/
Текст
LECTURE NOTES IN MATHEMATICS
A collection of informal reports and seminars
Edited by A. Dold, Heidelberg and B. Eckmann, Zurich
Series: Mathematisches Institut der Universitat Bonn
Adviser: F. Hirzebruch
55
D. GROMOLL- W. KLINGENBERG • W. MEYER
RIEMANNSCHE GEOMETRIE IM GROfiEN
SPRINGER-VERLAG BERLIN • HEIDELBERG • NEW YORK
1968
ИЗДАТЕЛЬСТВО
«МИР»
Д. ГРОМОЛ, В. КЛИНГЕНБЕРГ, В. МЕЙЕР
РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ
В ЦЕЛОМ
Перевод с немецкого
Ю. Д. БУРАГО
Под редакцией и с добавлением
В. А. ТОПОНОГОВА
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
Москва 1971
УДК 513.813
Книга известного немецкого геометра В. Клннгенберга и его
учеников Д. Громола и В. Мейера посвищена основным вопросам
римановой геометрии в целом.
Написаннаи на современном уровне, книга тем не менее читается
легко н может служить учебным пособием по римановой геометрии,
что особенно ценно ввиду отсутствии соответствующей литературы.
Вместе с добавлением В. А. Топоногова она дает обзор последних
достижений и проблем этой области математики. Большое число
задач помогает глубже усвоить материал и облегчает самостоятель-
ное изучение предмета.
Книга представляет интерес для студентов старших курсов,
аспирантов н научных работников математических специальностей.
Редакция литературы по математическим наукам
2-2-3
25-71
ОТ ПЕРЕВОДЧИКА
Предлагаемая вниманию читателей книга представляет рас-
ширенное изложение лекций по римановой геометрии в целом,
прочитанных выдающимся немецким геометром В. Клингенбергом;
книга написана с помощью его учеников Д. Громола и В. Мейера.
Отличительными чертами книги является современность ее содер-
жания и языка. Иначе говоря, авторы занимаются прежде всего
задачами геометрии в целом и, в частности, связями между гео-
метрией и топологией римановых многообразий, изложение же
построено на инвариантном исчислении Кошу ля. Первые три пара-
графа книги (а правильнее — три главы, так как параграфы очень
длинны) представляют современный учебник римановой геометрии,
не предполагающий предварительного знания предмета, их можно
рекомендовать начинающему геометру для ознакомления с языком
и методами, вошедшими в геометрию приблизительно с 1950 г. и,
следовательно, ставшими уже классическими. Надо отметить, что
в книге Клннгенберга и соавторов „язык" развивается весьма
умеренно, но зато на этом языке раскрываются действительно
интересные вопросы. А именно, в конце книги доказываются два
фундаментальных результата, стоящих в центре развития рима-
новой геометрии за последние годы —„теорема сравнения" Топо-
ногова и „теорема о сфере" Клннгенберга.
При этом, как и во многих других случаях, выясняется заме-
чательная связь всего наиболее содержательного в геометрии
с „интегрирующими" синтетическими методами—древними „эле-
ментарными" и современными топологическими; здесь нетрудно
увидеть продолжение традиции, идущей от Эйлера и Коши и пред-
ставленной в наше время работами А. Д. Александрова. Свое-
образную особенность книги составляют „замечания" в конце
каждого раздела. Задачи в узком смысле (которые читателю реко-
мендуется решить и на которые дальше имеются ссылки в тексте)
тщательно отделены при переводе от более трудных результатов,
а именно, эти последние снабжены либо ссылками на литературу,
либо словами „можно доказать".
При переводе исправлены некоторые мелкие погрешности,
а разделы 2.4, 2.5, 3.4 переработаны, причем переводчик восполь-
зовался неопубликованной работой, любезно предоставленной ему
А. И. Фетом.
6
От переводчика
Добавление, написанное В. А. Топоноговым, содержит неко-
торые новые результаты глобальной римановой геометрии, в том
числе исследование топологического строения некомпактных много-
образий неотрицательной кривизны (Громол и Мейер) и структура
многообразий, содержащих прямые (Топоногов). Вместе с доба-
влением книга подводит читателя вплотную к современной пробле-
матике римановой геометрии в целом. В то же время она может
служить и учебником, и своего рода сборником задач и примеров
по этому предмету.
ПРЕДИСЛОВИЕ
Проблемы дифференциальной геометрии в целом вызывают
сейчас все возрастающий интерес. В римановой геометрии иссле-
дование связей между римановой и топологической структурами
привело в последнее время к ряду интересных и неожиданных
результатов. Мы имеем в виду прежде всего следующий круг
вопросов: какие топологические инварианты можно охарактеризо-
вать с помощью одного из важнейших изометрических инвариан-
тов — кривизны? Цель этой книги состоит в изложении некоторых
основных результатов в этой области.
В весеннем семестре 1961 г. В. Клингенберг прочел по при-
глашению Боннского университета курс лекций под тем же назва-
нием, что и книга. Слушатели этого курса Д. Громол и В. Мейер
сделали его записи. Эти записи, изданные в 1962 г. Математи-
ческим институтом Боннского университета, вскоре разошлись.
Предлагаемая книга представляет собой переработку этого изда-
ния. Первоначально было задумано значительно расширить его,
но из-за недостатка времени это пока не удалось сделать. Мы
надеемся, однако, что и в существующем виде книга будет полезна
всем, кто хочет ознакомиться с актуальной и быстроразвиваю-
щейся областью римановой геометрии.
Для чтения этой книги предполагается лишь знание простей-
ших сведений из анализа, линейной алгебры и топологии. В первых
трех параграфах мы излагаем локальную теорию дифференцируе-
мых и римановых многообразий с линейной связностью в объеме,
необходимом для применения к глобальным задачам. В последние
годы были заполнены многие пробелы в литературе, однако подхо-
дящего для наших целей изложения основ дифференциальной
геометрии пока нет. Таким образом, эта часть книги может также
служить введением в дифференциальную геометрию.
В следующих двух параграфах рассматриваются экстремаль-
ные свойства геодезических и естественная метрическая структура
риманова многообразия. После этого мы обращаемся к глобаль-
ным задачам, которым посвящены § 6 и 7.
В приложении изложены некоторые вспомогательные резуль-
таты, используемые в основном тексте. Мы старались сделать
изложение материала как можно более элементарным и по воз-
можности избегали ссылок на другие книги; вычисления прово-
8
Предисловие
дятся везде простым инвариантным методом. С другой стороны,
там, где это, на наш взгляд, необходимо, мы дополнили текст
комментариями, содержащими дальнейшие результаты, а также
рядом примеров и примечаний, предлагаемых в виде задач. Весь
этот дополнительный материал помещается в конце каждого раз-
дела в замечаниях.
Мы выражаем сердечную благодарность профессору П. Домб-
ровскому (Кельн) за многочисленные указания, а также благо-
дарим д-ра X. Кархера (Берлин) за ценные замечания при кор-
ректировании первоначального текста.
Наконец, мы весьма обязаны издательству Шпрингера, при-
нявшему нашу рукопись для издания в серии „Lecture Notes".
Детлеф Громол,
Вильгельм Клингенберг,
Вольфганг Мейер
Беркли — Принстон — Бонн,
сентябрь 1967 г.
§ 1. Дифференцируемые многообразия
и отображения
1.1. Определение дифференцируемого многообразия
Пусть R" — векторное пространство над полем действительных
чисел R, состоящее из всех упорядоченных систем действительных
чисел (pt, ..., Рп)})- Пространство R1 мы отождествим с вектор-
ным пространством поля R и будем также обозначать через R.
Пусть G — открытое множество R'1. Отображение f: G -> Rft за-
дается k действительными функциями — компонентами f. Если все
компоненты f имеют частные производные всех порядков на G,
то отображение f называется дифференцируемым. Отметим, что,
если не оговорено противное, „дифференцируемость" в этой книге
понимается в смысле существования производных любого порядка.
, Хаусдорфово пространство М, обладающее счетной базой, на-
зывается n-мерным топологическим многообразием, если оно ло-
кально гомеоморфно R", т. е. каждая точка пространства М обла-
дает окрестностью, гомеоморфной R"* 2).
Пусть М — n-мерное топологическое многообразие. Картой или
системой координат на М называется гомеоморфизм х некоторого
открытого подмножества М на открытое подмножество R". Мно-
жество карт 21 называется дифференцируемым атласом на М, если
выполнены следующие условия:
1) Каждая точка М принадлежит области определения некото-
рой карты х е= 21.
2) Для любых двух карт х, уе21 отображение у°х-1 диффе-
ренцируемо 3).
Пусть 21 — дифференцируемый атлас на М. Карта х на Л4 на-
зывается согласованной с 21, если 21 (J{х} также составляет диф-
*) Номера координат в этой книге, как правило, записываются в виде верх-
них индексов. Однако номера чисел pi записываются снизу, поскольку эти числа
Представляют собой выделенные координаты в Rra, служащие для определения
пространства. — Прим, перев.
2> Последнее свойство называется также локальной евклидовостью топо-
логического пространства М. — Прим, перев.
3) Композиция отображений имеет максимальную область определения, в ко-
торой она может быть построена; если х, у определены соответственно на U, V.
то у«х-1, таким образом, определена на x(t/QV). Это открытое множество
Может быть пустым, в таком случае у°х-1 есть пустое отображение (естест-
венно, рассматриваемое как дифференцируемое).
10
£ 1. Дифференцируемые многообразия и отображения
ференцируемый атлас на М. Если Э? — множество карт, согласо-
ванных с ЭД, то 91J есть также дифференцируемый атлас на М.
ЭД называется дифференциальной структурой на М, если каждая
согласованная с ЭД карта принадлежит ЭД. Каждый дифференцируе-
мый атлас однозначно определяет дифференциальную структуру,
карты которой с ним согласованы, а именно множество всех со-
гласованных с ним карт.
Дифференцируемое многообразие есть объект, состоящий из то-
пологического многообразия и заданной на нем дифференциаль-
ной структуры. Если М — дифференцируемое многообразие, то кар-
той на М называется карта дифференциальной структуры М.
В дальнейшем М всегда будет обозначать дифференцируемое
многообразие размерности п. Под словом „карта" будет подра-
зумеваться „карта дифференциальной структуры".
Замечания
(i) Пусть G — открытое подмножество дифференцируемого мно-
гообразия М с индуцированной топологией. Атлас из всех карт М,
области определения которых принадлежат G, составляет диффе-
ренциальную структуру на G.
(И) Если М = R", то карта x = id (тождественное отображение)
составляет атлас {х}, определяющий дифференциальную структуру
на G; эта дифференциальная структура называется канонической.
( , /ге+1 1
(iii) Пусть р>0 и М = S2 = |p: p<=Rn+ , ||р|| =( 3 Р] 1 ^=р|-
S" с индуцированной из Rrt+I топологией называется и-мерной
сферой с центром 0 радиуса р; S" = S? называется также стан-
дартной n-мерной сферой, или просто n-мерной сферой. Мы ука-
жем две карты х, у на S", составляющие дифференцируемый
атлас и определяющие, тем самым, дифференциальную структуру.
Обозначим через pN северный полюс сферы (0...0, р) и через ps
южный полюс (0, 0, ..., —р); тогда на множествах U = Sp \ {рд,},
V = Sp \ {ps} определены стереографические проекции х' U ->R"
из северного полюса и у: E->R" из южного полюса:
i—1, ..., п. Отображения х, у суть гомеоморфизмы, и „замена
карт"
х°у~' = у°х~1: (reR")
дифференцируема, поскольку х([/П Е) = р([/П lz) = R,2\{o}.
(iv) Поскольку топологическое многообразие локально линейно
связно, то в этом случае понятия связности и линейной связности
1.1. Определение дифференцируемого многообразия
11
-совпадают; компоненты связности М открыты и замкнуты в М.
Вместо требования существования счетного базиса можно было бы
более общим образом предполагать многообразие паракомпактными
(см. разд. 8.2). Это адекватное понятие, позволяющее произво-
дить основные построения, такие, как „разложение единицы"
(см. разд. 8.3). Примером связного, но не паракомпактного мно-
гообразия (а следовательно, и без счетного базиса) является „длин-
ная прямая" Q X [0, 1)\{со X 0}, снабженная топологией упоря-
доченности по отношению к лексикографическому порядку, где Q —
вполне упорядоченное счетное множество с первым элементом со,
все отрезки которого не более чем счетны (например, так назы-
ваемый второй порядковый класс Кантора). Известен также при-
мер „поверхности Прюфера" (см. Неванлинна Р., Униформизация,
М., 1955). Локально евклидово, но не хаусдорфово пространство
можно получить „удвоением точки" в Rra. Для этого берется точка
q е Rra, и в топологической сумме (Д'1 X {0}) U (Д'1 X {1}) точки (р, 0),
(р, 1) отождествляется в том и только том случае, если р = р q.
Полученное таким образом пространство локально гомеоморфно R11,
но точки (р, 0), (р, 1) неотделимы.
(v) Покажите, что подпространство М = {р-. р R2, р2^о,
Р1(Р1~ Р2) = 0} пространства R2 не локально евклидово, тогда как
Af\ {0} и {р: р е М, Pi 0} локально евклидовы.
(vi) Пусть М, N —.топологические многообразия равной размер-
ности dim М = dim N — п. Тогда, как можно доказать, непрерывное
инъективное отображение f: M~>N открыто; в частности, f(M)
открыто в N и определенное на подпространстве обратное
отображение f-1 непрерывно; таким образом, f есть гомеомор-
физм М на f(M). Эта теорема вытекает (каким образом?) из со-
ответствующего утверждения для частного случая М = N = R1*, ко-
торое нетривиально („сохранение областей при инъективных ото-
бражениях ?<"->₽"“). Отсюда следует, что топологические много-
образия разных размерностей не могут быть гомеоморфны. Таким
образом, размерность многообразия есть топологический инвариант.
(vii) Пусть G — открытое подмножество R1*, г — один из симво-
лов 0, 1, 2, ..., со, и. Обозначим через Cr(G, Rfe), r=l, 2, ...
множество всех отображений f: G ->Rfe, для которых частные про-
изводные всех компонент до порядка г включительно существуют
оо
и непрерывны; обозначим через C°°(G, Rfe) множество Qcr(G, Rft);
. r=0
наконец, обозначим через Cffl(G, Re) множество всех аналитиче-
ских отображений G в Rft, т. е. таких, компоненты которых ло-
кально могут быть представлены степенными рядами. Элементы
Cr(G, Rfe) называются также Сг-отображениями-, при этом С°-ото-
бражения суть непрерывные отображения.
12
§ 1. Дифференцируемые многообразия и отображения
Очевидно,
C°(G, R^C^G, Rfe)=> ... =>Cr(G, Rk)=>Cr+1(G, R*) => ...
... гэС°°(6, R*)Z3C“(G, R*).
Покажите, что ни одно включение в этой цепи не является ра-
венством. Дифференциальная структура на топологическом мно-
гообразии М в определенном выше смысле называется также
С°°-структурой на М. Аналогично определяется Сг-структура, как
максимальный атлас Сг-согласованных карт, а затем и СГ-'много-
образие. Заметим, что С°-миогообразия суть просто топологиче-
ские многообразия; С“-многообразия называются также аналити-
ческими многообразиями.
Уитни доказал, что если на топологическом многообразии су-
ществует С-структура, то на нем существует и С“-структура; бо-
лее того, из максимального С’-атласа можно выбрать податлас
С“-согласованных карт (Whitney Н., Differentiable Manifolds,
Ann. of Math., 37 (1936), 645 — 680). Например, заданный в (iii)
атлас на Sp есть (не максимальный) С“-атлас. Таким образом,
можно, не теряя общности, рассматривать сразу С°°-многообразия.
Можно было бы рассматривать сразу аналитические многообра-
зия, но делать это нецелесообразно, поскольку во многих рассу-
ждениях и построениях требование аналитичности оказывается
слишком жестким (поведение аналитической функции в целом,
как известно, определяется ее_ поведением в сколь угодно малой
окрестности одной точки!).
Для всех размерностей п~^ 10 существуют топологические мно-
гообразия, на которых нельзя ввести никакой дифференциальной
структуры. Первый пример такого рода был построен Кервером
в 1960 г. Напротив, если размерность топологического многообра-
зия М не больше 4, то на М существует дифференциальная
структура.
1.2. Определение дифференцируемого отображения
Пусть М, А— дифференцируемые многообразия размерностей
п, k и G — открытое подмножество М. Отображение f: G-^-А на-
зывается дифференцируемым, если для любых карт х на М и у
на А отображение y°f°x~l: R"->Rft дифференцируемо (при этом
надо иметь в виду сказанное выше относительно области опреде-
ления композиции отображений). При этом также говорят, что f
„дифференцируемо в локальных координатах". Если Q — другое
дифференцируемое многообразие размерности I и g'. N —>Q диф-
ференцируемо, то и gof: М~>Q дифференцируемо. Для произволь-
ного подмножества А сг М отображение f: А->А называется диф-
ференцируемым, если f можно продолжить до дифференцируемого
1.2. Определение дифференцируемого отображения
13
отображения, определенного на некотором открытом множестве
Л.
Отображение f: M—>N называется диффеоморфизмом М на W,
«ели f биективно и оба отображения f, f~l дифференцируемы.
При этом также является диффеоморфизмом и композиция
двух диффеоморфизмов есть опять диффеоморфизм; диффеомор-
физмы М на М. образуют группу. Карта х с областью определе-
ния U cz М диффеоморфно отображает U на x(G)czR".
Пусть Л — подмножество А1; обозначим через <5 Л множество
определенных на Л дифференцируемых функций с действитель-
ными значениями (если Л не открыто, дифференцируемость на Л
означает, как было указано выше, существование дифференци-
руемого продолжения f на открытое множество G дэ Л). Функции
;из 3 Л естественным образом складываются и умножаются на
действительные числа: если f, Л, aeR, то для всех реЛ
•имеем (f + g) (р) = f (р) + g (р) и (af) (р) = af (р) по определению. Тем
самым § А превращается в векторное R-пространство. Более того,
обычное умножение (fg) (р) = f (р) g (р) для всех реЛ превра-
щает S Л в алгебру над полем R (сокращенно в R-алгебру) и,
в частности, в кольцо. Если х — карта с областью определения U,
то координатные функции х‘ (i-e компоненты х) принадлежат,
очевидно, 3 U.
Для открытого подмножества G сд М и точки ре G рассмот-
рим идеал gp G всех функций из алгебры 3 G, которые обра-
щаются в нуль в некоторой (зависящей от функции) окрестности р.
Рассмотрим факторалгебру %PG = § Gffip G; ее элементы назы-
ваются ростками функций, заданных в G, в точке р. Каждый такой
росток есть класс функций из ^G; при этом две функции из S G
считаются принадлежащими одному ростку в р, если существует
такая окрестность точки р, в которой эти функции совпадают.
Далее, ограничение функций из на G канонически инду-
цирует изоморфизм х: %рМ—>^PG’, в самом деле, для каждой
fs^G существует такая g^^M, что g и f совпадают в неко-
торой окрестности р. Чтобы это доказать, возьмем,согласно разд. 8.3,
функцию равную 1 в некоторой окрестности р, носитель
которой лежит в G; тогда можно положить g (q) = <р (у) f (у) для
Я s G и £(р) = 0вне G. Заметим, что на аналитические функции
это утверждение не распространяется (см. замечание (i)).
Замечания
(i) Пусть М, N — С^-многообразия, $ е {0, 1, ..., оо, со}, и
G — открытое подмножество М, тогда естественно рассматривать
Для r^s класс Cr(G, N) всех Сг-отображений f: G—>N, таких,
14
£ 1. Дифференцируемые многообразия и отображения
что y°f°x~x есть С'-отображение евклидовых пространств при
любых картах х, у из О-структур М, N. Таким образом, опять
возникает цепь собственных включений C°(G, А) тэ С1 (G, АО то ...
.... =>C\G, N).
Как уже было сказано, мы рассматриваем везде случай г =
= s = oo, чтобы по возможности упростить формулировки.
(ii) Покажите, что карты x, = id и х2: R-*IR, заданная форму-
лой x2(t) = t3, определяют на R различные дифференциальные
структуры, однако полученные дифференцируемые многообразия
диффеоморфны. Вообще если на топологическом многообразии М
существует хотя бы одна дифференциальная структура (см. 1.1,
замечание (vii)), то их существует бесконечное множество, но со-
ответствующие дифференцируемые многообразия большей частью
диффеоморфны, как и в предыдущем примере. (Для любого гомео-
морфного, но не диффеоморфного отображения <р: М—>М и лю-
бого дифференцируемого атласа {х} на М можно построить
атлас ЭДДхоср}, х е= 21, определяющий новую дифференциальную
структуру на М, но дифференцируемое многообразие, диффео-
морфно исходному.) Милнор впервые обнаружил, что существуют
гомеоморфные, но не диффеоморфные дифференцируемые много-
образия. Например, как он показал, существует в точности 28 диф-
ференцируемых многообразий, гомеоморфных S7, но попарно не
диффеоморфных друг другу (Milnor J., Differentiable structures
on spheres, Am. J. Math., 81 (1959), 962 — 972). Однако если
dim Af = dim A 3 и дифференцируемые многообразия M, N го-
меоморфны, то они диффеоморфны.
(iii) Дифференцируема ли функция f: Sp-*R, заданная фор-
п+1
мулой f (р) = У, рг? Покажите, что отображение h: Sf->Sp, за-
j=i
данное формулой h (р) = —рр, есть диффеоморфизм.
1.3. Касательные векторы и касательные пространства
Пусть М — «-мерное дифференцируемое многообразие ире.М.
Касательным вектором к М в точке р называется отображение
V. >R, обладающее следующими свойствами:
г (af + pg) = av (f) + рг (g), (I)
v(fg) = v(f)g(p) + f(p)v(g), (2)
где a, peR, f, ge^M.
Точка p называется начальной точкой вектора v. Таким обра-
зом, касательный вектор к М в точке р есть, согласно (1), ли-
нейный функционал на векторном R-пространстве облада-
ющий свойством дифференцирования (2). Если определить для ка-
сательных векторов с начальной точкой р сложение по правилу
1.3. Касательные векторы и касательные пространства
15
(v + w) (f) = v (f) + w (f) и умножение на числа по правилу (ar) (f) =
то множество всех таких касательных векторов Мр пре-
вращается в векторное R-пространство, называемое касательным
пространством к М в точке р.
Абстрактное определение касательного вектора можно мотиви-
ровать следующим образом. Каждому „классическому вектору" v
в Rrt соответствует функционал v (/), удовлетворяющий (1), (2),
который сопоставляет каждой дифференцируемой функции на R"
ее производную в начальной точке v в направлении V. Если
с: [0,1] —> Rrt дифференцируемое отображение, для которого с (0) = v,
то только что упомянутый функционал представим в виде v (f) =
= £)(/:ос)|о, где £>|0 — обычная производная в точке 0. Таким обра-
зом, D(f°c) не зависит от выбора с при фиксированном V. Назо-
вем дифференцируемым путем на М дифференцируемое отображе-
ние с: где / — невырожденный интервал R. Назовем диффе-
ренцируемые пути ck" [0, 1] —>М (£=1, 2) эквивалентными, если
у них общая начальная точка Cj (0) = с2 (0) = р и для некоторой
(а следовательно, и для любой) карты х, область определения ко-
торой содержит р, имеет место D (х1 ° cJlo = D (х1 ° с2)|0 (г = 1.п).
Пусть v — некоторый класс эквивалентности по этому отноше-
нию. Тогда, как мы покажем ниже (разд. 1.4), для эквивалентных ct
с2 справедливо D (f ° Cj)|o = D (f ° c2)|0, и можно определить функцио-
нал v формулой v (f) = D (f ° с)|0, сев. Как мы увидим, получен-
ный функционал обладает свойствами (1), (2), т. е. является ка-
сательным вектором к М в точке, и любой касательный вектор
может быть получен таким образом.
Для функции 1 § М (тождественной единицы) из (2) следует
v (1) = v (1 • 1) = v (1) + v (1), так что v (1) = 0. Поскольку v линеен,
для любой постоянной функции имеем и (а) = 0.
Лемма 1
Усл. f, g принадлежат одному ростку из v еМ„.
Утв. v(f) = v (g).
Док. Пусть fug совпадают в некоторой окрестности U точки р,
тогда h = f — g обращается в нуль в U. Достаточно показать, что
г(/г) = О. Построим, как и в разд. 1.2, функцию <р е , обра-
щающуюся в 1 в некоторой окрестности V точки р, причем носи-
тель <р лежит в U. Тогда <р/г = 0е^Л4, откуда в силу (2) имеем
v (tp) h (р) + <р (р) v (h) = 0, или, что то же самое, г(/г) = О.
В силу доказанной леммы функционал v принимает постоян-
ное значение на каждом ростке §рА4, и его можно было бы сразу
определить как функционал, заданный на ^рМ, причем свой-
ства (1) и (2) относились бы к росткам f, g. Если G —открытое
Подмножество М, содержащее р, то канонический изоморфизм
16
§ 1. Дифференцируемые многообразия и отображения
х: Sp.M->?ipG (см. разд. 1.2) позволяет установить изоморфизм Мр
и Gp (вектор v е Мр рассматривается как функционал на %РМ и
переносится на SPG с помощью формулы vQ = и °х-1). Тем самым
мы получаем некоторый касательный вектор vQ к дифференци-
руемому многообразию G (см. замечание (i) разд. 1.1) в точке р,
который мы для краткости будем обозначать снова через v. Итак,
можно определить действие векторов из Мр на функции f из gG,
где G — любая окрестность р; в дальнейшем мы будем пользо-
ваться записью v (f) в этом смысле.
Пусть х — карта, определенная в окрестности р (т. е. такая,
область определения которой содержит р). Определим касатель-
ные векторы —^т-1 (i = 1, .... п) в точке р по формуле
(7Х |р
Проверка свойств (1), (2) не представляет затруднений. Вместо
д I ,.п Л df
—г (/) мы будем писать также —— .
дх1 |р дх1 р
Лемма 2
Усл. р е= М, х — карта, определенная в окрестности р.
Утв. Каждый касательный вектор v е= Мр однозначна представим
в виде линейной комбинации
п
где а‘. = v (х‘).
Таким образом, касательные векторы —Д-1 составляют базис
дх1 |р
касательного пространства Мр. В частности,
dim Мр = dim М = п.
Док. Пусть G —открытый шар с центром в Oe=R". Если <peyG
и <р(0) = 0, то существует п функций фг £=?;[/, таких, что
п
Ф («) = 3 «'Ф; (и). (4)
1
Их можно построить по формуле ф,(и) = J Diq>(tu)dt, тогда,
о
очевидно, -0(<р 10 = ф/(0). При этом существенно, что наши функ-
ции-класса С°°, иначе бы терялся один порядок дифференци-
>) Di означает частную производную по х1 в Rn. В случае п ~ 1 обычная
производная обозначается большею частью через D.
1.3. Касательные векторы и касательные пространства
17
руемости. Можно считать, что х(р) = 0. Если то в шаре U
можно представить f°x~{, согласно (4), следующим образом:
п
f о X-1 (и) = У и'фг (и).
( = 1
Тогда, обозначая координатные функции карты х через х1, имеем
(п
S XZtb; о X
"1 .
х 1 (W
Из (1) и (2) теперь следует
д
дх1
v(f) = v(f |х_, 2 v (0) = J} t> (?) I (f).
i=l i = l P
Касательные векторы -Дг I линейно независимы, так как из
дх |р
(х1) = д' (символ Кронекера) получается однозначность пред-
р
ставления. Тем самым лемма доказана.
Если х, у — карты, определенные в окрестности р s М, то каса-
тельные векторы, вообще говоря, имеют различные представления
относительно этих карт; докажем следующее правило преобразо-
вания базисных векторов:
Для этого представим
вектор к функции xk
доказано.
д V < 5
— в виде а Т7
дУ р fz dxJ Ip
(k = 1, ..., n); получаем
и применим этот
k dxk I
"(5)
Замечания
(i) Покажите, что отображение Cr(Af, R)->R, обладающее
свойствами (1), (2), тождественно равно нулю при г = 0, тогда
как при 0<г<оо соответствующее векторное R-пространство
бесконечномерно.
(ii) Чем отличается множество (J Мр от множества всех ото-
Р е м
бражений SAf->R, удовлетворяющих условиям (1), (2) при любой
р е= М?
18
§ 1. Дифференцируемые многообразия и отображения
(iii) Рассмотрим на S₽ карту у (см. разд. 1.1, замечание (iii)).
Отображение х(р) = (ръ ..., рп) задает другую карту на верхней
полусфере Н+ = {р\ p^Sp, prt+1>0}. Выразите для р^Н+ каса-
д д I л
тельные векторы —р через —j- и обратно.
1.4. Индуцированные отображения
Фундаментальное свойство дифференцируемых отображений
состоит в том, что локально они могут быть линеаризованы. Рас-
смотрим дифференцируемые многообразия М, N размерностей п, k.
Пусть G — открытое подмножество М‘, f: G ~>N — дифференцируе-
мое отображение. Для каждой точки ре G отображение f инду-
цирует линейное отображение ftp касательного пространства Мр
в касательное пространство Nf(p) по формуле
(f.pv) (<р) = v (ср о f), (1)
ае.Мр, (fsW. В литературе вместо ftp употребляются также
обозначения f'p, Df | *и Т pf.
Пусть х — карта, определенная в окрестности р; у —карта,
определенная в окрестности f(p). Согласно (3) разд. 1.3, имеем
hPv = ^v{yl of) . (2)
£ дУ Г(р)
n V i д I , I Л V d(y‘of) I
Если v = 7, a'—r , to v(y °/) = 2a—'«• Это значит,
£ дх’ '₽ й 9x1 Ip
что линейное отображение ftp по отношению к выбранным бази-
д I д I ,
сам —г , соответственно —г , задается функциональной
дх‘ |р ду> |f (р)
матрицей (матрицей Якоби) отображения yofox"1 в точке х(р).
Тождественное отображение id: М —>Л1 индуцирует для каждой
точки р тождественное отображение Мр, так как из (1) вытекает
(idtpu)(/:) = u(/:oid) = u(/:):
id4p v = v. (3)
Если Q — другое дифференцируемое многообразие размерности I
и g: N-+Q дифференцируемо, то из (1) следует цепное правило:
(g°f).p = g.f(p)°f»p- (4)
Если f: М ->N — диффеоморфизм, из (3) и (4) вытекает, что
f,p- Mp->Nf(p} биективно и (f,p)-1 = (Г1\рР). В частности, dimМр =
= dimNf(p), откуда dim Л1 = dim 7V,
1.4. Индуцированные отображения
19
Если А — произвольное подмножество М, р е A, f: A^-N диф-
ференцируемо и все векторы v^Mp определены на (см.
разд. 1.3), то мы получаем индуцированное линейное отображе-
ние ftp. Мр
Каждое n-мерное действительное векторное пространство обла-
дает естественной дифференциальной структурой, порождаемой
атласом всех изоморфизмов векторных пространств Е—>Rn. Для
каждого »е£ можно и в этом случае рассматривать касательное
пространство Ev к Е в точке v. Мы построим канонический изо-
морфизм
Iv: Е~>Е0 (5)
(„отождествление посредством параллельного сдвига"), который,
естественно, будет также диффеоморфизмом. Для каждого век-
тора рассмотрим прямую Л: R->E, заданную формулой
% (/) = v + tw,. и положим I„w = Io, где D |f — базисный вектор
касательного пространства Rf к R в точке t относительно карты id.
Тогда для изоморфизма х: Е ->Rre векторных пространств имеем,
согласно (2),
Ivw = Io = 'V D (xl ° A.) |a —— I =
dxl |0
= S D & +tx‘ (®)) io AI = X x‘ h >
дх1 dx‘ |0
так что Iv инъективно и R-линейно.
Если E = R", то Ivei = ОД, где ег есть i-й вектор канониче-
ского базиса R", а Дг|0 = -^-| соответствует карте x = id, т. е.
является i-й частной производной в точке vе R”.
Если с: [О, 1]—>Л1— дифференцируемый путь, и с(0) = р, то
в силу (1) для D0 = D\q имеем
(с, \QDQ)f = D(foc)\0.
Следовательно, для любого с формула v {f) = D (f ° с) |0 определяет
вектор из Мр (см. разд. 1.3). Если с1( с2 — эквивалентные пути,
то по определению эквивалентности имеем
(ci. Io Do) х1 = (c2t Io Do) xl, i = 1.ti,
и из (3) разд. 1.3 вытекает, что ct, |0Do = c2J0 Do или, что то же
самое, D (f о ct) |0 = D (f о с2) |0. Наконец, любой вектор v е Мр может
быть представлен в виде v = cJ0£>0. Так как x~l: x(I7)-> Е —диф-
феоморфизМ- и для любого пути с: [0, 1]->R" выполняется
(х-1 о с)„ = (х_1),с„ достаточно рассмотреть случай М = R". Если
v е Rn, v = а7 1 , то путь с = (pt + а1/, ..., рп + ant) удовле-
20
£ 1. Дифференцируемые многообразия и отображения
творяет нашему требованию:
(с. Io Do) uJ ~D {и1 ° с) Io = aJ, /’ = 1, ..., п.
Таким образом, мы проверили корректность геометрической
интерпретации касательного вектора, приведенной в разд. 1.3.
Замечания
(i) Зададим спираль с; R—>R3 при р, а>0 формулой c(t) =
= (pcos t, р sin t, at). Найдите ctt и Ic(t)C,t относительно канони-
ческой карты id.
(ii) Пусть G — открытое подмножество М, p^G и fegG.
Линейная форма dfp на Мр, заданная формулой (dfp) (v) = v (f)
для v e Mp, называется дифференциалом f в точке р. Покажите,
что dtP = I^p)°f,P. Каков смысл в случае М = R записей f,p,
Df\p — f'(p), dfp>
(iii) Пусть peAi, х — карта на М, содержащая р. Покажите,
что отображение х: Мр->Рп, заданное формулой x(v) =
= (о (х1), ..., v (хп) ),^сть карта векторного пространства Мр, пере-
л » д
водящая базисный вектор —г
дх*
, б
отображает -у-г
(/=!,..., п).
р
в и что 1а: Мр-+ (Мр)0
р
б
в базисный вектор —г
пространства (Мр)0
V
1.5. Теоремы об отображениях
Согласно предыдущему разделу, дифференцируемое отображе-
ние может быть линеаризовано в окрестности любой точки. Из
алгебраических свойств индуцированного отображения часто можно
вывести свойства самого заданного отображения.
Пусть М, N — дифференцируемые многообразия размерностей п
и k, G —открытое подмножество М, f: G-+N — дифференцируемое
отображение. Рангом f в точке р называется ранг линейного ото-
бражения ftp: Mp->N; (р), т. е. размерность образа f,p.
Из элементарного анализа известна следующая
Теорема (Обращения)
Усл. G —открытое подмножество R"; f: G-+Rn — дифференци-
руемое отображение.
Утв. Если f имеет максимальный ранг (= п), то существует такая
окрестность U точки р, что f |у есть диффеоморфизм U на
некоторую окрестность точки f(p).
Напомним, что все отображения здесь принадлежат классу С°°.
Для дифференцируемых многообразий отсюда следует
5. Теоремы об отображениях
21
Лемма 1 (Теорема обращения на многообразиях)
Усл. М, N — дифференцируемые многообразия равной размер-
ности п; G — открытое подмножество М\ f: G-> N — диффе-
ренцируемое отображение.
Утв. Если f имеет в точке р максимальный ранг (= п), то суще-
ствует такая окрестность U точки р, что f |у есть диффео-
морфизм U на некоторую окрестность точки f (р).
Док. Достаточно рассмотреть карты х и у, определенные соот-
ветственно в окрестностях р и f(p), применить теорему обраще-
ния к y°f°x~l и воспользоваться тем фактом, что х, у — диффео-
морфизмы.
Лемма 2 (Теорема о неявных функциях)
Усл. G — окрестность точки 0 е Rra; f: G —>Rfe — дифференцируе-
мое отображение f(0) = 0; i: Rn—>Rfe (n^.k) есть инъекция,
т. е. отображение, заданное формулой i(ul, ..., ип) =
— (и1, ип, 0, 0); л: Rra—>R& (п^ k) есть проекция,
т. е. отображение, заданное формулой л (и1, ..., ип)—
= (и1, ..., uk).
Утв. (а) Если n^k uf имеет максимальный ранг ( = п) в точке 0,
то существует такая карта g в Rfe, содержащая 0 в области
определения, что в некоторой окрестности 0 s R"
g 0 f («) = i («)•
(b) Если n^k и f имеет максимальный pam( = k) в точке 0,
то существует такая карта h в R", содержащая 0 в области
определения, что в некоторой окрестности 0 eR’
f ° h (и) = л (и).
Док. (а) По предположению rang (DJ1 |0) 1<г<й = п. Пусть
det(7)^1 |0)1<л продолжим f до дифференцируемого отобра-
жения F: G X Rfe_ra->Rfe по формуле
F(u', .... uk) = f(u', .... un)+(G, ..., 0, ип+\ .... uk).
Тогда det(Z)/77l |0)1<. det(Z)/jqo)1<. /<n^o и по теореме обра-
щения локально существует обратное отображение g для F,
причем
g ° f (и) = g ° F ° I (и) = i (и).
(Ь) Предположим, что det(Z);.f‘ |0)1<z ^=И=0, и определим диф-
ференцируемое отображение F: G -»R" по формуле
Р(щ\ ..., ип) = (Г(и), ..., /*(«), г?+1, ..., ип).
22
§ 1. Дифференцируемые многообразия и отображения
Тогда det(ZXF‘|0)1<л/<п=И=0 и по теореме обращения локально су-
ществует обратное отображение h для F, причем
f ° h (и) = л ° F ° h (и) = л (и).
1.6. Подмногообразия
Часто дифференцируемые многообразия не задаются абст-
рактно, а лежат в других объемлющих многообразиях, напри-
мер в евклидовых пространствах, как сфера Sp в R"+l. Это мо-
жет быть существенно во многих вопросах. Рассмотрим диффе-
ренцируемые многообразия М, N размерностей п, k. Дифферен-
цируемое отображение f: М —> N называется погружением, или
иммерсией, если при всех р^М индуцированное отображение
f : р f (р) инъективно- Таким образом, f может быть погру-
жением лишь при n^.k. Дифференцируемое вложение М в N
есть погружение, гомеоморфно отображающее М на некоторое
подпространство N. Если М компактно („замкнуто" в старой терми-
нологии; иногда некомпактные многообразия не очень удачно на-
зывают также „открытыми"), то каждое инъективное погруже-
ние есть вложение. Отображение f: M-+N является диффеомор-
физмом тогда и только тогда, когда f есть сюръективное вложение,
как это вытекает из лемм 1 и 2 разд. 1.5.
Лемма 1
Усл. f: М -> N есть погружение (при этом, конечно, n^.k), р^М.
Утв. Существует такая окрестность U точки р и такая карта у
на N с областью определения Vsf (р), что
(1) yn+l (q) — ... = yk(q) = O для всех q^V f) f (и),
(2) f |y есть дифференцируемое вложение.
Таким образом, каждое погружение локально является диф-
ференцируемым вложением. Если М — топологическое многооб-
разие, М—дифференцируемое многообразие и f: M-+N, то су-
ществует, как это следует из леммы 1, не более чем одна диф-
ференциальная структура на М, для которой f является
погружением.
Док. Пусть i: Rra —> Rft — инъекция и л: Rft —> Rn — проекция,
определенные в лемме 2 разд. 1.5. Построим карту х, определен-
ную в окрестности р, на М, такую, что х(р) = 0, и карту у,
определенную в окрестности f (р), на N, такую, что у ° f (р) = 0.
Тогда y°f°x~' имеет в точке 0 максимальный ранг ( = п); в са-
мом деле, отображение^ox-1)M(p) = ^f(p)°ох-\р) инъективно,
поскольку f инъективно и х*р, y*f{p) — изоморфизмы векторных
1.6. Подмногообразия
23
пространств. Согласно лемме 2 (а) разд. 1.5, существует такая
карта g на R\ определенная в окрестности 0, и такая окрест-
ность W точки OeR", что g ° у °f ° х~г \w = i\w. Положим U =
= х~‘ (W). Карта у = g°y определена в окрестности V = f ° х"1 (W)
точки f(p)eR?. Очевидно, выполнено (1), а (2) справедливо, так
как f \и — У~1 °1 ° х \и-
Если множество точек М содержится во множестве точек N
и включение i: M<^N есть дифференцируемое вложение, то М
называется дифференцируемым подмногообразием N. (Л4 снабжено
при этом топологией, индуцированной N. Часто отказываются
от требования, чтобы подмногообразие имело индуцированную
топологию, 'требуя лишь, чтобы включение было погружением,
ср. замечание (iv) разд. 1.7.)
Если М — подмногообразие N, то для каждой точки реЛ4 суще-
ствует карта у на N с областью определения У^эр, такая, что
/+1(<?) = ... = /(<?) = О для всех fb'W. (3)
Это утверждение следует из (1). Так как М снабжено индуциро-
ванной из N топологией, то существует такая окрестность U
точки р в М и такая окрестность V точки р в N, что U = V П М.
Пусть М — дифференцируемое подмногообразие N, Q — ешр
одно дифференцируемое многообразие и f: Af—>Q —дифференци-
руемое отображение. Тогда f \м дифференцируемо по отношению
к дифференциальной структуре М, так как для вложения i: M—>N
имеем f \м = f ° i.
Пусть f: M->N — дифференцируемое вложение. Множество
f (Л4), как подпространство N, является гомеоморфным образом М,
т. е. топологическим многообразием. Обозначим через Й диффе-
ренциальную структуру на М, тогда хеЙ) есть диф-
ференциальная структура на f(M) и легко видеть, что f(M) ста-
новится при этом дифференцируемым подмногообразием N.
Пусть f: M->N — дифференцируемое отображение. Точка р^М
называется регулярной точкой f, если f*p: Mp-i-N^ сюръективно,
в противном случае р называется критической точкой f. Отобра-
жение f может иметь регулярные точки лишь при ri^k. Далее,
q е N называется регулярным значением f, если каждая точка
p^f~1({q}) является регулярной точкой f, в противном случае q
называется критическим значением f. Ясно, что каждая точка
q £= N, не принадлежащая f (Л4), является регулярным значением f
(так как ее прообраз пуст).
Как мы видели в (3), каждое подмногообразие локально мо-
жет быть представлено как множество нулевых точек некоторого
отображения в евклидово пространство. Обратно, прообраз точки
(подмногообразия) при дифференцируемом отображении есть снова
24
§ 1. Дифференцируемые многообразия и отображения
дифференцируемое подмногообразие, если наложить на отображе-
ния надлежащие требования регулярности. Заметим, что именно
прообразы, а не образы дифференцируемых многообразий оказы-
ваются в предположениях регулярности опять дифференцируемыми
многообразиями. Это не только важно для построения новых
многообразий, но и часто облегчает доказательство того, что из-
вестные пространства имеют структуру многообразия. Для этой
цели служит
Лемма 2
Усл. f'. М -> N — дифференцируемое отображение', dim М = п,
dim N = k и q (Af) есть регулярное значение f (так что
n~^k).
Утв. Множество f~l (q) с индуцированной из М топологией
есть топологическое многообразие А размерности n — k.
Далее, на А существует однозначно определенная диф-
ференциальная структура, относительно которой А оказы-
вается дифференцируемым подмногообразием М.
Док. Возьмем карту у с областью определения V э q, такую,
что у (q) = 0. Для произвольной точки р^А = f~1(q) возьмем карту х
с областью определения U э р, такую, что х(р) = 0. Отображе-
ние у ° f ° г' имеет в точке 0 максимальный ранг ( = &); в самом
деле, отображение (у of о х~\х(р) = ytf (р} °ftp о х~\р) сюръективно,
так как f*p сюръективно и xtp, ytf } — изоморфизмы векторных
пространств. Рассмотрим естественные проекции и инъекции
х Rn-k
Rfe Rn-k
заданные формулами
Л] (и, ..., ип) = (и, ..., uk\ л2(и, . . ., ип) = (uk+\ .. ., ип\
i2(«, ..., un-k) = (Q, ..., 0, и\ ..., un~k).
Согласно лемме 2(b) разд.1.5, существует такая карта h на Rn
с областью определения IFsO, что
У0 f 0 х 1 ° h = л । 1н/.
Выберем окрестность W cz л2 (W) точки 0 е тогда
У0 f 0 х 1 ° h ° i2= л) ° i2 jg, = 0 Ig,.
Отображение a: W -> M, заданное формулой z = x-1 Д ° t2
отображает W гомеоморфно на некоторую открытую окрестность
1.6. Подмногообразия
25
точки р в А. Множество А с индуцированной топологией есть,
таким образом, топологическое многообразие размерности n — k.
Если построить подобную параметризацию z в окрестности
каждой точки р^А, то карты г-1 порождают на А дифферен-
циальную структуру. При этом включение i: AczM становится
дифференцируемым вложением.
Замечания
(i) Лемниската с: R->R2, определенная формулой с(/) =
= (sin t, sin 2/), есть погружение, равно как и с|(о,гл). Оба эти
отображения не являются вложениями, хотя с|(о, эд инъективно;
в противоположность этому с |(о, л) есть вложение.
(ii) Каждое открытое подмножество GczM с индуцированной
естественным образом дифференциальной структурой есть (см. за-
мечание (i) разд. 1.1) дифференцируемое подмногообразие М. При
n^k отображение (и1, ..., ип)->(«*, ..., ип, 0, ..., 0) есть диф-
ференцируемое вложение Rre—>Rfe.
(iii) Сфера Sp есть дифференцируемое подмногообразие R'l+1,
так как 0 есть регулярное значение функции f: R"+1 —>R, задан-
ной формулой f(a) = a2i+ ... +a„+i — р2, и Sp = f-1(O). Покажите,
что полученная таким образом дифференциальная структура сов-
падает с ранее определенной. Покажите, что замечание (iii)
разд. 1.2 тривиально следует из результатов этого раздела.
(iv) Пусть f: М -+N — дифференцируемое отображение и Q —
дифференцируемое подмногообразие N. Если i: QczN — включе-
ние, то можно отождествить касательное пространство Qq(q<=Q)
с линейным подпространством Факторпространство
NqIQq называется трансверсальным к Q пространством в точке q‘,
естественная проекция обозначается nq: Nq->Nq/Qq. Отображение f
называется трансверсально регулярным к Q в точке pef-1(Q),
если продолженное отображение «f(P)°f»p (в трансверсальное к Q
пространство в точке f(p)) сюръективно или, что то же самое,
?*рМр и Qf(P) вместе порождают Nf(P).
Докажите следующее обобщение леммы 2:
Если f трансверсально регулярно к Q во всех точках p^.f~l (Q),
то f~l (Q) есть дифференцируемое подмногообразие М той ,же
коразмерности, что Q в N, при f~l (Q)=A=0.
(v) Пусть М, N — дифференцируемые многообразия, А — диф-
ференцируемое подмногообразие М. Можно показать, что отоб-
ражение f: A-+N в том и только том случае дифференцируемо
по отношению к дифференциальной структуре А, когда f диф-
ференцируемо в смысле разд. 1.2, т. е. может быть продолжено
до дифференцируемого отображения некоторого, содержащего А,
открытого множества G (если при этом А замкнуто в М, то
можно взять в качестве G все М). Докажите это утверждение
26
§ 1. Дифференцируемые многообразия и отображения
в случае М = R, пользуясь (3) и надлежащим разложением еди-
ницы (см. разд. 8.3). Вместо определения, данного в разд. 1.2,
можно использовать также следующее, более общее:
f называется дифференцируемым на произвольном множестве
А сд М, если для каждой точки р е А существует такая окрест-
ность U и такая функция gegG, что g = f |цПЛ.
Оба определения равносильны в случае, когда А— дифферен-
цируемое подмногообразие М. Заметим еще, что производные
функций из в направлениях, касательных к А, не зависят от
способа продолжения на открытые в М множества.
Рассмотрим в заключение следующий случай. Пусть подмно-
жество GcR" содержится и открыто в полупространстве
R" = {р: р eR’, р„>0}.
Легко видеть, что отображение G—>Rft дифференцируемо в смысле
разд. 1.2, если все частные производные его компонент сущест-
вуют и непрерывны в G, причем в граничных точках (рп = 0)। надо
брать всегда правосторонние производные по рп. При этом мы
получаем также критерий дифференцируемости отображения
G-+N. Топологическое пространство называется га-мерным диф-
ференцируемым многообразием W с краем dW, если оно локально
гомеоморфно открытому подмножеству R" вместе с заданным на
нем полным атласом, карты которого согласованы друг с другом.
Край dW есть однозначно, определенное (га—1)-мерное дифферен-
цируемое многообразие без края, точки которого переводятся
картами в точки Rn~I = dR". Если теперь Л — подмногообразие
с краем в М той же размерности, что и М, то каждое дифферен-
цируемое отображение f: A-+N можно продолжить на некоторое
открытое в М множество, и дифференцирование по локальным
координатам в точках А не зависит от способа продолжения.
Если А — множество более общего вида, то вопрос о диф-
ференцировании в граничных точках должен рассматриваться
в каждом случае особо.
(vi) Уитни доказал в 1936 г.,, что каждое га-мерное дифференци-
руемое многообразие может быть вложено в R2n+1 как замкнутое
подмногообразие. Тем самым класс „абстрактных" дифференцируе-
мых многообразий оказывается не шире класса дифференцируе-
мых подмногообразий евклидовых пространств, и можно было бы
ограничиться такими подмногообразиями. Это, однако, нецелесо-
образно. Многие внутренние задачи о многообразиях, т. е. та-
кие, для формулировки которых не требуется объемлющее про-
странство, проще и лучше решаются внутренними методами, хотя
иногда вложимость в другое многообразие может при этом
оказаться полезной. Обратно, при решении относительных задач,
в которых речь идет об отношениях между многообразием и
1.7. Произведение многообразий
27
подмногообразием, иногда лучше забыть про объемлющее много-
образие и рассматривать подмногообразие как абстрактное много-
образие.
1.7. Произведение многообразий
Пусть М, N — дифференцируемые многообразия размерно-
стей n, k. Определим на прямом произведении пространств М X N
дифференциальную структуру. Для этого рассмотрим сначала
для карт х на М и у на N с областями определения U cz М и
V ст N соответственно отображение х X у: U XV -> Rn+fe, задан-
ное формулой (хХу)(р, q) = (x(p), y(q)). Ясно, что х X у есть
гомеоморфизм U X V на х ((7) X y(V) ст Rn+ft. Для двух карт х'
и у' на М и N соответственно имеем (х' X у') ° (х X //)"' = (х' ° х~1,
у' ° у-1), следовательно, замена карт дифференцируема. Если
21 и 23 — дифференцируемые атласы на М, N соответственно, то
21 X 23 = {х X у. х е 21, у 23} есть дифференцируемый атласна
М X N", таким образом, М X .V становится дифференцируемым
многообразием, которое называется произведением многообразий
М и N. При этом dim (М X N) — dim М 4- dim N.
Естественные проекции Л] и л2 на оба множителя
М X W
А1'
М N
определяются формулами л, (р, q) = р, л2(р, q} = q. Проекции ль л2
дифференцируемы с максимальными рангами п, k соответственно.
В самом деле, для карт х на М и у на N отображения
х о Л) ° (х X у)~х, у°щ°(хХу)~1 являются естественными проек-
циями Rn+fe на Rn, Rfe соответственно, которые дифференцируемы
с максимальным рангом; остается применить (4) разд. 1.4 и
простые соображения о рангах линейных отображений (х, у и
(х X уУ"1 — диффеоморфизмы).
Для р е М, q e.N определены инъекции iq, jp
MXN
Z \
/4 'A
M N
по формулам Z9(p') = (p', <7) (p'<^M), /p(/) = (p, q') N).
Инъекции i4, jp дифференцируемы с максимальным рангом и тем
Самум являются дифференцируемыми вложениями. В самом
28
$ 1. Дифференцируемые многообразия и отображения
деле, для карт х, у на М, N отображения (х X у) ° iq ° х~',
(хХ у)° ip ° у~1 суть естественные инъекции R", в Rn+k и, следо-
вательно, дифференцируемы с максимальным рангом; таким обра-
зом, утверждение следует из (4) разд. 1.4 и простых соображе-
ний о рангах линейных отображений. Образы iq(M), jp(N) суть
замкнутые дифференцируемые подмногообразия М X У.
Замечания
(i) Цилиндр 5га-1хКдиффеоморфен Snc выколотыми полюсами.
Укажите явно этот диффеоморфизм, а также диффеоморфизм
цилиндра и R"\{0}.
(ii) Покажите, что дифференцируемое отображение f: M-+N
индуцирует дифференцируемое вложение F: M-+M.XN по фор-
муле F(p) = (p, Дифференцируемое подмногообразие F(M)
в М X У называется графиком f. Вложение F трансверсально
регулярно к каждому „слою" jp (У) с: М X N во всех точках р е М
(см. замечание (iv) разд. 1.6). Таким образом, график дифферен-
цируемого многообразия оказывается „гладким" (этот термин
часто применяют и к дифференцируемым отображениям).
Напротив, образ f(M) в N может иметь „вершины", „ребра"
и гораздо более сложные особенности, если f не дифференцируема
с максимальным рангом. Образ погружения лишь локально „гла-
док", а в целом же может иметь „самопересечения". Приведите
соответствующие примеры.
(iii) Объект, состоящий из дифференцируемого многообразия
и заданной на нем групповой структуры, называется группой Ли,
если групповая операция совместима с дифференциальной струк-
турой, т. е. отображение р: GxG —>G, заданное формулой
H(gi> ЙГг) “ дифференцируемо. Например, R" есть абелева
группа Ли с векторным сложением. Представьте общую линей-
ную группу GL (п, R) всех автоморфизмов векторного простран-
ства R" каноническим образом в виде открытого подмножества R"
и получите отсюда, что GL(«, R) есть «2-мерная неабелева
группа Ли. Покажите, что S‘ciR2 = C (здесь С — поле комплекс-
ных чисел и равенство означает изоморфизм векторных R-npo-
странств) есть группа Ли относительно умножения комплексных
чисел, по модулю равных 1, и что Тп = S1 X ... X S1 (« множи-
телей) есть компактная абелева «-мерная группа Ли (эта группа
называется «-мерным тором). Укажите каноническое вложение
Тп в R2".
(iv) Покажите, что для любого asx отображение /: R->7'2,
заданное формулой f(/) = (e/<, eiat}, есть погружение, но не вло-
жение; f инъективно тогда и только тогда, когда а иррационально;
в этом случае образ f плотен в Т2,
1.7. Произведение многообразий
29
Если а = p/q и р, —взаимно простые целые числа, то f „пе-
риодично" и образ f есть компактное дифференцируемое подмно-
гообразие Т2, называемое торовым узлом типа (р, q). Каков его
вид и что означают числа р, q?
(v) Важным обобщением произведения многообразий являются
дифференцируемые расслоения, имеющие лишь локально струк-
туру произведения.
, Пусть Р, М, N — дифференцируемые многообразия. Сюръек-
тивное дифференцируемое (следовательно, с максимальным ран-
гом) отображение л: Р—> М называется дифференцируемым рас-
слоением расслоенного многообразия Р над базой М со слоем N,
если для каждой точки р е М существует такая окрестность U
я такой диффеоморфизм х: XN („карта расслоения"
или „локальная тривиализация"), который диффеоморфно отобра-
жает каждый слой л-1 (<?) на {q} X N (q е U). Обозначая естест-
венную проекцию U X N на U через лу, имеем л |я-> (£/) = ° х;
так как х — диффеоморфизм, а лу дифференцируемо с максималь-
ным рангом, то л дифференцируемо с максимальным рангом на
я-1^) и, следовательно, во всех точках Р. Если существует
карта расслоения с U — М, то расслоение называется тривиаль-
ным, Р диффеоморфно М X N, а л при этом диффеоморфизме
переходит в естественную проекцию на М. В общем случае,
однако, расслоение лишь локально тривиально, а в целом „закру-
чено". Очевидно, dim Р = dim М + dim N.
Пусть 91 —атлас карт расслоения их, z/^9l имеют областями
определения л-1 ((7), n_1(lz). Тогда для каждого р U П V опре-
делен диффеоморфизм y°x~l l{p}XJV и, значит, диффеоморфизм
слоя N на себя. Всевозможные такие диффеоморфизмы поро-
ждают некоторую подгруппу группы Diff N всех диффеомор-
физмов слоя N на себя. Объект, состоящий из дифференцируе-
мого расслоения л и группы G, называется расслоением со струк-
турной группой G cz Diff N, если существуют атласы 91 расслое-
ния л, для которых Gai есть подгруппа G; такие атласы назы-
ваются допустимыми по отношению к структурной группе. Чем
„проще" может быть выбрана структурная группа G, тем „проше"
устроено расслоение; в частности, если можно в качестве G вы-
брать группу из одного элемента id, мы возвращаемся к три-
виальному расслоению.
В дифференциальной геометрии структурной группой обычно
является группа Ли (чаще всего подгруппа общей линейной
группы), а описанные выше отображения U f) V -> G диффе-
ренцируемы. В качестве типичного примера можно привести
Касательное расслоение «-мерного дифференцируемого много-
образия (см. разд. 1.10) с канонической структурной группой
GL («, R).
30
§ 1. Дифференцируемые многообразия и отображения
Дифференцируемым сечением дифференцируемого расслоения л
называется такое дифференцируемое отображение s: М->Р, что
л о з — id.
Пусть S2 cz R3 — стандартная сфера, л: S2 X S2-> S2—естествен-
ная проекция на первый множитель. Рассмотрим функ-
цию f: R3xR3-*R, заданную формулой f(pb р2, р3, qx, q2, q3) =
= РД1 + Р2Я2 + РзУз, где (Pi> Pi, Рз) —точка первого множителя,
(<7i, q2, fo) — второго. Покажите, что Р = (f |s2х s!)“1 (0) есть диф-
ференцируемое подмногообразие S2 х S2, а л |Р: Р—>82 —диффе-
ренцируемое расслоение.
Покажите, что из существования сечения л |Р вытекает воз-
можность непрерывной деформации тождественного отображения
id: S2—>82 в отображение (р,, р2, р3)->(— Р\, — р2, — р3). Так как
по классической теореме топологии такая деформация невоз-
можна, расслоение л|Р не имеет сечения.
Если G — группа Ли и Н — замкнутая подгруппа Ли, то можно
доказать, что множество левых классов смежности G/Н с фак-
тортопологией, индуцированной G, естественным образом полу-
чает структуру дифференцируемого многообразия, так что проек-
ция л: G->G/H есть дифференцируемое расслоение со слоем Н
(и структурной группой Н). База GjH называется однородным
пространством (см. замечания (iv) и (v) разд. 7.5).
Ввиду важности введенных здесь понятий приведем еще два
примера дифференцируемых расслоений, первый из которых
позволяет получить еще один тип стандартных пространств гео-
метрии — проективные пространства. Пусть k означает одно из
трех тел: R (действительные числа), С (комплексные числа) и
Н (кватернионы), R cz С cz Н, a kn = Rre, О'1, Н" — соответствующие
векторные пространства над k. Тогда имеем канонические изо-
морфизмы С" = R2,!, iT = С'2га = R4,! над R; например, в первом
случае (щ, ..., ип) -> (Re «b ..., Re«„, Im нь ..., Im н„), где еС,
i=l.....п. Условие „и ~ v тогда и только тогда, когда суще-
ствует такое /. е/г, что u = Kv“ определяет отношение эквивалент-
ности на ^+1\{0}. Классы эквивалентности суть одномерные
линейные подпространства над k; множество их Pn(k) является
образом факторизации л: kn+' \ {0}—> Рп (k) и тем самым полу-
чаем фактортопологию. Как мы сейчас покажем, Рп (k) обладает
естественной структурой дифференцируемого многообразия раз-
мерности п, 2п, 4п в случаях & = R, С, Н; Pn(k) называется
n-мерным действительным, комплексным или кватернионным
проективным пространством соответственно.
Рассмотрим, например, случай k — C. Представим точку Р"(С)
одним из ее прообразов и = (и0..ип) s Cn+1 \ {0} при отобра-
жении л, тогда по крайней мере одно и2 Ф 0, Отображение
1.7. Произведение многообразий
31
(ц0> vn) ->-^-(«0, • •> •••> ап) (л означает пропуск vt)
индуцирует отображение некоторой окрестности л (/./) относи-
тельно Р"(С) в векторное пространство Сп, которое можно при-
нять за карту на РП(С), определенную в окрестности л (и). Все
такие карты, очевидно, определяют дифференцируемый атлас и
тем самым дифференциальную структуру на РП(С). Установите
диффеоморфизмы P'(R) = SI, Pl (С) = S2, Р’(Н)^84.
Заметим, что при доказательстве транзитивности отношения ~
используется ассоциативность k. Алгебра октав Кели Са не ассо-
циативна, поэтому из нее нельзя получить проективных про-
странств описанным выше способом. Другим путем, однако,
удается определить 16-мерное дифференцируемое многообразие
Р2(Са)— плоскость Кели. „Прямая Кели“ Р’(Са) есть S8.
Проективные пространства (или, более общим образом, грас-
мановы многообразия линейных подпространств kn+l более высо-
ких размерностей) представляют собой также примеры однород-
ных пространств, на чем, однако, мы здесь не будем останавли-
ваться.
Покажите, что ограничение проекции л индуцирует на любой
сфере в kn+l (рассматриваемом как векторное R-пространство)
дифференцируемое расслоение: л: Sn -> Pn (R), л: S2re+I -> Pn (С),
л: s4re+3_>pn(Н), со слоями соответственно 8°, S1, S3 (расслое-
ния Хопфа). Отсюда следует также, что проективные простран-
ства компактны, как образы компактных пространств при непре-
рывных отображениях. Пространства Pn(k) связны, а при£ = С, Н
также односвязны. Все расслоения л не тривиальны, в противном
случае при & = R сфера Sn не была бы связна, а при k = C сфера
82ге+1(/г^1) не была бы односвязна. В случае А> = Н доказатель-
ство более сложно.
Если слой N дифференцируемого расслоения л: Р-^-М есть
дискретное 0-мерное многообразие (состоящее не более чем из
счетного множества точек, поскольку все многообразия имеют
счетную базу), то л называется дифференцируемым накрытием М
над N, а число точек в слое называется „числом листов" накры-
тия. Например, л: Sn—>Pn(R) есть двулистное накрытие;
л: R"—>7'", заданное формулой л(^> ..., 7„) = (е£\ ..., е£Ц, есть
бёсконечнолистное дифференцируемое накрытие над «-мерным
тором. Оба накрытия универсальны, т. е. накрывающие простран-
ства 8,1(п>1) и R" односвязны.
Пусть f; М -> N — погружение, dim М = dim N, М связно и
компактно, N связно. Покажите, что f(M) замкнуто и открыто
в N; выведите отсюда, что f сюръективно. Проверьте, что f есть
конечнолистное дифференцируемое накрытие. Пример 8"—>P"(R)
32
$ 1. Дифференцируемые многообразия и отображения
показывает, что из предыдущих условий не вытекает инъектив-
ность f. Если, однако, добавочно потребовать, чтобы N было
односвязно, то f становится диффеоморфизмом. Если же отказаться
от условия компактности М, сохранив все остальные условия, то
легко построить пример, когда f не сюръективно и не инъективно,
даже при односвязном N.
Пусть теперь Q — квадрат в R2, заданный неравенствами
0<u’, и2<1, с дифференциальной структурой, индуцированной
канонической дифференциальной структурой R2. Постройте сюръек-
тивное, но не инъективное погружение f: Q—>Q.
Покажите, что если f = id на множестве ^(w1, н2) е
eQ : |н'- j|>j, | н2 — ± то / оказывается диффеомор-
физмом (для этого постройте вложение <р: Q->S2 и продолжите
<ро/оф-' до отображения F: S2—><S2).
1.8. Векторные поля
Пусть М — дифференцируемое многообразие, G — открытое под-
множество М. Дифференцируемым векторным полем на G назы-
вается такое отображение X: G—>(jMp, что Хр = X (р) е= Мр для
ре-0
всех р и для всех fe§G функция X/, заданная формулой
(Л)(р) = хр(/), (1)
дифференцируема.
Обозначим через 23G множество всех дифференцируемых век-
торных полей на G. В 23G можно ввести сложение и умножение
на функции из §G, полагая (X + Y)p = Хр + Ур и (фХ)р = ф (р) Хр
для всех pe^G, фСВ’С. Множество 23G превращается при этом
в SG-модуль, или в векторное R-пространство, если брать в ка-
честве множителей постоянные функции. Векторное поле Xe23G,
как видно из его определения, порождает R-линейное отображе-
ние §G ->§G по формуле /-> Xf. Для функций f, g в силу (2)
разд. 1.3 имеем „правило дифференцирования произведения11
X(fg) = (Xf)g + f(Xg). (2)
Для карты х с областью определения U построим п диф-
ференцируемых векторных полей —на U по формуле
7.8. Векторные поля
33
Поле ——т называется i-м базисным полем карты х. Каждое век-
дх1
торное поле X^%$U, согласно (3) разд. 1.3, можно представить
в виде
(3)
где <pz = Xxl^$G. Таким образом, векторные поля —т (г = 1....п)
дх1
составляют базис ^(/-модуля 23С/.
Лемма
Усл. W-k-мерное дифференцируемое многообразие; М — п-мерное
дифференцируемое подмногообразие N; X — векторное поле
на М.
Утв. Существует такое открытое подмножество G сп А\ содер-
жащее М, и такое векторное поле X е 23 G, что для всех
реМ и f выполняется Xpf — Xp(f°i), где i: Л4->ДГ—
включение. Если М замкнуто в N, то в качестве G можно
взять N.
X называется продолжением векторного поля X с М на G и
соответственно на N.
Док. Пусть р <г= М. Построим на W карту у с областью опре-
деления У эр и окрестность U точки р относительно М, как
в лемме 1 разд. 1.6. Обозначим л': Rfe —>R" композицию ото-
бражений I, л (см. лемму 2 разд. 1.5). Тогда в R" существует
такая окрестность U точки 0, что [у~1 ° л-1 (С/)] П М cz U. Продол-
жим векторное поле X на окрестность Wp = у~1 ° л-1 (U) по формуле
XWp(g) = (y~lto°Iv0^ ОУ,Ч'°ЧЧ'ХЧ„ где v — y(q), w = n'(a), q' = y-\w)
Окрестности Wp, построенные для всех точек р э М, соста-
вляют открытое покрытие некоторого открытого подмножества
G э М. Построим соответствующее этому покрытию разложение
единицы {<рр}, согласно теореме разд. 8.3.
Тогда
X — 2 4>pXwp
р И
есть искомое продолжение X на G.
Если М замкнуто в AR то построим для каждой точки
рв= N\M окрестность 1Ур, не пересекающую М, положим XWp = О
в такой окрестности и повторим предыдущее построение для
полученного покрытия А\
34
§ 1. Дифференцируемые многообразия и отображения
Замечания
,.ч df д f d2f д [ д Л
(1) Часто пишут вместо —г/ и —т-~ вместо —- —Ч
дх1 дх1 dyk дх1 дук \дх‘ /
(где х, у — карты с областью определения U и f eg[/). Приве-
d2f d2f
дите пример, показывающий, что ——- и —, вообще го-
дуадх1 дх1 дук
d2f d2f
воря, различны. Однако —-2-т =—Вычислите вторые про-
дхк дх1 дх1 дхя
d2f d2f
изводные g~T'^r и -jx~^ 2 функции f из замечания (iii) в разд. 1.2
на Sp относительно карты х, введенной в замечании -(iii) разд. 1.1,
в области Sp без северного полюса. Отметим, что базисные поля
карты id в R" мы обозначаем через Dh а в случае R —симво-
лом D.
Для обозначения сумм мы придерживаемся, если это не
вызывает затруднений, обычного правила: если базисные векторы
имеют нижний индекс, как это принято, например, для касатель-
ных векторов и векторных полей („контравариантных", а в сов-
ременной функторной трактовке „ковариантных" объектов), то
коэффициенты получают верхний индекс; в противном случае
(для форм и других „ковариантных", а по существу „контрава-
риантных" объектов) поступаем наоборот. Для наглядности мы
почти всегда суммируем по одному верхнему и одному нижнему
индексу, при этом, однако, мы не пользуемся так называемым
„правилом суммирования Эйнштейна", требующим суммирования
без употребления знака суммы во всех случаях, где ймеется пара
одноименных индексов в разном положении. Такое правило вряд
ли необходимо в инвариантном исчислении.
(ii) Векторные поля в старой терминологии назывались „инфи-
нитезимальными преобразованиями", смысл этого термина выяс-
няется в разд. 8.4 —8.6.
Излагаемая в этих разделах связь между векторными полями
(„полями направлений", „полями скоростей") и системами обык-
новенных дифференциальных уравнений („динамическими систе-
мами") имеет основополагающее значение для дифференциальной
геометрии, и мы рекомендуем читателю уже теперь ознакомиться
с этими разделами, чтобы понять наглядную и логическую сто-
роны вопроса.
(iii) Дифференцированием на R-алгебре называется эндомор-
физм ее векторного пространства, удовлетворяющий по отношению
к мультипликативной структуре условию (2). Все дифференциро-
вания, очевидно, также образуют векторное R-пространство.
Покажите, что дифференцируемые векторные поля на G допу-
скают следующую алгебраическую характеризацию: векторное
R-пространство 33G всех дифференцируемых векторных полей
1.9. Произведение Ли векторных полей
35
на G изоморфно пространству всех дифференцирований на
R-алгебре дифференцируемых функций на G.
(iv) Лемма этого раздела о продолжении векторных полей
может быть следующим образом обобщена. Пусть 2V —дифферен-
цируемое многообразие; М —дифференцируемое подмногообра-
зие 2V; X: М -> TN —дифференцируемое отображение1). Покажите,
видоизменив доказательство леммы, что существуют открытое
подмножество G с ЛГ, содержащее М, и дифференцируемое век-
торное поле X: G-^-TG, для которых X |л = X. Покажите, что
если М замкнуто в ДГ, то в качестве G можно взять ЛГ.
(v) Найдите интегральные пути (см. 8.5) линейного векторного
поля X на R2, заданного формулой
Хи = u2Dt \u-u'D2\u.
Векторное поле полно и порождает однопараметрическую группу
вращений (см. приложение).
/ cos/ sin / \
. , , )•id.
\ — sin/ cos//
1.9. Произведение Ли векторных полей
Произведение (или скобка) Ли на векторном R-пространстве Е
есть отображение [, ]: Е X Е -+Е, обладающее следующими свой-
ствами:
[аХ + 0Х, Г] = а [X, Г] + р [X, Г], (1)
[X, аУ + рГ] = а[Х, И + Р1Х, И, (2)
[X, Г] = - [Г, X], (3)
[X, [У, Z] ] + [Z, [X, У] ] + [У, [Z, X] ] == о, (4)
где X, X, У, У, Z е= £ и а, р s R. Согласно (1) и (2), отображение [, ]
билинейно, а согласно (3), — антикоммутативно, причем (2), оче-
видно, вытекает из (1) и (3). Циклическое соотношение (4) назы-
вается тождеством Якоби. Объект, состоящий из векторного
R-пространства и заданного на нем произведения Ли, называется
действительной алгеброй Ли. Например, векторное (внешнее) про-
изведение на R3 есть произведение Ли, превращающее R3 в алге-
бру Ли.
Пусть М — дифференцируемое многообразие, a G — открытое
подмножество М. Зафиксировав точку pe=G, определим для
векторных полей X, У е 23G отображение ХРУ: gpG-*R по фор-
муле (ХРУ)(Ц = Хр(У/). Легко проверить, что ХрУ — УрХ есть ка-
ртельный вектор к М в точке р, хотя ХРУ, вообще говоря, не
*) Относительно определения касательного расслоения TN см. разд. 1.10.—
Прим, перев.
36 1. Дифференцируемые многообразия и отображения
является касательным вектором. Построим по заданным X, Y е 23G
векторное поле [X, У] е 23G, полагая
[X, Y]p —XPY—YpX. (5)
Определение (5) превращает, как легко видеть, векторное
R-пространство 23G в действительную алгебру Ли. Записывая для
краткости X(Yf) в виде XYf, f egG, имеем
[X, У] f = XYf - YXf. (6)
Докажем следующие соотношения:
[X,fy] = f[X, У] + (Х/)У, (7)
[fX, У] = f [X, К] — (У/)Х. (8)
В самом деле, [X, ^У]ф = Х(/Уф)-/У(Хф) = (Х/')Уф + /Х(УФ) -
— fУ(Xqp) = (Xf) У<р + f[X, У]<р, где фё=§(?; (8) следует из (7)
ввиду антисимметричности произведения Ли.
Пусть х — карта с областью определения U. Рассмотрим базис-
ные поля Хг = -^7 е= 23С/, i=l, ..., п. Из соотношения Х(ф =
дх*
— ОДф° х-1)° х и перестановочности частных производных в Rn
следует
[Х^Х/НО. (9)
В частности, для канонических базисных полей в R" имеем
[О(-, £)/] = 0. Для векторных полей X, У е= 23С7 получаем пред-
ставления Х = 2ф% и У = 2‘ф/Х< с дифференцируемыми-функ-
циями ф' = Хх; и фг = Ухг. В силу (7), (8) и (9) отсюда вытекает
локальное представление
п п t i
[X, У] = £(Хф‘-Уф')Хг= £ (ф'^-ф'^х,. (10)
\ dxJ дх1 /
i = l г,/=1
Замечания
(i) Пусть G — открытое подмножество n-мерного дифференци-
руемого многообразия М; X, Уе=ЙЗС. Если [X, У] = 0, то говорят,
что векторные поля X, У коммутируют на G, так как в этом
случае операторы ХУ, УХ совпадают. Равенство [X, У] = 0 является
условием интегрируемости. Как можно показать, X и У комму-
тируют на G тогда и только тогда, когда для каждой точки
ре G существует окрестность 1/cG, где локальные потоки Ф, Д
(см. разд. 8.5) векторных полей X, У коммутируют для доста-
точно малых интервалов времени, т. е. [X, У] = 0 равносильно
^5°Ф| = Ф|°^. Геометрически это значит, что мы приходим в
одну и ту же точку, двигаясь из точки е U до каждому из следую-
1.9. Произведение Ли векторных полей
37
щих двух путей: (а) сначала вдоль „линии тока“ (интегральной
кривой) X в течение времени t до q3, затем по проходящему
через q3 интегральному пути Y в течение времени s; (b) сначала
вдоль интегрального пути Y в течение времени s до q2, затем по
проходящему через q2 интегральному пути X в течение времени t.
На этом простом обстоятельстве основана принадлежащая Фро-
бениусу теория инволютивных распределений, в которой, обобщая
понятие векторного поля (соответствующего обыкновенным диф-
ференциальным уравнениям), задают в каждой точке ре=Л1
6-мерное линейное подпространство касательного пространства Мр
(k<.n) и ищут интегральные многообразия, т. е. 6-мерные диффе-
ренцируемые подмногообразия М, касательные пространства кото-
рых во всех точках совпадают с заданными подпространствами.
Если потоки Ф, АУ коммутируют, можно построить с помощью фор-
мулы h (t, s) = 4fsoO? такое отображение окрестности Oe=R2 в М,
что в этой окрестности h*uD\ \и = Хл(и) и /i*u£)2 L = Yh <uj, т. e. ком-
мутирующие векторные поля локально . являются образами стан-
дартных полей Dt евклидова пространства при дифференцируемых
отображениях. Обратное также верно (см. замечание (iv)).
Пусть Х1( ..., Хп~дифференцируемые векторные поля на G,
произведения Ли которых попарно равны нулю, причем X, |р, ...
..., Хп\р линейно независимы, тогда, как можно показать,
в некоторой окрестности р существует карта, базисными вектор-
ными полями которой являются Хь ..., Хп. Это утверждение
можно рассматривать как обратное (9) в локальном смысле. Тем
самым мы получили геометрическую характеристику обращения
в нуль произведения Ли [X, У].
Само же произведение [X, У] можно истолковать как „произ-
водную Ли“ LXY векторного поля У относительно X, а именно,
чтобы вычислить [X, У] в точке ре= G, надо найти предел разност-
ного отношения в Мр, причем для сравнения векторов, лежащих
в разных касательных пространствах, их переносят в р с помощью
локального потока Ф/ векторного поля X, т. е.
rv Т/ll г VI 1- Ур~Ф/„Уоф_/(р)
[X, У] Ip = LXY | = lim-----------.
/->0 ‘
(ii) Постройте такое дифференцируемое векторное поле без
нулевых точек в некотором открытом подмножестве G с R2,
которое не может быть базисным полем никакой карты х: G—>R2
(это совсем легко сделать для неодносвязного G и несколько труд-
нее для односвязного).
Покажите, что для линейных векторных полей X, У на R2,
заданных формулами Хи = 2 Уи= 2 |в, спра-
38
§ 1. Дифференцируемые многообразия и отображения
п
ведливо разложение [X, Y]a = S y’fu'D. I , где у = [а, 0] = ав — 0а
есть коммутатор матриц а, 0. X, Y коммутируют одновременно
с матрицами а, 0.
(iii) Несколько слов по поводу замечания (iii) разд. 1.8. Диф-
ференцирования на некоторой алгебре образуют алгебру Ли,
если положить [X, Y] = XY — YX.
Действительная алгебра Ли 23G дифференцируемых векторных
полей на G канонически изоморфна алгебре Ли всех дифферен-
цирований на R-алгебре §G.
(iv) Дифференцируемое отображение f: M—>N, вообще говоря,
не индуцирует никакого отображения векторных полей
в векторные поля даже если f инъективно. Поля X е 23М
и У е 23IV называются f-связанными, если ftpXp = Y^ для всех
р е М. Покажите, что если Хг е 23Л-1 и 23 X f-связаны (1=1, 2),
то [Xi, Х2], [Уь Y2] также /-связаны. В частности, если Х1( Х2
коммутируют, то [Уь У2]°/ = 0.
Если / — диффеоморфизм, то получаем изоморфизм векторных
пространств /#: 23Л-1—>2W, где f#X есть однозначно определенное
в этом случае векторное поле, /-связанное с X е 23М. При этом
[/#Хр /#Х2] = /#[Х„ Х2], т. е. /# есть изоморфизм алгебр Ли.
Например, для карты х в М диффеоморфно отображающей
область своего определения U на х (U) с: R" имеем х, = D,° х =
дх'
д
= X#-----г о X.
* дх1
Пусть G —n-мерная группа Ли и Lh: G-~>G, /г eG —левый
сдвиг на G, определяемый по формуле Lhg = hg. Преобразова-
ние дифференцируемо, Le = id для единичного элемента ееб
и b-i
= Lhr0 Lb, таким образом, Lh — диффеоморфизм.
Векторное поле X е 23G называется левоинвариантным, если X
является Ал-связанным с самим собой для любого h^G, т. е.
Lh^X = X ° Lh. Покажите, что для v е Ge формула g->Xg = L&*v
определяет все левоинвариантные векторные поля X на G. Эти
векторные поля образуют действительную алгебру Ли fl, поскольку
произведение Ли двух левоинвариантных векторных полей есть
снова левоинвариантное векторное поле. Таким образом, в алгебре
Ли 23G всех векторных полей на группе Ли G выделяется «-мер-
ная подалгебра Ли левоинвариантных векторных полей, обычно
называемая просто алгеброй Ли группы G. Очень многие свой-
ства группы Ли можно описать с помощью алгебраических свойств
ее алгебры Ли. Постройте инвариантные векторные поля на абе-
левых группах R" и Тп. Их алгебры Ли абелевы (т. е. [,] = 0),
иначе говоря, они изоморфны R" с тривиальным произведением Ли.
1.10. Касательное расслоение многообразия
39
Алгебра Ли gl(n, R) общей линейной группы GL(n, R) изоморфна
алгебре Ли всех эндоморфизмов векторных пространств a:
с произведением Ли [а, 0] = а0 — 0а. Приведем в этой связи еще
©дин пример. Рассмотрим группу Ли H* = R4\{0} с кватернион-
ным умножением. Включение i: S3cH индуцирует на S3 умно-
жение кватернионов с единичным модулем, тем самым S3 пре-
вращается в группу Ли Spin(3), называемую трехмерной спинор-
ной группой.
Пусть еь е2, е3, е4 —обычный базис R-алгебры Н, е = е4 — еди-
ничный элемент Н’ и Н->НИ — канонический изоморфизм, для
которого /uez = DJu. Для аеН формула Yu = Iuua определяет
левоинвариантное векторное поле Y на Н*, причем Ye = Iea. Для
a — et получаем базис Yt левоинвариантных векторных полей,
описываемый формулами
У1 = h'Dj + н2£>2 + «3О3 + н4£)4, У2 = — u2Di + u'D2 + u4D3 — u3D4,
У3 = — m3D, — u4D2 + h‘D3 + u2D4, Y4 = — u4Dt + u3D2 — u2D3 + ulD4.
Произведения Ли базисных полей удовлетворяют равенствам
[У2, У3] = 2У4, [У3, У4] = 2У2, [У4, У2] = 2У3.
На S3 существуют векторные поля Х2, Х3, i-связанные
с У2, У3, У4. Поля Xt левоинвариантны и образуют базис алгебры Ли
группы S3, изоморфной введенной в начале этого раздела алгебре
Ли R3 с векторным произведением. Этот изоморфизм имеет вид
Xi->2eieR3.
1.10. Касательное расслоение дифференцируемого многообразия
Как мы виДели в разд. 1.3, дифференцируемое многообразие
может быть локально „линеаризовано", а именно каждой его
точке сопоставляется действительное векторное пространство —
касательное пространство в этой точке. Очень существенно, что
это сопоставление не произвольно, а зависит от точки „диффе-
ренцируемым" образом в том смысле, что множество всех каса-
тельных векторов может быть естественным образом снабжено
структурой дифференцируемого многообразия.
Касательное расслоение ТМ дифференцируемого многообра-
зия М есть 2и-мерное дифференцируемое многообразие, множество
точек которого есть объединение всех касательных векторов (J Мр,
р^М
а топология и дифференциальная структура вводятся описываемым
ниже способом.
40
§ I. Дифференцируемые многообразия и отображения
Для карты х на М с областью определения U построим ото-
бражение х: (J Л4р-> R" X R" по формуле
реу
х (о) = (х (р), V (х1), ..., V (хп)), (1)
где v е Мр; таким образом, х‘(у) = х'(р) и xn+l(v) = v (х1) при
i = 1, ..., п. Ясно, что х есть биективное отображение TU = (J Мр
p-^U
на x(U) X R". Назовем х картой расслоения ТМ, ассоциированной
с картой х. Если у —другая карта на М, с областью определе-
ния V, то для {а, Ь) е у (U f| У) X R" (см. (5) разд. 1.3) имеем
(п п \
X ° У"1 («), 2 -Jy И'
£дУ у-1 (а) У-‘(а) /
Таким образом, х°у-1 дифференцируемо и вследствие обра-
тимости является диффеоморфизмом. Поэтому можно ввести
в (J Мр (однозначно определенную) топологию, для которой карты
рам
расслоения х становятся гомеоморфизмами. По отношению к этой
топологии множество всех карт расслоения х составляет диффе-
ренцируемый атлас, задающий дифференциальную структуру
на ТМ.
Естественная проекция л: ТМ^-М, сопоставляющая каждому
касательному вектору к М его начальную точку, т. е.
л(о) = р для v е Мр, (3)
дифференцируема с максимальным рангом. В самом деле, для
карты х с областью определения U э р и ассоциированной карты
расслоения х на TU имеем
Л (о) =Х~1 ° Л] °х(о),
где v^TU, a nj —проекция R" X R" на первый множитель R".
Как видно из последнего равенства, л — открытое отображение,
так как Л[ открыто. Если р е М, то Мр = л-1 (р) называется
слоем ТМ над р. Поскольку каждый слой является п-мерным
действительным векторным пространством, точки ТМ можно
умножать на действительные числа, а в случае, если они при-
надлежат одному слою, также складывать. Для каждой точки
р е М слой Мр с канонической дифференциальной структурой
есть дифференцируемое подмногообразие ТМ; это можно устано-
вить непосредственно или с помощью леммы 2 разд. 1.6, так как р
есть регулярное значение проекции л. Касательное расслоение ТМ
называется тривиальным, если существует такой диффеоморфизм
1.10. Касательное расслоение многообразия
41
f: ГАТ-> Л1XRn („тривиализация"), который для любой точки р^М
изоморфно отображает слой Мр на р X Rrt. В общем случае ТМ
не тривиально.
Сечением ТМ над подмножеством А М называется отобра-
жение s: А-+ТМ, обладающее свойством
лоз = 1(1л. (4)
Сечения sb sk расслоения ТМ называются линейно неза-
висимыми, если для каждой точки ре= А векторы s^p), ..., sk(p)^
е Мр линейно независимы.
Нулевое сечение 0: М—>ТМ, заданное формулой 0(р) = 0р
(нуль Мр), есть дифференцируемое вложение М в ТМ.
Пусть G — открытое подмножество М, a X: G ->ТМ — некоторое
отображение. Как мы покажем, X является дифференцируемым
векторным полем тогда и только тогда, когда X — дифференци-
руемое сечение. Для этого достаточно рассмотреть случай, когда
G — область определения некоторой карты х. Каждое отображе-
ние X: G—>TM, удовлетворяющее условию л ° / = id0, записы-
вается в виде
п
(б)
р
где <рг (р) = X |р (х1). Пусть х — карта расслоения ТМ, ассоцииро-
ванная с х, тогда
х ° X ° х-1 = (х, <р’, ..., <рп) ° х-1. (6)
Если / — дифференцируемое сечение, то отсюда следует диф-
ференцируемость функций <рг и X<=23G в силу (5). Обратно,
если X есть дифференцируемое векторное поле, то X представимо
в виде (5) с <рг<=пб. Поэтому из (6) следует, что X: G—>TM —
дифференцируемое сечение.
Многообразие М называется параллелизуемым, если сущест-
вует п линейно независимых сечений ТМ над М, т. е. существуют
такие векторные поля /ь .... Хп е 23М („параллелизация"), что
для каждой точки р^М векторы Х{\ р, ..., Хп\р составляют
базис Мр. Если М параллелизуемо, то на М существует вектор-
ное поле без нулевых точек. Многообразие М параллелизуемо
тогда и только тогда, когда ТМ тривиально.
Пусть М, У —дифференцируемые многообразия размерностей п,
k; f: M-+N — дифференцируемое отображение. Тогда формула (1)
разд. 1.4 задает индуцированное отображение f,: TM—+TN,
а именно
№ =
(7)
42
§ 1. Дифференцируемые многообразия и отображения
где veTM, p = ti(v). При этом получается коммутативная диа-
грамма
л| |л, (8)
М —+ N
т. е. f ° л = л ° ft.
По определению f* |м = f , а это значит, что линейно на
каждом слое. Если дано еще одно дифференцируемое многообра-
зие Q размерности I и дифференцируемое отображение g: N->Q,
то в силу (4) разд. 1.4 имеем
(g ° f). = g.0 f(9)
Лемма
Усл. f: МN — дифференцируемое отображение.
Утв. TM^-TN дифференцируемо.
Док. Пусть U — область определения такой карты х на М, что
f (U) принадлежит области определения V некоторой карты у
на N. Обозначим через х, у ассоциированные карты расслоений.
В силу (2) разд. 1.4 имеем f,v = V v (у1 ° /) —т , где р = л(и),
дУ f(P)
a v^TU. Для заданных на TU функций фг (v) = v (у1 ° f) из (1)
следует
У °f. 1гц = {У0 f 0 л 1тщ <₽")•
Остается доказать, что <р‘ ^^TU. Это следует из более общего
утверждения: если gegt/, то отображение <р: TU—>R, заданное
формулой <p(v) = v (g), дифференцируемо. Чтобы доказать последнее
утверждение, заметим, что для (a, b)^x(U) X R" из (1) вытекает
п
Ф ° (a, b) = V Ь1 о х-1 (а).
дх1
1=1
Рассмотрим касательное расслоение произведения двух диф-
ференцируемых многообразий М и N. Пусть (р, g) е AfX/V. Есте-
ственные инъекции iq‘. М ->(Л4 X Af), jp'- N~>(MXN) индуцируют
линейные отображения Мр-^-(М XN)(P,Q), ]Рб Nq->(M X N\p,q)-
Так как Л] ° iq = id, л2° /p = id, имеем ni, °iq* = id, л^, <>/,» = id; сле-
довательно, iq*, jp* инъективны. Из соотношений л2 ° iq = q, Л] ° jp = р
следует, далее, что образы iq*{Mp), jP*(Nq) пересекаются лишь
по нулевому вектору. В самом деле, если бы эти подпростран-
ства имели общий вектор z, то было бы л1<аг = 0, л2*г = 0 и z
обращался бы в нуль на всех координатных функциях х1»Л],
у1 о л2 стандартной карты х X у, определенной в окрестности (р, q)
1.10. Касательное расслоение многообразия
43
(см. разд. 1.7), следовательно, было бы л1$г = 0, rt2*z = 0. Так как
dim М + dim N = dim (/И X N), формула
®(v, w) = iq*v + jptw
задает изоморфизм векторных R-пространств MpXNq->(MXN)(Pi q).
С помощью этого изоморфизма мы будем канонически отожде-
ствлять (М X N)(P,q) с MpXNq, записывая касательные векторы
к М X N в точке (р, q) в виде (и, а>), где v е Мр, w е Nq.
Замечания
(i) Если U — открытое подмножество параллелизуемого много-
образия, то ТU тривиально. 7Rn получает тривиализацию с по-
мощью канонического изоморфизма 7U: Rn->R2; именно, тривиа-
лизацией является TR" -> Rn X R”, где I {и, и) = (и, Iuv).
Можно также утверждать, что Rn параллелизуемо, поскольку
на R" существует п линейно независимых векторных полей Dt.
Более того, каждая группа Ли параллелизуема, так как базис
параллелизации можно составить из левоинвариантных полей.
Можно показать, что касательные расслоения четномерных
сфер S2n не тривиальны. Более того, на них не существует даже
векторного поля без нулевых точек. В самом деле, согласно одной
из старых теорем топологии, для существования такого вектор-
ного поля на компактном дифференцируемом многообразии М
необходимо и достаточно, чтобы эйлерова характеристика % (/И)
была равна нулю, в то время как %(32',) = 2. На S2fl~' при любом п
существует дифференцируемое векторное поле без нулевых точек,
например векторное поле X, с которым i-связано линейное век-
2п-1
торное поле 2 (— 0* и2п~1В1+1 |в на R2n, где i: S2n-1 с R2rt — вклю-
;=о
чение. Новый результат состоит в том, что единственные парал-
лелизуемые сферы суть S', S3, S7 (как мы видели, S1 и S3 есть
группы Ли; S7 не является группой Ли, но ее параллелизация
легко получается с помощью октав Кели). Из всех проективных
пространств в замечании (v) разд. 1.7, как можно доказать,
параллелизуемы только P3(R) и P7(R). Обычный метод
доказательства нетривиальности касательного расслоения состоит
в том, что каждому расслоению ставятся в соответствие алге-
браические инварианты („характеристические классы когомоло-
гий“), обращающиеся в нуль для тривиальных расслоений, а затем
доказывают, что в рассматриваемом случае эти инварианты от-
личны от нуля. Однако упомянутая только что теорема о сферах
требует более глубоких средств.
(ii) Для погружения f: М->Х индуцированное отображение
ft: TM->TN есть также погружение; если f — вложение, то и
— вложение.
44
§ 1. Дифференцируемые многообразия и отображения
Как было отмечено в замечании (vi) разд. 1.6 каждое диф-
ференцируемое многообразие диффеоморфно некоторому подмного-
образию евклидова пространства.
Пусть М — n-мерное дифференцируемое подмногообразие R&
и i: М cz Rfe — включение. Опишите образ i„: 7’S1 —> T’R2 = R4, где
i: S1—> R2 — естественное включение. В общем случае назовем х-1
(или, что то же самое, z = i°x-1) локальной параметризацией М,
если х есть карта на М, определенная в окрестности р. Тогда
(см. разд. 1.4) векторы-столбцы (Djz4p)(=1.k, где
порождают n-мерное линейное подпространство Ер az Rfe, которое
при каноническом изоморфизме 1р переходит в Мр. В старой диф-
ференциальной геометрии изучали главным образом Ер или аф-
финное подпространство p + Ep<=Rk, которые и рассматривались
в качестве касательного пространства к М в точке р; р + Ер как
подмногообразие Rfe имеет в р то же абстрактное касательное
пространство, что и М, т. е. „касается*1 М в точке р.
Для абстрактных многообразий такая трактовка невозможна,
так как в них нет линейной структуры и, тем самым, канониче-
ского параллельного сдвига и отождествления. Заметим также,
что линейные или аффинные подпространства Ер или р + Ер про-
странства R\ построенные для разных р е М, могут иметь общие
точки в противоположность касательным пространствам Мр.
Касательное расслоение можно построить как дифференци-
руемое многообразие лишь после того, как касательные простран-
ства „сделаны непересекающимися11.
(iii) Для дифференцируемого многообразия ТМ можно в свою
очередь построить касательное расслоение ТТМ, которое предста-
вляет собой 4п-мерное многообразие. Если задано векторное поле
X е 2Ш, т. е. дифференцируемое сечение Х-. М->ТМ, то X инду-
цирует дифференцируемое отображение Хд ТМ->ТТМ. Более
общим образом можно рекуррентно определить для каждого k
2^п-мерное итерированное касательное расслоение TkM, полагая
ТйМ = М, Ti+iM = TTlM. Значение этих расслоений в том, что
геометрические задачи, в которые входят производные высших
порядков, часто могут быть сведены к задачам первого порядка
для надлежащего TkM. Этот прием аналогичен сведению обыкно-
венных дифференциальных уравнений высших порядков к системам
уравнений первого порядка. В § 2 мы рассмотрим типичный при-
мер, в котором для исследования геодезических на многообразии М
с линейной связностью используется векторное полета ТМ.
(iv) Нам понадобится нижеследующее построение. Рассмотрим
множество ТМ® ТМ = {(о, w): v, w е=ТМ, л (v) = л (w)}. Пусть х —
карта на М с областью определения U. Отображение
1.10. Касательное расслоение многообразия
45
f: TU X TU ->Rra, заданное формулой f(v, w) = х ° л (и) — х ° л (w),
имеет регулярное значение 0. Так как (ТМ®ТМ) П (TU XTU) =
= (0), из леммы 2 разд. 1.6 следует, чтоТЛТфУЛГ есть 3/г-мерное
замкнутое подмногообразие ТМ X ТМ („сумма Уитни"). Проверьте,
что отображение ТМ ф ТМТМ, заданное формулой (и, w)->
->au + pw, дифференцируемо при любых a, peR.
(v) Касательное расслоение представляет важный пример диф-
ференцируемого расслоения (см. замечание (v) разд. 1.7). Это
дифференцируемое векторное расслоение (т. е. слой есть векторное
пространство) и структурная группа, как это непосредственно
видно из построения, есть общая линейная группа. Из касатель-
ного расслоения можно построить другие расслоения. Естествен-
ные геометрические объекты, которые сопоставляются векторному
пространству (например, тензоры, т. е. полилинейные функции на
векторном пространстве, или проективные пространства), обычно
соединяются в дифференцируемое расслоение над М, если по-
строить их для каждого слоя Мр. Для этой цели существует
универсальная конструкция (см. Стинрод Н., Топология косых
произведений, М., 1953, или Атья М., Лекции по К-теории,
М., 1967, гл. 1).
Приведем два примера, особенно часто встречающихся в диф-
ференциальной геометрии. Первым примером является „фазовое
пространство" Т"М над М, т. е. векторное расслоение, возни-
кающее, подобно ТМ, из объединения всех сопряженных про-
странств Мр, где Мр — пространство, сопряженное Мр, всех линей-
ных форм на Мр. Второй пример — ассоциированное с ТМ главное
расслоение РМ, слоем которого является группа всех изомор-
физмов векторных пространств R"->Afp, а структурной группой —
GL (п, R), действующая на самой себе посредством левых
сдвигов.
(vi) Отметим в заключение, что в большинстве основных опре-
делений и рассуждений § 1 предположение конечномерности много-
образий не является необходимым. В последнее время все большее
значение приобретают бесконечномерные многообразия. Они „моде-
лируются" по банаховым пространствам, т. е. локально гомео-
морфны открытым подмножествам банаховых пространств, в кото-
рых, подобно R", вводится понятие дифференцируемости. По этому
поводу см. Eells J., A setting of global analysis, Bull. Am. Math.
Soc., 72 (1966), 751 — 807, а также Ленг С., Введение в теорию
дифференцируемых многообразий, М., 1967.
Касательные векторы должны быть при этом определены
несколько иначе, чем это сделано в разд. 1.2. Мы рекомендуем
читателю для лучшего усвоения основных понятий посмотреть,
как эти понятия вводятся в разных изложениях. Что касается
материала этой книги, то бесконечномерные многообразия важны
46 $ 1. Дифференцируемые многообразия и отображения
в теории Морса (§ 7), где пространство Qpg путей риманова много-
образия, соединяющих фиксированные точки р, q, имеет канони-
ческую структуру гильбертова многообразия.
Существенные определения и понятия этого параграфа можно
найти в современных книгах по дифференциальной топологии и
дифференциальной геометрии. Приведем лишь общие источники,
где указана дальнейшая литература:
М u n k г е s J. R., Elementary differential topology, Annals of Mathematics Stu-
dies, 54 (1961), Princeton University Press.
Kobayashi S., Nomizu K., Foundations of differential geometry 1, Interscien-
ce Publishers (1963), New York — London.
§ 2. Линейные связности
2.1. Определение линейной связности
Введем теперь на дифференцируемых многообразиях допол-
нительную структуру, которую геометрически можно описать как
параллельный перенос. Начиная с этого места, собственно, речь
идет уже не о дифференциальной топологии, а о дифференци-
альной геометрии.
В действительном векторном пространстве имеется естествен-
ное понятие параллельности. Однако для произвольного «-мер-
ного дифференцируемого многообразия М еще не имеет смысла
вопрос, параллельны ли два касательных вектора к М, если они
не имеют общей начальной точки.
Если М параллелизуемо, то каждая параллелизация Xt, ...
..., определяет некоторое связанное с ней понятие парал-
лельности, а именно, касательные векторы v<=M.p и w е Mq на-
зываются параллельными, если они имеют одинаковые координаты
относительно базисов параллелизации в соответствующих точках.
Вообще говоря, многообразие М не параллелизуемо, а понятие
параллельности может быть введено следующим образом: вектор
v е Мр переносится параллельно вдоль пути, соединяющего р с q,
в касательное пространство Mq. При этом результат переноса,
как правило, зависит от выбора соединяющего пути. От есте-
ственного понятия параллельного переноса, далее, надо требо-
вать, чтобы каждому дифференцируемому пути с в М, соединяю-
щему р с q, соответствовал изоморфизм векторных пространств
Mp—>Mq, чтобы композиции путей отвечала композиция изомор-
физмов, а пути, пройденному в обратном направлении, —обратный
изоморфизм. Кроме того, должны быть еще выполнены некоторые
условия дифференцируемости, а соответствие не должно меняться
при переходе к другой параметризации пути. Таким образом можно
построить геометрическую аксиоматику параллельного переноса
или „линейной связности" на М.
Оказывается, однако, что такое наглядное понятие менее удобно
в обращении, чем эквивалентное формальное описание при помощи
„ковариантной производной". Дифференцируемым векторным
полям X, Y на М можно сопоставить новое дифференцируемое
48
$ 2. Линейные связности
векторное поле Vxy, производную Y в направлении X, таким обра-
зом, что значение Vxy в точке р е М зависит лишь от вектора Хр,
причем зависимость линейная. Для этого У параллельно пере-
носится в Мр вдоль любого пути с начальным направлением Хр
и находится предел обычного разностного отношения (см. замеча-
ние (ii) разд. 2.6). С другой стороны, полученная таким способом
„ковариантная производная*1 может быть определена простыми
свойствами, которые и будут перечислены ниже. Затем, используя
это понятие, обратным путем можно определить параллельный
перенос (см. разд. 2.6). Развиваемое ниже исчисление введено
Кошулем и оказалось весьма плодотворным.
Часто параллельный перенос обосновывается с помощью
общего метода, использующего главные расслоенные простран-
ства (см. замечание (v) разд. 1.10), но чаще всего достаточны
менее общие конструкции. Соответствующие понятия можно найти
в литературе, указанной в конце этого параграфа.
Пусть М — дифференцируемое многообразие. Линейной связно-
стью или ковариантной производной на М называется отображе-
ние V: ЭЗуИ X (записываемое в виде V(X, K) = Vxy),
обладающее следующими свойствами:
vA(K1 + y2) = vxy! + vxy2, (1)
Vx(/y) = W)y + fVxy, (2)
VMy = vX1y + Vx,y, (3)
W = fVxy, (4)
где f e %M. Векторное поле VXK называется ковариантной произ-
водной У в направлении X по отношению к линейной связности V.
Согласно (3) и (4), V ведет себя по отношению к первому аргу-
менту т$М линейно („тензорно11); по отношению же ко второму
аргументу V ведет себя как производная, согласно (1) и (2).
