А. А. Абрамов
ВВЕДЕНИЕ
В ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ
И РИМАНОВУ
ГЕОМЕТРИЮ
Рекомендовано
Учебно-методическим советом
Московского физико-технического институте
(государственного университета)
в качестве учебного пособия
для студентов высших учебных заведений,
обучающихся по напрввлению
«Прикладные математика и физика»
Издание третье
URSS
МОСКВА
ББК 22.151.4 22.161.622.311
Абрамов Александр Александрович
Введение в тензорный анализ и риманову геометрию. Изд. 3-е.
М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2012. — 128 с.
Настоящая книга содержит краткое изложение основных результатов тензорной
алгебры, тензорного анализа и римановой геометрии. Она написана на основе лекций,
прочитанных автором студентам Московского физико-технического института.
Для понимания материала книги достаточно знаний по математическому анализу,
линейной алгебре и теории обыкновенных дифференциальных уравнений в объеме
общевузовских программ.
Книга предназначена для студентов математических, физических и инженерных
специальностей, а также научных работников.
Рецензенты:
проф. Д. В. Беклемишев;
проф. М. М. Постников
Издательство «Книжный дом “ЛИБРОКОМ”».
117335, Москва, Нахимовский пр-т, 56.
Формат 60x90/16. Печ. л. 8. Зак. № ЖТ-82.
Отпечатано в ООО «ЛЕНАНД».
117312, Москва, пр-т Шестидесятилетия Октября, ИА, стр. 11.
ISBN 978-5-397-02711-3
© А. А. Абрамов, 2004,2011
© Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2011
НАУЧНАЯ И УЧЕБНАЯ ЛИТЕРАТУРА
E-mail: URSS@URSS.ru
Каталог изданий в Интернете:
http://URSS.ru
Теп./факс (многоканальный):
URSS	+ 7 (499) 724-25-45
Все права защищены. Никакая часть настоящей книги не может быть воспроизведена или
передана в какой бы то ни было форме и какими бы то ни было средствами, будь то элек-
тронные или механические, включая фотокопирование и запись на магнитный носитель,
а также размещение в Интернете, если на то нет письменного разрешения владельцев.
Содержание
Предисловие...................................................  б
Глава 1. Тензорная алгебра..................................... 8
§	1. Тензоры в линейном пространстве...................... 8
1.	Определение тензора................................ 8
2.	Соглашение об обозначениях........................ 12
3.	Алгебраические операции над тензорами............. 13
4.	Другие возможности определения тензора............ 16
§2	. Ориентация. Псевдотензоры.......................... 21
1.	Ориентация........................................ 21
2.	Псевдотензоры .................................... 23
§3	. Тензоры в евклидовом пространстве.................. 24
1.	Общие соображения................................. 24
2.	Метрический тензор................................ 25
3.	Опускание и поднятие индексов..................... 26
4.	VS................................................ 29
Глава 2.	Тензорный анализ................................... 32
§ 1.	Основные понятия..................................... 32
1.	Гладкое многообразие.............................. 32
2.	Касательное пространство.......................... 37
3.	Тензорное поле....................  ............. 42
4.	Векторное поле (пример тензорного поля)........... 42
5.	Ориентация. Псевдотензорное поле.................. 45
§ 2.	Тензорные дифференциальные операции.................. 46
1.	Предварительные соображения и примеры............. 46
2.	Определение тензорных
дифференциальных операций в Xя........................ 47
3.	Некоторые дополнения ............................. 48
4
Содержание
§ 3.	Внешние дифференциальные формы.................
1.	Антисимметричное ковариантное тензорное поле . . . .
2.	Внешняя дифференциальная форма..............
3.	Зачем нужны внешние дифференциальные формы . . .
4.	О псевдоформах..............................
§ 4.	Интегрирование ................................
1.	Интеграл и его свойства......................
2.	Теорема Стокса—Пуанкаре.....................
3.	Об интеграле от дифференциальной псевдоформы . . . .
4.	О теоремах Ньютона—Лейбница, Грина,
Гаусса—Остроградского, Стокса...................
Глава 3. Риманова геометрия.............................
§ 1.	Риманово пространство..........................
1.	Основные понятия.............................
2.	Подпространства V"...........................
3.	Геодезическая...............................
§ 2.	Параллельный перенос. Ковариантное
дифференцирование...................................
1.	Формулы для параллельного переноса в Л”
в криволинейной системе координат...........
2.	Определение параллельного переноса в Vя.....
3.	Параллельный перенос произвольных тензоров в Vя . .
4.	Ковариантное дифференцирование..............
5.	Связь между параллельным переносом в Vя и Vя1,
если V™ погружено в Vя ..................
6.	Координаты, геодезические в точке...........
7.	Некоторые важные факты и формулы............
§ 3.	Тензор кривизны................................
1.	Определение тензора кривизны . . .....  .	. . .
2.	Аналитические свойства тензора кривизны.....
3.	Геометрический смысл тензора кривизны.......
4.	Условие того, что Vя — локально евклидово...
§4.	Коротко о пространствах аффинной связности . . . .
§ 5.	Пространство V2................................
1.	V2, общие свойства кривизны '. ..............
2.	V2, погруженное в Яэ. Сферическое отображение . . .
Содержание	5
Дополнение. Топологические инварианты римановых
пространств, получаемые интегрированием тензорных полей,
строящихся по метрическому тензору.............................ИЗ
1.	Полный интеграл от гауссовой кривизны............ 114
2.	Интеграл Аллендорфера—Вейля...................... 116
3.	Тензорные поля Понтрягина........................ 117
4i Существуют ли еще какие-либо тензорные поля,
строящиеся по метрическому тензору и его производным
и дающие дифференциально-топологические
инварианты?....................................... 119
5. О топологической инвариантности
дифференциально-топологических инвариантов,
рассмотренных в пунктах 1-3....................... 120
Предисловие
В настоящее время имеется много прекрасных книг, посвященных
современной дифференциальной геометрии. Особенно мы рекоменду-
ем книгу «Современная геометрия. Методы и приложения» (М.: URSS,
2000-2001) Б. А. Дубровина, С. П. Новикова и А. Т. Фоменко и серию
книг М. М. Постникова «Лекции по геометрии». Незаменимой остает-
ся книга П. К. Рашевского «Риманова геометрия и тензорный анализ»
(М.: URSS, 2010).
Предлагаемая книга соответствует полугодовому курсу, который
автор читал в Московском физико-техническом институте, и ставит
своей целью на небольшом числе страниц изложить самые основные
результаты тензорного анализа и римановой геометрии. Предполага-
ется, что читатель знаком с основными понятиями математического
анализа, линейной алгебры и теории обыкновенных дифференциаль-
ных уравнений. При изложении материала мы подчеркиваем его связь
с соответствующими разделами общих математических курсов и ста-
раемся избегать новых терминов, не входящих в эти курсы.
Использование тензорного исчисления дает возможность доказы-
вать многие утверждения прямыми выкладками. Мы часто опускаем
эти выкладки, заменяя их пояснениями типа «легко проверить, что».
Читателю рекомендуется самостоятельно провести все подобные до-
казательства: это будет хорошим упражнением и контролем усвоения
материала.
Излагаемый материал сгруппирован так, чтобы читатель, завер-
шив очередную главу, мог остановиться и вернуться к книге позднее.
Прочтя главу первую, читатель получит достаточно полное представ-
ление о тензорной алгебре в вещественном пространстве. Глава вторая,
опирающаяся на главу первую, содержит сведения об основных кон-
струкциях тензорного анализа, используемого, как известно, в различ-
ных научных областях. Некоторые доказательства в этой главе автор,
Предисловие
7
тор, стремясь к простоте и краткости, привел, не используя принятый
уровень строгости, а опираясь только на геометрическую наглядность.
Глава третья содержит некоторые основные результаты теории римано-
вых пространств; в ней используется аппарат; развитый в главах первой
и второй; отбор небольшого излагаемого материала из богатой теории
частично отражает вкусы автора. Некоторые факты, связывающие для
римановых пространств геометрию «в малом» и геометрию «в целом»,
вынесены в Дополнение, которое написано схематично с доказатель-
ством только части утверждений.
Автор благодарен А. А. Асланян, А. Л. Дышко и Л. Ф. Юхно за об-
суждение текста и помощь при его подготовке к печати, а также
Д. В. Беклемишеву и М. М. Постникову за важные замечания.
Автор благодарен работникам издательства URSS за внимание при
издании этой книги.
Третье издание книги отличается от второго уточнением некото-
рых формулировок и исправлением замеченных опечаток.
Глава 1
ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА
§ 1.	Тензоры в линейном пространстве
1.	Определение тензора. Зафиксируем предположения и обозна-
чения, общие для всего дальнейшего изложения.
Все величины, которые мы будем употреблять, вещественны.
Пусть Rn — n-мерное линейное пространство. Пусть е — ка-
кой-либо базис Л”, составленный из векторов ei,...,е„. Пусть е* —
также какой-либо базис Я”, составленный из векторов ei»,...,Cn».
Нам будет удобно выделять базис множеством индексов базисных век-
торов (1,2,..., п — для одного базиса; 1', 2х,..., п — для другого;
1,2,..., п — для третьего и т. д.). Пусть ей е1 связаны формулами
е? = ^,е<’ Ci = 52 «е-	(1.1)
г	if
Числа AJ> и A’ (t = 1,..., п; / = 1г,..., пх) удовлетворяют, очевидно,
соотношениям
£44£44=4-	0-2)
i'	i
Здесь Sp — символ Кронекера:
1 при а = 0,
0 при а /3.
Определение. Тензором в Rn называется объект з, определя-
емый в каждом базисе е набором чисел
§ 1. Тензоры в линейном пространстве
9
так, что при переходе от базиса е к базису е (см. (1.1)) эти числа
преобразуются по формуле
I
Эти числа называются координатами тензора в в заданном ба-
зисе; они обозначены тем же символом з с индексами, где каждый
индекс пробегает множество индексов базисных векторов. Некоторые
индексы написаны справа вверху от з, они называются контравари-
антными индексами, некоторые — справа внизу от з — ковариантные
индексы. Пара (р, д) определяет тип тензора; число р называется кон-
травариантной валентностью тензора з, р 0; q — ковариантной
валентностью з, q^fyp+q— полной валентностью s,p + q^0.
Наряду с выражением «з'£'	— координаты тензора» допускается
выражение — тензор»; будем писать также з: 8^’^.
Использование слов «ковариантный» (преобразующийся соответ-
ственно) и «контравариантный» (преобразующийся противоположно)
связано со следующим обстоятельством. В формуле (1.3), выражающей
координаты тензора в базисе е через координаты тензора в базисе е,
для каждого ковариантного индекса стоят коэффициенты А? — те же,
что в формуле, выражающей векторы е через векторы е, а для каждого
контравариантного индекса стоят коэффициенты А* — те, с помощью
которых векторы е выражаются через векторы е. Удачность термина
«валентность» выяснится позже.
Определение. Два тензора в Я" равны, если они имеют один
и тот же тип и в каждом базисе их соответствующие координаты равны.
Сразу же отметим, что если задан тип тензора и заданы его ко-
ординаты в каком-либо одном базисе, то тем самым уже полностью
определены координаты этого тензора в любом другом базисе. Это
свойство следует непосредственно из определения тензора. В частно-
сти, если все координаты тензора в каком-либо базисе нули, то они
нули в любом базисе (такие тензоры называются нулевыми).
Отметим также, что если зафиксировать тип тензора и выбрать
в Я” какой-либо базис, то для построения тензора можно в качестве
10
Тлава 1. Тензорная алгебра
значений его координат в этом базисе взять любые числа. Действи-
тельно, используя эти числа, определим в каждом базисе набор чисел
с помощью формулы (1.3). Замечательно, что так полученные чис-
ла преобразуются по формуле (1.3) при переходе от любого базиса
к любому, а не только при переходе от начально выбранного базиса
к любому (докажите!). Тем самым, они действительно являются коор-
динатами тензора в соответствующих базисах.
Примеры.
1.	в не имеет индексов. Объект определяется одним числом, при переходе
к новому базису это число не меняется. Такой тензор называется скаляром
(или инвариантом).
2.	х*. Объект в базисе в],..., еп определяется п координатами х1,.. •, хп.
При переходе к новому базису эти координаты изменяются по формуле
®<’ =
i
Такой тензор называется вектором. Название вызвано тем, что тензору может
быть сопоставлен элемент из Яп (вектор), обозначим его х, определяемый
равенством
х = У7 х'е‘-	0-4)
«
Легко проверить, используя формулы (1.1)-(1.4), что элемент х, определяе-
мый равенством (1.4), не зависит от выбора базиса. Обратно, если для про-
извольнрго вектора х из Rn определить в каждом базисе	коорди-
наты х1,..., хп формулой (1.4), то эти числа преобразуются по тензорному
закону.
3.	ft. Объект определяется п координатами /ь..., /п, которые при пе-
реходе к новому базису изменяются по формуле
t
Такой тензор называется линейной формой. Название вызвано тем, что такому
тензору может быть сопоставлена линейная форма в /?", обозначим ее f,
определяемая формулой
/(х) = 52 fix' (х* ~ координаты х).	(1.5)
i
Легко проверить, используя формулы (1.1)-(1.5), что значение f(x) не зависит
от выбора базиса в Rn. Обратно, если для произвольной линейной формы
§ 1. Тензоры в линейном пространстве
11
f(x), X е Rn, определить в каждом базисе еь..., е„ координаты ft,..., fn
формулой
Л = №),
то /1,..., /п преобразуются по тензорному закону и имеет место (1.5). Тензор
называют также ковариантным вектором (или ковектором) в отличие от вектора
(или контравариантного вектора) х*.
4.	Mj. Объект определяется пг координатами М},..., М%. При переходе
к новому базису эти координаты изменяются по формуле
М
Этому тензору можно поставить в соответствие линейное преобразование
у = Мх в Rn, определяемое формулой
(1.6)
j
Легко проверить, используя (1.1)-(1.4), (1.6), что вектор у, определяемый
равенством (1.6), не зависит от выбора базиса. Обратно, для произвольно-
го линейного преобразования в 7?" элементы матрицы, отвечающей этому
преобразованию в заданном базисе (см. (1.6)), образуют тензор рассматривае-
мого типа.
5.	hij. Объект определяется п2 координатами Лц, ..., hn,, преобразую-
щимися по формуле
м
Этому тензору можно поставить в соответствие билинейную форму в ТУ,
определяемую формулой
/Цх; у) =	О-7)
Легко проверить, используя (1.1)-(1.4), (1.7), что значение h(x; у) не зависит
от выбора базиса. Обратно, если для произвольной билинейной формы h(x; у),
х и у из Rn, определить в каждом базисе еь ..., еп координаты формулой
hy = h(e^; ej),
то hij преобразуются по тензорному закону и имеет место (1.7).
6.	ij. Оказывается, символ Кронекера — тензор (проверьте!). Его тип
тот же, что и линейного преобразования (см. пример4); отвечает единичному
линейному преобразованию.
12
1лава 1. Тензорная алгебра
2.	Соглашение об обозначениях. Формулы тензорной алгебры ста-
новятся более обозримыми, если придерживаться следующих правил.
•	Координатная система в Я" выделяется множеством индексов
базисных векторов (мы уже использовали этот прием).
•	Если какой-либо объект задается числами, зависящими от выбора
базиса в Л" (или нескольких базисов), то эти числа обозначаются
символом, обозначающим сам объект (коренной символ), с какой-
либо пометкой, отмечающей зависимость этих чисел от выбора
базисов (примеры: координаты тензора ’ величины А*, и AJ,
связывающие два базиса).
•	Если какие-либо величины помечаются индексами, то следует
выбирать удачное место для расположения индексов (примеры:
ковариантные и контравариантные индексы координат тензора,
А*> и А-, е$), имея в виду, в особенности, нижеследующее правило.
•	Если по какому-либо индексу, входящему в выражение один раз
в строке ковариантных индексов и один раз в строке контрава-
риантных индексов, проводится полное суммирование (т. е. сум-
мирование по всему множеству индексов базисных векторов), то
знак суммирования опускается.
Примеры. Ранее использованные формулы (1.1)-(1.7) в соответствии
с введенными правилами следует писать так:
	(1-1')
A', A*' = <5j, A*,Af =	(1.2')
д'рдЙ Д^о'"'ip • • • Afg8jl -jg-	(1-3')
x = x*ei.	(1.4')
f(x) = fix'.	(1-5')
y* = MjX?.	(1-6')
h(x; y) = hijx'tf.	(1.7')
Следует подчеркнуть, что при записи выражений тензорной алгеб-
ры перечисленные правила применяются не только к координатам тен-
зоров, см., например, формулы (1.1')-(1.4Z). Кстати, набор базисных
векторов по записи аналогичен набору координат линейной формы;
ясно, что это совершенно различные объекты; сходство обозначений
соответствует сходству формул eg = Aj-Cj и
§ 1. Тензоры в линейном пространстве
13
Места справа вверху и справа внизу от коренного символа резе-
рвируются обычно для индексов, пробегающих множество индексов
базисных векторов. Все другие индексы (например, номера объек-
тов) рекомендуется ставить в каком-либо другом месте. Так, если мы
имеем т тензоров, то их можно обозначить, например, в,..., s или
.	„	1m
1	т
в,..,, в; обозначение в],...,sm нежелательно.
3.	Алгебраические операции над тензорами. Даваемые здесь опре-
деления операций над тензорами используют координатную систему.
В результате каждой такой операции для любого базиса Я" возникает
набор чисел. Оказывается, эти числа при переходе от одного базиса
к другому преобразуются в соответствии с формулой (1.3') (неслож-
ное доказательство этого важного факта мы доверяем читателю). Та-
ким образом, результат этих операций над тензорами — также тензор.
Определения даем, употребляя для простоты тензоры какого-либо не-
сложного типа.
Умножение на число. Пусть s: Sjk — тензор, а — число.
Определение, t = as, если tjfc = as}*.
Тензор t имеет тот же тип, что и з.
Сложение. Пусть з и t два однотипных тензора: s: sj?, t: t'£.
Определение, и = s + t, если и£ = sj? +tj?.
Тензор и имеет тот же тип, что и тензоры з и t.
Введение операции сложения однотипных тензоров в Rn и умно-
жения тензоров на число превращает совокупность тензоров данного
типа (р, д) в линейное пространство; эти операции, как легко прове-
рить, обладают всеми требуемыми для этого свойствами; размерность
этого пространства равна пр+? (докажите!).
Перестановка индексов. Пусть s: ski^k — тензор. Образуем, напри-
мер, t: t*jk = skjhi.
Определение. Операция, с помощью которой тензор t полу-
чен из з, называется перестановкой индексов.
Тензор t имеет тот же тип, что и з.
Переставлять можно только однотипные индексы (ковариантные
или контравариантные).
14
Тлава 1. Тензорная алгебра
Операция перестановки индексов вместе с операциями сложения
и умножения на число дает возможность провести определенную сим-
метризацию по индексам. Множество симметризаций (в общем смысле
этого слова) очень обширно. Рассмотрим два основных симметризатора.
Симметрирование (в узком смысле этого слова) по группе одно-
типных индексов. Пусть задан тензор s: sJi-.J,’ Выделим, например,
индексы ji,..., jr, г q. Образуем тензор
 (fci.......ч
где наборы (fci,..., к,-) — всевозможные перестановки ji,..., jr.
Обозначение:
Альтернирование. В тех же обозначениях введем тензор
= 52 sign
 (кь...,Ч
1 Sfc1...krj1.+|...j,,
Jb • • •»Jr /
9 • • • 9 kf \
I — знак перестановки, т. e. +1 для четной пере-
становии и —1 для нечетной.
Обозначение:
.-г	“Ь	&ji
Примеры. S(ij} = —S[y| =	2	.
Тензор называется симметричным по группе индексов, если при
перестановке двух индексов этой группы он не меняется. Тензор назы-
вается антисимметричным по группе индексов, если при перестановке
двух индексов этой группы он меняет знак.
Совокупность тензоров данного типа с заданными условиями сим-
метрии образует линейное пространство — подпространство в про-
странстве всех тензоров рассматриваемого типа.
Пример. Совокупность симметричных билинейных форм в jRn(s : Sy,
Sy = Sj,) представляет собой п(п + 1)/2-мерное линейное пространство; со-
вокупность антисимметричных билинейных форм (s: Sij, = —з#) является
n(n - 1)/2-мерным линейным пространством.
Подчеркнем, что симметрирование и альтернирование можно
проводить только по однотипным индексам.
§ 1. Тензоры в линейном пространстве
15
Умножение. Пусть s: з} и t:	— тензоры.
i к
Определение, и = s® t, если Ujtm =
Если з имеет тип (р, q), a t — тип (р, д), то тензор и имеет тип
(p+p,q + q)-
Операция умножения тензоров обладает следующими легко про-
веряемыми свойствами (s,t, z — какие-то тензоры):
•	t ®.з получаются из s ® t перестановкой индексов;
•	(з®4)®я: = s®(t®z);
•	если з и t — тензоры одного типа, а а и Д — числа, то (as + /3t) ®
®z = a(s ® z) + fl(t ® z) и z ® (as + j0t) = a(z ® s) + f3(z ® t).
Свертка. Пусть з: s*j. — тензор. Образуем, например, t: i* = sjfc.
Определение. Полное суммирование по индексу, входящему
один раз в строку ковариантных индексов и один раз в строку контра-
вариантных индексов, называется сверткой.
Если з имеет тип (р, д), то после свертки по какому-либо одному
индексу получается тензор типа (р - 1, g - 1).
Операция свертки делает понятным использование слова «валент-
ность» д ля указания числа верхних и нижних индексов.
Еще раз обратимся к примерам п. 1.
1.	fax' дает инвариант. Действительно, возьмем тензоры /: /,
и х: х*, образуем z = f®x: z1- = используя операцию свертки,
получим w = z\ — fox'.
2.	М-х? дает вектор. Возьмем тензоры М: Mj и х: хк, образу-
ем z = М ® х: zf = М]хк', используя операцию свертки, получим
3.	hijx'yi дает инвариант (докажите сами!).
Имеет место следующая замечательная
Теорема. Лустьи,ъ,... — тензоры фиксированных типов. Пусть
w — тензор, координаты которого суть многочлены от координат и, v,...
Тогда w получается из и, v.6 (тензор Кронекера) и нулевых тензоров
перечисленными выше тензорными операциями.
16
Тлава 1. Тензорная алгебра
(Предполагается, что многочлены, фигурирующие в формулиров-
ке теоремы, имеют фиксированные, независящие от выбора коорди-
натной системы коэффициенты и что они дают величины, преобразу-
ющиеся по тензорному закону для любых и, V,... заданных типов.)
Доказательство теоремы не приводим
4.	Другие возможности определения тензора. Определение тензо-
ра может быть дано различными способами, основываясь на различ-
ных исходных соображениях. В п. 1 для определения мы использовали
формулу (1.3) (или, что то же самое, (1.3Z)). Кратко остановимся еще
на двух возможностях.
4.1.	По-прежнему 7?” — n-мерное линейное пространство. Рассмотрим
множество линейных форм в Rn, т.е. множество числовых функций
/(ж), я G 7?п, обладающих свойством: f(ax + (3y) — otf(x)+/3f(y) для
любых х, у из Rn и любых чисел а, /3.
Это множество с обычными операциями сложения функций и
умножения функции на число является линейным пространством; раз-
мерность этого пространства равна п; обозначим его Я”.
Линейное пространство Rn называется сопряженным к Rn.
Интересно, что пространство, сопряженное к Яп, может быть
естественно идентифицировано с Я” формулой
x(f) = f(x) (xeRn,fERn).
Взаимность (и равноправие) Rn и Rn подчеркивают, используя для
линейной формы обозначение
fx или (/, х).
Числовое значение fx называют скалярным произведением f их; f и ®
называют ортогональными, если fx — 0.
Определение. Базисы еь...,еп в Rn и е1,...,еп в Я” назы-
ваются взаимными, если
e’ei = 81.
Доказательство теоремы (в несколько другой формулировке) см., например, в кни-
ге: Гуревич Г Б. Теория алгебраических инвариантов. — М.; Л.: ПТИ, 1948.
§ 1. Тензоры в линейном пространстве
17
Теорема. Для каждого базиса № существует {единственный)
взаимный ему базис №.
Несложное доказательство опускаем.
Легко проверить, что при изменении базиса Rn (см. (1.1*)) вза-
имный ему базис № меняется контравариантно: если е? = то
= А?е?.
В базисе е,...,еп пространства 7?" координатами вектора z
из йп являются числа zit..., zn такие, что
Z = Z{e.
Числа Zi преобразуются контравариантно при переходе от базиса
е1,..., еп к базису е1',..., erf' и, тем самым, ковариантно при переходе
от базиса ei,...,e„ пространства _Rn, взаимного базису е1,...,^,
к базису ер,..., еп>, взаимному базису е1,..., е” .
Определение. Числовая функция
s(x,...,x-z,...,z), где х,...,х из jRn, a z,...,z из Я",
' 1	q 1 р'	1 q	tp
линейная по каждому своему аргументу, называется тензором.
