Автор: Клингенберг В.
Теги: анализ математический анализ функциональный анализ математика геометрия дифференциальная геометрия
Год: 1982
Текст
Grundlehren der
raathematischen Wissenschaften 230
WILHELM KLINGENBERG
LECTURES ON
CLOSED GEODESICS
Springer-Verlag
Berlin Heidelberg New York 1978
В. КЛИНГЕНВЕРГ
лекции
о замкнутых
геодезических
Перевод с английского
А. И. ГРЮНТАЛЯ
под редакцией
Д. В. АНОСОВА
Москва «Мир» 1982
ББК 22.161.6
К 79
УДК 517
Клингенберг В.
Лекции о замкнутых геодезических. Пер. с англ. — M.I
Мир, 1982. 416 с.
Монография известного западногерманского математика охватывает
широкий круг вопросов, связанных с вариационным исчислением в це-
целом, дифференциальной геометрией и теорией динамических систем. На-
Наряду с новейшими результатами, в том числе самого автора, приведены
малоизвестные достижения прежних лет. Книга удачио сочетает черты
оригинальной монографии, обзора и учебного пособия.
Для специалистов по математическому анализу и дифференциаль-
дифференциальной геометрии, аспирантов и студентов университетов.
Редакция литературы по математическим наукам
1702040000-132 „ ,© by Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1978
K ndirim_R2 7 ' Ч- A'! rlShts «served. Authorized translation from
imiuij m English language edition published by Springer.
Verlag Berlin — Heidelberg — New York.
© Перевод на русский язык с изменениями, «Мир»,
1982
ПРЕДИСЛОВИЕ
РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Изучение замкнутых геодезических было начато Дарбу [1],
Адамаром [1], Пуанкаре [1] и Биркгофом [1] *> на грани 19-го
и 20-го веков. Вопросы, которыми они занимались, были раз*
личны. Дарбу начал исследование проблемы: на каких поверх-
поверхностях все геодезические замкнуты? Работа Адамара была
посвящена поведению геодезических линий на поверхностях отри-
отрицательной кривизны (он не ограничивался замкнутыми геодези-
геодезическими, но уделил им значительное внимание). Пуанкаре напи-
написал статью о замкнутых геодезических на овалоиде (замкнутой
выпуклой поверхности); позднее Биркгоф нашел другой под-
подход к той же задаче. (Если говорить не только о замкнутых
геодезических, а вообще о поведении геодезических линий, то
надо упомянуть еще и о тех случаях, когда удается проинтег-
проинтегрировать в квадратурах соответствующие дифференциальные
уравнения **>. Это направление, естественно, возникло рань-
раньше — наиболее известные результаты здесь были получены Кле-
ро и Якоби.) Все упомянутые направления со временем полу-
получили значительное развитие. Они остаются основными направ-
направлениями в теории замкнутых геодезических и по сей день.
В ходе развития во всех этих направлениях совершился пере-
переход от двумерных поверхностей к n-мерным многообразиям
(однако некоторые результаты последних 20 лет являются но-
новыми и для «классического» двумерного случая).
Интегрирование в квадратурах когда-то было почти един-
единственным и уж во всяком случае главным методом исследова-
исследования дифференциальных уравнений вообще и уравнений геоде-
геодезических в частности. Подобное монопольное положение со вре-
временем было утрачено, а прогресс в интегрируемых задачах
надолго прекратился. Однако в наши дни интерес к интегри-
интегрируемым задачам возродился, причем многие из них прямо или
косвенно связаны с геодезическими.
*> Ссылки в квадратных скобках отиосятся к библиографии в конце кииги.
**> Замкнутые геодезические здесь не играют особой роли, но, конечно,
в таких случаях сравнительно легко исследовать их свойства и с этим связаны
интересные примеры.
Предисловие редактора перевода
Теперь о более новых направлениях. С современной точки
зрения основная проблема направления исследований, начатого
Дарбу, состоит в том, чтобы охарактеризовать важный класс
римановых пространств — компактные симметрические прост-
пространства ранга 1 *> — в терминах очень простых свойств геодези-
геодезических вроде их замкнутости. Полного решения этой проблемы
пока нет, но уже известно довольно много. В частности, в клас
сическом двумерном случае ситуация теперь выяснена.
Если направление Дарбу относится к «чистой» геометрии,
то другие направления оказали заметное влияние и за ее пре-
пределами. Это не случайно: Адамар и Пуанкаре рассматривали
свои задачи о геодезических как некие модельные задачи, в ко-
которых в относительно более простой геометрической ситуации
проявляются какие-то особенности, свойственные, быть может,
задаче трех тел. (И, как мы бы теперь сказали, вообще теории
динамических систем.) Что ж, интуиция их не обманула.
Направление, начатое Адамаром, тесно связано и отчасти
даже сливается с тем разделом теории динамических систем,
где изучаются системы с «гиперболическим» поведением траек-
траекторий. В 60-е годы в этой области теория динамических систем
безусловно доминировала над геометрией. Позднее в какой-то
степени восстанавливается паритет этих дисциплин — выделя-
выделяется круг вопросов, требующих более геометрического подхода.
К Адамару восходит также и теорема, дающая некоторую
оценку снизу числа замкнутых геодезических на замкнутом ри-
мановом многообразии (уже без каких-либо предположении о
его кривизне) в терминах свойств фундаментальной группы
многообразия. Эта теорема является простейшим и историче-
исторически первым результатом вариационного исчисления в целом —
раздела математики, в котором применяются топологические
понятия и методы для качественного исследования вариацион-
вариационных задач (существование и оценка числа экстремалей, выясне-
выяснение некоторых качественных свойств последних и соотношений
между числом экстремалей различных типов). Однако возник-
возникновение вариационного исчисления в целом как самостоятель-
самостоятельного направления произошло позднее и было связано с другой
задачей, которую рассматривал Пуанкаре.
Как уже говорилось, это была задача о замкнутых геодези-
геодезических на овалоиде. (Впоследствии выяснилось, что условие
выпуклости поверхности несущественно, а существенно только,
чтобы она была гомеоморфна сфере.) Пуанкаре предложил
*) Это сферы, проективные пространства (вещественные, комплексные и
кватернионные) и проективная плоскость Кэли, снабженные некоторой стан-
стандартной метрикой. Они встречаются в математике по самым различным пово-
поводам, и исторически все они были введены задолго до появления унифицирую-
унифицирующего понятия симметрического пространства.
Предисловие редактора перевода
некоторый подход к этой задаче и полагал, что ему удалось
доказать существование одной замкнутой геодезической без
самопересечений. Биркгоф и Морс отметили ряд пробелов в
аргументации Пуанкаре, а недавно выяснилось, что некоторые
из его утверждений в общем случае неверны (хотя кое-что этот
подход все же может дать; подробнее см. B6) *>). И тем не
менее стимулирующее влияние удачной постановки вопроса в
статье Пуанкаре оказалось столь важным, что многие считают
Пуанкаре создателем вариационного исчисления в целом. Это
неверно: вариационные соображения у Пуанкаре не играли
значительной роли — в основной части своей статьи он пытался
использовать соображения из теории динамических систем, свя-
связанные с «типичностью» определенных ситуаций. Трактовка
геодезических линий как траекторий геодезического потока
фактически была известна и до Пуанкаре, однако он, по-види-
по-видимому, был первым, кто более или менее последовательно и явно
пользовался ею **'.
Открытие современного вариационного подхода к задаче о
замкнутых геодезических принадлежит Биркгофу, доказавшему,
что на поверхности, гомеоморфной сфере, всегда существует по
крайней мере одна замкнутая геодезическая. После этого в
20—30-е гг. в работах Морса [2] и Люстерника и Шнирель-
мана [1], [2] был выработан характерный для вариационного
исчисления в целом общий прием исследования и даны прило-
приложения к задаче о замкнутых геодезических. (Самым ярким
приложением было найденное Люстерником и Шнирельманом
доказательство того факта, что на поверхности, гомеоморфной
сфере, всегда существуют три замкнутые геодезические без са-
самопересечений.) Общий прием состоит в изучении изменения
топологических свойств «области меньших значений»
/-' (]—оо, к]) для рассматриваемой функции f (последняя может
быть и функционалом, рассматриваемым как функция на не-
некотором функциональном пространстве) с изменением «уровня»
к. В «хороших» случаях изменения топологических свойств
f~'(]—°°,к]) происходят лишь при прохождении х через крити-
критические значения / и оказываются определенным образом свя-
связанными со свойствами соответствующих критических точек.
*] Ссылки в круглых скобках относятся к примечаниям редактора в кон-
конце книги. Помимо B6) см. также Аносов [5].
**> У Адамара такая трактовка выступает не столько в ходе исследования,
сколько в замечаниях по поводу полученных результатов (хотя в наши дни
геодезические на многообразиях отрицательной кривизны чаще всего рассмат-
рассматривают именно с этой точки зрения). Конечно, у Якоби при интегрировании
уравнений геодезических на трехосном эллипсоиде явно использовалась соот-
соответствующая гамильтонова система (хотя возможно и более геометрическое
изложение того же вопроса),
Предисловие редактора перевода
(В итоге получаются некие связи между топологическими свой-
свойствами области определения f и критическими точками, что поз-
позволяет, зная первые, делать заключения о последних, или на-
наоборот.) При этом топологические свойства, которые рассмат-
рассматривали Люстерник и Шнирельман, с одной стороны, и Морс —
с другой, были разными, так что можно говорить о двух раз-
разных теориях в вариационном исчислении в целом—теории
Люстерника — Шнирельмана и теории Морса. Различие между
ними сохранилось и при дальнейшем их развитии.
В «Лекциях о замкнутых геодезических» В. Клингенберга
затронуты все названные выше направления, так что читатель
получит хорошее общее представление о предмете. Однако раз-
различные вопросы и направления затронуты с разной степенью
подробности, причем большая часть книги посвящена вариа-
вариационному подходу к задаче о замкнутых геодезических *>.
Книга четко делится на две части: гл. 1—3 и гл. 4, 5. Пер-
Первая часть почти полностью посвящена вариационной теории.
(Исключение составляет § 3.3 о «типичных» свойствах замкну-
замкнутых геодезических и отчасти еще § 3.1, содержащий различные
элементарные факты о геодезическом потоке и его трактовке
как гамильтоновой системы. Эти факты используются как в
«вариационном» § 3.2, так и в «динамическом» § 3.3) Эта часть
по своему характеру представляет собой сочетание учебника
с систематическим изложением оснований. И то, и другое пред-
предполагает, чтобы изложение было детальным и по возможности
не зависело от литературных ссылок. В первой части автор явно
стремился к этому.
Половина второй части тоже посвящена вариационной тео-
теории (гл. 4, кроме части § 4.4, и § 5.1), а вторая ее половина
(§ 5.2, 5.3, а также часть § 4.4, примыкающая к § 3.3) посвя-
посвящена другим направлениям. Изложение здесь более краткое,
имеющее характер введения или обзора, а отчасти даже про-
программный характер (см. ниже). Здесь далеко не все доказыва-
доказывается, а приводимые доказательства нередко излагаются только
в общих чертах. Заинтересовавшемуся читателю следует обра-
обратиться к цитированной литературе. Литературные ссылки не яв-
являются исчерпывающими (за исключением вариационной тео-
теории, где они, во всяком случае, очень полны), однако основные
источники они содержат. В связи с этим надо сказать, что не-
невариационные направления хорошо представлены в литера-
литературе. w
Что же касается вариационного исчисления в целом, то хотя
в различное время появилось несколько книг, содержащих не-
¦) Этот круг вопросов иногда называют «периодической задачей вариаци-
вариационного исчисления в целом».
Предисловие редактора перевода
которые сведения по этому предмету (Зейферт и Трельфалль
[1], Милнор [1], Постников [1]), во всех этих книгах речь
идет о более простой двухточечной краевой задаче, тогда как
вопрос о замкнутых геодезических намного сложнее во всех
отношениях: сложнее локальная теория индекса, сложнее рас-
рассматриваемые функциональные пространства (они не являются
бесконечномерными многообразиями) и, главное, сложнее пере-
переход от различных критических точек в функциональном прост-
пространстве к различным геодезическим на исходном римановом
многообразии. Трудность здесь в том, что одна и та же замкну-
замкнутая геодезическая, обойденная 1, 2, 3 и т. д. раз, дает различ-
различные критические точки в функциональном пространстве; таким
образом, если нам удалось доказать, что в функциональном
пространстве имеется много критических точек, отсюда еще не
следует, что имеется много различных замкнутых геодезиче-
геодезических. Поэтому вопрос о замкнутых геодезических, исторически
послуживший главным стимулом при создании вариационного
исчисления в целом, требует в дополнение к общеизвестным
ныне соображениям, относящимся ко всему этому разделу ма-
математики, еще привлечения каких-то новых идей, специфиче-
специфических именно для данного вопроса.
До сих пор единственной книгой по вариационному исчис-
исчислению в целом, где всерьез рассматривались замкнутые геоде-
геодезические, была известная книга Морса [2], вышедшая в 1934 г.
Теперь она безнадежно устарела и как раз в части, касающей-
касающейся замкнутых геодезических, пожалуй, больше, чем в осталь-
остальных своих частях,— достаточно сказать, что в то время даже
еще не были полностью осознаны те трудности, о которых шла
речь выше. (Я не говорю уже о том, что она не переведена
на русский язык и у нас мало доступна.)
С 30-х гг. не только накопился "значительный новый мате-
материал, но и стало ясно, что старый материал лучше с самого
начала излагать по-новому. Действительно, в 60-е гг. были
предложены три изменения.
1) Вместо функционала длины удобнее работать с функцио-
функционалом, который в механике и физике называется «действием»,
а в некоторых математических работах «энергией», а также
«интегралом Дирихле» A5).
2) Бесконечномерное функциональное пространство замкну-
замкнутых кривых (как и соответствующее пространство в двухточеч-
двухточечной краевой задаче) Морс аппроксимировал конечномерным с
помощью ломаных геодезических, сводя тем самым вариацион-
вариационную задачу к задаче о критических точках функций на конеч-
конечномерных многообразиях. Для того чтобы сравнивать свойства
области меньших значений /"'(]— °°. *]) ПРИ различных х,
применялись специальные «укорачивающие деформации» лома-
10 Предисловие редактора перевода
ных. Теперь действуют иначе — рассматривают исследуемый
функционал как функцию на бесконечномерном пространстве
и вместо специальных деформаций используют спуск по траек-
траекториям подходящей динамической системы •).
3) Выяснилось, что в задаче о замкнутых геодезических
наиболее естественное (и наиболее нужное) функциональное
пространство ИМ (пространство ^параметризованных и не-
неориентированных замкнутых кривых на исходном многообразии
М) не является бесконечномерным многообразием. Поскольку
работать с таким «плохим» пространством неудобно, приходит-
приходится часто оперировать в «хорошем» пространстве параметризо-
параметризованных замкнутых кривых AM, но так, чтобы все переносилось
в ИМ при естественной проекции AM—*ТШ. Хотя идеи о подоб-
подобных изменениях высказывал не один только Клингенберг, де-
детальная разработка нового плана систематического изложения
всего материала с учетом этих изменений является его заслу-
заслугой. Можно надеяться, что изложение оснований предмета при-
приняло более или менее окончательный вид.
Правда, здесь надо сделать три оговорки. Во-первых, ска-
сказанное относится только к замкнутым геодезическим в рима-
новой геометрии. Морс рассматривал более общий случай фин-
слеровой геометрии, который в настоящих «Лекциях» только
упоминается два-три раза (со ссылками на литературу). Огра-
Ограничение римановым случаем вполне оправдано как его «клас-
«классичностью», так и тем, что в финслеровом случае пока нет
столь же продвинутых результатов и, как мне кажется, пока
не выработался столь же удачный новый вариант изложения
оснований. Во-вторых, не исключено, что в теориях Люстерни-
ка—Шнирельмана и Морса целесообразно использовать различ-
различные функциональные пространства **>. В теории Морса очень
*' Этот шаг был независимо совершен несколькими авторами, преследо-
преследовавшими различные цели. Поэтому было предложено два варианта спуска:
градиентный спуск, используемый в настоящей книге (литературные ссылки
см. в предисловии автора) и параболический спуск, который впервые был еще
до 60-х гг. совсем по другому поводу использован Мильграмом и Розенблютом
(о нем см. Альбер [3], а также недавний обзор Иллса и Лемэра [1]). Первый
проще второго, но имеет более узкую область применений, охватывающую,
впрочем, задачу о замкнутых геодезических и вообще одномерные задачи ва-
вариационного исчисления в целом (т. е. задачи, в которых рассматриваемый
функционал выражается в виде интеграла по одной независимой переменной).
Применительно к этим задачам новый подход технически более удобен, более
непосредствен н более отвечает духу времени, чем прежние элементарные, но
громоздкие приемы. Для многомерных же задач (в которых функционал выра-
выражается в виде кратного интеграла) прежние приемы попросту не годятся.
**) Исторически так оно и было: Морс рассматривал ломаные геодезиче-
геодезические, а Люстерник и Шнирельман — другие классы кривых, например всевоз-
всевозможные спрямляемые кривые.
Предисловие редактора перевода 11
естественно стремиться к тому, чтобы AM было гильбертовым
многообразием (ибо вторую вариацию, как и всякий квадра-
квадратичный функционал, удобнее всего рассматривать в гильбер-
гильбертовом пространстве), но в теории Люстерника — Шнирельмана
такого побудительного мотива нет. Правда, остается еще то
соображение, что излагаемый в «Лекциях» вариант удобен для
градиентного спуска.
В-третьих, неприятно, что, хотя при непрерывном отображе-
отображении f: М—>Л', удовлетворяющем условию Липшица, кривые из
AM переходят в кривые из AN, но возникающее таким путем
отображение AM—>AN, вообще говоря, не непрерывно (при из-
избранных здесь определениях пространства Л и его топологии).
(Пример имеется в моей статье [3].) Это может несколько
усложнить доказательства (см. доказательство 2.3.9), а в не-
некоторых случаях и привести к некоторому снижению общности
результатов. Однако не видно, чем бы могла способствовать ре-
решению интересных задач замена «диффеоморфизма» на «лип-
шицев гомеоморфизм» в формулировках тех или иных вспомо-
вспомогательных результатов. Поэтому данная неприятность не кажет-
кажется существенной, по крайней мере в настоящее время (хотя
нельзя поручиться, что ситуация не изменится).
Мне кажется, что в любом случае вариант, излагаемый в
«Лекциях», имеет хорошие шансы остаться основным в науч-
научном отношении, не говоря уже о том, что он наиболее подхо-
подходит для изучения. Другие варианты могут играть роль техни-
технически более сложных (или громоздких) модификаций, полез-
полезных для каких-то специальных целей и занимающих, так
сказать, периферическое положение.
Наряду с полным отказом от обсуждения подобных вопросов,
вполне оправдано еще одно ограничение, свойственное «Лек-
«Лекциям»— в них рассматриваются римановы метрики класса
С°° (и под дифференцируемостью понимается бесконечная диф-
ференцируемость, если не оговорено противное и если противное
не явствует из контекста). В данном случае скрупулезное про-
прослеживание того, сколько производных требуется в том или
ином рассуждении, только загромоздило бы изложение, не суля
никаких принципиальных достижений.
Как известно, теория Морса *> со временем нашла ряд при-
применений в математике — более всего в топологии, но также и
в дифференциальной геометрии. Кроме того, построенная Мор-
*> Как теория критических точек функций на конечномерных многообра-
многообразиях (относить ли ее к вариационному исчислению в целом —деле вкуса), так
и се бесконечномерный (уже несомненно вариационный ) аналог для функцио-
функционалов длины и (или) действия на пространстве путей, соединяющих две за-
заданные точки.
12 Предисловие редактора перевода
сом теория второй вариации *> (в терминах настоящей книги —
индексной формы) оказалась полезной для теории дифферен-
дифференциальных уравнений. Лет 15 назад удивительный контраст с
этими успехами теории Морса составляла ситуация в задаче
о замкнутых геодезических, где почти все результаты были свя-
связаны с теорией Люстерника— Шнирельмана. Эта ситуация из-
изменилась, когда Громолу и Мейеру [2] (кстати, они являются
учениками Клингенберга) удалось доказать существование бес-
бесконечного числа замкнутых геодезических на замкнутых рима-
новых многообразиях М с «достаточно сложными» кольцами
когомологий. (Собственно, условие Громола—Мейера, так же
как и излагаемое в настоящей книге его обобщение, формули-
формулируется в терминах когомологий ЛЛ1; позднее Виге-Пуарье и
Сулливан [1] показали, что первоначальное условие Громола —
Мейера можно переформулировать в терминах кольца когомо-
когомологий самого М.) Доказательство получено с помощью даль-
дальнейшего развития теории Морса: по терминологии Клингенбер-
Клингенберга, речь идет об исследовании введенного им «комплекса Морса».
Клингенбергом предпринята попытка доказать существова-
существование бесконечного числа замкнутых геодезических для всех од-
носвязных замкнутых многообразий, независимо от свойств их
гомологии. Об этом говорится в § 4.3, 4.4, однако полных дока-
доказательств там нет. Пока что они вообще не опубликованы, по-
поэтому осторожный читатель вправе рассматривать § 4.3 и
начало § 4.4 не как анонс доказанной теоремы вместе с фраг-
фрагментами доказательства, а как изложение некоей программы
исследований **>.
Мне кажется, эта программа представляет интерес в любом
случае — хотя бы из-за различных вопросов, которые нужно
выяснять ради ее осуществления и которые сохраняют свое
значение независимо от успеха программы в целом.
Частичной реализации намеченной Клингенбергом програм-
программы посвящена работа Клингенберга и Шикаты [1]. Нужные
свойства комплекса Морса там четко формулируются, но оста-
остается открытым вопрос, насколько общим является тот случай,
когда комплекс Морса обладает этими свойствами.
*) Эта теория имеет локальный характер, т. е. связана с исследованием
малой окрестности экстремали. В этом отношении она ближе к более ранним,
«классическим» разделам вариационного исчисления, нежели к вариационному
исчислению в целом. Но она была разработана именно в связи с развитием
последнего (раньше свойства второй вариации исследовались лишь в той мере,
в какой это было нужно для применений к условиям минимума функционала).
**' Незавершенный характер этой программы сказывается даже на языке.
Например, нередко автор говорит о цепях и циклах так, как если бы речь шла
просто о множествах. Отчасти в неясности языка отражается то, что нет пол-
полной ясности со свойствами комплекса Морса. Имеются и фактические неточ-
неточности (некоторые из них мною отмечены).
Предисловие редактора перевода 13
Оценивая современную ситуацию, Клингенберг говорит, что,
хотя теория Люстерника — Шнирельмана быстрее приводит к
первым результатам, систематическое исследование комплекса
Морса позволяет в конечном счете получить намного более глу-
глубокие результаты *>. К этому стоит добавить, что за теорией
Люстерника — Шнирельмана сохраняется некая специфическая
область применений, которую в настоящее время можно ориен-
ориентировочно охарактеризовать так. К ней относятся только неко-
некоторые многообразия и метрики — именно, многообразия гомо-
гомотопического типа компактных симметрических пространств
ранга 1 (быть может, и какие-то родственные им), а метрики,
видимо, должны быть в каком-то смысле близки к стандартным
(за исключением двумерного случая). Зато здесь доказывается
существование не просто замкнутых геодезических, но замкну-
замкнутых геодезических без самопересечений **>. Не удивительно, что
число таких геодезических, вообще говоря, конечно.
* •
Книга рассчитана на читателя, обладающего определенными
познаниями в топологии. Используются основные понятия, от-
относящиеся к гладким многообразиям и векторным расслоени-
расслоениям,— впрочем, как правило, это еще не топология, а по извест-
известному выражению Ленга, «ничья земля». Далее, предполагаются
известными уже специфически топологические сведения, начи-
начиная с гомологии и кончая элементами теории характеристи-
характеристических классов (читатель, знакомый с последними, заведомо
знает и все остальное, что здесь требуется). Систематически
используются бесконечномерные гильбертовы многообразия, но
опять-таки здесь надо только то, что относится к «ничьей зем-
земле» и содержится у Ленга [1] или Бурбаки [1]. Если в п-мер-
ном случае читатель привык представлять себе «локальные ко-
координаты» не столько как набор п чисел, сколько как точку
«-мерного евклидова пространства (к чему приучают все совре-
современные изложения), то ему уже нетрудно будет всюду заме-
заменить евклидово пространство гильбертовым. Нужно также зна-
знакомство с элементами римановой геометрии: связность Ле-
ви-Чивита, тензор кривизны. (Формально в начале книги
приводятся все необходимые определения и рассуждения, от-
относящиеся к связности Леви-Чивита, но это делается с целью
*> Читатель не найдет этого высказывания в русском издании: оно содер-
Жал**ь в Добавлении, которое при переводе пришлось опустить (см. ниже).
' И не слишком длинных. Клингенберг надеется, что это «улавли-
«улавливается» также и теорией Морса (§ 5.1).
14 Предисловие редактора перевода
проверки, что все проходит и в гильбертовом случае; для пер-
первоначального ознакомления такое изложение едва ли подхо-
подходит.) В гл. 3 используются (в связи с трактовкой геодезическо-
геодезического потока как гамильтоновой системы) внешние дифференци-
дифференциальные формы и стандартные операции над ними. Конечно, кое-
где используются различные факты, выходящие (порой весьма
далеко) за пределы сказанного выше; в таких случаях даются
точные формулировки и литературные ссылки.
Отмечу некоторые обозначения, часто используемые в кни-
книге. Знак := означает, что величина, стоящая слева от него,
по определению принимается равной тому, что стоит справа.
Часто применяются функциональные обозначения с незаполнен-
незаполненными аргументами (в русском издании последние для ясности
отмечаются точками). Впрочем, это проводится не слишком
последовательно. Для отображения, сопоставляющего каждому
элементу / из своей области определения некоторое f(t), иног-
иногда используется еще запись (f(t)) (обычно при ее употребле-
употреблении областью определения является стандартная окружность
5: = R/Z) *'. Таким образом, одно и то же отображение мо-
может обозначаться через f, f(-) и (f(t)) (а в порядке уступки
старой традиции — также и через f(t)). Пояснения различных
других обозначений даются по ходу изложения.
Эта книга, подобно известной советскому читателю другой
книге Клингенберга «Риманова геометрия в целом» (Громол,
Клингенберг, Мейер [1]), возникла из записей его лекций, ко-
которые вначале были изданы Боннским университетом в виде
препринта, а позднее вышли в издательстве «Шпрингер». Но
если перед сдачей в издательство «Риманова геометрия в це-
целом» подверглась редактированию и расширению (эта перера-
переработка была настолько существенной, что выполнившие ее Гро-
Громол и Мейер стали соавторами), то с настоящими «Лекциями»
этого не произошло. Отсюда сказывающиеся местами погреш-
погрешности изложения, естественные для лекций по такому предмету,
где еще не накопилось достаточного опыта преподавания: не-
неровность, а кое-где даже пробелы и неточности. Материал гл. 1,
§ 2.1 и отчасти § 2.2, 2.4 излагался более подробно в ранее вы-
вышедшей книге Флашеля и Клингенберга [1]. Вполне естествен-
естественно, что читатель отсылается к этой книге по поводу различных,
так сказать, ответвлений от основной линии изложения. Но в
«Лекциях» отсутствуют также и некоторые детали, существен-
существенные для самой этой «основной линии». Возможно, что для за-
западного читателя, имеющего на своих полках книгу Флашеля
и Клингенберга, это и не создает особых неудобств( но у нас
*> Конечно, в данном случае проще писать просто /. Обозначения «со скоб-
скобками» становятся удобными, если вместо / стоит комбинация символов.
Предисловие редактора перевода
эта книга не переводилась. К тому же полного параллелизма
между ней и соответствующими разделами «Лекций» все же
нет.
При подготовке переводного издания замеченные неточно-
неточности (в основной, «непрограммной», части книги) были исправ-
исправлены— отчасти автором, отчасти мной. С согласия автора я
пытался также восполнить мелкие пробелы и смягчить неров-
неровности изложения — в основном в первой части, в соответствии
с ее характером. Это делалось частью путем исправлений в са-
самом тексте книги, частью с помощью примечаний (все приме-
примечания в этой книге — подстрочные или вынесенные в конец —
мои, а существенно измененные участки текста помечены тем-
темными треугольничками: они обозначают начало такого участ-
участка и его конец). С согласия автора мы решили опустить добав-
добавление, где предлагается упрощенное доказательство теоремы
Люстерника — Шнирельмана о трех замкнутых геодезических,—
оно оказалось неточным.
Гораздо более существенные изменения внесены самим ав-
автором или по его инициативе. Именно он прислал новый текст
§ 4.3 и сообщил, что Бальман обнаружил ошибку в одной тео-
теореме Альбера, некритически воспроизведенной в английском
оригинале данной книги. «Спасение» заключительного резуль-
результата § 2.3 — принадлежащей Клингенбергу теоремы 2.3.9 — по-
потребовало значительных изменений в § 2.2, 2.3, а отчасти и
раньше. Отмечу, что при этом существенную роль сыграла со-
сообщенная мне Клингенбергом идея — использовать простран-
пространство Пе- Другая идея — использовать модификацию одной тео-
теоремы Бредона [1]—возможно, принадлежит мне (см. Аносов
[3], [4]), однако надо отметить, что статья Бредона была, по
крайней мере отчасти, стимулирована одним вопросом Клин-
генберга. После переработки § 2.3 я получил препринт Баль-
мана, Торбергсона и Циллера [1], а затем новую книгу Клин-
генберга [21] и его препринт [22], в которых тоже говорится
об исправлении доказательства 2.3.9. Первый препринт не со-
содержит подробностей, а у Клингенберга изложение дальше
отходит от оригинала данной книги, чем предлагаемый здесь
текст, и в данный момент я не берусь судить о полноте дока-
доказательства.
В книгу не могло попасть усиление теоремы 2.3.9, полученное
позднее Бальманом, Торбергсоном и Циллером. В условиях этой
теоремы ими доказано существование g (n) замкнутых несамопере-
секающихся геодезических (с прежней оценкой длины), где g (n) —
то же, что в предложении 2.3.3. По-видимому, большего числа
«коротких» замкнутых геодезических может и не существовать.
Это подтверждается как давно известным примером трехосного
эллипсоида, длины главных осей которого близки друг к другу,
16 Предисловие редактора перевода
так и следующим новым примером Циллера: на S8 существуют обра-
обратимые финслеровы метрики, сколь угодно близкие к стандартной
и имеющие всего g C) = 4 «коротких» замкнутых геодезических.
Недостаток этого примера в том, что он все-таки не риманов. (В то
же время он иллюстрирует предварительный характер «программной
части» настоящей книги — для него не выполняется заключение
теоремы 5.1.1, а между тем в соответствующих рассуждениях Клин-
генберга фактически не используются какие-либо специфические
свойства римановых метрик.)
Уместно будет упомянуть также и об одном направлении, выхо-
выходящем за рамки настоящей книги, но близком к ней: о применении
вариационного исчисления в целом к вопросу о периодических
траекториях динамических систем, отличных от геодезических по-
потоков. В течение длительного времени таких применений почти не
было, но за последние 10 с небольшим лет (и особенно в самые
последние годы) ситуация изменилась. Литературные ссылки (не
полные, но достаточно представительные) см. в моей статье [5].
Считаю своим приятным долгом поблагодарить автора за сотруд-
сотрудничество при подготовке настоящего издания. Весьма полезными
были обсуждения ряда вопросов с В. Бальманом, С. П. Новико-
Новиковым, М. М. Постниковым, Е. Г. Скляренко, Г. Торбергсоном,
Д. Б. Фуксом, В. Циллером.
Д. В. Аносов
Памяти моего отца
ПРЕДИСЛОВИЕ
Вопрос о существовании замкнутых геодезических на римано-
вом многообразии и свойствах соответствующих периодических
траекторий геодезического потока стал предметом интенсивно-
интенсивного изучения с тех пор, как в прошлом веке зародилась глобаль-
глобальная дифференциальная геометрия.
Наиболее простая ситуация возникает в случае замкнутых
поверхностей отрицательной кривизны. В этом случае фунда-
фундаментальная группа очень большая, и, как было показано Ада-
маром [1] в 1898 г., каждую негомотопную нулю замкнутую
кривую можно продеформировать в замкнутую кривую мини-
минимальной длины в ее свободном гомотопическом классе. С точно-
точностью до параметризации эта замкнутая кривая единственна и
представляет собой замкнутую геодезическую.
Вопрос о существовании замкнутой геодезической на одно-
связной замкнутой поверхности намного более сложен. Как от-
отметил Пуанкаре [1] в 1905 г., эта задача имеет много общего
с задачей о существовании периодических орбит в ограничен-
ограниченной задаче трех тел. Пуанкаре [1] привел набросок доказа-
доказательства того, что на аналитической выпуклой поверхности, ко-
которая не слишком сильно отличается от стандартной сферы,
всегда существует по крайней мере одна замкнутая геодезиче-
геодезическая эллиптического типа, т. е. такая, что соответствующая пе-
периодическая траектория геодезического потока инфинитези-
мально устойчива.
В течение последующих трех десятилетий Биркгоф и Морс,
с одной стороны, и Люстерник и Шнирельман — с другой, раз-
развили новые сильные методы, предназначенные для доказатель-
доказательства существования одной или, возможно, нескольких замкнутых
геодезических на произвольных римановых многообразиях. Ос-
Основными объектами этих исследований были римановы много-
многообразия, которые с точки зрения их дифференциальной струк-
структуры (т. е. без учета метрики) являются сферами. Наиболее
ранним исследованием в этой области является описание гео-
геодезических на эллипсоиде, данное Якоби [1], [2] в его лекциях по
динамике в Кенигсберге в 1842/43 г. Более поздним примером
является монография Морса [2], вышедшая в 1934 г., в кото-
которой, помимо прочего, автор затратил много усилий, пытаясь
18 Предисловие
сосчитать числа Бетти над Z2 пространства непараметризован-
ных замкнутых кривых на n-мерной сфере.
Однако удалось получить мало результатов о существова-
существовании более чем одной замкнутой геодезической на таких много-
многообразиях. Вероятно, наиболее замечательным из них является
теорема Люстерника и Шнирельмана [1], установленная ими
в 1929 г. Они показали, что на односвязной компактной поверх-
поверхности всегда существуют по крайней мере три замкнутые геоде-
геодезические без самопересечений. Примерами поверхностей, на ко-
которых есть ровно три таких замкнутых геодезических, являются
эллипсоиды, которые мало отличаются от обычной сферы. От-
Отметим при этом, что на эллипсоиде всегда есть бесконечное
число других однократных замкнутых геодезических, но, вооб-
вообще говоря, они имеют самопересечения.
В 1951 г. Люстерник и Фет [1] доказали, что на любом
компактном римановом многообразии всегда существует по
крайней мере одна замкнутая геодезическая. Начиная с 60-х
годов, теория замкнутых геодезических была значительно про-
продвинута в работах Альбера, А. С. Шварца, Фета, Громола и
Мейера, Элиассона и автора. Оглядываясь назад, можно ска-
сказать, что очень важной оказалась предложенная автором в
1965 г. (см. Клингенберг [3]) переформулировка теории Морса
на пространстве замкнутых кривых на римановом многообра-
многообразии. Последняя при этом рассматривается в рамках теории
Морса на гильбертовых многообразиях, построенной в 1964 г.
Пале и Смейлом [1].
Поразительное применение этого нового подхода было пред-
предложено в 1969 г. Громолом и Мейером [2]. Они доказали, что
для любой римановой метрики на компактном односвязном
дифференцируемом многообразии М существует бесконечно
много замкнутых геодезических, если последовательность ра-
рациональных чисел Бетти пространства AM параметризованных
замкнутых кривых неограничена.
Как недавно показали Виге-Пуарье и Сулливан [1], это
предположение о рациональных числах Бетти выполнено в том
и только в том случае, когда рациональное кольцо когомоло-
гий многообразия М не является срезанным кольцом полино-
полиномов. Таким образом, теорема Громола — Мейера неприменима
в случае римановых метрик на сфере, т. е. в том случае, кото-
который был главным объектом исследования в теории замкнутых
геодезических в течение почти всей ее предшествующей исто-
истории.
Для того чтобы получить результаты о существовании бес-
бесконечного числа замкнутых геодезических без каких-либо пред-
предположений о топологии дифференцируемого многообразия, на
котором определена риманова метрика, автор воспользовался
Предисловие 19
теорией гамильтоновых систем и, в частности, исследованиями
Пуанкаре и Биркгофа о поведении геодезического потока около
периодической траектории. (Заметим, что периодические траек-
траектории геодезического потока находятся во взаимно однознач-
однозначном соответствии с замкнутыми геодезическими.) Результатом
такого подхода явилось доказательство того, что в типичной
ситуации на любом компактном римановом многообразии с ко-
конечной фундаментальной группой существует бесконечное чис-
число однократных замкнутых геодезических; см. Клингенберг [9],
[16].
В процессе работы над настоящей книгой мы добились ус-
успеха в решении одной из наиболее выдающихся проблем всей
теории, а именно было доказано, что на любом компактном ри-
римановом многообразии с конечной фундаментальной группой
всегда, а не только в типичной ситуации, существует бесконеч-
бесконечно много однократных замкнутых геодезических. Этот резуль-
результат является новым даже для выпуклых поверхностей, т. е. для
того случая, который исследовал Пуанкаре в самом начале воз-
возникновения теории замкнутых геодезических более 70 лет назад.
В доказательстве этого результата существенно использу-
используется вся структура гильбертова многообразия замкнутых кри-
кривых и соответствующий комплекс Морса. Значительно меньшую
роль играет геодезический поток. Однако можно ожидать, что
при дальнейшей работе над типичными свойствами периодиче-
периодических траекторий будет больше использоваться теория Пуанка-
Пуанкаре— Биркгофа гамильтоновых систем.
Цель этих лекций — дать в разумной степени полное, исчер-
исчерпывающее и замкнутое в себе изложение основных методов и
результатов теории замкнутых геодезических.
В гл. 1 мы приводим сжатое описание гильбертова много-
многообразия AM, точками которого являются замкнутые кривые на
римановом многообразии М. Многообразие AM и его струк-
структура получаются из М функториально, и при переходе от М к
AM никакая информация не теряется.
В гл. 2 излагается теория Морса — Люстерника — Шнирель-
мана на многообразии AM. Строятся канонические действия
групп S и Z2. Глава завершается описанием комплекса Морса
многообразия AM; это понятие существенно используется в
дальнейшем.
В гл. 3 мы изучаем геодезический поток на касательном рас-
расслоении ТМ риманова многообразия М. Помимо довольно пол-
полного изложения теоремы об индексе для замкнутых геодезиче-
геодезических, много места в этой главе уделяется типичным свойствам
геодезического потока.
Глава 4 посвящена основным результатам всей теории. Пос-
После доказательства теоремы Фета, в котором используется опи-
20 Предисловие
сание структуры окрестности непараметризованной замкнутой
геодезической, мы приводим модифицированное доказательство
несколько усиленного варианта теоремы Громола — Мейера.
Затем эта теорема вместе с построенной Сулливаном теорией
минимальной модели для AM применяется к доказательству
того, что на многообразии М всегда существует бесконечно
много однократных замкнутых геодезических, если группа
niM конечна. Решающим шагом в этом доказательстве явля-
является лемма, связывающая между собой кратности некоторых
пар замкнутых геодезических. Завершают главу несколько тео-
теорем о существовании в типичной ситуации.
Глава 5 начинается с подробного доказательства теоремы
о трех геодезических, которая является долгожданным обобще-
обобщением на произвольные односвязные многообразия классическо-
классического результата Люстерника и Шнирельмана о замкнутых геоде-
геодезических на поверхностях, диффеоморфных S2. Затем приводятся
некоторые результаты различного характера о многообразиях
эллиптического типа, т. е. многообразиях с конечной фунда-
фундаментальной группой. Последний параграф посвящен многооб-
многообразиям гиперболического типа — таким, напр-имер, как много-
многообразия, у которых кривизна по всем двумерным направлениям
отрицательна. Такие многообразия имеют очень большую фун-
фундаментальную группу.
Эта книга написана на основе лекций, которые я читал в
различных местах в течение последних десяти лет. Упомяну,
например, лекции, прочитанные в Бонне в 1966/67 и 1972/73 гг.,
в Беркли в 1971 и 1974 гг., в Бомбее в 1972 г. и в Миннеапо-
Миннеаполисе в 1975 г.
Я хочу поблагодарить всех тех, чьи щедрые приглашения
предоставили мне возможность читать лекции и проводить ис-
исследования, и кто своими замечаниями, критикой и поддержкой
помог довести эти лекции до их теперешнего состояния.
Я обязан Вольфгангу Циллеру за внимательное и придир-
придирчивое чтение большей части рукописи и Гудлаугуру Торберг-
сону за помощь при чтении корректур. За неустанные усилия
при перепечатке различных вариантов рукописи я благодарю
Рути из Беркли, Кэти из Миннеаполиса и больше всего Корне-
Корнелию из Бонна.
После долгих лет работы мне остается только надеяться, что
мои усилия вдохновят молодое поколение математиков сделать
то, чего не удалось сделать мне, и продолжить наступление на
многочисленные еще не решенные проблемы теории замкнутых
геодезических.
Вильгельм Клингенберг
Бонн, декабрь 1977
Глава 1
ГИЛЬБЕРТОВО МНОГООБРАЗИЕ
ЗАМКНУТЫХ КРИВЫХ
В этой главе мы определим гильбертово многообразие AM, состо-
состоящее из Я^отображений параметризованной окружности 5 в ком-
компактное риманово многообразие М.
Мы покажем, что на AM можно внутренним образом *' опре-
определить риманову метрику и дифференцируемую функцию Е — ин-
интеграл энергии; при этом grad? удовлетворяет условию (С)
Пале — Смейла.
Это условие позволяет перенести классическую теорию Морса —
Люстерника — Шнирельмана с дифференцируемых функций, опреде-
определенных на евклидовом (т. е. конечномерном) многообразии, на
функции, определенные на гильбертовом многообразии (*).
1.1. Гильбертовы многообразия
Гильбертово многообразие М — это топологическое пространство
(все топологические пространства в этой книге хаусдорфовы) со
счетной базой, снабженное дифференцируемым атласом, образы
карт**' которого лежат в фиксированном сепарабельном гильбер-
гильбертовом пространстве М. Мы также будем говорить, что М модели-
моделируется посредством М (г).
Так же как в случае евклидова многообразия, многообразию М
соответствует его касательное расслоение х==хм'- ТМ-+М, и так
4
*' В работг Флашеля и Клингенберга [1] приводятся два варианта изла-
излагаемой ниже теории—один из них аналогичен представленному в данных
«Лекциях», а во втором М считается вложенным в некоторое евклидово про-
пространство R^ и ЛМ рассматривается как подмножество гильбертова прост-
пространства Н1 (S, UN), состоящего из функций класса Я1 (он определяется ниже)
на S со значениями в R^. Первый вариант характеризуется как «внутренний»,
а второй—как «внешний» в соответствии с традиционным употреблением этих
слов в дифференциальной геометрии.
**' «Образы карт» — обычная вольность речи; точнее было бы сказать
«образы областей определения карт». Аналогичную вольность допускают, когда
говорят «отображение карты» или «точка принадлежит карте».
22 Гл. I. Гильбертово многообразие замкнутых кривых
же, как в евклидовом случае, атлас (сра, Ua)aSA многообразиям
порождает атлас (Тца, TUa)aeA многообразия ТМ.
Кроме того, мы будем рассматривать векторные расслоения я:
Е -+-М над многообразием М, стандартным слоем которых является
банахово пространство Е.
Это означает, что существует такой атлас на многообразии М,
что для каждой карты (ср, U) этого атласа задано локальное пред-
представление (Ф, ф, U), т. е. определена коммутативная диаграмма
морфизмов
U
со следующими свойствами:
(i) ограничение Фр отображения Ф на проектирующийся
в точку pel/ слой Ер = я (р) является топологическим линей-
линейным изоморфизмом;
(и) если (Ф, ф, V) и (Ф', ф', f/') — локальные представления,
то отображение
Ф'.Ф-1: Uf\U'-*-L(E; Е), р*-+Ф'р.ф?,
дифференцируемо C).
Подробнее см. Ленг [1], Элиассон [3], Флашель, Клинген-
берг [1] и Бурбаки [1].
Если точка (х, ?)е(р(U)хЕ является локальным представле-
представлением элемента из Е, то ? будем называть главной частью этого
представления.
Локальное представление (Ф, ф, U) расслоения я: Е-^-М
определяет *> локальное представление касательного расслоения
хБ: ТЕ-+Е
Если (д;, |)еф((/)х?, то элемент из ртт?2(х, I) будем обо-
обозначать через (х, |, у, tj) e {(x, QjxMxE.
Введем фундаментальное понятие связности **> на расслоении
я: Е-*-М. Связность — это отображение D) К: ТЕ-+Е, такое,
•> Фактически (ТФ, Ф, п~х ((/)) индуцировано одной только верхней стро-
строкой коммутативной диаграммы для (Ф, ср, 0).
**' Точнее, линейной связности, но другие дифференциально-геометрические
связности нам не понадобятся.
I.I. Гильбертовы многообразия 23
что для произвольного локального представления (Ф, ср, U) рас-
расслоения Е существует дифференцируемое отображение Гф: q> (U) ->
-vL(M, Е; Е), для которого локальное представление /Сф: =
= Ф <¦ К• ТФ~1 отображения К
определяется соответствием (х, I, у, т]) i—^ (лг, tj + Гф (х) (у, I)).
Отображения Гф называются символами Кристоффеля E).
Заметим, что К является морфизмом векторных расслоений
из тЕ в л; над л, т. е. что следующая диаграмма коммутативна:
и К%:= K\T%E&L(TtE\ Ena)) *>. Это непосредственно следует
из локального представления этой диаграммы:
(*1?,ЯП) . . . .
X if
Пусть К — связность на я: Е-*¦ М. Для каждого | е Ер = ^
определим подпространства
Гб1,?'-кег(Гя: Т%Е-+ТРМ) и Г|й? = кег
которые мы назовем соответственно вертикальным и горизонталь-
горизонтальным подпространствами в Т\Е**^.
1.1.1. Предложение. Связность К на п: Е-+М определяет
разложение ТЕ = ThE 0 TVE касательного расслоения, такое, что
Е
*' В бесконечномерном случае в определение морфизма векторных расслое-
расслоений включается еще одно условие: возможность локального представления
морфизма посредством дифференцируемых отображений карт в пространство
непрерывных линейных отображений стандартных слоев (Ленг [1], Бур-
баки [1]). Для К оио тоже выполнено.
**' T^VE можно определить также следующим образом. Так как Ер С—> Е,
для любого ? <= Ер имеем Т^Ер с_>. Т%Е. Рассматривая Т%Ер как подмно-
подмножество Т^Е, нетрудно убедиться, что T^? = Tj?p.
Поскольку Ер является векторным пространством, касательное простран-
пространство к Ер в любой его точке g естественно отождествляется с иим самим. Итак,
имеем каноническое отождествление J%: Ep -*¦ T^VE. Оно используется в основ-
основном тексте. Из локального представления сразу видно, что J^=(JK\T^V)~1.
24 Гл. 1. Гильбертово многообразие замкнутых кривых
Точнее, при каноническом отождествлении Т^,Е с Ер, где р =
= я(|), это разложение можно представить в виде*'1
Т%Е = (id- К) Т%Е + КТ%Е.
Доказательство. Из локального представления /Сф связности К
видно, что если отождествить TivE с Ер, т. е. отождествить
{(х, I, 0, г\)}е{(х, 1)}хМхЕ с {(х, Т1)}еф}х?, то К$9~*К9я
К.<рТ\Е = 7\Х)?; это означает, что К9 — проекция. D
Локальным представлением для TyJE является
{(х, I, у, - Гф (х) (у, ?)} s {(х, I)} х Мх Е.
Если задана связность /С на л: Е -*~ М, то можно определить
ковариантную производную дифференцируемого сечения %: М-^-Е,
полагая Vg := /С-Т|. Заметим, что Vg является сечением рассло-
расслоения**' L(r, я): L(TM; E)-*-M.
Пользуясь локальным представлением (Ф, ср, U), легко убе-
убедиться, что главная часть Vg представляется в виде
где |ф: ф ({/)-*-? — главная часть локального представления |.
Замечание. Пусть S (М) и S? (M) — пространства сечений рас-
расслоений %м и л. Тогда ковариантная производная определяет
отображение
2(М)хЗ?(М)->3?(М), (о,
локальное представление которого было выписано выше.
В то время как для евклидовых векторных расслоений над
евклидовыми многообразиями такое отображение V всегда опре-
определяет связность К, в нашей более общей ситуации это не всегда
так; подробности можно найти в книге Флашеля и Клинген-
берга [1].
Для дальнейших приложений рассмотрим следующий частный
случай индуцированного расслоения с индуцированной связностью.
(Относительно более общей ситуации см. Элиассон [3].)
*' Если явно упоминается о каноническом отождествлении, то здесь
надо вместо К писать J^K. Разложение Т^Е можно описать еще так:
(Гп | Г|лЯ)-1 © /*: Тя фМ ® Еп ф -у Т%Е
есть изоморфизм.
**' Образ вектора Х^ТМ под действием V? обозначается через V%.X
(а если надо подчеркнуть, что все это происходит в слое над р, — через
V|(p). X). Заметим, что в данных «Лекциях» не употребляется довольно рас-
распространенное обозначение Vx% для того же образа (ср. с аналогичным заме-
замечанием в A), г), насчет D/. х и Dxf). Я все-таки буду иногда пользоваться
этим обозначением.
1.1. Гильбертовы многообразия 25
Пусть 5 = [0, 1]/{0, ^ — параметризованная окружность
длины 1*'. Пусть с: S -*¦ М — дифференцируемое отображение
в базу М расслоения л: Е->М. Тогда определено индуцирован-
индуцированное расслоение с*п
с*Е ¦
со слоем с*я-1(Ош=?С(о-
Пусть на я: Е-+М определена связность Кя' ТЕ-+Е. Тогда
на с*л имеется связность Кс*я, которая определяется следующей
коммутативной диаграммой:
Тс*Е
Пусть5 — сечение расслоения с*п**К Так как на S определена
каноническая координата /е[0, 1]/{0, 1}, то главную часть сече-
сечения | обозначим через ?(/). Канонический касательный вектор
к 5 будем обозначать через***' dt. Определим теперь
Вместо Vc| мы также будем писать ****) Vg.
*' Удобно также представлять 5 в виде факторпространства R/Z (это
даже топологическая факторгруппа, что оправдывает используемую кое-где
запись вроде /+Va)- Строго говоря, «стандартная координата» t в S не яв-
является координатой в обычном смысле слова (так как это не число, а число
по модулю Z). Вызываемые этим незначительные изменения в различных фор-
формулировках совершенно очевидны и молчаливо подразумеваются как нечто
само собою разумеющееся.
Иногда (см. 1.4.17 или начало § 2.2) 5 рассматривается как единичная
окружность в плоскости комплексного переменного, и ее элементы обозна-
обозначаются через eiJllt.
•*' При Я = 77И, п = т понятие сечения расслоения с*т, по существу,
эквивалентно понятию векторного поля вдоль отображения с (Громол, Клин-
генберг, Мейер [1]), особенно если не проводить педантично различия между
?(*) и x*c%(t). (Сказанное справедливо при любом Е, если перенести опреде-
определение векторного поля вдоль кривой на этот случай.)
***' Более привычным было бы обозначение d/dt, d/dt или dt. Впрочем,
у Клингенберга далее (в § 1.3) знаком д фактически обозначается дифферен-
дифференцирование по t. Рассматривая t одновременно и как координату, и как опре-
определяемую ею точку в S, в соответствии с обычными соглашениями имеем:
dt=d (точка 0=д (точка t)/dt = канонический касательный вектор в T(S.
****) в более классических обозначениях V^@ есть ковариантная произ-
у
водная — I (t) поля | @ (более формально, поля я*с? (<)) вдоль кривой с (t).
Рассматриваемая как элемент слоя расслоения с*Е над точкой (. С сокраще-
26 Гл. 1. Гильбертово многообразие замкнутых кривых
АЕсли отображение с: S->M всего лишь непрерывно, то
можно образовать индуцированное расслоение с*л: c*E-+S, но
его естественный векторный атлас (индуцированный при отобра-
отображении с из векторного атласа для расслоения Е->~М), вообще
говоря, уже не будет удовлетворять обычным требованиям диф-
ференцируемости. Формально это не позволяет говорить о диффе-
ренцируемости сечений g: S-+c*E или рассматривать связность
в расслоении с*п, ибо не определено даже Тс*Е. Однако естест-
естественно считать сечение ? дифференцируемым в точке t, если в этой
точке дифференцируемо отображение л*ф S-+E (это, в част-
частности, подразумевает, что c(t) дифференцируемо в точке t).
В этом случае можно определить ковариантную производную
(Здесь (n*c)t: = (п*с) \ (с*л)-1 (<): (с*л)-1 (t)-*Ec{i).)
Очевидно, понятие ковариантной производной можно опреде-
определить и для векторного поля, заданного вдоль незамкнутой кри-
кривой. В более общем случае отображения |: N -+Е (N — дифферен-
дифференцируемое многообразие, Е — расслоение над М с проекцией
я: Е-+М и связностью К: ТЕ-+Е; о | говорят как о «вектор-
«векторном поле, заданном вдоль отображения f: -N -*• М, f = л • |») можно
ввести ковариантную производную в точке х& N как
Ч(х): TXN-+Enx), Ч$(х) = К°ТЛ.
Если N — открытое подмножество пространства R" со «стандарт-
«стандартными» координатами (slt ..., sn), то можно говорить о «частной»
ковариантной производной Vg/ds^Vfg. Это есть ковариантная
производная векторного поля st»—»• l(si s{, ..., sn), заданного
ВДОЛЬ КРИВОЙ Si >—*> / (SU ,.., Si, ..., Sn). A
Пусть (Ф, ф, (/) —локальное представление расслоения л, и
предположим, что c(t)^U при некотором teS. Положим
Ф°п*с°?(^) = iq>@- Тогда главная часть ^ЛуУ) локального пред-
представления Vc? будет такой:
Ы)' (/), 1,@).
Для того чтобы убедиться в этом, заметим, что Тл*с-Т\,д1 ло-
локально имеет вид (ф-с@, ?q,@> (ф°с)'@» ?q>@)> a затем при-
применим Кя-
Для расслоения п: ?->Л1 определено ассоциированное рас-
расслоение
Ц(п): Ц(Е)->М,
_____ «
нием Vc| до 7| оказывается, что в рассматриваемом случае векторного рас-
расслоения над S символ V| формально имеет два различных смысла; это разли-
различие такое же, как между f (f) и Df(t) в (!), т. е. оно несущественно и игно-
игнорируется в дальнейшем (при необходимости уточнить смысл Vg можно обратиться
к контексту). •
1.1. Гильбертовы многообразия 27
в котором слой Ц(Е)Р над р состоит из непрерывных симметри-
симметрических билинейных отображений в R, см. Ленг [1]. Пусть Ц(Е) —
модель этого слоя. Это пространство содержит в виде открытого
подмножества множество R i (Е) положительно определенных форм.
Форма называется положительно определенной, если она
Э= е (гильбертова метрика на Е)
при некотором е > 0.
Риманова метрика на расслоении п: Е-*-М — это такое диф-
дифференцируемое сечение g: М-+1Л(Е), что g(/?) — положительно
определенная форма*'.
Если на т: ТМ -*¦ М задана риманова метрика g, то М назы-
называется римановым многообразием, а метрика g называется также
римановой метрикой на М.
Пусть g — риманова метрика на т: Е-+М. Будем называть
связность К на т римановой, если выполнено следующее условие:
для любого открытого подмножества U с: М справедливо соот-
соотношение
где v — произвольное сечение расслоения %м IU, i и т] — произ-
произвольные сечения расслоения n\U и V| = К• ТЬ, — ковариантная
производная, определенная отображением К: T(E\U)-+E\U.
Замечание. Если на М существует дифференцируемое разбие-
разбиение единицы, то в предыдущем определении достаточно рассмат-
рассматривать только одно открытое подмножество U, равное М, см. Фла-
шель, Клингенберг [1].
Пусть К — связность на т: ТМ-+М. Обозначим через L|(t;t):
L2a(TM; TM)-^-M ассоциированное с т расслоение, стандартным
слоем которого является LI (М; М) — множество кососимметриче-
ских билинейных отображений. Тогда кручение (или тензор кру-
кручения) связности К — это сечение Т расслоения Ы{т, т), которое
определяется следующим образом. Рассмотрим представление
(Тф, ф, U) расслоения т; тогда главная часть сечения Т
7У 4(U)-+I?{NL\ M)
задается соотношением
(**) Т9(х)(и, v) = T^x)(u, v)-Tv(x)(v, и).
Если Тез о, то К называется связностью без кручения.
*' Вместо g(p)(|, т|) (где л (|)=п (т))=р) автор дальше часто пишет
<ё. т]> или (I, ц)р.
28 Гл. 1. Гильбертово многообразие замкнутых кривых
1.1.2. Теорема. На римановом многообразии существует и
единственна риманова связность без кручения. Эта связность
называется связностью Леви-Чивита.
Доказательство. Пусть (Тф, ф, U) — локальное представление
расслоения т: ТМ-+М. Обозначим через g^: ф (U) -*¦ Ц (М) глав-
главную часть соответствующего локального представления римановой
метрики g.
Рассмотрим соотношение
(«**) ?ф (*) (Гф (X) (И, V), W) = Vl (Dgv (X) . U (», W) +
+ Dgtf{x).v{u, w)-Dg(f(x).w(u, v)),
где (и, v, ш) е МхМхМ и ^еф(С/). При помощи этого соотно-
соотношения определяется непрерывное и обладающее всеми требуемыми
свойствами дифференцируемости отображение
Гф:
Осталось проверить, что Гф и Гф- удовлетворяют формуле
преобразования для карт (ф, U) и (ф', U ):
D (Ф' • ф-+) Гф = Гф. • (D (ф' • ф-1) X D (ф' • ф-1)) + D2 (ф' • ф-1).
Из этой формулы (вывод который предоставляется читателю) сле-
следует, что отображения связности
Kv: q>'(U'f\U)xMxMxM-+q>'(U'()U)xM
связаны соотношением
(t) Гф-1./С
и, следовательно, задают всюду определенную связность К'.
ТТМ-+ТМ *'. В самом деле, (t) выполнено, так как для локаль-
локальных представлений (х, |, у, х\) и (х', I', у', х\г) многообразия ТТМ
выполняются соотношения **'
= D (ф' • ф-1) л + Я* (Ф' • Ф-1) {у, I).
¦' См. (в), в).
««> Пусть ^=q>'.qri; (f) эквивалентно тому, что Т^э•/С =/Сф,• TTif.
Главная часть этого соотношения (которая только и нуждается в проверке)
имеет вид
х)(у, ?)) = г)'+Гф,(х')(*Л V).
Последнее равенство непосредственно вытекает из формулы преобразования
для Гф и формул, связывающих штрихованные величины с иештрихованными.
1.2. Многообразие замкнутых кривых 29
Из определения Гф непосредственно следует, что локальные
представления Tv тензора кручения тождественно равны нулю
и что связность риманова, так как
(****) Dgv(x).u(v, w) = g<f(x)(rtf(x)(ii, v), w) +
("> w)),
что является локальным вариантом формулы (*) F).
Для доказательства единственности связности Леви-Чивита
заметим, что из Т = 0 (где Т определяется согласно (**)) и (****)
следует (***). П
Наконец, заметим, что если на расслоении л: Е-+М опреде-
определена риманова метрика g и с*п: с*?-> 5 —расслоение, индуци-
индуцированное отображением с: S-+M, то на с*п определена индуци-
индуцированная риманова метрика c*g, задаваемая равенством c*g =
1.2. Многообразие замкнутых кривых
Обозначим через М компактное (евклидово) многообразие,
снабженное римановой метрикой g, которую мы также будем
обозначать через (•, •).
Пусть, кроме того, V обозначает ковариантную производную
на ТМ, соответствующую связности Леви-Чивита.
Замечание. Большая часть приведенной ниже конструкции
проходит также в случае некомпактного риманова многообразия.
Однако для наиболее интересных разделов теории компактность
необходима. Поэтому мы будем предполагать, что М компактно.
Так же как в § 1.1, через S будем обозначать параметризо-
параметризованную окружность [0, 1]/{0, 1}. Далее положим
C°(S, М) := множество С°-отображений S в М;
C°(S, М) := множество С-отображений S в М;
^(S, М):= множество Н1-отображений S в М.
Здесь отображение с: S-+M называется Я1-отображением,
если оно абсолютно непрерывно и производная с (t) (которая почти
всюду определена) интегрируема с квадратом по отношению
к римановой метрике на М\
We @, c(t))c(t)dt<oo.
Заметим, что ^E, M)czHl(S, M)czC°(S, M).
Снабдим множество C°(S, M) компактно-открытой топологией.
Для того чтобы определить топологию (и даже структуру гиль-
30 Гл. 1. Гильбертово многообразие замкнутых кривых
бертова многообразия) на Я1 E, М), рассмотрим для с е Я1 E, М)
расслоение*' с*х: c*TM-+S и обозначим через Нг(с*ТМ) мно-
множество Я'-сечений в с*х, г = 0, 1. При этом ? называется Я°-се-
чением, если оно интегрируемо с квадратом, т. е.
<|, !>„:= $<1 @, Ut))c{t)dl<oo.
Таким образом, Н°(с*ТМ) становится сепарабельным гильберто-
гильбертовым пространством. АСтрого говоря, его элементы —это классы
эквивалентных сечений, где под эквивалентностью понимается
совпадение почти всюду (в смысле меры Лебега на 5). Сечение |
принадлежит Н1(с*ТМ), если оно абсолютно непрерывно (т. е.
абсолютно непрерывды его локальные представители ?ф (t) =
= рг°Ту°т*с\A)), так что почти всюду определены Vc?(f), и если
при этом
(В терминах локальных представлений последнее эквивалентно
тому, что производные ?<р@ локально (т. е. в некоторой окрест-
окрестности любой точки своей области определения) интегрируемы
с квадратом.) А
Определим скалярное произведение в Я1 (с*ТМ), полагая
где V|(^) = Ve|(^) — почти всюду определенная ковариантная про-
производная, ср. § 1.1.
Мы также будем рассматривать векторное пространство
С0 (с*ТМ) := множество непрерывных сечений,
которое наделим нормой S ^ fioo! == sup | ? (^) ( (норма максимума
модуля).
Норму на Нг(о*ТМ), определенную скалярным произведением,
будем обозначать через t»|r, r = 0, 1 •*>.
1.2.1. Предложение. Следующие включения:
Я1 (с*ТМ) с_> С0 (с*ТМ) с_» Н° (с*ТМ)
*> При csC^iS, M) это дифференцируемое векторное расслоение, а при
eeff^S, /И)— C^iS, М)—непрерывнее векторное раселоеиие ((»), г)).
**' В обозначениях для норм |||о, IUi и 1?1оо индексы 0 и 1, в одной
стороны, и со—в другой, имеют различное происхождение, В первом случае
индекс 0, соответственна 1, указывает, что берется Lg-норма одного только
сечения |, соответственно g и первой (ковариантной) производной V|; то что
используемая норма есть ?2-норма, никак не указывается в обозначениях. Во
втором елучае индеке оо указывает, что речь идет об L^-порме сечения g.
1.2. Многообразие замкнутых кривых 3!
непрерывны. Точнее,
(I) если t*=C°, то |g(e<ISI00;
(И) если ?.€= Я1, то
Доказательство *>.
0) ¦
B) Выберем fx так, чтобы при всех t выполнялось неравен-
неравенство |5(OKI2«01- Тогда
и
Здесь * любое. Проинтегрировав по 5, получим
Н2Ео<<5, i>o + <i. i>o + <V|, V|>o<2PI[?. П
Рассмотрим конечномерные векторные расслоения над S
я/: Ef-*-S, ls^/sgu, <p: F-*-S
со стандартными слоями Ef и F соответственно, снабженные
римановой метрикой **). Кроме того, мы также будем рассматри-
рассматривать ассоциированное расслоение
L(jii, ...,%; ф); L(Elt ..., Ek; F)-*S
полилинейных отображений,т.е. расслоение,стандартный слой ***>
которого является векторным пространством полилинейных ото-
отображений L(Ei, ..., Ek\ F). Римановы метрики на щ и ф опре-
определяют норму на этом расслоении ****), для которой | L EХ,..., lk) | ^
1Ы1Ы|?|
•' Доказательство проходит и для более общего елучая дифференцируе-
дифференцируемого векторного расслоения Е ->- S. Такой более общий случай нужен, напри-
например, для доказательства предложения 1.2.2 (если даже вчитать, что в 1.2.2
все E/=F=c*TM, то нужны еще некоторые расслоения, ассоциированные
о этими Ef и F).
Далее можно считать, что векторное расслоение Е—всего лишь непре-
непрерывное, но для сечений определена операция 7 с надлежащими свойствами.
Чтобы не вдаваться в аксиоматику последних, отметим, что для дальнейшего
Нужны те случаи, когда Е и F—это или с*ТМ, или одно из ассоциированных
в ним расслоений.
*' А также связностью (она нужна, чтобы можно было далее говорить
в норме | • у или хотя бы операцией V (см. предыдущее примечание).
***' Его слой над х есть Lfnj1 (х), ..., Я?" (*); Ф^)).
***** А связности в Еj и F индуцируют связность в L, для которой
6»(V4)(&l) + A{V\Ы+ + Л&4
32 Гл. 1. Гильбертово многообразие замкнуты* кривых
Рассмотрим канонические включения
E%, .... Ek\ F
(**) &(L(Elt E, Ek\F
e-L(fl»(?i). НЦЕг) Hl(Ek);
определяемые соответствием
{Д: (Si. •••,
1.2.2. Предложение. Включения (*) и (**) непрерывны и линейны.
Точнее,
. St S*)II<cohst|i4|I|61BIStlf...|6»B.
Доказательство. A) Ясно, что
так как из-под знака интеграла можно вынести квадрат нормы
максимума модуля |-|1^ для всех элементов, кроме одного, и затем
применить 1.2.1.
B) Заметим, что
V (А &, S., .... Ы) = (VЛ) (Slf S., • • •. Б») +
Пользуясь соотношением ( 2 а/) ^' 2 °' н пРиеМ0М> применен-
XI/ 1
ным в A), найдем, что
?IStU...I6»fi. ?
1.2.3. Предложение. Пусть 0 —такое открытое подмножество
в тотальном пространстве дифференцируемого векторного расслое'
ния*} л: E-+S (dim?<ob), что 0t:^&(\n-l(t) с:Et при всех
t^S непусто, и пусть п снабжено римановой метрикой и рима-
римановой связностью.
*' Формулировка предложения сохраняет смысл, а его доказательство
дословно проходит и для расслоений с*ТМ с ce№(S, M). В следующем же
предложении дифференцируемое» рассматриваемых расслоений уже сущест»
венна.
1,2. Многообразие замкнутых кривых 33
Утверждение. Я1 @) := {множество тех \ е Я1 (?), у которых
<0* иры «сед: /eS} открыто *> в Я1 (?).
Доказательство. Пусть | е Я1 (<^). Тогда существует такое
е > 0, что если т] е= Я1 (?) и | tj (*) - Б @ Iя < 2е2 для всех * е 5,
то т)@^^ Для всех ^eS. Поэтому из 1.2.1 следует, что если
1.2.4. Предложение. Пусть я: ?-»-S ы 0 cz E — такие же,
что и в 1.2.3. Пусть q>: F-*-S — дифференцируемое векторное
расслоение (dim/r<oo) с римановой метрикой и римановой связ-
связностью. Допустим, что /: 0 -»-/7 — дифференцируемое послойное
отображение, т. е. q>'f = n.
Утверждение. Индуцированное отображение
непрерывно.
Доказательство. Если Цт| —Hi стремится к нулю, то И —Sloe
и |Vt) — V||o также стремятся к нулю и || f (tj) — f (|) |0 <
f()f(i)l
lf(i)f()lM
Заметим, что если r| (t) = ti (*)ft + Ц (t)v — разложение на гори-
горизонтальную и вертикальную части**), то r\(t)h локально имеет
вид (t, r\(t), dt, —Tt(dt, т) (t)) *\ т. е. зависит только от y\(t), в то
время как tj (t)v может быть отождествлена с Vri (t). Поэтому если
мы обозначим через
разложение Tf на его ограничения на горизонтальное и верти-
вертикальное пространства, то
=DJ (г,). f)A + DJ (ч). ть - {f • ri)ft=iy (л) • Vt,+Dx/ (л). f]ft _ (f. л);.
Вычитая аналогичную формулу для V(fo§), получим
V (/. т|) @ - V (/. I) @ = D,f (t) @) • Vt, @ - DJ (I @). Vg @ +
+ W (г, @). чн @ - ?>i/ (g if)). |ft @} - {(/ «т))И0 - (/ • 1Ун (t)}.
Обе фигурные скобки стремятся к нулю при 11 — т] 1ет ->- 0, а
• vt) (о - ?>2/(g @). v| (о =
^2/ (т) (*)). (Vt, @ - Vg @) + (?>J (Л @) - *V F @)) • VI @
*' Но пока не исключено, что Н1 {0) = Ф (например, 0 может состоять
из двух связных компонент, ни одна из которых не проектируется на всю S).
•*' Здесь ^| := (Гт)) dt е= Т^Е.
***' Собственно, в терминах локальных координат надо говорить не о
Векторе dt, а о его локальном представлении — числе 1.
2 В, Клннгснберг
34 Гл. 1. Гильбертово многообразие замкнутых кривых
стремится к нулю в ||-Jo-норме ПРИ IЛ — 5 Ii -*¦ 0- Следовательно,
I Vf (t)) — Vf (g) |о также стремится к нулю. П G)
Сейчас мы докажем следующее небольшое обобщение фунда-
фундаментальной леммы Пале [2].
1.2.5. Лемма. Пусть 0сЕ и f: 0-+-F (обозначения те оке,
что и выше) — дифференцируемое послойное отображение.
Утверждение. Отображение f: Hl@)-+Hl(F) дифференци-
дифференцируемо и DJ = (DJ)~ *).
Доказательство. Из 1.2.4 мы уже знаем, что f непрерывно.
Из формулы Тейлора следует, что
/(Ш)~ Да/(Ш-D@-1@) =
где
г (I, л) := \D4(? + s (т)-1))ds
о
о
г является послойным отображением некоторого ©'х©' czCx(dcz
czExE (произведения Уитни расслоений) с выпуклым 0' в рас-
расслоение Ь(я; ф): L(E; F)->-S.
Из 1.2.4 следует, что индуцированное отображение
непрерывно. Теперь
'd, т)) Ik |1 т)- Hi,
где IГ (I, riJli-^O при II —т]1х->0, так как г (I, |) = 0. Следова-
Следовательно, f дифференцируемо и Df = (D2/r.
Аналогично можно показать, что Drf — (Dlf) . ? (8)
Сейчас мы напомним следующий хорошо известный результат
римановой геометрии; см., например, Громол, Клингенберг и
Мейер [1] или Милнор [1].
1.2.6. Лемма. Пусть М —компактное риманово многообразие.
Для каждого е>0 обозначим через @ъ открытую «.-окрестность
нулевого сечения в расслоении х: ТМ-*-М, т. е. ©г\— {|е ТМ,
|||<е}. Иногда для краткости окрестность (дъ мы будем обо-
обозначать просто через ©.
*' Строго говоря, Щ есть отображение Я1 @) -> L (Я1 (?); Я1 (F)),
a (DJ)~ — отображение Я1 @) -*¦ Н1 (L (E; F)). Говорить об их равенстве
можно, лишь подразумевая, что Я1 (L (Е; F)) рассматривается как часть
L(W(E); №(F)) (см. (**) перед 1.2.2).
1.2. Многообразие замкнутых кривы* 35
Утверждение. Существует такое е>0, что отображение
(т, ехр): ©е^МхМ, |^(т(?), ехр(Б))
является диффеоморфизмом на открытую окрестность диагонали
в МхМ.
В частности, ехр | @Р : — © f| TPM) инъективно. О
Для такого © с: ТМ и отображения с: S-*-M класса Я1 по-
положим
©с: = с*©с:с*ТМ.
Тогда ©с является открытой окрестностью нулевого сечения
в расслоении с*%. Определим отображение*)
(t) ехрс: №¦(&,)-+№-{S, M),
полагая ? = (?(/)) к—»-(ехр (т*с| (?)))• Введем обозначение
А Проверим, что, когда**' \<=НХ{©?), кривая (e(t)): =
— (ехр x*cl (t)) действительно класса Нг. Ясно, что е (t) — непре-
непрерывная замкнутая кривая. Для любого t0 e 5 возьмем какие-ни-
какие-нибудь карты (ф, U) и (г|з, V), содержащие точки c(t0) и e(t0) соот-
соответственно; если Тц>. t*cl (t0) = (#o, Уо), то в некоторой замкнутой
шаровой окрестности W точки (х0, у0) определено и дифференци-
дифференцируемо отображение g1: = тр • ехр • (Тф^. Существует такая замкну-
замкнутая дуга AcS, содержащая t0 в качестве своей внутренней
точки, что с (А) с U и 7\р (т*с| (Л)) с: W. Тогда при /еА
7ф°т*с|@ = (<И0> Еф(О). Ч«(О-*(фс(О. МО),
и фс(/), |ф (/) —абсолютно непрерывные функции, производные
которых интегрируемы с квадратом (на А). Но, очевидно, ото-
отображение g удовлетворяет условию Липшица, и потому под его
действием абсолютно непрерывная функция Л —*- W переходит
снова в абсолютно непрерывную функцию от t (так что обе функ-
функции почти всюду имеют производную), причем при почти всех t
норма производной самое большее умножается на константу Лип-
Липшица. ?
Ясно, что если е<=71{с), то dM(e(t), с(t))<в при всех t (здесь
Лм— расстояние в М, индуцированное римановой метрикой).
*' Заметим, что Н1 {©с) непусто, ибо содержит нулевое сечение.
**' Собственно, здесь можно было бы считать, что | s Я1 (с*ТМ) (опре-
(определив ехрс | для таких ? той же формулой); просто нам будут нужны только
I е Я! @е).
36 Гл. 1. Гильбертово многообразие замкнутых кривых
Обратно, если dM(e(t), c(t))<.B при всех t, то е(t) = expт*с§(t)
с некоторым |еС°(с*7\М), !§|»<е. Это верно не только при с,
ее№ (S, М), но и при с,е<=С° (S, М). Если же с, е <= Я1 E, М),
то Ъе=№{с*ТМ).
Последнее нуждается в доказательстве. Для любого toeS
возьмем такие же (ф, U), (ф, V), W и Д, как и выше. Ввиду
1.2.6 можно считать (уменьшив, если потребуется, W и соответ-
соответственно уменьшив также и Д), что существует обратный оператор
(Dig(x, у))'1- По теореме о неявной функции у точки (х0, z0),
где zo = g(xo, Уо), имеется такая окрестность, являющаяся произ-
произведением WXc х WZo шаров с центрами в л:0, г0, и в этой окрест-
окрестности определена такая дифференцируемая функция h: WXo X
X Wz, ->- Wy,, что h (x0, Zo) = уо, g (x, h (x, z)) == z, и если g (x, y) = z
(x e WXll, z e WZo и | у — y01 также достаточно мало), то у = Л (я, z).
Поэтому |ф(*) = Л(фс(<), ¦фе(О) при достаточно малых \t — to\.
Отсюда следуют абсолютная непрерывность ?ф(*) и интегрируе-
интегрируемость | |ф (t) p. D*
1.2.7. Предложение. Отображение ехрс инъективно и
imexpc={e(=H1(S, M); e(t)<=exp@[)Tc{t)M)} =
= {ee№(S, M); d^(e(O. c(t))<e при всех t).
Доказательство. Утверждение очевидно ввиду сказанного вы-
выше. ?
1.2.8. Лемма. Пусть с, deC°°E, M). Тогда отображение
expd1 • ехрс: ехрё1 (U (с) f| U (а)) -* exp^1 (U (d) (\ U (с))
является диффеоморфизмом.
Доказательство. Для каждого ieS определим множества
&сt: = (т*с)Г' (<Рfl Tc(t)M), 0*.,'.= (%*й)Г {0 Л Td(t)M),
©с d,t--=&c,tO (exp • т^)-1. (exp • T*d) 0d, и
и если (дс.и^ФФ при всех /eS, то положим 0с,а^={\0с,ч,<,
а в противном случае положим 0с,а — Ф-
Докажем, что множество &Ctd открыто в 0С. Пусть \&0Ctd,
т. е. l<=0c,d,t при некотором ^; |||<е и dM(expт*с|, d(f))<e.
Тогда при всех |'ес*ГМ, достаточно близких к ?, будет
|Е'|<в и dM(exp-c*ct', d{c*xl'))
Далее,
ибо »(с) П ^ (d) = {е е Я1 E, М); d^ (e(Q, с @) < е, dM (в {t), d (t))<
<е при всех ^}.
1.2. Многообразие замкнутых кривых 37
Отображение fa,c'= (exp»T*d)-1»(exp«T*c): 0c<d-+d*TM яв-
является послойным отображением и expd1«expc = fd,c. А поэтому
лемма следует из 1.2.5. D (9)
1.2.9. Теорема. Атлас
г1, U {с)), c<=C°(S, M),
задает структуру дифференцируемого гильбертова многообразия
на Я1^, M). Этот атлас называется естественным.
Замечание. Моделью для Н1 (S, М) является любое из экви-
эквивалентных бесконечномерных сепарабельных гильбертовых про-
пространств Hl(c*TM), c<=C°°(S, M) (ср. с (*)).
Доказательство. A) Карты естественного атласа моделируются
сепарабельными гильбертовыми пространствами, реализованными
в виде НЦ^ТМ).
B) Так как каждый элемент d^.Hl(St M) может быть при-
приближен в ^-метрике, где
dM(c, c'):=supdM(c(f), c'(t)),
tes
элементом c^C^iS, M), то для каждого d найдется такое с,
что d&U(с), т. е. множества U(с) образуют открытое покры-
покрытие*» Я1 E, М).
C) Из 1.2.8 мы знаем, что естественный атлас принадлежит
классу С°°.
Чтобы убедиться в том, что Я1 E, М) имеет счетную базу,
достаточно показать, что естественный атлас имеет счетный под-
атлас. Для этого покажем, что для каждого целого />0 мно-
множество
Я1 E, М)':=|сеЯ1E, М)\ $<с@, с (<)>#< 2/1
может быть покрыто конечным набором карт нз естественного
атласа.
Чтобы это доказать, выберем е>0 таким же, как в 1.2.6,
а целое т = т(г, I) так, чтобы 18/<те2. Тогда для ее Я1 (S, М)'
получим, что если ej: = e(]/m) и t^[(j— 1)//п, ///п], то
du (ej, e (t))\ dM (ehit e {t)f < f f | e (t) | dt) <
<^ V (e(t),
в
открытые подмножества №{с*ГМ) (предложение 1.2.3 и Лемма 1.2.8).
38 Гл. 1. Гильбертово многообразие замкнутых кривых
Отсюда следует, что e\[(j—l)/m, j/m] целиком лежит в шаре
радиуса е/3 с центром в е^х и в шаре радиуса е/3 с центром в в/.
а Существует такое конечное множество Р точек М, что е/4-
шары с центрами в этих точках покрывают М. Для любого ее
еЯ1 E, МI найдется такая последовательность {р0, ..., рт}
точек из Р, что е^Вел (рД рт — Ро- Для такой последовательности
dM (pj, Pj+i) < 2е/4 + е/3 = %е при / = 0, .-.., т - 1.
Будем говорить, что e(t) «проходит возле {р0, ..., рот}».
Для каждой из конечного числа последовательностей {р0, ...
• • •» Рт} из /га 4-1 элементов множества Р с р0 = рт и dM {pj, Pj+i) <
<Б/вв (/ = 0, ..., /га—1) построим кривую c<=C°{S, М) следую-
следующим образом. Пусть у/@» OsgtfsS 1, —кратчайшая геодезическая,
соединяющая у, @) = Pj с V/ A) = Pj+i, а функция q>: [0, 1//га] -*- [0, 1]
такова, что ф е С00, ф ^ 0, ф = 0 вблизи 0, ф = 1 вблизи 1//га. Пола-
Полагаем c(t): = fj(q>(t — ///га)) при /е[//т, (/+ 1)//га]. Докажем, что если
e(f) «проходит возле {р0, •••» Рт)"», то ^ai(c@i е@)<е ПРИ Bcex t-
Пусть te=[j/m, (j+l)/m). Тогда dM(c@, Pj)<6/ne или d((^
P;+i)<5/iae. Поэтому ^(с@, е(О)<^ти(с(О. Р/ или
+ ?гл,(р/ или pJ+1, ej или е/+1) + ^(еу или ej+1, e(t))<6/
+ V
+ V3
Отсюда следует, что е е 2f (с) при некотором с.
Наконец, проверка хаусдорфовости Я1 E, Л1) сводится к тому,
что вложение Я1 E, M)<^-*C°(S, М) непрерывно и С0 E, М)
хаусдорфово. D
Замечание 1. В дальнейшем вместо Я1 E, М) мы часто будем
писать ЛМ (при этом AM всегда подразумевается снабженным
структурой гильбертова дифференцируемого многообразия соглас-
согласно 1.2.9), а иногда и просто Л. Топологию в AM можно описать
еще следующим образом. Нам надо указать для точки с е ЛМ
фундаментальную систему окрестностей. Пусть {(фь U{)} — такая
конечная система карт многообразия М, что с (S) с: U [Д. Разобьем
S на конечное число таких замкнутых дуг Д/, что с(А<)с:С//(,).
Изменив, если потребуется, нумерацию карт и, возможно, снабдив
одну и ту же карту несколькими номерами, можем считать, что
с (Д,) с: Ut. В дальнейшем карты {ф,-, ?//} и дуги Д/ считаются
фиксированными.
При достаточно малом 60 > 0 вся |/^2 б0-окрестность множества
Д) лежит в q>i(Ut). Рассмотрим при 0<б^бо
:= /ее ЛМ; e(At)<=: Ut, Цф*е(*) — Фг^@1я1(д.,к»)<6 ПРИ всех '}
(здесь Я1 (Д,-, R") и соответствующая норма определяются очевид-
очевидным образом; /i = dim M). Оказывается, что при различных б
множества ^а образуют фундаментальную систему окрестностей
точки с в ЛМ, А
1.2. Многообразие замкнутых кривых 39
Замечание 2. Дифференцируемое отображение f: M-+N инду-
индуцирует дифференцируемое отображение
HHS, /): HHS, M)-+H*{S, N), c(t)^f-c(t)
(мы будем также писать короче Af: AM -*¦ AN). Другими словами,
мы построили функтор Я1 E, •) из категории компактных диф-
дифференцируемых многообразий и отображений в категорию гиль-
гильбертовых многообразий и дифференцируемых отображений.
ж Заметим также, что если fs: M-*-N, OsgssSl, есть дифферен-
дифференцируемая гомотопия (т. е. fs (х) дифференцируемо зависит от (х, s)),
то Afs- AM-*-AN тоже является дифференцируемой гомотопией.
Замечания 1, 2 доказаны в работе Аносова [3]. А
В частности, дифференцируемая структура на ЯхE, М) зави-
зависит только от дифференцируемой структуры на М.
Мы закончим этот параграф следующей теоремой.
1.2.10. Хеорема. Вложение
Я1 E, М)с_*С°E, М)
является гомотопической эквивалентностью.
Доказательство. Будем рассматривать М как замкнутое под-
подмногообразие некоторого евклидова пространства Е. Пусть N —
открытая трубчатая окрестность многообразия М в Е. Тогда М
является сильным деформационным ретрактом этой окрестности,
причем соответствующую гомотопию
hs: N-+N, 0<s<l (/to = id,
можно считать дифференцируемой.
Эта гомотопия индуцирует семейство отображений hs, которое
определяется с помощью соотношения (hs•с) (t) — hs ° с (t) и является
гомотопической эквивалентностью как между HX(S, N) и
НЦЭ, М)*>, так й между C°(S, N) и C°(S, M).
*' Здесь следует напомнить замечание в начале § 1.2: большая часть
содержания данного параграфа проходит и для некомпактных многообразий
(в частности, для N). Формально же вместо того, чтобы анализировать по
существу, может ли некомпактность JV повлиять на что-нибудь в наших рас-
рассуждениях, проще свести все к компактному случаю. Будем считать М вло-
вложенным не в евклидово пространство, а в некоторую сферу Sk, возьмем
в качестве N трубчатую окрестность М в S* и заметим, что дифференцируемую
гомотопию hs можно (уменьшив, если понадобится, N) продолжить до диф-
дифференцируемой гомотопии всей сферы S* (сфера, конечно, уже не стягивается
на М). Тогда Н1 (S, N) можно определить как подмножество в Н1 (S, Sk),
состоящее из тех отображений S-+S*, образ которых лежит в N. Из описания
топологии Н1 (S, S*) видно, что это подмножество открыто. Далее, взяв вне N
на сфере какую-нибудь точку р, с помощью стереографической проекции
строим диффеоморфизм q> области Sk—p на евклидово пространство Е. Оче-
Очевидно, (ф, S*—р) является некоторой картой на S*, и из замечания 1 легко
40 Гл. 1. Гильбертово многообразие замкнутых кривых
Таким образом, показано, что ЯхE, М) гомотопически экви-
эквивалентно открытому множеству (/1:=Я1E, N) гильбертова про-
пространства Я1 E, Е), a C°(S, M) гомотопически эквивалентно
открытому множеству U°:=C°(S, N) локально выпуклого бана-
банахова пространства C°(S, E) о нормой максимума модуля.
Из 1.2.1 следует, что включение Я1 E, ?)c_*C°(S, E)
непрерывно и имеет плотный образ*). Применяя теперь теорему
Пале [3], получим, что U1 и U0 гомотопически эквивалентны. A0) Q
1.3. Риманова метрика и интеграл энергии
на многообразии замкнутых кривых
Повторим еще раз, что мы часто будем вместо Я1^, М)
писать AM, а иногда даже просто Л.
Наша первая цель состоит в том, чтобы определить два рас-
расслоения
or:=./y(tfi(S, M)*TM)^>-H4S, M), r = 0, 1,
в которых слой над с е Я1 (S, М) состоит из Яг-векторных полей
вдоль с**К
Сказанным Hr(Hx{S,M)*TM) определены как множества;
определены и аг. Чтобы дать точное определение всей структуры
расслоений, рассмотрим естественную карту (expj1, U (с)) много-
ббразия AM, соответствующую кривой ceC*(S, M). Для 1^0,
где 0 — такое же, как в § 1.2, рассмотрим отображение
Va ехр (|): Т^М -» Техр гМ, г\ •— Т ехр (|). (К | T%VTM)^ . т,.
Заметим, что отображение (К \ Т^ТМ): TivTM -*¦ Т-^М есть кано-
каноническое отождествление касательного пространства к слою Т-^М
в точке I со слоем Т^М.
Ясно, что V2 ехр (|) — линейный изоморфизм.
вытекает, что Hl(S, N) гомеоморфно подмножеству (очевидно, открытому)
U1:— {с <= Я1 (S, ?); сE)с:ф(Л^)} гильбертова пространства Н1 (S, ?).
Аналогично, C°(S, N) гомеоморфно U°s=C°(S, q(N))c:C*(S, ?); здесь все
очевидно.
•' Ссылка на 1.2.1 законна, ибо Я1^, ?) и C°(S, E) можно рассматри-
рассматривать как пространства сечений тривиального расслоения SXE-+S,
*•» Следует иметь в виду, что Hr(Hl(S, M)* ТМ) не является простран-
пространством сечений какого-то расслоения с пространством расслоения Я1 (S, М)* ТМ,
как можно было бы подумать на основании обозначения; последнее на самом
деле имеет другое происхождение:
у Нг (с*ТЩ**Н' (Я*(S, М)* ТМ),
C&H4S.M)
Никакого объекта, обозначаемого #X(S, M)* ТМ, вообще не вводится, а смысл
придается только более сложному обозначению Нг (Я1 (S, Щ* ТМ),
1.3. Римаиова метрика и интеграл энергии 41
Теперь для г = 0, 1 определим
Ф7.1,: Я1 @С) х Hr (c*TM) ~+ (a') U (с),
полагая *>
(I @. Чс @) -* «т*еГ • V* ехр (т*с
где е:=ехре| и (т*е), = т*е|(е*т)-1@.
1.3.1. Теорема. Отображения Ф^с биективны, так что опре-
определены обратные к ним отображения ФГ|С. Тройки
являются локальными представлениями расслоения
a': #'(/J*(S, М)*ТМ)-+АМ,
стандартным слоем которого является сепарабельное гильбертово
пространство Нг{с*ТМ).
При этом а1 канонически изоморфно касательному расслоению
%Ам' ТАМ-*¦ AM многообразия AM.
Доказательство. А Прежде всего докажем, что если 1 е Я1 (<8С)
и expd — e, то
Ф;,1,11X Я' (с*ГМ): | X Я' (с*ГМ) ->¦ Нг (е*ТМ)
есть топологический линейный изоморфизм. Для любого t0 суще-
существуют карты (ф, V) и (if, У), содержащие точки с(^0) и e(t0)
соответственно: если Тф.т*с|(^0) = (х0, Уо)> то в некоторой замк-
замкнутой шаровой окрестности W точки (х0, у0) определено и диф-
дифференцируемо отображение ^:=г|)»ехр<>(Гф)~1, причем существует
обратный оператор (D^(xt у))'1. Найдется такая замкнутая
окрестность Аэ<0 в 5, что c(A)czU и 7\р(т*с|(Л))с: W. Тогда
при t e Д главная часть локального представления для
Щ:= (х*е)т1 • V2ехр (т*с| @). т*сг] @
есть u(t):=Dig(x(t), у(t)) .z(t), где
*' Вначале Ф^ надо понимать как единый символ, пока не доказана
биективность соответствующего отображения, что позволит говорить о Фг,с.
Индекс с у г\ служит только для напоминания, что tj — сечение с*ТМ. Тогда,
казалось бы, и у % надо ставить тот же индекс. Но то, что ? есть сечение
с*ТМ, «само собой разумеется», тогда как tj (при данном Q определяет неко-
некоторое векторное поле ? вдоль кривой е := ехре %, т. е. некоторое сечение рас-
расслоения е*ТМ; как мы увидим в 1.3.1, можно сказать, что т| есть главная
часть представления ? в векторной карте (Фг с, expj1, U (с)у Автор счел
полезным подчеркнуть в обозначениях, что t представляется посредством
векторного поля вдоль с.
42 Гл. 1. Гильбертово многообразие замкнутых кривых
Нормы производной Dsg{x{t), y(t)) и обратного к ней линейного
оператора равномерно ограничены. Поэтому если г (t) квадратично
интегрируема на Д, то и u(t) тоже, и обратно, причем
с некоторыми съ с2>0. Далее, Dig(x(t), y(t)) является абсо-
абсолютно непрерывной функцией t ввиду дифференцируемое™ D^g
и абсолютной непрерывности x{t), y(t). (Вообще, если векторная
функция / удовлетворяет условию Липшица в своей области
определения W иг: Д -> W — абсолютно непрерывная функция,
то и f°z тоже.) Наконец, производная
|я*(*@, '?(*)) = 0i0tf(*<9. УШ*(*) + ВД*(*@. y(t)).y(t)
является суммой квадратично интегрируемых функций (х и у)
с ограниченными множителями, поэтому -rtD2g квадратично
интегрируема. Теперь ясно, что если z(t) абсолютно непрерывна
и имеет квадратично интегрируемую производную, то и u(t)
тоже, и обратно, причем
с некоторыми съ с2>0. Ясно, что S можно покрыть конечным
числом окрестностей А *; так, чтобы для каждой из них имелись
свои (ф, U), (¦$, V) и W. Тем самым проверено выполнение усло-
условия (i) из определения векторного атласа**'.
Займемся теперь условием (и).
Пусть е<= U(с)П U(d), е = ехрсg = expd%, ? е= Я1 @С,d), xe
е Я1 @С, а)- Обозначая для краткости ехр | ТХМ через ехрх (так
что D ехр* (I) = V2 ехр (|) при \<=ТХМ), продифференцируем
в точке l(t)^0Cta,t следующее отображение ©c.d.t-^T
i*d.fa§e\0Ctdtt = (exp 10d(t)Yx• exp.(x*c)h
*' Сначала открытых, а затем чуть меньших замкнутых.
•*> Заметим, что фактически выше использовалось не то, что с е С00 (S, М),
а только то, что се. Н1 E, М), и доказано следующее утверждение. Если
с е= № E, М), 1^ № @С) и« = ехрс \ (т. е. е (t) := ехр (т*с| (/))), то отобра-
отображение
(Л @) -*> (С @) := ((т'в)?1 • V2 exp (т*с| (/)). Л (/))
переводит tjs Нг (с*ТМ) в ? <= Я'(е*ГМ) (/- = 0, 1). Полученное отображение
Нг (с*ТМ)-+Нг (е*ТМ) является ограниченным (относительно | • ||,.-нормы)
линейным оператором, имеющим ограниченный обратный.
1,3. Римаиова метрика и интеграл энергии 43
где fd, с — то же, что и в 1.2.8. Очевидно, получится
x*d. Dja, е a (*)) = D (ехр | <Dd lt)y*. D ехрс w (x*d (*)). (x*c)t.
Здесь D(exp|<5'rf@)-1 берется в точке expc{t)(x*cl(t)) = e(t) =
= expa(t)(x*d%(t)) и поэтому равна
[D (exP<f@) (x*d% (О)] = [V, ехр (x*d% (О)]-
В итоге получаем
?>Л. с (I @) = (т*<9Г' • [V, ехр (t*dx (О)Г1 • V2 ехр (т*с| (Q). (т*с),.
Отсюда видно, что отображение ФЛ«; - Фл е имеет вид (|, т)) >—¦ (х, ?)»
где x = expd'«expc. I, а С@ = ад.еA@)- Л @- А
Рассмотрим сначала случай г=1. В этом случае, как видно
из сказанного, отображение
(*) фх, „.фГ/с: Я1 (<9С, „)хН1 (с*ТМ) -*-Я1 @dt с) х Я» (d*TM)
имеет вид (frftC, (D2fdiC)~), где fdrC —такое же, как и в 1.2.8.
Следовательно, отображения (*) ведут себя как отображения
перехода между локальными представлениями расслоения. Кроме
того, так как {DjdtC)~ = DfarC, то эти функции перехода в точ-
точности являются функциями перехода, определяющими структуру
касательного расслоения на ЛУИ.
В случае г = 0 заметим, что композиция дифференцируемого
отображения
(ад.е)~: №@c,d) + №{L{c*TM\ d*TM))
с последующим непрерывным линейным вложением
Hi{L{c*TM; d*TM))e_*L{H°(c*TM)\ H°(d*TM))
(см. 1.2.2) дает дифференцируемое отображение. ?
Для | е 0 cr TM определим отображение Vx ехр (|): Т^М -*•
-^Техр^М, полагая tj>—»- Т ехр (|)»(Тт| Т^ТМ)-1. г). Ясно, что это
линейный изоморфизм.
Далее, определим отображение 6: 0-±L(TM; TM) с помощью
формулы 6 (I): = V2 ехр (I)-1 - Vx ехр (g).
Для каждого c^Cx(S, M) рассмотрим послойное отобра-
отображение *'
Ьс: = (т*^-1 • 6 • т*с. дс. <дс -+с*ТМ.
*' Подробнее: если \<^0С и c*i\ = t, то
Наряду с с Клингенберг использует также обозначение дс; у него имеется
тенденция писать с (<), когда речь идет о векторе в ТМ, и дс(*) := (т*с)^1с(/),
когда речь идет о векторе в с*ТМ. Но это именно тенденция, которая не
соблюдается педантично —иногда дс рассматривается как вектор в ТМ (см.
например, в доказательстве предложения 1.3.2 оба равенства с левой частью бе).
44 Гл. 1. Гильбертово многообразие замкнутых кривых
1.3.2. Предложение. Отображение д: ЛУИ -*¦ (a0)-1 AM, cono-
сплавляющее кривой г е AM ее касательное векторное поле де (t) =
= e(t), является дифференцируемым сечением расслоения а0.
В локальном представлении Я1(<^с)хЯ°(с*ТМ) расслоения а0
над U (с) главная часть д, обозначаемая через
дс: Н1@е)->'Но(с*ТМ),
имеет вид
Доказательство. Пусть е (t) = exp (x*c% (t)). Тогда
де @ = Т ехр (т*с| (/)). {т*с\ (tyh + т*с? Ш
где справа указано разложение на горизонтальную и вертикаль-
вертикальную компоненты. Так как
Гт. т*с| (О; = дс (О, К . т*с? (О; = V {х*с\ @),
то
де (t) = Vx ехр (т*с| @). дс (t) + V2 ехр (т*с? (/)). V (т*4 (/)) =
= V2 ехр (т*с| @) • т*с. (Vc? @ + 8С A @)).
дДифференцируемость отображения
дс- I н* (Vc| @ + 9С? @) е Я» (с*ГМ)
следует из того, что Vc: Н1{0с)-+Нй(с*ТМ), \\-+ VC|, — линей-
линейный ограниченный оператор, отображение 9С: Я1 @С) -*-Н1 (с*Т'М)
дифференцируемо в силу 1.2.5 и вложение Н1(с*ТМ)-*-Н°(с*ТМ) —
линейный ограниченный оператор. А ?
1.3.3. Теорема. На расслоении а0: Я0(Я1 E, М)* ТМ)-*-АМ
определена риманова метрика, которая характеризуется тем
свойством, что на (а°)-1с = Н°(с*ТМ), сеСдаE, М), она задается
произведением (•, • H. Поэтому мы будем обозначать эту метрику
через <•, •)<>•
Доказательство. Определим отображение G: 0-+L(TM\ ТМ)
с помощью равенства
(G(l)-, Oti^^expd)-, Vaexp(?).>expl*>.
Из определения © следует, что G(?) — (строго) положительно
определенный самосопряженный оператор класса С00. Отображение
Gc: = (т*с)-х • G. (т*с): ^с -»- L (с*ТЛ1;
*' Можно сказать еще так: ((ехр | Фх)'1, ехр 0*) есть некоторая карта
многообразия М; в этой карте риманова метрика в точке с координатами
\ s ©х выражается посредством квадратичной формы ц i—*¦ (О (?) ц, ц)х.
1.3. Риманова метрика и интеграл энергии 45
является послойным отображением*', а отображение Ос, получаю-
получающееся при композиции
H40c)-*Hl(L(c*TM\ c*TM))^->L(H°(c*TM); H°{c*TM)),
— положительно определенный самосопряженный оператор клас-
класса Сда. Таким образом. Я1 @С) -*Ц (Н° (с*ТМ)), g •—• <б« (g) ¦, • > —
риманова метрика на тривиальном расслоении Я1(<^'с)хЯо(с*Т'Л1)->-
Можно проверить, что эта метрика не зависит от выбора
локального представления. (и)
Наконец, Gc = id при ? = 0, т. е. на Н° (с*ТМ) эта мет-
метрика совпадает с <•, ->0. Так как C°°(S, М) плотно в AM =
= Я1 (S, М), то это свойство полностью характеризует метрику. ?
1.3.4. Лемма. Связность Леви-Чивита К на римановом каса-
касательном расслоении т^: ТМ-*-М многообразия М индуцирует
риманову связность Ко," на a0: H°(Hl(S, M)* ТМ)-*-АМ.
Доказательство. Определим Г: 0-*-L?{TM; TM) с помощью
равенства **>
2<G(|)Г(g). (Ti, 0, 8>T|SS<DaG(S).(T], ?), Q)xl +
+ <D2G (g). (S, т,), в)п - (D2G (g). (8, n), 5>п,
которое должно тождественно выполняться при всех г\,
Тогда
—послойное отображение ***).Следовательно, композиция (которую
мы снова будем обозначать через Гс)
Нх@с)^Их(LI(с*ТМ; с*ТМ)) <=-+
с_*1(Я1(с*ГМ), На(с*ТМ); Н°(с*ТМ))
дифференцируема (ср. 1.2.2) и определяет символы Кристоффеля
римановой связности Ка« расслоения а0. То, что Ге удовлетворяет
•> Если | <= <дс. ь 1 е (сЧ)-1 (О, ю
Ос (I) Л := (т*с)^ • G (т*ф • т*с . т) е (c*t)-i (О,
т. е. Gc © s L ((c*T)-i @. (сЧ)-1 @).
**> Формула, определяющая Г, означает, что в карте ((ехр | 0х)~г, ехр 0Х)
многообразия М символы Кристоффеля связности Леви-Чивита исходной рима-
римановой метрики в точке с координатами | суть Г (?) . (•, •).
***> формула для Гс —несколько небрежная (из-за неоднозначности (т*с)~*
при возможном наличии самопересечений у с) запись того факта, что при
I е 0С, t, ц, I e (с*т)-1 (О
Гс (Е) • (Л. Q == (т*с)Г • Г (i*cl). (г*сц, r*cQ.
46 Гл. 1. Гильбертово многообразие замкнутых кривых
формулам перехода для символов Кристоффеля, следует непо-
непосредственно из определения; тот факт, что связность /Са» рима-
нова, содержится в равенстве
<(?& (|). ц) Е, е>0 = (Gc (g) Тс (|). (Ч, 0, 9>0 + (Gc (I) Гс (?). (г), 6), ?>0,
где т)еЯ1(с*ТМ) и ?, 6еЯ°(с*ТА1), которое тоже непосред-
непосредственно следует из определений; ср. с (****) в конце § 1.1. A2) П
1.3.5. Предложение. Ковариантная производная уа<д сечения
д расслоения сс° является дифференцируемым сечением расслоения
Цаг\ аоу.ЦНЦНЧБ, М)*ТМ); Я0 (Я1 (S, М)*ТМ))-+Ш.
Если I е Я1 (<??с) — локальное представление кривой е е # (с) м
?еТеЛЛ4, а т] sff'(c*7M)- локальное представление ?, то
главная часть локального представления Va°<?(e)-? pae«a
(это есть Н°-сечение расслоения Н° (с*ТМ), принимающее значение
в точке t^S, где д<| = vd + еЛ1) еЯ°(с*ГЛ1) — главная часть
локального представления де, см. 1.3.2).
Вместо уа°д (е) • S мы будем писать \/а<де. g и даже y?i если
не будет опасности путаницы*). Заметим, что при е — с, т. е.
при | = 0 (тогда т] = ?), на самом деле Va°a^.? = Ve2- A3)
Доказательство. В терминах локального представления глав-
главная часть ковариантной производной равна
Поскольку ус:Я1(с*ТМ)->Я°(с*ТМ) линейно, а е^-^-^
послойное отображение и, следовательно, DSc = {DtScy, то пер-
первое слагаемое здесь равно уц + (D26e)~ (|). (ц). О
1.3.6. Теорема. Яа касательном расслоении а^^х^м много-
многообразия AM определена риманова метрика, которая характери-
характеризуется тем, что на ТСАМ, ^НЦ^ТМ), где сеСдаE, М), она
совпадает с (•, • >!. Поэтому эту метрику мы также обозначим
через < ¦, • )х-
*) Путаница может возникнуть, в частности (и, пожалуй, в особенности),
тогда, когда (как это часто делается) главная часть CDj, с (?), где ? е ТеА,
обозначается снова через ?: следует ли понимать под у? ковариантную произ-
производную V^? исходного ? = ?е е Н1 (е*ТМ) вдоль кривой е или ковариантную
производную ус? его локального представителя ? = ?с е Я1 (с*ГЛ1) вдоль
кривой с? Использование сокращенных обозначений требует осторожности
со стороны автора и внимания к контексту со стороны читателя.
1.3. Риманова метрика и интеграл энергии 47
Доказательство. Положим риманову метрику на ТеАМ равной
<•, ^
То, что это дифференцируемое сечение расслоения Ц(хАм)'
LI(ТАМ)-*AM, следует из 1.3.3 и 1.3.5.
Ясно, что на Н1(с*ТМ), се С00E, М), эта метрика совпадает
с <•, •>!*'. Так как кривые c^C^iS, М) плотны в ЛМ =
= Н1 (S, М), то это свойство однозначно определяет метрику. ?
Определим открытую окрестность нулевого сечения расслоения
тЛм> полагая
, ЛГ); i\{f)e0czTM],
где 0 такое же, как и в 1.2.6.
Ясно, что при c^Cca{S, УИ)**) имеет место соответствие
(д П 7\ЛМ ?ё Я1 (<^с) (при установленном выше каноническом
изоморфизме ТСАМ с Я1(с*ТМ)).
Сейчас мы покажем, что отображения
могут быть «соединены» в дифференцируемое отображение
которое обладает свойствами экспоненциального отображения
связности на тАм- Заметим, однако, что ехр не является экспо-
экспоненциальным отображением связности Леви-Чивита, соответству-
соответствующей римановой метрике (•, -)i на AM. Дальнейшие подроб-
подробности можно найти у Флашеля и Клингенберга [1] (замечание
к теореме 4.7 гл. II).
1.3.7. Теорема. Отображение
). ехрт)@)
дифференцируемо. Оно диффеоморфно отображает некоторую
открытую окрестность нулевого сечения на открытую окрест-
окрестность диагонали в АМхАМ.
Доказательство. Напомним вид локального представления
расслоения т-дль
ФГ.'С: Я1 @С) х Я1 (с*ТМ) -> (тлм)-1^ (с),
(I (t), Tic @) — (Vt ехр (т*с| (/)). х*сЦс @).
*' Ввиду A3) совпадение имеет место при всех ceAAJ,
**' Как и при всех сеЛЛ1,
48 Гл. 1. Гильбертово многообразие замкнутых кривых
Отсюда видно, что локальное представление для ехр следующее:
(I, Чс)ь-*E, Сс). где Ъе<=Н1(с*ТМ) есть сечение*'
1>-¦• (ехр • х*с | 0С, t)-1 - ехр • у2 ехр (т*с? (*)). т*ст|е (/).
Отображение (|, т)с) н-*• ?с имеет вид f для некоторого дифферен-
дифференцируемого послойного отображения 0схс*ТМ-*-с*ТМ, так что
ехр дифференцируемо.
Отображение тЛл*хехр взаимно однозначно отображает нуле-
нулевое сечение расслоения хАм на диагональ Д произведения
ЛМхЛМ. Осталось показать, что его дифференциал в точке
ОеТДУИ является линейным изоморфизмом на Т{с>с)(АхА).
Для того чтобы убедиться в этом, заметим, что локальное
представление**1 дифференциала имеет вид
Т (хлм х е^р) @,- т|с (<)) = @, ti. @),
Т (тлм X ехр) (I @, 0) = (| @, I @),
откуда следует утверждение теоремы. ?
Важным следствием является
1.3.8. Теорема. Каждому сеЛМ соответствует естествен'
ная карта
где ехрс: = ехр | W П ТДУИ, W — некоторая окрестность нуле-
нулевого сечения расслоения ТАМ, <*V (с): — ехрс (W (] ТСАМ).
Замечание. Здесь, возможно, надо несколько уменьшить***)
окрестность 0 П ТСАМ нуля пространства ТСАМ. (w)
*' Пока не исключено, что ехр • уг ехр (т*с| (t)).r\ (t) не лежит в е-окрест-
ности c(t), а тогда написанная формула не имеет смысла. Чтобы избежать
этого, проще всего считать, что 0 = 0& в 1.3.7 определяется с помощью
какого-то меньшего е, чем раньше (но в доказательстве в (ехр ¦> т*с | 0С< t)'1
фигурирует прежнее е). Ср. с замечанием автора после 1.3.8.
**' В записи (|, т)) для векторов из Т0ТА подразумевается разложение
Т0ГЛ согласно 1.1.1 в прямую сумму горизонтального и вертикального под-
подпространств, которые оба канонически изоморфны ТСАМ. (В точке 0 это
разложение не зависит от связности.) В правых частях подразумевается
разложение Т(с,,., (ЛхЛ) = ТСЛ© ТСА.
***> Одну из причин возможного уменьшения 0 см. в первом примечании
к доказательству теоремы 1.3.7. Вторая причина состоит в том, что в 1.3.7
не уточнялось, в какой именно окрестности нулевого сечения отображение
TAAf X ехр является диффеоморфизмом на окрестность диагонали. По этой
второй причине мы даже не можем утверждать, что уменьшенная окрест-
окрестность нулевого сечения расслоения ТАМ имеет вид (§ с некоторым 0-=0ъ,
как в § 1.2. (На самом деле ценой более громоздких рассуждений можно
было бы избежать уменьшения 0, но нам это не понадобится.)
1.3. Риманова метрика и интеграл энергии 49
Теперь мы определим функцию Е: AM -»-R, которая называется
интегралом энергии и задается соотношением A6)
Е(с):~Ч%(дс, дсH.
1.3.9. Лемма. Функция Е дифференцируема, а ее дифферен-
дифференциал имеет вид
DE(c).r\ = (dc
Доказательство. Дифференцируемость Е следует из 1.3.2 и
1.3.3.
Для вычисления дифференциала функции Е воспользуемся
римановой связностью Va° на а0:
D(dc, дсH.т\ = 2(дс, уа«дс.цH
и вспомним, что ^atdc.r\ = \fi\. D
1.3.10. Дополнение. В терминах локального представления
расслоения а1 над U (с) функция Е и ее дифференциал записы-
записываются в форме
ЕС: = Е* ехРс: Я1 @е) -> R, g ^ Vi (Gc (S). д& дс1%
и
DEC ф. т) = фс (|). дЛ, щ + (DAT (i) ¦ ti>o +
Доказательство. В равенство
dec ее) --л—<gc (i). ал, v««ac (i). ч\
надо вместо второго аргумента подставить его выражение из 1.3.5
и воспользоваться тождеством, приведенным в конце доказатель-
доказательства 1.3.4, полагая в нем 5 = 6 = дс|. ?
Важность функции Е объясняется тем, что она позволяет
просто описывать замкнутые геодезические в AM, т. е. дифференци-
дифференцируемые отображения c:S-*-M, которые удовлетворяют соотно-
соотношениям vc = 0> сфО.
1.3.11. Теорема. Кривая cg AM является замкнутой геодези-
геодезической или постоянным отображением в том и только в том
случае, когда она является критической точкой функции Е, т. е.
DE(c) = 0.
Доказательство. Если с дифференцируема, то, учитывая, что
ц (дс> "tied) = (уде, Ч)с(о + (dct v*l>e«) и \jt (дс, i\)e{t)dt = О,
имеем
DE(c).r\ = (dc, ут\)о = — (удс, т)>0.
5& Гл. 1. Гильбертово многообразие замкнутых кривых
Поэтому из уде —0 следует DE(c) = 0. Для этого рассуждения
не требуется бесконечной дифференцируемое™, но вполне доста-
достаточно, чтобы дс&Н^-^ТМ).
Пусть теперь D?(c).t) = 0 при всех т^еТ^АМ. Тогда с явля-
является слабым решением уравнения Vdc = 0. Из теории эллипти-
эллиптических операторов следует, что с дифференцируема, а значит,
является замкнутой геодезической или постоянным отображением
(отображением в точку).
Однако ссылки на эту теорию можно избежать. Мы сейчас
приведем прямое доказательство «достаточной дифференцируемости»
с, аналогичное известной в вариационном исчислении лемме
Дюбуа-Реймона.
Пусть \{t) — такое параллельное Я1-векторное поле вдоль
c(t) (не обязательно периодическое)*), т. е. у!@ = 0, чт0 ?0) =
= ?A), где ?A) есть Я^векторное поле, тоже не обязательно
периодическое, определенное уравнениями
VE(*H*(9. S@)-0.
Положим ?,(t) — tl(t) = T](t). Тогда т)@) = т)A) = 0, и можно счи-
считать, что tie Я1 (с*ТМ); далее,
Кроме того,
<?, дс -1>0 - <|, ул>о = \ jt <i @. Л @> dt = О
и 0 = D?>(c).T) = (dc, vTl)o- Поэтому
т. е. дс (t) = I (t) — поле класса Я1 на отрезке [0, 1].
Чтобы убедиться в том, что \^Н1[с*ТМ), надо дополнитель-
дополнительно установить, что дсA) = дс@). Для этого можно восполь-
воспользоваться предыдущим рассуждением, рассмотрев вместо c(t)
кривую c(t+l/2). A Подробнее, Е инвариантно относительно
диффеоморфизма
Поэтому точка о является критической тогда и только тогда,
когда таковым является ее образ. Но если последний — класса Я1
на отрезке [0, 1], то, в частности, отображение t*-*dc(t-\-1/2)
непрерывно при *=1/2, а это и означает, что дс@) — дсA). ?
*' То есть ^-отображение [0, 1]-*-ГМ, для которого т«§ = с,
1.4. Условие (С) Пале — Смейла и его следствия 61
Теорема 1.3.12. Отображение g: AM-у AM, сопоставляющее
каждой кривой с: S-+M ту же самую (с геометрической точки
зрения) кривую, параметризованную пропорционально длине дуги,
является непрерывным отображением, гомотопным тожде-
тождественному.
Здесь следует пояснить, когда две кривые считаются одина-
одинаковыми с геометрической точки зрения. Имеется в виду эквива-
эквивалентность в том смысле, как это определяется (в более общей,
чем у нас, ситуации) в параграфе о непрерывных кривых в мет-
метрическом пространстве у Колмогорова и Фомина [1]. Мы огра-
ограничимся тем, что процитируем оттуда две фразы, содержащие
наглядное описание идеи этого определения: «Порядок, в котором
проходятся точки кривой (при изменении параметра — Ред.), мы
будем считать существенным свойством самой кривой ... Однако
при одинаковом порядке прохождения точек пространства выбор
«параметра» мы будем считать несущественным». В книге Колмо-
Колмогорова и Фомина речь идет о незамкнутых кривых (параметр t
пробегает некоторый отрезок [а, Ь]). Переход к замкнутым кри-
кривым очевиден, надо только иметь в виду, что в этом случае
встает вопрос о том, какой должна быть начальная точка (gc) @)
кривой gc. На первый взгляд кажется естественным потребовать,
чтобы начальные точки кривых gc и с совпадали, т. е. чтобы
было (gc) @) = с@); после этого g определяется однозначно. Будем
пока считать, что в 1.3.12 g определено именно таким образом.
Если бы мы допускали возможность изменения начальной
точки, то определение gc зависело бы от конкретного выбора
начальной точки (gc)@)ec(S) и, вообще говоря, g не было бы
непрерывным. Но может оказаться удобным выбирать (gc)@)
некоторым специальным образом и так, чтобы (gc)@), вообще
говоря, не совпадало с с@); при этом специальном определении
(&с)@) по-прежнему имеет место непрерывность g. См. § 2.2,
замечание перед теоремой 2.2.6.
Доказательство теоремы 1.3.12 см. в работе Аносова [3]. ±
1.4. Условие (С) Пале—Смейла и его следствия
Мы начнем с перечисления нескольких свойств многообразия
ЛУИ, функции Е и связанных с ними структур, которые можно
рассматривать как аналоги для нелинейного случая (т. е. для
многообразий) хорошо известных результатов о гильбертовом
пространстве W(S, Е), где Е — евклидово пространство.
1.4.1. Предложение. Пусть сеЛМ. Тогда
dh(c(t0), c(t1))^\t1-t0\2E(c).
52 Гл. 1. Гильбертово многообразие замкнутых кривых
Доказательство. Имеем dh(c(t0), cfa))^ (\ \'c(t)\dt
V
и
.
W'c{t)\*dt. a
и
1.4.2. Предложение. Пусть с, с'&АМ. Тогда
где dA — расстояние в AM, индуцированное . римановой метри-
метрикой <•, -)i-
Замечание. Это предложение обобщает 1.2.1.
Доказательство. Достаточно показать, что для каждой диффе-
дифференцируемой кривой и (s), 0 ==s s «s 11 в Л, у которой к @) = с
и хA) = с', выполняется неравенство с!да(с, с') ==s 2L2 (и), где
L(и) —длина кривой в Л. При этом мы предполагаем, что сие'
принадлежат одной компоненте связности многообразия AM.
Если же с и с' принадлежат разным компонентам связности, то
расстояние между ними полагаем равным оо.
Рассмотрим отображение
х: 5 х 1->М, (t,
И» локального представления видно, что отображение
Bvti Н1 (S, Л0-э-М
дифференцируемо, и поэтому и (s) (f0) при фиксированном t = tQ —
также дифференцируемая кривая. Выберем ^0 так, чтобы
<Uc. c') = dM(c(t0), с'(t0)). Тогда
1.4.3. Предложение. Пусть с, с'еЛМ. Тогда
c, С).
Замечание. Это есть нелинейный аналог неравенства
Доказательство. Так же как в доказательстве 1.4.2, соединим
с к с' лежащим в-ЛМ дифференцируемым путем x(s),
1.4. Условие (С) Пале — Смейла и его следствия 53
Будем сначала считать, что х (s) ф А°М при всех s. Тогда
¦2ГII дк (s) lo = -If «** (s), ан (s)H) =
Интегрируя, получаем У 2? (и A)) — V^2f (x @)) <L (и).
д Очевидно, полученное неравенство справедливо и в том
случае, когда концам кривой к (s) разрешается принадлежать Л°М
(но при 0<s<l по-прежнему x(s)&A°M). Убедимся, что оно
справедливо и в общем случае произвольной дифференцируемой
кривой, соединяющей сие'. Если с, с'^Л°М, то доказываемое
утверждение тривиально. Если же, скажем, с' фАРМ, но x(s)e
еЛ°УИ при некотором s, то пусть s0 := max {s; x(s)eA°M}.
Тогда кривая к' (s): =k((s —so)/(l — s0)) соединяет с(s0) и с', причем
Так как неравенство выполнено при всех и и остается спра-
справедливым при перестановке с и с', то предложение 1.4.3
доказано, п
1.4.4. Лемма. Включение
= H1(S, M)c_>C°(S, M)
непрерывно и компактно, т. е. образ каждого ограниченного в AM
подмножества имеет компактное замыкание в C°(S, М).
Доказательство. Непрерывность следует из 1.4.2. Компакт-
Компактность будет следовать из теоремы Арцела —Асколи, если для
каждого связного и ограниченного К a AM будут установлены
два утверждения:
(i) образ включения K<=-*-C°(S, M) является равностепенно
непрерывным семейством функций;
(и) для всех ^е5 множество К (t0) :== {c(to)\ се/С} отно-
относительно компактно в М.
Утверждение (И) очевидно, так как М компактно. Для того
чтобы убедиться в выполнении (i), заметим, что для фиксированного
с0 е К существует такое ^0>0, что dA(c, co)<.ko при всех се К.
Тогда из 1.4.3 следует существование такого к > 0, что Е \ К «S х.
А поэтому равностепенная непрерывность следует из 1.4.1. П
Первым приложением этой леммы является
54 Гл. 1. Гильбертово многообразие замкнутых кривых
1.4.5. Теорема. В метрике dA многообразие ЛЛ4 = Я1E, М)
является полным метрическим пространством.
Доказательство. Пусть {ст} — последовательность Коши в Л.
Включение этой последовательности в полное пространство
C°(S, M) показывает, что у нее есть предел co^C°(S, M).
Так как с0 допускает приближение дифференцируемой кривой с,
то можно предполагать, что для достаточно больших т кри-
кривые ст принадлежат U{c). Положим ехрё1 (ст) = %т е Я1 {0С).
Для окончания доказательства теоремы осталось заметить, что
локальные представления
<G(E).,->o+<G(S)V.f V.>0
гильбертовой метрики пространства Техр \АМ в пространстве
ТСАМ, где ? е Я1 {0С), все эквивалентны гильбертовой метрике
< •, • >! на Т'САМ = Я1 (с*ТМ). Таким образом, последовательность
Коши {lm} в метрике, которая представляет расстояние dA, явля-
является последовательностью Коши в стандартной метрике (•, •I
на //1(с*ГЛ4). А так как последнее пространство полно, то тео-
теорема доказана. ?
Для каждого действительного к обозначим через Л" или АКМ,
соответственно через Л*- или А*~М, множество тех с е Л, для
которых Е(с)^п, соответственно Е(с)<.х.
Отметим, что А°М состоит из постоянных отображений (одно-
(одноточечных кривых) с„: S-*-p<=.M. Следующее предложение
дает некоторую информацию о канонических включениях
MA°MA
1.4.6. Предложение. Включение
i: М-*-AM, p>—*Cp,
является изометрическим вполне геодезическим вложением.
Доказательство. Заметим, что Cp^C^iS, М)н что естествен-
естественная карта (expp1, U (ср)), соответствующая кривой ср, представляет
кривые с е U (р) в виде векторных полей | (t) e Я1 (с^ТМ), при-
причем х*ср1 (/) е ТРМ.
Положим
ТрА°: = {U <= ТСрА\ So = const},
Г1Л«: = {| е ТСрА; <?, I0>i = (I, ?о>о = 0 при всех 10 е= ТРЛ0}.
Это есть ортогональное разложение пространства Тс А, и элементы
% (t) е Я1 (й?е ) с т*ср| @ е ТрЛ0 в точности являются координа-
координатами точек из Л°М. Таким образом, Л°М — подмногообразие, а
ТрА° — его касательное пространство.
1.4. Условие (С) Пале — Смейла и его следствия 55
Так как на Тс А°М метрика < •, ¦ >i совпадает с < ¦, • )р, то
включение М-*-А°М, р>-*-ср, изометрично. Наконец, А°М—
вполне геодезическое, потому что*' для с, с' еЛ°Л4 оценка 1.4.2
может быть улучшена до d^ (с, с') = dM (с, с') = dA (с, с'). A7) ?
С помощью римановой метрики на ЛУИ можно определить
градиентное поле функции Е. Оно задается условием, чтобы
равенство
(grad ? (с), T]>1 = D?(c).T) = <ac, Vt)>0
тождественно выполнялось при всех т) е ТСАМ.
Если с дифференцируемо, то, воспользовавшись интегрирова-
интегрированием по частям, можно охарактеризовать grad E (с) (t) как
периодическое решение уравнения A8)
Сейчас мы подошли к основному результату, который позво-
позволяет обобщить классическую теорию функций и их критических
точек с евклидовых многообразий на гильбертовы многообразия.
Это так называемое условие (С) Пале —Смейла [1]:
«Пусть {ст\ — такая последовательность точек из ЛУИ, что
(i) последовательность [Е(сп)} ограничена,
(И) последовательность {| grad E (ст) ||х} стремится к нулю.
Тогда {ст\ имеет предельные точки, и каждая ее предельная точка
является критической точкой для Е.»
Замечание. Условие (С) призвано возместить отсутствие
локальной компактности многообразия ЛМ.
1.4.7. Теорема. Многообразие AM, риманова метрика на нем
и функция Е удовлетворяют условию (С).
Доказательство (ср. Элиассон [2]). Из 1.4.1 вытекает, что
последовательность \ст) равностепенно непрерывна. Так как мно-
множество {cm(t0)} относительно компактно, то по теореме Арцела—
Асколи последовательность имеет предельную точку с0 в С0 E, М).
Так же как в доказательстве 1.4.5, можно предположить, что
все элементы некоторой подпоследовательности (мы снова обозна-
обозначим ее через {ст}) принадлежат области определения 11 (с)
естественной карты (ехрс, U(c)), се С00E, М), и образуют
*' Иначе это можно вывести из того, что Л°М есть множество тех с,
которые инвариантны относительно всех изометрий %г' Л -*• Л, определяемых
в § 2.2. Действительно, если у (s) — геодезическая линия в Л, для которой
Y@) еЛ°и dy (O)/ds e ТА0, то все x^'V(s) удовлетворяют тем же начальным
условиям, что и у (s)t T- е. совпадают с ней.
56 Гл. 1. Гильбертово многообразие замкнутых кривых
последовательность Коши в ^-метрике на C°(S, M). Мы покажем,
что элементы. {%т := ехрё'Ст} из Н1{0С) образуют последова-
последовательность Коши в Ц-Цх-метрике в НЧс*ТМ).
Прежде всего заметим, что так как i S/— |m lo < I if — ?m IL» TO
IS* — Em Но стремится к нулю. Из локального представления 1.3.2
для д? получим, что IVlmlo<iacimIo + I9c(im)lo и
и 1 dctm В ^ (Gc (%т).дс\т, дс\тH = 2Е (ст)
при некотором х>0. Поэтому последовательность | |m|f ограничена.
Из 1.3.2 мы видим, что
дец «о +11 (?) - вв (т|) 1о.
Следовательно, достаточно показать, что
О при /, т-»-оо.
Для того чтобы убедиться в этом, заметим, что, согласно 1.3.2,
1.3.3 и 1.3.10,
2х 1 вл - дм Ц < (Gc (i). (ал - aeti), (дл -
(Ц) ¦
.(ал+авт,),
+2 (бс (|). дЛ, вв (|) - бс (г,) - (Dt9er (g). (| - л». -
- 2 <? (т,) . двт], вв (|) - 8в (т,) - (D29C)~ (Л) . (I - л)>о -
ri).(l-T|, deij), аст,>0.
Поскольку 1 |ж Ь ограничены, а следовательно, и I дс\т |0 тоже
ограничены и поскольку |||г — |т|0 и 1DEC (lt) \г стремятся к нулю,
то каждое из слагаемых в правой части будет стремиться к нулю,
если туда вместо I и ц подставить Б» и 1т- Это завершает дока-
доказательство 1.4.7. ?
Через СгА будем обозначать множество критических точек
функции Е на многообразии Л=ЛМ. В качестве первого след-
следствия теоремы 1.4.7 получаем:
1.4.8. Лемма. Для и>0 обозначим через К множество
СгА. П Е'1 (х). Пусть 11 — открытая окрестность К в А.
Утверждение. Существуют такие & = е (и, U) > 0 и ц = ц (в) >
>0, что
мз ce=(A*+e-A<>'-e>-)f)C# следует
Доказательство. Допустим, что утверждение леммы не выпол-
выполнено. Тогда найдется лежащая в С# последовательность {ст}, для
1.4. Условие (С) Пале — Смейла и его следствия 67
которой lim|grad?(cm)|1 = O и lim Е(ст) = х. Из 1.4.7 следует
существование принадлежащей К предельной точки этой после-
последовательности, и мы получили противоречие. Q
Замечание. Особенно важным является случай К — ф, где
в качестве U можно выбрать ф.
Другим непосредтсвенным следствием 1.4.7 является
1.4.9. Предложение. CrAftE^ix) и СгА(\А* компактны при
каждом х^О. ?
Так же как и в случае конечных размерностей, для доста-
достаточно малого интервала, содержащего точку OeR, существует
начинающаяся в точке с интегральная кривая <до векторного
поля — grad? на Л, см. Ленг [1].
1.4.10. Лемма, (i) ^ Е (<до) = — | grad E (<до) If, следовательно,
Е (ф8,с)—Е toSoc) — — \ I gradЕ $ ds *? О при sx ^= s0;
(И) &(<*,<
К
X | Si—So | ^ ?¦ (о) | sx — So | при So, j
Доказательство, (i) Пользуясь формулой d<psC/ds=—grad?^,c),
получим
^ Е (ф,с) = D? (ф^с). (— grad Е (ц>,с)) = — | grad Е (ф*с) ||J;
-^ ds\ < f I grad ? |i ds • jsx — so|. D
Как следствие имеем:
1.4.11. Теорема. Отображение
определено при всех s^O.
Замечание. Здесь мы существенно пользуемся тем фактом, что
?(ф^с) ограничено снизу нулем. Если ?(ф^с) ограничено также
и сверху, то такое же рассуждение показывает, что ф^с опре-
определено также и при всех s^O.
Доказательство. Допустим, что существует такое сеЛ, что ф^
определено только для s<.s*t где s+<oo. Рассмотрим лежащую
в [0, s+[ последовательность действительных чисел \sm} с Hmsm =
= s+. Из 1.4.10 (И) следует, что {q>smc\ является последователь-
58 Гл. 1. Гильбертово многообразие замкнутых кривых
ностью Коши, и поэтому, согласно 1.4.5, предел Hm<ps с сущест-
существует. Его мы будем обозначать через ф„+« *\ По этой причине у^
может быть определено также и на [0, s+ + e[ при некотором
8>0. D
Следующая лемма является весьма важной для доказательства
существования критических точек вне Л°.
1.4.12. Лемма. Допустим, что x^sО не является критическим
значением, т. е. СгА(]Е-1(х)~ф. Тогда и>0 и существуют
такие г > 0 и s0 ^ 0, что ф^Л*4"8 с Л(х"е)- при всех s ^ s0.
Доказательство. Из 1.4.8 следует, что для U = ф существуют
такие 8>0 и ц~>0, что ||gradЕ(с)d^ц при всех с, удовлетво-
удовлетворяющих условию и — е«^.Е(с)«^и-1-в.
Если ?(с)<и — 8, то и E(((sC)<k — e при всех s^sG. Возь-
Возьмем какое-нибудь so>2e/TJ и выведем противоречие из предпо-
предположения, что существует такое с, для которого х — е^Е(с)^
<;х+е и Е(ц>^)^^ — в при всех s из отрезка 0«s;s<;s0.
В самом деле, из 1.4.10(i) видно, что
Е (ф5ос) = Е (с) — J I grad (ф^с) Ц di ^ к + е — t]8So < и — е. D
о
Для последующих приложений докажем такое
1.4.13. Предложение. Рассмотрим дифференцируемое сечение
ю: АМ-*-Т*АМ, определяемое условием: а(с).ц = — (дс, цH при
всех ц е ТцА.
Утверждение. Векторное поле и, двойственное о) по отноше-
отношению к римановой метрике < •, • \, т. е. для которого (и (с), т))! =
= т- (дс, г]}а при всех т) е Т,А, задается формулой
и (с) в» V grad i5 (с) — дс.
Омо удовлетворяет соотношениям Vu = grad ?, <ы, grad ?)j = 0.
