дх.
A0.9.4)
В области 1|э < 1 и конечных чисел Re;^F «1, а в области яр >1; ? « ^Re-^oo.
Используя это обстоятельство, расчетные формулы можно записать в следую-
следующем виде:
2 r-t
з—8,2 A|?_ 1) 1^с/оЧ-
? A0.9.6)
125
Подставив в последние формулы значение cf0 из уравнения A0.6.6), получим:
'; (Ю.9.7)
Как видно из рис. 10.5, при турбулентном течении влияние неизотермич-
ности в области гр > 1 заметно больше, чем при ламинарном. При этом из со-
сопоставлений решений для ламинарного и турбулентного пограничных слоев
ясно, 4TOJ3 поюл^нш^
H3MeHeHHejuiorao^^
10.10. ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ
КРИВОЛИНЕЙНОЙ ПОВЕРХНОСТИ
' Уравнение импульсов (9.5.10) можно записать в следующей форме:
^- + ReL(l+H-№)f = ReL±L. A0.10.1)
dx 2
Здесь Re** = w0 6**/v0 — текущее число Рейнольдса, построенное по тол-
толщине потери импульса; Re/, = w0L/v0 — текущее числе Рейнольдса, пост-
построенное по длине контура L; / = E**/оуо) (dwjdx) — формпараметр, характе-
характеризующий аэродинамическую кривизну потока; Н = б*/б**—формпара-
б*/б**—формпараметр, представляющий собой отношение толщин вытеснения и потери импуль-
импульса; М = wo/ao — число Маха; р0, v0, а0 — плотность, кинематическая вяз-
вязкость и скорость звука на внешней границе слоя в данном сечении х\ х —
координата, направленная вниз по потоку вдоль обвода контура; L — полная
длина контура или другой его характерный размер (хорда, диаметр); х = xlL —
относительное расстояние по обводу контура.
Полная длина контура рассчитывается от его передней кромки до задней
или от точки разветвления потока до задней кромки тела.
Рассмотрим течение среды с постоянными физическими свойствами. Тогда
коэффициент трения в общем случае будет функцией числа Re** и аэродинами-
аэродинамической кривизны контура. Локальной характеристикой последнего фактора
может служить формпараметр f, а интегральной — распределение скорости w0
по контуру L, т. е. функция
w = Wq/Wqo = w{x)» A0.10.2)
Здесь w00 — характерная скорость, например скорость на бесконечности.
В однопараметрическом приближении
cf = ct(R#*;f);\ (Ш03)
tf = #(Re**;/).J
Совместное решение уравнений A0.10.1) и A0.10.3) дает возможность
рассчитать распределение основных параметров пограничного слоя вдоль
контура. ' ;
Для ламинарного пограничного слоя имеются точные решения некоторых
классов течения, характеризуемых видом функции A0.10.2), полученные
Фолкнером и Скэн, Хоуартом, Гертлером и Виттингом, А. А. Дородницыным
и др. Приближенные методы были предложены в работах Кармана и Польгау-
зена, Л. Г. Лойцянского и др. Подробное изложение основных из этих методов
дано в монографиях Л. Г. Лойцянского.
Здесь мы ограничимся приведением результирующей таблицы однопа-
раметрического решения, полученного Н. Е. Кочиным и Л. Г. Лойцянским
126
Характеристики изотермического ламинарного пограничного
слоя по приближенному однопараметрическому решению
Таблица 10.4
/Re**
-0,089
-0,085
-0,08
-0,07
-0,06
-0,05
-0,04
-0,03
-0,02
-0,01
-0,00
cf Re**
0,000
0,038
0,078
0,142
0,194
0,240
0,284
0,324
0,362
0,400
0,438
V
0,000
0,086
0,178
0,324
0,444
0,547
0,649
0,740
0,825
0,912
1
н
3,85
3,66
3,50
3,28
3,12
3,00
2,90
2,82
2,74
2,67
2,61
н
1,47
1,40
1,34
1,26
,20
,15
1,11
1,08
,05
1,02
1
f Re**
0,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,085
—
cf Re**
0,438
0,472
0,506
0,540
0,572
0,604
0,636
0,670
0,700
0,714
—
1
1,08
1,15
1,23
1,31
1,38
1,45
1,53
1,60
1,63
и
2,61
2,55
2,50
2,46
2,41
2,36
2,32
2,28
2,24
2,22
и
1
0,975
0,957
0,942
0,924
0,905
0,890
0,874
0,857
0,850
—
A0.10.4)
A0.10.5)
(табл. 10.4). Как видно, по этому решению отрыв изотермического ламинар-
ламинарного пограничного слоя происходит при значении формпараметра
/кр = — 0,089/Re**,
а закон трения может быть выражен интерполяционной формулой
гР = A — /K/4
с погрешностью до 3% .
Для турбулентного пограничного слоя теоретическое определение всего
комплекса параметров отрыва впервые было сделано в однопараметрическом
приближении автором и А. И. Ле-
Леонтьевым. Для изотермических усло-
условий по этому решению
{/кр=-0,01; б*; = 0,16;
#кр=1,87}, A0.10.6)
а зависимость A0.10.3) определяемся
графиками рис. 10.6.
Экспериментальные данные Нику-
радзе и Фуруа хорошо подтверждают
это решение в отношении величин
б^р и #кр. Что касается значения
/кр, достаточно точных эксперимен-
экспериментальных данных пока не имеется и
оно, видимо, лежит в пределах
0,005 <|/кр |< 0,01.
Из сопоставления формул A0.10.4)
и A0.10.6) видно, что отрыв ламинар-
ламинарного пограничного слоя наступает при
меньшем значении формпараметра /,
чем отрыв слоя турбулентного. Кроме того, универсальной характеристикой
0,8
0,6
V
\
Щ
ХуЫО5
-10s
к
0,2
0 0,2 <0,4 0,6 0,8 f
Рис. 10.6. Закон трения в диффузорной об-
области
отрыва ламинарного пограничного слоя является произведение f
у турбулентного пограничного слоя — собственно формпараметр /.
Введем в рассмотрение функцию
**
Re
¦)Гкр/. A0.10.7)
Здесь Г = 2//с/0 — формпараметр Бури —Лойцянскрго. Тогда уравнение им-
импульсов можно записать в виде (/~= /У/кр).
2 d*?^ = F(j^ ( A0.10.8)
dx
127
При 7 = 0 W = WT, F(O) = ?r; при J= 1 V = 0, F A) = -A+Якр) Г кр.
Здесь ^7 — относительное изменение коэффициента трения под влиянием
б П <х>, и поэ-
поэкр
фф
неизотермичности при обтекании пластины. При Re кр , о
тому в области больших чисел Рейнольдса вполне приемлемо приближение
F{J)~WT-A +Якр)Гкр/. A0.10.9)
Вводя это выражение F (/) в уравнение A0.10.8) и определяя закон трения
степенной формулой, получаем
2Re**w
Интегрируя это уравнение для условий изотермического течения
находим
Re4
\+т
В Re
X
¦i
A0.10.10)
Фт = 1),
A0.10.11)
Здесь Xi = 1 + Якр; %2 = 1 + A + m) A + Якр); Re0 = oyooLo/v; l^- !
безразмерная координата начала развития рассматриваемого пограничного
слоя. Далее, по распределению Re** определяется и распределение коэффи-'
циента трения. :
Более подробное изложение этой проблемы можно найти в монографиях, !
приведенных в списке литературы к данной главе.
10.11. КОНСЕРВАТИВНОСТЬ ЗАКОНА ТЕПЛООБМЕНА
ОТНОСИТЕЛЬНО ГРАДИЕНТА ДАВЛЕНИЯ
При dp/dx Ф 0 нарушается одно из основных условий существования
подобия полей температур и скоростей. При этом процесс теплообмена зна-
значительно менее чувствителен к аэродинамической кривизне тела, чем трение.
Это обстоятельство обнаруживается уже при сопоставлении распределений
касательных напряжений и плотностей тепло-
Wf^z I I I I I вого потока по поперечному сечению погранич-
пограничного слоя. Так, в точке / = /кр по уравнению
0,8\ PVi 1 1 1 (9.6.4)
0,6
0,2
о
2
V
\
1
1
V
\
\
ч
0,2 0,4 0,6 0,8 §
2?2+?3), A0.11.1)
в то время как соответствующее приближение
закона распределения ? выражается формулой
(9.7.1) независимо от значения параметра f.
Таким ^образом, в пределах аппроксимации за-
законов т (I) и q (I) кубической параболой рас-
распределение теплового потока автомодельно от-
относительно градиента давления. На рис. 10.7
эти зависимости показаны графически. Как вид-
видно, в пристенной области при / = /кр ход зави-
зависимостей т (?) и q (I) совершенно различен.
Произведем оценку закона теплообмена в точ-
точке отрыва пограничного слоя, т. е. там, где
должно иметь место наибольшее отклонение от закона теплообмена для пла-
пластины (/ = 0). При этом ограничимся рассмотрением пограничного слоя с по-
постоянными физическими свойствами и Рг « 1.
В случае ламинарного пограничного слоя распределению касательных на-
напряжений A0.11.1) соответствует профиль скоростей
A0.11.2)
Рис. 10.7. Распределение каса-
касательных напряжений (/) и теп-
тепловых потоков B) в точке от-
отрыва пограничного слоя
128
Из условия, что при I = 1 со = 1 следует
р = —Гкр .
Далее, полагая Гкр = —0,089, получаем
¦ кр. A0.11.3)
A0.11.4)
= 0,143 8 2Г—0,0868?- + 0,0176К A0.11.5)
где 8т = 8т/8.
Подставляя это выражение 6f* в формулу A0.4.9), находим, что в точке
отрыва динамического пограничного слоя
St/Sto«l,216f— 0,736? + 0,1464г- A0.11.6)
Расчеты по последней формуле приведены в табл. 10.5.
Таблица 10.5
Значение Ys
8г/8
St/Sto
в
точке отрыва
0,5
0,22
пограничного
0,75
0,31
слоя
1
0,62
1,
0,
25
81
1
0
,5
,86
2
1
,0
,23
В случае турбулентного пограничного слоя выражению Якр по формулам
A0.10.6) и A0.6.7) соответствует профиль скоростей в ядре:
со = ?°>43 A0.11.7)
и в области вязкого подслоя:
со= — ГКр?2/26к;2, A0.11.8)
где 6kJ = 0,16. Последняя формула следует из уравнения A0.11.2) при ? ->0:
1т — — . (Ю.П.9)
Для оценки значения числа Стентона в точке отрыва турбулентного погра-
пограничного слоя положим 1Т « / « 0,4Vtq?, q=l, что соответствует логариф-
логарифмическому профилю скоростей при / = 0,
Рг « I, 8Т « I. Тогда
1
St « 0,0685 Г — dl
J dt,
%
0,8
0f0295g;-43(l—
A0.11.10)
dtgpn
О О <
О
о 5
> с
О
Г ^
о
0 .
Здесь
fRe**°>2*
0,1
/^** /,Л 11 11ч Рис- 10-8- Влияние градиента дав-
lj кр/бкр. A0.11.11) ления на теплообмен
Определяя ?ькр по пересечению профилей скоростей A0.11.7) и A0.11.8), на-
находим по выражению A0.11.10):
St^0,048/Re**0»37. A0.11.12)
Из приведенных в табл. 10.6 оценок видно, что интенсивность теплообмена
зависит от градиента давления существенно меньше, чем аэродинамическое
трение. При этом в точке отрыва число Стентона при конечных числах Рей-
нольдса отнюдь не равно нулю.
5 Зак. 795
129
Таблица 10.6
Значение xts
Re**
St/Sto
в точке
Ы0-
1,64
отрыва
i
турбулентного
5-103 1 1.
1,24 1,
пограничного слоя
104
14
5
0
105
83
1
0
• 10е
,42
се
0
На рис. 10.8 показаны экспериментальные данные А. И. Леонтьева,
А. Н. Обливина и П. Н. Романенко, подтверждающие консервативность закона
теплообмена в диффузорной области течения турбулентного пограничного
слоя.
10.12. ИНТЕГРАЛ УРАВНЕНИЯ ЭНЕРГИИ
Уравнение энергии пограничного слоя (9.5.3) при М
писано в форме
dRe*T* Re*T* dAT
dx
1 может быть за-
заA0.12.1)
где Re*T* = wo6t*/vo
энергии. Полагая
dx *T
¦ число Рейнольдса, построенное по толщине потери
после интегрирования получаем
х
AT
A0.12.2)
A0.12.3)
По найденному значению Re** определится локальное значение числа Стен-
тона: St = Ч^Б^. Показатель степени при числе Прандтля в формуле A0.12.1)
для газов и неметаллических жидкостей можно принимать: для ламинарного
пограничного слоя п ж 0,7, для турбулентного пограничного слоя п я^ 0,6.
Коэффициенты Вит берут соответственно степенному закону трения для дан-
данной области значений числа Рейнольдса.
Если задано не распределение температуры стенки, а закон подвода тепла
через нее дСТ(х), то уравнение A0.11.12) удобно переписать в более компакт-
компактной форме:
d /а^п.^ч <7стМ A0.12.4)
dx
cp \iq
Отсюда
A0.12.5)
Выражая Ref* через число Стентона, можно привести это уравнение к виду
-im/d+m)
Х0 Re0 w0 Ys Pr"
Pr
A0.12.6)
где nx = 1 + m — n.
В практических расчетах влиянием градиента давления на закон теплообме-
теплообмена обычно пренебрегают и во всех формулах полагают Ws = ^т-
130
10.13. ТЕПЛООТДАЧА ПРИ ОБТЕКАНИИ ШАРА
Шар представляет собой плохо обтекаемое тело, не имеющее преимущест-
преимущественного направления. В приведенной на рис. 10.9 зависимости коэффициента
сопротивления шара от числа Рейнольдса потока ? определен по формуле
Z = 2F/pwbQ, A0.13.1)
где f _ СИЛа гидродинамического сопротивления; Q — характерная площадь
сечения тела. Для продольно обтекаемой пластины Fi}'1 ^ тст. Для шара
Q = nRo, где Ro — радиус.
200
100
50
40
20
10
6
4
2
1
0,6
ОА
0,2
0,06
\
ft
ч
у,
1
Ч
V
\
1
\
1 I
г- f
—
If»
Mr
|(
т
1
|!
\
-J
—1
II
j
10"'
10°
ю1
10*
ю5
Re
Рис. 10.9. Зависимость коэффициента сопротивления шаров от числа Рейнольдса:
_. — . кривая, рассчитанная по теории Стокса; Q —данные Шиллера —Шми^еля; • — Либстера;
Э —Ал лена, С\ — Визельсберга A921 г.); (? — Визельсберга A926 г.)
Число Рейнольдса в данном случае определено по диаметру шара и скорости
набегающего потока:
Re = 2RowJv. A0.13.2)
В области чисел Re < 2 действует закон Стокса
F = 6яц#0 w0; ? = 24Re-x. A0.13.3)
Далее коэффициент сопротивления уменьшается обратно пропорционально
числу Рейнольдса в степени, меньшей единицы, и в области чисел 2 • 103<
< Re < 2 • 105 остается почти постоянным и равным в среднем 0,4.
Возникновение этой первой области автомодельности коэффициента сопро-
сопротивления шара по отношению к числу Рейнольдса обусловлено возникнове-
возникновением отрыва ламинарного пограничного слоя при Re > 2 • 103 и возникно-
возникновением «сопротивления давления». Последнее означает, что большая часть
сопротивления обусловлена не трением в пограничном слое на лобовой части
шара, а разностью статических давлений в лобовой части и в вихревой зоне,
возникающей в кормовой области течения.
Наконец, в области чисел Re > 2 • 105 возникает новый, отчетливый кри-
кризис сопротивления и при Re > 106 имеет место вторая автомодельная область
с ? ^ 0,2. Это явление связано с турбулизацией пограничного слоя при боль-
больших числах Рейнольдса и соответствующим сдвигом точки отрыва ближе
к кормовой области течения.
Для шара можно установить минимальное значение коэффициента тепло-
теплоотдачи, которое имеет место при w0 -+Q к определяется теплопроводностью
от сферического источника, погруженного в неограниченную однородную
« 131
Nu
600
400
500
200
100
80
60
40
20
10
Ре Рг
* Ляхобстй A957) 500-2800 0,717
+ Ляхобский A947) 5-50 0,717
* Выр у боб 70-2600 0,65
° Сокольский 0,5-2600 0,695
° Лойцянский-Шбаб55000-500000 0/2
v] Г 150-770 0,594
:«— tZ &
oJ I 2-586 2,68
* l Кацнельсон \ 170-5000 100
* \ \ 50-1670 1000
° J Тимофеева [ 12-400 8000
— —
^—-
о
¦^a©^ о
i .*
>
2, о
Г
' о
Tcnfi
xJwv
*&\
roo
el'
о
!
i
i
j
1
—
i
0,1 0,2 0,4 0,6 0,81,0 2 4 6 8 10 20 40 60 80100 200 Re
Рис. 10.10. Опытные данные о теплоотдаче шара
среду. По формуле G.4.2) при R± = D/2, где D = 2R0 — диаметр сферы, и
Т. A0.13.4)
Отсюда формально определенное минимальное значение коэффициента теплоот-
теплоотдачи находят по формуле
а -> l/RQ\ NuMWH = aMHHDA = 2. A0.13.5)
Сводка опытных данных по теплоотдаче при квазиизотермическом ста-
стационарном обтекании сфер, выполненная Б. Д. Кацнельсоном и Ф. А. Тимо-
Тимофеевой-Агафоновой, представлена на рис. 10.10. Эта зависимость описывается
эмпирической формулой
Р»|< I Nu = 2 + 0,03Pr°.33 Re°>5* +0,35Pr°>35 Re0'5*. A0.13.6)
При помещении сферы по оси свободно набегающей струи наблюдается улуч-
улучшение обтекания при соизмеримости диаметров струи и сферы. Эксперимен-
Экспериментальные данные С. И. Исатаева и 3. Ж. Жанабаева, приведенные на рис. 10.11,
показывают снижение сопротивления более чем на порядок при диаметре
струи, равном половине диаметра обтекаемой сферы.
Исследование влияния температурного фактора при обтекании сферы га-
газом было выполнено 3. С. Леонтьевой, И. П. Васиной, И. А. Максимовым
для умеренных чисел Рейнольдса и А. В. Лебедевым для больших чисел Рей-
нольдса. На рис. 10.12 приведены зависимости коэффициента сопротивления
сферы от температурного фактора яр, числа Рейнольдса и относительного диа-
диаметра струи. Как видно, при небольших числах Рейнольдса и практически
неограниченном потоке влияние температурного фактора при ТСТ > То
весьма значительно и противоположно тому, которое имеет место при безотрыв-
безотрывном обтекании тел. Это влияние существенно снижается с ростом числа Рей-
Рейнольдса и особенно с уменьшением относительного диаметра струи.
Выход на автомодельность относительно диаметра струи от температурного
фактора практически не зависит и имеет место при Остр > 1,5 D. Рассмот-
132
—i
н
i
1
0,60
0,40
0,20
0,10
0,08
0,06
OftA
QJJ3
y 0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 D/d
Рис. 10.11. Влияние относительного
диаметра струи на коэффициент со-
сопротивления шара при Re= @,5-f-
-rl)-105
0,5
Рис. 10.12. Зависимость коэффициента со-
сопротивления шара от относительного диа-
диаметра струи при различных значениях тем-
температурного фактора и чисел Рейнольдса
ренный эффект связан главным образом со смещением точки отрыва и частично
с изменением плотности среды в кормовой области течения.
На коэффициент теплоотдачи температурный фактор влияет у плохо обте-
обтекаемых тел меньше, чем на гидравлическое сопротивление. Объясняется это
тем, что теплообмен в основном определяется развитием нормального погра-
пограничного слоя на лобовой части тела и вторичного пограничного слоя в вихре-
вихревой зоне за точкой отрыва.
10.14. ТЕПЛООТДАЧА ПРИ ПОПЕРЕЧНОМ ОБТЕКАНИИ
ОДИНОЧНОГО ЦИЛИНДРА
Зависимость коэффициента гидравлического сопротивления имеет вид, по-
показанный на рис. 10.13. Там же нанесено сопротивление трения в пограничном
слое на лобовой части цилиндра. Качественно картина та же, что и для сферы.
На рис. 10.14 показано изменение картины поперечного обтекания цилиндра
с ростом числа Рейнольдса. Отчетливо виден процесс возникновения отрыва
пограничного слоя и формирования кормовой вихревой зоны. На рис. 10.13
видно, что первая автомодельная зона лежит в области чисел 5 • 102 < Re <
60
40
20
10
6
4
2
1
0,6
0,4
09
\
\
s
ч
s
ч,
•к,
•
г
o-d=0,05MM <*-7,9
• -0,1 ъ-42,0
o-OyJ е-80
ф 1,0 ® 300
9-3,0
XX
ft
¦-L
^
\
1
10'
103
Re
Рис. 10.13. Зависимость коэффициента сопротивления круглых цилиндров различных
диаметров d от числа Рейнольдса (измерения Визельсберга)
133
<< 2 • 105 и характеризуется значением ? ^ 1,2. Вторая автомодельная об-
область имеет место при Re > 5 • 105 и характеризуется значением ? <^ 0,3.
Для цилиндра конечной длины ? уменьшается.
Рис. 10.14. Влияние числа Рейнольдса на течение жидкости за круглым цилиндром
На рис. 10.15 кривая 1 представляет изменение относительного коэффи-
коэффициента теплоотдачи по окружности поперечно обтекаемого цилиндра при
Рг « 1. Кривая 2 показывает распределение относительного коэффициента
теплоотдачи при поперечном обтекании цилиндра жидким натрием, т. е. при
Рг <^ 1. Уменьшение коэффициента
теплоотдачи от лба цилиндра к его
середине (относительно направле-
направления потока) связано с нарастанием
в этой области пограничного слоя.
В точке минимума начинается воз-
возрастание коэффициента теплоотда-
теплоотдачи, связанное с развитием вихре-
образования в кормовой области
цилиндра. Отчетливо видно вырож-
вырождение зон влияния отрыва погра-
пограничного слоя (Р > 80°) для среды
с Рг « 1.
По опытам с потоком воздуха
естественной турбулентности най-
1,0
0,8
0,4
\
\
\
\
\
/
/
-л
\
\ \
V
л
/ I
2
\
\
—^
\
\ /
/
/
у
200 160 120 80 40 0 40 80 120?0,град
Рис. 10.15. Распределение теплоотдачи по ок-
окружности цилиндра, обтекаемого воздухом A)
и жидким металлом {2)
дены значения коэффициентов С и
т (табл. 10.7) в степенной формуле:
Nu = CRew. A0.14.1)
Как в случае обтекания пластины, так и здесь при больших числах Re
закон теплоотдачи оказывается почти точно совпадающим с законом для тур-
турбулентного течения в трубе. Физические свойства относятся к средней темпе-
температуре потока. Пересчет на жидкость с Рг Ф 0,72 может быть произведен
по формуле
Nu^ l,14CPr°'4Re™. A0.14.2)
134
Таблица 10.7
Значения коэффициентов С и т в формуле A0.14.1)
по ряду экспериментальных данных при Рг = 0,72
Re
С
т
5—80
0,81
0,40
80^5 103
0,695
0,46
@,5-7-5) -Ю4
0,197
0,60
>5-104
0,023
0,80
Опыты Ульзамера, В. И. Гомелаури, А. А. Жукаускаса и др. подтверж-
подтверждают возможность использования формулы A0.14.2) для практических расчетов.
По Гильперту влияние температурного фактора при поперечном обтекании
газом бесконечного цилиндра определяется эмпирической формулой
а/а0 = \\)т/4, A0.14.3)
т. е. влияние температурного фактора для теплоотдачи плохо обтекаемого тела
обратно его влиянию в безотрывном течении.
Угол между направлением потока и осью цилиндра называется углом атаки.
Приведенные выше формулы справедливы для угла атаки |3 = 90°. На рис. 10.16
представлены результаты опытов по влиянию угла атаки на относительное
изменение теплоотдачи цилиндра. В обла-
области углов 90—70° теплоотдача остается
практически на одном и том же уровне.
При Р < 70° коэффициент теплоотдачи су-
существенно снижается. Для тел призма-
призматической формы данные о теплоотдаче по-
получены Л. Д. Берманом и др.
На теплоотдачу одиночной трубы замет-
заметно влияет также степень турбулентности
набегающего потока жидкости. Степень
возрастания теплоотдачи при увеличении
степени турбулентности набегающего по-
потока видна из табл. 10.8, составленной
М. А. Михеевым.
При Рг <<С 1 меняется как характер распределения коэффициента теплоот-
теплоотдачи по окружности трубы, так и его зависимость от скорости набегающего
потока.
Таблица 10.8
0,8
0,6
—-»
HIM
/III
N.
\
\
90
70 50
JO J3,Bpad
Рис. 10 16. Влияние угла
теплоотдачу цилиндра
атаки на
Степень изменения коэффициента теплопередачи одиночного
цилиндра в потоках с неодинаковой турбулентностью
Автор
Гильперт
Михеев
Рейнер и Форнем
Мак-Интайр
Эйгенсон
a/aj
1,00
1,08
1,18
1,50
1 60
Условия приведения опыта
Свободная струя на выходе из сопла
Замкнутая труба с успокоительной решеткой
Замкнутая труба с успокоительной решеткой
после вентилятора
Замкнутая труба без успокоительной решетки
сразу после вентилятора
Разомкнутая труба, но при наличии турбули-
зирующей решетки
135
При Рг -^0 поток можно считать потенциальным. Для этих вырожденных
условий обтекание цилиндра было изучено Перси и Уинни, а также Грошем
и Цессом. Это решение имеет вид
J
Тст = const, Nu -* 1,23]Аре. j
Эти формулы могут быть обобщены на числа 0 < Рг <^ 1 поправкой типа фор-
формулы A0.5.5), т. е. представлены в виде
Pr«l, Nu = CK(l— Рг1/з)ре. A0.14.5)
Здесь число Пекле
Pe = w0D/a. A0.14.6)
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Басина И. П., Максимов И. А. Исследование аэродинамического сопротивления сфе-
сферической частицы при теплообмене и горении.— «Теплоэнергетика», 1969, № 1, с. 75.
2. Жидкометаллические теплоносители. Изд. 3-е, перераб. и доп. М., Атомиздат, 1976.
Авт.: В. М. Боришанский, С. С. Кутателадзе, И. И. Новиков, О. С. Федынский.
3. Зы си на-Моложен Л. М., Зысин Л. В., Поляк М. П. Теплообмен в турбомашинах. Л.,
«Машиностроение», 1974.
4. Исатаев С. И., Жанабаев 3. Ж. Теплоотдача шара при струйном обтекании.— «Инж.-
физ. журн.», 1968, т. 14, № 4, с. 586.
5. Кутателадзе С. С, Леонтьев А. И. Тепломассообмен и трение в турбулентном по-
пограничном слое. М., «Энергия», 1972.
6. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. Изд. 3-е, перераб. и доп. М., «Наука»,
1970.
7. Федяевский К. К., Гиневский А. С, Колесников А. В. Расчет турбулентного погра-
пограничного слоя несжимаемой жидкости. Л., «Судостроение», 1973.
8. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. Пер. с нем. М., «Наука», 1969.
9. Hilpert R. Warmeabgabe von geheizten Drahten und Rohren im Luftstrom. — «For-
schung. Ing.-Wes.», 1933, Bd 4, N 4, S. 215.
10. Ulsamer J. Die Warmeabgabe eines Drahtes oder Rohres an einen senkrecht zur Achse
Stromenden Gas-oder Flussigkeitsstrom.—«Forschung. Ing.-Wes.», 1932, Bd3, N 2, S. 94.
11
[лава
ТЕПЛООТДАЧА ПРИ ТЕЧЕНИИ
НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ В ТРУБАХ
11.1. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТЕЙ
И ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ
ПРИ ИЗОТЕРМИЧЕСКОМ ТЕЧЕНИИ
При установившемся прямолинейном, симметричном, изотермическом ла-
ламинарном течении ускорение потока Dw/dt = О, и уравнение движения в ци-
цилиндрических координатах примет вид
ИЛИ
JL(*!L) & A1.1.2)
dR \ r dR ) dx
Левая часть этого уравнения представляет собой изменение по радиусу
касательных напряжений в симметричном цилиндрическом ламинарном по-
потоке, а правая — силы давления, действующей на столб жидкости единичной
длины с сечением nR2.
Интегрируя это уравнение и принимая во внимание условия
Q; R = R0, w = 0}, A1.1.3)
получаем параболический закон распределения скоростей:
где #0 — внутренний радиус трубы. Средняя расходная скорость
w=— f 2nRwdR=—*± -4L . A1.1.5)
о
Совмещая две последние формулы, находим
w = 2w[l— (R(RoJ]. A1.1.6)
Таким образом, при ламинарном течении скорость на оси трубы в два раза
больше средней скорости. В гидравлических расчетах падение давления на еди-
единицу длины изотермического потока выражается формулой Дерси
A1.1.7)
Подставляя сюда значение w из уравнения A1.1.5), находим, что при лами-
ламинарном течении в круглой трубе
? = 64/Re, A1.1.8)
где Re = wD/v.
Рассмотренные закономерности впервые были установлены в работах
Гагена и Пуазейля. Для каналов некруглого сечения зависимость ? (Re) имеет
тот же характер, но меняется численное значение множителя пропорциональ-
пропорциональности (табл. 11.1).
При развитом турбулентном течении распределение скоростей в основной
части потока хорошо описывается формулой (9.11.9). Сопоставление профилей
скоростей в ламинарном и турбулентном потоках показано на рис. 11.1.
137
Значение ?Re при ламинарном течении в каналах
различного поперечного сечгния (в качестве определяющего
размера принят эквивалентный гидравлический диаметр DD =
Таблица
Форма поперечного сечения канала
Круг (h = b = D)
Эллипс (Ь — большая ось; h — малая ось)
Прямоугольник (Ь — большая сторона; h — мень-
меньшая сторона)
{
Квадрат (h—длина стороны)
Равносторонний треугольник (h—длина стороны)
Круглое кольцо (/г— ширина кольца)
V
h/b
1
0,7
0,5
0,3
0,2
0,1
0
0,1
0,2
0,25
0,333
0,5
1
1
°э
D
1,17/z
1,30/г
1,44/1
1,50/г
l,55/i
2/г
1,82/г
1,67/г
1,60/г
1,50/г
1,33/г
/г
0.58/г
2/г
?Re
64
65
68
73
76
78
96
85
76
73
69
62
57
53
96
С большой степенью точности среднюю скорость турбулентного течения можно
описать уравнением
: : = -?т- f (Ro-y) (с* + - in -*JL)dy.
R2o J \ к v )
Уо
Вычисляя этот интеграл и отбрасывая малые члены, получаем
A1.1.9
/
1
\
/
f
/
2,0
\
\
\
\
\
\
\
\
\
2х
0,8 0,4 0 0,4 0,8 R_
Рис. 11.1. Профили скоростей в
трубе:
/ — ламинарное течение; 2 — трубулент-
ное течение
И^макс
0,75
0,65
0,55
1
1
t
W
I
J
3,0 ЗА 3,8 4,2 igRe
Рис. 112 Зависимость ш/шмакс от Re
Сила давления, действующая на жидкость в установившемся прямолиней-
прямолинейном потоке, уравновешивается касательными напряжениями, т. е.
— nR2 dp/dx =-2nRx. A1.1.11
Отсюда касательные напряжения на стенке трубы
Ro dp =^ w2p A1.1.12
138
и соответственно
A1.1.13)
Подставляя это значение у* в уравнение A1.1.10) и вводя численные зна-
значения С^ = 5,5' и х — 0,4, получаем связь между коэффициентом сопротив-
сопротивления и числом-Re для развитого турбулентного течения в гладкой трубе:
l/j/"^0,881n (Re]/^) — 0,9". * A1.1.14)
Полученное выражение не разрешается алгебраически относительно ?,
но хорошо аппроксимируется в области 104< Re< 105 эмпирической формулой
Блазиуса:
2\ . A1.1.15)
а в областное > 105 — эмпирической формулой Никурадзе:
? = 0;0032 + 0,221 /Re0'237. A1.1.16)
В области-2000 < Re.< 5000 имеет место весьма неустойчивая форма те-
течения,—.переходная между ламинарными развитым турбулентным режимами*
В области турбулентного течения значение величины до/домакс близко к 0,8—
0,9 (рис: 11.2).
'2,6
5,4
LgRe
Рис. 11 3. Коэффициент сопротивления труб с однородной зернистой шерохова-
шероховатостью
/__О//г = 30; 2 — D//* = 61,2; 3 — D/k= 120; 4 — D/k = 252; 5 — D/k = 50i; 6 — D/k =
= 1014; 7 —кривая соответствует закону сопротивления при ламинарном течении ? = 64 /Re;
# — закону сопротивления при турбулентном течении ?=0,316/Re ' в гладкой трубе
Гидравлическое сопротивление шероховатых труб оказывается таким же,
как и у гладких тр?б,- до тех пор, пока толщина вязкого подслоя больше вы-
высоты выступов шероховатости k. После того как выступы шероховатости по-
попадают в турбулентную область потока, около них начинается вихр?о0разо-
вание, и вязкое трение перестает заметно влиять на профиль скоростей течения
в основной массе жидкости. Как видно из рис. 11.3, при достаточно значи-
значительных числах Re в шероховатых трубах имеет место независимость (автомо-
дельность) коэффициента сопротивления от этого критерия. м .
189
0,040
0,055
0,050
0,025
4-106
10
5-Ю6 Re
Рис. 11.4. Коэффициент сопротивления технических стальных труб
Эти результаты получены в лабораторных условиях с достаточно однород-
однородной зернистой шероховатостью. В эксплуатационных условиях шероховатость
труб весьма неоднородна, вследствие чего переход к автомодельной области
осуществляется постепенно. Закон сопротивления технических стальных труб
показан на рис. 11.4 по данным Мурина.
11.2. ТЕПЛООТДАЧА ПРИ ЛАМИНАРНОМ ТЕЧЕНИИ
Записав уравнение теплопереноса в цилиндрических координатах
положив в нем для установившегося осесимметричного прямолинейного лами-
ламинарного потока
O; wR = 0} A1.2.2)
и подставив значения w из уравнения A1.1.6), получим
а2г 1 зт 2w г« / /г \2i ar a2r
а/?2 /г а/? ~" а I I /г0
dx
а*2
A1.2.3)
Введем следующие безразмерные координаты, полагая температуру стенки
трубы постоянной:
A1.2.4)
{* = (Тст - Т)/(ТСТ - Тг)\ I = R/Ro, X = x/R0}9
где Тг — температура жидкости при входе в трубу.
140
Уравнение A1.2.3) примет вид
A1.2.5)
где Ре = wD/a — критерий Пекле.
Расчеты показывают, что уже при Ре > 10 величину д2$/дХ2 можно счи-
считать пренебрежимо малой по сравнению с первым членом правой части урав-
уравнения A1.2.5), т. е. полагать, что
дХ
A1.2.6)
Как при нагревании, так и при охлаждении жидкости безразмерная темпе-
температура Ф убывает вдоль течения. В связи с этим разыскиваем частное решение
уравнения A1.2.6) в виде произведения
двух функций, аналогично тому как это
делалось при исследовании тела, стремя-
стремящегося к тепловому равновесию.
Полагая
A1.2.7)
0,8
и "дифференцируя A1.2.7), получаем
Ре
Ре/
-Р2-^-); A1.2.8) о
¦ехр —
/
\
\
/
<
\
/
\.
X
/ //
Хг1\\
//
/
Ре
Подставляя эти значения производных '
в уравнение A1.2.6), после сокращения на
ехр (—Р2Х/Ре) приходим к обыкновенному В_ 0,8 0,4 0
дифференциальному уравнению второго ^о
порядка:
Рис. 11.5. Функции %i в формуле
-—+—-—+|32A--?2)^ = 0, A1.2.9)
A1.2.10)
A1.2.11)
общее решение которого имеет вид A ^ i <g: oo)
Краевые условия:
S=l, 0 = 0,
По вычислениям Нуссельта
-ф|(Э = Л,Х|(Б). A1.2.12)
Коэффициенты рг и At приведены в табл. 11.2, а функция %t изображена на
рис. 11.5.
Средняя по сечению трубы температура определяется формулой
— Г wTRdR.
о
A1.2.13)
141
Таблица
Значения коэффициентов в формулах A1.2.10) и A1.2.12)
11.2
i
Ai
l
2,705
-! 1,477
2
6,66
—0,810
3
10,3
+ 0,385
Подставляя сюда значение Т из уравнения A1.2.10), получаем
*x-0,819exp(--14,62aA:/^D2)+ 0,0976 ехр(— 88y2ax/wD2) +
+ 0,0189 exp( — 2\2ax/wD2) + .... A1.2.14)
Дифференцируя последнее уравнение, находим
— (д#/д|)?=1-1,498 ехр( — 14,62ях/шО2)+ 1,114ехр (—88,2ax/wD2) +
+ 0,503ехр( — 2\2axjwD2) + .... A1.2.15)
Граничное условие на стенке трубы имеет вид
ссж(Тст-Гх)= -К(дТ/ду)ет, (П.2.16)
Принимая во внимание, что у = Ro — /?, можем записать:
о.х (Тст-Тх) = X (dT/dR)Ro. A1.2.1/)
Из выведенных формул видно, что теплоотдача при ламинарном течении
жидкости в трубе определяется комплексом ax/wD2. На рис. 11.6 изображено
изменение критерия
Nux--=Dax/X
A1.2.18)
с ростом значения указанного ранее комплекса для нескольких типов каналов.
Для круглой трубы предельное (наименьшее) значение критерия Нуссельта
равно 3,66.
Nu
80
60
40
20
10
8е
4
4 0 9 /
1 10 * 10 10 10
Рис. 11.6. Зависимость критерия Nu от комплекса PeD/x при ламинар-
ламинарном течении (а отнесено к средпелогарифмической разности тем-
температур) :
; _ круглая труба; 2 — плоская щель; 3 — равносторонний треугольник
Повышенное значение коэффициента теплоотдачи во входном участке
объясняется тем, что температурное поле формируется постепенно на некото-
некотором расстоянии от места начала обогрева. При этом градиент температуры вбли-
вблизи стенки трубы меняется от бесконечности в начальном сечении, где теорети-
теоретически температура по всему сечению постоянна и на стенке имеет место скачок
температуры от Тст до 7\, до значения, соответствующего уже стабилизиро-
стабилизированному температурному полю.
=
<* *
142
При задании условия постоянства плотности теплового потока на стенке
трубы (q = const) значения среднего коэффициента теплоотдачи оказываются
несколько более высокими, чем при условии Тст = const. Стабилизированное
значение числа Nu при q = const для круглой трубы равно 4,36.
Решения, изображенные на рис. 11.6, могут быть аппроксимированы с дос-
достаточной для практических целей точностью двумя линиями: а) при значениях
определяющего комплекса PeD/L, меньших некоторого числа (см. табл. 11.3)
Nu = const; б) при других значениях этого комплекса Nu ~ (PeD/LI/3.
Для расчета теплоотдачи при ламинарном течении жидкости (без учета
свободной конвекции) в каналах сложной геометрии с постоянной температу-
температурой стенки могут быть использованы формулы, приведенные в табл. 11.3.
Таблица 11.3
Формулы для расчета теплопередачи при ламинарном течении в каналах с различной
формой сечения
Профиль канала
Круглая труба диамет-
диаметром D
Плоская щель шириной 6
Равносторонний тре-
треугольник, длина сто-
стороны h
Эквивалентный
диаметр
D3 = 26
D3=0,58/z
Область
чисел Ре Dg/L
>12
<12
>70
<70
>7
<7
Число Nu
Nu = l,61 (PeD/LI/3
Nu = 3,66
NH=l,85(PeD9/II/3
NU = 7,50
№=l,50(PeD9/LI/3
Nu = 2,70
Таблица 11.4
Значение чисел Nu при ламинарном течении в области стабилизованной
теплоотдачи
Профиль канала
Закон изменения темпера-
температуры стенки
Автор расчета
Круглая труба диаметром D
Постоянная
Меняется линейно
3,66
4,36
Грэц, Нуссельт
Игл и Фергюссон
Плоская щель, обогреваемая Постоянная
с обеих сторон (D3 = 2 6) | Меняется линейно
7,5
8,24
Хапеман и Эрет
Янсен
Плоская щель, обогреваемая
с одной стороны (Da = 2 6)
Постоянная
Меняется линейно
4,86
5,40
Эльз ер
Янсен
Равносторонний треугольник
(D3 = 0,58 h)
Постоянная
3,1
В. К. Мигай
Равнобедренный треугольник
/ 2 h
\ 3 \+VBh,LY + \
угол р при вершине:
20°
40°
80°
90°
100°
Постоянная
2,7
3,0
3,5
3,7
3,8
В. К- Мигай
143
В табл. 11.4 приведены значения числа Нуссельта Nu = aDQ/k при лами-
ламинарном течении для каналов с различной формой сечения и для различных
законов изменения температуры стенки канала. На теплоотдаче при ламинар-
ламинарном течении существенно сказывается свободная конвекция. Подробно проб-
проблема теплообмена при ламинарном течении в трубах рассмотрена в монографии
Б. С. Петухова.
11.3. УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПЕРЕНОСА В ТУРБУЛЕНТНОМ
ПОТОКЕ
Рассматривая установившийся осесимметричный поток и полагая, что теп-
теплопроводность в радиальном направлении много больше, чем в осевом, можем
написать осредненное уравнение теплопереноса в следующем виде:
- -— (—VR 0) = и>„ — П1 3 П
R dR I ' dRK * ' x дх ' { >
или иначе:
Поскольку при рассмотрении турбулентных течений мы будем оперировать
только величинами, осредненными за период пульсации, то в дальнейшем их
локальные значения будем писать без знака осреднения.
Подстановка в уравнение A1.3.2) значения Хт из уравнения (9.9.4) дает ос-
основное уравнение для определения температурного поля при турбулентном
течении в трубе:
\(i + B)R\
dR [ { ^ a ii ) dR \ а дх
Введя безразмерные переменные
l = R/R0; X = x/R0; Ъ = {ТСТ-Т)/(ТСТ-ТХ); | A
(d = w/w; Pv = v/a\ Pe = wD!a> J
получим уравнение
Сопоставление этого уравнения с уравнением A1.2.4) показывает, что
в отличие от ламинарного потока в турбулентном теплообмен зависит не толь-
только от критерия Ре, но и от критерия Рг.
Коэффициент теплоотдачи связан с температурным полем уравнением
A1.2.17), которое при принятом в этом разделе определении имеет вид
N1^ = 2C0/C^. A1.3.6)
Средня^ по сечению трубы температура
Яо 1
Л Г wR#dR = 2 twlMl = J?x = l. A1.3.7)
l J j
По тем же причинам, что и в ламинарном потоке, коэффициент теплоот-
теплоотдачи ос при турбулентном течении имеет повышенные значения в начальном
участке трубы и постепенно снижается до некоторого постоянного значения,
определяемого только физическими свойствалш жидкости, ее скоростью тече-
течения и диаметром трубы. В связи с этим общее решение уравнения A1.3.5)
также может разыскиваться в виде произведения двух функций типа A1.2.7).
144
При этом уравнение A1.3.5) приводится к уравнению в обыкновенных диффе-
дифференциалах
^[^] 0, A1.3.8)
где
Решение этого уравнения зависит от выбора вида функций —-(?) и со (?).
11.4. СВЯЗЬ МЕЖДУ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ТЕПЛООТДАЧИ
И ТРЕНИЯ
При турбулентном течении в трубе с числом Рг = 1 имеет место прибли-
приближенное подобие полей температур и скоростей. Следовательно, в этом случае
можно воспользоваться для стабилизированного течения формулой (9.2.10).
При этом следует иметь в виду, что в данном случае cf = ?/4. Последнее не-
непосредственно видно из сопоставления - -
формул (9.2.7) и A1.1.12). Следова- "
тельно, при турбулентном течении и
Рг = 1
Nu = Re ?/8. A1.4.1)
Здесь Nu = aD/k и Re = wD/vy где
D — внутренний диаметр трубы.
В табл. 11.5 приведены результаты
расчетов по формуле A1.4.1) при зна-
значениях коэффициента трения ?, взятых
по результатам опытов с гладкими тру-
трубами. На рис. 11.7 приведенные в
табл. 11.5 данные представлены в лога-
логарифмической анаморфозе. Обнаруживает-
Обнаруживается весьма важное с практической точки
зрения обстоятельство, а именно: через
все расчетные точки можно провести
одну логарифмическую прямую, откло-
отклоняющуюся от точных данных на ± 3%
в широком интервале значений Re — от
логарифмической прямой:
10*
i
о/
7,5%']
i
II
у
C+KF\
о/
/
/
/
/
J
10° Re
Рис. 11.7. Зависимость Nu от Re при
Pr=l:
по формуле A1.4.1);
по формуле A1.4.2)
—интерполяция
2 • 104 до 2 • 106. Уравнение этой
Nu-0,023Re°>8,
или в другой форме
A1.4.2)
A1.4.3)
Таблица 11.5
Значения критерия Nu=Dcc/X, рассчитанные по формуле A1.4.1) по данным ? для
гладких труб при изотермическом течении (расчет справедлив для сред с Рг=1)
Re
Nu
0,0316
39,5
2- 10*
0,0266
66,5
5
0,
. ю*
0211
132
1
0
•Ю8
,0177
221
2
0
0155
388
5
0
• 106
0126
789
МО»
0,0115
1440
2-106
0,0105
2620
145
Этот результат соответствует подстановке в формулу A1.4.1) значения
? = 0,184 Re-°>2. A1.4.4)
Последнее уравнение показывает, что критерий St менее чувствителен к из-
изменению числа Re, чем критерий Nu. В табл. 11.6 приведено сопоставление
значений, полученных по формуле A1.4.2), с данными табл. 11.5, показываю-
показывающее их хорошее соответствие.
Таблица 11.6
Сопоставление расчетов по интерполяционной формуле A1.4.2) с расчетами по формуле
A1.4.1) (расчет справедлив для сред с Рг=И)
Re
По формуле A1.4.1)
По формуле A1.4.2)
Расхождение по отношению
к формуле A1.4.1), %
МО*
39,5
36,5
—7,6
2-10*
66,5
63.5
—4,4
5-10*
132
132
0,0
1 -105
221
230
+4,0
2- Ю5
388
400
+ 3,0
5- 105
789
816
+3,5
1 • 106
1440
1450
+0,7
2 • 10«
2620
2520
+3,8
Для случая Рг Ф 1 необходимо рассмотреть общее решение уравнения
A1.3.6), которое, очевидно, имеет вид
Nu = O(Pr; Re; X). A1.4.5)
11.5. РЕШЕНИЕ ПРИ ЛИНЕЙНОМ ИЗМЕНЕНИИ
ТЕМПЕРАТУРЫ СТЕНКИ
Тепловой поток, проходящий через контрольную поверхность единичной
длины
QR = — 2nR (X +Я7) dT/dR, A1.5.1)
и соответственно уравнение A1.3.2)» можно переписать в виде
Частный интеграл
IX
¦J
dR
A1.5.2)
A1.5.3)
выражает собой количество тепла, втекающее в объем потока, ограниченный
рассматриваемой контрольной поверхностью радиуса R. Взяв частные инте-
интегралы по радиусу от обеих частей уравнения A1.3.3), получим
2nX
Далее, вычисляя частный интеграл
Яо
dR = Гс
дх
A1.5.5)
получаем температуру потока на рассматриваемой контрольной поверхности
радиуса R в сечении х.
146
Совмещение уравнений A1.5.4) и A1.5.5) дает
R
Ro J WR (дТ/дх) dR
\ 5
Тст-Т=—\ -5 dR.
a J (l + P)/?
Приводя последнее уравнение к безразмерному виду, получаем
#=—— — dt A1.5.7)
2 J A+вРгц/|1)Е V '
П])и линейном изменении температуры стенки вдоль трубы температурное
поле можно представить, как это сделали Игл и Фергюссон, в виде двучлена
Т(х\ R\ = Ax + f(R). A1.5.8)
При постоянной плотности теплового потока вдоль всей трубы (dqCT/dx = 0)
из выражения A1.5.8) непосредственно следует, что
А = дТ/дх = 2qcJ(cpwR0), A1.5.9)
или в безразмерных величинах
™-« itj ?i_ *L = ?«_ = _2^l . A1в5Л0)
ах ах Гст-Г ал: ср5 Ре
Гст
В результате такой подстановки безразмерная температура оказывается
прямо пропорциональной числу Нуссельта:
dl A1.5.11)
Вводя это выражение ft в уравнение A1.3.8), находим, что для рассматри-
рассматриваемых условий
' /' jWi \
Nu-^2 «? °- dl\dl, (П.5.12)
о I
или
% У
I
^'dl. A1.5.13)
Это удобное интегральное соотношение было получено Лайном.
В основной области турбулентного потока профиль скоростей весьма поло-
пологий, и скорости в данной точке мало отличаются от средней скорости по се-
сечению, т. е. в ядре потока со « 1. Если принять со = 1, то такое приближение
соответствует линейному распределению плотности теплового потока по ра-
радиусу трубы.
Действительно, подставляя в выражение A1.3.9) значение дТ/дх из урав-
уравнения A1.5.9) и полагая w = w, получаем
; ?S ±JL A1.5.14)
iRqRLq%
dR dR Ro
147
Интегрирование этого уравнения в пределах от R до 0 дает
qR = qR/Ro = q(l~y/Ro)> A1-5.15)
где q — плотность теплового потока на внутренней поверхности трубы; у -
расстояние от внутренней поверхности трубы в глубь потока.
Положив в формуле A1.5.13) со = 1, получаем для безразмерного коэффи-
коэффициента теплоотдачи следующее простое выражение:
Nu«2D ^ ) . A1.5.16)
^J 1 + еРгцгДг ) ]
Таким образом, стабилизированное значение коэффициента теплоотдачи
при турбулентном течении зависит не только от коэффициента теплопровод-
теплопроводности среды и диаметра трубы, как это имеет место при ламинарном течении,
но и от отношения via и скорости течения жидкости (через величину (Xr/fi)*,
11.6. ТЕПЛООТДАЧА К ТУРБУЛЕНТНОМУ ПОТОКУ
ПРИ Рг>1
Для сред с числом Рг ^ 1 в основной части потока значение е близко к 1.
Так, по опытам Людвига, вблизи стенки е « 1,08, достигая на оси трубы зна-
значения 1,48.
Для развития процесса теплообмена при числах Рг > 1 существенна имен-
именно пристенная область, в которой имеет место наиболее сильное изменение тем-
температуры текущей среды. Поэтому в той же мере, как и приближение A1.5.14),
в уравнении A1.5.16) можно положить 8=1. Это обстоятельство существен-
существенно облегчает вычисление интеграла в последней формуле.
Обращаясь к профилю скоростей в плоском турбулентном потоке, замеча-
замечаем, что такой поток можно разделить на три области: 1) турбулентное ядро,
распределение скоростей в котором с высокой степенью точности выражается
формулой (9.11.9); в этой области трение практически полностью определяется
турбулентным перемешиванием; 2) промежуточный слой, распределение ско-
скоростей в котором определяется в первом приближении формулой (9.11.12);
в этой области молекулярное и турбулентное трения соизмеримы, причем роль
молекулярного трения увеличивается по мере уменьшения расстояния от твер-
твердой стенки; 3) вязкий слой, в котором решающее значение имеет молекулярное
трение, и распределение скоростей с большой степенью точности выражается
формулой (9.11.5).
Как видно из формулы (9.11.12) и рис. 9.2, распределение скоростей в про-
промежуточном слое имеет сложный характер. Однако оно достаточно хорошо ап-
аппроксимируется полулогарифмической прямой аналогично профилю скоростей
в турбулентном ядре. При этом, конечно, константы Qhx имеют другие зна-
значения/чем в формуле (9.11.9), являясь чисто эмпирическими коэффициентами.
Такая аппроксимация существенно упрощает вычисление интеграла в формуле
A1.5.16).
Входящая в формулы для распределения скоростей величина ц связана с
относительным радиусом ? следующим отношением:
1-?). A1.6.1)
Как видно из табл. 11.7, толщина вязкого слоя настолько мала, что в его
пределах можно считать ?3 = 1. Толщина промежуточного слоя несколько
больше толщины вязкого слоя, и при малых числах Re значение ?3 в этом слое
может отличаться на 10—30% от единицы.
* Полагая в выражении A1.5.16) \iT = 0 и подставляя в него w из формулы A1.1.6),
находим, что стабилизированное значение а при ламинарном течении и q = const onpe-
деляется условием Nu ж 4,36. Это значение несколько больше полученного в разд. 11.3
значения Nu = 3,66 для случая Тст = const.
148
Таблица 11.7
Значения относительного радиуса границы вязкого слоя ?0, относительной толщины
этого слоя 1—?о» относительного расстояния промежуточного слоя от стенки трубы g2
относительной величины этого слоя 1 —12 и комплекса Re К С/32 (принято: тH = 6,8;
тJ=ЗО; С—п0 табл- и-5)
Re
Бо
1—Бе
1—Б.
Re FC/32
ыо*
0,9784
0,0216
0,9050
0,09§0
314
5-10*
0,9947
0,0055
0,9758
0,0242
1280
5-Ю6
0,9971
0,0029
0,9872
0,0128
2310
1 • 10е
0,99932
0,00068
0,9970
0,0030
9900
5.10е
0,99964
0,00036
0,99841
0,00159
18 900
Изложенное позволяет для случая Pr ^ 1 представить формулу A1.5.16)
в следующем виде*:
Nu
+1
— l
A1.6.2)
Первый из интегралов A1.6.2) характеризует термическое сопротивление
ядра потока, обусловленное полностью турбулентным перемешиванием. Вто-
Второй — промежуточного слоя, в котором молекулярный и турбулентный пере-
переносы тепла соизмеримы. Третий — вязкого слоя, в котором интенсивность тур-
турбулентных пульсаций весьма мала, вследствие чего они сказываются на тепло-
теплообмене только при больших значениях Рг.
Координата ? = 0 соответствует оси трубы, ?2 — условной границе проме-
промежуточного слоя, 1г — условной толщине вязкого слоя, которая может в из-
известной мере отклоняться от истинного значения ?о в зависимости от способа
аппроксимации профиля скоростей в промежуточном слое.
Для каждой из рассмотренных трех областей потока существуют следую-
следующие расчетные соотношения:
турбулентное ядро:
dw/dy
• = xReVi
* Здесь следует иметь в виду, что применение интеграла A1.5.16) при одновременном
введении в рассмотрение переменной интенсивности турбулентного переноса по радиусу
трубы объясняется тем, что, положив в выражении A1.5.13) значение со = 1, отнюдь
нельзя при этом считать постоянным и отношение \iT/\i. Иначе говоря, неравномерность
поля скоростей, локализованная в узком пристенном слое, существенно сказывается на
термическом сопротивлении потока, но мало влияет на полный расход жидкости.
149
промежуточный слой*:
V х' v
т — тг + to/
dw/dy
|xr/|i«x'Re|/"S732"(l— ?) — 1;
вязкий слой:
= у*
Воспользовавшись этими соотношениями, вычислим каждый из трех инте-
интегралов уравнения A1.6.2):
PrxReVe/32(l—
L h !L
_ ln l/
PrxReVg/32 I. % I7 32 2 V Re
Re
При Re > 104 с погрешностью
Г2 **
И- PrxReVg/32 V Л2
KJ
Далее
Г У dl С
: ^ \
J 1 + РГ [lT/[l J
in «l l/^-H . (П.6.3)
Л Г 32 2)
Prx' ReVS/32(l— g) — (Pr— 1)
52
Prx'Re"l/?/32 L l + Pr^'rii—1) ReV?/32
где
Ргк' ReVe/32
При Re > 104 с погрешностью ^1%
t- Prx'Re УС/32 l+Prfx'T)!— 1)
fe2
* Это выражение хорошо аппроксимирует опытные данные о распределении скоро-
стей в промежуточном слое. Впервые такая аппроксимация была сделана Т. Карманом и
В. А. Швабом. Ими же были выведены впервые формулы теплоотдачи по «трехслойной»
схеме турбулентного потока. Однако в этих формулах не учитывался турбулентный
перенос в вязком подслое
160
Полагая по графику рис. 9.6 ц2 -= 30 и г^ -= 6, находим, что х' = 0,2.
Подставляя значения интегралов из уравнений A1.6.3) и A1.6.4) в выражение
A1.6.2), получаем
Nu = -^Re/(Pr; Re), A1.6.5)
о
где
/(Pr; Re) = (х l/-°- Рг)
1 \ V I /
In
l/ + In
,5.l2 V 32 x' 1 + Pr (x' "Hi—1)
? f^I
+ xPrRel/ -?- f ^ I • A1.6.6)
I7 32 J 1-|-Ргцг/|* J V '
¦si
При значениях Рг порядка единицы величина Рг (х 7-/A в вязком слое имеет
порядок \1т/\1у т. е. много меньше единицы. Следовательно, при Рг с^. 1
Г й
J l-f-Рг
4
Цг/ц Re
и соответственно после подстановки численных значении х, х , т]ь ц2 получаем
l-i
~+2,4Рг
12 In 1+5Рг
1 + 0,2 Рг
A1.6.7)
Сопоставление формулы A1.6.5) с формулой A1.4.1), выведенной из весьма
общих соображений для сред с Рг — 1, приводит к условию
/A; Re) - 1. A1.6.8)
Некоторые значения функции / (Рг; Re), вычисленные по формуле A1.6.7)
приведены ниже:
Re Рг = 1 Рг-2 Рг-5 Рг==10
104 0,990 1,33 1,78 2,1
106 0,995 1,63 2,30 3,1
Полученное решение с большой степенью точности удовлетворяет общему
условию A1.6.8).
Как видно из этого расчета, интенсивность теплоотдачи в турбулентном по-
потоке возрастает с увеличением числа Рг жидкости, причем степень его влияния
несколько повышается в области больших числе Re. Такой характер функции
/ (Pr; Re) вполне соответствует физической сущности рассматриваемого явле-
явления, ибо с увеличением числа Re возрастает роль термического сопротивления
турбулентного ядра потока.
При числах Рг ^> 1 перенос тепла за счет турбулентных возмущений, про-
проникающих в вязкий слой из турбулентной области потока, становится соизме-
соизмеримым с молекулярной теплопроводностью. В этом случае в третьем интеграле
уравнения A1.6.2) уже нельзя пренебрегать значением величины Рг jlItVjli
по сравнению с единицей. Качественное различие турбулентных пульсаций
в вязком слое и в ядре потока заключается в том, что возмущения в вязком
слое не могут возникать и развиваться самопроизвольно, а проникают из тур-
турбулентного ядра, затухая по мере приближения к твердой стенке. В связи с этим
изменение интенсивности турбулентного переноса с расстоянием от стенки в
вязком подслое существенно больше, чем в ядре потока. По формуле (9.10.8)
коэффициент турбулентной теплопроводности в вязком подслое можно запи-
записать в форме (Рг > 1)
A1.6.9)
151
где р — множитель пропорциональности. Значение этого коэффициента мо-
может быть найдено из данных по теплоотдаче или диффузии при больших чис-
числах Рг, когда значение величины Хт/к оказывается порядка единицы и более.
Подставляя выражение Хт из A1.6.9) в третий интеграл уравнения A1.6.2),
получаем
1
dl 1
l+XT/X Re
«2-T]f
где
Подставив это выражение в уравнение A1.6.6), получим
или, после подстановки численных значений х, х', г)х и тJ,
...ReVC , О1_ 1+5Рг 1 К '
Здесь
Ф <Рг> = _ «, ,1» п. Ы "!+ аТ11У,!+ !2 + 2 arctg 23п?.) , A1.6.12)
Анализ опытных данных по массообмену в трубах при больших диффузи-
диффузионных числах Рг показывает, что коэффициент Рг « 1,4 • 10~4. Графически
зависимость ф (Рг) изображена на рис. 11.8.
При малых и умеренных значениях Рг турбулентная теплопроводность
в промежуточном слое сравнительно невелика. Поэтому в этом случае оказыва-
оказывается возможным ограничиться так называемой двухслойной схемой турбулент-
турбулентного потока. По этой схеме поток разбивается на две части — ламинарный под-
подслой и турбулентное ядро. Условная граница между ними находится как точ-
точка пересечения прямолинейного профиля скоростей в ламинарном подслое
с логарифмическим профилем в турбулентном ядре. Соответствующее значение
гц равно 11,6.
Полагая в уравнении A1.6.10) 112 = 11!= 11,6 и ф (Рг) = 1, получаем тео-
теоретическую формулу для двухслойной схемы потока:
Nu= °'14^PrRe . A1.6.13)
ln(ReVS/290) + 4,6P
Эта упрощенная формула пригодна для газов и неметаллических жидко-
жидкостей при Рг < 5.
При Рг -*¦ оо
ср(Рг) V 8
A1.6.14)
2я
152
Таким образом, при больших числах Прандтля, рг = 1,4 • 10 4 и гц = 6
Nu = 0,035 Pr^Rel/E. A1.6.15)
На рис. 11.9 дано сопоставление формулы A1.6.11) и предельной формулы
A1.6.15) с рядом экспериментальных данных*, систематизированных Сполдин-
гом и Джайятиллаком в координатах Y — Рг, где Y = Рг Re]/?/8/Nu. Прак-
Y
0,4
ч
N.
N
1
J LgPr
Рис. 11.8. Значения ф(Рг) по
формуле A1.6.12) при ? = 0,03
Рис. 11.9. Сопоставление форму-
формулы A1.6.11) (/) и предельной
формулы A1.6.15) B) с экспе-
экспериментальными данными
10е
10*
10
.../¦¦
X";
10
10s
Рг
тически формулой A1.6.15) можно пользоваться при значениях Рг > 100 с от-
отклонением от расчета по общей формуле A1.6.11) менее 5%.
По формуле A1.1.14)
ln(Rel/C)=l,13/VrC+l,
и формула A1.6.10) может быть представлена в виде
Nu = . yr*L
Здесь
/(Рг)= 0.3Б6 In
0,426 Ргф(Рг),
A1.6.16)
A1.6.17)
причем численные коэффициенты скорректированы в пределах 1—2% так, что-
чтобы при Рг = 1 и f A) = 1 осуществлялся точный переход к формуле A1.4.1).
Как видно из табл. 11.8, функция / (Рг) в этой формуле при Рг < 100
удовлетворительно аппроксимируется простой степенной зависимостью, вве-
введенной ранее из других соображений Рибо.
Введя в выражение A1.6.16) аппроксимацию f (Рг) из табл. 11.8 и значение
t = 0,184Re-°»2, получим достаточно простую и надежную расчетную форму-
формулу для области чисел 0,5 < Рг < 200:
Nu =
0,023 Рг Re0'8
A1.6.18)
* Использованы опытные данные В. И. Барнета и А. Коубак, Е. Бернадо и С. Айанас,
Т. Н. Чилтона и А. П. Колберна, А. Ж- Эди, Е. Р. Жиланда и Т. К. Шервуда, М. Д. Гри-
ла и Л. Гидеона, М. Л. Джексона и Н. X. Сиглска, С. Ж. Кауфмана и Ф. Д. Иселси,
С. С. Лина, Е. В. Дентона, X. С. Гэскилла и Ж. Л. Путнема, В. Ж. Морриса и Ф. X. Уит-
Уитмена.
153
Таблица 11.8
Значения функции / (Рг) в формуле A1.6.16)
Рг
/ (Рг)
рг2/3
0
0
0
,7
,70
,79
1
1
1
5
2
2
,83
,93
10
4
4
,47
,65
25
8
8
,28
,56
100
22
21
,4
,6
200
37
34
,1
,2
1000
129
100
В области 0,5 < Рг < 25 удовлетворительные результаты дает степенная
формула, структура которой была впервые предложена Нуссельтом:
Nu = 0,023 Рг0'4 Re0»8. A1.6.19)
В табл. 11.9 дано сопоставление расчетов по формуле A1.6.16) и ее частным
аппроксимациям. Для практических расчетов теплоотдачи неметаллических
жидкостей можно рекомендовать формулу A1.6.18) при числах Рг < 200 и
формулу A1.6.15) при Рг > 200. При расчете теплоотдачи газов и других сред
с числами Рг, близкими к 1, можно пользоваться формулой A1.6.19).
Таблица 11.9
Сопоставления чисел Nu, вычисленных по различным формулам для стабилизированного
течения в прямой гладкой трубе в области чисел Рг>1
Формула
A1.6.16)*
A1.6.18)
A1.6.19)
10*
39,5
36,5
36,5
1
10»
1440
1450
1450
10*
96,5
89
91,5
0
10*
5020
4890
3640
Рг
Re
10*
198
196
230
100
10»
11500
12 000
9 150
10*
238
248
304
200
10»
14 100
15 300
12О00
* Значения ? взяты из табл. 11.5.
Более детальное представление о температурном поле и поле тепловых по
токов можно получить, решая уравнение A1.3.2) путем последовательных при
ближений.
Замечая, что
Г R
тст
можем написать:
<7/?/<7ct
)(Ь. A1.6.20
При этом в соответствии с выражением A1.1.11) тк/тст = R/Ro- Имея задан
Яг?!Яст
ный профиль скорости, вычисляем интеграл A1.6.20) при -^-—= 1. И
полученного распределения температур корректируем отношение ^/^ст п\
тем балансирования количества теплоты, переносимого в осевом и радиально1
направлениях. При скорректированном значении этой величины вновь произ
водится интегрирование A1.6.20). Результаты таких расчетов, произведении
Рейхардтом, а также Б. С. Петуховым и В. Н. Поповым, показали, что дл
сред с числами Рг > 1 функция qR/qCT = f (\) мало отличается от линейно!
Рассмотренные в этом разделе формулы применимы для расчетов теплоот
дачи при турбулентном течении в трубах газов, воды, масел и других немета:
лических жидкостей.
154
11.7. ТЕПЛООТДАЧА К ТУРБУЛЕНТНОМУ ПОТОКУ
ПРИ Рг<1
Расплавленные металлы имеют числа Рг порядка 10~2 и менее. В связи
с этим металлические жидкости образуют особый класс теплоносителей, харак-
характеризуемый с точки зрения теории теплообмена тем, что у них a»v.
Числами Рг, существенно меньшими единицы, обладает также сильно иони-
ионизованный газ. При таких малых числах Рг молекулярная теплопроводность
становится соизмеримой с турбулентной теплопроводностью не только в вяз-
вязком и промежуточных слоях, но и в турбулентном ядре потока. При этих ус-
условиях интеграл A1.5.16) необходимо брать с учетом соизмеримости к и Кг
по всему сечению турбулентного потока. С другой стороны, в этом случае как
в вязком, так и в промежуточных слоях безусловно преобладает молекулярная
теплопроводность. Так, например, при Рг = 0,01 и г) = 30 (? « 1)
КТ1К « Рг щ1 = 0,01 • 0,4 • 30 = 0,12.
Для этих же условий на расчетной границе вязкого подслоя в двухслойной
схеме турбулентного потока
КТ1К « 0,01 • 0,4 • 11,6 - 0,046.
Таким образом, даже на внешней границе переходного слоя интенсивность
турбулентного переноса тепла в металлических жидкостях существенно меньше
молекулярной теплопроводности.
Ограничиваясь в связи с этим двухслойной схемой турбулентного потока,
запишем уравнение A1.5.16) следующим образом:
Г
.)
где
Р = ex PeVtj32. A1.7.2)
В предельном случае, при Рг = 0 и q = const
i \-i
A1.7.3)
Поскольку (о-> 1 при Re-^oo, то это решение следует рассматривать
как предельное при Рг ->0 и Re ->oo.
По более общей формуле A1.5.13) при подстановке в нее закона распределе-
распределения скоростей по закону степени п = 1/7
= 6,8. A1.7.4)
Расчеты для случая Тст = const дают значение числа Nu порядка 5,2—5,5.
Таким образом, в стабилизированном турбулентном потоке при Рг ->-0
число Nu стремится к некоторому постоянному значению. Однако это значение
больше того, которое имеет место при ламинарном течении с параболическим
распределением скоростей.
Высокая теплопроводность жидкостей, обладающих электронной проводи-
проводимостью, может привести квтому, что теплосодержание объемов, перемещающих-
перемещающихся в результате турбулентных пульсаций, может рассеиваться быстрее, чем ко-
количество движения. Соответственно коэффициент 8 будет меньше единицы.
155
Вычисляя интегралы в выражении A1.7.1) при 8 = 1 и принимая во вни-
внимание, что Tjjj/32/S <C Re, находим:
Nu « 2Р
Р+3
21/Р2
(УР2+4Р—Р +2хРг)(УР*+4Р—Р)
2Р
При Рг ->0
\Ура + 4Р УР2+4Р—Р
-1
A1.7.5)
A1.7.6)
На рис. 11.10 приведены результаты расчетов по формуле A1.7.5) при чис-
числах Рг, характерных для жидкометаллических теплоносителей. Как видно,
в координатах Nu—Re обнаруживается чрезвычайно сильное влияние числа
10°Re
Рис. 11.10. Зависимость Nu от Re
и Рг по формуле A1.7.5)
102т
101 ~
10°
1 Illl I I I I I
Е У^
- у
/
Рг
0,005
0,010
0,050
i 11 11
?=/
о
•
д
?=0,5
0
0
V
I III
101
102 Ре
Рис. 11.11. Данные рис. 11.10 в
системе координат ANu—Ре
Рг. На рис. 11.11 те же данные приведены в системе координат, более соот-
соответствующей физическим закономерностям, определяющим теплоотдачу при
малых числах Рг. На этом графике величина ANu = Nu — 8 характеризует
вклад турбулентного переноса в общую интенсивность теплообмена. Отчетливо
Ре
Рис. 11.12. Сопоставление расчетов по формуле A1.7.7) с опытными данными по
теплоотдаче хорошо очищенного Na:
х —данные Кириллова, Субботина, Суворова, Троянова; О — Хабахпашевой; # —Пирогова
видно, что практически имеет место однозначная зависимость ANu от критерия
Ре, которая может быть аппроксимирована логарифмической прямой
Nu « NuMHH + 0,044 Ре0»75„ A1.7.7)
При q = const и Re<106 NuMHH^6,8, а при 7СТ= const NuMHH»5,2.
156
Первые опыты по теплоотдаче при вынужденном течении жидкого металла
были проведены М. А. Стыриковичем, А. Р. Сориным и И. Е. Семеновкером.
Высокие температуры, интенсивный теплообмен, окисляемость, высокая теп-
теплопроводность, агрессивное воздействие на металл труб и датчиков измеритель-
измерительных приборов создают исключительные трудности при изучении жидкометал-
лических теплоносителей. Подробное изложение этой проблемы дано в работах
автора, М. А. Михеева, В. И. Субботина, В. М. Боришанского и др. Особенно
подробно влияние чистоты металла на теплообмен изучено в работах В. И. Суб-
Субботина и его сотрудников.
На рис. 11.12 приведено сопоставление расчетов по формуле A1.7.7) с ря-
рядом экспериментальных данных, полученных при наиболее тщательной очист-
очистке металла от окислов и других примесей. На рис. 11.13 дано сопоставление
Ре
Рис. 11.13. Сопоставление расчетов по схеме с утолщенным подслоем с опытными
данными по теплоотдаче свинца, висмута:
• — данные М. А. Михеева, В. А. Баума; 4 —К. Д. Воскресенского; П—О. С. Федынского •
°"\7- ~ Боришанского, С. С. Кутателадзе, Л.Л.Шнейдермана, Л. И. Иващенко;
х —М. X. Ибрагимова, В. И. Субботина; расчетная кривая
расчетов по схеме с утолщенным тепловым подслоем с рядом других экспери-
экспериментов. Можно констатировать, что имеющиеся в настоящее время достаточно
надежные экспериментальные результаты лежат в области, ограниченной
указанными предельными расчетами.
Для вычисления теплоотдачи к жидким металлам, не подвергающимся спе-
специальной систематической очистке, можно рекомендовать эмпирическую фор-
формулу М. А. Михеева, В. А. Баума, К. Д. Воскресенского и О. С. Федынского:
A1.7.8)
Эта формула пригодна для стабилизированной теплоотдачи, практически имею-
имеющей место у труб с L > 30D.
В области 5 < LID < 30 по опытам П. С. Кондратьева следует вводить по-
поправочный коэффициент
eL = l,7(D/LH'16. A1.7.9)
11.8. ТЕМПЕРАТУРНЫЙ ФАКТОР
При рассмотрении в предыдущих разделах задач о конвективном тепло-
теплообмене в трубе физические свойства принимались постоянными, не меняющими-
меняющимися с температурой, т. е. не учитывалось влияние температурного поля на фи-
физические свойства потока, и полученные решения, строго говоря, справедливы
только для весьма малых температурных напоров АТ=ТСТ — Т. В действи-
действительности физические свойства жидкости меняются под влиянием температур-
157
ного поля, устанавливающегося в результате процесса теплообмена между по-
поверхностью нагрева (охлаждения) и потоком. В результате этого отклоняются
от изотермического профиля как профиль скоростей, хакиддофильхемаеват^
(говоря об «изотермическом» профиле температур, мы имеем в виду безразмер
ный профиль при ДГ ->0). Соответственно меняются и значения коэффициен-
коэффициентов теплоотдачи.
Суть задачи сводится к тому, что дифференциальные уравнения теплооб
мена и движения необходимо записывать в форме, учитывающей переменность
входящих в них физических свойств, и присоединять к ним функции, опреде
ляющие зависимости этих свойств от температуры. При этом в основных диффе
ренциальных уравнениях процесса «физические константы» попадают также
под знак дифференциального оператора. В этой связи уравнения теплоперено-
са и движения, написанные в предположении постоянства физических свойств,
должны быть заменены следующей, более сложной системой уравнений:
2div(|xS)— grad ('/>+—
V з
dt
= c(T); p =
A1.8.1
Для того чтобы привести к безразмерному виду такую систему уравнений,
необходимо ввести масштабы не только линейных размеров, температур и ско
ростей, но и соответствующих физических свойств. В качестве последних мож-
можно принять значения, отнесенные^ к температуре стенки (А,ст, jiCT, cCT, pCTi
или к средней температуре потока (Хо, ji0, c0, р0), или к какой-либо другой мас-
масштабной точке. Выбрав в качестве масштабной температуры
туру потока, получим из системыГA1.8.1):, V
div (A grad *) = -2- f^t -г Ре (ю, grad 0I;
— div [JL s(<
Re |_N
grad (Eu div w ) =
3 Re
Po
_P_
Po
A1.8.2!
Здесь физические свойства в критериях отнесены к^редней по теплосодержа-
теплосодержанию температуре потока^т. е. а - J-c^ ""
Eu - AP/(Po wl)\ F^= aQ t/Ц Ho
/0/v0; )
= w0 t/l0. J
A1.8.3
У капельных жидкостей температурные функции физических свойств имеют
разнообразный характер, и нет практической возможности учесть их влияние
строго единообразным способом. Иначе дело обстоит с газами, относительное
изменение физических свойств которых достаточно однозначно следует за отно-
относительным изменением абсолютных температур.
Плотность газов практически меняется обратно пропорционально темпера-
температуре, т. е. в каждом поперечном сечении потока
Р/Ро = То/Т.
A1.8.4)
158
Вязкость газов хорошо подчиняется формуле Сезерленда
; (П.8.5)
,Ю 1+С/Т
где С — постоянная, характеризующая свойства данного газа.
В силу условия Pr = const и относительно слабой зависимости удельной
теплоемкости, .от температуры Ша « \i/\i0.
~^~ЕГ свою очередь,
77Г0=гф —(ф—1H, A1.8.6)
сх/То — Так называемый температурный фактор,
следует, что для сильно неизотермического потока газа*
Nu = (P(Pr; Re; X; ф; ярс), A1.8.7)
где ^с = Tg/С—- второй температурный фактор.
В пербом приближении
Nu «Фх(Рг; Re; X; яр). A1.8.8)
Когда интервал температур Гст — 70 таков, что температурные функции
физических свойств можно достаточно точно аппроксимировать линейной за-
зависимостью, то
ХДо « W^o — ФстАо — 1) О- A1.8.9)
Здесь под X следует понимать любое из существенных для процесса физиче-
физических свойств. Как видно, в этом случае переменность физических свойств с тем-
температурой для любых сред может быть учтена введением под знак функции
в выражении A1.4.5) отношений
{XCT/V, И'ст/Ио; сст/с0; рст/ро}, A1.8.10)
т. е. можно написать
Nu « Ф(Рг; Re; А,СТДО; iWlV, Рст/Ро; сст/с0\ X). A1.8.11)
Этот результат справедлив и при экспоненциальной зависимости физических
свойств среды от температуры, которая для ряда свойств жидких сред значи-
значительно универсальнее линейной.
Действительно, если в определенном интервале температур
iG1—То)], A1.8.12)
ТО . „ --_
A1.8.13)
и в выражении A1.8.11) новые параметры не появляются.
Отсюда видно, что в принципе невозможно учесть влияние на теплоотда-
теплоотдачу переменности «физических констант» с температурой путем введения толь-
только одного комплексного.фактора Ргст/Рг0, как это часто делается при эмпириче-
эмпирическом представлении опытных данных.
У многих капельных жидкостей значения ?jJ),h X меняются с температурой
относительно меньше, чем вязкость \i (табл. 11.10). Для.таких сред с удовлетво-
удовлетворительным приближением можнсГ ограничиться зависимостью
Nu^O(Pr; Re; V> X), A1.8.14)
где
* Аналогичная зависимость должна иметь место и для коэффициента аэродинамичес-
аэродинамического сопротивления.
159
Таб лица 11.10
Относительное изменение физических свойств некоторых
жидкостей в интервале температур 10—100 °С
Жидкость
Вода
Трансформаторное
масло
Масло МК
1
1
1
е
Рю
,04
,09
,08
1,
0,
0,
0
88
80
0
1
1
о
«Г
,84
,10
,17
е
=i
4,
15,
175
6
3
Жидкость
Бензол
Глицерин
Дифенил
1
1
1
е
о
/Pi
а
,12
,11
,07
0,
1,
0,
о
¦—
90
3
83
1
0
1
о
«г
,12
,96
,11
о
a
А
2,9
300
Еще раз подчеркнем, что этот результат справедлив и при экспоненциаль
ной зависимости вязкости от температуры, являющейся более универсальной
для жидкостей, чем линейная.
11.9. ВЛИЯНИЕ ТЕМПЕРАТУРНОГО ФАКТОРА НА ТРЕНИЕ
И ТЕПЛООБМЕН ПРИ ТУРБУЛЕНТНОМ ТЕЧЕНИИ ГАЗА
При заметном изменении физических свойств под действием температуры
динамическая задача (задача об определении потерь давления и сил трения в по-
потоке) не может быть отделена от тепловой задачи, что непосредственно следует
из системы уравнений A1.8.1).
1,0
0,6
0,4
а
обо
А
•
о с
tf..
<# о3
эо ^ «
• 1
о
' А
О
) О
—
1,2
1,6
2,0
2,4
2,8
Рис. 11.14. Сопоставление расчета по формуле A0.9.6) с экспери-
экспериментальными данными:
• —данные Л. Н. Ильина; Q — NACA; А —Л. И. Иващенко;
(j—Л. Н. Ильина
Соответственно необходимо изменить и расчетное уравнение для потерь
давления при течении жидкости в трубе. Вместо формулы A1.1.7) для неизо-
неизотермического течения пишут обобщенное уравнение Бернулли
do — dw
dx dx
pww.
A1.9.1
Здесь осреднение произведено по сечению трубы. Формулы A0.9.5) и A0.9.6)
применимы и в данном случае. При этом в них следует подставлять значение
сп = So/4. Практически в области 1 < г|) < 4 можно пользоваться формулой
A0.9.3).
П
)
При Гст = const
или <7cj = const возможно прямое сопоставление этих
( 11 О
р ст 7cj р
формул с экспериментальными данными (рис. 11.14). Однако при произволь-
произвольном задании теплового потока ситуация существенно усложняется и непосред-
непосредственно использование зависимостей типа A1.8.14) не приводит к достаточно
общим результатам.
160
РАССМОТРИМ ТРЧР""Р гяч^ R круглой трубр ня тятфм удалении от ВХОДа. где
возникшие при входе пограничные слои слились на осл^хо^бы. Отождествляя
радиус трубы с толщиной пограничного слоя при внешнем обтекании, прини-
принимаем обычный степенной закон теплообмена
st = ?ст = А ур A1.9.2)
где Ws « (St/Sto)Re** =if~o,5 — относительный закон теплообмена. Из урав-
уравнения неразрывности следует, что
где
fe=f f) ff) (n.9.4)
Здесь индексом 0 обозначены параметры по оси трубы, а индексом 1 — пара-
параметры на входе. Нетрудно показать, что при \io/\lo1 = (Т0/Т01)п*
4 (Г0/Г01)"> /, (г|5)
где
С учетом этих зависимостей из выражения A1.9.2) следует:
h""\ A1.9.7)
Из уравнения баланса тепла следует:
..pv
4 j <
»I (П.9.8)
где
О
Подставив в уравнение A1.9.7) это соотношение, получим
\-\-rixm
.A1.9.10)
Функции /х, f2 и f3 в общем случае зависят от неизотермичности потока.
пустим, что неизотермичность не оказывает заметного влияния на степенное
распределение скоростей и температур по сечению канала. Как показано Vpa-
ббтахБ. С. Петухгова, В. Н. Попова и Дейслера, это допущение можно считать
вполне приемлемым. Полагая в области стабилизированного течения ^и*
_,.^ A1.9.11)
и учитывая, что для газов имеет место соотношение A1.8.4), получаем:
fx-0,40811)-0'163; /2 = 0,068я|)-°'318; /8 = 0,408. A1.9.12)
6 Зак. 795 161
Тогда при т =_ 0,2 и пг = 0,75
"~ де+п.^уи^О.ООвб, A1.9.13)
т. е. практически этот параметр не зависит от температурного фактора. Разре-
Разрешая уравнение A1.9.10) относительно яр, получаем
* ••
'
1
•
¦
» *
— -
t *=
^^
— • —
A1.9.14)
000
000
200 Б
О 20 40 60 80 100 120 j/tf
Рис. 11.15. Сопоставление результатов расчета
температуры стенки ( по формуле
где
X
X
(t) т]
X
4 j qCT dx
X
i + ;
Nur1.
A1.9.15)
A1.9.17); — по методике С. С. Кута-
теладзе и А. И. Леонтьева) с опытами п ,, л „ , ,,„„„„„„ „ /ii n о\
В. И. Лельчука и Б. В. Дядякина (....); Хн- С Учет0М УРавненИЯ A1.9.8) МОЖ-
длина начального участка для Re^^O4 НО записать:
1.9.16)
Эта формула выведена автором совместно с А. И. Леонтьевым и А. К. Пиме-
новым. По данным П. Н. Романенко и Н. В. Крыловой, в области стабилизиро-
стабилизированного течения А = 0,0069 и т = 0,2. Принимая пг « п = 0,75, получаем
1970<7c2TD|
?— 1 01
X
4 j* qCT dx
0
Pr0
01 T
01
X
1 +
у
2,3
1 +
985
1 +
Pr
Oi
0,84
1+-
4 j (
A1.9.17)
Как видно из рис. 11.15, теоретический расчет по формуле A1.9.17) на-
находится в удовлетворительном соответствии с опытом на участке стабилизиро-
стабилизированного течения. Штрихами представлены результаты расчета начального уча-
участка по методике автора и А. И. Леонтьева. Пересечение расчетных кривых
определяет длину участка стабилизации.
Из работы П. Н. Романенко и Н. В. Крыловой следует, что значение кри-
критерия ReT, при котором уже не сказывается влияние условий на входе, при-
162
мерно равно 104. На рис. 11.15 показаны длины начальных участков, подсчи-
подсчитанные на основании этого значения критерия Rer*. Как видно, результаты та-
такого расчета находятся в хорошем соответствии с указанной выше методикой
определения длины начального участка.
11.10. ВЛИЯНИЕ ТЕПЛОВОГО ПОТОКА НА ТЕПЛООТДАЧУ
ПРИ ТЕЧЕНИИ КАПЕЛЬНЫХ ЖИДКОСТЕЙ
Как указывалось выше, для большинства капельных жидкостей характерны
существенное влияние температуры на коэффициент вязкости и относительное
постоянство других физических характеристик. В связи с этим могут быть при-
применены зависимости типа A0.8.14), в которых в качестве температурного фак-
фактора выступает величина
A1.10.1)
Только в области околокритических (в термодинамическом смысле) темпе-
температур начинают существенно меняться все физические свойства жидкости.
Теплоотдача металлических жидкостей весьма мало зависит от вязкости, а их
коэффициент теплопроводности зависит от температуры не очень сильно. В свя-
связи с этим для жидкометаллических теплоносителей поправку на температурный
фактор практически можно не вводить, относя все входящие в расчетные фор-
формулы физические характеристики жидкости к средней температуре потока.
Отнесение физических свойств жидкости к средней температуре потока при-
приводит обычно к существенному уменьшению влияния температурного фактора
и является общепринятым. Для ламинарного течения неметаллических жид-
жидкостей Зидер и Тэйт нашли, что
«/«о^О^стH'14'. A1.10.2)
где а0 рассчитано при отнесении физических свойств среды к То. Этот результат
подтверждается и обширными экспериментальными исследованиями Б. С. Пе-
тухова.
Как уже указывалось выше, вязкость жидкости в широком интервале тем-
температур можно представить экспоненциальной функцией вида
[i-^expt-^r-T^)] A1.10.3)
или, после перехода к безразмерной температуре,
=ф{Г*. A1.10.4)
Рассмотрим стабилизированное, стационарное, турбулентное течение в глад-
гладкой трубе по трехслойной схеме. Изменение вязкости будем учитывать лишь
в вязком подслое (поскольку числа Рг >1), полагая в нем изменение температу-
температуры линейным. Для вязкого подслоя, где в данном случае т « тст, применим
критерий устойчивости {v*ylvI = const. Последний справедлив по крайней
мере в областях г|)^, близких к единице. Принимая для трехслойной схемы пото-
потока v*y/v\1 = 6, v*y/v\2 = 30, решая методом последовательных приближений
уравнение распределения температуры A1.5.11) при этом критерии устойчиво-
устойчивости и учитывая A1.5.16), определим границы вязкого и промежуточного слоев
ух и у2 и значения безразмерных температур на этих границах Ох и Ф.,. Влия-
Влияние теплового потока на теплоотдачу определится соотношением
-/?
Nu
Nu0 r to Re |/ ? ^ x ^l + Prfr'Tfa-iAiip/iio)
ln 4,5т]2 К 32
A1.10.5)
163
где ? = 8 (v*/wJ — коэффициент гидравлического сопротивления в неизо-
неизотермических условиях. Распределение скоростей в вязком подслое с учетом
изменения вязкости по соотношению A1.10.3)
W""—1). A1.Ю.6)
Безразмерная скорость на границе вязкого подслоя увеличивается при подводе
тепла к жидкости (арТ1 < 1) и уменьшается при охлаждении ее (ф^ "> 1). По-
Поскольку законы распределения скоростей в промежуточном слое и турбулент-
0
0,2
0,4
Рис. 11.16. Сравнение экспериментальных данных по коэффициентам гидравлического
сопротивления (точки) с расчетом при нагреве теплоносителя (кривые) :
• — Re ж B,5-6,0)- 104, Рг = 3,4 — 11,0 (вода, местные значения; данные Б. С. Петухова);
^ — Re ж @,5— 1,2)- 1 О4, Рг ж 87 (трансформаторное масло, данные Б. С. Петухова); С — Re =
B,6 - 10,2) • 10* (вода; данные В. В. Яковлева); Q — Re = @,4 - 2,7) 10«, Рг = 6,0 - 6,5 (во-
(вода; данные М. А. Михеева, С. С. Филимонова, Б. А. Хрусталева), -)—Re= G,9— 1 6,3) • 1 О4 (вода;
данные О. Г. Новичковой); Д—Re—A — 2)-10б, Рг = 3,5 (вода, данные Ф. Kpaina и М Зоммер-
филда); О — Re=A4,0 - 7,8) • 104,Рг = 23 - 30 (/г-бутиловый спирт; данные Ф. Крайта и
М. Зоммерфилда); ®—Re = A,3— 1 1) • 1 О4, Рг — 7 — 8 (вода, данные Р. В. Аллена и Е. Р. Эккер-
та); расчет при Re= 10* и Рг=5; при Re= 1 О4 и Рг =--5; — • ?/?0 =
1/3°14
ном ядре потока можно считать неизменными, то при подводе тепла к жидкости
коэффициент гидравлического сопротивления будет уменьшаться, а при охлаж-
охлаждении жидкости — увеличиваться.
Результаты расчетов по описанной схеме при Re = 105, Рг = 5 и iiIip = jib
а также экспериментальные данные ряда авторов приведены на рис. 11.16
и 11.17. Линия 9 на рис. 11.17 соответствует эмпирической формуле Б. С. Пе-
Петухова
= %0'11. A1.10.7)
Для расчета коэффициента гидравлического сопротивления при 1 << Рг <С
< 10 можно воспользоваться формулой
С/?о = *Л'88. (П.10.8)
предложенной М. А. Михеевым (см. рис. 11.16). С ростом числа Прандтля
величина ?/?0 при нагреве жидкости будет увеличиваться.
164
По данным Б. С. Петухова, при 1 <
40
,,,0.28 Pi—0.25.
ч .и
A1.10.9)
В области околокритических состояний жидкости происходит сильное
изменение всех физических свойств. При этом имеет место ярко выраженный
максимум в зависимости теплоемкости (и соответственно числа Рг) от темпера-
температуры (фазовый переход второго рода).
Рис. 11.17. Сравнение экспериментальных данных по теплообмену (точки) с расче-
расчетом при нагреве теплоносителя (кривые):
D — Re=(l -т- 60). 104, рг==з - 12 (вода; данные Б. С. Петухова); • —Re = B,6 - 1 0 2) • 1 0+,
Рг = 2 -г 12, l/d=60 (вода; данные В. В. Яковлева); О — Re =^ B,6 -г- 1 0,2) • 1 О4, Рг = 2 — 12 ,'
//</=30 (вода; данные В. В. Яковлева); ^ — средние значения Nu, Re = B-r 10)-1 О4, Рг = 3 -f-
11 (вода; данные В. В. Яковлева). C~Re = D - 7) • 1 О4, Рг = 30 (/2-бутиловый спирт; данные
Ф. Крайта и М Зоммерфилда); Л —Re =A,3- 1 1) • 1 О4, Рг = 7 — 8 (вода; данные Р. В. Аллена
и Е. Р. Эккерта); расчет при Re= 105, Рг = 5; при Re= 10+, Рг = 5;
011 025
Если температурный напор стенка—поток весьма мал, то, как показали
опыты В. Е. Дорощука, В. Л. Лельчука и В. В. Медникова, а также А. А. Ар-
Арманда, Н. В. Тарасовой и А. С. Конькова, формула A1.6.20) дает вполне удов-
удовлетворительные результаты и в околокритической области. Однако при значи-
значительных тепловых потоках возникают
существенные отклонения, не снимае-
снимаемые поправками типа A1.10.7) или
A1.10.9).
На рис. 11.18 приведена экспе-
экспериментальная зависимость коэффи-
коэффициента теплоотдачи от температуры
потока при турбулентном течении во-
воды в трубе. Как видно, в области
околокритических температур имеют
место ярко выраженные максимумы,
70
50
J0
Чо3
"—=
Uss:
I
/l
2-J \
/A
/Ук\
!
340 350 360 370 380 390 7",°C
Рис. 11.18. Зависимость Nu/Re0-8 от темпе-
температуры воды при /? = 235-105Па по опытам
А. А. Арманда:
Дж/кг
=30,5- 10~2 Дж/кг; 2 — q/pw = 52 • 1 0
соответствующие «пикам» теплоемко-
теплоемкости. В общем случае для области
околокритических параметров следует
различать три основных случая тепло-
теплообмена.