Выберем в Rn какой-либо базис еь ..., еп; возьмем в № взаим-
ный базис е1,..., е". Образуем числа
8к-дч =	• • • > ел>е ’’ • • • ’е<₽)-
Легко видеть, что при переходе к новому базису Rn (базис в №
при этом тоже меняется) эти числа преобразуются в соответствии
с формулой (1.3*). Пользуясь линейностью а, легко доказать, что
«т.....? f •  •	• •  f ?. • • • o-s)
где xir и Zs — координаты хи z. Обратно, если преобразуются
rm	rm
по формуле (1.3f), то выражение (1.8) дает значение, не зависящее
от выбранной системы координат.
Таким образом, даваемое здесь определение тензора эквивалентно
определению, данному в nJ.
18
1лава 1. Тензорная алгебра
Сопоставление этих определений тензора приводит к следующему
утверждению. Пусть в каждом базисе заданы числа так, что для
любых векторов х,..., х и ковекторов z,..., z значение
J|—*1	g t1 p₽
не зависит от базиса. Тогда . — тензор.
Отметим еще одно полезное утверждение. Пусть в каждом базисе
-заданы числа	так, что для любых векторов х,..., х и ковекторов
z,..., z (кит фиксированы,	О^пг^р) числа
1т

im+i--«P _ II...ip i jk
гЛ+,...з,-3з,..о,Г
являются координатами тензора. Тогда — тензор. Это утвержде-
ние легко сводится к предыдущему.
Дополнение к примерам п. 1
Тензор М: Mj определяет линейное преобразование в J?" (см. фор-
мулу (Ьб*))- Этот же тензор определяет линейное преобразование в 7?п
формулой
yi = MiXj	(1.6")
Линейные преобразования (1.6Z) и (1.6") называются сопряженными.
Тензор h: h,j определяет л инейное отображение Rn в Дп формулой
yi = Ьцх?.
Тензор I: I13 определяет линейное отображение Rn в Rn формулой
!/' = !%
4.2.	Пусть Я" и Я”1 — два каких-либо линейных пространства. Введем
1	2
символ ®. Рассмотрим формальные суммы
N
z,	(1.9)
Г г г
г=\
где N — любое положительное целое число; х,..., х — любые векто-
1	N
ры из R; z,...,z — любые векторы из R: а,..., а — любые числа.
1 1 N	2 1	N
§ 1. Тензоры в линейном пространстве
19
Будем преобразовывать выражения (1.9), представляя х и z в виде ли-
Г г
нейных комбинаций векторов R и, соответственно, R и предполагая,
1	2
что символ ® обладает свойствами операции умножения («множитель»
из R всегда пишем слева от «множителя» из R). Точнее, по определе-
1	2
нию считаются эквивалентными выражения
(x + y)®z и x®z + y®z,
x®(z + u) и x®z + x®u,
(az)®z, x®(az) и ax®z
для любых х и у из R, любых z и и из R и любого числа а.
1	2
Два выражения вида (1.9), преобразующихся одно к другому, счи-
таем эквивалентными.
Введем естественным образом операции сложения таких выраже-
ний и умножения их на число. Мы получим линейное пространство,
элементами которого являются классы эквивалентных между собой
выражений. Это линейное пространство называется тензорным произ-
ведением R и R. Обозначение: R® R.
]	2	12
Если мы возьмем какой-либо базис еь..., еп в й и какой-либо
1 1 1
базис еь ..., ет в R, то выражения
2	2	2
® е,- (i = 1,..., n; j = 1,..., т)
образуют базис в R ® R.
1	2
Докажем это. Так как каждый вектор из R представляется в виде
1
линейной комбинации векторов е,, а каждый вектор из R — ли-
1	2
нейной комбинации векторов е,-, то каждый вектор из R ® R может
2	1	2
быть приведен к виду линейной комбинации векторов е, ® е?. Тем
самым, достаточно показать, что эти последние векторы линейно не-
зависимы. Возьмем в R базис е1,..., еп, взаимный базису еь ..., еп,
_ 1 11 11
а в R — базис е1,..., его, взаимный базису еь ..., ет. Рассмотрим ли-
нейную числовую функцию /, определенную на выражениях вида (1.9)
20	Глава 1. Тензорная алгебра
формулой
N
 * 1 Г 1 Т Z т
где «о и jo — какие-либо фиксированные индексы. Очевидно, значение
функции f не меняется при переходе от этого выражения к эквива-
лентным ему выражениям. Поэтому / — линейная форма в R ® R.
1 2
Пусть для некоторых чисел /7й имеет место
0* ei ® е,- = 0.
1 2J
Тогда получаем
о = ДО) = Д/Д ® f>) = /Hf р)(е* е,) = /Д*.
Из того, что io и jo любые, следует линейная независимость совокуп-
ности векторов ej ® ej.
Заметим, что так получаются не все базисы в R ® R.
1	2
Из доказанного следует, в частности, что размерность jRn ® jRm
1	2
равна пт.
Аналогично (или по индукций) определяется тензорное произве-
дение jR® R® ...® R.
1	2	к
Пример. Рассмотрим два множества: X, содержащее п элементов, и Y,
содержащее т элементов. Совокупность числовых функций на X (функций
f(x), х € X) с обычными операциями сложения и умножения на число
образуют n-мерное линейное пространство R; совокупность функций д(у),
у € У, — тп-мерное линейное пространство R. Пусть ® в (1.9) обозначает
2
обычное произведение функций. Оказывается, R&R состоит из всех функций
I 2
h(x, у), х 6 X, у G У (докажите!).
Определение. Пусть Яп — какое-либо линейное простран-
ство, Я” — линейное пространство, сопряженное к Дп. Возьмем р
экземпляров Rn и q экземпляров jRn. Образуем пространство
А = R? ® „. ® В" ® Д"®.„®В^.
Р	9
Элемент (вектор) пространства R называется тензором в Rn.
§2. Ориентация. Псевдотензоры
21
Выбрав какой-либо базис е\,...,еп в Я” и взяв взаимный ему
базис е1,..., е” в R*, образуем базис в к — совокупность всех ®
...®е^®е* ®...®е?4. Пусть я G А. Координаты я в этом базисе суть
числа ? такие, что
з = я?"*?е{. ®... ® & ® е* ®... ® Л (1.10)
Легко проверить, что при изменении базиса в Я” (базис в Яп
при этом тоже изменится) числа преобразуются по формуле
(1.3*). Обратно, если числа преобразуются по формуле (1.3Z), то
элемент я пространства А, определяемый формулой (1.10), не зависит
от выбора базиса в Rn. Таким образом, даваемое здесь определение
тензора также эквивалентно определению, данному в п. 1.
Мы использовали для обозначения произведения двух пространств
тот же символ ®, что и для обозначения произведения тензоров
(см. п. 3). Причина этого в следующем. Рассмотрим, например, Я^Я".
Тензоры w вида w = и ® v, где иЕ Rn, v Е Rn, ® определено в п. 3,
естественно вкладываются в Rn®Rn. Действительно, если «1,..., е» —
какой-либо базис Rn, е1,..., в” — взаимный ему базис Я”, и = «*е<,
v = Vie*, vfj = u*Vj, то возьмем w, w е Я" ® Я”, определяемый равен-
ством w = w*je, ® е7. Так построенный вектор пространства Rn ® Н*
не зависит от выбора базиса в Яп (докажите!). Отметим, что постро-
енные таким образом векторы w, если и пробегает все Яп, a v —
все Яп, при п > 1 не заполняют всего пространства Яп ® Я”, но их
всевозможные линейные комбинации заполняют все это пространство
(докажите!).
Итак, приведены три определения тензора (см. п. 1 и 4), которые,
как показано, являются эквивалентными. Какое из них «лучше»? Каж-
дое имеет свои достоинства.
§2. Ориентация. Псевдотензоры
1. Ориентация. Мы хотим сейчас обратить внимание на одно об-
стоятельство, которое раньше мы избегали подчеркивать. Зафиксиро-
вав координатную систему в Яп, мы выделяем ее множеством индексов
базисных векторов. Какое множество может быть взято в качестве мно-
жества индексов? Любое, состоящее из п элементов. Для Я7 можно
22
Глава 1. Тензорная алгебра
в качестве индексов взять, например, дни недели или семь чудес света
или, разумеется, целые числа от 1 до 7. Еще пример. В тензорном
произведении R ® R двух линейных пространств (см. п. 4.2 § 1) в ка-
1	2
честве базиса удобно взять совокупность векторов вида е, ® е?, где
совокупность е, — базис R, совокупность — базис R. В этом случае
индексом базисного вектора для R® R является пара (г, J), где i —
1	2
индекс базисного вектора JR, j — индекс базисного вектора R.
1	2
Множество индексов не упорядочено. Когда мы перечисляем его
элементы, то делаем это в некоторой последовательности. Но это лишь
свойство изложения. Например, выбрав в качестве множества индек-
сов множество дней недели, можно перечислять эти дни в порядке
следования, начав с любого, а можно расположить их по алфавиту рус-
ского языка. Выбрав в качестве базиса R ® R совокупность векторов
1	2
вида ej, можно перечислять пары (г, j) в любом порядке. Формулы
алгебры тензоров в Я” не должны зависеть от порядка перечисления
элементов множества индексов.
Приведем примеры.
Для двухиндексных тензоров йу, MJ, Г3 при фиксированном ба-
зисе определены значения det ||йу||, det ||A/J||, det ||fJ||, где ||-|| —
обозначение матрицы. Действительно, расположим индексы базисных
векторов в каком-либо порядке и возьмем квадратную матрицу, элемен-
ты которой — координаты рассматриваемого тензора; один из индексов
дает номер строки, другой — номер столбца. Вычислим определитель
этой матрицы. Полученное значение не зависит от распределения ро-
лей между двумя индексами, так как соответствующие матрицы полу-
чаются одна из другой транспонированием. Это значение не зависит
также от выбранного порядка индексов, так как при его изменении
строки и столбцы матрицы переставляются соответственно.
В качестве величин А\, связывающих два базиса е и ех (см. п. 1 § 1),
могут быть взяты любые п2 чисел, удовлетворяющих условию
det||4ll^O.
Для того чтобы вычислить число р, р = det ||||, надо расположить
индексы i, а также индексы г' в каком-то порядке. При изменении
§2. Ориентация. Псевдотензоры
23
порядка индексов i величина р может изменить знак, то же может
произойти и при изменении порядка индексов г . Порядки индексов i
и i не связаны между собой. Таким образом, при n > 1 число р опре-
делено с точностью до знака. Условие р 0 очевидно удовлетворяет
требованию независимости от порядка перечисления элементов мно-
жества индексов.
Введем новое понятие. Возьмем какой-либо базис Л”, n 1.
Выберем некоторый порядок перечисления элементов базиса. Этот
порядок перечисления, рассматриваемый с точностью до четных пере-
становок, назовем ориентацией базиса. Базис с учетом его ориентации
назовем ориентированным. При п 2 каждый базис можно ориен-
тировать двумя способами. Для двух ориентированных базисов е и е
значение р очевидно определено полностью, а не с точностью до зна-
ка. Два ориентированных базиса назовем одинаково ориентированными,
если это число положительно (так как det ||Л< || - det ||Л‘Л = 1, то свой-
ство базисов быть одинаково ориентированными взаимно). Легко про-
верить, что если какой-либо базис одинаково ориентирован с каждым
из каких-то двух базисов, то эти два базиса одинаково ориентированы.
Множество всех ориентированных базисов разбивается на два
класса, в каждом из которых базисы одинаково ориентированы; при
переходе от базиса одного класса к базису другого класса р < 0.
Зафиксируем S — один из двух классов одинаково ориентиро-
ванных базисов. Rn в комплекте с S называется ориентированным
линейным пространством.
Выбор S вводит в jRn ориентацию. При п 1 каждое jRn можно
ориентировать одним из двух способов; эти две ориентации совершен-
но равноправны.
2. Псевдотензоры. Будем использовать в Я” ориентированные
базисы.
Определение. Псевдотензором в Я” называется объект в, опре-
деляемый в каждом ориентированном базисе набором чисел Sj*’ '*? так,
что при переходе от одного такого базиса к другому эти числа преоб-
разуются по формуле
44=ii4 и) д’! -4^,- 4$'*	<2|>
(ср. с определением тензора, см. (1.3')).
24
Глава 1. Тензорная алгебра
Определение тензора, данное в п. 1 § 1, остается действительным
также для ориентированных базисов.
Из формулы (2.1) следует; в частности, что при переходе от одного
ориентированного базиса к другому, состоящему из тех же векторов
и полученному из первого изменением его ориентации, координаты
псевдотензора меняют знак.
Введенные в § I алгебраические операции распространяются и на
псевдотензоры. Мы не будем приводить полных формулировок. Отме-
тим только:
•	результат умножения псевдотензора на число и сумма двух одно-
типных псевдотензоров — псевдотензор;
•	сумма тензора и псевдотензора не определена;
•	перестановка однотипных индексов псевдотензора дает псевдо-
тензор;
•	произведение двух псевдотензоров — тензор;
•	произведение тензора и псевдотензора — псевдотензор;
•	свертка по какому-либо индексу у псевдотензора дает псевдотензор.
Тензоры и псевдотензоры в общем Rn — различные понятия,
но если мы имеем дело с ориентированным Rn и используем только
базисы, ориентация которых соответствует ориентации Rn, то различие
между тензором и псевдотензором, очевидно, исчезает.
Для краткости часто термины «тензор» и «псевдотензор» объеди-
няют в термин «тензор».
Содержательный пример псевдотензора будет рассмотрен в сле-
дующем параграфе.
§ 3. Тензоры в евклидовом пространстве
1. Общие соображения. Евклидовым пространством Н” называ-
ется комплект из линейного пространства Rn и введенного в Rn ска-
лярного произведения (мы будем обозначать его (•, •)), обладающего
принятыми в линейной алгебре свойствами.
Теорема. Пусть в 27” задана линейная форма f. Тогда существует
(единственный) элемент f 6 Я” такой, что
/(ж) = (f, х).
§ 3. Тензоры в евклидовом пространстве
25
Доказательство легко провести, если взять какой-либо ортого-
нальный и нормированный базис Я”. Ясно, что для любого f из Я”
функция (/,з?) есть линейная форма. Очевидно, что соответствие
f <—> f линейно.
Тем самым устанавливается естественный изоморфизм линейных
пространств Я" и Я” (см. обозначения в п. 4 § 1). Можно идентифи-
цировать Я” и Я" и сопоставлять неоднотипные тензоры одинаковой
полной валентности. Эта идея часто используется в линейной алгебре.
Пример: в Я" билинейная форма и линейное преобразование совер-
шенно разные объекты, в Я” между ними устанавливается взаимно
однозначное соответствие.
2. Метрический тензор. Возьмем в пространстве Я" какой-либо
базис еь..., еп. Введем числа
9ij = ej}’
Теорема, gtj — тензор (так называемый метрический тензор}.
Несложное доказательство опускаем (ср. с примером 5 п. 1 § 1).
Свойства метрического тензора:
1-	9ч = 9з»
2.	квадратичная форма gijC'Z3 положительно определена.
Первое из этих свойств соответствует тому, что (х, у) = (у, х} для
любых х и у из Я”, второе — тому, что (х, х) > 0 при х £ 0.
Обратно, пусть в Я” определен тензор д^, обладающий свойства-
ми 1, 2. Тогда билинейная форма (х, у) = д^х'у1 удовлетворяет требо-
ваниям, предъявляемым к скалярному произведению. Итак, Я” — это
комплект из Я" и тензора gtj, определенного в Я” и удовлетворяющего
требованиям 1 и 2.
Далее нам понадобится следующий дважды контравариантный
тензор, строящийся по д^. Зафиксируем базис в Я”. Рассмотрим мат-
рицу, элементами которой являются числа ру. Эта матрица невырож-
дена, так как ее определитель положителен в силу свойства 2. Поэтому
существует обратная к ней; обозначим ее элементы д'3. (Может пока-
заться, что некорректно использовать букву д, ведь она уже занята —
означает метрический тензор. Как будет видно из дальнейшего, в по-
добном обозначении есть проявление некоторой системы.)
26
Глава 1. Тензорная алгебра
Тем самым определяются (однозначно) уравнениями
Л» = 4
Теорема. — тензор.
Доказательство. При переходе к новой системе координат
имеем
/44я?*=й
Поэтому
/444^ = 44^ = 4»
т. е.
/л^4^'=4-
Но однозначно определены условием
g^'gi'h' =
следовательно,
/44=Л
что и требовалось доказать.
Свойства тензора д*2 3:
2. квадратичная форма g*37)i7)j положительно определена.
Если в], ..., еп и е1,..., еп — взаимные базисы Я”, то они, как
легко проверить, связаны формулами:
е* = g*3ej, е, = дце3.
3. Опускание и поднятие индексов. Возьмем какой-нибудь тензор,
например, Составим тензор	Будем говорить, что t
получен из s опусканием индекса. Можно также поднимать индекс.
Например, образуем тензор и формулой = з*г^ — тензор и по-
лучен из тензора s поднятием индекса.
При поднятии и опускании индексов возникает следующий во-
прос. Пусть, например, мы опускаем верхний индекс. На какое место
среди нижних индексов его можно ставить? На любое. Тем самым,
§ 3. Тензоры в евклидовом пространстве
27
опуская, например, индекс у тензора з'$, мы получаем три различных
тензора:
tijk — 9irsjk< tijk = 9jrsik, tijk = 9krsiji
переходящих друг в друга перестановкой индексов. Для достижения
однозначности операций поднятия и опускания индексов у тензоров
любого типа в евклидовом пространстве принято отмечать совместный
порядок следования верхних и нижних индексов. Делается это обозна-
чением, которое мы поясним на примере. Запись аД означает, что при
поднятии и опускании индексов порядок их следования таков: первый
нижний, верхний, второй нижний. Тем самым тензоры з^ и по-
родят различные тензоры при опускании верхнего индекса.
Оказывается, операции поднятия и опускания индексов взаимно
обратны. Проверим это на примере:
= 4-
Конечно, после поднятия (опускания) индекса мы получаем дру-
гой тензор. Но в силу соображений, изложенных в п. 1, оказывается
возможной следующая трактовка.
Два тензора в евклидовом пространстве, один из которых получен
из другого операциями поднятия и (или) опускания некоторых индек-
сов, мы считаем представителями одного и того же объекта (точнее,
идентифицируем два соответствующих им объекта) и разрешаем обо-
значать одним и тем же символом.
Примеры.
1.	х* — вектор, руа? — линейная форма; мы пишем х{ = ру-а? и назы-
ваем х* контравариантными координатами вектора х, a ж, — ковариантными
координатами этого вектора; х' определяются равенством
х = x*eit
Xj — равенством
Sj = (ж, в;),
имеет место
х = ж,е’,
где е',...,еп — базис, взаимный базису et...е„. Пусть — линейная
форма, f =	— вектор; этот вектор порождает линейную форму
/(ж) = (ж, /) = gijx'f;
в самом деле, /(ж) = fax', & ft — 9ijf}-
28
Глава 1. Тензорная алгебра
2.	М} — линейное преобразование, — билинейная форма; мы
пишем Mji = дцМук; билинейная форма Mtjx'tf задается формулой (Мх, у);
действительно,
(Мх, у) = gij(Mx)'tf = gijMkxkyi = Mkjxk^.
Вернемся к определению тензора, которое дано в п. 4 § 1. Начнем
с п. 4.2. Наряду с
А = Дп ®® Д" ® К» ® ® Д*
Р	9
можно рассматривать тензорные произведения, в которых множите-
ли Rn и Дп стоят в каком-либо порядке, отличном от взятого, где
сначала идет последовательность р множителей Дп, а затем q множи-
телей Дп. Поясним все на примере тензоров Л1) типа (1,1). Элементу
из Дп® Дп поставим в соответствие тензор jWj, элементу из Rn®Rn —
тензор Mj. Конечно, и — разные пространства. Та-
ким образом, возникает возможность различать тензоры M?j и М?
уже для линейного пространства. Однако для тензорной алгебры такое
различие и Mj в линейном пространстве несущественно. Так что
вполне можно считать, что порядок сомножителей в fl является обяза-
тельным и что совокупность контравариантных индексов предшествует
совокупности ковариантных.
Аналогично, для определения тензора, данного в п. 4.1 § 1, мож-
но рассматривать полилинейные функции аргументов из Rn и Д",
перечисляемых в любом порядке (детали обдумайте сами!).
Положение меняется при переходе к евклидову пространству.
Здесь Rn и Я" — это одно и то же пространство Я”. Тем самым,
^• = £Г®...®1Г.
/	Р+9
Возьмем в некоторых р из этих множителей базис et,...; еп, а в осталь-
ных q — взаимный ему базис е1,..., еп. Тогда векторам в Й отвечают
тензоры в Я", из p+q индексов которых некоторые р являются контра-
вариантными, а некоторые q — ковариантными. Общий порядок ин-
дексов здесь является существенным. Опускание какого-либо индекса
соответствует замене в соответствующем множителе базиса ej,..., еп
на базис е1,..., е”; поднятие — замене е1,..., е" на е\,..., еп.
§ 3. Тензоры в евклидовом пространстве
29
4. -y/g. Здесь будет рассмотрен один важный для дальнейшего
пример псевдотензора.
Обозначим g = det ||ру||. Как уже говорилось, из положительной
определенности квадратичной формы следует, что g > 0. Для
ориентированного базиса еь..., еп (см. п. I §2) составим числа
где каждый индекс пробегает значения I,..., п и
' . если г\......гп попарно различны и порядок
’ i],..., in соответствует ориентации базиса,
_ । если »|,..., in попарно различны и порядок
’	,..., in не соответствует ориентации базиса,
0, если среди гь..., in есть равные.
Теорема. . .4 — псевдотензор.
Доказательство. Возьмем еще один ориентированный базис
ер,..., еп>. Докажем, что в соответствии с формулой (2.1) имеет место
71-,..^ = 4 • • • det Н4||7й...in-
Обозначим g' = det Ир?/1|. Мы должны доказать равенство
.Л= 4- • • •det 11411-
Как легко проверить,
4	= del|IA'llei'l...ii-
Поэтому задача сводится к доказательству равенства
det ||^|||,
т. е. равенства
g' = g(det||4ll)2,
которое легко получается из известных формул линейной алгебры.
Если поднять все индексы у 7,I...fn, то получим псевдотензор
у*-*»,
7<“"<" =gi>3i	ъ
30
Глава 1. Тензорная алгебра
Легко вычислить, что
если »ь..., in попарно различны и порядок
»ь..., in соответствует ориентации базиса,
если гь..., in попарно различны и порядок
ii,..., in не соответствует ориентации.базиса,
если среди it,...,in есть равные.
Нетрудно проверить, что т^...»„] = 7i,...i„ и У*1-4»! = у'-4».
Вместо 7il...in и У1"'*" очень удобными и наглядными являются
соответственно обозначения	(или и (l/x/g)*1'
Псевдотензор	появляется, в частности, в следующих
геометрических конструкциях.
Объем. Возьмем п векторов и,...,и. В ориентированном базисе
1 п
еь..., еп составим псевдоскаляр, т. е. псевдотензор типа (0, 0)
(3.1)
Очевидно,
1 п
(3-2)
где порядок ii,..., in соответствует ориентации базиса.'
Псевдоскаляр U называется объемом параллелепипеда, построен-
ного на векторах и,...,и. Если и,...,и линейно зависимы, то U = 0.
In	I n
В противном случае знак U учитывает ориентацию и,...,и: если на-
\	1 п
бор и,...,и имеет ту же ориентацию, что)и еь ..., вд, то U > 0, если
1 п
противоположную, то U < 0. Эти свойства объема непосредственно
следуют из формулы (3.2).
Векторное произведение. В ориентированном Н3 векторным про-
изведением векторов х и у называется вектор z, определяемый в ба-
зисе, ориентация которого соответствует ориентации Н3, следующей
формулой:
= Pv(v/g)^V-
§ 3. Тензоры в евклидовом пространстве
31
(Если эту формулу считать действительной для всех ориентированных
базисов, то г — псевдовектор.) Докажем, что так введенное векторное
произведение совпадает с известным из аналитической геометрии: вве-
денное нами векторное произведение дает ответ, не зависящий от взя-
того базиса, векторное произведение из аналитической геометрии —
тоже; а как легко проверить, в ортогональном и нормированном ба-
зисе, имеющем нужную ориентацию, два рассматриваемых понятия
совпадают.
Задача. «Придумать» векторное произведение в ориентированном Я".
Точнее. По тензорам х', у', g'j, G/g)i|...«n, (lA/g)’1и нулевым тензорам
построить, пользуясь алгебраическими операциями, перечисленными в п. 3 § 1,
выражение, билинейное по х и по у и дающее контравариантный вектор.
Ответ. При п $4 1 и п / 3 — только ук, где О}* — нулевой тензор.
При п = 3 нужное выражение пропорционально тому, которое дает знакомое
нам векторное произведение. При п = 1 искомое векторное произведение
пропорционально векторному произведению, определенному следующим об-
разом: превратим Н1 в числовую прямую, считая единицей конец единичного
вектора, задающего ориентацию Нх; операция умножения на этой прямой дает
векторное произведение, выражаемое, если ориентация базиса соответствует
ориентации пространства, формулой
z1 = y/gx'y1.