Доказательство. Дифференцируемость © следует из того, что ©
есть композиция дифференцируемых отображений
второе из которых является изоморфизмом векторного расслое-
расслоения и сопряженного к нему, индуцированным римановой метри-
*> Точнее, пусть <r*"=limcpSmc. При достаточно малом 6, екажем при
|6|<;е, можно говорить о щс+. При этом, когда 6<0, <P6C* = lim<p4m_)_4C =
= Ф8++бС. Поэтому траектория точки с может быть определена и в интервале
[0, s++e[, а именно: при s e [s^, s^+el полагаем ф^с = ф5 _ ^.с*; это законно,
ибо совпадает о исходным <psc при s e ]s+—e, s+[.
1.4. Условие (С) Пале — Смейла и его следствия 59
кой, а третье сопряжено к вложению о^с-^а0. Доказываемые
формулы достаточно установить для се СетE, М)*>. В этом
случае если за и принять приведенное выше выражение, то с по-
помощью формулы для grad?, следующей за 1.4.6, получится, что
Vu = grad?. Тогда V2u (с) — и (с) = дс, откуда следует, что дей-
действительно (О (с) . Ц — (U, Т])!.
Чтобы получить последнее утверждение, заметим, что для
произвольного w <= ТСА
2(w, VwH = ld(w(t), w(t))=0,
s
а если также и Van е ТСА = Н1 (с*ТМ), то (w, VwI = (w, Vw) +
-f- (Vte\ Wa;) = 0. Отсюда при w = u, Vw = grauE получается
наше утверждение**'. П
1.4.14. Предложение. Существуют е>0«а = а(е)>0, такие,
что при всех сеА1
Доказательство. Из 1.4.13 получаем
||grad? (с) !? = <&, Vgrad?(c)>0 = 2?(c) + <dc, и(с)>0.
АМы докажем, что при достаточно малом Е (с) имеет место
оценка
(*) |(дс, и (с)>о| <р (|gradЕ(с)Ц+Е (с)/2)
с некоторым Р<4. Тогда
| grad Е (с) Ц ^ 2? (с) - р (»grad Е (с) \\ + Е (с)/2),
A + Р) || grad Е (с) Us* B - р/2) Е (с),
что и представляет собой требуемый результат, поскольку
2-р/2>0.
Чтобы доказать (*), допустим сначала, что в некоторой окрест-
окрестности точки с@) = сA) на М, содержащей всю кривую с, сущест-
существуют евклидовы координаты. Обозначая локальные представле-
представления с, и и grad? в этих координатах теми же символами,
*' В аргументации «по непрерывности», позволяющей перейти от С00 к Я1,
в данном случае имеется небольшая тонкость: в доказываемом выражении
для и оба слагаемых являются непрерывными сечениями а0, так что если
сп е ^"(S, M), сп = св AM, то сначала заключаем, что u(cn)-^VgradE(c)—дс
в а0. Но, в другой стороны, и является непрерывным сечением а1, так что
" (сп) -*-и{с) в а1, а значит, и в а0. Отсюда уже следует, что и (с) =
= grad E (с)—дс.
**' Между прочим, уравнение для и имеет смысл и однозначно опреде-
определяет и при всех с е AM, причем это то же самое и, о котором говорится
в 1-4.13 (см. A8), б)). Поэтому grad E(c) = V(V2 — I)-15c прн всех сеЛМ
(тогда как при наличии у с надлежащих свойств дифференцируемое™
grad ? (с)-(V»_l)-i vac). .
60 Гл. 1. Гильбертово многообразие замкнутых кривых
получаем из Vm (с) = grad E (с), что для «(/):= и (с) (t)
u{t) = u(O) + \(gradE(c))(s)ds.
о
t
Введем обозначения (grad E (с)) (s) = у (s), ^ y(s)ds = г(^). Поскольку
1г||оо= max |г@|^ max \y(t)\=tyU<i2jy\1
(ср. с 1.2.1), то, используя тот факт, что с@)=сA) (вследствие
чего J (c(t), v)dt = Q для любого постоянного вектора v), получаем
s ¦
т. е. (*) выполняется при Р = 2. А
В общем случае,, когда не существует локальных евклидовых
координат, заметим, что при достаточно малом Е (с) кривая с
целиком лежит в малой окрестности своего начала с@) на М,
ибо /Дс):=длина с^У2Е(с).
Следовательно, нормальные координаты в точке с@)*' будут
сколь угодно мало отличаться от евклидовых координат, если
только Е(с) выбрано достаточно малым, причем это свойство
выполняется равномерно для всех кривых с на М, так как
М — компакт.
Таким образом, мы доказали (*) и, следовательно, 1.4.14. (и) ?
1.4.15. Теорема. Существует такое е>0, что для каждого
элемента с е А6М начинающаяся в с траектория потока, по-
порожденного полем —gradiS1, имеет единственную предельную точку,
которая принадлежит А°М — множеству одноточечных кривых.
Эти траектории имеют конечную длину. Кроме того, А°М
является сильным деформационным ретрактом мноокества Л6М.
Замечание. Это было доказано Кархером [2]. Элиассон [4] дал
другое доказательство, которое тесно связано о конструкцией
устойчивого многообразия для А°М (ср. с § 2.5).
Доказательство. Выберем е>0 таким же, как в 1.4.14, и
так, чтобы в ЛЕ — Л° не было критических точек. Последнее усло-
условие обязательно будет выполняться для всех достаточно малых е,
¦> То есть координаты, отвечающие карте (ф»(ехр l
где ф| Te0,M~+UiimM — изометрия.
1.4. Условие (С) Пале — Смейла и его следствия 61
так как при Е(с)*^& выполняются неравенства L(c)^Y2E (с)==s
<:]/2е, а известно, что на компактном римановом многообра-
многообразии нет замкнутых геодезических произвольно малой длины;
см. Громол, Клингенберг, Мейер [1].
Согласно 1.4.14, для сеЛ1 имеем
00 00
L (траектория ф^с) = l U- qA ds = 1 [ grad Б (ф^с) h ds =
у II ^^ l№ v
О О
В (с)
()
= f | grad Б ЦГ1 • ( - § Ш)) ds < orv» j BЕ)~УЧЕ
так как Е (ф^с) = О *К
Вследствие этого траектория ф^ имеет ровно одну предель-
предельную точку, которую мы обозначим через фооС и которая должна
лежать в Л°А1.
Определим теперь деформацию Фт: Ле-»-Л, 0^т^1, полагая
Фхс\— q>s(X)C, если с^Л°, где s(x) := tg(nr/2), и Фхс.= с,
если сеЛ0,
Осталось показать, что Фтс непрерывно зависит от т и с. Для
этого достаточно заметить, что в соответствии с нашими оцен-
оценками длина траектории ф5с становится малой равномерно по всем с,
если Е (с) достаточно мало. Поэтому для предельной точки Фхс =
= фооСеЛ° и для любой ее окрестности В2й(O2c) радиуса 26
можно выбрать столь малое т)>0, что длина траектории любой
точки из Л1! меньше б. Таким образом, осталось убедиться в су-
существовании такой окрестности точки с, что каждая траектория
с началом в точке из этой окрестности попадает в A^flBb^tf).
Но такая окрестность существует в силу непрерывной зависимо-
зависимости решений дифференциальных уравнений от начальных условий
на конечном отрезке времени. ?
1.4.16. Следствие. Множества АгМ, г~>0, образуют фунда-
фундаментальную систему окрестностей множества А°М.
Доказательство. Из доказательства 1.4.15 мы знаем, что если
csAeM при достаточно малом в>0, то расстояние dA(c, A°M)
меньше заданного р>0. С другой стороны, из 1.4.3 следует, что
если dA (с, Л°М) достаточно мало, то с принадлежит заданному
А*'М, е'>0. ?
*' На самом деле здесь еще не надо знать ничего о ф^е /т. е. о Hm ysc\;
\ S-+OO )
просто
и
> 00
? (с) Е (с)
з \ «? ( , ибо lim ?(q>scJs0.
lim %, л б *-*<*>
62 Гл. 1. Гильбертово многообразие замкнутых кривых
Геометрия риманова гильбертова многообразия (AM, (-, )х)
до сих пор не изучена достаточно подробно. Например, не ясен
геометрический смысл геодезических на AM, рассматриваемых
как однопараметрические семейства замкнутых ЛР-кривых на М.
В 1.4.5 мы убедились, что (АМ,(-, • >i) — полное метрическое
пространство. Теорема Хопфа —Ринова (ср. Громол, Клинген-
берг, Мейер [1]), состоящая в том, что на полном конечномерном
связном римановом многообразии любые две точки можно соеди-
соединить минимальной геодезической, в общем случае не выполняется
для римановых гильбертовых многообразий. Элиассон показал,
однако, что на {AM, {•, • )i) утверждение теоремы Хопфа — Ринова
справедливо (неопубликовано).
Мы приведем здесь результат, устанавливающий некоторую
связь между замкнутыми геодезическими на М и замкнутыми
геодезическими на (AM, {•, • )х).
1.4.17. Предложение. Пусть с = (с(t)) —замкнутая геодезиче-
геодезическая. Тогда кривая ке (s) = e3liis .c:—(c(t — s)), где s e S и t e S,
является замкнутой геодезической на AM длины L (с) -.— длина с.
Доказательство. Так как V дс = 0, то || х'с (s) ||, = (— дс, — дсH —
— L2 (с), т. е. %с (s) параметризована пропорционально длине дуги
и имеет длину L(c).
Осталось показать, что кс локально минимизирует расстояние.
Выберем достаточно малое е>0. Пусть k(s), 0«SssSe, —произ-
—произвольная кривая в Л, идущая из кс @) = X @) в кс (е) = к (е). Поло-
Положим Я (s) (t) = \ (t, s). Так как c(t — s), Os^ss^e, — кривая мини-
минимальной длины, соединяющая точки c(t) и c(t — e), то
\\dl(t, )/ds\ds^l\o(t-s)\ds.
о о
Таким образом,
: 1 „
def |^-Й|л<длина к,
так что
е 1
(длина k)^l\\dk(t, s)/ds|d*dsS5 (длина нс\[0, е]). П
о о
В заключение этой главы упомянем об одном обобщении тео-
теории замкнутых геодезических, а именно о теории геодезических,
инвариантных относительно изометрий. А Геодезическая (не обя-
1.4. Условие (С) Пале — Смейла и его следствия 63
зательно замкнутая) с: R-+M называется инвариантной отно-
относительно изометрии А: М-+М, если существует такое U, что
Ac (t) = с (t +10) при всех t. При А — \йм и @Ф0 это понятие
сводится к обычным замкнутым геодезическим. Если же А имеет
конечный порядок (т. е. А" = \йм при некотором п) и /0#0> то
геодезическая, инвариантная относительно А, замкнута, но, вообще
говоря, не всякая замкнутая геодезическая инвариантна относи-
относительно А. Роль, которую в теории замкнутых геодезических
играет AM, в теории геодезических, инвариантных относительно
изометрии А, играет пространство //'•-отображенийс: [О, \]-*-М,
для которых сA) = Лс@). (Очевидно, оно приспособлено для
«улавливания» как раз тех инвариантных относительно А геоде-
геодезических, для которых ЪФО. Если же Ac(t) = c(t) при всех t,
то, очевидно, геодезическая с {t) целиком лежит во вполне геоде-
геодезическом подмногообразии неподвижных точек изометрии А, и
вопрос о таких геодезических относится к свойствам этого под-
подмногообразия.) Основы теории и первые результаты см. в рабо-
работах Грове [1], [2]. Для случая, когда А имеет конечный порядок,
известны более продвинутые результаты, аналогичные результа-
результатам об обычных геодезических, приведенным в § 4.2 настоящей
книги (Грове, Танака [1], Грове, Гальперин, Виге-Пуарье [1]). *
Глава 2
ТЕОРИЯ МОРСА — ЛЮСТЕРНИКА — ШНИРЕЛЬМАНА
НА МНОГООБРАЗИИ ЗАМКНУТЫХ КРИВЫХ
В качестве первого применения результатов гл. 1 мы разовьем
теорию Люстерника —Шнирельмана на (AM, (•, •>!, Е). В част-
частности, следуя Люстернику и Фету, мы докажем существование
по крайней мере одной замкнутой геодезической на произвольном
компактном римановом многообразии.
В § 2.2 мы изучим каноническое действие на многообразии AM
группы 0B) (в частности, действие SO B) ^S на AM и действие
Z2Э?О B)/S0 B) на IIM:=AM/S) и таким образом придем к про-
пространству ИМ, состоящему из непараметризованных замкнутых
кривых на М. Затем мы подробно опишем пространство TSn
окружностей на стандартной n-мерной сфере S". С самого начала
развития теории замкнутых геодезических чрезвычайно важную
роль играли те классы гомологии пространства ILS", которые
могут быть представлены циклами, принадлежащими Г5". Как
мы увидим в гл. 4 и 5, такая ситуация сохранилась и до на-
наших дней.
§ 2.4 посвящен подробному изложению теории Морса на
(AM, (¦, -)i, Е). При этом предполагается, что все замкнутые
геодезические принадлежат невырожденным критическим подмно-
подмногообразиям. В последнем параграфе приводится усовершенство-
усовершенствование этой теории, достигаемое путем введения комплекса Морса.
Этот комплекс содержит в очищенном и сжатом виде всю сущест-
существенную для нас информацию о (AM, (•, -I( М).
2.1. Теория Люстерника — Шнирельмана на AM
Мы продолжаем пользоваться понятиями и обозначениями,
введенными в гл. 1. В частности, напомним, что мы рассмарит-
ваем полугруппу уменьшающих Е деформаций *>
ф4: АМ-+АМ, ct—»ф«с,
определяемых как сдвиги по траекториям векторного поля — grad E.
*' В прошлом, когда работали непосредственно с функционалом длины,
использовался более выразительный термин: «сокращающие (или укорачиваю-
укорачивающие) деформации», но с переходом к ? от него пришлось отказаться.
2.1. Теория Люстерника — Шнирельмана иа AM 68
Непустое множество &в таких непустых подмножеств Лс
сА = АМ, что для каждого из них Е\А ограничено, назовем
(^-семейством, если оно замкнуто относительно ф$, т. е. если из
/lee^ следует, что q>sA Ее* при всех
Примеры ср-семейств, (i) Множество элементов {ф^ }
траектории потока q>s образует ф-семейство. Вообще, если А — такое
непустое подмножество Л, что Е \ А ограничено, то множество
{q>sA; sSsO} является ф-семейством.
(ii) Множество всех элементов связной компоненты простран-
пространства Л составляет ф-семейство.
(Hi) Рассмотрим свободный гомотопический класс непрерыв-
непрерывных отображений ft-мерной сферы в Л. Множество образов этих
отображений является ф-семейством, потому что /: Sk-*-A и
Ф,°/: 5*->Л лежат в одном и том же гомотопическом классе.
(iv) Пусть ю-отличный от нуля класс сингулярных гомоло-
гомологии многообразия Л (коэффициенты любые). Для каждого сингу-
сингулярного цикла ueiu обозначим через |и| его носитель, т. е.
объединение образов составляющих и сингулярных симплексов.
Тогда Е11 и | ограничено и q>su гомологично и; следовательно,
{|ы|; иеш (т. е. и — цикл, представляющий w)} есть ф-се-
ф-семейство *}.
± (v) Пусть точки подмножества Л' с: Л образуют ф-семейство
(т. е. ф^Л'сгЛ' при всех s;>0), и пусть шеЯ^Л, Л') (сингу-
(сингулярные гомологии с любыми коэффициентами). Тогда {|ц|; и е= w\
есть ф-семейство. *
Пусть а е R. Назовем ф-семейство erf ^-семейством Л mod Л",
если существует такое е>0, что промежуток ]а, а-j-в] не содер-
содержит критических значений Е B0) и из Дее^ следует, что
А ф Л0*8.
При а<0 снова получаем понятие ф-семейства многообразия Л.
Примером ф-семейства AmodAa является множество, состоя-
состоящее из носителей | и | циклов ы, представляющих нетривиальный
класс гомологии из Л mod Л" с тем же самым а**\ При этом
особый интерес представляет случай а = 0. дЕсли в примере (v)
Л°с:Л', то {|м|; неш} является ф-семейством AmodA0. A
*' Сказанное, очевидно, никак не зависит от того, что w Ф 0; просто при
а> = 0 соответствующее ф-семейство бесполезно для наших целей.
**' Здесь предполагается, что если для любого е>0 в классе гомологии
и е Я, (Л mod Ла) имеются сингулярные относительные циклы и, носи-
носители которых лежат в Ла+е, то а>=0. Это верно в том случае, когда а=0
(см. последнюю фразу из утверждения теоремы 1.4.15; в основном именно
этот случай и нужен для дальнейшего), и в ряде других случаев (например,
если СгЛ(]Е~1{а) состоит из невырожденных критических многообразии
(см. § 2.4) и, конечно, если афЕ(Сг\)), но не всегда. Аналогичное утвер-
утверждение для функций на конечномерных замкнутых многообразиях тоже верно
не всегда.
3 В. Клннгенберг
66 Гл. 2. Теория Морса — Люстериика — Шннрельмана
Число
х^:= inf sup?| A
АЛ
назовем критическим уровнем ^-семейства erf многообразия
AmodAa.
То что %л является также и критическим значением функ-
функции Е, вытекает из следующей теоремы.
2.1.1. Теорема. Пусть и = и^ — критический уровень ^-семей-
^-семейства erf многообразия A mod А". Тогда х> а и существует такое
сеСгЛ, что Е(с) = к.
2.1.2. Дополнение. Пусть U — открытая окрестность крити-
критического множества К = СгА(]Е-1('я). Тогда существует такое
А' е erf, что q>sA' cU\J Л*- при всех O
Доказательство. Предположим, что и^а. Тогда для каждого
е>0 найдется такое iss/, что ЛсЛк+е, а это находится
в противоречии с определением ф-семейства AmodAa.
Предположим, что С/\Л ("| .Е1 (и) пусто. Тогда, согласно 1.4.12,
существуют такие е>0 и so^O, что ф5оЛ с: Л<и—е)- для каждого
Дс-дк+е д поскольку для каждого в>0 найдется лежащее
в A"+8 множество А е erf, то получается противоречие с опре-
определением и = и^. Таким образом, теорема доказана.
Согласно 1.4.15, для доказательства дополнения достаточно
рассмотреть случай и>0.
Для заданной окрестности U множества /С выберем такую
окрестность ФР° этого множества, чтобы она лежала строго внутри
U в том смысле, что при некотором р>0
dA{c, c')=sP для с<=Т, с'фи.
Такая окрестность, конечно, существует, так как К компактно,
а топология задается метрикой dA.
Согласно 1.4.8, существуют такие е>0 и tj>0, что
||gradi?(c)|iSsTj, когда
Заметим, что мы вправе считать в сколь угодно малым и что т)
с уменьшением е не уменьшается.
Пусть (рцС, Os^ssSso, — траектория (точнее, дуга траектории),
которая идет из точки с е *$° (] (Лх+е — Л(*-е)-) в точку с' = ySoc e
&ш и целиком содержится в Лх+е — Л^-8'-. Эта траектория
обязательно содержит дугу, которая лежит в С6^ [} (Ак+е — А{*~Е)~)
и длина которой >р; поэтому используя 1.4.10, можно оценить
величину, на которую уменьшается Е при движении по этой
2.1. Теория Люстерника — Шнирельмана иа ЛЛ1 67
траектории:
Е(с)-Е(с') = \ |gradE(yj)fxds^r\%^т]2р2/(и + e).
Следовательно, если е>0 достаточно мало, то можно быть
уверенным, что траектория ср^с точки се^ПЛ*4-8 никогда не
покинет множество (Jl \] A(>t~8)~) (] Л"8, так как в противном слу-
случае значение Е вдоль этой траектории уменьшится более чем
на 2е, и траектория войдет в Л(и-еК
Теперь ясно, что для любого с е Л*+8 найдется такое s0 e
е=[0, 2е/тJ], что q>sc е= (U D A*+e) U Л(*-е)- при всех s^s0. Дей-
Действительно, пока ф5сеС<Т>П(Лк+8 — Л(*-е)-), имеем ^-?'(ф1с)^
^ —к]2, поэтому ф^с не может лежать в этом множестве при
всех s e [0, 2e/rj2]. Значит, существует такое s0 e [0, 28/tj2], что
либо ySl)c е ("Т1 Г) Лх+е) — и тогда мы можем применить наш пре-
предыдущий результат, либо ф5ос е Л(*-^-— и тогда ф^ останется
в Д(х-е)- При всех s^-s0.
В частности, ф5Лк+е с: U П Л^ при всех s^28/t]2. Возьмем
теперь такое Л е ©#, что Л с: Лк+е, и положим Л' := ф2е/т1* А. Тем
самым дополнение доказано. ?
Замечание. Предположим, что все множества Л из ф-семей-
ства &? компактны и что К разбито на конечное число непере-
непересекающихся замкнутых подмножеств К\, ..., Кт. Тогда среди
последних существует такое подмножество, скажем Ки что для
каждой его открытой окрестности Ut найдется такое А е &>0, что
при всех sSsO
Ф,Л П (Ui U Л54-) Ф ф, но ф,Л <? Л*-
(и даже q>sA [\Ui<?. Л*-). В этом случае мы будем говорить, что
представитель А семейства еш? висит на Ки или повисает на Kt
(при градиентном спуске). B1)
4. Доказательство. Пусть Ui — малые окрестности /(*; Ui можно
считать непересекающимися. Берем такие меньшие окрестно-
окрестности °Wh что если c^<*Tt, то ф^ей^иЛ*" при всех s^O
(см. доказательство 2.1.2). Согласно 2.1.2, существует такое
^Ее/, что ф5Л с(U^JPi)U А"- при всех s^tO. Допустим, что
при некотором s = Si
(*) Ф^ЛП^сА"-.
Докажем, что тогда
(**) Ф^ЛЛ^сгЛ'*- при всех s 5= S/.
Действительно, если сеЛ, то либо сеЛи~, либо с^1*!/3, с не-
некоторым /фi, либо се'Tj и (fs.cф иь либо Aе?(и ф5.с^
68 Гл. 2. Теория Морса — Люстерника — Шиирельмана
е U{. В первом случае ф5с е Л1*" при всех 5^0. Во втором при
всех s^O будет ф^сеA"~IJ#/> а значит, ф^с<^#/ — Л*-, так
что при доказательстве (**) этот случай можно не рассматривать.
В третьем случае из того, что для с е *j/°i
(***) Ф^с е Zfj U Л"- при всех 5 ;э= 0,
следует, что q>s.c e Л4". Наконец, в четвертом случае из (*)
тоже следует, что ф^с е А*-. В обоих последних случаях зак-
заключаем, что ф^сеЛ*- при всех s^Si.
Если теперь для любого i найдется такое s,-, что выполняется
(#), то в силу (**) при s S* max st будет ф^Л с: Л"-.
До сих пор компактность элементов А семейства erf не
использовалась. Теперь воспользуемся ею. Из q>sA с Лк- следовало
бы, что sup Е | ф4Л = max E \ <fsA < и, а это противоречит опреде-
определению к — хл*'1. П А
В качестве первого приложения предыдущей теоремы получаем
2.1.3. Теорема. Предположим, что М неодносвязно. В этом
случае каждому нетривиальному (Ф 1) классу смежности фунда-
фундаментальной группы щМ многообразия М отвечает связная ком-
компонента А' пространства Л = ЛМ, которая не содержит одно-
одноточечных кривых, т. е. элементов из Л°.
Утверждение. Функция Е достигает своей нижней грани v!
на Л', а множество ?-х(и') |")Л' целиком состоит из замкнутых
геодезических.
Доказательство. Напомним, что точки множества Л' образуют
ф-семейство. Его критическое значение к' положительно, так как
кривые с, для которых Е (с) и, следовательно, L (с) (длина с)
достаточно малы, гомотопны нулю.
Если с е Е*1 (к') П Л' не является критической точкой Е, то
1 gradE(с)fx>0 и E(<PsC)<.x', но ф4сеЛ' — противоречие. D
Замечание. Можно (так часто и делается) доказывать преды-
предыдущую теорему совсем по-другому, не прибегая к рассмотрению
пространства AM. Вместо этого рассматривают универсальное
риманово накрывающее многообразие М для М. Тогда каждый
нетривиальный элемент т фундаментальной группы пгМ опреде-
определяет изометрию многообразия М, которая не имеет неподвижных
*' Использование компактности здесь необходимо: существуют такие
ф-семейства q/? с некомпактными элементами, что ^ca"'1*' для некоторых
(и даже, для всех) А е^. Например, q/? может состоять из единственного
множества Л = ЛК~~, где и—какое-нибудь положительное критическое значе-
значение Е.
2.1. Теория Люстерника — Шнирельмана иа AM
точек. Можно показать, что функция
/(р):= расстояние между р и хр
достигает своей нижней грани на М *>.
Обозначим эту нижнюю грань через ю. Заметим, что ю>0.
Пусть р — такая точка из М, что расстояние d(p, хр) = т, ас —
геодезическая длины ю, соединяющая точки р и хр. Тогда проек-
проекция с геодезической с на многообразие М является геодезической
на М, на которой функция Е принимает свое минимальное зна-
значение в классе кривых, гомотопных с**\
Это доказательство в частных случаях было предложено
Адамаром [1] и Картаном [2] (доказательство которого содержит
ошибку). См. также книгу Буземана [1]. Берже [1] приводит
полное доказательство.
Теперь приступим к доказательству существования замкнутой
геодезической в случае, когда щМ = 0. Для этого прежде всего
заметим, что справедлива следующая лемма.
2.1.4. Лемма. Отображение
у: АМ-+М, сн—с@) = сA),
гомотопически эквивалентно некоторому расслоению в смысле
Серра, слой которого имеет гомотопический тип QM — простран-
пространства петель многообразия М.
Отображение у имеет сечение, которое каждой точке р е М
ставит в соответствие одноточечную кривую ср: S-*-p^M.
Доказательство. Напомним, что отображение называется рас-
•' Выберем е>0 так, чтобы для каждой точки qeM е-окрестность этой
точки 21г (q) накрывалась как в прямом произведении. Пусть ^- — конечная
е-сеть в М, a ft—какие-нибудь прообразы точек qi в УЙ. Обозначим через К
объединение замкнутых е-окрестностей этих точек в М. Тогда для каждой
точки реМ найдется такое а из п-^М, что ар еК. Выберем теперь после-
последовательности pn<=fil так, чтобы dfa (Рп, тр„)-><о := mid^ (p, тр), и обоз-
обозначим через <т„ такие элементы из щМ, что а„рп е К. Пусть ап рп —
сходящаяся подпоследовательность. В этом случае апРп ~*~^ и
м {Я< ап Tffn1 Я\~*~@- Поэтому для бесконечного числа / точки ап тап\ Ц
должны совпадать, а их расстояние до q равно <в. Тогда d ~ (a q, та q\ = «в.
**' Непосредственно ясно, что с является геодезической петлей (т. е.
с: [0, 1]->-М — геодезическая линия и с@)=сA)) с указанным минимальным
свойством. Но если бы это не была замкнутая геодезическая, т. е. в точке
с@) = сA) она имела бы «угол», то ее длину можно было бы еще уменьшить,
«сгладив» участок около «угла»,
70 Гл. 2. Теория Морса — Люстерника — Шнирельмана
слоением Серра, если гомотопия в базе может быть поднята
в гомотопию в пространстве расслоения. Рассмотрим коммутатив-
коммутативную диаграмму
Для отображения справа утверждение леммы хорошо известно,
см., например, Спеньер [1], Шварц А. С. [1]*', а согласно 1.2.10,
отображение / является гомотопической эквивалентностью. ? B2)
2.1.5. Следствие. Точная гомотопическая последовательность
расслоения у расщепляется:
Следовательно, при k^2 (а если М односвязно, то и при
1)
пкЛМ ^
Доказательство. Это утверждение является стандартным ре-
результатом алгебраической топологии; см. Шварц А. С. [1],
Спеньер [1]. ? B3)
Теперь мы можем доказать знаменитую теорему Люстерника
и Фета; см. Люстерник, Фет [1] и Фет [1]. Наше доказательство
аналогично доказательству Оливьера [1].
2.1.6. Теорема. Пусть niM = 0. Тогда на М существует замкну-
замкнутая геодезическая.
Доказательство. Хорошо известный результат алгебраической
топологии утверждает, что существует такое минимальное k -\-1 ;з=
^2, что
а также что для заданного простого поля Ър существует мини-
*' Пусть С°([0, 1], М) — пространство всех непрерывных отображений
с: [0, 1] -*- М (топология в котором в общем случае определяется как ком-
компактно-открытая топология, а в данном случае может определяться и как
обычная С°-топология с помощью метрики в М). Тогда отображение
р: С°([0, 1], М)-*-МхМ, с•—*> (с @), сA)),
является расслоением в смысле Серра (и даже Гуревича), см., например,
Спеньер [1], B.8.3). Но, очевидно, C°(S, M) естественно отождествляется
с р^Л, где Д = {(т, т); п?е М\ — диагональ прямого произведения, a y°—¦
2.1. Теория Люстерника — Шнирельмана на AM 71
мальное /+1^2, при котором
®ZP = H,+l(M, ZP)?=0*).
Из 2.1.5 мы знаем, что якАМ = пмМ Ф 0. Возьмем теперь
в качестве ф-семейства erf множество образов отображений
f: Sk-+AM, составляющих нетривиальный гомотопический класс.
Тогда и = и^>0. В самом деле, в противном случае для каждого
s>0 найдется такое отображение / из этого гомотопического
класса, что f(Sk)cAe. Но тогда, согласно 1.4.15, отображение
f: Sk-*-AM гомотопно некоторому отображению /': S*-*-A°M^
а+ЬЛ, т. е. рассматриваемый гомотопический класс тривиален,
и мы пришли к противоречию. ?
Сейчас мы дадим доказательство теоремы 2.1.6, которое не-
несколько отличается от приведенного выше. В частности, в нем
не содержится ссылок на теорему 1.4.15. Это доказательство
представляет собой адаптацию первоначального доказательства
Люстерника и Фета (см. Люстерник и Фет [1], Фет [1]).
Начнем со следующей конструкции. Фиксируем полусферу
Н'!] 1 на Sk+l и обозначим через Dk с: дНш замкнутый полуэква-
полуэкватор сферы Sft+1. Для каждого p^Dk определим элемент ар: S ->•
~>Sft41 пространства ASM следующим образом: если p^Dk —
— dDk, то ар — параметризованная окружность на 5*+1, которая
выходит из точки р в направлении Я*+1 и лежит в плоскости,
перпендикулярной fe-мерному пространству, содержащему dDk;
если же реdDk, то ар — постоянное отображение S~*-p.
Итак, мы определили отображение
8": (D*, dDk)-*¦ (ASk+1, A°Sk+1), py-*ap.
Предположим, что у нас есть дифференцируемое отображение
/: Sk+1-+M, которое гомотопически нетривиально. Оно индуци-
индуцирует дифференцируемое отображение**'
/*:=Л/°8*: (?>*, dDk)->-(AM, A°M).
2.1.7. Предложение. Индуцированная отображениями <ps: Л->
~>Л гомотопия (ps'f*> s^=0, отображения /* индуцирует в свою
очередь гомотопию fs, s^O, отображения / = /<>¦ Эта гомотопия
определяется так:
*' Существуют такие k, что ЯА+1(УИ, Х)фО (например, из односвязности
следует ориентируемость М, поэтому НцтМ (М; Z) = Z). Для наименьшего
такого k по теореме Гуревича 1Ч+1М=Я&+1(Л1; 2). Второе равенство дока-
доказывается аналогично с использованием «теоремы Гуревича по модулю р».
Последняя является следствием обобщенной теоремы Гуревичэ, формулируемой
в терминах классов Серра абелевых групп (Спеньер [1]), но была доказана
еще до оформления этой теории (Серр [1]).
*' Здесь {Af) (с)—f ° с; ср. с замечанием в конце § 1,2.
72 Гл. 2. Теория Морса — Люстерника — Шнирельмана
для <7edDftcS*+1 полагаем fs(o) f(q);
для q<=Sk+1-dDk полагаем /,(?)=-<р«Г а, (')» где p<=Dh-dDk
в/е5 однозначно определяются из равенства q = ap(t).
Доказательство очевидно. ?
2.1.8. Теорема. Пусть отображение f: Sk+1-*-M гомотопически
нетривиально. Тогда критическое значение к ^-семейства
{q>s>Af°bk(Dk)} больше нуля и, следовательно, существует такая
замкнутая геодезическая с, что Е(с) = к.
Доказательство. Допустим, что критическое значение и равно
нулю. Тогда для каждого е>0 существует такое so^O, что
qvA/°8*(Dft)c:A8. Из 2.1.7 получаем, что / гомотопно отобра-
отображению /So. Но /$„ переводит все лежащие на Sk+l окружности и
одноточечные кривые ap(t), p^Dk, в кривые fs,ap(t), на которых
функция Е принимает значения «^е.
Если е достаточно мало, то эти кривые лежат в малой окрест-
окрестности их начальной точки fuap(O), которая диффеоморфна диску
и допускает ретракцию в f,oap(O). Следовательно, / гомотопиче-
гомотопически эквивалентно композиции S ^±i Dk — М (первое отображе-
отображение здесь тождественно на dDh и в обозначениях из 2.1.7 имеет
вид q I-» р на Sk+1 — dDk), т. е. гомотопически эквивалентно нулю.
Мы пришли к противоречию. ? B4)
Замечание. В предыдущих теоремах мы для каждого нетри-
нетривиального гомотопического класса многообразия М построили
замкнутую геодезическую. В общем случае таких классов может
быть много. Однако это не означает, что мы таким способом
обязательно получим много разных замкнутых геодезических.
Прежде всего различные ф-семейства вполне могут иметь один
и тот же критический уровень. В излагаемом ниже методе, по-
позволяющем получить несколько замкнутых геодезических, исполь-
используются гомологии, а не гомотопические группы. Этот метот осно-
основан на понятии подчиненных гомологических классов, идущем
от Люстерника и Шнирельмана [1], [2], [3]*'. Оно будет описано
ниже, причем вначале в несколько упрощенной обстановке.
чЧ *' Собственно, в работах Люстерника и Шнирельмаиа первоначально
использовался введенный Люстерником [2] топологический инвариант —кате-
—категория. Фролов и Эльсгольц [1], руководствовавшиеся замечаниями Понтря-
гина о работе Шнирельмана [1], дали оценку категории замкнутого много-
многообразия через другой инвариант—длину, которую они определяли в терминах
пересечений циклов. После этого Люстерник в цикле работ 40-х гг., итоги
которым подведены в его монографии [1] и обзоре [3], использовал когомо-
логии — уже для функциональных пространств и примерно так же, как это
делается ниже. В конце концов оказалось, что во многих —и притом наибо-
наиболее важных —случаях можно вообще не упоминать о категории, а работать
с подчиненными классами, как и делается в настоящей книге.
2.1. Теория Люстерника — Шнирельмана на AM 73
При этом, однако, мы должны иметь в виду еще и то, что
различные замкнутые геодезические сие' могут получаться из
одной и той же геодезической при обходе ее различное число
раз; иными словами, может существовать такая замкнутая геоде-
геодезическая с0> что c(t) = co(mt), с' (t) = co(m't-\-r), г = const, тят'
целые и тфт!. Здесь подразумевается, что Е (с) ФЕ(с'). Если
же Е (с) = Е (с'), то может случиться, что с' (t) = c(±t-\-r);
правда, эта последняя трудность преодолевается (§ 2.2). (а5)
Мы продолжаем рассматривать гомологии и когомологии с ко-
коэффициентами в произвольном поле.
2.1.9. Лемма. Умножение Чеха г\ для пары (Л — Л°, Ле —Л°)
Я^Л-Л0, A8-A0)®//*(A-A0)^//*(A-A0, Ле-Л°)
индуцирует линейное отображение
Я* (Л, Л°) ® Я* (Л - Л°) -*¦ Я* (Л, Л°)
(которое мы тоже будем обозначать символом <~\). Здесь в>0
предполагается таким, чтобы Л° было деформационным ретрак-
том Ле.
Доказательство. Мы считаем известными определение и свой-
свойства произведения Чеха для пары (Л —Л°, Ле —Л°); см. Спень-
ер [1]. Так как Л° —сильный деформационный ретракт множе-
множества Ле, то из точной гомологической последовательности тройки
(Л, Ле, Л°) следует, что #„. (Л, Л°) = Я„. (Л, Ле), а с помощью
вырезания получаем*1 Я* (Л, Л8) = Я* (Л-Л°, Ле-Л°). ?
А Замечание. Обычное произведение Чеха можно задать на
цепях и коцепях посредством явной формулы (см. Спеньер [1]
или Милнор, Сташеф [1]) **>:
Ст+п (А - A0) (g) С" (Л - Л°) -а Ст (Л - Л"),
[6]гм] = <т1, [а'со,])[а• а»].
Здесь 6 — произвольный (т + л)-мерный сингулярный симплекс
пространства Л —Л°, т. е. непрерывное отображение Д»>+л->.
->-Л — Л° (где Ат+" — «стандартный» (т -\- п)-мерный симплекс; для
определенности можно считать, что Am+nczRm+n+1 и его i-я вер-
вершина ef+n имеет i-ю координату 1 и прочие координаты 0);
ат: Дт-^дли-л и со„: Д"->-Дт+л — стандартные линейные изомор-
изоморфизмы соответственно на «переднюю» m-мерную и «заднюю» п-мер-
*' Здесь использовано то, что теория сингулярных гомологии удовлетво-
удовлетворяет более сильной аксиоме вырезания (Спеньер [1], D.6.5)), чем это тре-
требуется в аксиомах Стинрода —Эйленберга (там же, E.4.14)).
**' Мы говорим здесь о цепях и коцепях в Л—Л», поскольку сейчас
именно они нам нужны, но формула имеет, конечно, общий характер.
74 Гл. 2. Теория Морса — Люстериика — Шнирельмана
ную грани симплекса Ат+п, так что
[т] для сингулярного симплекса т обозначает соответствующую
этому симплексу образующую группы цепей; <tj, с) — значение
коцепи ц на цепи с. Из этой формулы следует, что для любой
цепи и и коцепи т) носитель |ы е> т|| с: |ы|. Однако умножение
Я, (А, А»)®Я* (А-А0)-»-Я, (А, А0)
мы не задавали на уровне цепей и коцепей, а ввели посредством
специального рассуждения. Поэтому и утверждение о носителях
здесь становится другим, а именно:
Если иешеЯДЛ, Л°), V —открытая окрестность множества
!«j П Л°, ?еЯ*(Л — Л°) и w' = wr\l, то у ю' имеется такой
представитель и', что |ы' | с: | и\[) V. Если, кроме того, ?|?/ = 0
для некоторого открытого подмножества U сг Л — Л° (т. е. ? пе-
переходит в нуль при отображении Н* (Л —Л°)->-Я* ([/), индуциро-
индуцированном вложением U <^-+_А — Л°) и W — такое открытое множе-
множество, что его замыкание W czU, го существует такой цикл и' е
€=ш', что |m'|c:(|«|-W)UV.
Можно считать, что УсЛ8, где е —то же, что и в 2.1.9.
Пусть Oti Ле->Л8 —гомотопия, построенная в доказательстве
1.4.15. Пусть относительный цикл u1^Zm+n(A, Л°) получается
из и при столь мелком подразделении, что: а) образы | о,-1 син-
сингулярных симплексов из ult пересекающиеся с Л°, целиком лежат
строго внутри V, равно как и все Фт(|ог|), 0=^т==?1; Ь) если
нам еще заданы V и W, то \Oi\cU при \at\{\WФф. Запи-
q
шем Mi в виде щ — ^ at [о,], где все а,- различны, все а,- Ф 0 и
нумерация такова, что |о;|ПЛ°=ф при i^p и |о*|f)Л° =??= ф
при t>/? (/? —некоторое число). Положим
Тогда «з е С1,,. (Л — Л°). Запишем ди3 в виде ? й,- [т7], где т/ —
различные сингулярные симплексы и все fy ^ 0. Поскольку
ди3 = ди1 — ди2, ]дм3|ПЛ0=ф и \dux\czA0, то т/ суть грани
некоторых сингулярных симплексов о,-, входящих в м2. Поэтому
В частности;, j <9u» | с Ле и ы3 определяет тот самый элемент
2.1. Теория Люстерника— Шиирельмана на AM 75
группы Нт+п (А — Л°, Л8 — Л°), который при наших изоморфизмах
Ят+„(Л-Л°, Ле-Л°)^#т+я(Л, А*)д±Нт+п{А
соответствует w.
Чтобы получить w г\ ?, надо взять какой-нибудь коцикл т] е
е Z" (Л — Л°), являющийся представителем ?, образовать произ-
произведение
«3^rieZm(A-A0( Л8-Л°)сгя(Л, Ле)
и взять такой относительный цикл B'eZffl(A, A0)c:Zm(A, Ae),
который гомологичен и3 ^ T]modCm(A8).
Если нам заданы U и W, то из того, что образ ? в Hn(U)
равен нулю, следует, что ? есть образ некоторого элемента группы
Я" (Л — Л°, ?/); иными словами, коцикл tj e ? можно выбрать
таким образом, что <т|, [т]) = 0 для любого сингулярного сим-
симплекса т с т\czU. Тогда \и3 г> т] | с: | ия\ — W cz \u | — №. Оста-
Осталось подобрать ы'. Гомотопия Фт: Ле->Ле определяет соответст-
соответствующую цепную гомотопию D: С* (Ле) ->С# (ЛЕ), которую можно
применить, в частности, к
5 («з г\ т]) = дия г^ ц ± «я r\ 6>i = 5ы3 <^> Л
(в последнем равенстве здесь использовано то, что бт] = О). Так
как это цикл, то при применении к нему Dd получится нуль.
Стало быть,
д {и3 ^ г] + D (ди3 г\ ц)) = (Oi)m-! (диа ^ т|) е Ст_х (Л°),
т. е., положив и' := u3r\ r\ + D (ди3 ^ rj), имеем и' е Zm (Л, Л°),
и и' даже не только гомологично, но и равно иа г\ ц mod Cm (Л8).
Наконец, носитель \и' \a\u9r^r\\\j\D (ди3 г\ г\) |, где, как мы
знаем, \и3 r\r\\cz\u\—W, а по построению цепной гомотопии
\D(du3 гм!) 1 с U Фт(| аи, ^ Л |) с U Фт(| ам3|),
Т X
что ввиду (*) содержится в V. ? *
Пусть до' и до —ненулевые гомологические классы AmodA0,
размерности которых равны соответственно k и k + l. Будем го-
говорить, что класс w' подчинен классу до, если существует такой
^-мерный класс когомологий ? пространства А —А0, что w' =
2.1.10. Теорема. Пусть до, до' е //* (А, А0) ы /слясс да' подчи-
подчинен классу w. Тогда критические уровни кип' классов до и w' •>
•' Подразумеваются критические уровни определяемых этими классами
Ч -семейств, состоящих из носителей принадлежащих этим классам относи*
тельных циклов.
76 Гл. 2. Теория Морса — Люстерника — Шнирельмаиа
удовлетворяют неравенству хЭ=х'>0. Если х = х', то множе-
множество критических точек из Е~1(х) имеет ненулевые когомологии
Чеха в размерности / = dimts> — dima>'>-0. Отсюда следует*},
что это множество имеет размерность в смысле покрытий 1
Доказательство. Оба значения как' должны быть >0, по-
потому что циклы, представляющие соответственно w и w', обра-
образуют ф-семейство пространства Л по модулю Л°.
а Для каждого цикла ugiv существует такой цикл й'еш',
что \и' | cz \u\\j V, где V — сколь угодно малая окрестность мно-
П Л°. Когда она достаточно мала, будет Е \ V < к,
жества | и
поэтому Е
Д
\и\. Следовательно, к'
у
Допустим теперь, что и' = х. Положим CrAf\E~hi = K. Пусть
w' — w r> ?, 5еЯ'(А-Л°). Докажем, что ?| UФ0 для каждой
открытой окрестности U множества К в Л —Л°. Действительно,
пусть ?|[/ = 0. Возьмем каку_ю-нибудь меньшую окрестность W
множества К, для которой W czU. Найдется такой представи-
представитель иеш, что \u\czW {)Л*-. Но тогда, согласно замечанию
к 2.1.9, найдется такой представитель «'ею', что |и'|с
с: (| и | — W) (J V а Л*- (окрестность V множества | и \ П Л° по-преж-
по-прежнему берем столь малой, что E\V <.я). Значит, у! <.х.
Итак, t,\U^0 для любой окрестности i/гэ/С. Но тогда пре-
предел прямого спектра групп по всем этим окрестностям
ИтН1 A!)Ф0. (В самом деле, возьмем образ ? в какой-нибудь
из этих групп, скажем t,\U0^Hl(U0). Образ ?,\U0 в предельной
группе может равняться нулю в том и только том случае, когда
равняется нулю образ ?|?/0 в какой-нибудь из групп Н1@),
U cr Uo, т. е. ? | U.) А этот предел совпадает с группой когомо-
когомологии Чеха Нц(Ю- Действительно, у любого открытого подмно-
подмножества U cz А сингулярные когомологии совпадают с когомоло-
гиями Чеха (см. Спеньер [1], теорема 6.9.1; ввиду локальной
стягиваемости Л каждая точка се(/ жестко вложена в U отно-
относительно сингулярных когомологии), а для последних Пт#ч (У) =
= #ч (К) — это есть присущее им свойство жесткости (Спеньер [1],
теорема 6.6.2). D *
2.1.11. Следствие. Пусть wh I ^i^r, —ненулевые классы
гомологии AmodA0, каждый из которых подчинен следующему, и
O^kx<...<:kr, где ki — dimwt.
Обозначим критический уровень w{ через щ. Тогда
О
*> Из определения когомологии Чеха с помощью покрытий сразу сле-
следует, что в каждом достаточно мелком открытом покрытии есть 1 + 1 эле-
элементов с непустым пересечением. (Заметим кстати, что, поскольку
СгА П Е'1 (у.) — метризуемый компакт, для него все «разумные» определения
размерности совпадают.)
2.1. Теория Люстерника — Шиирельмана на AM 77
и для каждого и* существуют замкнутые геодезические на Е-уров-
не щ. Кроме того, если xj = Xj+j', /'>0, то множество замкну-
замкнутых геодезических на Е-уровне щ имеет размерность в смысле
покрытий Ss kf+j' — kj.
Замечание. Пусть wx, ..., wr те же, что и выше. Тогда, со-
согласно определению, Ш/.1 = 1»|л5н. Поэтому, воспользовавшись
формулой (до г\ I) гч ?' = до г\ (? ^ ?')• получим
т. е. существуют (f—1) когомологических классов положитель-
положительной размерности пространства Л —Л°, такие, что их w-произве-
дение не равно нулю.
Верхняя грань числа когомологических классов топологиче-
топологического пространства, ^-произведение которых не равно нулю,
называется {когомологической) длиной этого пространства. При
этом все когомологические классы, кроме одного, должны иметь
положительную размерность *'.
Это понятие тесно связано с понятием категории топологиче-
топологического пространства; точнее, длина пространства дает оценку снизу
для его категории (см. Шварц Дж. [1], Пале [4]) **).
Из предыдущих результатов мы уже знаем, что если в
Н*(АМ — А°М) есть г—\ таких элементов ?<¦> lsSisgr— 1, что
dim?i>0 и ?i w... ^ L--i=^O, и если существует w^H* (AM,
Л°М), для которого шп(^..,^5г_1)^0, то на мно-
многообразии М существует по крайней мере г различных замкну-
замкнутых геодезических. При этом мы пока предполагаем, что фигу-
фигурирующие в 2.1.11 критические уровни х{ все различны. В про-
противном случае мы должны были бы исключить возможность того,
что множество замкнутых геодезических на ?-уровне и/ = ху+у,
/' > 0, является просто 0 B)-орбитой единственной замкнутой
геодезической с, т. е. все эти геодезические имеют вид c(±t-\-r)
(подробнее это будет обсуждаться в § 2.2). Действительно, такие
замкнутые геодезические, которые отличаются лишь параметри-
параметризацией, мы не будем считать различными по существу. В 2.2.11
мы дадим такую формулировку, которая исключит эту возмож-
возможность.
Кроме того, здесь уместно еще раз напомнить сделанное
перед 2.1.9 замечание о том, что различные замкнутые геодези-
*' Обычно определение длины формулируют без оговорки «кроме одного»,
поэтому у Клингенберга длина на единицу больше, чем обычно.
Заметим, что если длина Л — A°^sr, то отсюда еще не следует сущест-
существование цепочки из г подчиненных классов гомологии —ведь у нас когомо-
логии и гомологии берутся не для одного и того же пространства: когомо-
логии —для Л — Л°, а гомологии —для (Л, Л°).
**' Категории посвящен обзор: Джеймс [1].
78 Гл. 2. Теория Морса — Люстерника — Шнирельмаиа
ческие могут получаться из одной геодезической при обходе ее
различное число раз. Другие комментарии можно найти у Фла-
шеля и Клингенберга [1].
2.2. Пространство непараметризованных замкнутых кривых
В этом параграфе мы будем рассматривать пространства непара-
метризованных замкнутых кривых на многообразии М. Они полу-
получаются с помощью факторизации пространства Л по непрерывному
S-действию и непрерывному 0 B)-действию. При этом получаются
пространства соответственно ориентированных и неориентирован-
неориентированных замкнутых кривых.
Идея рассматривать неориентированные замкнутые кривые восхо-
восходит к самому началу развития теории замкнутых геодезических,
ср. Люстерник и Шнирельман [1] и Морс [2]. Однако при этом
более старом подходе отождествляются параметризованные замкну-
замкнутые кривые, которые переходят друг в друга под действием намного
более обширной группы, например группы диффеоморфизмов
окружности S. При нашем подходе мы будем отождествлять
кривые сие' только в том случае, если существует такое г е 5,
что с' (?) = с (t -f- г) или с' (t) — c(— t + г). Это дает нам возможность
пользоваться результатами теории, описывающей действие окруж-
окружности на гильбертовом многообразии. Заметим, однако, что это
действие не дифференцируемо, а только класса Я1 *'.
По этой причине наш подход кажется более естественным.
Кроме того, различные определения пространства замкнутых
кривых приводят к одинаковому гомотопическому типу, потому
что **> группа сохраняющих ориентацию диффеоморфизмов окруж-
окружности допускает ретракцию на SO B) = S.
Как мы увидим, риманова структура на AM и интеграл
энергии Е согласованы с S-действием и с обращающей ориента-
ориентацию инволюцией на AM. Грубо говоря, это вынуждает функцию Е
иметь больше критических точек, чем было бы необходимо при
*> Утверждение об Я1-действии представляет собой вольность речи, реаль-
реальный смысл которой сводится к напоминанию, что кривые с у нас класса Н1.
Формально оно не имеет смысла: под степенью гладкости действия понимают
степень гладкости зависимости г . с от пары (г, с) е S x AM, а мы не вводили
понятия ^-отображений, кроме как для отображения окружности (или отрезка).
Если же говорить по существу о степени гладкости г . с, то она такова: при
фиксированном z зависимость г. с от с является гладкой, а зависимость от г
(при фиксированном с)—только непрерывной. Вообще говоря, г. с не имеет
производной по г ни при каком г (см. замечание перед 2.2.2), так что здесь
нет не только гладкости класса С1, но даже и класса Н1.
**' Очевидно, это следует также из 1.3.12 (с учетом замечания перед
2.2.6), причем с указанием геометрически естественных конкретных отображе-
отображений, осуществляющих гомотопическую эквивалентность по-разному определен-
определенных пространств замкнутых кривых.
2.2. Пространство непараметриэованных замкнутых кривых 79
отсутствии согласованности, или приводит к другому, тесно свя-
связанному с первым явлению: пространство непараметризованных
кривых обязано иметь «больше» гомологии, чем пространство пара-
параметризованных кривых AM (по крайней мере в случае 2г-коэф-
фициентов). Этот факт впервые был отмечен Морсом в его
вычислении «круговых чисел связности» *> (которое, кстати,
было неверным); см. Морс [2J, а также Ботт [1].
А Группа 0B) естественно действует на окружности S, рас-
рассматриваемой как единичная окружность в R2 (или, что то же
самое, в (D; точка с координатой t mod I —это е2""). Следовательно,
можно определить действие О B) на отображения с: S -*¦ М фор-
формулой % (а, с) — а.с:=с°ог1. Здесь в правой части стоит а;
это сделано потому, что при таком определении получается
о.(р.с) = (аР).с.
Группа 0 B) состоит из двух связных компонент. Компоненту
единицы, SO B), можно отождествить с окружностью S (считая,
что элемент с координатой t mod 1 действует на плоскости, как
умножение на e2lt(t действует на комплексные числа). Она явля-
является нормальной подгруппой. Поэтому факторизацию AM по
определенному выше действию 0 B) можно осуществить в два
этапа — сначала факторизуем по SO B), затем полученное фактор-
пространство факторизуем по О B)/S0 B) = 2г- В качестве предста-
представителя элемента последней группы, отличного от единицы, можно
взять любой элемент из 0 B) — SO B); ради определенности
возьмем отражение в оси х, т.е. элемент а: (х, #)•—•• (*,—#).
Очевидно, zo = oz-1 при z^S. Все элементы из 0B) — SO B)
являются инволюциями и однозначно представляются в виде
га, 2eS>
Рассмотрим сначала действие S на AM. Оно определяется
отображением
где z.c(t) = c(t-r), z = e2ltire=S.
2.2.1. Лемма. Отображение % определяет непрерывное действие
окружности на AM. При каждом zeS отображение
%:АМ-*-АМ, си-»г.с,
является изометрией, которая оставляет функцию Е инва-
инвариантной.
Доказательство. Рассмотрим естественные карты, отвечающие
элементу се С00E, М) и элементу z.c^C°°(S, M). В этих кар-
*' Они совпадают с числами Бетти вводимого ниже пространства
ILMmodn°M (это установил А. С. Шварц [1], и он же обнаружил ошибку
у Морса, о которой будет сказано далее).
80 Гл. 2. Теория Морса — Люстерника — Шнирельмана
тах отображение %г представляется линейным изоморфизмом
Н1 (с*ТМ) -* Н1 ((г . с)* ТМ), (I @) t-» (Б (*-/•))•
Из определений функции Е и метрики (•, • \ на Лм непо-
непосредственно видно, что Е(г.е) = Е(е) и G%., Т%1.I — {-, -)v
Остается показать, что % непрерывно. Так как %г — изо-
метрия, то
^лB1-«ь 22.e2) = dA(e1, zf^.e-j),
так что непрерывность достаточно проверить при г=1. Имеем
Поскольку C^iS, М) плотно в Я1 E, М), то при достаточно
малом dA (elt ег) первое и третье слагаемые также будут малыми
при подходящем выборе с. Поэтому достаточно показать, что
dA (с, z.c) стремится к нулю при г-М, c^C^iS, M).
Пусть при /eS, z = e2nir e Я, где U — малая дуга окруж-
окружности | z | = 1, содержащая z в качестве своей внутренней точки,
будет Ъг = ехрс'(г.с) и
I (t, z): = (п*с)Т' (exp | ^c(/))-1 c(t-r) = h (t).
Отображение
5*rAf (/, z)~l(t, г),
принадлежит классу С°° и ^ — нулевое сечение в с*ТМ. Отсюда
следует, что iLIU-^-O и | V^Joo-^-O при г->1, а тем более
Ii
Наконец заметим, что отображение % не дифференцируемо,
так как в противном случае при каждом сеЛ отображение
zeSi-*2.ceA также было бы дифференцируемым. В частности,
это означает, что касательный вектор d(z.c)/dz приг=1 должен
был бы быть элементом ТСА. Но этот вектор равен —дс, который
не обязан быть элементом ТСА*>. ?
¦i ""'Более формально: это Я1-сечение d(z.c)/dz в точке t должно при-
принимать значение — dc(t) (что невозможно). Действительно, отображение
evt1. А -*¦ М, с i—*¦ с (t),
дифференцируемо, причем если $ е ГсЛ = Я1(с*7'Л1I то Tevt. ? = ?(?). Поэтому
для любой ^-кривой г i—*¦ ф (г) в Л значение в точке t Я1-сечения ^ф (z)/dz e
<=Нг((р(г)*ТМ) равно
где ф(<, г)
Заметим еще, что поскольку все %г — изометрии, то из существования
производной d (г . c)/dz при каком-нибудь г следовало бы ее существование при
всех г, так что, когда дс ф Н1 (с*ТМ), эта производная не существует ни при
каком г.
2.2. Пространство непараметризованных замкнутых кривых 81
2.2.2. Следствие 1. Если с —критическая точка функции Е,
то и вся орбита S. с состоит из критических точек.
Это есть непосредственное следствие леммы 2.2.1. ?
Группа изотропии*' /(с) элемента с по отношению к S-дейст-
вию определяется как подгруппа, образованная теми элементами
zeS, для которых z.c = c.
2.2.3. Следствие 2. 1 (с) — замкнутая подгруппа группы S, т. е.
или 1 (с) = S, что равносильно тому, что с е А°М = пространство
одноточечных кривых, или I (с) — циклическая группа конечного
порядка.
Доказательство. Заметим, что отображение %: S-+A, при
котором г*-+ г.с, непрерывно. Поэтому ~1{с) = (%с)~г (с) замкнуто. ?
Будем говорить, что кривая сеЛМ является т-кратным
повторением, если h(c) = Zm. Если т=\, то с будем также назы-
называть однократной **' кривой.
Замечание. Пусть /~(c) = Zm. Тогда c(t+l/m) = c(t) при всех
/eS.
Если сеЛ, то определим т-кратное повторение кривой с,
полагая cm(f):—c(mt). Ясно, что I(ст) содержит Ът-
Если 7(c) = Zm. то кривая с0, определенная равенством co(t) =
=c(t/m), однократная и с = с™. При этом с0 мы будем называть
однократной кривой, отвечающей (соответствующей) элементу с.
Определим пространство UM непараметризованных ориенти-
ориентированных замкнутых кривых на многообразии М как факторпро-
странство пространства AM, полученное факторизацией AM по
S-действию %. Пусть я: AM ~*-UM — AM/-S — отображение факто-
факторизации.
Пространство П = ГШ будем рассматривать с фактортополо-
гией, т. е. множество В с: U будем считать открытым тогда и
только тогда, когда открыт его прообраз при отображении я.
Ясно, что Е: ГШ->К — непрерывная функция. Элемент сей
будем называть критическим, если с —образ при отображении я
критической точки многообразия Л.
*) Ее называют также стабильной или стационарной (под)группой (для)
элемента с.
**' В оригинале: prime, что можно было бы перевести как «простая>.
Однако это противоречило бы тому, что обычно под «простой кривой» пони-
понимают кривую без самопересечений. (В английском языке такой коллизии не
возникает, так как в английском названии для кривых без самопересечений
используется прилагательное simple, а не prime.)
82 Гл. 2. Теория Морса — Люстерника — Шнирельмана
Пространство П можно описать по-другому, сказав, что его
точками являются орбиты S-действия %. При такой интерпрета-
интерпретации критические точки пространства П —это S-орбиты крити-
критических точек из Л.
2.2.4. Теорема. Уменьшающая Е деформация tps простран-
пространства AM индуцирует уменьшающую Е деформацию ф5 простран-
пространства ГШ. Эта деформация определяется следующей коммутатив-
нсй диаграммой:
Доказательство. Пользуясь тем, что 5-действие % является
изометрией, которая не изменяет функцию Е, получим *>
gradE(z.c) = Tz. gradE(с).
Поэтому ysz .c — z .<(sc и, следовательно, теорема доказана. П
Рассмотрим изменяющее ориентацию отображение **>
6: ЛМ-+ЛМ, c(t)v-~c{\-f).
Ясно, что б2 = id, т. е. 6 определяет Za-действие на AM.
2.2.5. Теорема. Отображение 8 — изометрия, оставляющая функ-
функцию Е инвариантной. Кроме того, z. 0 (с) =¦ 6 (гг1. с), т. е. 6
переводит орбиты S-действия % снова в орбиты S-действия и,
следовательно, определяет инволюцию на UM. Ее мы будем обозна-
обозначать через б.
Доказательство. В картах, отвечающих согласно 1.3.8 элемен-
элементам с и 9с, отображение ei6^^): ^ (c)-»-6<2/DFc) представляется
как ограничение на W П ТСАМ линейной изометрии гильбертовых
*• Действительно, при всех % е Тс\ ввиду изометричности T%g (с)
¦ grad Е (с), т?г (с). ?>! = (grad E (с), l\ = DE (с). ?.
Но
<grad?B.C), ПЛс) -l) = DE(z .с).Тъ(с) .1=О{Е'Ъ)(с) .Z=DE (с).%
(ибо Е'%г—Е). А каждое г\^Тг,сА имеет вид Т%г(с).? с некоторым ?.
Поэтому при всех этих ц
{Т1г (с). grad Е (с), т))! = (grad Е (г . с), т|>ь
что и означает справедливость доказываемого равенства.
**' Это просто другое обозначение для действия на AM инволюции а,
введенной в начале этого параграфа.
2.2. Пространство ^параметризованных замкнутых кривых 83
пространств
Я1 (с*ТМ) -» Я1 ((Вс)*ТМ), l(t) н-» I A - О-
Кроме того, легко видеть, что Е Fс) = Е (с).
Для того чтобы доказать последнее утверждение теоремы*',
заметим, что если г = е2ш>, то
(z.(ec))(o = (ec)(<-r)=c(i-^+r)=2r1.c(i-o=Fz-1.c)(o. a
Определим пространство (неориентированных) непараметриэо-
ванных замкнутых кривых**** многообразия М, полагая
им := mw/§za.
Это пространство будем рассматривать с фактортопологией.
Пусть ¦&: ГШ->-1Ш — отображение факторизации. Композицию
отображений Ф и л будем обозначать через я; это есть отображе-
отображение л: ЛМ-*-ПМ.
Пользуясь 5-действием % и инволюцией 6, можно описать
О B)-действие х на ЛМ следующим образом:
( г.с, если a = z<=SOB)?ES,
X(a. c)-|z 6С если « = гаеОB)-50B).
Ясно, что ПМ канонически изоморфно фактор пространству
ЛМ/х0B).
лЬл можем интерпретировать ПМ как пространство орбит
О B)-действия % на многообразии AM. Очевидно, что функция Е
постоянна вдоль этих орбит. Поэтому ее можно рассматривать
как непрерывную функцию на ПМ. Критическими точками функ-
функции Е на ПМ по определению называются орбиты критических
точек О B)-действия х- Поэтому отличная от константы (т. е.
не принадлежащая П°М: = яЛ°М) критическая точка простран-
пространства ПМ определяет две иммерсии окружности S в AM:
z>—*-z.c и z»—*г.Ь{с).
Обычно эти иммерсии различны, и даже их образы не пересе-
пересекаются, но при некоторых «исключительных» с это не так. С этим
мы встретимся ниже.
^Замечание. Ясно, что непрерывное эквивариантное отображе-
отображение А: ЛМ->-ЛМ определяет «накрываемые» им непрерывные
*' Оно, конечно, следует из того, что zo = az~1.
**' Прежде, когда факторизацию производили по всей группе диффеомор-
диффеоморфизмов окружности, такое название вполне соответствовало смыслу входящих
в него слов. При факторизации же по 0 B) от параметризации кое-что
остается (то время, за которое точка, движущаяся по закону c(t), проходит
данную дугу, не меняется при замене с на a. с), так что название является
довольно условным.
84 Гл. 2. Теория Морса — Люстерника — Шинрельмана
отображения А: ИМ-*¦ TIN и Я: UM-*-UN, а эквивариантная
гомотопия hs: AM-*-AN — соответствующие гомотопии hs: ШИ->
-*-flN и hs: ПМ->-1Ш. Примером могут служить отображение Л/
и гомотопия Afs из замечания 2 в § 1.2. Соответствующие отобра-
отображения факторпространств будем обозначать через
П/ или Ufs: UM-+UN, П/ или П/,: ГШ->1Ш.
Ясно также, что если h или hs не эквивариантны, но все-таки
сохраняют орбиты О B) и SO B) (т. е. переводят каждую орбиту
в (вообще говоря, другую) орбиту), то тоже можно перейти
к соответствующим отображениям факторпространств. Примером
может служить отображение g из 1.3.12. Дополнительно к 1.3.12
можно обеспечить, чтобы гомотопия, соединяющая \йАМ и g, тоже
сохраняла орбиты, так что gag тоже гомотопны тождественным
отображениям.
Построение g в 1.3.12 зависит от выбора начальной точки
(gc)@); см. обсуждение в конце § 1.3. (Напротив, gag при
различном выборе (gc) @) е сE) получаются одинаковыми.) Легко
видеть, что при сделанном ранее выборе: (gc) @) = с @) отображе-
отображение g не эквивариантно, хотя и сохраняет орбиты О B) и SO B).
При доказательстве сделанного выше дополнения к теореме 1.3.12
оказывается удобным наряду с определением (gc) @) = с @) поль-
пользоваться также и определением (gc) @) по некоторому другому
правилу, при котором g оказывается эквивариантным. см. Ано-
Аносов [3]. а
Следующая теорема является аналогом теоремы 2.2.4 для про-
пространства ИМ.
2.2.6. Теорема. Деформация cps на AM определяет деформа-
деформацию i^ на ГШ. Эта деформация описывается коммутативной
диаграммой
ПМ-
Доказательство. Так как О B)-действие на AM является изо-
метрией, которая оставляет функцию Е неизменной, то для каж-
каждого осе0B) имеем
Та. grad E (с) = grad E (а. с),
где отображение а: АМ-+АМ определяется соответствием с*—*
с). Поэтому ф4ос. с = ос. ф^с. ?
2.2. Пространство непараметризованных замкнутых кривых 85
Для каждого действительного числа и определим множества
Й":={сеЙ; ?(с)<х}, П*:={е<=П; Е(с)^к}.
Другими словами, Пи = лЛи и Пи = яЛ\
Заметим, что П° и П° канонически изоморфны пространству
Л°М s* М.
2.2.7. Теорема. Существует такое е>0, ч/по П° — сильный
деформационный ретракт ft8, a W —сильный деформационный
ретракт Пе.
Доказательство. Это следует из 1.4.15 и соответственно из 2.2.4
или 2.2.6, если заметить, что построение Фт по ф5 в доказатель-
доказательстве 1.4.15 эквивариантно относительно действий 5 и 8.
Следующая лемма утверждает существование среза S-действия %
на AM (об этом понятии*1 см. Пале [1]).
2.2.8. Лемма. Пусть с^АМ—А°М. Тогда для каждого zeS
существует срез 2 (z.с), т. е. такая проходящая через точку г. с
локальная гиперповерхность коразмерности 1 многообразия AM, что
(i) 2.2(c) = 2(z.c); _
(И) для каждого гф1(с) множества 2 (г.с) и 2 (с) не пере-
пересекаются;
(iii) существует такая открытая окрестность U точки 1 на S,
что отображение ?/х2 (с)->-ЛМ, (z, e)i—»г.е, является гомео-
гомеоморфизмом на открытую окрестность кривой с в AM;
(iv) / (с) действует как группа изометрий на 2 (с), если 2 (с)
рассматривать с индуцированной метрикой. Это действие остав-
оставляет с инвариантным. В частности, индуцированное действие 1(с)
на касательном пространстве к 2 (с) в точке с является ортого-
ортогональным представлением группы I (с) в гильбертовом пространстве.
Замечание. Важность понятия среза связана в основном с тем,
что я 12 (с) (или я 12 (г . с), где г — любая точка из S) отобра-
отображает 2 (с) (или 2 (г . с)) на открытую окрестность точки я (с).
Это отображение определяется факторизацией изометрического
действия на 2 (с) группы изотропии 7 (с) кривой с.
Доказательство (ср. К ар хер [2]). Выберем е>0 так, чтобы
ограничение на е-шар в ТСА отображения ехр | ТСА было диф-
диффеоморфизмом на некоторую окрестность 'V точки с в Л; его
мы обозначим ехрс. Пусть Яе — пересечение гиперповерхности
© = 0 в ТСА с е-шаром (здесь © то же, что в 1.4.13). Пусть,
далее, 2 (с): = ехрс#Е.
*' Это общее понятие в теории компактных групп преобразований. Фор-
Формулировка леммы 2,2.8 содержит его определение в нужном нам случае.
86 Гл. 2. Теория Морса — Люстерника — Шнирельмана
Определим 2 (г. с) аналогичным образом. Тогда, поскольку
все наши определения эквивариантны, (i) выполнено. Кроме того,
5 действует как группа изометрий. Поэтому выполнено и (iv).
Рассмотрим в произведении некоторой окрестности U точки
1 на S и окрестности ^У3 функцию
/: U х Т -> R, / (z, е) = — (дс, ехрё'г. еH = со (expj'z. е)
(чтобы ехрг'г. е было определено при всех (z, e) e U х ^, воз-
возможно, придется несколько уменьшить е, определяющее *iP).
Ниже мы докажем, что / имеет производную Dtf(z, e), которая
непрерывна по {г, е) и в точке A, с) равна (дс, <Эс)и^=О. По-
Поскольку /A, c) = Q, из теоремы о неявной функции следует, что
существует такое непрерывное отображение е<—*z(e)^U, что
z(c)=l, /(г (в), е) = 0, и если /(г, <?) = 0 при (г, в) г U x *J/°,
то z — z(e). (При этом, возможно, надо уменьшить U и е.)
Но выполнение равенства /(г.е) = 0 эквивалентно тому, что
г.ее2 (с), ее2 (z-1.с). Тем самым доказано (iii) (отображение,
обратное к упомянутому там, имеет вид е»—> (г-1 (е), г(е).е)е
е (/ х 2 (с)), а также (ii), A однако (ii) пока что не для всех
z&?(c), а только для ге(/-{1}.
Докажем (ii) для всех гф1(с). Пусть сначала ze(/>/(c),
г ^ 7 (с), т. е. г = ZxZ2, zx^U, гг^Ы, г2 е / (с). Тогда
что по доказанному не пересекается с 2 (с). Наконец, имеется
такое 6>0, что dA(c, г.с)>б для всех z^U-l(c). Уменьшив,
если понадобится, е (определяющее еЧР), получим, что "У Г)
[\г.®1Р=ф при г^(/«/(с); в частности, 2 (с) f| S (z . с)= 0.
Остается убедиться, что / обладает нужными свойствами.
Из определения / видно, что f(zz0, e) — f(z, zo.e), поэтому диф-
ференцируемость / в точке (г0, е), принадлежащей области опре-
определения /, равносильна дифференцируемости / в точке A, г0. е).
(Это рассуждение годится не только для (z0, e) e U х *#°, но и
вообще для всех тех (г0, е), для которых имеет смысл определе-
определение / посредством соответствующей формулы, т. е. для которых
d&(za.e, с)<.г, где е то же, что в 1.3.8.) Мы докажем, что
DJ(l, ехрс ?) = <&> де1H*>.
*' Ранее дс определялось лишь при csCco(S, M), но аналогично можно
определить
дс: \1 е ТСМ; 111, < 8} -vЯ» (с*ТМ)
и при любом се ЛУИ. Это по-прежнему есть главная часть локального пред-
представления сечения д расслоения а0 в некоторой векторной карте, — именно,
векторной карте (Фо, с, exp^V (с)), введенной в A4). Заметим, что дс% непре-
непрерывно зависит от | ввиду непрерывности сечения |.
2.2. Пространство непараметризованных замкнутых кривых 87
Отсюда будет следовать непрерывность DJ (действительно, из
сказанного видно, что DJ (г, ё) — (дс, дс expj'z. еH (причем
не только при (г, е) е U x t*i/3f но и вообще при любых г, г,
для которых dA(z.e, c)<e g e из 1.3.8), а непрерывность пра-
правой части по (г, е) следует из 2.2.1, 1.3.7 и 1.3.2), а также и
то, что DJ(\, с) = (дс, дсH.
Рассмотрим непрерывное отображение
г): U ~> Я0 (с*ТМ), у] (г): = ехрГ (г. ехрс ?),
где \ е ТСЛ и |||||1<е. (Здесь можно взять и е из 1.3.8, только
тогда U, вообще говоря, будет зависеть от \, что несущественно.)
Достаточно доказать, что существует производная Dv\(\) и что
она равна — ЗД. (Если бы мы рассматривали ц (г) как функцию
со значениями в Н1(с*ТМ), то производной не существовало бы.)
Будем пользоваться аддитивными обозначениями для 5 вместо
мультипликативных, соответственно будем писать h вместо г.
Надо доказать, что при /i->0
Обозначим r\(h, t): = i\(h)(f) (ftsl/, /gS), q>(/, ft):
= T-|r|(/i, t) — %(t) + hdcl(t)\; мы хотим доказать, что
«(<, h)dt=O.
Достаточно доказать следующее (ср. с концом A2), в)):
1) limq>(tf, /i) = 0 при почти всех t;
ft0
2) для любого е>0 имеется такое б>0, что если В —изме-
—измеримое множество меры mes В < б, то § ф2 (*> A) dt < e при всех А.
в
Пусть е:=ехрД и / таково, что существует e(t). Тогда
Л @, 0 = 5@-
ехр х*о . fj (А, 0 = (е2я<А •е) @ = е V — Л),
Л
ft-o
i, 0.
т. е. существует производная ^ r\(h, t), и она равна — d&(t)
(по самому определению последнего). Тем самым доказано 1).
Кроме того, при любом t при почти всех /ie(/ (именно, при
тех h, при которых существует e(t — h))
(е»я/А.е))@ =
~ /», А\ * 5
= — Va ехр (т*сг| (А, 0) • т*с . I r\ (h, t),
88
Гл. 2. Теория Морса — Люстерника — Шиирельмана
откуда следует, что при фиксированном t функция h*—*y\(h, f)
абсолютно непрерывна и щ fj (h, t) ^ С | е (t — h) \ с некоторой
константой С; в частности, дц/dh квадратично интегрируема.
Ясно также, что \dcl(t)\^C\'e(t)\.
Для любого е > 0 существует такое б >¦ О, что если В —
измеримое множество и mes?<6, то jfe(^)|2d^<e. Докажем,
в
что тогда $Ф2(*» h)dt<4C?B. Имеем
где
Ясно, что
, t)-\(t)|2dt,
- Далее,
h ft
0 0
откуда
0
e(f-A') I* <*/*'=?
Ho J|e(< —А')|2Л есть интеграл от |е@|а по «сдвинутомр мно-
в
жеству В; поэтому он <е. Значит,
h
Замечание. Как видно из доказательства, построение среза
Е (с) зависит от параметра е>0, характеризующего «размеры»
среза. Будем на минуту писать 2е(с). Срезы 28(с) определены и
обладают свойствами (i) — (iv) для всех достаточно малых е,
скажем для 8е]0, ео(с)[ (где ео(с), конечно, одно и то же для
всех с из одной и той же 50 B)-орбиты). Чтобы убедиться в этом,
не надо даже пересматривать доказательство с точки зрения его
зависимости от е. Если 2е(с) (где е фиксировано, а с пробегает
SO B)-орбиту) — срезы и 0 < б < е, то очевидно, что
б = б-окрестность с в 2е(с)
2.2. Пространство (^параметризованных замкнутых кривых 89
тоже обладает свойствами (i) — (iv). Отметим еще, что когда U
пробегает окрестности точки 1 на 5, а в — малые положительные
числа, то ?/.Ее(с) пробегает фундаментальную систему окрест-
окрестностей точки с в ЛМ. (Мы уже знаем, что это действительно
окрестности, а если ^ — какая-нибудь заданная окрестность
точки с, то при достаточно малых U и е будет г. е ^.W при
всех ге(/ и всех е с dA (e, с)<е, в частности при ее28(с).)
Отсюда следует, что n(U. Ее(с)) = яBе(с)) пробегает фундамен-
фундаментальную систему окрестностей точки по в ПМ, а я(Ее(с))—
точки пс в ПМ. А
2.2.9. Следствие. ПМ и ИМ локально стягиваемы.
Доказательство. Если с = ср — одноточечная кривая, образ
которой есть точка р е М, то окрестность этой кривой в AM мы
можем стянуть с помощью Фх на окрестность точки ср е А°М
в Л°М, а затем по Л°М в точку р, снова эквивариантно относи-
относительно действий соответственно SO B) и 0B) (на Л°М эти дей-
действия тривиальны).
Пусть теперь Е(с)>0. Каноническая ретракция вдоль лучей*-,
переводящая S (с) в с, коммутирует с изометрическим действием
группы /(с) и поэтому определяет локальную ретракцию окрест-
окрестности точки я (с) на ПМ в я (с). Кроме того, эта ретракция ком-
коммутирует с изометрией 6 и, следовательно, определяет также
локальную ретракцию ПМ в я (с). ?
Для ПМ и ПМ можно определить аналог понятия ф-семей-
ства. Ради краткости мы явно введем это понятие только для
пространства П = ПМ.
^-семейство Si пространства П по модулю Па определяется
как образ при проекции я:Л-»-П ф-семейства erf многообразия
Л по модулю Ла; ср. с § 2.1.
Равным образом ф-семейство может быть описано как
Ф-семейство, элементы которого замкнуты относительно действия
X группы 0B).
Следующая теорема является непосредственным следствием
2.1.1.
2.2.10. Теорема. Пусть к = х& —критический уровень %-сетй-
ства S3 пространства П mod Па, т. е.
кя=* inf sup?|5.
Тогда а<х и существуют критические точки Е-уровня х. D
*' Точнее, вдоль образов лучей из Я8.
90 Гл. 2. Теория Морса — Люстерника — Шнирельмана
Напомним, что критическую точку из П можно рассматривать
как О B)-орбиту критической точки из Л.
Примером ty-семейства является семейство, образованное носи-
носителями циклов какого-нибудь фиксированного нетривиального гомо-
гомологического класса П mod IF.
Так же, как в §2.1, в рассматриваемой ситуации можно ввести
понятие подчиненных гомологических классов из Н% (Ilmodll0).
Это ненулевые гомологические классы w и ©' из Я* (П mod П°),
для которых можно указать когомологический класс положи-
положительной размерности ? из #*(П — П°), такой, что w' = wrs?,.
Очень важно отметить, что образ при канонической проекции
ненулевого гомологического класса AmodA0 не всегда является
ненулевым гомологическим классом П mod П°.
Как мы уже показали, П локально стягиваемо. Отсюда выте-
вытекает следующий аналог теоремы 2.1.10.
2.2.11. Теорема. Пусть w и w'— подчиненные гомологические
классы П mod П°. Тогда критические уровни кик' классов w и
w' удовлетворяют неравенству к$=х'>0. Если х = х', то мно-
множество критических элементов из Е-*(%) {здесь Е рассматри-
рассматривается как функция на П) непусто и имеет размерность в смысле
покрытий ^=dim?>0. D
Ясно, что имеет место следствие, аналогичное следствию
2.1.11.
АВ прошлом пытались использовать именно такое следствие,
имея в виду приложения прежде всего к тому случаю, когда М
есть сфера. Однако недавно выяснилось, что в этом случае
в Н* (П — П°) слишком мало коциклов (по крайней мере в рас-
рассматриваемых размерностях). К счастью, оказывается, что можно
заменить здесь П° другим подпространством
где Пе =
6с=с},
и при этом положение улучшается.
Докажем сначала, что Пе является окрестностным слабым дефор-
деформационным ретрактом в П. Иными словами, для каждой окрест-
окрестности 11, содержащей Пе, существует такая окрестность W cr U,
что вложение Пе с_> и' является гомотопической эквивалент-
эквивалентностью.
Прежде всего заметим, что Пе инвариантно относительно
потока %, т. е. г|)Д1ес:Пе (/^=0). Это следует из того, что
фД1е с Йе, а это в свою очередь вытекает из равенства ф,8 =
Далее ясно, что на Пв нет критических точек функции
за исключением точек из П°. Поэтому можно определить гомо-
топию
2.2. Пространство непараметризованных замкнутых кривых 91
переводящую П9 в Пе (ср. с 1.4.15). Тем самым мы доказали,
что вложение П° с_> Пе — гомотопическая эквивалентность.
Пусть теперь # —некоторая открытая окрестность Пе, не со-
содержащая критических точек функции Е, за исключением точек
из П°. Выберем е>0 так, чтобы Ue~czU и е удовлетворяло
утверждению теоремы 2.2.7. Тогда для каждого ееПе существует
такое t0, что %ос<=Пе-. Кроме того, %с<= U при 0<*</<,-
Поэтому существует такая окрестность U- точки с, что %2/~ с: U
при O^t^to и tytjl- с: Пе-. Теперь ясно, что окрестность 11' —
— [ U У'^Л U ^Е~ тоже гомотопически эквивалентна П° пос-
1сепв
\/&о /
редством деформации
совпадающей на Пв с Y^. Следовательно, Пе — окрестностный
слабый деформационный ретракт.
Имеет место лемма, аналогичная лемме 2.1.9.
2.2.12. Лемма. Умножение Чеха г\ для пары (П —Пе, W — П0)
д.щ-Пв, г-пв)<8)Я*(П-Пв)-ая111(п-Пв, и'-щ
индуцирует линейное отображение
Я.(П, Пв)®Я*(П-Пе)->ЯЛП, Пе),
которое мы также будем обозначать символом гл.
Доказательство этой леммы повторяет доказательство 2.1.9. ?
Замечание о носителях, сделанное после 2.1.9, дословно
на наш случай не переносится, — ведь там было существенно,
что при деформации Фх образы точек, достаточно близких
к \и\ П Л°, не выходят из V, между тем как при деформации
4% образы любых точек могут выходить из окрестности V мно-
множества | а | П Пе- Оказывается, однако, что для данного гомо-
гомологического класса w е Нт+„ (П, Пе) нет необходимости рас-
рассматривать произвольные его представители: для наших целей
достаточно рассматривать только такие нею, что \и\ П Пеcz
с По*).
Прежде всего, если такие представители существуют, то их
*' Можно рассматривать умножение в 2.2.12 как умножение
//«(П. П0)®Я*(П-Пв)-*//„A1, П»),
поскольку из точной гомологической последовательности тройки (П, Пп, П°)
следует, что #» (П, П°) = Я» (П, Пе). Но будем ли мы исходить из Я» (П, П°)
или из #„(П, Пе), —все равно нужны представители с указанным выше спе-
специальным свойством.
92 Гл. 2. Теория Морса — Люстерника — Шнирелыиана
носители образуют ^-семейство. Ясно, что если с е | и | П П°,
то и г|)^с е i|>, (| и |) П П° при sS^O; но надо еще убедиться, что
если се|«| — Пе, то и ijjjCе%(|ы|) — Щ. Иными словами,
не только По, но и П —Пе инвариантно относительно %, s^O.
Если D = Фс, Ьс^ьс и бф^с = %с при некотором s > 0, то пусть s0 —
наименьшее такое s и с0: = {J3Soc. Тогда для точки с0 нарушается
единственность локальной траектории: tys+stP^Qtys+s<,c при малых
s<0, между тем обе эти функции от s являются траекториями
и при s = 0 проходят через с0.
Убедимся, далее, что такие представители действительно суще-
существуют. Возьмем какую-нибудь непрерывную функцию т: П->-К,
для которой т(г)^=0 при всех с, т|Пв=1 и т|П — U' = 0. Поло-
Положим V(c):= Уцс)(с), где Т, — то же, что и выше (перед 2.2.12).
Ясно, что ?: П-> П — непрерывное отображение, переводящее
всякий цикл и в гомологичный ему цикл «1, причем носитель
последнего | «fi j = "ЧР" (| а |) может пересекаться с По только в точ-
точках П°.
Поскольку точки | ых | получаются из точек | и | сдвигом по
траекториям потока ij)s в направлении убывания Е, то Е \ \ ut | ^
=^?||ы|. А отсюда следует, что критический уровень г|)-семейства
{\и\; u^w, | и | ППе с П0} совпадает с критическим уровнем nw
большего г|)-семейства {|и|; нет}.
Для меда (где w — ненулевой элемент Ят+л(П, Пе)), для
которых | и | П Пе с: П°, справедливо замечание о носителях в таком
же виде, как и после 2.1.9. А именно, пусть V — открытая окре-
окрестность множества |ыЩП°, ?еЯ*(П-Пв) и w' =wr^Z,. Тогда
у w1 имеется такой представитель и', что | ы' j cr J ы | (J V- Если,
кроме того, ?|?/ = 0 для некоторого открытого подмножества U с
cz П — Пе и W — такое открытое множество, что его замыкание
WaU, то существует такой цикл и' е w', что |«' | с: (| и | — W) {] V.
Можно считать, что V аи', где W — та же окрестность Пе,
что и в 2.2.12; она должна быть такой, чтобы для нее была
определена гомотопия WT, в остальном же ее выбор безразличен
(в частности, нет условия U' a U, поскольку нет никакого U).
Можно считать, что точки, достаточно близкие к | и \ Л Пе с= П°,
при этой гомотопии не выходят из V. Поэтому годится рассужде-
рассуждение из § 2.1. По-прежнему считаем, что относительный цикл
Ui^Zm+n(U, П°) получается из и при столь мелком подразделе-
подразделении, что: а) образы | at | сингулярных симплексов из %, пересе-
пересекающиеся с П°, целиком лежат в V, равно как и все ^(lOil).
01; b) если нам еще заданы U и W, то \Oi\czU при
Фф. Запишем ut в виде «i = 2] a*fa]. гДе все а*#0,
все о< различны и нумерация такова, что | о» | П Щ = ф при i ^ р
2.2. Пространство ^параметризованных замкнутых кривых 93
и | о,-1П П° Ф ф при / > р. Положим
ч р
Ы2:= 2] tl
Тогда и3еС^П-Пе). Запишем ди3 в виде ?йу[ту], где ту —
различные сингулярные симплексы и все fy ^= 0. Поскольку ди3 =
= 5«i — ды2, 1ды31П П° = ф и | д«х | с: П°, то ту суть грани неко-
некоторых сингулярных симплексов из ыг. Поэтому
Дальше доказательство проводится совершенно так же, как и
раньше. D
Теперь можно определить подчинение гомологических классов
в смысле умножения Чеха 2.2.12.
Пусть до' и до — ненулевые гомологические классы П mod Пе
размерностей соответственно k и k-\-l. Будем говорить, что класс
©' подчинен классу w, если существует такой /-мерный класс
когомологий ? пространства П —Пе, что w' = wrst,.
Следующая теорема соответствует теореме 2.1.10.
2.2.13. Теорема. Пусть w, w'^H^.(U, Пе) и класс w' подчи-
подчинен классу w. Тогда критические уровни х, %' классов w и w'
удовлетворяют неравенству х^х'>0. Если % — %', то множество
критических точек из Е~1 (х) имеет ненулевые когомологий Чеха
в размерности / = dimay — dimay'>0. Отсюда следует, что раз-
размерность этого множества в смысле покрытий ^1.
Доказательство. Уровни х и х' должны быть >0, потому что
циклы, представляющие соответственно до' и до, образуют ^-семей-
^-семейства пространства ПтобП0.
Пусть и — такой представитель w, что | и \ (] По с П°. Тогда,
согласно замечанию, существует такой цикл u'^w', что \и'\а
cz\u\\JV, где V— сколь угодно малая окрестность множества
| и \ П П°, и поэтому можно считать, что Е \ V < х. Значит,
Е\\и' \<.Е\\и\. Мы видели, что х совпадает с inf?j|M|, где
нижняя грань берется по всем представителям иеш с \и\ ППес:110.
Следовательно х'^х.
Допустим теперь, что х' = х. Положим Сг П П Е1 (х) = К.
Пусть w' = wr^i, ^Я'(П-Пе). Докажем, что ^|[/^0 для
каждой открытой окрестности U множества К в П — Пе. Действи-
Действительно, пусть ?|?/ = 0. Возьмем какую-нибудь меньшую окрест-
окрестность W множества К, для которой W czU. Найдется такой
представитель кеш, | и | П Пе с: П°, что | и | с: W [} Пк~. Но тогда,
согласно замечанию к 2.2.12, найдется такой представитель к'ею',
что | и' | сг (| и | — й?) U V с: П*- (окрестность V множества | и | f| П°
94 Гл. 2. Теория Морса — Люстерника — Шнирельмана
берется по-прежнему столь малой, что Е \ V < х). Значит,
Далее, рассуждая так же, как в конце доказательства 2.1.10,
получим последнее утверждение теоремы, а
2.2.14. Следствие. Пусть wt, l=s?t ==?/-, — ненулевые гомологиче-
гомологические классы П mod Пе, каждый из которых подчинен следующему,
и 0^k!<c..<ikr, где kt — dim ©,-. Обозначим критический уровень
Wi через щ. Тогда
0<х1<...<»сг,
и для каждого щ существуют замкнутые геодезические на Е-уровне
%i. Кроме того, если к; = и/+/', /'>0, то множество замкнутых
геодезических Е-уровня к,- имеет размерность в смысле покрытий
В заключение мы покажем, что при построении гомологии
пространства П достаточно пользоваться только некоторыми
специальными сингулярными симплексами. Сначала сформулируем
один результат общего характера.
Пусть X — паракомпактное топологическое пространство. Пусть
некоторые из его сингулярных симплексов объявлены «специаль-
«специальными», причем если о: А?-v X — специальный сингулярный сим-
симплекс, а ф: А? -*¦ А? — линейное отображение (т. е. ограничение
на Др некоторого линейного отображения несущих линейных
пространств этих симплексов; р и q здесь любые), то и
о • ф: Ар -> X — тоже специальный симплекс. Обозначим для любого
открытого подмножества U с: X через С* (U) цепной комплекс,
порожденный специальными сингулярными симплексами с носи-
носителями в U (и с обычным оператором границы; ясно, что грани
специальных симплексов сами специальны), а через Н* (U) —
когомологии этого комплекса с коэффициентами в Z- В этих
условиях и обозначениях для локально стягиваемых X имеет
место следующая теорема.
2.2.15. Теорема. Если для любой точки х&Х
(предел прямого спектра по всем окрестностям Usx), то гомо-
гомологии цепного комплекса С* (X) с коэффициентами в любой группе
G совпадают с Я* (Х{ G).
Доказательство см. в работе Аносова [4]. Оно выходит за
пределы настоящей книги. Заметим только, что все нужные для
него рассуждения имеются в статье Бридона [1], хотя формально
такой теоремы там нет. ?
Применим 2.2.15 к случаю Х = П, считая специальными те
сингулярные симплексы, которые можно представить в виде я»д
2.3. Замкнутые геодезические на сферах 95
(проекция я:Л->П та же, что и выше) с такими о: А*->Л, что
отображения
5: Д?х5->М, о (л;, /) = <*(*)(*),
являются С^-отображениями.
2.2.16. Теорема. Я* (П; G) = гомологии С% (П) с коэффициентами
в G.
Доказательство сводится к проверке выполнения условия из
2.2.15; см. Аносов [4]. D *
2.3. Замкнутые геодезические на сферах
Простейшими односвязными компактными многообразиями без-
безусловно являются сферы. На самом деле можно даже сказать,
что теория замкнутых геодезических началась с попытки Пуанкаре
доказать существование замкнутой геодезической на выпуклой
поверхности; см. Пуанкаре [1]. Однако Морс [2] считал его дока-
доказательство неудовлетворительным. Bв)
Доказательство существования замкнутой геодезической на
произвольной поверхности рода 0 было дано Биркгофом [1] (см.
также Биркгоф [2]). Позже Люстерник и Шнирельман [1] пока-
показали, что на такой поверхности всегда существуют по крайней
мере три замкнутые геодезические без самопересечений — резуль-
результат, который в общем случае не может быть улучшен, так как
на эллипсоиде с тремя различными осями, длины которых отли-
отличаются не слишком сильно, замкнутыми геодезическими без само-
самопересечений являются только три главных эллипса этого эллип-
эллипсоида; см. 5.1.2.
Биркгоф [3] показал, что на «-мерной аналитической поверх-
поверхности, которая по модулю своей римановой структуры является
сферой, всегда существует по крайней мере одна замкнутая
геодезическая.
Далее Морс, с одной стороны, и Люстерник и Шнирельман —
с другой, почти одновременно создали более изощренные тополо-
топологические методы для исследования проблемы о существовании
более чем одной замкнутой геодезической на и-мерном римановом
многообразии. При этом особое внимание они уделили случаю,
когда многообразие диффеоморфно и-мерной сфере. .
Основные результаты Морса содержатся в его монографии [2],
где среди прочего он исчерпывающе изучает гомологии простран-
пространства непараметризованных замкнутых кривых на сфере. Особенно
его интересовали «круговые числа связности» сферы, которые
совпадают с числами Бетти 2г-гомологий пространства IIS".
96 Гл. 2. Теория Морса — Люстерника — Шнирельмана
Однако, как было показано А. С. Шварцем [1], его результаты
оказались ошибочными. Он упустил из виду тот факт, что дей-
действие группы 5 на AM не является свободным. Аналогичная
ошибка была затем повторена Боттом [1] и Сидзумой [1].
В этом параграфе мы применим развитые ранее методы к ис-
исследованию проблемы о существовании нескольких замкнутых
геодезических на многообразии, гомотопически эквивалентном S".
Эти методы являются результатом совместных усилий Морса,
Люстерника и Шнирельмана, а также С. И. Альбера и автора,
работы которых относятся к более позднему периоду.
Однако здесь мы пока не сможем доказать существования
более чем одной однократной замкнутой геодезической на таком
многообразии, если только риманова метрика не удовлетворяет
некоторым ограничениям на кривизну; см. 2.3.8. Лишь в § 4.3
нам удастся доказать существование бесконечного числа одно-
однократных замкнутых геодезических, применяя для этого некоторые
ранее ие замеченные аспекты теории Морса на AM. См. также
§5.1, где доказывается существование 2л — 1 «коротких» замкну-
замкнутых геодезических.
Мы начнем с описания хорошо известного подмножества про-
пространства AS", а именно пространства AS" параметризованных
окружностей на S".
Для того чтобы определить AS", будем считать, что сфера S"
вложена стандартным образом в R"+1 в виде гиперповерхности
постоянной кривизны, равной 1. Окружностью на S" назовем
или одноточечную кривую, или пересечение S" с двумерной
плоскостью из JR"+1, расстояние которой до начала координат
в Rn+1 меньше 1. Когда мы говорим о параметризованной окруж-
окружности, мы имеем в виду (в предположении, что окружность не есть
одноточечная кривая), что параметр выбран пропорционально
длине дуги. Через A°S" обозначим подмножество одноточечных
кривых, которое изоморфно S".
Пространство AS" содержит в виде подпространства простран-
пространство BS* параметризованных больших кругов. Ясно, что BS"
изоморфно многообразию Штифеля VB, п—\), состоящему из
ортонормированных 2-реперов в начале координат в R"+1. Поэтому
BS" = O(rt-f 1)/O(n— 1) и dimBS" = 2«— 1; см., например, Милнор
и Сташеф [1].
Рассмотрим AS" как подпространство AS". Пространства AS"
и BS" инвариантны относительно О B)-действия % на AS".
Пространства
TS»: = AS"/XO B), AS": = BS»/XO B)
мы назовем соответственно пространством (непараметризованных)
окружностей и (непараметризованных) больших кругов на S".
Через r°S" обозначим A0S70B)^S". Пространство AS" изоморфно
'*_. 2.3. Замкнутые геодезические иа сферах 97
—*j* ¦
грасягманову многообразию*' GB, л —1), элементами которого
явдйвотся двумерные плоскости, проходящие через начало коор-
дшргг в R"+1. Следовательно, ASn = O(n+ l)/QB)xO(n-1) и
diffi^S" = 2n — 2.
рпределим отображение
,. a: AS"-A°5'!->-BS'1,
ставя в соответствие параметризованной окружности параметри-
параметризованный большой круг, который получается из нее следующим
образом сначала плоскость, в которой лежит окружность, парал-
параллельно переносится в начало координат в Rn+1, а затем лежащая
в этой плоскости окружность раздувается в большой круг.
Окружности, лежащие над фиксированным большим кругом,
однозначно определяются вектором, указывающим положение их
центра в Rn+1, поэтому слой or1 E1) над большим кругом S1 е
еBS" есть открытый (и—1)-мерный диск. Таким образом, а
определяет некоторое расслоение на (и — 1)-мерные диски HaflBS".
Так как а коммутирует с О B)-действием % на AS" — A°S",
то определено факторотображение
у. rS/!-r°S"->-AS''.
Отображение у представляет собой проекцию расслоения над AS",
слоями которого являются (п— 1)-мерные диски.
Легко видеть, что у — расслоение на диски для канонического
(и —1)-мерного векторного расслоения у" над AS" = GB, n— 1);
ср. Милнор и Сташеф [1], Спеньер [1]***. Из теории векторных
расслоений известно, что 2г-когомологии ГтоёГ0 могут быть
записаны в виде
H*(TSa, r°S«) = #"-i^tf*(GB, n-1)),
где yn~l — класс Тома расслоения v-
а Точнее говоря, непосредственно получается, что если Ге5л =
= TS" П П85П (окружности длины «^ j/V), то с помощью умноже-
*' Грассманово многообразие, которое Клингенберг обозначает через
6 (а. Ь)> другие авторы могут обозначать через G (а+b, а) или Ga(Ua+bY,
последнее обозначение, принятое в книге Милнора г Сташефа [1], наиболее
выразительно и исключает возможность путаницы.
**' Согласно общепринятой терминологии, каноническим векторным рас-
расслоением над 0B, п— 1) является расслоение уг, слой которого над точкой
грассманова многообразия, по определению являющейся некоторой двумерной
плоскостью, состоит из всех точек этой плоскости. В более подробных обо-
обозначениях, принятых в книге Милнора и Сташефа [1], это расслоение обозна-
обозначается 72(Rn+i). Стало быть, Vs — естественная проекция BS"-*-ASn. Расслое-
Расслоение же у является ортогональным дополнением расслоения v* B тривиальном
расслоении GB, n— l)xRn+I. Если заменить 0B, п— 1) на G(n— I 2)> по-
мощью диффеоморфизма этих многообразий Грассмана (Милнор, Сташеф [1],
лемма 5.1), ю v станет каноническим расслоением vn+1 над Gin— 1, 2) (рас-
(расслоением yn-i (R«f1)).
4 В. Клингенберг
98 Гл. 2. Теория Морса — Люстерника — Шнирельмаиа
ния в когомологиях
Я1' (Г5Л - T°Sn) 0 Н"-1 (TSn - T°Sn, Ге5л - r°S") M.
-+Hi+n-1(TSa-T0Sn, T*Sn-T°Sn)
можно определить изоморфизм Тома
Н* (Д5") д* Н< (TSn - T°S") -> Я'*"-1 (TSa - r°S", PS" - Г°5»),
x i—> х^у"-1,
где J/"-1 — класс Тома расслоения у. Далее используем изоморфизмы
n)9EH'(TSn, Г°5Л)
(вырезание и точная гомологическая последовательность тройки
(TSa, TeSH, T°Sn) с учетом очевидной деформации TeSn на T°Sn).
Это позволяет придать изоморфизму Тома такой смысл, как
в предыдущем абзаце. Аналогично заключаем, что можно гово-
говорить о произведении Чеха
и об изоморфизме Тома в гомологиях
Ht (TS; F>S«) -+ Н^г (TS» - PS") = Я,_п+1 (AS-),
Мы хотим более подробно описать когомологии TSn — T°Sa,
т. е. H*(GB, n—\)). Для этого сначала определим цикл [аь аа]
пространства GB, п— 1), где йх и а^ — целые числа, удовлетво-
удовлетворяющие неравенствам 0^ах^й2^«—1.
Цикл [#!, й2] по определению состоит из всех больших кругов
сферы Sa2+':=< 2] **=l(t которые пересекаются со сферой*)
(«| )
"S"' '•— \*Eixi = Ч (эТИ сферы считаются естественно вложенными
в S").
*' Очевидно, мы получим эквивалентное определение, сказав, что [аь с^]
состоит из всех двумерных плоскостей в Ra" + 2, проходящих через начало
координат 0 и имеющих нетривиальное (не сводящееся к 0) пересечение
с R0!"*"' (вложенным в R°«+2 таким образом, что к набору ai + 1 чисел справа
дописывается аа —ai+1 нулей). При таком определении [аъ а2] — частный
случай так называемых многообразий Шуберта. Подробнее (и точнее) о мно-
многообразиях Шуберта и о том, как с их помощью вычисляются гомологии
многообразий Грассмана, см. в книге Милнора и Сташефа. Следует преду-
предупредить, что там используется иная система обозначений, нежели здесь,
соотношение между ними указано в примечании на стр. 66 русского издания
упомянутой книги. Отметим еще, что в настоящей книге \а1л с2] обозначает
в зависимости от контекста как многообразие Шуберта, так и соответствующие
ему цикл mod 2 и класс гомологии.
2.3. Замкнутые геодезические на сферах 99
Ясно, что [й1( й2] —цикл размерности аг-\-аг. При аг = 0 это
очевидно. Для того чтобы убедиться в этом при й]>0, пред-
представим [alt й2] — [#i — li а1— 1] как тотальное пространство рас-
расслоения над Pai со слоем Р<>з — Р<>1-1, где Рк — действительное
проективное пространство размерности к. Для этого заметим, что
не лежащий в Sai большой круг S *' однозначно определяется
своими точками пересечения с Sai и точками пересечения с 0$-
мерной сферой, принадлежащей Sa* + l и ортогональной Saif|5.
При этом в качестве точек пересечения S с указанной aj-мерной
сферой может получиться любая пара диаметрально противопо-
противоположных точек последней, кроме тех, которые принадлежат Sai.
Границей [аъ а2] — [аг — 1, at —1] служит [% —1, ^—1], имею-
имеющее в [а1( а2] коразмерность ^=2.
2.3.1. Предложение. Совокупность я(я+1)/2 циклов [аъ а^]
образует базис Хъ-гомологий пространства 6B, и —1). Кроме
того, GB, «-1) содержит такие непересекающиеся подмногооб-
подмногообразия типа GB, и-2) и Рп-\ что GB, n- 1)-GB, л-2)
является расслоением nn-i над Р"-1 на открытые (п—\)-мерные
диски, a G B, п — 1) — Рп~х является расслоением п\ над G B, п — 2)
на 1-мерные диски.
2.3.2. Дополнение. Обозначим через (av a2), О^^^аа^п — 1,
баз«с tf*(GB, «-1)), двойственный базису {[аь й2]}. Тогда
w -произведение удовлетворяет следующим соотношениям:
(i) (alf й2) = @, Й!)и@, аа) + (О, Й1- 1)^@, й2+1);
(ii) @, a)u(fli, a2) = 2(^ + 1, а2 + й-0,
0 < t ^ min (а, Оа — #i).
В правых частях мы считаем, что (а, &) = 0, если условие 0«s;
b^n— 1 не выполнено.
Замечание. Аддитивная структура на H#(GB, n — l)) и
#*(GB, «-1)) была определена Эресманом [1]. Мультиплика-
Мультипликативная структура на Н* (GB, n— 1)) была определена Чжэнем [1].
Другой путь описания кольца когомологий пространства
GB, n—l) состоит в следующем (см. Борель [1]). Обозначим
через S(xlt ..., хр) алгебру симметрических полиномов от пере-
переменных хи...,хр, а через S+(xlt ..., хр) — подалгебру, поро-
порожденную полиномами, отличными от константы. В этих терминах
кольцо #*(GB, «-1)) может быть описано как
5 (ыь ы2) ® S (ы3, .... Mn+i)/S+ («х, ы2, «з, ...
При этом элементарные симметрические полиномы ui + u-t и
ui ¦ «г являются классами Штифеля — Уитни ш1 и w2 канониче-
канонического Корасслоения над GB, n—l) (расслоенияv2); они соответ-
*' Те S, которые лежат в S, образуют [oi—l, Oi — l
4*
100 Гл. 2. Теория Морса —Люстерника — Шнирельмана
ствуют элементам @, 1) и A, 1). Элементарные симметрические
полиномы от «з «л+1 представляют классы Штифеля — Уитни
w1, ..., й*" введенного вышеЕ"-1-расслоения у"'1 над GB, л — 1).
Они соответствуют элементам @, 1) @, л—I) B7). д Можно
исключить из описания алгебры #*(GB, л—1)) упоминание
об щ и сказать, что эта алгебра порождается классами Штифе-
Штифеля — Уитни w1, w2 и w1, ..., те»"-1 расслоений v8 и у, подчинен-
подчиненными лишь следующим соотношениям (Милнор, Сташеф [1],
задача 7.В):
Здесь имеется по одному соотношению в каждой из размерностей
1, 2, ..., л+1; первые л —1 из них позволяют выразить Ш*
через w1 и да2, после чего последние два дают нетривиальные
соотношения между w1 и w2. Алгебра #*(GB, л—1)) есть
алгебра многочленов от до1 и w2, профакторизованная по этим
двум соотношениям. Размерность обоих >л —1, так что все
ш'ФО. При л>2 соотношения имеют размерность >2, а при
л = 2 они дают, что шг = (ш1J и (wlK = 0 (что и понятно, ибо
GB, 1) есть проективная плоскость). А
Доказательство предложения 2.3.1. Будем считать, что
GB, л —2) вложено в GB, л—1), т. е. элементами GB, л —2)
2 х* = 1 >. Вложим также Р"-1
)
2 х* = 1 >.
из Т5"-1 бол
{
в S", взяв в качестве элементов из Т5"-1 большие круги на S",
проходящие через ось х„.
Определим отображение
JW G B, л - 1) - G B, л - 2) -> Р"-1,
при котором каждый большой круг переходит в элемент прост-
пространства Рп-1, который получается из этого большого круга путем
его вращения вокруг точек пересечения этого круга с S"-1;
вращение происходит в трехмерном пространстве, содержащем
большой круг и ось хп. (Если же большой круг содержит ось хп,
то он уже является элементом 7-1.) Если точки пересечения
большого круга с S"-1 лежат на прямой р, то его образ при
отображении я„_! —это пересечение 5" с плоскостью, натянутой
на ось хп и прямую р. Всевозможные большие круги, пересе-
пересекающие S" по р П «5я-1, образуют (и —1)-мерное проективное
пространство, но к GB, л—1)—GB, и —2) принадлежат только
те из них, которые не лежат в 5я-1, так что в итоге слоем я„-!
является Р" — Р"~2 = U"-1 (или открытый (л— 1)-мерный диск).
Определим теперь
{: GB, fl-l)-P"-1->GB, и-2).
2.3. Замкнутые геодезические на сферах 101
Для этого будем вращать большой круг (если он еще не принад-
принадлежит S"-1) вокруг его точек пересечения с 5"-1 до тех пор,
пока он сам не окажется в S"-1. Вращение происходит в трех-
трехмерном евклидовом пространстве, содержащем ось х„ и плоскость
рассматриваемого большого круга. Всевозможные большие круги,
лежащие в этом пространстве, образуют проективную плоскость,
но к GB, л — 1) — Рп~1 принадлежат только те из них, которые
не проходят через ось х„, так что в итоге слоем п[ является
С помощью изоморфизма Тома получим*1
Я, @B, «-!), 0B, «-2))-Я*_(п-1)(Р^),
Я, @B, п-\), Р»-») = Я1!с_1@B, «-2)).
Под действием изоморфизма Тома циклы [аи л—1] (точнее, их
образы в H^(G{2, л — 1), GB, « — 2))) переходят в нетривиаль-
нетривиальные циклы пространства Р"-1 B8), а соответствующие классы
гомологии образуют базис. Воспользовавшись теперь точной гомо-
гомологической последовательностью пары (GB, л — 1), GB, n — 2)) **J
и применяя индукцию по л, получим 2.3.1. ?
За доказательством 2.3.2 мы отсылаем читателя к другим
источникам (Чжэнь [1], Альбер [1]). Отметим только, что геомет-
геометрически вполне очевидно, что индекс пересечения [аь а2] и
[п — 1 — й2, я — 1 — их] равен 1, в то время как индекс пересече-
пересечения цикла [alt a^] и всех остальных циклов размерности
2п — 2 — а1 — а2 равен нулю mod 2.
2.3.3. Предложение. Длина многообразия GB, л—1) равна
) 2n — s—\, где 0 2k2k
Замечание. Это было доказано Альбером [1]. В терминах того
описания кольца H*{GB, л—1)), которое было приведено сразу
*' Множество плоскостей, образующих с Rn угол < в, является некоторой
окрестностью U множества 0B, л —2) в GB, л—1). При этом G B, л —2)
является сильным деформационным ретрактом U (вращаем каждую плоскость
вокруг линии ее пересечения с R", пока она не попадет в R"). Поэтому
H(GB, я-1), GB, n-2))=//(GB, я-1), (/) =
= Я(ОB, я-1)-0B, я-2), U-GB, п-2)).
В то же время U—GBn — 2) можно интерпретировать как расслоение над
Р"~1, каждый слой которого получается из слоя расслоения л„_1 путем
выбрасывания некоторого меньшего диска. Поэтому
tf(GB, n-l) — GB, n-2), U-GB, n-2))
описывается с помощью изоморфизма Тома. Аналогичное рассуждение при-
применимо к Я (О B, л —1), Р"-1).
**' Поскольку #„ @B, л — 1))-*//, (GB, л —1), 0B, л—2))—эпиморфизм,
эта точная последовательность сводится к коротким:
2, я-1), 0B. л-2
102 Гл. 2. Теория Морса — Люстерника — Шнирельмана
после формулировки 2.3.2, доказываемый ниже результат озна-
означает, что для w1 = u1 + u% и ггJ = и1-и2
Доказательство. Сначала выведем формулу
(•) @, 1J*-'= @, 2*-1).
Для этого воспользуемся индукцией. При k—\ формула верна.
Предположим, что она верна и для k—l. Тогда с помощью 2.3.2
получим
(О, IJ*-' =@, 1) w (О, IJ*-1 u (О, IJ*-1 =
= @, l)u@, 2*-»~l)u@, 2й-1-1) =
2*-1_1
= @, 1)и 2 С 2*-2-0 = @, 2*-1).
о
Напомним, что мы используем 2г-коэффициенты. Поэтому
2*—1
(О, lJ«-8s-a = @, 2*-l)w@, 2*-l)= 2 (t, 2*^-2-0^0
о
и @, 1)аи-г*-1 = @, 2*+1-1) = 0. Умножение на A, 1) дает*)
2*
A, 1) w @, 1 )*»-**-* = 2 («. 2ft+1 - О,
2
и далее индукцией по р
A, 1)"и@, 1)*»-2,-2= 2 (f,
Чр
так что
A. l)'u (О, I)***- 2 (t, 2*
Следовательно, длина 0B, п — 1) больше либо равна g (я).
Если бы длина была больше g(n), то в соответствующем произ-
произведении количество одномерных коциклов должно было бы быть
больше 2я —2s —2 **'. Но так как @, 1) —единственный
*' Так как A, 1) = @, 1)* + @, 2), то в данном случае умножение на A, 1)
совпадает с умножением на @, 2).
**' Формально: пусть в произведении имеется i/ сомножителей размер-
размерности / (где j — 1, ..., г, a I/X)). Если
(а) i1-\-2ii-\-...-$-rirsS!2n — 2 (ограничение на размерность произведения).
(б) i1sg:2n—2s—2 (иначе @, 1)'' = 0),
(в) fx-f-B +...-HV Э= 2n — s—2 (длина не меньше g(«)),
то нз (а) и (в) следует
2.3. Замкнутые геодезические на сферах 103
коцикл размерности 1, это невозможно без обращения в
нуль. ?
Напомним, что у нас имеется расслоение TSn—VSn на
(п — 1)-мерные открытые диски с базой A5" = GB, и- 1) и с
проекцией у. Из 2.3.1 видно, что базис гомологии для TS'1 —T°Sn
можно получить так: надо по каждому циклу [аъ аг] из AS"
построить цикл {alt aa} из rSTnodF'S" размерности аг-\-а, \-п — 1,
который состоит из окружностей, параллельных окружностям из
[аъ а2], т. е. {аъ а2} есть замыкание у1 lai> °г] в TS" (при этом
замыкании к y^^i» ай присоединяются еще некоторые одното-
одноточечные окружности).
± Наряду с введенным ранее произведением Чеха
Я* (TS», T°S") 0 Я* (TS», T°Sn) -^ Я* (TSn - T°Sn),
нужным для определения изоморфизма Тома, мы будем пользо-
пользоваться еще произведением Чеха
Я* (TS\ T°Sn) 0 Я* (TSn - r°S") -a Я* (TSn, r°S"),
аналогичным 2.1.9 (и строящимся с использованием VeSn вместо
AeStt). Докажем, что при этой последней операции, если
cLi + <h = bi + bit то
{ai, a,}-a(&i, fea) = 6ai6l{0, 0}.
Доказательство состоит в вычислении ({аг, a.i\r\{b1>b^)r^yn-1.
Оказывается, это есть 6^@, 0), откуда и следует доказываемое
утверждение *'. А чтобы вычислить указанное тройное произве-
произведение, вспомним, что используемые здесь произведения происходят
из произведений
Нщ+п2+п_ i (TSn - Г°5", PS" - T°Sn) 0 Яа> +«. (TS» - r°S») Л
^Hn-1(rSn-T°Sn, TeSn-T°S"),
Hn.1{TSn-T°Sn, T*Sn-T°Sn)®Hn-1(TSn-roS't,
При этом мы временно считаем, что {аъ а2} е Я# (TSn — T°Sn,
r8Sn — r°S"), и т. д. Пользуясь еще произведением
T°Sn) 0 Н"-1 (TStt - T°Sn, TeSn - T°Sn) -H
— Г°5Л, TeSn — T°Sn),
(r) j2+3 + + (
a из (б) и (в) следует
., (Д) h + h + -..+ir~zs;
Уч и (в) совместимы лишь при is = .,.s=lr=.0i iz = s.
*> См. B8). Как и там, в рассматриваемой сейчас размерности имеется
только один изоморфизм
Я„_1 (rs« - r«S", r<=Sn - ros») -*• Ho {TSn — T«Sn)
Однако ниже нам понадобится еще, что {alt аг] г\ у11'1 = [alt
104 Гл. 2. Теория Морса — Люстерника — Шнирельмана
таким же произведением с обратным порядком сомножителей и
произведениями
H*(TSn-T°Sa, TeSn-T°SnHH*(TSa-T°Sn, FeSn-T°Sa)-О.
Hai+Ol (TSn - T°Sn) ® Ha*+a> (TSn - T°Sn) -+ Ho (TS* -
имеем (см. Спеньер [1], E.6.18), E.6.11) и снова E.6.18)):
({fli. <h) n (bu h)) r\ ya~l = {au <k\ r\ ((blt b2) \j y"~l) =
= {au aa} n G/"-1 w (bu b2)) = ({au аг\ г\ у»-1) п фг, Ь2)=>
= [a1( <h]n{blt ft,)-6^,@, 0). a
Из сказанного и из 2.3.3 получаем
2.3.4. Лемма. Классы гомологии, представителями которых
являются п(п +1)/2 циклов {alt «г}» образуют базис Ъг-гомологий
rsdr°S
5 H#(rSnt T°Sn) существуют g(n) = 2n —s—1 последовательно
подчиненных гомологических классов, которые получаются с помо-
помощью rs-произведения между фундаментальным циклом \п — 1, п— 1}
и возрастающим числом сомножителей
@, 1), @, IJ, ..., @, Vp*-* @, 1)«*«-М1, 1)*
@, 1)а"-2*-М1, 1)»-(я-1, п-1).
дАльбер [1] пытался доказать, что при каноническом вложе-
вложении i: (rSn, T°Sn) cL-> (IIS", n°Sn) эти g (n) гомологических клас-
классов остаются подчиненными в смысле умножения
Для этого он пытался доказать, что отображение когомологий
эпиморфно. Но, как обнаружил Бальман, при п>2 это неверно*'
(Аносов [3]).
Мы видели, что можно понимать подчинение в смысле другого
умножения:
Н* (IIS", UqS") ® Я* (USn - n6Sn) ¦? Я,, {USn,
(первый сомножитель здесь, по существу, тот же, но второй, как
мы увидим, другой). Кроме того, для нашей цели (теоремы 2.3.9)
нужно только, чтобы при каноническом вложении /: (TSn, r°S") c_».
*' Для одномерных когомологий неверное утверждение об эпиморфизме
восходит к Люстернику [1], работу которого и продолжал Альбер. По-види-
По-видимому, они были введены в заблуждение аналогией (лучше сказать, надеждой
на аналогию) со случаем п—2.
2.3. Замкнутые геодезические на сферах 105
с_*. (IIS", HqS") оставались подчиненными не все g (л) указанных
выше классов, а только п классов {0, 0}, {0, 1}, ..., {О, п—Ц.
Это и будет доказано. Как мы увидим, подчинение классов i* {0, р}
осуществляется посредством чеховского умножения на некоторый
коцикл @, 1)' е= № (US* - Пе5л):
/,{0, р}Ы0, l)'-U0, р-Ц,
Этот одномерный коцикл таков, что при отображении Я1 (IIS" —
— UeSn)-^H1(TSa — T(iSn), индуцированном вложением*) /: TS"—
— r°S«c_».IlSn-ne5n, он переходит в @, 1).
Итак, нас интересуют коцикл @, 1)' и относительные циклы
t* {0, р}. Начнем с первого. Причина, по которой IIS" — HqS"
больше подходит для наших целей, чем USn — WS", состоит в том,
что проекция ASn — яг1 (IleS") -*• US" — Пв5" больше похожа на
расслоение, чем ASn — A°Sn -*¦ IIS" — IPS". Конечно, это все-таки
не расслоение, но если факторизацию по действию х группы О B)
осуществить в два шага
AS" - я-1 (IleS") -Ь fiS" - ft6Sn ± USn - UeSn,
то ввиду того, что действие 6 группы 2г на tlSn — fteS" является
свободным, на втором шаге имеется уже настоящее расслоение
со слоем и структурной группой Z2 = OA) (стало быть, его можно
считать главным). В качестве @, 1)' мы возьмем первый (и един-
единственный) характеристический класс Штифеля — Уитни w[ этого
расслоения (или, если угодно, ассоциированного с ним вектор-
векторного расслоения со слоем R)**'.
Определение @, 1)' как бы моделирует одно из возможных
определений первого характеристического класса m-мерного век-
горного расслоения Е-*-В над клеточным разбиением. Это опре-
определение связано с интерпретацией этого класса wx как препят-
препятствия (единственного!) к ориентируемости расслоения. Считая,
что исходное расслоение снабжено римановой метрикой, т. е. что
его структурная группа редуцирована до О (/и), рассмотрим ассо-
ассоциированное с ним расслоение ?' со слоем Vm (Rm) = V (т, 0) =
= соответствующее многообразие Штифеля (элементы последнего
суть ортонормированные базисы Rm). Слой Е'ь расслоения Е' над
точкой befl состоит из всевозможных ортонормированных бази-
базисов слоя Еь расслоения Е над Ь. Проекцию Е'-*-В можно осу-
*' Мы позволяем себе обозначать одним и тем же символом i вложения
(№, ТО") г- > (П5П, IbS") н rS"—r»Sn-»-nS»—IPS", а далее—еще и
AS"dnS»nS»
_^nSneS.
**' Можно следующим образом наглядно описать гомоморфизм ю: яг (IIS" —
", с)->-22, соответствующий этому коциклу. Пусть путь уЕаея,(IIS" —
~ rieS", с). Накроем путь у путем v B flS" —flgS". Если у @) = y A), то
а)(а)^о, а если у @) Ф у A), то ю(а) = 1. В свете сказанного далее это опи-
описание делает очевидным, что (*a»J = t»,.
106 Гл. 2. Теория Морса — Люстерника — Шнирельмана
ществить в два шага:
где на первом шаге осуществляется факторизация по очевидному
действию SO (m), т. е. каждая из двух компонент связности слоя Е[
«сжимается» в одну точку и полученное таким образом множе-
множество В (его элементы можно интерпретировать как ориентации
слоев расслоения ?) снабжается надлежащей структурой. Тогда w1
совпадает с первым классом Штифеля — Уитни расслоения В-*-В
и элементарно описывается так же, как в последнем подстроч-
подстрочном примечании.
Хотя я | AS" — лг1 (IleS") не является расслоением, его ограни-
ограничения я | я-1 (iASn) и я | пгЧ (TSa — T°Sn) являются таковыми и
совпадают (при естественных отождествлениях) с расслоениями у2
и y*Y2; AS"-A°Sn-+TSn-r°Sn. Факторизация по S = SOB),
рассматриваемая на nrl(iAStt) и п~Ч (TSn — T°Stt), совпадает
с переходом от Е' к В для этих расслоений, так что соответ-
соответствующие накрытия Ё-уВ совпадают с ограничениями расслое-
расслоения (накрытия) #|IIS" — Пе5й над t'ASA и i {YSn — r°S"). Отсюда
следует, что i*w't = wt.
Теперь рассмотрим классы [0, 0], [0, 1],..., [0, п — 1] в AS" =
= GB, л— 1). Соответствующие многообразия Шуберта, если опи-
описывать их в терминах плоскостей, состоят из плоскостей, прохо-
проходящих через фиксированную ось Хо и лежащих соответственно
в Ra, R3 R"+I. Такая плоскость однозначно определяется
лежащей в ней прямой р, перпендикулярной оси х0; прямая р
должна содержаться в ортогональном дополнении оси х0 в R2,
R3, .... R"+1. Отсюда ясно, что [0, и —1] есть проективное про-
пространство Р"-1, определенным образом вложенное в GB, n —1),
и что [0, q] суть проективные пространства Р9, вложенные
в Р"-1 = [0, л—1] в соответствии с вложениями |R»+1c:|Rn.
Алгебра когомологий Я* (Р"-1) имеет одномерную образую-
образующую v1, удовлетворяющую единственному соотношению (у1)я = 0,
причем хорошо известно (хотя бы из двойственности Пуанкаре),
что если [Р*] — определяемый Р» цикл в Р"-1, то [Р?]^»1 =
= [Р?-1]. Покажем, что v1 = w1\[0, л—1], так что в GB, я—1)
выполняется [0, q]<^@, l) = [0, q — 1] (<7=1, ..., л—1). Как мы
знаем (замечание после формулировки 2.3.2 и B6)j, (w1, [0, 1]>= 1.
Если на минуту принять более формальные обозначения, то это
можно записать в виде (wl, (Л/)*[0, 1])=1, где /, h — естествен-
естественные вложения
[0, 1]-Ч0, л-1]
Иными словами, (Л*©1, /#[0, 1]) = 1. Но из соотношений, имею-
имеющихся в H*(GB, л—1)) (замечание после формулировки 2.3.2),
2.3. Замкнутые геодезические на сферах 107
следует, что w1 = w1; между тем v1 однозначно характеризуется
тем, что (у1, /*[0, 1]>=1; значит, h*w1 — v1.
Теперь покажем, что классы {0, q} последовательно подчинены
друг другу относительно умножения
//* (TS\ r°S") 0 Н* (Г5» - Г°5Л) -> Нщ (TSn, T°Sn),
а именно {0, д}^@, 1) = {0, q— 1}. Это явствует из того, что
({0, ?И@, l))^iT» = ({0, ?И<Г1М0, 1) =
= [0, <7]^@, 1)==[0, ,7-1].
Обоснование проведенной выкладки такое же, как и выше при
вычислении {аъ а^^Фъ ''г)- Как и там, нужно, вернуться к тем
группам, для которых первоначально определяется умножение
Чеха, т. е. считать, что
{0, q), yn~1^Hif(YSn-T0Snt TeSn-T°Sn),
@, l)efl'(rS»-PS»).
Наконец, займемся относительными циклами i^. {0, q}. Имеем
{0, q}r,@, l)' = u({0, <7}^»*@, 1)') =
Здесь в обосновании нуждается первое равенство. Вернемся
к первоначальному определению произведения Чеха. Тогда надо
считать, что в левой части первого равенства речь идет об умно-
умножении
Я„ (US' - Пе Sn, W - Пе5") 0 Н* (US» - neS«) -»
где W — такая же окрестность II6Sn, как в 2.1.2, а в правой
части —об умножении
Я* (TS* -T°Sn, TeSn - r°S") 0 Я* (TSn-T°S») -*.
->- Я* (rS" - r°S", Ге5л - T°Sn).
При этом t рассматривается как вложение
i: (TS» - r°S", TeSn - T°Sn) ^-+ (US" - UqS", W - UeS")
(ясно, что при достаточно малом е будет TBSn с: IPS" с: 21').
Теперь равенство обосновывается ссылкой на известное свойство
обычного произведения Чеха (см. Спеньер [1], E.6.16)).
Следовательно, классы i* {0, q\ являются подчиненными друг
другу классами в IIS" mod Пе5", если только они не обращаются
в нуль. Если бы было ц {0, q} — 0, то и i* {0, г} = 0 при всех
r<iq; значит, достаточно доказать, что i# {0, 0}#-0.
108 Гл. 2. Теория Морса — Люстериика — Шнирельмана
2.3.5. Теорема. При q<n — \ и любой группе коэффициентов G
имеем Hg(USn; G)=0. В группе H^iUS"; Z2) образ /„ [0, л-1]
класса [0, л—1] при естественном вложении*> /: GB, л—1)с_*.
<=_>. USn отличен от нуля.
Доказательство см. в работах Аносова [3], [4]. При доказа-
доказательстве строится такой когомологический класс оеЯ"-1 (IIS"; Za).
что /*а=@, л-1).
2.3.6. Следствие, г* {0, 0}т?0, где i по-прежнему обозначает
вложение (TSn, T°Stt) <=-* (IIS", Пв5").
Доказательство следствия 2.3.6. В § 2.2 сразу же после опре-
определения Пе-М было показано, что U&M имеет гомотопический
тип WM, т. е. М. Когда M = Sn, из точной гомологической
последовательности пары (П5Я, UqS") следует, что если k обо-
обозначает вложение (USn, ф) с_* (US", IleS"), то fe*: //?(IIS")-^
->Яг(П5", IleS") —мономорфизм**' при q<n. Поэтому для того,
чтобы вывести 2.3.6 из 2.3.5, достаточно установить, что
(*) kJm[O, л-1] = /* {0, 0}.
Обозначая через h естественное вложение (GB, л—1), 0)с-»
<=_». (rS", F'S"), мы докажем, что при индуцированном отображе-
отображении гомологии А*[0, л —1] = {0, 0}. Отсюда следует (*), ибо
ih = kj.
Обозначим через Е расслоение на диски, ассоциированное
с векторным расслоением у. Как мы знаем, Я* (Е, дЕ) =
= #!i!(rS'», T°Sn) (ср. с изоморфизмом Н* (TSn - T°Sn, TeStt—
— T°Sn) = H^(TStt, T°Sn) в рассуждениях, предшествующих 2.3.4).
При этом отождествлении отображение ft* совпадает с композицией
п-1))-+Н*(Е)!?н*(Е, дЕ)
отображений гомологии, индуцированных соответствующими вло-
вложениями. При первом из этих вложений база вкладывается в ?
как нулевое сечение; в гомологиях индуцируется отображение у~1.
Итак, rt*=ft*Y*'- Поэтому
(**) (Г-1, К [0, л - 1]> = ((у*) h'*y«-\ [0, п - 1]>.
Убедимся, что старший класс Штифеля — Уитни расслоения Е
(***) w"-1 = (у*) h' *y"-1.
Действительно, обозначим изоморфизм Тома в когомологиях
через ф. Он является композицией
Я* (G B, л - 1)) ^ Я* (Е)^^ Н»*"-1 (Е, дЕ),
*' Здесь мы пишем /, а не i, потому что сейчас надо отличать это вложе»
ние от I, которое используется в следствии 2.3.6.
**' И даже изоморфизм при q<n—1,
2.3. Замкнутые геодезические на сферах 109
т. е. ф = (!• ^ у"-1)' Y* • Применим ф к интересующему нас классу
когомологий:
Ф (у*)-1 ft'**/"-1 = (ft'V-1) v^ г/"-1 =»у"-1 ^ у"-1.
Но известно, что w"~l = ф (у*-* ^ у"*-1) (см. Милнор, Сташеф [1]).
Формула (***) является аналогом известной для ориентируе-
ориентируемых расслоений связи между классами Эйлера и старшим клас-
классом Штифеля —Уитни. (См. Милнор, Сташеф [1], свойство 9.5.
Непосредственно перед этим там по несколько иному поводу про-
проведено воспроизведенное выше рассуждение, фактически доказы-
доказывающее (*#*).)
Теперь (**) можно переписать в виде
\ МО, n-l]> = <©"-1, [0, п-1]>,
что, как мы знаем, равно 1. Но Hn-i{E, дЕ) = Хг и (у", {0, 0}) =
= 1 (ведь {0, 0} есть образующий элемент группы #„_! (слой,
граница слоя), а класс Тома как раз и характеризуется тем, что
при ограничении на пару (слой, граница слоя) он принимает на
этом образующем элементе значение 1). Поэтому /г„.[0, п — 11 =
= {0, 0}. ? п а
Как следствие 2.3.6 и 2.2.14 (см. также обсуждение перед
2.3.5) получаем такую теорему.
2.3.7. Теорема. Пусть М — риманово многообразие, диффео-
морфное п-мерной сфере S" посредством диффеоморфизма к: Sn-*-M.
Возьмем такое и*>0, что йг^сП^М, где ЛГ:=Ш- {вло-
{вложение ^"c^ILS").
Утверждение. В пространстве ПМ имеется п критических
уровней
которые являются критическими уровнями п попарно подчинен-
подчиненных гомологических классов из Н* (ИМ, ПбМ).
В частности, если два из этих уровней совпадают, то в М
существует бесконечное число замкнутых геодезических, различаю-
различающихся как элементы UM C0),
Замечание. В этой теореме не утверждается, что построенные п
замкнутых геодезических являются однократными или (если они
являются кратными повторениями некоторых однократных замк-
замкнутых геодезических) что соответствующие однократные замкну-
замкнутые геодезические все попарно различны. Результат такого типа
будет доказан значительно позднее с использованием совершенно
Других методов; см. § 5.1.
В случае л = 2 Люстерник и Шнирельман [1], пользуясь спе-
специальными деформациями, уменьшающими Е, которые переводят
110 Гл. 2. Теория Морса — Люстерника — Шнирельмана
образы окружностей в кривые без самопересечений, смогли пока-
показать, что образы трех попарно подчиненных циклов пг* {0, 0},
fir* {0, 1}, hr*{\, 1} из rS2modr°S2 повисают на трех замкнутых
геодезических, которые не только однократные, но даже не имеют
самопересечений.