1. Температура стенки меньше температуры, при которой имеет место мак-
максимум теплоемкости для данного давления: Тст << Тт. В этом случае имеет
место монотонное изменение физических свойств от ядра потока до стенки,
причем удельная теплоемкость возрастает в направлении от стенки к потоку,
" """ 0.
а дср/дТ
165
2. Температура стенки больше температуры максимума теплоемкости
Тст > Тт. В этом случае также происходит монотонное возрастание удельной
теплоемкости в направлении от стенки к потоку, но дср/дТ < 0.
3. Температура стенки больше, а температура ядра потока меньше тем-
температуры максимума теплоемкости: То < Тт < ТСТ. В этом случае межд\
осью потока и стенкой имеет место максимум теплоемкости.
В работе Е. А. Краснощекова и В. С. Протопопова предложена эмпириче-
эмпирическая зависимость вида
a/ao = (p,o/fiCTH'11 (ЯСТЛОH'33 (ср/Ср0H'35, A1.10.10)
где ср = (iCT — io)/(TCT — То) — некоторая эффективная удельная теплоем-
теплоемкость, определенная по разности теплосодержаний среды при Тст и То.
Автором и А. И. Леонтьевым была получена теоретическая зависимость
вида
/ ^ \ 2
A1.10.11)
а° \ Уро/Рст+1
которая удовлетворительно (± 15%) согласуется с опытными данными для
случая 2, т. е. когда по сечению потока дср/дТ < 0.
Отсюда следует, что для теплообмена при околокритических параметрах
важно в первую очередь соотношение рст/р0-
11.11. ТЕПЛООБМЕН И ТРЕНИЕ ВО ВХОДНОМ
УЧАСТКЕ ТРУБЫ
Во входном участке трубы пограничный слой развивается обычным образом
до тех пор, пока противоположные точки его внешней границы не сольются.
При этом, если общий расход среды по трубе постоянен, скорость течения в не-
невозмущенном ядре меняется вследствие утолщения пограничного слоя.
В невозмущенном ядре потока в меру справедливости модели пограничного
слоя конечной толщины трение отсутствует и изменение давления вдоль осред-
ненного течения однозначно связано с изменением скорости, так же, как и во
внешней задаче, т. е.
dp/dx = р0 w0 dwjdx. (ll.ll.l)
С другой стороны, из уравнения сплошности следует, что
До
о
2o--2 J (Plw0-pw)RdRy A1.11.2)
Я6
или
б
Rl-2$(l--^)(R0-y)dy = (R0-{>r. A1.11.3)
О
Здесь у = Ro — R — расстояние по нормали от стенки и б* — толщина вы-
вытеснения.
Таким образом, в цилиндрическом пограничном слое
г- б -jl/2
При 6*«
166
J V РоЩ
о
В области слившегося изотермического пограничного слоя (б = /?0, р = р0)
и при степенном распределении скорости
Ro У
A1.11.6)
При п = 1/7 по формуле A1.11.6) б* = 0,095 вместо б* = 0,125 в плоском по-
пограничном слое.
Измеряя распределения давления и скорости течения по оси трубы в об-
области б < Ro> можно найти экспериментальное значение толщины вытеснения
по формуле
-dp/dwo = polwol(l-8*/RoJ. A1.11.7)
Уравнения импульсов и энергии сохраняют прежнюю форму, если б**
и 8г* определять соответствующим образом с учетом кривизны пограничного
слоя. Когда их значения заметно меньше радиуса трубы, то поправка та же,
что и в формуле A1.11.5) для толщины вытеснения.
Консервативность законов трения и теплообмена имеет место и в данном
случае, т. е. функции cf (Re**) и St (Re*/) сохраняют свой вид, несмотря на
изменение формы записи толщин потери импульса и энергии вследствие кри-
кривизны пограничного слоя.
Покажем это на примере закона трения в области распределения скоростей
с показателем степени п = 1/7. По данным, приведенным в предыдущей главе,
для плоского изотермического пограничного слоя в этом случае
су = 0,0252 Re**-1/4. A1.11.8)
В области слившегося пограничного слоя б = Ro и
*ст = (С/8) Р^2 = (су/2) рш20. A1.11.9)
Здесь величина cf отнесена к скорости на оси трубы. Соответственно
t> = 4(w0/~wJ cf. A1.11.10)
Подставляя в это выражение значения Су из A1.11.8), находим, что
где
В рассматриваемом случае
*** С I у W7 Г 1 I у Vi7M л у \ л л л™
о**= М- 1—/-JL- 1—тг)лу = °>07°;
J \ Яо / L V Ro I \\ Ro I
о
Н = 0,095/0,070 = 1,35; ср = 0,02.
Соответственно по формуле A1.11.11) ? = 0,33/Re0'25, что только на 5%
отличается от A1.1.15). Перепишем уравнение импульсов A0.10.1) в виде
9dRe**/tfX + Re(l + //)/-Rec//2. A1.11.12)
Здесь Re** = oyo6**/v, Re = wD/v и X =xlD. В данном случае формпара-
метр может быть выражен через коэффициент сопротивления ?, а именно
= =ф2 -2 . A1.11.13)
w0 dx 4 Ro
Полагая ?/4 « cf и зная, что при п = 1/7 в области б < Ro б** <С 0y07R0,
находим, что на отрезке 0 < б < Ro в уравнении A1.11.12) второй член имеет
значение « 0,22 (Recy/2). Поэтому в первом приближении можно сохранить
уравнение импульсов в форме, соответствующей обтеканию пластины. Тогда
167
в области закона распределения скоростей с п = 1/7 и при развитии турбулент-
турбулентного пограничного слоя с передней кромки трубы
X ~ Рр- 0,25.
~К ' ¦ A1.11.14)
Здесь индексом 0 обозначено сечение, в котором сливаются пограничные слои.
При Рг & 1 эти соотношения справедливы и для теплоотдачи.
Из первой формулы A1.11.14) получаем при 104 < Re < 106 относительную
длину начального участка 10 < Хо < 21. Эти значения Хо близки к экспери-
экспериментальным. Однако переменность условий на входе в трубу и, в частности,
изменение степени турбулизации входящего потока с ростом числа Re, воз-
возможность существования на переднем участке ламинарного пограничного слоя
и другие обстоятельства приводят к довольно различным экспериментальным
данным и о длине участка, на котором стабилизируются трение и теплооб-
теплообмен, и о значении 8Х.
Во всяком случае, из сравнения уравнений A1.11.14) с данными табл. 11.3
видно, что протяженность входного участка при турбулентном течении замет-
заметно меньше, чем при ламинарном.
11.12. ТЕПЛООБМЕН ПРИ ПРОДОЛЬНОМ ТЕЧЕНИИ
В КАНАЛАХ НЕЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ФОРМЫ
Для замкнутых каналов, поперечное сечение которых нецилиндрично, ко-
коэффициент теплоотдачи является функцией всей совокупности геометрических
характеристик рассматриваемого канала. Например, для треугольного канала
дополнительной характеристикой является отношение его сторон. Некоторые
решения для ламинарного режима течения были приведены в разд. 11.2,
При турбулентном течении тонкий вязкий подслой почти не меняет своих
размеров при изменении формы сечения канала. Наблюдается только утолще-
утолщение вязкого подслоя и возможны появления локальных токов в углах канала.
В результате закономерности для средней теплоотдачи при турбулентном тече-
течении остаются близкими для каналов различной формы. Однако локальные
коэффициенты теплоотдачи могут меняться весьма значительно.
В практических расчетах в качестве основной геометрической характери-
характеристики канала пользуются так называемым гидравлическим эквивалентным диа-
диаметром
D9 = 4Q/P. A1.12.1)
Здесь Q — площадь свободного («живого») поперечного сечения канала; Р —
смоченный периметр канала.
При турбулентном продольном обтекании неметаллической жидкостью па-
пакета труб
a/ao&(D9/D)*-*, A1.12.2)
где а0 — коэффициент теплоотдачи при течении в трубе диаметром, равным
наружному диаметру труб пакета D. При течении в кольцевых каналах с на-
наружной теплообменной поверхностью
а/ао« 1—0,14 (D!/D2)o.6. A1.12.3)
Поскольку такого рода эмпирических формул предложено довольно много,
в практических расчетах следует ориентироваться на те или иные нормативные
материалы.
11.13. ТЕПЛООБМЕН ПРИ ТЕЧЕНИИ ХИМИЧЕСКИ
РЕАГИРУЮЩИХ ГАЗОВЫХ ТЕПЛОНОСИТЕЛЕЙ
Если в рассматриваемом диапазоне температур возможны процессы диссо-
диссоциации или ассоциации молекул теплоносителя, то возникает проблема, при-
примыкающая к задачам о температурном факторе и теплообмене при фазовых пере-
переев
ходах. При этом необходимо учитывать как изменения фактических свойств
среды с изменением структуры молекул, так и теплоту реакции и время релак-
релаксации.
Рис. 11.19. Изменение относительных концентраций рко компонентов смеси
N2O4^=2NO2^ 2NO + O2 в зависимости от температуры и времени пребы-
пребывания газа в канале t> с:
1-Рхо; 1' — Р2о (^= 1 000); 2' — р20 (84); 3'— р20D); 4' — Р20@,4); 5' — р20@,04);
6'—р2о @,0035), /"—6"—р4о соответственно; пунктирная линия—равновесные условия
Теплота реакции в данном случае может быть учтена введением эффек-
эффективной теплоемкости системы. Насколько сложна возникающая ситуация,
видно на примере расчетов состояния системы, исходным продуктом которой
является четырехокись азота (рис. 11.19).
т,х
700
600
500
400
а
у
о ,
У
У
800
600
о
0,2 0,4 0,6 /,м
400
5
у
У
У
L .
-
_ ¦
0
0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 /,м
Рис. 11.20. Распределение температуры стенки и газа по длине трубы при II стадии
реакции диссоциации BNO2:^2NO-|-O2) при времени пребывания газа в трубе
0,017 с (а) и 0,03 с (б):
/ — температура стенки, 2 — температура газа, рассчитанная с учетом химического неравнове-
неравновесия; 3 — температура газа, рассчитанная по условиям химического равновесия; •—эксперимен-
•—экспериментальные значения температуры газа на входе и выходе из трубы
При течении диссоциирующего газа без фазовых переходов система опреде-
определяющих критериев может быть составлена аналогично той, которая возникает
для области фазового перехода второго рода. При этом в качестве теплоемкости
при параметрах стенки принимается величина
Ср. ст=(*ст — Q/(Tct — Ть). A1.13.1)
169
Общий расчет теплообмена должен учитывать время пребывания элементар
ного объема газа в канале и время релаксации. Как могут влиять эти параме
тры на изменение температуры по каналу, видно из примера, приведенного ш
рис. 11.20.
^
A
A
A
A
A A
¦ A A
X
x
A
A
x
x*
x %/
2-Ю4
7 В 9 10S
Re
Рис. 11.21. Обработка экспериментальных данных по теплообмену при на-
нагреве системы N2O4^^2NO2:
# — /7=1,0 -и 3,0 МПа; х— р = 3,0 -г 5,5 МПа; А — р = 6,0 -f- 8,5 МПа
Влияние неравновесности процесса на теплоотдачу диссоциирующего га-
газа, текущего в трубе, отчетливо видно на рис. 11.21.
Детальное изложение этой проблемы имеется в работах А. К. Красина
В. Б. Нестеренко, Б. С. Петухова, А. И. Девойно и др.
11.14. ВЛИЯНИЕ ШЕРОХОВАТОСТИ СТЕНКИ ТРУБЫ
НА ТЕПЛООТДАЧУ
При ламинарном течении, когда теплопроводность во всех точках потокг
одинакова, термическое сопротивление слоя, текущего между бугорками ше
роховатости стенки, пренебрежимо мало, по сравнению с термическим сопро
тивлением всей толщи потока. Не сказывается шероховатость стенки и на гид
родинамических характеристиках ламинарного течения в связи с относительнс
слабым изменением скорости около стенки.
Иначе обстоит дело с турбулентным потоком. В последнем наиболее сущест
венные изменения скорости и температуры (при Рг ^ 1) происходят в непо
средственной близости к стенке, на расстояниях, которые могут быть соизме
римы с высотой бугорков шероховатости. Как видно из рис. 11.3, при опреде
ленных значениях Re (зависящих от относительной шероховатости k/R0) ше
роховатость стенок трубы вызывает коренное изменение в зависимости гидрав-
гидравлического сопротивления от скорости течения. Это изменение в автомодельное
области приЕодит к незагисимости гидродинамических характеристик поток
от молекулярного трения и в связи с этим от числа Re.
Однако на тепловые процессы молекулярный перенос продолжает влиять
и при турбулентном течении в области квадратичного закона сопротивления
Это влияние выражается через термическое сопротивление вязкого пристенно
го слоя, текущего между бугорками шероховатости и отделяющего собственж
стенку от турбулентного ядра потока. Таким образом, граничные условия \
уравнениям движения и теплообмена при обтекании шероховатой поверхносп
оказываются неодинаковыми. Распределение скоростей в этом случае сущест
венно зависит от торможения потока на бугорках шероховатости. Распределение
же температур зависит как от торможения потока (через поле скоростей), так
170
и от теплопроводности в вязком подслое и в том случае, когда его толщина ста-
становится меньше высоты бугорков шероховатости. В связи с этим даже при
условии Рг = 1 и grad p = 0 в турбулентном потоке, обтекающем шерохова-
шероховатую поверхность, нет точного подобия полей скоростей и температур. Оценить,
по крайней мере качественно, влияние шероховатости на теплоотдачу можно
на основе следующих допущений: 1) теплопроводностью бугорков шерохова-
шероховатости и вносимым ими загромождением вязкого подслоя можно пренебречь;
2) толщина вязкого подслоя в общем слу-
случае есть функция высоты бугорков шеро- Nu
ховатости 400
A1.14.1) joo
200
140
100
6b
6
4,
//
120-
500^
OO-
J
//,
V
I
\ 1O5Re
но в первом приближении ^ имеет то же
значение, что и при течении в гладкой тру-
трубе; 3) в области ух <С у < k интенсивность
турбулентного обмена приближенно выра-
выражается так же, как и в ядре потока или
промежуточном слое.
При таком рассмотрении интенсивность
теплоотдачи в шероховатой трубе выра-
выражается той же функцией чисел Re, Pr и ?,
что и в гладкой трубе, но значения ? в
эту формулу следует подставлять с учетом
влияния шероховатости. При этом следует
отметить, что, согласно обстоятельным опытам, в ядре потока величина к
оказывается одной и той же независимо от шероховатости.
В табл. 11.11 приведены значения числа Nu, рассчитанные для газа с Рг = 1
по формуле A1.6.13) при различных Dlk. Закон сопротивления взят в соответст-
соответствии с данными рис. 11.3.
Таблица 11.11
Сопоставление значений чисел Nu/? для гладких груб и труб с зернистой шерохова-
шероховатостью Рг=1 (расчет по формуле A1.6.13) и рис. 11.3)
Рис. 11.22. Влияние шероховатости на
теплоотдачу в трубе по табл. 11.11
Re
ЫО4
5.10*
2-Ю5
D/k
оо
39,5/0,0316
132/0,021
388/0,0155
500 | 120
39,5/0,0316
133/0,022
456/0,0182
39,5/0,0316
156/0,0323
560/0,0362
60
42,0/0,039
181/0,0450
610/0,0456
Таким образом, в шероховатых трубах интенсивность теплоотдачи возра-
возрастает относительно меньше, чем коэффициент гидравлического сопротивления.
При этом влияние шероховатости на показатель степени в зависимости Nu от Re
оказывается не очень большим — изменение числа Re от 1 • 104 до 2 • 105
(в 20 раз) изменяет число Nu для гладкой трубы в 9,8 раза (средний показатель
степени при Re равен 0,76), а для трубы с шероховатостью Dlk = 60 — в 14,5
раза (средний показатель степени 0,89). Графически результаты этих расчетов
показаны на рис. 11.22.
11.15. ВЛИЯНИЕ ВНУТРЕННЕГО ИСТОЧНИКА ТЕПЛА
Внутренний источник тепла возникает в потоке жидкости, несущей радио-
радиоактивную взвесь, в потоке радиоактивного раствора, при прохождении электри-
электрического тока через электролит или жидкий металл и т. п. Рассмотрим влияние
этого фактора на коэффициент теплоотдачи при течении жидкости в круглой
трубе, достаточно длинной для того, чтобы можно было пренебречь влиянием
входного участка.
171
Введя в зависимость A1.3.3) внутренний источник плотностью qy, полу-
получим уравнение
Яу R WR дТ
*« К ""г * 1 dR *
а дх
A1.15.1)
Интегрируя в пределах от 0 до R при условиях qv = const, после приведения
к безразмерному виду находим значение
2aGct-T) ^
Введем в это выражение значение д$/дХ из A1.5.10), определяя значение
коэффициента теплоотдачи по обычной формуле
—Л. A1.15.3)
где qCT — плотность теплового потока, пронизывающего стенку трубы, Вт/м2.
В результате находим, что
dlldt-
A1.15.4)
Здесь Z = qvRQ/2qCT — относительная плотность источника тепла. Выра-
Выражение, стоящее в фигурных скобках, может быть приведено к виду
— —
— m.
-а
0,8
0,6
-
-
-
-
1-
dt
A1.15.5)
0,8 0,4
0,4
Отсюда видно, что степень влияния внутрен-
внутреннего источника тепла пропорциональна ве-
величине
Рис. 11.23. Влияние внутреннего
источника тепла на коэффициент
теплоотдачи:
/ — по формуле A115 7); 2 — по фор-
формуле A1 15 8)
=~- \<оЫ-
(ПЛ5.6)
При @=1 А ~ 0, т. е. в предельно развитом турбулентном потоке коэффи-
коэффициент теплоотдачи не зависит от плотности внутреннего источника.
Первый член уравнения A1.15.4) тождествен уравнению A1.5.14), т. е.
представляет собой величину 1/Nuo, где Nu0 — значение числа Нуссельта
при qy = 0.
Для ламинарного течения с параболическим профилем скоростей из урав-
уравнения A1.15.4) запишем:
а/а0 = A + 0.272Z)-1. A1.15.7)
Для турбулентного течения с распределением скоростей по закону степени
1/7 и при числе Рг = 0
а/а0 - A + 0.0834Z)-1. A1.15.8)
На рис. 11.23 показаны результаты расчетов по этим формулам.
172
В общем влияние внутреннего источника на коэффициент теплоотдачи не-
невелико. При Z > О коэффициент теплоотдачи несколько уменьшается вследст-
вследствие более интенсивного нагрева слоев потока, имеющих меньшую скорость те-
течения. При стоке тепла (Z < 0) коэффициент теплоотдачи несколько возрастает.
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1 Аладьев И. Т. Экспериментальное определение локальных и средних коэффициентов
теплоотдачи при турбулентном течении жидкости в трубах.— «Изв. АН СССР. Сер.
ОТН», 1951, № 11, с. 1669.
2. Вопросы теплообмена. Сб. статей. Отв. ред. М. А. Михеев. М., Изд-во АН СССР, 1959.
3. Вопросы теплообмена. Пер. с англ. М.— Л., Госэнергоиздат, 1959.
- 4. Гидродинамика и теплообмен в атомных энергетических установках. (Основы расчета).
М., Атомиздат, 1975. Авт.: В. И. Субботин, М. X. Ибрагимов, П. А. Ушаков и др.
5. Жидкометаллические теплоносители. Изд. 3-е М., Атомиздат, 1976. Авт.: Кутате-
ладзе С. С, Боришанский В. М., Новиков И. И., Федынский О. С.
6. Ильин Л. Н. О влиянии температуры на конвективную теплоотдачу. М., Машгиз,
1951. (Тр. ЦКТИ, кн. 18).
7. Киприянов И. В. Теплоотдача и сопротивление газового потока в каналах с продоль-
продольно омываемыми поверхностями нагрева. М., Машгиз, 1952. (Тр. ЦКТИ, кн. 22).
8. Краснощекое Е. А., Протопопов В. С. К вопросу о теплообмене при течении углекис-
углекислоты и воды в сверхкритической области параметров состояния.— «Теплоэнергетика»,
1960, № 10, с. 94.
9. Кутателадзе С. С, Леонтьев А. И. Турбулентный пограничный слой сжимаемого газа.
Новосибирск, Изд-во СО АН СССР, 1962.
10. Лельчук В. Л., Елфимов Г. И. Теплообмен от стенки к углекислому газу при турбу-
турбулентном течении в круглой трубе и больших тепловых нагрузках.— «Инж.-физ.
журн.», 1963, т. 6, № 12, с. 1 1.
11. Лельчук В. Л., Елфимов Г. И. Теплоотдача к турбулентному потоку аргона внутри
трубы при больших температурных напорах и высоких температурах стенки.— «Теп-
«Теплофизика высоких температур», 1964, т. 2, № 2, с. 243.
12. Лельчук В. Л., Дядякин Б. В. Теплоотдача от стенки к турбулентному потоку воздуха
внутри трубы и гидравлическое сопротивление при больших температурных напо-
напорах. — В сб. «Вопросы теплообмена», М., Изд-во АН СССР, 1959, с. 123.
13. Миллионщиков М. Д. Турбулентные течения в пограничном слое и трубах. М. ,«Нау-
,«Наука», 1969.
/14) Методика и зависимости для теоретического расчета теплообмена и гидравлического
~" сопротивления теплообменного оборудования АЭС, РТМ 24 031 05—72. М., Минтяж-
маш, 1974.
15. Мигай В. К. Теплообмен в треугольном канале при ламинарном течении.— «Инж.-
физ. журн.», 1958, № 7, с. 18.
16. Петухов Б. С. Теплообмен и сопротивление при ламинарном течении жидкости в тру-
трубах. М., «Энергия», 1967.
17. Петухов Б. С, Генин Л. Г., Ковалев С. А. Теплообмен в ядерных энергетических уста-
установках. М., Атомиздат 1974.
18. Стырикович М. А., Семеновкер И. Е. Теплообмен при очень низких значениях чисел
Рг. — «Журн. техн. физ.», 1940, т. 10, № 16, с. 1324.
19. Теплообмен в химически реагирующих газовых теплоносителях. Под ред. А. К. Кра-
Красина, В. Б. Нестеренко, А. Н. Девятко. Минск, «Наука и техника», 1971.
20. Теплообмен при высоких тепловых нагрузках и других специальных условиях. М.,
Госэнергоиздат, 1959.
21. Шваб В. А. К теории теплопередачи в турбулентном потоке. Тр. ЛПИ, Разд. физ.-
мат. наук, вып. 1, 1937.
22. Latzko H. Der Warmeubergang an einem turbulenten Fliissigkeits-oder Gasstrom. —
«Abhandl. a us des Aerodyn. Inst. an der Techn. Hochschule, Aachen», 1930, Hf. I, S. 63.
23. Lyon R. Liquid metal heat — transfer coefficients. — «Chem. Eng. Progr », 1951,
vol. 47, N 75, p. II.
24. Nusselt W. Der Warmeubergang in Rohrleitungen. — «VDI Forschungsheft», 1910,
Hf. 89, S. I.
12
Глава ш ^ ш
~ " ТЕПЛООБМЕН ПРИ БОЛЬШИХ
СКОРОСТЯХ ТЕЧЕНИЯ ГАЗА
12.1. СВЯЗЬ МЕЖДУ ТЕМПЕРАТУРОЙ ТОРМОЖЕНИЯ
И СКОРОСТЬЮ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ЗВУКА В ГАЗЕ
Для плоского пограничного слоя температура торможения
*/2cp. A2.1.1)
Из термодинамики известно, что скорость распространения звука в газе,
подчиняющемся уравнению Клапейрона—Менделеева, определяется адиаба-
адиабатической сжимаемостью среды:
a* = Vkp/p = VcpT(k — l), A2.1.2)
где k = cp/cv — показатель адиабаты.
Подставляя в уравнение A2.1.1) значение термодинамической температуры
потока 7\ выраженное через скорость звука, находим, что в потоке газа
Т* = Т(\+ ±zLm*\. A2.1.3)
Здесь величина
М = w/a* « wVp/p A2.1.4)
представляет собой отношение скорости течения среды к скорости распростра-
распространения в ней звука, т. е. является критерием, характеризующим сжимаемость
среды под воздействием динамических сил в потоке.
12.2. КОЭФФИЦИЕНТ ВОССТАНОВЛЕНИЯ ТЕМПЕРАТУРЫ
И ОБОБЩЕННЫЙ КОЭФФИЦИЕНТ ТЕПЛООТДАЧИ
Термодинамическая температура потока может быть измерена только та-
таким термоприемником, относительная скорость которого равна нулю. В ином
случае термометр будет показывать некоторую температуру, промежуточную
между термодинамической температурой и температурой торможения. В общем
случае
2cp, A2.2.1)
где г — так называемый коэффициент восстановления, который зависит от
физических свойств потока, режима течения, геометрической формы и физиче-
физических свойств обтекаемой поверхности (измерителя). При этом предполагает-
предполагается, что теплообмен излучением пренебрежимо мал. Температура, которая уста-
устанавливается на поверхности тела при отсутствии в нем каких-либо тепловых
потоков (т. е. теплопередачи по нормали и растечек тепла вдоль этой поверх-
поверхности вследствие теплопроводности), называется равновесной температурой.
Равновесная температура стенки ГсТ определяется формулой A2.2.1),
причем коэффициент восстановления в этом случае зависит только от свойств
потока и геометрии обтекаемой поверхности. Для газа при заданной форме тела
коэффициент восстановления в' случае равновесной температуры
г = r(Pr; k\ M; Re). A2.2.2)
Для продольно обтекаемой пластины при ламинарном пограничном слое
г да l/PF, а при турбулентном пограничном слое г да -j^Pr. При поперечном
обтекании проволок газом по В. С. Жуковскому при Re < 3000
г = @,355 + 2,14Pr) (k - 1). A2.2.3)
174
Исследования коэффициента восстановления для различных областей зна-
значений чисел Re были проведены В. С. Жуковским и Л. М. Зысиной-Моложен
(табл. 12.1). На рис. 12.1 приведены расчетные зависимости коэффициента
восстановления от числа Рг при обтекании плоской пластины. Как видно, у не-
неметаллических жидкостей (Рг<1) равновесная температура стенки Т1Т
может существенно превышать температуру торможения в невозмущенном по-
потоке То- Объясняется это тем, что вблизи стен-
стенки интенсивность диссипации работы трения
пропорциональна \iw2, а отвод выделившейся
теплоты от теплоизолированной стенки в ядро
потока жидкости пропорционален X (TJT—Го).
Отсюда при подобии между трением и тепло-
теплообменом Т?т = Го, а при v > а теплоотвод
через пограничный слой затрудняется и
Гтс > Tq. В турбулентном пограничном слое
такое подобие нарушается при Рг Ф 1 только
вследствие процессов молекулярного трения
и молекулярной теплопроводности в тонком
вязком подслое. Поэтому зависимость вели-
г
10
г
2
1
0,4
в—-
- 9-
. —^
4 10и
ю1
10z Pr
Рис. 12.1. Коэффициент восстанов-
восстановления при обтекании пластин:
/ — ламинарный пограничный слой; 2 —
турбулентный пограничный слой
чины г от числа Рг для турбулентного пограничного слоя слабее, чем для ла-
ламинарного пограничного слоя. Значения коэффициента восстановления при
течении в трубах близки к соответствующим значениям для пластины.
Таблица 12.1
Коэффициенты восстановления при поперечном обтекании воздухом проволок
(Рг = 0,72; /г = 1,40)
Re
Г
3000
0.76
3000 — 20 000
Неустойчивые значения
20 000 — 140 000
Л1>0,7
0,92
140 000
dr/dRe<0
Таким образом, характерной величиной, определяющей поток энтальпии,
является разность энтальпии при параметрах на стенке и энтальпии изоэн-
тропического торможения с учетом коэффициента восстановления. Поэтому
определение (9.5.6) коэффициента теплоотдачи по разности энтальпии стен-
стенки и энтальпии торможения в общем случае целесообразно записать в форме
q = a(ilT—iCT), A2.2.4)
где *'ст= i0 + rwo/2 — равновесная энтальпия стенки. Эта формула имеет то
достоинство, что всегда дает при iCT = i*T правильное значение теплового
потока q = 0.
12.3. ТЕПЛООТДАЧА К ПЛАСТИНЕ
Рассмотрим течение при отсутствии скачков уплотнения. В случае об-
обтекания пластины потоком газа при Рг= 1, ср = const и др/дх — 0 уравне-
уравнения теплопроводности и движения пограничного слоя (9.4.2) становятся
однотипными относительно 7* и wx. Следовательно, в рассматриваемом
случае имеет место подобие полей температур торможения и скоростей.
Из условия подобия следует, что
G* — ТСТ)/(ТО — TCT) = wx/w0. A2.3.1)
Здесь индексом 0 обозначены температура торможения и скорость течения
вне пограничного слоя. Из последнего выражения следует, что
Т — Т -4-
1 — ' ст т
+ ¦
2ср
wQ
2ср
w0
- -x(<!L) ^A_(dwx_) (т _т __!М
— I | — I / I ст 0 I •
\ оу /ст w0 \ ду /ст у 2ср I
A2.3.2)
A2.3.3)
G5
Выражая градиент скорости у стенки через напряжение трения тст, получаем
A2.3.4)
Это выражение совершенно аналогично формуле (9.2.5) для потока медленно
движущейся жидкости и отличается от него только тем, что термодинамиче-
термодинамическая температура ядра потока замещена в ней температурой торможения.
Вводя в уравнение A2.3.4) обобщенное значение коэффициента теплоот-
теплоотдачи по формуле A2.2.4) и выражая тст через
Гст>7о v У локальное значение коэффициента трения cf, по-
q /Ly^ лучаем
У^о А/< 7-0 «/(Ро wo) = cf/2t A2.3.5)
нагребается / ,
— или, при ср = const,
Тело a/(cppowo) = cf/2. A2.3.6)
охлаждается
В формуле A2.3.5) коэффициент теплоотда-
теплоотдачи выражен через разность энтальпий, а в фор-
SOS ме„ГсРувеТлР„ЧеИн3„МемсНКоЯ муле A2.3.6)-через разность температур. Как
роста течения газа видно, формула A2.3.6) совершенно тождест-
тождественна формуле (9.2.8); при этом, однако, следует
обратить внимание на то, что в нее входит значение плотности среды при опре-
определенной температуре Т = То. При Рг « 1 практически можно полагать
A2.3.7)
Введя в формулу A2.3.3) значение критерия М = wo/a* no формуле A2.1.3),
можем написать (Рг = 1)
( ±±] A2-3.8)
Из этого выражения видно, что при Тст > То увеличение скорости течения
(т. е. увеличение числа Мо) вначале вызывает рост, а затем падение теплового
потока. При
A2А9)
тепловой поток равен нулю и при дальнейшем увеличении числа Мо меняет
знак. Таким образом, если Гст > 70, то пластина отдает тепло потоку до тех
пор, пока Af0 < f/ j^ri (^-l) . и начинает получать тепло от потока газа,
когда знак неравенства меняется. Когда термодинамическая температура ядра
потока больше температуры стенки, тепловой поток всегда направлен от газа
к пластине (рис. 12.2).
12.4. КОЭФФИЦИЕНТ ТРЕНИЯ ПЛАСТИНЫ
ПРИ ЛАМИНАРНОМ ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ
Относительная плотность газа в данной точке может быть определена из
уравнения состояния через температуру П и соответствующее ей расчетное
давление р00. Отсюда
= рПКРооТ) " A2.4.1)
или, принимая во внимание, что в пограничном слое др/ду -Ои, следователь-
следовательно, р = рОу
Р/Роо = РоП1(РооТ). A2.4.2)
176
Изменение состояния газа вне пограничного слоя происходит адиабатически,
и, следовательно,
Poo \ То / \ 2ср 10 J
Уравнение температурного поля A2.3.2) можно переписать следующим обра-
образом:
Т = П \ 1 — и2 +(-^ — l)( 1 — —) 1, A2.4.4)
где и =
A2.4.5)
2 + (Л— 1)М2
Совмещая формулы A2.4.2)—A2.4.4), находим, что
?
A U) \l й+( )(\ 4
Poo L \ то 1\ U
Уравнение импульсов для безградиентного обтекания примет вид
- \)(\ - 4]У\ A2.4.6)
1\ U ) \
A2.4.7)
б
где б**= ( рШдс—A— ^-\dy— толщина потери импульса, отнесенная
J Роо^о \ Щ I
о
J
о
к плотности роо-
Подставляя в равенство A2.4.7) значение р/р00 по уравнению A2.4.6), по-
получаем
б
тст
Роо^о
= ^Г «^(l_?!?LW A2.4.8)
о
_ P
Здесь dv\ = — dy, и соответственно
г 00
-^)]V A2.4.9)
Отсюда видно, что введенная А. А. Дородницыным переменная ц позволяет
свести уравнение импульсов для газа к форме уравнения импульсов для пото-
потока несжимаемой жидкости.
Тогда коэффициент трения можно выразить:
_2тст_ =2-^-A_77Г2I/A~Л) A2.4.10)
poowl dx x >
После этих преобразований расчет ламинарного пограничного слоя газа можно
вести аналогично расчету ламинарного слоя несжимаемой жидкости, введя
в полином, аппроксимирующий профиль скоростей, вместо расстояния от
стенки у величину т). Кроме того, необходимо учесть переменность вязкости.
Л. Е. Калихман распространил на эту задачу метод Польгаузена, которым
мы уже пользовались в гл. 10.
177
Предположим что
I* = h>o (тщу = 1*00 [l - «2 +(ТС?/П — 1) (l — п/77)]п;
п/U - Лх т]/б 4- Л2 (л/бJ + А, (т1/б)Ч Л4 (tj/6L ; j A2.4.11)
GS-Г*) (П~ТСТ) = Б,т|/б +В2 (г]/бJ + В3(л/8K + В4(т|/б)«.)
При */ = ^ ру^шо. |
ду
ду \ ду
Переходя к переменной Дородницына т), получаем:
при т) = О
~) дЛ-) =0,
при г) = б
Аналогичные условия составляют для температуры. По этим граничным
условиям вычисляют коэффициенты Аг и Вг в системе A2.4.11). Расчеты, вы-
выполненные Л. Е. Калихманом, привели к формуле
п \(л-1)/2
где Re = wolho. Здесь
2Л A44-1-12Л— 5Л2)
315
л =
A2.4.12)
A2.4.13)
ч
¦^—
¦
i
— -
1А
1,0
и z 4 о а /ст
т*
Рис. 12.3. Функция F в форму-
формуле A2.4.12) при л = 0,7
Для п = 0,7 функция F приведена на
рис. 12.3 и может быть аппроксимирована фор-
формулой
A2.4.14)
Соответственно для газа с п = 0,7 при ламинар-
ламинарном пограничном слое на пластине с безгра-
безградиентным обтеканием
A2.4.15)
Здесь С/о — коэффициент трения для ламинарного пограничного слоя несжи-
несжимаемой жидкости при том же значении Re. Формуле A2.4.15) также можно
придать вид
= yp-°>"y*-°>0\ A2.4.16)
где г|э = Тст/Т0 — температурный фактор в его обычной форме; гр* = То/То —
величина, которая также может рассматриваться как особая форма темпера-
температурного фактора, связанного с преобразованием кинетической энергии потока
в теплоту. В обобщенной форме, пригодной для газа с Рг Ф 1,
A2.4.17)
178
Как уже говорилось ранее, эта величина может быть названа третьим или
кинетическим температурным фактором. При сопоставлении коэффициентов
трения по числу Re** в рассматриваемом случае
Y = (cf/cf.)R*. = 4'-0'22 Г'08- A2-4.18)
12.5. ПРОФИЛЬ СКОРОСТЕЙ В ТУРБУЛЕНТНОМ
ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ
НА НЕПРОНИЦАЕМОЙ ПЛАСТИНЕ
Рассматривается распределение скоростей в плоском турбулентном погра-
пограничном слое быстротекущего газа в окрестности стенки. Полагая т « 1, Р » О
и / ~ у, запишем
. «Рп^.х.^,_=.у. A2.5.1)
A2.5.2)
Из соотношения A2.3.1) следует, что
Т/То = 1 f D.* —1)A —со2) 4-
где
И 0) =
ф ф * (ст 7
Формула A2.5.2) соответствует формуле (9.14.22) при е = 1. При Агр = О
теплообмен отсутствует, т. е. имеет место адиабатическое обтекание поверх-
поверхности Подставляя значение Т/То из уравнения A2.5.2) в соотношение A2.5.1),
»-Рст
20
1
15
10
5
0
у
/
1
7
/
//
//
1
/
2,36
2,07 ^
1,23
0 ^
/
//
**"
/
У/
/У,
' У У
уУ /
<' У
л
/
/
/
/
10
10е
Рис. 12.4. Распределение скоростей в пограничном слое на пла-
пластине при сверхзвуковом течении газа (М0 = 5)
179
находим следующее выражение для профиля скоростей в пристенной области
турбулентного ядра пограничного слоя газа:
г* sin
+Z4 In —
Ул.
A2.5.3)
Здесь
Zi='
A2.5.4)
- до,1 /" с/ до*
Функция ®i = —у -~ = -f, где шх — скорость течения на расчетной границе
вязкого подслоя ух.
Формула A2.5.3) может быть названа законом распределения скоростей
по синусу логарифма расстояния от стенки. При г|э = г|э* = 1 эта формула пе-
переходит в логарифмическую для изотермического турбулентного пограничного
слоя несжимаемой жидкости. В вязком подслое
-;<о)]л-^-, A2.5.5)
где п — показатель степени в первой из формул A2.4.11). Интеграл этого урав-
уравнения дает зависимость, которая может быть сращена с зависимостью A2.5.3),
если известна величина
*; Re**),
A2.5.6)
которая может быть оценена, например, из условия (9.13.16).
Как видно из рис. 12.4, профили скоростей имеют сложный характер и ме-
менее заполнены, чем в изотермическом потоке.
12.6. КОЭФФИЦИЕНТ ТРЕНИЯ И ТЕПЛООТДАЧИ
ПЛАСТИНЫ ПРИ ТУРБУЛЕНТНОМ
ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ
Подставляя в уравнение (9.14.3) значение x = f0 и определяя р/р0 =
= Т/То по формуле A2.5.2), находим, что при
При Re->oo
или
arcsin
1/4 (ф* — ]
— arcsin
1/4 (яр*—1) (-ф*
0, г
¦1 И
Г arcsin
—1L-
-arcsin
A2.6.1)
A2.6.2)
A2.6.3)
180
В области конечных чисел Рейнольдса функции со1 и г в соответствии с урав-
уравнением A0.9.4) можно вычислить по формулам
о)!« ll,6]/cfo/2 при if< 1
щж UfiV4ooCfj2 при ^
Здесь Too определяется по формуле A2.6.3).
(cf\
^^v^^^^^w
\ М = 9,9
О
6,0
7,0
lgRex
муле A2. 6 1) при (x)t= 11,6
2= 1 —СОГ, Л-ф= 0
Рис 12.6. Зависимость с//с/о от М и Дя|? при г = 0,9, рас-
рассчитанная по формуле A2.6.2)
0,8
Рис 12.5. Сопоставление теоретических расчетов с опыт-
опытными данными при больших числах М:
— расчет по формуле A2. 6. 3); расчет по форму-
ле A2. 6. 1) при Ai{) = 0 и о)! = 11 >6}/^f0/2; расчет по фор-
форA2.6.4)
\
/ 0,5
/ °
/ -0,5
/,-1,0
Y -3,0
На рис. 12.5 дано сопоставление расчетов по этим формулам с опытами
Маттинга, Чепмена и Нейхолма, охватывающих диапазон чисел Rex до 108
и чисел М до 10. На рис. 12.6 отчетливо видно, что в области Агр < 0 трение
повышается, а в области Дгр > 0 уменьшается.
12.7. ТРЕНИЕ И ТЕПЛООБМЕН В ТУРБУЛЕНТНОМ
ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ ДИССОЦИИРОВАННОГО ГАЗА
При М > 10 температура торможения столь велика, что начинается диссо-
диссоциация молекул газа. Когда температура относительно еще невелика, а ско-
скорости течения весьма значительны, характерное время рекомбинации молекул
и атомов можно считать большим по сравнению с характерным временем турбу-
турбулентной диффузии. Тогда при условии подобия массовых концентраций атомов
и скоростей течения
>-ест)<о, A2.7.1)
где е — степень диссоциации. Пренебрегая энергией вибрации атомов и огра-
ограничиваясь рассмотрением двухатомных молекул, можем написать
ео)/A-е). . A2.7.2)
Связь между скоростью и температурой для рассматриваемых условий имеет
вид
JT_= 7 + Зест Л^Звр., 7+Звс, Л @A_@)_М^1
Го 7+38 \7+Зе 7+Зе ^ I К ' 7+Зе
. A2,7,3)
18»
Предельный закон трения имеет форму
1
.7.4)
A2.7.5)
Re-ooU У Г 1+8
Отсюда при квазиизотермическом течении газа получаем
\ 1 г~
CU e=0 /Re**, М, ф \ К е +1
где е = A + ео)/A + 8ст)- Численное решение уравнения A2.7.4) показы-
показывает, что отношение cf/cf, 8==0 при М = idem, if> = idem и Re** = idem
слабо зависит от этих параметров. Поэтому практически почти всегда можно
пользоваться формулой A2.7.5).
Для двухатомных газов 0,5 < 8 < 2 и 0,75 < cf/cft 8 = 0 < 1,3. Более
сложные случаи теплообмена и трения при сверхзвуковых течениях рассматри-
рассматриваются в специальных монографиях.
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Дородницын А. А. Пограничный слой в сжимаемом газе.— «Прикл. матем. и ме-
хан.», 1942, №6, с. 449.
2. Жуковский В. С. Измерение температуры газового потока при весьма больших скоро-
скоростях.— «Журн. техн. физ.», 1938, т. 8, № 21, с. 1938.
3. Зысина-Моложен Л. М. Измерение температур в быстродвижущемся газовом потоке.
Машгиз, 1950. (Тр. ЦКТИ, кн. 18).
4. Калихман Л. Е. Газодинамическая теория теплопередачи.— «Прикл. матем. и ме-
хан.», 1946, т. 10, вып. 4, с. 3.
5. Кутателадзе С. С., Леонтьев А. И. Теплообмен и трение в турбулентном погранич-
пограничном слое. М.— Л., «Энергия», 1972.
6. Кутателадзе С. С. Пристенная турбулентность. Новосибирск, «Наука», 1973.
7. Основы теплопередачи в авиационной и ракетной технике. Под общ. ред. В. К. Кошки-
Кошкина. М., Оборонгиз, 1960. Авт.: В. С. Авдуевский, Ю. И. Данилов, В. К. Кошкин и др.
13
Глава
ТЕПЛООБМЕН И ТРЕНИЕ
ПРИ ПЕРЕНОСЕ ВЕЩЕСТВА
13.1. МАССООБМЕН И ТЕПЛОПЕРЕДАЧА
Во многих случаях переносы количества движения и тепла происходят од-
одновременно с переносом массы вещества, обусловленным различием концен-
концентраций компонент системы в различных ее областях. Так, одним из эффектив-
эффективных способов ограждения тела от воздействия высокотемпературного газа яв-
является «пористое» охлаждение. В этом случае охлаждающая среда (газ, ис-
испаряемая жидкость) вводится в пограничный слой основного потока через по-
пористую стенку и, диффундируя по направлению к ядру течения, существенно
меняет интенсивность теплообмена.
Тепло- имассообмен неразрывно связаны друг с другом в процессах измене-
изменения агрегатного состояния теплоносителя при испарении жидкости в газ, кон-
конденсации из паро-газовой смеси, при интенсивной термодиффузии и в ряде
других случаев. В этой главе рассматриваются некоторые общие свойства таких
процессов и имеющие достаточно общее значение проблемы теории бинарного
пограничного слоя на проницаемых поверхностях. В последующих главах эти
проблемы рассматриваются применительно к ряду других явлений (кипящие
слои, кипение и т. п.).
13.2. УРАВНЕНИЯ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ
Диффузией называется самопроизвольный перенос вещества из области
с большей его концентрацией в область с меньшей концентрацией. Аналогично
теплообмену перенос вещества (массообмен) может осуществляться как за счет
молекулярного движения, так и конвекцией. Одной из важных форм мблярного
переноса вещества является турбулентная диффузия в газах и жидкостях.
Так же, как и теплопроводность, диффузия описывается линейной связью
между плотностью потока и градиентом потенциала. В газах эта аналогия пере-
переходит в почти полную тождественность механизмов переноса. Как известно
из кинетической теории в газе,
XttCypD, A3.2.1)
где D — коэффициент самодиффузии.
При совместном протекании нескольких процессов такого рода возникают
некоторые эффекты, являющиеся результатом их взаимодействия. При взаимо-
взаимодействии диффузии и теплопроводности плотность потока вещества описывается
уравнением
j = — DlgradC — D2grad7\ A3.2.2)
т. е. перенос вещества происходит под воздействием как разности концентра-
концентраций С, так и разности температур Т. Это явление называется термодиффузией.
По Чепмену и Каулингу плотность одномерного потока массы при отсутст-
отсутствии конвекции и термодиффузии
/'= —Dpdp'/dy. A3.2.3)
Здесь D — коэффициент диффузии, м2/с; р — плотность смеси, кг/м3; р' =
= р7р — относительная плотность компоненты с индексом \ Наличие полей
давления и других сил вызывает эффекты баро- и динодиффузии.
Во многих случаях, особенно в турбулентных потоках, этими эффектами
можно пренебречь, и мы на них останавливаться не будем, отсылая читателей
к специальной литературе. Поэтому, если ограничиться определением плот-
183
ности потока вещества по равенству A3.2.2), уравнение диффузии в плоском
бинарном пограничном слое можно написать в форме
На рис. 13.1 показана схема тепловых потоков, возникающих в плоском би-
бинарном ^пограничном слое. Возникает тепловой поток, связанный с потоком
массы /', и уравнение распространения тепла в плоском пограничном слое
принимает вид (без учета термо-, ба-
т | I I "''°У г°
р д ( у
ро- и динодиффузий)
dwx \2
-w~
dp
дх
di
да*
—
ду
= pwx-%- + pwyj±-, A3.2.5)
дх ду
где
q* = ХдТ/ду + (cPi -сро) (Т-То) /'.
A3.2.6)
Рис. 13.1. Схема тепловых потоков к фор- Здесь (кроме принятых обозначений)
муле A3.2.G) Ср1 — удельная теплоемкость среды,
подаваемой в пограничный слой; ск-
скудельная теплоемкость основного потока; /' — диффузионный поток рассмат-
рассматриваемой компоненты.
Производные энтальпии смеси и температуры связаны уравнением
di
ду
дТ
ду
ду
где ср = сРо + (cPl — сРо) р' — удельная теплоемкость смеси.
Отсюда можно написать, что
оу
-«?*= — -r- + (cPt ~сра) (Т-То) A -Le),
с оу
A3.2.7)
A3.2.8)
где Le = a/D — число Льюиса. Уравнение движения пограничного слоя, на-
написанное относительно параметров смеси, сохраняет нормальный вид.
Вдув или отсос газа или жидкости через пористую поверхность, испарение,
конденсация или химическая реакция на обтекаемой поверхности приводят
к тому, что на последней нормальная составляющая вектора скорости течения
не равна нулю. Таким образом, при массообмене граничные условия на
стенке, обтекаемой сплошной средой, имеют вид
Следует различать полупроницаемую и полностью проницаемую стенки. В пер-
первом случае при бинарной смеси поток /с'т ф 0, а поток /?т = 0. Во втором
случае поверхность полностью проницаема для обеих компонент.
13.3. ТРОЙНАЯ АНАЛОГИЯ
Из уравнений A3.2.4) и A3.2.5) следует, что при Pr = Le = 1 и dp/dx = 0
уравнения движения, теплопроводности и диффузии становятся тождествен-
тождественными относительно параметров w, Г и р'.
Следовательно, если при этом имеет место также подобие граничных усло-
условий, то существует и подобие полей скоростей, температур и относительных
концентраций. Это так называемая тройная аналогия, когда
с+ с+ г /О /1 'Х % 1 \
OL/) -== vJL =— L f I ?. llO.O.ly
184
Здесь Sti> = $/w0, где Р — коэффициент массоотдачи, определяемый со-
соотношением
Р = /ст/(Рст-р6). A3.3.2)
Частные аналогии имеют вид (при dp/dx = 0и подобии граничных условий)
Pr = v/a=l, St = Су/2;
A3.3.3)
= l, StD =St.
Для последнего случая коэффициенты тепло- и массоотдачи связаны формулой
Льюиса:
Р = а/(с,р). A3.3.4)
13.4. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КАСАТЕЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ
И ТЕПЛОВОГО ПОТОКА
В ПЛОСКОМ ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ
НА ПОЛУПРОНИЦАЕМОЙ ПОВЕРХНОСТИ
Уравнение движения плоского пограничного слоя в непосредственной ок-
окрестности твердой стенки имеет вид (поскольку в этой области wx « 0)
—dp/dx + dr/dy->- pWydwJdy. A3.4.1)
В общем случае механизм трения может быть и турбулентным. Вследствие
этого интерполяционный профиль касательных напряжений целесообразно
строить, не вводя в него непосредственно вязкость.
Возьмем частный интеграл от выражения A3.4.1) по оси у так, чтобы верх-
верхний предел интегрирования был весьма мало удален от поверхности стенки.
Тогда можно положить, что
+ Рст^ст = /ст A3.4.2)
о
г-**с* + -%-У + 1ст*>х. A3.4.3)
Аппроксимируя профиль касательных напряжений кубической параболой
так, чтобы в области Е «Ос точностью до малых второго порядка выполня-
выполнялось условие A3.4.3), получим
т = 1 —3g2 + 2|3 +(Л§ + ^i со) A —gJ, A3.4.4)
или
т0
Здесь Ьг = 2jCT/cf — фактор проницаемости стенки, построенный по истинно-
истинному коэффициенту трения; Ь = 2jCT/cf0 — фактор проницаемости стенки, по-
построенный по эталонному коэффициенту трения (Re** = idem; dp/dx = 0;
Jct = 0); 7ст = /cT/po^o — относительный поток массы через стенку.
При 7ст = 0 формула A3.4.4) переходит в формулу (9.6.4). Сопостав-
ние расчета по формуле A3.4.4) с опытами Миклея в обработке Бартля и Лидо-
на при dp/dx = 0 дает качественное хорошее совпадение (рис. 13.2).
Однако в количественном отношении аппроксимационная формула хорошо
описывает результаты измерений в пристенной области проницаемой пластины
и хуже в ядре пограничного слоя.
185
о
1
T#°1-JE*+2
О
О
ч
О >
0,2
0,4 0,6
0,8
Рис. 13.2. Сопоставление результатов рас-
расчета по формуле A3.4.4) с опытными дан-
данными по распределению касательных напря-
напряжений по сечению турбулентного погранич-
пограничного слоя для непроницаемой A) и прони-
проницаемой B) стенок (/ст = 0,003; & = 1,3; гЬ =
= 0,455)
Уравнение распространения тепла
в непосредственной окрестности стен-
стенки (у « 0, wx « 0) можно записать
в виде
dQ/dj + j' (сР0-сР1)дТ/дулъ
~сР,ст1стдТ/ду, A3.4.6)
где /' = — Dp (др'/ду)ст. Интегри-
Интегрируя, находим, что в непосредственной
окрестности стенки
4™qCT—[j'(cPo — cPl) +
+ cPtCTjCT](T-TCT). A3.4.7)
Далее, используя соотношения
A3 4 8)
= (?р1 сро) Рст + с]H;
pc-r WCT = jCT— /',
можно привести выражение A3.4.7) к виду
4&qCT + cPl /ст (Т—Тст). A3.4.9)
С учетом этого граничного условия (остальные остаются теми же, что и
рассмотренные в гл. 9) аппроксимация кубической параболой дает
Уе8Ч/Чо = хР8 + Ьт^/A+21т)9 . A3.4.10)
где д — безразмерная температура (при -ф* « 1 О = (Т — ТСТ)/(ТО — Гст);
Ьт = CpJCT/cPo St0 — тепловой фактор проницаемости стенки.
13.5. ПРЕДЕЛЬНЫЙ ЗАКОН ТРЕНИЯ
В ТУРБУЛЕНТНОМ ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ
НА ПОЛУПРОНИЦАЕМОЙ ПЛАСТИНЕ
Если при Re ->oo на полупроницаемой пластине показатель степени в сте-
степенной аппроксимации профиля скоростей п -+0 (так же, как на пластине не-
непроницаемой), то г^ -> 1, а сумма 1 + 2\ в уравнении A3.4.5) по всему интер-
интервалу значений ?, кроме точки 5 = 1, стремится к 1.
Принимая во внимание эти соображения и подставляя в выражение
(9.14.12) распределение т из уравнения A3.4.5) при Л = 0, находим, что
1
dco
A3.5.1)
Аналогично течению с градиентом давления в рассматриваемом случае
тоже возможна ситуация, при которой коэффициент трения обращается в нуль.
Это явление связано с оттеснением основного пограничного слоя от твердой
сгенки при вдуве через нее поперечного потока вещества.
Полагая в выражении A3.5.1) W = 0, получаем выражение для критиче-
критического значения параметра вдува при Re-^oo:
1 v 2
dec
Усоро/р
A3.5.2)
Замечательной особенностью этих уравнений является то, что для их реше-
решения не требуется знания распределения скоростей течения в пограничном слое.
Достаточно знать только связь между относительной плотностью р/р0 и безраз-
безразмерной скоростью со, которую для газов легко установить через тройную ана-
аналогию.
186
13.6. ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ
НА ПОЛУПРОНИЦАЕМОЙ ПЛАСТИНЕ
Простейшая постановка этой проблемы сводится к решению системы урав-
уравнений:
д ( dwx \ dwx , dw^
— I [я—±-\ — руих ±_ —
ду \ ду ) дх
, dpwy
дх
¦ = 0;
ду
дТ до' дТ
—~--Z- = pcpWx—
дТ
х -^-^- = pcpwx-^-+pcpwy-—,
ду ду дх ду
д (гл до' \ до'
ду I дх
др'
ду
при граничных условиях
Dp
Z7
1—p
= Г0, р'=0, wx =
A3.6.1)
A3.6.2)
Изучение этой системы было выполнено в работах Бирона, Эккерта и др.
Подробный обзор теоретических и экспериментальных данных, появившихся
к 1959 г., был сделан Гроссом, Хартнеттом, Мессоном и Гейзли.
20
10
\
\
\
\
к
¦
\
s
Уст
Рис. 13.3. Влияние воздушною
вдува на локальное значение коэф-
коэффициента трения плоской пласти-
пластины при постоянных свойствах ла-
ламинарного потока
V
\
Sl
5,55
10
5,18
2
Рис. 13.4. Зависимость ^(b) при р =
= p0 и dp/dx = 0:
1 —ламинарное течение; 2 — турбулентное
течение при Re -> <x>; 3 — турбулентное
течение при Re** = 2000
Результаты вычислений для пластины, обтекаемой однородным ламинар"
ным пограничным слоем с постоянными физическими свойствами, показаны на
рис. 13.3. На рис. 13.4 эти же результаты представлены в координатах W — Ь.
Точка оттеснения пограничного слоя определяется значением Ькр = 3,35.
Кривую на рис. 13.3 можно аппроксимировать формулой
>F = (l —^foL/3. A3.6.3)
Здесь b = blbKV — относительная величина фактора проницаемости стенки.
На рис. 13.5 и 13.6 приведены результаты численных решений системы
A3.6.1) для бинарных ламинарных пограничных слоев.
187
Закон теплообмена в рассматриваемых условиях определяется обычным
соотношением для ламинарного пограничного слоя на пластине: St = Pi~2/3 :;
X Cf/2. Эккерт, Хейдей и Минкевич несколько уточнили результаты, приведен-
приведенные в обзоре Гросса и др. Однако предложенные ими расчетные формулы не-
неудовлетворительны в области значений b > 0,6.
9l
X;
\
V
*
it
\
1,0
2,0 ?
кт\
Рис. 13.5. Влияние массопереноса
на значение коэффициента трения
в ламинарном потоке на плоской
пластине
0 0,05 0,10 0,15 0,20 г ./К
JV^J
Рис. 13 6. Влияние массопереноса на значение
коэффициента восстановления в ламинарном по-
потоке на плоской пластине
Более целесообразно результаты численных решений уравнений ламинар-
ного пограничного слоя на проницаемой пластине аппроксимировать формулой
A3.6.3), полагая в ней
fcKP= 1,83 Ге ]/1+.0,50 (г|) —1) +0,22 (г|)*—1) , A3.6.4)
где 8 — отношение молекулярных масс газа основного потока и газа, подавае-
подаваемого через стенку. Кроме того, в данном случае
Cf=cfoWTy A3.6.5)
где WT — поправка на температурный фактор и сжимаемость.
13.7. ЭФФЕКТ ТЕРМОДИФФУЗИИ
В бинарном ламинарном пограничном слое в определенных условиях су-
существенно проявляется термодиффузия. Особенно существен здесь эффект
Дюфо, заключающийся в возникновении градиента температуры при адиа-
Рис. 13.7. Зависимость теплового по-
потока от разности температур и пара-
параметра проницаемости стенки при об-
обтекании лобовой точки пористого тела
системой воздух—водород
1,00
0,92
/
/
°о .
Аргон
Фреон-12
—w—
—о—
0,8
1,5
Рис. 13 8. Равновесная температура по-
пористой адиабатической пластины при
вдуве инородного газа в турбулентный
пограничный слой воздуха
188
батической диффузии. В результате температура поверхности адиабатической
пористой пластины может существенно отличаться от температуры вне погра-
пограничного слоя. Таким образом, здесь также целесообразно ввести понятие адиа-
адиабатической температуры стенки, сохранив за этой величиной обычное ее обоз-
обозначение, и определять тепловой поток, как обычно в таких случаях, по формуле
q = a(T*CT~TCT). A3.7.1)
При этом коэффициент теплоотдачи а консервативен относительно эффекта
термодиффузии (рис. 13.7).
В турбулентном пограничном слое этот эффект существенно меньше, что
видно из данных П. А. Романенко и Ю. П. Семенова, показанных на рис. 13.8.
13.8. ТУРБУЛЕНТНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ ГАЗА
НА ПОЛУПРОНИЦАЕМОЙ ПЛАСТИНЕ ПРИ
Ниже излагается решение, следующее из теории пограничного слоя с ис-
исчезающей вязкостью.
При обтекании пластины неограниченным потоком многоатомного газа
dpldx = 0, Le = Pr = 1 и имеет место тройная аналогия:
Если в основном потоке концентрация вдуваемого газа равна нулю, то
р7рст=1— со. A3.8.2)
Газовая постоянная смеси связана с плотностью известным соотношением, вы-
вытекающим из закона Клапейрона—Менделеева:
»? (?—!) + !. A3.8.3)
где R = RJRo. В силу постоянства давления поперек пограничного слоя
ро/р = RT/(R0T0). A3.8.4)
Далее будем рассматривать потоки, в которых ро =- 0. Тогда
Ро/р = (Т/Го)[1+Рст(Д-1)A-с«))]. A3.8.5)
Из соотношения A3.8.1) следует, что
-(¦
2 |iCT
т. е.
If
-(Dp
ду
С другой стороны, можно написать, что
A3.8.7)
1
9owo \ ду /ст
Подставляя значение второго члена этого уравнения из уравнения A3.8.7)
и принимая во внимание, что
Рст^ст _~, -
— рст Уст»
рошо
получаем
A3.8.9)
189
Для многоатомных газов точно, а для других приближенно Le = Pr = 1
PcT = V(l+fei). A3.8.1
Таким образом, для рассматриваемых условий
В свою очередь,
JL =_??o>. r_i?T /_?ст ^^ш — ^*—1)со21 ; A3.8.12)
7^0 СР I «о \ h I J
—^ : 1 Ч 5i—/^.??1 1 ^A_са); A3.8.13)
Сро 1+&1 V СРо 1
сро /г0 (^i— 1)
где k — показатель адиабаты.
Из этих формул видно, что в ряде случаев при дозвуковых течениях
Ро/Р = Ч>1 —М>1—IK A3.8.15)
где % = ро/рст (табл. 13.1).
Таблица 13.1
Расчетные формулы для определения параметра ifo. в некоторых системах
Тип слоя
Дозвуковой пограничный
Однородный нс изотерми-
изотермический
Формула
Ро
Рст
Тип слоя
Неоднородный изотерми-
изотермический
Неоднородный из смеси
газов одинаковой атом-
атомности, неизотермиче-
неизотермический
Формула
h (~ •
11/, 1
xCR—1I
J
Подставляя значение относительной плотности газа из последнего выраже-
выражения в уравнение A3.8.12), получим следующие формулы:
In-
1—¦
У =
% > i;
In
-th) (i+fci)
'l^l J
arccos
ЧГ= [
arctg
/
arctgl/ A*L_] .
A3.8.16)
A3.8.17)
A3.8.19)
Для однородного изотермического пограничного слоя р = р0, и предельный
закон трения на пластине имеет исключительно простой вид:
? = A— 6/4J; A3.8.20)
6кр-4; A3.8.21)
7ст.кр = 2с/,. A3.8.22)
190
Замечательно, что формулы A3.8.17) и A3.8.19) вполне удовлетворительно
аппроксимируются выражением, сочетающим формулы A3.8.20) и A0.9.2),
а именно:
A3.8.23)
Закон теплообмена в рассмотренных случаях, в соответствии с наличием трой-
тройной аналогии, определяется первой строкой системы A3.3.3). При числах
Прандтля, мало отличающихся от единицы, можно вводить обычную поправку
типа St = Pr-0'6^.
13.9. ПАРАМЕТРЫ ТУРБУЛЕНТНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ
В ТОЧКЕ ОТТЕСНЕНИЯ ОТ ПЛАСТИНЫ
*
В непосредственной окрестности стенки механизм трения молекулярный,
и решение уравнения A3.4.1) при dp/dx = 0 имеет вид
©= — (ехр^- — 1 ) . A3.9.1)
При /ст = 0 из этой формулы следует обычное линейное распределение ско-
скоростей в вязком подслое. В точке оттеснения пограничного слоя
Y = 0, icT = PoWQbKpVc^/2, A3.9.2)
причем значение Ькр всегда конечно. При этих условиях из равенства A3.9.1)
следует, что в точке оттеснения со = 0, т. е. вместо вязкого подслоя возникает
область с заторможенным в продоль-
продольном направлении течением. Это явле-
явление аналогично эффекту «острого
дутья» в струевых процессах. Здесь,
однако, не следует забывать, что эти
рассуждения верны только в обычном
приближении «двухслойной схемы»
турбулентного пограничного слоя.
Рассмотрим теперь турбулентное
ядро пограничного слоя, полагая
функцию / (?) консервативной и вы-
вычисляя ее из логарифмического про-
профиля скоростей. Имеем
"/ = 0,461/^. A3.9.3)
Эта зависимость неверна во внешней
части пограничного слоя, но при инте-
интегрировании поперек слоя это обстоя-
обстоятельство не дает существенной по-
погрешности. Вид же функции A3.9.3)
очень удобен для дальнейших опе-
операций.
Как уже указывалось выше, при
больших числах Re функция ? (со)
близка во всех точках к нулю, кроме
0
. -"
2
А
\
4
f
о
0,2 0,4 0,6 0,8 w_
Рис. 13.9. Сопоставление профиля скоро-
скоростей, рассчитанного по формуле A3.9.9), с
результатами экспериментов Б. П. Мироно-
Миронова и П. П. Луговского:
О —Re;x = 4,2»105; A—Rex=5-106;
X—Rex= 5,35- 105; # — Rex= 1,5 • 1 О5; 0 —
Re**= 1320 (критический вдув); /—теоретичес-
/—теоретическое распределение скоростей w/w0 =(y/&I/1;
2— w/wo = 2y/6 — 2 (у/6K-\-(у/б)*; 3,4 — w/wo =
/2 1n(W6)l2 C-Re**
-Re*
У fo
=2600)
у р
о)=1. Поэтому при Л = 0, яр = 0 и
Re-^oo из уравнения A3.4.5) сле-
следует, что
*/(Ро wo) = Ъ> /ст. кр cu. A3J9.4)
Выражая т по формуле (9.6.4) и / по формуле A3.9.3), после интегрирования
получаем уравнение
со
Vcopo/p
= 2,5Vr/CTiKpln-r?
A3.9.5)
кр
191
При ? = 1 и (о=1
-о,4
Кр 2
Соответственно
I
A3.9.6
A3.9.7)
В этих формулах Ь^р — критическое значение фактора проницаемости стенки
при Re ->-op, определяемое по формуле A3.5.2). Поскольку в точке оттеснения
сох = 0, то
A* <у2 U /10 Q о\
Полагая в первом приближении (поскольку в теории рассматриваются боль-
большие числа Рейнольдса) 2=1, находим, что при р = const в области 1г < | < 1
о) = A + 2,5l/c^/2 In ?J. A3.9.9)
Сопоставление расчетных и экспериментальных значений профиля скоро-
скоростей дано на рис. 13.9. В табл. 13.2 приведены значения параметров Н и б**
для случая безградиентного турбулентного пограничного слоя.
Таблица 13.2
Значения параметров Н и б** на пластине при турбулентном пограничном слое
н
6**
н
$**
HI
при
при
при
при
Re**
b = 0
6=0
b = bKr>
2- 10s
1,28
0,0859
1,53
0,1274
1,19
1,49
1 • 10*
1,23
0,0756
1,44
0,117
1,17
1,55
...о.
1,18
0,0652
1,40
0,105
1,18
1,605
bio»
1,15
0,0569
1,33
0,095
1,15
1,668
с»
1
0
1
0
1
1
13.10. ДВА ВАЖНЫХ ЧАСТНЫХ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ
ИМПУЛЬСОВ ДЛЯ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ НА ПЛАСТИНЕ
Интегральное соотношение импульсов на проницаемой поверхности имеет
вид
dd**/dx
4- Н) -/ст = Cf/2,
A3.10.1)
т. е. в нем появляется величина относительного потока массы через поверх-
поверхность стенки.
При dp/dx = 0 и f = 0 уравнению импульсов можно придать форму
d Re**/d Re* = (V + b) cfj2. A3.10.2)
Два канонических случая определяются условиями Ь = const и /ст = const.
Далее будем полагать, что пограничный слой данного режима (ламинарный,
или турбулентный) развивается так, что на передней кромке х = 0 и б = 0.
Закон трения в заданном интервале чисел Re** аппроксимируется обычными
степенными формулами:
A3.10.3)
192
Здесь
и В1 =
Кроме того, введем обозначения:
A3Ло.4)
Величина Y представляет собой отношение действительного коэффициента
трения при данном значении Re* к коэффициенту трения на непроницаемой
поверхности при том же Re*. Величина b построена по значению коэффициента
трения на непроницаемой пластине при данном значении Re*.
При b = const и Тст = const W = const, и интеграл уравнения A3.10.2)
при условии х = 0, б = 0 имеет вид
§ A3.10.5)
отсюда следует, что при Ъ = const, 6*=0 = 0, Т = const
A3.10.6)
Приb = &кр ^ = *Р = 0. а при Ь = — Y ? = с». При ламинарном погранич-
пограничном слое тх = 1/2 и
• • ¦
A3.10.7)
Используя формулу A3.6.3), можем записать:
*
Ь=-
УA-~ьL'3+ькрЪ
A3.10.8)
При турбулентном пограничном слое в области закона распределения скоростей
по степени п = 1/7 m = 1/5 и
A3.10.9)
,256H*4 '
Ь
256H,4 •
а рассматриваемое течение существует в области значений параметров вдува:
A3.10.10)
7 Зак. 795 ' ^93
При условиях 7ст = const, Т = const, 8х=0 = 0, m = 1/4 интеграл урав
нения A3.10.2) имеет вид
Rex = —- [р4 Re** —2р3 Re*3/4 +
3P4(l + PR/4)
,
' — 12(l+pRe**'/4)ln(l+PRe**1/'1)]. A3.10.11
Здесь р =%/4В.
Разлагая логарифм из этой формулы в ряд и ограничиваясь первыми пятью
членами разложения, получаем
[R 14/5
-2-0+PRe**1/4)ReJ . A3.10.12i
Соответственно
^ A-0,256;' 1
A+0,256H-2 ' I
Ъ-_ b \ A3.10.13)
A + 0,256)°.2 '
и _ л. и — q 5
Область существования такого течения
' A3.10.14)
Из этих формул следует, что при Ь -*— с» ? -^— ft, т. е.
тст1 -*—/ста;0. A3.10.15)
Этот результат справедлив и для ламинарного пограничного слоя.
13.11. ЗАКОНЫ ТРЕНИЯ И ТЕПЛООБМЕНА
В ТУРБУЛЕНТНОМ ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ ГАЗА
ПРИ КОНЕЧНЫХ ЧИСЛАХ РЕЙНОЛЬДСА
В точке оттеснения пограничного слоя от проницаемой пластины при любом
значении Re величина ^ = 0 и
j
— f I/ 1 + 2g flfoY • A3.11.1)
z J F copo/p /
о '
В первом приближении ? (со) определится по уравнению A3.9.5) при г = 1.
Тогда, принимая во внимание равенство A3.9.8), можно написать
1 г ч,,1
; V_ZL ) , A3Л1.2)
а величину W вычислять по формуле A3.8.20). Результаты соответствующих
расчетов приведены в табл. 13.3 и 13.4.
Зависимости "$"(&) для изотермического бинарного пограничного слоя газа
и ЬКр (ф/?) для бинарного пограничного слоя газа показаны на рис. 13.10
и 13.11.
На рис. 13.12 показано сопоставление теории с рядом опытов для однород-
однородного пограничного слоя, а на рис. 13.13 — для неоднородных пограничных
слоев.
194
Таблица 13.3
Таблица 13.4
Значения 6кр для однородного дозвукового Значения 6кр и Ьт кп при наличии подобия
ппгпяничного слоя газа на пластине .. р т> КР F ww«n«
пограничного слоя газа на пластине
ф
0,25
0,50
1
2
4
Re**
2-Ю3
11,6
7,96
5,18
3,23
1,92
1- 10*
11,0
7,54
4,92
3,06
1,83
10,0
6,87
4,48
2,79
1,67
00
9,25
6,21
4,00
2,47
1,46
полей скоростей и концентраций (изотерми-
(изотермический пограничный слой, Re—э-оо, величи-
величины *6кр и *ЬТ^ кр для условий Ь — const и
Система
Воздух—воздух
Гелий—воздух
Водород—воздух
*кр
4,00
0,89
0,52
Ь Т, кр
4,00
4,60
7,30
*кР
3,02
0,91
0,59
*
ЬТ, кр
3,02
3,36
4,90
При положительном продольном градиенте давления и постоянной плот-
плотности из уравнений (9.14.12) и A3.4.4) методом последовательных приближений
можно получить следующую зависимость для критического значения параметра
вдува:
= 0 —
кр
3/2>
A3.11.3)
где ЬКр. л«= о определяется по формуле A3.11.2); Ко = — F/8**/J/cf0; Яо кр =
= -F/6**/)Kp2/cfo, F//8**)кр определяется по формуле A0.10.6). '
?
0,2
О
ч
1
v =d-—)z
o<
10
8
6
4
J
2
0,2
0,4
0,6
0,8 Ь_
Г
f
^ -
!J
240*4
\i-W5c '
\1-1O6'
s
ss
2 3 4 в 8 1 2 3 4 6 810
Рис. 13.10. Сопоставление расчетов по формулам
A3.8.17) и A3.8.19) при определении 6кр по фор-
формулам A3.8.16) и A3.8.18) с расчетами по фор-
формуле A3.8.23)
Рис. 13.11. Влияние теплообмена и
неоднородности вдуваемого газа на
критический параметр проницаемости
Формулой A3.11.3) можно пользоваться и для расчетов неизотермических
течений, определяя величину &кр, я = о;^ по формулам A3.8.16), A3.8.18)
и полагая
ЧкР;ч>=Л, кР [2/(]/":ij?+ 1)]2. A3.11.4)
На рис. 13.14 кроме карты режимов течения в турбулентном погра-
пограничном слое со вдувом при продольном градиенте давления приведе-
приведены вспомогательные рисунки, дающие представление о типичном измене-
изменении различных характеристик пристенного потока. Кривая А на рис. 13.14
указывает границу наступления оттеснения пограничного слоя (критических
параметров вдува) при изотермическом течении и однородном вдуве. С ростом
диффузорности параметр Ькр уменьшается. На рис. 13.15 показано соответствие
зависимости A3.11.3) с опытами Б. П. Миронова и П. П. Луговского, проведен-
проведенными индикаторным методом для Хо ^ 0.
При наличии неизотермичности, сжимаемости, неоднородности вдува кри-
кривая Л смещается вверх или вниз в соответствии с формулами A3.8.16), A3.8.18),
7* 195
A3.11.3), A3.11.4), что изображено на рис. 13.14, а. С ростом конфузорности
fcKp увеличивается.
Для значений Яо < Яокр и параметров вдува Ъ < Ькр (А,о), соответствую-
соответствующих области, лежащей ниже кривой Л, имеем cf > 0, St > 0, "рст < 100%
в соответствии с формулами A3.8.22), A3.11.2). С ростом вдува в этой области
f
0,8
0,4
Су
К
о
К
"•К
К-
О о»^.
о ^4'
о о
¦—*
1,0
2,0
Рис. 13.12. Сопоставление расчетов по формуле A3.8.23) при
6Кр для Re** = blO4 с опытами Миклея и Паппаса и Окуно:
• — опыты Миклея в обработке Лидона; А —опыты Паппаса и Окуно;
О—опыты Хаккера; Э—опыты П. А. Романенко и В.Н. Харченко
существенно возрастают продольные и поперечные пульсации скорости, одна
ко возвратно-вихревых течений не наблюдается. Профили скорости становятся
менее заполненными. При этом в зоне оттеснения (на границе А) профили ско-
скорости в условиях различных комбинаций вдува и продольного градиента дав-
Рис. 13.13. Сопоставление теоретического расчета с опытными данными Паппаса и Оку-
Окуно (а) и П. А. Романенко и В. Н. Харченко (б) при вдуве инородных газов:
• — гелий —воздух (Af = 0,3; 0,7; m=0,153); О—воздух —воздух; С — фреон-12 — воздух; х —ге-
—гелий—воздух; Э —воздух —воздух; Д —фреон-12 — воздух; расчет по формуле A3.8.22) при
определении &кр для Re** =10*, m=0,25
ления становятся практически одинаковыми, за исключением зоны, близкой
к критическому значению Хо. Формпараметр для отрывного профиля при от-
отсутствии вдува и для профиля в зоне оттеснения при отсутствии градиента дав-
давления имеет довольно близкие значения (соответственно 1,86 и 1,57).
При переходе через границу Л в область сверхкритических вдувов (b>bKV)
возникают особенности в пристенном течении, которые удобно проследить при
изменении значений параметра Ко в сторону его уменьшения от критического
значения. При Хо = ^0,кр и b = 0 вблизи стенки возникают возвратно-вихре-
возвратно-вихревые течения, которые непосредственно омывают стенку (см. рис. 13.14, ж).
196
Спектры
пульсаций
Возвратные
течения
Гистограмма
мгновенных
скоростей
Градиент температуры
Изменение теплообмена
102 10s 104 к 0 0,2 1,01 О0*10,2 0,6
О Ь*2 4 5 10 15 20 Ьт 0/0,01 0,02 Т
Оттеснение-отрыв
Cf от 100% до О
St * »
рш от 0 до 100%
Конфузор
Рис. 13.14. Карта режимов течения в турбулентном слое со вдувом и продольным градиентом давления
"кр
X
\
»
\::
Одной из характеристик
пограничного слоя при
о
10 20
J0
наступления отрыва
Яо = А,0>кр является
равенство нулю осредненного во времени локаль-
локального коэффициента трения. Наличие вихрей сви-
свидетельствует о возникновении следующей ста-
стадии развития пристенного течения в условиях
диффузорности, когда воздействие потока на по-
поверхность за счет трения направлено в противо-
противоположную сторону по сравнению со скоростью
на внешней границе пограничного слоя («отри-
(«отрицательное» значение cf).
Для режимов при 0 < Хо < Я0>кр и Ь >
> 6кр (К)у располагающихся над 'кривой Л,
также является характерным возникновение
возвратно-вихревых течений, которые свиде-
свидетельствуют о переходе величины Cf через нуле-
нулевое значение (см. рис. 13.14, /с, л). На графике
рис. 13.14, л (и подробнее на рис. 13.16) кри-
кривые 7,J?, 3 соответственно означают долю вре-
времени t из общего времени наблюдения, в течение
которого на относительной ординате регистри-
регистрировались возвратное, восходящее и поступательное течения. Граница А, опре-
определяемая в опытах по возникновению вихревых течений, выражена довольно
резко: при Ь = 0,75&кр (Хо) вихри еще не наблюдаются, при Ь = 1,1 Ькр (К)
вихри уже хорошо развиты. Вследствие вдува эти вихри находятся на некото-
некотором расстоянии от стенки, непо-
непосредственно над которой возни-
возникает слой оттеснения.
Гидродинамические особенно-
особенности этого слоя оттеснения удоб-
удобнее проследить при режимах с
А,о = 0. При увеличении вдува,
Рис. 13.15. Изменение критиче-
критического параметра вдува при по-
положительном градиенте давле-
давления— зависимость A3.11.13)
(# — опыты проведены инди-
индикаторным методом)
N
100
50
N=196
Т..
0 0,2 0,4 0,6 0,8 t 0 0,2 0,4 0,6 0,8 t
0,1 их, м/с
Рис. 13.16. Распределение вероятности направле-
направления течения вблизи стенки для разных значений
Ъ и/:
/ — возвратные потоки; 2 — потоки по нормали к стенке;
3 — в направлении главного течения
Рис. 13.17. Гистограмма рас-
распределения мгновенных значе-
значений продольной скорости в при-
пристенной области пограничного
слоя
198
как уже отмечалось, существенно возрастает максимум пульсаций скорости
в пристенной зоне и существенно уменьшается значение средней скорости и.
Вследствие этого непосредственно в окрестности стенки могут возникать отри-
отрицательные значения мгновенной скорости и= и + и'.
При параметре вдува Ъ ж 17 на относительном расстоянии от стенки \ =
- 0,003 гистограмма мгновенных скоростей становится симметричной относи-
относительно положительных и отрицательных
значений скорости (см. рис. 13.14,(9, и
13.17). Таким образом, осреднение мгно-
мгновенных значений скорости и ее произ-
производной по времени или по ансамблю дает
среднюю величину и = 0 и~С/ = 0. От-
Отмечавшиеся при Я0>0 возвратно-вихре-
возвратно-вихревые течения вырождаются при Яо = О
в возвратно-поступательные. Об этом сви-
свидетельствуют также данные рис. 13.14,6,
обозначения для которого приняты те
же, что и для рис. 13.14, л, и 13.16.
Такие течения на пористой поверхности
и их трансформация при изменении Яо
регистрировались в опытах Б. П. Ми-
Миронова и П. П. Луговского с помощью
скоростной киносъемки (см. рис. 13.14,
/с, ж), методом стробоскопической ви-
визуализации (см. рис. 13.14, д) и в опы-
опытах Б. П. Миронова и А. А. Зеленгура с помощью четьфехнитевого датчика
направления потока с центральной обогреваемой нитью, схема расположе-
расположения которого показана в верхней части рис. 13.16. Этот датчик состоял из
нагреваемой нити и трех расположенных около нее @, 90 и 180°) термометров
сопротивления (см. рис. 13.16).
0А 0в ОС 0D 0Е
0,02 0,04
(т'-т)/(т'-тй)
Рис. 13.18. Профили температуры вблизи
стенки:
А — 6 = 20,6, / = 0; 5—6=19,7, / = 2,7-10-1
С— 6=18,6, /=0; D — I - -- -~ о
?—6=11,8, /=0
19,7, f = 2,7-103;
17,1,/ = 2,9.10-3;
о
1
о
А
1
О
• (
Г
>
^
р
о
0,8
0,6
0,4
0,2
О 1 2 ^ J 4 5 10 15 Ьт
Рис. 13.19. Теплоотдача на проницаемой поверхности (Ь* при /= B,6-=-
-f-3)-10-3);
с_/=0; 4 — / = 2,6-10-3; # — /=3-10-3
Гидродинамические особенности слоя оттеснения проявляются также через
изменения коэффициента перемежаемости и спектра пульсаций скорости, полу-
полученных в опытах Б. П. Миронова, А. И. Алимпиева и В. Н. Мамонова. Коэффи-
Коэффициент перемежаемости у, характеризующий границу турбулентного погранич-
пограничного слоя, при Ъ > ЬКр меняется от нуля на внешней границе до единицы внутри
пограничного слоя и снова до нуля вблизи стенки (см. рис. 13.14, г). Это оз-
199
начает, что пограничный слой «всплывает» над слоем оттеснения. Спектры пуль-
пульсации вектора скорости по частотам указывают на то, что в слое оттеснения уста-
устанавливается такое течение, которое сохраняет особенности спектра вдуваемой
среды при Ъ -^оо (см. рис. 13.14, б, спектр У). Эта особенность проявляется,
например, в том, что внесенные при каких-либо частотах возмущения в спектр
пульсации при Ь -»¦ оо остаются неизменными в некоторой пристенной области,
когда Ь > ЬКр- Кроме того, спектр около стенки 1 отличается от спектра в ядре
пограничного слоя 2 (см. рис. 13.14, б).
Индикаторные измерения концентрации вдуваемой среды на стенке подтвер-
подтверждают, что в слое оттеснения рст ->¦ 100%. Исследования температурных полей
вблизи стенки, проведенные в опытах Б. П. Миронова и А. А. Зеленгура, дают
нулевые значения градиента температуры в пределах возможной точности этих
измерений (см. рис. 13.14, е, з, и 13.18). Переход через границу А в область
Ь > ^кр (^о) приводит к существенным изменениям теплоотдачи от вдува
вследствие возникновения специфических вихревых течений (рис. 13.14, ж,
и 13.19). До достижения значения Ь* = ЬКр (Ю относительная функция тепло-
теплообмена "ЧР" в зависимости от параметра вдува Ьт для dp/dx = 0 и dpldx>§
остается одной и той же. При Ь > Ъ* наблюдается более интенсивное снижение
теплоотдачи с ростом вдува. При этом вследствие сильных пульсаций скорости
вблизи стенки тепловое оттеснение наступает позже динамического.
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Берман Л. Д. Испарительное охлаждение циркуляционной воды. М.—Л., Госэнерго-
издат, 1957.
2. Волчков Э. П., Кутателадзе С. С, Леонтьев А. И. Взаимодействие затопленной
турбулентной струи с твердой стенкой.— «Журн. прикл. мех. и техн. физ.», 1965
№ 2, с. 50.
3. Иевлев В. М. Турбулентное движение высокотемпературных сплошных сред. М.,
«Наука», 1975.
4. Кутателадзе С. С, Леонтьев А. И. Тепломассообмен и трение в турбулентном погра-
пограничном слое. М., «Энергия», 1972.
5. Кутателадзе С. С., Леонтьев А. И., Миронов Б. П. Turbulent boundary layer with
mass injection and longitudinal pressure gradient in finite Reynolds number region.—
In: JSME, Semi-International Symposium, Tokyo, Japan, 1967, p. 225.
6. Миронов Б. П., Луговской П. П. Исследование картины течения в пристенной обла-
области турбулентного пограничного слоя при вдуве и положительном градиенте. —
«Инж.-физ. журн.», 1973, т. 25, №2, с. 251.
7. Франк-Каменецкий Д. А. Диффузия и теплопередача в химической кинетике. М.,
Изд-во АН СССР, 1947.
8. Эккерт Э. Р., Дрейк Р. М. Теория тепло- и массообмена. М.—Л., Госэнергоиздат, 1961.
9. Эккерт Э. Р., Хейдей А. А., Минкевич В. Ж. Тепло- и массоперенос. Сб. докл., т. III.
М., Госэнергоиздат, 1963.
10. Экспериментальное исследование пристенных турбулентных течений. Новосибирск,
«Наука», 1975. Авт.: С. С. Кутателадзе, Б. П. Миронов, В. Е. Накоряков, Е. М. Ха-
бахпашева.
11. Gross J. F., Hartnett J. P., Masson D. J., Gazley С A. Review of binary boundary layer
characteristics. The RAND Corporation, 1959.
12. Turbulent heat transfer on permeable surface at large injection and adverse pressure gra-
gradient.— «5 th Intern. Heat Transfer Conference», Tokyo, Japan, 1974, p. 109. Auth.:
Б. П. Миронов, А. И. Алимпиев, А. А. Зеленгур, В. Н. Мамонов.
Глава
14
ТЕПЛОВЫЕ ЗАВЕСЫ
14.1. ТИПЫ ЗАВЕС
При обтекании твердых тел газом, нагретым до высокой температуры, или
жидкой агрессивной средой можно организовать пограничный слой, который
на определенном участке будет иметь существенно меньшую температуру или
малую концентрацию агрессивного
вещества. Имеется несколько спо-
способов организации таких защит-
защитных слоев или завес (рис. 14.1).
Наиболее важной является подача
защитной струи через встроенный
в тело пористый участок, соответ-
соответствующую щель, насадку. Кроме
того, можно создать охлаждаемый
участок в головной части тела, а
остальную его часть не охлаждать
или охлаждать менее интенсивно.
Здесь мы рассмотрим некоторые
свойства таких завес, связанные с
вырождением теплового погранич-
пограничного слоя, и способ применения
интегральных соотношений им-
импульсов и энергии к взаимодейст-
взаимодействию затопленной струи с твердой
стенкой.
Изложение асимптотических
свойств тепловых завес основы-
основывается на работах автора и
А. И. Леонтьева, а изложение ин-
интегральных соотношений для вза-
взаимодействия тела с затопленной струей — на работе автора, А. И. Леонтьева
и Э. П. Волчкова.
При этом, для простоты, там, где это не будет особо оговорено, рассматри-
рассматриваются квазиизотермические течения.
Рис. 14.1. Схемы тепловой защиты адиабатиче-
адиабатических пластин с предвключенным участком теп-
теплообмена (а), с предвключенным пористым
участком (б) и с газовой завесой через щеле-
щелевую насадку (в)
14.2. ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ В ТЕПЛОВОЙ ЗАВЕСЕ
НА АДИАБАТИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ
Для квазиизотермического пограничного слоя уравнение энергии можно
записать в форме
A4.2.1)
dx №т>
где Re*T* = w0 &*T*/v и 1с = x/L.
« Следует напомнить, что это выражение является точным при любом распре*
делении температур и скоростей во внешнем потоке. Пусть с сечения х = хх
рассматриваемое тело адиабатично, т. е. тепловой поток через его поверхность
п = 0. Тогда в области х > хг
Re*T* AT = const.
A4.2.2)
201
Эффективность тепловой завесы принято характеризовать величиной
G = (T0-TCT)/(T0-TCTt О*] A4.2.3)
Здесь То — температура внешнего потока; ТСт — температура стенки в дан-
данной точке; ТотЛ — температура стенки при х = хг.
Из уравнения A4.2.2) следует, что
A4.2.4)
Используя известные свойства пограничного слоя, можно написать, что
(Тст =const; Рг « 1) => FГ < б**); A4.2.5)
Тст = const;
Рг«1; /«
В области х> х1 такое подобие динамического и теплового пограничного слоев
нарушается вследствие изменения граничных условий, а именно:
(а; > хг\ qCT = 0) =ф- (дТ/ду = 0 в точках у = 0 и у = 6т). A4.2.7)
В этих условиях выравнивание температуры внутри пограничного слоя, осо-
особенно турбулентного, наиболее интенсивно происходит в пристенной области,
где производная dwjdy имеет наибольшее значение. Одновременно из-за под-
подсоса газа из внешнего потока температура пограничного слоя при х ->-оо стре-
стремится к То. Отсюда следует предельное соотношение Кутателадзе—Леон-
Кутателадзе—Леонтьева для вырожденного пограничного слоя на адиабатической поверхности:
при х->оо дст = 0; Т -+ТСТ-+ТО
1 1
т** р / Т— Гст \ р I A4.28)
о о
Это наибольшее возможное значение толщины потери энергии, соответствую-
соответствующее такому распределению температур, при котором в основной части погра-
пограничного слоя температура близка к температуре стенки. Как известно, при обыч-
обычных значениях чисел Re** в области / = 0 распределение скоростей и темпера-
температур удовлетворительно описывается степенными зависимостями с п = 1/7.
При / = fKP для профиля скоростей п ж 1/2, а профиль температур почти не
меняется. Таким образом, в рассматриваемом здесь случае имеем
г~ , е ~ , х *ij^ = ^ б;*^0,097; 6**^0,16;
Рг«1- Re**^104- x->oo(^0; ^*^^0'87'
Ч =/кР» $Т, макс = 0,70.
Как видно, при любом градиенте давления относительная толщина потери
энергии на непроницаемой адиабатической поверхности, расположенной за
зоной теплообмена, при j:-^oo в области конечных чисел Рейнольдса стано-
становится близкой к единице.
Этот результат подтверждается измерениями профилей температур в об-
области тепловой завесы. Так, в опытах Нишиваки, Xкрата и Тзучида отношение
значения 8^* в пограничном слое завесы к значению 6f* в обычных условиях
близко к 6. Предельное же отношение по уравнению A4.2.9) равно 9.
202
14.3. АДИАБАТИЧЕСКАЯ ПЛАСТИНА
С ПРЕДВКЛЮЧЕННЫМ УЧАСТКОМ ТЕПЛООБМЕНА
Схема задачи приведена на рис. 14.1, а.
A4.3.1)
Здесь следует обратить внимание на то, что в области х > х1 тепловой погра-
пограничный слой хотя и растягивается в соответствии с уравнением A4.2.8),
но не может выйти за рамки динамического слоя, поскольку существенное тур-
турбулентное перемешивание имеет место только при dwjdy Ф 0.
Для условий A4.3.1) формула A4.2.4) может быть записана в виде
е = 6Г/(Рв**), A4.3.2)
где р = 6f*/6**. При л: —>- atx р —>-1, при х —>-оо р -> Рмакс. Квазиизотермиче-
Квазиизотермический" динамический пограничный слой развивается независимо от процесса
теплообмена, и, следовательно, для пластины в области закона распределения
скоростей по степени п = 1/7
6Г/в** = (*1/хH'8 A4.3.3)
И при X -^оо
в + рм^кс(*1/*H'8. A4.3.4)
При х ->*i в ->- 1, и простейшая интерполяция может быть записана в виде
в«[1 +р^к2с5 (х—хд/хД-0-*. A4.3.5)
Полагая Рмакс = 9, имеем
A4.3.6)
Эта формула вполне удовлетворительно подтверждается опытами Рейнольдса,
Кейса и Клайна.
14.4. АДИАБАТИЧЕСКАЯ ПЛАСТИНА
С ПРЕДВКЛЮЧЕННЫМ ПОРИСТЫМ УЧАСТКОМ
Схема задачи приведена на рис. 14.1, б. Через пористую вставку на участ-
участке 0 < х < хг в пограничный слой вдувается холодный газ. В соответствии
с данными гл. 13 для пористого участка имеем уравнения:
dx &т dx \ A4.4.1)
Срг /ст (^СТ — Tl) = а (Т0 — Тст). J
Здесь Ьт = /CT/(Po^oSto) — тепловой фактор проницаемости стенки; /ст —
массовая скорость потока через стенку; Тг — начальная температура охлаждаю-
охлаждающего газа.
При этом предполагается, что газ нагревается в пористой стенке от Т1 до
Гст, полностью воспринимая тепло от потока горячего газа. Соответственно
?s = St/St0-/Fr, A4.4.2)
где
K=cPl (TCT-TJ/cp. (T0-TCT). A4.4.3)
В рассматриваемых условиях однородного пограничного слоя
ср, = сРо и К = (ТСТ-Т1)/(ТО-ТСТ).
При TCT = const и 6Y=0 = 0
J +Щ (U 4 4)
203
Здесь
il—b- и
1 Г
т!= I /с
М- J
, dx.