В тензорной записи она может быть представлена в виде
Глава 2
ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ
В настоящей главе мы будем использовать некоторые понятия
и факты топологии. Мы не будем стремиться сделать изложение без-
упречно строгим: в некоторых рассуждениях (особенно в § 4) мы
ограничимся наглядными соображениями, считая их доказательства-
ми. Основные конструкции главы достаточно содержательны для того
частного случая, когда исходный объект (гладкое многообразие) —
просто некоторая область (т. е. открытое связное множество) в коор-
динатном пространстве с одной фиксированной системой координат,
порождающей остальные координатные системы.
§ 1. Основные понятия
1. Гладкое многообразие.
Определение. Хаусдорфово топологическое пространство на-
зывается n-мерным (топологическим) многообразием, если каждая
точка этого пространства имеет окрестность, гомеоморфную некото-
рой области в Rn, n > 1.
Зафиксировав какой-либо гомеоморфизм, упоминаемый в опре-
делении, и выбрав в Rn какой-либо базис, мы введем тем самым
в рассматриваемой окрестности координатную систему: координатами
точки являются координаты соответствующего вектора Rn в выбран-
ном базисе.
Сузим класс координатных систем. Зафиксируем г, г = 1,2,..., оо.
Пусть в некоторых областях n-мерного многообразия введены неко-
торые координатные системы (эти области и координатные системы
далее будут называться допустимыми) так, что выполнены следующие
условия.
§ 1. Основные понятия
33
1.	Объединение допустимых областей есть все многообразие.
2.	Если две допустимые области имеют непустое пересечение, то
на этом пересечении переход от одних допустимых координат
к другим задается г раз непрерывно дифференцируемыми функ-
циями. Так как произведение якобианов двух возникающих си-
стем функций равно единице, то якобиан каждой такой системы
функций отличен от нуля в каждой точке.
3.	Если какая-либо координатная система обладает тем свойством,
что ее присоединение к совокупности допустимых систем не про-
тиворечит условию 2, то эта система допустимая.
Определение, n-мерное многообразие с выделенным клас-
сом координатных систем, удовлетворяющих условиям 1-2-3, назовем
дифференцируемым (или гладким) многообразием класса г (стандарт-
ное обозначение: X™, X” или X).
Далее будем использовать только допустимые координатные
системы.
На XJ? имеет смысл понятие «Q раз, q < г, непрерывно дифферен-
цируемая функция», поскольку свойство функции иметь непрерывные
частные производные до порядка q, очевидно, не зависит от выбора
допустимой системы координат.
Два дифференцируемых многообразия одного и того же класса г
назовем диффеоморфными, если существует их взаимно однозначное
отображение, являющееся в обоих направлениях т раз непрерывно
дифференцируемым, то есть задаваемое в допустимых системах коор-
динат г раз непрерывно дифференцируемыми функциями. Сами такие
отображения назовем диффеоморфизмами.
Отметим различие в ролях, которые играют условия 1-2 и усло-
вие 3. Если на каком-либо многообразии выделено множество коор-
динатных систем, удовлетворяющих условиям 1-2, то это множество
уже предопределяет X"; остальные координатные системы могут быть
выделены по этим исходным, для этого достаточно руководствоваться
условием 3. Точнее. Если каждая из добавленных координатных систем
обладает тем свойством, что добавление только ее одной не противоре-
чит условию 2, то добавление всей совокупности этих систем не про-
тиворечит условию 2. Действительно, если две добавленные коорди-
натные области имеют непустое пересечение, то в достаточно малой
34
Тлава 2. Тензорный анализ
окрестности каждой точки этого пересечения переход от одной до-
бавленной координатной системы к другой можно осуществить в два
этапа: переход от нее к какой-то из исходных, а затем переход от этой
исходной ко второй добавленной. На каждом таком этапе переход за-
дается г раз непрерывно дифференцируемыми функциями; тем самым
суперпозиция этапов задается так же.
Обычный способ задания X? — это фиксация исходного «-мер-
ного многообразия и выделение некоторого легко обозримого набора
допустимых областей и координатных систем так, чтобы удовлетворя-
лись условия 1-2.
Любая область G в X? является гладким многообразием того же
класса, если взять те допустимые координатные системы X?, области
которых лежат в G.
Если задано некоторое X? и целое число q, 1 < q < г, то это Х%
можно превратить в Х%, расширив множество допустимых координат-
ных систем: берем допустимые координатные системы X? и добавляем
все те системы, которые могут быть получены для взятого q использо-
ванием свойства 3.
Примеры.
1.	Возьмем йп. Выберем в J?n какой-либо базис ei, ..., е„; этот базис
порождает в Я" систему координат. Условия 1-2 выполнены для любого г.
Зафиксируем г. Добавим к указанной выше координатной системе все те
системы, которые удовлетворяют условию 3. Получим некоторое X,.
2.	В Я3 возьмем единичую сферу/S: (х, х) = 1. Для каждой точки
сферы в некоторой малой ее окрестности введем на сфере какую-либо сфе-
рическую (географическую) систему координат, для которой полюсы не лежат
в этой окрестности и каждая точка окрестности имеет однозначно опреде-
ленную долготу. Условия 1-2 выполнены для любого г. Фиксируя г, получим
некоторое X2.
3.	В Н3 возьмем тор, задаваемый в некоторой прямоугольной системе
координат х, у, z уравнением (у/хг + у1 — а)2+z2 = Ь2; а и Ь фиксированные
числа, 0 < Ь < а. Зададим этот тор уравнениями
х = (а + b cos A) cos р, у= (а + Ьcos A) sin р, z = bsinA.
Здесь —оо < А < +оо, -оо < р < +оо; для того, чтобы пара А, р и пара
X', р' определяли одну и ту же точку, необходимо и достаточно, чтобы было
(А - А')/(2тг) — целое и (р - д')/(2тг) — целое. В малой окрестности каждой
точки тора возьмем систему координат, выбрав какой-либо малый диапазон
§ 1. Основные понятия
35
изменения А и д. Условия 1-2 выполняются для любого г. Фиксируя г,
получим некоторое X,.
4.	Возьмем Я2. Введем какие-либо прямолинейные координаты х, у. Две
точки (х, у) и (х\ у') из R7 назовем эквивалентными, если х — х' — целое
и у - у' — целое. Точка пространства — точка Я2 с точностью до замены эк-
вивалентной. Беря в малой окрестности каждой точки эту систему координат
и фиксируя г, получим некоторое X2. Это X2 диффеоморфно тору (см. преды-
дущий пример).
5.	Возьмем сферу S (см. пример 2). Каждые две диаметрально противо-
положные точки S объявим эквивалентными. Точки S с точностью до замены
на эквивалентные — точки нашего многообразия. Беря системы координат,
описанные в примере 2, и фиксируя г, получим некоторое X2 (так называе-
мую проективную плоскость).
6.	Возьмем в й2 в прямолинейных координатах х, у полосу: —оо < х <
< +оо, -1 < у < 1. Точки (х, у) и (х,у) объявим эквивалентными, если
х — х' = к — целое, а у = (— 1)ку'. Точки многообразия — точки полосы
с точностью до замены на эквивалентные. Беря в малой окрестности точки
координаты х, у и фиксируя г, получим некоторое X2 (так называемый лист
Мебиуса).
Далее для краткости изложения значение г и вообще порядок
гладкости используемых функций не фиксируем; употребляем термин
«гладкая функция», означающий «достаточно гладкая функция, так
чтобы проводимые дифференциальные операции были законны».
Возьмем какое-либо отображение
<р: Хт -> Хп.
1	2
Пусть <р(а) = Ъ. Если зафиксировать в окрестности точки а какую-
либо координатную систему хх,..., хт в Хт, а в окрестности точки b
1
какую-либо координатную систему z1,... ,/* в Хп, то в некоторой
2
окрестности точки а отображение задается формулами
zx = z\xx,...,xm),..., zn = ^(xx,...,xm).	(1.1)
Функции z1,..., zn считаем достаточно гладкими. Отметим важный
факт: rank Цдга/дх*Ц в данной точке не зависит от выбираемых в Хт
и Хп систем координат; это утверждение непосредственно следует
2
36
Глава 2. Тензорный анализ
из правила преобразования якобиевых матриц при переходе к новым
переменным.
Определение. Отображение ср: Хт -> Хп называется погру-
1	2
жением, если rank Цд2а/дх'Ц = т для всех х 6 Хт.
Пример 4 реализует погружение Я2 в тор.
Если ср — погружение X в X и X гомеоморфно ср(Х), то погру-
12	1	1
жение называется вложением.
Если ср: Хт -> Хп, т < п, — вложение, то образ Хт будем
12	1
называть гладким тп-мерным подмногообразием многообразия Хп •
2
Пусть ср: Хт -> Хп — погружение; Ъ = ср(а). Зафиксируем в Хт
12	1
в некоторой окрестности точки а координаты х1,..., хт, а в Хп
2
в некоторой окрестности точки b координаты zl,...,zn. Так как
rank l[dza/dx'H = m, то по теореме о неявных функциях в малой
окрестности точки а переменные х1,...,хт могут быть выражены
из соотношений (1.1) через какие-то т переменных из числа z',..., zn,
для определенности через z1,..., zm. Тем самым эта окрестность вло-
жена в Хп.
2
Пусть т < п. Тогда мы будем иметь в Хп уравнение образа этой
2
окрестности точки а
Г+1 =	, zn =	, zmy
Перейдя в Хп в окрестности точки Ь к координатам го1,..., wn:
2
W1=Z,,...,Wm = A
wm+1 = zm+l~ffm+I(zl,... ,zm),.. .,wn = zn-gn(z\...,zm)
(это допустимые координаты, проверьте!), мы получим это уравнение
в виде
гого+1=0,...,го" = 0.	(1.2)
Значения го1,..., wm — координаты на образе окрестности точки а.
В дальнейшем, если Хт погружено в Хп, мы локально (т. е. в до-
1	2	.
статочно малой окрестности выбранной точки из Хт) для наглядности
§ 1. Основные понятия
37
не будем различать Хт и образ Хт в Хп‘, основанием для этого явля-
1	1	2
ется тот факт, что всякое погружение, как показано, локально является
вложением. Поэтому при погружении Хт в Хп, т < п, мы локаль-
1	2
но представляем себе Хт реализованным в виде m-мерного гладкого
1
подмногообразия многообразия Хп. При этом рассматриваемые на Хт
2	1
конструкции (например, системы координат) будем представлять в ви-
де конструкций на образе Хт в Хп.
1 2
Кривой, соединяющей точки а и Ь, принадлежащие X™, называет-
ся образ такого гладкого отображения : [tb -> X™, что y>(tj) = а,
<p(t2) = b.
Далее будем считать, что Л71 связно, т. е. что для любых двух его
точек существует кривая, их соединяющая. Все примеры, приведенные
выше, суть примеры связных многообразий. Читатель сам приведет
пример многообразия, не являющегося связным.
Приведем без доказательства некоторые тонкие результаты, хоро-
шо иллюстрирующие различие понятий «топологическое многообра-
зие» и «гладкое многообразие».
Существуют топологические многообразия, в которых невозмож-
но ввести гладкость.
Можно привести примеры гомеоморфных, но не диффеоморф-
ных многообразий. В частности, обозначим через 6(п) максимальное
число попарно недиффеоморфных гладких многообразий класса диф-
ференцируемости 1, гомеоморфных n-мерной сфере. Для некоторых п
значения 0(и) таковы:
п	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
0(п)	1	1	1	?	1	1	28	2	8	6	992	1
2. Касательное пространство. Рассмотрим какое-либо Хп и возь-
мем х 6 Хп.
о
Определение. Касательным к Хп в точке х пространством
называется линейное пространство Rn, для которого установлены сле-
дующие связи с Xй:
38
Глава 2. Тензорный анализ
1. каждой системе координат х1,..., хп, введенной в окрестности
х, соответствует базис еь..., е„ в Rn;
о
2. при переходе от одной системы координат а:1,..., хп к другой
системе х1,хп соответствующие базисы связаны формулой
дх
е? = 7Г~7
дх1
X
о
здесь и далее всюду в подобных случаях индекс i' в выражении
дхг/дх1 считается входящим в строку ковариантных индексов,
а индекс i — в строку контравариантных индексов.
Дадим способ построения касательного пространства. Возьмем
х € Xй. Возьмем специально для этой точки х экземпляр Rn. Выбе-
о	о
рем в окрестности х какую-либо координатную систему и в этом Я”
какой-либо базис. Этот базис назначим соответствующим выбранной
координатной системе. При переходе в окрестности х к новой системе
координат будем соответственно менять базис в этом Замечатель-
но, что эти базисы преобразуются указанным образом при переходе
от одной к другой для любых двух координатных систем, а не только
при переходе от начально выбранной координатной системы к любой
другой (докажите!).
Отметим, что если Rn и Яп два касательных пространства в одной
I 2
и той же точке х G Xй, то между R и R устанавливается естественный
о	1	2
изоморфизм: выбираем в окрестности х какую-либо координатную
систему; ей в R и R соответствуют определенные базисы; для и С R
12 11
и и 6 R полагаем и <—> и, если и* — и* (выполнение последнего
2	2	I 2	12
равенства в силу правила изменения базисов в R и R не зависит
1	2
от выбираемой системы координат).
Таким образом, для каждой точки х g Xй касательное простран-
о
ство существует и единственно.
Обозначения, которые мы далее примем в качестве стандартных:
. — — Л‘-
дх« ’ ’
§1. Основные понятия
39
• Т"(ж) (а также T(x)t 1^(x), T, T”) — касательное к X в точке х
пространство.
Подчеркнем, что пространства, касательные к Хп в разных точках, —
это разные линейные пространства, «не имеющие друг к другу никакого
отношения».
Если <р отображение Хт в Хп, то <р индуцирует для каждого
1	2
х € X линейное отображение Т в Т, где Т — касательное простран-
0	1	12	1
ство к X в точке х, а Т — к X в точке <р(х). Это линейное отобра-
1	0	2	2	0
жение, обозначим его В, строится следующим образом. Возьмем на X
в окрестности х какую-либо координатную систему ж1,..., х™ и на X
о	2
в окрестности <р(х) какую-либо координатную систему ух,..., уп. Эти
координатные системы определяют базисы в Т и Т. В этих базисах В
1	2
задается формулой
za = В°и\
дчР1
Здесь и £ Т, z Е Т, а В? = —^(ж). Непосредственной проверкой
1	2	дх1 о'
убеждаемся, что так определенное отображение не зависит от выбира-
емых в X и X систем координат.
1	2
Это линейное отображение Т в Т называется дифференциалом
1	2
отображения <р; обозначение:
дх'
Пусть I: х = x(t) — параметрически заданная кривая в X71,
a;(to) = Введем в окрестности х систему координат х1,..., хп. Со-
ставим числа = -г-
dt
. Этим числам соответствует вектор из Тп(ж).
to
Действительно, при переходе к другой системе координат х1,..., хп
мы получим
i da?
и = ——
dt
_ dxi da?
tb~
xdt
О
= £и\
to
40
Става 2. Тензорный анализ
Определение. Построенный выше вектор называется ка-
сательным вектором к I при t = to; будем обозначать его и = —(^о)-
dt
Если взять две параметризации I, то получившиеся в какой-либо
точке этой кривой два касательных вектора, очевидно, коллинеарны.
Приведем некоторые дополнения к введенным определениям.
Беря всевозможные кривые, проходящие через точку х, и соот-
ветствующие касательные к ним векторы, мы получим все векторы
из Г" (ж); можно считать, таким образом, что ТЩх) состоит из векто-
ров, касательных в х к различным кривым..
Если (р — погружение Хт в Хп, то д ля каждого х € X™ касатель-
1	2	I
Qtp
ное пространство Т^х) при применении ~(х) переходит в некото-
ох
рое m-мерное линейное подпространство касательного пространства
Т"(</?(а;)): это подпространство состоит из векторов, касательных в ^>(ж)
к кривым, лежащим в y>(Q), где Q — некоторая окрестность х в X"1.
Зафиксируем в окрестности точки х G X” какую-либо систему
о
координат хх,...,хп. Эта система координат порождает взаимно одно-
значное отображение этой окрестности на некоторую окрестность нуля
Г” (я): точке х G X” соответствует вектор z G Г”(х), если z* = х*-х*.
Если взять в этой же окрестности точки х другую систему коорди-
нат хх,..., хп , мы получим для той же точки х вектор z'. Возможно
z z. Однако, как нетрудно проверить, если х близко к х, то ко-
ординаты вектора У — z в каждой из этих двух координатных систем
суть величины второго порядка малости относительно
о
(или, что эквивалентно, относительно |ш* — х* |). Другими слова-
«' 0
ми, каждая система координат, определенная в окрестности х, порож-
дает свое отображение этой окрестности х на некоторую окрестность
нуля главная (линейная) часть этих отображений общая.
Полезно представлять себе наглядно связь между X” и Т”(ж) так:
х — это нуль Т”(ж); точки X”, бесконечно близкие к х (т.е. точки,
§1. Основные понятия
41
имеющие координаты х* + dx', где dx* бесконечно малы, — мы раз-
решаем в этом случае запись х + dx), могут быть снесены с неопреде-
ленностью второго порядка малости на Т^х), а именно, точка x+dx,
перенесенная на ^(х), совпадает с dx G Т"(ж). Здесь dx обозначает
и бесконечно малое смещение на X” и дифференциал этого смещения,
т. е. вектор касательного пространства. Если : Хт -> Хп и у = <f>(x),
1	2
то dy= — dx.
дх
Пример. Пусть Хт погружено в линейное пространство Я"; z =
= z(xl,...,хт), z € Я",	— координаты на X"*. Тогда
может быть реализовано следующим образом.
0х	„	дг
Возьмем в; = — , г= 1,...,т; е< —векторы Я .Так как rank — = т,
otf х	ох
о
то еь..., ет линейно независимы. Они порождают некоторое линейное под-
пространство Я”. Построенное Ят обладает всеми свойствами касательно-
го пространства; et, ...,ет — базис Ят, порожденный системой координат
1 rjn
X , ..., X .
Для большей наглядности сдвинем параллельно это подпространство так,
чтобы его нуль попал в z(x). Мы получим желаемую картину взаимного распо-
ложения X"* (точнее, образа в Я" малой окрестности в Хт точки х) и Т^х).
Приведем рис. 1 для т = 2, п = 3.
Далее, если X™ погружено в Яп, мы всегда будем брать е; = дг/дх.
Рис.1
42
1лава 2. Тензорный анализ
3. Тензорное поле.
' Определение. Тензорным полем типа (р, q) на X” называется
функция
и = F(x),
где х € X”, и(х) — тензор типа (р, q) в’1Й1(х).
Естественным образом определяется сумма двух однотипных тен-
зорных полей, произведение, свертка и т. д. Распространение тензорной
алгебры на понятие тензорного поля совершенно очевидно.
Выбрав в X” какую-либо систему координат ж1,..., хп, мы по-
родим для каждой точки х из координатной области соответствующую
координатную систему в T"(aj). Тем самым координаты тензора
становятся функциями ж1,..., хп. Без всяких дополнительных огово-
рок мы предполагаем эти функции достаточно гладкими.	)
4. Векторное поле (пример тензорного поля). В соответствии с опреде-
лением, данным выше, векторное поле и(х) на Xя в системе координат
ж1,..., хп задается функциями (координатами вектора) и*(х1,... ,хп),
i~ 1,.. .,п, так, что при переходе к другой системе координат х1,... ,хп
координаты и* (х) связаны с координатами и*(х) формулами
и = А! и, А; = —-
Если Хт погружено в Rn, то поле и(х) может быть локально
реализовано как поле векторов Rn, определенное на образе X"1; вектор
и(х) с началом в точке х касается образа X"1. При этом вектор и(х)
не зависит от выбора координат в X™ и Д’1 (несложную проверку этого
опускаем, см. пример п. 2).
Векторное поле на гладком многообразии — богатый объект для
изучения. Бегло упомянем лишь одну тему. Векторное поле и(х) по-
рождает в каждой системе координат х1,...,хп в X” автономную
систему обыкновенных дифференциальных уравнений
— = и*(х1,...,хп),	(1.3)
§ 1. Основные понятия
43
Зададим начальные данные: ®(0) = z. В силу гладкости и(х) (на-
помним: все используемые нами функции — гладкие) решение си-
стемы (1.3), удовлетворяющее этим начальным условиям, существует
и единственно. Обозначим его <p(t, z). Важно, что функция <p(t, z)
не зависит от выбора координатной системы, в которой составлялась
система обыкновенных дифференциальных уравнений (1.3). Это сле-
дует из того, что dx/dt и и — векторы и тем самым соотношения (1.3)
сохраняются при переходе к другой координатной системе.
При фиксированном t функция </?(t, ж), рассматриваемая в доста-
точно малой окрестности какой-либо точки х, осуществляет диффео-
морфизм этой окрестности на некоторую окрестность точки <p(t, х).
Эти диффеоморфизмы обладают групповым свойством
<p(ti, х)) = <p(t2 + ti, х).
Для малых t справедливо
<p'(t, х) = х1 + tu'(x) + O(t2).
Имеет смысл говорить, что для бесконечно малых dt точка х перехо-
дит в точку x+u(x)dt. Соответствующий диффеоморфизм определяет
(см. п. 2) линейное соответствие между касательными пространствами
в точках х и х + и(х) dt. Это соответствие записывается в выбранной
системе координат следующим образом. Для В,- = -г—г из (1.3) полу-
J oxi
чаем систему уравнений
_ du* pfc
dt ~ дхк j
(уравнения в вариациях для (1.3)). Так как В} = Sj при t = 0, то
Ek = + -r-rdt.
3	3 да?
Это дает: вектор w* из T^ix) соответствует вектору к? + dw* из
*
Тп(х + и(х) dt), если dw' = ——rwMt
ox1
Пусть на X” задано тензорное поле w какого-либо типа. Мож-
но определить операцию дифференцирования поля w вдоль решений
системы (1.3) следующим образом. Возьмем w(x + udt) — это тензор
44
1лава 2. Тензорный анализ
в Т(х + и dt); перенесем его в Т(х), пользуясь указанным выше соот-
ветствием Т(х + и dt) и Т(х), получим «/(ж); составим w(x) - w(x).
Линейная по dt часть этой разности, обозначим ее dw(x), назы-
вается дифференциалом Ли тензорного поля w.	L
В силу того, что использованное соответствие между Т(х) и
Т(х + и dt) не зависит от выбора координатной системы, dw(x) —
тензор в Т(х). Мы не будем приводить нужные выкладки, проведенное
выше рассуждение полностью их определяет (близкую конструкцию мы
подробно опишем в § 2 гл. 3). Приведем окончательную формулу:
L	I Qxh 2^	Qxh
'	fc=l
«	. .	Quh\
+	Of
k=l	7
В частности, векторное поле и(х) определяет операцию диффе-
ренцирования скалярной функции w(x) вдоль решений автономной
системы (1.3) (вдоль поля и):
dw
Mw =
dt
i dw
= U --7
дх'
(проверьте, что результат вычисления Mw не зависит от выбора систе-
мы координат).
Задача. Пусть на X” задано два векторных поля и(х) и v(aj). Сохра-
ним обозначение <p(t,x), введенное выше для поля и(х); соответствующую
функцию для поля v(x) обозначим ip(t, х). Доказать, что для малых t имеет
место 
'	V»(-t, <p(—t, il>(t, <p(t, x)))) = x + t2a(x) + O(t3),
где векторное поле a(x) вычисляется по формуле
t jdv jdu*
a =U1—~: —V——.
dx] d&>
(проверьте, что a — векторное поле).
Векторное поле а называется коммутатором векторных полей и
и v (происхождение термина становится понятным, если вспомнить
смысл функций <р и ф); обозначение: а = [и, г»].
§1. Основные понятия
45
Задача. Сохраняя обозначение М для операции дифференцирования
скалярной функции w(®) вдоль поля и(х), обозначим через N соответствую-
щую операцию для поля v(x). Вычислить
M(Nw) - N(Mw).
5. Ориентация. Псевдотензорное поле
5.1.	Ориентация. Возьмем какую-нибудь систему координат в Хп,
определенную в некоторой области. Установим какой-либо порядок
перечисления координатных индексов, рассматриваемый с точностью
до четных перестановок. Мы получаем ориентированную систему коор-
динат. Пусть две ориентированные системы координат имеют пересе-
кающиеся области. Эти две системы назовем одинаково ориентирован-
ными, если det ||^|| > 0 на пересечении.
Xй назовем ориентированным, если
1.	каждая допустимая координатная система ориентирована;
2.	каждые две координатные системы с пересекающимися областями
ориентированы одинаково.
Оказывается, если Хп связно, то реализуется одна из двух воз-
можностей:
1.	в X" нельзя ввести ориентацию (Хп неориентируемо);
2.	Хп можно ориентировать двумя способами.
Докажем это утверждение. Пусть Л" ориентируемо. В каждой до-
пустимой области ориентацию можно ввести двумя способами. Если
две допустимые области пересекаются, то ориентация одной из них
однозначно определяет ориентацию другой. Поэтому ориентация од-
ной допустимой области однозначно определяет ориентацию всех тех
допустимых областей, к которым можно перейти за конечное число
шагов, на каждом из которых мы переходим к допустимой области,
имеющей непустое пересечение с объединением областей, уже прой-
денных на предыдущих шагах. Если взять какую-либо кривую, соеди-
няющую две точки X”, то от допустимой области, содержащей начало
кривой, можно за конечное число указанных шагов перейти к допусти-
мой области, содержащей конец кривой (строгое доказательство этого
наглядного факта опускаем). Таким образом, если Хп связно и ориен-
тируемо, то ориентацию на X” можно ввести двумя способами.
