Меры и дифференциальные уравнения в бесконечномерных пространствах - Фомин С.В., Далецкий Ю.Л.

Автор: Фомин С.В. Далецкий Ю.Л.
Теги: дифференциальные, интегральные и другие функциональные уравнения конечные разности вариационное исчисление функциональный анализ дифференциальные уравнения анализ в бесконечномерных пространства
Год: 1983
Похожие
Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения
Дифференциальные уравнения в частных производных.
Дифференциальные уравнения
Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений
Текст
                    Ю. Л. ДАЛЕЦКИЙ
СЭ. ФОМ^Н
МЕРЫ
И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ
В БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫХ
ПРОСТРАНСТВАХ
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИ9ИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОИ ЛИТЕРАТУРЫ
1983

Д 15
• УДК ЪИ.У
Далецкий IO. Л., Фомин С. В. Меры и
дифференциальные уравнения в бесконечномерных
пространствах. — М.: Наука, Главная редакция физико-
математической литературы, 1983. — 384 с.
Книга посвяшена некоторым вопросам анализа в
бесконечномерных пространствах: обобщению понятий
классического анализа на функции бесконечномерного
аргумента и другие связанные с ними объекты
Для специалистов в области теории вероятностей,
функционального анализа и дифференциальных .урав-
.уравнений.
© Издательство «Наука»
1 702050000—055 Главная редакция
Д п»ш Яо 9-83 физико-математической
003(lU)-eo литературы, 1983.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 5
Введение 7
Глава I. Меры и квазимеры. Интегрирование 13
§ 1. Вещественные меры на алгебре множеств 13
§ 2. Цилиндрические множества и функции 26
§ 3. Квазимеры. Интегрирование 36
Приложение. Некоторые сведения из топологии линейных про-
пространств 50
Дополнительные замечания и исторические комментарии .... 54
Глава П. Гауссовы меры в гильбертовом пространстве 56
§ 1. Гауссовы меры в конечномерном пространстве .... 56
§ 2. Гауссовы меры в гильбертовом пространстве 64
§ 3. Измеримые линейные функционалы и операторы ... 72
§ 4. Абсолютная непрерывность гауссовых мер 90
§ 5. Преобразование Фурье—Винера 107
§ 6. Комплексные гауссовы квазимеры 113
Дополнительные замечания и исторические комментарии .... 118
Глава III. Меры в линейных топологических пространствах . . 120
§ 1. Условия а-аддитивности неотрицательных цилиндри-
цилиндрических мер в пространстве, сопряженном к локально
выпуклому 120
§ 2. Последова ельности мер Радона 139
Дополнительные замечания и исторические комментарии ... 152
Глава IV. Дифференцируемые меры и распределения 154
§ 1. Дифференцируемые функции, дифференциальные выра-
выражения 154
§ 2, Дифференцируемые меры , 169
§ 3. Распределения и обобщенные функции 177
§ 4, Положительная определенность. Квазиинвариантные
распределения и бираспределения 191
Дополнительные замечания и исторические комментарии .... 204
Глава V. Эволюционные дифференциальные уравнения .... 207
§ 1. Слабые решения эволюционных уравнений 207
§ 2. Уравнение второго порядка а переменным коэффи-
коэффициентом 223
Дополнительные замечания и исторически* комментарии .... 249
1*

4 ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава VI. Интегрирование по пространству траекторий .... 251
§ 1. Марковские квазимеры 251
§ 2. Эволюционные семейства операторов 260
§ 3. Линейные эволюционные семейства и континуальные
интегралы 283
§ 4. Нелинейные эволюционные семейства и интегралы по
пространству ветвящихся траекторий 294
Дополнительные замечания и исторические комментарии .... 311
Глава VII. Вероятностные представления решений параболи-
параболических уравнений и систем 313
§ 1. Винеровский процесс. Стохастические интегралы . . . 313
§ 2. Стохастические дифференциальные уравнения 326
§ 3. Операторные мультипликативные функционалы и по-
порождаемые ими эволюционные семейства 340
§ 4. Задача Коши для параболических систем уравнений
второго порядка 350
Дополнительные замечания и исторические комментарии .... 363
Литература 365
Предметный указатель 381

ПРЕДИСЛОВИЕ
Это предисловие я пишу через пять лет после смерти
Сергея Васильевича Фомина. Летом 1975 года мы решили
прочесть два согласованных курса по бесконечномерному
анализу в Дальневосточной математической школе. В один
из августовских вечеров в домике на берегу Японского
моря мы, только что закончив партию в шахматы, рас-
рассматривали план окрестностей Владивостока в связи
с предстоящей экскурсией. Внезапный сердечный приступ
привел к почти мгновенной смерти Сергея Васильевича.
Сергей Васильевич Фомин был прекрасным разно-
разносторонним математиком и прекрасным человеком, и эти
качества были в нем тесно связаны: его спокойная доб-
доброжелательность чрезвычайно облегчала научные кон-
контакты с ним и стимулировала совместную работу. Хотя
в последние годы он часто болел, он и на день не хотел
отказаться от своей многосторонней деятельности. Утром
того дня он еще прочел лекцию в школе и слушал лекции
своих коллег.
Бесконечномерный анализ был одним звеном из круга
его интересов. Наше сотрудничество в этой области
началось в 1963 году в процессе подготовки к совместному
докладу на Всесоюзной конференции по теории вероят-
вероятностей в Тбилиси (см. Ю. Л. Далецкий и С. В. Фомин
[1]). К началу семидесятых годов, когда возникла идея
создания этой книги, в нашем распоряжении находились,
в основном, результаты, изложенные в ряде обзоров
(В. И. Авербух, О. Г. Смолянов и С. В. Фомин [1, 2],
Ю. Л. Далецкий [5, 8, 9]), на базе которых и было решено
начать работу. В процессе подготовки к ней мы прочли
соответственно в Московском и Киевском университетах
спецкурсы по теории меры в бесконечномерных простран-
пространствах и получили ряд новых результатов, как совместно
(Ю. Л. Далецкий и С. В. Фомин [2]), так и независимо.
Некоторые из этих результатов и связанных с ними идей
были сообщены нами в новом совместном докладе на

О ПРЕДИСЛОВИЕ
1-й Вильнюсской конференции по теории вероятностей
в 1973 году (Ю. Л. Далецкий и С. В. Фомин [3]).
К этому времени мы тщательно продумали план книги,
продолжали в соответствии с этим планом собирать мате-
материалы и начали их упорядочивать. Однако в разгаре
работы я остался один и должен был либо вовсе от нее
отказаться, либо продолжать ее с удвоенными усилиями
и удвоенной ответственностью. Выбирая второй вариант,
я надеялся, что окончание работы было бы с моей стороны
лучшей данью светлой памяти Сергея Васильевича.
Естественно, что продолжение работы потребовало
теперь значительно больше времени, чем предполагалось.
К имевшимся материалам были присоединены результаты
работ, выполненных при участии Сергея Васильевича, но
опубликованных после его смерти (Ю. Л. Далецкий и
С В. Фомин [4], О. Г. Смолянов и С. В. Фомин [1];
я благодарен О. Г. Смолянову за сотрудничество и пре-
предоставление дополнительных материалов в процессе освое-
освоения последней работы). Кроме того, были учтены резуль-
результаты и ряда других работ, выполненных уже после
1975 года. Некоторые из них как раз и были стимули-
стимулированы работой над рукописью. Однако я сознательно
старался сохранить без изменения первоначальный план
книги.
Результатом является предлагаемая книга, которая,
как я надеюсь, полностью отвечает духу и идеям, проду-
продуманным нами совместно.
Разумеется, только я несу ответственность как за воз-
возможные недочеты в реализации нашего общего замысла,
так и за характер исторических комментариев.
Киев, июнь 1980 Ю. Л. Далецкий

ВВЕДЕНИЕ
Эта книга посвящена некоторым вопросам анализа
в бесконечномерных пространствах. Имеется в виду обоб-
обобщение понятий классического анализа на функции беско-
бесконечномерного аргумента и другие связанные с ними
объекты.
Естественная потребность в построении такой матема-
математической дисциплины ощущалась давно в связи с разви-
развитием математической физики (в частности, вариационного
исчисления). На необходимость ее. создания впервые
указали, по-видимому, Ж. Адамар и В. Вольтерра (см.
Г. Е. Шилов [1] и предисловие к книге П. Леви [1]),
а первые шаги в этом направлении сделали В. Вольтерра,
Р. Гато, П. Леви и М. Фреше.
До какого-то момента перенос понятий анализа на
бесконечномерный случай проводится без особых ослож-
осложнений. Это относится, в частности, к дифференциальному
исчислению и простейшим задачам теории дифференциаль-
дифференциальных уравнений, включая задачу Коши для уравнений
первого порядка (см. П. Леви [1J, В. И. Авербух
и О. Г. Смолянов [1, 2], Ж. Дьедонне [1], Ю. Л. Далецкий
и Н. М. Кухарчук [1]). Серьезные трудности начинаются
при переходе к интегрированию и теории дифференциаль-
дифференциальных уравнений, аналогичных классическим уравнениям
математической физики, при изучении которых нельзя
обойтись без интегрирования. Правда, довольно давно
разработана теория меры и интеграла на произвольном
измеримом пространстве (см., например, П. Халмош [1]).
Однако в данном случае речь идет о теории интегриро-
интегрирования, связанной с другими структурами пространства,
так как без такой связи невозможен содержательный гар-
гармонический анализ.
Первые исследования по теории средних на функцио-
функциональном пространстве и соответствующей теории опера-
оператора Лапласа (оператор Лапласа — Леви) были накоплены
в книге П. Леви [1]. Они были развиты рядом совет-
советских математиков (важную роль при этом сыграла ини-

8 ВВЕДЕНИЕ
циатива Е. М. Полищука; ссылки на литературу см. в ком-
комментариях к гл. IV) в интересное направление, которое,
однако, до сих пор мало связано с другими течениями
в анализе и приложениями (по-нашему мнению, такие
связи, несомненно, должны существовать).
Значительно более плодотворным оказалось другое
направление в теории интегрирования, связанное с раз-
развитием теории случайных процессов, начиная с работ
Н. Винера и А. Н. Колмогорова. Теория винеровских
интегралов, исследованию которых была посвящена боль-
большая серия работ Р. Камерона и В. Мартина, прояснила
ряд особенностей, свойственных интегрированию в функ-
функциональных пространствах и подробно изученных впо-
впоследствии в более общей ситуации.
Бесконечномерные дифференциальные уравнения также
естественно возникают в теории случайных процессов.
Во-первых, к ним приводят полугруппы, порождаемые
марковскими случайными процессами в бесконечномерном
пространстве. Отметим в связи с этим, что теория стоха-
втических уравнений, развитая К. Ито, И. И. Гихманом
и А. В. Скороходом, оказалась прекрасно приспособлен-
приспособленной для бесконечномерных обобщений (см. Ю. Л. Далец-
кий [8]). Во-вторых, они появляются при изучении так
называемых статистических решений эволюционных урав-
уравнений классической математической физики (начиная
с работы Е. Хопфа [1]; см. по этому поводу обзор
М. И. Вишика, А. И. Комеча и А. В. Фурсикова [1]).
Возможно, эта линия влияния теории вероятностей
на бесконечномерный анализ могла бы и развиваться
таким независимым образом (красочное признание недо-
недооценки роли теории вероятностей в анализе см. у Б. Сай-
мона [1]). Однако исторически это было не совсем так.
В сороковых годах появился мощный дополнительный
стимул для развития бесконечномерного анализа, связан-
связанный в первую очередь с работами Р. Фейнмана по кван-
квантовой механике и электродинамике, в которых был введен
и использован (как обычно в физических работах, без
надлежащего математического обоснования, отсутствие
которого до некоторого момента не мешает физикам рабо-
работать) знаменитый теперь «фейнмановскии интеграл».
Эти работы, относящиеся к уравнению Шредингера,
оказав обратное влияние на теорию случайных процес-
процессов, привели к уже строгим математическим результатам
М. Каца в теории диффузионных уравнений.

ВВЕДЕНИЕ а
С Другой стороны, в работах Ю. Швингера по кванто-
квантовой электродинамике появились уравнения в функциональ-
функциональных производных, также потребовавшие для своего иссле-
исследования развития процедур интегрирования в функцио-
функциональных пространствах (см. обзор И. М. Гельфанда и
А. М. Яглома [1] и приведенные там исторические ком-
комментарии и список литературы). Источником уравнений в
функциональных производных явились также уже цитиро-
цитированные выше работы Е. Хопфа по статистической гидро-
гидромеханике, а также исследования в области статистической
физики (см. Н. Н. Боголюбов [1]).
Все эти источники создавали серьезные предпосылки
для работы в области математики. Переломным моментом
здесь был, как нам представляется, 1956 год, когда
почти одновременно появились обзор И. М. Гельфанда
и А. М. Яглома [1], статья Ю. В. Прохорова [1] и пер-
первая из серии работ И. Сигала [1]. Эти работы, а также
несколько более поздняя книга И. М. Гельфанда и
Н. Я- Виленкина [1], оказали значительное влияние
на дальнейшее развитие теории. Описание этого развития
невозможно уложить в единое русло, и мы не пытаемся
сделать это здесь. (Какое-то представление о нем дается
в исторических комментариях к отдельным главам книги.)
Во всяком случае, сейчас, через четверть века после
описанных событий, бесконечномерный анализ представ-
представляет собой вполне самостоятельную область, тесно связан-
связанную с другими, более классическими областями матема-
математики, и имеющую важные приложения в физике. В силу
этого она заслуживает последовательного и связного
изложения. Такая задача, однако, представляется сейчас
еще слишком смелой, и, замышляя эту книгу, авторы
не ставили ее перед собой.
Мы стремились написать сравнительно небольшую
книгу, в которой излагались бы основные понятия,
связанные с дифференциальными уравнениями относи-
относительно функций бесконечномерного аргумента, и некоторые
методы их исследования. Это по необходимости включало
основы теории меры и интегрирования в функциональ-
функциональных пространствах.
Однако теория меры играет в бесконечномерном ана-
анализе еще одну особую роль. Поскольку в бесконечно-
бесконечномерном пространстве отсутствует стандартная мера типа
меры Лебега, в нем нет канонического способа отождест-
отождествления мер с обобщенными функциями, а также канони-

Ю ВВЕДЕНИЕ
ческой операции спаривания между гладкими и обобщен-
обобщенными функциями, столь плодотворных для конечномерной
математической физики. Поэтому возникает необходимость
построения анализа мер, параллельного анализу функций.
Двойственными объектами к гладким мерам при этом явля-
являются обобщенные функции, а к гладким функциям — обоб-
обобщенные меры (распределения). Обе конструкции естественно
связываются преобразованием Фурье (см. С. В. Фомин
[1. 2]).
Что касается дифференциальных уравнений, то уже
сейчас в этой области имеется достаточно много разнооб-
разнообразных результатов. При отборе материала, естественно,
отразились интересы и вкусы авторов, связанные в основ-
основном с исследованием эволюционных уравнений.
Примерное содержание книги таково.
В первой главе вводятся основные понятия, связан-
связанные с мерами и более общими объектами —квазимерами,
получающимися при обобщении понятия системы конечно-
конечномерных распределений случайной функции на знакопере-
знакопеременные функции множеств. Приводятся некоторые при-
признаки а-аддитивности цилиндрических мер, включая доста-
достаточно общий вариант классической теоремы Колмогорова.
Указываются некоторые способы интегрирования по квази-
квазимерам.
Вторая глава посвящена изложению теории гауссовых
мер в гильбертовом пространстве. Гауссовы меры играют
в бесконечномерном анализе особую роль по нескольким
причинам. Во-первых, они естественно возникают в физи-
физических задачах. Во-вторых, гауссовы меры обладают свой-
свойством квазиинвариантности, позволяющим построить дос-
достаточно содержательный гармонический анализ. Наконец,
некоторые связанные с ними вычисления удается провести
до конца. В конце главы мы рассматриваем также аб-
абстрактный аналог «меры Фейнмана» — гауссову квазимеру
с комплексным параметром.
В третьей главе мы возвращаемся к произвольным
мерам Радона в линейных топологических пространствах.
Здесь излагаются условия а-аддитивности типа теоремы
Минлоса —Сазонова, а также условия слабой компакт-
компактности семейства мер, связанные с результатами Ю. В. Про-
Прохорова.
Эти главы составляют общую часть книги, которая
служит базой для последующего изложения. Содержание
втой части в некоторых пунктах пересекается с содержа-

ВВЕДЕНИЕ И
нием книг Н. Бурбаки [2], И. И. Гихмана и А. В. Ско-
Скорохода [3], X. Куо [1], А. В. Скорохода [4], однако и
в этих пунктах ряд вопросов трактуется по-новому.
Последующие главы более специальны по содержа-
содержанию и более тесно связаны с результатами и интересами
авторов.
В четвертой главе излагается дифференциальное исчис-
исчисление мер и распределений в бесконечномерном простран-
пространстве, вводятся в рассмотрение дифференциальные опера-
операторы для функций и распределений на бесконечномерном
пространстве, а также рассматриваются некоторые вопросы
гармонического анализа, связанные с интегральными
представлениями обобщенных ядер.
В пятой главе мы начинаем рассматривать эволюцион-
эволюционные линейные дифференциальные уравнения с постоян-
постоянными и переменными коэффициентами для функций и рас-
распределений на бесконечномерном пространстве. Изложение
частично ведется в духе классической теории распределе-
распределений Л. Шварца (см. И. М. Гельфанд и Г. Е. Шилов [1]).
Для уравнений с переменными коэффициентами развива-
развивается метод, основанный на проектировании в конечномер-
конечномерные пространства и последующем предельном переходе.
В шестой главе рассматриваются связи между эволю-
эволюционными уравнениями и интегралами по траекториям
(континуальными интегралами), в частности, представле-
представления решений типа формулы Фейнмана — Каца. Мы не огра-
ограничиваемся линейными уравнениями и получаем для нели-
нелинейных уравнений представления в виде интегралов по
пространству ветвящихся траекторий.
В седьмой главе мы подходим »: некоторым вопросам,
рассмотренным в пятой и шестой главах, с другой точки
зрения, основанной на вероятностных соображениях. Ос-
Основным аппаратом здесь является бесконечномерный вари-
вариант теории стохастических уравнений Ито, а также опе-
операторные мультипликативные функционалы от марковских
случайных процессов. Сравнение результатов показывает,
что в тех случаях, когда этот аппарат применим (парабо-
(параболические уравнения и системы диффузионного типа), он
оказывается более эффективным, чем использованный
в предыдущих главах.
Значительно труднее описать то, что по тем или иным
соображениям не удалось включить в эту книгу. На не-
некоторые близкие результаты и направления мы указываем
в исторических комментариях, приложенных к каждой

12 ВВЕДЕНИЕ
главе. Эти комментарии, так же как и список литера-
литературы, не претендуют на полноту и, как всегда, в какой-то
мере субъективны. Во всяком случае, в них указываются
среди прочих источников книги и обзоры, в которых
имеются дальнейшие ссылки.
Более серьезное исследование по современной матема-
математической физике должно было бы хоть в какой-то мере
отразить и некоторые другие вопросы, которых мы не
касаемся даже и в ссылках, такие как интегрирование
на бесконечномерных нелинейных многообразиях, беско-
бесконечномерные группы Ли, а также направление, которое
иногда называют «некоммутативной теорией вероятностей».
Для понимания содержания книги от читателя не тре-
требуется чего-либо выходящего за рамки основного универ-
университетского курса функционального анализа, основ теории
меры и теории вероятностей и элементарной теории урав-
уравнений с частными производными. Для удобства читателя
мы сообщаем в соответствующих местах необходимые до-
дополнительные сведения из теории линейных топологичес-
топологических пространств и теории случайных процессов.

ГЛАВА I
МЕРЫ И КВАЗИМЕРЫ. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
В этой главе вводятся некоторые основные понятия,
систематически используемые в книге. Рассматриваются
вещественные меры на измеримых пространствах, вклю-
включая аналог классической теоремы Колмогорова о а-адди-
тивности в чисто измеримой ситуации, не связанной с на-
наличием произведения пространств. Далее мы рассматри-
рассматриваем на алгебре цилиндрических множеств более общие
объекты — квазимеры (в частности, цилиндрические меры)
и приводим простейшие понятия, относящиеся к интег-
интегрированию по квазимерам.
Предполагается, что читателю известны основные по-
понятия общей теории меры и интеграла (см, П. Халмош [1],
Ж. Неве [1]). Кроме этого, для понимания содержания главы
нужны элементарные сведения из общей топологии и тео-
теории линейных операторов. Для удобства читателя в конце
главы помещено приложение, в котором кратко при-
приводятся некоторые сведения из теории линейных тополо-
топологических пространств. Они частично используются в этой
главе, более существенно — в главе III.
§ 1. Вещественные меры на алгебре множеств
1°. Предмеры. В этом параграфе мы изложим некото-
некоторые факты, относящиеся к вещественным аддитивным
функциям множеств в удобной для дальнейшего форме.
Пару (X, Щ, где X —некоторое множество, Ш — алгебра
его подмножеств, назовем измеримым пространством.
Если 21 — а-алгебра, будем называть это пространство
а-измеримым.
Предмерой на (X, Щ со значениями в линейном про-
пространстве Т будем называть отображение \х: %-*-Т, обла-
обладающее свойством аддитивности:
H(Al)B) = ix(A) + }x(B) (А, ВшЯ, АГ\В-ф).
Для линейного топологического пространства Т пред-
меру ц назовем мерой, если она обладает свойством

14 ГЛ. I. МЕРЫ И КВАЗИМЕРЫ. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
о-аддитивности:
\к — 1
, *=1, 2, ...,
Свойство а-аддитивности ограниченной предмеры эквива-
эквивалентно свойству ее непрерывности: |л(Л„)->0, если Ап\ф
(n-voo). Всюду в этой главе, если не оговорено против-
противное, мы рассматриваем ограниченные предмеры со значе-
значениями из R1; если при этом (л(Л)^О (Ле21), предмера
называется положительной.
Для каждой вещественной предмеры \х определяются
положительные предмеры \х+ и \х~ на том же измеримом
пространстве:
p|0) |л-(?) = - inf \x(A),
АсЕ АсЕ
для которых
Положительная предмера |(л|: | \х | (?) = (л+ (?) + Ц~ (?)
называется полной вариацией предмеры ц. Если (л —мера,
то (л+, (л~, | (л | —также меры. Если при этом 31 — а-алгебра,
то существует Хо е 31 такое, что
Комплексная предмера (л естественно выражается через
вещественные:
| Цг, где ^^
Полную вариацию в этом случае можно определить как
|(?)^sup2i I
n
где E = (J ?/ — разбиение на конечное число измеримых
попарно непересекающихся слагаемых, и верхняя грань
берется по всевозможным таким разбиениям. Это опреде-
определение, очевидно, переносится и на меры со значениями
в банаховьй пространствах.

J 1. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ МЕРЫ НА АЛГЕБРЕ МНОЖЕСТВ 15
Если 210 — алгебра, то обозначим 21 = а B10) минималь-
минимальную содержащую ее а-алгебру. Каждая мера на 910 един-
единственным образом продолжается до меры на 91.
Пусть (X, 21), (X, 21) —пара измеримых пространств и
/; X -v X — измеримое отображение: f-1 (W) = {А = f-1 (А),
А е 21} ci2l. Тогда произвольная предмера fi на (X, 21)
порождает предмеру р. = |л, на (X, 21): \\, (А) = (л (/-1 (Л))
(Лей), принимающую значения в том же пространстве,
что и (л.
2°. Некоторые признаки «г-аддитивности предмер.
Определение 1.1. Пусть С — некоторое множество.
Класс Ж его подмножеств называется компактным, если
для всякой последовательности Кп (л=1, 2, ...) элемен-
00
тов этого класса, у которой р) Кп^Ф, существует та-
л»
кое л0 е М, что и f] Кп=ф.
Предложение 1.1. Если класс Ж подмножеств
множества С компактен, то компактен и наименьший
содержащий Ж класс Ж, его подмножеств, замкнутый
относительно конечных объединений.
Доказательство. Пусть для каждого я= I, 2, ...
тп
2&пж (J Кп", где для всех рассматриваемых тип
Кп s Ж, и предположим, что, каково бы ни было р е IN,
["} &„Фф. Лемма будет доказана, если мы покажем,
что тогда и
п = 1
00
Пусть «#¦¦= Л {1, 2, .... /п„} — пространство всех по-
n = i
следовательностей {/„} натуральных чисел, таких, что
Для всякого п jn^tnn. Пусть для каждого р
: (] К" ф Ф \ • Пввкольку, каково бы ни
Р Р ,
было р, р) ^„=(J p) Кп", причем, по условию,

18 ГЛ. I. МЕРЫ И КВАЗИМЕРЫ. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Р
р) &пфф, то я7рфф при каждом р. Кроме того,
л= 1
если pi<Lpi, то е7Р| гэ3Рг. Поскольку пространство 3,
рассматриваемое как произведение счетного семейства
топологических пространств, наделенных дискретной то-
00
пологией, компактно, отсюда следует, что р) <??рфф-
00
Пусть {/„} е р) <??р. Тогда для каждого р=1, 2, ...
р ^
р) КпФф, и, следовательно, поскольку класс 5? ком-
00
пактен, р) КпФФ', но это множество является частью
00
множества р) 2&п, непустота которого, таким образом,
установлена. ¦
Определение 1.2. Пусть \х — предмера на алгебре
(полуалгебре) 31 подмножеств множества X. Скажем, что
класс Ж d 31 аппроксимирует \х снизу, если для любых
А е 31 и е > 0 существует КаЖ такое, что К с: А и
Теорема 1.1. Пусть 31 — алгебра (или полуалгебра)
подмножеств пространства X и \х — предмера на %. Для
того чтобы она была мерой, достаточно, чтобы 31 со-
дерокала компактный класс Ж, аппроксимирующий ее
снизу.
Доказательство. С помощью предложения 1.1
случай, когда 31 — полуалгебра, сводится к случаю, когда
91 — алгебра.
Итак, пусть 31 —алгебра; для доказательства счетной
аддитивности предмеры \х в этом случае достаточно уста-
установить, что если для каждого натурального п А„ е 31,
00
Л1=)Л2=)... и р| Ап=ф, то ||л|(Л„)->0 (я-»-оо).
Пусть е>0. Для каждого пеЦ выберем множество
К„^Ж так, чтобы КпсАп и ||л|(Лп\/С„)<^. По-
СО 00
скольку р) /(„с: р) Ап = ф, существует такоё*-р, что
п—1 о—1

5 1. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ МЕРЫ НА АЛГЕБРЕ МНОЖЕСТВ 17
Р
^Ф- Поэтому
(\ « = U (ар\Кп)с U {АЯ\КЯ)
1 1
(\ U
л = 1 я= 1
и, следовательно,
Следствие 1.1. Пусть аппроксимирующий пред-
меру (л класс Ж замкнут относительно счетных пересече-
пересечений, а условие компактности в теореме заменяется более
слабым: для каждого е>0 существует такое /С8 ci X,
что класс {К П Ке> К^<%} компактен и для каждого
лежащего вне Ке множества F e SK выполняется соотно-
соотношение | (Л | (F) < 8.
Тогда предмера (л о-аддитивна, т. е. является мерой.
00
Действительно, в тех же обозначениях, (~| (/Сл П ^е) =
л = 1
— ф, и поэтому при некотором р
/л \
откуда следует, что |ц| [ I Д„ <е и далее |и,|(Лр)^
\л = 1 '
л«=1
Важный пример измеримого пространства мы полу-
получаем, рассматривая пару (X, 35), где X — топологическое
пространство, 23 — а-алгебра его борелевских множеств.
В этом пространстве компактным является класс S% = S%X
всех счетно-компактных подмножеств.
Определение 1.3. Предмеру \х на (X, Ъ) назовем
радоновой, если она аппроксимируется классом <%"х.
Будем называть а-аддитивную радонову предмеру ме-
мерой Радона.
Предложение 1.2. Каждая радонова предмера на
(X, 23) о-аддитивна.
Этот факт непосредственно следует из теоремы Ы.

18 ГЛ. ! МЕРЫ И КВАЗИМЕРЫ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Утверждение, указанное в следствии 1.1, можно интер-
интерпретировать следующим образом.
Предложение 1.3. Пусть \х — предмера на алгебре 21
топологического пространства X, <У d 31 — замкнутый
относительно пересечений, аппроксимирующий (л снизу
класс, состоящий из замкнутых в X множеств. Если для
каждого е>0 существует такое компактное множество Ке,
что для каждого F^J" из F{\K&—0 следует |(x|(F)<e,
то предмера \к а-аддитивна.
Посмотрим теперь, насколько необходимы приведенные
достаточные условия а-аддитивности.
Предложение 1.4. Класс <У замкнутых подмно-
подмножеств сепарабельного метрического пространства X
аппроксимирует снизу каждую меру на (X, 33).
Доказательство. Пусть 310 —подкласс 53, состоя-
состоящий из множеств, на которых мера (л аппроксимируется
классом аГ, и содержащий вместе с каждым множеством
его дополнение. Легко проверить, что 310 — алгебра и
в то же время монотонный класс. Поэтому 910 — а-алгеб-
ра. Так как в X каждое замкнутое множество есть пе-
пересечение последовательности открытых, то она, оче-
очевидно, содержит класс аГ, порождающий 33. Поэтому
Slo = 23. ¦
Предложение 1.5. Пусть X — полное сепарабель-
ное метрическое пространство, Ъ — о-алгебра его борелев-
ских множеств, \х — положительная мера на X. Тогда для
всякого е>0 в X существует такой компакт К, что
МХК
Доказательство. Поскольку X сепарабельно, его
можно покрыть счетным числом замкнутых шаров ра-
радиуса 1. Выберем из них конечное число шаров Si",..., S'k!
I k \
так, чтобы ц( (J 5/')> 1 — е/2. Далее рассмотрим счет-
ное семейство шаров радиуса 1/2, покрывающее X, и
выберем из него конечное подсемейство Si*1, ..., Si*,1, так
что |л( I I S/*' > 1 — 4- и т. д.; на л-м шаге мы построим
V = 1 /
таким же образом конечное семейство S\"\ ..., Sj?' аам-
кнутых шаров радиуса 1/л, удовлетворяющее условию
JI) Sj)>l-~. Множество К= f| \J S}"' очевидно,

¦' § 1. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ МЕРЫ НА АЛГЕБРЕ МНОЖЕСТВ 19
замкнуто и вполне ограничено; так как пространство X
полно, то К — компакт. Кроме того, ХК
3°. Измеримые и топологические пространства Радона.
В связи с рассматриваемыми вопросами полезно ввести
следующие понятия.
Определение 1.4. Измеримое пространство (X, 21)
назовем пространством Радона, если в нем существует
компактный подкласс Ж, аппроксимирующий снизу вся-
всякую меру на (X, 21). Мы будем говорить при этом, что
(X, 21, Ж) — (измеримое) пространство Радона.
Топологическое пространство X назовем (топологиче-
(топологическим) пространством Радона, если (X, 23, Жх) является
пространством Радона.
Иными словами, X есть топологическое пространство
Радона, если всякая а-аддитивная вещественная мера на
(X, 53) является мерой Радона.
Теорема 1.2. Полное сепарабельное метрическое про-
пространство является топологическим пространством Ра-
Радона.
Доказательство. Согласно предложению 1.4 для
каждого е>0 и каждого борелевского А существует
замкнутое F с А, для которого | (л | (A\F) <е/2. Это мно-
множество F является вместе с X полным сепарабельным
пространством, и согласно предложению 1.5 в нем сущест-
существует компактное К, для которого | \х \ (F\K) < е/2, откуда
||И\/С)
|ц|И)
Класс измеримых пространств Радона достаточно ши-
широк, поскольку он замкнут относительно ряда естествен-
естественных операций.
Предложение 1.6. Пусть (X, 21, Ж) — измеримое
пространство Радона, /: Y-+X, SC, = /-1Cl)={Sc:F: /(B)s
е21}. Если класс 5?"; ==/~1 E?") компактен в Y, то
(Y, 21/, Жj) — измеримое пространство Радона. В частно-
частности, это верно, если отображение f сюръективно.
Доказательство. Пусть (л — мера на (Y, Ш(). Тогда
iXf(A) = ]x(f-1(A)) — мера на (X, Щ и по условию для
каждого ЛеЯ и е > 0 существует К е Фс такое, что
\щ\ (Л\/С)<е. Поэтому для каждого Л! е21, Ax<z.A\K
Имеем |n/(i4i)|<e, а значит, и \]x(f-1(A1))\<i&. По-
Поскольку f-1 (Л1) — произвольное 21/ — измеримое множество,
удовлетворяющее условию f~* (At) cz h1 lA)\t~1 (К), то
|Н(/^D\/^(К))

20 ГЛ. I. МЕРЫ И КВАЗИМЕРЫ. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Последнее утверждение следует из того, что при
сюръективном f соотношение Г) f-1 (Kj) = ф влечет
/
Следствие 1.2. Пусть Y а X, 21К = {Л f] Y, A ge Ш}
и класс a#Y = {К Л У, К s Ж\ компактен. Тогда
(Y, 21к, Жу) — измеримое пространство Радона. В частно-
частности, замкнутое подпространство топологического про-
пространства Радона есть топологическое пространство
Радона.
Определение 1.5. Пусть 21* (КеЛ) — семейство
алгебр подмножеств пространства X, обладающее тем
свойством, что для каждой пары Ки ^еЛ существует
А, е Л, для которого 2l*t U 21*2 с: 21*. Будем называть се-
семейство 21* направленным, а алгебру 21= II21*= lim 21* —
А Л
пределом этого направленного семейства.
Будем также называть измеримое пространство (X, 21)
пределом направленного семейства измеримых пространств
(X, 21*) (^еЛ) и говорить, что (X, 21) обладает предель-
предельной структурой.
Предложение 1.7. Пусть \ (% е Л) — направлен-
направленное семейство алгебр подмножеств пространства X, 21 =
= lim 2t*, Ж" с 21 — компактный класс и Ж"* = Ж" П 21*. Если
каждое (X, 2t*, PC'*) — измеримое пространство Радона,
то и (X, 21, Фс) — измеримое пространство Радона.
Доказательство. Пусть ц — мера на (X, 21). Суже-
Сужение | (д. f* = | (д. |л есть мера на (X, 21^,), которая по уело-
Л.
вию аппроксимируется компактным классом Ж"*. Так как
каждое Л е 21 входит в какое-нибудь 21*, то (д. аппрокси-
аппроксимируется на этом множестве классом <%"*, а значит, и
классом Ж zd Ж*. ¦
Рассмотрим семейство измеримых пространств (X*, Я*)
AеЛ). Для конечного набора индексов 1Ь ,.., %п рас-
рассмотрим произведение
Х*х *п = (Х*1хХ*2Х...хХ*п, ^ *J,
где алгебра 21*х *п порождена произведениями Л^х...
...хЛ* множеств Л*. е21* (/=1, ..., п). Пусть теперь
п 1 I
X = Y\_ Х\ — пространство, состоящее из всех наборов ф ==
А

5 1 ВЕЩЕСТВЕННЫЕ МЕРЫ НА АЛГЕБРЕ МНОЖЕСТВ 21
{фх е Х^, К^А]. Для каждого набора индексов
1, ..., К определена проекция
Рассмотрим в X алгебры
Эти алгебры образуют направленное семейство, предел
которого
оо
"-ЧЧ К)
будем называть алгеброй цилиндрических множеств произ-
произведения X = Y\ X*. и обозначать Я = |j[ ^я-
Л Л
Определение 1.6. Измеримое пространство /JJ X*,,
\ л
JJSl^'j назовем произведением семейства измеримых про-
л /
странств {Х\, 31^) (К е Л).
Будем обозначать ниже цилиндрические множества
следующим образом:
Предложение 1.8. Пусть &?% — компактный класс
в (Хк, Щ (Я, е Л). Гогйа в произведении /Д Хь J| Л
\ Л л
компактен класс Ж=[J [J Ж^ >,п, где Ж
п (^ ... Лп)
класс, состоящий из конечных объединений цилиндриче-
цилиндрических множеств
% —
Доказательство. Каждое множество вида A.1)
можно записать в виде Цч ^(^x.-.x^J^f]^'
д
| Ку (k = XJt /-1, .... п)

22 " ГЛ. I МЕРЫ И КВАЗИМЕРЫ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
со
Пусть К1 -П М s Ж (/=1,2,...) и р /С' = 0-
л /=i
со
Тогда найдется IgA такое, что f] К{=ф, и, в силу
компактности РС%, для некоторого п% получится f] Ж'% =
-» ф. При этом очевидно, что П К'=ф. Остается при-
применить предложение 1.1. ¦
Предложение 1.9. Пусть (Хх, Шх, S%\\ (Х<=Л) —
семейство измеримых пространств Радона и Ж —класс
множеств A.1). Тогда произведение (J\XX, \\%\, &С)
есть измеримое пространство Радона.
Доказательство. В силу предложения 1.7 доста-
достаточно доказать, что каждое {X, Ш\у ..., \п, Ж%х j,J есть
измеримое пространство Радона, а так как отображе-
отображение п\ >, сюръективно, это сводится к доказательству
радоновости конечного произведения (Х\ \ , Slv ^ .
^ч к)-
Пусть (д, — ст-аддитивная мера на Х% %, , которую
(возможно, переходя к вариации) мы можем считать поло-
положительной, ц\ — ее образ при отображении п/. Хъ. *, ->-
-+Х),,. Так как St*,. . % состоит из конечных объедине-
/ 1 ' л
п
ний произведений вида Л = YI Л*, то достаточно аппрокси-
аппроксимировать меру (д, на каждом таком произведении. Пусть
KjcA*.., K/mSV^, и v-KJ(AKi\K,)<^r. Тогда
л л
Л \ Ц К*., <=: U А^ х ... х Ак х (А,\Кк,)х А< х ...
/=i ,/-I
и
Замечание 1.1. Из предложения 1.9 еще не сле-
следует, что произведение топологических пространств Радона
является топологическим пространством Радона, хотя на
нем и имеется структура измеримого пространства Радона,
определяемая цилиндрическими множествами. Однако при

§ 1.-ВЕЩЕСТВЕННЫЕ МЕРЫ НА АЛГЕБРЕ МНОЖЕСТВ 23
дополнительных предположениях этот факт можно уста-
установить.
оо
Пусть X = YI Хп — счетное произведение топологиче-
ских пространств Радона Хп, компактные подмножества
которых метризуемы. Тогда X — топологическое простран-
пространство Радона.
Действительно, путем, аналогичным примененному
оо
выше, строится произведение К = Y\ Kn компактов К„ с
л=1
сг Хп, для которого (д,(Х\/С)<е. Так как К — метризуе-
мый компакт, то сужение на него является мерой Радона,
откуда уже легко следует требуемое.
В качестве следствия полученного утверждения и след-
следствия 1.2 выводим, что проективный предел счетного мно-
множества топологических пространств Радона, обладающих
свойством метризуемости компактных подмножеств, есть
топологическое пространство Радона.
Предложение 1.10. Пусть (Xh 8ly, К)) (/=
= 1, 2, ...) — последовательность измеримых пространств
Радона, удовлетворяющая условиям;
1) Х1С=Х2с=...с=Хлс=...;
оо
Положим Х= U Хп; 31 = {А: А()Хпе=%п; я = 1, 2, ...},
п = 1
оо
<%"= [J РСп. Тогда (X, 51, PC) — измеримое пространство
л = 1
Радона.
Доказательство. Пусть ц — ст-аддитивная мера
на (X, 21). Так как Х= lim Xn, то для каждого е>0
л-юо
существует п0, начиная с которого \ц |(Х\Хл)<е
(п^п0). Пусть теперь А е21. Рассмотрим А(]Хп е21л.
Тогда существует Кп с= А (] Хп, для которого
|(г 1 ((ЛПХл)\/С„)<е и |ц|(Л\/С)<2е. ¦
Следствие 1.3. Пусть X есть топологическая сумма
СО
Х=» U Хл монотонно возрастающей последовательности
ПЩ>\
топологических пространств Радона, причем топология в Хп
совпадает с индуцированной из ХпП, и Х„ замкнуто в Х„+1.

24
ГЛ. I МЕРЫ И КВАЗИМЕРЫ. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Тогда X — топологическое пространство Радона.
В частности, топологическим пространством Радона
является строгий индуктивный предел расширяющейся
последовательности локально выпуклых линейных топо-
топологических пространств Радона, каждое из которых зам-
замкнуто в последующем.
Предложение 1.11. Пусть ?i с= Ег с Е3 с... —
расширяющаяся последовательность банаховых пространств
с вполне непрерывными вложениями. Тогда пространство
Е = lim ind En — топологическое пространство Радона.
Доказательство. Пусть ц — счетно- аддитивная
мера на ст-алгебре $5Е борелевских подмножеств Е, А е 23^
и е>0. Пусть далее Sn — единичный шар в банаховом
пространстве Еп. Тогда его замыкание Sn + i в ?л+1 ком-
компактно в этом пространстве; так как для каждого п вло-
вложение En-+ Е непрерывно, то множество Sn+ l компактно
и в Е. Кроме того, Sn + i метризуемо (так как простран-
пространства Еп — банаховы). Поэтому, в силу теоремы Суслина,
множество Sn является борелевским подмножеством в Е,
оо
а поскольку Е„= \J kSn, то Е„ — борелевское подмно-
к = \
жество в Е. Из счетной аддитивности (д. теперь вытекает,
что для некоторого п ц(Е\Еп)<е,/2; из радоновости Е„
следует, что в Еп найдется такой компакт К, что
li((A(]En)\K)<&/2, но тогда ц(Л\Д)<в. ¦
Пример 1.1. Если G — компактное подмножество
n-мерного пространства, то пространство распределений
Шварца &G — пространство Радона (так как оно принад-
принадлежит к классу пространств, рассмотренному в предыду-
предыдущем пункте). Поэтому радоновым является и пространство
распределений 2Р'ип, ибо В' = lim pr ЗЬ,, где G\ aG2 с...
оо
G, = R». ¦
/1
4°. Цилиндрические меры. Мы рассмотрим теперь одну
важную и часто встречающуюся конструкцию, которая
позволяет установить ст-аддитивность предмеры. Пусть
измеримое пространство (X, 21) есть предел направленного
семейства измеримых пространств (X, 2lj,) (Я,эЛ).
Определение 1.7. Предмеру ц на (X, Ш) назовем
квазимерой (ограниченной), если ее сужение №1 = ц|%
при каждом Km А а-аддитивно (т. е. является мерой).

§ 1. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ МЕРЫ НА АЛГЕБРЕ МНОЖЕСТВ
25
Ограниченные квазимеры иногда называют цилиндри-
цилиндрическими мерами.
Предложение 1.12. Полная вариация \ц\ ограничен-
ограниченной квазимеры ц также является ограниченной квазимерой.
Доказательство. Так как полная вариация пред-
меры сама является предмерой, то нужно лишь доказать
а-аддитивность сужений \\i\\. Пусть В, В1, ..., Вп,...—
последовательность множеств из 21Ь В'(]Вк=ф, {}ф1г)
ею
и В = [J В>. Тогда из аддитивности | ц \\ следует
/ = 1
и остается установить обратное неравенство. Пусть Fr e 21
(г = 1, ..., п) — конечный набор множеств, обладающий
свойством BzdF', Fr'(]Fr'= ф (r1^=ri). Тогда
ц^О-и U (Р'
V = i
поскольку существует алгебра Щ, содержащая Fr и
на которой ц а-аддитивна.
Поэтому
r = 1 / = 1
r — I
1 r = 1
Теорема 1.3. Пусть (X, 8I) = lim(X, 21^,) « сущгст-
A
eyem компактный класс 3V с 81 такой, что каждое
(X, Иь 3%"^,), где аЖ\ = аи? П 21ь ес/пб измеримое простран-
пространство Радона. Тогда каждая ограниченная квазимера на
(X, Щ является мерой.
Доказательство. Пусть (д. — ограниченная кваэи-
мера на (X, 91). Тогда этим свойством обладает и |ц|,
и поэтому с самого начала можно считать ц положитель-
положительной. Каждое множество А е 21 принадлежит некоторому
Ш), (ХеЛ), на котором сужение ц^, ст-аддитивно и по
условию теоремы аппроксимируется классом Шх, а, следо-
следовательно, и содержащим его классом 9С. Остается при-
применить теорему 1.1.

26
ГЛ. I. МЕРЫ И КВАЗИМЕРЫ. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Теорема 1.4. (Теорема Колмогорова.) Пусть (X, Щ=>
= Y[ (^ь ^У ~ произведение измеримых пространств
А
Радона (Хк, Щ) = (Хь 21*,, Жу). Тогда каждая ограниченная
квазимера на (X, 81) является мерой.
Доказательство. По определению произведения
оно является пределом направленных семейств (X, Щ =
= Нт (X, 2Ц И
Из предложения 1.8 следует существование компакт-
компактного класса A.1), для которого в силу предложения 1.8
выполняются условия теоремы 1.3. ¦
Замечание 1.2. Как следует из описанных выше
результатов, условия теоремы 1.4 выполняются, если
каждое из Х\ есть полное сепарабельное метрическое
пространство с а-алгеброй % = 33j, борелевских множеств
или пространство, полученное из таких пространств при
помощи любой цепочки операций перехода к проективному
пределу, топологической сумме или подпространству.
§ 2. Цилиндрические множества и функции
1°. Общее определение цилиндрического множества.
Структуру измеримого пространства на некотором мно-
множестве X можно строить, отображая его в другие, уже
имеющиеся измеримые пространства. Мы уже встретились
с этим приемом при построении произведения измеримых
пространств. В этом параграфе подобный прием будет
развит и применен, в частности, к основному для
наших дальнейших целей случаю линейного простран-
пространства X.
Пусть (?ь Вх) AеЛ)-набор а-измеримых прост-
пространств, который мы будем в рассматриваемой ситуации
считать стандартным.
Пусть F = \fx, ^еЛ|-семейство сюръективных (что,
очевидно, не ограничивает общности) отображений
Это семейство будем называть согласованным, если для
каждой пары >i, ЯаеЛ существует Х = К(Х1, Яг)еЛ и
пара измеримых сюръективных отображений
At)-*(?*,, В^) (/=1, 2),

§ 2. ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ МНОЖЕСТВА И ФУНКЦИИ 27
для которых коммутативна диаграмма
B.1)
Отображения фа,.*, будем называть связывающими для
рассматриваемого согласованного семейства. Очевидно,
что при этом аналогичное условие согласованности выпол-
выполняется и для любого конечного набора %,ъ ..., ^леЛ:
существует 1еЛ и измеримые щ.\ (/=1, •••, п) такие,
что
h (fe-1, 2, ..., п). B.2)
Каждое отображение f\ порождает в X а-алгебру
Их = tV (90 - {Л е X: /ji (Л) е ЗЭ*.} (Я- е Л).
Легко видеть, что полученное семейство а-алгебр
является направленным: 21*, {\и \a) zd 21^ U 2lj,2.
Пусть 2l = lim2lA. Элементы алгебры Ж (которая, вообще
л
говоря, не является а-алгеброй) мы будем называть F-ци-
линдрическими множествами, элементы ее а-подалгебры
Ш^ — К-цилиндрическими. В соответствии с этим 81 будет
называться алгеброй F-цилиндрических множеств простран-
пространства X.
Будем использовать обозначение K>Ki, если 81^ пэ Six,
(хотя, в отличие от а-алгебр 21*,, сами индексы К не обра-
образуют направления в буквальном смысле этого слова).
Обозначим Ц (X, В) = {хе= X: fK (х) е= В} = Ц1 (В) (В е ©0
и назовем множество В основанием цилиндрического мно-
множества ЦСК, В), отображение />, — направляющим, а прост-
пространство Е\ — носителем этого множества. Очевидно, что
эти характеристики цилиндрического множества неодно-
неоднозначны: в условиях диаграммы B.1) имеем
) = Ц (К, Ф?, к (fix)) (Вг eSB^> К). B.3)
Рассмотрим отображения измеримых пространств с опре-
определенной выше структурой. Пусть (X, 21), (X, Й), 21 =
,, t = lfm Щ, — пара таких пространств. Отображе-
л

28 ГЛ. I. МЕРЫ И КВАЗИМЕРЫ. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
ние /: Х-+Х будем называть измеримым ((Л, А)-измери-
мым), если для каждого 1еЛ существует ^еЛ, для
которого отображение / (й^, Й^-измеримо, т. е.
Очевидно, что каждое (Л, Л)-измеримое отображение
является (Я, $)-измеримым, хотя обратное, вообще говоря,
неверно.
Если X — какое-нибудь пространство, а (X, Щ изме-
измеримо с предельной структурой, то отображение /: Х-+Х
автоматически порождает предельную структуру (X, ^(Щ),
где f-1 (Щ = Mm f-1 (Ш%), для которой /, очевидно, (Л, Л)-
измеримо. л
Если при этом 21 есть алгебра ^-цилиндрических мно-
множеств, то 81 = /~1(*Д) —алгебра Z7»/-цилиндрических мно-
множеств, порожденная набором отображений
Рассмотрим две предельные измеримые структуры
IX, $ = lim?M и (X, Sl = lim%) на одном и том же
\ А /
пространстве X. Будем говорить, что 3( мажорирует Ш
(или, что SI сильнее Щ, и писать % <( SI, если тождествен-
тождественное отображение id: X-*-X является (Л, Л)-измеримым,
т. е. для каждого К существует такое Я,, что $~ с: Ш . При
этом, очевидно, 81 с: 3J.
Назовем две структуры IX, 8l = lim?M и (Х,% =
\ ~ Л ' V.
= \\mUi\ эквивалентными, если 81<^81 и 21-<Ш. При
1 '
этом, конечно, запас измеримых множеств одинаков: 21 = 91.
Будем говорить, что набор отображений F сильнее,
чем F (эквивалентен F): F -^F, если такому же соотноше-
соотношению удовлетворяют порожденные ими измеримые струк-
структуры цилиндрических множеств.
Очевидно, что fcf^f^F.
Однако нетрудно привести простые ситуации, при
которых расширение совокупности отображений не при-
приводит к усилению измеримой структуры.

S 2. ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ МНОЖЕСТВА И ФУНКЦИИ
29
Предложение 2.1. Пусть F и F — два согласован-
согласованных набора отображений пространства X и пусть для
каждого /е/7 (/: Х-+(Е, В)) найдутся %, ..,,1леЛй
измеримое отображение
такие у что
f (х) = tb (f~ (x) ¦ ¦ * f~ (x)\* B.4)
Тогда
Доказательство. В силу B.2) общий случай
сводится к случаю, когда п=\, т. е.
Из последнего соотношения, очевидно, следует, что
Следствие 2.1. При расширении системы F за счет
отображений вида B.4), являющихся суперпозицией неко-
некоторого измеримого отображения и конечного множества
отображений из F, измеримая структура (X, Щ заме-
заменяется эквивалентной.
Замечание 2.1. Заметим, что приведенное свойство
остается справедливым и тогда, когда конечное множество
отображений из F заменяется счетным, если для него
сохраняется свойство B.2).
Вообще говоря, добавление функций вида
/ю-ч^м. •••• /*„(*). •••).
где г|з — измеримое отображение
для произвольных счетных наборов %k (k=l, 2, ...),
приведет к усилению множества отображений F и потому —
к расширению алгебры $. Нетрудно показать, однако,
что минимальная ст-алгебра о(Щ, содержащая 3(, при этом
не изменится.

30 — ГЛ. 1. МЕРЫ И КВАЗИМЕРЫ. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Пример 2.1. Рассмотрим произведение HQХа, Х1
\ о а ]
семейства измеримых пространств (Ха, 81а) (а е А). Пусть
Л—множество конечных наборов ^=(ai,..., а„) и (Е^, 330=
л
= Y\ (^ctb. ^ЦЛ. a отображение f%: X-*-E^ — естественная
проекция. Множество F = {fi} представляет собой согла-
согласованное семейство, причем соотношение Я <^ Ях эквива-
эквивалентно соотношению К с: Xv
2°. Цилиндрические множества в линейном простран-
пространстве X. В качестве стандартного набора пространств
(Ек, %к) естественно в этом случае выбирать конечномер-
конечномерные линейные пространства с борелевскими сг-алгебрами
в них, а в качестве отображений /я, составляющих согла-
согласованный набор F, и связывающих отображений фи, —
линейные отображения.
Такие отображения могут быть построены следующим
образом. Пусть У —другое линейное пространство и пара
(X, Y) находится в двойственности с соотношением двойст-
двойственности (х, у).
Пусть У —некоторое подмножество Y, не обязательно
линейное, и пусть Л = Л^> — множество упорядоченных
конечных наборов линейно независимых элементов из Y,
Ь = (#1, ••¦> «/»)•
Каждому Я, е Л отвечает отображение
/\: х-у((х, j/i), .... (х, уп)) B.5)
пространства X на R". Если % = (ги ..., zm) eЛ —другой
набор, через который линейно выражается К:
то формула
п
определяет отображение
<Ptf: «*. zi). •••• <*• **))•+«х> Ух) <*• У Л
очевидно, вбладающее свойством

S 2. ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ МНОЖЕСТВА И ФУНКЦИИ 31
Поэтому для пары отображений /я, и f\t всегда сущест-
существует отображение Д,, обладающее свойством B.2); для его
построения достаточно взять максимальное линейно неза-
независимое подмножество XczKii}1)^.
Алгебру цилиндрических множеств пространства X,
порожденную множеством Y, мы будем называть алгеброй
Y-цилиндрических множеств и обозначать Шр,
Из предложения 2.1 следует, что Щ = %#{у), где
X (Y) — линейная оболочка Y. Поэтому множество Y без
ограничения общности можно заранее считать линейным.
Всюду ниже, как правило, в рассматриваемой ситуации
под X будет пониматься отделимое, локально выпуклое
линейное топологическое пространство. Это требование
фактически не является ограничением, так как в X всегда
можно ввести слабую топологию о{Х, Y), определяемую
как слабейшая топология, в которой непрерывны все
линейные функционалы (х, у) (у е Y). Очевидно, что при
этом и линейные отображения B.5) непрерывны. Поэтому
в определении алгебры цилиндрических множеств все рас-
рассматриваемые линейные отображения могут заранее счи-
считаться непрерывными линейными отображениями прост-
пространства (X, а(Х, Y)) в евклидово пространство R".
Нетрудно видеть, что это приводит к описанию алгебры
ЭДу цилиндрических подмножеств линейного пространства X,
построенной по элементам двойственного пространства Y,
при. помощи семейства F канонических отображений
fx' X-+E% на всевозможные фактор-пространства Е\ = Х/Х%
по а{Х, К)-замкнутым пространствам X^czX конечной
коразмерности.
Предложение 2.2. Пусть X и Y — пара линейных
пространств в двойственности. Тогда алгебра Щ цилин-
цилиндрических множеств пространства X определяется набором
F*={P%, ^еЛ) непрерывных в топологии а(Х, Y) проек-
проекторов на конечномерные линейные подпространства &\<zzX.
Доказательство. Поскольку каждое конечномер-
конечномерное подпространство отделимого пространства X изо-
изоморфно евклидову, то проекторы на эти подпространства
обладают нужными свойствами в силу приведенных выше
рассуждений. Остается показать, что таким образом полу-
получается вся алгебра цилиндрических множеств.
В самом деле, пусть Хо — замкнутое линейное под-
подпространство в (X, а(Х, Y)), имеющее конечную кораз-
коразмерность, Ро — каноническое отображение X на Х(Х0,

32 ГЛ. I. МЕРЫ И КВАЗИМЕРЫ. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
В — борелевское подмножество в Х/Хо и А = Р0~1В. Пусть,
далее, Xi — линейное подпространство пространства X,
алгебраически дополнительное к Хо. Тогда сужение Ро
на Xi (обозначим это сужение через Р^) представляет
собой взаимно однозначное непрерывное отображение,
обладающее, в силу отделимости Х/Хо, непрерывным
обратным; таким образом, Ро — изоморфизм Хх на Х/Хо.
Положим теперь Р = (Р;)-гР0 и В = (Р'{))-1В. Тогда Р —
непрерывный проектор в (X, сг(Х, Y)), отображающий X
на Хи В — борелевское подмножество в Хи А — Р~1В. ш
Предложение 2.3. Пусть YidY, причем каждый
элемент из Y является пределом некоторой последователь-
последовательности элементов из Y\ в пространстве Y, наделенном
топологией a(Y, X). Тогда aY = aY,-
Это утверждение является следствием замечания 2.1.
Пример 2.2. Приведенное выше описание мы уточ-
уточним для оснащеЕшого гильбертова пространства Y =
ЯГДГЙГ Л*)
)
Если Р —конечномерный ортогональный проектор
в е%", область значений Хр которого содержится в У,
то Р непрерывен в топологии, индуцированной в е%~
топологией сг(Х, Y). Это следует из того, что если
(Уъ •••. Уп) — ортонормированныи в е%" базис в %?, то
для каждого h %^
РЛ= 2 (PA,
причем для каждого i/sF отображение h-*-h(y):
непрерывно в топологии сг(Х, Y). Поэтому он может
быть продолжен по непрерывности на все Х = ®%"_; это
продолжение мы снова будем обозначать тем же симво-
символом Р. Пусть Q — множество всех отображений Х->-У,
каждое из которых можно получить таким способом; эле-
элементы из Q мы по-прежнему будем называть конечномер-
конечномерными ортогональными проекторами.
В качестве алгебры цилиндрических множеств про-
пространства Х = е%"_ мы будем всегда понимать алгебру
SIq, порожденную системой Q ортопроекторов в <№, дей-
действующих из а%"_ в «5Г+. Нетрудно показать, что она
совпадает с алгеброй Sly»81 ^+.
*) См, приложение.

§ 2. ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ МНОЖЕСТВА И ФУНКЦИИ "" 33
3°. Измеримое линейное пространство. Пусть X—линей-
X—линейное пространство, Y — достаточное множество линейных
функционалов на X, Щ — совокупность У-цилиндрических
подмножеств X.
Пару (X, Щ) будем называть измеримым линейным
пространством (и. л. п.).
Линейное отображение /: Xi-*-X2 пары линейных
пространств, как обычно, назовем линейным измеримым
отображением и. л. п. /: (Хи 3ty,)->-(Х2) SJyJ, если про-
прообраз /~*(Ц) каждого Уг-цилиндрического множества ЦаХъ
является Ух-цилиндрическим подмножеством Хг.
Отметим, что для того, чтобы отображение / обладало
этим свойством, достаточно (хотя и не необходимо), чтобы
оно было непрерывным при наделении Хх и Х% тополо-
топологиями а{Хъ Fi) и a(Xit У2) соответственно.
Действительно, в этом случае при непрерывном линей-
линейном отображении Р пространства (Х2, a(Xit У2)) B какое-
нибудь конечномерное евклидово пространство отображе-
отображение Рх = Р • / является непрерывным и f~* (Шр) = 21Р».
Назовем измеримое линейное пространство (Х2, Sly,)
линейным расширением (Хи 81у,), если существует инъек-
тивное линейное отображение /: Xi -у Хг, для которого
отображение Ц-^^Щ) (Де31у2) является изоморфизмом
алгебры У1уг на ^w
Пример 2.3. Если X — линейное пространство, состоя-
состоящее из функций на некотором множестве 5, точки кото-
которого определяют достаточное множество линейных функ-
функционалов Y = S (s (х) = х (s)), то (X, Ш^) — измеримое линей-
линейное пространство. Если при этом Х'^Х — другое линейное
пространство, состоящее из функций на S, то (X', ЭДД
очевидно, есть линейное расширение (X, Шх), причем / —
естественное вложение.
Введем далее понятие произведения измеримых линей-
линейных пространств (Xi, SlyJ и (Х2, Шу,)- Мы будем понимать
под этим измеримое линейное пространство (X, Щ), где
Х = Х1хХг, У==У1хК2 и для каждых x = (xi\ x,)sX,
У = (Уи Уг) е У по определению у (х) = ух (xj) -f Уг (*а)-
Алгебра цилиндрических множеств порождается при
этом цилиндрическими множествами вида
в том смысле, что каждый элемент Щ представляет собой
конечное объединение таких произведений.
2 Ю. Л. Далецкий, С, В. Фомин ',',

34 ГЛ. I. МЕРЫ И КВАЗИМЕРЫ. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
4°. Цилиндрические функции. Пусть (X, 2l
\ Л /
измеримое пространство с предельной структурой, причем
31л, (А, е Л) — сг-алгебра. Становясь на более общую, чем
выше, точку зрения, будем и в этом случае элементы
алгебры 3J называть цилиндрическими множествами.
Определение 2.1. Функцию /: X-*-Y, где (У, 33) —
какое-нибудь измеримое пространство, будем называть
цилиндрической, если существует Я, в Л, для которого оно
измеримо как отображение
/•• (X, A)^(Y, Ъ). B.6)
Совокупность цилиндрических функций обозначим
Ф (X, 51, Y). Отметим некоторые свойства цилиндрических
функций.
Очевидно, что для каждого конечного набора цилинд-
цилиндрических функций существует единое Я е Л такое, что
B.6) выполняется для всех этих функций.
Поэтому при линейном пространстве Y совокупность
всех цилиндрических функций Ф (X, Ш, Y) также образует
линейное пространство.
Более общо, если ^еФ(Х, 81, Y) (у=1, .... п),
<р: П(Г,, *,)-*(К, ?). то
/-1
/(*)-<р(М*) м*))«еФ(х, а, У).
Если Л —(Л, Л)-измеримое отображение пары пространств
hi (X, Щ)->-(Х, 21), то каждой цилиндрической функции
/еФ(Х, Ш, Y) сопоставляется цилиндрическая функция
/•ЛеФ(Х, 31, Y), и таким образом возникает отображе-
отображение Ф(Х, Ш, Y) в Ф(Х, «, K)i
/->/.Л. B.7)
Это отображение линейно, если У —линейно. Если же при
этом h обратимо и отображение /г1 (Л, Л)-измеримо, то
отображение B.7) есть изоморфизм (линейных пространств,
если Y линейно).
Пусть теперь алгебра 51 = %р порождена согласованной
в смысле B.1) системой отображений F={fx, ЯеЛ}.
Тогда цилиндрическими являются сами функции fx, a

S 2. ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ МНОЖЕСТВА И ФУНКЦИИ 35
также суперпозиции вида
(Мъ)
где B.8)
^(Y, В).
Поскольку, как известно, каждая функция, измеримая
относительно сг-алгебры, порожденной конечным набором
функций, представима в виде B.8), то таким образом
получаются все цилиндрические функции.
Пример 2.4. Пусть (X, 31) = Д(ХХ, \) - произве-
А
дение сг-измеримых пространств. Как следует из рассмот-
рассмотрения примера 2.1, цилиндрические функции здесь —это
фунции вида
при всех упорядоченных наборах X = (аь ..., ал). Множе-
Множество Я, в этом случае будем называть носителем цилинд-
цилиндрической функции. Очевидно, что носитель определяется
не однозначно: вместе с К носителем является и каждое
%zdX. Расширение носителя означает добавление новых
переменных, от которых функция фактически не зависит.
Рассмотрим более подробно линейное пространство Ф
в условиях предложения 2.2.
Пусть <^ = (Р) — некоторое множество проекторов Р:
Х-+Хр на конечномерные подпространства XpezX, не-
непрерывных в топологии сг(Х, Y). Будем предполагать, что
выполнены условия:
а) при помощи операторов из & можно сколь угодно
точно в топологии в(Х, Y) сходимости на каждом эле-
элементе аппроксимировать тождественное отображение
б) для каждой пары Pi, Pa e 8* существует их общее
продолжение Р, для которого
РУР = РУ (/=1,2).
Пространство Хр при этом содержит Лр, + Лр,. Такая
система ^ определяет алгебру 81^ цилиндрических мно-
множеств на X.
Цилиндрическими при этом являются функции вида
, B.9)

Зв ГЛ. I. МЕРЫ И КВАЗИМЕРЫ. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
где / — измеримое отображение (Хр, ВР) в соответствую-
соответствующее пространство (Y, Ъ).
Заметим, что формула B.9) позволяет каждому изме-
измеримому отображению
/: (X, а («))-> (У, 53)
сопоставить совокупность {/р}рел* цилиндрических функ-
функций, которая называется совокупностью конечномерных
проекций отображения f.
В случае, когда X — гильбертово, мы всегда будем
предполагать, что а/15 состоит из ортопроекторов, а для
оснащенного гильбертова пространства — из ортопроекто-
ортопроекторов в смысле примера 2.2.
§ 3. Квазимеры. Интегрирование
1°. Квазимеры. Мы предполагаем, что читателю изве-
известна общая теория интеграла по сг-аддитивной мере на
измеримом пространстве. В этом параграфе будут рассмот-
рассмотрены более общие функции множеств — квазимеры.
Определение 3.1. Пусть (X, 91) — измеримое прост-
пространство g алгеброй 91 = lim Шк, являющейся пределом
л
направленного семейства сг-алгебр. Аддитивную (не обяза-
обязательно ограниченную) функцию множеств ц, на 91 со зна-
значениями в локально выпуклом линейном топологическом
пространстве Т назовем квазимерой на Ш со значениями
в Т, если ее сужение (я^ = ц|^ при каждом ^еЛ явля-
является мерой. х
Тройку (X, 91, ц) будем при этом называть простран-
пространством с квазимерой.
Заметим, что аддитивность \х, автоматически следует
из аддитивности сужений |а-л. в силу направленности
семейства Л.
Всюду в этой главе, где не оговорено противное, под
квазимерой понимается вещественная функция множеств.
Напомним, что при некоторых дополнительных предполо-
предположениях (теоремы 1.3 и 1.4) ограниченная квазимера
является мерой, т. е. она сг-аддитивна и на алгебре 91.
Однако представляют интерес и неограниченные ква-
квазимеры.
Пусть алгебра 91 есть алгебра ^-цилиндрических мно-
множеств, порожденная отображениями fa Х^-Е^ (/igF,
Я, г Л).

§ 3. КВАЗИМЕРЫ. ИНТЕГРИРОВАНИЕ 37
Эти отображения сопоставляют квазимере \х, совокуп-
совокупность мер Да, на пространствах (Ех, В^):
h (Вк) = н (fV (В)) - ц (Ц (К, В)) (В е 530.
которую условно (поскольку пространства Ех не обяза-
обязательно конечномерны) мы будем называть системой конеч-
конечномерных распределений квазимеры \х,.
Система конечномерных распределений квазимеры
удовлетворяет естественным условиям согласованности,
очевидно следующим из B.3):
Р*. (^) = Р* (фх,1.х (^)) {Вк е= SBx,; Я- > М- C-1)
Наоборот, пусть для каждого ^еЛ в (Е%, 33^) задана
мера Дх, причем для любой пары A,>A,i индексов из Л
выполняется условие C.1). Тогда существует квазимера ц
на (X, 21), для которой рассматриваемая совокупность
{Ра}л представляет собой систему конечномерных распре-
распределений.
Действительно, если А еЗД, то, по определению, суще-
существует ^еЛ, для которого ЛеЗДх,, т. е. Л =/-1 (В*,),
где Вх, е 53л.! определено однозначно, так как прообраз
при сюръективном отображении однозначно определяет
множество.
Тогда можно положить
Это определение непротиворечиво, потому что если
A^f-1 {B\t) e 8lx, и для некоторого другого индекса ^еЛ,
то существует i>Xk (k=l, 2) такое, что в силу B.1)
и C.1)
Р*. Ш = Дх (Фх!х (ВО) = h (ФЙх (Вк,)) = Р*. (Вхд-
В силу сюръективности рассматриваемых отображений,
операциям над множествами А = /~1 (В) е 31^, соответствуют
аналогичные операции над соответствующими множествами
В = ДЛ)еЗЗь а это вместе с а-аддитивностью (х^ влечет
а-аддитивность сужения ^ = ц|^ .
Таким образом, имеет место следующее утверждение.
Предложение 3.1. Пусть (X, 31/г) — измеримое
пространство с алгеброй F-цилиндрических множеств, где
F = [fK< 1еЛ}- согласованное семейство сюръективных
отображений f\: X->E),.
Каждая квазимера на (X, Slf) определяет согласован-
согласованный в смысле C.1) набор конечномерных распределений

38 ГЛ. I. МЕРЫ И КВАЗИМЕРЫ. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
{jxb K^A} в пространствах {Ех, ЗЭя). « наоборот, каждый
такой согласованный набор однозначно определяет квази-
квазимеру, ш
Рассмотрим теперь отображения пространств с квази-
квазимерой. Пусть IX, Ш = Нт31я,, ц\ — такое пространство.
\ л /
Рассмотрим сюръективное отображение f: Y-+X. В про-
пространстве Y естественно определяются а-алгебры 31^ =
= /-1C1>,) AеЛ) и алгебра W = \imW[. При этом квази-
л
мера ц однозначно определяет на 81' функцию множеств \if:
li'(f-1(A)) = »(A)- C.2)
Это определение корректно, поскольку для сюръективного
отображения f полный прообраз f~x(A) однозначно опре-
определяет множество А. Функция ц/, очевидно, сг-аддитивна
на каждой Ш[ и потому является квазимерой.
Пусть, наоборот,
— измеримое отображение измеримых пространств. Тогда
каждая квазимера ц на (X, 31) определяет обычным обра-
образом аддитивную функцию на (X, Щ
Эта функция не является, вообще говоря, квазимерой, по-
поскольку в 31 не переносится предельная структура алгебры
множеств. Если, однако, такая структура уже имеется:
3l=lim3l^> а отображение f (Л, Л)-измеримо, то [if —
л
квазимера, поскольку ее сужения {\х,/)% = (\x,x)f определены
и а-аддитивны. Отметим, что в рассмотренном выше слу-
случае C.2) влечет
2°. Интеграл по квазимере. Рассмотрим пространство
ф = фй(Х, 31, R1) вещественных ограниченных цилиндри-
цилиндрических функций на (X, 3l = lim3l>\. Если ^еФ, то суще-
существует А,еЛ, для которого эта функция 31х-измерима.

§ 3. КВАЗИМЕРЫ. ИНТЕГРИРОВАНИЕ 39
Поэтому имеет смысл интеграл
\f(x)ii(dx)=[f(x)iik(dx). C.3)
X X
Это определение интеграла от цилиндрической функции
по квазимере корректно: из условия согласованности C.1)
следует, что правая часть не изменится, если заменить
индекс А, другим: ХхЖ.
Очевидно, что интеграл C.3) обладает обычными
свойствами:
а) $ [of (х) + pg (*)] ]x(dx) = a\f(x)]x (dx) + p \g(x)\x(dx)
(a, peR1, f, ?6=Ф);
б) условия /OOSsO, uSsO влекут неотрицательность
интеграла:
в) если последовательность {fn} e Ф имеет общий но-
носитель X и сходится по мере |^| к функции f(x), то
при обычных дополнительных условиях, дающихся теоре-
теоремой Лебега (например, мажорируемость последовательности
| [ix |-интегрируемой функцией), выполняется соотношение
lfH{x)Vi(dx);
X л-*00 X
г) пусть имеется пара пространств (X, 9l=lim9M и
..... « V а У
IX, Ш = НтЩ\ и (Л, Л)-измеримое отображение ф. Тогда
\ л /
имеет место формула замены переменной
C.4)
Действительно, при помощи определения C.3) каждый из
интегралов сводится к интегралу по некоторой конечно-
конечномерной проекции соответствующей квазимеры \л,х и |д|,
причем индексы X и Я, могут быть выбраны так, чтобы
отображение ф было ($И\, ^-измеримо. После этого фор-
формула C.4) сводится к обычной формуле для отображения
мер;

40 ГЛ. I. МЕРЫ И КВАЗИМЕРЫ. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
д) пусть (Xk, sHk= НтЗЫ (k= I, 2) —пара пространств
\ Л* /
с квазимерами \ilt \i2 соответственно. Обычным образом
определяется произведение
(X, Щ = (ХгХХ2, Я^Я,),
в котором естественно вводится предельная структура
ЯхХЯ,= Hm ЯХ1хЯх,.
Л1ХЛ2
Аддитивная функция множеств ц,, определяемая на
произведениях цилиндрических множеств формулой
ц (Цх X Д,) = ,щ (ДО ц2 (Д.) (Д* s Я*),
представляет собой квазимеру n = |o.iX|o.2 (произведение
квазимер ^ и |д,2), конечномерные проекции которой
определяются формулой
Функция f{xi, Хг) на (XiXX2, 3tiX3l2). очевидно, является
цилиндрической в точности тогда, когда она цилиндрична
по каждому аргументу (равномерно относительно другого),
т. е. когда существует пара (кх, Х2) такая, что
f — C11я,1х312я,2)-измерима. Таким же образом, как и выше,
путем перехода к конечномерным распределениям при
обычном условии абсолютной интегрируемости функции
относительно соответствующего произведения вариаций
I Их, | X | ц2гц | устанавливается для цилиндрических функ-
функций формула Фубини
\ f(xu x2)\i.(dx1xdx2)= \ |ii(d*0 J f(x1,x2)n2(dx2). C.5)
3°. Квазимеры на измеримом линейном пространстве.
Обратимся к специальному случаю, когда (X, 21=31К) —
измеримое линейное пространство, определяемое некоторым
достаточным множеством Y линейных функционалов на
линейном пространстве X.
Прежде всего покажем, что ограниченная квазимера
на (X, Щ всегда может быть превращена в меру путем
линейного расширения пространства.
Теорема 3.1. Для всякого измеримого линейного про-
пространства (X, 91Y) существует такое его линейное расшире-
расширение (X, tpj, что образ \x,t любой ограниченной квазимеры

§ 3. КВАЗИМЕРЫ. ИНТЕГРИРОВАНИЕ 41
на (X, Sly) при вложении f: (X, 91у)->(Х, 9Ц1 а-аддити-
вен на [X, ЩУ
Доказательство. Пусть S — базис Гамеля в %{Y),
т. е. состоящее из линейно независимых элементов под-
подмножество SczY, алгебраически порождающее ?(У).
Алгебры цилиндрических множеств Щ и ^к совпадают,
как следует из предложения 2.1. Будем рассматривать
элементы пространства X как функции на 5
x(s) = s(x) (j;eX, seS).
Тогда пространство (X, %lY) = (X, 9ls) естественно вклады-
вкладывается в пространство (X, Sis). где X — совокупность всех
вещественных функций на 5 (см. пример 2.3). Образ \xf
квазимеры ц при этом снова является квазимерой, так как
вложение /, очевидно, удовлетворяет условию (Л, Л)-из-
меримости (см. п. 1° этого параграфа). В силу теоремы 1.4
каждая ограниченная КЕазимера на (X, Ш5) является
мерой. ¦
Важную роль при изучении квазимеры в линейном
пространстве играет ее преобразование Фурье. Напомним
сначала некоторые сведения о преобразовании Фурье
меры v на евклидовом пространстве (R", 23). Под преоб-
преобразованием Фурье понимается отображение
v -*- Ъ (У) = $ еЦх' **v (dx) {у <= R»),
R"
сопоставляющее мере v ее характеристический функционал
%v(y) (его часто также называют преобразованием Фурье
меры v). В силу ограниченности вариации |v| характе-
характеристический функционал является равномерно непрерыв-
непрерывной, ограниченной на R" функцией. Эта функция одно-
л
значно определяет меру v: если Y\_ [a*> bk) — параллеле-
параллелепипед, у которого |v|-Mepa границы равна нулю, то
г " .-*»*»*_.-»*»*
х
yn)dyj....dyn.