Замечания
(i) Если М параллелизуемо и Х{........Хп — параллелизация
то отображение V: 23/И X ®A4->23M, заданное формулой Vxy =
= 2(ЙГ<р*)Л\, где У = 2<р'А’г, есть линейная связность на М;
в частности, имеем VxXy = 0. На группе Ли G существует кано-
ническая линейная связность V, определяемая с помощью парал-
лелизации этой группы п линейно независимыми левоинвариант-
ными векторными полями. Эта линейная связность не зависит от
выбора левоинвариантных векторных полей. В частном случае
G = R", Х{ = D{ отображение V называется канонической линейной
связностью на
2.2. Тензор кручения и тензор кривизны
49
(И) Пусть f: M->N — диффеоморфизм и V —линейная связность
на N. Тогда формула УЛУ = (Vf Х/.У) (см. замечание (iv)
разд. 1.9) задает линейную связность на М. Если q е М и Uq —
область определения карты xq на М, то отображение xq инду-
цирует из канонической линейной связности на R" некоторую
линейную связность V7 на Uq. Пусть (ф^)^ м — дифференцируемое
разложение единицы, для которого Supp ф? az (см. разд. 8.3).
Тогда V = 5 фЛ есть линейная связность на М. Таким обра-
q М
зом, на каждом дифференцируемом многообразии существует
линейная связность. В § 3 мы получим этот результат другим
способом, используя риманову метрику на М, которая определяет
на М линейную связность специального вида — связность Леви-
Чивита.
2.2. Тензор кручения и тензор кривизны
Положим 93°/И и 93/г/И = 93М X ... X 93М (k множителей),
где 6=1, 2, ... . 93fe/Vf каноническим образом является §/И-модулем.
Пусть г^1 и s = 0, 1. Тензорным полем на М типа (г, s) назы-
вается г-линейное отображение В: над кольцом б/И:
B(^i.....Xt + Y, Xt+l, ..., Xr) =
= B(Xl, ..., Xt-lt xt, xl+l,..., Xr) +
+ B(X1, ..., Хг_„ Y, Xt+l, ..., Xr), (1)
B(X„ ..., Xt-lt fXt, Xt+l) .... Xr) =
= №.........Xt^, Xt, X[+l, ..., Xr), (2)
где 1 <r, Xt, Y «= 93/И,
Пусть V —линейная связность на М. Определим отображе-
ние Т: 932Л4—>93/И формулой
Т (X, Y) = Vxy - - [Я, У] (3)
и отображение R: 933Л4->93А4 формулой
R (X, Y)Z = VxVyZ - VyVxZ - V[x. ytZ. (4)
Тогда T есть тензор типа (2,1), а У? —тензор типа (3,1). Это сле-
дует непосредственно из правил (1) —(4) разд. 2.1 и свойств произ-
ведения Ли (разд. 1.9). Следует заметить, что отдельные члены
в (3) и (4) не обладают свойством Ь'/И-линейности по отношению
ко всем аргументам, так что тензорный характер Т, R обеспечи-
вается лишь надлежащей комбинацией членов. Легко проверить,
что Т и R антисимметричны по X, У:
Т(Х, У)=- T(Y, X), R(X,Y)Z = - R(Y, X)Z. (5)
) При s>l тензорные поля определяются иначе. См. литературу, указан-
ную в конце параграфа. — Прим. ред.
50
§ 2. Линейные связности
Тензор Т называется тензором кручения, a R — тензором кри-
визны линейной связности V.
Замечания
(i) Если М параллелизуемо, то для линейной связности V,
полученной из параллелизации Хг, ..Хп<= 93А1 (см. замечание (i)
разд. 2.1), имеем T(Xh Xs) = — [Xh Yи R = Q.
Если M есть группа Ли и Х{ левоинвариантны, то Т есть не
что иное, как взятое со знаком минус произведение Ли
в алгебре Ли группы М. Для М = Rn и канонической линейной
связности V имеем Т = 0, R = 0. Покажите, что на одномерном
многообразии Т и R равны нулю при любой линейной связности.
з
(И) Определим на R3 для векторных полей X =
Х=1
3
У = 2 принадлежащих 93R3, векторное произведение
з
X X У = 2 (ф/+1ф'+2 —ф‘+1Ф‘+2)£>о
1 = 1
где индексы приводятся по модулю 3. Произведение X X Y есть
антисимметрический тензор типа (2,1). Из канонической линейной
связности V построим новую линейную связность V на R3, полагая
Vxy = Vxy + jxx Y.
Проверьте, что для V тензор кручения задается формулой
Т (X, У) = X X Y, а тензор кривизны — формулой R{X,Y)Z =
= |(2Г X Г) X Z.
(iii) Каждый из тензоров Т, R формально можно истолковать
как меру отклонения от перестановочности соответствующих произ-
водных. Это очевидно в случае, когда X, Y — базисные поля неко-
торой карты и, следовательно, [Z, У] = 0. Обратите внимание
на то, что произведение Ли не является тензором, а ведет себя
по отношению к обоим аргументам как дифференцирование. Нам
не известно вполне удовлетворительное геометрическое истолко-
вание тензора кручения. Напротив, тензор кривизны имеет очень
ясный геометрический смысл, как мы увидим в разд. 2.6 в связи
с параллельным переносом. Этот тензор используется во многих
важнейших задачах дифференциальной геометрии.
(iv) Покажите, что для линейных связностей V, Уда М раз-
ность V —V есть тензорное поле типа (2,1) на М, и обратно, для
любого тензорного поля S типа (2,1) V + S есть линейная связ-
ность. Тем самым можно (по крайней мере, теоретически) описать
2.3. Локализация тензорных полей и линейных связностей S1
всевозможные линейные связности на М. Если S симметричны
(т. е. S(X, Y) = S(Y, X)), то V и V имеют один и тот же тензор
кручения.
2.3. Локализация тензорных полей и линейных связностей
Мы определим тензорное поле типа (г, $) как полилинейное
отображение, сопоставляющее г глобально определенным диффе-
ренцируемым векторным полям на М функцию или векторное
поле. Тензорное поле может быть локализовано, т. е. его значе-
ние в точке ре.М зависит лишь от значений аргументов в р.
Лемма
Усл. L: 33rM —> 83s М есть ^М-линейное отображение (г 1, s = 0,1).
Утв. L (Х„ ..., Xr) \p=L(Xit ..., Хг) |р, если Х(- |р = Х(- |р, где i= 1,..., г.
Док. Можно принять г = 1, так как общий случай легко полу-
чается по индукции.
Пусть х —карта с областью определения U р. Построим
функцию ср е т^М, такую, что ф (р) = 1 и носитель ф принадлежит U
(см. разд. 8.3). Зададим векторные поля X,, ..., Х„ е ЗЗЛ1 фор-
при Х(|? = 0 в остальных точках,
ч
а i= 1.....п. Тогда при X, ХеЭЗМ получаем представления
фХ = 2 ф'хг, фх = 2 Ф%.
i=l /=1
где ф*, ф' 6= причем
L (X) |р = ф (р) L (X) |р = (ф£ (X)) |р = L (фХ) |р = 2 ф' (Р) L (Хг),
п
соответственно L (X) |р = 2 Ф* (р) 1₽- Поскольку Хр = Хр, имеем
фг (р) = ф' (р), откуда L (X) |р = L (X) |р, и лемма доказана.
Пусть Мр = R и Мр = Мр X ... X Мр (k множителей). Согласно
лемме, тензорное поле В типа (г, s) на М индуцирует для каждой
точки реА! г-линейное отображение Вр: МГР->МР по формуле
Bp(v„ .... vr) = B(X1...Xr)lp, (1)
где Xj Хг е 33М и Х[ |р = vt, i = 1, ..., г. Вместо Вр мы будем,
как правило, писать В. Обратно, если каждой точке ре М по-
ставлено в соответствие r-линейное отображение Вр: Мр-> Мр (или,
что то же самое, „построено сечение расслоения всех г-линейных
д I
мулой Х,|9 = ф(д)-^г
52
§ 2. Линейные связности
отображений Мгр->- М'р“), то получаем тензорное поле на Л1 при
условии, что соответствие „дифференцируемо". Это, по существу,
и означает, что подстановка дифференцируемых векторных полей
приводит к дифференцируемым функциям или векторным полям.
Линейная связность V на М §Л1-линейна по первому аргу-
менту. Согласно лемме, при X, Yе 93Л1 ирЕ,М линейная связ-
ность (VXK)P зависит при фиксированном Y лишь от Хр. Поэтому
для v е Мр можно положить
УОУ=(УХУ)Р, (2)
где X е 25М — любое векторное поле, принимающее в точке р зна-
чение Хр — v. Это рассуждение неприменимо ко второму аргу-
менту V, так как V ведет себя по отношению к Y, как диффе-
ренцирование. Подобно обычной производной, (Vxy)p зависит лишь
от ростка Y в точке р. Это означает, что если векторное поле
Y 93Л1 совпадает с У в некоторой окрестности U точки р, то
для всех v еМр имеет место XVY=XOY. В самом деле, возьмем
функцию ср е %М, обращающуюся в нуль вне U, такую, что
ф(р)=1, тогда фУ = фУ. Поэтому Vo (фУ) = Vo (фУ) и, следова-
тельно, ф(р)?0У+(Уф) Ур = ф(р)?0У + (уф) Ур. Так как Yp=Yp и
ф(р)=1, утверждение доказано.
Если G — открытое подмножество М, то для векторного поля
Ze33G можно положить V0Z = VoУ, где v^.Mp, р е G и УеЗЗЛУ —
векторное поле, совпадающее с Z в некоторой окрестности р (как
мы видели в разд. 1.3, такое векторное поле У всегда существует).
Следовательно, линейная связность V на М позволяет определить
для любого открытого подмножества G cz М линейную связность
V: 33G X 33G->33G, (3)
такую, что для X, У eiW имеем (ХхУ) |0 = Vx |0 У |0.
Пусть U — область определения карты х, содержащая р е М,
Полагая Xt = еЗЗП, получаем представление
дх1
Vx// = Sr^fe, (4)
fe=i
где Г*/= (Vx.X/) х* е (5П. Функции Г*/ называются компонентами
связности относительно карты х. Если V „не имеет кручения",
т. е. Т = 0, то \xtXj — XxjXi = [Xt, XJ = 0, поскольку Хг—коорди-
п п
натные поля. Отсюда У, Г^Х* = У Г^Х* и, следовательно,
Й=1 fe=l
Г?/ = 1% (5)
2.3. Локализация тензорных полей и Линейных связностей
53
Обратно, из условия (5) вытекает, что линейная связность не имеет
кручения на U.
Замечания
(i) Карта х определена на U^M, Xt= уу е 93С7. Покажите,
что в разложениях
T(Xlt X/)=i
й= I
R{Xh Xj) Xk=j}RlilkXt
i=i
функции
pfe pfe
1 a =1 a "1 /ь
R'"k ~ if - ^7 + S <Г'Л - W
г—1
(ii) Векторные поля Хъ Х2 е 93R2, заданные формулами
%, |а = cos u'Dx |а + sin u}D2 lu,
X2 la = — sin u'Dt la + COS tfD2 la,
образуют параллелизацию на R2. Пусть V — соответствующая ли-
нейная связность (см. замечание (i) разд. 2.1). Найдите [Л\, Х2],
Г*/, Rqk относительно карты id. Покажите, что V имеет кручение.
(iii) Пусть М — дифференцируемое многообразие с линейной
связностью V, X е 93214, В —тензорное поле типа (г, s) на М,
s = 0, 1 (в дальнейшем это последнее ограничение не оговари-
вается). Построим отображение VXB: 93ГЛ1 -> ffM по формуле
(?ХВ)(У,.....Y,) =
= VxB(y„ .... Уг)-£в(У,........Y^, Vxyz, Yl+l,.... yr),
1=1
где в случае s = 0 следует понимать Xxf как Xf. Проверьте, что
VXB есть снова тензорное поле типа (г, s), называемое ковариант-
ной производной В по X. Тем самым каждому тензорному полю В
типа (г, s) ставится в соответствие тензорное поле VB типа
(г + 1, s), заданное формулой
(VB)(y0, ..., yr) = (VroB)(yJt ..., yr).
Докажите, что в случае Т = 0 тензор кривизны удовлетворяет
тождеству Бьянки:
(vx/?) (у, z, иу + (vzb) (Z, х, и) + (vz/?) (х, у, и) = о.
54
£ 2. Линейные связности
Достаточно проверить это соотношение для базисных полей про-
извольной карты (почему?).
(iv) Тензорное поле типа (г, 0) называется также дифферен-
циальной формой степени г или, кратко, r-формой. Пусть f
Полагая df(X) = Xf, получаем 1-форму на М, называемую- диф-
ференциалом. f (см. замечание (и) разд. 1.4). Для карты х вокруг
реЛ1 получаем дифференциалы dx{, для которых dxl 1 = 61,
\ dx. /
так что dx1 |р образуют базис пространства Мр линейных форм
на М„, двойственный базису .
р дх1
Для тензорного поля В типа (г, 1) и 1^/^г определим
свертку сtB, как тензорное поле типа (г —1,0), построенное по
правилу
(С/В)(У„ ..., Yh ..., Yr) |р = tr (и В (У,, .... Y^, v, Yl+i.Уг) |р),
где ре Л/, иеЛ/р, tr —след эндоморфизма Мр, записанного
в скобке (причем отображение строится для фиксированных век-
торных полей Уj, ..., Yj-r, Y1+1, ..., Уг). Для карты х с областью
определения U и базисными полями = имеем на U
(с<B)(Y 1,..„ Yf,..., Yr) = ^dxi(B(Y
р
Xit Y
Покажите, что Vx (qB) = с,-(VXB) и Vc/ = c/+JV, т. е. свертывание
и ковариантное дифференцирование коммутируют.
Пусть В — антисимметрическое тензорное поле типа (г, s). Это
значит, что при перестановке любых двух его аргументов, при
неизменных остальных, значение В меняет знак (такие тензорные
поля называются еще кососимметрическими или альтернирующими).
Тогда внешней производной (илн производной Картана) dB назы-
вается антисимметрическое тензорное поле типа (г + 1, $), опре-
деляемое формулой:
(dB) (Уо, ..., Уг) = 2 (- 1/ VrВ (Уо, ..., Уг, ..., Yr) +
г=0
+ 2 (-i)z+/B([yf,yj, Уо,..., у(-,..., У/......уг).
0< I < i<r
Проверьте тензорный характер н антисимметричность dB. Пусть
/ — тензор типа (1,1) тождественного эндоморфизма
тогда dI = T. Если Т = 0 и VB = 0, то также с/В = 0. При s = 0
справедливо соотношение ddB — 0; при s = 1 это верно в пред-
положении, что Д = 0. Антисимметрическая дифференциальная
форма со, для которой с/со = 0, называется замкнутой или точной.
2.4. Отображение связности
55
Очевидно, ско всегда замкнута. Обратно, если антисимметрическая
форма <о замкнута, то локально она является, как можно пока-
зать, внешней производной некоторой антисимметрической (г—1)-
формы. В целом это неверно, так как могут возникнуть тополо-
гические препятствия. Мерой таких препятствий служит (в случае
компактного М) r-я группа когомологий де Рама Hr(M, R) — фак-
торпространство векторного R-пространства всех замкнутых анти-
симметрических r-форм на М по подпространству тех форм, ко-
торые являются внешними производными антисимметрических
г — 1)-форм на М.
2.4. Отображение связности
Векторное поле, как дифференцируемое сечение М -> ТМ, ин-
дуцирует отображение Y.: ТМ -> ТТМ, так что каждому вектору
v е Мр соответствует Y„v е (TM)Yp. Опираясь на этот факт, мы
хотим указать другое, эквивалентное описание линейной связ-
ности V на М, представляющее интерес не только в техническом
отношении.
Вектор (v е Мр, Y е 23М) строится по новому определению
в два шага: сначала находится естественный образ Y,v е ТТМ,
а затем этот вектор „проектируется11 в вектор слоя Мр с помощью
некоторого отображения ТС: ТТМ —> ТМ, геометрический смысл
которого состоит в следующем. Для каждого слоя Мр определено
отображение включения i: Мр —>ТМ, образы касательных векто-
ров к Мр при отображении i, называются вертикальными векто-
рами ТТМ. Все касательные векторы к Мр (и их образы при i,)
могут быть при помощи канонического изоморфизма /0 (см. (5)
разд. 1.4) отождествлены с векторами Мр. Заданию линейной
связности на М, как мы увидим, равносильно задание способа
однозначного разложения векторов а е= (TM)W в сумму а = ан + av,
где av — вертикальный вектор, а ан — горизонтальный, определяе-
мый этим разложением. Образ К (а) по определению есть вектор
МП(ю), канонически отождествленный с av. Линейная связность
получается теперь в виде \VY = К. (У,ц).
Приступая к этому построению, предположим, что на М за-
дана линейная связность V. По этой связности мы сначала по-
строим К (а) для векторов а вида Y„v, где v е ТМ, Y е 23М. Пред-
ставление в этом виде вектора и, конечно, неоднозначно; из
Y,v = У,б не следует, что Y = Y (хотя, очевидно, следует Yp = Yр
и, как мы увидим ниже, v = v). Тем не менее справедливо сле-
дующее предложение.
56
§ 2. Линейные связности
Лемма 1
Усл. V — линейная связность на М, ЭИ — множество всех векторов
ТТМ вида Y.v (У (= %М, v <= ТМ).
Утв. Существует такое отображение К: 3R->TM, что для каждого
вектора a = Y,v
7Ш = У0У. (1)
Тем самым УСУ однозначно определяется вектором У.п, т. е. если
y.t>= у.е, то vcy = v0~y.
Док. Мы выведем требуемое утверждение из локальных пред-
ставлений.
Пусть v е Мр", х —карта с областью определения U э р;
х — ассоциированная с х карта ТМ на TU. Положим Xt =
дх1
(i—l, п), Ak = -^-r^$yrU (k = 1, ..2п). Тогда получаем
dxR
представления
v = Sa%|p, У=2<р%, (2)
, . i=i /=i
где a gR, ср7 <= %U.
2n
В силу (2) разд. 1.4 имеем У.о=2 v (xk ° У) Ak ° У L. Учитывая
fe=i
xk °Y = xk °n°Y = xk и xn+k ° Y = Yxk = <pft (k = 1, ..., n), из (2) по-
лучаем
2n
y.v=3aMfeoy|p; (3)
al = al, an+l = У, a' (Xt-qpz) L (/=1, ...,n).
z=i
Далее, из (2), учитывая (4) разд. 2.3, находим
У0У = 2 аг + 1 <р'Г* )Xk |р (4)
i,k=\ \ !=\ /
или в обозначениях (3)
п / п \
V=>"+‘+ 3 aW XJP. (5)
fe=l \ г, / = 1 /
Так как в (5) входят лишь координаты вектора а = У,о, то У0У
зависит лишь от а, что и доказывает лемму. Отображение X (а)
при этом может быть задано формулой
Х(а)=^[ап+к+ 1 ЙТ,+Ъ’)ГШ'.|Р, (6)
где ae=(TM)w, p = x.(w).
2.4. Отображение связности
57
Из (3) видно также, что равенство V0T = VoT возможно лишь
при v = v. В самом деле, ясно, что v и v принадлежат одному
слою Мр, и в силу (3) имеем а‘ = а1 = а1'. Далее, из (3) вытекает,
что при надлежащем выборе v е= Мр и Y е= ЗЗД можно предста-
вить в виде Y,v все векторы ТТМ, за исключением тех, у кото-
рых ak = 0 (k= I, ..., п). Ниже приводится геометрическая интер-
претация таких векторов.
2п
Пусть а = 2 a>t^k *= найдем л,а. Согласно (2) разд. 1.4,
1
п
имеет место л,а = S a (xk ° л) Xk |р< где р = л (щ). Далее, a (xk ° л) =
fe=l
= ^а^А1(хк°п), а эта сумма, как видно из определения вектор-
/=1
них полей — равна ak. Итак,
л,а = 2 akXk |р. (7)
ы
Векторы а^ТТМ, для которых л„а = 0, называются вертикаль-
ными. Из (7) следует, что в виде Y„v представимы все неверти-
кальные векторы и только они.
Все вертикальные векторы ТТМ можно получить следующим
образом. Рассмотрим произвольный слой Мр и включение
i: МР<^ТМ. Пусть b е= (Мр)^ — касательный вектор в точке w
к дифференцируемому многообразию Мр. Пользуясь обозначе-
ниями леммы 1, построим карту на Мр по формулам х‘(ау) =
~xn+i(w) (г=1, ..., п). Тогда получаем разложение
^=| ОХ Icy
откуда
п
S lw
i = l
Ясно, что вектор вертикален, и каждый вертикальный вектор
может быть однозначно представлен в таком виде. Поэтому на
множестве всех вертикальных векторов ТТМ определено обрат-
ное отображение
I."1: и (™)р-
Р^М
58
$ 2. Линейные связности
Далее, для каждого слоя Мр определен канонический изомор-
физм Iw. Положим
K(a) = I~l°^'a (a<=$Rvft(TM)w). (8)
п
Тогда в TU имеем представление К (а) = У, an+iXt ° л; отсюда
i — 1
видно, что и для вертикальных векторов отображение К может
быть задано по отношению к карте К той же формулой.(6),
Таким образом, К определено на всем ТТМ\а и из (6) следует,
что /( — дифференцируемое отображение ТТМ в ТМ, линейное на
ка ж дом слое (TM)W.
Отображение К называется отображением связности, соответ-
ствующим заданной линейной связности V на М. Эта линейная
связность может быть, в свою очередь, получена из /( по формуле
= (9)
Запишем еще действие отображений я„ К на векторные поля
Ле 53 (7/7) (а не на отдельные векторы). В силу (6), (7) имеют
место соотношения
п, = Л=2а%^я, (10)
й=1
К ° Л = У [an+k + 2 a‘xn+irki. ° я j Xk° я. (11)
k—\ \ i, /=1 /
Мы выделили в каждом 2«-мерном пространстве (TM)W «-мер-
ную плоскость Vw вертикальных векторов; отметим, что при этом
не была использована линейная связность V. Напротив, выделе-
ние горизонтальных плоскостей, к которому мы приступаем, зави-
сит от заданной линейной связности на М (и эквивалентно ее
заданию). Подчеркнем, что задание одних только вертикальных
векторов еще никоим образом не определяет разложения на гори-
зонтальные и вертикальные составляющие, о котором шла речь
в начале этого раздела.
Изучим действие отображения К на слое (TM)W. Пользуясь
опять картами х, х, из (6) легко получить, что условие X (а) = 0
определяет в слое (TM)W «-мерную плоскость, а именно, задав
произвольно а‘ (/=1, ..., «), можно найти, пользуясь (6), осталь-
ные координаты а. Векторы а е ТТМ, для которых X (а) = 0, назы-
ваются горизонтальными. Итак, в каждом слое (TM)W выделяется
«-мерная плоскость Hw, состоящая из горизонтальных векторов.
Покажем, что пересечение VW(]HW состоит только из нулевого
вектора. В самом деле, если а вертикален, то, согласно (7), а* = 0
(k = 1, ..., «). Если же а, кроме того, горизонтален, то из (6) сле-
дует an+k = 0 (k = 1, ..., «).
2. 4. Отображение связности
59
Итак, (TM)W есть прямая сумма n-мерных подпространств
Vw, Hw. При этом, согласно (6) и (7), л. переводит Vw в нуль и
биективно отображает Hw на Мп (я)), тогда как К переводит Hw
в нуль и биективно отображает Vw на Мп (и,). Следовательно,
п,ХК изоморфно отображает каждый слой (TM)W на Мп(11)ХМЯ
Отметим еще, что образом отображения
л, X К: ТТМ->ТМ X ТМ
является Зп-мерное подмногообразие ТМ®ТМ (см. замечание (iv)
разд. 1.10), в то время как ТТМ 4п-мерно; таким образом, л. X К
не является диффеоморфизмом. Заметим, что вертикальные и
горизонтальные плоскости Vw, H,f, в силу (6), (7) образуют диф-
ференцируемые распределения на ТМ, это означает, что в некото-
рой окрестности каждой точки w^TM на ТМ существует п ли-
нейно независимых дифференцируемых векторных полей, состоя-
щих из вертикальных и соответственно горизонтальных векторов
(см. замечание (i) разд. 1.9).
Кроме линейности на каждом слое ТТМ, отображение К обла-
дает еще и другим свойством линейности; чтобы сформулировать
это свойство, введем на ТТМ некоторые операции.
Лемма 2
Усл. 93 = {(а, Ь): а, Ье^ТТМ, л,а = л,6}.
Утв. (а) Существует такое отображение h: RXTTM—>TTM, что
для любых v &.ТМ, Y е 93М
й(а, Y„v) = (аУ), v. (12)
(b) Существует такое отображение s: %-ь-ТТМ, что для лю-
бых ve=TM, Y, Yer-XSM
s(Ytv, Y,v) = (Y+ Y)tv. (13)
Док. Воспользуемся опять картой х с областью определения
U эр = гф) и соответствующей ассоциированной картой х. Тогда
2п
из (2) и (3) следует, что для вектора Ytv = У, akAk ° Y |_ имеет
Й = 1
место
п 2п
(aY),v = ^akAkOaY\p+a 2 akAk°aY\p. (14)
fe=l k=n+l
Таким образом, (аУ), v зависит лишь от a = Y,v, и требуемое в (а)
отображение построено для не вертикальных а. Определим h для
вертикальных а, полагая
h (а, а) = i. ° law 0 а/й1 ° if'a (а е= П {TM)W). (15)
60
§ 2. Линейные связности
Легко проверить, что и в этом случае Л (а, а) задается над- U
правой частью (14). Для доказательства (Ь) воспользуемся разло-
жениями над U:
2п 2п
Y,v = akAk°Y \р, =
k=i ft-i
Так как л. (У,о) = л, (У», из (7) вытекает, что ak = ak (k = 1, .... n),
из (2), (3) следует, что
п 2п
(Т + П.о=2аЧо(У + у)|р+ 2 (ak + ak)Ako(Y + Y)\p. (16)
fe=l
Поэтому (У + У), v зависит лишь от Y,v, Y,v и требуемое в (Ь)
отображение построено для. не вертикальных векторов а, а.
Определим s (а, а) для вертикальных векторов а, а по формуле
5 (<2, u) = I, ° I да 4. да ° (/ да ° I, CL I 0 I, (17)
где а е ЗЛу Г) (TM)W, а ^ЗЛу(](ТМ)^, п„а = л,а. Легко проверить,
что и в этом случае s(a, а) задается над U правой частью ра-
венства (16). Доказательство леммы этим завершено.
Заметим, что отображение Л (а, а) можно получить еще и дру-
гим способом. Определим отображение гомотетииha: R X ТМ—>ТМ
формулой
ha(w) = aw. (18)
Тогда, как легко проверить, Л (а, а) = йа(а).
Положим теперь а • а = h (а, а) (а е R, а^ТТМ), а + а — s(a, а)
. т т
(а, а^ТТМ, л,а = л,а). Над U эти операции описываются фор-
мулами, вытекающими из (14) —(17):
а • а = 2 aklaw + a S |aa), (19)
T fe=l fe=n+l
где ae=(TM)w,
n 2n
a +a = ak Ak\w+-+ 2 (afe + 5*) |да+®, (20)
T k—l &==n4-l
где at=(TM)w, a<=(TM)..
Из (6), (19), (20) следует, что отображение К обладает свой-
ством линейности по отношению к Т-операциям:
2С (а • a) = a/C (а), (21)
Д/а + й| = Д(а) + Д(й). (22)
\ т J
2.4. Отображение связности
61
В качестве приложения изложенного в этом разделе построе-
ния линейной связности покажем, как по заданным линейным
связностям Vj на М и V2 на N строится некоторая линейная связ-
ность V на произведении М X N, называемая произведением линей-
ных связностей V2. Пусть на М X N задано векторное поле Y,
тогда определено индуцированное отображение Y,: MxN-^»-
-+T(MXN), так что для каждой точки (р, q) е М X N и ка-
ждого вектора (о, w) е (Л4 X A/)(Pi } задан вектор У, (о, w) е=
е Т(М X Юу(Р <?)• Пусть л1( л2 — естественные проекции М X N
на М, N соответственно (см. разд. 1.7). Обозначим через А),
отображения связности для М, N, соответствующие линейным
связностям Vj, V2. Тогда, как мы покажем, формула
V(o. W)Y = (Ki ° л,.Х (V, w), К2 ° л2„У. (v, w)) (23)
задает линейную связность V на М X N, которая обозначается
через Vj X V2. Проверка линейности V сводится к использованию
линейности Ki, К? на каждом слое ТТМ, TTN соответственно.
Чтобы изучить поведение V относительно Y, заметим сначала, что
из (20) и стандартного способа построения карт на М X N (см.
разд. 1.7) легко следуют соотношения
а • (а, Ь) = (а-а, а • б), (а, б) + (а, б) = (а + а, b + б),
т v г г ' т \ т т J
где ae=R, (а, б), (а, б) е= ТТ (Л4 X N), если предполагать, что
сумма в левой части второго из них имеет смысл. Докажем адди-
тивность V относительно Y. Если Z, Y, Y е 53(Л4 X N) и Z=Y + У,
то в силу леммы 2
Z, (v, w) = У, (у, w) + У, (у, w).
т
Следовательно,
Ль.2.(у, а>) = ли,У.(», а>) + ли.У(о, w).
Аналогично доказываем и для второй проекции. Остается вос-
пользоваться соотношением (22) для Д2. Проверим, что V(p, W)Y
ведет себя как дифференцирование по отношению к У. С по-
мощью формул (2), (3) легко доказывается соотношение
(фУ). v = v (ф) • IЛ (р) Y (Yp) + ф (р) • Y.v, (24)
р т
где ф е %М, У е 53Л4, v е Мр. Применяя (24) к М X N (вместо М),
требуемое свойство получаем из (21), (22).
Наконец, для любого векторного поля X е 53Л4 определим
Vxy е 53Л4, полагая
(VxDI(p, g) = v(„. №)У,
где
(о, w) = X(Piq).
62
§ 2. Линейные связности
Из (23) сразу же следует, что Vxy— дифференцируемое векторное
поле на М X N.
Замечания
(i) Пусть 0: М -> ТМ — нулевое сечение, р е М. Покажите, что
0,Мр есть горизонтальная плоскость в точке 0р<^ТМ для любой
линейной связности V. (Таким образом, в точках'0(Л4) горизон-
тальные плоскости могут быть определены независимо от задания
линейной связности.) Каждый горизонтальный вектор w в точке 0(р)
представим в виде w = 0, ° л,йу. Горизонтальные векторы в точ-
ках 0(Л4) можно охарактеризовать еще следующим образом: век-
тор ше0(Л1) горизонтален в том и только том случае, если для
всех f е %ТМ имеет место w (f) = w (f ° 0 ° л). Вертикальные векторы
на ТМ можно охарактеризовать так: вектор w вертикален в том
и только том случае, если для всех f е ^М имеет место w (f ° л) = 0.
(ii) Рассмотрим в обратном порядке процесс, изложенный
в разд. 2.4. Пусть в каждом слое (jM')w, наряду с вертикальной
плоскостью Vw, задана «-мерная плоскость Hw, трансверсальная
к Vw, т. е. пересекающая Vw только по нулевому вектору. Пред-
положим, что плоскости Hw образуют дифференцируемое распре-
деление на ТМ. Назовем вектор а^ТТМ горизонтальным, если
для некоторой точки w<^TM выполняется а е Hw.
Предположим, что распределение горизонтальных плоскостей
удовлетворяет следующим условиям: если а горизонтален, то а • а
т
горизонтален при всех а е R; если а, b горизонтальны й опреде-
лена их Г-сумма (т. е. л,а = п,Ь), то и а + b горизонтален. Опре-
т
делим отображение К: ТТМ-^-ТМ, полагая К(а) = 0 при а е Hw
и. К (а) = /ш10 С'а ПРИ a^Vw {w^T М). Легко показать, что ото-
бражение К Г-линейно, т. е. обладает свойствами (21), (22). Опре-
делив далее \70У по формуле (1), проверьте, что V —линейная
связность на М. (Воспользуйтесь Г-линейностью К и соотноше-
нием (24).) Покажите, что отображение связности, соответствую-
щее V, есть исходное отображение К-
(iii) Формула (23) принимает простейший вид для векторных
полей Y = Y, X Y2 (Ki е %М, Y2 е 5SW, У е 8 (Л1 X jV)), определяе-
мых по формуле У (р, <7) = (У1(р), У2 (<?)). Для такого векторного
поля и связности V = Vj X V2 имеем
vy = (v,y„ V2y2).
Кроме того, при У — Y{ X У2, У = Y\ X У2 имеет место
[Г, У] = ([У„ У,], [У2, Г2]).
(Это легче всего проверить, применяя обе части к координатным
функциям стандартной карты на М X N.) Поэтому, для вектор-
2.5. Векторные поля вдоль отображений
63
ных полей типа произведения можно найти значения тензоров
кручения и кривизны линейной связности V через соответствую-
щие значения для Vb V2:
Т(Х, У) = (7’1(Х1, Г1), Т2(Х2, У2)),
R(X, Y)Z = (R1(X1, YjZt, R2(X2, Y2)Z2),
где X = X} X X2, Y = Yj X Y2, Z = Zx X Z2. Выведите отсюда, поль-
зуясь леммой о локализации (см. разд. 2.3), что для любых век-
торов (ог, шг) е Т (Л4 X N), i = 1, 2, 3,
Г((О1, Ш1), (о2, йу2)) = (Т1(О1, о2), T2(W', йу2)),
/?((»!, ®1)> (»2, И'2))(»3> И'з) = (/?1(»Ь «2)«3> #2(^1, ®з)-
Пользуясь стандартной картой х X у на М X N, выразите ком-
поненты линейной связности V через компоненты линейных
связностей Vb V2.
2.5. Векторные поля вдоль отображений
Мы введем теперь важное обобщение понятия векторного поля.
Пусть М, N — дифференцируемые многообразия, f: NМ — диф-
ференцируемое отображение. Дифференцируемое отображение
X: N->TM, обладающее свойством n°X — f, называется диффе-
ренцируемым векторным полем вдоль f. Точно так же, как
в разд. 1.10, проверяется, что отображение X: N-+TM есть диф-
ференцируемое векторное поле вдоль f в том и только том слу-
чае, если Xp<=Mf(p) и функция Лф: Af-»R, заданная формулой
(Лф) |р = Хр(<р), дифференцируема при всех
Обозначим множество всех дифференцируемых векторных по-
лей вдоль f через 23f. Пусть G — открытое подмножество М,
V = f~ (G), X е и T|)SgG. Определим Хф egV формулой
(Хф) |р = Хрф (реП
Приведем два важных примера построения векторных полей
вдоль f. Пусть X е ЯЬМ, тогда отображение X ° ft N-+TM или,
что то же самое, p-+Xf (Р), есть дифференцируемое векторное поле
вдоль f.
Если дано векторное поле ЛеЯЗМ, то f,A: N->TM или, что
то же самое, p->f. (Лр) есть дифференцируемое векторное поле
вдоль f; оно называется касательным векторным полем вдоль f.
Множество всех касательных векторных полей вдоль f обозначим
через 2$.
Естественно, является §М-модулем, §М-модулем, а также,
конечно, векторным R-пространством: если X е и
64
§ 2. Линейные связности
отображение <рХ, заданное формулой (<рХ)(р) = (фХ)р — <р (/?) Хр\ при-
надлежит 53f; если же X е 53f и то ф°/и поэтому
(ф о f) X 6= 53f. Очевидно, есть подмодуль 83f.
Пусть p^N и U — область определения некоторой карты х
на М (Usflp)). Тогда, полагая Xt = -^-г и V=:f~1(U), получаем
дх1
представление для Y е
п
у|„=2ф%,
i=i
где
<р' = Yxl
Теперь мы обобщим понятие линейной связности на многооб-
разии, введя для векторных полей вдоль /«операцию, аналогичную
ковариантному дифференцированию. Пусть fi — дифферен-
цируемое отображение, V —линейная связность на М, которой
соответствует отображение связности К'- ТТМ-^-ТМ. Линейной
связностью вдоль f, или ковариантной производной вдоль f, на-
зывается отображение Vf: W X 53f-»53f, определенное формулой
Vf(X, Y) = KY,A.
Для краткости мы будем опускать индекс f и писать вместо
V(X, У). Это не приведет к недоразумению, если помнить, что
Y е 53f. В этих обозначениях
\ДУ = KY„A.
Если N = M и f = id, то, очевидно, Vid тождественна с V. Таким
образом, введенное только что понятие действительно обобщает
понятие линейной связности на многообразии.
Следующая лемма показывает, что при таком обобщении
сохраняются свойства линейной связности (1)—(4) разд. 2.3.
Лемма 1
Усл. A, Ле=53М; Y, Y е= SBf; ф^АГ.
Утв.
v4(y + n = v4y + v/, (1)
Ул(фУ) = фУлУ + (Лф)У, (2)
W^v^+v^y, (3)
Vq,4 = TV4y. (4)
Док. Мы сведем доказательство этих соотношений к аналогичным
соотношениям для некоторой линейной связности V на N X М-
Введем на N произвольную линейную связность Vo (см. замена-
2.5. Векторные Поля вдоль отображений
65
ние (и) разд. 2.1) и положим V = V0XV согласно определению
(23) разд. 2.4. Пусть Y е 53f, обозначим через Y любое вектор-
ное поле на N X М, связанное с Y соотношением
л2. ° Y о F = Y,
где л2 — естественная проекция N X М на М, a F: N -> (N X М)
задается формулой F(p) = (p, f(p)) (см. замечание £ii) разд. 1.7).
Докажем существование такого векторного поля Y. Для этого
обозначим через F° отображение N в F (N), заданное той же фор-
мулой, что и F. Тогда Y получается продолжением отображения
(ОХ К) ° (F0)-1: F (N) -> Т (N X М) до дифференцируемого векторного
поля на N X М (см. замечание (iv) разд. 1.8).
Покажем, что для aePV, Y е выполняется
VDT = ЛгЛ^иУ. (5)
Очевидно, F,v = (о, fto). В силу (23) разд. 2.4 и определения Y
имеем
ъХр.Л = Rn2»Yt (v, f,v) = Kn^YtF,v = К (лг* ° Y ° F), v = KYtv = VvY,
что и доказывает (5).
Доказательство свойств (3) и (4) легко получается непосредст-
венно из определения \AY.
Для доказательства (1) положим Y + Y = Y + Y, тогда из (5)
следует
V» (У + Y) — n2*VptV (У + У) = л2»Ур,0У + П2*^г,иУ = Voy + VoУ.
Для доказательства (2) можно положить <рУ = фУ, где
ф = <р°л1. Тогда для v<=Np имеем
V с (<р У) = n2*Vr.o (фУ) = л2» ((Ftv) q°YF(P) + q>°F (р) Vf.vY) =
= V (ф ° F) л2* Yf(р) + ф ° F (р) VDy = Ц (<р) Ур + ф (р) Доу.
В следующей лемме доказываются так называемые структур-
ные уравнения Картана, выражающие значения тензоров круче-
ния и кривизны М „вдоль отображения f“.
Лемма 2
Усл. A, Bf=%N, УеЯЗр
Утв. T(ftA, fJ3) = VAf,B-VBf.A-fAA, В], (6)
R (ftA, f,B) У = V4VBy - VBV4y - V[A В1У. (7)
Док. Воспользуемся обозначениями леммы 1. Заметим сначала,
что для любого векторного поля В е 237V можно построить поле В
66
$ 2. Линейные связности
на N X М, F-связанное с В (см. замечание (iv) разд. 1.9). Для этого
достаточно продолжить на N X М векторное поле Е^В ё 53 (F(N)).
Для доказательства (6) выразим сначала V^B с помощью
линейной связности V. Так как ftB = л2,0 FJ3 = л2»0 В ° F, то можно
положить fJB = B. Согласно (5), \/AftB = n2t° В ° F- &в!*А выражается
аналогично. Далее, согласно замечанию (iv) разд. 1.9, имеем
/ДА, В] = л2>оВ,[Д, В] = л2*о{Л, В] °F.
Итак,
V^.B - VBf,А - f. [А, В] = л2* о f (А, В) о F = л2< о f (FtA, FJB),
где Т — тензор кручения связности^. Чтобы получить (6), остается
воспользоваться замечанием (iii) разд. 2.4.
Переходим к доказательству (7). Согласно (5), имеем
= л2. ° = л2» ° ° F.
В таком случае можно положить = и поэтому
VaVbY = л2. о VFtA (V^P) = л2. ° V^aVb? = п2, ° VaVbY ° F.
Аналогично выражается VsVaY. Далее, согласно замечанию (iv)
разд. 1.9, имеем
V[A, b]Y = л2* 0 Vb, [Л, B]F = П2» 0 V[A, B]Y о F.
Таким образом,
VaVs Y - V SV'aY - Vw, B}Y = n2. ° R (A, B)Y°F = n2, ° R (FSA, F,B) Y □ F
и остается воспользоваться замечанием (iii) разд. 2.4.
Замечания
(i) Дайте полное доказательство свойств (3), (4) линейной
связности вдоль отображения.
(ii) Пусть В —тензорное поле типа (г, s) на М, Ylt ..., Yr е
е SBf, f: N->М — дифференцируемое отображение. Покажите, что
B(Y\ Yr) дифференцируемо, т. е. принадлежит и соот-
ветственно SBf.
(iii) Пусть f: N ->Rfe — дифференцируемое отображение. Рас-
смотрим каноническую линейную связность V на Rfe, векторное
k
поле 7: 2 и1 Dt |„ е 23Rfe и „поле радиусов-векторов" I°f вдоль f.
i = l
Покажите, что \7л7 °f = ftA для любого векторного поля А е S8A.
Полагая c = ctD, вычислите ковариантные производные VDc и
для параметризованной окружности с: R->R2, заданной
2.6. Параллельный перенос
67
формулой c(0 = (psin/, poos0, где V —линейная связность, вве-
денная в замечании (И) разд. 2.3.
(iv) Если f: NМ — дифференцируемое отображение, v<=.TN
и У е 83М, то Vf.oE = KY jtv = К (F ° f),v = VD (У ° f), так что Vf,0K=
= Vv(Y°f). Следовательно, для /-связанных векторных полей
А е= (т. е. таких, что ftA = X°f) имеем (VAy)of =
= v4(yof).
(v) Если f: N -»M — дифференцируемое отображение, то во
множестве Р пар {(/?, v): p^N, v МцР)} можно ввести струк-
туру дифференцируемого многообразия таким образом, что отобра-
жение л: P-+N, заданное формулой л (р, v) = p, является диффе-
ренцируемым расслоением с базой N и слоем Мр. Это расслое-
ние называется расслоением над 2V, индуцированным отображе-
нием f. Векторные поля вдоль f суть дифференцируемые сечения
индуцированного отображением f расслоения, а линейная связность
вдоль отображения f определяет понятие линейной связности на
векторном расслоении л. По поводу этого обобщения мы отсы-
лаем читателя к литературе, приведенной в конце параграфа.
2.6. Параллельный перенос
Ковариантная производная, как будет показано ниже, опреде-
ляет понятие параллельного переноса вдоль дифференцируемых
путей.
Пусть М — дифференцируемое многообразие размерности п,
с: J—> М — дифференцируемый путь на М (интервал JczR пред-
полагается, как обычно, не вырожденным, т. е. концы его не со-
впадают).
Пусть V — линейная связность на М. Векторное поле X е= 23г
называется параллельным (относительно V), если
VDX = 0. (1)
Для параллельных векторных полей Хъ Х2 вдоль с и действи-
тельных чисел а, р векторное поле аХ} + р%2 также является па-
раллельным вдоль с. Таким образом, параллельные векторные
поля образуют подпространство векторного R-пространства
Для каждого X^SC определено отображение Х„: TR-+TTM
и формула X (t) = Xt(Dt) задает дифференцируемый путь X: J -+ТТМ,
при этом л, ° X = с„, vus л — проекция касательного расслоения ТМ.
Условие (1) означает, что X.(t) есть горизонтальный вектор слоя
(TM)X(t] при всех t^.J. Тогда X определяется однозначно, так
как горизонтальная плоскость изоморфно отображается на соот-
ветствующий слой Мр отображением связности К- Из этих сообра-
жений можно было бы доказать теорему существования парал-
68
§ 2. Линейные связности
лельных полей, однако мы применим другой метод, использую-
щий локальные представления.
Теорема 1
Усл. V — линейная связность на М; с: J-> М — дифференцируемый
путы, J', V €= Мс (/„)
Утв. Существует одно и только одно параллельное векторное
поле X вдоль с, удовлетворяющее условию Xta = v.
Док. Возьмем такие числа ave!, av<av+I, что / = (J [av, av+1]
V
и c([av, av+I]) принадлежат области определения некоторой
карты на М. Достаточно доказать утверждение теоремы для слу-
чая, когда с (7) лежит в области определения U некоторой карты х,
так как общий случай получается затем по индукции. Пусть
X е S3., Xt = -^7 — базисные поля карты. Тогда
<?х‘
х = 2 (Xxk)Xk°c,
ы
откуда
= s [D (Xxk) Xk о c + (Хк о c) ].
fe=i
В силу замечания (iv) разд. 2.5 имеем (Xk ° с) = VCtDXk. Так
как
c,D = S D(xloc)XiOC,
Z = 1
имеем
Vn (Xk- с) = 2 D {xl ° c) Vx.ocXk = S D (xl о с) (r{ft □ c) x, ° c,
Z = 1 Z,/ = l
откуда получаем локальное представление
п
п
k
u ° c
VnX = 2 D(Xx'p') + S UxQd(
w L i, i=i
x{ ° с) Г
Xk ° c.
(2)
Функции ak = Xxk, = — ^ (Гц ° с) D(x‘° с) принадлежат §7, и
/=1
соотношение VnX = 0 равносильно
k=l,...,n. (3)
/-1
Тем самым утверждение теоремы сведено к теореме существо-
вания и единственности для систем обыкновенных дифференциаль-
2.6. Параллельный перенос
69
п
них уравнений первого порядка. Пусть v = S a^Xk ° с где aJeR.
&= 1
Тогда существует одна и только одна система функций ak е ^70,
удовлетворяющая условиям aft(Q = a£, где JQ cz J — открытый ин-
тервал, содержащий t0 (см. разд. 8.4). В данном случае важно,
однако, что (3) является линейной системой (как известно, в этом
случае локальное решение ak может быть однозначно продолжено
до глобального решения ak s$7).
Если Ср [а, р]->Л4, с2: [р, у] -> М — дифференцируемые пути
на М, такие, что у — Р = 0 — а и с2 (р + т) = с, (Р — т) (О^т^р — а),
то Ci и с2 называются взаимно обратными. Путь, обратный с,
обозначается через с-1. Как легко видеть, для параллельного поля
вдоль пути с~* получаем уравнения, аналогичные (3):
Dak='^iBkja!, k=\,...,n, (4)
/=i
где В/ (/) = — В/ (2р — t) (Р</<у). Поэтому из всякого решения
ak(t) (а^/^р) системы (3) получается решение ak (i) = ak (2р — t)
(рй^/^у) системы (4). Отсюда следует, что если Xt — параллель-
ное векторное поле вдоль с, то Х2^_( — параллельное векторное
поле вдоль с-1. Поставим теперь в соответствие каждому вектору
v s Мр, р = с(а), вектор (о) = Хр, где Xt — параллельное вектор-
ное поле вдоль с, удовлетворяющее условию Xa=v. В силу ли-
нейности уравнений (3) есть линейное отображение Мр в Мд,
а из указанного выше свойства параллельных путей вдоль взаимно
обратных путей вытекает, что Фс-1 ° = id. Итак, Л1р->Л1?
есть изоморфизм векторных R-пространств, он называется парал-
лельным переносом вдоль дифференцируемого пути с.
Размерность векторного пространства всех параллельных по-
лей вдоль с равна, очевидно, п.
Покажем теперь, как можно выразить ковариантную произ-
водную с помощью соответствующего ей параллельного переноса
(см. введение к этому параграфу).
Теорема 2
Усл. ^ — линейная связность на М; с: J М —дифференцируемый
путь. Для X е 23с обозначим X{V> — однозначно определенное
параллельное векторное поле вдоль с, удовлетворяющее усло-
вию Х^1 = Xt.
Утв. Для всех
Х^ — X
(S)
t-ЬЦ f ‘О
70
§ 2. Линейные связности
Док. Пусть vk, k=l, п — линейно независимые векторы из
Л1р, р = с(/0), и Yk — параллельные поля вдоль с, удовлетворяющие
условиям Yk\(ii:=vk. Тогда Yk линейно независимы при всех/е 7,
и по ним можно разложить X:
Х=2ф%. (6)
Х = 1
Покажем, что <рг е§7. Воспользуемся картой х, определенной
в окрестности р, тогда
Х? = 2 (У(х7)ф2, (7)
i = l
и в силу линейной независимости Уг имеем det(Fzx^)( /=] . п=/=0.
Решая систему уравнений (7) относительно <pz, устанавливаем
дифференцируемость <pz. Из линейности параллельного переноса
п
видно, что = 2 <PZ(0 Yi 1(о- С другой стороны, согласно (6), имеем
i ==1
Z«1 ™
п
Следовательно, предел в правой части (5) равен 2 Оф' \tYt |fo.
Из (6) вытекает по правилам ковариантного дифференцирования,
что \DX принимает то же значение при / = /0. Это завершает до-
казательство.
Замечания
(i) Найдите для заданной в замечании (ii) разд. 2.2 линейной
связности с кручением V параллельные поля вдоль прямых
t-^at + b, a, 6gR3. Например, параллельное поле Y вдоль пря-
мой /—>/е3, удовлетворяющее условию У(0) = D, |0, имеет вид
У (0 = cos у Dr |fej + sin у D2 |fe>. Таким образом, при параллельном
переносе вектор У (0) „вращается вокруг пути”.
(ii) Пусть М — дифференцируемое многообразие с линейной
связностью V, f: N -> М — дифференцируемое отображение,
У е ve^TN. Пусть, далее, с: 7-» Af — произвольный диф-
ференцируемый путь, для которого с (t0) = v (/0 е 7), и У(/) —
однозначно определенное параллельное векторное поле вдоль^° с,
для которого У^ = У°с(/). Получите из теоремы 2, что
у/Л _ у
v у = lim 1°
2.6. Параллельный перенос
71
Объясните эту формулу в частном случае N — M и / = id.
Получите соответствующую формулу для ковариантной произ-
водной VXB тензорного поля В типа (г, s) на М относительно
векторного поля X е 23Л1 в точке р е М (см. замечание (iii)
разд. 2.3).
(iii) Результат параллельного переноса из Мр в Mq вдоль
дифференцируемого пути с, соединяющего р с q, зависит, вообще
говоря, от выбора соединяющего пути. Однако, если R = Q, и только
в этом случае, результат параллельного переноса локально не
зависит от пути, как это видно из рассуждения, приведенного
ниже. В этом случае линейная связность V и многообразие М
с этой связностью называются плоскими.
Пусть / — невырожденный замкнутый интервал, Н: [а, р] X
X J-> М — дифференцируемое отображение („гомотопия"), такое,
что Н (a, s) = p, Я(р, s) = q для всех ss^J; Н задает, тем самым,
дифференцируемое семейство дифференцируемых путей, соеди-
няющих р с q. Пусть v е= Мр и Y такое векторное поле, что
t-+Y(t, s) параллельно вдоль s) при каждом фиксиро-
ванном s^J и У (a, s) = v при всех se/. Тогда Vp1T|/s = 0 и
VD2T|a>s = 0. Так как при этом ЧвХоХ s = 0 и О2] = б, то из
(7) разд. 2.5 в случае R=Q вытекает XDlXDlY |, s=0. Это означает,
что t —> D2Y |z s параллельно вдоль s) и, следовательно,
Vd2K|<s = 0, поскольку это поле обращается в нуль при t = a.
В частности, VD!Y lP s = 0 и Y (р, $) не зависит от $. Заметим ’теперь,
что каждая точка М имеет окрестность в М, диффеоморфную R".
Пути в такой окрестности, соединяющие р с q, можно деформи-
ровать друг в друга описанным выше способом.
Очевидно, в случае R = 0 параллельный перенос локально
не зависит от пути. Обратное утверждение легко получается
обращением предыдущего рассуждения. Нахождение топологи-
ческих условий, при которых на М существует в целом нетри-
виальная плоская линейная связность, представляет трудную
задачу. Обратная задача так же трудна даже при дополнитель-
ном предположении Г = 0 (V называется в этом случае аффинной
связностью).
В общем случае тензор кривизны есть мера зависимости парал-
лельного переноса от пути в окрестности данной точки. Точный
смысл этого утверждения виден из следующего построения. Пусть
реМ, и, v, w е= Мр. Возьмем в R2 квадрат Q{—1<Mj, и2<1}
и построим такое дифференцируемое отображение f: Q-+M,
что f (0) = р, f,Di Io = и, f,D2 |q=V. Для (t, s) eQ обозначим через wt,3
вектор из Мр, который переходит в w е Мр в результате после-
довательных параллельных переносов: сначала из р в f{t, 0) вдоль
пути T->f(x, 0), затем из f(t, 0) в f(t, s) вдоль пути a->/(/, а),
72
§ 2. Линейные связности
затем из f (t, s) в f (0, s) вдоль пути т -» f (т, $) и, наконец, из f (0, s)
в р вдоль пути ст->/(0, ст). Вектор wt<s получается из w парал-
лельным переносом в обратном направлении. Рассмотрим век-
торное поле Y е 23f, такое, что ст->У(0, а) параллельно вдоль
ст -> f (0, ст), У (0, 0) = w и т -» Y (т, ст) параллельно вдоль т -> f (ст, т).
Тогда в силу (7) разд. 2.5 имеем R (и, v) w = \вУоУ Выведите
отсюда, что
Wt W
R (и, v) w = lim —,
t, s-»0 ls
если t и s одновременно стремятся к нулю таким образом, что
отношение их заключено между двумя положительными числами.
Запись тензора кривизны подсказывает, что каждой паре векто-
ров и, v^Mp соответствует эндоморфизм R (и, v): Мр-*Мр, гео-
метрический смысл которого мы только что выяснили.
(iv) Тензорное поле В типа (г, $) на М называется параллель-
ным, если VB = 0. Функции f можно рассматривать как
тензоры типа (0, 0), тогда под V/ следует понимать 1-форму df0,
а параллельные функции на М суть постоянные. Для векторных
полей Y тензорное поле VF имеет тип (1,1) и задается формулой
X —> (X, Y е ЗЗМ). В общем случае на Л1 не существует парал-
лельных векторных полей, но если выполнено „условие интегри-
руемости" R = 0, то, согласно (iii), локально существует п линейно
независимых параллельных векторных полей. Для канонической
связности V некоторой параллелизации на М в качестве таких
полей можно взять поля, образующие параллелизацию. Покажите,
что в случае канонической линейной связности на группе Ли,
заданной левоинвариантной параллелизацией, тензор кручения Т
параллелен.
Если подставить в параллельный тензор параллельные вектор-
ные поля на М, то получается снова параллельное векторное
поле или постоянная функция. Докажите аналог этого утвержде-
ния для случая, когда подставляются векторные поля, парал-
лельные вдоль некоторого пути на М (см. замечание (И) разд. 2.5).
(v) Параллельный перенос вдоль кусочно дифференцируемого
пути (см. разд. 3.3) определяется естественным образом как после-
довательный перенос вдоль дифференцируемых отрезков пути.
Введем с помощью этого определения глобальную меру зависи-
мости параллельного переноса от пути. Пусть р<^М, каждой
кусочно дифференцируемой петле с началом и концом в р сопо-
ставляется посредством параллельного переноса автоморфизм
Мр~* Мр, и композиции путей отвечает композиция автоморфиз-
мов. Все такие автоморфизмы образуют подгруппу полной линей-
ной группы GL(Afp) всех автоморфизмов Мр, которая называется
группой голономии М в точке р и обозначается через Ф (р). Пред-
2.7. Геодезические
73
положим, что М связно. Покажите, что для всех qe^M группа Ф (q)
изоморфна Ф(р). Если зафиксировать р и отождествить GL(Mp)
с GL(ra, R), то Ф(р) становится, как можно показать, даже под-
группой Ли группы GL (га, R) (вообще говоря, незамкнутой).
Значение группы голономии состоит в том, что структурная группа
касательного расслоения может быть сведена к Ф(р) (см. замеча-
ние (v) разд. 1.7 и разд. 1.10), это означает, что вместо GL(ra, R)
можно принять группу Ф(р) в качестве структурной, если при
построении ТМ (см. разд. 1.10) пользоваться вместо ассоцииро-
ванных карт расслоения картами, возникающими естественным
образом при параллельном перенесении. В общем случае Ф(р)
есть общая линейная группа GL (п, R) или ее подгруппа GL+ (га, R),
состоящая из автоморфизмов Rs с положительным определителем.
Если Ф(р)=1, то в силу (iii) связность V плоская п ТМ три-
виально. Обратно, если линейная связность V плоская, то в силу (iii)
параллельный перенос из р в q зависит лишь от гомотопического
класса петель, т. е. мы приходим к „гомоморфизму голономии“
<р: Л|(Л1, р) -> GL (Мр) = GL (га, R) фундаментальной группы М
в общую линейную группу, образом которой является группа
голономий Ф(р). Если М плоско и односвязно, т. е. лДМ, р)= 1,
то Ф(р)=1 и М параллелизуемо.
2.7. Геодезические
Пусть М — дифференцируемое многообразие размерности га;
/ — невырожденный интервал; с: J-> М — дифференцируемый путь.
Касательным полем пути с называется касательное векторное
поле с вдоль с, определенное формулой
C = C,D. (1)
Путь с называется регулярным, если с: /—> М — погружение, т. е.
если с (t)¥= 0 для всех Пусть 7 —замкнутый интервал [а, Р].
Путь с называется периодическим, если отображение с можно
продолжить до дифференцируемого периодического отображения
R—>М с периодом р — а.
Пусть V — линейная связность на М. Дифференцируемый путь с
на М называется геодезической, если его касательное поле с
параллельно, т. е. удовлетворяет условию
= 0. (2)
Пусть теперь х — карта на М с областью определения (7;
ПОЛОЖИМ Л/ =---г.
дх1
74
§ 2. Линейные связности
Так как
c(xft) = (c.D)(xft) = (S
\i=*l
D (хг ° с) Xf о с I xk = D (xk ° с),
то в силу (2) разд. 2.6 имеем
Vpc (0=1
k~l
п
DD(xk°c) + 2
i, /=i
при c(f)e^U. Поэтому локально (2) равносильно уравнениям
DD(xk°c) + 1 £>(хгос)О(хуоС)Г* оС = 0, fe=l,...,n. (3)
i. /=i 4
Это классические дифференциальные уравнения геодезических.
Согласно известной теореме теории дифференциальных урав-
нений, для заданных р 6= М, v s Мр и /0 6= R локально существует
геодезическая, удовлетворяющая условиям c(Z0) = p, с(/0) = и. Эта
геодезическая однозначно определена с точностью до области
определения.
В следующих двух разделах мы получим геодезические как
проекции интегральных путей некоторого глобально определенного
на ТМ векторного поля S, что приведет нас сразу же к одно-
значно определенным максимальным геодезическим. При этом
будет существенна глобальная „дифференцируемая зависимость
решений от начальных значений", с помощью которой мы сможем
доказать дифференцируемость так называемого экспоненциального
отображения, соответствующего линейной связности.
Подчеркнем, что система дифференциальных уравнений (3)
нелинейна. Решения таких систем, вообще говоря, не могут быть
неограниченно продолжены. В то время как параллельный перенос
вдоль дифференцируемого пути возможен до тех пор, пока этот
путь определен, геодезическая часто не может быть продолжена
за пределы некоторого интервала (а,₽)еР, даже если М компактно
(см., например, замечание (vi)). Линейная связность V на М назы-
вается полной, если каждая геодезическая на М, определенная
на некотором интервале, может быть продолжена до геодезической,
определенной на всей R. Отличительная черта связности Леви-
Чивита V на римановом многообразии М (см. § 3) состоит именно
в том, что из компактности или (в более общем случае) метри-
ческой полноты М вытекает полнота V.
Замечания
(i) Для канонической связности V на R” и карты x = id имеем
Г?/ = 0. Поэтому, согласно (3), все геодезические с: /—>R" суть
Прямые <?(/) = а/+ 6 (а, b 6= R”),
2.7. Геодезические
75
(ii) Если для векторного поля X е ЙЗЛ4 выполнено условие
VxX = 0, то каждый интегральный путь с поля X (см. разд. 8.5)
есть геодезическая связности V. В самом деле X°c=c — cfi, так
что D и X являются с-связанными, поэтому из замечания (iv)
разд. 2.5 имеем 0 = (VxX) ° с = VD(X ° с) = XDc. В частности, инте-
гральные пути параллельного векторного поля суть геодезические.
Если М параллелизуемо и V — каноническая линейная связность
параллелизации Хь ..., Х„е®Х1, то все геодезические на М — инте-
п
тральные пути векторных полей вида ^а1Хь ci'gR. В этом
случае линейная связность V = V + S, где S — антисимметрическое
тензорное поле типа (2,1) на М, имеет те же геодезические, что V,
так как SDc = 0. Поэтому геодезическими связности V на R3,
введенной в замечании (ii) разд. 2.2, являются те же прямые,
что и в замечании (i). Вообще если V —линейная связность на М
и S —тензорное поле типа (2,1) на М, то геодезические V совпа-
дают с геодезическими V + S тогда и только тогда, когда S анти-
симметрично. В частности, для каждой связности V существует
связность без кручения с теми же геодезическими, а именно,
(iii) Для связности V на R2, введенной в замечании (ii) разд. 2.3,
дифференциальные уравнения геодезической с: /->R2 относительно
карты x = id имеют вид
« + йй = О, ii — й2 = 0,
где и, и —компоненты с и й обозначает Du. Для любой геодези-
ческой сумма й2 + v2 постоянна. Если и постоянна, например
w(0 = mo, то прямая и = Ио, v = a/ + p, параллельная оси и, пред-
ставляет решение предыдущей системы; v постоянна только для
тривиальной геодезической. Используя замечание (ii) можно найти
некоторые геодезические. Например, геодезическими являются
интегральные пути Х2, удовлетворяющие дифференциальным урав-
нениям
й = — sin и, и = cos и.
Некоторые решения этих уравнений можно выразить простыми
формулами. При й = 0, например, получаем прямые u{t) = kn,
v (/) = ( — l)ft / + ₽, при й=/=0 можно указать семейство решений,
зависящее от одного действительного и одного целочисленного
параметра:
и(0 = 2 arctge(-1)*( + fen, и (О = 2 (- 1)*—
1 +е2(~1)^ ь 1
76
§ 2. Линейные связности
где k — целое и peR. Координаты «(/), v(f) связаны при этом
уравнением
v = — log sin2 и + р, u^=kn.
(iv) Пусть с: J М — дифференцируемый путь. Тогда касатель-
ное поле с есть дифференцируемый путь на ТМ, с —дифферен-
цируемый путь на ТТМ, и т. д., fe-кратная итерация касательного
поля с(/г) — дифференцируемый путь на Т^М. Путь с периодичен
в том и только том случае, если с(4) замкнуты при всех fe^O;
с является геодезической в том и только том случае, когда ct
горизонтален при всех Геодезическая с периодична тогда
и только тогда, когда с(а) = с(р) и с(а) = с(р) (/ = [а, 0]).
По традиции периодические геодезические часто называют
„замкнутыми геодезическими", хотя замкнутость означает обычно
лишь с (а) = с (р).
(v) Рассмотрим на группе Ли G каноническую связность V
относительно левоинвариантной параллелизации. Эта связность
не зависит от выбора левбинвариантных полей, задающих парал-
лелизацию, поэтому мы будем называть ее просто левоинвариант-
ной связностью на G. Согласно замечанию (И), все геодезические
связности V суть интегральные пути левоинвариантных полей.
Если X — такое поле, h<=H и с: J-+ М — интегральный путь X,
то Lh°c также есть интегральный путь X по определению лево-
инвариантного поля. Обозначим через е единицу G. Если с —инте-
гральный путь поля X, определенный в некотором открытом интер-
вале J, содержащем 0, причем с(0) = е, то при t, t + t^J
путь с удовлетворяет функциональному уравнению с(/1 + /) =
= с(^)с(0- В самом деле, пути /->с(/1 + /) и /—>с(/а)с(/) суть
интегральные пути поля X, совпадающие при t = 0, а поэтому
и везде.
Пусть с — максимальный интегральный путь, удовлетворяющий
условию с(0) = е. Покажем, что его область определения / = R.
Действительно, если, например, 7 = (а, р), где р<°о, то при
О<т)< р путь Ср (а + ц, p + t])->G, заданный формулой с1 (/) =
= с (ц) с (I — ц), есть интегральный путь X. Так как сДт]) = с(т)),
то с может быть продолжен вправо от р, вопреки предположению.
Итак, все геодезические группы Ли G могут быть продолжены
на R и левоинвариантная связность группы Ли всегда полна.
Одновременно мы установили, что каждая геодезическая
с: R—>G, удовлетворяющая условию с(0) = с, есть гомоморфизм R
в G и, естественно, также инъективное погружение (но, вообще
говоря, не вложение; см. замечание (iv) разд. 1.7). Образ с есть
одномерная подгруппа Ли группы G, такие подгруппы называются
также однопараметрическими. Обратно, каждая однопараметри-
ческая подгруппа G является образом некоторой геодезической.
2.8. Экспоненциальное отображение струи
77
Образ геодезической с: R—>G, удовлетворяющей условию c(O) = g,
есть левый класс смежности gH подгруппы Н = Lg' ° с (R). Изучите
геодезические групп Ли, приведенных выше в качестве примеров.
(vi) Покажите, что каноническая связность V на R" полна на
непустом открытом подмножестве G cz R тогда и только тогда,
когда U = R". Если V —любая линейная связность на R, то для
любых s1( s2szR существует геодезическая с: [а, 0]—>R, удовлетво-
ряющая условиям c(a) = Si, c(0) = s2. Однако на R существуют
неполные линейные связности, например заданная формулой
\dD = D. Рассмотрим дифференцируемое накрытие л: R—>£', за-
данное формулой л(/) = (соз/, sin/). Касательное поле ZJeziBR,
очевидно, л-связано с некоторым векторным полем
Формула Vd,Z)i=Z)i задает линейную связность V на S*. Никакая
нетривиальная геодезическая щ этой связности не может быть
определена на всей R. В самом деле, ct = л ° с, где с — геодезиче-
ская заданной выше связности V на R, и с не может быть про-
должена на R. Таким образом, существуют компактные много-
образия с неполной линейной связностью. Сфера S’ и прямая R
являются даже аффинными многообразиями: для любой связности
на них R = 0 и Т = 0.
Постройте пример неполной линейной связности на двумерном
многообразии.
2.8. Экспоненциальное отображение струи °
Пусть М — дифференцируемое многообразие размерности п.
Векторное поле S на касательном расслоенном пространстве ТМ
называется струей на М, если оно удовлетворяет следующим
условиям:
л. °S = id, (1)
S оha = a(ha), ° S (aeR), (2)
где ha — гомотетия, определенная в разд. 2.4, т. е. /г0(и) = аи.
Таким образом, для всех v^TM, aeR имеем л,5в = и,
SaB = a (/za), SB. Оказывается, что интегральные пути струи удо-
влетворяют некоторому функциональному уравнению.
Лемма 1
Усл. S — струя на Л4; оеТ'М; Фв: J -» ТМ — однозначно опреде-
ленный максимальный интегральный путь векторного поля S,
удовлетворяющий условию Фв(0) = и (см. разд. 8.6).
В литературе термин „струя" часто используется для обозначения объек-
тов иного рода (в подлиннике — spray) — Прим. ред.
78
§ 2. Линейные связности
Утв. Фо удов лет воряет соотношениям-.
Ф5о(0 = sOo(s0 (se=R), (3)
л ° Фи = Фо. (4)
Док. Чтобы доказать (3), рассмотрим путь Ч7: J-+TM, задан-
ный формулой Ч7 (/) = $Фа (st). Тогда Ч7 (/) = 47tZ)< = ($ФД (sDst) —
= s (хФа). Dst = s(hs ° Фо). Dst - s (/zs). ° (Фа). Dst = s (hs)t Фо (sZ) =
= 5Ш.5оФи(з0 = 5оЧ7(0.
Таким образом, Ч7 есть интегральный путь S. Так как при
этом Ч7 (0) = $Фа (0) = su = <Dsa (0), то Ч7 и Ф8а совпадают. Соотноше-
ние (4) доказывается следующим образом: л»Ф„ = л,”5оф!, = Ф11,
Пусть S —струя на М. Согласно лемме из разд. 8.6, суще-
ствуют такое открытое множество IFczRxTM и такое диффе-
ренцируемое отображение Ф(/, и): W->TM, что для каждого
v 6= ТМ множество /а = {t: (t, и) e= W} представляет собой открытый
интервал и отображение Ф(/, и)^: JV->TM есть максимальный
интегральный путь Фа векторного поля S, удовлетворяющий усло-
вию Фа (0) = v:
Ф(/, и) = Фа(0. (5)
Обозначим через W подмножество W, состоящее из всех то-
чек (t, и), для которых /а [0, 1]. Обозначим через рг естествен-
ную проекцию W на второй сомножитель и положим 7’A4 = pr(lF),
ТМ аТМ. Ясно, что ТМ — открытое подмножество ТМ. Покажем,
что вместе с каждым вектором vTM содержит все векторы ти,
0^т^1. В самом деле, согласно (3), при 0^т^1 интеграль-
ный путь Фха может быть определен, во всяком случае на интер-
вале /а, с помощью равенства
Фха (t) = тФ0 (xt) (t е /0).
В частности,
_ тФа (т) = Фта (1) (6)
при v^TM, 0^т^1.
Из только что доказанного вытекает, что Мр = ТМ П Мр предста-
вляет собой звездообразную окрестность нулевого вектора 0р<=Мр
для каждой точки ре^М.
Определим теперь экспоненциальное отображение exp: ТМ-> М
струи S по формуле
ехр (ц) = л ° Ф(1, и), (7)
2.8. Экспоненциальное отображение струи
79
где ve^TM. Очевидно, это отображение дифференцируемо, по-
скольку дифференцируемы л и Ф. Часто рассматривают также
отображение ехрр: Мр-+М, заданное формулой
ехрр = ехр (8)
таким образом, ехря (а) (и) = ехр v для v^TM. Отображение ехрр
называется экспоненциальным отображением в точке р и диффе-
ренцируемо вместе с ехр.
Теорема 1
Усл. S — струя на М; ехр — экспоненциальное отображение струи S.
Утв. Для каждой точки р^М справедливы следующие предло-
жения:
(а) ехр имеет в точке ОР^ТМ максимальный ранг (=и);
(Ь) ехрр имеет в точке р максимальный ранг (= и) и обра-
тимо в некоторой окрестности точки OpezAlp;
(с) отображение лХехр: ТМ-+МХМ имеет в точке 0р
максимальный ранг и обратимо в некоторой окрестности
точки 0р относительно ТМ.
Док. Пусть i: Мр cz ТМ — включение. Построим для v е^Мр диф-
ференцируемые пути <р: /а—>А4р и с: !..->.М по формулам
<р(/) = /и, c = exp°io<p. (9)
Тогда имеем
с (0) =ехр, ° I. ° <р,Д0 = ехр, ° i, ° Iov, (10)
где /0 : Мр-*(Мр)Ор — канонический изоморфизм (см. (5) разд. 1.4).
Обозначая по-прежнему через Фа максимально определенный
интегральный путь поля S, удовлетворяющий условию Фа(0) = и,
с помощью (6), (7) и (9) получаем, что
с(0 = л°Фа(0 (11)
для t^Jv, откуда
с (0) = л, о Фа (0) = n,S о Фа (0) = Фа (0) = v. (12)
Сопоставляя (10) и (12), получаем
ехр, ° I, ° IOpv = v (13)
для и еА4р.
Доказательство утверждения (а) сразу же следует из (13).
Для доказательства (Ь) заметим, что (ехрД = (ехр ° г), = ехр, ° i,,
поэтому из (13) следует, что ехрр имеет максимальный ранг
80
§ 2. Линейные связности
в точке 0р. Так как dim Мр = dim М, утверждение следует из
теоремы обращения.
Переходим к доказательству (с). Пусть х — карта, определенная
в окрестности р, х — ассоциированная карта расслоения на ТМ.
Положим X, = -^7 (/ — 1, ..га), Ak = —(6=1, ..2п). Введем
дх1 дхя
произведение карт z = xX х на М X М в окрестности точки
(р, р) = (л(Ор), ехр(0р)) (см. разд. 1.7). Полагая
А = (6=1, ...» 2га),
с помощью (2) разд. 1.4 получаем
2п
(лХехр),ЛА|0 =2 Alo0(z7°(" Xexp))Zy |(р,р). (14)
Очевидно, zl ° (лХехр) = х1 ° л и zn+l ° (лХехр) = х1 °ехр (/== 1,..., п).
В силу (1) разд. 1.10 имеем = (/=1, •••> п), а поэтому
Л10р(хМ = б{ (/=1, ..., п, k=l.......2га). (15)
Как мы покажем далее, имеет место
Л+й1ор(х/°ехр) = б1 (/, 6=1....га). (16)
В самом деле, рассмотрим пути срА: R->Afp, заданные формулой
2п
Фй (0 = ^й 1р. Тогда (i о фй), Do = 2 °о(х7 ° I ° Фй) А1 lop = An+k I ор, так
как Х! о L о Фб (/) = х! (р) и
х'г+/°10фД/) = /Хй|рХ/ = /бй (/= 1, «)•
С другой стороны, (1°Фй),£>о = 1.°4р^й1р> откуда An+ft|Op =
= i, °IOpXk\p, и получаем из (13)
ехР* An+k 1()р = ^й1р- (17)
Более того, согласно (2) разд. 1.4, имеем
ехр. Л+й I ор = 2 An+k 10р (х7 0 exp) Xt | р
и, сравнивая с разложением (17), получаем утверждение (16).
В силу (14) —(16) матрица линейного отображения (л X ехр)«Ор от-
2.8. Экспоненциальное отображение струи
81
носительно базисов |Ор, ..., А2п |Ор соответственно Zjltp.p), ...
• ••, Z2nl(p.P), имеет вид
“1 0|
< i *
° 1 i
I 1 0 1
= . I
О j • }
_____ i о jJ
n___n
и поэтому имеет наивысший ранг (= 2га). Для завершения дока-
зательства (с) остается применить теорему обращения.
Из (17) опять же следует, что ехр имеет максимальный ранг
в точке 0р.
В следующей теореме рассматривается „глобальное" поведение
отображения лХехр в окрестности подмногообразия О (Л1) сд ТМ.
Теорема 2
Усл. S — струя на М; ехр—экспоненциальное отображение струи S;
0: М -> ТМ — нулевое сечение.
Утв. Существует такая окрестность UczTM дифференцируемого .
подмногообразия 0(M)czTМ, что отображение (лХехр) |у: t/~*
-> М X М есть диффеоморфизм U на некоторую окрестность
диагонали в MX М.
Док. Доказательство получается из теоремы 1 и простых топо-
логических соображений. Согласно утверждению (с) теоремы 1,
у каждой точки 0реГМ найдется окрестность Gpa:TM, на ко-
торой отображение лХехр гомеоморфно. Тогда открытое множе-
ство G = U Gp содержится в ТМ, содержит 0 (М), и л X ехр |0
рем
локально гомеоморфно, в то время как лХехр|0(М) инъективно.
Представим М, как и в доказательстве теоремы 8.2, в виде
объединения возрастающей последовательности компактных мно-
жеств С; (i=l, 2, ...) так, чтобы Сг состояло из внутренних
точек С/+1. Положим ^ = 0(0/) (i = l, 2,...), Ао=0, Bt~
С( X С^ М X М (z=l, 2, ...). Построим по индукции после-
82
§ 2. Линейные связности
довательность открытых множеств с компактными замыканиями
UiCzG (z = 0, 1, 2, ...), обладающих следующими свойствами:
(a)
(b) U^Ai.
(с) Множество л({7г)иехр(17г) состоит из внутренних точек С/+1.
(d) Отображение л X ехр |у,и0(М) инъективно.
Положим UQ=0. Пусть Ult ..., Ut уже построены и обладают
свойствами (a) —(d). Поскольку UiUAi+2 компактно, в силу до-
казываемой ниже леммы 2 существует такое открытое в G мно-
жество Vi+l U Ai+2), на котором л X ехр инъективно. Далее,
(л Xexp)(t7zU^4,-+i)<=Bi+i- (18)
Следовательно, компактное множество, стоящее в левой
части (18), состоит из внутренних точек Bi+2. Поэтому существует
такое открытое в G множество й7)+1, что ^z+i компактно,
(лХехр)(1^г+1) состоит из внутренних точек Bi+2 и 1^/+1=>(Дг J А1+1).
Положим Ui+1 = Уг+1 П l^z+i- Тогда л X ехр инъективно на
Ui+1U Ai+2, причем значения отображения на этом множестве не
могут совпадать с его значениями на 0(М)\Л/+2. Поэтому
лХехр инъективно на L\-+1U0(M) и построение по индукции
окончено. Требуемая в теореме окрестность U подмногообразия
О (М) есть (J Ui.
/» 1
Лемма 2
Усл. М, N — хаусдорфовы пространства со счетной базой', М ло-
кально компактно; f: M->N локально гомеоморфно;
АаМ - компактное подмножество; f |л инъективно.
Утв. Существует такое открытое в М множество V => А, что f |и
инъективно.
Док. Построим убывающую последовательность открытых мно-
жеств с компактными замыканиями Vn, я=1, 2, ..., пересече-
нием которых является А. Предположим, что f |к не инъективно
ни при каком п. Тогда для каждого п существуют такие раз-
личные точки рп, qn^.Vn, что f(pn) = f(Qn)- Для некоторой под-
последовательности {nk} получаем предельные точки р, q^A.
Если p=A=q, то в силу инъективности f\A имеем f(p)=A= f(q), от-
сюда при достаточно большом п получаем f (рп) #= f (qn), что не-
возможно. Если же p = q, то существует такая окрестность V (р)
точки р, что Лг(р) инъективно в силу локальной гомеоморф-
ности f. Но тогда при некотором п имеет место рп, qn^V (р),
ЧТО также ведет к противоречии?,
2.9. Геодезическая струя линейной связности
83
Таким образом, для некоторого п отображение f [v инъективно,
что и доказывает лемму.
Замечания
(i) Покажите, что лХехр имеет максимальный ранг (= 2п)
в точке v^TM, если ехрл(и) имеет максимальный ранг (=га)
в точке v.
(ii) Покажите, что окрестность U в теореме 2 может быть по-
строена так, что при всех р е М множество t7 р Мр будет звездо-
образно. Тем самым А = (л X exp)(t/) есть окрестность диагонали
в МХМ, ретрагируемая „по радиусам" на диагональ.
2.9. Геодезическая струя линейной связности
Мы получим теперь геодезические линейной связности на М
проектированием интегральных кривых некоторой струи.
Теорема
Усл. М —дифференцируемое многообразие, V — линейная связ-
ность на М с отображением связности К.
Утв. НаМ существует одна и только одна горизонтальная струя S,
т. е. такая, что
^ = 0я(„)
для всех v ТМ.
8 называется геодезической струей линейной связности V.
Док. Согласно 2.4, отображение л. X К'. ТТМ->ТМ ХТМ инду-
цирует для каждого вектора w е ТМ изоморфизм (TM)w ->Мя(1и)Х
X Mn{w). Поэтому для каждого v<=TM существует один и только
один вектор SV^(TM)V, удовлетворяющий условиям
л.8„ = щ Л8в = 0я<о). (1)
Определенное таким образом отображение 8: ТМ->ТТМ есть,
очевидно, сечение расслоения ТТМ. Ниже мы проверим, что это
сечение дифференцируемо. Покажем сначала, что 8 удовлетво-
ряет условиям (1) и (2) разд. 2.8. Условие (1) выполнено по са-
мому построению 8. Чтобы доказать (2), достаточно в силу
разд. 2.4 проверить соотношения
л. °(8 ° /г0) = л, ° (а (/га).$)» (2)
/(»(8»/га) = *о(а(Ц8). (3)
Доказательство (2). Так как л ° ha = л, то для иеТМ имеем
Л. Ct 8„ = Ct (л ° /^а)ф8р = (ХЛф8р === (W = Лф8ао ===
= л. (Softa(0)).
84
§ 2. Линейные связности
Доказательство (3). В силу (1) левая часть (3) равна
/С (S ° ha) V = Ол (аи) = 0л(о)!
правая же часть (3), согласно (21) разд. 2.4, равна
К (a (ha). S)v = a(K° (ha).) Sv = aha (KSV) = 0я(и).
Остается проверить, что S дифференцируемо. Для этой цели мы
построим локальное представление S. Пусть U — область опреде-
ления некоторой карты х на М, х — ассоциированная карта рас-
слоения на TU, Xi = (i = 1, ..., п) и Ak — (k = 1, ..., 2га).
дх1 дхк
Для о и 50 получаем представления
п п 2п
О - 2 » « X, |„ = 2 ?*' (V) X, |„ № S, - 3 а* (о) Л |„
1 = 1 1 = 1 ft=l
где v е= TU. Так как n*So = v, из (10) разд. 2.4 следует, что а1 =
= xn+l, i=l, ..., п. Далее, в силу условия /<5а = 0я(1)) из (11)
разд. 2.4 следует
ап+к = — 2 хп+1хп+1Г^оЯ, k=l, .... п. (4)
i, /=1
Таким образом, имеем
S\ru = t xn+kAk- 3 (xn+ixn+/r^n)An+k, (5)
k^i i,i.k=\
откуда, очевидно, следует дифференцируемость S.
Геометрический смысл геодезической струи выражается сле-
дующей леммой.
Лемма
Усл. V — линейная связность на М; S — геодезическая струя
связности V.
Утв. Путь с‘. J -> М тогда и только тогда является геодезичес-
кой, когда существует такой интегральный путь ср: J-+TM
геодезической струи S, что
с = л о ф (6)
и
с = ф. (7)
Док. Пусть с: J-+M — геодезическая. Тогда, согласно опреде-
лению линейной связности вдоль пути (см. разд. 2.5) и (2) разд. 2.7,
имеем
¥рс = К(сД) = 0.
(8)
2.9. Геодезическая струя линейной связности
85
Так как л о с = с, имеем, кроме того,
= (л ° c)„D = c„D = с. (9)
По определению геодезической струи из (8) и (9) следует c„D =
= S°c, т. е. с есть интегральный путь S. Поскольку с = л»с,
первая часть утверждения доказана.
Пусть, обратно, ф: ТМ — интегральный путь S, тогда
Л » ф = Л, О ф = л, « S О ф = ф,
и поэтому
Vo (л ° ф) = ?£>ф = — Дф = Д5ф = О,
т. е. л°ф есть геодезическая.
Согласно разд. 8.6, для каждой точки v^TM и каждого ZoeR
существует один и только один максимальный интегральный путь
ф: J-+TM, удовлетворяющий условию ф(/0) = п. Тогда, согласно
лемме, для каждой точки р^М, veMp и ZoeR существует одна и
только одна максимальная геодезическая с: J-> М, удовлетворяю-
щая условиям с(/0) = ри с(/0) = и (возьмите интегральный путь ф,
для которого ф(/0)==и, и положите с = л°ф).
В дальнейшем ехр: ТМ—>М везде означает экспоненциальное
отображение геодезической струи некоторой линейной связности
на М. Поскольку это отображение однозначно определяется связ-
ностью V, оно называется также экспоненциальным отображе-
нием связности V. Следующие три высказывания эквивалентны:
V полна; S полна; отображение ехр определено на всем ТМ
(см. разд. 2.7 и 8.8). Из (6) и (7) разд. 2.8 следует, что
ехр (tv) = л ° Фо (t), (10)
где v^TM и Ф„: J-+TM — максимально определенный интеграль-
ный путь S, удовлетворяющий условию Фи(0) = и. Тогда путь
с: J -> М, заданный формулой
с (t) = ехр (tv), (11)
есть, согласно лемме, однозначно определенная максимальная
геодезическая, удовлетворяющая условиям с (0) = л(ц) ис(0) = о.
Таким образом, экспоненциальное отображение позволяет „ли-
неаризировать“ все исходящие из точки р^М геодезические.
Замечания
(i) Экспоненциальное отображение канонической линейной
связности V на R'1 задается формулой ехрр v = р + а, где v =
= 3 alDt |р.
1 = 1
8(5
$ 2. Линейные связности
(ii) Термин „экспоненциальное отображение*1 объясняется сле-
дующим характерным частным случаем.
Пусть G —группа Ли с единичным элементом е и левоинва-
риантной связностью V. Согласно замечанию (v) разд. 2.7, опре-
делено отображение ехр/. Ge->G, являющееся на каждом одно-
мерном подпространстве Ge гомоморфизмом, т. е. удовлетворяющее
для всех v^Ge, t, ^eR функциональному уравнению ехр ((^ + /) и) =
= ехр (t}v)ехр (/и). Однако, в общем случае ехре не является го-
моморфизмом на всем Ge (рассматриваемом как аддитивная
группа). Обозначим через 9ft„(R) векторное R-пространство всех
действительных «-рядных матриц, тогда G = GL (п, R) есть откры-
тое подмножество (R) R"2, и тем самым, Ge канонически
изоморфно 3W„(R). Обычное экспоненциальное отображение (R) ->
->GL(n, R) определяется для матриц ae3W„(R) формулой еа =
оо
~ тг» П0ЭТ0МУ мы получаем дифференцируемое отображение
*-о
Ge-+G, удовлетворяющее на каждом одномерном линейном под-
пространстве тому же функциональному уравнению, что и ехрр.
Согласно замечанию (v) разд. 2.7, оба отображения должны сов-
падать, т. е. ехре на полной линейной группе задается экспонен-
циальной функцией от матрицы. В случае п=1 группа G есть
мультипликативная группа R* действительных чисел, не равных
нулю, G[ = R, а функция exp/ R->R* есть обычная действитель-
ная показательная функция ехр1(/) = е/, изоморфно отображаю-
щая R иа мультипликативную группу положительных чисел. Та-
ким образом, t-^e* есть геодезическая на R.
Найдите VOZ) для инвариантной связности V на R*.
(iii) Экспоненциальное отображение ехрр линейной связности V
на М для точки р, вообще говоря, не инъективно, а также не
везде имеет максимальный ранг. Даже если М связно и V полна,
так что Мр = Мр, отображение ехрр не обязательно сюръективно.
Сюръективность не является обязательной даже в случае, если
V — левоинвариантная связность связной группы Ли. Например,
рассмотрите компоненту связности единицы GL+ (2, R) в группе
GL(2, R) и покажите, что матрица
/ —а 0 \
I о -Д 0<о<1’
\ а /
не принадлежит образу ехрР.
Можно, однако, показать, что если группа Ли G связна и
компактна, то expe: Ge->G сюръективно.
2.9. Геодезическая струя линейной связности
87
ЛИТЕРАТУРА К § 2
Dombrowski Р., On the geometry of the tangent bundle, Journal fur die reine
und angewandte Mathematik, 210 (1962), 73—88.
Kobayashi S. and Nomizu K., Foundations of differential geometry I, Inter-
science Publishers (1963), New York — London.
Ленг С., Введение в теорию дифференцируемых многообразий, М., 1967.
Номидзу К-, Группы Ли и дифференциальная геометрия, М., 1960.
§ 3. Римановы многообразия
3.1. Определение риманова многообразия
Предположим, что на дифференцируемом многообразии М опре-
делено тензорное поле g типа (2, 0), т. е. билинейное отображе-
ние g: 23Л1 X над кольцом Если g удовлетворяет
условиям
g(X,Y) = g(Y,X), (1)
g(x, Х)\р>0 (2)
для всех X, Y е 23Л4 и для всех р, где Хр=£0, то g называется
основным тензором, или метрическим тензором на М. Римановым
многообразием называется объект, состоящий из дифференцируе-
мого многообразия и заданного на нем метрического тензора.
Условие (1) выражает симметричность метрического тензора,
условие (2) —его положительную определенность. Вместо g(X, У)
мы будем большею частью пользоваться записью {X, У). Согласно (1)
разд. 2.3, для каждой точки р е М мы получим билинейную
форму ( , ) на векторном R-пространстве Мр, полагая (и, w) =
— {X, Y)p, где v, w^Mp и X, У е 23Л1 — такие векторные поля,
для которых Xp = v, Yp = w. В силу (1) и (2) этим задается внут-
реннее (скалярное) произведение на Мр. В частности, мы полу-
чаем на Мр норму || ||: MP->R и евклидову метрику р: Мр X
XMP->R с помощью формул ||и|| = (и, и)2, р(и, w) = || v — w ||.
Касательное пространство Мр с заданной на нем метрикой р есть
евклидово векторное пространство. Метрический тензор g на
дифференцируемом многообразии М называется также римано-
вой метрикой касательного расслоения ТМ, так как g индуци-
рует евклидову метрику на каждом слое Мр. Метрический тензор
на М называется еще римановой метрикой на М. Существенно
при этом, что „риманова метрика касательного расслоения" не
есть „риманова метрика на расслоенном пространстве ТЛ1“; ее
задание равносильно заданию римановой метрики на М. Ниже
мы увидим, как на дифференцируемом многообразии ТМ может
быть построена риманова метрика, исходя из метрического тен-
зора на М. Важно отметить, что внутреннее произведение „диф-
ференцируемым образом зависит от р“, т. е. отображение
3.1. Определение риманова многообразия
89
Ур) дифференцируемо для любых дифференцируемых век-
торных полей на М, что вытекает непосредственно из определения
тензора. Риманова геометрия есть обобщение евклидовой геомет-
рии, так как задание римановой метрики означает задание на
дифференцируемом многообразии дифференцируемым образом за-
висящей от точки евклидовой структуры.
Для каждой точки р определим функцию М°РХ М°р —> [О, л],
где Л1р = Л1р\{0}, формулой
cos^(o, (3)
Функция да) называется (не ориентированным) углом между
v, w^M°p. Векторы v, называются ортогональными, если
(ц, да) = 0, или, что то же самое, ^-(v, да) = -^- (и, дае.Мр). Если
Cj, с2: J->M — дифференцируемые пути,
с! (/о) = с2 (/о) И С1 (/о)#=О, С2(/о)#=О,
то угол ^(с((/0), с2(/0)) называется углом пересечения путей сь с2
в t0-
Пусть х —карта на М с областью определения U и Xt =
==—Тогда векторные поля X, Y^8U представляются
дх1
п п
в виде X = У , где <р*, Из билинейности g
» = ! 1 = 1
п
вытекает представление {X, У) = 2 фг'Ф/Я//» функции g^ =
= {Хг, называются компонентами тензора g относительно
карты х.
Определим для тензоров <о1; <о2 типа (г, 0) и (s, 0) соответст-
венно тензорное произведение <о( ® <в2, т. е. (г + с)-форму, задан-
ную формулой
(©j®^)^, ..., Х„ Y,....... Ув) = ®1(Х1, ...» ХГ)®2(У„ .... У3),
Xlt Y^%M, i = 1.....r, j= 1....s.
Тогда, обозначая тензорное поле g |у через ds2, можно
представить его в виде
ds2 — 2 giidx1 ® dx}.
i, /»1
Обозначение ds2, все еще употребляемое, указывает на то, что
вдоль дифференцируемого пути g равно квадрату дифференциала
90
§ 3. Римановы многообразия
длины дуги (см. разд. 3.3), что связано, таким образом, с фунда-
ментальным для всей римановой геометрии понятием. Тензор g
называется также „первой основной формой" риманова много-
образия М (есть еще „вторая основная форма", определяемая,
однако, не внутренним образом, а как характеристика погруже-
ния в некоторое другое риманово многообразие, см. разд. 3.7).
Замечания
(i) Пусть М есть n-мерное параллелизуемое многообразие,
Х{, ..., — параллелизация. Тогда условие g(Xt, Xj)\p =
= (для всех р) задает на М риманову метрику g. Если М —
группа Ли, то для левоинвариантной параллелизации получаем
левоинвариантную риманову метрику. В частном случае М =
= Rre, = такая метрика называется канонической.
(ii) Пусть М, N — римановы многообразия с метрическими
тензорами g{, g2. Тогда на дифференцируемом многообразии MXN
естественным образом вводится метрический тензор g, опреде-
ляющий на нем произведение римановых метрик g{, g2. Положим
для этого
g(X, Y) = g\{*uX, льГ) + g2 (л2Д, л2*Л>
где л1( л2 —проекции на М, N и X, Те® (М X N). В силу кано-
нического изоморфизма (М X N\p } = Мр X Nq метрика g индуци-
рует в (М X М)(р } произведение евклидовых метрик, заданных
тензором g{ в Мр и тензором g2 в Nq. Метрика g обозначается
также через gi X g2.
3.2. Изометрические отображения
Рассмотрим теперь соответствующие классу римановых много-
образий отображения, согласованные с римановой структурой.
Пусть М, N — римановы многообразия, f: M-+N — дифференцируе-
мое отображение; f называется изометрическим отображением,
если для всех реМ и всех (о, w)^Mp имеет место
<о, w) = (f,v, f,w}. (1)
Очевидно, каждое изометрическое отображение является по-
гружением. Если множество точек М содержится во множестве
точек N и включение i: М cz N есть изометрическое вложение, то М
называется римановым подмногообразием N. Изометрический диф-
феоморфизм называется также изометрией.
Пусть f: M-+N — дифференцируемое отображение и В —тен-
зорное поле типа (г, $) на N. Тогда f индуцирует на М тензорное
поле f'B того же типа по формуле
(ГВ)(*>....Xr) = B(f.X,....f.Xr),
3.2. Изометрические отображения
91
где Xlt ХГ^^М. Если g — метрический тензор на N и f—
погружение, то f*g — однозначно определенный метрический тензор
на М, по отношению к которому отображение f изометрично. В са-
мом деле, f’g симметричен по определению, а положительная опре-
деленность f*g следует из соответствующего свойства g в силу
инъективности f„p для любого р <= М; f*g называется римановой
метрикой на М, индуцированной отображением f.
Если М, N — римановы многообразия с метрическими тензо-
рами g, g и отображение f: М -> N изометрично, то g = f'g. В ча-
стности, на дифференцируемом подмногообразии М риманова мно-
гообразия N существует одна и только одна риманова метрика,
превращающая М в римановб подмногообразие.
Теорема
Утв. На каждом дифференцируемом многообразии М существует
метрический тензор g.
Док. Для каждой точки q <= М построим карту xq с областью
определения Uq э xq есть вложение Uq в Rn и, следовательно,
индуцирует из канонической метрики Rn некоторый метрический
тензор gq на Uq. Теперь локально определенные метрические тен-
зоры gq „склеиваются" с помощью разложения единицы в гло-
бальную риманову метрику. Пусть (ф^), «= м — дифференцируемое
разложение единицы, для которого Supp ф^ сп £7^ (см. разд. 8.3).
Определим gq: полагая gq(X, Y)\p = <pq(p) gq(Xp, Yp)
при p^Uq и gq(X, У)|р = О в остальных точках. Положим, нако-
нец, g= 2 gq- Как легко видеть, g есть метрический тензор
q
на М.
Замечания
(i) Рассмотрим Rfe с каноническим метрическим тензором ( ,)
и n-мерное дифференцируемое подмногообразие М с включением
i: М cz R*. Тогда i индуцирует метрический тензор g на М. Пусть
х: U -> Rra — карта на М и z = х~‘ = i ° х~‘ — локальная параметри-
зация М, Х^gtj — компоненты g относительно карты х.
k
Тогда gu = (i.Xz, itXj) и, согласно (2) разд. 1.4, l,X( = Х{ (zl) Dt ° i,
k
а значит, и i,X(oz = 2 DiZDt°z. Так как <Db DW) = 6W, имеем
z=i
k
gii°z='2t Dp1 Dp1,
92
$ 3. Римановы многообразия
Например, в случае i: Spc:R"+1 мы получаем каноническую рк-
манову метрику на S". Для карты на верхней полусфере Н+, за-
данной с помощью формулы х(ц‘, u"+1) = (u1, и") (см. за-
мечание (iii) разд. 1.3), имеем
/ \ s I , ulu^
gij°Z{v) p2 _ Цр||2 или gijW + (pra+1)2
(ii) Рассмотрим римановы многообразия M, N с метрическими
тензорами gb g2 и дифференцируемое отображение f: M->N. Вло-
жение F: М—>MX N, определенное формулой F(p) = (p,
индуцирует метрикой gt X g2 на М X N (см. замечание (ii) разд. 3.1)
новый метрический тензор на М:
g(X, Y) = gl(X, Y) + g2(ftX, f,Y),
где X, Y e 23/Vf; F по отношению Kg есть изометрическое отображе-
ние M на график f, т. е. на риманово подмногообразие F (М) czMX N
(ср. замечание (ii) разд. 1.7). Если, в частности, W = R и g2 — кано-
ническое отображение, то g{X, Y) = gi\X, Y) + Xf • Yf; если, кроме
того, М — открытое подмножество R" с канонической метрикой,
то для карты x = id имеем gtj = &(j + DJ Djf (см. замечание (i)).
(iii) Пусть М — риманово многообразие с метрическим тензо-
ром g. Предположим, что на М задана, кроме того, линейная
связность V с отображением связности Д. Рассмотрим расслоен-
ное пространство ТМ с естественной проекцией л: ТМ->М. На ТМ
можно определить метрический тензор
g(A, B) = g(n,A, n,B) + g(KA, КВ),
где А, Ве?В(ТМ) (см. разд. 2.4). При этом оказывается, что го-
ризонтальное подпространство Hv и вертикальное Vv ортогональны
в (TM)V при всех v<=TM. Пусть р е М. Включение i: MpczTM
индуцирует из g метрический тензор ( , ) на Мр. Для v <= Мр и
векторов а, b <=(Л4„)И, очевидно, (a, b) = g(Kita, Xi,b). В силу (8)
разд. 2.4 имеем К1,а = Iv'a, и, таким образом,
{a, b} = g{lvla, Ip'b).
Форма ( , ) называется каноническим метрическим тензором на Мр;
как видно из последнего равенства, она не зависит от V. При
отождествлении всех (Л4р)0 с Мр при помощи параллельного
сдвига ( , ) переходит в евклидово скалярное произведение, опре-
деленное на Мр метрикой g. Теперь i: Мр->ТМ становится изо-
метрическим вложением, т. е. Мр с каноническим метрическим
тензором ( , ) оказывается римановым подмногообразием ТМ, ка-
кова бы ни была линейная связность V.
(iv) Изометрии «-мерного риманова многообразия М на себя
образуют подгруппу группы Diff М всех диффеоморфизмов М
3.2. Изометрические отображения
93
на себя. В общем случае на М не существует изометрий, кроме
тождественной. Чем больше существует изометрий, тем „симмет-
ричнее" устроено М. Как показали С. Мейерс и Н. Стинрод,
группа изометрий М с компактно-открытой топологией имеет
естественную структуру (не обязательно связной) группы Ли раз-
(и +1\
мерности 12 I.
Пусть f\ М -> N — изометрическое отображение, dim М. = dim N,
М связно и компактно, a N односвязно. Тогда (см. замечание (v)
разд. 1.7) f есть диффеоморфизм и, следовательно, изометрия.
Это утверждение становится неверным, если отказаться от требо-
вания односвязности N, сохранив все остальные условия. Приме-
ром служит накрытие Sn -> Рп (R) с канонической метрикой на Sn
и с однозначно определенной требованием изометричности накрытия
метрикой на P"(R). Утверждение становится неверным и в том
случае, если отказаться от требования компактности М, сохранив
все остальные условия; при этом, как видно из следующего при-
мера, f может быть сюръективным, но не инъективным изометри-
ческим отображением. Возьмем в качестве f отображение откры-
того квадрата Q на себя, построенное в замечании (v) разд. 1.7.
В качестве N возьмем Q с метрикой, индуцированной включением
в R2, а в качестве М — Q с метрикой, индуцированной отображе-
нием f.
Покажите, что изометрическое отображение f: Rra -> Rra относи-
тельно канонической метрики линейно, т. е. имеет вид
f (w) = аи + а,
где и, а е R" — столбцы, a ae9W„(R). Покажите, что а —ортого-
нальная матрица, т. е. а‘а = е, где ^ — транспонированная мат-
рица с элементами (*0)^ = 0^. Таким образом, все изометрии R"
порождаются группой трансляций и ортогональной группой О (n) cz
cz GL (n, R). Обозначим через (R) линейное подпространство
симметрических матриц в векторном R-пространстве всех дейст-
вительных п X n-матриц (R) = R^2, тогда легко проверить, что
е е (R) есть регулярное значение дифференцируемого отобра-
жения h: ®i„(R) ->2>?„(R), заданного формулой h(a) = aa. Согласно
лемме 2 разд. 1.6, О(п) = /г“1(е) есть замкнутое дифференцируе-
мое подмногообразие ®?„(R) размерности (”) i так как> кроме того,
это — ограниченное подмножество R"2, то О (п) есть компактная
подгруппа Ли группы GL (н, R).
Ортогональное отображение а е О (п + 1) индуцирует изометрию
на сферах SpCzRra+1 (с канонической метрикой подмногообра-
зий R"+1).
Если р, q е Sp и {nJ, соответственно {&yj — ортонормированные
базисы касательных векторов в точках р, q („ортонормированные
94
£ 3. Римановы многообразия
n-реперы"), то существует ае0(п+1), для которого а,ог = а>г,
(=1, п. Евклидовы сферы S” обладают максимальной воз-
можной симметрией, их группа изометрий действует в указанном
смысле транзитивно на множестве всех ортонормированных каса-
тельных п-реперов.