46
Глава 2. Тензорный анализ
Примером X”, в котором невозможно согласовать ориентации
допустимых областей, является лист Мебиуса; здесь легко построить
замкнутую кривую, вдоль которой описанный способ продолжения
ориентации приводит при возвращении в исходную точку к противо-
положной ориентации. Также неориентируема проективная плоскость
(исследуйте сами!).
5.2.	Псевдотензорное поле. Ориентация координатной системы уста-
навливает очевидным образом ориентацию базисов в касательных про-
странствах. Тем самым появляется возможность рассматривать псевдо-
тензорные поля и соответствующие операции над ними.	\
§ 2.	Тензорные дифференциальные операции
1.	Предварительные соображения и примеры. Мы хотим ввести опе-
рацию дифференцирования тензорного поля на Xй, не оснащенном
никакими дополнительными структурами. При этом мы сталкиваемся
со следующей трудностью. Обычный подход
dy У(х + h)~ у(х)
ах h-*o h
совершенно непригоден, так как у(х) и у(х + 71) — элементы разных
пространств (тензор в Т”(з:) и тензор в + Л)), между которыми
не установлено никакой связи; выражение у(х + h) — у(х) не имеет
смысла. Что же, совсем отказаться от попыток ввести операцию диф-
ференцирования? Оказывается, нет. Предварительно рассмотрим три
примера.
1.	Пусть и(х) скалярная функция на Хп (тензорное поле типа
(0,0)). Составим в каждой точке числа
ди
'	Vi = дхг
Легко проверить, что и, — тензор (ковектор).
Обозначение: v = Grad и.
2.	Пусть щ — поле ковектора. Составим в каждой точке числа
dui
^~дхз‘
§ 2. Тензорные дифференциальные операции
47
Легко проверить, что V# не образуют тензора: при переходе к новой
системе координат они преобразуются по формуле
л,-	dAi'
v?i> — A^AfiVji + ur.
Заметим, что
дА], &xr
дх?	дх$ дх'1 ’
поэтому выражение дА^/дх? симметрично по г*, /. Тогда =
= АуА?У[#]. А отсюда следует, что w# = идо — тензор.
Обозначение: 2w = Rot и.
3.	Пусть — тензорное поле в X” такое, что «^..4] =
Составим ^il in =	. Это не тензор. Но, оказыва-
ется, = tfc,...». — тензор. В п. 2 мы докажем утверждение, для
которого этот пример — частный случай.
Обозначение: w = Div и.
2. Определение тензорных дифференциальных операций в X?.
В этом пункте мы будем рассматривать в X” два класса тензорных
полей:
и: Vi,..*,, «[и...«₽] =	Р 0;
v:	, р > 0.
31 • • • Зп * у 1.. .JnJ	31 • • -Зп ’ *
Эти два класса связаны следующим образом:
• если — поле первого класса, то поле
_ «1	/n-р...	..
‘jl-.-Jn °[jl " ‘ ‘ °jn-p ^"-P+b- Jn]
— второго класса;
• если Jn — поле второго класса, то поле
_ hi.. .йр
Wi!...i„_p - Ч,...«п_рй1...Лр
— первого класса.
Здесь 6 — тензор Кронекера, р п.
Введем две дифференциальные операции. Будем пользоваться
принятым в тензорном анализе обозначением S, = д/дхг.
48
Глава 2. Тензорный анализ
Ротор. Пусть щх..лр — поле первого класса. Тогда	=
=	— тензорное поле. Доказательство — несущественное
усложнение рассуждений примера 2 п. 1.
Обозначение: (р + l)v = Rot и.
Дивергенция. Пусть — поле второго класса, р > 1. Тогда
‘‘•••у-1 _	— тензорное поле. Докажем это. Имеет место
при р п формула
<2|>
в справедливости которой легко убедиться, сопоставив отдельные сла-
гаемые, возникающие в результате операций альтернирования и сверт-
ки. Справа стоит выражение, получаемое тензорными алгебраическими
операциями из ^р+1...,п1, где	(альтерни-
рование по ji... jn, очевидно, можно предварить альтернированием
по jp...jn). А при определении операции Rot было указано, что
- тензор.
Обозначение: w = Div и.
При р = 0 по определению Div и = 0.
Формула (2.1) выражает операцию Div через операцию Rot.
Можно также выразить Rot через Div. Введем для тензорного по-
ля и: Uit...ip, Щ»!...»,] =	0 < р < п - 1, тензорное поле z:
4 р формулой 4' 1"” = $	»+i -ini» тогда аналогично
(2.1)	имеет место формула
Sji1«i2...ip+1] = (-1)	l)!(n-p-
Операции Rot и Div можно применять и к псевдотензорным
полям: получаются также псевдотензорные поля.
3.	Некоторые дополнения.
1.	А операция Grad? Операция Grad, очевидно, есть частный
случай операции Rot : Grad скалярной функции — это Rot тензорного
поля типа (0,0).
2.	Оказывается, к операциям Rot и Div (вместе с алгебраически-
ми тензорными операциями) сводятся все дифференциальные опера-
ции, которые могут быть получены по следующей схеме: пусть задано
§ 2. Тензорные дифференциальные операции
49
тензорное поле ; составим в каждой точке числа ; будем
употреблять операции перестановки индексов, сложения и умножения
на число с целью получить из этих чисел тензорное поле
Формулы (2.1), (2.2) показывают, что сами операции Div и Rot
могут быть тензорно выражены одна через другую.
3.	Легко убедиться, что Rot Rot и = 0. Действительно, пусть
v = Rot и, w = Rot v. Это дает
(Р"Ь
= (Р+ 2)341ц2.л+2] = (р + 2)(р+ l)fyA4...UJ*
Но для любой гладкой функции ^(ж1,..., хп) имеет место	= 0;
отсюда следует, что w = 0.
Этот факт углубляет
Теорема Пуанкаре Пусть v = Rot и, тогда Rott; = 0. Пусть
v — ковариантное антисимметричное поле ненулевой валентности та-
кое, что Rot v = 0. Тогда для каждой точки в X” существует такая ее
окрестность и в этой окрестности такое поле и, что v = Rot и.
Доказательство. Первая часть теоремы уже доказана предше-
ствующими выкладками. Докажем второе утверждение. Пусть
V:	fi|...ip+i = 4*i...ip+ib Р 0» ^й^й-Йн-г] = 0-
Все рассмотрение проводится в фиксированной системе координат
в окрестности Q точки х с координатами ж1 = ... = хп = 0, Q: |з:11 < а,
г= 1,..., п, а — фиксированное положительное число. Построим в Q
поле и:	= Чй-М такое, что
(р+ l)5[j, ttjj.-ip+il =	(2-3)
Для понимания последующих конструкций полезно отметить, что это
поле и определяется с большим произволом: если мы построили какое-
то нужное нам поле и, то при р > 0 можно взять любое поле w:
= ^[й..лр-ij и поле «+ Rot w тоже будет обладать требуемым
свойством.
Мы построим вполне определенное поле и. Строить его будем
методом математической индукции по п при фиксированном р. При
См.: Схоутен Я. Тензорный анализ для физиков. — М.: Наука, 1965.
50
1лава 2. Тензорный анализ
п^р имеем v = 0, поэтому достаточно взять и = 0. Пусть заключение
теоремы верно, если размерность многообразия меньше п. Возьмем
(п -1)-мерное подмногообразие Х"~1, задаваемое уравнением ж” = 0.
Обозначим значения при хп = 0. По индуктивному
предположению на X"-1 существует поле такое, что
(р+^>+11 =
где i],..., гр+1 пробегают значения от 1 до п—1. Будем искать нужное
поле в Q такое, что = 0, если среди индексов ii,..., ip
встречается значение п. Тогда для (2j,...,ip не принимают
значения п) получаем уравнения
Решением этих уравнений в области Q являются функции
хп
4-ip(:c) = “i1--iP(5) + / <^,...<,(®,СМС;	(2-4)
0
здесь х — точка на 2Г1-1, имеющая координаты, равные первым n— 1
координатам точки х.
Построенное таким образом поле u(s) в Q — полностью опре-
делено; очевидно, = «(«,..4)• Осталось показать, что в Q дей-
ствительно имеет место (2.3) для всех наборов индексов »j,..., ip+i,
пробегающих значения от 1 до п. Если один из ii,..., ip+i равен п,
то нужное утверждение следует из способа построения и (см. (2.4)).
Пусть ни один из индексов ii,..., iP+i не равен п. Обозначим
(р4"	.ip+il “	-
При хп — 0 имеем
= О’4"	~	= О’
Кроме того, в Q имеет место
= (р+	— ^nv*b..i₽+i =
= —(р + 2)^nVi,...^jj = 0
(индекс п в одном из членов заключен в || в знак того, что он не участ-
вует в альтернировании). Из последних двух формул вытекает, что в Q
имеет место равенство = 0, что и требуется.
§ 2. Тензорные дифференциальные операции
51
Задача. Пользуясь связью между операциями Rot и Div сформулиро-
вать и доказать аналогичную теорему для операции Div.
4.	Для Я3 в векторном анализе вводятся операции: градиент ска-
лярной функции (результат — векторное поле), ротор векторного поля
(результат — векторное (для ориентированного Я3) поле), диверген-
ция векторного поля (результат — скалярное поле); соответствующие
обозначения grad, rot, div.
Выберем в Я3 какую-либо криволинейную систему координат.
Приведем запись соответствующих этим операциям выражений (ру,
и т. д. — (псевдо)тензорные поля, соответствующие метрическому
тензору Я3):	/
и = grad v: и’ = g'jdjv,
/ 1 \^к
и = rot v:	«’=[ — ) d[j(ve0fc]e)
(система координат должна быть ориентирована в соответствии с ори-
ентацией Я3),
1 / 1 \iJfe
и = div v: и = - ( — )
о \v8/
Доказательство этих формул. В правых частях равенств на-
писаны выражения, дающие тензор нужного типа. В прямоугольной
системе координат, порожденной ортогональным и нормированным
базисом Я3, указанные выражения дают нужные значения. Следова-
тельно, эти выражения дают, нужные значения в любой системе коор-
динат.
Выражение для операции div можно упростить. Очевидно,
x/g
Однако в то время как из исходной записи и результатов п. 2 следует
независимость значения div от выбора системы координат, для упро-
щенного вида этот факт нуждается в дополнительном доказательстве.
Задача. Сопоставьте теорему Пуанкаре с рассматриваемыми в век-
торном анализе условием того, что заданное векторное поле является полем
градиента некоторой скалярной функции, и условием того, что заданное век-
торное поле является полем ротора некоторого векторного поля.
52
1лава 2. Тензорный анализ
Операции grad и div можно обобщить для векторного анализа
в Я”. Операция grad определяется той же формулой, что и при п = 3,
операция div — формулой
и = div v:
\ уо/	у©
Операции grad, rot, div сводятся к операциям Grad, Rot, Div; это
сведение существенно использует то, что в рассматриваемом простран-
стве введен метрический тензор, и то, что для rot берем п = 3. Ис-
пользование в векторном анализе операций'Grad, Rot и Div не в «чи-
стом» виде вызвано стремлением обойтись только понятиями скаляр-
ного и векторного полей. При п = 3 и при наличии метрического
тензора это оказалось возможным.
§3. Внешние дифференциальные формы
1.	Антисимметричное ковариантное тензорное поле. Рассмотрим на
X" антисимметричные ковариантные тензорные поля
Ф):	Ufo-i,]
Число р, р > 0, будем называть порядком поля. Очевидно, и = 0, если
р > п.
В дополнение к уже известным алгебраическим операциям сложе-
ния полей одного порядка и умножения поля на скалярную функцию
введем операцию внешнего умножения полей, обозначим ее Л.
Определение. Пусть и: Uit...ip, v:	тогда
w = u Л v: Ш4,..лр+, =
Ясно, что и Л v — антисимметричное тензорное поле.
Эта операция обладает следующими свойствами (несложную про-
верку опускаем):
•	и Л (у Л ш) = (и Л v) Л w,
•	uA(v+w) = uAv + uAw,
•	а Л и = аи, где а — скалярная функция,
•	и Л v = (- l)wv Л и, где р — порядок и, q — порядок v.
§ 3. Внешние дифференциальные формы
53
Введем операцию дифференцирования антисимметрического ко-
вариантного тензорного поля; будем обозначать ее д.
Определение. v=du:
В п. 2 § 2 было доказано, что д^ щг,. ,ip+1j — тензорное поле (и = ди
эквивалентно (р + l)v = Rot и).
Имеют место формулы (несложную проверку опускаем):
•	д(и + и) = ди + ди,
•	д(аи) = ади, где а — число,
•	д(иЛи) = (ди) Л v + (-l)puЛ ди, где р — порядок и.
2.	Внешняя дифференциальная форма. Для каждого х G X" анти-
симметричное ковариантное тензорное поле и порядка р определяет
в Т"(я) антисимметричную р-линейную форму
ш = ^...ipi3')
где z,..., z — векторы Г”(ж).
1 р
Возьмем в качестве z,..., z векторы dx, • • , dx — дифференци-
i р	1 р
алы бесконечно малых смещений и обозначим
dx^'... dx*^ = dx" Л... Л dxtp
i р
(знак Л тот же, что и в предыдущем пункте; смысл этого совпадения
выяснится позже). С учетом введенных обозначений получаем
ы = Щ..л/1х*' Л... Л dx*”, «[£,...<„] = и^.Л".
Выражение	Л.. .Adz’'1 называется внешней дифференциальной
формой.
Операции над формами (w + ш, ш Л ш, дш), соответствующие
операциям над тензорными полями, принимают особенно простой вид
(проверку опускаем):
1.	алгебраические операции проводятся по обычным правилам
преобразования алгебраических выражений (в частности, оправданной
является двойная роль символа Л) с учетом дополнительного правила
dx* Adx? = -dx3 Л dx'\
54
Diaea 2. Тензорный анализ
2.	операция дифференцирования проводится по формуле
дш =	Л da:*1 Л... Л da:’’,
где	дш называется внешней производной (или
дифференциалом} ш; часто вместо дш пишут dw;
3.	переход к новым координатам х1,..., хп осуществляется под-
становкой
•I
dx' = Ajdx* (напомним, А*> = -х-?);
да?
4.	любые преобразования следует завершать переходом в нуж-
ной координатной системе к записи вида иц.^Фх'1 Л ... Л dxip, где
«[»!...»,] = Hit...ip (легко видеть, что такой переход всегда возможен
и дает однозначно определенный ответ).
С использованием понятия внешней дифференциальной формы
теорема Пуанкаре (см. п. 3 § 2) может быть сформулирована следующим
образом.
Пусть ш—любая внешняя дифференциальная форма', тогда д(дш) = 0.
Пусть ш — внешняя дифференциальная форма ненулевого порядка и дш — 0.
Тогда для каждой точки существует такая ее окрестность и такая
определенная в этой окрестности внешняя дифференциальная форма в,
что ш = дд.
3. Зачем нужны внешние дифференциальные формы. Разумеется,
понятия «антисимметричное ковариантное тензорное поле» и «внешняя
дифференциальная форма» равноценны. Однако отметим следующее.
Полезным оказывается геометрический смысл внешней диффе-
ренциальной формы: ш = Uil,.,ip(x)dxt' Л ... Л da:’’ — это число, ко-
торое ставится в соответствие бесконечно малому ориентированному
симплексу с вершиной в точке х и ребрами ds,..., ds, лежащему
1	р
в JC1. Это число не зависит от выбираемой системы координат и от
того, от какой именно вершины отходят ребра; оно является полили-
нейной антисимметричной функцией ds,..., ds. Будем называть его
•	р
значением формы ш на указанном симплексе.
§4. Интегрирование
55
4. О псевдоформах. Рассмотрим в X" в ориентированных систе-
мах координат выражение
u) = Uil...ipdx%t/\ .../\dxlr,
где — антисимметричное псевдотензорное поле. Такое выраже-
ние называется внешней дифференциальной псевдоформой. Ее отличие
от формы в том, что значение и> зависит от ориентации системы коор-
динат: при переходе к противоположно ориентированной координат-
ной системе значение ш для тех же dx, • •• ,dx меняет знак.
•	р
Свойства псевдоформ очевидными изменениями получаются из
свойств форм.
§4. Интегрирование
В математике имеются два близких, но все же разных, понятия
интеграла.
Интеграл 1-го рода. Фиксировано пространство с мерой. Рассмат-
риваются числовые функции в этом пространстве, для них определя-
ется понятие интеграла.
Интеграл 2-го рода. В X" задано антисимметричное тензорное поле
«4,..^,. Рассмотрим какое-либо ориентированное Хр в X". Для беско-
нечно малого симплекса с вершиной в точке х, порожденного векторами
dx,...,dx, лежащего в X и имеющего ориентацию, индуцирован-
1	р
ную заданной ориентацией Хр, число ^...^(х) dxtl... dx'p не зависит
• р
от системы координат. Разбивая Хр на такие симплексы и суммируя
эти числа, мы получим интеграл по ориентированному X? от заданно-
го тензорного поля (или от дифференциальной формы iij,.. ,ipdx*' Л... Л
dx'p). Это понятие мы и будем изучать в настоящем параграфе. Было бы
соблазнительно строить теорию независимо от изучаемой в математи-
ческом анализе теории кратных интегралов, непосредственно реализуя
конструкцию, схематично описанную выше. Однако удобнее вводить
нужные нам понятия, связывая их с понятием кратного интеграла.
Следует иметь в виду, что кратный интеграл использует поня-
тие меры. На гладком многообразии понятия меры нет. Мы будем
давать определения, взяв какую-либо систему координат и используя
свойства интеграла по мере, которая порождается этой координатной
56
Глава 2. Тензорный анализ
системой. Мы докажем, что получаемое значение интеграла не зависит
от выбранной системы координат. Таким образом, мера, порождаемая
координатной системой, является лишь вспомогательным средством.
1.	Интеграл и его свойства.
Определение. Куском гладкого многообразия называется его
подмножество такое, что:
•	оно может быть покрыто какой-то одной допустимой координат-
ной системой;
•	оно является замыканием области с кусочно-гладкой границей;
•	оно компактно.
Не требует особых пояснений термин «ориентированный кусок глад-
кого многообразия».
Теорема. Пусть в X" определено тензорное поле lij,.. .i?, U[i,.. .у =
= Пусть СР — ориентированный р-мерный кусок, погруженный
в X”. Покроем СР какой-либо одной координатной системой А1,..., Ар,
где порядок перечисления координат соответствует ориентации СР.
Пусть СР в координатах А1,..., Ар выделяется условием X Е G,zde G —
замыкание некоторой ограниченной области в координатном простран-
стве. Выбрав в X" какие-либо координатные системы х},...,хп, по-
крывающие образ СР, вычислим
!=[[ ....................
J J	, • • • 9 Лг )
G
Тогда I не зависит от выбора координатных систем х1,... ,хп йот вы-
бора координатной системы А1,..., Ар.
Доказательство. Очевидно,
д(х'‘,..., х**) дх^' дх*^
= р[~дХ ‘‘* av‘
При фиксированной системе координат А1,..., Ар для каждого г
значения дх'/дХ — координаты вектора V. Поэтому
d(xil,... ,Я&)
д(Х\...,ХР)
= Р1 t/*1 ... V*’’!
1 р
—* тензор. Следовательно,
§4. Интегрирование
57
0(ж“, ... , Х*г)
Ui,"i’’5(A1,...,A₽)
— инвариант. Тем самым подынтегральное выражение для I не зависит
от выбора координатной системы х\ ..., хп.
При переходе от А1,..., Ар к А1,..., А^ имеем
так как ориентация каждой из этих координатных систем соответствует
ориентации СР. В силу известного свойства якобианов имеем
0[xil....х*>) _ д(х*' ,...,х*») 5(А’,..., Ар)
Э(А1',...,Ар') = 0(А',...,Ар) 0(А.А^)’
Поэтому при переходе отА1,..., Ар к А1,..., подынтеграль-
ное выражение умножается на
^А^.-.Др)
т.	е. меняется именно так, как оно должно меняться при замене пере-
менных под знаком интеграла. Следовательно, значение I не меняется
при переходе от А1,..., Ар кА1....
Определение и обозначение интеграла от внешней дифферен-
циальноой формы по ориентированному гладкому куску С**, погружен-
ному в X”:
/ ш = I,
СР
где ш = Ui^.^dx*' Л... Л dx^, а I определено предыдущей теоремой.
Для полноты дальнейших формулировок дополним это определение
понятием интеграла по С°: С° — это какая-либо точка с из X”, снаб-
женная знаком + или — (то есть +с или -с). Пусть <р(х) — скалярная
функция на X”. Тогда интеграл от по С0 определяется так:
J (р = р(с), У <р =
+с	—с
Свойства интеграла по куску (несложные доказательства опускаем).
58
1лава 2. Тензорный анализ
1. Обозначим —СР ориентированный кусок, полученный из СР
изменением ориентации (при р = 0 — изменением знака). Тогда
2. Пусть ориентированный кусок Ср составлен из ориентиро-
ванных кусков Ср и С'7’ (СР U С'2’ = С”, СР и Ср не имеют общих
12	12	12
внутренних точек, ориентация Ср индуцирует ориентации СР и CPY
1	2
Тогда
J а> = J и> + J ш.
Cf с с
1	2
Определение. Пусть СР, ...,СР — ориентированные р-мер-
1 т
ные куски, погруженные в X". Формальная сумма s СР 4-... + з СР,
11	тт
где з,, з — целые числа, называется р-мерной цепью.
1 т
Если ориентированный кусок СР составлен из ориентированных
кусков СР и СР, то СР + СР интерпретируется как СР. Цепь -1 • СР
12	12
интерпретируется как -СР:
Нестрогая геометрическая интерпретация р-мерной цепи в X”
очевидна.
Определение. Пусть СР — цепь, СР = зСР + ... + 8 СР-
1 1	mm
По определению,
Отметим, что последнее определение согласовано со свойствами
1 и 2 интеграла по куску.
§4. Интегрирование
59
Примеры. Рассмотрим случаи р = 1 и р = 2.
1. р = 1, п — произвольно.	\
Пусть = Utdx* и С1 - ориентированный кусок кривой в Xя; &= x(t),
t t2, — параметрическое уравнение С1;
В этом примере особенно хорошо видно, что I не зависит от выбора коорди-
натных систем a:*,..., жп и параметризации С1.
2. р = 2.
Возьмем п = 2. Пусть w = Vijdx' Л da?, С2 — замыкание ориентиро-
ванной области в координатном пространстве ж1,®2. Пусть порядок ж1, ж2
соответствует ориентации С2; берем А1 = ж1, А2 = ж2. Тогда
Г , i .4 Г Г / 5(ж',ж2)	5(ж2,ж’)\ . 2
/ Vijdx Adx3 = // ( Ц12т7-[—+ ^1ЯУ  ;. ) dx'dx2
J	J J \ 5(®’,®2) d(xl,x2)y
d1	d
~ ff ~	~ j'J' Vndxldx2,
D	D
где D обозначает С2 без учета ориентации.
2. Теорема Стокса—Пуанкаре.
Определение. Пусть С** — ориентированный кусок, р 2.
Введем на гладких кусках, составляющих в совокупности границу О’3,
ориентацию так, чтобы в точках границы направление на С3 внешнее
к и ориентация границы (взятые именно в этом порядке) соответ-
ствовали ориентации С₽. Получившуюся (р - 1)-мерную цепь будем
называть границей куска С** и обозначать дС?.
Очевидно, если С? погружено в X”, то и 5С5 погружено в X".
При р = 1 граница определяется так: границей ориентированного
куска кривой, имеющего начало в точке а и конец в точке Ь, называется
цепь +6- а. При р = 0 граница по определению — пустое множество.
Если С? = з (F + ... + з С? — цепь, то по определению ЭС** =
11	тт
= зд 0*4-...+зд (?. Отметим, что принятая нами интерпретация, при
11	т т
которой -С₽ получается из С?* изменением ориентации, согласуется
60
1лава 2. Тензорный анализ
с формулой 0(-Ор) = -дС?. Вспомним также, что если ориентиро-
ванный кусок С” составлен из ориентированных кусков (f и С?, то
1	2
мы считали Ср =	+ Ср- Соотношение 5С₽ = д Ср + д Ср ин-
12	12
терпретируется в этом случае так: граница Ср есть сумма границ (f
1
и Ср\ те части этих двух границ, которые разделяют Ср и Ср, берутся
2	1	2
с противоположными ориентациями; в сумме эти две части взаимно
уничтожаются.
Теорема Стокса—Пуанкаре Для любой р-мернойцепи СР и лю-
бой формы ы порядка р — 1 имеет место
Доказательство предварим иллюстрацией, рассмотрим слу-
чай, когда п = р = 2иСф — ориентированный кусок. Пусть поря-
док а;2 соответствует ориентации С2 (рис. 2). Возьмем ш = иДх'.
Тэгда дш = Vijdx* Л dx?, где
vij =	= ^(diUj - djUi).