В области х > хх справедлива формула A4.2.4), которая в данном случае при-
принимает вид
-/С), A4.4.5)
где кг = (ГСТ1 — ТХ)/(ТО — ГСТ1), а в К вводится текущее значение Тст
в области х > хх. Отсюда
50
20
10
S
6
4
J
7 V<^
4
й
/
у
г
<
л)
У
,с
/
V
•
>>
й-
/
V
A4.4.6)
В области 0 < х < лгх Re" =
= Re* *, а в области х > хх Ref* =
= PRe**. Из уравнения импуль-
импульсов получим (см. гл. 10)
A4.4.7)
где Л и т — коэффициенты сте-
степенной аппроксимации закона тре-
трения, a ReA* = wQ (x — xj/v.
При л:-^о Re>Re>Rer
4 5 6 8 10
20 30 40
Рис. 14.2. Сопоставление теоретического расче-
расчета (кривая) с опытными данными (точки)
A4.4.8)
где Rex = woxx/v.
Лляп=1/7 Л = 0,0128, т = 1/4,
Рмакс - 9 и К-й),33 ReJ? • 8/ReCTl-l.
A4.4.9)
Интерполяционная формула может быть записана в виде
0,25ReAjc
— 1.
A4.4.10)
На рис. 14.2 дано сопоставление формулы A4.4.10) с опытами Нишиваки
jh В. П. Комарова.
14.5. АДИАБАТИЧЕСКАЯ ПЛАСТИНА С ГАЗОВОЙ ЗАВЕСОЙ
Схема задачи приведена на рис. 14.1, в.
Основной поток газа имеет скорость w0 и температуру То. Через щелевую
насадку высотой s вдувается тот же газ со средней скоростью в выходном сече-
сечении, равной wx, и температурой Тх. Физические свойства газа постоянны,
•<7ст = 0.
На участке 0<х<хг ТСТ = TCTl = 7\; с сечения х = хг начинает
развиваться тепловой пограничный слой вследствие перемешивания завесы
с основным потоком.
При х > хх
в = (Т0-ТСГ)/(Т0-Т,) = 6f:/(p6«). A4.5.1)
При х->оо ип= 1/7из уравнения A4.4.7) следует, что
6**^0,036* Re^0-2.
A4.5.2)
204
В сечении хг толщина потери энергии
h
A4.5.3)
где h __ ширина затопленной струи.
0,0
0,1
о о
° ^
(Vn
о|
—О-
о
о
!
1
!?t i
щ
n
°i
о
14
о
оо
О
о
J С
10
20 30 40 50 60 80 100
200 J00 WQx
Рис. 14.3. Сопоставление теоретического расчета эффективно-
эффективности струйного охлаждения с опытами:
^ — данные работы [6]; О—[7]; результат расчета по формуле
A4.5.11)
Тепловой и материальный балансы струи в сечении хх имеют вид
h
[ ср pwx Tdy = cPl рх w1T1s + сРо р0 w0 To (h —5);
A4.5.4)
A4.5.5)
A4.5.6)
Подставляя в уравнение A4.5.1) значение б** из выражения A4.5.2) и значение
65-* из равенства A4.5.6), находим, что при х -^оо
f pwx dy =
В рассматриваемом случае рх = p0 и cPl = cPo, т. е.
в
27,8
Рмакс
A4.5.7)
где Res = wtfh — число Рейнольдса на срезе насадки. При рмакС = 9 по-
получим
0->3,1 Res°'2[^is/(w0 x)]°>\ A4.5.8)
Интерполяционную формулу запишем в следующем виде (х>х1):
в « fl +0,24 Res'25 ^(^-^i)]-0'8 . (Н.5.9)
L ws J
В области 0 < х < хг в = 1. Из теории свободной затопленной струи можно
принять, что при хюг < w0
^L ^ @,107 + 0,037 -^-Г* 1°^ • A4.5.10)
205
Если пренебречь участком хъ т. е. принять некоторый запас надежности заве-
завесы, получим
e~M. A4.5.11)
На рис. 14.3 дано сопоставление последней формулы с опытами Себана и
Паппела и Траута.
14.6. НЕАДИАБАТИЧЕСКАЯ ПЛАСТИНА С ГАЗОВОЙ
ЗАВЕСОЙ
Определим для области х > х± коэффициент теплоотдачи формулой, ана-
аналогичной формуле A2.2.4), для течения с большими скоростями:
а = 9ст/G1ст-71ст). A4.6.1)
Здесь Т1Т — адиабатическая температура стенки, т. е. та температура, которая
устанавливается в области завесы при qCT = 0. Пусть при х > хг и qCT = О
в пограничном слое установится некоторое распределение температуры
Т* = Т*(у\х), A4.6.2)
такое, что при у = 0 Г* = Т*т и при у = 8Т Т* = То. Тогда можно напи-
написать уравнение теплового баланса пограничного слоя в виде
Яс=~ \ ср pwx(T-T*)dy. A4.6.3)
о
При Т = Г* и qCT = 0 имеет место обтекание адиабатической стенки. Урав-
Уравнение A4.6.3) имеет вид, тождественный обычному уравнению теплового по-
пограничного слоя, и переходит в последнее при ГсТ* = То, т. е. при отсутствии
тепловой завесы. Следовательно, если закон теплообмена St (Ref*) сохраняет
консервативность, то коэффициент теплоотдачи в уравнении A4.6.1) можно
определять по обычным формулам. Опыты Гартнетта, Эккерта и Биркебака
подтверждают этот вывод.
14.7. ИНТЕГРАЛЬНОЕ СООТНОШЕНИЕ ИМПУЛЬСОВ
ПРИ ВЗАИМОДЕЙСТВИИ ЗАТОПЛЕННОЙ СТРУИ
С ПЛОСКОЙ ПЛАСТИНОЙ
Рассмотрим на рис. 14.4 плоскую струю, вытекающую из щели и распростра-
распространяющуюся вдоль гладкой плоской стенки. Начиная с сечения х = 0 нарастает
пристеночный пограничный слой до толщины б1э на внешней границе которого
имеет место максимум скорости. Толщина струи в сечении х равна б2, и уравне-
уравнение импульсов имеет вид
б2
±^wldy=—xCT. A4.7.1)
Полагая, что при у = бх dwjdy = 0ит = 0 для контура 1—2—3—4, можем
написать, что
-?- f pwi dy + w0 ± [ 9wx dy = 0. A4.7.2)
dx J ax J
6t о
Тогда, разбивая в уравнении A4.7.1) пределы интегрирования на интервалы
0—бх и 81—б2, получим
-j- f pwxdy—j-\pwldy = тст. A4.7.3)
dx J dx J
о о
wo j
dx J
о
206
Это уравнение приводится к виду
или
~ Ро wl 6** + р0 w0 (б*- дг) ^- = тст
Re*
dx
A4.7.4)
A4.7.5)
Л>; x = x/s; wo = wo/ws;
Здесь Re** =
Толщина вытеснения и потери импульса в данном случае:
о
PqWq
A4.7.6)
Уравнение A4.7.5) имеет нетриви-
нетривиальную форму, так как помимо х
обычных формпараметров Н И f Рис. 14.4. Схема течения в полу ограниченной
содержит в себе еще и соотноше- затопленной струе
ние Si/6**.
Кроме того, следует обратить внимание и на то обстоятельство, что в дан-
данном случае величина dwjdx не связана с градиентом давления, который в до-
дозвуковой затопленной струе практически равен нулю. При распределении ско-
скоростей в пристенном пограничном слое по закону п = 1/7 имеем
1+/У —6x76**= — 8.
A4.7.7)
14.8. ТРЕНИЕ И ТЕПЛООБМЕН ПРИ ВЗАИМОДЕЙСТВИИ
ЗАТОПЛЕННОЙ СТРУИ С ТВЕРДОЙ СТЕНКОЙ
Полагая, что законы трения и теплообмена сохраняют консервативность
и в данной ситуации, запишем уравнение A4.7.5) в виде
ах
Re** dw0
wo
dx
A wo
Re**m
Res.
A4.8.1)
При п = 1/7 A = 0,0128; m = 0,25; Сг = — 8. Поскольку 8г <? б2, закон из-
изменения максимальной скорости в пристеночной струе можно принять таким
же, что и в свободной струе с начальным сечением 2s, т. е.
w0 =
Интегрируя A4.8.1) в пределах о
A4.8.2)
до х, получим
A(l+m)C2Kes~x1+a
\i
При х > xx
V
207
Отсюда при п = 1/7 и
В опытах Сигалла было найдено, что при х> 30
cfi= 0,0865 (^oa:/v)-0.2,
или с учетом выражения A4.8.2)
40
JO
20
10
8
6
A4.8.5)
A4.8.6)
A4.8.7)
A4.8.8)
О
о
-
-
-
1
8
1
1
1
-^
Д
1
*^
1
^^
1
i
¦^
щ
1
!
6 8 10
20
40 60 80 100
200
400 x/S
Рис. 14.5. Коэффициент теплообмена в полуограниченкой струе:
а, Ь, с— результат расчетов соответственно по формулам A4.8.11). A4.8.12),
A4.8.13); А—данные работы [4] при 7\,т = const; О—Данные работ [7, 8] при
<7CT = const, 3 <(Qw)sr(pwHO < 9; П — данные работы [7] при <7СТ = const, 1,05 <
< (pw)s/(pw)oo < 1,1
Эта формула отличается от A4.8.5) всего на 5%. Себан и Бэк нашли, что в спут-
ном потоке сЗ< ps^s/(Po^o) < 9 величина w0 в затопленной струе меняется
по закону
шо = 3,6х-°*45. A4.8.9)
Из уравнений A4.8.4) и A4.8.9) следует, что при слабом спутном потоке
cfl/2 = 0,0314/(Res°'12^°'n). A4.8.10)
Эта формула также удовлетворительно подтверждается опытами. Полагая для
турбулентного потока
находим, что:
а) для затопленной пристеночной струи в неограниченном неподвижном
пространстве
'2(^Pr)-°'6; A4.8.11)
б) для пристеночной струи в слабом неограниченном спутном потоке
3<^М><9; St = 0,113Res-°'2Pr-0-6x-0'56. A4.8.12)
На рис. 14.5 дано сопоставление расчетов по этим формулам с опытами
Себана и Бэка. Там же нанесены данные Себана для ws ^ w0, которые, естест-
естественно, описываются обычной формулой для пластины:
A4.8.13)
208
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Акатнов Н. И. Распространение плоской турбулентной струи вдоль твердой, гладкой
и шероховатой поверхностей.— «Изв. АН СССР. Сер. ОТН. Механика и машинострое-
машиностроение», 1960, № 1, с. 27.
2. Волчков Э. П., Кутателадзе С. С, Леонтьев А. И. Взаимодействие затопленной тур-
турбулентной струи с твердой стенкой.— «Журн. прикл. механ. и техн. физ.», 1965, № 2,
с. 50.
3. Кутателадзе С. С, Леонтьев А. И. Теплообмен и трение в турбулентном пограничном'
слое. М., «Энергия», 1972.
4. Мейерс Г. Е., Шауер И. И., Юстис Р. Н. Теплообмен в плоских турбулентных струях:
у стенки.— «Тр. амер. об-ва инженеров-механиков» (рус. пер.), 1963, сер. С, т. 85„
№ 3, с. 209.
5. Nishiwaki N., Hirata M., Tsuchida A. Heat transfer on a surface covered by cold air
film. — In: Intern. Developments in Heat Transfer. 1961 Intern. Conf., Pt. 4. New
York 1961, Sec. A, p. 675.
6. Papell S., Trout A. M. Experimental investigation of air film-cooling applied to an1
adiabatic wall by means of axially discharging slot. NASA.TND-9, 1959.
7. Seban R. A. Heat transfer and effectiveness for a turbulent boundary layer with tangenti-
tangential fluid injection.— «Trans. ASME», ser. C, 1960, v. 82, N 4, p. 303.
8. Seban R. A., Back L. H. Velocity and temperature profiles in a wall jet.— «Intern. J..
Heat and Mass Transfer», 1961, v. 3, N 4, p. 255.
Глава
15
ТЕПЛООБМЕН В ПАКЕТАХ И ЗАСЫПКАХ
15.1. ПОПЕРЕЧНОЕ ОБТЕКАНИЕ ПАКЕТОВ ЦИЛИНДРОВ
Поверхности нагрева, набираемые из отдельных труб, образуют пакеты,
обтекаемые жидкостью или газом. Основными типами пакетов являются кори-
коридорный, шахматный (рис. 15.1) и пакеты с разрывами. Геометрически кори-
коридорные и шахматные пакеты однозначно определяются наружным диаметром
цилиндров D, поперечным шагом sx и продольным s2. Так как передние трубы
турбулизуют поток, то интенсивность теплоотдачи повышается от ряда к ряду
по направлению течения теплоносителя.
На рис. 15.2 показана схема обтекания труб в свободном коридорном па-
пакете. Как видно из рис. 15.3, распределение статического давления вокруг
одной из труб такого пакета, по измерениям А. Жукаускаса, В. Макарявичю-
са и А. Шланчяускаса, существенно более равномерно, чем при обтекании оди-
одиночного цилиндра. С увеличением продольного шага неравномерность поля
давления увеличивается.
В тесных коридорных пакетах основное течение приближается к течению в ка-
каналах (рис. 15.4). При больших продольных шагах поток, проходя через узкое
сечение данного ряда, начинает развиваться в кормовом пространстве как за-
затопленная струя. Таким образом, в тесных пакетах все цилиндры, кроме пер-
первого ряда, обтекаются потоком с квазиструевым распределением скоростей
(рис. 15.5).
Коридорный
Шахматный
Рис. 15.1. Схемы расположения труб в пучке
Рис. 15.2. Обтекание продольного ряда труб
210
На рис. 15.6 показаны, по опытам
Г. А. Михайлова, эпюры коэффициен-
коэффициентов теплоотдачи для труб, находящих-
находящихся в коридорном пучке. Отчетливо
видны взаимодействие последующих
рядов труб с аэродинамическими сле-
следами предшествующих рядов и посте-
постепенная стабилизация условий обтека-
обтекания после третьего-четвертого ряда.
Таким образом, коэффициент теп-
теплоотдачи пучка труб в квазиизотер-
квазиизотермическом потоке определяется неко-
некоторой функцией
Nu - Ф (Рг; Re; sJD] s2/D; Z),
A5.1.1)
0,4
-0,4
-0,8
-1,2
\
\
\
\
\
\ >
\
\
\
\
\
\
\
\
\
\
V
s
WO \
1,25 |
I
1,5 _ \ _
4^
60
90
120 150 <р,град
Рис. 15.3. Перепад статического давления
вокруг трубы в продольном ряду (пунктир-
(пунктирная линия соответствует обтеканию одиноч-
одиночного цилиндра идеальной жидкостью)
где Z — номер ряда по направлению
течения.
Первый ряд труб любого пучка на-
находится в условиях, соотвегствующих
обтеканию одиночного цилиндра.
Исключение составляют только пучки с весьма тесным поперечным шагом,
когда возникает взаимодействие пограничных слоев соседних труб. Последую-
Последующие ряды труб в коридорном пучке попадают в вихревую область, образую-
образующуюся за впереди стоящими трубами. Условия омывания в этой области
Рис. 15.4. Схема течения в сжатом коридорном пучке
Циркуляционная зона , Диффузорная зона
Рис. 15.5. Схема спутного течения за первым рядом
211
хуже, чем в лобовой части одиночной трубы, максимальное значение локаль-
локального коэффициента теплоотдачи сдвигается вглубь по течению потока.
В шахматном пучке взаимодействующие трубы отстоят друг от друга на
большем расстоянии, чем в коридорном пучке, и поэтому омывание глубоко
расположенных труб мало отличается
по характеру от омывания труб пер-
первого ряда.
Обширные исследования теплоот-
теплоотдачи от газа к пучкам труб были про-
проведены В. М. Антуфьевым, Л. С. Ка-
заченко и Г. С. Белецким, а также
Н. В. Кузнецовым. Обзор последую-
последующих работ и новые результаты можно
найти в монографии А. Жукаускаса,
В. Макарявичюса и А. Шланчяуска-
са. Анализ показывает, что практиче-
практически наиболее целесообразным оказы-
оказывается метод обобщения при отнесе-
отнесении всех физических свойств к темпе-
температуре потока и скорости течения,
рассчитанной по узкому сечению па-
пакета (ряда). Тогда формула для тепло-
теплоотдачи в пучке имеет вид
160 120 80 40 0 40 80
Рис. 15.6. Распределение теплоотдачи
окружности труб в коридорном пучке
по
Re". A5.1.2)
За определяющий размер принят наружный диаметр трубы.
Обработка опытных данных, проведенная под руководством Н. В. Кузнецо-
Кузнецова, позволяет рекомендовать при Re > 6 • 103 следующие расчетные формулы
<при Рг = 0,72):
1) коридорные пучки
Nu =0,177 Cz Re0»64, A5.1.3)
где Cz — поправка на число рядов в продольном направлении; берется по
графику рис. 15.7;
0,94
0,88
0/8
0,70
II
1
1
1
^—
8 12 16 20 Z
в
4,0
5,5
5,0
2,0*
>
/
V
//
г
0,2 0,4 0,6 D/S
Рис. 15.7. Коэффициент Сг для па-
пакета труб коридорного A) и шах-
шахматного B) пучков
Рис. 15.8. Зависимость коэффици-
коэффициента В от конфигурации и разме-
размеров коридорного A) и шахматно-
шахматного B) пучков труб
2) шахматные пучки при (s1 — D)/(sd — D) < 0,7
Nu = 0,27CzRe0'6;
3) шахматные пучки при (s1 — D)/(Sd — D) > 0,7
\0,25
sd-D
где Cz берется по графику рис. 15.7.
В этих формулах
sd =
A5.1.4)
A5.1.5)
A5.1.6)
212
По данным А. Жукаускаса и др., в пакетах труб п « 0,36, т. е. для неме-
неметаллических сред практически можно пользоваться формулой A0.14.3) при
введении в нее соответствующего значения коэффициента С. При Re > 105
показатель степени при числе Рейнольдса возрастает до 0,8.
В литературе имеются и другие эмпирические расчетные предложения.
Для предельного случая металлических теплоносителей (Рг -^0), по расчетам
Цесса и Грома, имеют место следующие зависимости:
q = const, Nu = 0,946 У В Ре;
Тст = const, Nu = 0,718 уТГРё",
A5.1.7)
где значение коэффициента В берется по графику (рис. 15.8).
На рис. 15.9 приведен ряд экспериментальных данных о теплообмене при
поперечном обтекании пакетов труб щелочными металлами (Ре рассчитан по
скорости потока в узком зазоре, Рг = 0,007 ч- 0,02).
Как видно, при таких значениях Рг конфигурация пакетов влияет отно-
относительно мало.
Широкое распространение имеют пакеты оребренных труб, главным обра-
образом в аппаратах с газовыми и жидкими теплоносителями, имеющими малые ко-
коэффициенты теплопроводности и теплоемкости или большую вязкость. При об-
Ми
*^0
—
О-,
0
9
О
*
ь
0х >
р
Nu
-9- у?
< -<
\
\
осЗ1
i
i
й
у
>
4
&
$
а
д-
y-d'
^ а
6 J%
а ^
rf Л
*
•
6 6
х (,
" 1
• 1
Л А
- А 2 е /,
* 3 о- 1*
^•4-^1
* 5 Ф /
- ¦ 6 J^r i
Д
1
0
о
ь
ь
8
а
Г
Л.
ч
Д
>
S 4 6 8 10 2 4 6 8 10* 2 4 6
Рис. 15.9. Средняя теплоотдача при поперечном обтекании пучков труб жидким
металлом:
J=\7W™2UU°-P*™m^0K613^?^l'l3*lt<*9' s2/jD= ЫЗч-1,69); 5 —18 — шахматные пучки (sJD =
текании ребристых труб условия обтекания различных элементов поверхности
теплообмена могут быть существенно неодинаковыми. Поэтому рассмотрений
в гл. 7 задачи о теплопроводности в ребрах, на поверхности которых имеет ме-
место постоянное значение коэффициента теплоотдачи, далеко не всегда могут
служить основанием для расчетов повышенной точности.
Кроме условий обтекания на теплообмен в оребренных поверхностях влияют
и теплофизические свойства материалов ребер, например в стационарном режи-
режиме — их теплопроводность. Соотношения условий теплоотдачи к ребру и тепло-
теплопроводности в самом ребре определяют поле температур на поверхности ребра
й распределение тепловых потоков. Все это, а также многочисленность возмож-
возможных конструкций оребрения делает невозможным построение универсальных
зависимостей, связывающих значение коэффициента С в формулах типа A5.1.2)
213
b
X
•c
D
•d
о
n
П
4
X
О
[o*x
о
D
О
П
о
'x
OjS
Re,104
Рис. 15.10. Теплоотдача пучка труб из раз-
различных металлов:
П — нержавеющая сталь; о — углеродистая сталь;
Л—магний; х —алюминий; # —медь
с геометрией и теплопроводностью
ребристой поверхности.
Можно только считать, что пока-
показатель степени при числе Прандтля
во всех случаях почти постоянен и
равен 0,33—0,40.
На рис. 15.10 показаны результа-
результаты опытов В. Ф. Юдина и Л. С. Тох-
таровой с пакетом труб, имеющих по-
поперечное одновинтовое оребрение.
Отчетливо видно влияние теплопро-
теплопроводности материала при Х<
< 50 Вт/(м • К). Действительным
критерием этого влияния, конечно,
является число Био, т. е. соотношение коэффициента теплоотдачи к ребру и
его внутреннего термического сопротивления.
В литературе к главе указаны некоторые работы, позволяющие ориентиро-
ориентироваться в данном вопросе.
15.2. ПРОДОЛЬНОЕ ОБТЕКАНИЕ ПАКЕТОВ ЦИЛИНДРОВ
При продольном обтекании цилиндров компоновка возможна от максималь-
максимально тесной до весьма разреженной. В первом случае образуется система отдель-
отдельных каналов сплошной конфигурации (рис. 15.11). Во втором случае имеет
место практически независимое обтекание отдельных цилиндров (труб).
Для канала, образованного тремя дужками окружности, по опытам
М. X. Ибрагимова, В. И. Субботина и др., средний коэффициент теплоотдачи
при турбулентном течении на 30—40?^ выше
рассчитанного по формуле для круглой трубы
при введении в качестве характерного линейно-
линейного^ размера гидравлического диаметра
D9 = 4Q/Py A5.2.1)
где Р — периметр и Q — площадь поперечного
сечения канала.
Для каналов с 1,15 <С s/D < 1,25 можно
пользоваться расчетом по гидравлическому диа-
диаметру, не вводя в формулу для круглой трубы
поправочного множителя. Однако здесь важно
часто не столько знание среднего коэффициента
теплоотдачи, сколько его локальные значения,
особенно в застойных углах тесного канала. Для продольно омываемых па-
пакетов труб по экспериментам Э. К. Калинина и Г. А. Дрейцера
Nu = @,032s/D — 0,0144) Re°>8Pr°>33. A5.2.2)
Понятие среднего коэффициента теплоотдачи вообще может оказаться в ряде
случаев бессодержательным. Кроме того, в каналах сплошной конфигурации
значение а существенно зависит от принятого закона осреднения температур.
Так, по данным В. К. Кошкина, Э. К. Калинина и др., в одном из узких
продольно омываемых пакетов имело место соотношение условных средних
коэффициентов теплоотдачи
? И
j а (ф) dq> j Тст (ф) dcp — 1
Рис. 15.11. Продольное обтека-
обтекание максимально тесной упа-
упаковки цилиндров
к
A5.2.3)
В. И. Субботин с сотрудниками исследовали распределения температур-
температурного напора стенка—жидкость в тесном пучке труб (рис. 15.12) и коэффициен-
коэффициентов теплоотдачи в пакетах с плотной упаковкой (рис. 15.13). Для продольно
214
SO 60 90 120 150 180 210 240 270 300
Рис. 15.12. Распределение температурного напора стенка—жидкость
по периметру трубы в пучке (s/D~l)
Nu
2
10°
8
6
\ \
•
?-
8 W
2 Ре
Рис. 15.13. Зависимость теплоотдачи от скорости в координатах Nu=f(Pe) для пуч-
пучков различной геометрической конфигурации:
А —плотная шахматная упаковка, ртуть; •—плотная коридорная упаковка, ртуть; о—плотная
коридорная упаковка, сплав 22%Na — 78%К
Nu
20
10
г»
~[
Г*
<
•ai
Г
у
D С
ф ф
<? п
Хг-1 л J
dOd "
С
О в
•X
Iй ¦
V
1
X
м
:х J
Г*
1
1
1
< X
л
с
о
м
П
Х<
1
Л
о
г С И
дд '
1?к
О
>
А А
J
6 8 10
20
Рис. 15.14. Зависимость Nu от Ре при обтекании трубы жидкими металлами:
А, 4> •.О — Рг = 0,025; П, Э — Рг=0,007; ¦• X — Рг = 0,03
обтекаемых жидким металлом пакетов труб с sID = 1,2 -^ 1,5 ряд данных,
получен В. М. Боришанским и его сотрудниками (рис. 15.14). Со значительным
разбросом экспериментальные данные группируются вокруг простой линейной
зависимости
Nu = 6-f 0,006 Ре. A5.2/4)
Подробно данные о течении жидких металлов рассмотрены в монографии
автора, В. М. Боришанского, И. И. Новикова и О. С. Федынского.
15.3. ПАКЕТЫ ШАРОВ
Схемы простых упорядоченных расположений шаров в пространстве могут
быть различны (рис. 15.15). Во многих случаях применяются щи*еты из тел
других форм (призмы, короткие цилиндры, кольца и т. п.). Заь^пленные слои
таких тел мы будем называть пакетами или неподвижными Слоями.
215
Пакет характеризуется геометрической формой составляющих его элемен-
элементов, их характерными размерами, поверхностью и пористостью. Объемная
пористость определяется формулой
Ф=1— Рп/Рт, A5.3.1)
где рп — плотность пакета (слоя, насыпки) и рт — плотность твердой компо-
компоненты (собственно тел, образующих пакет).
Пористость монодисперсного слоя шаров меняется от 0,476 при максималь-
максимально рыхлой структуре до 0,259 при максимально плотной структуре. В первом
Рис. 15.15. Регулярные расположения шаров, поддерживающих друг друга, в про-
пространстве:
1 —вид сверху; // — вид спереди
приближении связь между пористостью слоя и числом мест контактов данного
шара с соседними (координационное число Nk) линейна:
Ф = 0,693—0,0372#А. A5.3.2)
Средняя расходная скорость течения сквозь слой определяется как
aT=G/(Qpq>). A5.3.3)
Здесь G — массовый расход газа (жидкости) через поперечное сечение слоя
площадью й; р — плотность текущей среды.
Средняя максимальная расходная скорость течения определяется по мини-
минимальному проходному сечению слоя я|э. Для монодисперсного слоя шаров
^макс « G/(Qpl>). A5.3.4)
Для кубической структуры слоя <р = 0,476 и *ф = 0,215; для тетраэдриче-
ской ф = 0,259 и г|) = 0,0931. Эквивалентный гидравлический диаметр слоя
определяется формулой
?>э = 4ф/[/0A-ф)], A5.3.5)
где /о — удельная поверхность частиц. Для шара /0 = 6/D.
Многие расчетные формулы по сопротивлению и теплоотдаче в слоях ча-
частиц построены по эквивалентному диаметру и средней расходной скорости.
Соответствующее выражение для градиента давления по толщине слоя имеет
вид
АЫ -8 A5.3.6)
dx 2Ф3
Для монодисперсного слоя шаров
— dp/dx = 3?эр^2/(ф3?). A5.3.7)
Коэффи1иент гидравлического сопротивления в последней формуле определя-
определяется эмпкоическими зависимостями:
0<Re9<2.103; ^ = 36,4/Re3'+0,45; |
2.103<Rea<M05. ?3=i09/ReS4 ]
216
При ламинарном режиме течения в слое коэффициент теплоотдачи от сфери-
сферических частиц к протекающей жидкости может быть определен по формуле
Пфеффера:
e1/3 , A5.3.9)
1 — A — ФM/3
где
2—3A -
—ФM^3 —2A —
На рис. 15.16 приведен ряд экспериментальных данных М. Э. Аэрова
л О. М. Тодеса о зависимости Nu (Pr, Re) в области чисел Рейнольдса частицы
10'
ю1
CL
10'
1 I I I IIII I
10*
Рис. 15.16. Результаты опытов по испарению элементов зернистого
слоя из нафталина в газ:
О» ?¦ ¦»•» 3— стальные шарики (D =3,19-^19,35 мм); X, 4 — катализатор
таблетки (D = 6,65mm, // = 6,95 мм и D = 9,l мм, //=10,2 мм); Л —кольца Ра-
шига (D = tf = 8 мм)
слоя от 0,2 до 1000. Эти опыты для различных областей изменения Re описы-
описываются зависимостями
Re90'85;
2 < Rea < 30; Nua = 0,72 Pr1 /3 Re"
,47 .
Rea>30;
0,39Pr1/3 Re90'64.
A5.3.10)
15.4. КИПЯЩИЙ СЛОЙ
Если слой частиц удерживается в неподвижном состоянии некоторой объем-
объемной силой (гравитационной, центробежной, магнитной), то при достижении
определенного значения динамического напора текущей через слой жидкости
наступает нарушение устойчивости и возникает так называемое псевдоожижен-
ное состояние слоя твердых частиц. Такой взрыхленный динамическим воз-
воздействием жидкой среды слой называют также кипящим.
Возникновение кипящего слоя можно характеризовать первым критиче-
критическим значением скорости течения жидкости через слой. Полное разрушение,
сопровождающееся выносом всех или большинства частиц слоя, характеризуется
второй критической скоростью течения жидкости через слой. В промежуточной
области кипящий слой обладает механизмом саморегулирования, основанным
на дисбалансе подъемной силы, действующей на частицы, и изменением ско-
скорости течения с изменением порозности слоя. Повышение динамического напора
в какой-то части слоя приводит к увеличению свободного прохода для текущей
217
среды и, следовательно, к уменьшению ее скорости и динамического воздейст-
воздействия на твердые частицы.
Однако такой слой обладает рядом неустойчивостей, о которых кратко будет
показано в соответствующем разделе этой главы. Пока что мы будем считать его
достаточно однородным. Основным условием возникновения псевдоожиженного
слоя является равенство градиента
гидродинамического сопротивления в
слое насыпному весу этого слоя
(рис. 15.17).
Эффективная модель однородного
монодисперсного кипящего слоя ша-
шаров была предложена М. А. Гольд-
штиком. Геометрия такого слоя опре-
определяется формулами
..._/ 1-Фо У/3
D -()
•
10*
10
10~2
10}
-
-
I 10 10}
- /
/
4v
10s
106
107 kv
1~ Фо
A5.4.1)
Рис. 15.17. Зависимость критического числа
Рейнольдса начала псевдоожижения от чис-
числа Архимеда слоя
Здесь s — расстояние между частица-
частицами слоя; ф — порозность кипящего
слоя; ф0 — порозность плотного слоя
с тем же расположением частиц; i|) —
минимальное проходное сечение; ар0 _ минимальное проходное сечение в
плотном слое. Для кипящего слоя можно принять
— 1э17A—фJ/з.
A5.4.2)
Двужидкостная модель кипящего слоя предполагает, что хаотическое дви-
движение твердых частиц аналогично движению молекул и, следовательно, в при-
F _ ближении элементарной (бернуллиевской) мо-
дели газа можно написать
пульсов в следующем виде:
уравнение им-
им" / 0,7 0,4(р
Рис. 15.18. Зависимость F от по-
розности ф
где рт — парциальное давление «газа твер-
твердых частиц»; х — координата, направленная
против вектора силы тяжести.
В плотном кипящем слое частицы распо-
расположены так близко друг к другу, что в про-
процессе их соударений с контрольной площад-
площадкой участвует лишь один ближайший слой
(гипотеза монослойной экранировки взаимо-
взаимодействия частиц). Тогда парциальное давле-
давление «газа твердых частиц» определяется из-
известным соотношением кинетической теории
газов:
A5.4.4)
где С — средняя скорость хаотического движения частиц, а I — расстояние
между частицами, определяющие длину их свободного пробега. М. А. Гольд-
штик показал, что основную роль в генерации хаотического движения частиц
кипящего слоя играет поперечная сила Магнуса, возникающая при обтекании
вращающегося тела.
В результате представляется разумной следующая модель кипящего слоя.
Возникновение движения обусловлено гидродинамической неустойчивостью
218
конфигурации покоя, возникающей при достижении критической скорости
фильтрации. После возникновения движения решающую роль приобретает пе-
передача энергии от потока жидкости к слою частиц с помощью эффекта Магнуса.
Этот эффект возникает вследствие вращения частиц, поддерживаемого в про-
400-
200
0,24
0,28 Цм О
0,1
0,2 L,m
Рис. 15.19. Распределение плотностей в полидисперсном кипящем слое при
различных скоростях потока (а), по высоте кипящего слоя (б) и по высоте
кипящего слоя для зон малых плотностей (в)
цессах соударений друг с другом и стенкой. Сила взаимодействия потока с вра-
вращающимися частицами при w > С может быть записана формулой
A5.4.5)
Окончательное выражение для им-
импульса имеет вид
A-/г2JРт
1-ф
1—Фо
/3
— 1
10г
10
у
ШШ1
20
10s
A5.4.6)
Здесь k — коэффициент восстановле-
восстановления для неупругого удара. Макси-
Максимальное значение импульса имеет ме-
место при ф = 0,65 (рис. 15.18). Для
устойчивости плотного слоя необхо-
необходимо выполнение условия dpjd(\ —
— ф) < 0, что возможно при ф < 0,65.
Отсюда можно показать, что усло-
условием существования плотного слоя
является неравенство
0,17 < ш/ш0 < 0,42, A5.4.7)
где w0 — скорость свободного витания частицы.
Реальный переход от состояния плотного слоя к состоянию квазиравновес-
квазиравновесного витания определяется пунктирным прямоугольником на рис. 15.18. Эк-
Эксперимент подтверждает, что над плотным слоем частиц может иметь место
слой весьма малой концентрации, т. е. «пар» из частиц, выносимых из основ-
основного слоя. Скорость витания определяется известной формулой
Рис. 15.20. Теплоотдача в кипящих слоях:
/—область экспериментальных данных; 2 — расчет-
расчетная зависимость
A5.4.8)
219
где ?0 — коэффициент гидравлического сопротивления твердой частицы. На
рис. 15.19 приведены экспериментальные данные, подтверждающие эту мо-
модель для плотных слоев.
Как видно из рис. 15.20, в принятых координатах опытные данные имеют
достаточно большой разброс, т. е. здесь еще далеко до однозначных резуль-
результатов. Для оценок можно пользоваться формулой
Ыи^СОЗРг1/3!^. A5.4.9)
15.5. НЕОДНОРОДНОСТИ И НЕУСТОЙЧИВОСТИ
В СЛОЕ ЧАСТИЦ
Здесь нет возможности сколь-либо подробно осветить эту важную техно-
технологическую проблему, и мы ограничимся только одним примером.
В неподвижных слоях возникают пристенный эффект и неоднородность
плотности распределения частиц по слою. На рис. 15.21 приведены соответ-
/?,мм -
400
J00
200
100
if 400
500 1000р,кгМ*
а
,мм
400
J00
200
100
- jo
I
200^
I
I ZOOjy
У 150^-
i
--*
1 1 1
10 40
Рис. 15.21. Распределение локальной плотности р (а) и ее относи-
относительной пульсации б (б) по оси колонки для разных значений вы-
высоты неподвижного слоя Lo, мм
ствующие данные для одного из реакторов по М. Э. Аэрову и О. М. Тодесу.
Газораспределителем в данном случае служит перфорированная решетка.
В кипящем слое малой высоты поток жидкости (газа) может пробивать ка-
каналы, в результате чего значительная часть текучей среды проходит без взаимо-
взаимодействия с твердыми частицами.
220
В слое возможно образование пузырей, т. е. пространства, практически
не заполненного твердыми частицами.
Во вращающихся неконцентрированных слоях возникают неустойчивости
типа волн на внешней границе слоя, образования «рукавов», удивительна
напоминающих фотографии спиральных галактик, собирание частиц в большие
комки, совершающие индивидуальное вращение в закрученном потоке текущей
среды.
Все эти эффекты влияют и на процессы теплообмена в слое.
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Антуфьев В. М., Белецкий Г. С. Теплоотдача и сопротивление трубчатых поверхнос-
поверхностей в поперечном потоке. М., Машгиз, 1948.
2. Антуфьев В. М. Эффективность различных форм конвективных поверхностей нагрева.'
д1.-_Л., «Энергия», 1966.
3. Аэров М. Э., Тодес О. М. Гидравлические и тепловые основы работы аппаратов со
стационарным и кипящим зернистым слоем. Л., «Химия», 1968.
4. Берман Л. Д. Испарительное охлаждение циркуляционной воды. М., Госэнергоиздат,,
1957.
5. Гольдштик М. А. Элементарная теория кипящего слоя.— «Журн. прикл. механ. и
техн. физ.», 1972, № 6, с. 106.
6. Жидкометаллические теплоносители. М., Атомиздат, 1973. Авт.: В. М. Боришанский,
С. С. Кутателадзе, И. И. Новиков, О. С. Федынский.
7. Жаворонков Н. М. Гидравлические основы скрубберного процесса и теплоотдача в
скрубберах. М., «Сов. наука», 1944.
8. Жукаускас А., Макарявичус В., Шланчяускас А. Теплоотдача пучков труб в попереч-
поперечном потоке жидкости. Вильнюс, «Минтис», 1968.
9. Забродский С. С. Гидравлика и теплообмен в псевдоожиженном слое. М.— Л., Гос-
энергоиздат, 1963.
10. Карасина Э. С. Теплообмен в пучках труб с поперечными ребрами. — «Изв. Всесоюз.
теплотехн. ин-та», 1952, № 12, с. 12.
11. Кошкин В. К., Калинин Э. К. Теплообменные аппараты и теплоносители. М., «Ма-
«Машиностроение», 1971.
12. Кузнецов Н. В., Щербаков А. 3., Титова Е. Я. Новые расчетные формулы для аэро-
аэродинамического сопротивления поперечно обтекаемых трубных пучков.— «Теплоэнер-
«Теплоэнергетика», 1954, № 9, с. 27.
13. Ляпин М. Ф. Теплоотдача и аэродинамическое сопротивление гладкотрубных пучков
при больших числах Re газового потока.— «Теплоэнергетика», 1956, № 9, с. 49.
14. Методика и зависимости для теоретического расчета теплообмена и гидравлического
сопротивления теплообменного оборудования АЭС, РТМ24 031 05—72. М., Минтяж-
маш, 1972.
15. Михайлов Г. А. Конвективный теплообмен в пучках труб.— «Советское котлотурбо-
строение», 1939, № 12, с. 434.
16. Петровский Ю. В., Фастовский В. Г. Современные эффективные теплообменники.
М.— Л., Госэнергоиздат, 1962. (Тр. ВЭИ, вып. 70).
17. Сыромятников М. И., Васанова Л. К., Шиманский Ю. Н. Тепло- и массообмен в ки-
кипящем слсе. М., «Химия», 1967.
18. Тепловые и гидравлические характеристики пучков из труб с поперечными ребрами
при продольном обтекании — «Теплоэнергетика», 1973, № 6, с. 70. Авт. : О. С. Вино-
Виноградов, П. И. Пучков, А. В. Иванова и др.
19. Тепловой расчет котельных агрегатов (нормативный метод). М.—Л., Госэнергоиздат,
1957.
20. Шолохов А. А., Минашин В. Е. Теплообмен при продольном течении жидкости в пуч-
пучках стержней.— «Атомная энергия», 1968, т. 25, вып. 4, с. 280.
21. Юдин В. Ф., Тохтарова Л. С. Теплоотдача и сопротивление пучков оребренных труб
с различными высотами и шагами ребер при больших числах Re.— «Энергомашино-
«Энергомашиностроение», 1972, № 12, с. 21.
22. Юдин В. Ф., Тохтарсва Л. С. Влияние теплопроводности ребер и теплоносителя на
теплоотдачу пучков ребристых труб при поперечном омывании. — «Теплоэнергети-
«Теплоэнергетика», 1971, № 9, с. 66.
23. Siennicki S. Ргасе Institute techniki cieplnej, Lod 7, 1964.
Гтва ^л м л ГИДРОДИНАМИКА И ТЕПЛООБМЕН
16
В СРЕДАХ С НЕЛИНЕЙНЫМ ЗАКОНОМ
МОЛЕКУЛЯРНОГО ТРЕНИЯ
16.1. ЖИДКОСТИ С НЕЛИНЕЙНОЙ КРИВОЙ ТЕЧЕНИЯ
Кривой течения называют зависимость между касательными напряжениями
и градиентом скорости в плоском одномерно ламинарном изотермическом
потоке, когда скорость w меняется только по нормали к направлению течения.
У жидкостей, подчиняющихся закону трения Ньютона, в рассматриваемых
условиях
¦ = fx = const A6.1.1)
dw/dy
и кривая течения линейна.
Идеальный газ является наиболее точной моделью ньютоновской жидкости.
Практически таково поведение и реальных жидкостей с небольшими молеку-
молекулами. Жидкости с большими молекулами имеют нелинейные кривые течения
и могут быть разделены на несколько классов.
1. Жидкости с однозначной, но нелинейной связью между напряжением
и скоростью сдвига в данной точке*. Мы будем называть их жидкостями
со структурной вязкостью.
2. Жидкости с меняющейся во времени связью между напряжением и ско-
скоростью сдвига. Мы будем называть их жидкостями с нестационарным законом
трения.
3. Жидкости вязкоупругие, т. е. проявляющие частичное упругое восстанов-
восстановление формы после снятия напряжения.
Системы, состоящие из мелких твердых частиц, в неньютоновской жидкости
ведут себя в целом как среды с нелинейной кривой течения. В такого рода сре-
средах перестройка ориентации молекул и их взаимодействия в процессе течения
влияет не только на коэффициент вязкости (х, определяемый по формуле
A6.1.1), но и на другие коэффициенты переносов. Однако во многих случаях
коэффициент теплопроводности меняется существенно меньше, чем коэффи-
коэффициент вязкости.
Следует также отметить, что вследствие большой вязкости жидкостей с круп-
крупными молекулами их течение в практических условиях обычно является лами-
ламинарным.
Ниже мы рассмотрим главным образом некоторые вопросы гидродинамики
и теплообмена жидкостей со структурной вязкостью.
16.2. СВЯЗЬ МЕЖДУ ТЕКУЧЕСТЬЮ И КАСАТЕЛЬНЫМИ
НАПРЯЖЕНИЯМИ В ПОТОКЕ ЖИДКОСТИ
со структурной вязкостью
Анализ экспериментальных данных показывает, что текучесть ср = ц-1
является более простой функцией касательных напряжений т, чем собственно
динамический коэффициент вязкости.
Значительное число сложных эмпирических выражений, основанных на
более или менее удачной аппроксимации нелинейной кривой течения в некото-
некотором интервале напряжений или скоростей сдвига, не нашло широкого исполь-
использования, а наиболее распространенная степенная формула Оствальда, подку-
*
dw d I dx \ _ dy
~d^~ = ~dy~ \dT) ~~ 1Г = Y>
/ — время, у = dx/dy — сдвиг и у — скорость сдвига.
222
пая простотой последующих операций с нею, не выдерживает критики ни
с точки зрения соответствия предельным свойствам <р (т), ни с точки зрения
размерности входящих в нее коэффициентов.
Ниже излагаются результаты, полученные автором совместно с Е. М. Ха-
бахпашевой и В. И. Поповым. На рис. 16.1 схематично показана общая зави-
зависимость ф (т) для случая dyldx > 0 при т > хг по экспериментальным данным
ряда авторов. В области т< т0 ф = 0 и жидкость проявляет так называемую
условную упругость. В области т0 < т < х1 поведение жидкости характери-
характеризуется постоянной текучестью <р0. Естественно, что в определении тх есть
некоторая условность, ибо переход от постоянной текучести ф0 к переменной
осуществляется плавно на некотором от-
отрезке Ат.
Величину хг назовем пределом устой-
устойчивости макроструктуры жидкости, а
ф0 — нулевой текучестью. Соответственно
текучесть при т -^оо обозначим ф^*.
В качестве масштаба изменения текучести
естественно выбрать разность ф^ — ф0, а
в качестве искомой переменной — дефект
текучести ф^ — <р. Тогда из величин ср,
Фо» Фоо и т — Ti можно образовать два без-
безразмерных комплекса, вводя некоторую ве-
величину в, которая может служить мерой
структурной стабильности жидкости:
{ф* = (ф°о — ф)/(фоо — Фо) и
Т# = в(Т—^/(фоо — фо)}- A6.2.1)
Зависимость
растающей
Рис. 16.1. Зависимость ф от т
(т#) имеет одинаковый характер для жидкостей как с воз-
возФо), так и с уменьшающейся (ср^ < <р0) текучестью. При
\ 0
этом всегда d?yjdx% > 0, и текучесть жидкости можно формально описать
уравнением
dy^ = —ф" dx%. A6.2.2)
Соответственно
при хо<х<хг Ф* = 1; A6.2.3)
при т>т1э п = 1 фНс = ехр(—т*); A6.2.4)
при т>т1, пф\ ф* = [1—т*A—л)]1/»-11). A6.2.5)
Отсюда следует, что текучесть при п = 1 характеризуется набором пяти
величин:
{V, т1; Фо; фоо; в}. A6.2.6)
В сильно структурированных жидкостях разрушение структуры под влия-
влиянием напряжения сдвига приводит к значительному изменению текучести.
К таким жидкостям относятся расплавы полимеров, концентрированные
суспензии, пасты, битумы и т. п. Для слабо структурированных жидкостей
(растворов полимеров, низкоконцентрированных суспензий, эмульсий, латек-
сов) под действием напряжения сдвига текучесть меняется сравнительно слабо.
При достаточно малых т^ практически интересная область удовлетворитель-
удовлетворительно описывается первыми двумя-тремя членами разложения уравнения
A6.2.4)**. Переписав его с учетом уравнения A6.2.1) в виде
Ф = фоо— (фоо — фо)ехр[—в(т—-т^Дфоо— Фо)]» A6.2.7)
получим
= фо-{-в(т-т1)-(в2/2)(т-т1J/(Фоо-Фо)
* У так называемых дилатантных жидкостей фД
** Следует также иметь в виду, что у большинства жидкостей %\'.
A6.2.8)
223
или, ограничиваясь двумя первыми членами разложения,
-ti). A6.2.9)
Последняя формула весьма удобна для построения приближенных методов
расчета течения жидкостей со структурной вязкостью. Поэтому целесообразно
в теории выделить специальный подкласс жидкостей с линейным законом теку-
текучести. Для дилатантной жидкости перед вторым членом формулы A6.2.9) сле-
следует ставить знак минус.
16.3. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТЕЙ И ГИДРАВЛИЧЕСКОЕ
СОПРОТИВЛЕНИЕ ПРИ СТАБИЛИЗИРОВАННОМ
ИЗОТЕРМИЧЕСКОМ ТЕЧЕНИИ ЖИДКОСТИ
С ЛИНЕЙНЫМ ЗАКОНОМ ТЕКУЧЕСТИ
При ламинарном течении жидкости в цилиндрическом канале распределение
касательных напряжений имеет вид
т = тст?, A6.3.1)
где I = R/Ro — безразмерный радиус.
При т0 = 0 и т < тх в результате интегрирования уравнения
dwldR = — Ф (т —
w/W
)> A6.3.2)
1
k
ш
1
//
I
к
In
п
/
//
т
(-2,6
-2,4
-2,2
-л
-?
-1,0
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
"^
=5;
0
V
л
И
¦т.-?
-оА
/л
\/
10
710
\
1
7
\
л
\\
где т = — (Я/2) (do/dx)y получим про-
профиль скорости:
XS) —
-—V
При тх = 0 и линейном законе теку-
текучести
A6.3.3)
получим
w _ Тст^офр
[0-?2) +
4 — тстA-Ы; A6.3.4)
¦ ^о фо
.20
-\ тст
3 фо
_
A6.3.5)
A6.3.6)
R/Ro 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 R/Ro
Рис. 16.2. Распределение скоростей по фор-
формуле A6.3.7)
w
1 + 4тст 0/5фо
Фл/гпкг. — — —
"макс
w
1 + 2тст 9/Зфр
1+4тст0/5фо
A6.3.7)
A6.3.8)
где оумакс — максимальная скорость на оси трубы; w — средняя расходная
скорость.
Из рис. 16.2 следует, что при в>0 профиль скоростей более заполнен,
чем при течении жидкостей с линейной кривой течения (в = 0). При в <0
профиль менее заполнен.
224
В рассматриваемом случае число Рейнольдса потока целесообразно строить
в виде
Reo = илОфо р, A6.3.9)
где Фо = 1/м-о — нулевая текучесть (при т ->0).
—¦—:
10-^
10
ю2
-2-1012 iqRe^
Рис. 16.3. Зависимость % от Re0 по формуле A6.3.10)
Учитывая формулу A6.3.6), находим, что
о 8тст = 5 л /77
где р = QpwV(p0 (рис. 16.3).
A6.3.10)
16.4. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТЕЙ И ГИДРАВЛИЧЕСКОЕ
СОПРОТИВЛЕНИЕ ПРИ ПРОДОЛЬНОМ ИЗОТЕРМИЧЕСКОМ
ОБТЕКАНИИ ПЛАСТИНЫ
В этом случае профиль касательных напряжений аппроксимируется фор-
формулой (см. гл. 9)
т«тстA-3|2 + 2?3). A6.4.1)
Распределение продольной составляющей вектора скорости при линейном
законе текучести определяется уравнением
A6.4.2)
Отсюда
5 7
A6.4.3)
При I = 1 w = йУ0> гДе ^о"— скорость набегающего потока, и, следовательно,
35 ф0
A6.4.4)
Тогда
Т
W0
26 0
00 фо
8 Зак. 795
A6.4.5)
225
Выражение для коэффициента трения с учетом формулы A6.4.4) можно
записать так:
cf =
2тст
35
26P
(л/
[у
1 +
208р
35 Re,
— 1
A6.4.6)
где Re6 = w0 8щ р и р = врш§/ф0.
16.5. СВЯЗЬ МЕЖДУ ИСТИННОЙ И КАЖУЩЕЙСЯ
ТЕКУЧЕСТЬЮ
При экспериментальном определении реологических характеристик жид-
жидкости непосредственно вычисляется не истинный закон ф (т), а связь между
так называемой кажущейся текучестью фк и касательным напряжением сдвига
на стенке прибора тст. Так, например, в капиллярном вискозиметре по изме-
измеренному расходу жидкости Q и падению давления АР находят величины
Фк = SLQ/jtRb Др и тст = Ro Ap/2L,
A6.5.1)
где Ro и L — радиус и длина капилляра. В области т < тх фк = ф0, а в области
т > Ti Ф (т) Ф Фк (т)- Из формул A6.5.1) следует:
Ro. A6.5.2)
A6.5.3)
Сопоставляя выражения A6.5.2) и A6.3.6), находим, что
Характер функций <р (т) и фк (т) аналогичен, а значение в может быть оп-
определено по вк в соответствии с формулой A6.5.3). Поэтому проверку реоло-
реологического уравнения A6.2.4) можно производить по данным вискозиметриче-
ских измерений, т. е. в виде фк (тст).
Г
SC
1,9
?
0,7
2,4
2,0
0,8
-
-
i
1
/
•/
>/.
-*•
CL
0,8
0,7
?0,5
§:?
5в 0,5
kV?t
О 1
'Па
V
ч
•
6
г
Г
S
О 2 4 6 8 10
Ж2Па
О 10 50 50 70 90 110тст,Па.
Рис. 16.4. Зависимость кажу-
кажущейся текучести фк от каса-
касательного напряжения сдвига на
стенке:
с —битум M-III (Г = 20°С, фо =
==0,38-10-2 м2/(Н-с), Фоо =
= 2-10-2 м2/(Н-с), To = 10s Па);
б —1,69 %-ный раствор резины в
толуоле (Г = 24° С, фо = 7 м2/(Н-с),
Фоо = 51 м2/(Н-с)); в—47,4 %-ный
стгор крахмала в глюкозе
Как видно из рис. 16.4 и 16.5, в пределах точности опытов и оценки значе-
значений ф0 и фоо реологический закон A6.2.7) проявляется совершенно отчетливо.
Следует обратить внимание на то, что раствор крахмала в глюкозе является
дилатантным. Из опытов также следует, что в интервале 10 ^ т ^ 100 Па
текучесть раствора резины в толуоле увеличивается с ростом т практически по
226
10
9
8
7
6
. 5
\
V*
\. О
n\
^_
\
°\
о
-—'—.
\
о
.
2
—-/
• "—^^^^
—^
12
18
20
24
Рис. 16.5. Зависимость ф* от т*:
У —поливиниловый спирт в воде —2,5%, п= — 1, Tt = 0, то = 0; 2 — полиме-
гакрилат в бензоле— 0,025%, л=1, Ti = 0, хо = 0; 5 —карбоксиметилцеллюлоза
вводе —1 %, п = 0, Tt = 5 Па, то = 0; 4 — резина в толуоле —1,69%, п— — 1,
Т! = 2,5 Па, то=^0; 5 —битум M-III, п=— 6, Ti==0, то=1,25-103 Па
линейному закону. Для битума область линейного закона текучести простирает-
простирается до т = 3000 Па. Таким образом, экспериментальные данные подтверждают
существование жидкостей с линейным законом текучести в практически
интересном интервале напряжений сдвига.
16.6. ТЕПЛООТДАЧА ПРИ ЛАМИНАРНОМ ТЕЧЕНИИ
ЖИДКОСТЕЙ С ЛИНЕЙНЫМ ЗАКОНОМ ТЕКУЧЕСТИ
Рассмотрим случай течения жидкости в круглой трубе при небольших
тепловых нагрузках, когда Х> ср и р можно считать постоянными по сечению,
а текучесть ф — зависящей только от значения т. Тогда для гидродинами-
гидродинамически установившегося потока при Ре > 10 уравнение теплопереноса можно
записать в виде
d2T/0R2 + (\/R)dT/dR = (I/a) wxdT/dx,
A6.6.1)
где wx для жидкостей с линейным законом текучести определяется формулой
A6.3.4).
Поскольку для жидкостей со структурной вязкостью число Прандтля,
как правило, много больше единицы, то тепловой пограничный слой занимает
лишь узкую пристенную область. Поэтому можно ввести новую переменную
у = Ro — R и в области теплового пограничного слоя пренебречь членами
с I « y/Ro B степени выше первой. Тогда распределение скоростей вблизи
стенки примет вид
+тств/ф0),
или с учетом формулы A6.3.6)
где
A6.6.2)
A6.6.3)
A6.6.4)
1 + 4тст е/5ф0
(% — коэффициент, учитывающий структурно-вязкие свойства жидкости).
8* 227
При бт < Ro слой жидкости, участвующий в теплообмене, можно считать
плоским и уравнение A6.6.1) записать в виде
y
Ro дх
ду* *
A6.6.5)
Результат решения аналогичной задачи для жидкостей с линейной кривой
течения (% = 1) приведен в табл. 11.3. При % Ф 1 получим
A6.6.6)
A6.6.7)
где Nu — среднее значение числ Чуссельта на длине L. Аналогичные выра-
выражения можно получить и для граненых условий второго рода (qCT = const).
Таким образом, для граничных условий как первого, так и второго рода
отношение коэффициентов теплоотдачи при ламинарном течении жидкостей
с линейным законом текучести к коэффициентам теплоотдачи ньютоновских
жидкостей при одинаковых значениях PeD/x равно:]
A6.6.8)
где % определяется формулой A6.6.4). Сопоставление с экспериментом пока-
показано на рис. 16.6.
Из формулы A6.6.4) следует, что % изменяется в пределах от 1,0 до 1,25.
Поэтому при малых тепловых потоках числа Нуссельта для жидкостей с линей-
линейным законом текучести будут отличаться от их значений для ньютоновских
жидкостей не более чем
га 10%.
Следует отметить, что
м когие неньютоновские
жидкости обладают значи-
значительной вязкостью. В ряде
случаев это делает необхо-
необходимым учет влияния на
теплообмен диссипации ме-
механической энергии. Рас-
Распределение теплоты трения
определяется законами из-
изменения скорости и рео-
реологических характеристик
J0
20
Ь
/
к
5
1
о.
->
10*
(i/Pe)(x/d)
Рис. 16.6. Теплоотдача в круглой трубе для 1%-ного
раствора полиакриламида (/— расчет для ньютонов-
ньютоновской жидкости (%=\)
среды. В свою очередь,
вязкость неньютоновских жидкостей не только зависит от градиента ско-
скорости, но и может сильно меняться с изменением температуры. Таким об-
образом, распределение теплоты трения по сечению и длине канала не может
быть задано наперед. Решение этой задачи о неизотермическом течении и
теплообмене с учетом диссипации механической энергии проводится путем
численного интегрирования системы дифференциальных уравнений движения
и энергии и уравнений, описывающих зависимость реологических свойств
жидкости от температуры.
Как указывалось в гл. 11, уравнения типа A6.6.6) и A6.6.7) справедливы
для начального участка трубы, когда PeD/x > 12. Поскольку у жидкостей со
структурной вязкостью число Прандтля велико, то в большинстве практических
случаев эти уравнения справедливы по всей длине.трубы.
228
16.7. гидравлическое сопротивление '
и теплообмен при турбулентном течении
структурно-вязких жидкостей
Если неньютоновское трение в жидкости не приводит к существенной де-
деформации распределения компонент турбулентных пульсаций, то толщина вяз-
вязкого подслоя остается малой по сравнению с диаметром трубы. В таком случае
напряжение сдвига и текучесть в области 0 < у < ух практически равны их
значениям на стенке. При этом сохраняется критерий, характеризующий устой-
устойчивость вязкого подслоя ньютоновских жидкостей, т. е.
(у* y/v)± = у* ух рсрс = const.
A6.7.1)
В турбулентном ядре потока рейнольдсовы напряжения не зависят от моле-
молекулярной вязкости, т. е. турбулентные касательные напряжения автомодель-
ны относительно зависимости ср (т). Отсюда следует, что распределение скоростей
в турбулентном потоке струк-
структурно-вязких й z
безразмерных
жидкостей в
координатах
совпадает с универсальным
профилем скорости для ньюто-
ньютоновских жидкостей, если без-
безразмерную координату опре-
определять по текучести на стенке.
Аналогично коэффициент ги-
гидравлического сопротивления
при турбулентном течении ?
можно определить по фор-
формулам для ньютоновских
жидкостей, введя в число' Re значение вязкости жидкости на аенке.
Однако зависимостью коэффициента гидравлического сопротивления в виде
? (Иест)^пользоваться неудобно, так как при заданных значениях средней ско-
скорости w и диаметра трубы D для определения ? необходимо применять метод
итераций (задаваясь сначала значением тст, определять фст и ReCT, а затем
определив ?, уточнить трт = ?ра>2/8 и т. д.).
Для структурно-вязких жидкостей с линейным законом текучести A6.2.9),
подставив в формулу для определения коэффициента гидравлического сопро-
сопротивления ньютоновских жидкостей
Рис. 16.7 Зависимость ? от Re0 при различных значе-
значениях р
получим
\lVl =O,88[Reo]/? A +СЭ/8)]—0,9.
A6.7.2)
A6.7.3)
Зависимость ? (Re0, P) при турбулентном течении жидкости представлена
на рис. 16.7. При Р > 100 формула A6.7.3) может быть аппроксимирована вы-
выражением
?=?0—0,П Reo°'30np-2), A6.7.4)
где ?0 — коэффициент сопротивления, определяемый по формулам для нью-
ньютоновских жидкостей.
^Аналогично при расчете коэффициента теплообмена жидкостей со структур-
структурной вязкостью можно воспользоваться обычными формулами для ньютоновских
жидкостей, подстарляя в них значения чисел Рейнольдса и Прандтля, вычис-
вычисленные по вязкости на стенке. Однако в большинстве случаев для структурно-
229
вязких жидкостей числа Прандтля велики (Рг > 100), и практически все тер-
термическое сопротивление сосредоточено в пределах вязкого подслоя. В этом
случае для определения безразмерного коэффициента теплообмена в предпо-
предположении, что свойства жидкости не зависят от температуры, можно восполь-
воспользоваться приближенной формулой
Nu = 0,035RecyTPrl/4 = 0,035Re0PrJ/*K?(l + 0W/4, A6.7,5)
где Re0 и Рг0 определяются по нулевой текучести.
16.8. ВЛИЯНИЕ ПОЛИМЕРНЫХ ДОБАВОК
НА ТУРБУЛЕНТНОЕ ТЕЧЕНИЕ ВОДЫ
В 1948 г. Томсом было обнаружено, что при турбулентном течении жид-
жидкости добавка полимера (полиметилметакрилата в монохлорбензол) снижает
гидравлическое сопротивление потока. В дальнейшем были найдены полимеры,
эффективно снижающие гидравли-
гидравлическое сопротивление при течении
воды, причем эффект возрастало
увеличением молекулярной массы
полимеров. При одинаковых моле-
молекулярных массах более эффектив-
эффективными оказываются полимеры, мо-
молекулы которых имеют линейную
структуру с малым количеством
боковых ветвей. Для некоторых
полимеров было обнаружено суще-
ствование оптимальных концентра-
концентраций, при которых снижение сопро-
сопротивления достигает насыщения
(или максимума). Эти оптимальные
концентрации малы и неодинаковы
у различных полимеров. Слабые
растворы высокополимеров прояв-
проявляют эффект снижения сопротивле-
сопротивления в турбулентном режиме не при
всех числах Рейнольдса, а лишь
при достижении определенного для
каждого раствора значения скоро-
скорости касательного напряжения на
стенке.
Наибольшее внимание в послед-
последние годы было уделено таким вы-
высокомолекулярным веществам, как
полиэтиленоксид, полиакриламид,
гуаровая смола. Опыты показали,
что в трубах малого диаметра сни-
снижение сопротивления может дости-
достигать 70%, в то время как концен-
концентрация полимера составляет лишь
сотые или тысячные доли процента.
Введение в поток воды высокополимерных добавок изменяет структуру
пристенной турбулентности. Как установлено в опытах Е. М. Хабахпаше-
вой и Б. В. Перепелицы, основное действие высокомолекулярных добавок
проявляется в снижении интенсивности поперечных компонент пульсационной
скорости. Это приводит к деформации профиля средней скорости, причем про-
промежуточная зона потока, в которой молекулярная и турбулентная вязкости
соизмеримы по величине, увеличивается в размерах (рис. 16.8).
Рис. 16.8. Профили скоростей в безразмерных
координатах:
/, 4 —0,007%-ный раствор полиэтиленоксида
(?/?о = О,23, ?/?о = 0, 65); 2, 3 — 0,012%-ный раствор
г.олиакриламида (?/?0 = 0,35, ?/?0 = 0,54); 5 — вода
230
Снижение интенсивности турбулентного обмена в пристенной области те-
течения вызывает увеличение термического сопротивления в потоке. При этом
роль промежуточной зоны потока в процессе теплообмена сильно возрастает.
Если при течении воды (Re = 5 • 104, Рг = 7) термическое сопротивление вяз-
вязкого подслоя составляет примерно 2/3 полного термического сопротивления
потока, то в слабом растворе полимера (полиакриламида) термическое сопро-
сопротивление промежуточной области может превысить сопротивление вязкого
подслоя примерно в полтора раза. Отмеченные выше факты приводят к тому,
что снижение гидравлического сопротивления путем введения высокополи-
высокополимерных добавок в поток воды сопровождается пропорциональным или более
сильным снижением интенсивности теплообмена.
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Кутателадзе С. С, Попов В. И., Хабахпашева Е. М. К гидродинамике жидкостей с пе-
переменной вязкостью.— «Журн. прикл. механ. и техн. физ.», 1966, № 1, с. 45.
2. Некоторые вопросы гидродинамики и теплообмена структурно-вязких сред.— В сб.:
Тепло-и массообмен в неньютоновских жидкостях. Под ред. А. В. Лыкова| и
Б. М. Смольского. М., «Энергия», 1968. Авт.: С. С. Кутателадзе, Е. М. Хабахпашева,
В. Б. Лемберский, В. И. Попов.
3. Рейнер М. Деформация и течение. Пер. с англ. М., Изд-во иностр. лит., 1963.
4. Смольский Б. М., Шульман 3. П., Гориславец В. М. Реодинамика и теплообмен нели-
нелинейно вязкопластичных материалов. Минск, «Наука и техника», 1970.
5. Уилкинсон У. Л. Неньютоновские жидкости. Пер. с англ. М., «Мир», 1964.
6. Хабахпашева Е. М. Теплообмен при течении неньютоновских жидкостей в трубах.—
В сб.: Реология (полимеры и нефть). Тр. Всесоюз. школы по реологии, 1977 г., Ново-
Новосибирск. Под ред. Г. В. Виноградова и др. Новосибирск, 1977, с. 93.
7. Шульман 3. П. Конвективный тепломассоперенос реологически сложных жидкостей.
М., «Энергия», 1975.
8. Экспериментальное исследование пристенных турбулентных течений. Новосибирск,
«Наука», 1975. Авт.: С. С. Кутателадзе,Б. П. Миронов, В. Е. Накоряков, Е. М. Ха-
Хабахпашева.
9. Metzner А. В. Heat transfer in non-Newtonian fluids.—In: Advances in Heat Transfer.
Vol. 2. New York, Acad. Press, 1965, p. 357—396.
17
Глава
ТЕПЛООТДАЧА ПРИ СВОБОДНОЙ
КОНВЕКЦИИ
17.1. СВОБОДНАЯ ТЕПЛОВАЯ КОНВЕКЦИЯ
ОКОЛО ТВЕРДОЙ ПОВЕРХНОСТИ
Свободной конвекцией называется движение, возникающее вследствие
различия плотностей неодинаково нагретых частей жидкой среды. Это оп-
определение следует уточнить в том смысле, что при свободной конвекции воз-
возникают специфические циркуляционные токи между поверхностью нагрева
(или охлаждения) и ядром жидкой среды. Таким образом, в такое ограничен-
ограниченное понятие свободной конвекции не входят течения, хотя и обусловленные
разностью плотностей в различных точках среды, но имеющие вполне опреде-
определенное одностороннее направление, например движение газа при естественной
тяге в дымовой трубе. В таких случаях хотя разность плотностей и является
побудителем движения, но сам механизм процесса в значительной мере тож-
тождествен обычному вынужденному течению.
Фундаментальный вклад в исследования теплообмена при свободной теп-
тепловой конвекции был внесен Л. Лоренцем, В. Бекманом, В. С. Жуков-
Жуковским, М. А. Михеевым, Л. С. Эйгенсоном, Е. Шмидтом.
Фотографии движения воздуха около нагретой высокой плиты показывают,
что на ее нижней части образуется утолщающийся ламинарный пограничный
слой. На некотором расстоянии от нижнего среза плиты ламинарное течение
нарушается и возникает специфическая тепловая турбулентность.
В области ламинарного пограничного слоя интенсивность теплоотдачи
уменьшается с увеличением размера тела, так как возрастает толщина этого слоя.
В области тепловой турбулентности условия теплообмена определяются беспо-
беспорядочным движением, характер которого статистически одинаков для различ-
различных частей поверхности нагрева, достаточно протяженных по сравнению с раз-
размерами отдельных вихрей. В этой области коэффициент теплоотдачи не зависит
от размера тела.
Если твердое тело, введенное в жидкую среду, холоднее последней, то кар-
картина движения получается обратной, т. е. более холодные частицы жидкости
будут двигаться около поверхности охлаждения сверху вниз.
Рассмотрим свободную конвекцию в условиях, когда размеры тела, нарушаю-
нарушающего тепловое равновесие, малы по сравнению с объемом окружающей его
жидкости. В этом случае область теплового и гидродинамического возмущения
локализуется около рассматриваемого тела. Вне этого пограничного слоя жид-
жидкость можно считать неподвижной. Градиент давления в неподвижной жид-
жидкости равен gp0, где р0 — плотность невозмущенной среды. Соответственно
в уравнении движения можно произвести подстановку:
gp— grad/? = —бСррДГ—р0)—grad/?^ —gp^Ar—grad рЛ, A7.1.1)
где рд = р — р0 — динамическая составляющая давления, обусловленная
свободной конвекцией жидкости в тепловом пограничном слое; р0 — гидро-
гидростатическое давление вне пограничного слоя. При не очень больших разностях
температур, т. е. когда АТ/Т0 <^ 1, влиянием переменности плотности на урав-
уравнение сплошности и на вязкостные члены уравнения движения можно прене-
пренебречь. Система основных уравнений принимает вид:
t gradT);
(g^, grad) w;
divw = 0;
A7.1.2)
232
В более общем случае эти уравнения следует писать с учетом переменности
р, \i и X.
Условия однозначности рассматриваемой задачи включают в себя форму
и размеры возмущающего тела, распределение температуры на его поверхности
и ее абсолютный уровень, температуру невозмущенной жидкости, ее физические
параметры (Я, a, v, p, C) и значение ускорения g. Скорость течения среды w
является в данном случае функцией процесса, т. е. не входит в условия одно-
однозначности, а полностью определяется заданием перечисленных выше неза-
независимых переменных.
При этих условиях однозначности система уравнений A7.1,2) для стабили-
стабилизированного течения дает два определяющих критерия: Рг == via и Grs
=== (g/3/v2)pA7\ Таким образом, при свободной конвекции в неограниченном
объеме при Д77Г0 < 1 в общем случае
Nu - Ф (Рг; Gr). A7.1.3)
Если предположить, что решающее значение для теплообмена при свобод-
свободной конвекции имеет термическое сопротивление ламинарного слоя около
возмущающего тела, то в уравнении движения можно отбросить инерционный
член, т. е. положить Dwldt = 0. При таком упрощении исходная система урав-
уравнений дает только один определяющий критерий — число Рэлея:
Ra = (g/3/va)pA7, A7.1.4)
представляющее собою произведение критериев Грасгсфа и Прандтля, т. е.
в этом случае ¦>
Nu = Ox(Gr • Рг). A7.1.5)
При свободной конвекции, когда собственное движение жидкости полностью
определяется процессом теплообмена, нельзя раздельно рассматривать теп-
тепловой и гидродинамический пограничные слои. Однако общие соображения об
относительной глубине распространения влияния молекулярного трения и мо-
молекулярной теплопроводности, характеризуемой отношением via, остаю??й
справедливыми и в данном случае.
Следовательно, при Рг ^> 1 область существенного проявления молекуляр-
молекулярной теплопроводности равна или меньше области существенного проявления
молекулярной вязкости. Именно для этих условий физически обосновано ука-
указанное выше упрощение уравнения движения в результате отбрасывания инерг
ционного члена.
17.2. ТЕПЛООТДАЧА В ОБЛАСТИ ЛАМИНАРНОГО
ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ ПРИ
Представленные на рис. 17.1 опытные данные показывают, что при Рг « 1
основная область тепловых и гидродинамических возмущений при свободной
конвекции действительно сосредоточена в относительно узком слое жидкости
около поверхности теплообмена. Около вертикальной пластины такой погра-
пограничный слой будет плоским, а давление в каждом его горизонтальном сечении
равно гидростатическому давлению в невозмущенной области. Распределение
температур и скоростей в таком пограничном слое определится системой урав-
уравнений A7.1.2), упрощенной в соответствии с общими соображениями, изло-
изложенными в гл. 9:
ад2 Tidy2 = wx дТ/дх + wv дТ/ду;
gP AT + vd2 wjdy2 = wx dwjdx + wy dwjdy;
A7.2.1)
233
Здесь координата х направлена вверх вдоль пластины, а координата г/—по
нормали к пластине в глубь потока. Впервые эта задача была решена для
воздуха Лоренцем. В дальнейшем для случая постоянной температуры стенки
Польгаузен ввел новые переменные:
r^Q/*-1/4; if = 4vCx3/4/(r|). A7.2.2)
Здесь г|э — функция тока (wx = dty/ду; wy = — dip/dx); С = Vg$ATI№.
Компоненты вектора скорости в этом случае равны:
C2dfldr\\ wy = \Cx-1'2 (r\df/dr\—3f). A7.2.3)
Рис. 17.1. Распределение скоростей (а) и температур (б) в воздухе около нагретой
вертикальной пластины. (Точки — экспериментальные данные Шмидта и Бекмана;
сплошная линия — решение Польгаузена)
Подставляя эти значения wx и wy в первые три уравнения системы A7.2.1),
после соответствующих преобразований получаем два обыкновенных диффе-
дифференциальных уравнения:
где fl = (Г — ТО)/(ТСТ — То) — безразмерная температура. Граничные ус-
условия принимают вид
л=оо> д=0; г=0. } AШ
Соответственно
а=— ХСх-^К?. A7.2.6)
Среднее значение коэффициента теплоотдачи по всей пластине
О
Эти уравнения решаются численными методами.
Для случая постоянного теплового потока аналогичным образом могут быть
введены переменные:
A7.2.7)
234
При этом
Результаты расчетов, выполненных Польгаузеном, Шу, Саундерсом, Григгом
иСперроу, приведены в табл. 17.1.
Таблица 17.1
Результаты точного решения системы уравнений A7.2.1) для ламинарного пограничного
слоя на вертикальной пластине при свободной конвекции в неограниченном объеме
Рг
0,1
1
10
100
Гст = const
5EGI—1/4
0,219
0,535
1,10
2,07
Nu(GrPr)—1/4
0,389
0,535
0,616
0,655
q = const
NuGr1/4
0,237
0,573
1,17
2,18
Nu(GrPr)— */4
0,421
0,573
0,655
0,690
Как видно, интенсивность теплоотдачи с поверхности пластины при постоян-
постоянной плотности теплового потока примерно на 7% выше, чем в случае постоянной
температуры, а упрощенная функциональная связь типа A7.1.5) выполняется
отнюдь не точно. При этом в случае Рг < 1 погрешность возрастает весьма зна-
значительно. Так, например, при изменении числа Рг от 1 до 10 значение комплекса
Nu(Gr • Рг)/4 изменяется на 15%, а при изменении числа Рг от 1 до 0,1 —
на 27%.
В области 1 • 10< GrPr < 5 • 102, когда приближение пограничного
слоя становится недействительным, опытные данные при Рг ^ 1 удов-
удовлетворительно описываются эмпирической формулой М. А. Михеева:
= 1,18 (GrPrI/8.
A7.2.8)
При GrPr < 10 начинает заметно сказываться форма тела. При этих зна
чениях GrPr для тонких проволочек опытами найдено значение Nu = 0,45,
хотя по модели чистой теплопроводности для цилиндра и пластины при Gr -+
->0 Nu -^0. Для шара минимальное значение Nu, как известно из предыду-
предыдущих глав, равно 2.
Физические свойства в рассмотренных формулах рекомендуется относить
к средней расчетной температуре, равной (Гст + Т0)/2.
17.3. ГИДРОДИНАМИКА И ТЕПЛООБМЕН В ОБЛАСТИ
РАЗВИТОЙ ТЕПЛОВОЙ ТУРБУЛЕНТНОСТИ ПРИ
Как уже указывалось в начале этой главы, при возникновении свободной
тепловой турбулентности наблюдается автомодельность теплоотдачи отно-
относительно линейного размера поверхности теплообмена. Этому факту соответ-
соответствует закон теплоотдачи вида
Nu = С (GrPrI/».! A7.3.1)
Опытные данные, полученные для газов и неметаллических жидкостей, дают
среднее значение множителя пропорциональности С « 0,130. Эта формула
применима при значениях GrPr > 2 • 107. Сводка экспериментальных данных
по теплоотдаче при свободной тепловой конвекции дана на рис. 17.2.
Первая модель тепловой турбулентности была предложена автором в
1935 г. в виде пристенного квазиламинарного течения с постоянным собственным
значением числа Рейнольдса и внешнего струйного турбулентного движения.
235
Проведенные в дальнейшем измерения полей скорости и температуры подтвер-
подтвердили основные идеи этой модели и дали отчетливое представление о деталях
свободной тепловой турбулентности. При обтекании вертикальной пластины
средой с переменной плотностью и постоянными другими свойствами в непо-
непосредственной окрестности поверхности теплообмена (у < yj возникает вяз-
ig(GrPr)
Рис. 17.2. Зависимость критерия Nu от критерия GrPr для горизонтальных
проволок и труб (штриховые линии) и шаров, вертикальных проволок и
труб (сплошные линии) по опытам с газами и жидкостями при Pl
кий подслой с линейным изменением средней температуры Т (у). При этом
дТ/дх = 0. Пренебрегая величиной pVxVyy можем записать:
A7.3.2)
Отсюда следует, что при у < уг
Gr
Re
Re /!
2 1_
6
A7.3.31
Здесь
V Re /i
По экспериментальным данным, при изменении числа Прандтля от 0,7 до
17 отношение собственных чисел Грасгофа и Рейнольдса вязкого подслоя и от-
относительная разность температур в нем остаются постоянными с точностью
до нескольких процентов. Практически можно полагать, что при 0,7<Рг<
< 20 в вязком подслое
wx/wx х= 1,4(<//</1)~0,5(///г/1J + 0,1 (у/угK. A7.3.4
236
Средняя толщина вязкого подслоя при течении около вертикальной пла-
пластины, по экспериментальным данным А. Г. Кирдяшкина, В. П. Ивакина и
Чизрайта, равна
61 = 3,9(v2/g|3ArI/3 Рг1/6. A7.3.5)
Во внешней части пограничного слоя (у > ут> где ут — координата мак-
максимальной скорости wx% m) течение имеет общие черты с затопленными турбу-
турбулентными струями (рис.* 17.3),
25
г именно:
У> Ут>
dwjdy *
t const.
^ const;
A7.3.6)
Наблюдается линейная за-
зависимость толщины внешней
части пограничного слоя от
продольной координаты х,
т. е. линейные изотахи и/ит
пересекаются в полюсе
хп*хлрA — алЛ*т). A7.3.7)
Здесь Хкр — координата на- Рис 173 Распределение параметров пограничного
чала турбулентного погранич- слоя при свободной тепловой турбулентности
ного слоя: ал, ат — соот-
соответствующие средние значения коэффициентов теплоотдачи ламинарной и
турбулентной свободной конвекции.
(У-Ут)/(Уу*-Ут)
Рис. 17.4. Профили продольной компоненты осредненной скорости течения (/) и сред-
средней температуры B) в турбулентном пограничном слое при свободной тепловой кон-
конвекции у вертикальной пластины 2-1010<Ra<4-1011 (экспериментальные данные Чиз-
Чизрайта; А. Г. Кирдяшкина и В. П. Ивакина)
Координата изотахи wXt i/t = 0,5 wxy m определяется формулой
У\/2 —Ут ~ 0,02 (х—х0). A7.3.8)
Как видно из данных рис 17.4, профили скоростей и температур:
с, т = / 1(У — Ут)/(У\/2 —Ут)\\ } /jy 3 9)
аффинно-подобны во внешней части пограничного слоя.
237
Для области у > ут интегральные соотношения импульсов и энергии мож-
можно записать в виде
сю
j (дхюЦдх — pgd) dy + Tm/p— (wx wy)m = 0;
A7.3.10)
Ят/сР P ~ J (dwx Ыдх) dy + (wy O)TO = 0.
Здесь * = (Г — TJI{Tm — TJ — безразмерная температура; тто —касатель-
—касательное напряжение в точке ут. Если принять условия:
Гт-Гоо-(х-х0Г; wXt
A7.3.11)
dyjdx = const; qm = qCT,
то из анализа интегральных соотношений A7.3.10) следует, что п = 1/3,
m = — 1/3, к = 2/3, и если пренебречь членом тт/р, то
По опытам, проведенным автором совместно с А. Г. Кирдяшкиным и В. П. Ива-
киным, константы в этих формулах равны: Сх =•¦= 2,1, С2 « 16,4.
17.4. ТЕПЛООТДАЧА ПРИ Рг<1
К свободной конвекции жидких металлов приведенные выше расчетные фор-
формулы неприменимы. При отношении via <^ 1 существенное влияние молекуляр-
молекулярной теплопроводности при свободной или вынужденной конвекции распростра-
распространяется далеко в область потока, охваченную беспорядочным турбулизованным
течением жидкости. В этом случае при сохранении представления о решаю-
решающем влиянии молекулярного переноса на собственно процесс теплопровод-
теплопроводности следует считаться с тем, что скоростное поле в пределах большей части
теплового пограничного слоя зависит главным образом от инерционных сил.
Отбрасывая во втором уравнении системы A7.1.2) третий (вязкий) член,
получаем один определяющий критерий
(glVa2) рАГ - GrPr2. A7.4.1)
Следовательно, при Рг <^ 1 опытные данные должны лучше обобщаться
уравнением
Nu = Ф2 (GrPr2). A7.4.2)
Следует заметить, что эта зависимость была предложена Буссинеском еще
до предложения Нуссельтом зависимости A7.1.5). Однако обе формулы
предлагались для одних и тех же сред, т. е. вводились чисто формально.
Данный нами выше анализ связи между критериями Gr и Рг в зависимости
от областей значений критерия Рг позволяет физически обосновать примени-
применимость каждой из этих предельных функций к соответствующим группам ре-
реальных жидкостей. Опыты с рядом жидких металлов подтвердили эти выводы.
При этом в области Pr2Gr от 10 до 104
Nil» 0,53 (GrPr2I/4. A7.4.3)
17.5. ТЕПЛООТДАЧА В ЖИДКИХ И ГАЗОВЫХ СЛОЯХ
В горизонтальных слоях, подогреваемых снизу, возникают условия, при
которых более холодная жидкость расположена над более теплой. В жидкостях
и газах, плотность которых уменьшается с увеличением температуры, это ведет
к неустойчивому состоянию. Когда перепады температуры между двумя твер-
238
дыми поверхностями, ограничивающими слой жидкости или газа, достаточно
малы, так что число Ra < 1700, слой неподвижен. Когда же число Ra ^ 1700,
в слое возникают периодические ячеистые течения вида валиков или полиго-
полигональных структур.
Вид устойчивых ячеистых течений зависит от изменения физических свойств
жидкости с температурой. При слабой зависимости свойств жидкости от тем-
температуры устойчивой является валиковая структура течения. Для этилового
спирта в стационарном режиме теплообмена конвективное течение имеет вали-
R ^ R 10R Вб
Ra < 10RaKp. Выбор длин волн для устойчивой
р р р
ковую структуру при RaKp
валиковой структуры имеет
случайный характер.
При значительных ко-
количествах твердых частиц
в слое и слабой нестацио-
нестационарности, создаваемой осе-
оседанием частиц, устойчивы-
устойчивыми являются трехмерные
полигональные структуры
до значений числа Рэлея
Ra » 5 • 10\ а далее они
сменяются неустойчивыми
валиками с коротковолно-
коротковолновым течением по оси по-
последних. Относительный
размер ячеек (I'll ж 2)
больше, чем у валиковых
структур (Т/1 = 1,2, _где
/ — толщина слоя, а /' —
средний размер валика).
По мере увеличения числа Ra горизонтальный размер валика возрастает,
подъемный и опускной потоки локализуются по вертикальным образующим
валика. По большей части валика (xlV = 0,3-^0,75) вертикальная составляю-
составляющая скорости валика мала и течение близко к плоскопараллельному.
На рис. 17.5 представлены полученные В. С. Бердниковым и А. Г. Кирдяш-
киным экспериментальные значения числа Пекле (Pem = wXt m //а), опре-
определенного по максимальной горизонтальной скорости wXt m в отдельных ячей-
ячейках, при различных значениях числа Ra. В области чисел RaKp ^ Ra < 5х
X 104 имеет место зависимость
SO
50
40
30
20
1 ...
/!
/
/
/
'S
\
1 . .
i i .
j.5 I
111
* 1
о
у*
1 =
•-2,5м
,-3,15
Д-5,51
и-4
v-$1
о-4
9-3,5
*-4
ч
3 4
10*
3 4
Рис. 17.5. Зависимость Рет от Ra для валиков и поли-
полигональных ячеек при различных высотах слоя / (Рг«16)
Pem==0,24(Ra-RaKP)i/
A7.5.1)
характерная для надкритической области, как это показано в общем случае
Л. Д. Ландау.
Значение Рет не зависит от вида ячеистого течения. В области малой над-
критичности (RaKp ^ Ra < 4 • 103) согласно экспериментам Сильвестона
имеет место зависимость
Nu = 1 + 1,4 A — RaKp/Ra). A7.5.2)
В диапазоне значений числа Рэлея 4 • 103 ^ Ra < 105, где течение имеет
квазиячеистый характер,
Nu = 0,23
A7.5.3)
В области же течения, имеющего турбулентный характер A05< Ra < 109),
опытные данные Мулля и Райера, Сильвестона, Глоуба и Дропкина аппрокси-
аппроксимируются зависимостью
Nu = 0,085Ra
A7.5.4)
239
В горизонтальном слое жидкости со свободной верхней границей тепловой
гравитационной конвекции может сопутствовать термокапиллярная, вызван-
вызванная изменением поверхностного натяжения от температуры. При изменении
температуры вдоль свободной поверхности возникает термокапиллярная сила,
направленная в сторону уменьшения температуры. Трение на свободной по-
поверхности из-за термокапиллярных сил можно записать в форме
A7.5.5)
дТ [дх
ду
Соотношение между термокапиллярной силой и силой молекулярного тре-
трения может быть охарактеризовано безразмерным комплексом — числом Ма-
рангони:
Ma = blAT/\ia, A7.5.6)
где b = да/дТ.
Механизм неустойчивости подогреваемого снизу слоя жидкости со свобод-
ной границей зависит от толщины слоя. В тонком слое (/ < 1Ь = У b/pgp)
возникновение конвективного течения определяется главным образом термока-
Рис. 17.6. Распределения средней температуры по высоте слоя
(а) (профили вблизи поверхностей теплообмена показаны в
большем линейном масштабе координаты у — шкала справа)
и температуры и трения вдоль свободной поверхности в от-
отдельной мелкомасштабной приповерхностной ячейке (б) гори-
горизонтального слоя этилового спирта в турбулентном режиме
(Ra = 0,92-107; ДГ=1,1ГС, Nu = 22). Экспериментальные дан-
данные В. С. Бердникова и А. Г. Кирдяшкина
пиллярными силами. В слое же с / > 1Ь основную роль в возникновении
неустойчивости играют термогравитационные силы. Для многих жидкостей
1Ъ = 2-^5 мм.
Исследования коэффициентов теплообмена, а также структуры потока у
свободной поверхности при турбулентном режиме течения показали, что в го-
горизонтальных слоях этилового спирта с / > 1Ъ наблюдается увеличение ин-
интенсивности процессов переноса вблизи свободной поверхности из-за термо-
термокапиллярной конвекции.
Коэффициент теплообмена, определенный по перепаду температуры в по-
пограничном слое, у свободной поверхности примерно в три раза больше, чем
у жесткой нижней (рис. 17.6, а). Визуальные исследования показали, что вбли-
240
зи свободной поверхности существуют мелкомасштабные ячеистые течения на
фоне крупномасштабных, соизмеримых с толщиной слоя (рис. 17.7). Мелко-
Мелкомасштабные ячейки зарождаются в области подъемных потоков крупномасштаб-
крупномасштабных течений и «дрейфуют» с осредненной скоростью крупномасштабных дви-
движений. Наиболее вероятная длина волны мелкомасштабного течения обычна
много меньше высоты слоя (I'll ж 0,03-^-0,06 при / = 40 мм для этилового
спирта).
На рис. 17.6, б показаны профиль температуры вдоль свободной поверх-
поверхности в отдельной мелкомасштабной ячейке, градиент температуры вдоль
поверхности (дТ/дхH, а следовательно, и трение т = (до/дТ) (дТ/дхH =
= (х (dwx/dyH, возникающее из-за изменения поверхностного натяжения от
температуры.
Соотношение между термокапиллярными и термогравитационными силами
в ячеистом слое у свободной поверхности можно оценить, предполагая, что
Рис. 17.7. Схема течения в турбулентном горизонтальном слое жидкости
со свободной поверхностью теплообмена
глубина его соизмерима с горизонтальным масштабом ячейки. Так как числа
Рэлея и Марангони пропорциональны перепаду температуры, что при фикси-
фиксированных значениях толщины слоя и физических параметров жидкости связь
между ними линейная (Ra = Ma(Jpg/2/b). Действие термогравитационных сил
будет соизмеримо с действием термокапиллярных, если значения чисел Ма-
Марангони и Рэлея одного порядка.
Различие в интенсивности переноса в пограничных слоях вблизи свободной
и жесткой поверхностей теплообмена объясняется тем, что у свободной поверх-
поверхности работают совместно термогравитационный и термокапиллярный меха-
механизмы переноса.
На рис. 17.8 представлены зависимости числа Nu от числа Ra для слоев
с одной свободной границей теплообмена и для слоев с жесткими поверхно-
поверхностями. Наблюдается увеличение коэффициента теплоотдачи через слой жидко-
жидкости при наличии свободной поверхности теплообмена на 30% из-за термока-
термокапиллярного переноса.
В вертикальных слоях жидкости, теплоизолированных по торцам, существует
подъемное течение вблизи горячей поверхности теплообмена и опускное у хо-
холодной. Для Ra < 103 в слоях жидкости НИ > 1 при наличии конвективных
токов профиль температуры по толщине слоя линейный, т. е. имеет место режим
теплопроводности и Nu = 1. При дальнейшем увеличении числа Рэлея об-
образуются пограничные слои вблизи каждой поверхности теплообмена (режи-
(режимы пограничного слоя). В этом случае коэффициент теплопередачи зависит
и от параметра НИ. Из-за многообразия возникающих вторичных течений
при потере устойчивости первичного потока хороших данных о зависимости
NUj ~ ф (НИ) при фиксированных значениях Ra и Рг пока нет.
24J
Рис. 17.8. Зависимость Nu от Ra для горизонтальных сло-
слоев жидкости:
Л— эксперименты В. С. Бердникова и А. Г. Кирдяшкина для
слоев этилового спирта со свободной поверхностью теплообмена
(Рг = 16); О — вода, Шу, Гольдштейн; • — вода, Россби; 4 — вода,
Гарон; Э и Q — эксперименты Глоуба и Дропкина для значений
Рг=104 и 350 соответственно
18, 5 - 104<Ra<
Сомерскейлза можно
Для области параметров 0,02 < Рг < 11 560, 5 <
<С 7 • 108 экспериментальные данные Дропкина
описать формулой
Nu = С (a) Ra0»33 Pr0'074, A7.5.7)
где С (а) — коэффициент, зависящий от угла наклона (а = 0 — горизонталь-
горизонтальное положение) при подогреве снизу. Его значения в зависимости от а приве-
приведены ниже:
а, град 0 30 45 60 90
С (а) 0,07 0,065 0,06 0,057 0,05
17.6. СОВМЕСТНОЕ ВЛИЯНИЕ СВОБОДНОЙ
И ВЫНУЖДЕННОЙ КОНВЕКЦИИ
При малых скоростях вынужденного движения жидкой среды и заметных
разностях температур скорость свободной конвекции оказывается соизмеримой
со скоростью течения, обусловленной внешним побудителем. В этом случае
интенсивность теплоотдачи зависит как от критерия Gr, так и от критерия Re. /
При этом в последний критерий входит скорость вынужденного течения. Та-
ким образом, в общем случае (при заданной геометрии)
Nu = Ф (Pr; Gr; Re). A7.6.1)
По опытам Д. Н. Ляховского, обобщенным в виде графика на рис. 17.9,
совместное воздействие вынужденной и свободной конвекции на теплоотдачу
шаров наблюдается при Re< 150. Влияние тепловой гравитационной конвек-
конвекции на поле скорости и температуры при течении жидкости и газа в каналах
различной конфигурации наблюдается уже при относительно небольшой плот-
плотности теплового потока в ламинарных и турбулентных режимах течения.
Для вертикальных труб при совпадении направления вынужденной и сво-
свободной конвекции в области установившегося теплового потока (x/D > 40)
экспериментальные данные Б. С. Петухова и Б. К. Стригина описываются с по-
погрешностью ±10% следующими формулами:
для Raa/Re2 < 10~4
для RaJRe2 > 10
= [1+720 (Raa/Re2)]
Nu/Nuo = 3,97 (Ra/Re2I/».