(v) Пусть G — группа Ли. Тензорное поле В типа (г, s') на G на-
зывается левоинвариантным, если В (Хь ..., Хг) постоянно в случае
s = 0 и левоинвариантно в случае s = 1 для любых левоинвариант-
ных полей Xlt ..., Xr е 23G. Поле В левоинвариантно в том и толь-
ко том случае, если VB = 0, т. е. если В параллельно относительно
левоинвариантной связности V на G (см. замечание (iii) разд. 2.3).
Левоинвариантное тензорное поле полностью определяется поведе-
нием в одной точке G. Для каждого r-линейного отображения
Ве: Gre->R (s = 0) или Ве: Gre->Ge (s = 1), где Ge — произведение г
экземпляров пространства Ge, существует одно и только одно
левоинвариантное тензорное поле В на G, совпадающее с Ве
в точке е. Метрический тензор на G левоинвариантен тогда и
только тогда, когда Lh является изометрией при любом h^G.
Таким образом, по отношению к левоинвариантной метрике G
действует на себе как группа изометрий, посредством левых сдви-
гов. Если G не абелева, то правые сдвиги 7?л: G-> G, определен-
ные формулой Rhg = gh, вообще говоря, отличны от левых и не
являются изометриями G по отношению к левоинвариантной мет-
рике. Для групп Ли особую роль играют биинвариантные метрики,
для которых как левые, так и правые сдвиги являются изомет-
риями. Можно показать, что на компактной группе Ли всегда су-
ществует биинвариантная риманова метрика. Например, метрика
на группе S3, индуцированная канонической метрикой R4, как
легко проверить, биинвариантна (см. замечание (iv) разд. 1.9).
С помощью биинвариантной метрики на G можно построить на
однородном пространстве G/H левых классов смежности по замк-
нутой подгруппе Ли Н так называемую нормальную риманову
метрику, так что G действует на G/H как группа изометрий по-
средством левых сдвигов (см. замечание (v) разд. 1.7).
(vi) Доказательство теоремы существования римановой метрики
в этом разделе можно было бы сделать тривиальным, сославшись
на упомянутую в замечании (vi) разд. 1.6 теорему Уитни о вло-
жении. В самом деле, вложение f: М->Rk индуцирует риманову
метрику на М из канонической метрики R*. Обратное утвержде-
ние, согласно которому любое риманово многообразие может быть
изометрически вложено в некоторое евклидово пространство R*,
лишь недавно доказано Нэшом (Nash J., The imbedding problem
for Riemannian manifolds, Ann. of Math. 63 (1956), 20 — 63). Таким
образом, класс всех римановых многообразий не шире класса ри-
3.3. Длина дифференцируемого пути
95
мановых подмногообразий евклидовых пространств. Тем не менее,
часто целесообразно рассматривать римановы многообразия как аб-
страктные многообразия (см. замечание (vi) разд. 1.6).
3.3. Длина дифференцируемого пути
Пусть М — риманово многообразие, с: [а, р] -> М — дифферен-
цируемый путь. Действительная функция ||с||, заданная на [а, р],
непрерывна, но вообще говоря, не дифференцируема, если с обра-
щается в нуль. Рассмотрим ^-отображение Lc: [а, р] -> R, задан-
ное формулой
4(0 = J 11ё(т)||йт. (1)
а
Действительное число L(c) = Z,c(p) называется длиной пути с.
Если с — погружение, т. е. с #= 0, то путь с называется регулярным.
Путь с называется нормальным, если
||с(011 = 1 при всех t е [а, р]. (2)
Каждый нормальный путь регулярен. Если с регулярен, то Lc
дифференцируемо и инъективно. Если с нормален, то Lc(t) = t — a,
и говорят, что „с параметризован длиной дуги". Пусть N — дру-
гое риманово многообразие и f: М ->N — изометрическое отобра-
жение, тогда L (с) = L (f ° с). Важный класс более общего вида пу-
тей, для которых можно определить длину по формуле (1), обра-
зуют абсолютно непрерывные пути. Если путь с: [а, р] -> М абсо-
лютно непрерывен, то с существует почти всюду, т. е. за исклю-
чением множества меры нуль, и интеграл (1) существует на [а, р]
в смысле Лебега.
Пусть / — компактный интервал в R, <p: J ->R — дифференци-
руемое монотонно возрастающее отображение, / = <р(7) (монотонно
возрастающим мы называли такое отображение, для которого из
^</2 следует <p (^) =^ф(/2)); если случай равенства исключается,
мы называем отображение строго монотонным). Тогда дифферен-
цируемому пути с: J-> М соответствует путь „с новой параметри-
зацией" c°<p: J->M. При этом, как мы сейчас покажем,
4о<р = Lc ° ф и, в частности, L (с) = L (с ° ф).
В самом деле, пусть / = [а, р]; тогда / = [ф(а), ф(Р)], и поэтому
t . t
4оф(0=/ II Соф(т)||с?т = J ||с°ф(т)|| • ф'(т)б/т =
а а
Ф(О
= / ||с(а)11^ = 4°ф(0-
<р (а)
ЭВ
$ 3. Римановы многообразия
Непрерывный путь с: [а, р]->Л4 называется кусочно дифферен-
цируемым, если существует такая конечная последовательность
действительных чисел у0, yk, что а = Yo < Yi < ... <у* = Р> и
что для всех v=l, k отображения cv: c|[yv-i, yv] СУТЬ диф-
ференцируемые пути. Длиной пути с называется
k
Z.(c)=S L(cv), (3)
V=1
причем нетрудно проверить, что сумма в (3) не зависит от выбора
чисел yv, удовлетворяющих предыдущим условиям. Так как функ-
ция /->||с(ОН Для кусочно дифференцируемого пути определена
везде, кроме конечного множества, и ограничена, то (1) задает не-
прерывное отображение. Путь с называется кусочно регулярным
(нормальным), если cv регулярны (нормальны) при v = 1, ..., k.
Пусть J, / — компактные интервалы в R. Кусочно дифференци-
руемые пути с: J->M, с: J-> М называются совмещенными, если
существует такое дифференцируемое монотонно возрастающее
отображение <р интервала J на J, что с = с°ф, или такое же ото-
бражение <р: /->/, причем с = с°ф. Если с, с — совмещенные
пути, то их образы, длины, начальные и конечные точки, а также
„направления обхода" совпадают.
Лемма
Утв. Для каждого кусочно дифференцируемого пути с' [а, р] -* М
существует совмещенный с ним дифференцируемый путь
с: [а,
Док. Существуют такие действительные числа a = y0<Yi<...
...<yft = P, что cv = с |[Yv_J(Vv] есть дифференцируемый путь при
v=l, ..., k. Мы построим дифференцируемое строго монотонно
возрастающее отображение <р: [а, р] -> R, такое, что q>(yv) =
= Yv(v = 0, ..., k) и в точках yv производные Игф всех порядков
г 1 обращаются в нуль. Располагая таким отображением, можно
построить путь с = с°ф; остается только показать, что с диффе-
ренцируем в точках Yv Для этой цели достаточно рассмотреть
карту х, определенную в окрестности точки c(yv)> и проверить,
что функции х1 о с = х{ о с о ф (г = 1, ..., п) имеют в точках yv равные
нулю левые и правые производные всех порядков. Что касается
функции ф, то построим (в соответствии с разд. 8.1) такие диф-
ференцируемые функции фу: [а, р] —> R, что фД/) = 0 при /<Yv-i>
фч,(/)=1 при Z^YvH(Pv строго возрастает на [yv-i> YvL Тогда
k
ф(0 = Yo+S (Yv~ Yv-i)<Pv(0 удовлетворяет поставленным выше
v-1
условиям.
3.4. Риманова связность
97
Заметим, наконец, что каждый регулярный путь может быть
параметризован с помощью длины дуги. А именно, пусть
с: [а, р] —> М — регулярный путь. Тогда, как мы сейчас покажем,
существует нормальный путь ср [0, у]—>М, совмещенный с с. Поло-
жим у = LC(P) = L (с). Так как с регулярен, существует строго воз-
растающее дифференцируемое отображение Lc1: [0, у]—>R, ото-
бражающее [0, у] на [а, р]. Положим
Ci = с ° Lc'.
Тогда LCl = L -i = Lc° L~l = id, и поэтому
coLc
II с At) \\=L'cAt)=l.
Из этих рассуждений вытекает также, что для кусочно регуляр-
ного пути существует совмещенный с ним кусочно нормальный
путь.
Замечания
(i) Цепная линия с: [а, р]—>R2, заданная формулой с(/) =
/ g^ -j- g— t \
= (/, сп/) = И, g—j, есть регулярный путь. Найдите функ-
цию Lc для этого пути и параметризируйте с с помощью длины
дуги, т. е. укажите явно нормальный путь, совмещенный с с.
(ii) Отметим, что „функция длины дуги“ Lc для дифференци-
руемого пути с: /—>М измеряет абсолютную длину пройденного
при изменении параметра t пути и, таким образом, L(c) зависит
не только от образа с (7) cz М. Приведите примеры дифференци-
руемых, а также регулярных путей с одним и тем же образом,
но с разными длинами.
(iii) Пусть W — компактное fe-мерное дифференцируемое много-
образие (возможно с краем), М — n-мерное риманово много-
образие и W-> М — дифференцируемое отображение, тогда
в качестве обобщения длины дуги можно определить понятие
^-мерного абсолютного объема с помощью интеграла от некото-
рой антисимметрической fe-формы по W. Этот вопрос, однако,
в книге не рассматривается.
3.4. Рнманова связность
На римановом многообразии, естественно, представляют инте-
рес те линейные связности, которые в некотором смысле совме-
стимы с римановой структурой. Линейная связность V на М
называется римановой связностью, если для каждого дифферен-
цируемого пути с: J -> М и любых двух параллельных векторных
полей X, Y вдоль с функция {X, Y) постоянна. При этих усло-
виях параллельное перенесение из Мс ((1) в Мс (fc) (7b t2 е /) есть
изометрическое отображение, в частности постоянна функция
98
§ 3. Римановы многообразия
|| X || = {X, Х)'1г. Если с — геодезическая, то для постоянно
внутреннее произведение {X, с) и тем самым угол (X (t), с (t))
(Х#=0, с#=0), так как с параллельно вдоль с. Если || с (t) || = 1,
хотя бы для одного / =/, то геодезическая с римановой связности
нормальна.
Теорема
Усл. М — риманово многообразие; V — линейная связность на М.
Утв. Связность V является римановой в том и только том слу-
чае, если для любых векторных полей X,Y,Zs 2W спра-
ведливо равенство
Z{X, y) = (VzX, У) + (Х, Vzy>. (1)
Соотношение (1) есть „правило дифференцирования'* для ска-
лярного произведения, оно называется также тождеством Риччи.
Согласно замечанию (iii) разд. 2.3, соотношение (1) равносильно
условию Vg = 0, т. е. параллельности метрического тензора g
относительно линейной связности V (см. замечание (iv) разд. 2.6).
Мы докажем сначала следующую лемму.
Лемма
Усл. М — риманово многообразие, V — линейная связность на М,
удовлетворяющая условию (1), N — дифференцируемое много-
образие, f: N -> М — дифференцируемое отображение.
Утв. Для векторных полей А е 23М, X, У е выполняется
А{Х, У) = (?АХ, У) + (Х,УЛУ). (2)
Док. Достаточно проверить, что (2) выполняется на открытом
множестве f-1 ([/), где U — область определения произвольной
карты х на М. Так как при фиксированном А отображение
Д(Х, У)-<УЛХ, У) —<Х, УЛУ)
есть билинейное отображение X над кольцом %N, то
достаточно проверить (2) для полей X, У вида X;°f, где Х{ — ба-
зисные поля карты х, и тем более для полей вида X = X ° f,
Y = Yof, где X, У = ® Д. Наконец, достаточно проверить, что для
каждой точки p^f~'(U) и каждого вектора иеА'р
v <Х о f, Y о 0 = <V„ (X о f), У?) + <Х9, Vo (У о f)),
где q = f(p)- В силу замечания (iv) разд. 2.5 это равносильно
выполнению
(f,v) (X, У) = <Vf.BX, У?> + <Х?, VftVY),
что вытекает непосредственно из (1).
3.4. Риманова связность
99
Доказательство теоремы. Пусть выполнено условие (1). По-
кажем, что внутреннее произведение не меняется при параллель-
ном переносе. Рассмотрим дифференцируемый путь с: JМ и
параллельные векторные поля X, Y вдоль с. Тогда в силу леммы
имеет место равенство
Д<Х,У) = <УдХ,У> + <Х, VDK). (3)
Поскольку V0X = \'ДУ = 0, имеем D (X, У) = 0. Это означает,
что (X, У) постоянно, т. е. V —риманова связность.
Обратно, пусть теперь V —риманова связность и X, У, Ze53A4.
Покажем, что выполнено условие (1). Достаточно проверить это
условие в произвольной точке р е М. Построим дифференцируе-
мый путь с: [0, р] —* М, такой, что с (0) = р и c(0) = Zp (например,
интегральный путь поля Z, удовлетворяющий условию с(0) = р).
Тогда
Zo <Х, У) = с (0) (X, У) = (c,D0) <Х, У) = D ({X, У) □ с) |0.
Поэтому
ZB {X, У) = lira - ( ) , Р р . (4)
/->о ‘
Построим для каждого t е [0, р] однозначно определенные парал-
лельные векторные поля Х(/), У(/) е23с, удовлетворяющие усло-
виям X{>} = Xc(t), YT =Yc(,t). Тогда, принимая во внимание риманов
характер связности, имеем
{х1\ уГ> = {xt\ У0,
используя (4), находим
/->0 1
= lim Н- *f>+<xp, =
/->0 *
lim [/ *о’-*Р у(0 \ , / у lf-rp\l
—t—- /+\xp> —i—/J-
Согласно теореме 2 разд. 2.6, имеем
Zp (X, У) = (?D (X о с) Io, Ур) + (Хр, VD (У о С) |0). (5)
Наконец, из замечания (iv) разд. 2.5 следует VD(X°c)|0 =
= ^c,Dc,X = Vc (О)ЙГ = VZ.X = (VZX)P и соответственно для (У ° с) |0;
поэтому (5) равносильно доказываемому утверждению.
100
§ 3. Римановы многообразия
Замечания
(i) Пусть М — n-мерное параллелизуемое многообразие и
Xi, ..., Хп — параллелизация; тогда соответствующая линейная
связность V (см. замечание (i) разд. 2.1) является римановой по
отношению к канонической римановой метрике на М, заданной
условием (Xit Xj) = dz/. Связность, определенная в замечании (ii)
разд. 2.2, является римановой по отношению к канонической
римановой метрике R3.
(ii) Определим понятие тензорного поля вдоль дифференци-
руемого отображения f: N->M.
Пусть r^O, s = 0, 1, тогда тензорным полем типа (г, $) вдоль
отображения f называется r-линейное над кольцом отобра-
жение В: 23f-»23f.
В случае N = М, f = id мы получаем снова тензорные поля
на М.
Пусть теперь на М задана линейная связность V. Обобщая
определение, данное в замечании (iii) разд. 2.3, назовем ковари-
антной производной УАВ тензорного поля В относительно вектор-
ного поля А е 23М тензорное поле типа (г, $) вдоль f, заданное
формулой
(?ЛВ)(У|, .... Уг) =
= v^(yb ..., УГ)-2В(У,........У.-l, V4yb yi+l, .... Уг),
i = l
где опять в случае s = 0 под \7лф подразумевается Лф, ipegJV.
Если В —тензорное поле типа (г, s) на М, то В of — тензорное
поле того же типа вдоль f.
Покажите, что
Vs(B»f) = Vf.sB
для v^TN (см. замечание (iv) разд. 2.5). Покажите, что послед-
нее соотношение содержит в себе как частный случай лемму
этого раздела (см. также замечание (iv) разд. 2.6).
(iii) Пусть М — n-мерное риманово многообразие. Тогда функ-
ция ф: ТМ->R, заданная формулой ф(р) = (р, о), дифференци-
руема с максимальным рангом везде, кроме нулевого сечения.
Поэтому пространство так называемого сферического расслоения
7’1Л1 = ф_|(1) есть дифференцируемое подмногообразие ТМ раз-
мерности 2п— 1. Если М компактно, то и TtM компактно. Пока-
жите, что геодезическая струя S римановой связности V на М
является касательным полем вдоль TtM. Получите отсюда, что
в случае компактного М риманова связность V полна (см.
разд. 2.9 и 8,7).
3.5. Связность Леви-Чивита
101
(iv) Для римановой связности V на n-мерном римановом
многообразии М группа голономии в любой точке р е М есть
подгруппа ортогональной группы.
Так как римановы связности на М существуют, согласно
разд. 3.5, то структурная группа касательного расслоения ТМ
может быть сведена к О (п) (см. замечание (v) разд. 2.6 и заме-
чание (iv) разд. 3.2).
3.5. Связность Леви-Чивита
Среди всех римановых связностей на римановом многообразии
выделяется единственная, не имеющая кручения.
Лемма 1
Усл. М — дифференцируемое многообразие', со: S3М ->%М — 1 -фор-
ма М, т. е. ^М-линейное отображение SSAf в —
невырожденное тензорное поле типа (2,0) на М, т. е. 2-форма,
обладающая тем свойством, что если (v, w) = 0 для фикси-
рованного v е Мр и всех w е Мр, то v = 0, какова бы ни
была точка р е М.
Утв. Существует одно и только одно векторное поле А е 93Л4,'
сопряженное форме со относительно {,), т. е. такое, что
co(Z) = (4,Z) (1)
для всех Z е S3/И.
Док. Достаточно доказать существование и единственность А
в окрестности произвольной точки р е М. Построим карту х
на М вокруг р с областью определения U и положим Xi=-^-r.
дх1
п
Тогда для каждого A е ЭЗС7 имеем представление А = 2 Ф^о
где ф'елУ.
Соотношение (1) равносильно со (X,) = (Д, Х^, или
= i=\,...,n. (2)
/=|
Так как внутреннее произведение (,) не вырождено, для всех
q е U имеем det | gtj |?#=0, так что из (2) однозначно опреде-
ляются ф'. Они выражаются через дифференцируемые функции
со(Х;), Sa и> следовательно, дифференцируемы. Но тогда одно-
значно определяется и векторное поле А '&U, удовлетворяю-
щее условию (1).
102
§ 3. Римановы многообразия
Теорема
Усл. М — риманово многообразие с метрическим тензором g = (,).
Утв. На М существует одна и только одна линейная связность,
удовлетворяющая условиям
Z (X, У) = (VZX, У) + (X, V2y), (3)
ХхУ = VFX + [X, У], т. е. Т(X, У) = 0 (4)
для всех X, У, Z е 23М, где Т — тензор кручения для V.
Тождество Риччи (3) означает, что V — риманова связность,
т. е. g параллелен Vg = 0. Условие (4) означает, что V—связ-
ность без кручения. Такая связность V называется связностью
Леви-Чивита, а определенный ею параллельный перенос — парал-
лелизмом Леви-Чивита. Каноническая связность на R4, опреде-
ленная в замечании (i) разд. 2.1, есть связность Леви-Чивита по
отношению к канонической римановой метрике.
Док. Доказательство однозначности. Из (3) следует
X (У, Z) = (ХхУ, Z) + (У, VXZ), (5)
У (Z, X) = (VFZ, X) + (Z, VFX), (6)
а из (3), (5) и (6) с помощью (4) получаем
Z {X, У) = (VXZ, У) + <[Z, X], У) + (X, VyZ) - <Х, [У, Z]>, (3')
У <Z, X) = (VFZ, X) + <Z, ХхУ) —(Z, [X, У]). (6')
Вычитая (3') из (5) и прибавляя (6'), получаем после деления на 2
<УХУ, Z) = | [X (У, Z) + У (Z, X) - Z (X, У) +
+ (Z, [X, У]) + (У, [Z, X]) - (X, [У, Z])]. (7)
Пусть- теперь V —другая линейная связность, удовлетворяю-
щая условиям (3), (4), тогда из (7) вытекает (VXY, Z) = (VXY, Z),
откуда (УХУ — УХУ, Z) = 0 для всех Z е 23 Af и УХУ = УХУ.
Доказательство существования. Рассмотрим при фиксирован-
ных X, У <= 23 AJ отображение со: 23 Al ->§А1, ставящее в соответ-
ствие каждому Z е 23AJ функцию из , стоящую в правой
части (7). Мы утверждаем, что отображение со ^М-линейно.
Аддитивность со относительно Z очевидна. Однородность доказы-
вается следующим образом:
со (cpZ) = ±[Х (У, cpZ> + У (cpZ, X) - cpZ (X, У) +
+ .(cpZ, [X, У]> + (У, [cpZ, X]) - (X, [У, cpZ]>] =
= срсо (Z) +1 [(Хер) (У, Z) + (Уср) (Z, X) - (Хер) (У, Z) -
- (Уср) <Х, Z>] = срез (Z).
3.5. Связность Леви-Чивита
103
Согласно лемме 1, существует одно и только одно такое
векторное поле А е 23Л4, что со (Z) = (A Z) для всех Z ец 23/И.
Положим = А. Определенное таким способом отображение
V: 23Л4 X 23AJ —> 23 Л4, как мы покажем, удовлетворяет условиям
(1) —(4) разд. 2.1. Аддитивность относительно X и Y очевидна,
однородность относительно X доказывается аналогично однород-
ности относительно Z. Остается проверить правило дифферен-
цирования (2) разд. 2.1:
2 (VAq>y, Z) = X (фУ, Z) + фУ (Z, X) — Z {X, ФУ) +
+ (Z, [X, фУ]> + (фУ, [Z, X]) - (X, [фУ, Z]) =
= 2 <фХхУ, Z) + (Хф) (У, Z) - (ZT) (X, У) + (Хф) (Z, У) + (Хф) (X, У) =
= 2 [<фХхУ, Z) + ((Хф) У, Z>] = 2 (фХхУ + (Хф) У, Z).
Следовательно, (ХхфУ — фУхУ — (Хф) У, Z) = 0 для всех Ze23Xf,
а поэтому ХхфУ = фХхУ + (Хф) У.
Связность V удовлетворяет также условиям (3) и (4); (3) полу-
чается сразу же, если сложить вычисленные по формуле (7) вы-
ражения для (VZX, У) и (А2У, X). Чтобы доказать (4), проверяем
с помощью (7), что (yxY, Z) = (VFX, Z) + (Z, [X, У]), откуда сле-
дует (ХхУ + VFX — [X, У], Z) = 0 для всех Z е 23Л4, что равно-
сильно (4).
Пусть х — карта на М с областью определения U и Ху = —
дх1
Выведем соотношения между компонентами связности Леви-Чи-
вита и компонентами метрического тензора gif относительно
карты х. Поскольку [Ху, Х;] = 0, из формулы (7) получаем
<Vx.X;, х*> = 4 [Ху (ХЛ Xfe) + Ху (Хь Ху> - Xk (Х1г Ху>].
п.
Так как Vx.Xy = 2 rz0Xz и (Ху, X!') = glj, получаем
V Г* _ 1 (dS* I д^а\ • • 1 /ох
Определитель det (gZi.)p #= 0 для всех p~U, следовательно, си-
стема уравнений (8) имеет единственное решение, состоящее из п3
функций Гуу ер.
Компоненты связности Леви-Чивита суть классические „сим-
волы Кристофеля второго рода“.
Пусть N — дифференцируемое многообразие, М — риманово
многообразие со связностью Леви-Чивита V, f: N-> М — диффе-
104
§ 3. Римановы многообразия
ренцируемое отображение. Тогда для любых векторных полей А,
В, Се 3BN справедливо соотношение, аналогичное (7):
(Vxf.B, f.C) » 4 [Д (f.B, f.C) + В {f.C, f.A) - С {f.A, f.B) +
+ {f.C, f. [A, B]> + (f.B, f. [C, A]) - (f.A, f. [6, C]). (9)
Доказательство (9) аналогично доказательству (7) и опирается
на тождества
A {f.B, f.C) ~ {VAf.B, f.C) + {f.B, VAf.C)
и
V4f.B - VBf.A - f. [А, В] = T {f.A, f.B) = 0
(cm. (2) разд. 3.4 и (6) разд. 2.5).
Теперь мы покажем, что связность Леви-Чивита в известном
смысле инвариантна при изометрических отображениях. Для этого
сделаем сначала следующее предварительное замечание. Пусть
М —риманово многообразие, i: М -> М — погружение. Согласно
лемме 1, для векторного поля X е 23, вдоль i существует такое
однозначно определенное касательное векторное поле Хт вдоль i,
что ЛТ = 1.А, Ae^iM и (i.A, i.C) — {X, i.C) для всех Се^М.
Поле XTe23vT называется касательной компонентой X, Xr = X—Хт —
ортогональной компонентой X относительно i. Отображения Т,
JL: 231->231, т. е. проекции, дающие касательную, соответственно
ортогональную компоненту относительно i, суть тензорные поля
типа (1, 1) вдоль i (см. замечание (ii) разд. 3.4). Они индуцируют
во всех точках i(p)sAJ {реМ.) проекции касательного прост-
ранства А41(р) на i.Mp соответственно на ортогональное дополне-
ние этого подпространства в A4l(p). Вообще если f: N -+М — диф-
ференцируемое отображение и X е 23vof— векторное поле вдоль
iof, то и в этом случае определены касательная и ортогональная
компоненты Хт, Xх е 231О/ векторного поля X относительно i,
а именно (Хт)р = (Хр)т и (Х1),, = Хр - (Хт)р для peN. В случае
dim М = dim М, очевидно, имеем Хт = X, Х±=0.
Лемма 2
Усл. М, М —римановы многообразия со связностями Леви-Чи-
вита V, V и отображениями связности К, К', i: М -> М —
изометрическое отображение-, N — дифференцируемое много-
образие-, f: N -» Л1 “ дифференцируемое отображение.
3.5. Связность Леви-Чивита
(05
Утв. Справедливы следующие соотношения'.
i.W = (W)T (10)
для всех b ^ТТМ и
i.v4y = (v4ky)T (11)
для всех A е S3y, Y е 53f.
В случае dimAf = dimA4 имеем, таким образом, коммутатив-
ную диаграмму
ТТМ-±*+ ТТМ
к ,
ТМ ТМ
т. е.
1.»^ = ^ 01.. И 1,7дУ = ?д1.У.
Док. Поскольку i изометрично, из сравнения (7) и (9) вытекает,
что для всех X, Y, Z 6= имеет место
<vxy, Z) = <Vxl.y, i.Z)
и, значит, (Vxy, Z) = (i.VAy, i.Z), откуда (i,Vxy — Vxi,y, i,Z) = 0.
Поэтому (i.Vxy — VAi,y)T = 0 или, что то же самое, i.Vxy =
= (Vxi.y)T; тем самым (11) доказано в частном случае, когда
N = M и f = id. Но в таком случае для всех р^М имеем
1ЛУЛР = (/О„УЛР)Т, откуда (см. разд. 2.4) получается равен-
ство (10), а из (10) вытекает общий случай формулы (11) (см.
разд. 2.5)
Соотношение (И) леммы 2 было исходным пунктом'открытия
Леви-Чивита, который в знаменитой работе, написанной в 1917 г.,
показал, как на произвольном римановом многообразии можно
внутренним образом ввести понятие параллельного переноса,
теперь называемое связностью Леви-Чивита. На римановом под-
многообразии евклидова пространства R* (такие многообразия
главным образом до тех пор и рассматривали) он ввел кова-
риантную производную, построив, согласно (11), касательную
компоненту тривиальной ковариантной производной в Rft. При
этом оказалось, что соответствующий этой ковариантной произ-
водной параллельный перенос вдоль кривых, выражаемый фор-
мулами (1) и (2) разд. 2. 6, не зависит от объемлющего простран-
ства, так как в силу (8) полностью определяется индуцированной
римановой метрикой М. Благодаря этому оказалось возможным
ввести параллельный перенос на абстрактных римановых много-
образиях. (Levi-Civita Т., Nozione di parallelism® in una variety
106
§ 3. Римановы многообразия
qualunque е consequente specificazione geometrica della curvatura
Riemanniana, Rend. Palermo, 42 (1917), 173—205.)
Укажем еще некоторые следствия леммы 2. Пусть dimAf =
= dimAf. Если с: J—> М — дифференцируемый путь и X — парал-
лельное векторное поле вдоль с, то i.X — параллельное векторное
поле вдоль i ° с, так как в силу (11) 0 = i,VDX = VDi,X. Таким
образом, параллельный перенос Леви-Чивита коммутирует с изо-
метриями. Можно еще выразить это, сказав, что отображение
горизонтально, т. е. изоморфно отображает горизонтальные под-
пространства ТТМ на горизонтальные подпространства ТТМ. Если,
в частности, с: J —> М — геодезическая М, то i ° с: J-> М есть гео?
дезическая М. Соответственно этому экспоненциальные отобра-
жения ехр, ехр связностей V, V удовлетворяют соотношению
i ° ехр = ехр ° I.. (12)
Для тензоров кривизны R, R связностей V, V и X, Y, Z^^M
из (7) разд. 2.5 и (11) получаем
U?(X, Y)Z = R(l,X,itY)ltZ. (13)
Читатель без труда построит примеры, свидетельствующие
о том, что последние утверждения неверны при dim М < dim М.
Замечания
(i) Обобщите теорему этого раздела: если Т — антисимметри-
ческий тензор типа (2,1) на М, то существует одна и только одна
риманова связность на М, для которой Т является тензором
кручения.
Доказательство аналогично приведенному выше, с той лишь
разницей, что вместо (7) получается формула
<VXE, Z) = | [X <Г, Z) + Y (Z, X'f — Z IX, Г) +
+ (Z, [X, У]) + <Г, [Z, X]) - (X, [Г, Z]) +
+ (Z, Т (X, Г)) + <Г, Т (Z, X)) - (X, Т (Y, Z»]. (7')
Если V —связность Леви-Чивита на М, то
(Vxr, Z) = (Vxr, Z) +
+ |[(Z,7’(X, Г)) + (Г, r(Z,X))-(X, 7(Г, Z))]. (14)
3.5. Связность Леви-Чавита
107
Пусть f: Л(-> Л1 — дифференцируемое отображение. Покажите,
что для векторных полей Y, Z е S3f имеет место
<vAy, z> = <v4y, z> +
+ |[<z, T(f,A, У)) + <У, Г (Z,— <f,?l, Г (У, Z))]. (15)
Обратите внимание на то, что Y здесь не обязательно имеет
вид (В е SSAf). Последнее соотношение, ввиду его тензорного
характера, может быть доказано аналогично лемме 3.4.
(ii) Пусть М — риманово многообразие со связностью Леви-
Чивита V. Пусть, кроме того, на М задана риманова связность V,
тензор кручения которой Т ортогонален, т. е. (Т (X, У), У) = О
или, что то же самое, 3-форма (?’(,),) антисимметрична по всем
трем аргументам. Тогда V и V имеют одни и те же геодезические.
В самом деле, если с: J-> М — геодезическая V, то, согласно (15),
для всех Z е 33f имеем
<yDc, Z) = <VDc, Z) + j [<Z, Т {с, с)) + (с, Т (Z, с)) - (с, Т (с, Z))] = 0.
(iii) Рассмотрим в римановом многообразии М римановы под-
многообразия Mh М2 равной размерности. Предположим, что на
всех многообразиях введена связность Леви-Чивита. Пусть
с: J-> М — дифференцируемый путь, вдоль которого Mh М2 ка-
саются друг друга, т. е. с (7) a: П М> и (М^ (0 = (M2)cW для
всех t е 7, причем TMit 1=1, 2, канонически отождествлены
с подпространствами ТМ. Тогда по лемме 2 векторное поле, па-
раллельное вдоль с на Mlt также параллельно вдоль с на М2,
так что параллельные переносы вдоль с на М{ и А42 совпадают.
(iv) Рассмотрим сферу S2=S2 как риманово подмногообразие
евклидова пространства R3 со связностью Леви-Чивита. Пусть
с: R-»S2 —параметризованная параллель радиуса а, заданная
формулой с (/) = (acos t, a sin 7, р), где 0 < а^1, — 1 <р< 1, а2+р2 = 1.
Положим X = 4- с е S3., т. е.
2 с
X (t)= — sin tD{ ° с I, + cos tD2 ° c |f.
Далее, пусть У — направленное к северному полюсу поле длины 1,
касающееся S вдоль с и ортогональное X:
У (0 = — р cos tD{ ° с |f — р sin tD2 ° с |f + aZ)3c |f.
Из соотношения (11) (лемма 2) видно, что векторное поле на S2
вдоль с, заданное формулой
Z (0 = Z [cos (у0 - рО X (0 + sin (у0 - р/) У (/)],
108
§ 3. Римановы многообразия
есть параллельное поле вдоль с, удовлетворяющее начальному
условию
Z(0) = Z[cos у0Х (0) + sin у0У (0)], Л, yoeR.
В самом деле, для канонической связности Леви-Чивита V в R3
имеем VDZ = Z = — Za cos (у0 — р/) I ° с, где I ° с есть поле радиусов-
векторов вдоль с (см. замечание (iii) разд. 2.5) и (/°с)т = 0.
Таким образом, при параллельном переносе вдоль параллели
сферы векторы вращаются „вокруг пути перенесения", если р#=0.
При р = 0 образ с есть большой круг сферы и с —нормальная
геодезическая, так как с — параллельное поле. В силу замеча-
ния (iv) разд. 3.2 все геодезические на S периодичны, а их образы —
большие круги. Этот пример можно также рассмотреть нагляд-
ным способом, пользуясь замечанием (iii), а также замечаниями
(iv) и (v) разд. 3.8, при этом в случае р #= 0 надо рассмотреть конус,
а в случае р = 0 — цилиндр в R3, касающийся S2 вдоль с. Конусы
и цилиндры плоски, а именно, согласно результатам разд. 3.8,
они локально изометричны R2, так что можно, „разрезав их вдоль
образующей", совершить параллельный перенос вдоль с на R2.
Подобная геометрическая интерпретация параллельного переноса
может быть распространена на более общий класс кривых, если
воспользоваться „соприкасающимися развертывающимися поверх-
ностями".
(v) Пусть М — n-мерное риманово многообразие со связностью
Леви-Чивита V, f: Af—>R — дифференцируемая функция. Согласно
лемме 1, дифференциалу df этой функции соответствует сопря-
женное векторное поле Vf ge SBAf, удовлетворяющее соотношению
(V/, X) = Xf = df (X) для всех X ge S3Af. Это поле называется гра-
диентом f. Иногда оно обозначается также через gradf. Для
открытого подмножества U с: М и линейно независимых вектор-
ных полей Xit Xn^'^sU получаем локальное представление
п
xf\u = 2
i, j = l
где g11 — элементы матрицы, обратной матрице компонент
метрического тензора gij = {X{, Xf). Точка р ge М является кри-
тической точкой f (или, как еще говорят, f стационарна в точке р)
тогда и только тогда, когда Xf |Р = 0. Если a = f(/?)—регулярное
значение f, то, согласно лемме 2 разд. 1.6, мы получаем (n—1)-
мерное дифференцируемое подмногообразие N = f~l(a) („поверх-
ность уровня"). Покажите, что отображение df |р обращается
в нуль в точности на касательном пространстве Np и что Vf|p
ортогонален N„ в М„. Если Xf |„ #= 0, т. е. f не стационарна в р,
Vf I » V/ I
то ц есть направление скорейшего роста, а —jjvjj — на'
3.5. Связность Леви-Чивита
109
правление скорейшего убывания f, т. е. для всех v е Мр, ||v|| = 1
имеем
причем равенство возможно только для о = ±
II V II 1р
часть предыдущего неравенства, например, можно доказать сле-
дующим образом:
Тензором Гессе называется тензорное поле на М типа (1,1),
заданное формулой /7fX = VxVf, формой Гессе, или гессианом —
соответствующая 2-форма hf(X, Y) = (VxVf, Y). Покажите, что Hf
самосопряжен относительно римановой метрики, т. е. hf симме-
трична.
Проверьте, что в критической точке р функции f имеем hf(X,
Y)p = XpYf = YpXf. Если, обратно, для векторного поля Z е 93AJ
форма (VXZ, Y) симметрична относительно X, Y, то Z локально
является градиентом некоторой дифференцируемой функции.
(vi) Свертка, т. е. след тензорного поля типа (1,1) на М, задан-
ного формулой X->XxZ, есть дифференцируемая функция на М,
обозначаемая через div Z. Она называется дивергенцией Z (по
поводу определения свертки см. замечание (iv) разд. 2.3). Поло-
жим
Af = div Vf = tr Hf e .
А называется оператором Лапласа по отношению к заданной ри-
мановой метрике. Покажите, что
div <pZ = <р div Z + Zq>, А (фф) = ф Аф + ф Аф + 2 (Хф, Хф)
для ф, фе^Л/, Z е 93AJ. Вычислите div Z, Af в локальных коор-
динатах.
Метрические тензоры g, g на n-мерном дифференцируемом
многообразии М называются конформно эквивалентными, если
существует такая дифференцируемая функция фер1, что g = qg
(откуда, в частности, следует ф>0). В этом случае в каждом
касательном пространстве Мр отношения длин и углы обеих ме-
трик g, g совпадают. Покажите с помощью (7), что
VXY = ХхY +1 [(Хф) Y + (Гф) X - (X, Y) Хф],
где ф = log ф.
по
$ 3. Римановы многообразия
Проверьте следующее соотношение между тензорами кри-
визны R, R связностей V, V:
R(X, Y)Z = R(X, Y)Z+±[h*(X, Z)Y-h^Y, Z)X +
+ <X, Z)H^Y — (Y, Z)HtX] + ±{[(YJ(ZJ-(Y, Z) || Vi|> Jp] X -
- [(Хф) (Z4>) - <X, Z> || Vi|) IP] Y + [(Хф) (У, Z) — (Гф) <X, Z>] Уф}.
Как легко проверить, для градиента имеем <pVf = V/. Полагая
ф = logqp, получаем
divZ = divZ + ^-ZT|), <pAf = Af+(y* l)<Vf, Уф>,
где f и Z е ®Л4. В частности, при « = 2 получаем <рД/ = Д/.
Пусть М, N — римановы многообразия с метрическими тензо-
рами g, g. Дифференцируемое отображение f: M->N называется
конформным, если f — погружение, и индуцированная метрика f'g
конформно эквивалентна g.
Таким образом, при конформных отображениях отношения
длин дуг и углы пересечения путей, исходящих из данной точки,
остаются неизменными. Очевидно, изометрические отображения
конформны. Конформно также отображение Sn->Sp, заданное
формулой р-*рр. Любое голоморфное отображение открытого
подмножества С в С есть конформное отображение евклидовой
метрики на С = R2, если его комплексная производная отлична
от нуля.
3.6. Тождества для кривизн и скалярные кривизны
Пусть R — тензор кривизны связности Леви-Чивита V на «-мер-
ном римановом многообразии М.
Лемма
Утв. Для векторных полей X, Y, Z, U 23Af справедливы следую-
щие соотношения'.
R(X, Z)Z=- R(Y, X)Z; (1)
R(X, Y)Z + R(Y, Z)X + R(Z, Х)У = 0; (2)
(R (X, Y) Z, U)=- (R (X, Г) U, Zy, (3)
{R(X, Y)Z, U') = {R (Z, U)X, Y). (4)
Заметим, что (1) выполняется в силу определения R для любой
линейной связности; (2) —только для связности без кручения;
(3) — лишь для римановой связности. Свойство (3) можно сфор-
мулировать также эквивалентным образом: отображение кривизны
3.6. Тождества для кривизн и скалярные кривизны
111
Z->R(X, Y) Z антисимметрично относительно римановой метрики
для любых фиксированных X, Y. .Обратите внимание в связи
с этими соотношениями на тождество Бьянки, см. замечание (iii)
разд. 2.3.
Док. Достаточно доказать соотношения леммы для базисных
полей произвольной карты и тем более для векторных полей
с нулевыми произведениями Ли.
Прежде всего 0 = Т (X, У) = — VYX, так как V —связность
без кручения. Поэтому
Vxy = VrX, (5)
R(X, Y)Z = XxXyZ-XyXxZ. (6)
Из (5) и (6) сразу же следует тождество (2). Антисимметричность
по двум последним аргументам в (3) равносильна тождеству
{R(X, Y)Z, Z) = 0 для всех ZgW. Так как V —риманова связ-
ность, что
<VxVrZ, Z) = X (yYZ, Z) - (VrZ, VXZ), (7)
(yYZ, Z)=|y<Z, Z). (8)
В силу (7) и (8), а также учитывая, что по предположению
[A, Y] = XY — YX = 0, имеем
2 (R (X, Y)Z, Z) = XY(Z, Z) — YX(Z, Z) = 0.
Тождество (4), позволяющее переставлять обе пары аргументов,
является чнсто алгебраическим следствием предыдущих. В самом
деле, из (1) и (2) следует
(R (X, Y) Z, U) = - (R (Y, X) Z, U) =
= </?(X, Z)Y, U) + {R(Z> Y)X, U), (9)
а из (3) и (2) следует
<Я(Х, Y)Z, U) = — (R(X, Y)U, Z} =
= {R(Y, U)X, Z) + {R(U, X)Y, Z). (10)
Складывая (9) и (10), получаем
2</?(X, Y)Z, U) = (R(X, Z)Y, U) + {R(Z, Y)X, U) +
+ {R(Y, U)X, Z) + {R(U, X)Y, Z). (11)
Меняя местами X c Z, Y c U в (11), получаем
2<7?(Z, U)X, Y) = {R(Z, X)U, Y) + {R(X, U)Z, Y) +
+ (R(U, Y)Z, X) + (R(Y, Z)U, X). (12)
Так как правая часть (11) переходит в правую часть (12),
рели к каждому ее члену применить (1) и (3), то (4) доказано,
112
§ 3. Римановы многообразия
С помощью тензора кривизны R можно определить другие
характеристики кривизны М. Рассмотрим сначала „биквадратич-
иую форму*' k: X ЯЗМ определенную с помощью фор-
мулы k(X, Y) = (R(X, Y)Y, X). Заметим, что k(X + Y, У) =
= k(X, Y) = k(Y, X). Оказывается, что тождества (I) —(4) позво-
ляют однозначно восстановить R, зная форму k. Чтобы доказать
это, выразим сначала R(X, Y)Z с помощью (1) и (2) через век-
торные поля вида R(X, У) У:
R(X, У + г)(У + г) =
= R(X, Y)Y+R(X, Y)Z + R(X, Z)Y + R(X, Z) Z\
R(X + Z, YHX + Z) =
= R(X, Y)X + R(X, Y)Z + R(Z, Y)X + R(Z, Y)Z;
0 = R(X, Y)Z+R(Y, X)Z.
Складывая эти равенства и снова пользуясь (2) и (1), имеем
3R(X, Y)Z = R(X, Y + Z)(Y + Z) —R (X, Y)Y-R(X, Z)Z-
— R(Y, X + Z)(X + Z) + R(Y, X)X + R(Y, Z)Z. (13)
Если и — симметрическая билинейная форма, то 2<о (X, У) =
= а (X + У, X + У) — со (X, X) — со (У, У). В силу (1), (3) и (4) форма
(R(X, Z) Z, У) симметрична по X и У, откуда
2</?(Х, Z)Z, Y) = k(X'+Y, Z)-k(X, Z) — k(Y, Z). (14)
Из (13) и (14) непосредственно вытекает
6</?(Х, Z)Z, U) = k(X + U, У + Z)-k(X + U, Y)-k(X+U, Z)-
-k(X, Y + Z)-k(U, y + Z) + fe(X, Z) + k(U, У)—
-k(Y + U, X + Z) + k(Y + U, X) + k(Y+U, Z) +
+ k(Y, Z + X) + k(U, Z + X) — k(Y, Z)-k(U, X). (15)
Итак, тензор кривизны, действительно, выражается через
k(X, У). В частности, R = 0 одновременно с k — 0. Введем теперь
тензорное поле типа (3.1) по формуле
/?! (X, y)Z = <y, Z)X-(X, Z>y,
а также биквадратичную форму (X, У) = (7?1(Х, У) У, X) =
= || X ||21| У ||2 — (X, У)2. Эта форма называется определителем Грама
по отношению к римановой метрике (, ). Можно показать, что
она равна квадрату площади параллелограмма, образованного
векторами Хр, Yp в Мр. Легко проверить, что тензор Rr удовле-
творяет тем же тождествам (1) —(4), что и R. Для любой точки
реМ и линейно независимых векторов и, v е Мр из неравенства
Коши —Шварца следует kx{v, ш)>0, поэтому имеет смысл дей-
ствительное число К (v, w) = k(v, w)!kx(v, w). Если обозначите
3.6. Тождества для кривизн и скалярные, кривизны
113
через а двумерное линейное подпространство Мр порожденное
v и w, то для другого базиса v, w в а имеем б = а11У + а12ш
w = 021^ + а22да- Полагая
/ ЙЦ «12 |
а = I />
\ «21 «22 /
находим
k (v, w) = (det а) (7? (v, w)w, v} = (det a)2 k (v, w),
ki(v, w) = (det a)2 kx (y, w),
поскольку {R(X, Y)Z, U) и (Rt (X, Y)Z, U) антисимметричны no
X, Y и Z, U соответственно. Поэтому К. (у, w)~K{y, w) и, в част-
ности, К (у, w) = k(y, w), если v, w ортонормированье
Предположим теперь, что dimAf^2; обозначим через Gp
„многообразие Грассмана" всех двумерных линейных подпро-
странств Мр и через Gw объединение (J Gp, построенное для
произвольного подмножества W с М. Каждой плоскости a е GM
можно сопоставить действительное число Ка, выбирая линейно
независимые векторы v, w е о и полагая
м _ iz w) _ <7? (о, w) w, v) ,.
Да K(V, W) II»||2 (I а» II2 - (о. ' (*W
называется римановой кривизной М по отношению к о или
„кривизной в двумерном направлении", поскольку при dimAf ^3
функция Ка измеряет кривизну М в каждой точке р по „двумер-
ному направлению" о в Мр. Это понятие введено Риманом.
В случае dimAf = 2 каждая касательная плоскость Мр содержит
единственное двумерное линейное подпространство, риманова
кривизна Ка = К совпадает с гауссовой кривизной из теории по-
верхностей (см. разд. 3.7). В этом случае К есть дифференцируе-
мая функция из Из (15) и (16) видно, что тензор кривизны
и риманова кривизна взаимно определяют друг друга.
М называется пространством постоянной кривизны или про-
странственной формой, если существует такое число xgR, что
Ка = к для всех o^GM-, М называется в этом случае эллиптиче-
ским, если х > О, гиперболическим, если х < 0, и плоским (локально
евклидовым), если х = 0. Существуют простые стандартные про-
странства, служащие образцами пространств постоянной кри-
визны (см. замечание (iv)). Геометрические свойства этих про-
странств хорошо изучены; они играют фундаментальную роль
в общей римановой геометрии в качестве объектов сравнения
(см., например, § 6).
Найдем тензор кривизны для пространства постоянной кри-
визны. Более обще, пусть Ка зависит только от точки р, но не
от двумерного подпространства о cz Мр, т. е. Ка = К(р), где К (р),
естественно, дифференцируема.
114
§ 3. Римановы многообразия
Тогда, как мы докажем,
R(X, Y)Z = KR\(X, Y)Z = K({Y, Z}X-(X, Z}Y). (17)
В самом деле, полагая R(j = R — KRt и обозначая через k0 биква-
дратичную форму, соответствующую Ro (т. е. k0 — k — Kk^, полу-
чаем, что Ro удовлетворяет одновременно с R и Ri тождествам
(1) —(4), и из (16) следует йо = О. Тогда аналогично выводу (15)
заключаем, что R0 = Q, откуда R = KRt.
Если dim М = 2, то тензор кривизны любого двумерного рима-
нова многообразия имеет вид (17). В случае dimAf^s3 функция R
в (17) должна быть локально постоянной. Это означает, что связ-
ное риманово многообразие, кривизна которого в любой точке
не зависит от двумерного направления, есть пространство постоян-
ной кривизны. Этот факт впервые был отмечен Шуром (см. заме-
чание (v) этого раздела).
Тензором Риччи на М называется свертка c,R тензора кри-
визны R, т. е. 2-форма на М, заданная формулой
(ctR)(v, w) = tr [и -> R (и, о) ш],
где и, v, w е Мр, р^М (см. замечание (iv) разд. 2.3).
Рассмотрим также квадратичную форму v ->(ctR) (о, v). При
v^Mp, v 0 число г(р)=—называется кривизной Риччи М
в направлении о. Это число сопоставляется, таким образом,
каждому одномерному линейному подпространству Мр. Выберем
в Мр ортонормированный базис ..., ип. Тогда
(c1R)(o, о>)=2 </?(«,-, о) w, щ)
i=i
и, следовательно, тензор Риччи симметричен относительно о, w.
След тензора Риччи по отношению к метрическому тензору (, ),
п
т. е. число s(p)=2 r(Uj), называется скалярной кривизной М
1-1
в точке р.
Если Wi(i= 1, ..., п— ^—нормированные векторы, ортогональ-
ные кои друг к другу, то, очевидно,
г (о)= о). (18)
i = \
Отсюда
«(?)= S r(«/) = 2Ш«/) = 2 2 и{). (19)
/=1 i, j—l 1 < i < / «
3.6. Тождества для кривизн и скалярные кривизны
115
Замечания
(i) Пусть ре= М, а Gp и х — почти нормальная карта вокруг р,
т. е. такая, что gtj (р) = bijt (р) = О, х (р) = 0 (существование
таких карт доказывается в замечании (ii) разд. 3.8). Положим
X; = ——-т и выберем в а ортонормированный базис х, w. По раз-
дх1
п п
ложениям о = 2 a‘Xi U ® = 2 ^Х( 1Р из (16) с учетом (7) разд. 3.6
i=1 I = 1
находим из условия (Vх.Х/)р = 0, что
п
Ко- S «№'<«№> х<)хк, =
i,! k, 1=1
Х^-Х^Х,, Х^-Х^^Х^ Xt} +
+ X!Xl(Xi, Xft)]|p,
откуда, объединяя крайние члены и повторно используя соотно-
шения [Xi( Xk] = 0, получаем формулу
(20)
“ \ дх1 дх дх1 дх1 дх1 dxR дх дхя) р
В частном случае dimM = 2 имеем
К = ( g2g12 1 d2g22 _ J_ d2gu \ I
л\дх'dx2 2 dx‘ dxl 2 dx2dx2)\p'
Практически вычисление римановых кривизн М по этой фор-
муле слишком громоздко и редко оказывается целесообразным
даже в случае поверхностей. Вообще говоря, явное вычисление
кривизн в конкретных случаях может оказаться весьма трудным,
даже если М в некотором смысле „симметрично" (см. замеча-
ние (vii)) или задано простыми уравнениями как риманово под-
многообразие евклидова пространства (см. разд. 3.7).
(ii) Многообразие М называется многообразием положительной
(отрицательной) кривизны, если Ко>0 (соответственно Ка<0) для
всех о е GM; это означает, что самосопряженный эндоморфизм
кривизны Мр->МР, заданный формулой v->R (о, w)w, при всех
w Мр, w =И= 0 является положительно определенным (соответ-
ственно отрицательно определенным).
Если IF — компактное подмножество М, то ограничена при
всех о е Gw. В самом деле, отображение k: ТМ X ТМ-+ R, задан-
ное формулой (о, w)—>k(y, да), непрерывно, а множество орто-
нормированных реперов (о, да) в точках множества W компактно
(см. замечание (iii) разд. 3.4). Поэтому для компактного подмно-
жества многообразия положительной (отрицательной) кривизны
116
$> 3. Римановы многообразия
существуют такие положительные числа х, Z, что для всех or е Gw
имеет место х Ка А. (——х).
(iii) Пусть М — риманово многообразие со связностью Леви-
Чивита V, dimAf = n^2. В дальнейшем для некоторых случаев
будет показан геометрический смысл римановой кривизны (см., на-
пример, § 4 и 6), пока же приведем без доказательства одно ее
фундаментальное свойство.
Пусть Q —замкнутый квадрат в R2, f: Q-+M — дифференци-
руемое отображение. Число F= J ().£>], /*^2) dtds называется
Q
площадью „параметризованной поверхности** f в М. Фиксируем
ре.М и найдем, согласно 5.2, такое действительное число 60>0,-
чтобы для всех 6е(0, 6fl) экспоненциальное отображение ехрр
диффеоморфно отображало шары £76 = {у: v^Mp, || v || < 6} на
строго выпуклые шары В6 = ехрС76 в М. Тогда три произволь-
ные точки из В6 определяют геодезический треугольник в В&
(см. разд. 6.4). Как можно доказать, существует такое число
ц0>0, зависящее от б0, что для любого геодезического треуголь-
ника Д в В6 с углами у0> Yi. V2 при вершинах р0, pit р2 спра-
ведливо неравенство
17- - Ко | С б|х0, (21)
где е = у0 + Yi + У2~л есть „угловой избыток** Д, F— „площадь“ Д,
т. е. в случае п^З нижняя грань площадей всех натянутых на Д
параметризованных поверхностей, а Ка~ кривизна М „в напра-
влении Д“, т. е. соответствующая двумерной плоскости с аг Мр.,
содержащей касательные векторы к пересекающимся в рг сто-
ронам Д, г = О, 1, 2. В классических геометриях на стандартных
моделях римановых многообразий постоянной кривизны соблю-
е
дается в точности равенство -jr = x.
Вследствие (21) на римановом многообразии положительной
(отрицательной) кривизны сумма углов достаточно малого геоде-
зического треугольника больше (соответственно меньше) л; обратно,
если для всех треугольников сумма углов не меньше (не больше) л,
то для всех ore GM имеет место (Ка^0) (по этому поводу
см. также разд. 6.4 и замечание (iii) разд. 2.6). Вывод неравен-
ства (21) нетруден, он приведен, например, в разд. VII гл. X
цитированной в конце этого параграфа книги Э. Картана.
(iv) Пусть М — n-мерное дифференцирумое многообразие (п. 2),
<р е — положительная дифференцируемая функция и g, g = q>g~~
конформно эквивалентные римановы метрики на М. Рассмотрим
связности Леви-Чивита V, V для g, g. Если or е GM — касательная
плоскость и v, w составляют ортонормированный базис а, то из
3.6. Тождества для кривизн и скалярные кривизны
117
замечания (vi) разд. 3.5 получается следующее соотношение между
римановыми кривизнами Ко, Ка метрик g, g:
<!>Ka = [/Ц, (у, У) + (w, w) + , (22)
где ijj = log<p. В случае n=2 отсюда вытекает
<f>K = К-j Д log <p.
Таким образом, если, например, умножить каноническую
метрику на открытом подмножестве U cz R2 на <р = е*, где —
гармоническая функция (т. е. Д<р = 0), то полученная метрика
снова имеет нулевую гауссову кривизну.
Пусть теперь g — стандартная метрика на R", х —действи-
тельное число и UK есть R" при х^О, соответственно шар
[а: а <= Rn, || а II2<-Дт / при х<0. Положим для а е UK,
I I и I J
(1+хЫг7’ £ = <₽g- (23)
Проверьте с помощью (22), что риманово многообразие UK с метри-
кой g имеет постоянную кривизну К0 = х; в частности, тензор
кривизны для V задается формулой (17), что, впрочем, видно и
непосредственно из замечания (vi) разд. 3.5.
Найдем теперь тензор кривизны риманова подмногообразия
SpCz.R'14’1. Из замечания (iv) разд. 3.2 прежде всего следует,
что Sp есть пространство постоянной кривизны. В самом деле,
для любых двух касательных плоскостей с М , о2 cz М суще-
ствует такая изометрия ае0(п+1) сферы Sp на себя, что
02 = 0.0!, а риманова кривизна инвариантна при изометриях.
Таким образом, тензор кривизны Sp имеет вид (17), и остается
вычислить постоянную риманову кривизну К- Рассмотрим ото-
бражение f: R”-» Sp cz Rn+1, обратное стереографической проек-
ции х с северного полюса (см. замечание (iii) разд. 1.1). Оче-
видно, для а е R"
f (fl)= 'Цд^ + рз (2Ра> IIа II2 ~ Р2)-
Вычислив производные компонент Difk(a) (i= 1, ..., п,
k=l, ..., п+1), легко проверить, что
(М. LDi) = ф<Пг,
где
<Р (fl) = 7-Г----\2 •
(i + -p-UH2)
118
$ 3. Римановы многообразия
Следовательно, f является конформным отображением по отно-
шению к евклидовой метрике на R" и изометрией по отношению
к метрике g = <pg на R". Согласно (23), имеем Ka = -V Для всех
касательных плоскостей о сферы Sp, а в силу (17) тензор кри-
визны Sp есть
R (X, У) Z = «У, Z) X - (X, Z) У). (24)
В разд. 3.7 мы получим формулу (24) более простым путем.
Таким образом, мы имеем стандартные пространства класси-
ческой геометрии в виде римановых многообразий: сферу s"».
V к
постоянной кривизны х>0 (сферическая геометрия; отождествле-
ние диаметрально противоположных точек на сфере приводит
к эллиптической геометрии); Rn с постоянной кривизной п = 0
(евклидова геометрия); открытый шар UH с R" с метрикой (23)
как многообразие постоянной отрицательной кривизны х<0 (гипер-
болическая геометрия). Метрики (23) были введены Риманом.
С помощью (22) строится другая модель гиперболической пло-
скости постоянной кривизны К = — 1. Возьмем в качестве дву-
мерного дифференцируемого многообразия верхнюю полупло-
скость R+, т. е. открытое подмножество точек а + ib е С,, для
которых Z>>0. Введем на R+ метрику g=-^~g, где g — метрика,
индуцированная канонической метрикой R2. По отношению
к карте id имеем Г{i = Г22 = Г22 = = 0, Гп = у , Г{2 = Г21 = Г22= — у.
Геодезические 7->R+ с компонентами и, v удовлетворяют,
2
таким образом, дифференциальным уравнениям й——iiv = 0,
о’ + у (й2 — v2) = 0, и все они могут быть продолжены на всю пря-
мую R. Максимальные нормальные геодезические R-»-R+, удовле-
й2 + v2 , ,
творяющие очевидному соотношению ——= »> задаются (с точ-
ностью до сдвига и перемены знака параметра) уравнениями
и (0 = a th t + р, и (/) = р,
или
о(/)= “ O(t) = e',
v ' chi ’ !
где а, р R, а > 0.
Образы этих геодезических в R+ суть полуокружности с цен-
трами в точках (р, 0) и радиусами а или же полупрямые, парал-
лельные оси о. По существу, т. е. с точностью до несущественных
замен параметра, для каждых двух точек z,ex2+ есть одна
3.6. Тождества для кривизн и скалярные кривизны
119
соединяющая их нормальная геодезическая. Найдите ее длину.
Покажите, что отображение г—» есть изометрия риманова
многообразия R+ на U ~\. Найдите вид геодезических на [7И.
Преобразования единичного круга в себя z->elv ~ , где v дей-
ствительно и | z01 < 1, являются изометриями У-р Можно пока-
зать, что ими исчерпывается вся группа изометрий U-t.
(v) Пусть М — связное риманово многообразие со связностью
Леви-Чивита V, и dimAf = n^3. Если не зависит от <т
в каждой точке р е М, тензор кривизны М имеет вид (17), где
К §Л4. Докажем теорему Шура, утверждающую, что К постоянна.
Для этого заметим, что тензор g параллелен, т. е. Vg = 0, поэтому
V/?j = 0. Из (17) и тождества Бьянки (см. замечание (iii) разд. 2.3)
(XK)RdY, Z, U) + (XK)Rx(Z, X, U) + (ZK) Rt(X, Y,U) = 0
для всех X, Y, Z, U e 23M. Отсюда уже легко выводится утвер-
ждение теоремы Шура (причем существенно используется пред-
положение сИтМ^З). Докажем теорему, аналогичную теореме
Шура: если кривизна Риччи в каждой точке постоянна, то она
постоянна вообще. Для доказательства заметим, что в условиях
теоремы тензор Риччи crR пропорционален метрическому тензору,
т. е. c1/? = Zg, где Но в таком случае из тождества
Бьянки и замечания (iv) разд. 2.3 следует, что А постоянна.
Римановы многообразия с постоянной кривизной Риччи назы-
ваются также многообразиями Эйнштейна. Покажите, что связное
трехмерное многообразие Эйнштейна есть многообразие постоян-
ной кривизны.
(vi) Пусть М], М2—римановы многообразия, М. X М2— их рима-
ново произведение (см. замечание (ii) разд. 3.1). Покажите, что
связность Леви-Чивита на МГХМ2 есть произведение соответствую-
щих связностей на и М2 (см. разд. 2.4). Докажите формулу,
связывающую тензоры кривизны R', R2, R многообразий Mt, М2,
Mi X М2:
(R (X, Y) Z, U) = </?' (Х.У,) Zb Ut} + (Я2 (Х2, Г2) Z2, У2>, (25)
где X, Y, Z, U 6=23 (ЛД X М2), Xt = щ,Х, Г,- = льГ, Zt = ji,.Z, U-, = nitU-
векторные поля вдоль естественных проекций ль т. е. компо-
ненты X, Y, Z, U по отношению к Т Mt (i= 1, 2) (см. замечание (iii)
разд. 2.4). Выведите из (25), что риманова кривизна Ко обра-
щается в нуль в каждой точке (р, q) е Mt X М2 для всех пло-
скостей oreG(p ?), „расположенных касательно к и М2“,
т. е. таких, что dimmer = dimл^ог = 1. Если М!г М2 — многообразия
положительной (отрицательной) кривизны, то Mt X М2 имеет
неотрицательную (неположительную) риманову кривизну, причем
Ка ~ 0 в каждой точке (р, q) е Мх X М2 для тех и только тех
120
§ 3. Римановы многообразия
плоскостей ст, которые касательны к и М2. Вычислите для
Sp, X S^ риманову кривизну и кривизну Риччи. Скалярная кри-
п (п — 1) , k (k — 1) TZ
визна в этом случае постоянна, s==——5—Кривизна
Pi Pi
Риччи г всегда положительна при п, fe>l; если Sp„ Sp, имеют
г, п. — 1 k — 1
одну и ту же кривизну Риччи г——т———»—, то г постоянна
Pi Рг
на их произведении.
(vii) Еще один класс римановых многообразий, для которых
кривизны вычисляются относительно просто, образуют симметри-
ческие и однородные пространства. Пусть М — связное риманово
многообразие со связностью Леви-Чнвита V. Многообразие М
называется локально симметрическим пространством, если для
каждой точки р е М существует такая окрестность V и такая
изометрия 1Р этой окрестности на себя, что ip,v = — v для всех
v Мр или, что эквивалентно предыдущему, все проходящие
через р геодезические отражаются в точке р, т. е. для геодези-
ческой с: [—а, а] —> АТ, удовлетворяющей условию с(0) = р, спра-
ведливо соотношение ip°c(t) = c{— t). Таким образом, ip есть
отражение в точке р, для которого ip°ip = id, а точка р является
(локально) единственной неподвижной точкой. Если при этом для
каждой точки ре М можно взять в качестве V все М, то М
называется глобально симметрическим, или просто симметри-
ческим пространством. Например, Rn и Sp, очевидно, симметри-
ческие пространства (см. замечание (vi) разд. 3.8). Известна тео-
рема Э. Картана, по которой односвязное локально симметрическое
пространство глобально симметрично, если его связность Леви-
Чивита полна ’). Покажите, что, с другой стороны, на глобально
симметрическом пространстве все геодезические могут быть про-
должены на R.
Из леммы 2 разд. 3.5 следует, что если М — симметрическое
пространство и X — параллельное векторное поле вдоль геодези-
ческой с: R->Af, то для tlt leR, р = с(^) имеем ip,X(^ + 0 =
= —Х (<! — <)• Согласно (13) разд. 3.5, отсюда следует, что
{R(X, Y)Z, U) постоянно для любых параллельных вдоль с полей
X, У, Z, U. Поэтому R параллельно, т. е. V/? = 0 (предполагается
лишь локальная симметричность М). Как мы увидим в замеча-
нии (ii) разд. 6.3, верно и обратное: если V/? = 0, то М локально
симметрично. Таким образом, М локально симметрично тогда
и только тогда, когда его тензор кривизны параллелен. Например,
любое пространство постоянной кривизны симметрично, так как
из (17) следует V/? = 0, см. замечание (v).
*) Доказательство, см., например, в книге С. Хелгасона «Дифференциальная
геометрии и симметрические пространства», М., 1964. — Прим, перво.
3.6. Тождества для кривизн и Скалярные кривизны 121
Покажем теперь, что каждая связная группа Ли G с биин-
вариантной метрикой ( , ) есть глобально симметрическое про-
странство (см. замечание (v) разд. 3.2), если определить отра-
жение ig: G -> G относительно точки ge G формулой igh = gh~lg.
Так как ie=Lg-i ° ie ° Rg-i> то Gg-> Gg-i есть изометрия. В самом
деле, левые и правые сдвиги суть изометрии G, и ie.v = — v для
v е Ge, поскольку ie производит отражение в однопараметрических
подгруппах G (см. замечание (v) разд. 2.7). Следовательно, ie есть
изометрия G на себя, а значит, и ig = Lg ° ig ° Lg-r, далее, ig<o = — v
для v e Ge. Пусть V — связность Леви-Чивита биинвариантной
метрики ( , ) и с: R—> G — геодезическая связности V, удовлетво-
ряющая условию с(0) = е. Для любого tx е R отображение ip отра-
жает с относительно точки p = c{t^, откуда с(^) с(^ + t)~l с (^) =
= c(ti — t). Из этого соотношения индуктивно получаем с(т/!) =
= c(tt)m для любого целого числа т, а затем доказываем, что
с(/[ -Н) = с(^1)с(0. сначала для рациональных tu t, а затем, в силу
непрерывности с, для всех действительных. Таким образом, с есть
гомоморфизм R-»G, и образ его есть однопараметрическая под-
группа G, иними словами, интегральный путь левоинвариантного
векторного поля X на G, удовлетворяющего условию Ze = c(0).
Мы видим, что геодезические V совпадают с геодезическими кано-
нической левоинвариантной связности на G. Следовательно, они
являются интегральными путями левоинвариантных векторных
полей. В частности, для левоинвариантного поля X, согласно заме-
чанию (ii) разд. 2.7, имеем VxX — 0.
Пусть теперь X, Y, Z, U — левоинвариантные поля на G.
Получите из (7) разд. 3.5 и VzX = 0, что ([X, У], У) = 0; поэтому
([X, У], Z) антисимметрична по всем трем аргументам. Тензор
кручения Т левоинвариантной связности G оказывается, таким
образом, ортогональным по отношению к биинвариантной метрике
(см. замечание (ii) разд. 3.5). Далее, поле УхУ = у[Х, У] лево-
инвариантно. Теперь легко проверить, что
R(X, y)Z=-l[[X, У], Z],
. (26)
W, Y)Z, G>=--|<[X, У], [Z, U]),
Отсюда Следует, что риманова кривизна группы Ли с биинва-
риантной метрикой неотрицательна. Для некоторых плоскостей
она может обращаться в нуль, например в случае G = R'*. С по-
мощью (26) вычислите еще раз тензор кривизны и риманову кри-
визну группы Ли S3czR4 с индуцированной биинвариантной
метрикой (см. замечание (iv) разд. 1.3). Рассмотрите более общий
случай, когда на трехмерном дифференцируемом многообразии
122
§ 3. Римановы многообразия
заданы векторные поля Xj, Х2, Х3, образующие параллелизацию
и удовлетворяющие соотношениям [Х(, Xi+i] = 2Xi+2 (индексы
считаются по модулю 3), и покажите, что если с помощью этой
параллелизации ввести каноническую риманову метрику (в кото-
рой Х^ Х2, Х3 ортонормированы), то получается пространство
постоянной кривизны К=1.
Другие примеры компактных симметрических пространств
можно получить, введя на проективных пространствах РП(С),
РП(Н), Р2(Са) (см. замечание (v) разд. 1.7) естественную метрику,
возникающую из их представления в виде однородных пространств.
Их кривизна положительна и при надлежащей нормировке при-
Г1 Я
нимает в каждой точке значения, заполняющие интервал 1 .
Эти пространства входят в более общий класс римановых много-
образий — однородных пространств некоторой группы Ли G по ее
замкнутой подгруппе Ли Н, снабженных инвариантной метрикой.
Так как G действует на G/Н как группа изометрий посредством
левых сдвигов, кривизны в произвольной точке q могут быть
определены, если их вычислить в единственной точке р. В самом
деле, существует изометрия i пространства G/Н, переводящая р
в q. Более того, тензор кривизны нормальной метрики на G/H
задается относительно простыми выражениями, аналогичными
формуле (26) для групп Ли, и вычисляется с помощью алгебраи-
ческих операций по алгебрам Ли g, I) групп G, Н с помощью
инвариантного скалярного произведения на д. Несмотря на это,
уже, например, выяснение точной области значений скалярных
кривизн может оказаться для таких пространств затруднительным.
Если G компактна, то G/Н с любой нормальной метрикой есть
пространство неотрицательной римановой кривизны, однако про-
странства этого типа со строго положительной кривизной весьма
немногочисленны (см. разд. 7.9 и замечание (iv) разд. 7.5).
3.7. Относительные кривизны
Очень часто приходится иметь дело с римановыми многообра-
зиями, изометрически вложенными в другие римановы многообра-
зия, например с подмногообразиями евклидовых пространств, за-
данными с помощью уравнений. В таких случаях так называемый
второй основной тензор измеряет, насколько вложенное много-
образие искривлено по отношению к объемлющему. Замечательно,
что при этом определенный внутренним образом риманов тензор
кривизны вложенного многообразия может быть выражен через
второй основной тензор и тензор кривизны объемлющего много-
образия. Для случая поверхностей в R3 это было впервые обнару-
жено Гауссом в его „Theorema egregium**. Второй основной тензор,
как правило, легче поддается вычислению в конкретных случаяд,
37. Относительные кривизны
123
чем риманов тензор кривизны; тем самым мы получаем ценное
средство для вычисления скалярных кривизн, в особенности
в случае обращения в нуль тензора кривизны объемлющего много-
образия, например, евклидова пространства.
Рассмотрим несколько более общий случай. Пусть М, М — ри-
мановы многообразия, dim М = п и i: М —> М — изометрическое
отображение (тем самым погружение). Обозначим через V, V
связности Леви-Чивита и через R, R тензоры кривизны М, М.
Определим для векторного поля Y вдоль i „перемещенную
обратно" касательную компоненту ТУ €= 23Л1 с помощью соот-
ношения
<ТУ, X) = (У, 1.Х) для всех X е= ЯШ (1)
(см. лемму 1 разд. 3.5). Из разд. 3.5 ясно, что 1^У = Ут и т (УТ) = ТУ.
Отображение S: 2Ш X 33^ —> ЭШ, заданное формулой
S(X, AO = T(VX< (2)
называется вторым основным тензором изометрического отобра-
жения i *). Отображение S билинейно над кольцом %М, что про-
веряется без труда. Докажите, например, однородность по второму
аргументу. По лемме 2.3 тензор S (X, N)\p зависит лишь от зна-
чений Np и Хр.
Таким образом, мы получаем отображение S: v X ТМ —> ТМ,
где V —нормальное расслоение i (см. замечание (iii) разд. 3.8).
При фиксированном поле нормалей N €= 35^ отображение
S(X, N) обращается в тензорное поле SN типа (1,1):
SNX = S (X, N). (3)
С помощью этого тензора определяется билинейная форма
lN{X, П = <5^, У). (4)
Покажем, что эта форма симметрична. Прежде всего из ра-
венств (1) —(4), соотношения ортогональности {N, 1,У) = 0 и то-
ждества Риччи (2) разд. 3.4 имеем
lN (X, У) = (?XN, 1,У> = - (AT, (5)
Так как связность V не имеет кручения, то из (6) разд. 2.5
следует
- <N, Vxi,y> = - (N, VyitX + i. [X, У]) = — {N, Vri.X) = lN (У, X).
') Приведенное здесь изложение теории второго основного тензора принад-
лежит П. Домбровскому, см. цитированную в конце замечании (vii) работу.
124
§ 3. Римановы многообразия
SN называется вторым основным тензором, а 1ц(Х, У) — второй
основной формой по отношению к нормальному векторному полю У.
Для р М и «, as Мр, w е Мр обычным образом определяются
Sw(u) и lw(u, v) (здесь Мр — ортогональное дополнение к i,Mp
в Л/цр)). При этом Sw: Мр—>Мр оказывается самосопряженным
по отношению к метрике Мр эндоморфизмом. Если || w || = 1, то
инварианты этого эндоморфизма называются относительными кри-
визнами М в точке р в направлении нормали w. Из них важнее
всего п (действительных) собственных значений Sw, которые назы-
ваются главными кривизнами М; соответствующие собственные
векторы задают прямые, называемые направлениями главных
кривизн. Из главных кривизн составляются средняя кривизна Hw
и кривизна Гаусса —Кронеккера Gw на М по отношению-к w.
Hw = ±AvSw, Gre, = detSw. (6)
Для ортонормированного базиса vn на Мр имеем Gw =
= det(lw(Vi, V/)).
Пусть теперь коразмерность погружения равна 1, т. е.
dimAf = n+l, и оба многообразия М, М ориентируемы (см.
разд. 7.4), тогда, как мы сейчас покажем, можно построить поле
единичных нормалей N вдоль i глобально на всем М. А именно,
в каждой точке р е М подпространство Np выбирается таким
образом, чтобы для любого положительно ориентированного
базиса vt.....vn в Мр векторы (ЛГр, ..., i»o„) составляли
положительно ориентированный базис в Mi <Р). В этом случае
можно обозначить второй основной тензор и вторую основную
форму относительно N просто через S, соответственно I (впрочем,
остается еще зависимость от выбора ориентаций, так что Хи/
определяются с точностью до знака). При этом S называется
просто вторым основным тензором, а / — второй основной формой
погружения I, а инварианты S — относительными кривизнами i.
Средняя кривизна H=-^trS и кривизна Гаусса — Кронеккера
погружения i суть дифференцируемые функции на М, причем G
для четного п, как легко видеть, не зависит от выбора ориента-
ций М, М. Регулярный путь с: J ->М, нормированное касательное
поле которого в каждой точке t имеет направление глав-
ной кривизны, называется линией кривизны.
Перейдем к соотношениям, связывающим тензоры кривизны М,
М и второй основной тензор. Эти соотношения содержатся в сле-
дующих равенствах, представляющих обобщение классической
гауссовой „Theorema egregium*'. При этом, как мы уже говорили,
3.7. Относительные кривизны
125
разность между внутренними кривизнами М и М выражается
через относительную кривизну М в М.
Лемма (Уравнения Гаусса)
Усл. i: М -> М — изометрическое отображение, dim М 2, кораз-
мерность погружения dimМ — dimМ = т. Для р^М век-
торы и, v, w, геМр и Nt............... Nm — ортонормированные
базисные векторы в Мр. Для каждого Nf определены эндо-
морфизм S, = 8дг. пространства Мр и вторая основная форма
Ц = относительно Nt. Через k, k обозначаются соответ-
ствующие R, R биквадратичные формы (разд. 3.6).
Утв.
т m
R(u, v)w- (R(itu, i,v)i,ay)=3 [^(v, w) S^u-1^(и, o»)Suv]; (7)
1
R (u, v)w, z) — (R (itu, i,v) i,w, itz) =
= S [^(f> w)lp.(u, z)-lp,(u, w)lp,(v, г)]; (8)
ii=i
™ (lAu, u) L(u, v)\
k(u, v) = k(u, lAv v}j. (9)
Тензор, стоящий в левой части (7), называется „тензором раз-
ности кривизн" погружения i.
Док. (8) и (9) есть тривиальные следствия (7).
Для доказательства (7) продолжим Nt, ..., Nm локально до
ортонормированных векторных полей в 23^, обозначив их также
через Nlt ..., Nm. Продолжим и, v, w локально до векторных
полей X, У, Ze 23М. Тогда Srl и канонически продолжаются
до тензорных полей.
Разложим Vyi.Z на касательную и нормальную составляющие
и применим лемму 2 разд. 3.5:
тп
= $Yy,.Zf + (Wi.Z)1 = ^YZ + S Vri.Z)
H=1
Ковариантно дифференцируя по X, находим
tn
= VxitVrZ + 2 [У «уи> Vr4Z)) Np, + (Np, VxATj,
Ц-— 1
отсюда
m
(VxVritZ)T = + 3 (Vx^)T.
126
§ 3. Римановы многообразия
Перемещая обратно касательные составляющие, получаем из (3) и (5)
т
T(VAVr4Z) = VAVri,Z = VxVyZ - 2 (У, Z)
|1-1
Меняя местами X и У, получаем аналогичное выражение для
T(VrVxi,Z), а в силу T(V(x, yji.Z) = V[x, y,Z из определения тензора
кривизны и (7) разд. 2.5 следует
т
R(X, y)Z-T(^(i.X, = 2 [МЛ ZjS^X-l^X, Z)SpY],
|1=1
что и доказывает лемму.
В частности, при dimAl = 2 и М = R3, т. е. для поверхности
в R3, из (9) сразу же вытекает, что риманова и гауссова кри-
визны М совпадают.
Замечания
(i) Геометрический смысл второго фундаментального тензора
проще всего уяснить себе в случае изометрического вложения
i: М cz М коразмерности 1. Если N — нормальное поле постоянной
длины, то XxN везде касательна. При этом itSNX = VXN выражает
„скорость отклонения" нормального поля N от параллельного
поля при смещении в направлении X. При более высокой кораз-
мерности это истолкование неприменимо, поскольку XxN может
иметь нормальную составляющую для нормального поля N по-
стоянной длины. Однако заданный единичный нормальный век-
тор Np в точке р М всегда можно локально продолжить до еди-
ничного нормального поля N таким образом, что для всех v Мр
вектор X0N будет касательным. Такое поле можно построить,
например, следующим способом. Пусть У —векторное поле вдоль
вложения I, полученное из Np параллельным переносом в М вдоль
у-1-
исходящих из р геодезических М. Положим N = - н- в некоторой
окрестности р. Тогда У^У3- = — ?ОУТ;
и тем самым У^У3-— касательный
(vvYl, Yl) п ~ Y1
= - ||-Г1[р- = 0> то вект°Р
Приведем другое геометрическое
ного тензора. Для вектора v s Мр и нормального вектора w е
; легко проверить, что VoyT
вектор. Так как 1»||У-Ч1 “
тоже касательный.
истолкование второго основ-
'р
рассмотрим дифференцируемый путь с: [0, р] -> М, удовлетворяю-
щий условию с(0) = и, а также параллельное относительно V
3.7. Относительные крибизны
127
векторное поле Y вдоль с, для которого У (0) = w. Легко проверить
(см. теорему 2 разд. 2.6), что
Swv = Io = - Т(^УТ) |o = - Hm .
/->0 1
yT (t)
Следовательно, i„Swct = — lim—p-1- есть скорость, с которой У
t->0 ‘
отклоняется от нормального к М положения при смещении в на-
правлении V. Эта интерпретация могла бы мотивировать противо-
положный выбор знака в определении S.
(ii) Рассмотрим риманово многообразие М размерности п^2,
возьмем точку р^М. Пусть ст —двумерное линейное подпростран-
ство Мр, U — некоторая окрестность 0 в ст, которую экспонен-
циальное отображение ехр: ТМ—>М диффеоморфно вкладывает
в М. Тогда Al = exp(t7) с индуцированной из М метрикой ста-
новится двумерным римановым подмногообразием М, причем
Мр = ст. Покажите, что риманова кривизна Кр = Ка подмногообра-
зия М в точке р совпадает с римановой кривизной Ка много-
образия М в двумерном направлении ст. Для этого достаточно
заметить, что при v е ст
lN (v, v) = (Ve (О)АГ, с (0)) = (VD (N о с), с} Io = D {N □ с, с) |0 = 0,
где с (/) = ехр (/ст) и N — произвольное нормальное поле в окрест-
ности р на М.
(iii) Риманово подмногообразие М риманова многообразия М.
называется вполне геодезическим в М, если все геодезические М
являются также геодезическими М. Покажите, что М является
вполне геодезическим тогда и только тогда, когда его второй
основной тензор равен нулю.
(iv) Рассмотрим изометрическое погружение i: М—>М кораз-
мерности 1 и единичное нормальное поле N вдоль М (которое
существует глобально, если М и М ориентируемы). Пусть S — вто-
рой основной тензор относительно N или, как мы его назвали
выше, второй основной тензор погружения i. Рассматривая тен-
зорное поле S типа (1,1) как антисимметрическое, применим
к нему дифференцирование Картана (см. замечание (iv) разд. 2.3);
таким образом, мы получаем антисимметрический тензор dS
типа (2,1). Докажите уравнение Кодацци: dS (X, Y) = TR(i„X, i,Y)N.
Из этого соотношения вытекает, что
(dS(X, У), Z> = -{R(i,X, N),
т. e. (dS (X, У), Z) есть взятая co знаком минус нормальная ком-
понента R(i.X, i,y)i„Z.
128
$ 3. Римановы многообразия
Если, в частности, /? = 0, как, например, в случае М = Rn, то
dS = 0, или, что то же самое, тензор VS симметричен.
(v) Укажем геометрический смысл кривизны Гаусса —Кронек-
кера.
Пусть М — ориентированное n-мерное риманово подмногооб-
разие R"+I, т. е. ориентированная гиперповерхность (можно до-
казать ориентируемость любого подмногообразия Rn+I коразмер-
ности 1). Тогда, Очевидно, вдоль М можно построить глобальное
поле единичных нормалей N. Пусть S — второй основной тензор
относительно У, л0: 7’R"+I —>R"+I — проекция, на каждом слое 7’Rn+I
обратная каноническому изоморфизму. Гауссово сферическое ото-
бражение у: определяется формулой у = л0оУ, оно назы-
вается также „отображением посредством параллельных норма-
лей". Покажите, что л0 ° у, = л0 ° S (допуская некоторую неточ-
ность, можно сказать, что у, = S после параллельного сдвига.
Кривизна Гаусса — Кронеккера det Sp = det у,р есть тем самым
мера растяжения объема М в точке р при гауссовом сфериче-
ском отображении.
(vi) Рассмотрим поверхности вращения в R3. Пусть qp: /->R2 —
регулярный путь с компонентами qpj, qp2, причем qp] (/) > 0 для
/е/. Поверхностью вращения, полученной вращением qp вокруг
второй координатной оси, называется образ „периодического" по-
гружения f: /XR->R3, заданного формулой
f(t, s) = (qp! (/) cos s, qp] (<)sins, qp2(0).
Поле единичных нормалей N вдоль f имеет вид
__i_
N(t, з) = (ф2 + ф2) 2 [ф2(0 coss£>i °f (t, s) +
+ ф2 (0 sin sD2 ° f (t, s) - ф, (0 £>3 ° f (/, s)].
Пусть S — второй основной тензор относительно N. Пока-
жите, что
f.SDt = VOiy = 72г~Ф2;,|; f.Di. f.SD2 - VO2y = —-фг—,/a
(ф?+ф|) 4Pi(<P? + <p1)
Двумерный тор T2 посредством вращения пути qp = (R + г cos t,
г sin 0 погружается в R3 при R, г>0 и вкладывается в R3 при
/?>г>0. Легко найти для погружения тора главные кривизны
- _ 1 . соз/
Л' г ’ ~ /? + ГСОЗ/ ’
среднюю кривизну
„ _ 1 м . I \ _ # + 2rcos*
П ~ 2 + “ 2г (Я + г cos О
3.7. Относительные кривизны
129
и гауссову (риманову) кривизну
g = k = xiz2 = -7f^L—.
12 г (R + г cos t)
Укажите на торе области положительной и отрицательной кри-
визн. В качестве второго примера возьмем поверхность вращения
цепной линии <р (/) = (ch t, t), называемую катеноидом. В этом
случае главные кривизны равны
,______!_ , 1
ch21 ’ ~ ch2t •
Катеноид есть, таким образом, поверхность нулевой средней кри-
визны (// = 0); такие поверхности называются „минимальными*1.
При этом его гауссова кривизна G = К = — с^14 везде отрица-
тельна.
Постройте поверхность вращения постоянной отрицательной
гауссовой кривизны.
(vii) Покажем, как можно вычислять кривизны многообразий,
заданных уравнениями. Пусть М — (п + 1)-мерное риманово много-
образие (в большинстве встречающихся примеров M = Rn+I),
f: /W—>R — дифференцируемая функция и 0 —регулярное значе-
ние f. Тогда M = f ’(0) с индуцированной римановой метрикой
есть n-мерное риманово подмногообразие М. Поле У =
II ’/ II ]д[
есть единичное поле нормалей вдоль М. Пусть S —второй основ-
ной тензор, Z — вторая основная форма, Я —средняя кривизна и
G—гауссова кривизна М по отношению к N. Покажите, что для
ре М и v, w еЛ4р
1 / hr (Vf, d) \ 1
Sv =---- Яш - g V/ L) =---------(10)
iinnp f iin\\2P 7 iiv?iip 1 2 v J
^ = ’Wii7/Zf
я = _L/д/(12)
nil V/ll II Vf II» Г
Выведите отсюда формулу, связывающую римановы кривизны
Ка, Ка многообразий М, М в направлении двумерного подпро-
странства с ортонормированным базисом v, w:
t / hf (v, v) hf (v, w) \
Ka~ и vf ..г det I j. (13)
II v/ II \hf(v, w) hf(w,w)J
Чтобы получить явную формулу для гауссовой кривизны, на-
помним некоторые понятия линейной алгебры. Пусть Е — действи-
130
$ 3. Римановы многообразия
тельное векторное пространство размерности га, А: Е -> Е — эндо-
морфизм, %(Х) — характеристический полином А со свободным
членом (— I)" det Л. Определим полином р(Х) тождеством Хр(Х) =
= det А — (— 1)лх(Х). В силу известного тождества хИ) = 0 имеем
Лр(Л) = det А • id. В любом базисе Е эндоморфизм Лс = р(Л) изо-
бражается матрицей, элементы которой суть алгебраические до-
полнения к соответствующим элементам матрицы эндоморфизма Л.
Если в Е введена евклидова метрика (, ) и F есть (га — 1)-мерное
подпространство Е, то с помощью ортогональной проекции Р: Е—>Е
получаем эндоморфизм Р о A: F-+F. Покажите, что
det(P ° Л) = (Лсш), w), (14)
где w — единичный вектор, ортогональный к F. В силу (10) от-
сюда вытекает формула для кривизны Гаусса — КронеккЬра под-
многообразия М:
G = det S =---!—J- (нс{ V/, Vf>. (15)
II V/ ||л+2 ' '
Если M описывается более чем одним уравнением, т. е.
является прообразом регулярного значения 0 дифференцируемого
отображения f: Af-^-R"1, то градиенты V/b ..., \fn составляют
базис нормального расслоения подмногообразия M = f~1(0). После
ортогонализации из них получается /га ортонормированных нор-
мальных полей вдоль М, с помощью которых можно получить
из (9) формулу для вычисления кривизн, аналогичную (13). Явные
формулы и их подробное обсуждение см. в работе П. Домбров-
ского (Dombrowski Р., Krummungsgroften gleichungsdefinierten
Untermannigfaltigkeiten Riemannscher Mannigfaltigkeiten, Jahres-
bericht der DMV, 1967).
(viii) Рассмотрим в качестве примера симметрическую били-
нейную форму Ф на ₽я+1. Пусть В — самосопряженный относи-
тельно (, ) эндоморфизм, для которого (Вр, д} = Ф(р, q), / — со-
ответствующая квадратичная форма f (р) = Ф (р, р). Для регуляр-
ного значения р2 функции f получаем риманово подмногообразие
Af = f-I(p2) в Rn+I. Покажите, что
V/ |р = 2Вр, Hf = 2В, hf = 2Ф,
„ 4 . , /Ф(о, v) Ф(щ w) \
IIWIIp \ Ф (о, ш) Ф(ш), w)/
после канонического отождествления касательных пространств
к R"+I с R'l+I (здесь р^М, о —плоскость в Мр с ортонормиро-
ванным базисом v, w). Формула для Ка показывает, что М является
пространством положительной кривизны в том и только том слу-
чае, если форма Ф положительно определена; в этом случае М —
3.8. Различные замечания
131
эллипсоид. Например, М есть сфера при Ф = (, ) и, как легко
видеть, ||Vf||p = 2p, Ко = р-.
Пользуясь методами этого раздела, выведите заново фор-
мулу (24) разд. 3.6. Поскольку для поверхностей в R3 гауссова
и риманова кривизны совпадают, формула (15) оказывается
в этом случае удобным средством вычисления римановой кри-
визны. При этом нет надобности явно находить какие-либо каса-
j^2 у2 g2
тельные векторы. Проверьте, что эллипсоид = 1
„ Г и (х2 । У2 । z2\1-2 « х2 ।
имеет кривизну К = \аос — + Н—г , гиперболоид — +
\ Я О С / J С1
у2 z2 . v Г и (х2 । У2 z2 \1~2 ,
+— = 1-кривизну ~ [аЪс ’ паРаб°"
лоид-^- + ^2--2г = 0-кривизну К = [а& (“r + ^r + t)] •
3.8. Различные замечания
В этом разделе мы рассмотрим некоторые приложения и при-
меры экспоненциального отображения; в частности, мы введем
специальные виды координат, полезные при изучении ряда во-
просов. Вначале сделаем общее замечание по поводу римановой
метрики.
(i) Многие понятия и результаты этого параграфа дословно
переносятся на более общий случай, когда на дифференцируемом
многообразии определена симметрическая и невырожденная, но
не обязательно положительно определенная форма g. В общем
случае можно определить на М связность без кручения, по отно-
шению к которой тензорное поле g параллельно. Например,
‘в основе общей теории относительности лежит четырехмерное
многообразие М с симметрическим основным тензором ( , ), инду-
цирующим в каждом касательном пространстве Мр „лоренцово
скалярное произведение" ( , ): в Мр существует базис из векто-
ров v2, v3, п4, для которых
<»1> О!) = <02, 02> = (»3, 03) = 1, <04, о4> = - 1,
а попарные произведения равны нулю.
(ii) Нормальные координаты, почти нормальные координаты,
координаты Ферми.
Пусть М — риманово многообразие с метрическим тензором g
и связностью Леви-Чивита V, ехр: ТМ -> М — экспоненциальное
отображение для V.
Пусть р^М. Карта х с областью определения U^p назы-
вается нормальной в точке р, если существуют такой открытый
132
§ 3. Римановы многообразия
шар [/(.cR'1 радиуса е с центром в OeR" и такая линейная
изометрия i: R'l->Afp, что exp°i диффеоморфно отображает UR
на U и x = (exp°i 1^ )-1. В этом случае U называется „е-шаром“
М с центром в р, а функции х‘ называются римановыми нор-
мальными координатами. Так как ехрр имеет в точке 0 е Мр
максимальный ранг, то в каждой точке М существует нормаль-
ная карта.
Покажем, что если х — нормальная карта в точке ре.Мс об-
ластью определения U, то компоненты g^ тензора g и компо-
ненты связности Г^- относительно х удовлетворяют условиям
ё1^Р) = ^1р Г|/(Р) = О, (1)
i, j, k=\, п. Чтобы доказать (1), рассмотрим геодезические
ср (—е, заданные формулой ct-(Z) = ехр ° i (tej = exp
где е —достаточно малое число. Очевидно, ct (0) = iez. С другой
стороны,
с, (0 = х ‘(tef),
откуда с (0) = х-'D |0 = -/т
Так как
i изометрично, отсюда следует первое из соотношений (1).
Для доказательства второго из этих соотношений построим
для каждого а е R" геодезическую с: J -+U по формуле с (t) =
= ехр(йа). Тогда x°c(t) = ta, и вследствие (3) разд. 2.7 имеем
п п
2 (Г?/ ° с) а1а1 = 0; в частности, 2 Тц (р) а*а1 = 0 для всех а,
I, i,
откуда Г-/(р) = 0.
Нормальными координатами и инвариантностью экспонен-
циального отображения по отношению к изометрическим отобра-
жениям ((12) разд. 3.5) можно воспользоваться для доказатель-
ства следующей теоремы единственности: если М, М — римановы
многообразия одинаковой размерности и f, g: М -> М — изометри-
ческие отображения, М связно и в некоторой точке р имеет
место f(p) = g(p), f,p = gtp, то f = g. Для этого надо проверить,
что множество точек, в которых f, f* совпадают с g, gt, открыто
и замкнуто в М.
Пусть реМ. Карта х вокруг р с областью определения U
называется почти нормальной, если справедливы равенства (1) и
х(р) = 0. Таким образом, нормальная карта также является и
почти нормальной. Для локальных вычислений почти нормальные
карты часто так же удобны, как и нормальные, построение же
их проще (см. замечание (vi)).
Пусть J — открытый интервал в R и с: J -» М — нормальная
геодезическая. Рассмотрим сначала отображения i: R^'x/-> ТМ,
обладающие следующими свойствами:
3.8. Различные замечания
133
(а) При z=l, п — 1 отображения Хр J-+TM, заданные
формулой Xi(Z) = i(e(-, t), суть параллельные векторные поля
вдоль с.
(Ь) Для каждого t е J отображение i линейно отображает
каждый слой R^'x/ на McW, причем векторы (/),
c(t) образуют ортонормированный базис Mc(f).
Отображения с требуемыми свойствами существуют; достаточно
взять для некоторой точки векторы у,,..., Л4С(/0),
составляющие вместе с с(/0) ортонормированный базис, затем
построить однозначно определенные параллельные векторные
поля Xt вдоль с, удовлетворяющие условиям Xz(/0) = yz, и поло-
жить I (a, f) = 2 a‘Xi (О ((а> 0 е R”-' X Д Карта х с областью
i=i
определения U называется картой Ферми вдоль с, если суще-
ствуют такой открытый е-шар Ue в R"-1 с центром в 0 и такое
отображение i: R"-1 X 7-> ТМ, обладающее свойствами (а) и (Ь),
что exp°i диффеоморфно отображает цилиндр на U и
x = ^exp°i|[Z х/у'. В этом случае U называется „е-цилиндром“
вдоль с, а функции х1 называются координатами Ферми.
Докажем существование координат Ферми в окрестности инъек-
тивной нормальной геодезической с- J-+M. Построим сначала
отображение U Rn-1 X 7 -> ТМ, удовлетворяющее требованиям
/п—\ \
(а), (Ь). Тогда ехр° i (а, /) = ехр| 2 а1Х^ (/) I, отображение exp°i
\г = 1 /
дифференцируемо, а из соотношений ехр°1(ае;, t) = exp(sX/ (/)),
ехр ° i (0, /) = с (/) следует
(expoi),Dz|0>/ = Xi(t), (ехр ° i), 7)„ |01 z = с (/), (2)
где z=l.....п— 1. Поэтому при всех отображение exp°i
имеет максимальный ранг в (О, /0) и, следовательно, диффео-
морфно отображает некоторую окрестность Ue„° Jo точки (О, /0)
на некоторый е0-цилиндр вдоль с |z. Из леммы 2 разд. 2.8 выте-
кает теперь, что для каждой геодезической с |z, где У] cz J — ком-
пактный интервал, существует окрестность в которой можно
построить координаты Ферми. Легко показать также, что в не-
которой окрестности с (7) существует карта х, которая является
картой Ферми на каждом е-цилиндре, содержащем с (У,), где
7j с J — произвольный компактный интервал, а е зависит от Jl
(см. теорему 2 разд. 2.8). Если, наконец, с не инъективна, то
существует отображение G-+M, где G (О X 7) — открытое под-
множество R" 1 X 7, локальное обращение которого является кар-
той Ферми в окрестности каждой точки c(t), t^J. Координаты
134
§ 3. Римановы многообразия
Ферми обладают следующими свойствами. Если х — карта Ферми
с областью определения U вдоль геодезической с, то для ком-
понент gtj тензора g и Гц связности’V относительно х справед-
ливы соотношения
^/ос(/) = д.р Г|/оС = 0 (i,j, .... п, (3)
Первое из этих соотношений получается из (Ь) и (2), так как
7?| ‘--1....0-1.
С/Л JQ, /
И
dpdo. /=Х.~1£>»1о. t = cV)-
Рассмотрим теперь геодезические c(s, t) = exp°i(sa, t), где a'eR“"’,
n—1
t J. Как и в доказательстве (1), находим, что S Гц ° c(t) а1 а1 = О
i. /=1
(k = 1, ..., п), откуда Гц о с = 0 при i, j = 1.п — 1, k = 1.п.
Наконец, Г/п° с = Г„/ ° с = 0 при j,k=\,...,n, так как в силу
замечания (iv) разд. 2.5 имеем
\ дх /
а—° с = Х, (i = 1, ..., п — 1) и —° с = с — параллельные век-
дх1 дхп
торные поля вдоль с.
В окрестности произвольного нормального пути с можно по-
строить координаты, аналогичные координатам Ферми, но в случае
i = j = п, вообще говоря, уже не будет выполнено условие Гц ° с— О
(см. по этому поводу замечание (iii)).
(iii) Экспоненциальное отображение подмногообразия.
Специальные координаты, введенные в (ii), являются в неко-
тором смысле частными случаями более общей конструкции.
Пусть М — n-мерное риманово многообразие, N — ^-мерное под-
многообразие М, i: NсМ- включение. Естественная проекция
л: ТМ->М дифференцируема с максимальным рангом, поэтому
прообраз есть дифференцируемое подмногообразие ТМ
размерности n + k (см. замечание (iv) разд. 1.6). Покажите, что
проекция f: л-1 (#)—> 7W, заданная формулой f(o) = oT, трансвер-
сально регулярна к нулевому сечению ЛГ расслоения TN, и по-
этому нормальное расслоенное пространство v = f~'(N) подмного-
образия N есть дифференцируемое подмногообразие л-1 (N)
размерности п. Пространство v естественным образом является
пространством векторного .расслоения, слоем которого над р еN
служит ортогональное доцолнейие. Np касательного простран-
3.8. Различные замечания
135
ства Np в Мр', это расслоение называется нормальным расслое-
нием N в М. Нормальное расслоение (обозначим его также
через v) не обязательно тривиально, т. е. может не быть произ-
ведением N X Rn~k в том смысле, что над N существует п — k
линейно независимых сечений v. Например, нормальное расслоение v
диагонали в М X М изоморфно касательному расслоению ТМ
(изоморфизм индуцируется проекцией ли: Т (М X Л4)-> ТМ) и, сле-
довательно, не тривиально, если не тривиально ТМ.
В общем случае, для любого погружения i: N —>М можно
определить нормальное расслоение погружения i, как расслоение
над N, слоем которого в каждой точке р =N является ортого-
нальное дополнение Np к линейному подпространству i,Np в Мцр>;
структура дифференцируемого многообразия получается так же,
как выше., поскольку локально i является вложением.
Рассмотрим экспоненциальное отображение exp: ТМ—>М для М,
и положим v = vnTA4. Экспоненциальным отображением подмно-
гообразия N в М называется отображение expw: v—> М, заданное
формулой expjv = exp|v. Если, в частности, N есть точка р, то мы
возвращаемся к отображению ехрр. Ясно, что expw дифференци-
руемо и отображает исходящие из 0 лучи Np в исходящие из N
геодезические М, ортогональные N. Покажите, что ехруу имеет
на нулевом сечении jVczv максимальный ранг. Выведите отсюда
(см. теорему 2 разд. 2.8), что если N замкнуто, то некоторая
окрестность N в v диффеоморфно бтображается с помощью exp#
на некоторую окрестность N в М.
Таким образом, exp# позволяет естественно ввести параметри-
зацию окрестности N в М, если дана параметризация N', это
обобщает специальные конструкции координатных систем, приве-
денные выше.
(iv) Экспоненциальное отображение цилиндра.
Рассмотрим функцию F: R3—>R, заданную формулой F(a) =
— а2 + а2 — 1; 0 является ее регулярным значением, так что по
лемме 2 разд. 1.6 цилиндр С = /?-1(0) есть двумерное дифферен-
цируемое риманово подмногообразие R3. Накрывающее отобра-
жение i: R2->C, заданное формулой i(s, /) = (coss, sins, t), изоме-
трично, потому что для р = (s0, t0) (= R2 и q = i (р) С векторы
wi = i*A 1Р> ау2 = 1.А1р составляют ортонормированный базис Cq.
Из (12) разд. 3.5 и замечания (i) разд. 2.9 видно, что для v =
= sa>i + iw2 (= Cq
expg (о) = (cos (s + s0), sin (s + s0), t +10).
Отображение expg определено на всем касательном пространстве Cq,
сюръективно и везде дифференцируемо с максимальным рангом,
136
§ 3. Римановы многообразия
но в целом не инъективно. Все непостоянные геодезические суть
винтовые линии, за исключением периодических накрывающих
окружностей s->exp,7(sW|); все остальные нетривиальные геоде-
зические инъективны. Каждую пару точек q, q'eC можно соеди-
нить геодезическими сколь угодно большой длины.
(v) Экспоненциальное отображение конуса.