При я>2 существование замкнутых геодезических без само-
самопересечений было доказано только для тех случаев, когда рима-
нова метрика на М подчинена некоторым специальным ограниче-
ограничениям. Формулировки результатов в этом направлении можно
найти у Клингенберга [7] и Альбера [2]. Все они основаны на
следующей теореме (см. Клингенберг [1] и Громол, Клингенберг,
Мейер [1]).
2.3.8. Теорема. Пусть М —од несвязное компактное риманово
многообразие, кривизна которого К (во всех точках и по всем дву-
двумерным направлениям) удовлетворяет соотношению
с некоторым /С0>0. Тогда длина каждой геодезической петли
на М больше либо равна 2п/УКо, «> следовательно, замкнутая
геодезическая длины <4я/"|//(о не имеет самопересечений.
± Кроме того, существует гомеоморфизм h: Stt-+M, удовлетво-
удовлетворяющий условию Липшица вместе с обратным гомеоморфизмом hrx
и обладающий следующими свойствами. Обозначим через р± точки
(±1, 0 0) е= Sn. Тогда ограничение
h\(Sn-p+): S»-p+-+Mn-h(p+)
является диффеоморфизмом. Образ hiS*"-1) «экватора» S*n~1 =
= {xeS"; xo = O} является некоторым дифференцируемым под-
подмногообразием М* многообразия М коразмерности 1, состоящим
из всех тех точек q&M, для которых d(h(p+), g) = d(h(p-), q)<.
При отображении h четвертушки проходящего через р+ и р-
большого круга, соединяющие р+ или р- с S*"-1, переходят
в геодезические отрезки (дуги геодезических линий) на М, являю-
являющиеся кратчайшими путями между своими концами.
Приведенная формулировка содержит в точности то, что нужно
для дальнейшего. Формально она отличается от обычной форму-
формулировки «теоремы о сфере», имеющейся книге Громола, Клин-
Клингенберга и Мейера, поэтому стоит дать некоторые пояснения,
выделив в доказательстве теоремы о сфере те моменты, которые
оправдывают данную формулировку. Основная часть доказатель-
доказательства этой теоремы состоит в доказательстве следующих фактов.
2.3. Замкнутые геодезические на сферах 111
Пусть q+, <7_ — «диаметрально противоположные» точки М,
т. е. dM (q+, q-) = max d (x, у); положим
M
H± := полусфера Sn с центром в p+ — expD±)
D'±:=$<=Tg±M; |
U±: = {g е Т,±М; |
fl±: = [к <= Af; 4м (х, q±) < я/
Тогда В+[)В~ = М; отображения exp | U±: U±->B+ — диффеомор-
диффеоморфизмы; при каждом ?еГ,+А1, |i| = l. на геодезическом отрезке
ехр([0, я/]А/Со])? имеется ровно одна точка множества
М*:={хе=М; dM(x, q+) = dM(x, ?_)},
причем длина 1±A) части этого отрезка между q± и точкой
из М* дифференцируемо зависит от ?.
После того как это доказано, нетрудно получить и теорему
о сфере, и все добавления к ней, содержащиеся в 2.3.8. Ясно,
что
(ехр | U±)-W* H6 е 1/±; | Б|«/±(Б/1 БI)}
суть гладкие подмногообразия в Tq+M, ограничивающие неко-
некоторые замкнутые области V±, диффеоморфные D'±; диффеомор-
диффеоморфизмы ф±: D'±->-V± можно построить так, чтобы точки, лежащие
на одном прямолинейном луче, исходящем из нуля, оставались
бы на том же луче, и чтобы ф-н совпадало с тождественными пре-
преобразованиями в некоторой окрестности U'± нуля пространства
Тч+М. Зафиксировав какие-нибудь (линейные) изометрии
А+: D± -> D+, определим
Л±: = ехр• ф±- А±¦>(ехр |
Эти отображения являются диффеоморфизмами D+ на некоторые
замкнутые области W+ в М — замыкания компонент связности
М-М*; M = W+\JW- и W+(]W- = M*. Положим
g: = (h+15й-1)-1 • (k-1S"-1): S"-1 -+S"-1,
f:=(exp\dDJ*.g.(exp | dD+): dD+ -+ dD+,
продолжим / до гомеоморфизма F: D+-*~D+ «по радиусам», т. е.
посредством формул
F@) = 0, FF) = ?|E|/(«6/2|6|) при 1Ф0,
и определим, наконец, h: Stt-*~M как
h [ Я_: = h., h | Я+ := Л+ • (exp | D+) = F. (exp | D+).
112 Гл. 2. Теория Морса — Люстерника — Шнирельмана
После сказанного все утверждения из 2.3.8 становятся доста-
достаточно очевидными. Заметим только, что если взять на М возле q+
карту ((ехр • А+1 A+4J+)-1, exp U+), а на S" возле /э+ карту
((ехр | A+U+)-1, ехр{A+U+)) (при этом мы отождествляем Tp+S"
с R"), то (если считать U'+ малым шаром с центром в нуле)
h(exp{A+4r+))c:expU'+,
и соответствующее локальное представление для h имеет вид
х «—»¦ F (х). Поэтому утверждение об условии Липшица для h
следует из того, что F удовлетворяет условию Липшица (см. ниже),
а для hr1 оно следует из того, что F~x получается путем про-
продолжения «по радиусам» дифференцируемого отображения
f-1: 3D+->-dD+ и потому задается посредством формул, аналогич-
аналогичных формулам для F. При проверке условия Липшица для F,
чтобы не иметь дела с несущественными множителями, перейдем
к эквивалентному вопросу для отображения Ф: D"->-D'1 (где /> —
единичный шар в R" с центром в 0), задаваемого посредством
формул
Ф@) = 0, Ф(х) = |х|<р(*/|лс|) при
где ф —некоторый диффеоморфизм сферы Stt-1 = dDn. Стандартное
вычисление показывает, что при хфО
.y = <p{x/\x\)(x/\x\, y) + <f'(x/\x\).(t/-(x/\x\, y)(x/\x\))
(ф' (х/\ х |). z определено только для г, касающихся S"-1 в точке
х/\х\; но у — (х/\х\, у)х как раз и принадлежит к числу таких г).
Отсюда ясно, что существует такое L, что \D<$>(x)\<.L при всех
х=фО. Если прямолинейный отрезок, соединяющий х и у, не
проходит через 0, то
1 1
Ф(у)-Ф(х)= 5 ~Ф(х + Цу-х))си= \ DQ>(x + Hy-x)).{y-x)dt,
откуда \Ф(у)~O(x)\^L\y — x\. Далее, если уФО и е>0, то
\®{y)-®(&y)\^L\у-еу\, откуда \Ф(у)\^Ь\у\. Наконец, если
прямолинейный отрезок, соединяющий х и у, проходит через 0,
то
но в этом случае \у — х\ = \у\ + \х\. *
Используя 2.3.8, легко доказать следующую теорему (см.
Клингенберг [7]):
2.3.9. Теорема. Пусть риманово многообразие М гомеоморфно
S", и пусщь его кривизна К (во всех точках и по всем двумерным
2.3. Замкнутые геодезические на сферах 113
направлениям) удовлетворяет соотношению
(t) /Co/4</t=s?/Co
с некоторым /Со>0. Тогда на М существует п замкнутых
геодезических без самопересечений, длины которых лежат в интер-
интервале [2n/VKo, 4nlVKo [• "
Доказательство. ± Отображение Л, о котором говорится в 2.3.8,
и обратное отображение /г1 удовлетворяют условию Липшица,
так что они переводят абсолютно непрерывные кривые снова
в абсолютно непрерывные кривые. При этом при почти всех t
норма вектора скорости может самое большее умножаться на
константу Липшица; значит, если cezH1^, Sn) и de=#x(S, М),
го h-ce=:Hl{S, M) и hri°deB.H1(S, Sn), так что возникают ото-
отображения
Ah: AS"-+AM, c^-*-h°c,
и
Ah-1: AM-+AS», d^-h^-d,
очевидно, обратные по отношению друг к другу. Ниже мы про-
проверим, что в нашем случае они непрерывны и, следовательно,
являются гомеоморфизмами. После факторизации по действию %
группы 0B) получаются взаимно обратные гомеоморфизмы
ГОг1: ILW->ILS«.
При этом ясно, что
ПЛ (UeS") = ЩМ, Uh (USn - neS") = UM - ПеМ.
Поэтому, хотя h — не обязательно диффеоморфизм*', мы можем
воспользоваться теоремой 2.3.7. Очевидно, в ней условие
hr (TSn) cz Пи* — можно заменить условием, чтобы относительные
циклы ftr* {0, q\, q = 0, ..., л—1, были гомологичны относитель-
относительным циклам г0, ..., гп-ъ носители которых лежат в Пк*— М.
Мы как раз и покажем, что при х* = 8п'/Ко можно построить
такие zg. Отсюда будет следовать, что на М существуют л раз-
различных (как элементы 1Ш) замкнутых геодезических длины
< 4jt/|//@. А тогда из 2.3.8 будет следовать утверждение теоремы.
Опишем, как строятся относительные циклы г,-.
Рассмотрим сначала более простой вопрос о циклах много-
многообразия /ir([0, л—1]). Из 2.3.8 следует, что большие круги,
проходящие через р+ и /?_, переходят при отображении h в кри-
кривые длины <4n/j/7Co- В 2.3.8 ничего не говорится о значении
*' По крайней мере в 2.3.8 не утверждается, что ft—диффеоморфизм.
Диффеоморфность 5я и М доказана при более сильных ограничениях на
кривизну (см. Громол, Клингенберг, Мейер [!}).
114 Гл. 2. Теория Морса — Люстерника — Шнирельмана
Е (ЛГС) для с е= [0, п — 1], поэтому неясно, будет ли Лг([0, п — 1 ]) с
сП4'-. Но можно на линиях Лгс, се[0, и— 1], перейти к пара-
параметризации, пропорциональной длине дуги. Этот переход можно
осуществить так, что при этом многообразие Лг([0, л—1]) под-
подвергнется некоторой непрерывной деформации (см. 1.3.12 и заме-
замечание перед 2.2.6), а следовательно, циклы hr*[0, q] заменятся
гомологичными им циклами. Носители последних уже содержатся
в П**-. *
Так как не ясно, будут ли при отображении h образы всех
окружностей, параллельных некоторому большому кругу из
[О, л—1], иметь длину <4л/]/7Со, то мы заменим цикл {0, я —1}
следующим гомологичным ему циклом. Каждая отличная от
точки окружность из {0, я—1} пересекает экватор S*"-1 ровно
в двух точках qx и цг (и однозначно определяется ими). Заменим
эту окружность замкнутой кривой, составленной из двух поло-
половинок больших кругов, соединяющих точки р_ и р+ и проходящих
через qx и q%. Окружности, вырождающиеся в лежащую на
экваторе точку q, заменим кривой, состоящей из двух половинок
большого круга, соединяющих точки р_ и р+ и проходящих че-
через q сначала в одном, а потом в другом направлении.
дЭту замену можно осуществить посредством некоторой гомо-
топии
(•) /,: «О, л-1}, {0, я-1}°)->(П5«, neS«)
({О, л—1}° —множество одноточечных окружностей из {0, л— I}),
которую мы сейчас опишем. Обозначим через c9l9l окружность
из {0, л—1}, проходящую через точки qx и q2 экватора S**-1.
Пусть с^?2 — ортогональный ей большой круг, идущий из р+. в р_.
Окружности s9l9, и c'9l9, пересекаются в двух точках; из них
ближайшую к р+ обозначим через r+(qx, q2), а другую (ближай-
(ближайшую к р-) — через r-(qlt q^). (Когда в некотором рассуждении qx
и <72 фиксированы, будем писать короче г+, г_.) Если q1 = qi = q,
то r+ = r- — q, а если точки ,lf ^диаметрально противоположные,
то г+ = р+, г- = р- Пусть r+(s) = r+(q1, q2, s) — точка на б'Ч1Ч„
расположенная на дуге г+р+ этого большого круга (той из двух
дуг с этими концами, которая короче) и отстоящая от г+ на s-ю
долю длины этой дуги. Аналогично определим r~(s) = r-(q1, q2, s).
Олределим fs{Cgtq,) как кривую, состоящую из двух дуг окруж-
окружностей, из которых одна идет из ri(s) в r2(s) через qlt а вторая —
из rz(s) в ri{s) через q2, и параметризованную пропорционально
длине дуги. Отметим, что определение cMt и is(cqiq^ не зависит
от того, какую из точек qlf q2 мы считаем первой, а какую —
ВТОрОЙ (Т. в. Cqiq2 = Cqiqi И fs(S9t9,) = fs(Cql9l)), ТЭК ЧТО МЫ ДвЙСТ-
вительно построили семейство отображений fs: {0, п — 1} -> П5",
очевидно переводящих {0, п —1}° в UqS". При этом, _как уже
отмечалось, длины всех кривых Itt-^c) меньше 4n/)/Xo-
2.3. Замкнутые геодезические на сферах 115
Проверим непрерывность fsE) по (с, s). Если Яг — Яг — Я,
s = 0, то при всех q'u q'q, достаточно близких к q, и s', доста-
достаточно близких к 0, кривая /«-(с^/) целиком содержится в малой
окрестности точки q на S". Но она состоит из двух дуг окруж-
окружностей и, целиком умещаясь в малом шаре, должна иметь малую
длину, а ее параметризация пропорциональна длине дуги, так
что ^? (/s'(?fff<7j)) тоже мало; поэтому нетрудно убедиться, что как
элемент IIS" она лежит в малой окрестности одноточечной кривой
fn(cgg). Если ЯхФЯг или s#=0, то две плоскости, проходящие
соответственно через точки qlt r+(qu q2, s), r-(qlt q2, s) и q2,
r+(qi, Яг, s), r-(qlt q2, s), дифференцируемо зависят от (qlt q2, s),
равно как и лежащие в этих плоскостях центры окружностей,
проходящих через указанные точки. Обозначим через cqtqs(s)
параметризованную и ориентированную кривую, получающуюся
при обходе с постоянной скоростью дуг этих окружностей в таком
порядке: сначала r+(s)<7ir_(s), затем r_ (s) q2r+ (s). Из сказанного
выше ясно, что cqiqi (s) (t) дифференцируемо зависит от (qlt q2, s, t)
на множествах
{(Яг, Я2, s); ЯгФЯг или s^O} х[0, 1/2] и {те же (qu q2, s)} x[l/2, 1]
(по отдельности) как точка R"+1, а стало быть, и как точка 5я.
Непрерывность же по этим аргументам имеет место на всем мно-
множестве S*"-1xS*"-lx[0, l]x[0, 1].
При фиксированных qlt qit s (qi^qt или s^O) из 1.3.7
следует, что, когда q\, q'it s' достаточно близки к qu q2, s2,
I (Яъ Я*< s'. О := (ts« •' exp •)-! (cMt (s) (t), cv% (s') @)
непрерывно зависит от своих аргументов, дифференцируемость
же имеет место отдельно при 0«gif==sl/2 и при l/2sg/s?l. Но
1(Яг, Яг, s, t)=0 при всех t. Значит, если (][-*• qlt qi-^qit s'-*-s,
то |->-0 даже в С^норме на отрезках 0^/^1/2 и 1/21
а тем более в //х-норме на [0, 1]. Наконец, поскольку
то fsCqiqt непрерывно (в топологии пространства П5Я) зависит от
(<7ь Яъ s), т. е. от (c9ig,, s).
Итак, мы действительно построили гомотопию (#), для которой
/о совпадает с тождественным вложением, а длины всех кривых
Uh'f1(c) меньше 4n/YKe- После этого с помощью некоторой
гомотопии gr: 1Ш->1Ш перейдем к параметризации, пропорци-
пропорциональной длине дуги (см. 1.3.12 и замечание перед 2.2.6). Полу-
Получится, что при всех ее={0, п — 1}
116 Гл. 2. Теория Морса — Люстерника — Шнирельмана
gr (ПбМ) с ПеМ (ведь накрывающая гомотопия gr в AM сохра-
сохраняет орбиты 0B) и SO B), и если у с эти две орбиты совпадают,
то и у grc — тоже).
Для завершения доказательства нам надо проверить непрерыв-
непрерывность отображений Ah и Л/г1. Воспользуемся замечанием 1
в § 1.2 между 1.2.9 и 1.2.10. На S" возьмем атлас, состоящий
из двух карт: (ф, 5я — р+), где ф строится с помощью стереогра-
стереографической проекции, и
(**) ((ехр | А+ЧГ+)-\ ехр (А+ЧГ+))
(см. обсуждение 2.3.8), а на М — атлас, состоящий из двух карт:
и
(***) ((ехр • А+1 А+ЧГ+)-1, expU'+).
Если е, се AS", е->с в AS" и с(Д) с S" — р+, то при е, доста-
достаточно близком к с, корректна запись ф ¦> (е | Д), и ф°(е|Д)-»-ф«(с|Д)
в Я!(А; R"). Но ч>.А.(в|Л) = ф.(в|Л), q>°h°(c\Д) = ф.(с|А), так
что я|3"((ЛЛ.е)|А)->я|з»((ЛЛ.с)|А) в Я1 (A; R"). Если, наоборот,
е, се ЛУИ, е->с в ЛУИ и с (А) с М — ^+, то точно так же заклю-
заключаем, что
Ф. ((Ah-1. е) | Л) -> ф . ((Ah-1. с) | Л).
Остается проверить, что делается в картах (**) и (***). Очевидно,
все сводится к следующему утверждению.
Пусть {/ — некоторый открытый шар в R" с центром в О,
а /: S"-1 ->¦ S"-1 — некоторый диффеоморфизм. Определим гомео-
гомеоморфизм F: U->U посредством формул
F@) = 0, F(x) = \x\f(x/\x\) при хфО.
Ниже через L обозначена его константа Липшица (см. конец
обсуждения 2.3.8). Ясно, что под действием F кривые из
Я1 (A; U) = {x: A-+U; xe№(Ai R»N
переходят снова в кривые из Я1 (A; U). Утверждается, что если
у->х в Я1(А; U), то F°y-+F*x в Я1(А; U).
Пусть C = {t; x(t) = O} (не исключается, что С—ф\ тогда,
конечно, значительная часть последующих рассуждений, оставаясь
формально правильной, становится бессодержательной). Ясно,
что \F>y — F»^|oo->-0 при Цл: —i/|oo->0, так что надо доказать,
что |(F.у)--(/>•*)• к-»-0, когда j->* в Й'(А; U).
Для любого е>0 имеется такое fi>0, что если множество В
измеримо и mes В < б, то § | х (t) |2 dt < е. Существует такое откры-
в
тое множество G^>C, что mes(G — C)<fi. Ясно, что некоторая
2.3. Замкнутые геодезические на сферах 117
р-окрестность ?/р(*(Д — G)) не содержит 0 и F\U(t(x(A — G))
является диффеоморфизмом. Пусть \у — xja, столь мало, что
у (A — G)czU(>(x(A — G)); если (еД-G и существуют x(t), y(t),
то
где Ci — некоторая константа (зависящая, вообще говоря, от G
и р). Следовательно, когда у-*-х в Я1(Д; С/), то
д—о
Пусть B = G — C, так что mesB<8. Имеем
поэтому
UiJF-yY
в
В итоге
Наконец, ясно, что если в неизолированной точке t множе-
множества С существует х (t), то х (t) = 0. Но таковы почти все точки С.
Значит, для
C' = {t; t<=C, x(t) определено и =0}
имеем mes(C — С') = 0, так что вместо \ можно рассматривать \.
с с
А если .?(?) = 0, то из условия Липшица следует, что (F>x)'(f)
существует и = 0. Остается только интеграл
с с с
Окончательно получается, что
Tim \ | (F - у)' - (F. х)' |а dt < 4L2e.
А так как е произвольно, то этот предел равен нулю. D
118 Гл. 2. Теория Морса — Люстерника — Шннрельмана
Замечание. В этом параграфе для построения подчиненных
гомологических классов мы использовали подпространство TS"
пространства IIS"; элементами этого подпространства являются
окружности. Аналогично при построении подчиненных гомологи-
гомологических классов других симметрических пространств ранга 1 (т. е.
проективных пространств над комплексными числами, кватерни-
кватернионами и числами Кэли) можно также воспользоваться некоторыми
подпространствами окружностей в П. Подробности можно найти
в работах Клингенберга [2] и [6].
Примерно таким способом Элиассон [1] построил подчиненные
гомологические классы многообразий Грассмана GB, л—1).
2.4. Теория Морса на А/И
В этом параграфе мы подробно изучим поведение потока
Ф^: АМ->-ЛМ в окрестности критической точки.
Для того чтобы получить полную картину происходящего и
изучить топологию пространства AKmodA>{- в том случае, когда
к — критическое значение функции Е, надо предположить, что
лежащие в Е-1 (к) критические точки образуют невырожденное
критическое подмногообразие. Тогда, так же как и в случае
функции, которая определена на евклидовом многообразии и кри-
критические точки которой образуют невырожденные критические
многообразия, на пространстве AM можно построить теорию
Морса.
Заметим, что у нас имеется некоторая особенность, связан-
связанная с наличием действия группы 0B) на AM. Это обстоятель-
обстоятельство приводит к построению эквивариантной теории Морса.
В первую очередь мы определим индексную форму *' в кри-
критической точке с е= AM функции Е. Так мы теперь назовем гес-
гессиан D2E(c) этой функции (зг). Вычислим D2E (с). Пусть I, %' —
элементы из ТСАМ. Рассмотрим такое дифференцируемое отобра-
отображение
к: [О, 1]2->АМ, (s, s')-*k(s, s'),
что к @, 0) = с, (dK/ds)(O, 0) = |, (дк/ds') (О, О) = ?\ Тогда
@, O))/dsds'.
Чтобы получить выражение для D2E(c) в явных терминах,
напомним некоторые формулы из римановой геомерии на М (см.
Громол, Клингенберг, Мейер [1]).
Определим сначала отображение
к: [0, i
*' Автор часто говорит о «форме» там, где для многих читателей более
привычным был бы термин «функционал».
2.4. Теория Морса на ЛМ 119
полагая k(s, s', f) = K(s, s')(t). Здесь к то же, что и выше. Тогда
(dK/dt)(O, О, f) = c(t). Положим
{дк/да){8, s', t) = l(t\ s, s'), (dK/ds')(s, s\ t) = l'(t; s, s'),
(dic/dt)(s, s', t) = c(t; s, s').
Если к дифференцируемо, то можно показать, что*'
(i) V(Vn0-c@M@ =
= R (I @, с (t), V (t)) + V (Vg' (t). I (t)). с @.
Кроме того,
(R(l(t), dc(t), V(f)), dc(t)) = -(R(t(t), dc(t), dc(t)), g'@>.
/? (g, 5c, g') = - К Ec, g, g'), (R (g, 5c, g'),. dc> = <i? (g't «c, g), 5c>.
Если с е СгЛ, то для g, g' e ТСЛ положим
(ii) ^ (g, 5c, g') @ := R (I (t), dc @, g' @).
Rca)(t):= R(g(/). 5c@,
Используя ковариантную производную Vao на расслоении
a°: НЦНЧЭ, M)*TM)-^H1(S, М), из (i) и (ii) получим
(i)' Va. (Vg'). g = R (g, ас, Г) + V (VaOr . I),
(ii)' <-R (I, dc, g'), dcH = - <& (I), |')o,
Ag' в левой части (i)' рассматривается как векторное поле ?' =
= ?'(s) вдоль кривой с': [О, 1]->ЛМ, c'(s) = k(s, 0) (имеющей
касательный вектор ?(s)), а Vg' —как сечение расслоения а0 вдоль
той же кривой; в левой части (i)' стоит ковариантная производ-
производная этого сечения вдоль этой кривой. При фиксированном s
(в конечном счете нам нужно s = 0) значение этого сечения есть
некоторый элемент из H°(c{s)* TM). Значение последнего в точке
*' В (i) V имеет несколько иной смысл, нежели в § 1.1, и обозначает
ковариантную производную векторного поля вдоль отображения к (Громол,
Клингенберг, Мейер [1]). Более привычным образом (i) можно записать так:
Я (Б. c)g'-Vi6'~W
(справа могут также стоять знаки V/ds = V|, V/3/=V.; R—тензор кривизны;
член с V|g( s, где [•, •] —скобка Ли, пропадает, ибо [|, с]=0, и оттого
не выписан). Хотя у 4. V и с указан только аргумент t, в (i) подразуме-
подразумевается их зависимость также и от s (другое дело, что после выполнения
дифференцирований можно положить s = 0). Напротив, s' можно с самого
начала считать равным нулю, —его роль исчерпывается тем, чтобы обеспе-
обеспечить продолжение ?' на ненулевые s.
120 Гл. 2. Теория Морса — Люстерника — Шнирельмана
t e S дается левой частью (i). Аналогично интерпретируется пра-
правая часть (i)'.
Очевидно, Rc можно рассматривать как ограниченный линей-
линейный оператор в Н°(с*ТМ) или Я1 (с*ТМ). Это разные операторы
(хотя по понятным причинам они и обозначаются одинаково;
ср. с A8), б)). Первый из них, согласно второй из формул (И)',
является самосопряженным. Чтобы понять, что следует из этой
формулы для второго оператора, перепишем ее так:
где, как и в A8), б), к Я1 (с*ГМ)-»- Я0 (с*ТМ)- естественное
вложение. Отсюда
Иными словами, в fP^TM) самосопряженным является опера-
оператор l*tfte. *
2.4.1. Лемма. Пусть с —критическая точка функции Е на
многообразии AM. Тогда индексная форма ОгЕ (с) представляется
в виде
R Г)о-
Доказательство, се С00E, М) ввиду 1.3.11. Доказываемую
формулу достаточно установить для |, ?'eC°°(S, M), ибо обе
ее части непрерывны по |, \' в топологии ТсАМ*=Нг{с*ТМ).
Если I, g'eC30(c*TM), то рассмотренное выше отображение к
можно взять дифференцируемым, и тогда заведомо справедливы (i)'
и (и)'. Но DE(c').l' = (дс', V?')o (с' то же, что и выше),
D(dcr, v&V?=<vaod(c').?, vr>0+<ac', va,(vg').iH.
Здесь Vaod (с'). | = Vg (см. 1.3.5" и последующее обсуждение),
а Vao(Vg').| можно выразить согласно (i)'. Поэтому
D(dc', vr>0.6U-<V6, Vg'>, + <do, Ve.(V6').g>.«
Но при s = 0 последнее слагаемое равно нулю, так как DE (с) = 0.
С помощью (ii)' получаем требуемую формулу. ?
Пусть с — критическая точка функции Е на AM. С помощью
формы D2E(c), как:обычно, определим самосопряженный опера-
оператор Ас: ТСА-**ТСА, полагая
(АЛ, Г>1-<6, АЛ')г = О'Е(с)A, Г).
2.4.2. Теорема. Оператор Ас имеет вид
Лс = id + Лс,
2.4. Теория Морса на AM 121
где kc=* — A — V8)-1 °(Кс+1) — компактный оператор, характери-
характеризующийся равенством
^Замечание. В A8), б), с различных точек зрения рассмотрен
оператор A —V2)-1 (на самом деле, как там отмечено, этим сим-
символом могут обозначаться различные операторы). Сейчас мы будем
рассматривать A —V8)-1 как оператор i*i в Н1(с*ТМ); при этом
Кс тоже будем рассматривать как оператор в Нг(с*ТМ). Это
согласуется с приведенной в 2.4.2 характеризацией kc.A
2.4.3. Следствие 1. Либо оператор Ас имеет лишь конечное
число собственных значений, среди которых есть 1, либо собст-
собственные значения образуют ограниченное счетное бесконечное мно-
множество, единственной предельной точкой которого является 1.
Каждое собственное значение, кроме 1, имеет конечную крат-
кратность. Любой элемент из ТСАМ аппроксимируется линейными
комбинациями собственных векторов. Пусть
ТСАМ = Тс AM + ГСАМ + ПАМ
— ортогональное разложение касательного пространства ТСЛ на
подпространства, натянутые на те собственные векторы опера-
оператора Ас, У которых собственные значения соответственно <0,
= 0 и >0. Тогда размерности dim Т;ЛЛ1 и (ПтГЦЛМ конечны.
Числа dim Те AM и dim Т°САМ — 1 мы назовем соответственно
индексом и дефектом геодезической с и будем иногда обозначать
indo и nulc.
Доказательство. ± Оператор Ас, а значит, и Ас — id есть само-
самосопряженный оператор в W^TM). Тот факт, что ((&+1)?> ?')о,
где |, V е Я1 (с*ТМ), можно записать в виде <A — V*)—*-
'(Re+l)l> i'}i> соответствует упомянутому выше определению
A — V2)-1 как i*i. В связи с (и) уже отмечалось, что оператор
i*iK самосопряжен. Оператор i*i, конечно, тоже самосопряжен.
Отсюда ясно, что
Компактность kc следует из доказанной в A8), б), компактности
i*i. (Она является проявлением общего факта — компактности
обращения эллиптического дифференциального оператора, в дан-
данном случае — оператора 1 —V2.) А
Следствие 1 является вариантом хорошо известного утвержде-
утверждения о самосопряженных операторах, которые имеют вид «тожде-
«тождественный оператор плюс компактный оператор». ?
122 Гл. 2. Теория Морса — Люстерника — Шнирельмана
2.4.4. Следствие 2. Собственные векторы оператора Ас, отве-
отвечающие собственному значению leR, являются периодическими
решениями дифференциального уравнения
Доказательство. Если 1 е Я1 (c*TM) и АС1 = Х%, то ввиду 2.4.2
(Х- 1I A^
Отсюда следует, что Ъ,^.С°(с*ТМ) (когда c^.C°{S, M), опера-
оператор A — V2)-1 повышает гладкость, см. A8), б), и если уже из-
известно, что ^еС(с*Щ,-а при г —0 это так, ибо Я1 с: С0,—
то $е=Сг+*(с*ТМ)).
Итак, собственные векторы Ас дифференцируемы. А тогда (*)
есть другая запись для АС\ = Ц,. П
Назовем замкнутое дифференцируемое подмногообразие В мно-
многообразия AM критическим, если Е | В = const, В замкнуто отно-
относительно действия х группы S и целиком состоит из критических
точек функции Е.
Заметим, что критические подмногообразия компактны. При-
Примерами критических подмногообразий являются:
(i) орбита критической точки под действием х группы 0B);
(и) множество одноточечных кривых Л°М, см. 1.4.6 *К
2.4.5. Предложение. Пусть В — критическое подмногообразие
многообразия AM. Тогда касательное пространство ТСВ подмно-
подмногообразия В в точке се Б принадлежит ядру**) Т°СА индексной
формы D2E(c).
Доказательство. Пусть | е ТСВ и т) е ТСА. Нам надо пока-
показать, что D2?(c)(l, ri) = 0.
Для того чтобы в этом убедиться, рассмотрим такое диффе-
дифференцируемое отображение
/с: [О, 1Y-+AM, к: (г, s)>-*K{r, s),
что
«(О, 0) = с, к (г, 0)сВ, (дк/дг)(О, 0) = |, (dK/ds)(O, 0) = т).
*' Хотя действие %: S X ЛЛ! -*¦ AM недифференцируемо, но, когда с е
е С°° (S, М) (в частности когда с е О Л), отображение г *—*¦ % (г . с) —
класса С00. Это обеспечивает гладкость В в (i). Гладкость ЛаМ устанавли-
устанавливается по ходу доказательства 1.4.6.
**• В оригинале «null-space». В отечественной литературе наряду с «яд-
«ядром» используются термины: дефектное или изотропное подпространство,
нуль-пространство. Все они имеют также и другие значения. Мне кажется,
что для «ядра» опасность путаницы всего меньше.
2.4. Теория Морса на ЛМ 123
Тогда
|Я(к(г, 0)) = DE(K(r, 0)). {дк/дзЦг, 0) = 0.
Дифференцируя по г, заключаем, что
o. ?
Заметим, что если с — произвольная замкнутая геодезическая,
не вырождающаяся в одну точку, то, так как оиа является
частью 1-мерного критического подмногообразия %(S, c) = S.c,
ядро оператора Ас содержит ненулевой вектор дс. Поэтому дефект
с и был выше определен не как dimT?AM, а как ИтТ^АМ — 1.
Если для всех элементов с критического подмногообразия
В индекс с постоянен, то мы будем называть это число индексом
В. Аналогично если дефект индексной формы D2E (с) одинаков
для всех сеВ, то мы назовем его дефектом В.
Если критическое подмногообразие В имеет определенные
индекс и дефект, причем дефект В совпадает с размерностью В,
т. е. при всех сеВ выполняется ТСВ = Т?Л, то В называется
невырожденным критическим подмногообразием.
Если с —замкнутая геодезическая и если орбита S.c невы-
рожденна, то с называется невырожденной замкнутой геодезической.
Это эквивалентно тому, что дефект с равен 0, или тому, что
дефект индексной формы D%E(c) равен 1.
2.4.6. Предложение. Л°М — невырожденное критическое под-
подмногообразие индекса 0.
Доказательство. Полагая в 2.4.4 с=const и, следовательно,
/Се = О, получим
Это уравнение не имеет нетривиальных периодических решений
при Я<0. Поэтому индекс Л°Л1 равен 0. При Я = 0 периодиче-
периодическими решениями являются только решения вида ? = const.
Следовательно, Т°САМ=>ТСА°М. ?
В качестве подготовки к основной теореме Морса рассмотрим
риманово векторное расслоение с действием группы ОB)**К Так
мы будем называть векторное расслоение
ц: N-*B,
*» Что является обыкновенным дифференциальным уравнением
в ТСМ.
**' Автор пишет короче: OB)-vector bundle. Однако обычно термин
G-расслоение означает другой объект—расслоение со структурной группой G,
124 Гл. 2. Теория Морса — Люстерника — Шнирельмана
которое имеет своей базой компактное многообразие В, а стан-
стандартным слоем — гильбертово пространство и которое снабжено
некоторой дополнительной структурой. Во-первых, на расслоении
задана риманова метрика, которую мы, имея в виду последующие
применения, будем обозначать через (•, -)i (см. § 1.1). Во-вто-
Во-вторых, задано такое непрерывное действие группы 0B)
X: 0B) XN-+N,
что при каждом as О B) отображение %?—%(% •): N-+N
является изометрическим отображением расслоений.
Отсюда следует, что 0B) действует также и на В, причем
проекция ц и нулевое сечение ci—¦Ос, cefi, 0c^N, эквивари-
антны.
Для а>0 через D8|i будем обозначать ассоциированное с ц
расслоение на шары радиуса е расслоения ц (короче будем гово-
говорить о расслоении на е-диски). Через D\l будем обозначать рас-
расслоение на (открытые) единичные шары расслоения ц. Предпо-
Предположим, что задана дифференцируемая инвариантная функция
Е:
Функцию Е мы назовем функцией Морса, если нулевое сечение
(отождествляемое с В) является невырожденным критическим
подмногообразием функции Е, индекс которого k&zO, и если
оператор Ае, соответствующий индексной форме D2E (с), при
любом сев имеет вид «тождественный оператор плюс компактный
оператор».
Ясно, что в этом примере моделируется следующая ситуация.
Пусть В с: AM является невырожденным критическим подмного-
подмногообразием индекса k для энергии Е и Е (В) = х. Пусть ц.: N -*-В —
нормальное расслоение этого многообразия. Оно является рима-
новым векторным расслоением с действием О B).
При е > 0 рассмотрим расслоение на е-диски D8n расслоения ц..
Слой этого расслоения над точкой ceS состоит из таких эле-
элементов l^Nc, что li|i<e. С помощью экспоненциального
отображения ехр связности Леви-Чивита мы можем при достаточно
малом в отобразить ?>8ц на открытую окрестность подмногообра-
подмногообразия В в AM. Вместо ехр мы можем также воспользоваться
введенным в 1.3.7 отображением ехр, ибо | • [х-норма мажори-
мажорирует [ • Цоо-норму, см. 1.2.1.
Тогда функция ?»ехр: De\i-*-R является функцией Морса
расслоения ц.
Теперь мы докажем обобщенную лемму Морса.
2.4.7. Лемма. Пусть ц — риманово расслоение над В о дейст-
действием 0B) и Е —такая инвариантная функция Морса, что
Е\В = 0.
2.4. Теория Морса на AM . 125
Утверждение. Существуют такое е>0, такой эквивариант-
ный послойный диффеоморфизм
и такое эквивариантное дифференцируемое сечение расслоения
L(fi; ц): L(N; N)-*B
B^-L(N; N), c*-+Pc,
что Рс — послойная ортогональная проекция и
Е .ф (I) = |РЛ В -1 (id - Ре) I ||f, с - |i (S).
Замечание. В том случае, когда Б—точка, обобщение леммы
Морса на гильбертовы многообразия было доказано Пале [2], см.
также Дж. Шварц [1]. Для тривиального О B)-действия (т. е.
когда О B)-действие отсутствует) эта лемма была доказана Мейе-
ром [1]. Вассерман[1], [2] доказал лемму в предположении диффе-
дифференцируемого О B)-действия. Однако здесь нам нужен случай
непрерывного О B)-действия. Мы увидим, что доказательства при-
приведенных выше вариантов этой леммы могут быть без особых
усилий перенесены на наш случай.
Доказательство. Чтобы упростить обозначения, мы не будем
специально отмечать тот факт, что, возможно, функция Е опре-
определена только в малой окрестности нулевого сечения расслоения ц.
Ограничение функции Е на Nc можно записать в виде
1
т. е. ?(т)) = \ A — t)-7pE{tvftdt, что получается интегрированием
по частям из ?(т)) = \ -% E(tr\) dt. Тогда
dt
1
ft ft). F, 1'):=\A-ЦО*Е(Щ.& \')dt
о
— эквивариантная симметрическая билинейная форма. (Эквивари-
антность h означает, что А (Ха1»]) • (Ха!» ъЛ') = Ь(ч)(Ъ, ?')• Это
следует из аналогичного тождества с D2?(?t]) вместо ft(t)).)
Так как форма D2(E\Nc)@c) невырожденна, то h (ц) также
невырожденна в некоторой е-окрестности нулевого сечения рас-
расслоения W. Соответствующий форме А(т)) самосопряженный опе-
оператор k(r\) определяется равенством
126 Гл. 2. Теория Морса — Люстерника — Шнирельмана
Наша первая цель состоит в том, чтобы для достаточно малых
е>0 определить на D6(i такое дифференцируемое отображение
т: De\i->~L(n; ц.), которое переводит слой над сеВв слой над
с, эквивариантно *\ значения которого являются обратимыми
операторами и для которого
(k(r\)r\, T)>1 = (fe(Oc)/n(Ti)T), m(i\)i\)i-
Другими словами, мы ищем такое семейство операторов т (т|),
которое удовлетворяет соотношению
где через 0 мы для краткости обозначили (и дальше нередко
будем так обозначать) сечение 0с, а * обозначает сопряженный
оператор.
Рассмотрим оператор l(i\) = k(O)-lk(r\). Если Jti[i достаточно
малое, то он будет близким к тождественному и, следовательно,
имеет квадратный корень, который мы будем обозначать через
т(г\)**К
Для того чтобы показать, что т (г)) удовлетворяет (*), заметим
прежде всего, что из l(i\)* = k(i\)k(O)-1 следует
/(л)** «О-ft @)/ft).
Но т (ц) при 1 / (т)) | < 1 может быть представлен в виде степен-
степенного ряда по A — /(г))), в который разлагается A — A — 1(ц))I/г,
а т(т))* представляется в виде того же степенного ряда по
A —/(т))*). Следовательно, предыдущее соотношение выполняется,
если в нем /(г)) и /(г))* заменить на /п(г)) и /п(т))*, ибо
A-1 (т)))*« k(O) = k @) A -1 (г]))л. Поэтому
т (ri)* k @) т (г)) - k @) т (т)) т (ц) = k @) / ft) = k (ц),
и тем самым соотношение (*) доказано.
Убедимся в эквивариантности т. Ввиду эквивариантности h
а так как %* — изометрия, то 7a = 7a'- Поэтому k эквивариантно
(в том же смысле, в каком мы хотим установить эквивариант-
ность т). При г) = 0 отсюда следует, что &@) ?@)
*' Эквивариантность т означает, что от(Хат|) • Xa?=%a(m(tl)l) или т°Ха =
1
**' Вообще говоря, существует много различных «корней». В данном случае
подразумевается «корень», получающийся при подстановке оператора А вместо л:
оо
в известное биномиальное разложение для Y\ +*: Vl+A= 2 ( ; ) Л1. (Этот
операторный ряд сходится при |Л|<1.) Другую интерпретацию см. в (м).
2.4. Теория Морса иа AM 127
(Иными словами, сi—»- Л @с) есть эквивариантное сечение расслое-
расслоения L(n; (i).) Теперь непосредственно получается эквивариант-
эквивариантность /, затем A—0я и, наконец, всего ряда для т.
При достаточно малом | г\ ^ отображение ф'-1: i\ >—»- %' = т (г)) х\
обратимо. Дифференцируемость этой функции доказана у Пале
[2]*'. Из определения видно, что
Е (Ф' О = h (Ф' (|')). (ф' (V), ф' (V)) = {k (ф' (Г)) ф' (Г), ф' (i')>i =
= <* (<W (!')) m (Ф' (Г)) Ф' (Г), /«(Ф' (Г)) Ф' (Г)>1 =
Так как мы предположили, что k@c) (самосопряженный оператор,
соответствующий гессиану D*E(с) в точке 0с = сеВ) имеет вид
«тождественный оператор плюс компактный оператор», то мы
можем ввести такие новые координаты \, связанные с \' преоб-
преобразованием |' = фA), где ф —некоторое эквивариантное сечение
fiL( ц), и такую ортогональную проекцию Рс, что
Наконец, положим ф'»ф = 'ф. Диффеоморфизм ¦ф искомый, и, сле-
следовательно, лемма доказана, за исключением проверки дифферен-
цируемости Рс, которую можно найти у Мейера [1] **\ П
Замечание. Последнее преобразование координат \' = ф (g) и
ортогональная проекция Рс могут быть получены с помощью соб-
собственных векторов оператора &@с). Если \{ — проекция вектора
|' на собственный вектор ех, собственное значение которого ХфО,
то определим компоненту |х вектора ? = ф~а (?'), полагая |^, =
= уг|^|1?.'> Рс —проекция слоя Л^е на подпространство, натянутое
на собственные векторы, собственные значения которых положи-
положительны. Если кратность собственного значения Я больше 1, то
при любом выборе системы ортогональных друг другу собствен-
собственных векторов, отвечающих Я, ф-1 получается одним и тем же.
Теперь ясно, что эквивариантность ф следует из эквивариантности
сечения ci—*k(Oc) расслоения L(|x; ц).
¦ 2.4.8. Следствие. Предположим, что критическое множество
В = Е~г (х) П СгА многообразия AM является невырожденным кри-
критическим подмногообразием индекса k. Пусть \i: N -> В — нормаль-
*' Дифференцируемость по т) (как в слое, так и вообще в Dt\i) почти
очевидна: на каждом шаге построения определяемые объекты дифференцируемы.
Обратимость ф' (пока она не доказана, <p'~J надо понимать как некий слит-
слитный символ) следует из того, что при t]=0
Дф''101) ¦ ! = « (Л) l + (Dm (т|). I). t)=g + (Dm @). |). 0 = ?.
**' Ссылка на Мейера [1] законна, ибо определение Рс не зависит от дей-
действия 0B) и, следовательно, доказательство, относящееся к тому случаю,
когда никакого действия 0B) нет, годится и для наших целей. См. также (8^), в).
128 Гл. 2. Теория Морса — Люстерника — Шиирельмана
мое расслоение. Тогда при достаточно малых е>0 существует
такой эквивариантный диффеоморфизм ф расслоения Ds\x на шары
радиуса е, ассоциированного с расслоением ц, «а открытую окре-
окрестность подмногообразия В, что
где Рс —эквивариантные послойные ортогональные проекции.
Кроме того, % — изолированное критическое значение Е.
Доказательство. Напомним, что выше мы построили эквива-
эквивариантный диффеоморфизм расслоения D6(i на окрестность множе-
множества В, используя отображение ехр. ?
Следуя Пале [2], фиксируем какую-нибудь дифференцируемую
% R-|R, й Х() 0 l k() l
ду [], фру уу ффрруу
функцию %: R-»-|R, для которой Х(х) = 0 при x^l, k(x) = l при
х <;1/2, причем всюду в A/2, 1) ее производная отрицательна.
С помощью X определим функцию a(s), se[0, 1], как единствен-
единственное решение уравнения X (а)/A +а) = 2 A — s)/3.
Утверждение. Функция а непрерывна и строго монотонно воз-
возрастает на [0, 1]. Она дифференцируема на [0, \[ с производной
а>0. Кроме того, а@) = 1/2, аA) = 1 и если е>0, то из
следует, что и? <; еа (иг/(г + и2)).
Доказательство можно найти у Пале [2]*\
2.4.9. Предложение. Пусть ц: N->¦ В — риманово векторное
расслоение с действием 0B), снабженное эквивариантной ортого-
ортогональной проекцией с*—*-Рс, сеВ, Pc^.L(Nc\ Nc), коядро кото-
которой имеет размерность k. Рассмотрим для некоторых е>0 и
б > 0, Зе < б2, эквивариантные функции
определенные на расслоении на 8-диски ^
Утверждение. Пространство Np:= {|e De|x; F(i)^— e} полу-
получается из пространства NE := {| eDefx; E(|)^ — е} с помощью
*' Положим х=иг/е. у=ч2/е. Надо доказать, что из , y, ^
^—у^— 1 -Ь3/3Я,{х) следует х^о(у/A+х)) (все прочее доказывается доста-
достаточно непосредственно). Прн наших условиях у^1-\-х, так что s: = y/(l-|-*)e
s [0, 1], и неравенство x^o(s) имеет смысл. Если дс^ 1/2, то все ясно.
Пусть l/2<x=gl, так что x = a(s1) с некоторым st e [0, 1]. Тогда
откуда ^sh x=o(s1)aS:O(s).
**' Имеется в виду, что, хотя эти функции определены с помощью напи-
написанных формул на всем N, мы их будем рассматривать только на D
2.4. Теория Морса на \М 129
эквивариантного приклеивания расслоения на ручки Dji-©D|a+,
которое есть прямая сумма (сумма Уитни) расслоений на единич-
единичные замкнутые шары, ассоциированных с подрасслоениями ц- и ц,+,
состоящими соответственно из ядра и образа проекции Р =
= \Рс) *>•
Замечание. Эквивариантное приклеивание расслоения на ручки
Вц-®П]х+ к NE означает следующее: существует такой экви-
вариантный гомеоморфизм h, отображающий D|jr©?)fi+ на замк-
замкнутое подмножество Н пространства NF, что
(i) NP = NB\)H\
(ii) h | dB\r © D(i+ — эквивариантный диффеоморфизм своей
области определения на свой образ ONeOH;
(iii) h | ?)(i" © D\i+ — эквивариантный диффеоморфизм на образ
NF-NB.
Относительно этой теоремы можно сделать то же замечание,
что и после формулировки леммы 2.4.7.
Доказательство. Определим гомеоморфизм h: D\r © Вц+ -> NР,
полагая
h ffi_ +1+) = (га A1.1!) 11+1? + e)V2i_ + (во Q g. g))»^f
где а —введенная выше функция, |_ = (id —Z5)! и |+ = Pg. Имеем
(здесь использовано то, что8/2Я(а(Ц_1?)) = A -||-ЮA
|/>Л(Е-+!*)Е = во(|6_Й)|&.В
Следовательно, ira/i принадлежит множеству
(из этих неравенств следует, что ||?_lisg2e и 11 ff < Зе < б2).
Более того, h является гомеоморфизмом на все Н и /г1 имеет вид
*' Ниже автор называет \i~ и ц+ отрицательным и положительным
подрасслоениями.
Б В. Клингенберг
130 Гл. 2. Теория Морса — Люстерника — Шиирельмаиа
При tj е Н (и вообще при Е (ц) ;э= — е) аргумент у а лежит
в [0, 1], так что написанное отображение определено и непрерывно.
Отсюда же видно, что |(id — Р)Л—ж (т])!* ^s 1 > а то, 4To||Pft-1(T))ii<;l»
доказывается с помощью утверждения, сформулированного перед
предложением 2.4.9. (Надо положить в этом утверждении м = Рг),
и = (id — Р) т|. Его посылки выполняются в силу трех неравенств,
фигурирующих в определении Н.)
Так как а|[0, 1[ дифференцируемо и ЬфО, то h\Dyr®D\i+
дифференцируемо, равно как и hr1\H — dNE. Наконец, для | =
= I- + Е+ е dD]x- © ZV имеем h (I) = (е || Е+1{ + s)v% + е1'2!*, т. е.
h | dDyr ф D\i+ — диффеоморфизм на свой образ
Заметим,- что все приведенные определения и конструкции
эквивариантны. Таким образом, теорема 2.4.9 доказана. П
Теперь мы можем сформулировать основную теорему теории
Морса для функции Е на многообразии AM.
Здесь также справедливы те замечания, которые были сделаны
после формулировки 2.4.7.
2.4.10. Теорема. Предположим, что в Л = ЛЛ1 множество всех
критических точек, принадлежащих Е-уровню к, является невыро-
невырожденным критическим подмногообразием В.
Тогда существует такое e>0, что гильбертово многообразие
с краем *' Лх+е эквивариантно диффеоморфно своему подмножеству,
которое тоже является гильбертовым многообразием с краем и
получается из_ Л*-8 приклеиванием к нему расслоения на ручки
типа O|i" © D(i+. Здесь ц, = ц~ © ц+ — разложение нормального рас-
расслоения (j, подмногообразия В на отрицательное и положительное
подрасслогния. Кроме того, упомянутое подмножество является
сильным деформационным реторактм пространства Лх+е при неко-
некоторой эквивариантной гомотопии последнего.
Доказательство. Из 2.4.8 мы знаем, что существует такой
эквивариантный диффеоморфизм ф некоторого расслоения на
открытые шары D25(i нормального расслоения ц подмногообразия
В, что
Выберем е так, чтобы 0<е<82 и чтобы х было единствен-
единственным критическим значением в ]—Зе + х, и + 3е[. Определим на
*> В этой книге гильбертовы многообразия с краем не вводились, но
необходимые для этого модификации соответствующих определений достаточно
очевидны.
2.4. Теория Морса на ЛМ 131
'.= {e<=AM\ Е(ё)>% — 2е} функцию F, полагая
F (в) = | Я (е) - у Я AР. Ф (е) 1?/е) при е е ФО2вц,
I ? (е) в противном случае.
Если е = ср(|) принадлежит W и F(e)=?E(e), то
поэтому |PSB<e,?(e)<x + eH?(e) = x + |PS|f-|()g|J
>и —2е и, следовательно, || ? [{<4е < 462. Другими словами,
замыкание множества {е е № П фАгаМ*; E{e)=?F (e)} принадлежит
внутренности фОгвМ*» что доказывает дифференцируемость F (на-
(напомним, что F определена только в W).
Отсюда также следует, что {е е №"; Я (е)
F() \
Поэтому из 2.4.9 получаем, что пространство
ЛГ,:={ее1Р
получается из пространства
эквивариантным приклеиванием к нему расслоения на ручки типа
Dp- © Dfi+. Тот факт, что сейчас мы рассматриваем не все
е е D26\i, а только те из них, которые лежат в W, ничего не ме-
меняет. Ведь
NF— NEa {ееф?>8вц; Е(е)>н — е, F(e)<x — e},
и если мы добавим к NF, NE точки из фО2б|х — W (где, стало
быть, Е(е)^к — 2е), чтобы новые Wf и Л^? непосредственно соот-
соответствовали iVf и Ne из 2.4.9, то это не повлияет на NF—NE.
Ясно, что Np cz Л54*8. Далее, критическое подмногообразие В
содержится во внутренности int Np, ибо если сеВ, то ceF и
F (с) = % — 3/2е < х — е. Иными словами, U = int Л> — открытая
окрестность В и, согласно 1.4.8, на iu П (Ли+Е — Ау-Е) функция
| grad E ||i отделена от нуля. Естественно попытаться использовать
для построения эквивариантной деформации Ли+е на Л*"Е U NF
деформацию ys; ср. Пале [2]. ±Для этого прежде всего докажем,
что при достаточно малом б (и любом е ¦< б2)
с некоторым а>0.
Ф^ — траектория поля — grad? в ЛМ, а ф-^ф^-ф в пределах
своего "определения — траектория поля w := — (Гф)-1 grad ? на
Ог8ц. Ясно, что—ш(|) есть градиент функции Е«ф относительно
римановой метрики
{т), I/} := (ТфШ . г), Тф© . т)'>1 при л, т,' е ^Л/
132 Гл. 2. Теория Морса — Люстерника — Шнирельмаиа
на D^\i. Если csB, то 0с — положение равновесия. Согласно C1), в),
«линейное приближение» {Т (ф° Ф* ° ф) I TCN} возле 0с — поток
на T0N, определяемый градиентом гессиана D2 (Е • ф) @с) (как
квадратичной функции на То N) относительно римановой метрики
{-,-}\ToN.
Напомним, что ф = ехр°о|з (если угодно, ехр может обозна-
обозначать и ехр из 1.3.7), где i|j — отображение из 2.4.7; оно имеет
вид ч|з = ф' • Ф, где через Ф сейчас обозначено отображение, кото-
которое в 2.4.7 обозначалось через ф (это есть послойный линейный
изоморфизм). Отметим, что
а отображение Тф'(Ос): T(,cN -*¦ ТСАМ в терминах естественного
разложения T0(,N = TcB@TOcvNc описывается так: оно совпадает
с естественным вложением на первом слагаемом и с /jj"' I To vNc —
на втором. Продолжив Ф на TOcN как Фт] = |а*т] -f Ф • /j^'Ol — ц*т]),
получим, что на То N
г,'),
(мы пишем Ф2 вместо Ф*Ф, поскольку из определения Ф видна
его самосопряженность, но это несущественно). Далее, гессиан
?°Ф легко определяется из того, что Е• ф — квадратичный функ-
функционал на Nc, а на нулевом сечении ?°ф тождественно равно х
(или, если угодно, из известных свойств Ас). Если ije^iV
в соответствии с имеющимися разложениями и отождествлениями
\N = ТСВ ®NC = T°CAN ф Tt
записать в виде г) = тH + 'П++11-. то
Теперь легко найти и соответствующее градиентное векторное
поле на То N. Заметим, что по отношению к скалярному произ-
произведению (Br\, vfrx градиент функции т) •—> (Сц, tj>x = (В (Б-1С) т), ^
равен 2В~К!т\. Поэтому в нашем случае градиент есть 2Ф~гт]+ —
— 2ф-гг]_.
Напомним, что это есть Гш(Ос).т) (ср. (Si), в)). Поэтому
(**) -w (|) = 2Ф-*|+
(Здесь мы рассматриваем 2Ф|+ и 2Ф~2?_ как векторы в Т$Т„ N.
Чтобы убедиться в правильности (**), воспользуемся картой,
содержащей с. При всевозможных с потребуется лишь конечное
число карт, поэтому в (**) оценка о равномерна по c = j.i|e?.)
2.4. Теория Морса на AM 133
Теперь ясно, что
D (F. Ф) A). w (I) = -4 &., Ф-2?+>1 - 4 <?_, ф-25_>х +
+6Я' (s ъ+ we) <g+> Ф-^+>х+о a s в).
(Очень существенно, что, согласно (**), вектор ш(|) направлен
почти по Nj% (с точностью до о (||| |!i)), a D (Е • ф) (?) == О (| | |'х)
(поскольку /)((Я«ф)(|л5) = 0). Поэтому производную D(E°q>)(%).до(|)
с точностью до о (|| g |f) можно вычислять так, как если бы все
происходило в гильбертовом пространстве Nc.) Чтобы получить (#),
остается вспомнить, что к' «^ 0 и что Ф~г — самосопряженный
положительный оператор, спектр которого отделен от нуля.
Докажем теперь, что
(***) если ее NF[) Л*-8, то ф5ее Л/f |_|Л*-е для всех s>0.
Если ее Л"-6 или ее 5, то все ясно. Если e&NF — (S (J Л**-е),
то eeWfTp^Wi; согласно (*), ^(ф5е) убывает, пока ф^е не вый-
выйдет (если выйдет) из W f\ ф^аИ- Пока этого не произойдет,
F (ф5е) е NF. Если ф^е никогда не выйдет из W f] ф?Jвц, то тоже
все ясно. Пусть 8 = 8! — первый момент, когда ф^ ф W П ф^гв^-
Еще раньше, скажем при s = s<t<.Si, ф5е должна будет выйти из
расслоения на ручки (т. е. из NF—NE), а поскольку ySle все
еще лежит в РГрфО2в(А и, значит, все еще принадлежит NF, то
Ф^ееЛ*-8. Тогда ф^ееЛ*-8 при всех s>sjj.
Далее, функция t(e) = rain jseR; ф^е е NF \] Л4-8} = то s, для
которого ф^е е PF и F (ф^е) = и — е, дифференцируема в своей
области определения (которая является открытым множеством *).
Для доказательства этого локального факта достаточно приме-
применить теорему о неявной функции к уравнению относительно s:
Заметим, что функция (s, е) н—»¦ F (ф^е) в своей области определе-
определения (которая является открытым множеством) дифференцируема
по (s, е) и dF(qiseyds<.0. Последнее следует из (*), если ф^ее
*' Мы сейчас рассматриваем q^e как для s^O, так и для s<0. Как
известно (Ленг [1], Бурбаки [1]), если X — дифференцируемое векторное поле
на банаховом многообразии, то для любой точки е этого многообразия сущест-
существует максимальный интервал ]<х(ё), со (е)[ (конечный или бесконечный), на
котором может быть определено решение <Pj? дифференциального уравнения
d<pse/ds = X (<pse), проходящее при s = 0 через точку е, причем любое другое
решение с тем же начальным условием определено на некотором подынтервале
J с: ]<х(е), со (е)[ и совпадает на У с yse. Кроме того, множество {(s, e); ср^
определено} открыто. В нашем случае (Х = — grad ? на AM) <в(е) = со при
всех е A.4.11), но не утверждается, что а(е) = — оо. Однако если
sup ?(ф5е)= lim ?(q>se)<co, то а(е) = оо (ср. с замеча-
() ()l ()
j(), ()l
иием к 1.4.11).
134 Гл. 2. Теория Морса — Люстерника — Шнирельмана
е q>D2e(i П W, и очевидно в противном случае, когда F (q)se) =
= Б (Ф,е).
Из того, что HgradcfjSsaX) на ш П (Лк+8 — Л1*"*), сразу
следует, что за время 2е/аг любая траектория q>sc, с е
е t2f ГКЛ*4"8 —Л*"^8), попадет в Л^и^р. Значит, т определено
и положительно на Лх+е — (Л*-8 U NF). Построение эквивариант-
ной деформации Ф^, ретрагирующей Л4*8 на Л"-8 U NP, теперь
очевидно:
я | Ф«о», если е <= Л*+8 - (Л»1-8 U NF),
\ е для остальных е.
Непрерывность Ф^ следует из того, что т непрерывна ит(е) = 0,
когда
е е= Л*+8 - (Л4-8 U NP) П (Лх-8 U Np) = {с; F (с) = х - к}.
Приступаем к построению эквивариантного диффеоморфизма
ф: л^8 -> Л4-8 U NP. Если е е Л>^8 - (Л4-8 (J iVF), то имеется
не только х(е), для которого ф,(г)ве|? = ч-е}, но и такое
%1(ё)<.0, для которого ?(фТ1(е)е) = и + е. (Ведь из сказанного
ранее следует, что для любого е либо а (е) = — оо и lim ?
S -¦ — оэ
2е, либо lira E ((р$е)'^я + 2в. Но если
s-a<e)
— (Л1*-8 U NF), то d? (ф^/йз ^ — а? с некоторым а>0, так что
в Ли+8 — (Л"~е U Np) нет траекторий с lim ?(ф«е) <х-Ь2е.) При
S-> — 00
этом а (е): = т (г) — тх (е) постоянна вдоль траектории и дифферен-
дифференцируема в своей области определения (состоящей из тех е, траек-
траектории которых проходят через AX+8U (A^U NF)), причем 0<а(е)<
< 2е/аг. Возьмем какую-нибудь неубывающую дифференцируемую
функцию f(t), определенную при всех teR, для которой/' (t) <
<2/3 при всех *, /@ = 0 при <<—2 и f{t) = l при О
Положим
ф (е) = I фа (е>; {аН (е)/28)е ПрИ е ^ ДИ+8 ~ ф7Е/аг
при е
Дифференцируемость Ф следует из того, что уже при е е
ЛЛ*+8)
а?т (е) \ п
—2в J ^ ° И <P°W/(crt(e)/2e>e = e.
Отсюда же видно, что если ф5е при каких-нибудь s попадает
в Лк+е - (Ли-8 U NF), то
Фб = фа (е) f (а*т (e)/2eN.
Биективность Ф следует из того, что под его действием те точки е,
2.4. Теория Морса на ХМ 135
траектории которых не попадают в Лх+е — (Л4-8 U NF), переходят
сами в себя, а все остальные точки Лх+е лежат на положитель-
положительных полутраекториях вида ф^, где Е (е) = % -\- е; такая полутраек-
полутраектория биективно переходит в положительную полутраекторию
?. Действительно,
= фа (е) / (а* (т (е) - s)/2e) + sfit
и при s = 0 выражение в квадратных скобках равно о(е) = т(е).
Наконец, проверим обратимость ТФ (е) в произвольной точке е0.
Пусть so:=a(eo)/(a2T(eo)/2e). В терминах карт (ехр7„\ ^(Со)) и
(ехрф'оСо> °Т(ф8оСо)) и ПРИ достаточной близости (s, е) к (s0, e0)
можно представить ц»^ некоторым отображением
|so-e, 80 + е[хехр7ГТ-'(со)-^ехрф^0Т(ф8оСо), (s,
(уменьшив при необходимости "^ (с0), мы вправе считать, что
Фь-г., ъ + e/l? (to) с= •Т (ф8осо). так что ф (s, |) действительно опре-
определено при всех | е ехрсо161/0 (t0))- Введем обозначение
Тогда Фе при е, достаточно близком к е0, представляется отобра-
отображением W: g i—»- ф (F (^), 1), производная которого равна
OT(i) = Dl9(F(|), t)*DF(i) + D2<i>(F(t), I),
т. е. DW (I). т) = ?Iф (f (g), 1). (DF (I). Л) + D& (F g), |). t,.
Здесь DF (|). т) есть просто число. Если вектор — grad E (е) в карте
A ^()) локально представляется векторным полем X (?), то
Dl4>(F(t), g) =
(что является перефразировкой известного факта, что вдоль каж-
каждой траектории потока задающее этот поток векторное поле
является одним из решений уравнения в вариациях). Итак, мы
должны убедиться в обратимости линейного оператора
г, н- ?)аФ (F (I), |). (г, + (DF (I). ц) X (Е))
или, поскольку О2ф обратим (ведь ф^ при фиксированном s диф-
феоморфно отображает свою область определения), в обратимости
оператора
4
(Зависимость Л от | не отражена в обозначениях. Собственно,
нам надо только 5 = 0, что соответствует е0, но Доказательство
136 Гл. 2. Теория Морса — Л юстериика — Шнирельмана
от этого не зависит.) Имеем
DF ф. Лт) = DF (?). т) + (DF A). т)) (DF (?). X (?)).
. X(i) является локальным представлением для -г
as |s—oL
((fse)) , что, как мы видели, >—2/3. Поэтому
DFit) T1-
и если ? = Лт), то
Пока что мы убедились, что оператор
Dl° ' fe 1+DF (?) -
является корректно определенным ограниченным линейным опе-
оператором, который переводит Аг\ в т), т. е. является левым обрат-
обратным для А. Но непосредственное вычисление показывает, что он
является и правым обратным, так что А действительно обра-
обратим. А р
Замечание. Вообще говоря, может случиться, что критическое
множество, лежащее на ?-уровне и, разлагается на несколько
О B)-инвариантных невырожденных критических подмногообразий,
скажем Blt ,.., Bk. Тогда эти Bi не пересекаются (и находятся
друг от друга на некотором положительном расстоянии). Исполь-
Используя приведенную в теореме конструкцию, можно показать, что Л"*8
эквивариантно диффеоморфно многообразию, являющемуся его
подмножеством и получающемуся из Л*-8 приклеиванием расслое-
расслоений на ручки, каждое из которых соответствует своему В{, Это
многообразие является эквивариантным деформационным ретрак-
том Л1"8.
2.4.11. Следствие. Пусть выполнены предположения теоремы
2.4.10. Тогда Н*(АК, А*-) = Н*-к(В), где k —индекс В. При этом
в случае, когда отрицательное расслоение ц- над В неориенти-
руемо, гомологии берутся с коэффициентами в Zj. В частности,
если В есть ОB)-орбита невырожденной замкнутой геодезической
индекса k, то Я,-(Л*, AX-) = Z2®Z2 при i = k, k-\-\ и 0 в про-
противном случае. Для коэффициентов в Z верно то же самое (с за-
заменой Z2©Za на Z©Z), если цг ориентируемо, в противном слу-
случае Hk(\", A*-) = Z2®Z2 и Н,(А", Л*-) = 0 для остальных i.
Доказательство. Сначала эквивариантно продеформируем Л*4*
в AH-eUft(^"©^)li+) (см- 2.4.10). а Затем воспользуемся тем фак-
2.4. Теория Морса иа ЛМ 137
том, что если 0+ —нулевое сечение расслоения D(i+, то
(*) (дОц~® Оц+) U (D(i-® 0+)
— сильный деформационный ретракт Dfi~@D\i+. (Соответствующую
деформацию можно построить, считая, что при ней каждая точка ?
с 1 Р% к Ф 0 движется по прямой в слое Л^, соединяющей 2РЩ Р\\х
с \, в направлении от \ к множеству (*) и со скоростью, про-
пропорциональной длине отрезка этой прямой от | до пересечения
со (*). Это построение не имеет смысла, если Р1 — 0; точки 1
с Р? = 0 лежат в Dji-®0+ и не должны двигаться при деформа-
деформации. Чтобы убедиться в непрерывности, можно либо задать это
построение явными формулами, либо доказать геометрически, что
при деформации смещение точки 1 не превосходит A^5/2) |fji.)
Это позволяет эквивариантно продеформировать AH^U ft(D(i-©D(i+)
в Л^и л(/)|лг©0+) (напомним, что h переводит в Л4-8 точки
дВ[гфОц+, так что при деформации приклеенных к Л*-8 ручек
те точки, по которым произведено приклеивание, остаются непо-
неподвижными). Следовательно,
где U — произвольная окрестность дВр- (точнее, h ED|x-)) в Л14-*.
Эту окрестность можно выбрать такой, чтобы она стягивалась
на dD\i~ (аналог трубчатой окрестности для подмногообразия —
в данном случае даже компактного подмногообразия — края ЗЛ4-8
многообразия с краем Л*-8). А Поэтому
Нт(Л™, AM-*) — Hm(Dyrt dD\\-).
Справа стоят гомологии пространства Тома отрицательного
расслоения угВ. Изоморфизм Тома дает:
л*-8) = #*.*(?)¦
Наконец, так как Я* (Лх+е, Л*) = 0 и Я„ (Л*-, Лк-8) = 0, то из
точной гомологической последовательности троек (Лх+8, А*, Л4-)
и (Лн, Л"~, Л""8) получаем утверждение следствия (при нашем
соглашении о коэффициентах).
± Особо надо рассмотреть тот случай, когда В — О B). с, цг не-
ориентируемо и группа коэффициентов есть Z. В этом случае
неориентируемы оба расслоения (i~|S.6 и (i-|<S.6.c F — то же,
что в § 2.2), ибо ТВ осуществляет изоморфизм между ними. Таким
образом, все сводится к утверждению о гомологиях пространства
Тома неориентируемого расслоения над S, которое легко дока-
доказывается с помощью подходящего клеточного разбиения, имею-
имеющего 3 клетки: 0-мерную, fc-мерную и (? + 1)-мерную. А ?
Следствием 2.4.10 и 2.4.11 являются обобщенные неравенства
Морса.
138 Гл. 2. Теория Морса — Люстериика — Шнирельмана
2.4.12. Теорема. Пусть числа щ, «х, хо<иг, не являются
критическими значениями функции Е. Предположим, что для
всех лежащих в интервале [ио> %] критических значений и кри-
критическое множество Е~1 (и) (] СгЛ разлагается в невырожденные
О B)-инвариантные критические подмногообразия В с индексом k(B).
Обозначим через bt 1-е число Бетти для Хг-коэффициентов.
Утверждение. При всех /л^О
2 2]2!
1=0 В /=0
и, следовательно,
2
в
Здесь суммы в правых частях берутся по всем невырожденным
критическим подмногообразиям, на которых функция Е принимает
значения, лежащие в интервале [щ, «i]. При достаточно больших т
неравенства превращаются в равенства.
Доказательство. Если интервал [п0, xj содержит только одно
критическое значение, скажем и, то теорема немедленно следует
из 2.4.11, так как в этом случае Н*(А*\ Л*«) = Н*(А*, Л"-).
Пусть теперь на интервале [и0, xj лежат ровно два крити-
критических значения, скажем я и я', и<и'. Докажем теорему в этом
предположении. Общий случай можно доказать с помощью ин-
индукции по числу критических значений.
Из точной гомологической последовательности тройки (Л*1,
A*i/af дхо)( гдеио<«<«1/2<«'<«1, и из равенств #*(A*s Л*1/2) =
= #*(Л*\ Л*'-) и ЯЛА*1'2, Л*) = Я#(Лн, Л»-) получаем (ад)
х, л"-)..
причем это неравенство становится равенством, если
^max{Z; в этой формуле хоть одно Ь/#0}.
Теперь для окончания доказательства теоремы остается при-
применить 2.4.11. ?
2.5. Комплекс Морса
В этом параграфе мы приведем важное уточнение обычной
теории Морса, развитой в § 2.4 для (AM, (¦, -)lf ?>. Оно отно
сится к тому случаю, когда выполняется условие, что все замк-
замкнутые геодезические на М невырожденны, т. е. критические
орбиты S .с, Е(с)>0, являются невырожденными критическими
2.5. Комплекс Морса 139
подмногообразиями. Кажется весьма правдоподобным, однако,
что требуется лишь предположение, что критическое множество
в AM разлагается на невырожденные критические подмногообра-
подмногообразия. Это заведомо так, если М — симметрическое пространство;
мы покажем это в том частном случае, когда М — сфера со стан-
стандартной метрикой.
Основными новыми элементами теории являются неустойчивые
и локальные устойчивые многообразия C4) критической S-орбиты.
При каждом и>0 замыкание неустойчивых многообразий в А*М
определяет комплекс Морса &%КМ C5). Он является каноническим
конечномерным представлением многообразия АКМ в том смысле,
что А*М допускает ретракцию на е?кМ. Комплекс Морса инва-
инвариантен относительно действия % группы S и действия 8 группы 2г,
а также относительно действия, индуцированного группой изомет-
рий многообразия М. Наиболее важно то, что векторное поле
grad Е касается а?кМ и поле grad Е \ еЛ^М полно (т. е. траекто-
траектория <psc при с^оМ^М определена для всех s).
Мы закончим этот параграф детальным изучением комплекса
Мерса для AS".
Пусть с — невырожденная замкнутая геодезическая кратно-
кратности т. Тогда
zt—>zlfm.с, где zeS, а г'м.сеЛМ,
является вложением окружности как невырожденного критического
многообразия S. с в смысле § 2.4. Пусть
— нормальное расслоение этого подмногообразия. Оно разлагается
на положительное и отрицательное подрасслоения, ц = |х+0ц-,
li± = \i±{S.c): N± = N±(S.c)-+S.
Напомним, что в § 2.4 было показано, что действие х группы S
на ЛМ индуцирует действия S на ц,, ц-, которые согласованы
с разложением*'. Кроме того, отображение 8: ЛМ->-ЛМ опре-
определяет каноническое отождествление ц (S . с) с ц, (S . 8с).
Пусть Е | S . с = х и ind с = k.
2.5.1. Теорема. Пусть с — невырожденная замкнутая геодези-
геодезическая. Тогда существуют вложения **'
Wu = Wtt(S.c): (N-(S.c), S)-»(A*M, S.c),
Wt = Wl(S.c): (N+(S.c), S)-+{AM-A»-M, S.c),
*> При наших соглашениях при m > 1 действие S на базе этих расслое-
расслоений отличается от обычного действия S на себе: действие элемента г е S на S,
рассматриваемой как база,—это прежнее действие гт на S.
**' Здесь и далее S при необходимости рассматривается как нулевое сече-
сечение соответствующего расслоения.
140 Гл. 2. Теория Морса — Люстерника — Шнирельмаиа
обладающие следующими свойствами:
(i) Wa и Ws коммутируют с действиями S и Z2*0;
{n)TWa\Nr. N-2-+T;l/mcAM и TWs\Ni: №^Т$/
(в этой записи векторные пространства Nf отождествляются
со своими касательными пространствами в нуле) суть линейные
изоморфизмы, совпадающие с каноническими отождествлениями;
(ш) положим Wa\Nz = Waa(z.c) и Ws\Nt = Wss(z .с). Эле-
Элементы с*, принадлежащие образу Wau(zl/m . с), характеризуются
тем, что Urn q^e* = z1/m . с; элементы с*, принадлежащие образу
s-> — 00
Wss (zl/m . с), характеризуются тем, что lim q>sc* = zl/m . с.
s-»oo
Мы называем Wa(S .с) и Waa(с) соответственно неустойчивым
и сильно неустойчивым многообразиями орбиты S . с и точки с**К
Аналогично, Ws(S.c) и Wss(с) называются соответственно устой-
устойчивым и сильно устойчивым многообразиями S.c и с***' (ж).
Замечание, г. Wаа(с) = Wau(zx'm .с), z. Wss(с) = Wss(г1/т .с),
Шии (с) = Wua (Be), SWSS (с) = Wss (Be).
Доказательство, (а) Так же, как в § 2.4, мы с помощью экспо-
экспоненциального отображения отождествляем тотальное пространство
D = D(S.c) расслоения на достаточно малые шары, ассоцииро-
ассоциированного с (i(S.c), с трубчатой окрестностью орбиты (S.c).
В 1.4.13 мы определили эквивариантное векторное поле и на AM,
которое Ф 0 вне АйМ (ибо « Ф 0 вне А°М) и ортогонально полю
grad E. Кроме того, и = — дс, если с — критическая точка функ-
функции Е.
Следовательно, в базисной точке z поле и касается S. с и
ортогонально слою Dz расслоения D над точкой г. Поэтому если
*> Короче говоря, они коммутируют с действием 0B). Утверждение
о действии элементов 0B)— SO B) подразумевает, что мы одновременно рас-
рассматриваем S . с и 6 . S . с; впрочем, если мы уже построили Wu (S . с), комму-
коммутирующее с действием S и обладающее свойствами A1), (Ш), то W,, F . S . с)
можно определить как 6« Wu (S . с) ° (Тв [ N~ (в . S . с)). Аналогично для Ws.
**' Хотя эта «точка» (подразумевается точка пространства AM) и является
геодезической линией, нежелательно говорить об «устойчивом многообразии
геодезической а, ибо применительно к геодезическим «гиперболического» типа
за этим словосочетанием уже п рочно установился совершенно другой смысл
(см. 3.3.5).
***> Чаще эти названия применяют к образам этих отображений. Клин-
генберг тоже следует этому обычному словоупотреблению, когда говорит, на-
например, о замыканиях неустойчивых многообразий. По большей части это не
создает опасности путаницы, но в доказательстве теоремы 2.5.1 все-таки лучше
различать отображения и их образы, поэтому в этом доказательстве в обозна-
обозначениях для образов будет использоваться V вместо W. В отличие от W, V
однозначно характеризуются перечисленными в теореме их свойствами (факти-
(фактически одним только (iii)).
2.5. Комплекс Морса 141
выбрать диаметр расслоения D достаточно малым, то и будет
трансверсально слоям расслоения D всюду.
Будем называть горизонтальным пространством T{N в точке
?е Дг(S .с) одномерное подпространство касательного простран-
пространства 7у), порожденное н(?). Мы получаем разложение
где TfN — подпространства вертикального пространства (= каса-
касательного пространства к слою в точке ?), которые параллельны
соответственно Ny (здесь z = ц (|) и подразумевается отождествле-
отождествление T%NZ с Nz).
Вместе с тем мы воспользуемся векторным полем и для введе-
введения в D локальных координат возле точки г0 е S с D (г0 — еди-
единица группы S), отождествляя окрестность точки г0 в D с окрест-
окрестностью начала в Л^о © R 0 Nt,. (Точка (?_, 10,1+) отождествляется
с первым пересечением исходящей из ?-+!+ траектории поля и
с Л'г'^.с, z = e2n%°.)
Так как (grad Е, и)а = 0, то grad Е (I) в точке I = (|_, g0. i+) e
^фКф^ с достаточно малыми ll-d, th-h имеет вид
Здесь ^ = ^!^/«1Д где А := Лг.с: r^cA->^,cA —самосопря-
—самосопряженный оператор, соответствующий D*E(z.c), см. 2.4.2. Таким
образом, А~ — самосопряженный оператор в ^-мерном простран-
пространстве, собственные значения которого строго отрицательны, а А+ —
положительно определенный оператор в настоящем гильбертовом
пространстве.
А Заметим, что существует такое а>0, что
и 1е
(здесь используется самосопряженность А~ и Л+). Выберем Ь,
удовлетворяющее условиям 0 ¦< Ь < а ¦< 2Ь. Положим е: = (а — Ь)/6.
Выберем б>0 столь малым, чтобы при ||iil<6, ||il|<6 было
(i) i с* (i) ь < в a g_ ь+« e+ w, i c* (i) - с* (Г) ii < e i s - v ib
где | обозначает (?¦_, i0, |+), а индекс * принимает значения из
множества {—, 0, +}.
(Ь) В этом и следующем пунктах мы докажем, что каждая
траектория фДс*) либо со временем выходит из некоторой малой
/¦-окрестности кривой S . с, либо стремится к некоторой точке z. с
этой кривой, причем будет дана оценка скорости этого стремления.
Пусть ф5 (с*) принадлежит достаточно малой r-окрестности S . с
при всех s^=0. Убедимся сначала, что тогда при всех O
(И)
142 Гл. 2. Теория Морса — Люстерника — Шнирельмана
(в связи с такой записью напомним, что некоторая трубчатая
окрестность S. с у нас отождествлена с D).
Предположим, что |/><pSo (с*) Цх < 21 A — Р)ф8о(с*I1. Пусть
<pSo(c*) e Nz_c. Вместо того чтобы вести рассмотрение в окрест-
окрестности точки г. с, удобнее, пользуясь эквивариантностью, перейти
к траектории zr1. ys (с*) = ф^ (гг1. с*), s^s0. Для нее «начальная
точка» ф„„ (z-1. с*) е NZo, и можно пользоваться введенными выше
координатами в окрестности точки г0. Пусть в этих координатах
наша траектория, пока она лежит в б-окрестности г0, имеет вид
При s = se выполняется неравенство
(iii) , l6-(s)h>V.|E+(s)li
(ведь на NZo координаты |_, |+ совпадают с A — Р) ? и Р\, а |0 = 0)-
Тогда по непрерывности (iii) имеет место на некотором интервале
вида [so, sj. Но пока оно выполняется,
e 2 <|_ (s), - Д-6. (s) - С"
А
(ибо ||l(s)l1<ll-(s)||l + l?o(s)»i + lS+(s)!i<4|i-(s)!1 и 2a-
^ 2a - 4/з (a - b) = г + 4b 2г)
А11+ (в) 1? = 2 <?+ (s), - Л+1+ (s) -
<-2a|S+(s)|J + 2e|
< (_2а + 2е) 11+ (s) |J + 8е | g_ (s) |J
Стало быть, |g-(s)|t на [s0, sx[ растет быстрее, чем |?o()li
а || i_ (s) I? — быстрее, чем |l+(s)|i (и тем более чем ||V2l+(s)li)> а не-
неравенство (iii) выполняется и при 8 = 8! тоже, если только при
s = sj траектория не выходит из б-окрестности точки с. Если она
не выходит, то получается, что максимальный интервал, на ко-
котором выполняется (iii), должен быть одновременно и открытым
справа, и замкнутым, т. е. он совпадает с полуосью s^Sq. Но
тогда из тех же оценок видно, что со временем Ф,(гг1-с*) все-
таки выйдет из б-окрестности с.
Итак, || I (si) ||i = б. По непрерывности при s = Si выполняется
(iii), по крайней мере с заменой строгого неравенства на нестро-
нестрогое; поэтому | ?_ (si) ||i ;з= г/6Ь. При достаточно малом г отсюда
следует, что ф5 (г-1. с*) выходит из r-окрестности S. с, что про-
противоречит сделанному предположению.
2.5. Комплекс Морса 143
(с) Мы видим, что (ii) выполняется при всех s^O. Перейдя,
если потребуется, к некоторой <р, (z^.c*), можем считать, что
с* 6 Afj,. Докажем, что q>s(c*) не покидает б-окрестности г0 при
s^O и стремится при s-*¦ оо к некоторой точке кривой S. с.
Во всяком случае, некоторое время q>s (с*) лежит в этой окрест-
окрестности и потому представляется в виде (i-(s), ?0(s), ?+(s)), причем
(iv) I
(мы вправе считать, что если |Pgfl1^21(l —РI\и то |i+|i>
Ц6|). Используя (iv) и (i), находим, что
| И = 2 <1+ (s), - АЪ (s)
^ -2а 11, (s) I? + 2е 11+ (s) Ь (II1- (s) ||, +1Б+ (s) ||х
< (_2а + 4е) 11+ (s) «f ^ -2Ь11+ (s) |J.
Значит,
(v) IE+(s)li<
Далее,
14" ^о (s) | = I С0 (Б (s)) к ^ е (I g_ (s) к + S Б+ (s) W < 2е 11+ (s) t,
а поскольку So @) =• 0, то
(vi) I Б» (s) Hi < ( 2е | ?+ @) ||х е-»« da <
(ведь e^(a — fc)/6<fc/6). Если г достаточно мало (скажем г<
<б/10), то из (iv) —(vi) следует, что ф*(с*), во-первых, не выхо-
выходит из б-окрестности гй и, во-вторых, стремится к некоторой
точке г.с (т. е. l+(s) и ?_(s)->0 и существует lim ?0(s) = ?0(ao)).
S-»OD
Стремление происходит с экспоненциальной скоростью и показа-
показатель экспоненты не меньше, чем Ь: для ?+ и Б- это ясно, а
00
(vii) I ?o (s) - Бо (оо) ||a < J 2e | Б+ @) h e-w da ^
< Bе/6) 11+ @) Ь е-»' < | Б+ @) |х е-»'.
(d) В (Ь) мы фактически не использовали того, что ср^с* не
выходит из г-окрестности 5. с; именно, в (Ь) и (с) доказано сле-
следующее утверждение, несколько более сильное, чем требовалось.
Пусть с* е Nz.cf\(r-OKpecTHOcrrb S . с) и [0, si[ — максимальный
интервал полуоси ss^O, на котором ф/;* принадлежит б-окрест-
б-окрестности г.с. Если при всех se[0, Si[ выполняется (ii), то sx = oo
и существует limf/*eS.e, причем стремление к пределу про-
s-*oo
исходит с экспоненциальной скоростью (см. (v), (iv), (vii)).
144 Гл. 2. Теория Морса — Люстерника — Шнирельмана
Если заменить (и) условием
(viii)
с каким-нибудь фиксированным />0, то предыдущее утвержде-
утверждение останется в силе, только при этом может понадобиться умень-
уменьшить б (с тем чтобы достичь надлежащей малости е) и г. С дру-
другой стороны, поскольку*'
то при достаточно малом б из того, что \\тЕ{у<р*)^к, следует,
что для всех тех s, при которых q>s (с*) е (б-окрестность S.c),
выполняется (viii) с некоторым />0. Сопоставляя сказанное,
заключаем, что если с* достаточно близко к S. с, то траекто-
траектория q>sC* со временем либо входит в Л*-, либо стремится к неко-
некоторой точке г .се 5 .с, причем в последнем случае
(ix) dA(<fsC*, z.c)<5e-sbPc*,
если только с* е D. *
(е) Теперь рассмотрим при фиксированных |+ е Nj0, So e R
(с достаточно малым ||i+|!i + |lo|; требуемая степень малости будет
уточнена далее) следующее интегральное уравнение (в котором
O)
(х) u(s, ?+, ?o) = (m_(s; ?+, lo), «o(s; Ъ+, So). «+(s; S+, So)) =
°(н(^; S+, to))dt,
Предположим на минуту, что у нас (уже) есть решение урав-
уравнения (х) с экспоненциально убывающими и+, ы_. Тогда
du(s\ S+, У/ds = — grad ? (ы (s; S+. So)).
(xi) в@; S+, Eo) = f — f в-*Л" . С- (и (i; |+, So))
\ о
S+, So)) dt,
0
и limii(s; S+» So)=(O. So, 0), причем стремление происходит
с экспоненциальной скоростью. Иными словами, и (s; S+, S-)
описывает в терминах используемых координат положительную
толутраекторию поля —grad? в ЛМ, которая при s-*-co стре-
Здесь g+ = P|, !_ = (!— P)l (а не координаты, введенные возле г0),
2.5. Комплекс Морса 145
мится к е2пС%°/т. с. Обратно, любая такая полутраектория, цели-
целиком лежащая в малой окрестности 20, описывается некоторым
решением и (s; ?+, ?„) с экспоненциально убывающими и±.
Чтобы доказать существование решения уравнения (х), мы
обобщим доказательство существования устойчивых многообразий,
приведенное у Коддингтона и Левинсона [1]. Используем итера-
итерации, которые мы начнем с «°(s; ?+. 10) = Ф, 1о» 0)' Мы утвер-
утверждаем, что
(xii) I «n+1 (sj |+, So) - и" (s; ?t. to) 111 <S«1+ к 2-пе-°\
где через uk(s; ?+, ?0) обозначена k-я шерация. Отсюда, очевидно,
будет следовать существование решения u(s; ?+, g0) = lim un(s; ?+, g0),
п->схз
удовлетворяющего условию
(хШ) 1и(я; Ь-, 1о)-(О, 1о, 0)|1-^21Е+|1е-»».
Чтобы доказать (xii), заметим, что это неравенство верно
при п = 0, так как
s; g+, Бо) = (О, lo- e-^+.?+).
При и>0 из (i) и предположения индукции получаем
«? е fl l+ h 2-е -
Здесь мы воспользовались тем, что е (а + fc)-1 = (а — b) (a + b)~V6 <
<1/6.
Аналогично
S
= (а -
(в последнем неравенстве используем, что (а —Ь)/Ь<1) и
- 1 )/(а - ft)<
АВыполняя эти оценки, мы считаем, что \ип\х, ||m"~1|!i<6.
Из м° = 0 и предположения индукции следует, что для ||ы"!г,
IIm"-1!! выполняется такое же неравенство, как (xiii). Поэтому
приводимые ниже рассуждения годятся для тех ?+, 10, для кото-
которых 2||Ы + |!о|<б.
146 Гл. 2. Теория Морса — Люстерника — Шнирельмана
(f) Уменьшив, если понадобится, б, будем считать, что
u(s; Е+, |о) определено при |?+|!i<6, |Е0 <б. Определим локаль-
локальное сильно устойчивое многообразие V^°(z.c) точки (г.с), где
НЭК
{и@; Е+, Ы; IE+
Покажем, что если положительная полутраектория ф5с*->-2.с,
то эта полутраектория начиная с некоторого момента лежит на
Vs°c(z.c). Заменив с* на некоторое q>Sac*, можем считать, что
полутраектория q>sc* целиком лежит в той окрестности точки с,
где введены координаты (?_, Ео» Е+) и где |Ео|<б, II Mi < 6-
В терминах этих локальных координат <р^с* представляется как
некоторое g(s). Из (ix) следует, что ?(s) удовлетворяет оценке
вида (xiii), но только, быть может, с некоторым дополнительным
множителем К (скажем, ?(=10) в правой части. Как уже отме-
отмечалось, тогда 6 (s) удовлетворяет системе интегральных уравне-
уравнений (х) с |+ = |+@). (Для компонент ?0 и Е+ это очевидно, а
6. (s) = «гi'-«M- . g_ (а) - j е-^) ^ . С- (? @) Л,
о
и, положив а-*-со, получим нужное интегральное уравнение
для ^--компоненты.) Сравним g(s) и построенное выше решение
u(s; 1+, ёо) с |+ = 1+@), 1о = 1о(°о)- Поскольку они оба стремятся
к @, ?„. 0) как е-6*, то
(xiv) m:= sup es6fM(s; |+, l0) -1 (s) I < со.
0g<
Вычитая уравнения для и и | и используя (i), получаем, что
компоненты разности и — ? оцениваются через интегралы
вf
S
в \ I и (*; Ь-, Ео) -1 @ |li Л, в ^ «-<*-'>61 ы (t; |+, Ео) -1 (О li Л.
s 6
Подставляя сюда получающуюся из (xiv) оценку || и (s; %+, Ео) —
— Е (s) ii ^ tnersb и вычисляя соответствующие интегралы, умножен-
умноженные на esb, получаем, что
e*6|u(s; E+» Ео) —E(s)h«
Отсюда т^т/2 и т = 0.
Положим теперь
^sjB• с):= {с*; qy;*-»-z.c при s->-oo}.
2.5. Комплекс Морса 147
Очевидно, что если ф5с*->с, то г. ф5е* -»-г . с, и обратно. Поэтому
z.V ss{c) — V ss{z.c). Когда г достаточно близко к г0 (так что
определены Vif (г . с)), то Vss (г. с) :э V'f (г. с) и Vss B. с) совпа-
совпадает с V^(z.c) в некоторой окрестности точки г. с. Можно
также сказать, что Vss B. с) получается продолжением У «с (г . с)
с помощью отрицательных полутраекторий ф^*, с* е V1™ (г. с),
s^O. Некоторые осложнения вызывает тот факт, что эти полу-
полутраектории могут не быть определенными для всех s<0 (во всяком
случае, обратного мы не доказывали). Поэтому временно заменим
поле — grad? на — i4-|grad?ll*' Траектории последнего обозна-
обозначим через i|)jC*; легко видеть, что они определены для всех s.
При этом ф^с* = -фг(с», s)c*, где т(с*. s):~ s + E(c*) — E ((р^*).
(Действительно, ch(c*, s)/ds= 1 +|grad?(9sc*)ilf.) Как мы знаем,
если максимальный интервал существования ф^с* есть )—а(с*), оо[
и а(с*)<оо, то ?(ф^с*)-»-оо при S-+- — а (с*). Поэтому отрица-
отрицательные полутраектории ф^с* и Мр,с* состоят из одних и тех же
точек. Теперь ясно, что
Vss(c)= 0 *
причем =ф_„ {у!Г (с)) с: af_n_i (v's0 (с)). Считая доказанной дифферен-
цируемость u(t\ g+, 10) по A+, |0) (см. работы, указанные в (ад)),
заключаем сначала, что vlT (с) и У10С (с): = М yjf (e2lt'b/m c) _
1Ы<о
дифференцируемые подмногообразия гильбертова многообразия ЛМ,
а затем, что дифференцируемыми подмногообразиями ЛМ явля-
являются Vss (с) (значит, и все Vss B. с)) и
Vs(S.c):= (J Vu(z.c)
zes
I П СО
(вместо (J достаточно взять (J zt. (J i|?_n(у!00(с)), где гх, ...
..., г* — некоторый конечный набор элементов группы S).
(g) Докажем, что
Ввиду эквивариантности достаточно убедиться в этом при z = z0.
В этом случае в координатном представлении Nj,(&R@Nb под-
подпространство |0 = 0, 1- = 0 совпадает с Л^г0 = Т^АМ, поэтому доста-
достаточно установить, что
и@; Ь., O) =
148 Гл. 2. Теория Морса — Люстерника — Шнирельмана
Из (xiii), (i) и (xi) следует, что
(xvi) I«_@; 1+, 0)li<^11+ к. I«о@; 1+, 0)|<|j|+ к.
Но е в (i) может быть сделано сколь угодно малым при доста-
достаточно малом б; тогда (xvi) будет иметь место при условии, что
и (s; !+. 1о) не выходит из области | ? к < б. Последнее, как мы
знаем, гарантировано, если 2|6+|1 + |5о|<б» т- е- в нашем слу-
случае |Ц+|1<б/2. Поэтому \и+1 и \ио\ суть о(|Б+к)-
Из (xv) следует, что Vss (г. с) и Vs (S . с) локально (в некото-
некоторой окрестности S. с) можно представить как образы отображе-
отображений Wss(г.с) и Ws(S .с) с надлежащими свойствами. После этого
можно с помощью потока г|^ продолжить эти отображения до
отображений, образы которых уже целиком дают Vss(г.с) и
Vs (S. с) (при этом надо специально позаботиться о гладкости).
Подробности предоставляются читателю.
(h) Построение неустойчивых многообразий производится совер-
совершенно аналогично. Ограничимся тем, что укажем соответствую-
соответствующие интегральные уравнения, определяющие при достаточно малых
? Ц и Цо I некоторые v (s; ?-> ?0) с s <; 0. Эти уравнения имеют вид
v(s; ?_, 1о) = (Ms; Б-. So). vo(s; 1_, 10). V+(s\ 1_, &,)) =
Их решения v(s; 5_, 10) являются координатными представле-
представлениями траекторий ф^с*, стремящихся к точке e2nl^im.c при
s-*- — оо с определенной экспоненциальной скоростью. Дополни-
Дополнительно доказывается, что любая отрицательная полутраектория
(PsC* с убыванием s либо выходит из малой окрестности кривой S . с,
либо стремится к некоторой точке этой кривой с экспоненциаль-
экспоненциальной скоростью. (При этом не возникает никаких осложнений из-за
того, что отрицательная полутраектория может не быть опреде-
определена при всех s<0, ибо для такой полутраектории Е (q>sc*) -*¦ оо,
так что она выходит из малой окрестности кривой S. с. А в дру-
другом месте доказательства — при продолжении локальных много-
многообразий с помощью положительных полутраекторий — теперь воз-
возникает даже небольшое упрощение, ибо положительные полу-
полутраектории определены при всех s>0.) A ?
Замечание. Одним из следствий теоремы 2.5.1 является такое
утверждение. Если среди предельных точек траектории гр^*
2.5. Комплекс Морса 149
имеется невырожденная замкнутая геодезическая с, то lim ф^с*=с.
S-*OD
Это уже было доказано Элиассоном [4].
Теперь предположим, что все замкнутые геодезические много-
многообразия М невырожденны. Тогда у каждой критической орбиты
S.с, Е(с) — и>0, есть неустойчивое многообразие
Wu (S . с): (N- (S . с), S) -* (Л*М, S . с),
где N~ (S .с) — тотальное пространство fe-мерного векторного рас-
расслоения над S.
Из § 2.4 мы уже знаем, что если к — критический уровень,
а е>0 достаточно мало, то ЛНМ получается из ЛН-8М приклеи-
приклеиванием отрицательного расслоения над каждой из критических
Орбит S .Cj, S . вС/, 1 =?? /^ k.
Теперь мы разовьем это подробнее в несколько других тер-
терминах, вводя при к* ^=0 комплекс Морса o/ff^M многообразия AM.
Он является замыканием неустойчивых многообразий Wa (S. с)
тех критических орбит S.c, для которых ?(с)==^и*.
<JPM совпадает с М, ибо, когда Е (с) = О, Wu (S .с) = с. Если
к0 — наименьшее положительное критическое значение, то &#*'М
состоит из многообразия М, к которому приклеено конечное
число пар Wu (S .с0) и W (S. 8с0) расслоений на диски вместе
со своими краями; приклеиваемые Wa соответствуют тем с0, для
которых Е(с0) = щ. В случае когда indс0 = 0, Wa(S .co)^S . с0;
таким образом, Л**М может и не быть связным, даже если AM
связно. То же верно для а?кМ при любом и.
Вообще, если и' — положительное критическое значение, то
aS*'M получается из aS*M, где х< и ' — максимальное крити-
критическое значение <х', приклеиванием конечного числа таких рас-
расслоений на диски Wa{S.c') и Wa(S .6с'), для которых E\S.c'[)
US.0c'=x'. При произзольном и* принимаем, что еЖк'М по
определению равно <ЖКМ, где и —наибольшее критическое зна-
значение ^и*.
Объединение всех <Л**М, и*-»-оо, называется также полным
комплексом Морса еЖМ многообразия AM.
2.5.2. Лемма. Комплекс Морса o/ft^M содержит только полные
^-траектории ф5с*, seR. Для этих траекторий корректно
определены предельные точки <рюс* м<р_ооС*. Эти точки являются
критическими точками и также принадлежат а?*М. Таким
образом, на <ЖКМ определено действие R:
Кроме того, <JL%№ замкнут как относительно S-действия %
группы S и действия S группы Ъ%, так и относительно действия,
индуцированного группой изометрий многообразия М.
150 Гл. 2. Теория Морса — Люстериика — Шнирельмаиа
Доказательство непосредственно следует из приведенных выше
определений и конструкций, которые все эквивариантны. ?
Предыдущие рассуждения применимы только к тем многооб-
многообразиям М, у которых все замкнутые геодезические невырожденны.
Однако есть интересные примеры, для которых это предположение
не выполнено; в частности, таковы неприводимые симметрические
пространства. Циллер [1] показал, что для такого многообразия М
критическое множество в AM разлагается на невырожденные
критические подмногообразия.
Здесь мы рассмотрим только сферу S" со стандартной метрикой
постоянной кривизны, равной 1. Гомологии пространства ASn
изучались многими авторами; см., в частности, Морс [2], Иллс [1],
Шварц А. С. [1], Элиассон [2].
2.5.3. Предложение. Критическое множество CrAS" разлагается
на невырожденные критические подмногообразия A0Sn^.Sn и
Bq = BqSn, которые состоят из q раз пройденных больших кругов,
q—\, 2, Многообразие. Вя изоморфно многообразию Штифеля
V B, и—1), состоящему из ортогональных 2-реперов в R
Отсюда, в частности, следует, что dimBq — 2« — 1, Е\Вч =
и ind5? = B<7-l)(n-l).
Доказательство. Пусть сеВ, или, что то же самое, \с\ = 2щ.
Воспользовавшись специальным видом тензора кривизны на Sn,
получим *'
b(t), c(*)) =
Поэтому (Кс+ 1I =5^0 при ЪфО (если I и с всюду линейно
зависимы, то ^сA) = 0 и (Кс+ 1I = 1=^0; в противном случае
ненулевое слагаемое Dn2q2-\-l)% в выражении для (Кс+1)%
не может сократиться). Ввиду 2.4.4 это означает, что Я=1 не
является собственным значением оператора Ас. Тогда уравнение
для собственных векторов из 2.4.4 можно переписать в виде
Разложив 1 на две компоненты — касательную к с, которую
можно записать в виде l(t)=a(t)c(t), и ортогональную к с
«вертикальную» компоненту %(t) J_с(t), мы видим, что (*) распа-
*' См., например, Громол, Клингенберг, Мейер [1], § 3.6, B4) (а также
§ 3.7, 3.8).
2.5. Комплекс Морса 151
дается на отдельные уравнения для этих компонент:
(кас.) о @ + Яд @/A-Я,)-О,
(верт.) V*g + Dл V + Я,) |/( 1 - Я) = 0.
д Заметим, что если рассматривать Sn как стандартную сферу
в R, то во всех точках большого круга c(t) подпространства
касательного пространства Tc^)Sn, ортогональные к c(t) (т. е.
состоящие из вертикальных векторов), будут параллельны друг
другу в смысле обычного параллелизма в ®.п+1. Поэтому для
вертикальных векторов параллельное перенесение вдоль с совпа-
совпадает с обычным параллельным перенесением в Rn+1. Из любого
касательного к 5" вектора ?0 !_с@) при параллельном перенесе-
перенесении вдоль с получается периодическое векторное поле вдоль с
(тогда как в общем случае после параллельного перенесения вдоль
замкнутой кривой вектор не обязан возвращаться в исходное
положение), которое мы будем обозначать тем же символом ?<>• А
При Я,<0 уравнение (кас.) не имеет периодических решений.
Уравнение (верт.) имеет нетривиальные решения, если
А,= 4я3(Р2-<72)/A + 4я2р2), р==о, 1 <7-1.
При р = 0 (верт.) сводится к V2g = 0, поэтому решениями являются
?@ = ?о« iroJLc. При 0<р<<7 решениями будут l(t) =
= ?0cos2np/ + ?i sm2npt, где Ео, liJ_c. Поэтому размерность
пространства Т, AS" в точке сеВ, равна
(л-
В случае Я = 0 (кас.) имеет решение а = ао, а (верт.) имеет
решение
I @ = Xо cos 2nqt + ?i sin 2nqt,
где ?o. ?iJ_c. Следовательно, дефект Вд = 2п— 1 =diraB9, т. е.
Bq невырожденно. D
Теперь нетрудно определить Z2-гoмoлoгии пространства AS";
см. Клингенберг [4].
2.5.4. Теорема. Пусть п>2. Тогда гомоморфизм вложения
в Х^-гомологиях
Sn, A°Sn)
инъективен. Следовательно,
Замечание. Циллер [1] доказал соответствующую теорему для
произвольного глобального симметрического пространства. Мы
152 Гл. 2. Теория Морса — Люстерника — Шнирельмана
ограничимся случаем п ^ 4; случаи п = 2 и и = 3 требуют
отдельного рассмотрения; см. Шварц А. С. [1], Элиассон [2]
и Клейн [1].
Доказательство. Мы утверждаем, что ни один из циклов
пространства A2<?S"'~S" ие исчезает при приклеивании отрица-
отрицательного расслоения ц^ над Вд. Иными словами, в точной гомо-
гомологической последовательности тройки (A2i'n'Sn, A2QlIl'~Sn, A°Sn)
связывающий гомоморфизм
(*) Hk(A^'n'Sn, AW-S^-tHb-iiAW-S11, A°Sn)
тривиален при всех k.
Для того чтобы в этом убедиться, заметим прежде всего, что
22-гомологии многообразия V B, п— 1) = В, отличны от нуля
лишь в размерностях 0, л —1, п и 2п — 1, в каждой из которых
Ht(VB,*п-г-1); Z2) = Z2. Это сразу следует из точной последо-
последовательности Гизина (см. Милнор, Сташеф [1]) расслоения
V {2, п — l)-*-Sn со слоем S"-1 B-репер (ai, ОаI—*«i)>
если написать ее для когомологий и заметить, что у данного
расслоения классы Штифеля — Уитни равны нулю (ведь оно
ассоциировано с касательным расслоением сферы) и оттого в
последовательности Гизина отображение, получающееся при умно-
умножении на и-й класс Штифеля —Уитни, тривиально.
Относительные гомологии Я* (Л2*2^", A2q':!l'~S't; Za) совпадают
с относительными гомологиями пространства Тома отрицательного
расслоения Цд над Вя по модулю базисной точки (см. 2.4.11).
Размерность слоя \ig равна Bq—\)(n — \). Можно предполагать
по индукции, что
Ч>1
9'<9
Допустим, что связывающий гомоморфизм (*) нетривиален. В ле-
левой части (#) ненулевые группы стоят лишь при k = Bq—l) x
Х(п— 1) + /, где / = 0, и—1, п, 2п — 1, а в правой части —когда
&—1 имеет вид Bq' — 1)(п— l) + t, где q' <.q и t = 0, n—\, n,
2п—\. Итак,
B? - 1)(и - 1)+ /- 1 = B?'- 1) (п - 1) + (,
т.е. 2(<7-<7')(«-1) + / = » + 1. Тогда t +1 /
при п>3 это >п-\-\, так что для I возможно только значение
2п—1. Значит, 2{q—q')(n—\)-\-j = 2n. При q — q'>\ это не-
невозможно. Значит, q — q' — \ и / = 2. Но при и>3 среди допу-
допустимых для / значений нет 2.
Теорема доказана. D
2.5. Комплекс Морса 153
Для построения комплекса Морса многообразия AS" рассмот-
рассмотрим каноническое вложение iq\ Bq c_». ASn критического подмно-
подмногообразия Вq. Оно индуцирует нормальное расслоение над Bq:
Разложение слоя Nc (Bq) над cq на положительное и отрица-
отрицательное подпространства Nt (Вд) и Nc (Bg) определяет подрас-
слоения
Здесь размерность слоя расслоения ц~(В?) равна индексу Вд,
т. е. Bq— 1)(«— 1), в то время как слой расслоения у.+ (Вд)—
настоящее гильбертово пространство.
Напомним, что Вд изоморфно многообразию Штифеля
1/B, п — 1) = SO (и-)- l)/SO (n — 1). Изометрическое действие группы
SO(n-\-\) на S" определяет изометрическое действие SO(n+l)
на AS", оставляющее функцию Е инвариантной. Это следует из
того, что определения многообразия AM, римановой метрики на
нем и функции Е являются внутренними.
В частности, расслоения fi(B?) и [^(Bq) переходят в себя
под действием группы SO(n-\-\).
Мы воспользуемся этим для доказательства того, что у каж-
каждого невырожденного критического подмногообразия Вя есть
устойчивое и неустойчивое многообразия"! Положим Е\Вд —
= 2лУ = и (<7).
2.5.5. Теорема. При каждом <7=1, 2,... существуют инъек'
тивные иммерсии *'
Wa(Bg): (N-(Bg), B9)-+(A*M, Bg),
Ws(Bg): (N*(B9), Bg)-+{A-A*M-, Bg),
обладающие следующими свойствами:
(i) иммерсии эквивариантны как по отношению к S-действию
% и Zi-действию 6, так и по отношению к 80(п-\-\)-действию\
(И) ограничения иммерсий на базу, т. е. на многообразие Вд,
являются каноническими вложениями;
(iii) при сд^Вд дифференциал TWu(Bg)(cg)\Ncq{Bq) является
каноническим отображением пространства Nc (Bq) на подпрост-
подпространство Тс ASn, порожденное собственными векторами индексной
формы D2E(cq), отвечающими отрицательным собственным зна-
значениям. Соответствующее утверждение верно также и для
TWs(Bg) (cg)\mq(Bg);
*> На самом деле даже вложения.
154 Гл. 2. Теория Морса — Люстерника — Шнирельмана
(iv) элементы с*, принадлежащие образу Wa(Bg), характери-
характеризуются тем, что Ига ф^с*еВ?, а элементы с*, принадлежащие
S-» —00
образу Ws (Bg), характеризуются тем, что lim <pjC* e Bq. В обоих
9 5-»00
случаях если lira ф4с* = сд, то с* принадлежит образу ограничения
соответствующего отображения на NJ (В \
Замечание. Мы назовем WS(B9) и Wa{Bq) соответственно
устойчивым и неустойчивым многообразиями невырожденного кри-
критического подмногообразия Bg, a
соответственно сильно устойчивым и сильно неустойчивым много-
многообразиями точки сд е Вд.
Доказательство *К Пусть бг: D (Вд)-*~ВЧ — расслоение на диски
над Bq, соответствующее расслоению (х9. Если диски достаточно
малы, то с помощью экспоненциального отображения мы можем
отождествить D (Bq) с трубчатой окрестностью многообразия Вд
в AAf. Это отождествление определяет на D(Bq) риманову мет-
метрику < •, • >г, функцию Е й соответствующее градиентное векторное
поле grad E.
Группа SO(n-\-l) переводит векторное поле gradf1 в себя.
В частности, группа изотропии SO(n— 1) точки сд базы Вд
оставляет инвариантным лежащий над этой точкой слой Dc
расслоения D (Вд). Так как SO (и+ 1) действует на Вр транзитивно,
то касательное пространство орбиты группы SO(n-\-l), проходя-
проходящей через точку ?eDc, трансверсально к Тфс =Не<1%
Следовательно, касательное пространство T^SO (n + l) орбиты
группы SO(n+\), проходящей через точку ? е Dc , содержит
«горизонтальное» подпространство T\N (Bq), которое дополнительно
«вертикальному» пространству 7\DC ^ Nc . Фиксируем T\N (Bq)
так, чтобы оно было ортогонально T$SO (п +1) f] Тфс . Через
T^N (Вд) обозначим подпространства пространства T%DC , парал-
параллельные N±. Таким образом, мы можем покомпонентно
отождествить
Тф (Bq) = T\N (Bg) ф T{N (Bq) ф T{N (Bg)
с TCD (Bq) = N-Cq (Bq) 0 TcBq 0 mq(Bq),
*' Здесь приводятся только некоторые моменты доказательства. Поскольку
необходимые уточнения в общем аналогичны имеющимся в доказательстве 2.5.1,
го восполнение пробелов можно предоставить читателю (см., впрочем, C7)).
2.5. Комплекс Морса 155
где для отождествления TgJV (Bq) с Тс Вя мы воспользовались
проекцией расслоения ц(В?).
Мы также используем это разложение для введения локальных
координат около сд (87).
Действие SO(/i-fl) на D(Bq) изометрично и сохраняет Е.
Поэтому grad E ортогонально T\N (Bq). При % — О пространство
T{N (Вд) совпадает с Тс Вд. Поэтому grad E (?) можно представить
в виде
где
1 = (?_, ?о, 1+) е Л? (Д9) 0 TCq
TCqBq 0 ^
Здесь через А± обозначено ограничение самосопряженного
ератора АСд (см. 2.4.2) на T±AM^N±(B) Д С* A)
* е {—, 0, +}, выполняются соотношения
д р р р
оператора АСд (см. 2.4.2) на T±AM^N±(Bq). Для С* A), где
где е>0 может быть сделано произвольно малым, если только
1 ? Hi и I \' Hi достаточно малы.
Это в точности те же предположения, что и в доказательстве
2.5.1. Поэтому мы можем сделать те же заключения. D
Замечание. Существование устойчивого и неустойчивого мно-
многообразий может быть доказано в общей ситуации, а именно для
любых невырожденных критических подмногообразий из AM.
Это было показано Дёйстерматом, который воспользовался усовер-
усовершенствованной техникой Перрона [1]. Результат Дёйстермата
не опубликован. Однако имеется его рукопись, которая озаглав-
озаглавлена «Устойчивые многообразия» и датирована августом 1972 г.
Во всяком случае, теперь мы можем определить комплекс
Морса aSKSn так же, как и выше, т. е. как замыкание неустой-
неустойчивых многообразий из AKS".
Для последующего применения мы включили в этот параграф
несколько фактов о пространстве петель (ИМ, *) компактного
риманова многообразия М с базисной точкой * и, в частности,
об устойчивых и неустойчивых многообразиях в (QSn, *). Впервые
для изучения пространства (QM, *) теория гильбертовых много-
многообразий с функцией Е, удовлетворяющей условию (С), была
применена Пале [2].
Напомним, что, согласно 2.1.4, в расслоении
у: АМ^М, сь-*с@) = сA),
у является дифференцируемой субмерсией (см. также Грове [1]),
так что все слои являются дифференцируемыми многообразиями.
156 Гл. 2. Теория Морса — Люстерника — Шнирельмана
Слой (QM, *) над точкой *еМ состоит из ^-отображений
с: ([0, 1], {О, 1})->(M, *). Функция Еа = Е\QM дифференцируема,
а критическими точками этой функции являются в точности те
геодезические, начало и конец которых находится в точке * и
которые параметризованы отрезком [0, 1] («геодезические
петли в #»).
На (?Ш, #) определена каноническая риманова метрика < •, • I(
индуцированная метрикой, имеющейся в AM. Касательное про-
пространство TCQM в точке с е ?Ш состоит из #г-векторных полей
l(t), *е[0, 1], вдоль с, обращающихся в нуль при *=0 и f=l.
Соответствующее градиентное векторное поле grad?a удовлетво-
удовлетворяет условию (С).
Пусть с е (QM, .*) — критическая точка. Обозначим через
подпространства касательного пространства TCQM, поро-
порожденные собственными векторами индексной формы D2EQ (с),
отвечающими соответственно положительным и отрицательным
собственным значениям. Число dim7VQM всегда конечно; оно
называется индексом геодезической с в (QM, *). Геодезическая с
как критическая точка в Еа (с) называется невырожденной, если
D2?n (с) не имеет собственных значений, равных нулю.
Пусть с —замкнутая геодезическая из AM, у которой с@) =
= сA) = *. Тогда индекс с как критической точки функции Е
не меньше индекса с, рассматриваемой как критическая точка
функции EQ О18).
В рассматриваемой ситуации можно также определить понятие
невырожденного критического подмногообразия из (QM, *). Это
такое связное замкнутое подмногообразие В, целиком состоящее
из критических точек, что при всех сеВ его касательное про-
пространство ТСВ совпадает с ядром формы D*EQ (с).
В качестве важного примера мы рассмотрим многообразие
M = Sn, т. е. сферу постоянной кривизны, равной 1. В (QS", *)
критическими точками являются, помимо тривиальной геодезиче-
геодезической с = *, q раз повторенные большие круги, проходящие через
точку*, <7=1, 2 Индекс q раз повторенного большого круга,
рассматриваемого как критическая точка в (QS", *), равен
Каноническое изометрическое действие группы SO (л) на (S", *)
индуцирует изометрическое действие SO (n) на (QS", *), оставляю-
оставляющее функцию Еп инвариантной, (п— 1)-параметрическое семей-
семейство q раз повторенных больших кругов, проходящих через точку
* е S", образует невырожденное критическое подмногообразие 5°,
которое изоморфно S"-1 и индекс которого равен Bq—l)(n—l).
Группа SO(n) действует транзитивно на Bf.
Пусть |л" = ц(в"): N (Bf) -> Bf — нормальное расслоение под-
подмногообразия В® в (&Sn, *). Обозначим через fi"*: Ы^(В%)-+В%
2.5. Комплекс Морса 157
положительное и отрицательное подрасслоения расслоения ц®
порожденные собственными векторами формы Ю2Еа, отвечающими
соответственно положительным и отрицательным собственным
значениям. Тогда SO (и)-действие на (QSn, *) индуцирует 50 («)-
действие на цв=цО-фрП+, которое оставляет это разложение
инвариантным.
Пусть x(<7):=?Q|?" = 2nV- Теми же методами, что и при
доказательстве 2.5.5, можно показать, что имеет место
2.5.6. Теорема. При каждом q—\,2,...существуют инъектив-
ные иммерсии
n, в?),'
Q*i9)-Sn, В?),
обладающие следующими свойствами:
(i) иммерсии эквивариантны по отношению к SO (п)-действию;
(и) ограничения иммерсий на базу, т. е. на многообразие В%,
являются каноническими вложениями;
(iii) для ceB,0 отображения
TWa {В?) | N7 Ю: N7 (B?n) -+T7QS\
TWS {Bf) | Nt (Bf): N+ {Bf) -> T+QS"
являются каноническими изоморфизмами;
(iv) элементы с*, принадлежащие образу WU(B°), характе-
характеризуются тем, что lira ф^с* е В", а элементы с*, принадлежа-
S-» — СО
щие образу WS(B% характеризуются тем, что lim q>sc* e Bg.
s->-fco
В обоих случаях если lim ср^с* = с, то с* принадлежит образу
ограничения соответствующего отображения на N? (Bf).
Глава 3
ГЕОДЕЗИЧЕСКИЙ ПОТОК
В этой главе мы изложим новый аспект теории замкнутых гео-
геодезических. Если в предыдущих главах замкнутая геодезическая
рассматривалась как обладающий некоторым свойством элемент
пространства всех замкнутых кривых (а именно такой элемент,
который является критической точкой функции Е), то теперь
замкнутую геодезическую (а точнее, касательное векторное поле
вдоль нее) мы будем рассматривать как замкнутую (периодиче-
(периодическую) траекторию геодезического потока на касательном расслое-
расслоении риманова многообразия.
Геодезический поток является частным случаем гамильтонова
потока. Это предоставляет в наше распоряжение развитую тео-
теорию гамильтоновых систем, в которой для нас особый интерес
представляют те ее части, которые относятся к замкнутым траек-
траекториям.
В § 3.1 мы дадим набросок теории гамильтоновых систем,
уделяя при этом особое внимание случаю геодезического потока.
Следующий параграф посвящен теореме об индексе, а § 3.3 —изу-
—изучению типичных свойств геодезического потока. Большую роль
в этом параграфе играет теорема о неподвижной точке Бирк-
гофа —Льюиса. Доказательство Мозера этой теоремы для диффе-
дифференцируемого случая содержится в добавлении к этой главе.
3.1. Гамильтоновы системы
В этом параграфе мы изложим основы теории гамильтоновых
систем и затем определим геодезический поток как частный слу-
случай системы такого вида.
Симплектическое многообразие — это четномерное многообра-
многообразие N, снабженное внешней дифференциальной замкнутой 2-фор-
мой D0) а максимального ранга, т. е. da = 0, и если dimN = 2n,
то п-я внешняя степень а" всюду фО.
Атлас на симплектическом многообразии (N, а) называется
симплектическим атласом, если в каждой его карте (ф, U) форма а
3.1. Гамильтоновы системы 159
представляется канонической симплектической формой на R2", т. е.
где (х1, .... хп, у1, ..., у") — координаты на q>(U). Из леммы
Дарбу (см. Арнольд [4], Стернберг [2], Мозер [7]) следует, что
на симплектическом многообразии всегда существует симплекти-
ческий атлас.
Для такого атласа координатные преобразования q/'qr1
являются каноническими или симплектическими преобразованиями.
Это означает, что если преобразование ф' • ф-1 имеет вид
*"*=*"(*, У), У'1 = У'1(х, у),
то 2 dx'1 л dy'' = 2] d^ л dy'. Последнее равенство означает, что
матрица
dxJ dyi
является симплектической, т. е. *d (ф' • ф-1) • / • d (ф' • ф-1) = /, где *>
0я +Еп
-Бп 0„
Наиболее важным примером симплектического многообразия
является кокасательное расслоение.
3.1.1. Предложение. На кокасательном расслоении Т*М диф-
дифференцируемого (евклидова) многообразия имеется каноническая
симплектическая структура а, которая определяется следующим
образом. Рассмотрим диаграмму, составленную из отображений
расслоений: ТТ*М^Т*М
7т*
4 м
Определим \-форму 6 на Т*М, полагая
6: TaT*M-+U, 1^
и затем положим а = — dQ.
*' Роль J ясна из того, что если р е U и Z, Z' е ГрМ, то 2а B, 2') =
=— (J (T(f)Z, (T<f>)Z'), где (¦, •) — стандартное скалярное произведение в R2".
160 Гл. 3. Геодезический поток
Доказательство. В локальных координатах диаграмма имеет
следующий вид:
Здесь мы, как обычно, координаты х1-х% на Т*М обозначаем
короче через х1. Тогда в локальных координатах 9 запишется как
^y'dx1. Следовательно, форма а имеет вид ^dx'Ady', т. е.
i I
является замкнутой 2-формой максимального ранга *>. П
Заметим, что естественный атлас на Т*М является симплек-
тическим (или каноническим) атласом для симплектической формы
а =— dB.
Гамилыпоновой системой (N, а, Н) называется симплектиче-
ское многообразие (N, а), снабженное дифференцируемой функ-
функцией Н: N-*-R, которая называется функцией Гамильтона.
Соответствующее гамильтоново векторное поле ?# определяется
соотношениями
(*) кн'а ~ dH или о# Aн) = у dH.
Здесь г; обозначает внутреннее умножение, т. е. /;. a(r\) = 2a(t,, r\),
а «„,: TN-+T*N — изоморфизм векторных расслоений, определяе-
определяемый невырожденной 2-формой а, т. е. a^.\TpN: TPN-+T%N ото-
отображает вектор ? в линейную форму а(?, ¦).
В симплектических локальных координатах (д?, у1) соотноше-
соотношение (*) имеет вид
Поэтому локальное представление для ?я есть (Hyi,—Hxi). Дру-
Другими словами, в этих координатах уравнения, описывающие
•' Заметим, что для аналитической механики традиционным является
использование формы d9, а не — d4 (при этом пишут q' вместо х1 и р,- вме-
вместо у1). Гамильтоново векторное поле в этом случае определяется из условия
ij .а = —dH, так что оно совпадает с тем, которое вводится далее. Симплек-
тические диффеоморфизмы (т. е. диффеоморфизмы, сохраняющие а) там назы-
называются каноническими преобразованиями.
3.1. Гамильтоновы системы 161
гамильтонов поток, определяемый полем t,H, принимают вид
dxf „ dy1 rr
т. е. являются уравнениями Гамильтона.
Исходящая из точки р^ N интегральная кривая гамильтонова
векторного поля будет обозначаться через %р.
3.1.2. Предложение. Пусть (N, а, Н) — гамильтонова система.
Тогда функция Н остается постоянной вдоль траекторий гамиль-
гамильтонова потока и этот поток сохраняет а.
Доказательство. Напомним, что для производной Ли имеет
место следующая формула (см. Абрахам, Марсден [1], Ленг [I],
Стернберг [2]):
?tP~d(*
Так как iiH.a = dH, то
Теперь мы переходим к наиболее интересному для нас слу-
случаю. Пусть М — риманово многообразие. Скалярное произведение
на нем будем обозначать через g(-, •) или <•, •). Пусть (Т*М, а) —
кокасательное расслоение этого многообразия, снабженное кано-
канонической 2-формой а. В качестве функции Гамильтона возьмем
кинетическую энергию, т. е. функцию
Я*: T*M-+R, ая--g-<a>, ©>*,
где («, •)*=?* обозначает метрику, двойственную к (•, •>.
Пусть g"ft (х) — локальное представление фундаментального тен-
тензора метрики g* в естественных локальных координатах (х, у)
на Т*М, соответствующих координатам (х) на М. Тогда
Н*(х, у)^
Следовательно, уравнения Гамильтона принимают вид
Риманова метрика g =(-,•) на М определяет изоморфизм
расслоений
g*: TM-+T*M, Х>-~(Х, •>.
При этом симплектическая форма а на Т*М переносится в симп-
лектическую форму (?„,)* а на ТМ, которую мы снова будем обо-
6 В, Клингевберг
162
Гл. 3. Геодезический поток
значать через а. Другими словами, если Z и Z'- элементы из
ТХТМ, то*)
a(Z, Z') = a(
3.1.3. Предложение. Для симплекпгической формы а на ТМ
выполняется соотношение
2а (Z, Z') = {Zh, Z'v)-{Z'h, Zv),
еде Z = (Zh, Zv) и Z'— (Z'h, Z'o) — разложения на горизонтальную
и вертикальную компоненты.
Замечание. Здесь мы отождествили ТХНТМ с ТхХМ и TXvTM
с ТХХМ посредством линейных биекций Тх | ТХ1гТМ и К | TXvTM.
Доказательство. Обе части равенства определены инвариантно.
Поэтому достаточно проверить 3.1.3 в некоторых специальных
координатах.
В качестве таких координат выберем координаты, ортонорми-
рованные**' в точке р = %мХ. Тогда имеем
*'(/>) = 0, ?«(*(/>)) = 6«; Г'а(*(р)) = 0.
В этих координатах локальным представлением для диаграммы
в точке X е ТРМ является диаграмма
(о, л б,{) »-*-> (о, у Л, п) - Ф^Д, С)
*' Собственно говоря, согласно принятым ранее обозначениям, следовало
бы писать Tgt, а не Dg*. Но теперь автор все чаще пишет D вместо Т.
**' Как видно из следующей же строчки, требуется не только ортонорми-
рованность в обычном смысле, но и обращение в 0 символов Кристоффеля
в точке х (р). Специального названия для таких координат, кажется, нет
(хотя, как известно, имеются названия некоторых более узких классов коор-
координат—координаты Ферми, нормальные координаты Римана). По терминоло-
терминологии Картана [2] метрика ? (dx1)* является евклидовой метрикой, соприкасаю-
соприкасающейся с g в точке р. Возможно, автор понимает «нормальные координаты»
как «нормальные координаты Римана» (хотя использует в данном случае
только часть свойств последних).
8.1. Гамильтоновы системы 163
Кроме того, горизонтальное и вертикальное подпространства
в точке X представляются как {@, x)}xR"x{0} и {@, ^)}x{O}xR"
соответственно.
Так как а записывается в виде ^ ^ Л d\f, то
i
2а (Z, Z') = ? «У - V4) = (Zh, Z'v) - (Z'h, Zv). D
i
Замечание. Естественные координаты (х, х) на ТМ, которые
соответствуют координатам (х) на AI, в общем случае не являются
симплектическими координатами для индуцированной симплекти-
ческой формы а. Точнее, локально изоморфизм g% представим
в виде
Поэтому форма ? dx* л dy1 переходит в форму ^ ^л
I i
Ad(^lgik(x)xk\, которая, вообще говоря, не равна 2 dx' л dxl.
Определим геодезическую пульверизацию *> на касательном рас-
расслоении ТМ риманова многообразия М как векторное поле **>
S: ТМ -+ ТТМ, X -* (X, 0) е= TXhTM ф TXvTM.
Интегральная кривая поля S с началом в точке X е ТМ будет
обозначаться через %Х. Отображение
Ф,: ТМ-+ТМ
называется геодезическим потоком на ТМ.
3.1.4. Предложение. Если %Х0 — интегральная кривая геоде-
геодезической пульверизации с началом в точке Хо, то c(t) = xM' фД0 —
геодезическая, определяемая начальным условием 'о@) = Х0.
Наоборот, если с (t)—геодезическая, то b(jt) — (fj: @).
Доказательство. Имеем с (t) — Тх -^ у(Х0 = Тх {(р(Х0, 0)
*' Английский термин spray переводят также «струя», но последний тер-
термин в § 3.3 будет использоваться в другом смысле.
¦*' Напомним еше раз, что в предложении 1.1.1 были описаны канониче-
канонические изоморфизмы ТрМ с ТХ1гТМ и TXvTM (X е Т М), использование кото-
которых и подразумевается, когда вектор из ТХТМ рассматривается как пара век-
векторов из ТрМ.
6*
164 Гл. 3. Геодезический поток
т. е. т-фДо — геодезическая. Пусть теперь, наоборот,
Vc(*) = 0.
Тогда, рассматривая c(t) как кривую в ТМ, имеем*)
т. е. с (t) — интегральная кривая поля S. ?
3.1.5. Лемма. Пусть М — риманово многообразие.
Утверждение. Изоморфизм расслоений g^\ ТМ-*-Т*М перево-
переводит геодезическую пульверизацию S в гамильтоново векторное
поле ?д* системы (Т*М, а, Н*), где функция Гамильтона Н* =
кинетическая энергия на Т*М.
Следовательно, S — гамильтоново векторное поле системы
(ТМ, а, Н) с функцией Гамильтона Н (X, Х) = 1/г(Х> Х) = кине-
кинетическая энергия на ТМ.
Доказательство. Выберем те же координаты, что и в доказа-
доказательстве 3.1.3. В этих координатах X представляется как @, х),
S(X) — как @, &, х, 0), а отображение g*\TpM — как @, j?)¦—*
i—»• @, х) (т. е. оно задается формулой у = Х). С другой стороны,
Н*(х, #) = х/2?#"(*I/У, где#"@) = 8у и dgV@)/dxk = 0. Поэтому
?я* (X) представляется как
@, у, Я*@, у), -Я*@, #)) = @, X, х, 0). ?
Начиная с этого места мы считаем, что dim М — п-\-1. Через М
продолжаем обозначать риманово многообразие.
Пусть с (t) — геодезическая. Определим поле Якоби вдоль c(t)
как такое векторное поле Y (t) вдоль c(t), которое удовлетворяет
уравнению
6(t), c@) = 0.
Последнее называется уравнением Якоби.
3.1.6. Лемма. Поля Якоби Y (t) вдоль геодезической c(t) нахо-
находятся во взаимно однозначном соответствии с инвариантными
векторными полями**'1 У (/) вдоль траектории Ф/С@) = с(/), т. е.
полями, для которых
*' Вообще, если векторное поле X (t) вдоль кривой с (<) рассматривается
как кривая в ТМ, то в терминах нашего представления ТХТМ имеем
**' То есть, в классических терминах, —решениями системы уравнений
в вариациях.
3.1. Гамильтоиовы системы 165
Это соответствие устанавливается так *~>:
Y(t)«+Y (t)«(Y (t), VF (*)) e TimTM ® Ti(f) VTM.
Доказательство **\ Положим Х0 = с@), и пусть
= (Лд, Л,,) е / хол^ М © / xou^ M — I xj M.
Пусть, далее, 'k(s), s^O, — кривая в ТМ, к@)~Х0, /с'(О) = Л.
Положим k(s, t)=*(ptK(s), c(s, t):=x-K(s, t), так что t\—*-c(s, t)
(при фиксированном s) есть геодезическая линия и ic(s, t) =
= дс (s, t)/dt. Тогда 7>,/с' @) == Гф/Л = (Ah (t), Av (t)) — инвариант-
инвариантное относительно потока векторное поле вдоль фД0. порожденное
вектором А. Таким образом, (Лд (t), Av(t)) = dK<fi, t)/ds.
Из определений имеем
дк , ,ч /гр дк , ,¦, г* дк .
OS \ OS OS *
(законность перестановки операций дифференцирования прове-
проверяется путем очевидного вычисления в локальных координатах;
используем, что у связности Леви-Чивита кручение равно нулю).
Значит, A/i(t) = -Q-@, t) и Av(f) = VAh{f).
Используя формулу (i) в начале § 2.4 с заменой (|'@. с@> W))
на (с(t), Ah(t), c(t)) и сделанные там замечания, получаем
7\_^,а /а_ v v <?(s, t)
^ведь
*>
V дс
Иными
V
~ ds
V
W
= R(b(t)
словами,
dc(s, t)
. Ah(t), c(t))
Стало быть, Ah
п(дс дс
R(Ah
, {t) — поле
^ dc(s, t)
it), h(t),
Якоби.
J-
c@)
Заметим, что в дальнейшем автор часто называет инвариантными векторными
полями поля Якоби, хотя, строго говоря, это разные вещи.
**' Доказательство при переводе пришлось исправить. При этом я поз-
V V
волил себе воспользоваться стандартными обозначениями -щ-, ~^~, хотя Клин-
генберг их не употребляет: без них формулы были бы более громоздкими и
менее наглядными.