42 ГЛ. I МЕРЫ И КВАЗИМЕРЫ. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Вернемся к измеримому линейному пространству (X, Щ,ц)
с квазимерой. Без ограничения общности можно считать,
что Y — линейное пространство, находящееся с X в двой-
двойственности с соотношением двойственности (х, у). При
каждом je7 функция e'<*-*> —ограниченная цилиндри-
цилиндрическая функция на X. Поэтому имеет смысл интеграл
*>ц (dx) = \ «V №)> C-6)
где |д.» (В) = \х, (л;: (#, г/> е В) — одномерная проекция ква-
квазимеры (.1.
Определение 3.2. Функцию Хд(#) (У^У) назовем
характеристическим функционалом квазимеры ц, а отобра-
отображение [1-у%и —преобразованием Фурье.
Таким образом, характеристический функционал ква-
квазимеры ц. однозначно определяется ее одномерными
проекциями \х,у.
Рассмотрим теперь конечномерные проекции \i. Пусть
X с Y — конечномерное подпространство и уъ Уг, ¦ ¦., уп —
базис в нем. Обозначим через ц^1 "^ образ квазимеры \х,
при отображении Х-*-{(х, у^, (х, у2), ..., (х, уп)) про-
пространства X в конечномерное пространство XjXL, где
X — ядро рассматриваемого отображения.
Тогда имеет место формула
\ft=l
из которого следует утверждение.
Предложение 3.2. Характеристический функцио-
функционал квазимеры однозначно определяет ее конечномерные
проекции: сужение Хц «а конечномерное подпространство
X с Y есть характеристический функционал образа ква-
квазимеры при отображении X -у Х/Х^-, где Х^~ а X — под-
подпространство, аннулирующееся функционалами из X. ш
Пример 3.1. Рассмотрим, в частности, оснащенное
гильбертово пространство «%"+ сге?Г сх е5Т_ = е?Г (см. при-
пример 2.2).
В этом случае характеристический функционал квази-
квазимеры ц на Х = е?Г_ есть функция на двойственном про-

§ S. КВАЗИМЕРЫ. ИНТЕГРИРОВАНИЕ 43
странстве Y=o%"+, которую можно (используя связь
(х, у) = (х, у)ж} записать в виде
1»{у)=\е(Х'У)^{<1х). C.7)
х
Пусть Р — конечномерный ортопроектор в е%", дей-
действующий из <Ж'_ в е%^+. В этом случае пространство
X = Хр = Ре?Г_ можно, используя скалярное произведе-
произведение из <Ж', считать евклидовым. При этом X/J&-L есте-
естественно отождествляется с X, и мы получаем в соответ-
соответствии с предложением 3.2 для образа (Хр квазимеры ц,
. _ . с I (*. Ру) v С / (Рдг. у)
%{Ру)= 5 е xV-{dx)= ) е
гчр па
Рассмотрим некоторые преобразования квазимер, опре-
определенных на измеримых линейных пространствах, и свя-
связанные с ними преобразования характеристических функ-
функционалов.
а) Пусть (Хъ Sly,) и (Х2, 31 уг) — измеримые линейные
пространства. Введем в каждом из них слабую топологию
а(Хъ Yi), a(X2, У2). определяемую пространствами линей-
линейных функционалов Ух и У2 соответственно. Тогда непре-
непрерывное линейное отображение S: (Хъ а(Хъ Vi))->-
-*-(Xit Оъ(Хъ Y2)), очевидно, (A1( Л2)-измеримо. Если
|д, — квазимера на (Х2, ШУг), то ее образ |o,s — квазимера
на (Х2, Sly,), и в силу формулы C.4)
X, X,
» s*>^ (dXl) = xn (S*t/) (у е У,), C.8)
5
где S*: Y^-*- Yx — сопряженное отображение.
В частности, если S —вложение и Ух = Y2/(SX±)±, то
S* —естественное проектирование Y^^-Y^ и Хц3 постоянно
на классах смежности У2 по Л^.
б) Пусть [I — квазимера на (X, Щ и h e X. Рассмотрим
отображение сдвига в пространстве:

44 ГЛ. I. МЕРЫ И КВАЗИМЕРЫ. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Это отображение переводит квазимеру ц в новую квази-
квазимеру |д,А в том же измеримом линейном пространстве
При этом
\ %(y). C.9)
в) Рассмотрим пару измеримых линейных пространств
с квазимерами (Л), Щ.. Ц/) и их произведение
Легко видеть, что при этом 31у1х91у2 = 51у,ху!. причем
двойственность между Х = Х1хХ2 и У = У!ХУ2 опреде-
определяется соотношением (х, у) = (хи #i) + (*2, tfe). где л; =
= (^ь *а). «/=(«/ь №)• Поэтому
= 5 ё<*>¦ *«>щ (Л»0 5е'(ДГг- Bi>i*« (^) = хи, Ы ь.Ы- (зло)
г) Пусть теперь X1 = Xi, Yi = Y2. Рассмотрим отобра-
отображение
S(*i, x2)=x1 + x2, S: XiXXi-»-^. C.11)
Определение 3.3. Образ iis = Hi*u2 квазимеры
^Хщ при отображении C.11), являющийся квазимерой
в (Хъ ШУ1), называется сверткой квазимер \ii и |д.2-
¦ Пусть А е Шу%. Функция ^(А — х) является цилиндри-
цилиндрической и 91у,-измеримой. Поэтому имеют смысл следую-
следующие преобразования:
Х,+ Х,<=А
\ J Hi (dxj) =- S Hi И - *i) М* (dxi) • C-12)
Xi A—xt X,
Ив определения свертки, очевидно, следует ее коммута-
коммутативность. Из соотношений C.8) и C.10) следует, что
Хи.*и. (</) = Xmxiu (S*^) - Хш (У) Хм 0/)» C-13)

§ 3. КВАЗИМЕРЫ. ИНТЕГРИРОВАНИЕ 45
поскольку сопряженным к отображению C.11) является
(y, у).
4°. Неотрицательные квазимеры. В общем случае не
удается описать характеристические функционалы квази-
мер на X. Положение, однако, упрощается для знако-
знакопостоянных квазимер.
Определение 3.4. Комплекснозначная функция
ty(y), определенная на линейном пространстве Y, назы-
называется положительно определенной, если для любого конеч-
конечного набора элементов уъ ..., j,eF и комплексных
чисел с&1, ..., а„ справедливо неравенство
2
Очевидно, что положительная определенность функ-
функции гр (у) эквивалентна положительной определенности
совокупности ее сужений на конечномерные под-
подпространства.
В конечномерном случае справедливо следующее хо-
хорошо известное утверждение, которое мы приведем без
доказательства.
Теорема 3.2 (Бохнер). Для того чтобы функция
^ (у), i/eR" являлась преобразованием Фурье некоторой
неотрицательной меры \i на flR", 33„):
необходимо и достаточно, чтобы она была положительно
определена и непрерывна в точке у = 0.
Из теоремы 3.2 легко следует
Предложение 3.3. Пусть X, Y — пара линейных
пространств в двойственности. Для того чтобы комплексно-
комплекснозначная функция гр (у) {у е Y) являлась характеристиче-
характеристическим функционалом неотрицательной квазимеры ц на
(X, 81у), необходимо и достаточно, чтобы она была поло-
положительно определенной и ее сужение на каждое конечно-
конечномерное подпространство LaY было непрерывно в точке
у = 0.
Доказательство. Необходимость немедленно сле-
следует из теоремы Бохнера, поскольку сужение гр \L является
преобразованием Фурье соответствующей конечномерной
проекции \i.

46 ГЛ. I. МЕРЫ И КВАЗИМЕРЫ. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Наоборот, пусть гр положительно определена и имеет
непрерывные в нуле (а значит, и ео всем пространстве —
это следует из положительной определенности) конечно-
конечномерные сужения. Пусть <Л d X — замкнутое в топологии
а(Х, Y) подпространство конечной коразмерности, i-1-c
с: У — конечномерное подпространство, состоящее из анну-
аннулирующихся на е<% функционалов. В силу теоремы Бох-
нера на фактор-пространстве XjeS существует единствен-
единственная неотрицательная мера ц..#> для которой
Ъ{У)= S tf <*• "W (dx) (у е чП).
Построенные меры в фактор-пространствах согласованы,
так как если <J6\ с: <^2 и g: X / uSx -*¦ X / <г?2 — канониче-
каноническое отображение, то для меры v = (\iMl)g выполняется
соотношение
Xv (У) = Х^, (У) \ml = *{У) \М1 \м± =
которое показывает, что v = \iM .
Полученная согласованная система конечномерных рас-
распределений и определяет неотрицательную квазимеру ц
на X.
5". Интегрирование нецилиндрических функций. Выше
было показано, что для цилиндрических функций инте-
интеграл по квазимере определяется без трудностей путем
сведения к интегралу по конечномерным проекциям, ко-
которые уже ст-аддитивны.
Нашей дальнейшей целью является расширение проце-
процедуры интегрирования, по крайней мере, на некоторые
классы нецилиндрических функций.
Пусть (X, 31= НтЗМ — измеримое пространство с пре-
\ л У
дельной структурой. Рассмотрим линейное пространство F,
состоящее из а (8()-измеримых вещественных ограниченных
функций на X.
Определение 3.5. Будем называть системой проек-
проектирований определенное на F семейство S>, (k e Л) линей-
линейных операторов в F, обладающее следующими свойствами:
а) (Sif) (х) — ^-измеримая функция на X,
б) выполняется соотношение
C.14)

§ 3. КВАЗИМЕРЫ. ИНТЕГРИРОВАНИЕ 47
в) в пространстве F существует топология а, в которой
(/ef).
А
Пусть ц — квазимера в (X, Ш) и задана система проекти-
проектиований {S>,}. Для каждой /gF измеримое отображение
ф: (X, «O-^flR1, S3) порождает на (R1, S3) ст-аддитив-
ную меру
9,., (В) = ^ ф (В) = н [(SJ)-! (В)] (В е 23).
Оп реде ление 3.6. Пусть G — некоторое линейное
пространство, состоящее из ограниченных непрерывных
функций на R1. Назовем квазимеру \i квазимерой типа
(F, G), если для любой / е F направленное семейство
мер 8Х / AеЛ) слабо сходится как семейство распреде-
распределений над основным пространством G, т. е. для каждой
geG существует предел
lim f g(у) К, (dy) = lim 5ёГ (SJ(х)) ц (dx) ЙГ
Л -с» Л х
C.15)
Этот предел мы по определению назовем интегралом по
квазимере (г от функции g (f {x)).
Замечание 3.1. По определению для квазимеры
типа (F, G) интеграл C.15) существует при любой паре
f^F, g^G. Если при этом пространство G — топологи-
топологическое и его сопряженное пространство слабо полно, то
существует распределение 8/ <= С такое, что
При этом из сходимости gn-^g в пространстве G следует
сходимость интегралов
$ gn (/ (*)) Ч (dx) -+\g{f(x))p (dx). C.16)
X X
Существуют естественные способы задания системы
проектирований.
Пример 3.2. Пусть v — вероятностная мера на
(X, <т B1)). Для каждой ст-подалгебры 2t\c:orBt), как из-
известно (см. Дж. Дуб [1]), для любой v-интегрируемой функ-

48 •" ГЛ. I. МЕРЫ И КВАЗИМЕРЫ. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
ции f(x) на (X, а(Щ) modv однозначно определяется
условное математическое ожидание Мх/ как й^-измеримая
функция, удовлетворяющая условию
$ [MJ (х)] g (х) v (dx) = \f(x)g (х) v (dx)
X X
для любой ограниченной ^-измеримой вещественной функ-
функции g(x). При этом операторы
удовлетворяют условиям, налагаемым на систему проекти-
проектирований. Последнее свойство следует из известной тео-
теоремы Дуба ([1]), согласно которой
/) = /(*) (v-почти везде),
л
Очевидно, что при этом
lim \g(SJ(x))v(dx)= \g(f(x))v(dx)
Л X X
для любой непрерывной функции g(y) и ограниченной
ст (?()-измеримой / (х), где интеграл справа понимается
в обычном смысле.
Таким образом, существуют пространства G и F такие,
что любая мера v имеет тип (G, F) при соответствующей
системе проектирований.
Пример 3.3. Пусть X —линейное топологическое
пространство, и предельная измеримая структура в нем
определяется системой &> — {Р} непрерывных проекторов
на конечномерные подпространства Хр, удовлетворяющих
условиям а) и б) п. 2.4.
Тогда систему проектирований можно определить
формулой
(S/)()
При этом для каждой ограниченной непрерывной функции
/(*) (x e X).
Для любой меры v на (X, cr(Sl)) в этих условиях выпол-
выполняется соотношение
lim \(SPf)(x)v(dx)\
* X X
Рассмотрим теперь один класс функционалов, инте-
интегрируемых по квазимере, ограничившись для простоты

§ 3. КВАЗИМЕРЫ. ИНТЕГРИРОВАНИЕ 49
изложенным случаем оснащенного гильбертова про-
пространства.
ПуСТЬ X = е%"_ ZD а%" ZD е%"+. РаССМОТрИМ КВЭЗИМеру Ц
на <Ш'_ с непрерывным, ограниченным на е%"+ характе-
характеристическим функционалом
ХЛ9)= \ e'U'%(d6).
Пусть F — пространство функций на &%"_, представи-
мых в виде преобразования Фурье
/(*)= \ e'<*-e>v(d6) C.17)
какой-нибудь комплексной меры v на е%+^
Предложение 3.4. Для каждой фунЩяи вида C.17)
существует интеграл
$ f(y)\iP(dy) C.18)
Х
р
по квазимере \i с ограниченным непрерывным на е%"+ харак-
характеристическим функционалом, где & — система конечно-
конечномерных ортопроекторов в «¦%", действующих из <Ж- в э%Г+.
При этом справедлива формула
\ f(x)ii(dx)^ J Хц(вМ<Й). C.19)
dl— JC+
Доказательство. При каждом Pel1, применяя
теорему Фубини, получаем
\ f (Рдс) \i(dx) =. J J
X Xp jTfi
= J $
В правой части этого равенства при рассматриваемых
условиях можно сделать предельный переход при Р->1.И
Замечание 3.2. Комплексные меры на е%"+ обра-
образуют банахову алгебру М(е%Г+) со сверткой V!*v2 в ка-
качестве умножения и нормой |v| = | v| (e%"+). Преобразо-
Преобразование Фурье C.17) переносит структуру банаховой алгебры
На пространство Ф (а%"_) функций, если под нормой
понимать 1 /1 = | v|, а под умножением — обычное поточечное.

50 ПРИЛОЖЕНИЕ. ТОПОЛОГИИ ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВ
Если /еФ (е%"_) и ф (г) функция, голоморфная в круге
{I* К11/11}. то и ф(/(*))еФ(вЯГ-). Таким образом,
в качестве пространства G в рассматриваемом случае
может быть принято пространство аналитических в зам-
замкнутом круге функций.
Приложение
НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТОПОЛОГИИ
ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВ
Здесь кратко в удобной для нас форме излагаются сведения из
топологии линейных пространств, используемые в книге (особенно
в гл. III). Подробнее с ними можно познакомиться по книгам
Н. Бурбаки [1], X. Шефера [1], А. Пича [1].
Iе. Преднррмы. Пусть X — линейное пространство над полем S
(С или R). Преднормой (полунормой) на X называется неотрицатель-
неотрицательная функция шЫ, обладающая свойствами
Р(х+У)ШР(х) + Р(у); р(ах) = \а\р(х) (х, у <= X; a es S).
Рассмотрим в X линейное подпространство
Np={x<=X: p(x) = 0}.
При Np = {0} X — нормированное пространсгво с нормой р(х).
Если Np не тривиально, рассмотрим фактор-пространство Xp = X/Np,
и пусть Qp: X -*¦ Хр — соответствующее каноническое отображение.
Пространство Хр нормировано с нормой |?L=p (Q^'i) (| e Xp).
Обозначим Яр банахово пространство, получаемое путем пополне-
пополнения Хр; ip—естественное вложение Хр в Яр и Qp=ipQp.
Пусть q — еще одна преднорма на X, для которой
Тогда Nq S Np и каноническим образом определяется непрерывное
линейное отображение i|>p?: Xq-*-%p:
%q (t) - lim %q (U /g- lim ?„; ?„ s tq (Xq); ^sl,\
Л-<-00 \ Л-»вО /
Если Np имеет в X прямое дополнение, то Хр можно отождест-
отождествить с этим дополнением: X = Xp-j-Np, н в этом случае Qp — проектор
на Хр. Если при этом Nq дополняемо в Nр:
то i|>p? есть замыкание сужения Pp?=Qp|x
Преднорма р называется гильбертовой, если р2 (*) = b (x, х),
где Ь — неотрицательная билинейная форма на ХхХ. Если р гиль-
гильбертова, то Хр—гильбертово пространство.
2е. Локально выпуклые пространства. Пусть X—локально вы-
выпуклое линейное топологическое пространство (л. в. п.), топология
которого (согласованная с линейной структурой) определяется неко-
некоторым семейством П преднорм, как слабейшая из топологий, в кото-
которых все эти преднормы непрерывны. Фундаментальную систему

ПРИЛОЖЕНИЕ. ТОПОЛОГИИ ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВ 51
замкнутых окрестностей нуля пространства X образуют при этом
множества вида
jx: sup p/(*)s?e, e>0, p/ s Щ
Эти множества являются абсолютно выпуклыми в том смысле,
что вместе с каждой парой точек х, ц они содержат и все точки
адс + 3 ' ('« +' 3 ^ !)• Они являются поглощающими в том смысле,
что для каждого х & X содержат точки -.- * при достаточно боль-
больших | X \.
Наоборот, каждое абсолютно выпуклое поглощающее множество
А сг X порождает преднорму
А \ X
которая непрерывна тогда и только тогда, когда А—окрестность
нуля пространства X.
Топология, порождаемая системой П, отделима, если для каж-
каждого хФО существует реП, для которой р (х) ф О
Множество в X называется ограниченным, если оно поглощается
любой окрестностью нуля. Если абсолютно выпуклое множество А
ограничено, то рА (х) — норма (вообще говоря, не на всем X, а на его
подпространстве ХА=1х & X: ЗХ,>0, у * е/4 > J. Это множество
называется гильбертовым, если норма рА гильбертова.
3е. Двойственность линейных пространств. Пусть X и У—линей-
У—линейные пространства. Говорят, что пара (X; Y) находится в двойствен-
двойственности, если определен билинейный функционал (*, у) («еХ, !/еК),
обладающий следующим свойством: для каждого у е Y (уфО) суще-
существует «sA такой, что (*, у)Ф0 и для каждого х^Х (д:^0)
существует jeK, для которого {х,у)Ф0. Функционал (х, у)
называют соотношением двойственности или спариванием.
Каждое л. в. п. X находится в двойственности со своим сопря-
сопряженным пространством X'— пространством всех линейных непрерыв-
непрерывных на X функционалов с соотношением: (*, f)=*f(x) (f s X').
Пусть X, Y — пара линейных пространств в двойственности,
(*, у)— соотношение спаривания для них.
Локально выпуклая топология 3 в X называется согласующейся
с двойственностью, если алгебраически Y = X'^, где Х'^ — пространство
всех линейных непрерывных в топологии 3 функционалов на X.
Слабейшей из таких топологий является слабая топология а (X, Y)
в X, определяемая системой преднорм ру(х) = \ {х, у) \ (у е Y).
Существует сильнейшая топология, согласующаяся с двойствен-
двойственностью л. в. п. X, и Y'=»X' — топология Макки т(Х, X'): топология
равномерной сходимости на всех абсолютно выпуклых о(Х', ^-ком-
^-компактных множествах из Х'=Хд. Пространство X, топология которого
совпадает с т (X, X'), называется пространством Макки.
Бочкой в л. в. п. называется всякое его замкнутое и поглощаю-
поглощающее абсолютно выпуклое подмножество. Л. в. п. называется бочечным,
если каждая бочка в Нем является окрестностью нуля. Отделимые

52 ПРИЛОЖЕНИЕ. ТОПОЛОГИИ ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВ
бочечные пространства являются пространствами Макки. Наоборот:
полное, отделимое пространство Макки —бочечно.
К числу бочечных пространств относятся пространства Фреше
(полные метризуемые л. в. п.), в том числе банаховы пространства.
Бочечными являются пространства, получающиеся из бочечных путем
перехода к фактор-пространству и к индуктивному пределу.
4е. Оснащенные гильбертовы пространства. Пусть еЙГ —гильбер-
—гильбертово пространство со скалярным произведением (•, •) У — плотно
Ж
вложенное в него л. в. п. с топологией, более сильной, чем индуци-
индуцированная из я%Г. Каждый элемент h e е%^ определяет на Y линей-
линейный непрерывный функционал h ((/) = ((/, h) , и, таким образом,
я%" вкладывается в X = Y' плотно в топологии о(Х, Y) (Мы обоз-
обозначаем здесь одним и тем же символом совпадающие при вложении
элементы различных пространств.)
Таким образом, получается тройка плотно вложенных пространств
причем соотношение двойственности (*, у) является расширением
скалярного произведения. Подчеркивая этот факт, часто обозначают
(*. </) = (*. У) -в. и ПРИ произвольных хеХ.уеК. В частности, Y
Ж
может быть гильбертовым (тогда и X — гильбертово) или проективным
пределом гильбертовых пространств (тогда X—индуктивный предел
гильбертовых пространств).
Рассмотренная выше ситуация возникает, если Y—квазигиль-
Y—квазигильбертово пространство, т. е. л. в. п., на котором существует непре-
непрерывная гильбертова норма р (у). В качестве е%^ тогда выбирается
пополнение Y по этой норме.
Если топология Y определяется счетным набором гильбертовых
со
норм, то всегда можно считать, что Y = |~| айГь, где &%"i,+iсъ%\
fe = о
и Iх h < 1х lft+i (* = 0, I. 2| •••)• Такое пространство Y называется
00
счетно-гильбертовым. При этом Х= (J я%'_к, где d%*_k «= e%^
еуу" лу» <лу»
И Q/C If С вЛ о С ЯЛ _^.
6е* Поляры. Пусть X — л. в. п. Полярой множества *М сХ
называется подмножество в#° сопряженного пространства X':
^Г = {!/еГ: | (х, у)|«1, Чх*~М).
Поляра представляет собой слабо замкнутое абсолютно выпуклое
множество в X'. Поляра каждой окрестности нуля в X есть слабо
компактное подмножество X'.
Если F а X—линейное подпространство, то F° с: X'— линейное
подпространство, состоящее из элементов, аннулирующихся на F:
РН»еГ: (х, г/)=0, V*€=Fb
Пусть L — замкнутое линейное подпространство Х'а; X'a/L — фак-
фактор-пространство, наделенное фактор-топологией (сильнейшей тополо-
топологией, при которой естественное отображение Р: X'a->-X'a/L
непрерывно). Тогда поляра U с: X может быть отождествлена
с пространством, сопряженным к фактор-пространству L°=(X'a/Ly

53
Если а-4/— абсолютно выпуклое множество в X и а^/° сг X'—его
полярз, то Р<Мй есть поляра в X'/L множества г/И{]№cz L°.
Отметим, что поляра гильбертова множества А также является
Гильбертовым множеством, причем рАо(у) = sup | (*, у) |.
«ел
ПРИЛОЖЕНИЕ. ТОПОЛОГИИ ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВ
При естественном соотношении двойственности
6е. Ядерная топология *).
Пусть X — л. в. п. с некоторой топологией р. Рассмотрим сово-
совокупность R(X, P) всех гильбертовых преднорм на X, непрерывных
в топологии р. Пусть_<? е/?(Х, Р); S —положительный оператор
Гильберта —Шмидта в Xq и р (х) — q (SQgX). Систему всех полученных
таким образом преднорм обозначим 3* (X, Р). Эта система непуста,
так как R (X, Р)гэ#(Х, а), а пространства Xq, соответствующие
ИрёДнормам, определяющим слабую топологию, конечномерны и пото-
потону без ограничения Общности могут Считаться гильбертовыми.
Топологию в X, порождаемую системой преднорм $* (X, Р), назо-
назовем ядерной топологией т5 (X, Р), ассоциированной с топологией р.
Л. в. п. (X, Р) называется ядерным, если т5 (X, Р) = Р-
Поскольку ограниченные операторы в конечномерном простран-
пространстве являются операторами Гильберта—Шмидта, то пространство
(X, а) ядерно: ts(X, а) = а и, следовательно, любая ядерная топо-
топология в X сильнее слабой топологии а(Х, X').
Приведенное выше построение эквивалентно следующему:
ре $> (X, Р) тогда и только тогда, когда pei? (X, Р) и существует
мажорирующая (p^q) преднорма q e R (X, Р), для которой канони-
каноническое вложение тр?: Xq -*¦ Хр является оператором Гильберта —
Шмидта.
В качестве примера рассмотрим гильбертово пространство X
с топологией Р сильной сходимости. Поскольку любая непрерывная
преднорма гильбертова пространства мажорируется его нормой, то
Ф{Х, Р) состоит из преднорм вида ps(x) = |Sx|, где S пробегает
совокупность всех неотрицательных операторов Гильберта—Шмидта.
Более общо, пусть топология л. в. п. X определяется совокуп-
совокупностью R (X, Р) гильбертовых преднорм. Тогда ЯР {X, р) состоит
Hi преднорм вида
P(x) = \SQp(x)lp (p<sR(X, P)),
где Од-. Х~+ Хр — каноническое отображение, S —оператор Гильбер-
Гильберта—Шмидта в Хр, |-|р —норма в Хр.
Пример ядерного пространства представляет счетно-гильбертово
пространство, у которого операторы вложения ik: <?% k+1 -*¦ <?№^ —
отйраторы Гильберта — Шмидта (счетно-гильбертово пространство с
гйяьбертово-шмидтовыми вложениями).
7°. Компактность. Напомним некоторые понятия, связанные
с компактностью множеств. Множество г/Я Cz X называется компакт-
*) Эту топологию называют также топологией Сазонова, который
ввел ее для гильбертова пространства (см. В. В. Сазонов [3J, а также
А. Н. Колмогоров [3]).

54
ЗАМЕЧАНИЯ И КОММЕНТАРИИ
ным, если из любого его открытого покрытия можно выбрать конеч-
конечное. Каждое бесконечное подмножество СИ\ компактного множества гМ
имеет предельную точку х е гМ'. Более слабое свойство, сосгоящее
в том, что предельная точка х ^ X множества гМ\ существует, но
возможно х g: гМ, называется относительной компактностью еМ
в X. Замыкание относительно компактного множества компактно.
Множество ,M называется (относительно) секвенциально компактным,
если из каждой последовательности его элементов можно выделить
подпоследовательность, сходящуюся к точке х е гМ (соответственно
хеХ). Для счетного множества гМ относительная секвенциальная
компактность влечет относительную компактность.
Сходящаяся последовательность \хп) имеет точно одну предель-
предельную точку. Если последовательность имеет точно одну предельную
точку и, кроме того, относительно компактна, то она сходится.
Пусть X, Y — двойственная пара линейных пространств. Если
пространство (Y, о {Y, X)) сепарабельно, то относительно компактная
последовательность {xn}cz(X, o(X, Y)) является и относительно
секвенциально компактной. Достаточно показать, что из каждой
бесконечной части этой последовательности можно выделить подпо-
подпоследовательность, имеющую единственную предельную точку. Такая
подпоследовательность очевидным образом строится при помощи
диагонального процесса так, чтобы она сходилась на элементах
счетного плотного в (Y, a (Y, X)) множества.
Последовательность {хп\ cz (X, o(X, Y)) называется фундамен-
фундаментальной, если фундаментальна каждая последовательность (хп, у)
(уеУ). Пространство X слабо полно, если каждая фундаментальная
в этом смысле последовательность сходится. Так как фундаментальная
последовательность не может иметь более одной предельной точки,
то для ее сходимости достаточна ее относительная компактность.
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
И ИСТОРИЧЕСКИЕ КОММЕНТАРИИ
к главе I
Алгебра цилиндрических множеств на произведении пространств
естественно возникает в теории случайных функций. В этом случае
неотрицательная нормированная квазимера есть не что иное, как
согласованный набор конечномерных распределений случайной функ-
функции. А. Н. Колмогоров [1] впервые установил, что такой набор
порождает меру в произведении компактных пространств. Доказа-
Доказательство Колмогорова переносится на более общий случаи (см.
Е. Б. Дынкин [1]), но с сохранением некоторых топологических
требований. В книге Ж- Неве [1] топологические условия заменены
требованием, сформулированным в терминах компактного класса
множеств. Этот путь был развит О. Г. Смоляновым и С. В. Фоминым
([1]), сформулировавшими понятие измеримого пространства Радона.
Они доказали теорему Колмогорова для произведения пространств
Радона и вещественной ограниченной квазимеры.
Вариант теоремы Колмогорова для линейного пространства с до-
достаточным множеством линейных функционалов рассматривали Р. Гетур
[1], И. Сигал [2], Л Гросс [5], Е. Макшейн [1]. Мы излагаем свой-
свойства цилиндрических множеств в линейном пространстве и теорему
о а-аддитивности образа ограниченной квазимеры при линейном

ЗАМЕЧАНИЯ И КОММЕНТАРИИ
55
расширении измеримого линейного пространства, следуя работе
О. Г. Смолянова и С. В. Фомина [1].
Дальнейшее обобщение состоит в переходе от произведений
пространств к пространствам с предельной измеримой структурой:
обобщение теоремы Колмогорова на этот случай содержится в теоре-
теореме 1.3
Интегрирование по положительной квазимере возникает уже
в теории случайных функций при вычислении средних от функциона-
функционалов с помощью конечномерных распределений. Возникающие здесь
проблемы имеют в основном технический характер (см. С. В. Фомин
[5]). Для ограниченной знакопеременной квазимеры ситуация анало-
аналогична. Заметим, что ряд теорем теории случайных процессов формально
переносится на этот случай.
Значительно сложнее обстоит дело для неограниченных квазимер.
Интегралы по таким квазимерам впервые возникли в знаменитых
работах Фейнмана (см. Р. Фейнман и А. Хибс [1]). Точно говоря,
«мера Фейнмана» не является квазнмерой в рассмотренном выше
смысле: ее конечномерные проекции не ограничены и становятся
ограниченными лишь после специальной регуляризации.
Существует значительная литература по фейнмановским интегра-
интегралам и другим интегралам по неограниченным квазимерам. Мы еще
вернемся к этим вопросам в главах II и VI, а пока что укажем на
работы И. М. Гельфанда и А. М. Яглома [1], Ю. Л. Далецкого [5|,
С. Альбеверио и Р. Хёг-Крона [1] и имеющуюся в них библиографию.
Формула C.19) для вычисления интегралов использовалась в работе
Ю. Л. Далецкого и В. И. Ладохина [1]; С. Альбеверио и Р. Хёг-
Крон используют ее для определения бесконечномерного интеграла
Френеля, положенного ими в основу последовательной теории
фейнмановских интегралов.

ГЛАВА U
ГАУССОВЫ МЕРЫ
В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
В этой главе рассматривается важный класс мер
в функциональных пространствах — гауссовы меры. Все
изложение проводится для гильбертова пространства:
в следующей главе будет показано, что каждая гауссова
цилиндрическая мера может быть реализована таким
образом.
Мы рассматриваем измеримые квадратично интегрируе-
интегрируемые линейные функционалы и операторы, строим известное
ортогональное разложение пространства интегрируемых
в квадрате по гауссовой мере функций на пространства,
состоящие из полиномов. Изложение этих вопросов осно-
основано на использовании специальных формул интегрирова-
интегрирования по частям. Достаточно подробно изучается вопрос
об абсолютной непрерывности гауссовых мер.
Далее рассматривается преобразование Фурье по гаус-
гауссовой мере. Наконец, проводится простейшее рассмотрение
фейнмановских интегралов — интегралов по гауссовой
квазимере с комплексным параметром.
При чтении этой главы нужно лишь поверхностное
знакомство с главой I, в основном в части, касающейся
определений. От читателя требуется также некоторое
владение элементарными понятиями из геометрии гильбер-
гильбертова пространства и теории операторов в нем.
§ 1. Гауссовы меры в конечномерном пространстве
Г. Характеристический функционал и плотность. На-
Напомним, что гауссовой мерой в R1 называется абсолютно
непрерывная относительно лебеговой неотрицательная мера
с плотностью р (х) = —j=- ехр {— " " |. Она однознач-
однозначно определяется вещественным числом а (средним) и по-
положительным а2 (дисперсией). Легко проверить, что
характеристический функционал гауссовой меры в Rx

§ I. МЕРЫ В КОНЕЧНОМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ ~ 57
имеет вид
оо
Х((о)= j ^ш*р(л:)^л: = ехр{-уа2<о2 + 1а<о}. A.1)
Неотрицательную меру ц в R" назовем гауссовой, если
гауссовыми являются все ее одномерные проекции ц."
{у е R"), где
цУ(А) = \1{хе=и»: (х, у)<=А\.
Из этого условия выводится выражение характеристи-
характеристического функционала Хц. Действительно, для характеристи-
характеристического функционала проекции цу из A.3.6) следует
соотношение Хи» (<о) = Хц {<ау), которое влечет равенство
и (со*/) = In Хц (щ) = — -g а2 (у) о2 + ia {у\ ы.
Дифференцируя его по ю при со = 0, получаем, что
а(у) = (а, у) (а = — ш' @)) — линейный функционал, а
o2(j/) = (Bj/, (/) (В = — ы"(О))—квадратичный.
Таким образом, характеристический функционал гаус-
гауссовой меры (х в R" всегда имеет вид
|/) + К<1,4 A-2)
где а еR" — среднее, В—(очевидным образом) положи-
положительный оператор в R", который называют корреляционным.
При помощи прямого вычисления, приводя матрицу
оператора В к диагональному виду, нетрудно проверить,
что при det В Ф 0 функция A.2) является преобразованием
Фурье положительной функции
р (х) = , ' ехр/- - (В-1*, х)\,
^V ' У Bя)« det В Fl 2 v '/'
которая представляет собою плотность по отношению к мере
Лебега некоторой неотрицательной нормированной
меры (х в R".
Таким образом, при det 5=^0 формула A.2) описывает
все (невырожденные) гауссовы меры в R".
Если det В = 0, то существует максимальный орто-
проектор Р в R", для которого В = РВ = ВР. При этом
мера (х сосредоточена в сдвинутом на вектор а подпрост-
подпространстве PR" и там уже является невырожденной.
2°. Вычисление некоторых интегралов. Пусть цв —
невырожденная центрированная (а = 0) гауссова мера
с корреляционным оператором В.

58 гл. п. гауссовы меры
Для вычисления моментов
m2k (<pi, • • •, Фа*) = \ (х, <Pi) (х, ф2)... (а:, ф2*) ц (<&)
удобно пользоваться соотношением
МФ1. •••' Ф2,) = (-1)*УГ)(°Ж.---. Фи).
(где справа записана производная порядка 2k в направле-
направлении векторов фь ..., ф2А), которое влечет равенство
=
4*)
где сумма берется по всем перестановкам последователь-
последовательности индексов. В частности, т2(фь ф2) = (Вфь ф2),
т4(фь фг, фз, ф4) =
=(Вфь ф2) (Вф3, ф4)+(Вфь фз) (Вф2, ф4)+(Вф1, ф4) (Вф2, фз).
Как следствие, получим полезные формулы:
л
\ (Ах, х) |iB (dx) =2 aJk\ XjXk\iB (dx) =
fin /. ft = l Rn
= J] а/Л^ = ТгАВ, A.4)
n
J (Аде, xf |xB (dx) = 2 а/*а/л S */*»ж/,л,1*в (dx) =
= (TrABJ + 2Tr(ABJ. A.5)
Из этих формул легко выводятся следующие оценки.
Лемма 1.1. Пусть А>0. Тогда
\аъ{х: (Ах, *) 5* 1} «S Tr AB
и
, д;)-ТгАВ|<с|/ТгАВ}^1-|||АВ1.

§ 1. МЕРЫ В КОНЕЧНОМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ 59
Доказательство. Пользуясь известным неравен-
неравенством Чебышева, получаем
|хв{л:: (Ах, х)^1} =
I |iB (Л) < $ (Аде, х) цв (dx) = Tr AB,
и, аналогично,
цв{х: \(Ах, х)-Т
Г[(Ал,
3
х)-ТгАВ]'
3 Т
R"
Вычислим еще интегралы от некоторых функций экспо-
экспоненциального характера. Используя замену (х, у) = В,
переводящую меру |хв в меру цв на прямой, получаем
формулу
R"
l f И-гаЙ^Л-в^""». A.6)
Несколько сложнее вычисляется интеграл от квадратичной
экспоненты.
Предложение 1.1. Пусть оператор А подчиняется
оценке 2(Ах, а;)<(В-1а;, х) (atsR") (или, что то же
самое, 2В^2АВ^2<1) Тогда
R»
= {det(I-2AB)}-]/2. (i.7)
Доказательство. При помощи замены х = В1/2у
получаем
R" R"
Пусть B1/2AB1/2 = SAS*, где Л —диагональная, S —ортого-
—ортогональная матрицы. Проводя дальнейшую замену y = Sz,
приведем последний интеграл к виду (заметим, что собст-
собственные числа Kk матрицы Л при рассматриваемых условиях

60 ГЛ. II. ГАУССОВЫ МЕРЫ
подчиняются соотношению
1 Г <л-)-1и'.=-Г| 1 ?Л-Й*
—И- у лЭХ J
=t I ^—со
,-1/2
= {det(I-2A1/2BA'/2)}-1/2. ¦
3°. Интегрирование по частям. Здесь будут выведены
некоторые полезные формулы для интегралов по гаус-
гауссовой мере, которые мы будем условно называть форму-
формулами интегрирования по частям.
Пусть и (х) — дифференцируемая функция в точке х =
= (хи ..., х„) eR". Введем обозначения для ее градиента
(вектора, составленного из первых производных)
axi "Ч ахп)
и гессиана (матрицы, составленной из вторых производных)
dxkdXj \\k, i = Г
Предложение 1.2. Пусть и{х) — дифференцируемая
функция в R", удовлетворяющая условиям
R" R"
Тогда справедлива формула
\ и (х) (х, ф) ив (dx) = J (ы' (х), В-ф) (хв (dx) (ф г R"). A.8)
R" R"
Доказательство. Каждую функцию ы(а:), удов-
удовлетворяющую рассматриваемым условиям, можно аппрок-
аппроксимировать в среднем квадратичном по мере цв вместе
с производной (и' (х), Вг|)) по фиксированному направле-
направлению Вг|> многочленами. При этом, как легко видеть,
в формуле A.8) можно сделать предельный переход, и
поэтому ее достаточно проверить для многочленов, а в силу
линейности —даже для одночленов вида и(х) = (х, фХ)х
х (х, ф2)... (х, ф^). Для таких функций левая и правая
части A.8) —симметричные относительно ф* (k=l, 2, ..., s)
функционалы, а потому равенство достаточно проверить
для ф1 = ... = ф<, = ф при s = 2p— 1 (при четном s обе его

5 1. МЕРЫ В КОНЕЧНОМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ 61
части, как легко видеть, равны нулю). Для этого случая
из A.3) следует, что
$ u (х) (х, f) (хв (dx) = \ (х, фJ"-1 (х, \|>) (хв (dx) =
gf (ВФ,
= B/j-l) $ (х,
R"
Следствие 1.1. ?слы у (а;) также дифференцируема и
1\и(х)о(х)|2цв (<&)<со,
R"
J {| и (х) |21V (х) I2 +1 v (х) 11| ы' (дс) ||2} (хв (dx) < со,
R"
то, применяя A.8) к произведению u(x)v(x), получаем
формулу
{и(х)(х, ф)-(и'(х),
= J и (х) (v' (x)t Вф) [хв (dx). A.9)
Предложение 1.3. Если и(х) и v(x) удовлетворяют
условиям предложения 1.2, то справедлива формула
$["(*)(*. ф)-(«'(*). Вф)]х
Rn
x[v (x) (x, tf) - (v' (х), ВЦ)](хв (dx) =
-=(ВФ, Ч>) J и(х)
+ J (ы' (дс), Bi|>)(i>' (дс), Вф)(хв (dx). A.10)
Доказательство. Пусть сначала и(х) дважды диф-
дифференцируема и ограничена вместе с производными. Из

62 ГЛ. II. ГАУССОВЫ МЕРЫ
A.9) и A.8) следует
$ [и (х) (х, ф) - (и' (х), Вф)] v (х) (х, г|>) (хв (dx) =
= J u(x){(V (x), Вф)(*. i|)) + oW(i|), By)}li
R»
- \ {и (х) v (х) (Вф, i|>)+ («'(*). Bi|>) (о'(*), Вф) +
+ u(x)(xf(x)B<p,
и 'очно так же
J [ы (дс) (х, ф) - (ы' (дс), Вф)] (V (х),
R»
R"
Вычитая эти равенства почленно, получаем A.10).
В частности, при u = v и ф = г|> имеем
I {и(х)(х, ф)-(и'(дс),
R"
= (Вф, ф) $ ы2 (дс) (хв (dx) + \ (W (х), ВфJ |iB (dx). A.11)
R" R"
Аппроксимируя в среднем квадратичном функцию и (х),
удовлетворяющую условиям предложения, гладкими огра-
ограниченными функциями и переходя к пределу, получим
для нее оценку
I [и (х) (х, ф) - (и' (х), Вф)]2 (хв (dx) < оо
R"
и квадратичное соотношение A.11), а вместе с ним и
соответствующую билинейную формулу A.10). ¦
Следствие 1.2. Пусть и(х), v(x) — векторные функ-
функции со значениями в R", h (x) — скалярная функция, удов-
удовлетворяющие условиям предложения 1.2. Тогда имеют
место равенства:
\ (и (х), х) (хв (dx) = $ Тг [и' (х) В] (хв (dx), A.12)
R" R"
I [(« (*), х) - Тг и' (х) В] h (х) (хв (dx) =
= $(«(*), Bh'(x))iiB(dx), A.13)

§ 1. МЕРЫ В КОНЕЧНОМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ 63
J [(ы (х), х) - Tr W (х) В] Цр (х), х) - Тг V (х) В] |хв (dx) -
= 5 (Ви (jc), t»(x))|iB(rfx) +
+ $ Тг[о'(дс)Вы'(дс)В]|Хв(Лс). A.14)
R"
Доказательство каждого из этих равенств основано
на переходе к координатным представлениям и соответст-
соответствующих равенствах для скалярных функций. Достаточно
записать соотношения
(и(х), *) = 2("М. Ф*)(ф*. х)>
k
(V (X), X) = ^(V (X), Щ) (Щ, X)
к
и заметить, что для функции ик(х) = (и(х), q>k) справед-
справедливо («*(*). Вф) = (ы'(д:)Вф, щ).
4". Решение задачи Коши. Гауссова мера (хв тесно
связана с параболическим дифференциальным уравнением
A.15)
i. к = l
Рассмотрим задачу Коши для него с условием и (х, 0)=
= ио(х). Для преобразования Фурье у (со, t) =
~ ^ е'<и, *)и(х, t)dxu3 AЛ5) следует соотношение v' (to, t)=
R"
= — ту (Bco, co)u(to, 0i которое влечет
Применяя теорему о свертке и используя тот факт, что
е 2 'ш есть характеристический функционал гауссовой
меры цв< с корреляционным оператором Bt, получаем
выражение для решения задачи A.15) в виде интеграла
по гауссовой мере от начальной функции
u{x,t)=\uo(x-y)iiBt(dy). A.16)

64 ГЛ. II. ГАУССОВЫ МЕРЫ
Нетрудно проверить, что этот результат справедлив
и для достаточно быстро растущих функций ио{х) (лишь бы
существовал интеграл A.16) и интегралы, получаемые из
него дифференцированием по параметру х до второго
порядка включительно).
§ 2. Гауссовы меры в гильбертовом пространстве
1°. Условие а-аддитивности гауссовой цилиндрической
меры. Всюду в этой главе X— сепарабелыюе веществен-
вещественное гильбертово пространство, 21 — борелевская а-алгебра
в нем, 2F — алгебра цилиндрических множеств, порождае-
порождаемая некоторой системой конечномерных ортопроекторов,
описанной в 1.2.2, так что 21 = aBF) — минимальная
а-алгебра, содержащая 2F. При этом X = Х#, где
Х*= (J ХР (ХР=РХ).
Ре?
Цилиндрическая мера ц на X называется гауссовой,
если гауссовой является каждая ее конечномерная (каж-
(каждая одномерная) проекция.
Напомним, что цилиндрическая мера ц определяется
своим характеристическим функционалом Хи> который
является общим продолжением согласованной системы {х(Р>}
характеристических функционалов проекций (хр. Мы будем
сейчас рассматривать центрированную цилиндрическую
меру (х, т. е. такую, у которой все проекции цр центри-
центрированы:
$ (*, <p)\ip(dx) = 0 (qjeXp, Pe=<f>)-
Хр
Из формулы A.2) следует, что ее характеристический
функционал имеет вид
fcOO-r*'0"", B.1)
где b (yi, у2) — неотрицательный билинейный функционал
на линейном множестве ХР, непрерывный вдоль каждого
конечномерного подпространства Хр (Р е а?5). Этот функ-
функционал называют корреляционным.
Если Ь{уъ «/2) = (В«/1, у%), где В —положительный,
определенный на ХР оператор (возможно, неограничен-
неограниченный), то В называют корреляционным оператором цилин-
цилиндрической меры ц (при этом мы будем часто обозначать

S 2- МЕРЫ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 65
ji = [AB). Отметим, что корреляционный оператор ВР конеч-
конечномерной проекции |хр имеет вид Вр = РВР.
Наоборот, если Ь(уъ ^ — неотрицательный билиней-
билинейный функционал на плотном в X множестве &, можно
построить цилиндрическую гауссову меру (х, приняв B.1)
за ее характеристический функционал, причем ^ — сово-
совокупность ортопроекторов на конечномерные подпростран-
подпространства, лежащие в J?.
Теорема 2.1. Для того чтобы центрированная гаус-
гауссова цилиндрическая мера ц была а-аддитивной в X, необ-
необходимо и достаточно, чтобы ее корреляционный функцио-
функционал имел вид b(yi, г/г) = (В«/1, «/«), где В — неотрицатель-
неотрицательный ядерный оператор в X.
Доказательство. Пусть мера ц а-аддитивна. Тогда
ее характеристический функционал непрерывен в X, вместе
с ним непрерывен и корреляционный функционал и, сле-
следовательно, Ь(у, у) = (Ву, у) (Beif(X)). Покажем, что
ограниченный оператор В ядерен. Допуская противное,
можно будет найти конечномерный ортопроектор Р со
сколь угодно большим ТгРВР = #. Рассмотрим цилиндри-
цилиндрическое множество Ц (Р, <Ж), где 4 = {^ёХр: Щдср —/?|<
<а"|/R] лежит вне шара радиуса/? — aYR- Из леммы 1.1
следует оценка снизу
(х(Д(Р, <^))Э*1--^ = \ при а
Таким образом, в X существуют шары с центром
в нуле сколь угодно большого радиуса R — aYR, имею-
имеющие меру, меньшую 1/2, что невозможно в силу непре-
непрерывности (х, поскольку (х (X) = 1. Это доказывает необхо-
необходимость условия теоремы.
Достаточность следует из леммы 1.1 и предложения 1.1.3.
Действительно, для любого цилиндрического множества
Д(Р, <Ж), лежащего вне шара радиуса R (компактного
в слабой топологии), основание •# лежит вне такого же
шара в ХР, и потому величина
может быть сделана сколь угодно малой нри достаточно
большом R. ¦
2°. Некоторые преобразования гауссюнх мер в X.
а) Сдвиг х-+х + «• При таком преобразовании
цилиндрическая мера ц переходит в цилиндрическую
3 Ю. Л. Далецкнй. С, В. Фомин-609

66 ГЛ. II. ГАУССОВЫ МЕРЫ
меру (х<а) с характеристическим функционалом
. ч — -кЬ (V. У) + Ца, и) ,п _.
V«(*)-« * B-2)
Наоборот, мера с характеристическим функционалом
B.2) может быть получена из центрированной при помощи
сдвига на элемент йбХ, который называют средним
значением меры |i(a).
Очевидно, что цилиндрические меры \а и ц(а) одновре-
одновременно обладают или не обладают свойством а-аддитивности.
б) Линейное преобразование x-*-Sx. Харак-
Характеристический функционал при атом преобразуется по
закону (см. A.3.8))
V (У) = Х„ $*У) = ехр {- 4 (SBS*y, у)}
и, следовательно, преобразованная цилиндрическая мера
(Xs снова является гауссовой. Она а-аддитивна, если опе-
оператор SBS* ядерен в пространстве SX.
в) Произведение мер. Пусть (ilf щ — цилиндри-
цилиндрические гауссовы меры в гильбертовых пространствах Хъ
Хг соответственно. Произведение ц^Хц* в пространстве
Хг х Х2 представляет собою снова гауссову цилиндрическую
меру с характеристическим функционалом
Наоборот, пусть X = ХР 0 XQ — разложение на орто-
ортогональные подпространства Хр, Xq и Р, Q=I—P — соот-
соответствующие ортопроекторы. Если Р коммутирует с В,
ВР = РВ, то, очевидно,
(By, у) = (ВруР, yp) + (BQyQ, yQ)
и, следовательно, цилиндрическая гауссова мера цв рас-
расщепляется в произведение
B.3)
гауссовых цилиндрических мер цвР"И|» цВд«я(х| в про-
пространствах Хр, Xq.
г) Свертка мер. Так как при свертывании цилинд-
цилиндрических мер их характеристические функционалы пере-
перемножаются A.3.13), то свертка гауссовых цилиндрических
мер Ug3'* и (ig3»* снова является гауссовой с корреляцион-
корреляционным оператором Bj + Bg и средним ах-{-а%.

5 2. МЕРЫ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ ~" 87
3°. Вычисление интегралов. Вычислим некоторые
интегралы по центрированной гауссовой мере ц с ядерным
корреляционным оператором В в гильбертовом простран-
пространстве X.
Простейшие примеры получаются при рассмотрении
функций от конечного числа линейных функционалов
f(x)~F((x, <px),..., (*, ф„)),
где <рь .... фпе X — ортонормированная система, а
F(tt, ..., tn) — измеримая функция в R".
Такая функция f(x) цилиндрична и потому
I f (х) (х (dx) - I F (h *„) ц(Ч yn) (dt),
где |a^*i *n) — мера в p«f получающаяся из ц при ото-
отображениях *-*-((/! |/„), ук"(х, (pk), имеющая харак-
характеристический функционал
Таким образом, имеет место формула
. ••-, (X, фп))(ХВ(й^)=»
B.4)
где через (J обозначена матрица р = ](Вфл,
В частности, в качестве ф* часто будут использоваться
собственные векторы ek оператора В. В этом случае мат-
матрица P = I^ftfiy*S"ifc=1 диагональна и вычисления упро-
упрощаются.
В качестве примера, так же как и в конечномерном
случае, получаем формулу
$е<ф.*>[Хв(^) = ^<Бф1<Р)' B-5)
х
8»

W ГЛ. II. ГАУССОВЫ МЕРЫ
Отметим, что в проведенных выше рассуждениях ядер-
ность оператора В не играла роли и они справедливы
для гауссовых квазимер.
При вычислении интегралов от нецилиндрических
функционалов удобно использовать пример 1.3.3. Рассмот-
Рассмотрим несколько примеров.
а) Пусть f(x) = lxf. Обозначим через Р„ ортопроектор
на линейную оболочку Хп=-л. о. {ei, ..., еп\ первых л
собственных векторов оператора В. Тогда из A.4)
I IPnxf ii(dx)= I |дсР|1ржврж(Лс)-ТгРжВРж.
Так как последовательность |Р„*1 стремится к \х\
монотонно, то
\ |х|2|хв(<&)- Игл ТгР„ВР„ = ТгВ<оо.
х *-»
Таким образом, ст-аддитивная гауссова мера ц в гиль-
гильбертовом пространстве X имеет конечный второй момент.
Теперь уже можно заключить, что для любого ограничен-
ограниченного оператора А функция (Ах, х) интегрируема, и таким
же образом вывести формулу
I (Ах, х) цв (dx) - Тг АВ. B.6)
х
Аналогичным образом показывается конечность момен-
моментов более высокого порядка и выводятся формулы для
них, например,
$ (Ах, xf |iB (dx) - [Tr ABP + 2 Tr (АВJ. B.7)
x
Замечание 2.1. Из формул B.6) и B.7) следует,
что утверждение леммы 1.1 без изменений переносится
на бесконечномерное пространство X.
б) Рассмотрим теперь функцию f(x) = e<Ax' *>, где А —
ограниченный оператор в X, удовлетворяющий условию
BaB<I). B.8)
exp {a|| Р„л: |2}->-ехр
зуя формулу A.7),
(dx) = lim [det (I -2аВР„)]~»/».
Пусть сначала A = al. Тогда exp {a|| Р„л: |2}->-ехр {се ) д: |2}
монотонно, и можно, используя формулу A.7), записать

I 1. МЕРЫ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВ* ~* ОТ
Из ядерности оператора В следует сходимость произве-
произведения
со
det (I — 2аВ) = lim (I - 2аВР„) = Д A - 2akk)
и, таким образом,
\ e«^il>B(dA;) = [det(I-2aB)]-1/8.
х
В частности, функция е1*1'* интегрируема, а вместе
с ней при условии B.8) интегрируема функция е(А*> *>,
причем е'^-*'^еа1|дс112. Поэтому возможен предельный
переход под знаком интеграла при Р->1 в A.7), в резуль-
результате которого получается формула
*>цв (dx) - [det (I— гВ'/гдв1/2)]-1/2. B.9)
в) Пусть (Ах, хK*0, а>0. Подставляя в B.9) — %А
вместо А и интегрируя почленно полученное равенство,
предварительно умноженное на е-**, получаем формулу
--, Яю>0. B.10)
4Q. Гауссова цилиндрчиеская мера с произвольным
корреляционным оператором. Пусть ц = цв — центрирован-
центрированная цилиндрическая гауссова мера в X с корреляционным
оператором В, который уже не предполагается ядерным.
Рассмотрим линейное отображение S: Х-+Хг, где Хг —
также гильбертово пространство. В Хх индуцируется ци-
цилиндрическая мера ns с характеристическим функционалом
Xtts in)
Ее корреляционный оператор BS = SBS* может оказаться
уже ядерным в Хг и, следовательно, цилиндрическая
мера pis — a-аддитивной (оператор S при этом называется
радонифицирующим для \х).
Рассмотрим, в частности, случай, когда S плотно вкла-
вкладывает X в Xi. Сужение скалярного произведения (•, • )Xl
на X непрерывно и потому
(Sx, Stf)x,-(Tx, Ty)Xt B.11)

70 ГЛ. II. ГАУССОВЫ МЕРЫ
где Т — ограниченный оператор в X. Из B.11) следует,
что TS действует из SX а Хх в X изометрично и потому
имеет непрерывное продолжение f (fS «= Т) на Хг *= SX
со значениями в X, для которого (Тхъ Ту^х = (хи */i)x,,
и, следовательно, (Sx, yx)Xl«- (Тх, Tyi)x — (x, T*Ti/1)x,
т. е. S*=»T*t. Корреляционный оператор при этом имеет
вид Bs *» SBT*T (Bs |sx • S = BT*T) — этот оператор неотри-
неотрицателен в скалярном произведении (•, • )х,.
Предложение 2.1. Пусть ц = цв — цилиндрическая
гауссова мера в гильбертовом пространстве X. В X всегда
можно ввести скалярное произведение (х, у)г = (Тх, Ту)
так, что в его пополнении Xi по норме | х |} — (х, х)
мера ц а-аддитивна.
Доказательство. Оператор Т можно выбрать так,
чтобы оператор ТВТ* был ядерным в X. При этом Bs
оказывается ядерным в Хъ так как
(SBT*feA, ek)Xl -J2 (TBT*fk, fk)<oo
k—\
для некоторого ортобазиса {в/,} в Хх и /А=«ТеА. Остается
воспольаоваться теоремой 2.1. ¦
Следстви€ 2.1. Пусть В ограничен в X и Т — нееы-
роокденный оператор Гильберта — Шмидта. Тогда цв
имеет а-аддитивное продолжение в пространстве Хъ
получающемоя путлм пополнения X по норме ЦхЦ^ЦТхЦ.
В атом случае и оператор вложения S: Х-*-Хг есть
оператор Гильберта — Шмидтах
«1 Ь»1
5 частности, оказанное справедливо для цилиндрической
меры \i\ с тождественным в X корреляционным оператором.
Пример 2.1. Пусть Х — /4 — пространство последо-
ао
вательностей Х"{х1у х2, ...) с нормой |xja= V |#А|*. Ци-
к*«1
линдрическая гауссова мера рн определяется на цилинд-
цилиндрических множествах
Wh v*)-{*:(^'-

§ 2. МЕРЫ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 71
формулой
П
Эта мера а-аддитивна в пространстве Х\ последова-
со со
тельностей с нормой || х |)f = ? а|| х* |2, где ^] | а* |2 < оо.
ft-=i k=i
Гауссову меру ць о-аддитивную в расширении Хг про-
пространства X с оператором вложения S: a2 (S) < оо (квази-
(квазиядерном вложении), назовем канонической.
Предложение 2.2. Каждая центрированная гауссова
мера ц в гильбертовом пространстве X может быть
представлена как каноническая.
Доказательство. Пусть ц, — цв- Без ограничения
общности можно считать корреляционный оператор В
невырожденным (иначе мы перешли бы к подпространству
пространства X, в котором это свойство выполняется).
Превратим область определения неограниченного операто-
оператора В~1/2 в полное гильбертово пространство в%, введя
в нем скалярное произведение (х, уH=^(В~1/2х, В~1/2у), и
пусть S —оператор вложения o5f0 в X. Если {eft} —орто-
базис в <Ж0, составленный из собственных векторов опе-
оператора В: В«»-Я|в», то V^v;^ V В-1-Ч31 ч,,/-=
k k
— 2] I B1/2eft |J =» 2 %\ ¦< оо. Роль оператора Т играет опе-
k
ратор В1/2. Нетрудно проверить, что цилиндрическая
мера \к в аЛГ0 имеет тождественный корреляционный
оператор. Действительно,
$ (х, фH (х, Ч>H И (dx) - J
Жо х
= (ВВ гФ, В-^
Ниже мы будем часто использовать указанное в пред-
предложении 2.2 описание гауссовой меры, обозначая Х = е5Г_.
Вводя при этом на множестве В^Х структуру гильбертова
пространства «Ж+ при помощи скалярного произведения
(х, у)+ =» (В-1*, В-1!/) = (Т-1^, Т-^о, мы получаем осна-
оснащенное гильбертово пространство «г%"+ с е5Г0 с= е%"_.
В такой ситуации под характеристическим функциона-
функционалом меры ц удобно понимать характеристический функцио-
функционал порожденной ею цилиндрической меры \И\ в %"

72 гл. п. гауссовы меры
который можно определить как интеграл
_ 1
Х(в)- $ e«*-e4i(dx)=.«
X-
пока что лишь для 9 е «s5T+. По непрерывности он распро-
распространяется на все «%"о-
Замечание 2.2. Рассуждения, проведенные при
доказательстве формулы B.3), применимы для любого
ортогонального в я% проектора Р со значениями в в%"+.
Поэтому для любого такого проектора справедливо
разложение
Р, B.12)
где ni_p — каноническая гауссова мера в оснащенном
пространстве
*%\Л
§ 3. Измеримые линейные функционалы и операторы
I9. Измеримые линейные функционалы. В этом пара-
параграфе будут определены и изучены измеримые линейные
функционалы в гильбертовом пространстве X с гауссовой
мерой ц. Бее ограничения общности можно считать эту
меру канонической ц = Ц1 в оснащенном гильбертовом
пространстве X = еЖ*_ :э ^Го :э <?%\ с квазиядерным вло-
вложением S: Oj(S)<oo *). Пусть ^ — совокупность ортого-
ортогональных в в%^0 конечномерных проекторов, для которых
Предложение 3.1. Каждую ^.-интегрируемую функ-
функцию f (х) можно с любой точностью аппроксимировать
в среднем цилиндрическими функциями вида
где ni-p — мера из разложения B.12).
Доказательство. Рассмотрим разложение прост-
пространства «ЯГ_*=е%"Р -\-tPiT-\ Из теоремы Фубини следует,
что функция C.1) определена почти везде (mod^ip) в 2Г
*i Cu. следствие 2,i.

3. ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ И ОПЕРАТОРЫ 73
= I f(x)p(dx). Полагая
по л»
еЯГр «яГ-
«= /р (Рх), мы распространим ее на в%"_ как цилиндри-
цилиндрическую, причем
Ы*)|1(Дс)- ^ /р(Р*)М<*Р*) = ^ f (*)*№)• C-2)
- atp вь —
Отображение f-+fp, очевидно, линейно. Из C.2) сле-
следует, что на конусе неотрицательных функций в Хх (е%"_, ц)
оно изометрично. Разлагая произвольную функцию f(x)
на разность неотрицательных f(x)=*f+ (x) — f~(x), получаем
из /р "»(/+)р — (/~)р непрерывность этого отображения:
J |Ы*)ЫДс)< J
«ж- йК-
Для цилиндрической функции g{x)=g(Px) имеем
eigr(Af) И ПОТОМУ
5 i/(*)-M
%- X-
Остается заметить, что всегда существует цилиндриче-
цилиндрическая функция g(x), для которой правая часть достаточно
мала. ¦
Лемма 3.1. Если измеримая функция f(x) инвариантна
относительно сдвигов на элементы у 5?*
), C.3)
то она почти везде совпадает с постоянной:
f (x) га const (mod ц). C.4)
Доказательство. Заменяя, в крайнем случае,
f(x) функцией е'!(х), можно заранее считать ее ограничен-
ограниченной и, следовательно, интегрируемой по гауссовой мере ц.
Из C.1) следует, что свойство C.3) переносится на />(*).