-l
A7.6.2)
A7.6.3)
242
20
40
Рис. 17.9. Совместное влияние вынужденной и свободной конвекции на теплоотдачу
шара при Рг = 0,72
Здесь
Nu0 = (g/8) Re Рг/К +1,27 V
(Рг2/3 — 1),
A7.6.4)
где g = A,82 lgRe — 1,64) — коэффициент трения;
K=l+900/Re; ^aa = ^gd*dTmldx ; Re = wd/v.
va
Эти формулы описывают экспериментальные данные в области значений пара-
параметров 300 < Re < 3 • 104, 5 • 103 < Raa < 8 • 106 и 2 < Рг < 6. При
Raa/Re2 ^ 104 наблюдается снижение теплоотдачи, связанное, по-видимому,
с некоторым уменьшением интенсивности турбулентности под влиянием сво-
свободной конвекции.
При противоположном направлении свободной и вынужденной конвек-
конвекции Б. С. Петуховым и Б. К. Стригиным получено следующее соотношение,
описывающее их эксперименты
с погрешностью ±10%:
Nu/Nuo = [l +
+ 0,031 (Raa/Re)]i/3 -
-0,15exp{-2[(Raa/Re-8)]2}.
A7.6.5)
Второй член в правой части
этого уравнения пренебрежимо
мал при Raa/Re> 16. Уравне-
Уравнение A7.6.5) справедливо в об-
области значений критериев подо-
подобия: 300 < Re< 2,5 • 104, 5х
X 103< Raa< 1,3 • 107 и
2 < Рг < 6.
В горизонтальной подогре-
подогреваемой трубе совместное дейст-
действие тепловой гравитационной и
вынужденной конвекции приво-
приводит к существенному различию
коэффициента теплообмена по пе-
1,0
?
?
1,0
0,8
,пИ11
ШЕ
гпттп
i
1
т
%
т
1
Ij
L
ш
1
0
2
т
#
ГП1
tt
i
f
fill"
i i
1
il
W
8 8 10° 2 4 S8101 2 4 6 8102 2 4
Рис. 17.10. Совместное влияние вынужденной и
свободной конвекции на теплообмен в горизон-
горизонтальных трубках [12]:
/ — низ трубы; 2 — верх трубы; 3 — среднее значение по
периметру трубы
риметру трубы. Наименьшее зна- «" „V
чение теплообмена наблюдается в верхней части канала. Это расхождение
в локальных коэффициентах теплообмена, \ как следует из эксперимента
Б. С. Петухова, А. Ф. Полякова, Ю. А. Шехтера и В. А. Кулешова
(рис. 17.10), возрастает с увеличением отношения числа Грасгофа данного
243
течения Grg = g^qCTd*h2K к числу Грасгофа, при котором возникает тепловая-
гравитационная конвекция в вынужденном потоке:
—l)Re-W8].
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Бояринцев Д. М. Теплопередача через жидкостные и газовые прослойки.— «Журн
техн. физ.», 1950, т. 20, № 9, с. 1084.
2. Дропкин Д., Сомерскейлз Е. Теплоотдача путем естественной конвекции в жидко-
жидкостях, ограниченных двумя параллельными плоскими поверхностями, которые распо-
располагаются под различными углами наклона к горизонтали.— «Тр. амер. об-ва инж,-
мех., сер. С. Теплопередача», 1965, № 1, с. 94.
3. Жидкометаллические теплоносители. Изд. 2-е. М., Атомиздат, 1967. Авт.-
С. С. Кутателадзе, В. М. Боришанский, И. И. Новиков, О. С. Федынский.
4. Кирпичев М. В., Михеев М. А., Эйгенсон Л. С. Теплопередача. М.— Л., Госэнерго-
издат, 1940.
5. Кутателадзе С. С, Кирдяшкин А. Г., Ивакин В. П. Турбулентная естественная кон-
векция у вертикальной изотермической пластины.— «Докл. АН СССР», 1974, т. 217
№ 6, с. 1270.
6. Кутателадзе С. С, Кирдяшкин А. Г., Бердников В. С. Поле скорости в конвективной
ячейке горизонтального слоя жидкости при тепловой гравитационной конвекции.-
«Изв. АН СССР. Физ. атмосферы и океана», 1974, т. 10, № 2, с. 137.
7. Кутателадзе С. С, Кирдяшкин А. Г., Бердников В. С. Влияние термокапиллярных
сил на процессы переноса у свободной поверхности жидкости в горизонтальном слое
при турбулентной тепловой гравитационной конвекции.—«Докл. АН СССР», 1976
т. 231, №2, с. 309.
8. Ляховский Д. Н. Конвективный теплообмен сферических взвешенных частиц с окру-
жающей средой.— «Котлотурбостроение», 1947, № 5.
9. Михеев М. А. Основы теплопередачи. М.— Л., Госэнергоиздат, 1956.
10. Петухов Б. С. Турбулентное течение и теплообмен в трубах при существенном влия-
нии термогравитационных сил. — В кн.: Труды Международного семинара по турбу.
лентной свободной конвекции. Дубровник, СФРЮ, 1976, с. 701.
11. Чизрайт Р. Естественная турбулентная конвекция на вертикальной плоской поверх-
ности.— «Труды амер. об-ва инж.-мех., сер. С. Теплопередача», 1968, т. 90, № i
с. 1—9.
12. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. Пер. с нем. М., «Наука», 1969.
13. Hermann R. von. Warmeubergang bei freier Konvektion. — «Phys. Z.», 1932, Jrg. 33
N 11, S. 425.
18
Глава
IV
ТЕПЛООБМЕН В РАЗРЕЖЕННЫХ ГАЗАХ
18.1. ОСОБЕННОСТИ ПРОЦЕССОВ ПЕРЕНОСА
В РАЗРЕЖЕННОМ ГАЗЕ
Вопросы теплообмена в разреженном газе имеют серьезное значение в тех-
технологических процессах при глубоком вакууме и в расчетах деплового режима
тел, летающих в верхних слоях атмосферы. Согласно молекулярно-кинетиче-
ской теории газов кинематическая вязкость, характеризующая скорость рас-
распространения сдвиговых возмущений,
v ~ Vv~v/p, A8.1.1)
а температуропроводность, характеризующая скорость распространения теп-
тепловых возмущений,
a~lvcD~(l/p)vc0. A8.1.2)
Здесь 7 — средняя длина свободного пробега молекул, ас/ — средняя ариф-
арифметическая скорость молекул.
Следствием этих соотношений является увеличение толщины погранич-
пограничного слоя с уменьшением плотности. При этом возможны такие условия, когда
допущения в выводе уравнений пограничного слоя становятся неприемлемыми:
течение даже при больших скоростях может стать ползущим.
Когда плотность газа столь мала, что средняя длина свободного пробега
молекул Т соизмерима с характерным линейным размером L тела или тол-
толщиной пограничного слоя, ударной волны и т. п., газ нельзя рассматривать
как сплошную среду. Отношение средней длины свободного пробега к ха-
характерному линейному масштабу называется числом Кнудсена и характери-
характеризует степень разреженности газа. Дискретность структуры газа проявляется
при значениях числа Кп > 0,01.
При числах Кп>1 процессы переноса в газах практически перестают зави-
зависеть от столкновения между молекулами. Такой режим физических переносов
в газе называется свободно-молекулярным. Между континуумным и свободно-
молекулярным режимами существуют промежуточные режимы, специфические
особенности которых определяются условиями течения. Область разреженных
газов охватывает для покоящегося газа диапазон значений 0,01 < Кп < оо,
для движущегося — режимы от весьма вязкого ламинарного течения до сво-
свободно-молекулярного.
Число Кнудсена имеет глубокую связь с газодинамическими параметрами
М и Re. Из кинетической теории газов следует, что
JL—L-i/X. A8.1.3)
Re L V kn v '
Таким образом, если характерным размером является размер тела (свобод-
(свободно-молекулярный поток), то
, A8.1.4)
если же толщина ламинарного пограничного слоя, то
Kn = ]/S~ M/]/*Re. A8.1.5)
Следовательно, при M/]/^Re < 1 поток сплошной, при M/]/*Re > 1 —свободно-
молекулярный.
245
18.2. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ МОЛЕКУЛ С ПОВЕРХНОСТЬЮ.
СВОБОДНО-МОЛЕКУЛЯРНЫЙ ПЕРЕНОС ТЕПЛА
Кроме плотности газа в свободно-молекулярном потоке для процессов
переноса существенны также обмен энергией и импульсом при столкнове-
столкновении молекул со стенкой и распределение скоростей молекул. Полнота
энергообмена молекул на стенке характеризуется коэффициентом термической
аккомодации
сс=(еп~е0)/(еп-ест)> A8.2.1)
где ?ш е0 — потоки энергии падающих и отраженных молекул; ест — поток
энергии, который уносился бы от стенки при полном энергообмене, т. е. при
условии, когда энергия отраженных молекул соответствует температуре стенки.
По экспериментальным данным, для воздуха и конструкционных материа-
материалов коэффициенты термической аккомодации изменяются в пределах от 0,87
до 0,97. Для газов с небольшой молекулярной массой коэффициент аккомо-
аккомодации на поверхности специально очищенных металлов имеет малое значение.
Например, для пары гелий — вольфрам а « 0,02.
Обмен касательным импульсом характеризуется коэффициентом аккомо-
аккомодации касательного импульса
G = (wn—w0)/wn; A8.2.2)
индексы «п» и «о» относятся к падающим и отраженным молекулам, w — осред-
ненное значение тангенциальной скорости. Если а = 0, отражение молекул
от стенки полностью зеркальное, если о = I — диффузное.
Для небольших скоростей молекул (порядка сотен метров в секунду) из-
известно, что аккомодация касательного импульса совершенна, а» 1 и можна
использовать представление о диффузном рассеянии.
Расчеты процессов переноса тепла у элемента поверхности при установив-
установившемся течении проведены Эпштейном для малых скоростей, Столдером и Жу-
Жуковым, Цзяном и другими исследователями для больших скоростей. Резуль-
Результаты теории свободно-молекулярного переноса тепла изложены далее согласно
Цзяну, Шаафу, Пробстину.
Плотность теплового потока при свободно-молекулярном течении
Ясв.ш = ос(еп-ест). A8.2.3)
В одноатомном газе поверхностью воспринимается только энергия посту-
поступательного движения молекул. Поэтому
ОО 00 ОО
= j j ^~mv*vxfdvxdvydvt. A8.2.4)
— оо —оо О
Здесь v — полная скорость молекулы в пространстве х, у, z; m — масса мо-
молекул и / — функция распределения скоростей, численно выражающая плот-
плотность молекул в единице объема пространства скоростей. Первым приближе-
приближением в рассматриваемой проблеме является принятие равновесного или мак-
свелловского распределения скоростей.
При наличии невозмущенной скорости потока газа
t= Ро схр Г (ух—w sin дJ+(уу+ w cos QJ+сЧ /18 2 5^
1 h [ 2RT0 J* V ' * '
Для многоатомных газов необходимо учитывать внутреннюю энергию
молекул, равномерно распределенную по степеням свободы в случае термоди-
термодинамического равновесия. Поток внутренней энергии молекул на поверхность
2. A8.2.6)
246
Здесь / = E — 3k)I(k — 1) — число степеней свободы, принимающих участие
ь энергообмене; Nu — число молекул, падающих на единицу поверхности
в единицу времени:
A8.2.7)
оо оо оо
#п= f \ \vxfdvxdvudvz.
— оо — оо О
Таким образом, для многоатомных газов
еп = епост + евн. A8.2.8)
Можно показать, что поток энергии отраженных молекул многоатомного
ест •-= D+ j)NumRTCT/2. A8.2.9)
Подставляя значения еи и ест в уравнение A8.2.3) и принимая аккомодацию
энергии одинаковой по всем степеням свободы, после интегрирования полу-
получаем
к— 1 2(/г-
¦]{ехр[ — (Ssin9J] +
A8.2.10)
Здесь
q — угол атаки.
Из формул A8.2.10) можно по-
получить значение равновесной тем-
температуры стенки. При S > 1
<7св.м ~
— аро w3 sin 0 х
10
0,6
хм —
k+l
0,4
Теоретический преде/ - свободно-молекулярный
/
Л
Д ?/
Л
Эк
А
:пе
ам
*•>
римент
инарны
//U///UK
альныи
1 поток
пред,
VI
+
0,12 0,20 0,40 0,80 1,2 2,0 4,0 8,0 12,0 Кп
Рис. 18.1. Экспериментальные данные о коэф-
коэффициенте восстановления температуры при об-
обтекании цилиндра:
О—Дьюи, М = 5,8; • —Лауфер и Маккелелан, М =
= 3,0; Н Шерман, М = 2 и 4; А —Столдер и др.,
М=1,9 - 3,2
,_ A8.2.11)
2 (Л-1) Го J
Отсюда следует, что при qCB. м =
= 0 и больших числах Маха отно-
отношение адиабатической температуры
стенки к температуре торможения
потока равно
TZTlT*&2k/(k+l). A8.2.12)
Таким образом, в свободно-мо-
свободно-молекулярном потоке Тст>Т*, т. е.
коэффициент восстановления боль-
больше его значения в сплошном по-
потоке газа. Он не зависит от коэф-
коэффициента аккомодации в том случае, когда теплообмен только конвективный.
Из формулы A8.2.11) для сильно охлаждаемого тела (S > Тст/Т0) и при
полной аккомодации (а = 1) получим
q = A /2) р0 w3 si n 0. A8.2.13)
Это значение теплового потока — предельное при свободно-молекулярном пере-
переносе— составляет половину рассеиваемой энергии, приходящейся на единицу
поверхности и вычисленной по сопротивлению тела в потоке с большими
числами М.
На рис. 18.1 изображена экспериментально полученная зависимость от-
относительного коэффициента восстановления г от числа Кнудсена при обтека-
обтекании цилиндра воздухом:
г = (г-гд)/(гсв.м-гл), A8.2.14)
247
где Гл — коэффициент восстановления в ламинарном потоке (здесь принята
Гд ^ о,94). Из графика видно, что свободно-молекулярный режим имеет место
при Кп > 10.
Интегрируя уравнение A8.2.10) по поверхности, можно получить суммар-
ный тепловой поток для выпуклого тела любой формы. В частности, для ци-
цилиндра, сферы и плоской пластины с углом атаки
0 = 0 на рис. 18.2 по расчетам Оппенгейма дана
зависимость числа pSt от S:
A8.2.15)
J3St
4
\
/
2
5
2k
*?~Тст)
где f общая поверхность тела. Множитель
Р = 2&/сб (k + 1) взят для удобства сравнения с
числом St в сплошном потоке (а — коэффициент
термической аккомодации). Из рис. 18.2 видно,
что при S = yr?/2 M > 3 закон теплообмена для
цилиндра и сферы практически не зависит от
числа М и тепловой поток определяется парамет-
параметрами ро и w. Для пластины число St принимает
предельное значение, равное нулю при весьма больших скоростях, согласна
3аВдТГтеплоо?Га в^под^ижном газе (S = 0) с температурой Т уравнение
A8.2.10) для выпуклых тел принимает вид
A8.2.16)
/ 2 3 4 5 S 7S
Рис. 18.2. Теплообмен в свобод-
свободно-молекулярном потоке:
/ — цилиндр; 2 — сфера; 3 — пла-
пластина
Для тела в неограниченном объеме
A8.2.17)
Простейшим случаем теплообмена в ограниченном объеме является перенос
между двумя параллельными пластинами, когда влиянием краевых эффектов
можно пренебречь. Если пластины имеют коэффициенты аккомодации о,
и а2 и температуры Тх и Г2, то
' A8.2.18)
<7св.м _ /~-
При рассмотрении переноса тепла в объеме более сложной формы интегри-
интегрирование уравнений для молекулярного переноса энергии существенно^услож-
существенно^усложняется, так как необходимо при этом учитывать взаимное расположение эле-
элементов поверхностей, участвующих в тепловом взаимодействии
Определенная выше граница свободно-молекулярного режима (Kn ~ 10)
справедлива для газа, движущегося с малой скоростью или покоящегш
а также для неохлаждаемого тела при гиперзвуковых скоростях. Если тело
Сильно охлаждается, то при высоком коэффициенте аккомодации скорость
™енных молекул'будет намного меньше, скорости налетающих, i«плотность
потока молекул от тела будет столь большой, что возможные столкновения,шж-
ду молекулами вблизи тела будут играть существенную роль Еэтомслучае
критерием свободно-молекулярного режима является число Кнудсена, наиден-
наиденное по средней длине свободного пробега отраженных молекул:
KnCT = /CT/L>l. A8.2.19)
Величина~/ст имеет порядок 7Я>: Здесь 70 - средняя длина свободного
пробега молекул перед ударной волной. „„„-.„
Решение интегрально-дифференциального уравнения Больцмана в кинети-
кинетической теории газов для случая почти сЕободно-молекулярного потока, когда
248
необходимо учитывать первые столкновения отраженных молекул, показывает,
что относительное значение теплового потока на стенке
<7/<7св.м = 1 — "/Кпст, A8.2.20)
где в частном случае сферы х = 0,38+2,26 vCT/w. Эта формула справедлива
в диапазоне 1 < Кпст < 5.
18.3. ТЕЧЕНИЕ СО СКОЛЬЖЕНИЕМ И ТЕМПЕРАТУРНЫМ
СКАЧКОМ
На расстоянии от стенки, равном средней длине свободного пробега моле-
молекул, процессы переноса можно считать свободно-молекулярными, и в этой
области возникают скачки скорости (скольжение) и температуры.
Молекулярно-кинетическая теория газов с точностью до множителя, близ-
близкого к единице, дает значение скольжения и температурного скачка у стенки
в виде
!() . A8.3.2)
a k+l Рг \ду/ст
Здесь Тг, ст — температура газа у стенки. Величина ? = 2[B/а — 1)] [kl(k +
+ 1)] называется коэффициентом скачка. Второй член в уравнении A8.3.1)
выражает влияние термомолекулярного течения—движения газа в направле-
направлении возрастания температуры.
Как видно из этих формул, скольжение и температурный скачок существуют
при любом давлении, проявляясь в слое Кнудсена толщиной A4-2) I. Так как
при больших давлениях / мало, значения ws и АГ, пропорциональные 7, пре-
пренебрежимо малы по сравнению со значением скорости течения и температур-
температурного напора. На этом и основана гипотеза прилипания газа к стенке в динамике
сплошной среды.
При значениях Кп > 0,01 выражения A8.3.1) и A8.3.2) можно ввести
в граничные условия уравнений Навье — Стокса и энергии и далее искать
решение для значений коэффициентов трения и теплообмена.
Многочисленные теоретические исследования в этом направлении основа-
основаны на использовании уравнений пограничного слоя с граничными условиями,
учитывающими разрежение. Принципиальным здесь является вопрос о воз-
возможности такого течения, когда уравнения пограничного слоя остаются спра-
справедливыми при наличии влияния скольжения и температурного скачка.
Относительная скорость скольжения выражается через критерии М и Re
следующим образом:
•L^.lfJs.) «JL^.«^_. A8.3.3)
w w \ ду /CT ay 6 y^
Для описания движения уравнениями пограничного слоя достаточно усло-
условия Re > 1. Из приведенных соотношений ясно, что если при значении Re > 1
значением величины M/]/Re нельзя пренебречь, относительное значение ско-
скорости скольжения может оказаться существенным.
Задача об учете скольжения при обтекании полубесконечной плоской пла-
пластины потоком вязкого газа решена Б. П. Шидловским в приближениях тео-
теории пограничного слоя. Решение сводится к задаче Блазиуса с предположением
о линейности связи между [х и Т. Проведенный анализ не обнаруживает влия-
влияния разрежения на температуру адиабатической стенки. При наличии тепло-
теплообмена для заданной температуры стенки температурный скачок
=0,664
249
Полуэмпирическим вариантом такого подхода является анализ обтекания
сферы разреженным газом, выполненный Кэвено. Он воспользовался представ-
представлением температурного скачка как температурного перепада на эффективном
контактном тепловом сопротивлении между газом и стенкой. В этом случае
ао/а = 1 + ЦТ/Рт) К А), A8.3.5)
где а0 и а — коэффициенты теплообмена при одинаковых тепловых потоках
соответственно при отсутствии и наличии температурного скачка; !¦ вводится
как коэффициент скачка из формулы A8.3.1). Формулу A8.3.5) можно преоб-
преобразовать к виду
1 /Nu = 1 /Nu0 +1 Kn/Pr. A8.3.6)
Значение числа Nu0 для сплошного несжимаемого вязкого потока около
сферы взято из работы Дрейка и Бэкера. Кэвено получил удовлетворительное
согласование формулы A8.3.6) с экспериментами в режиме дозвуковых ско-
скоростей, приняв по опытным данным I = 3,42. Величина | учитывает коэффи-
коэффициент аккомодации, атомность газа и допущения, связанные с принятой схе-
Nu
1,0
0,8
0,6
0,2
Я
л У
/
/
V \-<
\
/
¦
+ ^'
-^ **
У
-
t'
-—^Г^
из
0
М=
+ -о,г
а-0,17
v-0,21
о-0,37
ъ-0,59
ь-0,69
6 8 10
20
40 SO
100
Re
Рис. 18.3. Теплообмен в дозвуковом потоке разреженного газа
при 0,1<М<0,5:
/ — расчет для свободно-молекулярного течения при М«0; 0,1: 0,37; 0,59
матизацией. Поэтому ее значение должно определяться для конкретных усло-
условий экспериментально. На рис. 18.3 показано влияние разрежения на теплооб-
теплообмен сферы по опытам Кэвено.
Для разреженного газа вследствие относительно больших размеров возму-
возмущенной области первое приближение теории пограничного слоя оправдывает-
, ся не всегда даже при малых числах Кнудсена. Во-первых, следует иметь в виду
необходимость учета влияния толщины вытеснения б* на течение потока вне
пограничного слоя. Во-вторых, для сравнительно небольших тел (б ~ L)
нужно учитывать кривизну поверхности и ударной волны.
Ван-Дайк показал, что влияние температурного скачка на теплообмен
может иметь такой же порядок, как и упомянутые выше эффекты. В частности,
он нашел связь между тепловым потоком q в лобовой точке сферы для условий:
k = 1,4; Рг = 0,7; \i ~ Г; -ф = 0,2; М > 1 и тепловым потоком qR для сплош-
сплошного ламинарного пограничного слоя без приближений высшего порядка:
Я = <7л [1+@,584—0,115+0,122+0—0,157) е], A8.3.7)
250
Слагаемые при параметре 8 в случае 8 = 3,02 Re//2 суть влияния внешней
завихренности (+0,584), продольной кривизны (—0,115), поперечной кривизны
(+0,122), скольжения @), температурного скачка (— 0,157). В диапазоне
0,04 <е< 0,23 результаты теории Ван-Дайка подтверждены экспериментами.
ygapH
18.4. ОСОБЕННОСТИ ТЕПЛООБМЕНА
ПРИ ГИПЕРЗВУКОВЫХ СКОРОСТЯХ
Специфической особенностью гиперзвуковых течений разреженного газа
является необходимость учета сложного взаимодействия ударной волны с по-
пограничным слоем. Для сильно разреженных газов это взаимодействие приобре-
приобретает характер гиперзвукового
уже при числах М » 3—4. ^.^~~~"~т
Схематически рассмотрим ре- ^^^**** ^^~-
жимы такого рода течения в ^ ^
окрестности твердого тела, на-
например плоской пластины
(рис. 18.4). У передней кромки
пластины на расстоянии порядка
длины свободного пробега поток
можно считать свободно-молеку-
свободно-молекулярным, постепенно переходя-
переходящим в область начала формиро-
формирования ударной волны и погра-
пограничного слоя. Эту область
иногда называют сращенным
слоем. Затем наблюдается об-
область вязкого течения, ограни-
ограниченная ударной волной в виде
С/10Я
Поверхность пластины
ш
Сра-
ииен
Вяз-
Вязкий
C/IOU
Сильное
взаимо-
взаимодействие
MVC
Слабое
взаимодействие
»1
Континуумное течение , без скольжения
Рис. '18.4. Зоны обтекания пластины разреженным
газом. Числа М и Re — по параметрам невозму-
невозмущенного потока; С=\1То/цоТ
достаточно отчетливо выражен-
выраженной поверхности разрыва. Далее
ударная волна отходит от погра-
пограничного слоя, и ее воздействие на параметры последнего следует учитывать
через поля скорости и давления между ударной волной и сформировавшим-
сформировавшимся пограничным слоем. Здесь необходимо принимать во внимание и вторич-
вторичное воздействие пограничного слоя на течение за ударной волной.
Асимптотические области сильного и^_слабого взаимодействий различают
по параметру взаимодействия M3]/"C/)/~Re, характеризующему распределение
давления в невязкой части потока, индуцированное пограничным слоем.
По оценкам Хейса и Пробстина, тем-
температурный скачок и скольжение не ока-
оказывают влияние на трение и теплообмен jq2
плоской пластины в области, где
10
1 10 Ю2
Рис. 18.5. Локальный теплообмен на
пластине при М=10; /гст(оу2/2)-1 = 0,1;
Рг = 0,1; ро/р= 1/6 (в ударной волне);
?=1,4:
/ — классический пограничный слой; 2 —
сильное взаимодействие; 3 — вязкий слой;
4 — теоретический предел для вязкого слоя;
5 — свободно-молекулярный перенос
Т»]/^Т~' A8.4.1)
На рис. 18.5 показаны результаты рас-
расчета теплообмена для различных областей
течения газа около пластины. Рассматри-
Рассматриваются такие условия, когда на всей рас-
расчетной длине пластины для теплообмена
существен только один режим взаимодей-
взаимодействия ударной волны с пограничным слоем.
Из характера зависимостей следует необ-
необходимость учета различных режимов, осо-
особенно в переходной области (в данном кон-
конкретном случае при 10 < Re< 103). В этой
: 4
251
постановке задачи очевидны принципиальные трудности адекватного описания
термогазодинамических явлений, особенно если учесть условность выделения
отдельных зон. До настоящего времени не существует устоявшейся точки
зрения на пределы использования модели сплошной среды в области малых чи-
чисел Рейнольдса при гиперзвуковых скоростях (в том числе с граничными ус-
условиями температурного скачка и сколь-
скольжения). Определенные успехи в этом
направлении достигнуты в последние го-
годы с помощью численных методов для
обтекания пластин и затупленных тел.
В начале 1960-х годов была разра-
разработана теория тонкого ударного слоя,
основанная на модели слоя между удар.
ной волной и поверхностью тела, имею-
имеющего толщину, малую по сравнению
с радиусом затупления. При Re =
о^о^о < 20 эта теория в области
чисел М & 10 дает значения трения в
лобовой точке, качественно и количе-
количественно отличающиеся от результатов
по модели сплошной среды в более общей
постановке, без ограничений на толщину
сжатого слоя.
Однако Джейн и Эйдимоти показали, что сомнения в применимости урав-
уравнений Навье — Стокса для описания течения в сращенном сжатом слое (ко-
(когда пограничный слой сращен с ударной волной) возникли вследствие исполь-
использования рядом авторов сильных упрощающих предположений, в том числе
R? 1000 __
Рис. 18.6. Коэффициент восстановления
температуры в лобовой точке:
расчет; с— опыты Хикмана и Жедта
0,4
- и i л
4 5 7
i i i i i i i i
1
1 « 1 1 ...
0,1
W
10
100 к2
Рис. 18.7. Теплообмен в лобовой точке при сверхзвуковом обтекании
газом низкой плотности (штриховкой обозначена область экспери-
экспериментальных точек):
/ — теория тонкого сжатого слоя по Ченгу.; 2 — теория вихревого взаимодей-
взаимодействия; 3 — решение Джейна и Эйдимоти с учетом скольжения; 4 — то же,
без учета скольжения; 5 — свободно-молекулярный поток; 6 — опыты Видала
и Уиттлифа; 7 — опыты Бойлана
использования модели тонкого ударного слоя, а также пренебрежения гранич-
граничными условиями скольжения и температурного скачка на поверхности.
Джейн и Эйдимоти для получения решения вблизи критической области
сферы разлагали переменные параметры в ряд около оси симметрии и в урав-
уравнениях сохраняли только члены, соответствующие приближению рассматри-
рассматриваемого порядка. Граничными условиями были кинетические уравнения для
скорости скольжения и температурного скачка. Полученная система уравнений
решалась численно методом конечных разностей. В качестве иллюстраций на
рис. 18.6 приведены данные по коэффициенту восстановления температуры
252
в воздухе при М = 10 в сравнении с данными Хикмана и Жедта для М = 2ч-6.
Превышение температуры восстановления на теплоизолированной стенке над
температурой торможения в толстом вязком слое может быть обусловлено тем,
что скорость генерации тепла за счет рассеяния энергии превышает скорость
теплоотвода.
Результаты расчета теплообмена на холодной стенке показаны на
рис. 18.7 в координатах Сн — k2y где Сн = q (h0 — hCT)/powo, а /г2 =
= [(Y "~ 1)/ (Y+ 1)] 1/2 Re (\io/To) (Tq/\xo). По этим данным, модель сплошной
среды в количественном отношении справедлива до удивительно низких чисел
Рейнольдса, где теория тонкого сжатого слоя и теория вихревого взаимо-
взаимодействия (по Ченгу) оказываются некорректными. Расчетная зависимость на
рис. 18.7 при k2 « 0,2 достигает свободно-молекулярного предела. В диапа-
диапазоне k2 = 0,4ч-10 поведение этой зависимости согласуется с эксперименталь-
экспериментальными данными Видала и Уиттлифа. Эксперименты Бойлана дают заниженные
результаты.
Сравнение результатов расчета теплового потока по модели сплошной среды
с данными, полученными методом Монте-Карло, показывает, что уравнения
Навье — Стокса могут быть использованы для расчетов вплоть до значений
Кп « 0,5.
18.5. РЕЛАКСАЦИОННЫЕ ЭФФЕКТЫ ПРИ ОБТЕКАНИИ ТЕЛ
РАЗРЕЖЕННЫМ ГАЗОМ
Если время релаксации, например время установления термодинамического
равновесия между степенями свободы, соизмеримо или больше характерного
газодинамического времени, течение в возмущенной области потока около тела
неравновесно. В зависимости от степени неравновесности возможно замора-
замораживание энергообмена между теми или иными степенями свободы или внутри
них. Эти эффекты особенно значительны в градиентных* потоках низкой
плотности. Типичная ситуация при обтекании тел разреженным газом в пере-
переходном режиме — замороженность ионизационных и химических процессов,
а также процессов колебательной релаксации. В энергообмене участвуют
вращательные и поступательные степени свободы. Диффузионные процессы
в случае течения газовых смесей вносят существенчый вклад в формирование
потока. Ниже рассмотрен пример с влиянием поступательной релаксации.
При сверхзвуковом обтекании затупленных тел диффузия влияет на струк-
структуру головной ударной волны и сжатого слоя перед телом. Зона с повышенным,
давлением (лобовая область) оказывается обогащенной тяжелыми частицами
вследствие градиента давления вдоль линий тока и кривизны линий тока вбли-
вблизи точки торможения. Концентрационная диффузия и термодиффузия умень-
уменьшают эффект разделения. С лобовой поверхностью затупленного тела взаимо-
взаимодействует поступательно неравновесный газ. Если компоненты смеси обладают
одинаковыми статической температурой и поступательной скоростью в набе-
набегающем потоке, то увеличение концентрации тяжелой компоненты в зоне тор-
торможения приводит к увеличению полной энтальпии локально в этой зоне па
сравнению с неиозмущенной областью, и, как следствие, к увеличению коэф-
коэффициента восстановления температуры (при определенных условиях — зна-
значительно больше единицы).
Рис. 18.8 иллюстрирует описанный процесс при обтекании сферы диа-
диаметром 40 мм смесью азота и Еодорода с начальной концентрацией Д» =
== пмш/(пцш + Ян2) = 0,24. По параметрам невозмущенного потока М =
= 3,5, Re = 140. Данные получены в экспериментах А. А. Бочкарева,
В. Г. Приходько и А. К. Реброва.
В измерениях параметров потока (плотности, температуры и концентра-
концентрации) использована электронно-пучковая диагностика. Линии равной кон-
концентрации характеризуют структуру ударной волны и сжатого слоя. Провал
значения / в переднем фронте ударной волны соответствует обогащению этой
области легким газом. Повышение концентрации азота за ударной волной
до значения / = 0,42 — результат диффузионного разделения.
25а
Существенное влияние разделения на теплообмен сказывается в диапазоне
чисел Рейнольдса 10 < Re < 2000. Наблюдаемый в экспериментах тепловой
эффект бародиффузионного разделения смеси учитывается числом Стентона,
если в качестве определяющей температуры использовать температуру восста-
восстановления. На рис. 18.9 показаны результаты обобщения экспериментальны\
данных по теплообмену в лобовой точке при обтекании сферы смесью азота
0J8
St
0,75
0,5
025
# !
E ¦
i
5,0
10
Рис. 18.8. Поле концентраций около сферы
при сверхзвуковом обтекании смесью азота
и водорода
Рис. 18.9. Теплообмен в лобовой точке при
обтекании сферы разреженной газовой
смесью
и водорода. Здесь ft'1 = (Re/M2?) (\io/To) (T/p),(T = П + TJ/2. Кружками
показаны экспериментальные данные А. А. Бочкарева, В. Г. Приходько,
А. К. Реброва, штриховкой — эксперименты И. Ф. Заварзиной, сплошной
кривой — расчеты Ченга.
18.6. СВОБОДНАЯ КОНВЕКЦИЯ В РАЗРЕЖЕННОМ ГАЗЕ
Основной особенностью свободной конвекции в разреженном газе является
то, что тепловые и гидродинамические возмущения при снижении плотности
не локализуются у теплоотдающей поверхности. Толщина пограничного слоя
может даже превосходить размеры теплоотдающего тела. Поэтому допущения
Шмидта и Бекмана, положенные в основу решения Польгаузена, становятся
неприемлемыми. Другими словами, в теоретическом плане для описания сво-
свободной конвекции нельзя исходить из уравнений пограничного слоя. Течение
здесь вязкостное, с возможным влиянием температурного скачка.
Интенсивность теплообмена с учетом разрежения газа в квазиизотермиче-
квазиизотермических условиях свободной конвекции определяется зависимостью типа
Nu = f (Ф; Gr; Pr; Kn), A8.6.1)
где Ф — формпараметр.
С увеличением разрежения значение GrPr уменьшается пропорциональ-
пропорционально квадрату плотности, и влияние этого критерия вырождается. Все более
существенным становится влияние геометрии тела. Рис. 18.10 отчетливо
показывает это. В предельном случае отсутствия свободной конвекции, ког-
когда GrPr ->0, газ представляет собой сплошную среду, анализ теплопроводно-
теплопроводности в неограниченном объеме дает для сферы Nu ->-2, а для цилиндра Nu->0.
Дискретность структуры газа проявляется при значении числа Кп > 0,02.
На рис. 18.11 на примере теплообмена горизонтального цилиндра диаметром
0,07 мм показаны характерные режимы переноса тепла. В области чисел
Кп > 0,02 происходит резкое падение интенсивности теплообмена вследствие
влияния температурного скачка.
При значительном разрежении может проявляться эффект ограниченности
объема, в котором находится рассматриваемое тело. При GrPr ->0 вследствие
молекулярной теплопроводности к оболочке конечных размеров число Nu
254
приобретает постоянное значение, превосходящее предельно малое для нео-
неограниченного объема. Этот факт иллюстрируется экспериментальной зави-
зависимостью на рис. 18.12.
1
0,8
?
0,4
-0,6
¦
5
2
>^
" /
/
/
Ю'5 10~J W~J 10 WJQrPr
Рис. 18.10. Теплообмен при свободной
конвекции в неограниченном объеме:
1 — горизонтальный цилиндр; 2 — верти-
вертикальная пластина; 3 —сфера
Вязкостный
режим
Кп < 0.02
0,07
Ю'д 10~7 10~5 10~3 Ю'1
Рис. 18.11. Режимы теплообмена для гори-
горизонтального цилиндра
Так как для цилиндров различных диаметров при одинаковом числе Кп
величины GrPr кратны кубу диаметров, в координатах Nu — GrPr данные по
теплообмену обобщаются только до значений Кп =• 0,02. Для более глубоких
разрежений можно применить метод Кэвено, изложенный ранее в разд. 18.3.
2
1
0Я
8
Нолекулярно-
вязкостныи
режим
Кп > 0,02
> Вязкостный
III
4SI-
режим
07
Рис. 18.12. Режимы теплообмена при сво-
свободной конвекции:
/ — сплошная среда; 2 — опыты А. К. Реброва
в ограниченном объеме в вакууме
У
0 0,2 0,4 0,6 0,8 Кп
Рис. 18.13. Влияние числа Кнудсена
на теплообмен цилиндров в воздухе
по опытам А. К. Реброва
На рис. 18.13 приведены результаты такой обработки экспериментов для теп-
теплообмена цилиндров. В диапазоне 0 < Кп < 0,6 эта зависимость линейна, что
подтверждает справедливость подхода, но не универсальность полученных
численных значений. В данном случае необходимо еще точное знание коэффи-
коэффициента аккомодации.
18.7. ВАКУУМНАЯ ИЗОЛЯЦИЯ
Факт уменьшения теплопроводности из-за наличия температурного скачка
широко используется в технике для осуществления вакуумной и вакуумно-
порошковой изоляции.
Если разрежение таково, что для переноса тепла существенны еще молеку-
молекулярные столкновения, то теплообмен подчиняется зависимости A8.3.6). При
свободно-молекулярном переносе тепла между плоскими стенками справедлива
формула A8.2.18).
255
«о
В криогенной технике широкое распространение получила вакуумно-
порошковая многослойная изоляция. Эффективная теплопроводность порош-
порошковой изоляции, как видно из рис. 18.14, при снижении давления от атмосфер-
атмосферного до 0,1 Па уменьшается более чем на порядок. Причем влияние темпера-
температурного скачка сказывается на коэффи-
коэффициенте теплопроводности для магнезии
уже при атмосферном давлении, для
силикоаэрогеля — при более высоких
давлениях, а для мипоры — при давле-
давлении ~ 13 кПа.
Объясняется это тем, что перенос
тепла газом, заполняющим порошок,
происходит в переходном свободно-моле-
свободно-молекулярном режиме при высоких давле-
давлениях, так как число Кп в порах вели-
велико. Поэтому даже неглубокая откачка
существенно увеличивает тепловое со-
сопротивление.
Лучшие образцы многослойной изо-
изоляции при давлении меньше 0,133 Па
^io /*наче™я эффективного коэффициента теплопроводности порядка
10 Вт/(м • К), что уже приближается к свойствам высоковакуумной изоля-
изоляции с экранированием жидким азотом.
40
50
20
10
4-
7f
/
/
?
5
ю°
ю1 W2 ю3 р, па
Рис. 18.14. Кажущаяся теплопроводность
порошковых теплоизоляторов в интерва-
интервале температур 78—290 К:
/ — магнезия; 2 — мипора; 3 — силикоаэрогель
8
11
12.
13.
14
15
17.
18.
19.
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Газовая динамика. Сб. статей. Пер. с англ. и нем. М., Изд-во иностр. лит., 1950.
2. Газодинамика разреженных газов (Тр. I Междунар. конф. по динамике разреженных
газов, 1959). Пер. с англ. и франц. М., Изд-во иностр. лит., 1963.
3. Дэшман С. Научные основы вакуумной техники. Пер. с англ. М., «Мир», 1964.
4. Заварзина И. Ф. Экспериментальные исследования локальных тепловых 'потоков на
сфере и сферическом притуплении осесимметричного тела.— «Изв. АН СССР. Меха-
Механика жидкости и газа», 1970, № 4, с. 157.
5. Каганер М. Г., Глебова Л. И. Теплопроводность изоляционных материалов под ва-
вакуумом.— «Кислород», 1959, № 1, с. 13.
6. Кайт Дж., Мэдден А., Пайрет Е. Теплопередача естественной конвекцией при по-
пониженном давлении.— В кн.: «Механика». Сб. переводов, 1955, № 1, с. 29.
7. Ребров А. К. Теплообмен при свободном движении около горизонтального цилиндра
в разреженном воздухе.— «Инж.-физ. журн.», 1961, т. 4, № 9, с. 32.
Теплообмен в лобовой точке затупленного тела, обтекаемого сверхзвуковым разре-
разреженным потоком азотно-водородной смеси. —«Журн. прикл. механ. и техн. физ»
1973, № 6, с. 88. Авт.: А. А. Бочкарев, В. А. Косинов, В. Г. Приходько, А. К. Ребров!
9. Шидловский В. П. Введение в динамику разреженного газа. М., «Наука», 1965.
10. Cheng H. К.- Viscous hypersonic blunt-body problems and the Newtonian theory.—
«Fundamental Phenomena in Hypersonic Flow». Proc. Intern. Symp. Ithaca, New York
Cornell Univ. Press,, 1966, p. 90.
Cheng H. K. Hypersonic shock layer theory of the stagnation region at low Reynolds
number.— «Proc. Heat Trans, and Fluid Mech. Inst.», Stanford, Calif. Stanford Univ
Press, 1961, p. 161.
Dewey С F. Hot wire measurements in low Reynolds number hypersonic flows.— «ARS
J.», 1962, v. 31, N12, p. 1709.
Diffusive effects of recovery temperature in supersonic flow rarefied gas mixture.— In'
4-th Intern. Heat Transfer Conf. Versailles, Sept. 1970. Paris, 1970, v. 3, p. FC 6 4
Auth.: S. S. Kutateladze, A. A. Bochkarjov, V. G. Prikhodko, A. K. Rebrov.
Drake R. M., Backer G. H. Heat transfer from spheres to a rarefied gas in supersonic
flow.— «Trans. ASME», 1952, v. 74, N 7, p. 1241.
Hickman R. S., Giedt W. H. Heat transfer to a hemispherical cylinder of low Reynolds
numbers.— «AIAA Journ.», 1963, v. 1, N 3, p. 665.
16. Jain A. C, Adimurthy V. Hypersonic merged stagnation shock layers. Part I: Adiaba-
tic wall case. Part II. Cold wall case.— «AIAA Journ.», 1974, v. 12, N 3, p. 110.
Kavanau L. L. Heat transfer from spheres to a rarefied gas in subsonic flow.— «Trans
ASME», 1955, v. 77, N 5, p. 617.
Oppenheim A. K. Generalized theory of convective heat transfer in a free-molecule
flow.— «J. Aeron Sci.», 1953, v. 20, p. 49.
Probstein R. F. Heat transfer in rarefied gas flow.— In: Theory Fundamental Research
Heat Transfer.— ASME, Proc. annu. meet. Soc, 1963, p. 33.
Глава
ТЕПЛООТДАЧА ПРИ КОНДЕНСАЦИИ
ПАРА НА ТВЕРДЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ
19.1. ПЛЕНОЧНАЯ И КАПЕЛЬНАЯ КОНДЕНСАЦИЯ
При конденсации пара на поверхности охлаждения жидкая фаза (конден-
(конденсат) выпадает в виде сплошной пленки или отдельных капель. Пленочная
конденсация возникает на поверхностях, смачиваемых выпадающим конден-
конденсатом, капельная конденсация —на несмачиваемых поверхностях охлаждения.
При пленочной конденсации на вертикальной, достаточно длинной стенке
(рис. 19.1) в верхней части пленки, когда ее толщина и соответственно скорость
течения невелики, имеет место чисто ламинарное движение с плоской границей
раздела фаз. В дальнейшем на поверхности пленки начинают возникать волны,
приводящие к некоторому уменьшению средней толщины пленки конденсата.
Под влиянием волнообразования и общего увеличения толщины скорости те-
течения пленки в последней начинают развиваться сначала квазитурбулентные,
а затем и турбулентные пульсации.
При турбулентном течении волны имеют обычно пилообразный характер
с глубоким проникновением в глубь течения (рис. 19.2). Однако на осредненные
характеристики течения эти волны влияют мало.
На поверхности конденсата устанавливается темпе-
температура, практически равная температуре насыще-
насыщения. Например, в случае конденсации чистого водя-
водяного пара при атмосферном давлении переохлажде-
переохлаждение поверхности конденсатной пленки по сравнению
с температурой насыщения составляет 0,02 -f- 0,05 К.
При капельной конденсации значительная часть
поверхности охлаждения свободна от макроскопиче-
макроскопических слоев жидкости. Вследствие этого коэффициенты
теплоотдачи при капельной конденсации паров не-
неметаллов значительно выше, чем при пленочной.
Например, коэффициенты теплоотдачи при пленочной
конденсации водяного пара атмосферного давления
имеют порядок G—12) • 103 Вт/(м2 • К), а при капель-
капельной конденсации —D—10) • 104 Вт/(м2 • К). Практи-
Практически в современных конденсаторах всегда происхо-
происходит пленочная конденсация паров. Исключение со-
составляют конденсаторы ртутного пара, в которых обычно имеет место ка-
капельная конденсация.
У паров металлов различия в интенсивности теплоотдачи при пленочном и
капельном типах конденсации практически стираются, так как термическое
сопротивление жидкометаллической пленки оказывается весьма малым. При
наличии в паре примеси инертного газа у поверхности конденсата образуется
диффузионный пограничный слой, существенно влияющий на скорость притока
конденсирующегося пара к поверхности охлаждения и тем самым уменьшаю-
уменьшающий скорость конденсации.
19.2. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛООБМЕНА
ПРИ ПЛЕНОЧНОЙ КОНДЕНСАЦИИ
ЧИСТОГО НАСЫЩЕННОГО ПАРА
Здесь и в дальнейшем рассматривается конденсация паров неметаллов, т. е.
веществ, конденсат которых, имеет число Рг > 0,5.
Как уже было указано выше, опыт показывает, что, за исключением случая
глубокого вакуума, термическое сопротивление собственно пара у неметалли-
Ofi/асть
ламинарного
течения
пленки
Опасть
турбулентного
течения
пленки
Рис. 19.1. Схема течения
пленки конденсата на
вертикальной поверхно-
поверхности
9 Зак. 795
257
ческих теплоносителей пренебрежимо мало по сравнению с термическим сопро-
сопротивлением пленки конденсата. Поэтому в теории пленочной конденсации чи-
чистого пара неметаллических сред считают, что на границе раздела фаз уста-
устанавливается температура, равная температуре насыщения в ядре паровой
фазы.
Рис. 19.2. Осциллограммы стекания пленки воды по вертикальной стенке
Таким образом, основную систему уравнений теплообмена при пленочной
конденсации чистого насыщенного пара можно представить в следующем виде.
Уравнения теплопереноса и движения пленки конденсата:
g (p' — р")— grad р + fxy2 w = dw/d/-f- (w,rgrad)Jw;
divw = 0.
A9.2.1)
258
Условия взаимодействия фаз на границе конденсата и пара:
гр
±li {dwldn)VJi = gn Wo, + A/2) Cj p" <;
Условия теплообмена на поверхности охлаждения:
-К (дТ/дп)СТ = а (Г -Гст). A9.2.3)
При этом следует иметь в виду, что тепловой поток через поверхность плен-
пленки конденсата, определяемый вторым уравнением системы A9.2.2), и тепловой
поток через поверхность охлаждения, определяемый уравнением A9.2.3),
строго говоря, не равны друг другу. Это обстоятельство связано с тем, что
в пленке конденсата температура меняется от Т" до Гст и, следовательно,
средняя температура конденсата меньше температуры насыщения. Для плоской
пленки при ср = const средняя температура конденсата
Т = ( J Twdy\ I l\\wdy j = Г-ф (Т"-Тст), A9.2.4)
где ф = {Т" — ТI(Т" — Гст) < 1 — относительное переохлаждение конден-
конденсата; б — толщина пленки; у — координата, нормальная к поверхности ох-
охлаждения.
Отсюда общее количество тепла, выделяющееся при конденсации одного
килограмма насыщенного пара и передаваемое поверхности охлаждения,
A9.2.5)
где gn — массовая скорость конденсации, кг/(м2 • с).
В условия однозначности рассматриваемого процесса входят физические
свойства пара и конденсата, содержащиеся в этих уравнениях, размеры и
форма поверхности охлаждения, разность температур AT = Т" — Тст или
плотность теплового потока q = а (Т" — Гст), скорость течения пара и ее
направление по отношению к направлению вектора силы тяжести. Скорость
течения жидкой фазы в условия однозначности не входит, так как течение
конденсата полностью определяется действием силы тяжести и трением пара
о поверхность пленки.
Анализируя уравнения A9.2.1)—A9.2.3) методом подобия, найдем, что в
общем случае при заданной геометрии поверхности охлаждения теплоотдача
для пленочной конденсации чистого насыщенного пара выражается следующим
критериальным уравнением:
q; ; ; ; . A9.2.6)
Влияние поверхностного натяжения на процесс пленочной конденсации
сравнительно невелико. При течении на вертикальной поверхности изменение
поверхностного натяжения влияет на среднюю толщину пленки в области
ламинарного течения в связи с некоторым изменением возникающих на ее
поверхности капиллярных волн.
При конденсации на горизонтальных трубах поверхностное натяжение
приводит к тому, что конденсат стекает с нижней образующей трубы не непре-
непрерывной струей, а периодически, каплями. При больших скоростях течения
пара, импульс, вносимый конденсирующимся паром в пленку конденсата,
i = qw'm/r9 A9.2.7)
чему соответствует предельное значение коэффициента^трения пара о поверх-
поверхность конденсатной пленки
; Tp"). A9.2.8)
9* J 259
Следует обратить внимание на то обстоятельство, что нет необходимости
сохранять линейный размер поверхности конденсации I одновременно в четы-
четырех критериях. Часто оказывается более удобным сохранить эту величину
только в одном из определяющих критериев. В качестве такого критерия целе-
целесообразнее всего принять критерий Архимеда Ar = gl3 A — p7p')/v2, по-
поскольку сила тяжести проявляется в той или иной мере при любом течении кон-
конденсата. При этом остальные критерии должны быть скомбинированы с кри-
критерием Аг так, чтобы в них исключалась величина /. После такого преобразо-
преобразования получим:
N* = — = Ф, ——
я L'gu-p'vp') J [ v2
fev(l-p-/p')]1/3
A929)
[v2 1 V3
—,, „ выступает в качестве некото-
некоторого масштаба линейных размеров пленки конденсата, возникающих в резуль-
результате взаимодействия гравитационных сил и сил молекулярного трения. При
давлении р < 0,5 ркр значение величины р'7р' < 0,1, и ею практически можно
пренебречь.
Сразу же следует обратить внимание и на то важное обстоятельство, что
число Рейнольдса пленки конденсата весьма просто выражается через его мас-
массовый расход и представляет собой специфическую комбинацию критериев
Nu, К и Рг. Действительно,
^^ V A9.2Л0)
Гст) [I
где G — количество конденсата, протекающего через данное сечение на полосе
шириной 1 м, кг/ (м • с), и а — средний коэффициент теплоотдачи на участке L.
Отсюда следует связь между числом Рейнольдса пленки конденсата и крите-
критериями теплообмена:
Re = NW[Pr(K+cp)], A9.2.11)
т. е. зависимости A9.2.9) эквивалентна зависимость
а Г v2 11/3=ф \^-l\ — -?LV— - G • w"
Я L «ГA—PVP') J 21 v2 [ [p'j' a 'fi ' [gv(l-p"/P')]1/3
x
X
;
»'(i-pvp'I/8
19.3. ЛАМИНАРНОЕ ТЕЧЕНИЕ ПЛЕНКИ
НА ВЕРТИКАЛЬНОЙ ПОВЕРХНОСТИ
ПРИ МЕДЛЕННОМ ДВИЖЕНИИ ПАРА
Теория теплоотдачи при плоском ламинарном течении пленки конденсата
была создана Нуссельтом. В плоской пленке при ламинарном течении, когда
К^> ф, с хорошей степенью точности можно считать распределение темпе-
температур практически линейным, т. е. полагать
V2T = 0. A9.3.1)
В таком случае первое из уравнений A9.2.1) выпадает из рассмотрения.
Если, далее, пренебречь в уравнении движения инерционными силами, то
можно положить, что
g(pf — pff) + lid2w/dy2==0. A9.3.2)
260
В случае медленно движущегося пара w0T «Ои, согласно третьему урав-
уравнению A9.2.2), (dw/dy)rv = 0. На стенке скорость конденсата w = 0. При этих
граничных условиях двойное интегрирование уравнения A9.3.2) дает парабо-
параболический профиль скоростей в пленке конденсата:
Р' Р" *9 /fc I tA О~~ /fc 1 +*\ /1ПОО\
w = g-?—?- б2[I— — t") = 3w[l~— I2. A9.3.3)
И'
где 5 = f//S-
Величина относительного переохлаждения конденсата при принятых до-
допущениях, т. е. при линейном распределении температуры и параболическом
распределении скорости,
б
[wdy
о
Нормальная составляющая вектора скорости конденсата на границе раз-
раздела фаз может быть вычислена через изменение количества конденсата вдоль
оси х. Для этого выделим двумя параллельными сечениями объем конденсата
6 • 1 • dx. Количество конденсата, втекающего через поверхность 1 • dx>
dG = p'wndx. Изменение количества конденсата вдоль оси х равно dG =
б
= p'd (| wdy). Приравнивая друг другу эти выражения, находим, что
о
б
Подставляя это значение wn во второе уравнение A9.2.2) и полагая дТ/дп =
= АГ/б, получаем уравнение
/б х
J^Ldx=8dnwdy\. A9.3.6)
Если такую подстановку произвести в уравнение A9.2.5), т. е. отнести расчет
к полному потоку тепла, пронизывающему поверхность охлаждения, получим
— dx= 8d([wdy\ A9.3.7)
Р'[г+Фс(Г"-:гст)]] \l J
Очевидно, что первое уравнение даст несколько завышенное, а второе несколь-
несколько заниженное значения толщины пленки конденсата.
Подставляя в уравнения A9.3.6) и A9.3.7) значение w из выражения
A9.3.3) и интегрируя при AT = const, находим, что толщина пленки конден-
конденсата при ламинарном течении на расстоянии х от верхней кромки поверхности
охлаждения определяется неравенством
1/4. A9.3.8)
При ф = 3/8 и К = 5 расхождение в определении толщины пленки менее 2%,
а при К = 10 — менее 1 %.
Более подробно этот Еопрос был рассмотрен Д. А. Лабунцовым, который
показал, что влиянием конвективного переноса тепла и силами инерции в пло-
плоской ламинарной пленке можно пренебрегать при Рг > 1 и К > 5.
Коэффициент теплоотдачи в рассматриваемом случае определяется по тер-
термическому сопротивлению плоской стенки, т. е.
а = А/б. A9.3.9)
261
Подставляя сюда значение б из A9.3.8), получаем коэффициент теплоотда-
теплоотдачи в сечении х:
Среднее значение коэффициента теплоотдачи на стенке высотой L \
Выраженная в критериях, формула A9.3.11) принимает вид
. A9.3.12)
Здесь Nu = aLM,; Ar = (gL3/v2) A — p7p'); К = гI (сЛГ). Выраженная через
число Рейнольдса пленки формула A9.3.12) принимает вид
N* = №lAr-i/3 =0,925 Re-1/3. A9.3.13)
При постоянном теплоотводе по всей поверхности охлаждения
q = АД Г/6 = const, A9.3.14)
и" уравнение A9.3.6) принимает вид
\ p'p<rl A9.3.15)
,6 ч
-±-dx = dl \wdy\\=g p'~
Отсюда после интегрирования и подстановки найденного значения б в формулу
A9.3.9) получим, что при q = const
п — \
х"
Ц A9.3.17)
N*=l,04Re-i/3# A9.3.18)
Таким образом, для одинаковых значений числа Re пленки конденсата
коэффициент теплоотдачи при постоянном теплоотводе по всей поверхности
охлаждения примерно на 13% выше, чем при постоянной температуре стенки.
Вопрос о влиянии переменности физических свойств конденсата (р =
= const; с = const; \i = varia; A, = varia) с температурой на теплоотдачу
при ламинарном течении пленки был исследован К. Д. Воскресенским и не-
несколько уточнен Д. А. Лабунцовым. Последний показал, что если физические
свойства конденсата относить к температуре насыщения, то влияние темпера-
температурного фактора может быть учтено введением в формулу A9.3.11) множи-
множителя
ег = (ЯстАоK/8(^о/^тI/8. A9.3Л9)
f Здесь индекс «0» означает, что величина определяется при Т = Т", а индекс
«ст» — что при Т = Тст. Формула A9.3.19) справедлива при 0,5 < А,0/А,ст <
<2 и 0,1< щ/Цст^ 1. Поправка эта обычно невелика, о чем можно судить
по данным табл. 19.1.
262
Таблица 19.1
Поправка на переменность физических свойств конденсата по формуле A9.3.19) для воды
ДГ=(Г"-ГСТ),°С
10
20
50
ет
р=98,1 кПа
0,975
0,965
0,900
р=492 кПа
0,990
0,985
0,935
р = 981 кПа
0,990
0,985
0,960
р=98Ю кПа
1,01
1,01
1,02
Чисто ламинарное течение конденсата практически реализуется при зна-.
чениях Re < 10. Волнообразование вызывает некоторое повышение коэффи-
коэффициента теплоотдачи по сравнению с формулой Нуссельта. Можно полагать,
что в этой области течения пленки конденсата
A9.3.20)
A9.3.21)
Nu=l,13(ArPrK)I/4',
N*=l,18Re-I/3.
19.4. ТУРБУЛЕНТНОЕ ТЕЧЕНИЕ ПЛЕНКИ
НА ВЕРТИКАЛЬНОЙ ПОВЕРХНОСТИ
ПРИ МЕДЛЕННОМ ДВИЖЕНИИ ПАРА
Будем по-прежнему рассматривать плоскую пленку при К» фи медленно
двигающемся паре. Пренебрегая силами инерции, можем написать, что каса-
касательные напряжения в пленке
T==g-(p'— p")(8~ у). A9.4.1)
При наличии молекулярного трения, когда т = \idw/dy, уравнение A9.4.1)
дает параболический профиль скоростей A9.3.3). В случае турбулентного те-
течения по аналогии с пограничным слоем несжимаемой жидкости на пластине
можно принять, что в пленке устанавливается логарифмический профиль
скоростей.
Тепловой поток в направлении нормали к поверхности охлаждения опре-
определяется формулой
и соответственно
или при X = const
q = — (X + Хт)дТ/ду
__ Г qdy
1 ^
, —1
1-Хт/Х
A9.4.2)
A9.4.3)
A9.4.4)
Здесь ах = ql(T" — Тст) — локальное (в сечении х) значение коэффициента
теплоотдачи; \j= у/8 — относительное расстояние по нормали от поверхности
охлаждения; q = q/qCT — функция изменения плотности теплового потока
по толщине пленки (qCT — плотность теплового потока у поверхности охлаж-
охлаждения).
Согласно уравнению A9.4.1) скорость касательного напряжения на стенке
в данном случае
t>c*T=l/TCT/p' =
—р7р')-
A9.4.5)
263
Отсюда следует, что
где щ = vCT8/v — безразмерная толщина пленки и 'р" = р'7р'. Подставляя
это значение б в уравнение A9.4.4) и принимая во внимание связь между ат
и jiT, приходим к следующему интегральному соотношению:
— Г ^-Г/3 = ^/3( f qdq I . A947,
* U(l-p") J 1б Ц l + PrtiT/ti J К Л>/|
При К > ф ^ ^ 1.
Практически для физического анализа процесса достаточно ограничиться
рассмотрением двухслойной схемы. Количественные результаты для наиболее
важной области значений чисел Рг конденсата при этом также оказываются
удовлетворительными.
Соответствующие выражения для турбулентной вязкости будут иметь вид:
при 0<y<ll,6v/i?T [хг = 0; J
при #>11,6v/0ct Рт ж 0,15р'У2dw/dy. J
В данном случае, согласно уравнению A9.4.3),
и в области, где \хт > \л9
E. A9.4.9)
Подставив эти значения \iT в уравнение A9.4.7) и выполнив интегрирова-
интегрирование в предположении, что во всей области т)>11,6 [хг^>[л, после соответ-
соответствующих преобразований получим формулу*
" A9.4.10)
Кчв-И.б J
При т]5 > 11,6 она принимает вид
A9.4.11)
Практически** последней формулой можно пользоваться при всех значениях
т]а > 50. Некоторые результаты расчетов по формулам A9.4.10) и A9.4.11)
приведены в табл. 19.2.
Подставив в уравнение материального баланса пленки логарифмический
профиль скоростей, найдем связь между числом Рейнольдса пленки и ее без-
безразмерной толщиной:
Re = т|в C,0 + 2,5]1пг]б) -39. A9.4.12)
Учет переменности касательных напряжений по толщине пленки (т. е.
отклонение от логарифмического профиля скоростей) не приводит к существен-
существенному повышению точности расчета числа Рейнольдса.
* При медленно двигающемся паре в области у ^ б dw'dy ^ 0, т. е. указанное усло-
условие не выполняется. Однако на значении интеграла это обстоятельство отражается мало
(при Рг > 0,5).
** Так, например, при Рг = 1 и т]6 = 50 расчет по формуле A9.4.9) дает отклонение
от расчета по соотношениям A9.4.8) всего на 2%.
264
Таблица 19.2
Локальные коэффициенты теплоотдачи при турбулентном течении пленки конденсата
ч
15
30
50
60
100
200
Re
103
307
,590
757
1410
3210
ах
а,
Рг=1
0,175
0,186
0,200
0,206
0,230
0,266
Г
[
•\
g О-р"/Р')
Рг=1,75
0
0
0
0
0
0
,189
.213
,238
,249
,280
,333
Pr = 3
0,198
0,232
0,266
0,280
0,321
0,388
1/3
Pr=5
0,204
0,246
0,284
0,300
0,350
0,430
300
1 000
4 000
7 000
20 000
Re
5 140
20 200
94 500
176 000
555 000
ах
К
Pr=l
0
0
0
0
0
,288
,381
,534
,615
,827
Г
1
Рг =
0
0
0
0
1
2A—Р"
= 1,75
,367
,500
,723
,842
,14
/р')
Рг=3
0
0
0
1
1
,430
,610
,900
,06
,45
1/3
J
Pi
0
0
1
1
1
482
690
04
24
71
19.5. СРЕДНИЙ КОЭФФИЦИЕНТ ТЕПЛООТДАЧИ
ПРИ СМЕШАННОМ ТЕЧЕНИИ ПЛЕНКИ КОНДЕНСАТА
НА ВЕРТИКАЛЬНОЙ СТЕНКЕ
Средний коэффициент теплоотдачи в заданном диапазоне чисел Рейнольдса
пленки конденсата может быть определен формулой
Re
A9.5.1)
или, при смешанных режимах течения,
а = алКекр + ат(Ке—ReKp). ¦ A9.5.2)
Здесь ReKp — условное значение числа Рейнольдса перехода от ламинарно-
волнового режима течения пленки конденсата к турбулентному (или квази-
квазитурбулентному) режиму; ал и а^ — соответствующие средние значения коэф-
коэффициентов теплоотдачи.
0,8
0,6
I
0,4
П1
•
/ t
»—,
•
i
4
V4
в
—<
и—
(А
••
г'
¦в4
"i
4
1
/
r.fl
f
ю1
ю2
Re = G/t>
Рис. 19.3. Зависимости между числами подобия N* и Re при пленочной конденсации
фрсона-21 на вертикальной поверхности:
/ — расчет ло 4©рмуле A9.3.13); 2 — jii нря, осреднягсщая экспериментальные данные; 3 — расчет
по форм улам A9. 3. 11), A9. 4. 10), A9. 5. 2) при ReKp=100 и Рг = 3
На рис. 19.3, где приведены данные опытов автора, И. И. Гогонина и
А. Р. Дорохова, отчетливо наблюдается отклонение от закона ламинарной
теплоотдачи при Re> 100. В то же время действительное турбулентное течение
пленки конденсата начинается при Re > 400, что видно из результатов изме-
измерений трения, показанных на рис. 19.4. Это расхождение можно объяснить
тем, что волны на внешней поверхности пленки конденсата увеличивают поверх*
265
20
10
о
I
*
L _оЗг °
J О
2 4 /0 2 4 10s Re
Рис. 19.4. Зависимость коэффициента трения от числа Рейнольдса пленки
О—экспериментальные данные, полученные ^электродиффузионным методом;
Q — расчет по средней толщине пленки 6 т=р?б. Па; • — данные Хо и Хаммг-
ла; / — расчет для ламинарной гладкой пленки по Нуссельту; // — расчет 6
для волновой пленки по Капице; /// — расчет б по A9. 4.12)
0,1
i
<—•
Ал
2 5 4 5 S 8 10z
S 4 & 6 8 10s
2 Re
Рис. 19.5. Зависимость N* от Re при конденсации паров воды на наружной
поверхности труб:
теоретический расчет при ReKp=100; О""~опыты С. С. Кутателадзе (Рг =
= !,75); А—опыты В. А. Гудемчука (Рг=1,75); •— опыты Н. В Зозули [(Re < 125,
Рг = 2,9 -г 4,2 и Re > 125, Рг=1,72)
0,8
0,6
0,4
0,2
^^
^*
«к.
:=
: =
JPr=5
it
-^
,
^-—¦
——-
,—-
г—"
_-—
««-
^^
---
101
Re ю*
Рис. 19.6. Зависимость N, от Re для пленки конденсата при различных чис-
числах Рг. При Re<100 расчет по формуле A9.3.21); при Re>100— A9.4.10)
ность контакта и повышают эффективное значение ее коэффициента теплопро-
теплопроводности. Последнее можно рассматривать как возникновение квазитурбулент-
квазитурбулентной теплопроводности и распространить формулу A9.4.10) на область чисел
Рейнольдса пленки, меньших 400, т. е. ввести в формулу A9.5.2) некое услов-
условное критическое число Рейнольдса ReKpjj!. На рис. 19.3 приведены результаты
расчета при ReKp:}: для конденсации паров фреона, а на рис. 19.5 — для кон-
конденсации паров воды. Как видно, имеет место не только качественно пра-
правильное описание экспериментальных фактов, но и близкое количественное
согласие.
В табл. 19.3 даны значения
Re
N. = 1 Г isL-dRe, A9.5.3)
** Re-100 J v ;
100
рассчитанные по формулам A9.4.10) и A9.4.12).
Графики, приведенные на рис. 19.6, рассчитаны по формулам A9.3.21),
A9.4.10) и табл. 19.3.
Таблица 19.3
Средние значения числа N^.x=NuTAr~{^f рассчитанные по формулам A9.4.10)
и A9.4.12). ReKps){=100
\. Pf
Re ^\^
120
200
300
500
1000
2 000
3 000
5 000
10 000
20 000
1
0,173
0,174
0,177
0,183
0,196
0,214
0,227
0,246
0,278
0,318
2
0,191
0,197
0,204
0,215
0,237
0,267
0,287
0,318
0,368
0,430
3
0,198
0,206
0,214
0,229
0,256
0,291
0,316
0,353
0,413
0,487
4
0,201
0,210
0,220
0,237
0,266
0,305
0 332
0,373
0,440
0,522
5
0,203
0,213
0,224
0,241
0,273
0.314
0,343
0,386
0,458
0,546
6
0,207
0,218
0.230
0,249
0,283
0,328
0,361
0,409
0,487
0,585
Таким образом, теплообмен при пленочной конденсации пара имеет весьма
сложный характер, и при больших числах Рейнольдса пленки конденсата
можно наблюдать области ламинарного течения с гладкой границей разде-
раздела фаз, ламинарно-волнового течения, области с квазиавтомодельным и с
развитым турбулентным теплообменом.
19.6. ВЛИЯНИЕ СКОРОСТИ ТЕЧЕНИЯ ЧИСТОГО ПАРА
НА ТЕПЛООТДАЧУ ПРИ КОНДЕНСАЦИИ
НА ВЕРТИКАЛЬНОЙ ПОВЕРХНОСТИ
Движение пара вызывает трение на границе раздела фаз в соответствии с
третьим уравнением A9.2.2)*. Это трение в случае, если направление течений
пара совпадает с направлением силы тяжести, создает дополнительную движу-
движущую силу. При этом скорость течения пленки увеличивается, толщина: ее
уменьшается и коэффициент теплоотдачи возрастает. " '
При течении пара снизу вверх, т. е. обратно направлению силы тяжести;
пленка тормозится потоком пара, и коэффициент теплоотдачи уменьшается.
Когда сила трения пара превысит силу тяжести, вся пленка потечет вверх,
и коэффициент теплоотдачи начнет возрастать по мере увеличения скорости
пара.
(I* +
* При турбулентном течении пленки необходимо учитывать суммарную вязкость
267
При ламинарном течении пленки первая константа интегрирования урав-
уравнения движения конденсата
с
2ц
+
A9.6.1)
Выражение для профиля скорости течения конденсата после второго интег-
интегрирования уравнения движения принимает вид (С2 определяется, как и ра-
ранее, из условия, что при у = 0 w = 0)
W =
A9.6.2)
Вычисляя j wdy и подставляя в выражение A9.3.7), получаем уравнение
Г9'
2ц
A9.6.3)
При Z = [cfo»p72g6 (р' — р")] > 1 (быстродвижущийся пар) и AT = const
из уравнения A9.6.3) следует, что
«*= V-
r ((>'-(
При Z > 1 и 9 = cons t
A9.6.4)
A9.6.5)
а = 2^=1.
rp'c}
A9.6,6)
Соответственно найдем, что в случае быстродвижущегося пара и ламинарного
течения пленки конденсата:
при А Г = const
A9.6.7)
при q = const
[gv(l-p")]"/3Re-1/6. A9.6.8
Здесь а0 — значение коэффициента теплоотдачи при wn = 0; Re = qLlr\i-
число Рейнольдса пленки в конце поверхности охлаждения; v?T = w"Y^Cf p"/2pf -
скорость касательного напряжения в пленке на границе с паром.
Подставив в последние формулы предельное значение cf из уравнения
A3.10.15), как было предложено Цессом, получим предельные зависимости для
2» 1:
ДТ=: const, Nux->jj/af*/Cv');
q = const, Nux\-*-Yw''x/Bv').
A9.6.9)
A9.6.10)
Таким образом, при больших скоростях течения пара в ламинарном режиме
течения конденсата коэффициент теплоотдачи не зависит от плотности теплового
потока.
268
Таблица 19.4
Значения отношения а/а0 при ламинарном течении пленки и движении пара сверху вниз
(а>"=const; At = const)
с^р"а0
2gp'l
а/а0
0
1
0,144
1,06
0,577
1,19
1,290
1,38
2,308
1,59
3,61
1,78
8,11
2,30
14,43
2,75
22,50
3,19
32,47
J3.59
Общее решение для w" = const, полученное Нуссельтом, приведено в
табл. 19.4 и 19.5, где а0 — значение коэффициента теплоотдачи при том же
значении AT1, что и в случае движущегося пара и w" = 0. Подставляя сюда
значение С/ из формулы A9.2.8), можно получить хорошее приближение в ши-
широком диапазоне скоростей течения пара.
Таблица 19.5
Значения отношения а/а0 при ламинарном течении пленки и движении пара снизу вв рх
(a^const; A/=»const)
0,0147 0,0590 0,2353
0,830
1,475
1,753
2,303,61
8,11
14,43
22,50
32,47
а/а
0,995
0,982
0,914
0,731
0,910
1,144
1,35
1,65 2,24
2,70
3,18
3,59
При турбулентном течении пленки конденсата и течении пара сверху вниз
касательные напряжения определяются формулой (bk <^ 1):
* = 8 (р' -Р") (S -У) + cj P" шЗт/2.
При больших скоростях течения
%ж(с1 /2) р" w»1 « тст = const
и
\1Т « 0,4 цт].
Соответственно при ць > 11,6 и Cfp"w > g6p'
где
v* = w" Vp" с',72 -у Vqw"/(rp') .
A9.6.11)
A9.6.12)
A9.6.13)
A9.6.14)
A9.6.15)
19.7. ТЕПЛООТДАЧА ПРИ КОНДЕНСАЦИИ ПАРА
ВНУТРИ ТРУБЫ
Рассмотрим напорное течение парожидкостной смеси в трубе при Гот <
< Т" и локальном массовом паросодержании х. Тогда касательные напряжения
на внутренней поверхности трубы будут равны
- _
ОТ
4 аг
A9.7.1)
269
где D — внутренний диаметр трубы; z — координата, направленная по оси
трубы вдоль течения. Определим локальный коэффициент теплоотдачи по
приближенной формуле
/ 1
'-D 9 Г
Здесь ф — доля сечения, занятая паром; I = R/ROi где R — текущий радиус;
Ro — внутренний радиус трубы.
Полагая, как при решении задачи об однородном потоке в трубе, |хт =
= 0,4 pvlTyi и разбивая поток на ламинарный подслой и турбулентное ядро,
получаем
Nuz~ ^-^^ , A9.7.3)
In [(I —Уф)/A1,6 Уф)] RejJ:+4,65Pr
где Re* - v*0 D/v.
Из гидравлики газожидкостных смесей известно, что
A9.7.4)
Здесь х — массовое паросодержание потека в данном поперечном сечении тру-
трубы и f)" = p'Vp' — относительная плотность пара.
Принимая во внимание, что величина ср входит в уравнение A9.7.3) под
знаком логарифма, можно заключить, что в первом приближении зависимость
Nu от Re* при конденсации их парожидкостной смеси в трубе должна быть
такого же вида, что и при теплоотдаче к однородному потоку. Тогда с учетом
предельного перехода к формуле A1.6.19) при х = 0 можно написать интер-
интерполяционную зависимость вида
Nuz«0,023Pr0'4 Re°'8y"l+(p7p"— 1)*. A9.7.5)
Здесь Re = 4G/n\iD, где G — массовый расход смеси, кг/с.
Эта формула была предложена и проверена экспериментально Е. П. Ана-
Ананьевым, Г. Н. Кружилиным и Л. Д. Бойко. Практически в интервале хг<
< х < х2 можно считать, что
Ш ^0,011Рг0'4 Re0'8 [Kl+(P'/P" —1)*! + Kl + (p7/p"-l)*2 ]. A9.7.6)
19.8. ТЕПЛООТДАЧА ПРИ КОНДЕНСАЦИИ ЧИСТОГО ПАРА
НА ВНЕШНЕЙ ПОВЕРХНОСТИ ГОРИЗОНТАЛЬНЫХ ТРУБ
В случае непрерывного стекания конденсата с нижней образующей гори-
горизонтальной трубы общая связь между критериями подобия имеет тот же харак-
характер, что и для вертикальных труб. Меняются лишь численные значения коэф-
коэффициентов, и вместо высоты L в критерии подобия войдет наружный диаметр D.
Действие силы тяжести на пленку конденсата, текущую по наклонной пло-
плоскости, пропорционально синусу угла наклона этой плоскости к горизонту 0,
т. е. в уравнении движения величина р' — р" должна быть умножена на
sin p. Направив координату х по касательной к поверхности пленки и принимая
во внимание, что в обычных условиях б <? D, можно положить
dx = (D/2) dp. A9.8.1)
270
Введя в уравнение A9.3.3) поправку на sin Р, подставив в выражение A9.3.6)
значение dx из формулы A9.8.1), получим следующее уравнение для толщины
пленки конденсата, ламинарно текущей по внешней поверхности горизонталь-
горизонтальной трубы в медленно движущемся паре:
6d (б3 sin р) = о 3^АГО dp. A9.8.2)
Введя обозначение Z = 2gp'(p' — p")r64/C [лАДТТ?) и заметив, что
d (б2 sin Р) = Зб2 sin pd6 + б2 cos dp, получим уравнение относительно Z:
C/4) sin p dZ/dp + Z cos р — 1 = 0. A9.8.3)
Нуссельт представил решение этого уравнения в форме
Z = sin-4/3p(— fsin^pdp + c). A9.8.4)
Очевидно, на верхней образующей трубы толщина пленки конденсата имеет
конечное значение, что возможно, если С = 0. Вычисления для одиночной
трубы дают формулу (в предположении непрерывного стекания струй конден-
конденсата с нижней ее части)
'— . A9.8.5)
U
Если число Рейнольдса пленки определить как
Re = qnD/(\ir), A9.8.6)
то из формулы A9.8.5) следует, что
а Г V2 1I/3
— I — I =0.95Re~1/3. A9.8.7)
Как видно, при таком определении числа Рейнольдса закон ламинарного
теплообмена практически совпадает с точностью до константы для пленочной
конденсации на горизонтальных трубах и вертикальной стенке. Этот важный
факт имеет место также в переходной и турбулентной областях закона тепло-
теплообмена при пленочной конденсации пара.
В действительности стекание конденсата происходит периодически, от-
отдельными каплями, что не отражается заметно на средней теплоотдаче по всей
трубе, поскольку число капель велико и течение в среднем сохраняется симмет-
симметричным. Опыты И. И. Гогонина и А. Р. Дорохова показали, что при изменении
диаметра трубы (числа Вебера) и при постоянном числе Рейнольдса пленки
величина критерия (а/К) (v2/g A — р7I/3 имеет слабый максимум при D = 2.
В случае пакетов труб, сдвинутых относительно друг друга по горизонтали
в соседних по вертикали рядах (т е. при любом не коридорном расположении
труб), капли с верхних труб попадают на боковые образующие нижних труб,
и симметрия течения нарушается. Этому нарушению симметрии пленки кон-
конденсата в известной мере препятствует действие поверхностного натяжения.
При одном и том же значении показателя степени в зависимости Nu ~ Re"
влияние гидродинамического воздействия потока конденсата, натекающего
сверху на данную трубу, может быть учтено параметром
(l/GnJG«(K*</0. A9.8.8)
где Gt — количество конденсата, образовавшегося в единицу времени на тру-
трубе i-vo ряда гидродинамических взаимодействующих труб пакета. При лами-
ламинарном течении пленки это условие выполняется, и из формулы A9.8.4)
следует, что
а, = еа1в A9.8.9)
271
я/я0
16
14
12
10
¦
¦
1
г
(
э (рреон-2/
• гексан
¦ этано/i
ч °
—«^.
Л Г^
0 *9(р'
d вода.
7
О
о
1
10
15 we
Рис. 19.7. Зависимость безразмерной длины
волны от критерия Вебера, рассчитанного
по формуле A9.8.12), при конденсации на го-
горизонтальных трубах различных жидкостей
Здесь ах — средний коэффициент теп-
теплоотдачи верхней (первой) трубы
ряда взаимодействующих труб и 8 —
функция от (VGn) 2Gj. Более общей
является зависимость
Nu (Re2, Pr, We), A9.8.10)
где Re^ — число Рейнольдса пленки
конденсата, рассчитанное по полному
натекающему количеству конденсата:
A9.8.11)
Число Вебера, записанное здесь в
форме
/ — p")/o. A9.8.12)
где а — коэффициент поверхностного
волн и пульсаций, возникающих при
витационных сил. Как видно из рис. 19
вается только при малых числах We.
натяжения, характеризует влияние
взаимодействии капиллярных и гра-
.7, изменение длины волны обнаружи-
0,3
-
-
-
—
—
-
_
Z
1
г
as
Р
—
-
!
=
1
Т
?
1
\
i
1
. -
1
—
\
и
1
f
1
I
—
—
J * 5 6 789101 2 5 4 5 6789Ю2 2 5 4 5 6 789105
Рис. 19.8. Конденсация неподвижного пара на пакете горизонтальных труб:
^—водяной пар (опыты С. С. Кутателадзе); Э — фреон-21 (И. И. Гогонин, А. Р. Дорохов,
В.И. Сосунов); О —фреон-12 (Янг и Воленберг); А—водяной пар (опыты В.П.Исаченко, А. Ф. Глуш-
кова); • — фреон-12 (С. С. Кутателадзе, И. И. Гогонин, *В. И. Сосунов); пунктирная линия—рас-
линия—расчет по формуле A9.8.7); сплошная линия — расчет по формуле A9.4. 10)
На рис. 19.8 показаны результаты опытов И. И. Гогонина и А. Р. Дорохова,
проведенных под руководством автора, для конденсации паров фреона на ко-
коридорном пакете горизонтальных труб. Здесь еще более отчетливо, чем в опытах
с вертикальными трубами, обнаруживается существование области теплооб-
сс/ос0
5
-
-
X
• i i i Т 1
х/
1
1
X
1
'а
III I I I I
X
1
•
*\
1
**>
1
L
1
i i i i
-^
i
W
1
1
га
«-«
--
i 1 i i
1
|
/^ 2 5 4 5 6 78910'1 2 5 4 5 678910° 2 5 4 5 6789101 x4(Fr/Pr-K)
Рис. 19.9. Влияние скорости течения пара на теплоотдачу при конденсации на горизон-
горизонтальной трубе разных диаметров (ао — экспериментальные значения коэффициента теп-
теплоотдачи неподвижного пара):
О—фреон-21, D=16mm; л—фреон-21; D = 2,5 мм: ? — фреон-12; ?>=16 мм; X —водяной пар;
D=19 мм (Л. Д. Берман, Ю. А. Туманов); линия—расчет по формуле Фуджи, Уехара, Курата
272
мена, квазиавтомсдельной относительно числа Рейнольдса пленки конден-
конденсата.
На рис. 19.9 показаны экспериментальные данные С. С. Кутателадзе,
И. И. Гогонина и А. Р. Дорохова о влиянии скорости течения пара на тепло-
теплоотдачу при ламинарном течении конденсата по горизонтальной трубе. В ка-
качестве определяющего критерия взят интерполяционный комплекс
X4Fr/PrK, A9.8.13)
предложенный в работе Фуджи, Уэхара, Курата. Здесь
19.9. ПЛЕНОЧНАЯ КОНДЕНСАЦИЯ НА НИЖНЕЙ
ПОВЕРХНОСТИ ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ ПЛИТЫ
При конденсации пара на нижней поверхности горизонтальной плиты
(потолок), достаточно большой по сравнению с отдельными каплями, стекание
конденсата происходит путем отрыва от пленки отдельных капель. Поскольку
вероятность образования капель статистически одинакова для всех частей
плиты, средняя во времени толщина пленки и соответственно коэффициент теп-
теплоотдачи не зависят от протяженности поверхности конденсации. Толщина
пленки и размеры отдельных капель определяются соотношением сил поверх-
поверхностного натяжения и тяжести.
Корень квадратный из этого соотношения имеет размерность длины и яв-
является масштабом свободно возникающих образований конденсата. Таким
образом, принципиальный интерес данного процесса заключается в том, что он
не зависит от действительных размеров поверхности охлаждения, а связан
только с размерами образования новой фазы, определяемыми взаимодействую-
взаимодействующими в потоке силами. При этом статистический характер процесса образо-
образования и отрыва капель приводит к значительным колебаниям величины а около
некоторого среднего значения.
С такого рода соотношениями особенно часто приходится сталкиваться при
рассмотрении двухфазных систем, в которых одна из фаз сильно дисперги-
диспергирована, в частности, при пузырьковом кипении и капельной конденсации. Для
рассматриваемого случая В. Д. Попов нашел экспериментальную зависимость
вида
-"¦ Г « 11/2 = o,l5pLJL[ ? f2(i_p")_O'/4. A9.9.1)
* L*(P'-P')J U v* U(P'-P") J CAT j K '
Полезно обратить внимание на то, что в данном случае критерий Архимеда
представляет собой отношение двух «внутренних» линейных масштабов потока:
Ari/з = Г 2 11/2 Г ^_1-1'3. A9.9.2)
9.10. ВЛИЯНИЕ ВЛАЖНОСТИ И ПЕРЕГРЕВА ПАРА
Если пар обладает влажностью х, то часть влаги будет выпадать вместе с кон-
конденсирующимися порциями пара. Наибольшее количество влаги, могущее
выпасть на поверхности пленки конденсата, равно влагосодержанию сконден-
сконденсировавшегося пара. Количество тепла, выделяющееся при выпадении на по-
поверхности охлаждения 1 кг конденсата (включая влагу пара), равно фг, где
A — *)<<р< 1. A9.10.1)
Следовательно, если для сухого насыщенного пара имеется зависимость а (г),
то для влажного пара при прочих равных условиях
1>^> «И1-*I ^ A9.10.2)
ссо а (г)
Здесь а — коэффициент теплоотдачи при заданном х\ а0 — то же при х = 0.
273
Из формулы A9.10.2) следует, что при ламинарном течении наличие влаж-
влажности пара несколько ухудшает теплоотдачу, а при турбулентном — несколько
улучшает. Однако это влияние невелико. Так, для ламинарного течения,
согласно выражению A9.10.2),
A9.10.3)
а0
т. е. при х = 10% значение величины а/а0 лежит в пределах от 1 до 0,975.
Процесс конденсации перегретого пара начинается также при соприкосно-
соприкосновении с поверхностью, имеющей температуру ниже температуры насыщения.
При стационарном процессе конденсации перегретого пара тепловой поток че-
через поверхность раздела фаз определится уравнением
-X (дТ/ду)гр = (г + с" d) gn + q2,
A9.10.4)
где gn — массовая скорость конденсации; q2 = о^ — количество тепла, под-
подводимого к пленке конденсата за счет конвективной теплоотдачи от нескон-
денсированной части перегретого пара. Изменение коэффициента теплоотда-.
чи за счет перегрева определится формулой
а
а0
; а
г +С ft
1-р
а (г),
A9.10.5)
где р = q2lq. При ламинарном течении пленки конденсата и медленно движу-
движущемся паре
а
а0
/1+с
19.11. КАПЕЛЬНАЯ КОНДЕНСАЦИЯ
Для возникновения процесса конденсации необходимо существование цент-
центров конденсации, характерный размер которых может быть определен по фор-
формуле Томсона:
10'
\
78910'3 2 5 4 5 S78910'2 Re
2аГ"
A9.11.1)
Вследствие температурного
градиента в каплях и микро-
микропленках конденсата возникает
течение с характерной скоростью
iwG = (AT/ii)(do/dT), A9.11.2)
определяемой взаимодействием
термокапиллярной силы и вяз-
вязкого трения в конденсате.
Используя величины RK и
wa, можно образовать критерии
Нуссельта и Рейнольдса. При-
Присоединив к ним критерий Пран-
дтля, характеризующий взаимо-
Рис. 19.10 Данные по теплоотдаче
при капельной конденсации водяного
пара:
П — Я=@,16 -J- 0,9)- 10е Па, Гнам; О-
Р = 0,35.10» Па, Нэгль и др.; д—р=
= A,02 Ч- 1,04). 10» Па, Ши и Крейз; V-
/> = 0,12-10* Па, М.И. Лапшин и И. Я. Кон-
федератов
274
действие теплового и динамического пограничного слоев, и критерий фазового
перехода, получим
{Nu=aRjX'; Re = wGRjv'; Pr = v'/a'\ K = r/(ckT)}. A9.11.3)
На рис. 19.10 дана обработка ряда экспериментальных данных из книги
8. П. Исаченко.
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ананьев Е. П., Бойко Л. Д., Кружилин Г. Н. Теплопередача при конденсации пара в
горизонтальной трубе.— В кн.: International Developments in Heat Transfer. Proc.
1961—1962 Heat Transfer Conf. Pt 2. New York, Amer. Soc. Mech. Eng., 1961.
2. Вопросы теплообмена при изменении агрегатного состояния вещества. Сб. статей.
Под общ. ред. С. С. Кутателадзе. М.— Л., Госэнергоиздат, 1953.
3. Вопросы теплоотдачи и гидравлики двухфазных сред. Сб. статей. Под общ. ред.
С. С. Кутателадзе. М.— Л., Госэнергоиздат, 1961.
4. Воскресенский К. Д. Расчет теплообмена при пленочной конденсации с учетом зави-
зависимости физических свойств конденсата от температуры. М., Изд-во АН СССР, ОТ К,
1948.
«J5. Гогонин И. И., Дорохов А. Р., Сосунов В. И. Теплоотдача при конденсации пара на
, пучке гладких горизонтальных труб. — «Теплоэнергетика», 1977, № 4, с 33.
6. Гогонин И. И., Дорохов А. Р. Экспериментальное исследование теплообмена при кон-
конденсации движущегося пара фреона-21 на горизонтальных цилиндрах. — «Журн.
прикл. механ. и техн. физ.», 1976, № 2, с. 133.
7. Исаченко В. П. Механизм и критериальные уравнения теплоотдачи при капельной
конденсации пара.— «Теплоэнергетика», 1962, № 9, с. 81.
*8. Исаченко В. П. Теплообмен при конденсации М., «Энергия», 1977.
9. Капица П. Л. Волновое течение тонких слоев вязкой жидкости. — «Журн. эксперим.
и теор. физ.», 1948, № 1, с. 3.
10. Кутателадзе С. С. Теплопередача при конденсации и кипении. М., Машгиз, 1952.
11. Лабунцов Д. А. Теплоотдача при пленочной конденсации чистых паров на вертикаль-
вертикальных поверхностях в горизонтальных трубах. —«Теплоэнергетика», 1957, №7, с. 72.
12. Миропольский 3. Л. Теплоотдача при конденсации пара высокого давления внутри
труб.— «Теплоэнергетика», 1962, № 3, с. 79.
13. Черный Г. Г. Ламинарные движения газа и жидкости в пограничном слое с поверхно-
поверхностью разрыва.— «Изв. АН СССР, ОТН», 1954, № 12, с. 38.
14. Черный Г. Г. Конденсация движущегося пара на плоской поверхности.— «ДАН
СССР», 1955, т. 101, № 1, с. 39.
15. Cess D. Laminar-films condensation on a flat plate in the absence of a body force.— «Z.
Ang. Math. Phys.», 1960, Bd II, S. 426.
16. Fujii Т., Uehara H., Kurata Ch. Laminar filmwise condensation of flowing vapour on
a horizontal cylinder.— «Intern. J. Heat and Mass Transfer», 1972, v. 15, N 2, p. 235—
—246.
17. Nusselt W. Die Oberflachenkondensation des Wasserdampfes. Teil I, II.— «Z. VDI»t
1916, N 27, S. 541; N 28, S. 569.
20
Глава i
КОНДЕНСАЦИЯ НА СВОБОДНОЙ
ПОВЕРХНОСТИ ЖИДКОСТИ
20.1. ТЕПЛООБМЕН В СВОБОДНО ПАДАЮЩЕЙ СТРУЕ
В многочисленных теплообменных аппаратах происходит непосредственное
соприкосновение пара со струями жидкости. В этом случае повышается ско-
скорость конденсации пара и создается возможность значительного развития по-
поверхности охлаждения путем дробления потока жидкости на отдельные тонкие
струи и капли. Одновременно при непосредственном соприкосновении с паром
жидкость дегазируется, что особенно важно при подготовке питательной воды
паровых котлов и других агрегатов.
Теоретическое рассмотрение такой задачи относительно просто в предполо-
предположении, что струя жидкости является непрерывной на всем расчетном участке,
а влиянием пульсаций, обусловленных взаимодействием сил тяжести, инер-
инерции и поверхностного натяжения, можно пренебречь. Полученные для этих
условий соотношения справедливы от устья сопла до места начала распада струи
на капли. В области дробления струи практически приходится ограничиваться
только опытом.
Напишем уравнение распространения тепла в цилиндрических координа-
координатах, полагая, что в струе имеет место как изотропная турбулентная, так и
молекулярная теплопроводность. Кроме того, можно считать, что радиальный
градиент температур много больше осевого градиента. При этих условиях
уравнение теплопереноса имеет вид
тх^^±^(^1+±ЕЛ9 B0.1.1)
дх ср [dR* R dR ) V ;
Введем безразмерные координаты X = x/R0\ I = R/Rx\ * = {Т" — Г)/(Г"-—7\).
Здесь wx и Rx — скорость и радиус струи на расстоянии х от устья сопла;
Ro и R — радиус сопла и текущий радиус струи; 7\ — начальная температура
струи. Как обычно, ищем частное решение в виде произведения двух функций:
О = ЛехР[-р2/(Х)]гН?), B0.1.2)
где А и Р — произвольные постоянные. В изотропном турбулентном потоке
интенсивность молярных переносов пропорциональна скорости и линейному
размеру струи, т. е.