166 Гл. 3. Геодезический поток
Таким образом, мы построили линейное отображение из
Bп + 2)-мерного пространства инвариантных векторных полей
T(ptA вдоль ф/С@) в B«-{-2)-мерное пространство полей Якоби
вдоль c(t). Ядро этого отображения — нуль. Следовательно, тео-
теорема доказана. П
3.1.7. Следствие. Пусть Y(t) и Z(t) — поля Якоби вдоль геоде-
геодезической c(t). Тогда
(*) 2а (Y (О, Z @) = (Y (t), VZ (t)) - (Z (t), W (t)) = const.
В частности, если сфО, то поля Якоби, ортогональные с (кото-
(которое само является полем Якоби), т. е. такие поля Якоби, для
которых выполняется соотношение*'1
(с (t), У @> = (с (t), VF (/)> = 0 при всех t,
образуют 2п-мерное подпространство.
Доказательство. Дифференцируя (*) и подставляя затем выра-
выражение для второй ковариантной производной из уравнения Якоби,
получим, что (*) обращается в нуль. С другой стороны, из 3.1.2
мы знаем, что а инвариантна относительно потока:
2а((ГФ,)?@), Gcp,)Z@)) = 2a(F@), 2@)).
Поэтому (*) следует также и из 3.1.6, 3.1.3.
Если сфО, то инвариантные векторные поля, порожденные
начальными данными (с@), 0) и @, с@)), образуют двумерное
подпространство, невырожденное по отношению к форме а. Поля
Якоби, ортогональные с, образуют ортогональное дополнение D1)
этого подпространства. ?
Назовем траекторию q>tX0 периодической, если Хо Ф 0 и суще-
существует такое со>0, что фиХо = Хо.
Мы будем рассматривать только случай | Хо | = 1; ясно, что
каждой периодической траектории фД0 соответствует корректно
определенная периодическая траектория Ф/Х0/|Х0[| которая обла-
обладает этим свойством С3). Кроме того, в данный момент мы будем
предполагать, что со — наименьшее положительное число, удовлет-
удовлетворяющее уравнению' фиХо = Хо. Такое <о называется (минималь-
(минимальным, наименьшим**') периодом периодической траектории Д
*' Второе из которых следует из первого, — надо продифференцировать и
учесть, что Vc = 0.
¦•' В оригинале: prime, что находится 8 соответствии с термином prime
сугуе (§ 2.2),
3.1. Гамильтоновы системы 167
3.1.8. Предложение. Периодические траектории находятся во
взаимно однозначном соответствии о однократными замкнутыми
геодезическими:
(i) если фД0 — периодическая траектория периода ы, то с (t) :=
= т.мфа>До> 0 <i t <= 1» есть однократная замкнутая геодезическая,
для которой значение Е равно х = соа/2;
(п) если с {{) —однократная замкнутая геодезическая, для кото-
которой значение Е равно х, то ц& @)/| с @) | — периодическая траек-
траектория периода со = /"
Доказательство немедленно получается из 3.1.4. ?
Замечание. Излагаемая ниже конструкция отображения Пуан-
Пуанкаре*', соответствующего замкнутой траектории геодезического
потока, проходит также и для замкнутой траектории произволь-
произвольной гамильтоновой системы (N, а, Н), если только на этой
траектории йНфО (Абрахам, Марсден [1]). Так как нас интере-
интересует только случай геодезического потока, то и результаты мы
сформулируем только в этом специальном случае.
Пусть Хо е Т^М — расслоению единичных касательных век-
векторов на М D2). Тогда через 2 = 2 (Хо) обозначим локальную
трансверсальную гиперповерхность (короче, локальное сечение)
потока в точке Хо.
Сейчас мы построим некоторый специальный пример такой
гиперповерхности. Пусть хХо = Ро^М, и пусть D"(X0) есть
8-диск в TPtM, ортогональный к Хо е ГР,М (напомним, что
dim M — dim ТР„М = я+ 1). Выберем е столь малым, чтобы е-диск
с центром в точке ра е ТР,М принадлежал области определения
нормальной системы координат Римана, см. 1.2.6.
Пусть Тг exp D" (Хо) — ограничение единичного касательного
расслоения на проходящую через точку р0 я-мерную локальную
гиперповерхность exp DI (Хо)- Определим теперь 2 = 28 (Хо) как
пересечение Т^ехрО^Хо) с е-шаром fle"*2 (Xo), центр которого
находится в точке Хо е ТМ. Здесь мы пользуемся метрикой
на ТМ, которая индуцирована разложением TTM = ThTM ©
© TVTM и каноническим отождествлением
Тп: TXthTM -> ТР„М, К: ТХ<1ОТМ -> ТР.М, р0 = гХ0.
3.1.9. Предложение. При достаточно малых е>0 ограничение
формы а на 2 = 28 (Хо) индуцирует симплектическую структуру.
Доказательство. Введем возле точки ра = тХ0 с помощью
некоторой карты (ф, U) такие локальные координаты (х°, х1, ...
..., хп) на М, которые ортонормированы в р0, для которых все
*' Говорят также «отображение (или функция) доследования*.
168 Гл. 3. Геодезический поток
dgu (ф(Ро))/дхк = 0 и в которых Хо представляется в виде A, 0, ...
..., 0). Пусть (х1, х') и (х\ г/1') — естественные координаты в ТМ
и Т*М, индуцированные (х?). Тогда Тхо2 представляется плос-
плоскостью dx°s=0, dx°=*0, т. е. а|7\х,,2 представляется как ^ dxl л
Ady1.
Действительно, 2 в окрестности точки Хо является пересече-
пересечением подмногообразий ТМ | exp Dl (Xo) и ТгМ. Касательные
пространства к ним в Хо суть
{Z; ZgTx.TM, (Zh> Х„) = 0} и {Z; Z&Tx.TM, (Zv, X0> = 0}.
Они пересекаются трансверсально, поэтому
7\,2 = {Z; ZtsTxJM, (Zh, XO) = (ZV, X0) = 0}.
В терминах введенных локальных координат
(Zh, Хо) = dx* (ГФ . Z), (Zv, Хо> = d#> (ГФ. Z),
a <W\Tv{P.1R**»-d#\T9{Pt#h». ПО
3.1.10. Лемма. Пусть фДо — периодическая траектория о ми-
минимальным периодом ю. Пусть, далее, 2 = 2 (Хо) — локальное
сечение потока в точке Хо.
Утверждение. Существуют такие открытые окрестности 20
и 2Ш точки Хо на 2 « такая дифференцируемая функция б: 20 -*•
*-»-R, что б(Хо) = 0 « отображение
X *—*¦ фан-в(Х)Х
является некоторым симплектическим диффеоморфизмом
/Срол<е того, фд р ()
Мы назовем & отображением Пуанкаре или отображением
последования (соответствующим периодической траектории фД0
или замкнутой геодезической с*>).
*' И локальному сечению 2. Вообще говоря, 5s могло бы зависеть и
от того, как именно 2 уменьшено до 20 и 2Ю, однако из доказательства видно,
что при различном выборе 20 и 2Ш полученные отображения совпадают в не-
некоторой окрестности Хо.
Позднее мы иногда будем говорить об отображении Пуанкаре для «перио-
«периодической траектории» ф/Х0, которая как замкнутая кривая иеодиократна, т. е.
которая рассматривается как периодическая функция ti—*-(piX0 с периодом
to, хоти этот период для нее уже не является минимальным. Пусть мини-
минимальным периодом будет ш0, а ^о—соответствующее отображение Пуанкаре
в смысле 3.1.10; пусть ©««А-Шо. k>\ Тогда под отображением Пуанкаре
«за период о>» мы будем понимать, естественно, $ := §\ (при этом может
оказаться необходимым уменьшить область определения). Изменение по срав-
сравнению с 3.1.10 состоит теперь в том, что нельзя утверждать, будто <рД ф. 2
при 0</<ю + б(Х); напротив, фД <= 2 в некоторые моменты, близкие
к ©о (й —1)©0.
3.1. Гамильтоновы системы 169
Доказательство. Нас интересует только тот случай, когда М
полно (или даже компактно), поэтому проведем доказательство,
предполагая, что отображения q>t: ТгМ -*• ТХМ определены при
всех t e R и составляют однопараметрическую группу диф-
диффеоморфизмов.
Вектор S(Xo) = (Xo, 0) ортогонален Тх„2. Действительно,
при Z <= Тх^
(см. доказательство 3.1.9). Поэтому, взяв на 2 достаточно малую
окрестность 2Х точки Хо, получим, что при Xs2j вектор S(X)
трансверсален к Тх^ч- Отсюда легко вывести, что существует
такое е1>0, что
ф/21П21 = 0 при \t\<Ri.
Так как (f>tX0^X0 для ()¦</< со, то существуют такая
окрестность U точки Хо на ТгМ и такое е>0, что q>&\U: I)-+
~> (pal/ есть диффеоморфизм и ф/(/ П V = 0 при е < ^ < со — е.
При этом чем меньше U, тем меньше можно взять е. Пусть U
таково, что годится е = вх.
Возьмем окрестность 2г точки рп на 2, для которой 22с:
cy^U()U{]!•. Рассмотрим отображение
При достаточно малом е2 > 0 имеем im \J) с: t/ (можно считать,
что b2^&i). Отображение 7iJ) имеет в точке (со, Ха) ранг я+1.
(Действительно, пространство im 7\|з (со, Хо) порождено вектором
S (Хо) и пространством Тфш (Хо). Гх.2. Но вектор S (Хо) =
= Гфш (Хо). S (Хо) трансверсален к последнему пространству,
поскольку S(X0) трансверсален к Тх.2.) Поэтому при достаточно
малых е и 28 отображение
будет диффеоморфизмом; обозначим его снова через г|з. Поскольку
Хо е im ij>, некоторая открытая окрестность 2Ш точки Хо на 2
содержится в imij).
Определим
X: 2
(ХBШ) мы и примем за 20) и ц: S^-^-IR посредством соотно-
соотношения
Тогда 5С — искомое отображение Пуанкаре З1 и б (X) := т) • X
170 Гл. 8. Геодезический поток
Осталось показать, что е?5 симплектическое. Для того чтобы
убедиться в этом, снова рассмотрим отображение г|з и заметим,
что ^(Х) = г|з(со + б(Х), X). Положим
Отображение Т^ симплектическое**, а
Тхф (t, X). С = (некоторое число) • -^ %Xl
это число мы будем сейчас обозначать через (Т^. ?).
Поскольку 2а^ф<Х, -| = ^Я(ф/Х) и оттого 2a(T{ty.li, •) =
f, a //|2 = const, так что**' d#»72\J> = 0, находим
= 2а GХ\|) - 78 . % + Tjp. ?, Г^. Гб.
= 0 + GV|> • Т8 . i) dH • Ггг|). т] - G^. Гб . т|) dH - T2i|3.
, т]). D
Замечания. 1) Важность отображения Пуанкаре № связана
с тем, что периодические точки X отображения 8* находятся
во взаимно однозначном соответствии с периодическими траекто-
траекториями потока, целиком лежащими возле данной периодической
траектории фД0. O^t^a. Точнее, если Хе 2— такая точка,
что при некотором целом N = N (X) > 0 выполняется соотношение
то фД — периодическая траектория. Если N (X) — минимальное
целое число, обладающее этим свойством, то период траектории
Ф/Х приблизительно равен Nat.
2) Отображение & зависит от выбора локальной трансверсаль-
ной гиперповерхности 2 (ее не обязательно выбирать именно
так, как описано перед 3.1.9). Но если 2'— другая локальная
трансверсальная гиперповерхность (возможно, взятая не возле
Хо. а возле некоторого Хх = ф<,Хо) и $>' — соответствующее ото-
отображение Пуанкаре, то ограничения & и iF>' на некоторые
окрестности Хо в 2 и Xt в 2' сопряжены посредством некоторого
диффеоморфизма этих окрестностей, переводящего симплектичес-
кую структуру в одной из них в симплектическую структуру
в другой.
*' Точнее, Г,-г|> определяются так:
T^(t, X).Z = TW, X).(t, 0х)
(где 0х — нуль 7^2) и аналогично для Г2г|>. Симплектичность Г2г|> означает,
что а (Г2г|>. |, Г2г|>. ri) = a (|, ri). Это следует из того, что Г2г|> (t, X) = Ту, \ ГХЕ.
**' Действительно, H-mt = H, dH°Tyt=dH. поэтому dH-T2y(t, Х) =
dH(T | ГЕ) = йЯ | Г2 =0.
3.1. Гамильтоиовы системы 171
3.2. Теорема об индексе для замкнутых геодезических
В этом параграфе мы свяжем индекс замкнутой геодезической,
введенный в § 2.4, со свойствами линеаризованного геодезичес-
геодезического потока вдоль соответствующей замкнутой траектории. Полу-
Полученные результаты найдут впоследствии важные приложения.
Материал этого параграфа содержится в статье Клингенберга
[15]. Нормальная форма 3.2.4 для симплектических преобра-
преобразований впервые (в несколько другом виде) была получена
Вильямсоном [1] *'
Мы начнем с рассмотрения линейного симплектического пре-
преобразования Р: V -*¦ V действительного симплектического вектор-
векторного пространства, dimV = 2ft. Другими словами, мы рассмат-
рассматриваем пространство V с заданной на нем билинейной кососим-
метрической невырожденной формой а и линейное преобразование
Р, сохраняющее а, т. е. а(РХ, PY) = a(X, Y).
Удобно комплексифицировать V, т. е. рассматривать про-
пространство Vt'.~ V (g)(D^ V ф iV. Кроме того, мы будем рассмат-
рассматривать а как косоэрмитову форму на V (g) (D С44):
(X, Y)^a(X, V); X, KeKcxVc; a(X, F)s(D,
а отображение Р: V -*-V продолжим до Р: VC->VC, полагая
Pi = iP. Для простоты пространство Ус мы снова будем обозна-
обозначать через V.
*' В указанной работе речь идет о нормальной форме для линейных
отображений, кососимметрических по отношению к а (см. ниже в основном
тексте) в действительном пространстве. Тот же вопрос (а также аналогичный
вопрос о симметрических отображениях) заново рассмотрен Ягломом [1],
не знавшим- о работе Вильямсона. Симплектическим же линейным преобра-
преобразованиям посвящена работа Вильямсона [2]. У Вильямсона [1], [2] подход
является более алгебраическим, а у Яглома—более геометрическим (в этом
отношении данная книга ближе к работе Яглома). Клингенберг не доводит
исследования до полной классификации —для его целей это не нужно; впро-
впрочем, это уже нетрудно сделать после всего того, что сказано в настоящей
книге (включая некоторые уточнения в примечаниях). Еще одно изложение
вопроса о классификации симплектических линейных преобразований имеется
у Кушмана и Дёйстермата [1].
В связи с историей вопроса замечу, что обнаруженное Вильямсоном раз-
различие между двумя типами собственных значений линейных симплектических
преобразований, равных по модулю единице, было впоследствии по другому
поводу переоткрыто М. Г. Крейном для случая простых элементарных дели-
делителей (в общем случае рассматриваемые М. Г. Крейном понятия отличаются
от тех, которые нас здесь интересуют). С тех пор оно играет важную роль
в теории линейных гамильтоновых систем с периодическими коэффициентами.
Подробности и библиографию см. у Якубовича и Старжинского [1]. Введение
в эту теорию имеется в работах Арнольда, Авеца [1] и Арнольда [4].
172 Гл. 3. Геодезический поток
Подпространство t/cV называется действительным*), если
П = U. Оно называется невырожденным, если форма а | U невы-
рожденна, т. е. для каждого X^U, ХфО, существует такое
КеУ, что а(Х, У)Ф0. Подпространство U называется изо-
изотропным, если а | U s= 0.
3.2.1. Предложение. Пусть Р: V-*-V симплектическое пре-
преобразование ^исходного действительного V, т. е. действительное
симплектическое преобразование комплексифицированного V А.
(i) Если р — собственное значение Р, то р, р-1 и р-1 также
являются собственными значениями Р.
(и) Пусть V (р) — корневое подпространство преобразования Р,
отвечающее собственному значению р, т. е. V (р) = {Л' е V; суще-
существует целое /г5s0, при котором (Яр-1 —1)*Х = 0 **>}. Тогда V
является ортогональной суммой невырожденных подпространств
вида
(p-1), еслиррфХ,
V (р), если рр = 1.
Доказательство, (i) Так как Р действительно, то р и р яв-
являются собственными значениями одновременно. Рассмотрим изо-
изоморфизм
Тогда а(РХ, У)==а(Х, P~lY), т. е. а, •?-'/«.а», или 'Р-1^
= а„. • Р • (а^)-1, где *Р — преобразование в V*, сопряженное к Р.
Значит, числа р-1 и р также являются собственными значениями
одновременно.
(И) Покажем, что при ра Ф 1
а(У('р), У(о)) = 0.
Для того чтобы убедиться в этом, обозначим через V/(p), где
/ — целое, /^0, подпространство пространства V (р), которое
аннулируется преобразованием (Pp-1 —iy. Для XeVi(p)HKe
*' Название объясняется не столько аналогией с числами, сколько тем,
что подпространства U с V, для которых U = U,— это в точности те подпро-
подпространства, которые получаются комплексификацией подпространств исход-
исходного действительного векторного пространства. Для действительных подпро-
подпространств безразлично, понимать ли ортогональность относительно спаривания
(X, Y)t-+a(X, Y) или относительно (X, Y)>—*-a(X, Y). То же справед-
справедливо для определяемых далее в основном тексте невырожденности и изо-
изотропности.
¦•' Мы вправе говорить о р-1 и писать (Pp~1 — l)kX = Q вместо обычного
(Р —р-Ч)Х = 0, ибо РФ0. Действительно, если ЯХ = 0, то a(X, Y) =
= а(РХ, ЯУ) = 0 для любого Y, что противоречит невырожденности а.
3.2. Теорема об индексе для замкнутых геодезических 173
е Vi (о) имеем
а(Х, ?) = а(РХ, PF) = pcJa(X, ?),
откуда <х(Х, F) = 0. Предположим, что мы уже знаем, что
Для (г, s) = (l, 2) или B, 1) это так,— ведь Ух(р) ортого-
льно Уг(а), а У0(р)=:0 и VO(
При X <= Vr(p), KeFs(a) имеем
нально V\(cr), a Vo(p) = O и V0(a) = 0 ортогональны всему V.
- ' Vs(o)
и, следовательно,
a(X, F) = 9-1a(X, />F) = ©-1p-1a(^^. PF) = a-1p-1a(X, F),
откуда a(X, F) = 0.
Наконец, так как для каждого ХеУ(р), ХфО, существует
такой вектор X*, что а(Х, Х*)фО, то форма a | V (р) ф V (р-1)
в случае рр =^= 1 и форма a | V (р) в случае рр = 1 являются невы-
невырожденными *\ ибо У (р) ортогонально всем остальным подпро-
подпространствам V (а). О
3.2.2. Предложение. Пусть р^О. Тогда
Доказательство. a((Pp-1—iyX,7)=a(Pp-l(Pp'1—\y-iX, F) —
— adPp-^-iy^X, F) = —a^p-^Pp-'-l^X, (Pp-l)F). П
3.2.3. Лемма. Пусть р —такое собственное значение преобра-
преобразования Р, что рр = 1. Пусть, далее, k = kp — наибольшее целое
^0, такое, что**1* (Рр-1)*ф0 на V(р).
Утверждение, (i) Если k — 21—l, то существует такой век-
вектор XeV(p), что элементы (Pp—l)fX, O^j^k, образуют
базис невырожденного подпространства ***) и
a((Pp-lfX, (Яр-1)«Х) = ±1.
(ii) Если k = 2l, то существует такой вектор XeV(p), что
элементы (Рр—\уХ, O^j^k, образуют базис невырожденного
¦' Здесь подразумевается «косоэрмитизированная» а.
**' Стоит предупредить, что при |р| = 1 автор часто пишет р вместо р.
Полезно также иметь в виду, что (Яр— 1) | V(p) = N \ К(р), где Л' —
нильпотентное линейное отображение, фигурирующее в представлении Р —
— S(\+N), где S полупростое (= диагонализуемое) и SN = NS. (Утвержде-
(Утверждение о существовании и единственности такого представления — один из ва-
вариантов формулировки теоремы о жордановой нормальной форме.)
***' Легко видеть, что оно порождается также и векторами Р/Х, />0,
так что это есть так называемое циклическое подпространство, порожден-
порожденное К.
174 Гл. 3. Геодезический поток
подпространства *' и
а((Рр-\уХ, (Pp-\)'X) = ±i.
Доказательство. Положим V\ (р) = (Рр — \)kV (p). Используя
3.2.2, разложение (Рру = A + Рр- 1)''= 1 + г(Рр — 1) + ... и снова
3.2.2, получим, что при X, УеК(р)
(**) a((Pp-\)"-rX, (Pp-\y7) = (-iy-'a(X, (Pp-1)*F).
Таким образом, если в левой части (##) изменить г на 1 («один
раз перекинуть оператор Рр — 1 с X на Y или с У на X»), то
у этой левой части изменится знак.
Предположим, что а ((Рр — 1)* X, X) = 0 для всех (Рр -l)'Xs
еУ', В Vi существует ненулевой вектор (Рр— l)kX. Для него
существует такой вектор УеУ(р), что
„ ( 1, если k нечетно,
а((Рр-1)*Х, F) = { . ,
u н ' ' \i, если k четно.
Тогда
a((Pp-l)"Y, X) = (—l)ka(Y, (Pp-l)»X) =
.—. ( 1, если k нечетно,
\i, если k четно.
Поэтому**) a((Pp-l)*(X + F), X+Y) = a((Pp-\)kX, 7) +
2, если й нечетно,
2t, если й четно.
Следовательно, можно предполагать, что существует X е
У?(р), при котором
а((Рр-1)'Х, (Рр-\у-1Х)ф0, /г = 2/-1,
-iyX, (Рр-\IХ)ФО, k = 2l.
При замене X на %Х эти величины умножаются на |Я|2. Из
полученной выше формулы (##) при Y = X видно, что первое
выражение —действительное, в то время как второе —чисто
мнимое.
¦' См. последнее примечание на предыдущей странице.
**> Суть приведенного рассуждения состоит в том, что:
а) билинейная форма <pft+1 (X, Y) := а ((Рр — 1)* X, 7) на V (р) = Vk+1 (p)
при нечетном k эрмитова, а при четном —косоэрмитова (и превращается
в эрмитову при делении на i)\
б) ее ядро совпадает g Vk (P)- Далее фактически используется форма
) (A=2/ —1 или 21),
отличающаяся от ф^ц только знаком (—1)*"' (ввиду (**)).
3.2. Теорема об индексе для замкнутых геодезических 175
Невырожденность циклического подпространства, порожден-
порожденного X, следует из того, что ограничение а на это подпростран-
подпространство имеет в базисе (Рр—1)'Х матрицу коэффициентов (матрицу
Грама) с ненулевыми элементами на побочной диагонали и ну-
нулями ниже нее. D
3.2.4. Теорема. Пусть Р: V -*¦ V — действительное симплекти-
ческое преобразование. Тогда существует такое ортогональное раз-
разложение
на невырожденные действительные инвариантные подпространства,
что ограничение Р | Vnc некомпактно, а ограничение Р | Vco ком-
компактно, т. е. принадлежит компактной подгруппе группы Sp (V).
Подпространство Vnc допускает ортогональное разложение
на невырожденные инвариантные действительные подпростран-
подпространства. Здесь
VSu — ортогональная прямая сумма подпространств V (р) ф
©У(р-1), |р|#1;
Vod — ортогональная прямая сумма подпространств Voa p,
имеющих базис вида (Pp-iyX, 0^j^2l—l, /Ssl, [p|='l;
Vev —прямая сумма подпространств Vevp, имеющих базис
вида (Рр-1УХ, 0</^2/, 1^1, |р| = 1 •>."(«)
3.2.5. Дополнение. Vsu имеет максимальное изотропное инва-
инвариантное действительное подпространство Vs, порожденное под-
подпространствами V (р) с | р | < 1;
Voa имеет максимальное изотропное действительное инвари-
инвариантное подпространство Voa,int порожденное подпространствами
Voa ы р cz Vod P, имеющими базис, состоящий из элементов
Р1УХ /'2/1
Vev имеет изотропное действительное инвариантное подпро-
подпространство Vev,in, порожденное подпространствами Vevjn,pcz Vev,p,
имеющими базис вида (Pp—iyx, / + 1<sS/=^2/.
Замечание. Подпространство Vev<in не является максимальным
изотропным подпространством. Для каждого из kev действитель-
действительных подпространств Vev,p(&Vev.p, которые составляют простран-
пространство V^, подпространства Vev, ,-„, р 0 VeVt ,-„, р имеют размерность
на 2 меньшую, чем максимальное изотропное подпространство.
*• Происхождение нижних индексов пс, со и т. д. достаточно ясно; стоит
только пояснить, что su происходит от stable, unstable (ср. cVs в 3.2.5).
Кроме того, ип происходит от unitary, а е, по словам автора, ничего не
означает и ставится просто, чтобы как-то обозначить соответствующее про-
пространство (оно появится дальше).
176 Гл. 3. Геодезический поток
Доказательство. Ясно, что Vsa корректно определено. Поэтому
рассмотрим собственное значение р, по модулю равное 1. Пусть
k = kp равно максимальному /, при котором (Яр— \Iф0 на V (р).
Предположим, что й>0. Из 3.2.3 мы получаем существование
невырожденного подпространства Vod, р или Vev, р в зависимости
от того, нечетно k или четно. дПри р=?±\ это подпространство
ортогонально своему комплексно сопряженному (ибо вообще V (р)
и V (р) = V (р) ортогональны). Значит,
0d,
ф Vod, р или VeVl р 0 Ре„,
— невырожденное инвариантное действительное подпространство,
и мы можем его «отщепить», т. е. перейти к рассмотрению его
ортогонального дополнения. При р = ±1 и нечетном k из дока-
доказательства 3.2.3 видно, что вектор X, порождающий соответст-
соответствующее Vod, р, можно взять действительным. Тогда Vod, p будет
действительным, и можно перейти к его ортогональному допол-
дополнению. Сложнее всего случай, когда р = ±1 и k четно. В этом
случае мы, как и раньше, берем Vev, Q+Vev, P. однако теперь
оба слагаемых лежат в одном и том же V (р), и потому неясно,
будут ли они ортогональны и является ли сумма Vev, p + F^,, p
прямой (т. е. верно ли, что VeVi РП Vev, p={0})> а следовательно,
неясно и то, является ли подпространство Vev.p+Vev.p невы-
невырожденным. Первое обеспечивается только путем дополнительных
построений при выборе X и нам не понадобится; мы непосредст-
непосредственно докажем второе и третье, после чего по-прежнему можно
будет перейти к ортогональному дополнению невырожденного
инвариантного действительного подпространства Vev, р © VeV: p.
Мы докажем, что матрица Грама G формы <х(Х, 7) по отно-
отношению к системе векторов
X, (±Р-1)Х (±Р-1)"Х,Х,(±Р-1)Х (±Р-1)*Х
невырожденна; это гарантирует и линейную независимость этих
векторов, и невырожденность формы а(Х, Y) на соответствую-
соответствующем подпространстве. Очевидно, G разбивается на квадратные
клетки порядка &+1:
(А В\
где, нумеруя элементы матриц А, В, С, D индексами l,j = 0,...
..., k, имеем
-lYX, (±Р-\УХ),
Ctf = a((±P-lYX, (±Р-1УХ),
DtJ = a ((± P - 1)' X, (ztP-iy X).
3.2. Теорема об индексе для замкнутых геодезических 177
Из различных вытекающих отсюда соотношений для этих коэф-
коэффициентов отметим только следующие. При i + j>k все они равны
нулю (пользуясь формулой (**) из доказательства 3.2.3, несколько
раз «перебрасываем» оператор ± Р — 1 иа один из аргументов
формы а с другого аргумента). Если же i + j = k, то Лу#0 и
Dtj=?0 (выбор X и «переброска» ±Р — 1), а Вц = Су = О. По-
Последнее получается так: учитывая, что k = 2h имеем
Bi, k-i =» а ((± Р - 1)' X, (± Р - 1)*-« X) =
и аналогично для С. Чтобы доказать невырожденность матрицы G,
умножим ее справа на матрицу
IA BUA 0 \
\С Df\C D-CA^Bj
(невырожденность А явствует из отмеченных свойств Лу). Опре-
Определитель при этом не меняется, так что достаточно доказать,
что
= 0 при
k—i
Если из уравнения х\ — ^ Aijty выразить xt через х), то мат-
/=о
рицей коэффициентов в этих выражениях будет А~1. Но непо-
непосредственно из уравнений видно, что х0 выражается через x'k,
Xi — через x'k-i и х'к и т. д., т. е. (Л-%=0 при i + j<k. Теперь
Г, S
Слагаемые могут быть фО лишь при
(a) i+r<k, s + j<k,
Нас интересуют (/, /) с
(b) i + j^k.
Но условия (а) и (Ь) несовместимы. А
Итак, во всех случаях мы «отщепляем» некоторое невырож-
невырожденное действительное инвариантное подпространство, дающее
нужный вклад в Voa или Vev, и переходим к его ортогональному
дополнению. К последнему применяем, те же самые рассуждения.
Если & = 0, то получаем подпространство, базисом которого
является элемент X, такой, что РХ = рХ, а(Х, X) = ±i. В этом
случае X вместе с X добавляется к Усо. Это доказывает 3.2.4.
Дополнение следует из теоремы и ее доказательства. ± По-
Пояснения требует только изотропность пространства ЗфУ^^р
при р = ±1. По построению оно является ортогональной прямой
178 Гл. 3. Геодезический поток
суммой подпространств, имеющих вид
' ev, in, p \t/ ' ev, in, p»
Здесь оба слагаемых изотропны, однако их ортогональности
друг другу мы пока не проверяли. Но при i, /
a((±P-l)'X, (±P-
ибо i + j>2l = k. A ?
3.2.6. Лемма. Пусть Vin = V]n®Vl9n — ортогональное разло-
разложение на невырожденные действительные подпространства. Пусть
Vfnc V)n — инвариантное действительное изотропное подпрост-
подпространство и Vl czVw — изотропное подпространство *>.
Утверждение, (i) Проекция V" Л (У?п 0 Vlfi) на Vl4n параллельно
Vfn является максимальным действительным изотропным подпро-
подпространством VQunczVl4n-
(ii) Ve := Vfn® У In — максимальное изотропное подпростран-
подпространство в У2л.
(Hi) Существует такое VlczV", что V" = Vfn0V'-
Доказательство. Положим Vl f] Vpm = V?n. где k — размерность
этого подпространства. Пусть V^ — изотропное дополнение Vfn
в Vfn, т. е. дополнение, само являющееся изотропным подпро-
подпространством **'. Пусть, далее, У*' —проекция V" на V*n парал-
параллельно У?п@У*ип- Для каждого Х*еУ*' найдется такое X' е
e=Vfn®Vl4n, что Х* + Х' = Х„6=У; и любое Х„еУ2 представ-
представляется в таком виде. Поэтому при любых Х*еУ*', KeV*,
имеем
(используем сначала, что Y e Vfn и что Vpin изотропно, а VVn
ортогонально Урп\ затем —что УеУ? и что Vl изотропно). Но
*' В самой лемме инвариантность Vpn не используется, но она играет
роль при применении леммы (см., например, конец доказательства 3.2.11).
Использование индекса v в Vnv связано с тем, что при этом применении
у нас появится понятие «вертикального подпространства» и это будет как
раз С
**> Существование такого дополнения легко доказывается и является
известным фактом линейной алгебры (например, он формально следует из
теоремы Витта о продолжении линейных отображений, сохраняющих симмет-
симметрическую или кососимметрическую билинейную форму, а по существу уста-
устанавливается при доказательстве этой теоремы).
3.2. Теорема об индексе для замкнутых геодезических 179
V*1 и Vkin изотропны (как подпространства изотропных подпро-
подпространств). Поэтому У*' + У?п изотропно. Сумма здесь прямая:
V*1 fl Vin с V*»" П УЧп = {0}. Так как ограничение а | VI © У*п не-
невырожденно, то k + l^p, т. е. <iim(Vnv(](Vfn ®Vlqn)) = n — l^
~^n-\-k — p. Поэтому проекция Van этого пространства на Vlqn
параллельно У?„ имеет размерность q'^n — p — q.
Однако для любых X, Y из У2п найдутся такие элементы X',
Yf из Vfn, что их суммы дадут элементы из Vo', поэтому
а(Х, У) = а(Х + Х', Y+Y') = 0
(используем сначала, что а(У?„, Уш) = 0 и что У?„ изотропно,
а затем —что V" изотропно). Поэтому Vtn изотропно. Значит,
q' = q, что и доказывает (i). Части (ii) и (iii) непосредственно
следуют из наших конструкций. (В качестве VI берем ^-мерное
подпространство в V" П (vTn ф ^нл), проектирующееся (параллель-
(параллельно VI) на все VL.) ?
3.2.7. Предложение. Пусть Vq с V29 — действительное макси-
максимальное изотропное подпространство. Пусть | р | = 1 и р не яв-
является собственным значением симплектического изоморфизма
Утверждение. QP(X, Y): = —2а (X, (Яр — 1 )-х F) — эрмитова
форма на V9. Ядром формы Qp является Vf\(Pp— \)V.
Доказательство. Положим (Рр — I)-1 X — S, (Pp —\)~1Y = T.
Тогда Qp (X, Y) = -2а (X, Т), У = - Т + РрТ,
2а(Х, F) = —2а(Х, Т) + 2а(Х,
2a(PpS-S, Ppf) =
a(S, f)-2a(S,
S) = Qp(X,Y)-Qp(Y, X).
Наконец, Y принадлежит ядру Qp тогда и только тогда, когда
а (У?, Т) = 0, т. е. Ге V». Следовательно, F е= V* f"l ОРр - 1) V». D
± Замечание. В тех же предположениях если УеУ принад-
принадлежит ядру Qp, то Y = (Pp—l)X, XeV}; значит, РХ —
= р(Х + У)еК Итак, MeV« и X е У?; иными словами,
XeV'fl^'V'. Обратно, если XeV'fl^V», то ХеУ и
ЯХ е У?, а тогда Y := (Рр — 1) X — элемент из ядра Qp. Следова-
Следовательно, Яр — I изоморфно отображает Vq[\P-lVi на ядро Qp,
а потому дефект Qp не зависит от р. (Напомним еще раз, что
все это относится к тому случаю, когда р не является собствен-
собственным значением Р.)
180 Гл. 3. Геодезический поток
Покажем, что индекс Qp как функция от р постоянен на тех
дугах окружности 5г = {р; |р| = 1}, на которые ее разбивают
собственные значения р; преобразования Р, равные по модулю
единице. Это вытекает из следующих общих фактов: если на Vя
имеется некоторая эрмитова форма Q%, непрерывно зависящая
от некоторого параметра к (он может принимать значения в произ-
произвольном топологическом пространстве; в нашем случае А,е
e=S»-(Upy)), то
индекс Q*, — полунепрерывная снизу функция К,
(индекс + дефект) Q^ —полунепрерывная сверху функция X.
(В нашем случае, когда дефект постоянен, получается, что индекс
непрерывен по Я, так что, будучи целочисленным, он должен
быть постоянным на компонентах связности S1 — (U ру).) Поскольку
(индекс + дефект) Qx = q — дефект QK,
то достаточно доказать только полунепрерывность дефекта. Снаб-
Снабдив на минуту Vя положительно определенной эрмитовой метри-
метрикой (• , •), представим Q\(X, Y) в виде (АкХ, Y) с эрмитовым
оператором А%,\ тогда индекс Q% равен числу отрицательных
собственных значений Л*, (с учетом кратности), т. е. числу отри-
отрицательных корней уравнения det (x— АК) = 0, коэффициенты кото-
которого непрерывно зависят от Я, причем старший коэффициент
равен 1. Очевидно, при малом изменении Я число отрицательных
корней может только увеличиться (если нулевой корень станет
отрицательным). А
Теперь мы подошли к важному обобщению понятия индекса
замкнутой геодезической с. Напомним, что ind с =1С определялся
как размерность отрицательного подпространства индексной формы
D*E(c) на пространстве ТСА = Т(ЛМ, элементами которого
являются периодические Я'-векторные поля вдоль с (см. 2.4.1).
Пусть р е С, | р | = 1. Обозначим через РТСА = РТСАМ гильбер-
гильбертово пространство комплекснозначных /Р-векторных полей t,(t)
вдоль c(t) (т. е. Щ&ТетМ<8Я}?*Те(()М®1Тс1/)М, Re? и I?
вещественные Я^поля), удовлетворяющих условию р?A) =
со скалярным произведением
ср. с § 1.2. Здесь
±Сейчас подразумевалось, что С определено при
В зависимости от контекста иногда удобнее считать, что t eR
или хотя бы <е [0, т] —см., например, запись ?i{tnt) в 3.2.8.
3.2. Теорема об индексе для замкнутых геодезических 181
Тогда вместо «краевого условия» ?A) = р?@) подразумевается
выполнение условия ?(^+1) = р?@ при всех t (при которых оно
имеет смысл). Заметим, что последнее условие имеет смысл и
для полей класса Н°. Полезно иметь в виду, что при его выпол-
выполнении (i(t + l), т}(*+1)> = <?@> Л@> (почти всюду, если ? и ц —
класса Я0) и
т
<С,Ч>о =4
Когда говорят, что ? — класса С", то это означает не только
С-дифференцируемость ? на [0, 1], но и то, что при продолже-
продолжении ? на R посредством соотношения ?(?+1) = р?(/) получается
поле класса С". Иными словами, не только ?A) = р?@), но и
производные Vv?(l) = pVv?@) при v=l, .... п. А
Далее, на РТСА определена р-индексная форма
D2?p (с) (?, ?') = <?, ?'), - ((Кс + id) ?, ?%
Так же как в 2.4.2, можно показать, что соответствующий само-
самосопряженный оператор РАС имеет вид \d-\-pkc, где pkc — компакт-
компактный оператор*'. В частности, размерность отрицательного под-
подпространства оператора РАС и размерность его ядра конечны.
Эти размерности называются р-индексом геодезической с, /с (р), и
р-дефектом геодезической с, Мс(р). При этом мы предполагаем,
что рФ 1. Если р= 1, то в соответствии с предыдущими опреде-
определениями (см. § 2.4) определим Л^с A) как размерность ядра опе-
оператора Ас минус единица.
По поводу интерпретации р-индекса см. (и) и 4.1.5.
Важность этих понятии впервые была обнаружена Bottom [3];
она связана со следующими фактами. Напомним, что мы опреде-
*' Как и раньше, р?с = A— V2) • (/Гс + Id), где A —Vs) —оператор, сопря-
сопряженный с вложением I: pTcAM ci_* Я» (с*ТМ), а Кс (С) @ := R (? @, с (/), с (t));
ясно, что Кс переводит рГсЛМ в себя. (На зависимость A— V2), i и Кс от р
наши обозначения не указывают.) Мы рассматриваем (I —V2) только на рТсАМ
(т. е. фактически речь идет об операторе A—V2)»!'); в этом случае его ком-
компактность очевидна. Мотивировка обозначения A — V2) та же, что и выше.
По-прежнему, когда ? — класса С8 (или хотя бы когда ?—класса С1, a V? —
класса Я1 и ?(^+1)=р?@)> имеем
(интеграл от -j- (V?, g'H равен нулю из-за краевого условия). С другой сто-
стороны, дифференциальное уравнение A— V2)tt = r\ при любом ц, удовлетворяю-
удовлетворяющем условию r\(t-\-l)=f>r\(t), имеет единственное решение, удовлетворяющее
тому же условию, и ? = A — V2) rj.
182 Гл. 3. Геодезический поток
лили m-кратное повторение с замкнутой геодезической с с помощью
равенства с^{г)=*с(Ш)', см. § 2.2.
3.2.8. Предложение. Пусть р — примитивный корень из единицы
степени т. Пусть c = c(t), 0 «s * <; 1, — замкнутая геодезическая.
Существует такой линейный изоморфизм*^
Обратное отображение есть сумма ©// отображений
j- plTcA+TcmA, ^@ — С,(«@)
(т. е. (/й)@ Ь
^Замечание. Поясним смысл 3.2.8. z:=e2ni/m изометрически
действует на AM (§ 2.2). Поскольку %, .ст = ст, то Т%г (ст) — изо-
метрия ТстА, продолжающаяся до унитарного оператора при
комплексификации. Его /n-я степень равна id, так что собствен-
собственные значения суть р'. Собственные векторы, отвечающие собст-
собственному значению р', — это векторы из подпространства /', (iT А).
В 3.2.8 описано разложение вектора I на компоненты, лежащие
в этих подпространствах. Все это понадобится нам в § 4.1,
а пока формально проще дать следующее «вычислительное» дока-
доказательство 3.2.8. А
Доказательство (ср. Клингенберг [15]). Легко проверить, что
?jS iTA. Ясно также, что отображение I линейное. Обратное
отображение определяется соответствием (?i@> •••> Cm (ОI—*
1=1
В самом деле, У У — pw/?(* + /— l) — l(t), так как
i l
° для
т для }=1. D
3.2.9. Теорема. Пусть с —замкнутая геодезическая и с —ее
т-кратное повторение. Тогда индекс ст равен сумме р-индексов с
по всем корням р степени т из единицы, а дефект с™ равен ана-
аналогичной сумме р-дефектов с:
•' ТсП1А подразумевается комплексифицированным.
8Л, Теорема об индексе для замкнутых геодезических 1?$
Доказательство. Пусть ? (t) = 2 ?* (/. ?' @ = 2 ?' ("^ и Р —
примитивный корень из единицы степени т (см. 3.2.8). Тогда
У/т
ft, I 0
Таким образом, D*E (с") — прямая сумма ограничений
D2? (с"*) | /fe (рьТсА) формы D*E (с) на прямые слагаемые прост-
пространства ТспЛ, описанные в 3.2.8. П Dв)
Замечание. Предыдущий результат получен Боттом [3].
Он демонстрирует полезность функции рi—»-/с(р), psS'cC,
/c(p)elN. Эта функция дает полную информацию об индексе
всех кратных повторений замкнутой геодезической *>. Основная
цель этого параграфа состоит в том, чтобы показать, как эта
функция определяется линейной частью геодезического потока
вдоль соответствующей замкнутой траектории геодезического
потока.
Мы по-прежнему рассматриваем замкнутую геодезическую с
длины со и соответствующую замкнутую периодическую траекто-
траекторию фЛ. Х0 = с@)/\'с@)\ периода <о. При этом мы не предпо-
предполагаем, что с однократна, т. е. <ftX0 имеет минимальный период ©.
Касательное расслоение tr,Ai: ТТхМ^>-ТхМ имеет подрасслоения
xnh:
которые определяются следующим образом. Слой расслоения та
*' Можно сказать еще так. Исследование D*E (cm) очевидным образом
эквивалентно исследованию функционала
J«VI, v!>-<tf(S(O, c(t), *W). 1@)}di>
задающегося тем же выражением, что и D2E (с), но на другом классе вектор-
функций—на вектор-функциях, определенных иа интервале [0, ш] и удовлетво-
удовлетворяющих «периодическому краевому условию» ?@)=1(/л) (разумеется, по-преж-
по-прежнему эти функции класса Н1 и | (/) е Тс ,(,М). Теорема 3.2.9 сводит задачу
об индексе этого функционала к определению индексов функционалов на «стан-
«стандартном» единичном интервале, задающихся снова тем же выражением, что и
D2E (с), но при других краевых условиях. В связи с этим заметим, что почти
во всех работах интересующего нас направления (как и в теории дифферен-
дифференциальных уравнений) рассматриваются и более общие самосопряженные крае-
краевые условия.
184 Гл. 3. Геодезический поток
над Хо е ТгМ состоит из тех (X, 0) е Тх^ТМ, для которых
(X, Хо) = 0, а слой расслоения т? над Хо е TtM состоит из тех
@, У)<=ТХфТМ, для которых (У, Хв> = 0*>.
Дифференцируемое отображение и-*~ТгМ, t*-+<t>tX0, индуци-
индуцирует расслоения**' т?: Fj->-R, т?: V^-^R. Прямую сумму
этих расслоений мы будем обозначать также через
Так как <$1ОХ0 = Х0, можно образовать факторрасслоения
над Sat^RmodcoZ:
о:
На слоях расслоения т2" определена симплектическая форма а;
см. 3.1.3. Кроме того, дифференциал T<pt геодезического потока
действует как однопараметрическая группа симплектических линей-
линейных послойных отображений на тал; см. 3.1.6, 3.1.7. В частности,
Туе,: V*l{0)-+V*t((a)=*V*40)
— линейное симплектическое преобразование. Оно является диф-
дифференциалом отображения Пуанкаре ^ в точке Хо е 2; см. 3.1.10.
По этой причине Тсрш | Vin @) мы будем обозначать также через Р
и называть линейным отображением Пуанкаре***'.
Теперь применим к симплектическому преобразованию
Р: V2n @) -*¦ VZn @) результаты, полученные в начале этого параг-
параграфа. Согласно 3.2.4, мы можем написать F2n@) = F«,®Vod®
Ф Vev® Vce, и, кроме того, у нас определено действительное
инвариантное изотропное подпространство Vin=Vs®Vodiin®Vev,in;
см. 3.2.5. Заметим* что РУ?п = V?n, ибо это так для всех прямых
•'Слой {^)'1XO = TXT1M[\TXJM, но (т^)-1^ не совпадает
0 Т x^iMuTx^TM; последнее пересечение есть само TXohTM.
•*' «Обратные образы» предыдущих расслоений т? и %nh при этом отобра-
отображении. Эти «обратные образы» (и еще некоторые расслоения в следующем
абзаце) автор обозначает теми же буквами. Смысл всегда ясен из контекста.
Как это часто бывает, верхние индексы здесь показывают размерность слоя,
а не всего пространства расслоения. Слой над точкой / обозначается через
vnh(t), vnv(t), v»(t).
***' Более общо, а?5 может строиться с помощью других локальных транс-
версальных гиперповерхностей, нежели та конкретная гиперповерхность, кото-
которая описана перед 3.1.9. Дифференциал ^ в точке пересечения гиперповерх-
гиперповерхности с рассматриваемой периодической траекторией мы тоже будем называть
линейным отображением Пуанкаре. По существу, это последнее отображение Р
определена, если фиксирована некоторая гиперплоскость V в касательном
пространстве к фазовому многообразию в рассматриваемой точке периодической
траектории, трансверсальная к вектору фазовой скорости. В общем случае
T<paV ф V, поэтому Р, вообще говоря, не совпадает с 7Чрш | V, но получается
из этого ограничения при последующем проектировании на V параллельно
вектору фазовой скорости.
3.2. Теорема об индексе для замкнутых геодезических 185
слагаемых Vs, Vod,in,p> Vev,tn, Р"> для последних двух это видно
из формулы
Для каждого Veo> Pi - := VeOi p®Vev> p рассмотрим двумерное
подпространство
где (Рр-1)'*, (Pp-iyJ, 0*s/^2/, l>О,-базис Vev> p> -.
Задание. PVe0< un> p# -=FeB> „„_ p> -modKw> й( p© VWf ^ -. Опре-
Определим Ут> ип как прямую сумму этих VЛ мя> р# -. Тогда dim FeJ) un=
= 2km, где feeo —число подпространств Ив0 р. (Ср. с замечанием
после 3.2.5.)
Положим
ил — К со vj? " et>, an
и определим V?,c=VS как проекцию VS(O)n(Vg,©KS) в УЙ
параллельно Vg,; см. 3.2.6 *>. Положим У?!=У?яфУ2я. Это
лагранжево подпространство в Кг"@) (*').
Для /s[0, о] положим W{t)\=Vi{t){\TqtVne.
3.2.10. Предложение. Предположим, что io = dim W (to)>Q.
Выберем такой базис
«олей Дкоби 5ля T(ftVe, что Y, (t0), I sg / sg t0, является базисом
для W (t0).
Утверждение, (i) Элементы VYf{t0), 1 sg/^tOt « Yf(t0), j>i0,
линейно независимы.
*• Здесь мы не определили, что такое V*%. Однако очевидно, что можно
следующим образом изменить формулировку леммы 3.2.6: считать, что задано
не разложение Vte«"VjjJ©V^J, а невырожденное действительное подпрост-
подпространство К*? и действительное изотропное подпространство У?„, для которого
a(Vfn, V**)«=0. Тогда можно вернуться к первоначальной формулировке,
определив Vj% как ортогональное (в смысле а) дополнение к V^qn.
В нашем случае невырожденность И** следует из невырожденности его
ортогональных прямых слагаемых V.. (см. 3.2.4) и V , — из 3.2.3 (ii)
v * с<> v ' _ ev, ип, р, р v '
видно, что матрица Грама формы (X, Y)i—*-а(Х, Y) относительно двух век-
торов(Рр-1)'Л. (Рр-1)'^ есть ^ °^
186 Гл. 3. Геодезический поток
(И) При достаточно малом, \t — и\фО поля Yf(t), </^,
линейно независимы. В частности, существует лишь конечное
число таких t е [0, со], что W (t) Ф 0.
Доказательство. Если Y(to)<=W(to), то Y(to) = O. Поэтому
векторы {VYf (ta); I «^/«Sto} линейно независимы. Векторы {Yk(t0)\
*о + 1 ^ks^n} тоже линейно независимы: ведь если бы было
2] ahYk{tQ) = Q, то 2 akYk(to) s W (t0), а это противоречит
тому, что Yi, 1 «ё/«^я, — базис TytVi. Наконец, векторы 4Y\(t0),...
..., VK;0 (^0) ортогональны (в смысле римановой метрики) векторам
К/.+1 (to) Yn (t0), поскольку 0 - a (Yh Y,) = - (Wj (t0), Yh (t0))
для j^io, k>i0. Итак, (i) доказано, (ii) легко следует из (i)
(при достаточно малых \t — to\ в подходящей локальной системе
координат координаты Yj (t), 1 «ё / ^ t0, с точностью до о (t — tQ)
совпадают с координатами (t —10) VK/ (/0)). ?
^Замечание. Обозначим
V @: = {X е Тс @М; (в (t), X) - 0}.
Очевидным образом возникает расслоение V-^-S^, имеющее У"@
своим слоем над t. Отображения 7'т, /С: ТТМ-+ТМ (второе из
них является отображением связности Леви-Чивита, отвечающей
используемой римановой метрике на М) индуцируют послойные
отображения Тх, К: Vin-*-Vn, которые мы позволяем себе обозна-
обозначать теми же самыми символами и которые в терминах исполь-
используемого нами представления (X, Y) для элементов УЫЦ) имеют
вид
Тх.(Х, Y) = X, K.(X, К) = У.
В этих терминах утверждение (i) из 3.2.10 состоит в том, что
имеет место ортогональное прямое разложение
Vn (t0) - Тх . 7Vp,0. Vя, 0 К • W (t0). a
Пусть psS1 не является собственным значением оператора
Р = Гфа. Мы хотим определить некоторое отображение ?р прост-
пространства W != ф W (t) в пространство рТсА = рТсАМ, где с —
по-прежнему замкнутая геодезическая, соответствующая периоди-
периодической траектории фДо- Заметим, что dimW<Zoo.
Пусть Y (t0) e W (to), Y (t) — инвариантное векторное поле вдоль
фДо. Y = (Y, VK). Возьмем инвариантное поле 2(t) с начальным
значением Z @) = (Рр — 1 У19 @). Пусть Z — соответствующее поде
Якоби, т. е. Z—(Z, VZ).
3.2. Теорема об индексе для замкнутых геодезических 187
Заметим, что pZ(/-f<o) = Z(t) + Y(t) при всех t, ибо
<5Z (* + ©)« 7%. Рр2 @) = 7Ф,. Рр (Рр - 1И Г @),
Z @ + Y (t) = 7Ф,. (Рр - 1)-» Y @) + 7>,. Г @),
а Рр (Рр - 1)-] = (Рр - 1)-Ч-1.
Определим ? = ?р (У (*0)) е р7сЛ следующим образом:
Тогда, как явствует из сказанного, ^(to/a>—) — t,(to/a+) — O,
V?(W(o-)-VC(W© +)=»VK(^e), PC A)—C(O)=-pVC(l)—VC(O)=O *>.
Мы видим, что действительно ? —элемент из рТ^Л., причем
V^ —гладкое везде, кроме, быть может, точки /0.
Обычным образом ?р (У) можно рассматривать и как функцию
на всей оси / со значениями в Тсу)М; тогда ^tP(^)@ имеет
разрывы лишь при / ав /о/со mod Z. а на отрезках [to/(a + k
3.2.11. Предложение. Отображение
линейно и инъективно. Кроме того, если ? = lP(Y(t0)), V = 1р(У' (Q),
то О*ЕРA„ l') = Qp(Yan, Yun)(a, где Qp —такая же, как в 3.2.7,
о Уип, Y'ип-компоненты векторов Y@), Y' @) е V" = Vg, ф VL
в VL-
Доказательство. Ясно, что ?р | Ц7 (f0) инъективно. Кроме того,
из ?p(?(/o)) = tp(F'(*J)) и r(W?=0, f'(<S)^O следует, что
to — t'o, т. е. ?р инъективно.
Пусть теперь ^^^о. Запишем \ в выражении для /J?р(с)(? ,^')
s
как интеграл от ^0/са до to/ta+l. Тогда, воспользовавшись интег-
интегрированием по частям, получим
Вычитаемое, очевидно, равно нулю, а уменьшаемое равно
W- Но
), 5'(<o/»+l—)>-<P^(<o/»-). Pt'(^o/fi>-)> =
*' При to=O соответствующие условия таковы:
188 Гл. 3. Геодезический поток
поэтому
Далее,
2a(f@), Z'@)) = 2a (?(/,), 2'(*o))=»-<VK(*o)> Z'(t0))
(другое слагаемое в выражении для а равно нулю, ибо У(?0)=»0).
Значит,
), (Рр- 1)-*У' @)) ш « Qp (?„,, П„)со.
Переход от Qp (У @), У' @)) к Qp (Увя, У?„) возможен потому,
что а(У?„, F") = 0 (см. конец (*7)). П
Теперь мы в состоянии доказать теорему о р-индексе; см.
Клингенберг [15], Кушман, Дёйстермат [1].
3.2.12. Теорема. Пусть с —замкнутая геодезическая. Пусть
Р —линейное отображение Пуанкаре для соответствующей замк-
замкнутой траектории геодезического потока, и пусть ре(С, | р | = 1.
Утверждение, (i) р-дефект Nc (р) геодезической с равен размер-
размерности собственного подпространства отображения Р, отвечающего
собственному значению р.
(и) Пусть р не является собственным значением Р. Тогда
р-индекс геодезической с равен /С(р) = ^с + Мр» где
Jc= Z
0<<<и
Мр = (индекс -\- дефект) Qp.
Замечание. Индекс /<.(р) выражается как сумма двух величин:
Jc, которая не зависит от р, и Мр, которая зависит только от р
и Р. Таким образом, если ни одно из собственных значений ото-
отображения Р не является корнем из единицы, то мы получаем
следующую формулу для индексов всех кратных повторений с
геодезической с (см. 3.2.9):
Существование такой формулы для /с(р) (и, как следствие,
для I (ст)) было доказано Боттом [3]. Однако он не определил
константу Jc, и у него не было явного описания Мр (см. под-
подстрочное примечание в конце настоящего параграфа #)).
•> Отметим еще, что Эдварде получил некоторое описание разности 1С (р)
и индекса D2Ea (с) (очевидно, не зависящего от р), из какового описания
видно, что эта разность зависит только от Р и р. (См. Эдварде [1], предло-
предложения 2.6 и 8.3. На самом деле там рассматриваются более общие краевые
условия. См. также Кушман, Дёйстермат [1].)
3.2. Теорема об иидексе для замкнутых геодезических 189
Наконец, заметим, что теорема демонстрирует важность функ-
функции рi—»Mp, peS1-{py}. Как мы видели в замечании после
3.2.7, Мр остается постоянной на компонентах связности S1 — {р/}.
«Скачки» возможны только в точках ру. Подробнее см. 3.2.16,
Клингенберг [15].
Доказательство. Ядро оператора p/4« = id + p&c состоит из
решений уравнения
(t)
удовлетворяющих условию p?(l) = ?@),pV?(l) = V?@). Для р = 1
это следует из 2.4.4. Для произвольного р, |р| = 1, это можно
доказать так же, как 2.4.4. Действительно, то, что ? принадлежит
ядру D2Ep(c), означает, что
D2Ep(c)(?, т}) = 0 Для всех т]е=рГсЛ.
Так как ? дифференцируемо *\ то мы можем с помощью интег-
интегрирования по частям переписать это условие в виде
A1) <V«E + Re (E), f)>o = -<V? @,1 <Q> l?o = 0, для всех rj e= рГвЛ.
Ho (ft) при 5 e рГсЛ эквивалентно (t) и условию pV?(l) =
4@)
4()
Решение t, уравнения (t). удовлетворяющее условию (?(/).
)) = Q, определяет поле Якоби У (t) = ? (t/w), для которого
р(а) == У@), т. е. (Рр—1)У = 0. Обратно, такое У определяет
решение ? (t): = Y (/со) уравнения (f). Наконец, заметим, что
при р Ф 1 эти ? и У ортогональны с (при всех t). Тем самым мы
доказали (i).
Для того чтобы доказать (ii), рассмотрим отображение А,р:
E,pW-*~Vun, которое элементу Z,p(Y(t0)) ставит в соответствие
компоненту Уил@) вектора У@)е1^? в разложении V? = V?n@Vm-
Из 3.2.11 следует, что это отображение корректно определено.
Отметим, что Кр сюръективно, — более того, уже KP\W @) сюръ-
ективно, ибо каждое Ущ, @) s V4m встречается как компонента
некоторого элемента из Vl a W @) = V" @) П VI (см. 3.2.6 (ш)).
Подпространство Z,PW а РТСА не содержит ненулевых элементов
из ядра формы D%Ep (с) * * К Из 3.2.11 мы знаем, что D2?p (с) (?, lf) =
*• Поскольку ? =— pkct, и pkc повышает гладкость.
**• Поскольку при det (Рр—1)#0 ядро тривиально. Впрочем, и при
у р (p)# р р р, р
det(Pp —1)=0 в t.pW нет ненулевых элементов из ядра—последние диффе-
дифференцируемы, а каждый ненулевой элемент из ?р№ имеет «излом».
190 Гл. 3. Геодезический поток
- Поэтому
A1 t) /. (Р) > (индекс + дефект) D*EP (с)
индекс D2EP (с) | 1PW = индекс Qp,
дефект D*EP (с) | ?РН? = dim ker Яр + дефект Qp.
± Поясним (ft t )• Пусть Е a Z,PW — подпространство размер-
размерности (индекс + дефект) D2Ep(c)\?,pW, на котором D2?p(c)sg0.
Аналогично 2.4.3 разложим РТСА на подпространства, отвечающие
отрицательным, нулевым и положительным значениям РАС:
Р7'СЛ = РТ~СА © РГСА © РПЛ.
Пусть р_, р0, р+— проекции на эти подпространства. Тогда
ker(p_|?) = 0 (откуда и следует, что dim?<dimpTcA=/e(p)).
В самом деле, если ? е ?, ? ^ 0 и р_^ = 0, то р+? ^= 0 (иначе
% е рГ^Л, т. е. 1PW содержало бы ненулевой элемент из ядра
гессиана D*Ep(c)*>). А тогда D2Ep(c)&, l) = (pAcp?, p+?>1>0. a
Поскольку
dim ker Яр = 2 dim ^ @ + dim ker КIw (°) = •'с.
то остается только доказать, А что в (ttt) на самом деле
можно поставить знак равенства. Используя введенные выше
обозначения, это можно перефразировать так: р-Е = РТ~СЛ. Спра-
Справедливость такой перефразировки не зависит от выбора Е, кото-
который не единствен. Выбирая Е подходящим образом, можно
показать, что достаточно доказать * следующее: если дифферен-
дифференцируемый элемент ?ерГсЛ таков, что \Ф$ и ?>2?р(с)(?, |) = 0
при всех ?е?р№, то D2Ep(c)(%, 1)^0. д Достаточно даже дока-
доказать это только для таких |, для которых (c{t), 1@) = 0 при
всех t. а (*8)
Пусть С - Ср (Р (to)). Тогда 0 = D*EP (с) F, I) - (VY (/„), I (jo/co)>
(то же вычисление, что в доказательстве 3.2.11). Если Y,@),
1 ^ / «S п, -*• действительный базис пространства V", то, согласно
3.2.10, 5@ можно записать в виде l(t) — ?wJ (t)Y/ (ta) с диф-
дифференцируемыми w>[t). (*8)
Мы можем предположить, что Y/@)eVfn, 1^/^р, РА@)е
sV?, fe>p (см. 3.2.6). Следовательно, оу*@) = 0 при k>р (и).
Так как PVfn = Vfn, то Г,(ш) = 2^/@), К/. /<Р- Из
•¦ Как видно, в этом рассуждении не используется, что o?'JAi={0}.
3.2. Теорема об индексе для замкнутых геодезических 191
следует, что в>*A) = 0, k>p, и
. (б0) Тогда
B
)> 21
А равенство получается так: выражение в правой части,
если в нем выполнить дифференцирование и заменить (V2Yk)(ta)
на — R(Yk(t(o), c(t(o), c(t(o)), отличается от стандартного выраже-
выражения для Оа?р (с) (!, 1) на
2 а>* @ в'(9 2а (?/('»). ?*(<ш))<о.
Но последнее равно нулю, так как V" изотропно. Отбрасывая
теперь $H2d/ и учитывая, что ^wfYj==l и 1A) = р|@),
получаем
D2?p(с)(Б, IK*«/У w"(t) VYk(to), I(/)
о
= <o /p 2 o»* A) VK* (©) - 2 ^* @) ^^* @), I @)\.
\ * * /
Можно считать, что суммирование ведется по Л=1,..., р. Тогда
р J]a;*(l)VyA(co) = P j] w"(l)a'kW,@) = J] ^@)Vry@)
и <., .>=o. a a
Замечание. В некоторых случаях Vu' =0, т. е. р = п, V" = У?п ¦
Это происходит тогда, когда в разложении 3.2.4 пространства
]/%п по отношению к Р подпространства Vev и Vco оба равны
нулю. Важным примером является случай, когда отображение Р
гиперболическое, т. е. не имеет собственных значений, равных по
модулю единице. Тогда соответствующая замкнутая геодезическая
также называется гиперболической.
3.2.13. Следствие 1. Предположим, что замкнутая геодезиче-
геодезическая с гиперболическая. Тогда
Здесь Vs{t) = T%V"@)—maii называемое устойчивое подпростран-
192 Гл. 3. Геодезический поток
ство, образованное теми полями Якоби *-\ ортогональными кс**\
которые стремятся к нулю при ?-»-оо.
Доказательство (см. Клингенберг [12]). Согласно предположе-
предположению, VM@) = V"@) + Vu@) (см. 3.2.5). Здесь у?@) порождено
корневыми подпространствами V (р) с | р | < 1, в то время как
Vu@) порождено V(p) с |р|>1. Остается добавить, что в нашем
случае V^' = {0}, Vi = V?@). D
3.2.14. Следствие 2. Пусть c — (c(f), Q^t^ai) —невырожден-
—невырожденная эллипти ческая ***) замкнутая геодезическая на поверхности М,
т. е. dimAf = 2. Обозначим через k число сопряженных с с@)
точек вдоль c(t) на интервале ]0, со[ ****>. Если с ориентируема
{неориентируема}, то индекс с равен k+l{k} или k{k-\-\} в за-
зависимости от того, четно k или нечетно. В частности, на ориен-
ориентируемой компактной поверхности индекс эллиптической замкну-
замкнутой геодезической всегда нечетный.
Доказательство (ср. Хедлунд [1], Клингенберг [19]). В нашем
случае п—\, р=1 (речь идет об обычном индексе), V2@) = Vco =
= Vhn, P = 0, K'@) = ia, = l/* = U7@), все нетривиальные W (*)
одномерны. Тогда формула 3.2.12 дает Ic = k. Осталось опреде-
определить число
Mi = (индекс + дефект) Qx на Vi@).
Рассмотрим сначала случай, когда с ориентируема, т. е. нор-
нормальное расслоение V1-yS(a иммерсии с: S^-*- M тривиально.
Выберем ортогональный к с@) единичный нормальный вектор Е.
С помощью параллельного переноса вдоль с получаем канониче-
каноническое отождествление нормальной к с прямой, являющейся слоем
над t e Sm с нормальной прямой — слоем над 0 е ?«,. Кроме того,
каноническое отождествление расслоений та и х'о над S^ с нор-
нормальным расслоением приводит к каноническому отождествлению
расслоения т2 = тйфт?: K2^-S@ с тривиальным расслоением
2, где слой R8 обладает ортонормированным базисом Ён =
*' Точнее, значениями в точке / инвариантных векторных полей Y = (Y, VY)
геодезического потока.
**' Для когорых У ортогонально к с.
***' Все собственные значения Р лежат на единичной окружности и Ф 1,
причем если они равны —1, то элементарные делители Рс должны быть про-
простыми. (Иногда в определение эллиптичности включают еще требование, чтобы
—1 не было собственным значением, но в нашем случае это не нужно.)
••**) Напомним определение сопряженных точек в общем случае. Точки t%
и t# называются сопряженными (вдоль с; говорят также о сопряженных точ-
точках (на) с), если существует нетривиальное (не равное тождественно нулю)
поле Якоби, обращающееся в нуль при t=*t\ и при t=^t2.
8.2. Теорема об индексе для замкнутых геодезических 193
=¦ (Б, 0), Ev — @, Е). В этих терминах, если векторное поле Y (t)
вдоль o(t) всюду ортогонально c(t) и имеет координату y(t) «по
нормали» (т. е. Y (t) = y(t)E(t)), a Y(t) = (Y(t), W (t)), то
Y(t) = y(t)Eh(t) + y(t)Ev(t),
и уравнение Якоби сводится к $(t) -\-k(o(t))y(t) = O, где & (о (О)—
кривизна М в точке c(t).
Обозначим через
к @ - х @ ?А+* @ ?„;
фундаментальную систему решений уравнения Якоби (точнее,
соответствующей системы уравнений в вариациях), т. е. инвари-
инвариантные векторные поля с начальными значениями (х @), к @))=( 1,0)с
(уф), J/@)) = @, 1). Тогда матрица отображения Пуанкаре Р;
запишется в следующем виде:
ю) у(а>)\
(») У («О/
где 2 — х(са) — ^(ш)>0, так как Рс —эллиптическое*'.
Так как Y @) е FJ, то нам достаточно вычислить
Qt(f @), f @)): 2а (Г @). (P-l)-»f @))-<VK@), Z@)>,
где, как обычно, t,(t) обозначает инвариантное векторное поле
о начальным значением Z@) = (P — l)r1Y@). Разложим Z(t) по
базису Eh, Ev: Z{t) = z(t)Eh + i(t)Ev. Тогда <VF@), Z@)) = z@).
Вычисляя z@) из линейного уравнения (Р — 1J@) = Y @), по-
получим, что
Число Л точек на интервале ]0, <в[, сопряженных с с@), равно
числу пересечений У (t) с вертикальной осью R?V Все эти пере-
пересечения трансверсальны, и в момент пересечения Y (t) движется
по часовой стрелке.
Пусть k четно. Это эквивалентно неравенству #(<o)S=0, в ко-
котором #((й) = 0 лишь в тех случаях, когда Y @) — собственный
вектор отображения Рс, отвечающий собственному значению —1.
Из (*) получаем, что Qi(Y @), ? @))sg0, т. е. ^=1. С другой
стороны, если k нечетно, то #(<о)<0, т. е. z@)>0. (Возмож-
*' Собственно, условие эллиптичности есть 2 > х (са) + # (<о) > —2 (причем
если имеет место равенство, то дополнительно требуется, чтобы элементарные
делители Рс были простыми), во иам понадобится только указанная выше его
часть.
7 В, Клиигюберг
194 Гл. 3. Геодезический поток
ность #(со) = О исключается, так как по условию у Рс нет собст-
собственного значения 1.) Поэтому Mi = 0. Это завершает доказатель-
доказательство 3.2.14 в ориентируемом случае.
±В неориентируемом случае нормаль Е после одного «обхода»
вдоль с переходит в —Е, а та" получается из [0, <о]хК2 при
отождествлении @, х, у) с (<о, —х, —у), так что Ре представ-
представляется матрицей
х(ю) —у((о)\
(**) г @) = у (ю)/B+х (ю) + У (»))
(знаменатель положителен ввиду эллиптичности Рс; в данном
случае это означает, что 2> — х(а>) — у(©)^—2, с обычным до-
добавлением в случае равенства). Четность k означает, что у((о)^0,
причем #(<й) = 0 только в исключенном случае, когда PcY@) =
= ?@). Тогда из (**) получаем Qi^fO), f@))>0, и ^ = 0.
В случае нечетного k аналогичные рассуждения показывают, что
Пусть Р = РС — отображение Пуанкаре, соответствующее замк-
замкнутой геодезической о. Собственные значения Р, по модулю рав-
равные 1, мы будем записывать в виде (ру, pJ) = (e2niat, e~2nia/),
ls^/s^/— 1, где ao = Q*^1a1<....<.ai-i^a/ = Va- При этом мы
не исключаем возможность того, что /—1=0, т. е. Рс не имеет
собственных значений, равных по модулю 1.
Из 3.2.12 видно, что р-индекс /е(р) геодезической о, рассмат-
рассматриваемый как функция на S, постоянен на компонентах связности
S — {pj, р/! 1<;/«^/ — 1}. Обозначим через ICtf значение функ-
функции /е в точке p = e2lWa, aj-i<.a<aj, l^j^.1. Положим
ае = 2 2 I*, (а, - ам); ре = 2 ? 1С,,.
Используя эти числа, получим оценку для роста индекса крат-
кратных повторений ст, т=\, 2, ..., геодезической о.
3.2.15. Лемма. Пусть с — замкнутая геодезическая. Тогда
индекс 1ст т-кратного повторения с удовлетворяет соотношениям
(*) тас — рс </<.». </шс + рс.
Замечание. Слабая форма неравенства (#) содержится в полу-
полученной Bottom формуле для «усредненного индекса» /„= lim Icm/m;
т-*оо
см. Ботт [3]. Громол и Мейер [2] заметили, что формула, похо-
похожая на формулу (*), может быть получена из результата Ботта.
3.2. Теорема об индексе для замкнутых геодезических 195
Кроме того, слабый вариант (*) получен Клингенбергом [16].
Настоящая формулировка принадлежит Циллеру [1]. Можно па-
казать, что в общем случае это наилучшая оценка.
Доказательство. Нам потребуется, что lc (pf) ^ 1С (р) для р,
достаточно близких к ру. Это следует из непрерывности по р
спектра оператора РАС, определяемого формой йгЕр(с), т. е. опе-
оператора
РЛС = id - (id — V«)-i. (Кс + id): PTCA^
см. Ботт [3]. Это также следует из приведенных ниже формул
3.2.16. Если пожелать обойтись без этого результата, можно
получить соотношение типа (#), заменив в определении $с числа
1С.} на max(/cJ, /c(P/)> /c(P/-i))-
Из 3.2.9 мы знаем, что Icm = 2 h (p). Pm=l. Разобьем S на
дуги, исходя из представления S в виде g^]—1/2,1/2] и разбивая
]—1/2, 1/2] следующим образом:
V=i / \/=i
Обозначим через km,j число тех корней из единицы p=e2nifl/m,
для которых aJ-1<ih/m<.aj, через km,-j — число тех из них, для
которых — aj < h/tn < — а/-!, через k'm< ,• — число тех р, для кото-
которых aj-i^hlm^aj; оно совпадает с числом й„,_/ тех р, для
которых — О/ =з? him «s — а/-г. Для этих чисел имеют место оценки
m {Of — С/-1) - 1 < km, j = km, -, < k'm, i=k'n,-j^tn {a/ — aHl) + 1.
Заметим также, что если lc, _/ — значение /с(р) на дуге р = егШа,
— aj<.a<. — aj-i, то lc,-j — lc,j. Действительно, /е(р) = /с(р), ибо
отображение
Н°(с*ТМ)->Н°(с*ТМ), 5н—5,
переводит РТСЛ в РГСЛ и при этом
Теперь имеем
—а_А) + 1) =
7*
196 Гл. 3. Геодезический поток
Замечание. Осталось исследовать /с(р0) для тех р0, |ро|=1,
которые являются собственными значениями отображения Р. Мы
уже знаем, что /с(р) остается постоянным, если р меняется в од-
одной компоненте связности S1 —{р/}, где {ру} — множество собст-
собственных значений Р, лежащих в S1. Следуя Ботту [3], введем
числа расщепления в точке р0 е S1;
S±(Po)= lira (/e(p)-/e(Po)), argppo
По аналогии с теоремой 3.2.12 можно предположить, что числа
расщепления зависят только от р0 и Р. То, что это так на самом
деле, было доказано Боттом [3], который использовал топологи-
топологическую теорию пересечений. Совершенно другое доказательство
элементарно-алгебраического характера предложено Клингенбер-
гом [15]. В то же время в этой работе устанавливаются явные
выражения для Sjr(p0) в терминах «нормальной формы» отобра-
отображения Р, приведенной в 3.2.4 (т. е. в терминах инвариантов
строящегося в 3.2.4 разложения У2п@) в прямую сумму инвари-
инвариантных подпространств описанного в 3.2.3 типа) *\
Для собственного значения р0 отображения Р, |ро| = 1, опре-
определим следующие целые неотрицательные числа.
Рассмотрим сначала случай, когда pj ф 1. Определим kf0 (po> Ро)
как число тех одномерных подпространств типа 3.2.3 (ii) с / = 0,
р = р0, для которых в формуле с а из 3.2.3 (ii) справа стоит
соответственно ± i. Определим k^, (р0, р0) как число тех подпро-
подпространств типа 3.2.3 (ii) с />0, р=р0, для которых в той же
формуле справа стоит соответственно ±i. Наконец, определим
•' Тогда как Ботт охарактеризовал Sf- (Ро) в терминах некоторых свойств
некоторого вспомогательного двупараметрического семейства операторов, опре-
определенным образом связанного с Р и р0. Из этого результата Ботта следует
его результат (упомянутый после формулировки 3.2.12) о том, что /е (р) можно
представить как сумму некоторой величины, зависящей от с, но не от р, и не-
некоторой величины, зависящей только от Р и р и постоянной на связных ком-
компонентах S1 —{р/}.
Существенная часть теории Ботта фактически связана с использованием
грассманова многообразия комплексных лагранжевых плоскостей (т. е. изо-
изотропных подпространств максимальной размерности). Точнее, в этой теории
рассматриваются пересечения некоторых кривых в этом многообразии с неко-
некоторым циклом коразмерности один. Впрочем, у самого Ботта рассмотрения
велись в группе симплектических преобразований, и лишь по ходу дела (при
разрешении особенностей некоторого псевдомногообразия) привлекались лаг-
ранжевы плоскости. Использовать последние с самого начала предложил Эд-
Эдварде [1]. В действительной области аналогичные объекты по другому поводу
появились позднее у Арнольда [3]. Его работа получила широкую известность
и оказала влияние (включая обозначения и терминологию) на те из поздней-
позднейших работ об индексе, в которых используется н развивается топологический
подход Ботта—Эдвардса.
3.3. Свойства отображения Пуанкаре 197
bod (Ро> Ро) как число тех подпространств типа 3.2.3 (i) с
р = р0, для которых в формуле с а из 3.2.3 (i) справа стоит —1.
Если Ро=1, то через 2&со(р0, р0) обозначим число всех
подпространств типа 3.2.3 (И) с р = р0, / = 0. Аналогично опре-
определим 2kev{pu, ро). Наконец, kod(Po> Ро) положим равным числу
тех подпространств типа 3.2.3 (i) с />0, р = р0. для которых
в формуле с а из 3.2.3 (i) справа стоит — 1.
Используя эти инварианты симплектического преобразования
Р, можно сформировать следующую теорему (ср. Клингенберг [15]).
3.2.16. Теорема. Числа расщгпмния Sf (p0) р-индекса для соб-
собственного значения р0 отображения Пуанкаре Р, соответствующего
замкнутой геодезической с, равны
&й(Р<" Po) + k^(po, Ро) + ^(Ро. Ро), если Ро?=1;
Ко (Ро. Ро) + *ет(Ро. Ро) + ^ (Ро, Ро), если Ро = 1. D
3.3. Свойства отображения Пуанкаре
В этом параграфе мы более подробно исследуем отображение
Пуанкаре, соответствующее замкнутой траектории геодезического
потока. В частности, мы исследуем, при каких условиях отобра-
отображение Пуанкаре имеет периодические точки. Как уже было заме-
замечено, эти периодические точки находятся во взаимно однозначном
соответствии с периодическими траекториями геодезического по-
потока, целиком лежащими около рассматриваемой периодической
траектории.
Уже линейная часть Р отображения Пуанкаре Р: B0, Хо) -*¦
-*~B®, Хо) в неподвижной точке Хо содержит некоторую инфор-
информацию относительно интересующего нас вопроса. Однако, как
мы увидим, лишь аппроксимация третьего порядка отображения ZP
в точке Хо (так называемая 3-струя) несет достаточно информации
для того, чтобы гарантировать существование периодических
точек; это составляет содержание теоремы о неподвижной точке
Биркгофа и Льюиса, см. 3.3.3 и добавление к § 3.3.
Пусть Р: угп-*-Уы — симплектическое преобразование. Из 3.2.4
мы знаем, что каждое из собственных значений +1 и — 1 встре-
встречается с четной кратностью. В самом деле, например» в случае
+ 1 оба числа dimVod.i и dim(Kn)A(g)KM,1) четны.
В свете 3.2.1 мы выберем из 2я собственных значений ото-
отображения Р (которые считаются с кратностями) подмножество
из п так называемых главных собственных значений. При этом р
называется главным собственным значением, если |р|< 1 или
pz=einta, где 0^а^1/2, причем в случае тех р, для которых
Гл. 3. Геодезический поток
а = 0 или 1/2, мы берем половину из них (т. е. р = ±1 берутся
с половинной кратностью).
Линейное симплектическое преобразование Р мы назовем N-
элежнтарным, где N>0 — целое, если множество {р1( ..., р„}
главных собственных значений отображения Р удовлетворяет
следующему условию. Для любых целых ku ..., kn, таких, что
1 ^ 2 Щ | ^ N, выполняется соотношение \\ рЬ Ф 1.
1-элементарность означает, что 1 не является собственным
значением отображения Р, 2-элементарность — что + 1 и — 1 не
являются собственными значениями и что нет кратных собствен-
собственных значений. Мы будем интересоваться главным образом 4-эле-
ментарностью, которая означает, в частности, что отображение
не имеет собственных значений, которые являются корнями из
единицы степени =^4, и что у него нет кратных собственных
значений. (81)
Прежде чем мы объясним наш интерес к 4-элементарным
преобразованиям, изложим полезный метод описания «формаль-
«формальных» симплектических преобразований с помощью так называе-
называемых производящих функций. Заметим, что каждое «формальное»
симплектическое преобразование совпадает до порядка k с неко-
некоторым симплектическим преобразованием класса С1, l^k, или
класса Сш (т. е. аналитическим). Здесь k можно взять любым.
Наше изложение следует Мозеру [5].
Пусть (xk, yk), 1 «g й «s я, или короче, {х, у) — канонические
координаты в R2" с канонической 2-формой 2 ^*л dyk. Обозна-
k
чим через
t* = x* + a*r)(x,
W Л*-У*+ *?,.,(*.
формальное локальное симплектическое преобразование
ф: (R8", 0)-*-(Rs", 0), где а*г)) Ь\г) — однородные многочлены сте-
степени г 3*2.
З.З.Д. Предложение. Пусть (*) —формальное симплектическое
преобразование \]з. Тогда существует такой однородный многочлен
H> У) степени г-\-1, что
(**) afr)(x, у) = дН{г+1)(х, у)/ду»; Ь\г) (х, у) = — d#(m) (x, у)/дх".
Обратно, если Я(г+1)(^, у) — однородный многочлен степени г-\-\,
то существует формальное симплектическое преобразование i|>,
для которого тполнщтся формулы (*) и (**),
3.3. Свойства отображения Пуанкаре 199
Вводя комплексно сопряженные координаты (?, С)==(Е + гт), | —
щ) и (г, z)=(x+iy, x—iy), можно записать (*) и (**) в виде
(*)? С* = г* + с*,(г, 2) + ...
С» ,B, Z) = d/C(r+i)(z, 2)/**,
(**)с /С(т)(г, 2) = -/С(,+1)(г, 2).
Доказательство. Так как определяемое формулами (*) пре-
преобразование of симплектическое, то 1-форма
замкнута. Используя (я, т]) как независимые переменные (что
возможно, так как ?)i|> @) — тождественное отображение), мы можем
записать эту форму в виде dH (х, \\), где Н можно нормировать
условием Я@, 0)=0. Другими словами,
(***) \h*=xh-\-dH{x, т])/дт]*; у^ц^ + дН (х, г\Iдх*.
Функция Н (х, т)) называется производящей функцией преобразо-
преобразования г|).
Сравнение формул (***) с формулами (#) показывает, что
Я (х, т)) начинается с однородного многочлена Я(г+1) (х, у\) степени
г+1, для которого выполняется (**).
Обратно, пусть теперь Я(г+1) (х, \\) — однородный многочлен.
Тогда формулы (**#) неявно определяют симплектическое пре-
преобразование *ф. Ясно, что это я|? удовлетворяет (*) и (**).
Выражения (*)с и (#*)с получаются простым вычислением,
если положить
(г, 2) = -2Ш(т)((г+2)/2, (г-2)/20,
, (г-2)/20+ «?,-((
и учесть, что
д/дг* == (З/ал:* - id/dyk)/2, d/dzk = (З/Э** + id/dyk)/2. ?
^Замечание. Аналогично можно доказать, что если симплекти-
ческий ^-диффеоморфизм имеет вид (*), где многоточием обозна-
обозначены остаточные члены порядка о (| х \r -f | у \г), то по-прежнему
существует такой однородный многочлен Н(Г+1) (х, у) степени
г+1. что имеют место формулы (**). Именно, так же, как и
раньше, доказывается, что преобразование (*) можно задать по-
посредством некоторой производящей С2-функции Н посредством
фэрмулы (***). Значит,
дН (х, ti)/ft|*= <, (х, У (х, т))) + о (| х Г +1У \") =
200 Гл. 3. Геодезический поток
(ведь ц — у(х, ri) = o(|^|2r-1 + |Ti|8r-1)), и аналогично
дН (х, У])/дх* - - 6*, (х, т)) + о (| х \г +1 т) Ю
Отсюда
Н(х, л)
(x,
0 6
Обе разности интегралов являются некоторыми однородными
многочленами Я(г+1)(х, т)) и Щг+\)(х, г\) степени г+1. Как
видно, разность этих однородных многочленов есть о (| х |r+1 +
+1Л |г+1)> так что на самом деле они совпадают. Из выражения
Я(,+1) в виде первой разности видно, что дН/дг\ =» — &*.M а в виде
второй —что дН/дх = а*г). *
Теперь мы можем получить нормальную форму Биркеофа
4-элементарного симплектического преобразования. Основные идеи,
связанные с этим кругом вопросов, можно найти у Биркгофа
[2] и [3], а настоящее доказательство содержится у Мозера [б].
3.3.2. Лемма. Пусть
0s: (Ran, 0)-^(R8n, 0)
— локальное симплектическое преобразование класса С1, принад-
принадлежащее в начале координат 0 классу Ся*\ Предположим, что
собственные значения отображения P=-D^@) равны по модулю
1 и что оно Элементарно. Тогда в некоторой окрестности 0 s
е R2" существуют такие вещественно аналитические комплексно
сопряженные координаты (г, 2), что в этих координатах пре-
преобразование № задается так называемой нормальной формой
Биркгофа
z*k „ zk exp 2ni (a* + 2 b)zlll\ + wk (z, 2).
/
Здесь wfc(z, 2) — функции класса С1, у которых в точке 0 про-
производные до третьего порядка включительно равны нулю, ak и
Щ — действительные числа, причем ak таковы, что pft = ехрBша*)—
главные собственные значения. При этом если ak пронумерованы
*> В данном случае это надо понимать в том смысле, что для а?5 и
в точке 0 имеет место разложение Тейлора такого же типа, как для функций
из С3 и С2 соответственно, т. е. координаты а?5 представляются как суммы
однородных многочленов порядков 1, 2, 3 и остаточных членов о (от третьего
порядка), а первые производные этих координат представляются в виде суммы
однородных многочленов порядков 1, 2 и остаточных членов о (от второго
порядка). Аналогичное разъяснение касается ш* ниже.
3.3. Свойства отображения Пуанкаре SO!
в порядке монотонного возрастания, то матрица bk определяется
единственным образом. В частности, свойство det(fe*) ФО не зависит
от выбора нормальной формы (т. е. если оно выполняется при
одной какой-нибудь нумерации ак, то оно выполняется и при
всех других нумерациях). (ъг)
Доказательство. Введем с помощью подходящей линейной
замены такие комплексно сопряженные координаты (z*, 2*) в R2",
чтобы в них отображение & принимало вид
(t) ?**-Р*(г** + Р*2)(г*, 2*)) + ...,
где рк2) — однородные многочлены степени 2. Согласно замечанию
к 3.3.1, примененному к Р-1^, существует такой однородный мно-
многочлен третьей степени 5(8) (г*, 2*) =— Sw(z*, 2*), что pk2){z*,
2*)=dS(8)(z*, z*)ldz*k.
Сделаем в- (+) вещественно аналитическую симплектическую
замену координат ip: (г, 2)-»-(г*, 2*) вида (*)с, (**)с- В новых
координатах получившееся отображение & «ijr1 • &* • ^ запишется
так:
где T'(8)(z, s) = — T(8)(z, Z) — однородный многочлен степени 3.
Мы утверждаем, что
A1) Tw (z, г) = S(s) (z, г) - Km (рг, рг) + Km (г, г).
Для того чтобы убедиться в этом, рассмотрим квадратичные
члены в разложении Тейлора для г|) ° §, = gP ° г]?:
Наше утверждение следует из того, что все члены в этом выра-
выражении однородны и что при сопряжении лишь меняются знаки,
так что наряду с последним равенством имеет место аналогичное
равенство с заменой д/дгк на д/дгк.
Запишем /СC) в виде /С(з)(г, 2) = ? K^z^, где z" = f|z^
2p = J^z?ft, а и р — мультииндексы, и |а| = 2!а*. 1РН2Ж.
|а| + |Р| = 3. Используя аналогичные обозначения для Sw и Г(8),
перепишем (+ +) в виде
(ttt) ^-p = S
Так как Р 4-элементарно и |а| + |Р| = 3, так что и подавно
О «^ 210/ — Ру 1 ^ 4> то 1 — Р"""* = 0 лишь в том случае, когда
202 Гл, 3. Геодезический поток
а=р. А так как равенство исключается (хотя бы из-за того, что
|а| + |Р| = 3), то Каз можно подобрать так, чтобы 7^5 = 0.
Поэтому можно считать, что в выражении (t) для & вместо
р*2) стоит р*3)B*> 2*) = dSD)(z*, z*)/dz*k, где Sw — однородный
многочлен степени 4. Делая в (t) вещественно аналитическую
замену переменных of вида (*)с> (**)с с г = 3, получим, как и
прежде, соотношение (ft), но теперь уже с однородными мно-
многочленами степени 4. В соответствующем выражении (t t t)
равенство 1 — р"-Р = 0 снова возможно лишь в том случае, когда
а = р, так как |а| + |Р| = 4. Поэтому, выбирая подходящим
образом Каъ, мы можем все Таъ сделать равными нулю, если
только а=/=р\ Чтобы окончательно зафиксировать of, положим
^сй = 0 (И3 (t t 1") видно, что это можно сделать). Таким обра-
образом, отображение & = of-1 • «Э5 • if задается формулой
/. m
Если теперь мы положим Т 1к1^-\-Т^^ — "inib^ то получим искомую
нормальную форму (заметим, что Tnak чисто мнимые). Из наших
рассуждений видно, что при фиксированной нумерации аь мно-
многочлены /С(з) и /СD). задающие (в нужных порядках) симплекти-
ческое преобразование, приводящее & к нормальной форме,
определяются однозначно (за исключением коэффициентов К.^
с |а| = 2, которые не влияют на bf). Следовательно, 3.3.2 дока-
доказано. Q
Замечание. Если Р является BL+ 1)-элементарным, то &>
можно привести к виду z*ft = zftexp2m" (многочлен степени L
от zz) + О (| z |2L+l). Если Р при всех jV является УУ-элементарным,
то, проводя аналогичные рассуждения, можно получить формаль-
формальный степенной ряд, который, однако, в общем случае не сходится
(см. Зигель и Мозер [1], Мозер [4] и Зигель [1], [2], [3]).
Важность нормальной формы для наших целей связана с тем,
что с ее помощью можно определить следующее свойство. Локаль-
Локальный симплектический диффеоморфизм ё?5: (Ran, 0)->(R2n, 0) назо-
назовем закручивающим, если все собственные значения линейной
части Р этого диффеоморфизма равны по модулю 1, Р является
4-элементарным и в нормальной форме 3.3.2 для & определитель
det (bf) Ф 0.
Чтобы прояснить геометрический смысл этого определения,
введем в R2" вне 0 (но возле 0) новые симплектические коорди-
координаты т* >• 0 и 8* mod 2я, 1 ^ k ^ п, полагая
2т* = zkzk; 2iQk = log zk - log zk.
3.3. Свойства отображения Пуанкаре 203
Непосредственная проверка показывает, что
dxk л dyk _ 4 ^dz" л dz*= J d** Л dB",
k k
т. е. (т, б) действительно являются симплектическими координа-
координатами.
В этих координатах нормальная форма 3.3.2 превращается в
(§) т** = т* + о(|т|5/2, 8); 8**
(8 в о стоит просто как напоминание, что соответствующие члены
зависят от 8). Отсюда видно, что & можно рассматривать как
возмущение отображения Фо, определяемого формулами
(§0)
Отображение е^0 оставляет инвариантными торы {т* = т*} и
действует на каждом из этих торов как произведение вращений
6ft 1—>¦ №-\-2п(ак -{- YJ 2bftj\. To что отображение $" закручива-
закручивающее, означает, что эти вращения, рассматриваемые как функции
хк, трансверсальны к этим торам, т. е. (дЬ*к/дх1)Ф 0 *\
Важность понятия закручивающего отображения связана с тем,
что такие отображения имеют бесконечно много периодических
точек — точнее, даже периодических траекторий — в каждой окрест-
окрестности нуля. При этом точку гфО, лежащую в некоторой окрест-
окрестности U точки 0 е R2", мы называем периодической периода N,
если все точки <$>Ч определены, <$>Nz^z и если ФНфг при
0<.k<N **'. Множество {$>kz; O^k^N — 1) называется перио-
периодической траекторией отображения $>.
Так как det(b*\=^O, то в каждой окрестности 0 существуют
такие числа t^>0, l^k^n, что 9*и действует на торах {т* =
= т?} как произведение рациональных вращений (вращений на
углы, соизмеримые с 2я):
( 5]
\ i
Это означает, что все точки тора {т* = т*} периодические периода N.
При этом мы предполагаем, что W и (т1, ..., тР) не имеют
общих делителей > 1.
*' Точнее говоря, отображение, сопоставляющее каждой точке, доста-
достаточно близкой к 0 в R2n и имеющей координаты (xk, 8ft), точку R" с коор-
координатами 9**, является трансверсальным.
**' Как и в случае периодических траекторий, часто JV называют мини-
минимальным периодом, а к периодам относят также и кратные N.
204 Гл. 3. Геодезический поток
Используя некоторые априорные оценки, можно показать,
что в каждой окрестности тора {т* = т?} отображение ff* имеет
периодические траектории. Это утверждение составляет содер-
содержание теоремы Биркгофа — Льюиса о неподвижной точке:
3.3.3. Теорема. Пусть $•: (R2n, 0)-»-(К2л, 0) — локальное сим-
плектическое закручивающее отображение. Тогда в каждой окрест-
окрестности точки 0 е R2n существует бесконечно много периодических
траекторий.
Замечания. Для случая « = 1 и вещественно-аналитического
8* это было доказано Биркгофом [3], который воспользовался
идеей Пуанкаре [2]; см. также доказательство у Мозера [1],
Зигеля, Мозера [1], Зигеля [1]. Для случая п>\ основные
идеи доказательства содержатся у Биркгофа [4], Арнольда [2],
[4] и Арнольда и Авеца [1]. Однако до сих пор полное доказа-
доказательство опубликовано не было. Тем более отсутствовало дока-
доказательство этого утверждения при более слабых предположениях,
а именно для случая, когда $" не аналитично, а лишь диф-
дифференцируемо. Доказательство теоремы в этом случае было изло-
изложено Мозером в его лекциях в Нью-йоркском университете.
В добавлении к этому параграфу мы приводим его доказа-
доказательство.
Происходящие в рассматриваемой ситуации явления тесно
связаны с тем, что происходит в гамильтоновых системах с изо-
изолированной неподвижной точкой «общего устойчивого типа»,
аналогом которой в нашей ситуации является неподвижная точка
закручивающего отображения. Для произвольного п такие вещест-
вещественно аналитические системы изучали Биркгоф и Льюис [1].
Пробел в их доказательстве был ликвидирован Харрисом [1].
Дифференцируемый вариант изучен Марзоуком [1] и Цендером [1].
Закручивающие локальные симплектические преобразования
$• привлекли к себе заметное внимание в последние годы. Толчком
к этому послужили исследования Колмогорова, Арнольда и Мо-
Мозера, в которых для таких преобразований доказано существо-
существование «большого» множества инвариантных торов вблизи точки
0 е R2", на каждом из которых отображения е?5 действуют как
квазипериодические преобразования; см. Арнольд [1], [4], Арнольд
и Авец [1], Мозер [2], [3], [4], Зигель и Мозер [1].
В случае «элементарного закручивающего отображения» $>0
вида (§0) эти инвариантные торы соответствуют в достаточно
точном смысле тем т* = т*, для которых совокупность чисел 1 и
ak 4- 2 2Ь*т? (k =* 1, ... , п) в некотором смысле сильно несо-
несоизмерима, в то время как торы т* = т* с рациональными ak +
4- 2 2Ь*т^ соответствуют, как уже было сказано выше, перио-
i
3.3. Свойства отображения Пуанкаре 205
дическим точкам. Дальнейшие подробности см. в работах: Ар-
Арнольд и Авец [1], Арнольд [4], Мозер [4], Цендер [1] и в добав-
добавлении к этому параграфу.
Интересным следствием этих теорем об инвариантных торах
является то, что в случае п=\ теорема Биркгофа — Льюиса
о неподвижной точке может быть усилена следующим образом.
3.3.4. Дополнение. Пусть &>: (R2, 0)->-((R2, 0) — локальный
сохраняющий площадь закручивающий диффеоморфизм класса С*.
Тогда замыкание периодических точек имеет положительную меру.
За доказательством этого утверждения мы отсылаем к Мозеру
[4], с. 54, и Цендеру [1], который, кроме того, цитирует анало-
аналогичный результат для закручивающих отображений в произволь-
произвольной" размерности. ?
Если мы хотим применить теорему Биркгофа — Льюиса о непод-
неподвижной точке C.3.3) к геодезическому потоку, то мы должны
начать с периодической траектории фД0> Для которой отобра-
отображение Пуанкаре S5 является закручивающим. Последнее условие,
в частности, означает, что все собственные числа линейной части
Р отображения Пуанкаре лежат на единичной окружности.
Однако эта ситуация не является общей, и даже малых воз-
возмущений геодезического потока может оказаться недостатечно
для того, чтобы ее получить. Действительно при каждом q,
O^q^n, рассмотрим в линейной симплектической группе*)
Sp(n) множество Sp(?) (n) тех элементов P^Sp(n), у которых
из 2а собственных значений ровно 2q лежат на единичной окруж-
окружности и которые N-элементарны, N~>\. Легко проверить, что
эти Sp^g) (n) являются непустыми открытыми подмножествами
в Sp(n).
В случае когда Р е Spw (п), т. е. когда Р не имеет соб-
собственных значений, лежащих на единичной окружности, или,
что то же самое, когда Р гиперболическое (см. 3.2.13), отобра-
отображение аР заведомо не имеет периодических точек, траектории
которых целиком лежат в малой окрестности точки 0. Однако
для Р е Sp(?i(rt), <7>0, такие периодические точки существовать
могут. Идея состоит в том, чтобы ограничить отображение &
на такое локальное инвариантное подмногообразие размерности
2<7 > 0, для которого все собственные числа соответствующего
линейного отображения (т. е. ограничения Р на касательное
•' То есть группе симплектических линейных преобразований простран-
пространства R2™, снабженного стандартной симплектической формой. (Часто тем же
символом Sp (n) обозначают группу автоморфизмов кватернионного простран-
пространства, сохраняющих стандартную эрмитову форму в последнем, а для рас-
рассматриваемой нами группы используют обозначение Sp (я, R).)
206 Гл. 3. Геодезический поток
пространство к многообразию в точке 0) лежат на единичной
окружности, и затем применить теорему Биркгофа — Льюиса
о неподвижной точке.
Существование таких инвариантных подмногообразий утвер-
утверждает следующая теорема об инвариантных многообразиях.
3.3.5. Теорема. Пусть &•: (Ra", 0)->(R2", 0) — локальный сим-
плектический диффеоморфизм. Пусть Р — DqP @) — линейная часть
этого диффеоморфизма, и пусть
— разложение пространства V2n = R2n на устойчивое, неустой-
неустойчивое и центральное подпространства по отношению к Р. Дру-
Другими словами, эти пространства инвариантны относительно Р,
и все собственные числа р отображения Р \ V, таковы, что | р | < 1,
все собственные числа р отображения Р \ VZ таковы, что | р | > 1,
и, наконец, все собственные числа отображения Р \ V& равны
по модулю единице (ср. 3.2.4).
Утверждение. Существуют такие локальные вложения Wp,
Wpu: (Rp, 0)-*(R2», 0), W%: (R2*, 0) + (Ra", 0), что*) TOWP =
= Vp, TnWu = V%, T0W2Ce = vVe и эти вложения инвариантны
относительно №, т. е. &WS, W? и &WII локально равны Wps,
Wp и W\l соответственно. Эти подмногообразия называются
соответственно устойчивым, неустойчивым и центральным
многообразиями.
3.3.6. Дополнение. Если отображение & принадлежит классу
С или классу С00, то ограничения SP>S = ^\WPS и ®U = ®\WPU
также принадлежат классу Ск или классу С°° соответственно,
а &>се = № | W2J принадлежит классу С*. Кроме того, если $• —
класса С00, то для любого 1<.оэ, взяв W2cl достаточно малым,
можно добиться, чтобы $>се принадлежало классу С1.
Многообразия Wp и Wu возле 0 определены единственным обра-
образом, а многообразие W2J, вообще говоря, — нет.
Доказательство. За доказательством мы отсылаем к Мозеру
[5]; см. также Келли [1] и Хирш, Пью, Шуб [1]. Дёйстермат
дал полное доказательство (неопубликованная рукопись, дати-
датированная августом 1972 г.), используя метод Перрона [1]. Част-
Частные случаи рассмотрены у Хартмана [1]; см. также работы
•' Далее автор фактически обозначает образы этих локальных вложений
теми же самыми буквами.
3.3. Свойства отображения Пуанкаре 207
Ирвина [1] и Ленфорда [1]. Формулировку этой теоремы можно
найти также у Абрахама и Марсдена [1]*'. D
Замечание. На самом деле у нас отображение «Э5 появляется
как отображение Пуанкаре, соответствующее периодической траек-
траектории фДо» Ойе/<:со, геодезического потока ср*: 7\M->-7yW.
Существует вариант теоремы об инвариантных многообразиях
для периодических траекторий, который мы сейчас изложим.
Допустим, что линейная часть Р отображения 8* обладает свой-
свойствами, описанными в 3.3.5. Тогда существуют глобально опре-
определенные иммерсии
@, О))->GУИ, Хо),
которые ± (точнее, их образы) ± называются соответственно устой-
устойчивым и неустойчивым многообразиями и обладают следующими
свойствами:
(t, X)^cpr{Wf+l или WZ + 1)(O, X);
Tx0Ws \{0}xRp = VP А(в понятном смысле при естест-
Т Wp+1 MxlRp = Vp' венных отождествлениях) ±;
так называемые сильно устойчивое и сильно неустойчивое много-
многообразия
WPUU :
переходят под действием фи в себя, причем <рю действует на W&
и Wpu соответственно как (обобщенные) сжатие и растяжение.
Эти иммерсии однозначно определяются своими свойствами**':
Аналог центрального многообразия можно ввести как ло-
локально определенную иммерсию:
'i (R XR2*, @, 0)) -> (ТгМ, Хо), (t, X) >-* Ф,. V%Х,
где (t, X) принадлежит некоторой окрестности множества [0, ю]х
x{0}<=RxR2? и TXtW2Ce + l\{0}xR^=-V2J. Кроме того, W7* :=
= W«+11 {0}xR2? инвариантно относительно действия потока
в том смысле, что существует такое локально определенное
дифференцируемое отображение 6: W^e-*-R, 8(X0) = 0, что
47
*' Существование центрального инвариантного многообразия впервые
доказал Плисе [11 (хотя в несколько иной ситуации).
**' Надо добавить, что стремление к пределу экспоненциальное.
208 Гл. 3. Геодезический поток
Важно, однако, отметить, что, вообще говоря, W2? не явля-
является локально единственным и W2d не переходит в себя под
действием фй, как Wf, и Wuu-
Во всяком случае, если 2<7>О, мы определим центральное
отображение Пуанкаре
как некоторый диффеоморфизм некоторой окрестности 2се, 0 точки
Хо на №«* на некоторую окрестность 2ее, й точки Хо на W2J,
который в случае 3.3.6 является ограничением $Р на 2се' 0»
а в описанном выше случае — отображением X t—*¦ <рфщХ) X е W2C%,
где X е Wee достаточно близко к Хо.
Ввиду наличия инвариантных центральных многообразий мы
следующим образом обобщим понятие закручивающего ото-
отображения.
Локальное симплектическое отображение $". (R2n, 0)-»-(RJn, 0)
называется закручивающим, если:
(i) соответствующая линейная часть Р не является гипербо-
гиперболической, т. е. существуют 2<7>О собственных чисел, лежащих
на единичной окружности;
(ii) P является 4-элементарным;
(ш) в нормальной форме 3.3.2 отображения 3>се :—^'\W2u
определитель det(b*)^=O*).
Наша следующая цель состоит в исследовании, при каких
условиях отображение Пуанкаре, соответствующее периодической
траектории геодезического потока (который рассматривается как
поток в ТгМ или, что эквивалентно, в Т*М, см. (*2)), является
закручивающим в только что указанном обобщенном смысле**^.
Рассмотрим в качестве примера геодезический поток на еди-
единичном касательном расслоении 7\S"+1 сферы S"+1, кривизна
которой всюду постоянна. В этом случае отображение Пуанкаре
тождественно, так как все траектории периодические и имеют
одинаковый период 2я.
•• Ограничение a W^ определяет на W2C% симплектическую структуру
(невырожденность этой формы в некоторой окрестности 0 следует из невы-
невырожденности а | Г0П7^ = а | V2^, a последнее следует из 3.2.1). Очевидно,
$>ce = gp> W2* сохраняет эту структуру, поэтому к ИРсе можно применять все
понятия и результаты, относящиеся к симплектическим диффеоморфизмам.
**' Заметим, что если для данной замкнутой траектории отображение
Пуанкаре является закручивающим при одном каком-нибудь выборе локаль
ной трансверсальной гиперповерхности 2, то оно будет закручивающим и
при любом другом выборе S, так что интересующее нас свойство не зависит
от этого выбора и является внутренним свойством рассматриваемой траектории.
3.3. Свойства отображения Пуанкаре 209
Поэтому встает следующий вопрос. Пусть %Х0 — периодичес-
периодическая траектория геодезического потока. Можно ли тогда с помо-
помощью произвольно малого возмущения метрики сделать так, чтобы
фДо осталось периодической траекторией, а соответствующее
отображение Пуанкаре было закручивающим?
Первое, что мы должны сделать, — это определить топологию
на множестве $ = 1М всех римановых метрик на компактном диф-
дифференцируемом многообразии М. Напомним, что риманова мет-
метрика на многообразии М — это такое дифференцируемое сечение
gi М-*-Ц(ТМ)
векторного расслоения Ц(х) симметрических билинейных форм,
ассоциированного с касательным расслоением т многообразия М,
что g(p) принадлежит открытому конусу положительно опреде-
определенных форм на ТРМ, см. § 1.1.
Если на многообразии М фиксирована риманова метрика, то
она определяет риманову метрику на каждом векторном расслое-
расслоении а: А-+М, ассоциированном с векторным расслоением т:
ТМ-+-М, и, в частности, определяет метрику на L\(x). Исполь-
Используя ковариантные производные, можно построить риманову мет-
метрику на расслоении r-струй Jr (a): Jr(A)-*-M расслоения а,
см. Абрахам и Роббин [1] и Элиассон [3].
Пусть теперь Гл (а) — векторное пространство С-сечений рас-
расслоения а: А-+-М. Тогда норма, определяемая римановой мет-
метрикой на У (а), превращает Г'(а) в банахово пространство*'.
Таким образом, множество УМ римановых метрик класса С
становится открытым подмножеством банахова пространства
Гл (L| (т)), состоящего из С-сечений расслоения L\ (т).
Через <?°°Л1 мы будем обозначать множество римановых мет-
метрик класса С00. Множество ?°°.М может быть превращено в от-
открытое подпространство пространства Фреше.
Во всех этих случаях пространства ЭМ являются открытыми
подмножествами полных метрических пространств, а индуцирован-
индуцированная топология не зависит от римановой метрики, так как М
компактно. В частности, ЭМ — пространство Бэра, что означает
следующее: каждое остаточное множество Э* с $М плотно. При
этом остаточным множеством мы называем такое множество,
которое является пересечением счетного числа открытых плот-
плотных подмножеств**'.
•' Менее элегантным, но более элементарным образом можно ввести
в Г' (а) эквивалентную норму с помощью локальных координат.
**' Иными словами, это есть всюду плотное множество типа Gg. Нередко
«остаточное множество» (residual set) понимают в более широком смысле —
как множество, дополнение к которому является множеством первой категории
(объединением счетного числа нигде не плотных множеств). Именно в таком
смысле употреблял данный термин его автор, А. Данжуа. Но для множества.
210 Гл. 3. Геодезический поток
Остаточное подмножество можно рассматривать как аналог для
пространств Бэра (или по крайней мере для полных метрических
пространств) множества меры 1 в пространстве с мерой, мера
которого сама равна 1. Примером остаточного множества в про-
пространстве действительных чисел является множество всех ирра-
иррациональных чисел.
Свойство римановой метрики g на М мы назовем типичным,
если множество ?*, состоящее из метрик, удовлетворяющих этому
свойству, является остаточным *\
Оставшаяся часть параграфа посвящена доказательству того,
что следующее свойство является типичным: у каждой периоди-
периодической траектории геодезического потока соответствующее отобра-
отображение Пуанкаре или гиперболическое, или закручивающее.
Первым шагом к доказательству этой теоремы является сле-
следующее предложение.
3.3.7. Предложение. Пусть фД0. О ^t^ а, —периодическая
траектория геодезического потока с минимальным периодом ю.
Положим M°<ptXo — c(t)* m. e. с {t) —однократная замкнутая гео-
геодезическая длины со, | с | = 1.
Утверждение. В произвольно малой окрестности произвольной
точки геодезической с можно так сколь угодно мало возмутить
метрику g на М (малость подразумевается в смысле О'-топологии
на $М, причем г 2г0 — любое), что в возмущенной метрике c(t)
по-прежнему останется замкнутой геодезической и соответствую-
соответствующее линейное отображение Пуанкаре Р будет N -элементарным,
где N > 0 — произвольное заданное целое число.
Доказательство (ср. Клингенберг и Такенс [1]). Мы начнем
с введения координат Ферми вдоль c(t)\ см. Громол, Клинген-
Клингенберг, Мейер [1]. Для этого возьмем в ТС(о)М такой ортонорми-
рованный репер ?,-, O^i^n, что Е0 = с(Ь). Через ?,- (t0) обозна-
обозначим ортонормированный репер в точке Тсца)М, полученный
из Ei @) с помощью параллельного переноса вдоль с (t), Ot
дополнительного к множеству первой категории, имеются и другие названия:
массивное множество, множество второй категории (в узком смысле; в широ-
широком смысле множество второй категории — это множество, не являющееся
множеством первой категории). При наличии таковых лучше резервировать
термин «остаточное множество» для обозначения более узкого понятия, как
это и делает автор. Неустойчивость терминологии, видимо, связана с тем,
что по большей части этн оттенки не имеют большого значения: обычно
интерес представляет массивность множества, а имеет ли оно при этом тип
Gg, уже не столь важно.
*' Естественно называть свойство типичным также и тогда, когда соот-
соответствующее 3?* является множеством второй категории (в узком смысле). Но
для того свойства, которым мы будем заниматься, &* будет остаточным мно-
множеством.
3.3. Свойства отображения Пуанкаре 211
Рассмотрим дифференцируемое отображение
Ф: R XR" -* М, (<; х\ ..., хп) — exp /? xlEt (t)\
В точках (t0; 0) это отображение имеет максимальный ранг п + 1,
поэтому отображение Ф, рассматриваемое в достаточно малой
окрестности любой точки (/0; 0), определяет локальную систему
координат возле c(t0).
±Мы будем рассматривать Ф при малых х (скажем, при х е
е Int D\, где D\ — шар в R™ радиуса е) и при произвольных /.
(Позднее мы фактически сможем ограничиться /е]—е, со + е[>
но, если сделать такое ограничение с самого начала, это не
внесло бы упрощений.) Очевидно, <D\RxlntDl является иммер-
иммерсией. Мы все-таки будем говорить о (t; x) как о «локальных коор-
координатах возле с», хотя на самом деле одной и той же точке
многообразия М соответствует много различных координат (t; x).
Вместо / в данном контексте часто будем писать х°.
Пусть Ф(*° + (о; х) = Ф(х°, х'). Выясним, как связаны х и х'.
Разложим ЯДю), />0, по базису ?;@), t>0, пространства Ул@)
(то же обозначение, что и в замечании к 3.2.10):
1 = 2] aijEiiO).
Матрица А = (ау) ортогональная. Тогда и Е]\
п п
Если Ф (х° + со; х) = Ф (х°, л;'), то 2] */?/ (*° + <°) = 2] x'{Ei (*°Ь
1 1
п
откуда 4 = 2] fly*/' т- е< х' ~ Ах- Можно сказать еще так: наряду
1
с локальной системой координат (х°; х) в окрестности точки с (t0)
отображение Ф определяет в той же окрестности и другую си-
систему (*'°; х'), для которой х'° = х° — со, х' = Ах*\
Отображение Ф индуцирует отображение
(Ф*)-1: RxDnexRxRn-+T*M,
с помощью которого в Т*М вводятся канонические координаты
°; х), (у0; у)} с у = (у1, ..., у")*^. Сделанные выше оговорки
•' Можно было бы профакторизовать IRxIntDg по отношению эквива-
эквивалентности (х°, х)~(х° — ш, Ах), но если с имеет самопересечения, то мы все-
таки не получим вложения факторпространства в М.
**' Собственно, в духе традиционных обозначений тензорного исчисления
следовало бы у у ставить индексы внизу (ковариантный вектор), но я сохра-
сохранил обозначения Клингенберга.
212 Гл. 3. Геодезический поток
насчет неоднозначности координат (*°; х) в М относятся и к коор-
координатам {(я0; х), (у°\ у)} в Т*М. Рассмотренным выше двум кар-
картам в М (координаты (х°; х) и (х'°; х')) отвечают две карты в Т*М,
причем соответствующие координаты {(х°; х), (у0; у)) и {(*'°; х'),
(у'°; у')} связаны следующим образом:
*'° = jc°-.(o, х' = Ах, у'° = у°, у' = А~гу.
(Действительно, известно, что если (q>, U) и (<р'( U') — две
карты в М, то соответствующие координаты в Т*М связаны сле-
следующим образом. Пусть pe.U[\U', q>(p) = x, <р'(р) = х'; тогда
v e ГрМ имеет в этих картах координаты (х, у) и (х', у'), где
Выразим в этих координатах интересующие нас объекты —
исходную риманову метрику g, нужную нам возмущенную мет-
метрику g*, инвариантную гиперповерхность Т*М с Т*М (поскольку
она зависит от используемой римановой метрики, мы временно
будем писать Tf(M, g) и Tf(M, g*)), локальную трансверсаль-
ную гиперповерхность 2, уравнения геодезических потоков {qv}
и {(ft} для метрик g и g* соответственно, уравнения в вариациях
для этих потоков и соответствующие линейные отображения
Пуанкаре Р и Р*. ±Из определения следует, что
gih{t; 0) = 6,*; dgik(t; 0)д'0
-2Roiok(t; 0).
АДействительно, формула для gik очевидна. Формула для
dgtk/дх1 следует из того, что все Г^ (t, 0, ..., 0) = 0 (короче мы
будем говорить, что T'w = 0 вдоль c(t)). Последнее же доказы-
доказывается так. Во-первых, в точках c(t) базис
d/dt, д/дх1, .... д/д*» = ?о(О. ^i@. •--, En(t)
получается параллельным перенесением из этого базиса в ТС^О)М,
поэтому для любого векторного поля вдоль с (t) его ковариантное
дифференцирование по t сводится к обычному дифференцированию
компонент этого поля в этом базисе. Отсюда все Г^ = 0*'. Во-
вторых, (?о, tx1, .... txn) — координаты геодезической линии;
отсюда, используя уравнение геодезических и симметрию Г1'* по
нижним индексам, получаем, что T/ft = 0 при i, 1гФ0. Наконец,
поскольку (/-компонента ^g/^kd/дх1) = T}ki и gtj = б,у, то Rom =
= ЩОк = @-компонента R (d/dt, д/дхк, д/дх1)) — @-компонента
*' Поскольку связность Леви-Чивита не имеет кручения, мы можем не
заботиться о порядке нижних индексов у символов Кристоффеля.
3.3. Свойства отображения Пуанкаре 213
4- -4^- — -0)*" — у д t^h¦ При вычислении вторых ковариантных
производных мы воспользовались здесь тем, что в точках
c(f) ковариантное дифференцирование (уже не только по t,
но и в любом направлении) сводится к обычному диффе-
дифференцированию компонент (коль скоро все Г% =» 0). Далее, щ Г«=0,
ибо Г^=.О вдоль с (t), а ^го* = §рГО11)/ в точках c(t), ибоГЦ(=
= 2] ?°/г;,о*, а в этих точках goi = boj и dg°i/dxk = 0. *
Если мы хотим, чтобы с @ оставалась геодезической при малых
возмущениях заданной метрики g, то возмущенная метрика g*
должна иметь вид*'
g*o°(t; x)-g°°(t; x)+ ? aik{t; x)xix";
t, k>o
g*°l (t; x) = g°> it; x)+% pift (t; x) x\ i > 05
g*l*{t; x)~gik(t; x) + yik(t; x), I, k>0.
Поскольку g*ik^g*kif мы должны потребовать, чтобы уцг = Чы-
Кроме того, мы можем потребовать, чтобы было a,-ft = aw, ибо
всегда можно заменить aik на (aik-\-aki)/2.
В самом деле, легко проверить, что кривая х° (t) = t, x* (t) — 0
при t>0 удовлетворяет уравнениям геодезической для метрикиg*:
к, I
так как Г*о'(?; 0)=»0, t^=0. ^Последнее следует из того, что
goi-*6oi и dgu/дл^О вдоль c(t):
/=о
Кроме того, мы будем считать, что носители функций aik (t; x),
Pift (t; х) и Y<ft (^; ¦«) находятся в окрестности U точки (^0; 0), при-
причем с (t0) не является точкой самопересечения кривой с и U столь
•• Мы непосредственно задаем не матрицу gfy, а обратную к ней мат-
матрицу g*'i, описывающую метрику в Т*М, двойственную к метрике g* в ТМ,
см. § 3.1. Заметим, что звездочка сейчас используется для обозначения пере-
перехода к возмущенной метрике, тогда как в §3.1 звездочка служила для обозна-
обозначения того, что речь идет о метрике в Т*М, а не в ТМ. Поэтому для функ-
функции Гамильтона (кинетической энергии, рассматриваемой как функция на Т*М),
отвечающей исходной метрике g, теперь будет использоваться обозначение Н
(вместо Я* из § 3.1), тогда как Н* будет обозначать функцию Гамильтона
для возмущенной метрики g*.
214 Гл. 3. Геодезический поток
мала, что находится строго внутри [0, w]xD? и
«Координату» *° мы теперь будем рассматривать лишь при
— е-<л;0<С(о + е. Сказанное обеспечивает, что g* действительно
можно рассматривать как риманову метрику на М, совпадаю-
совпадающую с g вне Ф(Ц). В то же время предположение, что c(tn)
не является точкой самопересечения, не ограничивает общности,
ибо у однократной геодезической точек самопересечения конечное
число и в любой окрестности точки самопересечения имеется
точка, не являющаяся точкой самопересечения.
Как уже говорилось, когда речь идет об отображении Пуан-
Пуанкаре 8* для геодезической с римановой метрики g, мы рассмат-
рассматриваем геодезический поток как поток \ц>(\ в Т*(М, g)*\ В тер-
терминах канонических координат \(х°; х), (у0; у)} в Т*М инва-
инвариантная гиперповерхность Tf(M, g) выделяется соотношением
я
^ glk(x°\ х)у'ук=\, а локальную трансверсальную гиперпо-
верхность (гиперповерхность уже в Т*(М, g), а не в Т*М)
2 = 2 (Хо) в точке Хо = с @) = Ео @) можно задать следующим
образом. Для ее точек x° = t = 0, x = (x1, ..., хп) принадлежит
некоторой окрестности точки OeR™, y = (yx, ..., уп) тоже при-
принадлежит некоторой окрестности точки 0 е R", а у0 близко к 1
п
и удовлетворяет уравнению ^ gik@, x)yiyk=\. (См. два абзаца
i, ft = 0
перед 3.1.9.)
В качестве координат на 2 можно взять (х1,..., х", у1,..., уп).
Возмущенную метрику g* мы определили в терминах преж-
прежних координат (*°; х) на М (конечно, они, вообще говоря, уже
не будут координатами Ферми для g*). Геодезический поток fq>*}
в Т*М для g* будем описывать в тех же координатах {(*°; х),
(У°> У)}> чт0 и {фЛ* Поток {<$} имеет инвариантную гиперповерх-
ность Т*(М, g*), для которой 2] g*ik(x°; x)y'yk=l и отобра-
*' Обозначения для потоков, стало быть, тоже несколько отличаются от
принятых в § 3.1 н в D2). В данном случае нам удобнее говорить о Т\М,
а не о 7\M, потому что мы пользуемся каноническими координатами {(л:0; х),
(f/°; у)} в Т*М. Впрочем, при желании их можно рассматривать и как коор-
координаты в ТМ, пользуясь естественным изоморфизмом ТМ -*¦ Т*М, который
геодезическую пульверизацию в ТМ переводит в гамильтоново векторное поле
в Т*М (см. 3.1.5). Но тогда надо помнить, что этот изоморфизм зависит от
той римановой метрики, для которой мы рассматриваем геодезическую пуль-
пульверизацию, и^. д., так что и (у0; г/)-компонента наших координат в ТМ будет
от нее зависеть.
3.3. Свойства отображения Пуанкаре 215
жение Пуанкаре «Э5 строится для ограничения {ср*} на T*(M,g*).
Последняя гиперповерхность не совпадает с Т*(М, g), но разли-
различаются только те их части, которые лежат в (т^)~1Ф(^/) (где
i*M\ Т*М-уМ — стандартная проекция). В частности, те области
на Т*(М, g) и Т*(М, g*), которые проектируются в некоторую
малую окрестность точки с@) на М, совпадают. Поэтому для
{<р*}\Т*(М, g*) в качестве локальной трансверсальной гиперпо-
гиперповерхности мы можем взять прежнюю 2. *
Определим координаты г™, 1 *^а^2п, полагая г' =#, zi+n = yi.
Пусть Jaa' обозначают элементы матрицы
К ' \~Еп О/
Теперь мы можем записать уравнения Гамильтона в виде
(Я0) Л« = ЯИ, р° = -ЯЛ»,
2л
(Я«) 2а= 2 Jaa'H* (a==1 2")«
а' = 1
где через На обозначается dH/df: Старшие частные производные
функции Н мы будем обозначать аналогично, например На& =
d2tf/dadP
/
Координаты **, у', t>0, рассматриваемые как координаты
на построенной выше гиперповерхности 2 = 2 (Хо), будем обозна-
обозначать через ?™, 1 ^а^2п. Заметим, что точка Хо на 2 описывается
в этих координатах уравнениями ?а = 0. Обозначим через
y°(t; С); *(t; С)
при
задае
), 0),
решения систем (Я0), (Яа), которые при f = 0 проходят через
^е2. Тогда отображение Пуанкаре задается соответствием
где ©(С)«ш + в(О (см. 3.1.10).
Частные производные решений (*) по ?а при ^ = 0 мы будем
обозначать с помощью индекса а внизу. В частности, функции
z
являются координатами поля Якоби Fp (f) = (Fp (t),
вдоль с(/) с начальным условием
ОД ,
.^. v > P
VFp @) = У & n @) Ei @) = У bi+n, p?, @) = J
216 Гл. 8. Геодезический поток
Это означает, что матрица (z?@) является фундаментальной
матрицей решений уравнений Якоби *>:
Это следует из 3.1.6. В этом можно убедиться и непосредственно,
дифференцируя (Я0), (На) по ?р при ? = 0.
Для того чтобы это сделать, А напомним сначала, что
Н(х, У^уУ^М^У. По правилу дифференцирования обрат-
обратной матрицы
(д&д# (gij)-1 (dgij/dxb) (gtj)-1.
Значит, в нашем случае dgi'/dxk = 0 при х = 0 (нам уже случалось
это использовать). Вычисляя d*gV/дхкдх1, получим выражение
в виде некоторой суммы. При д: = 0 слагаемые, содержащие первые
производные, равны нулю, а ^ = 8гу. Поэтому вдоль c(t)
Заметим далее, что вдоль c(t) в координатах Ферми
Hx°xi = Hx°yi=zHyoxiz=0' яЛ|:=б<" ПРИ i=*0, I, ..., п.
Поэтому из (Я0) получаем
Так как yl @) = 0, 4 @) = 0, то и $ (/) = 4 @ = °- Геометрически
это означает уже известный нам факт, что V2n @) (то же обозна-
обозначение, что в § 3.2) инвариантно относительно действующего
в TC(o)M линейного преобразования Гфю(с@)). Поэтому при
нашем выборе S линейное отображение Пуанкаре Р = Тф^ | V2" @).
Далее, дифференцируя (Яа) по ^, получим
2п
2 Уаа'Яа-р(/
а', р = 1
*' Непосредственно уравнение Якоби вместе с c*=6,-0 дает
Далее используем, что в нашем случае #oM)=^iofco и что ^ijki = ^juk ВВИДУ
известных свойств симметрии R (см. начало § 2.4).
Под фундаментальной матрицей решений часто понимают любую матрицу,
столбцы которой образуют максимальную систему линейно независимых реше-
решений, а в том частном случае (с которым мы как раз имеем дело), когда при
t = t эта матрица обращается в единичную, говорят о матрицанте.
3.8. Свойства отображения Пуанкаре 217
где Я«,р@:-=Яа-р((*; 0), A; 0)). Теперь
Нц (t) = A/2) d*g°° (t\ Оудх<дх' « Rotoj (t),
HlJ+n(t)~dg°<(t; 0)/dx*-0,
Это означает, что матрица (z$@)» удовлетворяющая уравне-
уравнениям (Я?) и равенствам z?@) = 8?, является фундаментальной
матрицей решений системы (J). ± При t « ю она описывает линейное
отображение Пуанкаре Р, однако при этом для отображаемых
векторов используются координаты, отвечающие / = 0, а для их
образов — отвечающие < = со. Чтобы для образов перейти к коор-
координатам, отвечающим ? = 0, нужно, как мы видели, подействовать
еще матрицей (п Л_Л. Итак, Р в координатах ? представляется
\U A j
следующей матрицей!
(А 0
Для возмущенной метрики g* геодезический поток описыва-
описывается гамильтоновой системой (Я*0), (Нia), аналогичной (Я0), (Яв),
в ваменой Н на
N*(x*, х, у°, у)-{ У
Черм
x*°(t; 0; y*°(t\ О»
обозначим ев решение с начальным значением **°»=0, ^*°=»0,
z*=«? при ^-=0. Дифференцируя (Я0), (Яа), получим дифферен-
дифференциальные уравнения для х$°, у$°, г|а. Займемся сначала л$\ у%\
По-прежнему при /=»0, 1, ..., п
поэтому Л^0 — ^0, у$° = 0, откуда ввиду нулевых начальных зна-
значений для х%\ у1° следует, что xf(t) = O, yf(t) — O. Теперь для
zia(t) получается система
(Я*«)
а', р=!
матрица (z|a@) является фундаментальной матрицей решений
этой системы с начальным значением z*a @) = 6ap. Непосредствен-
Непосредственное вычисление показывает, что матрица коэффициентов этой снсте-
218 Гл. 3. Геодезический поток
мы отличается от матрицы коэффициентов системы Ш?\ на матрицу
(В правом нижнем блоке элемент, стоящий на пересечении i-Pi
строки и /-го столбца, равен Р;(.) Здесь ау, Ру, уу суть функции
от / (бывшее ay(f; 0) и т. д.). Сейчас мы их будем рассматривать
при O^f^co. Напомним, что они удовлетворяют следующим
условиям симметрии: ау = а,-г и 7у = 7/<- Кроме того, эти функции
должны быть малыми (в рассматриваемой топологии) и их носи-
носители лежат в некоторой малой окрестности точки t0. В остальном
они, очевидно, могут быть произвольными.
Положим (Дг*@): = (г« (t))-1 (z*01 (^)). Выведем дифференциаль-
дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет Дг?. Вообще, пусть
неособые матрицы Z (t) и Z* (t) удовлетворяют матричным диф-
дифференциальным уравнениям
z (о - в (о z (о, z* (о = (в (о+С @) 2* @-
Тогда для AZ:« Z"XZ* легко получить (AZ)- «(Z^CZ) AZ. Значит,
в нашем случае
Заметим, что общий вид элемента из алгебры Ли симплектической
)
группы Sp (п) совпадает с видом матрицы „ . Далее,
\—afi ' Vjil
(z%(t)) — некоторая фиксированная матричная С°°-функция
[0, w]->-Sp(n). Очевидно, задав произвольно какую-нибудь мат-
матричную функцию L(t) со значениями в алгебре Ли группы Sp(n),
достаточно малую в рассматриваемой топологии и с носителями
в рассматриваемой окрестности t0, мы сможем подобрать такие
а//> Ру» Ъ1 с перечисленными выше свойствами, что
Но любую симплектическую матрицу S, достаточно близкую к /2п,
можно получить как S (со), где S (t) — решение матричного урав-
*' Напомним, что обычное описание общего вида элементов из алгебры
Ли группы Sp (n) таково: будучи разбиты на блоки «-го порядка, они имеют
вид L = ( t ], где В = 'В и С = 'С. (Это сразу следует из уравнения
\С< ¦— А/
'LJ -\-JL = 0 для элементов этой алгебры Ли.)
3.3. Свойства отображения Пуанкаре 219
нения 5 (t) = L (t) S (t) (с L (t) указанного выше типа), S @) = /2л E4).
Итак, для любой симплектической матрицы S, достаточно близкой
к lin, за счет малого изменения метрики можно добиться, чтобы
(А()) 5
)
Перейдем к линейному отображению Пуанкаре Р* для геоде-
геодезической с метрики g*. Такие же рассуждения, как выше для/*,
показывают, что
р л
Наконец, заметим, что условие W-элементарности отображе-
отображения Р открыто, плотно и инвариантно, т. е. множество N-эле-
ментарных элементов Р е Sp (n) открыто, плотно и инвариантно
относительно действия внутренних автоморфизмов. Поэтому можно
найти такое сколь угодно малое возмущение метрики g описанного
выше вида, что соответствующее возмущенной метрике g* линейное
отображение Пуанкаре Р* = РДг?(со) будет N-элементарным. Это
замечание заканчивает доказательство предложения 3.3.7. D
^Замечание. Мы не уточнили, какова гладкость исходной
метрики g. Вообще говоря, в настоящем параграфе обычное
соглашение, что все объекты принадлежат классу С00, не дейст-
действует. Однако для наших целей (теоремы 3.3.9 и 3.3.10) достаточно
доказать 3.3.7 лишь для того случая, когда g — класса С°°. Тогда
координаты Ферми тоже будут класса С00, и если в этих коорди-
координатах компоненты gfj тензора возмущенной метрики g* принад-
принадлежат классу С00 и С-близки к gy, то это значит, что g* при-
принадлежит классу С° и С-близка к g. Поэтому в 3.3.7 можно г
считать любым, а возмущенную метрику считать метрикой
класса С00. То же самое относится и к следующей далее лемме
3.3.8. а
Предложение 3.3.7 можно рассматривать как утверждение
о том, что с помощью произвольно малого возмущения римановой
метрики можно так изменить 1-струю отображения Пуанкаре,
чтобы она удовлетворяла некоторому открытому, плотному и
инвариантному условию. В следующей лемме аналогичный резуль-
результат доказывается для 3-струи отображения Пуанкаре. Общий
результат такого типа изложен у Клингенберга и Такенса [1].
3.3.8. Лемма. Пусть %Хй, O^f^co, —периодическая траек-
траектория с минимальным периодом со и с (t): = т • q>tX0 — соответст-
соответствующая однократная замкнутая геодезическая длины со, | с | = 1.
Пусть, далее, 8* — соответствующее отображение Пуанкаре. Пред-
Предположим, кроме того, что лцнейное отображение Пуанкаре Р
220 Гл. 3. Геодезический поток
имеет 2q собственных значений, лежащих на единичной окружно-
окружности, 2<7>О.
Утверждение. В произвольно малой окрестности произвольной
точки геодезической с можно так сколь угодно мало возмутить
метрику g на М, что в возмущенной метрике c(t) по-прежнему
останется геодезической и соответствующее отображение Пуанкаре
будет закручивающим.