74 ГЛ. И. ГАУССОВЫ МЕРЫ
Так как е%"Р с е%"+, то для/Р(л;), очевидно, выполняется
C.4). Остается воспользоваться предложением 3.1. я
Теорема 3.1. Каждое измеримое линейное множество
Ш а з%Г- имеет меру \к{Ш), равную либо нулю, либо едини-
единице. При этом из fj,($)>0 следует, что Uzd&Vq.
Доказательство. Пусть ц(%)>0. Воспользуемся
результатом следствия 4.1, согласно которому при этом
fi(e + Xx)>0 для каждого XeR при х & ало (доказа-
(доказательство этого результата не опирается на рассматриваемую
теорему). При *ё=$ мы получили бы континуум непере-
непересекающихся множеств Щк = ё-\-'кх положительной меры,
что невозможно. Поэтому ё =э а5Г0- Множество Ш, а вместе
с ним и его индикатор U (х), инвариантны относительно
сдвигов на элементы «5Г 0, и потому, в силу леммы 3.1,
у$ (х) = const (mod fi). Этой постоянной может быть только
единица и, следовательно, ц (?) = § /g (х) ц (dx) =* 1. ¦
X-
Определение 3.1. Измеримую функцию /()
назовем измеримым линейным функционалом, если она
является пределом fi-почти везде сходящейся последова-
последовательности непрерывных линейных функционалов
/(*)= lim (х, ф„H (modfi), ф„®в%"+. C.5)
п-юо
Теорема 3.2. Каждый измеримый линейный функ-
функционал на э/Г_ интегрируем в квадрате по мере fi и имеет
непрерывное сужение на еЖ и, наоборот, каждый непре-
непрерывный линейный функционал на е% имеет измеримое
линейное продолжение на а5Г_.
Таким образом устанавливается взаимно однозначное
соответствие между пространством (классов mod [i) изме-
измеримых линейных функционалов на а/Г_ и пространством
ЛТ f (x) ** f, изометрическое в том смысле, что
Доказательство. Пусть ф„ те%"+ — последо-
последовательность влементов из C.5) и $ —линейное множество
полной меры, на котором имеет место сходимость. По
теореме 3.1 Ш =э а% и, следовательно, ф„ слабо сходится
в а% к некоторому элементу f e е%. так что
/(х) = lim (х, ф„H = {х, /H {х е «аго).
а-

§ 3, ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ И ОПЕРАТОРЫ 7В
Очевидно, что / однозначно определяется по fix). Из
соотношения
^ ехр {/ (х, <рл - фт)} fi (dx) = ехр | - у | ф„ - ф„ Jjj}
следует, что последовательность ф„ сходится в <Ж0 и
сильно, а потому имеет место среднеквадратичная сходи-
сходимость функционалов
\ 1и,фя)-(х,фт)|1ц(йх) = |Ф„-фя,В->0 C.6)
(п, /п-»-оо).
Переходя в последней формуле к пределу при т->оо,
получаем
J К*, <P«)-/WIV(d*) = llqWi2-*0 (я->во)
и, следо ательно,
|/ Р - lim | Ф„ Iя = lim \ | (х, ф„) |а и
л->со л-»еэ —
Наоборот, пусть / э а%^0- Тогда существует последо-
последовательность »лементов флее5^'+ такая, что 1 / — фя ||0-*-0.
При этом последовательность непрерывных на а%"_ линей-
линейных функционалов (х, ф„) сходится в среднем квадратич-
квадратичном. Выбирая из нее сходящуюся почти везде подпосле-
подпоследовательность ф„ , положим f(x)= lim(je, q>n.) (modfi).
Повторяя для полученного измеримого линейного функ-
функционала проведенные выше рассуждения, приходим
к формуле C.6), показывающей, что f(x) определяется
однозначно (mod \к). ¦
Замечание 3.1. Из теоремы следует, что каждый
измеримый линейный функционал f{x) определен на <Жй
и однозначно определяется своими значениями на этом
пространстве. Ниже мы всегда будем отождествлять \(х)
с соответствующим элементом f e е% и применять
обозначение
даже и тогда, когда

78 ГЛ. II. ГАУССОВЫ МЕРЫ
Замечание 3.2. Из доказательства теоремы следует,
что отображение х-+(х, /H приводит к гауссовой мере ц/
в R1 с характеристическим функционалом ехр<— -g-
Легко видеть, что имеет место соотношение
$ (х, f)o(x, g)oV-{dx)=>(f, gH.
X-
Замечание 3.3. Полезно пересказать полученные
результаты в терминах гильбертова пространства X
в (т-аддитивной гауссовой мерой fiB> имеющей невырожден-
невырожденный корреляционный оператор В. Множество непрерывных
на X линейных функционалов отождествляется б X: <р (х)=
= (х, ф), причем ^ \(х, ф) |2 n(dx) = (Вф, ф). Поэтому мно-
х
жесгво измеримых линейных функционалов, совпадающее
G совокупностью квадратично интегрируемых, отождест-
отождествляется в пространством Хв — пополнением X по норме
MIB^jcPHB*, x).
2°. Измеримые линейные операторы. Для пары 23i, 33а
банаховых пространств будем обозначать через X (S3i, 232)
пространство ограниченных операторов, действующих из
23i в 352, и в случае, когда 23i и 232 гильбертовы, через
«5?2 C3i. Ъ%) — подпространство «Я? C3i, 532), состоящее из опе-
операторов Гильберта — Шмидта.
Определение 3.2. Измеримым, линейным операто-
оператором на «ЯГ_ со значениями в гильбертовом пространстве <%"
назовем fi-измеримую функцию А (х) на а%"_, являющуюся
пределом почти везде сходящейся последовательности
линейных непрерывных функций
А(х)= lim knx (modfi), А„ е X (ЛГ_, 5Г). C.7)
Очевидно, что каждый непрерывный на е%"_ линейный
оператор Ае^(©%"-, а%") порождает измеримый А(х).
Его сужение A0 = AS на <3?\ является оператором Гиль-
Гильберта—Шмидта (Ао е «5?2 («%"()) а^")), поскольку этим свой-
свойством обладает оператор вложения S.
С другой стороны, поскольку сходимость в C.7) имеет
место не линейном множестве &а положительной меры,
содержащем ©%) то однозначно определяется оператор
А <=.% («%",>, «Ж"): Ах— lim Аах (хшЛГ0). Таким образом,

§ 3. ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИОНАЛЕ! И ОПВРАТОРШ 77
измеримый на ©%"_ линейный оператор имеет непрерывное
сужение на а/Г0-
Отметим, что при феЖ функция (А(х), ф)^ есть
измеримый линейный функционал на е%"_, совпадающий
на в% с (Ал;, q>)$g = (x, A*<pH. Поэтому справедлива
формула
А г = (х, А*ф) (modji). C.8)
Теорема 3.3. Каждый интегрируемый в квадрате
измеримый линейный оператор А(х) имеет непрерывное
сужение Ах на е%> удовлетворяющее условию А е
cs =S?2 (e%"ot e?T)t «. наоборот, каждый оператор A es
е =5?2 (е%> аЖ") имеет измеримое линейное продолжение
А (х) на s5T_. Получаемое при этом взаимно однотипное
соответствие между Хг (е5Г0, аЖ") к пространвтвом линей-
линейных измеримых операторов иэометрично:
({фу} — ортобазис в )
Доказательство. Пусть {фу} — ортобазис в К
Тогда, интегрируя почленно равенство
lA(*)fe=;S|(A«, Ф/)яг|«-2;|(х, А»ор (mod»i),
получим, что AeJfj(«%) ЙГI
Наоборот, если Аа^8 («ЯГ0) в^)> то при л; ев «ЯГ»
Ад; - ^ (Аж, Фа) Фа - % (х> А*Ф*) Ф». C.9)
ft: k
Каждое слагаемое правой части продолжается измеримым
образом на «г9Г_, а так как ряд сходится в Хг (s5r_, fi),
то на «Ж. продолжается и его сумма. Из последователь-
последовательности частных сумм этого ряда можно выбрать сходя-
сходящуюся почти везде подпоследовательность, определяющую
в силу C.7) измеримый линейный оператор.
3°. Интегрирование по частям. Мы выяснили, что каж-
каждому оператору AsJ(/i («%"о, <%") соответствует измеримая

78 ГЛ. II. ГАУССОВЫ МЕРЫ
функция Ал; на е%"_, совпадающая с Ах на ©%- Паложе-
ние, однако, изменяется, если сам оператор к = кх
зависит от х.
В этом случае выражение Ахх может вообще не иметь
смысла на множестве полной (и даже положительной)
меры, так как область определения измеримого линейного
оператора, порождаемого Ах, может не содержать эле-
элемента х, за исключением множества таких элементов,
имеющего нулевую меру.
Ниже будет показано, что функцию Ахх, имеющую
вполне определенный смысл при Ах е X (е%"_, Ж), можно
«регуляризовать», придав полученному выражению смысл
и в более общем случае.
Введем некоторые обозначения (подробнее см. в гл. IV).
Если /(^ — определенная на е%"_ функция со значе-
значениями из гильбертова пространства Ж, то под ее произ-
производной (вдоль яРГ0) в точке х а е%"_ будет|5 пониматься
оператор /' (х) е X (а%> Ж), удовлетворяющий условию
Обозначим через Cu (<W-, Sft) пространство непрерыв-
непрерывных и ограниченных вместе с первой производной функ-
функций на а%"_ оо значениями в &?, для которых /' (х) в
е.Хъ(<?Г0, $%), через fii(e5T_, Ж", ^ — пространство,
получающееся из Сц («Jr _, Ж") путем пополнения по
норме
111/111?= \ II/М fe + orj (/'(*))} И (<**).
X-
Обозначим через Хп (ъ%~, SV) банахово пространство
n-линейных операторов, действующих из <№ в Ж, через
Х\(?ХГ, Ж)— его подпространство, состоящее из опера-
операторов Гильберта — Шмидта, т. е. операторов, имеющих
конечную норму
|(t
к /я-»
где {ej}JLi — какой-нибудь (любой) ортобазис в *?Г. Про-
Пространство Х\(<??', Ж) является гильбертовым со скаляр-
скалярным произведением
(Т, V)n =
21 С1" К %)' v К e<nW- C-10)
In

S 3. ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ И ОПЕРАТОРЫ 79
Под следом билинейного оператора Ае )
будет пониматься принадлежащее пространству Ж вектор-
векторное выражение
f; A(ek, ек), C.11)
если только ряд сходится абсолютно. Множество таких
билинейных операторов обозначим Л' (&%", Ж).
Нетрудно проверить, что из Те<3?2(э%", Ж), Ае
е Х2 {«Зг, «%") следует, что оператор ТА: ТА (/, g) =
=Т(А/, в) принадлежит N(e%~, &?). В частности, (/(ж)А)' =
= N {<Ж, Щ, если / <= С1а (<Ж_, Х% (*РГ0, Щ).
Те орем а 3.4. Пусть А, Ве<5?а(а5Г<>, <^"о)". f(x), g(x)^
е ^> {<*л _, JPa («^"o. s^"))- Тогда справедливы равенства
\ f(x)(Ax)n(dx)= \ TT(f(x)AYn(dx) C.12)
х- эе-
и
$ (J(x)Ax-Tr<f(x)A)', g(x)Bx-TT(g(x)B)')^n(dx)=
X-
= S {(/WA.gWBH + ^WAr.^WB)').}^^). C.13)
Доказательство этой теоремы будет проведено ниже
после рассмотрения двух частных случаев, представляю-
представляющих и самостоятельный интерес.
Первый из этих частных случаев получается при
условиях
Ж = R1, А (х) - (ж, ф), В (х) - (ж, Ч>); Ф. * в «ST0; C.14)
/, гвфЛсЯГ., R1, v).
Утверждение теоремы 3.4 принимает в этом случае сле-
следующий вид.
Предложение 3.2. При условиях C.14) справедливы
равенства
$ J (/'(*). Ф) И №*) C.15)
[/ (*) (*, Ф) - (f W, Ф)] [g (х) (х, я|)) - (g' (x), ф)] и (Же) =
= ^Ф ф) \ f(x)g(x)n(dx) +
X-
+ J (f W. *) («Г (*). ф) и (<fr). C-16)

80 ГЛ. II. ГАУССОВЫ МЕРЫ
Доказательство. Пусть сначала /, g e Ci (е%"_, R1)
и РеЛ Из предложения 1.3 следует справедливость
формул C.15), C.16) для функций f(Px), g(Px). В этих
формулах можно сделать предельный переход при Р->1,
так как подынтегральные выражения ограничены и имеет
место поточечная сходимость. Это доказывает рассматри-
рассматриваемые формулы для /, geCi(e%"_, R1).
Йв C.16) при ? = /, г|) = ф следует оценка
$ U(*)(x, <P)-V'(x)
X-
Чф!2 \ P(x)li(dx) + $
показывающая, что определенный на d линейный оператор
М/) =/(*)(*. ф)-(/'(*), Ф)
непрерывно действует из $г в ^ — пространство интегри-
интегрируемых в квадрате по мере ц функций. По непрерывности
он распространяется на все пространство §i. Так как
каждый из интегралов, входящих в C.15), C.16), очевидно,
непрерывен в ^ь то при помощи предельного перехода
эти формулы доказываются для /, ge «?>i. ¦
Рассмотрим теперь более общий случай, когда функции
f(x), g (x) — векторные.
Предложение 3.3. Пусть f(x),g(x)&$i(<№-, SfC, ц);
А, Ве^№. &)• Тогда справедливы формулы
J (fix), ?x)wli(dx)- J Tr[f'(x)A*]ii(dx) C.17)
Х- X-
u
I [(f(x),kx)w-Trf'(x)A*]x
X-
X \(& (x), Ъх)ж - Tr g' (x) В *] ц (dx) -
- $ {(A*f(x),B*g(x)) + TrA*nx)B*g'(x)\n(dx). C.18)
X-
Докаэательство. Пусть {ф*} — базис в SfC. Интег-
Интегрируя почленно сходящееся в среднем квадратичном раз-
разложение
, Ах) =|] (/(*)

r * 3. ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ И ОПЕРАТОРЫ 81
получаем первую формулу предложения:
J- (/(ж), Ах)» и (<**)-.? $ (/(*)• Ф*)(*. А«
ЯГ- * X-
-2 J (П*)А*Ф*. Ф*)И(Ж0- 5 [Trf(*)
* ЯГ- ЯГ-
Для доказательства второй формулы рассмотрим разло-
разложения
(g(x),Bx)-TTg'(x)B*= (ЗЛ9)
-!]{(?(*). Ф*)(В*Ф*. x)-(g'(x)B*<pk, <р„)\.
к
Пусть сначала каждое из них содержит конечное число
слагаемых. Перемножая их, интегрируя почленно и
используя предложение 3.2, получаем требуемое соотно-
соотношение:
$ {(/(*), A*)-Tr/'(*)A*}{(er(*)t B*)-Trg'(*)B*M<**)=
Ж-
J {(/(*). Ф*)(А*Ф*,*)-^'(*)А*Ф*. Ф*)}Х
X{(?(*), Фу)(В>, *)-
-2 \ {(А*ф*.
*/
- \ {(A*f(x),B*g(x)) + TTf'(x)B*g'(x)k*}ii(dx). (8.20)
яг_
Остается показать, что в C.20) можно сделать пре-
предельный переход, так чтобы отказаться от предположения
в конечности разложения C.19). При g~°f и В— А
из C.20) следует формула
C.21)

82 гл. п. гауссовы меры
Левая и правая части этого равенства определены при
/е фь Ae^j(s9To. &?) и совпадают на плотномг
в i?2 («22"o. 5?) множестве конечномерных операторов А,-
Поэтому выражение
U(f)(x) = (f(x), Ах)-ТгГ(х)А*
представляет собою линейный относительно А оператор
из плотного в <3?2 (s%"Ot «Ж") множества в ф. Из C.21)
следует его непрерывность:
Поэтому он распространяется на все i(e» )»
так что при / е ^i выполняется C.21). Теперь уже не-
нетрудно перейти к пределу и в соответствующей билинейной
формуле C.20) или прямо вывести ее из квадратичного
варианта C.21). ¦
Доказательство теоремы 3.4. Выведем снача-
сначала некоторые вспомогательные формулы. Дифференцируя
почленно вдоль h e «2% равенство
*о "о, Фа»),
получаем соотношение
которое влечет
(А* [/* (дс) Ф]' *„ ву)^0 - (А*/*' (х) (es, ф),
Суммируя при s = /, получим
Тг А* [/* (*)ф]' = 2 (Г (ж) (в„ А*,),
= (Тг(/(дс)А)', Ф)^. C.22)
Таким же образом
), ф) (g'(дс) (e/t Be,), ^) =
/
= 2 ((/ (*) А)' (е„ ej), Ф) ({g (x) В)' (в/, в,), я|>),

§ 3. ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ И ОПЕРАТОРЫ 83
откуда, определяя оператор С е Хг (э%. Ж) при С е
Ж): б (у, \|)) = С(г|), ф), получаем
2 х) А)' (е„ еД (*(*) В)' (е,, в,)) = ((/(дс) A)', (g(x) B)'J.
S. /
Нетрудно проверить, что все ряды сходятся абсолютно
и потому проведенные рассуждения корректны.
Перейдем к доказательству утверждений теоремы.
Из C.17) и C.22) следует формула
(/ (х) Ах, ф) ц (Же)« $ (Аде, /* (х) Ф) ц (dx) -
Х- X-
x)= 5 (Tr(/(*)A)'tq>)fi(dx),
которая приводит к C.12) в силу произвольности ф.
Наконец, используя разложение
, /* (х) Ф«) - Тг А* (/* (дс) Фт)'} Ф
и такое же разложение для g(x), получаем из C.18)
и C.22)
J (/(х) Ах - Тг [/ (х) А]', g(х) Вх-Tr [g(д) В]') ц (dx) =
* iT-
+ Tr A* [f* (х) Фт]' В* \g* (х) Фт]'} и (dx)
- J {(АГ(*).ВУ(*)I + (^(*)А)',Й(*)В)'
Рассмотрим внимательнее выражение
Р (A, f) (х) - / (дс) Ад. - Тг [/ (дс) А]', C.23)
определенное при /e^i{a?T_, ^2(e%^o. <^"). !•<•}. где
А е if2(a%''0l s5r о) как измеримая на о%^_ функция со зна-
значениями в PC. Из теоремы 3.4 следует, что Р (А, /) (л:) е

84 - гл. п. гауссовы меры
е § (а%"_, е/?\ ц) и оценка
1Р(А, Л1^<5 K[/WA] + aU(/WA)']}(i(d^). C.24)
Правая часть последнего неравенства, в отличие от
левой, определена и тогда, когда А е X (®%. $%о) не
есть оператор Гильберта — Шмидта. Далее, линейная
относительно А функция Р (A, f) со значениями в ф,
очевидно, непрерывна. Заметим, что правая часть C.24)
непрерывна и в том смысле, когда сходимость опера-
операторов А понимается как сильная. Пусть А^?(9Г ^)
Ал е %% (<ДГ0, <^о) и Аф= lim Алф (ф
п»оо
Из оценки
| Р (А*, /) - Р (Ау, /) |fc < J {а? [/ (ж) (А* - А,)] +
+ <xi"[tf(*)(A*-Ay))']}|»(dx) C.26)
оледует, что можно определить
Р(А,
/->00
причем предел не зависит от выбора аппроксимирующей
последовательности. Эти рассуждения приводят к следую-
следующему результату.
Теорема З.б. Пусть /еф^аТ*.., Х2(^Г0, Ш), ц).
При Aei? (s9To. а^Го) определено линейное относительно А
и f дифференциальное выражение р (A, f) (x), сужение кото-
которого на А е i?2 («ЗГо. а^Го) имеет вид C.23). 5то выраже-
выражение удовлетворяет соотношению
(Р(А, /)(*), Р(В,
$ {(/WA.gWBH + W/WAj'.dWBJ'Wpi^). C.26)
? частности, для Р(/) = РA, f) выполняется оценка
$ 1Р(/)(*)РИ(Л)< S {o|<ft*))+aW(*))M«fr). C-27)
Замечание 3.4. При дополнительном предположе-
предположении fe=Z (s%"_, Ж), feJV (е5Г0, Ж) C.23) остается спра-
справедливым и для А е «Sf («5Г0, а%"о)( в частности, Р (/) =

§ 3. ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ И ОПЕРАТОРЫ вВ
Замечание 3.5. Отметим вариант теоремы 8.5, со-
соответствующий условиям предложения 3.8.
Определенное при / (я) е о%"+ выражение U (/) =
= (f(x), х) — Trf'(x) распространяется на / е
^(%^_, еЯГ0, \i), причем
Замечание З.6. Все описанные выше результаты
можно переформулировать в терминах гауссовой меры цв
с корреляционным оператором В в гильбертовом про-
пространстве X.
Например, формула C.21) принимает вид
J | (/ (*), Ах) - Тг А*/' (х) В |» ^в (dx) -
- j {(ABA*/ (x), f (x)) + Tr [A*/' (*) В]»} цв (^).
При этом дифференциальное выражение
/ав) (f) (x) - (f (x), Ax) - Tr A*/' (x) В
распространяется на такие операторы А (возможно, не-
неограниченные), что ABA* г # (X, X), ВА* в «?2 (X, X)
для ограниченного оператора /' (я).
4е. Разложение по ортогональным полиномам. В «том
пункте построенные выше формулы интегрирования по
частям будут использованы для ортогонального разло-
разложения гильбертова пространства ^«*Lj(s5T_, Ж', ц)
|л-интегрируемых в квадрате функций на «%"_ со значе-
значениями в Ж на подпространства, состоящие из полиноми-
полиномиальных функций.
Введем некоторые обовначения. Как и ранее,
#9(«5Г0. в#) — гильбертово пространство действующих из
«ST0 в &С n-линейных операторов Гильберта — Шмидта
(#|!(«ЯГ0, <Ж) = &С — по определению). Рассмотрим линей-
линейный оператор
in,,: X1WTQ, Ж)-*%
(я«=1, 2, ...; /-1 п-1),

86 ГЛ. II. ГАУССОВЫ МЕРЫ
отождествляющий n-линейный оператор А со значениями
в Ж с /-линейным (/<п) оператором Jn,;(A) со значе-
значениями в JfJ-'ОЛГ, Ж):
= А(фь ..., ф;, ф;+1, ..., ф„) (ф1( ...
Соотношение
o5(Jn.;(A))= S U».;(A)(e*lf •¦-, «*у>l^«—/
*i */
= 2 Е
*1 */51 sn-i
показывает, что оператор Jnj (очевидно, обратимый) уни-
унитарен: J*, /=.J^J/. Мы будем использовать обозначение
Jn.o=-I в пространстве J?J(a^T, Ж").
Обозначим через 6п (а%^, Ж) пространство, состоящее
из функций А„ (я) =* А (я, ..., a:), Ae^(J(, Ж) (а: в
X (G^'o, ЙГ)-ЙГ), и пусть
— пространство полиномов вида 2 А* (*)• Обозначим
далее через Х\й, GnQ, Sn0 подмножества соответствующих
пространств, состоящие иа конечномерных в следующем
смысле функций: Ае^(^Г, Ж), если А(фь ..., ф„) =
= А (Р1фь ..., Рлфл) при некоторых конечномерных орто-
проекторах Рь ..., Р„.
Нашей целью сейчас является построение линейного
отображения 8„: %"~-*-Sn, сопоставляющего каждому поли-
полилинейному оператору А полиномиальную функцию
0„ (А) (а:) = б„, а (х), удовлетворяющую рекуррентному соот-
соотношению
6„ (А) (х) = Р (8n_! (Jn. _! (А))) (х) - [Bn-i (Jn. n-i (А)) (х)] (х) -
~ Tr JJ., [ея_! (Jn, „_! (А))]' (х). C.28)
Это будет сделано по индукции сначала для конечно-
конечномерных операторов А е i?> а затем уже предельным
переходом в общем случае. Проверим сначала, что для
конечномерных операторов, когда все рассматриваемые

§ 3. ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ И ОПЕРАТОРЫ 87
функции цилиндричны и, тем самым, определены на е%"_,
а' кроме того, не приходится заботиться о сходимости
следов рассматриваемых операторов, формула C.28) кор-
корректно определяет 8„ по Qn-i- Действительно, если А
е Хпт («Я",,, Ж), то ln. n-i (А)_е %пт-' (<ЯГ0, ^о («йГо
Если отображение б,,.! на «SfJ~ ' (е%. ^о (е%"о> Ж)) опреде-
определено, то 8n_i(Jn, „_!(А))—полиномиальная функция со значе-
значениями в %\(<Жй, Ж). Ее производная [6n_i(Jn,n_!(A))]'(A:)e
е J?J (q%, •?« (е^*о. «^")) отождествляется оператором JJ,,
с некоторым элементом %\(<?ЯГй, Ж), след которого при-
принадлежит Ж. Так как и первое слагаемое C.28) в рас-
рассматриваемом случае есть элемент Ж, то однозначно
определяется 8„(А), причем, очевидно, 6л(А)е^5лО-
Это позволяет по индукции определить 9„, начиная
с 80: 80(/)=/. Отметим, что при этом, очевидно, б!(А)(л:)=Ал:
при AeJ?i(J0, Ж), и потому при Ае^(аГ0, Ж")
6i (JM (А)) (х) = Jai (А) (х), [8 (J21 (А))]' (х) = J21 (A),
а, следовательно,
6, (А) (х) - [ J2i (А) (х)] (х) - Tr JJ, Ju (A) - А (х, х) - Тг А.
Выясним некоторые свойства отображений 9„.
Предложение 3.4. Пусть Аа^^о, Ж)—сим-
Ж)—симметричен относительно любых перестановок аргументов-
Тогда
е„ (А)' (х) - n8n_! (J,, л_! (А)) (дс) C.29)
и соотношению C.28) можно придать вид
6„ (А) (дс) = [Qn-i (in, n-i (А)) (дс)] (дс) -
]. C.30)
Доказательство. При п=\ C.29) превращается
в очевидное тождество (A*)' = A. Пусть теперь C.29)
установлено для п^т — 1. Тогда для п^т из просто
проверяемого соотношения Jf, iin-i, n-%Sn, n-i= J«, n-s сле-
следует C.30). Дифференцируя эту формулу почленно, по-
получаем
8т (А)' (дс) /г = 6m_! (Jm, m_! (А)) (дс) h +
+ em-l(Jm.m-l(A))'(>;)(ft. ДС)-
- (т - 1) Тг 6т_а (Jm, m.a (А))' (дс) Л,

81 ГЛ. II. ГАУССОВЫ МЕРЫ
или, используя симметричность А:
em-l(Jm,m-l(A)'(*)(A, д))-
-= (m — 1) em_s (Jm_x, m_sJm, m_x (А)) (д;) (ft, ft);
6m (А)' (дс) - 6m_x (Jm, m_x (А)) (дс) +
+ (m - 1) {em-! (Jm_!, m_sJm, m_x (A))} (At) (x) -
- Tr j; , [6m_, (Jm_!, m_,Jm, m_x (А))]' (дс) -
Иа формул C.26), C.28) и C.29) вытекает следующий
результат.
Предложение 3.5. При Ат%м(<?Гв, Ж), Be
е Х[ъ(я%Г0, Ж) справедлива формула
\ (е*(А)(д),
X-
X (вм (J». *_, (A)) (At), 9;-, (J;>;-, (В)) (ДС)),} Ц (dx). Ш C.31)
Следствие 3.1. При тех же условиях выполняется
соотношение ортогональности
J 6kj-k\(A,B)k. C.32)
X-
Действительно, формула C.31) очевидна при /-«&«= О
и непосредственно следует из C.12) при/ = 0 и произволь-
произвольном k>0. Если предположить, что она доказана для
всех j<m и k<r, то
^ (вл_х (J,. л_! (А)) (ДС), бт_х (Jm, т_! (В) (ДС))
Х-
" , В)
я точно так же
(т-1)(г-1) $ (вгн(Л,./
•*-• (Jm, m+ (B))(x)),|i(dx) = втДг - 1) (т - 1) [г - 2)! (А, В),,
Складывая полученные выражения, приходим к требуе-
требуемому результату. ¦

« S. ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ И ОПВРАТОРЫ 89
Теперь мы уже можем отказаться от требования
конечномерности при определении 9„.
Теорема 3.6. Существует единственное отображение
сопоставляющее каждому полилинейному оператору А &
^Х\{<Ж, &?) измеримый полином 8„(А)(д;), определяемое
соотношениями
6„ (А) (д) - р (•_! (Jn, _! (А))) (дс) (п > 1).
При этом выполняется условие ортогональности
5 F, (А) (дс), 9j (В) {х))ж ц (dx) -6;ft • Л! (А, В) C.84)
и для симметричного А— формула дифференцирования
Доказательство. Обладающее требуемыми свойст-
свойствами отображение уже определено на плотном в Х\(рГ, Щ
множестве ?%> (о^Г, Ж), состоящем ив конечномерных опе-
операторов. Формула
S |вя(А)(*)8)Г»1(Лс)-п!с|(А), C.35)
ис-
исследующая ив C.S4), покааывает изометричность 8„,
позволяющую распространить это отображение с сохране-
сохранением перечисленных свойств на вев ?*(а?Г, §?). Единст-
Единственность следует из рекуррентности формулы C.33). ¦
Следствие 3.2. Пространство ^ = L2(s^T-, <?f, ц)
^.-интегрируемых в квадрате на «5Г_ функций со значе-
значениями в &С разлагается в ортогональную сумму
подпространств Л„»=б„(=5?" (<^"t ^))t состоящих из изме-
измеримых полиномов.
Ортогональность следует на C.34), а равенство из плот-
плотности в $ множества полиномов.

90 ГЛ. II. ГАУССОВЫ МЕРЫ
§ 4. Абсолютная непрерывность гауссовых мер
Г. Эквивалентность мер в произведении пространств.
Пусть на измеримом пространстве (X, Ш) заданы две меры
fii и fx2. Напомним, что мера ,и2 абсолютно непрерывна
относительно fij (fx2 <( fix), если всякий раз, когда fii (А) = 0
(А е 21), имеет место и равенство fi2 (А) = 0. Меры Цх и \i2
эквивалентны (fAi~fx2), если fx2 ¦< \it и fij <^ fx8.
Мы рассматриваем здесь только конечные неотрица-
неотрицательные меры. В этом случае ц2 <^ (.ii в точности тогда,
когда выполнена формула
$ D-1)
где р(х) — неотрицательная интегрируемая относительно ^
функция (плотность или производная Радона —Никодима),
или, что то же самое, формула
j / (х) ц, (dx) = $ f (x) p (х) fxj (dx) D.2)
при любой ограниченной измеримой функции f(x).
Противоположная ситуация возникает, когда меры
сосредоточены на непересекающихся множествах: сущест-
существует i4el, для которого }х1(Л) = [х1(Х), }ха(Л) = 0. Меры
fix и fig при 9том называют взаимно сингулярными (или
ортогональными: fij j_ fx2).
Хотя, вообще говоря, возможна и промежуточная
ситуация, мы сейчас рассмотрим важный для дальнейшего
случай, когда имеет место альтернатива: либо одна из мер
абсолютно непрерывна относительно другой, либо они орто-
ортогональны.
«о
Пусть X = Y\ Xk — бесконечное произведение измери-
мых пространств, на каждом из которых задана пара
неотрицательных нормированных мер Pk~Kvk с плот-
плотностями Р* (*) "* (^1 • Рассмотрим бесконечное произведе-
оэ со
ние мер ц =» J| ц», v - J][ v*.
Теорема 4.1 (Какутани [1]). В зависимости от того,
сходится или расходится к нулю бесконечное произведение
«*= J /р7ЫМ<1ха), D.3)

f 4. АБСОЛЮТНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ ГАУССОВЫХ МЕР 91
мера [I соответственно абсолютно непрерывна или сингу-
сингулярна по отношению к v. В первом случае последователь-
последовательность
п
М*)=ПР*(*) D-4)
* = i
сходится в среднем к интегрируемой функции г (х) =
= ]^[р*(я), которая является плотностью: г (х) = ' .*: .
Доказательство. Так как
(xk) vft (dxk)
xk
\ pk (xk) vk (dxk) = 1,
то произведение D.3) не может расходиться к бесконеч-
бесконечности. Если оно расходится к нулю, то существует после-
довательность Ра = XT а*> для котоР°й сходится ряд
00
У] Р,. Рассмотрим последовательность цилиндрических
множеств As=*lx: j\ р*(**)^=1>. Из оценки
s
Аг As s
п
в силу сходимости ряда ^ Р* следует, что
у(Л)-0 (А-ША,\.
\ s-*ca I
С другой стороны, если BS^X\А„, то
J П
ft P*(**)v

ГЛ. П. ГАУССОВЫ М1РЫ
), а значит, и(>
(lim As) = 1,
и потому ц (lim Bs
т. е. ц(Л) = 1, откуда следует, что jij_v.
Пусть теперь произведение D.3) сходится. Рассмотрим
последовательность цилиндрических функций ф„ (х) =•
Pk{Xk). Из соотношения
k=*l
П I П + р
Шр»(хк) у П р*Ы-1
I г ft-n + 1
v(dx)
п + р
П Р* (**)-!
следует фундаментальность последовательности фл(*)
в Lt(X, v). При этом последовательность rn = q>n сходится
в среднем, так как
п
(г-д + 1
/ п + р
= 2 1-П «*
[| Ф„+Р (х) | +1 Фл (х) \У v |
<2 |j | Фл+Р (х) - Фя(*) |« v(dx)\i/2m
Пусть /"(л:)=>« lim rn(x). Для любой ограниченной
П —*00
цилиндрической функции выполняется соотношение
, .... xn)rn(x)
*-1
J/(A:)rn
X
«lira J/(х)ra(x)v(dx)=\f(x)r(x)v(dx).
л-»оо х %
Аппроксимируя ограниченную измеримую функцию ци-
цилиндрическими, получим D.2) уже для любой такой
функции. ¦

I 4. ЛВСОЛЮТНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ ГАУССОВЫХ МЕР W
Применим доказанную теорему к рассмотрению вопроса
об абсолютной непрерывности гауссовых мер в произведе-
произведении прямых.
Пусть
^ 1 24
кУ2
dxk
В этом случае
р„(хк) = gexp{- 2^5[(**-Р« -(**-V*)**!]} D.5)
и, как показывают простые вычисления,
оо
(хк) vft (dxk)
Рассмотрим теперь отдельные частные случаи.
Предложение 4.1. Пусть Я*=~<х* (&=1, 2, ...).
Для эквивалентности гауссовых мер fx, v, отличающихся
лишь средним, необходимо и достаточно, чтобы выполня-
выполнялось условие
| fc^ D.7)
В этом случае плотность г(х) = ^— представима в виде
г(х) = limexp J —^ J^- . D.8)
Если условие D.7) нарушается, то меры [х и v opmo-
юнальны.
Доказательство. В рассматриваемом случае аА=»
¦д exp |— gpl } и сходимость бесконечного произведе-

94 ГЛ. II. ГАУССОВЫ МЕРЫ
ния D.3) эквивалентна сходимости ряда D.7). Формула
D.8) следует из D.4) и D.5). Так как меры \л, v в рас-
рассматриваемой ситуации равноправны, то из абсолютной
непрерывности следует их эквивалентность, щ
Предложение 4.2. Пусть pft = yfc = O. Тогда гаус-
гауссовы меры [х и v с нулевым средним эквивалентны точно
при условии
А — 1
случае
D.10)
Яры нарушении условия D.10) .меры fi ы v ортогональны.
Доказательство. В рассматриваемом случае ak »=
¦" v ~ггтг и сходимость произведения D.3), очевидно,
эквивалентна сходимости произведения
*—1 *-l
а значит, и сходимости ряда D.9). При этом из D.5)
следует D.10).
2°. Эквивалентность гауссовых мер, отличающихся
средним. Перейдем к рассмотрению гауссовых мер в гиль-
гильбертовом пространстве X. Пусть v="jiB — центрированная
гауссова мера с ядерным корреляционным оператором В
в X, [х*-фв, • — мера, полученная из нее сдвигом на эле-
элемент а €2 X. При исследовании абсолютной непрерывности
этих мер удобно представить их в виде произведения
одномерных.
Пусть {ek\ — ортобазис в X, оставленный из собствен-
собственных векторов оператора В:
со
Оператор Ш = (*ь хг, .... х„, ...), xk = {x, ek) уни-
унитарно отождествляет X с пространством /2. которое мы
будем рассматривать как часть его линейного расшире-

§ 4. АБСОЛЮТНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ ГАУССОВЫХ МЕР 95
л
вня R00. При этом проектор Рх= ^ (х, ek)ek переходит
В Рх = (Xi, X2, ..., Х„).
Образ гауссовой меры [хв — также гауссова мера fig
с корреляционным оператором B = U*BU, изображаемым
в /а диагональной матрицей \%j&/k|Г*=ь Поэтому конечно-
конечномерная проекция pj- B- этой меры имеет по отношению
к лебеговой мере в R" плотность
Точно таким же образом мере fxB, a сопоставляется
мера fig - с конечномерными проекциями, имеющими
плотность
Обе эти сосредоточенные в /а меры можно рассмат-
рассматривать в R°° как бесконечные произведения одномерных.
Их абсолютная непрерывность или ортогональность при
таком преобразовании не нарушается и
Теорема 4.2. Для того чтобы гауссова мера fxBlа,
полученная сдвигом на элемент а&X из центрированной
гауссовой меры fxB, 5&wa ей эквивалентна, необходимо и
достаточно, чтобы
aesB'/^X. D.12)
В этом случае плотность имеет вид
^?^1 ¦ exp {(B-4it дс) - \ S В-'/Ъ ||г}. D.13)
При нарушении условия D.12) меры \хв, 0 и ^в орто-
ортогональны,

96 ГЛ, II. ГАУССОВЫ МЕРН
Доказательство. Условие D.12) для а= ^
* = i
записывается в виде
^<оо D.14)
и в данном случае совпадает с D.7). Поэтому утвержде-
утверждения теоремы об эквивалентности и сингулярности следуют
из предложения 4.1.
Для доказательства D.13) остается заметить, что выра-
выражение
Нш
представляет собою измеримый линейный функционал
на X, и поэтому формулу D.8) можно переписать в виде
D.13). ¦
00
Замечание 4.1. Если В-^еХ, т. е. У г-|-<оо,
k=\
то производная г(х) непрерывна на X.
Замечание 4,2. Полезно переписать полученный
результат в других терминах, полагая, что Х = <$Г_гэ
гэ «г%"о ^ е^+ и и-~каноническая гауссова мера: В=1~, ,
Условие D.14) при этом означает, что а е &%"<>• Тогда
(о, х) — измеримый линейный функционал на X и
Отметим, что r(x)<^Lp(X, p) при любом
p
Ж-
Следствие 4.1. Пусть % —измеримое множество
положительной меры ii(%)>0 в о5Г_ и asa3To- ТогЗо
сдвинутое множество Ша — Ш-\-а также имеет положитель-

§ 4. АБСОЛЮТНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ ГАУССОВЫХ МЕР 97
ную меру.
ц (Ш + а) = { (xa (d*) = f exp {(*, а) -11| а |»} ц (dx) > О,
та/с ка/с подынтегральная функция всюду положительна.
3°. Эквивалентность гауссовых мер с различными кор-
корреляционными операторами. Нам понадобятся свойства
так называемых регуляризованных определителей, которые
мы сейчас кратко изложим, отсылая читателя за подроб-
подробностями к книге И. Ц. Гохберга и М. Г. Крейна [1].
Рассмотрим в X оператор вида A=I + S, и пусть
сначала S — конечномерный оператор, имеющий отличные
от нуля собственные числа*) %ъ ..., %п (перечисленные
с учетом кратности). Положим
А (А) = det A exp (— TrS) = f[ A + X,) е~ х/.
При помощи предельного перехода Л (А) распростра-
распространяется на все A = I + S с ядерными операторами S,
а Л (А) —на все A = J + S с операторами S Гильберта —
Шмидта, причем:
а) функция A (I -J- S) ограничена и равномерно непре-
непрерывна на ограниченных множествах в пространстве N
ядерных операторов и справедлива теорема умножения:
Л (I + SO Л (I + S.) = Л [(I + SO (I + S,)],
б) функция Д (I -)- S) ограничена и равномерно непре-
непрерывна на ограниченных множествах пространства Х\
операторов Гильберта — Шмидта и справедлива теорема
умножения:
Лемма 4.1. Для эквивалентности центрированных
гауссовых мер (J-b,. И-в2 в гильбертовом пространстве X
необходимо совпадение множеств Хв„ Хв, их линейных
измеримых функционалов. Если это условие нарушается,
то h-b.JlH-b..
*) Более точно, нужно рассматривать не пространство Xt а его
комплексификацию.
4 Ю. Л, Далецкай, С. В. Фомин

98 ГЛ. II. ГАУССОВЫ МЕРЫ
Доказательство. Первая часть утверждения, оче-
очевидно, следует из того, что переход к эквивалентной
мере не нарушает сходимости почти везде.
Пусть теперь Хв, ф ХВг и, следовательно, нормы
| X ]в. = (BjX, х) (/=1, 2) в X не эквивалентны. Поэтому
существует последовательность элементов {хп\ cz X, для
которой
1*л1в,-»-0 (я-»-оо), |х„1в,= 1.
Рассмотрим последовательность непрерывных линейных
функционалов (хп, х) на X. Так как $ | (хп, x)\*\iul(dx) —
х
= 1*п1в,-*» то из нее можно извлечь подпоследователь-
подпоследовательность (обозначим ее снова х„), сходящуюся к нулю
fiBt-почти везде. Линейное множество Х = \х: (хп, х)->0},
очевидно, измеримо для каждой из мер, причем ив, {%) = 1»
но ^Ва (<?¦) = 0, так как иначе было бы, в силу теоремы 3.1,
(iB! (<5f) = 1, что противоречит соотношению
\\(хп, x)?iLB,(dx) = lxn\\B,= l. ¦
X
Таким образом, при дальнейшем рассмотрении, исклю-
исключая заведомо сингулярный случай, можно предполагать,
что ХВ, = ХВ„ т. е. операторы В}/2В7'/2 и Вз/2ВГ1/2 огра-
ограничены в X. Иными словами,
B'/2 = SB,1/? = B11/2S*,
где S —ограниченный, обратимый в X оператор.
Проведем теперь преобразование, при котором мера \iBl
превратится в каноническую гауссову меру \i, иными
словами, примем <г%"- = Х, е5Г0 = В,1/2Х со скалярным
произведением (ф, ^H = (ВГ1/2ф, В~1/2-ф). При этом мера fiB,
будет иметь в качестве корреляционного оператора опе-
оператор 0 = 6267'= B,1/2S*SBr1/2 (ограниченный и обрати-
обратимый в е5Г0» так как В,1/2 унитарен из X в в/Т0):
¦5 I (х, Ф)о I2 цв, (d*) = SI (х, Вг'ф) |2 ив, (dx) =
х х
= (ВГ'В2ВГ1Ф, ф) = (В2ВГф,
Итак, мы приходим к рассмотрению пары и = И
^, Ж)) сосредоточенных в <Ж^ гауссовых

5 4. АБСОЛЮТНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ ГАУССОВЫХ МЕР 99
Предложение 4.3. Пусть C = I-fK, Ke
е X2 (<Ж0, е%) — обратимый оператор в <Жй. Тогда
мера ^с эквивалентна канонической \i = \i\ и
1
{eKW||KC'%H D-15)
Доказательство. Пусть {е^} — ортобазис в
составленный из собственных векторов оператора К.
Рассмотрим унитарное отображение
U: «?Г0->-/2: \3х = (хъ ..., хп, .
xk = (x, ek) (k = l, 2, ...).
Пространство о5Г_ отобразится при этом в R00, а меры
[A, \ic перейдут в произведения одномерных гауссовых
мер с плотностями
Условие D.9) имеет вид V ^ "t_?Z <oo и, как
легко видеть, эквивалентно условию 21Я,у[2<оо. Поэтому
/
(i^jic а значит, и [а^^с.
Выражение D.10) в данном случае принимает вид
/г (х) - lim rn (х) = lim ТТ A+КГ1/2ехр {- { х , )=
к 1
>00 Л >ОО
к =» 1
Легко проверяются соотношения
где Р„х= ^ (х,ек)ек и, далее,

100 гл. п. гауссовы меры
Таким образом,
и для завершения доказательства предложения нужно
перейти к пределу при п-^оо. Заметим для этого, что
ЛA + РЛК)->АA + К), а выражение под знаком ехр
сходится в 12(^Г_, Ц) к !е2(К)(х)-4||КA + К)-1/2*||2.
Поэтому существует сходящаяся почти везде подпоследо-
подпоследовательность, а поскольку заранее известно, что тп (х)
сходится в Li(s%^_, fi), мы получаем формулу D.15). ¦
Следствие 4.2. Пусть |iCl, И-с, — пара гауссовых
мер в с%"_ о ограниченными и обратимыми в е5Г0 корре-
корреляционными операторами Q, С2. Если K^Q — Qe
5?EГ %"
Действительно, можно провести замену переменных
так, чтобы после перенормировки пространства <Ж0 мера
Не, превратилась в щ, a \x,Ci в И-^ксг1' пРичем KQ1 е
( )
Теперь мы уже можем получить окончательный
результат.
Теорема 4.3. Пусть С=С*^0 — ограниченный в е5Г0
оператор, имеющий ограниченный обратный О1. Для того
чтобы сосредоточенная в е5Г_ гауссова мера ^с бьыа экви-
эквивалентна канонической (Аь необходима и достаточна пред-
представимость корреляционного оператора в виде С=1 + К,
J Ef 5f"
о» )
Яры нарушении этого условия меры \iQ и \i\ ортого-
ортогональны.
Доказательство. Достаточность следует из пред-
предложения 4.3.
Для доказательства необходимости заменим оператор С
оператором С + К (Ke^faTo, е5Го))» имеющим полную
систему собственных векторов (такой оператор К сущест-
существует в силу известной теоремы Неймана). При этом
Н-с + к~Н-о. После такой замены можно при помощи уже
использованного выше метода перейти к пространствам
последовательностей, в которых соответствующие меры
(Хо + к и P-i имеют диагональные корреляционные матрицы
с собственными числами соответственно Ц, о| = 1. В силу
предложения 4.2 для этих мер, а значит, и для и-с+к» И-с,

§ 4. АБСОЛЮТНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ ГАУССОВЫХ МЕР 101
имеет место альтернатива: они либо эквивалентны, либо
сингулярны, а условие эквивалентности принимает вид
оо
соотношения j * k~ ' <oo, которое означает, что
[(C+K^-Ilfc + KJ-'/^KieJP.^o, Wo), откуда сле-
следует представление С = 1 + К2, где K8 = Ki[(C-j-KI/4X
(I + (C + KI/2)I]if(^r ДГ)
)
Замечание 4.3. В приложениях бывают удобны
Не №)
другие формы выражения для плотности
Рассмотрим прежде всего оператор К = С~1 —I, который
так же, как и К, принадлежит ?г{яЖ'о, еЖ*0). Из очевид-
очевидного соотношения К + К + КК = 0 следует, в силу ядер-
ности К К, что
= - в, (К) (х) - в2 (КК) (х) - (К2 (I + К) х, х)
Используя формулу D.15), получаем выражение
г (х) - VK (С-1) ехр {- у 62 (С-1 - I) (*)}. D.16)
Пусть теперь S s Хг (э%, в%Г0) удовлетворяет соотно-
соотношению С^1 ^ (I + S*) (I + S). При помощи простого пре-
преобразования, использующего соотношения
TrS=TrS*. e2 (S) = е2 (s*),
из D.16) выводится формула
ехр {— 6.(S) (jc) — -i-1Sx|«}. D.17)
Замечание 4.4. Переформулируем результаты в тер-
терминах исходного гильбертова пространства X, в котором
сосредоточены центрированные гауссовы меры ^в,» И-в,
с ядерными корреляционными операторами Вь В2.
Пусть оператор ВГ1/2В2В7'/2 ограничен и обратим.
Тогда, в зависимости от того, является ли оператор
ВТ В2В7~1/2 — I оператором Гильберта — Шмидта или нет,
меры \iBl, ^в, эквивалентны или ортогональны. В случае

102 ГЛ. П. ГАУССОВЫ МЕРЫ
эквивалентности плотность выражается любой из следую-
следующих формул:
! {6, (В.ВГ'-!)(*)-
-((в2вг')(в2вг1-1)-1/Ч*)} =
) ехр {- { 62 (ВгВГ -1) Ц =
= А ((В2ВГ'Г '/2)ехр {- 62 ((В2ВГ'Г1/2 -1) (х) -
Замечание 4.5. При ядерном S формула D.17)
принимает более простой вид
r(x) = A(I+S)exp{-(SA:, дс) —1-
4°. Абсолютная непрерывность мер, получающихся
из гауссовых при некоторых преобразованиях простран-
пространства. Пусть у = Ф (х) — функция со значениями в про-
пространстве X с мерой fi, определенная в некоторой окрест-
окрестности UXt точки Хо s X и обратимая в окрестности точки
(/0 = ф(л;0). Тогда в Ux, Определена мера ^ф"'
Если / — непрерывная финитная функция с носителем,
содержащимся в Uyt, то
Пусть цф-<> и/(Ф; ^^^jff . Тогда выпол-
няется соотношение
^ / (Ф (*))/ (Ф; х) ц (dx) = $ Ш [1 (ф), D.18)
где интегрирование справа фактически ведется по окре-
окрестности иУа.
Рассмотрим последовательно несколько частных слу-
случаев.
а) Линейное преобразование. Пусть X = g%'*_, ii = iii —
каноническая гауссова мера, Ф (х) = х + Sx, где S —линей-
—линейный измеримый оператор в &/Г_, принадлежащий классу

§ 4. АБСОЛЮТНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ ГАУССОВЫХ МЕР ЮЗ
г^в, аЗГ0)- Мера ^ф~' в этом случае также гауссова
с корреляционным оператором (I + S)-1 (I + S*)-1.
Из теоремы 4.3 и замечания 4.1 следует, что (хф~'~|х
и
/(Ф; x) = A(I + S)exp{-e2(S)(x)--i|S*p}. D.19)
Пусть теперь Ф(х) = A+5)л: + а = Ф1л: + а (а е= аЯГ0).
Мера ^ф имеет тот же корреляционный оператор, что
и \1Ф^ и среднее —(I-J-S)-1*?. Поэтому (см. теорему 4.2)
Комбинируя полученное выражение с D.19), получаем
формулу
x)
D.20)
где 6 (S + а) (х) = 62 (S) (х) + 90 (а) (х) = 62 (S) (х) + (а, х).
б) Нелинейное преобразование в конечномерном про-
пространстве. Пусть X = W, Ф — дифференцируемое в окре-
окрестности UXa отображение, причем det Ф' (х0) Ф 0. Введем
вспомогательное линейное отображение z — C(x) =
= у0 +Ф'(хо)(х — х0) и нелинейное у = d B) = Ф (л:0 +
B — г/о))- В этих обозначениях Ф = СХС и
г
' (dx) ц (dx)
х=х„ |
= 1.
х=х„
„Со'сг1 (dx)
так как С( (Сх0) = I. и потому г-1
Ис {dx)
Используя формулу D.20), получаем выражение для
плотности
/ (Ф; х) = А (Ф' (х)) ехр {- (С (х) - х, х) - ~ \\ С (х) - х р} =
= &(Ф'(х))ехр\~ЦФ-1)(х)-~1Ф(х)-хГ}, D.21)
сначчла для х = х0, а затем и для х е f/Xo, поскольку точ-
точка х0 может быть заменена произвольной точкой х е UXo.
Напомним, что /(/) (x) = (f(x), x) — Тг/' (х) (см. замеча-
замечание 3.5).
в) Нелинейное преобразование в бесконечномерном про-
пространстве. Пусть снова X = a/f_, [i = v —каноническая

104 гл и, гауссовы меры
гауссова мера и отображение у = Ф (х) в окрестности
точки ХоееЗГ. имеет вид O(x)=x-\-S'(x), где S(x) —
функция, удовлетворяющая следующим условиям:
А —1) S — непрерывное и ограниченное отображение
окрестности UXo в пространство iff 0.
А — 2) В каждой точке х е UXa существует е5Г0 — произ-
производная S' (х) е Хг (е5Г0. е5Г0). причем S'есть непрерывное
и ограниченное отображение Их, в с5?а(е5Г0, е5Г0)-
А —3) Линейный оператор [I + S' (л:)] ограничен в с%
при xe=UXo.
Для исследования абсолютной непрерывности ^хф -<^ р,
воспользуемся конечномерными аппроксимациями.
Пусть Р — конечномерный ортопроектор в е%" со зна-
значениями в W (Ре^ и Q = l —P). Рассмотрим отобра-
отображение
Ф(Р) (*)-* + PS (*о + Р (х - х0)).
Представим меру ц в виде произведения ц =
соответствующего разложению пространства
= Ра^Го + е^Г^ (см. B.12)). Сужая при необходимости
окрестность UXo, можно считать ее произведением окре-
окрестностей проекций Рхо е Ре^Го и Qxo ^ «2Г1-Г' точки л:0:
Uxo = Upx<,xUqXo. На этом произведении отображение Ф^,
как легко видеть, эквивалентно паре преобразований
<р> (р> <р>)
ФРР) (Ра;) = Ра; + PS (а;„ + Р (х - х0)),
Первое из них конечномерное, второе — тождественное.
Поэтому изучение свойств Ф(Р) сводится к изучению
свойств конечномерного преобразования ФрР) в простран-
пространстве Ре5Г0.
Прежде всего заметим, что ФрР)' (Рх)\х^Хс: = Р + PS' (а:0)Р.
Этот оператор обратим в Ре5Г0. если обратим в е5Г0 опе-
оператор I -f- PS' (а:0) Р. Из А —2) и А —3) следует, что это
свойство выполняется, если Р достаточно хорошо аппрок-
аппроксимирует I, так что о2 (PS'(а:0) Р — S'(а:0)) < е. Из фор-
формулы D.21) при этом получается
s= А A + PS' (Рдсо) Р) exp |- I (PS) (дсо) -11 PS (дсо) f}.

5 4. АБСОЛЮТНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ ГАУССОВЫХ МЁР 105
Эта <+ормУла справедлива и в некоторой окрестности
точки х0, в точках которой оператор I+S'(xo) обратим.
Для функций / с носителем в этой окрестности и отобра-
отображения ФР формула D.21) принимает вид
X
X ехр {- / (PS) (х) - ~ | PS (х) |»} ц (dx) =.
= $ f(x)p(dx). D.22)
М-
Дальнейший шаг состоит в том, чтобы сделать в D.22)
предельный переход при Р-»-1.
Из А—1) и А —2) и оценки C.271) следует средне-
среднеквадратичная сходимость
Поэтому существует последовательность Р„, для кото-
которой подынтегральное выражение в левой части D.22) схо-
сходится почти везде в U к /(Ф(л:))/(Ф; х), где
Остается проверить выполнение какого-нибудь усло-
условия, дающего возможность сделать предельный переход
под знаком интеграла.
Предложение 4.4. Имеет место оценка
где С = sup {Д [(I + S'3 (xj) (I + 2S' (л;))-1] e«s «) «•}.
Доказательство. Используя свойство определи-
определителей и тот факт, что S' (I + 2S')-1 s N, при помощи
непосредственного подсчета получаем соотношение
e) A(I + 2S')
= Д [(I + S'3 (x) (I + 2S' (*))-*)] errswiC, D.23)
которое и доказывает предложение. ¦
Теорема 4.4. Пусть функция O(x)^=x-{-S(x) удов-
удовлетворяет в окрестности Ux, точки х0 е ^Г_ условиям

Юб ГЛ. II. ГАУССОВЫ МЕРЫ
А — 1), А — 2), А —3). Тогда в этой окрестности меры ц,ф~*
и и эквивалентны, причем плотность f (Ф; х) = ^ ,^*'
интегрируема в квадрате по ИХа и представима в виде
? (Ф; х) = А A + S' (х)) ехр {- / (s) (х) - \-1 Sx f}. D.24)
Доказательство. Для отображений ф(рл) (х) =
= x-\-PnS(Pnx) утверждение доказано. Из D.22) следует
при /si, что $ /(Ф'Р/1^; х)ц(йх)^\, и потому, в силу
полученной в предложении 4.4 оценки, $ |/(Ф'Рл^, х)\*х
иХо
Xи(dx) sgconst (л=1, 2, ...). Этого достаточно для обо-
обоснования предельного перехода при п-+оо в D.22).
Интегрируемость в квадрате ^(Ф; х) следует из леммы
Фату. ¦
Следствие 4.3. Если в условиях теоремы дополни-
дополнительно S' (х) е N (вЗГ0. е5Г0). /"о
/(ф; ;c) = A(I + S'(Jf))exp{-(SU), *)--L|Sxp}. D.25)
Замечание 4.6. Переформулируем полученные ре-
результаты в терминах гауссовой меры цв с невырожден-
невырожденным ядерным корреляционным оператором В в гильбер-
гильбертовом пространстве X.
Пусть Ф (х) = х -f- S (х) — отображение, определенное
в окрестности UXa пространства X, удовлетворяющее сле-
следующим условиям:
А—1) Функция Л(х) = В-'/2S(x) — непрерывное и огра-
ограниченное отображение окрестности UXo в X.
А — 2) Функция Л (х + В^2у) дифференцируема вдоль X
по у при каждом хтХ и С (х) =Л' (х) В1/2 — непрерыв-
непрерывное и ограниченное отображение UXo в %г{Х, X).
А — 3) При х s ?/*, оператор [I + С (х)]-1 ограничен в X.
Тогда в окрестности Ux, цф1 -< ц и справедлива фор-
формула
/ (Ф; *) - ? (I + С (х)) ехр {-О/2 (Л) (*) —i-1Л (дс) р},
D.26)
где t^-i/2 (Л) (х) — измеримый линейный функционал (см.
замечание 3.6), являющийся расширением функционала
(Л(л:), В '%) — ТгС(х), определенного при х^&в-\/2.

§ 5. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ — ВИНЕРА 107
Если при этом функция B~1S(x) = B-i/2A(x) непре-
непрерывна и С (х) е N, то
/(Ф; х) = А[1 + С(х)]ехр{- (В
D.27)
§ 5. Преобразование Фурье — Винера
1°. Преобразование Фурье по гауссовой мере. Рассмот-
Рассмотрим преобразование Фурье
/(©)= $ f(x)e«*'«ii(dx) E.1)
для функции /e^ = L2(s5f_, R1, ц.) по канонической
гауссовой мере ц. Оно определено при со е s5T0. так как
в этом случае (со, х) — измеримый линейный функционал
на s5f_. Простое вычисление показывает, что
1/(<о)|<1/Ь. 1/~(»2)-/ЫК1/|^|(о2-(ох!о. E.2)
Определение 5.1. Назовем преобразованием
Фурье —Винера функции /еф определенную на %"
^ '
функцию / (со) = / (со)
Предложение 5.1. Если f(x) = f(Px) (Ps^5) —
цилиндрическая функция, то функция f также цилин-
дрична:
/(со) = ?(Р(о) = Д1|Рй>117(Рсо) E.3)
и, следовательно, продолжается как цилиндрическая функ-
функция на е%"-.
Доказательство. Используя B.12), выводим
/ (со) = \ f (Pa;) exp {i (Рх, со) + i ((I - Р) х, со)} ц №) =
l«J
/(Рсо),
откуда и следует E.3). ¦
Предложение 5.2. Пусть /еф, gP((o) = /(Pco).
Имеет место следующая формула обращения преобразова-

108 гл. п. гауссовы меры
ния Фурье — Винера:
f(x) = limgP(-Px).
p-i
Доказательство. При помощи B.12) получаем
х е' Vх- Ри) г— е 2;'Рх Pd (Px).
Это показывает, что преобразование Фурье функции
ц(Ф). есть ^(wN 2 • Обращая преобразова-
преобразование Фурье по конечномерному пространству Ps5T, нахо-
находим
р)(и = ^=Д||Рдг|1> С ^p((o)e"l
у Bя)" J
PJSf
=^Р(—Рд;). E.4)
Остается воспользоваться предложением 3.1, из которого
следует, что
/() li/<P>(x) (mod(i). ¦
p-i
Замечание 5.1.. Пусть функция f(co) распростра-
распространяется на «¦%"- так, что в E.4) возможен предельный
переход под знаком интеграла. Тогда
e2-|W|! J /(со)
E.6)
Если функция f(x) равномерно непрерывна на
эта формула однозначно определяет ее при всех х е

§ Ъ. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ - ВИНЕРА
109
В частности, сказанное справедливо для цилиндриче-
цилиндрической функции /, так как в этом случае и / цилиндрична.
Введем в рассмотрение класс функций, для которых
преобразование Фурье — Винера обладает более естествен-
естественными свойствами. Пусть \а\ — гауссова мера в е%"_ с кор-
реляционным оператором
2 \ }
Рассмотрим гильбертово пространство $, состоящее из
функций, для которых
\fh=
(<**)
<оо.
Это пространство содержит класс G борелевских функ-
функций, подчиняющихся оценке
1
Линейное множество G, очевидно, плотно в .§.
Теорема 5.1. Преобразование Фурье —Винера про-
продолжается до унитарного в -?h оператора f=U/, так
J
что выполняется равенство Парсеваля
E.6)
Обратное преобразование дается формулой
(U-V) (*)=/(-*)•
E.7)
Доказательство. Пусть сначала f(x) = f(Px) —
цилиндрическая функция класса G. При этом /<р> (х) =
fi
и, как показано при доказательстве предложе-
предложения 5.3, преобразование Фурье функции f(Px)e 2
в пространстве Ре%" равно /(со)е ^ Q". Поэтому выпол-

НО ГЛ. П. ГАУССОВЫ МЕРЫ
няется равенство Парсеваля
dx= {
РЖ РЖ
которое после замены переменной принимает вид
РЖ " ' РЖ
эквивалентный в силу цилиндричности функций / и }
формуле E.6). Таким образом, определенный на плотном
в ^i/2 множестве оператор U изометричен. Поэтому он
продолжается с сохранением изометричности на все ^i/2.
Точно так же показывается, что аналогичными свойствами
обладает оператор Vf{x) = }{—х). Из замечания 5.1 сле-
следует, что на плотном множестве, состоящем из цилиндри-
цилиндрических функций, выполняется равенство UV = VU=I,
которое по непрерывности продолжается на все простран-
пространство. ¦
2°. Преобразование Фурье — Винера целых функций.
Пусть <?%"- — комплексная оболочка вещественного гиль-
гильбертова пространства е%"_, т. е. ортогональная сумма
двух экземпляров этого пространства, элементы которой
записываются в виде z = x-\-iy (x, jej1.) с нормой
yf
Обозначим через Га класс функций f(z), определен-
определенных на а%"_ и обладающих следующими свойствами:
а) f(x + Xy) — целая функция комплексной переменной
X при каждых х, у е s5f_;
б) выполняется оценка \f(x + ky) |< Де^х+^Ш при
некотором А =А/>0.
Отметим, что если /еГа (а<1/4), то при фикси-
фиксированном у имеем fky (x) = f(x-\-ky)^ G.
Введем интегральное преобразование
*f(K У)= \ f(x + Xy)ix(dx) (yeJ.). E.8)
X-
Очевидно, что при /еГа (а<1/2) функция Ff(k, у)
определена и принадлежит классу Гаа|^, для а< 1/4 и
классу G при i*'-=sl, а<1/4. Прео^оазование E.8)
оставляет инвариа^ШаШ класс I\o= f ^ л.
о>0

§ 5. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ-ВИНЕРА , 111
Предложение 5.3. Преобразование E.8) для функ-
функций класса Га при X = i совпадает с преобразованием
Фурье — Винера
. E.9)
Если f еГа, то имеет место формула обращения
f (х) = Ft (-1, х) = \ f(y~ ix) v (dy) (x e Ж.). E.10)
Доказательство. Рассмотрим Ff(k, у) при у&
ее9Г0, и пусть сначала ^>0. Тогда, в силу D.13),
имеем
-V.
Функции, стоящие в левой и правой части равенства,
определены при комплексных значениях X и аналитичны.
Это легко следует из оценок, которым подчиняются под-
интегральные выражения. Они совпадают при ^>0,
а значит, и при всех комплексных К. В частности, при
k=i получаем E.9) для t/es5T0- Если / — цилиндричес-
цилиндрическая- функция, то обе части равенства в E.9) цилиндрич-
ны, а потому продолжаются на <Ж- с сохранением
равенства. Таким образом, операторы F/ и U/ совпадают
на плотном в $ множестве цилиндрических функций.
Рассмотрим для /еГа аппроксимирующую последователь-
последовательность цилиндрических функций fn(x) = f(Pnx). Эта по-
последовательность имеет общую мажоранту и потому, как
легко проверить, в пространстве ^i/2: F^-^F/, U/n-^-U/.
Переходя к пределу, получаем E.9) в общем случае. Так
как все рассуждения применимы и к f, то формула E.10)
следует из E.7). ¦
3°. Связь преобразования Фурье —Винера с ортогональ-
ортогональными полиномами.
Теорема 5.2. Пусть А<=%%(<&Г, Ж). Тогда
С E.11)

112 ГЛ. II. ГАУССОВЫ МЕРЫ
Доказательство. Пусть сначала А е X \
и, следовательно, функция А(л:) = А(л:, .... х) цилиндрич-
на. Покажем, что при этом формула E.11) справедлива.
Для этого достаточно показать, что
ея (А) (*)-*» ] A(y)e-«*'*ii(dy)e*M'
X-
(х <= а%^о)- E.12)
В силу линейности последнюю формулу достаточно
проверить для операторов вида А (х1( .... х„) = (хи фх)...
... (хп, ф„) г|з (ф^ е s5f0. i|J s e^1), а это можно сделать
путем проверки (простой подстановкой) того, что правые
части E.12) удовлетворяют рекуррентным соотношениям
C.27), однозначно определяющим 9„. Таким образом, для
цилиндрических операторов установлена формула E.12),
а вместе с ней получающаяся из нее путем обращения
формула
= i»A(jc, ..., х). E.13)
Пусть теперь As^J («¦%", SfC) и А = lim Aft, kk e
ft-* 00
ei?J0(s5r, Ж"). Легко видеть, что в E.13) можно про-
провести почленный предельный переход, что и доказывает
E.11). ¦
Следствие 5.1. Пусть AnJe= ?%(<№., R1) (/=1,
2,...; п = 0, 1, ...) —двойная последовательность операто-
операторов, для которой {9„(А„,/)(*)} —полная ортонормирован-
LEf
ная система в L2(s5f_, R , М-).
Из E.13) следует, что при 1тХ =
Я салг/ аналитичности по к левая и правая части сов-
совпадают при всех X, поэтому при Х = — i получаем соот-
соотношение
9я(А)(х) ехр{(х, y)-~lyf}^(dx) = A(y у),
Х-

$ в. КОМПЛЕКСНЫЕ ГАУССОВЫ КВАЗИМЕРЫ 113
которое влечет при каждом у е э% ортогональное раз-
разложение в Ьа(®%Г-, R1, fx):
(*¦ у)-~ fjff ^
е 2 =2jAn.j(y y)Bn(kltj)(x).
Замечание 5.2. Легко видеть, что полиномы
в„ (A)(x]/2) ортогональны в пространстве $i/2. Из
предложения 5.3 следует, что образом полинома при
преобразовании Фурье —Винера является полином, но
в силу унитарности этого преобразования в Jfrip соотно-
соотношение ортогональности не должно нарушиться, а потому
и, как нетрудно проверить, Cn=*in.
Таким образом, для функции ge^i/г преобразова-
(X \
—= =
= 2] СпА (Kij) (X), ТО
§ 6. Комплексные гауссовы квазимеры
1°. Интегралы Фейнмана. Пусть В —симметричный,
положительный ((Ех, х)>0, хфО) с плотной областью
определения ^в оператор в гильбертовом пространстве X,
Рассмотрим зависящую от комплексного параметра г функ-
функцию x(z, 9) = exp|--|-(B9, 9)| (ве^в, RezSsO). Вну-
Внутри правой полуплоскости (Re2>0) она абсолютно инте-
интегрируема по 9 по любому содержащемуся в J^b конечно-
конечномерному подпространству РХ = Хр. При этих условиях
функция x(z, 9) определяет в X квазимеру |хгВ, для
которой она служит характеристическим функциона-
функционалом.
Далее мы будем считать В ограниченным (&В=*Х).
Из предложения 1.3.4 следует
Предложение 6.1. Для каждой функции вида f (*)=¦=
„ ^ енх, 6) v (^9), где v — комплексная мера (J v \ < об),
х

314 • гл. п.гауссовы меры
'существует интеграл
Ц*в (dx) = lim $ / (Р*) И<рв> (dx) =»
¦X
- -T^-"v(de) (Rez>0). ¦ F.1)
-~(ВО.в)
Особенно интересен случай Rez = 0; достаточно рас-
рассмотреть z = i.
Квазимера viB называется фейнмановской.
Конечномерное распределение
'х' *>} <6-2>
при этом лишь локально интегрируемо в ХР и потому
не имеет характеристического функционала в обычном
понимании этого слова. Однако функция ехр|— -^ (Врб, 0)>
'представляет собою преобразование Фурье распределения
(F.2) в классе обобщенных функций. Соотношение
\
Хр
остается при этом справедливым для функций f(x), ин-
интегрируемых по каждому конечномерному подпростран-
подпространству Хр. Поэтому имеет место ослабленный вариант
предложения 6.1.
Предложение 6.2. Если в условиях предложения 6.1
$ |/(P*)|dx<oo (РеП
хР
то формула F.1) сохраняется и при Rez = 0. ¦
Другой подход связан с изменением самого смысла
интеграла по квазимере |Д-ш- Положим по определению
\f(x) |хш (dx) = lim \f (x) |хгВ (dx), F.3)
x *"' x
если предел существует.
Поскольку в условиях предложения 6.1 функция в пра-
правой части F.3) аналитична внутри правой полуплоскости
и непрерывна на ее границе, предельный переход при
z-^i в этой формуле корректен. Поэтому в условиях
предложения 6.1 интеграл F.3) существует и справедлива

§ 6. КОМПЛЕКСНЫЕ ГАУССОВЫ КВАЗИМЕРЫ 115
формула
lf(x)VLiB(dx)=\e-^h6'\(dQ). F.4)
X X
2°. Интегрирование аналитических функционалов. Рас-
Рассмотрим теперь другой класс функций, для которых су-
существует интеграл F.3). Пусть X = X-\-iX — введенное
в § 5 комплексное расширение пространства X. Рассмот-
Рассмотрим функцию /(г), определенную на элементах вида г =
' **%х, ^gF, V = h = pelv, 0<v<jl и удовлетворя-
удовлетворяющую условиям:
В—1) f(Xx) непрерывна относительно ieX при l,eF;
В—2) f(Xx) аналитична по X в области V при каждом
леХ и непрерывна вплоть до границы (за исключением,
возможно, ^.= 0);
В—3) выполнена оценка
//(хв1^) j<Се<А«-*>»«а»v+*wф(|х|) (A<B-X), F.5)
где ф(|#|) ограничена и интегрируема в любом конечно-
конечномерном пространстве, a /B_ffi х\ -*• 0 при Цл:||-»-оо равно-
равномерно на сфере в любом конечномерном пространстве.
Теорема 6.1. Для функции f(x), удовлетворяющей
условиям В—1), В—2), В—3), существует фейнмановский
интеграл и имеет место формула
'x)llB(dx). F.6)
Доказательство. Пусть Р ж 0\ Вр = РВР. Рас-
Рассмотрим следующие интегралы по пространству ХР:
I
detl
и
/ (ftPx) ц,вР (dx) =
p

Пб ГЛ. II. ГАУССОВЫ МЕРЫ %
Простая замена переменной показывает, что они сов-
совпадают при ^>0. Подынтегральные выражения при каж-
каждом х аналитичны по к в области V и непрерывны в V\0.
Покажем, что подынтегральные выражения мажорируются
равномерно относительно X в области Vm^V (]ЫеХг^>
^ —, |Х|^-2"> (т»»1,2, ...) интегрируемыми функциями.
При этом оба интеграла будут представлять аналитические
в уут = 1? функции, и из совпадения их при
т
следует совпадение в области V.
Имеем при X s Vm
при достаточно большой |д;|.
С другой ствроны,
W ~ (В?х, х)}
«^ Схф (|| л: ||) exp {(APx, x) — (l —е)(Вр1х, л;)}<С2фAд:|)
при достаточно больших х е Хр, так как в конечномер-
конечномерном пространстве из АР<Вр' следует, что АР<
<( 1—е)Вр' при достаточно малом е>0.
Итак, при к е V
$ /(Р*)|и-вр (dx)= \ f(kPx)\nBp (dx)= ]f(XPx)]LB(dx).
Хр Хр X
Но из непрерывности / по х и оценки F.5) следует, что
в правой части можно перейти к пределу при Р-*-1.
Таким образом, при ^еУ существует
J / (х) Н'в (dx) = lira \f (Px) |iVBp (dx) = J / (Xx) |iB (dx).

5 6. КОМПЛЕКСНЫЕ ГАУССОВЫ КВАЗИМЕРЫ П7
Остается заметить, что правая часть непрерывна по к
в У, в частности, при J,= iel/, а следовательно, суще-
существует
\ f (х) |1,в (dx)~= lim $ /(х) цмв (Л) = J/ [е* х)цв (dx).
х *¦*-•'х х
3°. Вычисление некоторых фейнмановских интегралов.
а) Пусть f(x) = F((x, фх) (л;, ф„)), ifjeX (A =
= 1, ..., п), где F (хь ..., хп) — интегрируемая в R"
по гауссовой мере функция. Отображение х-*-(хъ ...
..., хп) (хк — (х, фа)) переводит X в R", а квазимеру
с корреляционным оператором Х2В в комплексную гаус-
гауссову квазимеру в R" с корреляционной матрицей №ВП »=
= Х21(Вф/, ф*)[. Поэтому
5 F ((х, фО, ..., (х, Ф«)) М-ш (dx)» J
X Rn
f F (^ yn)e~ w (B»*- *>л,.
Hm
В частности, Je<a'дс)(хх«в(<^;) = б2 ' » и переходя
х
к пределу при Xs-И, получаем
p....,
~(Ва, а)
б) Функция (Ах, x)m при подстановке вместо х вели-
величины Ял превращается в функцию Х2т(Ад:, x)m, удовлет-
удовлетворяющую нужным условиям при ф (х) = (Ах, х)т х
X ехр {— V{B~lx, x)}. Поэтому
J (Ах, хГ |хш (dx) - f J
X X
в частности,
J (Ах, х) |д,ш (dx) = i Tr AB;
J (Ах, xf |хш (Лс) - - {[Tr AB]8 + 2 Tr (AB)*}.
x
в) Функция /(x) = exp {f(AiX. x) — (A2x, x)} при At =
«A*, Aa2s0 удовлетворяет условиям теоремы 6.1

118 ГЛ. II. ГАУССОВЫ МЕРЫ
Поэтому
I f (X) |1,в (dx) = $ в-<Ал *)-«А,«. дс^в (<&) =
= {det [I + В1/» (Ai+ iA2
если А1>В-1/2.
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
И ИСТОРИЧЕСКИЕ КОММЕНТАРИИ
к главе И
Исторически первой была изучена специальная гауссовская мера
в пространстве непрерывных функций — винеровская, построенная
Винером еще в 20-х годах (Н. Винер [2]). Это было сделано в боль-
большой серии работ Р. Камерона, В. Мартина и их сотрудников. Ана-
Анализ некоторых аспектов этих работ и их ощсание можно найти в
статье И. М. Гельфанда и А. М. Яглома [1] и обзоре И. М. Коваль-
чика [1].
Общее понятие гауссовой меры в бесконечномерном пространстве
(банаховом) было введено в 1935 г. А. Н. Колмогоровым [2] при
помощи определенного в этой же работе характеристического функ-
функционала. Описание гауссовых мер в гильбертовом пространстве при
помощи ядерных операторов (теорема 2.1) было получено Э. Мурье [1].
И. Сигал [3] рассматривал линейные преобразования канонической
гауссовой цилиндрической меры в гильбертовом пространстве. Про-
Продолжая эти исследования, Дж. Фельдман [1] и независимо Я. Гаек
[1] установили, что гауссовы меры в гильбертовом пространстве могут
быть либо эквивалентны, либо сингулярны, получили условие экви-
эквивалентности (см. теорему 4.3) и формулу для плотности в случае,
когда корреляционный оператор удовлетворяет условию Тг (С— I) < оо.
Вслед за этим Сейдмен рассмотрел абсолютно непрерывные линей-
линейные, а Л. Гросс [5] — нелинейные преобразования канонической гаус-
гауссовой меры в гильбертовом пространстве
В последующие годы теория преобразований гильбертова прост-
пространства с гауссовой мерой развивалась, уточнялась и детализирова-
детализировалась многими авторами. Мы укажем лишь на наиболее важные работы,
в которых имеются и дальнейшие ссылки: И. И. Гихман и А. В. Ско-
Скороход [2, 3], Ю. А. Розанов [1], А. В. Скороход [1, 4].
Наиболее общие результаты по поводу нелинейных преобразований
гауссовых мер получены А. В. Скороходом [4] (который не ограничил-
ограничился гауссовыми мерами) и Р. Реймером ]1]. Приводимая нами теорема
4.4 представляет собою адаптированный на случай гильбертова
пространства вариант теоремы Реймера. Наше изложение основыва-
основывается на теореме Какутани [1] и использует свойства измеримых
функционалов.
Измеримые линейные и полилинейные функционалы для бесконеч-
бесконечномерных пространств с мерой рассматривались в работах А. М. Вер-
шика [2, 31, О Г. Смолянова [11, Г. Е. Шилова и Фан Дык Тиня
[1], Ю. А. Розанова [1], И. И. Гихмана и А. В. Скорохода [3],
А. В. Скорохода [4].

ЗАМЕЧАНИЯ И КОММЕНТАРИИ 119
Ортогональное разложение пространства функций, интегрируемых
в квадрате по гауссовой мере, было для винеровской меры построено
разными способами в работах Р. Камерона и В Мартина [1] и К. Ито
[6] (см. также Н. Винер |1]). Для общих гауссовых мер оно рассмат-
рассматривалось А. М Вершиком [1].
Наш подход к этому разложению основан на использовании фор-
формул интегрирования по частям по гауссовой мере Простейшая из
них, формула C.15), была получена в одном из вариантов Р. Каме-
Камероном [2], позднее, в других вариантах, М. Донскером [1] и Е. А. Но-
Новиковым [2].
Излагаемые здесь формулы были получены в работах Ю. Л. Да-
лецкого и С. Н. Парамоновой [1, 2] в связи с исследованием
стохастических интегралов по произвольным гауссовским случайным
процессам (по этому поводу см. также работу А. В. Скорохода [5]).
Преобразования Фурье— Винера специально для меры Винера
ввели Р. Камерон и В. Мартин [2]. Эти работы были развиты и
обобщены Р, В. Гусейновым [1, 2] и В. Г. Гаджиевым [1].
По поводу фейнмановских интегралов см. также комментарии к
главам I и VI. Абстрактная гауссова квазимера с комплексным па-
параметром в гильбертовом пространстве была введена в работе Ю. Л. Да-
лецкого и В. В. Стремского [1]. Метод интегрирования аналитических
функционалов обобщает результат Р. Камерона и В. Мартина [2],
относящийся к фейнмановским интегралам в узком смысле слова,
получающимся путем аналитического продолжения винеровских.
Теория интегрирования по абстрактной «мере Фейнмана» недавно пост-
построена С. Альбеверио и Р. Хёг-Кроном [1]и на другом пути А. В. Уг-
Углановым [5].
Цилиндрическая гауссова мера (неотрицательная) всегда может
быть продолжена до сг-аддитивной меры в некотором гильбертовом
пространстве. Однако часто бывает полезным изучение более узких
банаховых пространств, на которых она сосредоточена.
Л. Гросс [1] начал изучение этого вопроса, введя понятие абст-
абстрактного винеровского пространства. X. Сато [1] показал, что каждая
гауссова мера в сепарабельном или рефлексивном банаховом прост-
пространстве может быть реализована как абстрактная мера Винера.
Развитию этого направления были посвящены работы В. Гудмена [1],
Р. Реймера [1] (который именно в этих терминах построил теорию
преобразования гауссовых мер), X. Куо [1] и других авторов. В кни-
книге X. Куо имеется достаточно полное изложение некоторых аспектов
этого направления.
Другое направление исследований гауссовых мер в банаховых
пространствах, основанное на понятиях корреляционной теории, бы-
было начато в работах Н. Н. Вахании [1] и продолжено С. А. Чобаня-
ном и В. И. Тариеладзе [1].
Укажем, наконец, на глубокие исследования А. М. Вершика и
В. Н. Судакова по различным вопросам теории меры в бесконечно-
бесконечномерных пространствах, в ряде аспектов относящиеся и к гауссовым ме-
мерам (А. М. Вершик [2, 3], В. Н. Судаков [3], А. М. Вершик и В. Н. Су-
Судаков [1]).

ГЛАВА III
МЕРЫ В ЛИНЕЙНЫХ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ
ПРОСТРАНСТВАХ
Эта глава посвящена рассмотрению неотрицательных
цилиндрических мер в линейных топологических прост-
пространствах. Излагаются условия ст-аддитивности (обобщения
теоремы Минлоса —Сазонова), условия слабой компакт-
компактности мер (обобщение теорем Леви и Прохорова), а также
условия слабой полноты пространства мер.
В качестве приложения мы получаем некоторые ре-
результаты спектральной теории операторов в гильбертовом
пространстве типа теоремы Стоуна
Изложение непосредственно опирается на некоторые
результаты главы I, при этом существенно используются
сведения из теории линейных топологических пространств,
приведенные в приложении к главе I.
§ 1. Условия ст-аддитивности
неотрицательных цилиндрических мер в пространстве,
сопряженном к локально выпуклому
1°. Достаточные условия ст-аддитивности. Сильная ре-
регулярность. Рассмотрим неотрицательную цилиндрическую
меру цв X' (ограниченную квазимеру). Напомним, что
она описывается совокупностью согласованных между
собой неотрицательных конечномерных распределений
|i(*1' х* х") (*!, хг, ..., j;,sX) в конечномерных прост-
пространствах Х^ *п\ которые без ограничения общности
можно считать гильбертовыми.
С другой стороны, цилиндрическая мера \л однозначно
определяется своим характеристическим функционалом
оо
^ (х) = I в«<*. Лц (ф) = I е<у" №),
X' —оо
который представляет собою положительно определенную
функцию на X, непрерывную в нуле вдоль каждого
конечномерного подпространства X czX.