KT = e*cpwxRx, B0.1.3)
где е% —эмпирический коэффициент*. Подставляя значение Хт из формулы
B0.1.3) в уравнение B0.1.1) и приводя уравнение к безразмерному виду,
получаем
^ iL=iil+_LiL. B0.1.4)
Ro (e+ 8* wx Rx) дХ aga i dl
Значение / (X) в формуле B0.1.2) выбираем так, чтобы
d f , Y, _ R0(a+'z*wxRx) ,9n .
~^fW ^щ . B0.1.5)
Выражения для локальной скорости и локального радиуса свободно падающей
цилиндрической струи имеют вид
Л &; B0.1.6)
B0.1.7)
* Аналог коэффициента х в формулах переноса в неизотропном потоке.
276
Для площади поверхности струи
Скорость струи в месте выхода из сопла определяется формулой
B0.1.9)
где г] — коэффициент сопротивления отверстия сопла; h — напор жидкости
перед насадкой. Значения коэффициента сужения струи ср приводятся в кур-
курсах гидравлики. Величина ц ~ 0,95—0,98.
Для групп отверстий в металлическом листе толщиной 6 = 1,55 • 10~3 м
щ = 0,80-^-0,81 для отверстий диаметром 5 • 10~3 м и 0,85—0,88 для отверстий
диаметром 3 • 10 м.
Подставляя в уравнение B0.1.5) значения wx и Rx, находим, что
tm-j
X
Ro(a+ e*wxRx) ^ _ а ^ .
wx R* w0 Ro
[(
• Ч-Й=*а_х)'»_ 1]. (ШЛО)
При ламинарном течении струи, когда Re < ReKp, e* = 0 и
f(X)=ax/(w0Rl). B0.1.11)
Дифференцируя выражение B0.1.2) и подставляя соответствующие производ-
производные в уравнение B0.1.4), получаем
PS d№ ^4UJ~; ^ }
Решение имеет вид
Ф (PI) = d Jo № + C2 Yo () I). B0.1.13)
Граничные условия: ? = 1, •& = 0, я|> @|) = 0. Начальные условия: х = 0
0= 1.
При g == 0, т. е. на оси струи, функция Бесселя нулевого порядка первого
рода Jo имеет конечное значение, а функция Бесселя нулевого порядка второго
рода Yo уходит в бесконечность. Следовательно, для того чтобы на оси струи
получить конечное значение температуры, необходимо положить константу
интегрирования С2 равной нулю. Тогда <р (р?) = C±J0 (P?),
B0.1.14)
Из начальных условий следует, что ^AtJQ (p^) = 1. Как известно, в этом
случае Л, = 2/рЛ (Р*).
По таблицам функций Бесселя находим значения р, при которых* Jo (P^) =
= 0, и определяем Jo ($&) по рис. 20.1.
Средняя температура жидкости в сечении х
1
E2 B0.1.15)
Окончательно
**= T"t7Tt =0,6915exp[-5,78/(X)] +
1 —1 г
+ 0,1312exp[—30,47/(X)] +0,0534 exp[ —74,87/(X)]+... B0.1.16)
Эти вычисления соответствуют первой строке табл. 20.1.
277
Таблица 20.1
Значения коэффициентов ряда
B0.1.14)
Таблица 20.2
1
о
3
4
5
2,405
5,520
8,653
11,791
14,931
+1,605
— 1,060
+0,850
—0,730
+0,647
Значения
f (х)
0,01
0,05
0,10
По формуле
B0.1.16)
0,732
0,545
0,385
По формуле
B0.1.17)
0,645
0,515
0,385
Расхождение,
%
12
5
0
В табл. 20.2 дано сопоставление расчетов по формуле B0.1.16) с расчетами
по упрощенной формуле, в которой сохранен только первый член ряда:
0,691 ехр[—5,
B0.1.17)
Как видно, для большинства практических расчетов упрощенной форму-
формулой можно пользоваться уже при / (X) > 0,005. Логарифмируя выражение
B0.1.17), получаем удобное расчетное уравнение
B0.1.18)
На рис. 20.2 приведено сопоставление расчетов по формуле B0.1.18) при
значениях е* = 5 • 10 и ф = 0,85 с результатами опытов, проведенных
Рис. 20.1. Графики функций /o(P*?) для
?=1, 2, 3, 4, 5
0,2 0,4 OS 0}8t=R/Rt
Рис. 20.2. Конденсация пара на струе
воды для различных диаметров сопла Z)o
и длины струи L; р=98-103 Па:
7 —Do = 3,0 мм, L = 450 мм; 2 — Do = 5,07 мм,
L=450 мм; 3 — ?>0 = 7,05 мм, L = 300 мм
12
10
V
V
о
* Ut I
У
А. А. Захаровым и Р. Г. Черной*. Некоторое систематическое отклонение опыт-
опытных точек вверх от теоретических кривых может быть связано с неустранимый
в опытах дополнительным подогревом жидкости в приемной воронке. Кроме
того, возможны ограниченные вариации значения в зависимости от устройства
насадки, из которой происходит истечение жидкости.
* Значение е^ вычислено по данным измерений Никурадзе в области потока, где цт*&
ж const.
278
В общем виде расчетную формулу B0.1.18) можно записать так:
° T" Tx
где значения Съ С2 и / (х) определяются по табл. 20.3.
B0 1.19)
Таблица 20.3
Значение коэффициентов
Форма струи
Свободно падающая
цилиндрическая струя
Свободно падающая
плоская струя
Плоская односторонне
обогреваемая струя пос-
постоянной толщины
С.
0,160
0,092
0,092
! (X)
С
2,52
1,075
1,075
для разных форм струи
f (X)
+ —e*w° l(l+ T§x) ll
4w% I а г*\\( 2ф?^л:\3/2 "j
3 Ф3^бо \ ^o^o 2 / [ \ w% j J
[ wo6o + 2 j 60
20.2. КОНДЕНСАЦИЯ НА СТРУЕ, ВТЕКАЮЩЕЙ
В ПАРОВОЕ ПРОСТРАНСТВО
С БОЛЬШОЙ СКОРОСТЬЮ
Условие отсутствия заметного изменения скорости струи на ее границе
с паром выполняется только при малых относительных скоростях течения фаз.
При больших скоростях трение струи о пар создает пограничный слой с сильно
меняющимися скоростями. В таком слое
коэффициент турбулентной теплопроводно-
теплопроводности становится переменным по сечению
струи, и интенсивность теплообмена начи-
начинает резко возрастать.
Г. Н. Абрамовичем и А. П. Проскуря-
Проскуряковым была рассмотрена такого рода зада-
яа, причем в решении учитывалось терми-
термическое сопротивление только образующего-
образующегося пограничного слоя в жидкой струе, но
«е ядра струи.
Полученное этими авторами решение
имеет вид
а = 324фшхФ (К), B0.2.1)
где
К = г/[с (Г — Г)].
Значения функций Ф (К) приводятся ниже:
0
15 Wf, М/С
Рис. 20.3. Зависимость условного ко-
коэффициента теплоотдачи от скорости
истечения струи воды в паровое про-
пространство (р = 98-103 Па, L = 800 мм):
/ — расчет по формуле B0.2.1); 2 — по фор-
формуле B0 1.18)
К
<D
(К) . . .
500
0,100
150
0,149
62,5
0,198
32,2
0,246
18,9
0,288
8
0
,14
,370
4,30
0,423
Это решение неприменимо при малых скоростях истечения струи и больших
значениях К (т.е. при 7\ ->Г"), поскольку при этих условиях по формуле
<20.2.1) а ->0.
Н. М. Зингером были проведены опыты со струями, вытекаюшими в па-
паровое пространство со скоростями 10—25 м/с. Измерения полей температур
279
на различных расстояниях от сопла показали, что имеет место значительная
деформация поля температур, связанная, в частности, с нарушением сплош-
сплошности жидкой струи.
Как видно из рис. 20.3, опытные данные лежат между расчетами по фор-
формулам B0.1.8) и B0.2.1), поскольку первая из этих формул, относящаяся
к малым скоростям, не учитывает интенсификации теплообмена в пограничном
слое, а вторая — значительного термического сопротивления ядра струи.
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Абрамович Г. Н. Турбулентные свободные струи жидкостей и газов. М.—Л., Госэнер-
гоиздат, 1948.
2. Вопросы теплообмена при изменении агрегатного состояния вещества. Сб. статей под
общ. ред. С. С. Кутателадзе. М.—Л., Госэнергоиздат, 1953.
3. Кутателадзе С. С. Теплопередача при конденсации и кипении. М., Машгиз, 1952.
1
ТЕПЛООТДАЧА ПРИ КИПЕНИИ
ОДНОРОДНЫХ ЖИДКОСТЕЙ
21.1. ДВА ОСНОВНЫХ РЕЖИМА КИПЕНИЯ
Кипением называется процесс парообразования в толще жидкости. Кипение
начинается тогда, когда температура внутри жидкости оказывается выше тем-
температуры насыщения (кипения) при данном давлении. Если в жидкость по-
погружена некоторая поверхность нагрева, температура которой выше темпе-
температуры насыщения при данном давлении (Гст > Т"), то на ней возникает
процесс парообразования. Величина перегрева жидкости в момент вскипания
по сравнению с температурой насыщения при данном давлении над плоскостью
зависит от наличия тех или иных потенциальных центров парообразования
(микровпадины, микропузырьки газа, искусственные неоднородности на по-
поверхности нагрева и т. п.). Эти эффекты имеют значение при малых плотностях
теплового потока. Если вся жидкость значительно перегрета против темпера-
температуры насыщения (например, в результате резкого сброса давления,) то паровые
пузыри образуются по всей ее толще—жидкость вскипает во всем занимаемом
ею объеме.
В зависимости от плотности теплового потока, подводимого к жидкости
через поверхность нагрева, на последней возникают отдельные паровые пу-
пузыри или образуется сплошной слой пара. Первый процесс называется пузырь-
пузырьковым кипением, второй — пленочным. При пузырьковом кипении жидкость
30
24
18
12
6
;•
?
/
/I
1
у
Г
a
.A
2 4 6 8 10 12 <{.105Ът/м2 0 100
A
|t~l X
ц_
#
\
4
\
\
5
A
500
500
700 AT, К
Рис. 21 1. Зависимость теплоотдачи от теплового потока (а) и температурного напо-
напора (б) при кипении в большом объеме воды
непосредственно омывает поверхность нагрева, причем ее пограничный слой
интенсивно разрушается (турбулизуется) возникающими паровыми пузыря-
пузырями. Кроме того, всплывающие пузыри увлекают из пристенного слоя в ядро
потока присоединенную массу перегретой жидкости, что создает интенсивный
молярный перенос теплоты от поверхности нагрева к массе кипящей жидкости.
Следствием этого является высокая интенсивность теплоотдачи при пузырь-
пузырьковом кипении, возрастающая с увеличением числа действующих центров
парообразования и количества образующегося пара.
При пленочном кипении жидкость отделена от поверхности нагрева слоем
пара, с внешней стороны которого время от времени отрываются и всплывают
крупные пузыри. Вследствие относительно малой теплопроводности парового
слоя интенсивность теплоотдачи при пленочном кипении существенно меньше,
чем при пузырьковом.
281
Возникновение того или иного вида кипения определяется плотностью теп-
лового потока у поверхности нагрева, ее физическими свойствами (в частности,
смачиваемостью), физическими свойствами жидкости и гидродинамическим
режимом потока в целом.
Условия перехода от одного режима (вида) кипения к другому и области их
существования отчетливо выявляются при построении зависимости коэффи-
Рис. 21.2. Переход от однофазной конвекции к пленочному кипению
(бензол, диаметр нагревателя 1,5 мм, р=0,Ы05 Па, g= 1,5-105 Вт/м2)
циента теплоотдачи от плотности теплового потока, или разности темпера-
температур поверхности нагрева и насыщения: AT = Тст — Т".
На рис. 21.1, а показана типичная зависимость коэффициента теплоотдачи
от плотности теплового потока при кипении в условиях свободной конвекции
на поверхности с большим количеством вероятных центров парообразования.
Левая, круто возрастающая ветвь кривой ОА выражает закон теплоотдачи прю
282
пузырьковом кипении, нижняя ветвь БД — при пленочном. Кривая А Б
соответствует переходному режиму.
Как видно из рис. 21.1, б, при постепенном увеличении теплового потока,
задаваемого независимо от процесса теплообмена в кипящей жидкости (радио-
(радиоактивный распад, электрообогрев и т. п.), по достижении точки А пузырьковое
кипение скачкообразно сменяется пленочным (линия А Г). Возврат к пузырь-
пузырьковому кипению обычно происходит при значительно меньшем тепловом по-
потоке, чем при пленочном кипении. Этому переходу соответствует область
около точки Б.
Таким образом, имеет место определенный гистерезис в тепловых и гидро-
гидродинамических явлениях, связанных с переходом от одного режима кипения
к другому. Приходится говорить о двух критических плотностях теплового по-
потока: <7KPl, при которой происходит переход от пузырькового кипения к пленоч-
пленочному, и <7кр2, при которой происходит разрушение сплошного парового слоя
и восстановление пузырькового режима кипения. В области значений плот-
плотности теплового потока, лежащих между qKVl и qRV2 (т. е. между точками А
и Бу см. рис. 21.1, а), возможно устойчивое существование обоих режимов кипе-
кипения или даже их длительное совместное сосуществование на разных частях
одной и той же поверхности нагрева.
Паровая пленка обычно возникает в отдельных местах поверхности нагрева
при достижении значений q 2? qKVt и далее с конечной скоростью распростра-
распространяется по всей поверхности нагрева. Аналогично при снижении теплового по-
потока до значений q < qKVt происходят локальные разрушения пленки с по-
-следующим распространением пузырькового кипения на всю поверхность на-
нагрева.
На поверхностях нагрева, обедненных центрами парообразования, про-
процесс кипения имеет нестабильный характер, а интенсивность теплообмена
колеблется между условиями конвекции однофазного потока и развитого пу-
пузырькового кипения (рис. 21.2). При этом возможен непосредственный пере-
переход от однофазной конвекции жидкости к режиму пленочного кипения.
Нормальный процесс перехода от пузырькового кипения к пленочному
впервые был изучен экспериментально Никайямой. Процессы нестабиль-
нестабильного кипения впервые детально были изучены в работах В. И. Субботина и
Д. Н. Сорокина, С. С. Кутателадзе, Н. Н. Мамонтовой и Б. П. Авксентюка.
21.2. ТЕМПЕРАТУРНОЕ ПОЛЕ
Температура жидкости и пара вблизи раздела фаз равна температуре фазо-
фазового превращения (насыщения), соответствующей давлению в данной точке
<{с учетом кривизны границы раздела фаз).
При пузырьковом кипении, когда поверхность нагрева непосредственно омы-
омывается жидкостью, основное падение температуры происходит в тонком при-
пристенном слое жидкости. В этом случае вследствие высокой интенсивности тепло-
теплоотдачи конвектирующей жидкости и малой теплопроводности пара можно счи-
считать, что практически все тепло передается от поверхности нагрева к жидкости,
а затем уже паровым пузырям путем испарения в них жидкости.
При пленочном кипении тепло передается непосредственно пару, находя-
находящемуся в слое, отделяющем жидкость от поверхности нагрева, и далее идет на
испарение жидкости с границы раздела фаз. Таким образом, в паровом слое
устанавливается непрерывное поле, изменяющееся от температуры поверх-
поверхности нагрева до температуры насыщения.
Изложенное хорошо иллюстрирует то обстоятельство, что при теплообмене,
-сопровождающемся изменением агрегатного состояния, температурный напор
может существовать в любой из фаз, как в возникающей (в данном случае пар),
так и в исчезающей (в данном случае жидкость).
В ряде случаев (закалка, непрерывное литье металлов, охлаждение двига-
двигателей и т. п.) поверхность нагрева может иметь температуру, существенно
Польшую температуры насыщения, хотя основная масса охлаждающей жидко-
283
сти остается недогретой до этой температуры. В таком случае имеется некото-
некоторая изотермическая поверхность, по одну сторону которой жидкость перегрета,
а по другую недогрета до температуры насыщения. Первая область назы-
называется кипящим граничным слоем, вторая — холодным ядром потока. В пер-
первой происходит парообразование, во второй — конденсация пара.
21.3. ПУЗЫРЬКОВОЕ КИПЕНИЕ, ЧАСТОТА
И СКОРОСТЬ РОСТА ПАРОВЫХ ПУЗЫРЕЙ
При пузырьковом кипении паровые пузыри возникают в отдельных местах
поверхности нагрева — центрах парообразования. Вырастая до определенно-
определенного размера, паровые пузыри отрываются и всплывают в толще жидкости, об-
образуя над центром парообразования столбы пара. При этом перегрев основ-
основной массы жидкости весьма невелик (порядка 0,01—0,1° С). Поэтому при на-
наличии на поверхности нагрева или в объеме жид-
жидкости достаточного числа центров парообразова-
парообразования кипение практически начинается по дости-
достижении поверхностью нагрева температуры, на
десятые доли градуса превышающей темпера-
температуру насыщения жидкости при данном давле-
давлении. Однако если поверхность обеднена центра-
центрами парообразования, жидкость в сосуде может
быть значительно перегрета. Например, в глад-
кой, хорошо промытой стеклянной колбе ди-
дистиллированная и дегазированная вода может
быть легко нагрета до 115—120° С при атмо-
атмосферном давлении, а при особой тщательности
опыта и более 200° С.
Перегретая жидкость при введении в нее предметов, которые могут служить
центрами парообразования (песчинки, пузырьки воздуха и т. п.), мгновенно
вскипает, образуя в начале процесса большие пузыри пара, и ее температура
снижается до нормального уровня. Обнаруживается также влияние материала
поверхности нагрева на температуру закипания чистой жидкости. Установле-
Установлено, что центрами парообразования являются микроуглубления в поверхности
нагрева, заполненные воздухом или другим газом. Схемы возникновения па-
парового пузыря в микроуглублении показаны на рис. 21.3 по Бэнкову. Если
рассмотреть идеализированную схему возникновения паровой фазы в жидко-
жидкости, заполняющей коническую впадину, то радиус возникающей границы раз-
раздела фаз
R = RJ cos (9 — р). B1.3.1)
Здесь /?х — радиус конуса на линии соприкосновения стенки, жидкости и па-
пара; 0 — угол смачивания; р — угол раскрытия конуса.
В свою очередь, краевой угол связан с коэффициентом поверхностного на-
натяжения на границах пар—жидкость, пар—стенка и жидкость—стенка фор-
формулой
= о?т—<Тст. B1.3.2)
Рис. 21.3.
пузыря в
дине
Схема образования
несмачиваемой впа-
Вероятность образования паровой фазы в результате флуктуации плотности
в некоторой точке перегретой жидкости определяется известной формулой ста-
статистической физики
о со ехр [ — пТ" o*/k (ф" ДГJ].
B1.3.3)
Здесь k — постоянная Больцмана; А Г — перегрев жидкости против темпера-
температуры насыщения над плоской поверхностью раздела фаз. Минимальный пе-
перегрев жидкости должен соответствовать температуре насыщения над поверх-
поверхностью раздела фаз данной кривизны.
284
Превышение давления в пузыре определяется формулой E.4.5), т. е. для
сферической поверхности
/ B1.3.4)
Кроме того, кривизна поверхности раздела вызывает изменение температуры
насыщения по сравнению с Т" над плоскостью при том же давлении, соответ-
соответствующее разности давлений
W B1.3.5)
Р'—Р"
Отсюда равновесная температура насыщения в паровом пузыре радиуса R
П = Г' + -^(Аргр + Ар") = Т" -Н
dT°
2ар'
dp x~rrp ' "r ' " ' dp
По известной термодинамической зависимости
Отсюда минимальный радиус возникающего пузыря равен
2ар' dT" 2T" а
Амии —
ЛПР'-Р") dp
гр"АТ
B1.3.6)
B1.3.7)
B1.3.8)
Теоретическое значение перегрева при возникновении кипения по форму-
формуле B1.3.8) вполне удовлетворительно согласуется с опытами Гриффитса^и Уол-
Уоллеса (рис. 21.4). На рис. 21.5 показан характер распределения числа действую-
1-Г
S5.
1
I
77
~ип—
xj
60
80
Рис. 21.4. Сопоставление теоретических и экспериментальных значений степени перегре-
перегрева при пузырьковом кипении. Средняя линия проведена по уравнению B1.3.8) для
?)=0,0482 мм, две другие дают погрешность при вероятной (оценочно) ошибке изме-
измерения диаметра устья впадины, равной 2,54-10 мм; верхняя линия для ?=0,0456 мм,
а нижняя для D = 0,0508 мм:
п__ установившаяся скорость образования пузырей; д—скорость от 5 до 1/5 с-1; о—скорость мень-
меньше 1/5 с-1; Н—«мертвая» впадина; О —прекращение процесса образования пузырей; х —начало
этого процесса
щих центров парообразования п по частотам возникновения паровых пузырей
по опытам Л. М. Зысиной-Моложен. Максимумы на кривых соответствуют наи-
наиболее вероятной частоте образования пузырей при данных конкретных усло-
условиях (состояние поверхности нагрева, тепловой поток, давление, физические
свойства жидкости). Эти кривые наглядно иллюстрируют статистическую
природу пузырькового кипения.
На рис. 21.6 приведены схемы развития отдельных пузырей на горизонталь-
горизонтальной поверхности нагрева. Как видно, не существует четкой геометрии трой-
тройного контакта паровой, жидкой и твердой компонент системы поверхность на-
285
грева — кипящая жидкость. Значительная часть пара проникает в пузырь из
тонкой жидкой подложки, остальная часть — за счет испарения по внешнем;
контуру пузыря. Имеется значительное количество исследований этого про-
процесса, обзор которых можно найти в монографиях Кумо, Ван-Оверкерка.
статьях Фритца, Плессета, Фостера, Н. Н. Мамонтовой и др.
Можно рассмотреть два предельных случая. Когда тепло подводится из
массы жидкости нестационарной теплопроводностью, автомодельной относи-
относительно линейного размера системы.
Тогда из анализа размерностей сразу
следует известное соотношение
so
0
<•"
1
1
У
/
по
у
2J7-105 ~
ч
\
1Ь
20
10
О
10 20 30 40 50 SO 70 1/С
Рис. 21.5. Распределение числа действую-
действующих центров парообразования по часто-
частотам возникновения паровых пузырей
qrj)~AT\S%cp'/t. B1.3.9)
Строго говоря, это рассмотрение от-
относится к пузырю, растущему внутри
объема перегретой жидкости. При росте
парового пузыря на поверхности нагрева
значительная часть тепла подводится
через тонкую жидкую подложку,
Д. А. Лабунцов рассмотрел эту задач;
в квазистационарном приближении.
Полагая, что толщина жидкой подлож-
подложки пропорциональна радиусу пузыря,
можем написать
(X/R)R*ATdt~rp"R2dR, B1.3.10)
7777777777 откуда следует
Рис. 21.6. Схемы формообразования пу- # = Р*|/ЯДТ/Дгр'). B1.3.11)
зырей на горизонтальной поверхности _
нагрева Коэффициент р# зависит от угла сма-
смачиваемости поверхности нагрева и для
обычных пар стенка —жидкость равен примерно 3,5. Время формирования
пузыря до отрывного радиуса по этой модели равно
Л=-^(-^)\ B1.3.12)
Масштабом скорости роста пузырей может служить произведение отрывного
диаметра пузыря и частоты его образования:
D0[U = 2?rp/(i|?rp"), B.1.3.13)
где Do = 2R0 — диаметр пузыря в момент отрыва от поверхности нагрева;
U — частота образования пузырей на данном центре генерации пара; ip < 1 -
коэффициент, учитывающий время омывания поверхности нагрева жидкостью
между моментом отрыва одного пузыря и моментом зарождения следующего
пузыря.
По модели B1.3.12), с точностью до коэффициента яр,
Отрывной диаметр пузыря определяется моментом наступления равновесия
подъемной силы, силы поверхностного натяжения (прилипания) и динамическо-
динамического воздействия потока. Последнее слагается из гидродинамического сопротивле-
сопротивления и воздействия инерции присоединенной к движению границы раздела фаз
массы жидкости.
При росте пузыря на горизонтальной плите, помещенной в большом объеме
непроточной жидкости, уравнение равновесия сил в момент отрыва в первом
приближении можно записать в следующем виде:
(я/о)Р8 g(р' — Р")]^;(л/3) SDo p' (dR/dt)^ + q> (9) nD0 a. B1.3.15)
286
Здесь R — текущий радиус пузыря; ? — эффективный коэффициент гидроди-
гидродинамического сопротивления росту пузыря; а — коэффициент поверхностного-
натяжения; ф (Э) — некоторая функция краевого угла смачивания 9. Первый
qлeн этого уравнения представляет собою архимедову силу, отрывающую пу-
пузырь от стенки, второй член — гидродинамическое сопротивление движению
пузыря и третий — силу поверхностного натяжения, прижимающую ножку
пузыря к стенке. Отсюда
Do « CS/16) Fr + K(9?2/246)Fr2+6<p(9), B1.3.16>
где в данном случае
Fr = —
dt
?cr(l-p"/p')
D0=D0Vg(p'—p")lo.
-О по вычислениям Фритца для гладкой поверхности можно принять
• 0,029,
20
npnFr
" B1.3.17)
если угол 9 выражен в градусах.
Из выражения B1.3.14) видно, что скорость роста пузыря на стенке уве-
увеличивается обратно пропорционально плотности пара, т. е. с уменьшением
давления. Вследствие этого в соответствии с формулой B1.3.16) при кипении
под давлением меньше атмосферного наблюдается резкое увеличение от-
отрывных диаметров паровых пузырей
и существенное изменение частоты их
образования.
При значительном вакууме пу-
пузырьковое кипение на гладких по-
поверхностях отсутствует, а за режи-
режимом свободной конвекции жидкости
непосредственно возникает пленоч-
пленочное кипение.
На рис. 21.7 отчетливо видна ли-
линейная зависимость между величина-
величинами Do и Fr при достаточно больших
значениях последнего критерия.
Здесь в число Фруда подставлялась
средняя [скорость роста пузырей,
т. е.
*/
/
/
• вот
Этилобь
х спирт
9 Бензол
ш
ю
w0 = Dou/(l —
B1.3.18)
Рис. 21.7. Зависимость Do от Fr по опытным»
данным Н. Н. Мамонтовой (р=9,8-103 —
— 9,8-Ю4 Па)
Скорость роста паровых пузырей является некоторой характеристикой
гидродинамического режима в пристенном слое кипящей жидкости, посколь-
поскольку процесс роста паровых пузырей создает интенсивную турбулизацию жид-
жидкости около поверхности нагрева, на что впервые указал Якоб.
Однако следует иметь в виду, что критерии, содержащие в себе величину
Dou, не являются независимыми безразмерными аргументами, поскольку ско-
скорость роста паровых пузырей не входит в условия однозначности процесса па-
парообразования, а является одной из основных его функций.
21.4. ХАРАКТЕР ДВИЖЕНИЯ ПАРОЖИДКОСТНОЙ СМЕСИ
В ТРУБАХ
При кипении на поверхности нагрева, погруженной в большой объем жид-
жидкости, паровые пузыри, отрываясь, поднимаются в толще жидкости к зеркалу
испарения (т. е. к свободному уровню кипящей жидкости). Движение пузырей
имеет вероятностный характер (рис. 21.8), а осредненный закон всплытия по-
показан на рис. 21.9.
287
При числах Re = 2Rw"h <
муле Адамара—Рыбчинского
2 для тщательно очищенной жидкости по фор-
-; B1.4.1)
для технически чистой жидкости по формуле Стокса для твердых тел (что свя-
связано с упрочением поверхностной пленки имеющимися в жидкости приме-
примесями)
w" = 2g(p'—p")R*/9ii. B1.4.2)
р" по формуле, предложенной И. Г. Маленковым:
Для Re ^ 400 и р'
Яр'
B1.4.3)
При кипении внутри труб активное взаимодействие фаз распространяется
по всему сечению потока и гидродинамическая картина течения существенно
осложняется.
Если расположение труб вертикальное, то осредненное движение парал-
параллельно вектору силы тяжести и симметрично относительно оси трубы. Возни-
Возникающие в этом случае колебания плотности парожид-
костной смеси в радиальном направлении связаны
только с турбулентными пульсациями.
Если жидкость смачивает стенку трубы, то вдоль
последней всегда течет жидкий пристенный слой.
Толщина этого слоя определяется условиями равно-
равновесия между количеством жидкости, притекающей из
ядра, и количеством жидкости, срываемой потоком и
испаряемой за счет теплопередачи от трубы.
При обогреве образующиеся паровые пузыри от-
отрываются от стенки трубы и увлекаются общим дви-
движением в ядро потока. Для очень малых паросодер-
паросодержаний смеси пар движется в виде цепочек отдельных
пузырей. По мере увеличения паросодержания по-
потока отдельные пузыри сливаются, возникают пузыри
большого размера с обтекаемой лобовой и вогнутой
кормовой областями (паровые «снаряды»). Такие
«снаряды» иногда могут достигать нескольких мет-
метров в длину и занимать почти все поперечное сечение
трубы. В дальнейшем в центре трубы образуется силь-
сильно перемешанная парожидкостная смесь (эмульсия).
При еще больших паросодержаниях эмульсия исчезает
и четко выделяется сплошная граничная пленка жи-
жидкости, движущаяся по стенке трубы. В этом случае
центральная паровая струя содержит заметное коли-
количество мелко раздробленной жидкости.
Вблизи критического давления в связи с резким
уменьшением поверхностного натяжения основным
режимом течения смеси является эмульсионный.
Когда жидкость не прилипает к стенке трубы
(ртуть в стальной или стеклянной трубе и т. п.),
картина резко меняется. В этом случае паровые пу-
пузыри прорываются между потоком жидкости и трубой, образуя при достаточ-
достаточном паросодержании отчетливо выраженную паровую муфту, в центре кото-
которой, сильно пульсируя, течет жидкая струя.
В случае движения парожидкостной смеси в горизонтальных или слабо
наклоненных трубах для небольших паросодержании и скоростей течения жи-
жидкости последняя концентрируется главным образом в нижней части трубы.
Рис. 21.8. Характер дви-
движения одиночного пузы-
пузыря в жидкости
288
Это обстоятельство вызывает ухудшение омывания верхней части трубы и су-
существенную асимметрию температурного поля.
Ряд гидродинамических явлений в газо-жидкостной смеси существенно за-
зависит от сжимаемости ее компонент даже при весьма малых скоростях течения.
Связано это с особенностями распространения упругих возмущений (звука)
К
см/с
S
101
8
6
4
-
!
$л
A
r
>
Ш
-
1
A*
i
&>
10~
4 S 8 10~1 2 4 S 8 10°
Рис. 21.9. Зависимости скорости всплытия в воде одиночного воздушного
пузыря от его диаметра при р=105 Па:
точки — опытные данные различных авторов; расчет по формуле B1.4.3)
в таких средах. Так, для смеси с равномерно распределенными малыми газо-
газовыми включениями масштаб скорости распространения звука определяется
формулой
а~2 = dp/ар = р" {[1 —р A —р")] [Ра--а + A —Э) р" «'-*]}, B1.4.4)
где р" = р"/р'; а\ а" — изотермические скорости распространения звука в
жидкости и газе; р — объемное газосодержание смеси. При р' > р"
а2~р/р'. B1.4.5)
В реальных условиях имеет место большая дисперсия и скорость распро-
распространения тех или иных упругих возмущений в газожидкостной смеси может
иметь порядок, соизмеримый со скоростью распространения капиллярных волн
и со скоростью течения, обусловленной процессом парообразования.
Для области существования зависимости B1.4.5) можно образовать кри-
критерий подобия (предложен автором в 1949 г.)
. B1.4.6)
В более общем случае в качестве характеристик сжимаемости смеси следу-
следует ввести два параметра:
im^Vl^/a; a*la'\. B 1.4.7)
В приближении идеального газа квадрат изотермической скорости звука
равен отношению давления к плотности и
Мг^р'/р'ОКр. B1.4.8)
Подробно гидродинамика газо-жидкостных систем рассмотрена в моно-
монографиях С. С. Кутателадзе и М. А. Стыриковича, Уоллеса и др.
10 Зак. 795
289
21.5. ТЕПЛООТДАЧА ПРИ ПУЗЫРЬКОВОМ КИПЕНИИ
При рассмотрении пленочной конденсации формулировка уравнений, опи-
описывающих движение и теплообмен в двухфазной системе, не вызывала прин-
принципиальных затруднений, поскольку обе фазы образовывали непрерывные по
токи с одной отчетливо выраженной поверхностью раздела. Кипение представ-
представляет пример такого процесса, в котором компоненты потока могут быть в чрез-
чрезвычайно сильной степени раздроблены на пузыри, капли, пленки. Для любого
дифференциального объема каждого из таких конечных дискретных элемен
тов системы, безусловно, справедливы рассматривавшиеся нами ранее общие
дифференциальные уравнения движения и теплопроводности. Точно так же для
любой дифференциальной площадки на поверхностях раздела фаз справедли-
вы рассмотренные ранее условия теплового и механического взаимодействия
2
V
о
о
• •
•
• •
• ¦
•
•
Г *
•
л
?о
+
> о
д
э
+
+
+
0,05 0,1 0,14 0,2 0,J 0j5
1,0 1,8
*Br/M2
J,5 4,6 7\ 12
Рис. 21.10. Коэффициент теплоотдачи при кицении водьг при
атмосферном давлении на различных поверхностях нагрева:
О — латунь диаметром 9 мм, Ф. П. Минченко; х—латунь диаметром
11 мм, В. М. Боришанский; • —латунь диаметром 31 и 45 мм,
С.С.Кутателадзе; -\—графит диаметром 2 мм, С С. Кутателадзе; О—
медь диаметром 13 мм, Мак-Адаме; V— платина диаметром 1,4 мм,
Ннкайяма; д—хромированная плита, Кичелли и Бонилла
Однако вследствие весьма большого числа дискретных элементов системы,
их непрерывного возникновения, роста и деформации в процессе движения и
теплообмена весь такой двухфазный поток в целом должен характеризоваться
некоторыми специальными вероятностными законами системы многих неус-
неустойчивых элементов. Здесь в известной степени можно провести аналогию с тур-
турбулентным течением однородной жидкости, в котором для каждого диффе-
дифференциального элемента справедливо уравнение Навье—Стокса, а весь поток
в целом подчиняется специальным (еще плохо известным) статистическим за-
законам турбулентного течения.
Последовательные аналитические методы для таких систем в настоящее
время отсутствуют. Решающее значение тут имеют эксперимент и метод подо-
подобия. Но применение последнего, если не ограничиваться анализом размерно-
размерности случайно составленного перечня некоторых характерных величин, тре-
требует принятия определенного метода вывода безразмерных параметров про-
процесса.
Такой общий метод, введенный автором, основан на допущении того, что в
целом все взаимодействия, имеющие место в двухфазном потоке любой слож-
сложности, для каждой его отдельной области описываются теми же уравнениями,
что и для системы с одной непрерывной поверхностью раздела. Вследствие
этого критерии подобия могут выводиться из этих уравнений для всей слож-
сложной системы в целом. При этом необходимо дополнительно ввести еще уравне-
уравнения или параметры, определяющие размеры образующихся дискретных эле-
элементов потока и вероятность их распределения в пространстве.
290
2-fO'Br/M2
На рис. 21.10 приведены результаты ряда опытов по теплоотдаче при раз-
развитом стабильном пузырьковом кипении, т. е. когда число центров парообразо-
парообразования достаточно велико, а свободная однофазная тепловая конвекция на про-
процесс уже не влияет. Отчетливо видна автомодельность относительно размеров
поверхности нагрева. Очевидно, что это обстоятельство свидетельствует о рав-
равновероятном вступлении в действие статистически равномерно распределен-
распределенных центров парообразования. В то же время данные рис. 21.11 показывают
известное влияние заселенности поверхности этими центрами.
Связь между коэффициентом теплоотдачи и плотностью теплового потока
хорошо аппроксимируется логарифмической прямой с показателем степени q
от 0,6 до 0,7. Для массовых расчетов
можно принять, как предложил
Д. А. Лабунцов,
а~<72/3- B1.5.1)
При этом коэффициент теплоотдачи оп-
определяется по разности температуры
поверхности нагрева и температуры на-
насыщения под плоскостью при данном
давлении в жидкости. Отсюда
сс~ А Г2. B1.5.2)
Характер влияния давления на коэф-
коэффициент теплоотдачи при развитом пу-
пузырьковом кипении так же более или ме-
менее одинаков для разных жидкостей,
если строить эту зависимость в относи-
относительных координатах, выбранных из со-
соображений термодинамического подобия
веществ. Такого рода обработка боль-
большого числа опытов, проведенная
В. М. Боришанским, показана на
рис. 21.12. Высота слоя жидкости влияет
на теплоотдачу при кипении только
тогда, когда становится соизмеримой с
паровых пузырей.
Изучение процесса кипения чрезвычайно сложно в связи с многочислен-
многочисленностью гидродинамических и термодинамических факторов, могущих так или
иначе на него влиять, и тем, что большинство этих факторов одновременно ме-
меняется с изменением давления насыщения. Поэтому выделение гидродинами-
гидродинамической основы механизма теплообмена при кипении является чрезвычайно су-
существенным. Такое выделение возможно на основе введенной автором анало-
аналогии процессов кипения и барботажа жидкости газом через пористые поверх-
поверхности. Опыты, проведенные совместно с И. Г. Маленковым, хорошо подтвер-
подтвердили существование этой аналогии и стабильность законов теплоотдачи через
пористые поверхности с большим числом малых отверстий.
На рис. 21.13 представлены экспериментальные данные о теплоотдаче при
кипении воды и б&рботаже воды азотом через микропористую металлическую
пластину. Как видно, имеет место не только качественное, но в значительной
мере и количественное согласование этих двух процессов. Здесь и в дальней-
дальнейшем скорость барботажа определена как отношение объемного расхода газа с
единицы полной площади пористой пластины. Соответственно скорость бар-
барботажа при кипении (скорость парообразования) определена как
Рис. 21.11. Зависимость а от q по опы-
опытам с водой (р=98 • 103 Па) при различ-
различной длительности работы нагрева:
/ — свежеполированная трубка, отсчет непо-
непосредственно после начала кипения, Крайдер;
// — после длительного кипения в неограни-
неограниченном объеме воды, Якоб; /// — технически
чистая трубка, С. С. Кутателадзе; IV — техни-
технически чистая трубка после нескольких суток
кипячения, С.Х. Кутателадзе
отрывным диаметром генерируемых
w" = ql (Ф").
B1.5.3)
На рис. 21.14, 21.15 показана зависимость коэффициента теплоотдачи при4
барботаже через микропористую пластину при изменении давления и молеку-
молекулярной массы газа, а на рис. 21.16 — опыты по влиянию вязкости жидкости на
10*
291
-
-
-
-
-
-
-
-
^0
-—
-——
а
+
*
п
д
д а
а д
i
М
•
Г *
о
V
•
•
•/
/о
—I
I
i
1
1
50
20
10
8
I;
1,0
0,8
6
5
?
4 56 10~5 2 5 4 5 S 10'2 2 5 4 5 S 10~1 2 5 4 5 6 8Iff
Р/Ркр
Рис. 21.12. Зависимость а*/а** от р/ркр по опытным данным с кипением различ-
ных жидкостей (а* = а/^0»7; р* = 0,03рКр)
процесс теплоотдачи при барботаже. Все эти опыты проведены вблизи точки
замерзания жидкости, т. е. при исключенном влиянии испарения.
Отчетливо выясняется существование трех режимов развитого пузырько-
пузырькового барботажа. Первый режим, при котором интенсивность теплообмена уве-
увеличивается с ростом скорости барбо-
барботажа и с повышением давления; вто-
второй режим, при котором коэффициент
теплоотдачи практически не меняется
со скоростью барботажа; третий ре-
режим аналогичен первому, но с менее
интенсивным теплообменом. При воз-
возрастании скорости барботажа третий
режим заканчивается эффектом оттес-
оттеснения жидкости от микропористой
поверхности, т. е. явлением, анало-
аналогичным возникновению пленочного
кипения. При этом вязкость жидкости
существенно проявляется только во
10*
2
101
4
s 2
W°
4
2
о 9^
о
у
lo о
о оо
2 4
W1 2
4 10°
»V,M/C
Рис. 21.13. Теплоотдача при кипении воды
(прямая линия) и при барботаже воды азо-
азотом через пористую металлическую пласти-
пластину (точки)
втором (переходном) режиме. Замеча-
Замечательно, что изменения плотности газа
за счет варьирования давления и мо-
молекулярной массы оказываются не-
неравносильными.
На рис. 21.17 описанные экспериментальные данные обобщены в коорди-
координатах
{Nil* (MJ/Pe*J/3; w" \i'/о}. B1.5.4)
Критерии подобия здесь определены следующим образом:
Nu* =
а
V
g(p'—P")
Ре c'9"W -./• а
V У *<Р'-Р')
р'-р-
B1.5.5)
292
W2
CO
101
у
3*.
2'5
10~* 2 4 10~* 2 4 10'2 2 4 Ю'7 2 4 10°
К{М/С
Рис. 21.14. Влияние давления на теплообмен при барботаже
воды азотом:
О—1,02-105 Па: X —6,12-Ю6 Па; д — 16,35-106 Па; опыты
по кипению
I
7
-
Q i ¦
Л
о
д +
¦ i i i . i
<
К
л А
10~2 2 4
10°
Рис. 21.15. Влияние молекулярной массы газа на тепло-
теплообмен при барботаже воды (р=Ы05 Па):
О~водород; д—гелий; х —азот; -\—аргон
1Q'5 2 4 6 10~2 2 4 6 10~1 2 4 ? 10
Рис. 21.16. Влияние вязкости на теплообмен при барботаже (р=
= Ы05 Па) для дистиллированной воды (#) и водоглицерино-
вых растворов:
О— 5% глицерина; -\—10%; X — 20%; д —30%; П—50%
293
Из рис. 21.18 видно, что автомодельность процесса относительно вязкостн[
жидкости хорошо подтверждается внутри каждой серии опытов. Это, по-види-;
мому, связано с турбулизирующим действием пузырей и разрушением вязко-
вязкого подслоя. j
-
+
С
•
7 +
| 1
102 2 4
1О5 2
10° 2 4
Рис. 21.17. Обобщенная зависимость Niu(M J/Pe*J/3 от р,'ш7ст при барботаже дис-
дистиллированной воды (•) и водоглицериновых растворов:
4~б% глицерина; X—10%; Д—20%; д — 30%; П-50%
В пределах ±25% эти данные описываются формулой
B1.5.6)
В общем случае множитель пропорциональности в этой формуле зависит
от геометрических характеристик поверхности нагрева, числа Прандтля и кри-
Рис. 21.18. Экспериментальные данные о теплообмене при развитом пузырьковом ки-
кипении жидких металлов, воды, спирта, сжиженных газов
териев, характеризующих акт зарождения паровых пузырей. Однако основ-
основной эффект учитывается удивительно простой и, очевидно, весьма глубокой
по содержанию формулой B1.5.6).
21.6. ПУЗЫРЬКОВОЕ КИПЕНИЕ ПРИ ВЫНУЖДЕННОЙ
КОНВЕКЦИИ ЖИДКОСТИ
Организованное движение жидкости может повысить интенсивность тепло-
теплоотдачи при кипении. Степень этого влияния скорости течения жидкой фазы
зависит от соотношения турбулентных возмущений, вызываемых организо-
организованным движением жидкости и собственно процессом парообразования. При
294
достаточно большой плотности теплового потока интенсивность *еплоотдачи
практически перестает зависеть от скорости организованного движения жид-
жидкости, поскольку конвективный перенос в пристенной области определяется
практически целиком развивающимся в ней процессом парообразования. В
50
20
to
—
Кипящая жидкость-вода
+¦
\=.^0
D-
L-c
—п
г'
•
х
э
20"/oNH4N03
ЯГ
-*•
1 III 1 III 1 1 1 1 1 1 1
* Вт/м*
Рис. 21.19. Опытные данные о влиянии циркуляции жидкости на теплоотдачу
при кипении воды и 20%-ного раствора NH4NO3 (скорость циркуляции w от 0,5
до 5 м/с):
Э-а> = 0,6 м/с; +-0,8; 0-0,5; • —0,7; Д-1.0; 0-1,5; у-3,0; Д-5,0; П-2,0;
1 — 4,0. Естественная циркуляция: х, ©
этом случае законы теплоотдачи в циркулирующей кипящей жидкости не от-
отличаются от законов, установленных выше для кипения при свободной кон-
конвекции.
При заданной скорости циркуляции коэффициент теплоотдачи вначале или
нечувствителен, или мало меняется с ростом теплового потока. Затем влияние
теплового потока начинает сказываться все заметнее, пока не станет решаю-
решающим. В результате огибающей кривых a (q, w) становится кривая a (q), близ-
близкая в соответствующей зависимости для кипения при свободной конвекции.
На рис. 21.19 показаны опыты Р. Я. Ладиева с водой и раствором, отчетливо
подтверждающие сказанное. v -
В общем случае теплоотдача в трубе определится системой критериев для
теплоотдачи при кипении в условиях свободной конвекции, дополненной чис-
числом Рейнольдса вынужденного течения жидкости:
Re =
B1.6.1)
где w0 — скорость циркуляции, т. е. отношение объемного расхода жидкой
фазы к полному сечению трубы; D — внутренний диаметр трубы.
При значительных паросодержаниях гидродинамика зависит также от объ-
объемного р или весового х паросодержания потока и относительной плотности
р'/р'.
Кроме этого, следует иметь в виду, что в пределе, при Ре* -> 0, коэффици-
коэффициент теплоотдачи стремится к значению, определяемому формулой для обычной
вынужденной конвекции. Автором был предложен простой и в то же время
достаточно эффективный метод учета совместного влияния скорости цирку-
циркуляции и теплового потока на теплоотдачу при кипении, не связанный с рассмот-
рассмотрением сложных критериальных систем.
295
Идея этого метода сводится к тому, что соотношение влияния этих факто-
факторов оценивается соотношением соответствующих предельных значений коэф-
коэффициентов теплоотдачи
a/aottf(a00/a0). B1.6.2)
Здесь а — коэффициент теплоотдачи к вынужденному потоку кипящей жид-
жидкости; а0 — коэффициент теплоотдачи при х -> 0, т. е. при отсутствии кипения;
а00 — коэффициент теплоотдачи при развитом кипении, когда уже нет влия-
влияния скорости течения жидкости.
Вид этой зависимости схематически показан на рис. 21.20. Ее предельные
свойства выражаются условиями
Простейшая интерполяционная формула, удовлетворяющая этим услови-
условиям, имеет вид
B1.6.4)
На рис. 21.21 приведены опыты Л. С. Стермана по кипению воды в чистой
трубе при скоростях циркуляции от 0,5 до 6,7 м/с и тепловых потоках от2»Ш
до 10-105 Вт/м2. По оси ординат отложена величина сс# = а/q0*7, по оси абс-
абсцисс — плотность теплового пото-
потока. Параметром является скорость а
циркуляции. Отчетливо видно су-
существование некоторого предель-
предельного значения величины а*, прак-
4
з
2
1
0 2 4 6 8 10 12 Н
/
/
/
•
/
/
5,0
wo = 6,7u/c
л
V
¦в—
\
—О
\
Рис. 21.20. Зависимость а от Рис. 21.21. Зависимость a* = a/q°>7 от w0 и q
аооМ) по опытам с кипением воды при р=2-105 Па
в трубе D=16 мм
тически не зависящего от скорости течения жидкости. Чем выше скорость
циркуляции, тем больше та плотность теплового потока, при которой вели-
величина а* достигает этого предельного значения. Эти данные хорошо описы-
ваются формулой B1.6.4) при п = 2, что весьма удобно с расчетной точки
зрения. Практически таким расчетом можно пользоваться при р < 0,7.
При рассмотрении кипения в трубах необходимо иметь в виду наличие сле-
следующих трех зон с неодинаковыми условиями теплообмена:
1. Зона подогрева (экономайзерная) — от начала обогрева до сечения Lh
в котором стенка трубы достигает температуры насыщения. На этом участке
имеет место обычный конвективный теплообмен. Если рассчитывать для про-
простоты величину а по формуле A1.6.18), то длина этой зоны
, ) B1.6.5)
D Aq
где Т"\ — температура насыщения в сечении Ьг\
\ v J
рур
г — температура жидкости при входе в трубу.
296
2. Зона закипания жидкости — от сечения Ьг до сечения L2i в котором
жидкость полностью прогревается до соответствующей температуры насыще-
насыщения. Расстояние до сечения L2, отсчитываемое от начала обогрева трубы,
—— = — A 2 — ^ l)> B1.О.6)
D [Aq
где т — температура насыщения в сечении L2. Длина зоны закипания
Гг — П). B1.6.7)
D D \а ) \ v ) 4q
Здесь принято во внимание, что вследствие падения давления вдоль трубы
Т"\ > ТГ2. В этой зоне коэффициент теплоотдачи имеет значения, промежуточ-
промежуточные между его значениями для первой и третьей зон.
3. Зона кипения, начинающаяся с сечения L2. Для этой зоны справедли-
справедливы все закономерности, рассмотренные выше в этой главе.
В расчетной практике вторую зону часто совмещают с третьей.
21.7. ТЕПЛООТДАЧА ПРИ ПЛЕНОЧНОМ КИПЕНИИ
Рассмотрим течение паровой пленки вдоль вертикальной плиты, полагая,
что весь пар движется вдоль поверхности нагрева. Такое предположение впол-
вполне соответствует наблюдаемой картине движения пленки пара при не очень
высоких нагревателях.
Пренебрегая в случае установившегося течения паровой пленки инерцион-
инерционными силами и считая ее течение ламинарным, записываем уравнение движе-
движения в виде
= 0. B1.7.1)
Константы интегрирования получаем из условий: у = 0; до" = 0; у = б";
w" = wrp. Здесь б" — толщина парового слоя и wrp — скорость движения жид-
жидкости на границе раздела фаз.
Интегрируя уравнение B1.7.1), получаем
^ Ф"У-У2). * B1.7.2)
При заданной постоянной по поверхности нагрева плотности теплового по-
потока q имеем
[ w'dy. B1.7.3)
о
При свободной конвекции жидкости могут иметь место два предельных ре-
режима течения: когда догр = 0 и когда вся масса жидкости движется со ско-
скоростью, равной скорости пара на границе раздела фаз. Теоретически послед-
последний случай соответствует невязкой жидкости, когда касательные напряжения
на границе раздела фаз равны нулю, т. е. (dw"/dy)rv = 0.
Для этих предельных случаев решение системы уравнений B1.7.2) и
B1.7.3) дает:
при шгр = 0
фгр"?(р'— р")
при (dw"/dy)rp = 0
B1.7.4)
V фф"г(р'— р")
297
Здесь ф = 1 + c"vATI2r. Решения отличаются только на постоянный множи.
тель, равный V \21Ъ = 1,59. Общий коэффициент теплоотдачи складывается
из коэффициентов конвективной и радиационной теплоотдачи:
B1.7.6)
Локальный коэффициент конвективной теплоотдачи определяется формулой
о*» Г/в". B1.7.7)
Для свободной конвекции
B1.7.8)
H"qx
где значение р лежит в пределах между 0,436 и 0,690.
Средний коэффициент теплоотдачи
l. B1.7.3)
При вынужденном течении жидкости, когда
*<Р'-Р')в" ^ f
влиянием подъемной силы можно пренебречь и в правой- части уравнения
B1.7.2) сохранить только первый член. В этом случае
б" = 2<7*/(сргр" иугр) B1.7.10)
и локальный коэффициент теплоотдачи при пленочном кипении прямо пропор-
пропорционален скорости течения жидкости.
При заданном температурном напоре AT = Тст — Т" уравнение теплово-
теплового баланса с учетом того обстоятельства, что пар образуется как за счет конвек-
конвективной, так и за счет радиационной теплопередачи, примет вид
(j w'dy\; B1.7.11)
w'dy\=* p'~p" Vd6*. B1.7.12)
у const \i"
При wrv = 0 const = 1/4, при (dw"ldy)TV = 0 const = 1.
Приближенное интегрирование уравнения B1.7.11) основано на принятии
допущения о том, что для заданных условий отношение ар1а = ар67Г =
=? const и дает для локального значения коэффициента теплоотдачи выра-
жение
где -ф = ар/а.
Коэффициент Рх для предельных режимов имеет значения соответственно
0,500 и 0,705. Средний коэффициент теплоотдачи
В случае горизонтального цилиндра средний коэффициент теплоотдачи при-
примерно на 20% меньше, т. е. множитель пропорциональности при корне лежит
в пределах от 0,53 до 0,72. При этом в формулу B1.7.14) следует подставлять
298
вместо L диаметр цилиндра D. Для быстродвижущейся жидкости при А Г =
= const
a = |/
B1.7.15)
B1.7.16)
и в этом случае коэффициент теплоотдачи пропорционален корню квадратному
из скорости течения жидкости. На рис. 21.22 приведены результаты сопостав-
сопоставления ряда опытов с расчетами в формуле B1.7.14). Как видно из графика, из-
изменения коэффициента р\ не выходят за теоретические пределы а.
А
0,8
0,6
0,4
J
и
о—
а
о—
н
О
О
1»—
п-0,5с11 AT V
Рис. 21.22. Опытные данные о коэффициенте Pi в фор-
формуле B1.7.14) по Бромлею:
л—-2%-ный мыльный раствор; О—азот; #—пентан; Э —
бензин; х—четыреххлористый углерод; 0—этиловый спирт
Опыты Бромлея по теплоотдаче при вынужденном поперечном обтекании
цилиндров в условиях пленочного кипения и больших скоростей течения жид-
жидкости (рис. 21.23) привели к формуле
a = 2,7 Vk" cprp" w/(ATD),
т. е. подтвердили разработанную нами ранее теорию.
B1.7.17)
О
а
j
? д
с
Г
—*•
с
<i
и
О
<
о
э
°V
>
Со
(
3
Qfi 0,8 1
5 4 6 8 10
Рис. 21.23. Влияние скорости течения жидкости на теплоотдачу при пленочном t
кипении на горизонтальном поперечно обтекаемом цилиндре:
Q—бензол; О—четыреххлористый углерод; д— этиловый спирт; Э— л-гексан
Чанг указал на связь процесса теплоотдачи и волновых явлений на границе
паровой пленки и жидкости. В случае недогрева ядра потока жидкости до тем-
температуры насыщения коэффициент теплоотдачи при пленочном кипении возг
растает с повышением этой величины.
Подробно проблема теплообмена при пленочном кипении рассмотрена в
обзоре Э. К. Калинина, И. И. Берлина и В. В, Костюка.
299
120
100
80
60
40
20
О
V
f
г
\ I
r
4
100 200 500 400
500TCT°C
Рис. 21.24. Зависимость времени ис-
испарения капли (V= 0,0465 см3) от
температуры стенки
21.8. ТЕПЛООТДАЧА ПРИ СВОБОДНОМ РАСТЕКАНИИ
ЖИДКОСТИ ПО ПОВЕРХНОСТИ НАГРЕВА
В ряде технологических процессов (закалка, охлаждение режущего инст1
румента и т. п.) имеет место свободное растекание жидкости по поверхности
нагрева. При этом омывание поверхности может происходить как мелкими
так и крупными навесками жидкости.
На рис. 21.24 показана зависимость полного времени испарения капли ьо
ды от температуры поверхности нагрева* Гст. Когда температура поверхност;
нагрева ниже температуры насыщения испаряемого вещества, капля жидкое
ти, попадая на поверхность, растекается по ней тонким слоем и медленно ис
паряется. Когда температура поверхности нагрева превышает температура
насыщения, то в растекающейся жидкости наблюдается пузырьковое кипение
С дальнейшим повышением температурь
поверхности нагрева пузырьковое кипеш
в растекающейся жидкости становится все
более интенсивным, коэффициент теплоот
дачи возрастает и соответственно умень-
уменьшается полное время испарения капли
Однако по достижении поверхностью на
грева некоторой температуры жидкость,
попадая на поверхность, уже не растекает
ся, а собирается в сферическую каплю
прерывисто контактирующую с поверх
ностью в течение всего периода испарения
При дальнейшем увеличении темпера
туры Тст частота контактирования каши
с поверхностью уменьшается, а врем?
полного испарения растет, что свидетельствует о снижении интенсивной!
теплоотдачи к жидкости от поверхности нагрева. Причиной этого являете*
образование парового слоя между жидкостью и поверхностью нагрева
Началу этого периода соответствует минимум на кривой t (Тст). Возрастание
времени испарения капли продолжается также только до некоторого значена
температуры поверхности нагрева, соответствующей максимуму на кривой
испарения. Эта точка кривой свидетельствует о прекращении контактирова
ния капли с поверхностью нагрева и об образовании устойчивого парового
слоя, полностью отделяющего жидкость от поверхности. Этому состояния
соответствует максимальное время полного испарения жидкости. В дальней-
дальнейшем, по мере роста температуры поверхности нагрева, полное время испаре-
испарения капли медленно уменьшается.
В литературе принято называть режим испарения навески жидкости, при
котором она отделена от поверхности нагрева устойчивым слоем пара, испа-
испарением жидкости, находящейся в сфероидальном состоянии.
По мере увеличения объема жидкости, выливаемой на поверхность нагре
ва при Тст > Ткр, его форма все более отклоняется от правильной сферы,
принимая вид, который может быть условно назван «плоским» сфероидом. Даль
нейшее увеличение выливаемого объема жидкости приводит к тому, что пар,
образующийся на нижней поверхности жидкости, не успевает вытечь по пери-
периферии и время от времени прррывается через толщу жидкости в виде болышц
пузырей. Исследование этого вопроса показало, что по достижении определен-
определенного значения выливаемого объема жидкости интенсивность теплоотдачи к та-
такому пузырьчатому сфероиду уже не зависит от количества жидкости и опре-
деляется при данных конкретных условиях испарения плотностью теплового
потока q. При этом прорывающийся через толщу жидкости пар равновероят-
равновероятно распределяется по наружной поверхности жидкости в виде периодически
* Поверхность нагрева — горизонтальная металлическая пластинка. Каждая точк;
на графике соответствует полному испарению капли воды заданного начального объема
300
появляющихся и лопающихся паровых пузырей, а толщина слоя жидкости
практически остается постоянной.
Произведем расчет теплоотдачи к плоскому сфероиду (рис. 21.25).
Теплоотдача от поверхности нагрева к навеске жидкости, принявшей фор-
форму плоского сфероида, происходит путем теплопроводности и радиации через
разделяющий их слой пара. В дальнейшем будем считать, что теплоотдача и ис-
испарение на внешних поверхностях сфероида пренебрежимо малы по сравнению
с процессом со стороны поверхности нагрева. Это условие точно соблюдается,
когда сфероид окружен насыщенным паром
того же вещества, и приближенно в ряде Жидкость Vo,см*
других случаев. V
Полагаем далее, что на нижней поверх- Кх в & 7\
ности сфероида температура равна темпе- ^ * '
ратуре насыщения. Уравнение теплового
баланса примет вид (если пренебречь теп-
лотой перегрева пара) * Поверхность нагрева
(ак + сср) (ТСТ—Т") F = rp' d7/d/ + Рис. 21.25. Схема задачи об испарении
_ плоского сфероида
+ cp'd(VT)/dt. B1.8.1)
Здесь ак и ар — коэффициенты конвективной и радиационной теплоотдачи
(см. гл. 19); V — объем сфероида; F — площадь проекции сфероида на поверх-
поверхность нагрева; Т — средняя температура жидкости в сфероиде. Скорость ис-
истечения пара по периферии сфероида
w" = qD/Drp" б"), B1.8.2)
где D — расчетный диаметр сфероида; б" — толщина парового слоя.
Расчеты показывают, что в слое пара, отделяющего сфероид от поверхности
нагрева, имеет место ламинарное течение. Следовательно,
Наблюдения показывают, что толщина плоского сфероида практически не
меняется в процессе испарения до тех пор, пока сохраняется его плоская фор-
форма, т. е.
dV = (я/2) 8DdD;
F = (n/A)D\
где б — толщина сфероида.
Считая температуру сфероида постоянной, т. е. вводя в расчет температуру,
осредненную за время испарения, и принимая во внимание зависимости B1.8.3)
и B1.8.4), приводим уравнение B1.8.1) к виду
B„6)
Сила тяжеёти, действующая на сфероид, уравновешивается давлением
пара, развивающимся вследствие сопротивления истечению по периферии сфе-
сфероида, и реактивной силой, возникающей вследствие отделения пара от жид-
жидкости на нижней поверхности сфероида. Последней практически можно пре-
пренебречь и считать, что сфероид поддерживается во взвешенном состоянии толь-
только за счет трения вытекающего пара.
Пар вытекает по периферии сфероида под влиянием избыточного давления,
равного g-б (р' — р")*, т .е.
dG" = tziDb" V2gb{9'-9")9"dt, B1.8.6)
где I — коэффициент истечения, учитывающий форму периферии сфероида и
характер его обтекания паром.
* В дальнейшем для простоты записи полагаем р' — р" ^ р'.
301
С другой стороны, из материального баланса сфероида
dG" = (n/2)p'8DdD.
Совмещая последние два уравнения, получаем
/"р7^" dp
B1.8.7)
BЩ
Подставляя значение dDldt из уравнения B1.8.8) в B1.8.5) и пренебрегая ра-
радиацией (ак > ар), получаем выражение для толщины парового слоя
0,28
0,24
* °>20
X w
0,12
0,8
0,4
J
5 =^1/ 7[Г-
[1 +с{Т"~Т)/г]
B1.8.9)
где т] = ^32g2.
Соответственно
о,8 1,о 1,2
И\-0,25
Р
B1.8.10)
Пар между сфероидом и поверх-
поверхностью нагрева перегрет, так как в
нем устанавливается температурное
Т Г" Р
Рис. 21.26. Сопоставление формулы B1.8.11) поле в пределах от Гст до Г". Расход
с опытами тепла на перегрев образующегося
пара до средней температуры паро-
парового слоя можно приближенно учесть, вводя в приведенные выше формулы
вместо г выражение
Подставляя значение б" из уравнения B1.8.9) в B1.8.5) и пренебрегая ве-
величиной сср, после интегрирования получаем
-Т') y'*(_8L)l'*t. B1.8.11)
[r+cG"-f)]J V Р' )
Здесь Vo — начальный объем сфероида; V — объем сфероида в момент време-
времени t; t — время, отсчитываемое от начала испарения сфероида объемом Ко.
4,1 Lap'[r
0,8
-
^^
—*<L
<
1 .
ТСТ=485°С S4f
.
260
V:
0,2
О 10 20 SO 40 50 SO 70 80 90 100 110 tf
Рис. 21.27. Изменение объема пузырчатого сфероида во вре-
времени в полулогарифмических координатах (спирт)
На рис. 21.26 показаны результаты опытов, проведенных В. М. Боришанс-
ким, обработанные в координатах, соответствующих формуле B1.8.11). Сог-
Согласование с теорией следует признать удовлетворительным. Значение т) по этим
опытам равно 0,9.
Приведем уравнение B1.8.5) к виду
dV (ак + ар) (Гст—Т") «, /от а ю\
= Cil. iZl.O.lZ}
V бр'[г + с(Г"-Г)]
302
В случаае пузырчатого сфероида входящие в это уравнение величины а
и б не зависят от объема V. Интегрируя уравнение B1.8.12) при этих условиях,
получаем
JL(+H7W») t 18
На рис. 21.27 приведены результаты нескольких серий опытов, показываю-
показывающих, что полулогарифмическая прямая, выражаемая формулой B1.8.13), дей-
действительно имеет место.
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
{. Боришанский В. М., Козырев А. П., Светлова Л. С. Теплообмен при кипении воды в
широком диапазоне изменения давления насыщения.— «Теплофизика высоких тем-
температур», 1964, № 1, с. 119.
2. Вопросы физики кипения. Сб. пер. статей. Под ред. И. Т. Аладьева. М., «Мир», 1964.
3. Вопросы теплообмена при изменении агрегатного состояния вещества. Сб. статей под
общ. ред. С. С. Кутателадзе. М.—Л., Госэнергоиздат, 1953.
4. Зысина-Моложен Л. М., Кутателадзе С. С. К вопросу о влиянии давления на меха-
механизм парообразования в кипящей жидкости. —сЖурн. техн. физики», 1950, т. XX,
вып. 1, с. 110.
5. Калинин Э. К., Берлин И. И., Костюк В. В. Теплоотдача при пленочном кипе-
нни.— Advances in Heat Transfer, vol. II, New York, Academic Press, 1975.
6. Кутателадзе С. С. Теплопередача при конденсации и кипении. М., Машгиз, 1952.
7. Кутателадзе С. С, Мамонтова Н. Н. Исследование критических тепловых потоков при
кипении жидкостей в большом объеме в условиях пониженных давлений. — «Инж.-
физ. журн.», 1967, т. 12, № 2, с. 181.
8. Лабунцов Д. А. Приближенная теория теплообмена при развитом пузырьковом ки-
кипении.— «Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт», 1963, № 1, с. 58.
9. Теплообмен при кипении металлов в условиях свободной конвекции. М., «Наука»,
1969. Авт.: В. И. Субботин, Д. Н. Сорокин, Д. М. Овечкин, А. П. Кудрявцев.
10. Термогидродинамика кипящих жидкостей. — В кн.: Проблемы теплофизики и физи-
физической гидродинамики. Новосибирск, «Наука», 1974, с. 176. Авт.: Г. И. Бобрович,
И. И. Гогонин, И. Г. Маленков, Н. Н. Мамонтова.
11. Boiling heat transfer and burnout mechanism in boiling-water cooled reactor. — In:
Materials of the Third United Nations International Conference on the Peaceful Uses
of Atomic Energy. Geneva, 1964. Vol. 8, p. 146. Auth.: K. Torikai, M. Hori, M. Akiyama
e. a.
12. Bosnjakovic F. Verdampfung und Flussigkeitsuberhitzung.— «Tech. Mech. und Therm.»,
1930, Bd 1, S. 358.
13. Cumo M. Aspetti fondamentali dell'elollizione. Roma, CNEN, 1968.
14. Pwyer О. В. Boiling liquid-metal heat transfer. A. N. S. Illinois, 1976.
15. Stefanovifc M. S. Analiza fluktuacija temperature u dvofarnom toku pri podhladjenom
kljucanju. Belgrad, Instituta «Boris Kidric», 1975.
16. Symposium on Two Phase Flow. Department of Chemical Engineering University of
Exeter. Devon, England, June 1965.
17. Wachters L. H. J. De warmteoverdracht van een hete wand. Naar druppels in de steroi-
dale toestand. Helmond, 1965.
18. Van Ouwerkerk H. J. The role of the evaporating microlayer and dry surface areas in
boiling. Drukkerij Demmenie, Leiden, [1970].
19. Van Strahlen S. J. D. Heat transfer to boiling binary mixtures at atmospheric and sub-
atmospheric pressures.— «Chem. Engng. Sci.», 1956, v. 5, p. 290.
Глава
КРИТИЧЕСКИЕ ПЛОТНОСТИ
ТЕПЛОВОГО ПОТОКА, ВЫЗЫВАЮЩИЕ
ИЗМЕНЕНИЯ РЕЖИМА КИПЕНИЯ
22.1. ГИДРОДИНАМИЧЕСКАЯ ПРИРОДА КРИЗИСОВ
В МЕХАНИЗМЕ КИПЕНИЯ ЖИДКОСТИ
В предыдущей главе было выяснено, что существуют два основных реки*
ма кипения: пузырьковое, при котором пар выделяется в некоторых месга\
поверхности нагрева в виде отдельных пузырей, и пленочное, когда поверх-
поверхность нагрева отделена от массы жидкости сплошным слоем пара. Переход от
одного режима кипения к другому имеет все черты кризисного явления и сопро-
сопровождается коренным изменением гидродинамической и тепловой обстановки
процесса охлаждения поверхности нагрева.
Рассматриваемая проблема осложняется тем, что в механизме кипения кмеют
место не один, а два кризиса: первый, при котором происходит возникновение
сплошной пленки пара на поверхности нагрева, и второй, при котором проис-
происходит разрушение паровой пленки и восстановление пузырькового режима
кипения. При этом плотности теплового потока при первом кризисе существен-
существенно больше, чем при втором.
Если при значениях q, меньших qKPi, коэффициент теплоотдачи при пузырь-
пузырьковом кипении существенно возрастает с увеличением плотности теплового
потока, то в околокритической области значение а остается почти постоянным,
12 14
Рис. 22.1. Характер зависимости а от q для кипящей воды при
растянутом околокритическом режиме для разных серий
опытов
Это явление можно объяснить следующим образом. При околокритическом ре-
режиме насыщенность паром двухфазного граничного слоя у поверхности нагре-
нагрева столь велика, что дальнейшее увеличение паропроизводительности, с одной
стороны, вызывает повышение турбулентности в жидкой фазе, а с другой, спо-
способствует вытеснению последней из граничной области. В некотором интервале
значений q эти два противоположных процесса в какой-то мере компенсируют
друг друга, в результате чего коэффициент теплоотдачи остается более или ме-
менее постоянным. Но, в конце концов, устойчивость жидких пленок, прони-
пронизывающих двухфазный слой, окончательно нарушается, и жидкая фаза отде-
отделяется от поверхности нагрева сплошным слоем пара. Таким образом, возник-
возникновение пленочного режима кипения является результатом нарушения устой-
устойчивости той структуры граничного двухфазного слоя, которая имела место
при предшествующем этой перестройке пузырьковом режиме кипения.
Точно так же двухфазный граничный слой, представляющий собой паровую
пленку на поверхности и обтекающую ее массу жидкости, может устойчиво
304
существовать только до тех пор, пока кинетическая энергия текущего в этой
пленке пара достаточна для поддержания во взвешенном состоянии масс жид-
жидкости, стремящихся под действием силы тяжести прорваться сквозь паровой
слой к поверхности нагрева.
Поскольку возникновение и разрушение пленочного кипения представля-
представляют собой действительно особый гидродинамический кризис, они характери-
характеризуются не точными значениями критического теплового потока (или, что то же
самое, критической скоростью парообразования), а некоторыми наиболее
вероятными его значениями. Так, автору удавалось в опытах по возникновению
пленочного кипения на графитовых стержнях, погруженных в большой объем
воды, путем плавного увеличения тепловой нагрузки отодвигать возникно-
возникновение кризиса до значений q, превышающих нормальные примерно в два раза.
При этом интенсивность теплоотдачи в области «растянутого кризиса» прак-
практически оставалась постоянной (рис. 22.1). Аналогичный эффект наблюдался
и в опытах автора и И. Г. Маленкова при эффекте оттеснения жидкости в усло-
условиях барботажа через микропористую поверхность.
22.2. КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ ДВУХФАЗНОГО
ГРАНИЧНОГО СЛОЯ ПРИ СВОБОДНОЙ КОНВЕКЦИИ
В БОЛЬШОМ ОБЪЕМЕ КИПЯЩЕЙ ЖИДКОСТИ'
(ПЕРВЫЙ КРИЗИС РЕЖИМА КИПЕНИЯ)
Как уже выяснено в предыдущей главе, гидродинамической моделью пузырь-
пузырькового кипения является барботаж жидкости газом, вдуваемым через порис-
пористую поверхность с достаточно малыми размерами отверстий. Существование
этой аналогии, впервые указанной автором, было подтверждено в работах Уол-
Уоллеса, И. Г. Маленкова, Сполдинга, Актюрка и др.
Однако следует иметь в виду и различие в механизме формирования пу-
пузырей при барботаже и кипении. В первом случае пузырь растет на поверх-
поверхности в месте поступления газа через отверстие и, далее, оторвавшись от стен-
стенки, не меняет своей массы, если только не происходит его слияния с другими
всплывающими пузырями. При этом после нарушения устойчивости пузырь-
пузырьковой структуры граничного двухфазного слоя возникает большой газовый
колокол, который и является аналогом паровой пленки. При кипении же пу-
пузыри растут за счет испарения жидкости по всей их поверхности, их рост может
продолжаться и после отрыва от поверхности нагрева. Точно так же после воз-
возникновения сплошной паровой пленки пар к ней подводится за счет испарения
жидкости с ее внешней поверхности, в то время как в газовый колокол при бар-
барботаже газ поступает «изнутри» со стороны пористой стенки.
В связи с этим при кипении всегда существует поток массы испаряемой жид-
жидкости, направленный к поверхности нагрева, однако этот поток относительно
невелик. Основная циркуляция жидкой фазы связана с увлечением присоеди-
присоединенной массы жидкости паровыми (газовыми) пузырями.
Рассмотрим условия устойчивости двухфазного несжимаемого граничного
слоя над неограниченной горизонтальной пористой поверхностью, полагая,
что жидкость обладает исчезающей вязкостью (\i -^0). В этом случае могут
взаимодействовать только кинетическая энергия вдуваемого газа, гравитаци-
гравитационные и поверхностные силы в двухфазном граничном слое. По порядку ве-
величины динамический напор газа равен р"ш//2, а работа, затраченная на оттес-
оттеснение жидкости из образующегося газового колокола (газовой или паровой
пленки), gd (р' — р"). Здесь б — средняя толщина возникающего газового
слоя.
Порядок значения величины б определяется лапласовой постоянной
V^lg (р' — р"), что непосредственно следует из соображений размерностей.
Поскольку в рассматриваемой модели возникновение кризиса (потери устой-
устойчивости пузырьковой структуры двухфазного пограничного слоя) равноверо-
305
ятно в любом месте протяженной пористой поверхности, то соотношение рас-
рассматриваемых величин должно быть некоторым числом, т. е.
"кр
= const.
B2.2.1)
Здесь Wk? имеет смысл «приведенной» критической скорости барботажа, т. е.
критического объемного расхода газа с единицы полной поверхности рассмат-
рассматриваемой пластины. Извлекая для удобства из этого выражения квадратный
г ,,,,,¦ корень, получаем критерий устойчивости
i i i i i 1 г вида
Cft
о
(
>
00 о
)
\
\
k = atfp Vp'/Vgo (р' -p"). B2.2.2)
Для рассмотренных выше условий (ц -> О,
горизонтальная неограниченная пластина,
неограниченный объем в целом неподвиж-
неподвижной несжимаемой среды)
1S0
260
Рис. 22.2. Зависимость первой крити-
критической плотности теплового потока от
давления при кипении воды в боль-
большом объеме
k = const.
При кипении
B2,2.3)
B2.2.4)
Для большого объема жидкости с исчезающей вязкостью при свободной кон-
конвекции для критического теплового потока автором в 1950 г. было получено
выражение
7V'-P*), B2.2.5)
где k — некоторая константа для несжимаемого двухфазного граничного слоя.
Приведенный выше вывод не связан с какими-либо специальными сообра-
соображениями^ структуре двухфазного потока, и поэтому критерий устойчивости
B2.2.2) имеет весьма общее значение.
Рассмотренный в свое время Рэлеем случай устойчивости двух плоскопа-
плоскопараллельных невязких потоков жидкости, когда тяжелая жидкость течет под
легкой и имеют место возмущения типа exp [i (kx — nt) ], где х — координа-
координата и t — время, характеризуется критерием k с точностью до множителя
1 + р'7р'- Зубер, применив метод Рэлея к системе кубических ячеек жидкости
с вписанными в них сферическими паровыми пузырями, нашел, что для такой
модели
B2.2.6)
или
k « я/24 » 0,13. B2.2.7)
На рис. 22.2 приведена зависимость <7kpi от давления для кипящей воды,
рассчитанная по формуле B2.2.5) при k = 0,14. Там же нанесены результа-
результаты опытов Е. А. Казаковой с пластинами при естественной циркуляции в боль-
большом объеме дистиллированной воды. Отчетливо вырисовывается максимум
значений первой критической плотности теплового потока в области давлений
G0-М00)-105 Па, т. е. при р/рКр « 1/3. Здесь ркр — критическое в термодина-
термодинамическом смысле давление.
В областях глубокого вакуума и околокритического давления величина
стремится к нулю, т. е.
»0. B2.2.8)
306
Эксперименты автора и И. Г. Маленкова показали, что при барботаже
критерий устойчивости k является отчетливой функцией критерия сжимаемо-
сжимаемости двухфазного слоя М*. Соответствующие экспериментальные данные при-
приведены на рис. 22.3 и 22.4 и описываются эмпирической формулой
? = 30М2/3. B2.2.9)
При кипении в области М* > 3 • 10~4 величина k остается практиче-
практически постоянной в пределах разброса опытных данных.
10
у
л
3 4 6 810~1 2 3 4 6 810° 2 5 4 6 81(f
5 678 10,0 М
Рис. 22.3. Зависимость k от сжимае- рис. 22.4. Зависимость k/M2i3 от УАг. различных
мости при барботаже растворов и газов;
воды: О—водородом, х—-гелием, -J— растворы глицерина: х— азот, О~гелий; вода: у —
азотом, л—аргоном; этилового спирта:
^—азотом, ¦ —аргоном
ксенон, v — аргон, ? — азот; этанол: д—аргон, Д—
азот
Автомодельность критерия k относительно вязкости жидкости имеет место,
по опытам автора и И. Г. Маленкова, при числах Аг# ^ ЫО4.
22.3. ВЛИЯНИЕ РАЗМЕРА И СОСТОЯНИЯ ПОВЕРХНОСТИ
НАГРЕВА НА ВЕЛИЧИНУ qKJ>
19
17
Шероховатость поверхности нагрева повышает значение критической плот-
плотности теплового потока, что, по-видимому, связано с повышением устойчи-
устойчивости жидких пленок при наличии выступов и впадин. Имеет значение также
и ориентация поверхности нагрева относительно направления вектора силы
тяжести, а именно: при горизонтальном расположении пластинки конечных
размеров значение qK?l меньше,
чем для той же пластинки, по-
поставленной на ребро. Объясняет-
Объясняется это тем, что на нижней части
горизонтальной пластинки скап-
скапливаются крупные паровые пу-
пузыри, способствующие более
легкому возникновению сплош-
сплошного парового слоя.
При кипении на горизон-
горизонтальной трубе, обогреваемой
изнутри конденсирующимся па-
Рис. 22.5. Зависимость первой крити-
критической плотности теплового потока от
поперечного размера поверхности на-
нагрева при температуре насыщения
при р=98103Па:
д—вода, горизонтальные участки; V — во-
вода, вертикальные участки; О—этиловый
спирт, горизонтальные участки
со
h
1
[
л
{
:
V
V
К
IV
L
А
А
i
307
ром, значения первой критической плотности теплового потока также ока-
оказываются заметно ниже, чем при кипении на трубах, обогреваемых
электрическим током. Так, в опытах Эйкина и Мак-Адамса значение qKVi при
кипении воды под атмосферным давлением на медной трубе диаметром 13 мм
0,22
0,18
0,14
0J0
•
W
1
п
О
•
•
•
§
t •
I •
9 о
•
о
оо#
0,4 0,8 1,2
1,6 2,0 D 1д(р'-р"I6
Рис. 22.6. Зависимость критерия устойчивости k от комплекса
Dig (р'-р") /а:
• — вода; с — этиловый спирт
оказалось равным 600 000 Вт/м2, в то время как для горизонтальной плиты
и электрически обогреваемых цилиндров соответствующее значение qKVt боль-
больше 1 000 000 Вт/м2. Такое существенное расхождение связано не только с не-
некоторым застоем паровых пузырей в нижней ча-
части трубы, но и с существенной неравномер-
неравномерностью теплового потока по окружности гори-
горизонтальной трубы при конденсации в ней пара.
Эта неравномерность обусловлена затоплением
нижней части трубы конденсатом, в результате
чего при сравнительно низком значении средней
плотности теплового потока его локальные зна-
значения на верхней половине трубы могут достиг-
достигнуть и даже превзойти истинные критические
значения.
При размерах поверхности нагрева, соизме-
соизмеримых с отрывным диаметром пузырей, т. е.
порядка a/g (p' — р")> автомодельность кризиса
кипения относительно этого фактора нарушает-
нарушается. Влияние поперечного размера поверхности
нагрева на д^ было исследовано автором,
Г. И. Бобровичем, И. И. Гогониным. Нагревате-
Нагревателями служили достаточно протяженные цилинд-
цилиндры диаметром от 0,1 до 6 мм и пластины,
теплоизолированные снизу и сверху с шириной
от 5 до 500 мм. Здесь же нанесены данные Лайо-
на при кипении гелия на торцевой поверхности
цилиндра (d = 9,91), теплоизолированной снизу
и сверху. На рис. 22.5 показана соответствую-
соответствующая зависимость для воды и спирта при темпе-
температурах насыщения. Отчетливо видна область,
в которой критический тепловой поток не зави-
~ сит от размеров поверхности нагрева, и область,
в которой эта зависимость существенно прояв-
проявляется.
в последнем случае qKPl зависит как от диа-
^ра цилиндра, так и от его ориентации отно-
ской нагрузке сительно вектора силы тяжести. При горизон-
Рис. 22.7. Фотография кипения
308
тальном расположении цилиндров наблюдается отчетливый максимум в за-
зависимости <7кр! от D, отсутствующий для вертикальных цилиндров. Это раз-
различие связано с неодинаковыми условиями эвакуации пузырей с поверхности
нагрева при горизонтальном и вертикальном расположении.
В области малых диаметров имеет место условие dq^IdD < 0.
На рис. 22.6 экспериментальные данные представлены в виде зависимости
критерия устойчивости k от комплекса D Yg (р' — р")/в.
Как видно, весьма разнородные по размерным параметрам данные удовлет-
удовлетворительно описываются одной и той же кривой для данной геометрии нагре-
2,0
1,8
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
О
*
48 /
12
.
i
3 7
ч
/¦*
s
-
•
-..
^ -
s i
**
•
Л4
АД
s
П
J
0
oc
"A
n
r
2
с
?
2 3 4 5 678 W1 2 3 4 5 678 10° 2 3 4 5 678 101 2 3 4 5 678102
Рис. 22.8. Карта влияния размеров нагревателя на qKT> при кипении в условиях свобод-
свободной конвекции. Опыты на воде, этаноле, бензоле, спирто-водной смеси F =
= (сО/r) (р7р"K/4 — комплекс, учитывающий влияние недогрева жидкости до темпера-
температуры насыщения):
/ — участок теплоизолирован снизу; 2 — участок теплоизолирован сверху
вателя (включая в это понятие и ориентацию относительно вектора силы тя-
тяжести). Таким образом, можно считать, что автомодельность кризиса кипения
относительно размера нагревателя в условиях свободной конвекции для гори-
горизонтальных цилиндров имеет место при D >2]^o/g (pr — р") и для вертикаль-
вертикальных цилиндров при D > 0,5 Уа/g (р'—р"). Максимальное значение кри-
критерия k для горизонтального цилиндра имеет место при
0,2
0,8.
Как видно из рис. 22.7, при кипении на тонкой проволоке пузыри обвола-
обволакивают в месте своего возникновения весь нагреватель, чем резко ухудшают
локальный теплообмен и вызывают пережог, отождествляемый с кризисом
кипения.
Полная картина влияния размеров нагревателя на первый критический
тепловой поток при кипении насыщенной и недогретой жидкости в условиях
свободной конвекции приведена на рис. 22.8 по данным, полученным автором,
И. И. Гогониным и Н. В. Валукиной.
309
22.4. ПЕРЕХОД ОТ ПЛЕНОЧНОГО РЕЖИМА КИПЕНИЯ
К ПУЗЫРЬКОВОМУ РЕЖИМУ (ВТОРОЙ КРИЗИС
РЕЖИМА КИПЕНИЯ)
Второй кризис (прекращение пленочного кипения) выражается в распаде
парового слоя и установлении на поверхности нагрева нормального пузырь-
пузырькового кипения.
В момент нарушения парового слоя в нем наблюдаются сильные пульсации.
Поэтому можно полагать, что в данном случае устойчивость паровой пленки
связана с соотношением динамических воздействий, пропорциональных pw2,
и сил тяжести и поверхностного натяжения, т. е. также определяется вели-
величиной критерия устойчивости k.
Однако вследствие различий в начальных структурах двухфазного гранив
ного слоя значение k2 должно быть отличным от k±.
При пленочном режиме кипения поверхность раздела фаз, а следовательно,
и свободная энергия двухфазного граничного слоя меньше, чем при пузырь-
пузырьковом кипении. Поэтому, если скорость парообразования достаточна для рав-
равномерного питания уже возникшего сплошного парового слоя, последний бо-
более устойчив, чем двухфазный слой при пузырьковом кипении. Следователь-
Следовательно, при кипении в условиях свободной конвекции имеют место соотношения
B2.4.1)
По имеющимся опытным данным, константа в этом уравнении близка к 0,2;
при вынужденном течении роль поверхностного натяженияуменьшается и кон-
константа стремится к единице.
22.5. КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ ДВУХФАЗНОГО
ГРАНИЧНОГО СЛОЯ ПРИ БОЛЬШИХ СКОРОСТЯХ
ТЕЧЕНИЯ ЖИДКОСТИ
Мерой относительной скорости течения жидкой компоненты двухфазного
потока во многих случаях целесообразно считать модификацию числа Фруда
Fr* = wi V(p'-p")/g°, B2.5.1)
где wd — приведенная скорость жидкости, т. е. объемная скорость жидкой
компоненты, отнесенная к полному сечению канала. При Fr* -^0 имеет место
первый предельный случай — свободная конвекция, основные законы которой
для кипения в большом объеме жидкости рассмотрены выше. При Fr* ^> 1 ки-
кинетическая энергия жидкой фазы существенно превышает воздействие сил тя-
тяжести и поверхностного натяжения (второй, достаточно простой предельный
случай).
Рассмотрим обтекание пластины неограниченным потоком жидкости, средняя
температура которой меняется так, что становится равной температуре насыще-
насыщения только вблизи выходной кромки. Тепловой поток, подводимый к пласти-
пластине, равен критическому значению при заданных параметрах потока Т' = Т\
Таким образом, в этой схеме устойчивый паровой слой может возникнуть толь-
только около выходной кромки, а основной поток не загроможден паровыми пузы-
пузырями. На пластине развивается турбулентный пограничный слой жидкости,
толщина которого пропорциональна скорости в степени, существенно меньшей
единицы. С другой стороны, отрывной диаметр паровых пузырей при больших
скоростях течения обратно пропорционален динамическому напору потока.
Следовательно, при Fr* > 1
6/D0 ~ w>\ B2.5.2)
т. е. можно теоретически представить такое течение, в котором размеры пузы-
пузырей существенно меньше толщины пограничного слоя. Кризис теплообмена
наступает при вытеснении жидкости, находящейся^между возникающими на
310
стенке паровыми пятнами, и появлении вследствие этого сплошного слоя
пара.
Последний будет наиболее устойчивым, если в момент выброса пристенно-
пристенного слоя жидкости продольная компонента скорости течения жидкости около
стенки будет минимальной. Эти условия аналогичны тем, которые имеют
место при оттеснении пограничного слоя от проницаемой поверхности.
Как показано в гл. 21, при jx ->0 критический вдув через проницаемую по-
поверхность определяется формулой
j*v=2cf. Pow'o. B2.5.3)
Если паросодержание пристенного двухфазного слоя есть ф*, то действи-
действительный поток, выбрасываемый в момент кризиса,
/* = /вр A - Ф*). B2.5.4)
Энергия, необходимая для создания потока /*, берется за счет кинетической
энергии генерируемого пара.
Полагая
JL^(JsJ)%p\ B2.5.5)
р' \ф»гр*/
получаем формулу С. С. Кутателадзе и А. И. Леонтьева:
<7вр « Щ. Ф* A —Ф*) г V7J" wi. B2.5.6)
Отсюда с точностью до множителя с!ш<р# A — ф#) находим критерий устойчи-
устойчивости вида
%-Yf- B2.5.7)
Физический смысл этого критерия ясен — он представляет собой меру отно-
отношения динамического потока газа (пара) к энергии, необходимой для ускорения
частиц жидкости, отбрасываемых от стенки, до скорости основного потока.
Поэтому этот критерий имеет более общее значение, чем данный выше его вы-
вывод в приложении к возникновению кризиса при кипении.
22.6. ВЛИЯНИЕ НЕДОГРЕВА ЖИДКОСТИ
ДО ТЕМПЕРАТУРЫ НАСЫЩЕНИЯ
НА КРИТИЧЕСКУЮ ПЛОТНОСТЬ ТЕПЛОВОГО ПОТОКА
Для возникновения паровой пленки на поверхности нагрева, погруженной
в жидкость, средняя температура которой ниже температуры насыщения, не-
необходим тепловой поток не меньше того, который требуется для создания кри-
критической скорости парообразования в насыщенной жидкости и поддержания
на поверхности пленки температуры насыщения. Запишем этот поток в виде
суммы:
*нр«?ир- + ад'. B2-бЛ)
где #Кр, — критический тепловой поток в насыщенной жидкости; а — коэф-
коэффициент теплоотдачи от поверхности паровой пленки к потоку жидкости, оп-
определенный по разности энтальпий; At = i — /' — разность энтальпий жид-
жидкости при температуре насыщения^ и температуре ядра потока.
При ср= const Ai = ср (Тп — Г), где ft *= Т" — Т — недогрев ядра потока
жидкости до температуры насыщения. Отсюда
?кр = <7кр/<7кР. * ! + аД'/<7кР- B2.6.2)
Допустим, что на поверхности пденки возникает квазистационарный погра-
пограничный слой жидкости. При w & 0 можно считать этот слой ламинарным и
полагать, что
St -PfRe-1/2, B2.6.3)
311
где w ~ 9кР/(ф'О; I ~ V °lg (р' — р") и показатель степени п при числе
Прандтля равен —1/2 по схеме обтекания лобовой точки и —2/3 по схеме
пограничного слоя на пластине. Тогда из уравнения B2.6.2) полу-
получим
B2.6.4)
где
= constPr"Ar;r1/4.
Другая схема была предложена Трайбусом и Зубером. Ниже дается ее несколь-
несколько модифицированное изложение.
/
А
f-Ppn = 1650
/
575 ^
445
'— ^о
540
-^\J^91
_—Э
а
45
0,2
0,5
0,4
0,5 ст>/г
Рис. 22.9. Относительное изменение qKVX при кипении в недогретой
жидкости (свободная конвекция) по опытам С. С. Кутателадзе и
Л. Л. Шнейдермана:
спирт: О—Р = 98-103 Па, Э —р= 19,6-104 Па, # —р = 49-10* Па, Q — р =
= 18,6-106 Па; вода: д — р = 98-10* Па, ^ — р = 29-10* Па; изооктан: v —
р = 98- 103 Па
Допустим, что слои холодной жидкости, проникающие к поверхности паро-
парового слоя после отрыва от него очередного пузыря, прогреваются за счет мо-
молекулярной теплопроводности. Из теории теплопроводности известно, что плот-
плотность теплового потока на поверхности полуограниченного тела при мгновен-
мгновенном увеличении температуры на величину Ф
B2.6.5)
Отсюда средняя плотность теплового потока на границе раздела фаз за период
— \Ш, где U — частота образования пузырей,
?гр = 20 УУс'р'/U. Х22-6.6)
Количество тепла, идущего на собственное парообразование, равно ^кро, а пу-
пузыри и волны на пленке образуют ячейки величиной порядка лапласовой по-
постоянной. Тогда можно написать, что
3<7КРО/(Ф" До); До ~ Vo/g (р' -р"),"
т. е.
Отсюда
/•— р"
8
9'-Р" У/*
Укр
(р'/р'О3/4
B2.6.7)
B2.6.8)
что совпадает со схемой обтекания лобовой точки. Расхождение со схемой об-
обтекания пластины имеет порядок Рг1/6.
Значение комплекса (Pr2Ai\».I/4 для многих жидкостей лежит в весьма
узких пределах, претерпевая заметные изменения только вблизи критичес-
критической точки. Так, при 0,01/?кр < р < 0,5ркр для воды значение этого комплек-
комплекса находится в пределах 34—45, для бензола — 45—55, для спирта — 35—47.
312
В связи с этим практически формулой B2.6.4) можно пользоваться, полагая
I = const « 0,1-
На рис. 22.9 показаны результаты опытов автора и Л. Л. Шнейдермана и
более поздние данные других исследователей, хорошо подтверждающие фор-
формулу B2.6.4).