Мы имеем
(цц - V21) da? da:2
УУ (5iti2 - 02^1) dx'dx2,
Рис. 2
§4. Интегрирование
61
где D — это С2 без учета ориентации;
j а> = j Uldx* + u2dx2,
дС2 г
где Г — это граница D, пробегаемая с учетом ориентации дС1.
Нужное нам равенство — это известная формула Грина.
Приведем теперь доказательство для общего случая. Оно прово-
дится по тому же плану, что и доказательство упомянутой формулы
Грина (а также формулы Гаусса—Остроградского). Нужно только ак-
куратно разобраться со знаками, коэффициентами и т. п. Приведем
выкладки, сопроводив их краткими пояснениями.
Разобьем каждый из кусков, составляющих С?, на куски, диф-
феоморфные р-мерному симплексу (необходимые для строгого доказа-
тельства уточнения опускаем); сведем нужные интегралы к интегралам
по этим «криволинейным симплексам» и их «криволинейным граням».
Так как интегралы в обеих частях доказываемого равенства не зависят
от выбираемых систем координат, то можно малый «криволинейный
симплекс» считать расположенным в координатном подпространстве
жр+! == ... = хп = 0 (см. п. 1 § 1); можно считать, что он выделяется
условиями
₽
i=i
ориентация этого симплекса соответствует порядку индексов 1,..., р.
Для доказательства теоремы, в силу сказанного, достаточно взять
п = р и в качестве С?р — указанный симплекс.
Введем обозначения:
•	D — тот же симплекс без учета ориентации;
•	Dit i = 1,...,р, — грань D, выделяемая условием х* = 0;
р
•	Do — грань D, выделяемая условием = 1;
i=l
•	(ЭСр)ь i = 0,.. .,р, — соответствующие этим граням части <?С(Р.
Для каждого г, г = 1,..., р, симплекс D может быть задан соот-
ношениями
(ж1,..., а:*-1, ®‘+1,..., яр) € Д, 0 х' 1 - УЗ аг’-
3&
62
Глава 2. Тензорный анализ
Пусть
w =	Л ... Л da?*p— 1, дш = v^.^dx** Л... Л dxtp,
— ^[ii ^12...ip]-
Обозначим также
== Щ..Л— 1,*+1...р(®	, О, X ,...,2^),
l,i+l...p = 41..Л— 14+1.--Р ( Д » • • • > ®' >1	Д^‘, ®' » • • • > Д₽
'	j#=*
(и и и — значения и на гранях Di и Do соответственно).
Тогда
i=I	J Di
—	•. .dx‘-1d®‘+1.. •ds₽.
Поясним каждый из знаков равенства, фигурирующих в этой це-
почке. Первый соответствует определению интеграла от дифференци-
альной формы (см. п. 1). Второй имеет место, так как = ±vi...p
для попарно различных .. гр, а
д(х*'.....
для таких ii,,..., гр, причем знаки + или — в этих последних равен-
ствах совпадают — это
sign

§4. Интегрирование
63
всего таких слагаемых в сумме-свертке под знаком интеграла в левой
части второго равенства р!, остальные слагаемые — нули. Третий знак
равенства имеет место, так как vi...p = Sji«2...p] в силу определения v.
Четвертый соответствует детализации
р
i=l
множитель (-1)*-1 появляется, так как порядок следования индексов г,
1,	— 1, i-Ь 1,_,р получается из порядка следования 1,... ^по-
следовательной перестановкой индекса г с г— 1 ему предшествующими;
множитель р! слева от этого знака равенства дает все члены
с нужными знаками при различных комбинациях Л,..., ip, являющих-
ся перестановкой 1,..., р; справа аналогичную роль играет множитель
(р — 1)!. Пятый знак равенства соответствует использованию формулы
Ньютона—Лейбница при интегрировании по ж*.
С другой стороны,
Здесь сделан переход к кратному интегралу. Множители (р-1)! и (-1)’ 1
объясняются так же, как и при преобразовании интеграла j dw, пе-
со
ред всем выражением стоит знак минус, поскольку ориентация (5О₽)<
задается порядком координат -ж‘, ж*,..., ж*-1, ж‘+1,..., а? (см. опре-
деление), что дает ориентацию противоположную ориентации, задава-
емой порядком координат ж*, ж1,..., ж’-1, ж*+1,..., аЛ
Осталось выразить сходным образом j' ш. Представим для выбран-
;	(ао)»
? ной системы координат 14=14+...+« (соответственно, о» = ш + ... + ш),
1	р	1	р
64
1лава 2. Тензорный анализ
где Vii..»p-i = 0» если один из индексов £1,...,гр_1-равен i. Для
вычисления £ ш возьмем на Do в качестве координат значения
(ДС₽)о
х1,...,	..., аЛ Получим
У w=(p—1)!(—I)’-1Jи^л_1Л+^.рах1 ...dx^dx^1
(дСР)о	Di
Здесь, в отличие от выражения J со, в правой части отсутствует
(8CP)i
знак минус, так как ориентация (ЭСр)о задается порядком координат
„» Ti _»-i	л
•£/,•*/)•••)•£/	,	J • • • , w 
Собирая вместе полученные выражения, мы видим, что, действи-
тельно,
Задача. Придумать и доказать формулу, аналогичную формуле инте-
грирования по частям.
3. Об интеграле от дифференциальной псевдоформы. В случае, когда
мы имеем дело не с дифференциальной формой, а с дифференциальной
псевдоформой (см. п. 4 § 3), приведенные для формы в п. 1-2 настоящего
параграфа определения и утверждения требуют корректировки.
Определяя интеграл от псевдоформы со = u^^dx*1 А ... A dx**
по ориентированному куску СР, потребуем дополнительно, чтобы ко-
ординатные системы ж1,... ,жп, покрывающие СР, были ориентиро-
ваны и притом согласованно. При одновременном изменении ориен-
тации этих координатных систем значение интеграла меняет знак, так
как меняют знак
Если в Xя взять ориентированный кусок С” и в качестве координат
ж1,..., хп взять Л1,..., Ля (см. формулировку и доказательство теоре-
мы п. 1), то интеграл по С” от псевдоформы со = Ui^.^dx" Л... Л dx'n
не зависит от выбора ориентации СР: вследствие изменения ориента-
ции Л1,..., Лп при неизменной ориентации х1,..., жя интеграл ме-
§4. Интегрирование
65
1	fl
няет знак, вследствие изменения ориентации х ,х он еще раз
меняет знак, т. е. в результате остается неизменным.
Вводя интеграл по цепи, мы дополнительно потребуем, чтобы вся
совокупность образов кусков, составляющих цепь, была покрыта со-
вокупностью ориентированных координатных систем с согласованной
ориентацией.
С учетом указанных изменений в определениях и дополнитель-
ных предположений формулировка теоремы Стокса—Пуанкаре оста-
ется неизменной.
4. О теоремах Ньютона—Лейбница, 1фина, Гаусса—Остроградского,
Стокса. В книге В. И. Арнольда «Математические методы классиче-
ской механики» теорема Стокса—Пуанкаре (принятое ее название) на-
звана теоремой Ньютона—Лейбница—Гаусса—Грина—Остроградско-
го—Стокса—Пуанкаре. Действительно, эта теорема обобщает и объеди-
няет в единой формулировке (данной Пуанкаре) теоремы Ньютона-
Лейбница, Трина, Гаусса—Остроградского, Стокса.
Приведем эти теоремы в тензорной записи. В качестве X71 бе-
рем Я”; gij, —тензорныеполя, соответствующие метрике Н71;
система координат — произвольная криволинейная.
Теорема Ньютона—Лейбница:
j' di и(хх) dxx = и(Ь) — и(а).
с1
Здесь р = п = 1, С1 — отрезок [а, Ь] в ориентироавнном Я1.
Эта теорема была использована при доказательстве теоремы Сток-
са—Пуанкаре.
Теорема Гаусса—Остроградского:
/	А... A da;** = У*	л • • •л dx^i-
с"	ас®
Здесь р = п > 2, С"1 — ориентированный кусок Я”. В соответствии
с определением псевдотензора (напомним, — псевдотензор)
нужно ориентировать координатную систему. В качестве ориентации
системы ж1,..., хп берем ту, которая индуцируется ориентацией С”.
66
1лава 2. Тензорный анализ
Тогда, как отмечено в п. 3, значения интегралов в обеих частях равен-
ства не зависят от ориентации С”: при изменении ориентации С” пе-
ред каждым из интегралов появляется знак минус, но подынтегральные
выражения при этом также меняют знак, так как они псевдотензоры.
Теорема Стокса:
£	/\	— £ и .
С1	дС2
В формулировке векторного анализа в этой теореме нужно взять п = 3
и преобразовать подынтегральное выражение в левой части равенства
в соответствии со способом получать с помощью операции rot вектор-
ное поле (см. п. 3 § 2). В приведенном выражении С2 — ориентиро-
ванный кусок, погруженный в Я”, где п — любое, удовлетворяющее
условию п 2.
Теорема Грина может быть получена как частный случай теоремы
Стокса при п = 2; см. также начало доказательства теоремы Стокса-
Пуанкаре (п. 2).
Мы видим, что в приведенных формулировках используется то,
что пространство евклидово, а для принятой в векторном анализе фор-
мулировки теоремы Стокса еще и то, что оно трехмерно. Общая теоре-
ма, доказанная Пуанкаре, снимает эти наслоения и дает в чистом виде
связь между интегралом по области и интегралом по ее границе.
1лава 3
РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ
§ 1. Риманово пространство
1. Основные понятия.
Определение. Римановым пространством Vя называется ком-
плект {Xя, ру} из гладкого многообразия Xя и определенного на нем
дважды ковариантного гладкого тензорного поля ру, удовлетворяюще-
го в каждой точке х € Xя условиям:
1’ 9ij ~ 9ji>
2. квадратичная форма Ру*М — положительно определена.
Пример. Н” есть V".
Поле ру- превращает каждое из касательных к Xя пространств
Т^х) в евклидово пространство; скалярное произведение (и, v) век-
торов и и и из Т”(а;) определим формулой
(и, и) = py(a:)uV.
Требования 1-2 — это именно те требования, которые предъявляют-
ся к тензору при каждом фиксированном х е Xя, чтобы указанное
выражение могло быть принято в качестве скалярного произведения
(см. § 3 гл. 1).
Тем самым могут быть определены, в частности, понятия: длина
касательного вектора к параметрически заданной кривой в фиксиро-
ванной на ней точке, угол между ненулевыми касательными векторами
к двум кривым в точке, являющейся точкой их пересечения.
Основополагающим для всех концепций риманова пространства
является следующее
68
Глава 3. Риманова геометрия
Определение Расстоянием между двумя бесконечно близ-
кими точками х и х + dx риманова пространства называется неотри-
цательная величина ds, определяемая равенством
ds2 — g,j(x) dx'dx?.
Ясно, что так определенное расстояние между х и х + dx не за-
висит от системы координат, в которой оно вычисляется. Тензор gij
называется метрическим тензором.
Это определение можно заменить на следующее
Определение. Длиной кривой I: х = x(t), ii $ t $ <2, назы-
вается число	___________________
J у	at at
ti
Легко проверить, что так определенная длина кривой не зависит
от способа параметризации этой кривой и от выбора координатных
систем.
В геометрии V" важную роль играет псевдотензор x/gii in, так на-
зываемый тензор Леви-Чивиты. Если взять в V” бесконечно малый па-
раллелепипед с вершиной в точке х и ребрами dx,..., dx, то в ориен-
1_ п
тированной системе координат выражение i/g(a;). . dx''..dx1" или,
что то же самое, \ g(x). . dx" Л.. Л dx,n дает объем (с учетом знака)
этого параллелепипеда (см. формулу (3.1) гл. 1). Можно также гово-
рить, что g(x)dxl ... dxn дает «элемент объема» в V”. Это приводит
к интегралу 1-го рода
1 I = у*... у* f(x)^g(x)dxl... dxn.
G
\
Здесь G — замыкание области в V”, G — компактно, /(я) — заданная
скалярная функция.
Б. Риман «О гипотезах, лежащих в основании геометрии» — пробная лекция,
прочитанная 10 июня 1854 года в Геттингенском университете для получения места
доцента.
§1. Романова пространство
69
Введенное значение интеграла не зависит от выбора координатной
системы. В самом деле, при переходе к другой системе координат
ж1,..., хп вместо множителя y/g появится множитель •x/g'. Но
д(хх',... ,хп'
д(хх,...,хп)
что соответствует известной формуле замены переменных под знаком
интеграла.
Определенное здесь понятие интеграла тесно связано с понятием
интеграла, введенным в предыдущей главе. Пусть С” — ориентирован-
ный кусок в Vя. Если ориентация координатной системы х1,...,хп
соответствует ориентации С", то (см. §4 гл. 2)
Д/g^^dz’1 A... Ad®*" = n! J... J fy/gdx1 ...dxn,
C	G
где G состоит из тех же точек, что и С”; выбор ориентации С” роли
не играет, так как — псевдотензор (см. п. 3 § 3 гл. 2).
Операции grad и div рассмотрены в п. 3 § 2 гл. 2 в евклидовом
пространстве Н", а операция rot — в ориентированном Н2 3. Ясно, что
теми же формулами можно определить операции grad и div в произ-
вольном Vя, а операцию rot в ориентированном V3.
Теоремы Гаусса—Остроградского и Стокса сформулированы в §4
гл. 2 с использованием метрического тензора евклидова пространства.
Очевидно, эти теоремы без каких-либо изменений в их формулировках
имеют место и для риманова пространства,
2. Подпространства Vя. Если в V” погружено некоторое Х™,
1 $ т $ п — 1, то это X™ естественно превращается в У"1. Дей-
ствительно, билинейная форма ру(®), заданная во всем Т"(®) (Тп —
касательное пространство к V”), рассматриваемая только в Тт(х)
(Т™ — касательное пространство к образу X™, являющееся подпро-
странством 7я), удовлетворяет по-прежнему условиям 1-2. Если об-
раз Хт в Vя определяется уравнениями
? = ?(А*.....Am), i=l,...,n,
где х\...,хп — координаты на X”, а А1,...,А"1 — координаты
на X771, то в этих координатах метрический тензор <}ар для V"1 вы-
70
Глава 3. Риманова геометрия
числяется, как легко проверить, по формуле
дхг dxi
Тем самым появляется понятие «элемент тп-мерного объема».
В частности, одномерный объем — это длина.
Пример. Пусть X2 погружено» Н3. Тогда X2 можно превратить в V2,
введя метрику (расстояние между двумя бесконечно близкими точками), ин-
дуцированную метрикой Н3. Изучение этого примера составляет содержание
так называемой элементарной дифференциальной геометрии.
Определение. Vm = {Xm,gap} погружено в Vn = {Xn,gij},
если Хт погружено в Хп и метрический тензор на Хт, индуцирован-
1	2	1
ный тензором gij, совпадает с §ар.
Приведем формулу теоремы Гаусса—Остроградского (§ 4 гл. 2)
к виду, известному из векторного анализа.
Возьмем в С” ориентированную систему координат х1,...,хп,
согласованную с ориентацией С". Из формулы (2.1) гл. 2 следует, что
(-I)”-1
Поэтому в левой части формулы Гаусса—Остроградского йод знаком
интеграла стоит выражение	/
(~1)п-‘
-------(div «)</§,-..,{dx" A ... A dx\
Учитывая связь интеграла от дифференциальной псевдоформы с инте-
гралом 1-го рода, получаем левую часть этой формулы в виде
(-1)п~*п! Г Г
--------- I ... / div и dv,
п J J
G
где G — это С” без учета ориентации, dv — элемент объема в V”.
Преобразуем правую часть формулы. Возьмем какую-либо точку х
на гладком куске, входящем в дС™. Выберем в малой окрестности
этой точки координатную систему х1,..., хп такую, что: малая окрест-
ность на 5С” точки х, обозначим ее С"-1, имеет уравнение я:1 = 0;
Л
§ 1. Риманово пространство
71
х2,.... хп — координаты на С" 1; вектор, касательный в х к ко-
о
ординатной линии х1, направлен наружу от С"; порядок ж1,..., хп
соответствует ориентации С”. Тогда порядок ж2,..., хп соответствует
ориентации дСР. Представим и(х), х 6 С"-1, в виде и = (и, h)h + z,
где h — единичная внешняя нормаль к С"-1, a z G 2^2 (ж). Под
знаком интеграла в правой части рассматриваемой формулы стоит
ds’1 ... dx1”-'.
1	71—1
Так как векторы z, dx,..., d х линейно зависимы (все они принад-
1	п— 1
лежат 2^1’1 (ж)), то
w = (-l)n~'(u,	dx" ... d х'п-'.
1	п— 1
Как отмечалось ранее, значение x/fe,-• -с , h3 dx" ... d я:*""1 равно обь-
Л1 «п-1 j	n_j
ему (с учетом знака!) параллелепипеда, построенного на векторах h,
dx,..., dx. Ориентация С” соответствует порядку: направление h,
1	п-1
ориентация С*”-1. Кроме того, h — единичный вектор, ортогональный
векторам dx,..., d х. Поэтому указанный объем равен (с учетом зна-
1	п-1
ка) объему основания — параллелепипеда, построенного на векторах
dx,..., d х (это свойство объема следует из формул (3.1) и (3.2) гл. 1).
1	п-1
Последний объем, в свою очередь, равен . ds“ ••• d
1	1	п-1
где -v/Iii-. in-, соответствует в С"-1 системе координат х,..., хп. Та-
ким образом, под знаком интеграла в правой части формулы Гаусса—
Остроградского стоит выражение, равное
(-1)”-1^, h)y/ii^dx" Л ... Л dx^.
Заменяя интеграл от дифференциальной псевдоформы интегралом 1-го
рода, получим правую часть этой формулы в виде
(-1)п~'(п - 1)! J ... J(и, h)da,
г
72
Глава 3. Риманова геометрия
где Г — это дС1 без учета ориентации, da — элемент (п - 1)-мерного
объема в Г. Окончательно получаем знакомое равенство
div udv
г
G
3. Геодезическая. Пусть а и Ъ заданные точки V". Рассмотрим
кривые, соединяющие а и Ъ. Пусть х = x(t), £i О Ог — уравнение
такой кривой. Длина S каждой такой кривой определяется формулой
h
S = J F(x, x)dt,
где F = yjQij{x)i?x^, x(ti) = a, xfa) — b, точкой обозначена произ-
водная no t. Предполагаем, что в каждой точке кривой F / 0. Пусть
кривая I реализует кратчайший путь из а в Ь и тем самым дает мини-
мум S. Тогда x'(t), соответствующие I, удовлетворяют, как известно,
системе уравнений Эйлера
fdF\ dF п ,
I 7Г7Т I — 7ГТ = 0, fc = 1
\дхк ) дхк
, п.
Используя выражение F, получаем
(въ&У_	= 0
\ F ) 2F
Отсюда следует
Р 2' к9^ р р
Заметим, что
1 d _ d
Fdt ds'
где s — длина участка кривой, принятая в качестве параметра на I.
Таким образом, на I имеет место
d ( dxi\ dx* dx^
d7 = 0’ Л='--Л
(i.i)
§1. Риманово пространство
73
Рассмотрим теперь уравнения (1.1), не учитывая способ их полу-
чения. Зафиксируем в V" какую-либо систему координат. Рассмотрим
систему обыкновенных дифференциальных уравнений (1.1), где коор-
динаты gij метрического тензора заданные гладкие функции х\,...,хп;
в — независимое переменное (здесь никакой связи з с длиной куска
кривой мы не предполагаем); х1(з),... ,хп(з) — искомые функции.
График в V” какого-либо решения этой автономной системы обыкно-
венных дифференциальных уравнений (1.1) мы называем геодезической
(геодезической линией).
Определенное понятие очевидным образом использует выбранную
систему координат. В следующем параграфе мы докажем, что кривая,
являющаяся геодезической в одной системе координат, геодезическая
и в других. А пока ограничимся следующими утверждениями.
1. Система (1.1) может быть разрешена относительно d2x*/ds2,
г — 1,..., п (напомним, det ||ру|| > 0). Если задать начальные данные
х G V” и v g Т^Чх), то существует, и притом единственное, решение
о о о
(1.1), удовлетворяющее условиям:
гг(О) = х, ^(0) = V.
о	ds о
2. Если х(з) — решение (1.1), то для любого числа а функция
х(аз) — также решение.
3. Функция
/ d®\	. .dx'dxi
— первый интеграл (1.1). Если интерпретировать з как время, а систему
(1.1) считать описывающей движение точек V", то это утверждение
означает, что каждая точка движется по геодезической с постоянной
скоростью. Если gij(x) v* v3 = 1, то з дает длину дуги геодезической.
В общем случае длина дуги пропорциональна з.
4. Приведенные выше утверждения — простые следствия ос-
новных фактов теории обыкновенных дифференциальных уравнений.
Дополнительными исследованиями можно доказать также следующее:
•	каждая геодезическая на достаточно малом ее участке действи-
тельно является кратчайшей;
74
1лава 3. Риманова геометрия
•	для каждой точки х G V" существует такая ее окрестность, что
с любой точкой этой окрестности х может быть соединена геоде-
о
зической и притом единственной среди геодезических, целиком
лежащих в этой окрестности.
Пример. Пусть V2 — единичная сфера в Н3. Геодезические на V2 — ду-
ги больших кругов (примем это пока без доказательства). Дуга большого круга,
имеющая длину меньше тг, действительно кратчайшая среди кривых, соединя-
ющих ее концы. Дуга большого круга, имеющая длину больше тг, разумеется,
не является кратчайшим путем из одного ее конца в другой. Если две точки
не являются диаметрально противоположными, то существует единственная
дуга большого круга, соединяющая эти точки и имеющая длину меньше тг.
§ 2.	Параллельный перенос.
Ковариантное дифференцирование
Ранее мы подчеркивали, что для гладкого многообразия Xя, не
оснащенного никакими дополнительными структурами, касательные
пространства в разных точках не имеют друг к другу никакого отноше-
ния. В 1917 году Туллио Леви-Чивита сделал замечательное открытие:
он выяснил, что введение римановой метрики в Xя дает возможность
установить естественную связь между касательными пространствами
в двух бесконечно близких точках. Эта связь фиксирует некоторый
изоморфизм между такими касательными пространствами и дает воз-
можность переносить вектор из одного касательного пространства в ка-
сательное пространство в бесконечно близкой точке; Такой перенос
называется параллельным переносом в пространстве Vя.
Существуют различные способы введения этого параллельного
переноса. Мы изберем следующий путь. Выведем формулы для парал-
лельного переноса в Я” в криволинейной системе координат (в Я”
параллельный перенос определен структурой линейного пространства).
Окажется, что эти формулы содержат кроме координат переносимо-
го вектора еще координаты метрического тензора и их первые про-
изводные. Для произвольного Vя определим параллельный перенос,
используя именно эти формулы. Докажем, что так определенный па-
раллельный перенос не зависит от выбора системы координат.
§ 2. Параллельный перенос. Ковариантное дифференцирование 75
Рис. 3
1.	Формулы для параллельного переноса в И* в криволинейной систе-
ме координат. Введем в Я” какую-либо криволинейную систему коор-
динат х1,..., хп. Найдем условие того, что вектор и1 в точке х и вектор
w* + du* в точке х + dx равны (рис. 3).
Мы имеем и = и*<%, где е,- = diX. Так как и переносится из х
в х + dx параллельно, то du = 0, т. е.
du* • е; + u*dei = О,
следовательно,
du* • е; + u'djeidx3 = 0.
Поэтому
(е,, efc)du* + (djei, e^ddx3 = 0.
По определению метрического тензора (е,, е&) = д,к. Обозначив	—
= (Э,е4, efc), получим
-I" Гdx3 = 0.
Оказывается, величины выражаются через производные коорди-
нат метрического тензора. В самом деле,
(5,6,-. е*) + (et, дчек) = dqgik.
Но dqei = dq{dix) = di(dqx) = fte9. Поэтому величины симмет-
ричны по первым двум индексам:	= Г^. Зафиксировав тройку
индексов £, у, к, получаем
Гдо + rifcj =	+ Tjijt = djgia,
Ffcij + Fjy.j = dkgij.
76	1лава 3. Риманом геометрия
Отсюда, пользуясь указанной симметрией Гул» находим
Гц,к = 2^*^3к + fygik ~ dkSij)-
Введя величины
vnfc _____________________________ ffcp
Lij — У 1 ij,r»
получаем окончательно нужное условие
duk + ГуиМаг’ = 0.
2.	Определение параллельного переноса в V”. Рассмотрим произ-
вольное V". Зафиксируем какую-либо систему координат. Используя
метрический тензор (/у, введем величины
Fij,k —	+ fydik ~ fycdij) и Гу = д Гу>г;
Гул и Гу называются коэффициентами связности. Легко убедиться, что
Г_ г
ij,k — 1 ji,kt Lij — kji-
Отметим также равенство
fygjk = Гул 4- r,fcy.
Определен ие. Вектор и*, заданный в точке х, перенесен в бес-
конечно близкую точку х 4- dx параллельно, если его координаты ста-
новятся равными и* + du*, где	/
du* + Г}к(х\и,Ыхк = 0.	[	(2.1)
Это же определение в других терминах. Вектор, заданный в точ-
ке а, переносится параллельно по кривой I в точку Ь, если его коор-
динаты и* удовлетворяют уравнениям
Здесь х = x(t), ti t — параметрическое уравнение I, x(ti) = a,
®(*2> = b.