5 1. УСЛОВИЯ 0-АДДИТИВНОСТИ 121
Без ограничения общности можно считать, что (х(Х')=1
1
и Хи()
В главе I было показано, что цилиндрическая мера
имеет ст-аддитивное продолжение в некотором линейном
расширении пространства X', состоящем фактически из
некоторой совокупности функций на X (не обязательно
являющихся линейными непрерывными функционалами).
Здесь будут указаны дополнительные условия, при кото-
которых эта ст-аддитивная мера сосредоточена в X'.
Установим сначала некоторые вспомогательные
результаты.
Предложение 1.1. Пусть \л — неотрицательная
мера в R", Хц (9) — ее характеристический функционал, А,
В — неотрицательные операторы в R". Если на множестве
{у е R"i (Ay, у) «S 1} выполняется неравенство
то
И*еКл: (Bx,
Доказательство. Не ограничивая общности можно
считать, что с=1. Пусть vB — гауссова мера в R", для
которой
Так как из (В*, д:) ~5* 1 следует оценка
то можно записать цепочку соотношений
ц{х: (Вх, х)^1} =
х)>1
=тйтRe
A.2)

122 ГЛ. III. МЕРЫ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Заметим теперь, что при рассматриваемых условиях
(Аи, У)
и, кроме того, в силу II.2.6
{Ay, y)>\ (Ay, у
<2$(Ar/,
R"
Складывая эти соотношения и учитывая A.2), получаем
требуемое. ¦
Предложение 1.2. Пусть X—конечномерное ли-
линейное пространство, Y = Х' — его алгебраически сопря-
сопряженное; р, q — гильбертовы преднормы в X, удовлетворяю-
удовлетворяющие условию р (х) sg Cq (х) (х е X), г|>р, q — каноническое
отображение Xq на Хр.
Пусть fx — нормированная неотрицательная мера на
борелевской а-алгебре пространства Y, удовлетворяющая
условию
Тогда для каждого г>0 мера дополнения к поляре
множества S(q, r) = )xeX: q (х) < г} подчиняется оценке
где а^—норма Гильберта —Шмидта.
Доказательство. Введем в X скалярное произве-
произведение следующим образом. Отождествим Xq с каким-ни-
каким-нибудь прямым дополнением к Nq и пусть Q? —проектор
на Xq, соответствующий разложению
Х = N 4- X A 4)
Положим
где (•, -^ — скалярное произведение в Xq, порождающее
норму q, (•, -)о — какое-нибудь скалярное произведение
в Nq.
Пусть р{х) = \кх\\, где А —оператор в X (без ограни-
ограничения общности неотрицательный). Имеет место аналогии-

§ 1. УСЛОВИЯ ст-АДДИТИВНОСТИ 123
ное A.4) разложение X = Np-\-Xp, где Np=N{k)zDNq
и Хр = Ш (А) _]_ Np. Оператор ^pq при этом есть оператор
ортопроектирования Xq на Хр. Если {е(\Т — ортобазис
в Xq такой, что е/еХр при /s*?, то
) == Е Р2 И'рА) = Е Р2 (е,) = Е II Ав, |Р=ст| (А). A.5)
Рассмотрим теперь в X норму q6 (б>0):
ql (х) = q2 (Qqx) + б21 (I - Qq) x f =
Соответствующее пространство Х?6 совпадает с X, при-
причем из A.5) по-прежнему следует, что ст!(г|>р?6) = а»(А).
Действительно, определенное выше скалярное произведе-
произведение в X изменяется лишь на Nqcz N (А), и потому соот-
соотношение р(х) = \кх\ сохраняется, причем оператор А
остается неотрицательным. Нетрудно проверить, что при
8->-0 монотонно 5(<7в. г)/ S(q, r), а потому S°(q&, r)\
\S°(q, r) и, следовательно,
H(Se(</e, r))\n(S»(</, г)).
Поэтому оценку A.3) достаточно установить для невы-
невырожденной преднормы <7б- Отождествим Y с евклидовым
пространством X, наделенным описанным выше скаляр-
скалярным произведением. Тогда полярой множества S (q^, r) =
= {х: |ВбХ||<г} является, как легко видеть, множество
5°(<7в, г) = 1у. || Вв'# 1 =^ у\ • Из предложения 1.1 следует
li{Y\S°(q6, /-)} =
где ТгА2Вб2 = ТгАВб3А = ст^(АВб1) = ст1(А) = а1(г|;р?), так
как AB6'=AJQ? + |(I-Q?)} = A. ¦
Введем теперь некоторые важные понятия, существенно
используемые в этой главе.
Определение 1.1. Вещественную цилиндрическую
меру fx в X' назовем Х-регулярной, если для каждого
е>0 существует компактное в Х'а подмножество Ке та-
такое, что для каждого лежащего вне /С8 Х-цилиндричес-

124 ГЛ. III. МЕРЫ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
кого множества В(В[\Кг = Ф) выполняется условие
|(гE)|<е (и, следовательно, |(х|(Б)<е).
Эту цилиндрическую меру назовем сильно Х-регуляр-
ной, если множество Ке может быть выбрано гильберто-
гильбертовым и абсолютно выпуклым.
Предложение 1.3. Всякая вещественная цилиндри-
цилиндрическая Х-регулярная мера на (X', %х) о-аддитивна.
Доказательство. Рассмотрим класс ff замкнутых
в Х'о Х-цилиндрических множеств, т. е. цилиндрических
множеств, основания которых замкнуты в соответствую-
соответствующих конечномерных носителях. Из предложения 1.1.4
следует, что класс «F аппроксимирует ц. Поэтому выпол-
выполняются условия предложения 1.1.3.
Следствие 1.1. Пусть X — рефлексивное сепарабель-
ное банахово пространство. Вещественная X'-цилиндричес-
X'-цилиндрическая мера в X о-аддитивна точно тогда, когда для каждого
е>0 существует R>0, обладающее тем свойством, что
для любогЬ Х-цилиндрического множества В, лежащего вне
шара {х: ||х]«?;/?}, справедлива оценка |ц(В)|<е.
Достаточность следует из предложения 1.3, поскольку
Х = (Х')'; необходимость — из предложения 1.1.5, так как
всякий компакт ограничен.
Это утверждение распространяется на рефлексивные
сепарабельные пространства Фреше, если в формулировке
заменить шар слабо компактным множеством.
Заметим далее, что сильная Х-регулярность ст-адди-
тивной на борелевской ст-алгебре пространства Х'а меры ц
эквивалентна условию
\ц\(Х'\Ке)<е
для описанного в определении множества Ке.
Теорема 1.1. Пусть \i — неотрицательная цилиндри-
цилиндрическая мера на алгебре 81* Х-цилиндрических подмножеств
пространства X', сопряженного к л. в. п. X.
Если характеристический функционал Хц (х) непреры-
непрерывен в нуле в ядерной топологии ts(X, P), отвечающей ка-
какой-нибудь топологии р пространства X, согласованной
с двойственностью X и X', то цилиндрическая мера \л
сильно Х-регулярна и, следовательно, а-аддитивна на Шх.
Доказательство. Для доказательства теоремы до-
достаточно установить существование компактного подмно-
подмножества /Се. подчиняющегося оценке, описанной в опреде-
определении сильной регулярности.

I I. УСЛОВИЯ «-АДДИТИВНОСТИ 125
Без ограничения общности можно считать, что Р =
= т(Х, X') есть топология Макки —сильнейшая, согла-
согласованная с рассматриваемой двойственностью, так как при
замене топологии более сильной непрерывность функции
не теряется. Отметим, что поляра окрестности нуля про-
пространства (X, т(Х, X')) компактна в Х'а и абсолютно
выпукла, что и будет использовано ниже при построе-
построении Кг-
Из непрерывности %^ следует существование для каж-
каждого б > 0 гильбертовой полунормы ре#(Х,т (X, X')) *),
для которой | 1 — Rexn(x)|<6 при р(х)<1. По опреде-
определению ядерной топологии существует непрерывная в то-
топологии т(Х, X') гильбертова полунорма q, для которой
каноническое отображение typg: Хд-+Хр является гиль-
гильбертово- шмидтовым. Покажем, что поляра S°(q, r) мно-
множества S(q, r) = )xe X: q(x)<.r} при подходящем выбо-
выборе б, г обладает нужными свойствами.
Пусть В — Х-цилиндрическое множество, лежащее вне
S°(q, г), и L с X' — подпространство конечной коразмер-
коразмерности, определяющее В. Переходя к фактор-пространству
X'/L, мы заменим множество В его основанием Во с той
же мерой fi? (Во) = \л (В). При этом канонический образ
поляры 5° (q, г) есть поляра множества S (q, r)f]L° =
= {xsL°: q{x)<r\, лежащего в конечномерном про-
пространстве L0, двойственным для которого является X'/L.
В этих условиях применимо предложение 1.2. Заме-
Заметим, что при переходе к подпространству L0 отображение
г|)р? заменится своим сужением и потому величина а2 (tyPq)
не увеличится. Таким образом, имеет место оценка:
ц (В) -^ (Bt) < \iL {X'/L \ (S (q, r) f]L«)°} *s?
)). A.6)
Выбирая достаточно малое б>0 и затем достаточно
малое г > 0, мы получим требуемую оценку для множе-
множества K = S°(q, r). ш
Замечание 1.1. Как следует из доказательства,
оценка значения меры \л (В) зависит лишь от окрестности,
определяемой ее характеристическим функционалом. Точ-
Точнее, справедливо следующее утверждение.
*) См. приложение к гл. I,

126 ГЛ. III. МЕРЫ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Пусть р, q — непрерывные гильбертовы преднормы в X,
такие, что каноническое вложение г|>р,?: Хд-^-Хр обла-
обладает свойством ст2 (typg) < со. Для любого е > 0 сущест-
вуют такие 6>0, г>0, что какова бы ни была поло-
положительная нормированная цилиндрическая мера \i на X',
удовлетворяющая условию
выполняется условие:
1л(В)<г (fls8x; BftS°(q, r) = 0).
2°. Необходимые условия cr-аддитивности. Приведем
теперь результат, до некоторой степени обратный к ре-
результату теоремы 1.1.
Теорема 1.2. Пусть Х — л. в. п., \л — вещественная
мера на борелевской о-алгебре В пространства Х'а. Если \л
сильно Х-регулярна, то характеристический функционал
Хц непрерывен в ядерной топологии xs, ассоциированной
с топологией Макки х(Х, X').
Если, в частности, пространство (X, 0) бочечно, то %ц
непрерывен в ядерной топологии х$(Х, E), отвечающей
исходной топологии Р (а значит, и в самой топологии E).
Доказательство. Для доказательства теоремы до-
достаточно для каждого е>0 указать х(Х, Х')-непрерыв-
ную гильбертову полунорму ре(х) и оператор Гильбер-
Гильберта—Шмидта Ае в Хр , для которых выполняется оценка
IXh(*i)-Xh(*2)I<6 при pe(AeQPg(xi-x2))<l.
Без ограничения общности (переходя к вариации и
нормируя) можно считать, что мера \i — вероятностная:
легко видеть, что из непрерывности в нуле характеристи-
характеристического функционала xi ц i вариации | \i \ следует непре-
непрерывность во всем пространстве Хц:
X'
J |et<*i—*..*>_ i \\\i\(dy) =
X'
J | 1 — cos0, xi-xt)\\\i\(dy) =
X'
Пусть К — подмножество, определяемое из условия
сильной регулярности, такое что \л (X' \ К) < е/4 и К0 —

$ 1. УСЛОВИЯ а-АДДИТИВНОСТИ 127'
его поляра в X, которая, так же как и К, является
гильбертовым подмножеством Пусть рк, рк* — отвечающие
этим подмножествам полунормы на Хк, Хк« соответст-
соответственно. Из определения поляры следует, что
Р (х) = Рк° (х) = sup , (x, у) |. A.7)
Поскольку топология Макки определяется равномер-
равномерной сходимостью на множествах, к числу которых отно-
относится К, полунорма р х(Х, Х')-непрерывна. Следова-
Следовательно, К0 есть окрестность нуля пространства
(X, х(Х, X')).
Оценим величину
1 - Re хц (х) = $ [1 - cos (x, у)] \i (dy) <
X'
^ \ + j [1 - cos (х, у)] и (dy) <
*- y)\>(dy). A.8)
Так как (х, у) = 0 (не Nр, у еА'), то стоящий в пра-
правой части интеграл можно рассматривать как квадратич-
квадратичный функционал на Хр:
Ф (*)=$!<*, </>lV dy) (X = x + Np).
к
Пусть А — неотрицательный оператор в Хр такой, что*
Ч>(Х) = р2(АЯ) и Ае = ~А- Из p(AeQpX)<l следует
У г
4>(QpX)<e и, в силу A.8),
Остается показать, что ст2(А)<оо. В силу компакт-
компактности К пространство Хр сепарабельно, и если {е^} — орто-
базис в нем, то
2 р2 (Ае,) = 2 Ф (е,) = Е \ I (е„ у) |2 ^ (dy) -
/ / /я
= $ЕК*/> у>I>№/) = 51^*(У)IVDу) < 1
в силу указанного выше отождествления и неравенства
(I { Я)

128 ГЛ. III. МЕРЫ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Следствие 1.2. Пусть \i —сильно Х-регулярная ци-
цилиндрическая мера на алгебре 21Х цилиндрических подмно-
подмножеств пространства X'. В силу теоремы 1.4.3 она а-адди-
тивна и имеет продолжение, удовлетворяющее условиям
теоремы 1.2. Поэтому характеристический функционал Хц
этой цилиндрической меры непрерывен в топологии
xs(X, x(X, X')).
Из теорем 1.1 и 1.2 следует важный результат.
Теорема 1.3 (Минлос). Пусть X —ядерное л. в. п.
Для того чтобы функция %(х) была характеристическим
функционалом некоторой неотрицательной меры Радона
на пространстве Х'а, достаточно, а если X бочечно, то
и необходимо, чтобы она была положительно определенной
и непрерывной в нуле в топологии пространства X.
Замечание 1.2. Пусть ^—ограниченная совокуп-
совокупность вещественных мер, равномерно сильно регулярная
в том смысле, что входящее в определение сильной регу-
регулярности множество Кг не зависит от (д. е aS. Легко ви-
видеть, что все рассуждения теоремы 1.2, за исключением
доказательства того, что аа(А)<Соо, можно провести не-
независимо от (л, если положить
cp(x)=sup \\(x, y)\
При этих условиях совокупность Л характеристичес-
характеристических функционалов мер из <JC оказывается равностепенно
непрерывной, но не в ядерной топологии, а в топологии
т(/, X').
Замечание 1.3. Если ослабить условия теоремы 1.2,
заменив требование сильной регулярности требованием
регулярности, то, как следует из доказательства этой тео-
теоремы, оценка
11 — Re Хц (х) | «=? е при ф (л;)< е
сохраняется, но преднорма ф при этом, вообще говоря,
не является гильбертовой. При этом сохраняется следую-
следующий (более слабый, чем в теореме 1.2) результат.
Теорема 1.2'. Если (д. — регулярно а-аддитивная на
пространстве X', сопряженном к бочечному простран-
пространству X, мера, то ее характеристический функционал Хц
непрерывен в топологии X. Если еЖ — равномерно регуляр-
регулярное множество таких мер, то множество eS их характе-
характеристических функционалов равностепенно непрерывно.

§ 1. УСЛОВИЯ а-АДДИТИВНОСТИ 129
3°. Случай гильбертова пространства.
Пример 1.1. Пусть (X, т) —гильбертово простран-
пространство с сильной топологией и X' отождествлено с X. Ядер-
Ядерная топология Xs(X, т) (топология Сазонова) определяется
совокупностью полунорм Jjc |js == I Sa; j, где S —оператор
Гильберта —Шмидта. Так как в X каждая непрерывная
полунорма гильбертова, то условие сильной регулярности
сводится к регулярности меры, а это свойство выпол-
выполняется, как показано в главе I, для любой а-аддитивной
меры на S3. Поэтому теоремы 1.1 и 1.2 сводятся к сле-
следующему утверждению.
Теорема 1.3' (Сазонов). Нормированная неотрица-
неотрицательная цилиндрическая мера на борелевской а-алгебре
гильбертова пространства X а-аддитивна, если и только
если для каждого е>0 существует положительный опе-
оператор Гильберта —Шмидта Se, для которого
Отметим, что это условие, в частности, выполняется,
если характеристический функционал % непрерывен в нуле
в топологии, определяемой какой-либо одной нормой J ¦ |]s;
при этом S8 = tt-tS, где б(е)->0, когда е->0.
О (8)
Рассмотрим, в частности, гауссову цилиндрическую
меру (л в X, имеющую характеристический функционал
%в(х) — е 2 > где В^О. Из приведенных рассужде-
рассуждений сразу же следует результат, независимо полученный
в главе II: необходимым и достаточным условием а-адди-
тивности гауссовой меры является ядерность ее корреля-
корреляционного оператора.
Заметим теперь, что функция (Вл;,л;) является слабо
непрерывной в X лишь при конечномерном операторе В.
Таким образом, из а-аддитивности меры не следует непре-
непрерывность ее характеристического функционала в слабой
топологии. Это показывает существенность требования
бочечности в теореме 1.3: гильбертово пространство со
слабой топологией этим свойством не обладает.
Заметим далее, что в теореме 1.1 требование непре-
непрерывности Хц в ядерной топологии нельзя заменить требо-
требованием слабой секвенциальной непрерывности. Действи-
Действительно, для любого вполне непрерывного оператора В
функционал %в (х) этим свойством обладает, но если В
не ядерен, мера (хв не а-аддитивна.
5 Ю. Л. Далецкий, С. В. Фомич

130 ГЛ. III. МЕРЫ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Пример 1.2. Рассмотрим пару плотно вложенных
гильбертовых пространств X с Х_, и пусть оператор вло-
вложения J: X -+ X. таков, что a|(J) = ? [ J (ek) Щ < оо ({ek} —
к
ортобазис в X).
Пусть (л —неотрицательная цилиндрическая мера в X
с непрерывным в X характеристическим функционалом
Хц(л;). Оператор J преобразует ее в цилиндрическую
меру A на алгебре 2(х цилиндрических подмножеств про-
пространства Х-, прообразы которых принадлежат SUX. При
этом %-(x) = %Vi(J*x) (hgX.). Поскольку a2(J*)<oo,
а Хц непрерывен на X, то %^ непрерывен на X. в ядер-
ядерной топологии и потому цилиндрическая мера A, являю-
являющаяся продолжением \х. на пространство Х_, а-аддитивна.
Пример 1.3. Пусть в условиях теоремы 1.1 харак-
характеристический функционал Хц непрерывен в нуле относи-
относительно фиксированной преднормы p(x) = q(SQqx), где
as(S)<oo в Xq. При помощи формулы
и последующего замыкания характеристический функ-
функционал определяется как непрерывная функция на Хр.
Гильбертовы пространства Хч с Хр плотно вложены,
а_ значит, этим свойством обладают и их сопряженные
X'pCzX'gCzX', являющиеся подпространствами X'. Ото-
Отождествляя Х'р с Хр, мы приходим к ситуации, описанной
в предыдущем примере, откуда следует, что цилиндри-
цилиндрическая мера (л сосредоточена в Х'ч и a-аддитивна в этом
пространстве.
В частности, для счетно-гильбертова пространства
Х= lim Xn с вложением Гильберта — Шмидта цилиндри-
л-»оо
ческая мера, характеристический функционал которой
непрерывен в Хп, имеет a-аддитивное продолжение
в Х_(л + 1).
4е. Интегральное представление группы унитарных опе-
операторов. Применим полученные результаты к некоторым
вопросам спектральной теории операторов. Пусть X —
л. в. п., е%" — гильбертово пространство. Рассмотрим пред-
представление х!—•¦ Тх е X {<&%") пространства X унитарными
операторами в е?Г;
Тл+„ = ТЛ-Тв; То = 1; Т* = Т;' = Т_Л (х, yt=X).

§ 1. УСЛОВИЯ о-АДДИТИВНОСТИ 131
Для каждого /iee5T функция <ph(x) = Gxh, h) поло-
положительно определена:
/, k i. *
Если при этом (TJi, h) непрерывна по х на каждом
конечномерном пространстве X czX, то в силу A.3.2)
справедливо представление
Фл (*)=$<?<<*• *>МФ). 0-9)
X'
где jxft — Х-цилиндрическая неотрицательная мера на X',
однозначно определяемая элементом h.
Из A.9) следует соотношение
(ТА, М =¦$*<<*• e>n
X'
где
И-*,. ft8 = 4- (M'ft, + а, — ^й,—а, + *>
— комплексная цилиндрическая мера, билинейно завися-
зависящая от hi, h2.
В этих условиях для каждого Х-цилиндрического
множества А:
VLhlth,(.A)='(E(A)hlt htL
где Е (А) е X (<Ж) — цилиндрическая мера с оператор-
операторными значениями. Формула A.9) эквивалентна представ-
представлению
Тл= \ е<<*. fl>E(d8),
X'
причем из унитарности Тх следует, что
а групповое соотношение приводит к равенству:
^ \ J
X' X' X'
которое, как известно (и нетрудно проверить), означает,
что
Е(Л1ПЛ) = Е(Л1)Е(Л2); Е(ф) = 0.
Таким образом, операторы Е (А) представляют собою
. ортопроекторы в J%"', дизъюнктные на непересекающихся
цилиндрических множествах.
5*

132 ГЛ. III. МЕРЫ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Заметим теперь, что а-аддитивность меры
для каждого h e е^Г означает слабую (или, что то же самое,
сильную) а-аддитивность проекторозначной меры Е (А).
Условия а-аддитивности цилиндрических мер цА мы
можем получать из теоремы 1.1, если учесть, что соот-
соответствующие характеристические функционалы даются
формулой
Хн (х) = ХиА (х) = \ е*<«- »>ц* (dy) = (Txh, h).
К
Таким образом, имеет место следующий результат.
Теорема 1.4. Пусть (X, C) — л. в. п. с топологией,
согласованной с двойственностью X и X'. Пусть Тх —
унитарное представление X в гильбертовом простран-
пространстве еЖ", для которого при каждом h e Ж функция
K-^>-(Txh, h) непрерывна в нуле в топологии xs{X, P).
Тогда существует сосредоточенная на а-алгебре %х
пространства X' а-аддитивная (в сильном смысле) орто-
ортогональная проекторозначная в ъХГ мера Е(Л), такая что
A.10)
Замечание 1.4. Пусть s%^+с:e5f с:«г%"_ — оснащен-
оснащенное гильбертово пространство с гильберто-шмидтовскими
вложениями: J е^а (в%"+, «ЯГ)| J* e ^(«Jf, в^Г"-);
S: е%^+->е5Г- — изометричный оператор, такой что (х, у)+=
= (х, SyH.
Пусть {e*[feLi — ортобазис в в5Г+. Определим неотрица-
неотрицательную меру на Х':
GO
ОО 00
= 2 !Е(Д) Je*B«sS Ue*B-ai(J).
Для любого / е ^Г+ справедливо разложение
fift)o Sc/i = У] (J/, Е (Д) JekH Se*,

5 1. УСЛОВИЯ 0-АДДИТИВНОСТИ 133
которое влечет оценку
Из этой оценки следует, что операторная мера J*E(A)Js
eif(a5T+, e%^_) абсолютно непрерывна относительно v.
Поэтому существует производная Радона — Никодима
РF) е= #(е5Г+, е%"_) (п. в. для веД для которой
J*E (A) J=\P (у) v(dy). A.11)
д
Представление A.10) может быть теперь записано в виде:
<*• »> (J*E (dy) J/, ffH =
(P (y) f, g)ov(dy) (/, g 6= ^T+). A.12)
(ТУ/, JgH = $ «'<*• »> (J*E (dy) J/, ffH =
X'
5
X'
В частности, при х = 0:
(J/, Jg)»=\(P(y)f, g)ov(dy). A.13)
X'
Если группа Т* оставляет е?Г+ инвариантным, т. е.
JTi/ = T^J/, где Т+Х = 7Х\Х+, то из A.13) следует!
X'
что после сравнения с A.12) приводит к равенству:
(P(</)TJ/, gH = e<<*' *>(P(«/)/, gH (v-п.в.). A.14)
Таким же образом показывается групповая инвариант-
инвариантность билинейного функционала (P(y)f, g)'
g)o (v-п.в.). A-15)
5е. Непрерывные цилиндрические меры. Рассмотрим
некоторые другие признаки а-аддитивности неотрицатель-
неотрицательных цилиндрических мер в пространстве X', сопряженном
к л. в. п. X, основанные уже не на свойствах преобра-
преобразования Фурье.
Пусть (д. — нормированная цилиндрическая мера:
(х(Х) = 1. Рассмотрим совокупность ее одномерных проек-
проекций:
lii" (Д) = A^6Г:{х,1/)еД) (ДбР,х? X).

134
ГЛ. III. МЕРЫ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Назовем эту совокупность непрерывной, если она
непрерывна в каждой точке х е X в смысле слабой схо-
сходимости мер в R1, т. е. функция
A.16)
непрерывна на X при каждом f(t), непрерывной и огра-
ограниченной на R1.
Предложение 1.4. Для непрерывности совокуп-
совокупности одномерных проекций неотрицательной цилиндри-
цилиндрической меры (д. достаточно, чтобы (д. {/; х] была непрерывной
на X лишь при каждой f из класса Со непрерывных финит-
финитных на R1 функций.
Доказательство. Установим сначала важный
вспомогательный факт. Для любых дгоеХ, е>0 сущест-
существуют л>0 и окрестность нуля UE, Хй в X, такие что
: \t\>r}<E (x-xoe=Ue
A.17)
Выберем сначала лх>0 из условия p.'*»' \t: t\>r1\<i
<е/2 и для некоторого г>гх непрерывную функцию \|з(/):
По условию существует окрестность нуля UczX такая,
что
При этом
00
- J Ф(ОИ
(х — х0 s У).
Пусть теперь /sC(R1), а феС0(Р) совпадает с/
на отрезке [—г, г] и не превосходит ее по норме. Тогда

при х-.
оо
J
§ 1. УСЛОВИЯ а-АДДИТИВНОСТИ
справедлива оценка:
135
\ ф(Ои<
— 00
{1/@1+ |Ф@
Выберем теперь для некоторого 6 > О такую окрест-
окрестность нуля V, чтобы
оо
- f
Тогда при е = -5-гл; выполняется требуемая оценка:
<б (x-Xo(=U(\V).
Замечание 1.5. Так как при х = 0 мера (х0 сосре-
сосредоточена в нуле, то, как следует из доказательства, фор-
формула A.17) при хо = О справедлива для любого г>0.
Таким образом, имеет место следующий факт.
Если совокупность одномерных проекций неотрицатель-
неотрицательной цилиндрической меры ц непрерывна, то для любых
е>0, л>0 существует окрестность нуля Ue>rczX,
такая что
у)\>г\<г
A.18)
Определение 1.2. Назовем цилиндрическую меру \i
непрерывной, если при каждом е>0 и некотором л>0
(а следовательно, и при каждом л>0, достаточно поло-
положить г=1) существует окрестность нуля Ue,rc:X, для
которой выполняется свойство A.18).
Предложение 1.5. Непрерывность неотрицательной
цилиндрической меры \i эквивалентна непрерывности сово-
совокупности ее одномерных проекций.
Доказательство. В силу приведенного замечания,
достаточно из непрерывности [х вывести непрерывность

136 г л тп меры в линейных пространствах
совокупности {ци>}. Пусть феСо(Р). Тогда
]О 00
i ф (Х) \i(x> (dt) — \ <p(t)\l(X
ty)+(x-x0, у))-<р((х0,
\ {ф (<^о, У) + (х - Хо, у)) - ф «Хо, у))} li (dy)
К*—*., у)\ <б
A.19)
Пользуясь равномерной непрерывностью ф, выберем
8>0, такое что
При этом второй интеграл в A.19) окажется меньше
е/2. Первое же слагаемое не превосходит 21 ф || \i {x:
\(х — Хо, «/>|>б} и может быть сделано меньше е/2
в силу условия непрерывности меры за счет выбора
x — Xo^V при достаточно малой окрестности нуля V. в
Установим теперь связь между непрерывностью ци-
цилиндрической меры и свойствами ее преобразования Фурье.
Теорема 1.5. Непрерывность неотрицательной ци-
цилиндрической меры эквивалентна непрерывности ее харак-
характеристического функционала.
Доказательство. Из формулы
00
Хр. Ы) = $ eix <*• *V (dy) = $ е*«ц '*) (Л)
X' -оо
при т=1 в силу того, что e"sC(R1), сразу же следует,
что непрерывность ц.(л) влечет непрерывность Хц-
Из той же формулы следует связь между характерис-
характеристическими функционалами меры \i и ее одномерных проек-
проекций Хц<.» W = Xn ft*)-
Пусть [/ — абсолютно выпуклая окрестность нуля X,
для которой при некотором е > О
(x(=U)
(существование такой окрестности следует из непрерыв-
непрерывности Хр.)- Так как tx^U при хе(/, |/|=^1, то

§ 1. УСЛОВИЯ ff-АДДИТИВНОСТИ 137
Применяя одномерный вариант предложения 1.1, полу-
получаем при х ^U оценку:
которая приводит к нужному результату при достаточно
большом С (поскольку оценку A.18) достаточно проверить
при каком-нибудь л>0). ¦
Следующая теорема получается как синтез теорем 1.3
и 1.5.
Теорема 1.6. Пусть X —л. в, п., \i — неотрицатель-
неотрицательная цилиндрическая мера на X' Для (регулярной) о-адди-
тивности ц достаточна ее непрерывность в ядерной (а если
пространство X ядерно, то и в исходной) топологии про-
пространства X. Если это пространство бочечно, то это
условие непрерывности и необходимо.
Условие непрерывности A.18) можно переформулиро-
переформулировать таким образом, чтобы оно было достаточным для
а-аддитивности вещественной цилиндрической меры.
Теорема 1.7. Пусть \i — вещественная цилиндрическая
мера X', удовлетворяющая условию:
для каждого е>0 при некотором (а значит, и при
каждом) /¦>() в (X, %s(X)) существует такая окрест-
окрестность нуля U, что для любых А е 21Х и х е U выполняется
оценка:
\\i(A П {у<=Х':\(х, у)\>г})\<г. A.20)
Тогда \i регулярно а-аддитивна.
Если пространство X бочечно, то это условие и необ-
необходимо.
Доказательство. Из A.20) непосредственно сле-
следует оценка
\р\{уе=Х'1\(х, у)\>г}<2г,
означающая непрерывность в соответствующей топологии
неотрицательной цилиндрической меры | ц, |, и остается
применить теорему 1.6. Таким же образом доказывается
и необходимость. ¦
Замечание 1.6. Условие теоремы нетрудно пере-
переформулировать так, чтобы она обобщалась на меры со
значениями в л. в. п. Т. Для этого нужно в определении
регулярности и условии A.20) заменить число е>0 окрест-
окрестностью нуля V czT.
Доказательство соответствующего результата прово-
проводится при помощи перехода от меры \i к вещественным

13fi ГЛ. III. МЕРЫ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
мерам (\i, ф) (ф s T'), поскольку слабая и сильная «т-адди-
тивность векторной меры равносильны.
Полезный достаточный признак о-аддитивности цилин-
цилиндрической меры связан с понятием ее корреляционной
формы.
Определение 1.3. Корреляционной формой неот-
неотрицательной цилиндрической меры [х, имеющей конечные
вторые моменты
\\(у, x)\*ii(dy)= ] *y*>(d?)<oo (*e=X), A.21)
X' — со
называется билинейный функционал на X, определяемый
соотношением
Вц (Хъ х2) = I (хъ у) (х2,у) \i (dy) = \ г^*" *•> (dzx x cfe2).
X' R«
Корреляционная форма легко вычисляется по характе-
характеристическому функционалу путем двукратного дифференци-
дифференцирования:
В»(х, х)= \\{х, y)\*\i(dy) = -r"@)(x, х);
X'
при этом используются лишь значения х на одномерном
пространстве \tx), т. е. характеристический функционал со-
соответствующего одномерного распределения.
С другой стороны, если корреляционная форма
существует, легко получается оценка для характеристи-
характеристического функционала
1 - Re Хц (х) = \ {1 - cos (х, у) \ ц (dy) ^ \ В» (х, х).
X'
Эта оценка в силу теоремы 1.1 и рассуждений при-
примера 1.3 приводит к следующему результату.
Теорема 1.8. Если корреляционная форма В^(х, у)
цилиндрической меры ц в пространстве X' существует и
непрерывна в ядерной топологии ts (X), то \.\. а-аддитивна
в X'.
Если при этом Вй (х, у) непрерывна относительно фик-
фиксированной гильбертовой полунормы q и В(х, x) = q(Sx),
где S^X2(Xq), то \i сосредоточена в гильбертовом про-
пространстве X'q.
Замечание 1.7. Пусть \i — неотрицательная мера
на X', удовлетворяющая условию A.21). Рассмотрим гиль-

§ 2. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ МЕР РАДОНА 139
бертово пространство Хг (X', ц). Отображение S: х -*¦ (х, у)
вкладывает X в %ъ{Х', \i). Замыкание образа SX есть
гильбертово пространство е%^ измеримых линейных функ-
функционалов на X', интегрируемых в квадрате по мере \i.
Оно изометрично пополнению X по норме В (х, х). Вло-
Вложение S: Х->-е%Г приводит к вложению двойственных
пространств ъйГ'-*-Х'. Отождествляя е2Г и е2Г' канони-
каноническим образом, мы получаем оснащенное гильбертово
пространство
X
Мера \i порождает цилиндрическую меру в гильберто-
гильбертовом пространстве <Sf, у которой корреляционная форма
совпадает со скалярным произведением. В этом случае
существует гильбертово расширение <Sfx ^> &%"> в котором
рассматриваемая цилиндрическая мера а-аддитивна. За-
Заметим, однако, что е?^! не обязательно содержится в X'.
Все сказанное применимо к гауссовой цилиндрической
мере, которая, таким образом, всегда может быть сосре-
сосредоточена в гильбертовом пространстве.
§ 2. Последовательности мер Радона
1°. Слабая компактность в пространстве мер. В этом па-
параграфе рассматриваются уже не отдельные цилиндричес-
цилиндрические меры, продолжаемые до мер Радона, а совокупности
таких мер.
Выясним прежде всего некоторые факты, относящиеся
к мерам на произвольном (не обязательно линейном) впол-
вполне регулярном топологическом пространстве X.
Пусть С(X) — банахово пространство всех ограничен-
ограниченных вещественных непрерывных функций на X с нормой
| / |с = sup \f(x)\; Ш (X) — банахово пространство вещест-
х
венных мер Радона на X с нормой |fi|| = |fi|(X). Эти про*
странства образуют двойственную пару с соотношением
двойственности:
При этом каждой мере \i e Ш (X) сопоставляется ли-
линейный непрерывный функционал /v на С(Х) так, что
норма ||/^ || = J ц i и тем самым Ш(Х) линейно и изомет-
изометрично вкладывается в сопряженное пространство С (X).

140 ГЛ, III МЕРЫ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Предложение 2.1. Пусть X—вполне регулярное
топологическое пространство, ФеС (X) и для каждого
е > 0 существует компактное множество К8сХ такое,
что неравенство
|ФЯ1|/| B.1)
выполняется для всех f^C(X), удовлетворяющих условию
f(x) = O (xgKJ.
Тогда существует точно одна мера Радона \i, для ко-
которой
V(f)=\f(x)p(dx) (feC(X)). B-2)
х
Доказательство. Для каждого элемента Фе
ек С" (X) существует ограниченная аддитивная функция
множеств ц на алгебре 2, порожденной замкнутыми мно-
множествами, для которой справедлива формула B.2). Эта
мера регулярна в следующем смысле: для каждого
?бЕ и 6>0 существуют F, Gs?, такие что Fc?c
cintG и |n.|(G\F)<6. Множество F при этом можно
считать компактным.
Доказательство аналогичного факта для нормальных
пространств имеется в книге Данфорда и Шварца [1].
Мы не будем воспроизводить здесь это доказательство,
а отметим лишь, что оно сохраняется, если заменить свой-
свойство нормальности более слабым, выполняющимся и во
вполне регулярных пространствах: если Fx и /^ — замкну-
замкнутые непересекающиеся множества, причем хотя бы одно
из них компактно, то существует непрерывная функция /
такая, что 0 ^ / (х) *s 1; / (х) = 0 (х е /ч); / (х) = 1 (х е F,).
При этом в приведенном выше определении регулярности
меры ц нужно выбирать множество F компактным.
Докажем, что рассматриваемая мера \i является мерой
Радона. Пусть F aG аХ\Кг, гдеF — компактно, G — от-
открыто и |n.|(G\.F)<e. Рассмотрим функцию /С
обладающую свойствами:
Si; f(x) = l {xrnF);
Тогда
y{dx)\= ]f(x)\i(dx)-J

§ 2. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ МЕР РАДОНА 141
В силу регулярности подобная оценка распространяется
на другие множества алгебры 2, лежащие вне Кг. Это
влечет радоновость ц.
Остается доказать единственность. Пусть \i — мера Ра-
Радона, для которой $ / (я) ji (dx) =0 (/еС(Х)), но ц.(?) =
х
= б Ф 0 для некоторого борелевского В. Существуют
KczBczU, где К— компактно, U — открыто и |ц.| (U\K)<.
<б/3. Рассмотрим функцию /еС(Х): f(x)^[0, 1];
/(*)-! (*е=К); /W = 0 (xeU). Для нее
\f(x)\i(dx)
У
f(x)\a(dx)
и полученное противоречие показывает, что ц = 0. ¦
Определение 2.1. Множество Л с: Ш (X) назовем
равномерно регулярным, если для каждого е>0 сущест-
существует компактное множество KtczX, такое что | \i | (Х\Ке) <
¦< е для каждой \l s <^.
Теорема 2.1. (Теорема Прохорова.) Ограниченное и
равномерно регулярное множество o#cD)J (X) относитель-
относительно компактно в (Т1(Х), а(Ш, С)).
Доказательство. Множество <М равномерно огра-
ограничено в ЗЛ(Х), а значит, и в С (X). На основании из-
известной теоремы Алаоглу оно относительно компактно
в (С (X), а(С, С)). Остается показать, что замыкание
<М в С (X) принадлежит DJi (X). Для произвольного е > 0
выберем соответствующее Кг- Пусть Фе4 и /еС(X)
удовлетворяет условию f(x) = O (x^Ke). Так как в лю-
любой б-окрестности функционала Ф, определяемой функ-
функцией /, содержатся элементы ц из <М, то
и, следовательно, выполняется B.1). Из предложения 2.1
следует окончательный результат. ¦
Следствие 2.1. Пусть пространство X обладает
тем. свойством, что всякая слабо фундаментальная после-
последовательность элементов равномерно регулярна. Тогда про-
пространство Ш (X) влабо секвенциально полно.
Действительно, слабо фундаментальная последователь-
последовательность ограничена в Ш(Х) и потому относительно ком-

142 ГЛ. Ш. МЕРЫ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
пактна в (ЭЛ, а(ЭЛ,С)). Кроме того, она не 1\южет иметь
более одной предельной точки и потому является сходя-
сходящейся.
Замечание 2.1. Пусть каждое компактное подмно-
подмножество пространства X метризуемо. Можно показать, что
при этом пространство (С(Х), о) сепарабельно. Для этого
достаточно выбрать для лоследовательности компактных
(и следовательно, метрических) множеств Кцп в сепара-
бельных пространствах С (Кх/п) счетные плотные множе-
множества и продолжить их элементы на все X с сохранением
нормы. При этом получится счетное плотное в (С (X), а)
множество.
Из сепарабельности двойственного пространства и от-
относительной компактности последовательности мер следу-
следует ее относительная секвенциальная компактность. Это при-
приводит к следующему усилению теоремы 2.1.
Теорема 2.11. (Ле Кам [1].) Если в пространстве X
компактные множества метризуемы, то каждое ограничен-
ограниченное, равномерно регулярное множество мер Радона на X
слабо секвенциально компактно.
2°. Слабая полнота пространства мер. Мы приведем
теперь один достаточно широкий класс пространств X,
для которых пространство ЭУ1 (X) мер Радона обладает сла-
слабой секвенциальной полнотой.
Определение 2.2. Совокупность мер <М с= Ш (X)
назовем равномерно малой на открытых множествах, если
для любой последовательности Un (п = 1, 2, • • ¦) попар-
попарно непересекающихся открытых множеств из X выполня-
выполняется соотношение
|ц|(?/„)->-0 (равномерно по цев1).
Будем говорить, что пространство X обладает ^-свой-
^-свойством (является ^.-пространством), если каждая равно-
равномерно малая на открытых множествах совокупность мер
из Ш (X) равномерно регулярна.
Теорема 2.2. Каждая слабо фундаментальная после-
последовательность мер Радона на вполне регулярном прост-
пространстве X равномерно мала на открытых множествах.
Поэтому, если X есть Ш-пространство, то пространство
Ш (X) слабо секвенциально полно.
Доказательство. Последнее утверждение теоремы
следует из первого в силу следствия 2.1. Докажем пер-
первое утверждение.

$ 2. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ МЕР РАДОНА ИЗ
Пусть {цп\ —слабо фундаментальная последовательность
мер Радона на X. Допустим, что существует последова
тельность открытых множеств \Un\ (Ukf\U/ = ф), для
которой нарушается условие разномерной малости {цп},
т. е. существует подпоследовательность ц„^ такая, что для
некоторого 6>0
|ця,| (!/,)> б (s=l, 2, ...)¦
При этом в силу радоновости ц„ найдется компакт-
компактное множество Ks такое, что и |ц„ |(/Q>6. После этого
доказательство требуемого утверждения сводится к сле-
следующей лемме.
Лемма 2.1. Пусть X —вполне регулярное простран-
пространство; Un и Kn^-UnCzX (п = 1, 2, ...) — последователь-
последовательности соответственно открытых и компактных множеств
Если v% — \\in\ — слабо фундаментальная последователь-
последовательность из Ш (X), то lim | ц | (Кп) = 0 равномерно по (ie4.
л—»-со
Доказательство. Допуская противное, выберем
для некоторого е > 0 последовательность мер ц„.е >Jt и
компактных множеств Кп.а Кп. («i< «2 <•••)> так что-
чтобы выполнялось неравенство |(гл.(Кл.) |> е (/=1, 2, ,..).
Для каждого / построим открытое множество V/ такое, что
ка,<= V, С= Uп., | |iB/(V/\^B/) | < 8/4,
и непрерывную функцию \|)/'.
При этом
>|е. B.3)
Пусть теперь с = {cj\ e /со — ограниченная последова-
последовательность вещественных чисел, [сЦ = sup | Су |. Функция
ф{х) = %с#,(х) B.4)
непрерывна и ограничена: |я|)с(д:)| ^|с|. Поэтому из фун-
фундаментальности <Л следует сходимость последовательност!.

144 ГЛ. III. МЕРЫ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
чисел
$ ф (х) цп. (dx) - 2 cka) (j-v с»), B.5)
Л ft
где ak— \tyk{x)\kn {dx). Абсолютная сходимость ряда B.5)
х '
следует из очевидной абсолютной и равномерной сходи-
сходимости B.4). В частности, при cft=l (k=l, 2, ...) полу-
получаем оценку 2 | а* | < со.
и
Таким образом, последовательность элементов
а, = (а> а*,...) (/=1,2,...)
пространства h в силу B.5) фундаментальна в слабой
топологии аAъ /ет). Известно, что сходимость последо-
последовательности в этой топологии совпадает со сходимостью
по норме пространства 1и поэтому
с»
lim 2 |а*| = 0 (равномерно по /=1, 2, ...).
Однако это противоречит оценке | а' | > -т- е > 0, следую-
следующей из B.3).
Предложение 2.2. Пусть а% — равномерно малая
на открытых множествах вполне регулярного простран-
пространства X совокупность мер оЖ cz ЭЛ (X).
Тогда свойством равномерной малости на открытых
подмножествах пространства Y обладают:
а) совокупность e?f= {\\i\f, це J} образов вариаций
мер из <Л при непрерывном отображении /: X-+Y
во вполне регулярное пространство У;
б) совокупность оЖу сужений мер из <Л на замкнутое
подпространство Y аХ, в котором введена индуцирован-
индуцированная из X топология.
Доказательство, а) Пусть {?/ft} — последователь-
последовательность непересекающихся открытых множеств в Y. Тогда
{/(-1) (Uk)} — аналогичная последовательность в X и потому
|ji|/(t/ft) = |n|(/:(-1)(t/ft))-v0 (равномерно по цее#).
Пусть {?/*}™=1 — последовательность непересекающихся
открытых в У множеств и пусть существует последова-
последовательность {\in}daS, такая что |ця(?/„)|>е при некото-
некотором е>0. Пусть для каждого п Кп — компактное подмно-

§ 2. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ МЕР РАДОНА 145
жество Un, такое что \\i\(Kn)> те- Так как замыкания
/со ,
подмножеств Y в X и Y совпадают, то Кп f]' [) К А
/+ /
¦ ¦= ф. В этом случае (см. ниже лемму 2.2) существуют
попарно непересекающиеся открытые в X подмножества
Vn^>Kn и, в силу свойств мер Радона, открытые У'п:
Kn<=V'n<=Vn, такие, что \цп(У'п)\>е/2. Это, однако,
противоречит условию равномерной малости <М на откры-
открытых подмножествах пространства X. ¦
3°. Свойства ^-пространств. Рассмотрим теперь различ-
различные операции над SK-пространствами.
Теорема 2.3. Произведение Х—\\^Хп fR-npo-
л = 1
странспгв Хп (п = 1, 2, ...) является ^{-пространством.
Доказательство. Пусть ^ — равномерно малая
на открытых множествах совокупность мер из X. В силу
предложения 2.2 свойством равномерной малости обладает
для каждого п совокупность e%n = {\\i\n, \а^о?] проек-
проекций на Хп вариаций мер из <М. Поэтому множество <Мп
равномерно регулярно при каждом п.
Остается показать, что множество в^ = {|ц|, ц&&€}
неотрицательных мер в X, каждая проекция <Лп кото-
которого равномерно регулярна, само обладает свойством
равномерной регулярности.
Действительно, для каждого е>0 и п=1, 2, ...
существует компактное множество Кп <= Хп такое, что
|ц|„ (Хл\/Сл)<е/2Л. Рассмотрим компактное в X мно-
множество /С = J~J /Сл. Для него
| (Х\К) ^ X | ц | {Рг;1 (Хп\Кп)} =
Теорема 2.4. Замкнутое подпространство Y
^-пространства X является ^{-пространством.
Доказательство. Пусть <Jt — равномерно малая
на открытых множествах совокупность мер из 3I (У).
В силу предложения 2.2 образы этих мер при вложении

146 ГЛ. 111. МЕРЫ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
У в X также образуют равномерно малую (на открытых
множествах X) совокупность <Л. Поэтому для каждого
е>0 существует компактное в X множество Re, для
которого | ц | (Х\/СЕ) < е (це <Л). При этом /СЕ =
= У П ^е компактно в У и
|ц|(У\/СЕ)<е (|ie4 ¦
Следствие 2.2. Проективный предел счетной после-
последовательности ^.-пространств также является Ы-про-
странством.
Действительно, проективный предел счетной последо-
последовательности пространств гомеоморфен замкнутому под-
подпространству их произведения.
Нам понадобится далее следующее вспомогательное
утверждение.
Лемма 2.2. Пусть X —вполне регулярное простран-
пространство и С„ (п=1, 2, ,,.) —последовательность попарно
непересекающихся компактных подмножеств X, для кото-
00
рой множества ?„»* {J Ck замкнуты.
Тогда существует последовательность V'„ zd Сп (п =
— 1, 2, ...) попарно непересекающихся открытых мно-
множеств в X.
Доказательство. В силу полной регулярности X
и компактности Ci существуют открытые множества t/x гз
:г> Съ Vi^Bx с непересекающимися замыканиями. Пусть
уже выбраны открытые множества UjZdCj (/=1, 2, ...
..., п), Vn^> Вп с попарно непересекающимися замыка-
замыканиями. Построим тогда открытые множества Un+1 ;э Сп+1,
Ул+1;э Вп+1 с непересекающимися замыканиями так, чтобы
Теорема 2.5. Пусть X есть топологическая сумма
00
Х= У Е„ монотонно возрастающей последовательности
Еп с Еп+1 своих замкнутых подпространств, причем для
каждого п топология Еп совпадает с индуцированной из
Еп+1 и Еп замкнуто в Еп+1.
Тогда, если каждое Еп есть fR-пространство, то и
X — Щ-пространство.
Доказательство. Пусть &^ — равномерно малая
на открытых множествах пространства X совокупность
из ЭЛ(Х). При условиях теоремы для каждого е>0

5 2. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ МЕР РАДОНА 147
существует номер п, для которого
! ц I (Х\Еп) < е/2 (Vfi e <Л). B.6)
Действительно, в противном случае в силу радоново-
сти мер из <Jt для некоторого 6>0 существовала бы
последовательность мер n^erf и последовательность
компактных множеств Кп <= X, таких что
с»
Если мы покажем, что множества Ft = М Кп замкнуты,
п = i
то в силу леммы 2.2 множеста Кп можно будет погру-
погрузить в открытые попарно непересекающиеся множества
Un, и мы получим противоречие с равномерной малостью <Л.
Пусть х ^ Ft и / — минимальный номер, для которого
х е Ej. Так как Ej пересекается лишь с конечным набо-
набором /Сл, то b_Ej существует окрестность W/ точки х,
для которой Wf(]Fi = 0. Далее, в Ej+1 существует ок-
окрестность W/+1, для которой W/+1П Ej = Wt\ Wf+1 f| Ft = 0
00
и т. д. При этом W = {J Wk — не пересекающаяся с Ft
окрестность точки х в X.
Итак, выполнено B.6). Рассмотрим множество <Лп —
= {ц„} сужений на Еп мер из <JC. В силу предложения
2.2 оно равномерно мало на открытых множествах в Еп.
Поэтому существует компактное в Еп (а значит, и в X)
множество Кп,г, для которого | ц„ | (Еп\Кп) < 8/2 и,
следовательно, [ц J (Х\/Сл.е)<е (|*е«^). ¦
Теорема 2.5'. Строгий индуктивный предел Х =
= lim Еп возрастающей последовательности локально вы-
выпуклых ^.-пространств, каждое из которых замкнуто в по-
последующих, есть SR-пространство.
Доказательство этого утверждения аналогично пре-
предыдущему.
Следствие 2.3. Так как каждое компактное про-
пространство автоматически является SR-пространством, то
и каждое а-компактное пространство (свободное объедине-
объединение возрастающей последовательности компактных подпро-
подпространств) является ^-пространством.
4°. Примеры Sft-пространств.
Пример 2.1. Каждое полное метрическое пространстве
является З^-пространством.

148 ГЛ. III. МЕРЫ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Пусть <Л а ЗЛ (X) равномерно мало на открытых мно-
множествах пространства X. Достаточно показать, что для
каждого к>0 существует такое компактное множество
Кг> что
|ц|(Х\/С|)<8 (це^), B.7)
где Ае = {х: р(х, А)^е]. Действительно, в этом слу-
оо п
чае множество Ст— П К1/2п компактно, так как оно
л =т
замкнуто и вполне ограничено. При этом для каждой
меры из а? справедлива оценка:
00
которая и показывает равномерную регулярность <М.
Допуская, что B.7) не выполняется, построим ком-
компактное множество К\ сг X и меру ць для которых
I f*i (#i) | > е; затем компактное множество К.ъ с= Х\К.\ и
меру ц2, для которых j ц2 (Ki) | > е. Вообще, если /Сл и
ц„ уже построены, построим компактное множество Кп+1 с
п
с:Х\М/С? и меру цл+1 такие, что \\in+i(Kn+i) |>e.
/=i
Последовательность открытых множеств Vn = int /С*'2 по-
попарно не пересекается и обладает свойством | ц„ | (У„) > е,
противоречащим равномерной малости <М.
Пример 2.2. Пусть X ¦= р| ?„ — полное счетно-нор-
л
мированное пространство с вполне непрерывными вложе-
вложениями. Тогда его сопряженное пространство X' а-ком-
пактно и, следовательно, является ^-пространством.
Действительно, из полной непрерывности вложений
Еп+1аЕп следует, что пространство X = |~j?n — монте-
левское (бочечное пространство, в котором все ограничен-
ограниченные множества относительно компактны). Поэтому оно
рефлексивно и его сильное сопряженное также является
монтелевским пространством. Из рефлексивности X' сле-
следует, что всякое его ограниченное подмножество содер-
содержится в поляре некоторой окрестности нуля из X, а из
монтелевости X' — что поляра U0 всякой окрестности
нуля U а X компактна в X'. Таким образом, если {?/„} —

§ 2. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ МЕР РАДОНА 149
фундаментальная система окрестностей нуля в X, то
\U°n\ —фундаментальная система компактных множеств
в X'.
Пример 2.3. Как следует из теорем 2.3 — 2.5' и
следствий 2.2 — 2.3, применяя к рассмотренным приме-
примерам SR-пространств операции топологического произведе-
произведения и суммы, а также перехода к подпространству,
в частности, операции индуктивного и проективного пре-
предела, мы снова получаем ^-пространства.
В частности, ЭК-пространствами являются рассматрива-
рассматриваемые в анализе пространства основных и обобщенных
функций 3; 2Р'\ &к.\ ?$'к\ <^\ <&" (К — компактное под-
подмножество евклидова пространства).
5°. Слабая компактность множества мер в простран-
пространстве X'. Рассмотрим условия слабой компактности сово-
совокупностей положительных мер Радона в пространстве X',
сопряженном к л.в.п. X.
Лемма 2.3. Пусть <М — множество положительных
нормированных Х-цилиндричгских мер на X'. Если мно-
множество оЛ характеристических функционалов этих мер
равностепенно непрерывно в нуле пространства (X,
%s(X, т(Х, X'))), то множество <Л равномерно регулярно.
Доказательство. По определению равностепенной
непрерывности для каждого б > 0 существует окрестность
V в топологии ts (X, х(Х, X')), такая что
Эта окрестность задается некоторой преднормой р е
ев'(Х): V = {x: р(х)<,\\. Но тогда, как указано в за-
замечании 1.1, существуют преднорма q, f>0 и отвечаю-
отвечающее им компактное множество K = S°(q, r), обладающее
нужными свойствами: ц(Я)<е Eе31х; В[\К = ф\ ре
е«#), если 6 = 6(е) достаточно мало. ¦
Следствие 2.4. Если <Л —множество положитель-
положительных нормированных мер Радона на (X', о), у которого
множество <Л характеристических функционалов равно-
равностепенно непрерывно в нуле в топологии %s (X, х (X, X')),
то это множество <Л равномерно регулярно.
Лемма 2.3 в сочетании с теоремой 2.1 приводит к сле-
следующему утверждению.
Теорема 2.6. Пусть Х — л.в.п.; *# — множество
положительных нормированных мер Радона на Х'а. Если
множество Л, характеристических функционалов этих

150 ГЛ. III. МЕРЫ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
мер равностепенно непрерывно в нуле в топологии
xs (X, х (X, X')), то <Л относительно слабо компактно
в ап(Хо').
Замечание 2.2. При дополнительном предположе-
предположении метризуемости компактных подмножеств пространства
Х'а множество <М относительно секвенциально слабо ком-
компактно.
Рассмотрим теперь вопрос об обращении теоремы 2.6.
Следующее утверждение представляет собою переформу-
переформулировку замечаний 1.2 и 1.3.
Теорема 2.7. Пусть X—локально выпуклое про-
пространство, вЛ — ограниченное и равномерно сильно регу-
регулярное подмножество пространства Ш{Х'а). Тогда мно-
множество <Л характеристических функционалов этих мер
равностепенно непрерывно в топологии Макки х(Х, X').
Если X бочечно и <Л лишь равномерно регулярно, то <Л
равностепенно непрерывно в исходной топологии.
Следствие 2.5 Пусть X —бочечное л.в.п., а его
сопряженное X' в некоторой топологии х', согласующейся
С двойственностью X и X', обладает свойством Ы. Тогда
из слабой секвенциальной предкомпактности множества
мер Радона е? cz Ш (X', х') следует равностепенная непре-
непрерывность в нуле множества <М их характеристических
функционалов.
Действительно, множество <М равномерно мало на от-
открытых множествах пространства X'. Иначе для неко-
некоторого е>0 и некоторой последовательности открытых
множеств Un существовала бы последовательность цл та-
такая, что | iin | фп) > е. При этом из {\in} нельзя было бы
в силу теоремы 2.2 выбрать фундаментальную подпосле-
подпоследовательность. Так как (X1, х') есть ^-пространство, то
orft — равномерно регулярно.
Если к тому же компактные подмножества (X', х')
метризуемы, то в силу замечания 2.1 уже из слабой ком-
компактности вЛ следует равностепенная непрерывность <Ж. ш
Применим полученные результаты к выяснению усло-
условий слабой сходимости последовательности вероятностных
(т. е. неотрицательных нормированных) мер Радона.
Теорема 2.8. Пусть X —л.в.п., {|ил} — последователь-
последовательность вероятностных мер Радона на Х'а. Для слабой
входимости этой последовательности:
а) достаточно, чтобы последовательность характерис-
характеристических функционалов %„ (х) этих мер сходилась в каж-

§¦2. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ МЁР РАДОНА 151
дой точке х е X и была равностепенно непрерывна в нуле
в топологии %s{X, х(Х, X'));
б) при дополнительном условии, что X бочечно, а X' —
^-пространство, необходимо, чтобы последовательность
ХлМ сходилась при каждом х и была равностепенно не-
непрерывна в нуле в исходной топологии X.
Доказательство. Сходимость %п(х) непосредствен-
непосредственно следует из слабой сходимости последовательности мер.
Поэтому утверждение б) вытекает из следствия 2.6.
Пусть, наоборот, последовательность %п(х) сходится
к некоторой функции % (х). Так как мера однозначно
определяется своим характеристическим функционалом,
последовательность \in не может иметь более одной пре-
предельной точки. Условия а) обеспечивают, в силу тео-
теоремы 2.6, относительную слабую компактность рассмат-
рассматриваемой последовательности и, в силу слабой полноты
SDt(X'), ее сходимость. ¦
Следствие 2.6. (Теорема Леви,) Если X — ядерное,
бочечное л.в.п., а X'—^-пространство, то для слабой
сходимости вероятностных мер Радона {\in} необходимо
и достаточно, чтобы соответствующая последовательность
характеристических функционалов была равностепенно
непрерывна в нуле пространства X и сходилась в каждой
точке этого пространства.
Следствие 2.7. Пусть (X, Р) — л.в.п., T<"> — после-
последовательность унитарных представлений X в гильберто-
гильбертовом пространстве я%". Пусть последовательность функ-
функций (T<.n7i, К) при каждом h e <Ж равностепенно непре-
непрерывна в нуле в топологии xs(X, P). В силу теоремы 1.4
справедливо представление
(Т<.»>А, /г) = \ 1* <*• У' (Е(л) (dy) h, h) (h e= «ЯГ),
х-
где Е(л) — сосредоточенные в X' ортогональные проекто-
розначные меры.
Пусть в каждой точке jeX справедливо соотношение:
(Т<»>А, /1)->(ТД К) (ке=ЗГ).
Тогда для любой непрерывной, ограниченной на X'
функции f сходится соответствующая последовательность
функций от совокупности производящих операторов пред-
представлений Т(л):
J f (у) (Е w (dy) h,h)-+\f (у) (Е {dy) h, h).

152 ГЛ. III. МЕРЫ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
И ИСТОРИЧЕСКИЕ КОММЕНТАРИИ
к главе III
Вопрос о а-аддитивности цилиндрической меры естественно
возникает в теории случайных функций при построении вероятност-
вероятностного пространства по системе конечномерных распределений. Из общей
теоремы Колмогорова (см. гл. I) следует а-аддитивность этой меры
в пространстве всех функций на рассматриваемом множестве значе-
значений аргумента. Однако в ряде случаев важно уметь выделять более
узкое пространство, имеющее полную меру В гл. II мы уже
обсуждали этот вопрос в специальном случае гауссовой меры. Доста-
Достаточный признак того, что почти все реализации некоторого случай-
случайного процесса непрерывны (и, следовательно, соответствующая веро-
вероятностная мера сосредоточена в пространстве непрерывных функций),,
был впервые указан А. Н. Колмогоровым (см. теорему VII.1 1).
Аналогичный вопрос естественно возникает и для цилиндрических
мер в абстрактном линейном пространстве. Он был решел почти
одновременно и независимо Р. А. Мннлосом [1, 2] для счетно-гиль-
счетно-гильбертова и В. В. Сазоновым [3] для гильбертова пространства.
Р. А. Минлос исходил из понятия случайного распределения Гель-
фанда — Ито (обобщенного случайного процесса: см. И. М. Гельфанда
и И. Я. Вилеикии [1]), эквивалентного понятию неотрицательной
цилиндрической меры. Он показал, что критерием продолжимости
случайного распределения в счетно-гильбертовом ядерном простран-
пространстве X до меры в сопряженном пространстве является непрерывность
этого распределения (или, что то же самое, его характеристического
функционала (см. теорему 1.5)) в топологии X, а также показал
необходимость ядерности X.
С другой стороны, В. В. Сазонов ввел в гильбертовом простран-
пространстве топологию т5 и показал, что непрерывность характеристического
функционала неотрицательной цилиндрической меры в топологии xs
эквивалентна а-адднтивности этой меры А. Н. Колмогоров [3] заметил,
что вводя топологию т5 в счетно-гильбертовом пространстве, можно
получить результат, обобщающий и теорему Минлоса и теорему
Сазонова, а также указал на содержащееся в работе Ю. В. Прохо-
Прохорова [1] простое доказательство основного неравенства типа A1)
(подробное изложение этих результатов см. в работе В. В. Сазо-
Сазонова [4]).
Ряд результатов о характеристических функционалах в гильбер-
гильбертовом пространстве, связанных с теоремой Бохнера и проблемой
продолжения меры, был впоследствии другими методами получен
Л. Гроссом [3]. Переход к мерам в более общих пространствах был
сделан в работах Н. Бурбаки[1], А. Бадрикяна|1] и Л. Шварца [1].
Приводимое нами изложение перечисленных результатов основывается
на статье О. Г. Смолянова и С. В. Фомина [1].
Не желая выводить изложение из определенных рамок, мы
не приводим принадлежащее Е. Т. Шавгулидзе [1] обобщение теоремы
Минлоса—Сазонова на случай знакопеременных мер.
Теорема Минлоса—Сазонова влечет, в частности, существование
в гильбертовом и счетно-гильбертовом пространстве топологии, обла-
обладающей тем свойством, что непрерывность положительно-определен-:
ной функции в этой топологии эквивалентна существованию меры4

ЗАМЕЧАНИЯ И КОММЕНТАРИИ 153
характеристическим функционалом которой эта функция является.
А. М. Вершик и В. Н. Судаков [2] показали, что не во всяком бана-
банаховом пространстве существует топология, обладающая описанным
выше свойством.
Исследование пространств, в которых существует топология,
характеризующая характеристические функционалы положительных
радоновых мер, проведено в работах Д. X. Муштари [1—3].
Другой подход к исследованию мер в линейных пространствах,
основанный на изучении свойств множества линейных измеримых
функционалов, развит А. М. Вершиком [2, 3). Различные геометри-
геометрические проблемы теории меры в бесконечномерных пространствах
изучены В. Н. Судаковым [2, 3) (см. также Р. Дадли [1, 2]). Обзор
ряда результатов в этих направлениях см. в работе
А. М. Вершика и В. Н. Судакова [1].
Описанные выше результаты связаны с различными обобщениями
теоремы Бохнера о представимости положительно определенной
функции преобразованием Фурье.
Результаты, излагаемые в § 2, связаны с другой классической
теоремой гармонического анализа—теоремой Леви о сходимости мер.
Начало исследований этого направления в бесконечномерных про-
пространствах было положено работой Ю. В. Прохорова [1J, в которой,
в частности, для метрических пространств было получено условие
слабой компактности семейства мер (теорема 2.1). Слабая полнота
пространства мер на полном метрическом пространстве доказана
в книге И. И. Гихмана и А В. Скорохода [3]. В работах В. В. Сазо-
Сазонова [1], Ю. В. Прохорова и В. В. Сазонова [1] была перенесена
на счетно-гильбертов случай теорема Леви. При этом было показано,
что для существования топологии, обладающей тем свойством, что
равностепенная непрерывность в нуле множества характеристических
функционалов эквивалентна слабой компактности множества мер
в сопряженном пространстве, необходима ядерность пространства.
В частности, такой топологии нет в гильбертовом пространстве.
Изложение в § 2 представляет собою усовершенстованный вариант
соответствующего раздела статьи О. Г. Смолянова и С. В Фомина [1]
(см. также О. Г. Смолянов [4]). Это усовершенствование связано
с введением понятия ^-пространства.

ГЛАВ А IV
ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ МЕРЫ И РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
В этой главе вводятся основные понятия дифференци-
дифференциального исчисления для функций и для мер. Затем они
переносятся на двойственные объекты: распределения
(обобщенные меры) и обобщенные функции. Определяются
простейшие дифференциальные операторы для функций и
распределений. Рассматриваются свойства преобразования
Фурье распределений и связанные с ними спектральные
представления обобщенных ядер, обладающих свойствами
инвариантности или квазиинвариантности.
§ 1. Дифференцируемые функции,
дифференциальные выражения
1°. Производные векторной функции. Пусть X и Y —
линейные топологические пространства, %{Х, Y) — ли-
линейное пространство всех линейных непрерывных отобра-
отображений X в Y. В том случае, когда желательно подчерк-
подчеркнуть тот или иной выбор топологии, обозначение про-
пространства будет дополняться соответствующим индексом:
Xt, Ya и т. п. Топология в Х(Х, Y) будет задаваться
указанием некоторой системы р" ограниченных множеств
в X: <5?р(Х, У) получается путем наделения <5?(Х, Y)
топологией равномерной сходимости на множествах си-
системы р\ Аналогичным образом вводятся пространства
всех k-линейных непрерывных отображений %(k) (X, Y) и
отвечающие им л. т. п. Х^] (X, Y). Символами Xf\ %$s
будут обозначаться подпространства этих пространств,
состоящие из симметричных отображений. При совпаде-
совпадении пространств Y = X будет применяться сокращенное
обозначение, например, «5?<*> (Х) = <5?(*> (X, X).
Для нормированных пространств с сильной тополо-
топологией X и Y наиболее важный случай получается, когда
Р —система окрестностей нуля. При этом Х^ (X, Y) —

¦ § 1. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ 155
нормированное пространство с нормой
|ф|= «up ,:/(^--^!! (ФеД?«*ЧХ, Г)).
Если пространства X и К гильбертовы, то через Xtf (X, Y)
будет обозначаться подпространство ?{к)(Х, Y), состоя-
состоящее из отображений Гильберта — Шмидта, т. е. отобра-
отображений, для которых конечна норма
0 со
«м- 2 |ф(«-, чЖ,
где {б/}/°=1 — какой-нибудь (безразлично, какой именно)
ортобазис в X.
Пространство Xf]{X, Y) само является гильбертовым
со скалярным произведением
00
(Ф. *),= 2
Пусть X — линейное пространство, (а%^, Р) — его ли-
линейное топологическое подпространство с выделенной си-
системой ограниченных множеств р, К —линейное тополо-
топологическое пространство.
Определение 1.1. Отображение /: Х->К назы-
называется непрерывным в точке х е X по подпространству о%Г
(<№-непрерывным), если отображение h <—*[(x-{-К) про-
пространства е%" в Y непрерывно в нуле пространства е%".
Это отображение называется (е%^, ^-непрерывным
в точке х, если
f(x) = \imf(x + xh)
Х.-0
равномерно по h на каждом множестве системы Р
Определение 1.2. Отображение /: Х->К назы-
называется (аЖ", ^-дифференцируемым в точке хеХ, если
существует линейное отображение f (х) е %$ (a%~, Y),
*) Символ lim здесь и ниже указывает на равномерность сходи-
сходимости на каждом множестве системы р.

166 ГЛ. IV. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ МЕРЫ И РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
для которого
(x, h) (ht
где
р 1
lim-6(x, т/г) = О.
Линейное отображение /' (х) при этом называется произ-
производной ((е?Г, ^-производной) отображения / в точке хеХ.
Наиболее употребительными являются системы мно-
множеств: •
а) система р^ всех конечных множеств; производная
в этом случае называется слабой,
б) система рс всех секвенциально компактных мно-
множеств; производная в этом случае называется компактной,
в) система всех ограниченных множеств рй; производ-
производная при этом называется ограниченной.
Очевидно, что из ограниченной дифференцируемое™
отображения следует компактная, из компактной —сла-
—слабая. Для нормированных пространств, как легко видеть,
ограниченная и слабая производные превращаются соот-
соответственно в производные Фреше и Гато.
Предложение 1.1. Из <%Г-непрерывности отобра-
отображения f: X -*¦ Y в точке х е X следует его (е%", ^-непре-
^-непрерывность в этой точке по любой системе ограниченных
множеств р.
Доказательство. Действительно, из ^Г-непре-
рывности / следует для любой окрестности нуля V в У
существование окрестности нуля О в <Ж, для которой
f( hyf(V hU
+ yf() ()
Так как для любого ограниченного в е%" множества В
имеет место включение хВ^.11 при \х\^.хи для некото-
некоторого tj/>0, то f(x + xh) — f(x)<=V (h(=B, \x\^xu). ¦
Предложение 1.2. Из (&?Г, ^-дифференцируемо-
сти отображения в точке х е X следует его {<Ж, Р)-
непрерывность в этой точке.
Доказательство. В правой части равенства
xh)
оба слагаемых стремятся к нулю при т->0 равномерно
на множествах системы р. ¦
Теорема 1.1. Если пространство <Ж метризуемо,
то из компактной ^Г-дифференцируемости отображе-
отображения f в точке х следует его <Ж-непрерывность в этой
точке.

i 1. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ 157
Доказательство. Достаточно показать, что из
(Г Ре)-непрерывности отображения следует его «^-не-
«^-непрерывность (в силу предложения 1.1 для метризуемого <РГ
эти понятия окажутся эквивалентными).
Пусть р—метрика в е%", определяющая исходную топо
логию. Достаточно показать, что из р(/г„, 0)-»-0 (/г„=?0,
п -*¦ об) следует, что f(x-\-hn) — f (х) -*¦ 0.
Последовательность / г " Д стремится к нулю и
ХУрФп, 0)/ н у
потому относительно секвенциально компактна. Поэтому
равномерно по /г
и следовательно, для любой окрестности нуля УсУ най-
найдется Ny'
ha)-f(x)f=V (n^Nv). m
Следующие формальные правила дифференцирования
очевидны и проверяются обычным образом.
а) Множество {«йГ, Р)-дифференцируемых в точке хеА
отображений /: X-+Y образует линейное пространство и
f->-/' (x) — линейное отображение этого пространства
в Хт'Х, Y).
б) Пусть ф:в9Г1Х^ТаХ...Х^Тп->-У —непрерывное по-
полилинейное отображение и f/. X-*¦ s5T/ (/ = 1, 2, ..., я) —
отображения, (&%", Р)-дифференцируемые в точке ^е!
Тогда отображение
fi X^Y, /(х) = ф(/а(х), ...,
Р)-дифференцируемо в точке х0 и
, ..., fn(x0)).
в) Пусть X, 7 —линейные пространства, е%"с:Х и
/^ cz F и Z — линейные топологические пространства,
/j X-»F, g; F-^-Z и из хх — х4е«^Г следует f{xx)~
— f(xt)<=K.
Если отображение / компактно (ограниченно) «%"-диф-
ференцируемо в точке х, a g компактно (ограниченно)
К-дифференцируемо в точке f(x), то композиция g«/ком-

158 ГЛ. IV. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ МЕРЫ И РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
пактно (ограниченно) е%"-дифференцируема в точке х и
справедлива формула
В дальнейшем будет полезен следующий вариант тео-
теоремы о среднем.
Предложение 1.3. Пусть f — непрерывное отобра-
отображение отрезка [а, Ь] вещественной прямой в л. т. п. Y,
дифференцируемое в каждой внутренней точке. Тогда
f ф)-f (а) <= com \f'(t); a^t^b}
(conv M — замыкание выпуклой оболочки множества М).
Доказательство следует, в силу теоремы Хана — Ба-
Банаха, из того, что для каждого функционала / на Y спра-
справедлива оценка
| /(/(Ь)- f (a)) ^sup |/(/'@)|. ¦
[a, ft!
Следствие 1.1. Пусть отображение f линейного
пространства X в л. в. п. Y дифференцируемо по направ-
направлению h в каждой точке сегмента, соединяющего точки
Тогда
-f(x0)<=conv{f'(x0 + Th)h; 0<т<1} A.1)
и для всякой точки asX, в которой f дифференцируемо
по направлению п,
-f(xo)-f'(a)h<=
еconv \\f' (xo + th)-Г (a)]h; 0<7<l}. A.2)
Для доказательства первого утверждения достаточно
применить теорему о среднем к функции <f(t) = f(xo + th),
для доказательства второго — к функции ty (t) = / (*0 -f- th) —
-tf'(a)h.m
2°. Старшие производные. Существуют различные
взаимно эквивалентные способы определения старших
производных отображения /: Х->К. Мы используем один
из них, основанный на постулировании формулы Тейлора.
Пусть существуют симметричные полилинейные ото-
отображения р>(х)«=<3?м(«%". У) (k=l, 2, ..., п) и функ-
функция б„ (х, п), обладающая тем свойством, что функция
a(t) = 6n(x, th) n раз дифференцируема в нуле и а(*> @) = 0

§ 1. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ 159
(#=1, 2, ..., п), для которых
§«(*, h). A.3)
В этом случае назовем отображение / (аЖ", ^-диффе-
^-дифференцируемым в точке х до порядка « включительно, а ото-
отображения /:(/г) (х) — его производными.
Нетрудно показать, что если в окрестности некоторой
точки х отображение / дифференцируемо до порядка я
в смысле A.3), то /' (х) является его {в%Г, Р)-производной
в смысле определения 1.2, эта производная как отобра-
отображение /': Х-+Х(&/Г', Y) дифференцируема до порядка
л-1 и (/')<*-*'= /'*• (k=l, 2, ..., (п-1)).
Наоборот, как известно, из я-кратной последователь-
последовательной дифференцируемое™ отображения / следует формула
Тейлора A.3).
3°. Линейные дифференциальные выражения. Введем
в рассмотрение линейные дифференциальные выражения
для отображений и линейного топологического простран-
пространства X в линейное топологическое пространство Y. Пусть
«%" с X и отображение и {<эЖ, Р)-дифференцируемо
в точке х0 е X до порядка k включительно. Производная
и(к) (*о) является элементом пространства ?р (&%", Y), и
если на этом пространстве определен линейный непрерыв-
непрерывный оператор ср, отображающий его в некоторое л. т. п. Z,
то естественно определяется отображение
С: u-+q>(u<k)(xo)) = W(u)(xo),
которое мы назовем линейным однородным дифференциаль-
дифференциальным выражением порядка k в точке х0, порождаемым опе-
оператором ф. Вообще говоря, ф = ф(х0) также зависит от
точки х0.
Примеры таких дифференциальных выражений легко
строятся для гильбертова пространства е%^.
Пусть {*»}"«! - ортобазис в^иае Z(k) W% X (Y, Z)).
Рассмотрим дифференциальное выражение, определяемое
рядом
Tr<*> [a ® ы<*> (*„)] Й*
SSI 2 ^ei1,...,e,k)uW(xt)(e,i,...,e^ A.4)
1

160 ГЛ. IV. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ МЕРЫ И РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
в предположении его абсолютной сходимости. Это выра-
выражение во всяком случае имеет смысл, если пространства Y
и Z также гильбертовы, а отображения а и м(*> гильберто-
шмидтовы.
Нас интересуют в основном дифференциальные выра-
выражения первого и второго порядка, и мы рассмотрим сей-
сейчас их подробнее сначала в скалярном случае (Y = Z=<?;1).
Так как и' (х0) е =5?р (^Г, (С1) = в#Г\ то дифференциаль-
дифференциальные выражения первого порядка даются формулой
где ф (х) е <Ж (х е X).
Ниже систематически будет употребляться символиче-
символическое обозначение и' (х) = Чи(х), где V = V^,— символ
дифференцирования вдоль подпространства «9Г, который
по определению наделяется алгебраическими свойствами
элемента пространства <Ж'. При этом можно записать
1Я\х)(и(х)) = (<р(х), и'(х)) = (<р(х), V)u(x).
Пусть, в частности,
u(x)=l ei<x-Vv(dQ) (х<=Х), A.5)
А'
— преобразование Фурье меры v на двойственном про-
пространстве X'. Если выполняется условие
$|<А, 6)||v|(d6)<oo (Л
х
то
X'
Функция а(х, 8) = 1(ф(я), 8) на ХхХ' обладает свой-
свойством
^'е'<*.в> = о(х, в)е*<*-в> A.6)
и называется символом дифференциального выраокения 1Ц[Х).
Из A.5), A.6) следует соотношение
которое ниже мы распространим на более общую ситуацию.
Рассмотрим теперь дифференциальные выражения вто-
второго порядка, предполагая пространство <Ж гильберто-
гильбертовым. При этом можно считать пространство X' вложен-
вложенным в <2%": X' zzW =*<Ж. Вторая производная и" (х)

§ 1. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ Ш
представляет собою симметричный ограниченный билиней-
билинейный функционал на в/Т, который каноническим образом
отождествляется с линейным ограниченным симметричным
оператором в е%" — этот оператор мы по-прежнему обозна-
обозначаем и"{х). Если aeF)(J, (D1) имеет вид
а(/, g) = (A/, x
то, как легко видеть,
®и" = Тг^ Аи" В*, A.7)
если оператор Аи" В* — ядерный (знак Тг в правой части
означает обычный операторный след в гильбертовом про-
пространстве q%"), в частности, когда А, Ве^г(е5Г). Для
вычисления символа дифференциального выражения Г?
заметим, что для и (х) = е1'<*•у) имеем и" {х) {hx, К)—
= _е< <*. у) ф,ъ у) фг, у), и следовательно,
Таким образом, функция а(х, у), удовлетворяющая
соотношению вида A.6), которое мы принимаем за опре-
определение символа, для дифференциального выражения A.7)
имеет вид
*(х, у) = -(А(х)у, В(х)у) (В*(х)А(х)у, у).
Заметим, что при В = А полученный квадратичный
функционал неположителен. Такой символ, а вместе
с ним дифференциальное выражение 1Ч\ естественно на-
назвать эллиптическим.
Распространяя на рассматриваемый случай принятый
выше способ обозначения, полагаем
Тг А (х) и" (х) В* (х) = а[х, j- v) и (х) =
= (B*(x)A(x)V, V)u(x).
Нетрудно проверить, что для функций вида A.5) спра-
справедлива формула
) f A.8)
4V)"= f
Рассмотрим теперь векторные функции со значениями
в вещественном гильбертовом пространстве q%T1 = Y = Z.
Введенные выше скалярные дифференциальные выра-
выражения распространяются на них очевидным образом с по-
Q Ю. Л. Далецкий, С. В. Фомке

162 ГЛ. IV. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ МЕРЫ И РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
мощью соотношений
«Ф (х), V) и, f) = <Ф (*), V) (И, /) (/
((B*AV, V)«, /) = (B*AV, V)(«, /).
Введем далее для пары /е<Ж\ j/eF линейный опе-
оператор /®gei(е%", F), определяемый формулой
(l®y)h = {h, f)y.
Это обозначение оправдывает соотношение и' (х) =
= V 0 и (х). Действительно, при этом
u'(x)h = (V ®
и для /еГ получается правильная формула
(и(х), f)'h = (u'(x)h, f) = (h, V)(u(x), />-
Если e%^i = ^T и оператор ы' (я) — ядерный, то его
след естественно назвать дивергенцией векторной функции
и(х):
div и (х)=»Тг и'(*)=¦(?, и (ж)).
Введем также понятие дивергенции операторной функ-
функции A(j;)ei?(Ж1, е%^) (хе А), определяя ее как вектор
div А (я) е <%", удовлетворяющий соотношению
(divA(x), 9)^ = div(A(x)9) («pe»)
в случае, когда оператор (А (х) ср)' = Аф (х) — ядерный в
при каждом ф е Ж".
Пусть теперь и; X-vIR1. Тогда и': X-ve%" и можно
ввести в рассмотрение дифференциальное выражение вто-
второго порядка
divA(x)u'(x),
где A(x)eL(e%") (xeX). Нетрудно проверить соотно-
соотношение
div А (х) и' (х) = <V, А (х) V) «(х) =
= (A*(x)V, V)«(x) + (divA(x), V)«(x), A.10)
справедливое в предположении, что входящие в него вы-
выражения имеют смысл.
При помощи подобных же рассуждений для векторной
функции и- Х-^еЭГ определяется дифференциальное выра-

•§ I. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ 163
жение
(A*(*)V, u(x)) = 7rA{x)u'{x) A.11)
и выводится формула
(A*(jc)V, M(jc)) + (divA(jc), u(x)) = dlv A(x)u(x). A.12)
Выражение A.11), очевидно, имеет смысл, если оба
оператора А {х), и' (х) гильберто-шмидтовы (или, в дру-
другом варианте, А (х) —ядерный). Формулы A.10) и A.12)
справедливы, если ядерны операторы А (х), [А (х) q>]'
)
Рассмотрим теперь билинейное отображение а(х):
%^ > еЯГ2 и определим дифференциальное выраже-
выражение первого порядка
a(V,u(x)) A.13)
следующим образом. Пусть при ф е s% определяется
линейно зависящий от ф оператор Аф е X ($Г ?%"
с помощью соотношения
(a (I, g), Ф)^ = (Аф/, g)x% (/ e
По определению полагаем в соответствии е A.11)
(Ф, a(V, m(jc))) = (A,V, и (х)) = Тг A$(jc) и' (х).
Это выражение имеет смысл для и' (х) е =S?2 (e%",
если при каждом ф оператор Аф (х) е «5f2 (^» g%^i) и
непрерывно зависит от ф, например, при а(/, g) = c(Bf, g),
где В е Я*
Рассмотрим, в частности, векторную функцию
и{х)=\ ё <*¦ e>v (dB) = \ е1 <*¦ е>р (9) v0 Щ,
X' X'
являющуюся преобразованием Фурье векторной меры v,
которую мы для простоты считаем абсолютно непрерыв-
непрерывной относительно некоторой скалярной меры v0: p (9) =
= v -fJ (всюду без специальных оговорок интегралы
предполагаются абсолютно сходящимися). В этом случае
u'(x)h = i I e*<*.e><A, e)i>(Q)v0
X'

164 ГЛ. IV. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ МЕРЫ И РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
и следовательно,
и' (х) = V ® и (х) = i \ ё <*• е> (9 ® р (9)) v0 (dB) =
X'
= i \el <*> e> (9 ® v (d9)).
x-
Отсюда легко выводятся формулы
divu(x) = i \ e<<*>
X'
и для скалярной функции и (х)
divA(x)u'{x) = —\ е'<*-
х-
Наконец, для дифференциального выражения A.13)
получается представление
а{х)(Ч, u(x)) = i $ e'<*-e>a(jc)(9, v(d9)).
X'
Символом его естественно считать оператор а{х, 9),
обладающий свойством а(х)(В, р(В)) = а(х, 9)рF) (если
он существует).
Обобщая приведенные выше рассмотрения, можно вве-
ввести для функций
X'
псевдодифференциальное выражение
а[х, |v, u(x))= j е(<х-&>а(х, б, v(d9))
с операторным символом а (х, 6): а(дс, 8, h)=d(x, Q)h,
удовлетворяющим условию
^ \а(х, 9)|.|v|(d9)<oo.
X'
Если а (х, 9) — полином относительно 9, то а (л:, V, и) —
дифференциальный оператор.
4°. Симметричные и диссипативные дифференциальные
операторы. Перейдем к менее формальному рассмотрению
дифференциальных операторов, связанных с определен-
определенными выше дифференциальными выражениями.