Рассмотрим на Р3+ = [аеК3: a3>Oj функцию F(a) = a?l +
+ а2~ х2-~1 аз> где Х>Ь 0 является регулярным значением F, и
полуконус С = /?-1(0) есть тем самым двумерное риманово под-
многообразие R3. Полагая R+={r: г > 0} и U = R+ X R, построим
погружение /г: U -> R2 по формуле h (г, <p) = (rcos<p, rsinqj). После
этого можно задать на надрезанной плоскости V = R2 — {(sv /): t = 0,-
s0} отображение i: V-+G, удовлетворяющее соотношению
i °h(r, <р) = (~созхф, ^-81пхф, £ /к2 - 1 V (r,<f)eR+x (0, 2л). (4)
Отображение i сюръективно, а также изометрично, потому что
<(i ° h)t Di |р, (i = h), Dj |p) = {htDt |p, htDj |p) для всех точек p из
области определения i ° h. В случае, если к > 1 — натуральное
число, формула (4) задает даже накрытие i: R2 — {0}->С (при этом
под (г, ф) понимается любая точка U). При к = 3, например, имеем
z / ,4 s3 ,4/3 2/2 -. |
I ($, 0 — ( s + з s2 + t2 , t — у s2 + /2 , 3 + t ] •
Для р = (s0, t0) е R2 — {0} и q = i(p)(=c векторы |р,
w2 = itD2\p образуют ортонормированный базис Cq. Так же, как
и в замечании (iv), для вектора v = sw, + tw2 е Cq имеем
ехрр (у) = (- (s + s0) + у (s + Jo)2 + + /о)2 ,
_± (t + to)3 2/2 i 'I
t + t'> 3 (s + So)2 + (t + Z0)2 ’ 3 V ($ + $o) + ^ + A)) / ,
за исключением случая v — sowt — t0w2), Область опре-
деления ехрр есть, следовательно, Cq, из которой выброшена полу-
прямая. Исходящая из q геодезическая в направлении — sowj — t0w2
есть образующая конуса, подходящая к вершине, не принад-
лежащей С. Отображение ехр, сюръективно и является погру-
жением. Геодезические С, вообще говоря, не инъективны; напри-
мер, полагая so = O, /0=1 и определив с: R—>С формулой с(Х) =
= ехрр(Хш1), имеем с(]/3 ) = с(-/3 ), с (]/F) #= с (- j/F), так
что геодезическая с пересекает сама себя под ненулевым углом.
3.8. Различные замечания
137
Изучите поведение геодезических С, рассматривая их как образы
прямых R2 \ {0}. Покажите, что на С нет периодических геодези-
ческих.
(vi) Экспоненциальное отображение сферы.
Рассмотрим риманово подмногообразие М = Sp <= Rn+I. Для
любой пары ортонормированных векторов е, eeR"+I построим
путь с: [0, 2лр] -> Sp по формуле
c(f) = ре cos -£- + рё sin--. (5)
Путь с периодичен и нормален. Образ с, называемый меридианом
или большим кругом, проходящим через ре и рё, есть пересече-
ние Sp с порожденным е, ё двумерным подпространством Rn+I.
Из леммы 2 разд. 3.5 сразу же следует, что с есть геодезическая
на М, так как ковариантная производная в Rn+I касательного
векторного поля к с ортогональна М (см. замечание (iv) разд. 3.5).
В северном полюсе р = (0, ..., 0, р) М векторы i,wf = Df|p
(z = 1, ..., п) образуют ортонормированный базис в Мр. Теперь
экспоненциальное отображение ехрр: Мр —> М находится с помощью
следующей формулы (где и = а1ш1+ ... +апшп^Мр):
/ \ II а|| । a . || a||
ехрр (и) = р cos ——И р sin—— (6)
при v #= 0, ехрр (0) = р.
В самом деле, при v е Мр путь с (/) = ехрр (tv) есть геодезиче-
ская на М, удовлетворяющая условию с(0) = р, с(0) = и, как мы
видели выше. Отображение ехрр определено на всем касательном
пространстве и, согласно общей теории, имеет максимальный ранг
в некоторой окрестности точки 0 Мр. Легко проверить, что ехрр
не имеет максимального ранга при п>1 в том и только том слу-
чае, когда || v || = vnp и v>0 —целое число. При п=\ отображе-
ние ехрр есть погружение и накрывающее отображение. Для
v е Мр, || v || = vnp, имеем-
exppv=(0.....0, (-l)vp), rangexpp |„= 1. (7)
Ядро эндоморфизма ехрР„: (Л4Р)О -> Л4еХрр о есть подпространство Лр,
состоящее из всех таких b е (Л4р)0, для которых (ехрр)„ Ь = 0.
В силу (6) имеем
dimAp = n—1 при ||»|| = vnp, v=l, 2, ..., (8)
dimAp = 0 в остальных случаях.
Отображение ехрр наматывает исходящие из 0 лучи Мр на
большие круги М. При этом (п — 1)-мерные сферы Мр радиуса vnp
138
§ 3. Римановы многообразия
с центром 0 отображаются попеременно в северный и южный
полюсы М. Отображение ехрр сюръективно, а на множествах
{о: v Мр, || v ||<яр}, {v: v Мр, vnp<|| v ||<(v + 1)яр}
также инъективно.
Чтобы построить экспоненциальное отображение в любой точке
q е М, воспользуемся изометрией а О (п + 1), для которой ар = q.
Тогда, согласно (12) разд. 3.5, имеем ехр9 = а°ехрр°а7’. В част-
ности, вса геодезические R -> М либо постоянны, либо периодичны,
причем образами их являются большие круги.
В разделах 3.6 и 3.7 мы вычислили различными способами
тензор кривизны сферы. Найдем теперь R еще раз, прямым вы-
числением в локальных координатах. Хотя в этом случае такой
метод не очень удобен, он дает представление о более общей си-
туации, когда требуется найти кривизны абстрактно заданного
риманова многообразия. Мы найдем R в северном полюсе р, при-
менив для этого почти нормальные координаты в р; нормальная
карта (т. е. обращение экспоненциального отображения) привела бы
к более сложным выкладкам.
Определим на множестве V=|b е Rn: — -jP< bu ..., &n-i< ^-р,
— яр <bn< яр/ отображение z: V-+M с помощью формул
fe-i
z*(b) = р sin •—JJcos-^-(1 <£<n),
n
zn+i (b) <= p JJ cos —.
x=i p
Отображение z есть вложение, и x = z~l есть карта на сфере М
с областью определения U, состоящей из всех таких точек а М,
для которых либо а„ #= О, либо а„+1>0 (или то и другое вместе);
иначе говоря, [/ есть сфера, „надрезанная" вдоль (п— 1)-мерной
полусферы {ап = 0, ап+] ^0}. Функции х1 называются сферическими
или „географическими" координатами. Учитывая замечание (i)
разд. 3.2, находим
f-i
^/°г(Ь) = б£/JJcos2
Л-1
Отсюда видно, что
gii (р) = Ъц-
Согласно (8) разд. 3.5, имеем
Sk^q
dSki ^gtf i
дх1 dxk ) ’
3.8. Различные замечания
139
откуда
Г//’2(&)=- Mg-^- (1 ^i<j = fe^n),
ь 1 bi
Г^о2(6)= --tg-< (1 ^j<i = fe^n),
r4°z(b) = ^sin-^-cos-^- П{со8^)2 (!<£<(=/<«),
X = fe-t-1
Гц ° z (b) = 0 в остальных случаях.
Таким образом, в северном полюсе р = (0, ..., О, р), действи-
тельно, Г;Др) = 0 (/,/,£=!, п), и карта х почти нормальна
в р. Положим Хк = -^, k=l.......п, тогда Xk |р образуют орто-
нормированный базис в Мр. Компоненты тензора кривизны в точке р
п
задаются равенством R(X{,Xj)Xk Ip — 2 Rlijk |р Xt |p. Согласно за-
мечанию (i) разд. 2.3, имеем
RlHk |p = {XtVlik - ^rU) |p = (D{rllk о z - D?lik о z) Io = (6yfe6iZ - fe6/z).
Отсюда R(Xit Xj)Xk\p = -^(6lkXi\p-6ikXj\p). Следовательно, для
всех и, v, w 6= Мр имеет место
R (и, v) w = -р- ((о, w) и — (и, w) v),
поскольку последнее соотношение достаточно проверить для век-
торов, принадлежащих ортонормированному базису Мр. Зная тен-
зор кривизны в северном полюсе, мы легко получаем формулу (24)
разд. 3.6 для любой точки, ввиду однородности сферы и фор-
мулы (13) разд. 3.5. В случае общего риманова многообразия
аналогичные вычисления приходится выполнить, вообще говоря,
для каждой точки в отдельности.
ЛИТЕРАТУРА К § 3
Cartan Е., Lemons sur la geometrie des espaces de Riemann, Gauthier — Villars
(1946), Paris. (Имеется русский перевод предыдущего издания.)
Э й з е н х а р т Л. П., Риманова геометрия, М., 1948.
Хелгасон С., Дифференциальная геометрия и симметрические пространства,
М„ 1964.
Kobayashi S. and Nomizu К., Foundations of differential geometry 1, Inter-
science Publishers (1963), New York — London.
Singer I. and Thorpe J., Lectures on elementary topology and geometry,
Scott — Foresman Co. (1967), Glenview.
Wi Итоге T. L, An introduction to differential geometry, Oxford University
Press (1959).
§ 4. Экстремальные свойства геодезических
4.1. Вариации геодезической
Со времен возникновения римановой геометрии (а для поверх-
ностей—еще раньше) известно, что геодезические риманова мно-
гообразия М локально минимизируют длину дифференцируемых
путей; это означает, что для достаточно близких точек’р, q е М
существует геодезическая с концами р, q, которая короче всех
других путей, соединяющих р с q. Именно эта вариационная за-
дача и привела впервые к геодезическим. Но гораздо позже раз-
вилось вариационное исчисление в целом. Морс первым отметил
последствия того факта, что геодезические, соединяющие р с q,
суть экстремали (или „критические точки") функционала длины
на пространстве Qp? всех кусочно дифференцируемых путей
[О, 1]—>Л1 с концами р, q (см. книгу Морса, указанную в конце
этого параграфа). В теории Морса показывается, что топология
и, значит, в известном смысле топология М определяются геоде-
зическими, соединяющими р с q, и их вторыми вариациями,
если только М полно и р, q выбраны надлежащим образом (см.,
например, разд. 7.6). Основная формула для второй вариации со-
держит риманову кривизну, и на этом обстоятельстве прямо или
косвенно основываются сильнейшие известные результаты о связи
между топологией и кривизной.
В этом параграфе через М обозначается n-мерное риманово
многообразие со связностью Леви-Чивита V.
Пусть с: [а, р] -> М — дифференцируемый путь, J — открытый
интервал в R, содержащий 0. Вариацией (или дифференцируемой
гомотопией) с называется дифференцируемое отображение
V: [а, р] X J -> М, такое, что V (t, 0) = с (/) для всех t е [а, 6]. Ото-
бражение V называется собственной вариацией, если V (а, е) = с (а),
V (р, е) = с(р) при всех ее J.
Пути VE: [а, р]—>А1, заданные формулой V E(t) = V (t, е), назы-
ваются соседними с с по отношению к вариации V. Введем еще
функцию £(е) = £(7е), сопоставляющую каждому пути Ve его
длину.
Формула (2) для второй вариации, содержащаяся в следую-
щей теореме, была впервые получена Сингом.
4.1. Вариации геодезической
141
Теорема (Первая и вторая вариации длины дуги)
Усл. с: [а, р] —> М — нормальная геодезическая, V: [а, р] X J -> М —
вариация с; X, Y е= — векторные поля вдоль V, заданные
формулами X = V ДУ, У = VtD2. Векторное поле У Е опре-
деляется формулой У = У — (У, X) X.
Утв. Длина пути L (е) (е Е 7) есть дифференцируемая функция
от 8, при этом
Г(0) = <У, ХЦ.0£, (1)
р
L" (0) = j «Vn,?, Vn.F) - <Р (У, X), X, У)) |t odt + <VD2y, X) |, 0|Pq. (2)
а
Если V — собственная вариация, то
L' (0) = 0, (3)
А"(0)=/ (<Vn У, VDiY) - (/? (У, Х)Х, Y))\todt. (4)
а
Геометрически У|/о есть нормальная к геодезической ком-
понента векторного поля У вдоль с.
Р
Док. По определению L (е) = j || X (t, б) || dt. Так как X Е и
а
|| X (t, 0) 11 = 11 с (/) || = 1, а |[ X || непрерывна на компактном интер-
вале [а, р], то существует такая окрестность нуля Jo cz J, что || X ||
не обращается в нуль на [а, р] X Jo- Тогда функция L дифферен-
цируема на 70, и для 8Е/0 в силу тождества Риччи (см. (2)
разд. 3.4)
Г(е) =
а а
Далее, пользуясь тем, что у связности V нет кручения1), полу-
чаем из (6) разд. 2.5 и [Dj, £)2] = 0 соотношение УоУДУ = УоУДУ,
или, что то же самое, УвгХ = Уд,У. Отсюда
f (yDY, X} I
L' = / || X (t, e) ||’ dt-
a
f p2<x,x>lf,e
I 2 |i X (t, e) II
I II X (t, e) II aT-
*) В доказательстве используется лишь ортогональность тензора кручения
т. е. условие {Т (4, В), В) = 0. В самом деле, из этого условия вытекает
= (yDV^D2, V^-Dj) (по этому поводу см. замечание (ii)
разд. 3.5).
142
$ 4. Экстремальные свойства геодезических
По определению геодезической
Vd,X |;, 0 = V/>c If — 0 (6)
и, следовательно, (УО1У, X} 0 = D\ (У, X) |f 0. Так как для нор-
мальной геодезической || cj| = || X(t, 0) || = 1, имеем £'(0) =
= (У, X} , 0 |Р = 0, что и доказывает утверждение (1).
Переходим к доказательству (2). Из (5) получаем £"(е) =
dt. Вычислим производную под знаком инте-
грала, применив снова тождество Риччи:
п / <vD,y- х> _ (W- х> + W) <vd У, Х)2
А ни ] Нй НИ3 •
Найдем эту производную при е = 0, пользуясь соотношениями
W = VDiy и || Х|]|#, 0= 1:
(УдЖУ, X) If, 0 + (Vn.y, W) I,, 0 - (VD,y, ХУ If, 0.
В силу (6) имеем
<VD,y, X) If, 0 = Dr (У, X) If, 0 - (У, VDlX) If, 0 = Dt (У, X) |, 0,
<VDiy, ХУ If, 0 = <Dt (У, X) X, Dt (У, X) X) |#> 0.
Теперь можно записать два последних члена интересующей нас
производной в виде
(Vd/, VD,y> - <£>( (У, X) X, Dt (У, X) X),
и подставить вместо У в первое слагаемое У + (У, X) X', применив
снова (6), получаем
<VDiy, УщУ) If, 0 + 2 <Vn,y, D <У, X) X) |f, 0-
Поскольку (У, A') If 0 = 0, то из тождества Риччи и (6) имеем
(УО1У, А') |Л о = О. и остается лишь (Уд,У, УщУ) If, 0. Таким образом,
В
L" (0) = J «Уд2Уд,У, X) + (УП1У, Vn.y)) If, о dt.
Введем в это выражение тензор кривизны. Так как [Z>i, П2] = 0,
из (7) разд. 2.5 имеем R (X, У) У = УдУ^У — УдЛЪ.У, а в силу (6)
и тождества Риччи (Уо,Уд2У, X) If 0= — £>1(Уо2У, X) |z 0, откуда
в
L" (0) = J «Уп,У, Vd.F) - {R (X, У) У, X)) 1,0 dt + (VD,y, X) |f, 0 |в.
а
Чтобы получить отсюда (4), остается применить тождество (4)
разд. 3.6. В случае собственной вариации при всех ее/ имеем
4.1. Вариации геодезической
143
V (а, е) = с (а), V (0, е) = с (0), откуда У.О21а> е = Y (а, е) = 0, V.D21р, е =
= У (р, е) = 0. Следовательно, VO!K |а 0 = УЛУ 0 = 0, что доказы-
вает (3) и (4).
Пусть 1 = [а, р] и с: I->М- дифференцируемый путь. Кусочно
дифференцируемый путь Y: I-+TM, удовлетворяющий условию
л ° Y — с, называется кусочно гладким векторным полем вдоль с.
Существует, следовательно, такое конечное множество /0 внутрен-
них точек I, что на I \ /0 векторное поле Y дифференцируемо.
Определим отображение Y':/->TM, полагая Y' (/) = (VDK) (О
при t е I \ /0 и доопределив Y' в точках /0 так, чтобы отображение
было непрерывным слева. Ясно, что если Y е 23с, то Y' — \DY е 23с.
Множество всех кусочно гладких векторных полей вдоль с обра-
зует векторное R-пространство, подпространством которого
является 23с.
Пусть с: 1-*М — дифференцируемый путь, 7 —открытый интер-
вал в R, содержащий 0. Непрерывное отображение V: / X J -> М
называется ломаной вариацией с, если существуют такое нату-
ральное число k и такие действительные числа a = y0<Yi< •••
...<Ya = P> чт0 Для v = i,...,k и Zv = [yv-i, Yv] отображения
V |, х j СУТЬ вариации соответствующих путей с |z . Соседние с с
пути Ve: I-+M ломаной вариации вследствие непрерывности V
кусочно дифференцируемы. Пусть Lv (е) — функция длины пути,
соответствующая вариации V х/; тогда функция длины £(е) =
k
= 2 М«) для вариации V дифференцируема в некоторой окрест-
V=l
ности нуля в J, если все с |, — регулярные пути, так как в этом
случае каждое слагаемое £v(e) обладает тем же свойством.
Так как (V х z) (Yv, е) = (У 1^ х z) (yv, е) (v = 1 1),
то отображение V,D2: I X J-*ТМ, заданное формулой VJD2\t& =
|z е для t е Iv, непрерывно, а отображение Y: I -> ТМ,
заданное формулой Y(t) = VtD2\t 0, есть кусочно гладкое вектор-
ное поле вдоль с. Положим Xv = (V|z) Dt, Kv = ^V|z^ D2,
Fv=rv-(yv, XV)XV (v= 1, .... k), тогда в силу (1), (2) для нор-
мальной геодезической с
k
V==l Yv — j
k Г vv
L" (°) = S J - <Я (r*> *v)x-’ k 0 +
V-l bv-j
+<vdA, Xv>im|^ 1.
Yv- 1J
144
§ 4. Экстремальные свойства геодезических
Введем теперь обозначение У± = Y 0 — (У \f 0, с} с (вспомните гео-
метрический смысл У). Тогда VD,yv |/ 0 = У± (0 для /е[у^,, yv]
и Xv |# 0 = с (t). Далее, имеем Yv | е = yv+11? е (у = 1, k - 1),
откуда VDsyvL р = VDjyv+i L, вследствие этого мы приходим
к обобщению формул (1) и (2) на ломаные вариации нормальной
геодезической с:
L'(0) = (У, с) |„, (7)
Р
Г'(0) = J «У1> у!> - (R (У, с) с, У)) \tdt +
а
+ |₽> 0> С (₽)> - (W, |а, 0, с (а)>, (8)
где означает, что У следует брать при е = 0. В случае собствен-
ной вариации V имеем У(а) = У(р) = 0 и 1а,0 = |р_ 0 = О,
что приводит к обобщению формул (3), (4):
L'(0) = 0, (9)
L" (0) = / «У1, У1> - </? (У, ё) с, У)) |z dt. (10)
а
Из свойств тензора кривизны сразу же вытекает, что {R (У, с) с, Y} —
= {R(Y±, с) с, У±>. Это значит, что на значение интеграла „вто-
рой вариации" (8) и соответственно (10) влияет лишь ортогональ-
ная к с компонента У.
Заметим еще, что каждое гладкое векторное поле У вдоль
дифференцируемого пути с: [а, р]—>Л4 соответствует в указанном
выше смысле некоторой ломаной вариации с. Канонический спо-
соб получения вариации с с заданным „вектором вариации" У
состоит в следующем. Для каждого t е [а, р] строится геодезиче-
ская, исходящая из c(t) в направлении У (7). Так как [а, р] ком-
пактно и У непрерывно, существует такой содержащий 0 откры-
тый интервал J cz R, что при всех (/, е) е [а, р] X I вектор еУ (/)
принадлежит области определения отображения ехр: ТМ->М.
Полагая
V (t, е) = ехр(еУ(/)), (11)
получаем ломаную вариацию V: [a, p]XJ—>М, для которой
К.£)21,.0= У (/).
Замечания
(i) Пространство Пр<7 кусочно дифференцируемых путей
[0, 1]->Л4, соединяющих точки р, q^M, можно после надлежа-
4.1. Вариации геодезической
145
щего пополнения превратить в бесконечномерное многообразие
Тогда для дифференцируемого пути с е йр? кусочно гладкие век-
торные поля вдоль с суть „касательные векторы“ в точке с,
а собственная вариация V пути с есть „дифференцируемый путь11
в Qpq, исходящий из точки с, причем VtD2 |z 0 есть „касательный
вектор11 в начале этого пути. В окрестности регулярного пути
c^Q,pq длина пути L: Qp?—>R дифференцируема, и L'(0), L" (0) —
не что иное, как первая и вторая производные L вдоль пути V
в точке с (см. разд. 7.6).
(ii) Для кусочно дифференцируемых с: [а, р] —> М можно опре-
3
делить функционал Е (с) = J || с ||^ dt, называемый энергией пути с.
а
Пусть с дифференцируем и V: [а, р] X J ->М -- ломаная вариа-
ция с. Рассмотрим аналогичную А(е) функцию Е(е.), равную энер-
гии пути Ve. Функция Е (е) всегда дифференцируема, в отличие
от А(е), которая дифференцируема лишь при дополнительных
предположениях (например, при регулярности с). Вычислите Е' (0),
Е" (0) для собственной вариации V геодезической с. Покажите,
что если путь с дифференцируем (соответственно регулярен) и
если для любой собственной вариации с имеет место Е' (0) = 0
(Л'(0) = 0), то удовлетворяются „уравнения Эйлера11 VDc = 0 и с
есть геодезическая (для этого найдите общие выражения Е' (0),
L' (0) и примените (11)). Тем самым длина пути и энергия имеют
одни и те же экстремали, а именно геодезические.
(iii) Пусть с\ [а, р] —> М — нормальная геодезическая. Покажем,
что если М — пространство отрицательной кривизны, то Л"(0)>0
для каждой собственной вариации V пути с, а значит, все доста-
точно близкие к с соседние пути вариации длиннее с. Рассмотрим
параллельное поле У вдоль с, для которого (У, с) = 0, || У ]| = 1,
и вариацию с в направлении V, построенную по формуле (11).
Обозначая через o(t) плоскость в порожденную У (/), c(t),
получаем из (7) и (8)
Р
L' (0) = 0, L" (0) = - J dt, (12)
а
откуда и следует сделанное выше утверждение. Таким образом,
при параллельном смещении геодезическая в пространстве отри-
цательной кривизны растягивается (а в пространстве положительной
кривизны сокращается).
(iv) Пусть Мь М2— римановы подмногообразия М, с: [а, р] —> М —
дифференцируемый путь, с (а) е MJt с(р)еЛ42. Ломаная вариа-
ция V пути с называется вариацией вдоль Mt и М2, если для
всех соседних путей Ve выполнены условия Ve (а) е Afb VR (Р) е М2.
Покажите, что если с регулярен и является экстремалью по отно-
146
$ 4. Экстремальные свойства геодезических
шению к таким вариациям, т. е. если 7/(0) = О для всех вариаций
вдоль и М2, то с —геодезическая, ортогональная в своих кон-
цах к М1( М2. Пусть теперь с —нормальная геодезическая,
с(0)еМ2 и (с(а), а) = (с(0), w) для всех v е (Af()c(a),
w е (М2)с(р), V — ломаная вариация с вдоль Mt и М2. Тогда
L' (0) = 0 и для любого кусочно гладкого поля Y вдоль с из (8),
как мы покажем, следует
L" (0) = j* «У 1, У1> - {R (У, с) с, У)) |, dt +
a
+ МИа), У (a)) —/2 (У (0), У(0)), (13)
где /ь /2 —вторые основные формы /И,, М2 в с (а), с(0) по отно-
шению к нормальным векторам с (а), с(0) (см. разд. 3.7). Для
доказательства (13) рассмотрим, например, локальное нормальное
поле У к М2, для которого Nc@) = ё(0). Из тождества Риччи
имеем
<?оУА, |р>0= - {V.D2, VD2N) |р 0= - l2(Y(0), У (0)),
аналогичное выражение получается в левом конце. Как мы видим,
вторая вариация длины пути в этом случае зависит от предель-
ных членов (13), которые выражают относительную искривлен-
ность М(, М2 в направлении вектора вариации.
4.2. Поля Якоби
Теперь мы займемся „дифференциальными уравнениями Якоби"
для заданной экстремали рассматриваемой вариационной задачи
о длине пути; при этом выделим векторы вариации, для которых
вторая вариация обладает в некотором смысле экстремальными
свойствами.
Условимся обозначать ковариантную производную ?ОУ век-
торного поля У вдоль дифференцируемого пути с: 7-»Л1 через У'.
Пусть с: J -> М — геодезическая. Полем Якоби вдоль с назы-
вается векторное поле У е 23с, удовлетворяющее уравнению
У"+ 7? (У, с)с = 0. (1)
Множество Jc полей Якоби вдоль с есть подпространство вектор-
ного R-пространства 23с. Заметим, что для o.eR поле ас есть
поле Якоби вдоль с, так как VDc = 0 и R (с, с) с = 0. Если Z, У s Jc,
то (У', Х)= — (У, X') постоянно, поскольку (см. разд. 3.6)
D «У', X) - <У, X')) = (Y", X) + (У', X) - (У', X') - (У, X") =
= — (R(Y, с)с, Х) + (Я(Х, с) с, У) = 0.
В частности, для X = с оказывается, что (У', с) постоянно. Если
4.2. Поля Якоби
147
существуют такие а, ре/, что (У, с)|а = 0 и {Y', с)|р = 0, то
(У,с) = 0, так как из предыдущего рассуждения следует 0 = (У',с) =
= D{Y, с). Точно так же, если для различных чисел а, ре/
справедливо (У, с) b = (У, с) = О, то (У, с) = 0. В самом деле,
D (У, с) = (Y', с) есть постоянная и (У, с) — линейная функция от t.
Покажем, что (1) локально эквивалентно линейной системе
обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка.
Лемма (Существование и единственность полей Якоби)
Усл. с: I -> М. — геодезическая', v,
Утв. Существует одно и только одно такое поле Якоби Y
вдоль с, что
Y(t0) = v, Y'(t0) = w. (2)
Док. Возьмем такие числа avGj, av<av+i, чтобы было 7 =
= Utav>av+il и чтобы каждое множество c([av, av+i]) принад-
V
лежало области определения некоторой карты на М. Достаточно
доказать утверждение для случая, когда с (/) лежит в области
определения V некоторой карты х; после этого общий случай
получается по индукции (см. доказательство теоремы 1 разд. 2.6
и в особенности замечание в конце этого доказательства).
Положим Xt = е 33[/. Тогда для любого векторного поля
п
У е имеем разложение У = 2 = Yxl, откуда R (У, с) с =
z=i
= 2 <p‘R (Х{ ° с, с) с. Далее, R^X^c, c}c=^ak.X.°c, где а% =
i=i k=i
= (R(Xi°c, с) с) х в этих обозначениях имеем
R(Y, с)с= 2 <flakXkoC. (3)
i, fe=i
Теперь вычислим Y". Очевидно,
Y' = 2 (D^Xi о с + <f>lXDXt о с), (4)
i=i
Y"=^[D(Y'x}) Xr с + (Y'xj) XDX/ о с]. (5)
i=i
Учитывая, что (Xt ° с) х1 = и полагая (XDX{ ° cjx1 = b!{, получаем
из (4), (5)
У" = 2 {{D(bliD(pl') + bllD<[>l + (Dbli')<fi]xloc +
i,/ = 1
+ + &г<рг] VoXj ° с).
148
$ 4. Экстремальные свойства геодезических
п
Так как УдЛ'у ° с = 2 b^Xk ° с, имеем окончательно
fe=i
п
п
п
п .. ....
Y" = 2 DD<vk + 22 bktD<f + 2 Dbki + 2 b[bj <рг Xk о с.
fe=l L 7 = 1 7-1 \ 7 = 1 / .
(6)
В силу (3) и (6) уравнение (1) равносильно однородной системе
из п линейных дифференциальных уравнений второго порядка
£)£)(pfe + 2 2 6W+2(^^+2 &^/+ а£-1<pz = 0 (k=i, ..., п).
1 = 1 « = 1 \ / = 1 /
(7)
Как обычно, систему (7) можно свести к системе из 2п линейных
дифференциальных уравнений первого порядка, введя функции
= £)ф\ Согласно (2), должны соблюдаться условия Y(t0)=v,
Y' (Zo) = w, откуда v (xft) = <pfe (t0), а из (4) следует w (xk) = (Dq>k) (/0) +
n
+ 2 CD z (to) 67 Go). Мы получаем для системы дифференциальных
7 = 1
уравнений первого порядка, к которой сводится (7), начальные
значения
п
<pfe(to) = v(xk\ <p"+ft(to) = w(xk)— 2 bki(fy)v(x1') (k= 1, ..., n).
7=0
На некотором интервале Jo cz J, содержащем t0, существует
единственная система функций • <pfe, <p"+fteg/0, удовлетворяющая
системе уравнений первого порядка и этим начальным условиям
(см. разд. 8.4). Так как уравнения линейны, <pfe, qpfi+fe однозначно
продолжаются до решения, определенного на J, что и доказывает
теорему.
Всевозможные поля Якоби вдоль геодезической с: J -> М об-
разуют векторное R-пространство 1С размерности 2п; это непосред-
ственно вытекает из только что доказанной леммы. При этом
множество полей Якоби, обращающихся в нуль в точке t^J, об-
разует n-мерное подпространство 1С.
Замечания
(i) Обобщите следующим образом теорему существования и
единственности этого раздела и разд. 2.6. Пусть М — дифференци-
руемое многообразие с линейной связностью V, с: J-+M — дифферен-
цируемый путь, Во, ..., Вг — тензорные поля типа (1, 1) на М
(или вдоль с), такие, что (det Вг) о с=И=0, X е — векторное поле
вдоль с. Тогда для t0 е J и и0..существует одно
и только одно векторное поле удовлетворяющее уравнению
BrY(r) +Вг_1У(г-1,+ ... + BlY' + B0Y = X
4.2. Поля Якоби
149
и начальным условиям У*(/0) = уг (i = 0, — 1). При этом У(‘
означает i-ю ковариантную производную Y.
(ii) В случае М = R" вследствие R = 0 все поля Якоби вдоль
произвольной геодезической с: J—>Rn удовлетворяют уравнению
У" = 0. Пусть Ее/; v, Найдем такие векторы a, b^Rn,
чтобы параллельные векторные поля вдоль с, заданные равенствами
п п
A=^alDtoc, B = ^blDioc, удовлетворяли условиям Д(/0) = и,
<=i <=1
В(/0) = ш. Тогда поле Якоби Y вдоль с, для которого Y (t0) = v,
Y'(t^=w, линейно выражается через А и В:
Y(t) = (t-t0)B(t) + A(t). (8)
Этот же случай можно описать несколько более общим образом.
Пусть Е — n-мерное действительное векторное пространство с евкли-
довой метрикой, v, w^E. Тогда исходящий из точки ОеЕ луч
<р: [0: р]->Е, заданный формулой ф(/) = tv, есть геодезическая в Е,
а линейное векторное поле В вдоль <р
B(0 = ^o(w) (9)
есть поле Якоби, удовлетворяющее условиям В(0) = 0, В' (0) =
= Iow, здесь /„: Е->Еи — канонический изоморфизм (см. (5)
разд. 1.4). Поле t->Itvw параллельно.
(iii) Пусть dim/VI = 2, с: J -> М — нормальная геодезическая,
X — параллельное поле вдоль с, нормированное (||Х||= 1) и орто-
гональное с ((Л', с) = 0). Для любого поля Якоби Y вдоль с, орто-
гонального с, имеем Y = <рХ, где <р = (У, У) eg/, так что уравнение (1)
в этом случае равносильно классическому уравнению Якоби для
геодезических на поверхностях:
Ф" + Еф = 0, (10)
где Д’(/) —гауссова (или риманова) кривизна М в точке с (t).
Уравнение (10) есть уравнение свободных колебаний, его решения
при Е^х>0 имеют осциллирующий характер, а при К^О — не-
осциллирующий. Найдите общее решение уравнения (10) для по-
верхностей постоянной кривизны.
(iv) Рассмотрим теперь поля на n-мерной сфере: М = Sp.
Пусть с: [0, р]->Л4 —нормальная геодезическая, с(0) = р, с(0) = ц.
Возьмем в Мр два произвольных вектора v, w и найдем поле
Якоби Z вдоль с, удовлетворяющее условиям Z(0) = v, Z'(0) = w.
Построим параллельные поля X, Y вдоль с, такие, что Х(0) = и,
У(0) = ш. Предположим сначала, что (u, u) = (w, и) = 0, и пока-
жем, что в этом случае искомое поле Якоби имеет вид
Z(O = Py(Osn44-X(0cos-£. (11)
г Г
150
§ 4. Экстремальные свойства геодезических
В самом деле, так как X' — У' = 0, имеем
Z'(0 = r(0cos|-1-X(0sin^,
Z" (О = - j Y (/) sin | X (t) cos 1,
и из (24) разд. 3.6 следует Z" + R(Z, с) с = 0. Далее, Z (0) =
= X (0) = v, Z (0) = У (0) = w. Переходя к общему случаю, разло-
жим v, w на касательные к и компоненты от, и ортогональ-
ные компоненты vL, wL:
от = (о, и) и, шт=(ш, и) и, V1 = V — OT, = w — WT.
Для начальных значений о-1-, w1 поле Якоби ZL находится по
формуле (11). Так как формула ZT (t) = (w, и) ic (/) + (о,‘ и} c(t)
определяет поле Якоби вдоль с, для которого ZT (0) = от, ZT (0) =
= аут, то решением исходной задачи является Z = Z± + ZT. Заме-
тим, что в дальнейшем играют роль лишь поля Якоби, ортого-
нальные к с.
(v) Простота вычисления полей Якоби в примерах (ii), (iv) свя-
зана с тем, что R" и 5р — симметрические пространства (см. за-
мечание (vii) разд. 3.6). Пусть теперь М — любое локально
симметрическое пространство, т. е. R параллельно, или, что то
же самое, VR = 0. Тогда, как мы сейчас увидим, для нормальной
геодезической с: J —> М система дифференциальных уравнений (1)
распадается на п обыкновенных линейных уравнений с постоян-
ными коэффициентами. Пусть реЛ1; v, тогда, как мы
знаем, эндоморфизм v —>R (и, w)w самосопряжен относительно
римановой метрики (это вытекает из тождеств разд. 3.6). За-
фиксируем ta^J и положим p = c(i0), w = c[t0). Выберем для р, w
ортонормированную систему собственных векторов щ, ..., vn эндо-
морфизма кривизны, принимая с(/0) за vn. Пусть соответствующие
собственные значения будут Л1, ..., Zn (причем Zn = 0). Построим
параллельные поля Х{.....Хп вдоль с, удовлетворяющие усло-
виям Xi(t0) = vi. Так как тензор R параллелен, то поля R (Xh с) с
параллельны вдоль с, следовательно, R (Xt, с) с = ZiX{. Предста-
п
вив любое векторное поле У вдоль с в виде У = 2 где
1=1
<р' = (У, мы видим, что У является полем Якоби тогда и
только тогда, когда
(<₽')" +W = 0 (г=1, ...,п) (12)
(см. уравнение (1)).
Собственные значения Zz есть не что иное, как римановы
^кривизны Ка( и, где о, (0 — плоскость, порожденная векторами
4.3. Сопряженные точки
151
X{(t), c(t) в McW t=l, ..., Фундаментальная система
решений (12) состоит из функций sh У\ | t, ch У\ Zj t при <0
и sinl/Zi t, cos 1 при Лг>0, а также 1, t при Zz = 0.
4.3. Сопряженные точки
В этом разделе мы установим важную связь между полями
Якоби и экспоненциальным отображением. При этом поля Якоби
вдоль геодезической с будут получены с помощью специальных
вариаций, для которых все соседние с с пути являются геодези-
ческими.
Лемма
Усл. с: [0, р] ->М — геодезическая", p = c(0); v, w^Mp" t» = c(O)
(так что c(t) = exp (tv)). Для u^Mp отображение Мр->-
—>(МР)Ц есть канонический изоморфизм.
Утв. Отображение Y: [0, р] —► ТМ, заданное формулой
Y(f) = ex$pt(tltv(w)), (1)
есть поле Якоби вдоль с, удовлетворяющее условиям Y (0) =
= 0, Y' (0) = w.
Док. Рассмотрим для достаточно малого открытого интервала J,
содержащего 0, вариацию V: [0, р] X 7—>Л1 пути с вида
V (t, е) = exp (t(v + гм)). (2)
Построим вдоль V векторные поля X = Y = VtD2. По цеп-
ному правилу и по определению канонического изоморфизма
имеем Y (t, е) = VJ)2 к, е = ехррД/(о+еи,) (tw), откуда
Y(t) = Y(t, O) = V.D2k.o (МО, Р]). (3)
Далее, поскольку (£),, Д2] = 0, имеем R (У, X)X = VD!VD,X —
— VD,VD!X. Так как Ve: [0, р]—>Л1 есть геодезическая при всех
ее/, то Vd,X = 0, откуда VD2VD1X = 0. Пользуясь тем, что V не
имеет кручения, получаем, кроме того,
VD|VD,X = Vo.VoyUJj = VD,VDlV*£>2 = vD1vn,y,
а следовательно, VD1VD,y + R (Y, X)X = 0. Из (3) и условия
X (t, 0) = с вытекает, что У есть поле Якоби. Ясно, что У (0) =
= ^А|о.о = °- Наконец, У' (0) = VDV/>2|0> 0 = VD VJ\ |00, и из
У А в = ехРРЛ(0+еа,) (v + ег2,)> V*Di |о. е = ехРРЛ(у + еш) = п + еш
следует У' (0) = w, что и доказывает лемму.
152
£ 4. Экстремальные свойства геодезических
Пусть с: J -> М — геодезическая. Точки t0, называются
сопряженными относительно с, если существует не равное тож-
дественно нулю поле Якоби У вдоль с, для которого У (/0) = 0 и
У(/,) = 0. Покажем, что если t0, /,geZ ' различны и не сопряжены
относительно с, то для любых векторов vezMcM), су-
ществует одно и только одно поле Якоби У вдоль с, удовлетво-
ряющее условиям У (t0) = v, Y(t\) = w. В самом деле, линейное
отображение if: Jc-> МсМ X Afc(<i), заданное формулой фУ =
= (У (/о), L^)), инъективно, поскольку ни для какого ненулевого
поля У не может быть У (70) = О, У(/,) = 0. В таком случае из.
соображений размерности видно, что ф — изоморфизм.
Если i0 = a, 7 = [а, 0], то все точки сопряженные t0,
называются просто сопряженными точками с.
Как вытекает из следующей теоремы, сопряженные точки
геодезических могут быть охарактеризованы с помощью экспо-
ненциального отображения.
Теорема
Усл. с: [0, 0] -> М — геодезическая', р = с (0); /,ge(0, 0]; и = itc (0) ge
GEMp. Символ обозначает векторное ^.-пространство всех
полей Якоби У вдоль с, удовлетворяющих условиям У (0) =
= У (Л) = 0; Др обозначает ядро отображения ехрр, в точке и,
т. е. подпространство всех таких векторов Ь^(Мр)и, для
которых exppt b = 0.
Утв. Справедливо равенство
dim Jc = dim Ар. (4)
Док. С помощью канонического изоморфизма Мр->(Мр)и
можно построить линейное отображение Ф: /б->Л“ по формуле
ФУ = IUY' (0). В самом деле, в силу (1) имеем 0 = У (/,) = ехрр.^/цУ' (0)
и IUY (0)geAp при ЛУ=0. Отображение Ф инъективно; из теоремы
существования и единственности полей Якоби, как мы сейчас
увидим, следует, что Ф сюръективно, что и доказывает теорему.
Пусть 6geA“. Построим поле Якоби У вдоль с, удовлетворяющее
начальным условиям У(0) = 0, Y’ (0) = 1й' (Ь). Тогда вследствие (1)
имеем У (/,) = exp^t^b = expp;tb = 0, откуда Ye=J(cl, причем ФУ = Ь.
Для геодезической с: [0, 0]->М, с(0) = р, с(0) = ц, имеем
представление с (t) — ехр (tv). Согласно теореме, Z,ge(0, 0] является
сопряженной точкой с в том и только том случае, если ранг
экспоненциального отображения ехрр в точке и = ttv не максимален,
т. е. и есть критическая точка ехрр. В некоторой окрестности
точки 0е=Мр по теореме из разд. 2.8 ехрр имеет максимальный
4.3. Сопряженные точки
153
ранг. Поэтому существует такое число ц>0, что ни на одной
исходящей из р нормальной геодезической [0, ц]->М нет сопря-
женных точек. В частности, любое не тождественно равное нулю
поле Якоби вдоль с имеет конечное число нулей; в противном
случае нули имели бы предельную точку /е[0, р] и было бы
У (/) = 0, что противоречит только что полученному результату
в применении к точке c(F) (см. замечание (iv)).
Таким образом, на каждой исходящей из р геодезической со-
пряженные точки расположены изолированно, соответственно изо-
лированы на каждом луче Мр критические точки ехрр, которые
могут, однако, иметь предельную точку на границе области оп-
ределения ехрр.
Если t\ — сопряженная точка с, то число dim Jc = dim Лр
1 в (4) называется кратностью
Замечания
(i) В предположениях леммы вместо вариации (2) можно вос-
пользоваться любой вариацией V: [0, р]Х/—>Л4 вида V (t, е) =
= ехр ,
где J — достаточно малый открытый интервал,
содержащий 0, a ip: 7—>Л4Р — дифференцируемый путь. Пусть
ip(0) = pt>, ф (0) =/ро (рш). Для такой более общей вариации без
труда доказывается, что VJ)2 |t0 = exppJ/<0 (ш) = У (/), где У (f)
соответствует специальному выбору пути ф(е) = p(u +sw), сделан-
ному в лемме.
Заметим еще, что луч ср: [0, р]—>Л4р, заданный- формулой
q>(t) = tv, есть геодезическая по отношению к канонической связ-
(б)
ности Леви-Чивита на Мр. Формула Ф(/, е) = 1 - определяет
вариацию Ф: [0, р]Х7—>Л4р геодезической ф, а соответствующее
поле Якоби В вдоль ф имеет вид В (t) = Ф,Д20 = tltv (w) (см. (9)
разд. 4.2). При экспоненциальном отображении ф переходит
в геодезическую с = ехр°ф; вариация Ф, при которой все сосед-
ние с ф пути суть геодезические на Мр, переходит в вариацию
V = ехр ° Ф геодезической с = ехр°ф, при которой все соседние
с с пути суть геодезические на М, а поле Якоби В вдоль ф —
в поле Якоби У = ехрр„В вдоль с = ехр°ф.
(ii) Покажите, что если V: [0, р] X/—>А/— собственная ва-
риация пути Vo и все Ve (ее/) —геодезические, то длины всех
путей Ve равны. Если, кроме того, при некотором /0е[0, р] имеет
место 1# еУ=0 (ее/), то р является сопряженной точкой каж-
дого пути Ve.
(iii) Покажите, что геодезические в Rn не имеют сопряженных
точек. Пусть М = Sp, р = (0, ..., 0, р) — северный полюс и k —
154
§ 4. Экстремальные свойства геодезических
натуральное число, тогда, согласно замечанию (vi) разд. 3.8 или (11)
разд. 4.2, при п>1 на геодезической с: [0, fenp]—>Sp, c(0) = p,
сопряженными точками являются улр, v = l, ..., k, причем
кратность каждой из них равна п— 1. Сопряженные точки ото-
бражаются геодезической с последовательно на южный и северный
полюсы. При п=1 геодезическая с не имеет сопряженных точек.
Докажите с помощью замечания (v) разд. 4.2 более общее утверж-
дение: пусть М — симметрическое пространство, С: R—>Л4— нор-
мальная геодезическая, тогда t0, /,eR сопряжены относительно с
в том и только том случае, если существует такое положительное
собственное значение Л эндоморфизма кривизны X—>R(X, с)с
(X — параллельное поле вдоль с), что
ул
/Г’
v=#0 — целое
число.
(iv) Если с: J-> М — геодезическая и t0, сопряжены отно-
сительно с, то образы p = c(i0), q = с(/,) часто также называются
сопряженными точками с. Так как может быть много геодезичес-
ких, соединяющих р с q, такой способ выражения можрт при-
вести к недоразумению, если не указать, по отношению к какой
геодезической понимается „сопряженность1*; эта ситуация встре-
чается, например, когда с периодична.
Поля Якоби, как и геодезические, инвариантны при линейных
заменах параметра, т. е. если J и 7 —интервалы в R, ф(/) = а£ + р
(а, peR) и ф(7) = 7, то для каждого поля Якоби Y вдоль с: J—>M
векторное поле У оф вдоль соф есть также поле Якоби. При а<0
ориентация геодезической, конечно, меняется. Точки t0, t^J тогда
и только тогда сопряжены относительно с, когда ф~1 (/0), ф—1 (7,)
сопряжены относительно с ° ф.
(v) Множество критических точек ехрр в Мр, р^М, называется
сопряженным множеством М в Мр. Образ этого множества при
отображении ехрр, т. е. множество критических значений ехрр,
называется сопряженным множеством в М относительно р. Осо-
бую роль играет так называемое первое сопряженное множество М
в Мр — множество всех таких критических точек v отображения
ехрр, что tv является регулярной точкой ехрр при всех £е[0, 1).
Покажите с помощью леммы и уравнения (10) разд. 4.2, что со-
пряженное множество двумерного риманова многообразия М
в Мр не содержит изолированных точек, но на каждом исходя-
щем из 0 луче Мр сопряженные точки расположены изолированно.
Рассмотрим более общим образом риманово подмногообра-
зие N в М с нормальным расслоенным пространством vczTM и
экспоненциальным отображением exp#(см.замечание (iii) разд. 3.8).
Множество критических точек exp# в v называется фокальным
множеством отображения exp# в N, а образ этого множества при
4.4. Лемма Гаусса и ее следствия
155
экспоненциальном отображении, т. е. множество критических зна-
чений ехр#, — фокальным множеством N в М. Пусть v^v и
с: [0, р]—> — ортогональная N геодезическая в М вида с(/) =
= ехр(/о), тогда t\ е [0, р] называется фокусом с по отношению
к N, если tyu принадлежит фокальному множеству ехр# в v.
В случае когда N — точка, фокусы с относительно N суть сопря-
женные точки с.
Рассмотрите отдельно случай M = Rn, || о|| = 1. Получите из за-
мечания (i) разд. 2.9 и из разд. 3.7, что /, е [0, р] является фо-
.. 1
кусом с относительно N в том и только том случае, если — у
есть отрицательное собственное значение второго основного тензора
So подмногообразия N относительно нормали v. Таким образом,
фокусы с есть в точности те главные радиусы кривизны N отно-
сительно v, для которых N по соответствующему главному на-
правлению обращено вогнутостью в сторону v.
Естественно, понятие фокуса подсказано поведением световых
лучей, концентрирующихся вблизи фокуса зеркала или линзы.
Пусть ti — первый фокус с по отношению к N. Тогда, как
можно показать, при все достаточно близкие к с кусочно
дифференцируемые пути, соединяющие N с c(t), длиннее с|[0
если они не совмещены с этим путем. Однако после прохождения
каждого последовательного фокуса tv появляется, в определенном
смысле, все больше близких к с путей короче с|[0 (t>tv), со-
единяющих N с c(t).
4.4. Лемма Гаусса и ее следствия
В следующей лемме содержится важное свойство экспонен-
циального отображения.
Лемма 1 (Лемма Гаусса)
Усл. Пусть р<^ М; в G Мр лежит в области определения ехрр и
<р: [0, 1]->Мр — луч, описываемый формулой <$(f) = tv. В Мр
введена каноническая метрика (см. замечание (iii) разд. 3.2).
Утв. Для векторов b, a^(Mp)v, где а = ф(1), справедливо соот-
ношение
(Ь, а) = (ехрр»Ь, ехрр* а). (1)
В силу (1) можно сказать, что отображение ехрр „радиально
изометрично". Компонента касательного к Мр вектора в точке v
в Направлении луча, содержащего v, при отображении ехрр*
сохраняет длину.
Если, в частности, дифференцируемый путь ф в Мр ортогона-
лен к <р в точке и, то ехр оф ортогонален геодезической ехро<р
156
§ 4. Экстремальные свойства геодезических
в точке ехр v. Ядро Лр отображения ехрр* в точке v е Мр, таким
образом, ортогонально к ф(1), т. е. к радиальному направлению.
Док. Пусть У —поле Якоби вдоль геодезической с=ехр ° <р, У (0) = п
и У'(0) = w = № (Ъ), где /0: MP—>(MP)V —канонический изомор-
физм.
Согласно (1) разд. 4.3, имеем
У(1) = ехрр.(/рШ) = ехрр,Ь. (2)
Так как £>{У, с) = (У/, с) постоянна, (У, с) есть линейная функ-
ция. Вследствие У (0) = 0 имеем
(У, с) = /(У', с)|0 = Ци>, v), t е [0,1],
откуда (У, с) |t = (ш, п). Поскольку с (1) = ехрр, а, из (2) получаем
(ау, п) = (ехрр, Ь, ехрр, а). Но из определения канонической мет-
рики в Мр следует (ш, v) = (Ivw, Ivv) = (b, а), что и требовалось
доказать.
Из леммы Гаусса вытекают следствия, выражающие экстре-
мальные свойства геодезических.
Лемма 2
Усл. Пусть р<ееМ, на Мр введена каноническая метрика', Мр —
область определения ехрр; оеМр. Далее, пусть ср: [0, 1]—>Мр —
путь вида = ф: [0, 1]—>А4Р — кусочно дифферен-
цируемый путь, для которого ф(0) = ф(0), ф(1) = ф(1) = п.
Утв. Справедливо неравенство
L (ехр ° ф) L (ехр ° ф); (3)
более того, если существует такое /ое(О, 1], что ортого-
нальная к радиальному направлению компонента вектора
ф(/0) не переводится в нуль отображением ехрр„ то
L (ехр ° ф) > L (ехр ° ф). (4)
Таким образом, луч ф, являющийся кратчайшим путем между 0
и v, переходит при отображении ехрр в путь, обладающий таким
же свойством.
Док. По лемме из разд. 3.3 каждый кусочно дифференцируемый
путь совмещен с некоторым дифференцируемым путем той же
длины, поэтому можно считать путь ф дифференцируемым. Далее,
можно ограничиться случаем, когда v 0 и ф(/)у=0 при/е (0,1].
Идея дальнейшего рассуждения состоит в следующем. Пусть ф
радиально проектируется на луч ф, при этом получается путь,
образ которого при отображении ехр заведомо не короче ехр°ф.
4.4. Лемма Гаусса и ее следствия
157
но, с другой стороны, и не длиннее ехр ° ip, так как длина каждого
касательного вектора к ехр ° ip по лемме Гаусса не меньше длины
радиальной компоненты соответствующего касательного вектора ip.
Построим для /е(0,1] ортонормированные векторы b,
где а = ’ а выбран таким образом, чтобы сущест-
вовало разложение ip(/) = (ip (/), Ь) b + (тр (/), а) а. Так как
|| ехр ° ip ||2 = (ехрр, ° ip, ехрр, ° ip), из (1) получаем
|| ехр ° ip (О II2 = (ip (0, bf (ехррД ехрр, Ь) + (тр (/), а)2 (ip (/), а)2. (5)
Покажем, что при />0 справедливо
(тр (/), а) = D || тр |р. (6)
В самом деле, при />0, как мы предположили, ip (/) #= 0 и
(тр рассматривается здесь как векторное поле вдоль тривиального
пути t р).
Из (5) и (6) следует
1 1 1
A(exp°ip)= j || ехр ° тр (/) || dt > J | D || тр ||, | dt > J D || тр ||( dt. (7)
О 0 0
Так как ip(/) непрерывна при / = 0 и ip(0) = 0, имеем
j Z)||ip||(d/ = ||ip(l)|| = || v ||= А (ехр °ф), (8)
о
и из (7), (8) вытекает неравенство (3).
Если в (5) хотя бы при одном значении t 0 исключается
равенство, то соблюдается неравенство (4), что и завершает до-
казательство леммы.
Заметим, что предположение, при котором мы доказали (4),
выполнено, например, в том случае, когда ехрр имеет макси-
мальный ранг в точке тр(/0) и ip(/0) не направлен радиально. По-
кажем, что если образы ip и ф не совпадают, то существует зна-
чение tQ>Q, при котором 1р(/0) отличен от нуля и не направлен
радиально. В самом деле, в противном случае при />0 имеет
158
§ 4. Экстремальные свойства геодезических
место ф = уф, где у: (О, 1]—>R —некоторая функция. При 1>0,
следовательно,
I Ф \_ М>|1М>И-ФДИМ>11 _ Ф) _
\11Ф1М - HI!2 ~ НИ3
— М>11 Ф И2 — Ф <*Ф» Ф) _ уфIIФII2-уф(Ф, Ф) _п
11Ф113 11Ф|13 ~и’
откуда
( Ф \ -- Ф(О _ ФО) m_ Ф(О ии
IIIФИЛ IIФ(1)Н ~ о ’ II»11 "ф|“-
Но в таком случае образ ф совпадает с образом <р, вопреки пред-
положению.
Наконец, рассмотрим случай, когда образы ф и <р совпадают.
В этом случае при / >0 имеем ф = дц, где де§([0, 1]). Поэтому
1 • 1
L (ехр ° ф) = J|| ехр ° ф (/) || dt = J || ехрр, д' (/) I6v (и) || dt =
о о
1 1
= J Цд'(0ехрр./вР(ц)1|Л= J | д'(/) HI expp.Z6o(v) \\dt.
О о
Так как вектор /St)(v) направлен по касательной кф, то ло лемме
Гаусса || ехрр, /бо (у) || = || (р) || = || v ||. Следовательно,
1 1
L(ехр оф) = || о || J |д'(0|Л = Л(ехро(р) j |d'(/)|d/.
о о
Теперь видно, что равенство L (ехр ° ф) = L (ехр ° <р) возможно лишь
1 1
при условии J | д' (f)\dt = 1 = J д' (/) dt, т. е. если д'(/)^0, а это
о о
значит, что пути ф, $ совмещены (см. разд. 3.3).
Из сопоставления предыдущих замечаний с леммой 2 вытекает,
что если, в дополнение к условиям леммы 2, ехрр имеет макси-
мальный ранг во всех точках ф(/), t [0, 1] и пути ф, ср не
совмещены, то справедливо неравенство (4).
Если даны топологические пространства А, Е, F и непрерыв-
ные отображения
т. е. h°g = f, то говорят, что отображение f „поднимается" по-
средством h в отображение g'. A-+F, или „поднимается" в F.
4.4. Лемма Гаусса и ее следствия
159
Геодезическая с: [0, р] -> М, с((У) = р, c(fi) = q, очевидно, может
быть поднята посредством ехрр в касательное пространство Mpj
так как для луча ср: [0, р] -> Мр, заданного формулой ф(/) = /с(0),
справедливо соотношение ехрр°ф = с. Если с: [0, р]—> Л1 —кусочно
дифференцируемый путь, с(0) = р, с(р) = 7, и если с может быть
поднят посредством ехрр в кусочно дифференцируемый путь
ф: [0, р]—>Л1р, такой, что ф(0) = ф(0), ф (р) — ф (р), то, согласно
лемме 2, имеем L(c)^L(c). Конечно, не каждый путь в М, со-
единяющий р с q, можно поднять посредством ехрр в Мр и тем
более таким образом, чтобы поднятый путь соединял 0 с ф(р).
Подъем может оказаться невозможным, например, по той при-
чине, что ехрр не обязательно сюръективно. В случае A1 = SP отобра-
жение ехрр сюръективно, но исходящие из 0 лучи Мр, не имею-
щие в Мр других общих точек, переходят при отображении ехрр
в пересекающиеся геодезические, так что невозможно удовлетво-
рить условию ф(Р) = ф(Р).
Теорема
Усл. с: [0, р] -> М — геодезическая без сопряженных точек и
V: [0, р] X 7—> М — собственная ломаная вариация с.
Утв. Существует такой открытый интервал JQ cz J, содержащий О,
что для всех ее /0 справедливо неравенство L(e)^ L (0), а
если пути V (е), V (0) = с не совмещены, то L (е) > L (0)..
Док. Положим р = с(0) и рассмотрим луч ф: [0, р]—>Мр, ф(/) =
= /ё(0). Так как на с нет сопряженных точек, то ехрр для всех
t е [0, р] имеет максимальный ранг в точке ф(/) и по теореме
обращения существует окрестность ф(0 в Мр, которую ехрр диф-
феоморфно отображает на некоторую окрестность c(f) в М. Из
компактности множества ф([0, р]) следует существование таких
чисел 0 = t0 < . < tk = р и открытых множеств t/v => ф ([/v_b /v])
(v = l, k), что Av = expp|{/ есть вложение. В силу непрерыв-
ности V существует, далее, такое t]v>0, что V'([7v_1, ЦХ
X (— t]v, T]v)) <= expp({/v)(v = 1.k). Положим т] = min{т]!, .. .,r]ft},
/0 = (— *1» tl)- Собственная ломаная вариация V |[0 й X Jo геодези-
ческой с может быть поднята посредством ехрр в некоторую
собственную ломаную вариацию Ф геодезической ф в Мр, а именно
Ф: [0, р] X Уо —> Alp задается формулой Ф(/, e) = h7l°V(t, е) при
(/, е) е [/v-i, М X /0- После этого утверждение теоремы вытекает
из леммы 2 и следствия этой леммы.
Как показывает пример Sp, утверждение теоремы может не
выполняться, если на с есть сопряженные точки; ниже будет по-
160
§ 4. Экстремальные свойства геодезических
казано, что оно неверно во всех случаях, когда сопряженные
точки лежат в открытом интервале (0, р).
Замечания
(i) Теорема может быть усилена в случае, когда геодезическая
с: [0, р] -» М, не имеющая сопряженных точек, инъективна. В са-
мом деле, пусть с(0) = р, ср: [0, р]->Л1Р —луч ф(/) = /ё(0), тогда
в силу леммы 2 разд. 2.8 существует такая окрестность U гэ ф ([0, р]),
которую ехрр отображает диффеоморфно на окрестность G => с ([0, р}).
Для любого кусочно дифференцируемого пути с в G, имеющего
общие концы с с, справедливо неравенство L (с) L (с), а если с
не совпадает с с, то L (с) > L (с). Это утверждение вытекает не-
посредственно из леммы 2, поскольку с можно поднять в U с по-
мощью (ехр„
Если отображение ехрр \и'. U -> G лишь локально диффеоморфно,
то в G могут существовать пути с концами р, с (р), которые
короче с. Так обстоит дело, когда с не инъективна (см. при-
меры на цилиндре и конусе в замечаниях (iv) и (v) разд. 3.8).
Однако в пространстве Qpq всех кусочно дифференцируемых пу-
тей [0, I]->М с концами р, q существует такая окрестность гео-
дезической без сопряженных точек с, что для любого пути с
в этой окрестности выполняется неравенство L(c), а если
с и с не совмещены, то L (ё) > L (с) (предполагается, как обычно,
что в QplI введена компактнооткрытая топология).
(ii) Для каждой точки р е М существует такое 6>0, что ехрр
диффеоморфно отображает открытый шар G6 = {o: v е Мр, [| v ||< 6}
в Мр с центром 0 радиуса 6 на некоторую окрестность Вб точки р
(см. теорему 1 разд. 2.8). При q В() существует единственная
геодезическая с: [0, 1]->Вб с концами c(0) = p, c(V)~q-, любая
другая геодезическая [0, 1] ->М с теми же концами, как мы по-
кажем, не может целиком содержаться в В&. Пусть Л = ехрр|£/б,
0 = й-1(^), c(t) = h(tv). Если ср [0, 1]->Вв —другая геодезическая,
для которой cl(Q) = p, Ci(l) = q, то cl(t) = expp(tvl), = q (0). Мно-
жество {Л t е [0, 1], Л_| ° (0 = /»]}, очевидно, открыто и замкнуто
в [0, 1], не пусто и, следовательно, совпадает со связным мно-
жеством [0, 1]. Поэтому О] — h~l ° (1) = v и с{ = с. Покажем, что
для каждого кусочно дифференцируемого пути с: [0, 1]->М
с концами ё(О) = р, с(1) = <? выполняется неравенство L(c)^ L(c),
а если с, с не совмещены, то L (с)> L (с). Если с целиком лежит
в Вб, то, как и в замечании (i), это следует непосредственно из
леммы 2, достаточно поднять с, с в U& с помощью ехрр. Если с
не полностью расположен в В6, возьмем р — sup{/: ё([0, /])сВб};
тогда существует такое t0 е (0, р), что для v0 = h~l ° с выпол-
нено неравенство || о01|>]| v ||. Построим луч ф: (0,1]—>Л4р, ф(/) = /о0;
4.5. Индексная форма геодезической
161
тогда из леммы 2 получаем L (с |(0 /о]) L (h ° ф), откуда Е(с)^
>L(c l[0>fc])> L(h^) = \\ v0||>||o|[= L(c).
(iii) Пусть с: [0, 1 ]-> M — кусочно дифференцируемый путь,
c(0) = p, c(l) = q. Если в Qp(/ существует такая окрестность пути с,
что для всякого пути с в этой окрестности L (с) L (с), то с со-
вмещен с некоторой геодезической; если при этом с —кусочно
нормальный путь, то с —нормальная геодезическая.
Для доказательства надо воспользоваться замечанием (ii),
в силу которого с локально совмещен с некоторой геодезической.
Заметим, что, вообще говоря, не каждые две точки связного ри-
манова многообразия можно соединить путем кратчайшей длины,
как это видно на примере R2 \ {0} (см. § 5).
4.5. Индексная форма геодезической
Рассмотрим теперь экстремальные свойства геодезической
с сопряженными точками.
Пусть Е — векторное R-пространство (не обязательно конечно-
мерное).
Ограничение на диагональ симметричного билинейного отобра-
жения f: £Xf->R называется квадратичной формой на Е.
Отображение f, а также соответствующая квадратичная форма,
называются положительно определенными (соответственно, неотри-
цательными), если f(X, Х)>0 (j(X, Х)^0) при всех X #= 0; ана-
логично f (и квадратичная форма f) называются отрицательно
определенными (неположительными), если f(X, Х)<0 (/(X, Х)<Ю)
при всех X #= 0.
Пусть с: [а, р]-»Л1 —нормальная геодезическая и 53с —вектор-
ное R-пространство всех кусочно гладких векторных полей Z
вдоль с, ортогональных с, т. е. удовлетворяющих условию (Z, с) = 0.
Естественно „билинеаризировать" формулу Синга для второй ва-
риации (4) и соответственно (10) из разд. 4.1. Другими словами,
построим отображение /: 53CX53C-*R по формуле
₽
/(Х,У)= f ({X',Y')-(E (X, с) с, Y))\tdt. (1)
а
Отображение / билинейно и симметрично; оно называется индек-
сной формой геодезической с. Для дифференцируемых векторных
полей X, УеЗЗс из (1) и тождества D(X', Y) = {X", Y) + {X', Y'}
получаем
/(Х,У) = <Х',У>|₽-J <X" + /?(X, c)c,Y)\tdt, (2)
a
162
§ 4. Экстремальные свойства геодезических
а вследствие симметричности / имеем также
/ (X, У) = {X, У'> j£ - J {X, Y" + R (У, с) с> I, dt. (2')
а
Если X, Y е 23с —дифференцируемы и У —поле Якоби, то, как
видно из (2')> имеет место
1(Х, У) = <Х,У'>& (3)
Но тогда с помощью предельного перехода нетрудно распро-
странить (3) на случай, когда X е 23с не дифференцируемо.
Соответствующая индексной форме / геодезической с квадра-
тичная форма I (X, X): 23с —> R сопоставляет каждому кусочно
гладкому векторному полю У е23е вторую вариацию длины L" (0)
по отношению к канонической ломаной вариации V: [а, 0] X J —> М
геодезической с с вектором вариации У (см. (8) и (11) разд. 4.1).
При этом, принимая во внимание (7) разд. 4.1, имеем
Z/(0) = 0, Л" (0) = / (У, У), (4)
где
V (Л в) = ехр (еУ (0), V.D2 о = У (/).
Обозначим через 23" векторное R-пространство всех ортогональ-
ных с кусочно гладких векторных полей вдоль с, удовлетворяю-
щих условиям У(а) = У(0) = О. Ясно, что 23" —подпространство 23с
и поля из 23с суть векторы собственных ломаных вариаций, с,
ортогональные с. Если для У е 23" выполнено неравенство
/(У, У)<0, то в силу (4) существует такая собственная ломаная
вариация V: [а, 0]Х/-*Л1 геодезической с, что для достаточно
малых имеем L(e)<L(0). Отсюда вытекает следующая
лемма:
Лемма 1
Усл. Пусть с: [а, 0] -> М — нормальная геодезическая с сопря-
.женной точкой t{ е (а, 0).
Утв. Существует такая собственная ломаная вариация V: [а, 0] X
X J М геодезической с, что при достаточно малых е^О
выполняется неравенство L (г) <L (0).
Док. По определению (см. разд. 4.3), существует ненулевое
поле Якоби У вдоль с, для которого У (а) = У (t() = 0. Мы по-
строим с помощью У такое кусочно гладкое векторное поле
У е 23с, что /(У, У)<0; тогда утверждение леммы получится из
непосредственно предшествующих ей рассуждений. Согласно
разд. 4.2, имеем (У, с) = 0, откуда (У', с) = 0. Так как У^О,
4.5. Индексная форма геодезической
163
должно быть У'(/,)=/=0; построим такое векторное поле Z е S3",
что Z(ti) = — Y'(tt). Для этого достаточно взять параллельное
поле Z, вдоль с, удовлетворяющее условию Z, (t{) = — Y' (^), и
положить Z = 4’Z1, где ф — дифференцируемая действительная
функция на [а, 0], ф(а) = ф(0) = О, ф(7()=1 (см. разд. 8.1). Опре-
делим для каждого т] > 0 кусочно гладкое векторное поле Ул(7)е53"
по формуле Ул (0 — У (0 + т)2 (0 при /е[а, 7(], и по формуле
Ул(f) = t]Z(0 при /<=[^,0]. В силу (1) и (3) имеем
I (Лр уч) = п Ь. + 2т1 <z- И Ь, + Т)2/ (4 Z).
Так как У(^) = 0, Z(/,) = — У'(7,), отсюда следует, что для до
статочно малых т] > 0 выполняется
I (Ул, Уя) = - 2т) (У', У') к, + т)27 (Z, Z) < О,
и лемма доказана.
В следующей лемме подпространство полей Якоби в про-
странстве векторов собственных вариаций геодезической харак-
теризуется как пространство вырождения индексной формы.
Лемма 2
Усл. с: [а, 0] —> М — нормальная геодезическая.
Утв. Для У е S3" следующие утверждения равносильны-.
(а) У есть поле Якоби вдоль с;
(Ь) для всех Z е 23" имеет место 7(У, Z) = 0.
Если при У =/=0 выполняется (Ь), то говорят, что индексная
форма вырождена для вектора У.
Док. Согласно (3), из (а) следует (Ь).
Чтобы вывести (а) из (Ь), возьмем такие числа а = у0<у1 < ...
•••<Yfe = 0> что У,г = У |[у yv] суть дифференцируемые вектор-
ные поля (v= 1....k). Положим cv = с ]> тогда (yv, cv) = 0,
откуда легко следует <Уу, cv) = О, <У", cv) = О (v=l, ..., k). По-
троим дифференцируемые функции ф/ [yv-i, YvlR> удовлет-
оряющие условиям i])v(Yv-i) = 'l’v(Yv)= О и в остальных
>чках (v=l, ..., k). Определим Zv = q>v(Y" + R(YV, cv)cv) вдоль
эдезической cv и Z(7) = Zv(0 при fe[vv-i, Yv]> тогда Z e 23".
i силу (2) имеем
k k 4V
-l(Y,Z)^ <y; Zv> |y;_t - 2 J <y? + R (Уv, Cv) CV, Zv) L dt,
v-l V-1 YV_J
164
§ 4. Экстремальные свойства геодезических
откуда
k vv
S J (0 (Y" + R (Yv, cv) cv, Y" + R (yv, cv> I, dt = 0.
V-I Vv—1
Следовательно, Y" + R (Kv> cv) cv = 0 и Kv есть поле Якоби при
v=l, Пусть теперь г —одно из чисел 1, ..., k — 1. По-
строим векторное поле Ze 23", такое, что Z(yr) = Y'r+l (vr)~ Y'r(yr)
и Z(yv) = 0 при v=?=r. Учитывая (3), получаем
fe
о -1 (Г, Z) - 2 [<r; (V,), z (Vv)> -<r;(vv_,),z(v,_,))|-
- - <Г+. (V,) - г; (V,). Z (v,)>—<r;t, (v,) - r; (?,). r;+, (Vr) - r;
так что У'(уг) = Y'r+\(vr)- По теореме единственности для полей
Якоби Y дифференцируемо в точках yv, что и доказывает утвер-
ждение (а).
При помощи индексной формы можно охарактеризовать геоде-
зические без сопряженных точек.
Теорема
Усл. с: [а, р] -> М — нормальная геодезическая.
Утв. Следующие утверждения равносильны:
(а) на с нет сопряженных точек’,
(Ь) индексная форма I геодезической с положительно опре-
делена на 23"
Док. Из (а) следует (Ь).
Если выполнено (а), то I(Y, У)^0 для всех У е 23с, потому
что в противном случае (4) с последующими рассуждениями было
бы несовместимо с теоремой из разд. 4.4. Остается показать,
что если У е 23" и /(У, У) = 0, то У = 0. Для Z е 23" и любого
ц с R имеем 0 ^/(У — rjZ, У — pZ) = — 2ц/ (У, Z) + t]2/(Z, Z). По-
этому /(У, Z) = 0 при всех Ze23" и Y есть поле Якоби согласно
лемме 2. Но на с нет сопряженных точек, следовательно, У = 0.
Из (Ь) следует (а).
Пусть е (а, р) — сопряженная точка с. Тогда существует
ненулевое поле Якоби У вдоль с, для которого У (а) = У (^) = 0.
Положим Z (0 = У (t) при t е [а, и Z (/) = 0 в других точках;
точка Ze 23", и /(Z, Z) = 0 при ZyO.
Из последней теоремы вытекает важное экстремальное .свой-
ство полей Якоби.
4.5. Индексная форма геодезической
169
Пусть с: [а, 0] ->Af — нормальная геодезическая без сопряжен-
ных точек и У —поле Якоби, тогда, как мы сейчас покажем,
для всех векторных полей X е 23с, удовлетворяющих условиям
X (а) = У (а), X (р) = У (р), справедливо неравенство
ЦХ, X)>I(Y, У) при X^Y. (5)
В самом деле, X — У е 23" и X — У ¥=0, откуда 1(Х — У, X — У) >0.
В силу (3) имеем
I(X — Y, X-Y) = I(X, X) — 2I(X, Y) + I(Y, У) =
= /(X, X)-2(X, У') |₽ + <У, У')|₽ =
= I (X, X) - (У, Y') |₽ = / (X, X) - I (У, У),
и (5) следует из
ЦХ-Y, X—Y) = I(X, X) — I(Y, У). (6)
Отметим, что из полученных результатов видна связь между
сопряженными точками геодезической и ее свойством минимизи-
ровать длину. Из замечания (i) разд. 4.4 следует, что геодезиче-
ская без сопряженных точек короче всех достаточно близких
путей с теми же концами. С другой стороны, как следует иа
леммы 1 этого раздела, для геодезической с: [а, р] -> М, содер-
жащей внутреннюю сопряженную точку а</1<р, существуют
сколь угодно близкие к ней пути с теми же концами, которые
короче с.
Замечания
(i) Если М — пространство неположительной кривизны, / — ком-
пактный интервал в R и с: J -> М — нормальная геодезическая,
то в силу (1) индексная форма I положительно определена на 23с,
и по теореме этого раздела на с нет сопряженных точек. Учи-
тывая разд. 4.3, отсюда следует, что для каждой точки ре М
экспоненциальное отображение ехрр имеет максимальный ранг
во всей области своего определения.
Пусть М = Sp и с: [0, р] -> М — нормальная геодезическая,
u>(, w2 е Мс (о;, (wlr с (0)) = (w2, с(0)) = 0. Тогда для полей Якоби
Уь У2е23с, удовлетворяющих условиям У1 (0) = У2 (0) = 0, У1(0) = Ю1,
У2(0) = W2, из (3) имеем, учитывая (11) разд. 4.2,
/(Уь y2) = |sin-^-(K,1,®2). (7)
р
Вследствие (5) индексная форма / при 0<р<-^£- положительно
определена на подпространства всех полей X е 23с, для которых
166
§ 4. Экстремальные свойства геодезических
Y (0)«« 0. Но, например, / отрицательно определена при ^- < 0 < пр
на подпространстве всех полей Якоби Y е 23с, для которых
Y (0) = 0.
Пусть О<0<лр и и^Мс^}, (ц, с(0)) = О, найдите поле Якоби
Y е 23с, удовлетворяющее условиям Y (0) = 0, Y (0) = и, и покажите,
что /(У, У) ctg-L
(ii) Пусть с: [а, 0]—>Л1 — геодезическая. Покажите, что индекс-
ная форма / неотрицательна, но не положительно определена
на в том и только том случае, когда 0 — единственная сопря-
женная точка с (при этом в (5) выполняется / (X, X) I (Y, У)).
В каком случае здесь возможно равенство?
(iii) Вернемся еще раз к замечанию (i) разд. 4.1. Если с —не-
вырожденная геодезическая, т. е. критическая точка функцйонала
длины L: QP?->R (или функционала энергии) в пространстве пу-
тей Qpq, то индексная форма I есть не что иное, как гессиан
функционала L в точке с (см. замечание (v) разд. 3.5 и разд. 7.6),
т. е. дифференциальный оператор второго порядка на Qpq от L,
который полностью определяет возрастание и убывание L в ок-
рестности с, если / не вырождена.
4.6. Теорема Морса об индексе
Введем теперь меру, позволяющую судить, „как много" близ-
ких путей меньшей длины может быть у геодезической с сопря-
женными точками.
Пусть Е — векторное R-пространство (не обязательно конечно-
мерное), f — квадратичная форма на Е. Назовем индексом (соот-
ветственно квазииндексом) f точную верхнюю границу размерно-
стей всех подпространств Е, на которых f отрицательно (соот-
ветственно неположительно) определена.
Рассмотрим для нормальной геодезической с: [а, 0] —> М про-
странство 23с всех ортогональных с кусочно гладких векторных
полей У вдоль с, удовлетворяющих условиям У (а) = У (0) = 0
(см. разд. 4.5).- Индекс (квазииндекс) квадратичной формы
/: Ж" X R называется индексом (квазииндексом) геодезиче-
ской с. Индекс с мы обозначим через Ind с, квазииндекс с —через
Indoc; очевидно, Indc^Indoc.
Следующие дальше результаты принадлежат Морсу.
Лемма
Усл. с: [а, 0] —> М — нормальная геодезическая', — подпростран-
ЧТ во всех полей Якоби, в 58^,
4.6. Теорема Морса об индексе
167
Утв. Ind с, Indoc конечны, причем
Indoc = Ind с + dim /?. (1)
Док. Согласно теореме 2 разд. 2.8, существует такая окрест-
ность U множества 0(Л1) ъ ТМ, которая диффеоморфно отобра-
жается с помощью л X ехр на некоторую окрестность диагонали
в М X М. Так как 0 (с ([0, 0])) компактно, существует такое число
6>0, что для любого t [0, 0] шар t = {о е Ме (/), || о ||<б)
принадлежит U. Поэтому ехре (/) |уб f имеет в каждой точке
максимальный ранг ( = п) и, следовательно, есть диффеоморфизм
для всех t е [а, 0].
Поскольку с ((Z — 6, t + 6)) cz ехре (/) ((/б,<), из теоремы 4.3 сле-
дует, что на геодезической с |р нет сопряженных точек
(t е [а, 0]). Выберем числа 0 = t0<t( < ... <ffe = 0, чтобы было
tv — (v=l, ..., k), тогда геодезические CI[?V_P*V] не имеют
сопряженных точек. Согласно 4.3, для каждого v = l, ..., k и
любых векторов о е MC(tv_ t), w е Л1С(/у) существует одно и только
одно поле Якоби Zv вдоль с l[«v_l. <v], удовлетворяющее условиям
Zv(fv_1) = o, Zv(tv) — w. Обозначим через ]" конечномерное под-
пространство таких полей Уе23", что для каждого v Y l[fv_p /v]
есть поле Якоби; очевидно, dim j” = (n— l)(k — 1).
Построим для каждого X е 23" такое векторное поле ФХ вдоль с,
что ФХ l[/v_p /v] есть поле Якоби вдоль с |р f р удовлетво-
ряющее условиям yv(fv_!) = X(Zv-i), Yv(tv) = X (tv) (v=l..k).
Отображение Ф: 23"->/" является линейным, причем ФХ = X
тогда и только тогда, когда X е J". В силу (5) разд. 4.5 при
X е 23", X ё J" имеем
Z (X, X) > Z (ФХ, ФХ). (2)
Обозначим теперь через А произвольное подпространство 23",
на котором Z отрицательно (неположительно) определена, тогда Ф |д
инъективно. В самом деле, в противном случае существует X е А,
Х=/=0, для которого ФХ = 0, а это значит, что Хе=]'с и вслед-
ствие (2) имеем Z(X, X)>Z(®X, ФХ) = 0 вопреки определению А.
Поэтому Ind с и Indoc конечны: dim Л dim/" = (n— l)(fe — 1).
Если обозначить через Indzc(lndoc) индекс (квазииндекс) ограни-
чения I на Je, то получаем также неравенства Ind с Ind' с,
Indoc^Indoc. Так как обратные неравенства очевидным обра-
зом следуют из включения /"cz23", имеем Indc=Ind'c, Indoc =
168
§ 4. Экстремальные свойства геодезических
*= Indoc. Итак, j" является конечномерной „аппроксимацией" 23",
достаточной для вычисления индекса и квазииндекса с.
Выберем новую систему чисел 0 = s0 < s, < ... <sz = p, удо-
влетворяющих неравенствам — (ц = 1, ..., /), таких,
что {«j, ..., ..., tk-{}=0. Обозначим через 1"
подпространство полей У е 23", для которых У l[s|x_1, S|x] есть поле
Якоби вдоль с |[S (pi = 1......../). Тогда J'c' И 7с = /с, и (2)_
выполнено для всех X^~j" \/с- Применив к 1"с те же самые
рассуждения, построим подпространство Во с Jc, на котором /
неположительна и размерность которого равна Indoc. В силу (2)
Ф| инъективно. Положим Ва = ФВ0, тогда dim Во = dim Ва = Ind0 с.
Пусть В — дополнительное к Jc подпространство Во, т. е. Во есть
прямая сумма В и 7®:
В0 = В®7^. (3)
Из (2) следует, что / отрицательно определена на В. Теперь для
доказательства (1) остается проверить, что dim В = Ind с. По до-
казанному выше, существует такое подпространство В cjc, для
которого dim В' = Ind с, и на котором / отрицательно определена.
Если бы было dim В' > dim В, то было бы также
dim (в' ® 7^) > dim (В © 7?) = Indo с.
Но это невозможно, так как из (3) разд. 4.5 следует, что 7 не-
отрицательна на В/ф7с. Итак, dim В = dim В' = Ind с, что и до-
казывает лемму.
Докажем теперь следующую очень важную теорему.
Теорема (Теорема об индексе)
Усл. с: [0, р] -> М — нормальная геодезическая', Jc (t е (0, р]) —
векторное пространство всех полей Якоби У вдоль с, удо-
влетворяющих условиям У (0) = У (Р) = 0.
Утв. Число сопряженных точек геодезической с конечно, причем
справедливы соотношения
Indc= 2 dim 7с, Indo с = 2 dim Jc- (4)
<е(0, 3) /е(0, и
Если уь Уг ~~ сопряженные точки с J3 (0, р), а кратности
Г
их равны соответственно mlt ..., mr, то Indc = 2 mi- Таким об-
i = 1
разом, индекс с равен числу сопряженных точек в (0, р), считая
каждую с ее кратностью.
4.6. Теорема Морса об индексе
169
Док. Пусть у[......уге(0, р] — некоторые попарно различные
сопряженные точки с. Точка Ц е (0, р] является сопряженной
точкой с в том и только том случае, если dim /с 1 (см. разд. 4.3).
Построим линейное отображение и 7с'-*®с, полагая (1/)^ = ^
при ^е[0, и (lF)# = 0 в остальных точках; ясно, что i инъек-
тивно. Далее, рассмотрим при i=l, ..., г подпространства
= 1,7^ с 23". В силу (3) разд. 4.5 для всех Z^A{® ...
имеем 7(Z, Z) = 0; следовательно, Indoc^ dim Л, + ... + dim Ar~^r.
Из предыдущей леммы известно, что Indoc конечен, и поэтому
на с может быть лишь конечное число сопряженных точек.
Рассмотрим теперь следующие функции ф, <р0: (0, р] —> Z
(Z—множество целых чисел с дискретной топологией):
Ф (/) = Ind с |[0> ф0(0 = Indoc|[o><].
Пусть у, < ... < уг — все сопряженные точки с в (0, р]. Тогда
вследствие (1) имеем
Фо(О-ф(О = О при fe=(0, р]\{уп ..., Уг),
так что
2 [фо(О-ф(О1 = 2 [фо (V«) ~ Ф (Vi)l-
/е(0, я i=i
Как мы покажем ниже, ф непрерывна слева, а ф0 —справа,
пока же докажем, что этого достаточно для доказательства тео-
ремы. В самом деле, в любом открытом интервале, не содержа-
щем сопряженных точек с, Ф_)(0 = ф(0> и, следовательно, обе не-
прерывны. Так как эти функции принимают лишь целочисленные
значения, то обе постоянны в таком интервале. Далее, так как ф
непрерывна слева в точке у/+1, а ф0 непрерывна справа в точке уг,
то Ф3(у/) = ф(у,+1) (i=l...г-1); поэтому 2 [ф0(У/)-ф(у,)] =
z=i
= Фо (?г) ~ Ф (?1)- Кроме того, ф непрерывна слева в точке у(, и из
теоремы разд. 4.5 следует, что ф (у,) = 0, ф0 непрерывна справа
в точке уг и потому постоянна в [уг, р]. Пользуясь снова соот-
ношением (1), имеем
Фо(Р) = S [фо(0- ф(01= 2 dim Л,
^(о, Я *е(о, я
что и доказывает (4), поскольку первое из соотношений (4) непо-
средственно следует из второго.
Остается доказать, что ф непрерывна слева, а ф0 — справа.
Прежде всего заметим, что ф, фэ — неубывающие функции. Дей-
ствительно, если t{, f2e=(0, р], t^t,, C1 = c|(0 Z], с2 = с|[0><2], то
можно построить инъективное линейное отображение i: 23^->23^,
170
g 4. Экстремальные свойства геодезических
полагая (iY)t — Yt при t е [О, /J, (iF), = 0 в других точках, причем
/(У, Г) -Ь /(iF, 1У).
Пусть ?е(0, р]; выберем, как в лемме, такие числа О = /о<
< t\ < ... < tk = ?0, что /v — /v_! <-у, и, следовательно, на с L , .
z rv-г rvJ
хк нет сопряженных точек
/ \\ (v=l......k). Пусть J — ин-
/ \ \ тервал, содержащий ? ц
—f \ открытый в (0, р], столь
' \ ' \ малый, что /b_,sZ и I/—’
\ \ ' \ д
\ \ (-* *7")---- —tk-{ |<у при t Поло-
\ c(i)^ ЖИМ c< = cho. fl- Для каж‘
дого t е J рассмотрим
X— c(ti) (п — 1) (k — 1)-мерное под-
с^> пространство j"(cz%c( всех
Ф1:-^С1 * Mc(ii)x--- х- ХМс(1к-1) таких векторных полей Y
Рис. 1. вдоль сь что y|[/v i <v] (v =
= 1.....fe) и ylpft_1,q СУТЬ
поля Якоби. Как видно из доказательства леммы, <p(f) есть индекс,
а Фо (0-квазииндекс ограничения I на J"t, Построим изо-
морфизм
Ф/= /сX ... X = £
по формуле
Ф/У = (У(/1), ..., У(/й_!))
и билинейную форму Qt на Е по формуле Qt(u, о) = /(Фг“’и, ФГ’с)
тогда ф(/) равна индексу, а ф0 (/) — квазииндексу Qt (t <=/'). Ото-
бражение Q: EXEXJ-*R, заданное формулой Q(u, v, t) — Qt(u, о),
как мы сейчас покажем, непрерывно. Обозначим через В вектор-
ное пространство всех полей У Ip, j> где тогда ФХ —
= ..., Z(tk_y) есть изоморфизм Ф: В->Е, и в силу (3)
разд. 4.5 имеем
Q(u, v, ФГ'о) = /(Ф“1«, Ф-'о) + /(Х„, 6 Уи, 0 =
= /(ф"1и, ф-‘о) + <Хи,6 У„,*>|^ ,
lk-\
где f = ФГ1«|рй_1 q, Уо. / = ФГ1» q —поля Якоби. Так как
отображение (и, о)—»7(Ф-1и, Ф"1») есть билинейная форма на Е,
то (и, v, /)—>/(Ф 1и, Ф"*о) непрерывно. Заметим теперь, что век-
торное поле Z вдоль любой геодезической [0, у] -♦ М является
4.6. Теорема Морса об индексе
171
полем Якоби тогда и только тогда, когда поле Z_, Z_ (/) = Z(у — t),
есть поле Якоби вдоль обратно ориентированной геодезической.
Поэтому из (1) разд. 4.3 следует непрерывность отображения
(и, v, t)-+(Xu, t, а тем самым и Q(u, о, t).
Теперь можно без труда доказать требуемые свойства непре-
рывности <р, ф0, рассматривая непрерывное семейство Q квадра-
тичных форм на фиксированном векторном пространстве Е. Так
как Е есть произведение евклидовых пространств Мс(t.y на Е
определена евклидова метрика. Пусть А — подпространство Е раз-
мерности ф(7), на котором Qf отрицательно определена, т. е.
Qt{u, и)<0 при «еА, «#=(). Рассмотрим множество S =
= {и- и^А, || и ||=1}. Так как отображение Q непрерывно и
S компактно, существует такая окрестность Jo точки ? в /, что
Q(u, и, t) = Qt(u, zz) < 0 для всех ueS, тем самым
Qt(u, и)<0 для всех «еА, и #= 0, t^J^. Таким образом, при
Z е/0 имеем ф(/)^ф(?). С другой стороны, как было показано,
<р(/) — неубывающая функция, поэтому при t^J0, должно
быть <р(О = ф(О и ф непрерывна слева в точке ?.
Пусть, наконец, ви>? и lims^?. Покажем, что
Ц->оо
lim Фо(5(1) = Фо(?), откуда и будет следовать, что ф0 непрерывна
Ц->оо
справа в точке 1. Так как ф0 не убывает и принимает лишь цело-
численные значения, можно считать, что Фо(ви) = й при всех р.,
где k — некоторое неотрицательное целое число. Тогда ф3(?)^й.
Возьмем в Е такие 6-мерные подпространства Аи, что Qs^ непо-
ложительна на Аи, т. е. QS(1(«, «)^0 для всех «еА. Пусть
ан1> •••’ ац*— ортонормированный базис в Аи. Выбирая в случае
надобности подпоследовательности, можно считать, что существуют
пределы lim а^ = аа1 (г=1, ..., 6); векторы а0/ составляют орто-
ц->оо
нормированный базис некоторого й-мерного подпространства
k k
Aoczf. Для Ао имеем Uo = lim u„, где u„ = 2
I-l i-1
из непрерывности Q следует поэтому, что
Qi (ио> ио) = lim Q («и> “н- sh) < °-
Ц->оо
Итак, Qf неположительна на Ао, откуда получаем неравенство
ф0(?)k = lim ф(«и), завершающее доказательство теоремы. От-
Ц-> оо
метим еще, что, согласно последней теореме, критические точки
экспоненциального отображения ехрр, р^М, на каждом исходя-
щем из 0е=Л4р луче расположены изолированно.
172
§ 4. Экстремальные свойства геодезических
Замечания
(i) Для нормальной геодезической с'. [О, р]—>Sp в силу тео-
ремы об индексе и замечания (iii) разд. 4.3 имеем
Indc = v(n — 1) при vnp < р (v + 1) пр,
Ind0 с = v (п — 1) при vnp р< (v + 1) пр,
где v 0 — целое число.
В R™ все геодезические имеют нулевой квазииндекс (и индекс).
(ii) Пусть с: [0, р]->М — нормальная геодезическая, с(0)=.р,
с(Р) = </. Индекс с есть некоторая мера множества тех близких
к с путей с концами р, q, которые короче с (см. замечание (v)
разд. 4.3). В самом деле, если В е 23" — линейное подпространство,
dim В = ind с =/и и / отрицательно определена на В, то каждому
полю УеВ, согласно (4) разд. 4.5, соответствует каноническая
вариация с, и, таким образом, получается „m-мерное веретено"
близких к с путей с теми же концами, которые все короче с.
Заметим в дополнение к замечанию (iii) разд. 4.5, что индекс с
есть не что иное, как индекс критической точки с функционала
длины L (или энергии Е) на пространстве путей Qpg, т. е. раз-
мерность максимального линейного подпространства касательного
пространства к Qp(?, состоящего из таких векторов, в направлении
которых L убывает, т. е. имеет строгий относительный максимум
в точке с (см. также разд. 7.6).
Если Indc^sl, то существуют сколь угодно близкие к с пути
с теми же концами р, q, которые короче с. Поэтому для крат-
чайшей на М геодезической с, соединяющей р с q, Ind с = 0, так
что с не имеет сопряженных точек в (0, р). Однако р может быть
в этом случае сопряженной точкой, как показывает пример полу-
о2
меридиана на ор.
(iii) Пусть с: [а,р]—>М —нормальная геодезическая, с_: [а,р]->М —
обратно направленная геодезическая, заданная формулой с_ (7) =
= с(а + р —/). Покажите, что Indc_ = Indc, Ind0 с_ = Ind0 с. Дока-
жите для а<7<р, с, — с |[а f], с2 = с |[г неравенства
Ind + Ind с2 Ind с, Ind0 с1 + Ind0 с2 sgC Ind0 с.
(iv) Обобщение теоремы об индексе на фокальные точки (см.
замечание (v) разд. 4.3) также принадлежит Морсу. По этому
поводу см. его книгу и статью Амброза (Ambrose W., The index
theorem in Riemannian geometry, Ann. of Math. 73 (1961), 49—86).
В случае периодических геодезических с рассматривается
индекс на подпространстве всех замкнутых полей в 2%. Для этого
случая Ботт доказал теорему об индексе, показывающую, что
индекс произвольной периодической геодезической, накрывающей
„простую" периодическую геодезическую с, определяется пбведе-
4.6. Теорема Морса об индексе
173
нием полей Якоби вдоль с, т. е. „вдоль первого оборота"', см.
Bott R., On the iteration of closed geodesics and the Sturm intersec-
tion theory, Comm, on Pure and Applied Math. IX (1956), 171 — 206.
ЛИТЕРАТУРА К § 4
Бишоп P. и Криттенден Р., Геометрия многообразий, М., 1967.
В о 1 z а О., Vorlesungen fiber Variationsrechung, В. Q. Teubner (1909), Leipzig und
Berlin.
Милнор Дж., Теория Морса, М., 1965.
Morse М., The calculus of variations in the large, AMS Colloquium Publica-
tions, XVIII (1934), New York.
Зейферт Г. и Трельфалль В., Вариационное исчисление в целом, М., 1947.
Стернберг С., Лекции по дифференциальной геометрии, М., 1970.
§ 5. Римановы многообразия
как метрические пространства
5.1. Функция расстояния риманова многообразия
Рассмотрим естественную метрическую структуру, которую
можно ввести на римановом многообразии.
Пусть Е — произвольное множество. Отображение р: ExE->R
называется функцией расстояния на Е, если для всех р, q, г е Е
выполнены условия:
(1) р(р, q) = p(q, р) (симметрия);
(2) р(р, q)^p(p, r) + p(r, q) (неравенство треугольника);
(3) р(р, q) = О тогда и только тогда, когда p — q.
Пусть Е — топологическое пространство и р: Е Е — функция
расстояния на Е. Функция р называется совместимой с топологи-
ческой структурой Е, если шары Be(p) = {^: q е Е, р(р, q)<b}
с центрами в точках р^Е радиусов 6>0 составляют базис
топологии Е. Объект, состоящий из топологического простран-
ства Е и определенной на Е функции расстояния р, совместимой
с топологией Е, называется метрическим пространством.
Рассмотрим теперь связное риманово многообразие М. Обо-.
значим через йр<7 множество всех кусочно дифференцируемых
путей [0, 1]->М с началом р и концом q. Поскольку М связно,
йр<7 не пусто. Построим отображение р: МхМ —>R с помощью
формулы
р(р, q) = inf {L (с): с 6= ЙР7}, (4)
где Л (с) —длина пути с. Тогда справедлива следующая
Лемма
Утв. М вместе с р составляют метрическое пространство.
р называется функцией расстояния риманова многообразия М.
Док. Свойства (1) и (2) непосредственно вытекают из определе-
ния; заметим для этого, что если с —путь из ЙР7, то формула
с_ (/) — с (1 —/) определяет путь с_ей?р, причем Л(с_) = Л(с);
если же сг е йрг, с2ейгр, то путь с: [0, 1]—>М, заданный фор-
мулами с (0 = С] (2/) при t е [0, yj и c(f) = c2(2f — 1) при t е ^у, 1 j,
принадлежит Qpp, причем L (с) = L (cj + L (с2). Переходим к до-
5.1. Функция расстояния риманова многообразия
175
казательству (3). Ясно, что р(р, р) = 0. Надо показать, что из
р(рг р) = 0 следует p = q. Возьмем для этого е-шар Ue с центром О
в Мр, который диффеоморфно отображается экспоненциальным
отображением ехрр связности Леви-Чивита на некоторую окрест-
ность точки р. Согласно замечанию (ii) разд. 4.4, любой исхо-
дящий из р путь, не лежащий в ехр(С7е)> длиннее е и дляр<=ехр(С/е)
соединяющая р с q геодезическая с: [0, 1]->ехр(С/е) есть крат-
чайший на М путь с концами р, q. Так как Л(с) = 0 лишь в случае,
когда с постоянен, то из р(р, р) = 0 следует p = q.
Надо еще показать, что 6-шары В6(р) с центрами р^М со-
ставляют базис топологии М, т. е. что шары Вй(р) открыты,
и любая окрестность точки р&М содержит 6-шар с центром в р.
Для этого заметим сначала, что функция р непрерывна. В самом
деле, для последовательности точек (pv, М X М из lim pv — p,
V-> СО
lim qv = q с помощью неравенства треугольника и условия сим-
V->oo
метрии получается, что
p(pv> ?v)<p(p- ?) + р(р> Pv) + p(?, qJh
p(pv, ?v)>p(p. ?)-p(p> pv)-p(?, qJ-
Достаточно поэтому показать, что для последовательности точек
pv е М, сходящейся к р, lim р (р, pv) — 0. Рассмотрим опять шар U
V-> СО
с центром в 0е Afp, на котором ехрр является диффеоморфизмом.
В силу замечания (ii) разд. 4.4 имеем
Р (Р, Р) = II (ехр ly)-1 (q) II для всех q е ехр (U). (5)
Поскольку для всех v, за исключением конечного множества,
точки pv принадлежат ехр (С/), из (5) вытекает непрерывность р,
так как непрерывно отображение (ехр |у)-1. Из непрерывности р
следует, что 6-шары В6(р) открыты. Наконец, как мы сейчас по-
кажем, каждая окрестность V точки р содержит 6-шар с центром
в р, являющийся диффеоморфным образом открытого б-шара
C/jCzAfp с центром в 0 при отображении ехрр. Для этого выбе-
рем 6 таким образом, чтобы ехр |уд было диффеоморфизмом и
ехр(С7а) содержалось в заданной окрестности V, тогда Вй(р) =
= ехр(С7а). В самом деле, положим V6 = ехр (С/в), тогда в силу (5)
имеем Ve<= В6(р). Далее, Ve открыто в М, а следовательно и
в В6(р). С другой стороны, Ve также замкнуто в В6(р). Дей-
ствительно, если и lim qv = q В6(р), то существует пре-
v->oo
дельная точка v е U6 последовательности ov = (exp |Уд)- (pv). Со-
гласно (5), выполняется р(р, pv) = ||vvll, и в силу непрерывности'р
176
§ 5. Римановы многообразия как метрические пространства
имеем lim || ov || = р (р, q). Следовательно, || v || = р (р, q) <д, v е U&,
V-> со
и ввиду непрерывности ехр получаем ехро = р. Итак, открыто
и замкнуто в Ва(р), и равенство Ve = Be(p) будет вытекать из
связности Вб(р). В действительности шар В6(р) даже линейно
связен, так как для любой точки q е В&(р) существует путь с е £lpq
длины Л(с)<б, т. е. целиком лежащей в В^р). Этим завершается
доказательство леммы.
Покажем еще, что функция р2 дифференцируема в некоторой
окрестности точки диагонали (р, р) е М X М, какова бы ни была
точка р е М. Для этого заметим, что по теореме 1 разд. 2.8 отобра-
жение л X ехр: ТМ —>М X М обратимо в некоторой окрестности W
точки 0р е ТМ. Построим е-шар Вг(р), такой, что Ве(р) X Ве (р) <=
<= (л X ехр)(Ц7); тогда для любой точки qx еВе/з(р) отображение
2g
ехр?| обратимо в -д—шаре Uqi с центром 0 е Mq,.
Из (5) получаем
p(Pi. Р2) = |(ехр lyj-1 (р2)| = |(л X ехр) 1^)“' (рь р2)| (6)
для pi, q2^ Ве_(р), откуда и следует дифференцируемость р2. Сама
з
функция р также дифференцируема в В^(р) X Ве (р), кроме точек
з У
диагонали, так как при qx =£ q2, очевидно, ((л X ехр) |^)-1 (qi,q2)¥=0-
Вне достаточно малой окрестности диагонали в Af X АТ функция р2,
вообще говоря, не дифференцируема (например, в случае М = S"
функция р2, как и р, не дифференцируема, когда р, q — диаме-
трально противоположные точки).
Замечания
(i) Если N cz М — связное риманово подмногообразие и р —функ-
ция расстояния на N, то, очевидно, р(р, р)^р(р, q) для всех
р, q^N.
Приведите пример, в котором функции р и р не совпадают,
хотя dim Af = dim АЛ Более общим образом р и р могут не совпа-
дать, когда N — вполне геодезическое (см. замечания (iii) разд. 3.7
и (iii) этого раздела) подмногообразие Af. Если dimAf < dim Af,
то при этом N может быть даже полным (см. разд. 5.3).
(ii) Пусть Af —связное риманово многообразие, р —функция
расстояния N и f: NМ — изометрическое дифференцируемое
отображение. Тогда для всех р, q^N выполняется неравенство
р(р, q)^P(f(p}> f(q))- Если f — изометрия, т. е. изометрический
диффеоморфизм N на Af, то верно и обратное неравенство, так
что справедливо равенство
р(р, q) = p(f(p), f(q)) для всех р, qe=N, (7)
5.2. Выпуклые множества
177
т. е. f является изометрией также и в смысле расстояния. Обратно,
пусть dimA/’=dimAf и f — изометрия в смысле расстояния, т. е.
выполнено (7). Покажите, что в этом случае f открыто и инъек-
тивно, следовательно, является гомеоморфизмом (см. замечание
(iv) разд. 1.1). Более того, как можно доказать, f дифференци-
руемо (см. Palais R., On the differentiability of isometries, Proc.
AMS 8 (1957), 805 — 807). Предполагая, что f дифференцируемо,
покажите с помощью нормальных координат (см. замечание (ii)
разд. 3.8), что f есть изометрическое отображение в смысле ри-
мановой метрики.
Покажите, что изометрическое отображение R"+1 на себя
в смысле расстояния есть аффинное отображение, а именно ком-
позиция ортогонального отображения и сдвига. Отсюда следует,
что изометрия в смысле расстояния стандартной сферы Sn с R"+1
на себя есть ограничение ортогонального преобразования Rrt+1.
(iii) Пусть N cz М — связное риманово подмногообразие с функ-
цией расстояния р. Покажите, что N является вполне геодезиче-
ским в М тогда и только тогда, когда у каждой точки р е N
существует окрестность Vc,V, такая, что plFxv = Plvxv (см-
также (i)).
5.2. Выпуклые множества
Рассмотрим связное риманово многообразие М с функцией
расстояния р и связностью Леви-Чивита.
Пусть G —открытое подмножество М\ G называется простым,
если для любых двух точек р, q е G существует не более одной
геодезической с: [0, 1]—>G с концами c(0) = p, c(\) = q. Каждое
открытое подмножество G является простым вместе с G.