Так как параллельный перенос векторов описывается системой
линейных однородных уравнений, то он является линейной операцией.
§ 2. Параллельный перенос. Ковариантное дифференцирование 77
Пример. Покажем, что геодезическая линия может быть определена сле-
дующим свойством: единичный касательный вектор к геодезической переносит-
ся вдоль геодезической параллельно («кратчайшая» линия есть «прямейшая»).
Как уже отмечалось, касательный вектор к кривой является единичным в том
и только том случае, когда в качестве параметра на кривой взята длина дуги s.
Обозначим u* = dx^ds. Условие параллельного переноса вектора и ъдрлъ
кривой дает
т.е.
d2x* dx? dxk
ds2 1 d s ds
п.
(2.2)
Покажем, что эта система эквивалентна системе (1.1), определяющей
геодезические. Действительно, преобразуя (1.1), получаем последовательно
f d \da? (Px? 1 .dx* dxi
\Ts9kj)+ 9kj 1? ~ 2^k9i^~ds~ds ~ °’
dW .dx'dx2 l.„ .drfdx3
9ki~df + {d,9kj) d7 d7 ~ 2(5*5ti) d7 d7 “ ’
d2®1	1	dx* dx’
«« a? + 2(asb'+e's“ *	= 01
dx* dx?
5*W+IV*d7d7-0’
откуда и получается (2.2).
Мы определили параллельный перенос вектора формулой, яв-
но использующей выбранную координатную систему. Важный вопрос:
зависит ли результат параллельного переноса вектора от выбранной
системы координат? Ответ дает
Теорема. Результат параллельного переноса вектора не зависит
от выбранной системы координат.
Доказательство. Нам потребуется следующая
Лемма. При переходе к новой системе координат имеют место
формулы

/ &х* j SP'xi s \
[1№А} + MtoF**)9*
78
Глава 3. Риманова геометрия
= А&4А}Гу>к +
Гч'л — аЧ а', а3 г* । аЧ
г,7 - Ак Д А,Г„ 4- Ак	.
Доказательство леммы Выведем первую из этих формул.
Имеем
^5.7 = ft'toH'Aj) = (д^д^А^А3-, + 9ц(дкА^)А^ + д^д^А3^
но
о Я 03®’ о	п ika
дкА* = дх*дхВ 9' д*А? = дхРдх? ’ dli9ii = A*dk9i3’
откуда сразу получаем нужное выражение. Остальные две формулы
следуют из первой, если вспомнить определение и Г^-. Лемма
доказана.
Перейдем к непосредственному доказательству теоремы.
Для координат вектора и, переносимого параллельно из точки х
в точку х 4- dx, мы имеем в системе координат ж1,..., хп равенство
(2.1). При переходе к системе координат х1,..., хп это равенство дает
d(4‘“’) 4- Г^А^и7 A^dx* = О,
т. е.
г/(dvA?)dx* + 4^' + rjfeA}A^u/ d/ = О,
4^' + (Г’Мр^ 4-^A})4d/ = О,
и, наконец,
(я2лЛ \
В последнем равенстве выражение в скобках равно (см. лем-
му), поэтому тот же параллельный перенос в новой системе координат
записывается формулой
du’ 4- r'fvv/dx* — 0,
что и доказывает теорему.
§2. Параллельный перенос. Ковариантное дифференцирование 79
Из этой теоремы, в частности, следует, что свойство кривой быть
геодезической не зависит от координатной системы.
Задача. Доказать, что геодезические на сфере в Я3 — дуги больших
кругов. Рассматривая пример в конце п. 3 § 1, мы приняли этот факт без
доказательства.
Решение. Возьмем в Я3 ортонормированный базис; £, Т], £ — ко-
ординаты в этом базисе. Уравнение сферы S радиуса г с центром в начале
координат имеет вид
£ +»7 +< = г .
Введем на сфере сферические координаты 9, <р:
£ = г cos 9 cos <р, j? = rcos0sin^, C = rsin0;
точки, в которых cos0 = 0, не рассматриваем. Вычислим gy, gv, Гу,*, Гу
в этих координатах; пусть индекс 1 соответствует 9, индекс 2 соответствует <р.
В Я3 имеет место
de2 = dg2+ di?+ d(?.
Поэтому на S выполняется
de2 = r2(d92 + cos2 9 dtp2).
Это дает = r2, gn = <hi = 0, gi2 = r2 cos2 9, а следовательно, gn — 1/r2,
g12 = 521 = 0, g22 = l/(r2 cos2 9). Тогда
dtfhi — ~2r2 cos 9 sin 9,
остальные digjk равны нулю. Поэтому
Гил = г2 cos 9 sin 9, Гп,2 = Г21,2 = -г2 cos 9 sin 9,
остальные Гу,* равны нулю. Отсюда
Г22 = cos 9 sin 9, Г|2 = Г21 = -tg0,
остальные Гу равны нулю.
Докажем, что кривая I на S, определяемая уравнением 9 = 0, является
геодезической. Действительно, на I имеем ds2 = r2d<p2. Так как на I все Г*-*
равны нулю, то уравнения (2.2), определяющие геодезическую (где х* = 9
и х2 = <р), удовлетворяются парой функций 9 = 0, р = s/r +
Покажем, что каждая дуга большого круга на S — геодезическая. Для
этого выберем на S ту сферическую систему координат, для которой эта дуга
имеет уравнение 9 = 6.
Покажем, наконец, что каждая геодезическая I на S — дуга большого
dx I
круга. Возьмем на I какую-либо точку х, возьмем v = — I , s — длина
о
80
Глава 3. Риманова геометрия
дуги кривой, взятая в качестве параметра на I, |v| = 1. Возьмем на S дугу
большого круга I, проходящую через х и касающуюся в х вектора v; дуга I,
О	0	0
как было показано, геодезическая. Мы получили на S две геодезические I и I,
проходящие через х и касающиеся v. Тем самым (см. п. 3 § 1), I и I совпадают.
о	о
3.	Параллельный перенос произвольных тензоров в V”. Введенное
понятие параллельного переноса векторов дает возможность устано-
вить изоморфизм между касательными пространствами в различных
точках:
•	между Тп(х) и Тп(х + dx)
или
•	между T^ix) вдоль кривой I: х = x(t).
Это позволяет установить связь между тензорами в касательных про-
странствах. В самом деле, если зафиксирован некоторый изоморфизм
линейных пространств 7?” и 7?п, то тем самым фиксируется некото-
1	2
рый изоморфизм линейных пространств тензоров заданного типа в Rn
1
и в Д"; это непосредственно следует из каждого определения тензора,
данного в § 1 гл. 1.
Таким образом, параллельный перенос контравариантных векто-
ров дает возможность ввести (и притом однозначно) параллельный
перенос тензоров любого фиксированного типа.
Выведем соответствующие формулы.
Если и — скаляр, то условие параллельного переноса и, очевидно,
имеет вид
du = 0.
Рассмотрим случай ковариантного вектора. В соответствии со ска-
занным выше ковектор v(x+dx) получен из v(x) параллельным пере-
носом, если при параллельном переносе любого вектора z из х в x+dx
имеет место	За &
d(z'vi) = 0.
Это дает
(dz')vi 4- z'dvi = 0.
§2. Параллельный перенос. Ковариантное дифференцирование 81
Но при параллельном переносе / мы имеем dz* + T*jkzidxk = 0. По-
этому —T'jk^Vidxk + z'dvi = 0 или, что то же самое,
(—TjkVidxk + dvj)n? = 0.
Так как для фиксированной точки х вектор z? — произвольный, то по-
лучаем условие параллельного переноса ковариантного вектора из точ-
ки а: в точку х + dx в виде
dvj -	= 0.
Этот же прием применим к тензорам произвольного типа. Например,
условие параллельного переноса тензора получается так. Берем про-
извольные Z',!?,wk. Составляем	w*. Переносим z, v, w парал-
лельно из х в x+dx (формулы для переноса векторов и ковекторов уже
выведены). Из условия	= 0, учитывая произвольность z,
v, w и проведя нужные выкладки, получаем равенство
<Mjk + (T’hr4 -	- lM)dxr = 0.
Читатель сам докажет общую формулу, дающую условие парал-
лельного переноса тензора
/ р . ...	9	\
। (	г**	_ К А рЛ -Л1-..*, . ldrrr=O
"ил—Л+ \ khrU3t...j4	2^tk3i‘rU3i---3k-ihjit+i...j<l I
4 *=1	к=1	'
В силу общих соображений, приведенных в начале настоящего
пункта, результат параллельного переноса тензора любого типа не за-
висит от выбранной системы координат.
4. Ковариантное дифференцирование. Введя связь между касатель-
ными пространствами в бесконечно близких точках, мы можем осуще-
ствить стандартный способ введения операции дифференцирования.
Пусть и — заданное на V** тензорное поле какого-либо типа.
Возьмем точки х и x+dx. Перенесем u(x+dx) параллельно в точку х.
Вычтем из этого тензора тензор и(х). Мы получим бесконечно малое
приращение тензорного поля, его линейная часть — дифференциал
тензорного поля. Рассмотрим, как эта идея реализуется в координатной
записи.
82
Глава 3. Риманова геометрия
Начнем с вектора. Так как мы учитываем только линейные части
приращений, то берем и’(ж 4- dx) = и'(х) 4- du'. Обозначим du' —
о
дифференциал, соответствующий параллельному переносу из х 4- dx
в ж, и Du' — и'(х 4- dx) 4- du' - и*(х) = du' 4- du'.
о	о
Мы имеем
du' - r'jku?dxk = О
о
(переход от х 4- dx к х — смещение на -dx), поэтому
Du' = du' 4- r'jkij?dxk.
Так как du' = dku'dxk, то
Dui = (dkui + r}ku^)dxk.
Определение и обозначение:
•	VfcU* = дки' 4-	— ковариантная производная поля и',
•	Drf = di? 4- T''jkv?dxk — ковариантный дифференциал поля ц‘.
Аналогично для ковекторного поля получим ковариантный диф-
ференциал и ковариантную производную:
Duj = VjUjdx',
где
ViUj = diUj - rkjUk.
Для тензора произвольного типа получаем формулу:
Пц’ь- ’р _ р- u,'ipdTr
“ vruji...hax >
где
р ....	«
V п'!"Лр = д и"" 'р -k V4 Г‘*	_ V™4 ph
VrUJi-J9	-it 2^Lhruj,...jg	2-^knrUji...jk-lhjk+l...jg-
k=l	k=l
Если и — скалярная функция, то в соответствии с общим прави-
лом получаем:
Du = du, Vru = дги. J
§2. Параллельный перенос. Ковариантное дифференцирование 83
Пример. В Я” в прямолинейных координатах g# — const, поэтому
diPflc = 0, значит, ГУЛ = 0, следовательно, = 0. Так что в прямолинейных
координатах
что и следовало ожидать.
Теорема. Для тензорного поля любого типа ковариантная
производная VkU-'' 'V и ковариантный дифференциал Du- ” — тензоры.
Доказательство для РЦ'./.Х слеДУет из определения опера-
ции В и из независимости операции параллельного переноса тензора
от системы координат. Так как
Ч/. i=М">г
и dxr — произвольный по направлению вектор, то отсюда следует, что
Vru£”£ — тензор.
Очень полезное упражнение — непосредственная проверка того,
что числа	преобразуются как координаты тензора; эта про-
верка дает другое доказательство теоремы.
Операция вычисления ковариантного дифференциала обладает
следующими алгебраическими свойствами (докажите сами!):
1.	D(au + 0v) ~ aDu + 0Dv, где а и /3 — числа,
2.	D(u ® v) = (Du) ® v + и ® Dv,
з.	r(w:/:.) = (nw)j-..
Аналогичные свойства имеют место для ковариантных производ-
ных (для операции V<).
Очевидно, что свойство
•	«Тензор и переносится параллельно вдоль кривой I»
эквивалентно свойству
•	«Вдоль I имеет место Du = 0*.
В этом параграфе мы имеем дело с тензорами; ясно, что па-
раллельно переносить и ковариантно дифференцировать можно также
и псевдотензоры.
Задача. Доказать формулу (1.4) гл.2.
84
Глава 3. Риманова геометрия
5.	Связь между параллельным переносом в V” и V”1, если V771
погружено в V*. Ограничимся только полями контравариантных век-
торов. Пусть V™ погружено в V71, т < п. Возьмем х G V771; будем
рассматривать V771 в достаточно малой окрестности точки х как такое
гладкое подмногообразие пространства V”, для которого метрический
тензор, индуцированный метрическим тензором V71, совпадает с мет-
рическим тензором V771 (см. п. 2, § 1). Возьмем какой-либо вектор и,
лежащий в касательном к V771 в точке х пространстве Т771^). Можно
перенести этот вектор параллельно в точку х 4- dx, лежащую в V™,
в соответствии с геометрией V™; перенесенный вектор будет принад-
лежать касательному к V771 в точке х + dx пространству ^(х + dx).
В то же время этот вектор можно перенести в точку х + dx в соответ-
ствии с геометрией V71; результат такого переноса, конечно, не обязан
лежать в ^(x+dx). Какова связь между этими двумя параллельными
переносами?
Теорема. Параллельный перенос вектора, касательного к Vm,
в бесконечно близкую точку, лежащую на V771, осуществляемый в со-
ответствии с геометрией V™, может быть реализован следующим об-
разом: перенесем вектор параллельно в соответствии с геометрией V71
и ортогонально спроектируем получившийся вектор на касательное к V771
пространство.
Доказательство. Зафиксируем х € V771. Выберем в Vn систе-
му координат х1,... ,хп так, чтобы в окрестности точки х многооб-
разие V™ задавалось уравнениями
a:m+1 = ... = хп = 0.
Значения х1,... ,хт — координаты на V771. Тогда для точек этой
окрестности касательное пространство Т7" к V771 задается в Тп (каса-
тельном пространстве к V”) уравнением
ц* = 0 при г > т.
Подправим эту координатную систему так, чтобы в выбранной
точке х имело место
gij = 0 при i т, j>m.
Тогда, очевидно, в этой точке
д*3 = 0 при i	т, j > т.
§ 2. Параллельный перенос. Ковариантное дифференцирование 85
Обозначим gij и g'3, i, j = 1,..., тп, — координаты метрического тен-
зора У. Легко видеть, что gij = и в выбранной точке д'3 = д'3,
здесь i,j = 1,....т. Обозначим fy^ и fy, i, j, к = 1,т, — ко-
эффициенты связности У (в отличие от Гу,* и Гу, i, j, к = 1,..., п,
для V”). Тогда
Гу,* = 2^*^	~	= Гу,*
и в выбранной точке
т	п
А*	V"'' aW*A	Х"''
Гу — / д Lij.h — / 9 1 ij,h — А у.
Л=1	h~l
При параллельном переносе вектора и в соответствии с геомет-
рией У имеет место
du‘ -|- tjku3dxk = 0, i т.
А при параллельном переносе вектора и в соответствии с геометри-
ей У имеет место
du* + Г'ки3дхк = 0, i n.
Для рассматриваемого случая в последнем равенстве т? = 0 и dxk = 0
при j > т и к > т. Поэтому du* = Ju* при i тп. Различие между
du* и Ju* лишь в том, что при т < i имеем du* = 0, в то время как
возможно du* £ 0. Поэтому Ju* могут быть получены по формулам,
дающим du*, с последующей дополнительной операцией: положим
Ju* = 0 при i > т. А это и есть аналитическая интерпретация геомет-
рической формулировки теоремы.
б.	Координаты, геодезические в точке.
Определение. Система координат а?,..., хп называется гео-
дезической в точке х, если Г}*(ж) = 0.
Так как digjk = Гу* + Г4*у (см. п. 2), условие Г}*(ж) = 0 эквива-
лентно тому, что в этой точке имеет место digjk = 0.
Применение таких координатных систем часто упрощает выклад-
ки, приводящие к тензорным величинам; далее мы будем использовать
эту возможность.
86
Глава 3. Романова геометрия
Теорема. Для каждой точки х из V” существуют системы ко-
ординат геодезические в этой точке.
Доказательство. Выберем какую-либо координатную систе-
му х1,..., хп в окрестности х и будем проводить все выкладки в этой
системе; без ограничения общности можно считать, что х имеет нуле-
о
вые координаты. При переходе от одной системы координат к другой
имеет место (см. лемму в п. 2)
^=^4^+4^.
Равенство = 0, очевидно, эквивалентно равенству Ак Г}*/ = 0 ;
поэтому, чтобы система координат хх,..., хп была геодезической
в точке х, необходимо и достаточно выполнение в этой точке условия
г*. — Аг. и х
зк дх^дхк’
которое эквивалентно условию
3 dxJdxk
Перейдем к непосредственному построению геодезической в х
о
системы координат. Значения А} (т.е. дх' /дх') в точке х берем лю-
быми, удовлетворяющими условию det ||Л^ || / 0. Получим значения
b’fc = Al Гjfe в этой точке. Величины b'jk удовлетворяют соотношению
b'jk = b'kj. Завершаем построение координатной системы а:1.хп,
взяв в малой окрестности точки х, например, координаты
х* = Al х' + ^bjkx3xk.
7. Некоторые важные факты и формулы.
1. Имеют место формулы:
а) = °’. b) ^i9ik = о;
c)Vi/ = 0; d)V<V^1..4n=0; е) vY-yY *" = 0.
§ 2. Параллельный перенос. Ковариантное дифференцирование 87
Докажем эти равенства. Как было показано в п. 4, значение каж-
дого из этих выражений — тензорное (псевдотензорное) поле. Тем
самым для вычислений можно взять любую координатную систему.
Для доказательства нужных равенств в точке х возьмем геодезическую
в х систему координат. В этой системе в точке х имеет место Г’* = О
и Si9jk = 0 (см. п. 6), а следовательно, д& = 0 и д^к = 0. Тогда, ес-
ли выписать полностью каждое искомое выражение (общую формулу
см. в п. 4), все слагаемые в этих выражениях будут равны нулю.
Для случаев а, Ь, с легко провести выкладки и в общей системе
координат (мы рекомендуем сделать это); для случаев d и е соответ-
ствующие выкладки очень громоздки.
2.	Параллельный перенос является линейной операцией.
Точнее. Пусть и и v — тензоры или псевдотензоры какого-либо
о о
одного и того же типа, заданные в точке а. Пусть Г. х = x(t) — кривая,
начинающаяся в точке а. Пусть а и Д — числа. Пусть, наконец, u(t)
и v(t) — результаты параллельного переноса и и и вдоль кривой I.
Тогда au(t)+flv(t) — результат параллельного переноса вдоль I тензора
аи+ Bv.
о о
Докажем это. Условия параллельного переноса тензоров и и v
вдоль кривой I могут быть записаны в виде
Du	Dv
= 0 и — = 0 соответственно.
dt	at
Каждое из них приводит (см. общую формулу в п. 4) к одной и той же ли-
нейной однородной системе обыкновенных дифференциальных, урав-
нений относительно координат соответствующего тензора. А для таких
систем линейная комбинация начальных данных дает ту же линейную
комбинацию ее решений.
3.	При параллельном переносе векторов unv имеет место
d(0„uV) = 0.
Доказательство. Так как fl’ytiV — скалярная функция, то
= Dfaju'v') = (рдц)иг^ +	+ giju'Dv*.
Каждый член последней суммы равен нулю: Du1 = 0 и Du* = 0,
так как и и v переносятся параллельно, равенство Dgij = 0 следует
из формулы b этого пункта.
88
1лава 3. Риманова геометрия
Это важное соотношение. Оно показывает, что параллельный пе-
ренос векторов устанавливает изоморфизм Т(х) и Т(х + dx) как ев-
клидовых пространств.
4.	Ясно, что параллельный перенос можно осуществлять и вдоль
кусочно гладких кривых; все отмеченные выше свойства сохраняются.
§3. Тензор кривизны
В § 1-2 подчеркивались те свойства Vn, которые аналогичны
свойствам If1. В настоящем параграфе мы изучим явление, харак-
терное для общего случая У” и отсутствующее в /Г - «кривизну
пространства» (If1 имеет «нулевую кривизну»).
1.	Определение тензора кривизны. Вернемся к операции ковари-
антного дифференцирования. Пусть и... — какое-либо гладкое тензор-
ное поле. Имеет ли место формула
W.) = v^Viu:.)?
Рассмотрим сначала случай: и — скалярное поле. Тогда
Vi =	= diU, VjVi = djVi - fjiVk = dj(diu) - Гкцдки,
Vb(Vi]«) = д[/<Эгр) -	= 0.
Рассмотрим теперь случай: ur — поле ковариантного вектора.
Тогда
Vir : VjtXr = 9iUr — [\ГОД,
VjVjr = djVir rJj.Vjg — rJjVgr =
= dffib - гЬь) - г» (Au, - r?gUfc) - r’ =
= djdiUr - (d^r)uk - r^rdjUk - I^diUg + r’.rt9ufc -1* Vflr.
В итоге получаем
V[jVj]Ur = — (%[\]г +
Обозначение:
КЦ’- -гад» +Ц|,ф.	(3.1)
Теорема. 2?^r — тензор (он называется тензором кривизны или
тензором Римана—Кристоффеля).
§3. Тензор кривизны
89
Доказательство следует из того, что	— тензор и
Uk — произвольный ковариантный вектор.
Пример. Вычислим тензор кривизны /Г*. В прямолинейной системе
координат gij — const, поэтому дкд^ = 0, так что Г,* = 0. Отсюда следует
(см. (3.1)), что в указанной системе координат Rij^ = 0. Так как —
тензор, то R^ г = 0 в каждой точке в любой криволинейной системе координат.
Далее (в § 5) мы увидим, что существуют V”, для которых	/ 0.
2.	Аналитические свойства тензора кривизны
2.1.	Тождества, которым удовлетворяет тензор кривизны. Опустим у тен-
зора кривизны верхний индекс, т. е. введем
Rij.kr = S/rsRijJs J
Rijjcr называется ковариантным тензором кривизны.
Используя связь коэффициентов связности с координатами мет-
рического тензора и их производными (см. п. 2 § 2), несложно доказать
формулу
= 1 ( &9ir	g2gjfc _ &9ik * &9jr \
J,fcr 2 \dx^dxk	dxidxr дх^дхг	дх*дхк/
+9И(спк-грл)-
Имеют место тождества:
1-	~ R(ij),kr — 0 (см. (3.1));
2.	-R(y’fcjr = 0, Л[ол]г = 0 — тождество Риччи (также см. (3.1));
3.	/Zij.kr = Rkr,ij (см. приведенную выше формулу для ковариант-
ного тензора кривизны);
число существенных компонент тензора, удовлетворяющего ус-
ловиям 1-2-3, равно п2(п2 - 1)/12 (вывод опускаем);
4.	V[e.R{jj>fc’r = 0, Vfe-Rijj.kr = 0 — тождество Бианки. Так как
в левых частях этих равенств стоят тензоры, то достаточно провести
выкладки, выбрав какую-либо удобную координатную систему. Возь-
мем координатную систему, геодезическую в той точке, для которой
доказывается равенство. Тогда в этой точке Г’*. = 0 и, следовательно,
90
Глава 3. Риманова геометрия
Vs = д8 для тензоров любого типа (см. п. 6 § 2); речь здесь, разумеется,
идет только о первых производных. Но очевидно, = 0, а
= №)г$ь+iWj) = о,
так как = 0 в рассматриваемой точке.
По тензору RijjS строятся тензоры:
•	Rij = Rikjk — тензор Риччи, R^ = Rp,
•	R = Rijgv — скалярная кривизна,
дающие частичную информацию о кривизне V".
2.2. Повторное ковариантное дифференцирование и тензор кривизны.
Имеют место следующие формулы:
V[iVj]it = 0,
где и — скалярное поле (см. п. 1);
V[jVjjWfc =	Us
(см. п. 1);
V[jVj]ii =	и
(вывод совершенно аналогичен проведенному в п. 1);
1 р	....
vi<vx:j = -о Е	+
fc=l
1	«
2	fc=i
(выведите сами).
2.3.	Теорема. Пусть на V” заданы поля u,v,... тензоров некоторых
типов. Пусть w — тензорное поле и координаты w суть полиномы
от координат u,v,..., метрического тензора (с верхними и нижними
индексами) и их производных до некоторого порядка. Тогда w выражается
с помощью операций тензорной алгебры над it, v,..., тензором кривизны,
их ковариантными производными до некоторого порядка, метрическим
тензором и нулевыми тензорами.
§3. Тензор кривизны
91
Формулировка и доказательство эквивалентного этому утвержде-
ния2^ использует важные понятия нормальных координат и тензорных
расширений (темы, нами не затронутые).
3. Геометрический смысл тензора кривизны. В определении парал-
лельного переноса фигурировала кривая, по которой совершается пе-
ренос. Как зависит результат переноса от выбора кривой, соединяющей
заданные начало и конец?
Пусть I: х = x(t), й t — ориентированная кривая,
соединяющая точки а и b, а = x(t\), Ъ = ж(£з)- Параллельный перенос
векторов вдоль I из а в b определяет отображение Г” (а) на Т"(Ь);
это отображение является, как следует из результатов предыдущего
параграфа, линейным и изометричным; обозначим его 7>(1). Отметим,
что если кривая I получена из I изменением ориентации, то 7>(1)
и Т>(1) — взаимно обратные отображения.