§ 1. Дифференцируемые функции 166
Пусть X = &/Г_ гэ e%" zd в%"+ — каноническая тройка
гильбертовых пространств*), v — связанная с ней стан-
стандартная гауссова мера в X, К — гильбертово пространство.
Рассмотрим гильбертово пространство •? = ф (X, К, v)
интегрируемых в квадрате по мере v отображений и:
Х-*-К с нормой ||| и |||2= § ||ы (л:)||2v (dx) и гильбертово
х
пространство $г (X, К, v) с .§, состоящее из &?Г-диффе-
ренцируемых до порядка г отображений с нормой
« III? = \ (| и (х) |» + % oj (и</> W))v
оо.
Обозначим через СГ(Х, В) банахово пространство ото-
отображений и: Х->В (Б —некоторое банахово простран-
пространство), &?Г-дифференцируемых до порядка г, ограничен-
ограниченных вместе с производными на X.
Пусть АеЕ^2(^Г), /е фх(Х, J?,(«^r,/C), v). Тогда, как
показано в теореме II.3.5, определена измеримая функ-
функция р (А, /) (jc) €Е ф («ДГ_, /С, v), которая для А <= J?, {^Г)
имеет вид
р(А, /)W = /WAx-div[/
Из теоремы II.3.4 следует, что
$р(А, /)(*)v(dx) = 0. A.14)
х
Пусть aeCi(X, R1). Подставляя в A.14) f(x)a(x)
вместо f(x), получим равенство
\р (А, /) (х) а (х) v (dx) = $/ (х) Ао' (х) v (dx). A.15)
X X
Пусть теперь {фу} — ортобазис в /С и v (х) = ^ а;- (*) фу,
где ayeCi(X, R1). Из A.15) после небольших преобра-
преобразований получается формула интегрирования по частям
в виде (при А = I)
\ (р (/) (х), v (х)) v (dx) = I Tr / (х) V" (х) v (dx). A.16)
X X
При помощи предельного перехода она распростра-
распространяется на oe^i(X, К, v).
*) Т. е. оснащенное гильбертово пространство с гильберто-шмид-
товыми вложениями.

166 ГЛ. IV. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ МЕРЫ И РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Пусть BeCi(X, %{q%T)). Определим на пространстве
$2{Х, К, v) дифференциальный оператор
Отметим, что его сужение на подпространство ^2 (^. К, v),
состоящее из функций и {х) <= ^>2 (^. К> v), для которых
[и* (х) ф]' (ф <= /() — ядерный оператор, имеет вид
*) = р (и' (jc) В (х)) = и' (х) В (х) х - div [и' W В (*)] =
, V)u(a;)-(V, B(jc)V)mU). A.17)
Полагая в A.16) f(x) = u (x) В (х), получим формулу
Грина
= \Tr[u'(x)B(x)v'*{x)}v(dx), A.18)
X
из которой непосредственно выводится следующий ре-
результат.
Теорема 1.2. Определенный на $2{Х, К, v) диффе-
дифференциальный оператор Шо. являющийся расширением A.17)
с |>2 (X, /С, v), пры В (х) = В* (х) симметричен в §(Х, /С, v),
а пры В (х) ^ 0 непозитивен:
J (Яои W, и W) v (dx) = - J Tr [«' (х) В (х) «'•(*)] v (dx). Ш
X X
Рассмотрим теперь недиагональный оператор a(V, и).
Пусть сначала а (/, g) = (A (jc) /, g), где А е С (X, «S?2 (^Г)),
принимает скалярные значения. Оператор а {х) (V, и (х)) =
= (A(x)V, ы(а;)) определен на $i(X, К, v) и принимает
значения в ф (X, R1, v):
X
= \ I Tr A* (jc) u' (x) |a v (dx) < const J a| (u' (x)) v (dx).
X X
Вычислим сопряженный к нему оператор. Из A.12) сле-
следует
(А (х) V, и (х)) = di v А* (х) и {х) - (div А* (х), и (х)).

§ I. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ 167
Поэтому для ae?)i(X, R1, v) имеем:
\ (А (х) V, и (х)) v (х) v (dx) = $ (V, А* (х) и (х)) v (x) v (dx) -
X X
¦ - \ (div A* (x), и (х)) v( x) v (dx) =•
X
= $ (V, v (х) А* (х) и (х)) v (dx) -
- 5 (div А* (х), и (х) v (х)) v (dx) -
X
-\(A*(x)u(x),V)v(x)v(dx)~
X
= 5 (ы (х), А (х) xv (x) - div A* (x) v(x)-A (x) Vv (x)) v (dx),
X
если только существует divA*(x). Таким образом,
(А (х) Ч)*=А(х)х- div А* (х) -
-А(х)Ч: ?i(X, R1, v)-v^(X, К, v). A.19)
Рассмотрим теперь более общий случай, когда а(х)^
^Х2(ХхК, К) принимает векторные значения. Пусть
сначала v (x) = _?] ау (х) фу. Тогда
ы (л;)), v (x)) v (dx) =
\^ I Д ^**\ *• — Н iv
*\ / L ' J /
Вводя обозначение (a(f, g), h) = (a(f, h), g), получаем
/2ауАф/, g\ = 2laJ(a(f, g), фу) =
\ / / /
откуда
(и,
Кроме того, если {eft} — ортобазис в X, то
е») = 2 ((А^А) /,
/, Ф). в*)', е*) =
(/, div А; (х)) = 2 (/, [AJ'eJ е») = 2 ((А^А) /, в»)

168 ГЛ. IV. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ МЕРЫ И РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
и, следовательно,
2 *)(", о).
Таким образом, сопряженным в пространстве .§ (X, /(, v)
для оператора 1а{и) = а(Ч, и) является оператор
/S(o) = a(x-V, о)-Тгй'(*)(•, f)*)- A-20)
Используя это выражение, нетрудно найти достаточ-
достаточные условия диссипативности оператора 1а(и) в простран-
пространстве § (X, К, v). Формула
/«(«0 + «(«) = a(Vt u)+a(x, и)-й(Ч, и)-ТгД'(., и)
приводит к следующему утверждению.
Теорема 1.3. Пусть выполняются условия
И/, Я), h) = (a(f, A), g) A.21)
(/, а (х, /)) - Тг й' (х) (/, /) < 0. A.22)
Тогда
Важным свойством диссипативного дифференциального
оператора является его существенная максимальность
(в частности, существенная самосопряженность симметрич-
симметричного оператора).
В следующих главах мы получим некоторые условия
максимальности для бесконечномерных дифференциальных
операторов. Эти выв >ды будут опираться на одно общее
утверждение, которое мы сформулируем в заключение
этого параграфа.
Теорема 1.4. Пусть $ —гильбертово пространство,
$2> — плотно вложенное в него банахово пространство
в более сильной топологией. Пусть и (t) — сильно непрерыв-
непрерывная в $Р полугруппа операторов с производящим операто-
оператором А, оставляющим инвариантным плотное в § линейное
множество &0, содержащееся в области определения &>а
оператора А. Если сужение А |$, диссипативно (симмет-
(симметрично) в ф, то его замыкание является максимальным дис-
сипативным (самосопряженным) в $ оператором.
•) Последнее слагаемое понимается в следующем смысле: если
b(u, v)— билинейный функционал, го Ь (•, v) — вектор, удовлетво-
удовлетворяющий условию (и, b I; v)) = Ь (и, о).

S 2. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ МЕРЫ 169
Доказательство. Достаточно показать, что из
условия
((А-1)ф, /) = 0 (?ef.)
следует, что / = 0.
Рассмотрим функцию a{t) = er4 (и (t) ф, f). Она обла-
обладает свойствами \\т a. (t) = 0 и a.' (t) = ег4 ((А — I) и (t) ф, /) =
t-*o
= 0, откуда следует, что (/, ф) = lima (/) = () (фе^0). ¦
<-*о
§ 2. Дифференцируемые меры
1°. Производная меры. Пусть (X, 9Г) — линейное про-
пространство с a-алгеброй подмножеств, инвариантной отно-
относительно сдвигов на элементы топологического линейного
подпространства ©%"с:Х, Y — линейное топологическое
пространство. Рассмотрим некоторое линейное простран-
пространство аЯ мер на (X, 21) со значениями в У, в котором
задана линейная топология б. Эту топологию назовем
совместимой с s%", если отображение сдвига (xi—*fxA
(цн(А) = ц (A -f/i)) при каждом /leaf является линей-
линейным гомеоморфизмом (е?, б) на себя.
Мера ц е аЖ определяет отображение пространства <Ж
в {е?, б)
Ан-*ц*. B.1)
Определение 2.1. Мера1 ц называется (<М, Ь)-диф-
ференцируемой вдоль (©%", р), где р —система ограничен-
ограниченных множеств в оЖ', если отображение B.1) («=%", р*)-
дифференцируемо в точке /i = 0.
Иными словами, мера ц {eS, б)-дифференцируема
вдоль (рЖ', р), если существуют линейное непрерывное
отображение
(д.': о/1 —*¦ <М
и функция г {A, h)^(eS, б) (ЛеХ), обладающая свой-
свойством
lim^-r(A, th) = O
t-o '
(равномерно на каждом множестве системы р), такие, что
-ц(Л) = ц'И)Л + /-И, Щ B.2)
(Л <= И, А

170 ГЛ. IV. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ МЕРЫ И РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Отображение ц.' при этом называется (^-производной
меры р., а мера ц'(A) h — производной меры ц по направ-
направлению h.
Очевидно, что если пространство е%" одномерно, то
е%"-производная сводится к производной по направ-
направлению.
Нас будут интересовать, в основном, следующие три
топологии:
а) топология xf слабой сходимости мер:
Цл -»- Ц, если \ <р (*) ц„ (dx) -^ $ ф (л;) ц (d*)
X X
для каждой ограниченной и непрерывной вещественной
функции ф(лг),
б) топология xs сходимости на каждом множестве
Л еЯ,
в) топология т„ сходимости по вариации, если послед-
последняя определена.
Заметим, что в пространстве всех вещественных мер
с топологией xv в качестве сильной топологии слабая схо-
сходимость эквивалентна т^-сходимости ограниченных после-
последовательностей.
Выясним некоторые связи между возникающими при
различном выборе топологии типами дифференцируемое™.
Прежде всего из известной теоремы Никодима легко
следует утверждение.
Предложение 2.1. -Для того чтобы мера ц на А
со значениями в л. в. п. Y была хх-дифференцируемой в на-
направлении h, необходимо и достаточно, чтобы отобра-
отображение
было дифференцируемым в точке t = 0 при каждом
При дальнейшем исследовании нам понадобятся неко-
некоторые следствия теоремы о среднем (предложение 1.3).
Предложение 2.2. Пусть б — локально выпуклая
топология в <Л и мера \х {<М, Ь)-дифференцируема по
направлению h. Тогда
Hh — \i<=conv{\i'h\eh',
Доказательство. Достаточно применить предло-
предложение 1.3 к отображению г|э: tt—»-nth
-р = У A) -г|> @) е coTiv {г|/ (9)^0< 9

§ 2. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ МЕРЫ 171
Следствие 2.1. Пусть eS — пространство всех ве-
вещественных мер на (X, Щ и б—линейная топология в <Л,
совместимая с е%" и обладающая тем свойством, что еди-
единичный шар банахова пространства (аЖ, xv) замкнут
в (•*, б).
Тогда при условиях предложения 2.2 имеют место
оценки
||А|, B.3)
sup {|(ц'А),*-ц'А|}. B.4)
Эти результаты получаются путем применения оценок
A.1) и A.2) к отображению ij;, если учесть, что множе-
множество {((д.'А)ел} лежит в шаре радиуса Ц |х'Л ||.
Теорема 2.1. Если вещественная мера \и^.аЖ
Xs-дифференцируема по направлению h, то она и xv-ducp-
ференцируема по этому направлению.
Доказательство. Достаточно доказать, что
Iu'h— , ** (I —>- 0 (/-»-0).
•II
По условию для каждого А <= 51
Поэтому функция ф^: t*—*nth слабо дифференцируема,
а значит, ее производная г|^: t*—*-(\i 'h)th слабо измерима
в aSv(X, Щ. Из оценки 1и<а —и1^И1*1М|'Л1 следует не-
непрерывность фц(/), а значит, и сепарабельность мини-
минимального содержащего ее значения линейного простран-
пространства. Поскольку ему принадлежат и значения %(t), то
эта функция сильно измерима. В силу инвариантности
вариации относительно сдвигов имеет место соотношение
Так как правая часть стремится к нулю при е-»-О,
то '% непрерывна. Поэтому, в силу B.4),

172 ГЛ. IV. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ МЕРЫ И РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
2°. Логарифмическая производная.
Теорема 2.2. Пусть \\ — неотрицательная мера на
{X, Щ, Xs-дифференцируемая в направлении h. Тогда ее
производная по этому направлению n'h -есть мера, абсо-
абсолютно непрерывная относительно ц, и, следовательно, су-
существует ^.-интегрируемая функция fh (x) {логарифмичес-
{логарифмическая производная меры \i в направлении К) такая, что
bi'h)(A)=\fh(x)ii(dx). B.5)
А
Доказательство. Функция ср (t) = n(A-\-th) неот-
неотрицательна и всюду дифференцируема. Если |я(Л) = 0, то
ф@) = 0 и точка ^ = 0 есть точка минимума q>(t). Поэтому
Это утверждение распространяется и на более общие
меры прежде всего благодаря следующему результату.
Теорема 2.3. Пусть ц — вещественная мера на (X, Щ
и ц = ц+ — [i~ — ее разложение Жордана — Хана. Если мера \х.
Xg-дифференцируема по направлению h, то этим свойством
обладают и неотрицательные меры ц+, \.i~.
Доказательство. Существует Se?! такое, что
Функция ф @ = ц E + th) = p (Sth) = \i(S() S,A)+\i (Sth\S),
очевидно, имеет максимум при ( = 0 и всюду дифферен-
дифференцируема. Поэтому
ф@-ф@) V-(Sih\S) , / \i(S-Sth)\ n ,, n
Так как оба слагаемых здесь неотрицательны, то каждое
слагаемое стремится к нулю при t-*-0. Из 5 =
= (Sth U (S - Sth)) \ EМ \ S) следует
^ {Ath) -^(A)=
V(A(\(S\Sth))-\».(A(\(Sth\S))
t
так как второе слагаемое стремится к нулю. Это влечет
формулу
(+йИ 070ИП5) B.6)

§ 2. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ МЕРЫ 173
Аналогично и
Ш B.7)
Следствие 2.2. Вещественная дифференцируемая
мера ц на (X, 31) обладает логарифмической производной
(\i'h){A)=\)fh(x)ii(dx), B.8)
А
причем fh (x)=fK (x) при xeS или x~e=S соответственно,
где ft — логарифмические производные соответственно мер
ц±. ¦
Теорема 2.4. Пусть X — л. в. п., X' —его сопряжен-
сопряженное и о-алгебра подмножеств X, порожденная Х'-цилин-
дрическими множествами, совпадает с борелевской. Тогда,
если вещественная мера ц х(-дифференцируема в направ-
направлении h и производная ц'И. является мерой, абсолютно не-
непрерывной относительно ц, то мера ц хъ-дифференцируема
в направлении h.
Доказательство. Каждый шар пространства
(еЖ, xv) замкнут в (а?, xf). Поэтому, в силу B.4), спра-
справедлива оценка
|^*Z±-H'ft|< sup
II ' II 0<9<l
Следовательно, достаточно показать, что lim f (ц'й)ел—ц'А|=
9-0
= 0. Из B.3) следует, что Пт||ц/Л —ц|| = 0 и, таким обра-
/-о
зом, доказательство теоремы сводится к следующей лемме.
Лемма 2.1. Пусть ц, \ — две вещественные меры на
о-алгебре 31 = о C1x0 л- в- п- Х> порожденной его X'-цилин-
X'-цилиндрическими подмножествами, и v<^fi. Тогда из условия
lim | шп — ц 1 = 0 следует lim I vrt — v 1 = 0.
t-*o t-+o
Доказательство. Пусть v(A) = §/(x)ц (dx) и /8 —
A
простая 31х'-измеримая функция, для которой [\f(x) —
х
— /8 {х) 11 ц | (dx) < e. Из соотношений

174 ГЛ. IV. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ МЕРЫ И РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
вытекает, что без ограничения общности можно считать /
91х-измеримой конечнозначной функцией; более того, по-
поскольку такая функция есть линейная комбинация инди-
индикаторов цилиндрических множеств, можно считать, что
уже сама функция / является таким индикатором. В этом
случае
1 fth' Vth - f • Ц КI fth ° Vth - fth• И1 +1 fth• И - / • И К
и для завершения доказательства остается заметить, что
3°. Производная меры как элемент сопряженного про-
пространства. До сих пор мы рассматривали производные
по фиксированному направлению h. Если мера ц диффе-
дифференцируема по каждому направлению h e е%Г и, более
того, отображение h -> ц' (A) h линейно относительно h при
каждом А е31, то ц т^-дифференцируема вдоль е%". Однако,
вообще говоря, отсюда еще не следует непрерывность ли-
линейного отображения ц' (А): <Ж -+V,- Если все же ц' (Л)е
е«5Т', то можно получить дальнейший результат.
Теорема 2.5. Если мера ц х5-дифференцируемавдоль
" и пространство оУТ полурефлексивно (алгебраически
изоморфно своему второму сопряженному), то е%Г-произ-
е%Г-производная ц' есть о-аддитивная функция на W со значениями
из ЯГ.
Доказательство. В силу известной теоремы Пет-
тиса достаточно доказать слабую а-аддитивность меры ц'.
Из полурефлексивности <Ж следует, что для всякого
<pee5f' существует такой fteeSf, что q>(u) = u(h). При
этом <р(ц' (А)) = ц' (A)h оказывается а-аддитивной мерой.
Замечание 2.1. Из (<?%', т^-дифференцируемости
меры ц следует непрерывность, а значит, и ограничен-
ограниченность отображения ц': Q%"->-a?w(X, Щ, где w — слабая
топология банахова пространства <Л>Ъ, а следовательно, и
b%T-*-a?v(X, 31), так как в этих пространствах совокуп-
совокупности ограниченных множеств совпадают Если простран-
пространство яЯГ борнологично, то последнее отображение и не-
непрерывно. Из оценки [ цл — ц [ <: | \i'h \ при этом следует
непрерывность по вариации операции сдвига для слабо
дифференцируемой меры. ¦
4°. Старшие производные. Старшие производные меры
|ie4 определяются на том же пути, что и первая, как
соответствующие производные а нуле отображения цЛ!

'§ 2 ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ МЕРЫ 175
ъйГъ-сМ, Таким образом, (<М, б)-производная порядка п
меры ц вдоль (а%", Р) есть полилинейное отображе-
отображение ц{п): J"x...x &Г->в1, принадлежащее классу
Х^ (qW, еЖ). Мера ц, дифференцируемая до порядка п
в направлении подпространства (е%", Р), удовлетворяет
соотношению
h)(A) + l(A, t, h) (Ае-Щ, B.9)
k=l
где отображение ф(t) = l(A, t, h): (—e, e)->-(«0, 6)
я-кратно дифференцируемо, причем ф(*' @) = 0 (k= I, 2,...
..., п) равномерно относительно множеств системы р.
Из соотношения B.9) следует, что мера ц'к (Ае&Г)
дифференцируема до порядка п—\ в направлении h,
причем ее производными являются отображения
(H'hy-v (h, .... h) = \iW(h, .... h).
Кроме того,
— это выражение называется производной порядка k вдоль
направления (hx, ..., ft*). Очевидно, что
= [ц(*-« (А) (Ль .... Va)]' Л, (hu ..., hk
и эта формула могла бы быть положена в основу опреде-
определения старших производных.
Пусть X —отделимое л. т. п., Шх — пространство всех
мер Радона на X, С (X) — пространство всех ограничен-
ограниченных непрерывных функций на X, х/ — слабая топология
в Шх как двойственного к С (X) пространства, 31 —а-ал-
гебра всех борелевских подмножеств X.
Следующее предложение непосредственно вытекает из
определений.
Предложение 2.3. Для того чтобы мера ц е Шх
была х^-дифференцируема по направлению h, необходимо,
а если пространство (Шх, т/) секвенциально полно (см.
теорему III.3.2), то и достаточно, чтобы для каждой

176 ГЛ. IV. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ МЕРЫ И РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
функции (реС(Х) существовал предел
Jim
1 f ф (х) \itn (dx) - U (x) ц (dx)\. B.10)
Свойство тгдифференцируемости является более сла-
слабым, чем свойство т^-дифференцируемости. Однако имеет
место следующий результат.
Теорема 2.6. Если мера ц е Шх дважды х[-диффе-
х[-дифференцируема по направлению (h, К), то она х^дифферен-
цируема по направлению h.
Доказательство. Единичный шар пространства
(%ЯХ, tv) замкнут в xf. Поэтому в силу B.3)
и следовательно, отображение ti—-(n'h)tll: К1->(ЯЛх. tv)
непрерывно (под производными здесь понимаются ^-про-
^-производные). Далее, в силу B.4) имеет место оценка
sup |(ц'А)в»-ц'Л|,
0<9<1
которая вместе с непрерывностью отображения ?i—»-(ц7г)9л
приводит к нужному результату.
Следствие 2.3. Класс мер из Шх при любом п и
любом наборе элементов hi, ..., hn из подпространства
<?%" с X, хДифференцируемых по направлению (hu ..., hn)
до порядка п, совпадает с классом мер, хъ-дифференцируе-
мых по каждому такому направлению.
Замечание 2.2. Можно доказать, что если <Ж —
пространство Фреше, то из ^-дифференцируемое™ по лю-
любому направлению hu h2, ..., ftne^f меры ц до по-
порядка п следует полилинейность и непрерывность ото-
отображения
(^ А„)н-ц(-) (кг hn): <Жх...хЖ-*{Шх, xv)
(подробнее см. О. Г. Смолянов [4]).
Из этого утверждения следует, что для бесконечной
т^-дифференцируемости меры ц по рассматриваемому под-
подпространству «$Г достаточно, чтобы для любой непрерыв-
непрерывной функции феС(Х) и любого набора hu ..., /in5T
функция
Ч>: (h W-—
была п раз дифференцируема в точке t = 0 (п = 1, 2, ..,).

§ 3. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ 177
Замечание 2.3. Пусть X — локально-выпуклое про-
пространство, топология которого может быть задана некото-
некоторым набором гильбертовых полунорм, С°° (X) — линейное
пространство всех ограниченных вместе с производными
бесконечно дифференцируемых функций на X. Пусть Ьс —
слабая топология в Шх, определяемая двойственностью,
связанной с билинейной формой
Можно показать (см. О. Г. Смолянов [4]), что теорема
2.6 и утверждение следствия 2.3 обобщаются на этот
случай. Это следует из замкнутости шара пространства
(ЗЯХ, т„) в бс. ¦
§ 3. Распределения и обобщенные функции
1°. Основные функции и меры. Пусть X, У —пара
линейных пространств с соотношением двойственности
(х, у) (х е X, у е Y). Рассмотрим линейное топологи-
топологическое пространство Ф, состоящее из комплекснозначных
функций на Y, бесконечно дифференцируемых на Y по
любому конечному набору направлений из линейного
подмножества YoczY (возможно, совпадающего с Y) и
ограниченных вместе с каждой производной
(yeY, кг А*еУ0), (А=1, 2, ...)•
Пространство Ф назовем основным пространством
(пространством основных функций), если выполнены сле-
следующие условия:
Ос. 1) Для любой 0-аддитивной комплекснозначной
меры ц на Y из сходимости фл->Ф в пространстве Ф
следует, что
J Ф (У) И (dy) = Hm I фл (у) ц (dy). C.1)
у п ->оо у
Ос.2) При каждом fteK0 операция сдвига
Ф^-Блф: (SA<p)(y) = <p@-ft)
определена и непрерывна в Ф.

178 ГЛ. IV. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ МЕРЫ И РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Ос.3) Для любого набора hx, ..., hk^Y0 операция
дифференцирования D^ .... hft<j> (у) = <р(*> (у) (hlt .... hk)
непрерывна в Ф.
Функцию ур(у) (у <= Y) назовем мультипликатором в Ф,
если умножение на нее определяет линейный непрерыв-
непрерывный оператор в Ф:
Множество мультипликаторов на Ф, очевидно, обра-
образующее алгебру, обозначим Ф. Заметим, что если Ф —
алгебра с непрерывным умножением, то ФсФ, т. е.
элементы Ф сами являются мультипликаторами.
Ниже иногда будут использоваться следующие допол-
дополнительные условия:
Ос.4) Функция ц>х (у) = е' <*• у~> (хеХ) является мульти-
мультипликатором в Ф, непрерывно зависящим от jeX.
Ос.41) В дополнение к условию Ос.4) 1еФ. При этом
Ф с Ф и, в частности, «'(''йеФ и непрерывно зависит
от х как элемент Ф.
Важным является случай, когда Х = е9Г+ = Пт^Га —
проективный предел некоторого семейства гильбертовых
пространств е?Га, Y — X' = <Ж. = lim &%"_„ — индуктивный
предел сопряженных пространств 2%^_а = ^'а- Всегда
можно какое-нибудь из этих пространств е% отождествить
со своим сопряженным &%"o = o%- ^Ри этом
X CZ <гЖ"о = е%^о С^ X' И s5s a С s5s о == еТоС^"^. C.2)
Роль Уо в этом случае может играть одно из прост-
пространств «5Та, например е5Г0-
Ниже часто рассматривается именно этот случай. При
этом будет использоваться еще дополнительное условие:
Ос.5) Существует некоторый полный набор «9s конечно-
конечномерных ортопроекторов в о% со значениями в X, для
которого из «реФ следует, что <рр еФ, где <р (у) =
Р (РП
Ф() (П
В некотором смысле ослабленным вариантом является
условие:
Ос.51) Для каждого Ре# и <р, ф<=Ф имеет место
Ф
Рассмотрим некоторые примеры основных пространств.
Пример 3.1. Пространство Oi (Ф?) всех комплексно-
значных бесконечно дифференцируемых вдоль направле-

§ 3. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ 179
ний из Y (о%"а) функций, ограниченных вместе с каждой
производной, с топологией равномерной сходимости на
компактных подмножествах из Y ограниченных последо-
последовательностей q>(*4y)(hu ..., hk) при любых k, hu ...
. * («)
Это пространство подчиняется условиям Ос.1), 2), 3),
41), 5).
Пример 3.2. Пространство O0w с: Ф, состоящее из
всех входящих в Ф «^-цилиндрических функций <р (у) =
= ф (Ру) (Р s <&) с более сильной, чем индуцируемая
из Ф1( топологией: в определение сходимости последова-
последовательности функций включается требование наличия у них
общего носителя. Здесь также выполняются условия Ос.1),
2), 3), 41), 5).
Пример 3.3. Для гильбертова пространства X' = X —
пространство, состоящее из всех входящих в Фа финитных
функций с дополнительным требованием наличия общего
носителя у сходящейся последовательности. Это прост-
пространство не удовлетворяет условию Ос.5), но условие
Ос.51) выполняется.
Рассмотрим линейное топологическое пространство
/,f = M(Y), состоящее из комплекснозначных мер на
(Y, о (Six))- Пространство М назовем пространством основ-
основных мер, если выполняются условия:
МЛ) Топология в М не слабее топологии xf слабой
сходимости, т. е. из сходимости цп-*-ц в М следует, что
\f (У) И (dy) = Hm \f(y) \in (dy) (feC (X')).
X' n-*eox,
M.2) Для каждого хеХизце^ следует (х, у) lie.
е <Л, причем эта операция умножения непрерывна отно-
относительно х.
М.З) Для каждого х е X из ц е <Ж следует е'<х- у>ц е
Eel, причем эта операция умножения непрерывна отно-
относительно х.
В некоторых случаях будет предполагаться, что выпол-
выполнено еще условие
М.4) При каждом fteFOl где Yo — некоторое подпро
странство пространства Y, операция сдвига
определена и непрерывна в М,

180 ГЛ. IV. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ МЕРЫ И РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Пример 3.4. Пространство Ми состоящее из всех
комплекснозначных мер, удовлетворяющих условию
IK*i.. У) <*2. У)..- (хп, у)ц\<со
(V«, *!,..., хп еХ), п=1, 2,...,
с топологией, определяемой системой полунорм
\{хх, у)...(х„, y)f(y)n(dy)
X'
(xlt..., х,еХ, ХеС(Х), « = 1,2,...).
Другой вариант получается при замене топологии
более сильной, определяемой системой полунорм
\\(xi, y)...(xn, у)ц1<со.
В каждом из этих случаев выполняются условия МЛ), 2),
3), 4).
Пример 3.5. Пространство Mlt «,, являющееся под-
подпространством Mi, состоящее из всех бесконечно-дифферен-
бесконечно-дифференцируемых вдоль направлений из Yo мер, вместе с произ-
производными входящих в Mi. Топология при этом определя-
определяется полунормами того же типа, что и в примере 3.4,
но с учетом и производных меры.
Предложение 3.1. Если М (X) — основное прост-
пространство мер на X, то совокупность преобразований Фурье
®м = |<р: Ф (У) = S е1 <*• у>ц (dx), ц е «*\
элементов из М образует основное пространство функций
Фм на Y с топологией, порождаемой отображением
х
Доказательство. Условие Ос.1) следует из МЛ),
Ос.2) —из М.З), а Ос.З) —из М.2). Заметим, что условие
Ос.4) следует из М.4). ¦
2°. Распределения. Операции над распределениями.
Пусть Ф —некоторое основное пространство функций на Y.
Сопряженное к нему пространство Ф' с топологией слабой
сходимости будем называть соответствующим простран-
пространством распределений (обобщенных мер) на Y. Значение
распределения ? е Ф' на элементе <р е Ф обозначим (<р, |>.
Из условия Ос.1) следует, что каждая комплекснозначная
мера и на X' порождает распределение (которое мы будем
отождествлять с этой мерой и обозначать тем же симво-

§ 3. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ 181
лом ц) при помощи соотношения
Y
Иногда бывает удобно использовать интегральное выра-
выражение в правой части этой формулы в качестве обозначе-
обозначения вместо <ф,'|> и в общем случае: $<р(у)\(dy) = (ф, |>.
Y
Рассмотрим основные операции над распределениями.
Эти операции определяются обычным образом, как сопря-
сопряженные по отношению к соответствующим операциям в Ф.
При этом сужение их на множестве мер должно совпадать
с естественно определяемыми для мер операциями. Мно-
Многие из приводимых ниже формул устанавливаются при
помощи стандартных рассуждений, которые мы часто будем
опускать.
А) Операция сдвига определяется формулой
(Ф, |„> = <фл, I), <ph(y) = v(y-h) (ке=ЛГ).
Очевидно, что если ц — мера, то и цЛ — мера, причем
(А) (А )
цн() ц( )
Б) Пусть феФи ц — мера, дифференцируемая вдоль
fteoi/T. Дифференцируя по t при ? = 0 соотношение
$ Ф (У) Pth (Ф) = J Ф (У - Щ |i (dy),
Y Y
получаем формулу интегрирования по частям
S Ф (У) (Ц'А) (dy) = - S <р' (у) hn (dy). C.3)
Y Y
Эта формула подсказывает определение производной g'ft
распределения | в направлении h:
<Ф, 5'Л> <Ф'А, 5> (феФ). C.4)
Аналогичным образом под производной порядка /п
в направлении (h\, ..., hm) понимается распределение
lm(hi, ..., hm), определяемое соотношением
(йь •-. А«). 5>- C-5)
Из полилинейности ф(т)(«/) следует полилинейность рас-
распределения lim)(hi, ..., Лт) относительно Ai hm.
Символом |(m) будет обозначаться соответствующее поли-
полилинейное отображение

182 ГЛ. IV. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ МЕРЫ И РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
В) Для каждой пары г|з е Ф, | е Ф' определим рас-
распределение ipl формулой
(Ф. ^> =
Очевидно, что билинейное выражение г|з| непрерывно
по каждому аргументу. Имеют место соотношения
и, если i|/ft e Ф, то
C.6)
Г) Пусть Ф^\ ФB) — основные пространства функций
на Уь Y2 соответственно и определено тензорное произ-
произведение Ф = ФA)<?)ф№, являющееся основным простран-
пространством на YixYi. Элементы пространства Ф' мы будем
называть бираспределениями.
Пусть выполняется условие:
Для каждых феФ и йеУв имеем фУ| е ФA), где
Ф</, Ы = Ф (Ук Уш) (У1 в Уъ У2 s У,). C.7)
Если при этом для некоторого | s ФA)' (<pVl, |) e Ф(а)
Ф), то при любом т] е Ф<2)' определено произведе-
произведение ^ФО
<Ф, ЕХл> = '«Ф»„ Е>, г)>. C.8)
При ф(г/!, у2) = Ф1 (yi) фг (Уг) формула C.8) принимает
простой вид
<Ф1®Ф2. |Хт]> = <ф1, |><ф2, т]>. C.9)
Из C.9) следует, что если 1 = ц, т] = v — меры на F1( Fs
соответственно, то fiXv совпадает с их произведением
на YtXY2.
Из формулы C.8) следует формула для производной
произведения
D'Ai). (ЗЛО)
Заметим, что первое слагаемое определено, так как при
принятых условиях справедливо соотношение
Д) Пусть А — линейное отображение из Yi в У,,
совместимое с парой основных пространств ФA)| Ф(|)

§ 3. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ 183
в том смысле, что
) )
Тогда каждому |еФA)' отвечает распределение ?д е
фB)'( такое, что
(ф, Еа> = (Фа, Е> (ч>еФ'21).
Соответствующая формула для производных имеет вид
C.12)
Пусть, в частности, л=еТ+сеТ и Р — конечномер-
конечномерный проектор в Y =<зЖ'_ гэ е%" с областью значений в е%"+.
Он совместим с парой (Ф, Ф), если выполнено усло-
условие Ос.5). Распределение |р называется конечномерной
проекцией распределения ?. Производная конечномерной
проекции выражается формулой (Е'Л)р = (Е'р) (Ph).
Е) Введем операцию свертки распределений. Пусть
Ф — основное пространство на Y, ФB) = Ф X Ф — его тен-
тензорный квадрат. Предполагается, что ФB) определено и
является основным пространством на Y X Y. Пусть, далее,
? —основное пространство на Y, обладающее тем свой-
свойством, что отображение
(Уъ Уш)-+(У1+У*У YXY-+Y
совместимо с парой (Ф<2), W).
Тогда для каждого бираспределения Р еФ№' опреде-
определено распределение реТ:
<Ф, Р>т = <Ф(г/1 + г/2), р>фй). (ЗЛЗ)
Если р = |хт], то Р называется сверткой распределе-
распределений I и т] и обозначается ?*г]. Из соображений симмет-
симметрии следует, что свертка является коммутативной опера-
операцией. Для мер ц, v равенство C.13) приводит к обычному
соотношению
(li * v) (В) =^ii (В-у) v(dy). C.14)
Y
Легко проверяются формулы дифференцирования
'h C.15)
*(ri'h2). C.16)
Ж) Рассмотрим преобразование распределения при не-
нелинейном преобразовании пространства. Пусть Y =

184 ГЛ. IV. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ МЕРЫ-И РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
е%_ := е% гэ <Ж'+ = ^, z = f(y) — обратимое отображе-
отображение Y на Y, у = F(z) —его обратное. Предположим, что
оба они дифференцируемы вдоль е5Г+ и производные
/' (у), F' (г) оставляют пространство е%^+ инвариантным.
Будем считать отображение / совместимым с Ф в том
смысле, что ф' (у) = <р (/(у)) еФ, если «реФ. Определим
тогда распределение lf формулой
<Ф, ЕО = <Ф/. 6> (Ф6Ф).
Вычислим производную этого распределения в направ-
направлении h e e5f+. По определению
<Ф, 6''А>=-<ф'А, Б/>=-<(ф'А)/, 6>,
где
— ортобазис в <Ж, ейеа9Г+ (^=1, 2, ...).
Каждое слагаемое этой суммы можно переписать в виде
{ф (/ (У)) (е*. [/' Ш1 А)}' е* - Ф (/ (У)) (е*. [/' Ы] h)' ek.
Отображение «/•—*¦/' (г/)-1 /г действует из е%"_ в е%"+.
Пусть ([/' (г/)]/г)': а?Г_->-а?Г+. Предположим, что этот
оператор — ядерный (это верно, если е5Г+ — ядерное про-
пространство или если вообще вложение e%^a-va%^0 при
некотором а гильберто — шмидтово).
Тогда существует
div [/' (у)]'1 h = Tv ([/' («/)]-! h)' = 2 (е*. ([/' (г/)]-1 А)' ек)
и после суммирования получается соотношение
<(Ф', h)f, E> =
ЦК /'"'(У)A)(S'e*)\-<q/ div[/' (у)^А, I).
I
/фА
\
Рассматривая ?' как векторное распределение, обла-
обладающее свойством
можно записать
h) ek,

§ 3. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ 185
Таким образом окончательно получаем формулу
<Ф, V'h) = <Ф, {V1 ¦ F'ti)) + <ф, div [rlhf V), C.17)
которую можно записать в виде
(V)' h = l'f (F'h) + [div (F' (/)) hf ^. C.
Отметим важный частный случай, когда распределе-
распределение ? порождается дифференцируемой вдоль оЖ"й мерой ц
на Y. Формула C.171) в этом случае представляет слабую
производную преобразованной меры nf. Однако, в силу
теоремы 2.4, мера ц* является дифференцируемой и в силь-
сильном смысле (в смысле т^-с ходимости), так как правая
часть C.171) абсолютно непрерывна относительно \if.
3°. Обобщенные функции и ядра. Если М — основное
пространство мер, то сопряженное к нему пространство М'
с топологией слабой сходимости будем называть прост-
пространством обобщенных функций на Y.
Из условия МЛ) следует, что в это пространство
вкладывается совокупность ограниченных, непрерывных
функций.
Операции над обобщенными функциями определяются
таким же образом, как и операции над распределениями.
Поэтому мы ограничимся краткими указаниями.
а) Операция сдвига. Пусть выполнено условие
М.4). Тогда формула
= <щ, а> ((isAf, А е= У)
определяет для каждого аеМ' обобщенную функцию
але=М.
б) Дифференцирование. Если в пространстве М
определена и непрерывна операция дифференцирования
вдоль направления fteK, то она определяется и для
обобщенной функции формулой
в) Умножение на функцию. Если функция ф
является мультипликатором в М, т. е. операция (д.1—*-ф)л
непрерывна в М, то в М' определена операция а>—>-фа:
<ц, фа> = <ф|л, а).
г) Свертка обобщенной функции с мерой.
Пусть операция свертки мер оставляет М инвариантным
И непрерывна по каждому сомножителю. Обозначим

186 ГЛ. IV. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ МЕРЫ И РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
\*(А) = \(—А). Если аеМ', ц е М, то формула
<|i*v*. «> = <>, р>
определяет обобщенную функцию P=a*v, которую мы
назовем сверткой а и v.
Нетрудно проверить, что если p = a*v —непрерывная
ограниченная функция, то
(a*v)(y)=\a(y-z)v(dz).
у
д) Замена переменной. Пусть у = f(x) — отобра-
отображение пространства Y, совместимое с М в том смысле,
что отображение
оставляет М инвариантным и непрерывно в М. Тогда для
каждого аеМ' определяется обобщенная функция а/:
е) Тензорное произведение. Обобщенные
ядра. Пусть М— основное пространство мер на Y и
Mw — основное пространство мер на YxY, обладающее
следующим свойством:
при каждом А е 8 (Y), [i e MB) мера [iA (В) =
= ц(АхВ) eJH и для а е Af' мера ц*»' (Л) = ([iA, a) e Af
непрерывно зависит от ц. Тогда для РеМ' определена
обобщенная функция а® р еМ(!)', называемая тензор-
тензорным произведением обобщенных функций а и р.-
p> (n
Пусть AfB) содержит произведение (J.xx |ла для каждой
пары Цх, ц2 е М, которое непрерывно зависит от сомно-
сомножителей. Очевидно, что при |^ = | (
Элементы пространства AfB)' назовем обобщенными
ядрами. .
Для обобщенных ядер определена при описанных выше
условиях свертка с элементами из М. Пусть а <= МB)/,
l^eAf. Тогда под а*|л будет пониматься элемент из М',
определяемый формулой
(\i, a*v;— (fixv, a),

§ 3. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ 187
При условиях п. 2° каждая обобщенная функция
порождает обобщенное ядро а, определенное, во всяком
случае, на произведениях мер
<|^Xv, d) = (nxv*, a).
Такое ядро будем называть разностным.
Нетрудно проверить, что это ядро обладает свойством
инвариантности
аА = а,
где сдвиг ядра определяется формулой
A, a).
Очевидно, что свертка а*ц с мерой ц разностного ядра а,
порожденного обобщенной функцией а, совпадает со сверт-
сверткой а*|л с мерой ц этой обобщенной функции.
ж) Пусть а— У-инвариантная обобщенная функция
a = aA (Ле У), т. е.
<ц, а> = <цА, а> (АеУ).
В некоторых случаях мы будем предполагать, что выпол-
выполнено условие:
М.5) Каждая инвариантная о. ф. совпадает с констан-
константой, т. е.
Рассмотрим некоторые условия, при которых М.5) выпол-
выполнено. Пусть свертка мер
есть непрерывная операция в М и интеграл в представ-
представлении
сходится в М. Тогда
(ц * v*, а) = \ (ц-и, a) v (dy) = \ (ц, a_y> v (dy) =
если обобщенная функция а инвариантна. Подставляя v*
вместо v, получаем, вследствие того, что v*(F) = v(F),
и соображений симметрии
, a> = <^, a>v(F) = (v, а) ц (У).

188 ГЛ. IV. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ МЕРЫ И РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Используя это соотношение при некоторой вероятно-
вероятностной мере v0, получаем (ц, а) = (\0, а)ц(У), и, таким
образом, постоянная С в формуле (ц, а) = Сц(У) есть
С = (v0, a) — значение рассматриваемой инвариантной
обобщенной функции на вероятностных основных мерах.
4°. Преобразование Фурье распределений. Пусть сна-
сначала основное пространство Ф удовлетворяет условию
Ос.4), т. е. функция в'^^еФ и отображение *>—*-
н-*е'<*. у) (X-vO) непрерывно.
Тогда функция
XEW = <«'<*'у>. D (^еф') C-18)
непрерывна на X. В случае, когда ц — мера, %»{х) — ее
характеристический функционал.
Отображение ?е—-%% называется преобразованием Фурье
распределения \, этот же термин применяется и к самой
функции %%(х). Рассмотрим некоторые свойства преобра-
преобразования Фурье (не оговаривая каждый раз выполнение
свойства Ос.4)).
а) Пусть A: X2-vXi — линейное отображение, А*:
Х\ = Fi-vX2 = F2 — сопряженное отображение, которое
мы будем предполагать совместимым с парой Фь Ф2
основных пространств. Каждому ^еФ| сопоставляется
Еа* е Ф^, причем
C.19)
Пусть, в частности, Х' = а9Г_=э^Т=э а5Г+ = Х и Р:
X'-vX'p- конечномерный ортопроектор в e%", отображаю-
отображающий его в конечномерное подпространство Х'р а <Ж.
Нетрудно проверить, что Р = (Р|Х)* является сопряжен-
сопряженным по отношению к своему сужению на X. Отображение
Б»—*Ер сопоставляет каждому распределению \ на X'
распределение Ер на Х'р, причем соответствующим прост-
пространством основных функций является Фр = {фр: фр (у) =
= ф (Ру)}. Преобразованием Фурье конечномерной проек-
проекции Ер распределения Е является функция %^р (Рх) =
= %| (Р^), представляющая собою сужение Х| на Х'р.
б) Дифференцирование. При дифференцирова-
дифференцировании распределения вдоль направления h преобразование
Фурье умножается на линейную функцию:
Хб'й(х) = (*(*• »>, I'h) = - <&«*• »>)' /г, I) =
= - i (х, К) <е«*. »>, Б> = -» (х, h) 1% (х).

S 3. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ 189
Повторяя дифференцирование, получаем формулу
Х6«»'(Л1 йл) = (— 0" (х, АО... (х, К) xi (х).
в) Произведение и свертка. Из формулы C.9)
немедленно следует, что
Используя формулу C.19) для отображения А*: Х'х
Х'-гХ', к* (у, z) = y-\-z, сопряженного по отношению
к отображению А: X ->ХхХ, кх = (х; х), получаем фор-
формулу для преобразования Фурье свертки:
Рассмотрим другой вариант, когда пространство Ф
основных функций построено, как в предложении 3.1,
по некоторому основному пространству мер М на X
и состоит из преобразований Фурье этих мер.
Пусть ф(г/)= $e'<*> u>v(dx) и |еФ'. Преобразова-
х
нием Фурье этого распределения назовем обобщенную
функцию |, определяемую соотношением
(v, |) = <Ф, Е>. C.20)
Если распределение ? определено на ограниченных
функциях, в частности, когда 1 = ц есть мера, то для
него определено описанное выше преобразование Фурье
Х| (х), представляющее собою непрерывную функцию.
При этом
(Ф, Е>= $<*<*• у>, t)v(dx)= $xs(*)v(dc).
и следовательно, обобщенная функция | может быть
отождествлена с xi (<¦>)¦
Некоторые из описанных выше свойств преобразования
Фурье (в частности, свойства а) и в)) при определенных
условиях сохраняются и в рассматриваемом варианте, но
мы не будем приводить здесь эти простые рассуждения.
Отметим лишь формулу для значения разностного яд-
ядра |, определяемого обобщенной функцией | на произве-
произведении основных мер
i | S). C.21)

190 ГЛ. IV. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ МЕРЫ И РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
5°. Дифференциальные выражения для распределений.
Дифференциальные выражения для распределений можно
определить как сопряженные по отношению к дифферен-
дифференциальным операциям над основными функциями. В част-
частности, при этом определяются операции и над мерами,
в результате которых, вообще говоря, получаются уже
распределения. Если все-таки результат оказывается мерой,
то соответствующее дифференциальное выражение обычно
может быть определено и непосредственно при помощи
дифференциальных операций над мерами. Если дифферен-
дифференциальное выражение определено в каком-нибудь основном
пространстве мер, то его при помощи нового перехода
к сопряженной операции можно перенести и на обобщен-
обобщенные функции.
Рассмотрим некоторые примеры.
Пусть X cz з%" а X' —оснащенное гильбертово прост-
пространство, Ф (X') — основное пространство функций. Рас-
Рассмотрим дифференциальное выражение /ф (и («/))=¦
= (ц>(у), и'{у))х , где ф: Х'->&?Г, и' — е5Г-производная
функции и; X'->е%~. Предположим, что операция /ф
оставляет Ф инвариантным. Тогда определяется опера-
оператор /$ в пространстве Ф'
</ф«, 1) = (и, /*Е> (ие=Ф). C.22)
Используя разложение по ортогональному в е%" базису
\ек), легко показать, что если щ (у) = (ф (у), ек) еФ (k =
= 1, 2, ..., п, ...) и существует (ПуфеФ, то
Формулу C.22) при этом можно записать в виде
<(Ф, V) и, Б> = — (и, (ф, V) I) - (и, div ф ¦ Б>. C.23)
Рассмотрим теперь дифференциальный оператор второго
порядка
оо
М")= 2 а(е„ ek)u"{y)(eh е„) = Тг Аи" (у),
/. к = 1
где a {f, g) = (A/, g) — билинейная форма с ядерным опе-
оператором А. В этом случае
в(Б)= S а(е„ ek)l"{eh ek), C.24)
i, * = i
причем сходимость ряда понимается в слабом смысле.

$ 4. КВАЗИИНВАРИАНТНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 191
В случае, когда а = а(у), формула усложняется за счет
добавления дифференциального оператора первого порядка.
Условие ядерности оператора А можно ослабить, по-
полагая А е =5f2 (е$Г), если основное пространство состоит из
функций и (х), у которых и" (х) е Х% (о%Г).
Аналогичным образом рассматриваются выражения
более высокого порядка типа C.24).
§ 4. Положительная определенность.
Квазиинвариантные распределения и бираспределения
1°. Положительные распределения. Рассмотрим основ-
основное пространство Ф, удовлетворяющее условию Ос.5)
и, тем самым, содержащее достаточно гладкие цилиндри-
цилиндрические функции. Для распределений на таком простран-
пространстве определено преобразование Фурье %i(x) = (ei^ y\ ?).
Распределение Н называется положительным, если из
ФЗ*О следует, что (<р, Е)ЗгО.
Преобразование Фурье положительного распределения
обладает свойством положительной определенности:
/. *=1
/ _"_ ...
.6.
Преобразованием Фурье конечномерной проекции
1р (Ре^) является функция %ъ(Рх).
Предложение 4.1. Для того чтобы преобразование
Фурье х%(х) положительного распределения I имело непре-
непрерывное сужение на каждое конечномерное подпространство
Хр = РХ (Р е аР), необходимо и достаточно, чтобы это
распределение представляло собою неотрицательную
^-цилиндрическую меру.
Доказательство. Функция Х| (Р*) в ^р положи-
положительно определена и непрерывна, а потому является пре-
преобразованием Фурье конечной положительной меры, кото-
которая естественно отождествляется с конечномерной проек-
проекцией 1р (см. предложение 3.3). Обратное очевидно. ¦
Замечание 4.1. Если выполнено условие Ос.4),
то Xi (х) непрерывна на X и если при этом пространство X
ядерно, то в силу теоремы III. 1.3 распределение | может
быть отождествлено с мерой, сосредоточенной в прост-
пространстве X'.

192 ГЛ. IV. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ МЕРЫ И РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Замечание 4.2. Для неположительных распределе-
распределений неизвестно точное описание конечномерных проекций.
Если, однако, выполняется условие
$ |Xl(P*)|Mp*<oo (РеП D.1)
хР
где dpx — мера Лебега в Хр, то в Хр имеет смысл обрат-
обратное преобразование Фурье
которое локально интегрируемо и порождает меру Цр:
lip(dy)=pp(y)dP(y). Нетрудно привести достаточные усло-
условия интегрируемости $ | рр (у) | dPy (например, условие
D.1) для производных х(л) (х) сколь угодно высокого
порядка). При этом конечномерные распределения ?р
отождествляются с мерами на X' (вообще, не положи-
положительными). ¦
Откажемся теперь от условия Ос.5), заменив его
более слабым условием Ос.51). Пусть, кроме того, вы-
выполнено условие Ос.4).
Рассмотрим сначала конечномерный случай (dim X <
<оо). Функция
<ф (у) *<*•">, Е> = хьфМ
непрерывна при каждом «реФ. Если |^0 и ф^О, то
и ?ф = ф?Зг0, и так как ее преобразование Фурье
непрерывно, то ?ф — неотрицательная мера. Таким обра-
образом, определено отображение
сопоставляющее каждой неотрицательной основной функ-
функции ф неотрицательную меру ?ф в X'. Это отображение
линейно и обладает свойством
ЕФф = фЕ*. D-2)
Используя это свойство, нетрудно показать, что суще-
существует неотрицательная, вообще говоря, а-конечная мера ?
в X', такая что ?ф = <р^. Эта мера определяется формулой
D-3)

§ 4. КВАЗИИНВАРИАНТНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 193
для множеств А, на которых ф(г/)>0. Из D.2) следует,
что определение D.3) не зависит от выбора ф. Действи-
Действительно, при любой ip
А
не зависит от ф.
Вернемся к бесконечномерному случаю. Проведенные
выше рассуждения остаются справедливыми, если X —
ядерное пространство, так как в этом случае из непре-
непрерывности xi, ф (х) следует а-аддитивность меры Еф = ф ¦> ?
на X' Если X не ядерно, для этого требуется непре-
непрерывность Х|, ф в более сильной т-топологии.
Пусть <реФ и РеЗ1. Каждому |еФ' формула
<фр.
1 —р.
сопоставляет распределение |pf^ в конечномерном про-
пространстве Х'Р. При i]KsO, как показано выше, Ер,^ — о-
конечная мера в Х'р, Совокупность {Ер,^,} удовлетворяет
условиям согласованности
^Q-p(y)lQ,^,(A х dy),
v' v'
Q~ P
Эта совокупность в некотором смысле аналогична
системе конечномерных распределений конечной (т-адди-
тивной меры. Было бы интересно исследовать вопрос
о том, когда такая система порождается а-конечной мерой.
2°. Интегральное представление инвариантных обобщен-
обобщенных ядер. Обобщенное ядро р называется положительно
определенным, если
<цх Д, Р>^0 (цеМ).
Обобщенная функция а называется положительно
определенной, если положительно определенным является
порождаемое ею разностное ядро, т. е. (ц х |I*, ct>^0.
Свойством положительной определенности обладает
преобразование Фурье положительного распределения.
Действительно, в силу C.21)
7 Ю- Л. Далецкий, С. В. Фомин

194 ГЛ. IV. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ МЕРЫ И РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Рассмотрим симметричное ((щ х |д2, Р} = <Ш х Hi, р»,
положительно определенное обобщенное ядро Р, инвари-
инвариантное относительно сдвигов на элементы Y
= <1*1 X
Введем в пространстве М основных мер скалярное
произведение
^Х Н«> Р>
и построим гильбертово пространство М$ при помощи
обычной процедуры пополнения и факторизации.
В этом пространстве действует группа операторов
причем из инвариантности ядра, очевидно, следует уни-
унитарность операторов U^: Щ = U_y. Таким образом, полу-
получается представление группы Y унитарными операторами
в Мр.
Если условие М.4) выполняется при Y0=Y, то функ-
функция (\iyX ji, Р> = (и^, (i)P непрерывна в Y.
Пусть пространство Y ядерно и X = Y'. Тогда, в силу
теоремы III. 1.4, справедливо представление
(IW fxa)p = J е1 <*¦ ^> (Е (dx) ць ц,)э,
х
где Е (Л) — спектральная мера, сосредоточенная в X = Y',
значениями которой служат ортопроекторы в Мр.
Пусть существует гильбертово пространство М+: М а
с: М+ с: Л1р с вложением Je^2 (M+, М$). Так как
можно отождествить М'§ = М$, то
М cz М+ cz Л1Р = Л*р с: Л1^ с: М'.
При этом, как указано в замечании III. 1.4, сущест-
существует мера v на X, по которой дифференцируется J*E(A)J,
так что справедливо представление
b (X2)p= S«'<*'J'>^x(|ii, |i.)v(dx) (ць Neil), D.4)
х
где ^ — билинейная форма на Л1+ с: М, определенная
v-почти везде.
При у = 0 получаем формулу
^ D.5)

§ 4. КВАЗИИНВАРИАНТНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 195
Из формул D.4) и D.5) следует соотношение (см.
СШ.1.14) и (III.1.15))
кх
(уеХ1, *e=;tmodv).
Рассмотрим обобщенную функцию а*^: <ц1г аж>й)=-
= /С(ц, M-i) и пусть Y*.n = e'(*>i/>a*,n- ^3 D-5) следует
инвариантность у^, ^:
Пусть теперь выполнено условие М.5), при котором
инвариантными могут быть лишь постоянные. Тогда
ё <*• У>ах- ll = Cx (fi), причем Сх зависит от fi линейно и
непрерывно, т. е. Сх(\х) = (\х, Хх) (ХХ^М').
Таким образом, мы получаем формулу
(—х),
и из соображений симметрии Кх(р, M-i) = <M-i.
При этом для некоторого цоеЛ1:
-x), Цх)-ЩЦ.
и, наконец,
где k (х) — измеримая функция на X. (Легко вычислить,
что k(x)= * //!{>г. где ц0 — вероятностная мера.)
Полагая k (x)v (dx) = А (—dx), получаем представле-
ние
(IVh, Ц2)р=
х
которое при у = 0 принимает вид
S Г S е'{*' "^^ ^)] Г $
Ai
7*

19в ГЛ. IV. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ МЕРЫ И РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Формула D.8) показывает, что Р есть разностное обоб-
обобщенное ядро, являющееся преобразованием Фурье меры Л
(вообще говоря, о-конечной): Р (уи уг)= ^<х-^~У'>А(йх).
х
Заметим, что принятое выше предположение о суще-
существовании обладающего нужными свойствами гильбертова
пространства М+ выполняется, если ядро р непрерывно
в ядерной топологии xs пространства М, в частности,
если пространство М ядерно.
Из приведенных рассуждений следует теорема.
Теорема 4.1. Пусть М — основное пространство мер
на ядерном пространстве Y, причем условие М.4) выпол-
выполняется для всех йеК, и, кроме того, выполнено М.5).
Пусть р — обобщенное инвариантное положительно опре-
определенное ядро, для которого билинейная форма (niXp-г. P)
непрерывна в ядерной топологии пространства М.
Тогда справедливо представление
где Л — а-аддитивная, вообще говоря, а-конечная мера на
Х = У. В частности, $ —разностное ядро.
Замечание 4.3. Условие ядерности Y можно заме-
заменить условием непрерывности функции у>-^(\ху X ц, Р)
в ядерной топологии xs(Y).
3°. Квазиинвариантные распределения. Назовем рас-
распределение \ оЖ'-квазиинвариантным (вЖ'cF), если
существует функция рйбФ (/ie ©/Г): рЛ (у) = р(h, у)
(у е Y), такая что
Иными словами, распределение | е%"-квазиинвариантно,
если
Еа = РаЕ. D.9)
Из D.9) следует, что при любом k ев <Ж распределе-
распределение \ь также квазиинвариантно: (|*)А = i*+A = [pA]fc |*.
При этом необходимо, -чтобы
[(Ра)а Рл — Рл+й] 1 = 0.
Это равенство заведомо выполняется, если
y) = p(k, y)p(h, y + k) D.10)
A/sY, h, k

I 4. КВАЗИИНВАРИАНТНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 197
и всюду ниже мы будем предполагать, что функция
р(/г, у) (множитель квазиинвариантности) обладает этим
свойством.
Если % — неотрицательная мера, то p(h, у)^0 и
равенство D.9) означает абсолютную непрерывность \h
относительно \.
Теорема 4.2. Ни на каком бесконечномерном бочеч-
бочечном пространстве Y не существует отличной от нуля
Y-квазиинвариантной меры Радона.
Доказательство. Пусть ц — мера Радона на рас-
рассматриваемом пространстве Y. Существует компактное
KaY, такое что |(х|(/С)>0. Пусть Г (К) — замкнутая
выпуклая уравновешенная оболочка К- Множество Г (К)
не может быть поглощающим в Y, так как иначе оно
было бы бочкой и, следовательно, окрестностью нуля
в Y. Однако Г (К) компактно вместе с К, и это невоз-
невозможно в силу бесконечномерности Y.
Из сказанного следует, что линейное множество L =
со
= М пТ (К) не совпадает с Y. Пусть i/eF\L. До-
пустим, что мера (i квазиинвариантна. Тогда при каждом
t^R1, \ii\(L + ty)>0 и (Ь + Ш[}(Ь + Ъу) = ф (ЬФЬ).
Однако конечная мера | ц | не может быть положи-
положительной на семействе Lt = L-\-ty (t e R1) непересекаю-
непересекающихся множеств, мощность которого — континуум. ¦
Замечание 4.4. Нетрудно показать, что для.рас-
для.распределения, не определяемого а-аддитивной мерой, полу-
полученный результат может нарушаться. Действительно, пусть
Y — гильбертово пространство, Ф состоит из гладких ци-
цилиндрических функций, | — гауссова цилиндрическая мера
с тождественным корреляционным оператором. Тогда при
ф = фр
и, как легко проверить, условие квазиинвариантности
выполняется при любом ftsF, причем
р(А, у) = е 2 .
Выясним связи между квазиинвариантностью и диф-
ференцируемостью меры.

198 ГЛ. IV. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ МЕРЫ И РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Пусть ц — в%"-квазиинвариантная мера в Y, Л
Из соотношения
следует
)-\i(A) = С p(ft,-y)-p(Q, у)
= С p(ft,-y)-p(Q, у) , )
Если функция р(/г, у) дифференцируема в нуле по h,
то существует производная
W(A)h = \[9h@,y)H\\i(dy)- D-11)
д
Таким образом, мера (i в этом случае дифференци-
дифференцируема на каждом множестве А е 21. При этом ее произ-
производная абсолютно непрерывна относительно ее самой.
В силу теоремы 2.4 она дифференцируема и по вариации.
Пример 4.1. Рассмотрим в гильбертовом простран-
пространстве в%" гауссову меру с нулевым средним с корреля-
корреляционным оператором В.
Как следует из II.4.2, эта мера В1/2в%"-квазиинва-
риантна, причем
р(й, (/) = exp{(B-4 0)-i-|B-v%|«}. D.12)
Функция D.11) при /? е В1/2е%" дифференцируема и
pi @, y)h = (B-lh, у). D.13)
Поэтому мера ц дифференцируема вдоль W-i2<&%' по
вариации. Используя подобные соображения, можно по-
показать, что она бесконечно дифференцируема, и вычислить
старшие производные. Например,
V>'(A)(hlt A,)- JttB-^b х)(В-"Л„ x)-(B-4ilt Н,)}р(Aх).
А
Пусть | — в%"-квазиинвариантное распределение с мно-
множителем p(h, x) и феФ-функция на Y, не обращаю-
обращающаяся в нуль. Тогда распределение ?ф = ф| также квази-
инвариантно с множителем
Р,(Л, y) = P(h, УI^- D.14)

§4 КВАЗИИНВАРИАНТНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 19 *
Действительно,
D.15)
Из формулы D.14) видно, что для функции ср, обра-
обращающейся в некоторых точках в нуль, ?ф, вообще говоря,
уже не квазиинвариантно, хотя оно остается дифферен-
дифференцируемой мерой, если ^-дифференцируемая мера и ср — глад-
гладкая функция. Таким образом, существуют дифференци-
дифференцируемые, но не квазиинвариантные меры. В связи с этим
интересен следующий результат.
Теорема 4.3. Пусть ц — мера в Y, т$-дифференци-
руемая вдоль сепарабельного локально выпуклого борноло-
гического л. т. п. е%". Тогда существует «5Г-квазиинва-
«5Г-квазиинвариантная и is-дифференцируемая вдоль в%" мера X, отно-
относительно которой абсолютно непрерывна \х: ц^Х.
Доказательство. Пусть hn — плотная в в%" по-
последовательность (ho = O) и
v= 7 ssM-a., Л = —n^v.
Нетрудно проверить, что мера v дифференцируема
вдоль направлений из а?Г вместе с \х. Из борнологич-
ности э5Г следует, что v'(^)eX (см. замечание 2.1).
Из v(/4) = 0 следует, что (хо(Л) = (х (Л) = 0, т. е. fi<( v.
Остается показать квазиинвариантность v. Если v(A) = 0,
то \ihn (А) = 0 и, следовательно, (i (A -\-hn) = О (V«). В силу
борнологичности в5Г отображение h i—*- ц (А -\- К) непре-
рыврю. Поэтому \x(A + h) = 0 (V/ie е/Г) и м-л„ (А + К) =
= (хИ + /г + /гя) = О(У/геа?Г)и, наконец, v(A + h) = 0. ш
Выясним некоторые условия, при которых множитель
квазиинвариантности однозначно (с точностью до постоян-
постоянного множителя) определяет распределение.
Пусть выполняется условие Ос.4), при котором ФсФ.
Предложение 4.2. Пусть отличные от нуля рас-
распределения I, т) квазиинвариантны с множителем р (h, у).
Если линейная оболочка множества функций {ph(y), п^яЯГ)
плотна в Ф, то существует постоянная С, для которой
g

200 ГЛ. IV. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ МЕРЫ И РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Доказательство. Пусть A, Ъ,)фО и С = {У „.
Тогда
<Рл, т)-а>=<Рл-1, т)>-с<Рл-1, i)=o
и при рассматриваемых условиях т) —С| = 0. Подобное же
рассуждение показывает, что из A, ?) = 0 следовало бы
1 = 0. т
Пример 4.2. Пусть о%~+ сг а% сг -Ж- — стандарт-
стандартная тройка гильбертовых пространств, ц — каноническая
гауссова мера в eJf- с нулевым средним и тождествен-
тождественным в о%"о корреляционным оператором. Как следует из
II.4.2, при fteJ1!, справедлива формула
. . (А. У) — ^ IIАII2 ,,
Рассмотрим основное пространство примера 3.2. Ли-
Линейная оболочка множества функций рл (у) содержит поли-
полиномы от линейных функционалов (/г, у) и, следовательно,
все ^-цилиндрические функции. Это означает, что в соот-
соответствующем пространстве распределений гауссова мера (i
порождает единственное распределение с соответствующим
множителем квазиинвариантности.
Предложение 4.3. Пусть распределение ^еФ'
оЗР-квазиинвариантно с множителем p(h, у) и функция
феФ обладает свойством
<г|лр,?„> = <%Ф, I) (Ч>еФ), D.16)
т. е. (ф?)л = ф?л- ^ог^а распределение Еф = ф? вЖ"-квази-
инвариантно с тем же множителем р и, наоборот, из
последнего следует D.16).
Доказательство. Так как <г|зф, Ел) = (ффрл, I) =
= (*рРл. l<p)t т* равенство D.12) эквивалентно равенству
Следствие 4.1. Пусть условие D.16) влечет фзз
^ const. Тогда распределение т) = |ф квазиинвариантно
с тем же множителем, что и |, точно тогда, когда
Ф^ const.
Например, в конечномерном пространстве две эквива-
эквивалентные мере Лебега квазиинвариантные с одним и тем же
множителем меры отличаются лищь постоянным мно-
множителем.