Доказательство. Мы можем считать, что Р 4-элементарно
(см. 3.3.7). Так же, как в доказательстве 3.3.7, введем коорди-
координаты Ферми вдоль с. ± Сохраним введенные там обозначения.
Как и раньше, в некоторой окрестности точки Х0 = с@) е Т*М
имеем две системы канонических координат, естественно соответ-
соответствующих тем двум системам координат возле точки с@) в М,
которые получаются с помощью Ф из стандартных координат в
]—е, e[xIntDe и ]ю — е, w + e[xIntDe. На время, как и в соот-
соответствующем месте доказательства 3.3.7, обозначим эти коорди-
координаты в М через (У0; х') и (х°; х), а в Т*М — через {(х'°; х'),
(у'°\ У')} и К*0; *)> (У°'> y)}i в 3.3.7 мы видели, как первые свя-
связаны со вторыми. Поверхность 2 задается уравнением л;'° = 0
или х° = (х>. Координаты ?? на 2 — это (хч, у4). Траектория фД
с Хе2, где X имеет (достаточно малые) координаты ?в, вто-
вторично пересекает 2 в момент времени t = со (?), где со (?) является
непрерывным (даже дифференцируемым) по I решением уравнения
х°(со(?). ?) = ю, причем со(О) = со. В этот момент времени z-коор-
динаты траектории суть za(co(?), ?). Они же образуют часть ее
координат во второй (нештрихованной) системе локальных коор-
координат возле Хо. Соответствующие им штрихованные координаты
суть
'1\ /А 0
Итак, в терминах координат ?а на 2 отображение Пуанкаре
«(О. 0).
Аналогично для возмущенной метрики g* такого типа, как в
3.3.7 (фактически мы будем рассматривать некий более частный
тип возмущений), 2 по-прежнему является локальной трансвер-
сальной гиперповерхностью и соответствующее отображение
Пуанкаре имеет вид
( ] *а (ш* «), ?)),
3.3. Свойства отображения Пуанкаре 221
где со* (?) — непрерывное (даже дифференцируемое) по ? решение
уравнения л:*0 (со* (?), ?) = со и со*@) = со. *
Рассмотрим возмущения фундаментального тензора ^k(t; x)
следующего вида:
(t; х) = g« (/; *) + Ц Рн* m
Л ft. f >0
2 y , f, /
ft./>о
Здесь мы должны потребовать симметрии у по первым двум
индексам. Кроме того, мы вправе считать, что у симметричны по
последним двум, р —по последним трем и а —по всем четырем
индексам. Далее, а, р и у имеют носители в той же области U,
что и в доказательстве 3.3.7, и являются малыми в рассматри-
рассматриваемой топологии, а в остальном произвольны. Как мы увидим,
возмущения такого типа не изменяют 1-струю и 2-струю отобра-
отображения 8* и в то же время позволяют варьировать третьи произ-
производные &" по ?•
Дифференцируя уравнения (Я0), (На), (Н*°), (Н*а), мы полу-
получим уравнения для 1-струй, 2-струй и 3-струй функций (СI—*
.—х°(а>, ?а), (С*)»—'0°(ш, ?а), (?")•—(г*(ш, Са)) и аналогичных
функций х*°, ^/*°, z*a, а от них перейдем к 1-струям, 2-струям
и 3-струям отображений &" и $"*.
АМы уже рассматривали уравнения для яр, i/e» *% и соответ-
соответствующих величин со звездочкой. В частности, мы видели, что
К сожалению, старшие производные от х° и У по начальным
данным, вообще говоря, ^=0*' и не выпадают из уравнений для
производных остальных г*. Поэтому мы временно изменим обо-
обозначения, считая, что г' — х* при 1 = 0, ..., п и tf^y*-"-1 при
/¦=я+1, ..., 2/1+1. Соответственно изменим смысл /<*"'. Тогда
исходная гамильтонова система есть
обратное.
*' Хотя в английском оригинале этой книги ошибочно утверждается
1тное.
222 Гл. 3. Геодезический поток
Дифференцируя ее по начальным данным, получаем
(я*) % = 2Га'на.Л,
2±
а', р ос', р, о
^ ^"'^a'p Zgv6 + '2
а', р а'.р, о
a'i р, о. т
Здесь нижние индексы у Я обозначают производные по соответ-
соответствующим г, и значения всех этих производных берутся при
2° = t и прочих г" = 0. Суммирование ведется по всем индексам,
стоящим под знаком суммы, от 0 до 2л+1. В (#pve) в записи
(zf5vz6 ~^~¦ •") МН0Г0Т°чием обозначены два других слагаемых, кото-
которые получаются из первого (выписанного явно) слагаемого при
некоторых перестановках нижних индексов (причем из двух
перестановок, отличающихся только порядком индексов у второй
производной, надо использовать только одну какую-нибудь, так
что всего имеется 3, а не 6 слагаемых; например, можно взять
циклические перестановки). (Подобная запись встречается и далее.)
Аналогичные уравнения (Я*а), .... (Яр$&) имеют место для 2*а
и их производных по переменным ?; надо только всюду поставить
звездочку у Н.
Докажем, что z*®(t) — z^(t) и z*y(t) = z^y(t)- Первое нам факти-
фактически уже известно из доказательства 3.3.7: фигурирующая там
матрица _ в нашем случае является нулевой, но ради
\—а*, — Pftl
единообразия мы заново убедимся в этом факте немного иначе.
Ясно, что начальные значения у переменных со звездочкой и без
звездочки одинаковы. Докажем совпадение правых частей урав-
уравнений (Я?) и (Щ% (#&,) и (Я$). Надо доказать, что Я«.р -Я$-р
(это уже обеспечит, что гр = гра) и Яа-ра =» Яа'ро (с учетом преды-
предыдущего это даст 2^=25^). Иными словами, если Е:=Н*—Н,
то при я° = /, х = 0, #°=1, у = 0 3-струя функции Е равна
нулю *'. Имеем
? g( Уу где
t, /=о
*' То, что при этих значениях аргументов ?=0 и ?р = 0, нам фактически
уже известно (?р = 0 эквивалентно тому, что Ф/Хо остается траекторией при
возмущении системы, а ? = 0 — что вдоль этой траектории Н = Н*\ ведь
(в обозначениях из доказательства 3.3.7) она лежит в Т*(М, g), где И = 1/2,
и в Т*(М, g*), где /Г = 1/2).
3.3. Свойства отображения Пуанкаре
223
Дадим приращения Ах°, Ах, Ау°, Ау аргументам Е:
Е(х° + Ах<>, Ах, 1 + ДгД Дг/) =
= ? А§'7 (*° + Ал:0; Ах) (б,о + Ay1) F,0 + AyJ) =
i.i
= Ag°° (x°+Ax°;
; Ax) Ay' +
; Ax) Ay'AyJ
2
Отсюда, очевидно, следует, что 3-струя дифференцируемой функ-
функции Е в точке (t, 0, 1, 0) равна нулю.
Теперь для разностей w^&(t):=z^*6(t) — z%yu(t) получаем урав-
уравнения
@
2
a', p, a, т
где te&6@) = 0, Ha,p(f):-Ha'p(t, 0, 1, 0), ?e,paT;(*)*=
= ?а'рат(^, 0, 1,0).
Отсюда легко вывести, что w°^6(t) = w^'(^) = 0. Действительно,
для этих переменных уравнения таковы:
р. а, т
Pi О, X
(однородная часть та же, что и в уравнениях для ijj, y$).
Поскольку Ер„ху, О, 1, 0) = 0 при всех t, в последнем уравне-
уравнении справа стоит нуль. Учитывая начальные значения, остается
убедиться, что и в первом уравнении En+ipax = 0, т. е. что 3-струя
функции En+i в точке (t, О, 1, 0) равна нулю. Рассуждения ана-
аналогичны приведенным выше:
Еа+1 (х°+Ах°, Ах, 1 + Д«Л Ау) =
После сказанного можно выкинуть из (W) уравнения для а = 0,
п+1, в оставшихся уравнениях отбросить члены с wl6, а>?±'
224 Гл. 3. Геодезический поток
с первыми производными z°(=x°) nzn+1 (=*#n+1) по р\ у, б. Учтем
еще, что если афО, л+1, то Ja0 = Jan+1 = 0. Поэтому можно
считать, что при суммировании в правых частях остальных урав-
уравнений индексы пробегают значения 1, .... п, л+ 2, ..., 2п+1.
А тогда естественно вернуться к прежним обозначениям для г"
(т. е. выбросить х° и уй из набора г" и сдвинуть нумерацию га
с а>п+1), соответственно изменить смысл w*6 и Jaa' и счи-
считать, что (W) является системой для этих а»" й и что суммирова-
суммирования в правой части производятся от 1 до 2п.
Посмотрим теперь, как выразить различие между 3-струями
аР* и & через w<Zй (со). Сначала выразим 2-струю со (?) C-струя
нам не понадобится) через 2-струи функций
?^*д;»(@, S); С — ^° («>, t); S — 2е ((О, Q.
Из дс°(<о(?), ©) = (о находим, что
= О, т. е. ©а@) = 0,
О,
т. е. ©ар @) =* — Ха$- Далее,_ выразим 3-струю &• через 3-струи
тех же функций. Согласно
гдв ^(«"-«"(«(О. О-
Дифференцируя, находим
При ? = 0 получаем, что
Точно так же <^* = (n <_i)(Q*e)» гДе Q*a и их производные
аналогичным образом выражаются при С = 0 через г*"(ю, Q и
их производные по ?. Поэтому
3.3. Свойства отображения Пуанкаре 225
Если бы мы рассматривали возмущения в классе всех гамиль-
тоновых систем*', то мы могли бы с самого начала положить
Н* = Н -\-Е, где функция Е мала, имеет нулевую 3-струю на
нашей траектории и ее носитель лежит в малой окрестности какой-
нибудь точки этой траектории. В остальном Е могла бы быть
произвольной. Тогда изменение (при этом возмущении) траекто-
траекторий, близких к рассматриваемой, описывалось бы в нужном
порядке системой (W). Пока что речь идет о первоначальном
варианте этой системы —с а = 0 2п+\. Отбросить a»|vfl и
w$yul мы могли бы при условии, что ?„+1рат = 0. Это —дополни-
—дополнительное ограничение на Е, не влияющее на другие производные
четвертого порядка. При его выполнении мы смогли бы перейти
к системе (W) для г1, ..., zin = xl, ..., у" (и с суммированием
по всем индексам от 1 до 2п). В этой системе Ea>paT(t) могли бы
быть произвольными функциями от t, удовлетворяющими обыч-
обычным условиям о малости и о носителе (и, конечно, симметрич-
симметричными по всем индексам). Кажется правдоподобным, что за счет
возмущений такого рода можно обеспечить произвольное малое
изменение членов третьего порядка малости (по ?) отображения
Пуанкаре (в классе симплектических диффеоморфизмов). Ниже
мы приведем доказательство, содержащее соображения, которые
будут полезны и в нашем случае.
В нашем случае, когда рассматривается возмущение в классе
геодезических потоков, функция Е ограничена тем требованием,
чтобы она была квадратичной формой по у0, у (с коэффициен-
коэффициентами, зависящими от х°, х). Данное выше определение g* как
раз и гарантирует, что
с, *=0
можно взять произвольной такой формой (с обычными оговор-
оговорками о малости и о носителе**'). Ее четвертые производные таковы
(латинские индексы принимают значения от 1 до л):
t\ 0);
t; 0);
Ei+n f+n Ы @ = 7«'+л j+n kl (t\ 0).
•' Но по-прежнему считая невозмущенную систему геодезическим потоком
(поскольку предыдущее исследование уравнений в вариациях в координатах
Ферми относилось именно к этому случаю; возмущений периодических траек-
траекторий произвольных гамильтоновых систем мы не касаемся не из-за каких-то
принципиальных трудностей, но просто потому, что это не относится к теме
данной книги).
**' Обратим внимание, что, когда мы говорим о «малости носителя функ-
функции ?» в случае общего гамильтонова возмущения и случае геодезического
потока, это означает разные вещи: в последнем случае носитель в фазовом
пространстве не может быть мал (по у он не ограничен) — мала его проекция на М.
8 В. Клингеиберг
226 Гл. 3. Геодезический поток
Для этих производных не возникает никаких ограничений из-за
специального вида Е, но
Ei+n /+я к+п I @ = Ei+n j+n k+n /+я (О S 0«
Однако Еа'ратФ входят в (W) с множителями z$(t)z°(t)zl(t)
и по р, а, т производится суммирование. Грубо говоря, из-за
этого на ю" с большими индексами (лежащими в «плохом»
интервале [п-М. 2«]) влияют ?а'рат с «малыми» индексами (лежа-
(лежащими в «хорошем» интервале [1, «]), т. е. те Еа-р(п, выбор кото-
которых находится в нашей власти, и это позволяет получить произ-
произвольные малые ш^б(ш)»(в классе тех {ffi>jjv6}. при которых со-
сохраняется симплектичность преобразования Пуанкаре).
Решение с нулевыми начальными данными системы, имеющей
в векторно-матричной записи вид w = A (t)w + /(/)> следующим
образом выражается через матрицант Z(t) однородной системы
A(t)(t)
= Z(t){z-i(s)f(s)ds
о
(обычный метод вариации постоянных). В нашем случае получаем
«&» («) = 2 Ч И I (Z-1 (^иа'Еа'Рог (О Ч @ 2? (О ZJ @ dt,
Я,, ц, а', р, а, т О
где (Z-1)^ — коэффициенты матрицы, обратной к Z == (z*). Но Z (/) —
симплектическая матрица (в обычном смысле, т. е. (JZ(t)t,,
Z(t)f) = (Jl, l'))*\ т. е. <ZJZ=J, Z-4'Z-l = J, Z-4=J'Z.
Поэтому
(I) «»Sre(«) = 2?S 2
Я., ц 0] a', p, о, т
Посмотрим теперь, какими могут быть члены третьего порядка
в струе Ф — йР в точке ? = 0, если §>, как и аР, — симплектиче-
ский диффеоморфизм и струя второго порядка равна нулю. Для
наших целей удобнее говорить не о <Р и Ф, а о Q = (Qa) и Q==
= (Q*) = ( Q Д\Ф- Поскольку координаты (х1, у1) (t = 0, ..., п)
*' Это явствует как из «общих соображений» C.1.7 и выражение для
формы 2а в координатах Ферми), так и попросту из того, что система ()
является гамильтоновой (в обычном смысле).
3.3. Свойства отображения Пуанкаре 227
п п
канонические, то 2а = ? <**' л dtf, а значит, 2а| Б = ? dx1 л dtf.
о i
Поэтому симплектичность отображения в координатах ?а озна-
означает, что матрица его частных производных первого порядка —
симплектическая в обычном смысле. Итак, при любых ?
и аналогично для $. Выделяем члены третьего порядка в разно-
разности Q — Q: пусть
P.V.*
у" ® = F 2 °?»в?№. * = (о1, .... о").
P.V.0
Тогда из условия симплектичности DQ(?) = DQ(?)-|-Dy(?) получаем
< (DQ (С)) • J- DQ E) +' @Q (С)) • J • Du (S) +
' (Do (&)) • ./. 0о (С) = J.
В левой части первое слагаемое равно J, второе и третье равны
а четвертое есть О (| СI4). так что
<(DQ @)) ¦ J. Do (С) + '(Do (С)) • J • DQ @) = о (| p I).
Так как левая часть однородна по С второй степени, она тож-
тождественно по С равна нулю. Поскольку DQ @) = (г? (со)), то при
любых а, р, у, S
Условие (И) приобретает более простой и удобный вид в терми-
терминах величин sapY8, связанных с v%y& следующим образом:
Поскольку матрицы Z = (^") и J обратимы, то sapv3 однозначно
определяются через у^й, и обратно. Сейчас мы покажем, что
в терминах s условие (II) сводится к тому, что sapv3 симметрично
по первым двум индексам. А поскольку из (S) видно, что sapYfl,
подобно v^6, симметрично по р, Yi S, то окончательно получаем,
что s должны быть симметричны по всем четырем индексам.
8*
'228 Гл. 3. Геодезический поток
Доказывая, что sapY3 = spaYe, мы будем считать Y и б фикси-
фиксированными, поэтому можно ввести матрицы
V =(Ур7б)а.Р = 1, ..., 2я » S = (SapY6)a. р = 1 2л
(на самом деле зависящие от y и б, на что наши обозначения не
указывают). В этих терминах (!!) и (S) означают, что
Подставив второе соотношение в первое, воспользовавшись равен-
равенством U = — J, симплектичностью Z и равенством JJ= — /2„,
получим, что S — 'S = 0. А это означает симметричность s по пер-
первым двум индексам.
Сопоставляя теперь (!) и (S), приходим к выводу, что нам
достаточно доказать следующее: если заданы достаточно малые sapv8,
симметричные по всем индексам, то существуют такие E(t)
удовлетворяющие перечисленным выше условиям, что
(!!!) se&v3 = I Ewax @ аи @ 4 (О А @ *5 @ dt.
Будем рассматривать s^s и ?црат@ как коэффициенты 4-линей-
4-линейных симметричных форм S и E(t) на R8", так что, например,
S (Ь. Ct. С*. С*) = S ^ргбСЖ^, С< = fea) s R2B.
Такие формы образуют векторное пространство Z4(R2n). Линей-
Линейное отображение A: R2" —>-R2" естественным образом индуцирует
два линейных отображения Ц(А) и D(A) в Z4(R2")» которые
определяются так:
(D (А) тесно связано с некоторым дифференцированием в обыч-
обычном смысле, см. далее; отсюда и обозначение). Легко видеть, что
Li (i4fl) = LX (В). L^ (Л).
Поэтому при обратимом Л преобразование Ц(А) тоже обратимо.
В этих терминах A11) означает, что
S**lll(Z(t))E(t)dt.
В случае общих гамильтоновых возмущений существование
надлежащих E(t) очевидно. Именно, пусть А с ]е, со — е[ — тот
отрезок, внутри которого должен лежать носитель E(t). Зафик-
3.3. Свойства отображения Пуанкаре 229
сируем какую-нибудь С^-функцию, носитель которой лежит строго
внутри А и для которой ^f(t)dt=\. Тогда можно положить
E(f) = f(t)LA(Z-*(t))S.
Обратимся теперь к нужному нам случаю. Обозначим через L
подпространство в Ls(R2n), состоящее из тех форм, у которых
равны нулю все коэффициенты sapYfl, имеющие три или четыре
индекса >п. Иными словами, если какие-нибудь три из векто-
векторов ?,• принадлежат подпространству OxR" (здесь 0 —нуль в R"),
то 5(Ci, .... С4) = 0. Очевидно, имеющееся у нас ограничение на
коэффициенты как раз и состоит в том, что Е (t) e L при всех t.
Докажем сначала, что если Л е L (|R2"; R2") действует на
стандартный базис еа пространства R2" таким образом, что
(А) Ле.еОхК2", Aei+n = ei
(здесь, как и раньше, латинские индексы принимают значения
от 1 до п, а 0 есть нуль в R"), то L + (D(A)J L = Z4(R2n).
Непосредственно находим, что (D(A)J=*D(A2) + 2D' (А), где
D'
(всего Q = 6 слагаемых, в каждом из которых А действует на
два из четырех аргументов S). Из (А) следует, что D(A2)L = L
(действительно, если ?»e0xR2n, то и Л2?,- s OxR2"). Поэтому
достаточно доказать следующее: для любой S е Ц (Ran) существует
такая fi e L, что S-D'(A)B(= L.
Выразим через коэффициенты Ьа^8 формы В те из коэффи-
коэффициентов frapvfl формы fi', у которых 3 или 4 индекса >«. Имеем
^J+n j+n k+n l+n — В' (ei+n, S/+n> 6ft+m el+n) —
= B(AetHi, Ae/+n, ek+n, elHl) + ...=
. =B{et, eh ekHt, e,+n) +... = 2fttf fc+n/+n-f...
F слагаемых, в каждом из которых 2 индекса те же, что и соот-
соответствующие индексы у b', a 2 других на я меньше, чем соот-
соответствующие индексы у ?>'). Далее,
справа стоят 6 слагаемых, в трех из которых Л действует на
какие-нибудь два из трех векторов е;+„, е;+„, ек+п, а в других
трех слагаемых А действует на et и еще на один из векторов
eivn, ej?nt ek+n- Но эти последние 3 слагаемых равны нулю:
например,
В(е«п, Аен„, ек+п, Ae() = B{ei+n, eh еш, вектор из OxR") = 0
230 Гл. 3. Геодезический поток
C из четырех аргументов принадлежат OxR"). В первых же трех
слагаемых действие А на соответствующий вектор сводится
к уменьшению индекса этого вектора на п. В итоге
в/, ek+n,
+ B(eit eJ+n, ек, e,) + fl(e,+n, eh ek, e,) =
= bif k+n / -\- bi j+n bi + bi?n /kt.
Итак, мы должны доказать, что если заданы s^yi, симмет-
симметричные по всем индексам, то существуют такие 6ару6, тоже сим-
симметричные по всем индексам, что
(?) Sf+B /+л k+n l+n = 2Ьу ft+n l+n + ¦ • •»
f+n k+n I = 2Ьц ь+п I + 2fr» /+n kl + 2&Л-/, /ft/.
(Если последние соотношения выполняются, то ввиду симметрии
"для тех saPva, у которых другие 3 коэффициента >п, тоже вы-
выполняются аналогичные соотношения.) Положим при i^j и k^l
( 1" ) bij k+n l+n = Vl2S»4n /+я ft+я Z+n
и при i^j^k
( + 1" ) Ьуь l+n = Ve (Si l+n k+n l+n + Si+n j k+n l+n +
+ Si+n f+n k l+n — 2si+n )+n k+n l)-
По симметрии определяются остальные bapYe, для которых (ровно)
один или (ровно) два индекса >• п; те же bapYe, у которых либо
все индексы «s;n, либо хотя бы три индекса ~>п, несущественны
для наших целей, и ради определенности их положим равными
нулю. Очевидно, те Ьа^у&, у которых ровно два индекса sgn,
определяются по следующему рецепту: надо эти два индекса уве-
увеличить на п, взять s с полученным набором индексов и разде-
разделить на 12. Теперь ясно, что при нашем определении b выпол-
выполняется (?). Далее, правая часть (t t) симметрична относительно
I, /, k; поэтому (f t) имеет место не только при i^/Ss&, но
и вообще при всех i, /, k. Перепишем (t t), заменяя i, /', k, I
сначала на i, j, I, k, затем на I, k, I, j и, наконец, на /, k, I, i;
иными словами, выпишем аналогичные формулы для Ьц1к+п, bu,ij+n
и bjku+n, т. е. для величин, фигурирующих в правой части (??).
Сложив написанные выражения для этих величин, убедимся, что
выполняется* (??) *'.
*' По существу, здесь дело в том что решение системы уравнений (с не-
известными а, Ь, с, d)
имеет вид a = 1/3(B-\-C-\-D — А) и т. д.
3.3. Свойства отображения Пуанкаре 231
Свяжем теперь D (А) с настоящим дифференцированием. Пусть
А (t) — матрица коэффициентов системы (#р), а Е е L\ (R2n). Тогда
Действительно,
±Ll(Z(t))E=Li(Z(t))D(A(t))E.
a (Z-s B) D (A) S) (?1( ?2, •••) как раз и равно
Если же ? сама дифференцируемым образом зависит от U
E = E(t), то
| LJ (Z (/)) ? @ == Li (Z (/)) ? (/) + Ц (Z @). D (А @) • Я (О-
Непосредственно проверяется, что
(ttt) ^
Это позволяет сделать вывод, что для любой формы S e LJ (R2n)
найдется такая E(t), которая принимает значения в L, диффе-
дифференцируема, носитель которой лежит внутри Д и для которой
Л*
L\(Z(t))E(t)
(/0 —фиксированная внутренняя точка А). Действительно, мы мо-
можем независимо предписать, какими должны быть E(t0), E(t0),
E(t0). Наше A(t) имеет вид I "j (конкретный вид блока, обо-
обозначенного звездочкой, для нас несуществен), т. е. удовлетво-
удовлетворяет (А). Поэтому существует такая форма E{t0), что
Ц (Z-i (*„)) S-(D(A (to))Y E (t0) s L.
, /0 0\ s
Далее, л = ^ j, так что л@хК2") = 0; поэтому у формы
D (А (/„)) Е (t0) могут быть ненулевыми лишь те коэффициенты,
у которых все индексы <; п, и тем более эта форма принадлежит Ь,
Полагаем
0,
Ё (t0) = Ц (Z-» (f0)) S -
тогда, очевидно, выполняется требуемое равенство,
232 Гл. 3. Геодезический поток
Возьмем теперь какой-нибудь базис Slt ..., S^ пространства
LHR2") и такие ?,-(*) (дифференцируемые, со значениями в L и
с носителем в Д), что
S,- = -J Z4(Z (t))E,(t) (f = l N).
Ш to
Возьмем дифференцируемую функцию f с носителем в А, которая
настолько хорошо аппроксимирует (в известном смысле) 6-функ-
цию 6 (/ — /0). что
тоже образуют базис в /4(К2") (это обеспечено при достаточной
их близости к St). Интегрируя по частям, получаем
S't=\Jv)L\(Z(t))E,(t)dt.
л
Любая форма SeLs(R2n) представляется в виде ?s,S'f, причем
надлежащая малость S гарантирует малость s,-. Очевидно,
S = ]L\(Z(t))E(t)dt,
о
где E(t) = %Sjfi(t)Ei(t) мала при достаточно малых sh т. е. S,
и удовлетворяет всем прочим условиям. А ?
Теперь мы в состоянии доказать типичность свойств, сформу-
сформулированных в 3.3.7 и 3.3.8.
Точнее, пусть х > О, N 5= 1 — целое. Через У (N, у) обозна-
обозначим множество тех римановых метрик на М, которые принадле-
принадлежат классу Сг и обладают тем свойством, что для каждой
замкнутой геодезической ^-уровня ^ х соответствующее линейное
отображение Пуанкаре ^-элементарно.
Через У (N) сг У М обозначим множество таких римановых
метрик, что для каждой замкнутой геодезической соответствующее
линейное отображение Пуанкаре N-элементарно.
3.3.9. Теорема. Пусть М — компактное дифференцируемое мно-
многообразие и г^г2.
Утверждения, (i) Множество y(N, н) плотно в УМ и содер-
содержится во внутренности y(N, х/2).
(и) У(Ы) содержит остаточное в УМ множество, т.е. свой-
свойство метрики, состоящее в том, что линейная часть отображения
Пуанкаре каждой замкнутой геодезической N-элементарна, ти-
типичное.
3.3. Свойства отображения Пуанкаре 233
Замечание. При N = 1 утверждение (и) есть теорема о бугри-
бугристой (humpy) метрике Абрахама [1].
^Доказательство теоремы о бугристых метриках см. в работе:
Аносов [6]. Здесь же мы приведем только доказательство теоре-
теоремы 3.3.9 для N>1, в котором используется ее справедливость
для N = 1.
Абрахам предполагает, что г ^5. Но, как видно из наших
рассуждений, если его теорема доказана при г = 5, то она верна
и при г = 2, 3, 4.
Доказательство. Ясно, что (и) следует из (i), ибо У (N) можно
представить как пересечение счетного числа множеств $r{N, к)
с х=1, 2, Поэтому достаточно доказать (i).
(а) Отметим сначала несколько простых фактов из теории
динамических систем. Пусть на замкнутом дифференцируемом
многообразии задан поток класса С1, у которого нет положений
равновесия (т. е. соответствующее векторное поле нигде не обра-
обращается в нуль)*' и у которого все периодические траектории
периода ^ со таковы, что соответствующие отображения Пуанкаре
не имеют собственного значения 1 (ради краткости будем по ана-
аналогии с введенной выше терминологией называть такие траекто-
траектории 1 -элементарными **\ хотя понятия JV-элементарности для
них мы не вводим). Тогда этих траекторий конечное число***',
и при некотором е>0 у потока нет траекторий с периодами из
]со, со + е[. Далее, при малом (в смысле С1) возмущении потока ****>
эти траектории непрерывно изменяются, как и соответствующие
линейные отображения Пуанкаре; в частности, наши траектории
остаются 1-элементарными. Поскольку имеется известный произ-
произвол в выборе начальной точки траектории, то точный смысл
утверждения о непрерывной зависимости траектории от потока
таков: можно таким образом сопоставить каждому потоку, доста-
достаточно близкому к исходному, некоторую периодическую траекто-
траекторию этого близкого потока, что она непрерывно зависит от потока
*' Это не очень существенно —просто при наличии положений равно-
равновесия очевидным образом усложнились бы формулировки.
**' Чаще их называют невырожденными. Впрочем, мы говорили о пе-
периоде, а не о минимальном периоде, так что рассматриваемые траектории
могут не быть однократными (как замкнутые кривые), тогда как обычная тер-
терминология обычно относится к однократным траекториям.
***' Разумеется, с точностью до изменения начальных точек на этих
траекториях. Эта оговорка была бы не нужна, если бы под траекториями
понимались просто соответствующие множества точек. Но тогда замкнутую
траекторию нельзя было бы отличить от той же траектории, пройденной два
раза. По-виднмому, здесь лучше всего понимать траекторию как ориентиро-
ориентированную кривую (без фиксированного начала).
****> То есть возмущенный поток задается векторным полем, ^-близким
к нолю, задающему исходный поток.
234 Гл. 3. Геодезический поток
и совпадает с исходной периодической траекторией для невозму-
невозмущенного потока. В основном все сводится к тому, чтобы каждому
близкому потоку сопоставить подходящую начальную точку (не-
(непрерывно зависящую от потока и определяющую периодическую
траекторию этого потока). (Для линейного отображения Пуанкаре
имеется произвол еще в выборе трансверсальной (к вектору фазо-
фазовой скорости) гиперплоскости в касательном пространстве к фазо-
фазовому многообразию в начальной точке траектории. Но если на-
начальная точка непрерывно зависит от потока, то гиперплоскость
тоже можно взять непрерывно зависящей от потока, и тогда
линейное отображение Пуанкаре (теперь оно однозначно опреде-
определено) будет непрерывно зависеть от потока, — надо учесть, что
период периодической траектории в нашем случае тоже непре-
непрерывно зависит от потока.) Чтобы обеспечить непрерывность этих
начальных точек, фиксируем какие-нибудь локальные трансвер-
сальные гиперповерхности 2,- в начальных точках исходных перио-
периодических траекторий (какие именно из их точек взять начальными
и как именно выбрать 2,- —безразлично) и потребуем, чтобы воз-
возмущенные периодические траектории начинались на 2,-. Тогда
вопрос сводится к малым возмущениям отображений Пуанкаре.
Наконец, при возмущении периоды некоторых из рассматривае-
рассматриваемых траекторий могут стать >со, но, во всяком случае, новых
траекторий периода ^ю не возникнет.
(Ь) Пусть теперь go^3r(\, к), г ^2. Тогда соответствующий
геодезический поток {<jf0}, рассматриваемый на Т*(М, g0) (обо-
(обозначение из доказательства 3.3.7), обладает свойствами потока
из (а) (с со = ]/2х). Посмотрим, что происходит при малом
(в смысле С1) возмущении рассматриваемой метрики. Для воз-
возмущенной метрики g геодезический поток {<pf} рассматривается на
инвариантном многообразии Т* (М, g) Ф Т* (М, g0)- Однако можно
спроектировать Т*(М, g) на Т*(М, g0) (в каждом слое расслое-
расслоения Т*М-+М по радиусам) и с помощью этой проекции /%„
«перенести» поток j<p«J в Т*(М, g0), т. е. рассмотреть поток
(РййоФ'РЙоЬ Этот поток близок к {cpf°} в смысле С'1 (см. ниже).
Поэтому все его периодические траектории с периодом ^ ]^2к
непрерывно зависят от g (в понятном смысле) и 1-элементарны.
Соответствующие траектории потока Ш\ тоже 1-элементарны
(ясно, что диффеоморфизм, переводящий один поток в другой, —
в нашем случае проекция pggo —сохраняет свойство 1-элементар-
1-элементарности периодической траектории). Сказанное означает, что g e
s У A, ч). Мы видим, что множества У A, к) —откры-
—открытые.
Далее, пусть g0 e У (N, к). Поскольку линейные отображе-
отображения Пуанкаре для рассматриваемых траекторий непрерывно зави-
зависят от g (или, лучше сказать, поскольку задающие эти отобра-
3.3. Свойства отображения Пуанкаре 235
жения «данные» — начальную точку и соответствующие гиперпо-
гиперповерхности—можно выбрать так, чтобы отображения непрерывно
зависели от g), то при достаточной близости g к g0 эти отобра-
отображения останутся iV-элементарными. Здесь надо пояснить, по-
почему вообще можно говорить об УУ-элементарности линейных
отображений Пуанкаре для периодических траекторий потока
{p^tPJgl}- Эти отображения являются симплектическими в том
смысле, что они сохраняют некоторую невырожденную кососим-
метрическую 2-форму — не ту, которую мы рассматриваем для
потока {фИ, а ту, которая является образом при диффеомор-
диффеоморфизме pggo аналогичной 2-формы для {<ff}. Как бы то ни было,
они обладают тем свойством, что если р — собственное значение,
то и р —тоже (с той же кратностью), а -fl и —1 имеют чет-
четную кратность. А именно это и нужно, чтобы можно было гово-
говорить об N -элементарности. Ясно, что при малом возмущении
^-элементарного линейного преобразования в классе всех пре-
преобразований, обладающих указанным выше свойством, преобра-
преобразование останется N-элементарным. Наконец, преобразования
Пуанкаре для периодических траекторий потока i(pf\ BT*(M,g)
сопряжены преобразованиям Пуанкаре для соответствующих пе-
периодических траекторий потока {pggo4>fP7e}' и потому для всех
траекторий потока |ф«| с периодом ==s]/2x они N-элементарны.
Следовательно, g e $r(N, к). Мы видим, что множества $r{N', к)—
тоже открытые.
Убедимся в С-^близости {pggt4>tPJ^} K {ф^}- Пусть х1, ...
..., xn+1 — локальные координаты в М, а у1, ..., уп+1 — соответ-
соответствующие координаты в слоях Т*М. Рассматривая |ф^| и
Т*(М, g), будем писать if вместо у". Тогда потоки |ф«»} и
во всем Т*М имеют функции Гамильтона
Щх, л)-
Т*(М, go) и Т*(М, g) задаются уравнениями
Н0{х, у) = у, Н (х, х\) = -д-,
проекции pgog и pgig — уравнениями
у1 = ц{/У2Н0(х, п), г]' = у'/У2Н(х, у),
и непосредственное вычисление показывает, что
236 Гл. 3. Геодезический поток
описывается уравнениями*'
DtH0 DtH
где а,= , у п и п0 всюду подразумеваются
аргументы (х, у), D;:=d/dx' и О,+„:= д/ду''. (Собственно говоря,
непосредственно при вычислении у' получаются дополнительные
знаменатели: B#0)/2 у первого слагаемого и B#0K/2 у второго.
Но на Т\{М, go) эти знаменатели равны 1.) Ясно, что, когда
g'!{х)->goil (x) в смысле С, а \у\ ограничено и отделено от нуля
(как это имеет место на Т*(М, gn)), правые части (*) стремятся
к (Qi+nHo, — D,tf0) в смысле С-1.
(с) Докажем теперь, что $r(N, х) плотно в УМ. Пусть g0 —
произвольная С'-метрика. Ее можно аппроксимировать (в смысле
С) бугристой метрикой gv (При г^Ь это просто утверждение
теоремы о бугристых метриках. При г = 2, 3, 4 сначала аппрокси-
аппроксимируем (в смысле С) g метрикой класса С5, затем аппроксими-
аппроксимируем последнюю (в смысле С6 и тем более Сг) бугристой метрикой.)
Далее, g^ можно сколь угодно близко в С-топологии аппрокси-
аппроксимировать С°°-метрикой g. Поскольку g1e.y(\, к) и У(\, к)
открыто, то и §еУA, х). Пусть сг, ..., ck — «все» замкнутые
геодезические для g с 0 < Е sg x (т. е. любая замкнутая геоде-
геодезическая с 0<сЕ^х принадлежит ОB)-орбите одной из с,). У g
имеется такая окрестность ^ в У(\, х), что при всех g'e*j/°
определены непрерывно зависящие от§' замкнутые геодезические **'
ci{g')* причем c,-(g) = c,-, а других замкнутых геодезических
с 0<?^;и у метрики g' «нет» (с обычным уточнением смысла
этого «нет»). Геодезические с, не обязаны все быть однократными,
но среди них имеются однократные — пусть это будут cti, ..., ci[f —
а все прочие cj являются кратными повторениями этих с*.; пусть
наибольшая кратность повторения равна т. Две различные
(и не сводящиеся друг к другу посредством действия 0B)) одно-
однократные геодезические могут иметь лишь конечное число общих
*' Хотя здесь написано 2(п+1) уравнений, но на самом деле х1 и tf
не независимы, а подчинены соотношению 2Я0(х, у)—\- Если локально неза-
независимыми координатами являются, скажем, х1, ..., хп+1, у1 уп, то можно
выразить yn+l через остальные переменные, подставить это выражение вместо
г/л+1 в правые части урагнений для х1, ..., хп+1, у1, ... , у", а уравнения для
yti+i не писать вовсе. Но можно сказать и иначе: у системы (*) мы берем
только решения с начальными значениями, удовлетворяющими соотношению
2Н0(х, у)=\.
**> Собственно говоря, мы не доказывали непрерывной зависимости с,-
как элементов топологического пространства ЛМ от g', и она нам не понадо-
понадобится; можно иметь в виду просто непрерывность по g' соответствующих
Н>аекторий геодезического потока, как в (а).
3.3. Свойства отображения Пуанкаре 237
точек, поэтому на каждой из с( имеются точки, не принадлежа-
принадлежащие никаким другим с,- . Пусть
сч {tt) ф (J clh (S);
Ь.ф\
ct. могут иметь самопересечения, но поскольку у однократной
геодезической может быть лишь конечное число точек самопере-
самопересечения, то, слегка изменив, если потребуется, t}, можно добиться,
чтобы CiAtj) не были точками самопересечения. У точек ct (tj)
можно взять такие малые окрестности U,, что
(**) f/П l)(Cih(S)\jUh)=0.
Из 3.3.7 видно, что за счет сколь угодно малого возмущения bjg
метрики g, сосредоточенного в ?/,-, можно добиться, чтобы линей-
линейное отображение Пуанкаре для с*., оставшейся замкнутой геоде-
геодезической для g + 8,g, стало Мя-элементарным. (Ввиду E1) тогда
оно станет jV -элементарным для всех повторений с{. кратности *^т.)
Из (**) видно, что это возмущение не «задевает» остальных Ct и
тех окрестностей Uh, где производится возмущение, корректирую-
корректирующее свойства Cth. Поэтому можно произвести все эти возмущения
*
одновременно, т. е. взять метрику g* = g + ^] 6/g; при достаточ-
достаточной малости возмущений она принадлежит "j/3. Ясно, что Cj(g*) = c,-
и что для g* линейные отображения Пуанкаре являются iV-эле-
ментарными для всех с,-, а ведь других замкнутых геодезических
с 0<?^х у g* нет. Значит, g* s1'"(jV, к). ? А
Теперь мы докажем последний результат этой главы.
3.3.10. Теорема. Пусть М — компактное дифференцируемое
многообразие и г ^ 4. Тогда следующее свойство римановой мет-
метрики является типичным (в УМ).
Отображение Пуанкаре каждой замкнутой геодезической
на многообразии М с метрикой g является гиперболическим или
закручивающим.
Доказательство (ср. с работой Клингенберга и Такенса [1],
где приведено немного другое доказательство). Будем рассуждать
так же, как при доказательстве 3.3.9. Очевидно, достаточно
доказать лишь аналог утверждения 3.3.9 (i).
Для к>0 обозначим через &г(%, к) множество тех метрик
g e ЪГМ, для которых выполняется следующее свойство: у всех
замкнутых геодезических на (М, g), для которых 0<JE^x,
отображения Пуанкаре гиперболические или закручивающие.
238 Гл. 3. Геодезический потов
Из 3.3.9 мы знаем, что множество У (А, к) открыто и плотно
в УМ. Поэтому заданное g e УМ может быть аппроксимировано
С°°-метрикой g', у которой есть лишь конечное число замкнутых
геодезических с 0<?<х, К каждой из этих геодезических при-
применяем 3.3.8. Таким образом, У(х, к) плотное УМ. Так как рас-
рассматриваемое свойство отображений Пуанкаре открыто, то малое
возмущение элемента ge>r(т, х) не выведет g из У(т, х)
(поскольку, очевидно, У(х, х)с:У(\, к), при малом возмуще-
возмущении g новых замкнутых геодезических с 0<?=?;х не возникает).
Таким образом, У(т, к) открыто. Q
Добавление к § 3.3
Теорема Биркгофа — Льюиса о неподвижной точке
Юрген Мозер
Мы изложим полное доказательство так называемой теоремы
Биркгофа — Льюиса о неподвижной точке 3.3.3. Эта теорема род-
родственна другой теореме Биркгофа и Льюиса [1], а именно тео-
теореме о периодических решениях действительной аналитической
гамильтоновой системы около неподвижной точки общего устой-
устойчивого типа. Отметим, что доказываемая ниже теорема сформу-
сформулирована при очень слабых предположениях о дифференцируе-
дифференцируемое™. Дальнейшие комментарии можно найти в замечании
после 3.3.3.
Пусть xeR" и (xk), (yk), I ^k^n, — координаты в прост-
пространстве R2", снабженном канонической симплектической 2-формой
2 dxk л dyk. Мы рассматриваем каноническое преобразование
ф: (R2", 0)-*(R2", 0)
вида (х, y)*-~(xw,
(x, у),
4
yl?xsin<b(x y) + ykcosQ>k(x, y)-\-fk+m{x, y),
k
1
l=\
При этом предполагается, что в начале координат производные
возмущающих членов /ft (jc, у) и fk+n (x, у) равны нулю вплоть
до третьего порядка включительно, а сами эти члены всего лишь
принадлежат классу С1. Для простоты можно предположить,
что / принадлежит классу С3, но, во-первых, в доказательстве
это более сильное предположение нам не понадобится, а во-вторых,
предположения о слабой дифференцируемости в дальнейшем ока-
окажутся полезными.
Добавление к § 3.3. Теорема Биркгофа — Льюиса 239
Положим р2= ^] (xk + yl); тогда
B) p-s{l/(*. y)\ + P(\DJ\+ DJ\)}
стремится к нулю при р->-0.
Если мы предположим, что матрица (p*w) невырожденна, то
получим локальное симплектическое закручивающее отображение;
см. 3.3.2 и 3.3.3, где были использованы комплексные координаты
З.З.А.1. Теорема. Если отображение ф: (R2n, 0)^-(R2n, 0)
является каноническим преобразованием с невырожденной матри-
матрицей (pw), то каждая проколотая окрестность 0< ? (xl + </!)<е
k
содержит периодическую траекторию. Период этих траекторий
стремится к бесконечности, когда г стремится к нулю.
Доказательство. Введем новые координаты (xk, Qk), полагая
C)
где 8ft определены с точностью до 2л. Заметим, что это преобра-
преобразование вырожденно, если одно или больше xk равны нулю.
По этой причине будем рассматривать шар
Вр: ^ Bт, -1 J < р2, 0 < р < 1/2л,
р: ^ Bт, -1 )
k
на котором 2т* > 1/2п — р>0. Кроме того, на этом шаре
так что этот шар целиком лежит в рассматриваемой проколотой
окрестности. Отображение <р определено в области ВрхТп, где
через Тп обозначен тор {8fcmod2n}.
Преобразование C) переводит 2-форму а=? dxkAdyk в форму
k
е^]^лсйь так что ср в новых координатах по-прежнему
k
остается каноническим преобразованием относительно симплек-
тической 2-формы ^с1тклс19к. Кроме того, ф есть «строго кано
k
ническое» преобразование, т. е. для любой замкнутой кривой Г
из ВрХТ" выполняется соотношение
Ф(Г) *
240 Гл. 3. Геодезический поток
В самом деле, из равенства 2f,xhd^k = xhdyk — ykdxh и теоремы
Стокса получаем
2е \ X xkdh = $ I] (xiAlk ~ ykdxk) = 2 $ а,
Г ft 5Q ft Q
где Q —двумерное многообразие в \х\2 + \у\2<е с краем dQ = F.
Так как исходное отображение сохраняет ос, а следовательно, и
^ а, то новое отображение сохраняет $ ^] Tft^sft Для всех замкну-
q ' ft
тых кривых Г в ВрхТт. Здесь мы воспользовались односвяз-
односвязностью множества |дг |2 + 1#12<е> в то время как множество
ВрхТт, конечно, не односвязно. Заметим, что понятие «строго
канонический» сильнее, чем понятие «канонический», в чем можно
убедиться на примере отображения т*<—*-хк~\-ск, 8fti—*• 6ft.
В терминах переменных хк, 8А исходное отображение <р пред-
представляется как некоторое новое отображение, — мы снова будем
обозначать его через ф,—которое фактически определено на
накрывающем пространстве для Вр х Тт; это накрывающее про-
пространство параметризовано с помощью xk и 8А.
Рассматриваемое отображение записывается в виде *'
е) + Ol (е); ** = «ft +
Здесь о1(в) обозначает такую функцию f = f(%, б, е), периоди-
периодическую по 8ft с периодом 2л, что е-1/ и первые производные р/
по г и 6 равномерно стремятся к нулю при е-»-0**». Если мы
обозначим через | /1, максимум на Вр х Т" среди всех производ-
производных порядка ^s, то последнее условие можно сформулировать так:
e-i./'!-». О при е^-0.
Через о(е) мы обозначаем функции, для которых е-11 /|0 —*-0,
а через О (е) — функции, для которых sup е-1 |/10<оо. Понятный
смысл имеют также оA) и 0A). В различных формулах и даже
в разных частях одной и той же формулы эти ох (е), о (г) и т. д.
могут обозначать различные величины.
*' Мы намерены рассматривать его при различных е, поэтому точнее
было бы сказать, что теперь имеется однопараметрическое семейство отображе-
отображений фЕ с малым положительным параметром е.
**' Позднее эти / могут еще зависеть от некоторого индекса (например,
/ в F) и /V в 3.3.А.5); тогда подразумевается, что равномерность стремления
к нулю соответствующих величин имеет место также и по рассматриваемым
значениям этих индексов.
Добавление к § 3.3. Теорема Биркгофа — Льюиса 241
З.З.А.2. Теорема. Пусть у —такое строго каноническое отобра-
отображение вида D), определенное на Вр х Тп, что матрица фИ)
нешрожденна. Тогда при достаточно малом г > 0 область Вр х Тп
содержит по крайней мере одну периодическую точку.
Ясно, что из этой теоремы следует теорема З.З.А.1. Доказа-
Доказательство теоремы 3.3.А.2 мы разобьем на несколько шагов (см.
также Цендер [1]).
З.З.А.З. Лемма. Пусть 0<р'<р и сх — положительная кон-
константа. Тогда если eN<Cj и 0<е<е0) где е0 зависит от р,
р' и си то при /=1, ..., N определены итерации
E) <р>: В
Кроме того, при этих j
где*1 %: (т, б)-—(т, 8 + ф(т, е)).
Эта лемма нужна для того, чтобы показать, что итерации
ф/(т, 8) не покидают области определения, если / = О(е-1). Кроме
того, нам понадобятся оценки для первых производных итера-
итераций ф/ в том виде, в котором они даны в F).
Доказательство. Используя в пространстве (т, 8) обычную
евклидову норму, получим, что, пока итерации ф' определены,
их т-компоненты удовлетворяют неравенствам
а так как /sSjV<c,/6 и тбВр-, то |т(/) —т <с,е~1о(е)<р —р',
если только е достаточно мало. Отсюда индукцией по /= 1, ..., W
заключаем, что все ф' определены и ф^(т, 6)еВрхГл. Тем
самым E) доказано. Кроме того,
>, е)--ф(т,
^ No (е) + е 2 1° (е) = No (е) + jV2bo (е) = A + сх) No (е) = ег1о (е),
где через | р | обозначена норма матрицы р = (§ш)- Это доказы
*) Подробнее, конечно, следовало бы писать не х> a Xs>
242 Гл. 3. Геодезический поток
вает, что | ф' — %f\0 = o(e). Для доказательства F) осталось полу-
получить оценки разностей якобианов*' dxpi и dyj.
Якобиан йц> в точке т(/'\ 6(/) обозначим через Fj, а яко-
якобиан d%, который во всех точках одинаков, — через G. Так как гр
не зависит от 6, то
G=lo
Заметим, что | G — I |о = О (е) и
Поэтому композиция N таких отображений F/ или G может быть
оценена как
A _(-0 (e))/V__gATO(e) — 0A^
т. е. она ограничена, если ограничено iVe. Поэтому получаем
(Здесь у Ft подразумевается аргумент (т'1'-1', б1'-1'). При ? = /—1
подразумевается, что сомножители Fj-lf ..., Fk+1 отсутствуют.)
Это доказывает З.З.А.З. D
Теперь мы хотим отыскать неподвижную точку отображения %N
в Вр'ХТ". Для этого нам надо найти такое т е Вр-, чтобы при
всех k=l, ..., п числа Bл)-1 Ntyk(x, е) были целыми, т. е.
G) Bл) 1 Л^-ф (т, s) e Z".
3.3.А.4. Лемма. Если eNp" > 2л ]/п || р-11|, то существует
х* е ВР", удовлетворяющее условию G), т. е. такое, что тор х — х*
целиком состоит из неподвижных точек отображения %N.
(Эта лемма относится к отображению х> которое определено
при всех г, 6, е, поэтому в условиях леммы нет никаких огра-
ограничений на р" и на малость е (подразумевается, конечно, что е,
N, p">0). Другое дело, что такие ограничения появляются при
ее применении.)
Доказательство. Образ шара ?р» (имеющего радиус р"/2) при
отображении тп—«-гИт, е) = а+врт содержит шар радиуса
eip-'if р"/2. В самом деле, если а = \|)(-с, е) и а' = \|)(т', е), то
| т — х', < е-11 р-111 а — а' |. Пусть теперь г' — центр шара Вр- (т. е.
r'k=\/4n, k=\, ..., п), а а'—образ т'. Каждое а является об-
образом некоторого т. Тогда из | а — а' к н | р-1 Ц-1 р"/2 следует, что
|т — т'|<р72, что доказывает утверждение.
*' «Якобиан* в данном случае означает, конечно, не определитель, а соот-
соответствующую матрицу (она же на другом языке называется производной Фреше).
Добавление к § 3.3. Теорема Биркгофа — Льюиса 243
Таким образом, при отображении т >—* Bл)-1 Nty (т, е) образ
шара fip» содержит шар радиуса i?=Dn)-1|p-1jj-1/Vep" и, следо-
следовательно, содержит куб со стороной 2n.-l/2R. Поэтому, если
2л-1/2/?>1, то этот куб содержит точку решетки Z", что и до-
доказывает лемму. ?
Фиксируем теперь до конца доказательства такие р' и р",
что 0<р"<р'<р<1/2п.
З.З.А.5. Лемма. Положим
Тогда при любом достаточно малом е>0 и любом целом N,
для которого co<.vN<.clt в Вр>хТп существует такой тор т =
= тF, 8) = т* + е-1ог(е). что Ф^ отображает его «радиально»,
т. е. так, что
е"-6е 2jtZ".
Доказательство. Согласно лемме З.З.А.З,
а по предыдущей лемме существуют такое т* е Вр» и такая точка h
решетки Z", что
Для доказательства леммы нам надо разрешить относительно т
уравнение
(8) 6"-6=М|>(т, е) + е-Ч(е) = 2я/1.
Для этого можно применить теорему о неявной функции. Если
мы отбросим возмущающий член е~1о](е)=о1A), то получим ре-
решение т = т*. Возмущающий член является сокращенным обозна-
обозначением для некоторой функции /лг(т, 6, е) (иными словами, fN —
это б-компонента разности dyN — dxN). Заменив т на т* + бт,
получаем для бт уравнение
, 6, е) = 0,
(9) бт = -(е#Р)-1Ыт* + 6т, 6, е).
Решаем (9) с помощью обычных последовательных приближе-
приближений, начиная с бт10) = 0 и используя, что fN и ее первые произ-
производные (по т, 6) суть оA), а
Это доказывает существование малого решения бтF, е). Оно
единственно среди всех бт с т* + бтеВр<> ибо если бт' тоже
244 Гл. 3. Геодезический поток
удовлетворяет (9) (с теми же 6, е), то
т. е. 6т — 6т'= 0. Далее, зависимость 6т от б —класса С1. Это
получается непосредственным применением обычной теоремы о не-
неявной функции к (9) (с фиксированным малым е): коль скоро мы
знаем, что при некотором 60 имеется решение, то при всех б,
достаточно близких к 60) имеется решение с непрерывной про-
производной по 9; но ввиду единственности оно совпадает с нашим
6т F, е). Наконец, отсюда же видно, что, в понятных обозначе-
обозначениях,
(Таким образом, нам действительно понадобились оценки не
только для разности q>N — %N, но и для dyN — d%N.)
Возвращаясь к (8), заключаем, что у этого уравнения имеется
искомое решение класса С1 (по 6):
Чтобы найти неподвижную точку отображения <pw, мы должны
решить систему уравнений
Пока что мы решили только первое уравнение из этой системы;
мы установили, что оно выполняется на m-мерном торе ef: х =
= тF, е). На геометрическом языке наша задача состоит в оты-
отыскании точки пересечения g^~ с cpw(#~); каждая такая точка
будет неподвижной точкой ср^.
Вообще говоря, два близко расположенных я-мерных тора
в 2и-мерном пространстве не обязаны пересекаться, и именно для
доказательства существования пересечения мы воспользуемся
строгой каноничностью отображения ср.
Покажем, что на торе т = тF, е) существует такая 2л-периоди-
ческая по 8^ ..., 8л функция №F, е)еС, что
В самом деле, так как ср — строго каноническое отображение, то
$22
Г ft ft
для каждой замкнутой кривой Г на т = т@, е). Так как 8<w> —8, =
Добавление к § 3.3. Теорема Биркгофа — Льюиса 245
= 2nh и, следовательно, d6(AM = d6, то
$ 2 (т* ' ~ т*) ^* = О
г ft
для каждой лежащей на торе замкнутой кривой Г. Поэтому ин-
интеграл
О к
не зависит от пути и определяет искомую функцию W.
Неподвижной точкой отображения ср^ является такая точка
т = тF, е), что tiOT = t, т. е., согласно A0), критическая точка
функции W. Например, точки максимума или минимума функ-
функции W доставляют примеры таких точек. Они принадлежат
Вр'ХТп, а их траектории лежат в ВрхТп. Это доказывает теорему
З.З.А.1. ?
Глава 4
СУЩЕСТВОВАНИЕ НЕСКОЛЬКИХ
ЗАМКНУТЫХ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ
В этой главе мы займемся проблемой существования нескольких
или даже бесконечного числа замкнутых геодезических на ком-
компактном римановом многообразии. Отметим, что до сих пор мы
доказали существование лишь одной замкнутой геодезической;
см. 2.1.3 и 2.1.6. Этот результат, полученный Люстерником и
Фетом [1] в 1951 г., не был улучшен вплоть до 1965 г., когда
Фет [3] доказал существование по крайней мере двух замкнутых
геодезических в предположении, что все замкнутые геодезические
невырожденны.
В § 4.1 мы изложим полное доказательство теоремы Фета. Но
сначала в качестве подготовительного материала для этого дока-
доказательства мы, следуя А. С. Шварцу [1], детально опишем локаль-
локальную топологическую структуру пространства непараметризованных
замкнутых кривых около невырожденного критического подмного-
подмногообразия.
В § 4.2 излагается упрощенное доказательство слегка усилен-
усиленного варианта знаменитой теоремы Громола и Мейера [2], кото-
которая утверждает существование бесконечного числа однократных
замкнутых геодезических на компактном римановом многообразии
М в том случае, когда числа Бетти пространства AM неограни-
чены.
В § 4.3 мы доказываем, что на каждом компактном римано-
римановом многообразии, фундаментальная группа которою конечна,
существует бесконечно много однократных замкнутых геодезиче-
геодезических. Доказательство, помимо изложенных в § 4.2 результатов
Громола и Мейера, использует построенную Сулливаном теорию
рационального гомотопического типа и — существенным образом —
свойства комплекса Морса. В написанном Дж. Саксом добавлении
содержится подробное описание минимальной модели простран-
пространства AM.
В § 4.4 содержится несколько теорем о существовании замк-
замкнутых геодезических (в том числе —с определенными специаль-
специальными свойствами) для «типичных» метрик. В доказательствах этих
теорем используются свойства геодезического потока.
4.1. Критические точки на ИМ и теорема Фета 247
4.1. Критические точки на ПМ и теорема Фета
Мы начнем с описания локальной топологической структуры
пространства непараметризованных кривых возле невырожденного
критического многообразия. В течение долгого времени оставался
незамеченным тот факт, что наличие в общем случае нетривиаль-
нетривиальной группы изотропии делает эту структуру намного более слож-
сложной, чем в случае невырожденного критического многообразия
в пространстве параметризованных кривых. Впервые на это ука-
указал А. С. Шварц [1]. Наше изложение восходит к статьям Клин-
генберга [4], [5], [6], где со всеми подробностями было разобрано
несколько частных случаев.
В качестве первого применения этих результатов мы дадим
полное доказательство теоремы Фета, которая утверждает сущест-
существование по крайней мере двух однократных замкнутых геодези-
геодезических в предположении, что все замкнутые геодезические невы-
рожденны.
Так же как в § 2.4, мы рассматриваем невырожденное крити-
критическое подмногообразие В. Мы предполагаем, что В связно и
что все его элементы имеют одинаковую кратность, скажем т.
Имея это в виду, мы будем иногда писать Вт вместо В. Пусть
k = km — индекс критического подмногообразия В=Вт и Е\Вт =
= у, — кт. Ясно, что кт > 0.
Обозначим через Вх подмногообразие AM, состоящее из одно-
однократных замкнутых геодезических, соответствующих замкнутым
геодезическим из Вт. Будем считать, что Вх невырожденно и что
его индекс равен kv Кроме того, положим Е \ В\ = кх.
Пусть fi = \im: N—Nm-*-B = Bm — нормальное расслоение под-
подмногообразия В. Слой угЧс) над с^Вт есть подпространство
пространства ТСАМ, ортогональное касательному пространству
ТсВт подмногообразия Вт в точке с.
Расслоение \ит расщепляется на положительное и отрицатель-
отрицательное подрасслоения:
для которых слоем (и^)"^) является Т±ЛМ.
А Они инвариантны относительно действия Т% группы S. При
обычной интерпретации касательных векторов к ЛМ в с как
векторных полей вдоль с это действие, так же как и %, сводится
просто к сдвигам аргументов. Отображение, возникающее при
факторизации ЛУИ по действию % группы S, мы уже обозначили
через
я:
Тем же символом я будем обозначать и отображение, возникаю-
248 Гл. 4. Существование нескольких замкнутых геодезических
щее при факторизации Мт по действию Т% группы S. * Мы
хотим описать отображение п | Nm- (Аналогичное описание будет
справедливо и для п | Nm.)
± Факторизацию по 5 можно осуществить в два шага: сначала
профакторизовать по подгруппе
Zm •¦ = {г10; 0^1<т, г0: = e2ni'm)
группы 5, а затем по факторгруппе S/Zm, элементы которой
очевидным образом представляются числами г, Osg/--<l//n. Оче-
Очевидно, элементы Zm переводят каждый элемент ст^Вт в себя,
a T%\Zm действует в слое {\л~т)~1{ст) как группа изометрий.
Легко видеть, что для близких ст эти действия сопряжены. Ввиду
связности Вт они сопряжены для всех ст. Точнее, существует
такой атлас расслоения цт, что во всех его векторных картах
Т%(г0) представляется одной и той же ортогональной матрицей Т
(а переход от одной векторной карты к другой описывается по-
посредством ортогональных преобразований, коммутирующих с Т).
Поэтому при факторизации по Zm получается расслоение
'ГП
to стандартным слоем Dk/Zm, где подразумевается, что действие Z
в D* определяется описанным выше образом. Далее, каждый
элемент из S/Zm. отличный от единичного, переводит (cm (t)) в дру-
другую кривую (cm(t + r)), где 0</-<1/т. Поэтому при фактори-
факторизации по S/Zm ни одну точку слоя расслоения fWZm не прихо-
приходится отождествлять ни с какой другой точкой того же слоя. Зна-
Значит, при этой факторизации получается расслоение
N'JS = (N-m/Zm)/(S/Zm) ->- Am: = BjS = Bj(S/Zm)
с таким же, что и раньше, стандартным слоем Dk/Zm- E5) A
Таким образом, мы получили следующий результат.
4.1.1. Лемма. Пусть множество критических точек многооб-
многообразия AM, принадлежащих Е-уровню х = ит>0, содержит среди
своих связных компонент невырожденное критическое подмногооб-
подмногообразие В — Вт индекса k = km, все элементы которого имеют оди-
одинаковую кратность т.
Пусть ,ir = Цт'. N' — Nm -*¦ В = Вт — отрицательное расслоение
над Вт, слоем которого над точкой ст е Вт, согласно определению
в § 2.2, является отрицательное пространство Те AM.
Каноническое S-действие на AM индуцирует S-действие на \Ст.
Пусть А= Ат = Bm/S — фактор многообразие подмногообразия Вт.
4.1. Критические точки на ИМ и теорема Фета 249
Тогда для факторизации расслоения Цт по S-действию имеет
место коммутативная диаграмма
{«
Здесь первые горизонтальные отображения получаются в резуль-
результате действия на слоях группы изотропии Ът подмногообразия Вт;
следовательно, в частности, Вт-*~Вm/Zm — изоморфизм. Вторые
горизонтальные отображения являются расслоениями на окруж-
окружности.
Соответствующая диаграмма имеет место и для положитель-
положительного расслоения \im- П
Эта лемма позволяет нам полностью описать относительные
гомологии пространства ft" mod П*- для невырожденного крити-
критического значения.
4.1.2. Теорема. Предположим, что множество критических
точек многообразия А = АМ, принадлежащих Е-уровню x>0,
является невырожденным критическим подмногообразием В ин-
индекса k и что все элементы из В имеют одинаковую кратность,
скажем т. Пусть лВ = А; А — многообразие. Пусть Й=ШИ.
Утверждение. Я*(ЙК, Пи-) = Я*(^/5, dNn/S) = H* (Д)(х)
(х) #* (Dk/Zm, dDul%m), где во втором равенстве надо использовать
гомологии с коэффициентами в Za *'•
Доказательство. Первое равенство следует из 2.4.10, 2.4.11
и 4.1.1, так как все конструкции эквивариантны. Доказательство
второго равенства аналогично доказательству изоморфизма Тома
для гомологии расслоения на диски по модулю его края, сдви-
сдвигающего размерности гомологии базы на k = размерность слоя
(см. Клингенберг [4]). D
Особый интерес представляет случай, когда В является О B)-
орбитой единственной невырожденной замкнутой геодезической с.
4.1.3. Следствие. Пусть множество критических точек много-
многообразия A —AM, принадлежащих Е-уровню х>0, является 0B)-
*' В английском оригинале утверждается также, что если расслоение
ц^/5 ориентируемо (см. F5)), то аналогичный факт справедлив для гомологии
с любыми коэффициентами. Однако в статье Клингеиберга [4], на которую
здесь делается ссылка, рассматриваются только коэффициенты в 2г-
250 Гл. 4. Существование нескольких замкнутых геодезических
орбитой S . с U 5 . бе невырожденной замкнутой геодезической ин-
индекса k.
Утверждение. Для любых коэффициентов
Я* (П«, ГР-) - Я* (D»/Zm, dD"/Zm).
Доказательство. Отметим, что (Пн, ПИ-)=(Й*, П"-)/е2а; см.
§ 2.2. Под действием 6 отождествляются обе части А=ОB) .c/%S.
Поэтому 4.1.3 следует из 4.1.2. (Все расслоение fi^S в данном
случае состоит из одного-единственного слоя, так что утвержде-
утверждение о гомологиях справедливо при любых коэффициентах.) D
Замечание. Предыдущие примеры показывают, что важно знать
гомологии пространства (Dk/Zm, dDk/Zm), где факторизация про-
производится по ортогональному действию циклической группы Zm
в Rfc. To, что гомологии этого пространства могут быть более
богатыми, чем гомологии пространства (Dk, dDk), видно из сле-
следующей леммы.
4.1.4. Лемма. Пусть дано ортогональное представление цикли-
циклической группы Ъп порядка т в евклидовом векторном пространстве
Rk, при котором образующая г0 группы Zm представляется пре-
преобразованием Т.
Утверждение, (i) Рассмотрим гомологии с рациональными коэф-
коэффициентами. Тогда
Hi=Ht{DklZm, dD*/Zm) = 0, если [фк
или если i=k, а инвариантное подпространство, на котором Т
действует как — id, имеет нечетную размерность. Последнее
эквивалентно тому, что (D*/Zm. dDk/Zm) неориентируемо. Во всех
остальных случаях #fc = (Q.
(ii) Рассмотрим гомологии с коэффициентами в Ъг- Если Т
имеет нечетный порядок, то Hi(Dk/Zm> dDkl2,m) — Xi при i = k
и =0 в противном случае.
Если инвариантное подпространство пространства Rk, на
котором Zm действует как группа нечетного порядка, имеет
размерность a<zk, то
0 в остальных случаях.
Доказательство. Сначала рассмотрим случай рациональных
коэффициентов. Хорошо известно, что тогда D*/Zm mod dDk/Zm
имеет те же гомологии, что и DhmoudDk, за исключением того
случая, когда Т меняет ориентацию; см. Борель [2]. Это про-
происходит в точности тогда, когда подпространство, на котором Т
яействует как — id, имеет нечетную размерность.
4.1. Критические точки на UM и теорема Фета 251
В случае коэффициентов в Xz отметим, что гомологии про-
пространства не изменятся, если произвести факторизацию по дей-
действию циклической группы нечетного порядка. Поэтому если мы
положим т=г2\ где г нечетно, то достаточно вычислить гомо-
гомологии пространства, полученного при факторизации по подгруппе
Z2« cr Zmi так как дальнейшая факторизация по Ъг больше не
изменит гомологии.
Итак, мы можем считать, что m = 2s, где s^O. Если образу-
образующая переходит в оператор нечетного порядка, значит, она дей-
действует тождественно и, следовательно, Ht— Hi(Dk/Zm> dDk/Zm) =
= Za при i = k и =0 при i Ф k.
Осталось рассмотреть случай, когда имеет место ортогональ-
ортогональное разложение
R* Rft
на такие подпространства, инвариантные относительно Т (опе-
(оператора, представляющего образующую группы Zm)> что Т | R° =
= id, Г|Кй = — id, €c = €i®...©©e и 7|©у действует как
умножение на е{а/, 0 -< at < я, а + Ь + 2с = k, b -f 2c > 0.
Обозначим координаты в Ra через xk, I ^ k «^ а, координаты
в Rb через yit l^i^b, и координаты в С/ через г/, 1^/=^с.
Определим последовательность пространств, в которой каждое
пространство содержит предыдущее, полагая
|arg 2j = 0; z,+x = . . . = Zc = 0} П D";
= {0 < argZf <a,; 2/+1 =... = zc = 0} П ?>*» 1
Можно проверить, что множества и mod 5м образуют клеточное
разбиение пространства DVZm mod 5D'7Zm. Кроме того, оператор
границы устроен следующим образом:
Поэтому группы гомологии пространства Dк1Ъп mod dDk/Zm равны
Z2 в размерностях i, где a + 2^i<s^k, и равны 0 в прочих
размерностях. ?
Замечание. Лемма 4.1.4 впервые была доказана А. С. Швар-
Шварцем [1]. Он сделал несущественную ошибку в вычислениях,
которая затем была исправлена Альбером [2J и Клингенбергом [6].
На самом деле Шварц вычислял гомологии с коэффициентами
в произвольном простом поле Zp; результат при этом зависит
от разложения m = rps, (r, /»)=1.
Если мы хотим использовать леммы 4.1.3 и 4.1.4 для вычи-
вычисления относительных гомологии изолированной критической 0B)-
252 Гл. 4. Существование нескольких замкнутых геодезических
орбиты, то нам надо воспользоваться теоремой 3.2.9, определяю-
определяющей индекс Iст m-кратного повторения геодезической с в терми-
терминах р-индекса /с(р):
Отрицательное подпространство ТСА является слоем над с
отрицательного расслоения ц- над ОB).с. Фактически отрица-
отрицательное расслоение fjr над 0B) .с определено также и в случае,
когда с — вырожденная геодезическая; при этом слоем над г.с
является Тг Л-
Во всяком случае, из 3.2.8 — 3.2.9 и определения р-индекса
^с(Р) геодезической с получаем
4.1.5. Предложение. Пусть с— cff — замкнутая геодезическая
кратности т. Тогда р-индекс /с(р), где р = корень степени т
из единицы, следующим образом описывает представление группы
изотропии Ът в слое Т'СА отрицательного расслоения над О B). с.
Размерность подпространства, на котором Хт действует
тождественно, равна /сA).
Пусть Т — образ образующей группы Ът " 0</э<[(/и+1)/2].
Тогда размерность подпространства, на котором Т действует
как умножение на е±2шР/т, равна 21с(е2л1р/т).
Размерность подпространства, на котором Т действует как
— id (таковое может существовать при четном т), равна
4.1.6. Следствие. Пусть с—С\ — однократная замкнутая гео-
геодезическая, и пусть все ее повторения ст:=ст, /nssl, невырож-
денны. Для каждого целого т ^ 1 обозначим через Оц« отрица-
отрицательное расслоение на диски над невырожденным критическим
подмногообразием О B). ст. Обозначим через Dc \\,т стандартный
слой расслоения D\i'm. Рассмотрим гомологии с рациональными
коэффициентами.
Утверждение, (i) Пусть /с,(—1) = ind c2 — ind сг —нечетное
число. Тогда для всех четных т
Я* {DcjajZm, dDcjxmlZm) = 0.
Следовательно, если критическое множество, лежащее на Е-уровне
кт = Е (ст), состоит в точности из О B). ст и т четно, то
(и) Пусть indt'=fe. Тогда при всех mssl
4.1. Критические точки на ИМ и теорема Фета 253
Доказательство, (i) следует из 4.1.4, 4.1.3 и 4.1.2.
Для того чтобы доказать (и), заметим сначала, что из
Я*+НечетноеФ° следует, что dimDcjLm= indcm = indCj-j-нечетное
число. Имеем
а так как /„(р) = /,.(р), то правая часть имеет вид k-\-нечетное
число в том и только том случае, когда 1С(—1) нечетно, а т
четно. Теперь применяем (i). D
Замечание. 4.1.6 (ii) играет решающую роль при доказатель-
доказательстве теоремы Фета 4.1.8.
Применим 4.1.2 к вычислению относительных гомологии для
критического уровня хг = 2я2<72 > О пространства ILS" (см. Клин-
генберг [4]). Прежде всего из 2.5.3 мы знаем, что критическое
многообразие Вд из AS", принадлежащее уровню х9, является
многообразием Штифеля VB, п— 1) = 0(п+ \)/О(п— 1). Следо-
Следовательно, Aq: = nBq = O(n+l)/O(n— 1)х0B) —многообразие Грас-
смана GB, n— 1), состоящее из двумерных подпространств (или
(п — 1)-мерных подпространств) в R"+1.
Отрицательное расслоение \ig над Вд представимо в виде
\Ч = Л* © (of ~2 0... 0 о^2),
где к]" — расслоение, индуцированное отображением п из кано-
канонического (п— 1)-мерного расслоения ?"-х над GB, л—1) (см.
Милнор и Сташеф [1])
-»
)
Группа изотропии Z? многообразия Вд действует на ц"-1 тожде-
тождественно.
Все д—\ расслоений а2"—2, \ ^p^.q~ 1, изоморфны рас-
расслоению а2"-2, индуцированному отображением л из касательного
расслоения т = т?т-г многообразия GB, я— 1):
л*7ТС?B,д-1) Т*я >7t?B,H-l)
254 Гл. 4. Существование нескольких замкнутых геодезических
Для того чтобы описать действие Z9 на о2рп-2, заметим, что
двулистное накрытие GB, л—1) многообразия GB, n— 1), со-
состоящее из ориентированных двумерных подпространств в R"+1,
обладает естественной комплексной структурой; тем самым можно
определить действие группы Z? на TGB, n— 1), считая, что
образующая группы действует как умножение на е2Я|/>/». Тогда
индуцированное действие на TGB, п— 1) будет действием Z»
на а2/1-2.
4.1.7. Теорема. Отрицательное расслоение пц} над Д? = л5?
имеет вид
¦¦ С" © (т2я -8 0... 0 т2"л
Z,"-1 — каноническое (л—1)-мерное расслоение над А?^
^GB, л—1). Все т2"-2, 1^р<<7— 1, изоморфны касательному
расслоению т2"~2 многообразия GB, л—1), причем образующая
группы Zg действует на т^«-2 /сак умножение на егя1р1<>.
Следовательно, гомологии с коэффициентами в Ъ% простран-
пространства nH«S" mod IIVS" определяются следующим образом. Пусть
<7=2«»Gi, где qx нечетно.
Если i?o = 0» т- б. q нечетно, то
если (?о>О, mo
B<7— 1) (« — I)
0
Доказательство. Теорема следует из 4.1.2 и 4.1.4. D
В качестве дальнейшего применения 4.1.4 докажем теорему
Фета [3]. В § 4.3 мы докажем обобщение теоремы Фета.
4.1.8. Теорема. Пусть М —компактное риманово многообразие.
(\) Если фундаментальная группа п±М не является конечной,
то на М существуют по крайней мере две однократные замкну-
замкнутые геодезические.
(И) Пусть пхМ конечна и все замкнутые геодезические *) невы-
рожденны. Тогда на компактном универсальном накрытии М су-
существуют по крайней мере две однократные замкнутые геодези-
геодезические, индексы которых равны k0 и k0 -f I, причем k0 -\-1 =^ k -f-1,
где число k + 1 3= 2 равно размерности первой ненулевой гомото-
гомотопической группы многообразия М. Эти две геодезические проекти-
проектируются на такие две замкнутые геодезические многообразия М,
что соответствующие однократные замкнутые геодезические раз-
различны.
*' В том числе и кратные.
4.1. Критические точки на UM и теорема Фета 255
Доказательство. Сначала предположим, что универсальное
накрытие М многообразия М стягиваемо. (Тогда, в частности,
фундаментальная группа пхМ бесконечна.) Фет [2] утверждает,
что в этой ситуации существуют две замкнутые геодезические.
Однако сейчас мы не можем предложить доказательства этого
утверждения. Мы можем лишь перечислить несколько фактов,
которые делают весьма правдоподобным предположение о том,
что наличие только одной замкнутой геодезической ведет к про-
противоречию. Очевидно, из этого предположения следует существо-
существование такого элемента аелхУИ, что каждый элемент из пхМ
сопряжен некоторой степени а. Теперь можно вывести, что nvM
не имеет элементов конечного порядка и что ее первое число
Бетти равно нулю E6).
Теперь предположим, что группа ПхМ бесконечна и что уни-
универсальное накрытие М не стягиваемо. Тогда существует такое
наименьшее k-\-l, 2^k-{-1 ^,п = й\тМ, что пк+1М =?0. С по-
помощью гомотопически нетривиального отображения /: Sk+1 -*¦ М
мы, так же как и в 2.1.8, построим гомотопную нулю замкну-
замкнутую геодезическую на М. Нетривиальный элемент бесконечного
порядка группы пхМ порождает вторую замкнутую геодезичес-
геодезическую E7). Однократные замкнутые геодезические, соответствующие
этим двум геодезическим, должны отличаться друг от друга, так как
никакое повторение второй геодезической не будет гомотопно нулю.
Пусть теперь jtiM = 0. Первая нетривиальная гомотопическая
группа появляется в размерности k-\-1, 2^k-\-1 ^ л = dim /И.
Из 2.1.6 или 2.1.8 следует, что в этой ситуации существует не-
невырожденная замкнутая геодезическая с индекса k *\
Возьмем замкнутые геодезические с наименьшим индексом —
пусть он равен k0 — и среди них возьмем замкнутую геодезичес-
геодезическую с0 с наименьшим ^-уровнем х0. Тогда с0 будет однократной
геодезической и ko^k. Отрицательный диск ?>-(яс0) в точке
лсоеП = ГШ находится во взаимно однозначном соответствии
с отрицательным диском D~ (с0) в точке с0 е AM, накрываю-
накрывающей пс0.
Как видно из § 2.5**', диск Е>-(пс0) (сильно неустойчивое
многообразие) представляет нетривиальный ^-мерный цикл про-
пространства Пи° mod Пи°-\
*' Или k— 1. (Если в ЛМ ф-семейство носителей циклов, принадлежа-
принадлежащих ненулевому классу гомологии из Hk(AM; Z)=nk(AM), «повисает» на
S. с, то. в понятных обозначениях, должно быть
E . с), ЙОц- (S . с); Z) Ф 0,
а это возможно только при указанных двух значениях индекса.) Впрочем,
в дальнейшем не играет роли, каков индекс с.
**' Или из описания деформации ПИо в D~ (nco)\jti.>l°~e (§ 2.4 для Л и
эквивариантность).
256 Гл. 4. Существование нескольких замкнутых геодезических
Рассмотрим вложение
± Допустим сначала, что при этом вложении цикл ?>~ (яс0)
переходит в нуль. Рассмотрим {jj-семейство, порожденное «плен-
«пленками», «заклеивающими» этот цикл в П. Оно должно повисать
на некоторой критической точке лс^еЙ (где сг — однократная),
для которой ввиду 4.1.3 в обозначениях из 4.1.6
(**) Hk
Пусть теперь при вложении (*) цикл D-(fic0) не переходит
в нуль. Тогда, в частности, ko>0, ибо при ko = 0, очевидно,
D~ (яс0) = псо и ввиду связности П этот случай является частным
случаем рассмотренного выше. А Покажем, что существует гомо-
топия h*, переводящая цикл D~ (псп) в D~ @лсо). Для этого
прежде всего заметим, что отрицательный цикл Ь~ (с0) в точке
с0 е AM может быть получен в духе § 2.1 (особенно см. 2.1.7)
с помощью отображения /: Sfc»+1->-yW, которое определяет такое
отображение
dD"°) -*¦ (AM, A°M),
что f*Dh« = D- (с0). При этом центр т0 диска D*° соответствует
точке с0, а соседние точки переходят в элементы сильно неустой-
неустойчивого многообразия E8).
Рассмотрим Dk" как полуэкватор сферы S*°+1 и фиксируем
два касательных к 5*»+1 в точке т0 ортонормальных вектора
(elt ea), один из которых ортогонален Dk°. Рассмотрим вращение,
которое переводит (еи е2) в (—еь — е2). Оно определяет гомото-
пию h отображения б*» в — 664 которую мы рассматриваем как
цепь в AS*°+1. Положим h* = Af°h.
А Таким образом, помимо однократной замкнутой геодезичес-
геодезической с0 индекса k0 всегда существует однократная замкнутая гео-
геодезическая съ для которой при некотором тэ= 1 выполняется (**).
Но индекс CjS^&o- Если он равен k0, то Hko+1 = 0 ввиду 4.1.6 (ii).
Значит, индекс cx^ku-\-\. Индекс ср ввиду 4.1.4 может рав-
равняться только &оЧ~ 1* поэтому окончательно заключаем, что
индекс сх = ko -\-1.
Итак, мы имеем две однократные замкнутые геодезические
двух различных индексов k0 и k0 -\-1, так что они не могут сво-
сводиться друг к другу под действием 0B). А
Наконец, рассмотрим случай Л]М<оо. Тогда универсальное
накрытие М многообразия М компактно, и на нем существуют
две однократные замкнутые геодезические с0 и clt индексы кото-
4.2. Теорема Громола — Мейера 257
рых равны соответственно k0 и &0+1- Замкнутая геодезическая
с0 должна получаться при накрытии из какой-то замкнутой гео-
геодезической многообразия М. Последняя может и не быть одно-
однократной; пусть она есть некая с™, где с0 уже однократна. Дру-
Другие накрытия с™ получаются из с0 под действием скольжений.
Все они имеют индекс k0. Ясно, что любые другие кратные по-
повторения с0 (с кратностью фт) при накрытии не дадут одно-
однократной замкнутой геодезической на М — они либо не будут за-
замыкаться при накрытии, либо дадут некоторые кратные повторе-
повторения с0 или одного из образов с0 под действием скольжений.
Аналогично, сг получается при накрытии некоторого кратного
повторения cf некоторой однократной замкнутой геодезической сх
на М, причем все другие накрытия cj1 имеют, как и сь индекс
?0+1, а другие кратные повторения ct (с кратностью Фг\) при
накрытии вообще не дают однократных замкнутых геодезических.
Очевидно, из сказанного следует, что Со^с^ ?
Замечание. Гомотопия, которую мы использовали в доказа-
доказательстве этой теоремы, будет играть важную роль при доказа-
доказательстве обобщения 5.1.1 теоремы Фета.
4.2. Теорема Громола — Мейера
В этом параграфе мы изложим несколько упрощенное дока-
доказательство слегка усиленного варианта теоремы Громола —Мей-
—Мейера: если существует такое простое поле, для которого последо-
последовательность чисел Бетти многообразия ЛУИ не ограничена, то на
многообразии М есть бесконечно много однократных замкнутых
геодезических.
Решающим шагом в доказательстве этой теоремы является
следующий полулокальный результат о последовательности ст,
т=\, 2, ..., кратных повторений замкнутой геодезической с.
Допустим, что при некотором т0 ^ 1 индекс с» > 0 и что все
5 . ст являются изолированными критическими множествами. Тогда
для всех достаточно больших i сумма 2 *>< М» гДе ^ есть 1'е
т
типовое число (см. ниже), ограничена сверху не зависящей от i
константой.
Пусть с = (с(t)) — замкнутая геодезическая кратности т^\.
Обозначим через Т'С — Т'САМ подпространство коразмерности 1
пространства ТСАМ, ортогональное к с^ТсЛМ. Из разложения
2.4.3 получаем ортогональное разложение
9 В. Клингенберг
258 Гл. 4. Существование нескольких замкнутых геодезических
где Тс°Л = ТсА П Т'СЛ состоит из ортогональных к о периодичес-
периодических полей Якоби вдоль с.
Напомним, что, согласно § 2.4, indc==dimT^A, a nulc =
= dim Тс"А. Мы не будем предполагать, что nul с= 0, т. е. что
с невырожденна. (Напомним, что через nul с мы обозначаем де-
дефект замкнутой геодезической с.)
Пусть (х=цE.с): N -*• S — нормальное расслоение для с (точ-
(точнее, для S. с), рассматриваемое над S, т. е. расслоение, индуци-
индуцированное вложением
S -*¦ Л, г •—». z1/m . e,
где пг есть кратность о, из нормального расслоения подмногооб-
подмногообразия S . е, образованного 5-орбитой геодезической с (ср. с § 4.1).
Заметим, однако, что здесь мы не предполагаем, что 5. с — не-
невырожденное критическое подмногообразие.
Пусть ц = |л+ 0 ц~ 0 |а° — разложение нормального расслоения,
определенное разложением (*) каждого слоя этого расслоения.
Используя экспоненциальное отображение, мы можем отождест-
отождествить пространство расслоения D = D(S .с) на достаточно малые
диски Dji расслоения ц с открытой окрестностью окружности
S с N (S вкладывается в iV как нулевое сечение). Это позво-
позволяет перенести на D риманову метрику и интеграл энергии Е.
Действие 5 на D сохраняет эти величины.
Для г е S обозначим через Dt слой над г расслоения D\k.
Ограничение Е на Dz будем обозначать через Ег> а градиентное
поле функции Ег по отношению к индуцированной метрике —
через gradf1*.
Однако для наших целей полезно рассматривать другую мет-
метрику на D. Пусть /л — кратность геодезической в. Определим
на D новую риманову метрику, полагая
<S. E%.i':=G. 5'>e + ^<V?. V?'>0.
Ясно, что на касательном пространстве в каждой точке |eZ)
метрика <•, •>т,х эквивалентна метрике <•, -)v При такой за-
замене метрики индекс и дефект геодезической с останутся неиз-
неизменными.
Градиентное поле функции Ег по отношению к метрике
(•» •)«. 1 будем обозначать через gradm?«. Для каждого ^eiV
через T$N cz T^N будем обозначать касательное к слою подпро-
подпространство касательного пространства.
4.2.1. Предложение. Пусть с —замкнутая геодезическая де-
дефекта 1^0 и кратности т~^\. Используя ранее введенные поня-
понятия, положим 1а+©|л-=ц*, так что ц = |1*0ц° и размерность
саря \и° = 1. Обозначим через 0~ нулевое сечение расслоения ц~,
4.2. Теорема Громола — Мейера 259
а через D~ — тотальное пространство расслоения на диски, ассо-
ассоциированного с расслоением \С, где ~ е {—, 0, +, *}.
Утверждение. Существует локальное эквивариантное ьложе-
ние*)
Wca: (Do, <W-*¦(?>, Ob),
которое характеризуется следующими свойствами:
и вектор gradmEг (Wca(lo))^T'wca{i0)D параллелен слою (ц0)-1 (*).
Кроме того, существуют такой локальный эквивариантный диф-
диффеоморфизм т|> тотального пространства D и такое сечение z>—*
t—*Pz, zeS, Pz^L(n*; ц*), где Рг — ортогональная послойная
проекция, что при (?, ?0) <= D* ® Д>
Ег • ф (Б, So) = II P.l Ilk I - I (id - P.) \Ym.l + Eg. Wca (go).
где z= {i* (|) =ц° (|0), dim ker Pt = ind с = размерность слоя fir. E9)
Замечание. Предложение 4.2.1 было доказано Громолом и
Мейером [1]. Оно является видоизменением для случая гильбер-
гильбертова пространства (основывающимся на данном Пале доказатель-
доказательстве обобщенной леммы Морса 2.4.8) более точного результата
Тома [1], который также доказал единственность (с точностью
до сопряжения) вырожденной части EZ'Wca' DQ-*-R функции Ez.
Мы будем называть Wca характеристическим многообразием в точ-
точке с, а если нужно специально указать, что речь идет о харак-
характеристическом многообразии в этой именно точке, то будем пи-
писать Wca(c).
Доказательство. Определим локальное послойное отображе-
отображение Я: D* © Do -*• D% © Do, полагая
где ргг — послойная проекция ц. = (г* ©(г°->(г*. Мы утверждаем,
что в
DX @г) = D (рг! gradm Ег) @ж) + id^ (О,)
первое отображение обратимо. В самом деле, заметим, что при
достаточно малых \ц\т,1 и |?0IU,i произведение (¦, •)„,_,
в Т[ц, 5„,ц может быть приближено произведением в Т'о D = ц-1 (г).
*' Его образ тоже обозначается через Wca (аналогично тому, как это
было в § 2.5 для устойчивого и неустойчивого многообразий), так что надо
быть внимательным к контексту. Ниже принято
T'otWca=To,WcanT'ttiN
и аналогично для T'OzDa.
9*
260 Гл. 4. Существование нескольких замкнутых геодезических
Отсюда с учетом невырожденности билинейной формы
0,).(л. л').
где т), T]f e (ц*) @), следует наше утверждение.
Таким образом, Я —локально обратимое послойное отображе-
отображение. Положим к-1 (So) = Wca (|о). Тогда DU7eo@z) = id(l.@z). Кроме
того, рг! gradm Ег (Wca (So)) = prt gradm Ez (К-1 (?„)) = Л • Л-1 (So) —
-Ео-0.
Теперь для (tj, So) е D*, г ф О0 г положим р(т), ^0) —(il. 0)+
+ «7Са(Ы и
Обозначим через D*FZ ограничение дифференциала DFt на под-
подпространство, параллельное ц* с \х* 0 fi°= ц. Имеем
1
FsDi ?о) = §0 — t) D*2Fz(ti)t Eo) • (л> л)^-
о
Определим билинейные формы Лг(т), So) на T'ZD%, полагая
hz (л» Ь>) ¦ (Si. It) •— \ A — i
о
Затем с помощью соотношения
определим самосопряженные операторы &*(т), io) на T'JD*. Опе-
Оператор ^ @, 0) обратим. Поэтому, так же как в доказательстве
2.4.7, мы можем определить тг(ц, |0) •= К^г(Л» 1о)^г@» О) и
в результате получить
Fz{r\, 1в) = <*г(Л. ^о)-Т1, Л>т,1 =
= (/гг@, 0)тг(л, ?о)-Л. «* (л. 1о) • Л>т, i-
^ca(So) можно записать в виде (л (So)» lo)- Положим л' = Л —
— т)Aо), так что (т), |0) = р(т]', |0). Определим ф', полагая для
(г), So) е О#г © Do, *
Ф': (Л- Ев)-»(Е'. Ы. Г:=тг(л'. So) ¦ л' е О„.
Тогда, как видно из сказанного,
= <*г@, 0)S', S'V
Поскольку оператор &г@, 0) представляет D*2Ez@z), мы можем
завершить доказательство предложения 4.2.1 так же, как и
в 2.4.8. D
4.2. Теорема Громола — Mefiepa 261
Заметим, что все приведенные конструкции эквивариантны.
4.2.2. Следствие. Пусть выполнены условия предложения 4.2.1
и, кроме того, множество критических точек S. с изолировано.
Тогда 0г е Dz является изолированной критической точкой функ-
функции Ег: D,->-R.
Доказательство. Пусть \ е Dz—критическая точка функции Ег,
т. е. вектор gradm Е (?) е Тф ортогонален Ds (в смысле
(•, • )ш, i-метрики). Согласно 1.4.13, существует такое векторное
поле и, что u(z.c) — d(z. с), т. е. и (г. с) ортогонально TODZ, и
(и, grad?")x = O. Мы можем построить векторное поле ит, обла-
обладающее теми же свойствами, но уже для метрики <•, •)„,!• Та-
Таким образом, при достаточно малом || ? ||т, х вектор ит (Q Ф О
«почти ортогонален» подпространству Т'ф коразмерности 1. Из
того, что gradm E (?) ортогонален и этому подпространству, и
ип (?), заключаем, что gradm Е (|) = 0. Ввиду изолированности S . с
это (при достаточно малых ?) возможно лишь при 1 = 0г. ?
Предложение 4,2.1 приводит нас к рассмотрению следующей
ситуации. Пусть D+ 0 D- © Ьо — сумма трех гильбертовых дис-
дисков, dimD+ = oo, dirnD_ = fe<oo, dimD0 = /<oo. Обозначим
эту сумму через В. Пусть на В задана такая риманова метрика
(•, ¦ I( что разложение D+ 0 D- © Do с: ТОвВ в «начале коорди-
координата—точке 0в=@д+, 0д_, 0До) — ортогонально.
Кроме того, пусть на В задана дифференцируемая функция
где | = A+, |_, ?о). а || • i'i — норма, порожденная метрикой (•, • )х
в точке 0в. Пусть, далее, точка 0в является изолированной кри-
критической точкой функции Е, а точка 00о е Do «полностью вы-
рожденна» и ?@о0) = 0, т. е.
Ео (ODo) == DE0 @в.) = D2?0 (ODo) = 0.
Наконец, будем предполагать, что градиентное поле функции Е
относительно римановой метрики (¦, • \ удовлетворяет усло-
условию (С) из § 1.4.
Обозначим через cps| интегральную кривую с началом в точ-
точке ? поля —grad?.
Для каждого подмножества А с В определим множества
А0 := А П Е-1 (]— оо, 0]), Л"- := А П Е-1 (]— оо, 0[)
и обозначим через В& е-шар с центром в точке 0в е В.
4.2.3. Лемма. Существует такая фундаментальная система
окрестностей Ze точки 0веВ, что BlaZe и существует де-
деформация пары (Ze, fig'), которая слабо ретрагирует ее
262 Гл. 4. Существование нескольких замкнутых геодезических
в @B U ВТ, ВТ) и при которой точка 0в остается неподвижной.
Следовательно,
H*(Ze, ВГ) = Нт{0в[)В1-, ВТ)
— локальный инвариант.
Здесь в качестве коэффициентов мы выбираем произвольное про-
простое поле Ър, т. е. р — простое число или оо и Z^ = (Q = поле
рациональных чисел.
Существует деформация пары (ОВ[)ВТ, ВТ), слабо ретраги-
рующая ее в @в {] (Do © D_)°-, (Do 0 DJ)°~), а последняя пара
гомологически эквивалентна произведению пары @B[)DT, ДГ)
с относительным диском (D_, D2l) = (Dl, D2r). Таким образом,
при k = dimD_
(t) Я, @B U ВТ, ВТ) = Н0.„ @Do U Dl, DJ-).
Кроме того, все фигурирующие здесь группы гомологии конечно
порождены; они обращаются в нуль во всех достаточно больших
размерностях.
Замечание. Размерность векторного пространства Я( @B U ВТ,
ВТ', Zp) называется i-м типовым числом (modZp) функции Е:
(В, 0B)-*-(R, 0) в точке 0в и обозначается через 6,@в) Анало-
Аналогично i-e особое типовое число (modZp) функции Е в точке 0в
определяется как размерность Hi@Do\JDT, DJ"; ZP). Его мы
обозначим через ЬЧ(Оо0). Используя эти понятия, можно сформу-
сформулировать такое следствие.
4.2.4. Следствие. Имеем
где k — индекс критической точки 0в функции Е: (В, 0B)-»-(|R, 0).
Замечание. Наше доказательство отличается от доказательства,
данного Громолом и Мейером [1] для весьма похожего результата,
тем, что мы близко следуем Зейферту и Трельфаллю [1]. Формула
(t) есть так называемая теорема о сдвиге из работы Громола
и Мейера [1]. Мы докажем эту формулу, используя тот факт,
что в гомологиях пары происходит сдвиг размерностей на +k,
когда пара умножается на пару (^-мерный диск, край ^-мерного
диска).
Доказательство. Для достаточно малых е>0 определим Ze
следующим образом. Во-первых, Bjj cz Ъг. Кроме того, в ZE вхо-
входят еще те | е Ве, которые удовлетворяют условию 0 «g E (?) sg e
и обладают одним из следующих двух свойств:
(i) lim(psi = 0D;
(ii) существует такое конечное 5^0, что ф,| е Ве [} Е~1 @).
4.2. Теорема Громола— Мейера 263
Сначала мы покажем, что Ze действительно является окрест-
окрестностью точки 0Befi. В самом деле, в противном случае должна
существовать такая последовательность {?ш}> что ?m^ZE,
Мы утверждаем, что при всех достаточно больших т траекто-
траектория ф$?т» s^O, пересекает границу шара Ве и притом в такой
точке Цт, что Е(цт)^0. Действительно, в противном случае
ВВИДУ ТОГО, ЧТО 1т <ф Ze, МЫ ИМеЛИ бы Е ((fslm) 3s О И (fslm е Ве
при всех s^O. Тогда Г grad E (ф*?т) Hi -* 0 при s-*-oo*>. Так как
0в — единственная критическая точка в Вв, то отсюда будет сле-
следовать, что (Pslm — Ов- А это противоречит тому, что ?m^Ze.
Так как ? (?т) > Е (цт) 5= 0 и ПтЕт = Ов, то \\тЕ(цт) = 0.
С другой стороны, для всех т)еве —ВЕ/2 величина jj grad J5" (п) j!x
отделена от нуля, а время, за которое траектория может дойти
от границы В8/2 До границы ВЕ, равномерно ограничено снизу
ввиду 1.4.10 (И). Поэтому при достаточно больших т, при кото-
которых ?(?ш) близко к 0, функция ? настолько уменьшится вдоль
проходящего через Ве — Ве/г отрезка траектории ф^т, который
начинается в точке \т и кончается в точке цт, что станет отри-
отрицательной.
Следовательно, Z8 действительно является окрестностью точки
Од. Так как Zec Вг и так как В& образуют фундаментальную
систему окрестностей точки 0в е В, то окрестности Ze также
образуют фундаментальную систему окрестностей.
Определим теперь деформацию Фт (О^т^ 1) тройки (Ze, Zl, 0B),
ретрагирующую последнюю в @B U Zl, Zl, 0в). Точки ? е Zl = Bi
остаются при этой деформации неподвижными. Для каждой точки
| е Ze> для которой Е (?) > 0, существует такое первое s 5г 0
(возможно, s = oo), что ?^s?) = 0. Положим теперь Фт? равным
ФлтI, где s(t.K=0 определяется из условия ?(ф4(Т) ?) = A —f)E(Q.
Таким образом, Фх? е ZE.
Докажем, что Фт действительно является деформацией. В спе-
специальном рассмотрении нуждается только непрерывность в точках
(|, т) = (Н0. 1). Для которых Фх1о = 0в- В остальных точках непре-
непрерывность, по существу, следует из непрерывной зависимости ф^|
от (|, s). Рассмотрим такую последовательность {?т} из Z8, что
*» Если бы для некоторого \т существовала такая последовательность
sn->-oo, что | grad Е (ф^л|т) |f > а > 0, то существовало бы такое 6>0, что
оо
(|grad E (q>slm)\\i>а/2при ecexse[sn— 6,sB+6], и оттого f «grad E(y?m)l\ds=
о
= оо, а это противоречило бы 1.4.10 (i). Существование 8 следует из того,
что а) ф^т как функция от s удовлетворяет условию Липшица (см. 1.4.10 (ii))j
б) || grad Е (уА) il! в &г ПРИ достаточно малом е удовлетворяет условию Лип-,
шица, ибо ковариантная производная поля grad?(?) непрерывна и потому
при достаточно малом е ограничена в В6.
264 Гл. 4. Существование нескольких замкнутых геодезических
Е Aт) > 0, и такую последовательность \хт\ из [0, 1J, что lim хт = 1.
Мы должны показать, что ПтФт |т = Ф1^о = 0в.
Допустим противное. Нетривиален лишь случай, когда беско-
бесконечное число ?(gm);>0. Перейдя, если потребуется, от последо-
последовательности {Ъ,т, %т\ к некоторой ее подпоследовательности,
которую мы снова обозначим через {gm, тт}, можем считать, что
все Е (gm) > 0 и что существует такое г' > О, е' ^ е, что Ф% |т ф
ф Z,g' Л Е-1 @). Но тогда и Ф,-^ фЪ^, в то время как
lim Ф, -г-1т = Ф, -e-io e 1%?.
Ясно далее, что вслед за деформацией Фх, 0«s:t^1, можно
выполнить деформацию Фх, 1^т^2, осуществляющую слабую
ретракцию @B[j Bl, В1) в (QB\J Bt, В?~) и оставляющую 0в на
месте.
Наконец, деформация Фт, 2 «S т ==s 3,
| = (|+, U Ь,)—(C-t)S+. E-, Ы, I, Ф,F)еВ„
переводит (OuU^S". в!") в @аU(D-0Do)°-, (D.©D0)°-).
^ Докажем, что тождественное вложение произведения **
(Od.U08~. ODx(D_, О2г) = (@д0х?>Г)хО_, то же без точки 0в)
в пару @B U (Do 0 D-)°~, (Do0D_)°-) индуцирует изоморфизм
в гомологиях. Для этого мы определим некоторую деформацию
Wt последней пары, слабо ретрагирующую ее в первую пару.
Wx не меняет ^--компонент и Wx (|0. I-) при любом фиксирован-
фиксированном |_ получается с помощью некоторого (зависящего от 10> ?-)
сдвига 10 по траектории градиентной системы в Do, соответствую-
соответствующей функции Ео Aо). Тем самым (f) доказано. ±
Для окончания доказательства 4.2.3 нам осталось показать,
что пространство Я* @о U Dl~, D°f; Zp) имеет конечный базис.
Для этого прежде всего заметим, что, как видно из предыдущих
рассуждений,
Здесь 0<6«se и Zo, 8 — окрестность точки 00 е Do, которая
задается так же, как определенная выше окрестность Z8, но уже
с использованием функции E0'.= E\D0 и индуцированной рима-
новой метрики на Do. Верхний индекс — б обозначает, что берется
подмножество, удовлетворяющее соотношению Ео^ — б.
Теперь воспользуемся известным утверждением (см. Зейферт,
Трельфалль [1]) о том, что функция Ео: (Dn, 00)->-(R, 0) может
быть аппроксимирована невырожденной функцией ??: (Do, 00)->
*' При необходимости D_, Do и DoxD_ = Do®D_ (автор иногда упо-
употребляет знак х, а иногда ф) естественным образом рассматриваются как
подпространства В, так что, например, их центры («начала координат») при
этом совпадают g 0^.
4.2. Теорема Громола—Мейера 265
-v(R, 0), все критические точки которой находятся в малой
окрестности точки 00 внутри области Ей' (]— 6/2, fi/2[). Отсюда
следует, что размерность векторного пространства гомологии
пары (Zo, g, Z^*) ограничена сверху индексами конечного числа
невырожденных критических точек функции Е*. ?
Теперь мы вернемся к случаю однократной замкнутой геоде-
геодезической с0 и предположим, что при всех т=1, 2, ... орбиты
S. с™ являются изолированными множествами критических точек
в AM. Положим Е(с™) — т1Е(со) = Кт- Когда т фиксировано, мы
также будем вместо с™ писать с. Пусть \у = \i (S . с) — нормальное
расслоение над 5, индуцированное отображением
—*¦ Л, 2 i—>- (Z . Со) =2 . Со у
и пусть
— введенное выше разложение, отвечающее знаку собственных
значений.
При каждом ze5 рассмотрим функцию Е/. ((Ог(S.с™),
0гE .cD)-»-(R, y.m). На DZ(S .cf) определена риманова метрика
<•. )т, 1- Тогда, согласно 4.2.1, существует корректно опреде-
определенная функция
Eo.s-.^Ei.Wc*: (D0,,(S.cT), 0„, As . com)) -> (R, xm).
Так как все наши построения эквивариантны по отношению
к S-действию на D (S . с^), то группы гомологии и типовые числа,
получаемые в соответствии с 4.2.3 и 4.2.4, не зависят от выбора
zeS. Поэтому мы обозначаем их через bt{cf) и Ь\{с™) соответ-
соответственно.
Мы можем также определить фундаментальные системы окрест-
окрестностей Вг,е(сТ) и ZeiS(c™) точки 0г(с™). Объединения этих окрест-
окрестностей по всем zeS будут обозначаться соответственно через
Ве(S . cf) и Ze(S . с™). Эти объединения суть 5-инвариантные
окрестности нулевого сечения O(S.cff) расслоения \x,(S.с™). Их
можно рассматривать и как тотальные пространства расслое-
расслоения над 5, являющегося ограничением расслоения n(S.c^)'
N (S .c™)-+S на окрестность сечения 0(S.cf).
Из 4.2.3 следует, что пара (Ze{S.c?), BE(S.c^Y'"~) может
быть эквивариантно ретрагирована в @ E . с™) [} Вг (S . с™)*т~>
Be(S . с™Ут~). Обозначим через bi(S.cf) размерность векторного
пространства над ZP:
Hi @ E . Со") U Яе (S • С)"™-, Ве E . dSf»r).
266 Гл. 4. Существование нескольких замкнутых геодезических
Число bt (S . с™) называется i-м типовым числом (modZp) орбиты
5. сЦ\ Ясно, что оно не зависит от выбора е; см. Зейферт и
Трельфалль [1].
4.2.5. Лемма. Пусть с0 — однократная замкнутая геодезическая
и при каждом т=1, 2, ... орбиты S.c™ являются изолирован-
изолированными критическими множествами. Рассмотрим гомологии с коэф-
коэффициентами в ЪР. Пусть хт = ? (с™), km = индекс с™.
Утверждение, (i) Для всех достаточно малых е>0 группа
H*vkm (О (S . сот) U Be (S . с?)*™-, Ве (S. с™)""-) является подгруппой
группы Я* (S) <g) Н* (в? U Вг. е №)""-, Вг ,е (comfm~)- Следовательно,
ЬМт E . сот) ^ Ь\ (сот) + Ь?_, (с").
(И) Пусть m = qm0, где q и пц —целые числа, и пусть nulcm» =
= mil ст. Тогда Ь] (с„т°) = Ь] (с„т).
Доказательство. В (i) речь идет о сравнении гомологии про-
пространства расслоения с гомологиями слоя. При включении слоя
в тотальное пространство некоторые гомологии могут исчезнуть.
Действительно, два негомологичных цикла слоя могут стать гомо-
гомологичными в тотальном пространстве, если они являются границей
цепи вида е2Шг. и, где O^r^l/m и / — целое. С другой стороны,
5. и, конечно, будет циклом в тотальном пространстве, если
только и —цикл в слое. Ясно*1, что других новых циклов
в тотальном пространстве нет. Отсюда следует (i).
Для доказательства (ii) рассмотрим отображение
( + )? е^*ея, ee=D(S.C), e» e D (S . с?1"*),
отождествляя при этом D (S . <f) с окрестностью орбиты 5 . сг
в Л. В метриках <•, ¦)„,,, на D(S .сГ) и <-, • >m,t на D(S .cf)
отображение (t)? является изометричным вложением. Мы утвер-
утверждаем, что grad,,,0?(e) переходит при отображении (f)?
в gradm E (e<i) (с точностью до постоянного множителя). В самом
деле, Е (eg) = q2E (e) и gradm? (e9), будучи инвариантным относи-
относительно действия группы изотропии элемента еч, касается образа
D {S . С) в D E . сГ°)- Далее, ц° E . С) переходит в ц° E . cf).
Таким образом, канонически определенное характеристическое
подмногообразие из 4.2.1
Wca{cT): (Do E. С), 00(S.C)) + (?>(S-O, 0 E. О)
отображается в характеристическое подмногообразие
Wca{c:): (D0(S.($), 00(S.c?))MD(S.c?), :
*' Или, если угодно, известно.
4.2. Теорема Громола—Мейера 267
Поэтому функция Ео = Е• Wca(с?1*) на Д)E.с^°) совпадает
с точностью до постоянного множителя с функцией Е0 = Е • №са (с™)
на D0(S.c™). Это завершает доказательство (И). ?
4.2.6. Предложение. Пусть с — однократная замкнутая геоде-
геодезическая.
Утверждение. Существует такая последовательность тг,..., ms
положительных целых чисел, ssg2", и для каждого целого /е[1, s]
существует такая строго возрастающая последовательность {q}i;
/ = 1, 2, ...} положительных чисел, что множества Nj: = {mflju
i=\, 2, ...} образуют разбиение множества*] N* = N — {0} к
(*)у mil c"V'/' = nul cmi.
Доказательство. Напомним, что, согласно 3.2.9, nul (cm) =
= ^PlNc(p), pm=l. В соответствии с 3.2.12 Nc(p) = размерность
корневого подпространства, отвечающего собственному значению р
отображения Пуанкаре Р, соответствующего геодезической с.
Рассмотрим собственные значения p=e2nia и p = e~Mia отобра-
отображения Р, где 0<а^1/2, а=р/<7 —рациональное, р и q взаимно
просты. Обозначим через D (возможно, пустое) множество знаме-
знаменателей этих а. Для каждого подмножества Е czD обозначим
через т(Е) наименьшее общее кратное всех чисел из Е. В слу-
случае Е=ф положим т(ф)=\. Пусть mlt ..., ms — множество
всех различных чисел, полученных таким способом. Ясно, что
sss2". Далее, можно считать, что тг — \.
Для каждого /, 1 ^ / =sS s, рассмотрим максимальную последо-
последовательность {qji, i— I, 2, ...} целых положительных чисел, такую,
что ни одно из mk при тк\т} не делит /и,-^. .
Отсюда видно, что (*)у выполнено. Кроме того, каждое поло-
положительное целое т может быть записано в виде т — m}q, где q—
положительное целое, а т;- определяется тем, что оно должно
быть наибольшим делителем числа т среди чисел тъ ..., ms. О
4.2.7. Предложение. Пусть с —замкнутая геодезическая, и
пусть ind ст > 0 при некотором т 5* 1.
Тогда существуют такие а>0 и P3sO, что для всех целых
то, m^l
ind cm»+mi ^ ind с» + тга — р.
Доказательство. Из предположений следует, что определенное
в 3.2.15 число ас больше нуля, так как в противном случае
/с/ = 0 при всех / и, следовательно, /с(р)=0 при всех р. При-
Применяя затем 3.2.15, получим 4.2.7 с а=ас и f}=2pV ?
*' /V — множество натуральных чисел, к которым причисляется и нуль.
268 Гл. 4. Существование нескольких замкнутых геодезических
Теперь мы можем доказать центральную лемму Громола и
Мейера [2]. Мы предпочитаем рассматривать ее как полулокаль-
полулокальный результат, так как в ней содержится утверждение о топо-
топологии окрестности единственной замкнутой геодезической с и всех
ее кратных повторений с01, т—\, 2,
4.2.8. Лемма. Пусть с —замкнутая геодезическая, и пусть все
ее кратные повторения с, /п=1, 2, ..., порождают изолирован-
изолированные орбиты критических точек S . ст. Тогда сумма ? bt (cm) i-x
т
типовых чисел с Zp-коэффициентами ограничена сверху некоторой
константой R(c) равномерно по всем С$г некоторого i0.
Доказательство. Из 4.2.6 и 4.2.5 мы знаем, что для каждого т
существует такое mf из некоторого конечного набора {тъ ..., ms},
что Ь\(ст) = bi(cmf). Кроме того, ЬЧ(ст/) = О при всех i, больших
некоторого t(m,). Пусть io= sup i (m,). Тогда если i>i0, то
Ь1(ст) = О при всех т. Заметим, что в случае, когда все с не-
невырожденны, 6,?(ст) = 0 при всех т и всех i>0.
Выберем теперь i > i0. Тогда или bt (ст) = 0 при всех т, или
существует такое наименьшее то^0, что fe,(cm°)>0. Но тогда
из 4.2.5 следует, что ind с» > О, и, следовательно, существуют
а>0 и PSsO, для которых выполняется 4.2.7. Поэтому если
mi>('o + P*)/a, то
ind cm»+mi > ind cm» + to.
т. e. b,(cm°+m') = O- Таким образом, в сумме ^]bj(cm) самое боль-
т
шее [(го + Р)/а+1] слагаемых не равны нулю. Из 4.2.5 и 4.2.6
следует, что существует верхняя граница для &,(сш) при всех
(>(о и всех /п. Тем самым получаем искомую верхнюю оценку
для 2ibi(cm). ?
т
Замечание. Если предположить, что все ст, т=\, 2, ..., не-
невырожденны, то лемма становится тривиальным следствием пред-
предложения 4.2.7, которое в свою очередь непосредственно следует
из формулы Ботта 3.2.9. Следовательно, в случае, когда все
замкнутые геодезические на многообразии М невырожденны, при-
приводимая ниже теорема имеет очень простое доказательство.
Для удобства формулировки теоремы назовем условием (GM)P
следующее условие: последовательность Zp-чисел Бетти {Ь\АМ}
многообразия ЛМ неограничена.
4.2.9. Теорема. Пусть М — компактное риманово многообразие,
и пусть при некотором р выполнено условие (GM)P. Тогда на М
4.2. Теорема Громола — Мейера 269
существует бесконечно много однократных замкнутых геодезиче-
геодезических.
Замечание. Для случая р = со, т. е. рациональных чисел
Бетти, эта теорема была доказана Громолом и Мейером [2]. Отме-
Отметим также, что мы не делаем никаких предположений относи-
относительно фундаментальной группы многообразия ЛМ.
Доказатгльст,о. Допустим, рассуждая от противного, что суще-
существует только конечное число однократных замкнутых геодезичес-
геодезических съ ... ,cs (с точностью до стандартного действия 5). Из 4.2.8 мы
знаем, что при фиксированном /, 1^/^s, и при больших i
сумма 2 bi (с?) ограничена сверху некоторой константой R (cj).
т
Таким образом, R = 2 ^ R (с;) — верхняя граница для ^b{(S . с),
где сумма берется по всем различным о-орбитам критических
точек (лежащих в AM — А°М).
Выберем теперь k так, чтобы bk{KM)>R и fe>dimM. Число
критических орбит S. с, для которых bft(S.6')>0, конечно, по-
поэтому существует такой некритический уровень х>0, что все
эти орбиты принадлежат ЛИМ. Объединяя 2.1.2 и 4.2.3 с дока-
доказательством неравенств Морса 2.4.12, получаем противоречие:
#<МЛ, Ле) = МЛ*, Л8)< ^ bk(S . с)<R,
где последняя сумма берется по всем критическим орбитам из
ЛМ-Л°М. ?
Замечание. В связи с этой теоремой, естественно, возникает
вопрос: какие компактные многообразия М удовлетворяют усло-
условию (GM)p? Ясно, что выполнение условия (GM)P зависит только
от гомотопического типа многообразия М.
Случай р = оо был исследован Виге-Пуарье и Сулливаном [1],
которые дали полное описание тех М, для которых выполнено
(G) Это описание составляет первую часть теоремы 4.2.10.
Напомним, что срезанное рациональное кольцо полиномов Td, h (x)
степени d и высоты h определяется как факторкольцо (Q[*]/(%'')
кольца (Q [х], порожденного элементом х степени d; см. Спеньер [1].
При h = 2 кольцо Td,h(x) является кольцом когомологий сферы
размерности d. При d = 2, 4 и произвольном h^S, соответственно
при d = 8 и /г = 3, Tdh(x) является кольцом когомологий одного
из проективных пространств над комплексными числами, кватер-
кватернионами, соответственно над числами Кэли.
4.2.10. Теорема, (i) Пусть М — односвязное компактное диф-
дифференцируемое многообразие. Тогда выполнение условия (GM)
270 Гл. 4. Существование нескольких замкнутых геодезических
эквивалентно тому, что кольцо рациональных когомологий Н* (М, Q)
не является срезанным кольцом полиномов.
(И) Условие (GM)P не выполняется ни при каком р, если М
имеет гомотопический тип одного из неприводимых симметрических
пространств ранга 1.
Доказательство (i) можно найти в работе Виге-Пуарье и Сул-
Сулливана [1]. В нем существенно используется теория Сулливана [1]
рационального гомотопического типа; некоторые подробности
можно найти в § 4.3. Утверждение (п) следует из работы
А. С. Шварца [1], в которой он вычислил целочисленные кого-
когомологий многообразия ЛМ для симметрических пространств
ранга 1. ?
Мы хотели бы подчеркнуть, что помимо симметрических про-
пространств ранга 1 существует много других пространств, кольцо
рациональных когомологий которых есть срезанное кольцо поли-
полиномов; см. также ниже 4.2.11.
Отметим также, что еще до появления работы Сулливана и
Виге-Пуарье различные частные условия, выполнение которых
влечет за собой выполнение (GM)oo, были найдены Клейном [1]
и Саксом [1].
Сулливан [1] показал, что для каждого компактного одно-
связного многообразия существует такая последовательность {wr}
рациональных классов когомологий пространства ЛМ, что
dim(wr) = 2ar + b, где а и b — целые, а>0, &5*0, r=\, 2, ...;
подробности см. в § 4.3. Отсюда можно заключить, что если М
имеет гомотопический тип произведения М'хМ" двух односвяз-
ных компактных многообразий М' и М", то М удовлетворяет
(GM)OT.
Действительно, заметим, что
НкЛ (ЛГ х М")= Hk (ЛМ' хЛМ") = 2 Н,АМ' (х) Н^АМ".
Н*АМ' содержит классы w'r размерности 2a'r + b', а Н*АМ"
содержит классы w" размерности 2а"г + Ь". Поэтому в размерности
fe = 2a'a"/n + b' -\-b" у многообразия А(М'хМ") число Бетти
Ss/n+l. так как при i = 2a'a"j-{-b' группы HtAM' и Hk.tAM"
содержат классы w'jcr и w'(m_j)a>.
Циллер [1] определил 22-гомологии пространства ЛМ для
всех компактных симметрических пространств М. Как следствие
этого он выяснил, что симметрические пространства, за исклю-
исключением пространств ранга 1, удовлетворяют (GM)P при р— оо
или при р = 2. Те из них, для которых выполняется (GM)if
а (GM)oo — нет, следующие:
SU C)/50 C); SOBn+l)/SO{2n-l)xSO{2);
4.3. Существование бесконечного числа замкнутых геодезических 271
Таким образом, используя 4.2.9, Циллер [1] получил такой ре-
результат.
4.2.11. Теорема. Если дифференцируемое многообразие М имеет
гомотопический тип симметрического пространства ранга >• 1, то
у любой римановой метрики на М имеется бесконечно много
однократных замкнутых геодезических. О
4.3. Существование бесконечного числа замкнутых геодезических
В § 4.2 мы видели, что многие компактные дифференцируемые
многообразия обладают следующим свойством: каждая рима-
нова метрика на таком многообразии имеет бесконечное число
замкнутых геодезических (см., например, 4.2.10 и 4.2.11). Однако,
как показано в 4.2.10, к некоторым многообразиям, например
к сферам, эти результаты неприменимы. Причина этого в том,
что топологическая структура соответствующего пространства
замкнутых кривых не является достаточно сложной.
В этом параграфе мы покажем, что на произвольном компакт-
компактном римановом многообразии с конечной фундаментальной груп-
группой всегда существует бесконечное число однократных замкнутых
геодезических (см. 4.3.5). Для этого мы воспользуемся более
тонкой структурой комплекса Морса, в частности эквивариант-
ностью по отношению к 5-действию х и Z-г-действию 8.
Основным новшеством, используемым в доказательстве, яв-
является соотношение делимости между кратностями некоторых пар
замкнутых геодезических (см. лемму 4.3.4). Кроме того, в дока-
доказательстве используются классы гомологии пространства ЛМ,
которые были построены Сулливаном [1] с помощью его теории
минимальной модели. Заметим, что в свете полученного Виге-
Пуарье и Сулливаном [1] результата 4.2.10 (i) мы можем огра-
ограничиться рассмотрением односвязных компактных многообразий,
рациональное кольцо когомологий которых есть срезанное кольцо
полиномов. Классы Сулливана для таких многообразий особенно
просты и уже были получены А. С Шварцем [1].
Поэтому если интересоваться, например, лишь случаем сферы
с произвольной римановой метрикой, с изучения которого в ра-
работе Пуанкаре [1] началась вся теория замкнутых геодезических,
то можно и не знать теории минимальной модели *\
Мы начнем с формулировки основных свойств минимальной
модели, уделяя при этом особое внимание геометрической интер-
интерпретации. F0)
Минимальная модель Ш(М) рационального гомотопического
типа односвязного счетного С^-комплекса М определяется как
*> Особенно просто обстоит дело тогда, когда М — нечетномерная сфера.
Как раз в этом случае программа Клингенберга всего ближе к реализации.
272 Гл. 4. Существование нескольких замкнутых геодезических
дифференциальная градуированная алгебра (произведение в кото-
которой мы обозначим через л) над полем рациональных чисел, обла-
обладающая следующими свойствами:
(i) Ш (М) — свободная алгебра (за исключением соотношений,
вызванных ассоциативностью и правилами коммутирования эле-
элементов различной степени *'). Векторное пространство, порож-
порожденное образующими любой данной степени k, конечномерно.
Его дуальное пространство изоморфно nk (М) (g)z (Q;
(И) значение дифференциала d на образующей есть либо
нуль, либо элемент, степень которого на единицу больше и ко-
который является полиномом от образующих строго меньшей степени;
(iii) Я* (Ш (М)) = Н* (М) (над рациональными числами).
Имея Ш1(М), можно следующим образом построить минималь-
минимальную модель Ш (AM) рационального гомотопического типа про-
пространства AM. Каждую образующую у из 5ДО (М) будем считать
также и образующей из Ш (AM), причем действие дифференциала
на этой образующей будет прежним. Так как лкАМ = пкМ + я*ЙМ
и nkQM = ni,+iM (см. 2.1.5), то остальные образующие получим,
сопоставляя каждой образующей у из дЯ (М) образующую у из
SDI (ЛМ) на единицу меньшей степени. Осталось определить диф-
дифференциал. Сначала продолжим - на все Ш (М) как действую-
действующую справа производную, а затем определим dy как dy.
Замечание. Можно интерпретировать у как дифференциальную
форму, a g:=iy — как форму, получающуюся при внутреннем
умножении у на такое векторное поле i, что di + id = O. В част-
частности, хлу:= i(xAy) = ix лу-\-(—l)x]xAiy, где |х| = степень х.
Теперь мы в состоянии доказать существование так называемых
классов (когомологий) Сулливана многообразия AM', см. Сулли-
ван [1].
4.3.1. Теорема. Пусть М—компактное односвязное дифферен-
дифференцируемое многообразие. Тогда существует такая последователь-
последовательность {w* (I; s)}, s = 0, 1,..., рациональных классов когомологий, где
1^0 —некоторое целое, зависящее только от М, что размерности
классов w* (/; s) (со всевозможными s) образуют арифметическую
прогрессию. Наконец, если обозначить через
i: (QM, *)-*-(AAf, Л°М)
каноническое вложение, то i*w* (I; s) Ф 0.
Замечание. Если М — нечетномерная сфера Sn, то / = 0 и
w* @; s) под действием i* переходит в (s+l)-ro степень (п— 1)-
мерного базисного класса из Я" (QSn). Аналогично, если М —
*' Подразумевается свойство, называемое «косокоммутативностью» или
«коммутативностью градуированной алгебры». См. добавление к данному па-
параграфу.
4.3. Существование бесконечного числа замкнутых геодезических 273
четномерная сфера, то /=1 и w* (I; ¦) под действием I* перехо-
переходит в произведение образующей из Я"-1 (Q5") и s-й степени обра-
образующей из Я2«-г(й5я).
В этих и в других специальных случаях (в частности, для
остальных симметрических пространств ранга 1) классы Сулли-
вана уже были рассмотрены А. С. Шварцем [1], Клейном [1] и
Саксом [1].
Вместо w* @; s) мы будем писать также w* (s).
Доказательство. Алгебра Ш(М) должна иметь образующие
нечетной степени, так как в противном случае для всех степе-
степеней у' образующей четной степени у было бы dy' = 0. Но тогда
размерность Я* (М) была бы бесконечна — противоречие.
Пусть х — образующая минимальной нечетной степени. Тогда
dx — Ь или же dx — полином от образующих четной степени, ска-
скажем е1у ..., et, dej = 0, 1 ^/sg/. Положим
ш*@; s) = o»*(s) = jcs+1, если dx = 0;
w* (/, s) = e1A Я" аё2 а...лei в противном случае.
Тогда dw* = 0. Это очевидно, если dx = 0. Если же dx Ф 0, то
каждое слагаемое суммы dx содержит одно из ё/ е {ёх ei),
а так как es а ё, = 0 и dej — 0, то все равно dw* — 0.
ay* не является границей, поскольку dW(AM) содержится
в идеале, порожденном элементами положительной степени ал-
алгебры Ш(М), рассматриваемыми как элементы Э01(ЛМ)*'.
Докажем последнее утверждение. Напомним, что минималь-
минимальная модель 3)t(QM) для QM имеет образующие у — по одной на
каждую образующую у из SOJ (М), — причем степень этой обра-
образующей на единицу меньше степени у. Дифференциал задается
равенством dy = 0. Это соответствует хорошо известному факту
о том, что кольцо рациональных когомологий пространства
петель пМ является свободной алгеброй, образующие которой
составляют базис рациональных гомотопических групп.
Вложение i: QM-+AM определяет отображение гомотопий
•гцй/И в гомотопий л^ЛМ ^я^Мбя^ОМ и фактически является
изоморфизмом на второе слагаемое. Из двойственности между
JtftAf®z(R и образующими степени k алгебры Ш(М) следует, что
вложение i: QM-»-AM определяет морфизм
*> Проверим, что если у—образующая ЯЛ, то dy и dy принадлежат ука-
указанному идеалу. Для dy это ясно, а поскольку dy является суммой произве-
произведений элементов положительной степени из ЗК, то dy — dy является суммой
произведений, в каждом из которых хоть один сомножитель есть элемент
положительной степени из Ш.
274 Гл. 4. Существование нескольких замкнутых геодезических
при котором образующая типа у переходит в 0, а образующая
типа д переходит в у. В частности, для индуцированного гомо-
гомоморфизма когомологий получаем i* (<?! Л #* Л... Л ei) = ext\%s/\...
...A et. Это завершает доказательство. ?
Для построения некоторых циклов, представляющих классы
гомологии, двойственные классам когомологий Сулливана, рас-
рассмотрим сферу E14", *) постоянной кривизны, равной 1, где
« — отмеченная точка и dimS1*' ==|у\^2 *\
Рассмотрим также пространство петель (Q51»1, *) сферы 5'*'
с отмеченной точкой *. Из конца § 2.5 мы знаем, что лежащие
в (Q51*1, *) повторенные г+1 раз большие круги cjj + ' состав-
составляют невырожденное критическое подмногообразие B?+i~Si»i.
Пусть Wu (B?+i) — его неустойчивое многообразие (см. 2.5.6).
Замыкание Wu(B?+i) ПРИ нечетном \у\ дает нам образующий
элемент группы ЯB/.+2)|-|(й5|*'1; Z), который мы обозначим че-
через t»^iBr + 2).
Ограничение Wu(B?+i) на слой над элементом Co + 1efi°+i
является сильно неустойчивым многообразием элемента cj + 1:
При нечетном | у | замыкание этого отображения снова представ-
представляет образующий элемент группы #Bл , ]}|-| (QSi»i; Z). Этот эле-
элемент мы будем обозначать через v^ Bг + 1).
В частности, при г = 0 мы получаем сферический цикл
Дадим явное описание цикла о^'A). Отождествим E1 »1, *) со
сферой на (S'*i, *) коразмерности 1, которая в точке * ортого-
ортогональна вектору скорости в начальной точке большого круга с0.
Тогда fi/'O) есть отображение, которое каждой точке ре 51*1
ставит в соответствие окружность на 51»1, которая начинается
в точке *, движется в направлении той же полусферы, что и с0,
и при 1=1/2 ортогонально пересекает 51»1 в точке р.
Отсюда следует, что цикл ^'B) состоит из всех окружно-
окружностей на 51 с началом в точке *sSlsl.
Пусть у нас есть два сферических цикла
и: E1"', *)-»(QM, *) и v: (Si»', *)-»(QAf, *).
*' Пока что | у | обозначает просто некоторое целое число ^ 2. Впослед-
Впоследствии это число, как и подсказывает обозначение, будет взято равным сте-
степени • некоторого элемента у из Ш (М). В соответствии с этим | д | = | у | — 1
(пока что это просто обозначение).
4.3. Существование бесконечного числа замкнутых геодезических 275
Тогда мы можем образовать новый сферический цикл, взяв произ-
произведение Понтрягина u-v циклов и и у (см. Ботт и Самельсон [1]):
u-v: (S'
При этом uv(p, q) определяется как обычная композиция
в {пМ, *) путей и(р) и v(q).
При нечетном \у\ s-я степень v^v^iy цикла ^'(^представ-
^'(^представляет образующий элемент группы #s|J/| (QS1*1; Z). Таким обра-
образом, цепь о^1A)* гомологична v^l(s).
Мультипликативная структура кольца Я*@51*1; Z) хорошо
известна; см. Серр [1]. Мы снова ограничимся рассмотрением
случая, когда \у\ нечетно. Пусть у(s) обозначает образующую
группы Hsl^ (QS1*1); тогда у (l)s = s\g(s). Следовательно, значе-
значение #A)* на »гA)*~о* (s) равно s!.
Пусть теперь у: (S[y*, *)->-(М, *), \у\^2, представляет
нетривиальный гомотопический класс бесконечного порядка. Тогда
определим
Если | у | нечетно, то для каждого целого s 3* 1 введем
a?(s):= О0.р/| (s): (V/' (s), «)-*.(QAf, *),
где V^! (s) есть область определения t>j/' (s).
Теперь мы готовы к тому, чтобы определить класс гомологии,
двойственный классу когомологий Сулливана.
Пусть сначала w* = w* Br+ \) = х2г+х и \х\ нечетно. При этом
мы можем считать, что х: (Si*1, *)->-(M, *) не является кратным
некоторого другого сферического целочисленного цикла. Опреде-
Определим w* = ffi* Bг+ 1) как ш*A) и)*B)г. Мы можем считать, что
в разложении до* =и>* (/; s)=ei л Xs л... A et элементы е}: E' eJ I, *) ->
->-(Л1, *) являются неделимыми элементами из Н\,.ЛМ\ Z).
Определим
w^—w^ (I; s) = ш^1 A) • ш* A )* - оу^г {1 )•...-
где точка снова обозначает произведение Понтрягина.
Мы хотим определить гомотопию ау* некоторых циклов из до,,.
Для этого представим сферу 51*1 размерности \у\^2 как еди-
единичную сферу в евклидовом пространстве К|4М + ' с координатами
(xi)o<i^y\- Пусть * = (— 1, 0, ..., 0). Тогда S^i — это сфера
{*! = ()} П51*1. Пусть 1)зт, O^x^l, есть вращение в плоскости
(xlt x2) в положительном направлении на угол х-180°, которое
276 Гл. 4. Существование нескольких замкнутых геодезических
затем продолжено до изометрии пространства Ri»l + 1, действую-
действующей на ортогональном дополнении к этой плоскости тождественно.
Определим гомотопию
а»;Bг+1): (ГЛ2/-+1), *)х[0, l]-
где
I B) = область определения v\*' B),
полагая
Для до* (/; s) определим
wi(l; s): (Wm(l; s), *)x[0, l]-*-(QAf,
где
полагая
4.3.2. Предложение, (i) ау*Bг + 1) — ограничение цикла
B/- + 3);
(п) ш*(/; s) — ограничение цикла w^ (/; s+1).
Доказательство, (i) будет доказано, если мы покажем, что
у*(!)(•! т) := Qi))(»0^1A) является ограничением цикла v'?'<B).
Но и^ i B) — неустойчивое многообразие семейства больших кру-
кругов в (QSi'i, *).
Для доказательства (ii) рассмотрим соотношение dx = полином
от (е1? ..., б/). В этом полиноме нет ни постоянного, ни линей-
линейного членов. Поэтому |ех|^|^|.
Пусть kx: (D ei[,dDeti) ->-(Slei '*') — каноническое отображение,
где *' обозначает точку, противоположную отмеченной точке *
сферы S'. Тогда можно так вложить диск (D|ei|( *)bEIJC|, *),
что x\D'ei^ = e1'k1 *'.