При больших скоростях течения паровая пленка тонкая и касательные на-
напряжения в ней близки к напряжениям на стенке, т. е. St ^ си12. Тогда
из формул B2.6.4) и B2.5.6) следует, что при Fr* > 1
?Kp«l+?(p7p'')i/2A*7r, B2.6.9)
где С = 4ср* A — ф*). При ф# « я/4 ? « 1,5. Из выражения B2.6.9) сле-
следует, что при больших недогревах, когда <7кр > <7кро> имеет место особый тип
вырождения кризиса кипения, характеризуемый условием
^Д;}. B2.6.10)
22.7. КРИТИЧЕСКИЙ ТЕПЛОВОЙ ПОТОК
В ОБЛАСТИ УМЕРЕННЫХ СКОРОСТЕЙ ТЕЧЕНИЯ
' При обтекании пластины неограниченным потоком жидкости величина ^
с ростом скорости течения меняется плавно от значений, определяемых форму
лами B2.2.5)—B2.6.4), до значений, определяемых формулами B2.5.6)
B2.6.9).
10'3
3
+
+
+ О
4
8
10
Рис. 22.10. Сопоставление экспериментальных данных с
формулой B2.7.2) для спирта в интервале давлений E-г-
-^-55) • 105 Па и для аммиака при р=35-105 Па:
О—спирт; -J—аммиак
Простейшая интерполяция может быть записана как сумма этих значений,
поскольку критический тепловой поток при больших скоростях течения сущест-
существенно больше, чем при свободной конвекции:
fw'o. B2.7.1)
Здесь k00 — значение константы в формуле B2.2.5) и k0 — значение кбнстанты
в выражении B2.5.6). Для области больших и умеренных скоростей влияние
недогрева можно учитывать по формуле B2.6.9). Тогда при ср* « я/4
?KJ>~?o4-?ooFrri, B2.7.2)
где
? 'V' 9" A-
Fr* woy
На рис. 22.10 дано сопоставление этой формулы с опытами Л. С. Штоколо-
Штоколова и Д. Р. Бартца для значений параметра (Mlr)Vp'lp"< 3. При больших зна-
значениях этого параметра наблюдается более медленное изменение критического
313
теплового потока с ростом энтальпии недогрева, а кризис возникает не на
выходной кромке, а сразу по всей поверхности нагрева. Однако рассмотрение
этого еще мало изученного явления выходит за рамки данной книги.
Аналогичные зависимости имеют место и при охлаждении пластины пер-
перпендикулярно набегающей на нее струей жидкости (рис. 22.11). Опыты были
проведены Б. Ш. Чхеидзе под руководством автора. Для струи диаметром,
примерно равным диаметру поверхности
нагрева, при энтальпии недогрева
т
t t
B2.7.3)
получена зависимость
k = 0,14 + 0,014 Fr*. B2.7.4)
При
B2.7.5)
B2.7.6)
Рис. 22.11. Схема задачи об охлажде-
охлаждении пластины набегающей струей
f
•
Соответствующие экспериментальные
данные показаны на рис. 22.12. Отчетливо
наблюдаются область автомодельности от-
относительно параметра недогрева и область
существенного влияния энтальпии недогрева на критический тепловой поток.
При течениях в трубах картина возникновения кризиса кипения при срав-
сравнительно небольших скоростях циркуляции (w0 = wo + w'dp"/p') может быть
весьма сложной. В этом случае параметр Ai/r = 1/К можно рассматривать как
«отрицательное массовое паросодержание» потока — х, а при At < 0, т. е. когда
*> *", этот параметр точно равен массовому паросодержанию потока.
Рис. 22.12. Обобщение экспериментальных данных по кри-
критическим тепловым потокам при охлаждении поверхности
пластины падающей струей:
• — вода; О~этанол; -\—фреон-113
Проведенный выше анализ предельных режимов возникновения пленочного
кипения показывает, что в общем случае должна существовать связь между
следующими гидродинамическими и тепловыми параметрами потока:
? = O(Fv, Аг*; Рг; р'/р"; К\ bVgi»'—P*)\q\ I/б), B2.7.7)
где б — характерный поперечный размер канала и L — длина канала.
На рис. 22.13 приведена характерная зависимость ?кр от 1с для беспульса-
ционных режимов в круглых трубах по опытам В. Е. Дорощука и Ф. П. Фрид.
В области «отрицательных паросодержаний» отчетливо видны прямолинейные
зависимости. В области положительных паросодержаний продолжается моно-
монотонное снижение значения критического потока, но зависимость ^кр = /(*)
носит более сложный характер.
При пульсациях в циркуляционном контуре величина <7кр имеет максиму-
мы в области значений 0 < х < 0,2. Эти максимумы, обнаруженные впервые
314
в опытах М. А. Стыриковича, 3. Л. Миропольского и М. Е. Шицмана, отчет-
отчетливо наблюдаются при низких давлениях и вырождаются при высоких давле-
давлениях. ^
В области сравнительно небольших чисел Fr (<100) и х < 0 критерий ус-
устойчивости k приблизительно пропорционален корню квадратному из числа
0,6
0,4
0,2
С
о
Г V
\
10
20
-1
Рис. 22.13. Зависимость <7кр от паросодержания Рис. 22.14. Зависимость критерия k
при кипении воды в трубе (р=170-105Па) от критерия Fr* при х=0 по опытам
с широкими щелями:
О — Р = 98- 10s Па, С. С. Кутателадзе;
#, A.D. V — р = 98- 10»Па,3-10», 5-10*
9-10», Е. К. Аверин и Г. Н. Кружилин,
X—ps=(l-r-22)« 10* Па, В.С.Чиркин и Юкин;
Фруда. Так, показанные на рис. 22.14 опыты автора, Е. К. Аверина и
Г. Н. Кружилина, В. С. Чиркина и Юкина с щелевыми каналами описываются
эмпирической зависимостью (х «0)
ft» 0,0851/F?, B2.7.8)
а опыты 3. Л. Миропольского и М. Е. Шицмана с круглыми трубами — зави-
зависимостью (х « 0)
ft = 0,0231/Fiv B2.7.9)
В более широких диапазонах параметров, но все же в области умеренных зна-
значений Fr*, зависимость имеет более сложный характер. Так, В. И. Субботин
На
•^
¦s
=;
am
в..
g
¦BS
э
=
1
S
1 1 1 1
=S0±5
~,50±5
,40+4
*s i i
ab
'^' * |—¦
_<so±s
>20±2
' ' '
¦¦
to
¦
s
0,1
0,2
0,3 0,4
0,5
0,6 0,7 О/ J3
Рис. 22.15. Зависимость критерия k от р и Fr* в области по-
положительных значений паросодержания (Р<0,8)
и его сотрудники обнаружили, что при очень больших скоростях течения в об-
области низких давлений наблюдается даже некоторый минимум в зависимости
На рис. 22.15 показана зависимость (х « 0)
; Р), B2.7.10)
315
где Р — объемное расходное паросодержание потока, построенное Р. А. Ры-
биным по большому количеству опытов с кипением воды в протяженных круг-
круглых трубах, для умеренных значений Fr* и р < 0,8. При р > 0,8 однознач-
однозначность этой функции нарушается.
Однако в широком интервале давлений, паросодержаний (положительных
и отрицательных), скоростей течения зависимость критических тепловых по-
потоков от этих факторов очень сложна, неоднозначна и до сих пор еще мало изу-
изучена.
Попыткой как-то упорядочить данные хотя бы для простейшей ситуации
явились рекомендации по расчету кризиса теплоотдачи при кипении воды в
равномерно обогреваемых круглых трубах. Эти рекомендации были составлены
\
\
II
Лгр
Рис. 22.16. Схема зависимости кри-
критической плотности теплового по-
потока от массового паросодержания
при кипении в трубе при умерен-
умеренных давлениях, когда орошение
стенки трубы не интенсивно
Якр
\
\
\
I
1
1
1
Лгр Л
Рис.^ 22.17. Схема зависимости
<7кр(*) при интенсивном орошении
стенки трубы из потока пара, не-
несущего диспергированную влагу
большой рабочей группой под председательством Б. С. Петухова. Различа-
Различают два рода кризисов — гидродинамический, связанный с возникновением
пленочного кипения (который только и рассматривался выше), и кризис высы-
высыхания (полного испарения) пристенной пленки жидкости, который может про-
протекать как при наличии, так и в отсутствие орошения стенки трубы уносимыми
потоками пара каплями жидкости.
На рис. 22.16 показана схема изменения критического теплового потока с
ростом положительного массового паросодержания при давлениях меньше
15 МПа. Кривая / соответствует явлению возникновения пленочного кипения
(кризис первого рода по терминологии В. Е. Дорощука). Кривая // соответ-
соответствует процессу высыхания пленки при дисперсно-кольцевом течении жидкой
фазы (кризис второго рода). На рис. 22.17 показаны характерные графики раз-
размытого перехода от одного критического режима к другому, наблюдаемые
при высоких давлениях. Зависимость первого типа (см. рис. 22.16) соответству-
соответствует слабому орошению стенки трубы каплями жидкости из потока пара. Размы-
Размытая картина (см. рис. 22.17) соответствует значительному орошению. В первом
случае наступление кризиса второго рода условно можно характеризовать не-
некоторым критическим (граничным) массовым паросодержанием хгр (табл. 22.1).
Соответствующие критические плотности тепловых потоков приведены
в табл. 22.2.
Таким образом, накопленный в настоящее время обширный эксперимен-
экспериментальный материал о кризисах теплообмена при кипении в трубах и каналах по-
пока еще не обобщен надлежащим образом. В литературе к данной главе при-
приведены источники, достаточно полно освещающие имеющееся положение и со-
содержащие сводки различного рода эмпирических формул и рекомендаций.
316
Таблица 22.1
Граничные массовые паросодержания при кипении воды в круглой трубе диаметром 8 мм
^^-^^^^ P, МПа
750
1000
1500
2000
2500
3000
4000
5000
3 — 5
0,75
0,65
0,55
0,45
0,40
0,35
0,30
0,30
7
0,70
0,60
0,45
0,40
0,35
0,30
0,25
—
10
0,60
0,50
0,40
0,30
0,30
0,30
—
12
0,55
0,45
0,35
0,30
0,30
—
14
0,45
0,35
0,30
0,30
—
Таблица 22.2
Выборочные данные из скелетной таблицы критических плотностей теплового потока
(мВт/м2) при кипении воды в круглой трубе диаметром 8 мм при различных давлениях
\ x
\
кг/(м2-с)\
750
1500
2500
4000
5000
750
1500
2500
4000
0
8,00
7,60
7,20
7,05
4,55
4,50
4,30
4,50
0,1
p=3 МПа
7,50
6,55
5,50
4,80
4,30
10 МПа
3,55
3,30
2,80
2,40
0
6,
5,
4,
3,
3,
з,
2,
2,
1,
,2
75
40
25
50
30
05
60
05
55
0,4
5,50
3,80
2,30
2,55
1,55
0,55
N. X
\
кг/(м2-с)\
750
1500
2500
4000
5000
750
1500
2500
4000
5000
2
2
2
3
3
1,
1,
1,
2,
2,
0
,00
,30
,65
15
75
35
50
75
00
30
0,1
16 МПа
1,50
1,60
1,80
2,10
2,40
20 МПа
0,80
1,15
1,45
1,70
2,10
1
1
1
1
1
0
0
1
1
1
0,2
,20
,15
,25
,45
,65
,65
,85
,10
,40
,70
0,4
0,80
0,45
0,50
0,70
0,80
0,45
0,40
0,55
0,75
0,90
22.8. КРИЗИС КИПЕНИЯ В БИНАРНЫХ СМЕСЯХ
Работами Ван-Вийка, Ван-Стралена, В. Г. Фастовского, Р. И. Артыма,
Г. И. Бобровича, В. Н. Москвичевой и др. было обнаружено, что при кипении
растворов критическая плотность теплового потока зависит от концентрации
компонент весьма сложным образом. Автором и его сотрудниками подробно был
исследован кризис кипения бинарных смесей, образующих нестабильные пены
на примере спирто-водяных растворов (рис. 22.18). Аналогичные зависимости
имеют место и для систем вода—#-пропанол, вода—метилэтилкетон, вода—н-
бутанол и некоторых других.
Отчетливо обнаруживаются максимумы значений qKV, которые зависят как
от размеров нагревателя, так и от давления в системе. Эти максимумы не объ-
объясняются изменением физических свойств, входящих в формулу B2.2.5),
что видно из сопоставления экспериментальных кривых на рис. 22.18 с кривой,
рассчитанной по формуле B2.2.5) при подстановке в нее физических свойств
смеси при данной концентрации. В области низких концентраций спирта в во-
воде экспериментальные данные для пластины приближаются к расчетным зна-
317
20 40 SO 80 100
Массовая концентрациям/о
Рис. 22.18. Зависимость qKT) от массовой кон-
концентрации спирта в воде для разных размеров
поверхности нагрева:
• — проволока (D = 0,5 мм), р = 98• 10е Па; 4—пла-
4—пластина на ребре, р =98• 108 Па; расчетная
кривая для р = 98-103 Па; д —пластина на ребре,
р=11-10»Па; ? — пластина на ребре, р = 31 -10* Па;
О — проволока D = 0,5 мм, р=1Ы0» Па; X—про-
X—проволока D= 0,5 мм, р = 31-10* Па *- >
стей k (AC), построенных по экс-
экспериментальным точкам для левой и правой ветвей зависимостей ?кр (С), Эти
соображения подтверждаются данными, приведенными на рис. 22.20.
чениям, а при больших концентра-
концентрациях характер опытных кривых
резко меняется.
Как видно из рис. 22.19, мак-
максимум этой зависимости находится
примерно в той же зоне концен-
концентраций С, что и максимум зависи-
зависимости <7кР (Q.
Особенностью кипения таких
растворов, как спирто-водяная
смесь, является склонность к обра-
образованию нестабильной пены. Ин-
Интенсивность пенообразования в оп-
определенной мере качественно ха-
характеризуется кривой АС. Поэтому
изменения в структуре пены при
кипении смеси формально можно
оценить величиной
ДС = ДС/ДСт, B2.8.1)
где ДСт — максимальная разность
летучей компоненты в паровой и
жидкой фазах. Если механизмы
перехода от одной структуры к
другой одинаковы (т. е. рассматри-
рассматривается группа подобных по своим
физико-химическим свойствам би-
бинарных смесей), то в первом приб-
приближении должна существовать
однозначная связь между величи-
величинами k и ДС. Прямым подтвержде-
подтверждением существования такой связи
должно быть совпадение зависимо-
Как видно, зависимость k (ДС) близка к линейной, а угол наклона опре-
деляется относительным размером нагревателя. Чем больше величина
' — р")> тем меньше угол наклона этих прямых, что формально и опи-
описывает уменьшение максимумов на кривых <7кр (С).
к
?
0,2
0,1
40
50
20
10
/
/
I
\
\
• —'
о
^ —"*
—(Г-
D
• 9.
.
20 40 60 80С°/о
0ч2
0,4
Рис. 22.19. Зависимость раз-
разности массовой концентра-
концентрации спирта в паровой и
жидкой фазах АС от массо-
массовой концентрации спирта
в жидкой фазе С
318
Рис. 22.20. Зависимость критерия k от АС:
• , О— проволока D = 0.5 mm; J^.A —пластина, поставленная в а уз-
узкую грань; П,И — пластина, поставленная на широкую грань
22.9. НЕПОСРЕДСТВЕННЫЙ ПЕРЕХОД
ОТ ОДНОФАЗНОЙ КОНВЕКЦИИ
К ПЛЕНОЧНОМУ КИПЕНИЮ
На поверхностях нагрева, обедненных центрами парообразования, возни-
возникает значительный перегрев пристенного слоя жидкости по отношению к тем-
температуре насыщения при данном давлении над плоскостью. Это явление отчет-
отчетливо наблюдается в металлических и неметаллических жидкостях при низких
давлениях, когда существующие потенциальные центры парообразования вы-
выключаются вследствие увеличения
критического радиуса зародыша с по-
понижением давления.
В такой метастабильной ситуации
пленочное кипение может возник-
возникнуть, минуя режим развитого пузырь-
пузырькового кипения. Это явление имеет
место и при кипении на очень тонких
проволоках. По опытам автора,
Г. И. Бобровича, Б. П. Авксентюка,
Н. Н. Мамонтовой и В. Н. Москвиче-
вой, этот переход имеет кавитацион-
ный характер —происходит взрывооб-
разное возникновение облака микро-
микропузырей в окрестности нагревателя,
испарение пристенного слоя жидко-
жидкости и формирование паровой плен-
пленки. Некоторые фотографии такого
процесса показаны на рис. 22.21.
Ниже излагается модель этого явле-
явления, предложенная автором и
Б. П. Авксентюком.
Критические тепловые потоки,
имеющие место при нестабильном ки-
кипении, лежат в диапазоне между
?kpi> обусловленной описанным ра-
ранее гидродинамическим механизмом,
и <7кР,, соответствующей минималь-
минимальному тепловому потоку, вызывающе-
вызывающему непосредственный переход от од-
однофазной тепловой конвекции к пле-
ночному кипению. При этом должно
иметь место условие
B2.9.1)
Рис. 22.21. Фотография взрывообразного
возникновения паровой пленки на проволоч-
проволочном нагревателе при кипении бензола (р=*
= 104Па)
В качестве критерия кавитационного механизма такого перехода можно
ввести величину
oMp/(p't«V:), B2.9.2)
Где #кр _ критический радиус зародыша паровой фазы; и* — характерная
скорость перемещения границы раздела фаз; V'm — эффективный объем жид-
жидкости, присоединенный к движению границы раздела. Числитель этого выра-
выражения является масштабом работы возникновения паровой фазы, а знамена-
тель — масштабом воздействия кавитационного импульса. При этом приня-
принято р" « р'.
Масштабом максимальной конечной скорости перемещения границы раз-
раздела фаз может быть ее значение при радиусе пузыря порядка /?кр, а масшта-
масштабом присоединенного объема жидкости — его максимальное значение, соот-
соответствующее радиусу лапласовой постоянной. Тогда, определяя скорость пе-
ремещения поверхности пузыря по модели теплового удара (см. гл. 21), по-
получим
R
Ф"
X' с' р'
AT3;
orp" T"
у- Г 13/2
* Lg(p'-p")J "
B2.9.3)
Подставляя эти масштабы характерных величин в выражение B2.9.2), полу-
получаем безразмерное число критического перегрева жидкости при свободной кон-
конвекции:
B2.9.4)
кз 3/16 а7/16 гр„Ц2
Расчет по этой формуле приведен в табл. 22.3.
Таблица 22.3
Значения критического перегрева насыщенной жидкости около
обедненной центрами парообразования
Вещество
Бензол
Калий
Интервал дав-
давлений, 10~5
Па
0,1—0,5
0,01—1,5
—100
—130
Вещество
Цезий
Этанол
поверхности
Интервал дав-
давлений, 10
Па
0,05—1,8
0,05—0,4
нагрева,
ЛГ*Рз>К
-145
83—96
На рис. 22.22 приведена характерная диаграмма границы вскипания по опы-
опытам с двумя неметаллическими жидкостями. На рис. 22.23 представлены ре-
результаты обработки опытных данных по критерию B2.9.4) для калия, цезия,
бензола и этанола.
о
о • <
Л
•
•
•о
• *•
•
Д д д
А
А
А
•
л О#* 4
А •
А •
А
к
т
А
А
L«A A
•
А
•
А
t A
К
А
А А
10*
6-1Q'* 8 10~3 2 4 6 8 10'2
Р/Ркр
Рис. 22.22. Обработка экспериментальных данных по перегре-
перегревам перед вскипанием для этанола и бензола:
#,4 —переход к пузырьковому кипению; О»д— переход к пленочному
кипению
320
S-
б
6
5
4
?
К\
'С
S
С2Н50Н
Y
&
6
6 8 10'+ 2 3 4 S 8 10~s
Ю
'2
Р/Ркр
Рис. 22.23. Минимальные перегревы, при которых вскипание приводит
к пленочному кипению (обработка опытных данных)
Как видно, кавитационная модель непосредственного перехода однофазной
тепловой конвекции в пленочное кипение качественно вполне правильно опи-
описывает наблюдаемые факты. Количественное согласование имеющихся экспе-
экспериментальных данных также можно считать удовлетворительным.
22.10. ВЛИЯНИЕ МЕТАСТАБИЛЬНОСТИ ПРИСТЕННОГО
СЛОЯ ЖИДКОСТИ НА ПЕРВУЮ КРИТИЧЕСКУЮ
ПЛОТНОСТЬ ТЕПЛОВОГО ПОТОКА
В металлических жидкостях при критических режимах кипения имеет мес-
место заметный отвод тепла через жидкость даже в условиях нормальной гидро-
гидродинамической неустойчивости пристенного двухфазного слоя. В ослабленном
виде этот эффект наблюдается и при кипении неметаллических жидкостей под
низким давлением.
&-W6
Е
00
S-
106
1-
-Г"
о 1
8 I
о°° i
° 1
о
о
t
По
¦ "
_ 1
0
°
? . !
1
—
г
Or-.
о
о?^
оо
?
ъ
о
D
—Г
а
, о °
°о°
а
0
оо
а
о
I
— -
о
f
If
о
о
а
D
а
0-2
10"
8 10°
P. f0s Па
Рис. 22.24. Опытные данные по критическим тепловым потокам при кипе-
кипении натрия:
О — данные В.И. Субботина, Г.Н. Сорокина и др.; Q — данные Найса и Лурье.
д — данные Кесвела и Бальшисера; / — расчет по формуле B2.10.5); // — расчетная
кривая при AT' ~ = 3,8 • 102 для минимальных тепловых потоков, при которых
3
вскипание приводит к пленочному кипению
Допустим, что тепловой поток, отводимый в момент кризиса теплопровод-
теплопроводностью через жидкость, определяется формулой теплового удара, т. е.
qM — ДТМ (V c'p'lty /2, B2.10.1)
где АГМ — разность температур, определяющая теплопроводность в толщу
жидкости.
11 Зак. 785
321
Рис. 22.25. Опытные данные по критическим тепловым потокам при кипе-
кипении цезия:
О—данные В.И. Субботина, Д.Н. Сорокина и др.; л—данные авторов; / — расчет по
формуле B2.10.5); //— расчетная кривая при
— 3,8«102 для минимальных
тепловых потоков, при которых вскипание приводит к пленочному кипению
Полагая, что характерное время тепловых импульсов имеет порядок вре-
времени пробега капиллярных волн в модели нормального гидродинамического
кризиса кипения, запишем:
6
и если Д7'м~ ATKPs, то при р' > р"
<7M~g9/16^''1/2
Суммарный поток
<7кР1«
B2.10.2)
B2.10.3)
B2.10.4)
По имеющимся опытным данным можно принять (без поправки на М*) при
Рг« 1
qKPl & 0,14rp
Г'1/2 (А/ с'I/4 а5/16 p'7/ie. B2.10.5)
Ha рис. 22.24 и 22.25 приведены экспериментальные данные, подтверждаю-
подтверждающие, что при нестабильном кипении щелочных металлов первые критические
тепловые потоки лежат между рассмотренными выше пределами.
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Авксентюк Б. П., Кутателадзе С. С. Неустойчивость режима теплообмена на поверх-
поверхностях, обедненных центрами парообразования.— «Теплофизика высоких темпера-
температур», 1977, т. 15, № 1, с. 115.
2. Бобрович Г. И., Гогонин И. И., Кутателадзе С. С. Влияние размера поверхности на-
грева на критический тепловой поток при кипении в большом объеме жидкости. —
«Журн. прикл. механ. и техн. физ.», 1964, № 4, с. 137.
3. Бобрович Г. И., Кутателадзе С. С. Влияние концентрации спирто-водяной смеси на
критическую плотность теплового потока.— «Журн. прикл. механ. и техн. физ»,
1964, №2, с. 146.
4. Вопросы теплообмена при изменении агрегатного состояния. Сб. статей под общ. ред.
С. С. Кутателадзе. М.— Л, Госэнергоиздат, 1953.
5. Вопросы теплоотдачи и гидравлики двухфазных сред. Сб. статей под общ. ред.
С. С. Кутателадзе. М.—Л., Госэнергоиздат, 1961.
6. Исследование теплоотдачи к пару и воде, кипящей в трубах при высоких давлениях.
М., Атомиздат, 1958.
7. Исследование критических тепловых потоков в пучках стержней. Семинар ТФ-74.
М., Ин-т атомной энергии им. И. В. Курчатова, 1974.
8. Котлотурбостроение. Тр. ЦКТИ, вып. 57—59. Л., 1965.
9. Кризис теплообмена при кипении в каналах. Сб. статей. Обнинск, ФЭИ, 1974.
10. Кризис теплоотдачи в трубах. Е-11, ОБ-17, ФЭИ, 1976.
322
П. Кутателадзе С. С., Москвичева В. Н. О связи гидродинамики двухкомпонентного слоя
с теорией кризисов в механизме кипения.— «Журн. техн. физ», 1959, т. 29, № 9,
с. 1135.
12. Маленков И. Г. Критические явления в процессах барботажа и кипения.— «Журн.
прикл. механ. и техн. физ.», 1963, № 6, с. 166.
13. Орнатский А. П., Винярский Л. С. Кризис теплообмена в условиях вынужденного
движения недогретой воды в трубках малого диаметра. — «Теплофизика высоких
температур», 1965, т. 3, № 3, с. 444.
14. Орнатский А. П. Обобщение опытных данных по гидравлическому сопротивлению
при поверхностном кипении.— «Журн. прикл. механ. и техн. физ., 1965, № 3, с. ИЗ.
15. Поварнин П. И., Семенов С. Т. Исследование кризиса кипения при течении недогре-
недогретой воды в трубках малых диаметров при высоких давлениях.— «Теплоэнергетика»,
1960, № 1, с. 79.
16. Рекомендации по расчету кризиса теплоотдачи при кипении воды в равномерно обо-
обогреваемых круглых трубах. Научный совет по комплексной проблеме «Теплофизи-
«Теплофизика», препринт 3—004, БТД ОКБ ИВТАН, 1975.
17. Штоколов Л. С. Опыт обобщения данных о критических тепловых потоках при кипе-
кипении жидкостей в области больших скоростей течения. — «Журн. прикл. механ. и
техн. физ.», 1964, № 1, с. 134.
18. Штоколов Л. С. Кризис теплообмена при кипении этилового спирта в области боль-
больших скоростей течения.— «Инж.-физ. журн.», 1964, т. 7, № 12, с. 3.
19. Cumo M. Elementi di termotecnica del reattore. Roma, С N. E., 1971.
20. Jacket H. S., Roarty J. D., Zerbe J. E. Investigation of burnout heat flux in rectangu-
rectangular channels at 2000 psia. — «Transactions ASME», 1958, v. 80, N 2, p. 391.
21. Sims G. E.T Aktiirk U., Evans-Lutterodt К. О. Simulation of pool boiling heat transfer
by gas injection at the interface. — «Intern. J. Heat and Mass. Transfer», 1963, v. 6,
N 6, p. 513.
22. Van Stralen S. Warmteoverdracht aan kokende binare vloeist tofmegesels. Wageningen,
1959.
23. Wallis С. В. Some hydrodynamic aspects of two phase flow and boiling.— «Internatio-
«International Developments in Heat Transfer». Proc. 1961—62 Heat Transfer Conf. Pt. 2. New
York, Amer. Soc. Mech. Eng., 1961, p. 319.
24. Zuber N. Hydrodynamics aspects of boiling heat transfer. AECV, 439, 1959.
25. Zuber N., Tribus M., Westwater J. W. The hydrodynamic crisis in pool boiling of satu-
saturated and subcooled liquids.— «International Developments in Heat Transfer». Proc.
1961—62. Heat Transfer Conf. Pt. 2. New York, Amer. Soc. Mech. Eng., 1961, p. 230.
Глава i w
ЭЛЕМЕНТЫ МАГНИТНОЙ
ТЕРМОГИДРОДИНАМИКИ
B3.1.1)
23.1. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Проводящими жидкостями являются расплавленные металлы, которые
практически можно считать несжимаемыми, электролиты и плазма. Если про-
проводящая среда пересекает магнитные силовые линии, то в ней индуцируется
электрический ток, что приводит как к изменению магнитного поля, так и к
появлению пондеромоторной объемной силы в среде. Возникает также допол-
дополнительный механизм диссипации энергии за счет джоулева нагрева.
Течение проводящей среды в магнитном поле описывается системой урав-
уравнений магнитной гидродинамики. Для несжимаемой жидкости с постоянной
электропроводностью и вязкостью система уравнений имеет вид:
— = — +(wgrad)H = (Hgrad)w + r)V2H.
dt dt
р — = gp— grad p + pvV2 w+ lie (rot H X H);
dt
divH = 0; j=rotH;
divw = 0;
pT — = p — 4?. = ц [V2 w* — 2w (V2 w)-(rot wJ] +
dt dt dt
+div (X grad T) + — (rot HJ.
a
Здесь Н — напряженность магнитного поля; \х — динамическая вязкость;
г) = l/\ieG — коэффициент магнитной диффузии, или коэффициент магнитной
вязкости; \ie = 4л-10~7 кг-м/К2 — магнитная проницаемость; a — прово-
проводимость; S — энтропия единицы объема.
Первое из этих уравнений (уравнение индукции) получено в результате ис-
исключения плотности тока j и электрического поля Е из уравнений электроди-
электродинамики и описывает влияние поля скоростей w на магнитное поле Н. При w =
= 0 оно принимает вид
dH/d/ = r]V2H, B3.1.2)
т. е. становится аналогичным уравнению диффузии. Для идеально проводящей
среды (а -> оо, т] -> 0) уравнение индукции переходит в уравнение dH/dt =
= (Н grad )w, или
dH/dt = rot(wxH). B3.1.3)
Это уравнение эквивалентно уравнению для вихря скорости rot w = 0 в гид-
гидродинамике невязкой жидкости, которое означает, что вихревые линии дви-
движутся вместе с жидкостью. Следовательно, из уравнения B3.1.3) следует, что
линии магнитного поля Н движутся вместе с веществом. Этот эффект известен
как эффект «вмороженности» магнитного поля в идеально проводящую среду.
В общем случае движущейся жидкости с произвольной проводимостью эффект
диффузии, описываемый членом т]\72Н, и эффект «вмороженности», описывае-
описываемый членом (Н grad )w, будут суммироваться.
Отношение этих двух членов дает безразмерный параметр
Rem = wl/r\, B3.1.4)
имеющий структуру, аналогичную структуре числа Рейнольдса, и называемый
магнитным числом Рейнольдса.
324
Воздействие магнитного поля на движение проводящей среды описывается
последним членом второго из уравнений B3.1.1). Влияние магнитного поля
можно качественно оценить, взяв отношение двух последних членов этого урав-
уравнения. Если выражение
R\i = h? H2 l/(\iw), B3.1.5)
характеризующее отношение магнитной силы к силе вязкости, умножить на
магнитное число Рейнольдса, то можно выделить так называемое число Гарт-
Гартмана:
На = [х6 HI УоЦлГ. B3.1.6)
Можно заметить, что в некоторых^случаях число Гартмана является фор-
формальным аналогом числа Маха—Маиевского. Влияние магнитного поля, ко-
конечно, можно оценивать не только по отношению к вязкому члену, но и по
отношению к другим членам второго из уравнений B3.1.1).
В табл. 23.1 приводится сравнение значений чисел Rem и На для некоторых
сред при условии, что / = 1 см, \хеН = 10 ~4 71, w = 1 см/с.
Таблица 23.1
Значения гидродинамического числа Рейнольдса, магнитного числа Рейнольдса
и числа Гартмана для некоторых сред
Вещество
Температура, К
Re
Rem, 10-5
На, 10-2
Hg
290
874
1,04
2,6
N'a
370
135
10,3
12,5
К
370
193
6,4
124
Li
470
886
2,2
6,3
Bi
570
605
0,77
2,15
Al
970
82
4,8
3,9
Морская
вода
280
78,5
3,82-10-6
5,4
23.2. ВЛИЯНИЕ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОГО К ТЕЧЕНИЮ
МАГНИТНОГО ПОЛЯ
НА ГИДРОДИНАМИКУ И ТЕПЛООБМЕН
В ЛАМИНАРНОМ ПОТОКЕ
Простейшим примером взаимодействия магнитного поля с потоком прово-
проводящей жидкости является напорное течение в плоскопараллельном канале,
рассмотренное Гартманом.
Пусть ширина щели 26, а магнитное поле перпендикулярно стенкам канала.
Последние могут быть как непроводящими, так и проводниками с проводимо-
проводимостью а19 а2 соответственно для толщин стенок бх и б2. Течение осуществляется
в направлении оси х. Вследствие неравномерности скоростей течения по оси
у, направленной перпендикулярно к ограждающим стенкам, возникает л>ком-
понента напряженности магнитного поля Нх. Индуцированное электрическое
поле Е направлено вдоль оси г.
Решение уравнений B3.1.1) с соответствующими граничными условиями
имеет вид
ch На — ch На Е /оо о i \
chHa—1
где I = у/8. Скорость жидкости на оси (g = О
, vP chHa--l
б На sh На
B3.2.2)
325
w
/ / "
10 ~^\
—-A
Рис. 23.1. Профили скоростей для
течения жидкости в поперечном
магнитном поле между непрово-
непроводящими пластинами в зависимости
от значений числа На
Рис. 23.2. Зависимость перепада
давления в трубе (d=0,689 мм,
/=280 мм) от значения магнитного
поля Н при различных значениях
Re для течения ртути в попереч-
поперечном магнитном поле
где
Ф1+Ф2 + 2
(ф1 + Фг) На cth На + 2
об
аб
На = \ie #61/cr/pv.
Если пластины являются изоляторами, то фх = ф2 = 0.
Характер деформации профиля скоростей в зависимости от числа Гартмана
показан на рис. 23.1 при постоянных значениях др/дх. На рис. 23.2 приведе-
приведены результаты экспериментальных ис-
0 /С | 1 1 1 следований течения ртути в круглой тру-
15
10
А
д А
/
/
S -¦
о
1,0
2,0 Ha//Re
бе Гартманом и Лазарусом. По горизон-
горизонтальной оси отложено значение магнит-
магнитного поля Ну по вертикальной — пере-
перепад давления в трубе, сплошной кривой
разграничены области турбулентного и
ламинарного режимов течения ртути.
На рис. 23.3 показаны результаты
опытов А. Б. Цинобера по продольному
обтеканию плоских пластин электропро-
электропроводной жидкостью в магнитном поле, пер-
перпендикулярном вектору скорости тече-
течения вне пограничного слоя. При На = 0
хорошо воспроизводится закон трения
Блазиуса для ламинарного погранично-
пограничного слоя. Результаты опытов описы-
описываются зависимостью
Рис. 23.3. Зависимость относительного
коэффициента сопротивления пластины
от параметра На/'УЯе (опытная кривая
соответствует зависимости B3.2.3)
1,328
На1'4
Re0'7
. B3.2.3)
326
Соответствующая деформация профилей скоростей в пограничном слое пока-
показана на рис. 23.4.
В области 3-103 < Re < 1 • 104 и 0 < На < 53 для неограниченного, по-
поперечно обтекаемого цилиндра было найдено, что
|, B3.2.4)
а для шара —
B3.2.5)
При этом происходит также смещение точки отрыва пограничного слоя в сто-
сторону кормы. По не очень точным опытам А. Б. Цинобера и др., при обтекании
цилиндра в области 103 < Re/? < 6-103 и 0 < На < 37 угол расположения
точки отрыва пограничного слоя меняется по формуле
т /-^/ m /I wLT-To2/9 О<=Л /OQ О &\
Теплообмен потока проводящей жидкости со стенками канала в магнитном
поле изучен пока недостаточно. Магнитное поле влияет на теплообмен посред-
посредством деформации профиля скоростей и вследствие появления внутреннего
источника тепла.
Влияние джоулева тепла при недеформированном параболическом профиле
скоростей оценивается формулой A1.15.7), т. е. лежит в пределах —1<
< (<7d#o)/2<7ct < 1, 1,35 > а/а0 > 0,75. В данном случае объемная плот-
У/Г
0,06
0,04
0,02
•
1
i
1
L
—-"
-
- —
^
—
0,4
0,8 1
1,2
2,4 2,8
Рис. 23.4. Кривые распределения скоростей электропроводной
жидкости в пограничном слое на плоской пластине для раз-
различных значений параметра Ha2/Re
ность внутреннего источника qv = W/V, где W — выделение джоулева тепла
на единицу длины канала; V — объем, занимаемый проводящей жидкостью на
единице длины канала.
И. Т. Иеном была рассмотрена задача о теплообмене в плоском канале, ог-
ограниченном проводящими стенками толщиной бх и б2 с проводимостью ог и а2.
Уравнение переноса тепла для несжимаемой жидкости с постоянными элект-
электропроводностью, вязкостью и теплопроводностью
рср wdT/дх = Хд2 Т/ду2 + \i (dw/dyJ + j2/a
решается при следующих граничных условиях:
Т=ТОу * = 0;
dT/dy=-q/X, y=—lt
где q = const — поперечный поток тепла.
B3.2.7)
B3.2.8)
327
Полученные решения, отдельные результаты которых иллюстрируют рис.
23.5 и 23.6, для поля температур (из-за громоздкости выражений они здесь не
выписаны) позволяют оценить влияние джоулевой и вязкой диссипаций и тепло-
теплообмена на среднюю температуру жидкости в зависимости от значений
параметра Гартмана и параметра Ес — q\ilP (др/дхJ.
На
100
10
1 //
///
ИЗ
><
НИ
/
О 0,01 0,1 1
10 100
Рис. 23.5. Влияние теплообмена и диссипации на
среднюю температуру потока в канале:
?=10-3; 10-2; 1
Рис. 23.6. Профили температур
в канале в некотором сечении,
определяемом условием х-
Ql* dp
— при
dp
— ,приф1+ф2>10, На
0,01;— ?с=—0,01
Так, для непроводящих стенок (фх = ф2 = 0) вязкая диссипация более сущест-
существенна, чем джоулев нагрев при всех числах Ее и На. Для проводящих стенок
с фх + ф2 > 10 джоулев нагрев играет большую роль, чем вязкая диссипация
при всех значениях Ес, если только На > 2.
23.3. ВЛИЯНИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ НА ТУРБУЛЕНТНОЕ
ТЕЧЕНИЕ ЖИДКОГО МЕТАЛЛА В КАНАЛАХ
Наложение магнитного поля на турбулентный поток проводящей жидкости
приводит к гашению турбулентности и постепенному (по мере увеличения маг-
магнитного поля) переходу от турбулентного режима течения к ламинарному. С
увеличением числа Рейнольдса точка перехода ламинарного режима течения
в турбулентный смещается в сторону больших значений магнитного поля (см.
рис. 23.2).
Продольное магнитное поле гасит турбулентные пульсации слабее, чем по-
поперечное. В то же время продольное магнитное поле не влияет на ламинарный
режим течения.
На рис. 23.7 (пунктирная линия) приведены полученные Глоубом значения
критического числа ReKp, при котором ламинарное течение в продольном маг-
магнитном поле переходит в турбулентное в зависимости от числа Гартмана. Здесь
ReKP0 — критическое значение числа Рейнольдса в отсутствие поля. Опыты
проводились при течении ртути в стеклянных и алюминиевых трубках. Зави-
Зависимость критического значения числа Рейнольдса, при котором происходит
переход ламинарного течения в турбулентное в поперечном магнитном поле, от
числа Гартмана показана на рис. 23.7, взятом из работы Г. Г. Брановера и
О. А. Лиелаусиса (сплошная линия). На рис. 23.8 приведены полученные Гарт-
маном, Лазарусом, Г. Г. Брановером, О. А. Лиелаусисом и Мергетройдом
значения коэффициента сопротивления Cm = 2ApR/pw2l (R — гидравличес-
гидравлический радиус, Ар — перепад давления на длине / канала, w — средняя ско-
328
рость) в зависимости от величины B/Re) [Ha2th Ha/(Ha — th На)] для течения
ртути в поперечном магнитном поле. Прямая линия на графике соответствует
ламинарному режиму течения.
В области турбулентного течения магнитное поле по-разному влияет на ко-
коэффициент сопротивления в зависимости от значения числа Re. При Re < Rerp,
30
\
сэ
?20
С*
ч
ex.
ОС
5
1
1
—*г*
!
V
/
«г*'
1
1
У
1
1
\
\
h
1
Рис. 23.7. Зависимость относительного кри-
критического числа Рейнольдса ReKp/(ReKp)o от
числа На для поперечного ( ) и
продольного ( ) магнитных полей:
X — экспериментальные данные Гартмана и Лаза-
руса; # —Мергетройда; О—-Брановера и Лиелау-
сиса; * — Глоуба
Рис. 23.8. Коэффициент сопротивления при
течении ртути в поперечном магнитном поле
Г,»
ю
г^
5
75
500
'00
-ЗООПП
220L
. ^
Re
/^
?
«/207 ИМ?
<
\
к
\
\
\
?
Ha
в 1 2 4 e 810 20 40 SO 100
Re' Ha-thHa '
10
где Rerp « 2500, коэффициент сопротивления падает с ростом магнитного по-
поля, при Re > Rerp — возрастает. ЕГ области Re > Rerp вполне удовлетвори-
удовлетворительна следующая эмпириче-
эмпирическая формула:
B3.3.1)
Ofi
0,4
0,2
где ?0 — коэффициент гидрав-
гидравлического сопротивления, соот-
соответствующий данному Re при
На = 0. Зависимость B3.3.1)
справедлива только для гидрав-
гидравлически гладких стенок. В слу-
случае шероховатых^ стенок влия-
влияние поля сказывается сильнее.
На рис. 23.9 приведены ре-
результаты расчета полндш каса-
касательного напряжещт^получен-
ные Д. С. Ковн^ром, для уста-
установившегося /плоскопараллель-
/плоскопараллельного течения проводящей жид-
жидкости в поперечном магнитном
поле. Как видно, по мере уве-
увеличения числа На размер лами-
наризованного ядра потока уве-
увеличивается.
|\
\
к
\24,4
\На
'0
\
0,2
0,4
0,5
0,8 у/1
Рис. 23.9. Распределение полного касательного на-
напряжения в турбулентном потоке при различных
числах Гартмана (Re* = M*6/v=103; б — полуши-
полуширина канала)
329
?
oj
0,5
—-—
-—ex
о
*—^.
i\ 6=/
— —
000
"ТТЛ
1—
8 10 12 14 16 18 20 На
Рис. 23.10. Влияние продольного магнитного поля на коэффи-
коэффициент трения при турбулентном движении ртути в трубе
На рис. 23.10 приведена полученная Глоубом зависимость коэффициента
трения от числа Гартмана для различных значений числа Рейнольдса при тур-
турбулентном течении. Как видно, коэффициент турбулентного трения уменьша-
уменьшается с ростом числа Гартмана.
23.4. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕРМОГАЗОДИНАМИКИ
НИЗКОТЕМПЕРАТУРНОЙ ПЛАЗМЫ
Одной из важных областей приложения электромагнитной гидродинамики
являются процессы течения и теплообмена в генераторах низкотемпературной
плазмы — электродуговых плазмотронах. Главной особенностью этих течений
является наличие значительных градиентов температуры (на оси канала плаз-
плазмотрона Т = A(М-20)-103 К, а на стенке Т = 400^-500 К) и зависящих от
температуры свойств среды. Вследствие этого в уравнениях, описывающих та-
такие течения, вязкость и плотность входят под знак оператора, а переменная
плотность определяется уравнением состояния:
р — = gp—grad p + \ie (rot H x H) + H<V2 w + — grad (\i div w) —wV2 [x
dt 3
+ grad (w grad ji) + rot (w x grad [i);
др/dt + div (pw) = 0;
div||X[ grad до2— w x rot w wdiv w )| ;
rotH = j;
divH = 0;
rotE=— l
B3.4.1)
B3.4.2)
B3.4.3)
B3.4.4)
B3.4.5)
B3.4.6)
B3.4.7)
B3.4.8)
где E — напряженность электрического поля; qr — плотность потока излу-
излучения в приближении оптически тонкого слоя.
Уравнение B3.4.8) есть простейшая форма закона Ома. Мерой отношения
индуцированной плотности тока (o\xew X Н) к полной плотности тока явля-
является Rem. В электродуговых течениях обычно Rem < 1, поэтому закон Ома
записывается в виде
j = aE. B3.4.9)
Отношение кинетической энергии течения к теплосодержанию имеет поря-
порядок М2, где М — число Маха—Маиевского. Отношение работы сил внутренне-
внутреннего трения к энергии, отводимой теплопроводностью, имеет порядок РгМ2. Та-
Таким образом, в тех случаях, когда число М потока в плазмотроне достаточно
мало (это часто имеет место), кинетической энергией и работой сил трения мож-
330
но пренебречь, точно так же, как и работой сил тяжести. Тогда уравнение
энергии запишется в виде
iv I grad T + qr. B3.4.10)
Простейшим примером течения в электродуговом плазмотроне является стацио-
стационарное установившееся ламинарное течение неизлучающего газа в круглой
трубе. В этом случае уравнения B3.4.10) и B3.4.7) принимают вид
аЕ2 + — — (гК~) = 0; ? = const. B3.4.11)
г dr \ dr ]
Т
Меккер решал это уравнение путем введения функции S = J ЫТ и прибли-
приближенного представления о (S) в виде кусочно-линейной зависимости:
F S>S*> B3.4.12)
1 0 при S<S
где S* — некоторое граничное значение S. Зависимость B3.4.12) разбивает
канал плазмотрона на две области: электропроводную (а Ф 0) около оси и не-
неэлектропроводную (а = 0), прилежащую к стенкам трубы. В электропровод-
электропроводной области решением уравнения B3.4.11) является функция Бесселя нуле-
нулевого порядка
= Jo (гЕЬ), B3.4.13)
где ат и Sm — значения а и S на оси. Граница электропроводной зоны г% опре-
определяется первым нулем функции Jo (rEb):
г*ЕЬ = 2,405. B3.4.14)
Из решения уравнения теплопроводности в неэлектропроводной зоне в пред-
предположении, что на стенке трубы (г = R) S « 0, находят соотношение между
напряженностью электрического поля и S
m:
REb = 2,405 exp [ fw 1 . B3.4.15)
После подстановки решения B3.4.14) в уравнение полного тока
г*
ordr B3.4.16)
о
можно получить еще одно соотношение:
/ = 2,496я (Sm — S*)/E. B3.4.17)
Уравнения B3.4.15) и B3.4.17) позволяют по известной зависимости S* от
Sm определить вольт-амперную характеристику дуги, т. е. функцию V = EL =
= V (/), где L — длина трубы.
Решение уравнения энергии B3.4.11) позволяет найти распределение тем-
температуры и других свойств среды по радиусу трубы, что дает возможность оп-
определить профиль скорости из уравнения движения
1 d I du \ dp /no i ю\
lr\x = _?-. f Bo.4.1o)
г dr \ dr ] dz
где перепад давления задан, и коэффициент трения из условия сохранения рас-
расхода
R
purdr = — R2p0u0, B3.4.19)
2
о
331
0,4
0,2
\
2501
\
\\
WOK
15500
V
Л
где индексом 0 отмечены параметры
«холодного» потока — на входе в канал.
Результаты решения:
1
и/и0 = (cf/4) Re J (|i0 5/(i) dl\ B3.4.20)
6
4^Re= f-C-
Здесь l = r/R; cf = :
B3.4.21)
Re =
0,2 0,4 0,6 0,8 r/R
На рис. 23.11 приведены результаты
численного расчета профиля скорости
для воздуха, проведенного Вебером.
Видно, что с ростом температуры газа
на оси профиль скорости в приосевой
Коэффициент трения, как показывает
анализ уравнения B5.4.21), с ростом температуры потока увеличивается.
Рассмотрим турбулентное установившееся течение в круглой трубе, следуя
работе Б. А. Урюкова и полагая, что коэффициенты турбулентной вязкости и
теплопроводности определяются обычной формулой Прандтля.
Рис. 23.11. Профиль скорости ламинар-
ламинарного течения в плазмотроне (/?=1 см)
при различных осевых температурах
зоне становится более заостренным.
0,6
?
0,2
щ
1
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0,2 0,4 0,6 0,8 r/R
Г
IV
—
0,2 0,4 0,6 0,8 Л//?
Рис. 23.12. Профиль скорости турбулентного
течения в плазмотроне при различных осе-
йых температурах и числах Рейнольдса:
/_Re = 5-10*, Тт = 6000 К; 2 — Re = 5-Ю3,
Гт=25 000К; 3 — Re=l,5- 10*, Гт = F-г25) X
X 10*К; 4 — Re = 5.10*, Гт= F-г25)-10» К;
5 —Re =1,5,10», Тт*= F4-25). 103 К; tf —Re =
= 5-10*. Т =F-г25).103К
Рис. 23.13. Профиль теплосодержания тур-
турбулентного течения в плазмотроне при раз-
различных осевых температурах и числах Рей-
Рейнольдса:
1 — Re = 5.10s, Гт = 6000К; 2 — Re = 1,5-10«,
Гт = 6000К; «? — Re =
— Re =5-10s,
Гт=7500К; 6 — Re = 5-103, Гт=25 000К; 7-
— Re = 5.106, Гт = 25 000К
На рис. 23.12 и 23.13 показаны результаты численного расчета профилей
скорости и теплосодержания воздушной плазмы при различных числах Рей-
Рейнольдса и осевых температурах. Форма профиля скорости в основном определя-
определяется числом Рейнольдса, а профиль теплосодержания — значением осевой тем-
температуры (т. е. силой тока).
332
23.5. ОБОБЩЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
ЭЛЕКТРОДУГОВЫХ ПЛАЗМОТРОНОВ
Течения в реальных плазмотронах изучены недостаточно и исследования
характеристик плазмотронов основываются главным образом на определении
экспериментальных зависимостей между критериями подобия. К известным
критериям подобия магнитной гидродинамики
(М, Рг, Re, Rem, На) добавляются новые безраз-
безразмерные параметры:
B3.5.1)
где индекс 0 отвечает характерным свойствам
рис. 23.14. Схема плазмо-
трона:
у _ внутренний электрод; 2 —
тангенциальный подвод газа;
тгт J* r\ ts 3 ~~ наружный электрод; 4 —
Параметр Кг получается из закона Ома; К2 дуга
характеризует соотношение между джоулевым
теплом и конвективным переносом энергии; К3 отражает соотношение между
энергией излучения и энергией, отводимой теплопроводностью. Критерии Кг
и /С2 были введены автором и О. И. Ясько на основе теории размерностей
и предложены для описания энергетического процесса нагрева газа током дуги
в плазмотроне с вихревой газовой стабилизацией (рис. 23.14).
V
220
148*
v,
a
500
700
1100
VI/J
0,8
0,4
о
о
и
°1
О
X*
1
о
о#дО
д-/
х-2
o-J
•-4
5
V
150
100
50
VI/1
6
1
~2
5
а
150
250 1,А
0,5
I2lGltW8
0,6
0,2
о !
"*. I
! о^-
+ -/
d-2
д-5
х-4
о-5
• S
Рис. 23.15. Вольт-амперные характеристики
(а — необобщенные, б — обобщенные) элек-
электродугового подогревателя с вихревой азот-
азотной стабилизацией:
1— G = 1,4- 10-* кг/с, /=1,35-- 1,55 см; 2 —
1,1-Ю-2кг/с, 1,35-М,55 см; 3 — 6,5-10-* кг/с,
l,35-rl,55 см; 4 — 6,5-10~3 кг/с, 1,2см
Рис. 23.16. Вольт-амперные характеристики
(а — необобщенные, б — обобщенные)
электродугового подогревателя с вихревой
воздушной стабилизацией;
7— G = 2,05-10-»Kr/c; 2—1,83.10-»- 3 — A,4-
-M,6).10-s; 4—1,26-10-*; 5—l.lS-lO"»- ? —
— 1,01.10-»; / = 1см
В плазмотронах часто реализуются условия, при которых М, Rem, На < 1,
a Re > 1. Поэтому безразмерная вольт-амперная характеристика приближен-
приближенно выражается функцией
Кг = Ф (/С2, Кз> Рг). B3.5.2)
В ряде газов, таких как воздух, азот, водород, гелий, энергия излучения мала;
кроме того, числа Прандтля для различных газов мало отличаются друг от дру-
друга. В связи с этим зависимости B3.5.2) можно придать вид
= Фг (/О.
B3.5.3)
333
Если допустить, что при заданном давлении в камере температура в дуговом
столбе изменяется не очень сильно, то физические характеристики а0 и ^мож-
^можно отбросить. Тогда для заданного газа и рабочего давления в камере связь
между размерными параметрами можно записать в виде:
W/I = O1I2/(G/). B3.5.4)
На рис. 23.15, а и 23.16, а показаны экспериментальные вольт-амперные
характеристики электродуговых подогревателей с вихревой газовой стабили-
стабилизацией дуги, по данным В. Л. Сергеева, М. Ф. Жукова и др. На рис. 23.15,6
и 23.16, б приведены те же экспериментальные данные, обобщенные в системе
координат B3.5.4). Точки на обобщенных графиках соответствуют произвольно
снятым значениям с первичных экспериментальных кривых.
Как видно, несмотря на существенные изменения параметров, все данные
в обобщенных координатах можно представить одной кривой. Это указывает
на то, что для описания даже такого сложного явления, как электрическая ду-
дуга, в некоторых случаях можно ограничиться небольшим количеством крите-
критериев.
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Брановер Г. Г. Турбулентные МГД-течения в трубах. Рига, «Зинатне», 1967.
2. Вопросы магнитной гидродинамики. Рига, Изд-во АН ЛатвССР, 1963.
3. Гаррис А. Магнитогидродинамические течения в каналах. Пер с англ. М., Изд-во
иностр. лит., 1963.
4. Глоуб С. Влияние продольного магнитного поля на движение ртути в трубах.—«Тр,
амер. об-ва инж.-мех. Сер. С. Теплопередача», 1961, т. 83, № 4, с. 69.
5. Жуков М. Ф., Смоляков В. Я., Урюков Б. А. Электродуговые нагреватели газа (плаз-
(плазмотроны). М., «Наука», 1973.
6. Калихман Л. Е. Элементы магнитной газодинамики. М., Атомиздат, 1964.
7. Каулинг Т. Магнитная гидродинамика. Пер. с англ. М., Изд-во иностр. лит., 1959.
8. Кирко Н. М. Жидкий металл в электромагнитном поле. М., «Энергия», 1964.
9. Куликовский А. Г., Любимов Г. А. Магнитная гидродинамика. М., Физматгиз, 1962.
10. Кутателадзе С. С, Ясько О. И. Обобщение характеристик электродуговых подогре-
подогревателей.— «Инж.-физ. журн.», 1964, № 4, с. 23.
11. Сыроватский С. И. Магнитная гидродинамика. —«Успехи физ. наук», 1957, т. 62,
вып. 3, с. 247.
12. Урюков Б. А., Хайтман С. М. Дуга в турбулентном потоке.—Тезисы докл. V Всесоюз.
конф. по генераторам низкотемпературной плазмы, т. 1. Новосибирск, 1972, с. 55.
Глава ?у А
НЕУСТАНОВИВШИЙСЯ КОНВЕКТИВНЫЙ
ТЕПЛООБМЕН
24.1. КРИТЕРИИ ПОДОБИЯ, ХАРАКТЕРИЗУЮЩИЕ
КОНВЕКТИВНУЮ НЕСТАЦИОНАРНОСТЬ
Проблема нестационарного конвективного теплообмена многогранна и слож*
на. В этой главе мы рассмотрим некоторые ее важные особенности на относи-
относительно простых примерах.
Пусть задано твердое тело, погруженное в не ограниченный извне поток
жидкости с постоянными физическими свойствами и постоянной температурой
на бесконечности. Запишем уравнение распространения тепла в жидкости:
дТ/dt +wt дТ/dxt = ад2 Т/дх), B4.1.1)
Где i = 1, 2, 3 — номера координат, направленных по обводу тела вдоль тече-
течения (х)у по нормали к поверхности тела в глубь потока (у) и по обводу тела
перпендикулярно х.
Краевые условия в рассматриваемом случае таковы:
{0=0, T = TCT(t); y-+oot T-+To}. B4.1.2)
Скорость течения жидкости в общем случае может быть функцией времени, т. е,
Wi = Wi(xbt)\ wo=?wo(t)> B4.1.3)
где w0 — характерная скорость течения.
Безразмерную температуру можно образовать двумя способами. Первый,
уже использованный при рассмотрении канонических задач нестационарной
теплопроводности в твердом теле, сводится к введению масштабной разности
температур
Д Го = Гст @) — То. B4.1.4)
Второй способ заключается во введении текущего масштаба разности темпе-
температур
= Гст@— Го. B4.1.5)
Введем соответствующие обозначения безразмерных локальных температур-
температурных напоров:
B4.1.6)
Т @-Го
Соответственно безразмерная форма]уравнения]B4.1.1) и краевых условий бу-
будет иметь две модификации:
dF0
Тс.М-Го
^ст@)-Го
dFo AT
0 = 0, # =
д&0 д2$0
Тст@)-То '
дАТ . р с
д?о 1 с
1; #-*оо, i
щ а2 ь
)xt dlc2i '
B4.1.7)
B4.1.8)
335
Здесь Fo = at/L2, Pe = w0L/a — критерии Фурье и Пекле; со? = wtfw0, lct =
= Xifl0 — компоненты безразмерной скорости течения и безразмерные коор-
координаты; /0 — характерный линейный размер; AT = Тст — То — текущий тем-
температурный напор.
Постановка задачи в форме B4.1.7) приводит к появлению трех определяю-
определяющих тепловых безразмерных параметров:
{Ре; Fo; Ф0§ст}. B4.1.9)
Постановка задачи в форме B4.1.8) приводит к параметрам
Переход между этими формами в общем случае осуществляется набором па-
параметров
/04 1 in
AT dFo< • B4ЛЛ1)
Из уравнения движения возникают критерий Рейнольдса и критерий гидро-
гидродинамической гомохронности
Но = FoPe B4.1.12)
или набор локальных критериев
11 о;
B4.1.13)
При скачкообразном изменении граничных условий решение всегда име
ет вид
Ф (Pr; Re; Но). B4.1.14)
При малом влиянии нестационарности можно строить решение для локальных
во времени параметров в виде некоторой итерации:
24.2. ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ НА ПЛАСТИНЕ
С ПЕРЕМЕННОЙ ТЕМПЕРАТУРОЙ
Исходная система уравнений для сжимаемой среды имеет вид
дТ _дТ\ _ _д_ Л _дТ\ I dwx \2 .
B4.2.1)
dp dpwx , dpwy q
~~дГ дх ду ~
Граничные условия:
= 0, wx = wy = О, Т = Тст @; | B4 2 2)
у оо, wx-+w0 — const, T_->T0 = const.J
Спэрроу и Грэгг рассмотрели модельный газ с ср = const и pk = const.
Введем функцию тока
^0 иу ро ^ дх ' - ' - "^ ' B4<2#3)
336
и переменные
' о J Ро ^*
о
B4.2.4)
т. е. используем преобразования Дородницина и Блазиуса.
Система уравнений B4.2.1) приводится к виду
дъ _1 ft д&т , ау ао от; _а^ _
dt ' AT dt dY дх дх dY ~
Рг аг2 х0 аг
а2у
а2у
dxdt dY дх дх dY2
dY*
B4.2.5)
Для случая малых отклонений от квазистационарности решение ищется в ви-
виде рядов:
ATw% dt2
ATw0 dt
2cPAT
B4.2.6)
Подставив уравнения B4.2.6) в B4.2.5), можно получить систему обыкновен
ных дифференциальных уравнений для функций ¦&„, Аъ да, /0) Ф:
drf
drf
drf dt)
drf
d4
drf
при граничных условиях
B4.2.7)
= O, Ф = 0, #О=1, #1 = #, =
B4.2.8)
Численное решение было получено для значения Рг = 0,72 и аппроксимировано
формулой
JL
JL. 1+2,4
а0
+ 0,8
а/2
+-,
B4.2.9)
где квазистационарное значение коэффициента теплоотдачи определялось
обычной формулой
Nujc,o = O,259Rel/2. (ол о ю>
Температурный напор в данном случае был взят с учетом коэффициента вос-
восстановления, т. е. по известной формуле:
B4.2.11)
337
Влияние нестационарности на теплообмен и трение в ламинарном погра-
пограничном слое оказывается небольшим. Так, при АГ = 50 К, dTCT/dt = 10 К/с,
д2Гст/д/2 = —0,5 К/с2, х = 1 м и w0 = 300 м/с отклонение от квазистационар-
квазистационарного расчета (т. е. расчета по формулам стационарного режима при подстанов-
подстановке в них мгновенных значений соответствующих величин) составляет менее 5%.
24.3. ТЕПЛООТДАЧА ПРИ ОБТЕКАНИИ
СФЕРИЧЕСКИХ ЧАСТИЦ
При мгновенном изменении условий на поверхности твердого тела, т. е. при
скачкообразном изменении температуры или концентрации
7(—0)=^7( + 0), B4.3.1)
начинает формироваться тепловой (концентрационный) пограничный слой, ак-
аккумулирующий в себе все выделяемое (поглощаемое) тепло или всю выделяе-
выделяемую (поглощаемую) массу. В этот период в основной поток окружающей тело
среды тепло или вещество с поверхности тела не поступает. Если процесс не-
неустановившийся и в гидродинамическом отношении, то одновременно проис-
происходит и формирование динамического пограничного слоя.
Первая работа по исследованию нестационарного массообмена сферических
частиц была выполнена Б. Д. Кацнельсоном и Ф. А. Тимофеевой. Так как мас-
сообмен в слабоконцентрированных растворах в безразмерных параметрах ана-
аналогичен теплообмену, то результаты этих опытов можно записать в терминах
теории теплообмена. Для коэффициента теплоотдачи, определенного по потоку
с поверхности частицы и мгновенной разности температур этой поверхности
и невозмущенной окружающей среды, опыты в области 50 < Re <С 3200 мож-
можно описать формулой
а/а0 =1 +5,6Рг!/2 Но-1, B4.3.2)
где а0 — коэффициент теплоотдачи в стационарных условиях, определяемый
формулой A0.13.3).
Отсюда видно, что частица диаметром 1 мм, пролетая в газе, достигает ква-
квазистационарного состояния за время порядка 0,1 с.
24.4. НЕСТАЦИОНАРНЫЙ ТЕПЛООБМЕН
ПРИ ТУРБУЛЕНТНОМ ТЕЧЕНИИ В ТРУБЕ
Расчеты, проведенные Спэрроу и Зигелем, Ю. И. Кузнецовым и В. П. Бе-
лоусовым в предположении квазистационарности структуры турбулентного
потока, дали результаты, аналогичные приведенному выше анализу нестацио-
нестационарного теплообмена в ламинарном пограничном слое. Однако в эксперимен-
экспериментах Э. К. Калинина, В. К. Кошкина, Г. А. Дрейцера и С. А. Ярхо было обна-
обнаружено отчетливое влияние нестационарности на теплообмен при турбулент-
турбулентном течении в длинной круглой трубе.
Результаты этих опытов в виде зависимости
ainAr
1
Tq >\/ gWQ dt
B4.4.1)
представлены на рис. 24.1.
Отчетливо видно, что влияние тепловой нестационарности при мгновенном
изменении теплового потока уменьшается с ростом числа Рейнольдса. Отсюда
338
Рис. 24.1. Осредняющие зависимости Nu от /Стд при различных значениях
Тсг/То и Re
можно сделать вывод о том, что гипотеза о квазистационарности структуры
турбулентности может оправдываться при больших числах Рейнольдса или
высокой степени турбулентности потока.
24.5. ВЛИЯНИЕ ОСЦИЛЛЯЦИИ ПРИ Рг^1
На рис. 24.2 изображены течения, возникающие вокруг тела, помещенного
в жидкость с наложенным звуковым полем.
Для синусоидального возмущения на бесконечном удалении от цилиндра
wd = В sin 2nft
и скорости внешнего потенциального течения
w' = 2fi Sin (x/R) sin 2nft
B4.5.1)
B4.5.2)
Шлихтинг получил следующие решения:
для скорости внешних вторичных стационарных течений (I) на рис. 24.2)
ЗБ2
2х
B4.5.3)
для внутренних стационарных течений (II) на рис. 24.2
Я2
sin
COST] +
1
ехрт] ).
4ехрт) 4 г ]
B4.5.4)
Здесь В <С 2nfR — амплитуда осцилляции наложенного звукового поля; / —
частота; R — радиус цилиндра; ц = у (я/Л?I/2 — локальное частотное чис-
число Рейнольдса.
Соответственно порядок толщины возникающего пограничного слоя опре-
определяется формулой
8~(v/fy'2. B4.5.5)
339
При у > б формула B4.5.4) переходит в B4.5.3). Лобовая точка вторичных
течений смещена на я/2 относительно лобовой точки для первичных наложен-
наложенных колебаний. Допустим, что тепло и масса переносятся от поверхности тела
вторичными течениями. Тогда толщина теплового пограничного слоя при от-
отсутствии турбулентности имеет порядок
bT—(aR/w0)l/2. B4.5.6)
Соответственно
где S = B/2nf — амплитуда колебаний частиц среды.
При S < R и Рг » 1 можно пренебречь термическим сопротивлением ди-
динамического слоя и рассчитать теплоотдачу в поле скоростей внешнего течения
Рис. 24.2. Внешние (/) и внутренние (//) вторичные течения в ок-
окрестности цилиндра
B4.5.3). Начало координат для такого расчета удобно поместить в месте на-
набегания вторичных потоков, как это показано на рис. 24.2.
Поле скоростей определится выражениями
35* . 2х
wx = sin
х 4nfR R
wu = —
cos
2х
R
B4.5.7)
Уравнение распространения тепла в пограничном слое примет вид
ду
дх
где
л/ \
А (х) =
d/ ч
B(x) =
cos
2n[R2a R
2x
Sin
R
B4.5.8)
B4.5.9)
340
Уравнение B4.5.8) можно свести к обыкновенному дифференциальному уравне-
уравнению
d2T/dr\2 + Тц/2 = 0,
B4.5.10)
где Т = ТСТ при у = 0 и
Решение уравнения B4.5.10) имеет вид
Т0-Тс
дУ
B4.5.11)
Отсюда следует формула Накорякова для коэффициента локальной теплоот-
теплоотдачи:
/б в х
cos
я УЪф R
и средней теплоотдачи по всему цилиндру:
а п 0,885
Для сферы
B4.5.12)
B4.5.13)
B4.5.14)
24.6. ВЛИЯНИЕ ОСЦИЛЛЯЦИИ ПРИ Рг
В этом случае б^ <С 6 и переносы тепла и массы осуществляются внутрен-
внутренними вторичными потоками. При этом максимальная интенсивность тепло-
тепломассообмена имеет место в точке набегания осцилляторного потока и внутрен-
внутренних течений.
Ограничиваясь рассмотрением течения в непосредственной окрестности
твердого тела, получаем
т ... .... ^ у2 дх
w*-+jyi
B4.6.1)
Касательные напряжения т в данном случае определяются из поля скоростей
B4.5.4).
Уравнение распространения тепла примет вид
где
ду
дх
дх
B4.6.2)
Введением переменных
Bi(x)
-1/3
Л1 W j
—LL-^- dx
Вх(х)
341
приводим уравнение B4.6.2) к виду
d2T ,
rir=a BШ)
Решение, полученное В. Е. Накоряковым для сферы, имеет вид
з /—
Формулы B4.5.14) и B4.6.4) были проверены экспериментально А. П. Бурду-
Бурдуковым.
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Бурдуков А. П., Накоряков В. Е. Теплообмен от цилиндра в звуковом поле при числах
Грасгофа, стремящихся к нулю.— «Журн. прикл. механ. и техн. физ», 1965, № 1
с. 119.
2. Бурдуков А. П., Накоряков В, Е. О переносе масс в звуковом поле. — «Журн. прикл.
механ. и техн. физ», 1965, № 2, с. 62.
3. Бурдуков А. П., Накоряков В. Е. Влияние колебаний на массоотдачу от сферы при
больших числах Прандтля. — «Журн. прикл. механ. и техн. физ.», 1967, №3,с. 158.
4. Графов В. Н. К расчету диффузионного потока на вибрирующий электрод. — «Элект-
«Электрохимия», 1967, т. 3, вып. 8, с. 935.
5. Кацнельсон Б. Д., Тимофеева Ф. А. Исследование конвективного теплообмена между
частицами и потоком в нестационарных условиях.— «Тр. ЦКТИ», 1949, кн. 12, с. 119.
6. Нестационарный теплообмен. М., «Машиностроение», 1973. Авт.: В. К. Кошкин,
Э. К. Калинин, Г. А. Дрейцер, С. А. Ярхо.
7. Тепломассообмен в звуковом поле. Под ред. С. С. Кутателадзе. Новосибирск, 1974.
Авт.: В. Е. Накоряков, А. П. Бурдуков, А. М. Болдарев, П. Н. Терлеев.
8. Сэсс Р. Д. Теплообмен при ламинарном обтекании плоской пластины с нестационарной
температурой поверхности.— «Тр. амер. об-ва инж.-мех. Сер. С. Теплопередача»
1961, №3, с. 56.
9. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. Пер. с нем. М., «Наука», 1974, с. 396.
10. Nakoryakov V. Ye, Burdukov A. P., Boldarev A. M. Effect of sound vibration on heat
transfer. — «Heat Transfer 1970». Proc. 4-th Intern. Heat Transfer Conf., Versailles
1970, v. 3. Paris, 1970, p. FC. 9.4.
11. Richardson P. D. Heat transfer from a circular cylinder by acoustic streaming. — «J
Fluid. Mech.», 1967, v. 30, N 2, p. 337.
12. Sparrow E. M., Gregg L. L. Nonsteady surface temperature effects on forced convection
heat transfer. — «J. Aeron. Sci.», 1957, v. 24, p. 776.
13. Sparrow E. M. Combined effects of unsteady flight velocity and surface temperature on
heat transfer. — «Jet Propulsion», 1958, v. 28, p. 403.
ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ ТЕПЛОВОГО
ИЗЛУЧЕНИЯ
25.1. ПРИРОДА ТЕПЛОВОГО ИЗЛУЧЕНИЯ
Перенос тепла кондукцией и конвекцией характеризуется вектором, кото-
который вполне определяется в каждой точке среды локальным градиентом темпе-
температуры. В противоположность этому плотность лучистого потока в произволь-
произвольном, относительно малом объеме прозрачной среды не зависит от температуры
этого объема, а определяется излучением внешних источников. Поэтому век-
вектор, характеризующий перенос тепла излучением, определяется интегрально.
Тепловое излучение, являющееся по своей природе процессом распростране-
распространения электромагнитных волн, характеризуется спектром частот, который со-
соответствует энергетическому уровню структурных частиц вещества при рас-
рассматриваемой температуре. Интегральное тепловое излучение тел одинаковой
температуры определяется их атомной и молекулярной структурой, а также
формой и состоянием поверхности тел, т. е. физическими свойствами среды.
Носителем теплового излучения являются электромагнитные волны, ко-
которые распространяются в однородной изотропной среде или вакууме со ско-
скоростью света в соответствии с законами оптики. Электромагнитные волны ха-
характеризуются длиной волны X и частотой коле-
колебаний v, которые связаны между собой соотно-
соотношением
Xv = с, B5.1.1)
а энергия одного кванта
8 -/iv. B5.1.2)
Здесь с — скорость света, равная в абсолютном
вакууме 2,997925-108 м/с, а А = 6,626196х
X 10~34 Дж-с — постоянная Планка.
Распределение энергии по длинам волн и ча-
частотам в спектре излучающего тела связано с
температурным уровнем и физической структу-
структурой тела. Существует некоторое распределение
энергии, соответствующее максимально возмож-
возможному тепловому излучению тела при заданной температуре. Тело, обладающее
таким спектром, называется абсолютно черным. Абсолютно черное тело погло-
поглощает полностью любое падающее на него тепловое излучение. Свойства реаль-
реальных тел в большей или меньшей степени отклоняются от свойств абсолютно
черного тела. Распределение энергии излучения абсолютно черного тела со-
соответствует условиям термодинамического равновесия и однозначно определя-
определяется лишь его температурой. В связи с этим излучение абсолютно черного тела
иногда называют равновесным излучением.
Моделью абсолютно черной излучающей поверхности является отверстие
полости, оболочка которой равномерно прогрета (рис. 25.1). Отверстие в обо-
оболочке настолько мало {FJF <^ 1), что выход излучения через него не в состоя-
состоянии нарушить термодинамическое равновесие в полости. Эта конструкция яв-
является одновременно моделью абсолютно черного тела для поглощения излу-
излучения. Как видно из схемы на рис. 25.1, многократное отражение луча, вошед-
вошедшего в полость через малое отверстие, обеспечивает практически полное его
поглощение стенками полости даже при их значительной отражательной спо-
способности. В природе подобные условия достаточно хорошо моделируются ка-
кавернами и углублениями в пористых и рыхлых поверхностях сыпучих сред.
В настоящее время принято считать, что тепловое излучение занимает ши-
широкую область длин волн—от 0,72 до 1000 мдм, расположенную между крас-
343
Рис. 25.1. Модель абсолютного
черного тела
ной границей видимого спектра и границей коротковолновой части миллимет-
миллиметрового диапазона электромагнитных волн. В табл. 25.1 представлено условное
разбиение инфракрасного спектра на три области. Там же приведены в соответ-
соответствии с интервалом длин волн диапазоны температур абсолютно черного тела,
имеющего максимум излучения при указанной длине волны.
Таблица 25.1
Диапазоны длин волн теплового излучения и соответствующие им диапазоны
температур абсолютно черного тела
Излучение
Видимый
Близкое
красное
ние
Среднее
красное
ние
свет
инфра-
излуче-
инфра-
излуче-
Длина волн,
мкм
0,3—0
0,72—1
1,5—5
,72
,5
,6
Температура,
К
Более 4144
4144—1922
1922—533
Излучение
Далекое инфра-
инфракрасное излуче-
излучение
Миллиметровые
волны
Длина волн,
мкм
5,6—1000
1000 и выше
Температура,
К
533-273
Тепловое излучение представляет собой колебательный процесс в плоскос-
плоскостях, перпендикулярных направлению излучения. При этом обычно невозмож-
невозможно выделить плоскость преимущественного направления колебаний. В связи
с этим тепловое излучение принято считать неполяризованным. Исключе-
Исключение составляет излучение блестящих металлических поверхностей, для кото-
которых удается выделить плоскость с наибольшей энергией колебаний (поляри-
(поляризованное излучение).
Спектр излучения твердых тел является непрерывным; спектр излучения
газов — прерывистым, т. е. излучение селективно. Селективным излучением и
поглощением обладают также некоторые твердые тела (например, кварц), имею-
имеющие наиболее выраженный объемный характер высвечивания или поглощения.
У большинства твердых тел поглощение и излучение происходят в весьма тон-
тонком пограничном слое. Это дает основание в феноменологической теории излуча-
тельные характеристики приписывать непосредственно геометрическим поверх-
поверхностям тел. Поверхность тела в общем случае частично поглощает, частично
отражает и частично пропускает тепловое излучение, падающее из окружаю-
окружающего пространства. Поглощенное излучение превращается в тепловую энергию
тела, которая, будучи трансформирована в лучистую, вновь участвует в соб-
собственном излучении данного тела.
25.2. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Под плотностью излучения подразумевается лучистый поток, проходя-
проходящий через единицу поверхности. Если теплообмен рассматривается в преде-
пределах телесного угла Q = 2я, то вводится понятие полусферического или поверх-
поверхностного излучения
Е = dQ/dF, Вт/м2,
B5.2.1)
где Q — лучистый поток, Вт.
Плотностью объемного излучения называют лучистый поток, испускаемый
единицей объема среды в пределах телесного угла Q = 4я:
= dQ/dV9 Вт/м3.
B5.2.2)
Неравномерность облучения или излучения элементарной'площадки dF по на-
направлениям в пространстве характеризуется интенсивностью или яркостью из-
излучения. Под яркостью излучения следует понимать лучистый поток, прохо-
344
дящий через единицу поверхности, ортогональную к направлению излучения,
и отнесенный к единице телесного угла:
2 d*Q
dFndQ dF cos QdQ
Вт/(м2-ср).
B5.2.3)
В случае лучистого взаимодействия двух элементарных площадок cIFm и
(рис. 25.2) интенсивность излучения в направлении S определяется выраже-
выражением / = d?Q/(dFM cos 0AfdQ), где dQ = dFN cos QN/r2 — элементарный телес-
телесный угол, образованный площадкой dF^ и вершиной М на площадке dF
Рис. 25.3. Индикатриса излучения в объ-
объемной точке М
Рис. 25.2. Схема лучистого вза-
взаимодействия двух элементарных
площадок
Рис. 25.4. Схема диффузного излучения
элементарной площадки
Лучистый поток, испускаемый элементарной площадкой с точкой М,
\ = h dFM cos QM dQ. B5.2.4)
B5.2.5)
Элементарная плотность лучистого потока в точке М
dE = (РД/dpM = Iscos 9м dQ.
В объемном стационарном поле излучения яркость является скалярной
функцией точки и направления: /$ = / (М, S). Для заданной яркости в объем-
объемной точке М необходимо знать ее распределение по направлениям, т. е. эпюру
или индикатрису излучения в этой точке (рис. 25.3). Если распределение яр-
яркости излучения в данной точке равновероятно по всем направлениям (сфери-
(сферическая индикатриса излучения), то такое излучение называют диффузным.
Для диффузно излучающей элементарной площадки dF (рис. 25.4) по извест-
известному значению яркости излучения / можно найти плотность потока излу-
излучения
Е = § / cos QdQ. B5.2.6)
Подставляя сюда выражение для телесного угла, представленного в полярной
системе координат, dQ = sin 0d0Ap, где г|) — азимут выбранного направления
излучения, получаем
2я Л/2
? = / ^ А|> (j sin0cos0d0=jx/. B5.2.7)
о о
34 5
Таким образом, излучение в полусферическое пространство в я раз больше
излучения по нормали к поверхности в единичном телесном угле. Значение лу-
лучистого потока, испускаемого элементарной поверхностью cLFm (см. рис. 25.2),
зависит от направления излучения, характеризуемого углом 9, образованным
лучом и нормалью к поверхности &?м (что, впрочем, относится лишь к диффуз-
но излучающим поверхностям). В частности, излучение полированных метал-
металлов сильно поляризовано и не подчиняется закону B5.2.7). Однако уже сла-
слабое окисление поверхности делает металлы практически диффузно излучаю-
излучающими. Если источником лучистого потока является диффузно излучающий то-
точечный источник, то плотность потока на сфере радиусом R (см. рис. 25.4), опи-
описанной вокруг этого источника, Е = Q/ Dя/?2), т. е. плотность излучения,
испускаемого точечным источником, убывает обратно пропорционально квад-
квадрату расстояния от источника.
При неограниченной площади поверхности плотность излучения не зави-
зависит от расстояния (например, лучистый обмен между двумя неограниченными
плоскопараллельными пластинами).
Для количественной оценки распределения лучистой энергии в пространстве
приходится пользоваться понятием объемной плотности лучистой энергии. Вы-
Выделим в точке пространства в направлении S телесный угол du. Тогда через
площадку dF, перпендикулярную этому направлению, в соответствии с урав-
уравнением B5.2.4) проходит следующее количество лучистой энергии:
(PQ=IsdFdQdt.
Время dt определится как отношение элементарного пути излучения к его ско-
скорости с. Объемная плотность лучистой энергии в направлении s du = (l/c)/$dQ,
а полная объемная плотность лучистой энергии
u = (l/c) J/dQ, Дж/м3. B5.2.8)
An
Если яркость излучения равномерна по всем направлениям, то
и = 4я//с, Дж/м3. B5.2.9)
Приведенные выше определения относятся как к суммарному (интегральному),
так и к монохроматическому излучению (т. е. изменению в интервале частот
v и v + dv). Характеристики интегрального и монохроматического излучения
взаимно связаны следующими очевидными соотношениями:
, S) = J /v (M, S) dv = J h (M, S) d%;
оо оо
Е =¦ { Ev dv = С Е%dX и т. п
о
B5.2.10)
25.3. ЗАКОНЫ ИЗЛУЧЕНИЯ АБСОЛЮТНО ЧЕРНОГО ТЕЛА
Основное место в проблеме теплового излучения занимает исследование
распределения энергии излучения абсолютно черного тела по длинам волн
спектра. Эта проблема исторически стала первой областью применения прин-
принципа квантования энергии. Введя понятие элементарного действия, Планк по-
показал, что интенсивность монохроматического излучения, отнесенная к дан-
данной частоте v, выражается следующей формулой:
^[(^)]\ (Вт.с)/(ы«.ср). B5.3.1)
346
Здесь k = 1,38044-10~23 Дж/К — постоянная Больцмана. Для удельной ин-
интенсивности монохроматического излучения, отнесенной к данной длине вол-
волны X,
'V B532)
На основании закона Ламберта (закона диффузного излучения), согласно ко-
которому Ео = я/0, можно получить формулу Планка для плотности полусфери-
полусферического черного излучения:
Еп х = я;/о а__ 2кН°2 B5 3 3)
№[exp(hc/kkT) — 1] ' v • • /
Аналогично для объемной плотности излучения из формулы B5.2.9) следует
Щ.ь = — /о.я = — • B5.3.4)
Обычно выражение для плотности полусферического излучения ?од» испус-
испускаемого черным телом в данном спектральном интервале при данной длине вол-
волны Я, записывается в следующей форме:
Ео к =
B5.3.5)
где С1 и С2 — константы, численные значения которых определяются выбором
единиц измерения. Если Я выражена в метрах, то Сг = 2nc*h =
= 3,7413-10~16 Вт-м2 иС2 = hclk = 1,4388-10 м- К.
0,4 0,6 0,8 1
Рис. 25.5. Спектральное распределение плотности полусфери-
полусферического излучения при разных температурах абсолютно чер-
черного тела
На рис. 25.5 представлено спектральное распределение плотности полусфе-
полусферического излучения абсолютно черного тела для среднего интервала темпера-
температур по длинам волн спектра, выраженных в микрометрах. Плотность излуче-
излучения падает в области очень малых и очень больших длин волн и быстро увели-
увеличивается с повышением температуры черного тела. В области невысоких тем-
температур (Т = 3000 К), где exp (hc/XkT) > 1, формула Планка для интенсив-
интенсивности монохроматического излучения вырождается в формулу Вина
B5.3.6)
Для длинноволнового диапазона спектра излучения hc/XkT > 1 и формула
B5.3.2) переходит в формулу Рэлея—Джинса:
kT. B5.3.7)
347
Us
2
2897,8
С повышением температуры максимумы
изотерм распределения плотностей (см.
рис. 25.5), а также интенсивностей излу-
излучения смещаются в область меньших
длин волн. Дифференцируя формулу
B5.3.5) и полагая dEotJdX = О, находим
длину волны Ямакс, которой при данной
температуре соответствует максималь-
максимальная плотность излучения:
6 8 10
ЯТ, мкм* К
12,10'*
Рис. 25.6. Распределение относительной
плотности монохроматического излуче-
излучения черного тела
B5.3.8)
или после пятого приближения разло-
разложения экспоненты
К*«сТ = Ь. B5.3.9)
Если длина волны выражена в метрах,
то Ь = 2,8978- Ю-3 м- К, а если в микро-
микрометрах, то Ь = 2,8978-103 мкм-К. Воспользовавшись соотношением B5.3.9),
можно получить закон смещения для полусферического излучения:
?оамакс = &i T, B5.3.10)
где
6Х = 1,2864-Ю-15 Вт-см"*-мк-^К,
а также безразмерную запись закона Планка:
= 2,9082-:
Е'п
0J ^0,Я
ОМ
-0,12
Г
0,08
0,08
0,04
6,02
1
1
/
/
I /
II1
/
///
J
Ш
\\
Л
1
/t-
f \
\
\
/
\
\\
\
V
\
\
¦V—
\
\_
\
/
/
\
V
\
<^
/
/
/
\
/
/
/
/
/
/
/
/
N=1
8 10 12 14
N=2
§-
N=4
V
U
л_
2J
?
У
?
Длина Волны Я, мки
Рис. 25.7. Универсальное распределение плотности
монохроматического излучения черного тела
348
Формула B5.3.10) показы-
показывает, что максимальная моно-
монохроматическая плотность полу-
полусферического излучения абсо-
абсолютно черного тела пропорцио-
пропорциональна пятой степени темпера-
температуры. На рис. 25.6 представлено
распределение относительной
плотности монохроматического
излучения черного тела в зави-
зависимости от XT. Из B5.3.10) и
B5.3.11) следует, что
B5Д12)
С помощью формул B5.3.11) и
B5.3.12) на рис. 25.7 построено
универсальное распределение,
позволяющее определить плот-
плотность монохроматического из-
излучения черного тела ?ол в ши-
широком диапазоне значений тем-
температур Т и длин волн X. Здесь
величина ?од определяется из
соотношения' Ео^= ?одМ5, где
?од — значение плотности из-
излучения, представленное по оси
ординат, N = 1, 2, 4, ... — чис-
число, соответствующее набору зна-
чений Т и Я, для которого отыскивается плотность излучения. Штриховая ли-
линия, проходящая через точки максимумов изотерм, соответствует закону сме-
смещения Вина. Полная интенсивность излучения абсолютно черного тела опре-
определяется интегрированием формулы Планка B5.3.2) по длине волны от 0 до
оо, т. е.
/о = ? Bhc2/№) [exp (hc/XkT) — l^dl.
Введя новую переменную ? = he/ (Л&Т), разлагая подынтегральную функцию
в ряд и интегрируя почленно, получим /0 = .^2 /3 Т*. Обозначив постоянную
/3
о =
15с2 Аз
запишем:
Ео = я/0 =
B5.3.13)
B5.3.14)
Этот закон был экспериментально установлен Стефаном и выведен теоретичес-
теоретически, исходя из термодинамических соображений, Больцманом и Б. В. Голицы-
Голицыным задолго до вывода формулы Планка (закон Стефана—Больцмана). Вели-
Величину ао = 5,67-10~8 Вт/(м2-К4) принято называть величиной Стефана-
Больцмана.
25.4. ИЗЛУЧЕНИЕ РЕАЛЬНЫХ ТЕЛ
Общие законы излучения построены с привлечением идеализированного
понятия абсолютно черного тела. Реальные тела, встречающиеся в природе,
не подчиняются этим законам и в той или иной степени от них отклоняются.
На рис. 25.8 и 25.9 представлены полярные диаграммы относительной излу-
чательной способности ее = IqIIq для некоторых тел в зависимости от направ-
направления излучения, характеризуемого углом 0. Как следует из рис. 25.8, при
Рис. 25.8. Зависимость излучательной способности металлов от направ-
направления излучения
0 > 50* интенсивность излучения (Iq) увеличивается и оказывается больше ее
значения в нормальном направлении (/0), определяемого по закону Ламберта.
Эта особенность характерна для металлов, обладающих высокой электропро-
электропроводностью. Для неметаллов (диэлектриков) (см. рис. 25.9) до 0 « 60° закон
Ламберта удовлетворяется хорошо. При 0 > 60° интенсивность излучения
уменьшается.
С помощью закона Планка находят верхнюю предельную границу интен-
интенсивности или плотности излучения любого произвольного тела для данной тем-
349
пературы и некоторой длины волны. Невозможно получить указанные харак-
характеристики излучения, превышающие их значения, определяемые законом План-
Планка. Это обстоятельство вытекает из второго закона термодинамики и составля-
составляет одно из основных положений теорий теплового излучения, устанавливаю-
устанавливающих связь между излучениями абсолютно черных и реальных тел.
Рассмотрим излучение в замкнутой полости, составленной из различных
по материалу твердых тел, непрозрачных для тепловых лучей. Будем поддер-
поддерживать стенки указанной полости при некоторой произвольной, но всюду оди-
одинаковой температуре. Благодаря непрерывно протекающим процессам излу-
излучения и поглощения тепла стенками в полости установится некоторое стационар-
стационарное состояние, соответствующее устойчивому термодинамическому равновесию.
so
7,0 0,8
Рис. 25.9. Зависимости излучательной способности неметаллов от
направления излучения:
/ — грубый корунд; 2 — бумага; 3 — дерево; 4 — стекло; 5 — глина; 6 — тающий
лед; 7 — окись меди
Последнее означает, что объемная плотность излучения, характеризуемая лю-
любым интервалом длин волн, всюду одинакова, а результирующий поток тепла
на стенках для данной волны оказывается тождественно равным нулю. Под ре-
результирующим потоком будем понимать разницу между поглощенным и излу-
излученным количеством тепла в рассматриваемой точке.
Следовательно, термодинамическое равновесие в замкнутой полости опре-
определяется температурой и не зависит от материала стенок. Если бы плотность
излучения в некотором интервале длин волн одного из тел замкнутой излучаю-
излучающей системы зависела не только от температуры, но и от материала, это могло
бы привести к неустойчивому термодинамическому равновесию. Так как стен-
стенки полости поддерживаются при одинаковой температуре, то для установления
лучистого равновесия в системе поверхность указанного тела должна была бы
отдать или приобрести некоторое количество энергии, которое определяется
зависимостью плотности излучения от материала тела. Это привело бы к ус-
установлению неравномерного распределения объемной плотности излучения,
появлению температурных перепадов и результирующего потока тепла.
При таких условиях излучающая система перешла бы в некоторое
неустойчивое состояние без видимой затраты энергии, что находится в яг-
ном противоречии со вторым началом термодинамики. Следовательно,
сделанное предположение неверно, и, значит, характеристики излучения
(яркость, плотность), соответствующие определенной температуре и длине
волны, не зависят от материала тел.
Рассмотрим замкнутую излучающую систему тел, в которой установилось
термодинамическое равновесие. Спектральная плотность лучистой энергии, па-
падающей на поверхность тел, в общем случае является некоторой функцией от
350
температуры полости и длины волны / (К, Т) независимо от природы тел. Этому
потоку энергии в силу термодинамического равновесия соответствует лучистый
поток, равный ему и противоположно направленный. Вводя коэффициент от-
отражения от поверхности стенки, составим балансное уравнение потоков тепла
или EJ(l — Rk) = / (К Т). Если положить 1 — /?ь = Аь, где А% — погло-
щательная способность тела для монохроматического излучения, то
Г(КТ) = Еь/Ак. B5.4.1)
Для абсолютно черного тела А% = 1 и / (А,, Т) = EOf %, т. е. функция / (А,, Т)
представляет собой характеристику излучения (плотность) абсолютно черного
тела. Подставляя ее в выражение B5.4.1), получаем
Еь/Аь=Ео.ь . B5.4.2)
т. е. отношение плотности монохроматического излучения тела к его погло-
щательной способности не зависит от природы тела и равно плотности моно-
монохроматического излучения абсолютно черного тела (закон Кирхгофа). Плот-
Плотность монохроматического излучения тела может быть получена умножением
спектральной плотности излучения абсолютно черного тела на поглощатель-
ную способность этого тела:
Еь = АкЕ0,ь. B5.4.3)
Проинтегрировав выражение B5.4.2) по X в пределах от нуля до бесконечности,
получим соотношение
Е/А = ?0, B5.4.4)
представляющее собой закон Кирхгофа для интегрального излучения. Учиты-
Учитывая равенство B5.3.14), получаем выражение для интегральной плотности из-
излучения
Е = Ао0Т*9 B5.4.5)
где интегральная поглощательная способность определяется как значение сред-
средней по спектру поглощательной способности:
А = J A»Eo, хйХПЕол^. B5.4.6)
О / о
Таким образом, процессы излучения и поглощения оказываются взаимосвя-
взаимосвязанными. Это в некоторой степени облегчает определение излучательных и по-
глощательных способностей тел. При этом следует иметь в виду, что закон Кирх-
Кирхгофа применим только к равновесным излучениям.
В случае существенных температурных градиентов в среде с взаимным об-
облучением можно говорить лишь о приближенном характере закона Кирхгофа.