Множество G называется выпуклым, если для любых двух
точек р, q е G существует геодезическая с с концами р, q длины
£(с) = р(р, q), целиком лежащая в G. Множество G называется
сильно выпуклым, если G выпукло и, кроме того, все 6-шары
Bb(p)czG выпуклы. Если G сильно выпукло, то любое выпуклое
открытое подмножество G также сильно выпукло.
Мы покажем, что у каждой точки р е М существует сильно
выпуклая окрестность. Следующие ниже предложения в основном
принадлежат Дж. Г. К- Уайтхеду, который впервые рассмотрел
соответствующий вопрос для общей линейной связности (см.
Whitehead J. Н. С., Convex regions in the geometry of paths, The
Quraterly J. of Math. 3 (1932), 33-42).
Для нормальной геодезической с: [0, р]—>7И обозначим через
1С ограничение индексной формы на подпространство полей Якоби
вдоль с, удовлетворяющих условиям (У, с) = 0, Y (0) = 0.
178
§ 5. Рима новы многообразия как метрические пространства
Лемма
Усл. Пусть Вй(р) есть 6-шар с центром в точке р^М, такой,
что для всех q е Вя (р) открытый 26-шар в Mq с цент-
ром в 0 е диффеоморфно отображается на В2& (q)
отображением ехр?. Для каждого v^Mp, ||о||= 1, обозна-
чим через cv: [О, 6] —> М нормальную геодезическую cv (t) =
= ехр (tv). Предположим, что для каждой из таких гео-
дезических индексная форма ]с положительна определена.
Утв. Шар В&(р) есть простое выпуклое множество.
Док. Прежде всего из замечания (ii) разд. 4.4 сразу же следует,
что Ва(р) есть простое множество и что каждая геодезическая
в В&(р) является кратчайшей в М. Остается доказать, что В6(р) —
выпуклое множество. Для этого рассмотрим для любой фиксиро-
ванной точки q е Вй(р) непустое множество А тех точек В^(р),
которые можно соединить с q геодезической, лежащей в Ва(р).
Так как Вй(р) связно, то лемма будет доказана, если мы про-
верим, что А открыто и замкнуто в Вй(р).
А открыто. Пусть q' е А и с — геодезическая, соединяющая q
с q' ъ Вй(р). Поднимем с посредством ехр, в исходящий из О
луч <р пространства Mq. Тогда существует окрестность компактного
образа ф, которую ехр, диффеоморфно отображает на окрестность
образа с в Вй(р).
А замкнуто в Вй(р). Пусть q' е Вй(р) — предельная точка А и
qv — последовательность в А, сходящаяся к q'. Так как ехр —
диффеоморфизм, последовательность uv = (exp|t,?)-l(^v) сходится
к и = (ехр |и?)-1 (q') е Uq. Тогда, как мы покажем, геодезическая
с: [0, 1]-»B26(q), заданная формулой с(t) = ехр(tu) и соединяющая
q с q', целиком принадлежит Ва(р), а именно, убедимся, что если с
имеет общую точку с границей В6(р), то существует /ое(О, 1),
для которого с(/0)е Вй(р) (поскольку все точки qv е А, требуемое
утверждение будет тогда следовать из соображений непрерыв-
ности). Если для некоторого вое(0, 1) имеет место р(р, с(8о)) = б,
рассмотрим нормальную геодезическую с0, где » = у (ехр |у ° с (е),
и построим в достаточно малом интервале JQ, содержащем нуль,
вариацию V: [0, 6]Х/0-^-Л4 геодезической с„ по формуле
V (t, е) = ехр (у (ехр |Up)-1 ° с(е + Eq)). Обозначая, как обычно, функ-
цию длины пути для вариации V через £(е), имеем £(0) = б. Если
£'(0)#=0, то наше утверждение доказано. Если же L' (0) = 0, то
Y (t) = V,D2 о есть поле Якоби вдоль с„, У(0) = 0, (У, со) = 0,
У #= 0 и по предположению £"(0) =/Сс(У, У) >0. Следовательно,
L имеет в точке 0 строгий относительный минимум и утвержде-
ние доказано полностью,
5.2. Выпуклые множества
179
Из леммы вытекает следующее важное предложение.
Теорема
Утв. Для каждой точки р^М существует такое б>0, что шар
В& (р) — сильно выпуклое множество.
Док. По теореме 1 разд. 2.8 отображение л X ехр: М X М
диффеоморфно отображает некоторую окрестность 0р в УЛ! на
окрестность G точки (р, р) в М Х'М. Возьмем такое б">0, чтобы
было В<5» (р) X Вв" (р) <= G, и положим б = —. Тогда для каждой
точки реВв'(р) шар Bas'(p) есть диффеоморфный образ 2б'-шара
в Mq с центром в 0 при отображении ехрр. Построим для
v, w е л-1 (Вв' (р)), л (о) = л (йу), геодезическую с„: [0, б'] -» М по
формуле с„(/) = ехр(/о) и поле Якоби Yvw вдоль с„, удовлетво-
ряющее условиям Ydw (0) = 0, Уош (О) = йу. Заметим прежде всего, что
отображения (о, w, t) -> Yvw (t), (о, w, f) -> Yvw(t), (o, w, t) -> Y"w(t) =
= — R(YVW, cv)cv |f непрерывны, как это видно, например, из леммы
разд. 4.3, поскольку отображение (a, w, t, +ew) диффе-
ренцируемо (см. замечание (iv) разд. 1.10). Но тогда непре-
рывна и функция (и, w, t)-> D {Yvw, Ко®) |f; ввиду Yvw (0) = 0 имеем
D (Yvw, = Y'vw) |о = || w ||2, и из компактности множества
А = {(о, w): v, weTM, л (и) = л (w) е By (р), || v ||=|| w ||= 1} следует
существование такого числа бе(0,6'], что для всех /е[0, б],
(и, w) е А выполнено неравенство D(YVW, Y'vw) L > 0. Поэтому
<YVW, Y'vw) строго возрастает на [0, б], и в силу (3) разд. 4.5 для
всех (о, ау)еЛ имеем Icv(Yvw, Yvw) = (YVw, Уош)1в>0- Утвержде-
ние теоремы следует теперь из предыдущей леммы, с только что
определенным значением б.
Обозначим через R двухточечную компактификацию числовой
прямой, т. е. .числовую прямую R, обычным образом пополненную
точками —оо,оо. Для любой точки р^М обозначим через г(р),
г (р) е R, точную верхнюю границу тех чисел б, для крторых шар
Вв(р) — сильно выпуклое множество; г(р) называется радиусом
выпуклости М в точке р. Согласно последней теореме, г(р)>0
для всех р е М. Покажем, что отображение г: Af -> R, при кото-
ром каждой точке реЛ1 ставится в соответствие г(р), непре-
рывно. Если существует такая точка роеЛ1, что г(р0) = <», то все
шары в М выпуклы, и г(р) = оо для всех реЛ4. Если же г(р)
конечна для всех р еЛ1, то, как мы сейчас покажем, имеет место
неравенство
\r(p)-r(q)\^p(p, q) (1)
180
$ 5. Римановы многообразия как метрические пространства
для всех q Вг(р1(р). В самом деле, вместе с Вг(р)(р) шар
Вг(р)_р(р> ?, (<?) является сильно выпуклым множеством; следова-
тельно, г (<?) > г (р) - р (р, q), откуда г (р) - г (<?)< р (р, q). В случае
г(р)^г(р) этим все доказано. В случае r(q)>r(p) имеем
реВг((?) (<?) и, значит, r(q) — r(p)^p(p, q), что и доказывает (1).
Из неравенства (1) и непрерывности функции расстояния выте-
кает непрерывность г.
Рассмотрим для точки р е=.М множество всех чисел 6, для
которых отображение ехр 1^ определено и инъективно (t/e —шар
радиуса 6 с центром в 0 е Мр). Точная верхняя граница dp
чисел 6 называется радиусом инъективности отображения ехрр
или радиусом инъективности в точке р. Пусть U — шар в Мр
с центром 0 радиуса dp и В (р)—шар в М с центром в р радиуса dp.
Как мы увидим ниже (лемма разд. 5.3), р можно соединить
с каждой точкой q е В(р) кратчайшей геодезической. Отсюда
следует, что кратчайшие геодезические из р в q е В (р) опреде-
ляются однозначно и имеют вид с: t—>ex.ptv, где v^U.
Пусть А — подмножество М. Число dA = inf {dp: р^ А} назы-
вается элементарной длиной А в М. Каждую точку реЛ можно
соединить с q е М единственной кратчайшей геодезической
с: [О, 1]->Л1, если р(р, q)<dA. Для компактного множества А
имеем dA > 0; в самом деле, для всех ре М выполняется г (р) ^dPr
а непрерывная функция г принимает на компактном множестве
положительный минимум.
Замечания
(i) Для М = R" имеем dp = оо при всех р е R", следовательно,
dA = оо при всех А с R".
Для М = R" \ {0} выполняется dp = || р ||, откуда dA = 0 при
А = R" \ {0}.
Для М = Sp справедливо равенство dp = пр, какова бы ни была
точка р; поэтому dA = пр для всех подмножеств Ле£р.
Приведите пример двумерного риманова многообразия М, для
которого dp — оо в одной и только одной точке ре М. Получите из
замечания (i) разд. 4.5 значение радиуса выпуклости для р е Sp
(г (р) = . Покажите, что на Sp любое отличное от Sp выпуклое
открытое множество содержится в некоторой полусфере. Очевидно,
Г (р) = ОО для R" и г (р) = II р II для Rn \ {0}.
(ii) Пусть М — связное риманово многообразие размерности п
с функцией расстояния р, р^М. Пусть г0>0 выбрано таким
образом, чтобы ехрр диффеоморфно отображало шар UT, с центром
в 0еЛ!р на шар ДДр) в М. Тогда, согласно (5) разд. 5.1, функ-
5.2. Выпуклые множества
181
ция <р: Br„(p)->R, заданная формулой ф(^) = р(р, q), дифферен-
цируема при q ф р и все г е (0, г0) являются регулярными зна-
чениями ф, так как производная ф в радиальном направлении,
очевидно, не равна нулю. Поэтому определены (п — 1)-мерные ком-
пактные римановы подмногообразия Sr (р) = ф-1 (г) с: М, назы-
ваемые сферами М с центром в точке р. По лемме Гаусса вектор
градиента ?ф |? есть касательный вектор нормальной геодези-
ческой с, соединяющей р с q в ВГо(р), в ее конечной точке q‘,
следовательно, ||?ф||=1. Рассмотрим вторую основную форму/
подмногообразия Sr(p)aM по отношению к полю единичных
нормалей Уф; для q^Sr(p) и векторов v, w^M9, касательных
к Sr(p), имеем l(v, w) = (У0Уф, (см. разд. 3.7). Покажите, что
l(v, w) = {X', Y)\r = I(X, У), где X, У — поля Якоби вдоль с, удо-
влетворяющие условиям Х(0) = У (0) = 0, X (г) = V, У (г) = w. В слу-
чае когда ехрр диффеоморфно отображает шар U2r на В2г(р),
согласно лемме, получаем, что Вг (р) — простое выпуклое множе-
ство, если вторая основная форма положительно определена
во всех точках сферы Sr(p). Пусть теперь ст —двумерное линейное
подпространство касательного пространства к Sr (р) в точке q (п > 2),
a v, w — ортонормированный базис в ст. Тогда, согласно (9) разд. 3.7,
риманова кривизна Ка многообразия М в направлении ст и соот-
ветствующая кривизна Ха сферы Sr(p) связаны соотношением
/ЦХ,Х) 1{Х, У)\
Ка-Ха+ det ; . (2)
Выберем v и w так, чтобы было l(v, w) = I(X, У) = 0 (это можно
сделать в силу симметричности /). Тогда, подставляя в формулу (2)
значения I(X, X), I (У, У), вычисленные согласно определению
индексной формы (1) разд. 4.5, получаем выражение, в котором
при г —> 0 главными членами являются интегралы от {X', X'}, (У7, У').
Исходя из этого, покажите, что при достаточно малых г>0 суще-
ствуют такие функции % (г), Z(r), для которых 0<х(г) (г)
при всех ст, касающихся Sr(p), причем
Н-т г2х (г) = lim г2л (г) = 1. (3)
г->0 г->0
Равенство (3) означает, что при малых г сферы ST(p) риманова
многообразия М имеют асимптотически ту же постоянную кри-
визну -р-, что и в евклидовом пространстве R".
Пусть N с М — риманово подмногообразие коразмерности 1
в М; p^N; и е Мр — единичный вектор нормали к N, так что
|| и ||=1 и (и, а) = 0 при всех / — вторая основная форма N
по отношению к и. Существует такое г0>0, для которого из
условия ге(0, г0] следует, что Вг (р) — простое выпуклое множе-
182
$ 5, Римановы многообразия как метрические пространства
ство и BT(p)\N распадается на две компоненты связности Gr, G7
(причем через G7 обозначена та компонента, в сторону которой
направлен и). При достаточно малом г множество G* выпукло,
если форма I положительно определена. Обратно, если Gr+ —
выпуклое множество, то / — неотрицательна.
(iii) Пусть Л —компактное подмножество связного риманова
многообразия М\ dA — элементарная длина А. Получите непосред-
ственно из теоремы 2 разд. 2.8 положительность dA, не поль-
зуясь радиусом выпуклости (см. также разд. 5.4.).
(iv) Рассмотрим связные римановы многообразия М, N равной
размерности с функциями расстояния р, р и пусть f: N -»М —
дифференцируемое изометрическое отображение. Покажите, что f
локально является также изометрией в смысле расстояния, т. е.
у каждой точки p^N существует такая окрестность V в N, что
для точек </], </2^^ имеем p(<?i, <7г) = р(/ (<7i)> f (<72)) (см. заме-
чание (ii) разд. 5.1).
5.3. Полные римановы многообразия
Метрическое пространство Е называется полным, если каж-
дая последовательность Коши в Е сходится.
Пусть М — связное риманово многообразие с функцией рас-
стояния р, оно называется полным, если М полно как метриче-
ское пространство с метрикой р. Если М компактно, то М
полно. С другой стороны, R", например, является полным рима-
новым многообразием, хотя и не является компактным. Мы при-
ступаем к доказательству теоремы Хопфа — Ринова, имеющей
фундаментальное значение для всей римановой геометрии в целом;
эта теорема устанавливает эквивалентность метрической пол-
ноты М и полноты связности Леви-Чивита на М, т. е. полноты
соответствующей геодезической струи. Идея доказательства, изла-
гаемого ниже, принадлежит де Раму, его существенная часть
содержится в следующей лемме:
Лемма
Усл. М — связное риманово многообразие с функцией расстоя-
ния р и связностью Леви-Чивита. Точка р^М; U6(8>0) —
открытый шар радиуса д в Мр с центром в 0; Вц,(р) — от-
крытый шар радиуса д в М с центром в р.
Утв. Если для 8>0 шар Us целиком принадлежит области опре-
деления экспоненциального отображения ехрр, то р можно
соединить с каждой точкой q е Ве (р) кратчайшей геодези-
ческой с, т. е. такой, что L(c) = p(p, q). В частности, ото-
бражение ехрр: ие-*Ве(р) сюръективно. Наконец, для лю-
бого д еч (0, е) замкнутый 6-шар Въ(р) компактен.
5.3. Полные римановы многообразия
183
Док. Для 6 е (0, е) обозначим через Cf, множество точек q е В6 (р),
которые можно соединить с р геодезической cq длины L(cq) =
= р(р, q). Мы покажем, что С6 компактно, и что при всех бе (О, е)
имеет место С6 = В6(р), откуда и будет следовать утверждение
леммы. _
Так как С6 содержится в компактном множестве exp(t/6)cz
czB6(p), то для доказательства компактности Сь достаточно про-
верить, что С6 замкнуто в В6(р). Пусть q е В6(р) — предельная
точка С6, qv — последовательность точек Сй, сходящаяся к q. Для
каждой точки qv существует такой vvet/6, что expp(vv) = </v и
|| vv || = р (р, qv). Последовательность vv имеет в компактном мно-
жестве U6 предельную точку v. Вследствие непрерывности ехрр
и р, для геодезической cq: [О, cq(t) = ехр (tv), имеем L(cq) =
= р(р, q), что и доказывает замкнутость Сй в Вй(р), а значит, и
компактность Сь.
Рассмотрим множество А тех чисел 6 е (0, в), для которых
С6 = В6(р). В силу разд. 5.1 (см. доказательство утверждения (3)
леммы) А содержит некоторый интервал с началом 0, таким об-
разом, А не пусто. Докажем, что А замкнуто и открыто в (0, в),
тогда из связности (0, е) будет следовать, что А = (0, е), что равно-
сильно утверждению леммы.
Покажем, что А замкнуто в (0, в). Пусть б0 е (0, в) — предель-
ная точка А. Тогда существует последовательность 6V е А, сходя-
щаяся к б0. Для всех v выполняется C«v = B«v (р), откуда следует
Вв„ (р) cz Се,, а так как Сь, замкнуто в Вь,(р), имеем Сь, = Вь,(р),
б0<= А.
Покажем, что А открыто в (0, е). Пусть б0 е Л. Непрерывная
функция г: Af—>R (см. разд. 5.2), сопоставляющая каждой точке
р е М радиус выпуклости М в точке р, имеет на компактном
множестве Сь, — Вь, (р) положительный минимум т/. _______
Если 0 < т] < min (т]', 8 — б0), то, как мы покажем, Св0+л = Вь,+^ (р);
отсюда и будет следовать, что А открыто. Так как Св0+л замк-
нуто, достаточно доказать включение Вво+п (р) с= Св0+ть более того,
Be, (р) cz Св,+11, и достаточно показать, что Вво+Л (р) \ Вь, (р) cz Сео+Т).
Итак, пусть е Be,+ri(p) \ Вб0(р). Существует последовательность
путей cv: [а, 0]—>Л1 с началом р и концом q, для которой
lim L(cv) = p(p, q). По теореме о промежуточном значении, суще-
V->oo
ствуют такие числа Zve=[a, 0], что р (р, cv (tv)) = б0. Последова-
тельность qv = cv(tv) имеет в компактном множестве Вь,(р)\ Вь,(р)
предельную точку q, причем, выбирая в случае надобности под-
184
§ 5. Римановы многообразия как метрические пространства
последовательность, можно считать, что qv сходятся к q. Пока-
жем, что
р(р, <7) = р(р, q) + p(q, q). (1)
В самом деле, р(р, q) + p(q, q)^L(cv), и при v-*oo в силу не-
прерывности функции р отсюда следует р(р, q) + p(q, q)^p(p, q),
что вместе с неравенством треугольника приводит к (1).
По построению точки q, справедливо р(р, q) = bQ. Поэтому
существует нормальная геодезическая с: [0, д0]-*Л4, соединяю-
щая р с q. Так как р(р, q) < д0 + т), из (1) следует p(q, </)<т]; тем
самым q принадлежит сильно выпуклому шару B^(q), и суще-
ствует единственная нормальная геодезическая с: [д0, у]-*Л4 длины
p(q, q), соединяющая q с q. Геодезические с, с вместе составляют
кусочно нормальный путь с с началом р и концом q', длина этого
пути L(c) = p(p, q), и из замечания (iii) разд. 4.4 вытекает, что
с —нормальная геодезическая. Таким образом, (0, д0 + т])с=Л и А
открыто, что и завершает доказательство леммы.
Мы воспользовались в доказательстве леммы радиусом выпу-
клости, но можно было бы обойтись без этого понятия, построив
вокруг каждой точки р' е В&, (р) \ В&, (р) шар, являющийся диф-
феоморфным образом при ехрр- (см. разд. 5.1), и взяв нижнюю
границу радиусов таких шаров в качестве rf.
Теорема (X. Хопф, В. Ринов)
Усл. М — связное риманово многообразие с функцией расстоя-
ния р и связностью Леви-Чивита.
Утв. Следующие три утверждения равносильны'.
(а) М полно',
(Ь) для каждой точки р^М экспоненциальное отображе-
ние ехрр определено на всем Мр\
(с) каждое ограниченное по отношению к расстоянию р
замкнутое множество Л cz М компактно.
Далее, следующее утверждение является следствием каж-
дого из утверждений (а), (Ь), (с):
(d) любые две точки р, q е М можно соединить на М гео-
дезической длины р(р, q).
Первоначальное доказательство этой теоремы (Hopf Н.,
Rinow W., Ober den Be griff der vollstdndigen differentialgeomet-
rischen Flache, Comm. Math. Helv., 3 (1931), 209 — 225) относилось
к случаю dim Al = 2, но почти в той же форме распространялось
на римановы многообразия любой размерности. См. по этому
поводу также статью де Рама (de Rham G., Sur la reductibilite
d’un espace de Riemann, Comm. Math. Helv., 26 (1952), p. 341).
5.3. Полные римановы многообразия
185
Док. Прежде всего импликация „из (с) следует (а)“ очевидна,
так как последовательность Коши ограничена и поэтому содер-
жится в замкнутом ограниченном подмножестве М, которое, по
предположению, компактно; на компактном же множестве схо-
дится каждая последовательность Коши.
Покажем, что из (а) следует (Ь). Достаточно доказать, что
при v е Мр экспоненциальное отображение ехрр определено на
всем луче {tv: teR+}, Согласно (10) разд. 2.9, ехр(7ц) = л°Ф0(7),
где Фо— максимальный интегральный путь геодезической струи S,
удовлетворяющий условию Фо(0) = ц. Поэтому достаточно пока-
зать, что все 1 eR+ принадлежат области определения Фо. Об-
ласть определения Фо есть некоторый открытый интервал 7,
содержащий 0. Покажем, что 7QR+ замкнуто в R+. Пусть
[0, 7) a J, тогда Фо определен в точке 7. Для доказательства этого
утверждения построим последовательность 7ve[0, 7], сходящуюся
к 7. Тогда p(exp(7vu), exp(7pv)X| tv—7И |-|| v II и образы pv = ехр (tvv)
образуют последовательность Коши в М. В силу (а) эта после-
довательность сходится к некоторой точке q е М. Последователь-
ность av = ®v(7v) имеет в ТМ по крайней мере одну предельную
точку, так как || ov || = || о П, и для компактного замыкания окрест-
ности W точки q е М множество л-1 (1Г) П е ТМ, || w || = || v |Ц
также компактно (см. замечание (Ш) разд. 3.4). Согласно теореме
о продолжении (разд. 8.7), пусть Фо определен в точке 7, по-
скольку Фо — максимальный интегральный путь.
Остается доказать, что из (Ь) вытекают утверждения (d) и (с).
Так как ехрр определено на всем Мр, из леммы следует, что
каждую точку q е М можно соединить с р геодезической длины
р(р, <?), т. е. справедливо (d).
Какова бы ни была точка р е М, каждое ограниченное замк-
нутое множество А ciB6(p) для достаточно большого 6. Согласно
лемме, Вь(р) компактно, а потому Ас^В&(р) также компактно.
Тем самым, теорема доказана.
Отметим еще, что утверждение (Ь) равносильно следующему,
формально более сильному:
(Ь') существует точка р^М, для который экспоненциальное
отображение ехрр определено на всем Мр.
Выведем из (Ь') полноту М. Пусть qv — последовательность
Коши в М, тогда последовательность р(р, qv) ограничена. По
лемме для каждой точки qv существует геодезическая cv, соеди-
няющая р с qv, длины L(cv) = p(p, qv). Далее, существует такой
вектор vv^Mp, что ||vv|| = p(p, qv) и exp(vv) = qv. Последователь-
ность vv содержится в ограниченном множестве Мр и имеет тем
самым предельную точку v в Мр. Поэтому последовательность qv
сходится к ехр (а). Итак, М полно, а отсюда, согласно теореме,
следует (Ь).
186 §5. Римановы многообразия как метрические пространства
Замечания
(i) Пусть М — связное полное риманово многообразие, N czM —
связное риманово подмногообразие. Покажите, что если N замк-
нуто в М, то М полно. График функции R+->R, заданной фор-
мулой /->sin-|-, есть полное, но не замкнутое подмногообразие R2.
(ii) Из теоремы вложения Уитни (см. замечание (vi) разд. 1.6)
и (i) следует, что на каждом связном дифференцируемом много-
образии можно ввести структуру полного риманова многообразия.
(iii) Из леммы этого раздела вытекает такое утверждение:
если М — риманово многообразие, р е М и ехрр определено и
инъективно в шаре UeczMp радиуса 8 с центром 0, то ехрр имеет
во всех точках этого шара максимальный ранг.
В самом деле, пусть с: [0, 0] -> М — нормальная геодезическая
с началом р и 0<е. Тогда, обозначая с(0) через q, имеем
р(р,^)^0<8, и по лемме существует кратчайшая геодезическая,
соедииняющая р с q. В силу инъективности ехрр эта кратчайшая
есть с. Согласно лемме 1 разд. 4.5, на (0, 0) нет сопряженных
точек с, и ввиду произвольности числа 0<е и с наше утвержде-
ние доказано.
Заметим, что доказанное свойство специфично для инъектив-
ного экспоненциального отображения и, конечно, не распростра-
няется на любые инъективные дифференцируемые отображения.
(iv) С помощью методов алгебраической топологии и теории
Морса можно усилить утверждение (d) этого раздела. Пусть
М — полное риманово многообразие, которое не ациклично, т. е.
по крайней мере в одной размерности i>0 группа гомологий
с целочисленными коэффициентами Н^М, Z) =/= 0, тогда каждые
две точки р, q е М можно соединить геодезической сколь угодно
большой длины. Следовательно, существует бесконечное множе-
ство геодезических, соединяющих р с q. Условие „не ациклич-
ности" М равносильно требованию, чтобы М „нельзя было стя-
нуть по себе в точку". По этому поводу см. Serre J.-P., Homo-
logie singuliere des espaces fibres, Ann. of Math., 54 (1951),
425-505.
(v) Пусть M, M—связные римановы многообразия ил: М-+М —
риманово накрытие, т. е. дифференцируемое изометрическое на-
крытие (см. замечание (v) разд. 1.7). Покажите, что если М
полно, то М полно, и обратно.
5.4. Множество раздела риманова многообразия
R означает в этом разделе, как и выше, двухточечную ком-
пактификацию R.
Пусть М — полное риманово многообразие с функций расстоя-
ния р. Рассмотрим касательное сферическое расслоенное про?
5.4. Множество раздела риманова многообразия
187
странство Т\М = {v: v^TM, || о || = 1} над М, как в замечании (iii)
разд. 3.4. Определим функцию s: ГрИ-^R формулой
s(v) = sup{Z: p(n(u), ехр (tv)) = t).
s(v) есть, таким образом, наибольшее значение параметра t, при
котором исходящая из л (v) нормальная геодезическая с0: [0, оо)—
является кратчайшей между точками со(0) и cv(t), или, иными
словами, cv перестает быть кратчайшей после t = s(v).
Две кратчайших геодезических могут иметь не более одной общей
точки; это видно из замечания (iii) разд. 4.4.
Множеством раздела называется множество
Ср = {s (v) v: ve=Mp(]TiAf).
Образ этого множества С (р) = ехрр Ср cz М также называется мно-
жеством раздела М по отношению к р (это понятие восходит
к Дж. Г. К. Уайтхеду (cut locus) и Пуанкаре (ligne de partage).
Лемма (Клингенберг)
Утв. Отображение s: T-tM->R непрерывно.
Док. Пусть vc=TxM и vv 1\М — последовательность, сходя-
щаяся к v. Положим л (vv) = pv, л (v) = р, т = s (v), tv = s (uv); можно
считать, выбрав подпоследовательность, что существует lim tv=t.
V->oo
Предположим, что т<т, возьмем такое число т]>0, чтобы
было т + т]<т, и рассмотрим геодезические rv+ri], соединяю-
щие pv с </v = c„v(tv + t]). По определению s н tv, cVy/ — не крат-
чайшие. Так как М полно, существует, согласно разд. 5.3, крат-
чайшая геодезическая c»v|[o, p(pv, 9v)]> соединяющая с qv, где
vvezl\M, vv vv. На кратчайшей геодезической с0|[о. т] нет со-
пряженных точек в [0, т), поэтому лХехр диффеоморфно отобра-
жает некоторую окрестность луча {/и: при т + т)<£<т
в М X М (см. замечание (i) и лемму 2 разд. 2.8). Отсюда видно,
что не существует подпоследовательности векторов 5V, сходящейся
к v, так как в этом случае из точки pv (при достаточно боль-
шом v) исходили бы два луча пространства МРч, лежащие в по-
строенной выше окрестности, концы же этих лучей имели бы один
и тот же образ при отображении ехр. Можно, следовательно,
считать, что векторы vv сходятся к некоторому вектору 5 =/= и,
ve^Mp. При этом lim р (pv, qv) = р (р, с (т + ц)) = т + т), так как
V->oo
с |[о, т+п] —Кратчайшая, и существует еще одна кратчайшая cg|[o, г-щ)
с теми же концами, что невозможно ввиду т + т]<т = s(u).
Пусть теперь т>т. Возьмем такое число т]>0, чтобы было
т>т + т], и рассмотрим геодезические |fo, т+тй. Все они —крат-
чайшие, и вследствие непрерывности р геодезическая cD|[o, r+rfl
также должна быть кратчайшей, что противоречит определению
числа r = s(u).
188
$ 5. Римановы многообразия как метрические пространства
Следствие
Утв. Отображение d\ Af-*R, ставящее в соответствие каждой
точке р е М радиус инъективности в этой точке, непрерывно.
Док. В самом деле, dp = inf{s(v): v е Мр П Т] АД; в силу непрерыв-
ности s(v), замечания о пересечении кратчайших (сгр. 187), леммы
разд. 5.3 и так как Т\М локально имеет структуру произведения,
остается сослаться на следующую общую теорему: если N2—
хаусдорфовы пространства со счетной базой, причем N2 компактно,
и f: Af j X N2 -» R — непрерывная функция, то функция р -> inf f (р, q)
q^N2
непрерывна на
Отметим, что радиус инъективности dp есть не что иное, как
расстояние р (р, С (р)) от точки р до соответствующего этой точке
множества раздела С (р) а М, т. е. dp = inf р(р, q). Если М
Ч^С(р)
компактно и р е М, то непрерывная функция р->р(р, q) ограни-
чена на М. Следовательно, ограничена и s|sn-i, где 5п-1 = Л1рГ| Т\М.
Тем самым множество раздела Ср а Мр оказывается компактным
топологическим подмногообразием Мр, а отображение v->s(v)v —
гомеоморфизмом S"-1 на Ср. Ясно, что Ср ограничивает компакт-
ную звездообразную окрестность W = {fv: v^Sn~\ 0</<s(v)}
точки 0 в Мр, гомеоморфную «-мерному шару Dn = {v: v е Мр,
|| v 11^1}. Согласно разд. 5.3, ехрр сюръективно отображает W
на М, причем ехрр 1^^ есть дифференцируемое вложение, но
ехр |с не инъективно. Функция s: Sn~ -»R, вообще говоря, не
дифференцируема, так что Ср не является дифференцируемым
подмногообризием Мр (даже в случае, когда ехрр имеет макси-
мальный ранг везде на Ср, как можно показать на соответст-
вующем примере).
Из только что приведенных рассуждений, между прочим, сле-
дует, что любое «-мерное компактное дифференцируемое много-
образие можно получить из «-мерного шара с помощью надле-
жащего отождествления граничных точек.
Замечания
(i) Для р е М множество раздела Ср в Мр ограничивает макси-
мальную связную окрестность W \ Ср точки 0 в Мр, обладающую
тем свойством, что каждый луч, соединяющий 0 с u^W\Cp,
переходит при отображении ехрр в единственную кратчайшую
геодезическую М, соединяющую р с ехр и.
5.4. Множество раздела риманова многообразия
189
Образ каждого исходящего из 0 луча в Мр, пересекающий Ср,
встречается в некоторой точке после Ср с более короткой исхо-
дящей из р геодезической, как это видно из теоремы Хопфа —
Ринова. Этим объясняется термин „множество раздела", приме-
няемый к Ср и С (р).
Первое сопряженное множество ехрр в Мр (см. замечание (v)
разд. 4.3) характеризуется более слабым условием: каждый ис-
ходящий из 0 луч ф с: Мр, не пересекающий первого сопряжен-
ного множества, переходит при отображении ехрр в геодезическую
ехр ° ф, которая короче всех достаточно близких к ней кусочно диф-
ференцируемых путей с теми же концами р, ехр и. Луч ф пере-
секает Ср не раньше, чем первое сопряженное множество ехрр.
Как видно на примерах, первое сопряженное множество может
совпадать с Ср; каждое из этих множеств может оказаться пустым.
Можно показать, что на любом компактном дифференцируемом
многообразии М, не гомеоморфном S2, можно ввести такую ри-
манову структуру, что для некоторой точки р множество раз-
дела Ср и сопряженное множество ехрр в Мр не имеют общих
точек; это значит, что экспоненциальное отображение ехрр имеет
везде на Ср максимальный ранг (см. Weinstein A., The cut locus
and conjugate locus of a Riemannian manifold, Thesis, University
of California (1966), Berkeley). Если же M гомеоморфно S1, то
по одной теореме Мейерса, для любого ре М множество раздела
содержит по крайней мере одну критическую точку ехрр. Даль-
нейшее изучение сопряженных множеств, в частности глобальные
результаты, можно найти, например, в работах: Warner F. W.,
The conjugate locus of a Riemannian Manifold, Am. J. Math., 87
(1965), 575 — 604 и Warner F. W., Conjugate loci of constant order,
Ann. of Math., 86 (1967), 192-212.
Если M компактно, то структура множества раздела CpczMp
известна в том смысле, что Ср всегда гомеоморфно Sn и огра-
ничивает звездообразную окрестность точки 0 в Мр, как было
указано выше. О множестве раздела С(р) = ехр (Ср) cz М известно
очень мало (см. замечание (iii)). При dimM = 2 удалось выяснить
локальное строение С(р), а именно С(р) является одномерным
полиэдром, т. е. линейным графом (см. Mayers S., Connections
between differential geometry and topology I, Duke Math. J., 1
(1935), 376-391).
(ii) Покажем, что peC(p) в точности в том случае, когда
р еС (р). Для этого рассмотрим кратчайшую нормальную геоде-
зическую с: [0, р] —► А4 с началом р и концом q. Если 0 — не со-
пряженная точка с, то существует отличная от с нормальная
геодезическая с той же длины, с тем же началом и концом (см.
190
£ 5. Римановы многообразия как метрические пространства
доказательство леммы). Если же 0 — сопряженная точка с, то
утверждение следует из замечания (iv) разд. 4.3 и замечания (i)
этого раздела.
(iii) Покажите, что множество раздела C(p)c=Af в случае ком-
пактного М есть строгий деформационный ретракт множества
М, = М \ (р}, т. е. существует непрерывное отображение Н: М*Х
X I-+M, (7 = [0, 1), такое, что H(q, 0) = р, Н (q, 1) еС(р) для всех
q е М, и Н (q, t) = q для всех q еС (р), t <^1. При этой ретрак-
ции М, стягивается в С(р) по исходящим из р геодезическим.
В частности, Af, и С (р) гомотопически эквивалентны (см. разд. 7.6).
(iv) Пусть Af —связное риманово многообразие (не обязательно
полное) с функцией расстояния р. Построим функцию a: Af—>1R
следующим образом. При р^ М значение а(р) есть точная верхняя
граница всех таких чисел е>0, для которых открытый шар UR
радиуса е с центром в 0 е Afp принадлежит области определе-
ния ехрр. Покажем, что а (р) непрерывна.
Достаточно проверить, что при р е Af и q Ва(р)(р) выпол-
нено неравенство a(q)^a(p) — р(р, q). Непрерывность а получается
после этого так же, как непрерывность радиуса выпуклости
в разд. 5.2. Пусть U6 — открытый шар радиуса S в Мр с центром
в 0. Область определения ехр? открыта; поэтому множество А
тех чисел S, для которых ехр? определено на U6, есть непустой
открытый интервал с началом 0. Остается показать, что А замк-
нуто в (0, а (р) — р (р, q)). Пусть для некоторого д<= (0, а (р) — р (р, р))
отображение ехр? определено на и&. Тогда прежде всего В4(р)
принадлежит шару радиуса р (р, q) + S< а (р) с центром в р, за-
мыкание которого по лемме из разд. 5.3 компактно; значит, н
Вв(р) компактно. Рассмотрим для v Мр, || v || = 1 луч
Если /v—>d, /v<6, то exp(fvo) есть последовательность Коши
в Вв(р), сходящаяся в Af, так как B&(q) компактно. Далее, как
в доказательстве теоремы Хопфа — Ринова, показываем, что макси-
мальный интегральный путь Фо геодезической струи, для кото-
рого Ф„ (0) = 0, определен в точке S, а тем самым ехр? определено
в точке So. Итак, непрерывность а(р) доказана. Если inf а(р)>0,
рем
то Af полно, и а (р) = °о для всех р£ Af. Если Af не полно, то
и в этом случае можно определить функцию s: T^Af—>R, но s
уже не обязательно непрерывна. Покажите, что отображение
Af—>R, ставящее в соответствие точке р ее радиус инъектив-
ности dp, непрерывно для любого Af.
ЛИТЕРАТУРА К § 5
Бишоп Р. и Криттенден Р., Геометрия многообразий, М., 1967.
Kobayashi S. and Nomizu К., Foundations of differential geometry, 1, Inter-
science Publishers (1963), New York —London.
§ 6. Теоремы сравнения
6.1. Теорема сравнения индексов
В дальнейшем в центре нашего внимания будут находиться
связи между кривизной и топологическими свойствами полных
римановых многообразий. Во всех применявшихся до сих пор
подходах к этой проблеме решающим шагом была ее релятиви-
зация, а именно, пользуясь соотношениями между кривизнами,
сравнивают соответствующие дифференциально-геометрические
или топологические свойства двух римановых многообразий,
а затем, выбирая в качестве одного из них стандартное простг
ранство, например одну из моделей пространства постоянной
кривизны, применяют различные конструкции в этих хорошо изу-
ченных пространствах.
Полученные таким образом результаты естественно называть
теоремами сравнения, они приобрели самостоятельное значение
в римановой геометрии. В этом параграфе излагаются некоторые
важные теоремы сравнения. В их доказательствах существенную
роль играет теория краевых задач и теоремы сравнения для полей
Якоби, обобщающие классическую теорию Штурма — Лиувилля
для обыкновенного линейного дифференциального уравнения вто-
рого порядка.
В этом параграфе везде рассматриваются римановы много-
образия одной и той же размерности п^2 с .линейной связ-
ностью Леви-Чивита.
Пусть М — риманово многообразие, с: 7—> М — нормальная гео-
дезическая. Обозначим через Gc,t, fe J, множество всех двумерных
линейных подпространств для которых с(/)ео; поло-
жим С — (J GC't. Пусть теперь М, М —римановы многообразия
t^j
равной размерности п; с: [0, 0] —> М; с: [0, 0]—> М — нормальные
геодезические; i: Мс(0)—> Mam — линейное изометрическое отобра-
жение, причем ic(0) = c(0). Построим для всех / <= [0, 0] отобра-
жение
Фц t’ Mg(ty (1)
следующим образом: вектор и^Мст параллельно переносится
вдоль с в точку МС(о), затем отображается с помощью i в Mc(oj
192
$ 6. Теоремы сравнения
и, наконец, параллельно переносится вдоль с в точку с(/). Тогда
при любом t^J отображение Фь/ есть линейная изометрия. По-
строение Фь/ по заданному i можно изобразить в виде коммута-
тивной диаграммы, где значок || означает параллельное пере-
несение:
Л4с(о)-^* Мса,
il К,
i t.
Me (0) -jj-> Me Щ
Теорема
Усл. M, M — римановы многообразия равной размерности п\
с: [0. ₽]-» Л4; с: [0, р] М — нормальные геодезические.
Кривизна М вдоль с не больше кривизны М вдоль с, т. е.
существует такая линейная изометрия i: Л4С(0) = Л4г(0), что
для всех /е[0, р], cs^GCtt выполнено неравенство
Ко^Кь, (2)
где 5 = Фц t (о) с= Ge, t.
Утв. Для индексов (квазииндексов) с и с справедливы неравенства
Ind с Ind с, Indoc^Indoc. (3)
Док. Рассмотрим векторные R-пространства ортогональ-
ных к с, с кусочно гладких векторных полей вдоль с, с. Тогда
формула (ФХ); = Ф?Хг (Хе 2%), где мы для краткости опустили
индекс I, задает отображение
Ф: 33'->23'-, (4)
причем Ф переводит дифференцируемые векторные поля вдоль с
в дифференцируемые векторные поля вдоль с. Чтобы убедиться
в этом, достаточно построить вдоль с (с) параллельные векторные
поля /Д/ДХДО), для которых Zj(0) = Vi образуют ортонормиро-
ванный базис Мс (0), Z/(0) = ui образуют ортонормированный базис
п
Mg(o) и Wi = vh где i = 1...п. Тогда из разложения Х = 2 фгХ/,
i’l
Фг = {X, Zi), следует
ФХ = 2 Ф%- (5)
t=i
Ясно также, что Ф есть изоморфизм векторных пространств 23£
и при этом равенство (X, У) = (ФХ, ФУ) выполняется для
всех X, У G 23£. Далее, из (5) имеем
Ф (X') = (ФХ)'. (6)
6.2. Теорема сравнения Морса — Шенберга
193
Покажем, что индексные формы удовлетворяют неравенству
ЦХ, Х)>/(ФХ, ФХ), Хе S3'. (7)
В самом деле, обозначая через R, R тензоры кривизны М, М,
имеем при X (t) = О
(R (X, с) с, X) |f = (R (ФХ, ё) ё, ФХ) I, = 0.
Если же X (/) =# 0, то в силу (16) разд. 3.6 имеем
(Я (X, с) с, X) |г = Х (X, с) (X, X) |, С R (ФХ, ё) {ФХ, ФХ) |г =
= (R (ФХ, ё) ё, ФХ) |г.
Но тогда, согласно (6), получаем
8
I (X, X) = J «Г, X') - (R (X, с) с, X)) b dt >
о
3
> J «(ФХ)', (ФХ)') - (R (ФХ, ё) ё, ФХ)) \tdt = I (ФХ, ФХ). (8)
о
Рассмотрим теперь подпространство векторных полей Хе53с>
для которых X (0) = X (р) = 0, и соответствующее подпространство
53" <= 53г. Тогда Ф53" и Ф |53" есть изоморфизм. Пусть Ас=53" —
подпространство максимальной размерности, на котором индекс-
ная форма I отрицательно (соответственно неположительно) опре-
делена. Тогда Ф(А)е53г — подпространство той же размерности,
что А, и в силу (7) форма I отрицательно (неположительно) опре-
делена на Ф(А), что и доказывает неравенства (3).
Теорему можно формулировать также следующим образом:
если кривизна М вдоль с не больше кривизны М вдоль с, то
(см. теорему об индексе в разд. 4.6) число сопряженных точек
вдоль с, считая каждую с ее кратностью, не больше соответст-
вующего числа для с. В частности, первая сопряженная точка
на с появляется не раньше, чем на ё.
6.2. Теорема сравнения Морса — Шенберга
Применяя соображения, изложенные в разд. 6.1, к случаю,
когда второе из многообразий М, М — сфера, приходим к следую-
щей теореме.
Теорема (М. Морс, И. Шенберг)
Усл. М — риманово многообразие размерности п; с: [0, [3] —> М —
нормальная геодезическая.
194
§ 6. Теоремы сравнения
Утв.
(а)
Если Ка
А(А>0) для всех а Gc и L(c)<(y+l)
л
ТТ’
соответственно
L(c)^+-1}^,
где v
О — целое число,
то Indc^Indoc^v(ra—1), соответственно
Ind с v (п — 1);
если Мс)<-р^>
то на с нет сопряженных точек.
(а7) Если для всех а е Gc выполняется Ка^О, то на с нет
сопряженных точек, Ind с = Ind0 с = О.
(Ъ) Если Кя J>x>0 для всех о е Gс и L (с)~^
vn
V*'
соответ-
ственно L(c)>—f=, где v^l — целое число, то Indoc^
V к.
^v(ra—1), соответственно Indoc^ Indc^v(ra — 1), причем
на с существует по крайней мере одна сопряженная точка
в интервале (0, р], соответственно в (0, р).
Док. Согласно замечанию (i) разд. 4.6, для нормальной геоде-
зической с: [0, р]—> Sp имеем
Indc = v(ra—1) при vnp<p^(v + I)яр,
Indoc = v(ra—1) при тяр =^Р< (v + 1) яр,
где v 0 — целое число.
Для доказательства (а) рассмотрим S”i с постоянной кривиз-
ной, равной А (см. разд. 3.6).
Если с: [0, р] -> Sj_ — нормальная геодезическая, то Indoc^
тТ
^v(ra—1), соответственно Ind с (га — 1),
при p<(v + 1) -£=,
соответственно P^(v+ 1) и утверждение (а) следует из тео-
у Л,
ремы разд. 6.1.
Утверждение (а') непосредственно вытекает из (а), так как
в этом случае можно взять А>0 сколь угодно малым.
Для доказательства (Ь) рассмотрим сферу Sn i постоянной
/й
кривизны х. Если с: [0, p]-»Sni —нормальная геодезическая, то
Indoc^v(/i — 1), соответственно Indc^v(/z— 1),
п л
при p>v-^,
Ух
соответственно p>v , и утверждение снова получается из
Г К
теоремы разд. 6.1, в которой надо поменять местами М, М.
Пусть с: [0, р]—> Л! — нормальная геодезическая и при всех
asG(, Если на с есть сопряженные точки
6.2. Теорема сравнения Морса — Шенберга
195
(это верно при L(c)^-pLj, то, обозначая через е (0, 0J пер-
вую сопряженную точку с, получаем из (а) и (Ь):
значит, что если кривизна М вдоль с не меньше (не больше),
у сферы S" постоянной кривизны то первая сопряжен-
точка на с появляется не позже (не раньше), чем на нормаль-
геодезической Sp. Ясно, что неравенства предыдущей теоремы
Это
чем
ная
н°й
в общем случае не могут быть усилены.
Замечания
(i) Пусть М — риманово многообразие размерности п; с: [0, 0]->
-> М — нормальная геодезическая. Обозначим через г (t) (t е [0, 0])
кривизну Риччи многообразия М в точке c(t) в направлении еди-
ничного вектора c(t) (см. разд. 3.6). Тогда, как заметил Мейерс,
можно доказать следующее предложение, аналогичное утвержде-
нию (Ь) теоремы Морса — Шенберга:
если г (/)i (п — 1) х > 0 для всех t е [0, 0], то при L (с) v ——
V у.
(v^l— целое число) имеет место неравенство Indoc^v, а при
L(c)>v— неравенство Indoc^Indc^v. В силу замечания (iii)
V у
разд. 4.4 и теоремы об индексе достаточно показать, что если
/2е= [0, 0], t,<t2 и =
V у.
то с |pi содержит по крайней
мере одну сопряженную точку. Поэтому можно ограничиться слу-
чаем 0 = -7=-. Согласно теореме из разд. 4.5, достаточно прове-
Ук
рить, что индексная форма 1 не положительно определена на век-
торном пространстве 23".
Построим ортонормированные поля Zb ..., Zn-i^.%>c и опре-
делим поля Xi е 23" по формуле Xt (/) = sin f/x Zt(t) (1 1).
Тогда получаем
п—1 п—1 р
^/(Х;, Х() = 2 j (и cos21 Ук — sin21 )/х(7? (Zh с) с, Z^)Qdt =
i=l i=l О
0
= j ((n — 1)х cos21 У к — rt sin21 У к) dt
о
0 З
^(n — 1) х [ (cos21 У~й — sin21 y%)dt = (n — l)x j" cos 2f yUdt = 0.
о 0
Следовательно, для некоторого i должно быть I (Xi, Хг)^0.
196
S 6. Теоремы сравнения
6.3. Теорема сравнения Рауха
Опираясь на соотношения между кривизнами, можно сравни-
вать поля Якоби по их длине.
Теорема (Г. Е. Раух)
Усл. М, М — римановы многообразия равной размерности',
с: [О, Р]—* М, с: [0, р] —> М — нормальные геодезические; Y,
Y — поля Якоби вдоль с, с, удовлетворяющие условиям
У$) = Ъ, ?(0) = 0, <Г, с)1о = <Г, £>lo = O, ||Г(0)|| = ||Г(0)||.
с не имеет сопряженных точек в (0, 0).
Утв. Если кривизна М вдоль с не больше кривизны М вдоль с,
т. е. Кв Кв для всех о s GCi /, о s Gg, t (t [0, р]), то
II у (О \\> IIУ (0 II (/е[0, р]). (1)
Эта теорема содержится в работе Rauch Н. F., A contribution to
Riemannian geometry in the large, Ann. of Math., 54 (1951), 38 — 55.
В случае dim M = 2 теорема Рауха сводится к классической тео-
реме сравнения Штурма для обыкновенных дифференциальных
уравнений второго порядка (см. замечание (iii) разд. 4.2). Заме-
тим, что неравенство (1) после первой сопряженной точки с
может нарушиться.
Следствие
Усл. М, М — как в теореме; реМ; реМ; i: Мр Мр — линей-
ная изометрия. Векторы иеМр, tueMp принадлежат
области определенияехрр, соответственно ехрр. Лучи <р: [0, р]->
Мр, ф: [0, р] —> Мр (р = [| и ||) заданы формулами ф (/) =
= tu/p, <p(t) = up(t); нормальные геодезические — формулами
с = ехрр ° ф, с = ехрр ° <р.
Утв. Если с не имеет сопряженных точек в (0, р), т. е. в образе
луча ф только ф(р) может быть критической точкой ехрр,
и если Кв для всех о е GCtt, бе Ggt t, te [0, р], то
для всех b е (Мр)и выполняется неравенство
|| expp*ft || > || expp*i»Z> ||. (2)
Док. Предположим, как обычно, что на Мр, Мр введена кано-
ническая метрика.
Если и = 0 и, таким образом, b е (Мр)0, то ехрр*Ь = № (Ь) и
ехрр*1»Ь = Io'i*b, откуда || ехр₽*& || = || & II = || exp^»i»& ||. Пусть теперь
«АОи b е (Мр)и. Согласно лемме Гаусса (см. разд. 4.4), доста-
точно рассмотреть случай, когда <ф, 1ии) = 0. Построим поля
6.3. Теорема сравнения Рауха
197
Якоби Y, Y вдоль с, с, удовлетворяющие условиям У(0) = 0,
Г(0) = /-1(|), У(0) = 0, Г(0) = /-‘ (ч|). В силу (1) разд. 4.3
для t е [0, р] имеем
У(0 = ехрр,(/У (0 = ехрр* (м, (3)
причем (У', с} |0 = О, (У, с)|о = О. Так как с не имеет сопряжен-
ных точек на (0, р), (2) получается из (1) и (3) при / = р.
Прежде чем перейти к доказательству теоремы, приведем важ-
ное геометрическое приложение. Пусть М, М — римановы много-
образия равной размерности; реЛ4; р^М; i: Мр-^-Мр — линей-
ная изометрия. Рассмотрим на компактном интервале такой
кусочно дифференцируемый путь ф: 7—>МР, что образы ф и i °ф = ф
принадлежат, соответственно, областям определения ехрр, ехрр.
Пусть ехрр имеет максимальный ранг на звездообразном множе-
стве {/ф (s): (е[0, 1), $ е /}. Тогда выполняется неравенство
L (ехрр ° ф) > L (ехрр ° ф), (4)
если Ke^Ks для всех д е Ggs, t, t е [0, ps], sgJ, где
cs, cs: [0, ps]—>M, M — нормальные геодезические, заданные фор-
мулами cs(t) = ехрр (t , cs = exp^ . В самом деле,
достаточно доказать (4) для дифференцируемого пути ф. По опре-
делению длины пути надо показать, что||ехрр °ф(х) ||^|| ехрр ° 1ф($) ||,
а это равносильно неравенству
|| ехрр* ° ф ($) || > || ехрр* ° ф ($) || (s Е /),
и поэтому следует из (2). Меняя местами М и М, получаем
L (ехрр ° ф) L (ехрр ° ф), если (5)
для тех же а, а, что и в (4).
Неравенства (4), (5) выражают геометрический смысл теоремы
Рауха: если отождествить Мр с Мр при помощи линейной изо-
метрии, то один и тот же путь в Мр переходит при отображе-
нии ехрр в более длинный путь на том из многообразий, кривизна
которого меньше. Как это видно на примере сфер разных радиу-
сов, такое соотношение может нарушиться вне некоторой окрест-
ности р.
Доказательство теоремы. Согласно разд. 4.2, имеем (У, с) =
= (У, с) = 0. Если У = 0, то вследствие условия || У'(0) || = ]| У'(0) ||
имеем У = 0, и утверждение теоремы становится очевидным.
198
£ 6. Теоремы сравнения
Итак, пусть Y — ненулевое поле. Зафиксируем t0 е (0, р) и
построим параллельные поля X, X вдоль с, с, удовлетворяющие
условиям X (/0) = Y (tQ), X (t0) = Y (t0). Поскольку t0 не является
Рис. 2.
сопряженной точкой с по условию, а по теореме Морса — Шен-
берга—также и сопряженной точкой с, то Y (t0) =4= О, Y (t0) =4= 0.
Тогда существует такая линейная изометрия i: Мс (0) —> Мг (0), для
которой ic(0) = c(0) и i ( X —) =—. Как и в разд. 6.1,
н \ IIX (0)11/ ||Х (0)11 Е
изометрия i определяет изоморфизм векторных пространств
Ф: S3'—>53'. Далее, построим, как и в разд. 4.3, поле Якоби Z
вдоль с, удовлетворяющее условиям Z(0) = 0, Z (f0) = (ФУ),. По
построению i поля Y (t0), Z(t0) линейно зависимы, следовательно,
поля У, Z линейно зависимы (над R), откуда
Z- Y, Z'=<^Y'
(Г. r)|’;
и тем самым
<z, Z')i/o<y, y>i,o = <z, Z)i/o<y, У')|/о.
Так как (Z, Z) |,о = (ФУ, ФУ) |,о = (У, У) |,°, получаем
(Z, Z')|,<y, У)|,„ = (У, У) |„<У, Y')\t. (6)
С другой стороны, как мы покажем, выполняется неравенство
(У, y')|/o^(Z, Z')\t, (7)
Действительно, для с0 = с |[0 <о], с0 = с |[0 имеем вследствие (7)
разд. 6.1
<>, >"н.=/(а.у и>'(фг t
а из (5) разд. 4.5
'(ФЧ' zW = <z.
6.3. Теорема сравнения Рауха
199
поскольку на с0 нет сопряженных точек. Так как /5е(0, р) произ-
вольно, то, сравнивая (6) и (7), получаем
о>Л| >о
(Г. г> \,
/у у\
для t е (0, р]. Поэтому отношение не убывает в (0, р).
лее, дважды применив правило Лопиталя, найдем предел
lim ILZlk = Jim <у- У")Ь + (У'. m = П'(0) II2
<->о (У, у) |z (У, у") I, + (Г, у') I, II У' (0) IF ’
(8)
Да-
откуда, сопоставляя с (8), имеем
(У, У) b IIу (ОН2
непрерывны в [0, 0], из (9) следует утверждение
(9)
Так как У, У
теоремы.
Замечания
(i) Докажите с помощью (2) следующую теорему. Пусть М, М —
римановы многообразия равной размерности и одинаковой по-
стоянной римановой кривизны; тогда М, М локально изометричны,
т. е. для любых точек р е М, р М существует изометрия
f: 7 -* 7, где V, V — некоторые окрестности р, р в М, М. Для
доказательства постройте линейную изометрию i: Мр —> Мр и по-
ложите f = ехр- ° i ° ехр~* | , где окрестность V достаточно мала.
Заметим, что при тех же условиях, вообще говоря, не существует
глобальной изометрии М и М, даже если оба многообразия полны;
это видно на примере М — R", М = Тп, где Тп — n-мерный тор,
метрика которого индуцируется стандартной метрикой S1 (см. по
этому поводу § 7).
(ii) Рассмотрим в этой связи еще раз риманово многообразие М
с параллельным тензором кривизны /?, т. е. для которого V/? = 0,
и покажем, что М локально симметрично (см. замечание (vii)
разд. 3.6).
Пусть р^М и i: Мр—>Мр — изометрия вида iv = — и. Для
достаточно малого е>0 изометрия ip = ехрр ° i ° ехр~! ( > есть, как
мы покажем, изометрия открытого шара Ве(р) на себя. В самом
деле, из леммы разд. 4.3 следует, что для каждой нормальной
геодезической с: (— е, е)—> М, с(0) = р, вместе с полем Якоби У
вдоль с поле 1Р*У также является полем Якоби вдоль с, если
У(0) = 0. Отсюда y_z = (ip,y)z (1е(-е, к)), и из замечания (v)
разд. 4.2 вытекает изометричность (ip*)g при всех q<^B..(p), по-
скольку при условии V/? = 0 поля Якоби явно выражаются через
параллельные поля вдоль с. Если М полно и односвязно, то,
200
§ б. Теоремы сравнения
объединяя предыдущие рассуждения с простыми топологическими
соображениями (см. замечание (v) разд. 1.7), приходим к клас-
сической теореме Э. Картана, согласно которой для такого много-
образия из локальной симметричности вытекает глобальная (см.
замечание (vi) разд. 3.6, а также замечание (iii) разд. 7.3).
6.4. Теорема Топоногова о сравнении углов
На теореме сравнения Рауха основан очень сильный глобаль?
ный результат об углах треугольника в полном римановом много-
образии. Напомним сначала замечание (iii) разд. 3.6. Как там
было отмечено, избыток достаточно малого геодезического тре-
угольника на М по существу определяется римановой кривизной М.
Оказывается, что этот результат в известном смысле может быть
распространен на треугольники любых размеров, а также уточнен:
вместо суммы углов треуголь-
ника можно оценить каждый угол
в отдельности.
Пусть М — связное риманово
многообразие с функцией рас-
стояния р, для краткости рас-
стояние р (р, q) между точками р,
q М мы_будем обозначать так-
же через pq.
Рассмотрим попарно различ-
ные точки pt е М (/ = 0,1, 2)
и кратчайшие геодезические
с0: [0, 1] —>М с началом р, и кон-
цом р2; ср [0, 1]—>Л4 с началом р2
и концом р0; с2: [0, 1]->Мс нача-
лом ра и концом Р|. Для краткости
мы будем записывать концы
ср [0, 1 ]->М в виде c<(0) = pf+I,
юдятся по модулю три, тогда
(с0, С|, с2) называется треугольни-
ком в М со сторонами ch вершинами р{ и углами = л — (cf+i (1),
С{_ 1 (0)) е [0, л] при вершинах р{ (рис. 3). Таким образом, yz суть
углы, дополнительные к углам пересечения сторон в соответ-
ствующих вершинах ph
Очевидно, выполнено неравенство треугольника
£(cf)4-£(cf+1)>£(c/+2). (1)
Если в (1) имеет место равенство, то Уг+2 = л- В самом деле, при
композиция путей с{, cf+, не может быть кратчайшим
путем, соединяющим pl+i с р{. Заметим, что в случае У;+2 = л;
углы ур у,+1 могут быть отличны от нуля, как это, например,
видно в случае треугольника Д на Sp, у которого ci+2 —полуме-
0(l) = Pf+2, где индексы п|
L(ci) = p(pi.,, р{.,). Тройка Д
6.4. Теорема Топоногова о сравнении углов
201
ридиан. Далее, yj+2 = л не обязательно влечет за собой равенство
в (1) (соответствующие примеры легко построить на сфере или
на цилиндре). Композиция с0, с2 — кусочно дифференцируемый
замкнутый путь в М; если при этом у\+2=^0, то композиция
путей ct, cl+i — инъективный путь. Если же yf+2 = 0, то либо yf+i = 0,
у\ = зт, либо у{+| = л, у, = 0, и все вершины треугольника Л рас-
положены на образе самой длинной его стороны.
Если М полно, то для любых трех попарно различных точек ра,
Рх, р2 существует треугольник Д с вершинами в этих точках.
Может существовать много различных треугольников с заданными
вершинами; например, на Sp можно в качестве двух из вершин
взять северный и южный полюсы. Поэтому в ряде случаев для
задания треугольника приходится указывать не только его вер-
шины, но и стороны.
В следующей теореме углы треугольника в полном римановом
многообразии неотрицательной кривизны сравниваются с углами
треугольника на сфере или в евклидовом пространстве с теми же
длинами сторон.
Теорема (В. А. Топоногов)
Усл. М — полное риманово многообразие размерности п^2;
AaJ>xJ>0 для всех касательных к М двумерных плоско-
стей Д = (с0, с,, с2) — треугольник в М с углами у0, уь у2.
Утв. Если х>0 (х^О), то существует треугольник Д =(с0, с2)
в М = Sn \ {соответственно в Af = Rre) с углами у0, у,, у2,
Vn
для которого
lAc^Lici), (2)
Для случая, когда М — двумерное риманово многообразие,
гомеоморфное S2, эта теорема была впервые доказана А. Д. Алек-
сандровым (Александров А. Д., Внутренняя геометрия выпуклых
поверхностей, 1948). В общем случае теорема была доказана
В. А. Топоноговым {Свойство выпуклости римановых пространств
положительной кривизны, ДАН СССР, 115, № 4 (1957); Римановы
пространства кривизны, ограниченной снизу положительным чи-
слом, ДАН СССР, 120, № 4 (1958); Римановы пространства кри-
визны,' ограниченной снизу, УМН, XIV, № 1 (85), 1959). См. также
Berger М., An extension of Rauch’s metric comparison theorem
and some applications, Illinois J. of Math., 6 (1962), 700 — 712.
Первоначальное доказательство Топоногова, некоторые идеи ко-
торого исходят от А. Д. Александрова, в существенном месте
(в нашем изложении пункт (Ь)) наталкивается на трудность, ко-
торая обходится ценой серьезного усложнения исходной конструк-
202
§ 6. Теоремы сравнения
। ии. Мы следуем методу Топоногова, с некоторыми видоизмене-
ниями, позволяющими сократить доказательство.
Прежде чем перейти к доказательству теоремы, сделаем к ней
некоторые замечания и отметим простейшие следствия. Ясно, что
треугольник Д принадлежит двумерному вполне геодезическому
подмногообразию N с М, изометрически диффеоморфному S2 ।
Ук _
(соответственно R2), так как все кратчайшие в Л' являются также
кратчайшими в М (см. замечание (iii) разд. 5.1). Поэтому можно
было бы равносильным образом формулировать теорему, считая Д
треугольником в S2 । (соответственно в R2). Пусть х>0. В силу (2)
У и
имеем 0 < L (сг)^ —~. Согласно теореме косинусов сферической
У к _
тригонометрии, углы at = L (Cj) связаны с у£ соотношением
cos аг — cos ai+t cos а^2 4- sin ai+i sin al+2 cos уг. (4)
2л
Покажем прежде всего, что L (ct) 4- L (c(+i) + L (ci+2) -7=-. В самом
У к
деле, если £(ё()<—Д=- (г = 0, 1,2) и по крайней мере один из
У к
углов у£ < л, то мы построим в S2 । треугольник строго большего
/х
периметра, чем Д, одна из сторон которого имеет длину —7=-.
Ух
А именно, предполагая, что уг<л, „продолжим*4 с1+, за вер-
шину рг до точки р'{ так, чтобы было р (р1+2, р'^ — ~т=-, и рассмо-
Г X
трим на S2 , треугольник с вершинами p'it pi+l, pt+2. Так как
для этого треугольника L (сг+1) = —?=•, то из (4) следует cos at =
у X
= —cosat+2, откуда L (с{) 4- L (сг+2) = —?=г> и мы получаем требуе-
У х
мую оценку для периметра Д. Остается рассмотреть случай,
когда у0 = у, = у2 = л. В этом случае композиция с0, ch с2 совме-
щена с большим кругом S2 । , т. е. периодической геодезической
/х
2л
длины —=.
У х
В силу (2) и (3) получаем оценку периметра треугольника в М:
Ш) + Ш)4-£(с2)^-^. (5)
V х
6.4. Теорема Топоногова о сравнении углов
203
Из предыдущего рассуждения видно, что равенство в (5) до-
стигается лишь в двух случаях: (а) для одной из сторон сг вы-
полняется L(c() = —и тогда у£ = л (в этом случае Д есть „гео-
У х
дезический двуугольник", составленный из двух кратчайших рав-
ной длины (Ь) имеет место равенство у0 = Yi — Y2 = в этом
У х /
2эт
случае Д совмещен с периодической геодезической длины
В силу (5) для любых точек р, q, г М имеем
9тт
Р (р, <?) + Р (7- r) + Р (г, р) < -?=• ‘
V х
Из (2), (3) и (4) следует
cos аг cos al+l cos ai+2 + sin a«+i sin ai+i cos Yz,
(6)
(7)
где at = yv. L(Ci)=yu L{c^. Из (7) видно, в частности, что
если Л(Сг+2)>-^ и то
2 И х 2 Г х 2 2 У х
(8)
если L(ci + I)^^=-, L(ci+2)^-y= и Yz^j, то L(C/)<-^=.
& у Л у /С Z £ у si
Пусть х^О. Положим 6г = L (с{) = L (сг). По теореме косинусов
прямолинейной тригонометрии b2 = 6z+i + b2+2 — 261+16г+2cos Yz
и из (3) следует
^<6Li-l-6i+2-2&<+i6i+2cosYf. (9)
Лемма 1
Усл. М — риманово многообразие’, А — компактное подмножество М;
е>0 выбрано таким образом, что для каждой точки q А
замкнутый шар Uq,eczMq с центром в Q<^Mq радиуса е
принадлежит области определения ехр?.
Утв. Существует такое число -0>0, что для q е А, 6 е (0, е]
и любого кусочно дифференцируемого пути ф: [а, р]->(79, б
11(ехроф)-1(ф)Кб2ФЛ(ф). (10)
Неравенство (10) дает равномерную относительно q е А оценку
изменения длины путей Mq при отображении ехр?, если задано
их расстояние от 0g Мр.
Док. Пусть q^A, 5<=(0, е], u^Uq,6czMq, и^О, Y = ll«ll>
» = уи, ае(М9)и, || а ||=1 и w = ГУ (а) (следовательно, || w ||= 1).
Согласно (1) разд. 4.3, вдоль нормальной геодезической [0, у] ->М,
204
§ 6. Теоремы сравнения
заданной формулой Z->exp(/v), определено поле Якоби Yvw(f) =
= ехр?* (tltv (иу)), причем Yvw (0) = 0, Y'BW (0) = w и Yvw (у) = ехр9*(уа).
Из (1) разд. 4.2 сразу же следует, что D (Yum, Yvw) |0 =
= П3(ГШС,, 1о = О. Так как, далее, (Ybw, Y'ow) |о = || w ||2 = 1, то
по формуле Тейлора
(Y™, Yvw} |у = у2 + D4 (Yvw, Yvw) |ву,
где •& е (0, 1).
Так как
у2 <ехр?* а, ехр,?* а) = (Г^, Yvw) |у,
отсюда получается
|] ехр,?* а |р - 1 = D4 {Yvw, Yvw} |fly.
Отображение (v, w, /)->(Yvw, Yvw)[t непрерывно на ком-
пактном множестве
{(v, w, t) eTM X ТМ X [0, e], л (v) = л (ay) ge A, || v || = || w || = 1}
и принимает на нем наибольшее значение Ф (см. доказательство
теоремы из разд. 5.2).
Так как уе(0, 6), имеем
|||ехр9,а |р- 1 |<62$, 11|ехр,?*а ||- 1 |< ||exp^7||+ , <62fr.
Поэтому для любого Ье(Л49)и справедливо неравенство
11| ехр^ЬП —ПЫ| |< SWH, (Н)
в частности 11| ехр,?* ф ($) || — ]1 Ф ($) IIIС && IIФ ($) II для всех $ <= [а, 0],
откуда непосредственно следует (10).
Приведем два простых следствия из леммы 1.
'Пусть М — риманово многообразие с функцией расстояния р,
ре М и qv — последовательность точек М, сходящаяся к р. Если
векторы иу, щ, е M4v принадлежат области определения ехр и
сходятся в ТМ к 0еЛ1р, то, как мы покажем, существует
такая последовательность действительных чисел т]у, стремящаяся
к нулю, что
Р (ехр (иу), ехр (vv)) = | uv - vv|| + 52riv,
где (12)
6V= max (|| uv ||, || vv ||).
Обозначим через А объединение всех точек qv и точки р, оче-
видно, множество А компактно. Поэтому существует такое е>0,
что для каждого v отображения exp?v определено на замкнутом
6.4. Теорема Топоногова о сравнении углов
205
шаре UV,R cz Mq^ радиуса е с центром в 0 е Мч^ и диффеоморфно
отображает Uv, е на сильно выпуклый шар Bv, е с центром в qv
(см. разд. 5.2). Для достаточно больших v, очевидно, mv, Uv>e.
Пусть <pv — кратчайшая в Uv, &v, соединяющая ич с vv, cv — кратчай-
шая в Bv, ev, соединяющая ехр (ич) с ехр (vv), и tpv = (ехр |у . й у ° cv.
Так как A (<pv) А (ф\,), А(ехр ° <pv)^ А (ехр ° i|\), из (10) следует
| L (ехр ° фу) - L (<pv) | < 5^ А (фу). (13)
Наконец, lim L(cv) = 0, откуда lim Л (ipv) = 0, и из (13) получаем (12).
V->oo V->oo
Важным шагом к доказательству теоремы является следующая
лемма, представляющая и самостоятельный геометрический интерес.
Лемма 2
Усл. М — полное риманово многообразие с функцией расстояния р;
р, q, г — различные точки в М', Ь, с: [0, 1] —> М — кратчайшие
геодезические, соединяющие per, соответственно р с q,
причем г не принадлежит образу с, qv — последовательность
точек в образе с, сходящаяся к р, qy=^p', ач: [0, 1]->М —
кратчайшая геодезическая, соединяющая qv с г; а — угол
пересечения b с с в точке р; ^ч — угол пересечения av с с
в точке qv.
Утв. Последовательность сходится, и предел ci = lim £v удо-
у->оо
влетворяет неравенству а^а.
Док. Если доказать неравенство а^а в предположении, что
последовательность сходится, то отсюда будет следовать общий
случай леммы. В самом деле, для двух сходящихся подпоследова-
тельностей L/ —>а., g >а можно считать соответствующие крат-
k k
чайшие а', а « сходящимися к некоторым кратчайшим а', соот-
k k
ветственно а" (для этого, возможно, придется снова выбрать
из них подпоследовательности); а', а" соединяют р с г и образуют
в точке р углы аь а2 с геодезической с. Тогда, считая нера-
венство а доказанным для сходящихся последовательностей gv,
имеем а]^а2 и а2^й|, т. е. а, = а2, что и доказывает лемму
в общем случае.
Итак, можно считать, что сходятся. Далее, можно, очевидно,
предположить, что геодезические av сходятся к кратчайшей геоде-
зической б: [0, 1]—>М, соединяющей р с г, а углы а, а удовле-
творяют неравенствам 0 < а < л, 0 < а л; тогда при всех v выпол-
няются неравенства £у<л.
206
§ 6. Теоремы сравнения
Пусть для некоторого v имеет место pqx<pv<pr, тогда
существуют точки tv, sv, принадлежащие соответственно образам
b, av, для которых ptv = psv = pv (см. рис. 4а). ___ _____
В основе доказательства леммы лежит неравенство qvsv,
которое мы и выведем сначала. Из неравенства треугольника
получаем psv + svr^pr = ptv + tvr, откуда svr^tvr. С другой
стороны, имеем qvtv + tvr qvr = qvsv + svr, откуда tvr^svr +
+ qvsv — qvtv, так что svr tvr svr + qvsv — qvtv и, следовательно,
qvtv^ Qvsv Дальнейшие рассуждения относятся_к „малым" тре-
угольникам pqNt4, pqvsv. Если pv->0 так, что —>0 (т. е. оба
Pv
малых треугольника становятся „сколь угодно узкими"), то нера-
венство а>а несовместимо с только что выведенным неравенством
qvt4~^ qvsv, поскольку в малых треугольниках соотношения между
сторонами и углами почти такие же, как в прямолинейных.
Исходя из этой идеи, положим qNsv = rpqx, где т>0 —произ-
вольное фиксированное число. Выберем е>0, как при выводе (12),
таким образом, чтобы экспоненциальные отображения ехрр, exp<?v
диффеоморфно отображали шары Uecz Мр, UV:EczM4 радиуса е
с центрами 0еМр, на сильно выпуклые шары в М.
Тогда, при достаточно большом v, t/v, Е содержит треугольник
(0, uv, vv), для которого expPv (uv) = р, exp?v (vv) = sv. Из (12) и тео-
ремы косинусов прямолинейной тригонометрии имеем
= Wv + ~ 2Wv • cos (л - gv) + wX
где r|v—>0, откуда
pt2 = WvO + t2 + 2т cos + r]v), t]v —> 0. (14)
Аналогично, применяя (12) и теорему косинусов к треугольнику
(0, Uv, vv) в Uec.Mp, для которого exppuv = <7v, exppvv=/v,
получаем
Я Л = Pt2v + Wv “ 2P*v • Wv cos а + (max (ptv, pqv) )2 fj v,
где t)v->0. Так как ptv = psv^.pqv + qvsv = (l +t)pqv, отсюда
следует
qvt2 = Pt2 + Wv “ W?v cos a + pq2r](, t]( -> 0. (15)
г
р и с. 4<
208
$ б. Теоремы сравнения
Теперь используем неравенство qvtN^qNsv, из которого следует
?v^v^t2Wv- Учитывая (14), (15), имеем
<7 Л = W2 (1 + т2 + 2т cos + nv) +
+ p<7v“2P'7v V1 +T2 + 2TCOSgv + riv cosa + wf- <>t2P^>
откуда
1 + т cos ?v — У1 + t2 4- 2т cos gv 4- r]v cos a 4- t]" > 0, p" -> 0.
Выполнив предельный переход при v—>оо и разделив на т, при-
ходим к неравенству
1 / 2 i
у4“соза—1/ 1 4-ycos аН-^2- cosa>0. (16)
Так 'как т>0 — произвольное число, то можно совершить в (16)
предельный переход т->оо, что дает cos a cos а, а^а.
Доказательство следующего предложения сводится к простым
рассуждениям элементарной геометрии и предоставляется читателю
(см. также Rinow W., Die Innere Geometric der metrischen Rdume,
Springer — Verlag (1961), вторая часть теоремы 2 на стр. 314).
Содержание леммы 3 иллюстрируется на рис. 4(6).
Лемма 3
Усл. Обозначим pqs, qrs —треугольники в Sp, соответственно
в R2, причем pq 4- qr ^.rs 4- sp; pr's — треугольник, у которого
pr' = pq + qr, r's — rs. Сумма углов треугольников pqs, qrs
в точке q не больше л.
Утв. Четырехугольник pqrs выпуклый, т. е. сумма углов тре-
угольников pqs, qrs при вершине s также не больше л,
и углы pqrs при вершинах р, г соответственно не меньше
углов треугольника pr's при р, г'.
Доказательство теоремы. Приведем доказательство для случая
х>0, однако все рассуждения распространяются и на случай
х = 0, если отбросить некоторые лишние в этом случае части
текста, отмеченные скобками „(х>0)“. Основная идея доказа-
. тельства состоит в том, что соотношения между углами надле-
жащим образом сводятся к соотношениям между длинами крат-
чайших, которые вытекают из следствия теоремы Рауха.
В пунктах (а) —(с) теорема доказывается при дополнительном
2эт
предположении, что L (с0) 4- L (cj) 4- L (с2) < -^=- (х > 0). В пункте (а)
показывается, каким образом можно получать соотношения между
углами из соотношений между длинами. В пункте (Ь) утверждение
теоремы доказывается для „узких" треугольников, т. е. таких,
6.4. Теорема Топоногова о сравнении углов
209
одна сторона которых достаточно коротка по сравнению с другими.
При этом мы встречаемся с трудностью, состоящей в том, что
на длинных сторонах могут быть сопряженные точки. В пункте (с)
результат пункта (Ь) „глобализуется" посредством процесса продол-
жения, опирающегося на леммы 2 и 3. Наконец, пункты (d) и (е)
2эт
относятся к случаю L (с0) + L (С|) + L (с2) , который сводится
V х
к ранее рассмотренному.
Все пути, участвующие в доказательстве, определены на интер-
вале [0, 1].
(а) Пусть (а, Ь, с) — треугольник в М периметра
Отт
(х>0).
Ух
Тогда в М существует треугольник (а, 5, с) с соответственно
равными длинами сторон. Положим р = с(0), р = с(0). Рассмотрим
в М другой треугольник (а', Ь', с), у которого L (b') = L (5)
(5 —смежная с р сторона), а угол при вершине р равен углу а
при вершине р треугольника (а, Ь, с). Обозначим через а угол
при вершине р треугольника (а, 5, с). Пусть U — звездообразное
относительно точки 0 открытое множество Мр, содержащее точки 0,
— й(1), с(0); i: Мр —> Мр — линейная изометрия, такая, что
t(—й(1)) = — й'(1), i(с(0)) = с(0). Тогда справедливо следующее
утверждение:
если ехрр имеет во всех точках U максимальный ранг
и если а' принадлежит expp(itZ), то а^й. (17)
В самом деле, по теореме Морса —Шенберга для всех векто-
ров v&U имеем || v ||< -/=, так что кратчайшая а' может быть
V х
поднята в Мр посредством отображения exp^|l£/(x>0). Поэтому
существует такой путь ф в U, что ехрр°1ф = а', и в силу не-
равенства (5) теоремы сравнения Рауха имеем
L (а) = L (а) L (ехрр ° ф) L (ехрр ° гф) = L (а').
Но тогда по элементарному свойству треугольников на сфере S" ।
V V.
(в Rre) имеем й^а, что и требовалось доказать.
(b) Предположим, что периметр треугольника (а, Ь, с) в М
2эт
с вершинами р, q, г строго меньше ~7=(х>0), и пусть о = с(0),
у х
q = a(0), r = b(0). Пусть г не принадлежит образу с. Рас-
смотрим сходящуюся к р последовательность q4 точек с, q^p.
Пусть av — произвольные кратчайшие, соединяющие qN с г; сч—
кратчайшие, соединяющие р с qv- a, Yv — углы треугольника
(av, b, cv) при вершинах р, qv, г и й¥, — соответствующие углы
210
§ 6. Теоремы сравнения
треугольника с теми же длинами сторон в М (такой треугольник
2зт
существует, поскольку периметр (av, b, cv) меньше —= (z > 0)), тогда
V х
справедливо следующее утверждение:
для достаточно больших значений v выполняются .неравенства
Ct Cty, Ру.
(18)
Заметим прежде всего, что достаточно доказать (18) в случае,
когда кратчайшие av сходятся к некоторой кратчайшей а0, так
с
как из всякой подпоследовательности av
можно в свою очередь выбрать сходя-
щуюся подпоследовательность. Можно
считать, что а0 есть Ь~1 (пройденная
в обратном направлении кратчайшая Ь).
В самом деле, в противном случае мы
заменили бы в условии пункта (Ь) крат-
чайшую b на а"1, а затем с помощью
леммы 2 сравнили бы углы, образуе-
мые Ь~1, а0, с с в точке р.
Если «у сходятся к Ь~х, то — limav(l) =
V~>oo
= 6(0).
Пусть 6 > 0 — элементарная длина
компактного шара в М с центром в р
столь большого радиуса, что ему при-
надлежат все треугольники (av, b, cv)
(см. разд. 5.2 и 5.3). Выберем такое число
T|G(0, 1), чтобы для точки р' = Ь(1— Т])
выполнялось р(р, р')<.6, тогда для
всех v, за исключением конечного числа, будет p(qv, д')<6, где
Q'v = av (n)-
Рассмотрим следующие треугольники в М: Ду с вершинами
p'v, q'v, г; Д' с вершинами р', qv, г (причем стороной, соединяю-
щей qv с г, является av); Д" с вершинами р, q'v, г, причем сто-
роной, соединяющей г с р, является Ь. Соответствующие тре-
угольники с теми же длинами сторон в М, что у Д , Д', Д'',
обозначим через Ду, Ду, Ду. Заметим, что две точки кратчайшей
геодезической могут быть сопряжены относительно нее только
в том случае, если являются ее концами (лемма 1 разд. 4.5).
Так как р', д'— внутренние точки кратчайших b, av, то ни одна
точка b, av не может быть критическим значением отображения
ехрр', соответственно ехр^/, и ни одна точка кратчайшей гр' (со-
ставляющей часть Ь) не является критическим значением ехрг.
6.4. Теорема Топоногова о сравнении углов
211
Кроме того, точка г по условию не принадлежит образу с; по-
этому кратчайшие b и av инъективны при достаточно большом v.
Таким образом, существуют замкнутые отрезки В, Av(v = 1,2,.. .), С,
принадлежащие, соответственно, Мр', М /, Мг, на которых отоб-
<7V
ражения ехрР', ехр /, ехрг инъективны и имеют максимальный
ранг, причем ехрР'(В) = b, ехр / (Av) = av(v = 1, 2, ...), exp, (С) = гр'.
<7 v
(0° V
(J Av I с: ТМ компактно, сущест-
V=1 /
вует его е-окрестность в ТМ, на которой соответствующие отоб-
ражения ехрР', ехр /, ехрг имеют максимальный ранг (см. разд. 2.8);
Q у
е-окрестностью множества называется объединение всех открытых
шаров радиуса е с центрами в его точках, а шары понимаются
в смысле канонической метрики на ТМ (см. замечание (iii) разд. 3.2).
Обозначим через ууугол треугольника Av, соответствующий yv;
тогда из (17) следует, что для пары треугольников Av, Av угол
Yv^Yv> если v достаточно велико (и, значит, р' q'v достаточно
мало). Аналогично, применяя (17) к ехрj и треугольникам Av, AV)
находим, что угол Av при вершине q'v не меньше угла Av при со-
ответствующей вершине для достаточно большого v. Так как
lim p'qv lim (р'р + pqv) = р'р < 6, q-pv < 6, начиная с некоторого v,
V~>oo v->oo
и lim p'qV' — O, то из (17) опять следует, что все углы треуголь-
V~>oo
ника p'qvq'v не меньше соответствующих углов треугольника в М
с теми же длинами сторон, при достаточно большом v. Обозна-
чим через yv угол треугольника Av, соответствующий yv, тогда,
применяя лемму 3 к треугольникам Av, p'qvq^, получаем yv>y'.
Далее, применяя (17) к ехрР', находим, что при достаточно
большом v угол треугольника Av при вершине р' не меньше
соответствующего угла треугольника Av. Так как все углы
треугольника pqvp', начиная с некоторого v, также не меньше
соответствующих углов треугольника в М с теми же длинами
сторон, то из леммы 3 следует, наконец, что a^av, начиная
с некоторого v. Совершенно аналогично, рассматривая последо-
вательно треугольники Av, pq'vp', затем A", pqvq'v, получаем
начиная с некоторого v, что и доказывает (18).
(с) Рассмотрим теперь треугольник А = (с0, с1( с2) в М с уг-
2jt
лами yz и предположим, что А (с0) + А (с,) + А (с2) < р==(х > 0).
212
§ 6. Теоремы сравнения
Тогда в М существует треугольник Д = (с0, ct, с2) с углами уг,
удовлетворяющий соотношениям (2). Мы докажем неравенство (3),
например, для у0.
Прежде всего можно считать, что р2 не принадлежит об-
разу с2, так как в противном случае уо = О и у0 = 0. ^Рассмотрим
подмножество /<=(0, 1], состоящее из всех точек t0, обладающих
следующим свойством: при в М существует треугольник
с вершинами рл, c2(f), р2, сторона которого, соединяющая р2
с ра, есть сь а в случае / = 1 сторона, соединяющая ра с pt,
есть с2, углы же при вершинах р0, с2(/) не меньше соответ-
ствующих углов треугольника в М с теми же длинами сторон.
Согласно (18), множество I содержит некоторый интервал (0, f).
Пусть f — наибольшее число, для которого (0, покажем
прежде всего, что t'^I. Пусть и — треугольник
с вершинами ра, c2(tv), р2 и стороной с|( соединяющей р2 с р0,
причем углы при вершинах р0, c2(tv) не меньше соответст-
вующих углов треугольника в М с теми же длинами сторон.
Далее, пусть Д'— треугольник в М с вершинами р0, c2(t'), р2,
стороны которого суть кратчайшие, предельные для соответствую-
щих сторон Av. Так как длины сторон Д' стремятся к отличным
от нуля длинам сторон треугольника Д' в М, стороны которого
имеют ту же длину, что и соответствующие стороны Д', а периметр
меньше -у=(х>0), то углы сходятся к соответствующим уг-
лам Д'. Поэтому углы треугольника Д' при р0, c2(t') не меньше
соответствующих углов Д', и- t' s/. Покажем, что t'—l. В са-
мом деле, при t'<l существует, согласно (18), число f"e(/', 1]
и треугольник Д" в М с вершинами c2(t'), c2(t"), р2 и общей с Д'
стороной, соединяющей с2(/') и р2, углы которого при вершинах
с2 (/'), с2 (^") не меньше соответствующих углов треугольника в М
с теми же длинами сторон. Тогда, применяя лемму 3 к треуголь-
никам Д', Д", находим, что t" вопреки определению f. Итак,
t' = 1 и Уо > уо-
(d) Пусть теперь %>0и L (с0) 4- L (с,) 4- L (с2) = Покажем,
V к
что если для всех сторон выполняется неравенство L (сг) < —?=, то
V к
у0 = у1 = у2 = л. Рассмотрим, например, у0. Пусть/' — точная ниж-
няя граница всех чисел 1е[0, 1], для которых р(р0, с2(/))4-
4-p(c2(f), р2) + р(Р2, = Так как £ (с0) <-^=, ясно, что Г>
> 0. Построим последовательность tv в интервале (0, /'), сходя-
щуюся к /', и треугольники в М с вершинами р0, c2(fv), р2
и стороной С], соединяющей р2 с р0. По построению периметр Ду
6.4. Теорема Топоногова о сравнении углов
213
меньше -7=;
/х
пусть Av —треугольник на S21 с теми же длинами
/х
сторон, что Av. Согласно пункту (с), у0 не меньше соответствую-
щего угла Av, а этот угол стремится к л, так как limр(р0, c2(tv)')<
V—> 00
<-Д^, р(р2, роХ-^г. Но тогда и уо = л.
ух ух
Пусть теперь L(c()) = -^=-, тогда
мым уо = л. Утверждение теоремы
сразу же, так как можно
построить на S21 тРе"
Ух
угольник Л, у которого
Уо = л и у, = у2 = 0, а дли-
ны сторон те же, что у А.
(е) Пусть, наконец,
х>0 и L (с0) 4- L (с,) 4-
4-А (с2) >-?=. Покажем
L (с,) 4- L (с2) =
в этом случае
п
и тем са-
получается
Построим
в М
лишь
сначала, что отсюда сле-
дует Уо = у, = у2 = Я. В са-
мом деле, вследствие
непрерывности функции
расстояния р существует
такое f е (0, 1), что
для точек р{ = с2 (У), р'2 =
= Cj (1 — f) выполнено ра-
венство р(р0, p04-p(p[, р04-р(р2', р0) = у^
треугольник А с вершинами р0, р', р'. Согласно (d), у0
в том случае может быть меньше л, если рор[ = —или рор' =
V и
= -7=-. С другой стороны, в силу полноты М и теоремы Морса —
Ух
Шенберга расстояние между точками М не может быть больше ^=-
(см. разд. 5.3 и 6.2, а также теорему Мейерса в разд. 7.3). От-
сюда pop'l<popi < , р0р'<р0р2^-^=г, и уо = л. Аналогично
доказывается, что у, = у2 = л.
Пусть t" е [0, 1) —точная верхняя граница всех чисел МО, 1],
для которых р(р0, с2(0) 4-р(с2(/), р2) 4-р (р2, Ро) = ^- Возьмем
214
$ 6. Теоремы сравнения
последовательность е (/", 1), сходящуюся к t", положим.qv =
= с2 (/v), q = lim qv — c2 (t") и рассмотрим треугольники Av с верши-
V~>oo
нами (р0, qv, р2) и стороной р2, соединяющей р2 с р0. Периметр
каждого треугольника Av больше -4^- и, по только что доказан-
Vx ___ _____
ному, все углы Av равны л. Поэтому (см. рис. 5) qvpj + PiP% =
= qvp2, откуда qpf + pqb = qp2, следовательно, L (с0) + L (cj + L (c2) =
~ ~ — — '' 2л
= Po? + <7Pi + P1P2 + P2P0 = РоЯ + ЧР2 + P2P0 = T7= » вопреки предпо-
У x
ложению. Доказательство теоремы окончено.
Замечания
(i) Теорема о сравнении углов, доказанная в этом разделе,
в той же формулировке распространяется на случай, когда Ka^x,
где х отрицательно. В качестве М в этом случае берется «-мер-
ное гиперболическое пространство, или, проще, двумерная гипер-
болическая плоскость постоянной отрицательной кривизны х
(см. описание стандартной модели UK в замечании (iv) разд. 3.6).
Покажите, что UK — полное риманово многообразие. Каждая ис-
ходящая из точки р е UK максимальная геодезическая имеет бес-
конечную длину; ее образ UK есть часть евклидовой окружности
или луча, ортогональная граница шара UK (см. замечание (iv)
разд. 3.6). Для любых трех положительных чисел а0, alf а2, удо-
влетворяющих неравенствам az + ai+l а/+2, существует треуголь-
ник А = (с0, с,, с2) в М = UK со
сторонами
обозна-
чим его углы через у;. Треугольник А определен с точностью
до конгруэнтности, т. е. до преобразования с помощью некоторой
изометрии UK. Для любых трех точек р0, pit р2 существует в точ-
ности один треугольник А с вершинами в этих точках.
Справедлива теорема косинусов гиперболической геометрии
chaz = ch ai+i chaz+2- shaz+I shi+2 cosyz.
Из теоремы Топоногова о сравнении углов при х<0 следует
неравенство
ch az ch ai+i ch a!+2 — sh az+I sh az+2cos yz, (19)
в предположениях и обозначениях предыдущей теоремы.
Утверждение (3) при х<0 доказывается так же, как и при
х = 0.
(ii) Требование полноты М в теореме о сравнении углов можно
несколько ослабить. Как видно из доказательства, достаточно
предположить следующее: экспоненциальное отображение ехрр.,
где pi~- вершина треугольника А, определено на открытом шаре МР{
6.4. Теорема Топоногова о сравнении углов
215
с центром 0 достаточно большого радиуса г, и для всех
касательных плоскостей сг в точках шара Br(pi). Если, далее,
предположить, что L (с0) + L (с^ 4- L (с2) < 2г, то утверждение (3)
теоремы справедливо для уг+1, yz+2 (см. по этому поводу лемму
в разд. 5.3, замечание (iv) разд. 5.4 и замечание (ii) разд. 7.3).
Только что указанное уточнение теоремы важно в ряде случаев.
Если, например, М полно, но не компактно, и Д — треугольник
в 44, то Д принадлежит достаточно большому шару М с компакт-
ным замыканием, на котором ограничено снизу, в то время
как на всем М кривизна К.а может быть не ограниченной. Даже
если М компактно, это замечание позволяет, насколько возможно,
усилить оценку (3) углов треугольника, так как нижняя граница
кривизны может быть увеличена, если воспользоваться компакт-
ными шарами, величина которых того же порядка, что ц. у рас-
сматриваемых треугольников.
(iii) Обобщенным треугольником Д = (с0, ct, с2) с вершинами р0,
Pi, р2 мы назовем систему из трех геодезических с0 (с началом pi
и концом р2), Ci (с началом р2 и концом р0), с2 (с началом р0 и
концом pi), из которых две, например с0 и с,, должны быть крат-
чайшими. При этом с2 может быть любой, геодезической с нача-
лом р0 и концом pi, и допускается случай p0 = pi, но для всех i
должно быть выполнено неравенство треугольника (1).
Докажем для обобщенных треугольников Д в 44 аналог тео-
ремы о сравнении углов, в котором утверждение (3) высказывается
лишь для примыкающих к с2 углов уь у2, а в случае х>0 доба-
вочно предполагается, что Л (с2) -т=-. Для этого сторона с2 под-
V х
разделяется на кратчайшие, предыдущая теорема применяется
к полученным треугольникам, а затем применяется лемма 3, при-
чем в случае х>0 вначале предполагается, что периметр Д
2зт
меньше -т=-. Затем, аналогично пункту (d), рассматривается слу-
V х
2тс
чай периметра, равного -у=-, и аналогично пункту (е) приводится
2зт
к противоречию случай, когда периметр больше -у^(х>0). При
этом для обобщенных треугольников, конечно, справедливы лишь
утверждения о двух углах, но рассуждения пунктов (d), (е) могут
быть повторены с некоторыми очевидными изменениями.
(iv) Можно было бы ожидать, что если кривизна 44 ограничена
сверху числом х, то углы треугольника Д на 44 оцениваются
сверху соответствующими углами треугольника с теми же длинами
сторон в пространстве постоянной кривизны, в предположении,
что такой треугольник существует, т. е. периметр Д не слишком
велик (х>0). Однако такое утверждение в общем случае невоз-
можно: не существует глобальной теоремы о сравнении углов для
216
$ 6. Теоремы, сравнения
многообразий ограниченной сверху кривизны, аналогичной теореме
Топоногова. Для достаточно малых треугольников, все стороны
которых могут быть подняты в касательные пространства с помощью
экспоненциальных отображений в вершинах, можно в ряде слу-
чаев получить оценки углов сверху с помощью теоремы сравнения
Рауха, аналогично пункту (а) предыдущего доказательства. Для
более общих утверждений требуются сильные добавочные пред-
положения. Например, недостаточно предположить, что М одно-
связно. А именно, существует трехмерное компактное риманово
многообразие М, диффеоморфное S3, у которого 0 < К.а 1, и
периодическая геодезическая длины <2л на М, которую можно
превратить в треугольник с углами, равными л. Но любой тре-
угольник на S2 периметра <2л имеет по крайней мере один
угол <л. По этому поводу см. замечание (iii) разд. 7.5 и замеча-
ние (vi) разд. 7.2, а также Tsukamoto Y., On a theorem of
A. D., Alexandrov, Memoirs of the Faculty of Science, 15(1961),
83—89, Kyushu University *).
’) Работа Цукамото содержит необоснованную критику результата А. Д. Алек-
сандрова (Acad. Wiss. Forsch. Math., № 1 (1957)). — Прим. ped.
§ 7. Связи между кривизной
и топологическим строением
7.1. Деформации геодезических
Мы обращаемся теперь к проблеме характеризации топологи-
ческих свойств полного риманова многообразия с помощью его
римановой кривизны. В частности, мы займемся вопросом, на
каких дифференцируемых многообразиях существует полная мет-
рика знакоопределенной кривизны, т. е. везде положительной или
везде отрицательной. Сильнейшие известные результаты в этом
направлении получаются посредством исследования геодезических
на римановом многообразии и их экстремальных свойств, а именно
из теории Морса в соединении с теоремами сравнения предыду-
щего параграфа.
Все используемые ниже топологические понятия можно найти,
например, в книге Спеньер Э., Алгебраическая топология, М., 1971.
При рассмотрении римановых многообразий всегда имеется в виду
связность Леви-Чивита.
Пусть М — дифференцируемое многообразие; р, q е М;
с0, Ср [а, р] -> М — кусочно дифференцируемые пути с началом р и
концом q. Непрерывное отображение Н: [а, р] X [О, 1]->Л1 назы-
вается (р, q)-zoMoronueH, связывающей с0 с с1; если отображение
[а, р]->Л1, заданное формулой Hs(t) = H(t, s), является кусочно
дифференцируемым путем с началом р и концом q при всех
s [0, 1], причем Н0 = с0, Н^Су. Если М — риманово многообра-
зие, то в этом определении дополнительно предполагается, что
функция длины пути L(HS) непрерывна. Пути с0, С! называются
(р, ^-гомотопными, если существует (р, ^)-гомотопия, связываю-
щая с0 с Ср Легко видеть, что „(р, ^-гомотопность" есть отношение
эквивалентности на множестве Q.pq всех кусочно дифференцируемых
путей, соединяющих р с q. Очевидно, (р, gj-гомотопию Н, соеди-
няющую с0, С] Qpq, можно рассматривать как непрерывный путь
в пространстве путей Qpq с началом с0 и концом С[ (см. замеча-
ние (i) разд. 4.1 и разд. 7.6).
Вначале мы докажем предложение о гомотопиях, связывающих
геодезические риманова пространства, в котором с помощью про-
стых условий для экспоненциального отображения оценивается
снизу длина пути при таких гомотопиях.
218
§ 7. Связи между кривизной и топологическим строением
Лемма
Усл. М —риманово многообразие, р е М; экспоненциальное ото-
бражение ехрр определено на открытом шаре UE в Мр
радиуса е с центром 0, и имеет везде в Ue максимальный
ранг', векторы v, w е Мр принадлежат области определе-
ния ехрр, v w и expo =ехрш = г; t0 <= [О, 1], <7 = ехр(/ои);
с0: [О, 1]->М — геодезическая, заданная формулой c0(t) =
= ехр(//оу), с началом р и концом q; ср. [О, 1] М — лома-
ная геодезическая, также соединяющая р с q и заданная
формулами с, (t) = ехр (2tw) при t е ^О, , щ (/) =
= ехр ([1 — (2/— 1) (1 —/0)] и) при lj; Н: [О, 1] X
X [О, 1]——(р, ц)-гомотопия, связывающая с0 с с, (рис. 7).
Утв. Существует такое $0 е [О, 1], что
L(c0) + L(Hs^2e.
(1)
Если М полно и кривизна (/>0) для всех касательных
к М плоскостей о, то можно взять е = —
в самом деле, по
Рис. 7.
теореме Хопфа — Ринова ехрр опре-
делено на всем Мр, а по теореме
Морса — Шенберга ехрр имеет в от-
крытом шаре Мр с центром 0 ра-
диуса
-у=- максимальный ранг. Как
у Л
видно на примере сферы M = Sn 1 ;
/л.
число е, вообще говоря, нельзя
выбрать больше —?=-. А именно,
1 1/1 ’
в качестве с0, ct можно взять две
различных геодезических, соединяю-
щих северный полюс р с южным
полюсом г, q = г.
Док. Предположим, что, вопреки
утверждению леммы, для всех
s <= [0, 1] имеет место L (с0) +
+ L(Hs)<2e. Тогда в силу непрерывности функции s~>L(Hs)
существует такое число 6, что
L (с0) + sup L (Hs) < 26 < 2е,
S е [0, 1)
(2)
и, в частности,
А(с0) = L(H0)< 6.
(3)
7.1. Деформации геодезических
219
По предположению ехрр имеет максимальный ранг во всех точ-
ках Ue. Обозначим через Jo множество всех таких чисел т] е [0, 1],
что Н |[0 j] х [0 л| можно поднять до непрерывного отображения
Ф: [0, 1] X [0, т]]-> U6, так что ехр ° Ф = Н |[0 ц х [0 и что Ф5 (Z) =
= Ф (t, $) представляют кусочно дифференцируемые пути
<PS: [0, 1] -> U6, соединяющие 0 с tov. Из (3), точно так же как
при подъеме вариации в доказательстве теоремы разд. 4.4, сле-
дует, что Jo есть интервал с началом 0 и концом т]0. Если т]о<1
и принадлежит Jo, то из того же рассуждения вытекает суще-
ствование непустого интервала (т]о~ 'По + “9')> в котором возможен
подъем вариации, вопреки определению г)о- Итак, либо ло = 1 >
либо Ло не принадлежит J.
С другой стороны, все предельные точки множества
Ф([0, 1] X [0, Ло) )* принадлежат U&czUz', следовательно, в этих
предельных точках ехрр имеет максимальный ранг и путь
также может быть поднят в некоторый путь Фл.: [О, 1]—>[/в.
Покажем, что ФЛо целиком принадлежит Us. Предположим обрат-
ное, тогда существует такое t0 е [0, 1], что || ФЛп (ta) || = 6, но в таком
случае в силу леммы 2 разд. 4.4 имеем L (с0) + L 26, что
противоречит (2). Тем самым т]0= 1. Итак, мы показали, что гомо-
топия Н может быть полностью поднята в Us. В частности, Hi = с,
поднимается в путь Фр соединяющий 0 с tov.
Так как пути в U& с начальными точками р, q, переходящие
при отображении ехрр соответственно в ct и в часть qr геодези-
ческой с0, определяются однозначно, то должно быть <1ф (/) = 2Zra
при Ze ^0, yj, Ф,(£) = [1 — (2Z—1)(1 — Z0)]o при Zej^y , 1]. При
t = у получаем, в частности, Ф, (у) = и = w, и полученное проти-
воречие доказывает лемму.
Замечания
(i) Пусть М — дифференцируемое многообразие. Кусочно диф-
ференцируемые пути с0, Ср [а, р]->44 с началом р и концом q
в том и только том случае (р, <?)-гомотопны, если они гомотопны
в общем топологическом смысле при фиксированных начальной и
конечной точках, т. е. если существует, как выше, связывающая
С] с с2 гомотопия Я, предполагаемая лишь непрерывной, без
дальнейших требований дифференцируемости. Чтобы это дока-
зать, достаточно аппроксимировать непрерывное отображение
Я: [а, р] X [0, 1]->44 с произвольной точностью (р, ^-гомото-
пией Я, которая кусочно дифференцируема, т. е. для Я сущест-
вуют такие числа 0< Zo< Z, < ... < tk = 1, 0 = s0 < Sj < ... < «/ = 1,
что Я lpv_t, ;vj x [S « j дифференцируемо при 1 1
220
§ 7. Связи между кривизной и топологическим строением
и s), H(t, s))<e для всех /е[п, 0], se[0, 1] по отноше-
нию к некоторой римановой метрике на М, где 8>0 — произволь-
ное число.