Через о*'1'B) мы, согласно определению f^iB), обозначаем
совокупность окружностей на Sleii с началом в точке *eS|e»L
В частности, t>!i.e'|B) содержит элементы гомотопии i|)T° ^-'(l).
Рассмотрим лежащие на S'*1 окружности w^*1 (I) |D e^. Вращая
эти окружности вокруг точки * eS111 cr 5'xl на угол л/2, полу-
получим окружности, лежащие на D'e^ cz 51е'1 сг5'*'. Другими сло-
*' Странное утверждение: вложение в сферу большей размерности заве-
заведомо гомотопно нулю. Но это возражение не затрагивает (i) (чего достаточно
для того случая, когда М — нечетномерная сфера).
4.3. Существование бесконечного числа замкнутых геодезических 277
вами, так как ^|D|e'! = e1»^1) то
гомотопно отображению Qe^ ° i>!/'' B), которое содержит элементы
Q(e1<-^)vle'1 (I). Таким образом, гомотопия w'*{l\ s)(-; т) может
быть получена из w# (/; s-j-1) ограничением области определения
Wm(l; s+1) до
Это завершает доказательство 4.3.2. D
4.3.3. Предложение, (i) dw'*Br+ 1) = — Fш*A)»1)-Щ{2)г—
— wl(l)-wiB)r;
(ii) dw;(l\s)=-(Bv^(l)^).w*(lY-...-xi%(l)-w%(l).w*(lY....
Здесь i: Si»i_»-SiiM_ отражение относительно гиперплоскости
{yi — Щ> ограниченное затем на S'п{ = \у\ + г/| + • • • + У\у¦ — 1 }•
(Hi) Для краткости будем обозначать через да* (г) к о4(г)
либо w*Br+l) м ш*Bг+1), либо ы>% (/; г) ы да^(/; г). Тогда
образ до* (/¦)/() г^ыкла w*(r) в (AM mod Л0Л1 )/8 является нетри-
нетривиальным %2-циклом.
Доказательство. Заметим, что большой круг с0 из SlsH, лежа-
лежащий в плоскости (г/о, i/i)> переходит при %: S'^'-^-S1*1 в ес0.
Кроме того, % |E1»' = 5iJ" П {г/i = 0}) действует как ограниченное
на 51*1 отражение относительно {у2 = 0}. Это доказывает (i) и (ii).
Для доказательства (Hi) рассмотрим в (Л — Ле)/б стандартный
одномерный коцикл по модулю 2 <??'. Ясно, что ш*/9 — цикл по
модулю 2. Напомним, как определяется ^-произведение симп-
симплекса S из (AmodAe)/9 с <&. Для получения этого произведения
надо взять заднюю грань цикла б коразмерности 1 с коэффициен-
коэффициентом, равным значению коцикла <& на одномерной передней грани
цикла б.
Для того чтобы определить произведение <?? на и4(г)/8, рас-
рассмотрим сначала случай, когда г = 0. Отображение да*@): 5>»1х
х[0, l]-*-QM есть образ при Qy семейства проходящих через
точку * = (—1, 0, ...) окружностей, которые получаются при
вращении на 180° окружностей из w^1 A) = {окружности, орто-
ортогонально пересекающие 5|*| = 51*1 ("] {#i = 0}}- Поэтому произведе-
произведение <ff на о>* @)/б в точности равно циклу хю* @)/8, который не
гомологичен нулю. Следовательно, также и w' @)/9 -р 0.
Случай произвольного г сводится к случаю г — 0, так как
произведение (ie>i(r)/6)^e7 определяется значением коцикла d7 ii«
278 Гл. 4. Существование нескольких замкнутых геодезических
передних одномерных симплексах, т. е. на передних одномерных
симплексах цикла ау* @) с ау* (г). Это доказывает (iii). ?
Теперь мы докажем фундаментальную лемму о делимости.
4.3.4. Лемма. Пусть М — компактное односвязное риманово
многообразие. Фиксируем г* ^ 0 и выберем значение х* так,
чтобы оно не было критическим и чтобы образ до* (г*) cz А**М.
Пусть, кроме того, замкнутые геодезические из А**М невы-
рожденны.
Тогда при каждом г = 0, ..., г* существуют такие замкнутые
геодезические с (г) и с' (г), индексы которых равны соответственно
dimay*(r) и dim ay* (r) = dim до* (г)+ 1, что
@ ? (с(/•))<? (с' (/¦))<? (с(г+1)).
Кроме того, если т(г) и т' (г) — кратности геодезических с (г) и
с' (г), то т (г) делится на т' (г):
(it) m'(r)\m(r).
Доказательство. Фиксируем г и дальше вместо до* (г), до* (г),
с (г), с'(г), т(г), т'(г) и т. д. будем писать также просто до, а/,
с, с', т, т! и т. д.
Через сМ^М. или просто через <Л будем обозначать комплекс
Морса, определяемый неустойчивыми многообразиями Wa(S .с),
Е(с)<х*.
Мы хотим «представить» цепь а/ в <М. Так как w'/B — цикл,
мы можем деформировать w' cz AK" посредством стандартной экви-
вариантной деформации q>s и нестандартных эквивариантных де-
деформаций в любую указанную окрестность множества, состоящего
из тех Wu (S • с) и Wuu (с'), которые имеют размерность, равную
dimay'. Мы представляем себе ау' как подмногообразие из Л**
с особенностями коразмерности ^2. Можно считать, что ау' на-
находится в общем положении по отношению к устойчивым много-
многообразиям Ws (S. с) и сильно устойчивым многообразиям Wss (с1)
коразмерности dim до'.
Перетянув деформированную цепь w' в eS, получим представ-
представление до' в виде суммы с целыми коэффициентами многообразий
Wuu (с') и так называемых трубчатых кусков / . W„„ (с) = {г. Wim(c);
г = е2Я|>, г принадлежит интервалу положительной длины / a S};
размерности слагаемых этой суммы равны dim w'.
Аналогично, ау <= Здо' представляется в виде суммы с целыми
коэффициентами многообразий Wuu(c) и трубчатых кусков I.Wuu(c),
в которой все слагаемые имеют размерность dim ay. Эти представ-
представления в eS снова будем обозначать соответственно через ау и ау'.
Теперь покажем, что в до' и ау входят такие Wua (с') и Wи„ (с),
что Wuii(c)czdWUH (с'). Заметим, что w'/B — нетривиальный 22-иикл
в AM mod AqM, и, следовательно, в ау' не все Wuu (с1) и /. Wаи (с)
4.3. Существование бесконечного числа замкнутых геодезических 279
имеют нулевые коэффициенты. В самом деле, так как все кри-
критические точки функции ЕФ const находятся вне некоторой
окрестности множества Ле, то локальные типовые числа крити-
критической точки с/6 из (Л —Ле)/б равны индексам соответствующих
критических точек с и 8с из Л — Ле- Более того, мы утверждаем,
что w' состоит не только из трубчатых кусков. Отсюда будет
следовать, что n = w с: ndw', рассматриваемый как цикл из
IIM mod П9М, гомологичен нулю. Для того чтобы в этом убе-
убедиться, представим область определения W цикла w в виде про-
произведения SiylxW, где у = х в случае, если w# (r) = w* Bл+1),
и y = elt если w* (г) — ш* {/; г). Отмеченные точки на 51»' и W
будем обозначать через * и * соответственно.
Рассмотрим теперь цикл H'wlS^'х{с}, где с —некоторый
элемент из $7. Мы знаем, что он не гомологичен нулю, так как
он гомологичен циклу n»w\ S^'xl*}, который в свою очередь
гомологичен
п.Q2.o^i(l) ^
Но про этот цикл известно, что он не гомологичен нулю, так
как у: 51*1 -*-М — нетривиальный цикл. Следовательно, также и
Мы рассматриваем Wuu{c) из w и Wua(c') из w', такие, что
Wuu (с) с dWlm (с'). Так как все деформации и представления
были сделаны эквивариантными по отношению к 5-действию и
Z2-AeflcTBHK>, то в dWua(c') вместе с Wии(с) входит и вся /(с')-орбита
Wт (z<> • ?); г0 е / (с')}. Наше утверждение (ii) равносильно тому,
что /(с')-орбита многообразия Wuu(c) состоит только из Wии(с).
Следующий шаг в доказательстве состоит в построении пары
цепей w'o, Wo, где п°ш0 — цикл размерности dim о», а п»до?/9 —
цикл по модулю 2 размерности dim w', обладающих следующими
свойствами: в w0 и в w'9 есть соответственно Wan(c) и Wa,,(c'),
такие, что Wau(c) adWtttt{c'), и —это существенно — представле-
представление ш0 в комплексе Морса <Л не содержит, помимо Wuu (с), дру-
других элементов Wuu (z .с), ге S.
Предположим, что мы уже построили пару wn, w'o. Рассмотрим
/ (б')-орбиту многообразия Waa (с). Если она содержит элементы
Wuu(z.c)t у которых г.сфс, то в w'9 должно найтись такое
Wuu (с[), что Waa (г. с) входит в dWaa (й')> а коэффициенты при
всех Waa(z.c) должны давать в сумме 0. Заметим, однако, сле-
следующее. Пусть Wtttt(с'), Watt(c\), ^ш(с'ч),... — все элементы из w',
граница которых содержит Waa (z. с), где г. с лежит на крити-
критической орбите S.c. Пусть, далее, /(с1)-, /(с|К /(с^)-, ... орбиты
этих элементов Wuu(z . с) состоят соответственно из т', т\, т'^, ...
280 Гл. 4. Существование нескольких замкнутых геодезических
элементов. Если все т', т[, т^, ... больше 1, то эти орбиты
не могут дать в сумме единственное многообразие Wtta(c') (с не-
некоторым не равным нулю коэффициентом). В самом деле, орбиты,
состоящие из т элементов, распределены подобно тому, как на
единичной окружности распределены корни степени т из еди-
единицы. Если т>\, то сумма этих корней на комплексной пло-
плоскости равна 0. Таким образом, для того чтобы получился един-
единственный элемент Wuu (с) на S. с, по крайней мере для одной
из геодезических с', с[, с'г, ... группа изотропии должна действо-
действовать тождественно на с.
Теперь мы приступим к построению пары w0, w'9. Рассмот-
Рассмотрим в w' такое многообразие Wua(c'), что цикл w(]dWuu(c')
нетривиален при отображении я. Пусть W,щ (с) входит в w f|
f\dWaa(c') с целым коэффициентом а^=0. Если daWaa(с) = 0, то
положим w0 = ctWuu (с). В противном случае существует такая
критическая орбита S.c, что mdc = dimWau(c) — 1 и daWaa(c)
содержит элементы $jWaa(е2""'.с), O=sS^<l, /=1, ...,/, по-
порожденные неустойчивыми многообразиями точек, лежащих на S. с.
Рассмотрим
Ее граница есть
(**)
Z
и, возможно, плюс некоторые члены, содержащие многообразия
W(). у которых Ci не принадлежит S.c.
Так как я»(w f| dWaa (с')) — цикл, то либо ^$/ — 0, либо
U
в w[\dWuu(c') должны входить еще некоторые (axU7aa(c^), гра-
граница которых тоже содержит элементы Wuu(z . с), г. с е S .с.
Проделав для них такую же конструкцию (*), что и для aWuu (с),
получим линейную комбинацию цепей вида (*), граница которой
не содержит Wau (z . с), 2.ceS.c.
Действуя аналогично, мы можем исключить остальные эле-
элементы Wuu(ci) размерности dim да— 1, которые, возможно, содер-
содержатся в границе aWuu(c). Тем самым в конце концов мы придем
к цепи w0, которая из всех элементов Waa B. с), г.сб5.с,
содержит с некоторым ненулевым коэффициентом только Wuu(c).
^Теперь мы можем определить w'o с помощью следующей кон-
конструкции. Для Wtta(c) из w0 мы берем ограничение w' на эти
Waa(c). Заметим, что эти Wuu(c) уже принадлежат исходному w,
для которого мы определяли w'. Для трубчатого куска
[0, r].Wan(c) мы рассмотрим w'\Watt(c) (заметим, что Wuu{c)
было частью исходной цепи dw) и затем определим w'q | г. Wuu (с)
как z . Шо ^нн(с), т. е. с помощйо эквивариантного продолжения.
4.3. Существование бесконечного числа замкнутых геодезических 281
Поясним, что мы имеем в виду, говоря об ограничении w'.
Первоначально w' определялся как гомотопия w': WxI-^-A
цикла w: W ->¦ Л. Мы сохраняем эту интерпретацию также и для
представлений w и w' в комплексе Морса еЖ. В данной ситуа-
ситуации это означает, что мы рассматриваем различные открытые
подмножества из W, которые при w: W -*<Л переходят в Wun (с)
и в трубчатые куски / . Wиа (с) размерности dim w, и включаем
те части границ этих открытых подмножеств, которые переходят
в имеющие размерность dimш — 1 многообразия Wau(c) и, воз-
возможно, в трубчатые куски I.Wau(c), лежащие в dWuu(c).
Определенные таким способом w0 и w'9 снова обладают пред-
представлениями в комплексе Морса <Ж. За этими представлениями
мы сохраним обозначения w0 и до?. При этом w'u должно вклю-
включать такие многообразия Wuu(c') размерности dim w'9 = dim w0 + 1.
границы которых содержат Wuu (с). Из конструкции цепи w'o сле-
следует, что Waa(c) не входит в границу трубчатых кусков из w'o.
Поэтому мы можем заключить, как это было показано выше, что
существует многообразие Wua(c'), для которого I(с1) действует
тождественно на с. Это завершает доказательство (ii).
Неравенство Е (с (г)) < Е (с' (г)) из (i) выполняется очевидным
образом. Для доказательства неравенства Е (с' (г)) < Е (с (г + 1))
напомним, что, согласно 4.3.2, a>i(r) можно рассматривать как
ограничение а>„.(г+1). и, следовательно, п° да* (г) тоже можно
рассматривать как ограничение й»^ (г + 1). Отсюда следует, что
критическую точку с(г+1) размерности dimay* (г+1), которая
является первым элементом в удовлетворяющей (ii) паре (с(г+ 1),
с'(г+\)), можно выбрать так, чтобы ?1(c'(r))<?(c(r+l)). D
Замечания. 1) Более подробное изложение приведенного выше
доказательства можно найти в статье Клингенберга и Ши-
каты [1] *>.
2) Для доказательства 4.3.4 необычайно важно, что й • dw'm @) Ф
=#=0mod2. Это было так, потому что цикл д: Sl«^-y^iM cz AM
получался из цикла у: 5|v!->-M, который представлял неделимый
целый гомотопический класс бесконечного порядка многообра-
многообразия М. Для того чтобы сделать это обстоятельство более ясным,
рассмотрим случай М = 52 и выберем в качестве у отображение
Хопфа у: S3-*-S2. Тогда у не обладает отмеченными выше свой-
свойствами. Выберем на Slyl = S3 сферу 5|у' = S2 так, чтобы она была
ортогональна слою <гх(*) над отмеченной точкой * в 53. Тогда
все окружности, лежащие на S2 и проходящие через *, содер-
*' В которой, однако, рассматривается только тот случай, когда М — не-
четномериая сфера, и, кроме того, метрика предполагается такой, что для нее
не возникает неприятностей, указанных в C§).
282 Гл. 4. Существование нескольких замкнутых геодезических
жатся дважды в образе отображения
д: (Si'i, *) = (S\ *)-
Поэтому 6°# имеет тот же образ, что и у. Следовательно,
если мы для и>^@) = д определим гомотопию
*)X[O, 1]-
как и выше, то получим даг/@) = 0 mod 2.
Теперь мы готовы доказать нашу основную теорему.
4.3.5. Теорема. Пусть М — компактное риманово многообразие
с конечной фундаментальной группой. Тогда на М сущестоует
бесконечно много однократных замкнутых ^параметризованных
геодезических.
Замечание. Теорему достаточно доказать для односвязных
многообразий. Действительно, при проекции М-*-М универсаль-
универсального накрывающего М многообразия М на М одну и ту же
однократную замкнутую геодезическую на М могут накрывать
не более k различных однократных замкнутых геодезических
на М, где k — порядок щМ.
Мы не утверждаем, что однократные замкнутые геодезические
не имеют самопересечений. В самом деле, как показывает пример
2-мерного эллипсоида, оси которого попарно различны и имеют
примерно одинаковую длину, может и не быть больше трех
замкнутых геодезических без кратных точек. В рассматриваемом
случае такими геодезическими являются главные эллипсы. По
поводу этого примера см. также 5.1.2.
Доказательство. Для того чтобы сделать основную идею
доказательства более прозрачной, мы сначала рассмотрим случай,
когда все замкнутые геодезические на М невырожденны. При
рассмотрении случая вырожденных замкнутых геодезических будет
использована теорема Громола — Мейера.
Итак, допустим, что имеется лишь конечное число однократ-
однократных замкнутых геодезических, скажем с/, 1^/^s. Мы рассмот-
рассмотрим лишь те из них, для которых существует такое целое т>
>0, что indc}">0. Эти геодезические снова обозначим через
С/, 1«?/«?S.
Из 3.2.15 и 4.2.7 следует, что существуют такие действитель-
действительные числа а>0, Л>0 и pS=0, что для всех /е{1, ..., s}
(i) а (т' — т) — р *g ind cf — ind cff
(ii) ind eft A ^ m.
4.3. Существование бесконечного числа замкнутых геодезических 283
Фиксируем целое го^0 и рассмотрим последовательность
w't(r0 + i), Osgi^s, состоящую из последовательных гомотопий
классов Сулливана w*(ro-\-i). Согласно 4.3.4, существуют такие
геодезические с, с'е{с1( ..., cs} и целые числа а, Ь, 0«?a<&ses,
что геодезические c(ro-\-b), с'(го-\-а) и с'(го-\-Ь), соответствующие
w(ro + b), w'(ro + a) и w'(ro + b), имеют вид с, с""а и с""*.
Здесь т — цть, где q^sl —некоторое целое. Кроме того, ?(с""<»)<
<Е(ст)<Е(с"пь).
Положим Е(с) = х, Е(с')=х'. Тогда m\v!<<72/и|и<т|и\ и,
следовательно,
О < (к'/х - f) < (ml/ml -\)q2< (ml/ml - 1) (и'/х).
Мы получим требуемое противоречие с предположением о том,
что существует лишь конечное число однократных замкнутых
геодезических, если сможем показать, что тЦт1-^-\ при г0->-оо.
Заметим, что есть лишь конечное число отношений я /я > 1.
Из (*) (i) получается оценка
a(m6 - та) - Р ^ ind с""" - ind с""« =
= dim w' (r0 + b) — dim w' (r0 + a) <; d (s + 1),
где d = 2|?|, а л: — образующая минимальной нечетной степени
в минимальной модели Ш(М) многообразия М. Поэтому
mb/ma ^ (d (s + 1) + $)/ата + 1.
Но та-*-со при г0-+-со. Это следует из (*) (и) и того, что
dim да' (го + a)= indc""«^ dim и»' (㦄), a dimtiy'(r0) растет линейно
по г0.
Рассмотрим теперь общий случай, т. е. случай, когда на М
есть конечное число однократных замкнутых геодезических {съ ...
..., cs} и все их кратные повторения cf лежат на изолирован-
изолированных критических S-орбитах S. cj". Снова предполагаем, что при
каждом / найдется такое mSsl, что indcJ">0.
Для каждого /, 1 ^j^s, существует конечное множество
М* (Cj) = {m*, ..., m*(/)} целых чисел, обладающее таким свойст-
свойством (см. 4.2.5, 4.2.6): для каждого кратного повторения CJ1
геодезической с/ существует такое корректно определенное т* е
(=M*{Cj), что m = qm*, где q^\— целое; кроме того, характе-
характеристическое многообразие Wса{с^ геодезической cj1* изометрично
характеристическому многообразию Wca(cf) геодезической cf.
Действительно, отображение е >—> е?, определенное на окрест-
окрестности D^S.ci1*^ S-орбиты S.cj1*, отображает D^S.ctj1') в окре-
окрестность D (S . с?1) S-орбиты S .с1]1. В подходящих метриках на
284 Гл. 4. Существование нескольких замкнутых геодезических
этих окрестностях ограничение этого отображения на Wca(c™*\
является изометрией между Wca(c^*) и Wca(c^. В частности,
Пусть т* (с;) — наименьшее общее кратное элементов множе-
множества М* (Cj).
Фиксируем теперь некоторое некритическое значение я* > 0.
Конечное число критических орбит, лежащих в АК*М — А°М,
обозначим через S.ca, 1«?а^<х0- Положим ?'(са) = иа.
Рассмотрим открытые окрестности U в Лх*~ критического
множества в А**М вида
Здесь ео>О столь мало, что Ле°Л1 можно ретрагировать на А°М
с помощью деформации <ps, s-»-co (см. 1.4.15); Ua = U{S .ca) —
такая открытая S-инвариантная окрестность S-орбиты S. са, что
Ш (S . са) = U (S . Ьса). Все Ua попарно не пересекаются. Крат-
Кратность элемента из Ua является делителем кратности т(са) геоде-
геодезической са.
Ясно, что такие окрестности существуют и образуют фунда-
фундаментальную систему окрестностей критического множества в АК*М.
Мы хотим рассмотреть некоторые возмущения g римановой
метрики g на М. Последнее означает, что g должна лежать
в некоторой окрестности метрики g в пространстве &М римано-
вых метрик на М (см. § 3.3). Соответствующее дифференцируемое
многообразие, снабженное римановой метрикой g, будем обозна-
обозначать через М, а через Ё — интеграл энергии на ЛуИ.
Фиксируем окрестность U описанного выше вида и некоторое
е>0. Мы будем рассматривать только те возмущения g=g(U, e)
метрики g, которые удовлетворяют следующим условиям:
(a) к* не является критическим значением функции Ё на AM;
(b) при каждом а критическая орбита S. са из AM распа-
распадается на конечное число невырожденных критических орбит,
которые все принадлежат Ua = U E . са), и значение функции Ё
на новых критических орбитах, лежащих в U (S . са), должно
отличаться по абсолютной величине от Е (са) = ха меньше, чем
на е. Кроме того,
Я* (ЛН«"УИ U ил, ЛН«"УИ) = Я* (ЛХ«"Л1 U #а, ЛИ«"УЙ);
(c) если са имеет вид с™, то кратность т любой из принадле-
принадлежащих Ua невырожденных замкнутых геодезических из AM
такова, что целое число т/т делит наименьшее общее кратное
т* (cj) элементов из М* (Су). В частности, т/т^т* (су).
4.3. Существование бесконечного числа замкнутых геодезических 285
Доказательство того, что действительно существуют возмуще-
возмущения g = g(U, е), обладающие свойствами (а), (Ь) и (с), может
быть получено с помощью методов и результатов § 3.3. В самом
деле, (а) и (Ь) немедленно следуют из 3.3.7. Убедимся, что усло-
условие (с) также выполнимо. Для этого фиксируем /. Из определе-
определения т* (Cj) следует, что характеристическое многообразие
Wca (cj™*^) геодезической с1?*(с^ имеет максимальную размерность
среди всех характеристических многообразий Wca icp I, mf e
e= M* (cj).
С помощью подходящего возмущения g метрики g мы можем
заменить критическую орбиту S. с1"* ^ некоторым количеством
невырожденных критических орбит S. с, которые все принадлежат
выбранной окрестности U [S .d?*^c^\ В этом случае мы также
будем говорить, что WCo(c;m*^) разрешается в 5.с.
Фиксируем некоторое целое qo^\. Если g достаточно близко
к g, то Wca (c*m* <с/)) при всех q^q0 разрешается в конечное
число критических невырожденных орбит, лежащих около
S.c?*^. Фактически эти орбиты будут образами S.& при
отображении et—^e9 невырожденных критических орбит S.c,
находящихся вблизи S . ej"* (cfh
Пусть т* е М* (о;); тогда т* (су) = pmf, где р — положитель-
положительное целое. Рассмотрим отображение окрестности D (S . с!
орбиты S . cj?' в окрестность D (S . с™* (ci\ определяемое соответ
ствием ei—*¦ ер. При этом отображении ЧРса(с?1) переходит в под-
подмногообразие многообразия №Са(с7*^)« Следовательно, если при
замене g на g многообразие Wca [с™* ^j разрешается в некото-
некоторое число невырожденных критических орбит S. с, лежащих
около S . cj™* (с/\ то мы можем предполагать, что одновременно
Wca (с™') разрешается в лежащие вблизи S . с™' невырожденные
критические орбиты S.c(m*), которые при отображении е>—*-еР
переходят в орбиты вида S .с е U (S . с™*("ду В частности,
р- (кратность c(mf) делит т* (cj). Таким образом, при всех cfy
где т не превосходит некоторого т0 и m — tnfq, принадлежащие
U^S.c™} невырожденные критические орбиты из Л.М, получа-
получающиеся при разрешении Wca(c™)g^ Шса{с^, имеют такую крат-
кратность пг, что т/т делит m* (cf).
286 Гл. 4. Существование нескольких замкнутых геодезических
Это завершает доказательство того, что возмущения g мет-
метрики g, удовлетворяющие условиям (а), (Ь) и (с), существуют.
Согласно 4.2.5 и 4.2.6, для каждого /е {1 s} существует
такое t0(у), что из i">io(j) следует, что &°(cj?) = O при всех т.
Положим t0 = sup i0(/')• Из 4.2.4 следует, что если i>i0 и Ь1(с?\ф
i \u -
#0, то
(**) 0 < ind cf ^ i ^ ind cj" + «о-
Рассмотрим конечное множество К таких действительных
чисел > 1 вида (mfx^mfx^, что т% делит т* (ск) и mf делит
т* (с{). Выберем А.е/С и целое q^\ так, чтобы к — q2 было
положительно и одновременно являлось минимальным среди чисел
вида А, — <?2>0, А,<=/С. Пусть А, = max{A.e/(}, rf = 21Jc), а а>0
и р>0 такие же, как и выше. Выберем целое /По>О так чтобы
(t) [((d(s+l) + io + $)/amo+l)*-l]l<X-q\
Существует такое /# Зг i0, что если i>t# и Ь1(^с^ф0, то
т^гт0. В самом деле, согласно (##) и (#) (ii), 0<(i —10)
Выберем /.,.5= Amo-{-io. Существует также такое целое
что при г^г0 выполняется неравенство dimw^ (r^i^.
Рассмотрим w't(r0-\-i), Osg/^s. Выберем некритическое и*>
>0 так, чтобы носители цепей w't(r0-{-i) принадлежали АК*-М.
Для этого х* выберем, как и выше, окрестность U критического
множества из Лк* и для малого е>0 рассмотрим возмущения
g = g(U, e) римановой метрики g на М, обладающие свойствами
(а), (Ь) и (с).
Как первое следствие мы получаем из 4.3.4, что для каждых
w't(r0 + i), w%(ro-\-i), 0^i?s^s, замкнутые геодезические с' (г0 + 0
и c(ro + i) на М удовлетворяют условиям 4.3.4 (i) и (ii). Каждая
из этих геодезических принадлежит корректно определенной
окрестности U (S. са) одной из критических орбит S .са из
А*'М-АШ.
Существуют такие целые числа а и b, 0^a<.b^.s, и с'е
е {S .clt ..., S ,cs}, что
с' (г0 + a)<=ll(S. с'та); с' (г0 + Ь) е U (S . с'ть).
Пусть c(rn + &)s U (S .с), cejS.Cx, .... S . с,}. Положим
Е (?)=•*', Е(с) = х._ I
Кратности та, ть и т геодезических с' (ro-\-a), c'(ro + b) и
c(ro-{-b) удовлетворяют соотношениям
та— тат"*, ть = тьт'*, т = тт*.
4.3. Существование бесконечного числа замкнутых геодезических 287
Здесь тя* и т'* принадлежат множеству М* (с') и поэтому делят
т* (с'); т* принадлежит М* (с) и, следовательно, m*|m*(c).
Свойство 4.3.4 (i) устанавливает, что
(t t) E(?(ro + a))<E(i(ro + b))<E(i'(ro + b)),
а согласно свойству 4.3.4 (и) существует такое целое q^l,
что т = qmb.
Так как е в g(U, e) можно выбрать произвольно малым,
то из (t t) мы можем заключить, что
Е {р<та) = mix' < Е (ст) = т2% = q*mlm**x =
=*q2mi (m*2/m'*2) к <Е (с'ть) = mix' = mW*4'.
Поэтому
m'*ht'/m*ht<ql(ml/m!l).
Следовательно,
^(о+) определяет локально возле с'(го-\-а) нетривиальный
цикл размерности dim w't (г„ + о)- Из свойства (Ь) возмущенной
метрики g следует, что типовое число bt (c""a) геодезической с"""
в размерности i = dim w\(ro +а) не равно нулю. Аналогично
Ь/(о'т1>)ф0 при / = dimte)'<(ro + a). Поэтому из (##) следует, что
dim w\ (r0 + a)< ind с""« + i0; ind с""ь ^ dim <
Из (*) (i) мы тем самым получаем
а(ть-та) - р -10 =^ ind e'm» - indo'm« - i0
^ dim w'. (r0 + b) — dim w\ (r0 + a) < d (s + 1).
Следовательно, так как та^пц,
mb/ma < (d (s + 1) + f0 + P)/(am0) + 1.
Вместе с (t) это противоречит соотношению (§). Q
288 Гл. 4. Существование нескольких замкнутых геодезических
Добавление к § 4.3
Минимальная модель рационального
гомотопического типа многообразия AM
Джонатан Сакс
Дифференциальная градуированная коммутативная алгебра
(над (Gj) (сокращенно ДГА) —это такая градуированная алгебра
ft>0
вместе с дифференциалом степени +1
d: erf-+erf,
ЧТО
(i) xy = (—\)ыух (x^erfk, ye
(ii) d(xy) — dx-y + (—1 )kx• dy{x e erfk);
(iii) d» = 0.
Если erf — ДГА, то через I(erf)= ф <srfk обозначим идеал
элементов положительной степени.
ДГА Ж называется минимальной, если
(i) 9Л свободна как градуированная коммутативная алгебра
(и, следовательно, ЭЛ является тензорным произведением неко-
некоторой алгебры полиномов с образующими четной степени и внеш-
внешней алгебры с образующими нечетной степени);
(ii) dl (Ж) <= / (Ж). / (ЗЛ).
Через {t, dt} обозначим (Q[^]® (Q[f|d<, т. е. полиномиальные
формы от одной переменной t степени 0. Два отображения
(морфизма) ДГА
erf^^3 (i = 0, 1)
называются гомотопными, если существует отображение ДГА
srf -?• Si <Э {t, dt}, такое, что fi = F\t-i (i = 0, 1). (Через F\t4t мы
обозначаем композицию F с отображением ДГА &S® {t, dt} -*¦<$,
которое получается, если положить t = Q = dt.)
4.З.А.1. Теорема. Отношение гомотопии между отображениями
ДГА является отношением эквивалентности.
Для данного абелева гомотопического типа X (см. F0)) выберем
рациональный полиэдр, представляющий рациональный гомото-
гомотопический тип X *). На этом рациональном полиэдре можно опре-
*' В этом месте можно взять произвольный симплициальный полиэдр
из X (или из соответствующего рационального гомотопического типа). Но во
i-торой половине формулировки 4.3.Л.2. нужна рациональность этого полиэдра.
Добавление к § 4.3. Минимальная модель 289
делить ДГА над (Q, состоящую из кусочно-полиномиальных форм
с рациональными коэффициентами; ее мы будем обозначать через
edpi (X). В классе эквивалентности ДГА &#рх. (X) (где эквива-
эквивалентность есть гомотопическая эквивалентность между ДГА)
содержится единственный (с точностью до изоморфизма) мини-
минимальный представитель. Эта минимальная ДГА называется мини-
минимальной моделью для e^Pi (X) и обозначается через ЗЯ(Х).
Отображение f: X-+Y индуцирует отображение f*\
e^p.L. (Y)~*-^p.l. (X), получаемое с помощью «обратного пере-
переноса» кусочно-полиномиальных дифференциальных форм. В свою
очередь отображение f* индуцирует отображение f: ЗЛ (У)-»- ЭЭТ (X),
гомотопический класс которого зависит только от гомотопического
класса отображения /.
Основной относящийся сюда результат следующий.
4.З.А.2. Теорема (Квиллен, Сулливан). Имеет место эквива-
эквивалентность категорий
{абелевы рациональные гомотопические типы} **
{ДГА над (Q по модулю гомотопической эквивалентности}.
Эта эквивалентность категорий устанавливает соответствия
{рациональное пространство X} ** ?Ш (X);
{отображения X-LY}«+{f: ЗЛ G)->0Л (X)},
где { } обозначает гомотопический класс. Доказательство см.
в работе Фридлендера, Гриффитса и Моргана [1].
Имея две ДГА &€ и «S&, можно следующим образом превратить
их тензорное произведение (как векторных пространств) в ДГА.
Введем сначала в &>?®$3 градуировку, полагая *' deg(a(g)fr)=
=dega + degb, где ЙЁе/ и Ъ еSi — образующие.
Для того чтобы определить умножение на <&$%$1, достаточно
сделать это для образующих, а затем очевидным образом распро-
распространить его на все е^®сЖ Итак, пусть аъ Ojerf и bv
Ь2<=е%) — образующие. Положим
(й! <g) h).(a2 <g) b2) = (
Пусть &л и dm — дифференциалы соответственно в erf и в
Определим дифференциал d в e^(g)^8, полагая
где на однородных элементах гл{а) = (—l)desaa. Легко проверить,
что со всеми этими определениями е>? %<ffi удовлетворяет всем
аксиомам ДГА.
*' Степень однородного элемента х теперь обозначается degx, а не \x\t
как раньше.
10 В. Клингенберг
290
Гл. 4. Существование нескольких замкнутых геодезических
Пусть М — односвязное многообразие и SO'i(Al) — ДГА над (Q
с образующими {л^ел и дифференциалом d. Пусть е^ —ДГА
над (Е) с образующими {л,-, Xi}ieti, где степень xt на единицу
меньше степени xt. Распространим - на всю Ш (М) как действую-
действующую справа производную и определим дифференциал в.ет?, пола-
полагая, что на образующих без черты он действует так же^как и
в Ш (М), а на образующих с чертой — по формуле dxt = dxt.
4.З.А.З. Теорема, orf изоморфна как ДГА минимальной
модели Ж (AM).
Теорема доказывается с помощью следующего предложения.
4.З.А.4. Предложение. Пусть {е} — минимальная модель рацио-
рационального гомотопического типа окружности S1, т. е. {е} есть
ДГА над (Q, порожденная одним элементом е степени 1 и de=O.
Тогда существует такое отображение ДГА
Ф: ЭЯ(М)->е^®{е},
что для любой ДГА <?В и любого отображения ДГА W: Ш (М)-*-
->¦ а® 0 \е) существует единственное отображение ДГАЧ: erf-^SS,
при котором следующая диаграмма становится коммутативной:
Доказательство предложения. Определим Ф на образующих,
полагая Ф(л^) = Л4®1 -{-%i(g)e, и продолжим его очевидным образом
на всю ЗЭТ(УИ) как отображение алгебр.
Прежде всего мы должны показать, что Ф является отобра-'
жением ДГА, т. е. коммутирует с дифференциалами. Легко видеть,
что для этого достаточно доказать, что Ф коммутирует с диффе-
дифференциалами на образующих. Пусть х е Ш(М) — образующая,
и пусть
Тогда
dx
d (Ф (л))
aii
irXii...Xir
где
!(х.®1+Х®е)
2 % ... trx>
¦('г •¦¦•',)
:,_,*/,.'..¦*«, &)е.
Добавление к § 4.3. Минимальная модель 291
так как ~ действует как производная справа. Далее,
4'i -У / ('г У
2 , D
С V)
так как е? = 0. Множитель (—1) Vu "" ir возникает из
определения умножения в erf(g){e). Таким образом, как и утвер-
утверждалось, для каждой образующей л:,- имеем d<D (л;,) = Ф (dx,).
Теперь мы покажем, что пара (©^ (х) {е},Ф) обладает указанным
в предложении универсальным свойством.
Пусть 4е: Ш (М) -*- Si (g) {e} — отображение ДГА. Для каждой
образующей л:; s Ш (М) ее образ Y^i) единственным образом,
записывается в виде Т (л;;) = ?>,- (х) 1 + 6^ (х) е, где ft,- (g) 1 — компо-
компонента 1Р(л:,), не содержащая множителя е, a b,(g)e —компонента
Ч^Я/), содержащая этот множитель.
Определим Ф: в^-^<?/8 на образующих, полагая
и продолжим это отображение как отображение (морфизм) алгебр
на всю &#. Ясно, что ? —единственное отображение алгебр,
такое, что (Ф (х) id)«Ф = ?.
Далее, для каждой образующей xt е 201 (Л1) имеем Ч' (dXj) = '
dDf) так как Y — отображение ДГА. Но
= (t (g) id) (Ф (dx,)) = (f (g) id) (d (Ф (*,))) =
(так как Ф — отображение ДГА)
® e) = t (d^) ® 1 + Ф (dJcf) ® e,
в то время как
d (Y (*,)) = d «V <g) id) (Ф (*,))) = d ((? ® id) (x, <g> 1 + *, <g> e)) =
Отсюда следует, что
V(dx,) = d*(x,) и
для всех образующих л:^, ^,- из erf, т. e.W — отображение ДГА. ?
10
*
292 Гл. 4. Существование нескольких замкнутых геодезических
Доказательство теоремы. Пусть ev: AM x S1
ние значений:
ev (с, t) = с (t) для с е ЛЛ1 и t
¦ М — отображе-
Пара (AAfxS1, ev) обладает следующим универсальным свой-
свойством
*)
Пусть X — произвольное пространство и /: XxS1 ->-М — про-
произвольное непрерывное отображение. Тогда существует единствен-
единственная непрерывная функция f: X-»-AvVf, такая, что следующая
диаграмма коммутативна:
Очевидно, f определяется равенством f (x) (t) = f {x, t).
Возьмем теперь в качестве X рациональный гомотопический
тип Хл, соответствующий orf в только что доказанном предло-
предложении, а в качестве f любое непрерывное отображение /ф, соот-
соответствующее Ф: ЗЛ (М)-*-&€ (х) \е) при эквивалентности категорий,
о которой говорится в теореме Квиллена и Сулливана. Согласно
той же теореме, эта коммутативная диаграмма порождает гомото-
пически коммутативную диаграмму в категории ДГА над (Q:
где отображение ДГА Wev получается из ev, а отображение ДГА
Ф (g) id получается из f (g) id. Рассмотрим диаграмму
Ш(М)
*' Как видно нз следующего абзаца, под .ЛУИ сейчас понимается С0 E,
что законно ввиду 1.2.10.
4.4. Несколько теорем о существовании в типичной ситуации 293
где *?ev — единственное отображение ДГА (его существование
гарантируется доказанным предложением), при котором верхний
треугольник становится коммутативным. Так как нижний тре-
треугольник гомотопически коммутативен, то диаграмма
^1) ® и
также гомотопически коммутативна.
Из предложения следует, что (Ф • 4ev) (х) id гомотопно id(g)id,
откуда в свою очередь вытекает, что 4*^: &# ->- Wl (AM) — гомо-
гомотопическая эквивалентность. Так как Ш (AM) — единственная
(с точностью до изоморфизма) минимальная ДГА в своем гомото-
гомотопическом классе, a as? минимальна по построению, то orf
изоморфна как ДГА алгебре ЗЯ(ЛМ). D
4.4. Несколько теорем о существовании в типичной ситуации
В § 4.3 мы доказывали существование бесконечного числа
замкнутых геодезических, проводя подробный анализ комплекса
Морса многообразия AM. При этом мы нигде не использовали
геодезический поток, за исключением формулы Ботта 3.2.9, выра-
выражающей индекс кратной замкнутой геодезической через р-индекс.
Теперь мы хотим показать, как можно воспользоваться
типичными свойствами геодезического потока, установленными
в § 3.3, для доказательства того, что в типичном случае существует
бесконечно много замкнутых геодезических.
Конечно, это утверждение слабее, чем теорема 4.3.5. Но его
доказательство несколько проще, и, помимо этого, при некоторых
условиях из него можно получить информацию о существовании
бесконечного числа замкнутых геодезических около заданной
геодезической эллиптического типа. Этот результат предвосхитили
в своих ранних работах Пуанкаре и Биркгоф.
Снова решающую роль играет соотношение делимости (И) из
нашей фундаментальной леммы 4.3.4. Другими нашими средствами
будут классы Сулливана и, что наиболее важно, теорема Бирк-
гофа —Льюиса о неподвижной точке 3.3.3. В самом конце мы
докажем, что у четномерных многообразий неотрицательной
кривизны с нетривиальной фундаментальной группой есть неги-
негиперболические замкнутые геодезические. Это подкрепляет нашу
гипотезу о том, что в общем случае на многообразии с конечной
фундаментальной группой не все замкнутые геодезические обяза-
обязательно гиперболические. Доказательство этого факта весьма просто
и не требует применения тонкой фундаментальной леммы.
294 Гл. 4. Существование нескольких замкнутых геодезических
Результаты этого параграфа (за исключением теоремы 4.4.6)
изложены в работе Клингенберга [16].
Мы рассматриваем введенные в § 4.3 классы гомологии
w* (r), r=l, 2, ..., двойственные некоторым классам когомологий
Сулливана. Напомним, что w% (г) двойствен либо классу х л х9г,
либо ei А хг л... Л et.
4.4.1. Лемма. Пусть М — компактное односвязное риманово
многообразие. Предположим, что все замкнутые геодезические на М
гиперболические (см. § 3.2). Тогда при каждом г = 0, 1, ... суще-
существует однократная ' замкнутая геодезическая с' (г) индекса
dim w't (r). Она строится с помощью w't (r) так же, как и в 4.3.4.
Замечание. Кажется маловероятным, чтобы на компактном
односвязном римановом многообразии М все замкнутые геодези-
геодезические могли быть гиперболическими. Действительно, Пуанкаре
[1] показал, что в окрестности стандартной метрики g0 на S2
существует открытое множество таких метрик g, что у (S2, g)
есть эллиптическая геодезическая, длина которой приблизительно
равна 2л. См. также 4.4.6. Торбергсон недавно обобщил эти
результаты *К
С другой стороны, если кривизна М в каждой точке по лю-
любому двумерному направлению отрицательна или, более общо,
если геодезический поток на касательном расслоении многообра-
многообразия М является потоком Аносова, то все замкнутые геодезические
будут гиперболическими. Заметим, однако, что в этом случае
фундаментальная группа весьма велика, а именно имеет экспо-
экспоненциальный рост (см. Аносов [1], Клингенберг [12], § 5.3)**>.
Доказательство. Согласно предположению, все замкнутые
геодезические на М невырожденны. Поэтому так же, как в 4.3.4,
при каждом г —0, 1 ... мы можем построить замкнутые геодези-
геодезические с (г) и с'(г) с индексами dim &?>*(/•) и dim w*(r) соответ-
соответственно, такие, что кратность т! (г) геодезической с' (г) делит
кратность т(г) геодезической с (г).
Теорема 3.2.12 дает простую формулу для индексов гипербо-
гиперболических замкнутых геодезических с (г) — с0 (г)т{г) и с' (г) =
= Co(r)m'(''). Из этой формулы получаем
т (г) ind с0 (г) + 1 = т' (г) ind c'o (г).
*> См. Грюнталь [2], Торбергсон [3], Бальманн, Торбергсон и Циллер [1].
**' Легко доказать, что у потока Аносова число периодических траекторий
с периодом ^ Т экспоненциально растет с ростом Т. А из § 5.3 следует, что
если геодезический поток является потоком Аносова, то в каждом нетри-
нетривиальном классе сопряженных элементов фундаментальной группы имеется
ровно одна замкнутая геодезическая.
4.4. Несколько теорем о существовании в типичной ситуации
295
Поэтому из т! (г) \ т (г) следует, что т' (г) = 1, и тем самым тео-
теорема 4.4.1 доказана. П
Пусть 5 — &М — пространство римановых метрик на компакт-
компактном односвязном дифференцируемом многообразии. Рассмотрим
следующие его подмножества
&н = множество таких g, что (М, g) имеет лишь гиперболи-
гиперболические замкнутые геодезические;
$т = множество таких g, что (М, g) имеет по крайней мере
одну замкнутую геодезическую закручивающего типа, т. е. этой
замкнутой геодезической отвечает закручивающее отображение
Пуанкаре (см. § 3.3). Ясно, что $т открыто.
Как уже было сказано выше, $н, по-видимому, пусто. Внут-
Внутренность $н обозначим через Ьн.
4.4.2. Теорема. Пусть М — компактное односвязное дифферен-
дифференцируемое многообразие. Тогда Ъ: — &н U 5Т является открытым
и плотным множеством в & — &М. В частности, если 5Н пусто,
то в $ существует такое открытое и плотное подмножество Ъ,
что при каждом gel на М = (М, g) имеется по крайней мере
одна такая однократная замкнутая геодезическая с0, что в каждой
окрестности иммерсированной окружности с0 (S) на М существует
бесконечно много однократных замкнутых геодезических с0 (k),
&=1, 2 ..., длины которых стремятся к бесконечности.
Замечание. Особый интерес представляет вторая часть этой
теоремы, где утверждается, что существует бесконечно много
однократных замкнутых геодезических на М, которые группи-
группируются вокруг одной замкнутой геодезической с0 на М. Это
явление происходит каждый раз, когда появляется замкнутая
геодезическая закручивающего типа. Есть надежда, что когда-
нибудь удастся доказать существование в типичной ситуации столь
большого числа замкнутых геодезических закручивающего типа,
что замыкание тех Хо е ТХМ, которые соответствуют периодиче-
периодическим траекториям геодезического потока в ТгМ, имеет положи-
положительную меру. Как частичный результат в этом направлении
можно рассматривать 3.3.4 вместе с приведенной ниже теоремой
4.4.6 в применении к проективной плоскости с метрикой поло-
положительной кривизны.
Доказательство. Ясно, что Ъ открыто. Оно также и плотно.
В самом деле, в дополнении к множеству &н всюду плотны
такие метрики |el, для которых (М, g) имеет по крайней
мере одну замкнутую геодезическую с, такую, что для нее ото-
отображение Пуанкаре Рс не гиперболическое. Из 3.3.8 видно, что
каждую такук$ метрику можно сколь угодно близко аппрокси-
296 Гл. 4. Существование нескольких замкнутых геодезических
мировать метрикой, имеющей замкнутую геодезическую закручи-
закручивающего типа. Остальная часть доказательства следует из 3.3.3. ?
Укажем теперь еще одно остаточное множество 3>* из $М,
которое может оказаться полезным в дальнейшей работе над
типичными свойствами замкнутых геодезических. Оно использо-
использовалось в работе Клингенберга [16] для доказательства типично-
типичности существования бесконечного числа однократных замкнутых
геодезических.
Пусть gs^. Для каждой замкнутой геодезической с на (М, g)
рассмотрим соответствующее линейное отображение Пуанкаре Рс.
Собственные значения отображения Рс, равные по модулю 1,
запишем в виде е±2лСа, 0^а^1/2. Напомним, что а = 0 озна-
означает, что с вырожденна, см. 3.2.12..
Обозначим через А (М, g) множество всех чисел а, определен-
определенных таким способом для всех замкнутых геодезических с на (М, g).
Рассмотрим следующее свойство метрики g на М:
(а) множество А (М, g") U {1} свободно над
рациональными числами.
Иными словами, все ае А(М, g) иррациональны и любая конеч-
конечная система таких а линейно независима над (Q.
• Заметим, что риманова метрика g, удовлетворяющая усло-
условию (а), имеет только невырожденные замкнутые геодезические.
Метрики с этим последним свойством Абрахам [1] назвал буг-
бугристыми. Поэтому для метрик, удовлетворяющих условию (а),
напрашивается название сверхбугристые.
4.4.3. Лемма. Множество &(<х,), состоящее из римановых мет-
метрик, удовлетворяющих условию (а), содержит остаточное под-
подмножество.
Доказательство (см. Клингенберг [16]). Для каждого целого
т > 0 рассмотрим следующее свойство:
если \ka; a e A {M, g)} — такое семейство
(а> т) _, _,
целых чисел, что 1 ^ 2j I ^а I ^ гп,. то 2j kaa Ф Z.
а а
Заметим, что при выполнении (а, т), в частности, ни для какой с
ни одно собственное значение отображения Пуанкаре Рс не является
корнем степени т из единицы.
Ясно, что (а) является пересечением свойств (а, т) по всем
meN. Поэтому достаточно показать, что множество $>(а, т),
состоящее из римановых метрик, удовлетворяющих (а, т), содер-
содержит остаточное множество.
Для этого будем действовать так же, как и при доказа-
доказательстве 3.3.9. Рассмотрим свойство
4.4. Несколько теорем о существовании в типичной ситуации 297
все замкнутые геодезические с, для которых
(а, т, %) _, %
с(с)=Си, удовлетворяют (а, т).
Покажем, что
(i) . множество 5 (а, т, y)qz$ метрик, удовлетворяющих
(а, т, к), плотно;
(и) 3>(а, т, и) открыто.
Для доказательства (i) напомним, что множество метрик,
у которых все замкнутые геодезические невырожденны, плотно
(см. 3.3.9). У такой метрики при каждом к существует лишь
конечное число замкнутых геодезических, лежащих в Л*. Из этих
геодезических мы получаем конечное число условий на множество
А (М, g). С помощью возмущений того же типа, что и в доказа-
доказательстве 3.3.9, мы можем .сколь угодно хорошо приблизить мет-
метрику g элементами из Э(а, т, %).
Для доказательства (и) напомним, что если у метрики g все
замкнутые геодезические с 0<?^и невырожденны, то сущест-
существует такое е>0, что ни у g, ни у достаточно близкой к g мет-
метрики нет новых замкнутых геодезических с 0<?<х + е,
а «прежние» замкнутые геодезические (замкнутые геодезические g
с 0<.Е^х) при малом изменении g непрерывно изменяются.
При этом для них сохраняется открытое и инвариантное свойство
(а, пь). ? ¦
Для нашего следующего результата нам понадобится понятие
среднего индекса геодезической с. Будем обозначать его через /с.
Определим 1С для замкнутой геодезической с как
где ;cm = jndcm (см. Ботт [3]).
Мы должны показать, что этот предел существует. Это,
а также формула для /с содержится в 3.2.15 — в принятых там
обозначениях /с = ас.
Пусть Р = Рс — отображение Пуанкаре, соответствующее замк-
замкнутой геодезической с. Напомним, что "через (ру, Pj) = {e2lt{a/, e~2"/),
1 «?/<;/ — 1, мы обозначили те собственные значения отображе-
отображения Рс, которые равны по модулю единице. При этом
по — О «S ах <... < ai-! «S at = 1/2.
Пусть ICtf — значение р-индекса /с(р) для р — е2Ша, а
1/
4.4.4. Предложение. Средний индекс замкнутой геодезической с
равен
i1
298 Гл. 4. Существование нескольких замкнутых геодезических
Доказательство, Из 3.2.15 имеем
1С = ас = 2 Yi h
1С = ас = 2 Yi h,
Далее положим аг=1/2. П
Теперь мы в состоянии доказать следующую теорему.
4.4.5. Теорема. Пусть М — компактное односвязное дифферен-
дифференцируемое многообразие и $*—подмножество пространства $,
состоящее из тех римановых метрик g на М', у которых показа-
показатели отображений Пуанкаре, соответствующих замкнутым геоде-
геодезическим на (М, g), свободны над рациональными числами; см. (а).
Тогда 3* содержит остаточное подмножество.
Если g* &$¦*, то из леммы 4.3.4 и предложения 4.4.4 о сред-
среднем индексе следует, что на (М, g*) есть бесконечно много замк-
замкнутых геодезических.
Доказательство. Мы выведем противоречие из следующего
предположения: существует такая последовательность целых
чисел {г,}, что если c(ri) и с' (г,) — геодезические, построенные
в соответствии с леммой 4.3.4 по циклам w% (r,) и их гомото-
пиям до* (/•;), то с (г,) и с'(п) являются повторениями ровно двух
однократных замкнутых геодезических с к. с' соответственно.
Ясно, что отсюда следует теорема.
Для получения противоречия рассмотрим геодезические с (г,) =
= ст« и с' (r;) = c'mS где mt = qiirii, qt — целое и
(()) (
Ясно, что сфс'. Мы утверждаем, что последовательность {qt}
ограничена. В самом деле, согласно 4.2.7 (см. также 3.2.15),
существуют такие а > 0 и Р ^ 0, что
q,mia - Р + 1 *=: ind с*'1"' + 1 = ind с'т'к
С другой стороны, из 3.2.15 следует существование таких а', Р'^0,
что ind6-'m' <а'т,' + Р'. Поэтому <7<<(а' + Р' + Р)Дх, т. е. после-
последовательность {qi} ограничена.
Следовательно, перейдя к подпоследовательности, которую
мы снова будем обозначать через {/}, можно считать, что mi = qm't.
Тогда из равенства ind с' (/¦,-) = ind с (/¦,)+ 1 мы получаем, что
q/c = Jc.) или, применяя 4.4.4,
i /'
где А/;, //, А//- и /J' — целые числа. Из предположения о рацио-
рациональной независимости показателей следует, что А/у и A/J- все
равны нулю. Следовательно, если р не является собственным
4.4. Несколько теорем о существовании в типичной ситуации 299
значением отображения Рс, то /с = 1С (р), а если р не является
собственным значением отображения Рс>, то /„' = /«.»(р).
Так как ни Рс, ни Рс> не имеют собственных значений, кото-
которые были бы корнями из единицы, то при всех i получаем
ind с' + 1 = rn.il с + 1 = rn'i'Ic', mt = qm't,
что означает противоречие. П
Мы закончим этот параграф частным результатом о сущест-
существовании негиперболических замкнутых геодезических. Напомним,
что $т — это открытое подмножество в пространстве $ = &М рима-
новых метрик на компактном дифференцируемом многообразии М,
состоящее из таких метрик g* e Эг, что на (М, g*) есть закру-
закручивающие замкнутые геодезические. Согласно 3.3.3, (М, g*)
имеет бесконечно много однократных замкнутых геодезических.
4.4.6. Теорема. Пусть (М, g) — неодносвязное риманово много-
многообразие четной размерности с кривизной /E=0 и с —такая
негомотопная нулю замкнутая геодезическая, что на ней дости-
достигается минимальное значение функции Е в свободном гомотопи-
гомотопическом классе этой геодезической. Согласно 2.1.3, такие геодези-
геодезические' существуют. Тогда с не является гиперболической. Значит,
метрика g принадлежит замыканию множества 3>т. В частности,
g может быть приближена такими римановыми метриками g*,
что на (М, g*) есть бесконечно много однократных замкнутых
геодезических.
Доказательство. Так как минимальное значение функции Е
достигается на с, то индекс с равен нулю. Пусть с = с2 — дважды
пройденная геодезическая с, т. е. c(t) = cBt), t^.S. Тогда с
ориентируема. Это означает, что при параллельном перенесении
нормального слоя над точкой OeS иммерсии
вдоль с(t) в точку l=0eS полученное линейное преобразова-
преобразование слоя является элементом специальной ортогональной группы
SO Bm— I), 2m = dimAl Следовательно, вдоль c(t) существует
такое параллельное периодическое векторное поле | (t), что
||(/)| = 1, <?(/), с@> = 0 и V|@ = 0.
Так как (R(l(t), c(/), ~c{t)), l(t)) = /C(|, с)@1 с@1*^0 (где
/С(|, с) —кривизна в двумерном направлении, определяемом век-
векторами g, с), то
D*E(c)(l, |) = -$<Я(?@, с@, с@), ?(/)>#<<>.
300 Гл. 4. Существование нескольких замкнутых геодезических
Равенство достигается, только если /С(?, с) @ = 0. Тогда, в част-
частности, |@ — периодическое поле Якоби и, следовательно, с
вырожденна *>.
Если бы теперь с была гиперболической, то и с должна
была бы быть гиперболической, а не вырожденной, вопреки
доказанному. ?
Замечание. Пусть М — компактное многообразие произвольной
размерности (не обязательно четной) и /С>0. Тогда при доста-
достаточно большом т повторение ст геодезической с будет содержать
сопряженные точки и, следовательно, иметь положительный индекс.
Поэтому если indc = 0, то с не может быть гиперболической.
Это доказывает существование негиперболических замкнутых
геодезических на М в предположении, Что М неодносвязно.
*' Такое же рассуждение используется при доказательстве теоремы Синга:
замкнутое риманово многообразие четкой размерности, кривизна которого
положительна Сво всех точках и по всем двумерным направлениям), односвязно.
Глава 5
ДРУГИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
В этой главе мы собрали дополнительные результаты о замкнутых
геодезических. Мы начнем с доказательства теоремы о трех замк-
замкнутых геодезических. Эта теорема является обобщением на про-
произвольные компактные односвязные римановы многообразия клас-
классического результата Люстерника и Шнирельмана [1], доказавших
существование трех замкнутых геодезических на поверхности
рода сферы.
Суть этой теоремы состоит в том, что всегда существуют
по крайней мере три относительно короткие замкнутые геодези-
геодезические, — заметим, что в гл. 4 ничего не было сказано о соотно-
соотношениях между длинами геодезических и другими геометрическими
величинами на многообразии.
В § 5.2 мы собрали несколько результатов о компактных
односвязных многообразиях специального вида, таких, как сим-
симметрические пространства, пространства, у которых все геодези-
геодезические, замкнуты и имеют одинаковую длину, многообразия, на
которых геодезические потоки имеют дополнительные интегралы
(такими многообразиями являются, например, поверхности Лиу-
вилля).
В § 5.3 мы приводим подробное описание геодезического потока
на многообразиях гиперболического типа. Типичными примерами
таких многообразий являются многообразия, допускающие мет-
метрику строго отрицательной кривизны.
Этот параграф мы закончим результатом о многообразиях,
которые накрываются торами.
5.1. Теорема о трех замкнутых геодезических
В 1929 г. Люстерник и Шнирельман [1] доказали, что на
произвольной поверхности топологического рода 2-мерной сферы
всегда существуют три замкнутые геодезические без самопересе-
самопересечений. Подробное доказательство их результата было дано зна-
значительно позже Люстерником [1].
302 Гл. 5. Другие результаты
, Доказательство Люстерника и Шнирельмана существенно
использует теорему Жордана для двумерной сферы. Мы дадим
обобщение их теоремы на произвольные -компактные односвязные
многообразия. Доказательство основывается на соотношении дели-
делимости того же типа, что и соотношение, установленное, в 4.ЗА
В нашем обобщенном варианте теоремы не утверждается,
что геодезические, о существовании которых идет речь, не
имеют самопересечений. Их основное свойство здесь состоит
в том, что они сравнительно короткие. В конце параграфа мы
докажем результат Морса о том, что в общем случае существует
лишь «несколько» коротких замкнутых геодезических.
Мы начнем с построения некоторых цепей в пространстве
окружностей на сфере S*. Напомним, что в § 2.3 мы определили
в пространствах AS* и TSk, состоящих соответственно из пара-
параметризованных и непараметризованных окружностей на S*, струк-
структуры векторных расслоений
a: ASft-A°S*->BS*^VB, k-l),
у: rS*-PS*->AS*^GB, k-l),
стандартным слоем в которых является {ft — 1)-мерный диск.
При этом нам пришлось удалить из AS* и TSk тривиальные
окружности A°S* и r°S*.
Отображения а и у ставят в соответствие нетривиальной
окружности большой круг, лежащий в плоскости, параллельной
той плоскости, в которой находится окружность.
Так же, как в § 2.3, мы считаем, что сфера S* изометрично
вложена в евклидово пространство R*+1 с координатами (х0, ...
..., xk).
В § 2.3 мы ввели.базис [аъ а2], 0 ==S ax «S a2 «S & — 1, Za-гомо-
логий пространства AS* = GB, k— 1). Обозначим через v(alt a2)
цикл из rS* mod PS*, который соответствует циклу [аг, а?] при
изоморфизме Тома*':
tf,(G.B, fc-l))-*tf* +(*_„(№, PS*).
Другими словами, v (аь (h) есть взятое по модулю PS* ограниче-
ограничение расслоения на (k— 1)-мерные диски у на цикл \alt a^\ из
базисного пространства расслоения^- Заметим, что dim[ab <h] =
= а1-\-пч и, следовательно, dimy(ai, a2) = a1 + a2 + ^—1-
Мы начнем с (k — 1)-мерного цикла и @, 0). Он может быть
записан в виде я°ы@, 0), где
: (AS*, A°S*)->(rS*. T°Sk)
"' В § 2.3 мы писали {аъ а2} вместо v (ox, о2).
5.1. Теорема о трех замкнутых геодезических 303
— проекция, а
ы@, 0): (D*-1, dDk-1)-^(ASk, A°S*)
состоит из параметризованных окружностей, параллельных пара-
параметризованному большому кругу (cos2n?, sln2itf, 0, ..., 0)*'.
Наша следующая цель состоит в отыскании для оставшихся
пар (alt a2), Ог^а^а^й—1, таких цепей и(сь а2) из
AS* mod A°S*, что я • и (аг, (h) = v (ax, <%). Для этого мы построим
несколько гомотопий.
Пусть г|3т2, 0 =s?т=s? 1, — продолжение на R*+1 вращения в пло-
плоскости (хи xj в положительном направлении на угол т-180°,
которое на ортогональной (k— 1)-мерной плоскости является
тождественным преобразованием. Определим
и@, 1): (D*-1, aD^)x[0, l]-MAS*, A°S*),
полагая**» и@, 1)(с; т):=^'2-и@, 0)(с).
Имеет место равенство
ди@, 1) = —6«@, 0)-«@, 0),
т. е. и@, 1) — гомотопия, соединяющая «@, 0) с —8«@, 0).
В самом деле, отображение
«@, 1)(е; 0) = «@, 0)(c)t-*6«@, l)(c; 1)
переводит образ и @, 0) в себя и действует на нем как некоторое
отражение***1.
Кроме того, я«и@, 1) = о@, 1).
Пусть г|з?>3, 0 ^ т ^ 1, —продолжение на R*+1 вращения в пло-
плоскости (хг, Хз) в положительном направлении на угол т-180°,
которое на ортогональной {к— 1)-мерной плоскости является
тождественным преобразованием. Для k— 1>1 определим
«@, 2): (D*-xx[0, 1], aD*-»x[0, 1])х[0, 1]->(A5*. A°S*),
полагая м@, 2) (с; Тц т) = г|з?'8«и @,
Ясно, что л°и@, 2) = и@, 2).
*• Будем считать D*~l вложенным в R*+1 как единичный диск подпрост-
подпространства дсо = дс1=О. Тогда при с^ИЙ'1
«@, 0) (с) @ = Kl — I с |» (cos2я#, яп2Ж, 0, .... 0) + @, 0, са сЛ).
Точке с=0 —центру диска — соответствует большой круг, указанный в основ-
основном тексте. Как элемент AS* он является точкой, лежащей в BS*,
а и@, 0)(Dk-1—dDk'1) совпадает со слоем расслоения а над "этой точкой.
**' Собственно, здесь следовало бы писать Лг|^'г, а не ty2. Аналогичные
замечания относятся к некоторым формулам ниже.
***> 6м@, 1)(с; 1) = й@, 0)(с'), где с' получается из с изменением знака у с2.
304 Гл. 5. Другие результаты
Кроме того, имеет место равенство ди@, 2) = 6«@, 1) —ы@, 1),
в котором мы, конечно, отбросили цепи размерности <k*\
В самом деле, на больших кругах сферы S2 = {xl + х\ + хI — 1},
начинающихся в точке х0 = 1, преобразование
«@, 2) (с; т, 0) = ы@, 1)(с; т)-»6м@, 2) (с; t, 1)
действует как отражение в плоскости (л:0, х2). А цепь «@, 1)
в AS* совпадает с прообразом (точнее, замыканием прообраза)
при проекции а этого множества параметризованных больших
кругов (как точек В5*). Следовательно, на цепи в В5*, образо-
образованной этими большими кругами, рассматриваемое отображение
меняет ориентацию и имеет неподвижную точку — большой круг,
лежащий в плоскости (х0, хг). На слое расслоения а над этим
большим кругом (как элементом В5*) рассматриваемое преобра-
преобразование сводится к некоторому отражению**'.
Действуя аналогично, мы построим в конце концов гомотопию
и@, 6-1): (D^xtO, \f~\ aD^XtO, 1]*-2)X[O, l]-
полагая
и @, k - 1) (с; тх т*-2, т) = ty*'k - и @, k - 2) (с; ть ...,
Здесь Tjjft-'-ft — продолжение на R*+1 вращения в плоскости
{хъ-х, xk) в положительном направлении на угол т-180°, которое
является тождественным преобразованием на ортогональном до-
дополнении.
Ясно, что я-«@, k— \)=v@, k—i).
Кроме того, диф, k- 1) = (—\)k-4u@, Л-2)-и@, k-2).
*> На самом деле граница содержит и другие ft-мерные участки кроме
указанных.
••' Вообще для
и@, i)(c; Tj, ...» T,):=A^f + 1o....At';2.«@, 0) (с)
преобразование
(*) u@, ( + l)(c; Ti г;, 0) =
= u@, 0 (с; Ti п)*-*6иф, i + l)(c; xj т,-, 1)
сводится при с=0 к преобразованию
и@, 0@; Ti, .... хг)н-*и@, t)@; 1-гь .... 1-х,),
а слой расслоения а над неподвижной точкой этого последнего преобразова-
преобразования, для которой все т/=1/2, переходит под действием (*) в себя, и в нем
(даже в его_замыкании) преобразование (*) сводится к
«(О, i)(c; 1/2 l/2)i-»«@, 0 (с'; 1/2, .... 1/2),
где с' получается из с изменением знака с/+я.
5.1. Теорема о трех замкнутых геодезических 305
Теперь мы будем строить цепи u(i, k—\), для которых
я«и(/, k— l) — v(l, k—\) и 0^i^k—l. Начнем с
, I]*, dD*-lx[0, ll^XfO, l]-»-(A?\ A°S*),
где
«A, ?-1)(с;т! Tft-!, т) = г|#'-ы@, k-\)(c; x1( .... тА_а).
Здесь 1$'' — продолжение на R*+1 вращения в плоскости (х0, хг)
в положительном направлении на угол х-180°, которое, как
обычно, является тождественным преобразованием на ортогональ-
ортогональном дополнении.
Мы утверждаем, что
ди{\, k-\) = — 8е'«-и@, ?-1)-и@, k-\).
Для того чтобы убедиться в этом, заметим, что отображение
мA, k-\)(c\ хь .... Та-х, 0) = и@, k-\)(c; Ti
действует на больших кругах с началом в точке х0 = 1 как отра-
отражение в плоскости (х0, Xi). Следовательно, на этих больших кру-
кругах отображение
0)н-^вв"«.иA, k-\)(c; п т*-ъ 1)
есть отражение относительно пространства (х0, х2, ..., хА), и
поэтому оно меняет ориентацию цепи в BSk, образованной этими
большими кругами. А цепь и@, k— 1) в AS* совпадаете замы-
замыканием прообраза при проекции а этого множества больших кру-
кругов. На слое расслоения а над большим кругом, принадлежащим
пространству х1=0, отображение также обращает ориентацию.
Следовательно, наше утверждение верно.
Ясно, что я-нA, k—\) = v(\, k— 1). Действительно,
я|ыA, k— 1) является взаимно однозначным отображением, за
исключением границы ди A, k — 1).
Продолжая эти построения, мы для k— 1 > 1 определим
uB, k—\)(c\ Xi, ...,хь т), полагая
где г|3т 2 есть обычное продолжение вращения в плоскости (х0, хъ)
в положительном направлении на угол т-180°. Снова
ЗиB, k— l.) = ±8ef". ыA, ft— 1) — мA, k—l)
и
я«мB, k—l) — vB, k — 1).
Продолжая в том же духе, мы в конце концов определим
такой цикл u(k— 1, &— 1), что я.«ы(&— 1, /г— 1) = у(/г— 1, k — 1)
306 Гл. 5. Другие результаты
Если мы окончим первую серию деформаций на построении
цикла и@, а2) и сразу после этого начнем вторую серию, то
получим, что для каждой пары (а1( а2), 0 ==?: aj sg: a2 «S & — 1, можно
построить цепь и (alt а2), которая под действием п проектируется
на v (ах, аг) так, что л | и (alt a2) взаимно однозначно, за исклю-
исключением границы.
Теперь мы сформулируем так называемую теорему о трех
замкнутых геодезических.
5.1.1. Теорема. Пусть (М, g) — компактное односвязное рима-
ново многообразие. Здесь М обозначает соответствующее диффе-
дифференцируемое многообразие, а g — риманову метрику на М. Пусть
h E*. go)-+(M. g)
— отображение стандартной k-мерной сферы, которое представ-
представляет неделимый целочисленный класс гомологии бесконечного по-
порядка. Известно, что такие отображения существуют и k^2.
Тогда на (М, g) существуют 2k — 1^3 однократных замк-
замкнутых геодезических, которые являются короткими в следующем
смысле. Пусть %{f) —верхняя грань длин кривых на (М, g), кото-
которые являются образами при отображении f окружностей из E*,
Тогда длины этих 2k— 1 однократных геодезических .X(f)
Замечание. В случае M = S2 Люстерник и Шнирельман [1]
существенно использовали теорему Жордана для доказательства
теоремы. Поэтому их доказательство не может быть обобщено.
Наше доказательство использует соотношение делимости того же
типа, что и в лемме 4.3.4.
Отметим, что мы не утверждаем, что эти 2&—1 геодезических
не имеют самопересечений. Для случая M = Sn и при некоторых
ограничениях на кривизну некоторый результат в этом направле-
направлении был доказан в 2.3.9.
Доказательство. Если в наших рассуждениях метрика g не
меняется, то для простоты вместо (М, g) мы будем писать про-
просто М.
Пусть х*>0 — такое некритическое значение функции Е:
AM-^R, что Af(ASk)aA**M.
Предположим сначала, что все геодезические, лежащие в Л"*,
невырожденны. Тогда будет определен комплекс Морса <Л —
= а?**М многообразия АХ*М, см. § 2.5. Используя те же рас-
рассуждения, что и при доказательстве 4.3.4, можно убедиться в том,
что гомотопический класс каждой из цепей и (а1( аг) может быть
представлен в Л суммой с целыми коэффициентами неустойчи-
неустойчивых и сильно неустойчивых многообразий размерности
sgdim u(alt a^).
- Это представление в <Л мы обозначим через Uf(alt аг).
5.1. Теорема о трех замкнутых геодезических 307
Мы рассматриваем следующие отображения (см. § 2.2):
it: AM-+UM = AM/S; я: ЛМ -* UM = Ш/О B).
Из предположений относительно /: Sk-*-M следует, что ото-
отображение
я.М/@, 0): (D"-1, дО^-^ГШ, WM)
является нетривиальным циклом mod 2 (см. доказательство 4.3.4).
Поэтому в щ @, 0) входит такое сильно неустойчивое многообра-
многообразие Wua(c) размерности dim«@, 0), что n-Wau(c) входит
в я • щ @, 0) с нечетным коэффициентом. Фиксируем это с и назо-
назовем его с@, 0).
Мы утверждаем, что в «/@, 1) есть такое Wua(c') размерно-
размерности dimu@, 1), что Jt-Waa(c') входит в я«н/@, I) с нечетным
коэффициентом и №яв(с@, 0)) принадлежит краю dWtta(c') мно-
многообразия Wau(c').
Для того чтобы это доказать, заметим прежде всего, что из
я• Wua(с@, 0))ея-uf @, 0)mod2 следует, что целый коэффи-
коэффициент при я . Wua (с @, 0)) в dn-Uf @, 1) = ft • duf @, 1) =
= — я«6и/@, 0) — nuf(Q, 0) нечетный, так как целые коэффи-
коэффициенты при Jt.U7Ba(c@, 0)) и при я.Ц7„„Fс(О, 0))вя.ц,@, 0)
различаются по модулю 2 на 1. Поэтому, так как Wua(c@, 0))c
czuf@, 0), должно существовать такое Waa(c')cz uf@, I) размер-
размерности dim«@, 1), что WttU(c@, 0))c:dWua{c'). Кроме того,
коэффициент при й°№цм(с') в я.н/@, 1) отличается по модулю 2
на 1 от коэффициента при л»И7ца(8с') в зт-И/(О, 1), так как соот-
соответствующий факт верен для коэффициентов при я> Waa(c(Q, 0))cz
an-dWau(c') и при n.Waa(bc@, 0))<~u-dWua(c') в я.и,(О, 0).
Это завершает доказательство утверждения о том, что я • Wua (с') е
ея.и,@, I)mod2.
Мы не утверждаем, что ненулевой 2г-цикл я-«/@, 1) не гомо-
гомологичен нулю. Все, что мы использовали для доказательства
соотношения я• «ДО, 1 )ф0mod2, — это то, что я• «ДО, 0)^0mod2.
Рассуждая аналогично, мь? можем показать, что я««/@, 2) также
является ненулевым циклом из ILWmodlPM (если к— 1>1), и
т. д. до тех пор, пока не дойдем до я«иД&— 1, к— 1). Только
лишь про следующие Жг-циклы из ПМ mod П°М мы действительно
уверены, что они не гомологичны нулю: я°м/@, 0), я-ы/@, k- I)
и n>uf(k — \, k—\) (см. Клингенберг [6]).
Мы также рассматриваем продолжения отображений
Л/ • и (d, a2), 0 =sS ах ^ а2 ^ к — 1, до отображений полных 5-орбит:
S.A/.«(ai, аг)\ SxD*-*x[0, 1]а.+^-^ЛМ,
B, С, Tj, ..., Ха1 + а2)>—* Z . Af • U fa, <к) (С\ Tlt .... Tai+O2) =
= Л/.2.и(а1, аг){с; тъ ..., тв1+в,).
308 Гл. 5. Другие результаты
На области определения этого отображения определено действие S
(посредством канонического действия S на первом сомножителе S),
а на AM определено каноническое S-действие %. Отображение
S .Af,-u(ai, a2) эквивариантно по отношению к этим S-действиям.
Деформации, переводящие Af-u(al, a2) в uf(alt аг), также пере-
переводят S-орбиты в S-орбиты. Поэтому мы можем рассматривать
эти деформации как деформации^ переводящие S. Л/ •и(а1, а2)
в эквивариантное отображение
S.Ufia^ at): SxD^xiO, 1]°»+«•-*-»«,
(г, с, ть .... xai+a,)>-^'Z.Uf(a1, a2)(c; Ti, ..., та1+в>).
Вернемся к рассмотренным выше многообразиям Wua(c@, 0))
из uf@, 0) и Wau(c') из U[@, 1), обладающих, как было опи-
описано выше, тем свойством, что Wua(c@, 0)) входит в dWua(c').
Вместо с' мы теперь будем писать с@, 1).
Существенный этап нашего доказательства состоит в установ-
установлении того факта, что кратность /п@, 1) геодезической с@, 1)
делит кратность т @, 0) геодезической с @, 0).
. Для доказательства этого факта рассмотрим цепь dWaa(c@, 1)) f|
П«/@, 0). Она содержит Wm(c{0, 0)). Так как Wuu(c@, I))
инвариантно относительно группы изотропии /(с@, 1)) геодези-
геодезической с@, 1), то цепь dWua(c@, 1))Пи/@, 0) целиком содер-
содержит I (с @, 1 ))-орбиту
{zo.Waa(c(O, 0)) = Waa(z0.c@, 0)); г0е7(с@, 1))}
многообразия Waa(c@, 0)). В этих терминах наше утверждение
состоит в том, что по Uf(Q, 0) можно построить цикл uf(O, 0),
содержащий только Wua(c@, 0)) и не содержащий других эде-
ментов 7(с@, 1))-орбиты многообразия Waa(c(Q, 0)). Кроме того,
существует гомотопия ы*@, 1) цикла «*@, 0), которая содержит
сильно неустойчивое многообразие, обозначаемое через Wuu(c@, 1)),
такое, что Wuu(c@, 0)) с dWuu (с @, 1)). Так как цепь
dWm,(c@, l))n«f(O, 0) должна целиком содержать 7(с@, 1))-ор-
биту многообразия Waa (с@, 0)), то с@, 0) инвариантна относи-
относительно 1 (с @, 1)).
Для построения uf @, 0) будем действовать так же, как в дока-
доказательстве 4.3.4. В самом простом случае dWau(c@, 0))=0.
Тогда положим uf @, 0) = WaB(c@, 0)). Пусть и*@, ^ — ограни-
ограничение гомотопии н./@, 1) на Waa(c@, 0))с:и/@, 0). Так же, как
и выше, мы заключаем, что в uf @, 1) существует такое сильно
неустойчивое многообразие, снова обозначаемое через Wua(c(Q, 1)),
что л°№„„(с@, 0)) входит "в дл <¦ №„„ (с @, 1)) с нечетным коэф-
коэффициентом, в то время как л.№„и(8с@, 0)) входит с четным
5.1. Теорема о трех замкнутых геодезических 309
коэффициентом. Но тогда
I (с @, 1)). Wuu (с @, 0)) = Waa (с @, О)).
Вообще говоря, dWau(c@, 0))#0. Этот случай мы разобьем
на два. Пусть сначала ни одно из Wua(ci)czdWaa(c@, 0)) не вхо-
входит (с противоположным знаком) в край ни одного из
Wua{z0.c@, 0)), 2ье/(с@," 1)), 20.с@, 0)#с@, 0). Тогда мы
можем построить цикл uf @, 0) с: «/¦ @, 0), который содержит
W,m(c@, 0)) и не содержит ни одного другого элемента S-орбиты
многообразия №ии(с@, 0)). Ограничивая гомотопию uf@, 1) на
«*@, 0), получим гомотопию uf @, 1) цикла uf(O, 0). К м*@, 0)
и uf @, 1) применимы все те же рассуждения, что и к паре
«/@, 0) и И/@, 1). Поэтому найдется сильно неустойчивое мно-
многообразие в uf @, 1), снова обозначаемое через Wua(c@, 1)), край
которого содержит Waa(c@, 0)). Так как uf @, 1) должна содер-
содержать всю / (с @, 1))-орбиту многообразия Wuu (с @, 0)), то эта
орбита состоит только из Wua(c(Q, 0)), т. е. 7(с@, 1)) —под-
—подгруппа группы /(с@, 0)).
Наконец, пусть некоторое Wua (Ci) cr dWaa (с @, 0)) входит
с противоположным знаком в dWaa(z0 .c@, 0)), го.с(О, 0)=Ф
Фс@,0), г0е7(с@, 1)). Тогда
wua (Cl) - wMB (z0. Cl) с awua (с (о, о)).
Рассмотрим цепь
Waa (Cl) [0, - г0] = {е-2Я". Wua (Cl); 0 ^ г < r0},
где zo = es"^». Граница этой цепи Waa(c@, 0)) + Wии fa)[0, — го]
не содержит ни W,w(ci), ни —Wau(t0,Ci). Так же мы поступим
и с остальными элементами из dWau (с @, 0)).
В результате, так же как в доказательстве леммы 4.3.4, мы
построим цикл и*@, 0), содержащий Wua(c@, 0)), но не содер-
содержащий других элементов S-орбиты Wua(c@, 0)). Образ по моду-
модулю 2 цикла и* @, 0) при отображении п полностью принадлежит
n-uf@, 0). Ограничивая «/@, 1) на сильно неустойчивые много-
многообразия из а*@, 0) (и, в частности, на Wuu(c@, 0))), получим
гомотопию' и*@, 1). Определение этой гомотопии на цепи
Waafa)[0, — Го] —то же самое, что и в доказательстве 4.3.4.
К паре uf @, 0), uf(O, 1) применимы те же рассуждения, что и
к паре и^ @, 0), м^@, 1). Поэтому мы заключаем, что в ы*@, 1)
существует сильно неустойчивое многообразие, снова обозначаемое
через Wtta(c@, 1)), край которого содержит Waa(с@, 0))с«*@, 0).
Полная 7(с@, 1))-орбита многообразия Wua(c@, 0)) должна
принадлежать dW,ul(c@, 1))Пм*@, 0). Следовательно, с@, 0)
остается инвариантной под действием группы 7(с@, 1)). Тем
310 Гл. б. Другие результаты
самым мы показали, что во всех случаях кратность т@, 1) гео-
геодезической с@, 1) делит кратность т@, 0) геодезической с@, 0).
Переходя далее (при k— 1 > 1) к uf{§, 2), рассмотрим много-
многообразие Waa(c')c: ur@, 2) размерности dim«^@, 2), такое, что
п°№ии(с')ф0то<12 и Waa(c@,' \))adWaa(c'). Мы утверждаем,
что (быть может, после некоторых изменений щ @, 1) и вытекающих
отсюда изменений щ @, 2)) группа изотропии 7 (с1) геодезической
с' оставляет с@, 1) инвариантной. Полагая с@, 2) равной с',
получим, что кратность т@, 2) геодезической с@, 2) делит
кратность т@, 1) геодезической с@, 1).
Для доказательства нашего утверждения мы снова начнем
с замечания, что dWlul (c')-f\ ut @, 1) целиком содержит 7 (с')-орбиту
многообразия Wau(c@, 1)). Так же, как и выше, мы по «/@, 1)
построим цикл ы/@, 1), содержащий Wuu(c@, 1)) и не содержа-
содержащий других элементов S-орбиты многообразия W,tu(c@, 1)).
Затем определим гомотопию и*@, 2) цикла uf @, 1). В uf @, 2)
существует многообразие максимальной размерности Wutl(c@, 2)),
край которого содержит Wan(c@, 1)). Далее мы заключаем, что
7(с@, 2)) оставляет с@, 1) инвариантной.
Аналогичные рассуждения мы применяем к и^@, 3), ...
..., «/@, ^—1). Так, рассматривая «/@, к— 1), мы докажем
существование критической точки с@, к — 1), кратность которой
(как замкнутой геодезической) т@, к— 1) делит кратность
т@, /г —2) ранее построенной геодезической с@, k — 2). Затем
мы перейдем к построению сA, ^—1), ... , c(fe —I, fe—1). Таким
образом мы получим последовательность 2k— 1 замкнутых гео-
геодезических с@, 0), с@, 1), ..., c(k— 1, &— 1), в которой крат-
кратность каждого элемента делит кратность предыдущего элемента.
Так как значения функции »? на элементах этой последователь-
последовательности строго возрастают, то однократные замкнутые геодезические,
соответствующие элементам этой последовательности, попарно
различны, а значения функции Е на них тоже строго возрастают.
Осталось рассмотреть общий случай, когда не предполагается,
что все геодезические из Ах*~ невырожденны. Мы можем пред-
предполагать, однако, что все лежащие в Лк*~ —Л° критические
S-орбиты являются изолированными критическими множествами,
скажем S.ca, l^a^ct0. Мы хотим свести этот случай к невы-
невырожденному случаю, рассматривая возмущения нашей римановой
метрики g. Пусть g — возмущение метрики. Тогда через М мы
будем обозначать соответствующее дифференцируемое многообра-
многообразие, снабженное римановой метрикой g, а через Ё — интеграл
энергии на AM.
Так же как в доказательстве теоремы 4.3.5, мы рассмотрим
окрестность U критического множества многообразия А**~М,
удовлетворяющую определенным условиям. Зафиксировав доста-
5.1. Теорема о трех замкнутых геодезических 311
точно малое в>0 и такую окрестность U, мы рассмотрим возму-
возмущения g = g(%, г), удовлетворяющие условиям (а), (Ь) и (с),
сформулированным в доказательстве теоремы 4.3.5. Из наших
предыдущих рассуждений следует существование последователь-
последовательности с (О, 0), ..., c(k— I, k— 1) из 2k— 1 однократных замкну-
замкнутых геодезических, на которых функция Ё строго возрастает.
Из ограничений, наложенных на §:, вытекает, что для каждой
геодезической с (а, Ь) из этой последовательности существует ровно
одно а, при котором с (a, b)e^(S, са). Мы будем обозначать это
са через с (а, Ь). Далее, при достаточно малом е>0 значения
х@, 0) x(fe—1, 6—1) функции Е на элементах последова-
последовательности с@, 0), .... c(k— I, k — 1) возрастают. Чуть позже мы
убедимся в том, что эти значения даже строго возрастают. При-
Причина этого состоит в том, что элементы последовательности
циклов у@, 0), ..., v{k—l, k—l) получаются один из другого
с помощью вращений, а это делает их взаимно подчиненными
в некотором геометрическом смысле.
Рассмотрим с@, 1). Из того, что с@, l)e#(S.c@, 1)), и
свойства (Ь) вытекает, что гомотопический класс цикла Л/°ы@, 1)
имеет локальное представление «/@, 1) в виде цикла из
(Л*1о.1)-М(}с(О, 1), Л*(о- v-M) размерности dimw@, 1). Другими
словами, существуют такая точка 0@, 1) из D*~1x]0, 1[ и такая
ее открытая окрестность D@, 1), что
и,@, 1): (D@, 1), D@, 1) —0@, I))-*
_>(Л*«>.1>-мис(о, 1). А*»-»-М),
и,@, 1)@@, 1)) = с@, 1).
Поэтому E\duf@, 1)<х@, 1) и, следовательно, и@, 0)<и@, 1).
Аналогично показываем, что и@, 1)<и@, 2), и т. д., пока
не дойдем до хF—1, k— 1).
Теперь мы покажем, что возмущение g римановой метрики g
может быть выбрано так, чтобы с@, 1) = с@, 1). Тогда крат-
кратность т@, 1) геодезической с@, 1) = с @, 1) будет делить крат-
кратность т@, 0) геодезической с@, 0). Но т@, 0) делит в свою
очередь кратность т@, 0) геодезической с@, 0), так какс@, 0)е
еЖE.с@, 0)). Поэтому т@, 1) будет делить т@, 0).
Чтобы доказать существование метрики g с этим свойством,
рассмотрим в качестве типичного примера случай, когда
indc@, l) = k— 1. Последнее означает, что гомотопический класс
отображения м/@, 1) может быть представлен в следующем виде.
Во-первых, отождествим проходящий через 0 = 0@, 1) поддиск D~
коразмерности 1 диска Z) = D@, 1) с диском из отрицательного
инвариантного пространства Тёц. цАМ в точке с@, 1). Кроме
312 Гл. 5. Другие результаты
того, существуют такие два единичных вектора Х-г и Х+1 из
ядра Т2@, j)AM и такое в>0, что соответствующий с@, 1) относи-
относительный цикл, определяемый по uf@, 1), может быть записан
в виде
В частности, не существует семейства Xs, —1 sgs«^ 1, единичных
касательных векторов из ТС(о, 1)ЛМ, для которого Е (exp (tXs)) <
<#@, 1) при достаточно малых />0.
Положим Х_! -f- Я+1 = У и Х-! — Х+1 — Z. Вместе с Х-г и Х+1
векторы Y и Z являются периодическими полями Якоби вдоль
с@, 1), ортогональными к с@, 1). В то время как 1ф§, воз-
возможность того, что Y — 0, не исключена. Кроме того, (Y, Z)x = 0.
Теперь выбираем такое возмущение струи второго порядка рима-
новой метрики вдоль с@, 1), чтобы для новой метрики помимо
свойств (а), (Ь) и (с) выполнялись бы еще неравенства
D-E(c@, 1))(У, К)^0 и >0, если Yф0,
D2?(c@, l))(Z, Z)<0.
Это можно сделать при помощи методов § 3.3.
Применяя те же рассуждения, можно показать, что /п@, 2)
делит т@, 1), и т. д. до m(k— I, k— 1). Тем самым, так же
как и в невырожденном случае, можно заключить, что однократ-
однократные замкнутые геодезические, соответствующие последовательности
с@, 0), ..., c(k— I, k— 1), все различны. ?
Следующий пример, изученный Морсом [2], показывает, что,
вообще говоря, существует не более п(п-\-1)/2 замкнутых геоде-
геодезических, которые являются короткими в смысле 5.1.1.
5.1.2. Предложение. При любом х>2п2 все эллипсоиды
?(яо, ..., ап), определяемые в R"+1 уравнением
2>
(=0
где 0 < по <... < а„ и \ щ — 11 достаточно малы,, обладают сле-
следующим свойством. Единственными однократными замкнутыми
геодезическими на Е (а0, .... а„), на которых значения функции Е
меньше х, являются и(и+1)/2 главных эллипсов, которые полу-
получаются при пересечении эллипсоида с координатными плоскостями.
Доказательство. Совокупность и+1 функций (x,-(s)) тогда и
только тогда задает геодезическую на Е (а0, ..., ап), параметр
на которой равен длине дуги, когда (*;(s)) удовлетворяют еле-
5.1. Теорема о трех замкнутых геодезических 313
дующим уравнениям:
(i) 4 (s) + k (s) aUt (s) = 0, i = 0 и,
с некоторой функцией Я (s) и 2 х\ (s) х\ (s) = 1. В самом деле,
это означает просто, что кривая (xt (s)) на Е (Оо, ..., ап), пара-
параметризованная длиной дуги, является геодезической в том и
только в том случае, когда вторая производная направлена
перпендикулярно эллипсоиду. Можно указать явный вид функ-
функции %(s), а именно
к (s) = 2 аЫ (s) xl (s) I 2 el*i 00 xt (s).
Эллипсоид ? A, ..., 1) — это сфера со стандартной метрикой g0.
' В этом случае для каждой . геодезической (xi (s)) выполняется
следующее свойство. Пусть xk(s)^0. Тогда при некотором s,
скажем s = s0, xk(s) равно нулю, а все остальные нули xk(s)
находятся в точках s = so + qn, ?eZ.
Фиксируем >с>2п2 и выберем целое q* так, чтобы |/г2и <
<q*n + n/2. Из нашего предыдущего замечания вытекает суще-
существование такого в = вG )>0, что эллипсоид Е(ао ап),
у которого \щ— 1|<е, обладает следующим свойством. Для
произвольной геодезической (х,- (s)) рассмотрим такое k e= [0, п],
что Xk(s)^0: Тогда существует такое so, что xa(so) = 0 и первые
q* следующих за s0 нулей s1( ..., ;,» удовлетворяют неравенствам
so + qTc — n/2<Zs9<Zso + qn + я/2.
Выберем теперь а* так, чтобы |а* — 1 |<е и 0<а0<...<а„.
Пусть (х< (s)) — замкнутая геодезическая на Е (а0, ..., а„), для
которой ? «S х. Если х,- (s) = 0 при всех i, за исключением двух,
то геодезическая является кратным повторением одного из глав-
главных эллипсов. Следовательно, для того, чтобы доказать наше
предложение, достаточно получить противоречие, допустив, что
есть три значения i, скажем / = /, k, I, такие, что Xi(s)^=Q.
Будем считать, что /<fe</ и, следовательно, a]<Lak<iai.
Для каждого i положим \хг (s), x\ (s)) = Xt (s). Тогда Xt (s -}- со) =
— Xt(s), где (u^V2x — длина замкнутой геодезической. Таким
образом, X/(s) — замкнутая кривая в R2, которая при i e {], k, 1}
не сводится к одной точке.
Каждая из функций xj (s) и хь (s) имеет по крайней мере два
нуля. Если Xj (s0) = хк (sq) == 0, то, как вытекает из теоремы Штур-
Штурма, следующий нуль функции Xj(s) не будет нулем функции xk(s).
Поэтому имеется такое г0, что xt (r0) = 0 и^ (г0) ф 0. Положим
Uk(s) = (uk(s), u'k(s)),
314 Гл. 5. Другие результаты
где uk (s) — решение уравнения (i),-.*, определенное условием
Uk(r0) = ±Xj(г0), в котором знак выбран так, чтобы пара \Хк(го),
Uk (/"о)} составляла положительный репер в R2.
Проследим теперь за поведением репера {Xk(s), Uk(s)\ при
r0*Ss«Sг0 + о. У функции uk(s) на этом интервале имеется ^q*
нулей, больших г0. Сравним эти нули с нулями функции Xj (s).
Согласно теореме Штурма, нули функции uk (s) будут встречаться
раньше, так как а)<.а\. Кроме того, последующие нули разде-
разделены числами so-\-qn — n/2, q=l, 2, Следовательно, первая
компонента вектора Uk(S(,-\-a) в репере {Xft(s0), t/fc(s0)}. поло-
положительна.
Это означает, что линейное отображение Пуанкаре, соответ-
соответствующее периодическому решению уравнения (i)j_ft, имеет
нормальную форму вида
J
Под линейным отображением Пуанкаре мы подразумеваем ото-
отображение, которое каждому вектору Yk (s0) = (ук (s0), y'k (s0)) e R2
ставит в соответствие вектор Yk(s0 + ®)> где yk(s) является реше-
решением уравнения (i )«•_*.
Применяя соответствующие рассуждения к паре {Xft(s), Vk(s)}
линейно независимых решений уравнения (i),-*, где Vk(s) опре-
определяется из условия Vk(to) = ± Xi(t0), мы обнаружим, что,
поскольку dk<a], отображение Пуанкаре, соответствующее урав-
уравнению (i);-*, также типа ( + ), но уже с й<0 в "отличие от пре-
предыдущего случая, где а было >0.
Итак, мы получили противоречие. Это завершает доказатель-
доказательство предложения 5.1.2. ?
Замечание. Если не налагать никаких ограничений на длины
осей эллипсоида, то число относительно коротких однократных
замкнутых геодезических на эллипсоиде, даже не имеющих само-
самопересечений, может быть больше и(и-|-1)/2. См. Физель [2], где
разобран случай п = 2.
5.2. Некоторые многообразия эллиптического типа
Хорошо известно, что род поверхностей в сильной степени
определяет макроструктуру геодезического потока на них. Рас-
Рассматривая «величину» фундаментальной группы п-^М как грубое
обобщение рода на произвольные многообразия М, мы покажем,
что такое же утверждение можно сделать и в случае более высо-
высоких размерностей.
В этом параграфе мы рассмотрим многообразия эллиптического
типа, т. е. многообразия, фундаментальная группа которых
5.2. Некоторые многообразия эллиптического типа 31 5
конечна. Многообразия гиперболического и параболического типа
будут рассмотрены в § 5.3.
Мы начнем с симметрических пространств ранга 1. Они заме-
замечательны тем, что все геодезические на них замкнуты, а все
однократные геодезические имеют одну и ту же длину и не имеют
самопересечений. Описание всех многообразий, у которых все
геодезические замкнуты, — известная нерешенная проблема. Этому
предмету целиком посвящена недавно вышедшая книга Бессе [1].
По этой причине мы ограничимся тем, что приведем лишь не-
несколько относящихся сюда наиболее важных результатов.
Другим весьма интересным объектом изучения являются ри-
мановы многообразия с вполне интегрируемым геодезическим по-
потоком. Это классическая область исследований. Здесь мы приве-
приведем результаты Клеро, Лиувилля.Якоби, Штеккеля и Арнольда.
При выполнении некоторого общего условия, тесно связанного
с введенным в § 3.3 понятием закручивающего отображения,
периодические траектории вполне интегрируемого геодезического
потока плотны. Это условие выполняется, в частности, для эллип-
эллипсоидов, оси которых попарно различны.
С другой стороны, существуют примеры вполне интегрируемых
геодезических потоков, у которых «мало» периодических траекто-
траекторий, т. е. мера их замыкания мала. Мы приведем пример, вос-
восходящий к Дарбу. Наконец, отметим, что теорему 4.4.6 о сущест-
существовании замкнутых эллиптических геодезических можно рассмат-
рассматривать как результат о многообразиях эллиптического типа.
Прежде всего рассмотрим однородные римановы многообразия.
Ясно, что в этом случае при изучении структуры геодезического
потока оказываются полезными методы, развитые в теории пред-
представлений; см. Ауслендер и Грин [1] и Мур [1]. Еще более точ-
точная информация может быть получена в случае римановых
симметрических пространств; см. Маутнер [1J, Чейвл [1], Хел-
гасон [1]. Здесь же мы остановимся только на односвязных ком-
компактных симметрических пространствах ранга Г.
Такими пространствами являются
(i) сфера Sn = SO(n+])/SO(n),
(ii) комплексное проективное пространство Pfcn=U(n-{ l)/U(n)x
)
(
(iii) кватернионное проективное пространство РНЯ =
= Sp(n+l)/Sp(n)xS(l) и
(iv) проективная плоскость Кэли P(Da2 = FjSpin (9).
Для этих пространств имеет место следующий результат,
полученный Картаном [1].
5.2.1. Теорема. На односвязном компактном симметрическом
пространстве ранга один все геодезические замкнуты, а однократ-
однократные замкнутые геодезические имеют одинаковую длину.
316 Гл. 5. Другие результаты
Более точно, предположим,, что метрика на таком простран-
пространстве М нормирована так, что верхняя грань кривизны по всём
двумерным направлениям равна 1. Тогда длина всех однократных
замкнутых геодезических равна 2л.
Если М — сфера, то все геодезические с началом в точке ре М
снова пересекаются, пройдя расстояние п.
Если М — одно из проективных пространств P(D", РИп или
P(Da2, действительная размерность которых соответственно есть
In, An или 16, то проективные прямые, размерности которых
соответственно 2, 4 и 8, являются изометрически вложенными
сферами постоянной кривизны, равной 1. Следовательно, каждая
однократная замкнутая геодезическая лежит в виде большого
круга на своей сфере S2, Si или S8, и среди геодезических, прохо-
проходящих через точку ре М, снова пересекаются через расстояние л
в точности те из них, которые лежат на общей для них такой
сфере, содержащей точку р.
Доказательство. См. Хелгасон [1]. ?
Может возникнуть вопрос: верно ли, что все пространства,
на которых все геодезические замкнуты, исчерпываются симмет-
симметрическими пространствами ранга 1. Это не так, однако, как было
показано Боттом [2], ответ становится утвердительным, если
интересоваться только когомологиями с целочисленными коэффи-
коэффициентами. Напомним, что кольцом когомологий с целочислен-
целочисленными коэффициентами симметрического пространства М ранга 1
является срезанное кольцо полиномов Tdjl(x) = Tl[x]/(xh), в кото-
котором степень х равна d. При1 этом для сфер d может быть любым,
a ft = 2; для проективных пространств d — 2, 4, a ft ^3 —любое
или d = 8, a h = 3.
5.2.2. Теорема. Пусть М — компактное риманово многообразие
размерности п +1, и пусть существуют точка ре М и число
со>0, такие, что исходящая из точки р в любом направлении
геодезическая замкнута, имеет длину w и не имеет самопересе-
самопересечений.
Утверждение. Пусть к—-индекс одного из геодезических сегмен-
сегментов длины со с началом в точке р. Если X = 0, то щМ = Ъг и
универсальная накрывающая М многообразия М имеет гомотопи-
гомотопический тип сферы размерности и+1. Если k^l, то ПхМ = 0
и М имеет то же кольцо целочисленных когомологий, что и од-
носвязное неприводимое компактное симметрическое пространство
ранга 1.
В частности, индекс X одинаков для всех геодезических сегмен-
сегментов длины со с началом в точке р.
Замечание. Этот результат принадлежит Ботту [2], за исклю-
исключением нескольких фактов из алгебраической топологии (см.
6.2: Некоторые многообразия эллиптического типа 317
Милнор [2])*°. Если Я = п или X— 1, то М имеет гомотопический
тип сферы S"+1 или комплексного проективного пространства РСт.
2 +1
Доказательство. Пусть с (/), 0 <; ? <; а, [ с | = 1, — геодезический
сегмент длины а>0. Согласно теореме Морса об индексе (см.
Морс [2] и Милнор [1]), индекс сегмента с, рассматриваемого как
критическая точка в пространстве Q (р, q), состоящем из Я'-кри-
вых, соединяющих точку р = с@) с точкой q = c(d), задается
формулой
2
0<t<a
где через V^(t) обозначено вертикальное пространство над t,
а через D%V" @) — результат действия геодезического потока на
вертикальное пространство У"@) над 0; см. § 3.1 и Клинген-
берг [12], где можно найти такую интерпретацию теоремы Морса.
Так как для любой замкнутой геодезической c{t), Osg/s^o),
с началом в точке р отображение Пуанкаре тождественно, то
D^Vv @) = Vv @). Поэтому если гфы и \t — a> | достаточно мало,
то
Пусть с — некоторая замкнутая геодезическая длины w и с @) =
= р. Тогда на с существует такая точка q = c(s), e>0, что
каждая геодезическая, соединяющая р с q, идет вдоль кривой с
и точка q не сопряжена с р. Точнее, такая геодезическая имеет
вид
c(t), Q^ts^s + k®, или с(— t), O
где fe :ss 0 — некоторое целое.
Для доказательства этого утверждения предположим обратное:
пусть существует такая последовательность чисел 8; > 0, что
lime, = 0 и р может быть соединена с точкой Pi-=c(ei) геодези-
геодезическим сегментом с,:, который не лежит на замкнутой геодези-
геодезической с. Так как каждый сегмент является частью некоторой
замкнутой геодезической, то мы можем предположить, что
L(Ci)<w. С другой стороны, так как экспоненциальное отобра-
отображение локально инъективно, то существует такое 8>0, что
б < L (Cj) < ю — 6. Но тогда любой из предельных элементов по-
*> В односвязном случае Ботт доказал, что И* (М, Z) = Tli<h (x), и отметил,
что из имевшихся в то время результатов о когомологических операциях сле-
следуют сильные ограничения на d и h (это пояснено подробнее в примечаниях
к русскому переводу его статьи). Но' эти ограничения еще не исключали воз
можности, что d=2«, fe>3, и Л = 3. Ее исключил Милнор.
318 Гл. 5. Другие результаты
следовательности {сг} является геодезической, которая соединяет/?
ери длина которой лежит в интервале [б, со —б], что невоз-
невозможно. Наконец, так как сопряженные точки изолированы на с,
точку <7 = с(в) можно выбрать так, чтобы она не была сопря-
сопряжена с р.
Если ягМ > 0, то в Q (р, р) существует геодезический сег-
сегмент с индекса 0. Этот сегмент должен быть замкнутой геодези-
геодезической длины о. Ясно, что с должен быть гомотопен своему
обратному и любому другому геодезическому сегменту, представ-
представляющему нетривиальный элемент из niM. Поэтому пгМ = Ъг.
Пусть М — односвязное накрывающее пространство М; тогда
существует такая точка р& М, что в любом направлении из нее
выходит замкнутая геодезическая длины 2са, индекс которой ра-
равен п, Последнее утверждение непосредственно следует из того
факта, что при t = со имеет место соотношение
Если на такой замкнутой геодезической с выбрать, как и выше,
точку Яфр, то все геодезические сегменты, лежащие в прост-
пространстве путей Q, = Q(p, q), будут иметь индекс kn, k = 0, I,
2 —это следует из описания этих сегментов и формулы для
индекса. Поэтому, так как пг+1Л1 = щй, то п,Л1 = 0 при 0<i<
< п +1, т. е. М имеет гомотопический тип сферы S"+1.
Пусть теперь лхМ = 0. В этом случае мы можем предполо-
предположить, что наша замкнутая геодезическая с, длина которой равна ы
и которая проходит через точку р, имеет индекс А,>0. В самом
деле, в противном случае в пространстве путей Q = Q (p, q) было
бы два геодезических сегмента индекса 0 и, кроме того, геодези-
геодезические сегменты индекса 5= п. При п > 1 это невозможно, так
как две геодезические индекса 0 должны быть гомотопны «посред-
«посредством» геодезической индекса 1. Если п = 1, т. е. М — поверх-
поверхность типа двумерной сферы S2, то в множестве раздела для
точки р должны быть сопряженные точки, т. е. через точку р
должна проходить замкнутая геодезическая длины ы индекса
>0; см. Пуанкаре [1] и Майерс [1].
Пусть Q = Q (p, q), где q = с (г) и с — замкнутая геодезическая
индекса Я>0. Учитывая специальный вид геодезических сегмен-
сегментов из Q, с помощью формулы для индекса получаем, что Q
имеет структуру CW-комплекса с одной 0-мерной клеткой, одной
Х-мерной клеткой, одной (я + Я)-мерной клеткой и с клетками
размерности ^я + 2Х.
Теперь для окончания доказательства теоремы надо восполь-
воспользоваться стандартными методами алгебраической топологии.
Рассмотрим пространство Е = Е(р, М), состоящее из таких не-
5.2. Некоторые многообразия эллиптического типа 319
прерывных кривых g(t), Otsgisgl, на М, что g@) = p. Прост-
Пространство Е стягиваемо, и отображение Е в М, определяемое
соответствием g>—*-g(\), является расслоением со слоем Q. Как
мы только что видели, до размерности Х + п^п+1 — д\тМ
слой Q гомотопически эквивалентен сфере S\ Поэтому, приме-
применяя к этому расслоению последовательность Гизина, получим
Н'(М; Z) = 0 при t^=
Н'(М; Z) = Z при t = /e(A,+ l), k = 0, ..., т>\,
где m(l+\) = n+l. D
Можно усилить предположения теоремы, потребовав, чтобы
для каждой точки реМ все проходящие через нее геодезические
были замкнуты и имели одинаковую длину. Однако сейчас мало
известно, какие новые следствия влечет за собой это добавочное
предположение. Отметим здесь только следующий результат
Вейнстейна [4]. См. также Бессе [1].
5.2.3. Теорема. Предположим, что все траектории геодези-
геодезического потока на единичном касательном расслоении компактного
риманова многообразия М периодические с периодом 2я. Тогда
объем многообразия М является целым кратным объема сферы Sn
постоянной кривизны 1, где n = dimM. ?
Важно отметить, однако, что существуют примеры римановых
многообразий, у которых все геодезические замкнуты и имеют
одинаковую длину, но которые не изометричны ни одному из
симметрических пространств ранга 1. Первые примеры таких
поверхностей были построены Цоллем [1], который усовершенст-
усовершенствовал- одну идею Дарбу [1].
5.2.4. Лемма. На дифференцируемой двумерной сфере S2
существует такое однопараметрическое семейство gt, QtCt^s,
аналитических метрик, что g0 — стандартная метрика постоян-
постоянной кривизны 1 и при каждом />0 поверхность (S2, gt) не изо-
метрична (S2, g0), но вместе с тем (S2, gt) является поверхностью
вращения, на которой все геодезические замкнуты. Далее, одно-
однократные замкнутые геодезические на этой поверхности не имеют
самопересечений, и длина их равна 2л. При достаточно больших t
поверхность E2, gt) содержит области, в которых кривизна отри-
отрицательна.
Доказательство. См. Цолль [1], а также Берже [1] и
Бессе |1]. ?
На сфере со стандартной Метрикой (S2, g0) первым сопряжен-
сопряженным множеством точки р, конечно, является антиподальная
точка р'. Следуя Бляшке [1], поверхность М типа сферы мы бу-
будем называть поверхностью возвращения, если для каждой точки
320 Гл. 5. Другие результаты
реМ первым сопряженным множеством является точка р' Фр.
Обозначим через w: М^-М отображение, к торое каждой точке
ставит в соответствие ее первое сопряженное множество.
В течение долгого времени оставался открытым вопрос: яв-
является ли сфера единственной поверхностью возвращения. Исто-
Историю этого вопроса можно проследить по различным изданиям книги
Бляшке [1]. Функ [I] сумел доказать, что не существует нетри-
нетривиального аналитического однопараметрическоГо семейства поверх-
поверхностей возвращения, содержащего сферу постоянной кривизны,
и только в 1963 г. Грин доказал следующую теорему.
5.2.«>. Теорема. Поверхность возвращения изометрична сфере
постоянной кривизны.
Доказательство этой теоремы можно найти у Грина [3],
Берже [1] и Бессе [1]. Здесь же мы покажем только, что на
поверхности возвращения М все геодезические замкнуты, а одно-
однократные геодезические имеют одинаковую длину и не имеют
самопересечений.
Начнем с замечания о том, что множество раздела С(р) точки
р е М совпадает с р', т. е. все однократные замкнутые геодези-
геодезические не имеют самопересечений. Здесь множество раздела С(р)
состоит из тех точек на геодезических лучах, исходящих из
точки р, в которых эти лучи перестают быть минимизирующими
кривыми; подробности см. в книге Громола, Клингенберга, Мей-
ера [1]. Для доказательства равенства С(р) = р' мы воспользу-
воспользуемся утверждением, которое было доказано Майерсом [1]: Для
любой метрики на Sa ближайшая к р сопряженная точка при-
принадлежит С(р).
Пусть с —такая геодезическая, что |с| = 1, с@) = р, и числа to
и tt являются минимальными числами, для которых выполнены
следующие условия: c(to) — w(p), с(^) = р и 0<<0<*1- Из из-
известных свойств сопряженных точек (теорема Штурма) следует,
что при достаточно малых положительных е будет w - с (г) =
= c(to + Ko(e)) и с(е) = да2 = е(е) = с(^4- е1(е)), где в0, ех>0 до-
достаточно малы. Так как это верно при всех малых в^О, то
c(t1 + t) = c(t), т. е. с замкнута и ее длина равна ^.
Рассмотрим точку psiH и такую геодезическую с0 с началом
в точке р, что | с01 = 1- Пусть с0 (t0) — ®> (р) — первая сопряженная
точка на с0. Так как поверхность является поверхностью возвра-
возвращения, то у всех геодезических ее с|=1, которые исходят из
точки реМ в направлении, достаточно близком к с0@), первая
сопряженная точка встречается при одном и том же t = to(p).
По непрерывности заключаем, что у всех геодезических с с \с\ =
= 1, начинающихся в фиксированной точке р^М, первая сопря-
сопряженная точка находится на постоянном расстоянии t0 (p). Тогда
6.9. Некоторые многообразия эллиптического типа 321
2fo (р) — длина однократной замкнутой геодезической, проходящей
через р. Так как каждая точка q^M лежит на одной из геоде-
геодезических, проходящих через точку р, то 2/0(<7) = 2^0(р). т. е. все
однократные геодезические на М имеют одинаковую длину.
Это все, что мы хотели доказать из 5.2.5. ?
Аналог понятия поверхности возвращения в высших размер-
размерностях рассматривался разными авторами. Лучший общий резуль-
результат, который является ослабленным вариантом отмеченного выше
результата Функа, получен Мишелем [1].
5.2.6. Теорема. Пусть Eft, gt), О «s; t <; 1, — деформация стан-
стандартной метрики g0 на сфере, принадлежащая классу С°°. Пред-
Предположим, что эта деформация gt ортогональна орбите стан-
стандартной метрики при действии группы диффеоморфизмов. Если
(Sk, gt) при всех t обладает тем свойством, что все геодезические
о началом в точке р снова встречаются на расстоянии л в точке р',
то все производные деформации gt no t при t = 0 равны нулю. ?
Мишель [1] получил аналогичные результаты для деформации
стандартной метрики на других неприводимых симметрических
пространствах ранга 1. См. также Бессе [1].
Замечание. Совсем недавно Берже удалось показать, что много-
многообразие четной размерности, являющееся аналогом поверхности
возвращения, изометрично стандартной сфере.
Помимо однородных и, в частности, симметрических римано-
вых многообразий есть другой класс многообразий, для которых
геодезический поток может быть описан весьма подробно, а именно
многообразия с вполне интегрируемым геодезическим потоком *>.
Для того чтобы определить это понятие, рассмотрим гамиль-
тонову систему общего вида (N, а, Я); см. §3.1. Если F: N -»-R —
дифференцируемая функция, то можно определить векторное
поле iF, полагая
^d77
Функция F называется интегралом системы (N, а, Н), если она
постоянна вдоль траекторий векторного поля ?#, т. е. если
Говорят, что два интеграла F и F' находятся в инволюции,
если 2а (t,F, 5/") = 0.
Гамильтонова система (N, a, H), dimN = 2n, называется
вполне интегрируемой, если помимо Fx = H на N существуют еще
•• Между прочим, в последнее время исследовалась интегрируемость гео-
геодезических потоков, отвечающих односторонне инвариантным метрикам на
группах Ли и однородных пространствах. (Такую трактовку д-пускают и не-
некоторые классические случаи интегрируемости задач аналитической механики.)
11 В. Клиигенберг
322 Гл. 5. Другие результаты
л—1 таких функций F2, ..., Fn, что для всех q, принадлежащих
некоторому открытому плотному подмножеству в N, соответст-
соответствующие векторные поля ?f. (q) порождают в TqN лагранжево
подпространство, т. е. Flt ..., Fn являются интегралами в инво-
инволюции и dF-y л ... Л dFn Ф О на открытом плотном подмножестве
из N. См. Абрахам, Марсден [1], Арнольд, Авец [1], Арнольд [4]
и Такенс [1].
Следующая теорема Арнольда (см. Арнольд, Авец [1] и
Арнольд [4]) является фундаментальной в теории вполне инте-
интегрируемых гамильтоновых систем (N, а, Я).
5.2.7. Теорема. Пусть FX = H, F2,..., Fn — функционально
независимые интегралы в инволюции вполне интегрируемой
гамильтоновой системы (N, a, Н), 2n = d\mN. Рассмотрим
дифференцируемое отображение
Ф: N-+R», р_*(/?,(р) Fn(p)).
По предположению <р регулярно на открытом плотном подмно-
подмножестве N' с N. Если при каждом с, принадлежащем образу <р| W,
связные компоненты п-мерного многообразия (<р| W)'1^) компактны,
то каждая компонента является вложенным п-мерным тором Т".
Кроме того, при достаточно малом б = б(с)>0 существует
такой симплектический диффеоморфизм
произведения шара радиуса Ь в R" и п-мерного тора Tn = (S1)n
на открытую окрестность 11 тора Тпс, что <p<>ij?| {/}хГл посто-
постоянно при каждом I e В%.
Симплектические координаты (/, cp)e?gxTn, где <p = (cpi, ...
...» фп) периодично с периодом 2я, называются переменными
действие — угол. В этих координатах гамильтонов поток на U
задается уравнениями
/ @ = /0 = const; ф (t) = ф0 +1® (/о),
рде компоненты о> (/„) = — dH°ty(I, <p)/dl |/=/0 — так называемые
периоды потока на торе /=/0.
Доказательство можно найти в работах: Арнольд, Авец [1],
Арнольд [4] и Цендер [1].D
Мы видим, что гамильтонов поток, ограниченный на тор,
линеен; он называется еще квазипериодическим. Естественно раз-
различать три случая.
(i) Периоды (т. е. набор чисел о> (/0) s R") свободны над
рациональными числами. В этом случае поток эргодичен.
5.2. Некоторые многообразия эллиптического типа 323
(и) Существуют ровно г, 1 sgr^n— 1, независимых однород-
однородных линейных уравнений с рациональными коэффициентами,
которым удовлетворяет <о (/0) е IR". В этом случае n-мерный тор
допускает такую факторизацию Т"=Тп-гхТг, что поток эргоди-
чен на каждом Т"-г х {ar} a Tn~r х Тг.
(iii) со(/0)еоHA5л- В этом случае все траектории периодические.
Важная информация о замкнутых геодезических содержится
в следующей теореме.
5.2.8. Теорема. Предположим, что геодезический поток
Ф*: ТМ-+ТМ вполне интегрируем. Если определяемое периодом
отображение, которое локально задается соответствием /-»-о)(/),
I ^В$, со(/)еК", невырожденно, т. е. гессиан C2#(/, ф)/д/,д/у)
невырожден на некотором открытом плотном множестве, то
периодические траектории плотны в ТМ.
Доказательство. Нам всего лишь надо заметить, что множе-
множества cooCEJ"» где соо е R, плотны в |R". D
Наиболее известным примером, в котором это явление встре-
встречается, служит эллипсоид.
5.2.9. Предложение. Геодезический поток на п-мерном эллип-
эллипсоиде с попарно различными главными осями вполне интегрируем,
а соответствующее отображение Пуанкаре невырожденно. В част-
частности, периодические траектории геодезического потока плотны.
Доказательство. Полное доказательство невырожденности
отображения Пуанкаре есть у Шюта [1]. То, что геодезический
поток на эллипсоиде вполне интегрируем в двумерном случае,
было известно еще Якоби [1], [2]. Для n-мерного случая это
было доказано Розохатиусом [1]. Этот факт также содержится
у Штеккеля [1]; см. также Тимм [1]. D
При доказательстве полной интегрируемости геодезического
потока на касательном расслоении эллипсоида используются так
называемые эллиптические координаты, которые были введены
Якоби [1] *\ В этих координатах линейный элемент имеет особенно
простой вид. В самом деле, этот линейный элемент является
частным случаем линейного элемента Штеккеля (см. Штеккель[ 1])* *'
*> О них говорится во многих курсах аналитической механики, например
у Леви-Чивита и Амальди [1].
**' Во многих курсах аналитической механики (см., например, Леви-
Чивита и Амальди [1]) доказывается интегрируемость так называемых систем
Штеккеля, частным случаем которых являются так называемые системы Лиу-
вилля. Если потенциальная энергия системы тождественно равна нулю, то
движение происходит по геодезическим линиям соответствующих римановых
метрик. (Продолжение на следующей странице.)
11»
324 Гл. 5. Другие результаты
в котором коэффициенты gu(u) имеют следующий вид:
ga (и) - (-1)г+1 det (hu (u))/codet (hn (и)),
где функции hij(u) являются элементами регулярной пХп-матрицы
(hij(u)), а элементы hy(u) из t-й строки являются функциями
только и'. Конечно, hit(u) должны быть такими, чтобы коэффи-
коэффициенты gu (и) были положительны. См. также Пранге [1], Бляшке
[2] и Тимм [1].
В случае п — dimJW = 2 линейный элемент Штеккеля становится
линейным элементом Лиувилля:
ds* = (U-V) (Щ du*+VI do2).
Здесь U, U-L и V, Vi являются функциями соответственно только
от и или от v; см. Дарбу [1], Бляшке [1], [3] и Физель [1].
5.2.10. Предложение. Геодезический поток над областью
о линейным элементом Лиувилля вполне интегрируем. Действи-
Действительно, рассмотрим на множестве ненулевых касательных векто-
векторов X функцию
F(X) = (U- V) (VU\ (du Xf + UV\ (dv Xf)l2H (X) =
= Ucos4(X)+Vsin4(X),
где 8 (X) — угол между X и линией параметра v. Тогда F посто-
постоянна на c(t), где с(t) — нетривиальная геодезическая, и dH AdF^O.
Доказательство. Выберем константу А так, чтобы было V <
< А <. U, по крайней мере локально. Определим новые коорди-
координаты («', vf), полагая
du' = Ut Уи-А du±Vt V A-V dv;
dv' = Ux du/VU-A =p У x dv/V A-V.
В этих координатах
ds* - (du'Y + {U - A) (A - У) {dv1)*,
т. e. (ul, v') — геодезически параллельные координаты и линия
о' «я const — геодезическая.
Координаты duX, dvX касательного вектора X к такой
геодезической равны (здесь Н (X) ** В*/2 > 0):
du X = В VU^A~/(U -V)Ul; duX = ±B V~A~=V/(U - V)VX.
Поэтому
cos« 9 (X) = (A - V)/(U - V); sin* 8 (X) - (U - A)/(U - V).
Формально алгебраическая проверка того факта, что в эллиптических
координатах геодезический поток на /г-мерном эллипсоиде является системой
Штеккеля (но не Лиувилля, если п > 2), не составляет особого труда (хотя
об этом надолго забыли). Представляют интерес более геометрические иссле-
исследования (см. добавление в конце списка литературы).
5.2. Некоторые многообразия эллиптического типа 325
Следовательно, F(X)=*A, Н (Х) = В1/2, т. е. F постоянно на
касательных векторах к геодезической v' = const. Это завершает
доказательство 5.2.10. ?
Замечание. Мы видели, что если поверхность обладает линей-
линейным элементом Лиувилля, то у нее есть второй интеграл F
(помимо Н), который является квадратичным по координатам
duX, duX вектора X. Аналогичный результат для линейных
элементов Штеккеля приводится ниже.
5.2.11. Предложение. Геодезический поток над областью
с линейным элементом Штеккеля вполне интегрируем. Сущест-
Существует п интегралов в инволюции F2 = H, F2, ..., Fn вида
i
таких, что dFxA... Л dFn=?Q при ХфО. При этом (/())
является обращением регулярной матрицы (п(/(и)), определяющей
линейный элемент Штеккеля.
Доказательство. См. Штеккель [1], Тимм [1]. D
Замечание. Существование п интегралов в инволюции F,- вида
5.2.11 выделяет линейный элемент Штеккеля среди диагональных
линейных элементов; см. Штеккель [1] и Тимм [1]. Для случая
п = 2, т. е. для линейного элемента Лиувилля, это было дока-
доказано Масье [Massieu. These. — Paris, 1861J; см. также Дарбу [1].
Мы отметим еще одну характеризацию линейного элемента
Штеккеля, полученную Цвирнером и Бляшке.
5.2.12. Предложение. Линейный элемент Штеккеля (и, в част-
частности, линейный элемент Лиувилля) характеризуется тем свой-
свойством, что в каждом достаточно малом п-мерном координатном
кубе все геодезические диагонали имеют одинаковую длину.
Доказательство. См. Бляшке [2], Тимм [1], а при л = 2 —
также Бляшке [3]. D
Гамильтонова система общего вида (N, а, Н) не обладает
помимо Н дополнительными интегралами. Однако есть важный
класс систем, которые допускают групповое действие, сохраняю-
сохраняющее структуру (N, а, Н). У таких систем имеются дополнитель-
дополнительные интегралы *>. Подробности об этих так называемых законах
*' Имеется в виду теорема Нётер, излагаемая во многих курсах аналити-
аналитической механики и вариационного исчисления, например у Арнольда [4].
В порядке уточнения следует заметить, что в ней рассматривается гамильто-
гамильтонова система специального вида, а именно получающаяся из некоторой лаг-
ранжевой системы, причем как раз последняя и должна быть инвариантна
относительно действия группы (другое дело, что тогда естественно опреде-
определяется и групповое действие в фазовом пространстве гамильтоновой системы).
326 Гл. S. Другие результаты
сохранения можно найти у Абрахама и Марсдена [1] и у Та-
кенса [1].
Здесь мы рассмотрим только изометрическое действие S на
компактном римановом многообразии и при этом определим те
орбиты этого действия, которые являются замкнутыми геодези-
геодезическими.
5.2.13. Теорема. Пусть нам дано изометрическое действие
окружности на М
р: SXM-+M,
и пусть
= (d/ds)p(s, p),_o
— соответствующее порождающее векторное поле на М. Тогда
функция
F: TM-+R, Х^(Х, R(xX)),
постоянна вдоль траекторий геодезического потока, т. е. F яв-
является интегралом. Кроме того, если
ф: a|_r, p^
имеет критическое значение в точке р0 и R (р0) ф 0, то S-орбита,
проходящая через точку р0, является замкнутой геодезической.
5.2.14. Следствие. Пусть dim.M = 2 и dF ФО на открытом
плотном подмножестве из ТМ. Тогда геодезический поток на ТМ
вполне интегрируем.
Замечание. Наиболее важными примерами поверхностей, удов-
удовлетворяющих условиям 5.2.14, являются поверхности вращения.
Можно показать, что, наоборот, поверхность, на которой геоде-
геодезический поток обладает вторым интегралом, линейным по X,
локально изометрична поверхности вращения (Масье; см. Дар-
бу [1]).
Для поверхностей вращения утверждение о существовании
интеграла F известно как теорема Клеро. Величина F (Х)/\ X |
называется также угловым моментом (моментом импульса).
Доказательство. Пусть с (t) — геодезическая. Тогда F(c(t))
может быть записана в виде
Беря производную по t и учитывая, что p(s, c(t)) при постояц-
5.2. Некоторые многообразия эллиптического типа 327
ном s — геодезическая, получим
dt os
так как \Tp(s, c(t)) | = const. Следовательно, F(c(/)) = const.
Теперь предположим, что DQ)(po) — Q. Пусть p(t), Q^tz^e,—
произвольная кривая на JH с началом в точке р@) = ро и
dp@)/dt = X. Положим р (s, po) = c(s). Тогда из D<t>(po) = O
следует, что
/-0
?-~o(s. n(t))\
t-0
Здесь мы воспользовались тем, что (с' (s), Tp(s, X)) = <rp(s, c'@)),
Тр (s, X)) не зависит от s.
Поэтому так как Tp(s, X) может быть любым вектором, то
Vc'(s)/ds = 0. Это завершает доказательство 5.2.13. Следствие
5.2.14 немедленно вытекает отсюда. ?
Мы закончим этот параграф примером поверхности вращения,
у которой отображение Пуанкаре вырожденно. Это означает,
что для такой поверхности периоды одинаковы на всех двумер-
двумерных инвариантных торах (в отличие от ситуации в 5.2.8).
Следовательно, либо геодезический поток является эргодическим
на каждом двумерном торе, либо он периодический. Согласно
5.2.14, S-орбита максимальной длины будет замкнутой геодези-
геодезической. Для нее тор вырождается в саму эту орбиту.
Введем отношение
п (М) = vol (Per 7VW)/vol G\M).
Здесь через Per ТгМ обозначено множество тех единичных каса-
касательных векторов X, для которых траектории ср/Х периодичны;
vol (Per TrM) обозначает меру замыкания множества Per 7\Л4
в Т^М.
Следующий пример, помимо всего прочего, иллюстрирует
неустойчивость поведения числа я (М). На сфере и на всех
эллипсоидах п(М)=1.
5.2.15. Предложение. В любой Сй-окрестности стандартной
сферы S2 существуют выпуклые поверхности вращения, для кото-
которых отношение п(М) становится произвольно малым.
328 Гл. 5. Другие результаты
Доказательство (см. Клингенберг [8]). Наш пример основы-
основывается на конструкции Дарбу [1]. Похожее рассуждение есть
у Вейнстейна [2].
Искомые поверхности строятся следующим образом. Пусть
а — действительное число, удовлетворяющее условию 0 < а ag; 1.
Тогда
/ и \
/«(«> v) ="(а cos «cos v, a cos «sin у, § У" I — a2sin2/dn,
\ о /
где | и | < я/2, представляет неполную поверхность вращения
постоянной кривизны, равной 1. Выберем малое б>0. Обозна-
Обозначим через S2(a, б) поверхность, покрываемую при отображении
(и, уI—*MU> v) с |"|^л/2 —б и произвольным v. Заклеив
S*(a, б) двумя выпуклыми «шапочками», получим выпуклую
поверхность вращения, обозначаемую в дальнейшем через М(а, б).
Мы будем интересоваться действием геодезического потока
только на тех X е ТхМ (а, б), для которых соответствующая
геодезическая с(*) = тсрД остается в S2(a, б) при всех t. Из
теоремы Клеро E.2.14) мы знаем, что это все равно, что рас-
рассматривать только те X^T1S2(a, б), для которых
Множество элементов X е 7\УИ (а, б), обладающих этим свойст-
свойством, обозначим через T'^ia, б) или просто через Т[.
Для того чтобы получить описание геодезического потока
на Т[, мы сначала изучим геодезический поток на области
71JS*A, 6) единичного касательного расслоения 7\S2 стандартной
сферы S2. Траектории потока в этой области проектируются
в геодезические вида
с (t) - cos (t -10) Ej. + sin (t - *„) Ax,
где J?i — A, 0, 0), fia = @, cos a, sin a) и 0<
Если фиксировать a>0, то множество касательных векто-
векторов c(t) к соответствующим геодезическим будет представлять
собой двумерный тор Га, инвариантный относительно геодезиче-
геодезического потока. При а = 0 получим вырожденный тор, образован-
образованный касательными к экватору векторами. Т& характеризуется
тем, что F(X) = cosa.
Для того чтобы получить отображение Пуанкаре, мы опишем
орбиты на Та посредством их начальных значений {с@), с@)}.
Воспользовавшись комплексными обозначениями, получим
с @ + ic @ - е[« - '•> (Ех - iBa) - е!' (с @) + ic @)).
5.2. Некоторые многообразия эллиптического типа 329
Заметим, что S2(a, 6) изометрична части {0^у<2ла} поверх-
поверхности S2(l, б). Таким образом, отображение Пуанкаре, соответ-
соответствующее периодической траектории, лежащей над экватором
Л! A, б), задается соответствием
Другими словами, &" совпадает со своей линейной частью Р =
(см. § 3.3) и экватор является эллиптической замкнутой геоде-
геодезической.
Отсюда следует, что траектории геодезического потока, лежа-
лежащие на инвариантном подмножестве T[S2(a, б), являются перио-
периодическими в том и только том случае, когда а рационально.
Если а иррационально, то периодическими будут только траек-
траектории, проектирующиеся в экватор. А так как мера множества
T[S2 (а, б) сколь угодно мало отличается от меры 7\УИ (а, б), то
отсюда следует 5.2.16. ?
Замечание. Такое поведение геодезического потока около
эллиптической траектории, как мы только что описали, конечно,
является исключительным. С помощью произвольно малого шеве-
шевеления метрики отображение Пуанкаре может быть сделано закру-
закручивающим, см. 3.3.8. В этом случае эллиптическая траектория
не будет изолированной, более того, замыкание множества перио-
периодических траекторий будет иметь положительную меру в любой
окрестности этой траектории.
Это является следствием теоремы Колмогорова — Арноль-
Арнольда — Мозера об инвариантных торах и теоремы Биркгофа —
Льюиса о неподвижной точке C.3.3). Полное доказательство
есть у Цендера [1]. Для случая dim М=2 мы уже отметили этот
факт в 3.3.4.
В рассматриваемой ситуации геодезический поток на инва-
инвариантных торах, существующих согласно теореме Колмогорова —
Арнольда —Мозера, эргодичен. Однако, как показывает теорема
Биркгофа — Льюиса, эти торы являются пределами периодических
траекторий., Подобные примеры доставляют эллипсоиды с попарно
различными осями и все достаточно близкие к ним римановы
метрики.
Очень может быть, что для геодезического потока над много-
многообразием эллиптического типа такое поведение является типич-
типичным (всюду в пространстве метрик). Для того чтобы продвинуться
в доказательстве утверждения такого типа, надо прежде всего
найти много эллиптических замкнутых геодезических. Теорема
4.4.6 является первым шагом в этом направлении; правдоподобно,
что будут получены и другие результаты такого рода.
330 Гл. 5. Другие результаты
5.3. Геодезические на многообразиях гиперболического
и параболического типа
До сих пор мы рассматривали в основном односвязные мно-
многообразия или многообразия с конечной фундаментальной груп-
группой. В этом параграфе мы изложим некоторые результаты о мно-
многообразиях, универсальное накрывающее пространство которых
гомеоморфно евклидову пространству).