§ 4. КВЛЗИИНВАРИАНТНЫЕ РАСПРПДПЛЕНИЯ 201
4°. Интегральные представления квазиинвариантных
бираспределений. Бираспределение ре(Ф®Ф) назовем
позитивным, если
<Ф®Ф, Р>^0 (фбФ).
Назовем бираспределение Р (Ж-квазиинвариантным
с множителем квазиинвариантности р(/г, у), где ph(y) =
= p(/i, йеФ, если
<<Pft!g>i|>*, Р> = <ФР*®1|'Рл, Р> (Ф. феФ). D.17)
Всюду ниже мы будем предполагать, что р(/г, у)>0
и выполняется соотношение D.10).
Введем в пространстве Ф скалярное произведение
(ф, ЧОр^Ф®*, Р> D.18)
и рассмотрим гильбертово пространство Ж§, полученное
из Ф путем стандартной процедуры пополнения.
Если Р непрерывна в ядерной топологии тДФ), в част-
частности, когда Ф —ядерно, то существует гильбертово про-
пространство (%"+ id Ф, вложенное в Ж"р с гильберто-шмидто-
вым оператором вложения.
В пространстве Ф действует семейство операторов
ОЛф) (у) = Р (h, у) ф (у + h) = РлФ_А (h e ^Г),
соторые оказываются унитарными в смысле скалярного
произведения (•, -)р:
(иЛф, илг|з)э = <рлф__л (g) рлгр-л, Р> = <ф(х)гр, Р> = (ф, tpK
и, следовательно, продолжаются в Жр как унитарные опе-
операторы. Из D.10) следует, что совокупность {UA, h%T}
является группой:
т, у) Ф-(л+т) (у) =
у) Ф-t
Таким образом, мы получаем представление аддитив-
аддитивной группы пространства <Ж унитарными операто-
операторами в оТр.
Пусть теперь X = е%"+ с: Ж" с е%"_ = У", где
$Ж+— ядерное пространство и р(/г, г/) непрерывно в е?Г+
как элемент Ф. Тогда, в силу теоремы III. 1.4 и замеча-

202 ГЛ. IV. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ МЕРЫ И РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
ния к ней, справедливо представление
AУ. §h = \<*{к' у> (f®§> Р»>v Ш D-19)
где Ру — положительное распределение: (f®g,$y)v(dy) =
^-(E(dy)f, g)p, обладающее свойствами (v-п.в. относи-
относительно у)
(uj®U7g, Р.) = </&?. Р»>, D20)
Ш®?, ру>=«'<*•"></о?, ру>.
Будем предполагать, что выполнено условие Ос.4).
Тогда при f = g=\
(Ц.1, 1)р = <р,1®1, Р>=$е*<*'«><1®1, Vu)v(dy). D.21)
к
Предложение 4.4. Пусть функция (рх, ^непре-
^непрерывна в топологии т, (^Г). Тогда v (ф) = A (g) 1, ру) v (dy) —-
конечная мера на е%" и ижеет лесто представление
(h^^T, /, ge Ф).
5 частности,
if, g)* =
Доказательство. Из теоремы 111.1.3 следует, что
(P*> l)p есть преобразование Фурье меры Радона на <Ж.
Тогда из D.21) следует, что v, а значит, и v, сосредото-
сосредоточена на <Ж'. Поэтому из D.19) следует D.22) для хеХ,
но правая часть этого равенства определена и при х е
Ge5f, а так как они обе непрерывны на еЗГ, то и совпа-
совпадают при х = /гео5Г. ¦
Введем обозначение р*^еФ' для распределения
(/. f>*g) = (/*,?. Р)- При этом D.23) можно переписать
в виде
[Р* (Ре * g)U = «' <*•9> (Ре *8) (в е ^Г, я е= «ЯГ),
или, что то же самое, в виде
(Ре * g)x = P*e-' <*• 8> (Ре *ff). D.24)

§ 4. КВАЗИИНВАРИАНТНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 203
Последнее равенство показывает, что распределение
g е^Г-квазиинвариантно с множителем р(х, Ь)е~ '<*• 9>.
Пусть выполнено следующее условие:
К) Существует вероятностная мера |л, е%^-квазиинва-
риантная с множителем квазиинвариантности р (дс, у).
Пусть, кроме того, линейная оболочка совокупности функ-
функций {рх}х<вдр плотна в Ф, и следовательно, эта мера
является единственным о%"-квазиинвариантным распреде-
распределением в Ф с множителем рх. Пусть, далее, для каждого
h е е%" скалярное произведение (h, у) расширяется как
измеримый, интегрируемый в квадрате относительно |л
линейный функционал на Y.
При условии К) функция
.1{1/ + х.в)
Pf (У) = й-,а,.8) Р (*• У) -*~'<х- 9)Р (*> У)
является множителем квазиинвариантности комплексной
меры |л(9) =е~~'(8> »)ц, которая также однозначно им опре-
определяется в классе Ф'.
Из D.24) в этом случае следует соотношение
и, в силу симметрии р9:
В частности, при /=1 получаем
СF, g) = ^fl.
Поэтому
и далее
••*><«. к»)nj^.
Из этих рассуждений и предложения 4.4 следует ре-
результат.
Теорема 4.4. Пусть Х = «%"+с^се%". = У-.
оснащение гильбертова пространства <?%" ядерным про-
пространством е5Г+ и его сопряженным <Ж^. Пусть Ф — основ-
основное пространство, удовлетворяюще уеловию ОоЛ1). Пусть

204 ГЛ. IV. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ МЕРЫ И РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Р — положительно определенное бираспределение, яЖ'-ква-
яЖ'-квазиинвариантное с множителем р (х, у), который является
непрерывным относительно х элементом Ф. Если функция
(рхх\, Р) непрерывна на е/Г в топологии xs(<=%T), то су-
существует мера v, сосредоточенная в <?Ж', такая что
где Ре (9 е е%") — положительно определенные бираспреде-
ления, удовлетворяющие условию D.24) (определенные v-n. в.
относительно 9).
Если, кроме того, выполняется условие К), то спра-
справедливо представление
где |л(9) =е'<9'у)|л, [i — единственная оЖ''-квазиинвариант-
оЖ''-квазиинвариантная мера на Y с множителем р (х, у), F, у) F е о5Г,
у еК) —измеримый линейный функционал на Y (сущест-
(существующий в силу условия К)).
Таким образом, в этом случае справедливо пред-
представление
где ^ (dO) «a v v/.i ¦, вообще говоря, — а-конечная мера
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
И ИСТОРИЧЕСКИЕ КОММЕНТАРИИ
к главе IV
Существует ряд вариантов дифференциального исчисления в бес-
бесконечномерных пространствах. Систематический и достаточно подроб-
подробный обзор этих теорий содержится в работах В. И. Авербуха и
О. Г. Смолянова [1, 2], которым мы следуем в § 1. Дифференциаль-
Дифференциальные операторы второго порядка типа A.7) для функций в абстракт-
абстрактных пространствах были введены Л. Гроссом [4J и Ю. Л. Далец-
ким [6—8]. В конкретных пространствах, состоящих из последова-
последовательностей или функций, такие операторы превращаются в операторы
с бесконечным числом частных производных или в операторы в функ-
функциональных производных. При вычислении сопряженных операторов
в пространстве функций, интегрируемых в квадрате по гауссовой
мере, мы используем формулы интегрирования по частям (см.гл. II)

ЗАМЕЧАНИЯ И КОММЕНТАРИИ 205
из работы Ю. Л. Далецкого и С. Н. Парамоновой [1, 2]. Исследова-
Исследование самосопряженности оператора типа A.17) было впервые проведено
Ю. Л. Далецким [8] при помощи метода, основанного на применении
теоремы 1.4. Соответствующая полугруппа операторов при этом
строилась при помощи методов, излагаемых ниже в гл. VII.
Впоследствии, другими методами и при различных предположе-
предположениях о коэффициентах, условия самосопряженности дифференциальных
операторов для функций бесконечномерного аргумента изучались
в работах М Рида [1], Ю. М Березанского [1], Ю. М. Березанского
и Т. А. Михайлюк [1], Ю. М Березанского и Г. Уса [1], Ю. М. Бере-
Березанского и В. Г. Самойленко [1], Н. Н. Фролова [5], А. В. Марченко
[1], Б. Саймона и Р. Хёг-Крона [1], Ю Л. Далецкого [14].
В последней работе, по-видимому, впервые исследовались дисси-
пативные операторы на векторных функциях. О других работах
в области дифференциальных уравнений с бесконечномерным аргумен-
аргументом см. также в комментариях к гл. V и VII.
К сожалению, нам не удалось в этой книге осветить интересное
направление в рассматриваемой области, начатое в работах П. Леви
[1] и продолженное Е. М Полищуком, М. Н. Феллером, Г Е. Шило-
Шиловым, И. Я. Дорфман, А. С. Немировским, Ю. В. Богданским и др.,
связанное с так называемым оператором Лапласа—Леви и другими
подобными операторами (существенно бесконечномерными в смысле
работы Ю. В. Богданского [1]).
Понятие дифференцируемой меры было введено С. В. Фоминым
[1| и изучено В. И. Авербухом, О. Г. Смоляновым и С. В. Фоминым
[1] (см. также книгу А. В. Скорохода [4]). Дальнейшее развитие
этой теории см. в работах М. П. Каца [3], А. В. Угланова [1—4],
.О. Г. Смолянова и С. В Фомина [1]. Наше изложение в § 2 сле-
следует в основном работе В. И. Авербуха, О. Г. Смолянова и
С. В. Фомина [1]. Теоремы о связи различных типов дифференци-
руемости получены О. Г. Смоляновым и М. П. Кацем.
С. В. Фомин [1, 2] впервые обратил внимание на то, что втео-
рии распределений на бесконечномерном пространстве, ввиду отсутст-
отсутствия на нем стандартной инвариантной меры, происходит своеобразное
расщепление понятий. Линейные функционалы на пространстве глад-
гладких функций могут порождаться мерами, но не функциями, которые,
в свою очередь, порождают функционалы на гладких мерах.
Таким образом, появляются два типа распределений: обобщен-
обобщенные меры (для них мы сохраним название «распределения») и обобщен-
обобщенные функции.
Различные линейные операции над распределениями вводятся,
как и обычно, как сопряженные к операциям над основными элемен-
элементами. При этом операции над гладкими мерами мы излагаем для сок-
сокращения изложения как частный случай операций над обобщенными
мерами. Различные варианты пространств основных и обобщенных
функций и мер рассматривались в работах Д. Н. Дудина [1],
А. В. Угланова [3, 4], Ю. Л. Далецкого и С. В. Фомина [1].
Используемые нами методы спектрального анализа обобщенных
положительно определенных ядер основаны на идеях М. Г. Крейна.
Они были развиты Ю. М. Березанским [1] и применялись к функ-
функциям бесконечномерного аргумента в работах Ю. М. Березанского
и И. Гали [1], Ю. М. Березанского, И. Гали и В. А. Жука [1],
А. Г. Костюченко и Б. С. Митягина [1]. Теоремы 4.1 и 4.4, являю-
являющиеся в некотором смысле обобщениями, с одной стороны, теоремы
Бохнера и Л. Шварца (см., например, И. М. Гельфанд и И, Я. Вилен-

206 ГЛ. IV. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ МЕРЫ И РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
кин [1]), с другой —теоремы Минлоса—Сазонова (см. гл. III), при-
принадлежат Ю. Л. Далецкому и Ю. С. Самойленко [1].
Квазиинвариантность гауссовой меры, в частном случае меры
Вннера, была обнаружена еще в работах Р. Камерона и В. Мартина.
И. В. Гирсанов и Б. С. Митягин [1|, а также В. Н. Судаков |1|
показали, что в бесконечномерном пространстве у ст-аддитивной
меры все сдвиги не могут приводить к абсолютно непрерывным преоб-
преобразованиям (теорема 4.2). По предложению И. М. Гельфанда под
квазиинвариантными стали пониматься меры с плотным множеством
допустимых в указанном смысле сдвигов. Исследование квазиинвари-
квазиинвариантных мер в различных аспектах проводилось в работах И. М. Гель-
Гельфанда и И. Я. Виленкина [1], А. М. Вершика [2|, А. М. Вершика и
В. Н. Судакова [1], А. В. Скорохода [4], М. П. Каца |3|.
Теорема 4.3 доказана М. П. Кацем [3|. Понятие квазиинвариант-
квазиинвариантного ядра введено в работе Ю. Л. Далецкого и Ю. С. Самой-
Самойленко [1].

ГЛАВА V
ЭВОЛЮЦИОННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ
В этой главе мы начинаем рассматривать разные ас-
аспекты, связанные с задачей Коши для дифференциаль-
дифференциальных уравнений с введенными в главе IV дифферен-
дифференциальными операторами для функций бесконечномерного
аргумента.
В § 1 излагаются простые формальные соображения
об эволюционных уравнениях в пространствах основных
и обобщенных элементов. Основная часть главы (§ 2) по-
посвящена исследованию параболических уравнений и си-
систем второго порядка. Это исследование проводится при
помощи проектирования аргумента в конечномерные про-
пространства. Из полученной таким образом несогласован-
несогласованной системы мер в конечномерных пространствах удает-
удается при помощи предельного перехода получить фунда-
фундаментальное решение задачи.
Уравнение относительно векторной функции при по-
помощи специального преобразования сводится к одному
скалярному уравнению в пространстве аргументов боль-
большей размерности.
Ряд рассматриваемых здесь вопросов мы еще обсудим
в гл. VII с другой точки зрения, основанной на методах
теории случайных процессов.
§ 1. Слабые решения эволюционных уравнений
1°. Фундаментальное распределение. Используем по-
понятия и обозначения предыдущей главы.
Пусть Q и X —двойственная пара линейных топо-
топологических пространств, Ф = Ф(Х) —основное пространство
функций на X, Ф'— соответствующее пространство распре-
распределений.
Обозначим Ф^ — Ф^ (Г) —класс функций двух перемен-
переменных и(х, 0 (х е= X, /ёГ, = [а, т] а[а, Ь] = Гс R1), для
которых при каждом 1ё?' функция щ(х) = и(х, ()ёФ
и как элемент этого пространства непрерывна (для k = 0)

208 ГЛ. V. ЭВОЛЮЦИОННЫЕ УРАВНЁНЙ.
или непрерывно дифференцируема соответствующее число
раз (для k>0) по параметру t.
Аналогично, пусть Ф'к — класс зависящих от пара-
параметра t распределений [it ёФ' AеГ), непрерывных
(для k = 0) или непрерывно дифференцируемых до по-
порядка k включительно по параметру t.
Рассмотрим зависящий от параметра /еТ = [й, 6] ли-
линейный оператор А, в пространстве Ф с плотной, не за-
зависящей от t областью определения J? и связанную с ним
задачу Коши
3±<*jA + Atu(x, t) = v(x, t), и(х, х) = ио(х) (t^x), A.1)
где «оеФ. v g= Фо- Под решением этой задачи будет
пониматься функция и(х, t) класса &i(Tx), обладающая
свойством щ ge SP (t ge T%) и тождественно удовлетворяющая
уравнению A.1).
Как правило, в этой и следующих главах мы рас-
рассматриваем задачу Коши в обратной форме, записывая
начальное условие на правом конце интервала, а произ
водящий оператор — в левой части уравнения. Это, с од-
одной стороны, не ограничивает общности, так как к при-
привычной записи можно прийти, делая замену t-*- — t. С
другой стороны, такая форма записи имеет известное
преимущество: в прямой форме записывается двойствен-
двойственное уравнение. Особенно удобно то, что в прямой форме
записываются уравнения характеристик (там, где они имеют
смысл), в частности — стохастические уравнения Ито, ко-
которые служат аналогом характеристических для диффу-
диффузионных уравнений (см. гл. VII).
Назовем задачу A.1) корректной, если соответствую-
соответствующая однородная задача
^ 0« = 0, и(х, х) = ио(х) AеТ„ теГ) A.11)
имеет при каждом ы0 е & единственное решение и это
решение непрерывно в Ф зависит от /, т, е.
и(х, i)~(U(t, x)uo)(x),
где U (t, т) (t ge Тх) — линейный непрерывный оператор Ф.
Из этого определения следует, что семейство опера-
операторов U (t, т) оставляет инвариантной область S1 и обла-
обладает (вследствие единственности решения) эволюционным
свойством \J(t, s)U(s, t) = U(/, t), U(/, /) = I (*=sSs-^t).

§ 1. СЛАБЫЕ РЕШЕНИЯ ЭВОЛЮЦИОННЫХ УРАВНЕНИЙ 209
Пусть A* (t) — оператор в Ф', сопряженный по отноше-
отношению к A (t): (A (t) ф, i|>) = <<р, A* (t) Хр) (ф е= ®, г|з е &„ «,).
Рассмотрим сопряженную к A.1) задачу Коши
|^=А*(т)щ + ?т, n, = v. A.2)
Под решением этой задачи мы будем понимать семей-
семейство распределений \ix е Ф,' ([t, b]), удовлетворяющее
соотношению
^<Ф. М-т)^<А(т)ф, м-т) + <ф, |т). M-< = v, /^т A.3)
для каждого 9ef или эквивалентному интегральному
соотношению
p, lx)dx. A.31)
Слабый решением задачи A.3) назовем семейство
еФо, удовлетворяющее при каждой функции а(х, t) e
<t>ifl J? интегральному соотношению
. И-,) —<а,, v> =
Предложение 1.1. Для того чтобы семейство рас-
распределений fiT было решением задачи A.2), необходимо и
достаточно, чтобы оно было слабым решением этой задачи.
Доказательство. Если ц, — решение A.2), то из
A.3) следует соотношение
и, после почленного интегрирования, —A.4).
Пусть, наоборот, выполнено A.4). Положим а(х, т) =
=- q>(x)b (т), где Ь (т) — непрерывно дифференцируемая
функция, удовлетворяющая условию b(s) = Q, фе^.
Интегрируя по частям, приведем A.4) к виду

210 гл. v. эволюционные уравнения
В силу произвольности Ь' (т) отсюда следует равенство
нулю подынтегрального выражения, т. е: A.3). ¦
Семейство распределений ]хх еФ' (х <= X) назовем
Ф-семейством, если оно определяет линейный непрерыв-
непрерывный оператор в пространстве Ф:
/(*)•—И (/)(*) = </. И*>-
Пусть при <<т \ix,t,x "есть Ф-семейство, соответствую-
соответствующие операторы сильно непрерывны относительно t и т и
оставляют инвариантным линейное множество Ш.
Если при этом выполняется соотношение
A.5)
то семейство H.^,/,t будем называть эволюционным семей-
семейством распределений \3-инвариантным).
Под фундаментальным распределением сопряженной
пары задач A.1), A.2) будем понимать семейство распре-
распределений iix,t,x (x&X, t^x), удовлетворяющее задаче
%At = A*(T)^,,,T, ,1,.,,,-v,, A.6)
где v* — нормированная мера, сосредоточенная в точке
Теорема 1.1. Для корректности задачи A.1) не-
необходимо и достаточно, чтобы она имела ^-инвариант-
^-инвариантное фундаментальное распределение iix,t,x, обладающее
в пространстве Ф эволюционным свойством.
При этом U (t, x)f {x) = iit, x (/) (х) ~(f, Px.t, x) и
единственные решения задачи A.1), A.2) даются форму-
формулами
и(х, t) = (u0, \y,Xi t, х) — \(Vs> №x,t,s)ds=>
t
= U(<, -i) ы0 (х) - J U (*, s)v(x, s)ds, A.7).
t
x
(ф, fiT) = (U(/, т) ф, v) + j(U(s, т)ф, ls)ds. A.8)
Доказательство. Пусть задача A.1) корректна в Ф.
Рассмотрим решение и (х, t) = U (t, т) ы0 00 однородной
задачи A.11). Формула (ы0> f-Ы/,т) = U (<, т)ыо(л;) опре-
определяет при каждом х е X, т5=< распределение |хл>Лт.
При этом ц./, T(/) = U(/, т)/ и свойство эволюционное™

§ 1. СЛАБЫЕ РЕШЕНИЯ ЭВОЛЮЦИОННЫХ УРАВНЕНИИ 211
семейства \ix, t,x следует из аналогичного свойства семей-
семейства операторов U (t, т). Остается проверить фундамен-
фундаментальность этого семейства.
Дифференцируя почленно по s соотношение
получаем
% Vt.s(\>*. тф) + Vt.s (^ М-*, тф) = 0, A.9)
или
. м-.,s,т>, 5^,и| + ((ф. ajI*-.>. т\. и*.*..Wo.
Поскольку ц*,,, тф = (ф, ц.х,$, х) есть решение однородной
задачи A.11), обращающееся в ф при s = t, из A.9) при
s = t следует
т. е. в силу произвольности фе^(А)
?и*.,., = А*(т)цл,,,. A.10)
Перейдем к доказательству достаточности. Пусть су-
существует обладающее эволюционным свойством фундамен-
фундаментальное распределение \lxJ,x. Положим их{х, t)=(u0, V-x.t.x)-
По определению при каждом t^x эта функция принад-
принадлежит Ф и непрерывно зависит от и0- Так же как и выше,
для нее получается соотношение A.9):
1дих (х, s) \ I . дух, t, s
\—Ж—' V-*.t.*J + \ut{-, s), -^j—
), A* (s) (i,. t.
которое при t — s влечет
0.
Так как, очевидно, их(х, т) = ы0» то Для доказатель-
доказательства корректности осталось лишь показать единственность
решения. Пусть v (x, t) — какое-нибудь решение задачи
A.11), удовлетворяющее условию v(x, \) = и0.

212 ГЛ. V. ЭВОЛЮЦИОННЫЕ УРАВНЕНИЯ
Тогда при любом t < s < т
« — <A(s)»,, и-,.<.*> + <»*, A* (s) !!,.<.,> = О,
и, следовательно, (vs, ц*. <,*)== const.
Поэтому
i>(x, 0 = <»/. Ц*.и>=-<»т. l**./.t>=-<«o, \Lx.t.x) = u(x, t).
Формула A.7) для решения однородной задачи уже уста-
установлена выше. Для неоднородной задачи она следует из
общих полугрупповых соображений.
Пусть теперь м-@ — решение задачи A.2) и
а(х, в) = <ф, \ix,t,s).
Тогда ^ + A(s)ar = 0 и из A.4) следует A.8). ¦
Замечание 1.1. Пусть задача A.9) имеет един-
единственное решение ^x,t,x> которое при каждой паре <<т
является Ф-семейством, и более того, ^/it(/)ef при
/<=.^. Тогда выполняется эволюционное соотношение A.5),
и следовательно, задача A.1) корректна и выполняются
равенства A.7) —A.8).
Действительно, рассмотрим семейство распределе-
распределений n(t), совпадающее с \^x,t,x при ssg^s^T и опреде-
определенное при *<s соотношением
Оно является решением A.6) на каждом из интервалов
t ^ s и t ^ s, совпадающим при s = t. В силу единствен-
единственности оно совпадает с ^x,t,x и при t<s. ш
2°. Системы уравнении. Приведенные выше рассужде-
рассуждения легко переносятся на системы уравнений вида
х, t) ?
Jt + 2 A,* (t) uk (x, t) = v, (x, t) (t^x),
Uj(x, 1)-Uoj(x) У=1,...,П), A.11)
где Ajk (t) — операторы в Ф.
Роль фундаментального распределения играет матрица
распределений ц?* и х, являющаяся решением сопряженной

§ 1. СЛАБЫЕ РЕШЕНИЯ ЭВОЛЮЦИОННЫХ УРАВНЕНИЙ 213
задачи
п
Если система A.11) корректна, то эта матрица по-
порождает в пространстве векторных функций и (х, t) =
= («!(.*;, t), ..., и„(х, t)) эволюционное семейство опе-
операторов
(U(*. т) ft (*)
Наоборот, существование обладающей эволюционным
свойством фундаментальной матрицы распределений вле-
влечет корректность задачи A.11).
Слабое решение сопряженной к A.11) задачи
AЛЗ>
определяется соотношением
где а* (л;) = а* (х, s)ed>i(] @>'.
Легко проверяются и формулы A.7), A.8). Доказа-
Доказательства этих фактов ничем не отличаются от приведен-
приведенных выше доказательств для одного уравнения, и в связи
с этим мы их не приводим.
Существует прием, позволяющий сводить систему урав-
уравнений к одному уравнению специального вида. Рассмот-
Рассмотрим систему вида
0.16)
получающуюся из A.11) путем подстановки
А^-^Аб/А + А/*,
где А (*) — оператор в Ф.

214 ГЛ. V. ЭВОЛЮЦИОННЫЕ УРАВНЕНИЯ
Введем новые независимые переменные у = (уъ ..., уп)
и функцию
flt). A.16)
Умножая уравнения A.15) почленно на у,-, складывая их
дг
и замечая, что п] = -=г-, получим уравнение для z
§2x'f)- {1Л7)
/. k i
Это — уравнение вида A.1) с оператором
в пространстве O(XxR1), отличающееся, однако, тем
свойством, что его элементы могут линейным образом
расти по переменным уи ..., у„.
Уравнение A.17) является следствием A.15).
Наоборот, если A.17) имеет решение A.16), линейное
по уь, то коэффициенты этого решения при уь удовлетво-
удовлетворяют A.15).
Заметим, что оператор A.18) оставляет инвариантным
пространство функций, линейных относительно у. Этим
свойством обладает и более сложный оператор
При этом в классе линейных относительно у функций
и потому в классе таких функций уравнение
. ') A-20)
по-прежнему эквивалентно A.15). Отметим, однако, что
последнее уравнение можно рассматривать и в классе
квадратичных относительно у функций, получая при этом
более сложные, чем A.15), системы. Мы не будем здесь
развивать соображения такого рода.
Рассмотрим связь между фундаментальными распреде-
распределениями уравнений A.20) и A.11).

§ 1. СЛАБЫЕ РЕШЕНИЯ ЭВОЛЮЦИОННЫХ УРАВНЕНИЙ 215
Пусть существует система распределений \хх< u,tiXb про-
пространстве Ф(ХхК"), являющаяся фундаментальной для
A.20). Она описывается интегральным соотношением
<«*, И*, у. <,*>-«<(*. У) =
S
j(^ ^x. A.21)
Подставим в это соотношение функцию at (x, у) =
™ ? Ф/ (*. *)#/> гДе Ф/ ^ Ф. и введем распределения на
при помощи формулы
где е,= @, ..., 1Л, ..., 0)Лу — базисный вектор в R".
Для распределений ц^.лт из A.21) получается система
соотношений
В силу A.14) система распределений \^rJ is представляет
собою слабое решение системы
*' X, t, т А * /j\ .. rb I X" А * .. m
т. е., в силу A.12),— фундаментальную матрицу для си-
системы A.15).
Таким образом, имеет место следующий результат.
Теорема 1.2. Решение системы A.15) порождает по
формуле A.16) решение уравнения A.17). Наоборот, фун-
фундаментальное распределение уравнения A.17) порождает
по формуле A.22) фундаментальную матрицу распределе-
распределений для системы A.15).
Замечание 1.2. Лишь для наглядности изложения
мы рассматривали систему с конечномерной вектор-функ-

216 гл. v. эволюционные уравнения
цией. В следующем параграфе рассуждения подобного
типа будут применены и в бесконечномерном случае.
3°. Уравнение с постоянным оператором. В случае,
когда оператор At — А не зависит от t, эволюционные
операторы Vti tl> = U<_<0 очевидно (для корректной задачи)
зависят от разности аргументов и образуют полугруппу
В этом случае и фундаментальное семейство зависит
от разности
Рх, t, to — №х, t-t.
и удовлетворяет уравнению
A.23)
Наоборот, семейство решений последнего уравнения, обла-
обладающее эволюционным (полугрупповым) свойством
порождает фундаментальное семейство
H-jc, t,x~ Iх лс, /-т
задачи A.1) с постоянным оператором А.
Пусть при некотором к^О для каждого /еФ схо-
сходится интеграл
$V"</, \ix.t)dt = Sf(x, К).
о
Если S/ (х, к) непрерывно относительно /еф, то оно
определяет распределение
\ e^'iix,t dt = h,x: Sf(x, *,) = </, 8,,,).
6
Интегрируя почленно соотношение
получаем для 6^,,, уравнение
С другой стороны, поскольку для / е ?Рк А (/, ]xXt t) =
= (A/, \ix,t)> то выполняется аналогичное соотношение

§ 1. СЛАБЫЕ РЕШЕНИЯ ЭВОЛЮЦИОННЫХ УРАВНЕНИЙ 217
для %х,х и потому S/(X, х) удовлетворяет уравнению
(A-U)S,(K, x) = -f(x). A.24)
Аналогичные соотношения легко выписываются и для
систем уравнений рассмотренного в предыдущем пункте
типа. По фундаментальной матрице fj/ выводится матрица
потенциалов
и векторная функция
i
удовлетворяющая системе
4°. Оператор с пространственно-однородным символом.
Рассмотрим, в частности, оснащенное гильбертово про-
пространство
и дифференциальный оператор на Ф(Х), коэффициенты
которого не зависят от х:
« = j]Tr [a, (*)<8> «<'>(*)]-
2 ч). <L25)
где ar (t) — /--линейный функционал на sT, u{r) — произ-
производная порядка г вдоль «5^* функции и(х), {е/1\\х>=\ — орто-
базис в ©%". Выражение A.25) определено, если, напри-
например, аг и и{г) — гильберто-шмидтовы полилинейные функ-
функционалы.
Пусть пространство Ф содержит функции е'@)> д;) (со е
g S2). Тогда для распределений [igO' определен харак-
характеристический функционал Хц(ю) = (е*@)> '\ И-). представ-
представляющий собою комплекснозначную функцию на Q.
В частности, для фундаментального распределения
Px.t.x задачи A,1) характеристический функционал
%(х, t, т, со) =

218 гл. v. эволюционные уравнения
удовлетворяет дифференциальному уравнению
%(х, t, т, ©)|« = «"«"•*>. A.26)
Пусть оператор А (т) обладает однородным символом,
т. е. существует функция
Ф(т, а) = е-^а-х1А(х)е'^-х). A.27)
Тогда уравнение A.26) принимает вид
а*(*-^т-т> = Ф (т, со) х (х, t, т, со), A.28)
и его решением, удовлетворяющим нужному начальному
условию, является функция
( х \
Х(х, t, т, ы) = ехрШсо, %) + $9(s, a>)ds\. A.29)
I / J
Для оператора A.25) символ легко вычисляется:
п
Ф (т, со) = У] ira- (т) (со, .... со). A.30)
Если функция х(*> ^. т, со) ограничена и интегрируема
по со на любом конечномерном пространстве, то, как по-
показано в § 3 гл. I, она определяет квазимеру \ix.t,т>
которая и является рассматриваемым фундаментальным
распределением. Для любой цилиндрической функции
ио(х) решение задачи Коши A.1) при этом записывается
в виде
и(х, t)= \uo(y)\ix,tx(dy).
X
Однако класс допустимых начальных функций может
быть расширен.
Рассмотрим функции вида
/ (х) = \ е' <•• *>v (d©), A.31)
Q
где v —мера на Q, обладающая тем свойством, что
$|Ф(т, ©) 11 v ; (d©)<оо. A.32)
о

$ 1. СЛАБЫЕ РЕШЕНИЯ ЭВОЛЮЦИОННЫХ УРАВНЕНИИ 219
Для таких функций
А (т) ф (*) = ^ ф (т, ©) е*(<в> *>v (da).
Рассмотрим функцию
и(х, t, х) = lf(y)px.t,x(dy)= \%(х, t, х, ©)v(d©). A.33)
X ft
Интегрируя по мере v почленно равенство
т
%(х, t, т, ©) - в"®-*> = J ф (s, ©)х(*. s, х, (o)ds,
t
получаем
г
u{x, t, т)—/(x) = J ^(s,"(o)x(^i s, т, (o)v(d(o)ds =
I
= 5 A(s)«(x, s, T)do),
t
поскольку, в силу A.29) и A.27),
A(s)u(x, s, т) = § A (s) x(x, s, т, co)v(dco) =
= $фE, ®)х(х, s, x, o)v(d(o).
Таким образом, функция A.33) есть решение задачи
«(*, т, т) =
Сформулируем результат.
Теорема 1.3. Пусть A(t) — оператор с символом
<$(t, со), для которого функция A.29) ограничена и интег-
интегрируема по о вдоль каждого конечномерного подпростран-
подпространства из Q. Тогда фундаментальное семейство задачи A.1)
есть квазимера с характеристическим функционалом A.29).
Для функций A.31), представимых в виде преобразо-
преобразования Фурье меры, удовлетворяющей условию A.32), ре-
решение однородной задачи A.34) дается формулой A.33).
5°. Уравнения 2-го порядка, связанные с гауссовыми
мерами. Рассмотрим, в частности, дифференциальный опе-
оператор второго порядка
A(t)u= [

220 Сл. v. эволюционные уравнения
получающийся из A.25) при га = 2, если
<h @ (/. g) = | (А @ /, g), at @ (/) = (а @, /),
где а(/)еХ, A (f) — действующий из Q в X оператор,
положительно определенный в том смысле, что (A (t)f, /)>
0(/Q/0
Символ оператора A.35) имеет вид
Ф (s, со) = — -g- (A is) со, со) + i (a (s), со) (со <= й),
а характеристический функционал фундаментального рас-
распределения
%ix, t, т, со) = ехрit со, х+ \a(s)ds\ — -^ \ (A(s)co, co)ds|.
Эта функция является характеристическим функционалом
гауссовой цилиндрической меры \iXi ty т с корреляционным
X X
оператором В,, т = $ A (s) ds и средним х + $ о. (s) ds.
Таким образом,
?-x-$a(s)dsj, A.36)
где ц^, т — центрированная гауссова мера с корреляцион-
корреляционным оператором В^, т.
Из теоремы 1.3 следует, что формула
и (х, 0 = S "о (^) Н<*. л t (dy) =
х
= [ ио(х-|-г/-|-[a is) ds) \xtiXidy) A-37)
x \ t I
представляет решение задачи Коши
-5-+ A (i) u = 0, и ix, т) = ыо(х) it*s;t) A.38)
по крайней мере для цилиндрических функций ио(х) и
для более широкого класса начальных функций, предста-
вимых в виде A.31). Однако в рассматриваемом случае

t 1. СЛАБЫЕ РЕШЕНИЯ ЭВОЛЮЦИОННЫХ УРАВНЕНИЙ 221
при некоторых дополнительных предположениях этот
класс можно расширить.
Пусть справедливо представление A (s) =» V* (s) V (s),
где V(s): е%"+-v«ST0. V* (s): syTo->-&%"- при каждом зна-
значении s. Предположим, что V (s) продолжается на неко-
некоторое гильбертово пространство. Тем самым мы с самого
начала будем .считать, что а%"+ — плотно вложенное в в%
гильбертово пространство с нормой i|x|+ = |ISx|0, где S —
оператор в в%. Если выполняется условие
то оператор S^B^ jS*1 является ядерным в е%. а потому
мера nt, х сосредоточена в гильбертовом пространстве 2Г
Если, кроме того,
a (s)
то и мера jxOi ^f T сосредоточена в том же гильбертовом
пространстве.
После замены переменной, которую мы не станем де-
детально проводить, задача A.38) приводится к задаче Коши
вида
E?^JIi a(s), u'(s,x) = 0 A.39)
относительно функции u(s, х) на ТхХ.
Оператор A (t) и = ~ Тг V (t) и" (х) V* (t) + (a (t), и' (t))
во всяком случае определен на области & = С2(Х), со-
состоящей из функций и (х), ограниченных и непрерывных
вместе с Х-производными и' (х) е X, и" (х) еL (X) (х^Х),
если коэффициенты удовлетворяют условиям й(()ёХ,
V (t) e L2 (X) и непрерывны по параметру t.
Задача Коши корректна в этом классе, и ее решение
дается формулой A.37).
Используя свойства интегралов по гауссовой мере,
можно было бы еще больше расширить класс начальных
функций, для которых задача корректна (см. Л. Гросс [4],
X. Куо [1]).
Рассмотрим одно простое уравнение с переменными
коэффициентами, решение которого также можно получить
при помощи гауссовых мер. Имеется в виду уравнение
вида
^ + |ТгУ*ы"У + (ы', Вх) = 0, и(х, О) = ио(х), A.40)

222 ГЛ. V. ЭВОЛЮЦИОННЫЕ УРАВНЕНИЯ
где A = VV* и В —постоянные ограниченные операторы.
Будем искать его решение в виде
u(t, x) = v(t, e~Btx).
В этом случае
du{t,x)_dv(t,e-Btx) , в
dt ~ dt ( x> >'
u'x = e-B-tv'yt u'xx = e-B-tv-yye-Bt>
и для функции v(t, у) получается уравнение
^ + 4-SPVe~B*Ve~B'v*s=0> v(x> O) = «oW A.41)
рассмотренного выше типа.
Решение задачи A.41) представляется формулой
где \nt.x — центрированная гауссова мера с корреляцион-
корреляционным оператором
BtiX = \e-B*V*Ve-B'sds. A.42)
Отметим важный частный случай, когда В = -^ А =
= yV*V. При этом интеграл A.42) вычисляется явно
t
В/, о = $ Аег Asds = (l-e~ kt).
о
Теорема 1.4. Пусть ср (х) — функция класса С2 (X),
V — оператор Гильберта —Шмидта в <з%Г, A=V*V. За-
Задача Коши
g TrAU" + i(Ax, и') = 0, и(х, 0) = ф(х) A.43)
имеет единственное решение
и(х, t) = v{t, е~мх),
где
o(t, y) =
Pt, x — центрированная гауссова мера с корреляционным опе-
оператором l—e~At.

§ 2. УРАВНЕНИЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА 223
¦ Замечание 1.3. Требования на начальную функцию
могут быть значительно ослаблены, так как оператор
Аи = ~[ТтАи"- (Ах, и'))
определен и на таких функциях и, для которых Аи" есть
лишь оператор Гильберта — Шмидта (см. гл. II, § 3).
§ 2. Уравнение второго порядка
с переменным коэффициентом
Г. Постановка задачи. Пусть э?Г+ с: <Жй с: e%"_ = X —
оснащенное гильбертово пространство, УС — гильбертово
пространство. Мы будем рассматривать здесь задачу Коши
^(Л *) = 0, и(х, х) = ио(х) (t<x) B.1)
для уравнения относительно векторной функции u(t, x)
(t^zO, xeX) со значениями в «Ж1 с дифференциальным
оператором второго порядка
Аи (х) =
= 1 (А (х) V, V) и + (а (х), V) и + Ь (х) (V, и) + с(х) и. B.2)
Коэффициенты этого оператора — функции на X, значения
которых описываются при каждом х ш X следующим об-
образом:
а) А (х) — линейный оператор из s5f+ в ©%^_, неотрица-
неотрицательный в том смысле, что
Как правило, предполагается, что
V*(*)V(x), B.3)
где V(x): еЗГ+^еЗГо. V* (х):
б) а (х) е= вЯГ_, Ь (х) е= X2 (s%хЖ, Ж), с (х) е= X )
Дифференциальные операторы такого типа описаны
в гл. IV.
В соответствии с методом, изложенным в п. 2° § 1,
сопоставим задаче B.1) ассоциированную с ней задачу
Коши
g u = 0, й@, х) = {у, «„(*% B.4)

224 гл. v. эволюционные уравнения
для скалярной функции аргумента х = (х; у) е э?Г+ ф ,а%"
U(t, x) = {u(t, х), у)ж B.5)
с оператором
Жо \(%), B.6)
где v(i)ei? (X) (X е ^Г+ ф Ж").
Непосредственное вычисление показывает, что
{у, Аи(х))ж = ~А(у, и{х))м, B.7)
и это приводит к следующему результату.
Предложение 2.1. Задача Коши B.1) « некотором
классе функций S эквивалентна ассоциированной задаче B.4)
в классе функций B.5) для и ^ S.
Оператор А, очевидно, имеет вид B.2) при 6 = 0, с=0:
), V)]u, B.8)
причем коэффициенты определяются соотношениями
(А(х)ё, ь)х^гк =
= (А(хN, 6)^о + 2(г/, 6F, Ti))^ + (v(x)ri, т])^, B.9)
й(х) = (а(х), с*(х)у), 6 = F, Л).
Предложение 2.2. Пусть А удовлетворяет усло-
условию B.3) ы
6F, ri) = a(V6, n), B.10)
где a F, т]) е<5?2(в9ГоХЖ', 5Г). Тогда можно выбрать
где р <=%{&?) и (ayh, k)gp = (y, а (А, /г))^-, ы гары з/яам
оператор А также удовлетворяет условию B.3)
A = V*V,
где
V(A; ft) = (V/i + aJft; р*/г). B.11)

§ 2 УРАВНЕНИЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА 225
Доказательство. Вычислим оператор, сопряжен-
сопряженный к B.11). Имеем
i, k); F; T))) = (VA + a;ft, B)Xo + (p*k, h) =
откуда
V*F, ri) =
При этом
V*[V(/i; *)] = V*(VA + aJ*; p*/e) =
и, наконец,
(V*VA, A) = (V*VA, A) + (V*aJft, A) +
+ KVA, ft) + (o^x]Jft, /г) + (рр*/г, Л). B.12)
Это выражение совпадает с B.9), поскольку
(a,VA, /г) = (г/, o(VA, k)) = (y, ft (A, ft)).
Замечание 2.1. Способ выбора оператора у не влияет
на величину B.7), поскольку вторая производная линей-
линейной функции B.5) равна нулю. В частности, из B.12)
следует, что
T
и при невырожденном р* (р*& = 0=>& = 0) оператор V
невырожден.
2°. Независимые от размерности априорные оценки.
Сосредоточим временно внимание специально на случае,
когда пространства ©%"+ = е^Г0 = ъ)Г- и Ж конечномерны.
В этом случае оператор B.2) принимает вид
)' Bлз)
fe2
а соотношения B.3) и B.10) —вид
8 Ю. Л. Далецкий, С. В. Фомин

226 ГЛ. V. ЭВОЛЮЦИОННЫЕ УРАВНЕНИЯ
Нашей целью сейчас является получение некоторых
априорных оценок решений задачи Коши, не зависящих
от размерности пространств е% и 5?. В силу предложе-
предложения 2.1 исследование задачи для общей системы с опера-
оператором B.13) сводится к исследованию ассоциированной
задачи, связанной с более простым уравнением
4? + f 2 •*•«<>*+2*<<-в. B.15,
или в векторной форме
^|, V)u + (a(x), V)u = 0,
где А (х) = | a.jk (х) \ — неотрицательная симметричная мат-
матрица, а(х) = (а1(х), .... ап{х)).
Определение 2.1. Уравнение B.15) назовем кор-
корректным, если по крайней мере при любой дважды непре-
непрерывно дифференцируемой начальной функции ио(х),
подчиняющейся оценке
|«<*>(х)|^сA+[*Р) (*=0, 1, 2,...),
задача Коши для него имеет единственное дважды непре-
непрерывно дифференцируемое решение, которое к тому же
представимо в виде
и(х, 0= \thiM)Px,x-t(dy), BЛ6)
где [д.*,, —нормированная неотрицательная мера при ка-
каждом JceR", *>0.
Хорошо известны условия, при которых принятое нами
условие корректности выполняется. К их числу относятся,
например, каждое из следующих:
А) Коэффициенты А(х) и а(х) ограничены и удовлет-
удовлетворяют условию Гёльдера, и, кроме того, выполняются
условия равномерной параболичности
(А(х)«, fl)S**«| 6р B.17)
(см. А. Фридман [1]).
Б) Коэффициенты V (х) и а(х) имеют ограниченные
непрерывные производные 1-го и 2-го порядка и подчи-
подчиняются условию роста
(ш. гл. VII).

i 2. УРАВНЕНИЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА 227
Однако ниже мы, как правило, будем пользоваться
корректностью рассматриваемых уравнений, а не усло-
условиями А), В).
Аналогичным образом определяется корректность систе-
системы с оператором B.13) в правой части.
Из предложения 2.1 вытекает, что корректность систе-
системы следует из корректности ассоциированного уравнения
в классе функций, линейно зависящих от у. Наоборот,
из корректности системы следует корректность ассоцииро-
ассоциированного уравнения.
Теорема 2.1. Пусть уравнение B.15) корректно.
Если при этом выполняется неравенство
, B.18)
mo имеет место оценка
]\yflix,t (dy) < A х|« + Kt) ePt. B.19)
R"
Доказ ательство. Рассмотрим функцию Ф (*)=
и пусть $(х, 0=$ \yf^x,t(dy). Полагая ip(x, t)
= z(jc, 0 + ф(*)> получим для функции г(х, t) задачу
Коши
|f + 4-(AV, V)z + (a, VJ+g(*) = 0, B.20)
z(x, 0) = 0,
где
Решение неоднородной задачи B.20) записывается в виде
Or"
= 5 \ [ТтА(у) + 2(у, a(y))]iiXit_s(dy)ds.
or"
При помощи B.18) получается оценка
г @ ^ \ [К + С \ | у f vl*. t-s (dy)\ ds,
0 I Ri i
8*

228 ГЛ. V. ЭВОЛЮЦИОННЫЕ УРАВНЕНИЯ
откуда
\, t-s)ds =
(x, s)ds.
В силу известной леммы Гронуолла это влечет B.19). ¦
Замечание 2.2. Пусть В —оператор в R". Если
ввести в этом пространстве другую норму 1х||в = 1Вх1, то
результат теоремы можно переформулировать в следующем
виде. Неравенство
ТгВА(д;)В*
влечет оценку
I By р ц,,, (dy) *? (|| В* f + Kt) ect. B.191)
Пусть, в частности, Р — ортогональный проектор и
[д,^ —образ меры \iXit при проектировании R" в Хр ==
=> PR". Тогда из
Ъ РА (х) Р + 2 (Рх, а (*)) < С | Рх |2 + К B.18")
следует, что
5 B.19")
Применим полученные результаты к системе B.1)
с оператором B.13). Будем предполагать при этом, что
ассоциированная задача корректна. Этот факт имеет место,
например, при следующих предположениях о коэф-
коэффициентах:
В{) Операторная функция А (х) представима в виде
B.14). Операторная функция V (х) и векторная а(х)
подчинены оценке
и имеют непрерывные и ограниченные производные пер-
первого и второго порядка в R".
В2) Операторная функция Ь (х) представима в виде B.14).
Операторные функции а(х) и с(х) непрерывны и ограничены
вместе с производными первого и второго порядка.

$ 2. УРАВНЕНИЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА 229
Действительно, при этих предположениях функции V (х)
и а(х), определяемые из B.9) и B.11), подчиняются сфор-
сформулированному выше условию Б).
Корректность ассоциированной задачи влечет за собой
существование у нее гладких решений, отвечающих на-
начальным значениям вида (и0 (х), у).
Так как исходная задача сводится к ассоциированной,
то ее решение и (х, t) при фиксированном ограниченном
начальном условии и0 (х) единственно и представимо в виде
(u(x, t), y) = \(uo(x'), y')\ix,yit(dx'xdy'), B.201)
где \ix,y,t — фундаментальное распределение сопряженной
задачи. С другой стороны, фундаментальное распределение
ассоциированной задачи порождает (см. § 1) фундаменталь-
фундаментальную матрицу распределений для исходной задачи, которая
в рассматриваемом случае обладает нужными свойствами
гладкости и потому определяет гладкое решение исходной
задачи.
Используя формулу B.201) и теорему 2.1, мы можем
получить оценки для этих решений.
Пусть R —обратимый оператор в R". Тогда из B.201)
\Ru(x, f)p- sup (Rm, R-1^)-
— sup § (R«o(*')> R^y^Px.y.tid;
ji R ~1У II ^ 1 p2n
< sup \\Ruo(x')f sup \ IR-iy'fux.yjidx'Ydy'). B,21)
Воспользуемся теперь оценками B.181) —B.191). Пусть
оператор определяется формулой
В(х; г/) = @; R-1^).
Левая часть условия B.181) для коэффициентов V (при
р=«0) и & из B.11) и B.9) запишется при этом в виде
8рВАВ+2(ВЯ,
и потому само это условие принимает вид
d(а*(х)R-1) + (R-Ч/, R-Xc* (x)y)^C\R-ty|2, B.22)
так как, в силу билинейности по у левой и правой части,
автоматически К**0, При этом условии выполняется

230 гл. v. эволюционные уравнения
следующая из B.191) оценка
IR-У li2 V*,y,t (dx'xdy') ^ | R-^p e", B.23)
которая вместе с B.21) влечет следующее утверждение.
Теорема 2.2. Пусть система
! + (V
+a(x)(V(x)V, u) + c(x)u = 0 B.24)
корректна. Если при этом выполняется условие B.22),
то решение задачи Коши B.24) с условием и (х, т) = и0 (х)
подчиняется оценке
sup 1 R« (х, t)р <<?с<*-<> sup 1 R«o(дс) p. B.25)
X X
В частности, при условии
ol (oj (*)) + (С* (х)у, 0) < С|у р B.22J)
выполняется оценка
sup|u(x, Oll^ec<t~°sup|uo(x)p. B.25i)
3°. Априорные оценки производных решений задачи
Коши, не зависящие от количества аргументов. Диффе-
Дифференцируя почленно B.15) и используя соотношения B.14),
получим для величин us = g?- систему уравнений (в этом
пункте нам иногда удобно дифференцирование обозначать
точкой)
/.*
2
«. *. / /
dvSb да/
где iskr = -^-, й]Г=-^-. Эта система имеет вид B.24) при
c(x) = d*(x) и aj*(x) = *,*/•(*). т- е- a$ = Vy-
Введем для операторной функции ф (х) bR" обозначения
т(ф)= sup {(f{x) у, у), &!(ф)= sup а|(ф
llvll-i !*11-»
n n
Из теоремы 2.2 следует такой результат.

§ 2. УРАВНЕНИЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА 231
Предложение 2.3. Имеет место оценка
sup|R"(*. 9P<sup|Ruo(x)|«x
хехр {^((VR-1)' R) + m(R-1dR))} (т-0- B.27)
Таким же образом оцениваются и производные более
высокого порядка. Мы приведем подробное исследование
••¦ ¦ .. аз«
лишь для производных второго порядка ujk = дх д~.
Дифференцируя почленно B.26), получим систему
? L а'к щш;+ L
+ It Vtjr.Vskrfik] + Б VsJ V sknrfikj + It &1пЩгш + 2, airtr.Uj =• 0.
Эту систему можно записать в виде
ди, .
2диь ь
2 й/vA - 0. B.28)
Пусть базис в IR" выбран так, что Ц R/12 = .?**/!• По-
Полагая p/ = Xju/ и qjk = ^jKujk, можно привести B.26) и
B.28) к уравнению B.24) относительно w = +
^ + y(AV, V)a» + (a, V)a» + o(VV, ш) + с(л;)ш = 0, B.29)
где билинейное отображение а и линейное с определяются
Матрицами
a:
1 '"¦ I г
0 )¦
)> 'l). (ftl>ft«)/

232 ГЛ. V. ЭВОЛЮЦИОННЫЕ УРАВНЕНИЯ
причем
i к к
Air •• Г\ ?
г,). (ftlt *.) = Uktr A^,j^ +^,^, j^
**
Г
Проводя несложные выкладки (которые мы опускаем из-за
их кропотливости), получаем для величин в B.221) оценки
sup al (a*y (x)) ^ 5ol ((VR-1)' R) +
11111
R-ir(R<S>R)) B>30)
sup ] (с* (х) у, у) < Зт (R-
+ ol ((VR-1)' R) + aUR-'a (R ® R)).
Обозначим для тензора К = {kit... / }i
В результате из B.251) следует оценка второй произ-
производной
sup {ol[u(x,
B.31)
где С зависит от входящих в правые части B.29) вели-
величин, связанных с производными коэффициентов а и V,
но не зависит от п.
Мы сформулируем общее предложение, опуская под-
подробности.
Предложение 2.4. Пусть коэффициенты уравне-
уравнения B.15) имеют непрерывные производные до порядка N
включительно, и
sup {aS[(VR-1)<*)(R®...®R)],
a(R1)(*Ji§gR}C B.32)

§ 2. УРАВНЕНИЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА 233
Тогда
2 sup а\ [и<*> (х, t) (R ф... ф R)] *?
^ 2 eC<v sup °l \u°k) W (R ® • • • ® R)L B.33)
ебе pi, —натуральное число, зависящее только от k.
Аналогичным образом можно провести вычисления и
для системы вида
^+~(AV, V)u + (a, V)U+«(VV, и) + си-0. B.34)
Дифференцируя эту систему почленно и объединяя
полученную с исходной, получаем для элемента ai = u0uR
систему того же типа B.34) с элементами
B.35)
Таким образом, форма B.34) системы дифференциаль-
дифференциальных уравнений оказывается инвариантной относительно
почленного дифференцирования. Используя формулы B.35),
можно последовательно выписывать матрицы а и с для
систем, описывающих производные старшего порядка от
решения B.39). Используя полученные выражения, можно
таким же образом, как и выше, получить следующий
результат.
Предложение 2.5. Пусть коэффициенты системы
B.13) имеют непрерывные производные до порядка N вклю-
включительно и выполняются условия B.32) ы, кроме того,
условия
sup
X
Тогда производные решения системы B.34) подчиняются
оценке B.33).

234 гл. v. эболюционныЕ урайнения
4°. Уравнение с цилиндрическими коэффициентами.
Перейдем к рассмотрению уравнений в бесконечно-
бесконечномерном пространстве. Рассмотрим сначала задачу Коши
для одного скалярного уравнения
| ^ (A()V V) + (a(x), V)u = 0,
u@, x) = uo(x) (xe=X). B.36)
Пусть & — полный набор конечномерных ортопроекто-
ров в <г%"о> области значений которых лежат в ?%*
Коэффициенты уравнения B.36) порождают в каждом
из Хр операторную и векторную функции
АР (х) = РА (Px) Р, аР (х) = Ра (Px) B.37)
и соответствующую им задачу Коши
|? + АрЫ=| + }(AP(*)V, V)u + (aP(x), V)U==O, (g ад)
ы (^, т) = ы0, р (х) = Ры0 (Р^).
Всюду ниже предполагается, что все эти конечномерные
задачи корректны.
Пусть и? (х, t) (х е ?р) — решение задачи B.38). Рас-
Рассмотрим функцию
и(х, t) = uP(Px, t) (x <=&'). B.39)
Так как, очевидно, и' (х, t) — Pup (Px, t), и" (х, t) =
= Рыр (Рл:, t) P, то она удовлетворяет уравнению
^^ !Рл:)ы"(л:, /) + (aP(Px), и'(х, 0) =
= dU? (^' ° + j Тг АР (Р*) up (Px, t) +
+ (aP(Px), u'p(Px, 0) = 0.
Это уравнение совпадает с B.36), если выполняются усло-
условия цилиндричности
РА (Рл:) Р = PA (x) P, Pa (Px) = Pa (x). B.40)
Таким образом, при условии B.40) решение задачи B.38)
определяет по формуле B.39) решение задачи B.36) с ци-
цилиндрическим начальным значением ио(Рх).

5 2. УРАВНЕНИЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА 235
. Пусть Q :э Р. Проведенные рассуждения можно при-
применить, понимая под X конечномерное пространство %q,
а под задачей B.36) задачу B.38) с проектором Q вместо Р.
формула B.39) дает при этом соотношение согласованности
uQ(x, t) = uP(Px, t) (jcs=J?Q), B.41)
если uQ(x, r) = uQ(Px, t) = uo(P*).
Из формулы B.41) следует, что соотношение
и(х, t) = uP(Px, t)
корректно определяет функцию и (х, t) на X с цилиндри-
цилиндрическим начальным значением и (х, х) = ио(Рх).
Пусть (х^ — фундаментальное распределение задачи
{2.38), так что
uP(t, *) = $ Ыр(т, y)[iip\_t(dy).
Равенство B.41) принимает вид
5 и9
где V^'flt — Р-образ меры y-{®\_t.
В силу произвольности ы0 (у) отсюда следует, что
В частности, выполняется условие согласованности мер
V-Vl t = №. Г (^X.^O.P.Qe 0»). B.42)
Пусть л: е X, т. е. л: = Ро* для некоторого Ро s ^.
Согласованный набор мер ]i?\ (P zd Po) порождает при
фиксированных х е ^? и ^ > 0 цилиндрическую меру на X,
имеющую сг-аддитивное продолжение, вообще говоря, на
некотором расширении XzdX. Если, однако, <5? = &%Г+,
то, в силу теоремы Колмогорова, Х = Х а, таким обра-
образом, [i-x,t — мера на X.
Отметим, что такое положение имеет место, когда
X =R°° — пространство всех вещественных последователь-
последовательностей.

236 ГЛ. V. ЭВОЛЮЦИОННЫЕ УРАВНЕНИЯ
При каждом Pel1, х^.Хр, t^O мера (х^ есть сла-
слабое решение соответствующей конечномерной задачи
<«,. Kft)-»**' 0= \ (^ + А(р'а„ (x<P)s\ dst B.43)
где
Из B.40) следует, что A(P)a/(P*) = Aa, (P*), и потому
B.43) можно переписать в виде
т
для любой цилиндрической функции a(t, x) = a(t, Px).
Легко видеть, что в последнем равенстве можно перейти
к пределу и распространить его на функции класса Фх
(состоящего из ограниченных функций с ограниченными
производными). Это показывает, что в рассматриваемом
случае мера [iXtt является слабым решением рассматривае-
рассматриваемой задачи как распределение Ф(.
Отметим, что B.40) выполняется для уравнений
с постоянными коэффициентами. Этот случай был иссле-
исследован в предыдущем параграфе.
5°. Меры, порождаемые совокупностями конечномер-
конечномерных уравнений. Более содержательным является случай,
когда условие цилиндричности B.40) не выполняется, и
в связи с этим фундаментальные распределения |i<Q>
(Qsf) задач B.38) не являются, вообще говоря, проек-
проекциями какой-либо меры на X. Ниже будет показано, что,
исходя из этих распределений, все же можно построить
при некоторых предположениях о коэффициентах фунда-
фундаментальное распределение задачи B.36), а затем, исполь-
используя переход к ассоциированным уравнениям, изучить
задачу Коши и для систем B.2).
Рассмотрим сначала более общую ситуацию.
Пусть при каждом Qel1 задано корректное в «S?q
уравнение
+ AQu = ^ + {(AQ(*)V, V)u-Hoq(*), V)M'
B.44)

5 2 УРАВНЕНИЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА 237
где АЬ (х) = Vq (х) Vq (х), Vq e L{XQ), aQ (x) <=%Q — непре-
непрерывные функции, не обязательно удовлетворяющие B.37).
Совокупность уравнений B.44) назовем согласованной,
если условие B.37) выполнено,
Пусть (х^ — фундаментальное распределение уравне-
уравнения B.44) в XQt m4Pi(Q) — его проекция в %р:
,л<р. Q) (в#) = ,x<Q> (P-i (,#) П ^Q) (Р с Q).
Предложение 2.6. Пусть выполнено условие
Тг PAQ (х) Р + 2 (Р*, aQ (л:)) ^
<Ср|Рдс|» + /Ср (PczQ), B.45)
где постоянные Ср и Кр не зависят от Q.
Тогда совокупность
-#(Р, Л, т) =
компактна в смысле слабой сходимости мер в ХР при
каждом Pel5, R>0, т>0.
Доказательство. Достаточным условием слабой
компактности некоторого множества мер в конечномерном
пространстве Хр является равномерная ограниченность
их вторых моментов:
\ |jc'pM-iP}Q> (<**')< const,
которая при условии B.45) является следствием оценки
B.19й).
Замечание 2.3. Утверждение сохраняется, если
условие B.45) заменить условием
Тг AQ (х) + 2 (х, aQ (x)) ^c\Qx f + K (xt=XQ). B.451)
Результат следует из B.19), так как
11 *' IP i4p-/Q) W*') <• \ »х' I2
Обозначим при каждом фиксированном />0,
= UXq и Ре# через Sf,\ — множество предельных при
Q-»-I точек совокупности мер {|-i(xPi,Q)}. Легко видеть, что
элементы Sf.'t обладают следующими свойствами:

238 ГЛ, V. ЭВОЛЮЦИОННЫЕ УРАВНЕНИЯ I
а) SXP\ компактно в смысле слабой сходимости^ мер
в #<р>;
б) если (х е S{P) t и Р' cz Р, то Р' — проекция |хР. — обла-
обладает свойством (хР. е SiP?'>
в) (х (jfP) = 1 при (х f= Sxp)t.
Теорема 2.3, Яры условиях B.45) ылы B.451) сдое-
ствует положительная, нормированная цилиндрическая
мера \ix,t на X, проекция которой обладает свойством
AХР\ е S*P>/. ?слы X = U PftX = «5Г+, то (х* , а-аддитивна
в X.
Доказательство. Рассмотрим монотонно возра-
возрастающую последовательность проекторов Pk -*¦ I (Pk e ^).
При помощи диагонального метода можно выбрать под-
подпоследовательность ks так, чтобы последовательность мер
(Р Р \
г* z'5' (/>s) слабо сходилась при каждом s и /->-оо.
Полагая
Р
/->00
получаем набор мер в конечномерных пространствах Х
согласованность которого следует из того, что цх у "'> =
= (l* **' р* (ks<kj). Эта совокупность и определяет
цилиндрическую меру jx^. Эта цилиндрическая мера,
согласно теореме Колмогорова, имеет сг-аддитивное про-
продолжение, вообще говоря, в некотором расширении ХгэХ,
совпадающем с X при дополнительном предположении
+
Замечание 2.4. Для любого конечного набора зна-
значений х и t объединение (J Sxp)t слабо компактно. Поэтому
*. t
при помощи диагонального метода можно определить
цилиндрические меры р.*>( сразу для счетного множества
Z = {xu хг хг„ ...} и B = \tlt t% tn, ...}, исполь-
используя одну и ту же последовательность проекторов
pj? = lim |x(P^' P*/) (x e Z, t e 6).
/->оо '
При этом можно считать 2 = <г%"о. 6 = R+.
Замечание 2,5, Пусть функция q>(*) ограничена и
обладает тем свойством, что <р (Рх) непрерывна в 35?

$ 2. УРАбНЕНИЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА 239
) и существует интеграл по цилиндрической мере
Ф (У) Kt (dy) = Hm Ф (Ру) Д№)
Поскольку, в силу слабой сходимости мер,
5
Hm
где QA —соответствующая последовательность проекторов,
то имеет место формула
(у) К t (dy) = Пт Um J q> (Pr/> (xf*) (ф). B.46)
Теорема 2.4. Пусть при условиях теоремы 2.3 /ц
ствует оператор В: <2%"+->-е%"о> Зля которого выпол-
выполняется неравенство
B.47)
где BQ = BQ.
Тогда цилиндрическая мера \xXit {x&X, t>0) имеет
а-аддитивное продолжение в гильбертовом пространстве
<Р2"в, являющемся пополнением о%"+ по норме \х\в = \Вх[.
При атом конечен второй момент
$ \y\%V-x,t(dy)<oo.
Доказательство. Достаточно (см. § 1 гл. III) по-
получить равномерную относительно Р оценку
\ lt/%W\(dy)^Cx,t<oo.
яР
В силу B.191) из условия B.47) следует оценка
\ 1 Ш>у |» ц(Р.,«> (dy) < A Рх)»+ Щ (fit,
?р
которая после предельного перехода при Q->-I приводит
к нужному результату. Для оправдания предельного пере-
перехода нужно выбрать монотонно возрастающую последова-

240 ГЛ. V. ЭВОЛЮЦИОННЫЕ УРАВНЕНИЯ
тельность ограниченных непрерывных функций <р„'(у)
-Н|ВРг/||2. При этом
\ (dy) = lim \ Ф„ (у) fi» о) (dy)
' Q-1
^ С
и остается перейти к пределу при п-*-со. в
Теорема 2.5. Яры условиях теоремы 2.4 р рх><
можно определить при всех i>0 /пак, чтобы она слабо
непрерывно зависела от t в том смысле, что для каждого
фбС,(е%"в) и х^Х функция \q{y)\bx,t{dy) была бы
непрерывна по t.
Доказательство. Существует последовательность
РА->-1 (&->-оэ), такая, что V^\= lim ^'/'^ при каждом
6, где 8 = R+.
Пусть фёС, (<2%"в) и фР (^) = ф (Рх). Тогда
есть решение задачи Коши в пространстве
-, fp. PO
/p p \ aw "'
Ее производная по времени in ' w = ^— удовлетво-
удовлетворяет тому же уравнению при начальном значении
Поэтому при
| uPl p* (/, дс)| < sup | А*ф (x) I < Сф,
л-,
где Сф зависит лишь от ф.
Из этого следует, что последовательность ы^р' Р*) (t, x)
при каждом х компактна в смысле равномерной сходимо-
сходимости на любом конечном интервале изменения t. На плот-
плотном множестве 8 она сходится
lim«(PlP*»(U)= \ <p(Py)№t(dy). B.48)
*

S 2. УРАВНЕНИЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА 24!
Следовательно, она сходится и при всех значениях t
к непрерывной (и даже липшицевой) по t функции.
Далее при любом t последовательность мер ^)Р^
слабо компактна и, следовательно, слабо сходится к неко-
некоторой мере jl^, так что B.48) справедливо уже для всех t.
Таким образом, утверждение теоремы доказано для цилин-
цилиндрических ф.
В общем случае оно доказывается предельным перехо-
переходом при Р->-1 в силу того, что рассматриваемая сово-
совокупность мер «почти сосредоточена» на компакте, где
сходимость ф (Рх) к ф (х) равномерна. ¦
6°. Решение задачи Коши для одного уравнения в бес-
бесконечномерном пространстве. Перейдем к рассмотрению
задачи Коши для бесконечномерного уравнения B.36)
и(х, х) = ио(х) (х<=Х).
Это уравнение при проектировании в конечномерные
подпространства порождает согласованную в смысле со-
соотношений B.37) совокупность конечномерных уравнений
B.44). Не оговаривая этого специально, всюду ниже мы
предполагаем, что все эти уравнения корректны. Кроме
того, предполагается, что существует оператор В, для
которого выполняется условие B.47). При этом описанные
в теоремах 2.3 и 2.4 меры fL*, ((х е X, t^O) сосредо-
сосредоточены в гильбертовом пространстве е%"в. содержа-
содержащем s%"+ и являющемся его пополнением по норме
|*|в = |В*| (хеа5Г+). Эти меры будут теперь связаны
с уравнением B.36).
Теорема 2.6. Пусть условия теоремы 2.4 выпол-
выполняются для согласованной системы уравнений B.44), по-
порождаемой уравнением B.36). Пусть, кроме того, коэф-
коэффициенты уравнения удовлетворяют следующему условию
равномерной непрерывности:
lim sup \a(Px)-a(Qx)\=*O,
р. <Э-И1*!1«бя B 48')
limsupjV(Px)-V(Qx)| = O. '
Тогда при каждом х е X семейство мер \ъх t (t ^ 0),
слабо непрерывное по t в смысле теоремы 2.6, является
слабым решением задачи Коши B.36).

242 ГЛ. v. эволюционные Уравнений
Доказательство. При каждом Qe^ мера \л® —¦
фундаментальное распределение соответствующей конеч-
конечномерной задачи B.44) Поэтому для каждой финитной
в е%"в функции а класса Фг имеет место соотношение
где PcQ, аР(л:) = а(Рх, *).
В левой части этого равенства и первом слагаемом
правой части можно перейти к пределу сначала при Q-»-
->-1, а затем при Р-»-1.
Если при этом окажется, что второе слагаемое в пра-
правой части стремится к нулю, то на основании замечания
2.5 получится соотношение
которое и равносильно требуемому утверждению, так как
от финитности функции а легко избавиться при помощи
дополнительного предельного перехода.
Подынтегральное выражение во втором слагаемом
имеет вид
(А«э> - А<р>) а<р> = Тг [V (Qx) Ра" (Рх) PVQ (х) -
- V (Рх) Ра* (Рх) PV (Рх)] + (a (Qx) - а (Рх), Ра' (Рх)).
В силу финитности функции а условие B.481) достаточно
для того, чтобы это выражение стремилось к нулю.
Замечание 2.6. Условие B.48) может быть про-
проверено, например, следующим образом. Пусть векторная
функция h (x) со значениями в некотором банаховом про-
пространстве <%" подчиняется оценке
, B.49)
где S — вполне непрерывный оператор в
При этом

% г. уравнение второго порядка 243
и, в силу компактности оператора S, правая часть при
p-vl, Q->-I стремится к нулю на любом шаре в оЖ*в.
Оценка B.49) выполняется, если п(х) дифференци-
дифференцируема вдоль а%"+ и оператор h' (x) B^S ограничен.
Таким образом, выше построены меры \iXwi, которые
при фиксированных х представляют собою слабые реше-
решения рассматриваемой задачи Коши.
Однако конструкция зависит от х и может быть пока
совместно проведена лишь для счетного плотного в е%"+
множества D.
Отметим, что условия, при которых проведены дока-
доказательства последних теорем, привели к мерам, сосредо-
сосредоточенным в некотором гильбертовом подпространстве ^Гв
пространства &%"_.
Мы наложим сейчас дальнейшие ограничения на коэф-
коэффициенты уравнения, которые фактически приводят к рас-
рассмотрению задачи Коши в этом пространстве.
В связи с этим полезно рассмотреть такой вариант,
когда с самого начала <Ж+ = <Ж0 = з^- — совпадающие
гильбертовы пространства.
Мы проведем все рассуждения в таком варианте,
а затем укажем изменения, позволяющие рассмотреть
некоторые случаи, когда гильбертово подпространство
еЗГв с X заранее не фиксируется.
Обозначим Соо (е%", Ш) — совокупность функций / (д;)
на гильбертовом пространстве <Ж со значениями в гиль-
гильбертовом пространстве Ж, бесконечно дифференцируемых
вдоль а— и подчиняющихся оценкам вида
sup сгН/(г) (*)) = sup 2 \\f<r)(x)(eki, .... eftr)Ja<co
* х к fc_
kr
(, {ek} — ортобазис в )
Пусть C2o(s%", Ж1) с= Coo(s5T, Ж1)-подпространство,
состоящее из ограниченных функций: ||/(x)||s^C8.
Теорема 2.7. Пусть для уравнения B.36) ае
eCoo(a%", ЯГ), FsCoo(e%", 1Л<Ж)) и выполняется
оценка
ol (V (х)) + 2 (х. а (х)) «? Сх | х |» + С,. B.50)
Тогда задача Коши B.36) корректна в классе D =
0, R1)- Ее решение представит в виде
и (х, 0 = I "о (у) ц*. t-< DУ). B-51)

244 гл. v. эволюционные уравнения
где |хх t {х е яЖ', 1s= 0) — нормированные неотрицатель-
неотрицательные меры в <Ж. Это решение может быть получено как
предел решений конечномерных задач B.44), получающихся
из B.36) проектированием в конечномерные подпростран-
подпространства.
Доказательство. Применим теорему 2.4 при В =
= 1. Из условия B.51) следует оценка B.47) для Qe#
с теми же постоянными С, Си не зависящими от Q.
Поэтому определены на борелевской сг-алгебре прост-
пространства <Ж меры (Хдг,t{tSs0, j;eZ) для плотного в а»Г
множества Z при помощи предельной процедуры, описан-
описанной в теореме 2.3, с одной и той же последовательностью
проекторов Р*->-1.
Пусть / е $г (e%"i R1). Рассмотрим последовательность
функций
uJk(x, t) = u(p/-p*\(x, t) =
= $ / (Р;У) V-^У № (x e ^T, t^ 0).
В силу сказанного выше
lim u<?r p*) (x, t) = uP. (x, t) = ]f (Pfy) p.,., (dy)
Из предложения 2.4 (при R = I) следует, что ufjp^ e
е ^г (е%^, R1) с равномерными относительно / и k оцен-
оценками.
В частности, из равномерной ограниченности первых
производных следует равномерная липшицевость функции
Ufkix, t), а значит, и предельных функций щ(х, t) на
плотном множестве Z. Следовательно, эти функции рас-
распространяются с сохранением липшицевости на все е%",
так что
щ (х, t) = lim ujk (x, t) (jteJ1, f^O). B.52)
На каждом шаре каждого из конечномерных подпро-
подпространств Хт из равномерных оценок производных сле-
следует компактность в смысле равномерной сходимости
семейства производных и$(х, t) (s=l, ..., г—I) no
любому фиксированному направлению из Хт. Переходя
к подпоследовательности (будем считать, что это уже
сделано), мы можем считать, что в B.52) имеет место
равномерная сходимость вместе с производными до по-

« г. уравнение второго порядка 246
рядка г—1 по любому направлению из X на каждом
шаре из каждого Хт. Из равномерности оценок про-
производных ufy выводится равномерность этих оценок и
для функции uf\ а затем и функций и (х, t)=* lira Uj(x, t).
Таким образом, операторы
оставляют инвариантным линейное множество D
В силу теоремы 2.6 (она применима, так как из пол-
полной непрерывности производных следует нужное условие
непрерывности, см. замечание 2.6) ДЛ t есть слабое реше-
решение сопряженной задачи. Поэтому, как следует из теоремы
1.1 и замечания 1.1 после нее, для доказательства кор-
корректности задачи Коши B.36) нужно лишь установить
полугрупповое соотношение A.5) или эквивалентное ему
в наших условиях свойство единственности слабого реше-
решения сопряженной задачи. Оба эти свойства можно выве-
вывести при помощи предельного перехода Р-»-1 раесужде-
лиями, близкими к приведенным при доказательстве тео-
теоремы 2.6.
Покажем, например, единственность слабого решения.
Достаточно показать (см. A.4)), что из равенства
х
[ (^ + А (и,). »»/) Л, B.53)
выполняющегося при каждой и*аФ(/, Ci), следует, что
Пусть и(х, t)=*u(Px, t). Перепишем B.53) в виде
$ /), \it)tfi, B.54)
о
где
А (и) - А(р) (и) = Тг [А (х) - Ар (*)] и\

246 гл. v. эволюционные уравнения
Пусть ut — решение конечномерной задачи Коши
^ + А<р>(ы,) = 0, и(х. т) = Ф(х).
Тогда из B.54) следует равенство
правая часть которого при Р-»-1 стремится к нулю
вследствие равномерной ограниченности множества (ы(Р))*,
что и приводит к нужному результату. ¦
Замечание 2.7. Используя конечность вторых мо-
моментов мер \jlx, с, можно показать, что формула B.51)
представляет решение Коши и в том случае, когда на-
начальная функция принадлежит классу Соо(^Г, R1).
Замечание 2.8. В случае, когда рассматриваемое
уравнение задается в пространстве X = е%"- => <Ж -=> &%"+,
не являющемся гильбертовым, рассуждения проводятся
аналогично.
Вместо условия B.50) нужно потребовать существова-
существование оператора В, для которого выполняется оценка
o5(BV*(*)
Ва, BF*e^, B.55)
где класс ф заменяется классом функций ^», у которых
ограничены величины
sup oi(/">(*) (В-1 • В-1-)). B.56)
X
Если при этом существует последовательность орто-
проекторов Р*, коммутирующих с В, по-прежнему удается
применить теорему 2.4 и получить равномерные оценки
производных.
Пример 2.1. Рассмотрим пространство X*= а%"_*»Я08
всех последовательностей х = (хг, х2, ¦•¦)> и пусть а5Г = /2,
^Г+ = К^° —пространство финитных последовательностей.
В качестве оператора В выберем оператор умножения
Вх = (ХуХи К2х2 Кпхп, ...), где {h}f^t — последователь-
последовательность положительных чисел. Пусть Р„д; = д;<п) = (д;1, ...
.... хп, 0, 0, ,..), при этом ВР„ = Р„В. Пространство е%"в
состоит из последовательностей, удовлетворяющих уело-

Вию
вид
I 2. УРАВНЕНИЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА 247
K\xk |2<oo. Задача Коши B.36) принимает
du(t, х) , 1
д*и
ди
где а,к (х) = 2
s = l
Требования, которые мы налагаем на коэффициенты,
при этом имеют вид
*./,..../,
дгак
К, ...
дх, дх, ...дх,
'i h h
<схз,
К, ...Кг дх, ...дх.
<оо,
2]
s. ft
+ 2 2
< С 2^4 + d.
При этих условиях задача Коши корректна в классе
СС^Г), и ее решение дается формулой
и(х, 0= 5
7°. Система уравнений в бесконечномерном простран-
пространстве. Рассмотрим систему B.1) —B.2) относительно век-
векторной функции и(х) со значениями в гильбертовом
пространстве
B.58)
и(х, r) = uo(x).
Для доказательства корректности задачи Коши B.58)
достаточно показать корректность соответствующей ас-
ассоциированной задачи, т. е. задачи Коши для одного
уравнения
g + A(X)fi(*)-O, Й(Х, т) = («„(*). У) B.59)
относительно функции й (%) = (ы (д;), y)gg (X = (х; у)) с опе-
оператором B.6).