Пусть Р = [а, 0] X [0, 1] и ъ' > 0 не превосходит нижнюю гра-
ницу значений радиуса выпуклости г на компактном множестве
Н (Р)<ш М, кроме того, пусть в'<~. Отображение Р X P-»-R, за-
данное формулой (а, а') —>р (Я (а), Н (а')), равномерно непрерывно,
поэтому существует такое б>0, что р(Я(а), Н(а'))<е.' для всех
а, а'еР, удовлетворяющих неравенству ||а — а'||<б. Выберем
числа а = t0< tx < ... < tk = 0 и 0 = s0 < Sj < ... < sz = 1 таким
образом, чтобы пути c0|r. , ., clr. t , были дифференцируемы
Iv-1’ rvJ l.v-гМ
И чтобы было (tv— ty-])2 + («и — s(l_1)2<62 при 1<ц</.
Построим кусочно дифференцируемые пути Hs^. [а, 0] -► М, полагая
Hs L , , равным кратчайшей геодезической [L_i, L1—>Л1,
н H‘v-1’ vJ
соединяющей Я(^_[, sp) с H(tv, sp) l^v^fc). При
очевидно, Н0 = с0, Нх = с}. Наконец, построим Н, полагая
этом,
ц-г ®ц]
равным кратчайшей геодезической [8Ц_Ь
с началом (0 и концом (fe[a, 0], l^p,^/). В силу
разд. 5.1 и 5.2, а также свойств отображения л X ехр, Н обла-
дает всеми требуемыми свойствами. В частности, пути s—>Н (t,s)
кусочно дифференцируемы и даже являются „ломаными геодези-
ческими".
7.2. Теорема Адамара — Картава
В этом параграфе выясняется топологическое строение полных
римановых многообразий неположительной кривизны.
Связное дифференцируемое многообразие М называется одно-
связным, если любой замкнутый кусочно дифференцируемый путь
с0: J->M с началом и концом ъ ре М стягиваем в точку р, т.е.
(р, р)-гомотопен тривиальному пути q: J->M, заданному форму-
лой cx(t) = p. Легко видеть, что М односвязно в том и только том
случае, если любые два кусочно дифференцируемых пути с0,
cf. J-+M с началом р и концом q являются (р, <?)-гомотопными
в М (см. замечание (i) разд. 7.1).
Точка р связного риманова многообразия М называется по-
люсом М, если экспоненциальное отображение ехрр определено
на всем М и везде имеет максимальный ранг. Если на М суще-
ствует полюс, то из утверждения (&') разд. 5.3 следует, что М
полно.
7.2. Теорема Адама pa — Картона
221
Лемма
Усл. М — односвязное n-мерное риманово многообразие, р —
полюс М.
Утв. Экспоненциальное отображение ехрр: Мр->-М есть диффео-
морфизм, и, следовательно, М диффеоморфно Rn.
Док. Так как ехрР — локальный диффеоморфизм, сюръективный
в силу полноты М, то остается доказать, что ехрр инъективно.
Предположим, что существуют векторы v, w s Мр, для кото-
рых ехр v = ехр w = q и v =£ w. Положим в условии леммы разд. 7.1,
что t0 = 1, Cq (/) = ехр (tv), Ct (t) = exp (2/ay) при t s [о, у ], tj (/) = q
при <e[y, 1]- Так как M односвязно, существует (р, ^-гомо-
топия Н: [0, 1] X [0, 1]—связывающая с0 с сх. Поскольку ехрр
определено на всем Мр и везде имеет максимальный ранг, по
лемме разд. 7.1 для любого 8>0 и некоторого s0 [0, 1] выполнено
неравенство L (со) + L (HSa) 2в. Но отображение s—>L(#s) непре-
рывно по самому определению (р, <7)-деформации на римановом
многообразии, и, значит, функция L(HS) ограничена при s [0,1],
а полученное противоречие доказывает лемму.
Следующая ниже теорема была доказана Ж. Адамаром для
поверхностей, а позже обобщена Э. Картаном на римановы много-
образия высших размерностей.
Теорема (Ж. Адамар, Э. Картан)
Усл. М — полное риманово многообразие размерности п^2; ри-
манова кривизна Да^0 для всех касательных к М пло-
скостей о.
Утв. Для каждой р^М отображение ехрр: Мр—>A1 есть диф-
феоморфизм. В частности, М диффеоморфно Rn.
Док. Согласно предложению (а') (теорема Морса — Шенберга),
отображение ехрр имеет максимальный ранг на всем Мр при
всех р^М. Следовательно, каждая точка М является полюсом
и выполнены предположения леммы, откуда и следует требуемое
утверждение.
Замечания
(i) Покажите, что евклидово пространство R" односвязно, также
как сфера Sn при п>2и проективные пространства Pn(C), Рп(И),
Р2(Са) (см. замечание (V) разд. 1.7).
Пусть М — связное дифференцируемое многообразие и psAl.
Классы эквивалентности по отношению „(р, р)-гомотопность“ во
множестве Qpp всех кусочно дифференцируемых путей [О, 1]->Л1
с началом и концом в р составляют группу лДМ, р). А именно,
222
$ 7. Связи между кривизной и топологическим строением
композицией путей является их последовательное прохождение,
а- обратным элементом — путь с противоположной ориентацией.
Для другой точки q е М получаем группу лДМ, q)', любой (p,q)-
гомотопический класс кусочно дифференцируемых путей, связы-
вающих р с q, определяет изоморфизм л((Л1, р)-^-л1(М, q). Таким
образом, группа Л] (Л1) = «] (М, р) не зависит от р, она назы-
вается фундаментальной группой М. В частности, М односвязно
в том и только том случае, если nj (М) = 1.
Покажите, что для связных дифференцируемых многообразий
М, N имеет место Л] (Af X Л/) = Л] (М) X Л] (7V).
С помощью фундаментальной группы можно классифицировать
накрытия. Пусть л: М М — дифференцируемое накрытие (см. за-
мечание (V) разд. 1.7). Дифференцируемое накрытие л: /И—>А1
называется эквивалентным л, если существует диффеоморфизм
f: М —> А1, сохраняющий слои, т. е. такой, что л ° f = л. Если М = М,
то л называется преобразованием накрытия. Теорема о класси-
фикации накрытий состоит в следующем: для каждого класса
сопряженных подгрупп Г фундаментальной группы nj (А1) сущест-
вует в точности один класс эквивалентных дифференцируемых
накрытий М—>М, причем М связно, лДАД^Г и слой над точкой
р^М находится во взаимно однозначном соответствии с множе-
ством классов смежности Л] (М) по Г. Таким способом описываются
с точностью до эквивалентности все дифференцируемые накрытия
М—>М, для которых М связно. Если Г — инвариантная подгруппа
лДМ), то соответствующее накрытие М—>М, для которого
лДМ^Г, называется главным или регулярным. В этом случае
группа л,(А1)/Г действует на М, как группа преобразований
накрытия, и тем самым действует на слое (или, что то же самое,
на самой себе), как группа левых сдвигов. Если Г = Л!(Л1), то
М. = М, а при Г = 1 получаем универсальное накрытие л: /И —> Л!
с односвязным накрывающим многообразием М (по этому поводу
см. также замечание (iii)).
Покажите, что если М компактно и лДЛД/Г конечна, то и М
компактно, и обратно.
Дифференцируемое накрытие R—>S' s^R/Z, заданное формулой
t-+e2nit, универсально, поэтому где Z —аддитивная
группа целых чисел.
Следовательно, для «-мерного тора имеем лДТ") = л, (S1 X ...
... X Sl) = Z'1. Двулистное накрытие S'1 ->Pn(R) (замечание (v)
разд. 1.7) при «^2 универсально, так как при этом условии S"
односвязна, поэтому
n1(P”(R))^Z2=Z/2Z («>2) и n,(P1(R))^n1(S‘)^Z.
7.2. Теорема Адамара — Картина
223
Простыми примерами дифференцируемых многообразий с неабе-
левой фундаментальной группой являются компактные ориенти-
руемые поверхности M2g рода g 2. Фундаментальная группа
такой поверхности порождается 2g элементами ах, ...,ag,
b}....bg с единственным соотношением .
. . . = 1. Пусть —универсальное накрытие, тогда
М диффеоморфно R2, потому что Л[ (Л12) — группа бесконечного
порядка и, следовательно, М некомпактно и односвязно (см.
также замечание (v)).
(ii) Покажите, что полюсы полного риманова многообразия
образуют замкнутое множество, возможно пустое (например, на
М = Sp при п^2); может случиться, что все точки Л1 — полюсы,
как в предыдущей теореме (примером служит R"). Покажите, что
точка 0 является единственным полюсом гиперболоида вращения
P(0)cR3, где f(x, у, z) = х2 + у1 — 2z.
Часто полюсами называют те точки р е М, для которых ото-
бражение ехрр: Мр->-М инъективно, т. е. все исходящие из р гео-
дезические с суть кратчайшие между р и любой точкой с. Полюсы
в этом более сильном смысле (см. замечание (iii) разд. 5.3) суть
точки р, для которых dp = oo, где d: М—>R обозначает, как
в разд. 5.4, радиус инъективности, т. е. расстояние от р до соот-
ветствующего места раздела. Так как d — непрерывное отображе-
ние, то полюсы в этом смысле образуют замкнутое в М подмно-
жество множества полюсов, определенного выше.
(iii) Пусть М — связное полное риманово многообразие. Пока-
жем, что для любых точек р, q <=з М и любого (р, ^-гомотопи-
ческого класса путей из Qp? существует геодезическая с: [0, 1]—>М,
соединяющая р с q и принадлежащая этому гомотопическому классу.
Если 0 —точная нижняя граница длин всех путей заданного
(р, р)-гомотопического класса, то в нем существуют пути сь
для которых lim Л(с() = ц. Существует такое е>0, что все
принадлежат компактному метрическому шару IF = Sp.+e(p) ра-
диуса ц + ес центром в р. Обозначая через dr(>0) элементар-
ную длину W, найдем натуральное число k и такие числа 0=
= tf< </*=1 (/=1, 2,...), что Z,(cjp/-i, (/р =
= - для всех i и /= 1, ..., k. Поскольку [0, 1] и W
компактны, найдется такая последовательность гг индексов I, что
числа t\( сходятся при /->оо к некоторым /' е [0, 1] и, следова-
тельно, с/г(^г) —к некоторым точкам с! е W По-
строим в QM ломаную геодезическую с: [0, 1] -> М, полагая с\у-.
(7=1, ..., k) равной однозначно определенной кратчайшей геоде-
224
§ 7. Связи между кривизной и топологическим строением
зической соединяющей с/"1 с с1. Проверьте, что с
принадлежит тому же (р, ^-гомотопическому классу, в котором
были выбраны сг, и что L(c) = p. Отсюда нетрудно заключить,
что с — геодезическая, так как в противном случае можно было бы
найти близкий к с более короткий путь, принадлежащий тому же
(р, р)-гомотопическому классу.
Геодезическую с в (р, р)-гомотопическом классе путей из 12 РЧ
можно проще получить с помощью абстрактной конструкции уни-
версального накрытия л: М—>М. В этой конструкции можно, за-
фиксировав р, взять в качестве слоя над q в М множество всех
(р, р)-гомотопических классов. Топология на М определяется сле-
дующими системами окрестностей для точек q М. Зафиксируем
путь с q и окрестность U точки q = n(q). Рассмотрим всевоз-
можные пути с' с началом в q и концом в р, <= U, целиком ле-
жащие в U. Пусть С] — композиция с с таким путем с'; символом
обозначим (р, ^-гомотопический класс, содержащий Cj. По опре-
делению классы pi, соответствующие всевозможным с', составляют
окрестность q в М. Меняя U и с, получаем полную систему окре-
стностей q. Покажите, что по отношению к этой топологии л
является локальным диффеоморфизмом, канонически индуцирую-
щим на М структуру связного полного риманова многообразия,
причем л оказывается дифференцируемым изометрическим накры-
тием (см. также замечание (v) разд. 5.3). Далее, М односвязно,
а потому накрытие л: №—>№ универсально.
Обозначим через р класс гомотопных нулю путей, для кото-
рых п{р) = р, т. е. путей, (р, р)-гомотопных тривиальному пути
t^-p. Тогда существует геодезическая £: [0, 1]—>М, соединяю-
щая р с q, и с = л ° с есть геодезическая в Л4, принадлежащая q
и соединяющая р с q.
В дополнение к предыдущему рассуждению покажем, что фун-
даментальная группа Л] (М) л, (М, р) действует на М как группа
изометрических преобразований накрытия, а именно элемент
f Л] (М, р) точке q М ставит в соответствие (р, ^-гомотопи-
ческий класс композиции некоторого пути из f с путем из q. Дей-
ствие Л! (М) на свободно, т. е. каждая точка q имеет такую
окрестность V в М, что для любых двух различных элементов
fj, р) пересечение (7) П/2(Ю = 0- В частности, ника-
кой элемент Л] (М), отличный от единичного, не имеет неподвижных
точек на М. Обратно, если на римановом многообразии М свободно
действует некоторая дискретная группа Г, составляющая подгруппу
группы всех изометрий М на себя, то множество М = М/V всех
орбит {/ (р): f Г} с фактортопологией, заданной естественной
проекцией л: М—>М, имеет структуру риманова многообразия,
Т.2. Теорема Адамара— Картона
225
при которой л оказывается изометрическим дифференцируемым
накрытием. Если при этом М односвязно, то Л|(/И) = Г.
Вообще говоря, в каждом (р, <?)-гомотопическом классе путей
в Qpq существует более чем одна и даже бесконечное множество
геодезических, как это видно на примере М = S2 (см. также за-
мечание (iii) разд. 5.3). Если, однако, р — полюс М, то в каждом
(р, <?)-гомотопическом классе Qpq существует в точности одна гео-
дезическая. В самом деле, в доказательстве нуждается только
единственность, а она получается либо аналогично рассуждениям
леммы этого раздела, либо прямым применением той же леммы
к построенному выше универсальному накрытию М—>М.
Отсюда получается другая, „конкретная" конструкция универ-
сального накрытия. Пусть Мр — касательное пространство Мр
в точке р с индуцированной из М отображением ехрр римановой
метрикой. Тогда, как мы сейчас покажем, для полюса р М ото-
бражение ехрр: Мр—>М есть изометрическое дифференцируемое
накрытие. Для этого достаточно проверить, что прообраз ехр~‘ (U)
произвольной односвязной окрестности U cz М распадается на
компоненты связности, каждая из которых при отображении ехрр
диффеоморфно отображается на U. Пусть 17—такая компонента
связности, О], v2eU, v2 и ехрр(щ) = ехрр(t>2) = <?. Обозначим
через С], с2 пути в U, заданные формулами t —>tvx, t^~tv2,
t e [0, 1], и положим c^exppO^j, с2 = ехрр° с2, тогда сь с2 — гео-
дезические в М с общим началом р и общим концом q &.U. По-
строим в Мр дифференцируемый путь ф, соединяющий точки ob v2,
и обозначим через % композицию путей с]( ф, сГ', где ё2{ (t) =
= ё2{\— t), t е [0, 1]. Тогда в силу односвязности Мр.путь ехрр°%
является (р, р)-гомотопным нулю в М, а в силу односвязности U
путь ехррф соответственно (<?, р)-гомотопным нулю в U. Поэтому
геодезические ct, с2 являются (р, р)-гомотопными, вопреки дока-
занному выше. Итак, ехрр: Мр->М есть накрытие. Так как Mp==sR"
односвязно, ехрр есть универсальное накрытие, являющееся в то же
время изометрическим отображением римановых многообразий
Мр—>М. Тем самым построена конкретная геометрическая реали-
зация ранее указанной абстрактной конструкции.
(iv) Пусть М — полное риманово многообразие размерности
с везде неположительной римановой кривизной. Так как
универсальное накрывающее М по теореме Адамара — Картана
диффеоморфно Rn и, в частности, стягиваемо по себе, то М есть
пространство Эйленберга — Маклейна типа К (л, 1), где л — Л| (М)—
фундаментальная группа М. В этом случае группы когомологий М
изоморфны группам когомологий тех же размерностец абстрактной
226
§ 7. Связи между кривизной и топологическим строением
группы л, Н* (М, Z) ££ Н’ (л, Z). Отсюда следует, что каждый от-
личный от единицы элемент Л] (М) имеет бесконечный порядок.
Действительно, элемент конечного порядка порождает циклическую
подгруппу Гс л, (М), которой в силу (i) соответствует изометри-
ческое накрытие М—>М, для которого Л](Л4)^Г. Так как М —
л-мерное многообразие, то Н‘(М, Z) = Hi(V, Z) = 0 при всех i> п,
что приводит к противоречию, поскольку последовательность групп
когомологий конечной группы, как можно показать, не обрывается.
Тот же результат можно получить прямым геометрическим пу-
тем. Для этого рассмотрим риманово универсальное накрываю-
щее М, на котором, согласно (i) и (iii), Л] (М) свободно действует
как группа изометрических преобразований накрытия. Пусть су-
ществует элемент /ел|(Л1) конечного порядка k, f 1, при этом
существует нетождественная периодическая изометрия f: М-> М,
для которой fft = id. Возьмем точку р0^М и положим pi = fl(p0)>
1, тогда множество {р&, .... инвариантно относи-
тельно f. Поскольку М — полное односвязное риманово многооб-
разие неположительной кривизны, каждая точка ре М является
полюсом, так что ехрр инъективно. Из леммы этого раздела с уче-
том замечания (ii) разд. 5.2 и сравнивая индексную форму, как
в разд. 6.1, получаем, что все метрические шары в М выпуклы
и просты. Для некоторого т|>_0 и точки р0, .... pk-} при-
надлежат компактному шару Вп(р). Таким образом, множество А
всех точек q, для которых fz(p)eBn(p) при i = 0, 1, ..., k— 1,
не пусто и компактно, и непрерывная функция q—>p(q, f(q)) до-
стигает минимума в некоторой точке q0^A. Мы покажем,
что ц = 0, а это будет означать, что qQ — неподвижная точка f,
вопреки предположению, что л,(Л1) свободно действует на М. Из
этого противоречия и будет следовать требуемое утверждение.
Если ц>0, то угол треугольника с вершинами <?о> f (<7о)> г(<7о) ПРИ
вершине f(q0) меньше л, потому что в противном случае все точки
fl(q0) лежали бы на некоторой нетривиальной периодической гео-
дезической, что несовместимо с инъективностью ехр?0. Возьмем
точку q на кратчайшей, соединяющей q0 с f(q0), отличную от ее
концов, тогда ввиду выпуклости всех метрических шаров имеем
р(?> f(?))<p(g, f (<7о)) + Р (/(<7о)> f (3)) = р(<7о. f(<7o)) = P.
что противоречит определению ц.
(v) Пусть М — полное риманово многообразие размерности п 2
постоянной кривизны Ко = х^0. Рассмотрим для х<0 п-мерное
гиперболическое пространство М = Uw а при х = 0 евклидово про-
странство M = Rn (см. замечание (iv) разд. 3.6). Если М одно-
7.2. Теорема Адамара-Картана
227
связно, р е М, р е М и i: Мр-* Л4__—линейная изометрия, то экспо-
ненциальные отображения ехрр, ехр- инъективны и ехр- ° i ° ехр~],
согласно замечанию (i) разд. 6.3, есть изометрия М на М. Следо-
вательно, риманово универсальное накрывающее М многообра-
зия М всегда изометрически диффеоморфно (и, значит, изомет-
рично в смысле расстояния) стандартному пространству той же
кривизны, т. е. гиперболическому или евклидову пространству.
В случае если М не обязательно односвязно, также известны
некоторые результаты о строении М, по крайней мере при х = 0.
Риманово многообразие нулевой кривизны называется плоским.
Такое многообразие М имеет в качестве изометрического универ-
сального накрывающего Rn и может быть, согласно (iii), получено
как пространство орбит Rn относительно группы лДМ), элементы
которой отождествляются с изометрическими преобразованиями
накрытия Rn, т. е. с евклидовыми движениями Rn (см. замеча-
ние (iv) разд. 3.2). Так как при этом лДМ) действует свободно,
то получаются движения без неподвижных точек.
Рассмотрим эндоморфизм голономии <р: Л] (Л1)-> О (п) (см. за-
мечание (v) разд. 2.6). Если М компактно, то, как можно пока-
зать, образ <р в О(п), т. е. группа голономии Ф риманова много-
образия М, конечен и ядро ф есть максимальная нормальная под-
группа Л] (М), изоморфная n-мерной целочисленной решетке
Z“cR“. Таким образом, фундаментальная группа плоского ри-
манова многообразия М есть конечное расширение свободной абе-
левой группы Zn. Точной последовательности групп 0->Zn->
—> it] (Л1) —> Ф —> 1 соответствуют римановы накрытия Rn -* Тп -* М.
Итак, плоское компактное риманово многообразие всегда имеет
n-мерный тор Тп в качестве конечного изометрического накрываю-
щего, причем группа голономии М действует на Тп как группа
изометрических преобразований накрытия. Для любой конечной
группы Ф существует плоское компактное риманово многообразие,
имеющее Ф своей группой голономии. В каждой размерности су-
ществует лишь конечное число не гомеоморфных друг другу пло-
ских компактных римановых многообразий.
Единственная компактная ориентируемая поверхность М, до-
пускающая плоскую риманову метрику, есть тор Г2, как это вы-
текает из предыдущих соображений и замечания (i). Это также легко
следует из теоремы Гаусса — Бонне, согласно которой для любой
компактной ориентируемой поверхности М имеет место =
м
= 2л%, где со —форма площади и % —эйлерова характеристика
поверхности М. Если К, — 0, то и % = 0, поэтому поверхность Д7
диффеоморфна Т2,
228
§ 7. Связи между кривизной и топологическим строением
При х<0 фундаментальная группа Л] (М) представляется как
группа изометрических преобразований накрытий, свободно дей-
ствующая на n-мерном гиперболическом пространстве UK, таким
образом, М изоморфно факторпространству стандартного прост-
ранства Ux. Несмотря на такое достаточно явное описание гипер-
болических пространств постоянной кривизны, общей классифи-
кации всевозможных Диффеоморфных типов таких пространств
еще не существует. Ряд дальнейших сведений по этому вопросу
можно найти в цитируемой ниже книге Вольфа (см. замечание (iii)
разд. 7.3). Любая компактная ориентируемая поверхность M2g рода
g^2 диффеоморфна пространству орбит некоторой группы изо-
метрий, свободно действующей на гиперболической плоскости, как
это доказывается в теории функций (см. замечание (iv) разд. 3.6).
Поэтому на М| существует риманова метрика постоянной отри-
цательной кривизны х, которая может быть задана произвольно.
(vi) Отметим в заключение одно свойство фундаментальной
группы полного риманова многообразия, кривизна которого везде
отрицательна.
Пусть М полно, dimMi>2, /Со^х^0 для всех касательных
плоскостей о, и пусть М односвязно. Если А=(с0, clt с2) — тре-
угольник в М с углами у; при вершинах ph то существует тре-
угольник А (с0, с,, с2) с теми же длинами сторон L (с{) = L (с;)
в гиперболической плоскости UK (при х<0) или в R2 (при х = 0)
(см. замечание (i) разд. 6.4). Обозначим через yz углы треуголь-
ника А, соответствующие углам А. Так как ехрР/: Мр -* Месть
диффеоморфизм, из теоремы сравнения Рауха непосредственно
вытекает (как и в части (а) доказательства теоремы Топоногова),
что yz^yz и, более того, yz<yz, если Ка<х^0 и треуголь-
ник А — невырожденный, т. е. не все его вершины лежат на одной
геодезической (см. замечание (iv) разд. 6.4). Сравнивая с R2, на-
ходим, что сумма углов А не больше л, и притом строго меньше л.
если Ло<0 и А — невырожденный.
Четыре попарно различные точки р0, рх, р2, р3 определяют
геодезический четырехугольник □ = (с0, с1г с2, с3) в М, где
ср [0, 1]—> М — геодезическая с cz(0) = pit cz(l) = pi+i, считая
индексы по модулю 4. Угол у; четырехугольника □ при вершине pz.
по определению равен л —->£(<?;_, (1), cz(0)). Покажем, что сумма
углов □ не превосходит 2л и строго меньше 2л, если Ка < 0 и
□ — невырожденный, т. е. не все четыре его вершины лежат на
одной геодезической. Для этого разобьем □ диагональю на тре-
угольники с вершинами р0, рх, р2 и р2, р3, р4, а затем примем
во внимание, что для любых трех ненулевых векторов и, v, w е R*
справедливо неравенство ^-{и, v) + ^-(v, w), как это
следует из неравенства треугольника на сфере Sn~l._
7.2. Теорема Адамара — Картона
229
Последнее рассуждение имеет следующее непосредственное
приложение. Образ невырожденной геодезической с: R-*A4
назовем прямой в М; изометрию f: М-+М назовем трансляцией,
если на М существует прямая С, остающаяся инвариантной от-
носительно f, т. е. f(C) = C. Пусть везде на М выполняется /Со<0.
Покажем, что каждая трансляция f оставляет инвариантной
в точности одну прямую С, так что в М нет „параллельных"
прямых. Допустим, что С' —отличная от С прямая, для которой
f (С') = С'. Возьмем точки р^С, р' еС' и положим q = f (р) е С,
q' = f(p')^C'. В геодезическом четырехугольнике □ с вершинами
(р, q, q', р') углы при вершинах р, q, соответственно р', q', дают
в сумме л, так как f — изометрия, a С и С' инвариантны отно-
сительно f, поэтому сумма углов □ равна 2л, вопреки доказан-
ному выше.
Пусть теперь Г —группа изометрий, свободно действующая
на М (см. замечание (iii)). Если Г —абелева группа, содержащая
трансляцию f, то Г есть бесконечная циклическая группа Z.
В самом деле, если С —прямая в М, инвариантная относительно/
и то g(С) = g(f (С)) = f (g (С)). Поэтому прямая g(C) также
инвариантна относительно f, откуда g(C) = C, поскольку мы
доказали выше, что в М может быть не более одной прямой,
инвариантной относительно f. Таким образом, все не тождествен-
ные изометрии группы Г суть трансляции с одной и той же
инвариантной прямой С. На прямой С группа Г свободно дей-
ствует как группа сдвигов, откуда и следует требуемое утвер-
ждение.
Пусть теперь М не обязательно односвязно (но компактно)
и имеет всюду отрицательную кривизну. Следующее утверждение
вытекает из предыдущих рассуждений: каждая абелева под-
группа Г фундаментальной группы л, (М) — бесконечная цикли-
ческая. Для доказательства рассмотрим риманово универсаль-
ное накрытие М—>-Л1; согласно замечанию (iii), Л] (М) свободно
действует на М как группа изометрических преобразований на-
крытия. Мы покажем, что все преобразования накрытия суть
трансляции, откуда и будет следовать сформулированное выше
предложение.
Сначала сделаем замечание общего характера. Пусть М — диф-
ференцируемое многообразие, с0> ci: [а, р -> М — кусочно диффе-
ренцируемые замкнутые пути, с0 (а) = с0 (Р) = Ро> (а) = (Р) = Pi-
Непрерывное отображение Н: [а, р] X [0, 1] -> М называется сво-
бодной гомотопией, связывающей с0 с ch если отображение
Hs: [а, р]-*М, заданное формулой Hs (t) = Н (t, s), — есть кусочно
дифференцируемый замкнутый путь для каждого sg[0, 1] и,
кроме того, Н0 = са, = При этом в случае риманова много-
образия М опять предполагается, что функция длины s-+L(Hs)
230 § 7. Связи между кривизной и топологическим строением
непрерывна (см. разд. 7.1). Пути с0 и ct называются свободно
гомотопными, если существует свободная гомотопия, связываю-
щая с0 с сР „Свободная гомотопность" есть отношение эквива-
лентности во множестве Q всех кусочно дифференцируемых
замкнутых путей [0, 1]—> М. Если пути с0 н свободно гомо-
топны и pQ = рь то с0 н не обязательно (р0, р0)-гомотопны.
Путь с0 в том н только том случае (р0, р0)-гомотопен тривиаль-
ному пути / —> р0, если со принадлежит тривиальному классу
свободной гомотопии, т. е. свободно гомотопен тривиальному
пути t —> р е М. Покажите, что каждый класс эквивалентности
свободно гомотопных путей в Q содержит периодическую геоде-
зическую минимальной длины, если М — компактное многообразие
(рассуждения аналогичны (iii)). Следует заметить, что для полных,
но не компактных рнмановых многообразий последнее утвер-
ждение, вообще говоря, неверно, как это видно на примере
гиперболоида вращения х2 + if — z2=l в полупространстве R+.
Вернемся теперь к исходной ситуации. Зафиксируем ре М
и отождествим л, (М) с щ(М, р). Если путь coeQ представляет
отличный от единичного класс (р, р)-гомотопни нз Л] (Л1), то с0
свободно гомотопен нетривиальной периодической геодезической
с gQ. Прообраз с относительно проекции М —> М есть прямая в М.
В силу конструкции универсального накрывающего в (iii) эта
прямая инвариантна относительно индуцированного с0 преобразо-
вания накрытия f: М-+М. В самом деле, рассмотрим свободную
гомотопию Н, связывающую с0 с с, положим ^ = с(0) = с(1) и
определим с+, по формулам с+ (s) = Н(0, s), с_ (s) =
= Н (0, 1 —s). Тогда очевидно, путь с0 является (р, р)-гомотопным
композиции путей с+, с, с„. Итак, каждое преобразование на-
крытия есть трансляция, и наше исходное предложение доказано.
Рассмотрим в качестве примера произведение M = M2g,
двух компактных ориентируемых поверхностей Mg„ Mgt родов
gi. g2>2 с постоянной отрицательной кривизной (см. замеча-
ние (v) и определение произведения в замечании (vi) разд. 3.6).
Метрика произведения имеет всюду кривизну Ка^0, но из только
что полученного результата следует, что на М не может суще-
ствовать никакой метрики строго отрицательной кривизны, так
как Л] (М) содержит подгруппу, изоморфную Z2 (см. (i) н (v)).
Точно так же не может существовать метрики строго отрица-
тельной кривизны на торе Тп.
Покажите, что фундаментальная группа Л[(А4) компактного
риманова многообразия строго отрицательной кривизны не может
быть абелевой.
Пусть М, N — компактные дифференцируемые многообразия,
покажите, что на М X N не существует метрики строго отри-
цательной кривизны,
7.3. Кривизна и диаметр
231
По вопросам, рассмотренным в этом разделе, см. Preissmann А.,
Quelques proprietes globales des espaces de Riemann, Comm. Math.
Helv., 15 (1943), 175 — 216. В этой же работе собран ряд извест-
ных к тому времени результатов глобальной римановой геомет-
рии.
7.3. Кривизна и диаметр
Для полных римановых многообразий неположительной кри-
визны известно по крайней мере топологическое строение уни-
версального накрывающего, которое диффеоморфно евклидову
пространству. В случае положительной кривизны дело обстоит
иначе, и мы подробно займемся этим вопросом в следующих
разделах.
Пусть М — связное риманово многообразие и А —подмноже-
ство М. Число рл = sup р(р, q) называется диаметром А. Для
р, <7<=Л
компактного подмножества А с М диаметр рл конечен и суще-
ствуют точки р0, q0 е= А, для которых рл = р (р0, <7о)> поскольку
р — непрерывная функция.
Следующая теорема является обобщением классического ре-
зультата Бонне о выпуклых поверхностях.
Теорема 1 (Мейерс С. Б.)
Усл. М —полное риманово многообразие; Ка'^п>0 для всех
касательных к М плоскостей о.
Утв. Для всех р, q е М выполнено неравенство
Р(Р>
(О
Согласно части (с) теоремы Хопфа — Ринова (разд. 5.3), отсюда
следует, что М компактно. Так как риманово универсальное
накрывающее М удовлетворяет вместе с М условиям теоремы, М
также компактно и, следовательно, лДМ) конечна (см. замеча-
ние (iv) разд. 5.3 и замечание (i) разд. 7.2).
Док. По теореме Хопфа —Ринова существует нормальная геоде-
зическая с: [0, р]—соединяющая р с q, для которой L(c) =
= p(p,q). В силу разд. 4.5 геодезическая с не имеет сопряженных
точек в [0, р), и из теоремы Морса — Шенберга следует, что
Р (Р, <7) = Р < ,
У к
т. е. утверждение (1).
Пусть М — риманово многообразие, dimM^2 и б —действи-
тельное число, 0^6^ 1. Кривизна М называется ^-ограниченной,
если существует такое число р >0, что
(2)
для всех касательных к М плоскостей ст.
232
§ 7. Связи между кривизной и топологическим строением
Многообразия с 1-ограниченной кривизной суть пространства
постоянной положительной кривизны р. („эллиптические простран-
ственные формы").
При умножении метрического тензора g на положительное
число Л все значения римановой кривизны делятся на к (см.,
например, (22) разд. 3.6), и 6-ограниченное многообразие перехо-
дит опять в 6-ограниченное. В частности, риманову метрику М
можно всегда нормировать так, чтобы везде выполнялось 6<,
Если М компактно и везде /Со>0, то кривизна М
6-ограничена, где 6>0 (см. замечание (ii) разд. 3.6).
Верхняя граница в неравенстве (1) достигается для сферы
М = S"i кривизны х, диаметр которой (в смысле внутренней
Ух
метрики) равен—Для любого другого риманова многообра-
У и
зия, удовлетворяющего условиям теоремы Мейерса, диаметр
меньше как это видно из следующей теоремы:
Ух
Теорема 2 (В. А. Топоногов)
Усл. М полно', для всех касательных к М плоскостей а,
_ я
Рм — ~77=Г'
У к
Утв. М изометрически диффеоморфно сфере Sn i кривизны х.
Ух
Док. Зафиксируем точки р, а е М, для которых р (р, q)=PM = ~7=-
У х
(а) Покажем вначале, что каждая исходящая из р нормальная
геодезическая с: [0, р]->М длины 0 = -^=- имеет конец в точке q.
Возьмем значение /ое(О, 0), тогда для точки r = c(f0) имеем
/0 = р(р, г). Пусть, далее, с0 — нормальная геодезическая, соеди-
няющая г с q, для которой L (с0) = p(r, q). Тогда t0 + L(c0) =
= р(р, r) + p(r, q)^p(p, q). С другой стороны, в силу (6) разд. 6.4
имеем р(р, r) + p(r, q) + f>(q, р)<-~, откуда р(р, г) + р(г, ^)<
— р(р, q) = p(p, q). Поэтому /0 + L (с0) = р (р, q), композиция
путей с |[0 и с0 есть кратчайшая и, значит, нормальная геоде-
зическая, которая должна совпасть с с. Следовательно, c($) — q
(см. замечание (iii) разд. 4.4).
Из утверждения (а) вытекает, что отображение ехрр обратимо
на открытом шаре U сйМр радиуса р = —с центром в 0. В са-
V X
7.3. Кривизна и диаметр
233
мом деле, предположим, что ехр ly не инъективно, тогда сущест-
вуют две различные нормальные геодезические с1( с2: [О, 0]-*М,
соединяющие р с q, и два числа /2е(0, 0), для которых
Ci (/() = с2(/2). Ясно, что = t2, так как в противном случае либо
композиция путей с( |(0 Л), с2 |[6 р], либо композиция путей с21[0
—^=-. Но тогда композиция ct |(0 z ) и
ct |[Л п была бы короче
с2|[/г р] есть кусочно нормальная геодезическая длины Р = р(р, q),
соединяющая р с q, и в силу замечания (iii) разд. 4.4 является
нормальной геодезической. Итак, с( и с2 совпадают, вопреки пред-
положению. Заметим еще, что из инъективности ехрр |у следует,
что ехрр |у есть диффеоморфизм (см. замечание (iii) разд. 5.3).
(Ь) Пусть с: [0, р] -> М — произвольная нормальная геодезиче-
ская длины .-^=- с началом р, покажем, что /(а = % для всех пло-
скостей а е= Gc. Согласно (а), с есть кратчайшая, соединяющая
р с q, тогда из замечания (ii) разд. 4.6 следует
Indc = 0.
(3)
Обозначим через р, q северный и южный полюсы сферы М = Sn i
/х
кривизны %, через с — нормальную геодезическую в М, соединяю-
щую р с q. Построим, как и в разд. 6.1, изоморфизм Ф: 23J —>25Р.
Предположим, вопреки нашему утверждению, что существуют
такие t0 е [0, р] и u^Mcqt), для которых ||м||=1, (и, c(to)} — O и
кривизна К (и, с (i0)) > %, в силу непрерывности можно считать
при этом, что i0 е (0, Р). Тогда, согласно замечанию (iV) разд. 4.2,
существует поле Якоби Y вдоль с, для которого Y (0) = 0, Y (Р) = 0,
Y (t0) = й = Ф^' (и). Из неравенства (7) разд. 6.1 следует прежде
всего, что I(Y, Y)^I (ФУ, ФУ), поскольку в данном случае вы-
полнено предположение (1) разд. 6.1. Так как
К (и, с (70)) = к (ФУ (/о), с (70) ) > X = к (У (/о), ~с (*о)),
мы получаем в (8) разд. 6.1 вместо строгое неравенство,
т. е. /(У, У) >7 (ФУ, ФУ). С другой стороны, / (У, У) = 0, так как
с — кратчайшая, и из предыдущего неравенства получается Ind с>0,
что противоречит (3). Этим утверждение (Ь) доказано.
(с) Теперь мы можем доказать, что М изометрически диффео-
морфно сфере Л4 = 1 кривизны х. Пусть р, —северный и
/х
южный
тром в
полюсы М; U cz Мя — открытый шар радиуса —£=- с цен-
V х
0; V с Mq — открытый шар радиуса с центром в 0.
234
§ 7. Связи между кривизной и топологическим строением
Построим произвольную линейную изометрию i: Мр-+Мр и опре-
делим непрерывное отображение h: М-+М по формуле h(r) =
= exppoi°(expp|£7)“1 (г) для ?=/=<?, h(q) = q. Согласно пункту (а),
Л1й\{9} есть диффеоморфизм. Покажем, что этот диффеоморфизм
изометричен. Пусть и Мг, положим b = (exp^ |у).~’ о. В силу (2)
разд. 6.3 имеем ||ехр₽* Ь || = || ехрр» itb ||, так как М имеет постоян-
ную кривизну % вдоль всех исходящих из р геодезических (см.
пункт (Ь)). Тем самым || v || = || h,v || и ht сохраняет норму. Из то-'
ждества 2{v, w} = || v + w |р —1| v |p —1| w IP видно, что h, сохраняет
также скалярное произведение, так что h\MXfrj} есть изометриче-
ский диффеоморфизм.
Остается доказать, что h является также дифференцируемым
и изометрическим отображением и в окрестности q. Для этого
построим произвольную линейную изометрию I: Мч-+М$ и опре-
делим отображение f: Af —>Л4 по формуле f (г)=ехр, °1 ° (ехр, |у)-1(г)
для г =И= р, f(p) = p. Отображение оказывается изометри-
ческим диффеоморфизмом, точно так же, как
Нетрудно проверить, что F = f°h: М —> М есть диффеоморфизм
сферы М на себя, сохраняющий расстояния. В самом деле, если
г1( г2 <= М\ {<?} и rb r2<^ М \(р}, то, очевидно,
Р (й, й) = Р (h (n), h (г2)), р (гь r2) = р (f (ri), f (r2) )• (4)
Из соображений непрерывности равенства (4) распространяются
все точки rb r2^M, rltr2^M, откуда получается p(F(?j), f(r2)) =
= р(Й, й) Для всех й, г2^М. Таким образом, F — ортого-
нальное отображение евклидовой сферы на себя и, значит, изо-
метрический диффеоморфизм, см. замечание (iv) разд. 4.2. Ото-
бражение F~lof есть обратное h, так как F~1 ° f |м {р} есть изо-
метрический диффеоморфизм, отображающий Af\{p} на Л4\{р},
то h есть изометрический изоморфизм на Л1\{р} и, следова-
тельно, h — изометрия.
Замечания
(i) Пусть М — полное многообразие, dimAf = n. Предположим,
что для всех нормированных векторов v^TM кривизна Риччи
г (и)^= (п — 1)н>0 (см. разд. 3.6). Пользуясь результатом заме-
чания (i) разд. 6.2, покажите, что в этом более слабом предпо-
ложении остается справедливой оценка (1) теоремы 1.
Таким образом, полное риманово многообразие, кривизна
Риччи которого ограничена снизу положительным числом, ком-
пактно н имеет конечную фундаментальную группу.
7.3. Кривизна и диаметр
235
Параболоид представляет пример полного некомпактного ри-
манова многообразия положительной кривизны (см. замечание
(viii) разд. 3.7).
(ii) Рассмотрим связное (не обязательно полное) риманово
многообразие М. Пусть р^М, Us cz Мр — открытый шар радиуса
е>0 с центром в 0. Предположим, что Us целиком принадлежит
области определения ехрр и что для всех плоскостей а, касатель-
ных к М в точках ехрр([/е), выполнено неравенство
Покажите, опираясь на лемму разд. 5.3, что при е>—^=- много-
Г К
образце М компактно.
(iii) Пусть М — полное риманово многообразие постоянной
кривизны Ка=х>0. Тогда по теореме Майерса М компактно и фун-
даментальная группа л( (М) конечна. Покажем, что если М одно-
связно, то М изометрически диффеоморфно стандартному про-
странству той же кривизны к —сфере М = Sn i . Это предложение
Ух
можно получить, сопоставляя теорему 2 этого раздела с теоремой
разд. 7.7, согласно которой ^=-. Более простое доказатель-
У к
ство состоит в следующем. Возьмем точки ре М и ре М и по-
строим линейную изометрию i0: А4р—>А4р. Тогда f0=expp° i0°exp^*
есть изометрическое погружение в М открытого шара В я (р) е М
Ух"
зт
радиуса с центром р (см. замечание (i) разд. 6.3). Пусть
р е В „ (р) и q =£ р. Положим q = fo(q) и построим линейную
Ух
изометрию q: Mq-+Mq по формуле iIu = f0.u. Тогда отображение
fr: ехр9 ° ц °ехр~1 изометрически отображает В я (р) в М, и по
Ух
теореме единственности для изометрий имеем f0|B (-)ПВ я <§> ~
Ух Ух
= filB я (р)ПВ п (5). Поскольку оба шара вместе покрывают всю
Ух Ух"
сферу М, отображения f0, ft задают изометрическое погружение
f: М -> М. Так как М и М компактны, а М односвязно, выполняются
условия замечания (v) разд. 1.7, откуда получается, что/— диффео-
морфизм. Таким образом, доказана и оставшаяся часть теоремы.
Из только что доказанного предложения следует, что для
многообразия М постоянной кривизны х>0 риманово универсаль-
ное накрывающее М изометрически диффеоморфно S" i , причем
Ух"
236
$ 7. Связи между кривизной и топологическим строением
фундаментальная группа л1 (М) свободно действует на Sn 1 как
/и
группа изометрических преобразований накрытия, т. е. в данном
случае ортогональных отображений без неподвижных точек (кроме
тождественного).
Из топологии известно, что при четном п всякое диффеоморф-
ное отображение Sn на себя, сохраняющее ориентацию Sn, имеет
неподвижные точки (см. разд. 7.7). Оправляясь от этого факта,
покажите, что каждое компактное многообразие постоянной поло-
жительной кривизны к изометрически диффеоморфно либо
сфере Sn, , либо проективному пространству Pni (R), для кото-
Vx V х
рого Sn, служит римановым универсальным накрывающим (см.
V х
разд. 7.5).
Для нечетного п соответствующая классификация классов изо-
метрии и связанный с ней вопрос, какие конечные группы могут
свободно действовать на S", представляет трудную задачу, лишь
недавно решенную Вольфом. Следует указать на раннюю осново-
полагающую работу Хопфа (Hopf Н., Zum Cliff ord — Kleinschen
Raumprobletn, Math. Ann., 95 (1926)), а также на весьма содер-
жательную книгу Вольфа (Wolf J. A., Spaces of constant curva-
ture, McGraw-Hill Co. (1967)). Некоторые сведения из этой
области можно найти также в цитированной в конце § 1 книге
Кобаяси — Номидзу.
Примером неодносвязного компактного риманова многообра-
зия постоянной положительной кривизны является действительное
проективное пространство i (R), его фундаментальная
V х
группа Z2 свободно действует на сфере S"i (образующий эле-
V х
мент Z2 есть инволюция а-»—а). Приведем в качестве более
общего построения так называемые линзовые пространства. Пусть
р, q — взаимно простые натуральные числа. Циклическую группу
о-го порядка Z„ можно представить как мультипликативную
группу корней g-й степени из единицы (е 4 |o<v<9-i J, свободно
/ 2n<v 2aivp\
действующую на S3 по правилу (zb z2)-> \z(e 4 , z2e « ), где
S3 c R4 = С2 описывается уравнением ztzt + z2z2 = 1. Линзовое
пространство L(p, q) есть факторпространство по отношению
к этой групповой операции с индуцированной римановой стру-
ктурой.
Существуют также простые неабелевы группы ортогональных
отображений, свободно действующих на S3 (см. также замеча-
ние (iv)).
7.4. Ориентируемые многообразия
237
(iv) Если М — полное риманово многообразие размерности п^2
с 6-ограниченной кривизной, 6>0, т. е. М компактно и имеет
везде положительную кривизну, то в случае нечетной размер-
ности п о строении фундаментальной группы (М) известно не-
многое; в случае же четного п существует - очень простое полное
описание (см. разд. 7.5). Если 6>—, то по теореме о сфере (см.
разд. 7.8) риманово универсальное накрывающее М многообра-
зия М гомеоморфно сфере Sn. В этом случае методами алгебраи-
ческой топологии (исследованием спектральной последовательности
накрытия Sn->S"/r) можно показать, что каждая абелева под-
группа Г с Л] (М) циклична. Интересна нерешенная задача, по-
ставленная Чжэнем: останется ли справедливым последнее утвер-
ждение, если отказаться от ограничений на 6. Достаточно
рассмотреть накрытие Af —> Af/Г и, таким образом, можно счи-
тать, что Г^лДМ) уже абелева. Однако М может быть не
гомеоморфно сфере 5". Если п четно, то ответ положителен, как
и в случае компактных многообразий строго отрицательной кри-
визны (см. замечание (vi) разд. 7.2). Если допустить, что каждая
абелева подгруппа фундаментальной группы компактного рима-
нова многообразия положительной кривизны — циклическая, то
отсюда, например, во многих случаях следовало бы, что на произ-
ведении двух неодносвязных компактных многообразий не суще-
ствует римановой метрики положительной кривизны.
7.4. Ориентируемые многообразия
Напомним сначала одно понятие линейной алгебры.
Пусть Е — действительное n-мерное векторное пространство
размерности пит: — эндоморфизм, т называется сохра-
няющим ориентацию, если detr>0. Сохраняющий ориентацию
эндоморфизм, в частности, является изоморфизмом. Пусть Е1г
Е2 — действительные векторные пространства равной размерности
n, f: Е[—>Е2, g: Е2—>Е1 — линейные отображения, причем g°f
сохраняет ориентацию. Далее, пусть т: Е2^>Е2 — сохраняющий
ориентацию изоморфизм, тогда и g°t°f: Et—f-Et сохраняет
ориентацию.
Установим во множестве всех упорядоченных базисов Е сле-
дующее отношение эквивалентности: два упорядоченных базиса
е1г ..., еп и §!,..., ёп называются эквивалентными, или одинаково
ориентированными, если существует сохраняющий ориентацию
изоморфизм т: Е-+Е, для которого те(=ёг. Класс эквивалент-
ности одинаково ориентированных базисов называется ориента-
цией Е. Существуют в точности две различные ориентации Е
при п>0.
238
§ 7. Связи между кривизной и топологическим строением
Пусть М — n-мерное многообразие. Ориентацией О на М назы-
вается функция, сопоставляющая каждой точке ре М ориента-
цию Ор касательного пространства Мр, „непрерывно зависящую
от р" в следующем смысле:
для любой точки ре М существуют окрестность U точки р
и непрерывные базисные поля Xlt Xn^3iO, такие, что
для всех q е U базис Xt |9, ..., Хп |9 представляет ориен-
тацию Dp на Mq.
Многообразие М называется ориентируемым, если на М суще-
ствует ориентация; М ориентируемо в том и только том случае,
если ориентируема каждая компонента связности М\ если таких
компонент имеется k, то существует, при n>0, 2fe ориентаций.
Ориентируемое дифференцируемое многообразие М вместе с за-
данной ориентацией на М называется ориентированным много-
образием. Каждое параллелизуемое дифференцируемое многообра-
зие М ориентируемо, так как в этом случае существуют даже
глобально определенные базисные поля.
Пусть М — n-мерное ориентируемое дифференцируемое много-
образие с ориентацией D; с: [0, 1]—>Af — непрерывный путь. Опре-
делим непрерывные базисные поля Хр [О, 1]-*7\W вдоль с, i= 1.п,
т. е. такие поля, что л»Хг=с и ХД?)..Xn(t) составляют базис
касательного пространства Мсц) при всех t е [0, 1], причем по-
следовательность Х[(/о), Xn(tQ) принадлежит ориентации DcqQ)
пространства Afc(W. Тогда, как нетрудно убедиться, базисы
X,(f), ..., Xn(f) представляют при всех t ориентацию Dc«). Если,
в частности, путь с замкнут, т. е. р = с(0) = с(1), то изоморфизм
т: Мр-+Мр, заданный формулой тХг(0) = Хг(1), г = 1, п, со-
храняет ориентацию.
Пусть М, М — ориентированные связные многообразия равной
размерности с ориентациями D, D. Погружение f: М-+М назы-
вается сохраняющим ориентацию, если для всех р имеем f.Dp =
= Df (Р), в противном случае f называется обращающим ориента-
цию. Покажите, что если для некоторой точки р0^М справед-
ливо f.Dp,=Df (Pll), то f сохраняет ориентацию.
Пусть М — связное дифференцируемое многообразие, р^М,
Dp — ориентация Мр. Каждый непрерывный путь с: [0, 1]->М,
для которого с (0) = р, c(l) = q, индуцирует из Dp ориентацию Dp
на Mq. А именно, рассмотрим непрерывные базисные поля
Х1г .... Хп вдоль с, представляющие в точке р ориентацию Dp,
тогда Dp задается базисом (Т), .... Х„(1) и, как легко видеть,
не зависит от выбора Xt.
Построим теперь на М произвольную линейную связность и
предположим, что с —кусочно дифференцируемый путь. Тогда,
7.4. Ориентируемые многообразия
239
в частности, параллельный перенос вдоль с по отношению к V
задает изоморфизм т: Мр -> Mq, такой, что тОр = Пусть
с: [0, 1] —> М — другой кусочно дифференцируемый путь, с(0) = р,
с(1) = q и т: Мр -> Mq — параллельный перенос вдоль с. Если с, с
являются (р, р)-гомотопными, то с и с индуцируют из Ор одну и ту же
ориентацию на Mq. В самом деле, согласно замечанию (i) разд.
7.1, существует кусочно дифференцируемая (р, р)-гомотопия
Н: [0, 1] X [0, 1] -» М, соединяющая с с с, и параллельный перенос
ts: Mp—>Mq вдоль пути семейства Hs непрерывно зависит от $,
так что для всех s е [0, 1] образы базиса Мр при отображении ts
одинаково ориентированы в Mq. Поскольку т = т0, т = ть имеем
тОр = тОр = Ор. Отождествим фундаментальную группу л1 (Л1)
с л1 (Л1, р). Зададим следующим образом гомоморфизм ориента-
ции nJAl)—>Z2, где Z2 представляется как мультипликативная
группа {—1, 1}: сопоставим замкнутому кусочно дифференцируе-
мому пути с: [0, 1]—* М элемент 1, если с переводит ориента-
цию Ор на Мр снова в Ор, в противном случае — элемент — 1.
По указанным выше соображениям это соответствие зависит
только от (р, р)-гомотопического класса с и мультипликативно.
Лемма.
Усл. М — связное дифференцируемое многообразие', р^М; л1 (Л1)й^
= Л1 (М, р).
Утв. Следующие предложения равносильны'.
(а) М ориентируемо',
(Ь) гомоморфизм ориентации тривиален.
Если, например, л1 (М)— конечная группа нечетной размер-
ности, то М ориентируемо. В частности, каждое односвязное
дифференцируемое многообразие ориентируемо.
Док. Из (а) следует (Ь), как уже было отмечено в этом разделе.
Пусть теперь гомоморфизм ориентации тривиален. Выделим
некоторую ориентацию Ор пространства Мр. Если q е М, то
существует кусочно дифференцируемый путь с: [0, 1] —> Л1 с на-
чалом р и концом q, индуцирующий ориентацию О, пространства Mq.
Любой другой кусочно дифференцируемый путь с: [0, 1]—> М,
соединяющий р с q, переводит Ор в ту же ориентацию В са-
мом деле, композиция путей с, с-1, с, где с-1 получается из с
переменой направления, очевидно, (р, р)-гомотопна с, в то время
как композиция путей с, с-1 есть замкнутый путь, по предполо-
жению переводящий Ор в Ор. Легко видеть, что соответствие
q^>£)q задает ориентацию на М. Таким образом, (а) следует
из (Ь), и лемма доказана.
240
§ 7. Связи между кривизной и топологическим строением
В следующем абзаце применяются замечания (i) и (iii) разд. 7.2
относительно теории накрывающих.
Пусть М — связное неориентируемое дифференцируемое много-
образие, р^М, л1 (Л4) ss л1 (М, р). Можно каноническим образом
построить для М ориентируемое связное дифференцируемое
многообразие М, двулистно накрывающее М. Гомоморфизм ориен-
тации n](Af)-»-Z2 не тривиален, следовательно, сюръективен, И
его ядро Г есть инвариантная подгруппа Я] (М) индекса 2.
Фундаментальная группа л( (М) свободно действует на универ-
сальном накрывающем М многообразия М как группа диффео-
морфных накрывающих преобразований. Мы получаем двулистное
регулярное дифференцируемое накрытие ориентации М = М/Г ->
—> М/Л] (М) = М, ставя в соответствие орбите каждой точки М
относительно Г соответствующую орбиту относительно Л! (М);
n1(M)/r = Z2 естественным образом действует как группа пре-
образований этого накрытия на связном многообразии М, Л[ (М) = Г.
Накрытие ориентации индуцирует включение Л! (М) Г л, (М),
а в композиции с гомоморфизмом ориентации л1 (М)—> Z2 дает
гомоморфизм ориентации М, который, по определению Г, тривиа-
лен; таким образом, М ориентируемо в силу доказанной выше
леммы.
В заключение мы приведем еще равносильное предыдущему
прямое определение накрытия ориентации. Обозначим через М
множество всех ориентаций касательных пространств Мч
с естественной проекцией f: М-+М и введем на М топологию,
задав следующую систему окрестностей для каждой точки ©9 е М:
для каждой карты х с областью определения U, координатные
поля которой л 1 = , ...» Хп = -^гт представляют в точке q U
ориентацию D9, назовем окрестностью в М множество всех
заданных базисами Х11?1, ..., ^„1^ ориентаций пространств
Mqi, где q1 е U. По отношению к этой топологии f является ло-
кальным гомоморфизмом, индуцирующим на М структуру связ-
ного ориентируемого дифференцируемого многообразия, так что f
становится дифференцируемым накрытием. Группа л](Л1)/Г^
= Z2 = {—1, 1} свободно действует на М как группа накрываю-
щих преобразований М, причем 1 есть тождественное преобразо-
вание, а —1 сопоставляет ориентации £)9 пространства Мч противо-
положную ориентацию £)q\ М/Т2 = М.
Замечания
(i) Евклидовы пространства R", сферы Sn и проективные про-
странства Рп(С), Рп(Н), Р2(Са) ориентируемы. Неориентируем,
7.4. Ориентируемые многообразия
241
например, лист Мёбиуса, который можно описать как двумерное
дифференцируемое многообразие A4 = R2/Z, где Z свободно дей-
ствует на
R2 как группа аффинных преобразований
1 °
О (—1)"/
п\
+ I о I, nj(M)~Z (см. также замечание (v) разд. 1.7). Ядро гомо-
морфизма ориентации ji1(M)-^Z2 есть подгруппа ^целых чисел
Г = 2Z, накрытие ориентации есть М —> М, где М = М/Г = R2/2Z
s* S, X R есть цилиндр, на котором Z2 действует как группа
преобразований накрытия (действие определяется формулой (г, /)-»
-^(- z, -0).
(ii) Покажите, что действительное проективное простран-
ство P't(R) ориентируемо при нечетном п и неориентируемо при
четном. Накрытие ориентации Рп (R) при нечетном п есть универ-
сальное накрытие S'l->P'l(R).
(iii) Пусть М —связное дифференцируемое многообразие,
dimM = n. Покажите, что М ориентируемо тогда и только тогда,
когда на М существует n-форма и, такая, что<ор=#0 для всех реМ,
(iv) Пусть М—связное дифференцируемое многообразие, М-+М —
дифференцируемое накрытие. Покажите, что вместе с М ориен-
тируемо и М.
Пусть теперь М ориентируемо, а группа Г свободно действует
на М как группа сохраняющих ориентацию диффеоморфизмов.
Тогда дифференцируемое накрытие М->М/Г каноническим обра-
зом индуцирует ориентацию дифференцируемого многообразия М/Г.
Если Г содержит обращающий ориентацию диффеоморфизм М на
себя,, то М/Г неориентируемо. Для доказательства можно, на-
пример, рассмотреть универсальное накрытие М->М. Так как
Л] (М) = 1, М ориентируемо, М же ориентируемо в том и только
том случае, если каждый элемент свободно действующей на М
в качестве группы преобразований накрытия фундаментальной
группы лДМ) есть сохраняющий ориентацию диффеоморфизм.
(v) Рассмотрим связное дифференцируемое многообразие М
с линейной связностью V, точку реМ и группу голономии
ф(р)с GL(MP) многообразия М в точке р по отношению к V
(см. замечание (v) разд. 2.6). Из рассуждений этого раздела видно,
что М ориентируемо в том и только том случае, если Ф(р) —под-
группа GL+ (Мр) GL+ (п, R), т. е. группы всех сохраняющих
ориентацию автоморфизмов Mp = Rre. Таким образом, структурная
группа касательного расслоения ТМ ориентируемого дифференци-
руемого многообразия всегда может быть сведена к GL+ (п, R).
Это —еще одно эквивалентное описание ориентируемости М.
242
§ 7. Связи между кривизной и топологическим строением
7.5. Радиус инъективности экспоненциального отображения
в случае четной размерности
В разд. 7.3 мы получили оптимальную оценку сверху для диа-
метра компактного риманова многообразия со всюду положи-
тельной кривизной. Универсальные оценки снизу дать труднее.
Мы получим в этом разделе точную нижнюю оценку для радиуса
инъективного экспоненциального отображения, но только, в случае
четной размерности. В случае нечетной размерности этого, не
удается сделать без дополнительных предположений (см. разд. 7.7
и замечание (iii) этого раздела).
Докажем сначала некоторое утверждение относительно перио-
дических геодезических.
Лемма 1 (Дж. Л. Синг)
Усл. М — ориентируемое риманово многообразие четной размер-
ности положительной кривизны, с: [0, 0]-> М — периоди-
ческая нормальная геодезическая.
Утв. Существует такая вариацияУ: [0,р] X /-* М геодезической с,
что все соседние с с пути Ve суть замкнутые дифференци-
руемые пути, и L (е) < L (0) = 0 в некоторой окрестности
нуля в J, е =£ 0.
Док. Положим р = с(О) = с(р) и рассмотрим (п—1)-мерное под-
пространство Мр всех векторов v е Мр, для которых (о, с(0)) =
= (v, с(р)) = О. Параллельный перенос вдоль с задает ортого-
нальное отображение т: Мр—>Мр. Напомним, что комплексное
число Л является собственным значением т, если det | т — Л id | = 0.
Пусть Xi, ..., суть собственные значения т. Тогда detj =
= ... Л„_1, и вследствие ориентируемости М имеем Л,... = 1.
Если Л — собственное значение т, то и комплексно сопряженное
значение %, является собственным значением т и, поскольку т— орто-
гональное отображение, АА = 1. Но так как п — 1 = dimMp нечетно,
то по крайней мере одно из собственных значений т равно 1
(не —1, поскольку detx>0). Поэтому det | -т — id| = 0, и суще-
ствует такой вектор и е Мр, для которого tu = u, и^=0. Таким
образом, преобразование т имеет отличные от нуля неподвижные
векторы.
Пусть Y — параллельное векторное поле вдоль с, для которого
У(О) = У(р) = «. Существует такой открытый интервал J cz R, со-
держащий нуль, что еУ (t) лежит в области определения экспонен-
циального отображения ехр на М для всех ее/, Z е [0, р]. Опре-
делим 17: [0, р]Х/->Л4 по формуле V (t, е) = ехр (еУ (t)) (см. (11)
разд. 4.1). Тогда V,D21,,0 = У (/), откуда Z/(0) = 0 (см. (7) разд. 4.1).
Из параллельности У следует У' = 0и (У, с) = 0, далее, Уо2У,£>21/,е = 0
для всех (/, е)е(0, 0) X 7, так как е->17 (/, е) есть геодезическая
7.5. Радиус инъективности в случае четной размерности
243
при всех [0, р]. Теперь из (8) разд. 4.1 вытекает, что Л"(0) =
= -j {R(Y, с)с, Y}\tdt<Q, поскольку кривизна вдоль с по пред-
0
положению положительна. Значит L имеет в нуле относительный
максимум, что и доказывает лемму (см. замечание (iii) разд. 4.1).
Следствие
Утв. Связное компактное ориентируемое риманово многообразие М
четной размерности и положительной кривизны — односвязно.
С учетом предыдущего раздела получаем теперь, что для ком-
пактного многообразия положительной кривизны односвязность
равносильна ориентируемости. Если М неориентируемо, рассмо-
трим двулистное риманово накрывающее М многообразия М.
Согласно только что сформулированному следствию, М одно-
связно и тем самым универсально, так что фундаментальная группа
многообразия М — циклическая порядка 2, т. е. лДМ) £* Z2. При-
мерами служат действительные проективные пространства P"(R)
четной размерности с их естественной метрикой постоянной кри-
визны (см. замечание (ii) разд. 7.4).
Подобных простых и полных предложений о фундаментальной
группе компактного многообразия положительной кривизны в слу-
чае нечетной размерности не существует (см. разд. 7.3).
Док. Каждый нетривиальный свободный гомотопический класс
во множестве й всех кусочно дифференцируемых путей [0, 1]—>Л4
содержит периодическую геодезическую с минимальной длины ц>0
(см. замечание (vi) разд. 7.2), но это невозможно по лемме 1.
Поэтому все пути й свободно гомотопны тривиальным путям,
откуда и следует утверждение.
Заметим теперь, что в некоторых случаях различные кратчайшие
геодезические, соединяющие две точки риманова многообразия,
образуют вместе периодическую геодезическую.
Лемма 2
Усл. М — риманово многообразие и p,q <= Л4; с0, Ср [0, 1] -> М — гео-
дезические, соединяющие р с q, сй=£ щ; точка 1 не является
сопряженной точкой на каждой из геодезических с0, ct.
Утв. Если -^(с0(1), С[(1))<л, то существуют такие геодезические
ёо»/г [0, l]-*Af с началом ври общим концом q, что
L(c0) = L(cq) и L(c1)<L(c1).
Отсюда следует, что если L (с0) = L (С[) = dp (радиусу инъектив-
ности ехрр), то ^(с0(1), с1(1)) = л (см. разд. 5.2).
Док. Положим с0 = и, с1(О) = оу. Экспоненциальное отображе-
ние ехрр имеет максимальный ранг в точках v, w, так как 1 не
244
§ 7. Связи между кривизной и топологическим строением
является сопряженной точкой ни с0, ни По лемме Гаусса
(см. разд. 4.4) отображение ехрр<,°/а изоморфно отображает
(п — 1)-мерное линейное подпространство Мр, ортогональное V,
на подпространство Mq, ортогональное с0(1), где /а: Л1р->(Л1р)а —
канонический изоморфизм. Поскольку (п— 1)-мерные линейные
подпространства Mq, ортогональные соответственно с0(1), Cj (1),
по предположению не совпадают, существует такой вектор v е Мр,
что {v, 0 = 0, || v || = || v || и (ехрр, /аб, ct (1)) 0. Построим Для
достаточно малого е>0 путь с: [— е, е]—по формуле c(s) =
= ехр (t> cos s + v sin s); очевидно, с(0) = ехрр,/ац. Пусть U cz Мр —
окрестность точки w, такая, что ехр |у обратимо. Тогда с помощью
леммы Гаусса получаем (с(0), Ф (1)) = (ехрр,/ап, С](1))^=0. Сле-
довательно, путь ф = (ехр I0-1 ° с в Мр пересекает луч t^-tw
в точке да = ф(0) не ортогонально, и поэтому существует soe[—е, е],
для которого || qp (s0) || < || да ||. Полагая v = v cos s0 + б s>n so> ® = <P (so),
имеем очевидным образом || v || = || v || = || v ||, ||да||<||да|| и ехр(ц) =
= ехр (да). Обозначим точку ехр (0 = ехр (да) через q. Геодезические
с0, [0, 1] -> М, заданные формулами с0 (0 = ехр (tv), Cj(f)=exp (tw),
соединяют р с q и обладают требуемыми свойствами.
Пусть М — связное компактное риманово многообразие. Так
как, согласно следствию из леммы разд. 5.4, радиус инъектив-
ности d непрерывен, существует точка реЛ4, для которой
dp = inf dp> = 6>0. Предположим, что ехрр имеет максимальный
ранг в шаре U & cz Мр радиуса 6, >6 с центром 0. Тогда суще-
ствуют векторы V, да е Мр, для которых ехр (ц) = ехр (да), ц да,
|| v || = || да || = б. Построим геодезические с0, cf. [0, 1]-♦ М по фор-
мулам c0(t) = ехр(tv), (t) = ехр(tw), соединяющие р с q = expv
и имеющие длину L(c0) = L(cl)=b. Согласно следствию из леммы 2,
имеем ^(с0(1), С[ (1)) = л, так как 1 не является сопряженной
точкой ни на с0, ни на с{. Далее, поскольку dp = dq = &, можно
поменять местами точки р, q и рассмотреть вместо са ct, геодези-
ческие с~, с^: [0, 1] —► М противоположной ориентации, соединяю-
щие q с р. Тогда, снова применяя лемму, имеем (1), с~ (1))=л.
Таким образом, замкнутый путь, составленный из путей с0 и с~,
дифференцируемо замкнут и, следовательно, является периоди-
ческой геодезической длины 26. Ясно, что не существует невы-
рожденных замкнутых геодезических короче 26. Каждая зам-
кнутая геодезическая длины 26 периодична, если она распадается
на две геодезические длины 6 без сопряженных точек. Теперь
мы можем получить упомянутую в начале этого раздела оценку
радиуса инъективности экспоненциального отображения.
7.5. Радиус инъективности в случае четной размерности
245
Теорема (В. Клингенберг)
Усл. М — связное компактное ориентируемое риманово многооб-
разие четной размерности. Для всех касательных к М пло-
скостей а выполнено неравенство 0<Да^к.
Утв. Радиус инъективности d: Af—>R отображения ехр удовле-
творяет для всех р^М неравенству
(1)
где рЛ1 — диаметр М.
Как мы видели выше, ориентируемость М равносильна одно-
связности М. Пример сферы М = Sn i показывает, что оценка
/Г
оптимальна, тем самым неравенство (1) можно рассматри-
вать как теорему сравнения в смысле § 6.
По теореме сравнения Морса — Шенберга нормальные гео-
Док.
дезические М длины <-у==- не содержат сопряженных точек.
Предположим, что б = inf da<-^=-. Тогда, согласно выведенному
q(=M V Л
выше следствию из леммы 2, существует периодическая геодези-
ческая с: [0, р]—>-Л4 длины р = 25 < —. Построим, как в лемме 1,
V &
вариацию V: [0, р] X 7 —>М периодической геодезической с, при
которой пути VB дифференцируемо замкнуты и L (е) < L (0) = р для
е=#0. Далее, построим отображение V: [0, р] X X М по
формуле V (t, е) = (V (0, е), V (t, е)). Обозначим через (Д(е) от-
крытый шар в М|г(0>е) радиуса б с центром 0. Так как L(e)<p = 26
при е^=0, путь 17 Е (е#=0) целиком лежит в диффеоморфном об-
разе В6(е) = ехр (Д(е). Поскольку ехр (Е) — диффеоморфизм, ото-
бражение л X ехр: ТМ -> М X М имеет на множестве W = (J (е)
ее/
максимальный ранг. Далее, л ([76(е)) = {17 (0, е)}, следовательно,
отображение л X ехр инъективно. Поскольку V([0, р]X(7 \ {0}))с
с (л X ехр) |Ж/, отображение V |[0, р]Х (/\{о}> можно поднять до
Ф: [0, р] X (/\ {0})—» ГМ, т. е. Ф(^, е) = (л X ехр| w)~1 □ V (t, е). При
этом пути ФЕ: [0,р]-> ГМ, заданные формулой ФЕ (Z) = Ф (t, е),
дифференцируемо замкнуты. Рассмотрим теперь предельные точки
в ТМ множества {Ф(^, е)}, где fe[0, р], 0=/=ее/, при е->0.
Так как ||Ф (t, е) ||<б и Нтл ° Ф(^, е) = 17(0, 0), эти предельные
Е->0
точки принадлежат компактному шару £/б(0) с Mv (0,0) с центром
246
§ 7. Связи между кривизной и топологическим строением
в точке 0. Как вытекает из неравенства 6<-^, отображение
V Ь
explj^-joj имеет везде максимальный ранг и тем самым л X ехр
имеет максимальный ранг на {Ф (t, е)} (см. замечание (i) разд. 2.8)-
Поэтому путь IZh, р]х{0} может быть еще поднят до дифференци-
руемо замкнутого пути Фо: [0, р]->ГЛ4, причем Фо (t) = lim Ф (t, е)
е-»0
и Фо принадлежит слою Mv (0.0> касательного расслоения ТМ
(см. по этому поводу доказательство леммы в разд. 7.1). С дру-
гой стороны, однако, ехр°Фо=Уо есть исходящая из V (0, 0)
геодезическая, которая может быть поднята лишь до некото-
рого луча. Полученное противоречие доказывает теорему.
Пусть М — компактное односвязное риманово многообразие
четной размерности, на котором всюду Согласно по-
следней теореме, для каждой точки р^М радиус инъектив-
ности dp отображения ехрр не меньше радиуса инъективности
экспоненциального отображения в точке сферы Sn i . Отсюда
/Г
получается, как мы покажем ниже, аналогичная оценка для ра-
диуса выпуклости г: Af->R, а именно для всех точек р^М
имеет место неравенство
(2)
Таким образом, при 6все метрические шары В6(р)
в М сильно выпуклы. В случае нечетной размерности это сле-
дует из теоремы разд. 7.7, правда, при более сильном предполо-
жении, что всюду выполняется Нижняя граница
радиуса выпуклости в общем случае не может быть улучшена,
как это видно снова на примере сферы Sj_ (см- замечание (i)
/Г
разд. 5.2). Доказательство оценки (2) получается из (1), с учетом
леммы разд. 5.2. Достаточно проверить, что для каждой нор-
мальной геодезической
с; [0, 6] М,
где 6<
л
2/1
, ограничение
индексной формы на векторное пространство всех полей Якоби Y
вдоль с, удовлетворяющих условиям У(0) = 0 и (Y, с) = 0, есть
положительно определенная форма. Рассмотрим сферу М = Sn i ,
/Г
нормальную геодезическую с: [0, 6] —>М, р = с(0), р = с(0) и изо-
метрию t: Мр->Мр, удовлетворяющую условию ic(0) = c(0). Со-
гласно (4) разд. 6.1, имеем изоморфизм Ф: 23c->23j. Пусть
7.5. Радиус инъективности в случае четной размерности 247
У е 53с — поле Якоби, для которого У(0) = 0. Построим поле Якоби
У cz 53j, удовлетворяющее условиям У (0) = 0 и У (б) = ФУ (б).
В силу (7) разд. 6.1 и (5) разд. 4.5, имеем 1(У, У)^1{ФУ, ФУ)^
^/(У, У). Поэтому из (7) разд. 4.5 следует /(У, У)>0, откуда
/(У, У)>0 при У =/= 0.
Замечания
(i) Покажем, что компактное риманово многообразие положи-
тельной кривизны ориентируемо, если размерность dimAf = n не-
четна.
Прежде чем перейти к доказательству, отметим, чт,о в ка-
честве примеров можно привести неодносвязные многообразия
Pn(R) нечетной размерности и пространства из замечания (iii)
разд. 7.3.
Для доказательства достаточно рассмотреть связное М. По-
кажем, что гомоморфизм ориентации ni(Af)->Z2 тривиален.
В самом деле, в противном случае в М существует замкнутый
путь, свободно гомотопный некоторой нетривиальной периоди-
ческой геодезической с, кратчайшей в свободном гомотопическом
классе с и такой, что параллельный перенос вдоль с индуцирует
для фиксированной точки p = c(t) обращающий ориентацию авто-
морфизм т в ортогональном вектору c(t) линейном подпространстве
M^czMp, dim М± = п— 1. Отсюда получится противоречие точно
так же, как и в лемме Синга, если мы докажем, что в Мр су-
ществует ненулевой неподвижный вектор и =/= 0 автоморфизма т,
а именно в этом случае с не может быть кратчайшей в свободном
гомотопическом классе с. Чтобы доказать существование непод-
вижного вектора, заметим, что dim Мр = п — 1 = 2k четна и
т — ортогональное отображение. Поэтому существуют такие инва-
риантные относительно т двумерные евклидовы подпространства
£i, ..., ЕьаМр, что Mp=E[Q ... ©ffe. Очевидно, detr =
k
= П detт Ie; = — t> так чт0 п0 крайней мере для одного i выпол-
4 = 1
няется dett |£/= — 1. Но ортогональное отображение двумерной
евклидовой плоскости, обращающее ориентацию, есть композиция
вращения и зеркального отражения относительно некоторой пря-
мой, а поэтому имеет ненулевую неподвижную точку.
(ii) Пусть М — связное компактное риманово многообразие
размерности п, для которого всюду Если п четно и
М не ориентируемо или, что равносильно по доказанному выше,
л1(М) = 22, то оценка (1) справедлива для двулистного риманова
накрывающего М. Получите отсюда, что для М справедлива
Оценка , причем она не может быть улучшена,
248
§ 7. Связи между кривизной и топологическим строением
как показывает пример проективного пространства Pre(R) по-
стоянной кривизны Л. Для радиуса выпуклости получаем соот-
ветственно г(р)^ . Иначе обстоит дело в случае нечетного п.
Хотя в этом случае, согласно (1), М ориентируемо, но даже
в предположении односвязности М вообще не существует никакой
универсальной нижней границы для радиуса инъективности
экспоненциального отображения на М. Оценку снизу можно по-
лучить лишь при дополнительном предположении, что кривизна
ограничена снизу (см. замечание (iii), а также разд. 7.7).
Только что сказанное тем более справедливо для неодносвяз-
ного М. Проверьте, что для линзового пространства L (q, 1) по-
стоянной кривизны 1 (см. замечание (iii) разд. 7.3) радиус инъек-
тивности dp=^j-. Заметим, что в случае односвязного М не из-
вестно ни одного примера, в котором не была бы справедлива
оценка из (1). Определение нижней границы диа-
V А.
метра рж и радиуса инъективности, зависящих лишь от верхней
и нижней границы кривизны, представляет интересную нерешен-
ную задачу.
(iii) Мы уже ссылались на интересный пример Берже: на диф-
ференцируемом многообразии S3 можно построить римановы
метрики, всюду удовлетворяющие неравенствам 0<б^Ко^1,'
для которых существуют замкнутые геодезические короче 2л.
(Сравните это с разобранным выше случаем четной размерности.)
Описываемая конструкция опирается на некоторые общие пред-
ложения, изложенные ниже, в замечании (iv).
Рассмотрим группу Ли S3, введенную в замечании (iv) разд. 1.9,
с обычной биинвариантной метрикой (см. замечание (v) разд. 3.2),
в которой левоинвариантные поля Хх, Х2, Х3 ортонормированы.
Тогда на группе Ли G = S3 X R получается биинвариантная ме-
трика-произведение только что описанной метрики на S3 и
обычной эвклидовой метрики на R. Левоинвариантные поля
Zi = (Xi, 0) (i = 1, 2, 3) и Z4 = (0, D) образуют ортонормированный
базис на G. Пусть ср R—>S3—интегральный путь поля Хх, для
которого (0) — е — единичный элемент S3. Согласно замечанию (v)
разд. 2.7, является гомоморфизмом групп Ли и в то же время
нормальной периодической геодезической длины 2л, как это видно,
например, из замечания (vii) разд. 3.6 или как можно проверить
непосредственно. Отображение h: R->G, заданное формулой
h (f) = (Cj (at), p<), где a^O, p>0, a2 + p2=l, является вложением
групп Ли и в то же время нормальной геодезической, образующей
с первым множителем S3 постоянный угол qp, 0< qp у, заданный
равенством sinqp = p. Образ Н = h(R) есть замкнутая подгруппа Ли
7.5. Радиус инъективности в случае четной размерности
249
группы G, мы будем рассматривать однородное пространство G/H,
в котором введем описываемую ниже, в замечании (iv), нормаль-
ную риманову метрику. Обозначим через f естественную проек-
цию f: G->M. Ясно, что М диффеоморфно S3, а при а = 0 даже
изометрично.
Геодезическая с: R—>G, заданная формулой c(t) = (С[(pZ), — at),
пересекает Н перпендикулярно, проекция f°c есть нормальная
периодическая геодезическая в М длины 2лр, так как равенство
c(t + К) = c(f)h(x) выполняется впервые при Л = 2лр, т = — 2ла.
, Найдем теперь границы для римановой кривизны М. В ал-
гебре Ли g всех левоинвариантных полей на G поле aZ! + pZ4
составляет базис подалгебры Ли I) подгруппы Н; поля Z = pZ1 — aZ4
составляют базис ортогонального дополнения ш подалгебры § в д.
Для любых нормальных полей Л, Bern (см. замечание (iv)) по-
лучаем представления
А = HiZi + p2Z2 + |x3Z3, В = vtZt + v2Z2 + v3Z3,
причем
[Л, В] = 2Z1Z1 + 2pZ2Z2 + 2pZ3Z3,
где й-i = p2v3 - p.3v2, A.2 = m.3V!-ц^3, Z3 = p.fv2 - p.2v,. Выражения
в правой части формулы (5) (см. замечание (iv), стр. 253), служа-
щей для вычисления кривизны нормальной римановой метрики,
находятся теперь следующим образом:
||[А, В]11|2 = 4₽2(tf + Z2 + || [Л, В]т И2 = 4a2Xi,
далее,
||Л||2||В|р-<Л, В)2 = ?Л + ^+^>0,
если А, В линейно независимы.
Из (5) теперь следует, что
KtfA f В}- 0+За2)Л? + р2(л| + Л<)
А (Г.A, f.B)-------- 2 2 2-----,
Л| “Г Л*2 Г Ад
откуда
Р2 < < 1 + За2
для всех касательных плоскостей о, причем обе границы дости-
гаются. Умножив риманову метрику на 1 + За2, получаем
где
. Р2 1
1 + За2 1+4 ctg2 <р ‘
Длина геодезической f ° с в этой метрике равна 2лР1А + За2 ; если
учесть условия, налагаемые на а и р, то р 1^1+За2 <1 равно-
сильно неравенству 0<р<Ро = р^. Соответствующая Ро нижняя
250'
§ 7. Связи между кривизной и топологическим строением
граница кривизны есть д0 = у, причем угол <р0 определяется ра-
венством sin <р0 = Pq. Таким образом, при <р < ф0 получаются пе-
риодические геодезические в М, которые короче 2л. Проекции
интегральных путей Z2, Z3, как легко видеть, суть периодические
геодезические длины 2л ]/1 + За2.
Покажите, что в исходной метрике из всех периодических гео-
дезических самые короткие имеют длину 2лф, а самые длин-
ные — 2л.
(iv) Пусть G —n-мерная группа Ли и И — fe-мерная замкнутая
подгруппа Ли группы G (см. замечания (v) разд. 1.7 и (iii)). Вве-
дем на множестве левых классов смежности G/Н, т. е. орбит
группы Н, действующей на G посредством правых сдвигов, сна-
чала фактортопологию, а затем структуру (п — ^-мерного диффе-
ренцируемого многообразия. Прежде всего мы имеем непрерывную
естественную проекцию f: G-+G/H. Обозначим f(g) через g.
Далее, имеем левые и правые сдвиги — диффеоморфизмы Lh,
Rh: G -> G (h^G), заданные формулами Lhg = hg, Rhg = gh. Ha
однородном пространстве G/// группа G действует транзитивно:
каждый левый сдвиг Lh на G индуцирует гомеоморфизм G/H
на себя. Проекция f есть открытое отображение, так как для от-
крытого подмножества UaG множество f~l = (J RhU от-
h^H
крыто в G и, следовательно, f(U) открыто в GIH. По определе-
нию фактортопологии G/Н имеет вместе с G счетный базис из
открытых множеств. Далее, мы сейчас покажем, что G/Н есть
хаусдорфово пространство. Проверим, что для любых двух точек
существуют непересекающиеся окрестности (точки g,)
и Wz2 (точки g2) в G/Н. Так как g^g2<£ Н и Н замкнута в "G,
то в G X G существует окрестность Ut X U2 точки (£ь g^, не пе-
ресекающая прообраз Н при непрерывном отображении G X G —> G,
заданном формулой (g, h)-*g~'h. Поэтому Н = 0 остается
положить Wx = f(Ux), W2 = f(U2).
Алгебра Ли g группы G содержит подалгебру Ли 1), соответ-
ствующую И. /Можно отождествить g с касательным подпростран-
ством HeaGe (см. замечание (iv) разд. 1.9).
Построим дополнительное к 1) линейное подпространство m cz g.
Экспоненциальное отображение G (см. замечание (ii) разд. 2.3)
диффеоморфно отображает некоторую окрестность Uo точки Оед
на окрестность точки е в G. Положим 7о = п1П^о- Отображение
v: Vo X V0-*G, заданное формулой v(v, ®) = ехр(— v)exp(ay), диф-
ференцируемо и трансверсально регулярно к Н в точке 0, так как
v(0 X Vo) трансверсально пересекает Н в точке е, по построению ш.
В силу непрерывности v существует такая окрестность V|X Vt
точки 0 в Vq X Vo, что v трансверсально регулярно к Н во всех
7.5. Радиус инъективности в случае четной размерности 251
точках пересечения A = (V\ X VJDv-1^). Поэтому А естествен-
ным образом оказывается замкнутым дифференцируемым под-
многообразием той же коразмерности n — k в Vt X Vt, что и Н в G.
В некоторой окрестности V X V точки 0 относительно Vt X Vt
подмногообразие всех диагональных элементов (и, v) должно со-
впадать с А, согласно разд. 1.6. Поэтому для v, w ge V вклю-
чение ехр(— v)exp(w) = (ехр(и))-1 exp(w) е Н выполняется в том
и только том случае, если v = w. Следовательно, непрерывное
отображение x_1=f°exp: V-+GIH инъективно. Покажем, что х-1
гомеоморфно вкладывает открытое множество У cm в GfH. Для
этого остается только проверить, что х-1 —открытое отображение.
Дифференцируемое отображение z: V X Н -+G, заданное форму-
лой z (и, h) = ехр (и) h, инъективно и всюду имеет максимальный
ранг п, так как по построению V образ z(V Xe) = exp(V) транс-
версально пересекает каждый класс смежности ехр(и)// (в точке
ехр (и)). Тем самым z диффеоморфно отображает дифференцируе-
мое многообразие V X Н на „трубчатую окрестность" подгруппы Н
в G. Так как для любого открытого подмножества U cz V имеем
х~’ (U) = f ° z(U х Н), то х~' открыто вместе с z. Определенное
в окрестности W = х-1 (V) = f ° z(V X Н) точки e^GfH обратное
отображение х есть гомеоморфизм в векторное пространство т.
Легко показать, что „канонические карты" (x°Z,g|geG] составляют
дифференцируемый атлас, превращающий естественным образом
однородное пространство G/Н в дифференцируемое многообразие,
причем dim GfH = dim m = n — k. Сдвиги Lg становятся при этом
диффеоморфизмами,/ — дифференцируемым с максимальным ран-
гом, следовательно, дифференцируемо с максимальным рангом и
действие_б_на G[H, т. е. отображение G X GIH -> GjH по правилу
(g, И) Lgh.
Попутно мы доказали более сильное утверждение, а именно,
доказано, что f: G—+G/H есть дифференцируемое расслоение
со слоем Н, и даже главное расслоение, поскольку в ка-
честве структурной группы может быть взята сама группа Н,
действующая при замене карт расслоения посредством левых
сдвигов. Диффеоморфизм x = (f оехр X id)°z-1: f-1 W X H
задает дифференцируемый атлас канонических карт расслоения
X id) ох ° Lg|geG}.
Предположим теперь, что на G существует биинвариантная
риманова метрика ( , ) (см. замечание (v) разд. 3.2). Выберем
дополнительное к $ подпространство ш ортогональным к 1) (в д).
Поскольку при h^H правые сдвиги суть изометрии G, при-
чем то для каждой точки g в касательном пространстве
существует одна и только одна такая риманова метрика
( , )^> что f изометрически отображает ортогональное дополна
252
§ 7. Связи между кривизной и топологическим строением
ние Lg»m к Lg*f) в Gg на (G/H)g. Отображение g->{ , )g есть ри-
манова метрика, называемая нормальной однородной метрикой
на G/Н, ее также обозначаем символом ( , ). Тем самым G/Я
становится римановым многообразием, которое называется нор-
мальным однородным пространством; на нем действуют диф-
феоморфизмы Lg, порожденные левыми сдвигами G. Рассмотрим
связности Леви-Чивита и соответствующие экспоненциальные ото-
бражения пространств G и GfH. Каждому дифференцируемому
векторному полю X на G можно поставить в соответствие его
нормальную компоненту относительно слоев LgH, то есть диффе-
ренцируемое векторное поле Х\ удовлетворяющее для всех g ge G
условиям Xg е Z,g,m, Xg — Xg ge Lg*fy; XT = X — X1 есть „касатель-
ная к слоям" компонента X. Поле X называется нормальным,
если Х = Х^. Для нормального векторного поля X на G, вообще
говоря, не существует f-связанного с ним векторного поля на G/H>
но можно рассматривать поле f,Х вдоль f. Напротив, для каждого
дифференцируемого векторного поля X на G/Н существует одно-
значно определенное векторное поле X на G, /-связанное с X,
т. е. такое, что ftX = Х-. В силу (9) разд. 3.5 для любых нор-
мальных векторных полей X, У, Z на G выполняется соотношение
f.Z} = <LV^y, ftZ}> откуда следует
W = (3)
Левоинвариантные поля X на G, для которых Хе ge ш, нормальны.
Согласно замечанию (vii) разд. 3.6, имеем VxX = 0, и все инте-
гральные пути поля X являются геодезическими на G, а так как
из (3) следует VDf ° с |, = VDft °c\t = VxftX |с (t} = f,VxX |c {<) = 0, то и
пути f°c являются геодезическими на G/Н, причем || с || = || f ° с ||.
Все геодезические GfH можно получить проектированием геоде-
зических G, ортогональных классам смежности LgH, или, что
то же самое, однопараметрических подгрупп с начальными напра-
влениями в ш. Поскольку пространство G/Н однородно, доста-
точно, в силу (12) разд. 3.5, задать экспоненциальное отображе-
ние ехр в точке ё, а именно
ехР ° Mm = f 0 ехР 1т- (4)
Покажите, что пространство GfH полно, если оно связно.
Покажите, что если G связно, то метрическое расстояние между
gi и g2 в GfH совпадает с метрическим расстоянием между под-
многообразиями g'H и g2H в G, причем существует путь, для
которого достигается минимум длины.
7.5. Радиус инъективности в случае четной размерности
253
Вычислим теперь риманову кривизну GjH. Пусть X, У, Z — нор-
мальные левоинвариантные векторные поля на G. Из (3) и (7)
разд. 2.5 получаем
R (ftX, ftY) ftZ = V^.V/Z - \YfyxZ - VW, Л
Положим здесь Z = У и заметим, что поле VxK = y[X, У] опять
левоинвариантно, но, вообще говоря, не нормально, a YyY = 0 (см.
замечание (viii) разд. 3.6). Отсюда R(ftX,ftY)f^Y = — -|-VrfJX, У] —
— V[x, y]f,Y. Поскольку в силу (6) разд. 2.5 имеет место Vpr Y]ftY =
= Vrf.[X, У]+ f.[[X, У], У], из (3) получаем R(ftX,f,Y)ftY =
= —А, [У, [X, У]1] — [ [X, У], У]. Наконец, пользуясь антисим-
метричностью формы ([,],) по отношению ко всем трем аргу-
ментам, имеем
{R (ftX, f,Y) ftY, f,X) = 4II [X, У]11|2 +1| [X, У]т J2. (5)
Вследствие однородности и (13) разд. 3.5, достаточно найти кри-
визну в одной точке G/Н, чтобы определить ее во всех точках.
В случае когда Н = {е} есть тривиальная подгруппа G, т. е.
G/H = G, соотношение (5) содержится в (26) разд. 3.5.
Как видно из (5), все нормальные однородные пространства
имеют неотрицательную кривизну, однако в большинстве случаев
при этом кривизна принимает для некоторых касательных плоско-
стей нулевые значения (см. разд. 7.9).
(v) Кроме применения, сделанного выше в замечании (iii), мы
хотим указать некоторые дальнейшие примеры изложенного в за-
мечании (iv) построения. На алгебре Ли gl (n + 1, R) Ttn+1 (R)
общей линейной группы GL(n+l,R) определяется форма Хил-
линга — симметричная билинейная форма ( , ), заданная с по-
мощью формулы
2 (а, 0) = - tr ф = - 2 а/Ар (6)
». /=1
Так как для любого эндоморфизма у и автоморфизма г] справед-
ливо tr (т]“1ут]) = tr У, левые и правые сдвиги задают на GL(n+l)
одну и ту же биинвариантную 2-форму, ограничение которой
определяет такую же форму на каждой подгруппе Ли (см. заме-
чание (v) разд. 3.2). Однако в большинстве случаев эта форма
вырождена. Пусть теперь G = О (п + 1) — ортогональная группа
(см. замечание (iv) раз. 3.2). Элементы G удовлетворяют равен-
ству aza = е, а элементы касательного пространства к G в точке
е —равенству a + za = 0, т. е. алгебра Ли g группы G есть под-
254 $ 7. Связи между кривизной и топологическим строением
алгебра всех антисимметрических матриц в 2Кга+1 (R). Ясно, что
форма Киллинга (6) положительно определена на g и задает тем
самым биинвариантную риманову метрику на G.
Пусть Н О (п) — замкнутая подгруппа G, состоящая из всех
/1 0 \
матриц вида _ _ , . I. Нормальное однородное пространство G/H
\ ' V*'/ /
[ п + 1 \ / п\
имеет размерность dim О (п + 1) — dim О (п)=1 I —Обо-
значим через 1) алгебру Ли подгруппы Н, состоящую из всех
/О 0\
матриц вида I, где * —антисимметрическая матрица из
2K„(R), через ш — ортогональное дополнение Ij в g по отношению
( 0 а \
к форме Киллинга, состоящее из всех матриц I О/ где
/ 0 а \
строка czgeR. Для принадлежащих ш матриц а = 1 0/’
/ О Ь\
0 = 1 _ g I имеем (а, 0) = (а, Ь). Выберем а, 0 ортонормирован-
ными в д, т. е. а, b ортонормированными в R". Как легко про-
верить, [а, 0] = а0 — 0а g= 1) и || [а, 0] = 1. Из (5) теперь следует,
что G/H — пространство постоянной кривизны, равной 1. Пока-
жите, что G/H = О(п+ 1)/О(п) канонически изометрично стан-
дартной сфере S" (изометрия получается, если каждому классу
смежности gH поставить в соответствие вектор ge1GERn+1, где
^ = (1, 0, ..., 0)).
Рассмотрим теперь важный пример комплексного проективного
пространства РП(С). Общая линейная группа GL(n+l,C) всех
комплексных линейных автоморфизмов (п. + 1)-мерного комплекс-
ного векторного пространства Cn+I есть группа Ли действитель-
ной размерности 2(п+1)2, алгебра Ли которой g((п + 1, С)
ss 2Kn+1 (С) состоит из всех эндоморфизмов Cn+1 или из всех
матриц (п + 1)-го порядка с комплексными коэффициентами. Как
и в действительном случае, легко проверить, что [а, 0] = а0 — 0а
для а, 0GEgl(n+1, С). На алгебре Ли gl (п + 1, С) снова опреде-
ляется форма Киллинга
2<а, 0) = — Retra0= — Re^2 «z/0/ц (6')
задающая биинвариантную симметрическую 2-форму < , ) на
GL(n+l,C) и на каждой подгруппе Ли этой группы (Re здесь
означает действительную часть комплексного числа),
7.5. Радиус инъективности в случае четной размерности 255
Рассмотрим компактную подгруппу Ли G = U (п + 1) группы
GL(n+l,C), состоящую из всех унитарных автоморфизмов а
пространства Cn+I, т. е. удовлетворяющих равенству а‘а = е.
Касательное пространство к G в точке е задается условием
а + /а = 0, т. е. алгебра Ли g группы G есть подалгебра 9№„+) (С),
состоящая из всех антиэрмитовых матриц. Легко видеть, что
dim G = dimR g = (п + I)2. Форма Киллинга (6') положительно опре-
делена на g и определяет тем самым биинвариантную риманову
метрику на G. Пусть U (1) S1 есть группа комплексных чисел,
по модулю равных 1. Рассмотрим в G замкнутую подгруппу
/1/(1) 0 \
\ 0 G(n)/' Нормальное однородное пространство G/Н имеет
размерность dim U (п + 1) — dim U (п) — dim U (1) = 2п. Покажите,
что G/H = U (п+ l)/U (1) х U (п) канонически диффеоморфно ком-
плексному проективному пространству Рп (С) (см. замечание (v)
разд. 1.7). Чтобы построить диффеоморфизм, каждому классу
смежности gH, gsG, ставится в соответствие комплексная пря-
мая Kgeit где Z еС и et = (1, 0, ..., 0) е Cre+I. Нормальная рима-
нова метрика на Pn(C)= G/Н совпадает с классической метрикой
Фубини — Штуди. Вычислим, используя формулу (5), риманову
кривизну GfH. Обозначим через 1) алгебру Ли подгруппы Н, co-
z' м 0\
стоящую из всех матриц вида I . , где меС, Rea = 0 и * —
\ V * /
антиэрмитова матрица из 9№„(С), и через m — ортогональное до-
полнение к 1) в g относительно формы Киллинга, состоящее из всех
/ 0 а\
матриц вида I _ , q у, где строка а е С". Для принадлежащих m
I Q а\ / 0 Ь\
матриц « = (_<- л/> Р = (_<к л) имеем (a, p) = Re(a, b), где
\ xz j k I? Vz /
п
(а, Ь) = 2 — обычное эрмитово скалярное произведение а и b
;-1
в С". Выберем а, р ортонормированными в ш, т. е. || а ||2 = || 6||2=1,
Re (а, 6) = 0. Легко проверить, что [а, р] е I), так что [m, m] = I),
и, как показывает непосредственное вычисление, || [а, р] ||2 =
= 1 + 3| (a, b) I2 (заметим, что (а, Ь) при этом чисто мнимо). Отсюда
[а,р]1 = 0, ||[а, р]т ||2 = || [а, р] ||2 = 1 + 31 <а, 6> |2 = 1 + 3 соз2ф, (7)
где if ejo, yj задается равенством созф=|(а, 6)|. Здесь ф обо-
значает угол между одномерными комплексными линейными под-
пространствами {Ла: леС), {р.6: цеС}, или, что то же самое,
угол между двумерным действительным линейным подпростран-
ством Е в С”, порожденным векторами а, Ь, и подпространством IE,
256
$ 7. Связи между кривизной и топологическим строением
т. е. cos г|э = | cos (ia, b) | = | cos (a, ib) |. Угол ф, измеряет, на-
сколько Е отличается от комплексной прямой; ф = ^(£, iE) = 0
в точности в том случае, когда E = iE, т. е. Е есть комплексная
прямая, или „голоморфная" плоскость; ф = ^(£, г£) = у, т. е. Е,
IE ортогональны в действительном смысле, в точности в том слу-
чае, когда {а, Ь) = 0, т. е. а, b комплексно ортогональны (в этом
случае Е называется „действительной" плоскостью). Из (5) и (7)
следует, что G/Н имеет везде положительную кривизну, лежащую
между 1 и 4, причем эти границы при п>1 достигаются: нижняя
для касательных плоскостей, соответствующих действительным,
а верхняя— голоморфным плоскостям С".
Многообразие U (2)/£ (1) X U (1) = Pl (С) имеет постоянную кри-
визну, равную 4, и потому (см., например, замечание (iii) разд. 7.3)
изометрично сфере -S’i
Установим в заключение еще некоторые-«важные геометриче-
ские свойства проективного пространства G/Н = Р"(С).
Изометрия ie: тп—>ш, заданная формулой
/ 0 а\ / 0 ia\
[-‘а О/ [ — ‘ia О/’
как легко проверить, определяет с помощью левых сдвигов изо-
метрии ig (g е G) в пространствах Lgtm, инвариантные относи-
тельно правых сдвигов Rh (h е Н). Вследствие этого проектирова-
ние задает на G/Н дифференцируемое тензорное поле J типа (1,1),
удовлетворяющее условию /2= — id. Такое поле называется почти
комплексной структурой, так как определяет в каждом касатель-
ном пространстве комплексную структуру— умножение на I.
В действительности / есть даже комплексная структура на G/H,
т. е. / индуцируется естественной структурой Р"(С), рассматри-
ваемого как комплексное многообразие. Очевидно, {JX, JY) =
= (X, У), (JX!, Y)= — (X, JY), и из (3) легко следует V/ = 0, т. е.
поле / параллельно. Нормируем риманову метрику Р"(С) умно-
жением на 4, тогда, согласно предыдущим вычислениям, получаем
47<а= 1 + Зсоз2ф, -j Ка 1, (8)
где ф = ^(ст,/ст) е|^0, и соэф = | (у, Jw) | для любой ортонор-
мированной пары векторов v, w из ст. При этом Ка = 1 в точности
в тех случаях, когда ст — голоморфная плоскость (т. е. ст = Jo),
и Ка = -4 в точности в тех случаях, когда ст — действительная
7.5. Радиус инъективности в случае четной размерности
257
плоскость (т. е. (о, /о) = 0). Пространство Рп(С) имеет —ограни-
ченную кривизну. Как вытекает из теоремы о сфере (см. разд. 7.8),
на РП(С) не существует никакой метрики б-ограниченной кри-
визны с б >4-.
4
Как мы сейчас увидим, РП(С) есть глобально симметрическое
пространство (см. замечание (vii) разд. 3.6). Отражение относи-
тельно точки задается отражением относительно соответствующей
прямой комплексного пространства Сп+1. В однородном предста-
влении Рп(£У) = 01Н это отражение в точке g есть изометрия
Lghg-i пространства G/Н, где
1 0)
е//.
0 -1
Исследуйте с помощью (8) и замечания (v) разд. 4.2 тензо'р
кривизны и поля Якоби вдоль нормальной геодезической Рп(С).
В силу (4) экспоненциальное отображение для Рп(С) будет
полностью определено, если найти ехр|т для унитарной группы G.
( 0 а\ /-1 0 \
Пусть а = 1_/- о/еп1 и ИаИ=1> т0гДЗ а2 = 1 о — аа г
а3= — а, а4= —а2, и вообще a2fe = (— 1)*+1 а2, а2*-1 = (—1)*+1 а для
/г>0. Согласно замечанию (ii) разд. 2.9, однопараметрическая
подгруппа (и одновременно нормальная геодезическая) с: R—>G
с начальным условием с(0) = а в точке с(0) = е задается фор-
оо &
мулой с (/) = ехр (/а) = » откуда
fe-a
с (f) = ехр (ta) = е + a sin t + a2 (1 — cos t), (9)
Так как в точности для значений t — kn, keZ, и
с(/ + л) = с(/)с(л), то все нормальные геодезические R->Pn(C)
периодичны с периодом 2л (следует учесть нормировку метрики).
Пользуясь найденными выше значениями кривизны вдоль нор-
мальной геодезической, легко показать, что экспоненциальное
отображение ехрр: Мр —> М = Рп (С) имеет максимальный ранг
(=2п) во всех точках v Мр, для которых || v || ф kn (/г —поло-
жительное целое число). Если || v || = (2/г — 1) л, то ядро Лр ото-
бражения (ехрр)*о имеет размерность 1, если же || v || = 2/гл, — раз-
мерность 2n — 1.