Давно известно, что свойства геодезического потока, соответ-
соответствующего замкнутой поверхности, в сильной степени зависят
от знака кривизны К; см., например, Хедлунд [2]. Основная
причина этого кроется в том, что при К = 0 фундаментальная
группа либо является бесконечной абелевой, либо в некотором
смысле близка к таковой, а при К < 0 она имеет экспоненциаль-
экспоненциальный рост (это понятие можно найти у Милнора [3], [4]).
Среди многообразий, фундаментальная группа которых имеет
экспоненциальный рост, мы сосредоточим внимание на тех, кото-
которые будем называть многообразиями гиперболического типа. Это
многообразия, допускающие такую риманову метрику, что гео-
геодезический поток, индуцированный на единичном касательном
расслоении, является потоком Аносова. Основными примерами
многообразий гиперболического типа (может быть, ими исчерпы-
исчерпываются все такие многообразия) являются многообразия, до-
допускающие риманову метрику строго отрицательной кривизны *\
Наш главный результат состоит в том, что если на многообра-
многообразии гиперболического типа задана некоторая метрика, то в еди-
единичном касательном расслоении существует довольно большое
инвариантное замкнутое подмножество, на котором геодезический
поток обладает многими свойствами, присущими тем геодезическим
потокам, которые являются потоками Аносова (см. 5.3.6).
Мы будем говорить, что компактное многообразие является
многообразием параболического типа, если его фундаментальная
группа абелева, или, более общо, если у него есть конечное
накрытие с абелевой фундаментальной группой. Из различных
результатов, касающихся многообразий параболического типа, мы
приведем только один принадлежащий Буземану [1] результат
о существовании многих замкнутых геодезических в предположе-
предположении, что риманова метрика на таком многообразии не имеет
сопряженных точек (см. 5.3.7).
*' Иногда (в том числе в некоторых работах самого Клингенберга) только
такие многообразия н называются многообразиями гиперболического типа,
а в том более общем случае, о котором говорилось выше, многообразие назы-
называют многообразием (типа) Аносова. (Этот термин кое-где используется и
в этой книге. Терминология, как видно, здесь еще не вполне установилась.)
6.8. Геодезические на многообразиях 331
Напомним, что, согласно § 3.2, касательное расслоение
Тг,м: TTiM-t-TxM единичного касательного расслоения римано-
вого многообразия М содержит некоторое выделенное подрас-
слоение со слоями коразмерности 1. Если dim М = п -\-1, то это
расслоение мы будем обозначать через
Слой (т2л)-1 (Хо) = Т2х0 над Xq e ТгМ состоит из тех векторов,
которые ортогональны геодезической пульверизации.
Ограничение горизонтального подрасслоения расслоения
хтм: ТТМ -*¦ ТМ на хгп будем обозначать через х\: Tnh = TnhTxM ->
-*- ТгМ. Аналогично посредством ограничения получаем верти-
вертикальное подрасслоение т": Tl^TiT^M-^TxM. расслоения х2".
Таким образом, каждый элемент Y е Т2?, допускает разложе-
разложение Y = (Yh, У,)е Гх,аФТх0о, где Yh и Yv, рассматриваемые
как элементы из Тхх,М, удовлетворяют условию <УА, Хо) =
= <?„ Хо> = 0.
Траекторию срД0 геодезического потока, которая при ^ = 0
проходит через точку Хо е ^М, мы будем обозначать также
через Xt. Пусть с (t). — т ° Х^ — соответствующая геодезическая
на Л4. Тогда Xt = c{t).
Из 3.1.6 и 3.1.7 мы знаем, что если f e Г?,, то векторное
поле D%Y имеет вид Y {f) = (Г @, W(t)) еГ?©ГХ/„, где Г (<) —
поле Якоби, т. е.
V«K (<) + /? (У @, c(t), c(t)) = O и <У@, c@> = <VK@,c(/)> = 0.
Это показывает, в частности, что поток Гер,: ТТхМ-+ТТхМ,
индуцированный геодезическим потоком (ft: TiM-*-TtM, остав-
оставляет подрасслоение т2л инвариантным.
Следуя работе Клингенберга [12], назовем геодезический
поток <pt на TiM потоком Аносова, если х2п допускает такое раз-
разложение та" = т?|©т2 на два Гф,-инвариантных подрасслоения
т": Ts-.^T^M-^T^; %l\ Тпи:=ТпиТхМ-*Т№,
называемых устойчивым и неустойчивым расслоениями, что раз-
размерность слоя в каждом из них равна п и Tq>t \ T" действует как
сжатие, a Tyt \ Тпи действует как растяжение, т. е. существуют
такие положительные числа а 5= 1 и k, что при всех действитель-
действительных tx^t2 и всех У, е 7t, Yu^Tl выполняются следующие
332Гл. 8.
соотношения •':
| D<?t,?s |« < а»
I DytXu Iя 3* <Н1 Dcp, Д |2 е2* «• - Ч
Замечание. Если геодезический поток на 7\М является пото-
потоком Аносова, то все замкнутые геодезические на М гиперболи-
гиперболические, т. е. линейная часть отображения Пуанкаре, соответ-
соответствующего периодической траектории геодезического потока,
не имеет собственных значений, равных по модулю 1. Многообра-
Многообразия, геодезический поток которых является потоком Аносова,
являются единственными известными примерами многообразий
с этим свойством.
Эберлейн [2] приводит различные характеристики многообра-
многообразий, геодезический поток на которых является потоком Аносова.
Наиболее важные примеры многообразий, обладающих этим свой-
свойством, даются следующей леммой.
5.3.1. Лемма. Предположим, что кривизна по всем двумерным
направлениям на компактном римановом многообразии строго
отрицательна. Тогда геодезический поток является потоком
Аносова.
Точнее, допустим, что существуют такие числа fei^fe2>0,
что при всех Хо е 7\М и при всех Y е ТМ, при которых xY =»
= хХ0 и (Y, Хо> = 0, имеет место неравенство
-А!|У|"^<У, R(Y, Xo, X0)X-*S|VT.
Тогда в соотношениях (t) константы могут быть выбраны рав-
равными & —(&2 —е) и a — ki/(kt — R), где е>-0 сколь угодно мало.
Поэтому мы можем даже положить & = &г и a=*ki/k2.
Доказательство (ср. Аносов [1], Аносов, Синай [1]). Напом-
Напомним, что, согласно 3.1.3, на каждом слое Т2х0 расслоения
Т2п. т9'г-*-Т1М имеется симплектическая структура, определяемая
формулой
2а (У, Y')~(Yh, Y'v)-(Y'h, ?„>.
Пусть V* а Т2х0 — лагранжево подпространство, т. е. изотропное
подпространство размерности п. Если V не пересекается с Тха0,
то легко доказать, что существует единственная симметрическая
*' В общем определении потока Аносова (не обязательно геодезического)
не требуется, чтобы размерности устойчивого и неустойчивого расслоений
были равны. Но если геодезический поток является потоком Аносова, то это
так (что видно хотя бы из симплектичности линейных отображений Пуанкаре
для их периодических траекторий, а таковые существуют; см. ниже). Другое
специфическое для геодезических потоков обстоятельство, которое автор с са-
самого начала использует в определении, состоит в том, что в этом случае можно
говорить о подрасслоении та" и что оно инвариантно относительно Гф/,
5.3. Геодезические на многообразиях 333
(п х я)-матрица S, такая, что V может быть представлено в виде
берутся все Y, для которых (У, Х0) = 0}.
Обратно, такое V является лагранжевым.
Рассмотрим траекторию Xe = (f>tX0, Xoe7VW, геодезического
потока. Пусть с (t) = т • Xt — соответствующая геодезическая, т. е.
c(t) = Xt. Для произвольного teR обозначим через St какую-
нибудь положительно определенную симметрическую (пхл)-мат-
рицу*\ спектр которой лежит в [&2 — е, kt]. Пусть К? —соот-
—соответствующее лагранжево подпространство в Тх • Тогда V"(t): =
= D(ft-xVi — лагранжево подпространство в Т2?(. Если Vx{t) не
пересекает вертикальное пространство Тх/0 (кроме как в нуле),
то это подпространство определяет симметрическую матрицу,
которую мы обозначим через Sx(t).
Так как для любого инвариантного векторного поля У (t) =
= (У (О, VF (t)) ?= V" (t) имеет место равенство VY (t) = St (t) Y (t)
и Y(t) — поле Якоби, то Sx(t) удовлетворяет уравнению Риккати
(*) VSt(i) + Sx(t)Sx(t) + R(-,6(t), с(t)) = 0.
Утверждение (i). При всех t^x спектр Sx(t) лежит e[kz — e, kx].
В частности, при всех t^x лагранжево подпространство Vx(t)
не пересекается с Tnxtv
Для того чтобы доказать это утверждение., рассмотрим функции
а@«= max (Sx(t)Y, Y), P@»= min (Sx(f)Y, Y).
|V|i ivii
Из (*) мы заключаем, что имеют место неравенства
или, точнее говоря, что справедливы соответствующие разност-
разностные соотношения. Как бы то ни было, отсюда следует, что если
a (to) *^klt то a (/) sg &, при всех t^t0, и что если р (/0) ^ k* — e,
то Р (t) ^ &а — е при всех ? ^ ^0-
Утверждение (ii). Пусть т'^т, ы пг/б'ть Sx> (t) и Sx(t) — реше-
решения уравнения (#), которые определены соответственно nput^x'
и при t^x и которые задаются начальными значениями Sr и Sx,
*' Точнее, отображение подпространства {Y; (Y, Хх)=0} с ТС1Х,М в себя;
стандартные отождествления позволяют рассматривать его как отображение
334 Гл. б. Другие результаты
спектр которых лежит в [й2 —е, ?J. Тогда при всех
(**) |St(O-S,.(/)K|St-Sr(T)|e-* «*.-•)«*-«.
Для доказательства этого утверждения положим Sx(t) — Sx>(t)=
= R (t). Тогда из (#) имеем
Решение R(t) имеет вид
R(t) = Q(t)(Sx-Sr(t))Q'(t),
где Q(t) и Q' (t) суть (пхп)-матрицы, определяемые соотношениями
Используя свойство спектра матрицы St(t), получим
~1Q (t) ? = -2 <St (О Q @. Q @> < -2 (А. - в) | Q @ |а.
Следовательно, |Q(^) |=^е-<*>-е)('-т). Аналогичное рассуждение
применимо и к Q' {t).
Как следствие утверждения (и) мы получаем, что предел
lim Sx(t) существует и равен симметрической матрице Sa(t),
Т->- —оо
спектр которой лежит в [k2 — e, kt\ и которая определена при
всех ieR. Кроме того, пространства
П @ := {(У, Su (О У) е ^/
берутся все У, для которых (Y, Х0> = 0}
являются лагранжевыми подпространствами, переходящими друг
в друга под действием D%. Другими словами, инвариантное
относительно потока векторное поле Y (t) = (Y (t), VV (t)) e T" (t)
удовлетворяет уравнению VV (t) — Su (t) Y (t).
Так как спектр Stt(t) лежит в [^2 — е, k^\, то для такого Y(f)
получаем
^ , Sa(t)Y(t))^2(k2-B)\Y(t)\',
k\\Y (t)\*^\VY (t)\*^(kt-e)*\Y (t)\\
Следовательно,
\Y(tt) \г^
т. e. T@ является слоем над Х< неустойчивого расслоения т«.
5.3. Геодезические на многообразиях 335
Аналогично строятся слои T"(t) расслоения т". Это завершает
доказательство леммы 5.3.1. D
Для последующего применения рассмотрим в единичном каса-
касательном расслоении ТгМ, dimM — n-\-\, периодическую траекто-
траекторию срДо с периодом to *>. Пусть со(/) = т°фДо — соответствующая
замкнутая геодезическая длины <о. Пусть c — co{t), O^t^ma,
есть m-кратное повторение геодезической с0. Рассмотрим иммерсию
окружности длины то. Мы назовем геодезическую с ориентируе-
ориентируемой, если ориентируемо нормальное расслоение пс: N"-*-Sma
этой иммерсии. Другими словами, отображение
I,: (ТС(О)М, с@))->(Гс(о)М,
получаемое с помощью параллельного переноса вдоль геодезиче-
геодезической, имеет определитель, равный +1.
Рассмотрим индуцированное расслоение (с)*т2л
«)
S
Для краткости будем его обозначать так:
т2": V2n->Smtt(.
Расслоение т2л допускает разложение т"' = т?фт?) где
т": Vh-*-Sm<u, т": K"->Smtt(.
Поток Tq>t на TinTiM индуцирует поток на тотальном простран-
пространстве Vin расслоения т2л; его мы будем также обозначать через Т%.
Через D% мы будем обозначать ограничение Т% на слой рас-
расслоения **'.
Пусть с — гиперболическая геодезическая. Это означает, что
слой V2" @) расслоения т2л над точкой 0 е Smw допускает раз-
разложение
на такие n-мерные подпространства, инвариантные относительно
Рт = Dq>ma> — (Dq>a)m, что собственные значения отображения
Рт | VI @) по модулю меньше 1, а собственные значения отобра-
отображения Рт | Vu @) по модулю больше 1.
•' Уже не предполагая, что геодезический поток является потоком Аносова.
**> Когда рассматривается некоторый фиксированный слой.
336 Гл. 5. Другие результаты
Теперь мы можем определить устойчивое и неустойчивое рас-
расслоения над Smta
т?: Vs-*-Sm(u, тЦ; Vu-*-Snw>,
беря в качестве слоя над точкой t e Smw соответственно D%V" @)
и Dq>tVu@)- Из 3.2.13 мы знаем, что
2
0<<<me>
5.3.2. Лемма. /7i/cm6 c = (c(t), 0sg*<ma>), |o| = l,— гипербо-
гиперболическая замкнутая геодезическая.
Утверждение. Индекс геодезической с четный в том и только
в том случае, когда нормальное расслоение Пс'. N" -*• Sme) и устой-
устойчивое расслоение х": V" -*¦ S™», отвечающие геодезической с и соот-
соответствующей траектории (c(t), O^t^ma) в ТгМ, одновременно
ориентируемы или одновременно неориентируемы.
Доказательство (ср. Клингенберг [12]). Изменив, если надо,
начальную точку, мы можем считать, что V" @) |~| V* @) = 0.
Последнее равносильно тому, что линейное отображение Тх | V" @):
V"@)-*-Nc@) (=слой из Л^" над OeSJ является биекцией.
Положим dim (V" (t) fl VI (t)) = d(t). Выберем ориентацию на
V" @). Тогда биекция Тх | V" @) определяет ориентацию на N" @).
С помощью отображений D% мы перенесем эти ориентации на
все V"@> 0ag*<mcu, а с помощью параллельного перенесения —
на все Nc{t), 0</<mco.
Пусть rf0>0 — первое значение, при котором ^(^о)^0. Тогда
при достаточно малых е>0 отображение Tx\V"(to + s): У?(/0 + е)->
-*-Nc(to + e) является биекцией, которая сохраняет или меняет
ориентацию в зависимости от того, четно или нечетно d(t0). Так
как ind с = ^ d (t), то при достаточно малых е > 0 отображение
Тх | V" (ты — е): V" (та — e)-*-N" (mco — е) сохраняет ориентацию
в том и только том случае, когда индекс геодезической с четный. ?
Пусть c(t), t eR, — геодезическая и |с| = 1. Напомним, что с
имеет сопряженную точку, если существует такое нетривиальное
поле Якоби Y (t) вдоль c(t) и такое /0>0, что Y @) = Y (t0) = 0.
Точка с (t0) называется сопряженной с точкой с @) вдоль с | [0, t0];
ср. Громол, Клингенберг, Мейер [1].
5.3. Геодезические на многообразиях 337
Можно дать другое определение сопряженной точки в терминах
траектории %Х0, Хо = с@), в ТхМ. Как и выше, иммерсия
11-* фДо, t e R, фД0 е 7\М,
индуцирует расслоения т*л! V*"->-|R, х\: Vh-*-R, т?: V"->-R,
т2л = т?® т". Тогда наличие сопряженной точки при t =
означает, что
Мы напомним еще одно определение сопряженных точек,
восходящее к Морсу [2] (доказательство есть, например, в книге:
Громол, Клингенберг, Мейер [1]).
5.3.3. Лемма. Пусть c = c(t), /eIR, | с | = 1, — геодезическая на
римановом многообразии.
(i) Предположим, что существуют со>0 и ^-векторное
поле % вдоль с | [0, со], удовлетворяющие условию g @) = g (со) = 0 и
такие, что \ не есть поле Цкоби, \ не равно тождественно нулю и
Н.A, 5):=]«VI(/), Vt(t))-(R(l(t), с@, c(t)), 1(/)»Л<0.
о
Тогда у с есть сопряженная точка при некотором t0, O<.to<.a>-
(ii) Обратно, если с имеет сопряженную точку при некотором
to>O, то для любого со>/о найдется векторное поле ?, обладаю-
обладающее всеми перечисленными в (i) свойствами. П
Сейчас мы докажем основной результат о многообразиях
Аносова (см. Клингенберг [10]).
5.3.4. Теорема. Пусть геодезический поток q>t: 7\М-> 7\М
является потоком Аносова.
Утверждения, (i) На М не существует гомотопных нулю замк-
замкнутых геодезических; все замкнутые геодезические гиперболические,
и их индекс равен нулю.
(ii) На М нет сопряженных точек *'; следовательно, универ-
универсальная накрывающая М многообразия М диффеоморфна любому
касательному пространству посредством экспоненциального
отображения.
(ш) При каждом Хое7\Л4 устойчивый слой над Хо и верти-
вертикальный слой над Хо пересекаются только по нулевому вектору;
то же верно и для неустойчивого слоя.
(iv) Пусть k > 0 — коэффициент в экспоненте в условии Аносова.
Тогда существуют константы to>O, k'~>0, k~>k', для которых
*' В то же время фокальные точки могут быть (Гулливер [1]).
338 Гл. 5. Другие результаты
выполняется следующее. Пусть Y (t) — поле Якоби вдоль геодезиче-
геодезической с = (с(О), |с| = 1, (c(t), K@> = 0, Г@) = 0. Тогда при всех
\Y(t)\^\W(O)\sh(k't).
(v) Пусть А' —связная компонента многообразия AM, не
содержащая одноточечных кривых. Тогда лежащее в Л' критическое
множество состоит из одной критической орбиты S.c', для
которой Е(с') = inl E\A'.
(vi) Множество Per ТгМ, состоящее из тех Хо s 7\М, для
которых орбита %Х0 периодическая, плотно в ТХМ.
(vii) Геодезический поток транзитивен в следующем смысле.
Существует такое подмножество Trans TXM, мера которого равна
мере ТгМ, что при Хо е TransТХМ траектория %Ха, t^O
(или фДо. t^O) плотна в ТХМ.
(viii) Фундаментальная группа пгМ многообразия М имеет
экспоненциальный рост; любая нетривиальная абелева подгруппа
группы щМ является бесконечной циклической.
Замечание. Утверждения (vi) и (vii) являются одними из
основных результатов Аносова [1] для сохраняющих меру пото-
потоков, удовлетворяющих так называемому условию Аносова. Мы
не будем здесь повторять доказательства этих результатов,
а займемся доказательством утверждений (i) — (v), в котором
существенно используются результаты Аносова (vi) и (vii).
Доказательство (см. Клингенберг [12]). Утверждение (i) экви-
эквивалентно отсутствию замкнутых геодезических на универсальной
накрывающей М многообразия М. Для доказательства этого
утверждения заметим, что универсальная накрывающая устойчи-
устойчивого расслоения т": Т^ТхМ-^Т^М ориентируема. Поэтому если
с —замкнутая геодезическая на М, то ее устойчивое расслоение
и ее нормальное расслоение являются ориентируемыми одновре-
одновременно. Следовательно, согласно 5.3.2, индекс с четный.
Пусть теперь с0 — замкнутая геодезическая на М. Как мы
только что видели, индекс с0 четный. Если, кроме того, среди
таких геодезических у с0 минимальный индекс и функция Е
принимает на с0 минимальное значение, то из доказательства
теоремы Фета D.1.8) видно, что тогда на М существует такая
замкнутая геодезическая сг, что ind сг = ind с0 +1, т. е. индекс
Ci нечетный — противоречие.
Для доказательства (ii) рассмотрим множество Conj ТгМ,
состоящее из тех XoeTiM, для которых геодезическая с(?) =
= т»фДо имеет сопряженную точку. Ясно, что Conj 7\M открыто.
6.3. Геодезические иа многообразиях 339
Кроме того, из 5.3.3 следует, что при t^O
ср_, Conj ТгМ с= Conj TXM.
Пусть теперь <р<: ТХМ -*¦ ТгМ — поток Аносова и Conj TtM
непусто. Из (vii) следует, что Conj 7\М открыто и плотно. Поэтому
из (vi) вытекает существование такой периодической траектории
%Х0 с минимальным периодом <о, что соответствующая геодези-
геодезическая c(t) = T°<ptX0, f eR, имеет сопряженную точку, скажем
при t = to>O.
Мы утверждаем, что индекс с>0, где через с обозначена
однократная замкнутая геодезическая c(t), O^t^a. Так как с
гиперболическая и, следовательно, ind cm = m ind с, то положи-
положительность индекса с эквивалентна тому, что ind с > 0 при
некотором m^ 1.
Выберем теперь пг столь большим, чтобы /исо > ^о- Тогда
из 5.3.3 следует, что существует нетривиальное периодическое
векторное поле \{t), O^rfagmo), вдоль c{t), O^t^ma, удовле-
удовлетворяющее условию D2E (cm) (g, ?) ^ 0. Так как | не принадлежит
ядру формы D'lE (cm), то это доказывает наше утверждение.
Обозначим через Л' связную компоненту многообразия AM,
содержащую негомотопную нулю замкнутую геодезическую с
положительного индекса. Согласно 2.1.3, в Л' существует также
такая замкнутая геодезическая с', что ?(c') = inf E\A' := х'>0
и indc' = 0.
Мы утверждаем, что индекс с' и индекс с имеют одинаковую
четность, и, следовательно, indc = 2^>0. Для того чтобы в этом
убедиться, заметим, что нормальные расслоения геодезических с
и с' одновременно ориентируемы или одновременно неориенти-
руемы. То же верно и для устойчивых расслоений этих геодези-
геодезических, так как эти расслоения могут рассматриваться как полу-
получающиеся при факторизации расслоения т": Т^Т^М-^-Т^М по
одному и тому же элементу фундаментальной группы и после-
последующего ограничения этого факторрасслоения на гомотопные
кривые сие' (точнее, последующего индуцирования расслоения
над S посредством гомотопных отображений с и с').
Рассмотрим теперь в Л' замкнутую геодезическую с с мини-
минимальным положительным индексом, скажем 2k. Пусть, кроме того,
на с функция Е принимает минимальное значение среди таких
геодезических. При помощи отрицательного диска или, лучше,
неустойчивого многообразия геодезической с получим ненулевой
сферический цикл
и: (S2k, *)->(Л\ с')-
Композиция этого цикла с обычной проекцией AM ¦-*¦ М дает
нетривиальный цикл
v:
340 Гл. 5. Другие результаты
Но тогда, согласно 2.1.8, получаем гомотопную нулю замкнутую
геодезическую на М, что противоречит (i). Это доказывает (ii),
за исключением последнего утверждения, которое является обыч-"
ным обобщением теоремы Адамара — Картана; см. Громол, Клин-
генберг, Мейер [1], Милнор [1] *\
Для доказательства (iii) предположим обратное; пусть суще-
существует такая геодезическая c(t), |с| = 1, на М, что при Xi~c(l)
имеет место соотношение
Другими словами, существует нетривиальное инвариантное поле
Y(t)^Vs(t), у которого Y(\) = 0. Выберем со^>1 и определим
Я'-векторное поле ? вдоль с\ [0, <о] с помощью следующих условий:
6@ = 0 при 0<*«ssl; l(t)=Y(t) при 1</^со-1;
I @ = (со -1) Y («в - 1) при со - 1 < / ^ со
А (подразумевается, что F (со — 1) параллельно переносится вдоль
с). * Тогда для | Яш (I, I) | из 5.3.3 получим оценку вида
1#ш A> I) I <1 Ь | Y (со) |2, где Ь>0 не зависит от геодезической о
и от выбора со. Определим векторное поле г|(/) вдоль c(t)
посредством условий т]@) ==0, tj(/) = 0 при 2 ^ t^со и #«,(?, г\) = 1.
После этого для векторного поля ?(/) := i]{t) — Яш(т), r\)l(t)
находим, что
Я.(С, Е)-Яв(т|, т1)(-1+Я„(т,, т))Нф(Ъ, I)),
Если Яа,(т1, т|) все еще >0, то Ha(l, S)=^0 (конечно, при доста-
достаточно большом со), и, согласно 5.3.3, у с будет сопряженная
точка, что противоречит (ii). Этим завершается доказательство (iii).
Для доказательства (iv) мы сначала покажем, что рассматри-
рассматриваемое поле Якоби Y (t) удовлетворяет соотношению
(t) ivnoKklKWl,
где kx такое, что — k\ является нижней границей кривизны
по двумерным направлениям в М. Для того чтобы в этом убе-
убедиться, заметим, что вертикальное пространство К"@) над 0 е R
лагранжево, и, следовательно, то же верно для всех D%V" @).
*' В работе Аносова [2] приведен набросок другого доказательства
отсутствия сопряженных точек, пригодного и для финслеровых метрик (даже
необратимых). Заодно доказывается и (iii). Поэтому я не пытался восполнить
пробелы в рассуждениях Клингенберга (и даже не стал отмечать их).
в.8. Геодезические на многообразиях 341
Кроме того, из (И) мы знаем, что D%V" @) Л Vl (t) = 0 при
всех *>0. Поэтому так же, как в доказательстве 5.3.1, при />0
существует симметрическая (пхп)-матрица (точнее, оператор) S(t),
удовлетворяющая уравнению Риккати. Уравнение в свою очередь
позволяет нам получить для спектра S(t) верхнюю оценку вида ^kv
Рассмотрим теперь Y(t) = (Y(t), VV (/)). В разложении Y(t) =
= Ys (t) + Ya(t) e V' (t) + VI (t), согласно (Hi), будет Yu @) Ф 0.
Поэтому, воспользовавшись (t) и неравенствами для устойчивых
и неустойчивых полей, получим
a@) |e"-1 Ys@) |e-*1)^ | Y @) | sh (k't),
причем последнее неравенство выполняется только для достаточно
больших t. Таким образом, (iv) тоже доказано.
(v) является теперь простым следствием (i). Действительно,
если есть две различные критические орбиты S. с[ и S . с? в связ-
связной компоненте Л' многообразия AM, а Л°М<?А', то в Л'
должна существовать гомотопия, соединяющая с[ с с?. В данном
случае это просто кривая в Л', идущая из с[ в с'г. Такие кривые
образуют ф-семейство, повисающее на критической точке, являю-
являющейся замкнутой геодезической индекса 1 (ср. с § 4.1), что
невозможно.
Доказательство (viii) есть у Клингенберга [12]. (vl) и (vft)
доказаны у Аносова [1].
Итак, доказательство теоремы 5.3.4 закончено. Ш
Будем говорить, что компактное дифференцируемое многообра-
многообразие М является многообразием гиперболического типа, если на М
существует такая риманова метрика g*, что соответствующий
геодезический поток в единичном касательном расслоении является
потоком Аносова.
В статье Клингенберга [10] понятие «гиперболический» опре-
определено с помощью другого, быть может более сильного, условия:
существует метрика g*, такая, что кривизна (М, g*), где (М, g*)
обозначает многообразие М, снабженное римановой метрикой g*,
строго отрицательна. Наша следующая цель состоит в том, чтобы
исследовать геодезический поток и, в частности, периодические
траектории на римановом многообразии в случае, когда соответ-
соответствующее дифференцируемое многообразие имеет гиперболи-
гиперболический тип. ;
Легко показать, что для ориентируемых поверхностей «гипер-
«гиперболический тип» эквивалентен «роду >1». Этот случай изучен
Морсом [1]. Дальнейшие ссылки можно найти у Клингенберга [10].
342 Гл. 5. Другие результаты
5.3.5. Лемма. Пусть g* и g — две метрики на компактном
дифференцируемом многообразии и геодезический поток на Тг(М, g*)
является потоком Аносова. Пусть, далее, (М, g*) и (M,g) — puMa-
новы универсальные накрывающие многообразий (М, g*) и (М, g)
соответственно.
Утверждение. Существует константа р>0, обладающая сле-
следующим свойством. Пусть р и q — две любые точки на М и с*
и с —кратчайшие геодезические, соединяющие р с q, соответст-
соответственно в (М, g*) и в (М, g). Тогда каждая точка, лежащая на
геодезической с, находится от с* на g-расстоянии =s?p.
Замечание. (М, g*) не имеет сопряженных точек. Поэтому
существует ровно одна геодезическая с*, соединяющая р и q.
Под ^-расстоянием и ^-геодезической на М мы подразумеваем
расстояние и геодезическую на (М, g). Аналогично мы исполь-
используем понятие ?*-расстояния и т. д.
Доказательство (ср. Клингенберг [12] и Эшенбург [1]). Так
как М компактно, то существуют такие положительные числа Ь,
а, Ь^\ sgа, что при всех X е ТМ имеет место соотношение
(t) b*g*(X, X)^g(X, X)^a*g*(X, X).
Отсюда следует, что на универсальном накрывающем М много-
многообразия М длины кривых, измеренные в g-метрике и в g*-мет-
g*-метрике, равномерно сравнимы.
Из 5.3.4 (iv) мы заключаем, что существует константа сто>О,
для которой имеет место следующее свойство. Пусть pqr — тре-
угольник в (М, g*), у которого сторона qr находится на расстоя-
расстоянии 2го0/2 от р. Обозначим через М' поверхность постоянной
отрицательной кривизны —k'2, где k' такое же, как и в 5.4.3 (iv).
На М' существует единственный с точностью до конгруэнтности
треугольник p'q'r', стороны которого имеют ту же самую длину,
что и у g*-треугольника pqr. Мы утверждаем, что /_ qpr в точке
р меньше или равен /_ q'p'r' в точке р'.
Этот результат называется теоремой сравнения для больших
треугольников. Доказательство получается, как обычно, с помощью
интегрирования соотношения 5.3.4 (iv); похожая техника исполь-
используется в книге: Громол, Клингенберг, Мейер [1].
Другим полезным для нас инструментом является следующее
утверждение.
Утверждение. Существует константа а^а0, обладающая сле-
следующим свойством. Пусть c*=c*(t), <eR, I i* | = 1, — полная
геодезическая на (М, g*). Пусть Ci = cx{t), О«Stsg 1, — геодези-
геодезический сегмент на (М, g), соединяющий p — Ci@) с ^ = ^A),
5.3. Геодезические на многообразиях 343
такой, что при всех t е [0, 1] §*-расстояние d*(ci(t), c*)^o и
d* (p, c*) = d*(q, c*) = a. Пусть, кроме того, g-длина сегмента сх
равна d(p, q). Тогда ?*-проекции р* и q* точек р и q на с*
находятся на ?*-расстоянии d*(p*, q*)<o0.
Предположим на время, что это утверждение уже доказано.
Тогда р:—6аа, где а такое же, как и в (t). является констан-
константой с требуемыми в лемме свойствами. Чтобы в этом убедиться,
допустим, что имеется такая точка гес, что d(r, c*)>p и,
следовательно, d* (r, с*)>р/а = 6о, см. (f). На геодезической с
существует сегмент сг = сг (t), 0 ^ / ^ 1, удовлетворяющий усло-
условиям утверждения и такой, что r = c1(t0), 0<^0< 1, т. е. точка г
лежит внутри этого сегмента. Тогда проекции р* и q* точек
р = с1(О) и q = Cx(\) на с* находятся на g-расстоянии <о0 друг
от друга. Поэтому g*-длина кривой, идущей из р в р*, затем
в q* и затем в q, меньше Зо, и, следовательно, ее g-длина <р/2.
Но тогда геодезический сегмент съ содержащий точку r = Ci(t0),
находящуюся на g-расстоянии > р от с, не является кривой
с минимальной g-длиной, соединяющей р с q.
Осталось доказать утверждение. Для этого мы приведем
к противоречию предположение о том, что существует произвольно
большое oSsa0, для которого d*(p*, q*)^a0, где о0 то же, что
и выше.
Прежде всего разобьем сегмент p*q* с помощью некоторых
точек с* = р*, с*, ..., cf — q* на сегменты равной ?*-длины, кото-
кото2 Нй
р q р ?
рая ^о0 и <20О. Найдем далее такое подразделение 10 =
= 0</х<...</,-= 1 отрезка [0, 1], что g*-проекция точки {г)
* * Oi
на с* дает точку с*,
При каждом i>0 сравним ^*-угол в точке cf большого тре-
треугольника c*_iC*Ci(/,_i) с соответствующим углом соответствующего
треугольника на гиперболической плоскости М'. Последний угол
<Уо<я/2, где Yo —угол при основании в равнобедренном тре-
треугольнике на М', длина основания которого 2а0, а боковые
стороны уходят в бесконечность. Следовательно, ?*-угол в точке с*
?*-треугольника сх (^_i) cfo (ti) отделен от нуля.
Так как точки из Ci|[f,--i, ti] находятся на ^-расстоянии
^гО^Оо от с*, то из 5.3.4 (iv) получаем нижнюю оценку для
?*-длины сегмента Ci|[/,-_b tt] вида ao&h(koa), где положительные
константы а0 и k0 не зависят от о и i.
Воспользовавшись (t), мы тем самым получим нижнюю оценку
для g-длины сегмента сх вида и (а) = raQ sh (koa)/b. Так как сг —
кратчайшая ^-кривая, соединяющая р с q, то верхней оценкой
для g-длины сегмента сг является g-длина кривой pp*q*q, т. е.
верхнюю оценку можно взять в виде v (o)~2a(o + ro0). Но при
больших о справедливо неравенство v (a) < и (о). Это завершает
доказательство леммы 5.3.5. Q
344 Гл. 5. Другие результаты
Для того чтобы сформулировать основные следствия леммы
5.3.5, рассмотрим универсальное риманово накрывающее (М, g)
компактного риманова многообразия (М, g). Через у: (М, #)->•
->(М, g) обозначим накрывающее отображение, т. е. факториза-
факторизацию по действию группы скольжений T^niM. Мы будем исполь-
использовать 7 также для обозначения индуцированного отображения
Т\{М, g) на Ti(M, g). Будем говорить, что геодезическая с,
|с|=1, на (М, g) минимизирующая, если для любых двух ее
точек длина соединяющего их сегмента геодезической с равна
g-расстоянию между этими точками *'.
Пусть с*, |с* | = 1,—минимизирующая геодезическая на
(М, g*), которая остается инвариантной под действием некото-
некоторого элемента т=^= id из Г, т. е. тс* (t) = с* (t + со) с некоторым
©>0 **>. Это эквивалентно тому, что спроектированная на (М, g*)
геодезическая с* = ус* — периодическая, т. е. с* (t + со) = с* (t).
А, ч.
Если теперь с, |с| = 1, — минимизирующая геодезическая на (М, g),
находящаяся на ограниченном расстоянии от с*, то мы ее назо-
назовем почти инвариантной, так как все образы хкс, k =¦= ± 1, ±2,...,
геодезической с также находятся на ограниченном расстоянии
от с. Проекцию с = ус геодезической с на (М, g) будем называть
геодезической, почти периодической по отношению к элементу т.
Через Per 7\ (M, g) обозначим множество касательных векторов
к почти периодическим геодезическим на (М, g), параметризован-
параметризованным длиной дуги.
5.3.6. Теорема. Пусть М — компактное многообразие гипербо-
гиперболического типа и g — произвольная риманова метрика на М.
Пусть g* — такая риманова метрика на М, что геодезический
поток на Тг(М, g*) является потоком Аносова.
Утверждение, (i) Пусть с*, \с* |= 1, — полная геодезическая
на (М, g*) (которая, в частности, является также минимизи-
минимизирующей геодезической). Тогда существует полная минимизирующая
геодезическая с, |с| = 1, на (М, g), находящаяся на ограниченном
расстоянии от с*. Если с* инвариантна относительно действия
некоторого элемента х Ф id из Г, то существует замкнутое мно-
множество С, состоящее из минимизирующих геодезических с, почти
инвариантных относительно т; т с = с.
•' Морс говорил о «геодезических класса (А)», Буземан — о прямых (линиях);
Клингенберг в [21] принял термин line.
**' Геодезическую, которая под действием некоторого движения т прост-
пространства М сдвигается по себе, часто называют осью (этого движения).
5.3. Геодезические иа многообразиях 345
(И) Пусть с*, \с* | = 1, — такая полная геодезическая на (М, g*),
что множество {с* (t), t e R} касательных векторов плотно
в Ti(M, g*), т. е. траектория <р,с* @) плотна в Тг(М, g*).
Тогда среди минимизирующих геодезических на (M,g), находящихся
на ограниченном расстоянии от с*, существует такая, скажем
с, | о | = 1, которая обладает следующими свойствами. Положим
ус=с, обозначим через ТЬс(М, g) замыкание множества {c(t), /s|R},
и пусть
Per Т1( с (М, g) := 7\. е (M, g) fl Per 7\ (M, g).
Тогда:
(a) Множество Thc(M, g) ^-инвариантно.
(b) Ограничение потока щ I 7Y с Ш, g) топологически транзи-
тивно. Точнее, траектория <р*с(О) плотна в 7\ с (М, g).
(c) Per7liC(M, g) плотно в Т^,С{М, g).
(d) Для каждого те Г, %ф\&, существует такая почти
периодическая по отношению к % геодезическая с', что с' е
^ТЬС(М, g).
Замечания. 1) Мы видим, что геодезический поток (ft | Ть с (М, g)
имеет много общих свойств с геодезическим потоком на Tt(M, g*),
который является потоком Аносова. Основное различие состоит
в том, что, вообще говоря, TlyC(M, g) будет только собственным
подмножеством Тг(М, g).
Что касается свойства (d), то заметим, что каждому нетри-
нетривиальному классу сопряженных элементов Г отвечает связная
компонента Л'(М, g) многообразия Л(Л1, g), не содержащая
одноточечных кривых. Из 2.1.3 мы знаем, что в Л'(М, g) су-
существует такая замкнутая геодезическая с', что Е (с') =
= inf?|A'(Al, g). Поднятие с' геодезической с' в (М, g) будет
находиться на ограниченном расстоянии от полной геодезиче-
геодезической с* многообразия (М, g*), которая инвариантна относительно
элемента т из рассматриваемого класса. Такая с' также будет
инвариантной относительно т, однако, вообще говоря, не обяза-
обязательно минимизирующей. Именно по этой причине мы ввели выше
понятия почти инвариантной и почти периодической геодезической.
2) Как было показано Морсом [1], в случае, когда М — ком-
компактная ориентируемая поверхность, теорема 5.3.6 может быть
усилена. В то время как в общем случае есть только почти
периодические минимизирующие геодезические, в этом специаль-
специальном случае геодезические являются периодическими на самом деле.
Поэтому множество С из 5.3.6 (i) состоит из единственной мини-
минимизирующей геодезической, инвариантной относительно элемента
1=ф[й группы Г. Кроме того, можно считать, что в 5.3.6(ii d)
346 Гл. б. Другие результаты
геодезическая с замкнута и имеет минимальную длину в своем
гомотопическом классе.
Объяснение этого явления получается из следствия 2 теоремы
об индексе C.2.12). Пусть с —замкнутая геодезическая на ориен-
ориентируемой поверхности, имеющая минимальную длину в своем
свободном гомотопическом классе. Тогда индекс с равен нулю и
она ориентируема. Согласно 3.2.14, с будет либо гиперболической,
либо вырожденной. Из этого мы можем заключить, что все крат-
кратные повторения с4 геодезической с также будут иметь индекс 0.
Это доказывает наше утверждение. В самом деле, это в точности
то свойство, которое гарантирует, что полная геодезическая с на
универсальной накрывающей (М, g) многообразия {M,g), проекти-
проектирующаяся на замкнутую геодезическую с на (М, g), является
кратчайшей между любыми своими двумя точками, а не только
между точками с(t) ис(/ + (о) = хс(t), расстояние между которыми
равно (о, т. е. длине с.
Пусть теперь с — гиперболическая геодезическая индекса 0;
тогда и \ndC = q- indc = O, см. 3.2.13. Если, с другой стороны,
с вырожденна, то существует нетривиальное периодическое поле
Якоби Y(t) вдоль c(t). Так как индекс с равен нулю и с ориен-
ориентируема, то Y (t) Ф 0 при всех /. Пусть с4 = {с (t); 0 ^ t ^ qu>}
есть ^-кратное повторение геодезической с. Тогда каждое перио-
периодическое векторное поле % вдоль с4 может быть записано в виде
% (t) = w {t) Y (t), 0 «s t ^ q<a. Отсюда следует, что форма
DlE (с9) (?, 1)^=0 и равна 0 лишь в том случае, если
w(t) = wo = const (ср. с концом доказательства теоремы 3.2.12),
т. е. когда ? лежит в ядре формы D2E (с?).
Доказательство теоремы 5.3.6. (i) Для данной геодезической с*
на (М, g*) обозначим через ст кратчайший геодезический сег-
сегмент на (М, g), соединяющий с* (—т) с с* (т), где m^l —
произвольное целое. Из 5.3.5 мы заключаем, что последователь-
последовательность {ст @)} касательных векторов остается в ограниченной
области многообразия 7\(М, g), и поэтому у нее есть сходя-
сходящаяся подпоследовательность. Предельная точка такой подпосле-
подпоследовательности определяет полную минимизирующую геодезиче-
геодезическую с на (M,g), находящуюся на ограниченном расстоянии от с*.
Если в Г существует такой элемент хфИ, что тс*=с*, то,
начав с построенной выше геодезической с, получим последова-
последовательность {х"с} минимизирующих геодезических из (М, g), остаю-
остающихся в ограниченной области вдоль с*. Поэтому эта последо-
последовательность имеет точки накопления. Ясно, что множество этих
точек глобально инвариантно относительно т. Вообще говоря,
в этом множестве могут существовать инвариантные подмноже-
5.3. Геодезические на многообразиях 347
ства. Если такое инвариантное множество состоит из единствен-
единственной полной геодезической, то проекция ее на (М, g) дает замк-
замкнутую геодезическую с, которая как элемент Л обладает тем
свойством, что функция Е принимает на нем минимальное зна-
значение среди всех элементов из содержащей с компоненты связ-
связности Л. Аналогичным свойством обладают и кратные повто-
повторения с.
Для доказательства (и) рассмотрим на (М, g) минимизирую-
минимизирующую геодезическую с, \с\ = 1, которая находится на ограниченном
расстоянии от геодезической с* многообразия (М, g*). Положим
ус = с, TirC(M, g) := замыкание множества {c(t), /eR}. Мы
утверждаем, что Thc(M, g) обладает свойством (d).
Для доказательства этого утверждения напомним, что для
любого Xq e Ti(M, g*) существуют такая последовательность {/„}
действительных чисел ^0 и такая последовательность {т„} эле-
элементов из Г, что \lmxnc* (tn) = Xq. Из 5.3.5 вытекает, что после-
последовательность {тпсAп)} ограничена, и поэтому у нее имеются пре-
предельные точки Хо. Если, в частности, g*-геодезическая с%, опре-
определяемая начальным условием с* (О)=Хо, инвариантна относительно
нетривиального элемента те Г, то геодезическая с0, для которой
со(О) = Хо, почти инвариантна относительно т. Замыкание мно-
множества касательных векторов к геодезической со = усо на (М, g)
принадлежит Т11,С(УИ, g).
Так как PerТг(М, g*) плотно в Ti(M, g*), то существуют
такие последовательность {т„} нетривиальных элементов из Г
и последовательность {с%} полных геодезических риманова много-
многообразия (М, g*), инвариантных относительно т„, что limc«@) =
=¦--с* @), где с* —исходная геодезическая, с которой мы начали.
Для каждого п существует также т„-инвариантное множество Сп,
состоящее из почти инвариантных относительно т„ геодезических сп
риманова многообразия (Л?, g). Проекция на Ti(M, g) множе-
множества касательных векторов к этим с„ принадлежит Ti,c(M, g).
Предельное множество последовательности {тпс„}, с„ е Ся, содер-
содержит геодезическую с' многообразия (Л5, g), находящуюся на огра-
ограниченном расстоянии от с и с*.
Как и раньше, определим Т\,С>{М, g) с помощью геодезиче-
геодезической с'=ус'. Тогда TilC'(M, g)aThc{M, g)nTl,C'(M, g) снова
обладает свойством (d).
Продолжая этот процесс, получим последовательность с =
= с@), с'=сA), сB), ... минимизирующих геодезических из (М, g),
348 Гл. 5. Другие результаты
находящихся на ограниченном расстоянии от с*. Поэтому у этой
последовательности должны быть предельные геодезические. Одну
из них снова обозначим через с. Множество Тус (М, g), опреде-
определяемое, как и выше, как замыкание касательных векторов к с = ус,
обладает теперь уже не только свойством (d), но и свойством (с),
что немедленно следует из определения с как предела геодези-
геодезических c(k). Свойства (а) и (Ь), очевидно, следуют из определения
множества Ti,c(M, g). Это завершает доказательство тео-
теоремы 5.3.6. ?
Геодезический поток на римановом многообразии без сопря-
сопряженных точек стал объектом большого числа исследований. Спе-
Специальный случай, когда М — замкнутая поверхность отрицатель-
отрицательной кривизны, был изучен еще Адамаром [1]. Среди других
работ, помимо Аносов [1] и Аносов, Синай [1], отметим только
следующие: Картан [2], Хедлунд [2], Буземан [1], Грин [1, 2] и
Эберлейн [2] (").
Заметим, что, в частности, плоские римановы многообразия
не имеют сопряженных точек. Фундаментальный результат Бибер-
баха (см. Вольф [1]) состоит в том, что у компактного плоского
риманова многообразия есть конечное накрытие, являющееся
тором. Мы примем это свойство за определение многообразий
параболического типа. Точнее, будем говорить, что компактное
дифференцируемое многообразие является многообразием парабо-
параболического типа, если у него есть конечное и, следовательно,
компактное накрытие с абелевой фундаментальной группой.
Из многочисленных результатов о римановых многообразиях
параболического типа мы приведем здесь только следующую тео-
теорему Буземана [1].
6.3.7. Теорема. Пусть М —компактное риманово многообразие
без сопряженных точек. Пусть, кроме тою, фундаментальная
группа Г : = п^М абелева.
Утверждение. Для каждого элемента т Ф Id us Г в универсаль-
универсальном накрывающем М многообразия М существует семейство пол-
полных х-инвариантных минимизирующих геодезических, однократно
покрывающее УЙ. Это означает, что для каждой точки ршМ
существует в точности одна геодезическая i~o(t), t<aR, такая,
что c(O)=j5, |fl| — 1 и ro(t)*~c(t-\-<u), еде <а~>0 и не зависит
от выбора точки р&М. Кроме того, для любой пары t0, tlt
t0 < tlt действительных чисел d (с (t0), с (^)) = tr —10.
Как следствие получаем, что для каждого неделимого элемента
%ф[й из Г, т. е. такого элемента, который не может быть
записан в виде т = г", где т>1— целое и ТрбГ, существует
5.3. Геодезические на многообразиях 349
однократно покрывающее М семейство однократных замкнутых
геодезических с без самопересечений, имеющих одну и ту же длину,
равную периоду со отображения т: хс (t) — с (t + со).
Замечание. Поведение геодезического потока на 7\М в этой
теореме очень похоже на поведение геодезического потока на
плоском торе. Хопф [1] доказал, что в случае dimM = 2 ориен-
ориентируемое многообразие М, удовлетворяющее условиям теоремы,
действительно изометрично плоскому тору.
Что касается ориентируемого многообразия М произвольной
размерности п+\, удовлетворяющего условиям теоремы, то с по-
помощью формулы 3.2.16 можно показать, что линейное отображе-
отображение Пуанкаре Р, соответствующее замкнутой геодезической с
на М, имеет вид
(Е ЕЛ
"), где Еп — единичная матрица размера пхп.
О Еп/
Это в точности вид отображения Пуанкаре на плоском торе.
Если бы, кроме того, удалось показать, что лагранжево Р-инва-
риантное подпространство является горизонтальным подпростран-
подпространством при любом выборе начальной точки геодезической, то
отсюда следовало бы, что М плоское.
Доказательство. Для заданного т Ф id из Г рассмотрим функ-
функцию fx: УЙ —>-R, pt—*-d(p, Туб). Так как Г абелева, то при каждом
аеГ имеем fx(р) = fx(op). Таким образом, /т достигает своей
верхней грани со в точке р, лежащей в компактной фундамен-
фундаментальной области многообразия М.
Пусть в, \с\ = 1, — полная геодезическая и еф)=р, с(со) =
= ? = т/3. Положим с B<о) = /*. Из неравенств
f) = 2co — со
следует, что треугольник ГхрхГ — вырожденный, т. е. Tf«=oCw),
и "о инвариантна относительно т.
Пусть теперь # —произвольная точка из $. Для каждого
положительного целого m имеем
mdip, %p)
Разделив на m и взяв предел при m -*• оо, получим, что d (q, xQ) =
= d(p, xp) — со = supfx. Тем самым геодезическая с\ \~в!\—\, сое-
соединяющая q с xq, также инвариантна относительно т.
Вторая часть теоремы, относящаяся к М, непосредственно
следует из первой части, q
ПРИМЕЧАНИЯ
РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
(x) В книге и особенно в первой главе используются понятия и обозначения,
вводимые при бескоординатной трактовке дифференциального исчисления.
В требуемой здесь степени общности—для отображений банаховых прост-
пространств—эти понятия и обозначения изложены у Дьедонне [1], Ленга [1] и Бур-
Бурбаки [1]. Обратим внимание иа следующее.
а) Пусть Е, F—банаховы (у Клингенберга — гильбертовы) пространства.
Совокупность Ln (E; F) непрерывных я-линейных отображений Ex...xE-*-F
канонически отождествляется с L(E; L(E; ...L(E\ F)...)), Клингенберг не
пользуется никакими особыми обозначениями, которые указывали бы, рас-
рассматривается ли элемент (реУ (Е; F) как полилинейное отображение или
как линейное отображение Е в L"'1 (Е; F). Это выясняется из контекста.
Так, запись <р (хх хп) означает, что ф интерпретируется в первом смысле
тогда как запись <р (*i)—что во втором.
б) L"(E):=L»{E; R).
в) Ln (R; Е) естественно отождествляется с Е.
г) Производная (Фреше) отображения /: U -*¦ F (где U—открытое подмно-
подмножество в Е) в точке и обозначается через Df (и), а образ вектора хе? под
ее действием — через Df(u).x (точка внизу; иногда она опускается). Клинген-
Клингенберг не употребляет довольно распространенного обозначения Dxf (и) для того
же образа, но в примечаниях я все же иногда буду им пользоваться. Заме-
Заметим, что если отображение /: U -*¦ L (E; F) имеет производную в точке и, то
Df (и). х е L (Е, F), так что определено (Df (и). х). у; вместо этого часто пи-
пишется Df (и). (х, у) (ср. в а)). Из сказанного ясен смысл записи типа
D*f(u).(x, у) для f: U-*-F.
д) При ?=R ввиду в) Df (u) часто отождествляется с обычной производ-
производной векторной функции скалярного аргумента
/(и)-Urn iff
(предел в смыолв входимости по норме). Более формально было бы сказать,
что /(u)-.D/(u),l.
е) Для «векторной функции / нескольких векторных переменны» произ-
производная по f-му аргументу обозначается через Dtf.
(*) Отечественная терминология еще не вполне установилась. В переводе
книги Ленга [1] говорится: «М является моделью для М; М есть ЛЬмногооб-
разие», а в переводе Бурбаки [1] — М есть чистое многообразие типа Ми.
Определение многообразия можно модифицировать таким образом, чтобы:
1) топология в М не предполагалась заранее заданной, а вводилась посред-
посредством атлэса; 2) образы карт могли лежать в различных (хотя и изоморфных,
если М связно) гильбертовых пространствах. См. Бурбаки [1], Леиг [1].
C) а) Точнее, в (i) фр = рг8»Ф | Ер, а в (И) отображение р\—*-Ф'.ф-',
строго говоря, нельзя обозначать через Ф' •ф-1—последнее есть отображение
Примечания редактора перевода 351
f(O)-(p' (Uf\U')xE. Тем не менее в дальнейшем Ф'оф-i часто обо-
обозначает именно отображение pi—». ф^ .ф-1.
б) Локальные представления в Бурбаки [1] названы векторными картами,
а вся используемая их совокупность — векторным атласом расслоения. При
случае мы тоже будем пользоваться этой терминологией.
в) В приведенном определении векторного расслоения, очевидно, подразу-
подразумевается, что в каждом слое заранее введена структура банахова простран-
пространства. Определение можно модифицировать таким образом, чтобы структура
банаховых пространств в слоях тоже определялась с помощью атласа. У Бур-
баки [1] такое определение принято за исходное.
е) Если вместо дифференцируемости отображения ф'=ф-1 требовать его
непрерывности, то получится определение непрерывного векторного расслоения.
D) В широком (и неформальном) смысле слова, связность в дифференци-
дифференциальной геометрии —это то, что позволяет говорить о ковариантном дифферен-
дифференцировании, параллельном перенесении и т. п. Если, скажем, первичным
понятием является отображение (|, v) i—»• V|. v (см. замечание автора после
определения ковариантной производной), обладающее определенными свойст-
свойствами, то его и называют связностью. Такое определение связности одно время
было господствующим. Отображение К при этом называли не связностью,
а отображением связности, см. Громол, Клингенберг, Мейер [1], Флашель,
Клингенберг [1] и Элиассон [3]. Но подход, при котором первичным понятием
считается К, имеет некоторые преимущества (и, кстати, ближе к первоначаль-
первоначальному определению), что и отразилось в изменении терминологии.
E) а) У Элиассона [3] для К используется термин local connector. Собст-
Собственно, следовало бы писать Гф ф и Кф> ф, а не Гф и Кф. Обозначения в на-
настоящих «Лекциях» связаны с тем, что в дальнейшем рассматриваются пре-
преимущественно связности в ТМ, причем используются естественные векторные
карты, соответствующие картам многообразия М, так что ф однозначно опре-
определяет Ф.
В классическом смысле (относящемся только к евклидову, т. е. конечно-
конечномерному, случаю) символы Крисшоффеля (второго рода)— это коэффициенты Гуй
в координатном представлении Гф: если
M = W, E = Um, Ту.у = (у1 у"), Ф| = E1, ...,?»•),
то
(-я координата Гф(*)•(</. в
б) Нетрудно установить, что символы Кристоффеля для локальных пред-
представлений (Ф, ф, U) и (Ф', ф', W) связаны посредством следующей формулы
преобразования:
(Ф' • Ф) Гф> ф = Г,,, ф,. (?> (ф'. ф-i) X (Ф' • Ф'1))+D (Ф'
на <p(Uf\U'}xMxE (здесь ф'-ф-i рассматривается как отображение
(UU')L(E />))
[))(; ))
в) Пусть {(Фа, фа. t/a)}—векторный атлас для JS. Пусть для каждого a
заданы дифференцируемые отображения Га: фа (Ua) -*L(M Е; E), причем Га
и Гр для любых а, C связаны посредством формулы преобразования из о)
(разумеется, с заменой ф, ф', Ф, Ф' на фа, фр, Фа, Фр). Тогда в Е сущест-
существует связность К: ТЕ-^-Е, для которой Га являются символами Кристоффеля.
Именно, определив с помощью Га отображения Ка: фа (Ua)xExMxE~>-
-*- фа (Ua) х Е, получим, что Ка и К л представляют одно и то же отображение
ТЕ-+Е над иапи$.
F) Точнее в локальном варианте (#) (для сравнения с (*###) в нем надо
заменить v на и) фигурируют ?ф (х) и т)ф (*) — функции от х е ф (U) со значе-
значениями в Я (в данном случае в М), тогда как в (****) вместо них фигурируют
35S Примечания редактора перевода
постоянные векторы v и w. Поэтому (****) не совпадает в точности с локаль-
локальным вариантом (*), однако эти две формулы эквивалентны. Действительно,
левая часть локального варианта (*) есть
D fop (*)) (Ьр (*). ^ф (*»•" =
=/)?,, (х). и (|ф (х), т)ф (л;)) 4-§ф (х) (?>?ф (х). и, т|ф (*)) +?ф (х) (?ф (х), От|ф (х). и).
Заменив первое слагаемое в правой части согласно (***#), получим после
очевидной перегруппировки членов
W • "+гф (х) (и, еф (*)). лФ W) +
Гф (х) (а, ЛФ (*))).
т. е. правую часть локального варианта (*).
(') Введенные здесь «производные в горизонтальном и вертикальном на-
направлениях» DJ (|) и DJ (g) можно определить и в более общем случае диф-
дифференцируемого послойного отображения / расслоений Е и F с любыми (не
обязательно совпадающими) базами М и N. Поскольку область определения
T%VE отображения D2f (?) отождествляется с Ея%, a im Drf (?) cz Tf^vE, при-
причем последнее пространство отождествляется с ?Я|, то под D%f (|) часто пони-
понимается отображение
(о У| см. подстрочное примечание перед 1.1.1.) Например, фактически это так
в 1.2.5. У ?>,/ можно заменить область определения T^hE на Т^М. (Впрочем,
это не важно, ибо DJ далее не используется.)
Аналогично для любого дифференцируемого отображения /: Е-> N, где
Е — по-прежнему дифференцируемое векторное расслоение надМ, a N — много-
многообразие, можно определить
V,/ (|) := Tf (?) - (Тп | ?|ft)-*: T^M ¦+ TnN,
(они используются в § 1.3 для /==ехр: ТМ-+М). Определения D-i и Vj зави-
зависят от используемой связности в Е, a D2 н V2 не зависят (поэтому Элиассои
[3] пишет: Vx и D2).
(8) Полезно иметь в виду еще следующие утверждения.
1.2.2'. Пусть Ei, ..., ?ft, F —конечномерные непрерывные векторные рас-
расслоения над S. Тогда естественные вложения
Ek; F)) -+ L (Я" (?х), С° (EJ, .... С(Ек);
Ek; F))-+L(C°(E,), O> (?a), ...
непрерывны.
1.2.3'. Пусть 0 — такое открытое подмножество в тотальном простран-
пространстве конечномерного непрерывного векторного расслоения п.: Е -*¦ S, что 0t :=
= 0 П я" @ с: ?/ при ece^ (eS непусто. Тогда в О> (F) := {непрерывные
сечения) (о соответствующей топологией) множество
I @ <= i^/при всел; / s S}
р
1.2.4'. Пусть п: Е -+S и 0 <=.Е такие оке, как в 1.2.3'. Пусть <р: F-r-S —
непрерывное конечномерное векторное расслоение, а /: 0-*¦ Е—непрерывное
послойное отображение. Тогда индуцированное отображение }: С0 @) -*¦ С0 (F)
«епрерьмно.
1.2.5'. Пусть, в дополнение к условиям 1.2.4', ограничения f на слоях диф-
дифференцируемы {tf послойно дифференцируемо*) и отображения D^: 0-*•
Примечания редактора перевода 353
-*¦ L* (Е\ F), сопоставляющие каждой точке k-to производную f no слою в этой
точке, непрерывны при всех k. Тогда индуцированное отображение J: С°((^)->-
-»-C0(F) дифференцируемо и Df=(D2f)~ (здесь подразумеваются отождествле-
отождествления, аналогичные указанным в подстрочном примечании к 1.2.5).
Доказательства отличаются от доказательств 1.2.2—1.2.5 только некоторым
упрощением (не надо дифференцировать по О-
(•) а) Не утверждается, что обязательно Я1 {0С,d)Ф 0 ПРИ 0с,аФФ-
При наложенном пока что условии на е, сформулированном в 1.2.6, этого
нельзя гарантировать. Так, для M = S наложенному условию удовлетворяет
любое е < 1/2, в то же время если е > 1/4, то е-окрестности любых двух
точек пересекаются, так что 0с,аФФ ДЛЯ любых с, d: S-+S, в том числе
и имеющих разную степень. Если бы в последнем случае существовало такое
непрерывное е: S^-S, для которого ds (e (t), с (t)) < е и dg (е (/)), d (f)) < е
при всех t, то с и d были бы гомотопны е, т. е. имели бы одинаковую степень.
Потребуем, чтобы лемма 1.2.6 была справедлива с заменой е на 2е, и
будем по-прежнему работать с 0 — 0е. Тогда Я1 @С, а) Ф 0 при 0с,аФФ-
Действительно, теперь из 0С аФ Ф следует, что dit) можно представить
в виде d (t) = ехр т*с| (t), где | <= Я1 (с*ТМ) и 111< 2е. Тогда кривая ехрс (V25)
содержится в U (с) f) U (d).
б) Если бы вместо 1.2.8 мы попытались доказать аналогичный факт для с,
d&WiS, M), то вместо 1.2.5 нам понадобилось бы некое утверждение о бо-
более громоздкой формулировкой (вместо дифференцируемое™ / в нем говорилось
бы о различной степени дифференцируемости в различных направлениях).
A0) а) Для удобства читателей приведем формулировку используемой здесь
теоремы 16 из работы Пале [3].
Пусть Vi и Vо—локально выпуклые топологические векторные простран-
пространства и f: Vi-f-Vо—непрерывное линейное отображение, образ которого плотен
в Vo. Пусть t/° — открытое подмножество е V<> и U1:— f-1 (U°), причем U°, U1
паракомпактны (что заведомо выполнено, если Vo> Vi метризуемы, и тем более
в нашем случае банаховых Vo. Vi). Тогда flU1: t/1-»-^0—гомотопическая
эквивалентность.
б) Хотя доказательство с помощью ссылки на «общую теорию» является
в некотором смысле простейшим, вероятно, многие читатели предпочли бы
обойтись без этой ссылки. В связи с этим отметим, что рассуждение, которое
по несколько иному поводу имеется у Милнора [1] (теорема 17.1), без труда
переносится на наш случай.
(") Иными словами, если Ь, ?а е (а0)^ ?)П# (*)), ao(Ci) = «°(y=e1
Фо, с (Si) = (I. ill). Фо, 4 (Ъ) = (Х- «*) С -1. 2). то (бс E) Л1, тJ>0 = (Ga (х) ©!, ша>0,
так что это число можно принять за fa, ?aH. Действительно, оба выражения
совпадают с интегралом ?(?i@. ?г (t))ett> dt (что, кстати, доказывает его вхо-
димость). Этот факт для сечений следует из аналогичного факта для векторов:
если |, ть tls е ТХМ, & = Va ехр © r\t s ТгМ, то (G (?) щ, %>, = <Va ехр (|). щ,
Vaexp (|). Tia)exp j=(Si.fca)«- Ясно, что можно с самого начала определить
( •, • )о на Я0(е*ТМ) при всех ееЯ1 (S, М) как написанный выше интеграл
(сходимость которого в этом случае ясна заранее). С этой точки зрения содер-
содержательное утверждение теоремы 1.3.3 состоит в том, что эта метрика имеет
надлежащие свойства дифференцируемости.
(и) а) Формула преобразования для символов Кристоффеля, соответствую-
соответствующих локальным представлениям (ФОс, ехр-1, U (с)) и (Фо d, exp^1, U \d))
расслоения а°, имеет вид (ср. (I) б)):
- ГЛ (х) • (D (ехР5> ехре) ® . Я (Фо> d. Ф^,) ® . Е) +
В. КлннгенСерг
354 Примечания редактора перевода
при (|, т|, Q&№@c,d)xHl(c*TM)xH*(c*TM); х = ехр5'.ехрс?> а Фо>(Г Фо,\.
интерпретируется здесь как отображение Я1 @c,d)-**L (H9 (с*ТМ); Н° (d*TM)).
Вспоминая определения входящих сюда величин, получаем, что выполнение
этой формулы преобразования эквивалентно тому, что при почти всех t выпол-
выполняются формулы преобразования для символов Кристоффеля, соответствующих
((irI 0) (( | 0 I ©) б М
фру рр д рфф, у
картам ((expire,/,)-1, ехр0с(„), ((exp | 0d к,)'1, ехр ©йф) многообразия М,
при значениях аргументов т*с|@, i*cr\(t), x*t?,(t) (причем в правой части Г
берется в точке т* d% (t) = ехр^@ • ехрс@ . (*х\ (<))•
б) Формула
((DtG (I). л) • С, 8)t|= (G (?) Г © . (г,, 0, в)х1+ (G (\) Г ©. (ц. 6), ?>rt
(?> 1> ?• в —векторы) является формулой (****) из § 1.1, записанной с исполь-
использованием введенного выше выражения для римановой метрики в М с помощью G
в карте ((ехр | 0Х)~1> ехр 0Х). Из этой формулы сразу следует приведенная
в тексте аналогичная формула для Gc и Гс (в которой ?, т|, ?;, б—уже не
векторы, а сечения соответствующих расслоений).
в) Параллельное перенесение, отвечающее введенной связности в рассло-
расслоении а0, легко описывается в терминах геометрических построений в самом М.
Пусть s i—»¦ с (s), a sg: s sg b, — кривая класса С1 в многообразии Л, и пусть
задано ?о е (а0) с (а), a t,s e (а0) с (s) получается из ?а параллельным пере-
перенесением вдоль этой кривой. При каждом s имеем некоторую замкнутую кри-
кривую с (s) в М, т. е. с (s) есть отображение S -*¦ М; вместо с (s) (t) будем писать
c(t, s).
При каждом (s5 кривая Y/: s*—*-сС. *) является (^-кривой в М. Это
следует из дифференцируемости отображения
evt: Л ->- М, ev/ (с) = с (f).
Последняя очевидна, если воспользоваться картами (ехр, U(с)) в Л (с какой-
нибудь фиксированной кривой с е С00 (S, М); при любом s0 все с (s) с доста-
достаточно малыми \s—So| лежат в некоторой такой карте) и ((ехр j 0C ,t))-i,
ехр 0С,/,) в М: отображение
ехр <»/ _ (ехр | <^с К))"
—* #(с) ~* ехР <^с «)
имеет вид \ \—»- \ (/), т. е. получается при ограничении на 0С композиции
Я1 (с*ТМ) -»- С0 (с*ТМ) -*¦ Тс ,/,М непрерывных линейных операторов. Кстати,
отсюда же видно, что если c(s)=expc?(s), где |(s) есть Я1-сечение расслое-
расслоения с*ТМ, имеющее в точке t e S значение 1 (/, s), то значение в точке t
сечения dg (s)/ds (которое существует, ибо s i—*¦ | (s) есть С^фуикция) равно
д& (t, s)/ds. В частности, эта последняя производная существует; при этом она
непрерывна по (t, s). Действительно, если Д— замкнутый интервал оси s,
для которого |(Д) cz U(с), то
, Я1 (с*ТМ)) с_> С» (Д, Со(с*ГМ))С_».С»EхД, с*ТМ),
где все естественные включения непрерывны.
Геометрически ?;„ описывается как некоторое векторное поле t\—*-ч*с(а)>
' ?а @ вдоль кривой с (а) в М, определенное, правда, только при почти всех /.
(Точнее, go есть класс таких полей, отличающихся одно от другого только
на множестве меры нуль; возьмем какое-нибудь из них.) При каждом t, при
котором определен вектор х*с (a) Z, (t) e Тс,/, а)М, перенесем этот вектор парал-
параллельно вдоль кривой V/' При каждом s получим некоторый вектор в Т„ is\M,
который обозначим через ? (t, s). При фиксированном s имеем векторное поле
вдоль кривой c(s):
C(s): <-*?(/, s).
Примечания редактора перевода - 355
определенное при почти всех / (одних и тех же при всех s). Оказывается
оно и является полем ?« (точнее, одним из его представителей).
Чтобы доказать это, надо проверить, что ?(s) еЯ°(Я1E, М)* ТМ) и
у
_?(s)—0. Можно ограничиться случаем, когда вся кривая c(s) лежит в U(c)
(в общем случае надо последовательно рассматривать кусочки, лежащие
в пределах таких «координатных окрестностей»), так что c(t, s) = expc,^, |(/, s),
a i(t, s) можно представить в виде ?(/, s) = Va ехр (| (/, s)).i){t, s). При
почти всех t имеем д-?(<> s)=0 при всех s, т. е.
С)
(При фиксированном / мы воспользуемся фиксированной картой ((ехр I @с </,)~1,
ехр фс,/,) в М.) Очевидно, имеют место соотношения (Л1,- — некоторые кон-
константы)
\Z(t> s)! = l?('> °) I (свойство параллельного перенесения). Поэтому
ввиду (а)
(б)
т*с (а) |а @ |
с некоторой константой М.
(а) является линейным дифференциальным уравнением для г) как функ-
функции s, непрерывно зависящим от параметра t. Пусть r\ (s; т)о, <) — решение (а)
с начальным значением т|(а; r\a, t)=r\a. Оно непрерывно по (s, %. <)•
Очевидно, ti(?, s) = T)(s; ть, (<), 0, где %(/) служит представлением для
т*с (°) So (О в каРте ((ехР I © с шУ1' ехр 0с it))- Отображение
S-*c*TMxS, t у-*- (Па @. 0.
измеримо. Значит, при каждом s измеримо отображение
(в) <•—1 (<-«)-Л («; Ла@. 0.
ибо непрерывная функция от измеримой функции измерима. Теперь из (а)
следует, что и отображение t*-+dx\(t, s)/ds измеримо.
Поскольку \\T*c(a)Za(t)\*dt<co, из (б) и из измеримости t>—»9r|(<, s)/ds
s
следует, что [ | дг\ (t, s)/ds |* Л < оо, так что можно говорить о сечеиии
y(s) s Я0 (с*ТМ), для которого х (s) @—*П С «)/5s; при этом Их («
Далее,
\r\(t, s)|=sS|r|(<, a)|
Отсюда и из измеримости (в) следует, что f | я (/, s) \*Ш< оо, так что можно
говорить о сечении rj (s) € Я0 (с* ТМ), для которого <l (s) @ °" 1 (^ s)i «
12*
356
Примечания редактора перевода
о Ф-1с(ф), T)(s)); ясно, что последнее есть ?(s), так что g(s)
Осталось доказать, что при всех s существует производная dr\ (s)/ds, так что
V
можно говорить о -г ? (s), и что главная часть локального представления
CIS
(г)
dr\(s)
ds
>«(«))•'
\ ds ' '
Будет доказано, что
(Д) Нш [4-(л(»+А)-л(»))-Х(«)| -°.
п —* ОII r ' Но
так что производная dx\ (s)/ds действительно существует и равна % (s), а сече-
сечение Н°(с*ТМ), являющееся левой частью (г), принимает при почти всех t
значение
/, s)).
s)j
и ввиду (а) равно нулю,
(д) означает, что
lim
t, 8))-
dr\(t, s)
ds
dt=O.
Обозначим подынтегральное выражение через q>2 (t, Л). Тогда, во-первых,
lira <p(t, Л) = 0 при почти всех / и, во-вторых,
Н — 0
s+h
s+A
С dr\(t, r)
dr
S
sup
dr\(t, r)
dr
ds
r) (t, s)
ds
(см. (б)). Отсюда следует, что lim {<p8 (t, h) dt=O. В самом деле, пусть даио
8 > 0, Существует такое б > 0, что если мера mes В < б, то
Положим
4М* \
An = {t; ieS, (p*(t,
при всех А<1/л}.
Множества Ап измеримы. Действительно, ф (t, h) непрерывно по h, поэтому
в определении А„ вместо всех h < 1/л можно говорить о всех рациональных
Л<1/п, так что А„ является пересечением счетного числа множеств вида
{t;
; /eS,
i (tj (/,
которые измеримы ввиду измеримости сечений
Примечания редактора перевода 357
Далее, ясно, что А„ возрастают с ростом п и mes(S—[}Ап)=0, так что
mes(S—Ап)<Ь при достаточно большом п. А тогда при Л< 1/п
\
h)dt+
(") Сформулированное утверждение фактически означает, что VaOd (е). ? =
= Ve? для любой кривой е е Сю (S, М), ибо для такой е можно взять карту
(exp~J, U (с)) с с = е. Однако его доказательство не намного проще, чем дока-
доказательство той же формулы Va,,d(e) .? = ^е?; в общем виде—в предположении,
что ee/P(S, M), ? е Z/1 (еТЛ1) и, вообще говоря, е^о, которое и будет
приведено.
Мы хотим доказать, что
(а) (р$? . [V, ехр (т* eg (О)] • т*е . Vcg @ -
- vcr] @+ЭД, (g @). я @+гв (S @) • (л @. 34 @)-
При сделанных предположениях во всех точках /е5, кроме, возможно, точек
некоторого исключительного множества N меры нуль, оуществуют ё (t) и (TQt.
Тогда для любой карты (ехр-1, 11 (с)), содержащей е, если Ф1е(б) = (|, л),
го при всех tsS — N существуют G4^ и GЧ)Л Значит, при всех этих t
существуют V^g (/), Vct) (/) и дс% (t), а потому в (а) имеют смысл обе части.
Их равенство будет доказано при всех t&S — N.
Положим при /eS и seR
Ясно, что при достаточно малых s, скажем при ss/ = (—е, е), сечение
|j = |+sti е Я1 (й?с), так что можно рассмотреть кривые /> := ехрс (| + STl)'-
11—»• f (t, s) := ехр (т*с| (<, s)). Когда s меняется, | (/, s) находится в одном
и том же слое (с'т) @ расслоения с*ТМ, поэтому
Da/ (<, s) = V2 ехр (T*cl (t, s)) о %*с . т| (/),
(б) DJ(t, 0)-т»<@.
Пусть to&S—N. Мы хотим написать представление для T*eV^ (/0) в тер-
терминах «подвижной» (изменяющейся с изменением f) «системы координат»
{(ехр • (i*c)t | 0С, ,)~х, ехр (^с ,<)). Для этого опишем нужные нам величины
в терминах «неподвижной системы координат» ((ехр | ©с ^о))~1, ехР ^ ((,)),
которую обозначим короче через (<р, U). При t—to подвижная система, по
существу, совпадает с неподвижной с точностью до изоморфизма (т*с)<о;
(с^)'1 (t0)-*¦ Тс(<о)М, поэтому при t=>U несложно связать описания различных
величин в терминах «подвижных» и «неподвижных» систем координат.
При достаточно малых Ли/ будет
ао, Щ(Д, /))с(/
(в частности, с(Д) с: U). Положим при (t, s) e Дх/
*@:=Ф.с@, i|>(<, «):-Ф-/(Л •).
So @ == рга • G"Ф) • х*с . g (<), т|0 @ :=¦ рг, • (ГФ). т*в . ч (t),
Ясно, что ^ р0, s) = ф (/ (/о, s)) = (т*с),0 (? (/о) + s^ Со)),
(в) ф р„ 0) = х*с\ (<0), D2if (f0, s) = т«ст
358 Примечания редактора перевода
Кроме того, поскольку
(г) [V, ехр (т*с$ (<„))]-! - рга. (Гф | Tf (<о> 0)М),
то
(д) х*с . дс% (t0) — (образ де Со) •=?>!/ (/„, 0) под действием (г)) = Di$ (t0, 0).
Далее, ясно, что т|0 и ?0 непрерывны при всех t и дифференцируемы при / = ?0
и что |о непрерывно и обладает следующими свойствами дифференцируемости:
(ео) при любом s существуют Di%0 Co. s) и ОаОх|0 (to, s);
{при любых t, s существует Da|0 С s) и при любом s
существует DxDagoCo, s);
(Зо) ^1^2ЪО Со, ^) s= Ло Со) ^ *^2^1Ь0 Со, $)•
Если дс е (^(,(t(() достаточно близко к х Со) =0, а |—к |0 Со), то определено
С°°-отобр ажение
(х, I) i—•• F (х, |) := ф» ехр ° Т ехр . (^, |)
(здесь использовано естественное отождествление 0C(i<>)*'^ci,ta)M = T0cyii))l
Уменьшив, если потребуется, Д и /, будем считать, что область определения
F содержит *(Д)х?(Д, /). Тогда при (t, s)eix'
(и) Si С s)-=F (x(t), ?o С. s)).
Поскольку F и *(•) — класса С00, то из (ео) и (ж0) еледует, что |t обладает
свойствами дифференцируемости (ех) и (ж^, аналогичными (ео) и (ж0). Далее,
из (и)
(к) DxD^iCo s) = DtF (x Co), So Co, s)) . D^lo^o, s) + ...,
где члены, обозначенные многоточием в (к) и (л) совпадают. А тогда ввиду (зо)
Ci) OASiflb. s)-DtD161(fc, s).
gi (<, s) служит локальным представлением в карте (ср, ?/) для / (<, s). Из fa)
(О DJ (t ) Df(t ) VD/(< ) VD/(<0, s).
gi (, ) у р р (р ) / (, )
и (жО следует, что существуют DJ (t0, s), D2f(t, s), VjDx/(<0. s) и ViD8/(<0, )
Теперь очевидное вычисление в терминах локального представления, исполь-
использующее (Жх) и отсутствие кручения у связности Леви-Чивита, показывает, что
(з) W№>. s)-V,D,/(fo, s).
Но тогда ввиду (б)
(м) т*«7Д (to) - V4D^ (/„ 0) -VtDJ (tt, 0J.
При веек s оушевтвувт DJ(to, s)w*dfs(t0) Согласно 1.3,2,
Dj (to, s) - V2 exp (x*c% (t0 s)). r*c . (Vcl? (f0, s) +вс (| (<„ s)))
(Vc, обозначает ковариантную производную по первому аргументу). Ввиду (г)
это равно рга • Тф. DJ (t0, s) = Dxi|j (t0, s), так что
EW (<o. в) —С»*с)#. VeE (/о) + s (т*е)#. Ve4 <« + (**с)/. вв (Б («о, в»,
(н) D,Drf (to, s)-(%*c)t> VeT) Co) + (T*c),o Dt8c E («,, «)) . r] Co),
a
(О) ргг°Гф. WC OJ-DtDx^Co. 0)+Г(г1)(<0, 0)). (D^ (t0 0), D^ Co- 0)).
Сопоставляя (м), (h), («), (в), (д) и (г), получаем (а) с <=-=<0.
Примечания редактора перевода 359
О4) Карте (ехр, ^У3 (с)) отвечает локальное представление (векторная
карта) (Гехр-1, ехр, ^j/3 (с)) расслоения ТМ, т. е. а1. Очевидно, отображение
Т ехр-1: (W П ТСМ) х Я1 (с* ТМ) -> T^jf (с) = («i)-i »j/= (с)
определяется такой же формулой, что и введенное в начале этого параграфа
отображение Ф^ (только теперь не предполагается, что с е С°° (S, Дф), так
что можно обозначать его через Oj,, тоже. Естественно рассмотреть аналогич-
аналогичные карты для расслоения а0. Как и в начале этого параграфа, определим
Ф^е: (Wt)TcM)xH<> (с*ТМ)-+ (а°Г1
(той же формулой, но уже не считая, что с е С00 (S, М)). Покажем, что
О^о с ехРс'' р (с))~действительно векторная карта расслоения а0. Доказы-
Доказывая 1.3.1, мы фактически проверили, что ф-^ действительно переводит
|хЯ°(с*77И) в (а^ехрс! (даже не только при l^f/^(]TcM, но и при
| е Я1 @с)) и что ограничение ф-1с\%хН° (с*ТМ) является ограниченным
линейным оператором, имеющим ограниченный обратный. (См. последнее под-
подстрочное примечание к этому доказательству.) Остается проверить согласован-
согласованность рассматриваемой карты с прежними: если d <= С00 (S, М), то отображения
.а%! ); H°(d*TM)),
фо.е"фо.'<*: *y(c)nU(d)-+L(H»(d*TM); Н°(с*ТЩ)
являются дифференцируемыми. (По поводу обозначений см. комментарий в (8),
а).) Проверим, скажем, дифференцируемость первого из них, для чего пред-
представим его как композицию
U (d) П <Т (с) — С» (L (c*TM; d*TM)) ->¦ L (Я° (с*ТМ); Я" (d*TM)).
Справа стоит естественное вложение, являющееся ограниченным линейным
оператором (ср. с 1.2.2' в (8)), а ф сопоставляет кривой с = ехрс I = ехр,* т|
непрерывное сечение расслоения L(c*TM; d*TM); значением этого сечения
в точке t <= S является линейное отображение
(x*dO' • [V2 ехр (т* dr! (О)]. V2 exp (x*c\ (t)). (x*c)t
пространства (с*х)~1 (t) в (d**)'1 (i). Достаточно доказать дифференцируемость
отображения
Определим 0c,d и fd,с аналогично тому, как это делалось при доказатель-
доказательстве 1.2.8. Тогда, с одной стороны, очевидно, что fatC послойно дифференци-
дифференцируемо и производные D*/d е непрерывны на всем 0С а. Поэтому (см. (8),
1.2.5') существуют производные D fd c = D*fd c (волна сверху теперь обозна-
обозначает переход к индуцированному отображению пространства непрерывных
функций); в частности, S^fd,c дифференцируемо. С другой стороны,
^ = (D7a.с)' (вложение ехр-' BГ (d) П Т (с)) С-* С @d c)).
(*5) Название «интеграл энергии» связано с наглядным представлением
о кривой с как о неоднородно растянутой упругой однородной гибкой «беско-
860 Примечания редактора перевода
нечно-тонкой» нити, t играет роль «лагранжевой координаты», жестко связан-
связанной с некоторой частицей нити; в рассматриваемом натянутом состоянии эта
частица находится в точке с (t). Однако свойства воображаемой нити с потен-
потенциальной энергией Е(с) мало похожи на свойства реальных упругих нитей
даже сильно идеализированных (достаточно сказать, что в ненатянутом состоя-
состоянии длина нашей нити должна равняться нулю). В линейной теории упругости
потенциальная энергия нити описывается квадратичным интегралом J | и (t) \2dt,
но здесь и (<) описывает не положение, а смещение частицы с лагранжевой
координатой t.
При другой наглядной интерпретации можно представлять себе, что по с
движется материальная точка, занимающая в момент времени t положение с (/);
ее кинетическая энергия равна -=- (с (t), с (<)), а никаких «внешних сил» нет.
Тогда Е(с) (не только для замкнутых, но и для незамкнутых кривых c = (c(t)),
a s? < ^ 6) — это известный в аналитической механике функционал действия,
(точнее, действия по Гамильтону), а 1.3.11—это частный случай принципа
Мопертюи — Лагранжа — Якоби.
В многомерных задачах аналогичный функционал часто называют «интег-
«интегралом Дирихле».
(*•) В конце этой выкладки используется то, что при каждом фиксирован-
фиксированном s отображение
(a) S-+TM, ti-*d-^(t, s),
является векторным полем вдоль х (s) класса Я1. Последнее же доказывается
так. Для любого s0 имеются такие окрестность / э s0 в [0, 1] и кривая се
<&С*>(8, М), что х(/)с#(с). Тогда | (s) := exp-1 x(s) e Я1 (с*ТМ), и
поскольку зависимость x(s) от s дифференцируемая, то d^,(s)lds^H1(c*TMi. Но
(то же рассуждение, что и при проверке (И) в доказательстве 1.3.1). Значит,
поле (а) является образом при отображении Ф^1С поля d|(s)/rfs из ^(^ТМ)
и потому принадлежит Я1 (х (s)* TM).
(") Подробнее содержание последнего абзаца заключается в следующем.
Пусть I е ТрМ, а |' е ТрА° таково, что х*ср\' =| (т, е. |' есть то же самое |,
рассматриваемое как постоянное сечение в с*ТМ\. Ясно, что (?', |')j =
= (I'» ?')о=<1. Dp- Но в то же время i' = (T«)p|. Действительно, очевидно,
что ехрс_(sg')eCexp(*?) ПРИ достаточно малых s, а отсюда
5' =
d
~
= 0
exp (si) = (ГOp 5-
Тем самым доказано, что t — изометрическое вложение.
Значит, dA(cp, cP')^dM(p, p'). Осталось доказать обратное неравенство.
Пусть х (s), 0^ss? 1,— дифференцируемая кривая в Л соединяющая ср с ср,.
Докажем, что dM (р, р') ^ L (х).
Сколь угодно мало увеличив L (х), можно считать, что dx (s)/ds Ф 0 прн
всех s. А тогда можно считать, что дифференцируемая кривая х параметризо-
параметризована пропорционально длине дуги, так что j| dx (s)/ds \\t = L (x) при всех s.
Обозначим x(t, s) :=K(s)(t), lt'-= длина кривой s\—»x(f, s) (Osgssg 1)
вМ, В нашем случае все эти кривые соединяют р ср', поэтому dM(p, p')<
Примечания редактора перевода 361
при всех t и
d'M (P. P') " f " J' f-fl^''8'
ds
(*•) а) Непосредственный переход от условия
(а) (Щ,Ч)о + (я1)о=(<>с,Ч)о для всех 1<=[Р-(с*ТМ),
определяющего r| = grad?(c), к уравнению
(б)
предполагает не только, что дс е Я1 (с*ТМ), но и что Vt) е Я1 (с*7\М),
а последнее a priori не ясно. Однако можно рассуждать «в обратную сторону».
Если т)—решение (б) (т. е. г\ е Я* (с*ТМ), Vr\ e Я1 (с*ТМ) и почти при
всех t выполняется (б)), то вяяв {•, • H-произведение с | и проинтегрировав
по частям, получим (а). А так как градиент определяется однозначно, то
отсюда следует, что t)=grad ?(с). Таким образом, надо доказать, что (б)
действительно имеет решение. Если рассматривать t не как точки S, а как
вещественные числа, то решение, конечно, существует. Однако в этих терми-
терминах нам нужно не просто решение, а решение, периодическое по t с перио-
периодом 1. Поскольку решение однозначно определяется начальными данными т]@)
и Vn @), a r\(t+\) является решением (б) одновременно с ц (/) (правая часть
(б), очевидно, периодична), то периодичность эквивалентна тому, что
(в)
Положим « = ki + Vti, о = т| — Vtj. В новых переменных (б) переписывается
как система
(г) V« = « + Vdc, Vo = — v — Vdc, OsSfsgl,
а условие (в) —как
(Д) «@) = иA), 0(O)=i»(l).
Пусть ?х ?„ — ортонормированный базис в (с*х)~1 @). Возьмем такие
|г: $-+с*ТМ, что с*т|, (t) = t mod 1 и Vc?, = 0. Так как |г A) е (с*^ @),
то |,- A) можно разложить по базису |j @):
Матрица А = (аф — ортогональная (сохранение скалярного произведения при
параллельном перенесении вдоль кривой). Если теперь г (t) = ? ц if) \ц if), то
условие г @) =z A) эквивалентно тому, что
2
или, записывая xlt ..., хп в виде столбца
Пусть Vdc = ?qp;(/Iг@; обозначим через ф столбец, состоящий из фь ..., ф„.
Будем искать решение и, v краевой задачи (г), (д) в виде
362 Примечания редактора перевода
В терминах векторов-столбцов х, у задача принимает вид
(е) * = х+ф, у = — г/-ф,
(ж) х@)
Из (е) получаем
i
У (t) = <г'У @) - \ <r>+x<p (т) <h,
S
и (ж) сводится к тому, что
(з) (еА - Е) х @) = - А \ <*-*<р (т) Л,
о
1
(и)
Ввиду ортогональности А матрицы в левых частях (з) и (и) невырожденные,
так что эти уравнения разрешимы.
б) В а) никак не использовалось, что в правой части (б) стоит Vdc, а не
какое-нибудь другое % s На (с*ТМ); дифференцируемость же с использовалась
лишь постольку, поскольку она позволяет говорить о Vdc. Поэтому для любой
кривой с е ЛМ и любого сечения / е Н°(с*ТМ) уравнение
(к) vv<)-i@=x@
имеет единственное решение т) s Я1 (с*ТМ). (Если % не непрерывно, это надо
понимать в том смысле, что г) е Я1 (с*ТМ), Vr\ e Я1 (с*ТМ) и (к) имеет место
при почти всех t. Если же % s С0 (с*ТЛ1), то Var) s C° (с*ТЛ1), и (к) имеет
место при всех Л) Естественно обозначать г) через (V2—I)/. При этом для
всех 1е№(с*ТМ) имеем <Vr,, Vg>, = —<V*4. |H, так что <г), 5>i=—<х, бу-
буйными словами, оператор
(l_V«)-i :==_(V2-l)-i: НЦс*ТМ)-^Н1(с*ТМ)
является сопряженным к тождественному вложению
i: №(с*ТЩ-+Н°(с*ТМ).
Последнее компактно, а оператор, сопряженный к компактному, компактен;
отсюда следует компактность (V2— I). (Ее можно вывести также и из интег-
интегральных соотношений для решения уравнения (к).)
Заметим еще, что при c&C^iS, М) оператор (Va—1) повышает глад-
гладкость: если х е С (с*ТМ), то (V> — l)-1**^ С** (СТАЛ). Действительно,
в этом случае условия Varj e Cs (c*TM) и т] е Cs+t (с*ТЩ эквивалентны; если
теперь
<7=max{s; (V^-l^fye С* (с*ТМ)},
то ввиду (к) V»(V2-l)-iXs=Cmin(<7>r)(e*TM), т. е. q^min(q, r)+ 2, ?5г
+2
+
Чтобы определить линейный оператор, надо указать не только го, как
он действует на функции, но и то, функции из какого именно функциональ-
Примечания редактора перевода 363
ного пространства берутся в качестве его аргументов и в каком функциональ-
функциональном пространстве рассматриваются его значения. Иногда это ясно само по
себе, а иногда должно быть специально пояснено. Тривиальный пример: выра-
выражение «оператор, переводящий | в ?» можно понимать в трех смыслах: как
оператор Я1-»-//1, Н°-+Н° и Н1-*-Н° (мы ограничиваемся здесь теми функ-
функциональными пространствами, которые преимущественно используются в этой
книге). В последнем случае мы имеем дело с компактным оператором (, тогда
как в первых двух операторы id//1 и id#o не компактны. (Так называемые
«свойства оператора», например компактность или самосопряженность, являются
в действительности его свойствами по отношению к определенным структурам
в тех функциональных пространствах, где он действует, и оттого зависят от
последних.)
Выше мы рассматривали A—V2) как оператор из Я0 в Я1 и видели, что
он совпадаете i*. Но можно рассматривать A — Va)-1| только для |еЯ1(с*7\М),
а областью значений по-прежнему считать Я1 (с*ТМ). Это будет уже другой
оператор—не ?*, a l*i (ибо можно сказать, что сначала \^ Н1 (с*ТМ) вкла-
вкладывается в Я0 (с*ТМ): 11—*¦ i%, а затем на i\ действует прежний оператор
A—V2), т. е. t*). Заметим, что оператор i*i тоже компактен, и это следует
не только из компактности ?*, но и непосредственно из компактности i (плюс
ограниченность i*).
В таких случаях, когда различные операторы могут с равным основанием
обозначаться одним и тем же символом (например, I* и i*i—символом A —
— V2)), нужно быть особенно внимательным.
(is) Будем по-прежяему обозначать локальные представления с, и, grad E
в используемых нормальных координатах через с, и, grad Е. В некоторой
окрестности нуля R", n = dimM, теперь имеются две римановы метрики:
стандартная евклидова метрика в R", которую будем обозначать (-, -)«, и
метрика, которая представляет в наших локальных координатах исходную
метрику на М и которую мы снова будем обозначать через (•, •). Соответ-
Соответствующий смысл будут иметь знаки | • |, | • ?„, || • |ет) | • fa, (•, . )„ и они же
с верхним индексом е. Поскольку для евклидовой метрики ковариантное
дифференцирование совпадает с обычным, символ V сохраним для ковариант-
ного дифференцирования, отвечающего метрике (•, •), т. е. ее связности
Ливи-Чивита, а символы Кристоффеля для этой связности, соответствующие
используемым локальным координатам, обозначим через Г.
В достаточно малой окрестности нуля
|о|«<A+в)|о|, |»|<A+в)|о|«, |Гр<в,
где е можно считать сколь угодно малым. Отсюда следуют аналогичные нера-
неравенства для ||oj0, Io|J, если veH°(c*TM) и с лежит в этой окрестности.
Получим оценку для || о |* через (v ||i (v е Я1 (с*ТМ), Е (с) мало). Имеем
i = Vi»—Г (с). (с, v). так что ||й ij^li Vt> ||J + ., Г (с). (с, v)fv Здесь
Но \с Ь>=У^2Е (с) и можно считать, что это < 1. Значит,
Уменьшив в несколько раз е, можно считать, что
364 Примечания редактора перевода
t
Пусть у @ := (grad ? (с)) (t), z(t):=\y (s) ds, и (i) := и (с) (t). Имеем « 4
4-Г (с) (с, u) = y(f), и при 0 s
t \e 1
о
Но и (с)=V grad Е (с)—дс,
| и ||„ *? | V grad Е (с) Цв+1 дс [„ =s= || grad ? (с) ],
тах что
| и @-е @)-г @ Iе *?е A +е) (I grad ? (
и тем более
1 и-и @)-г|^е A +в) (||grad E (с)
Теперь можно оценить (дс, иH:
?с, «@))д|+| <5с, 2>J|+| (ас, и — и@)—гI
Первое слагаемое равно нулю. Второе не превосходит
;11г|^A+Е)|ас!|0|2[Г^A+е;
^ 2 A +в) УШЩ | у g ^ 2 A +е)« /2F(c7|1 grad ? (с
^ 2 A + в)» (|| grad Е (с) If + Е (с)/2).
Третье слагаемое не превосходит
fdc|g | и-и @) -г U *? е A +еJ УЩс) (| grad Я (с)
^ е A + еJ (|| grad ? (с) И + 5? (с)/2)
Очевидно, при достаточно малом 8 отсюда следует (*).
B0) Вообще говоря, такого е для данного а может и не существовать
(в этом случае а — неизолированное критическое значение). Для такого а
понятие ф-семейства AmodAa не определяется. Заметим, что ос = 0 является
изолированным критическим значением и что для целей настоящей книги
критические значения всегда можно предполагать изолированными, ибо в про-
противном случае очевидно существование бесконечного числа простых замкнутых
геодезических с различными значениями ? (так что эти геодезические не Moryi
сводиться друг к другу посредством изменений параметризации или ориентации).
Ведь если бы множество
{? (с); с —простые замкнутые геодезические}
было конечным, то множество
? (О Л) = {kE (с); k ^ 0 целые, с — простые замкнутые геодезические}
не могло бы иметь предельных точек.
B1) Приведенная формулировка понятия «Л повисает на К,-» (кстати, в ней
первое из отмеченных уточнений заимствовано из книги: Флашель, Клинген-
берг [1]) оставляет некоторое чувство неудовлетворенности: в ней роль «пре-
«препятствия» к «спуску» А в Ли~ играет скорее #,-, чем К{. Не исключено, что
ffsA никогда не попадает в некоторую меньшую окрестность U'( множества Kj.
Роль К,- исчерпывается тем, что окрестность #; содержит /(,¦ и «отделена» от
остальных К/.
Примечания редактора перевода 365
Можно рассмотреть более сильное условие «повисания»: для любой окрест-
окрестности U гэ К; найдется такое s(U), что ysA(\U Ф ф при всех s~^s(U) (и
по-прежнему q>sA[\U ф. Ли~); при этом естественно добавить еще требование,
чтобы критический уровень ф-семейства {<psA; s^O), т. е. lim max Е | q>sA,
s-*co
совпадал с и. (Если он больше к, то естественно считать, что А висит «где-то
выше».) Но в о/? может и не существовать такого множества А, для которого
Х{Ф i4-«>0)=х*г (при этом первое из условий рассматриваемого сильного
варианта «повисания» может как выполняться, так и нарушаться). Правда,
если такое А существует то оно повисает на некотором К,- (в обсуждаемом
сейчас более сильном смысле). При этом такое А повисает на К,- в том и
только том случае, когда К; содержит ©-предельную точку (и, следовательно,
все «-предельное множество) траектории <psc некоторой точки с из А.
Ситуация улучшается, если % = у.л — изолированное критическое значе-
значение Е. Тогда при достаточно малом 8 > 0 из А а Ли+е, A s q^ следует, что А
висит (в сильном смысле) на некотором К,-. Все же надо иметь в виду, что и
при изолированном у. может случиться следующее: одно и то же Л может
висеть сразу на нескольких К,- (более того, может н не существовать такого А,
которое висело бы только на одном /(,-); различные А могут висеть на различ-
различных К,- (точнее, множества тех /(,-, нэ которых висят, скажем, А и А', могут
не пересекаться); наконец, если А висит на множестве Ki, которое в свою
очередь можно разбить на непересекающиеся замкнутые подмножества К и, ...
..., Кц, то А висит хотя бы на одном из них, но не обязательно на всех.
(Это, впрочем, соответствует обычной разговорной практике: картина может
висеть на нескольких гвоздях; если одежда висит на вешалке, то различные
предметы одежды обычно висят на различных крючках; наконец, если шляпа
висит на вешалке с пятью крючками, то это не означает, будто ее ухитрились
нацепить сразу на все пять крючков.)
Если же стремиться однозначно сопоставить компактному множеству А сг Л
«то место на множестве уровня Е^Ы^ л;5;^о})> где повисает А при градиент-
градиентном спуске», то наилучшим кандидатом иа эту роль представляется множество
Здесь верхний предел множеств lim ф^Л := О U (PsA = {e; для любой
окрестности U точки е и любого I существует такое s>t, что yisAF\U Ф ф).
B2) а) В формулировке леммы 2.1.4 говорится о гомотопической эквива-
эквивалентности двух отображений (v и у0). Если это не оговорка, то это можно
понимать как эквивалентность в гомотопической категории отображений
(см. Спеньер [1], гл. 7, § 8). Правдоподобно даже более сильное утверждение,
что I является послойной гомотопической эквивалентностью, т. е. что сущест-
существуют такие гомотопически обратное к / отображение и соответствующие гомо-
топии, которые не просто отображают слои в некоторые слои, но при которых
слой над точкой ieM переходит в слой над той же точкой х. (Если пони-
понимать «слои над х» просто как 7~1(Л:) и V0^)» To формулировка будет иметь
смысл независимо от того, являются ли у и у0 расслоениями. Впрочем, в на-
нашем случае у и у* в самом деле являются расслоениями—о у0 эт0 известно *',
а насчет у см. б) ниже.) Как бы то ни было, у Клингенберга доказано только
то, что пространство AM гомотопически эквивалентно (посредством /) про-
*' Между прочим в данном случае, когда М — многообразие, у° является
не только расслоением в смысле Серра (что общеизвестно), но н локально
тривиальным расслоением; см. Болтянский [1].
366 Примечания редактора перевода
странству С0 (S, М), которое является пространством расслоения •/>. Этого
достаточно для дальнейшего.
б) Клингенберг часто называет у «расслоением». Хотя в его книге это
не доказывается (н, по существу, не используется, так что на такое название
для у можно смотреть просто как на некоторую вольность речи), но у дей-
действительно является локально тривиальным расслоением. Это можно доказать
с помощью одной теоремы Эрла и Иллса (Эрл, Иллс [1], предложение ив
п. (С) § 4). Условия этой теоремы (формулируемые применительно к нашему
случаю) таковы:
1) Отображаемое пространство AM полно (выполняется в силу 1.4.5).
2) Отображение у является дифференцируемой субмерсией.
О дифференцируемое™ у см. в доказательстве 1.4.2 (в используемых там
обозначениях y = evn). Ясно, что если | е Н1{с*ТМ), то Ту {с). \ = % ф) и что
Ту (с): ТСАМ -*ТусМ— эпиморфизм.
В определение субмерсин часто включают еще требование, чтобы ядро
ker Ту (с) при всех с е AM разлагало ТСАМ (т. е. чтобы в ТСАМ имелось
дополнительное к кегГу(с) замкнутое пространство), см. Ленг [1]; в статье
Эрла и Иллса [1] это условие тоже налагается с самого начала. Но в нашем
случае оно автоматически выполняется сразу по трем причинам: оно следует
из 3); мы имеем дело с гильбертовыми многообразиями; ядро имеет конечную
коразмерность.
3) Для каждого х s М существуют такие окрестность Vo э х и число ц0,
что для каждого с е V (Vo) существует линейное отображение
(а) sc: TycM + TcAM,
для которого
(б) Ty(c)^sc=idr^M,
(В) 1 Sc li sg ТH.
В нашем случае можно взять Vo=Af и тH=4е/(е— 1). Именно, определим
линейное отображение sc так, чтобы его образ был ортогонален в (•, • )-х
k Т () З ?(/) Са 0^<^1
рн c , р рл
метрике ker Ту (с). Заметим, что если ?(/) — класса Са при ^^
(но, вообще говоря,%ф(?(с*ТМ) — при «замыкании» интервала [0, 1] в окруж-
окружность S допускается разрыв производной в точке t = 0), то при любом т] е
&Н1(с*ТМ) в интеграле j(V?(/), Vr\(t))dt можно осуществить интегрирова-
интегрирование по частям, и поэтому
(г) <6, Л>1 = $<?-?2?. tl>«tf+<VS<l)-V?(O), ii@)),
(Последнее слагаемое здесь получается из (Vg, r\) \1 с учетом того, что т)@) =
= т)A).) Если же (|, t))j = O при всех х\, для которых Ту(с).г\=0, т. е.
¦ц@) = 0, то, считая дифференциальные свойства | на [0, 1] достаточно хоро-
хорошими (что будет далее оправдано a posteriori), заключаем, что
при любом т) е Н1 (с*ТМ), для которого т)@) = т)A) = 0. Иными словами,
(Д) V»?@-?@=0, 0==?<*Е1.
Если мы хотим, чтобы при этом было Ту (с). \—Z с заданным Ze TycM, то
(е)
Рассуждая в обратную сторону, заключаем, что решение краевой задачи (й,
(е) (при «замыкании» интервала [0, 1] в S оно оказывается элементом Я1 (с*ТМ),
ибо ?@) = ?A)) ортогонально ker Ту (с) и проектируется в Z.
Примечания редактора перевода 367
Аналогично A9) введем новые переменные ы = | + ^|, и = | — V| и будем
искать и и v в виде
(с такими же |;, что и там). Пусть, кроме того, Z=»?z,g,-@). В этих терми-
терминах (д) принимает вид
так что х@ = е'*@), y(t)*=r-'y(O), а (е) принимает вид
так что все сводится к системе
имеющей ровно одно решение:
(о)(л~1
Матрицы A^—tr^E и Л—еЕ — нормальные, причем их собственные значения
не превосходят по норме 1+е и 1+е; поэтому при Ofl
Далее,
т 2
и ввиду ортонормированности базиса |{
11@1. \ЧЮ\^Чш(\*ФИ
так что
-max | у @|
¦I-
4е
А ! г | =-1 Z |, так что действительно | sc . 1 \х ^ ^—у | Z |.
(гз) Точнее, стандартным фактом является аналогичное утверждение для
C°(S, М) (в обозначениях из 2.1.4 расслоение у0 имеет сечение ji), а ЛМ
имеет те же гомотопические группы. Но если пожелать уточнить, как именно
слагаемые п^М и Щ+\М вложены в п^АМ, то (если мы не хотим использовать,
что 7~Расслоение> т. е. сослаться на работу Эрла и Иллса [1]) требуется
небольшое дополнительное рассуждение. Ясно, что вложение щМ в щАМ
индуцировано отображением i, ибо в аналогичном разложении для щСа (S, М)
слагаемое nkM вложено посредством (ji)k, a fk: nkAM -+¦ KkC° (S, М) — изо-
изоморфизм. Что же касается Q, то, конечно, вложение Q -*-C° (S, М) не факто-
ризуется через у. Однако любой элемент «ея»(Й, ix0) (здесь ха — точка,
являющаяся начальной и конечной для всех путей из Q, а одноточечная кри-
кривая ix0 рассматривается как петля из Q) имеет среди своих представителей
такое отображение F: (/", d/")->-(Q, ix0) (здесь / = [0, 1], а д обозначает
границу), для которого F (хъ ..., хп) (t) гладко зависит от (хи ..., х„, t);
такое отображение F можно рассматривать как отображение в ЛМ (и даже
в у1 (*<)))¦ и соответствующий элемент группы nft (ЛМ, ix0) есть /?'а.
Как известно, изоморфизм nk+l(M, xo) = nk(Q, ix0) можно описать так:
368 Примечания редактора перевода
отображению g: (In+1, dln+1) -*¦ (М, х0) сопоставляется G: (/", д1п) -*¦ (QM, ix0),
для которого G (хъ ..., х„) (t)=g(x1, ..., хп, t). При этом можно ограничиться
гладкими g, a G определяет элемент из щ (AM, ix0), который является обра-
образом при вложении nk+1M -*¦ nkAM элемента группы nk+1M, содержащего g.
Заметим, кстати, что Л есть ретракт Л, так что точная гомотопическая
последовательность пары (Л, Л°) тоже расщепляется: яЛЛ = я^.М +яА (Л, Л°).
Сравним это с полученным ранее разложением я^Л = л^М -\-nk+1M. В обоих
разложениях первое слагаемое есть образ я^Л0 при вложении Л° <~ -, л,
так что вторые слагаемые изоморфны.
(а4) Имеет смысл сравнить эти два доказательства. Их различия сводятся
к следующим двум.
1) В первом доказательстве рассматривается отображение nk+1M -*¦ лкАМ
и используется его мономорфность. Во втором — отображению f: Sk+1 -*¦ М
явно сопоставляется некоторое /*: (D*, dD*)-»-(A, Л°) и явно описывается
гомотопия /~0, отвечающая некоторой определенной гомотопии /• ~ 0.
Построение /* по / — это фактически построение гомоморфизма nk+lM -*¦
-*-лй(Л, Л°), который совпадает с композицией уже известных нам отображе-
отображений nft+1M -> iiftA->-я^ (Л, Л°) и потому мономорфен (см. B3)). Действительно,
конкретизируя построение /*, положим ••
:={(*„
(a:0 «hl)
S*«; *0=0,
и при O^s^ 1
6s:=@ 0, 1/s)
при s>0, а при s=0 берется соответствующая бесконечно удален-
удаленная точка в обычном проективном смысле),
Чу Dk.+ S'', @, xt xk+1) .-* @, yt yk+1),
где yft+i = s + (l+s)*ft+i. yi = °LXi ('=1 *). причем а>0 определяется
из условия у\ + ...+у1 + у%+1 = \.
При jeS' рассмотрим окружность на S*+1, получающуюся в пересече-
пересечении этой сферы с двумерной плоскостью, проходящей через точки х, bs и
параллельной оси х0. (Когда s=l и х=Ь\, эта плоскость еще не определена
однозначно; доопределяем ее как касательную плоскость к S" в точке Ьх.
Если Xfc+i = s, то окружность вырождается в точку х.) Параметризуем эту
окружность пропорционально длине дуги, приняв точку х за начало, а за
положительное направление в этой точке —направление возрастания х0. Обозна-
Обозначим через a*x(t) точку на окружности с параметром t, O^lag 1; при необходи-
необходимости можно считать asx (t) определенной для всех t (с периодом 1). Введем
отображения
и положим
/•:=A/.6*.i|y (D*. dD*)-^(AA4, Л°М).
(Ясно, что точки dD* действительно отображаются в одноточечные кривые.)
*' Эти обозначения вводятся временно: так, в § 2.3 S* имеет другой
смысл. Координаты в R*+a будем нумеровать от 0 до ft-f-1.
Примечания редактора перевода 369
Очевидно*', f*=/*~/*. Поскольку 3D* при отображении /f переходит
в точку if* Fj), соответствующий элемент группы яй (Л, Л°) является образом
некоторого р е я^Л. Именно, надо профакторизовать ff через отображение
(D*, dDk) -*¦ (Sk, bi), «склеивающее» 3D* в точку; в качестве такового
годится фг Итак, р э F := Л/ • 6^: ($*, 61)-»-(ЛЛ1, '/(^х)). Но изоморфизм
nk+iM=*nk\M, описанный в (аз) в «кубических» терминах, в «сферических»
терминах возникает как раз путем сопоставления отображению / отображения F.
Действительно, возьмем какое-нибудь отображение X: (/", д1п) -*¦ (S", &i),
гомеоморфное на 1п—д1п, и положим
х: {,пп, di»».)^^, bl)t %iXl *n+i) = ak(Xi Я
Ясно, что если g=/.^. то, в обозначениях из B3), G = F°X.
2) Вместо ретракции Л8->-Ло по траекториям градиентной системы в Л
во втором доказательстве использовано стягивание в точку коротких кривых
посредством простого геометрического построения в самом М (кривая c(t)
представляется в виде ехр|(<), ?(/) ж ТсЛ>М, и при значении параметра
деформации s она переходит в кривую exp s\ (t)). Ясно, что элементарное
построение такого рода годится и в более общей ситуации — для финслеровых
метрик или даже для метрик Буземана (см. Буземан [1]), и если предыдущие
рассуждения тоже каким-то образом перенесены на этот случай **', то полу-
получится доказательство существования одной замкнутой геодезической в этой
более общей ситуации.
B5) В теории Люстерника —Шнирельмана, к которой теперь переходит
автор, не делается никаких предположений о невырожденности замкнутых
геодезических. Излагаемая же позднее теория Морса относится —по крайней
мере, непосредственно относится —к тому случаю, когда такое предположение
выполняется. В аналогичном вопросе о критических точках функции на много-
многообразии в теории Морса тоже делается предположение о невырожденности
критических точек; в противном случае эта теория, грубо говоря, дает оценки
снизу для числа критических точек лишь с учетом приписываемых последним
некоторых «весов» **•'. В связи с этим в отечественной литературе было при-
*' Непрерывность б*»^ в точке (bv 1) нуждается в специальной про-
проверке, ибо 6* (х) не непрерывно по (х, s)eS*X[0, 1] в единственной точке
{bv 1). Здесь существенно, что речь идет именно о б* ° ipJt Несложное геомет-
геометрическое рассуждение показывает, что при (х, s)eD*X[0, 1], близких
к (bv 1), окружности /о^, (Х)(<)} получаются целиком лежащими в малой
окрестности точки Ь1 на S". Значит, если а& (J^(*) = exp %(t), %(t)&Tb S",
то \\{t)\ мало; кроме того, окружность должна быть короткой. При исполь-
используемой нами параметризации, пропорциональной длине дуги, скорость
я/ °Ф (х) @ Д°лжна быть малой, а поскольку при малых 111 отображение
01 ^S
V2exp (Е) мало меняет нормы векторов, то и 11(<) j должна быть малой.
••' Во всяком случае, для фннслеровых метрик это возможно (хотя бы
с помощью прежних «кустарных» приемов —собственно, Морс и Фет рассмат-
рассматривали именно финслеровы метрики).
***' Для изолированной критической точки с функции / на замкнутом
многообразии М ее i-e типовое число есть
пц (с) :«= dim Ht ((M*-[)c) mod M*~),
где АР*":— (хвМ; /(х)<н}, х:=?(с), гомологии берутся с козффициен-
370 Примечания редактора перевода
нято говорить, что теория Люстерника —Шнирельмана дает оценки снизу для
числа «геометрически различных» критических точек, а теория Морса — для
«алгебраического (или аналитического) числа» критических точек. Примени-
Применительно к задаче о замкнутых геодезических термин «геометрически различные
критические точки» не очень удачей — «геометрическим» лучше было бы
называть то, что относится 'непосредственно к М, а в данном случае речь
идет только о различных критических точках функционала ? в Л (точнее,
в П, см. § 2.2), которые, как уже говорилось, могут соответствовать одной и
той же замкнутой геодезической в М.
Bв) Ситуация со статьей Пуанкаре [1] вкратце такова. Эта статья, не считая
введения и параграфа с предварительными сведениями о сопряженных точках,
естественно делится на четыре части *'.
1) § 3 посвящен метрике g^, которая зависит от параметра ц и при |х = 0
обращается в стандартную метрику. Исследуются замкнутые геодезические
при малых (А, замыкающиеся, грубо говоря, после одного оборота вдоль
(и возле) некоторого большого круга (заметим, что такие замкнутые геодези-
геодезические не могут самопересекаться), Вводится вспомогательная осредненная
функция Гамильтона, определенная на проективной плоскости, точки которой
интерпретируются как большие круги. Эта осредненная функция Гамильтона
должна иметь хотя бы трн критические точки. Если оии невырожденные, то
исходная метрика g^ должна при малых \х иметь замкнутые геодезические,
близкие к соответствующим большим кругам, — это можно доказать обычными
методами теории возмущений. Вопрос о том, что будет в случае вырождения
критических точек, не обсуждается. За исключением этой последней оговорки
(которая, конечно, существенна для точной формулировки того, что же здесь
доказано), в остальном рассуждения Пуанкаре в § 3, по существу, являются
строгими, хотя и было бы желательно сделать их формально более четкими.
Как заметил А. И. Грюнталь, при этом целесообразно воспользоваться техни-
техникой из работы Мозера [6].
2) В § 4 рассматривается уже произвольное аналитическое однопараметри-
ческое семейство метрик положительной кривизны g^. Пуанкаре пытается
использовать аналитическое продолжение замкнутых геодезических по ц. Его
формулировки здесь не являются достаточно четкими. Главное же, он не дока-
тами в поле k (традиционно k=Zt). Неравенства Морса (см. Зейферт и Трель-
фалль [1]) гласят, что в случае замкнутого М при ;=0, 1, .... dimM
2 (-i)/-'2^w> S (-i)f-'bt,
1 = 0 с («О
где bi := dim Яг (М) есть 1-е число Бетти; при / = dim M неравенство обра-
обращается в равенство. Отсюда следует, что если принять 2 Щ (с) за «вео> с, то
i
сумма весов всех критических точек ^ ^] h- Обычно, впрочем, говорят только
о типовых числах точки с, не вводя особого названия для их суммы. Следует
подчеркнуть, что хотя эта сумма в теории Морса играет как бы роль «крат-
«кратности» критической точки, но лучше не называть ее кратностью, ибо она не
совпадает с той кратностью, которая вводится в теории особенностей гладких
отображений и которая обобщает соответствующие понятия из алгебры и
элементарного анализа. Например, функция одной переменной/ (х)=ахп-\- о (ж"),
а Ф 0, имеет в точке 0 критическую точку кратности п — 1, тогда как ее типо-
типовые числа равны нулю, за одним только исключением: то(О) = 1 при четном п.
*' Я не сохраняю языка и обозначений Пуанкаре и не воспроизвожу его
формулировок. Читатель при желании может обратиться к самой его статье,
которая переведена на русский язык и легкодоступна. См. также Аносов [Б], [6].
Примечания редактора перевода 371
зывает возможность аналитического продолжения замкнутых геодезических,
а, считая ее чем-то само собой разумеющимся (для всех (г), доказывает, что
при этом продолжении хоть одна несамопересекаюшаяся замкнутая геодези-
геодезическая остается в действительной области. Биркгоф [1] устранил основной
пробел в этой аргументации, доказав, что если замкнутая геодезическая без
самопересечений сц непрерывно зависит от параметра \i, 0 ^ р, < \л,0, то при
|х->|х0 ее длина остается равномерно ограниченной*'; эта «априорная оценка»
гарантирует, что при Ц = Цо существует замкнутая геодезическая с0, являю-
являющаяся в понятном смысле предельной по крайней мере для некоторой под-
подпоследовательности с^п. После этого для завершения доказательства надо
посмотреть, что происходит в окрестности с0 при |Л, достаточно близких к [i0.
(При этом проще использовать не соображения аналитичности, а свойства
простейших бифуркаций для «типичных» однопараметрическнх семейств метрик.
Последнее, кстати, позволяет вместо аналитичности довольствоваться принад-
принадлежностью метрики к классу С с подходящим п.) Подчеркну, что это допол-
дополнение Биркгофа относится только к тому случаю, когда кривизна положительна
(во всех точках и при всех ц). Любопытно, что Пуанкаре делает именно
такое предположение, хотя в имеющихся у него рассуждениях оно исполь-
используется только в стоящих особняком § 7, 8.
Пока что речь шла о самонепересекающихся замкнутых геодезических.
Если же говорить вообще о замкнутых геодезических независимо от наличия
или отсутствия у ннх самопересечений, то здесь ситуация осложняется. Нужно
различать эти замкнутые геодезические по чему-то вроде числа точек само-
самопересечения. К сожалению, пока что не исключено, что при изменении ц
число точек самопересечения у замкнутой геодезической сц, непрерывно зави-
зависящей от (х, может измениться. Точнее говоря, Сц, обладает, очевидно, следую-
следующим свойством: если при некотором Ц = ц0 она имеет точки самокасания, то
Сщ «вырождается» путем слияния нескольких ее частей друг с другом (крат-
(кратность fy при [i = [io повышается). Не исключено, что число точек самопересе-
самопересечения изменится при прохождении ц через значение ц„. Во всяком случае,
легко показать на примере, что изменение числа точек самопересечения может
произойти, если рассматривать не замкнутую геодезическую, а просто замк-
замкнутую кривую c^, непрерывно зависящую от |х и обладающую указанным выше
свойством. Может ли подобное явление произойти для замкнутых геодезических,
неизвестно. Пуанкаре утверждал и использовал, что ие может, однако в соот-
соответствующих его рассуждениях никак не используется тот факт, что мы имеем
дело именно с замкнутой геодезической, а не вообще с какой-то замкнутой
кривой, так что этн рассуждения заведомо бездоказательны.
Игнорируя эту трудность**1, можно подумать, что из его рассуждений
следует существование бесконечного числа замкнутых геодезических для рас-
рассматриваемых метрик. Биркгоф этого не оспаривал (если не считать упомина-
упоминания о соответствующей модификации его дополнения насчет «априорной оценки»
длины). В действительности же на этом пути можно будет получить какие-то
результаты лишь тогда, когда либо будет доказано, что для замкнутых гео-
геодезических подобного явления не происходит, либо будет введен какай-то
более сложный инвариант рассматриваемого класса деформаций замкнутых
кривых (причем надо, чтобы «априорная оценка», «срабатывала» бы с этим
инвариантом). Еще об одном препятствии см. Аносов [5].
*' Это, конечно, сразу следует из известной оценки сверху для длины
несамопересекающейся замкнутой геодезической через минимум кривизны
(Топоногов [1]), но во времена Биркгофа эта оценка не была известна. Рас-
Рассуждения Бнркгофа проще, чем у Топоногова, но зато и не дают явной
оценки, тем более точной.
••' Которую и в наши дни не заметил Клингенберг [20].
372 Примечания редактора перевода
3) В § 5, 6 обсуждаются качественные свойства замкнутых геодезических.
В § 5 речь идет об устойчивости или неустойчивости (в линейном приближе-
приближении), а в § 6 —об устойчивости и двойных точках замкнутых геодезических,
возникающих при бифуркации.
Пуанкаре считал доказанным, что всегда существует устойчивая замкнутая
геодезическая без самопересечений. Но это неверно, как показал Грюнталь [1].
Формально в статье Грюнталя метрика не аналитическая, а бесконечно диф-
дифференцируемая. Однако несложные дополнительные соображения показывают,
что при малом возмущении построенной им метрики снова получается метрика,
у которой все замкнутые несамопересекающиеся геодезические являются гипер-
гиперболическими. Поэтому существует и аналитический пример.
Вместе с тем основные утверждения Пуанкаре могут быть строго обосно-
обоснованы для метрик, достаточно близких к стандартной. В отличие от 1) сейчас
речь идет не об окрестности стандартной метрики в однопараметрическом
семействе, но о ее окрестности в пространстве всех метрик. По поводу вопро-
вопросов такого рода см. Грюнталь [2], Торбергсон [3], Бальманн, Торбергсон и
Циллер [1] *'.
4) В § 7 Пуанкаре приводит еще одно доказательство существования замк-
замкнутой геодезической без самопересечений. Оно является вариационным. Рас-
Рассматриваются всевозможные замкнутые кривые без самопересечений, которые
разделяют поверхность на две области, имеющие полную кривизну 2я. Крат-
Кратчайшая из этих кривых является геодезической. На мой взгляд, в рассужде-
рассуждениях § 7 имеется пробел (доказывая «от противного», что у предела миними-
минимизирующей последовательности нет дуг, которые соприкасаются друг с другом,
Пуанкаре использует известную регулярность этих дуг, которая априори не
очевидна). Однако правдоподобно, что их можно сделать вполне строгими.
Наконец, в § 8 Пуанкаре устанавливает, что не всякая замкнутая гео-
геодезическая без самопересечений может получиться как решение рассматриваемой
вариационной задачи.
B7) Докажем, что ш' = @, ()• Интерпретируем многообразия Шуберта
в терминах плоскостей. Элемент многообразия [а, Ь] есть плоскость в R*+2,
имеющая нетривиальное пересечение с Ra+1. Слоем расслоения у"'1 \ (у") [а, Ь]
над этим элементом является ортогональное дополнение к этой плоскости
в Rn+1; оно при всех таких плоскостях содержит ортогональное дополнение
к R6+2 в Rn+1. Последнее имеет размерность я — Ь— 1. Получается, что вектор-
векторное расслоение уп~1\ (у") [я> Ь] имеет га— Ь—1 линейно независимых сечений.
Пусть вообще некоторое m-мерное векторное расслоение \, база которого
является клеточным разбиением, имеет к линейно независимых сечений. Пре-
Препятствием по модулю 2 к построению таковых над (/л — й-|-1)-мерным остовом
базы служит (т — k-\- 1)-й характеристический класс Штифеля — Уитни wm~kA1 (g)
данного расслоения, см. Милнор, Сташеф [1]; итак, wm~k+1 (?) = 0. А так как
из существования к линейно независимых сечений следует существование и
любого меньшего числа линейно независимых сечений, то заключаем, что
в»/(?)=0 при /Зг/п —ft+1.
В нашем случае получается, что при отображении Н* @B, га —1))->-
->Я*([а, Ь]), индуцированном вложением [a, i»]c_>GB, га—1), образ w/,
который мы обозначим через ®/ \ [a, b], равен нулю при j^b+\. Значит,
<®'\ [1, t-l]>=0, <в*. [2, i-2]>=»0
В Hi(GB, я—1)) остается еще только один образующий элемент [0, i], и
поскольку ®{ф0, то (а)', [0, i]) = l. Но полученные соотношения — как раз
те, посредством которых определяется @, t).
*' Пользуюсь случаем отметить, что в моем докладе [2] по небрежности
выпало упоминание о близости метрики к стандартной и в итоге получилось
неверное утверждение.
Примечания редактора перевода 37?
Ясно, что oi1 = @, 1) (ведь Н1 (О B, га — l)) = Za имеет единственный не-
ненулевой элемент). Рассмотрим, далее, векторное расслоение у21 (¦у2)* [0, 2)
Элементы из [0, 2] суть плоскости, лежащие в R4 и проходящие через RJ
Значит, расслоение у21 (т4) [0, 2] имеет нетривиальное сечение (сопостав-
(сопоставляем фиксированный вектор из R1 каждому элементу из [0, 2]). Соответст-
Соответствующее препятствие есть w2 | [0, 2]. Итак, (да8, [0, 2])= 0, а поскольку
Я2(ОB, га— 1)) имеет образующие [0, 2] и [1, 1], то (да2, [1, 1]> = 1. Тем
самым доказано, что шг = A, 1).
B8) Пусть р: Е -> В есть й-мерное векторное расслоение, имеющее своей
базой конечное клеточное разбиение (клетки ev ... eNy a ?x — соответст-
соответствующее расслоение на (замкнутые) диски. Стягивая дЕх (границу Е\ в Е,
г. е. расслоение на сферы, ограничивающие диски) в точку (обозначим ее е0),
получим пространство Тома Еу/дЕ^ расслоения Е. Тогда е0, fr1 (e^), ...
..., P~l(eN\ — клетки пространства E^/dEi, и легко видеть, что они образуют
клеточное разбиение. При этом по модулю 2 коэффициенты инцидентности
так что возникает изоморфизм соответствующих клеточных цепей, коммутирую-
коммутирующий g граничным оператором и индуцирующий некоторый изоморфизм гомо-
гомологии
ф: Hi (В; Za)->Wi+ft(?i/5?i; U=*Hi+k(Ex, dEt; Z2).
Изоморфизм ф~] совпадает с изоморфизмом Тома. Несмотря на общеизвест-
общеизвестность данного утверждения, я не знаю учебника, содержащего его доказа-
доказательство. Впрочем, оно очевидно в нашем случае когда В = РПгЛ и в каче-
качестве клеточного разбиения можно взять разбиение на Р°, ... , pi — pl-i
где проективные пространства Р1 вложены в Р"~г в соответствии с естест-
естественными вложениями R1 с: R2 с ... с: R". В этом случае в каждой размерно-
размерности имеется только одна клетка и ей отвечает единственный нетривиальный
элемент группы гомологии Hi (В; Ъг) — Ъъ так что имеется единственный
изоморфизм
Нг (В; и -* AW-i (О B, п- 1), G B, n-2); Z2),
а потому ф и изоморфизм Тома заведомо должны совпадать *'. К тому же
нам важно только то, что при некотором изоморфизме —неважно, что это
изоморфизм Тома, —образы циклов [аи га— 1] в Н* (G B, п — 1), G B, га —2); Za)
переходят в циклы Р. Очевидно, что это так при изоморфизме цг1: ведь
если (/—фигурировавшая раньше окрестность 0B, га —2), то
(n_t 1@B, ra-l)-f/))-i (/>"¦) = [%, n-l]-U.
(*») В совпадении Л» [0, га —1] и «, {0, 0} можно убедиться также путем
прямого геометрического рассуждения, аналогичного (и). Фигурирующее там
число k будет теперь равно п — 1, а для сферы, обозначенной в (м) через Sk,
примем обозначение S*"'1. Отметим, что определения bs и asx(t) (а значит, и
б"), использованные в (м) при Os^ss^l, сохраняют смысл и при дру-
других s; теперь у нас будет O^s^oo. Впрочем, отрезки 0==?ssgl и i
все равно мы будем рассматривать отдельно, поэтому обозначим
К - 6i/, = (°. - ¦ 0, s), aj (t) := о»" (О, «Г1 := в»^1
*' Однако позднее нам понадобится совпадение <р~' и изоморфизма Ти i
в таком случае, когда соответствующие группы уже не сводятся к Zs-
374 Примечания редактора перевода
При s=l, рга,Ь1 = Ь1 мы по-прежнему доопределяем 31 (t) = a[ (t) как 5i = &,
при всех t и соответственно понимаем б"~1 = б™~1.
При Osgss^l в (**) строились отображения ff = Af»8?~i'tyt. У нао
M = Sn, f = \dsn, так что A/=idASn. Кроме того, каждая кривая 6?~' (х)
является окружностью на сфере, параметризованной пропорционально длине
дуги, поэтому можно рассматривать б"~' как отображение
S*»~l-+ASn, xt-+ а*.
Сопоставляя определения {0, 0} и 6J—1, заключаем, что в Нп_х (Г$я, r°Sn)
{0, О^я^К-1],
где [бд~!] s ^^(AS", A°Sn)—определяемый «относительным сфероидом»
б"~' элемент этой гомотопической группы, Я8 —композиция гомоморфизма
Гуревича
Н: nn_x(kSn, A"S")->//„_! (AS", A<>S"; Z)
с последующей заменой группы коэффициентов на Z», а яф индуцировано
проекцией я: AS" -»¦ TS". Но отображения
осуществляют гомотопию 6^ * = б" * • i|j0 и б"»^, так что
", r°S")
б * • i|j и б""
{0, 0}=я#Яг[б?-1.г|51
Теперь при 0 г? s sc 1 определим отображение
^: S^-i^S*», % (ж) = (У
ф4 (jc) есть точка пересечения g S*" прямолинейного луча, исходящего из 6S
и имеющего то же направление, что и луч, исходящий из 0 и проходящий
через х. Отсюда ясно, что при s < 1 плоскость V^ s), параллельная оси х0
и проходящая через точки ips (х) и bs, пересекает S*" еще в точке i|3s (— х),
причем i|3s (х) и 1|>з (— л;) являются диаметрально противоположными точками
окружности V%x 5)П5Я. При s=] подобное утверждение имеет смысл для
точек с хп < 0. При л:я>0 будет У>\(х) = Ь1, так что плоскость Vfx s) не
определена, однако при ха = 0 ее можно доопределить как касательную пло-
плоскость к Sn в точке*!, а при дг„>0 —как плоскость VB_X| S), соответствую-
соответствующую тому же построению с заменой г|> (jc) на г|>(—х). После этого можно до-
доопределить si. (/) при хп^0. При этом при всех х, s, t
<->
Для всех s ® [0, 1] можно определить отображения
непрерывно по (л:, s). При s < 1 илн хп < 0 это следует из того, что
gs=6"~'>ips, а при s=l и х„>0 —из непрерывности при хп < 0 и (**),
так что в специальной проверке нуждается лишь непрерывность в точках
Примечания редактора перевода 375
dDn~1Xl. Но ясно, что все они под действием gx отображаются в одноточеч-
одноточечную кривую S-*-'Oi, и нетрудно убедиться, что, когда t достаточно близко
к 1, а х— к dD11'1, соответствующая окружность gs(x) целиком лежит в ма-
малой окрестности точки 5t на S". Поскольку она параметризована пропорцио-
пропорционально длине дуги, то зт gj (*) (t) мало. Следовательно, если gs (x) (t) =
мехр|A), гДе \{f) ^T- Sn, то \\{f)\ и 11 (f) | малы. (Попутно мы отметим,
что при s=l и jtedD" тоже имеет место равенство g1 = 6"~1 •>1'1-)
(¦¦) можно перефразировать так: если /: Sn->S" —инволюция х\—*• — х,
то gs'I =ёя1 °в°gs- Следовательно, можно определить hs: Pn~1-*TSn, счи-
считая, что если точки Р» по-прежнему суть пары (х, — х), х <= S*", и
я: s*n-i_>.pn-i_ соответствующая проекция, то hsnx = sigsx. Из построения
ясно, что ho—это композиция естественных вложений
/>n-i=.[0, n-l]<=_GB, га-1)с_*Г5".