Зафиксируем теперь какую-либо замкнутую ориентированную
кривую I. Для каждой точки х, лежащей на I, определено отображение
С(х) касательного пространства Т"(ж) на себя: С(х) — 7>(1), если
считать эту точку началом и концом I.
Очень простым и очень важным является следующее утверждение.
При фиксированной кривой I линейные преобразования С(х) и С(х)
подобны для любой пары точек х и х на этой кривой.
Докажем это. Очевидно (см. рис. 4),
С(ж) = Т>(а;ж)Т>(жа;),
С(ж) = Т>(я;ж)Т>(жа:).
Поэтому
С(ж) = 7?(жж)С(ж)7?“1(жз:),
что доказывает подобие С(ж) и С(®).
Рассмотрим ситуацию, когда контур I мал. В этом случае ортогональ-
ное линейное преобразование С(х) близко к единичному: С = I + В,
2) См., например: Thomas Т. Y. The differential invariants of generalized spaces. — Cambr.
Univ. Press, 1934.
92
Глава 3. Риманова геометрия
В — мало. Ортогональность С дает ((Г + В)и, (I + В)и) = (и, и),
т. е. (Ви, и) + (и, Ви) + (Ви, Ви) = 0. Пренебрегая членом (Ви, Ви),
имеющим второй порядок малости, получаем (Ви, и) + (и, Ви) и 0:
билинейная форма, соответствующая В, близка к антисимметричной.
Оказывается, если контур мал, то главная часть малого линей-
ного преобразования В определяется тензором кривизны в точке х,
касательной плоскостью к малой площадке, ограниченной I, площа-
дью этой площадки, выбранным на I направлением.
Перейдем к точным формулировкам. Зафиксируем в V" точку х.
о
Рассмотрим какое-либо V2, проходящее через х. Возьмем на V1 за-
'	о
мкнутую несамопересекающуюся ориентированную кривую I длины h,
начинающуюся и кончающуюся в точке х. Далее h — малая величина,
I ограничивает на V2 малый ориентированный участок <т. Будем харак-
теризовать а парой векторов d и d, касательных в х к V2 и таких, что
1	2	о
площадь параллелограмма тг, построенного на d и d, равна (с учетом
1	2
ориентации!) площади а; соответствующие обозначения: пл тг, пл а
(рис. 5).
Образуем тензор w3 — 2 d d3; w3 называется бивектором, ха-
1 2
растеризующим а. Заметим, что d и d определяются нашими требо-
1	2
ваниями неоднозначно, в то время как w определено однозначно.
Возьмем теперь какой-либо вектор u G Тп(х). Перенесем его па-
раллельно по I. Мы получим в результате вектор и G Т"(ж). Обозначим
Ди = и — и. Пусть RijjS — тензор кривизны в точке х.
§3. Тензор кривизны
93
Теорема. Диг = - Я-’*	ufc + O(/i3).
Другая формулировка этой теоремы. Как уже говорилось, при
фиксированной кривой I вектор Ди получается из и линейным пре-
образованием Диг = Bfc uk, В зависит от I. Теорема утверждает, что
Brk = ^krwij-VO(h3).
Отметим, что если контур I «не слишком сплющен», то — величины
порядка h2; в этом случае -Rijj/w'3 является линейным преобразова-
нием, дающим главную часть приращения и.
о
Доказательство. Зафиксируем систему координат, в которой
будем проводить все выкладки. Без ограничения общности можно счи-
тать, что х* = 0. Далее значком 0 внизу будем помечать значения
рассматриваемых величин в точке х; например, Г# и т. п. Введем на I
в качестве параметра s — длину дуги; будем обозначать d/ds =
Так как и мы переносим параллельно, то
Диг =
J dur = -J T^dx9.
i	i
Ha l имеет место gijx'x3 = 1, поэтому xl = 0(1), так что х' = 0(h).
Легко убедиться в справедливости следующих равенств:
г^ = г^ + (ад Xk + O(h2), tf = O(l), <? = <? +0(h).
о	о	о
Так как
X
и*(х) = U* - J rljk(y)u3(y)dyk,
X
о
где интеграл берется по части I, то
и\х) = и*-$к^хк + 0(112).
94
Глава 3. Риманова геометрия
Поэтому
д«г=-/(г«+(ад/+о(л2))(“‘-г^Л"+о(л2))<;?=
I
= ~ 0^ 0* /~ о ~ о*f хк^ +
I	I
Очевидно, У da? = 0. Мы хотим доказать, что
I
^kj~ f xkd^ = O(h3).
i
Упростим нашу задачу. В формулировке теоремы величины Диг
и ик являются тензорами. Поэтому для доказательства тео-
ремы мы можем выбрать любую систему координат. Возьмем такую
систему координат в V", в которой V2 является координатной по-
верхностью ж1, х2, а в V2 возьмем координаты так, чтобы касательные
векторы к координатным линиям ж1 и х2 в точке х были ортонорми-
о
рованы и кратчайший поворот от первого из этих векторов ко второму
был в направлении обхода I. Очевидно, wkj и J xkdxj равны нулю,
i
если к > 2 или j > 2. Тем самым, так как
все свелось к доказательству того, что
w
J хх dx2 = O(h3).
l
В выбранной системе координат
12	2 1	12
пл а = пл тг = d d — d d =w ,
12	12
а также
плсг =	у/диЯн - ^2dxx dx2.
§ 3. Тензор кривизны
95
Но в точке х имеют место равенства рп = дц = 1 и рп = 0. Тем
самым, на а имеет место л/Р11Р22 — 9п = 1 + 0(h) и» следовательно,
JJ }/011022
dx'dx2 + O(h3) = J xxdx2 + O(h3).
a 1	и	I
Поэтому
w12 = пл a = y* xxdx2 + O(h3),
l
что и требовалось.
Для завершения доказательства теоремы достаточно заметить, что
wfej = —u?fc, поэтому
-WT, -	+ г^гу «А* =
Доказанная в этой теореме формула для линейного преобразо-
вания В обладает теми свойствами, которые были указаны перед ее
формулировкой. А именно:
• билинейная форма В^д^, соответствующая В, мало отличается
от антисимметричной, так как
^k9jr =	+ O(h ), a Rijjgr = ~Rij,rki
• главная часть В* пропорциональна площади а (при фиксирован-
ной плоскости, касательной к тому V2, в котором мы брали I);
действительно, wu пропорционально площади a, RijjS не зави-
сит от I, RijjJw'i пропорционально площади а.
Задача. Доказать, что при тех же обозначениях
&Ur = "RfrWuk + О(Л3);
вычислить .
96
Глава 3. Риманова геометрия
4. Условие того, что Уп — локально евклидово. Два римановых
пространства называются изометричными, если существует их диффео-
морфизм, при котором расстояния между соответствующими парами
бесконечно близких точек равны. Риманово пространство называет-
ся локально евклидовым, если каждая точка этого пространства имеет
окрестность, изометричную некоторой области евклидова пространства.
Пример. На торе можно ввести метрику, превращающую его в локально
евклидово пространство. Действительно, введем на торе координаты А, р, как
в примере 3 (п. 1 § 1 гл. 2) (или х, у, как в примере 4 (там же)), и в этой
системе координат зададим координаты метрического тензора, например, так:
511 = 522 = 1> 512 — 521 = О-
Теорема. V" локально евклидово тогда и только тогда, когда
тензор кривизны в каждой точке У” равен нулю.
Доказательство. Если V" локально евклидово, то его тензор
кривизны в каждой точке равен нулю. В самом деле, возьмем диффео-
морфизм, осуществляющий изометрическое отображение и, выбрав
в Я” какую-либо систему координат, введем в У" соответствующую ей
координатную систему. Из равенства расстояний между соответству-
ющими парами бесконечно близких точек следует, что метрические
тензоры У” и Я” в соответствующих точках равны. Поэтому тензоры
кривизны У? и Я” в соответствующих точках также равны. Но тензор
кривизны Я” нулевой, следовательно, и тензор кривизны в каждой
точке У” нулевой.
Пусть тензор кривизны в каждой точке У" нулевой. Возьмем ка-
кую-либо точку х € У”. Ясно, что для доказательства того, что Vя
локально евклидово, достаточно построить в окрестности х такую ко-
ординатную систему х1,хп , в которой gyy постоянны, что эк-
вивалентно Гу*< = 0. Возьмем какую-либо координатную систему
ж1,..., хп. Используя формулы изменения Г при переходе от х1,..., хп
к ж1,... ,хп,
г* _ дк д! дз', дк
Tij - AKAi Aj + A*, dxidxj,
и учитывая, что Гу*/ = 0 эквивалентно А*/А-А?г£'у = 0, получаем
уравнения
*	* д2х^
Г.-,- = Al—-?—.,
'3	к дхгдхЗ
§3. Тензор кривизны
97
дх'дх^ 4 дхг
Совокупность последних уравнений — необходимое и достаточное
условие того, что = 0. Эти уравнения разбиваются на группы,
в каждой из которых к' — какое-либо фиксированное. Тем самым мы
получаем п экземпляров системы уравнений
= гг
5®*5®з ^дхт'
Обозначив di<p = ф,, получим систему уравнений
=	(3.2)
Ее нужно решить п раз (для к' = 1*, 2*,..., п). Зададим условия
(3.3)
° о
где ipi берем такими, чтобы det ||	|| /= 0. Если эти ф^х) найдены,
о	о
то в силу равенства Rot = 0 (см. (3.2) с учетом равенства = Г^),
для каждого к' существует скалярная функция <р(®), для которой ф =
и
Grad <р (см. теорему Пуанкаре в п. 3 § 2 гл. 2). Возьмем х = р. Для
этих переменных
д(хх',... ,хт!)
с^®1,..., хп)
= det||$'||^O,
поэтому по теореме о неявных функциях переменные ж1,..., хп по-
рождают в некоторой окрестности х допустимую систему координат.
Итак, достаточно доказать разрешимость системы (3.2) при усло-
вии (3.3). Без ограничения общности можно считать, что точка х имеет
нулевые координаты.
Для каждого к' будем строить решение за п шагов.
Из (3.2) при j = I имеем
d^i = ГгиФг.	(3.4)
Мы получили задачу Коши (3.4), (3.3) для системы обыкновенных
дифференциальных уравнений. Эта задача имеет решение и тем самым
98
1лава 3. Романова геометрия
определяет все V’» в некоторой окрестности х вдоль координатной
линии ж1.
Затем аналогично, используя &2~Ф1 = Г^г и уже вычисленные
значения $ вдоль координатной линии х1, определяем все ipi в не-
которой окрестности х в двумерной координатной поверхности ж1, ж2
и т. д. Мы получим все ipi в некоторой n-мерной окрестности ж. Нужно
показать, что в этой окрестности имеет место (3.2).
Доказательство осуществляем индукцией по номеру шага указан-
ного выше способа построения функций Итак, пусть все опре-
делены в некоторой окрестности ж при хт = ... = ж" = 0 и для
о
j т — 1 выполняется (3.2). Доопределим в некоторой окрестно-
сти х на поверхности ж1,..., хт равенством
о
Mi = r^r.	(3.5)
Мы должны доказать, что на этой поверхности имеет место
= ^згФг
при s = 1,..., т — 1 (при s = т эго равенство выполняется в силу
(3.5)). Обозначим
zsi = ^згФг-
Из (3.5) имеем
dmzsi = двдтФг siPPr	=
= да(Гг^г) - (dmrrsi)& -	=
=	+ г^г - (dmrr8i)ipr - г;г^л =
=	Ipr 4" Pmizsr ~ Pmizsrt
последнее равенство справедливо в силу того, что = 0.
В силу индуктивного предположения zer = 0 при хт = 0.
Мы получили для z8i линейные однородные уравнения
@mzsi = ^mizsr
и нулевые начальные условия
Zsi = 0 при хт = 0.
Отсюда следует равенство z^ — 0, что завершает доказательство теоремы.
§4. Коротко о пространствах аффинной связности 99
§ 4. Коротко о пространствах аффинной связности
В § 1-3 настоящей главы рассматривалось гладкое многообра-
зие X", оснащенное полем билинейной формы д^, удовлетворяющей
требованиям, изложенным в п. 1 § 1. Изучение X", оснащенного ка-
кими-либо дополнительными структурами, — это один из основных
приемов построения различных геометрических теорий (в предыдущей
главе мы рассматривали X" без каких-либо дополнительных структур).
Можно, например, изучать X4, в котором фиксировано тензор-
ное поле д^, удовлетворяющее следующим требованиям: д^ = gji,
канонический вид квадратичной формы gijz'z3 имеет один положи-
тельный и три отрицательных коэффициента (это частный случай так
называемого псевдориманова пространства). Этот пример имеет важ-
ное значение для общей теории относительности и релятивистской
теории гравитации.
Еще один важный для физики пример. На X2" определено тен-
зорное поле gij, удовлетворяющее условиям: д^ = — gji, det ||<7у|| /
0,	= 0 (так называемая симплектическая геометрия).
Мы сейчас совсем кратко и без доказательств рассмотрим неко-
торую иную геометрическую конструкцию.
Если обратить внимание на формулы, связанные с параллель-
ным переносом в V", то можно заметить следующее. После того, как
введены коэффициенты связности Г’*, все последующие конструк-
ции используют только эти коэффициенты, сам метрический тензор
больше не нужен. Это обстоятельство дает возможность построения са-
мостоятельной теории параллельного переноса на X”, по отношению
к которой теория параллельного переноса в V" — частный случай.
Определение. Пространством аффинной связности Ln назы-
вается комплект, состоящий из гладкого многообразия X" и опреде-
ленного на нем поля коэффициентов связности Г‘ь преобразующихся
при переходе к новой системе координат следующим образом:
Г}*» = A* A3fA^r*jk + A}
Примеры.
1. V" можно превратить в Ln (см. §2);
100
1лава 3. Риманова геометрия
2; Я" .можно превратить в I": в прямолинейной системе координат
Г# = 0; возникающий параллельный перенос (см. ниже) совпадает с парал-
лельным переносом, порождаемым линейной структурой К*.
Заметим, что равенство r*fc = в общем случае не предполагается.
Обозначение: S& = Гщ.
Теорема. 8$ — тензор (так называемый тензор кручения).
Обобщая на Z" полученные нами формулы параллельного переноса
в У*, нужно внимательно следить за порядком нижних индексов у Г^.
Определение. Вектор и* из Т”(а:) перенесен параллельно в
Т”(а: + dx), если его координаты становятся равными u* + du*, где
du* + r*jjeu?dxk = 0.
Теорема. Определенное таким образом понятие параллельного пе-
реноса вектора в бесконечно близкую точку не зависит от выбора коор-
динатной системы.
Параллельный перенос векторов определяет, и притом однознач-
но, параллельный перенос тензоров любого типа (см. п. 3 § 2). Соот-
ветствующие формулы имеют вид
•	du = 0, где и — скаляр;
•	dvi - T3ikVjdxk = 0, где vt — ковектор
(для тензора произвольного типа выведите сами).
Основанные на введенном параллельном переносе ковариантный
дифференциал и ковариантная производная (ср. с п. 4 § 2) задаются
формулами:
•	Du.'.. = VkU.'..dxk, и... — тензорное поле любого типа;
•	= dkU, и — скалярное поле;
•	+ !>?;
•	VkVi = dkVi - rJikVj
и так далее для любых тензорных полей.
Обозначение:	= -2(ф,-Г1ВД +	<с₽- с формулой
(3.1)). Как и раньше, вертикальными черточками отделяются индексы,
не входящие в группу, по которой проводится указываемая симметри-
зация (в данном случае — альтернирование). Так как в £" нет операции
поднятия и опускания индексов, то три точки перед верхним индексом
§ 4. Коротко о пространствах аффинной связности
101
в обозначении Rijjc8 — лишние. Они все же оставлены в этом обозна-
чении для сохранения преемственности с обозначением для риманова
пространства.
Теорема. Rij^8 — тензор (тензор кривизны).
Пример. В Я" справедливо Sjk = 0, Rfif — 0.
Имеют место формулы:
•	= гДе и ~ скалярное поле;
•	V[iVj]Ufc =	"I”
•	+^ruk
и так далее.
При переносе векторов и ковекторов по малому контуру главная
часть приращения определяется формулами
и VV,
2 J	2 J
Здесь wv — бивектор, характеризующий малый участок, ограниченный
указанным контуром. Точные формулировки не приводим.
Геодезическая — это график решения системы обыкновенных
дифференциальных уравнений
d2^’	4 da? dxk _
+rik~dt~dt = °'
Геометрический смысл этой системы уравнений: касательный вектор,
переносимый вдоль кривой (рассматриваемой с учетом некоторой ее
параметризации), переносится параллельно.
Определение. Абсолютным параллелизмом называется свой-
ство Ln, состоящее в том, что для каждой его точки существует такая
окрестность, для которой результат параллельного переноса осуществ-
ляемого по кривым, лежащим в этой окрестности, зависит только от на-
чальной и конечной точки кривой и не зависит от пути, соединяющего
эти точки.
Теорема. В Ln имеет место абсолютный параллелизм тогда и
только тогда, когда тензор кривизны нулевой.
102
[лава 3. Риманова геометрия
Определение. Ln — локально-линейное, если для каждой его
точки существует такая ее окрестность и такой диффеоморфизм этой
окрестности на некоторую область Rn, что параллельный перенос век-
торов в бесконечно близкие точки в этой окрестности эквивалентен
параллельному переносу в Я" соответствующих векторов.
Теорема. Ln локально-линейное тогда и только тогда, когда его
тензор кривизны и тензор кручения нулевые.
Доказательство фактически совпадает с доказательством тео-
ремы п. 4 § 3. Нужно только фразу «Ясно, что для доказательства того,
что Vй локально евклидово, достаточно построить в окрестности х
такую координатную систему х1,..., хп , в которой постоянны,
что эквивалентно Г}# = 0» заменить на «Ясно, что для доказательства
того, что Ln локально-линейное, достаточно построить в окрестности
х такую координатную систему х1,..., хп , в которой = 0».
§5. Пространство V2
Пространство У2 — очень важный частный случай У”, достойный
самостоятельного изучения. В примере п. 2 § 1 было указано, что V2,
погруженное в Н3, интересный объект для исследования. Ниже мы
кратко рассмотрим некоторые свойства V2 (и У2, погруженного в Я3),
связанные с тензором кривизны.
1. У2, общие свойства кривизны. При п = 2 число существен-
ных компонент тензора кривизны У” равно единице; действительно,
-R|2,12 = —Я12,21 = — Кц,12 = Я21,21, остальные координаты нули. Кри-
визна пространства в заданной точке, таким образом, полностью ха-
рактеризуется одним числом. Возьмем в качестве этой характеристики
число, не зависящее от выбора системы координат, а именно число К,
£ = jjk-
'У	J Ijt1*
Легко подсчитать, что
— ~^12-12
911922 - Р12
2
§ 5. Пространство V
103
Действительно,
К = jW/ = Ranlg"^ - (д'2)2)-
Но
<7 V - (/)2 = det
9П 9П
№
= det
9и 9п
921 922
1
9п922 - 9п
Определение. К, называется гауссовой кривизной V1.
Задача. Вычислить гауссову кривизну сферы радиуса г в евклидовом
пространстве.
Решение. Воспользуемся обозначениями и результатами вычислений
задачи п. 2 §2.
Учтем, что из величин Гу только Га, Г22 и Га, быть может, отличны
от нуля. Используя формулу, определяющую (см. (3.1)), получим
-К12.12 = ~2(ф1Г2]1 + Гь[1Гг]1) == —^Г21 - Г21Г21 = 1.
Поэтому
Я12.12 = В-\2*9рг = г2 cos2 ff,
откуда
д; — ^iT.i2 _
" 911912 ~ 912 ~ г1'
Таким образом, К = 1/г2 в каждой точке сферы.
Приведенный результат очень важен: мы получили пример V”
с ненулевой кривизной.
Возьмем в V1 какую-либо замкнутую кривую I, ограничивающую
компактный ориентируемый участок (замыкание области с кусочно
гладкой границей) а. При параллельном переносе векторов вдоль I,
придя в начальную точку, мы получим ортогональное преобразова-
ние С в касательном в этой точке пространстве. Так как а — ори-
ентируем, то С сохраняет ориентацию. Ортогональное преобразова-
ние на евклидовой плоскости, сохраняющее ориентацию, есть пово-
рот. Обозначим w — угол этого поворота. Положительное направление
отсчета ш определим направлением переноса по I: поворот соответ-
ствующего касательного вектора внутрь а положителен. Легко видеть,
104
Глава 3. Риманова геометрия
что значение ш с учетом знака, определенного указанным выше пра-
вилом, не зависит от направления переноса по Z: при изменении этого
направления на противоположное мы получим противоположный по-
ворот, но и правило, определяющее знак ш, даст противоположный
результат. Значение ш определено, разуме-
ется, неоднозначно, ш и ш + 2ктг, где к —
целое, неразличимы; точнее было бы гово-
рить: ш — одно из значений угла поворота.
Значение ш не зависит от выбора той точки
на Z, из которой (и в которую) мы переносим
вектор; это следствие утверждения, доказан-
ного в начале п. 3 § 3.
Пример. Возьмем в качестве V2 конус с
затупленной вершиной. Нарисуем на плоскости
развертку той части, которая получится, если от-
резать затупленный кусок; обозначим а угол раз-
вертки полного конуса (рис. 6,7).
Так как параллельный перенос определяется метрическим тензором, то
параллельный перенос в соответствии с геометрией V2 здесь эквивалентен
параллельному переносу на развертке в соответствии с геометрией евклидовой
плоскости. Тогда, очевидно, для любой замкнутой кривой I, однократно охва-
тывающей вершину и не проходящей по затупленной части, и> = 2тг - а.
Рис. 7
§5. Пространство V2	105
Для произвольного V2 имеет место
Теорема Леви-Чивиты. ш = J'J' К. da, da — элемент площади
а
(здесь мы имеем дело с интегралом 1 -го рода).
Доказательство разобьем на три части.
1.	Пусть длина h кривой I мала. Покажем, что
w- ff Kda = O(h3).
а
Ясно, что доказательство надо провести, используя основную теорему
о геометрическом смысле тензора кривизны. В соответствии с этой
теоремой (см. п. 3 § 3):
С = 1 + В, В}=	+ O(h3).
Возьмем точку х на кривой I. Выбрав систему координат, в которой
о
е\(х) и е2(х) ортогональны, нормированы и кратчайший поворот от е\
к ег положителен, легко вычислить, что для В(х) с точностью до O(h3)
имеет место
В}=0, ^ = 0,	=-Bl2 = RnA2wn = K(d'd2 - d2 d').
12	12
Но в этой системе координат выражение d1 d2 — d2 d1 равно площади
12	12
параллелограмма, построенного на d и d, а матрица
1	2
Ci С2	1	-В?
,	. , равная _	,
С2 С2	Bl 1
(В? — мало, В? = О(Л2)) с точностью до (В\)2 есть матрица поворота
на угол Bi. Поэтому ш = К(х) • пл а + O(h3), откуда следует нужное
соотношение.
2.	Пусть ориентируемый компактный участок а, ограниченный
кривой I, разбит на два участка ai и а2; граница ai есть Ц, грани-
ца ста — h- Пусть u>i — угол поворота векторов при полном обходе
по 11, ш2 — аналогичный угол для 12, а> — для I. Тогда u> = u>i + ш2.
106
Глава 3. Риманова геометрия
Смысл этого утверждения легко
непосредственно усмотреть из рис. 8.
Так как угол поворота при пере-
носе по замкнутому контуру не зави-
сит от выбора начальной точки, то для
переноса по li,h, I можно в качестве
такой точки взять какую-либо точку,
общую для I2,1 (точку а на рис. 8).
Тогда, как легко видеть, при надлежа-
щем направлении обхода перенос по I эквивалентен переносу по 1\,
а затем по h- После переноса по 1\ вектор повернется на шь после
переноса по I2 - еще на всего он повернется на + и>2.
3.	Разобьем участок о, фигурирующий в условии теоремы, на ма-
лые участки о-], 02,..., On так, чтобы длины ограничивающих их кон-
туров были порядка h (h — малое число), а площади участков поряд-
ка h2. Ясно, что N — величина порядка 1/Л2. (Приведенное рассуж-
дение требует некоторых уточнений, мы на них не останавливаемся.)
Сумма углов поворотов, соответствующих отдельным участкам, будет
равна
1
fCda+O(h).
Следовательно,
ш= JCda + O(h).
В силу произвольности h отсюда получается утверждение теоремы.
Далее криволинейным N -угольником в X2 называется компактное
множество, являющееся замыканием области гомеоморфной Я2, гра-
ница которой состоит из N сторон — гладких кусков кривых. Анало-
гичный смысл имеет понятие криволинейного многогранника в X".
Теорема Гаусса. Возьмем в V2 криволинейный N-угольник Q.