258
§ 7. Связи между кривизной и топологическим строением
Метрические сферы в Мр радиуса 2/гл с центром в 0 перево-
дятся отображением ехрр в точку р. Согласно (1), ехрр инъективно
на открытом шаре радиуса 1 с центром в 0, а также вследствие
периодичности геодезических диффеоморфно вкладывает „коль-
цевые области" (2/г— 1) л<|| v ||<2fen в Рп (С). Сфера S = {v. || v ||=л}
является одновременно множеством раздела и первым сопряжен-
ным множеством отображения ехрр в Мр, а образ C(p) = expS —
множеством раздела М относительно точки р (см. разд. 5.4).
Легко доказать следующее общее предложение: каждая ком-
понента связности множества неподвижных точек некоторой изо-
метрии риманова многообразия на себя есть вполне геодезическое
замкнутое риманово подмногообразие.
Так как {р} (J С (р) есть множество всех неподвижных точек
отражения симметрического пространства РП(С) в точке р, то
С (р) — вполне геодезическое подмногообразие М. Рассмотрим
теперь голоморфные плоскости o = Jo в Мр, т. е. комплексные
прямые в пространстве Мр, снабженном комплексной структурой
с помощью J. Построим аналогично отражению в точке, описан-
ному выше, изометрию F = Lghg-i пространства M = GfH на себя
с неподвижной точкой p = g, такое, что Ftv = v для оео и
Ftv = — v, если v ортогонально о. Тогда М = ехр(о) есть компо-
нента связности множества неподвижных точек F и, следовательно,
вполне геодезическое подмногообразие М. Далее, все касатель-
ные плоскости к N голоморфны, так что N имеет постоянную
кривизну Ко = 1 и, следовательно, изометрично S2^P’(C). Далее,
окружность о П S переходит при отображении ехрр в одну точку
реС(р) и пространство Ар в точке касательно к о RS.
Соответствие a—>q задает теперь отображение проективного про-
странства Рп~х (С) всех комплексных прямых с пространства Мр
в многообразие М, дифференцируемое с максимальным рангом.
Так как Pn~l (С) односвязно, это отображение есть диффеомор-
физм на С(р). Легко показать, что если ввести в Рге-1(С) метрику,
индуцированную Мр, с учетом нормировки (8), то построенный
только что диффеоморфизм Рп~1 (С)-*С(р) есть изометрия.
Итак, комплексное проективное пространство можно пред-
ставить себе как „пучок" вполне геодезических голоморфных
сфер постоянной кривизны, пересекающихся в одной,
произвольно выбранной на Р„(С) точке р, причем антиподы
точки р на этих сферах образуют множество раздела С(р) =
е* Pn~l (С), вполне геодезическое и изометрично вложенное в Рп(С).
Расстояние от р до множества раздела С(р) в любом направлении
равно л, поэтому диаметр р,и = л.
7.5. Радиус инъективности в.случае четной размерности
259
(vi) Мы уже рассматривали в этом разделе и выше периоди-
ческие геодезические с: R->Af на римановом многообразии М
(т. е. такие, что с(/ + т) = с(/) для всех (eR, где т>0).
Отныне мы не будем различать периодические геодезические,
переходящие друг в друга при аффинном преобразовании пара-
метра. В частности, отождествим все периодические геодезиче-
ские, получаемые многократным обходом с в любом направле-
нии, и исключим из рассмотрения тривиальные геодезические.
Приняв все эти условия, мы можем рассматривать периоди-
ческую геодезическую как „аффинное" погружение S1 -»М, при
котором длины дуг растягиваются в постоянном отношении.
Возникает весьма интересный вопрос, всегда ли на М суще-
ствуют периодические геодезические, и в каком числе.. Если М
компактно, можно доказать обпще теоремы, относящиеся к этому
вопросу. Как мы видели в замечании (vi) разд. 7.2, периодиче-
ские геодезические существуют, если Л! (М) #= 0. В этом случае
в каждом нетривиальном классе свободно гомотопных замкнутых
путей множества Q всех замкнутых кусочно дифференцируемых
путей существует по крайней мере одна периодическая геодези-
ческая, длина которой минимальна в этом классе. Классы сво-
бодной гомотопии находятся в каноническом взаимнооднозначном
соответствии с множеством классов сопряженности группы л, (М).
Поэтому несопряженные элементы а, b л, (М) определяют раз-
личные периодические геодезические, если между ними не суще-
ствует никакого соотношения вида a,1fev=l с отличными от нуля
целыми числами ц, v. Получите, используя замечание (i) разд. 7.2,
что на каждом двумерном компактном римановом многообра-
зии М2, не гомеоморфном S2 или P2(R), существует бесконечное
множество различных периодических геодезических (достаточно
рассмотреть случай ориентируемого М2, так как иначе можно
перейти к риманову ориентированному двулистному накрытию).
В случае когда М односвязно, задача становится существенно
труднее. Пуанкаре впервые доказал существование периодиче-
ской геодезической для любой аналитической римановой метрики
на S2, а Биркгоф распространил этот результат на S". Лишь
в 1951 году Л. А. Люстерник и А. И. Фет доказали, что на
каждом компактном римановом многообразии М существует пе-
риодическая геодезическая. В последние годы С. И. Альбер,
А. И. Фет и В. Клингенберг получили лучшие оценки числа
периодических геодезических на М, зависящие отчасти от топо-
логического строения, отчасти же от римановой структуры М.
Наилучшей вполне универсальной нижней оценкой является З1).
‘) В действительности йаилучшей оценкой пока является 2 (см. Фет А. И.,
ДАН СССР, 160, № 2 (1965)). Относительно современного состояния вопроса
см. Klingenberg W., Ann. of Math. 89(1969), 68—91. — Прим, перев.
260 § 7. Связи между кривизной и топологическим строением
Недавно удалось доказать для весьма широкого класса ком-
пактных односвязных римановых многообразий М существование
бесконечного множества периодических геодезических. Это верно,
например, если М имеет гомотопический тип произведения сфер
Sm X S* (см. Gromoll D. and Meyer W., Periodic geodesics on
compact Riemannian manifolds, Berkeley, препринт). Разумно пред-
положить, что при dim М > 1 на М всегда существует бесконечное
число периодических геодезических (см. соответствующий результат
Серра в замечании (iii) разд. 5.3 для геодезических с заданными
концами *)).
При доказательстве всех результатов этого рода существенно
используется теория Морса на пространстве замкнутых путей Q.
7.6. Основная теорема теории Морса
В этом разделе вводятся некоторые топологические понятия и
доказывается основной результат теории Морса, который будет
применен в дальнейшем.
Пусть. X — топологическое пространство и Л — подпростран-
ство X, тогда (X, Л) называется парой пространств, причем
в случае пустого подпространства 0сХ пара (X, 0) отожде-
ствляется с пространством X. Непрерывным отображением пар
f: (X, А)-+(Х', А') называется непрерывное отображение f: Х-^-Х',
для которого /(Л)с=Л'. Два непрерывных отображения f,
g: (X, А)-+(Х', А') называются гомотопными (f ~ g), если суще-
ствует такое непрерывное отображение Н: (X X [0, 1], Л X [0, !])->
->(Х', Л'), что Н (a, O) = f(a) и Н (a, l) = g (a) для всех аеХ.
При этом Н называется гомотопией между f и g, или непрерыв-
ной деформацией f в g. Отношение „ ~ “ есть отношение эквива-
лентности на множестве всех непрерывных отображений (X, Л)->
->(Х', А'). Пары пространств (X, Л), (X', А') называются гомо-
топически эквивалентными ((X, Л) ~ (X', Л')), если существуют
такие непрерывные отображения/: (X, А)-^-(Х', А') и f': (X', А')->
—>(Х, Л), которые гомотопически обратны друг другу, т. е.
f'of ~ id(Jf Л) и f°f'~ idfjr АГ В этом случае f, f' называются
гомотопическими эквивалентностями. Говорят также, что (X, Л)
и (X', А') имеют одинаковый „гомотопический тип“. Гомотопиче-
ская эквивалентность (X, Л)—>(Х', Л') естественным образом
индуцирует гомотопические эквивалентности X ->Х' и А-+ А'.
Важнейшие алгебраические инварианты типа гомеоморфизма то-
пологических пространств, например группы гомологий и гомото-
пические группы, суть также инварианты их гомотопического
типа. Легко проверить, например, что R" имеет гомотопический
) Это предположение не кажется убедительным, равно как и ссылка на
результат Серра. — Прим, перев.
7.6. Основная теорема теории Морса
261
тип одноточечного пространства, т. е. „стягиваемо", что R"\{0}~
~ S"-1 и (Rn, Rn\Dn) ~ (£>", Зп-1), где Dn = {а е R":-. || а || < 1}.
Пусть X, X' — топологические пространства, В — подпростран-
ство X' и f: В—>Х — непрерывное отображение. Тогда можно
построить новое топологическое пространство X U fX' „склеива-
нием X и X' посредством отображения f“. Для этого рассмотрим
объединения непересекаюшихся множеств Х\]Х', XU(X'\B) и
отображение g: ХЦХ' -+ХЦ(Х' \В), заданное формулой g(a)=f(a)
при аеВ и формулой g(a) = a в остальных точках. Введем
в X U X' топологию суммы пространств: множество U называется
открытым в X U X' в том и только том случае, если U И X открыто
в X и U П X' открыто в X'. Введем, далее, во множестве X U {X' \ В)
топологию отождествления, т. е. слабейшую топологию, в кото-
рой g непрерывно. Это означает, что множество V называется
открытым в XU(X'\B) в том и только том случае, если g-1(7)
открыто в Х\]Х'. Полученное пространство обозначается через
ХЩХ'. Для целого определены „стандартная ^-мерная
клетка" Dk = {а: а е= R*, || а || 1} с относительной топологией R*
и подпространство = dDk с Dk, Sbl = [a: aeRJ, ||a||= 1},
причем есть одноточечное пространство, a S-1 = 0. Пусть
X — топологическое пространство и f: 8к~1-+Х—непрерывное ото-
бражение. Пару ek = (Dk, f) назовем ^-мерной клеткой, приклеен-
ной к X с помощью f, и определим топологическое пространство
X U ек = XU fDk (X U во есть просто топологическая сумма X и е0).
Если, например, X — одноточечное пространство, то Dk можно
приклеить к X единственным способом, и X[_}ek гомеоморфно S*.
В случае когда X = S1, для постоянного отображения S1->S*
пространство XJe2 гомеоморфно S'VS2 — „букету", полученному
отождествлением одной точки S1 с одной точкой S2. С другой сто-
роны, если воспользоваться тождественным отображением
то XUe2 гомеоморфно D2. Заметим, что S'VS2 и £>2 не являются
гомотопически эквивалентными, так как их фундаментальные
группы не изоморфны: лj (S1 V S2) = Z ^лДД2).
Топологическое пространство X называется линейно связным,
если для любых двух точек a, b еХ существует непрерывный
путь h: [0, 1]-> X, соединяющий а с Ь, т. е. такой, что А(0) = а,
h(Y) = b. X есть топологическая сумма компонент линейной связ-
ности — классов эквивалентности точек по отношению „а — 6 тогда
и только тогда, когда а можно соединить с b путем в Xй'). Обо-
’) Термин „линейная связность" употребляется, таким образом, в, двух раз-,
ных.смыслах. Переводчик не нашел способа избежать такого, положения, так
как и в том и в другом случае эти термины являются, <$щецринятыми. —
Прим, перев.
262
§ 7. Связи между кривизной и топологическим строением
значим через л0(Х) множество всех компонент линейной связ-
ности X. Если это множество состоит из одного элемента, т. е. X
линейно связно, будем писать Яо(Х) = 1. Каждое непрерывное ото-
бражение f: Х-+Х' индуцирует отображение f,: (X)-► л0 (X'),
а именно, компоненте линейной связности точки а е X ставится
в соответствие компонента линейной связности точки f (а) е X';
если g: Х->Х' гомотопно f, то f, = g„. Индуцированное отобра-
жение для композиции непрерывных отображений есть компози-
ция соответствующих индуцированных отображений. В случае
когда f — гомотопически обратное отображению f', имеем f', ° f. =
= (Г °f)» = id. и соответственно °^ = id„ т. е. отображения f„ f',
биективны и взаимно обратны. В частности, X линейно связно
в том и только том случае, если X' линейно связно. Рассмотрим
й-мерную клетку ek, приклеиваемую к X непрерывным отображе-
нием. Естественное включение I: X-+X[)ek непрерывно, и при
k^2 отображение л0 (X) —> л0 (X U биейтивно. В самом деле,
линейно связное пространство Dk приклеивается в точности
к одной компоненте линейной связности X, так как край Sk~l ли-
нейно связен. При k = Q отображение очевидно, инъективно,
но не сюръективно, при k = 1 — сюръективно, но не обязательно
инъективно, как видно из примера X U = S°U id-D1-
Основная идея теории Морса состоит в том, что гомотопиче-
ский тип (а при более тонком изучении даже тип диффеоморфии)
/«-мерного риманова многообразия N характеризуется поведением
дифференцируемой функции <р: 2V->R в ее критических точках,
предполагая, что <р имеет только невырожденные критические
точки, т. е. что гессиан <р в каждой критической точке не вырожден
(заметим, что понятие „невырожденной критической точки <р“ за-
висит лишь от дифференциальной структуры на N).
Рассмотрим для каждого действительного числа а подпрост-
ранство № = {а: ф(а)^а} многообразия N. Если а —регулярное
значение, принадлежащее образу ф, то „поверхность уровня" ф-1 (а),
согласно разд. 1.6, есть замкнутое дифференцируемое подмного-
образие N коразмерности 1, а № — дифференцируемое подмного-
образие с краем dNa = ф-1 (а). Пусть 0< а —другое регулярное
значение, принадлежащее образу qp, причем <р-1 [а, 0] компактно.
Если [а, 0] не содержит критических точек ф, то № можно кано-
ническим образом деформировать в № вдоль интегральных пу-
тей — ц^2 и включение № с № есть гомотопическая эквивалент-
ность. Последнее утверждение, вообще говоря, неверно, если ф
имеет критические точки в ф~’ [а, 0]. Число их должно быть ко-
нечно, так как было сделано предположение, что все критические
точки ф невырожденные и, следовательно, изолированные. Если,
7.6. Основная теорема теории Морса
263
например, а — единственная критическая точка <р в <р-1 [а, р], то №
можно получить, с точностью до гомотопического типа, приклеи-
вая к № клетку ek: № ~ ек, где k — индекс невырожденной
критической точки а, т. е. максимальная размерность линейного
подпространства касательного пространства №, на котором гес-
сиан Л<р — отрицательно определенная форма, т. е. на котором <р
принимает строгий относительный максимум в точке 0а. Как
можно показать, существует такая карта х вокруг точки а на N,
что ф°х—* = -х2- ... -х2 + х2 + 1 + ... +x2m.
Следующий более общий результат есть основная теорема тео-
рии Морса.
Теорема 1 (М. Морс)
Усл. N — риманово многообразие', <р: М —> R — дифференцируемая
функция, все критические точки которой невырожденные.
Пусть а, $ —регулярные значения <р, <р-1 [а, р] компа-
ктно и аь ..., аг —критические точки в <р в <р-1 [а, р],
а<ф(а1)<ф(а2)< ... <ф(аг)<р.
Утв. Существует гомотопическая эквивалентность
(Mp,Ma)~(№UeftlU ... Uev№),
где kt — индекс критической точки at и eki — клетки размер-
ностей k{ (1^г <г), последовательно приклеиваемые к Na
с помощью некоторых отображений.
При этом не исключается, что № (или множество критиче-
ских точек в ф-1 [а, р]) пусто. Далее, можно выбрать такие гомо-
топические эквивалентности и гомотопии, при которых № непо-
движно.
Рассмотрим в качестве примера N = Sn и функцию рассто-
яния ф: Sn—>R от некоторой аффинной касательной гиперпло-
скости, например ф(а) = 1 + an+1. Критические точки ф —южный
и северный полюсы. Это невырожденные критические точки ин-
дексов 0 и п, в которых ф достигает абсолютного минимума и
максимума. Согласно теореме, Sn~e0[Jen. Другой простой при-
мер—тор N = Т2 в R3 с функцией расстояния ф: 7’2-^-R от аффин-
ной касательной плоскости в точке (R + r, 0, 0), т. е. ф(а) = /? +
+ г —Яр Функция ф имеет четыре (невырожденные) критические
точки: минимум индекса 0, две седловые точки индекса 1 и
максимум индекса 2, так что Т2~е0 j J е, J e2. Нетрудно в этом
случае указать явное описание всех соответствующих гомото-
пических типов № для регулярных значений а функции ф.
Док. См. Милнор Дж., Теория Морса, М., 1965. (Многие
разделы этой книги посвящены римановой геометрии.)
264
§ 7. Связи между кривизной и топологическим строением
Заслуживает внимания тот факт, что последняя теорема
в почти неизмененной формулировке справедлива также в случае,
когда N — бесконечномерное риманово многообразие. При этом
приходится, однако, ввести добавочные предположения, заме-
няющие требование компактности ф-1 [а, ₽] в конечномерном
случае (см. Palais R., Morse theory on Hilbert manifolds, Topo-
logy 2 (1963), 229 — 340, и Abraham R., Foundations of mechanics,
New York (1967)). Особенно важным примером является про-
странство Qp<7, получаемое пополнением пространства Qpp всех
кусочно дифференцируемых путей [0,1] -+М полного «-мерного
риманова многообразия М, соединяющих точку р с точкой q.
Пополнение состоит из всех абсолютно непрерывных путей
[0, 1]->М, у которых существует энергия; QP(Z каноническим
образом снабжено структурой гильбертова многообразия. При
этом функция энергии Е: Qpp->R дифференцируема, критические
точки Е суть в точности геодезические из Qpp. Все они невыро-
жденные, если пространство Qp(Z невырожденное (см. следующие
разделы, а также замечания (i) и (ii) разд. 4.1). Тогда к М = йм
и ф = £ применимо обобщение теоремы 1 на гильбертовы много-
образия, согласно которому (йр<7, Q“P)~(QPP U U ••• U Qpp),
где С], ..., — существующие в конечном числе критические
точки Е на множестве Е~г [а, 0], а<£(С])^ ... ^£(сг)<0,
a ki — индекс критической точки сг, совпадающий в этом случае
с индексом геодезической с{ в смысле § 4 (см. также замечание (iii)
разд. 4.5 и замечание (ii) разд. 4.6). Заметим, что для упро-
щения записи мы определили и индексную форму для нормаль-
ных геодезических; индексом любой нетривиальной геодезической
с: [0, 1]->М, естественно, называется индекс совмещенной с ней
нормальной геодезической [0, L (с)] -> М, индекс же тривиальной
геодезической полагается равным нулю.
Теорию Морса для пространства Qp<7 путей по различным
причинам естественно и целесообразно строить, рассматривая
вместо длины L энергию Е. Например, в отличие от энергии L
не везде дифференцируема, как это уже указывалось в заме-
чании (i) разд. 4.1. Все предыдущие соображения служат, однако,
лишь мотивйровкой описываемого ниже построения.
Пусть М — связное риманово многообразие с функцией рас-
стояния р; с: [т, т'] -> М — кусочно дифференцируемый путь. Энергия
X'
определяется формулой £(с)= J || с l^dt. В силу неравенства Коши
7.6. Основная теорема теории Морса
265
имеем
т' \2 Z т'
J 1 • || с И, dt j I J \dt
т / \ т
J II с \Ptdt
откуда
Р2 (с (т), с (т')) < L2 (с) < (/ - т) Е (с).
(1)
При этом равенство в правой части соблюдается тогда и
только тогда, когда || с || постоянна, или, что то же самое, с
„параметризована пропорционально длине дуги*1 (в частности,
это верно для геодезической с). Равенство в левой части соблю-
дается тогда и только тогда, когда с совмещена с кратчайшей
геодезической, соединяющей с(т) с с(т') (см. разд. 4.4). Таким
образом, р2 (с (т), с (т')) = (/ — т) Е (с) только в случае, когда
с — геодезическая длины р (с (т), с (?)). Легко видеть, что суще-
ствуют совмещенные с с пути [т, /] -> Af сколь угодно большой
энергии.
Пусть р, q е= М. Введем на множестве О,РЧ всех кусочно диф-
ференцируемых путей [0, 1] -> AI, соединяющих р с q, топологию
с помощью расстояния р:
1%
р(с0, Cj)= sup р(со(О, Ci
t^io. и
Lo
(2)
Принимая шары в метрике р за базис топологии в Qpg, превра-
щаем QpiJ в топологическое пространство. Благодаря второму члену
в правой части (2), эта топология сильнее компактно-открытой
топологии йрз. Вследствие этого энергия Е: QP<7->R оказывается
непрерывной. Длина дуги L: Qp?-*R также непрерывна, так как
Отметим еще, что в силу (1) выполняется неравенство L2^.E и,
кроме того, L2 (с) = Е (с) для геодезических с е= Qpg. Каждый путь
/г: [О, 1]->QP(Z, соединяющий с0 с с1г задает (р, (?)-гомотопию
Я: [0, 1] X [0, 1]-> М между с0 и Cj по формуле H(t, s) = [Я (s) ] (/).
Однако, для (р, (?)-гомотопии Н между с0 и отображение
[О, l]->Qpg, заданное формулой s-*Hs, не обязательно непре-
рывно. В „пространстве петель" Qpp последовательное прохожде-
ние путей задает закон композиции, превращающий Qpp в //-про-
странство, т. е. в топологическую группу „с точностью до гомотопии".
Этот закон композиции порождает групповую структуру в n0(Qpp),
причем, по определению фундаментальной-группы М имеем jtj (Л1)
266
§ 7. Связи между кривизной и топологическим строением
p) = n0(QPp) (ср. разд. 7.2 и замечание (i) разд. 7.1, со-
гласно которому для (р, р)-гомотопных путей с0, Cj €= Qp? суще-
ствует кусочно дифференцируемая (р, р)-гомотопия Н между с0
и С! и отображение [О, заданное формулой s-^-Hs, есть
непрерывный путь в Qpg с началом с0 и концом cj.
Упомянем еще в этой связи, что если обозначить через Qpq
множество всех путей [О, 1] —> Л4, соединяющих р с q, с компактно-
открытой топологией, то естественное включение i: Qpq-+Qpq непре-
рывно (можно показать, что это отображение есть гомотопическая
эквивалентность).
Построим для действительных чисел а подпространства Q.pq =
= {с:Е(с)^а) пространства £lpq. Пространство Qpq называется
невырожденным, если для каждой геодезической с е Q,pq точка 1
не является сопряженной точкой с. Согласно, разд. 7.7, для каж-
дой точки р е М существуют такие q е М, что Qpq — невырожден-
ное. Если QPg — невырожденное, то для каждого a Qpq содержит
лишь конечное число геодезических (см. замечание (v) разд. 4.6).
В частности, множество всех таких чисел 0, что Qpp не содержит
геодезических энергии 0, всюду плотно в R.
Теперь мы докажем для энергии Е: Qp(?->R аналог теоремы 1;
для этого мы заменим подпространства Qpq с Qpq гомотопически
эквивалентными им конечномерными многообразиями ломаных
геодезических, после чего применим теорему 1. При этом суще-
ственное преимущество энергии перед длиной состоит в том, что,
с одной стороны, оказывается множеством равностепенно
непрерывных отображений; с другой же стороны, в то время как
метрика р дифференцируема лишь в некоторой окрестности U
диагонали М X М, за исключением самой диагонали, функция р2
дифференцируема на всей U. Замена подпространств Q.Pq, „исчер-
пывающих" Qpp, их конечномерными моделями и есть первона-
чальный метод Морса, примененный им для изучения топологи-
ческого строения пространств путей на полных римановых много-
образиях (см. книги Морса и Зейферта — Трельфалля, литература
к § 4).
Теорема 2 (М. Морс)
Усл. М — полное риманово многообразие', р, q е М; Qpq не вы-
рождено', Е: >R — энергия. Пусть числа а<0 выбраны
так, что в Qpq нет геодезических со значениями энергии а
или 0, и с1( ..., сГ — геодезические, принадлежащие Е~ [а, 0],
д<;Е(С1)< ... <Е(сг)<0.
7.6. Основная теорема теории Морса
267
Утв. Существует гомотопическая эквивалентность
(Q»,. Qy~(Q;,U4U...Uevay,
где е —клетки размерностей k. — Ind с. (1 i г), последова-
тельно приклеиваемые с помощью некоторых, отображений.
При этом опять не исключается случай, когда Qpq или мно-
жество геодезических в £-1 [а, 0] пусто.
Следствие
Усл. М — полное односвязное риманово многообразие; р, q ^М;
Qpq не вырождено. Пусть а — такое действительное число,
что Qpq не содержит геодезических энергии а.
Утв. .Если для всех геодезических c^Qpq с энергией Е(с)>а
выполнено условие Ind с 2, то линейно связно.
Док. Мы должны показать, что две точки с0, щ е можно
связать путем в Qpq. Поскольку М односвязно, пространство Qpq
линейно связно, и существует путь h в Qpq, соединяющий с0 с щ.
Выберем такое значение 0 > sup {£ (h (s)): s e [О, I]}, что йр9 не
содержит геодезических энергии 0. Требуемое утверждение полу-
чится, если мы докажем, что включение /: с Qpq индуцирует
инъективное отображение /*: л0 J-> л0 Согласно теореме,
существует гомотопическая эквивалентность
f'. (йрд, Пр9) —> (QPq U eki U U ekr, йр9)
с гомотопически обратным отображением f' и по предположению
k^2 (l^i^r). Пусть/: й“9-> йр9 — гомотопическая эквивалент-
ность, полученная ограничением f. Как было уже отмечено в на-
чале этого раздела, естественное включение Х—>Х\)ек при k~^2
индуцирует биективное отображение л0 (X) —> л0 (X J е J. По индук-
ции следует, что л0(й“9)-> n0(Qpi?Uefei U ••• Uek^ биективно,
где i: Q“ ->Q“ 1)еь U ... Uеь — включение. Очевидно, foj = i°f,
Рч Рч
откуда f' ° f ° j = f' о i ° f, так что j ~ f' °i°f и j, = (/' ° г ° /), = /' ° i, ° f,
биективно.
Доказательство теоремы. Будем следовать доказательству Мил-
нора (см. ссылку в теореме 1). Возьмем у>0 и рассмотрим
открытый шар В в метрике М с центром р радиуса Уу ; В ком-
пактен, так как М полно. Пусть е>0 не больше нижней границы
всех значений радиуса выпуклости г на В (см. разд. 5.2). Тогда
квадрат функции расстояния р риманова многообразия М диф-
268
§ 7. Связи между кривизной и топологическим строением
ференцируем на открытом множестве (В X В) П р 1 [0, е) произве-
дения М X М (см. разд. 5.1). Нам нужно представить открытое
подмножество Йо = £-1[О, у) пространства йр<?, срочностью до
гомотопической эквивалентности, в виде конечномерного много-
образия. Согласно (1), все пути й0 принадлежат В.
Разобьем интервал [0, 1] точками 0 = t0<t}< ... <tk=l, так
g2
что tv — /„_]< —, и определим для каждого пути кусочно'
дифференцируемые пути cv = сТогда, как мы
сейчас покажем,
p(c(fv_,), c(0)<e, IeRv-i, М, (3)
В самом деле, p(c(/v_1), c(/))s^L(cv) и из (1) следует
Р2 (с (fv_,). с (0) < L2 (cv) < (tv - tv_,) Е (cv) < -у В (с) < е2.
Неравенство (3) выражает „равностепенную непрерывность" мно-
жества функций Qq, о которой шла речь выше. Образ каждого
пути cv по построению принадлежит сильно выпуклому шару
с центром в c(/v_]) радиуса е.
Рассмотрим пространство й] всех путей с в й0, для которых cv
есть геодезическая с L (cv) = p(c(<v_,), Тогда
включение r. й] -> Йо оказывается гомотопической эквивалент-
ностью, а именно, мы построим гомотопически обратное „ретра-
гирующее отображение" g: й0->й], поставив в соответствие
каждому пути с е й0 однозначно определенную в силу (3) ломаную
геодезическую g (с) = с е Й,, для которой с’ (Q = с (Q (0 v < k).
Очевидно, Е (с*) Е (с).
Далее, g°i есть тождественное отображение й1( гомотопия
Я: й0 X [0, 1]->Йо между тождественным отображением й0 и i°g
получается следующим образом.
Положим Н (с, s) = cst= Йо, где cs |[0, = с* Ifo,cs |pv_b sJ-
кратчайшая геодезическая, соединяющая c(/v_|) с c(s), и cs |[s ц =
= c|[s!], если Ц. Ясно, что Е (cs)< Е (с) < у для всех
se[0, 1], Н непрерывно, Н (с, 0) = с, Н (с, l) = g(c). Поскольку
отображение с-^Н(с, s) переводит в себя каждое из подпро-
странств й“?, йрр пространства й0 (sg[0, 1J), i есть гомотопи-
ческая эквивалентность:
($<,, £?<,)-(£?, Q?), (4)
где й? = Й1 f] й“р, й? = й] П йрр — подпространства йи
При k=l все доказано; пусть k~^2.
Формула F(с) = (с(£]), ..., задает естественное отобра-
жение F: Й1 ->М X ... X М (Z> — 1 множитель), F есть гомео-
7.6. Основная Теорема Теории Морса
269
морфизм Q] на некоторое открытое подмножество N в Мх ... ХМ,
на котором мы вводим индуцированную риманову метрику. Опре-
делим непрерывную функцию <р: М X ... полагая
k
ф(«) = ф(«>...afe_,) = J]-g7-7,av)>
V-1
где а0 = р, ak = q\ тогда q>°F = E и <р по построению дифферен-
цируема на N, причем N = {a: <р(а)<у). Мы применим теорему 1
к N и <р. Прежде всего с помощью F получаем гомеоморфизм
(Q?, №). (5)
Далее, множество <р-1 [а, р] замкнуто в компактном множестве
В X ... X В и, следовательно, само компактно. Мы покажем,
•что a^N является критической точкой <р в том и только том
случае, когда a = F(c) и с е Qj —геодезическая. Вначале сделаем
следующее предварительное замечание.
Пусть В — сильно выпуклый шар в метрике М и ф: В X В-+-R —
дифференцируемая функция, заданная формулой ф (г, г') = р2(г, г').
Найдем градиент и гессиан ф. Рассмотрим геодезическую с: [т, т']->
->-В, для которой с(т) = г, c('t') = r', векторы и^Мг, и'^МГ'.
Построим вариацию V: [т, т']х/->В геодезической с (I с R от-
крытый интервал, содержащий 0), удовлетворяющую условиям
VtD2\x,o = и, V„D2\r,o = и' и такую, что пути 7^: [т, т']-+В, задан-
ные формулой Иц (0 = 7 (Л ц), суть геодезические для всех r|G/
(в частности, 70 = с)- Тогда имеем
Ф(И (т> n)> V « = j II 7ц 11? dt = f Сп);
X
по определению градиента и производной по направлению
X'
<^ф I, X г', их и'} — (их и') ф = f' (0) = (7 - т) j D2 (VtDb V.D i)|/,0 dt.
X
Вследствие = 0 имеем
D2(7.D„ 7.D,) = 2(7.D1, Vd7.D1) = 2(7.D„ VD 7.D2> =
-= V.D2),
откуда
<Уф |r x « X u') = 2 (r' - t)(7.D,, V.D2} |£° =
= 2 (т' — t) (—с (т) X с (т'), и X u'}',
следовательно,
VФ kxr' = 2 (-/ - t) (-с (т), c (-/)). (6)
270
§ 7. Связи между кривизной и топологическим строением
Согласно предыдущим вычислениям,
|у (Г, T1)XV(T', Т1) ~ 2 (т т) ( V.Dlk., VtDi It', if),
так что
Ht(UX/) = VBX^ = 2(T'-T)(-Vfl!^l|t.o, т,>
= 2(T'-T)(-VniV.n2|T> 0, VDy.D2 х,0).
Векторное поле Y вдоль с, заданное формулой Y (t) = VtD2 |Л0,
есть поле Якоби, в самом деле,
VPiVD V.Z)2 + R (y.Z)2, V.DJ V»DX =
= vP1voy.o2 + Vo VDy.Z)1 - vDyD y.D1 = 0,
откуда Y" + R{Y, c) = 0. Таким образом, тензор Гессе имеет вид
^(uXu') = 2(t'-t)(-F(t), Г<т')), (7)
где Y — поле Якоби вдоль с, удовлетворяющее условиям Y (т) = и,
Y (т') = и'. Сравните эти вычисления с соответствующими вычисле-
ниями в разделах 4.1, 4.3 и с замечанием (ii) разд. 5.2.
Согласно (6), градиент <р имеет вид
V<p 1а = 2 (С! (fj) - с2 (Z2).С*-! (ik-d - ck ),
где F(c) = a, cv = c / ], Поэтому V<p L = 0 в точ-
ности тогда, когда cv(/v) = cv-i (Q при всех v = l.k— 1, т. e.
когда с — геодезическая. Согласно (7), гессиан <р в критической
точке а = F (с) имеет вид
k
(8)
V=1 V 1
где v, w е Na, v — (щ, ..., Щг-ч), w = (Ш], ..., да*-]), a Xv, Yv — поля
Якоби вдоль cv, удовлетворяющие условиям
(^V—1) = ®v—1> YУ (^V—1) ~ 1> Ny (ty) ^V> YУ (k) =
(считаем a0 = ®o = Oe Mp, vk= wk = Q<= M4).
Если с —тривиальная геодезическая, то Лф, очевидно, положи-
тельно определена вдоль а. В этом случае индекс а равен 0 и,
по определению, равен индексу с.
Если с—нетривиальная геодезическая, то касательное про-
странство к N в точке а разлагается в ортогональную сумму,
Na = Na ®Na, где N% = {и: {vy, с (ty)) = 0, 1 — 1} и ЛГа—орто-
гональное дополнение к Na- Легко проверить, что Ab>LtvWt
положительно определена и hq(Na, ^а) = 0; остается исследовать
7.7. Радиус инъективности в случае произвольной размерности
271
Лф =A<pLxv„x. Пусть с° А —совмещенная с с нормальная геоде-
зическая, А: [О, L (с)] -> [0, 1] — другая параметризация этой же
геодезической, для которой Ms)=£-^y. Из (8) и разд. 4.5 сле-
дует 2l(c) hy w) = I (X ° К, Y ° А), где X, Y — ломаные поля Якоби
вдоль с с точками излома tlt ..., tk-i, удовлетворяющие усло-
виям X L . У|. , Y„ (1 Согласно лемме 2
rv-г vJ l'v-Г VJ
разд. 4.5, индексная форма I не вырождена, так как по предпо-
ложению все сопряженные точки с°А лежат в (0, Л(с)); поэтому
форма Лф и тем самым /гф не вырождены.
Как видно из доказательства леммы в разд. 4.6, индекс геоде-
зической с ° А можно получить как индекс ограничения I на под-
пространство 7С о % сг 53с о х всех ломаных полей Якоби с изломами
в точках L(c)tv. Тем самым мы показали, что индекс <р в крити-
ческой точке a = F(c) равен Ind с = Ind с ° А.
Теперь мы можем применить к N и <р теорему 1, согласно
которой существует гомотопическая эквивалентность (№, №) ~
U ... В силу (4) и (5) имеем, наконец,
(С «;,) ~ ~ (* и е,, и ... и Ч,
Tr(Q>t|U ... иЧ,о:)~(о;,иг41и ...
при этом Р и I предполагаются канонически продолженными.
Тем самым теорема доказана.
7.7. Радиус инъективности экспоненциального отображения
в случае произвольной размерности
В разделе 7.5 мы дали нижнюю оценку радиуса инъективности
экспоненциального отображения компактного риманова много-
образия четной размерности и положительной кривизны через
верхнюю границу кривизны.
Теперь мы займемся соответствующей задачей в случае произ-
.вольной размерности.
Приведем вначале известный результат о дифференцируемых
отображениях.
Лемма
Усл. М, N — дифференцируемые многообразия равной размер-
ности', f: М -> N — дифференцируемое отображение.
Утв. Множество регулярных значений f всюду плотно в М,
272
§ 7. Связи между кривизной и топологическим строением
Док. Предположение непосредственно вытекает из более общей
теоремы Сарда (см. Ж. де Рам, Дифференцируемые многообра-
зия, М., 1956, стр. 30, теорема 4).
Согласно лемме, регулярные значения экспоненциального ото-
бражения ехрр: Мр->М полного риманова многообразия М всюду
плотны в М, какова бы ни была точка р е М. Это значит, что
в любой окрестности U произвольной точки г е М существует
такая точка q, что все геодезические с: [0, 1] -> М, соединяющие р
с q, могут иметь сопряженные точки только в открытом интер-
вале (0, 1) (в терминологии разд. 7.6 это значит, что пространство
путей не вырождено).
Теорема (В. Клингенберг)
Усл. М — полное односвязное риманово многообразие размерности
п^2. Кривизна М для всех касательных плоскостей а
удовлетворяет неравенствам 0 < -* < Ка X.
Утв. Радиус инъективности d: M->R отображения ехр во всех
точках р^ М заключен в пределах
(1)
где рм — диаметр М.
Заметим, что в разд. 7.5 для четных размерностей было дока-
зано более сильное утверждение; там же содержатся дальнейшие
замечания по этому поводу.
Док. Прежде всего нормируем риманову метрику М умноже-
нием на Л,, тогда Далее мы можем ограничиться слу-
чаем п^З (см. разд. 7.5).
Пусть р^М и — открытый шар радиуса т] в Мр с центром
в точке 0. Предположим, что ехр не инъективно. Тогда суще-
ствуют такие точки v0, wa е Uя, что и0 =/= w0 и ехр (и0) = ехр (а/0).
Обозначим точку ехр (и0) = ехр (w0) через г0. По теореме сравнения
Морса — Шенберга ехрр имеет максимальный ранг на Un. Сдедо-
вательно, существуют окрестность V точки и0 и окрестность W
точки w0, каждая из которых диффеоморфно отображается ото-
бражением ехрр на некоторую окрестность точки г0; при этом
можно считать, что ехр (7) = ехр (W). Множество V = {tu: и е V,
t е (0, 1]} открыто в Мр. Согласно лемме, при 0<е^л открытое
множество ехр(УПС/Е) содержит регулярное значение ехрр.
По теореме Мейерса М компактно, поэтому х = inf Ка > -i-,
а 4
откуда 2л ——7=->0. Выберем е>0, удовлетворяющее неравен-
7.8. Теорема о сфере
273
ствам е<2л----£=•, е<-£=-, затем и t0 е (О, 1] таким об-
У к у к
разом, чтобы было tov е V Л Us и чтобы ехр (tov) = q была регу-
лярным значением ехрр. Тогда существует вектор w е W, для
которого ехр (ш) = ехр (и) = г. Построим, как и в лемме разд. 7.1,
геодезическую с0: [0, 1] ->М, соединяющую р с q, и ломаную гео-
дезическую Ср [0, 1] -> М, соединяющую р с q, заданные форму-
лами с0(/) = ехрCj(0 = exp(2to) при =
= ехр([1 — (2/ — 1) (1 — /о)] и) при 1] (точкой излома с, слу-
жит г). Очевидно, L (с0) = t01| v ||, L (ct) = || w || + (1 - /0)|| v || и
Л(с0) + Л(с1)<2л. (2)
Пространство путей ЙР9, по построению, не вырождено. В силу (2)
и неравенств —~ 4- L (с0) < —+ в < 2л можно найти такое число
у к у и
Уа^Цс^, что
-^<Уа<2л-Т(с0) (3)
Ух
и Qpq не содержит геодезических энергии а. Тогда из (3) и разд. 6.2
следует, что все геодезические из ЙР9 длины, большей У а, имеют
индекс, не меньший п — 1 ^2. Из следствия к теореме 2 разд. 7.6
вытекает, что йрр линейно связно. Пусть s->Hs — путь в ЙР9,
соединяющий с0 с Ср Н: [0, 1] X [0, 1] -> М есть (р, р)-гомотопия, сое-
диняющая с0 с С] и заданная формулой H(t, s) = Hs(i). Очевидно,
справедливы неравенства L2 (Hs) Е (Hs) а. Согласно (1)
разд. 7.1, существует такое s0 е [0, 1], что} 2л L (с0) + L (HSs)
^L(c0)+ Уа, а это противоречит (3). Тем самым теорема доказана.
7.8. Теорема о сфере
Основным результатом этого раздела является следующая
Теорема
Усл. М —полное односвязное риманово многообразие размерно-
сти п^2. Пусть кривизна М Ъ-ограничена с S>-^-, т. е.
(1)
для всех касательных плоскостей о.
Утв. М гомеоморфно сфере Sn.
Этот результат — „теорема о сфере" — был сначала доказан
Раухом с большей нижней границей б в (1), а затем в полном
274
§ 7. Связи между кривизной и топологическим строением
объеме Клингенбергом (см. Rauch Н. Е., A contribution to diffe-
rential geometry in the large, Ann. of Math., 54 (1951), 38 — 55;
Klingenberg W., Uber Riemannsche Mannigfaltigkeiten mit positiver
Krwnmung, Comm. Math. Helv., 35 (1961), 35 — 54). В случае re = 2
утверждение теоремы остается справедливым, если вместо (1)
предположить лишь, что 2*С^6>0. Действительно, в силу
разд. 7.3, М в этом случае компактно, а всякое двумерное ком-
пактное односвязное топологическое многообразие гомеоморфно S2.
Можно утверждать даже большее: если М компактно и К О,
причем К (р) > 0 по крайней мере в одной точке р е М, то по тео-
реме Гаусса —Бонне для эйлеровой характеристики компактного
двулистного риманова накрывающего М имеем
2п^м = j 2С® > О,
м
где а — форма площади на М; но тогда в силу классификации
компактных поверхностей М гомеоморфно сфере 52или проективной
плоскости P2(R), в зависимости от того, ориентируемо М или нет.
Если отказаться в теореме о сфере от требования односвяз-
ности М, то прежде всего универсальное риманово накрывающее М
многообразия М оказывается гомеоморфным Sn. При четном п
достаточно предположить М ориентируемым, так как отсюда сле-
дует односвязность М (см. разд. 7.5).
Пусть теперь п > 2 и п = 2k четно, тогда предположение тео-
ремы (1) не может быть заменено более слабым
(2)
как показывает пример комплексного проективного пространства
Pk(C) с канонической метрикой (см. (8) разд. 7.5). В самом деле,
Pk(C) не гомеоморфно Sn, поскольку их эйлеровы характеристики
ХР*(С) = £ + 1 и xs„ = 2 различны.
Если в теореме заменить условие (1) условием (2), то справедливо
следующее: либо М гомеоморфно сфере S'1, либо М изометрично
одному из симметрических пространств ранга 1, т. е. Pfc(C), или
кватернионному проективному пространству соответствующей раз-
мерности, или плоскости Кели (см. замечание (v) разд. 1.7).
Только что указанные многообразия снабжены, подобно комплекс-
ному проективному пространству (см. замечание (v) разд. 7.5),
естественной структурой нормальных однородных пространств.
7.8. Теорема о сфере
275
(По этому поводу см. Berger М., Les varietesriemanniennes—pincees,
Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa, III, 14 (1960), 161 — 170.)
Для нечетной размерности n теорема остается справедливой
с более слабым условием (2) вместо (1) (см. Klingenberg W., Ober
Riemannsche Mannigfaltigkeiten mit nach oben beschrankter Kriim-
mung, Annali di Matematica, 60 (1963), 49 — 59). Неизвестно, может ли
быть уменьшена дальше граница в случае нечетной размер-
ности (см. разд. 7.9).
Так как на компактном топологическом многообразии размер-
ности =СЗ существует, с точностью до эквивалентности, единст-
венная дифференциальная структура, то при п = 2,3 многообра-
зие М даже диффеоморфно S'1. В разд. 7.9 мы кратко рассмот-
рим вопрос, можно ли в общем случае заменить в теореме о сфере
гомеоморфность диффеоморфностью.
Теперь докажем теорему в предположении (1) прямым по-
строением гомеоморфизма, при помощи атласа из двух нормальных
карт с надлежащим образом выбранными „полюсами". Нам по-
надобятся некоторые предварительные рассуждения. Следующее
предложение, представляющее также и самостоятельный геомет-
рический интерес, было впервые доказано Берже в случае неотри-
цательной кривизны.
Лемма 1
Усл. М — полное риманово многообразие неотрицательной кри-
визны. Пусть р, q <=М — точки, для которых функция р (р', q)
достигает относительного максимума при р' = р.
Утв. Для каждого v е Мр, v #= 0, существует геодезическая
с. [0, ₽]—>М, удовлетворяющая условиям c(0) = p, c($) = q,
L(c) = p(p, q) и (и, с(0))^0, т. е.
^(ц, с(0))<|. (3)
Док. Можно считать, что ||и|| = 1. Рассмотрим нормальную гео-
дезическую с: [0, р0] М, удовлетворяющую условиям с0 (0) = р,
со(0) = и, выбрав при этом 0О > 0 столь малым, чтобы было
р (р, cv (s)) = s, с„ (з) #= q и р (с0 (s), р (р, q) для всех з е= [0, ро].
Тогда по теореме Хопфа —Ринова существует геодезическая
cs- [0> соединяющая с0(з) с q, причем L (cs) = р (с0 (s), q).
Пусть, далее, В —достаточно большой шар в метрике М с цент-
ром в р, в котором расположены все рассматриваемые геодези-
ческие; тогда при оценке углов всех треугольников с вершинами р,
q, cv(s) по формуле (19) разд. 6.4 можно пользоваться некоторой
нижней границей х < 0 кривизны М на компактном множестве В
276
§ 7. Связи между кривизной и топологическим строением
(см. замечания (i) и (ii) разд. 6.4). Поскольку соз^-( —сц(з), cs(0)) =
— ~(s), jj~)> из (19) разд. 6.4, полагая а = У~х, получаем
chap(p, q) ch ap (cv (s), p)chas +
+ sh ap (c„ (s), q) sh as (cv(s),
Согласно выбору cv, имеем p(ct,(s), p)^p(p, q), откуда
(1 - ch as) ch ap (cv (s), q) < sh ap (cv (s), q) sh as ( cv (s), -|-^^)||)
и
“ 1+cha$ cthap(Ct,(S)’ || (0)|| )• (4)
Так как множество чисел ||cs(0)|| ограничено, в интервале (0, (Q
существует такая последовательность sv->0, что cSv(0) сходя,тся
в ТМ к некоторому вектору w е Мр. Тогда c.5v сходятся к геоде-
зической с, заданной формулой с (t) = ехр (tw), с началом р и кон-
цом q, причем в силу (4) получаем
/ г(0) \_г / / ч Ч(°)
N U’ 11 b (0) || / J™ \ || (0)|| '
^-J^T+Vhasv ctMU4 ?) = 0.
Лемма доказана.
Покроем теперь многообразие М нашей теоремы двумя «-мер-
ными клетками, т. е. двумя подмножествами, гомеоморфными R .
Обозначим через В^(р) открытый шар метрики М радиуса т]
с центром в точке р.
I
Лемма 2
Усл. М —полное односвязное риманово многообразие размер-
ности п^2', для всех его касательных плоскостей а выпол-
нено неравенство < 6 1.
Утв. Существуют такие точки р, q е М, что для любой точки г е М
либо р (р, г) < л, либо р (р, г) < л, так что выполняется
Вя(р)иВя(<7) = М. ‘(5)
Заметим, что при более слабом условии 1 утвержде-
ние (5) оказывается неверным. В самом деле, это условие выпол-
нено для комплексного проективного пространства М = Рп (С)
(п > 1), которое имеет всего лишь диаметр рм = л (см. замеча-
ние (v) разд. 7.5). Между тем для любых двух точек р, q<=M
пересечение соответствующих множеств раздела С(р) = С(^) =
7.8. Теорема о сфере
277
= Pn.~l (С) в М непусто, и потому существует точка г е С(р) f| С (</),
для которой р(р, г) = р(<7, г) = л.
Док. По теореме Мейерса М компактно. Выберем такие
точки р, q е М, что р (р, q) = рм < 2л. Пусть, например, р (р, г) л,
можно считать, что г q. Рассмотрим геодезические с0: [0, 1] -> М,
с началом q и концом г, и Ср [О, с началом г и концом q,
для которых Л(с0) = р(<7, г), L(Ci) = p(r, р) и у0 = ^(-с1(1), с2(0))<
Согласно (1) разд. 7.7, р(р, <?) = рм^л. Так как у0 —угол
в вершине р треугольника Д = (с0, сь с2) с вершинами р, q, г,
то из следствия (8) разд. 6.4 теоремы сравнения Топоногова по-
лучаем р(р, r) = L (c0) < л, что и доказывает лемму.
Согласно (1) разд. 7.7, шары Вя(р) и B„(q) в соотношении (5)
являются даже диффеоморфными образами евклидовых шаров
радиуса л в Мр и Mq с центром в 0, при экспоненциальном ото-
бражении. Известна теорема, согласно которой топологическое
многообразие, представимое в виде объединения двух п-мерных
клеток, гомеоморфно S'1. Тем самым мы, по существу, уже дока-
зали теорему о сфере вместе с леммой 2. Однако, в данной си-
туации можно построить гомеоморфизм М -> Sn особенно простым
и геометрически естественным способом; поэтому мы проведем
прямое построение.
Лемма 3
Усл. М —полное односвязное риманово многообразие размерно-
сти п^2; для всех касательных к М плоскостей а удовле-
творяются неравенства < 6 Ка 1; р, q — „диаметраль-
ные'1 точки М, т. е. р(р, q) = PM-
Утв. „Экватор" С {г: р(р, r) = p(r, q)}, рассматриваемый как под-
пространство М, есть (n—1)-мерное топологическое много-
образие, гомеоморфное S'1-1, и каждая исходящая из р
или q нормальная геодезическая пересекает С в точности
один раз на расстоянии < л. Множество С разбивает М
на два подпространства WQczB„(p), Wi<=Bn(q), для кото-
рых Wol)Wi = M, Wo П W\ = С. Далее, можно построить ка-
нонические гомеоморфизмы ho’. Dn->W0, h{- Dn->WX, для
которых hQ (Sn~1) — (S'1-1) = C.
Из доказательства легко видеть, что С оказывается даже диф-
ференцируемым подмногообразием М, и что в качестве ho, hx
можно взять диффеоморфизмы (см. по этому поводу разд. 7.9).
Док. Согласно (1) разд. 7.7, отображения ехрр, ехр9 диффео-
морфно отображают открытые шары Un, V„ в Мр, М9 радиуса л
с центром в 0 соответственно на Вя(р), Bn\q).
278
<S 7. Связи между кривизной и топологическим строением
Вследствие (5) имеем С <= [Вя(р) П Вя (</)]. Рассмотрим непре-
рывную функцию ф (г) = р (р, г) — р (</, г) на М, множество С = ф~* (0)
компактно вместе с М. Для каждой нормальной геодезической
с: [0, л]—>Л1 с начальной точкой р функция Ф°с, как мы сейчас
покажем, строго монотонно возрастает. В самом деле, если
0^Д<Д'^л, то из неравенства треугольника получаем сначала
р(</, с(Л))<Р(<7>с(0) + р(с(0. С(О), причем равенство исключается,
так как в противном случае c(t) и, следовательно, р принадле-
жали бы образу кратчайшей геодезической, соединяющей q с c(f')>
вопреки условию р(р, <7) = Рл- Отсюда следует
Ф°с(0 = р(р, c(f))-p(<7, c(f)) = p(p, c(t'))-p(c(t), c(f))~
- Р (<7> с (0) < р (р, с (Г)) - р (<?, с (f)) = ф о с (f).
Поскольку ф°с(0)<0, ф°с(л)>0 и ф°с непрерывна, существует
в точности одно значение t е (0, л), для которого с (/) е С = ф^1 (0):
Если с начинается в точке q, то ф ° с строго убывает,
так как — ф°с строго возрастает. Положим 1Г0={г: ф(г)^0}<=
сВя(р), W\ = {r :ф(г)>0}<=Вя(</). Если i0: Afp->R'1, ц: Mq->Rn—
линейные изометрии, то g0 = i0 ° (ехр у1, = ц ° (ехр 1ця)-1 гомео-
морфно отображают шары Вя(р), Вя(р) соответственно на неко-
торые окрестности точки 0 в R". Обозначим снова через Dn
стандартную n-мерную клетку [а: || а || 1} в R" с краем dDn= S'1-1.
Непрерывное отображение = где хе^(С), согласно
предыдущим рассуждениям, биективно и, следовательно, является
гомеоморфизмом подпространства g((C)cR’ на Sn~l (непрерыв-
ность обратного отображения ft вытекает из того, что gi(C)
(i= 1,2) вместе с С компактно, a S'1-1 — хаусдорфово пространство).
Продолжим fi по радиусам до гомеоморфизма Ft: Rn->Rn, полагая
Pi (а)= Л («~«1 И ПРИ а 0 и ^i(0) = 0- Тогда Ft гомеоморфно
отображает Dn на gt (IT,), и можно определить отображения
ht: Dn->W{ по формуле ht = g~l ° Ft | , что и доказывает лемму.
Доказательство теоремы о сфере. Утверждение теоремы вытекает
из леммы 3 и следующего общего предложения:
Лемма 4
Усл. М — топологическое многообразие размерности п. Пусть
ho, h{: Dn-> М — гомеоморфизмы Dn на подпространства
ho (Dn), hi (Dn) пространства M, причем h0 (Dn) J hi (Dn) = M
и ho (Dn) П hi (Dn) = ho (S'1"1) = (S'1’1).
Утв. M гомеоморфно Sn.
7.8. Теорема о сфере
279
Док. Рассмотрим для S'lc:R'l+I стереографические проекции: х из
северного полюса и у из южного полюса (см. замечание (iii) разд. 1.1).
Южная полусфера Sl = {a: aeS", an+i^0) гомеоморфно отобра-
жается с помощью х на Dn, а северная SX = {a: a^Sn, ап+1^ О) —
с помощью у, причем х и у совпадают на экваторе
образом которого является край S'1-1 шара Dn. Продолжим теперь
гомеоморфизм f = h\X°ho‘. Sn~1->Sn~1 по радиусам до гомеомор-
физма/7: Dn->Dn, полагая F(a) =|| a ||f (тДг) при а =/= 0 и 77(0) = 0.
Получаем гомеоморфизмы Ф_: hQ ° х, Ф+ = й1 ° F ° у, отображающие
соответственно S1 на й0(-О'1) и SX на Ах (/?"), причем Ф_ и Ф+
совпадают на Sl^SX- Поэтому можно построить отображение
Ф: Sn -> М, полагая Ф (г) = Ф_ (г) при г е S1 и Ф(г) = Ф+(г) при
reSXi отображение Ф непрерывно и биективно. Так как S'1 ком-
пактна и М — хаусдорфово пространство, то и Ф-1 непрерывно.
Следовательно, Ф — гомеоморфизм.
Если в условии леммы 4 М — дифференцируемое многообразие
и hQ, — дифференцируемые вложения, то не обязательно суще-
ствует диффеоморфизм S"-*M; для этого необходимо и доста-
точно, чтобы „перекручивание" h^1 ° h0: Sn~1->Sn~1 могло быть
.продолжено до диффеоморфизма F: Dn->Dn, что, вообще говоря,
невозможно при ni>7. С помощью F легко построить диффео-
морфизм Sn->М, „сглаживая" отображение Ф предыдущего
доказательства в окрестности экватора S'1.
Укажем еще несколько иной путь доказательства теоремы
о сфере, прямо опирающийся на теорию Морса и не использующий
теоремы о сравнении углов из разд. 6.4. При этом, однако, полу-
чается непосредственно лишь утверждение о гомотопическом
типе М.
Компактное n-мерное дифференцируемое многообразие М, имею-
щее гомотопический тип Sn, называется гомотопической сферой.
Необходимое и достаточное условие, при котором М является
гомотопической сферой, состоит в равенстве нулю гомотопических
групп лй(Л4), 1 (или, что то. же самое, связность и
односвязность М, а также тривиальность групп гомологий
1). Как недавно доказано Смейлом, гомотопическая
сфера М диффеоморфна S”, за исключением, может быть,
случаев dim М = 3,4. Этот результат представляет подтверждение
гипотезы Пуанкаре в ее естественном многомерном обобщении.
(См. Милнор Дж., Теорема об h-кобордизме, М., 1969.)
Рассмотрим полное риманово многообразие М и такие точки
р, q е М, что пространство путей = не вырождено
280
§ 7. Связи между кривизной и топологическим строением
(см. разд. 7.6). Напомним в связи с этим, что все пространства
путей Qp? гомотопически эквивалентны друг другу, каковы бы
ни были точки р, q. Из теоремы 2 разд. 7.6 легко следует, что
QM~%U%U ... lleftzu .... (6)
Пространство QA1 имеет гомотопический тип С1Г-комплекса с ко-
нечным или счетным числом клеток приклеиваемых последова-
тельно друг к другу с помощью соответствующих отображений;
если Ci...cit ... — геодезические в QM, Е (Cj) ^ ... <^E(cz) ...,
то kt = Ind cz, fej = 0. При этом пространство X = eki J ... (J eki U ...
co
снабжено слабой топологией: X представляется в виде (J Х1г где
z=i
Xt = eki (J ... U eki и открытыми считаются те множества U cz X, для
которых U П Xt открыты при всех Z = 1,2, .... В общем случае в пра-
вой части (6) оказывается бесконечное число кЛЬток размерности k,
например QS’ ~ е0 U U ••• • Если, однако, dim М. 2 и кривизна М
по отношению ко всем касательным плоскостям а удовлетворяет
неравенствам /Со^и>0, то, как следует из теоремы сравнения
Морса — Шенберга, в правой части (6) содержится конечное число
клеток каждой размерности fe 0. Согласно замечанию (i) разд. 6.2,
это же справедливо и при более слабом предположении, что кри-
визна Риччи многообразия М везде не меньше некоторого поло-
жительного числа. Например, в силу замечания (i) разд 4.6 имеем
QSn~e0Ue„_IU ... Ue/(n-i)U ....
и из замечания (v) разд. 7.5 легко вытекает, что
... Ue2/nUe2<n+1U •••,
где и 1 = 0, 1, 2, ... . Отсюда нетрудно найти гомологии
пространств QS", QP"(C).
Пусть теперь М — риманово многообразие, удовлетворяющее
предположениям теоремы о сфере. Возьмем р е М, выберем число
ЭХ
а>0, удовлетворяющее неравенствам -== <^а<2л, и найдем, соглас-
V б
но лемме разд. 7.7, такую точку q е М, что Qp? не вырождено
и р(р, q)<2n — ]^. В силу (1) разд. 7.7 пространство Qpp содержит
только одну (а именно, кратчайшую) геодезическую индекса 0,
но тогда, согласно разд. 6.2, все остальные геодезические Qpg
имеют индекс п — 1. Из (6) имеем QM ~ eki U eki U ... U eki U ...,
где kr = 0 и ki^n— 1 при Zi>2. Отсюда получается тривиальность
приведенных групп гомологий: Яй_!(йЛ1) = 0 при 1.
По теореме Гуревича имеем также nft_j (ЙЛГ) = 0 при I,
а по определению гомотопических групп nfe(M) as (QM),
7.8. Теорема о сфере
281
следовательно, лй(Л1) = 0, 1, и М — гомотопическая
сфера.
Сделаем в заключение еще одно замечание о проблеме диа-
метра. Если кривизна полного риманова многообразия М имеет
положительную нижнюю границу, то его диаметр рЛ ограничен
сверху, в то время как нижняя граница р^, естественно, не может
быть указана. Как видно из следующего ниже результата Берже,
соответствующее ограничение рЛ снизу накладывает сильные огра-
ничения на топологическое строение ЛГ.
Теорема
Усл. М — полное односвязное риманово многообразие размерности
п~^2‘, для всех касательных к М плоскостей а кривизна
Ка^1>>0; диаметр р^> 2уу-
Утв. М. есть гомотопическая сфера, и, значит, М гомеоморфно Sn>
во всяком случае, при п =/= 3,4.
Заметим, что по теореме Майерса М компактно, и в условиях
теоремы
/б 2/б •
Утверждение теоремы можно рассматривать как обобщение
(в гомотопическом смысле) теоремы Топоногова о диаметре
(см. разд. 7.3), а также теоремы о сфере, поскольку из ее условий
вытекают (нетривиальным образом, в силу (1) разд. 7.7) условия
предыдущей теоремы.
Заметим еще, что при более слабом условии рм^—7= ут вер-
губ
ждение теряет силу, как показывает опять же пример комплекс-
ного проективного пространства.
Док. Возьмем точки р, г^М, для которых р(р, г) = рм. Пусть
т]—радиус инъективности ехрр, 0 <т] » и {/—такая окрестность
точки р в М, что р(р, ?) <т]> Р (<7> г) >yj7T и ~ > cos
2 у б cos У б р (р, г)
для всех q &U.
Покажем, что при q е U пространство Qp? не содержит гео-
дезической с2, для которой т]^ L (с2) В самом деле, в про-
тивном случае рассмотрим обобщенный треугольник Д = (с0, сь с2)
с вершинами р, q, г и кратчайшими геодезическими с0 е Qqr,
Cj е Qrp; при этом выберем Cj по лемме 1 таким образом, чтобы
угол Д при вершине р удовлетворял условию у0^у. Можно
282
$ 7. Связи между кривизной и топологическим строением
применить к Д теорему Топоногова о сравнении углов, тогда
из (7) разд. 6.4 получаем cos а0 cos cos а2, где а, = L (cj.
Следовательно, имеет место
cos /6 p(q, г) _ cos aQ -i /V г / \ -1 /V
—cos а2 = cos у S L (с2) cos V 6 тъ
cos V& Р (р. г) COS О] ’
вопреки выбору точки q. Возьмем теперь такую точку q е U,'
чтобы пространство йр? было невырожденным (см. лемму разд. 7.7).
Тогда все геодезические из йр?, кроме кратчайшей индекса О,
оказываются длиннее и имеют по теореме Морса — Шенберга
V 6
индекс 1. Но тогда, как мы видели, из (6) следует, что
М — гомотопическая сфера.
7.9. Обзор
Задачи римановой геометрии, которыми мы занимались, рас-
сматриваются в более общем контексте дифференциальной гео-
метрии в обзоре: Chern S. S., The geometry of G-structures, Bull.
AMS, 72 (1966), 167—219. Кроме этой весьма содержательной
работы, укажем еще на собрание нерешенных задач: Kobayashi S.‘
and Eells J., Problems in differential geometry, Proceedings US-
Japan Seminar on Differential Geometry, Kyoto (1965), 167—177.
Римановы многообразия с везде положительной (неотрицатель-
ной) или везде отрицательной (неположительной) кривизной пред-
ставляют с локальной точки зрения естественное обобщение про-
странственных форм. Исследование их строения, в сравнении
с соответствующими стандартными геометриями, надо рассматри-
вать как важную задачу римановой геометрии. Было приложено
много усилий в направлении топологической или хотя бы гомото-
пической классификации полных римановых многообразий положи-
тельной кривизны. Эти исследования начались с классического
до сих пор не решенного вопроса X. Хопфа: существует ли на
дифференцируемом многообразии S2 X S2 риманова метрика поло-
жительной кривизны? В этой области до сих пор известно очень
мало, не известно также, можно ли деформировать каноническую
метрику произведения S2 X S2 (неотрицательной кривизны) в мет-
рику положительной кривизны. Можно предположить, по аналогии
с соответствующей теоремой для случая отрицательной кривизны
(см. замечание (vi) разд. 7.2), что на произведении компактных
дифференцируемых многообразий М, N не существует метрики
строго положительной кривизны (см. задачу Чжэня в замеча-
нии (iv) разд. 7.3).
Все известные до сих пор примеры односвязных компактных
римановых многообразий положительной б-ограниченной кривизны
7.9. Обзор
283
диффеоморфны однородным пространствам G/Н. Точнее говоря,
встречаются лишь симметрические пространства ранга 1, а именно
сферы Sn с максимальным значением 6=1, проективные про-
странства Рп(С), Р"(Н) и Р2(Са) с максимальным 6 = а также
два „исключительных пространства" типа Sp(2)/SU(2) в размер-
ности 7 и SU (5)/Sp (2) X S1 в размерности 13, с надлежащими
представлениями Н в G. Оба последних многообразия, как нор-
мальные однородные пространства, имеют положительную кри-
визну; для нормальных метрик на Sp(2)/SU(2) максимальное
значение 6, согласно Элиассону (Eliasson), равно , тогда как
в случае SU(5)/Sp (2) X S* точная оценка кривизны не известна.
Обратно, используя теоремы о классификации групп Ли, можно
показать, что из всех односвязных нормальных однородных про-
странств только пространства перечисленных выше типов диффео-
морфии могут иметь всюду положительную кривизну (см. Berger М.,
Les varietes Riemanniennes homogenes normales simplemeni con-
nexes a courbure striciemeni positive, Ann. Scuola Norm. Sup.
Pisa 15 (1961), 179 — 246). Представляется маловероятным, чтобы
перечисленные примеры исчерпывали все типы диффеоморфии
односвязных компактных римановых многообразий положительной
кривизны.
Утверждение теоремы о сфере может быть усилено. Классы
эквивалентности дифференциальных структур на топологическом
многообразии S” при п 4 взаимно однозначно соответствуют
элементам некоторой абелевой группы Г"; как вычислили Милнор,
Смейл и другие, Гл = 0 при 1^п^6, далее, например, r7 = Z28,
Г8 = Z2, Г11 = Z992. При этом обычной дифференциальной структуре
на S” соответствует нулевой элемент Г".
Существует универсальная последовательность чисел 6ft,
у = 6] < ... < 6fe < 6fe+1 < ... < 1 и lim 6fe = 1, обладающая еле-
дующим свойством: пусть М — односвязное риманово многообразие
размерности ni>2 с 6-ограниченной кривизной, и 6 > 6А, тогда М
гомеоморфно Sn, и дифференциальная структура М характери-
зуется элементом некоторой подгруппы Г£ группы Г”, причем
Г” = Г?гэГ2гэ ... и П = 0 при £>п-2.
В частности, отсюда следует, что при 6 > 6„_2 многообразие М.
диффеоморфно стандартной сфере S'1; известно, например, что
65 0,819 и 69^ 0,916. По этому вопросу см.: Gromoll D., Dif-
fer enzierbare Strukturen and Metriken positiver Rriimmung auf
Spharen, Math. Annalen, 164 (1966), 353 — 371. Доказательство
последней теоремы состоит в некотором итерационном процессе,
при котором „перекручивание** h\X°ho карт ho, h\ на экваторе
284 § 7. Связи между кривизной и топологическим строением.
(лемма 3 разд. 7.8), по существу определяющее дифференциаль-
ную структуру М. в Г", последовательно „развязывается"; это
достигается усовершенствованием примененных выше построений
(см. также лемму 4 разд. 7.8). Несколько иным методом, не
дающим, впрочем, количественных оценок, Калаби (Calabi) полу-
чил аналогичный результат. Возможно, что при увеличении раз-
мерности п необходимо выбирать б все ближе к 1, чтобы можно,
было однозначно охарактеризовать кривизной тип диффеомор-
фии М. Некоторым оправданием для такого предположения может
служить то обстоятельство, что уже порядок группы Г" очень
быстро растет при увеличении п. С другой стороны, неизвестны
примеры метрик положительной кривизны на экзотических сферах.
Брискорн (Brieskorn) и другие описали многие из этих сфер очень
простыми уравнениями, как аффинно алгебраические подмного-
образия евклидовых пространств с действительной коразмерно-
стью 3, но во всех этих случаях индуцированная метрика прини-
мает оба знака. В первом, принадлежащем Милнору, явном
представлении экзотических семимерных сфер в виде дифферен-
цируемого расслоения М7 —>S4 со слоем S3 и структурной груп-
пой SO (4) построение метрик постоянной кривизны на М7 пред-
ставляется также весьма трудным. Далее, из теоремы о сфере
возникает проблема: верно ли, что при достаточно большом б < Г
из nj(Al)^Z2 следует, что М диффеоморфно действительному
проективному пространству P"(R)? Как показал Салливан (Sulli-
van), для некоторых размерностей п существует даже бесконечное,
множество гомеоморфных Pra(R) дифференцируемых многообразий,
попарно не диффеоморфных друг другу. Если даже ограничиться
задачей найти необходимые условия, которым должны удовлетво-
рять алгебраические инварианты гомотопического типа компакт-
ного риманова многообразия положительной кривизны, то и в этом
отношении известно мало результатов, кроме перечисленных выше.
В принципе теория гармонических дифференциальных форм
Ходжа —де Рама может быть использована для вывода предло-
жений о числах Бетти bk многообразия М; применяемые при
этом методы изложены в книге: Яно К. и Бохнер С., Кривизна
и числа Бетти, М., 1957. Этим способом, например, получается
bi — 0, что вытекает, впрочем, из теоремы Мейерса, согласно
которой л = Л] (М) — конечная группа, следовательно, Н^М, Z) ss
££ л/[л, л] конечна и Hl (М, Q) = О (Q — поле рациональных
чисел).
Лучший результат в этом направлении состоит в том, что
Ь2 = 0, если б > > гДе размерность многообразия М — нечет-
ное число n = 2m+l (см. Berger М., Les varietes Riemanniennes
dont la courbure satisfait certaines conditions, Proc. Intern. Con-
gress Math. (1962), 447—456). Например, для размерности n = 5
Т.9. Обзор
285
с помощью двойственности Пуанкаре находим, что при б > -д-
имеет место Ь] = Ь4 = 0, b2 = b3 = 0 и М оказывается „рациональ-
ной гомологической сферой", т. е. Hk(M, Q) = 0 при l^fe^3.
В более высоких размерностях этот результат дает, однако, все
меньше по сравнению с теоремой о сфере.
Особенно важным инвариантом М является эйлерова характе-
п
ристика Хти = 5 (—l)ft bk. Если dimAf = n нечетна, из двойствен-
но
ности Пуанкаре bk = Ьп_к следует Хти = 0. Для четных размерностей
уже давно существует предположение, что > 0, если кривизна М
ограничена снизу положительным числом.
При п = 2 многообразие М диффеоморфно S2 или P2(R), так
что x^i = 2, соответственно x.M=i- При п = 4 имеем &1 = б3 = 0,
Хм = Ьа + Ь2 + Ь4 = 2 + Ь2^2. По обобщенной теореме Гаусса —
Бонне Хм можно представить в виде интеграла от n-формы на М,
выражающейся только через компоненты тензора кривизны
(Л-Т предполагается ориентируемым). Однако до сих пор лишь
при п^4 удалось определить знак интегрируемой формы по знаку
кривизны, и проблема эйлеровой характеристики по-прежнему
остается открытой.
Как заметил Вайнштейн (Weinstein), для любой четной раз-
мерности п и данного б > 0 существует лишь конечное число раз-
личных гомотопических типов римановых многообразий положи-
тельной б-ограниченной кривизны. В самом деле, согласно замеча-
нию (ii) разд. 7.5, радиус выпуклости ЛТ не меньше , диаметр же
не больше —£=-, б^Ко^1, поэтому легко построить покрытие ЛТ
V 6
ограниченным (не зависящим от ЛГ) числом сильно выпуклых
шаров, и нерв этого покрытия гомотопически эквивалентен М.
Для нечетных размерностей соответствующее утверждение спра-
ведливо в лучшем случае, если М односвязно (см., например,
замечание (iii) разд. 7.3).
Пусть М — риманово многообразие с краем. М называется
выпуклым, если вторая основная форма по отношению к полю
внешних единичных нормалей неотрицательна вдоль края дМ.
Выпуклость является необходимым условием для полноты М
в том смысле, что любые две точки М можно соединить в М.
кратчайшей геодезической. В качестве примера может служить
n-мерный шар Z)"czR”+I, или любой замкнутый шар метрики Sn,
радиус которого у (см. замечание (ii) разд. 5.2).
28S
§ 7. Связи между кривизной и топологическим строением
На каждом компактном дифференцируемом многообразий, М
с краем дМ существуют такие римановы метрики, при которых М
выпукло, а дМ является даже вполне геодезическим подмного-
образием.
Пусть теперь М — компактное выпуклое риманово многообразие
размерности п^2 с положительной кривизной, и дМ 0; тогда
можно показать, что пары пространств (М, дМ), (D, S"-1) гомото-
пически эквивалентны. В силу теоремы об Л-кобордизме М диф-
феоморфно Dn при п =/= 3, 4, 5. Отсюда, например, следует, что
метрика произведения на М = S2 X D2 (неотрицательной кривизны)
не может быть аппроксимирована метрикой положительной кри-
визны без нарушения границы дМ = S2 X S1 (см. Gromoll D.,
Convex Riemannian manifolds, University of California, Berkeley,
препринт).
Конечно, рассматривались также и римановы многообразия
положительной кривизны, несущие дополнительные структуры.
Это прежде всего келеровы многообразия, т. е. голоморфные
римановы многообразия с параллельной комплексной структурой.
Они весьма интересны с геометрической стороны, и имеются
исследования, посвященные глобальному строению их кривизны.
Стандартной моделью для сравнения служит здесь комплекс-
ное проективное пространство Рп(С) постоянной голоморфной
кривизны (см. замечание (v) разд. 7.5). По этим вопросам см.:
Goldberg S. J., Curvature and homology, Academic Press (1963),
New York, а также Kobayashi S. and Nomizu K-, Foundations
of differential geometry II, Interscience Publishers (1969), New
York —London. Характерными работами в указанном направле-
нии являются: Bishop В. L. and Goldberg S. J., On the second
cohomology group of a Kaehler manifold of positive curvature,
Proc. AMS (1961), 350—356, и Kobayashi S., Topology of positi-
vely pinched Kaehler manifolds, Tohoku Math. J. 15 (1963), 121 — 139.
Далее, следует указать работу: Cheeger J., Comparison and fini-
teness theorems for Riemannian manifolds, Thesis (1967), Princeton
University. В этой работе содержатся, между прочим, некоторые
новые аспекты методов сравнения, примененных в последних двух
параграфах.
В заключение еще раз укажем две проблемы, в особенности
важные для дальнейшего изучения римановых многообразий
положительной кривизны: получение возможно более точных
результатов о гомологиях таких многообразий и поиски новых
типов диффеоморфии.
§ 8. Приложение
8.1. Вспомогательная функция
Введем для точек aeR" „кубическую*’ норму ||а||= max|az|-
Пусть JT (г>0) обозначает открытый куб в R" с центром в 0 и
длиной ребра 2r, Jr = {a: || а || < г}.
Мы построим дифференцируемую функцию ф: Rra—>R, обла-
дающую следующими свойствами:
ф(а) = 1 при а е 7],
0<ф(а)<1 при
ф (а) = 0 при
а J% \ J
a е R" \ /2.
(1)
Существование такой функции важно для многих глобальных
задач на С°°-многообразиях. Легко видеть, что аналитических функ-
ций со свойствами (1) не существует.
Рассмотрим сначала для а<р функцию h: R-+R, заданную
формулой
L+-L
е *~а <-|} ПРИ ^(а, ₽),
О в остальных точках.
Функция h дифференцируема и/?(/)> О при / е(ct,р), Dkh \a=Dkh ]8 = 0
при fe = 0, 1....
Определим, далее, <р: R—>R по формуле
t
J h (т) dr
ф(0 = т-------•
J h (т) dx
а
Тогда ф Дифференцируема, ф(/) = 0 при /<а, 0 < <р (/) < 1 при
/е(а, р), ф(/) = 1 при причем на (а, р) функция ф(/) строго
возрастаетL Возьмем, в частности, а = — 2, р=— 1 и определим
функцию ф: R-+R, полагая ф(/) = ф(/) при /^0, ф(/) = ф(—/)
288
£ 8. Приложение
при i>Q; тогда ф дифференцируема и
ФО) = 1 при | 1,
О <ф0)< 1 при 1<|/|<2,
ф>0) = 0 при |/|>2.
Теперь можно построить требуемую функцию ф: Rra->R по
формуле
п
Ф (а) = П ф (а1),
1 = 1
и ф имеет перечисленные в (1) свойства.
8.2. Некоторые топологические понятия
Пусть М — топологическое пространство. Покрытие (Уа)аеЛ
пространства М называется локально конечным, если у каждой,
точки М. есть окрестность, пересекающая лишь конечное число
множеств Ua. Покрытие (Ур)реВ пространства М называется впи-
санным в покрытие (£/а)аеЛ, если каждое множество содер-
жится в некотором Ua. Пространство М называется паракомпакт-
ным, если М хаусдорфово и если для каждого открытого покры-
тия М существует вписанное в него локально конечное открытое
покрытие.
Если М паракомпактно и (С/а)аеЛ —открытое покрытие М, то
существует такое локально конечное покрытие что
Уа сц Ua при всех ае,4. В самом деле, построим сначала ло-
кально конечное открытое покрытие (IFp)&eB, вписанное в (Ga)ae4,
и зададим отображение Л: В-+А, удовлетворяющее условию
(pj; тогда множества Va= (J образуют требуемое
₽ ен К~1 (а)
покрытие.
Теорема
Усл. М — локально компактное хаусдорфово пространство со
счетной базой.
Утв. М паракомпактно.
Таким образом, любое топологическое многообразие параком-
пактно.
Док. Выберем базис {Gz: i= 1, 2, ...} топологии пространства М,
для которого G( компактны. Построим последовательность ком-
пактных множеств Ct с: М, исчерпывающую М и такую, что С(
состоит из -Внутренних точек Ci+I, i = l, 2, .... Для этого поло-
жим Ci = GP Если Ci уже построено и G/ с С{, то возьмем
8.3. Разложение единицы
289
k
наименьшее число k, для которого Cfc:(jG/ = yz, и положим
_ _ /=I
Cz+i ~ Vt U Gi+l.
Пусть теперь (С/а)аеЛ — открытое покрытие М. Покроем каждое
компактное множество Cz\C?_i (Cz = 0 при г^О) конечным
числом открытых множеств Wtu ..Wir., таких, что каждое Wipi
принадлежит некоторому Ua, а также открытому множеству
C%i \Ci-2. Покрытие (1%) вписано в (Ua) и локально конечно,
так как по построению каждое W iPl пересекает лишь конечное
число множеств вписанного покрытия.
Следствие
Усл. М — дифференцируемое многообразие.
Утв. Для каждого открытого покрытия (Ua)aeA многообразия М
существует вписанное в него локально конечное покрытие
такое, что для любого ie/ множество W, есть
область определения некоторой карты хи причем:
(a) Xi(W\) — Z3,
(Ь) множества ху1 (Zj) покрывают М.
Док. Рассуждаем так же, как при доказательстве теоремы, но
при этом выбираем в качестве WiP. область определения карты
Х/р. так, чтобы было выполнено (а) и чтобы множества хт]1 (Zt), ...
..., x^'(Zj) составляли покрытие С/\С°_1.
Каждое паракомпактное пространство нормально. Это нетрудно
доказать, проверив сначала, что пространство регулярно. Таким
образом, топологическое многообразие нормально.
8.3. Разложение единицы
Пусть М — дифференцируемое многообразие и <р —неотрица-
тельная функция на М. Носителем <р называется множество
suppq> = {p: ф (р) > 0). Дифференцируемым разложением единицы
на М называется семейство (фа)аел неотрицательных дифферен-
цируемых функций на М, для которого (supp Фа)аеЛ представляет
локально конечное покрытие М, и 2 Фа(р)=1 для всех Р е М.
ае=А
Последняя сумма имеет смысл, так как для каждой точки р
лишь конечное число слагаемых отлично от нуля.
290
§ 8. Приложение
Теорема
Усл. М — дифференцируемое многообразие.
Утв. Для каждого открытого покрытия (Ua)a^A многообразия М
существует такое дифференцируемое разложение единицы
(фа)а<=д на что зиррфас:Да, г- в. носители составляют
вписанное покрытие.
Док. Согласно следствию теоремы 8.2, существует такое локально
конечное открытое покрытие (lTt)te7, вписанное в (С/а)аел, что
для каждого i е I множество lTt является областью определения
некоторой карты х, на М, причем (Wi) = /3 и множества
покрывают М. Пусть ф: Rre->R — функция, построенная
в разд. 8.1. Определим дифференцируемые функции фр Af->R,
полагая ф1(р) = ф ° xt(p) для р s Wt, ф1 (р) = 0 для p<=M\Wi.
Пусть, далее, Л: /-> Л— отображение, удовлетворяющее усло-
вию cz Uк щ, тогда множества Va = (J WK составляют
i е V1 (а)
локально конечное открытое покрытие (Уа)аел, вписанное
в (17а)аел. Определим для ае,4 дифференцируемые функ-
ции fa: по формуле fa(p)= У Ф1(р) и положим
1<=Л-1(а)
Фа (₽)= —> где сумма в знаменателе конечна и положи-
> fx(p)
хе А
тельна.
Следствие
Усл. М — дифференцируемое многообразие', G — открытое подмно-
жество М; А —замкнутое подмножество М, А с: G;
f: G -> R — дифференцируемая функция.
Утв. Существует такая дифференцируемая функция g: Af->R,
что Я1д = /1д « g(p) = 0 пРи p^M\G.
В частности, существует дифференцируемая функция <р: Af->R,
для которой ф(р)=1 при р^А и ф(р) = 0 при p<^M\G.
Док. Рассмотрим открытое покрытие (G, М \ Л) пространства М
и построим, согласно теореме, разложение единицы (<рь <р2)> для
которого supp<pIczG и supp <р2 cz М \ А. Продолжим f до произ-
вольной функции f: Af->R и положим £ = Ф^. Так как ф2|д = 0,
имеем ф] (р) = 0 при р е А, следовательно, g |л = f |л. Далее, g
дифференцируема, таж как g(p) = O при р е М \ supp ф! гэ М \ G
и g\a дифференцируема.
8.5. Интегральные пути векторных полей
291
8.4. Теоремы из теории дифференциальных уравнений
В этом разделе формируются две основные теоремы, извест-
ные из теории обыкновенных дифференциальных уравнений.
Теорема 1 (Существование решений системы обыкновенных диф-
ференциальных уравнений первого порядка и дифференцируемая
зависимость от начальных условий)
Усл. G — открытое подмножество Rre; F: G-+Rn — дифференци-
руемое отображение.
Утв. Для каждой точки aeG существуют окрестность W точки а,
открытый интервал J ей с центром в точке 0 и дифферен-
цируемое отображение ф: JX W-+G, такие, что
ф(0, м) = 0, (1)
#(Л ц) = Роф(/, «) (2)
для всех u^W и t е J.
Дифференцируемый путь ф: J-+G называется интегральным
путем системы дифференциальных уравнений F, если =
z = l...п. Таким образом, для каждой точки и е W диффе-
ренцируемый путь ф„: /->G, заданный формулой фв(0 = Ф(Л «)»
есть интегральный путь F.
Теорема 2 (Теорема единственности)
Усл. G — открытое подмножество Rre; F: G -»Rre — дифференци-
руемое отображение.
Утв. Если ф, ф: J —> G — интегральные пути F, причем ф (/0) = ф (/0)
для некоторого tQe /, то ф = ф.
8.5. Интегральные пути векторных полей
Пусть М — дифференцируемое многообразие и X — дифферен-
цируемое векторное поле на М. Если / — открытый интервал, то
дифференцируемый путь <р: J-> М называется интегральным путем
поля X, если
ф = X ° <р,
где ф = ф„£> — касательное поле к ф. Перенесем сначала на много-
образия теорему существования (см. разд. 8.4).
Лемма 1
Усл. М — дифференцируемое многообразие', X—дифференцируемое
векторное поле на М.
292
§ 8. Приложение
Утв. Для каждой точки q е М существуют окрестность V точки q,
открытый интервал J czR с центром 0 и дифференцируемое
отображение Ф: J X V -> М, такие, что
Ф(О, р) = р, (1)
Ф.41 =Хоф(/, р) (2)
Ul 1г» р
при всех p^V и ts!, где -^-| есть касательный вектор
ipjdf к J XV в точке (t, р), ip: I -> J X V — инъекция, задан-
ная формулой ip (/) = (t, р).
Для каждой точки p^V путь Фр: 7->Л4, заданный формулой
Фр(0 = Ф(г', р), является, очевидно, интегральным путем X. Ото-,
бражение Ф называется локальным потоком векторного поля X.
Интегральные пути Фр называются также ?,линиями тока“ -X,
а отображения Ф(: V-+M, заданные формулой ФДр) = Ф(/, р), —
„фронтами потока" Ф.
Док. Возьмем на М карту х с областью определения U=>q.
Положим G = x(U), a==x(q) и зададим отображение F: G->Rn
формулой F(u) = (Хх1, Ххп) lx-i (и). Согласно теореме 1 разд. 8.4,
существуют окрестность W точки а, открытый интервал J cz R
с центром 0 и дифференцируемое отображение ф: J X W -> G,
для которых выполняются соотношения (1) и (2) разд. 8.4. Теперь
можно положить V = х-1(1Г) и определить Ф: JXV -+М по фор-
муле Ф(^, р) = х-1оф(/, х(р)). Соотношения (1) и (2) теперь про-
веряются непосредственно.
Приведем еще теорему единственности для многообразий.
Лемма 2
Усл. М — дифференцируемое многообразие', X — дифференцируе-
мое векторное поле на М.
Утв. Если <р, ф: / -> М — интегральные пути X и для некоторого
trie! выполняется <р(/0) = ф(i0), то <р = ф.
Док. Пусть Jo cz 7 —наибольший содержащий tQ интервал, на
котором ф и ф совпадают. Ясно, что /0 замкнут в /, так как <р, ф
непрерывны и М — хаусдорфово пространство. Покажем, что 70
также открыт в J. Пусть е /0, так что <р (О = Ф (О- Построим
карту х с областью определения (/эф(/,) и положим G = x(U).
Рассмотрим отображение F: G->Rre, заданное формулой F(u) =
— (Хх1....Ххп) |x-i (U). Определим в некотором открытом интер-
вале /j с /, содержащем точку и удовлетворяющем условию
^(J^czU, дифференцируемые пути ф, ф: J{-+G по формулам
ф(t) = х оф(t), ф(/) = хоф(/). Очевидно, ф, ф есть интегральные
8.6 Максимальный поток векторного поля
293
пути системы дифференциальных уравнений F, причем ф(Л) = Ф(Л)-
По теореме единственности отсюда следует ф = ф и, значит,
ф1Л = ф|/. Поэтому J1 cz Jo и Jo открыто в J. Поскольку t0 Е Jo
и J связно, имеет место Jo = J, что и доказывает лемму.
Из теоремы единственности непосредственно вытекает, что
локальный поток поля X на J X V определяется однозначно, потому
что однозначно определены линии тока.
8.6. Максимальный поток векторного поля
Каждое векторное поле однозначно определяет „максималь-
ный" поток.
Лемма
Усл. Пусть М — дифференцируемое многообразие', X —дифферен-
цируемое векторное поле на М. Для каждой точки р е М
построим открытый интервал Jp a R, содержащий 0, и одно-
значно определенный (в силу леммы 2 разд. 8.5) максималь-
ный интегральный путь Фр: Jp—>M поля X, удовлетворяю-
щий условию Фр(0) = р. „Максимальность" при этом озна-
чает, что не существует собственного продолжения Фр до
интегрального пути X.
Утв. Существуют однозначно определенное открытое множество
IFgzR X М и однозначно определенное дифференцируемое
отображение Ф: W -> М, для которых
Jp х {р} = (R X {/?}) Л W при р(=м, (1)
Ф (Л р) = Фр (0 при (t, р) е W. (2)
В частности, для всех имеем {0} X М с W и Ф(0, р)= р.
Далее, Ф„ = X ° Ф (t, р) для (/, р) е W. Отображение Ф назы-
ut If» р
вается максимальным потоком векторного поля X. Максимальные
интегральные пути Фр поля X суть линии тока Ф. Заметим, что
может не существовать никакого открытого интервала J с R, со-
держащего нуль, для которого J X М cz W, т. е. движение всего
многообразия М вдоль линий тока с заданной векторным полем X
скоростью может оказаться невозможным ни в каком интервале
времени. Соответствующие примеры можно построить уже на R.
Если существует такой содержащий 0 открытый интервал J, что
J х М cz W (это верно, например, для компактного Л4), то, оче-
видно, IF = R X М, поскольку в этом случае каждый интеграль-
ный путь можно продолжить на всю R.
294
£ 8. Приложение
Док. Ясно, что W = (J /р X {р}, так что W однозначно опреде-
р е М
лено. Вследствие (2) однозначно определено также и отображение
Ф: W-+M. Остается показать, что полученное таким образом
множество W открыто в R X М и отображение Ф дифференци-
руемо.
Пусть р М и / — множество всех таких t Jp, что точка (t, р)
имеет в R X М принадлежащую W окрестность, в которой Ф диф-
ференцируемо. Так как 0 е J, J — непустое. В самом деле, согласно
лемме 1 разд. 8.5, существует локальный поток Ф7: J' XV' -* М,
для которого (0, р) е J' X V', причем J' X V' <= W и Ф7 = Ф |7, х v„
поскольку линии тока Ф7 суть интегральные пути поля X.
По построению интервал J открыт в Jp. Мы покажем, что /
также замкнут в Jp, и из связности Jp будет следовать I — ]р,
что равносильно утверждению леммы.
Пусть i0 — предельная точка J в Jp. Рассмотрим для точки Фр(^)
локальный поток Ф": J" X V" -+М, такой, что 0 s J" и Фр(/0) *= V".
Так как /0 — предельная точка J в Jp и интегральный путь Фр не-
прерывен, существует такое е J, что и Фр(/1)еУ77.
Тогда для t — ij е J" и Ф(^, q) е V", как мы покажем,
Ф(*> q) = ®"(t-t{, Ф(/„ q)). (3)
В самом деле, ф" (t - tit Ф (fb q)) = Фф(<г (i - 6) = Фф? (t - ti).
Отображение t ->Фф? (i — ti) есть интегральный путь поля X,
совпадающий с Ф9 в точке Вследствие соотношения Ф9(/) =
= Ф(£, q) отсюда получается (3).
Итак, Ф определено и дифференцируемо в некоторой окрест-
ности /j XV точки (tlt р), причем Ф(/1( V)cz V". Построим такую
окрестность /0 точки i0 R, что t — ij s J" при t e Jo. Тогда /0 X V
есть окрестность точки (i0, p)sRxMnJ0XVczW. В силу (3)
отображение Ф дифференцируемо на JaXV, откуда t0^J.
8.7. Теорема о продолжении
Следующий критерий важен для выяснения, максимальны ли
интегральные пути некоторого векторного поля или же они могут
быть продолжены.
Лемма (Теорема о продолжении)
Усл. М — дифференцируемое многообразие; X — дифференцируе-
мое векторное поле на М; <р: [а, р] -> М — интегральный путь
поля X. Пусть, далее, tv [а, р), lim tv = р и последователь-
V->oo
ность образов p4 = q>(tv) имеет предельную точку р s М.
8.7. Теорема о продолжении
295
Утв. (а) Для каждой окрестности U точки р существует такое
5<=[(Х, р), что для всех t е [s, р) выполняется <р (/) е U (иначе
говоря, lim<p(f) = p)- Таким образом, <р можно продолжить
до непрерывного отображения ф: [а, р]—>Л1, полагая ф(р) = р.
(Ь) Если с: J —> М — максимально определенный путь поля X,
для которого с (р) = р, то [а, р] <= J и с |[а й = ф.
Док. Докажем (а). Предположим, что существует такая окрест-
ность U точки р и такая последовательность ?v е [а, р), что
lim fv = p и <p(?v)0C/ при всех v. Очевидно, можно при этом вы-
V->oo
брать в качестве U область определения некоторой карты х, для
которой х(р) = 0. Выберем числа б>е>0 таким образом, чтобы
замкнутый шар BjcR" с центром в 0 радиуса 6 целиком при-
надлежал x(U). Далее, выберем из последовательностей iv, ?v
подпоследовательности ZV/, ?vz, для которых tv{<lV[<tv{+ , ф(А^.)е
e.r_|(Be), ф(7^) ф х~' (В4). Так как <р непрерывно, существует
наименьшее число ?vz], для которого ф (sz) е х-1 (Вб\ ДО,
так что ф( [/V/, $(]) <= х-1 (Д>). Обозначая через р функцию рас-
si . —.
стояния в R", имеем J ||хоф(t) ||rf/^p(x °<p(/vz), х°ф(5£-)). Из не-
Ч
равенства треугольника следует
р (х о ф (fvz), х о ф (Si)) > р (0, х ° ф (sz)) — р (0, х о ф (ivz)) > б - е,
откуда
si
J ||х,ф(0||<Д>б-е>0,
и окончательно имеем
k si
2 J II *.Ф (О II dt > k (б - е).
Z = 1
(1)
Далее, непрерывная функция || х*Х ||: U -> R ограничена на ком-
пактном множестве x-1(Bj). С другой стороны, ф = Х°ф, так как
ф —интегральный путь. Следовательно, функция || х,ф || ограничена
со
на ф "1 (х“1 (В6)); пусть, например, |[х, ф(/)||<ц при t е (J [/vz, $ij.
296
§ 8. Приложение
Откуда получается
k si k
2 J 1|х.ф(0И/< J] (s; -/V/) Ц < Н (₽ - а),
i = 1 /у £ i = 1
что противоречит (1) при достаточно больших k.
Докажем (Ь). Так как при t е [а, р) выполняется ф (/) =
из непрерывности X и ф следует lim ф (/) = lim Лф(/) = Хфф). Если
продолжить ф до отображения ф: J-+M, полагая ф(/) = с(/) при
/е/\[а, р], то. как мы покажем, ф = с. В самом деле, ф непре-
рывно, а в /\{р} —дифференцируемо; при t ф р имеем ф(/) =
и, кроме того, lim ф(0 =(Р). Покажем, что ф дифференцируемо
в точке р и ф (р) = Хф да. Достаточно проверить, что для карты
определенной в окрестности точки р, функции хг°ф один раз диф-
ференцируемы в точке р и что Dxl ° ф = Dx‘ ° с |р. Тогда ф = Х°ф
окажется дифференцируемым до любого порядка. Поскольку
х‘ ° <р непрерывна в точке р, из теоремы о среднем значении имеем
х = Dxl о ф(£), причем р) при /<р и соответ-
ственно |е(р, /) при p<i.
Итак, Dx‘ о ф(р) = lim Dx‘ ° ф (£), и ф (р) = X® = Хс(р).
а->р
Если М — компактное дифференцируемое многообразие и X —
дифференцируемое векторное поле на М, то мы снова приходим
к уже доказанному в разд. 8.6 предложению, согласно которому
каждый максимальный интегральный путь ф поля X определен
на всей R, В самом деле, область определения ф есть прежде
всего непустой открытый интервал в R, который в силу леммы
замкнут в R, поскольку каждая последовательность в М имеет
предельную точку. Итак, каждое векторное поле на М полно
(см. разд. 8.8).
8.8. Однопараметрические группы диффеоморфизмов
Пусть М — дифференцируемое многообразие. Дифференцируе-
мое отображение Ф: R X М->М называется однопараметрической
группой диффеоморфизмов на М, если отображение Фг: М-+М
(JsR), построенное по формуле ФДр) = Ф(/, р), удовлетворяют
условиям
®o = id, (1)
Фц+fa — Фл0 Ф/м (2)
8.8. Однопараметрические группы диффеоморфизмов
297
tt,t2^R. Так как Ф;°Ф_/ = Ф_/»Ф( = Ф0 = id, отображения Ф/ суть
диффеоморфизмы М на М\ Ф можно рассматривать как „диффе-
ренцируемый" гомоморфизм группы Ли R в группу диффеомор-
физмов Diff М. Отображение Ф определяет дифференцируемое
векторное поле X на М по формуле Хр = Ф, и является
максимальным потоком поля X, а Ф^ есть линии тока Ф
(см. разд. 8.6).
Говорят, что Ф индуцирует поле X.
Для заданного на М дифференцируемого векторного поля X
(„инфинитезимального преобразования") не существует, вообще
говоря, однопараметрической группы преобразований, индуци-
рующей X. Векторное поле X называется полным, если макси-
мальный поток X есть однопараметрическая группа диффеомор-
физмов М. В этом случае каждый интегральный путь X можно
продолжить на R.
Обратно, если каждый интегральный путь X можно продол-
жить на R, то поле X, как мы сейчас покажем, полно. В самом
деле, в этом случае максимальный поток X есть дифференци-
руемое отображение Ф: RXA1->A1, причем справедливы соотно-
шения
Ф(0, Р) = Р, (3)
Ф(/,-Н2, р) = Ф(/ь Ф(/2, р)); (4)
(3) выполнено по определению максимального потока X, (4) же
вытекает из теоремы единственности, так как при фиксирован-
ных р, t2 отображения, t—>Ф(t +12, р) и >Ф(/, Ф(/2, р)) суть
интегральные пути X, проходящие при / = 0 через точку Ф(?2, р).
Из (3) и (4) вытекают равенства (1), (2).
В частности, максимальный поток дифференцируемого вектор-
ного поля на компактном дифференцируемом многообразии М
есть всегда однопараметрическая группа диффеоморфизмов М.
Добавление
Некомпактные пространства
неотрицательной кривизны
В. А. ТОПОНОГОВ
В предлагаемой читателю книге „Риманова геометрия в це-
лом" изучаются компактные римановы пространства с теми или
иными ограничениями на риманову кривизну. Однако в последнее
время был получен ряд важных результатов в геометрии неком-
пактных римановых пространств неотрицательной кривизны.
Изложению этих результатов посвящается это добавление.
Теоремы и методы доказательства, излагаемы'е здесь, заимство-
ваны из работ Д. Громола, В. Мейера и В. А. Топоногова.
В § 1 излагаются результаты, описывающие поведение геоде-
зических на некомпактных римановых многообразиях М+ (Мо)
положительной (соответственно неотрицательной) римановой кри-
визны.
В § 2 определяются и изучаются абсолютно выпуклые мно-
жества в пространстве М+.
В § 3 находится оценка снизу для радиуса инъективности
М+ (Мо) (см. разд. 5.2) через верхнюю границу римановой кри-
визны. Для Л4+ эта оценка совпадает с оценкой, полученной в
разд. 7.5 для компактных пространств четной размерности.
В § 4 доказывается принадлежащая Громолу и Мейеру-заме-
чательная теорема, согласно которой многообразие М+ размер-
ности ^>5 гомеоморфно евклидову пространству.
В последнем параграфе изучаются многообразия А40, содер-
жащие прямые линии, т. е. такие геодезические, каждая дуга
которых есть кратчайшая. О таком многообразии доказы-
вается, что оно есть прямое метрическое произведение евклидова
пространства Rft и некоторого риманова многообразия Ма.
Двумерные римановы многообразия М+ и Мо впервые под-
робно изучались Кон-Фоссеном, который доказал в этом случае
теоремы 1, 2, 3, 8 и 9 дополнения. Основным средством доказа-
тельства в работах Кон-Фоссена была теорема Гаусса —Бонне и
ее обобщения, полученные им же. Некоторые частные случаи
пространств М+ были рассмотрены И. А. Соколенко. Ею были
получены результаты § 3 для римановых пространств М+ с по-
люсом.
Заметим, что доказательства результатов, содержащихся в этом
добавлении, опираются в основном на те или иные теоремы
§ 1. Свойства геодезических
299
сравнения (см. § 6 книги). Обозначения, которыми мы будем пользо-
ваться, по возможности совпадают с обозначениями книги.
Через М обозначается полное некомпактное бесконечно диф-
ференцируемое риманово многообразие, а через М+ (Мо) — рима-
ново многообразие М, у которого риманова кривизна в каждой
точке и в каждом двумерном направлении положительна (неот-
рицательна). Расстояние между точками р^М и qeM (в смысле
определения в разд. 5.1) будем обозначать через рм(р, q) или
просто через р<у; кратчайшую, соединяющую точки р и q, обо-
значим также через ру, длину пути о в М — через L (а).
Для пути у: [а, р] -> М будем обозначать через у(/) касатель-
ный вектор к этому пути в точке t. Если у — геодезическая, то
у предполагается нормальной, если не оговорено противное. Если
АВС — треугольник в М, то через А'В'С' мы будем обозначать
треугольник на евклидовой плоскости, у которого длины сторон
равны длинам соответствующих сторон треугольника АВС.
§ 1. Свойства геодезических в полных некомпактных римановых
пространствах неотрицательной римановой кривизны
Результаты этого параграфа в основном принадлежат Д. Гро-
молу и В. Мейеру.
1.1. Будем говорить, что геодезическая c(t): [0, оо]->Л1 есть
луч, если при любых и t2 геодезическая с\[{ у есть кратчайшая
в М. Точку с(0) назовем вершиной луча.
Лемма 1
Утв. Каждая точка р^М является вершиной некоторого луча.
Док. Так как пространство М некомпактно, то существует по-
следовательность точек qn^M, такая, что pqn->oo при ц-»оо.
В силу полноты М для каждой точки qn существует кратчай-
шая pqn.
Пусть — единичный вектор, касательный к pqn в точке р.
Из компактности единичной сферы в Мр следует существование
такой подпоследовательности чисел пк, что существует lim хп = т0.
Zlfe->co й
Рассмотрим геодезическую с(/): [0, оо)->Л4, исходящую из р
в направлении вектора т0.
Докажем, что c(t) есть луч. Для этого достаточно доказать,
что с |[0 есть кратчайшая при любом t0.