В связи с этим исследование такой характеристики оптических свойств тела,
как его интегральная поглощательная способность А, связано с необходи-
необходимостью помимо данных о температуре исследуемого тела и его спектральных
поглощательных способностях иметь подробную информацию о спектральном
составе источника излучения (его температуре):
B5.4.7)
о / о
Эти Трудности исключаются из рассмотрения введением либо поглощатель-
поглощательной способности по собственному излучению, либо понятия серого тела. Тела,
поглощательные способности которых не зависят от длины волны и направле-
направления падающего луча, принято называть серыми. В этом случае интегральная и
монохроматическая излучательные способности тождественно равны:
А = Ах.
351
Значительное количество технических материалов близко по оптическим свой-
свойствам к серым телам. Как правило, это твердые тела, имеющие шероховатые или
окисленные поверхности со сравнительно высокой поглощательной способ-
способностью. Поверхностные эффекты существенно искажают и тем самым затруд-
затрудняют исследование оптических свойств, связанных с природой излучающего
тела. В связи с этим последние определяются для тел с абсолютно гладкими по-
поверхностями.
Подобные исследования устанавливают зависимость излучательной (по-
(поглощательной) способности веществ от длины волны и температуры. Зависи-
Зависимость коэффициента Ля от длины волны определяется из основных положений
теории дисперсии и поглощения. Теоретические исследования функции А (К, Т)
весьма затруднительны и связаны с существенным усовершенствованием аппа-
аппарата квантовой электродинамики. Этим объясняется разнообразие частных ре-
100
80
60
t
/
/
/
"А
у;
А
\
Ni
\
r-Ч
Си
— —
Аи
\
¦ -
Ад
— "
i
10
Я^мкм
Рис. 25.10. Зависимость отражательной способности ме-
металлов от длины волны
шений, связанное со структурой излучающего вещества и с диапазоном
спектра. Для чистых металлов в далекой инфракрасной области хорошие резуль-
результаты дает теоретическая формула Друде:
А(Х, Т) =0,365 Крэ/К
B5.4.8)
где рэ — удельное электросопротивление, в первом приближении линейно за-
зависящее от температуры. Как видно, излучательная способность металлов долж-
должна увеличиваться с ростом удельного электросопротивления и падать с увели-
увеличением длины волны. Формула B5.4.8) дает хорошие количественные резуль-
результаты для многих металлов при Я > 10 мкм. Для более коротких длин волн сле-
следует пользоваться эмпирическим выражением Хагена и Рубенса
А (Я,7) = 0,365 (РэА) I/2 -0,0667рэД +0,0091[(рэД)з/2, B5.4.9)
которое расширяет возможности применения решения Друде до Я > 4 -f- 5 мкм.
На рис. 25.10 представлены результаты исследований отражательной спо-
способности Rx = 1 — Ах ряда металлов при комнатной температуре, получен-
полученные из выражения B5.4.9). Количественные исследования поглощательных
способностей диэлектриков базируются главным образом на известных форму-
формулах Френкеля и соотношениях классической электродинамики, связываю-
связывающих оптические характеристики с коэффициентом преломления п в веществе.
Для поглощательной способности диэлектрика можно воспользоваться фор-
формулой
Аь = 4п!(п + 1J. B5.4.10)
Зависимость А\ от температуры определяется связью п с изменением объе-
объема излучающего вещества вследствие температурного расширения. Это сооб-
соображение, однако, не согласуется с фактом уменьшения суммарной поглощатель-
поглощательной способности диэлектриков А при увеличении температуры (рис. 25.11).
Можно предполагать, что такой характер температурной зависимости А (Т) свя-
связан со смещением максимума интенсивности излучения при повышении темпе-
температуры по закону Вина в сторону коротких волн, где значения спектральных
352
характеристик А (Я, Т) оказываются малыми. Оптические свойства поликрис-
поликристаллических окислов, а также различного рода керамических материалов опре-
определяются не только химическим составом, но также плотностью, размером зерен,
из которых они состоят, характером обработки и микрогеометрией поверхности.
Для практической оценки излучательной способности тел вводится безраз-
безразмерный коэффициент, называемый степенью черноты (излучения). Степень чер-
черноты — отношение интенсивности собственного излучения тела при температу-
температуре Т на длине волны К и в направлении S к
интенсивности излучения абсолютно черного
тела при тех же условиях:
8 =/(Я, Г, S)/I0(X9T).
B5.4.11)
Иногда монохроматическая степень черноты
определяется как отношение монохроматиче-
монохроматических плотностей полусферического излучения
реального и абсолютно черного тел
0,2
О
ч
ч.
\ '
-/-
¦——.
к-
ч:
1
Я
_
1
i
si
гк=*Е%(Т)/ЕоЛ(Т).
По закону Кирхгофа
B5.4.12)
1
Рис. 25.11. Зависимость поглоща-
поглощательной способности диэлектриков
от температуры:
Т\ /ос д io\ / — резина; 2 — фарфор; 3 — бумага;
1 ), yZO.^.io) 4 — шамот
т. е. степень черноты равна поглощательной способности при температуре из-
излучения. Для интегральной степени черноты
8 =
Е0,ьс1к=Е/Е0.
B5.4.14)
Интегральная степень черноты, подобно интегральной поглощательной спо-
способности, имеет сложную зависимость от температуры в связи с тем, что в чис-
числителе уравнения B5.4.14) под знаком интеграла помимо EOt я, (Т) стоит моно-
монохроматическая степень черноты 8^ (Т), также зависящая от температуры. Для
•серого тела &>„ = s, или с учетом равенства B5.4.13)
8х = е==Л. B5.4.15)
Полусферическая плотность излучения серого тела определяется формулой
Е = Ао0Т*у или ? = сгГ4, B5.4.16)
где а = Ао0 = еа0 называется коэффициентом излучения серого тела или
лросто коэффициентом излучения.
25.5. КЛАССИФИКАЦИЯ ВИДОВ ПОЛУСФЕРИЧЕСКОГО
И ОБЪЕМНОГО ИЗЛУЧЕНИЙ
В зависимости от характера взаимодействия излучения с поверхностью
произвольного тела представленным выше понятиям полусферической и объем-
объемной плотности излучения придается различное смысловое значение. В общем
случае тело, на которое падает излучение, частично поглощает его, частично
•отражает и частично пропускает (рис. 25.12). Если указанные потоки отнести
к падающему потоку излучения, то уравнение сохранения энергии
B5.5.1)
B5.5.2)
запишется в безразмерном виде
А + R+D = 1,
12 Зак. 795
353
где Л, R и D — коэффициенты поглощения, отражения и пропускания Для
непрозрачного тела D = О и
A + R = l. B5.5.3)
Для абсолютно черного тела согласно определению R = D = 0 и Л = 1. При
R = 1 (А = D = 0) падающее на тело излучение полностью отражается Этот
предельный случай также является абстракцией. Такое абстрактное тело со-
здающее рассеянное диффузное отражение, называется абсолютно белым, а
тело, отражающее по законам геометрической оптики, называется зеркальньин.
При и = 1 (Л = R = 0) тело совершенно прозрачно (диатермично) для тепло-
теплового излучения.
В соответствии с законом сохранения энергии излучения различают следую-
следующие виды плотностей полусферического излучения. Плотность собственного из-
излучения — излучение, выходящее с едини-
единицы поверхности излучающего тела:
?С = Л?О, B5.5.4)
где Ео = а Г4. Плотность поглощенного
излучения (доля падающего излучения,
поглощенная телом)
ЕА=АЕи, B5.5.5)
Плотность отраженного излучения (доля
падающего излучения, отраженная поверх-
поверхностью тела)
ER = REn. B5.5.6)
Рис. 25.12. Схема взаимодействия из- Для непрозрачных тел ER + ЕА = ?п.
лучения с телом Здесь для простоты предполагается, что
отражение, равно как и рассеяние излуче-
излучения в поглощающих средах, имеет равномерный, диффузный характер. Плот-
Плотность эффективного излучения представляет собой суммарное излучение, со-
составленное из собственного и отраженного излучений:
EQ = Ес + ER = Л Ео + REn. B5.5.7)
Плотность результирующего излучения (разность между приходом и расходом
энергии на поверхности тела)
Е = ЕА—ЕС = А (Еп—Е0). B5.5.8)
Согласно другому, более общему определению результирующий поток излуче
ния, проходящий через единицу воображаемой произвольно расположенной
поверхности, определяется как разность потоков излучения, падающих на эту
поверхность с противоположных сторон: Е = Е+ —Ей. Если эта поверхность
совмещена с поверхностью излучающего тела, то Ей = ?э, и тогда
Е = ЕП—Ед. B5.5.9)
Указанные соотношения позволяют связать между собой плотности эффектив-
эффективного и результирующего излучений. Действительно, из равенства B5.5 9) сле-
следует, что Ед = Еп — ?, а из B5.5.8) — что Еп = EIA + Ео. Тогда
Еэ = ~-Е + Е0 = ^- Е + Ео. B5.5.10).
Указанные выше виды излучения являются линейными функциями падаю-
падающего излучения. Под плотностью падающего излучения ?п понимается излу-
излучение, падающее на рассматриваемую поверхность извне и представляющее
функционал оптико-геометрического и теплового состояний окружающей сре-
среды. В соответствии с определением полусферической плотности потока излуче-
354
бия B5.2.6) плотность падающего излучения может быть представлена следую-
.щим образом:
Еп (М) = J I* (Af, S) cos 0dQ. B5.5.11)
Несмотря на то, что взаимодействие излучений в объеме поглощающей, рас-
рассеивающей, переизлучающей и пропускающей сред носит несравненно более
сложный характер, в этом случае также представляется целесообразным введе-
введение аналогичной описанной ранее классификации видов излучения. Различают
следующие виды плотностей объемного излучения (при этом, так же как и в слу-
случае поверхностного излучения, для простоты рассматривается классификация
.изотропного излучения и рассеяния).
Плотность объемного собственного излучения ric определяется потоком из-
:лучения, отнесенным к единице объема. Плотность объемного поглощенного
излучения т]х представляет собой долю объемного падающего излучения т|п,
.поглощенную элементарным объемом среды:
B5.5.12)
Под плотностью объемного рассеянного излучения г\$ следует понимать
долю объемного падающего излучения, рассеянного элементарным объемом в
некоторой точке среды:
т|3 = Рт)п. B5.5.13)
По аналогии с уравнением B5.5.7) вводится понятие объемного эффективного
излучения, которое складывается из собственного и рассеянного излучений:
Лэ = Лс + % = Лс + РЛп. B5.5.14)
По аналогии с уравнением B5.5.8) плотность объемного результирующего из-
излучения
Л = Чк—т|с = *Лп—Чс- B5.5.15)
Если в правой части этого равенства прибавить и вычесть т|р = рг]п, то полу-
получим т| = (х + Р)т]п — Чс — Nn- Принимая во внимание равенство B5.5.14),
а также вводя понятие коэффициента ослабления излучения среды
? = х+р, B5.5.16)
составленного соответственно из коэффициентов поглощения и рассеяния, по-
получаем следующее выражение для плотности объемного результирующего из-
. лучения:
т| = *т|п-т|э. B5.5.17)
Вводя значение Tin из равенства B5.5.15) в уравнение B5.5.17), получаем соот-
соотношение, связывающее объемные эффективные и результирующие плотности
излучений:
Чв = (Р/*)Л+(*/к)Лс- B5.5.18)
Если среда является чисто поглощающей и нерассеивающей, то р = 0, k =
= х и т|э = т)с.
Приведенные характеристики излучения являются линейными функциями
.пространственной плотности падающего излучения т]п. Объемная плотность па-
падающего излучения т)п определяется как скалярный интеграл от интенсивности
излучения по сферическому телесному углу:
= $ I(M,S)dQ. B5.5.19)
Помимо перечисленных характеристик в исследованиях процессов излуче-
излучения широко используют векторные представления поля излучения. В част-
частности, при рассмотрении поля излучения, создаваемого незамкнутыми излучаю-
12* 355
щими поверхностями, вводят вектор Е (М) в виде интеграла от интенсивности
по конечному телесному углу Q
Е(М)= j/(M, S)dO, B5.5.20)
где dQ = r^co — элементарный вектор телесного угла dco; rx — единичный век-
вектор по направлению луча S.
В замкнутой системе тел Q = 4я, и векторный интеграл от интенсивности
излучения по сферическому телесному углу называют сферическим вектором
излучения:
Q 4
, S)dQ. B5.5.21)
Проекция сферического вектора излучения Е4я на направление S, проходящее
через некоторую точку М в среде, представляет собой полусферическую плот-
плотность результирующего излучения, пооходящего через площадку, нормально
ориентированную к S, т. е.
Е(М, п)=(Е4п,п1), B5.5.22)
где rii — единичный вектор нормали к некоторой элементарной площадке dFM
в точке М.
Проекция Е2зх на направление 5 есть не что иное, как полусферическая
плотность излучения, падающего на элементарную площадку jIFm* нормально
ориентированную к направлению S, т. е.
Еп(М1п) = (Е2Пуп1). B5.5.23)
Все приведенные выше характеристики имеют отношение как к интегральному,
так и к монохроматическому излучению. В последнем случае характеристики
излучения записываются с индексом Я, указывающим на их отношение к некото-
некоторому интервалу длин волн. Приведенная классификация видов излучения пред-
предложена Ю. А. Суриновым.
25.6. ГЕОМЕТРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ
ИНВАРИАНТЫ ИЗЛУЧЕНИЯ
Лучистое взаимодействие двух элементарных площадок, произвольным об-
образом ориентированных в пространстве, определяется по уравнению B5.2.4) как
их размером, так и взаимным расположением. Эти факторы и все, что связано
с их определением, составляют геометрию излучающих систем.
Рассмотрим лучистый обмен между двумя изотермическими абсолютно
черными телами i и k с поверхностями Ft и Fk (рис. 25.13). Выделим элементар-
элементарные площадки cLFm и dFN с точками М и N, принадлежащими соответственно
Fi и Fk. Элемент поверхности dFM излучает во всех направлениях в пределах
полусферы поток энергии
dQ (М) = Ео (М) dFM = а0 Т4 (М) dFM. B5.6.1)
Поток энергии излучения, падающий на элемент поверхности dFN от dFM, по
уравнению B5.2.4) можно записать
d2 Q (M, N) = I (M, S) cos 6м dQ (M, N) dFM. B5.6.2)
Для абсолютно черных тел по закону Ламберта
/ до, S) = I (М) = Ео (М)/п = о0 Т* (М)/п.
Подставляя это выражение интенсивности в уравнение B5.6.2), получаем
d2 Q (М, N) = A /я) Ео (М) cos QM dQ (M, N) dFM. B5.6.3)
356
Отношение потока d2Q(M, N)> падающего с dFu на dFNy к полному потоку
dQ (М), излучаемому элементом dFM в пределах полусферы, называется эле-
элементарным коэффициентом облученности:
(Л*, N) =
= ^ cos 8« dQ (M, N),
B5.6.4)
или, используя выражение для элементарного телесного угла,
rMN
B5.6.5)
Так как отношение B5.6.4) зависит от угла видимости одного тела с другого
@м), то коэффициент облученности называют также угловым коэффициентом
излучения. В ряде случаев угловой коэффициент излучения с успехом интерпре-
интерпретируется как мера вероятности попадания на тело dFk «частиц», вылетающих
с поверхности тела dFt при условии, что все
возможные траектории полета этих частиц
равновероятны. Поток энергии, получаемый
всей поверхностью Fh от излучения элемен-
элементарного участка, определяется интегрирова-
интегрированием уравнения B5.6.3) в пределах Fk:
С cos I
cos e
'ЛГ
rMN
dFN.
B5.6.6)
Отношение
Ф (М, Fk) =
dQ(M, Fk)
dQ(M)
cos 0^ cos 0N
rMN
dF
N
B5.6.7)
Рис. 25.13. Схема теплообмена из-
излучением между двумя изотерми-
изотермическими абсолютно черными те-
называется локальным угловым коэффициентом излучения. Между элементар-
элементарным и локальным угловыми коэффициентами излучения существует очевидное
соотношение:
<p(M,Fh)= }d<p(M, N).
B5.6.8)
Энергия излучения, которой обмениваются поверхности Ft и Fh, может быть
определена интегрированием уравнения B5.6.6) по Ft:
, Fh)
= Qift = -L J J
Eo (M)
^ dFM dFN.
" rirk rMN
Так как Ео (М) = Eoi = const по поверхности Fiy то
П 1 Г7 Г f COS 0^ COS 0N
Qik^ — E^i) J ; dFMdFN.
я F. Fk rMN
Полное излучение поверхности Ft в пределах полусферы
B5.6.9)
--Qi = EOt г Ft =g0T} Ft. B5.6.10)
Отношение потока Qik, посылаемого телом с поверхностью Ft на тело с поверх-
поверхностью Fky к полному потоку Qt с поверхности
Qi
= 9(^,^ = 91* = -^- J J
cos0^cos0n^e
rMN
7MdFN
B5.6.11)
357
называется средним или интегральным угловым коэффициентом излучения. Со-
Соотношение между локальным и интегральным угловыми коэффициентами имеет
вид
q>,ft=»(l/f*) IФ(М, Fk)dFM. B5.6.12)
Если излучающее тело образовано вогнутой поверхностью, то приходится при-
нимать во внимание излучение тела само на себя. В связи с этим вводятся угло-
угловые коэффициенты самооблучения. Применительно к среднему угловому коэф-
коэффициенту выражение B5.6.11) примет вид
1
nEt
TMN
Отношение потока Qik к плотности потока, посылаемого телом i в окружающее
пространство, образует так называемую взаимную поверхность рассматривае-
рассматриваемых тел
Hik = Qik/Et. B5.6.14)
Это понятие, впервые использованное Г. Л. Поляком, имеет прямое отношение
к известной в интегральной геометрии мере Крофтона. В связи с этим взаимная
поверхность Hih иногда рассматривается как мера четырехмерного множества
лучей, пересекающих произвольно ориентированные в пространстве тела i и k.
Последнее вытекает из определения поверхности лучеобменивающихся тел, как
меры двухмерного несчетного множества точек, являющихся источниками ука-
указанных выше лучей.
Взаимные поверхности связаны с соответствующими угловыми коэффи-
коэффициентами излучения следующими простейшими соотношениями:
d2 H (M, N) = Ар (M, N) dFM\
dH(Mt Fh) = 4(M» Fk)dF
M\
B5.6.15)
Угловые коэффициенты вместе с взаимными поверхностями называются гео-
геометрическими инвариантами излучения.
Используя указанные понятия, радиационный поток Qik, испускаемый
телом i и попадающий на тело k, можно записать равенствами
Qik = Qn = Vik Ft ECt k = Hik Ec k. B5.6.16)
Заметим, что если плотность собственного излучения тела Eck = 1, то Qik =
= Hiky т. е. взаимная поверхность тел ink имеет физический смысл единичных
однородных потоков.
25.7. ОБЩИЕ СВОЙСТВА ПОТОКОВ ИЗЛУЧЕНИЯ
Взаимные поверхности и угловые коэффициенты излучения, имеющие фи-
физический смысл единичных потоков излучения, обладают рядом свойств, вы-
вытекающих из общих принципов распространения и сохранения меры множества
лучей, переносящих энергию теплового излучения.
К числу наиболее общих и важных свойств единичных потоков излучения
относятся свойства существования, аддитивности и замкнутости. Из этих
свойств вытекают в качестве следствий менее очевидные свойства взаимности
и конгруэнтности.
Так как указанные свойства имеют главным образом, геометрический смысл,
то при их описании удобнее исключить из рассмотрения энергетическое содержа-
содержание потоков излучения, используя в основном понятие взаимной поверхности.
Используемое при этом представление о мере несчетного множества геометри-
геометрических лучей является чисто условным.
358
Свойство существования. Мера множества лучей, исходящих с поверхности
i и попадающих на поверхность k> существует, если она составлена из непре-
непрерывных прямых. В ином случае, если на пути лучей помещается «непрозрач-
«непрозрачное тело», единичный лучистый поток равен нулю:
B5.7.1)
= 0 и Ф|Л =
Для плоского и выпуклого тела, где самооблучение отсутствует, Нц = 0 и
Фи = 0.
Свойство аддитивности. Меры множества геометрических лучей, посылае-
посылаемых поверхностью i на окружающую поверхность систему тел kl9 k2, &з> •••
и получаемых ею от этих тел, взаимно независимы и суммируются в обычном
арифметическом смысле, т. е.
Hik = Hikl + Hik2 + Hiks +...; 1
+ - • J
B5.7.2)
Свойство замкнутости. Из законов сохранения энергии и меры множества
лучей для замкнутой излучающей системы следует, что мера несчетного мно-
множества геометрических лучей, исходящих с поверхности i и пересекающих
замыкающую поверхность системы окружающих тел, равна мере несчетного
множества точек поверхности /, испускающих эти лучи:
2Hik = Ft A<?<л; 1=1,2,..., п); B5.7.3)
2ф|А=1 A<?<л; ?=1,2,..., п). B5.7.4)
Если тело i вогнутое, то имеет место самооблучение. В этом случае уравнение
B5.7.3) можно записать следующим образом:
%Н1к = Рг-НИ = Нь B5.7.5)
Где Ht = Ft (I — (pa) — эффективная поверхность вогнутого тела.
Свойство взаимности. Меры множеств однонаправленных геометрических
лучей, пересекающих контуры ink двух произвольным образом расположен-
расположенных тел, инвариантны. Взаим-
Взаимные поверхности пары тел i и k I
обладают свойством взаимной
симметрии:
Hik = Hki. B5.7.6)
Это соотношение может быть по-
получено также из условий термо-
термодинамического равновесия излу-
излучения абсолютно черных тел.
Действительно, в этом случае
Qik = Qht или o0T*Hik =
= G0T*Hki, откуда Hik = Hki. Кроме того, условие B5.7.6) следует из тео-
теоремы обращения порядка интегрирования в выражении для Hih , которое на
основании уравнений B5.6.11) и B5.6.15) записывается как
I
Рис. 25.14. К свойству конгруэнтности
чч =
cos 9^ cos 6^
rMN
B5.7.7)
Следует обратить внимание на то обстоятельство, что теорема взаимности яв-
является одним из частных проявлений фундаментальных соотношений взаим-
взаимности в области геометрической оптики.
Свойство конгруэнтности, или совмещаемости. Мера множества лучей, ис-
исходящих с поверхности тела i и падающих на тело k, не зависит от конфигура-
конфигурации последнего при условии, что поверхность &-го тела вписывается в систему
прямых (наружных и внутренних), охватывающих эти тела (рис. 25.14). Дей-
359
ствительно, на основании свойства взаимности и соотношений B5.7.3)
и B5.7.4)
Hik = Hiki = Hik2 = Htks = Ft —Hih—Hilt, B5.7.8)
или
«Pi* = ф/ftt = ф/А, + ф/л, = 1 — Ф//х — ф«, . B5.7.9)
25.8. АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТА ИНТЕГРАЛЬНЫХ
ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ИНВАРИАНТОВ ИЗЛУЧЕНИЯ
Рассмотренные свойства потоков излучения позволяют вычислять взаимные
поверхности и угловые коэффициенты в простейших случаях конфигураций из-
излучающих систем, не прибегая к интегрированию соответствующих выраже-
выражений для Hik и <pik. Например, замкнутая система, состоящая из двух тел, из ко-
которых одно невогнутое (рис. 25.15), имеет следующее решение. На основании
свойства существования Нп = 0; фи = 0. Из свойства замкнутости следует,
что фи + ф12 = 1 или ф12 = 1. Из свойства взаимности следует, что #12 =
= #2i или /г1ф12 = F2q>21, откуда ф21 = <p12F1/F2 = FJF2. Из условий замк-
замкнутости можно записать: ф22 = 1 — Ф21 = 1 — F^F^ При известных Fx
и F2 задача решена. Однако в случае более сложных, плоских и осесимметрич-
ных пространственных задач удобнее пользоваться правилом так называемых
охватывающих кривых (нитей), вытекающим из общих свойств потоков излу-
излучения. Это правило основано на следующих соображениях.
Пусть произвольно вогнутое тело i с поверхностью Ft имеет замыкающую
поверхность Fk. Уравнение замкнутости для такой системы запишется в виде
Hti+Hth = Ft. B5.8.1)
Из свойства взаимности следует, что Hik = Hki или ф^/7* = Ф^/^, откуда
Нн = WhiFh = Fk, так как q>ki = 1. Следовательно,
Hu^Fi-Fb. B5.8.2)
Необходимо, однако, иметь в виду, что в формуле B5.8.2) Hit представляет со-
собой меру четырехмерного множества двунаправленных геометрических лучей,
каждый из которых пересекает вогнутую поверхность Ft в двух точках. В связи
1 'к
Рис. 25.15. Система Рис. 25.16. Излучающая система из
с вогнутым телом трех невогнутых тел
с этим при вычислении взаимной поверхности двух произвольных плоских кон-
контуров i и k следует иметь в виду меру множества однонаправленных геомет-
геометрических лучей, пересекающих эти контуры, которая в два раза меньше
меры множества двунаправленных лучей. В нашем случае для однонаправлен-
однонаправленных лучей
Fk). B5.8.3)
Полагая рассматриваемое плоское тело состоящим из двух невогнутых, i и /,
получаем возможность в общем случае для замкнутой излучающей системы, со-
состоящей из трех невогнутых тел (рис. 25.16), записать меру множества одно-
однонаправленных геометрических лучей в следующем виде:
-^). B5.8.4)
360
Обобщим полученные результаты на случай двух произвольных плоских зам-
замкнутых контуров, не пересекающихся и не касающихся друг друга (рис.25.17).
В терминологии теории теплообмена излучением задача формулируется сле-
следующим образом. Даны два непрозрачных произвольных тела бесконечной
протяженности, разделенных диатермической средой и, в общем случае,
частично экранированных другими подобными же телами. Требуется опреде-
определить однородную меру множества лучей постоянной яркости (единичный
поток), падающих с одного тела на другое. Соединим лучеобменивающиеся
контуры/ и k внешними и внутренними охватывающими нитями. На основании
свойства конгруэнтности мера множества геометрических лучей от тела i
Рис. 25.17. К выводу правила охватывающих кривых
на тело k равна мере множества лучей от контура ABOCD на контур A'B'OCD'.
Это позволяет, применяя последовательно результат B5.8.3) к замкнутым
плоским системам А ВОВ''А' и DCOC'D', получить
Hik = (l/2)(AB0C D' +DCOB' A' — AAr — DD'),
или
Hik = (l/2)(AB0C' Dr +D' Е' А'+ А' В' OCD+DFA — АА'—
— А1 Е' D'—DD'—DEA) = A/2) АВОС D' E1 A'OCDEA —АА1 Е' D' DEA).
B5.8.5)
Таким образом, мера множества лучей, пересекающих пару произвольных
плоских замкнутых контуров, равна разности длин внутренних и внешних ох-
охватывающих кривых. Приведенные результаты носят иногда наименование
метода лучевой алгебры. В теории радиационного теплообмена этот метод впервые
был предложен Г. Л. Поляком при расчете угловых коэффициентов топочных
экранов. В светотехнике правило охватывающих кривых впервые было при-
применено А. А. Гершуном. Систематическое обоснование методов расчета гео-
геометрических инвариантов дано в работах Ю. А. Суринова и А. С. Невского.
Простейшим примером применения правила охватывающих кривых яв-
является расчет взаимных поверхностей и угловых коэффициентов для двух бес-
бесконечных параллельных полос одинаковой ширины (рис. 25.18). В соответст-
соответствии с правилом охватывающих кривых взаимная поверхность для полос 1 и 2
определяется по уравнению B5.8.5)
Я12 = A/2) ABDCA — ABCDA),
или
Нп = A/2) (BD+CA—BC-AD).
Так как AC = BD и BC = ADy то
HU = (AC—AD)\ AD = h\ AC-]/"a2
Следовательно,
H12 =ya* + I? —h. B5.8.6)
361
Полагая, что Fx = F2 = а, определяем угловой коэффициент:
Фи = Ф21 = ]Л+(/г/аJ—hi a. B5.8.7)
Применительно к более сложному случаю расположения и форм лучеобмени-
вающихся поверхностей рассмотрим вычисление угловых соотношений между
неограниченной плоскостью и параллельным этой плоскости рядом труб
(рис. 25.19). К такому случаю сводится, например, расчет излучения пламени
на однорядный экран. Полагая расстояние от плоскости до труб пренебре-
пренебрежимо малым по сравнению с длиной труб и шириной ряда, совмещаем рассмат-
в
1
А
3
"Х;
h
С
*
и
Рис. 25.18. К геометрическому анали-
зу для двух параллельных полос оди-
наковой ширины
Рис. 25.19. К геометрическому анализу излучаю-
щей системы, состоящей из ряда труб и плоскости
риваемую плоскость с плоскостью, касательной к трубам экрана, и рас-
рассматриваем, в силу симметрии, условно замкнутую систему, составленную
из невогнутых поверхностей Fly F2, F3.
Далее имеем (на 1 пог. м. трубы и на 1 ряд)
F, = S; F2 = (я/2 + P)D/2; F3 = (я/2 - p)D/2
Из заштрихованного треугольника следует, что
D tg p.
-l ; p = arctg]/(S/DJ-l.
Используя выражение B5.8.4) и учитывая симметричность задачи, получаем
- I— arctg]/"(S/DJ~l
Ф12 =
= 1 -1/1 -(DjSf + (D/S) arctgl/(S/DJ~l..
B5.8.8)
Применение алгебраического метода исследования геометрических инвариан-
инвариантов излучения в объемных излучающих системах ограничено областью
осесимметричных задач.
Анализируя геометрию излучающей системы, прежде всего следует опреде-
определить возможность алгебраического решения задачи на основе свойств
потоков излучения и правила охватывающих кривых. Геометрия произвольной
замкнутой излучающей системы, состоящей из п тел, определяется п2 угловы-
угловыми коэффициентами излучения. Это число может быть существенно уменьшено
на основании свойства взаимности, а также учета чисел невогнутых (т) и по-
попарно экранированных (г) поверхностей. Кроме того, следует учесть возмож-
возможность деления рассматриваемой системы с помощью воображаемых делитель-
делительных поверхностей (d) на подсистемы упрощенной конфигурации (свойство зам-
замкнутости). Таким образом, число независимых угловых коэффициентов
z = п (п — 1)/2 — т — г — d.
B5.8.9)
При z = 0 геометрические инварианты излучения определяются элементарно,
на основании свойств потоков излучения и правила охватывающих кривых.
362
В алгебраически неопределимых излучающих системах к изложенному вы-
выше следует добавить вычисление одного-двух так называемых независимых
угловых коэффициентов, определение которых алгебраическим путем не
представляется возможным. Их вычисление связано с выполнением четырех-
четырехкратного интегрирования по поверхностям лучеобменивающихся тел. Та-
Такое интегрирование с помощью теоремы Стокса может быть сведено к двукрат-
двукратному интегрированию по контурам тел. Из приближенных методов следует от-
отметить графический способ определения угловых коэффициентов, а также раз-
разнообразные методы моделирования (светового, фотографического, огневого).
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Блох А. Г. Основы теплообмена излучением. М., Госэнергоиздат, 1962.
2. Гаррисон Т. Р. Радиационная пирометрия. Пер. с англ. М., «Мир», 1964.
3. Гершун А. А. Теория светового поля. ГОНТИ, 1936.
4. Гребер Г., Эрк С, Григулль У. Основы учения о теплообмене. Пер. с англ. М., Изд-во
иностр. лит., 1953.
5. Невский А. С. Теплообмен излучением в металлургических печах и топках котлов.
М., Металлургиздат, 1958.
6. Планк М. Теория теплового излучения. Пер. с нем. М., Гостехиздат, 1935.
7. Планк М. Введение в теоретическую физику, гл. 5. М., Гостехиздат, 1935.
8. Поляк Г. Л. Анализ теплообмена излучением между диффузными поверхностями ме-
методом сальдо. — «Журн. техн. физ.», 1935., т. 5, вып. 3, с. 436.
9. Поляк Г. Л. Методика расчета лучеиспускания в пучках.— «Изв. АН СССР, ОТН»,
1937, с. 347.
10. Свет Д. Я. Температурное излучение металлов и некоторых веществ. М., «Металлур-
«Металлургия», 1964.
И. Суринов Ю. А. Интегральные уравнения теплового излучения и методы расчета лу-
лучистого обмена в системах «серых» тел, разделенных диатермической средой.— «Изв.
АН СССР, ОТН», 1948, № 7, с. 981.
12. Суринов Ю. А. Лучистый теплообмен при наличии поглощающей и рассеивающей сре-
среды.— «Изв. АН СССР, ОТН», 1952, №9, с. 1331; № 10, с. 1455.
13. Хэкфорд Г. Л. Инфракрасное излучение. Пер. с англ. М., «Энергия», 1964.
14. Шорин С. Н. Теплопередача. М., «Высшая школа», 1964.
ТЕПЛООБМЕН ИЗЛУЧЕНИЕМ
В ПРОЗРАЧНЫХ И ПОГЛОЩАЮЩИХ
СРЕДАХ
26.1. ТЕПЛООБМЕН ИЗЛУЧЕНИЕМ СИСТЕМЫ ТЕЛ,
РАЗДЕЛЕННЫХ ПРОЗРАЧНОЙ СРЕДОЙ
Рассмотрим лучистое взаимодействие непрозрачных тел, образующих зам-
замкнутую систему* ограниченных размеров с произвольным и непрерывным
распределением оптических характеристик и температур. Исследование
теплообмена излучением обычно сеодится либо к определению полусферичес-
полусферических плотностей излучения на поверхностях лучеобменивающихся тел по за-
заданным температурным распределениям (прямая задача), либо же к отысканию
температур по значениям радиационных потоков (обратная задача). Возможны
также смешанные постановки задач.
Полусферическая плотность падающего излучения по уравнению B5.5.11)
может быть представлена для наглядности в произвольной замкнутой излучаю-
излучающей системе (рис. 26.1) следующим образом:
B6.1.1)
In(M,S) cos QMdQ.
2л
Здесь /п (М, S) — интенсивность или яркость излучения, падающего на эле-
элементарную площадку с точкой М из направления S. Принимая во внимание
диатермичность среды, замечаем, что /п (М, S) = /э (N, S). При диффузном
излучении и отражении /п (М, S) = I3(N, S)=
~ = Еэ (N)/n\ и, следовательно;
N
Еи(М) = A/я) $ E,(N)cosQdQ.
2Я
B6.1.2)
Используя уравнение B5.6.5), можем напи-
написать выражение для элементарного углового
коэффициента между площадками с фиксиро-
фиксированной точкой М и текущей точкой .V в сле-
следующем виде:
Рис. 26.1. Замкнутая система с
диффузно излучающей поверхно-
поверхностью
dq> (M, N) = -L cos 9л, dco (M, JV) =
¦dFN.
cos 0^ cos I
Далее, введя обозначение
Q(M, N)=—
cos QM cos бдг
таким образом, чтобы можно было записать
d<p(M, N) = Q(M, N)dFN,
представим уравнение B6.1.2) в форме
En(M)=lE0(N)Q(M,N)dFN.
B6.1.3)
B6.1.4)
B6.1.5)
* Незамкнутая система может быть замкнута поверхностью, которая должна обла-
обладать свойствами абсолютно черного тела, находящегося при температуре абсолютного
нуля (Л = 1; Т = О К).
364
Заметим, что Q (М, N) является симметричной функцией элементарных площа-
площадок в двух точках. Поэтому
Q(M,N) = Q(N,M). B6.1.6)
Пусть в заданной замкнутой излучающей системе известно распределение по-
полусферической плотности падающего излучения Еп (М). Требуется определить
Еэ (N), а следовательно, в соответствии с равенством B5.5.7) и распределение
температур. В этом случае уравнение B6.1.5), где неизвестное ЕЭ(Ы) стоит
под знаком интеграла, представляет собой интегральное уравнение Фредголь-
ма первого рода с симметричным ядром Q (М, N). Подставляя в равенство
B5.5.7) значение En (М) из выражения
B6.1.5), получаем
Еэ (М) -R (M) f Еэ (N) Q (M, N) dFN = Ес (М),
F
B6.1.7) N
т. е. неоднородное интегральное уравнение
Фредгольма второго рода, составленное отно-
относительно полусферической плотности эффек-
эффективного излучения.
Если подставить в выражение B6.1.5) зна-
значение Еэ из равенства B5.5.7), то получим
интегральное уравнение для плотности па-
падающего излучения:
Рис. 26.2. Замкнутая система с по-
поверхностью, обладающей произ-
произвольной индикатрисой отражения
_$? (N) En (N) Q (M, N) dFN =
= lEc(N)Q(M,N)dFN. B6.1.8)
Несколько сложнее обстоит дело при рассмотрении теплообмена тел с про-
произвольными индикатрисами отражения поверхностей (рис. 26.2). Г. Л. Поляк
показал, что в этом случае интегральное уравнение B6.1.7) для полусферичес-
полусферической плотности эффективного излучения запишется в следующем виде*:
E9(M)—n\R(M, S')I3(N,S')Q(M9 S', N) dFN=Ec(M), B6.1.9)
где
Q(M, S', N) = —
= Q(N,S',M);
1MN
R(M,S')=li\(M,S'tS)Q(M9S,N)dFN.
B6.1.10)
Величина R (My Sr) представляет собой коэффициент отражения поверх-
поверхности элементарной площадки с точкой М при ее облучении в направлении
S'. В выражение B6.1.10) входит также коэффициент яркости г (Л1, S', 5), ха-
характеризующий отражение по направлениям. Физический смысл этого коэф-
коэффициента становится ясным, если учесть, что
г (М, S', 5) = R (M, S')P (M, S', 5).
_ B6.1.11)
Входящая в это выражение индикатриса полусферического отражения
Р (Му S\ S) характеризует пространственное распределение излучения, отра-
отраженного от элементарной площадки с точкой М, т. е. вероятность того, что
излучение, распространяющееся в направлении 5', после отражения от
площадки с точкой М находится внутри элементарного телесного угла с осью S.
* Зависимость характеристик излучения от длины волны и поляризации опускается.
365
Интегрируя Р (М, S', S) по всем направлениям в пределах со = 2я, получим-
условие замкнутости
J P(M, S',S)cos6dQ = l. B6.1.12).
Если излучающая система образована поверхностями с диффузным отраже-
отражением, полусферическая индикатриса отражения Р (Му S', S) == 1, а коэффи-
коэффициент яркости r(M, S', S) = R (M, S') = R (М). В этом случае интенсивность
эффективного излучения /э (N) = Еэ/я и уравнение B6.1.9) вырождается в
интегральное уравнение B6.1.7).
Запишем интегральное уравнение B6.1.8) для полусферической плотности
падающего излучения Еи в следующем виде:
Еп (ЛГ) = $ Я (N) En (N) Q (M, N) dFN + jj Ес (N) Q (M, N) dFN . B6.1.13),
F F
Решение интегрального уравнения B6.1.13) методом последовательных при-
приближений записывается в следующей форме:
Еп (М) = J г (Л!, //), ?с (/V) dFN. B6.1.14)
Здесь
г (ЛГ, N) - Q (M, N) +2 Qs (М, Л/) A < s < оо) B6.1.15)
есть резольвента, или разрешающее ядро интегрального уравнения B6.1.13),
где Qs (My N) — s-я итерация ядра Q (М, N) в соответствии с ее определением,
Qs (M, N) -= у )R (Pi)... R (Ps )Q (M, P) Q (Px, P2)... Q (Ps, N) dFPt... dFp&
V^ . B6.1.16)
характеризует s-e отражение по поверхности границ излучающей системы.
Решение B6.1.4) принято называть фундаментальным. Из него на основании
классификации видов излучения могут быть получены решения для разнообраз-
разнообразных видов излучения. Подставляя в выражение B6.1.14) значение Еп из ра-
равенства B5.5.7), получаем уравнение, являющееся решением уравнения B6.1.7)
для полусферической плотности эффективного излучения:
B6.1.17).
Аналогичным образом, с учетом выражения B5.5.8), для полусферической
плотности результирующего излучения получим
Е (М) = А (М) j Г (М, N) Ec (N) dFN—Ec (M). B6.1.18).
Если излучающая система находится в состоянии термодинамического равно-
равновесия, то всюду на границе системы Е =е= 0. Тогда из выражения B5.5.8) сле-
следует, что Еп = Ео = а0Г4 = const, а уравнение B6.1.18) после сокращения,
на А (М) и Ео вырождается в так называемое уравнение замкнутости
J Л (М) Г(М, N) dFN= 1. B6.1.19).
С его помощью уравнение B6.1.18) может быть записано более компактно:
U N)[E0(N)—EQ(M)]dFN. B6.1.20),.
F
366
Важно отметить, что в этом случае оказалось возможным выделить вопросы, свя-
связанные с определением оптико-геометрических инвариантов излучения в са-
самостоятельную задачу. Бесконечный функциональный ряд B6.1.15), опреде-
определяющий резольвенту Г (М, N), можно свести к интегральному уравнению
Г (ЛГ, N) = Q(M,N) + $R (P) Q (Af, Р) Г (Р, N) dFPy B6.1.21)
или в силу инвариантности параметров подынтегрального выражения уравне-
уравнение B6.1.21) можно записать как
Г (М9 N) = Q(M9N) + i)R (Р) Г (At, P) Q (Р, N) dFP. B6.1.22)
F
Таким образом, вся сложность рассматриваемой проблемы переносится на
решение последних двух уравнений.
26.2. ТЕПЛООБМЕН ИЗЛУЧЕНИЕМ ДИСКРЕТНОЙ СИСТЕМЫ
ТЕЛ В ПРОЗРАЧНОЙ СРЕДЕ (ЗОНАЛЬНЫЙ МЕТОД)
Практическая реализация изложенного выше строгого анализа весьма
сложна даже для сравнительно простых излучающих систем. Поэтому широ-
широкое распространение получили приближенные методы анализа теплообмена
излучением. Особого внимания заслуживает зональный метод, основанный на
замене непрерывного распределения температур и оптических характерис-
характеристик излучающей системы прерывным, в котором поле указанных характерис-
характеристик считается состоящим из конечного числа тер-
термически и оптически однородных участков (тел,
зон).
В связи с этим интегральное уравнение
B6.1.8), в частности, заменяется системой ин-
интегральных уравнений следующего вида
<A ^ k ^ п):
" En(Nk)Q(Mi,Nl
= 2! E*>h JQM. Nh)dFNh. B6.2.1)
k^\ F\
Здесь индексы i, k соответствуют нумерации on- Рис 2б 3 Зональное разбиение
тически и термически однородных зон излучаю- поверхности излучающей сис-
щей системы (рис. 26.3). Заметим, что собствен- темы
ное излучение ECfh = Ako0Tfc выносится из-под
знака интеграла как функция кусочно-постоянная. Этого нельзя сделать
с падающим излучением, которое является функцией кусочно-непрерывной.
Легко показать (соответствующим интегрированием и осреднением по зо-
зонам ink), что для геометрических систем, у которых имеет место равенство
локальных и средних угловых коэффициентов, т. е.
Ф (Mi9 Fk) = Фл; Ф (Fh, М%) = фА|; l9 k = 1, 2,..., я, B6.2.2)
система интегральных уравнений B6.2.1) переходит в систему алгебраических
уравнений вида A ^ k ^ п)
En. i-^Ru <Pik EUt k = 2ECtk Фл. B6.2.3)
Здесь EUt г = (l/Ft) f i^n {Mt)dFM. — осредненное по поверхности i-й зоны
F
значение плотности потока падающего излучения. Примерами геометрических
систем, удовлетворяющих условию B6.2.2), могут служить классические кон.
фигурации, образованные внутренней поверхностью одной, двух концентри.
<ческих сфер или бесконечных цилиндров. В общем же случае систему B6.2.3)
367
следует рассматривать как аппроксимирующую интегральное уравнение
B6.1.8). Степень такого приближения зависит от числа выбранных зон, посколь-
поскольку при п ->¦ оо система алгебраических уравнений совпадает с интегральным
уравнением B6.1.8). При аппроксимации фундаментального решения B6.1.14)
для полусферической плотности падающего потока излучения получаем
?n,i = S?CiftOfft(l<*</i). B6.2.4)
Здесь
ф*=~h Яг {Mi'Nh) dFNk dFMt B6*2*5)
lpiFh
есть средний разрешающий угловой коэффициент излучения между i-Pi и k-u
зонами. При выводе уравнения B6.2.4) принимается во внимание, что Р^ =
= Pki, где Pik = OjfeFj — взаимная разрешающая поверхность. Из уравнения
B6.2.4) получаем уравнение замкнутости вида
2Л*Ф|Л=1 A<?</г; 1=1, 2,..., п). B6.2.6)
Из выражения B5.5.8) для Et, уравнения B6.2.4) и условия замкнутости
B6.2.6) получаем решение относительно осредненного в пределах i-й зоны зна-
значения результирующей плотности излучения:
?,=Л,ао2ЛА(П-:г?)Ф* A<?<я). B6.2.7)
Здесь Tiy Tk — осредненные температуры в пределах i-й и k-й зон. В общем слу-
случае разрешающие угловые коэффициенты излучения определяются из инте-
интегральных уравнений B6.1.21) или B6.1.22). В случае дискретного характера
излучающей системы, составленной из оптически однородных зон и удовлет-
удовлетворяющей по своей конфигурации условию B6.2.2), указанные уравнения пере-
переходят в системы алгебраических уравнений:
(К/</г; г, А = 1,2,..., л); B6.2.8)
1</</1; I', ?=1,2,..., я). B6.2.9)
Расчеты теплообмена излучением в каждом конкретном случае сводятся к вы-
вычислениям разрешающих угловых коэффициентов излучения и последующему
их использованию в выражениях типа B6.2.4) и B6.2.7).
Рассмотрим некоторые характерные случаи теплообмена излучением.
26.3. ПРИЛОЖЕНИЕ ЗОНАЛЬНОГО МЕТОДА
К РАСЧЕТУ ТЕПЛООБМЕНА
ИЗЛУЧЕНИЕМ МЕЖДУ НЕСКОЛЬКИМИ
СЕРЫМИ ТЕЛАМИ
В случае двух серых тел система B6.2.9) для разрешающих угловых коэф-
коэффициентов излучения имеет следующее решение:
B6.3.1)
ф21 г
Если излучающая система состоит из двух плоскопараллельных неограничен-
неограниченных пластин, то, очевидно, фп = ф22 = 0, а ср12 = ф21 = 1 и, следовательно,
ф12 = ф21 = A — RiRz)'1. Полусферическая плотность результирующего
излучения между такими пластинами на основании уравнения B6.2.7) опреде-
определяется как
г р Лг Л2 а0 (Г2 Тг) ,cyn о п\
368
Принимая во внимание, что Rt = 1 — Аи получаем известную формулу Хрис-
тиансена:
Е =_Е _
1 2
a—Г
где знаменателю
B6.3.3)
B6.3.4)
в ряде случаев придается смысловое значение суммарного сопротивления пе-
переноса радиационной энергии, каждая из составляющих которого представ-
представляет собой сопротивление отдельной поверхности.
Система уравнений B6.2.9) для двух вогнутых тел имеет следующее решение:
B6.3.5)
L #2 ф12 ф21
где yt — коэффициент многократных отражений:
Т* = 1/A —#*Фн). B6.3.6)
Теплообмен между поверхностями двух тел, из которых одно (тело 1) не
вогнуто и заключено внутри другого (тело 2) (рис. 26.4), определяется из сле-
следующих соображений. Так как тело / не имеет вогнутостей, то фп = 0 и
соответственно уп = 1,0. Следовательно, разре-
разрешающий угловой коэффициент, определяющий эф-
эффекты многократных лучистых взаимодействий
тела / с окружающим его телом 2, на основании
уравнений B6.3.5) записывается как
ф =
B6.3.7)
Из условия фп = 0 на основании свойства замкну-
замкнутости ф12 = 1 — Фп =1. Учитывая это и принимая
во внимание, что у2 = 1/A — ЛгФгг)» а Rt =
= 1 — At (i = 1, 2), приводим уравнение B6.3.7) Рис. 26.4. К расчету тепло-
К следующему ВИДУ обмена между двумя телами,
*j ^ j *j размещенными одно внутри
Ф1, = {Л1Л2[1/Л1 + Ф21A/Л2 —I)]}. B6.3.8) ДРУ^о
Здесь ф21 определяется из свойства взаимности: ф21 = <Pi2^V^2 = ^i ^2- Полу-
Полусферическая плотность результирующего излучения по поверхности тела /,
таким образом, определится как
—. B6.3.9)
Из условия сохранения энергии Qx = —Q2 B рассматриваемой системе тел оп-
определяется плотность результирующего излучения по поверхности тела 2:
Е2 = —
B6.3.10)
Рассмотрим теперь лучистое взаимодействие трех серых невогнутых тел, об-
образующих замкнутую излучающую систему. Для этого случая система
алгебраических уравнений, определяющих Ф^, решается в общем виде ме-
методом окаймления. Этот метод оказывается эффективным, когда требуется
найти решение системы, для которой ранее получено решение усеченной систе-
системы, получающейся из данной вычеркиванием одного уравнения и одного неиз-
неизвестного. Пользуясь указанным приемом, Н. А. Рубцов получил обобщенное
369
выражение для разрешающего углового коэффициента излучения системы из
трех тел в следующем виде:
.«ь =
Здесь
-/?i «а Фз1 D13-R2R3 ф32 D32
[Zv.O. ill
B6.3.12)
где /иг — индексы, дополняющие систему индексации для обозначения зам-
замкнутой системы из трех тел (например, если i = 1, то / = 2, г = 3). Если одно
из тел излучающей системы является абсолютно черным, решение уравнения
B6.3.11) существенно упрощается. Пусть таким телом будет тело 3 (R = 0).
Тогда выражение
ф Ф1»+*ЯЦФМ B6.3.13)
1 ^^фф
позволяет вычислять значения разрешающих угловых коэффициентов излуче-
излучения для любых пар тел, в которых хотя бы одно тело было серым. Уравне-
Уравнение B6.3.11) может быть записано также в следующем, более компактном виде:
Фгк = Ш+ЪМШ в B63Л4)
1 — #1 ^2ф12 Ф21~^1 #3 Ф31^13 — #2 #3 Ф32^32
Значения <bih для i = k могут быть определены из уравнения замкнутости
{26.2.6). Совершенно аналогичным образом отыскиваются расчетные формулы
для излучающей системы из четырех серых невогнутых тел. Принципиальных
затруднений в получении расчетных выражений для <&ik в излучающих
системах из большего (п > 4) числа зон не имеется.
Однако возрастающая при этом громоздкость расчет-
ных операций делает нецелесообразным получение
расчетных формул. В этом случае следует переходить
в каждом конкретном расчете к численным методам
решения. Метод окаймления получает здесь непосред-
непосредственное применение в численном виде.
Приведенные выше результаты могут быть исполь-
использованы во всех случаях, когда практически возможно
дискретное рассмотрение полей температур и оптиче-
Ских констант. Показателен в этом отношении тепло-
теплообмен излучением в высокотемпературных электропе-
электропечах. Разобьем рабочее пространство электропечи на три условные изотерми-
изотермические и оптически однородные зоны (рис. 26.5): нагреваемого изделия 7,
обмуровки 2 и нагревателя 3.
Рассмотрим стационарное тепловое состояние печи. Зададимся результи-
результирующими потоками нагревателя: по тепловыделению нагреваемого изделия
Q3y по его тепловосприятию Ql9 а также температурой изделия по технологии
его нагрева 7\. Требуется определить температуры нагревателя Т3 и футеровки
Г2. Все тела (зоны) рассматриваются как серые. Для решения задачи восполь-
воспользуемся разрешающей системой B6.2.7), которую запишем применительно к
лучистым потокам с использованием понятия средней разрешающей взаимной
поверхности Pik = Ф^/7*:
Qi = Aio02AkPik(n-Tl) (k= 1,2,3) B6.3.15)
Составляя B6.3.15) для зон i = 1,2 и решая ее относительно Т2 и Т3, получаем
Y/Z/s
s\\\\W
Рис. 26.5.
лообмена
'//
w
к
в
5
1
x\\\\\\\
расчету
\
\
\
\
\
\
теп-
электропечах
A2P23Q1-A1P13Q
1'4
Р12 Р23 + Ах Р21Р13 + А3 Р13 Р23)J
Т ^
3
1/4
B6.3.16)
B6 3 17)
370
Здесь Qa определяется на основании уравнения баланса энергии
Q2 = —Qx — Q3. B6.3.18)
Можно показать, что уравнения B6.3.16) и B6.3.17) приводятся к форме, со-
содержащей оптические и геометрические характеристики в явном виде:
(ф13
DlsH1Q2 \l/4<
Фгз) Hi Н2 )
=(Т* -4-
и
л
N
B6.3.19)
B6.3.20)
Здесь Ht — эффективная поверхность t-го тела, которая связана с истинной по-
поверхностью Ft соотношением B5.7.5).
26.4. ДЕЙСТВИЕ ЭКРАНОВ
Рассмотрим передачу тепла излучением между двумя неограниченными пло^
скопараллельными поверхностями с температурами Тм и TN, экранированными
системой параллельных плоских листов (экранов) /, //, ... (рис. 26.6). Предпо-
Предположим, что экраны непрозрачны для теплово-
теплового излучения и являются абсолютно теплопро-
теплопроводными. Следовательно, излучающие по-
поверхности каждого экрана имеют одинаковую
температуру. Этого нельзя сказать в отноше-
отношении их оптических свойств, которые в общем
случае могут быть произвольными. Обозна-
Обозначим поверхности экранов и взаимодейст-
взаимодействующих границ индексами М, 1, 2, ..., п,
п + 1 = N.
Из условий стационарности и закона со-
сохранения энергии следует, что результирую-
результирующий поток тепла, переносимый между рас-
рассматриваемыми поверхностями, остается по-
постоянным в любом сечении. Количество тепла,
последовательно переносимое между каждыми
двумя противолежащими поверхностями, оп-
определяется на основании формулы B6.3.3).
Воспользовавшись понятием сопротивления переносу радиационной энергии,
представим выражения составляющих суммарного сопротивления в следую-
следующем виде:
/
2 3
4 5
Рис. 26.6. К определению роли эк-
экранов
м—т\)
М
/J \_
Ui 2
J 1_
Л о
о Z,
B6.4.1)
и т. д.
Суммируя левые и правые части приведенных соотношений и учитывая, что
Тг = Г2, Т3 = Г4 и т. д., получаем
а0 (ТАм-
A/Л, —1/2) (М < i< N).
B6.4.2)
Здесь сумма, стоящая справа, представляет собой суммарное сопротивление пе-
переносу лучистой энергии между рассматриваемыми поверхностями FM и FN. Из
последнего уравнения получаем
2 A/Л*-1/2)
B6.4.3)
371
Если поверхности взаимодействующих тел и промежуточных экранов имеют
одинаковые коэффициенты излучения, то формула B6.4.3) записывается сле-
следующим образом:
Ем = -En = ^fr-rt) , B6.4.4)
2(т+1)A/Л1/2)
где т — число промежуточных защитных экранов. В случае, когда указанные
поверхности являются абсолютно черными,
Ем= ~EN= -i- а0 (Т'м — П). B6.4.5)
m-f-1
Как следует из формулы B6.4.4) и B6.4.5), наличие между взаимодействую-
взаимодействующими телами одного экрана уменьшает теплопередачу излучением в два раза,
наличие двух экранов — в три и т. д. Таким образом, с помощью экранирова-
экранирования можно существенно уменьшить теплообмен излучением. Особенно заметный
эффект дают экраны с низкими коэффициентами поглощения. На этом прин-
принципе, в частности, основаны экранная теплоизоляция печей и создание изоля-
изоляционных материалов, выполненных из набора тонких металлических фолы
(альфоль, стальфоль и т. п.). Интересно отметить, что связанный с рассмотрен-
рассмотренной задачей теплового экранирования перенос излучения может быть ин-
интерпретирован как процесс теплообмена излучением в некоторой дискретной
¦среде с полосами поглощения, переизлучения и отражения при наличии в них
локального термодинамического равновесия.
В этом смысле представленные результаты следует рассматривать как пред-
предварительные в исследовании более сложного процесса переноса излучения в по-
поглощающей среде.
26.5. УРАВНЕНИЕ ПЕРЕНОСА ЭНЕРГИИ ИЗЛУЧЕНИЯ
В ПОГЛОЩАЮЩЕЙ СРЕДЕ
Под процессом переноса энергии излучения принято понимать собственное
излучение, поглощение, а также многократные отражения на границе и рассея-
рассеяния в объеме среды. Указанные явления имеют место при переносе излуче-
излучения как в газовых средах, содержащих взвешенные в них частицы пыли,
сажи, капельки жидкости и т. п., так и в твер-
дых или жидких полупрозрачных телах и реа-
реализуются как в природных условиях, так и
а / р. \^— -и в различных областях техники (в камерах
i I J~y-rc \ сгорания различного устройства, в металлур-
металлургии, стекольной промышленности и т. п.).
Рассмотрим законы изменения интенсив-
интенсивности или яркости излучения в поглощающей
и излучающей средах. Количество энергии
излучения, входящее через основание dF эле-
Рис. 26.7. К выводу уравнения пе- ментарного цилиндра (высота цилиндра пре-
реноса энергии излучения небрежимо мала по сравнению с радиусом
его основания), нормально ориентированного
в направлении излучения S (рис. 26, 7), за время dx в пределах телесного
угла dQ и интервала длин волн от Я до X + dk, согласно уравнению B5.2.4),
определится как
Ql = hdQdFdxdX. B6.5.1)
Удельная интенсивность проходящего через элементарный цилиндр излучения
меняется на величину dl%, вследствие чего на выходе из цилиндра
Qn = (IK -f- d/fc) dQdFdxk. B5.5.2)
Эти изменения вызваны как собственным излучением среды внутри цилиндра
AQc = ^ dF dS dQ dx dX. B5.5.3)
372
так и поглощением излучения, которое, согласно уравнению B5.5.12), опреде-
определяется как
AQno™ = «х h dF dS dQ dx dk. B6.5.4)
Здесь 8я — спектральный коэффициент излучения. Составим уравнение, опре-
определяющее изменение интенсивности излучения при прохождении элементар-
элементарного цилиндра:
(h + dh) du dF dx dl = h du dF dx dX —
—x*, h dF du dS dx dX + ex dF dS dQ dx dX, B6.5.5)
или после сокращений
dfjJdS = —7tbh + Eb. B6.5.6)
Последнее уравнение определяет изменение интенсивности излучения в погло-
поглощающей и излучающей средах и называется уравнением переноса энергии излу-
излучения*. В этом уравнении спектральный коэффициент излучения г^ представ-
представляет собой количество энергии, излучаемое единицей объема в пределах единич-
единичного телесного угла и интервала длин волн за единицу времени, г^ связано с
плотностью объемного собственного излучения очевидным соотношением
ех(Л1) = A/4я)т|с.ь(Л1). B6.5.7)
В связи с этим уравнение B6.5.6) для поглощающих сред иногда записывают
в следующем виде:
dh(M, S)/dS = —KX(M)h(My SL-(l/4n)T|CiX(Al). B6.5.8)
В общем случае, когда среда не только поглощает и излучает, но и рассеивает
излучение, в уравнении переноса излучения B6.5.8) следует вместо коэффи-
коэффициента поглощения х^, использовать коэффициент ослабления излучения k%
согласно выражению B5.5.6), а вместо г\ск (М) — плотность объемного эф-
эффективного излучения, которая, согласно равенству B5.5.14), помимо собствен-
собственного учитывает также и рассеянное излучение:
dh(M,S)/dS=—kb№IUM9S) + (l/4n)r\9.b(M,S). B6.5.9)
Плотность рассеянного излучения в общем случае определяется следующим
образом:
*(A1, S, S')h(M9 S)dQy B6.5.10)
4Я
где Y^ (M, S, S') — индикатриса рассеяния, указывающая долю общего излу-
излучения, падающего в направлении S' и рассеиваемого элементарным объемом
с точкой М в направлении S внутри телесного угла dQ. Вероятность рассеяния
излучения в направлении S внутри телесного угла dQ определяется как
(l/4it)y>,(M,S,S')dQ.
Следовательно, по аналогии с уравнением B6.1.12) должно выполняться усло-
условие замкнутости
, S, S')dQ=l. B6.5.11)
4Я
В случае сферической индикатрисы рассеяния, когда ya, (Af, S, S') = 1, имеет
место изотропное рассеяние излучения. Рассеяние излучения частицами (мо-
(молекулами и свободными электронами), размеры которых малы по сравнению
с длиной волны (d<O,lA,), характеризуется индикатрисой, которая опреде-
определяется по формуле Рэлея:
, S,S') = C/4) [l+cos2(S, S')l B6.5.12)
Процессы переноса излучения здесь рассматриваются как стационарные.
373
и имеет распределение интенсивности рассеяния, симметричное относительно
направления падающего излучения (рис. 26.8, а). Если излучение рассеивает-
рассеивается частицами, размеры которых сопоставимы с длиной волны, индикатриса рас-
рассеяния, зависящая от отношения радиуса частицы к длине волны излучения и
показателя преломления вещества частицы, оказывается сильно вытянутой в
направлении излучения (см. рис. 26.8, б).
Уравнение переноса излучения B6.5.9), таким образом, является весьма
сложным интегро-дифференциальным уравнением яркости. В случае погло-
поглощающей и излучающей среды оно вырождается в
обычное дифференциальное уравнение яркости
B6.5.8). Уравнения переноса излучения B6.5.8) и
B6.5.9) являются обобщениями известного закона
Бугера, согласно которому учитывается ослабле-
ослабление интенсивности только за счет поглощения:
dh(M, S)/dS=—Xb(M)h(M, S). B6.5.13)
Если среда диатермическая, то
Рис. 26.8. Индикатриса рас- ^ д
сеяния излучения: \?О.олч)
?р7вРнае3ниюРс длГнТвоГы;1 б- Неопределенность вида h (M, S) = гк (М)ЫХ(М) =
РлинойЫволнСыИЦ сопоставимы с = 0/0, возникающая при этом, раскрывается из
соображений постоянства интенсивности вдоль на-
направления излучения 5, значение которой для диффузно излучающих поверх-
поверхностей определяется как
B6.5.15)
В случае термодинамического равновесия следует полагать
dh(M)/dS = 0; h(M) = IQMM). B6.5.16)
Далее с учетом уравнения B6.5.14) приходим к закону Кирхгофа
/о.ь = е*/хх B6.5.17)
для поглощающих сред. Так как плотность равновесного излучения rj0, я свя-
связана с яркостью или интенсивностью /о, а, соотношением
т|о.х = 4я/о,ь, B6.5.18)
причем
тм = 4Ео,х, B6.5.19)
то из условия B6.5.17) получаем выражение плотности собственного излучения
т|с,* = **т|ол- B6.5.20)
Получить уравнение B6.5.17) оказалось возможным благодаря использова-
использованию в выводе уравнения переноса излучения гипотезы о локальном термодина-
термодинамическом равновесии. Согласно этой гипотезе каждый элементарный объем
среды, имеющий произвольное температурное распределение, находится в со-
состоянии термодинамического равновесия при температуре данного элемента
среды. Милн доказал, что условия локального термодинамического равновесия
определяются теми эффектами столкновений, которые обусловливают процессы
поглощения и излучения энергии. Таким условиям удовлетворяют поглощаю-
поглощающие среды, имеющие достаточно высокую оптическую плотность.
Проинтегрируем интегро-дифференциальное уравнение B6.5.9) почленно
скалярно в пределах телесного угла Q = 4я:
dQ ^ {м) j h (M) S) dQ +
An 4Л An
Г26.5.21)
374
В случае сферической индикатрисы рассеяния величина r\3t a, (М, S) = т]э, а, (М),
как функционал точки М может быть вынесена из-под знака интеграла, а пер-
первый интеграл в правой части представлен, согласно формуле B5.5.19), через
плотность падающего излучения. Учитывая, что
1
dQ = V -L Г h (M, S) cos (S"f) dQ = div Е4я. x (М), B6.5.22)
^d di J
dS __
4Л
где x, yy z — система прямоугольных координат, определяющих направление
<S, получаем
B6.5.23)
Используя понятие плотности объемного результирующего излучения щ(М),
определяемой согласно равенству B5.5.17), получаем
divE4jt.x = —т^ B6.5.24)
Для интегрального излучения в пределах всего спектра
divE4*=—л. B6.5.25)
Это уравнение можно рассматривать как уравнение сохранения энергии. В этом
случае плотность объемного результирующего излучения, будучи сложным
функционалом, содержит всевозможные виды энергии. Если анализируется
перенос излучения в собственном смысле этого слова (излучение в соленоидаль-
ном поле), то
divE4* = r] = 0. B6.5.26)
Интегрируя уравнение B6.5.9) для случая сферической индикатрисы рассея-
рассеяния почленно векторно по телесному углу Q = 4я, получаем
E4*.x=-(Wdivnx, B6.5.27)
пли для чисто поглощающей и излучающей среды фа, = 0)
B6.5.28)
Здесь Па, — тензор излучения (аффинный ортогональный тензор второго ран-
ранга), характеризуется следующими составляющими: Пп-(М) = f / (М, S)X
4Я
Xcos (S, /)cos (S, j)d?l (if j = x, y, z), которые определяют нормальные (/ = /)
и касательные (i Ф j) напряжения в поле излучения к площадкам, нормально
ориентированным к осям координат хуу,г, причем Пи- = Hjt (симметричность
тензора), а
S П„ = лп- B6.5.29)
i = xtytz
Если состояние излучающей системы приближается к термодинамическому рав-
равновесию, то составляющие тензора Щ, определяющие касательные напряжения,
становятся малыми. Это позволяет получить упрощенное представление для
div Щ:
div Пх =-A/3) grad г]пЛ. B6.5.30)
Здесь числовой коэффициент 1/3 определяется, согласно формуле B6.5.29),
приблизительно одинаковыми значениями яркости и т)п, % для всех направле-
направлений. Следовательно, для условий, близких к состоянию термодинамического
равновесия, сферический вектор излучения имеет вид
E4«.x=-(l/3ftx)grad4n,x- B6.5.31)
В соленоидальном поле излучения для поглощающих сред (ра, = 0) с учетом
формулы B6.5.19)
Е4яд = ( —1/Зхх)grad Ло,х = ( — 4/Зхх) grad ?Ofx- B6.5.32)
375
Для серой среды х^ = х и, следовательно,
Е4Я = —КР grad Т, B6.5.33)
где Хр = 16а0Т3/Зх — коэффициент проводимости излучения. Описанное гра-
градиентное представление для вектора излучения применимо лишь для условий,
близких к равновесным. Для поглощающих сред с большими температурными
градиентами выражение B6.5.31) следует рассматривать как грубую ап-
аппроксимацию интегрального уравнения B5.5.20). Степень такой аппроксима-
аппроксимации определяется характером конфигурации излучающей системы, а так-
также оптическими свойствами поглощающей среды. В физическом аспекте такое
приближение основано на диффузном представлении переноса излучения по
аналогии с теплопроводностью в газах. Такая аналогия, однако, возможна
только для излучения с малой длиной свободного пробега фотона. Следова-
Следовательно, приближенные решения, полученные на основе градиентного представ-
представления для вектора излучения, пригодны лишь для сильно поглощающих сред
простейших конфигураций (плоскопараллельный слой).
26.6. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
В ПОГЛОЩАЮЩЕЙ СРЕДЕ
При исследовании теплообмена излучением в системах произвольной конфи-
конфигурации необходим переход к интегральным уравнениям излучения. Полагая
плотность объемного эффективного излучения т]э> ^ известной функцией точки
Gх=1,0), записываем решение уравнения
5 B6.5.9) в следующем виде:
Здесь
Рис. 26.9. К переносу излуче-
излучения в поглощающей среде про-
произвольной конфигурации
^ f ЪА (Р) ехр (-ДАО dS; B6.6.1)
о
М 6 У\ N е F.
— оптические толщины сред:
B6.6.2)
г*
Первый член справа в уравнении B6.6.1) представляет собой долю лучистой
энергии, посылаемой граничной поверхностью системы за счет собственного
и отраженного излучений в элементарный объем с точкой М. При этом
ослабление излучения промежуточной средой учитывается коэффициентом
лучепрозрачности ехр (—hj). Второй, интегральный, член учитывает собст-
собственное и рассеянное излучение среды, приходящее в объем с точкой М
(рис. 26.9). Взаимное экранирование учитывается коэффициентом лучепрозрач-
лучепрозрачности ехр (—hy). Вывод интегральных уравнений излучения, описывающих
переносы излучения в поглощающих и рассеивающих средах произвольных
конфигураций, сводится к совместному рассмотрению классификации видов
излучения и решения уравнения переноса энергии излучения B6.6.1). Для по-
получения интегральных уравнений относительно плотностей полусферических
излучений воспользуемся выражениями B5.5.7) и B5.5.11) соответственно для
плотностей эффективного и падающего излучений и составим интегральное
уравнение следующего вида:
EdiX(M)-RK(M)
B6.6.3)
2Л
376
Для учета процессов, происходящих в поглощающей среде, подставим сюда вы-
выражение для интенсивности излучения согласно уравнению B6.6.1).
Вводя при этом обозначения:
Q(M,N,Ik) = exp (~hx)cosdM dQ(f'N) = exp(-hK) «и 6* cose*
ndF K2
- -Ah,) cosQM
|1Р
B6.6.4)
а также сворачивая двойной интеграл по поверхности F и лучу S в один инте-
интеграл по объему V среды, с учетом диффузности излучения границ получаем:
B6.6.5)
С помощью выражения B5.5.7) уравнение B6.6.5), записанное для нерассеи-
вающей серой среды (г]э к s т|с), может быть преобразовано к интегральному
уравнению относительно плотности падающего излучения Еп:
* (М) -J R (N) Еп (N) Q (M, N, %) dFN - J rjc (P) L (М, Р, к) dVP +
F V
$ Ес (N) Q (M, N, у) dFN. B6.6.6)
F
Вывод интегральных уравнений излучения относительно плотностей потоков
объемного излучения основан на совместном рассмотрении выражений B5.5.14)
и B5.5.19) либо B6.5.9) (если среда рассеивает излучение произвольным обра-
образом), в которых учитывается значение h (M, S) согласно уравнению B6.6.1).
Вводя обозначения
(М, Р, k%) = ехр (- Ahx) dQ}M'P) = exp (-
B6.6.7)
и осуществляя преобразования, аналогичные тем, которые проводились при
выводе уравнения B6.6.5), применительно к изотропной среде (у^ = 1) и диф-
фузно излучающим граничным поверхностям получаем интегральное уравнение
относительно плотности сферического или объемного эффективного излучения
при условии задания на границах излучающей системы значений Еэ, д,:
(M)-h (M) j ?эЛ (N) Q1 (M, N, 1) dFN -
B6.6.8)
Воспользовавшись соотношением B5.5.14), уравнение B6.6.8) преобразуем
в интегральное уравнение относительно плотности объемного падающего излу-
излучения и запишем его для случая серой поглощающей среды (Р = 0):
- $ R (N) Ea (N) Qx (M, N, к) dFN = $ цс (Р) Ьг (М, Р, х) dVP +
F V
+ ^Ec(N)Q1(M,N,K)dFN. B6.6.9)
F
377
Сопоставляя интегральное уравнение B6.6.9) с уравнением B6.6.6), отмечаем
помимо наличия формальной аналогии их тесную взаимосвязь. Это свидетель-
свидетельствует о том, что при исследовании теплообмена излучением в замкнутых излу-
излучающих системах, заполненных поглощающей (и рассеивающей) средой с из-
известными полями температур и оптических констант, задача сводится к рас-
рассмотрению системы двух интегральных уравнений, составленных относительно
плотностей полусферического и объемного излучений.
Запишем интегральное уравнение B6.6.6) в следующем виде:
l B6.6.10)
F
где
+ l Ec(N)Q(M,N,K)dFN. B6.6.11)
V F
Подобно B6.1.13), уравнение B6.6.10) является неоднородным интегральным
уравнением Фредгольма второго рода. Следуя Ю. А. Суринову, решаем его ме-
методом итераций:
Еп(М) =F(M)+\R(N)T(Af, N,H)F(N)'dFN- B6.6.12)
F
Здесь Г (Af, N, x) — резольвента ядра Q (Af, N, х), определяемая с помощью
соотношений вида B6.1.15) или B6.1.22), в которых экранирующий эффект
среды учитывается в соответствии с определением Q (Af, N, х) согласно уравне-
уравнению B6.6.4).
Подставляя F (Af) в уравнение B6.6.12) и преобразовывая его, получаем
решение для Еп (М) в следующем виде:
Еп (М) = $ Г (Af, N, х) Ес (N) dFN + \z (Af, Р, х) т|с (Р) dVP, B6.6.13)
F V
где
Z (Af, Р, х) = L (Af, Я, х) + J R (N) Г (Af, N, x) L (N, P, x) dFP\ B6.6.14)
F
Решается интегральное уравнение B6.6.9) элементарно, так как в данном
случае совместное рассмотрение интегральных уравнений для полусферических
и объемных излучений сводится к простой подстановке в уравнение B6.6.9) ре-
решения для Еи. В результате такой подстановки получаем
т)п (М) = $ Zг (М, Р, х) т)с (Р) dVP +5 Гх (Af, N, х) Ес (N) dFN; B6.6.15)
V
где
Zx (Af, P, x) - Lx (AT, P, x) + J Я (Л0 Q2 (Af, N, x) Z (iV, P, x) d^; B6.6.16)
^, N,x)dFP. B6.6.17)
3 78
Воспользовавшись выражениями B5.5.8) и B5.5.15), связывающими резуль-
результирующие и падающие излучения, и подставляя в них значения Еп и г\и из урав-
уравнений B6.6.13) и B6.6.15), получаем соответственно:
Е(М) = А (М) IГ (М, N, х) Ес (N) dFN + А (М) $ Z (М, Р, х) Чс (Р) rfKP - ?с (М);
B6.6.18)
M,N?F\ N? V;
= —div Е4Я (М) = х (М) j 1\ (М, iV, х) ?с (ЛГ) rff д, +
F
\x(М, Р, х) лс (^) d7p-r|c (M); B6.6.19)
v
АГ, Р 6 V; N 6 Z7.
Полученные результаты составляют главное содержание теории теплового
переноса излучением. В случае соленоидального поля излучения результирую-
результирующий перенос тепла тождественно равен нулю. В общем случае, когда помимо
излучения в теплообмене участвуют и другие виды переноса тепла (теплопро-
(теплопроводность, конвекция и др.)» ПОД результирующим потоком следует понимать
суммарное значение энергии в рассматриваемой точке среды. Такие процессы
описываются нелинейным интегро-дифференциальным уравнением энергии, ре-
решение которого для конкретных приложений представляет большие трудности
математического характера. Поэтому широкое распространение получили при-
приближенные методы, связанные обычно с приближенными представлениями урав-
уравнений переноса энергии (дифференциальные методы) или интегральных урав-
уравнений излучения (зональный метод). При этом особое внимание приходится
уделять оптическим свойствам сред.
26.7. ОПТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ПОГЛОЩАЮЩИХ СРЕД
В связи с объемным характером теплообмена излучением в поглощающих
средах оптические свойства последних оказываются тесно связанными с про-
процессами переноса тепла излучением. Это в значительной степени должно опреде-
определять специфику методов исследования оптических характеристик ослабляющих
сред. В их основу может быть положено уравнение переноса энергии B6.5.9),
описывающее изменение интенсивности излучения. Эти соображения, однако,
ввиду больших методических трудностей используются в исследованиях дале-
далеко не полностью. Поглощательная способность обычно определяется по от-
относительному изменению интенсивности излучения:
Ab = (Ii-h)/IL B6.7.1)
где /? и /я — соответственно интенсивности входящего в слой и пропущенного
им излучений.
Используя закон Бугера B6.5.13) и B6.7.1), определяем поглощательную
способность слоя среды толщиною /:
Лх =Л-/*//*-¦l-exp/'-Jxx ds\ , B6.7.2)
или, введя понятие оптической толщины (плотности) слоя
/Jx=JxxdS, B6.7.3)
о
получим
Лх=1-ехр(-Аь). B6.7.4)
379
Излучение абсолютно
' черного me/ia
Излучение
серого тепа
Излучение газа
Рис. 26.10. Спектр излучения газа
В однородной среде с постоянным коэффициентом поглощения по длине луча
в пределах слоя /
А\= 1—ехр (—%\1). B6.7.5)
Аналогичным образом эта формула записывается и для серой среды. Величину
безразмерной оптической толщины среды h% = к%1 иногда называют крите-
критерием Бугера. Из уравнения B6.7.5) среднее значение монохроматического
коэффициента поглощения определяется как
хх =A/0 1пA— А) = A//Iп(/*/Я). B6.7.6)
Такое сравнительно простое определение коэффициента поглощения объяс-
объясняется моделью взаимодействия излучения со средой, которая здесь исполь-
используется. Как известно, поглощение излучения связано с его взаимодействием
с частицами (молекулами) тела. Пос-
Последние в период между столкновения-
столкновениями практически не взаимодействуют
друг с другом, и их взаимодействие с
излучением является «индивидуаль-
«индивидуальным». В таком случае степень погло-
поглощения излучения должна быть прямо
пропорциональной количеству частиц
(молекул) тела, находящихся на его
пути (гипотеза Бера). Эта гипотеза
хорошо подтверждается в средах с
малыми концентрациями поглощаю-
поглощающего вещества. С ростом концентрации увеличивается вероятность взаимодей-
взаимодействий между частицами (молекулами) поглощающего вещества, что ведет к за-
заметным отклонениям от гипотезы Бера. Если рассмотренная излучающая
система (слой) находится в состоянии радиационного равновесия, то, очевид-
очевидно, на основании закона Кирхгофа спектральная излучательная способ-
способность (степень черноты) слоя в произвольном направлении равна его спект-
спектральной поглощательной способности в том же направлении:
г% = А % = 1 — ехр {кк I). B6.7.7)
Значение коэффициента поглощения в этом случае следует брать при темпера-
температуре излучения.
Кратко остановимся на анализе оптических свойств некоторых наиболее ха-
характерных сред. Испускание и поглощение излучения чистыми газами имеют
четко выраженный избирательный, селективный, характер, т. е. их спектр яв-
является линейчатым (рис. 26.10).
Появление полос излучения (поглощения) в спектрах газов связано с теми
изменениями в состоянии молекул и атомов (переход электронов с одного уров-
уровня на другой, квантовые изменения колебательных и вращательных движений
атомов, молекул и пр.), которые вызваны их взаимодействием с электромагнит-
электромагнитными волнами излучения. Газы обладают высокой степенью проницаемости.
Значение коэффициента ослабления луча в двухатомных газах, в частности в
азоте, кислороде и водороде, настолько мало, что практически эти газы пол-
полностью проницаемы для теплового излучения.
Трехатомные газы имеют более высокую поглощательную способность. Наи-
Наибольшее практическое значение в теплотехнических приложениях имеют та-
такие трехатомные газы, как углекислый газ и водяной пар. Для каждого из них
можно выделить по три наиболее важных с энергетической точки зрения поло-
полосы. Граница этих полос приводится в табл. 26.1.
Полное излучение газа слагается из излучения его полос, т. е.
B6.7.8)
где i — номер полосы спектра.
380
Таблица 26.1
Основные полосы спектров поглощения углекислого газа
и водяного пара (к. мкм)
2
4
13
,65
,15
co2
2,
4,
17
8
45
1
0,15
0,30
4,0
к
2
4
12
i
.3
,4
Н2О
К
3,4
8,5
30
1
4
18
АЛ,
,1
,1
Обработка экспериментальных данных по формуле B6.7.8) показывает, что
излучение газов не подчиняется закону излучения черного и серого тел и раз-
различно для разных веществ. Так, полная энергия излучения СО2 пропорциональ-
пропорциональна абсолютной температуре в степени ~3,5, а энергия излучения водяного пара
пропорциональна примерно кубу абсолютной температуры. В практических рас-
расчетах условно принимают, что излучение газов, так же как излучение твердых
тел, пропорционально четвертой степени их абсолютной температуры.
Рис. 26.11. Графики для определения степени черноты Н2О (а) и СО2 (б)
Ослабление излучения в газовой среде зависит от рода газа, температуры и
числа молекул, находящихся на их пути. Согласно гипотезе Бера, степень по-
поглощения излучения определяется парциальным давлением р-ь и толщиной /
слоя газов:
= г%=\— ехр(—b^iPtl),
B6.7.9)
где
Таким образом, степень черноты газов определяется как функция от темпера-
температуры и произведения р/, характеризующего эффективность ослабления:
tl). B6.7.10)
На рис. 26.11 даны графики степени черноты различных изотермических слоев
СО2 и Н2О, соответствующие экспериментальным измерениям Хоттеля. Излу-
Излучение водяного пара при постоянном рц2о I оказывается зависящим также
от рн2о> что свидетельствует об отклонении от гипотезы Бера. Поэтому при
определении степени черноты водяного пара вводится поправка |3, определяе-
381
мая для заданного значения рн2о I в зависимости от парциального давления
рн2о (рис. 26.12). Суммарное излучение смеси газов в общем случае не равно
сумме излучений компонентов смеси, взятых порознь. Так, степень черноты
смеси углекислого газа и водяного пара меньше суммы их собственных сте-
степеней черноты. Это явление связа-
связано с частичным взаимным поглоще-
поглощением излучения в области длин
волн, в которых полосы спектров
СО2 и Н2О перекрывают друг дру-
друга. Поправка Де, на которую надо
уменьшить сумму степеней черноты
СО2 и Н2О в их смеси, дана на
рис. 26.13.
А. М. Гурвич и В. В. Митор по-
показали, что расчет суммарной по-
глощательной способности (степени
черноты) трехатомных газов СО2 и
Н2О можно производить с достаточ-
Рис. 26.12 Поправка на парциальное давление
водяных паров (общее давление /?=98-103Па)
ной точностью по экспоненциаль-
экспоненциальной зависимости
8Г=1— ехр(—krpvlT). B6.7.11)
Здесь рг = рсо2 + Рн2о — суммарное парциальное давление углекислоты
и водяных паров; kr — коэффициент ослабления лучей дымовыми газами, оп-
определяемый эмпирическим соотношением
B6.7.12)
VpJ
В приведенных выше формулах везде предполагается, что длина луча I во
всех направлениях одна и та же (газовая полусфера с излучателем в центре
ее основания). Для излучающих объемов газа произвольной формы следует
ввести понятие эффективной длины луча /э или эквивалентной толщины слоя
излучающей среды.
Рн2о +Рсо2
Рис. 26.13. Поправка As к излучению смеси Н2О и СО2
Если излучающий газ, занимающий объем V с граничной поверхностью F,
находится в состоянии термодинамического равновесия, то нетрудно показать,
что эффективная длина луча при малой оптической толщине среды имеет фи-
физический смысл средней длины пути пробега фотона (или молекулы в разрежен-
разреженном газе) до поверхности F. При этом
lB = W/F. B6.7.13)
382
Влияние оптической толщины газа на /э учитывается поправочным коэффициен-
коэффициентом т « 0,9:
/в = т4У/Л B67.14)
Более точные значения /э могут быть найдены путем интегрирования длины хода
луча по всем направлениям (обычно выполняемого графически).
Во многих случаях наряду с излучением трехатомных газов следует учиты-
учитывать также собственное излучение взвешенных в газовом потоке твердых час-
частиц. Размеры частиц, содержащихся в таких потоках, обычно значительно пре-
превышают длину волны излучения. Так, размеры частиц золы и угольной пыли
в дымовых газах в среднем составляют 5—100 мкм. Поглощательная (излу-
чательная) способность запыленных потоков, образованных твердыми частица-
частицами, взвешенными в полупрозрачном газе, определяется в условиях заданных
температур и толщин слоя концентрацией, размерами и физическими свойст-
свойствами самих частиц:
= 1— ехр(—ku\iFl).
B6.7.15)
Здесь kn — интегральный коэффициент ослабления лучей частицами; F —
средняя удельная поверхность пыли, м2/г; \i — концентрация пыли, г/м3. Про-
Произведение kuF называется интегральным эффективным сечением ослабления.
По данным А. М. Гурвича, А. Г. Блоха и А. И. Носовицкого, эффективное сече-
сечение ослабления излучения определяется как
0,42 В
Р
B6.7.16)
где Т — температура потока, К; d — средний диаметр частиц, мкм; р — удель-
удельная плотность пыли, г/см2; В — коэффициент, зависящий от рода топлива.
Зависимость экспериментального коэффициента В от рода топлива вызва-
вызвана различиями в электролитических свойствах веществ и геометрических ха-
характеристиках пылевых частиц топлива (табл. 26.2).
Значение коэффициента В для
Род топлива
Зола печорского угля
Зола подмосковного бурого и
донецкого газового углей, зола
эстонского сланца
различных топлив
Численное
значение ко-
коэффициента В
0,25—0,20
0,15
Табл
Род топлива
Зола антрацитового штыба
Угольная пыльца
Твердых топлив
различных
ица 26.2
Численное
значение ко-
коэффициента Б
0,08
0,15—0,10
Определение эффективных сечений ослабления knF и соответственно коэф-
коэффициентов поглощения Аи для золовой пыли может быть проведено по номо-
номограмме (рис. 26.14). Если запыленными являются непрозрачные для излуче-
излучения трехатомные газы, то коэффициент ослабления такой среды складывается
из ослабления трехатомными газами (СО2 иН2О) и взвешенными в них тверды-
твердыми частицами. Суммарная поглощательная способность такого слоя определя-
определяется по формуле
Fv)l]. B6.7.17)
Эффективное сечение ослабления излучения при встречающихся в котельной
практике условиях сгорания пылевидного топлива определяется по формуле
B6.7.18)
где d — средний диаметр золовых частиц (зависит от рода топлива, размола и
способа сжигания).
383
В пламени наряду с излучением трехатомных газов имеет место излучение
находящихся в нем частиц топлива и золы (диаметром до 300 мкм) и сажи (диа-
(диаметром 0,03—0,5 мкм). Вопросами излучения сажи занимались Шак, Саке,
Яги, Пепперхофф и др. Установлено, что спектральный коэффициент поглоще-
поглощения слоя, заполненного частицами сажи, зависит от концентрации этих частиц
и длины волны излучения. Коэффициент ослабления излучения в такой среде
обычно представляется степенной зависимостью
Ля = const А». B6.7.19)
Показатель степени п зависит от вида пламени. По данным Саке, Яги, п =
= 0,3. Большинство других авторов дают для светящихся пламен п > 0,9.
Как видно, коэффициент ослабления излучения сажистыми частицами умень-
О/ 0,5 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1
Коэффициент псг/осцения Ап
Рис 26.14. Номограмма для определения эффективного сечения
(knF) золовой пылью
ослабления луча
шается с ростом длины волны. Поэтому селективность поглощения излуче-
излучения сажистым пламенем нарастает с увеличением X. Когда длина волны ста-
становится соизмеримой с размерами частиц, последние огибаются волной, т. е.
в области длинных волн (среднее и далекое инфракрасное излучение) сажистое
пламя почти прозрачно для теплового излучения.
Так как размеры частиц дробленого топлива и золы весьма значительны, то
поглощение излучения пламенем, содержащим такие частицы, мало отличается
от серого поглощения. Для условий сажеобразования, характерных для топок,
работающих на жидком топливе, возможен приближенный расчет коэффициен-
коэффициента ослабления, А. М. Гурвич, В. В. Митор и В. Д. Терентьев показали, что ин-
интегральный коэффициент ослабления в этих условиях зависит только от темпера-
температуры пламени:
k = 1,6. Ю-3 Г —0,5. B6.7.20)
Несмотря на отчетливо выраженную выше зависимость оптических харак-
характеристик поглощающих сред от длины волны, при расчете теплообмена излу-
излучением широко используется гипотеза о серости вещества среды. Однако даже
в тех случаях, когда это предположение является достаточно условным, его ис-
384
пользование оказывается оправданным теми сложностями, с которыми прихо-
приходится сталкиваться в исследованиях переноса тепла излучением (излучение в
условиях комбинированного переноса тепла, сложной конфигурации границ
и пр.).
26.8. ТЕПЛООБМЕН ИЗЛУЧЕНИЕМ ДИСКРЕТНОЙ
СИСТЕМЫ ТЕЛ В ПОГЛОЩАЮЩЕЙ СРЕДЕ
(ЗОНАЛЬНЫЙ МЕТОД)
Пусть замкнутая излучающая система, заполненная поглощающей средой,
состоит из п граничных и т объемных однородных и изотермических серых тел
(рис. 26.15). Решение для плотности полусферического падающего излучения в
таком случае легко преобразуется (умножением на dFsk, интегрированием
в пределах Fk и делением на площадь зоны Fk
всех членов уравнения B6.6.13)) в систему инте-
интегральных уравнений следующего вида A ^ k ^ п\
1 ^ / ^ т): Ак
Еп (Мг) =
(Mi9 Fk
B6.8.1)
Здесь W (Mt, Fk) и % (Mt, Vj) — локальные раз-
разрешающие угловые коэффициенты излучения меж-
между элементом поверхности 1-й зоны в точке Мг и со-
соответственно граничной k-й и объемной /-й зонами:
V(Mi9Fh) =
B6.8.2)
Рис. 26.15. К зональному ме-
Тоду расчета теплообмена в
поглощающих средах
При таком рассмотрении объемные зоны среды вое-
принимают локальный пучок направленного излу-
чения своей внешней поверхностью (сечением
ослабления зоны Fj) (см. рис. 26.15). Поглощательная способность (степень
черноты) каждой объемной изотермической зоны / определяется как
Aj= 1 — ехр(
B6.8.3)
Это позволяет представить объемную зону с поглощательной способностью
A j как бы граничной. Принимая это во внимание, а также учитывая, что r)Ct j =
= 4KjE0iJJ записываем уравнение B6.8.1) в следующем виде A ^k^n + tri):
Eu (Mt) = 2?c>ft Y wit Fk)t B6.8.4)
где W (Mi9 Fk) — локальный разрешающий угловой коэффициент излучения,
учитывающий промежуточную поглощающую среду и многократные отражения
на границе. Определяется он с помощью системы интегральных уравнений сле-
следующего вида A < / < /г):
B6.8.5)
где яр (Мг, Fk) — локальный угловой коэффициент излучения с учетом по-
поглощающей среды:
Г — if cos &м cos ®n
Tp(Mt,Fk) = ) Q (Mi9Nk97i)dFNh= —J exp(—Aft) ^ M/^ft. B6.8.6)
13 Зак. 795
385
Умножив обе части уравнения B6.8.4) на (IFm., а затем проинтегрировав
по области Fh найдем значение плотности полусферического излучения, падаю-
падающего на 1-ю зону:
Епti = 2"?ikECtk (i = l,2,.../i + m; 1<?<л + /я). B6.8.7)
Wik — средний разрешающий угловой коэффициент излучения между зонами
i и k с учетом поглощения в промежуточных зонах — определяется путем оче-
очевидных интегральных преобразований с уравнением B6.8.5). Если излучаю-
излучающая система удовлетворяет условию
q(MitFk) = yik, B6.8.8)
то уравнение B6.8.5) вырождается в систему алгебраических уравнений
^ik = bk + ^Rj^u^jk (a = l,2,...,n + m; 1</<я), B6.8.9)
аналогичную по форме уравнению B6.2.8) в случае, если среда диатермическая.
Здесь tyik — средний угловой коэффициент излучения с учетом поглощающей
среды между ?-й и k-й изотермическими зонами — определяется по формуле
, С С
ехр (- АЛ) 1J * dFNk dFM.. B6.8.10)
r
Из выражения для плотности результирующего излучения Е = АЕа — Ес по-
получим с помощью B6.8.7)
—Есл A<Л<л+т). B6.8.11)
Используя уравнение замкнутости, которое на основании выражения B6.8.7),
анализируемого в равновесном состоянии (Еп = ?0), имеет вид
2i4ftYlfc=l A<?<л + т; i = 1,2,...,п + т)9 B6.8.12)
выражение B6.8.11) записываем в следующем, более компактном виде:
). B6.8.13)
Приведенные результаты составляют главное содержание зонального мето-
метода расчета теплообмена излучением в поглощающих средах, разработанного
Ю. А. Суриновым. Основная идея этого метода, как уже указывалось ранее,
заложена в соответствующих аппроксимациях интегральных уравнений излу-
излучения, впервые использованных в работах школы советских ученых (О. Е. Вла-
Власов, А. М. Титов, Г. Л. Поляк, А. С. Невский и др.).