Пусть стороны Q — геодезические. Пусть «,...,« — внутренние уг-
лы Q. Тогда
N
^a-7r(N-2) =
i=l ’
§ 5. Пространство V2
107
Для облегчения восприятия и запоминания этой теоремы отметим
следующее. В геометрии Н2 сумма углов TV-угольника с геодезически-
ми (то есть прямолинейными) сторонами равна ir(N — 2). Теорема
Гаусса утверждает, что в геометрии V2 это выражение дополняется сла-
гаемым JCda.
Q
Доказательство. Рассмотрим сначала частный случай: Q —
достаточно малый треугольник.
Возьмем какой-либо ненулевой вектор в какой-либо внутрен-
ней точке какой-либо стороны этого треугольника и перенесем этот
вектор параллельно вдоль сторон, вернув- '"х
шись в результате переноса в начальную
точку. При параллельном переносе векто-	\
ра вдоль стороны он сохраняет угол со сто-	Д
роной (сторона — геодезическая, каса-	'у
тельная к ней переносится параллельно,	/
угол между двумя параллельно переноси- у'
мыми векторами сохраняется). При пере-
ходе через вершину угол между переноси-
мым вектором и стороной, как легко ви-
деть (см. рис. 9), уменьшается на % — а, где а — внутренний угол Q
з i _ °
в этой вершине, т. е. увеличивается на на а — тг. После обхода всех
>
з
трех вершин угол увеличится на а - 3%, это и есть угол поворота.
»=1 ’
По теореме Леви-Чивиты имеем
а - Зтг = уу* K,da + 2Аяг, к — целое,
<=i	Q
т.е.
ICda + 2(А: + 1 )тг.
i=1	Q
108
Глава 3. Романова геометрия
Но для малого Q имеет место
и следовательно,
з
^2 а - тг — мало и
»=1 *
УУ* K-dcr — мало,
Q
Рассмотрим теперь общий случай: Q — произвольный много-
угольник. Вспомним какое-нибудь доказательство формулы для суммы
внутренних углов TV-угольника на евклидовой плоскости, сводящееся
к формуле для суммы углов треугольника. Разбивая Q на малые тре-
угольники, стороны которых геодезические (возможность такого раз-
биения мы принимаем без доказательства), и внося соответствующие
изменения в рассуждения, получим доказательство теоремы для V2.
2. V2, побуженное в Н2. Сферическое отображение. Пусть V2 по-
гружено в Я3. Тем самым локально можно рассматривать V2 реали-
зованным в виде гладкой поверхности в Я3. Пусть V2 ориентируемо.
Возьмем в Я3 единичную сферу S: (и, и) = 1. Осуществим отоб-
ражение V2 в S следующим образом. Построим в каждой точке V2
единичную нормаль так, что это поле нормалей непрерывно (все нор-
мали направлены в какую-то «одну сторону» V2). В силу ориентиру-
емости V2 построение такого поля возможно. Нормаль п(х),х 6 V2,
перенесенная в начало координат; дает точку на S.
Это отображение
п: V2 -> S
называется сферическим отображением V2.
Важное свойство отображения п: касательная плоскость к V2
в точке х параллельна касательной плоскости к S в точке п(ж) (обе эти
плоскости перпендикулярны п(х)).
Рассмотрим какой-либо компактный участок <т на V2. Пусть
п(<т) — образ этого участка при сферическом отображении; мы бу-
дем говорить о площади этого образа (обозначение: пл п(а)). Эта
площадь берется с учетом знака, который определяется следующим
правилом. Возьмем х G V2. Как уже говорилось (см. § 1 гл. 2), отобра-
жение п определяет дп(х)/дх — линейное отображение касательно-
го пространства Tvi(x) в касательное пространство Ts(n(i)). Так как
§ 5. Пространство V2	109
Туг(х) и Ts(n(x)) параллельны, то дп(х)/дх можно считать линейным
преобразованием в Ту г (ж) (или в Ts(n(x))). Тем самым, определено по-
нятие sign det (дп(х)/дх)', этот знак, кстати сказать, не зависит оттого,
какое именно из двух полей нормалей п(а?) мы взяли.
Знак р,
5п(а:)
имеет следующий геометрический смысл. Пусть р 0, тогда по тео-
реме о неявных функциях отображение п — взаимно однозначное
в некоторой окрестности х. Возьмем на V2 в окрестности х несамо-
пересекающийся малый контур I, пробегаемый в некотором направле-
нии. Ему соответствует на S замкнутая кривая п(1), направление об-
хода которой индуцируется направлением обхода I и отображением п.
Спроектируем ортогонально контур I на Tyi(x) и п(1) на Ts(n(i)); по-
лучим, соответственно, кривые I и n(Z), пробегаемые в определенных
направлениях. Тогда, если р > 0, то n(Z) тоже несамопересекающийся
контур и направление его обхода совпадает с направлением обхода I
(напомним: I и n(Z) лежат в параллельных плоскостях). Если р < 0, то
n(Z) несамопересекающийся контур и направление его обхода проти-
воположно направлению обхода I.
Если для участка а отображение п является взаимно однозначным
отображением на п(ст) и sign р постоянен на ст, то пл п(ст) по определе-
нию берется с этим знаком. Если ст разбивается на несколько участков
Ст],..., ст*;, для внутренней части каждого из которых площадь образа
может быть определена указанным выше способом, то по определению
к
пл п(ст) =	ПЛ n(CTi).
»=1
Можно доказать, что множество на S тех п(х), для которых р  0,
имеет меру нуль (некоторое более общее утверждение — важная теоре*
ма Сарда), поэтому при подсчете пл п(ст) это множество можно не УЧИ*
тывать.
Далее ограничимся случаем, который очень нагляден: V3 pt>
бивается на конечное число участков, на внутренней части каждого
из которых отображение п взаимно однозначно и sign р постоянен.
по
1лава 3. Риманова геометрия
Имеет место
Теорема.
пл п(а) =	Kd<r.
и
Доказательство. Рассмотрим сначала случай, когда а — ма-
лый участок, р сохраняет знак и сферическое отображение взаимно
однозначно на а. Обозначим I границу а; ясно, что n(Z) будет гра-
ницей п(а). Возьмем какой-либо ненулевой вектор и, касательный
к V2 в точке х, х € I, и обнесем его параллельно по I в соответ-
ствии с геометрией V2. Оказывается, что если этот вектор откладывать
от соответствующей точки п{х), то он будет переноситься параллельно
по п(1) в соответствии с геометрией S. Действительно, параллельный
перенос по кривой на поверхности в соответствии с геометрией этой
поверхности может быть реализован так (см. п. 5 § 2): мы перено-
сим вектор параллельно в бесконечно близкую точку в соответствии
с геометрией Н3, а затем ортогонально проектируем его на плоскость,
касательную к поверхности. Но касательные плоскости к V2 и к S
в соответствующих точках параллельны, поэтому на каждом таком
бесконечно малом шаге мы получаем совпадающие результаты. Тем
самым окончательные результаты двух указанных переносов вектора
будут также совпадать. Для угла w поворота вектора при переносе
V1
на, V2 вдоль I имеем
w = УУ ICda.
и
Для угла w поворота вектора при переносе на S вдоль n(Z) имеем
s
и = УУ IdS = | пл п(<т)|.
п(а)
Вспомнив правило определения знака w и w (см. п. 1), мы получим
с точностью до слагаемого кратного 2тг, что w = <д, если ориентации
I и n(Z) совпадают, и w = - ш, если ориентации различны. Но эта же
§5. Пространство V2	111
альтернатива определяет знак плп(а). Поэтому
fCda = пл п(о) + 2Й7г, к — целое.
<Т
Если участок о мал, то Kdcr — мало и пл п(а) — мало. Отсюда
<Т
для малого участка а следует к = 0 и
УУ JCda = пл п(о).
и
В общем случае достаточно разбить а на некоторые участки, удо-
влетворяющие условию предыдущей части доказательства, и сложить
результаты, полученные для каждого такого участка.
Теорема. Возьмем х € V2. Пусть а — малая окрестность на V2
точки х. Тогда
ч	плп(а)
К.(х) = km -----------.
diam <т->0 ПЛ <Т
Доказательство непосредственно следует из предыдущей
теоремы.
Число р(х) также есть lim (пл п(сг)/пл а) (вспомним геомет-
diam<r-»0
рический смысл знака и абсолютной величины якобиана); поэтому
р(ш) = К.(х).
Примеры.
1.	V1 — поверхность строго выпуклого тела (например, эллипсоид). На-
глядно убеждаемся (вспомним геометрический смысл знака р), что здесь р > О,
следовательно, /С > 0. Если взятое тело ограничено, то его поверхность при
сферическом отображении взаимно однозначно отображается на сферу; поэто-
му пл n(V2) = 4тг для каждой такой поверхности.
2.	V1 — седловидная поверхность (например, часть однополостного ги-
перболоида или гиперболического параболоида). Здесь, как легко наглядно
убедиться, р < 0, следовательно, К. < 0.
3.	V2 — область, лежащая на каком-либо цилиндре или конусе. Здесь
образ V2 при сферическом отображении — кривая, ее площадь равна нулю.
Поэтому К = 0 (это согласуется с тем, что такое V2 локально евклидово).
4.	Пусть V2 — тор (см. пример 3 § 1 гл. 2). Положим этот тор на плоскость
и накроем его другой плоскостью. Каждая из этих двух плоскостей касается
112
Тлава 3. Риманова геометрия
тора по окружности. Эти две окружности разрезают тор на две части. Одна
из этих частей — выпуклая поверхность, на ней /С 0; другая — седловид-
ная, на ней К 0. При сферическом отображении каждая из двух указанных
окружностей отображается в точку; соответствующие две точки — диаметраль-
но противоположны. На любую точку, отличную от этих двух, отображаются
две точки тора, одна из выпуклой части и одна из седловидной. Для первой,
как уже говорилось, К. 0, для второй К < 0. Поэтому плп(У2) = 0.
Дополнение
ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ИНВАРИАНТЫ
РИМАНОВЫХ ПРОСТРАНСТВ, ПОЛУЧАЕМЫЕ
ИНТЕГРИРОВАНИЕМ ТЕНЗОРНЫХ ПОЛЕЙ,
СТРОЯЩИХСЯ ПО МЕТРИЧЕСКОМУ ТЕНЗОРУ
Значения метрического тензора и его производных, рассматри-
ваемые в какой-либо точке риманова пространства, зависят только
от геометрии «в малом»: для определения этих значений достаточ-
но знать метрический тензор в сколь угодно малой окрестности этой
точки. В малой области метрику V" можно задать произвольно. Тем
интереснее, что для некоторых выражений, строящихся по метриче-
скому тензору и его производным, интегралы по всему риманову про-
странству, если оно компактно, или по компактным многообразиям,
погруженным в это пространство, не меняются при изменении метри-
ки этого пространства.
Тем самым, эти интегралы совершенно не зависят от римановой
метрики «в малом» в окрестности каждой точки, но зависят от строения
«в целом» рассматриваемого многообразия, в котором вводится риманова
метрика. Говорят, что эти интегралы дают топологические инварианты.
Здесь, строго говоря, нужно различать две конструкции.
1. Рассматривается гладкое многообразие и на нем различные глад-
кие метрические тензоры.
2. Рассматривается топологическое многообразие, на нем вводится раз-
личным образом гладкость и на получившихся гладких многообрази-
ях рассматриваются различные гладкие метрические тензоры.
Если значение интеграла не меняется в первой конструкции, то
говорят, что интеграл дает дифференциально-топологический инвариант',
значение интеграла — характеристика гладкого многообразия (или па-
ры: гладкое многообразие и погруженное в него гладкое многообразие).
114
Дополнение
Если значение интеграла не меняется и во второй конструкции, то
говорят, что интеграл дает топологический инвариант в строгом смысле
этого слова; значение интеграла — характеристика топологического
многообразия (или пары: топологическое многообразие и погруженное
в него топологическое многообразие).
Так как существуют гомеоморфные, но не диффеоморфные глад-
кие многообразия, то понятия «дифференциально-топологический ин-
вариант» и «топологический инвариант» априори различны.
Ниже мы приведем некоторые результаты, относящиеся к постро-
ению таких характеристик.
1. Полный интеграл от гауссовой кривизны. Пусть X2 — компакт-
ное двумерное гладкое многообразие. Пусть на X2 введен какой-ли-
бо метрический тензор д^. Мы получаем риманово пространство V2;
пусть }С — его гауссова кривизна, do — элемент площади.
Теорема.
УУ* JCdcr не зависит от выбора д^.
Доказательство. Пусть 9# и 9# — два метрических тензо-
ра на компактном гладком двумерном многообразии X2, превращаю-
щие его соответственно в V2 и V2. Геометрически ясно, что переход
от 9ij к 9ij можно осуществить за некоторое конечное число шагов,
на каждом из которых метрический тензор лишь немного меняется
в некоторой ориентируемой области. Пусть кривая I — граница этой
ориентируемой области а. Тогда
УУ K.do = ш, где w — угол пово-
рота вектора при параллельном переносе его по Л Если в некоторой
окрестности кривой I метрический тензор не меняется, то ш остается,
очевидно, неизменным. Следовательно,
УУ Kdo не меняется (из не-
изменности ш непосредственно следует; что этот интеграл меняется
на число, кратное 2тг; но так как он может меняться лишь мало, — мы
оговорили, что gij в о меняется мало, — то он вообще не меняется).
Соответствующий интеграл по остальной части X2 не меняется потому,
что там не меняется метрический тензор. Тем самым на каждом таком
Дополнение
115
шаге интеграл, фигурирующий в условии теоремы, не меняется. Сле-
довательно, он не меняется и в результате совокупности таких шагов.
Примеры.
1.	Если V2 диффеоморфно сфере, то
УУ* Kdo = 4тг.
V2
Действительно, этот интеграл равен такому же интегралу для единичной сферы,
а так как на ней К. = 1 (см. задачу в п. 1 § 5 гл. 3), то он равен площади
единичной сферы. (Сопоставьте с примером 1 п.2 §5 гл.З.)
2.	Если V1 диффеоморфно тору, то
//№=».
V2
Действительно, на торе можно ввести локально евклидову метрику. Для такой
метрики К. = 0 и, следовательно, интеграл равен нулю. (Сопоставьте с приме-
ром 4 п. 2 § 5 гл. 3.)
3.	Пусть V1 диффеоморфно «сфере с т ручками» (рис. 10). Прежде всего
вычислим Kda, где Q — одна «ручка», гладко приложенная к плоскости
Q
(рис. 11).
Дополним гладко эту «ручку» куском М до «сферы с одной ручкой»,
обозначим ее N (рис. 12). Тогда JCdo = 0, так как N диффеоморфно тору.
N
Но УУ K.da = 4тг, так как если бы мы дополнили М плоской пленкой (без
м
116	Дополнение
«ручки») до поверхности диффеоморфной сфере, то интеграл по всей этой
поверхности был бы равен 4тг, а интеграл по плоской пленке равен нулю.
Поэтому K.da = — 4л. Отсюда следует, что для «сферы с тп ручками»
Q
JJ' JCdcr = 4тг(1 - тп).
(Достаточно приставлять «ручки» по очереди, предварительно сделав участок
поверхности плоским, а затем вырезав в нем отверстие и заклеив его «ручкой».)
4.	Оказывается (мы не доказываем этого), что поверхность в примере 3
(для m = 0,1,...) — самый общий вид связного ориентируемого компактно-
го X2. Можно получить значение интеграла и для неориентируемых компакт-
ных X2. Ограничимся задачей: вычислить Xda, где V2 диффеоморфно
у2
проективной плоскости (см. пример 4 § 1 гл. 2).
Ответ: 2л.
5.	В п. 4 § 3 мы видели, что на торе можно ввести метрику, превращающую
его в локально евклидово пространство.
Задача. Можно ли на сфере ввести метрику, превращающую ее в ло-
кально евклидово пространство?
2. Интеграл Аллендорфера—Вейля. Пусть Х2п компактное 2п-мер-
ное гладкое многообразие. Пусть на X2" введен какой-либо метриче-
ский тензор gij. Мы получим риманово пространство V2n. Обозначим
Rijeka — тензор кривизны, dv — элемент объема V2n. Образуем инва-
риант (тензор нулевой валентности)
| \ jl-.-j2n
\ ~7ё /
"у о/	\уб/
(легко видеть, что W = 4JC при п = 1).
Теорема. J... J Wdv не зависит от выбора дц.
у2п
Дополнение
117
Доказательство приводить не будем Идея возможного доказа-
тельства будет изложена в следующем пункте.
Очевидно, теорема п. 1 — частный случай этой теоремы.
3. Тензорные поля Понтрягина. Возьмем какое-либо V". Для q =
= 1,2,... построим тензорные поля
_ . _	_ р ’ ’ ‘ 31 р • ’ • h р • 'Л
ТГ . 7Ttl...i4g - -%42,|Л|
(индексы Ji, j2,..., выделенные знаками |, не участвуют в альтерни-
ровании). Рассмотрим какое-либо тензорное поле Щ..^, 4р п,
являющееся линейной комбинацией с постоянными коэффициентами
внешних произведений полей, построенных выше. Возьмем в Vn ка-
кую-либо 4р-мерную цепь С4₽, имеющую нулевую границу (например,
какое-либо компактное 4р-мерное ориентированное многообразие).
Теорема.	A...Adxt4f не зависит от выбора д^.
с*р
О 1
Доказательство. Идея его такова. Пусть 9tj и 9ij два каких-
либо метрических тензора на Xя, превращающих Xя соответственно
t
в Vn и V”. Построим какое-либо семейство 9ц, 0 t 1, метриче-
о 1
о
ских тензоров так, чтобы при t = 0 получить 9ij, а при t = 1 получить
1 * 1 °
9ij, например, возьмем 9ij = t9ij + (1 -1) 9%. Тогда рассматриваемый
интеграл становится функцией t. Покажем, что его производная по t
равна нулю (производные по t далее обозначаются точкой сверху). Для
этого представим П в виде П = 5Ф (возможность такого представле-
ния — ядро доказательства). Тогда производная интеграла по t равна
у,(аФХ1..Л4/?'л...лаА
Авторское доказательство см. в статье: Allendoerfer С. В. and Weil A., Trans. Am.
Math. Soc. V. 53. № 1 (1943), где и был введен рассматриваемый интеграл.
118
Дополнение
что в силу теоремы Стокса—Пуанкаре равно
/ Ф»1.. .i4p--i <&*' А... Л dx^'.
ос^
Но последний интеграл равен нулю, так как дС?р = 0.
Само доказательство осуществляется прямыми выкладками. Разо-
бьем его на этапы.
к
1.	Пусть 9ij порождает коэффициенты связности Г”. Как уже
говорилось, Г- — не тензор. Составим = Г„. Докажем, что S,* —
тензор.
Мы ранее вывели (см. п. 2 § 2 гл. 3), что
Ц ~ Ак tJ + Ак QxifQxf .
Дифференцируя это равенство по t, получим
что и требовалось.
2.	Вычислим Rijtkr- Мы имеем (см. формулу (3.1) гл.З)
^г = -2(адЛ+ед^).
Поэтому
= -2(4,SJ» + sy& +	= -2Vn^;
последнее равенство следует из правила вычисления ковариантной
производной (см. п. 4 §2 гл. 3) и того, что = 0.
3.	Покажем, что для любого тензорного поля имеет место
Действительно,
При альтернировании no i0, ij,..., iq все Г? пропадут (Г^ симмет-
рично по i и к) и получится нужное равенство.
Дополнение
119
4.	Дальнейшие выкладки проведем, ограничившись (единственно
ради наглядности) полем 7rilf2tji4 =	Тогда
7Tii«2i3*4 —	),
последнее равенство справедливо ввиду того, что Vfi-Rj*],/ = 0 (тож-
дество Бианки, см. п. 2 § 3 гл. 3). Если взять
ТО 7Г = 5Ф.
5.	Последний этап — использование формулы Стокса—Пуанка-
ре — уже реализован при изложении идеи доказательства. Теорема
доказана2^.
Инвариантность интеграла Аллендорфера—Вейля (см. п. 2) мо-
жет быть доказана следующим способом. Будем менять метрику V2n
поочередно на ориентируемых участках (см. доказательство теоремы
п. 1) и для доказательства неизменности интеграла по такому участку
использовать выкладки, сходные с проведенными в настоящем пункте,
но более громоздкие.
4.	Существуют ли еще какие-либо тензорные поля, строящиеся
по метрическому тензору и его производным и дающие дифференциаль-
но-топологические инварианты? Уточним вопрос, стоящий в названии
пункта. Например, если мы введем любое антисимметричное ковари-
антное тензорное поле и возьмем его производную, то интеграл от этой
производной по цепи, имеющей нулевую границу, будет равен нулю.
Если мы прибавим эту производную к какому-либо полю, дающему
при интегрировании по такой цепи дифференциально-топологический
инвариант, то значение этого интеграла не изменится. Это «неинтерес-
ные» возможности. Нас интересует вопрос: какие тензорные поля при
интегрировании могут дать несовпадающие дифференциально-тополо-
гические характеристики многообразия.
Авторское доказательство см. в работах: Понтрягин Л. С. ДАН СССР. Т. 43. № 3
(1944) и Изв. АН СССР. Сер. матем. Т. 13 (1949), где и были введены рассматриваемые
тензорные поля. Приведенное доказательство взято из работы: Абрамов А. А. ДАН СССР.
Т. 81. №2 (1951).
120
Дополнение
Теорема. Пусть антисимметричное тензорное поле Ф»,...»* та-
ково, что его координаты суть функции координат тензора д^ и их
производных до некоторого порядка, определенные и аналитические для
тех значений аргументов, при которых квадратичная форма gijUUJ по-
ложительно определена. Пусть для любой k-мерной цепи Ск, имеющей
нулевую границу, интеграл j	Л ... Л dx'k не меняется при
ск
изменении д^. Тогда существует такое понтрягинское поле П, что
f Ф»,...»*^*1 Л ... Л dx'k = П^.^сЬг*1 Л... Л dx'k
ck	ck
для любой такой цепи Ск (при к^4р полагаем П = 0).
Доказательство не приводим 3\
Соответственно, в классе псевдотензорных полей, интеграл от ко-
торых не зависит от д^, единственным ненулевым (с точностью до сла-
гаемых, дающих при интегрировании нуль, и числового множителя) яв-
ляется поле Wy/gii iin в компактном V2n (определение W см. в п. 2).
Аккуратную формулировку теоремы и доказательство не приводим 4\
5.	О топологической инвариантности дифференциально-топологи-
ческих инвариантов, рассмотренных в пунктах 1—3. Оказывается, инте-
гралы, рассмотренные в пунктах 1-3, дают топологические инвариан-
ты, а не только дифференциально-топологические (разница объяснена
во вводной части).
5.1.	Разобьем компактное многообразие X2 на криволинейные много-
угольники, правильно примыкающие друг к другу (т. е. так, что любые
два многоугольника или не примыкают друг к другу, или примыка-
ют по вершине, или примыкают по стороне). Пусть Ро — число вер-
шин разбиения (т. е. точек, являющихся вершинами многоугольников),
Р\ — число сторон (т. е. кривых, являющихся сторонами многоуголь-
ников), Рг — число многоугольников. В топологии доказывается, что
3) См.: Абрамов А. А. ДАН СССР. Т. 81. № 2 (1951).
4) См.: Абрамов А. А. ДАН СССР. Т.81. №3 (1951).
Дополнение
121
число X,
X = Ро - Р\ + Р2,
не зависит от разбиения и является топологическим инвариантом.
Число х называется эйлеровой характеристикой многообразия.
Покажем, что для компактного V2 имеет место
УУ* Kda = 2тг%.
V2
Разобьем V2 на криволинейные многоугольники ст,..., ст, сторо-
ны которых — геодезические (возможность такого разбиения мы не до-
казываем). Пусть ст — это fc-угольник, i = 1...Р2.	Тогда по теореме
»	i
Гаусса (см. § 5 гл. 3) сумма углов многоугольника ст равна
irk — 2тг + УУ К, da.
О
i
Общая сумма всех углов всех многоугольников ст равна, таким образом,
X
idlP\ ~ 2тгР2 + УУ ICda-,
здесь учтено, что каждая сторона считается дважды. Эта сумма равна,
очевидно, 2тгР0. Итак,
2тгР] - 2тгР2 + УУ JCda = 2тгР0,
V2
или
УУ tCda = 2тг(Ро - Pl + Р2) = 2ТГХ.
V2
5.2.	Для компактного V2” имеет место5)
У ... ^ W dv = (8тг)пп!х-
yin
Доказательство см. в указанной статье Аллендорфера и Вейля.
122
Дополнение
Здесь W — см. определение в п. 2, у - эйлерова характеристика
V2", которая может быть определена следующим образом. Если раз-
бить компактное многообразие Хт на криволинейные многогранники,
правильно примыкающие друг к другу (т. е. так, что каждые два таких
многогранника или не примыкают друг к другу, или примыкают по вер-
шине или по криволинейной грани какой-либо размерности), то
X = Ро - Pi + Р2 - Рз + • • •,
где Ро — число вершин разбиения, Pi — число ребер (одномерных
граней), Р2 — число двумерных граней, Рз — трехмерных и т.д. В то-
пологии доказывается, что х — топологический инвариант многооб-
разия.
5.3.	Интегралы, даваемые тензорными полями Понтрягина, также
дают топологические инварианты 6\
6) См.: Новиков С. П ДАН СССР Т. 163. № 2. С. 298-300 (1965).