Пусть настолько велико, что pqnk^tQ при п^п^. На
кратчайшей pqnk при пк^пк, возьмем точку аПк так, чтобы
раПк = 1й. В силу построения c(i) кратчайшие раПк сходятся
к с|[0>/о]. Значит, с|[0 у есть кратчайшая, так как является пре-
делом последовательности кратчайших.
300
Добавление
1.2. В нижеследующих леммах выясняется поведение геодези-
ческих в М+ и Л1о.
Лемма 2
Утв. Для каждого компактного множества С сгМ+ существует
компактное множество D эС, такое, что любая геодезиче-
ская с концами в M+\D, пересекающая С, имеет
индекс ^(пг— 1).
Построение множества D.
Пусть Ct = [q^M'. р(Х (<7, Так как С есть компактное
множество и М+ — полное риманово многообразие, то Ct есть также
компактное множество. Обозначим через К (р, <о) риманову кри-
визну М+ в точке р в двумерном направлении <а. Пусть
m(/) = min К (р, <о). (1)
ре=Сг <0SMp
Функция гп (/) есть непрерывная положительная функция при
0 "С t < оо.
Определим функцию m(Z) равенствами
1 th (t) при 0 < оо,
/п(0 = 1 -/ л (2)
I m (— t) при — оо < t
Рассмотрим уравнение
<р" + -^<р=--О. (3)
Пусть ф (/) есть решение этого уравнения с начальными усло-
виями ф(0)=1, ф'(0) = 0. Так как m (t) — положительная четная
функция, то существует число Z> 0, такое, что ф(/) = ф(—/) = 0
и ф(0>0 при —/</</ (это следует из выпуклости ф). Опре-
делим функцию
1 ф(0 при
О прн /<-/,<>/. <4>
Положим теперь D = С21.
Доказательство леммы 2.
Пусть c(t\. [аь а2] -> М+ — геодезическая, удовлетворяющая
условиям леммы 2, причем й = с(0)еС. В силу определения мно-
жества D имеем
| О] |> /, а2>/. (5)
Возьмем в Ма единичный вектор X, {X, с(0)) = 0 и обозначим
через X (0 вектор, полученный из X параллельным переносом
вдоль дуги с (0) с (/) в точку с (/).
§ 1. Свойства геодезических
301
Пусть K(f) = K(c(t), «>), где со — двумерное направление, опре-
деленное векторами X (t) и с (7). Определим вдоль с: [аь а2]—> Л1+
векторное поле
ф(0 = х(0-ф(0-
Тогда вторая вариация для геодезиче&кой с, соответствующая
векторному полю Ф(7), имеет вид (см. (4) разд. 4.1):
а,
7(Ф, ф)= j [<Ф', Ф')-(7?(Ф, с) с, Ф)]<7/ =
а,
(X 2
= / [<р'2 - Ф2 (X (t), с (f)) с (/), X (/))] dt = J [<р'2 - К (/) <р2] dt.
а । ct|
Последний интеграл в силу (1) —(5) строго меньше
- J (ф'2 -<Р2)Л = ф'ф|_ - J ф (ф"+-^-ф)(7/ = 0.
-I ~l -I
Итак,
7 (Ф, Ф)<0. (6)
Поскольку вектор X был произвольным единичным вектором,
перпендикулярным с(0), то из (6) вытекает утверждение леммы 2.
Будем говорить, что геодезическая с: [а, р] —>М+ вогнута от-
носительно точки а<=М+, если функция f(t) = ac(t) не имеет точек
относительного слабого минимума в интервале (а, р).
Лемма 3
Утв. Для каждого компактного множества С ст М+ существует
компактное множество DczM+, такое, что всякая геодези-
ческая с: [а, р]—>Л1+, принадлежащая С, вогнута относи-
тельно любой точки М+ \ D.
Док. Построим для множества С множество D, как это сделано
в доказательстве леммы 2.
Предположим что лемма 3 неверна, т. е. что существует
точка a^M+\D, относительно которой геодезическая с не
является вогнутой. Тогда существует /ое(а, р), для которого
функция' f(f) достигает минимума. Проведем кратчайшую ac(t0),
пусть Ср. [0, р = ас(/0)]->Л1+— ее параметризация; кратчайшая
ас(/0) нормальна к с в точке с(/0), как это следует из замеча-
ния (iv) разд. 4.1.
Обозначим через X (s) вектор, полученный из с(0) параллель-
ным переносом вдоль щ |[0 sJ в точку щ (s). Определим вдоль с{
векторное поле Ф(з) = ф($) X (s), где ф(8) — функция, определен-
ная выше при доказательстве леммы 2; тогда вторая вариация
302
Добавление
геодезической с1( определенная векторным полем Ф, имеет вид
р
7(Ф, Ф)= J КФ', Ф')-</?(Ф, С1)СЬ Ф)]^ =
о
р
= J [<р'2 - Ф2 (X (s), Cj (s)) dj (s), X (s)>] ds.
0
Последний интеграл строго меньше
j [ф'2 - ф2] ds = 0.
о
Значит, индекс геодезической Ср [0, р]-»Л7+ в задаче с одним
свободным концом (изменяющимся вдоль с) и с одним закреплен-
ным концом в точке а равен по крайней мере 1, что противоре-
чит нашему предположению.
Лемма 4
Утв. Для всякого' компактного множества CdM+ существует
такое число К, что длина любой геодезической, целиком
лежащей в С, не превосходит К.
Док. Предположим противное: пусть существует последователь-
ность геодезических с„: [— п, п]-^М+, целиком лежащих в С,
и L (сп) = 2п. Рассмотрим последовательность точек сп (0) и
последовательность векторов с„(0). В силу компактности С и
компактности множества направлений можно из последователь-
ности точек с„(0) и последовательности векторов с„(0) выбрать
сходящиеся подпоследовательности.
Пусть р — предельная точка и т е Мр — предельный вектор.
Пусть Ср (— оо, оо)—>Л1+ есть геодезическая, определенная усло-
виями С[ (0) = р, Ct (0) = т. В силу построения ct (R) целиком ле-
жит в С. Обозначим через В замыкание c^R). Для множества С
построим множество D, удовлетворяющее условиям леммы 3.
Пусть q М+ \ D. Найдем в В точку а, ближайшую к q.
Так как q^B, то найдется последовательность чисел k, такая,
что a = limcI(ffc). Можно считать, не уменьшая общности, что
4->ОО
последовательность векторов с{ (tk) также сходится к некоторому
вектору х0^Ма. Возьмем геодезическую с2: (—оо, оо)—>Л1+, опре-
деленную условиями с2(0) = а, с2(О) = то. Геодезическая с2, с одной
стороны, принадлежит множеству В, а с другой стороны, точка
с2(0) является ближайшей к точке q е M+\D вопреки утверж-
дению леммы 3. Полученное противоречие доказывает лемму 4.
1.3. Пусть ащ2 — кратчайшая в Ма, с: [0, ащг] Мо — ее пара-
метризация, рр [0, оо)—луч с вершиной в точке at, а р2- [0, оо)—>
-*Л40 — луч с верщцной в точке а2.
§ 1. Свойства геодезических
303
Обозначим через а! угол между векторами с(0) и р^О),
а через а2 —угол между векторами—с(0) и р2(0).
Лемма 5
Утв. Если в пространстве Мй существует такая последовательность
точек qn, что кратчайшие а$п сходятся к ph i= 1, 2, то
cq+аг^л (см. [3]).
Док. Обозначим через а" угол треугольника ащпа2 в Л10 при
вершине аг, Z= 1, 2. В силу условий леммы
lim а? = ар 7=1, 2. (7)
П -> ОО
Обозначим через а'{п угол треугольника при вершине а'р
i=l, 2. По теореме сравнения разд. 6.4
а?1 а", (8)
но, очевидно,
lim(a[re + а'п) = л (9)
(см., впрочем, лемму 2 § 5 ниже). Из (7), (8) и (9) следует
л= lim (а'ге + а'") lim (а" + а") = а( + а2-
Лемма 5 доказана.
Несколько сложнее доказывается следующая лемма.
Лемма 6
Утв. Если в пространстве М+ существует такая последователь-
ность точек qn, что кратчайшие ащп сходятся к лучам pit
i=l, 2, и ни один из лучей р{ и р2 не является частью
другого, то сц+а^л (см. [3]).
Док. Можно, очевидно, считать, что оба угла ab a2 меньше л.
Обозначим через а" угол в треугольнике a{qna2 при вершине
/ = .1, 2. По условию леммы имеем
lim а" = ар i = 1, 2. (10)
П -> ОО
Выберем п0 настолько большим, что при п > п0 треуголь-
ник ащпа2 является невырожденным. На стороне ащп на рас-
стоянии d > 0 от вершины а{ возьмем точку Ьп. Треугольник 'а{Ьпа2
невырожденный, поскольку треугольник ащпа2 невырожденный.
Пусть b = lim bn. Обозначим через К шар радиуса
r = 2(d + aIa2) (11)
с центром в точке а{, K = {q: q M+,p(q, aj^r}, а через kQ —
минимум римановой кривизны по всем точкам шара Д’ и по всем
304
Добавление
двумерным направлениям. Применим к треугольнику а{Ьпа2 тео-
ремы разд. 6.4. Из них следует, что, во-первых, периметр тре-
угольника а{Ьпа2 не превосходит 2л/|//го, а, во-вторых, угол а" не
меньше чем угол а"п при вершине а" в треугольнике а"Ь"а", по-
строенном на двумерной сфере радиуса 1/|//г0 с теми же длинами
сторон, что и у треугольника а^ЬпО.^.
(12).
Если теперь обозначить через угол при вершине в тре-
угольнике а[Ь'а'2, то справедливо неравенство
+ б„>б>0, (13)
где б — некоторое положительное число, которое можно оценить
снизу через k0 и длины сторон треугольника 'а, Ьа2.
Построим теперь на двумерной евклидовой плоскости четырех-
угольник <i"b"q"a", прикладывая друг к другу по общей стороне
Ь'па'2 треугольники а\Ь'па2 и Этот четырехугольник оказы-
вается выпуклым. В самом деле, углы при вершинах а\ и q'n
меньше л, поскольку это углы треугольников. Угол при вер-
шине а'2 меньше л в силу теоремы сравнения (см. разд. 6.4),
а угол при вершине Б' меньше л, так как в силу неравенства
треугольника имеем щЬп-^ bnqn < a{a2 + a2qn. Кроме того, рас-
смотрим треугольник а'д}'па2 и обозначим через а'п его угол при
вершине а'., 1=1, 2. Тогда по теореме сравнения имеем
a«>a'«, (14)
и по лемме А. Д. Александрова о выпуклых четырехугольниках
(см. лемму 3 разд. 6.4) выполняется неравенство
а'п^а'п. (15)
Наконец,
lim (a'n + a'n) = л. (16)
п -> оо
Из (12) —(16) получаем
л= lim + lim (a[n + a'") <
n -> oo П -> oo
< lim (a"n — 6n + a"") 'C lim (a" — 6n + a") = a, + a2 — 6
n -> оо П -> OO
или cij + a2 > л, что и требовалось доказать.
§ 1. Свойства геодезических
305
1.4. Выведем теперь некоторые следствия из доказанных лемм.
Назовем прямой линией (или прямой) на М такую геодезиче-
скую с: R-*Af, что для любого интервала [а, 0] сужение с |[а pj
есть кратчайшая. Тогда из леммы 2 следует
Теорема 1
Утв. На многообразии М+ не существует прямых линий.
Введем, далее, понятие связности на бесконечности. Многообра-
зие М называется связным на бесконечности, если для любого
компактного подмножества С cz М дополнение содержит лишь
одну компоненту со сколь угодно удаленными от С точками.
Из теоремы 1 вытекает теперь
Следствие
Утв. Многообразие М+ связно на бесконечности.
Док. Действительно, если предположить, что М+ не связно
на бесконечности, то существуют две последовательности точек ап
и Ьп, таких, что апЬп-+оо, и при любом п кратчайшая апЬп пе-
ресекает некоторое фиксированное компактное множество С.
Пусть рп е апЬп ПС и т„ — единичный вектор в МРп, касатель-
ный к апЬп. Выберем из последовательности точек рп и последо-
вательности векторов хп сходящиеся подпоследовательности:
lim рп, = ро a lim x„k = то. Проведем через точку ро геодезиче-
nk -> °° nk -> °О
скую с: R-*M+ в направлении вектора т0. Нетрудно показать,
что С есть прямая вопреки уже доказанной теореме 1. Из леммы 4
следует важная
Теорема 2
Утв. В Л1+ не существует замкнутых геодезических.
Док. Действительно, если в М+ существует замкнутая геодези-
ческая с, то точки М+, ей принадлежащие, образуют компактное
множество, в котором с целиком содержится, вопреки лемме 4.
В следующем параграфе будут выведены важные следствия
из лемм 3, 4 и 6.
ЛИТЕРАТУРА К § 1
{1] Gromoll D. and Meyer W., On complete open manifolds of positive cur-
vature, Ann. of Math., v. 90, 1 (1969).
[2] К о н - Ф о с с e н С. Э., Некоторые вопросы дифференциальной геометрии в
целом, М., 1959.
[3] Т о п о н о г о в В. А., Теоремы о кратчайших в некомпактных римановых про-
странствах положительной кривизны, ДАН СССР (в печати).
306
Набавление
§ 2. Выпуклые множества в М+
2.1. Понятие выпуклого множества в М было введено в разд. 5.2.
Здесь мы введем нужное в дальнейшем изложении понятие
абсолютно выпуклого множества. Множество A cz М назовем аб-
солютно выпуклым множеством, если любая геодезическая, со-
единяющая точки реЛ и q А, принадлежит А.
Множество A cz М назовем строго абсолютно выпуклым мно*
жеством, если оно является абсолютно выпуклым множеством и
если никакая внутренняя точка геодезической, принадлежащей А,
не является точкой границы А.
2.2. Пусть с: [0, оо)—> М+ есть луч с вершиной в точке р = с(О).
Определим множество Bc(t) как открытый шар радиуса t = с (/) с (0)
с центром в точке с(/): Bc(t") = {q-. q^M+, c(t)q<t}. Из нера-
венства треугольника для метрики М+ следует
Bc(tl')czBc(t2), если (1)
Положим Вс = (J Вс (/). Множество Л(, = Л1+\В<.' назовем ори-
/>о
пространством с осью с.
Лемма 1
Утв. Для любого луча с орипространство Ас есть абсолютно
строго выпуклое множество.
Док. Множество Ас непусто, так как точка р е Ас. Докажем
сначала, что Ас есть абсолютно выпуклое множество. Предполо-
жим противное. Пусть ср. [а, р] —► Л4+ есть дуга геодезической,
концы которой С| (а) и с{ (р) лежат в Ас, a ct (s0) при некотором
soe(a, р) лежит вне Ас. Тогда найдется некоторое такое, чТо
Cj (s0) е Bctt^. Выберем, кроме того, в соответствии с леммой 4§ 1
некоторое t2 > так, чтобы дуга ct (s) была вогнута относительно
точки c(t2). Так как t2>t[, то с, (s0) е=Вс(/2), т. е.
Ci («о) с (^) < t2. (2)
С другой стороны, поскольку С] (а) и сДр) принадлежат Ас, имеем
Ci(a)c(/2) > t2 и с1(р)с(/2) > t2. (3)
Из (2) и (3) следует существование чисел s, и $2, таких, что
Ci(si)c(/2) = C|(s2)c(/2) = /2- (4)
Из равенства (4) можно вывести существование такого числа s3,
для которого
при
$ 2. Выпуклые множества в М+
307
Но последнее неравенство противоречит выбору числа t2 и утвер-
ждению леммы 4 § 1. Перейдем теперь к доказательству строгой
выпуклости.
(а) Никакая дуга геодезической не лежит на Ас — границе ори-
пространства Ас.
Предположим, что утверждение (а), неверно. Пусть с2 : [0, 1]->
—>Л1+ — геодезическая, целиком принадлежащая Ас. Выберем числа
s0> 0 и S] < 1 так, чтобы с2 |(So была кратчайшей. Затем найдем
последовательность чисел tn, такую, чтобы кратчайшие c2(sz)с (/„),
г = 0, 1, сходились к некоторому лучу р(-: [0, оо)—>М+, i = 0, 1.
Оказывается, оба луча р0 и р{ ортогональны с2. В самом деле,
предположим, что по крайней мере один из них, скажем р0, не
перпендикулярен с2 и образует с с2 угол Од < л/2. Будем считать
для определенности, что Од равен углу между векторами ро(О)
и c2(sa).
Обозначим через а„ угол между кратчайшими c2(s0)c(tn) и
с2 (so) с2 (siX Тогда имеем очевидное равенство
lim а„ = аа < -5-. (5)
П->оо
Возьмем теперь на кратчайшей c2(s0)c2(sI) точку b на расстоянии б
от c2(s0). Пусть с (Z„)c2(s0) б —треугольник на евклидовой плоскости,
у которого угол c(/„)c2(s0)6 равен а„, с (tn) с2 (s0) = с (tn) с2 (s0),
c2(s0) б = c2(s0) б. По теореме сравнения разд. 6.4
c(/„)6<c(if„)6. (6)
С другой строны,
с (tn) 5 = с (tn) с2 (s0) - cos ап • б + v (б, п), (7)
причем | v (б, n)|^s(6) (п=1, 2, ...), где х(б) = о(б). Из (6) и (7)
получаем
с (/„) b < с (/„) с2 (s0) - cos а„ • б + v (б, п). (8)
Наконец, поскольку точки c2(s0) и b принадлежат Ас, то
lim (c2(s0) с (tn)-tn) = 0, (9)
П->оо
bc{tn}^tn. (10)
Сопоставляя (8) и (10), получаем
tn < с (tn) с2 (s0) - cos ап • б + v (б, n). (11)
Перейдем в (11) к пределу при п—>оо и, учитывая (9), получим
cosoq • б + о (б) <0. (12)
Разделим (12) на б и перейдем к пределу при б-»0, тогда имеем
cosoq г^0, что невозможно, так как 0 ^Од < л/2. Итак, оба луча р0
308
Добавление
и Р\ перпендикулярны кратчайшей c2(s0)c2(sl) вопреки утвержде-
нию леммы 6 § 1. Полученное противоречие доказывает утвержде-
ние (а).
Пусть теперь с3: [а, р] М+ — геодезическая, у которой с3(а) е Ас
и с3(Р)еЛ£. Положим L = {/: /е(а, Р) = /, с3(/) е 4J; тогда
(Р) L — пустое множество.
Предположим противное. Пусть L непусто. Тогда в силу (а)
найдутся числа f2^/\L и t3 е L, такие, что
(см. разд. 5.2) Л</з</2 и (13)
Выберем последовательность
к с3(/3), т. е. ..
34 J/ hm
П-><»
точек Ьп е М+ \ Ас, сходящуюся
bn = c3(t3). (14)
Соединим точку c3(t\) с точкой Ьп кратчайшей с3 (/,)&„ и продол-
жим ее за точку Ьп до кратчайшей c3(t[)an так, чтобы
c3Ui)an = ^-^i- (15)
Согласно (13), (15) и разд. 5.2, точка ап непрерывно зависит от
точки Ьп. Поэтому имеем
lim а„ = с3(/2). (16)
П-> оо
Так как с3(/,) е Лс\ и с3 (/2) е Ас \ Ас, то в силу (16) суще-
ствует «о, для которого еЛс\Лг. Таким образом, мы полу-
чаем геодезическую с3 (/,)«„„ у которой концы лежат в Ас,
а внутренняя точка Ьп лежит в М+ \ Ас, что противоречит абсо-
лютной выпуклости Ас. Таким образом, (р) доказано и строгая
выпуклость Ас теперь следует из (р).
2.3. Итак, в М+ существуют абсолютно выпуклые множества.
Множество Ас может оказаться компактным, но может быть и
некомпактным, как это можно показать на примерах. Оказы-
вается, что в М+ всегда существует компактное строго абсолютно
выпуклое множество, содержащее наперед заданное компактное
множество.
Пусть реЛ4+. Обозначим через v множество всех лучей
с вершиной в точке р. Определим множества В(р) = (J Вс,
С е V
Д(р) = м+\в(р)= П (М+\ВС)= П 4-
С е V С V
Лемма 2
Утв. А (р) есть компактное абсолютно выпуклое множество
в пространстве М+.
В действительности Д(р) оказывается даже строго абсолютно
выпуклым, но мы не хотим останавливаться здесь на доказа-
тельстве этого факта.
$ 2. Выпуклые множества в М+
309
Док. Так как Л(р) есть пересечение абсолютно выпуклых мно-
жеств Ас, то оно само есть абсолютно выпуклое (непустое) мно-
жество. Докажем его компактность.
Если А(р) некомпактное, то существует последовательность
точек рп, расстояния которых до р стремятся к бесконечности
при п->оо. Пусть с„: [0, а„ = ррп]-* М+ есть кратчайшая, соеди-
няющая р с рп. Тогда из последовательности с„ можно, как это
было сделано в § 1, извлечь подпоследовательность, сходящуюся
к некоторому лучу ра с вершиной в р, т. е. р0 е v. Кроме того,
в силу абсолютной выпуклости А (р) имеем р0 е А (р). Но Ср, не
содержит р0, а поскольку А (р) = Q Ас, то и А (р) не содержит р0;
с е о
полученное противоречие доказывает лемму 2.
Лемма 3
Утв. Всякое компактное множество С cz М+ содержится в неко-
тором компактном абсолютно выпуклом множестве D cz Л1+,
Здесь можно также усилить утверждение: D является строго
абсолютно выпуклым.
Док. Назовем лучом, исходящим из множества С, такой луч
р: [0, оо)-> М+, у которого вершина ро = р(О)еС и для каждого t
имеет место
Pipit), C) = pop(f) = t. (17)
Докажем, что для любого компактного множества С существует
луч, исходящий из С. Поскольку С компактно, а М+ некомпактно,
то существует последовательность точек qn, такая, что
piqn, С)->оо при п-»оо.
Пусть Ьп^С и qnbn = р (qn, С). Существование точки Ьп сле-
дует из компактности С. Рассуждая далее так же, как и при
доказательстве леммы 1 § 1, покажем, что из последовательности
кратчайших bnqn можно извлечь подпоследовательность, сходя-
щуюся к некоторому лучу рь исходящему из множества С. Пусть о
есть множество всех лучей, исходящих из множества С. Рассмот-
рим множество D = Q Ар. Это множество содержит С, так как
р Е V
каждое множество Ар содержит С, и является абсолютно выпуклым
множеством. Доказательство компактности D полностью повторяет
доказательство леммы 2, только понятие луча с вершиной в точке
нужно заменить понятием луча, исходящего из множества С.
ЛИТЕРАТУРА К § 2
Gromoll D. and Meyer W., On complete open manifolds of positive curvature,
'Ann. of Math., v. 90, 1 (1969).
310
Добавление
§ 3. Радиус инъективности на многообразиях Л1+ (Af0)
3.1. В этом параграфе мы докажем для некомпактных много-
образий теоремы, аналогичные теоремам, доказанным в разд. 7.5,
7.7 для компактных римановых многообразий.
Обозначим через Л4+ (й0) (Л40(й0)) риманово многообразие М + (Мо),
у которого риманова кривизна в каждой точке и в каждом дву-
мерном направлении ограничена сверху числом k0.
Для пространств M+(k0) и Л40(й0) верны следующие теоремы:
Теорема 3
Утв. Каждая геодезическая в М + (й0), длина которой не прево-
сходит л/Уй0, есть кратчайшая.
Теорема 4
Утв. Для каждого пространства M0(k0) существует число г0, та-
кое, что любая геодезическая в M0(k0), длина которой не
превосходит г0, есть кратчайшая.
Из теоремы 3 следует, что радиус инъективности для любой
точки пространства М+(й0) не меньше п/Ук0, а из теоремы 4
вытекает, что точная нижняя грань радиусов инъективности, взя-
тая по всем точкам пространства M0(k0), отлична от нуля.
Теорема 3 для полных некомпактных пространств с полюсом
была получена в 1962 г. И. А. Соколенко [2]. (Полюсом про-
странства M+(k0) называется такая точка реЛ4+(й0), что все
геодезические, выходящие из точки р, не имеют общих точек,
отличных от р.)
В теореме 4 число г0 нельзя оценить снизу через k0. В самом
деле, возьмем риманово пространство V^, определенное в заме-
чании (iii) разд. 7.5, и рассмотрим прямое метрическое произве-
дение Л1^=7®Х₽. Максимум римановой кривизны пространства Л4*
равен максимуму римановой кривизны пространства У®. Далее,
для любого числа г0 можно так выбрать значение параметра а,
что максимум кривизны У® будет равен 1, и в У’ будет суще-
ствовать замкнутая геодезическая длины меньше г0.
3.2. Доказательство теоремы 3.
Будем доказывать теорему 3 от противного. Пусть с: [0, I =
= л/А)]-+М+(*!о) — геодезическая длины л/Ук0, которая не
является кратчайшей. Соединим точки с(0) и с(/) кратчайшей
с(0)с(/). Совокупность геодезической с и кратчайшей с (0) с (Z)
образует невырожденный двуугольник у0, периметр которого
строго меньше 2л/]/й0. Пусть А —компактное абсолютно выпу-
5 3. Радиус инъективности на многообразиях Л4+
311
клое множество, содержащее у0, существование которого утвер-
ждается в лемме 3 § 2. Обозначим через Г множество всех не-
вырожденных двуугольников, вершины которых лежат в Л. В силу
компактности А точная нижняя грань /0 периметров двуугольни-
ков, принадлежащих Г, отлична от нуля, а поскольку у0 е Г, то
имеем __
0<lQ<2alVkQ. (1)
Возьмем последовательность сгпеГ, периметры которых стремятся
к 10. Нетрудно доказать, пользуясь (1) и тем, что А есть абсо-
лютно выпуклое множество, так же как это сделано в разд. 7.5
(следствие из леммы 1), что в А существует предельный дву-
угольник <т0 и что <т0 есть периодическая геодезическая. Но, с
другой стороны, теорема 2 утверждает отсутствие в М+ (й0) пери-
одических геодезических. Полученное противоречие доказывает
теорему 3.
3.3. Доказательство теоремы 4.
• Если теорема 4 неверна, то это значит, что в M0(kQ) суще-
ствуют невырожденные двуугольники сколь угодно малого пери-
метра. Пусть у — невырожденный двуугольник периметра /0, при-
чем
0</0<2л/У/г0, (2)
ар — одна из его вершин (если у0 — периодическая геодезическая, то
р — произвольная точка у0). Среди всех невырожденных двууголь-
ников с вершиной в точке р найдем двуугольник У[ наименьшего
периметра. Так же как в разд. 7.5 (лемма 1), можно доказать,
что Yi есть геодезическая петля.
Обозначим через KR замкнутый шар в M0(k0) радиуса 7?
с центром в точке р. Далее, среди всех геодезических петель
с вершинами в KR рассмотрим геодезическую петлю наименьшей
длины; обозначим ее через у (/?). Существование у (У?) при
7?>2n/V^o вытекает из компактности KR и (2) (если существует
более чем одна геодезическая петля наименьшей длины, то че-
рез у (7?) обозначим любую из них).
.Пусть f(R)—длина у(7?), a q(R) — ее вершина (если у(R) — периоди-
ческая геодезическая, то q(R)— произвольная точка у(7?)). Область
определения функции f(R) содержит интервал [2л lVkQ, оо). По
определению функция f(R) есть непрерывная положительная
монотонно убывающая функция. Кроме того, в силу нашего пред-
положения о существовании невырожденных двуугольников сколь
угодно малого периметра имеем
lim f (R) = 0. (3)
/?->«>
(а) Докажем, что pq(R)-+oo, если R-+oo.
312
Добавление
В самом деле, предположим, что существует последователь-
ность 7?ft->oo, такая, что pq(Rk)^c0 при любом k.
Обозначим через dk число, определенное в разд, 5.2 для шара
= Лсо+f (со). Тогда в силу (3) существует геодезическая петля у,
вершина которой лежит в К. и длина которой меньше dk, что
противоречит определению числа dk. Найдем теперь последова-
тельность чисел Rn-><x>, такую, чтобы выполнялись следующие
условия:
(а) кратчайшие pq (Rn) сходятся к некоторому лучу р: [0, оо)
-* Л1о (й0) с вершиной, в точке р;
(Ь) нижние левые производные числа функции f (R) в точках Rn
строго отрицательны.
Существование такой последовательности чисел Rn вытекает
из утверждения (а), монотонности f(R) и (3), причем утвержде-
ние (Ь) без труда получается из геометрических соображений
путем построения опорных прямых к графийу функции f (R).
Выберем, наконец, «о настолько большим, чтобы, во-первых,
было
f (Rna)< 2л/ (4)
во-вторых, угол а между р и кратчайшей pq(Rn^ был меньше л/4:
а<л/4. (5)
Разобьем геодезическую петлю у (/?„„) точками аг (z=l, ..., 2k,
«1 — «2fe+i ~q(Rn0)) так, чтобы геодезическая а;а/+1 была кратчай-
шей при любом /=1, ..., 2k. При этом будем считать, что
точка ak делит вместе с Я] петлю у (/?„„) на две геодезические С[
и с2 равной длины. Затем на луче р выберем последовательность
точек pm = p(/m), такую, чтобы при i= 1, ..., 2k кратчайшие рта,
сходились к некоторому лучу р{. Продолжим лучи pt геодезиче-
скими Ci в направлениях, противоположных направлениям лучей р,,
и обозначим через а, (6) точку на сг, отстоящую от at на расстоя-
ние 6.
В силу (4) длины геодезических С] и с2 меньше л]Ук0, поэтому
на них нет точек, сопряженных аъ включая и ak (см. теорему
сравнения разд. 6.2). Значит, у cz существует окрестность U
такая, что любой путь, лежащий в 17, и соединяющий Я] с ak,
имеет длину больше, чем длина cit i — 1, 2. Кроме того, отсюда же
следует, что при достаточно малых 6 существует единственная
геодезическая с((6), соединяющая аДб) с ak(ty и лежащая в 1Ц.
Длины геодезических с, (6) при достаточно малом 6 также меньше
л/У^о, i=l, 2. Поэтому на с((6), 1= 1, 2, в силу той же теоремы
сравнения нет точек, сопряженных (6). Следовательно, для сДб)
можно найти окрестности /7,(6) с такими же свойствами относи-
$ 3. Радиус инъективности на многообразиях М+ (Мо)
313
тельно сг(б), какими обладают U{ относительно сг, /= 1, 2. Кроме
того, их можно выбрать еще так, чтобы было
П^0) = ^, ‘=1.2. (6)
б>о
Обозначим через о (б) замкнутый полигон, образованный крат-
чайшими Я;(б)а/+1(б) при i= 1, 2..2й, а через о1 (б) и сг2 (б) —
полигоны, на которые полигон <т (б) делится точками а^б) и ak (б).
Если выбрать б достаточно малым, то в силу (6) полигон а1 (б),
i=l, 2, лежит в и, следовательно, его длина не меньше
длины с£(б). Значит, длина двуугольника у (б), образованного гео-
дезическими С] (б) и с2 (б), не превосходит L (б) — длины поли-
гона о (б). Тем более
f(pa1(6))<£(6). (7)
Оценим Л (б). В силу леммы 5 § 1 имеем
а/(б)а1+1(б)<а/а/+1 + о(б). (8)
Из (8) следует
L(6)<f(^) + o(6). (9)
а из (7)
ЦраМ^Ы + о^). (10)
Оценим ра^б). Обозначим через ср угол в треугольнике (б) р
при вершине ah Тогда из леммы 5 § 1 и (5) следует
Ф<л/4. (Ц)
Построим, наконец, на евклидовой плоскости треугольник а1а1 (б) р,
удовлетворяющий условиям: угол at(6)ajp равен ср, а1а1(б) =
= а1а1(б), aip = aip. Согласно теореме сравнения разд. 6.4, имеем
а1 (б) р < di (б) р. (12)
Подсчитаем (б) р:
di(6)p = dip —coscp • б + о(б). (13)
Из (11) и (12) следует
-й + о(б). (14)
Из (14), монотонности f(R) и (10) получаем
f б+ o(6))<f (/?„,) +о (б). (15)
Из (15) нетрудно вывести, что левое верхнее (а тем более левое
нижнее) производное число функции f(R) в точке Rna не меньше
нуля, что противоречит выбору числа Rni>-
Полученное противоречие доказывает теорему 4.
314
Добавление
ЛИТЕРАТУРА К § 3
[1] Т о п о н о г о в В. А., Теоремы о кратчайших в некомпактных римановых про-,
странствах положительной кривизны, ДАН СССР (в печати).
[2] Соколенко И. А., Сферы и геодезические в римановых пространствах с по-
люсом, ДАН СССР, т. 134, 6 (I960).
§ 4. Диффеоморфность А1+ евклидову пространству
4.1. В этом параграфе доказывается теорема о диффеомоф-
ности М+ евклидову пространству R”1 при т ^5. Доказательство
этой теоремы существенно опирается на известные теоремы
об й-кобордизмах из дифференциальной топологии. Сначала до-
казывается, что Л1Х асферично во всех размерностях (т. е. гомо-
топические группы пространства М™ тривиальны во всех раз-
мерностях). Однако отсюда еще нельзя вывести диффеоморф-
ность М+ и Rm. Оказывается, существуют Даже четырехмерные
многообразия, асферичные во всех размерностях и не гомеоморф-
ные R4. Эти многообразия отличаются друг от друга и от евкли-
дова пространства поведением на бесконечности. Выясняется, что
многообразие Мт, асферичное во всех размерностях, только
тогда гомеоморфно (и в этом случае даже диффеоморфно) евкли-
дову пространству Rm, когда оно „односвязно на бесконеч-
ности" [2].
Многообразие М называется односвязным на бесконечности,
если для любого компактного множества С с М найдется ком-
пактное множество D С, такое, что M\D односвязно.
Доказательству асферичности М+ и односвязности М+ на бес-
конечности посвящены следующие ниже леммы и теоремы.
В пунктах 4.2—4.4 мы излагаем ряд известных построений и лемм,
следуя в основном изложению в работе [3].
4.2. Пусть G — компактное выпуклое множество в простран-
стве М. Непрерывное отображение р: S1 -> G ориентированной
окружности S1 с фиксированной точкой q будем называть петлей
с отмеченной точкой q = p(q). Две петли ра и называются
эквивалентными, если существует гомеоморфное отображение
<у (а, р): S1 -> S1, сохраняющее ориентацию S1, такое, что о (а, Р)(<?) =
= (q) и ра = <тар. Класс эквивалентных кусочно дифференци-
руемых петель называется направленной замкнутой кривой с от-
меченной точкой. Через 11(G) обозначим множество всех замкну-
тых направленных кривых с отмеченной точкой в области G cz М.
Через L (р) будем обозначать длину кривой pell (G).
Пусть ps 11(G) и «/ — отмеченная точка р. Введем на р пара-
метризацию с помощью приведенного (пропорционального длине)
параметра t (O^/^l), отсчитываемого от точки q в положи-
§ 4. Диффеоморфность Л1+ евклидову пространству
315
тельном направлении р. Метрика, введенная во множестве 11(G)стан-
дартным образом, очевидно, удовлетворяет аксиомам метрического
пространства. Определим теперь на множестве 11(G) гомотопию
(О 1). Пусть d — число, соответствующее G согласно разд. 5.2.
Далее, пусть у е 11(G) и целое число q таково, что qdQ> L(y).
Отнесем у к приведенному параметру t. Обозначим через y(f, t")
дугу у с концами в точках у(/') и а через a(t', t") — крат-
чайшую, соединяющую точки у(/') и Каждому He[0,1]
сопоставим кривую ув = £)0 (у) е П (G), заданную формулой
<7-1
П/ j / + О\ (i+Q / + Ц
/=>0
где под произведением кривых понимается кривая, полученная
их последовательным прохождением. Так как G — выпуклое мно-
жество, то YflSG. Пусть С —произвольное подмножество 11(G),
такое, что Л(у)<С при уе=С. Тогда для каждой кривой у суще-
ствует кривая ув = £)в(у) при уеС. Легко видеть, что у0 непре-
рывно зависит от (у, ft), где (уеС, O^H^l). Таким образом,
является непрерывной деформацией множества С на П(6). Вве-
дем на каждой кривой ув параметризацию Уа(/) с помощью при-
веденного параметра, отсчитываемого от отмеченной точки у (0) = q.
Тогда точка yfl(Z) непрерывно зависит от (у, &,/) при уеС,
Заметим, наконец, что £>o(y) = Vo = V и
£(£>1(у))<£(£>в(у))<£(у), 0<а<1. (1)
Определим теперь множество nfc(G). Будем говорить, что кривая у
принадлежит IIfe(G), если выполняются следующие условия:
(а)уеП(С);
(Ь) у есть полигон из кратчайших с k вершинами;
(с) длина каждого звена у не превосходит dQ\
(d) отмеченная точка у совпадает с одной из его вершин.
Введем во множестве nfc(G) метрику. Пусть у1( у2 е nfc(G). Обо-
значим через а] вершину, совпадающую с отмеченной точкой поли-
гона ур а через а? — вершины yz, Z= 1, 2; р=1, 2,..., k. Причем
порядок вершин задается ориентацией уг.
Положим Pnft(YpY2)= max (а?> аТф Метрика рп& удовле-
творяет обычным аксиомам, так что nfc(G) превращается в ме-
трическое пространство. Относительно топологии Пй (G), опреде-
ленной метрикой рп^, функция L (у) непрерывна.
Теперь определим деформацию В$ полигона yeIIfe(G). Пусть
yeIIft(G), a t — приведенный параметр на у, Пусть
вершина at полигона у соответствует значению параметра t{,
I = 0, k — 1. Обозначим, как и ранее, через o{t', t") кратчай-
316
Добавление
шую, соединяющую точки у(/') и у(/"). Каждому значению пара-
метра &, 0^'0'^ 1, сопоставим полигон Уо = Вй(у) следующим,
образом:
Ve = a(±t^L, 1 + 0-Ц^-) • а (1 +0 X
X П 1° ( ^~2+^ > - '"Г U ’ ° +0 U V+~)1 X
и L \ “/\ " * “ / J
X о + • О (/*_, 1+^1
При этом отмеченную точку q§ на полигоне у15 определим,
положив <?а = у (1 + fr 1 ) • Легко видеть, что у0 непрерывно
зависит от (у, &), и если на каждой кривой ув ввести приведен-
ный параметр t, то точка yfl(Z) непрерывно зависит от (у, &, t),
где ysIIfe(G), 0 & 1, Заметим также, что q^ непре-
рывно зависит от совокупности (у, &). Полигон У] = Bj (у) s IIfe (G),
и У[ непрерывно зависит от у в метрике nfc(G).
Bi (у) есть полигон, вершины которого лежат в серединах
сторон полигона у. Сформулируем почти очевидную лемму.
Лемма 1
Утв. L (Bi (у)) £ (У), причем В (Bj (у)) = А (у) тогда и только
тогда, когда у есть периодическая геодезическая.
4.3. Пусть у s П (G), L(y)<da и у (/) —параметризация у.
Определим следующую гомотопию р$. Каждому &, 0^4^ 1, сопо-
ставим кривую yes 11(G) следующим образом: соединим точку
qy = у(0) с каждой точкой у(/) кратчайшей qy(t). Поскольку длина у
меньше dQ, расстояние между q и у(/) меньше d0/2. Поэтому (см.
разд. 5.2) кратчайшие qy(t) непрерывно зависят от t. Обозначим
через р (/,&) точку на кратчайшей qy(f), отстоящую от q на рас-
стояние, равное • qy(t). Положим yfl(/) = p(t, •&) = рв(у). Нетрудно
показать, что y^s 11(G) при любом 4. Пусть С — подмножество
11(G) и L(y)<da при уеС. Легко видеть, что р0 есть непрерыв-
ная деформация С на П (G), и точка ув(У) непрерывно зависит
от (у, &, t). Наконец,
Р\ (у) = <7v при любом у еС. (2)
4.4. Нам понадобится особое покрытие сферы окружностями,
которое мы будем называть правильным разбиением сферы.
Определим по индукции множество tr~l направленных окруж-
ностей у? на Sr, на каждой из которых фиксирована точка q,
а также полиэдр Tr~l cz Sr. При г = 1 сфера S1 — окружность,
выберем направление на 51 и точку q <= S1. Положим T° = S1,
§ 4. Диффеоморфность Л1+ евклидову пространству*
317
T° = q. Пусть для Sr правильное разбиение уже построено и опре-
делены Tr~', Тг~1. Введем в евклидовом пространстве Rr+2 прямо-
угольную декартову систему координат (х1, х2, ..., хг+2). Рассмотрим
С г+1
в Rr+2 стандартную сферу Sr+1. Пусть Sr = jx: У (х‘)2 = 1, хг+2=0?
1 i-i J
есть экваториальная сфера Sr сферы Sr+1 с правильным разбие-
нием. Пусть Sa —сфера, лежащая в пересечении Sr+1 и плоскости
xr+2 = a. Определим гомеоморфное отображение ha: Sr->Sa.
Спроектируем сначала Sr ортогонально на плоскость xr+2 = а,
а затем полученную сферу Sa с помощью гомотетии в плоскости
xr+2 = a относительно центра сферы Sa с коэффициентом гомо-
тетии, равным ]/1 — а2, переведем в Sa. Отображение йа перево-
дит семейство окружностей Тг~‘ в аналогичное семейство Та-1
на Sa, составляющее правильное разбиение Sa, и полиэдр Тг~1 пе-
реходит в полиэдр Та-1.
Положим f'r — (J 7а-1, T'r = (J 7а-1. Присоединим
- 1<а<1 - 1<а<1
к Т'г две одноточечные кривые рх (0, ..., 0, 1) и р2 (0, ..., 0, — 1),
которые мы будем называть одноточечными окружностями. По-
лученное семейство окружностей обозначим через Тг. Полиэдр Т'г
также замкнем двумя точками р{ и р2, в результате чего получим
полиэдр Тг. Итак, правильное разбиение Тг сферы Sr+1 и поли-
эдр Тг определены по индукции для каждого г. При этом на
каждой окружности разбиения задана точка q и (если она не
одноточечна) направление.
В следующей лемме перечислены почти очевидные свойства
правильного разбиения.
Лемма 2
Утв. Будем рассматривать yq s как элемент пространства
П(5Г). Тогда справедливы следующие утверждения:
(1) каждая точка, принадлежащая Sr, принадлежит одной
и только одной окружности у9 е Тг~1‘,
(2) отображение ср (q) = уя есть гомеоморфизм Тг~1 на Tr~laz
<= П (Sr);
(3) пусть х е Sr лежит на уq и ф (х) = у?, тогда ф (х) является
непрерывным отображением Sr на Тг~1.
Введем на каждой окружности у9 правильного разбиения сфе-
ры Sr приведенную параметризацию yq(f), причем точка q соответ-
ствует t = 0. Если теперь f есть непрерывное отображение Sr -*• G,
318
Добавление
то положим pq (t) = f (у, (/)). Тогда pq (t) есть параметрическое пред-
ставление кривой pf(q) в G. Если при этом путь pq (/) кусочно
дифференцируем, то pf (q) ceII(G). Пусть f — такое отображение Srt
что при любом q кривая pf(q} е 11(G). Тогда f индуцирует такое
(однозначно определенное) отображение pf. Тг-1-»-П(С), что для
всех q е Тг~' имеет место pf (t) = f ° yq (t) при
С другой стороны, если p — непрерывное отображение Tr~l ->
->n(G), то оно индуцирует некоторое отображение fp: Sr-+ G
описываемым ниже образом. Введем на кривой p(q) приведенный
параметр t, отсчитываемый от отмеченной точки кривой p(q), и
обозначим через p(q, t) точку на p(q), соответствующую значе-
нию параметра t. Сопоставляя точке yq(t} eSr точку p(q, t) s G,
мы получим некоторое непрерывное отображение fp: Sr -+ G. В част-
ности, если Cfl есть некоторая гомотопия, то любому непрерыв-
ному отображению р: Тг~1 -> G можно сопоставить отображение
ff. 7’''-1-* 11(G), индуцированное отображением Св(р). Эти отображе-
ния определяют гомотопию Ср: Tr~' X [0, 1] -> П (G). При этом для
отображения f: Sr -+G вместе с pf существует гомотопия fe = (CPf)e.
Лемма 3
Утв. Для каждого непрерывного отображения fQ сферы Sr в G
существует гомотопное ему отображение индуцирующее
отображение ph полиэдра Тг~1 в П (G).
Док. В силу непрерывности fQ и компактности Sr, для любого
числа е>0 существует такое число 6>0, что если Psr(ap а2)<6,
то f (a^f (а2)<е- Возьмем e = yd0 и найдем по е число 60, как
указано .выше. Определим непрерывные функции t{(q), 1=1,m,
на Тг~1 так, чтобы было
^+1-М<-^ при q^Tr~\ (3)
Тогда f (у, (/<)) f (yq < 4 dQ‘ К семейству кривых pq = pf(qy
применим деформацию D$, описанную в разд. 4.2.
Пусть a^-Sr, ф(а) = у<р a = yq(t). Положим ра,$= D$pf(q),
F(a,fi) = pa,e(t). Ясно, что F(a, O) = fo. Так как ра, i есть полигон
из кратчайших в G, Tofi =F(a, 1) удовлетворяет условиям леммы.
4.5. Центральный результат этого раздела формулируется
в следующей теореме:
§ 4. Диффеоморфность Л1+ евклидову пространству
319
Теорема 5
Утв. Любое компактное выпуклое множество, не содержащее пери-
одической геодезической, асферично во всех размерностях.
Доказательству теоремы 5 предпошлем две леммы. Пусть
G cz М — компактное выпуклое множество, р — непрерывное ото-
бражение (г — 1)-мерного полиэдра Тг~1 в Щ(б), а с —некоторое
положительное число. Зафиксируем отображение f: Sn-*G и
будем для краткости писать pq вместо pf(q).
Лемма 4
Утв. Если для каждого q е Тг~1 существует целое число rq, для
которого L(Brf(p^<cl2, то существует целое число г0,
такое, что L(Bi° (pq))<c для всех q^Tr~l.
Док. Пусть е<с/2. Тогда, учитывая непрерывность функции L (pq)
от q, для каждого q находим на Тг~1 такую окрестность Uq, что
при q' е Uq имеем
I i (В? (₽,)) - В (В? (Р,)) I < « < сП. (4)
Поскольку Тг~1 компактно, то из построенного покрытия Тг~1
окрестностями Uq можно выбрать конечное подпокрытие U4t,
Uq2, ...» Uqm- Положим r0 = max(r9], Г4г.Г,т). Пусть q е Тт~\
предположим, что q е U4l, тогда из (4) следует
b(b?'(p,))<'/2 + £(b?‘(p„)). (5)
а из леммы 1
в(в?(р«))<в(в;’<(Р,)). (6)
Из (5) и (6) получаем Л(В?(р?)) <с, что и требовалось доказать.
Лемма 5
Утв. Пусть с>0, и для любого п в Тг~1 найдется такая точка qn,
что (pqt$)>c, тогда в G существует периодическая
геодезическая.
Док. В силу предыдущей леммы в Тг~1 существует точка q0,
такая, что Л (В? (р?0)) > с/2 при любом п. Обозначим через рп
полигон Bi (рЧ1>). Из последовательности полигонов рп в силу ком-
пактности G можно выбрать сходящуюся подпоследователь-
ность рп., которую обозначим через рк. Пусть р0 = lim рк и
6->оо
Lo = L (р0), тогда
ЦМ(Ро))>Л> при любом п. (7)
320
Добавление
Докажем, что р0 есть периодическая геодезическая. Если р0-*
не периодическая геодезическая, то из леммы 1 следует
£(ро)-£(В1(ро)) = £о-£(В1(ро)) = <т>О. (8)
Далее, так как В] есть непрерывное отображение Щ (G) -> IIfe (G),
то для любого е>0 существует окрестность U czIIfe(G) точки р0,
такая, что как только р' е U, то
|£(В1(р0))-£(В1(/))|<е. (9)
Выберем е<а/2 и k0 настолько большим, чтобы выполнялось
Тогда из (8) и (9) имеем
L(B^(p0))^ + L(B1(p0))<a/2 + L0-a = L0-a/2,
что противоречит (7). Итак, p0^G есть периодическая геодезическая.
Доказательство теоремы 5.
Будем вести доказательство по индукции. Асферичность G
в нулевой размерности (связность G) следует из выпуклости G.
Предположим, что G асферично в размерностях 0, 1.....г—1.
Докажем асферичность G в размерности г.
Пусть /0: Sr -> G — непрерывное отображение. Согласно лемме 3,
f0 гомотопно отображению fit Sr->G, которое индуцируется не-
которым отображением ft: Тг~х ->П(С), а именно Л = Pf,» f =
Так как в G нет периодических геодезических, то из леммы 5 сле-
дует существование такого числа /г0, что £ (В"° (pq)) < do при всех
q е Тг~х. Пусть f2 = В"" °fv тогда на множестве 12(ТГ~Х) опреде-
лена гомотопия р» (см. разд. 4.3), и /2 гомотопно отображению
f3: Tr~x ->n(G), при котором каждая точка Тг~х переходит в три-
виальную (одноточечную) кривую.
Пусть Н$, 0 О г^1, есть гомотопия, связываюшая с f3,
тогда Sr—>G, 0 О1, есть гомотопия, связывающая fi=fnt
с таким отображением f3 = fHt, что множество f3 (у?) состоит из
одной точки a (q) для каждой q Тг~х. Так как по предположе-
нию индукции G асферично во всех размерностях —1, ото-
бражение а‘. Tr~l -> G гомотопно постоянному по теореме Гуре-
вича. Пусть H'q, 1, есть соответствующая гомотопия,
тогда 77» оф: Sr->G есть гомотопия, связывающая f3 с постоян-
ным отображением. Отсюда fQ гомотопно постоянному отобра-
жению, и G асферично в размерности г, что и доказывает теорему.
Теорема 6
Утв. Пространство М+ асферично во всех размерностях.
Док. Пусть fQ — произвольное непрерывное отображение 8Г -> М+.
Так как /о (8Г) есть компактное множество в М+, то по лемме 3
§ 4. Диффеоморфность М+ евклидову пространству
321
§ 2 существует компактное выпуклое (даже абсолютно выпуклое)
множество Gm)f0(5r). В М+, как это Доказано в теореме 2, нет
периодических геодезических, тем более их нет в G. Применяя
к G теорему 5, мы видим, что f0 гомотопно постоянному отображе-
нию в G и, следовательно, в М+.
4.6. Теперь перейдем к доказательству односвязности на бес-
конечности.
Теорема 7
Утв. Если G — компактное абсолютно выпуклое множество в М+,
m = dimAf+, то M+\G асферично в размерностях
^.m — 2.
Доказательство теоремы 7 опирается на некоторые хорошо
известные факты из топологии, которые мы изложим в виде лемм.
Лемма 6
Усл. V — открытое множество в М+, замыкание которого V ком-
пактно-, dim М+ = m; G — компактное множество, принад-
лежащее V.
Утв. В М+ существует открытое множество U, обладающее сле-
дующими свойствами:
(a) U cz V;
(b) G cz U;
(с) U (граница U) есть (пг-1)-мерное подмногообразие М+.
Док. В пространстве М+ определим непрерывную функцию
f(p) — расстояние от точки р до множества G, т. е. f(p) = p(p, G).
Пусть выполняется
e = p(G, Л4+\ У) при е>0. (10)
Аппроксимируем функцию f бесконечно дифференцируемой функ-
цией f0 с точностью до е/8 на множестве W ~{р: р^. М+, f (р)<2е),
т. е.
1/=(р)-/о(р)1<е/8, если р <= ЧУ. (11)
Доказательство существования такой функции можно найти
в )4, стр. 48, В]. Далее, по теореме Сарда [4, стр. 25, теорема 4]
можно найти такое число К, что X есть регулярное значение
функции f0 (р) и
|Х- е/2|<е/8. (12)
Теперь определим U как множество точек А4+, для которых
lfo(p)l<^ Докажем, что U cz V. В самом деле, пусть р <= U,
тогда /0(р)<^> а из (12) имеем
| f0 (р) |<е/2 + е/8 = у е. (13)
322
Добавление
Из (И) и (13) получаем
f(p)<if0(p)i+i<4+i==^<8- <14>-
Наконец, из (14) и (10) следует реV. Теперь докажем, что GczU.
Пусть peV, тогда f(p) = O, поэтому из (11) следует | f0 (р) | <
<f (р) + е/8 = е/8, а так как, кроме того, из (12) имеем Л > ~ — = у,
то, сопоставляя два последних неравенства и определение U,
получаем p^U. Наконец, так как X — регулярное значение функ-
ции f0, то граница U (множество /J'1 (X)) есть подмногообразие М+
размерности т — 1 (лемма 2 разд. 1.6). Лемма 6 доказана.
Лемма 7
Усл. М — дифференцируемое компактное многообразие с краем N.
На N задано непрерывное ненулевое векторное поле Х\
m = dim М.
Утв. На М существует непрерывное векторное поле Y, обра-
щающееся в нуль только в конечном числе точек и совпа-
дающее с X на N.
Док. Поскольку М есть дифференцируемое многообразие, его
можно триангулировать. Пусть = (/("*, Lm~l, f) — триангуляция
пары (М, N), где Кт — некоторый /n-мерный полиэдр, Ьт~'— его
граница, f — гомеоморфное отображение пары (/("*, Lm~l) на пару
(М, У), причем отображение / на каждом /n-мерном симплексе Д"1
комплекса К1* есть диффеоморфизм.
Образ при отображении / произвольного симплекса Аг ком-
плекса Кт назовем криволинейным симплексом триангуляции К.т
и обозначим через Аг. Предварительно докажем следующее
утверждение:
(а) пусть Аг+1 есть (г + 1)-мерный симплекс комплекса Кт,
на границе Аг+1 которого задано непрерывное ненулевое поле Z,
тогда
(<Х]) если г<т — 1, то существует непрерывное ненулевое
поле W на Ar+1, совпадающее с Z на Ar+1;
(02) если г = /п—1, то существует непрерывное векторное
поле W на Аг+1, совпадающее с Z на Аг+1 и обращающееся
в нуль в единственной точке симплекса Ar+1.
В самом деле, пусть АГ есть /n-мерный симплекс Кт, содер-
жащий Аг+1. Можно считать, что AJ" лежит в евклидовом /п-мер-
ном пространстве Rm. Обозначим через Dm и S'””’ стандартный
шар и стандартную сферу пространства Rm. Возьмем единичное
g 4. Диффвоморфность M+ евклидову пространству
323
векторное поле Zr на Дг+1, равное Z/\Z\. Поле Zx задает не-
прерывное отображение Дг+1 в Sm~ .
Доказательство (aj. Если г < tn — 1, то, поскольку все гомо-
топические группы Sm-1 до лт_2 включительно тривиальны, это
отображение можно продолжить до отображения симплекса
Дг+1 в Sm-1, что, в свою очередь, задает непрерывное поле W\
единичных векторов на Дг+1. Пусть h(p) есть положительная
непрерывная функция от точки на Дг+1, совпадающая с |Z| на
Дг+1. Тогда W = h(p)Wi(p) есть искомое поле. _
Доказательство (02). Если г = ш — 1, то отображение Zx можно
продолжить до непрерывного Отображения симплекса Д'"
в. Dm, при котором в центр шара перейдет единственная точка
симплекса Д'". Это отображение задает на Д'" непрерывное век-
торное поле 1Г]. Положим IT = h (р) (р). Поле W обладает
требуемыми свойствами.
Предположим теперь, что мы построим непрерывное ненулевое
векторное поле на Кт — r-мерном остове триангуляции К"1, которое
совпадает с X на остове Lr триангуляции Lm-1. Есл_и r==_m — 1,
возьмем произвольный симплекс Д'" триангуляции_/Ст, Z —уже
построенное векторное поле на его границе Д'" с К'"-1. Опреде-
лим на симплексе Дт cz f-1 (Дт) комплекса Кт поле Z = f~l(Z),
Применим затем к Д'" утверждение (02) и определим на Д'"
поле W = Проделав то же самое для каждого симплекса Д'"
разбиения Кт, мы получим векторное поле Y с требуемыми в лем-
ме 7 свойствами. Если же r<tn — 1, то, произведя те же операции
и воспользовавшись утверждением (cq), мы получим непрерывное
векторное поле на остове /Сг+1. Поскольку на ненулевое век-
торное поле строится тривиально, то утверждение леммы 7 доказано.
Справедлива также следующая лемм'а [4, стр. 48]:
Лемма 8
Усл. Dr+i — (г + Г)-мерный замкнутый шар.
Утв. Для каждого отображения f0: Dr+i -> М+ существует гомо-
топное ему гладкое отображение Dr+i М+.
Доказательство леммы почти очевидно.
Доказательство теоремы 7.
Пусть f0— произвольное непрерывное отображение Sr в М+ \ G.
Поскольку М+ асферично во всех размерностях, До отображение
f0: Sr-+M+ можно продолжить до отображения Fo шара Dr+i
324
Добавление
в М+, которое на границе шара —сфере Зг — совпадает с f0.
Выберем число е настолько малым, чтобы выполнялись следую-,
щие условия:
(a) V = {qi q М+, p(q, G)<e} не пересекает f0(Sr);
(b) шар радиуса е с центром в любой точке множества V — сильно
выпуклое множество;
(с) е<с/0/2.
Пусть p^V\G, и пусть q (р) точка на G, ближайшая к р.
Докажем следующее утверждение:
(а) для каждой точки р е V \ G существует единственная
точка q (р), ближайшая к р.
В самом деле, если для некоторой точки р0 е V \ G сущест-
вуют различные точки q{ (р0) и ?2(ро), то шар £>Ро радиуса rQ =
= <71 (Ро) Ро = ?2(Ро) Ро с центром в точке р0 пересекается с G
только в точках, лежащих на границе G и границе £>Ро. Соеди-
ним точки ?1(р0) и 72 (ро) кратчайшей с. С одной стороны, в силу
сильной выпуклости шара £>Ро кратчайшая с, за исключением
концов, лежит внутри Dp.. Но, согласно абсолютной выпуклости G, с
должна лежать в G. Полученное противоречие доказывает (а).
Построим теперь в области V \ G векторное поле X. Пусть
реУ \ G; соединим р с q(p) кратчайшей ср (/): [О, 1]->У\С.
В точке р возьмем вектор Хр = р(р, М+ \ V) • (—ур(0)), тогда
(Р) на открытом множестве V \ G поле X непрерывно.
В самом деле, точка q(р) однозначно определяется точкой р
и, значит, непрерывно зависит от р. Из разд. 5.2 и свойства (с)
области V следует, что кратчайшая ср(7) и вектор ср(7) непре-
рывно зависят от концов ср (/) и, следовательно, непрерывно за-
висят от р. Функция же р (р, М+ \ У), очевидно, непрерывна.
Утверждение, что Х=/=0, следует из построения поля X.
Рассмотрим теперь область U со свойствами, указанными
в лемме 6. На границе U возьмем поле У, совпадающее с X.
По лемме 7 продолжим поле У до поля Z, определенного в U,
так, чтобы поле Z совпадало с У на U и обращалось в нуль
лишь в конечном числе точек. Пусть это будут точки рь р2, ...
..., pk. Определим теперь поле W на всем пространстве М+
следующим образом:
(а) 1Ур = 0, если реМ+\ У;
(b) Wp = Xp, если pey\G;
(с) Wp = Zp, если p^U.
Поле 1У непрерывно по построению. Далее, пользуясь лем-
мой 8, отображение Fo: Dr+1->M+ можно заменить близким и
гомотопным ему отображением Fp Dr+l -+ М+, таким, что
pi ф. Fi (Dr+V), i=l, ..., k. Теперь можно завершить доказатель-
ство теоремы 7.
§ 4. Диффеоморфность евклидову пространству
325
Через каждую точку peF1(£)r+1) проведем геодезическую
сР'- [0, оо)->М+, с(0) = р, с(0) = 1Гр. Определим отображение
Ф: Dr+l X [0, оо)->М+ формулой
Ф(р, 0 = СЛ(Р)(/) (p<=Dr+l, /е[0, оо)).
Согласно теореме о непрерывной зависимости решения системы
дифференциальных уравнений от начальных данных, Ф(р, I) есть
непрерывная функция своих аргументов. Положим р. = inf \Zp\.
ре=Л (Z>r+1)fl<7
Пусть Gj — компактное абсолютно выпуклое множество, содержа-
щее U, и X —число, определенное в лемме 4 § 1 для области Gp
Докажем, что Ф(р, А/ц)ПС = 0. Действительно, рассмотрим сле-
дующие случаи:
(а) Если pi = Fi(p)^ U, то срД/р)еМ+\Д по лемме 4 и в силу
абсолютной выпуклости Gp
(b) Если pi = Fi(p)^M+\V, то Ф(р, t) = Fi(p) по построению
поля 1Г и отображения Ф.
(с) Пусть, наконец, pt = Ft (р) е У\С/, и предположим, что
Cpt(t) при некотором t = t0 попадает в G.
Продолжим геодезическую сР1 от точки рх в направлении — 1ГР|
на длину р(рр G), конец этой дуги обозначим через рх. В силу
построения поля W точка р{ принадлежит G; итак, существует
геодезическая, у которой две точки р} и ср. (tQ) принадлежат G,
а точка рх не принадлежит. Последнее невозможно, так как G
есть абсолютно выпуклое множество. Значит, сР1 (/) ни при каком
t^O не попадает в G.
Итак, доказано, что отображение F2(p) = Ф(р, Х/у.) отображает
£>г+1 в М+ \ G, и отображение F2, рассматриваемое на Sr, гомо-
топно fQ. Теорема 7 доказана.
Сопоставляя теперь теоремы 6, 7 и теорему 5.1 работы [2],
получаем основную теорему этого параграфа
Теорема 8 (Д. Громол и В. Мейер)
Если риманова кривизна полного некомпактного риманова
многообразия Л4+ в каждой точке и в каждом двумерном
направлении положительна, то М+ диффеоморфно евкли-
дову пространству Rm при m = dim М+ 5.
Примечание 1. Диффеоморфность М2+ пространству R2 была до-
казана Кон-Фоссеном [5].
Примечание 2. Авторы работы [1] утверждают, что теорема 8
справедлива для всех т. Однако доказательство этого утвер-
ждения пока не опубликовано.
ЛИТЕРАТУРА К § 4
[1] G г о Ш о 11 D. and Meyer W., On complete open manifolds of positive
curvature, Ann. of Math., v. 90, 1 (1969).
326
Добавление
[2] Stallings J., The piecewise-linear structure of euclidean space, Proc. Camb-
ridge Phill. Soc., v. 58, (1962), 481—488.
[3] Фет А. И., Вариационные задачи на замкнутых многообразиях, Математиче-
ский сборник, т. 30 (72), 2 (1952).
[4] Понтрягин Л. С., Гладкие многообразия и их применения в теории гомо-
топий, Труды МИАН, XVI, 1955.
[5] Ко н - Ф о с с е н С. Э., Некоторые вопросы дифференциальной геометрии в
целом, М., 1959.
§ 5. Метрическое строение пространства Af0,
содержащего прямые линии
5.1. Пусть р — прямая линия пространства Мй, P(t) — нормаль-
ная параметризация р и Q — произвольная точка Мо. Будем гово-
рить, что луч а с вершиной Q параллелен прямой р в положи-
тельном (отрицательном) направлении относительно заданной
параметризации р, если существует последбвательность чисел
tn -* оо (tn -> — оо), такая, что кратчайшие р (tn) Q сходятся к лучу а.
Луч а, параллельный р в положительном (отрицательном) на-
правлении, будем обозначать через а+ (Q) (a_(Q)). Прямую q назо-
вем параллельной прямой р, если для любой точки Q^q имеем
q = a+ (Q) U а~ (Q)- Пусть q — прямая, параллельная р. Будем го-
ворить, что на q введена параметризация Q(t), согласованная
с параметризацией P(t) прямой р, если a+(Q(0)) совпадает-
с геодезической q |10, оо).
5.2. В этом параграфе мы докажем, что если в Мо сущест-
вует прямая р, то через каждую точку Q е Мо можно провести
Единственную прямую, параллельную р. Для удобства дальней-
шего изложения сформулируем предварительно ряд утверждений
из элементарной геометрии в виде лемм, доказательства кото-
рых очевидны.
Лемма 1
Усл. АпВСп — последовательность треугольников евклидовой плос-
кости, у которых длины всех сторон неограниченно увели-
чиваются при п->оо; углы Ап и Сп острые; расстояние
от вершины В до стороны АпСп ограничено числом N, не
зависящим от п.
Утв. Предельное значение угла АпВСп равно л.
Лемма 2
Усл. АВСп — последовательность треугольников евклидовой плос-
кости, у которых длины сторон АСп и ВСп неограниченно
увеличиваются при п-+<х>.
Утв. Сумма предельных значений углов АВСЛ и ВАСа равна л.
§ 5. Строение пространства Мо, содержащего прямые линии
327
Лемма 3
Утв. В условиях и обозначениях леммы 2 предельное значение
угла АВСп равно л/2 тогда и только тогда, когда
lim (АСп — ВСп) = 0.
П->00
Лемма 4
Утв. В условиях и обозначениях леммы 2 предельное значение
угла АВСп равно л тогда и только тогда, когда
Нт(4В + ВС„-4С„) = 0.
П-> оо
Начиная с этого момента мы будем предполагать, что в Мо
существует прямая линия р и задана некоторая ее параметри-
зация P(i).
Лемма 5
Утв. Через любую точку Q пространства Мо проходит один и
только один луч а+ (Q) и один и только один луч а~ (Q),
и оба эти луча лежат на одной геодезической.
Док. (а) Докажем сначала, что через любую точку Q^M0 про-
ходит по крайней мере один луч а+ (Q) и один луч а~ (Q). Дейст-
вительно, пусть tn-> о° — произвольная последовательность чисел.
Поскольку р — прямая линия, то
lim P(tn)Q = оо. (1)
П-> ОО
В силу полноты пространства Мо можно найти такую подпо-
следовательность чисел tnk, что существует направление /0, пре-
дельное для кратчайших QP(in^. В направлении /о проведем гео-
дезическую с. Докажем, что с —луч. Пусть Р — произвольная
точка с. Возьмем nkg настолько большим, чтобы QP(/refe) было
больше длины L(P, Q) дуги PQ геодезической с при пь^п^.
Существование такого числа пьо следует из (1). На кратчайших
QP(4) возьмем точки х„А так, чтобы Qxnfe = L(P, Q). Кратчай-
шие Qxnft сходятся к некоторой кратчайшей QP, имеющей в Мо
то, же направление /0, поэтому кратчайшая QP лежит на с и,
следовательно, Р совпадает с Р. Значит, с есть луч а+ (Q), парал-
лельный р в положительном направлении. Аналогично доказы-
вается существование луча а~ (Q).
(Р) Пусть Q — произвольная точка Мо. Покажем, что произ-
вольные лучи а+ (Q) и а_ (Q), существование которых доказано
в пункте (а), лежат на одной геодезической. Действительно,
пусть /+->оо оо) — последовательности чисел, для кото-
рых a+(Q) (a~(Q)) есть пределы кратчайших QP(Z+) (QP (<“)).
328
Добавление
Введем обозначения P(tt) = Pn, P(tn) = Рп, Р(О) = Ро. На дву-
мерной евклидовой плоскости R2 построим четырехугольник
Q1Р'п+РоР’п , прикладывая к стороне PoQ' треугольника Q'p'0P'n+
треугольник Q'PoP'n~ стороной PoQ'. В силу теоремы сравнения
(разд. 6.4) углы Q'PoP'n+ и Q'РоР'п~ не превосходят углов QPoPn
и QPoPn- Сумма лее последних углов равна л. Следовательно,
угол р'п+ РоР'п~ четырехугольника не превосходит л. Угол P'n+Q'Pn~
также не превосходит л в силу неравенства Р^Ро + РоРп~ =
= РпРо +РоРп = РпРп ^Pn+Q'+ Q'^'n~. Остальные два угла
Q Р'п+Ро и Q Рп~Р0 не превосходят л по построению. Таким образом,
четырехугольник Q'P'n+PoPn~ выпуклый. Построим на R2 тре-
угольник Q"Pn+Pn~ с теми же длинами сторон, что и у тре-
угольника QPn Рп • На стороне Рп+Рп~ возьмем точку Ро, такую,
чтобы выполнялось равенство РоРп + = РоРп+-
В силу леммы 3 разд. 6.4 угол Q"Pn+Po не больше угла
Q'PnPo. Отсюда следует Q"Po Ро = QP0. Это означает, что рас-
стояние от вершины Q" до стороны Рп Рп не превосходит QPq.
Кроме того, углы Р"+ и Рп~ треугольника Q"P'h+Pn~ при доста-
точно больших и —острые. Поэтому к треугольникам Q"Pn+P'n~
можно применить лемму 1, в которой утверждается, что пре-
дельное -значение угла P"+Q"Pn~ равно л. Снова используя
теорему сравнения разд. 6.4, мы получаем, что предельное зна-
чение угла PnQPn не меньше л, а следовательно, оно равно л.
Но предельное значение угла P^QPn совпадает со значением
угла между a+(Q) и a_(Q), которое, таким образом, оказывается
равным л. Утверждение пункта (Р) доказано. Теперь уже не-
трудно доказать остальные утверждения леммы. Пусть a^(Q) и
a^(Q)—два луча, параллельных р в положительном направлении.
Возьмем произвольный луч a~(Q). Существование a~(Q) дока-
зано в пункте (а). Согласно предыдущему пункту, af (Q) U a- (Q) и
aj (Q) U (Q) — геодезические, и поскольку они имеют общую
часть a~(Q), то они совпадают. Отсюда следует, что- совпадают
и лучи aj1- (Q) и a+ (Q). Таким образом, единственность луча a+ (Q)
доказана. Аналогично доказывается единственность луча a- (Q),
а поскольку существование этих лучей уже было доказано
в пункте (а), то лемма доказана.
§ 5. Строение пространства Af0, содержащего прямые линии 329
Лемма в
Утв, Через любую точку пространства Мй проходит одна и
только одна прямая q (Q), параллельная р.
Док. Проведем через точку Q лучи а+ (Q) и а~ (Q). Эти лучи,
как это следует из леммы 5, лежат на одной геодезической, ко-
торую мы обозначим через q(Q). Докажем, что q(Q) — прямая,
параллельная р.
Возьмем на q(Q) произвольную точку В. Пусть для опреде-
ленности B<sa+(Q). Рассмотрим треугольник QBP(t). При t-+oo
кратчайшие QP(f) сходятся к лучу a+(Q) вследствие леммы 5.
Следовательно, угол BQP (/) при t -> оо стремится к нулю. От-
сюда и из теоремы сравнения разд. 6.4 получаем, что угол
B'tyP' (0 треугольника B'Q'P' (t) стремится также к нулю при t-+0.
Но тогда, применяя к треугольнику B'Q'P' (/) лемму 2, мы получаем,
что предельное значение угла tyB'P'(t) равно л. Поэтому, опять-
таки вследствие теоремы сравнения разд. 6.4, предельное зна-
чение угла QBP(t) также равно л. Последнее же означает, что
луч a+ (B)cza+ (Q). Отсюда и из леммы 5 мы получаем а- (В) гэ
3a~(Q). Таким образом, q(Q) есть прямая, параллельная р.
Единственность же прямой q (Q) легко следует из леммы 5.
Лемма 7
Усл. Пусть qx и q2 — прямые, параллельные р; Qx^qx, Q2^q2 —
точки Mq, QxQ2 — кратчайшая', Р (t) — параметризация пря-
мой р\ Р(0) = Р. Обозначим через Qt, Q2 (Qf Q7) предель-
ные значения углов Р (t) QXQ2, Р (t) Q2QX при t -> оо (t —> — оо),
а через Q'x+, Q2+(Qi-, Qz~) предельные значения углов P'{t)Q'xCf2,
Р (OQ2Q1 пРи (/->—00) треугольника P'(f)QiQr
Утв. Тогда
Qi'+Q2+ = Qr + Q2’ = n, Qt = Qi+, Q2+== Q2+,
Qi+ + Q2+ = Qi +Q2 =л, Qi =Qi , Q2 =Q2 .
Замечание 1. Лемма 7 справедлива и тогда, когда одна из
прямых qx или q2 совпадает с р.
Замечание 2. Если на qx и q2 ввести параметризации Q( (t) и
Q2(0, согласованные с Р(/), и Qi (0) == Qj, Q2(0) = Q2, то, согласно
лемме 5, Q+, Q~ есть углы между Q2QX и qx те), <?2|0J,
а Q+, Q2 есть углы между QjQ2 и </2|[0> q2\{_x 0].
Утверждения леммы 7 следуют из леммы 5 § 1 и леммы 2«
5.3. В этом пункте доказывается несколько утверждений
„о перпендикулярности**.
330
Добавление
Лемма 8
Усл. qxu q2 — прямые, параллельные р\ Q1 е ^1( Q2 е — точки Мо.
Утв. Если кратчайшая QXQ2 перпендикулярна одной из прямых,
то она перпендикулярна и другой.
Замечание. Лемма 8 справедлива и тогда, когда одна из пря-
мых, qx или q2, совпадает с р.
Док. Предположим для определенности, что кратчайшая QiQ2
перпендикулярна q2. Тогда в обозначениях леммы 7 условия
леммы 8 означают, что = Q + = л/2 и утверждение леммы сле-
дует из леммы 7.
Лемма 9
Усл. qx и q2 — прямые, параллельные р-, Qi(/) и Q2(t) — парамет-
ризации qx и q2, согласованные с параметризацией Р (/) пря-
мой р.
Утв. Если кратчайшая Qi(0)Q2(0) перпендикулярна обеим пря-
мым qx и q2, то кратчайшие Qx(i)Q2(i) при любом t есть
также общие перпендикуляры к qx и q2.
Замечание. Лемма 9 справедлива также тогда, когда одна из
прямых, qx или q2, совпадает с р.
Док. Пусть t0 — произвольное число. Будем использовать обозна-
чения леммы 7. Тогда условия запишутся в виде
Qt (°) = Q? (0) = (°) = Q2+ (0) = Т • (3)
Требуется доказать, что
Qt (*о) = <?Г (*о) = Q2- tto) = Q+ (/0) = % • <4)
Из (3) и лемм 3, 7 следует
lim (P(0Q2(0)-P(0Qi(0)) = 0. (5)
t -> ± ОО
С другой стороны, в силу леммы 5 предельные значения углов
QiGo)Qi(O)P(O и Q2(io) Q2 (0) Р (0 ПРИ t-+±oo равны нулю. От-
сюда и из теоремы сравнения разд. 6.4 следует, что предельные
значения углов Q[ (t0) Q[ (0) Р' (/) и Q'(/o)Q'(O)P'(/) треугольников
Q' (t0) Q' (0) Р' (/) и Q' (i0) Q' (0) Р' (t) при t -* ± оо также равны нулю.
Но тогда в силу леммы 4 мы получаем
lim (Q1(/0)Q1(0) + Q1(/o)P(0-Q1(0)P(0) = 0,
t -> ± °°
lim (Q2Go)Q2(O) + Q2(/o)P(O-Q2(O)P(O)“O.
00
g 5. Строение пространства Мо, содержащего прямые линии
331
Если учесть, что Qi (/0) Qi (0) = Q2 (t0) Q2 (0) — i0, то из (10) и (11)
следует
lim (Q2(/o)P(O-Qi(/o)/’W) = O. (7)
оо
В свою очередь, из (7) и леммы 3 получаем, что Q'+(/o) =
= Q[+(/o)=f"> а отсюда и из леммы 7 следуют равенства (4).
Лемма доказана.
Лемма 10
Усл. q —прямая.
Утв. Для любой точки S е Мо, S&q, найдется единственная
точка Q^q, такая, что существует кратчайшая QS, перпен-
дикулярная q.
Док. Найдем на прямой q точку Q, такую, что длина кратчай-
шей QS реализует минимум расстояния от S до прямой q. Су-
ществование такой точки следует из соотношения (1). Тогда крат-
чайшая QS будет перпендикулярна q. Таким образом, сущест-
вование точки Q с требуемым свойством доказано. Пусть теперь
Qj е q — произвольная точка, такая, что кратчайшая SQ1 перпен-
дикулярна q. Проведем через S прямую qit параллельную q.
На <71 и <7 введем согласованные параметризации S(i) и Q(t),
S (0) = S, Q (0) = Q. Пусть Qi = Q (t0). Предположим для определен-
ности, что /0^0, тогда, в обозначениях леммы 7, из леммы 8 по-
лучаем соотношения
Q+ (/о) = Q+ (0) = S+ = Q'+ (t0) = Q'+ (0) = S'+ = i,
что с учетом леммы 3 дает
Hm (Q(/o)Q(/)-SQ(/)) = O, (8)
Hm (Q (0) Q (/) — SQ (/)) = 0. (9)
<->oo
С другой стороны, имеет место
Q(/)Q(O) = Q(/)Q(/o) + Q(fo)Q(O). (10)
Рз (8) —(10) следует, что Q(O)Q(/o) = O, т. е.
/о = О, QI = Q(/o) = Q(O) = Q.
Таким образом, доказана единственность точки Q.
Лемма И
Усл. qi и q2 —прямые, параллельные р; точки Qieq1Q2eq2
и Pep таковы, что две из трех кратчайших QiQ2> QiP
и Q2P есть общие перпендикуляры к прямым, которые они
соединяют.
332
Добавление
Утв. Третья кратчайшая есть перпендикуляр к прямым, которые
она соединяет.
Док. Введем на р параметризацию P(t), Р(0) = Р. Рассмотрим
случай, когда кратчайшие Q{P и Q2P есть общие перпендикуляры
к прямым q{ и р, соответственно q2 и р. Тогда лемма утверждает,
что кратчайшая Q)Q2 перпендикулярна к прямым q{ и q2. Дейст-
вительно, из условий леммы в обозначениях леммы 7 следуют
равенства
Qr = Qr = Q2+ = Qr = Qr = Qr = Q2/+ = Q;- = T- <п)
Из (11) с помощью леммы 9 можно получить соотношения
Jim (Q!P(0-PP(0) = 0, (12)
lim (Q2P(/)-PP(/)) = 0. (13)
t -> ± oo
Из (12) и (13) получаем
lim (Q,P (/) — Q2P (/)) = 0. (14)
t -> ± OO
Обозначим через Qt, Q2 (Qi-, QD предельные_ значения углов
P(/)QiQ2, P(0Q2Q1 при/->oo(/->-oo), а через Qi+,Q2+(Q[~, Q2~)
предельные значения углов P'(^)Q[Q2, P'(0Q2Q[ треугольника
Pz (Z)Qi'Q2. В этих обозначениях из (14) и леммы 3 получаем
Q[+ = Q? = Q2’ = Q2+ = Y- (15)
Далее, по теореме сравнения разд. 6.4 имеем
ёг > Qi+ > q[+> q2_ > q2~> q2+ > q2+- (16)
А так как
ёг+ёГ=ё2-+ё2+ = л, (17)
то из (16) и (17) следует QT = Qib = Q? = Q2 = -у, что и требова-
лось доказать. Остальные случаи рассматриваются аналогично.
5.4. Дадим теперь определение линейной независимости сово-
купности прямых. Пусть в Af0 существуют k прямых линий
Pi, Р2, • • •> Pk- Через произвольную точку Q в силу леммы 6 можно
провести k прямых qi (Q), q2(Q), • • - , qt(Q), таких, что прямая qt(Q)
параллельна прямой р{. Мы будем говорить, что прямые
Pi, Р2> • • •> Рк пространства Мо линейно независимы, если в Af0 су-
ществует точка Q, для которой система касательных векторов
к прямым qi(Q} в точке Q есть линейно независимая система.
$ 5. Строение пространства Мо, содержащего прямые Линии
333
Теорема 9
Утв. Если на римановом многообразии Мо существуют k линейно
независимых прямых линий, то Мо есть прямое метрическое
произведение евклидова пространства Rfe и некоторого рима-
нова многообразия М'о.
Теорема 9 при произвольных m доказана в [1], а при т = 2и
k = 1 совпадает с теоремой, доказанной Кон-Фоссеном в 1936 г. [2].
Док. Разобьем доказательство теоремы 9 на две части. В первой
части докажем утверждение теоремы при k = 1.
1. Пусть Р — произвольная точка прямой р. Определим в про-
странстве Af0 множество точек М(Р), обладающих следующим
свойством: точка Q многообразия Af0 принадлежит М(Р) тогда и
только тогда, когда кратчайшая QP перпендикулярна р. Если Р1
и Р2 — различные точки р, то М(Р^ и М(Р2) не пересекаются,
.ибо в противном случае для некоторой точки Q две различные
кратчайшие QP, и QP2 были бы перпендикулярны р вопреки
лемме 11.
(а) Докажем, что М(Р) есть дифференцируемое многообразие.
Пусть QeAf(P), обозначим через q(Q) прямую, параллельную р
и проходящую через Q. Проведем через Q все геодезические, пер-
пендикулярные q(Q). Получим дифференцируемое подмногообра-
зие F(Q) размерности tn — 1, содержащее Q.
Пусть р меньше радиуса инъективности в точке Q (см. разд. 5.2).
Обозначим через Тр шар пространства Af0 с центром в точке Q
и радиуса р. Пусть Z е F (Q)flT’p, докажем, что ZeAf(P). Про-
ведем через Z прямую q(Z), параллельную р; тогда q(Z) в силу
леммы 8 перпендикулярна кратчайшей ZQ. С другой стороны,
кратчайшая QP перпендикулярна р по определению множе-
ства М(Р). Таким образом, к кратчайшим ZQ, QP и ZP можно
применить лемму 11. Из этой леммы следует, что кратчайшая ZP
перпендикулярна р, т. е. Z е М (Р) П Тр. Наоборот,- пусть
Z е М (Р) П Тр. В этом случае по определению М(Р), ZP и QP—
кратчайшие, перпендикулярные р. Но тогда, снова используя
утверждение леммы 11, мы получаем, что ZQ перпендикулярна
qQ, т. е. ZeF(Q). Следовательно, в достаточно малой окрест-
ности точки Q множества М (Р) и F(Q) совпадают. Поскольку Q—
произвольная точка Af(P), то утверждение пункта (а) доказано.
(0) Докажем, что Af(P) есть вполне геодезическое подмного-
образие Мо. Для этого необходимо доказать, что любая геодези-
ческая М (Р) есть одновременно геодезическая. Af0. Поскольку лю-
бую геодезическую можно разбить на столь малые дуги, что
каждая дуга будет кратчайшей, ^го достаточно доказать, что лю-
бая кратчайшая М (Р) есть одновременно кратчайшая Af0. Мы до-
кажем даже более сильное утверждение, а именно что всякая
334
Добавление
кратчайшая Af0, концы которой принадлежат М(Р), сама целиком
принадлежит ЛГ(р). Действительно, пусть Q[ и Q2 —точки М(Р).
Проведем в Af0 кратчайшую QiQ2. Возьмем произвольную точку
Q^QtQ2. Через Q и Qj проведем прямые q(Q) и q^Qi), парал-
лельные р. Поскольку Qj и Q2 принадлежат М (Р), кратчайшая Q{Q2,
согласно лемме 11, перпендикулярна qilQt), но тогда по лемме 8
кратчайшая QtQ перпендикулярна q(Q), и, снова применяя
лемму 11, получаем, что кратчайшая QP перпендикулярна р, т. е.
QeAf(P). Тем самым утверждение (р) доказано.
(у) Докажем, что любая прямая q, параллельная р, пересе-
кает Af(P). Действительно, возьмем на q произвольную точку Q.
В силу утверждения леммы 10 на р найдется точка Рь такая, что,
кратчайшая QPt перпендикулярна р, т. е. QeAf(PJ. Введем
на р и q согласованные параметризации P(t) и Q(t) так, чтобы
P(0) = Pi, Q(0) = Q. Пусть t0 — такое число, что P = P(t0), тогда
лемма 9 утверждает, что Q (/0) *= Л/(Р).
(S) Введем на прямой р некоторую параметризацию P(t). Для
любого t множество M(P(t)) есть вполне геодезическое подмного-
образие. Таким образом, мы получаем однопараметрическое се-
мейство вполне геодезических подмногообразий. Заметим, что, как
это следует из определения M(P{t)) и леммы 8, ортогональными
траекториями этого семейства служат прямые линии, параллель-
ные р. Отсюда, согласно теореме, доказанной Эйзенхартом (см. [3,
стр. 221]), следует, что все подмногообразия М (P(t)) изометричны
друг другу и изометрия осуществляется проектированием вдоль
прямых, параллельных р. Введем теперь в Af0 специальную си-
стему координат. Пусть Q е Af0, обозначим через Q точку пересе-
чения q(Q) и Л/(Р(0)), а через хт — расстояние от Q до Q. Если
и1, и2, ..., и”1-1 — координаты точки Q на Л4(Р(0)), то точке Q со-
поставим координаты и1, и2, ..., ит~1, хт. В этих координатах
компоненты метрического тензора gtm пространства Af0 при I —
= 1, 2, ..., т— 1 равны нулю в силу ортогональности геодезиче-
ских, параллельных р, пространствам Л1(Р(/)). Поэтому основной
тензор ЛГ0 можно записать в виде ds2 = gikdulduk + В (dxm)2. Далее,
в этих же координатах в силу леммы 9 уравнение Af(P(f)) есть
xm=‘t. Поскольку, кроме того, все подмногообразия M(P(t)) изо-
метричны друг другу, то gik при I, k = 1, 2, ..., т— 1 не зависят
от хт (см. [3, стр. 221]). Коэффициент В, в свою очередь, равен 1,
так как хт есть длина отрезка прямой линии. Таким образом,
мы получаем следующий вид основного тензора Л40:
ds2 = ds2' + (dxm)2, (18)
где ds\— основной тензор подмногообразия Af(P(0)). С другой
стороны, определим риманово многообразие Af0 как прямое мет-
§ S. Строение пространства Мо, содержащего прямые линии 335
рическое произведение прямой линии и риманова многообразия
М (Р(0)). _В пространстве Af0 можно ввести координаты, сопоставив
точке Q(Q, х) координаты и1, и2, ит~', х, где и1, и2 ит~1 —
координаты точки Q в М (Р(0)). В этих координатах основной тен-
зор Af0 можно записать в виде
ds2 = ds2 + (dxm)2, (19)
где ds2 — основной тензор Af(P(O)) (см. замечание (ii) разд. 3.1).
Если теперь точке Q е Л10 с координатами и1, и2, ..., ит~\ хт со-
поставить точку Q с координатами и1, и2, ..ит~1, х — хт, то по-
лученное отображение будет в силу (18) и (19) изометричным
отображением Мо на Мо. Тем самым теорема 9 при k= 1 доказана.
2. Пусть теперь в Af0 существует k линейно независимых пря-
мых линий р2, ..., pk. В силу определения линейной незави-
симости можно считать, что все они проходят через одну точку Р
и векторы, касательные к ним в точке Р, линейно независимы.
Построим подмногообразие Af1 (Р) относительно прямой рь как
это сделано в доказательстве первой части теоремы. Тогда Afo =
= М} (Р) есть (т — 1)-мерное риманово многообразие неотрицатель-
ной кривизны, a Af0 есть прямое метрическое произведение прямой
и Afo. Возьмем произвольную прямую ра, а = 2, ..., k, и спроек-
тируем ее вдоль прямых, параллельных р1( в пространство Mq. Кри-
вую, полученную в результате проекции, обозначим через /5а. До-
кажем, что кривая ра есть прямая линия пространства Afo- Дей-
ствительно, пусть в специальной системе координат, введенной
при доказательстве первой части теоремы, уравнениями прямой ра
будут
xm = f(s), ul = cfl(s), t=l, 2, ..., т — 1,
где s — нормальный параметр, отсчитываемый от Р. Причем, по-
скольку ра при а^2 не параллельны рь то функции q?(s) не мо-
гут при всех I одновременно быть постоянными. Эти функции,
как нетрудно проверить, удовлетворяют системе дифференциаль-
ных уравнений
, т~1
^=о, (20)
ds* ds* Ал 1 ds ds 4 7
/о-l
где Vlkj — коэффициенты связности пространства Afo. С другой сто-
роны, как это следует из определения кривой ро, ее уравнения
есть хт = 0, u! = <pl(s). Следовательно, кривая ро является геоде-
зической в пространстве Afo. Остается доказать, что лю-
бая дуга геодезической ро есть кратчайшая. Для этого нам не-
обходимо провести некоторые дополнительные рассуждения.
336
Добавление
Пусть q — произвольный непрерывно дифференцируемый путь
пространства Л4о, и пусть его уравнения имеют вид = фг(в),
где s —нормальный параметр. Рассмотрим путь q в простран-
стве Л40, уравнения которого в специальной системе координат
определяются соотношениями хт = as + Ь, где а и b по-
стоянны. На q и q рассмотрим дуги, определяемые неравенствами
s s2. Пусть I и / — длины этих дуг. Тогда I и I связаны
легко проверяемым соотношением
/2 = /2 + (xm(s2)-Xm(S1))2. (21)
Предположим_теперь, что ра не есть прямая линия. Тогда су-
ществует дуга QjQ2 геодезической ра, которая имеет длину lit
большую, чем длина /2 кратчайшей q, соединяющей точки Qj и Q2.
Пусть на дуге QjQ2 геодезической ра параметр изменяется в пре-
делах от sI до s2. Пусть, далее, уравнениями будут = ф,(т),
где т —параметр, пропорциональный длине, и Рас-
смотрим кривую q в пространстве А40, уравнения которой в спе-
циальной системе координат зададим соотношениями хт = /(т) и
и1 = фг(т). Тогда кривая q будет соединять концы дуги QjQ2 пря-
мой ра, проектирующейся в дугу QjQ2 геодезической ра. Если/2 —
длина q, то из (21) получаем
/i = /1 + (f(s2)-Z(si))2. (22)
Аналогично, если /, —длина дуги Q,Q2 прямой ра, то
/f=tf+(mw(si))2. (23)
Поскольку /2 < Ц, из (22) и (23) получаем /2 < /ь что невозможно,
так как ра — прямая линия. Следовательно, доказано, что проекции
прямых ра есть прямые ра пространства Мо. Кроме того, нетрудно
заметить, что прямые ра, а = 2, ..., k, линейно независимы, ибо
в противном случае прямые ра, а = 1, 2, ..., k, были бы линейно
зависимы, вопреки предположению. Таким образом, нами получено
пространство Мо, риманова кривизна которого неотрицательна и
в котором существует k— 1 линейно независимых прямых линий.
Повторяя для Мо рассуждения, которые проведены для Мо, мы
получим, что Мо изометрично прямому метрическому произведе-
нию некоторого М" и прямой линии, причем пространство Мо со-
держит k — 2 линейно независимых прямых линий. Тем самым Мй
изометрично прямому метрическому произведению М" и плоско-
сти R2. Повторяя это рассуждение k раз, получаем доказательство
теоремы 9.
$ 5. Строение пространства Мо, содержащего прямые Линии 337
Литература к § 5
[1] Топоногов В. А. Метрическое строение римановых пространств неотри-
цательной кривизны, содержащих прямые линии, Сиб. мат. журнал, т. V, 6
(1964).
[2] К о н - Ф о с с е и С. Э., Некоторые вопросы дифференциальной геометрии
в целом, М., 1959.
[3] Эйзенхарт Л. П., Риманова геометрия, М„ 1948,
УКАЗАТЕЛЬ
Абсолютная выпуклость 306
----- строгая 306
Адамара—Картана теорема 221
Асферичность 314
Атлас 9
Бетти числа 284
Бьянкн тождества 53
Вариация 140
'— ломаная 123
— собственная 140
Векторное поле 32
-----вдоль отображения 63
-----касательное к многообразию 14
----- кусочно гладкое 143
----- левоинвариантное 38
-----параллельное 67
----- полное 297
Векторные поля базисные 33
-----коммутирующие 35
-----/-связанные 38
Вертикальное подпространство 58
Вершина треугольника 200
Вложение 22
Выпуклое множество 177
----простое 177
Гаусса лемма 155
• — отображение 128
— уравнения 124
Геодезическая 73
Гессе тензор 109
— форма (гессиан) 109
Гиперболоид 131
Главные кривизны 124
— направления 124
Голономия (группа голономии) 72
Гомотопическая эквивалентность 260
Гомотопия 71, 260
- (Л <7) 217
Горизонтальное подпространство 58
Градиент 108
Деформация 315
Диаметр 231
Дивергенция векторного поля 109
Диффеоморфизм 13
Дифференциал функции 20
Дифференциальная структура 10
Изометрическое отображение 90
Изометрия 90
Иммерсия (погружение) 22
Индекс 166
Индексная форма 166
Интегральный путь 291
Инфинитезимальное преобразование 32
Картана структурные уравнения 65
Карта расслоения 40
— Ферми 133
Касательная компонента 104
Касательное пространство 15
— расслоение 40
Касательный вектор 14
Квазииндекс 166
Келеровы многообразия 286
Келн алгебра 31
Киллинга форма 253
Клннгенберга теорема 272
Кодацци уравнения 127
Конформное отображение 10
Координаты нормальные 132
— почти нормальные 132
— Ферми 133
Кратность сопряженной точки 153
Кривизна Гаусса — Кронекера 124
— относительная 124
— риманова 113
— Риччи 114
— скалярная 114
Крнстоффеля символы 103
Указатель
339
Критическая точка 23
Кручение (тензор кручения) 50
Лапласа оператор 109
Леви-Чивита параллельный перенос 102
— связность 102
Ли алгебра 35
— группа 28
Линейная связность 48
---Леви-Чивита 102
--- полная 73
--- риманова 97
Линзовые пространства 236
Линии кривизны 124
Локально симметрические пространства
120
Луч, исходящий из множества 309
Мейерса теоремы 193, 231
Метрическое пространство 174
Многообразие 9
— аналитическое 12
— выпуклое 285
— дифференцируемое 10
— келерово 286
— риманово 88
— топологическое 9
Морса теоремы 166
Морса — Шенберга теорема 193
Накрытие 31
— универсальное 222
Нэша теорема 94
Обращения теорема 20
Однопараметрическая группа 296
Однородное пространство 30
Односвязность 220
— на бесконечности 314
Ориентации гомоморфизм 239
— накрытие 240
Ориентация 238
Орипростраиство 306
Ортогональная группа 253
— компонента 104
Основная форма (вторая) 124
Основной тензор второй 124
---первый 88
Отображение дифференцируемое 7
— индуцированное 18
— связности 55
Параболоид 131
Параллелизуемость 41
Параллельный перенос 69
Параметризация по длине 96
Параметрическое представление 96
Поверхность вращения 128
Погружение (иммерсия) 22
Подмногообразие 23
— вполне геодезическое 127
Покрытие вписанное 288
— локально конечное 288
Полюс 220
Поток векторного поля 36
-------локальный 292
— — — максимальный 293
Почти комплексная структура 256
Продолжение векторного поля 33
Проективные пространства 30
Проекция (в расслоении) 40
Произведение Ли 35
— линейных связностей 61
— метрик 89
— многообразий 27
Производная внешняя Картаиа 54
— ковариантная 48
Пространство путей 144
Путь дифференцируемый 15
— интегральный 291
— кусочно дифференцируемый 96
— нормальный 96
— периодический 73
— регулярный 73
Радиус выпуклости 179
— инъективности 180
Раздела множества 187
Разложение единицы 289
Ранг отображения 20
Распределение 59
Расслоение 29
— ассоциированное 39
— нормальное 135
Расслоенное пространство 32
---нормальное 134
Расстояние 174
Рауха теорема 196
Регулярное значение 23
Регулярный прообраз 23
Риманова метрика 88
--- нормальная однородная 252
Риманово многообразие 88
--- полное 182
Римановы нормальные координаты 132
Риччи тензор 114
— тождество 98
Росток функции 13
Свертка 54
Связность на бесконечности 305
Сечение расслоения 41
Симметрическое пространство 120
Синга лемма 242
340
Указатель
Слой 40
Совмещенность 96
Сопряженная точка 152
Сопряженное множество 154
Спинорная группа 39
Сравнения теоремы 191
Стереографическая проекция 10
Стороны треугольника 200
Струя (spray) 77
— геодезическая 83
Сфера гомотопическая 279
Тензорное поле 49
Theorema egregium 122, 124
Теорема Адамара—Картана 221
— Клингенберга 272
— Морса—Шенберга 193
— Нэша 94
— об индексе 166
— о продолжении 294
---сфере 273
— Рауха 196
— Топоногова 201
— Хопфа—Ринова 184
— Шура 119
Теоремы Мейерса 193, 231
— Морса 166
— сравнения 191
Тождества для кривизны ПО
Тор 28
Торовый узел 29
Трансверсальная регулярность 25
Трансверсальное пространство 25
Треугольник 200
— обобщенный 215
Трнвиализация 29
Тривиальное расслоение 29, 40
Угловой избыток 167
Угол 89
Уитни сумма 45
Унитарная группа 255
Фазовое пространство 45
Ферми координаты 133
Фокальное множество 154
Фокус 155
Фробениуса теория 37
Фубини — Штуди метрика 255
Фундаментальная группа 222
— матрица 222
Хопфа расслоение 31
Хопфа—Ринова теорема 184
Цилиндр 135
Четырехугольник 200
Шура теорема 110
Эйлерова характеристика 274, 285
Эйнштейна многообразие 119
— правило суммирования 34
Экспоненциальное отображение 78
Элементарная длина 180
Эллипсоид 131
Эллиптическая геометрия 113
Энергия 145
Якоби поле 146
ОГЛАВЛЕНИЕ
От переводчика...................................................... 5
Предисловие......................................................... 7
§ 1. Дифференцируемые многообразия и отображения.................... 9
1.1. Определение дифференцируемого многообразия................. 9
1.2. Определение дифференцируемого отображения.................. 12
1.3. Касательные векторы и касательные пространства............ 14
1.4. Индуцированные отображения............................... 18
1.5. Теоремы об отображениях................................... 20
1.6. Подмногообразия........................................... 22
1.7. Произведение многообразий................................. 27
1.8. Векторные поля............................................ 32
1.9. Произведение Ли векторных полей........................... 35
1.10. Касательное расслоение дифференцируемого многообразия .... 39
2. Л инейные связности ......................................... 47
2.1. Определение линейной связности............................ 47
2.2. Тензор кручения и тензор кривизны......................... 49
2.3. Локализация тензорных полей и линейных связностей..........51
2.4. Отображение связности..................................... 55
2.5. Векторные поля вдоль отображений.......................... 63
2.6. Параллельный перенос...................................... 67
2.7. Геодезические............................................. 73
2.8. Экспоненциальное отображение струи........................ 77
2.9. Геодезическая струя линейной связности.....................83
§ 3. Римановы многообразия......................................... 88
3.1. Определение риманова многообразия......................... 88
3.2. Изометрические отображении................................ 90
3.3. Длина дифференцируемого пути............................. 95
3.4. Риманова связность........................................ 97
3.5. Свизность Леви-Чивита.....................................101
3.6. Тождества для кривизн н скалярные кривизны............ , . ПО
842
Оглавление
3.7. Относительные кривизны.....................................122
3.8. Различные замечания...................................... 131
§ 4. Экстремальные свойства геодезических............................' 140
4.1. Вариации геодезической.....................................140
4.2. Поля Якоби.................................................146
4.3. Сопряженные точки..........................................151
4.4. Лемма Гаусса и ее следствия................................155
4.5. Индексная форма геодезической..............................161
4.6. Теорема Морса об индексе...................................166
§ 5. Римановы многообразия как метрические пространства.............174
5.1. Функция расстояния риманова многообразия................. 174
5.2. Выпуклые множества.........................................177
5.3. Полные римановы многообразия ..............................182
5.4. Множество раздела риманова многообразия....................186
$ 6. Теоремы сравнения..............................................191
6.1. Теорема сравнения индексов.................................191
6.2. Теорема сравнения Морса — Шенберга.........................193
6.3. Теорема сравиеиня Рауха....................................196
6.4. Теорема Топоногова о сравнении углов ......................200
§ 7. Связи между кривизной и топологическим строением...............217
7.1. , Деформации геодезических.................................217
7.2. Теорема Адамара — Картана..................................220
7.3. Кривизна н диаметр.........................................231
7.4. Ориентируемые многообразия.................................237
7.5. Радиус инъективности экспоненциального отображения в случае
четной размерности . ..........................................242
7.6. Основная теорема теории Морса..............................260
7.7. Радиус инъективности экспоненциального отображения в случае
произвольной размерности................................... . 271
7.8. Теорема о сфере............................................273
7.9. Обзор......................................................282
§ 8. Приложение.................................................. 287
8.1. Вспомогательная функция....................................287
8.2. Некоторые топологические понятия...........................288
8.3. Разложение единицы.........................................289
8.4. Теоремы из теории дифференциальных уравнений...............291
8.5. Интегральные пути векторных полей..........................291
8.6. Максимальный поток векторного поля.................. . . . 293
Оглавление
343
8.7. Теорема о продолжении..............................294
8.8. Однопараметрнческне группы диффеоморфизмов.........296
Добавление. Некомпактные пространства неотрицательной кривизны.
В. А. Топоногов .......................... 298
§ 1. Свойства геодезических в полных некомпактных рнмановых про-
странствах неотрицательной римановой кривизны..........299
§ 2. Выпуклые множества в М+............................306
§ 3. Радиус инъективности на многообразиях М+ (Л40).....310
§ 4. Диффеоморфность М+ евклидову пространству..........314
§ 5. Метрическое строение пространства Л4о> содержащего прямые линии 326
Указатель.......................................... 338