Степень точности расчета зональным методом, определяемая способом ап-
аппроксимации интегральных выражений, зависит от числа выделенных зон.
С ростом числа зон, очевидно, точность расчетов увеличивается. Дискретное рас-
рассмотрение излучающей системы неотделимо от вопросов усреднения параметров
в пределах зон и оценок оптимальной погрешности выбранного позонного раз-
разбиения. Обычно зональные методы используются в приближенных расчетах
теплообмена излучением, когда число выделенных изотермических зон не пре-
превышает пяти. Однако даже такое грубое дискретное рассмотрение в ряде слу-
случаев оказывается весьма эффективным. Особую ценность приобретают зональ-
зональные методы при исследовании сложного комбинированного теплообмена
в системах лучеобменивающихся тел произвольных конфигураций.
26.9. ПЕРЕНОС ИЗЛУЧЕНИЯ В ПЛОСКОМ СЛОЕ
ПОГЛОЩАЮЩЕЙ СРЕДЫ
В ряде практически важных случаев представляется возможным восполь-
воспользоваться результатами строгих аналитических подходов, изложенных выше.
Проиллюстрируем это на примере переноса излучения в плоском слое погло-
поглощающей среды.
Подобная постановка задачи является фундаментальной в широком классе
задач, посвященных проблемам переноса. Рассмотрим перенос тепла в плос-
386
ком слое серой поглощающей среды, образованном плоскопараллельными диф-
фузно излучающими и отражающими поверхностями. Задача сводится к опре-
определению плотности результирующего теплового потока по заданному темпера-
температурному распределению и температурного распределения в слое по заданным
значениям плотности объемного результирующего излучения и температур
граничных поверхностей. Для этого воспользуемся уравнениями B6.6.18) и
B6.6.19).
Преобразуем указанные интегральные уравнения применительно к рассмат-
рассматриваемым условиям. Эти преобразования сводятся к элементарному учету
геометрических особенностей излучающей системы (рис. 26.16). В частности,
принимаем во внимание невогнутость поверхностей F1 и F2, составляющих об-
общую поверхность F, в связи с чем при ана-
анализе соответствующих разрешающих угло-
угловых коэффициентов излучения полагаем
Q (Pi, Nu х) = Q (P2, N2, у) = 0. (Здесь
Р1э Р2 — промежуточные точки отражения
по поверхностям Fx и F2 соответственно.)
Кроме того, принимаем во внимание, что
отражающими являются лишь граничные,
образующие замкнутую систему поверх-
поверхвыражениями
Рис. 26.16. Схема плоского слоя серой
поглощающей среды
ности.
Воспользовавшись
B6.6.16) и B6.6.17), Н. А. Рубцов пока-
показал, что интегральные члены уравнения
B6.6.19) могут быть представлены в явном виде с помощью элементарных
оптико-геометрических параметров, определяемых согласно уравнениям
{26.6.4) и B6.6.7) и преобразуемых с использованием так называемого экспо-
экспоненциального интеграла Кп (*), весьма характерного для описания перено-
переносов произвольной субстанции:
1
К и (*) = J ехр (—х/ц) [X"" d\i/\i.
B6.9.1)
Воспользовавшись понятиями оптической глубины h и толщины h0 слоя
B6.9.2)
после ряда несложных преобразований уравнение B6.6.19) можно записать
применительно к случаю, когда F± и F2 являются оптически однородными изо-
изотермическими зонами, следующим образом:
ц (А) = дЕ (h)/dh = 4?0 (А)-2А1 (А) ЕоЛ- 2А'2 (A) EOt2-2 J Eo A) Z (A, I) dt
B6.9.3)
Здесь
A'2 (A) = (A2/D12) [/Ca (Ao-A) + 2/?xK3 (Ao)K2 (A)];)
/?12=1-4/г1«а/СНЛо). B6.9.6)
Очевидно, выражение для плотности полусферического результирующего
излучения E(h) может быть получено из уравнения B6.9.3) путем его почлен-
почленного интегрирования по А:
?(А) = 2Л(Л)^од-2Л2(А)?О2 + 2??оA)г|)(А,|) dg-2C?0F) 4>(?,A)dg.
j j
0 h
B6.9.7)
B6.9.4)
13*
387
Здесь
;1
;/
g g
Ах (А) = (Л/^12) [К, (Л) -2Я2 К, (А.) К3 (Ао—
Л2 (ft) = (Л2/Я12) [/Се (Ао - А) -2ЯХ К3 (Ао) Кз (А)]
) = К2 (A-S) + 2ЛХ (А) (/^/Л^ /С2 E) -2Л2(А) (Я2/Л2) /С2 (А„-$; B6.9.9)
, А) = К2 (|-А) -2ЛХ (A) (RJA0 К2 (I) + 2Л2 (A) (Rt/AJ К2 (Ао -g). B6.9.10)
Если излучающая система находится в состоянии термодинамического равно-
равновесия, то уравнения B6.9.3) и B6.9.7) вырождаются соответственно в интеграль-
интегральные уравнения замкнутости:
j
j
h
B6.9.11)
Воспользовавшись уравнениями B6.9.11), представим интегральные уравнения
B6.9.7) и B6.9.3) в безразмерном виде:
—2A'2(h)—2 Г Z (А, 1) <р (
б
B6.9.12)
B6.9.13)
где
0,1 — ^0,2
^0,2
Уравнения B6.9.12) и B6.9.13) могут быть использованы в общем случае
при исследовании переноса тепла в плоском слое теплопроводной и движущей-
движущейся среды. В частном случае, когда рассматривается только излучение (соленои-
дальное поле), плотность полусферического результирующего излучения в слое
постоянна, а ее производная по А, т. е. плотность объемного результирующего
излучения, тождественно равна нулю. В связи с этим задача сводится к сов-
совместному рассмотрению следующих интегральных уравнений:
Г h 1
) = y Un*) + Jz(ft.5)9©dE Ь
= 2 ГЛ2 @) + J гр (/г, |) Ф (g) dgl,
где
(/г0)
B6.9.14)
B6.9.15)
B6.9.16)
При этом определение Е сводится к взятию соответствующих квадратур после
подстановки ф (h). Используя линейную аппроксимацию распределения ср (К)
по толщине слоя
<р (А) = <р (О) + ф№о)-ф@) К
Ао
B6.9.17)
388
где ф (О) и ф (h0) — функции температурных распределений в околостенных
областях соответственно при /г = 0 и h = /i0, легко получить в первом прибли-
приближении решение B6.9.14) применительно к случаю, когда граничные поверхно-
поверхности являются абсолютно черными. Это решение имеет следующий вид:
l + ho[l-K2(ho))-2F
B6.9.18)
Распределение ф (?) = [Ео (I) — E0tl]l(E0t2 - У ;0 х) по толщине слоя
(I = h/h0) излучающего газа (рис. 26.17) для ft0 Ц'; 0,5; 1,0; 2,0; 5,0; оо, по-
построенное по уравнению B6.9.18) хорошо
(с погрешностью <3%) согласуется с чис-
численным решением. Следует отметить нали-
наличие характерных скачков ф (ft) в пристен-
пристенных областях. Указанные температурные
скачки объясняются идеализацией процес-
процесса переноса тепла излучением, исключаю-
исключающей из рассмотрения молекулярную тепло-
теплопроводность. В условиях оптической сим-
симметрии, когда Ах = А2 = 1, функция тем-
температурного распределения ф (ft) обладает
характерной симметрией относительно
Ф (ft) для диатермической среды (ft0 = 0).
В общем случае (А1фА2= 1) эта симмет-
симметрия нарушается, и область пересечения
Ф (ft) при ft0 = 0 с ф (ft) при произвольном
ft перемещается в сторону поверхности с вы-
высоким значением коэффициента, характе-
характеризующего излучательную способность
стенки. Определение безразмерного потока
Е производим согласно уравнению B6.9.14),
которое при Аг = А2 = 1 имеет вид
О
0,8 h/h0
Рис. 26.17. Распределение температур-
температурной функции по толщине слоя излу-
излучающего газа
Е = 2 Гкз (Ао) + J /С. (А-© Ф F
?
B6.9.19) ?
Для определения интеграла в правой части
этого уравнения воспользуемся линейным
приближением решения ф (ft) согласно
выражению B6.9.18). После некоторых
преобразований получаем выражение для
Е в форме сравнительно простого соотно-
соотношения:
\
ч
2
5— in
5
Рис. 26.18. Зависимость безразмерного
потока излучения от оптической тол-
толщины излучающего слоя газов:
/ — по формуле B6.9.20); 2 —по формуле
B6.9.21) при Л!=Л8 = 1
B6.9.20)
Результаты расчетов по этой формуле (рис. 26.18) практически совпадают
с численным решением задачи, а также аналитическим решением В. Н. Адриа-
нова и Г. Л. Поляка, основанным на непосредственном применении уравнения
переноса радиационной энергии (дифференциальный метод). На рис. 26.18
дается также зависимость Е = / (ft0), построенная по приближенному выра-
выражению
4) B6.9.21)
389
при Аг = А2 = 1. Формула B6.9.21) выводится сравнительно просто на
основании использования упрощенного градиентного представления для век-
вектора излучения B6.5.33). Она удовлетворительно согласуется с решением
B6.9.20) и успешно применяется в практических расчетах.
26.10. КОМБИНИРОВАННЫЙ РАДИАЦИОННЫЙ
ТЕПЛООБМЕН
Реальные условия перуоса массы и энергии в различного рода теплотех-
теплотехнических процессах и явлениях природы характеризуются сложным комплек-
комплексом взаимосвязанных (коммутированных) явлений, включающих процессы ра-
радиационного, кондуктивнс i конвективного теплообмена. Радиационно-кон-
дуктивный теплообмен — к из наиболее распространенных видов тепло-
теплообмена в природе и техниЛ2 (
Математическая форму эвка задачи о радиационно-кондуктивном тепло-
теплообмене вытекает из уравнс я энергии, дополненного соответствующими гра-
граничными условиями. В чЩ (рсти, при исследовании радиационно-кондуктив-
ного теплообмена в плоском слое
поглощающей и излучающей сре-
среды с непрозрачными серыми гра-
границами задача сводится к реше-
решению уравнения энергии
0,8
?
001
N=0,0
^У.
sr-e2
= 0,5
.A(p(e)-*.UA^ B6.Ю.1)
с граничными условиями
0,2 0,4
? = U, U = иА, 5=1, и = кJ'
B6.10.2)
Здесь Ф = Е/(оТН) — безраз-
безразмерная плотность потока ре-
результирующего излучения;
д^ = о0Т18/Х# — критерий ра-
диационно-кондуктивного тепло-
теплообмена; р F) = К (9)Д# — кри-
критерий зависимости теплопровод-
теплопроводности среды от температуры;
9 (I) = Т Ш/Г* — безразмер-
безразмерная температура в сечении \ =
= у/8 слоя толщиной б.
Уравнение B6.10.1) представ-
представляет собой нелинейное интегро-
дифференциальное уравнение,
так как dO/d? в соответствии с
уравнением B6.9.13) описывает-
описывается интегральным выражением,
а искомое значение температу-
температуры представлено в уравнении
B6.10.1) как в явном, так и в
плотности потока излучения:
На рис. 26.19 даны результаты решения уравнения B6.10.1), полученные
Н. А. Рубцовым и Ф. А. Кузнецовой сведением его к интегральному уравне-
уравнению с последующим численным решением на ЭВМ методом Ньютона. Приве-
Приведенные результаты по температурному распределению в слое поглощающей
среды с осредненным по частоте значением коэффициента объемного поглоще-
поглощения свидетельствуют о принципиальной важности учета совместного, радиа-
ционно-кондуктивного взаимодействия в переносе суммарной тепловой энергии.
0,5
Рис. 26.19. Температурное распределение в слое
поглощающей среды оптической толщины (/io=
= 1,0 при 6i = 0,5)
неявном виде через равновесное значение
390
Обращает на себя внимание чувствительность эффектов взаимодействия к
оптическим свойствам границ (особенно для малых значений критерия радиа-
ционно-кондуктивного теплообмена: N = Хк/о0Т3).
Снижение излучательной способности горячей стенки (см. рис. 26.19) ве-
ведет к перераспределению ролей радиационной и кондуктивной составляющих
потока тепловой энергии. Роль излучения в теплоотдаче горячей стенки па-
падает, и примыкающая к ней среда нагревается за счет кондукции от стенки*
Последующий перенос тепловой энергии к холодной стенке складывается из
кондукции и излучения за счет собственного излучения среды, при этом тем-
температура среды снижается по сравнению с тем значением, которое имела бы
среда в случае одного кондуктивного теплопереноса. Смена оптических свойств
границ ведет к коренной перестройке температурных полей.
В последние годы в связи с широким внедрением криогенной техники
принципиально важной оказалась проблема теплообмена излучением при
криогенных температурах (исследования оптических свойств, эффективности
теплоизоляции в сверхпроводящих устройствах и криостатах). Однако и
здесь трудно представить себе процессы радиационного теплообмена в рафи-
рафинированном виде. На рис. 26.20 приведены результаты экспериментальных
исследований, выполненных Н. А. Рубцовым и Я. А. Бальцевичем и отобра-
отображающих кинетику температурных полей в системе металлических экранов
при температурах жидкого азота и гелия. Там же представлен расчет устано-
установившегося температурного поля по уравнениям B6.4.1) в предположении, что
основной механизм переноса тепла — излучение. Расхождение эксперимен-
экспериментальных и расчетных результатов свидетельствует о наличии дополнительного,
кондуктивного механизма переноса тепла, связанного с наличием между
экранами остаточных газов. Следовательно, анализ подобной теплопередающей
системы также связан с необходимостью рассматривать взаимосвязанный
радиационно-кондуктивный теплообмен.
Простейшим примером комбинированного радиационно-конвективного теп-
теплообмена является перенос тепла в плоском слое поглощающего газа, вду-
вдуваемого в турбулентный поток высокотемпературного газа, обтекающего
проницаемую пластину. С подобного рода постановками задач приходится
сталкиваться как при рассмотрении течения в окрестности лобовой точки, так
и при анализе оттеснения пограничного слоя интенсивным вдувом поглощаю-
поглощающего газа через пористую пластину.
Проблема в целом сводится к рассмотрению следующей краевой задачи:
l N. d? <%
при граничных условиях
6=о, e = ei; g = if e = e2. B6.Ю.4)
Здесь Во = CppwJo0T* — критерий Больцмана, характеризующий радиа-
ционно-конвективное соотношение составляющих потока тепла в среде с по-
постоянными теплофизическими свойствами (х = const, к = const); w+, Г* —
характеристические значения (в невозмущенной области либо на границе не-
неравновесной системы) соответственно скорости и температуры; / F) — безраз-
безразмерная функция распределения скорости в области оттеснения пограничного
слоя.
На рис. 26.21 представлены результаты численного решения задачи B6.10.3)
—B6.10.4) для частного случая: /F) = 1,0; N = Ьс74ао72 = 0,1; степень
черноты проницаемой пластины гх = 0,2; излучательная способность набегаю-
набегающего потока е2 = 1,0 для различных значений Во. Как видно, в случае малых
Во, характеризующих низкую интенсивность подвода газа через пористую плас-
пластину, температурный профиль формируется за счет радиационно-конвективно-
радиационно-конвективного теплообмена. По мере увеличения Во роль конвекции в формировании тем-
температурного профиля становится преобладающей. С ростом оптической толщи-
391
ны слоя температура несколько увеличивается при малых Во и соответственно
уменьшается по мере увеличения Во.
На рис. 26.22 построена зависимость Во = / (/i0), характеризующая вдув
поглощающего газа, пзтребного для поддержания теплоизолированного состоя-
состояния пластины в зависимости от оптической толщины слоя оттеснения. Отме-
Отмечается резко выраженная зависимость критерия Во от h0 при малых ft0, когда
незначительное присутствие поглощающей компоненты газа позволяет замет-
789 W 12 14 n
Рис. 26.20. Расчетная ( ) и экс-
экспериментальная ( ) кинетика
температурных полей в системе ме-
металлических экранов при температу-
температурах жидкого азота и гелия (п — но-
номер экрана; t — время, ч)
0 0,2 0,4 0,6
Рис. 26.21. Температурное распре-
распределение в слое завесы с оптической
толщиной Ао=0,5 ( ) и Ао=
= 1,0 ( )
Во
1,0
0,5
\\
\
I
I
I
i
I
"-—
I
2,0 h0
Рис. 26.22. Зависимость Во от оп-
оптической толщины слоя h0 при q =
= 0, 01 = 0,3, 02=1,0, ЛГ=ОД и со-
соответственно 8i = 82=l,0 ( )
И 8i = 0,2, 82=1,0 ( )
но снизить расход вдуваемого газа. Эффективным оказывается создание высоко-
отражающей поверхности, при условии что оптическая толщина вдуваемого газа
невелика (h0 < 1,0). Учет селективного характера поглощения излучения в рас-
рассматриваемых условиях не вносит принципиальных изменений в характер тем-
температурных профилей. Этого нельзя сказать о потоках излучения, расчет ко-
которых без учета оптических окон прозрачности ведет к серьезным погрешностям.
Принципиальная важность учета селективности излучения в тепловых
расчетах неоднократно отмечается в работах Л. М. Бибермана, посвященных
решению сложных задач радиационной газовой динамики.
392
Помимо прямых численных методов исследования комбинированного ра-
диационно-конвективного теплообмена определенный практический интерес
представляют приближенные способы расчета. В частности, рассматривая
предельный закон теплообмена в турбулентном пограничном слое при относи-
относительно слабом воздействии теплового излучения
Уз -2- -Во. « 1 B6.10.5)
полагаем, что ?$ = St/St0 представляет собой безразмерный комплекс радиа-
ционно-конвективного теплообмена, где St — суммарный критерий Стентона,
отображающий турбулентно-радиационный перенос тепла на стенку. При этом
<1 — Я/Чст\ ?ст = ?ст, к + ^ст» гДе <7ст ~ суммарный тепловой поток на стенке,
имеющий конвективную (qCTt K) и радиационную (?ст) составляющие.
Турбулентный тепловой поток q аппроксимируем, как обычно, полиномом
третьей степени ^ = А + В%т + C?f + D%t, коэффициенты которого опреде-
определяются из граничных условий:
= 0, q=\ -?CT; dq/dlr = dE/dtT \tT~o; |
0 J
где ? — безразмерная плотность полусферического результирующего излуче-
излучения во внутренних граничных точках пограничного слоя.
В граничные условия B6.10.6) включено уравнение энергии, составленное
соответственно для условий околостенной области и на границе невозмущен-
невозмущенного потока. Учитывая, что q0 = 1 — 31т + 2??, безразмерный параметр
qo/q, необходимый для вычисления Ч'з, записываем следующим образом:
где /(Ы = B|г+1)-1. B6.10.7)
Заметим, что граничные условия B6.10.6) определялись принятым условием
образования вблизи поверхности, обтекаемой излучающей средой, теплового
пограничного слоя. Это существенное обстоятельство позволило полагать
—— = = 0, что выполняется в условиях преобладающей
конвекции. _ _
Значения ?ст и дЕ/д^т определяются из анализа решений относительно плот-
плотности результирующего излучения применительно к условию замкнутой систе-
системы, составляющей пограничный слой. Турбулентный пограничный слой рас-
рассматривается как серая поглощающая среда с коэффициентом поглощения к,
не зависящим от температуры (к = const). Обтекаемая поверхность — это се-
серое, оптически однородное (Аст = const) изотермическое тело (Тст = const).
Невозмущенная часть потока, за пределами пограничного слоя, излучает как
объемное серое тело (?0 = const), не отражающее со своей поверхности и
находящееся при температуре невозмущенного потока (То = const). Все это
позволяет воспользоваться результатами предыдущего рассмотрения переноса
излучения в плоском слое поглощающей среды с той существенной разницей,
что здесь может быть учтено лишь однократное отражение от поверхности обте-
обтекаемой пластины.
Подставляя в выражение B6.10.5) значения ро/р (см. гл.21) и ^sq/qo для слу-
случая абсолютно черной поверхности (RCr = 1 — Лст » 0), сводим решение
задачи к отысканию ^?s из интегрального соотношения
1
] s а- с )] - . .у
393
Решение этого интегрального соотношения относительно Ф может быть полу-
получено приближенно, путем разложения подынтегральной функции в ряд. Вводя
подстановку 0 = <И, а затем разлагая подынтегральную функцию в бино-
биномиальный ряд относительно (9/Чг$)(с94/л — Ь) и интегрируя его почленно,
сводим уравнение B6.10.8) к ряду, сходящемуся при условии (Q/xPs)(cQ4/n— Ь) <
< 1, что ограничивает его применимость областью h0 ^ 2,0 и 0 < c/h0 < 4,0.
Ограничиваясь первыми тремя членами, получаем расчетное выражение в виде
рекуррентной формулы
17 + 4/1
_^+
B6.10.9)
Эта формула позволяет сравнительно просто определять численные значения
^?s методом последовательных приближений (порядок приближения i обычно
не превышает двух) при условии, что аи b определены. Для случая интенсив-
интенсивного теплообмена, когда То > Гст при
0,80
\
\
¦—*,
——
1
\
-*—
—
•—1
—¦*.
——
-—i
— —
-
2,0
— и-
№.
UL
f (Ы
и О « ?г/4, коэффициенты,
(Ы
представленные в рекуррентной форму-
формуле B6.10.9), определяются следующим
образом:
а= - г-1— [A(ho) +
0 0,4 0,8 1,2 1,6 hQ
Рис. 26.23. Влияние оптической толщины
пограничного слоя на взаимодействие
между радиационным и конвективным
теплообменом
3h0 St0 Bo
h0k3(h0)(Se0—2)]\
1 г Л /
St0Bo
St0Bo
B6.10.10)
B6.10.11)
B6.10.12)
где Л (h0) = 1 — exp (—h0) — поглощательная способность пограничного слоя
В качестве примера рассмотрим безразмерный параметр теплообмена для случая
обтекания пластины при п = 7 излучающим газом, являющимся в своей невоз-
невозмущенной части оптически плотным (е0 ^ 1). Расчет проводим, пользуясь ите-
итерационным выражением B6.10.9). Точность расчета ограничивается вторым
приближением, а область расчетных значений — условием h0 ^ 2,0 и l/St0Bo ^
<4,0.
На рис. 26.23 представлены результаты расчетов, хорошо иллюстрирую-
иллюстрирующие существенную роль оптической плотности. Радиационно-конвективное
взаимодействие, несколько снижающее конвективную составляющую Ws +
+ а, имеет слабо выраженный характер.
26.11. ТЕПЛООБМЕН ИЗЛУЧЕНИЕМ В ТОПОЧНЫХ
УСТРОЙСТВАХ
Тепло, выделяющееся при сгорании топлива в топочных устройствах раз-
различного назначения, в значительной мере передается поверхностям нагрева
излучением. Точная постановка задачи теплообмена в топочных устройствах
в настоящее время практически невозможна, так как в топке помимо радиа-
радиационного теплообмена излучением протекают также процессы горения топлива,
движение газов и частиц, массообмен в объеме факела и на его границах и т. п.
В связи с этим получили распространение приближенные методы рассмот-
рассмотрения теплообмена в топочных устройствах. Теплообмен в топочном устройст-
устройстве может быть приближенно исследован на основе простой незамкнутой систе-
системы уравнений при условии, что процессы сгорания топлива будут учтены при
394
определении равновесного излучения топочной среды и соответственно ее тем-
температуры.
Уравнения баланса энергии и теплопередачи, записанные в интегральной
форме для любого текущего сечения потока среды в топке, имеют вид
Q*+Q*=Bvvi(T0-T)t
Здесь Qn и QK — теплоотдача излучением и конвекцией, отнесенная к текуще-
текущему сечению потока газов; Bv — расход топлива; V — объем продуктов сгора-
сгорания; 7 = (с0Т0 — сТ)/(Т0 — Т) — средняя расчетная теплоемкость продуктов
сгорания; с0 — средняя теплоемкость продуктов сгорания в интервале от О
до То; 7\ Го — соответственно температура газов в рассматриваемом сече-
сечении и теоретическая температура сгорания; Fa, FK — лучистая и конвектив-
конвективная поверхности нагрева в топке; гт — степень черноты топки в рассматри-
рассматриваемой области; Т — средняя эффективная температура пламени; Тст — тем-
температура стенок.
Совмещая уравнения B6.11.1), получаем
ег ст0 Fu (Г4-Гс4т) + ак FK (Т—Тст) = Вр Vc(T0-T). B6.11.2)
Приведем уравнение B6.11.2) к безразмерному виду:
вг*./ЪП (gi_efc)+ja»?s (§*_в„)=1-е. B6.11.3)
BvVc BpVc
Здесь 0 Т/То — безразмерная температура. Комплекс, стоящий в первом
члене этого уравнения, характеризует долю излучаемого тепла от общего теп-
тепловыделения в топке. Комплекс, стоящий во втором члене этого уравнения,
характеризует долю конвективной теплоотдачи.
Легко заметить, что так как скорость газов в топке пропорциональна BVV/F>
то второй комплекс является специфической модификацией критерия, извест-
известного из теории конвективного теплообмена:
<** FJ(BV Vc) - aj(cpw). B6.11.4)
тив
за
етаоРптз° (F
Для больших топок, когда конвективный теплообмен мал по сравнению с радиа-
радиационным, из выражения B6.11.4) запишем
-i«о. B6.П.5)
или, вводя обозначение режимного критерия Больцмана B^VcIoqF^TI = Во,
получаем
е4_^A_0)_04т==о. B6.П.6)
В качестве первого приближения Г. Л. Поляк и С. Н. Шорин предложили
связать среднюю эффективную температуру с истинными температурами в дан-
данном сечении степенной зависимостью
[B6.11.7)
Здесь постоянные Сип определяются условиями сгорания и охлаждения в топ-
топке. Уравнение B6.11.6) в таком случае принимает вид
--5?-A_е)-ес*т = 0. B6.11.8)
В топках паровых котлов 6 > Эст, и уравнение B6.11.8) еще более упрощается:
в4" 5?-A—в) = 0. B6.11.9)
Сбу
395
Это уравнение впервые было получено Г. Л. Поляком. Приняв за рассматривае-
рассматриваемое сечение выходное сечение топки, можно решить его относительно 8, кото-
которая в этом случае является безразмерной температурой продуктов сгорания
на выходе из топочной камеры. Решение уравнения B6.11.9) может быть пред-
представлено в виде функциональной зависимости
B6.ii.io)
А. М. Гурвич и А. Г. Блох показали, что коэффициент С мало зависит от
режима работы топки, рода топлива и способа сжигания и поэтому может быть
принят постоянным. Показатель температурного режима п, зависящий от фор-
сировки топочной камеры, определяемой величиной критерия Во, меняется
в весьма широких пределах.
Анализ экспериментального материала по теплообмену дает возможность
установить зависимость п от места расположения температурного максимума
Хмакс по Длине факела. Это в свою очередь позволяет записать выражение
B6.11.10), учитывая постоянство С, в следующем виде:
в=/(— , Хмакс). B6.11.11)
Вид функции B6.11.10) илц B6.11.11) может быть установлен на основании
опытных данных по теплообмену в топках. Эти данные приводят к формуле ви-
вида
6/A—0) = M(Bo/C87'H'6, B6.11.12)
в которой для большинства топок коэффициенты М и С являются практически
постоянными величинами. По предложению А. М. Гурвича связь безразмер-
безразмерной температуры с основными критериями, определяющими топочный процесс
для Во/ег < 10 или 9 < 0,9, выражается формулой
Г_ (Во/ег)о.* ^
То 0,445+ (Во/ег)°'в v ;
Степень черноты топки определяется оптической плотностью среды, запол-
заполняющей топку, оптическими свойствами поверхностей топки, а также геомет-
геометрическими характеристиками, учитывающими степень экранирования топки
и размеры площадки зеркала горения (в случае слоевой топки):
Лст, FJ^F). B6.11.14)
При равномерном распределении поверхности нагрева экранов на стенах
топочной камеры степень черноты топок приближенно определяется по сле-
следующим формулам:
для слоевой топки
0,82Г8ф+A-вф)Р1И B6 п 15)
1-A-г|фA~ра|>)A-еф)
и для камерной топки
°^ B6.11.16)
Здесь 8ф — степень черноту факела; г|) — степень экранирования, указываю-
указывающая на долю внутренней поверхности топочной камеры, закрытой экранами;
р — геометрическая характеристика слоевой топки, дающая представление
о доле площади зеркала горения, приходящейся на единицу поверхности эк-
экранов, I — условный коэффициент загрязнения поверхности экранов.
Степень черноты факела подсчитывается по формуле
еф = ер, B6.11.17)
396
где степень черноты среды е определяется как
8 = Л = 1— ехр(—Ы).
B6.11.18)
Здесь коэффициент ослабления k находится в зависимости от вида пламени, а
толщина / — в соответствии с формулой B6.7Л4).
Поправочный коэффициент Р в формуле B6.11.9) связан с характером запол-
заполнения объема топочной камеры пламенем и с теми особенностями, которые оп-
определяются горением и теплообменом. На рис. 26.24 приведены результаты
исследования температурных полей и полей потоков излучения в мазутной
топке Как видно, неоднородность температурного поля, а также имеющая
место неоднородность поля концентраций излучающих твердых частиц при-
приводят к большой неоднородности излучения по сечению камеры. Эта слож-
Рис. 26.24. Характер полей температур (а), потоков излучения (б) и распределения
степени черноты (в) в топочной камере
ность поля излучения сказывается и на характере распределения степени
черноты в объеме топки. Таким образом, оптические характеристики сред,
заполняющих топочную камеру, связаны с условиями сгорания топлива и с
условиями теплообмена.
Существенное влияние на теплообмен в топке оказывает состояние поверх-
поверхностей нагрева, расположенных в топке. Обычно такие поверхности бывают
покрыты слоем пыли, обладающей низкой теплопроводностью. Это значи-
значительно снижает тепловую эффективность поверхностей нагрева. Оценка роли
подобного рода загрязнений производится путем введения коэффициента загряз-
загрязнения в формулу для определения степени черноты топок
% = цэ/%, B6.11.19)
где -ф _ коэффициент тепловой эффективности чистой поверхности нагрева
при температуре насыщения; г|)э — коэффициент тепловой эффективности за-
загрязненной поверхности. Последний определяется экспериментальным путем
на основании следующего соотношения:
B6.11.20)
где Еи и Еэ — соответственно плотности тепловых потоков, падающих на стан-
станку топочной камеры, и эффективных потоков, посылаемых стенкой в топочное
t пространство. ь
А. М. Гурвич и В. В. Митор установили, что коэффициент загрязнения g
зависит от вида топлива и геометрии поверхности нагрева. Изложенные выше
соображения, а также результаты обработки большого экспериментального
материала, выполненной А. М. Гурвичем и его сотрудниками, положены в ос-
397
нову принятого в СССР нормативного метода расчета теплообмена в топках
котлов.
Определенный интерес представляет зональный метод расчета теплообмена
излучением в топках, предложенный Н. А. Рубцовым. Основная идея подоб-
подобных расчетов сводится к совместному рассмотрению уравнений теплообмена,
составленных для каждой из выделенных в топочном пространстве зон, а также
соответствующих (по номеру зоны) балансных топочных уравнений, связы-
связывающих эффекты результирующих тепловыделений по зонам с суммарным теп-
тепловыделением от сгорания топлива в слое и факеле. Если в слоевой топке
в
0,9
?
OJ
0,2 0,5 0,4 0,5 0,6 ¦ 8t
Рис. 26.26. Зависимость безразмерной
температуры газов на выходе из слое-
слоевой топки от температуры поверхно-
поверхности запыленного экрана при различ-
различных режимах нагрузки (n/b=l; 83 =
= 0,3; i4i = 0,8; Л2=Л4=1,0; г) = 0)
2
L
———¦
-
_——
2 2,5 ВО
Рис. 26.25. Зависимость безразмерных
температур Qi = Ti/T0 в слоевой топке
от критерия Больцмана (е3=0,3; А\ =
0,8; Л2=Л4=1,0; т| = 0; 0i = O,278; h/b=>
= 1, где h — высота топки, Ъ — шири-
ширина решетки)
выделить изотермические зоны A — экран, 2 — обмуровка, 3 — факел, 4 —
слой горящего топлива), то уравнения теплообмена могут быть расписаны в
следующем виде:
Qt = а0 At Et 2 Ak ipik (Tt —Tk) + У) ak (T3 +Th) Fh;
1 = 1.2,3,4;
Q2 =
B6.11.21)
Здесь ri — доля потерь тепла через обмуровку в общем тепловыделении в топке;
Т — температура газов на выходе из топки; Т^ 3 — температура газов на вы-
выходе из слоя горящего топлива, которую в первом приближении можно при-
принять равной 7Y, с — средняя расчетная теплоемкость продуктов сгорания, при-
принятая в первом приближении одинаковой для разных диапазонов температур.
Система B6.11.21) должна быть дополнена замыкающим уравнением, отобра-
отображающим связь температуры газов на выходе из топки с температурами выде-
выделенных зон. В качестве такого уравнения можно воспользоваться известным
уравнением осреднения газов:
П = Т\Т\ B6.11.22)
% Задавая температуру экрана Тг, сводим задачу к рассмотрению четырех не-
нелинейных алгебраических уравнений, составленных относительно неизвест-
неизвестных температур газа на выходе из топки 7, обмуровки 72, факела Ts и слоя го-
горящего топлива Г4.
Аналогичным образом рассматривается теплообмен в камерной топке, где
расчет задачи сводится к решению системы из трех нелинейных алгебраических
уравнений относительно температуры газов на выходе из топки Г, обмуровки
398
Т2 и факела Т3. В качестве уравнения связи можно воспользоваться соотноше-
соотношением
Т = аТ3, B6.11.23)
где поправочный коэффициент а, определяемый экспериментально, принимает-
принимается близким к единице. Результаты подобных расчетов в части определения тем-
температуры газов на выходе из топки удовлетворительно согласуются с экспери-
экспериментальным материалом, а также с формулами А. М. Гурвича. Точность расче-
расчета температур зон, выделенных в топке, очевидно, определяется теми со-
соображениями, которые используются при составлении балансных топочных
уравнений энергии, а также замыкающих уравнений связи.
Такой расчетный прием не только дает более полную информацию о тепловом
состоянии топки в целом (см. рис. 26.24), но также позволяет проводить срав-
сравнительно простые приближенные анализы как оптико-геометрического (кон-
(конструктивного), так и режимного характера (рис. 26.25). Действительно, из
анализа расчетных уравнений легко установить влияние на температуру газов
на выходе из топки оптической толщины факела, геометрии топки, температу-
температуры поверхности запыленного экрана (рис. 26.26) и т. п.
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Адрианов В. Н., Поляк Г. Л. Дифференциальные методы исследования теплообмена
излучением.— «Инж.-физ. журн.», 1964, № 4, с. 5.
1а. Биберман Л. М. Радиационный теплообмен при высоких температурах. — «Изв. АН
СССР. Энергетика и транспорт», 1970, № 3, с. 105.
16. Биберман Л. М., Бронин С. Я. К теории нагрева при гиперзвуковом обтекании. —
«Докл. АН СССР», 1968, т. 182, № 3, с. 522.
2. Блох А. Г. Основы теплообмена излучением. М., Госэнергоиздат, 1962.
3. Гурвич А. М. Теплообмен в топках паровых котлов. Теория и расчет. М.— Л., Гос-
Госэнергоиздат, 1950.
4. Гурвич А. М., Блох А. Г., Носовицкий А. И. Лучистый теплообмен в запыленной газо-
газовой среде.— «Теплоэнергетика», 1955, № 2, с. 3.
5. Гурвич А. М., Блох А. Г. О температуре топочного пространства.— «Энергомашино-
«Энергомашиностроение», 1956, № 6, с. И.
6. Гурвич А. М., Митор В. В. Тепловая эффективность радиационных поверхностей на-
нагрева.— «Энергомашиностроение», 1957, № 2, с. 5.
7. Кондратьев К. Я. Лучистый теплообмен в атмосфере. ГИМИЗ, 1956.
8. Кутателадзе С. С, Боришанский В. М. Справочник по теплопередаче. М., Госэнер-
Госэнергоиздат, 1959.
9. Кутателадзе С. С, Рубцов Н. А. Лучисто-конвективный теплообмен в плоском слое
поглощающей завесы.— «Журн. прикл. механ. и техн. физ.», 1968, № 6, с. 57.
10. Невский А. С. Теплообмен излучением в металлургических печах и топках котлов.
Свердловск, Металлургиздат, 1958.
11. Поляк Г. Л. Алгебра однородных потоков.— «Изв. ЭНИН АН СССР», 1935, т. 3, вып.
1—2, с. 53.
12. Поляк Г. Л. Лучистый теплообмен тел с произвольными индикатрисами отражения по-
поверхностей.— В сб.: Конвективный и лучистый теплообмен. М., Изд-во АН СССР,
1960, с. 118 (ЭНИН АН СССР).
13. Поляк Г. Л., Шорин С. Н. О теории теплообмена в топках. — «Изв. АН СССР, ОТН»,
1949, № 12, с. 1832.
14. Рубцов Н. А. К расчетам теплообмена в сложных системах лучеобменивающихся се-
серых тел.— «Инж.-физ. журн.», 1960, № 8, с. 96.
15. Рубцов Н. А. К расчетам теплообмена излучением в промышленных печах и топках.
Канд. дис. Новосибирск, 1961 (Ин-т теплофизики СО АН СССР).
16. Рубцов Н. А. К переносу теплового излучения в плоском слое поглощающей среды.—
«Журн. прикл. механ. и техн. физ.», 1965, № 5, с. 58.
17. Рубцов Н. А., Кузнецова Ф. А. Лучисто-кондуктивный теплообмен в плоском слое
серой теплопроводной среды.— «Изв. СО АН СССР. Сер. техн. наук», 1968, вып. 3,
N9 13, с. 33.
18. Световое моделирование лучистого теплообмена.— В сб.: Теплопередача и тепловое
моделирование. М., Изд-во АН СССР, 1959, с. 365. Авт.: С. Н. Шорин, Г. Л. Поляк,
И. П. Колченогова и др.
19. Соболев В. В. Перенос лучистой энергии в атмосферах звезд и планет. М., Гос-
техиздат, 1956.
20. Суринов Ю. А. Об основных методах современной теории лучистого теплообмена.—
В сб.: Проблемы энергетики. М., Изд-во АН СССР, 1959, с. 423.
399
21. Суринов Ю. А. О методах расчета интегральных и локальных коэффициентов излуче-
излучения.— В сб.: Теплопередача и тепловое моделирование. М., Изд-во АН СССР, 1959,
с. 319.
22. Теоретическая астрофизика. М., Гостехиздат, 1952. Авт.: В. А. Амбарцумян,
Э. Р. Мустель, А. Б. Северный, В. В. Соболев.
23. Тепловой расчет котельных агрегатов (нормативный метод). М.— Л., Госэнергоиздат,
1957.
24. Чандрасекар С. Перенос лучистой энергии. Пер. с англ. М., Гостехиздат, 1953.
25. Шорин С. Н. Теплопередача. М., «Высшая школа», 1964.
26. Шорин С. Н. Лучистый теплообмен в поглощающей среде.— «Изв. АН СССР, ОТН»,
1951, №3, с. 389.
27. Hottel H. С, Mangelsdorf H. G. Heat transmission by radiation from non-luminous
gases. II. Experimental study of carbon dioxide and water vapor.— «Trans. Amer. Inst.
Chem. Engng», 1935, v. 31, p. 517.
28. Hottel H. C, Egbert R. B. The radiation of furnace gases.— «Trans. ASME», 1941, v. 63,
N 4, p. 297.
29. Hottel H. C, Egbert R. B. Radiant heat transmissions from water vapor.— «Trans.
Amer. Inst. Chem. Engng», 1942, v. 38, N 3, p. 531.
30. Viskanta R., Grosh R. J. Heat transfer in a thermal radiation absorbing and scattering
medium. — «International Developments in Heat Transfer». Proc. 1961—1962 Heat
Transfer Conf., Pt. 4. New York, Amer. Soc. Mech. Eng., 1962, p. 820.
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абрамович Г. Н. 279, 280
Авдуевский В. С. 182
Аверин Е. К. 315
Авксентюк Б. П. 283, 319, 322
Адамар 288
Адрианов В. Н. 389, 399
Айанас С. 153
Акатнов Н. И. 209
Актюрк 305
Аладьев И. Т. 173, 303
Алимпиев А. И. 199, 200
Аллен Р. В. 131, 164, 165
Амбарцумян В. А. 400
Амбразявичюс А. Б. 123
Ананьев Е. П. 270, 275
Антуфьев В. М. 212, 221
Арманд А. А. 165
Артым Р. И. 317
Аэров М. Э. 217, 220, 221
Бальцевич Я. А. 391
Бальшисер 321
Барнет В. И. 153
Бартль 185
Бартц Д. Р. 313
Басина И. П. 132, 136
Баум В. А. 157
Бекман В. 232, 254
Белецкий Г. С. 212, 221
Белоусов В. П. 338
Бердников В. С. 239, 240, 242, 244
Берлин И. И. 299, 303
Берман Л. Д. 135, 200, 221, 272
Бернадо 153
Бетчелор Д. 114
Биберман Л. М. 392, 399
Биркебак 206
Бирон 187
Блазиус 117, 249, 337
Блох А. Г. 363, 383, 396, 399
Бобрович Г. И. 303, 308, 317, 319, 322
Бойко Л. Д. 270, 275
Бойлан 253
Болдарев А. М. 342
Больцман Л. 349
Бонилла 290
Боришанский В. М. 136, 157, 173, 215, 221,
244, 290, 291, 302, 303, 399
Бочкарев А. А. 253, 254, 256
Бояринцев Д. М. 244
Брановер Г. Г. 328, 329, 334
Бромлей 299
Бронин С. Я. 399
Булеев Н. И. 104, 114
Будрин Д. В. 76, 87
Бурдуков А. П. 342
Буссинек Ж. 238
Бэк 208
Бэкер 250
Банков 284
Валукина Н. В. 309
Ван-Вийк 317
Ван-Дайк 250, 251
Ван-Дрист 108
Ван-Оверкерк 286
Ван-Стрален 317
Варшавский Г. А. 70
Васанова Л. К. 221
Вебер 332
Великанов М. А. 33
Вернот 21
Видал 252, 253
Визельсберг 131, 133
Винярский Л. С. 323
Винников А. А. 85
Виноградов Г. В. 231
Виноградов О. С. 221
Виттинг 126
Власов О. Е. 50, 386
Воленберг 272
Волчков Э. П. 200, 201, 209
Воскресенский К. Д. 157, 262, 275
Вырубов 132
Гаген 137
Гарон 242
Гаррис А. 334
Гаррисон Т. Р. 363
Гартман Ю. 325, 326, 328, 329
Гартнетт 206
Гейзли 187
Генин Л. Г. 173
Гертлер 126
Гершун А. А. 361, 363
Гидеон Л. 153
Гильперт 135
Гиневский А. С. 136
Глебова Л. И. 256
Глушков А. Ф. 272
Глоуб 239, 242, 328—330, 334
Гнам 274
Гогонин И. И. 265, 271—273, 273, 303, 308,
309, 322
Голицын Б. В. 349
Гольдштейн 242
Гольдштик М. А. 104, 218, 221
Гомелаури В. И. 135
Гориславец В. М. 231
Графов В. Н. 342
Гребер Г. Г. 70, 71, 76, 90, 91, 363
Григг 235
Григулль У. 91, 363
Грил М. Д. 153
Гриффите 285
Гром 213
Гросс 187, 188
Грош 136
Грэгг 336
Грэц 143
Гудемчук 266
Гурвич А. М. 382, 383, 384, 396, 307, 399
Гухман А. А. 42, 46
Гэскилл X. С. 153
Данилов Ю. И. 182
Девойно А. И. 170
Девятко А. Н. 173
Дейслер 108, 161
Дентон Е. В. 153
Детлаф А. А. 123
Джайятиллака 153
Джейн 252
Джексон М. Л. 153
Джине 347
Дородницын А. А. 126, 177, 178, 182, 337
Дорохов А. Р. 265, 271—273, 275
Дорощук В. Е. 165, 314, 316
Дрейк Р. М. 200, 250
401
Дрейцер Г. А. 214, 338, 342
Дропкин Д. 239, 242, 244
Друде 352
Дьюи 247
Дэшман С. 256
Дядякин Б. В. 162, 173
Егер Д. 72, 91
Елфимов Г. И. 173
Жаворонков Н. М. 221
Жедт 252, 253
Жанабаев 3. Ж. 132, 136
Жидких В. М. 22, 91
Жиланд Е. Р. 153
Жукаускас А. А. 135, 210, 212, 213, 221
Жуков М. Ф. 246, 334
Жуковский В. С. 174, 175, 182, 232
Забродский С. С. 221
Заварзина И. Ф. 254, 256
Зеленгур А. А. 199, 200
Захаров А. А. 278
Зигель 338
Зидер Е. 163
Зингер Н. М. 279
Зозуля 266
Зоммерфилд М. 164, 165
Зубер Н. 306, 312
Зысин Л. В. 136
Зыснна-Моложен Л. М. 136, 175, 182, 285,
303
Ибрагимов М. X. 157, 173, 214
Ивакин В. П. 237, 238, 244
Иванова А. В. 221
Иващенко Л. И. 157, 160
Игл 143, 147
Иевлев В. М. 200
Иен И. Т. 327
Ильин Л. Н. 160, 173
Иоффе И. А. 69
Исатаев С. И. 132, 136
Исаченко В. П. 272, 275
Иселси Ф. Д. 153
Каганер М. Г. 256
Казакова Е. А. 306
Казаченко Л. С. 212
Кайт Дж. 256
Калинин Э. К. 214, 221, 299, 303, 338, 342
Калихман Л. Е. 177, 178, 182, 334
Капица П. Л. 266, 275
Карасина Э. С. 58, 221
Карман Т. 33, 98, 109, 114, 126, 150
Карслоу Г. 71, 72, 91
Каулинг 183, 334
Кауфман С. Ж. 153
Кацнельсон Б. Д. 132, 338, 342
Кейс 203
Кесвел 321
Киприянов И. В. 173
Кирдяшкин А. Г. 237—239, 240, 242, 244
Кириллов В. В. 123
Кириллов П. Л. 156
Кирко Н. М. 334
Кирпичев М. В. 42, 46, 244
Кичелли 290
Клайн 203
Ковалев С. А. 173
Ковнер Д. С. 329
Козырев А. П. 303
Колберн А. П. 153
Колесников А. В. 136
Колченогова И. П. 399
Комаров В. П. 204
Кондратьев Г. М. 87, 91
Кондратьев К. Я. 399
Кондратьев П. С. 157
Конфедератов 274
Коньков А. С. 165
Косинов В. А. 256
Костюк В. В. 299, 303
Коубак А. 153
Кочин Н. Е. 126
Кошкин В. К. 182, 214, 221, 338, 342
Крайдер 291
Крайт Ф. 164, 165
Красин А. К. 170, 173
Краснощекое Е. А. 166, 173
Крейз 274
Кружилин Г. Н. 270, 275, 315
Крылова Н. В. 162
Кудрявцев А. П. 303
Кузнецов Н. В. 212, 221
Кузнецов Ю. И. 338
Кузнецова Ф. А. 390, 399
Кулешов В. А. 243
Куликовский А. Г. 334
Кумо 286
Курата 272, 273
Кэвено 250, 255
Лабунцов Д. А. 261, 262, 275, 286, 291, 303
Ладиев Р. Я. 295
Лазарус Ф. 326, 328, 329
Лайн Р. 147
Лайон 308
Ландау Л. Д. 239
Лапшин 274
Лауфер 247
Лебедев А. В. 132
Левич 108
Лельчук В. Л. 162, 165, 173
Лемберский В. Б. 231
Леонтьев А. И. 127, 130, 136, 162, 166, 173,
182, 200, 201, 209, 311
Леонтьева 3. С. 132
Либстер 131
Лидон 185, 196
Лиелаусис О. А. 328, 329
Лин С. С. 108, 153
Линь Цзя-Цзяо 114
Лойцянский Л. Г. 25, 108, 126, 132, 136
Ломоносов М. В. 15, 22
Лоренц Л. 232, 234
Луговской П. П. 191, 195, 199, 200
Лурье 321
Лыков А. В. 71, 72, 85, 91, 231
Любимов Г. А. 334
Любимова Е. А. 91
Людвиг 148
Ляпин М. Ф. 221
Ляховский Д. Н. 46, 132, 242, 244
Макарявичюс В. 210, 212, 221
Мак-Адаме 290, 308
Маккелелан 247
Мак-Интайр 135
Максимов И. А. 132, 136
Маленков И. Г. 288, 291, 303, 305, 307, 323
Мамонов В. Н. 199, 200
Мамонтова Н. Н. 283, 286, 287, 303, 319
Маттинг 181
402
Медников В. В. 165
Мейерс Г. Е. 209
Меккер 331
Мергетройд 328, 329
Мессон 187
Мигай В. К. 143, 173
Миклей 100, 185, 196
Миллионщиков М. О. 173
Милн Е. 374
Минашин В. Е. 221
Минкевич В. Ж. 188, 200
Минченко Ф. П. 290
Миронов Б. П. 191, 195, 199, 200, 231
Миропольский 3. Л. 275, 315
Митор В. В. 382, 384, 396, 397, 399
Михайлов Г. А. 211, 221
Михайлов Ю. А. 91
Михайлова Е. С. 106
Михеев М. А. 135, 157, 164, 173, 232, 235,
244
Монин А. С. 114
Моррис В. Ж. 153
Москвичева В. Н. 317, 319, 323
Мулль 239
Мурин 140
Мустель Э. Р. 400
Мэдден А. 256
Навье 24
Найс 321
Накоряков В. Е. 200, 231, 342
Невский А. С. 361, 363, 386, 399
Нейхолм 181
Нестеренко В. Б. 170, 173
Никайяма С. 283, 290
Никурадзе И. 103, 127, 278
Нишиваки 202, 204
Новиков И. И. 136, 173, 215, 221, 244
Новичкова О. Г. 164
Носовицкий А. И. 383, 399
Нуссельт 141, 143, 154, 238, §60, 266, 269,
271
Нэгль 274
Обливин А. Н. 130
Овечкин Д. М. 303
Окуно 196
Оппенгейм 248
Орнатский А. П. 323
Остроградский М. В. 22
Пайрет Е. 256
Паппас 196
Паппел 206
Пепперхофф 384
Перепелица Б. В. 230
Пермяков В. А. 46
Перси 136
Петровский Ю. В. 221
Петухов Б. С. 123, 144, 154, 161, 163, 164,
165, 170, 173, 242—244, 316
Пехович А. И. 22, 91
Пименов А. К. 162
Пирогов 156
Пито 27
Планк 346, 363
Плессет 286
Поварнин П. И. 323
Польгаузен 126, 177, 234, 235, 254
Поляк Г. Л. 358, 361, 363, 365, 386, 389,
395, 396, 399
Поляк М. П. 136
Поляков А. Ф. 243
Попов В. Д. 273
Попов В. И. 223, 231
Попов В. Н. 154, 161
Прандтль Л. 33, 102, 103, 105, 114
Приходько В. Г. 253, 254, 256
Пробстин 246, 251
Проскуряков А. П. 279
Протопопов В. С. 166, 173
Пуазейль 137
Путнем Ж. Л. 153
Пучков П. И. 221
Пфеффер 217
Райер 239
Ребров А. К. 253—256
Рейнер М. 135, 231
Рейнольде О. 27, 29, 33, 114, 203
Рейхардт 108, 154
Рибо 153
Романенко П. А. 189, 196
Романенко П. Н. 130, 162
Россби 242
Ротта И. 114
Рубенс 352
Рубцов Н. А. 369, 387, 390, 391, 398, 399
Рыбин Р. А. 316
Рыкалин Н. Н. 91
Рэлей 306, 347
Саке 384
Саундерс 235
Свет Д. Я. 363
Светлова Л. С. 303
Себан 206, 208
Северный А. Б. 400
Седов Л. И. 25, 46
Сезерленд 123, 159
Семенов С. Т. 323
Семенов Ю. П. 189
Семеновкер И. Е. 157, 173
Сергеев В. Л. 334
Сигалл 208
Сиглск Н. X. 153
Сильвестон 239
Синельников А. С. 69
Смольский Б. М. 231
Смоляков В. Я. 334
Скен 126
Соболев В. В. 400
Сокольский 132
Сомерскейлз 242, 244
Сорин А. Р. 157
Сорокин Д. Н. 283, 303, 321, 322
Сосунов В. И. 272, 275
Спэрроу 235, 336, 338
Сполдинг 153, 305
Стерман Л. С. 296
Стефан Д. 349
Стоке 24, 131
Столдер 246, 247
Страхович К. И. 72, 91
Стригин Б. К. 242, 243
Стырикович М. А. 157, 173, 289, 315
Субботин В. И. 156, 157, 173, 214, 283, 303,
315, 321, 322
Суворов 156
Суринов Ю. А. 356, 361, 363, 378, 386, 399,
400
Суханов Е. Л. 87
Сыроватский С. И. 334
403
Сыромятников Н. И. 221
Сэсс Р. Д. 342
Тарасова Н. В. 165
Таунсенд А. 114
Тейлор К. 33, 102—105, 114
Терентьев В. Д. 384
Терлеев П. Н. 342
Тзучид 202
Тимофеева-Агафонова Ф. А. 132, 338, 342
Титов А. М. 386
Титова Е. Я. 221
Тихонов А. Н. 71
Тодес О. М. 217, 220, 221
Томе 230
Тохтарова Л. С. 214, 221
Трайбус Н. 312
Траут 206
Троянов 156
Туманов 10. А. 272
Тэйт Г. 163
Уехара 272, 273
Уилкинсон У. Л. 231
Уинни 136
Уитмен Ф. X. 153
Уиттлиф 252, 253
Ульзамер 135
Уоллес 285, 289, 305
Урюков Б. А. 332, 334
Ушаков П. А. 173
Фастовский В. Г. 221, 317
Федорович Е. Д. 123
Федынский О. С. 136, 157, 173, 215, 221,
244
Федяевский К. К. 100, 136
Фергюссон 143, 147
Филимонов С. С. 164
Фолкнер 122, 126
Форнем 135
Форхгеймер 61
Фостер 286
Франк-Каменецкий Д. А. 200
Фредгольм 365, 378
Френкель 352
Фреслинг 132
Фрид Ф. П. 314
Фритц 286
Фуджи 272, 273
Фуруа 127
Фурье 71, 74
Хабахпашева Е. М. 106, 156, 200, 223, 230,
231
Хаген 352
Хайтман С. М. 334
Хаккер 196
Хаммел 266
Хапеман 143
Хартнетт 187
Харченко В. Н. 196
Хауерт 117
Хейдей А. А. 188, 200
Хейс 251
Хикман 252, 253
Хинце И. О. 33
Хирата 202
Хо 266
Хоттель 381
Хоуарт 126
Христиансен 369
Хруста лев Б. А. 164
Хэкфорд Г. Л. 363
Цесс 136, 213, 268
Цзян 246
Цинобер А. Б. 326, 327
Чандрасекар С. 400
Чепмен 181, 183
Чанг 299
Ченг 252—254
Черная Р. Г. 278
Черный Г. Г. 275
Чизрайт Р. 237, 244
Чилтон Т. Н. 153
Чиркин В. С. 315
Чхеидзе Б. Ш. 313
Шааф 246
Шак 384
Шауер И. И. 209
Шваб В. А. 132, 150, 173
Швейковский Н. Т. 33
Шервуд Т. К. 153
Шерман 247
Шехтер Ю. А. 243
Ши 274
Шидловский В. П. 249, 256
Шиллер 131
Шиманский Ю. Н. 221
Широков М. Ф. 96
Шицман М. Е. 315
Шлихтинг Г. 25, 114, 136, 244, 33?, 342
Шлянчяускас А. 210, 212, 221
Шмидель 131
Шмидт Е. 232, 254
Шнейдерман Л. Л. 157, 312, 313
Шолохов А. А. 221
Шорин С. Н. 70, 363, 395, 399, 400
Штоколов Л. С. 313, 323
Шу 242
Шубин Е. П. 69, 70
Шульман 3. П. 231
Щербаков А. 3. 221
Эди А. Ж. 153
Эйгенсон Л. С. 46, 135, 232, 244
Эйдимоти 252
Эйкин 308
Эйлер 24
Эккерт Э. Р. 164, 165, 187, 188, 20р, 206
Эльзер 143
Эпштейн 246
Эрет 143
Эрк С. 70, 91, 363
Юдин В. Ф. 214, 221
Юкин 315
Юстис Р. Н. 209
Яги 384
Янг 272
Яглом А. М. 114
Якоб М. 287, 291
Яковлев В. В. 164, 165
Янсен 143
Ярхо С. А. 338, 342
Ясько О. И. 333, 334
Adimurthy V. 256
Akiyama M. 303
Akhurk U. 323
404
Back L. H. 209
Bocker G. H. 256
Bochkarjov A. A. 256
Boldarev A. M. 342
BosnjakoviS F. 303
Burdukov A. P. 342
Cess D. 275
Cheng H. K. 256
Cumo M. 303, 323
Dewey С F. 256
Drake R. M. 256
Egbert R. B. 400
Evans-Lutterodt K. 323
Fourier I. B. 22
Fujii T. 275
Hartnett J. P. 200
Hermann P. 244
Hickman R. S. 256
Hilpert R. 136
Hirata M. 209
Hori M. 303
Hottel H. С 400
Oazley С. А. 200
Giedt W. H. 256
Gregg L. L. 342
Grosh R. J. 400
Gross J. E. 200
Jacket H. S. 323
Jain A. C. 256
Kavanau L. L. 256
Kirchhoff G. 22
Kurata Ch. 275
Kutateladze S. S. 256
Latzko H. 173
Lyon R. 173
Mangelsdorf H. G. 400
Masson D. J. 200
Metzner A. B. 231
Nakoryakov V. Ye. 342
Nishiwaki N. 209
Nusselt W. 173, 275
Oppenheim A. K. 256
Pappell S. 209
Prikhodko V. G. 256
Probstein R. F. 256
Pwyer О. В. 303
Rebrov A. K. 256
Richardson P. D. 342
Roarty J. D. 323
Seban R. A. 209
Siennicki S. 221
Sims G. E. 323
Sparrow E. M. 342
Stefanovic M. S. 303
Torikai K. 303
Tribus H. 323
Trout A. M. 209
Tsuchida A. 209
Uehara H. 275
Ulsamer J. 136
Van Driest E. R. 33
Van Ouwerkerk H. J. 303
Van Shrahlen S. J. D. 303, 323
Vernotte P. 22
Viskanta R. 400
Wachters I. H. J. 303
Wallis С. Б. 323
Westwater J. W. 323
Zerbe J. E, 323
Zuber N. 323
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Автомодельность коэффициента сопротивле-
сопротивления 139
— кризиса кипения 308, 309
— теплоотдачи 235
Аналогия кипения и барботажа 291, 305
— Рейнольдса 93, 123
— тройная 184
Аппроксимирующий профиль касательных
напряжений 100
скоростей 101
температур 102
Барботаж 291
— пузырьковый 292
— режимы 292
Волны тепловые 71
Времена сходственные 71
Вязкость 93
— исчезающая 112
— кинематическая 26, 112
— коэффициент 15
Газ разреженный 245
Гипотеза Бера 380
— Био—Фурье 15
— квазистационарности структуры турбу-
турбулентности 339
— локального термодинамического равно-
равновесия 374
— многослойной экранировки взаимодейст-
взаимодействия частиц 218
— серости материи среды 384
Градиент давления 115, 195
— потенциала 183
— температур 37
Двухфазные системы 273
Джоулево тепло 324, 327
Диаметр гидравлический эквивалентный
168, 214
— пузыря отрывной 286
Диффузия, коэффициент 15
— турбулентная 183
Диффузорность 198
Длина пути перемешивания 103
Дуга плазматрона, вольт-амперная характе-
характеристика 333
с газовой стабилизацией 334
Жидкость вязкоупругая 222
— насыщенная 311
— неньютоновская 222, 228
— ньютоновская 24, 222, 228
— с нестационарным законом трения 222
— со структурной вязкостью 222
— электропроводящая (расплавленные ме-
металлы, электролиты, плазма) 324
Завесы тепловые 201
эффективность 202
Закон Бугера 374
— Вина 349, 352
— всплытия пузырей осредненный 287
— диффузного излучения Ламберта 347,
349, 356
— Кирхгофа 351, 374, 380
— Клапейрона—Менделеева 189
— Планка 348
— Стефана—Больцмана 349
406
— Стокса 131
— трения Кармана логарифмический 122
— трения Ньютона 222
Изотермы 7
Излучение, геометрические инварианты 358
— диффузное 345
— интегральное и монохроматическое 346
— падающее 354
— перенос в поглощающей среде 372
— плотность 344, 354
— поглощенное 344
— полусферическое или поверхностное 344
— равновесное 343, 351
аддитивности 359
взаимности 359
замкнутости 359
конгруэнтности или совмещаемости
359
существования 359
— селективное 344
— степень черноты 353
— сферический вектор 356
— тепловое 343
— энергия 343
— эффективное 366
— яркость 344
Изоляция вакуумнопорошковая многослой-
многослойная 256
— коэффициент теплопроводности 50
— критическая толщина 51
— тепловая цилиндрическая 50
Изотахи 237
Источник тепла внутренний 171
Кипение зоны теплообмена в трубах 296, 297
— кризисы 304—310
гидродинамический (первого рода)
316
высыхания (второго рода) 310, 316
— нестабильное 283
— пленочное 281, 304
— пузырьковое 281, 304
Конвекция 183
— вынужденная 23, 242
— однофазная 319
— определение 6
— свободная тепловая 23, 232
— термокапиллярная 240
Конденсация капельная 257, 274
— пленочная 257
Кондукция 6
Консервативность закона теплообмена 128—
130, 167
— закона турбулентного трения 111, 207
Краевые условия временные 34
пространственные (граничные первого
рода) 34
— (второго рода) 35
(третьего рода) 35
Кривая течения 222
Коэффициент внутреннего трения 24
— восстановления 174, 337
— вязкости динамической 24
— вязкости кинематической 26
— гидравлического сопротивления 109, 139,
164
— излучения 353
— лучепрозрачности 376
— независимый угловой 362
— облученности элементарный (угловой ко-
коэффициент излучения) 357, 358
— оребрения 89
— ослабления луча 384
— отражения 365
— скачка 249
— степени черноты излучения 353
— температуропроводности 15
— теплообмена жидкостей со структурной
вязкостью 228
— теплоотдачи 49, 120, 175, 206
— теплоотдачи относительный 35
— теплопроводности 15
— термической аккомодации 246
— трения 93, 176
— турбулентной теплопроводности 151
— турбулентного переноса количества дви-
движения 31
— формы 87
— эффективности оребрения 56
— яркости 365
Критерий гидродинамической гомохронно-
сти 45, 336
— неопределяющий 41
— определяющий 41
— подобия 39—46
— режима движения 27, 45
— устойчивости двухфазной системы 45, 306
— фазового превращения тепловой 45, 275
Мера Крофтона 358
Метастабильность пристенного слоя 321
Метод зональный 367, 385, 398
— Кэвено 255
— Монте-Карло 253
— Ньютона 390
— окаймления 369
— расчета геометрических инвариантов 361
— расчета теплообмена нормативный 398
— стробоскопической визуализации 199
Модель свободной тепловой турбулентно-
турбулентности 235
— тонкого ударного слоя 252
Напряжение нормальное 24, 36
— сдвига (касательное) 24, 36
— турбулентные (рейнольдсовы) 30, 99, ПО,
137
Неизотермичность 125—'130, 161
— вдува 195
Обтекание безотрывное 115
— отрывное 115
Оттеснение пограничного слоя 186, 191
— динамическое 196
Охлаждение жидкостное 13—14
— пористое 183
Пакеты коридорный 210
— объемная пористость 216
— оребренных труб 213
— продольно обтекаемые 214, 215
— с разрывами 210
— цилиндров 214
— шаров 215
— шахматный 210
Параметр вдува критический 195
— Польгаузена 100
Паросодержание критическое (граничное)
весовое 317
— отрицательное 314
— положительное 314—316
Перегрев критический 320
Переменная Дородницына 178
Плазмотрон, неэлектропроводная область
331
— электропроводная область 331
Пластина адиабатическая с газовой завесой
203, 204
— неадиабатическая 206
— полупроницаемая 189
Пленка конденсата 257
Плотность излучения, 344—346
— критическая 283
— теплового потока 283
Поверхность взаимная 358
— вогнутая излучающая 358
— незамкнутая излучающая 355
— оребренная 56, 213
— попарно экранированная 362
Поверхности диффузно излучающие и от-
отражающие 387
— лучеобменивающиеся 363
Пограничный слой 93
— асимптотический 95
— слой бинарный ламинарный 187
— вырождение 199
— гидродинамический 94
— диффузионный 257
— изотермический 167
— изотермический бинарный 194
— интегральные уравнения 99
— квазиизотермический 201, 203
— однородный, неоднородный 194
— отрыв 115, 124, 196
— плоский 94, 95
— пристеночный 206
— тепловой 94
— турбулентное ядро 191
— цилиндрический 166
Подобие концентраций и скоростей течения
181
— полей скоростей и энтальпий торможения
96
— профилей скоростей и температур 92
Подобные процессы 39
Подслой вязкий 106, 163, 164
Поле касательных напряжений 99
— относительных перепадов давления 26
— скоростей 23, 26
— температур 21, 23
Поля безразмерные 43, 85
Постоянная Больцмана 284, 247
— лапласова 305
— Планка 343
Поток невозмущенный 97
— плоский установившийся 32
— развитый турбулентный 32
— спутный 208
— тепловой 7
вектор 15
время релаксации 21
плотность 9, 14
первая критическая плотность 14, 283
вторая критическая плотность 283
Правило комбинирования критериев подо-
подобия 41
— моделирования основное 42
Правила осреднения 29
— охватывающих кривых (нитей) 360
Превращение вещества гетерогенное 43
— гомогенное 43
Предел устойчивости макроструктуры жид-
жидкости 223
407
— скоростей логарифмический 107
— температур интерполяционный 119
Противоток 10
Прямоток 10
Псевдоожижение 217
Пульсации плотности 28, 32
— расхода 28
— скорости 28
— температуры 31
Ребро плоское, круглое 55
— прямое трапециевидное 55
Регенератор 88, 89
Режим регулярный 87
Сечение ослабления интегральное эффектив-
эффективное 383
Сжимаемость среды адиабатическая 174
Сила архимедова подъемная 25
Скачок давления 37
— скорости (скольжения) 249
— температуры 249
Скорость касательных напряжений (дина-
(динамическая) 102
— превращения вещества 43
— средняя расходная 26
Слой защитный (завеса) 201
— кипящий граничный 284
— мелкомасштабный ячеистый 241
— оттеснения 198
— сращенный 251
— тепловой (концентрационный) погранич»
ный 338
— тонкий ударный 252
— шаров монодисперсный 216
градиент давления 216
кипящий 217—220
— пористость 216
скорость течения 216
Соотношение импульсов интегральное Кар-
Кармана 98
— интегральное Кутателадзе—Леонтьева
ИЗ
— предельное Кутателадзе—Леонтьева 202
Сопротивление переносу радиационной энер-
энергии 371
— термическое 49, 69, 149
Среды несжимаемые 26
Стенка дополнительная 35, 69
— плоская 49, 58, 73, 79
— полностью проницаемая 184
— полупроницаемая 184
— пористая 199, 202
— тепловые потери 75
цилиндрическая 49, 50, 59
— шаровая 51
Степень регуляризации температурного ре-
режима 87
Стержень (прямое ребро) 52
— бесконечной длины 54
— сплошной круглый 59
— цилиндрический 58
Струя затопленная 205
Сфероид «плоский» 300—302
— пузырчатый 300, 303
Схема турбулентного потока «двухслой-
«двухслойная» 152, 155
— трехслойная 150, 163
Текучесть 225
— истинная 226
— кажущаяся 225
408
— линейный закон 224—228
Тело абсолютно белое 354
черное 343
— вогнутое 360
— зеркальное 354
— невогнутое 360
— серое 351
Теорема Стокса 363
Теория тонкого ударного слоя 252
— турбулентности полуэмпирическая 102
Температура восстановления 254
— насыщения 37
— равновесная 174
— средняя разность (средний температур-
температурный напор) 10, 11
— стенки адиабатическая 189
— термодинамическая 174
— торможения 21, 96, 174
— фазового превращения 283
Тепло джоулево 324, 327
Тепловое взаимодействие 37
Тепловой баланс тела 88
Теплоемкость, максимум 165, 166
— объемная 21
— удельная 15, 184
Теплоноситель 11
— жидком еталлический 156, 163
Теплообмен излучением 364
— нестационарный конвективный 335
— при криогенных температурах 391
— радиационно-кондуктивный 390
Теплоотдача, коэффициент 8
— при квазиизотермическом стационарное
обтекании сфер 132
— при ламинарном течении 140—144
— стабилизированная 157
— стержня бесконечной длины 54
— стержня конечной длины 54
— стержня с изолированным свободным
торцом 54
— трубы в коридорном пучке 211
Теплопередача, коэффициент 8—10
— усредненное значение 9
Теплопроводность, анизотропия 17
— газов 15
— изотропная турбулентная 276
— квазитурбулентная 267
— коэффициент 15, 43, 47
— молекулярная 276
— нестационарная 22, 72, 76, 91
— понятие 6
— систем сложной конфигурации 69
— стационарная 47
— турбулентная 32
— уравнения 42, 47, 90
— фононная 17
Теплота перегрева 44
— реакции 44, 169
Термодиффузия определение 183
— эффект 188
Течение безвязкостное 94
— в плазмотроне 330, 331
— вихревое 200
— возвратно-вихревое 196
— возвратное 198
— возвратно-поступательное 199
— гиперзвуковое 251
— двухмерное 104
— заторможенное в продольном направле-
направлении 191
— квазиизотермическое 182, 201
— квазиламинарное 235
— квазиячеистое 239
— ламинарно-волновое 267
— ламинарное 26
— напорное 325
— периодическое ячеистое 239
— подъемное и опускное 241
— ползущее 245
— стационарное 99
— турбулентное 26
Тождественность безразмерных полей 40
— механизмов переноса 183
Толщина вытеснения 98, 167
— потери импульса 98
— потери теплосодержания 97
Точка отрыва 115
Точки сходственные 39
Турбулизация потока 27
Угол атаки 135
Упругость жидкости 223
Уравнение Бернулли 160
— Бельцмана 248
— Клапейрона—Менделеева 95
— Навье—Стокса 94, 249, 252, 290
— Прандтдя 94
— распространения тепла дифференциаль-
дифференциальное 17
— Рейнольдса 30, 102
— Фурье 72
— Фурье—Кирхгофа 18
— Фурье—Остроградского 20
— Широкова 96
Условия однозначности физического процес-
процесса 41
— равновесия поверхности раздела 36
— устойчивости вязкого подслоя 111
Устойчивость двухфазного несжимаемого
граничного слоя 305
— турбулентного пограничного слоя 105
Участок пористый 203
— стабилизации 162
Фактор проницаемости стенки 185, 187
— температурный 159, 162
— температурный (первый) ИЗ
— температурный (второй) Сезерленда 123
— температурный кинетический (третий)
113, 179
— теплообмена ИЗ
— проницаемости стенки 185, 187
Формпараметр Бури—Лойцянского 127
Формула Адамара—Рыбчинского 288
— Блазиуса 139
— Вина 347
— Гаусса—Остроградского 18
— Дерси 137
— Друде 352
— Кутателадзе—Леонтьева 311
— Лапласа 37
— Льюиса 185
— Маленкова 288
— Михеева эмпирическая 235
— Накорякова 341
— Никурадзе 139
— Нуссельта 263
— Оствальда 222
— Петухова эмпирическая 164
— Планка 347—349
— Прандтля 103, 109
— Рэлея—Джинса 347, 373
— Стокса для твердых тел 288
— Томсона 274
Формфактор 48
Функции Бесселя 73, 277
Функция пульсации плотности 32
— рассеяния 25
Центр парообразования 284
Число (критерий) Архимеда 273
— Био21, 46
— Больцмана 391, 395
— Бугера 374, 379
— Вебера 46, 271, 272
— Галилея 46
— Гартмана 325, 330
— Грасгофа 45, 243
— Кармана 31
— Кнудсена 245, 248
— Льюиса 184
— Марангони 240, 241
— Маха 126, 247
— Маха—Маиевского 45, 325
— Нуссельта 46, 95, 142, 147, 228, 274
— Пекле 45, 136, 141, 239, 336
— Прандтля 45, 153, 191, 294
— Рейнольдса 27, 100, 295
— — критическое значение 27, ПО
магнитное 324
— Рэлея 233, 241
— Стентона 46, 111, 129, 393
— Фруда 45, 310
— Фурье 45, 71, 336
— Эйлера 45
Шероховатость 170, 171
Экраны 371
— защитные 372
— металлические 391
— с низкими коэффициентами поглощения
372
Энтальпия 18
— недогрева 314
— стенки равновесная 175
— торможения 21, 175
Эффект вмороженности магнитного поля
324
— Дюфо 188
— Магнуса 218
— ограниченности объема 254
— «острого дутья» 191
— оттеснения жидкости 306
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие $
Список условных обозначений и индексов 4
Глава 1. Основные понятия в теории теплообмена 6
1.1. Предмет теории теплообмена 6
1.2. Поле температур и поле тепловых потоков 7
1.3. Коэффициенты теплоотдачи и теплопередачи 8
1.4. Термическое сопротивление 8
1.5. Балансные уравнения теплообменного аппарата 9
1.6. Средний температурный напор 10
1.7. Ход расчета теплопередачи 12
1.8. Одномерная модель жидкостного охлаждения ядерного реактора 13>
Глава 2. Уравнение распространения тепла в вещественной среде 15
2.1. Гипотеза о прямой пропорциональности вектора теплового потока
градиенту температур 15
2.2. Уравнение распространения тепла в вещественной среде 17
2.3. Частные случаи уравнения теплопроводности 19
2.4. Температура торможения 21
2.5. Уравнение теплопроводности с конечной скоростью распростране-
распространения возмущения 21
Список рекомендуемой литературы 22
Глава 3. Уравнения гидродинамики 23
3.1. Связь между полем температур и полем скоростей в движущейся сре-
среде 23
3.2. Уравнение сплошности потока жидкости 23
3.3. Уравнение движения вязкой жидкости 24
3.4. Подъемная сила, обусловленная неоднородностью температурного
поля 25
Список рекомендуемой литературы 25
Глава 4. Уравнения осредненного турбулентного потока 26
4.1. Турбулентность 26
4.2. Уравнения осредненного турбулентного течения жидкости 27
4.3. Уравнение распространения тепла 31
4.4. Турбулентное трение и турбулентная теплопроводность в плоском
потоке жидкости 32
Список рекомендуемой литературы 33
Глава 5. Краевые условия 34
5.1. Временные и пространственные краевые условия 34
5.2. Краевые условия к уравнениям гидродинамики 34
5.3. Краевые условия к уравнениям теплопроводности 35
5.4. Условия механического и теплового взаимодействия на границах фаз
в многофазной системе 36
5.5. Реактивная сила при фазовом превращении 38
Глава 6. Условия подобия процессов теплообмена 39*
6.1. Понятие о подобии физических явлений • 39
6.2. Критерии подобия 39
6.3. Зависимые и независимые переменные. Условия однозначности . . 40
6.4. Комбинирование критериев. Собственно критерии подобия 41
6.5. Критерии подобия как обобщенные безразмерные переменные . . 42
6.6. Физический смысл некоторых критериев подобия 43
6.7. Критерий теплового взаимодействия при физико-химическом пре-
превращении вещества 43
6.8. Безразмерный коэффициент теплоотдачи 44
Список рекомендуемой литературы 46
410
Глава 7. Установившийся тепловой поток в твердых телах 47
7.1. Дифференциальное уравнение стационарной теплопроводности . . 47
7.2. Теплопроводность через плоскую стенку 49
7.3. Теплопроводность через цилиндрическую стенку 49
7.4. Теплопроводность через шаровую стенку 51
7.5. Теплопроводность вдоль стержня постоянного поперечного сечения 52
7.6. Прямое ребро постоянного теплового напряжения 54
7.7. Теплопроводность в прямом трапециевидном и в плоском круглом
ребрах 55
7.8. Коэффициент эффективности оребрения 56
7.9. Теплопроводность в стержне и шаре с внутренними источниками
тепла 58
7.10. Суперпозиция полей температур 60
7.11. .Учет внешнего термического сопротивления методом дополнитель-
дополнительной стенки 69
Список рекомендуемой литературы 70
"*¦ i
Глава 8. Неустановившийся тепловой поток в твердом теле без внутренних
источников 71
8.1. Уравнение нестационарного температурного поля 71
8.2. Решение в виде произведения двух функций 72
8.3. Температура — функция одной координаты и времени 73
8.4. Монотонный переход к тепловому равновесию 74
8.5. Температурное поле в теле при температуре внешней среды, линейно
меняющейся во времени 79
8.6. Регулярный режим охлаждения 85
8.7. Охлаждение высокотеплопроводного тела 88
8.8. Тепловые волны 90
Список рекомендуемой литературы 91
Глава 9. Основные положения теории конвективного теплообмена .... 92
9.1. Уравнение теплопереноса 92
9.2. Связь между теплоотдачей и трением 92
9.3. Пограничный слой 93
9.4. Система основных уравнений теплообмена в потоке сжимаемого газа 95
9.5. Интегральные уравнения плоского стационарного пограничного
слоя на непроницаемой поверхности 96
9.6. Распределение касательных напряжений и скоростей в плоском по-
пограничном слое 99
9.7. Распределение плотности теплового потока и температуры в плоском
пограничном слое 101
9.8. Полуэмпирические выражения турбулентного обмена в плоском
несжимаемом потоке вблизи твердой стенки 102
9.9. Связь между коэффициентами турбулентной теплопроводности и
вязкости 105
9.10. Турбулентный перенос в вязком подслое 105
9.11. Распределение скоростей в плоском несжимаемом потоке вблизи
стенки 107
9.12. Распространение полуэмпирических выражений для турбулентных
переносов в несжимаемой жидкости на плоский поток газа .... 109
9.13. Порядок величины вязкого подслоя на непроницаемой поверхности ПО
9.14. Предельные относительные законы трения и теплообмена 111
Список рекомендуемой литературы 114
Глава 10. Теплоотдача при внешнем обтекании тел несжимаемой жидкостью 115
10.1. Характер внешнего обтекания 115
10.2. Ламинарный пограничный слой на пластине (точное решение) . 116
10.3. Гидродинамическое сопротивление пластины, обтекаемой ламинар-
ламинарным пограничным слоем (приближенное решение) 118
10.4. Теплоотдача пластины, обтекаемой ламинарным пограничным слоем
при Рт > 1 (приближенное решение) 119
10.5. Теплоотдача пластины, обтекаемой ламинарным пограничным сло-
" ем при Рг < 1 (приближенное решение) 120
10.6. Гидродинамическое сопротивление пластины, обтекаемой турбу-
турбулентным пограничным слоем 121
10.7. Теплоотдача пластины, обтекаемой турбулентным пограничным
слоем с постоянными физическими свойствами 123
10.8. Неизотермический ламинарный пограничный слой газа на пла-
пластине 123
411
10.9. Неизотермический турбулентный пограничный слой газа на плас-
пластине * 125
10.10. Гидродинамическое сопротивление криволинейной поверхности . 126
10.11. Консервативность закона теплообмена относительно градиента
давления 128
10.12. Интеграл уравнения энергии 130
10.13. Теплоотдача при обтекании шара 131
10.14. Теплоотдача при поперечном обтекании одиночного цилиндра. . 133
Список рекомендуемой литературы 136
Глава 11. Теплоотдача при течении несжимаемой жидкости в трубах . . . .137
11.1. Распределение скоростей и гидродинамическое сопротивление при
изотермическом течении 137
11.2. Теплоотдача при ламинарном течении 140
11.3. Уравнение теплопереноса в турбулентном потоке 144
11.4. Связь между коэффициентами теплоотдачи и трения 145
11.5. Решение при линейном изменении температуры стенки 146
11.6. Теплоотдача к турбулентному потоку при Рг > 1 148
11.7. Теплоотдача, к турбулентному потоку при Рг < 1 155
11.8. Температурный фактор 157
11.9. Влияние температурного фактора на трение и теплообмен при турбу-
турбулентном течении газа 160
11.10. Влияние теплового потока на теплоотдачу при течении капельных
жидкостей 163
11.11. Теплообмен и трение во входном участке трубы 166
11.12. Теплообмен при продольном течении в каналах нецилиндрической
формы 168
11.13. Теплообмен при течении химически реагирующих газовых тепло-
теплоносителей 168
11.14. Влияние шероховатости стенки трубы на теплоотдачу 170
11.15. Влияние внутреннего источника тепла 171
Список рекомендуемой литературы 173
Глава 12. Теплообмен при больших скоростях течения газа 174
12.1. Связь между температурой торможения и скоростью распростране-
распространения звука в газе 174
12.2. Коэффициент восстановления температуры и обобщенный коэффи-
коэффициент теплоотдачи 174
12.3. Теплоотдача к пластине 175
12.4. Коэффициент трения пластины при ламинарном пограничном слое 176
12.5. Профиль скоростей в турбулентном пограничном слое на непроница-
непроницаемой пластине 179
12.6. Коэффициент трения и теплоотдачи пластины при турбулентном
пограничном слое 180
12.7. Трение и теплообмен в турбулентном пограничном слое диссоци-
диссоциированного газа 181
Список рекомендуемой литературы 182
Глава 13. Теплообмен и трение при переносе вещества 183
13.1. Массообмен и теплопередача 183
13.2. Уравнения пограничного слоя 183
13.3. Тройная аналогия 184
13.4. Распределение касательных напряжений и теплового потока в плос-
плоском пограничном слое на полупроницаемой поверхности 185
13.5. Предельный закон трения в турбулентном пограничном слое на
полупроницаемой пластине 186
13.6. Ламинарный пограничный слой на полупроницаемой пластине . . 187
13.7. Эффект термодиффузии 188
13.8. Турбулентный пограничный слой газа на полупроницаемой пласти-
пластине при Re -> оо 189
13.9. Параметры турбулентного пограничного слоя в точке оттеснения
от пластины 191
13.10. Два важных частных решения уравнения импульсов для погранич-
пограничного слоя на пластине 192
13.11. Законы трения и теплообмена в турбулентном пограничном слое
газа при конечных числах Рейнольдса 194
Список рекомендуемой литературы 200
Глава 14. Тепловые завесы 201
14.1. Типы завес 201
14.2. Пограничный слой втепловой завесе на адиабатической поверхно-
поверхности 201
412
14.3. Адиабатическая пластина с предвключенным участком теплообмена 203
14.4. Адиабатическая пластина с предключенным пористым участком 203
14.5. Адиабатическая пластина с газовой завесой 204
14.6. Неадиабатическая пластина с газовой завесой 206
14.7. Интегральное соотношение импульсов при взаимодействии затоплен-
затопленной струи с плоской пластиной 206
14.8. Трение и теплообмен при взаимодействии затопленной струи с твер-
твердой стенкой 207
Список рекомендуемой литературы 209
Г л а в а 15. Теплообмен в пакетах и засыпках 210
15.1. Поперечное обтекание пакетов цилиндров 210
15.2. Продольное обтекание пакетов цилиндров 214
15.3. Пакеты шаров 215
15.4. Кипящий слой 217
15.5. Неоднородности и неустойчивости в слое частиц 220
Список рекомендуемой литературы 221
Г л а в а 16. Гидродинамика и теплообмен в средах с нелинейным законом моле-
молекулярного трения 222
16.1. Жидкости с нелинейной кривой течения 222
16.2. Связь между текучестью и касательными напряжениями в потоке
жидкости со структурной вязкостью 222
16.3. Распределение скоростей и гидравлическое сопротивление при стаби-
стабилизированном изотермическом течении жидкости с линейным законом
текучести 224
16.4. Распределение скоростей и гидравлическое сопротивление при про-
продольном изотермическом обтекании пластины 225
16.5. Связь между истинной и кажущейся текучестью 226
16.6. Теплоотдача при ламинарном течении жидкостей с линейным зако-
законом текучести 227
16.7. Гидравлическое сопротивление и теплообмен при турбулентном тече-
течении структурно-вязких жидкостей " 229
16.8. Влияние полимерных добавок на турбулентное течение воды . . . 230
Список рекомендуемой литературы 231
Глава 17. Теплоотдача при свободной конвекции 232
17.1. Свободная тепловая конвекция около твердой поверхности .... 232
17.2. Теплоотдача в области ламинарного пограничного слоя при Рг > 1 233
17.3. Гидродинамика и теплообмен в области развитой тепловой турбу-
турбулентности при Рг > 1 235
17.4. Теплоотдача при Рг < 1 238
17.5. Теплоотдача в жидких и газовых слоях 238
17.6. Совместное влияние свободной и вынужденной конвекции 242
Список рекомендуемой литературы 244
Глава 18. Теплообмен в разреженных газах 245
18.1. Особенности процессов переноса в разреженном газе 245
18.2. Взаимодействие молекул с поверхностью. Свободно-молекулярный
перенос тепла 246
18.3. Течение со скольжением и температурным скачком 249
18.4. Особенности теплообмена при гиперзвуковых скоростях 251
18.5. Релаксационные эффекты при обтекании тел разреженным газом. . 253
18.6. Свободная конвекция в разреженном газе 254
18.7. Вакуумная изоляция 255
Список рекомендуемой литературы 256
Глава 19. Теплоотдача при конденсации пара на твердых поверхностях . 257
19.1. Пленочная и капельная конденсация 257
19.2. Основные уравнения теплообмена при пленочной конденсации чис-
чистого насыщенного пара 257
19.3. Ламинарное течение пленки на вертикальной поверхности при мед-
медленном движении пара 260
19.4. Турбулентное течение пленки на вертикальной поверхности при
медленном движении пара 263
19.5. Средний коэффициент теплоотдачи при смешанном течении пленки
конденсата на вертикальной стенке 265
19.6. Влияние скорости течения чистого пара на теплоотдачу при кон-
конденсации на вертикальной поверхности 267
19.7. Теплоотдача при конденсации пара внутри трубы 269
413
19.8. Теплоотдача при конденсации чистого пара на внешней поверхности
горизонтальных труб 270
19.9. Пленочная конденсация на нижней поверхности горизонтальной
плиты 273
19.10. Влияние влажности и перегрева пара 273
19.11. Капельная конденсация 274
Список рекомендуемой литературы 275
Глава 20. Конденсация на свободной поверхности жидкости 276
20.1. Теплообмен в свободно падающей струе 276
20.2. Конденсация на струе, втекающей в паровое пространство с боль-
большой скоростью 279
Список рекомендуемой литературы 280
Глава 21. Теплоотдача при кипении однородных жидкостей 281
21.1. Два основных режима кипения 281
21.2. Температурное поле 283
21.3. Пузырьковое кипение, частота и скорость роста паровых пузырей 284
21.4. Характер движения парожидкостной смеси в трубах 287
21.5. Теплоотдача при пузырьковом кипении 290
21.6. Пузырьковое кипение при вынужденной конвекции жидкости 294
21.7. Теплоотдача при пленочном кипении 297
21.8. Теплоотдача при свободном растекании жидкости по поверхности
нагрева 300
Список рекомендуемой литературы 303
Глава 22. Критические плотности теплового потока, вызывающие изменения
режима кипения 304
22.1. Гидродинамическая природа кризисов в механизме кипения жид-
жидкости 304
22.2. Критерий устойчивости двухфазного граничного слоя при свободной
конвекции в большом объеме кипящей жидкости (первый кризис
режима кипения) 305
22.3. Влияние размера и состояния поверхности нагрева на величину дгкр 307
22.4. Переход от пленочного режима кипения к пузырьковому режиму
(второй кризис режима кипения) 310
22.5. Критерий устойчивости двухфазного граничного слоя при больших
скоростях течения жидкости 310
22.6. Влияние недогрева жидкости до температуры насыщения на крити-
критическую плотность теплового потока \ 311
22.7. Критический тепловой поток в области умеренных скоростей тече-
течения X. . . • . . 313
22.8. Кризис кипения в бинарных смесях /\ч .... 317
22.9. Непосредственный переход от однофазной конвекции к пленочному
кипению 319
22.10. Влияние метастабильности пристенного слоя жидкости на первую
критическую плотность теплового потока 321
Список рекомендуемой литературы 322
Глава 23. Элементы магнитной термогидродинамики 324
23.1. Основные уравнения 324
23.2. Влияние перпендикулярного к течению магнитного пЬля на гидро-
гидродинамику и теплообмен в ламинарном потоке 325
23.3. Влияние магнитного поля на турбулентное течение жидкого]металла
в каналах . . . 328
23.4. Элементы термогазодинамики низкотемпературной плазмы .... 330
23.5. Обобщенные характеристики электродуговых плазмотронов. . . . 333
Список рекомендуемой литературы 334
Глава 24. Неустановившийся конвективный теплообмен 335
24.1. Критерии подобия, характеризующие конвективную нестационар-
нестационарность 335
24.2. Ламинарный пограничный слой на пластине с переменной темпера-
температурой 336
24.3. Теплоотдача при обтекании сферических частиц 338
24.4. Нестационарный теплообмен при турбулентном течении в трубе. . 338
24.5. Влияние осцилляции при Рг ж 1 339
24.6. Влияние осцилляции при Рг -> сю 341
Список рекомендуемой литературы 342
414
Г л а • a 25. Основные законы теплового излучения 343
25.1. Природа теплового излучения 343
25.2. Основные понятия и определения 344
25.3. Законы излучения абсолютно черного тела 346
25.4. Излучение реальных тел 349
25.5. Классификация видов полусферического и объемного излучений 353
25.6. Геометрия излучения. Геометрические инварианты излучения. . . . 356
25.7. Общие свойства потоков излучения 358
25.8. Алгебраический метод расчета интегральных геометрических инва-
инвариантов излучения 360
Список рекомендуемой литературы 363
Глава 26. Теплообмен излучением в прозрачных и поглощающих средах . 364
26.1. Теплообмен излучением системы тел, разделенных прозрачной сре-
средой 364
26.2. Теплообмен излучением дискретной системы тел в прозрачной среде
(зональный метод) 367
26.3. Приложение зонального метода к расчету теплообмена излучением
между несколькими серыми телами 368
26.4. Действие экранов 371
26.5. Уравнение переноса энергии излучения в поглощающей среде . . 372
26.6. Интегральные уравнения излучения в поглощающей среде 376
26.7. Оптические свойства поглощающих сред 379
26.8. Теплообмен излучением дискретной системы тел в поглощающей
1 среде (зональный метод) 385
$6.9. Перенос излучения в плоском слое поглощающей среды 386
26.10. Комбинированный радиационный теплообмен 390
ж). 11. Теплообмен излучением в топочных устройствах 394
Список рекомендуемой литературы 399
Именной указатель 401
Предметный указатель 406
ИБ № 521
Самсон Семенович Кутателадзе
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ТЕПЛООБМЕНА
Редактор Г. Б. Казьмина
Художественный редактор А. Т. Кирьянов
Переплет художника А. И. Шаварда
Технический редактор Н. А. Власова
Корректоры Е. В. Журина, Н. А. Музыкантова
Сдано в набор 26.12.78. Подписано к печати 11.09.79
Т-11998. Формат 70Xl08Vi6- Бумага тип. № 1. Гарни-
Гарнитура литературная Печать высокая. Усл. печ. л. 36,4.
Уч.-изд. л. 34,92. Тираж 5550 экз. Заказ изд. 75051.
Зак. тип. 795 Цена 3 р. 20 к.
Атомиздат, 103031 Москва К-31, ул. Жданова, 5
Московская типография № 4 Союзполиграфпрома
Государственного комитета СССР
по делам издательств, полиграфии и книжной торговли
129041 Москва, Б. Переяславская, 46