Обозначая еще через I вложение (Г$п, ф) с_*. (FS", r«S"), заключаем, что
МО. я-ll-lA*!*"-1]-'A* I**"-1]-
А поскольку hx отображает Рп~* в T<>Sn, то последний гомологический класс
совпадает с (//?)» [Р" mod Pn~*\. Далее, относительный гомологический класс
[Р"-1 mod Ря~2] получается при гомоморфизме Гуревича
я; Z)
и последующей замене группы коэффициентов на Zj из элемента
[я I (D»-i, ад»)] е я„_, (Р"-
Из коммутативной диаграммы
— (ASn, A°S")
I
теперь видно, что
«I Iя
p»-if pn-2) i5t
Ввиду (*) нам остается доказать, что если область определения ф, сократить
до D"", то
Во-первых, заметим, что отображение 8*"" = в"~''1: S*n~1-*-ASn непре-
непрерывно (хотя б"" (х) и б"" (х) разрывны как функции от (дг, s) в точке
(bi, 1)). Действительно, когда х близко к точке bx=b1 (только в этой точке
и надо специально проверять непрерывность), то окружность {а^ @} = {3^ @}
целиком лежит в малой окрестности точки bl = bl на Sn, а параметризация
у нас пропорциональна длине дуги. Значит, если ?(<) sTbSn таково, что
а^@ = ехр|@, то \l(t)\ и 11 (t) | малы. Во-вторых, отображения
хотя и не совпадают, но гомотопны rel dDn-1.
(зо) Очевидно, можно обеспечить и In — 2s— I (где s—то же, что в 2.3.3)
критических уровней (что >га при пф2к — 1), если рассмотреть подчиненные
376 Примечания редактора перевода
гомологические классы, являющиеся образами при отображении Ars произве-
произведений Чеха относительного гомологического класса {га—1, п—1}/-^A, \)s и
когомологических классов @, 1)', » = 0, 1 2га —2s—2. Обеспечить же в(п)
подчиненных гомологических классов (такую оценку пытался получить Аль-
бер [1]) мы не можем, ибо не знаем, существует ли в ИМ — TLqM (т. е.
в IIS" — ITeS") такой коцикл A, 1)', для которого было бы я?A, 1)' = A, 1).
Люстерник [1] указал другую оценку снизу: га + 1 (что лучше 2га — 2s—1
при /г = 2* — 1 и равно 2/1 —2s—1 при га = 2* —2). Соответствующие классы
суть образы при hr# классов
{«_!, п-Ц, {га-1, га-1}^@, га-1), {га-1, п-\) rs
^@, «-1)^@, 1)', f=.l га-1.
Естественно, достаточно ограничиться случаем /iF=« (i— то же, что в 2.3.6).
Используя 2.3.2, легко получаем по индукции, что
@, l)w(/, га-1) = (/ + 1, п-1) при 1=0 «-2,
так что @, га —1)^@, l)»-i = (n — 1, га—1) и
{я—1, я—1}^@, я —1)^@, 1)л-1 = {я — 1, я— 1}^(я — 1,я —1) = {0, 0}.
Поскольку при отображении когомологий, индуцированном вложениями
TS" — r°S« <=-+ nStt — neS" <=-». IlSn,
коцикл ос, построенный при доказательстве 2.3.5, переходит в @, п— 1), то
Хотя обе эти оценки лучше, чем 2.3.7, ниже (в теореме 2.3.9) исполь-
используется только 2.3.7, ибо для нас будет существенным не только факт суще-
существования определенного числа подчиненных гомологических классов, но и то,
как именно они строятся. Классы {0, q] удается использовать, а можно ли
использовать все те классы, о которых шла речь выше, — неясно. Впрочем,
при наличии более сильных ограничений, чем в 2.3.9, удается использовать
все g (га) подчиненных классов, имеющихся в TSn mod T°Sn (теорема Альбера;
см. Альбер [3], Аносов [3]).
C1) а) Гессиан дифференцируемой (хотя бы класса С2) функции Е, задан-
заданной на многообразии N (не обязательно N = AM), в критической точке с —
это квадратичный функционал D2E (с) на TCN, который в терминах карты
(ф, U), содержащей с, определяется так. Если g, ?' е TCN, то
D*E (с) . (I, I') = D» (Е. ф-i) (Ф (с)) . (ГФ . I, ГФ . I').
Непосредственно проверяется, что это определение не зависит от конкретного
выбора карты, содержащей с (при этом надо воспользоваться тем, что точка
с—критическая). Можно также дать определение гессиана в инвариантных
терминах (оно очевидным образом эквивалентно предыдущему). Именно, рас-
рассматривая DE как сечение кокасательного расслоения T*N, возьмем
T(DE): TN-+T(T*N).
Если DE(c)=0c (нуль простряиства T*N), то имеем стандартное разложение
на горизонтальную и вертик ю части
Примечания редактора перевода 377
Для Е, |' е TCN вертикальная часть (Т (DE) (с). ?)„ есть некоторый линей-
линейный функционал на TCN, так что определено число (Т {DE) (с) . Qv . \'. кото-
которое мы и принимаем за D*E (с). (g, |').
б) В классическом вариационном исчислении говорили не о гессиане,
а о второй вариации (функционала Е) или о функционале второй вариации;
для этого функционала, как и для Е, использовали явную запись в виде со-
соответствующего интеграла. Морс [2] понимал под индексной формой не гес-
гессиан, а некое конечномерное приближение к нему, «улавливающее» индекс и
дефект (коранг, nullity) гессиана.
в) С функцией Е и рнмановой метрикой g на N связывается градиентная
динамическая система {<ps}, описываемая дифференциальным уравнением с =
= — grad?(c). (Здесь градиент функции Е относительно римановой метрики g
определяется из условия g(grad?(c), Q = DE (с) . | для всех &еГсЛг.) Если
с—критическая точка Е, то для градиентной системы с является положением
равновесия. Рассмотрим поток {Tys\TcN}, дающий «линейное приближение
к {<ps} возле с». (Согласно классической терминологии, восходящей к Пуан-
Пуанкаре, {Tys\TcN} описывается соответствующим уравнением в вариациях.
Это понятие не связано специфически ни с градиентными потоками, ни с по-
положениями равновесия: если поток {<ps\ в N определяется векторным полем
w: N-+TN, то поток {T<ps} в TN—векторным полем Tw: TN^>-T(TN).
Когда с —положение равновесия, TCN под действием Tq>s переходит в себя;
в точках TCN векторное поле Tw вертикально и поэтому может рассматри-
рассматриваться как касательное поле на TCN.) Легко доказать, что {Tq>s | TCN} есть
градиентная динамическая система в TCN, определяемая градиентом 1ЦУ*Е (с)
(как функции на TeN) относительно римановой метрики g \ TCN. (Говоря
о g\TcN как о римановой метрике в TCN, мы отождествляем касательное
пространство к TCN в точке ? е TCN с самим TCN.)
(за) а) Идея доказательства 2.4.7 состоит в том, что квадратичный функ-
функционал h (т)) (|, |') приводится к некоторому «стандартному» виду посредством
некоторого обратимого преобразования ? = /я(т))! с т(т|), дифференцируемым
по Г):
Тогда E(r\)—h(rd(r\, т\)=Ло(?, I), если ? = т(т))т). Проверяется, что тр
i—» ?=//»(¦»]) т]—диффеоморфизм, так что, действительно, он служит решением
задачи в фиксированном слое, а при хорошей зависимости т (т)) от т), пробе-
пробегающего все Dg\i,— и во всем О8ц.
В обычных курсах алгебры рассматриваются два способа приведения
квадратичной формы к «стандартному» виду (там это просто сумма квадратов).
Морс использовал простейший «аффинный» прием—выделение «чистых» квад-
квадратов (изложение см. у Милнора [1]). В нашем случае это не годится по
трем причинам: бесконечномерность, требование эквивариантности и тот факт,
что мы имеем дело с расслоением (нельзя определить глобально 1-ю, 2-ю, ...
..., л-ю координату, а если бы это и можно было, отсюда не следовало бы,
что можно «глобально» произвести замену координат, после которой всюду
стало бы ап @е) Ф 0). А вот «метрический» способ приведения легко приспо-
приспособить для наших целей, что и делается в изложенном доказательстве. (Разу-
(Разумеется, в конечномерном случае с помощью ортогональных преобразований
квадратичная форма приводится к виду «сумма квадратов с коэффициентами»;
после этого приведение к виду «сумма квадратов с коэффициентами +1» тре-
требует уже аффинного преобразования, но очень простого. Аналогичный завер-
завершающий этап имеется и в нашем случае —переход от ?' к \.)
б) Поясним происхождение условий (*) на операторы т. и построение
последних на другом языке. Ввиду обратимости k @) скалярное произведение
(I. 6'] =¦=<*(•>) 6. l'>i
задает метрику в Н1, эквивалентную метрике ( •, • )х. В терминах 1 •, • ]
378 Примечания редактора перевода
квадратичный функционал Л (г)) есть
f* (О)* DN. ?'] = ['(гП, П.
а равенство I (r\)* k @) = k @) l (ц) означает самосопряженность / (n,) относи-
относительно [ ¦, • ]. Ввиду близости / (т)) к id оператор / (ц) положителен. Теперь
ясно, что в этих терминах т (т)) есть самосопряженный (относительно [ •, • ])
положительный квадратный корень нз / (т|).
в) Остановимся на дифференцируемое™ <р и Рс. Пусть Qc—оператор про-
проектирования в iVc иа инвариантное подпространство оператора k @c), отве-
отвечающее положительной части его спектра. Тогда можно положить, обозначая
Ф | Nc через «рс,
Ф^1 = |/ k @е) Qc — \f— k@ ) A — Qc)y Pc = ф^1 • Qc' фс,
где подразумевается, что корень из неотрицательного самосопряженного опе-
оператора сам должен быть таковым. Чтобы доказать дифференцируемость Qc в
написанных квадратных корней, проще всего представить локально k@c)
в какой-нибудь векторной карте расслоения ц как некоторый оператор k {x),
действующий в гильбертовом пространстве —стандартном слое расслоения ц —
и зависящий от параметра х—точки евклидова пространства, служащей ло-
локальным представлением (набором локальных координат) точки сеВ. Локаль-
Локальным представлением оператора Qc служит 0 (х) — оператор, проектирующий
гильбертово пространство на инвариантное подпространство оператора 1(х).
отвечающее положительным собственным значениям, параллельно инвариант*
ному подпространству, отвечающему отрицательным собственным значениям.
Как известно,
1
где интегрирование ведется по контуру в плоскости комплексного перемен-
переменного, заключающему строго внутри себя положительную часть спектра k (x) в
не пересекающемуся со спектром. Существование такого контура, пригодного
при всех х, обусловлено тем, что ни при одном х спектр не содержит нуля,
так что контур можно составить из некоторого отрезка мнимой оси и некото-
некоторой полуокружности в правой полуплоскости. Подынтегральное выражение
дифференцируемо по х, а следовательно, и ф (х) тоже. Аналогично локальные
представления Vk @c) Qc и У—k @е) A— Qc) тоже выражаются с помощью
интегралов
V J_
2л;
по надлежащему контуру (здесь подразумевается та ветвь функции УК в пра-
правой полуплоскости, которая положительна на положительной полуоси). Поэтому
они тоже дифференцируемы по х.
(ю) Поясним, почему из точной гомологической последовательности трой-
тройки—последнюю мы для краткости обозначим через (А, В, С) —вытекают
нужные неравенства и равенство. Обозначим гомоморфизмы, фигурирующие
в точной последовательности, следующим образом:
...^Н1(В,С)^Н1(А, С)^Н((А, В)«*-Д|_,(В, С)-....
Обозначим также
о, := dim Яг (В, С), bt :=« dim Ht (А, С), ct := dim///(Л, В),
щ := dim i/nlj, P/ :«= dim itnji, y< := dim imdi.
Примечания редактора перевода 379
Тогда
Мы хотим доказать, что
т т
2 i-\v**bt< 2 м
(«О /«=0
». е.
/«о («о
Это эквивалентно тому, что
2
2 (—l)'»-/Ti+i+ 2 (-
(пользуемся тем, что уо=О). Кроме того, в нашем случае при достаточно боль-
больших т будет 7m+J=0 и неравенство обращается в равенство. (По существу
при различных больших т это одно и то же равенство.)
(М) Оговорка, что устойчивые многообразия рассматриваются локально,
связана с тем, что траектории ysc градиентного потока, возможно, определены
не при всех s < 0. Первоначально и устойчивое, и неустойчивое многообра-
многообразия строятся локально, а потом они продолжаются с помощью траекторий
потока" q>,j, причем неустойчивые многообразия продолжаются с помощью ф^
о s > 0, а устойчивые—с помощью ф,г с s < 0. Однако естественно продолжать
локальные устойчивые многообразия настолько, насколько это возможно, и
то. что получится при таком максимальном продолжении, называть просто
устойчивыми многообразиями. Это несколько упрощает формулировки. Соот-
Соответствующие изменения внесены далее в основной текст. Впрочем, основную
роль в дальнейшем играют неустойчивые многообразия.
C5) Необходимо сразу же предупредить, что «комплекс Морса», если его
определять с помощью замыканий неустойчивых многообразий, не будет ком-
комплексом в том смысле, как это понимается в алгебраической топологии. Это
обусловлено гремя обстоятельствами.
1) Каждое инвариантное неустойчивое многообразие Wu в нашем случае
является многомерным «цилиндром» или «листом Мёбиуса» т. е. существует
гомеоморфизм Е ™ wu, где Е — пространство некоторого векторного расслое-
расслоения | над S (ориентируемого или неориентируемого). Между тем обычные
комплексы состоят из «клеток», гомеоморфных евклидовым пространствам.
Дополнительное несходство вызывает еще 1М*ЬА.
Конечно, это отличие, так сказать, запланировано с самого начала; оно
имеется для всех римановых многообразий М и должно как-то отражаться
при последующем применении аппарата алгебраической топологии. Если бы мы
рассматривали функцию / на конечномерном многообразии М о невырожден-
невырожденными критическими точками *', то неустойчивые многообразия были бы гомео-
*> Напомним, что в теории Морса критических точек функций на конечно-
конечномерных многообразиях подразумевается еще, что либо многообразие замкнуто,
Либо функция / ограничена снизу и «компактного характера», т. е. при лю-
любом ceR множество f'1 (]— со, с]) компактно. (Это условие не имеет отноше-
отношения к рассматриваемому сейчас свойству неустойчивых многообразий—тому,
что оии гомеоморфны евклидову пространству,— но оно нужно, чтобы устано-
установить связь между топологией М и критическими точками. Когда оно нару-
нарушается критических точек может вообще не быть, например при М=$ и
380 Примечания редактора перевода
морфны евклидовым пространствам, так что аналог комплекса Морса для
этого случая — будем по-прежнему называть его комплексом Морса и обозна-
обозначать JM (М, /) —более похож на обычные клеточные комплексы. Однако два
других обстоятельства остаются в силе и для этого случая; именно для него
мы их вначале и сформулируем.
2а) Хотя в tAf (УИ, f) каждое неустойчивое многообразие Wa является
гомеоморфным образом некоторого открытого диска Int Dk ниоткуда не сле-
следует, что имеется такой гомеоморфизм Int Dk — Wa, который можно продол-
продолжить до непрерывного отображения D* ->¦ М. Между тем для «клеток» обычного
клеточного комплекса такой гомеоморфизм существует.
За) Назовем предельным множеством многообразия Wa совокупность точек
вида limx,,, где все хп s Wu и последовательность {хп\ не имеет предельных
точек в индуцированной топологии. Ниоткуда не следует, что предельное мно-
множество /-мерного W,, содержится в объединении всех Wа меньшей размерности
Между тем предельные множества /-мерных клеток обычных клеточных комп-
комплексов (ввиду 2а) эти предельные множества совпадают с образами границ
дисков D* при соответствующих отображениях D*-*-M) содержатся в объеди-
объединении клеток меньшей размерности.
Аналогичные обстоятельства 2) и 3) имеют место и для рассматриваемого
Клннгенбергом «комплекса» г/ИкМ. Именно, 3) текстуально совпадает с За)
а 2) таково.
2) Хотя в aAf*M каждое Wu является гомеоморфным образом простран-
пространства расслоения Int D%, где D\—расслоение на замкнутые единичные шары
ассоциированное с g из 1), a Int Ь| —соответствующее расслоение на откры-
открытые шары, ниоткуда не следует, что имеется такой гомеоморфизм Int D\ —• Wa
который можно продолжить до непрерывного отображения D?-»-AM.
Если бы не было этих неприятных обстоятельств 2) и 3), то, видимо,
комплексы Морса е4Р<М могли бы служить объектами содержательной алге-
алгебраической теории (подобно тому как *М (М, f) при отсутствии указанных
в 2а) и За) неприятностей были бы обычными клеточными комплексами и
с ними были бы связаны соответствующие алгебраические объекты). Неизвестно,
в какой степени неизбежны 2) и 3). Допустим, что можно сказать о множестве
тех римановых метрик на М, для которых эти неприятности не возникают?
С другой стороны, не исключено, что построение e4f*M целесообразно как-то
модифицировать. Скажем, вместо grad Е (с) можно взять другое векторное
поле, имеющее в каком-то смысле близкие свойства (в частности, вдоль его
траекторий Е (с) должно убывать; впрочем не исключено, что может оказаться
полезным модифицировать также и Е, не меняя, разумеется, критических то-
точек), и построить Wtt для потока, порожденного этим новым векторным полем.
В связи в этим целесообразно напомнить, что в дифференциальной топо-
топологии строится некоторый клеточный комплекс, связанный с М и /, но это
построение не сводится к тому, чтобы взять неустойчивые многообразия кри-
критических точек (Милнор [1)). Топологи сперва вводят возле каждой невырож-
невырожденной критической точки с такие локальные координаты, в которых / имее:
вид /(с)-(-1 5+ Is —1|-Is, и определяют маленький «кусочек» многообразия Wu(c)
возле с уравнением ?+ = 0. Этот «кусочек №в(ф является, конечно, локальным
неустойчивым многообразием точки с для системы ё=— grad/(e), где градиент
берется по отношению к римановой метрике, которая в терминах используемых
локальных координат совпадает со стандартной метрикой в евклидовом про-
пространстве (и которая пока рассматривается только в соответствующей коор-
координатной окрестности), но построение этого неустойчивого многообразия в дан-
,ном случае тривиально. Если затем продолжить эту риманову метрику с малой
окрестности множества всех критических точек на все М, то можно продол-
продолжить Wa (с) с помощью соответствующего градиентного потока. Пока что
можно сказать, что Wa (с) строится как неустойчивое многообразие точки с,
рассматриваемой как положение равновесия градиентного потока, где градиент
Примечания редактора перевода 381
grad/ берется по отношению к некоторой римановой метрике, определенным
образом связанной с /. Но когда траектории, «заметающие» Wu (с), близко
подходят к уже построенным ранее клеткам, отвечающим критическим точкам с'
с f(c')<,f(c), построение меняется. Так, возле с' приклеивание подошедшего
к с' «куска» Wu (с) к проходящей через с' клетке Wu (с') осуществляется не
С помощью траекторий градиентного потока, а с помощью ретракции, которая
в терминах соответствующих локальных координат |+, \_ (в которых / =
/(') 1?а 1^1* (g; gl)(О |I). Поб ф
у рд |+, \ ( р /
/() + 1?+1 1^-1* имеет вид (g;, gl)i—¦ (О, |I). Подобные модификации
позволяют избежать 2а); применяют еще некоторые «малые шевеления», по-
посредством которых удается избежать За). В итоге получается настоящее кле-
клеточное разбиение, клетки которого соответствуют критическим точкам f, но
даже нет необходимости обсуждать вопрос, являются ли эти клетки неустой-
неустойчивыми многообразиями каких-то потоков, имеющих какое-то отношение к /.
Описывая построение комплекса Морса (несколько абзацев перед 2.3.2),
Клингенберг игнорирует 2). Было бы преждевременным обсуждать, какой
именно из возможных вариантов стоит считать окончательным.
(зв) Теорема 2.5.1 представляет собой приспособленный для целей данной
книги вариант известной теоремы Адамара —Перрона. Со временем эта теорема
обросла различными модификациями и уточнениями. Ее стандартные варианты
см. в книгах: Коддингтон и Левинсон [1], Хартман [1], некоторые исторические
сведения —в книге: Аносов [1]*'; отметим также новую работу Хнрша, Пью
и Шуба [1]. Употребительны два метода доказательства этой теоремы, принад-
принадлежащие Адамару и Перрону. Последний метод использован в настоящей
книге, причем в своем, так сказать, первоначальном оформлении, при котором
для решения вспомогательных интегральных уравнений используются обычные
последовательные приближения. Но метод Перрона можно оформить и так,
что в конечном счете доказательство сводится к теореме о неявных функциях
(разумеется, бесконечномерной). Такое доказательство опубликовано в статье
Ирвина [1] (однако без указания, что это — модификация метода Перрона).
Достоинством такого подхода является то, что теорема о неявных функциях
автоматически обеспечивает надлежащую степень гладкости инвариантных
многообразий (такую же, какая имеется у рассматриваемой динамической си-
системы). При применении метода Адамара для достижения того же результата
приходится использовать некоторые дополнительные ухищрения (причем вна-
вначале это удавалось проделать только в конечномерном случае (использовалась
теорема Асколи —Арцела), и только позднее Хирш, Пью и Шуб предложили
такой способ, который годится и в бесконечномерном случае).
Клингенберг не доказывает гладкости инвариантных многообразий. По-
Поскольку в настоящее время инвариантные многообразия намного более известны,
*> Дополнительно стоит упомянуть еще о Боле [1], [2], который, по-вн-
димому, первым доказал гладкость инвариантных многообразий (не считая,
конечно, аналитического случая), см. Боль [1]. Доказательство существования
инвариантных многообразии у Боля основано на наглядной геометрической
идее, которую для потоков на плоскости можно выразить так: если одни тра-
траектории проходят справа от положения равновесия, а другие —слева от него,
то какие-то траектории должны стремиться к положению равновесия. Как
это часто бывает, детальная реализация наглядной идеи (тем более в много-
многомерном случае) оказывается громоздкой и наглядность в значительной мере
утрачивается; кроме того, такое доказательство мало пригодно для различных
модификаций (в частности, оно не переносится на нужный нам бесконечномер-
бесконечномерный случай). Поэтому исследования Боля не оказали большого влияния на
последующие работы в этой области и даже были надолго забыты. (С другой
стороны, следует отметить, что в связи со своим геометрическим подходом
к задаче об инвариантных многообразиях Боль [2] за несколько лет до Брау-
эра сформулировал и доказал теорему о неподвижной точке для непрерывных
отображений шара в себя.)
382 Примечания редактора перевода
чем вариационное исчисление в целом, то мне кажется, что в данной книге
можно и не восполнять этот пробел. Отмечу только, что так как здесь исход-
исходный поток —класса С00, то можно ограничиться более слабым результатом
с потерей гладкости на единицу — все равно получится, что инвариантное
многообразие имеет гладкость класса С. Такой более слабый результат легко
получается при применении любого из двух методов — Адамара или Перрона.
C7) По существу, все, что здесь требуется,—это именно ввести возле ся
такие локальные координаты
&.. So, 1-) е N7q (Bq) 0 TCqBq 9 Ntq (Bq),
в которых grad E (|) принимает указанный ниже вид с нужными оценками (•)
для «нелинейных членов» С*. Существование таких координат почти триви-
тривиально, и для их построения незачем вводить поле подпространств TiN (Bq),
по поводу которого сразу возникают различные вопросы. Является ли оно
непрерывным (и дифференцируемым)? Интегрируемо ли оио, т. е. существует
ли возле Вд слоение, для которого это поле является касательным полем
(полем касательных пространств слоев)? Заметим, что для T%N в 2.5.1 мы
имели положительные ответы на аналогичные вопросы (вопрос об интегрируе-
интегрируемости даже не упоминался явно ввиду одномерности T^N).
Видимо, автору казалось, что эти TgiV (Bg) как-то помогут обеспечить
эквивариантность. Но в этом месте об эквивариаитности просто не надо забо-
заботиться. Говоря в общих чертах, локальные координаты нужны для того, чтобы:
1) убедиться, что полутраектория, не выходящая из малой окрестности Bq и
начинающаяся достаточно близко к с9, стремится к некоторой точке Bq, при-
причем с определенной скоростью; 2) построить локальные устойчивые и неустой-
неустойчивые многообразия и убедиться в их гладкости. После этого доказывается (iv),
а затем уже тривиально получается эквивариантность.
Поскольку в этой схеме большая часть рассуждений никак не зависит от
того, что Bq является однородным пространством, то возможно, что она
в чем-то отходит от замысла Клингенберга (которого я в таком случае не
понимаю) и ближе к упоминаемой им далее работе Дёйстермата.
(*•) Отметим, что для индекса с как критической точки Еа в QM имеется
красивое и полезное описание в терминах сопряженных точек, см. Морс [2],
Милнор [1], Постников [1]. В связи с этим Морс в |2] специально исследовал
разность между индексом с как критической точки Е в ЛМ и индексом с как
критической точки Ба в ОМ (см. также работу Эдвардса [1]). Однако на се-
сегодняшний день для индекса с как критической точки Е в ЛМ более плодо-
плодотворным оказался другой подход, предложенный Bottom и развитый далее
Клингенбергом. В этой книге только он и излагается (§ 3.2), и используется
(гл. 4).
(в») Рассуждения аналогичны доказательству 2,5.3, но только теперь нас
интересуют не периодические решения фигурирующего в 2.5.3 уравнения (•),
а решения, удовлетворяющие краевому условию |@)=|A)=0. У (кас.) не-
нетривиальных решений такого рода при интересующих нас отрицательных зна-
«ниях К нет, а у (верт.) они имеются при
причем при каждом таком X имеется я —1 линейно независимых решений.
Отсюда получается указанное в тексте значение индекса. Дефект же равен
я—1, поскольку при Х—0 (кас.) не имеет решений с нужными свойствами,
а (верт.) имеет п— 1 линейно независимых решений. Отсюда следует упоми-
упоминаемая далее невырожденность критических многообразий В®<
Примечания редактора перевода 383
D0) Для внешних дифференциальных форм употребительны две системы
определения основных операций, различающиеся некоторыми множителями.
Система, которой пользуется Клингеиберг, раньше была очень распространен-
распространенной, по позднее ее популярность упала, так что молодым читателям множители
в некоторых формулах могут показаться странными. Поэтому стоит пояснить,
что в принятой здесь системе форма dx1 Л ... Л dx * получается альтернирова-
альтернированием формы dx x® ... ®cU *; иными словами,
^л...лй'»№ х*)~й** №)/.*-! *•
где Xlh = dxI (Я/,) — компоненты векторов Xh (точнее, их локальных представ-
представлений, отвечающих локальным координатам дг'). Далее, внутреннее умножение
fc-формы а на вектор Хг определяется так:
О'х«)(*2 Xk)~ka(Xv Xv ...,Xk).
Формула для производной Ли (см. доказательство 3.1.2) в обоих системах
одна и та же; в теореме Стокса появляется дополнительный множитель.
D1) Имеется в виду ортогональное дополнение по отношению к а (тогда
как раньше ортогональность обозначала обычную ортогональность в Тс ft)M
относительно (•, •)). При < = 0 пара соотношений {с, К)=0, (с, VV)=0
эквивалентна а-ортогональности Y@) описанному двумерному подпространству.
Значит, Y (t) при всех t а-ортогонально подпространству V\ в Г. ТМ,
порожденному Гф/(с @), 0) и Т% @, с @)). Кстати, T<pt (с @), 0) = (с(<), 0)
и Гф/@, с (O)) = (tc (t), с (t)); действительно, вертикальная компонента здесь
есть V от горизонтальной, а последняя удовлетворяет уравнению для полей
Якоби; наконец, при t = 0 написанные выражения принимают нужные значения.
(См. также ниже.)
Описание а-ортогонального к Vt множества {Y} в терминах (с, Кд) -=
= {с, У'г)) = 0 не зависит от t. Поэтому Vt при всех t порождено (с (t), 0) и
@, с (/)). Конечно, в этом легко убедиться и непосредственно:
^ 0) = (c@, 0),
Гф/-/.@. с («)-«/-Wc @. с (/)) = ГФ,@, с @))-toT<pt(c @), 0).
Теперь ясно также, что интересующие нас 9 образуют ортогональное допол-
дополнение к V| и в смысле римановой метрики на ТТМ, индуцированной разло-
разложением ТТМ = ThTM ф TVTM:
(Z, Z') = (Zh, Z'h) + <Z,, Z'v) (Z, Z' e TXTM, X e TM),
Кроме того, они лежат в Т. ТХМ (TtM — пространство единичных касатель-
касательных векторов, см. D2)). Действительно, вектор @, с (<)) е V* ортогонален
Tclt)TiM (см. описание последнего пространства в Dа)).
Пусть Wa —иммерсированное подмногообразие в ТМ, получающееся при
иммерсии
R2 — {ось *! = 0} -*¦ ТМ, (*!, хг) н-* ххс (х2)
(это действительно иммерсия: соответствующие «частные производные» суть
384 Примечания редактора перевода
(О, с) и (ХхС, 0)). Ясно, что be (a + bt) (a, b — const; ЬфО)*' суть траектории
геодезического потока, лежащие на U78 и заполняющие его. (Соответствующие
геодезические суть с(а-\-Ы).) Тогда У| = 7\ W*, и написанные выше решения
уравнения Якоби (или уравнений в вариациях) можно получить дифференци-
дифференцированием с (a-\-bt) (соответственно be (a+W)) по а> Ъ ПРИ "=0, Ь—\. Ясно,
что эти решения не несут никакой геометрической информации о геодезических,
близких к с.
Dг) Совокупность единичных касательных векторов (т. е. векторов единич-
единичной длины) образует в ТМ подмногообразие Т^М коразмерности 1. Будучи
снабжено проекцией т | ТгМ: ТХМ -*¦ М, оно является расслоением над М со
стандартным слоем сфера. Его называют по-разному: единичным касательным
расслоением (или пространством), расслоением (пространством) единичных
сфер, а также пространством линейных элементов (хотя последний термин
может иметь и другой смысл). Если X s ТХМ, то
ТхТгМ~={г&ТхТМ; (X, 2„> = 0}.
Очевидно, | фДо |= const, так что ТгМ является инвариантным многообра-
многообразием геодезического потока. Двойственная риманова метрика в Т*М позволяет
говорить о Т*М; это тоже инвариантное многообразие (для гамильтоновой
системы ?я» в Т*М). Часто каждый нз четырех объектов
называют геодезическим потоком (однако геодезической пульверизацией —
только первый из них или соответствующее векторное поле 5 на ТМ), так
что надо быть внимательным к контексту. Клингенберг, как видно из его
последнего замечания, намерен по большей части рассматривать именно
\(f(\TiM} и {gt<Ptgil I TfM}, причем стандартное отображение позволяет не
особенно педантично различать их. Так, построение локального сечения (см.
далее в основном тексте) описывается для {ф< | Т-^М}.
(*») Вообще, если 2 с: 7\Af — гиперповерхность, трансверсальная геодези-
геодезическому потоку (т. е. S (X) ф ГХ2 при X е 2), то ограничение формы а на
2 определяет на 2 симплектическую структуру. Надо доказать невырожден-
невырожденность а [2, т. е. что если X <= 2, Y <= ГХ2 и УФО, то а(У, Гх2)=^0.
Из (*s), C.1.3) и определения S видно, что
TxTjM^{Y aTxTM; a(Y, S(X))=0},
ТХИ, можно задать как ядро некоторого лннейного функционала на TxTtM
или как пересечение с ТхТуМ ядра некоторого линейного функционала / на
ТХТМ, линейно независимого с тем функционалом, ядром которого является
ТХТ^М, т. е. с функционалом о( •, 5 (X)). Ввиду невырожденности а, I можно
задать в виде а (•, А), причем Л и 5 (X) линейно независимы. Наконец,
S (X) ф. ТХ2 означает, что a (S (X), А)Ф0 (кстати, последнее условие вклю-
включает в себя и независимость 5 (X) и А). Если бы теперь было а (V, Тх2) = 0,
то функционал а (¦, Y) был бы линейной комбинацией задающих ГХ2 функ-
функционалов а(-, 5 (X)) и а(-, А), а тогда и Y = KS (X) + \иА, причем ц,фО,
ибо S (X) ф ГХ2. Но тогда о (Y, S (Х)) = ца (A, S (X)) ф 0.
d I d
*> Здесь через с (а-\-Ы) обозначен» з;с(т) , а не -д с (а + Ы),
СП \х =* а + Ы ОХ
так что -п
Примечания редактора перевода 385
(**) Буквально это надо было бы понимать в том смысле, что а переопре-
переопределяется: через а(Х, Y) теперь обозначается то, что раньше записывалось бы
как а(Х, Y). Однако из дальнейшего видно, что это не так: по большей
части *' а сохраняет свое прежнее значение; просто часто используется косо-
эрмитова форма (X, Y) i—*¦ а (X, Y), для которой никакого специального
обозначения не вводится. В то же время под «ортогональностью» далее
(например, в формулировке 3.2.1) понимается ортогональность относительно
этой косоэрмитовой формы; то же относится к термину «ортогональное
дополнение».
По существу же, стоит заметить, что в комплексной области переход от а
к этой косоэрмитовой форме и далее к эрмитовой форме -j-a(X, Y) позволяет
рассматривать вещественные a-кососимметрические, соответственно симплекти-
ческие, преобразования как эрмитово-кососимметрические (а после умножения
или деления этих преобразований на « — как эрмитово-симметрические), соот-
соответственно унитарные преобразования, что более привычно. Надо только
помнить, что указанная эрмитова форма не является положительно опреде-
определенной.
В связи с этим надо иметь в виду двусмысленность термина «дополнения»:
наряду с «ортогональными дополнениями» существуют еще «дополнения» в более
привычном смысле —подпространство F называется дополнительным к Е, или
дополнением (для, к) Е, если E-\-F = V и Ef[F = {0}. Когда под ортогональ-
ортогональностью понимают ортогональность относительно положительно определенной
эрмитовой формы, то ортогональное дополнение является дополнением и во
втором смысле (причем это именно такое дополнение, которое ортогонально Е),
но в нашем случае это не всегда так. Однако если ограничение используемой
эрмитовой формы на Е невырожденно (в основном тексте такие Е называются
далее невырожденными), то ортогональное дополнение F к Е является допол-
дополнением и во втором смысле тоже. При этом F—тоже невырожденное.
(*5) При данном р может быть несколько подпространств V0(f> p или VeVt p;
тогда они и даже их сумма определены неоднозначно. Но число таких под-
подпространств размерности / + 1 при любом /определено однозначно —в терминах
жордановой нормальной формы матрицы Р оно равно числу жордановых
клеток порядка /+1 с р на главной диагонали. Число тех из них, для
которых a((Pp — \)hX, (Pp—\)J-hX)(j'e2h—l, соответственно Щ при
надлежащей нормировке равно +1, соответственно +1, тоже определено одно-
однозначно. Это вндио из следующего описания этого числа г/+1. Рассмотрим иа
У/+1(р) билинейную форму
Тогда fy+iO', X)-(-iy"i|>/4l(X, У), а (Рр—I)V/+a(P)-fVf(p) (t. e. та
часть V/+i (р), которая порождена пересечениями V/+i (р) с имеющимися в V (р)
циклическими подпространствами размерности Ф / + 1) совпадает с ядром i|>/+1.
При приведении ty+1 /соответственно — ty+i) к сумме квадратов модулей
координат число положительных квадратов равно г/+1. (Заметим еще без
доказательства, что именно эти числа r/+i надо добавить к известным инвари-
инвариантам жордановой нормальной формы, чтобы получить для Р полную систему
инвариантов относительно действительных симплектических преобразований.)
(*•) Более геометрически смысл 3.2.9 состоит в следующем. Поскольку
Е'\г = Е, то, взяв г=*е2я^т, получаем, что форма D2? (cm) инвариантна
относительно унитарного действия группы Zm = {^} на комплексифицирован-
•' Но не всегда: см., например, следующий абзац основного текста,
13 В. Клннгенберг
386 Примечания редактора перевода
ном Т тА, описанного в замечании к 3.2.8. Значит,
а ввиду унитарности Туг (ст) это означает, что Ас коммутирует с Ту^ (ст).
Следовательно, Ас оставляет инвариантными ортогональные друг другу собст-
собственные подпространства ira ji, а поэтому D2E (cm) разлагается в прямую сумму
своих ограничений на эти подпространства. Ограничение же на ira jk, точнее
D2E(cm)°(jkxik), совпадает с тЮ2Е k(c), ибо
(m (%k) (mt), m {Щ) («/)> Л-
>> Л-т | (Цк @, Vg (t)) dt
@. >
k (c).
D?) Заметим, что V^, определено однозначно, независимо от случайностей
нашего построения (от выбора векторов при доказательстве 3.2.4). Действи-
Действительно, легко видеть, что
(«О Vfn-V,® 2 Ф 2 (рР
)—те же, что в доказательстве 3.2.1). Напротив, V*},, вообще говоря,
зависит от случайностей построения. Однако пространство Е2п~р := V
определено однозначно, ибо оио совпадает с
(б) kj2 ©Sw-i^wiP).
Обозначим, далее, естественную проекцию
g2n-p _^_ p2q ._ Etn-Pjyp
через я, и пусть F9 •.= n(y"f\E2n~py, это максимальное изотропное подпро-
подпространство в F2? (кососимметрическая 2-форма в F2' естественным образом
получается из а). Тогда V" = n~xFq, так что V" тоже определено однозначно.
Наконец, Qp в 3.2.11 и 3.2.12 строится согласно 3.2.7 с Vin @) вместо К2? и
V" вместо Vя. Тем самым оказывается, что все вспомогательные объекты,
фигурирующие в следующей далее теореме о р-иидексе C.2.12), не зависят
от случайностей построения.
Можно было бы с самого начала определить подпространство Ein~P как (б)
и доказать, что его ортогональное дополнение дается правой частью (а),
которую тогда можно принять за определение у "¦ При этом полезно сперва
доказать, что ортогональное дополнение к (Яр — 1)'К/(Р) в V (р) равно
(Р1)НП) + 1М)
Примечания редактора перевода 387
Заметим еще, что у эрмитовой формы Q на V" ядро Q =V"[)(Pp— 1)-1°
•VjsKf.nW-ir1 VPin = VPin (используем, что PVfn = Vfn). Поэтому Qp
можно рассматривать как эрмитову форму на V"un или на не зависящих от
случайностей построения пространствах F9 или V" @) П Егп~р-
(*8) а) Допустим, что р_Е Ф рГ-Л, и докажем, что тогда существует такое
5 е рГсЛ, для которого
-0 и Ш-р (с) (|, & < 0.
Н := рГ~Л0р+^В7 — конечномерное пространство. Рассуждая так же, как
в конце доказательства 2.4.7, убеждаемся, что в Я можно ввести такое поло-
положительно определенное эрмитово скалярное произведение ( •, •), о помощью
которого Q := D2?p (с) | Н представляется в виде
Теперь в L>W с Я однозначно выделяются такие подпространства Е я F, что
?p№=?©F, <?, f) = 0, Q(?, F) = 0, Q|?^0 и QjF>0. Если | s ?,
tjsf, то
<6 )
Qffi. ч)—<p4. р-чЖр+Ь p+i>=o,
поэтому (p_?, p_f)=0 и <р+?, p+f^O. Пусть Х-ортогональное дополне-
дополнение (в смысле (•, •)) к р_Е в рТсА, а К=р+/?; тогда /?с:Х©У'. Найдем
такой ненулевой элемент $еХ@У, что Q(F, ?,)<=0; из -sXgy следует,
что Q(?, |) = 0. Поскольку ker (p, | F) = 0 (это доказывается аналогично тому
что ker (p_ | ?) =0), то f сХфК имеет вид
/еУ, A<=L(Y; X)}.
При этом из Q|F>0 следует, что {у, у) — (Ау, Ау)>0 при всех у а У,
уФЧ, т. е. норма (относительно (•, О)||Л|<1.
Ищем \ в виде «+и, веХ, вег. При всех у должно быть
O=Q(Ay+y, u+v)=-(Ay, u) + (y, »> = <«/, v-A*u)
(звездочка обозначает сопряженный оператор по отношению к скалярному
произведению {•, •)), откуда v — A*u. Итак, \<=и-\-А*и, где можно взять
любой ненулевой элемент иеХ. Тогда Q(?p№, 1) = <?(ЯфЛ |)=0, а
Q4 В—<«. и>
(ведь || Л* || ||<)
б) Теперь докажем, что если р_Е Ф „ТСА, то существует дифференцируемое
ISpTjA, для которого D«?p(c)(tplP, ?)=0 я D»?p(c)(|, |)<0. Ввиду а)
для «того достаточно доказать, что в
L:={S; |ерГеЛ, D»?P(C)(SPW, g)-0}
всюду плотны дифференцируемые |. Но условие D*?p(c)(fpW, |)«»0 эквива-
эквивалентно тому, что если 0=<0</j<...<tr—все те <е[0, ©), для которых
В7 @ Ф 0 то
(*) <*•*(«. Itt/<»)>-0 при < = 0 г
(К, как и в замечании к 3,2.10,—отображение связности). Иными словами,
13*
388 Примечания редактора перевода
это условие эквивалентно тому, что значения | в гонках /;/<в должны удовлет-
удовлетворять некоторым соотношениям. Ясно что дифференцируемые % всюду плотны в L,
в) Докажем, наконец, что если р_? Ф рТ~А, то существует такое |, для
которого1' (с (/) |@)== 0 при всех t и которое обладает свойствами, указан-
указанными в б). В общем случае \ из б) представляется в виде \(t) = a(t)с (t) +
+ 4(t), где (c(t), r]@) = 0 при всех t; при этом рт)A) = г)@) и
так что из дифференцируемости | следует дифференцируемость ц. Поскольку
Ке(с)«=0 (R кососимметрнчио по первым двум аргументам) и Vc=O, то для
любого ? е рТ^Л
D*Ep(c)(a'c, 0=J(oc, %)dt.
Если (c(t), т)@) = 0 при всех t, то, дифференцируя, получим (c(t), Vr\(ty = ot
так что, взяв в предыдущей формуле ? = t|, найдем, что D8?p (с) (ас, rj) = 0.
Взяв же i\ = a'c, получим
D*Ep (с) (ас, ас) - ш2 J | о |« Л Э= 0.
Значит, если для | = ас —|— -rj выполняются условия
(с) gpW, |)=0, D»?p (с) (|, I) < О,
то они выполняются и для т). Мы видим, что г\ обладает всеми свойствами,
требуемыми в б) от ?, и сверх того (с((). t](t))=O при всех t.
г) Забегая вперед (см. (V>)), заметим, что мы можем дополнительно по-
потребовать еще, чтобы (| @), Vg @)) е Vfn. Действительно, условия (¦) при
1 = 0 и <с@), 1@))=0 из в) гарантируют, что |@) е Гт. Vpin, а добавляя
при данном \ @) к нашим условиям еще какие-то ограничения на V? @) (лишь
бы они были совместными), мы выделяем среди дифференцируемых \ е L
в данным g @) и (с, \) ^ 0 некоторое плотное подмножество.
Dв) а) Покажем, что \, удовлетворяющее всем перечисленным выше усло-
условиям, представляется в виде
с дифференцируемыми w*. В рассмотрении нуждаются лишь значения t, близ-
близкие к тем значениям усо, для которых W (t0) ф 10}.
Действительно, при остальных / векторы Yf(<at) обравуют базио в про-
пространстве Vя @ (используем обозначения из замечания к 3.2.10). Поэтому при
этих / имеет место разложение ? (t) =» 2 wl (f) Y/ (t) с однозначно определенными
и дифференцируемыми wl (t). Значит, если мы докажем, что в некоторой окрест-
окрестности Д точки t0. для которой W (*„) Ф {0}, имеет место разложение t(t) =
= %w/(t)Yf(f) с какими-то дифференцируемыми wl, те wl(t) при (еД-{@|
должны совпадать с предыдущими wl (t), а потому эти последние можно до-
доопределить при t-'tn как wl (t0), и тогда они будут определены и дифференци-
дифференцируемы при всех (,
Пусть сперва 0^*j<1; воспользуемся теми же обозначениями, что и
в 3.2.10. Дополнительно потребуем, чтобы было
Примечания редактора перевода 389
(это легко обеспечить, применив обычный процесс ортонормирования
к \VYi(t0), i^K}'- если новые VYi (t0) выражаются как некоторые линейные
комбинации старых, то в качестве новых Yi(to) = (O, VYi (t0)) берем такие же
линейные комбинации старых У^ (<„)) и
<Yt (Q, Yf (<0)> = «у (I, j = <„ +1, ..., n).
Итак, Wi(t0) V5^«OW' Yh+i Vo>' "•• ^п('о)-°ртон°рмированный базис
в V (to).
Положим
(< = 1 to). Тогда Zx@ Zlt((), Ylo + i(t) Kn(/)-дифференцируе-
Kn(/)-дифференцируемый базис в Vn (t) при t, достаточно близких к t0 (скажем, в некотором
интервале А). При t — ta он ортонормирован. Если теперь \(t) дифференци-
дифференцируема, то в разложении
10 П
ЕЮ = Ц «г.@h (Л») + 21 w/ W K'<to)
коэффициенты и1, wf суть дифференцируемые функции t (при / е Д), причем
при t=t0
'W<EW Z, (*<><»)>= 0.
Следовательно, функции ш' (/):= ;—-г и1 (/)— тоже дифференцируемые. А ведь
\®-^»l(tiYi{taf) при /еД.
Мы доказали, что при некотором специальном (зависящем от @) выборе
инвариантных полей Yf=(Yj, VY/), образующих базис в T<ptV", в некоторой
окрестности Дэ^ имеет место представление ? (t) = S wf @ К/ (со?) с дифферен-
дифференцируемыми wf. Но тогда аналогичное представление имеет место при любом
выборе такого рода полей. Действительно, если 9) = (У), V/y) —другая система
инвариантных полей, образующих базис в TytV", то Yj (t) = ? ajkY'k (t) с не-
некоторыми постоянными коэффициентами afll. Значит, Y/(() = % a.hY'b(f) и
g (t) = Е и'* @ ^ @ с »'* @ - Б а/йда/ (<).
Предыдущие рассуждения охватывали бы и случай /0=1, если бы мы
знали, что <VV(co), |(l))=0 для всех инвариантных полей ? с ?A)е№(©),
ч. е. что (/(.W(co), 1A)) =0 (обозначения те же, что в замечании к 3.2.10).
Среди условий, которым удовлетворяет ?, непосредственно такого свойства
не», однако оно легко выводится из того, что |A) = р|@) и <K«W @), 1@)) = 0.
Дело в том, что K°W (со) с: /С» W @). Действительно, для Vя@) = Vп (ш)
имеются два представления в виде ортогональных прямых сумм
Но ГФ(В=Я, Vg,
390 Примечания редактора перевода
Отсюда и следует, что К • W (<й) cz К • W @). (Между прочим, поскольку
К I vv @) —изоморфизм, то имеем даже W (со) с W @).)
б) Из рассуждений в а) легко вытекает следующий факт, который иам
понадобится в E°):
Пусть на некотором интервале to—e.<t<to-\-e задано r\(t) e V" (t),
причем г\ дифференцируемо и r\(to) — Vv\(t0) = 0. Пусть по-прежнему Yb ...
..., Yn —инвариантные векторные поля, образующие базис в T<ptV", Тогда
л
в разложении т) @ = 2 w' W Yi W с дифференцируемыми ш' (которое ввиду а)
существует и единственно в некоторой окрестности <0) все wl (t0) = 0.
В рассмотрении нуждается только тот случай, когда W (to)=?O, причем
достаточно доказать наше утверждение только при каком-нибудь одном выборе
полей Yi- Рассмотрим такую же специальную систему этих полей, что и в а).
Тогда в использованных там обозначениях и' (t) (i «S «0) и wl (t) (i > /0) будут
o(\t — k\), а значит, все w/(to)=O.
A°) Соотношения
(*) w*@)-w*(l)-0, У@) = 2раУA) (k>PiiJ^P)
не следуют непосредственно из того, что l(f)=>^w/(f) Yf(a>{), g(l)=pg@),
/
Yj @) e Vfn при / sg p и Yk @) e V\ при k > p. Из них следует только, что
{@) и g(l) можно записать в виде ??/V/@) и Ъ1'^,(\) с
?* = ?'*=0, I^Sp^" (k>P; j, l*zp).
i
Но поскольку Уу (О), вообще говоря, линейно зависимы, равно как и Y/ A),
то в общем случае нельзя утверждать, что
ш*@)=?', ш<A) = ?'< (( = 1, ..., п).
00
(Например, можно взять^(<)«=2 Р*Фл V—Л) К„ ((/—Л) со), где носитель
ft=— 00
supp <pft сосредоточен возле /«=0.) Фактически соотношения (¦) являются не-
некоторыми дополнительными условиями на I, и надо доказать, что им можно
удовлетворить (не теряя прочих нужных свойств ?), Мы докажем, что если
взять % таким, как в D8), г), то соотношения (•) будут выполняться.
Дополним базис Р\@) Yn@) пространства V} до базиса Yt @), ...
...» Ym@) всего V*»@) и разложим !(<):= E{<), V?(<)) е V«»(о>0 по базису
да
Коэффициенты и1 определяются однозначно н являютоя дифференцируемыми
функциями от U Поскольку %@)eVfn, то о*@) — 0 при i>p. Рассмотрим
Ч @ == S @ — J] ^ @) Kt (©/)
A
Примечания редактора перевода 391
р
возле точки <=0. Ясно, что т}@) = 0 и Vr| @) = V| @) — 2 v' @) VVj @) = 0
2я
(ибо V|@= 2 &Ч0 VK/(со/) и f*@)™0 при i>p). Следовательно, согласно
л
(**), 6), Ti @ = 2 "' W ^< (ш0 G дифференцируемыми и', причем и' @)=0, Но тог-
1=0
п
да в представлении ? (<)= 2 wi С) ^i (®0° дифференцируемыми до' (которые, как
мы видели в DS), а), на любом отрезке времени определены однозначно, коль
скоро требуется их дифференцируемость (и даже одна только непрерывность))
при малых / должно быть
о' @)+и'(f) при »"<р,
и1 (t) при i>p.
Следовательно,
оу'@) = в'@) при »<р и ш'@) = 0 при
Далее, |A) = р|@) е Vg,, а поскольку f\ (©) Ур(ш)—тоже базис
V^, то, повторяя для t, близких к 1, те же рассуждения, что и для t, близ-
близких к 0, приходим к выводу, что
ш'A) = о'(!) при i^p и ои'A) = О при i>p.
Наконец, разложим 9t (со) по базису 9j @) пространства Vя" @):
?,(•)-2^,@) (/-1. ...,2«).
/=1
Отметим, что при i < р коэффициенты а{ с / s? p те же, что и в основном
тексте (а если />р, то а{=0). Тогда
in
2л 2л
2f!
откуда pv1 (t)= 2 a{f'(l+0- Значит, при
рш^@)=2
(прочие слагаемые=0).
F>) Докажем следующее утверждение, которое нам понадобится в доказа-
доказательстве 3.3.9: из Nm-элементарности Р следует N-элементарность Рт.
Предварительно перефразируем определение N-элементарности преобразо-
преобразования Р следующим образом. Совокупность собственных значений преобразо-
преобразования Р (с учетом кратности) разобьем на пары взаимно обратных элементов
(Pi> РГх)> •••¦ iPm> Pm'). (Э™ можно сделать, ибо если р —собственное зна-
значение, то и р-1 — тоже, а 1 и —1 имеют четные кратности. Очевидно, главные
392 Примечания редактора перевода
собственные значения—это просто представители этих пар, выбранные по
определенному рецепту.) Пусть fyX) целые и lsS?fy«SW, a A,,- e (pif рт1);
тогда Ц V3^ *•
Пусть теперь Р является iVm-элементарным. Если Рх р„—главные
собственные значения Я, то, вообще говоря, нельзя утверждать, что р™, ...
..., р™ являются главными собственными значениями Рт, но ясно, что
(р™, рТ")- ••• (р^1- РГШ) есть разбиение совокупности собственных значений
рт (с учетом кратности) на пары взаимно обратных чисел. Пусть ^3=0 целые
и 1*S??(<#, а ^е(р™, Р~т); утверждается, что Д кк('Ф1. Действа
тельно, %i = \>.™, где ц{ е (р,-> р7 ); очевидно, Мта-элементарность Р гаранти-
гарантирует, что интересующее нас произведение Ф 1.
E.2) Следует пояснить, как понимать использование комплексных перемен-
переменных, если рассматриваемые функции не являются аналитическими. В нашем
случае годится любой из следующих трех способов.
а) Неаналитическими у нас могут быть лишь остаточные члены, тогда как
вычисления будут производиться только с членами первых трех порядков,
причем полученный результат —нормальную форму—можно переписать в веще-
вещественном виде (см. добавление к § 3.3, A)). Поэтому можно, записав 3* в виде
а^з + еЯз. где а^з—члены первых трех порядков, а е^з — остаточные члены,
рассмотреть сперва одно ЗР3, провести для него все рассуждения с временным
выходом в комплексную область и окончательно получить, что ^3 в некото-
некоторых новых вещественных координатах (х', у')=}(х, у) представляется в виде
определенного выражения плюс остаточные члены, которые имеют определен-
определенный порядок малости и производные которых тоже имеют определенный по-
порядок. Правда, $>3 не обязано быть симплектическим, так что на самом деле
надо подобрать такой аналитический добавок 6! более высокого порядка,
чтобы Ф3 + & было симплектическим преобразованием*1, провести все рассуж-
рассуждения для оТ'з + Й.' и заметить, что коэффициенты ак и 6* нормальной формы
на самом деле выражаются через коэффициенты ?Р3. Очевидно, еТ4 в новых
координатах представляется как
6®, у')-
Это отличается от f °CP3-\-d?)°f~1(x',y') только на члены, которые сами
имеют тот же порядок, что и е%3 — (л» а их производные имеют тот же по-
порядок, что и D(e^s — &).
б) Когда мы вводим комплексные координаты, можно считать, что у нао
они принимают значения не во всей окрестности нуля в Ca"t a только в не-
некотором подмножестве—образе в рассматриваемых координатах окрестности
нуля в U2". Так, мы начинаем g того, что, полагая * A ^ ^1
переписываем преобразование
ж'* = xk cos 2nak —yk sin 2nak -f...,
у'Ь*=хк sin 2nak + yk cos 2nak+...
в виде
•' Чтобы убедиться в существовании fi, возьмем производящую функцию
Н (х, г|) преобразования Р^, возьмем сумму ее однородных частей до чет-
четвертого порядка включительно и примем эту сумму за производящую функцию
нового преобразования (см. 3.3,1 и последующее замечание). Это и будет пре»
образование Р1 {& + &
Примечания редактора перевода 393
Поскольку исходное преобразование мы рассматриваем только прн веществен-
вещественных хк и ук, то в пространстве С2я с координатами (z*, г*) мы рассматриваем
подмножество, выделяющееся уравнениями г* = 2*. (Соответственно везде и
пишется 2*, а не г*-) В тех комплексных переменных, которые получаются
в самом конце—обозначим их снова через г и г1(—по-прежнему образ R2"
выделяется теми же уравнениями.
Собственно, при этом запись остаточных членов в виде wk (г, 2) (или,
если угодно, wk (г, г{)) аналогична тому, как если бы, скажем, рассматривая
функцию f, заданную на некоторой линии в плоскости (х, у), мы бы писали
/<* У)-
в) Можно с самого начала продолжить неаналитические остаточные члены
в некоторую окрестность нуля в пространстве С2" с координатами xk, ук
(теперь уже комплексными) как некоторые (^-функции от вещественных и
мнимых частей этих комплексных координат, удовлетворяющие прежним усло-
условиям малости (самих этих функций и их производных по Rex*, \mxk, Rei/*,
Im ук). Конечно, теперь x* — iyk, вообще говоря, уже не будет комплексно
сопряженным с г* =** + (</* (хотя в конечном счете нас будут интересовать
вещественные хк и ук, для которых xk — iyk = Sk).
(ю) Мы доказали, что если g* имеет указанный выше вид, то (/, 0, ..., 0) —
геодезическая. Обратное, вопреки несколько небрежной формулировке в основ-
основном тексте, неверно (и, естественно, не используется далее). Читатель при
желании может проверить, что общий вид римановой метрики g*, для которой
(t, 0 0)—геодезическая, таков:
eft (ft *)-a(V+O(l*D).
gft- прн i, / > 0 произвольны.
Соответственно g*<*> = -i- A - 2 У biXl +...],
fe>0
Если потребовать, чтобы для этой геодезической норма вектора скорости рав-
равнялась 1, то получим, что а = \, но остаются еще 6,-, для обращения которых
в нуль нужны дополнительные требования. Например, можно потребовать,
чтобы при *=0 векторы д/дх' (i > 0) были ортогональны д/дх°. Для нас
всего важнее, чтобы не только кривая (t, 0, .... 0) была геодезической, но и
чтобы траектория геодезического потока в канонических координатах (х0, ...
..., хп, у0, ..., у"), естественно связанных с (Xй, ... хп), имела вид
(/, 0, .... 0, 1, 0, .... 0).
Это условие обеспечивает, что а=\ и 6^=0.
(*«) Действительно, известно, что если
то {exp Ve; e>0}—фундаментальная система окрестностей /2„ в Sp(n).
Зафиксируем какую-нибудь С°°-функцию <р (t), которая имеет носитель в рас-
@
сматриваемой окрестности t<, и для которой J<p(f)<#=l. При достаточной
О
394 Примечания редактора перевода
малости матрицы L, скажем при | L | < б, матричная функция <р (t) L будет
удовлетворять требуемым условиям о малости и носителе. Ясно, что матрицант
/оо \
уравнения 5 = (ф (t) L) S равен exp l\ <p(t)dt. L ) = ехр L, и мы видим, что так
можно получить любую матрицу из окрестности exp V(, единичной матрицы.
E5) Структурной группой построенного расслоения является подгруппа
ортогональной группы О (k), состоящая из ортогональных преобразований,
коммутирующих с Т (такие преобразования очевидным образом действуют
на Dk/Zm). Если ее можно редуцировать до аналогичной подгруппы группы
SO (k), то (по аналогии с векторными расслоениями) можно условиться назы-
называть данное расслоение ориентируемым. Можно также построить такое вектор-
векторное расслоение v~: 0^,-^-Д^, что |i^,/S получается из v~ факторизацией его
слоев по действию группы Zm fco действует как Г). Ориентируемость v соот-
соответствует ориентируемости |x^,/S. В статье Клингенберга [4] и в английском
оригинале данной книги построение v~ некорректно.)
Eв) Последнее, конечно за исключением тривиального случая, когда
Z, т. е. M = S*.
Каждому нетривиальному классу сопряженных элементов группы пгМ соот-
соответствует некоторая замкнутая геодезическая, лежащая в соответствующем клас-
классе свободно гомотопных замкнутых кривых (и минимизирующая в этом классе Е).
Если для всех классов сопряженных элементов эти замкнутые геодезические суть
кратные повторения одной и той же замкнутой геодезической с0, соответст-
соответствующей классу {Рсф; р е щМ}, то всевозможные классы суть {ра'Р;
Р е щМ}, где i пробегает целые числа. Иными словами, каждый элемент
группы пхМ сопряжен с некоторой степенью а.
Пусть теперь а есть образ а при факторизации по коммутанту. Ясно, что
прокоммутированная группа порождается а. Если мы предполагаем, чтол^М^Ж,
то в коммутанте должен быть элемент р, отличный от единицы группы.
Он тоже сопряжен с некоторой степенью а, скажем р="уа~1> где пфО.
Но при факторизации по коммутанту Р переходит в единицу е прокомму-
тированной группы, так что е = ап. Итак, при коммутировании л-JA получается
конечная группа, и одномерное число Бетти группы п-^М равно нулю.
лгМ не имеет кручения для любого конечномерного комплекса типа
К (яь 1). Иначе отсутствие кручения у ntM легко доказывается при
несколько более сильном условии на метрику. Именно, помимо невырожден-
невырожденности всех замкнутых геодезических потребуем еще, чтобы соответствующие
отображения Пуанкаре были либо гиперболическими, либо закручивающими.
Согласно 3.3.10, такие метрики «типичны». При выполнении этого условия
достаточно рассмотреть тот случай, когда все замкнутые геодезические являются
гиперболическими, ибо в противном случае имеется бесконечное число замк-
замкнутых геодезических (§ 3.3 и добавление к нему). А для гиперболических
замкнутых геодезических имеется простая связь между их индексами и индек-
индексами их кратных повторений (см. 3.2.13). В частности, упомянутая выше са
(минимизирующая Е в компоненте связности пространства ЛМ, отвечающей
{РаР; Рея,Д1}) имеет индекс 0. Значит, все ее кратные повторения тоже
имеют индекс 0, и оттого на критических множествах S . cJJ* в AM функция Е
имеет локальные минимумы.
Допустим, что в щМ имеется элемент конечного порядка /л, скажем
(Рар~1)т=1. Тогда ат=1 (так что щМ имеет конечный показатель: ym = l
для всех y s П]Л4). В частности, замкнутая геодезическая с™ стягиваема.
Рассмотрим в компоненте связности пространства AM, точки которой суть стя-
стягиваемые замкнутые кривые, всевозможные пути, соединяющие S . с™ с А°М.
Они образуют некоторое ф-семейство g^, повисающее на некоторой крити-
критической орбите S . с. На последней Е не может иметь локального минимума.
Примечания редактора перевода 395
Ведь в противном случае существовало бы такое е > 0, что на пути, имеющем
хоть одну точку в некоторой окрестности S . с и кончающемся в Л°М, max Е >
>?(S.c)+e; а тогда &$ не могло бы повисать на уровне Е (S. с). Следо-
Следовательно, с не является кратным повторением с0.
В этих рассуждениях использовались условия, наложенные на метрику
и свойства фундаментальной группы, а стягиваемость М не играла роли.
С помощью рассуждений такого же характера Бальманн, Торбергсон и Цил-
лер \2) показали, что при выполнении того же условия на метрику и некото-
некоторых условий на фундаментальную группу имеется бесконечное число различных
однократных замкнутых геодезических.
(Ф) Автор упускает из виду то, что щМ может быть бесконечной перио-
периодической группой.
Если порядки элементов л,М не ограничены в совокупности, то годится
простая модификация приведенных в основном тексте рассуждений (причем они
доказывают даже существование бесконечного числа различных замкнутых гео-
геодезических). Остается тот случай, когда существует такое /л, что у"> = \ для
всех уеПуМ. Кроме того, выше мы видели, что при бесконечной лгМ сущест-
существование двух геодезических остается под вопросом только тогда, когда все
элементы группы ntM сопряжены с различными степенями фиксированного
элемента а, причем в рассматриваемом сейчас случае, когда ост = 1, существо-
существование двух геодезических можно доказать при наложенном в Dе) дополнитель-
дополнительном условии на метрику.
(*8) Поясним, почему существует f с нужными свойствами. Надо доказать
только существование такого отображения g: (O*°, dDk<>) -*¦ (AM, A°M), что
я-g реализует цикл D (с0) в Пи° mod Пи°~; как после этого перейти к /,
ясно из § 2.1. Сперва несколько уменьшив Dk°, построим такое отображение
gx'. (D*°, dDk°) -*¦ (л*°, ЛИ°~Е), что Ji«g, реализует рассматриваемый относи-
относительный цикл. Мы докажем, что отображение ga 13D*0: 3D*0 -»- ЛИ°~Е
гомотопно нулю. Тогда с помощью соответствующей гомотопии отображение gx
легко продолжить до отображения большего диска в Ли°, имеющего требуемые
свойства.
Можно считать, что в ЛИ(г8 —Л° нет критических точек. (Действительно,
в противном случае там имелась бы однократная замкнутая геодезическая сх.
Для нее ?(ci) <х„ = ?(с0), так что она отлична от с0, и теорема доказана.)
Стало быть, ЛХ°~Е деформируется на Л° вдоль траекторий градиентного потока,
так что gj | 3D ° гомотопно в Лк°~8 некоторому отображению 3D*0-»- Л° = Л1.
А последнее гомотопно нулю, ибо Jifco_,M«=0 (при ?О=1 здесь речь идет
о связности М).
($в) Громол и Мейер [1] определяли характеристическое многообразие как
образ Do при таком локальном эквивариантном диффеоморфизме г|з, при кото-
котором Ег°ч1( «расщепляется», как указано в формулировке 4.2.1, на квадратич-
квадратичную часть, зависящую только от |, и вырожденную часть, зависящую только
от g0. (Именно это и нужно для дальнейшего.) Характеристическое многообра-
многообразие (в этом смысле), вообще говоря, не единственно. (Тем более не единст-
единственно i|>.) В теореме 4.2.1 сперва посредством условий фигурирующих в первой
части утверждения теоремы, выделяется некоторое подмногообразие, а затем дока-
доказывается, что оно характеристическое (т. е. для него существует надлежащее if>).
(во) Предпошлем этому несколько замечаний.
а) Рассматриваемые топологические пространства предполагаются связными,
имеющими гомотопический тип счетного CW комплекса и абелеву фундаменталь-
фундаментальную группу, тривиально действующую на все гомотопические группы, а также
на группы гомологии универсального накрывающего пространства. Следуя
Постникову [2], будем называть такое пространство, равно как и соответст-
соответствующий гомотопический тип, абелевьш. (Абелевы пространства часто называют
396 Примечания редактора перевода
простыми, но, во-первых, классически простота означает только тривиальность
соответствующего действия группы яъ но не ее абелевость, и, во-вторых,
напрашивающееся словосочетание «простой гомотопический тип» имеет совсем
другой смысл.)
Если М односвязно, то ЛМ абелево. Окружность абелева.
б) По поводу понятий: рациональное пространство, рационализация абе-
абелева пространства мы отсылаем читателя к статье Постникова [2].
в) Рациональный гомотопический тип можно понимать в двух смыслах:
либо как совокупность гомотопически эквивалентных рациональных прост-
пространств, либо как совокупность всех пространств, рационализации которых
гомотопически эквивалентны. Отображения f, g: X -*¦ Y называются рацио-
рационально гомотопными, если соответствующие отображения рационализации этих
пространств гомотопны.
г) Определение минимальной дифференциальной градуированной алгебры
(ДГА) в общем случае отличается от того, которое дается в добавлении к § 4.3.
Однако последнее годится для тех ДГА, у которых все элементы степени
один являются циклами. Именно таковы минимальные модели абелевых про-
пространств.
Некоторые сведения о минимальных моделях имеются в начале статьи
Гриффитса, Делиня, Моргана и Суллнвана [1]. См. также сборник: Геометри-
Геометрическая теория дифференциальных форм. —М.: Мир, 1981.
С1) Многочисленные литературные ссылки имеются в обзорах Хедлунда [2],
Катка, Синая и Степина [1J, Песина [3], Песина и Синая [1], а также в книге
Аносова [1]. Первые несколько страниц лекций Алексеева [1] посвящены воз-
возникновению символической динамики в ранних работах данного направления.
Некоторые новые работы геометрического характера отражены или упомянуты
у Клингенберга [21]; см. также работы Грина, Эберлейна, Песина, О'Сулли-
вана, Эшенбурга и Гото в списке литературы в настоящих «Лекциях».
Основным объектом исследования здесь является риманово многообразие
(полное, но не обязательно замкнутое), на котором геодезический поток не имеет
сопряженных точек (короче говорят, что метрика не имеет сопряженных точек).
Уже одно это условие отсутствия сопряженных точек накладывает определен-
определенные ограничения на свойства многообразия (теорема Адамара —Картана), а прн
слабом дополнительном условии, что кривизна ограничена снизу, можно
построить некие аналоги подпространств Г", Т? (соответствующие так называе-
называемым предельным решениям уравнения Якоби, см. Грин [4], Эберлейн [2]) и
орисфер (Эшенбург [2]). Однако в общем случае эти объекты не имеют тех
свойств, которые делают их столь полезными в случае отрицательной кривизны.
Так, Т" и Г" не обязаны быть трансверсальнымн (условие трансверсальности
выделяет потоки Аносова, см. Эберлейн [2]), а в случае евклидовой метрики
они вообще совпадают. Чтобы получить достаточно содержательные резуль-
результаты, в какой-то степени воспроизводящие то, что относится к метрике отри-
отрицательной и отделенной от нуля кривизны, нужно потребовать выполнения
каких-то дополнительных условий. В качестве такого условия часто исполь-
используется аксиома видимости, введенная в статьях Эберлейна [1], [3], Эберлейна
и О'Нейла [1]. Замечательная особенность аксиомы видимости состоит в своего
рода топологической инвариантности этого свойства: если на замкнутом много-
многообразии имеется метрика без сопряженных точек, удовлетворяющая аксиоме
видимости, то и все другие метрики без сопряженных точек, которые сущест-
существуют на этом многообразии, тоже удовлетворяют этой аксиоме (Эберлейн [3]).
При выполнении аксиомы видимости или некоторых других условий можно
довольно далеко продвинуться в изучении как геометрических свойств рас-
рассматриваемых многообразий, так и свойств соответствующих геодезических
потоков, а также связанных с ними объектов (потоки реперов, орициклические
потоки, орисферические слоения),
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Абрахам (Abraham R.)
[1] Bumpy metrics.—Global Analysis, Proc. Symp. Pure Math. vol. XIV,
1—3. Providence, R. I.. Amer. Math. Soc, 1970.
Абрахам, Марсден (Abraham R., Marsden J.)
[1J Foundations of mechanics. — New York and Amsterdam: Benjamin, 1967.
Абрахам, Роббин (Abraham R., Robbin J.)
[1] Transversal mappings and flows.— New York and Amsterdam: Benjamin,
1967.
Адамар (Hadamard J.)
[1] Les surfaces a courbures opposees et leur lignes geodesiques. — J, Math.
Pures Appl. E), 4, 27—73 A898).
Александров А. Д.
[1*1 Квазигеодезические на многообразиях, гомеоморфных сфере.—Докл.
АН СССР 70, № 4, 557—560 A950).
Алексеев В. М.
[1*] Символическая динамика.—Одиннадцатая летняя математическая школа.
Киев: Ин-т математики АН УССР, 1976.
Альбер С. И.
[1] О периодической задаче вариационного исчисления в целом.—Успехи
матем. наук, 12, № 4, 57—124 A957).
[2] Топология функциональных пространств. —Доклады АН СССР, 168,
№ 4, 727—730 A966).
[3] Топология функциональных многообразий и вариационное исчисление
в целом.—Успехи матем. наук, 25, № 4, 57—122 A970).
Аносов Д. В.
[1] Геодезические потоки иа замкнутых римановых многообразиях отрица-
отрицательной кривизны.—Труды МИАН, № 90. М.: Наука, 1967.
[2*] Геодезические в финслеровой геометрии. — Proc. Int. Congress of Math.,
Vancouver, 1974, 2, 293—297 A975).
[3*] Некоторые гомотопни в пространстве замкнутых кривых.—Изв.
АН СССР, сер. матем., 44, № 6, 1219—1254 A980).
[4*] Некоторые гомологии в пространстве замкнутых кривых на п-мерной
сфере, —Изв. АН СССР, сер. матем. 46, № 3, 467—490 A981).
[5*] Замкнутые геодезические. — В ки.: Качественные методы исследования
нелинейных дифференциальных уравнений и нелинейных колебаний. —
Киев: Ин-т математики АН УССР, 1981, с. 5 — 24.
[6*] О типичных свойствах замкнутых геодезических. —Изв. АН СССР, сер.
матем., 46, № 4 A982).
Аносов Д. В., Синай Я. Г.
[11 Некоторые гладкие динамические системы. —Успехи матем. наук, 22,
№ 5, 107—172 A967).
Арнольд В. И.
[1] Доказательство теоремы А. Н. Колмогорова о сохранении условно-
периодических движений при малом возмущении функции Гамильто-
Гамильтона.—Успехи матем. наук, 18, № 5, 13—40 A963).
[2] Sur une propriete topologique des applications globalement canoniques de
la mecanique celeste.—С R. Acad. Sci. Paris, 261, 3719—3722 A965).
[3] О характеристическом классе, входящем в условия квантования. —
Функц. анал. и приложения, I, № 1, 1—14 A967).
[4*] Математические методы классической механики.—М.: Наука, 1974.
398 Список литературы
Арнольд В. И., Авец A. (Arnold V. I., Avez A.)
[1] Problemes ergodiques de la mechanique classique. — Paris: Gauthier-Vil-
lars, 1967. [Имеется перевод на английский: Ergodic problems of classi-
classical mechanics.—New York and Amsterdam: Benjamin, 1968.]
Ауслендер, Грин (Auslander L., Green L.)
[1] G-induced flows, —Amer. J. Math., 88, № 1, 43—60 A966). [Имеется
перевод с препринта в книге: Ауслендер Л., Грин Л., Хан Ф. Потоки
на однородных пространствах.—М.: Мир, 1966, с. 162—185.]
Бальманн (Ballmann W.)
[1] Doppelpunktfreie geschlossene Geodatische auf Flachen. —Bonn: Math.
Institut Univ. Bonn, 1977.
[2*] Doppelpunctfreie geschlossene Geodatische auf kompakten Flachen.—Math.
Zeitschr., 161, 1, 41—46 A978).
Бальманн, Торбергсон, Циллер (Ballmann W., Thorbergsson G., Ziller W.)
[1*] On the existence of short closed geodesies and their stability properties.—
Preprint, 1980.
[2*] Closed geodesies and the fundamental group, —Duke Math. J., 48, № 3,
585—588A981).
Бангерт (Bangert V.)
[1*] Closed geodesies on complete surfaces.—Math. Ann., 261, № 1, 83—86
A980).
Берже (Berger M.)
[1] Lectures on geodesies in Riemannian geometry. — Bombay: Tata Institute,
1965.
Бессе (Besse A.)
[1] Manifolds all of whose geodesies are closed. —Ergebnisse der Mathematik.
Berlin — Heidelberg — New York: Springer, 1977. [Имеется перевод:
Бессе А. Многообразия с замкнутыми геодезическими. —М.: Мир, 1980.]
биркгоф (Birkhoff G. D.)
[1] Dynamical systems with two degrees of freedom. — Trans. Amer. Math.
Soc, 18, 199—300 A917).
[2] Surface transformations and their dynamical applications. — Acta Math.,
43, 1—119 A920).
[3] Dynamical systems.—Amer. Math. Soc. Colloq. publ., vol. 9. New York:
Amer. Math. Soc, 1927. Revised ed. 1966. [Имеется перевод первого
издания: Биркгоф Дж. Д. Динамические системы. —М.—Л.: ОГИЗ —
ГИТТЛ, 1941.]
[4] Une generalization а я dimensions du dernier theoreme de geometrie de
Poincare,—С R. Acad. Sci. Paris, 192, 196—198 A931).
[6] Nouvelles recherches sur les systemes dynamiques. — Mem. Pon. Acad. Sci.
Novi Lyncei C) 1, 85—216 A935).
Биркгоф, Льюис (Birkhoff G. D., Lewis D. C.)
[1] On the periodic motions near a given periodic motion of a dynamical
system. —Ann. di Mat. D) 12, 117—133 A933).
Бляшке (Blaschke W.)
[1] Vorlesungen fiber Dlfferentialgeometrie, I. —Berlin: Springer, 1921. 2.
Auflage: 1924. 3. Auflage: 1930. 5. Vollstandig neubearbeitete Auflage
von K. Leichtweiss, 1973. [Имеется перевод третьего издания: Бляшке В.
Дифференциальная геометрия. —М.—Л.: ОНТИ, 1935.]
[2] Eine Verallgemeinerung der Theorie der konfokalen F2.— Math. Zeitschr.,
27, 653—668 A927).
[3*] Введение в дифференциальную геометрию. —М.: ГИТТЛ, 1967.
Болтянский В. Г.
[1*] Расслоение пространств отображений.—Труды Моск. матем. о-ва, 5,
299—309 A955).
Боль П.
[1*] О некоторых дифференциальных уравнениях общего характера, приме-
Список литературы 399
нимых в механике.—В кн.: Боль П. Собрание трудов. Рига: Зинатне,
1974, с. 73—198.
[2*] О движении механической системы вблизи положения равновесия. —
В кн.: Боль П. Собрание трудов. Рига: Зинатне, 1974, с. 199—290.
Борель (Bore! A.)
[1] La cohomologie mod 2 des certaines espaces homogenes. — Comment. Math.
Helv., 27, 165-197 A953).
[2] Seminar on transformation groups.—Ann. Math. Studies, № 46. Prince-
Princeton, N. J.: Princeton Univ. Press, 1960.
Ботт (Bott R.)
[1] Non-degenerate critical manifolds. —Ann. of Math., 60, 248—261 A954).
[2] On manifolds all of whose geodesies are closed.—Ann. of Math., 60,
375—382 A954). [Имеется перевод: Ботт Р. Многообразия, на которых
все геодезические замкнуты.— В сб.: Расслоенные пространства и их
приложения.~М.: ИЛ, 1958, с. 115—123.]
[3] On the iteration of closed geodesies and the Sturm intersection theory. —
Comm. Pure Appl. Math., 9, № 2, 171—206 A956).
Ботт, Самельсон (Bott R., Samelson H.)
[1] On the Pontryagin product in spaces of paths.—Comment. Math. Helv.,
27, 320-337 A953).
Бредон fBredon G. E.)
[1] On the continuous image of a singular chain complex. —Pacific J. Math.,
15, № 4, 1115-1118 A965).
Буземан (Busemann H.)
[1] The geometry of geodesies. — New York: Acad. Press, 1955. [Имеется
перевод: Буземан Г. Геометрия геодезических. —М.: Физматгиз, 1962.]
Бурбаки Н.
[1*] Дифференцируемые и аналитические многообразия. Сводка результа-
результатов.—М.: Мир, 1975.
Вассерман (Wassermann A.)
[1] Morse theory for G-manifolds. — Bull. Amer. Math. Soc, 71, № 2, 384 —
387 A965).
[2] Equivariant differential topology. —Topology, 8, 127—150 A969).
Вейнстейн (Weinstein A.)
[1] Singularities of families of functions. —Ber. Math. Forsch. Inst. Ober-
wolfach 4, 323—330. Mannheim —Wien —Zurich: Bibl. Institut, 1971.
[2] Sur la non-densite des geodesiques fermees. — С R. Acad. Sci. Paris, Ser.
A-B, 271, №11, A504 A970).
[3] Normal modes for nonlinear Hamiltonian systems. — Inv. Math., 20, № 1,
47—57 A973).
[4] On the volume of manifolds all of whose geodesies are closed.— J. diff.
geom., 9, № 4, 513-517 A974).
Виге-Пуарье, Сулливан (Vigue-Poirrier M., Sullivan D.)
[1] The homology theory of the closed geodesic problem. —J. diff. geom., 11,
№ 4, 633—644 A976).
Вильямсон (Williamson J.)
[1] On the algebraic problem concerning the normal forms of linear dynami-
dynamical systems. —Amer. J. Math., 58, 141—163 A936).
[2*1 On the normal forms of linear canonical transformations in dynamics. —
Amer. J. Math., 59, № 3, 599-617 A937).
Вольф (Wolf J.)
[1J Spaces of constant curvature. New York — Toronto — London: McGraw-Hill,
1967. [Имеется перевод: Вольф Дж. Пространства постоянной кривиз-
кривизны.—М.: Наука, 1981.]
Гото (Goto M. S.)
[1*1 Manifolds without focal points—J. diff. geom., 13, №3, 34J—369
A978).
400 Список литературы
Грин (Green L.)
Г11 Surfaces without conjugate points. — Trans. Amer. Math. Soc, 76, № 3
529-546 A954).
[2] Geodesic instability. —Proc. Amer. Math. Soc., 7, № 3, 438—448 A956)
[3] Auf Wiedersehensflachen. — Ann. of Math., 78, № 1, 289—299 A963)
[4*] A theorem of E. Hopf.—Michigan Math. J., 5, № 1, 31—34 A958).
Гриффите Ф., Делинь П., Морган Дж., Сулливан Д.
[1*] Вещественная гомотопическая теория кэлеровых многообразий. — Успехи
матем. наук, 32, № 3, 119—152 A977).
Грове (Grove K-)
A] Condition (С) for the energy integral on certain path spaces and applica-
applications to the theory of geodesies.—J. diff. geom., 8, № 2, 207—223
A973).
F!] Isometry-invariant geodesies.—Topology, 13, № 3, 281—292 A974).
рове, Гальперин, Виге-Пуарье (Grove К., Halperin S., Vigue-Poirrier M.)
[1*] The rational homotopy theory of certain path spaces, with applications
to geodesies. —Acta Mathematica, 140, № 3—4, 277—303 A978).
Грове, Танака (Grove К., Tanaka M.)
[1*] On the number of invariant closed geodesies. — Acta Mathematica, 140,
№ 1-2, 33—48 A978).
Громов (Gromov M.)
[1*] Homotopical effect of dilatations. —J. diff. geom., 13, № 3, 303—310
A978).
Громол, Клингенберг, Мейер (Gromoll D.. Klingenberg W., Meyer W.)
[1] Riemannsche Geometrie im Grofien. — Lecture Notes in Mathematics 55.
Berlin —Heidelberg —New York: Springer, 1968. 2. Auflage 1975. [Име-
[Имеется перевод первого издания: Громол Д., Клингенберг В., Мейер В.
Риманова геометрия в целом. —М.: Мир, 1971.]
Громол, Мейер (Gromoil D., Meyer W.)
[1] On differentiable functions with isolated critical points.—Topology, 8.
№ 4, 361—369 A969).
[2] Periodic geodesies on compact Riemannian manifolds.—J, diff. geom.,
3, № 4, 493—510 A969).
Грюнталь А И.
[1*] Существование выпуклых сферических метрик, все замкнутые самонепе-
самонепересекающиеся геодезические которых гиперболические.—Изв. АН СССР,
сер. матем., 43, № 1, 3—18 A979).
[2*] Существование замкнутой самонепересекающейся геодезической общего
эллиптического типа на поверхностях, близких к сфере.—Матем. за-
заметки, 24, № 2, 267—278 A978).
Гулливер (Gulliver R.)
[1*] On the variety of manifolds without conjugate points.—Trans. Amer.
Math. Soc, 210, 185—201 A975).
Дарбу (Darboux G.)
[1] Lecons sur la theorie des surfaces. 3eme partie. —Paris, Gauthier-Villars,
1894.
Дёйстермат (Duistermaat J. J.)
[1] On the Morse index in variational calculus. — Advances in Math., 21,
№ 2, 173—195 A976).
Джеймс (James I. M.)
[1*] On category in the sense of Lusternik —Schnirelman, — Topology, 17,
№ 4, 331—348 A978).
Дьедонне Ж.
[1*] Основы современного анализа.—М.: Мир, 1964.
Зейферт, Трельфалль (Seifert H., Threlfall W.)
[Jj Variationsrechnung im GroBen. — Leipzig: Teubner, 1938. [Имеетс-i пере-
Список литературы 401
вод: Зейферт Г., Трельфалль В. Вариационное исчисление в целом. —
М.: ИЛ, 1947.]
Зигель К- Л.
[1*] Лекции по небесной механике. —М.: ИЛ, 1959.
[2*1 Об интегралах канонических систем,—Сб. Математика, 5, № 2, 103—117
A961).
[3*] О существовании нормальной формы аналитических дифференциальных
уравнений Гамильтона в окрестности положения равновесия.—Сб. Ма-
Математика, 5, № 2, 129—155 A961).
Зигель, Мозер (Siegel С. L., Moser J. К.)
[1] Lectures on celestial mechanics.—Berlin —Heidelberg—New York: Sprin-
Springer, 1971.
Иллс (Eells J. Jr.)
[11 On the geometry of function spaces.—Symp. Inter, de Topologia Alg.,
Mexico A956) 1958, 303—308.
{2) A setting for global analysis.—Bull. Amer. Math. Soo., 72, 751—807
A966). [Имеется перевод: Иллс Дж. Основания глобального анализа. —
Успехи матем. наук, 24, № 3, 157—210 A969).]
Иллс, Лемэр (Eells J., Lemaire L.)
A*1 A report on harmonic maps.—Bull. London Math. Soo., 10, № 1, 1—68
A978).
Ирвин (Irwin M. C.)
[1] On the stable manifold theorem.—Bull. London Math. Soo., 2, part 2,
№ 2, 196—198 A970).
Картан (Cartan Ё.)
{1] Sur certaines formes riemanniennes remarquables des geometries a groupe
fondamental simple. —Ann. Sci. Ecole Norm. Sup., 44, 345—467 A927).
[2] Lecons sur la geometrie des espaces de Riemann. — Paris: Gauthier-Villars,
1928. [Имеется перевод: Картан Э. Геометрия римановых пространств
М.—Л.: Гостехиздат, 1936.]
Кархер (Karcher H.)
[1] Closed geodesies on compact nemannian manifolds. —Глава 8 в книге:
Шварц Дж. [1]
[2] On the Hilbert manifold //, (S1, M) of closed curves. —Comm. pure
appl. math., 23, № 2, 201—219 A970).
[3] Добавление в книге: Флашель, Клингенберг [1].
Каток А. Б.
[1] Эргодические возмущения вырожденных интегрируемых гамильтоновых
систем. Изв. АН СССР, сер. матем., 37, We 3, 539—576 A973).
Каток А. Б., Синай Я. Г. Степин А. М.
[1*] Теория динамических систем и общих групп преобразований с инва-
инвариантной мерой. —В кн.: Итоги науки и техники. Математический ана-
анализ, т. 13. М.: ВИНИТИ, 1975, с. 129—262.
Келли (Kelley A.)
[1] The stable, center-stable, center, center-unstable and unstable mani-
manifolds.—Добавление С в кн.: Абрахам, Роббин [1].
Клейн (Klein P.)
[1] Uber die Kohomologie des freien Schleifenraums. — Bonn Math. Schr,
№ 55 A972).
Клингенберг (Klingenberg W.)
[1] Ober Riemannsche Mannigfaltigkeiten mit positlver Krummung. —Com-
—Comment. Math. Helv., 35, 47—54 A961).
[2] On the number of closed geodesies on a Riemannian manifold.—Bull.
Amer. Math. Soc, 70, № 2, 279—282 A964).
f3) The theorem of the three closed geodesies. —Bull. Amer. Math. Soe., 71,
№ 4, 601—605 A965).
[4] The space of closed curves on the sphere, —Topology, 7, 395—416 A968).
402 Список литературы
|5] The space of closed curves on a projective space,—Quart. J. Math. Ox-
Oxford Ser., 20, № 77, 11—31 A969).
[6] Closed geodesies. —Ann. of Math., 89, № 1, 68—91 A969).
[7] Simple closed geodesies on pinched spheres. —J. diff. geom., 2, № 3,
225-232 A968).
[8] Closed geodesies. —Ber. Math. Forsch. Inst. Oberwolfach 4, 77—103,
Mannheim —Wien—Zurich: Bibl. Institut, 1971.
[9] Closed geodesies on riemannian manifolds. —Proc. 13th Biennial Sem.
Canad. Math. Congress, Montreal, 1972.
[10] Geodatischer FluB auf Mannigfaltigkeiten vom hyperbolischen Тур. —In-
—Invent. Math., 14, № 1, 63—82 A971).
[11] Hyperbolic closed geodesies.— Dynamical systems, ed. M. M. Peixoto.
New York—London: Acad. Press. 155—164 A973).
[12] Manifolds with geodesic flow of Anosov type, —Ann. of Math., 99, № 1,
1-13 A974).
[13] Le theoreme de l'indice pour les geodesiques fermees. — С R. Acad. Sci.
Paris, 276, № 14, A1005—A1009 A973).
[14] The index theorem for closed geodesies. — Tohoku Math. J., 26, № 4,
573—579 A974).
[15] Der Indexsatz fur geschlossene Geodatische. — Math. Zeitschr., 139, № 3,
231—256 A974).
[16] Existence of infinitely many closed geodesies.—J. diff. geom., 11, № 2,
299—308 A976).
[17] The theorem of the three closed geodesies.—Inst. Hautes Etudes Sci.
Publ. Math, (to appear).
[18] Die Existenz unendlich vieler geschlossener Geodatischer.—Preprint:
Bonn, 1977.
[19] Uber den Index geschlossener Geodatischer auf Flachen. — Vorabdruck:
Bonn, 1976. Nagoya Math. J., 69 A977).
[20] Closed geodesies on surfaces of genus 0, —Ann. Scuola Norm. Pisa, 6,
№ 1, 19—38 A979).
S21*] Riemannian geometry.—Math. Inst. der Univ. Bonn, 1980.
22*] On the existence of closed geodesies on spherical manifolds. To appear
in Math. Zeitschr.
Клингенберг, Такенс (KHngenberg W., Takens F.)
[1] Generic properties of geodesic flows. —Math. Ann. 197, 323—334 A972).
Клингенберг, Шиката (Klingenberg W., Shikata Y.)
[1*] On the existence theorem of infinitely many closed geodesies.—Топо-
geodesies.—Топология. Сб. статей/Под ред. П. С. Александрова. Труды МИАН, № 154
М.: Наука, 1981.
Кобаяси, Номидзу (Kobayashi S., Nomizu К.)
[1] Foundations of differential geometry. Vol. 1 and 2. —New York: Inters-
cience, 1963/69. [Имеется перевод: Кобаяси Ш., Номидзу К- Основы
дифференциальной геометрии. Т. 1 и 2. —М.: Наука, 1981.]
Коддингтон, Левинсон (Coddington E., Levinson N.)
[1] Theory of ordinary differential equations. — New York: McGraw-Hill,
1955. [Имеется перевод: Коддингтон Э. А., Левинсон Н. Теория обык-
обыкновенных дифференциальных уравнений. —М.: ИЛ, 1958.]
Колмогоров А. Н., Фомин С. В.
[1*] Элементы теории функций и функционального анализа. —М.: Наука, 1968,
Кушман, Дёйстермат (Cushman R., Duistermaat J. J.)
[1] Trie behavior of the index of a periodic linear Hamiltonian system under
iteration. - Advances in Math., 23, № 1, 1—21 A977).
Леви-Чивита Т., Амальди У.
[1*1 Курс теоретической механики. Т. 2, ч. 2.—М.: ИЛ, 1951.
Ленг (Lang S.)
[1] Differential manifolds. —Reading, Mass.: Addison-Wesley, 1972, [Имеется
Список литературы 403
перевод: Леиг G. Введение в теорию дифференцируемых многообра-
многообразий. -М.: Мир, 1976.]
Леифорд (Lanford О. Е., III)
[1] Bifurcation of periodic solutions into invariant tori: The work of Ruelle
and Takens. —Lecture Notes in Mathematics, 322, 159—192. Berlin —
Heidelberg—New York: Springer, 1973.
Люстерник Л. А.
[1] Топология функциональных пространств и вариационное исчисление
в целом.—Труды МИАН, № 19. М.—Л.: Изд-во АН СССР, 1947.
[2*] Sur quelques methodes topologiques dans la geometrie differentielle. —
Atti del Congr. Intern. Matem., Bologna, 1928, 4, 291—296 A931).
[3*] Топология и вариационное исчисление. — Успехи матем. наук, 1, № 1,
30—56 A946).
Люстерник Л. А., Фет А. И.
[1] Вариационные задачи на замкнутых многообразиях. — Докл. АН СССР,
81, № 1, 17—18 A951).
Люстерник Л. А., Шнирельман Л. Г.
[11 Sur le probleme de trois geodesiques fermees sur les surfaces de genre
O.-C. R. Acad. Sci. Paris, 189, 269—271 A927).
[2J Топологические методы в вариационных задачах. — Труды Научно-ис-
след. ин-та матем. и мех. при I МГУ. М.: ГИТТЛ, 1930.
[3*] Топологические методы в вариационных задачах и их приложения к диф-
дифференциальной геометрии поверхностей.—Успехи матем. наук, 2, № 1,
166—217 A947).
Майерс (Myers S. В.)
[1] Connection between differential geometry and topology: I. Simply con-
connected surfaces.—Duke Math. J.( 1, № 3, 376—391 A935).
Марзоук (Marzouk M.)
[1] Der Fixpunktsatz von Birkhoff—Lewis im differenzierbaren Fall. —Bonn.
Math. Schr., № 74 A974).
Матиас (Matthias H. H.)
[1] Eine Finslermetrik auf Si mit zwei geschlossenen GeodStischen, Diplo-
marbeit.—Math. Institut der Univ. Bonn: Bonn, 1977.
Маутнер (Mautner F.)
[1] Geodesic flows on symmetric riemannian spaces. —Ann. of Math., 65,
№ 3, 416—431 A957).
Мейер (Meyer W.)
[1] Kritische Mannigfaltigkeiten in Hilbertmannigfaltigkeiten.—Math. Ann.,
170, 45—66 A967).
Меркури (Mercuri F.)
[1] The critical points theory for the closed geodesio problem. —Math.
Zeitschr., 156, 231—245 A977).
Мишель (Michel R.)
[1] Sur certains tenseurs symetriques des projectifs reels, — J. Math, pures
appl., 51, 273—292 A972).
Милнор (Milnor J.)
[1] Morse theory.— Ann. Math. Studies, 51. Princeton, N. J.: Princeton
Univ. Press, 1963. [Имеется перевод: Милнор Дж. Теория Морса.—М.:
Мир, 1965.]
[2] Some consequences of a theorem of Bott. — Ann. of Math., 68, 444—449
A958). [Имеется перевод: Милнор Дж. Несколько следствий одной тео-
теоремы Ботта. Сб. Математика, 3, № 3, 3—7 A959).]
[3] A note on curvature and fundamental group.—J. diff. geom., 2, Jft 1,
1-7 П968).
[4] Growth of finitely generated solvable groups.— J. diff. geom,, 2, № 4,
447-449 A968).
404 Список литературы
Милиор, Сташеф (Milnor J., Stasheff J.)
[1] Characteristic classes.— Ann. Math. Studies, Mi 76. Princeton, N. J.s
Princeton Univ. Press and Univ. of Tokyo Press, 1974. [Имеется пере-
перевод: Милнор Дж., Сташеф Дж. Характеристические классы. —М.: Мир,
1979.]
Мозер (Moser J.)
[11 Periodische Losungen der restringierten Dreikorperproblems, die sich erst
nachyielen Umlaufen schlieBen.—Math. Ann., 126, №4, 325—335 A953).
[2] Stabilitatsverhalten kanonischer Differentialgleichungssysteme. — Nachr.
Akad. Wiss. Gottingen, Math.-Phys. Kl. Ha, 87—120 A955).
[3] Lectures on hamiltonian systems.—Mem. Amer. Math. Soc, 81. Provi-
Providence, R. I.: Amer. Math. Soc, 1968. [Имеется перевод: Мозер Ю.
Лекции о гамильтоновых системах. —М.: Мир, 1973.]
[4] Stable and random motions in dynamical systems.—Ann. Math. Studies,
№ 77. Princeton, N. J.: Princeton Univ. Press, 1973.
[5] Proof of a generalized form of a fixed point theorem due to G. D. Birk-
hoff. — Geometry and topology. Rio de Janeiro, July 1976. Proceedings
of the school held at the Institute de Matematica Рига е Aplicada, ed.
J. Palis and M. do Carmo. Lecture Notes in Mathematics, 597, 464—594.
Berlin —Heidelberg —New York: Springer, 1977.
[6*] Regularization of Kepler's problem and the averaging method on a mani-
manifold.— Comm. on pure and appl. math., 23, № 4, 609—636 A970).
[7*] On the volume elements of a manifold.— Trans. Amer. Math. Soc, 120,
№ 2, issue II, 286—294 A965).
Mope (Morse M.)
[1] A fundamental class of geodesies on any closed surface of genus greater
than one. —Trans. Amer. Math. Soc, 26, 25—60 A924).
[2] The calculus of variations in the large.— Amer. Math. Soc. Colloq.
Publ., vol. 18. Providence, R. I.: Amer. Math. Soc, 1934, 4th printing,
1965.
Myp (Moore C.)
[1] Ergodicity of flows on homogeneous spaces. Amer. J. Math., 88, № 1,
154—178 A966).
Оливьер (Olivier R.)
[1] Die Existenz geschlossener Geodatischer auf kompakten Mannigfaltigkei-
ten.— Comment. Math. Helv., 35, 146—152 A961).
О'Сулливан (O'Sullivan J. J.)
[1*] Manifolds without conjugate points.—Math. Ann., 210, № 4, 295—311
П974).
[2*] Riemannian manifolds without focal points, —J, diff, geom., 11, № 3,
321—333 A976).
Пале (Palais R.)
[1] The classification of G-spaces. —Mem. Amer. Math. Soc, 36, Providence,
R. I.: Amer. Math. Soc, 1960.
[2] Morse theory on Hilbert manifolds, —Topology, 2, 299—340 A963).
[3] Homotopy theory of infinite dimensional manifolds.—Topology, 5, 1—16
A966).
[41 Lusternik — Schnirelmann theory of Banach manifolds, —Topology, 5,
115—132 A966).
Пале, Смейл (Palais R., Smale S.)
[1] A generalized Morse theory. —Bull. Amer. Math, Soc, 70, 165—172
A964).
Перрон (Perron O.)
[1] Die Stabilitatsfrage bei Differentialgleichungen. —Math. Zeitschr,, 32,
703—728 A930).
Песий Я. Б.
[1*] Геодезические потоки на замкнутых римановых многообразиях без
Список литературы 405
фокальных точек,—Изв. АН СССР, сер. матем., 41, № 6, 1252—1288
A977).
[2*] Формулы для энтропии геодезического потока.на компактном римано-
вом многообразии без сопряженных точек. —Матем. заметки, 24, № 4,
553—570 A978).
[3*] Геодезические потоки с гиперболическим поведением траекторий и свя-
связанные с ними объекты. — Успехи матем. наук, 36, № 4, 3—51 A981).
Песин Я. Б., Синай Я. Г.
[1*] Hyperbolicity and stochasticity of dynamical systems. —Soviet scientific
surways, ser. С Math. Physics Rev., 2, ed. S. P. Novikov. Overseas pub-
publishing association Gordon and Breach, 1981, pp. 53—115.
Плисе В. А.
[1*] Принцип сведения в теории устойчивости движения.—Изв. АН СССР,
сер. матем., 28, № 6, 1297—1324 A964).
Погорелов А. В.
[1*1 Квазигеодезические линич на выпуклой поверхности.—Матем. сб. 25,
№ 2, 275—306 A949).
Постников М. М.
[1*] Введение в теорию Морса. —М.: Наука, 1971.
[2*1 Локализация топологических пространств. — Успехи матем. наук, 32,
№ 6, 117-181 A977).
Пранге (Prange G.)
[1] Die allgemeinen Integrationsmethoden der analytischen Mechanik. — En-
zyklopadie der math. Wissenschaften, Band IV, 2 Mechanik. Leipzig:
Teubner, 1933.
Пуанкаре (Poincare H.)
[1] Sur les lignes geodesiques des surfaces convexes. — Trans. Amer. Math.
Soc., 6, 237—274 A904). [Имеется перевод: Пуанкаре А. О геодезичес-
геодезических линиях на выпуклых поверхностях. — В кн.: Пуанкаре А. Избран-
Избранные труды. Т. 2.—М.: Наука, 1972, с. 735—774.]
[2] Sur un theoreme de Geometric — Rend. Circ. Mat. Palermo, 33, 375—407
A912). [Имеется перевод: Пуанкаре А. Об одной геометрической тео-
теореме. В кн.: Пуанкаре А. Избранные труды. Т. 2.—М.: Наука, 1972,
с. 775—807.]
Робинсон (Robinson С.)
[1] Lectures on hamiltonian systems.- I. M. P. A. Monografias de Matema-
tica, № 7, Guanabara A971).
Розохатиус (Rosochatius E.)
[1] Ober Bewegungen eines Punktes, —Dissertation: Gottingen, 1877.
Сакс (Sacks J.)
[1] Some applications of the theory of rational homotopy types to closed
geodesies. —Thesis: Berkeley, Ca., 1975.
Cepp (Serre J.-P.)
[1] Homologie singuliere des espaces fibres.— Ann. of Math., 54, 425—505
A951). [Имеется перевод: Cepp Ж.—П. Сингулярные гомологии рас-
расслоенных пространств.—В сб.: Расслоенные пространства и их прило-
приложения.—М.: ИЛ, 1958, с. 9—98.]
Сидзума (Shizuma R.)
[1] Ober geschlossene Geodatische auf geschlossenen Mannigfaltigkeiten. —
Nagoya Math. J., 13, 101—114 A958).
Смейл (Smale S.)
[1] Stable manifolds for differential equations and diffeomorphisms. — Ann.
Scuola Norm. Super. Pisa C) 17, № 1—2, 97—116 A963).
[2] Differentiable dynamical systems. —Bull. Amer. Math. Soc, 73, № 6,
747—817 A967). [Имеется перевод: Смейл С. Дифференцируемые дина-
динамические системы. — Успехи матем. наук, 25, № 1, 113—185 A970).]
406 Список литературы
Спеньер (Spanier E.)
[1] Algebraic topology. — New York: McGraw Hill, 1966. [Имеется перевод:
Спеньер Э. Алгебраическая топология. — М,: Мир, 1971.]
Стернберг С. (Sternberg S.)
[1] Celestial mechanics, part П. —New York: Benjamin, 1969.
[2*] Лекции по дифференциальной геометрии,—М.: Мир, 1970.
Сулливан (Sullivan D.)
[1] Differential forms and the topology of manifolds.— Manifolds-Tokyo
1973, ed. A. Hattori. Tokyo: Univ. of Tokyo Press, 1975.
Такенс (Takens F.)
fl] Introduction to global analysis. —Communications Math. Inst. Utrecht,
1973.
[2*J Hamiltonian systems: Generic properties of closed orbits and local per-
perturbations.—Math. Ann., 188, 304—312 A970).
Тимм (Thimm A.)
[1] Integrabilitat beim geodatischen FluB. Diplomarbeit, Math. Institut Univ.
Bonn, Bonn, 1976.
Tom (Thorn R.)
V] StabiHte structurelle et morphogenese. — Reading, Mass.: Benjamin, 1972.
опоногов В. A.
[1*] Оценка длины замкнутой геодезической на выпуклой поверхности.—
Докл. АН СССР, 124, № 2, 282—284 A959).
Торбергсон (Thorbergsson G.)
[1] Geschlossene Geodatische auf nicht-kompakten riemannschen Mannigfaltig-
keiten. —Bonn. Math. Schr., № 101, 1977.
[2*] Closed geodesies on non-compact riemannian manifolds.—Math, Zeitschr.,
159, № 3, 249-258 A978).
[3*1 Non-hyperbolic closed geodesies.—Mathem. Scand., 44, № 1, 135—148
A979).
Феррарис (Ferraris С J.)
[1*1 On the resolution of degenerate closed geodesies,—Math. Zeitschr. 173,
№ 3, 223—228 A980).
Фет А. И.
[11 Вариационные задачи на замкнутых многообразиях. —Матем. сб., 30,
№ 2, 271-316 A952).
[2] Связь между топологическими свойствами и числом экстремалей на мно-
многообразии.—Докл. АН СССР, 88, № 3, 415—417 A953).
[3] О периодической задаче вариационного исчисления в целом. — Докл,
АН СССР, 160, № 2, 287—289 A965).
Физель (Viesel Н.)
[1] Die Gestalt analytischer Liouvillescher Flachen im GroBen.—Math. Ann.,
166, 175—186 A966).
[2] Uber einfach geschlossene Geodatische auf dem Ellipsoid, —Arch. Math.,
22, 106-112 A971).
Флашель, Клингенберг (Flaschel P., Klingenberg W.)
[1] Riemannsche Hilbertmannigfaltigkeiten. Periodische Geodatische. (Mit
einem Anhang von H. Karcher). — Lecture Notes in Mathematics, 282.
Berlin —Heidelberg —New York: Springer, 1972.
Фридлендер, Гриффите, Морган (Friedlander R., Griffiths P. A., Morgan J.)
[1] De Rham theory of Sullivan. —Lecture Notes, Instituto Matematico, Flo-
Florence, Italy, 1972.
Фролов С. В., Эльсгольц Л. Э. (Froloff S. V., Elsholz L. E.)
[1] Limite inferieure pour le nombre des valeurs critiques d'une fonction,
donne sur variete.—Матем. сб., 42, № 5, 637—643 A935).
Функ (punk P.)
[1] Uber Flachen mit einem festen Abstand der konjugierten Punkte. —Math.
Zeitschr., 16, 159—162 A923).
Список литературы 407
Харрнс (Harris Т. С.)
[1] Periodic solutions of arbitrarily long periods in Hamilton systems. — J.
diff. equations, 4, № 2, 131—141 A968).
Хартман (Hartman P.)
[1] Ordinary differential equations.—New York: Wiley, 1964. [Имеется пере-
перевод: Хартмаи Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения, —М.:
Мир, 1970.]
Хедлунд (Hedlund G. А.)
Ill Poincare's rotation number and Morse's type number. —Trans. Amer.
Math. Soc., 34, 75—97 A932).
[2] The dynamics of geodesio flows.— Bull. Amer. Math. Soc, 45, № 4,
241—260 A939).
Хелгасон (Helgason S.)
[1] Differential geometry and symmetric spaces.—New York and London:
Academic Press, 1962. [Имеется перевод: Хелгасон С. Дифференциаль-
Дифференциальная геометрия и симметрические пространства.—М.: Мир, 1964.]
Хирш, Пью, Шуб (Hirsch M., Pugh С, Shub M.)
[1] Invariant manifolds. — Lecture Notes in Mathematics, 583 A977). Ber-
Berlin—Heidelberg—New York: Springer. См. также: Bull. Amer. Math.
Soc, 76, № 5, 1015—1019 A970).
Хопф Э. (Hopf E.)
[1] Closed surfaces without conjugate points.—Proe. Nat. Acad. Sci. USA,
34, № 2, 47—51 A948).
Цен дер (Zehnder E.)
A] Stability and instability in celestial mechanics. —Enseignement du 3eme
cycle de la Physique en Suisse Romande. Ecole Polytechnique Federate,
Lausanne, 1975.
Циллер (Ziller W.)
[1] Geschlossene Geodatische auf global symmetrischen und homogenen Rau-
men. — Bonn. Math. Schr. № 85, 1976.
[2*1 Closed geodesies on homogeneous spaces. — Math. Zeitschr., 152, № lf
67-88 A976).
Цолль (Zoll O.)
[1] Ober Flachen mit Scharen geschlossener geodatischer Linien.—Math. Ann,(
57, 108—133 A903).
Чейвл (Chavel I.)
[11 On Riemannian symmetrio spaces of rank 1. —Advances in Math.i 4,
№ 2, 236—263 A970).
Чжэнь Шэншэнь (Chern S. S.)
[1] On the multiplication in the characteristic ring of a sphere bundle. —
Ann. of Math., 49, № 2, 362—372 A948).
Шварц А. С.
[1] Гомологии пространств замкнутых кривых,—Тр, Московского матем,
об-ва, 9, 3—44 A960).
Шварц Дж. (Schwartz J.)
[1] Nonlinear functional analysis, with an additional chapter by H. Kar=
cher. —New York —London —Paris: Gordon and Breach, 1969.
Шнирельман Л. Г. (Schnirelmann L. G.)
[1*] Ober eine neue kombinatorische Invariants. — Monatshefte f. Math, und
Phys., 37, 131—134 A930).
Штеккель (Stackel P.)
[1] Ober die Integration der Hamilton—Jacobischen Differentialgleichung
mittels Separation der Variablen. —Habilitationsschrift: Halle —Witten-
—Wittenberg, 1891.
Шют (Schiith H.)
[11 Stabilitat von periodischen Geodatischen auf n-dimensipnajen Ellipsoi-
den.-Bonn. Math. Schr., № 60 A972).
408 Список литературы
Эберлейн (Eberlein P.)
[1] Geodesic flow on negatively curved manifolds, I. —Ann. of Math., 95,
№ 3, 492—510 A972). II. —Trans. Amer. Math. Soc, 178, 57—82 A973).
[2] When is a geodesic flow of Anosov type? I and II. —J. diff. geom., 8,
№ 3, 437—463, and № 4, 565—577 A973).
[3*J Geodesic flows in certain manifolds without conjugate points.—Trans.
Amer. Math. Soc, 167, 151—170 A972).
Эберлейн, О'Нейл (Eberlein P., O'Neil B.)
[1*] Visibility manifolds. —Pacific J. of Math., 46, № 1, 45—109 A973).
Эдварде (Edwards H. M.)
[1*] A generalized Sturm theorem.—Ann. of Math., 80, № 1, 22—27 A964).
Элиассон (EJiasson H.)
[1] Ober idie Anzahl geschlossener Geodatischer in gewissen Riemannschen
Manngfaltigkeiten.—Math. Ann., 166, №2, 119—147 A966).
[2] Morse theory for closed curves.—Symposium for inf. dim. Topology.
Louisiana State University. Ann. Math. Studies, № 69, 63—77. Prince-
Princeton, N. J.: Princeton Univ. Press. 1972.
[3] Geometry of manifolds of maps. — J. diff. geom., 1,№ 2, 169—194 A967),
[4] Convergence of gradient curves.—Math. Zeitschr., 136, 107—116A974),
Эресман (Ehresmann C.)
[1] Sur la topologie des certains espaces homogenes. — Ann, of Math,, 85,
396—443 A934).
Эрл, Иллс (Earle С. J., Eells J.)
[1*] Foliations and fibrations. —J, diff» geom., 1, № 1, 33—41 A967).
Эшенбург (Eschenburg J. H.)
[1] Stabilitatsverhalten des geodatischen Flusses Riemannscher Mannigfaltig-
keiten.— Bonn. Math. Schr. № 87 A976).
[2*1 Horospheres and the stable part of the geodesic flow.—Math. Zeitschr,,
153, № 3, 237—251 A977).
Эшенбург, О'Сулливан (Eschenburg J. H., O'Sullivan J. J.)
{1*] Growth of Jacobi fields and divergence of geodesies. — Math. Zeitsehr.
150, № 3, 221—237 A976).
Яглом И. М.
[1*] Квадратичные и кососимметрнческие билинейные формы в вещественных
симплектических пространствах. —Труды ¦ семинара по векторному и
тензорному анализу с их приложениями в геометрии, механике и фи-
физике, 8.—М.—Л.: ГИТТЛ, 1950, с. 364—381.
Якоби (Jacobi С. G. J.)
[1] Note von der geodatischen Linie auf einem Ellipsoid und den verschiede-
nen Anwendungen einer merkwurdigen analytischen Substitution.—Crel-
les J., 19, 309—313 A839).
[2] Vorlesungen flber Dynamik, gehalten an der Universitat zu Konigsberg im
Wintersemester 1842—1843. Die kurzeste Linie auf dem dreiaxigen Ellip-
Ellipsoid. Achtundzwanzigste Vorlesung. Hisg. A. Clebsch. Berlin: Reimer,
1866. [Имеется перевод: Якоби К. Г. Лекции по динамике.— Л.—М.:
ОНТИ, 1936.]
Якубович В. А., Старжинский В. М.
[1*] Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициен-
коэффициентами и их приложения. — М.' Наука, 1972.
Добавление при корректуре. В связи с интегрируемыми системами см.
Кнёрер (Knorrer H.)
[1*] Geodesies on the ellipsoid.— Invent. Math., 59, 119—143 A980).
Мозер (Moser J.)
[8*] Некоторые аспекты интегрируемых гамильтоиовых систем. — УМН, 36,
№ 5, 109—151 A981).
Стёпин А. М.
[1*] Интегрируемые гамильтоновы системы.—В кн.: Качественные методы
исследования нелинейных дифференциальных уравнений и нелинейных
колебаний. — Киев: Ин-т математики АН УССР} 198J.
УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ
М*)№.)
С» (S, М), С00 (S, М)
С° (с*ГМ)
О (Л)
Conj 7VW
с
?>/(«), D/ («)•*.
Aegx
dtjd/dt, djdt, dtj
dc
do
и)
exp,
exp
evlc, 0
0 (a, b)
H(x, n)
№(S, Щ
H°(c*TM), if)
Hr(W(S, M)*TM)
indc
Kllb:x), l?a(TM;TM),
ЬЦл), Ц(Е)
L" (?; F), L" (E)
M, M
m<M)
nulc
с ее
РегГ,(УИ.
Ri(E)
S [0
65
288
289
89
262
29
30
56
338
43
124
350
289
25
43
86
49
22
35
47
292
209, 295
209
295
97
199
29, 40
30
40
277
297
81
121
23
188
22—23, 351
118
27
26—27
350
21
188
149
139, 149, 278
271—272
289
121
168
208
344
27
25
?(
TM
ТЕ
, TlhB
()
"no '$u> 'со' '
Vev.ln
К
w
w ca
Wa(S.c), Wm(c)
Ws(S.c), Wss(c)
WP WP
w uw ss
fp+l( fp+l
«72,7 + 1
w ce '
\y\
AS", BS»
TS", AS"
A
Л, AM
\*, Лх"
S(M), Se
1Ш
ft, Ям
П", ft1*
я
n(M)
2 = 2 (Xo)
2(c)
XM
Ф/
QM
V
V,
Ч-
IIj. I
4
4
196
21
22
23
27
35
146
147
175
178
259
140
140
207
207
207
274
96
96
23, 351
71
160
83
66
10,21,40
54
24
10, 83
81
85
22, 83
327
167
85
21
64
163
155
29, 44, 161
124
161
363
30
119
24, 25
24
25
26
46
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абрахам 161, 167, 207, 209, 233, 296,
322, 326, 397
Авец 171, 204, 205, 322, 397
Адамар 5—7, 17, 348, 381, 397
Александров А. Д. 397
Алексеев В. М. 396, 397
Альбер С. И. 10, 15, 18, 96, 101, 104,
109, 251, 396, 397
Амальди 323, 402
Аносов Д. В. 15, 39, 47, 95, 104, 108,
233, 294, 332, 338, 340, 341, 348,
370, 371, 376, 381, 396, 397
Арнольд В. И. 159, 171, 196, 204, 205,
315, 322, 325, 397
Ауслендер 315, 398
Бальманн 15, 104, 294, 372, 395, 398
Бангерт 398
Берже 319, 320, 321, 398
Бессе 315, 319—321, 398
Биркгоф 5, 7, 17, 95, 204, 238, 293, 371,
398
Бляшке 319, 320, 324, 325, 398
Болтянский В. F. 365, 398
Боль 381, 398, 399
Борель 99, 250, 399
Ботт 79, 96, 181, 183, 188, 194—196,
276, 297, 316, 317, 382, 399
Бредон 15, 399
Буземан 330, 344, 348, 399
Бурбаки 13, 22, 23, 133, 350, 351, 399
Вассерман 125, 399
Вейнстейн 319, 328, 399
Виге-Пуарье 12, 18, 63, 269—271, 399,
400
Вильямсон 171, 399
Вольф 348, 399
ГаЛьпернн 63, 400
Гото 396, 399
Грин 315, 320, 348, 396, 398, 400
Гриффите 289, 396, 400, 406
Грове 63, 155, 400
Громов 400
Громол 12, 14, 18, 25, 34, 61, 62, ПО,
113, 118, 150, 194, 210, 246, 259,
262, 269, 320, 336, 337, 340, 342, 351,
370, 372, 395, 400
Грюнталь А. И. 294, 400
Гулливер 337, 400
Данжуа 209
Дарбу 5, 6, 315, 319, 324—326, 328,
400
Дёйстермат 155, 171, 188, 206, 400, 402
Делинь 396, 400
Джеймс 77, 400
Дьедонне 350, 400
Зейферт 9, 370, 400
Зигель 202, 204, 401
Иллс 10, 150, 366, 367, 401
Ирвин 207, 381, 401
Картан 315, 348, 401
Кархер 60, 85, 401
Квиллен 289
Келли 206, 401
Клейн 152, 270, 273, 401
Клеро 5, 315
Клингенберг 10, 12—15, 18, 19, 21, 24,
25, 27, 34, 43, 47, 61, 62, 78, ПО,
112, 113, 118, 150, 171, 182, 188, 189,
192, 195, 197, 210, 219, 237, 247, 251,
271, 281, 294, 307, 317, 320, 328,
331, 336, 337, 338, 340—342, 344,
351, 365, 366, 371, 382, 394, 396, 400,
402, 406
Кобаясн 402
Коддингтон 145, 381, 402
Колмогоров А. Н, 51, 402
Крейн М. Г. 171
Кушман 171, 188, 402
Левннсон 145, 381, 402
Леви-Чивита 323, 402
Лемэр 10, 401
Ленг 13, 22, 23, 27, 133, 161, 350, 366,
402
Ленфорд 207, 403
Лиувилль 315
Люстерник Л. А. 7, 17, 18, 64, 70, 71,
72, 78, 95, 96, 104, 109, 246, 301, 306,
376, 403
Льюис 204, 238, 397
Майерс 318, 320, 403
Марзоук 204, 403
Марсден 161, 167, 207, 322, 326, 397
Масье 325, 326
Матиас 403
Маутнер 315, 403
Мейер 12, 14, 18, 25, 34, 61, 62, ПО,
113, 118, 125, 127, 150, 194, 210,
246, 259, 262, 269, 320, 336, 337, 340,
342, 351, 395, 400, 403
Меркури 403
Именной указатель!
411
Милнор 9, 34, 73, 97, 98, 100, 109,
152, 317, 330, 340, 353, 372, 377,
380, 382, 403, 404
Мильграм 10
Мишель 321, 403
Мозер 158, 159, 198, 200, 202, 204,
205, 370, 401, 404
Морган 289, 396, 400, 406
Морс 7, 9, 10, 17, 78, 79, 95, 96, 150,
302, 317, 337, 341, 344, 345, 377,
382, 404
Мур 315, 404
Номидзу 402
Оливьер 70, 404
О'Нейл 396
О'Сулливан 396, 404, 408
Пале 18, 77, 125, 128, 131, 155, 353,
404
Перрон 155, 206, 381, 404
Песин Я. Б. 396, 404, 405
Плисе В. А. 207, 405
Погорелов А. В. 405
Постников М. М. 9, 16, 382, 395, 405
Пранге 324, 405
Пуанкаре 5—7, 17, 19, 95, 204, 271,
293, 294, 318, 370, 371, 372, 405
Пью 206, 381, 407
Роббин 209, 397
Робинсон 405
Розенблют 10
Розохатиус 323, 405
Сакс 246. 270, 273, 405
Самельсон 275, 399
Серр 71, 275, 405
Сидзума 96, 405
Синай Я. F. 332, 348, 396, 401, 405
Скляренко Е, Г, 16
Смейл 18, 404, 405
Спеньер 70, 71, 73, 76, 97, 107, 365,
406
Старжинский В. М, 171, 408
Сташеф 73, 97, 98, 100, 109, 152, 372,
404
Степин А, М. 396, 401
Стернберг 159, 161, 406
Сулливаи 12, 246, 269, 270, 271, 289,
396, 400, 406
Такенс 210, 219, 237, 322, 326, 402, 406
Танака 63, 400
Тимм 323-325, 406
Том 259, 406
Топоногов В. А. 371, 406
Торбергсон 15, 20, 294, 372, 395, 397,
406
Трельфалль 9, 370, 400
Феррарис 406
Фет А. И. 18, 64, 70, 71, 246, 403, 406
Физель 314, 324, 406
Флашель 14, 21, 22, 24, 27, 47, 78,
351, 401, 406
Фомин С. В. 51, 402
Фридлендер 289, 406
Фролов С. В. 72, 406
Фукс Д. Б. 16
Функ 320, 321, 406
Харрис 204, 407
Хартман 206, 381, 407
Хедлунд 192, 330, 348, 396, 407
Хелгасон 315, 316, 407
Хирш 206, 381, 407
Хопф 349, 407
Цвирнер 325
Цендер 204, 205, 322, 329, 407
Циллер 15, 20, 150, 195, 271, 294, 372,
395, 397, 407
Цолль 319, 407
Чейвл 315, 407
Чжэнь Шэншэиь 99, 101, 407
Шварц А. С. 70, 79, 96, 150, 152, 247,
251, 270, 271, 407
Шварц Дж. 77, 125, 246, 273, 401, 407
Шиката 12, 281, 402
Шнирельман Л, Г, 7, 17, 18, 72, 78,
95, 96, 109, 301, 306, 403, 407
Штеккель 315, 323, 325, 407
Шуб 206, 381, 407
Шют 323, 407
Эберлейн 332, 348, 396, 408
Эдварде 188, 196, 382, 408
Элиассон 18, 21, 24, 55, 60, 118, 149,
150, 152, 209, 351, 352, 408
Эльсгольц Л. Э. 72, 406
Эресман 99, 408
Эрл 366, 367, 408
Эшенбург 342, 396, 408
Яглом И. М, 171, 408
Якоби 5, 7, 17, 315, 323, 408
Якубович В. А, 171, 4Q8
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абелево пространство 395
Абрахама теорема о бугристой метрике
232
Адамара—Перрона теорема 381
Аксиома видимости 396
Аносова поток 331, 332
Арнольда теорема 322
Ассоциированное расслоение 26—27
Биркгофа—Льюиса теорема 197, 204,
238
— нормальная форма 200
Бугристая метрика 232, 296
Буземана теорема 348
Бэра пространство 209
Векторные карты 351
— расслоения 22
Векторный атлас 351
Вертикальное подпространство 23, 141
Вполне интегрируемая гамильтонова
система 321
Гамильтона осредненная функция 370
— уравнение 161
— функция 160
Гамильтонова система 160, 321
Гамильтоново векторное поле 160
Гамильтонов поток 161
Геодезическая пульверизация 163, 384
Геодезический поток 163, 384
Гессиан 376
Гильбертово многообразие 20
Гиперболическая замкнутая геодези-
геодезическая 191
Главная часть локального представле-
представления 22
Главные собственные значения 197
Гомотопные отображения ДГА 288
Горизонтальное подпространство 23,
Градиентная динамическая система 377
Градиентное поле 55
Гроссмана многообразия 97
Грина теорема 320
Громола—Мейера теорема 257
Группа изотропии 61
Действительное подпространство 172
Дефект геодезической 121
— критического подмногообразия 123
Дифференциальная градуированная
коммутативная алгебра (ДГА) 288
Длина пространства 77
Естественный атлас 37
Закручивающее отображение 208
Закручивающий симплектический диф-
диффеоморфизм 202
Замкнутые геодезические 49, 62, 95
Изотропное пространство 172
Инвариантная относительно изометрии
геодезическая 63
Индекс геодезической 121, 156, 180
— критического подмногообразия 123
Индексная форма 118, 181
Интеграл гамильтоновой системы 321
— энергии 49
Касательное расслоение 21, 22
Категория пространства 77
Квазипериодический поток 322
Квиллена—Сулливана теорема 289
Кинетическая энергия 161
Клеро теорема 326
Ковариантная производная 24, 26
Когомологическая длина 77
Колмогорова—Арнольда—Мозера тео-
теорема 329
Кратное повторение кривой 81
Кристоффеля символы 23, 351
Критический уровень 66
— элемент 81
Критическое подмногообразие 122
Кручение 27
Леви-Чивита связность 28
Лемма о делимости 278
Лиувиляя линейный элемент 324
— система 323
Локальные устойчивые многообразия
139, 146
Люстерника—Фета теорема 70
— Шнирельмана теория 369-^-370
Матрицант 216
Минимальная ДГА 288
-. модель 271, 289
Минимизирующая геодезическая 344
Многообразия гиперболического типа
330, 341
— параболического типа 330, 348
— (типа) Аносова 330
— эллиптического типа 314
Морса комплекс 139, 149, 155, 287,
379, 380
— лемма обобщенная 124
— неравенства обобщенные 137—138
— теория 118, 369—370
— функция 124
Невырожденная геодезическая 123, 156
Предметный указатель
413
Невырожденное критическое подмно-
подмногообразие 123
— подпространство 172
Неустойчивое расслоение 331, 336
Неустойчивые многообразия 139, 140,
154, 207
Нормальная форма Биркгофа элемен-
элементарного симплектического преобра-
преобразования 200
Область меньших значений 7
Однократная кривая 81
Окружность на Sn 96
Ориентируемая геодезическая 335
Остаточное множество 209
Отображение последования 167, 168
— связности 351
Лам лемма 34
— Смейла условие (С) 55
Параметризованная окружность 29
Переменные действие — угол 322
Периодическая точка 203
— траектория 166
— — отображения Пуанкаре 203
Период траектории 166
Периоды потока на торе 322
Поверхность возвращения 319—320
Подчиненные гомологические классы
72, 75, 90, 93
Полный комплекс Морса 149
Положительно определенные формы 27
Полугруппа уменьшающих Е деформа-
деформаций 64
Почти инвариантная геодезическая 344
— периодическая геодезическая 344
Производящая функция симплектиче-
симплектического преобразования 199
Пространство непараметризованных
замкнутых кривых многообразия М
9, 83
больших кругов иа Sn 96
— — окружностей на S" 96
— параметризованных больших кру-
кругов на S" 96
•— — окружностей на S" 96
— петель 155
Пуанкаре отображение 167, 168
— — линейное 184
— ~ центральное 208
Расслоения 22
Рациональный гомотопический тип 396
Риманова метрика 27
— связность 27
Риманово векторное расслоение с дей-
действием группы О B) 123
«=- многообразие 27
Сверхбугристые метрики 296
Связность 22, 351
— без кручения 27
— Леви-Чившпа 28
Серра расслоение 69
Сильно неустойчивое многообразие 140,
207
— устойчивое многообразие 140, 154,
207
Симметрические пространства ранга 1
315
Симплектический атлас 158
Симплектическое многообразие 158
Синга теорема 300
Сопряженные точки 192, 336
Специальные сингулярные симплексы
94
Средний индекс геодезической 294
Срез действия 85
Сулливана классы когомологий 272
Теорема об инвариантных многообра-
многообразиях 206
— о сфере ПО
— о трех замкнутых геодезических 306
— сравнения для больших треуголь-
треугольников 342
Типичное свойство 210
Типовое число 262, 266, 369
Условие (GM). 268
— (С) 55 Р
Устойчивое многообразие 140, 154, 207
— подпространство 191
— расслоение 331, 336
Ферми координаты 210
Фета теорема 247, 254
Фундаментальная матрица решений 216
Характеристическое многообразие 258
Хопфа—Ринова теорема 62
Чеха произведение 73
Числа расщепления 196, 197
Штеккеля линейный элемент 323
— система 323
Штифеля многообразие 96
Шуберта многообразия 98
Элементарные симплектические преоб-
преобразования 198
Эллиптические координаты 323
Эрла—Иллса теорема 366
Якобы поле 164
— уравнение 164
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора перевода б
Предисловие 17
ГЛАВА 1, Гильбертово многообразие замкнутых кривых 21
1.1. Гильбертовы многообразия 21
1.2. Многообразие замкнутых кривых 29
1.3. Риманова метрика и интеграл энергии на многообразии
замкнутых кривых 40
1.4. Условие (С) Пале—Смейла и его следствия 51
ГЛАВА 2. Теория Морса — Люстерника — Шнирельмаиа на многообра-
многообразии замкнутых кривых 64
2.1. Теория Люстерника—Шнирельмана на AM 64
2.2. Пространство непараметризованных замкнутых кривых ... 78
2.3. Замкнутые геодезические на сферах 95
2.4. Теория Морса на ЛМ 118
2.5. Комплекс Морса 138
ГЛАВА 3. Геодезический поток 158
3.1. Гамильтоновы системы 158
3.2. Теорема об индексе для замкнутых геодезических 171
3.3. Свойства отображения Пуанкаре 197
Добавление к § 3.3. Теорема Биркгофа—Льюиса о неподвижной
точке. Юреен Моэер 238
ГЛАВА 4. Существование нескольких замкнутых геодезических 246
4.1, Критические точки на ИМ и теорема Фета 247
4.2, Теорема Громола —Мейера 257
4.3, Существование бесконечного числа замкнутых геодезических 371
Добавление к § 4.3. Минимальная модель рационального гомото-
гомотопического типа многообразия AM. Дж. Сакс 388
4.4, Несколько теорем о существовании в типичной ситуации . . 393
ГЛАВА 5, Другие результаты 301
5.1. Теорема о трех замкнутых геодезических 301
6.2. Некоторые многообразия эллиптического типа 314
5.3. Геодезические на многообразиях гиперболического и парабо-
параболического типа 330
Примечания редактора перевода 350
Список литературы 397
Указатель обозначений ,.,,,,,,..,,,.,.., 409
Именной указатель 410
Предметный указатель ..,,,, 412
УВАЖАЕМЫЙ ЧИТАТЕЛЬ!
Ваши замечания о содержании книги, ее оформ-
оформлении, качестве перевода и другие просим присылать
по адресу: 129820, Москва, И-110, ГСП, 1-й Риж-
Рижский пер,, д. 2, издательство «Мир»,
В. Клиигеиберг
ЛЕКЦИИ О ЗАМКНУТЫХ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ
Старший научный редактор
Н. И. Плужникова
Младший научный редактор
Ю. С. Андреева
Художник А. В. Шипов
Художественный редактор Е. И. Шаповалов
Технический редактор И, Г, Кузнецова
Корректор В. И. Киселева
ИБ Кг 2341
Сдано в набор 81.02.09.
Подписано к печати 82.04.29.
Формат бОХЭО'/ц- Бумага типографская № 2.
Гарнитура литературная. Печать высокая.
Объем 13 бум. л. Усл. печ. л. 26. Усл. кр.-отт. 26.
Уч.-изд. л. 27,1. Изд. № 1/08Б8.
Тираж 6200 экз. Зак. № 224. Цена 3 р. 40 к.
Издательство «Мир»
129820, Москва, И-110, ГСП
1-й Рижвкий пер., 2. .
Набрано и сматрнцировано в Ордена Октябрь*
ской Революции, ордена Трудового Красного
Знамени Ленинградском производственно-техни-
производственно-техническом объединении «Печатный Двор» имени
А. М. Горького Союзполиграфпрома при Государ»
ятвеином комитете СССР по делам издательств,
полиграфии и книжной торговли.
197136, Ленинград, П-136. Чкаловский пр., 15.
Отпечатано в Ленинградской типографии № б
ордена Трудового Красного Знамени Ленинград*
ского объедииения «Техническая книга» им. Евге-
Евгении Соколовой Союзполиграфпрома при Государ*
ствеииом комитете СССР по делам издательств,
полиграфии и книжной торговли.
193144, г, Ленинград, ул, Моисеенко, 10. Зак. 179.