248 гл. v. эволюционные уравнения
В этом месте нужны некоторые дополнительные заме-
замечания, так как корректность задачи B.59) формально не
следует из результатов предыдущего пункта. Дело в том,
что в теореме 2.7 предполагается ограниченность произ-
производных коэффициентов уравнения, а функции, линейные
по у, при дифференцировании по х сохраняют линейный
рост по переменной у.
Однако при помощи дополнительных рассуждений мож-
можно установить равномерную ограниченность производных
решений уравнений, полученных из исходной системы пу-
путем проектирования в конечномерные пространства, а на
этом основываются и все остальные рассуждения.
Эти дополнительные рассуждения состоят в следую-
следующем. При дифференцировании выражения (и(х), у) по у
получается функция и(х), ограниченность которой следует
из ограниченности на шаре ||у||^1 решения (и(х), у)
рассматриваемого ассоциированного уравнения. При диф-
дифференцировании по х получается функция вида (и' (х) h, у),
которую можно получить, дифференцируя исходную си-
систему, а затем уже переходя к новому ассоциированному
уравнению.
На этом пути таким же образом, как и выше, можно
получить условия равномерной ограниченности производ-
производных решений уравнений, аппроксимирующих ассоцииро-
ассоциированное с системой B.58) уравнение B.59), и тем самым
доказать корректность задачи Коши для него.
При этом решения аппроксимирующих уравнений ли-
линейны относительно у, а потому этим свойством обладает
и решение задачи B.59).
В силу предложения B.1) это приводит к коррект-
корректности задачи B.58). Сформулируем результат, не вда-
вдаваясь в дальнейшие подробности.
Теорема 2.8. Если в дополнение к условиям
теоремы 2.7 аеС^ («ЙГ, U (<2Г X Я\ Ж)), с s
е= С^ (в%", U (вЯГ, 5?)), то задача B.58) корректна в & =•
= С?о (е%", <%") и ее решение и (х) дается формулой
(у, и(х, t))= $ (у', u(x'))\x,x,y,x-t(dx'xdy'),
где ц*,у,/ — фундаментальное распределение задачи B.59),
представляющее собою семейство неотрицательных нор-
нормированных мер в <Жх&?.
Следствие 2.1. Из теорем 2.7 и 2.8 на основании
теоремы IV. 1.4 можно получить условия существенной

ЗАМЕЧАНИЯ И КОММЕНТАРИИ 249
самосопряженности или максимальной диссипативности
дифференциальных операторов, обладающих соответствую-
соответствующими формальными свойствами (см. IV, § 1) в простран-
пространстве L^ функций, интегрируемых в квадрате по гауссо-
гауссовой мере.
Более общие результаты в этом направлении
см. в гл. VII.
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
И ИСТОРИЧЕСКИЕ КОММЕНТАРИИ
к главе V
Дифференциальные уравнения для функций бесконечномерного
аргумента встречаются в различных разделах теоретической физики,
ио лишь сравнительно недавно они стали объектом систематического
математического исследования.
Разнообразный материал в этой области в нестрогой форме был
накоплен в известной монографии П. Леви [1]. Развитию этого пер-
первоначального этапа исследований для уравнений в вариационных
производных, аналогичных обыкновенным дифференциальным уравне-
уравнениям, посвящены работы А Н. Шерстнева [1], В. А. Новикова [1],
М. Н. Феллера [6]. В работах Ю. Л. Далецкого и Н. М. Кухарчу-
ка [1] и В. И. Авербуха [1] рассмотрен бесконечномерный аналог
теории квазилинейных уравнений первого порядка. Мы уже говорили
в комментариях к гл. IV о серии работ по теории оператора Лапла-
Лапласа — Леви. Параболические дифференциальные уравнения второго
порядка в вариационных производных как уравнения Колмогорова
для бесконечномерных диффузионных случайных процессов начали
рассматривать В. В Баклан [2, 3] и Т. Л. Чантладзе [1], обобщав-
обобщавшие на бесконечномерный случай результаты И. И. Гихмана и
А. В. Скорохода [1].
Параболические уравнения второго порядка в абстрактном прост-
пространстве типа A.35), B.1)—B.2) независимо начали рассматривать
Л. Гросс [4] и Ю. Л. Далецкий |6 — 8]. При этом Гросс достаточно
полно изучил уравнение с постоянным операторным коэффициентом
(изложение его результатов и их развитие см. также в книге X. Куо
[1]). Позднее М. Пич [1], обобщая метод «параметрикс», рассмотрела
и некоторые уравнения с переменными коэффициентами. В работах
Ю. Л. Далецкого [6 — 8] рассмотрение проводилось методами теории
случайных процессов (см, гл. VII). Изложение в этой главе ведется
на основании работ Ю. Л. Далецкого и С. В. Фомина |2, 4] (см.
также Ю. Л. Далецкий |11]) Метод проектирования в конечномер-
конечномерные пространства инспирирован работой Г. Фояша {1], посвященной
другим вопросам (исследованию уравнения Хопфа). На системы
уравнений эти результаты были перенесены в работе Ю. Е. Бохоно-
ва и Ю. Л. Далецкого [1], в которой был использован метод сведе-
сведения системы к одному уравнению с аргументом большей размерности.
' Этот метод имеет вероятностный подтекст, связанный с понятием опе-
операторного мультипликативного функционала (см. гл. VII).
Другие методы исследования дифференциальных уравнений о
бесконечномерным аргументом использовал Н. И. Фролов [I — 5].

250 ГЛ. V. ЭВОЛЮЦИОННЫЕ УРАВНЕНИЯ
М. И. Вишик и его ученики (см. М. И, Вишик [1], П. М. Блехер и
М. И. Вишик [1|, М. И. Вишик и А. В. Марченко [1]) перенесли на
бесконечномерный случай ряд результатов теории псевдодифферен-
псевдодифференциальных операторов. В комментариях к гл. IV мы уже описывали
связанные с рассматриваемыми здесь результаты, относящиеся к ис-
исследованию самосопряженности дифференциальных операторов с бес-
бесконечномерным аргументом.
Как уже указывалось в гл. IV, в бесконечномерном случае неза-
независимо от анализа функций следует строить анализ мер. Мы ие изу-
изучаем здесь отдельно дифференциальные уравнения в мерах, рассмат-
рассматривая их в § 1 лишь в более общем контексте дифференциальных
уравнений в распределениях, двойственных по отношению к диффе-
дифференциальным уравнениям относительно функций. Исследование диф-
дифференциальных уравнений различного типа для мер было проведено
в серии работ А. В Угланова [I — 4J.

ГЛАВА VI
ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ПРОСТРАНСТВУ
ТРАЕКТОРИЙ
В этой главе рассматриваются так называемые конти-
континуальные интегралы, т. е. интегралы по квазимере на
пространстве траекторий, порождаемой переходной мерой.
В том случае, когда эта переходная мера положительна,
континуальный интеграл превращается в среднее по мар-
марковскому случайному процессу. Этот аспект мы будем
рассматривать подробнее в следующей главе. В общем
случае роль переходной меры играет фундаментальное
решение некоторого эволюционного уравнения. В связи
с этим континуальные интегралы тесно связаны с пред-
представлением решений эволюционных уравнений. Поэтому
мы рассматриваем здесь некоторые специальные мульти-
мультипликативные представления решений линейных и нелиней-
нелинейных эволюционных уравнений. Эти представления исполь-
используются при построении интегралов по траекториям в тех
случаях, когда соответствующая квазимера, вообще гово-
говоря, не имеет ограниченной вариации. Для нелинейных
уравнений на этом пути возникают интегралы по прост-
пространству ветвящихся траекторий.
§ 1. Марковские квазимеры
1°. Переходные меры. Условие ограниченности мар-
марковской квазимеры. Пусть (Хт, Щ = Y[ №> %) {Т =
= [т, Ti] e R1) — произведение измеримых пространств
[Х„ %).
Комплекснозначную функцию P(tu хх, t2, А) (х^
^<i^<2^Ti. xi s Xtl, ЛеЩ назовем переходной ме-
мерой, если выполняются условия:
а) функция множеств v^,tl,t,(A) = P(tu xu к, А) есть
мера на (Xtl, ?Г,„),
б) функция atl. tt. a (xi) = Р (ti, xi, t2, А) ^-изме-
^-измерима,

252 ГЛ. VI. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ТРАЕКТОРИЯМ
в) имеет место соотношение
= \P{tu хъ s, dy)P(s, у, U, A) (<lSSs<<2), A.1)
причем интеграл сходится абсолютно.
Будем называть переходную меру нормированной, если
P(ti, *i, tt, X,,) = l (/i, /,е[т, xj). A.2)
Если задана переходная мера, то на произведении
можно построить квазимеру (д., конечномерные проекции
которой определяются следующим образом.
Определим для каждого упорядоченного набора q =
= (tu ..., tn), где T = to<t1<....<.tn<.Ti=tn+l, и точки
х0 е Хх меру на ХдхXXt (Xq = Xtix...XXtn) формулой
л + 1
Ш U, dxk),
A)
(В случае необходимости будет указываться и конечная
точка интервала: nifx. х.ф)
Эти меры образуют согласованный набор. Действи-
Действительно, пусть В = В1хХ(/х В%, где Бх <= 5l7l, В2^ШЧг x5lXl;
<7i = (fi, .... <y-i), ^i = (<y+i, ..., tn). Тогда, в силу A.1)
Г л+1
X J Р (//_!, Xhl, tj, П
L
'*' <&>>)Р{Ь-ъ Xj-u t,+1, dxJ+1)X
1
X П ^ C*-i. **-!. '*. ^) = ^.U..)(filXfi2). A.4)
/ + 2
Из формулы A.4) легко следует, что при естественном
проектировании пд-д-. Хд-*-Хд>, где q' <q, мера Ц^'х пе-
переходит в n^'V
fnW Л'« = п,(»')
[где,, xj г*дг„ v

% 1. МАРКОВСКИЕ КВАЗИМЕРЫ 253
Заметим, что если переходная мера Р (t, хх, t2, dx2)
нормирована и B = BxXXi (BeX,), то мера
и») х Ф) = |i<*> х (В X XTl) =\f[P (h-u **-ь tk, dxk) A.5)
не зависит от конечной точки промежутка [т, Ti].
Квазимеры A.3), A.5), построенные по переходным
мерам, будем называть марковскими.
Очевидно, что при неотрицательной, нормированной
переходной мере Р квазимера ji^> x ограничена. В общем
случае это уже не так, и мы рассмотрим здесь условия
ограниченности марковских квазимер.
Предложение 1.1. Если нормированная переходная
мера Р удовлетворяет условию
С= sup -i—jiv^, ,8!-1}<°с>. A.6)
то марковская квазимера JX*,,, т ограничена.
Доказательство. Если Вей, то В е 21? при не-
некотором q = (ti, ..., tn). Поэтому
I $*.. х. (В) | =
^ П sup
ft = I K k = I
При некоторых дополнительных предположениях усло-
условие A.6) оказывается близким к необходимому.
Предложение 1.2. Пусть (X,, 21,) (t ^^ — топо-
топологические пространства Радона и Р(К, *ь t2, A)~ве-
A)~вещественная нормированная переходная мера, непрерывная
по хх при фиксированных h, t2, А. Если выполняется
условие
-^7-К,;1Лг№2)-1] = оо (х&ХЛ, A.7)
то марковская квазимера A.5) имеет неограниченную ва-
вариацию на каждом множестве В е Шд; q = (<ь ..., tn),
Доказательство. Из A.7) следует при каждом
наборе tu t2, x существование компактного множества
S (tu t2, x) e 31^,, на котором мера v,% tu t, имеет положи-

254 ГЛ. VI. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ТРАЕКТОРИЯМ
тельное сужение и Р (h, х, t2, b(h, t2, x))^z 1 + c(t2 — fx),
причем постоянная с может считаться достаточно боль-
большой при достаточно малом t2 — tl. Из принятого условия
непрерывности следует, что при малом изменении х мно-
множество б (<i, t2, ¦*;) можно считать неизменным. Рассмотрим
при некоторых s, sx и хеХ, множество б(s, sb л;) и
представим его в виде объединения непересекающихся
г
множеств 6(s, su х)= М у/, так, чтобы для каждого yh
/1=1
и s2>Si существовало множество 6д, удовлетворяющее
условию P(sx, Xi, s2, bn)^l + c(s2-S!) (jfiey/,).
Аналогично поступим, представляя 6/,= \J yjll2 так,
чтобы при s3>s2 существовало множество 6д/„ для ко-
которого
Р (S2, X2, S3, 6jj,) 5* 1 +С (S3 — S2)
и т. д. Рассмотрим теперь цилиндрические множества
П^.../я-Ч*-чЛ т/,.../я.вЛ /J =
= {а:: x(s) = x0, «(«Ое^, ..., х(в„)еу/( /о,
x(sn+1)e6;i ;J,
и пусть
'( '„
Используя последовательно свойства множеств б, у,
оценим снизу квазимеру
М^*., «I1 j = 2j f**..s V /1
/1 'л
л + 1
J J • • • J П
2] J ¦•.S
J n
it —1 6(S, Si, ДГ) .«=0

5 1. МАРКОВСКИЕ КВАЗИМЕРЫ 255
Выбирая Ak = ^~, получим оценку
+ с Scf Г1 „ е
f
при большом п, причем постоянная с может быть сделана
достаточно большой. Пусть теперь В е 2l?, q =
«¦= (<i, • •• > ^т = «<т2). Всегда существует множество вида
#, xB2czB, где fiie=a,lt <?i = (/b ..., /„-О, 52еШ^,та-
чрое, что мера т(А) = цХи Xl{BxxA) на 91Л сохраняет знак
для Л с: В2. Из A.8) при этом следует, что при доста-
ij?O4HO большом п мера цилиндрического множества
U Ts> Хо достаточно велика. ¦
Рассмотрим, в частности, случай, когда Xt = X (t е Г)—
линейное пространство и переходная мера определяется
формулой
PVi, хи /„ Л) = Я(/,-/!, Л-*!), A.9)
где Р (^, Л) —мера на (X, 81), удовлетворяющая условиям
х)=1,Р(/1 + /1;Л) = $Р(/1,4у)Я(/1,Л-у). A.10)
Такую переходную меру будем называть однородной.
Для однородной переходной меры выражения A.6) и
A.7) не зависят от х%, и, как видно из доказательства
предложения 1.2, предел в A.7) можно заменить верхним
пределом. Это приводит к следующему результату.
Теорема 1.1. Пусть (X, 21)— линейное топологичес-
топологическое пространство Радона. Марковская квазимера, пост-
построенная по вещественной однородной непрерывной относи-
относительно сдвигов на каждом А е 81 переходной мере Р, огра-
ограничена тогда и только тогда, когда выполняется условие
Um~[P+(t, x)-l]<oo. <U1)
Замечание 1.1. Из доказательства предложения
1.2 следует, что при условии A.7) (соответственно при
HapyiuerfHH условия A.11)) рассматриваемая квазимерз
разрывна на алгебре цилиндрических множеств и, сле-
следовательно, не может быть а-аддитивной.
Замечание 1.2. При помощи более сложных рас-
рассуждений можно перенести результат предложения 1.2
S н» комплексные квазимеры (см, Дж. Фельдман [3]). В од-

256 ГЛ. VI. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ТРАЕКТОРИЯМ
ном частном случае можно модифицировать и рассуждения,
приведенные выше. А именно, пусть описанные в процессе
доказательства множества б обладают свойством
ReP(tly xly tiy 8)Ss l+citz-tj, | lmP(h, xlt t2, 6)
где е —достаточно малое число. Тогда аналогично прове-
проведенному выше вычислению можно оценить снизу вещест-
вещественную квазимеру Re ц.
Замечание 1.3. Из соотношения v+ = —у^- следует,
что условие A.7) равносильно условию
lim jlj- {| v», и, и | (Xtt) - 1} < оо.
Поэтому соотношение A.11) можно переписать в эквива-
эквивалентной форме
\[\{ )|] A.11')
Рассмотрим, в частности, случай, когда ХеГи одно-
однородная переходная мера имеет плотность относительно
меры Лебега
P(t, A)= Jp(f, x)dx.
А
При этом
\P(t, 01 = l\p(t, x)\dx
и соотношение A.11) заведомо нарушается, если | Р (t, 01^
^=1+а (а>0). Например, при \P(t, 011 = const^ 1
A.11) выполняется точно при условии />5эО, так как
тогда \\P(t, 01 = 1.
Пример 1.1. Рассмотрим фундаментальное решение
p(t, x) задачи Коши
dt к > °
Оно порождает однородную переходную меру Р (t. A) =
= \ р (t, x)dx, которая удовлетворяет соотношениям A.10).
А
Применяя преобразование Фурье, нетрудно вычислить
p(t, *) — 2^- \ ехр {Шх — (аауЧ} da. Поэтому (делая за-

5 1. МАРКОВСКИЕ КВАЗИМВРЫ
мену х-*-хо у t, a>-*-a>-
187
t
00
| Р (t, •) I = — J
a yi I
exp
** t} dm
оо со
if [
dx>
dx = const ^ 1.
Таким образом, соответствующая марковская квазимера
имеет ограниченную вариацию тогда и только тогда, когда
она положительна. Это, как известно, имеет место лишь
при k= 1.
Пример 1.2. Рассмотрим дифференциальное урав-
уравнение
с комплексным параметром a2 = ao(t+T)) (<То>0). Его
фундаментальное решение имеет вид
pit, х) = —= ехр I 1.
При т] = 0
i и легко проверяется существование множества б, для ко-
' ТОрОГО
т \ p It, x) dx
Из соображений непрерывности следует существование
< такого множества и при малом т)>0. В силу замеча-
замечания 1.2 соответствующая марковская квазимера имеет не-
неограниченную вариацию.
2°. Интегрирование по марковской квазимере. При
вычислении интегралов по марковской квазимере можно
использовать схему проектирования (см. 1.3.5) следую-
следующего вида.
Пусть все пространства Xt = X (t еГ) совпадают.
Рассмотрим подмножество XXiX(lczX, состоящее из функ-
функций х(|)еХ (/еГ), удовлетворяющих соотношению
9 Ю. Л. ДалецкиВ, С. В. Фомин "

2M ГЛ. VI. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ТРАЕКТОРИЯМ
х (т) я= х0. Определим операцию проектирования в Хх, *„
пд: х-+хд\ xg(t) = x(tk-1) (tk-i*Zt<tk),
При этом каждой комплекснозначнои функции F (х) на X
сопоставляется функция (SgF)(x) = F{xg) = Fg(x0, ..., хп)
п
{xh = x{tk)) на пространстве Я9 = П X,k. Заметим, что
операция проектирования S? определена для тех функций
F, ко орые заданы, по крайней мере, на множестве
^t, х, = |Jn?XTi Xo всевозможных ступенчатых функций.
я
Обозначим «F —линейное пространство, состоящее из
ограниченных функций F (х), для которых все операторы
Sg определены и функции SgF 519-измеримы. Для F e <f
имеет смысл выражение
n + l
= $ (SgF)(x0, .... хп) П р tf*-i. *k-u U, dxk). A.12)
хд * = i
Определение 1.1. Назовем функцию F интегри-
интегрируемой по марковской квазимере цХа, х, если существует
предел
(f ( f liJ<x-*«)(F) A.13)
по направлению, образованному разбиениями q. Этот пре-
предел назовем {континуальным) интегралом по квазимере:
Рассмотрим теперь случай, когда X — л. в. п. Пусть
Р (<i, л:, ^2. А) = Z3 (^, t2, A — х) — пространственно однород-
однородная переходная мера. Для нее соотношение A.1) принимает
вид
P(ti,t*,A) = l F(ti, s, dy)P(s, tt, А-у). A.14)
x
Если ф«ь t2, y)= \el<*'l>>P(tu h, dx) (jeT) -харак-
Л
теристический функционал переходной меры, то из A.14)

§ I. МАРКОВСКИЕ КВАЗИМЕРЫ 259
..следует
4>(h, к, г/) = ф(/ь s, y)y(s, U, у).
Пусть, в частности, имеет место представление
a(s, y)ds}, A.15)
где a (s, j)(seT,i/e X') — некоторая комплекснозначная
¦функция. При этих предположениях удается вычислить
характеристический функционал марковской квазимеры
. y(t))dt
Если г/(^) —слабо интегрируемая функция со значениями
в X', то подынтегральная функция
F(x; y) = exp{i](x(t), y(t))dt}
определена на X? и:
п+
<**-1. Ук~1)\,
1 >
'к
= I y{t)di.
'*-!
Используя A.15), последовательно получаем
\№*vn)p(tnr.lt *_lt tn, dxn) = e'<xn~i-l>n)yitn_1> tn, yn).
X
Далее,
<*„-!• \-г)е' Cn-v "п>ф (^_]( tn, Уп) p (tn_2, Xn_2, t^u dxn^)=
и, в конце концов, при условии A.2)
x0, ? yk)\f\
t/xo, J У@*) + S * «U f У @^L. A.17)

260 ГЛ. VI. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ТРАЕКТОРИЯМ
Если а($, у) — ограниченная интегриру мая по s при
каждом у е X' и непрерывная относительно у при каждом
seT функция, в последней формуле можно сделать пре-
предельный переход по разбиениям q, который приводит
к формуле
\
!,$/(*)#)&}. A.18)
Теперь можно использовать соображения, применен-
примененные в предложении 1.3.4, для вычисления интегралов от
функций вида
A.19)
где v — комплекснозначная мера на Х'= Y\ %'t- Интегри-
Интегрируя почленно выражение A.17) и переходя к пределу,
получаем формулу
J (G) = lira $ J, (F) v (dy) = $ X.*. т (У) v № =
4 Г Г
. A.20)
§ 2. Эволюционные семейства операторов
1°. Построение эволюционного семейства. Пусть X —
полное метрическое пространство с метрикой р. Под опе-
оператором в X будем понимать отображение у = А(х) про-
пространства X в себя, удовлетворяющее на каждом шаре
S = S(x0, r) = {x: р(х, хо)^г\ условию Липшица
р (А (х), А (у)) < С (А, 5) р (х, у) (х, у s 5).
Суперпозиция двух операторов А и В, которая, оче-
очевидно, тоже является оператором, будет ниже записы-
записываться (как это принято для линейных операторов)
в виде произведения: (АВ)(х) = А (В (х)).
Семейство операторов А\ (Я, е Л) назовем равномерно
ограниченным, если каждый шар всеми операторами семей-
семейства отображается в некоторый шар, и равномерно лип-
шицевым, если для каждого шара совокупность липшице-
вых постоянных операторов семейства ограничена:

§ 2. ЭВОЛЮЦИОННЫЕ СЕМЕЙСТВА ОПЕРАТОРОВ 261
С(Аь 5)sgCE) AеЛ), Семейство, обладающее обоими
этими свойствами, назовем равномерным. Очевидно, что
равномерная липшицевость влечет равномерную ограни-
ограниченность, если существует хотя бы одна точка х0, для
которой р(х0, А\ (х0)) ^const (isA), например, непод-
неподвижная точка х0 — А% (х0).
Ниже будут рассматриваться двупараметрические се-
семейства операторов \J(t, s) (t, set = [t, Tij). При этом
всегда без дополнительных оговорок предполагается, что
Щ*. 0 = 1 (<еГ). B.1)
Такое семейство операторов U(t, s) (t, se?1) назовем
Эволюционным, если оно обладает эволюционным свойством
V(t, s) = U(f, в)U (в, s) (/, 8,ser,/<8 4s). B.2)
Опишем один простой прием, позволяющий при неко-
некоторых условиях строить эволюционные семейства опера-
операторов.
Пусть q— {т = *о<*1<.--<*л = Ti} — разбиение Т,
{q} — совокупность всех разбиений. Рассмотрим на Т
семейство операторов U (t, s) и построим для каждого q
новое семейство, полагая при ^^
U9 (t, s) = U (t, t,) fj U (tk, tM) U (tm, s). B.3)
Семейство \Jg (t, s) обладает частичным эволюционным
свойством
U? (t, s) = U? (f, g U, (tr, s) (trf=ql) [t, s]). B.4)
Соотношение
U{t, s) = limU(f, s) B.5)
будет пониматься ниже как предел на каждом элементе
леХ по направлению, образованному разбиениями q
отрезка Т: для каждой пары ieX, e>0 существует
разбиение q такое, что для любого его продолжения
q'z^q выполняется оценка p(U(^, s)(x), \Jg>{t, s){x))<e.
Предложение 2.1. Если семейство \Jg(t, s) {qe {q},
/, seT) равномерно и предел B.5) существует, то семей
ство U(/, s) равномерно и эволюционно.

262 ГЛ. VI. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ТРАЕКТОРИЯМ
Доказательство Пусть / <с б < s и q выбрано так,
что 8 е q. Тогда в силу B.4)
р@(*, s)(x), U(f, 6H(8, s)(x))<
^р(О(Л s)(x), Ug(t, s)(x)) +
+ p(U,(f, в) U, (в, s)(jf), U, (Л 6HF, s)(x)) +
+ p(U»(f, 6HF, s)(x), 0 (Л 6HF, s)(x)),
и правая часть стремится к нулю в силу равномерности U?.
Поэтому U(f, s) = V(t, 6HF, s). Равномерность предель-
предельного семейства очевидна. ¦
Далее будут приведены некоторые условия существо-
существования предельного семейства B.5).
Лемма 2.1. Пусть V(/, s), W(^, s) (t, s<=T)-два
семейства операторов, причем W? (t, s), V9 (/, s) равномерны
и C(Vq(t, s), S)-^C(S) для каждого шара S.
Пусть, кроме того, существует инвариантное относи-
относительно семейства W (/, s) множество D, на котором
выполняется оценка
O(V(t, s)(x), W(/, s)(x))^
<(^-t)H(x, s-t) (xe=D). B.6)
Тогдс
P(V?0,
где d(q)
X
Док
следует,
P(V,(*.
v,(*. **)
s)W, W9
G
^ _ |у; j
аз ател
что
s)(x), W,
V(<», <*+
= D справедлива оценка
,{t, c)W)=^
^CE)(s-f)supe
5z3{V(<, s)W,}.
ьство. Из неравенства
,(t, S)(*))s?
* =/
i)W?(<m, s)(jc))^
(У, dq), B.7)
s e T1},
треугольника
iW,((M1, s)(,).
-
iC(S)supe(W?(/*, s)(x), Д<А) 2]

§. 2. ЭВОЛЮЦИОННЫЕ СЕМЕЙСТВА 'ОПЕРАТОРОВ 263
Применим лемму 2.1 к семействам V(/, s) = U(/, s),
<<, s) = U?(/, s).
Теорема 2.1. /7г/с/пь U? (/, s) (?e{(j(, /, seT) —
равномерное семейство операторов и существует плотное
$ X множество D, инвариантное относительно семейства
U (t, s), на котором выполняется условие
p(U(/, s)(x), U(/, 6)UF, s)(x))«?
sS/C(x)(8-0(s-ey @ <«<!), B.8)
rfe К (х) — некоторая функция, для которой
sup К (Vg(/, s)(x)) = А(х)<то (хеD). B.9)
Тогда существует равномерное эволюционное семейство
U(/, s) = limU,(/, s).
Доказательство. Из равномерности семейства U?
и условия B.9) следует оценка
p(U(<t s)
+ ^ P(U, (/,<*) U(/*, s)(x)t
U?(/, /*) U (/ftf WU(<W, s)(x))=$
/C (x) (/, - /) (s - /,)« +  CK" (x) (/*+! - tk) (s - tk+l)«
Применим теперь лемму 2.1 при V(/, s) = U(/, s),
W(/, s)=U,.(/, s). Из B.7) следует
p(U,(/, s)(x), U,n,.(/, s)(x))<
< const (s-0 sup K(y)[d(q)f,
и, таким образом, в силу полноты пространства X при
хе?> существует предел U(/, s) (х) = lim U? (/, s)(x).
Равномерность U? приводит к равномерности предельного
семейства. Из равномерной липшицевости следует, что
предельный переход можно сделать уже на всем X. На-
Наконец, в силу предложения 2.1, полученное семейство О
•волюционно. ¦

?64 ГЛ. VI. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ТРАЕКТОРИЯМ
Замечание 2.1. Аналогичный результат можно по-
получить при замене условия B.8) условием
p(U(/, s)(x), U(/, 6) U F, s) (*))<*(*) F-/)«(s-6).
При этом используется оценка
*=/
Замечание 2.2. Из равномерной липшицевости сле-
следует, что в условиях теоремы сходимость равномерна на
компактных множествах в X.
Укажем теперь условия, достаточные для сходимости
к эволюционному семейству V|/, s) семейства W?(/, s) при
некотором W(/, s).
Теорема 2.2. Пусть V(/, s), W?(/, s),[q& {q}, t, ss
еГ]- равномерные семейства операторов в X и для неко-
некоторого плотного в X инвариантного относительно эволю-
эволюционного семейства V множества D выполняется оценка
p(V(/, t + At)(x), W(/, / +А/)(*))*?А/-в(х, А/),
причем
lim sup e (V (/, s) (x)t At) = 0 (хш D).
Тогда
ИХ). B.10)
?слы при этол1 метрическое пространство (X, р) плот-
«о вложено в метрическое пространство (Хо, р0), г5е
Р ^ Ро U. « выполняются оценки
/, s)Po(x, у);
f/)
B.11)
mo операторы Wg(t, s), V(/, s) при t<s no непрерывно-
непрерывности распространяются на Хо, отображают Хо в X и соот-
соотношение B.10) в метрике р при t<cs справедливо для
каждого шХ0. На компактных множествах в Хо сходи-
сходимость равномерна.
Доказательство. Из леммы 2.1 следует

§ 2. ЭВОЛЮЦИОННЫЕ СЕМЕЙСТВА ОПЕРАТОРОВ 265
II это доказывает B.10) сначала для хе D, а затем, в силу
равномерной липшицевости рассматриваемых семейств,
и для хеХ.
Пусть теперь выполняются оценки B.11). Тогда V (t, s)
В W? (/, s) распространяются на Хо с сохранением оце-
оценок, и при isX, ^еХ(
/, s)(xo), W?(/, s)(xo))^p(V(/, s)(xo),
¦;+ p (Wg (/, s) (xo), W, (/, s) (x))+p (V (/, s) (x), Wg (t, s) (x))
A:) + C(s-/)supe(VF,
9
Выбирая сначала х достаточно близким к х0, можно сде-
сделать достаточно малым первое слагаемое, а затем при
фиксированном х за счет выбора d(q) и второе. Отсюда
следует B.10) для х0 е Хо. Равномерная сходимость на
компактных множествах следует из равномерной липши-
липшицевости в силу теоремы Ар цела, ш
Замечание 2.3. Условие ограниченности липшице-
вых констант вида
C(V(t, s), S)<^»M B.12)
(где а не зависит от шара) очевидно приводит к такой
же оценке для семейства V?: C(Vq(t, s)) sge™^-'), так
как при суперпозиции липшицевых отображений соответ-
соответствующие постоянные перемножаются.
Замечание 2.4. Проверку условия B.11) можно
осуществить при помощи следующей конструкции.
Пусть на пространстве X имеется шкала метрик р^
@*?Я,<1), так что Pi = p, Ря,^=р^ (^lSs^a) и при
некоторой монотонной функции р (8), отображающей [t, s]
в [0, 1], Р (t) = I, P (s) = 0, и монотонной функции kF)
выполняется оценка
PP<e.)(U(82, 8а) (х), U(82,
<e*<w-*<«'Jpp(e1,(x, у) (х, у&Х, в,<в1). B.13)
Тогда
9i(Vg(t, s)(x), \Jq{t,
(u?(/2, s)(x)t
независимо от разбиения q.

266 ГЛ. VI. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ТРАЕКТОРИЯМ
Эволюционные семейства в линейных пространствах
возникают при решении задачи Коши для дифференци-
дифференциальных уравнений. Пусть, например, У—банахово про-
пространство, D —плотное линейное множество в нем, X —
окрестность нуля в У, DX~X(]D и A: TxDx-+Y ото-
отображение, обладающее тем свойством, что задача Коши
—+ А(/, х) = 0, x(s)=x0, /<s
dt B.14)
(/, se=T), X(t)e=Dx
корректна на интервале Т = [т, тх]. Обозначим решение
этой задачи
x(/) = U(/, s)s0.
Отображение U(/, s): Dx-*-Dx обладает эволюционным
свойством
s) = U(/, 6)UF, s) (/*s6<?s)
в силу единственности решения задачи B.14). В ряде
случаев эти отображения оказываются липшицевыми и
распространяются на всю область X. При этом они
являются операторами (в рассматриваемом нами смысле
слова) в метрическом пространстве X. Семейство U(/, s)
называют эволюционным семейством задачи B.14), а ото-
отображение А (/, х) — производящим отображением этого
семейства. Если соотношение B.14) можно почленно про-
проинтегрировать, то оно эквивалентно интегральному урав-
уравнению
U (t, s)(x)-
= х+$АF, U(9, s)(x))dB (t^s, t, s<=T). B.15)
t
Наоборот, пусть эволюционное семейство \J(t, s)(x),
действующее в области X банахова пространства У, диф-
дифференцируемо при х е Dx, причем множество Dx относи-
относительно этого семейства инвариантно. Тогда
U(f-Af, s)(x)-U{t, s)(?)
-At
- U{t~-%t)~' u С s) M -* ue F- 0 Iw U (t, s) (x),
и, таким образом, производящим оператором U(t, s)
является А (/) = - Ue F, /) |e-,.

§ 2. ЭВОЛЮЦИОННЫЕ СЕМЕЙСТВА ОПЕРАТОРОВ VO(
, Предложение 2.2. Пусть о условиях теоремы 2.1
,Х — область банахова пространства Y и при x^Dx
¦функция U (/, s) (л:) непрерывно дифференцируема по t:
-U(/, s) (к) — U[ (/, s, к). Пусть Dx инвариантно отно-
относительно U и U = lim(J?.
q
Тогда производящим отображением семейства U яв-
является А (/) = — UI (/, /).
Доказательство. При xeD из соотношения
'|U,(/-A/f t)(x)-x-MA(t, x)K
. t)(x)-U\(t, t)(x)\\db
t—м
^A/f sup | U,'(в, t)(x)-U't(t, t)(x)\\ + CK(x)
следует независимая от q оценка, которая после перехода
к пределу по q приводит к аналогичной оценке для
U (/ — A/, f), откуда и следует, что
d ~
Поскольку при этом 0 (/, s) (х) е Dx для д: е Dx, то
dU(/, 8)(X)_ ,. О (/-А/, 5)(Л)-0(<, 8)(Х)_
/. s,
2°. Хронологическое произведение эволюционных се-
семейств. Пусть V(/, s), Z(/, s) — пара эволюционных се-
семейств в пространстве X. Семейство операторов U (t, s) =
= V (t, s) Z (/, s) эволюционным свойством, вообще говоря,
уже не обладает. Если, однако, при этом существует
эволюционное семейство U (/, s) = lim \Jg (t, s), мы будем
q
называть его хронологическим произведением семейств V, Z
и обозначать
U (t, e)-(V®Z)(tf s).
Существование хронологического произведения можно
доказывать, используя теорему 2,1. При этом возникает

268 ГЛ. VI. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ТРАЕКТОРИЯМ
вопрос о проверке ее условий. Условие равномерности
выводится, как указано в замечании 2.3, из оценки B.12).
При проверке условия B.8) нужно оценить величину
/, 6) UF, s)(x)) =
=-p(V(/, s)Z(/, s)(x), V(/, 6)Z(/, 6)VF, s)ZF, s)M)<
<C(F)p(VF, s)Z(/, 6)ZF, s)(x),
Z(/, 6)VF, s)ZF, s)(x)).
Таким образом, достаточно, чтобы выполнялось условие
p(VF, s)Z(/, S)(y), Z(/, 6)VF, s)(i/))<
<iC(y)F-O(s-6)« @<<x<l), B.16)
причем
sup K(Uq(t, s)(x))<cx>.
t. s, <7
Далее мы будем рассматривать эволюционные семейства
в банаховом пространстве X, определяемые дифференци-
дифференциальными уравнениями, или, точнее говоря, интегральными
соотношениями типа B.15). Пусть
{(f>, VF, s)(x))db, B.17)
Z(/, s) (*)=* + $ В F, ZF, s){x))db. B.18)
t
Рассмотрим выражение
R(x) = Z(t, 6)VF, s)(x)-VF, s)Z(/
e
B(a, Z(a, 6)VF,
-VF, s)
x + \ В (a, Z(a, 6) (л:)) da
+ VF, s)\B(a, Z(a,
e
^VF, s)^B(a, Z(e,
i
Используя формулы B.17) и B.18), можно представить
sto выражение в виде суммы двух слагаемых R -¦ Ri + Ни

§ 2. ЭВОЛЮЦИОННЫЕ СЕМЕЙСТВА ОПЕРАТОРОВ 269
где
(I
R1(x) = SB(o, Z(o, 6)VF, s)(x))do-
t
e
-VF, s)$B(o, Z(o, 6)(x))do-
t
' /e
-jA(r, V(/, s)KB(o, Z(o, 6)(x))do)
о V
e
= -$[B(a, Z(o, 6)(x))-B(o, Z(o, 6)VF, s)(x))]da,
t
Ri(*) = VF, s)(x)-VF, s)(x+]B(o, Zip, Q)(x))do\ +
+ VF, s)fjB(o, Z(o, e)(x))doj-
- J A (r, V (r, s) (j В (a, Z (a, 6) (*)) cbj) dr
= [VF, S)(x)-x]-VF, s)fA; + jB(a, Z(o,
+ x + S В (a, Z (a, 6) (x)) da = ( A (r, V (r, s) (x) -
L t Jt
-Ar, V(r, s)(A; + 5B(a, Z(o, 6) (x)) daj) dir.
При некоторых условиях можно оценить эти выраже-
выражения и прийти к следующему результату.
Теорема 2.3. Пусть Хо — банахово пространство,
D —плотное множество в нем и пусть существует сово-
совокупность плотно вложенных банаховых пространств Хх
(Xе= [0, 1]): XXl cz Хк (Xi>X,), Хх =d D с нормами \\x\Kl^
SHI*lk (Xi >• А,я), инвариантных относительно семейств V,
Z. Пусть выполняются условия:
а) отображения А, В однородны в том смысле, что
<, 0)-0, В(<, 0)-0;

270 ГЛ. VI. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ТРАЕКТОРИЯМ
б) выполняются оценки
|A(sa, V(sa, Si)(Xi))-A(s2, V(s2, S
>; B.19)
B(slf Z(s,f s1)U2))-B(s2, Z(s2,
в) липшицевы постоянные семейств V, Z ограничены и
для каждого из пространств Хо и Xt подчиняются оценке
B.21)
существует эволюционное семейство 0 (/, s),
являющееся хронологическим произведением семейств V, Z:
U = V(g)Z.
Доказательство. Используя оценки B.19) и B.20),
получаем при xeD неравенства
= СF-/Щ А (а, V(a, s, к)) do
Is
jB(a.Z(a.e)W)<to
,—а
Заметим, что здесь мы воспользовались соотношениями
|А(о. V(a, ^Й
|В(о, Z(a, e)
следующими из условия а). Поэтому в силу B.16) выпол-
выполняется условие B.8) теоремы 2.1:
" -U(/, 6) U F, s)(x)l^
ас V i*-" xpzjj^j F -1

§ 2. ЭВОЛЮЦИОННЫЕ СЕМЕЙСТВА ОПЕРАТОРОВ 271
где К (х) = const jxfo. и &(л:)<аэ (xeD) в силу условия
в). Равномерность семейства U? (/, s) следует из условий
а) и в) (см. замечание 2.1). ¦
Замечание 2.5. При помощи предложения 2.2 мож-
можно вычислить производящий оператор семейства U (t, т):
C(t, x) = -Ue(Q, t)(x)\e-, VeF, U ZF,
, x).
Таким образом, операция V(g)Z приводит к сложению
производящих операторов.
Замечание 2.6. Условие B.20) выполняется, если
семейство Z липшицево в Х^, а В удовлетворяет оценке
|B(s, x2)-B(s, xl)\K^C\xi-xl^a. B.22)
В частности, при а = 0 это означает равномерность В (у)
в Хх.
При а = 0 достаточно рассматривать лишь значения
а = 0 и Х=1. Условие B.19) при этом имеет вид
|A(s2, V(s2, s1)(x2))-A(s1, V(s,,
Так как V предполагается липшицевым в Xi, достаточно
потребовать, чтобы
1A(S2, Jfa)-A(sb X
3°. Линейные эволюционные семейства с постоянным
производящим оператором. Условия сходимости мульти-
мультипликативных выражений, рассматриваемые выше, упро-
упрощаются при применении их к линейным операторам
в банаховом пространстве X. В этом случае постоянная
Липшица совпадает с нормой оператора и условие равно-
равномерности семейства операторов V, (/, s) следует (см. заме-
замечание 2.3) из оценки
|| V(/, s) К в» (*-<>.
Мы рассмотрим сейчас некоторые частные случаи,
которые будут использованы в следующем параграфе,
не стремясь к предельной общности и не углубляясь
в подробности (см. С. Крейн [1], Ю. Л. Далецкий [5]).
Напомним, что операторная функция V: R+-*-36(X)
(где X (X) — пространство ограниченных линейных опе-
операторов в X) называется сильно непрерывной полугруппой,
если
(s,

ГЛ. VI. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ТРАЕКТОРИЯМ
limV(O*-x (xeX).
/—о
Сильно непрерывная полугруппа имеет замкнутый
производящий оператор
А-
определенный на плотном в X линейном множестве D,
инвариантном относительно V (/). Часто применяется
обозначение V(/) =eAt, которое будет использоваться ниже.
В простейшем случае, когда А —ограниченный оператор,
eAt определяется при каждом /eR1 сходящимся по норме
оо
операторов рядом еА'= У ж^*# ^ри этом ||еА'1*?е'"А"-
* = о
Операторы U(/, s) = eA('-<> образуют эволюционное семей-
семейство.
Хорошо известны условия (необходимые и достаточные),
при которых замкнутый оператор А является производя-
производящим оператором сильно непрерывной полугруппы eAt.
Не приводя их полностью, отметим частные случаи, кото-
которые понадобятся нам ниже.
Условие
(XeR», Х>ю) B.23)
достаточно для существования сильно непрерывной полу-
полугруппы, подчиняющейся оценке
|еА'!<<*". B.24)
Условие B.23) (и, следовательно, оценка B.24)),
в частности, выполняется, если А —нормальный оператор
в гильбертовом пространстве X, спектр которого о\ лежит
в полуплоскости
ReA,sSo> (^ s оА).
При этом справедливо спектральное представление
^ \ B.26)
СТА "А
где Е (А) — проекторозначная мера на плоскости (на веще-
вещественной оси для А = А*), значениями которой являются

§ 2. ЭВОЛЮЦИОННЫЕ СЕМЕЙСТВА ОПЕРАТОРОВ 273
ортопроекторы, дизъюнктные на непересекающихся борг-
левских множествах.
Без ограничения общности можно считать, что аА
лежит внутри левой полуплоскости (ю<;0) и, следова-
следовательно, А е X (х).
Для операторов B.25) определены степени
Аа= \XaE(dX) (cceR1), B.251)
°А
которые являются ограниченными операторами при аг^О.
Из формул B.25) и B.251) следует оценка
V | = С (А, ее, 0. B.26)
Эта величина при />0 может быть конечной и для а>0
при подходящем расположении спектра оператора А,
например, если спектр лежит в области n|A
Мы будем рассматривать, в частности, операторы вида
А = гА0,
где Ао — неотрицательный оператор в гильбертовом про-
пространстве X, г = ре'*, я ^ | ф | ^ у + е. При этом нетрудно
вычислить, что
В этом случае в области определения Da можно ввести
новую норму
l*la = ||Aax|| B.28)
и получить таким образом семействе плотно вложенных
гильбертовых пространств Ха. Каждое из этих прост-
пространств инвариантно относительно eAt и, более того, в силу
B.28) при />0
eA': X^Da.
Нетрудно проверить, что свойство B.23) (с заменой со
на © +1| В |) сохраняется при переходе от производящего
оператора А к оператору А + В, где В —ограниченный
оператор.
Если А = А0 неотрицателен в гильбертовом простран-
пространстве X, то можно рассмотреть и более общий случай,

274 ГЛ VI ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ТРАЕКТОРИЯМ
когда оператор В подчинен дробной степени Ао, т е.
когда при некотором Vе @. О Ob^Dav и [BA^v|<oo.
Пусть этим свойством обладает и оператор В*. Нетрудно
проверить, что операторы Ао + В и (А0-ЬВ)* = Ао + В*
на области DAo при этом диссипативны, т. е.
Re((Ao + B)i|>t г|;)=<= const || г|;|2,
Re((A0 + B*)tf, г|;)=<= const ftpl2 D>e=DAo),
и потому существует полугруппа р(А« + в>', удовлетворяю-
удовлетворяющая условию B.24). Эта полугруппа удовлетворяет диф-
дифференциальному уравнению
* е(А0+ в» i^= (до _[_ в) е<Ао + в> '\р = Аое<А° + в> 'г|; + Ве<А° + в> 'ij?
и, следовательно, получающемуся из него методом вариа-
вариации постоянной интегральному уравнению
g(A, + В) ( _ gA0/ _[_ Г gA0(/ — s)gg(A0 + В) sfc
0
Используя последнее уравнение, можно получить для
полугруппы е<А° + В)' оценки вида
|| дт (А + В)/ A-s II const
B.29)
const
Пусть теперь В также является производящим опера-
оператором полугруппы. При достаточно широких предположе-
предположениях справедливо представление в виде хронологического
произведения
е(А + вн = еА/®ев;( -B.30)
т. е. в виде
Мы приведем здесь лишь некоторые достаточные
условия, при которых это представление следует непо-
непосредственно из теоремы 2.3.
Теорема 2.4. Формула B.30) справедлива при каж-
каждом из следующих предположений:

§ 2. ЭВОЛЮЦИОННЫЕ СЕМЕЙСТВА ОПЕРАТОРОВ 275
1) А — производящий оператор сильно непрерывной полу-
полугруппы в X, В — ограниченный оператор в X, оставляю-
оставляющий инвариантной область ?>д.
2) Для гильбертова пространства X A = zAo, где
Ао — положительно определенный оператор я ^ | Arg г | ^s
^= -S- + е, В — подчиненный дробной степени Ао:
производящий оператор полугруппы еВ/, удовлетворяющий
оценке
Доказательство. Для доказательства первой части
положим а = 0, ^г = 0, X,i = 1 и | лг||i = | Ах ||0. Заметим,
что при этих предположениях промежуточные простран-
пространства X?,, описанные в условии теоремы 2.3, не нужны
(см. замечание 2.6). Оценки B.19) и B.20) становятся
при этом очевидными, так же как и оценка B.21) для
V(/, s) = eA(s-«. Для Z(/, s)=eB<s-° B.21) очевидно
выполняется в Хо, а в Хг следует из оценки
S Аев'А-х 1 = | еАВА-1( || < е<»АВА-Ч B.31)
Во второй части оценка B.19) следует из B.26),
B.27).
Для получения оценки B.20) заметим, что
Из известного неравенства Е. Хайнца следует (см. Ю. Л. Да-
лецкий [5]) оценка
|Aj+V'A;ra+v)f<max{feB'!, ЦаЛ^'Ц} B.32)
Оценки B.21) получаются так же, как и выше, в силу
ограниченности [ Ao^'Aj1 J. ¦
Замечание 2.7. Пусть A = iA0. Для ограниченных
операторов В представление B.30) следует из первой
части теоремы.
Интересна другая ситуация, когда В = iA1( причем Ах
существенно самосопряжен на DAo и подчинен дробной
степени Ао. При этом оператор А — Ао + Ац самосопряжен,
и имеет смысл унитарный оператор еК<А»+А«)', Из второй

276 ГЛ. VI. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ТРАЕКТОРИЯМ
части теоремы следует разложение
e(i - 8) А,/ + f A,( _ g(t -
Можно показать при помощи рассуждений, аналогич-
аналогичных рассмотренным выше, что левая часть сильно непре-
непрерывна по е при в = 0. Поэтому справедливо разложение
giAot + iA,t _ 1 jm g(( - 8) Ao/ 0 eiA,/,
8-»0
4°. Линейные эволюционные семейства с переменным
производящим оператором. При помощи теоремы 2.1 можно
построить неоднородные по времени эволюционные семей-
семейства.
Пусть А(/) при каждом (еТ = [т, тх] — производящий
оператор сильно непрерывной полугруппы eA(/)s в X,
удовлетворяющий следующим условиям:
У1) Область определения D оператора А(/) не зависит
от / (/ е Т). Операторная функция А (/) A (s) непрерывна
по норме относительно s и / и, следовательно,
lAWA-MsJKd (s, /е=Г).
Более того, предположим, что
1А (*,) A-* (s) - A (h) A-1 (s) 1 < С2 (*, - ^).
У2) Выполняется равномерная оценка
|| еА <() s I
Не ограничивая общности мы будем ниже считать постоян-
постоянную © отрицательной (заменяя в противном случае А(/)
на А(/) — (ю + е) I). При этом | еА (/) s Ц «S 1 и существует
ограниченный обратный оператор А-х(/).
Предложение 2.3. При условиях У1), У2) семей-
семейство операторов U (s, /) = eA(s)(s-o удовлетворяет условиям
теоремы 2.1. Поэтому существует эволюционное сежйство
0 ?(/, s) =
т—\
Это эволюционное семейство мы будем называть муль-
мультипликативным интегралом и обозначать
U (J, s) - ехр ( - IА (8) dfl) - exp j А (в) d8.

§ 2. ЭВОЛЮЦИОННЫЕ СЕМЕЙСТВА ОПЕРАТОРОВ 277
Доказательство. Достаточно установить оценки
B.8) и B.9). Из соотношения
в
е9А (,.) _ g9A (Sl) = jj g/A (s.) [Д (Sa) _ Д (Sl)] g(9 -<) A (s.) ^ =
О
9
- J е'А <s*> [A (m) A-1 (sO - I] е<е - о а <.,> д (Sl) dt
о
следует, что
[ [е9А (.J _ g9A (.,)] A-» (SO || ^ С2 (S, - SO 6.
Поэтому при x^D выполняются B.8):
|[U(/, s)-U(/, 6)UF, s)]x\\^
sg | [g<e - О A (s) _ g(9 -/) А (9)] Д-1 (S) ||. | g(s - 0) А (,) д (s) х Ц ^
где /C(x) = |
Заметим теперь, что
|А F) А-1 (О К 1 +1| [А @ - А F)] А-» @1
Поэтому выполнено и B.9), так как
K(Uq(t, s)x) = \A(s)Uq(t, s)(x)|<
<d 1A(/y)U?(/, s)A-1 (s) 1К(*)<Ciec8u-o/f(X),
поскольку
?(/. s)A-4s)|-
П
Применим предложение 2.3 к оператору A(t) = zA0(t),
где Ао(t) — положительно определенный оператор fzeC»
Jargz|s(y, en)) в гильбертовом пространстве X.
В этом случае можно оценить оператор
Va>fl (*, s) = А? (О «р|* j А (8) dej A"» (I). B.33)

278 ГЛ. VI. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ТРАЕКТОРИЯМ
Действительно, рассмотрим оператор
m—1
k = i
m — \
Известно (см. С. Г. Крейн [1]), что
lA?(s)A,-e(si)l<lAo(s)Ar1
Кроме того, при ak = $ + ^?-(tk — t) из B.27) следует
_Г a-P I
Le(s-O|Re«|J
Поэтому
Из этой равномерной оценки и сходимости мультиплика-
мультипликативного интеграла нетрудно вывести ограниченность опе-
оператора B.33) и получить для него оценку
А?ехр
B.34)
Из этой оценки следует, что для рассматриваемого эво-
эволюционного семейства B.33) выполняется B.19) в нор-
нормах B.28).
Полученные оценки позволяют получить при помощи
рассунадений, подобных использованным при доказатель-
доказательстве теоремы 2.4, аналогичный результат для неоднород-
неоднородного случая.

§ 2 ЭВОЛЮЦИОННЫЕ СЕМЕЙСТВА ОПЕРАТОРОВ 279
Теорема 2.41. Формула
ехр$ [A(s) + 3(s)]^=expJ A(s)ds ®expj B(s)ds
справедлива при каждом из следующих предположений:
1) операторная функция А (/) удовлетворяет условиям
предложения B.3), В (/) (/ е [т, ii]) — ограниченный опера-
оператор в X и выполняется условие
S А (О В (/) A-1 (t) S< const,
2) для гильбертова пространства X А (/) = гА0 (/), где
Ао (t) — положительно определенный оператор, удовлетво-
удовлетворяющий условию У1), I ArgZ|^j тт + е, я|.
Операторная функция В (t) удовлетворяет условиям
предложения 2.3 и оценкам
Ао @ еТр J В F) d9 A-1 (s) < const.
Если при этом В (t) = iAu (f) ы Ао (t) + Ai (/) самосопря-
самосопряжен, то
expi 5
s
= lim еГр (f - e) 5 A F) d6 <g) eTp j В F) d9. B.35)
t- — о s ;
Приведенные результаты позволяют рассматривать ряд
примеров; мы опишем кратко некоторые типичные ситуации.
Пример 2.1. Пусть X = U(R"), A=t(t, x, Vx) —
вллиптический линейный дифференциальный оператор по-
порядка 2р, для которого задача Коши
~ + l(t, х, Vx)u = 0
корректна. Условия теорем 2.4 и 2.41 выполняются, e^t
В —оператор умножения на функцию v(x, t), достаточнс
гладкую по х и непрерывную по t. Ограниченность one
раторов вида A (t) В (t) A.-1 (t) следует при этом из классиче
ских неравенств коэрцитивности (см., например, О.А. Лады
женская, В. А. Солонников и Н. Н. Уральцева [1]). Пр*

280 гл. vi. Интегрирование по траекториям
дополнительных предположениях относительно связи пове-
поведения этой функции на границе с краевыми условиями мож-
можно рассмотреть и краевые задачи с эллиптическим операто-
оператором А в L2(G),GczRn.
П р и м е р 2.2. В той же ситуации, что и в примере 2.1,
более общий случай получается, если в качестве В взять
дифференциальный оператор первого порядка
Решение уравнения
строится при помощи метода характеристик, и при этом
удается проверить используемые в теоремах 2.4 и 2.41
оценки, так как оператор В имеет дробный порядок
относительно А (см. С. Г. Крейн [1] и имеющиеся там
литературные указания).
Пример 2.3. В условиях примера 2.1, если оператор /
самосопряжен ? X, аналогичным образом рассматривается
уравнение Шредингера
у5г = /('.*. Vx)u + v(x, t)u,
и для его решений получается представление в виде
хронологического произведения.
Для более общего случая, описанного в примере 2.2,
если самосопряжен оператор
Ht, х, V,)+?&/(*• f)V/f
следует использовать сказанное в замечании 2.7. При этом
получается представление вида B.35).
Пример 2.4. Рассмотрим бесконечномерный случай.
Пусть X = %<L(<&f, МО — гильбертово пространство инте-
интегрируемых в квадрате по гауссовой мере р функций на
гильбертовом пространстве &%".
Рассмотрим дифференциальный оператор 2-го порядка
A = (a(x)V, V) + F(x), V)
при условиях, гарантирующих корректность задачи Коши
(см. гл. V)
ди

§ 2. ЭВОЛЮЦИОННЫЕ СЕМЕЙСТВА ОПЕРАТОРОВ 28]
Неравенства коэрцитивности для таких операторов
установлены Н. Н. Фроловым ([3]). Это дает возможность
применить теорему 2.4 к уравнению
1
при гладкой ограниченной функции v (х, t). Если при
этом оператор А самосопряжен (см. (IV. 1.4), (V.2.8)),
можно рассмотреть и аналогичное уравнение Шредингера
5е. Эволюционные семейства, связанные с квазилиней-
квазилинейными уравнениями. Рассмотрим уравнение в банаховом
пространстве
~ + A(t)u + B(t, и)-0, B.36)
где А @ —линейный оператор, удовлетворяющий усло-
условиям, рассмотренным в предыдущем пункте, а В (t, •)—>
нелинейные операторы, образующие равномерное се-
семейство.
Необходимые для применения теоремы 2.3 свойства
оператора A (t) исследованы выше.
Эволюционное семейство Z определяется из нелиней-
нелинейного уравнения
7$ + В(*. t|>)«0, t|>(O-Z(*f *Ж«), B.37)
которое корректно, по крайней мере, локально.
Достаточно установить экспоненциальные оценки лип-
шицевых постоянных операторов Z и Zi = A0ZAo1.
Для первого из них она следует из простой оценки
, (s) - фх (s) || + J | В (в, Ъ F)) - В F, фх F)) | йв ^
- Ь (s) || + С J ] ф2 F) - фх F) ] йв
после применения неравенства Гронуолла.
Оператор Zx определяется уравнением

282 ГЛ. VI. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ТРАЕКТОРИЯМ
и исследуется таким же образом, если семейство опера-
операторов А0В (t, Ao1) равномерно.
Таким образом, имеет место следующий результат.
Теорема 2.5. Пусть линейный оператор А@ удов-
удовлетворяет условиям предложения 2.3 и семейства линей-
линейных операторов В (t) и Ао В (ОАо1 равномерны. Тогда эво-
эволюционное семейство V, определяемое уравнением B.36),
представимо в виде хронологического произведения
V{t, x) = ek«-"®Z{t, т),
где Z — эволюционное семейство, определяемое уравнением
B.37).
Пример 2.5. Пусть A(t) = l(t, x, V) — эллиптический
дифференциальный оператор, порождающий эволюционное
семейство U (t, х) в каком-нибудь из пространств X = Lp (Q),
C(Q), rfleQsIR". Тогда условия теоремы выполняются
для уравнений вида
^ х, V)u + f(t, ы) = 0, B.38)
где/(/, и) — функция, ограниченная и непрерывная вме-
вместе с производными достаточно высокого порядка по пере-
переменным х и и. Это последнее условие может выполняться
лишь в некоторой области пространства X, если из нее
заведомо не выходят рассматриваемые решения уравне-
уравнения B.38).
Например, в пространстве С (Q) для эллиптического
оператора второго порядка семейство U может быть сжи-
сжимающим: | U (t, т) | ^ 1. Если при этом уравнение
+ /(* х «) 0
обладает свойством диссипативности, при котором его ре-
решения не выходят из некоторых шаров, то достаточно,
чтобы условие ограниченности и гладкости функции /
выполнялось на таких шарах.
Пример 2.6. Аналогичным образом при подобных
условиях рассматриваются интегро-дифференциальные
уравнения
l{t, х, V)u+\K(t, x, у

§ 3. КОНТИНУАЛЬНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 283
§ 3. Линейные эволюционные семейства
и континуальные интегралы
1°. Переходные меры и эволюционные семейства. Интег-
Интегрирование мультипликативных функционалов. Пусть
(X, 21)—измеримое пространство, P(l, x, s, dy) (t, s^T,
t^s)— переходная мера на ^том пространстве.
В пространстве измеримых ограниченных функций
93 ;Х) определяется семейством линейных ограниченных
операторов
V(t, s)f(x)= \P(t, x, s, dy)f(y). C.1)
X
Из формулы A.1) следует, что это семейство обладает
эволюционным свойством:
V(t, s)f{x)= U\P(t. x, Q,dz)P(e, z, s, dy)\f{y)~
= \P{t, x, 6, dz)l[P{9, z, s, dy)f(y)) =
x U )
= U(*. 6) U (9, s)f(x).
Пусть, наоборот, задано линейное эволюционное семейст-
семейство U(/, s), состоящее из непрерывных операторов в не-
некотором пространстве Ф основных функций на X. В соот-
соответствующем пространстве распределений Ф' определяется
сопряженное семейство U* (t, s):
</, U*(/. i)l*> = <U(/. s)f, ц> (/еФ, цеФ').
Пусть для каждого hgX ;¦< Ф' содержится сосредото-
сосредоточенная в этой точке нормированная мера v*. Распределе-
Распределение
P(t, х, s)-U*(/, s)v, .C.2)
назовем обобщенной переходной мерой. По определению
имеем
U(t, s,-)f(x) = OJ(t, s)f, vx) = (f, P(t, x, .«)>•
Семейство распределений P(t, x, s) (hgX, ts^s) является
эволюционным в смысле, описанном в предыдущей главе
(см. (V. 1.5)).
Ниже мы будем условно, в качестве обозначения,
использовать запись
</, P(t, х, s)>= \f(y)P(t, x, s, dy), C.3)

284 ГЛ. VI. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ТРАЕКТОРИЯМ
хотя интеграл в правой части и не имеет для обобщен-
обобщенной переходной меры буквального смысла. Эволюционное
свойство (V.1.5) при этом по форме совпадает с A.1):
\P(t, х, s, dy)f{y) = \P{t, x, 0, dz)\PF, z, s, dy)f(y).
X XX
C.4)
Если операторы U (t, s) распространяются на простран-
пространство Ъ(Х) и непрерывны относительно предельного пере-
перехода по монотонным последовательностям функций, то
распределения Р (t, x, s) порождаются мерами на (X, Ш),
хотя абсолютная сходимость в A.1) отсюда еще не следует.
Ниже мы увидим, что для некоторого класса функци-
функционалов конструкцию, аналогичную конструкции интегра-
интеграла по марковской квазимере, описанную в § 1, можно
построить и тогда, когда переходная мера заменяется
обобщенной, определяемой некоторым эволюционным
семейством операторов.
Пусть снова P(t, x, s, dy) — переходная мера на (X, Ш),
fi — построенная по ней марковская квазимера. Рассмот-
Рассмотрим некоторые формальные свойства интегралов по этой
квазимере, предполагая, что интегралы существуют.
Если х (t) — некоторая функция на Г и А с: Г, то
через Яд @ будем обозначать сужение л:(/)|д- Функционал
на 53 (х) будет обозначаться символом /д, если он зависит
только от сужения яд функции x(t):
C.5)
Непосредственно из определений следуют формулы
J ft/. «1 (х) ф (х (тО) fi*,, т (dx) =
- \Р(х, х0, t, dx) \
х к,
xl jP(s, *(s), ть dy)<p{y)y,.t(dz), C.6)
fix, в] (x) he, tj (x) Ф (x (tx)) |i«.. t (dx)
, t,]
I hx. ei(x)
[h. til
C.7)
[he.

i з. континуальные интегралы 285
Определение 3.1. Назовем мультипликативным
функционалом на некотором пространстве Z функций
x(t), t&T совокупность /д (х) {А = (/, s]c=r} комплексно-
значных функций на Z (обладающих свойством C.5)),
удовлетворяющих условию
/a,Ua,(*) = M*)/a.M (A = AiUA.: А1ПА,= 0). C.8)
Предложение 3. 1. Пусть {/д(х) \ — мультиплика-
мультипликативный функционал, определенный на пространстве Х° (Т)
кусочно постоянных функций. Линейные операторы в про-
пространстве Ъ (X), определяемые формулой
Uf(t, s)<p(xo)= \ fe..](*(-))q>(*( •>))!*,.. ,(dx) C.9)
(при условии, что интеграл существует), образуют эволю-
эволюционное семейство.
Доказательство этого утверждения следует из формулы
C. 7).
Выясним структуру мультипликативных функционалов
на ступенчатых функциях. Пусть А = (/, s] и х (б) — функ-
функция, имеющая на А единственный скачок в точке s:
х (б) = х (б < s), х (s) = у. Обозначим g (t, s, х, у) = /д (х).
Тогда из C.8)
g(t, s, х, y) = g(t, 6, х, х) g(B, s, х, у) (t<0<s).
Полагая g(t, s, x, у) = е" «•*¦*•»>, получим равенство
a(t, s, x, y) = a(t, 8, x, x) + aF, s, x, у). (ЗЛО)
В частности, при у = х и t = x
a F, s, x, x) = y(s, x) —vF, x), C.11)
где yF, *) = a(t, б, х, х). Из (ЗЛО) и C.11 следует
равенство
a(t, s, x, y) + y(t, s)=aF, s, x, у>.+у(В, x)= P (s, x, y),
которое означает, что определяемая им функция р не
зависит от аргумента t. Так как, очевидно, р (t, x, х) =
=¦ у (/, jc), то
a(/, s, х, y) = 'Hs> x> y) — y(t, x) =
-V(s, х,у)~№, х,х). C.12)

286 ГЛ. VI. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ТРАЕКТОРИЯМ
Так как при любой функции р(^, х, у) из C.12) следует
C.10), то
/д(*) = еЭ<*.*.*)-р«.*.*> C.13)
для описанной выше функции x(t).
Пусть теперь ступенчатая функция х определяется раз-
разбиением т = /0 < ^i < • • • < ^п < ti = /„+i и принимает значе-
значения
х(в) = хп (/»<9<ti), *F) = xft (**<e<**+i).
Тогда из C.13) и C. 8) для / е= [/,_ь /7-], se[/,, /Л+1] сле-
следует выражение
г—I
r— 1
+ lP(s, дс„ xr)-P(/r, x,, xr)]}. C.14)
Полагая P (/, г, x (t)) = C (г, /), можно кратко записать
это выражение в виде интеграла
-o), e)J,
C.15)
понимая C.14) как его опреде ение.
Непосредстгенное вычисление и применение предложе-
предложения 2.2 приводит к утверждению.
Теорема 3.1. Пусть
V(f, s)ф(*) = <re«•*•*> \e№-x'i"(p{y)P(t, x, s, dy) C.16)
— семейство операторов в 33 (X). Тогда
Vg (t, s)<p (x) = $ /[<# s] (X) ф (X (8)) цw> (dX), C.17)
*?
где /—мультипликативный функционал C.15), q —разбие-
—разбиение, определяющее ступенчатую функцию X.
Поэтому существование эволюционного семейства
V{t, s) = limVe(*, s) C.18)
я

5 3. КОНТИНУАЛЬНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 287
эквивалентно существованию континуального интеграла
C.9), и оба эти семейства совпадают. Производящий опе-
оператор эволюционного семейства V есть
где A (t) — производящий оператор эволюционного семей-
семейства C.1).
Замечание 3.1. Формулы C.16) и C.17) могут
иметь смысл и тогда, если переходная мера Р заменяется
обобщенной переходной мерой, порожденной некоторым
эволюционным семейством Vo(?, т) операторов в Ф.
Формула C.16) принимает вид
V (Л s) ф = е- Р «. *• *>V0 (t, s) [e» <*• *• ->ф], C.20)
и для ее корректности достаточно, чтобы функции е~Ыи *• *>,
g&H.x.u (t^T,y^X) были мультипликаторами в Ф.
Предельное эволюционное семейство V (t, s) = Urn Vg (t, s)
я
(если оно существует) мы будем называть континуальным
интегралом по обобщенной переходной мере Р = Ру0 и
записывать в том же виде C.9). При этом остается спра-
справедливым утверждение теоремы.
2°. Некоторые частные случаи. Рассмотрим отдельные
важные примеры, приводящие к представлению в виде
континуальных интегралов решений некоторых дифферен-
дифференциальных уравнений.
Пусть C(/, х, y) = a(t, x). Тогда формула C.16) при-
принимает вид
V(*, 5)ф(*) = еа<*•*>-<>«.*> \<p(y)P(t, х, s, dy) =
X
= Z(t, s)V(t, в)ф(дс),
где U (t, s) — эволюционное семейство, отвечающее пере-
переходной мере Р (или обобщенной переходной мере),
Z (t, s) ф (х) = ea(s' *)-<>v< *> — эволюционное семейство,
производящим оператором которого при дифференцируе-
дифференцируемой по / функции а((, х) является —Z' (t, t)q>(x) =
= a't (t, x) ф (х).
Таким образом, эволюционное семейство C.18), если
оно существует, представляет собою хронологическое

288 ГЛ. VI. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ТРАЕКТОРИЯМ
произведение
V(*. s) = Z(t, s)®U{t, s), C.21)
и существование континуального интеграла C.9) эквива-
эквивалентно существованию этого хронологического произве-
произведения. Мультипликативный функционал при этом имеет
вид
или
fo.s](x) = exp$ae(8, x(9))db
t
для дифференцируемой функции а. Производящим опе-
оператором семейства C.21) является оператор
A(t) = A0(t)-a't(t, х).
Описанные соображения мы можем теперь применить
в любом из рассмотренных в § 2 примеров, где была
установлена сходимость хронологических произведений.
Пример 3.1. Пусть P(t, х, s, dy) = f(t, х, s, y)dy —
переходная мера в Rr, плотность / которой относительно
меры Лебега есть фундаментальное решение задачи Ко-
ши для параболического уравнения
При условиях, описанных в примере 2.1, сходится кон-
континуальный интеграл
s
f v (9, .
u(t, s, хо)= \ е*
XU, s], х0
S
? J v (9. xk) ав
= lim J... J е * ' П р ('*• **• **«• d;t*+i)> C-22)
представляющий решение задачи Коши
-щ-\~ 1й-\-v (t, х)п = 0, и (s, s, л;) = ф(л;). C.23)
Квазимера |д,ш, вообще говоря, не является о-аддитив-
ной. Однако для эллиптического оператора 2-го порядка

5 3. КОНТИНУАЛЬНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 2Я9
она положительна и, следовательно, а-аддитивна вслед-
вследствие теоремы Колмогорова.
В этом случае существование интеграла C.22) можно
получить из независимых соображений при значительно
более широких предположениях относительно функции
v(t, х). Из теоремы 3.1 тогда будет следовать сходи-
сходимость хронологического произведения C.21), соответст-
соответствующего уравнению C.23). Мы еще вернемся к этому
вопросу в гл.VII, где он будет исследован вероятност-
вероятностными методами.
Пример 3.2. Рассмотрим уравнение шредингеров-
ского типа
Г% + П*, х, Vx)u + v(t, x)u = 0 C.24)
с самосопряженным оператором /.
Фундаментальные решения невозмущенного уравнения
~% + l(t, x,Vx)u = 0 C.25)
не являются абсолютно интегрируемыми в Rr.
Поэтому прямая запись правой части C.22) может
оказаться не осмысленной. Ей можно придать смысл двумя
путями. Один из них состоит в замене множителя i на
i + 8 в уравнении C.24) с последующим предельным
переходом при е->-0. При этом для решения уравнения
C.24) получается представление
S
J v (9, х <G)) d&
u(t, s, хо)-Шл \е< Ф(х(s))i*w. •> (dr),
где ц</>е) —квазимера, построенная по фундаментальным
решениям уравнения
a? + (t + z)l(t, х, Vx)u-0.
Если входящие в интеграл функции обладают доста-
достаточно хорошими свойствами аналитичности, можно, делая
комплексную замену переменных, свести интеграл к ин-
интегралу по положительной мере на пути, указанном
в гл. II.
Другой путь состоит в рассмотрении интеграла C.22)
в смысле, указанном в замечании 3.1, понимая Р как
обобщенную переходную меру.
10 Ю. Л. Далецкий, С. В. Фомин

290 ГЛ. VI. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ТРАЕКТОРИЯМ
Пример 3.3. Рассмотрим теперь бесконечномерное
уравнение 2-го порядка
описанное в примере 2.4. Переходная мера P(t, s, х, •),
соответствующая главной части (и = 0) этого уравнения,
неотрицательна и порождает о-аддитивную меру в про-
пространстве траекторий со значениями в яЖ'. Решение за-
задачи Коши представляется в виде интеграла по этой
мере
S
\ v (в, * F)) de
и (t, s, х0) = J е * ф (х (s)) цх„ t (dx),
х
который может пониматься и как предельное выражение
конечнократных, связанное с соответствующим хроноло-
хронологическим произведением.
Для уравнения Шредингера
~~ + (a(x)V, V)u
с самосопряженным оператором / так же, как в примере
3.2, при этом получается представление в виде фейнма-
новских интегралов с бесконечномерным фазовым про-
пространством.
Другой интересный вариант получается, когда Л—гиль-
Л—гильбертово пространство, а мультипликативный функционал
C.14) определяется функцией
р(/, х, y) = (a(x),y)j
и имеет на ступенчатых функциях вид
J] (a(xhi), Xf-Xj-
C.26)
Пусть эволюционное семейство C.1) имеет производя-
производящий оператор
А*Ф (*) = Q (х, V) Ф (х) = 2 «* (х) (V V) Ф (х), C.27)

I 3. КОНТИНУАЛЬНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 291
где <xft(x) (xeX)-/г-линейный симметричный функционал
на X.
Пусть существует континуальный интеграл 3.9, оп-
определяемый рассматриваемыми эволюционным семейством
и мультипликативным функционалом. По теореме 3.1 он
определяет эволюционное семейство с производящим опе-
оператором
Аф (х) = е~ с <*>• х>Аг/ [е<а <*>• »>ф (у)]у-х =
-=r<»W.*>Q(х, Чу)[е<а<*>.»)ф(г/)]^ =
^Q^aW + V^fWU C.28)
Пусть, в частности, п = 2 и
V)9(a;). C.29)
Тогда
+1а (х) (а (х), а (*)) Ф (х) = (А + Ах) <р (х).
Нетрудно проверить, что более сложный мультиплика-
мультипликативный функционал
fit..) (х) - ехр |{ (а(х(9)), dx (Q)) + {v(9, x(Q)) dej C.30)
приводит к производящему оператору
Аф«(А + А2)ф(*), Aa = Ai + u(8, x).
В частности, при »W--y«(x)(a(jr), a(*))
Выясним в этом случае возможность сходимости хро-
хронологического представления
V = eAt ^ gA,^
Для вычисления оператора eAit нужно найти решение за-
задачи Коши для дифференциального уравнения первого
порядка
10*

292 ГЛ. VI. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ТРАЕКТОРИЯМ
Это решение можно найти методом характеристик. Нетруд-
Нетрудно вычислить, что
Л х, т)),
где ?(/, х, т) — решение задачи
F
дF, Л)-а(?)(аF), Л) NX),
(o.ol)
8(*. *, t) = x.
Пусть Р(/, л;, т, •)—переходная мера, определяемая
полугруппой eAt, т. е. дифференциальным уравнением
Тогда
V(t, т)ф = еА»<т
= l<P(V)P(t> Б (Л *. т), т, dy)-
=-5фЫг('. т. х, y)P(t, х, х, dy),
если существует плотность
При этом
и подынтегральному выражению удается придать вид
мультипликативного функционала.
Мы проведем дальнейшие вычисления в одном частном
случае. На другом пути более общий результат будет по-
получен в гл. VII.
Пример 3.4. Пусть
A-|(BV,V),
где В — ядерный неотрицательный оператор в X. В этом
случае
P(t, т, х, dy) = P(x-t, dy-x),
где Р (t, ¦) -^ гауссова мера с корреляционным операто-
оператором В*.

5 3. КОНТИНУАЛЬНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 893
Из формул для плотности сдвинутой гауссовой меры
по исходной следует, что %{t, х, Tj-xaDe-' и справед-
справедлива формула
g(t, т, х, ^) = ехр{-^[(В-1(|(/, х, т)-х), у-х)-
Уравнение характеристик C.31) принимает вид -^- =
= Ва(%), а поэтому
KU х, x)-x=B\a(l(t, х, s))ds =
i
= x + Ba(x)(x-t) + o(i:-t).
Мы отбросим далее слагаемое высшего порядка мало-
малости и рассмотрим для функции g приближенное выра-
выражение
g(t, х, х, у) =
= ехр L^j) (в ( а (I (Л х, s)) ds, \a(t (t, x, s)) ds\ -
^ , x, s))ds, у-х)\\ъ
**exp{\(Ba(x), a(x))(x-t)-(a(x), г/-*)}. C.32)
Полученное выражение приводит к мультипликатив-
мультипликативному функционалу
fit. s) (X) =
г/.х), а (х,^)) (?/—?/_i)—(a (x,^)t x,—*/
if-
expjj ((Ва(хF)), а (х (8))) йв- { (а (хF)), dx(9))\.
Отбрасывание малых слагаемых в C.32) приводит к за-
замене оператора eAtt-eAt другим, близким к нему. При
помощи теоремы 2.2 можно оправдать такую замену и
показать, что она не влияет на предельное выражение.

294 ГЛ. VI. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ТРАЕКТОРИЯМ
Так как сходимость континуального интеграла в рас-
рассматриваемом примере можно вывести из положительности
меры A, мы получаем для решения задачи Коши
^ V)« + (Ba(x), V)u-\(Ba{x), a(x))u = 0,
и(х, т) = ф(дс)
представление
IX
~ Г (Ва(х, 6)), a(x(S))dS-
), dx(B))U(x(x))ii(dx).
§ 4. Нелинейные эволюционные семейства
и интегралы по пространству ветвящихся траекторий
1°. Ветвящиеся траектории. В этом параграфе будет по-
показано, что мультипликативные представления решений
нелинейных эволюционных уравнений, так же как и в ли-
линейном случае, приводят к континуальным интегралам,
но по более сложному пространству, состоящему из вет-
ветвящихся траекторий (деревьев).
Для этого нам придется сначала выработать язык,
удобный для описания таких траекторий.
Рассмотрим конечное частично упорядоченное множе-
множество Z. Назовем элемент z2 промежуточным по отноше-
отношению к паре z1( z3 (Z/sZ, /=»1, 2, 3), если z1<zt<z9.
Пару элементов z, z&Z {z<z), между которыми нет
промежуточных, назовем отрезком [г, z], выходящим из
г и входящим в г (начинающимся в г и оканчивающимся
в 2). Обозначим a-(z) множество элементов, в которых на-
начинаются входящие в г отрезки, а+(г) — множество точек,
в которых оканчиваются отрезки, выходящие из г.
Пусть k (Zx) — количество элементов подмножества
ZZ ft()ft(())
j ±()(())
Назовем Z остовом, если выполняются условия:
а) существует точно один элемент zoeZ {корень осто-
остова) такой, что множество a_(z0) пусто, при этом /г+(го)=» 1;
б) для гфг0 всегда &_(г)=1 и к+{г)Ф\.
Точки множества Z'»\г' е Z, k+ (г') = 0} назовем вер-
вершинами остова, точки множества Z" = {f^Z, ft+(z"Me 2} —

5 4. ИНТЕГРАЛЫ ПО ВЕТВЯЩИМСЯ ТРАЕКТОРИЯМ 296
точками ветвления, число k+ {z") — кратностью точки ветв-
ветвления feZ", k (Z') — порядком остова Z.
Для каждого z^Z\Z' упорядочим каким-либо об-
образом множество a+(z), занумеровав его точки a+(z) =
«= {z1( ..., zk+}. При этом каждому элементу zeZ можно
будет приписать индекс, составленный из номеров элемен-
элементов, лежащих между г0 и г. Множество элементов остова
после этого упорядочивается лексикографически, в част-
частности, упорядочивается и множество Z' его вершин.
Два остова с одинаковой нумерацией вершин назовем
эквивалентными. Такие остовы отображаются друг на друга
взаимно однозначно с сохранением частичной упорядочен-
упорядоченности. Очевидно, что перенумерация точек какого-либо
множества а+ (г) приводит к замене остова эквивалентным.
Например, с точностью до эквивалентности существует
один остов Z1 = {z0, zx] порядка k(Z1)=l, один — Z% —
«= {г0, гь г1Ь г12} порядка k(Z3) = 2 и три остова порядка
k (Z) = 3: Z3 = {го, Zy, zn, г12, z13}, Z8 = {го, zlt г1ь гш, z112, г12},
Z={2o, Zlt Zn, Z12, 2Ш, 212г}.
Назовем конечное частично упорядоченное множество Z
расширением остова Z (расширенным, остовом), если оно
получается из Z присоединением конечного множества про-
промежуточных точек г, для каждой из которых А+(г)=1,
?_(г)= 1. Такие точки назовем точками разбиения, а про-
процедуру расширения остова — его разбиением.
Расширение Z остова Z назовем простым (или раз-
ревом Z), если точки разбиения (разреза) попарно не-
несравнимы.
Если г —точка разреза остова Z, то множество
точек, следующих за г, образует остов Z~ с корнем i—
правый подостов остова Z.
Если Zj (/= 1,..., т) — множество всех точек разреза,
то множество
т
2o--Z\U{Z?y\*'}
также образует остов —левей подостов X в корнем z0 и
множеством Z[ вершин, включающих точки разреза. Каж-
Каждый разрез порождает, таким образом, представление

296 ГЛ. VI. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ТРАЕКТОРИЯМ
в виде объединения остовов
Назовем два разреза эквивалентными, если порождае-
порождаемые ими представления D.1) одинаковы. Отметим, что
множество вершин остова Z распадается на непересекаю-
непересекающиеся множества вершин остовов Z~ и (возможно) часть
множества вершин остова Zo (другая часть состоит из
точек разреза).
Пусть Z —остов или расширенный остов. Рассмотрим
монотонное отображение 6: Z-+[t, т], обладающее свой-
свойствами 0(zo) = ?, 6(г')«=т (z'eZ). Пусть в—множество
всех таких отображений.
Каждому отрезку [г, г] при этом сопоставляется чис-
числовой отрезок [6(г), 0(г)]. Совокупность точек этих от-
{>езков мы будем рассматривать как ветвящийся отрезок
t, т] с точками ветвления 0 (г") (z'eZ') и называть де-
деревом а @, Z). Обозначим 6S множество точек дерева а (б, Z)
с координатой s. Расширение остова приводит к разби-
разбиению ветвящегося отрезка дополнительными точками.
В частности, для остова {z0, zx} это приводит к обычному
отрезку [/, т] и его обычному разбиению.
Каждому дереву а (8, Z), отвечающему остову Z, сопо-
сопоставим точку S@, Z) многомерного куба [t, т]***"), коор-
координатами которой являются числа 0 (г), г s Z" (обрайы
точек ветвления), записанные в лексикографическом по-
порядке.
Множество 0(Z)«={&(8, Z), 9 е в} представляет собою
подмножество куба, ограниченное конечным числом плос-
плоскостей и являющееся объединением конечного числа сим-
симплексов.
Рассмотрим простейшие примеры.
При Z = {z, Zi} существует лишь одно отображение
8t [г0) *!]->[*, т].
При Z = {z0, гг zu, zia} отображение 8 определяется
одной точкой 8(z1)=s, пробегающей отрезок [/, т]. Дерево
0(9, Z) состоит из отрезка [t, s] и двулистного отрезка
[«, т]. Аналогична ситуация для {г0, zlt zn, zn, zl8}, с той
разницей, что отрезок [s, т] — трёхлистен.
При Z = {zOl гь ггь гш, гпг, г12} отображение 8 опре-
определяется парой точек 0 (г^ = sl( 8 (zu) = s2l удовлетворяю-

§ 4. ИНТЕГРАЛЫ ПО ВЕТВЯЩИМСЯ ТРАЕКТОРИЯМ 297
щих соотношению ^s?s1<s8^t. Точки а@, Z) с коор-
координатами (s1( s2) заполняют треугольник в квадрате [t, х]2.
Пусть Z —остов, а (9, Z) —дерево на отрезке [t, т].
Отображение Хе: о (9, Z)->-X назовем ветвящейся траекто-
траекторией в X (типа Z) на [/, т]. Тем же термином будем назы-
называть и множество точек {xQ(s)='Xe(Qs), se[/, т]}.
Обозначим <М (xt t, т; Z) множество всех ветвящихся
траекторий типа Z на отрезке [t, т), выходящих из точ-
точки х: х (t) •= х.
При Z = Zt oM (x, t, т; Z) = «^ (а;, ?, т) — множество обыч-
обычных траекторий.
В каждом пространстве Ж (jt, t, т; Z) естественным
образом вводится алгебра цилиндрических множеств. В со-
соответствии с общей конструкцией достаточно указать со-
соответствующую систему отображений этого пространства
в конечномерные.
Пусть q — некоторое разбиение остова Z, Z? гэ Z —
соответствующий расширенный остов, Z? = Z?\Z—мно-
Z?\Z—множество точек разбиения, 9? — множество точек, являю-
являющихся их образами на дереве а F, Zq).
Рассмотрим пару отображений, во-первых,
(*, /, т; *)-
{<*(e> 2); x(B(f)), fmZ"},
сопоставляющее ветвящейся траектории точку а (в, Z) т
m&(Z), описывающую набор точек ветвления дерева,
а также набор значений х (9 (Z")) траектории в точках ветв-
ветвления. Другое отображение
Se,?: oS{x, t, r, Z)-*-X»,
сопоставляет траектории х набор ее значений на множе-
множестве 6? точек разбиения дерева.
Алгебра цилиндрических множеств %2 определяется
парами отображений {Se, S?} при всевозможных 6 и q и
является произведением алгерб Wz и Щ, порожденных
соответственно прообразами So' (CxB") и Svl (В?) боре-
левских множеств В? <= X?, С" с: 6 (Z), Б" с= X*<z").
На алгебре цилиндрических множеств можно по общим
правилам гл. I определять квазимеру и понятие интеграла
по ней. Мы не будем описывать общую конструкцию, ог-
ограничившись интегралами, связанными с эволюционными
семействами операторов.

298 ГЛ. VI. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ТРАЕКТОРИЯМ
2°. Эволюционные семейства в классе формальных сте-
степенных рядов. Пусть X — линейное топологическое прост-
пространство, [Xk] — пространство /г-линейных непрерывных
операторов в X, наделенное топологией сильной сходи-
сходимости.
Формальным оператором в X назовем набор
А = (аь а3 ак, ...) (а„ е=
Выражение
jj
АA>)-jj] atf,
к —I
где ак^ = ak(tf, ...,ty), будем называть формальным степен-
степенным рядом в X. Это выражение понимается чисто симво-
символически, хотя в случае, когда ряд сходится, оно опреде-
определяет элемент X.
Совокупность % формальных операторов обладает оче-
очевидной структурой линейного пространства (с покомпо-
покомпонентными операциями).
Кроме того, для формальных операторов корректно
определяется операция композиции, соответствующая опе-
операции подстановки ряда в ряд!
Нетрудно проверить, что для коэффициентов формаль-
формального оператора С = А«В выполняются соотношения
и вообще
где a, (bki bk/) (Цк) = а} {bk^ Ьк])
Из определения операции композиции следует, что она
ассоциативна
(А.В).С = А.(В°С)
и удовлетворяет левому соотношению дистрибутивности
Введем в 2( топологию, определяющую покомпонент-
покомпонентную сходимость формальных операторов. В смысле этой
топологии ниже понимается непрерывность и дифферен-

5 4. ИНТЕГРАЛЫ ПО ВЕТВЯЩИМСЯ ТРАЕКТОРИЯМ 2"
цируемость формальных операторов по параметру. Семей-
Семейство формальных операторов \J(t,x) (;<т,/,теА)|
Д = [а, Ь] с R1 назовем эволюционным, если
U(/, s)-U(s, t) = U(/, т), U(/,0 = 1
Эти соотношения означают, что
И,(/, S)Ms. т)-«,('. Т),
S)(«1(S, Т)-, «!(S, T) • ) = «j(/, T)
В частности, семейство линейных операторов щ (t, 9) в X
является эволюционным.
Производящим оператором эволюционного семейства
U (t, s) назовем производную (если она существует)
Очевидно, что при этом
fli(s)-|«i«, в)
— производящий оператор линейного эволюционного се-
семейства «1 (t, S).
Эволюционное семейство, обладающее производящим
оператором, удовлетворяет дифференциальному уравнению
U(/, t)-0, D.3)
покомпонентная запись которого приводит к системе
1(t, т)-0,
D 4)
^ +аг @ иа (/, т) +0, @ («1 (/, т)•, Ul (t, т) •) - 0.
Если j?cX, где X — банахово пространство, то анало-
аналогичным образом можно построить пространство 81Х формаль-
формальных операторов в X. Будем при этом предполагать, что со-
составляющие их полилинейные операторы оставляют инва-
инвариантным X. При этом Slx вкладывается в Ш#. Простран-
Пространство Шх не является метрическим, но тем не менее тео-
теоремы 2.1 — 2.3 обобщаются иа рассматриваемый случай
(в терминах покомпонентной сходимости).
Существование формального оператора, удовлетворя-
удовлетворяющего D.3), можно показать, последовательно решая си-

300 ГЛ. VI. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ТРАЕКТОРИЯМ
стему D.4) Мы не будем этого делать, так как ниже будет
указана явная конструкция решения.
Введем в рассмотрение дифференциальную операцию
SA(B,
(А, В, С)е=21.
Легко проверяются свойства:
1) Формальный оператор SA (В, С) линейно зависит
от G и А.
2) Если Ах (t) и А2 (t) — дифференцируемые по парамет-
параметру t формальные операторы, то
? Ах (t). А2 (t) = [| Ах (*)] . А2 (t) + 6Ax (t) (A, @,
3) Если. U (<, т) — эволюционное семейство с непрерыв-
непрерывным производящим оператором А(<)и В— некоторый фор-
формальный оператор, то
?U(/, т)-В-ви(Л т)(В, А(т)-В).
Предложение 4.1. Эволюционное семейство в не-
непрерывным эволюционным оператором A (f) однозначно им
определяется.
Доказательство. Пусть UhV —пара эволюцион-
эволюционных семейств с одним и тем же эволюционным опера-
оператором A(t). Вычислим при <
?, s).V(s, т)] =
-^U(t, 1-V(s, t) + SU(«, s)[v(s, t),
= SU(<, s)(V(s, t), A(s).V(s, т))-
-SU(<, s)(V(s, t), A(s).V(s, т)) = 0.
Поэтому
, x)-V(t, x)= J^[U(i, s).V(s, T)]ds-O.
Эволюционное семейство формальных операторов с по-
постоянным производящим оператором А будем называть
экспонентой (композиционной) и обозначать
V(t, т)-ехр {А (*-/)}.

§ 4. ИНТЕГРАЛЫ ПО ВЕТВЯЩИМСЯ ТРАЕКТОРИЯМ 801
По определению выполняется соотношение
ех°р/jA - ех°р/2А = ехр (<х + <г) А.
Используя аналоги мультипликативных теорем 2.1, 2.2,
можно доказать при некоторых предположениях о семействе
формальных операторов A (t) сходимость композиционного
мультипликативного интеграла
U(t, T) = exp$A(s)ds =
t
= Urn (exp AsiA («i) • exp As2A (s2) •... • exp AsnA (sn)} —
= Urn {[I + ASlA (Sl)] • [I + As2A (a,)]..... [I + AsnA (e,)]}
и показать, что его производящий оператор есть A(s).
Не- приводя этих рассуждений, мы будем использовать
символ мультипликативного интеграла как обозначение
эволюционного семейства с соответствующим производя-
производящим оператором.
3°. Построение мультипликативного интеграла. Пусть
Z — расширенный остов и пусть каждой точке г е
eZ\{{zo)UZ'} (т. е. не являющейся корнем или вер-
вершиной) сопоставлен k+ (г)-линейный оператор Аг, а каждо-
каждому отрезку [г, г] —линейный оператор Уг~.
Рассмотрим k B')-линейный оператор в Z, который
мы будем называть ветвящейся композицией набора отоб-
отображений |АЖ; V^; г, г s Z} и обозначать
Этот оператор составляется по следующему правилу:
а) отрезку [г, 2], входящему в точку i, сопоставляется
композиция VZ5°A~;
б) точке z, из которой выходят отрезки [г, zj] (/ —
= 1 &+(z)), сопоставляется композиция
причем порядок мест, занимаемых операторами VM., опре-
определяется упорядоченностью множества а+(г).
Нетрудно видеть, что эти правила позволяют одно-
однозначно построить Ss. Построение можно проводить рекур-
рентно следующим образом. Пусть остов
Z —{г0, гъ гп г1/г, ...}, k = k+{Zi)

302 ГЛ. VI. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ТРАЕКТОРИЯМ
разбивается на левый подостов Z0 = {z0, zx} и правые под-
остовы Z1J = {z1, Zy, ...} (/= 1 k) с общим корнем zv
Тогда
В частности, для расширенного остова Z = {z0, zA), ...
..., z{m), zj без точек ветвления, очевидно, получается
обычное упорядоченное произведение
S2 = П V« Аг = Vz.zA)
z
Пример 4.1. При Z'z = {z0, гъ zn, zlu, гш,
/j, /8) = Vz.ZlAZl(VZlz11AZl,(V,11z111/i. VZuZlu/2).
Теорема 4.1.Яг/еть A@=(ai@. «г@ a»(<), •••) —
семейство формальных операторов в X, зависящее от па-
параметра t, и пусть в X существует линейное эволюцион-
эволюционное семейство операторов Vi(t, т) с производящим опера-
оператором «1 (t):
^jL , т) = 0 (/<r, v(x, r) = id).
Сопоставим каждому остову Z кA')-линейный оператор
в X
\ ПМ8(г), 6(г))а ^(e^de, D.5)
(Z 2
еде интегрирование ведется по объему в ®(Z)a[t, t]*(Z">.
Тогда семейство формальных операторов v(t, т) =
=-(М<, т) vk(t, т), ...), где
vk(t, т)- 2 U^C- т)- <4-6)
*(Г)=«*
является тлюционным и A(t) — eao производящий опе-
оператор.
Доказательство. Пусть <<s<t. Точка s произ-
производит разрез каждого дерева <r(9, Z) и, если пренебречь
множеством меньшей размерности, можно считать, что
точки разреза не совпадают е точками ветвления.
Пополним остов Z точками разреза Zy так, чтобы для
них выполнялось равенство 6(z/) = s. При этом получится
разложение расширенного остова 2 на левый и правые

» 4. ИНТЕГРАЛЫ ПО ВЕТВЯЩИМСЯ ТРАЕКТОРИЯМ 80S
ПОДОСТОВЫ
г\ т * I л л. 1\ и
D.7)
Рассмотрим соответствующие им полилинейные опе-
операторы
Se(ts) = Y\v1(9(z); Цг))ак+Сф
о
Szt<
г1
Из определения ветвящегося произведения и эволюцион-
эволюционное™ семейства V\ следует
Sze(t, t) = Sze(t,s)(Sz~ (s, т). Sz~ (s, т)Л. D.8)
0 v zt гп '
Разобьем пространство деревьев в (Z) на подмножества &k,
элементам которых соответствуют эквивалентные разрезы
и, следовательно, одинаковые разбиения D.7). Разным
множествам в* соответствуют различные левые подостовы
Z%czZ, причем, перебирая все эти подмножества, мы по-
получим все возможные левые подостовы Z, а значит, и все
возможные разбиения D.7).
Разбивая интеграл в D.5) на интегралы по подмноже-
подмножествам 0* и интегрируя соотношение D.8), нетрудно полу-
получить представление
UzV, т) =
= 2 Uz0 (t, s) (UZl (s, т).,..., UZft+ (fd (s, т) •), D.9)
Zt,
где суммирование производится по всем левым подостовам
ZoczZ.
Суммируя по всем остовам Z, для которых &+B) = ?,
мы получим вследствие D.6) и D.9) формулу
и л t, г) - 2 2 и/ с. s> (и*. <s» т> • и*/ («.т)).
В силу D.2) эта формула означает для формальных опе-
операторов V(t, т) = («ъ «г, •••) соотношение эволюцион-
ности
V(t, x) = V(t, s).V(s, т).

304 ГЛ. VI. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ТРАЕКТОРИЯМ
Для вычисления производящего оператора этого семей-
семейства мы положим в D.9) s = t-\-At и выделим слагаемые,
имеющие порядок не выше первого относительно At:
Uz(t, т) = М*. t + At)Uz(t + At, t) +
t + At
+ $ Vl(t, a)ak+ „,, (a) (v, (a, t + At)UZl(t + At,x);...
...,Vl(a,t + At)UZk+{Zt)(t + At, x)-)da + o(At),
где Z\ Zk+ — правые подостовы остова Z, соответст-
соответствующие левому подостову Z0 = {z0, zlt гг zm).
Дифференцируя это соотношение почленно по t и по-
полагая А/ = 0, получаем
±
t, T)-ak+Ul)(t)(\JZl(t,
Снова суммируя по всем остовам Z с k+ (Z) = k, получим
соотношение
I] a,(t)(yki(t,x)- Ukf(t,T)-) = 0,
которое эквивалентно требуемому
?v(t, x) + A(t).V(t, т) = 0. ¦
4°. Сходимость формального разложения. Рассмотрим
дифференциальное уравнение в пространстве X
% t, н) = 0, D.10)
где ai(t) — линейный оператор в if, a
В (/,«)= 2 bk(t)u" D.11)
— аналитическая функция в X, представляемая сильно
сходящимся в некоторой окрестности нуля рядом D.11),
например, полином
Вдг(/, «)= S Ь*@«*. D-12)

§ 4. ИНТЕГРАЛЫ ПО ВЕТВЯЩИМСЯ ТРАЕКТОРИЯМ 305
Если задача Коши для D.10) на некотором интер-
интервале (/, т) корректна для достаточно малых начальных
элементов и (т) = и0, то решение и (t) может оказаться
аналитически зависящим от и0-
и@=2>(/, т)н*. D-13)
* = i
В силу единственности в классе формальных степен-
степенных рядов эволюционного семейства, порождаемого про-
производящим оператором А = (alf Ьъ...), полилинейные функ-
функционалы vk (t, т) из разложения D.13) должны опреде-
определяться формулой D.6). Таким образом, в рассматриваемой
ситуации построенный в предыдущем разделе формальный
степенной ряд, представляющий мультипликативный интег-
интеграл, сходится в некоторой окрестности нуля.
Очевидно, что верно и обратное: если формальный сте-
степенной ряд D.13) сходится в некоторой окрестности нуля,
то он представляет решение задачи Коши для уравнения
D.10).
В некоторых случаях сходимость этого ряда может быть
установлена при помощи оценки коэффициентов D.13).
Действительно, пусть пространство X — банахово и выпол-
выполняются условия:
а) линейное эволюционное семейство vx подчиняется
оценке
1М<, т)
б) полилинейные операторы ак ограничены и
Тогда легко видеть, что
где справа записано ветвящееся произведение, составлен-
составленное из чисел. Подстановка этого выражения в формулы
D.5), D.6) приводит к числовому формальному степенному
ряду с неотрицательными коэффициентами
I] vk(t, т)гр*. D.14)

306 ГЛ. VI. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ТРАЕКТОРИЯМ
соответствующему решению скалярной задачи Коши с не-
отрицательными ak (k = 2, ...) и *|з:
D.15)
At
* = 2
Стандартные соображения, обычно применяемые в ана-
аналитической теории дифференциальных уравнений, очевид-
очевидно, показывают, что если задача D.15) имеет в круге
|ф|<р на интервале [t, т] аналитическое по -ф решение,
то при || «о IK P на [t, т] сходится и формальный степен-
степенной ряд, представляющей решение задачи D.10).
Если ряд, входящий в скалярное уравнение D.15),
имеет ненулевой радиус сходимости, это заведомо имеет
место при достаточно малых |мо11 и |т —/|.
Другой подход к доказательству сходимости рассмат-
рассматриваемых разложений связан с применением мультипли-
мультипликативных представлений, рассмотренных в § 2.
Рассмотрим для простоты уравнение D.10) с полино-
полиномиальным оператором D.12). Пусть
+ f; bk(s)u"(t-s)
и пусть существует мультипликативное семейство
G(<, 8)-limU,(«, я).
я
В силу предложения 2.2, его производящим оператором
является
«г = 2
Оператор U?(<, s) представляет собою суперпозицию ко-
конечного числа полилинейных отображений.
Раскрывая скобки в этой суперпозиции, можно по ин-
индукции установить формулу
= ? 2 П о (в (г),
? 2 П
где суммирование ведется по всем деревьям, точки вет-
ветвления которых попадают в точки разбиения q. В пре-

» 4. ИНТЕГРАЛЫ ПО ВЕТВЯЩИМСЯ ТРАЕКТОРИЯМ 307
деле отдельные слагаемые этой суммы превращаются в ин-
интегралы D.5).
На этом пути, прежде всего, получается независимое
доказательство разложимости решения рассматриваемой
задачи в формальный степенной ряд. В некоторых кон-
конкретных случаях при помощи дополнительных рассужде-
рассуждений и оценок таким путем может быть установлена и схо-
сходимость этого ряда.
5°. Марковские квазимеры и интегралы по ветвящимся
траекториям. При построении марковских квазимер на про-
пространстве ветвящихся траекторий мы будем считать, что
вадана переходная мера
P(ti, xlt tu A) (*<
описанная в § 1, и набор «ветвящихся переходных мер»
Q/(s, х, АгХ-..xA/) (**?s<t, х&Х, Alt,.., А,тЩ
на произведении X1 =*Хх ...XX (/ = 2,...).
По переходной мере Р строится (см. A.3)) квазимера
AЖ (жшц^] t на пространстве обычных траекторий, выхо-
выходящих из точки (t, х).
Рассмотрим теперь объединение az отрезков дерева
0F, Z), выходящих из точки ветвления 9 (г): аг-
= {{J[0(z), 8(гу)], [г, г,], /¦-1 k=*k+(z) -совокуп-
ноеть отрезков остова Z, выходящих из г>. Пусть
еЖ(у, 8, ^ — пространство траекторий {#: аг>—*¦ X} на аг,
удовлетворяющих условию х (8 (г))—= #. В этом простран-
пространстве введем квазимеры
к
V®W " J QbW' У» йУг АУ„) П % eW, 8E,)
Пространство ветвящихся траекторий типа Z можно
сконструировать из пространств типа <^{у, 6, г)
«*(*, *, т; Z) = U П у оЛ(у, б, г),
и на этом пути построить квазимеру на ы% (х, t, x; Z).
Рассмотрим простейшие примеры.

308 ГЛ. VI. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ТРАЕКТОРИЯМ
При Z = {г0, zi\ полагаем
При Z = {z0, гь г1Ь г12}
T 5 !&•)) ds
(мы представляем здесь ветвящуюся траекторию x&(ti) как
объединение x(ti)na отрезке [t, s] и пары (*i(i?i), лгг(?г))
на двулистном отрезке [s, т]).
Для более сложных остовов построение приводится
аналогично и может быть описано рекуррентным образом
(хотя и довольно громоздко). Не приводя этого описания,
покажем, что при интегрировании мультипликативных
функционалов можно обойтись без него, используя язык
эволюционных семейств операторов. Переходная мера Р
порождает эволюционное семейство линейных операторов
(tu xlt h, dXi)f(xt),
а ветвящиеся переходные меры Qj — семейства полилиней-
полилинейных операторов
aj(s, *)(q>i, .... Ф/)=-
= J Qj(s, x, dxtx...xdx,)Фх(xt)...%(xf).
Рассмотрим введенный в теореме 4.1 полилинейный
оператор Ur(f, т) и положим по определению
5 (т))... <рп (хп (т)) pf {dxe (•)) -
м (у, i, it z)
-UsV, т)(Фх <Pn)(y). D.16)
Нетрудно покавать, что это определение превратится
в равенство, если построить меру jx^2' так, как указано
выше.
Рассмотрим теперь более общий случай, когда эволю-
эволюционное семейство vt строится при помощи мультиплика-
мультипликативного функционала fcu t,y
vi (к, к) Ф (xi)- J/p,, ft3(x(-))y(x(t2))\iXll h (dx).
Определим значение мультипликативного функционала
на ветвящейся траектории как произведение его значений

S 4. ИНТЕГРАЛЫ ПО ВЕТВЯЩИМСЯ ТРАЕКТОРИЯМ 309
на отдельных ветвях:
fa (e, Z) (Хв ( •)) = П /[е (г)) е (?)] (Х ( . )).
В этой ситуации формула D.16) усложнится следующим
образом:
I fo«>,z)(xB(-))<p1(x1(T))...<?n(xn{T))n(!,Z)(dx()(-)).
M(V, и т; Z)
D.17)
Введем в рассмотрение континуальный интеграл по
пространству aS(y, t, x) = \JaS(y, t, %\ Z) всех ветвя-
z
щихся траекторий на [t, т], удовлетворяющих условию
x(t) = y, полагая
**{y, U т)
))Mdx{-
Z М {у. t,
))=
)№ (dxs(-)) D-18)
при условии, что ряд в правой части сходится абсолютно.
Рассмотрим, в частности, функционал
определяемый для дерева а (В, Z) формулой
k(Z')
F{Xq{- )) |<г о. Z)=fo F, Z) (Хв(-)) П ф (Xk (Т)).
4 = 1
Формулы D.17) —D.18) приводят к соотношению
), D.19)
представляющему нелинейное эволюционное семейство
U {t, т) (при условии сходимости интеграла в правой части).
Производящим оператором этого семейства является
А @ Ф = fli @ Ф + 5 a,(t, ф ф), D.20)
где #i (f) — производящий оператор линейного семейства
Vi(f, Г).

310 ГЛ. VI. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ТРАЕКТОРИЯМ
Отметим, что выражение D.20) во всяком случае имеет
смысл, если сумма конечна, а полилинейные операторы at
ограничены.
Если линейное эволюционное семейство ьг (t, т) подчи-
подчиняется экспоненциальным оценкам, то, как указано в пре-
предыдущем разделе, могут быть получены оценки сходимости
ряда D.19).
В качестве примера рассмотрим интегро-дифференциаль-
ное уравнение
? V(t)u +
*» 40ь ...,dyk)u(ft)... иЫ = 0, D.21)
где / (и) — линейный дифференциальный оператор.
Частным случаем этого уравнения является диффузион-
диффузионное уравнение с полиномиальной полилинейностью
я
•J- + / (и) + V (t, и) + ^ °* W "* (*) - °- D-22)
4 = 2
Линейное эволюционное семейство vt (t, т) определяется
в этом случае уравнением
а мультипликативный функционал имеет вид
U <е, х) («ё (•)) - ехр \ V (х (s)) ds - exp J V (*e (s)) rfs,
и (в, 2> /
где под интегралом по дереву понимается сумма интегра-
интегралов по всем его отрезкам.
Континуальный интеграл D.19) в этом случае имеет
вид
\ мр$У(*(в))ЛП»ММ<М')). D-23)
«. t) < *e(s)
Мн сделаем лишь некоторые замечания об условиях его
сходимости:
а) Если / (и) — неположительный эллиптический диффе-
дифференциальный оиератор 2-го порядка, то переходная мера

" ЗАМЕЧАНИЯ И КОММЕНТАРИИ 811
Р (t, х, х, dy) неотрицательна. Оператор vt при этом явля-
является сжимающим в пространстве непрерывных функций.
Если интегральные операторы, входящие в D.21), непре-
непрерывны в этом пространстве (в частности, это имеет место
для уравнения D.22)), сходимость интеграла на достаточно
малом промежутке можно показать так, как указано
в предыдущем пункте.
б) Для эллиптических операторов 1(и) порядка выше
второго рассмотрение нужно проводить в пространствах
типа Lp. Квазимера |г„ при этом не является а-аддитивной,
однако интегралы от мультипликативных функционалов
по отдельным пространствам е?(х, t, т; Z) имеют смысл.
Поэтому для непрерывных операторов с ядрами Q в D.21)
рассуждения можно провести так же, как и выше.
Эти соображения применимы и для уравнения Шре-
дингера
л
*L + il(u) + V(t,u)+ ^ ah(t)u*(x)-0
*—J
в гильбертовом пространстве L* с самосопряженным опе-
оператором 1(и).
При рассмотрении уравнения типа D.22) положение
усложняется, так как операция и -*- ы* не является непре-
непрерывной в Li. Здесь, однако, может быть применен метод,
связанный с хронологическими произведениями, указанный
в конце п.4?.
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
И ИСТОРИЧЕСКИЕ КОММЕНТАРИИ
к главе VI
Связь между дифференциальным!} уравнениями в устных произ-
производных и интегрированием по пространству траекторий бы"ла обнаружена
Р.Фейнманом [1] при разработке нового подхода к квантовой
механике. С другой стороны, подобная связь естественно возникает
в теории марковских случайных процессов (см. гл. VII). Именно в
таком варианте М. Кац [11 впервые строго доказал формулу типа C.22)
(для винеровской меры ji), которая известна теперь как фврмула
Фейнмана — Каца. На произвольные марковские процессы она была
обобщена Е. Б Дынкиннм [2].
В статье И. М. Гельфанда и А. М. Яглома [1] была поставлена
задача об обобщении этой формулы на более широкий класс линей-
линейных эволюционных уравнений, в том числе параболических высшего
порядка. Такое обобщение для абстрактных эволюционных уравнений,
включающих различные уравнения и системы параболического, гнпер-

312 ГЛ. VI. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ТРАЕКТОРИЯМ
болического и шредингеровского типа, было получено в работах
Ю. Л. Далецкого [1 — 5].
В этих работах использовался метод, основанный на формуле типа
B.30) хронологического произведения пары эволюционных семейств.
Такая формула была с другими целями получена также X. Троттером [1]
(см. также Т. Като [1]). В частности, из формулы B.30) следовало
и строгое доказательство представления Фейнмана для уравнения
Шредингера с ограниченными гладкими потенциалами.
Доказательство этого представления для аналитических потенциа-
потенциалов методом аналитического продолжения в комплексную область по
параметру, входящему в уравнение теплопроводности, было получено
Р. Камероном [1] (см. § 6, гл. II).
Еще ОДИН подход к построению интеграла Фейнмана был указан
К. Ито [4]. Условие ограниченности вариации A.6) — A.7) квазимеры
было получено Ю. Л. Далецким [5] и обобщено на комплексные ме-
меры Дж. Фельдманом [3]. На неограниченность вариации квазимеры,
получающейся из фейнмановской при замене i на i — 8, было указано
независимо Р.Камероном [1] и Ю. Л. Далецким [2].
Доказательство формулы Фейнмана — Каца для уравнений Шре-
Шредингера с потенциалами из более широкого класса, включающего син-
сингулярные, было получено в работах Дж. Фельдмана [2] и Э. Нельсона
[1]. В этих работах тасже использовалось хронологическое произве-
произведение полугрупп (см. также работу В. Фариса [1]). Некоторые
результаты, связанные с вычислением интегралов по квазимерам, по-
получили В. Ю. Крылов [1, 2], В. И. Ладохин [1,2] и Е. В. Майков [1, 2].
Существует другой вариант представления Фейнмана (гамильто-
нова форма континуального интеграла), частные случаи которого
можно получить из формулы Фейнмана — Каца, представляя переход-
переходную меру при помощи преобразования Фурье и переходя, таким
образом, от конфигурационного пространства к фазовому. Гамильтонова
форма континуального интеграла дает представление символа эволю-
эволюционного семейства операторов через символ производящего оператора
этого семейства в процедуре квантования, а также для получения
асимптотики соответствующей функции Грина.
Обоснование этого представления для различных классов симво-
символов было получено в работах А. Л. Алимова [1], В. С. Буслаева [1],
А.Л.Алимова и В.С.Буслаева [1], М.А.Евграфова [1], В. Л. Ройт-
бурда [1,2], В. П. Маслова и И. А. Шишмарева [1]. Мы не пытаемся
дать здесь обзор большого количества математических работ, относя-
относящихся к различным аспектам теории фейнмановских интегралов и
появившихся в последние годы (см также комментарии к гл. I, II и
цитированную там работу С. Альбеверио и Р. Хёг-Крона [1], в которой
имеется обширная библиография).
Хронологические произведения нелинейных вволюционных семей-
семейств были получены Ю. Л. Далецким и А. Т. Заплитной [1] (см. также
А. Т. Заплитная [1]) и использованы для представления решений
нелинейных эволюционных уравнений в виде интегралов по пространст-
пространству ветвящихся траекторий. Эта работа была выполнена под влиянием
работы А. В. Скорохода [6] по теории ветвящейся диффузии.
Мультипликативные представления нелинейных эволюционных семей-
семейств позднее независимо рассматривали П. Чернов [1,2] и Дж. Марс-
ден [1]. Фейнмановские интегралы по ветвящимся траекториям рас-
рассматривали также В. П. Маслов и А. М. Чеботарев [1]. Изложение
в § 4 использует результаты работ Ю. Л. Далецкого [17], Н. И. Гав-
ришовой и Ю. Л. Далецкого [1].

ГЛАВА VII
ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЙ
ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ
В этой главе некоторые из результатов, изложенных
в главах V, VI, независимо рассматриваются при помо-
помощи методов теории случайных процессов. В основу рас-
рассмотрения положена теория стохастических дифференциаль-
дифференциальных уравнений Ито в гильбертовом пространстве, которая
излагается достаточно полно в §§ 2, 3.
В § 1 кратко приводятся необходимые сведения из
теории вероятностей. В § 4 изучается задача Коши для
параболических уравнений и систем 2-го порядка с бес-
бесконечномерным аргументом. Решения задачи представля-
представляются как средние по пространству траекторий относительно
меры, порождаемой случайным процессом, удовлетворяю-
удовлетворяющим стохастическому уравнению.
Таким образом, дифференциальное уравнение трактуется
как обратное уравнение Колмогорова марковского процесса.
Этот подход оказывается в некоторых отношениях более
эффективным и приводит к результатам, более сильным,
чем в предыдущих главах. В конце главы рассматривает-
рассматривается вероятностная трактовка квазилинейных уравнений и
систем.
§ 1. Винеровский процесс. Стохастические интегралы
1°. Основные понятия теории случайных процессов.
Прежде всего рассмотрим кратко некоторые известные факты
и положения теории случайных процессов (см. Дж. Дуб [1],
И. И. Гихман и А. В. Скороход [1]), лежащие в основа
дальнейших построений.
Измеримое пространство (Q, of) с нормированной
неотрицательной мерой Р называется вероятностным про-
пространством (Q, aF, P). Точки (oeQ называют элементар-
элементарными событиями, измеримые множества Seof — собы-
событиями, значения Р E) E s aF) — вероятностями этих
событий.
Пусть (X, Щ — измеримое пространство. Измеримое
отображение |: (й, «F)-»-(X, 23) называется случайной

314 ГЛ. VII. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЙ
величиной со значениями в X. Случайная величина ?
порождает в (X, 23) нормированную меру щ: щ(,б) =
= Р(|-1E)) и, следовательно, новое вероятностное про-
пространство (X, 23, Ц|). Мера ц% называется распределением
вероятностей случайной величины ?.
Пусть X — пространство, состоящее из функций x(t),
определенных на множестве Т и принимающих значения
в пространстве (Z, Щ. Случайная величина %: ю-»-|(/, ©)
со значениями в измеримом пространстве (X, 33), где
33 — ст-алгебра, содержащая алгебру ЗЗо цилиндрических
множеств, называется случайной функцией на Т со значе-
значениями в Z (случайным процессом, если Т~ конечный или
бесконечный интервал вещественной оси). Функции \(t, ю)
переменной t (w e Q) называют реализациями случайной
функции ?. При каждом t &T значение %t(ю) = %(t, ю)
предстажляет собой случайную величину со значениями
в Z. Для каждого конечного набора {ti,...,tn} (tke.T,
k=*l, ..., п) случайная величина Ц tn)="(l^ ht, •••
..., ltn) ^ Z" порождает распределение ц< < на 81я.
Всевозможные распределения такого вида образуют систему
конечномерных распределений случайной функции %(t).
Случайные функции ? и tj называются стохастически экви-
эквивалентными, если при каждом /еГ Р{ю: ?, (ю) = i}t (ю)} = 1 •
Очевидно, системы конечномерных распределений сто-
стохастически эквивалентных случайных функций совпадают.
Из результатов, изложенных в гл. I, следует, что
согласованная система конечномерных распределении при
достаточно широких предположениях о пространстве Z
определяет меру ц на минимальной а-алгебре 33 в X, поро-
порожденной цилиндрическими множествами. Иными словами,
система конечномерных распределений порождает случай-
случайную функцию | на Т со значениями в Z (в качестве веро-
вероятностного пространства можно выбрать (X, 23, ц)). Рас-
Рассматривая вместо 33 новую ст-алгебру, порожденную 8
и некоторым набором не входящих в 33 множеств, которым
приписывается нулевая мера, мы получим новую случай-
случайную функцию, стохастически эквивалентную | (модифи-
(модификацию |).
События Si, ..., Sn называются независимыми в сово-
П ^*)"" П Р (^*); ^-подалгебры
/ *i
/
ZaF (k=l, ..., п) называются независимыми, если
независимы любые наборы событий 5* в «Г* (А=*1,..., п).

I I. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ 315
С каждой совокупностью случайных величин ?Y (у е Г)
на (й, «Г) связана некоторая а-алгебра а^сгаГ—мини-
а^сгаГ—минимальная а-алгебра, относительно которой псе они изме-
измеримы. Известно (см. Дж. Дуб [1]), что для «F-измеримости
случайной величины ? необходимо и достаточно, чтобы
она была измеримой функцией совокупности %у. Наборы
/?v V/ s Г1/} (/ ¦» 1, ..., п) случайных величин называются
независимыми, если независимы а-алгебры, порождаемые
этими наборами. Легко видеть, что случайные величины
fх, . •., \п независимы в совокупности точно тогда, когда
порождаемые ими меры в произведении пространств есть
произведение распределений этих случайных величин.
Для случайной величины \ со значениями в банаховом
пространстве X определяется среднее значение
М|= Sl(«o)P(du>)
при условии, что М || 11 = $ || ?(ю)||Р (da>) <оо.
а
Случайные величины ? (о) еА, ц (о) е Y называются
некоррелированными, если М (%, <р) (ц, ^> = М {?, <р) М (ц, \|з>
(ф s X', Мр е У). Для пары (I; т)) случайных величин
с гауссовым распределением из некоррелированности легко
следует независимость.
Заметим, что для вычисления средних значений функ-
функционалов от случайной функции, определяемых ее значе-
значениями в конечном наборе точек, используются лишь
соответствующие конечномерные распределения. Иногда
благодаря этому можно по конечномерным распределе-
распределениям получать важные сведения о свойствах меры щ
в пространстве траекторий.
Теорема 1.1 (Колмогоров). Пусть ^(a^t<&) — слу-
случайный процесс со значениями в банаховом пространстве
X, конечномерные распределения которого обладают свой-
свойством
M{||i<+A,-Ue}*sCW+e (a>0, в>0).
Тозда существует модификация этого процесса, распреде-
распределение которой сосредоточено в пространстве непрерывных
функций С ([а, Ь], X).
Наметим идею доказательства. Процесс %t сужается на
множество То двоично-рациональных точек из Т. Дока-

316 ГЛ. VII. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЙ
зывается, что на Го почти все функции ? (t, a>) равномерно
непрерывны. Пространство равномерно непрерывных на
То функций каноническим образом изометрически изомо-
форно пространству С ([а, Ъ]), и этот изоморфизм порож-
порождает меру на С ([а, Ъ\), определяющую требуемую моди-
модификацию. ¦
Пусть аГх — а-подалгебра алгебры аГ. Пусть 1 —слу-
—случайная величина, для которой М|?|<оо. Она, вообще
говоря, не является aFj-измеримой. Из теоремы Радо-
Радона — Никодима следует существование аГ-измеримой слу-
случайной величины т), для которой
\ т, (ю) ф (ю) Р (do) = \Ъ (ю) ф (ю) Р (da>),
a q
где ф —любая ограниченная <^vизмеримая скалярная
функция. Эта случайная величина т] называется условным
средним I относительно <iFi и обозначается т) = М {l/efi} =
= Mjr %. Если aFi — минимальная а-алгебра, порожденная
семейством случайных величин ?а (а е Л), то т} называют
условным средним относительно этого семейства и обозна-
обозначают ц = М {i/^a, а е Л}. Эта величина — измеримая функ-
функция от ?а(аеЛ), ее значение при Ъа = ха обозначается
( 1, eeS,
л — о -"
М{Ша = ха, аеЛ}. Пусть /s(o) = < п _ -инди-
( ui to e о
катор события S. Его условное среднее обозначают
М {js/^il = P (S/a^i) и называют условной вероятностью
события S относительно «Г^
Условные средние обладают легко проверяемыми свой-
свойствами:
2) М {li\/fi\ = Ш {л/аГх}, если % - ^-измеримо,
в частности, М{^/аГ1} = ^,
3) М {l/<#~i\ = Ml, если I независима от eFu
4) М{М{?/аГ1/аГ2} = М{М{Е/аГ2}/аГ1} = М{|/аГ1}, при
1 2|
5) пусть \ измерима относительно <FX, а т) независима
от «TV Тогда М{/(?, т,) /^ = М {/ (х, т,)} |,.6.
Случайный процесс \t (a ^ t ^ Ь) со значениями в про-
пространстве X называется марковским, если для любых
s</i<C/2<•••<*» условное распределение случайной
величины (lti; ...; g,J относительно семейства случайных
величин ^("Ks) совпадают с ее условным распределе-

f 1. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ 817
нием относительно ?,:
Величина
называется переходной вероятностью процесса ^. Для
каждой пары $и/ она является измеримой функцией по
х и мерой относительно S. Из свойств условных матема-
математических ожиданий и определения марковского процесса
следует уравнение Чепмена—Колмогорова
Р (s, х, t, S) = J P (s, х, т, dy) P (т, у, t, a) (s<т<*)•
х
По переходным вероятностям и начальному распределе-
распределению p,je процесса легко восстанавливаются его конечно-
конечномерные распределения (см.глЛЛ).
2°. Стохастические интегралы. Построим в гильбер-
гильбертовом пространстве X важный для дальнейшего процесс,
который называют винеровским. Пусть В—ядерный опе-
оператор в X и (iBt — гауссова мера в X с нулевым средним
и корреляционным оператором tB it>0). Винеровским на-
назовем случайный процесс w (t) (to^t < оо) со значениями
в X, обладающий следующими свойствами:
1) при to^t1<.t2^ts<.tt приращения w(t^ — w(ts)
и w (ti) — w (tx) независимы,
2) случайная величина w(t-\-x) — w(t) имеет распреде-
распределение |лвт (для определенности положим w (io) = O). Легко
видеть, что w (t) — марковский процесс с переходной ве-
вероятностью
P(t, X, Т, S) = Hb(t
Из приведенных в гл. II формул следует, что
М1 w (t + т) - w (t) I2 =- т Тг В,
Последнее равенство, в силу теоремы 1.1, влечет сущест-
существование модификации винеровского процесса w (t), почти
все реализации которого являются непрерывными по t
функциями со значениями в X. Пространство X можно
реализовать как X = e/f-=> а%", где вложение /: о%"-»-е%^_
есть оператор Гильберта—Шмидта, причем сосредоточенное

318 ГЛ. VII. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЙ
в о/Г- гауссово распределение приращения w(t + x) — w(t)
имеет в &/Г корреляционный оператор I • т. Такой вине-
ровский процесс, почти все траектории которого непре-
непрерывны в <?%"-, назовем стандартным винеровским процес-
процессом в гильбертовом пространстве е/Г_. Далее всюду, без
оговорок, мы будем под винеровским понимать именно
этот процесс.
Пусть /е«г%" и 1/1=1. Так как (/, х) — измеримый
функционал на е%"_ (см. § 3, гл. II), то определен ска-
скалярный случайный процесс wf (t) — (f, w (t)), который, как
легко видеть, является винеровским процессом в R1. При
этом для /, g s «%" и s > t i> to w (t0) = 0:
Wwf (t) wg (s) =¦
— M(/, w(t))(g, w(t)) + M(f, w(t))(g, w(s) — w(t)) —
- (/. B) it ~ to) = (/, B) min (t - to, s - to). A.2)
В частности, для любого ортонормированного набора
{в|} с: е%" процессы wk (t) == wt (t) попарно некоррелиро-
ваны и (поскольку они гауссовы) независимы в совокуп-
совокупности. Если система полна в «2%", то
со
), A.8)
причем разложение сходится по норме «5Г_ в среднем
квадратичном.
Введем в рассмотрение поток о-алгебр, согласованный
с винеровским процессом w (t): монотонную совокупность
о-алгебр aft(t^O), такую, что при s^t случайная вели-
величина w(s) aF^-измерима, а при x>s^t w(x) — w(s)
независима от «F,. Будем кратко обозначать Mt% = М {l/aft}.
В дальнейшем часто встречаются средние от функций
вида /(?, w(t) — w(s)), где I ^-измерима. Как следует
из приведенных выше свойств условных средних, их
можно вычислить, используя формулу (при S!<s)
MJF, t»@-t»(s)) = M.,MJ/F, t»(O-t»(s))=-
~MSl \ f&, y)\iUt-s)(dy) =
X-
- \ MJft, zVt-s)\x(dz), A.4)
X-
где ц — каноническая гауссова мера в

$ 1. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ М
Предложение 1.1. Пусть w(t) —стандартныйвине-
ровский процесс в гильбертовом пространстве J%T, a Y (со),
Ф(со) — J~ ^-измеримые случайные величины со значениями
соответственно в пространствах L2 {<Ж, X) и L2 (XxX, Хг),
где'Х и Xi — некоторые гильбертовы пространства, причем
Mol (s) < оо, sup | Ф (со) | < оо.
Случайная величина Y [w (t2) — w (ti)\ со значениями в X
определена и удовлетворяет условиям
М,, Г? [г» (*,)-«> (*i)]) = О, A.5)
MtAyf[w(tt)-w(t1)]\t = a*(?)(tt-t1), A.6)
Мл Ф {? [w #,) - w (h) ], V [w (tt) - w (h)]} =
= (^-<1)Тг^*ФЧ'; A.7)
M/, IФ {Y [w (tt) - щ Ш Y[t» (tt) - w (t,)]} |« =
A.8)
Доказательство. Воспользуемся разложением A.3)
и рассмотрим
ал,р =
п + р
-= ? 2 ей [wk (tt) - wk аг)] = 2 И С.) - wk (h)] 4ek. A.9)
k — n k
Используя свойства условных средних, получаем
п + Р
t.k=n
m
Из этой формулы следует сходимость в среднем квадра-
квадратичном в X разложения A.5) для а)>0О = W[w(t2) — w^tj}].
Формула A.6) следует из A.10), если вместо М взять Mh-
Формулы A.7), A.8) в силу A.4) вытекают из формул § 2
гл. II для интегралов по гауссовой мере. ¦
Пусть X — некоторое гильбертово пространство. Рас-
Рассмотрим класс &С (X) случайных процессов В (t, со) (t e
е [t0, т]) со значениями в пространстве операторов Гиль-
Гильберта—Шмидта L2 («5Г, X), удовлетворяющих условиям
2) при каждом t^t0 величина B(t) <У^измерима.

320 ГЛ. VII. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЙ
Через Ж0(Х) обозначим подмножество $К(X), состоя-
состоящее из ступенчатых функций
B(t, co) = By((o) (tj*gt<t/+1; /=1,..., я),
где t0<t<....<.tn = т — какое-нибудь разбиение [t0, т].
Для операторов класса Ж0(Х) определим стохасти-
стохастический интеграл Ито формулой
& (В) = \ В @ dw @ = 2 В/ lw С/+0 - w Ш AЛ!)
<с /"=0
Из предложения 1.1 и независимости да (fy+i) — да (^)
от ff't следует, что это выражение имеет смысл, являет-
является случайной величиной со значениями в X и обладает
свойствами
- 2] M/.oS (В,) (*/ + 1 - ^) = \ M/jtrJ (В @) Л. A.12)
/«о /о
Формулы A.11) —A.12) показывают, что е7(В) явля-
является линейным оператором на ^(¦Х) со значениями
в пространстве случайных величин ^>^=X2(Q, X), непре-
непрерывным (и даже изометричным в нормах р (В) и Щ^В) |||).
Стандартным образом этот оператор распространяется на
класс Ж(X), в котором ?%"о(Х) плотно в норме р.
Полученный таким образом оператор «7, действующий
из Ж (X) в §, по-прежнему называется стохастическим
интегралом и обозначается
Он, как следует из построения, обладает (с вероятностью,
равной единице) свойствами:
а) & (c^Bi + а2В2) = ах3 (В^ + <щ?? (В2)
при ^„-измеримых и ограниченных ах (со), at (со);
6)Md?(B) 0
М/. \& (В)Р - j M/. a| (В @)Л; A.13)
1 оо х
в) ^B(Odte;(O = 2 5В @ е* da;* (Oi О-14)
to k == 1 ta

§ 1. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ 821
оо
где w (t) = ? ekwk (t) — разложение A.3) и A.14) —схо-
дится в среднем квадратичном в X.
Предложение 1.2. Пусть В (t, со) — случайная вели-
величина со значениями в L(X) и sup}B(t, ю)|| <С, As
t, ю
eL2 (а%", X). Рассмотрим разбиение io<^i < ¦ ¦. <^п=т, где
Д/ = ^+1 —/r = ^-S, и пусть Arw = w(tr+i) — w(tr). Имеет
место соотношение (в смысле сходимости по вероятности)
п — \ х
lim 2] (В С» <о)АДгоу, A Arw) = \ Tr А*В (/, щ)АЛ.
я —1
Док азате льство. Обозначим 6„= 2] (Вft-, ю)А ДГО),
Агш). Тогда
я-1
М<
п—I
Поэтому
Остается показать, что
limMfb»-jTrA*B(OAd/) =0, A.15)
¦со \ I
так как тогда утверждение теоремы следует из неравен-
неравенства Чебышева
PjL,-jTrA*B(QAdf
*
-р-М 6n-j
Соотношения A.15) выводятся путем непосредственного
вычисления при помощи оценок A.7) —A.8). ¦
11 Ю. Л. Далецкий, С. В. Фомин

322 ГЛ. VII. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЙ
3°. Формула Ито. Стохастический интеграл g перемен-
переменным верхним пределом определяется формулой
J В (*, (о) dw (t, (о) = ] js (t) В (t, (о) dw (t, (o),
t, t.
где /,(t) — индикатор интервала [t0, s]. Пусть a(t, со) —
вЯ"гизмеримая функция со значениями в X, такая что
и ?с,е X — «Г<0-измеримая случайная величина. О случай-
случайном процессе вида
t
t(t, со) = |о(со) + $ a(s, oj)ds + 5B(s, oj)da;(s, ю) A.16)
говорят, что он обладает стохастическим дифференциалом,
который записывается в виде
al = a(t, at)dt + B(t, «>)dw(t, ©).
Рассмотрим случайный процесс x](t) = f(t, %(t))t где
y = f(t, x) (t^[t0, т], хеХ)-функция со значениями
в гильбертовом пространстве Y. Следующая теорема уста-
устанавливает формулу Ито для стохастического дифферен-
дифференциала процесса х\ (t).
Теорема 1.2. Пусть производные f't(t, x), f'x(t, x),
f"xx{t, x) непрерывны и ограничены. Тогда
4(t)=f(to, io)
+ fx(s, I (s)) a (s) + \ It В * (s) f'xx (s, I (s)) В (s)} ds +
(s, 6(s))B(s)dt»(s). A.17)
Доказательство. Левая и правая части формул
A.17) линейны относительно / и непрерывны относительно ?
в смысле сходимости в среднем квадратичном. На этом
основании можно провести редукцию к более простому
случаю. Достаточно рассмотреть ступенчатые случайные

§ 1. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
323
функции a(t, со), В {t, со), и кроме того, достаточно малый
интервал [t0, t), на котором эти функции постоянны:
B(t, со) = В (со), a(t, со) = а (со) и ^-измеримы. Далее,
достаточно считать функцию f(t, х) скалярной, так как
общий случай сводится к этому путем применения произ-
произвольного линейного функционала. Наконец, путем аппрок-
аппроксимации / (t, х) функциями вида ? q>/ (t) i|); (x) задача сво-
сводится к рассмотрению функций /(%), не зависящих от t.
Пусть, таким образом, |(s, со) = ?0 + a(w)(s — *о) +
+ В [w (s) — w (t0)] (to^s<t) и t](s) = /(?(s)). Рассмотрим
разбиение to<.Si<.... <.sn = t и пусть
sr, Arw = w(sr+1)-w(sr),
ДД = a Asr + В Arw.
Используя формулу Тейлора, получим представление
Ч @ ~ П (to) = 2 V (^+0 - / (W = «i + «2 + о,,,
где
л —1
=4 2
я —1 1
«з= I] $A-в)([ПЬ-+вД6г)-/"
r = 00
Нетрудно проверить, что при рассматриваемых условиях
limai = (/'(&(s))d&(s) =
t
<*№) + $ /'(S (s)) В Аю (s).
Точно так же при помощи предложения 1.2 получаем, что
11*

324 ГЛ. VII. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЙ
Для завершения доказательства теоремы достаточно пока-
показать, что lim ocg = O. При помощи формулы A.4) получим;
л-*оо
л —1 1
.? $A-9)
0
0 0
- Г Or)]) (a Asr + Вг V~&r, a Asr + Вг УЩ \ ц, (dz) db
+ В (w (sr) - w (t0)) + Ьа As, + Вг
Г do + a (sr -10) + B(w {sr) - w (to)) I |i, (dz)
r=° _
Вы Vs,-to + 9a
где C = C(co) «?"<„-измерима.
Для получения нужного результата достаточно пока-
показать, что при max | Asr | —>-0 двойной интеграл по e%"_xe%"_
в правой части стремится к нулю равномерно относи-
относительно sfteG0, t]. Это делается стандартным образом
путем выделения из «%"_х«%"_ компакта, на котором
е точностью до заданного малого в>0 сосредоточена
мера (I+\Bz^)iii(dz)Hi(du), и иопользования равномер-
равномерной непрерывности функции f на компактных множе-
множествах. ¦
При помощи формулы Ито удобно проводится оценка
моментов стохастических интегралов.
Предложение 1.3. пусть B(t)&3%(X) и
to
Тогда справедлива оценка
м|( в (ол» i
i
т(В @)dL A Л8)

§ 1. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ ' 325
Доказательство. Применим формулу Ито к про-
процессу S@ = 5 B(s)dw(s) и функции f(x) = \xfm. Нетрудно
провести оценку
из которой следует, что ТгВ*/"В= 2 (f"(x)Bek,
«S т Bт — 1) J х ft"»-1» al (В). Из формулы Ито следует
+ J(B*(s)/'F(s)), dw(s))[ = 1 J MTrB*(s)/'F(s))B(s)A.
Из A.19) следует положительность оператора f" и потому
МIS @12m монотонно возрастает по t.
Применяя неравенство Гёльдера, получаем
т
М | Б (т) Г ^ mB"~1} J М | Б @12""' al (В @) Л <
'о
| М | Б @ Г 4 m К Мо32т (В @) dt\ <
что после сокращения и возведения в степень дает A.18). ¦
Следствие 1.1. При т = 2 оценка A.18) имеет вид
М | В (/) йш (/) I4 ^ 9 (т - to) I Mai (В @) dt.
Из этой оценки и теоремы 1.1 следует непрерывность по
t
верхнему пределу стохастического интеграла J В (t) dw (t)
и
при условии, что Mai (A (*))< С < со.

326 ГЛ. VII. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЙ
§ 2. Стохастические дифференциальные уравнения
1°. Уравнение с ограниченными операторами. Пусть
и X — гильбертовы пространства, a a(t, х) и B(t, х)—
измеримые функции на [t0, т]хХ со значениями соответ-
соответственно в X и L2(e%", X).
Уравнение вида
t, l(t))dw(t) (*0«*<т), B.1)
где w (t) — стандартный винеровский процесс в «¦%¦", назо-
назовем стохастическим дифференциальным уравнением.
Решением этого уравнения называется случайный про-
процесс l(t, о), подчиненный согласованному с w(t) потоку
а-алгебр «F, (т. е. l(t, со) «Г,-измерима), обладающий на
[t0, x] стохастическим дифференциалом B.1).
Таким образом, по определению для решения |(?)
уравнения B.1) должно выполняться соотношение
{в(В, I(В))dw(В) (f,<s</<T), B.2)
в частности, должны иметь смысл входящие в это соотно-
соотношение интегралы.
Отметим, что при В «О уравнение B.1) превращается
в обыкновенное дифференциальное уравнение
¦fl(*. Б@).
решение которого может оказаться случайным только
из-за случайности начального значения ?(*<>).
Введем в рассмотрение банахово пространство Sp изме-
измеримых согласованных с потоком <ft случайных функций
| (/, а>) (/ е [*0, т], © е Й) со значениями в X с нормой
p
Г'о. Т)
Будем говорить, что функция f(t, x) (t e [t0, т], хеХ)
со значениями в банаховом пространстве Y удовлетво-
удовлетворяет условию R(Y), и записывать /е#(У), если спра-

' § 2. СТОХАСТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ 827
ведливы неравенства
\f(t, «OKCi + CI^U.
\f(t, xt)-f(t, xi)Ik^C21 %г-xi\x B.3)
(/ e= [/<>, t], jcx, x2 e= X),
где Сь C2 — некоторые постоянные.
Предложение 2.1. Пусть oeR(X), Be
e=R(L2(<^r, X)). Тогда формула
т) @ = G&) (t) = $ а F, ? F)) d9 + J В (9, g F)) do> F) B.4)
определяет непрерьсвное отображение в каждом простран-
пространстве Sinf
Доказательство. Из формулы B.4) очевидно, что
вместе с ? (t) и r\ (t) подчинен потоку J2",. Из B.4) и ус-
условий B.3) легко следуют при помощи A.18) оценки вида
МI т) @ pm *s С\ 1 + 5 М || Б (б) |Г do} B.5)
и
МI % @ - Гц (О Р» < С \ МI g2 F) - Ь F) |*» dB, B.6)
где постоянная С зависит от т, (x — t0) и постоянных,
входящих в условия R для коэффициентов а и В. Эти
оценки и доказывают предложение. ¦
Теорема 2.1. Пусть at=R(X), Ве=/?A2(о5Г, X)).
Тогда задача Коши для уравнения B.1) с начальным зна-
значением go e S2m имеет в пространстве S2m решение I (t),
единственное с точностью до стохастической эквивален-
эквивалентности. Это решение имеет непрерывную с вероятностью,
равной единице, модификацию.
Случайный процесс |(?) является марковским и его
вероятности перехода определяются формулой P(t,x, s, Д) =
— Р {It,х (s) е А}, где Б/,х(s) — решение уравнения
h,*(s)=x + ]a(B, Б«.ж(в))^е + {в(е, Б«.,(в))Л»(е). B.7)
Доказательство. Рассматриваемая задача Коши
эквивалентна уравнению

328 ГЛ. VII. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИИ
В силу предложения 2.1 отображение G действует в S2m
и подчиняется вытекающей из B.6) оценке
М»& (Б.) (О - б (БО (/) |*» < с 5 М»Ъ (б) -
и
Итерируя эту оценку, получаем
< С \ М«G (Б,) F) - G (БО F) р» d6 ^
t e
и далее по индукции
IGr (Б,) - G' (БО 12т < СГ(тг7<о)Г I ^ - Ь Г-
Так как при достаточно большом г выполняется неравен-
неравенство —-~ < 1, то соответствующее отображение G'
ярляется сжимающим. Это влечет существование единст-
единственной неподвижной точки отображения G, т. е. един-
единственного (если отождествлять процессы \\ и Ба'
с ||i —121 = 0, т. е. стохастически эквивалентные процессы)
решения задачи B.8).
Существование непрерывной модификации следует из
оценки
М | Б @ - Б (s) \ш < Сх (t - s)m A +1Б Г), B.9)
которая получается из B.2) при помощи оценки A.18).
Для доказательства последнего утверждения заметим,
что g(s) и S/,6(/)(s) совпадают почти наверное как реше-
решения одного и того же стохастического уравнения. По по-
построению lt,x{s) не зависит от <Pt и ?(/). Поэтому из
свойств условных средних следует, что для любой ^-из-
^-измеримой случайной величины if и ограниченной измеримой /
Б(s)) = ММ/ф/(Ъ,ш Ш = Мф {Щ (Ь.ж(s))} U_s
Отсюда следует, что M^(|(s)) зависит лишь от ?(*)и при
$(t) = x сорпздает с Mf($())

§ 2. СТОХАСТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ 329
Замечание 2.1. Доказательство существования и
единственности решения без изменения распространяется
на более общие интегральные уравнения вида
Б @ = Бо @ + {а (*, s, I (s)) ds + \ В (/, s, I (s)) </ш (s), B.10)
(о 'о
где ?0eS2/n, a а(*, s, #), B(f, s, x) по-прежнему удов-
удовлетворяют условиям R при t, se[/0) т], zeX.
Получим некоторые априорные оценки поведения ре-
решений стохастического уравнения B.1), которые будут
использованы впоследствии.
Предложение 2.2. Пусть выполнены условия
oJ(B(/, JOXCx + CUp, (x, a(t, ^X
(/ s Po, t], a: s X).
Тогда для решения уравнения B.1) справедливы оценки
B.11)
Доказательство. Вычисляя при помощи формулы
Ито стохастический дифференциал случайной функции
|Б(ОР» получаем соотношение
(fl(e, Б (в)),
+2 ((Б(в), в (в, Б(в)))<й»(в),
из которого следует оценка
М/. | Б @ Р < I Ео I2 + 3d (/ -10) + \ Bр + СО М,. 11 (9) р dB,
приводящая к нужному результату путем использова-
использования неравенства Гронуолла. Вторая оценка получается
таким же образом из аналогичного соотношения для
ШОР- ¦
Следствие 2.1. При достаточно большом по абсо-
абсолютной величине Р < 0 на сколь угодно большом проме-
промежутке [t0, т] выполняется оценка
вир.М|Б(ОР<«>. '

330 ГЛ. VII. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЙ
Предложение 2.3. Пусть выполнены условия
at(B(t, x2)-B(t,
(х2-хь a(t, xz)-a(t,
Тогда для разности пары решений уравнений B.1) спра-
справедливы оценки
Mr, I h (t) - ti (t) li4 < eW + 6C«»« " '•) 1 ?20 - Ею I*. ' ^
Доказательство этого предложения аналогично пре-
предыдущему.
2°. Уравнения с неограниченным оператором. В этом
пункте мы рассмотрим стохастическое уравнение B.1) при
более сложных предположениях о коэффициентах. Пусть
a(t, x) = ao(t)x + a1(t, x), B.14)
где ai(t, x)e.R(X), a a0(t) — неограниченный произво-
производящий оператор сильно-непрерывного эволюционного се-
семейства линейных операторов U (t, s) в X:
?UlbA , s)x, U(s, s)x = x (t>s).
Для простоты будем считать область определения D =
= Da, {() постоянной. Представляет интерес рассмотрение
двух вариантов:
а) «параболический» вариант, когда выполнены условия
^t^x); BЛ5)
б) «гиперболический» — при условиях:
Хорошо известны различные достаточные условия (см.
С. Г. Крейн [1]), при которых существует эволюционное
семейство U (t, s), удовлетворяющее оценке типа B.15) или
B.151). Например, можно считать в случае а) оператор ao(t)
самосопряженным, полуограниченным сверху и сильно
дифференцируемым на области определения. При этом
дробные степени а™ определяются обычным образом, как
функции самосопряженного оператора, а в случае б) удобно

§ 2. СТОХАСТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
331
рассматривать оператор вида Оо@ = ib(t), где b (t) — сильно-
сильнодифференцируем и самосопряжен. Эти условия, однако,
для ряда задач слишком стеснительны. Чтобы не загро-
загромождать изложение, мы не будем приводить другие усло-
условия, используя лишь оценки B.15) или B.151) (см. также
гл. VI).
Мы рассмотрим подробно первый вариант, кратко ука-
указав на результаты, получающиеся во втором.
Рассмотрим, прежде всего, линейное неоднородное
уравнение
dZ(t) = ao(t)l(t)cU + dr](t), ? ft,) = &>, B.16)
где f](t) — случайный процесс со стохастическим дифферен-
дифференциалом dx\ = di (/) dt + В (t) dw (t). Это уравнение имеет
при данном ?0 не более одного решения %(t)^D (t>t0),
так как таким свойством обладает соответствующее одно-
однородное уравнение (единственное решение которого | (t) =
= U(*. /0) go).
Из общей теории эволюционных уравнений следует,
что решение B.16) должно иметь вид
+ J U (*, s) ax (s) ds+ J U (t, s) В (s) dw (s). B.17)
Ниже будут указаны достаточные условия, при кото-
которых процесс ?(/) B.17) действительно имеет стохастиче-
стохастический дифференциал, удовлетворяющий B.16).
Предложение 2.4. Пусть а*(а& (s) В (s)) ^С,
( i)
Доказательство. Достаточно проверить сущест-
существование интегралов в представлении
aoa @1 (t) = aoa (О U (*, U) g, + J a? (Q U (/, s) ax (s) ds +
(tt s)B{s)dw(s).

332 ГЛ. VII, ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЙ
Из оценки B.15) следует при рассматриваемых условиях,
что
/, S)B(s))<[oj@U(/, s)a-P(s)f X
т. е. подынтегральные выражения имеют интегрируемые
особенности в точке s = /. ¦
Предложение 2.5. При условиях предложения 2.4
выражение
a(t, At) = A&-AM-[U(t + At, t)-l]l(t),
где A& = t(t + At)-t(t), Д/т) = т)(< + M)-i\(t), удовлет-
удовлетворяет оценкам
\M/a(t,
М/|о(/, At)-M<a(t,
Доказательство. Из B.17) следует представление
, 06@+
t
которое дает
a it, At) = J [U (* + At, s) -1] {fll (s) ds + B (s) dw (s)}.
X
При этом
1 I
5 [U (* + Д*, s) - I] Ma (s) ds
так как из A.15) следует, что |[Щ/ + Д/, s) — I]a-fc| =
= О (Д/Р>). Далее имеем
J

( '5 2. СТОХАСТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ 333
]
откуда следует
\\[U(t+At, s)-l]a-f><(s)fds +
+ 2 $ ol([U(t + At, s)-IJ В (s))ds<;
^d (MJ + P' + C% (Д/I + P« ^ Са (ДО1 + Л. ¦
Теорема 2.2, Яри условиях предложения 2.4 для
а = 1 (Р>у, Pi>OJ для каждого t>t0 (a eMu%0^Dao,
то при t Ss to) случайный процесс g @ из B.17) имеет стоха-
стохастический дифференциал и удовлетворяет уравнению B.16).
Доказательство. Рассмотрим разбиение t<ti<....
д л
,..<;;„ = 9, tk+1 — tk = Д/ft = —jp. Покажем, что величина
п—1
<х= 2 а(**> ^^ft) стремится к нулю по вероятности при
*= о
п->оо. Действительно,
/г —1
 |о(/*, Д/*)-М/йо(/*, Atk)f+2M
fc«=o /
М(^ Д/), а )
-М
Поэтому в смысле сходимости по вероятности
-6(9-fo@)-T|(O]« Hm 
и нетрудно проверить, что при рассматриваемых условиях

334 ГЛ. VII. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЙ )
(е>0) и предел правой части есть
9
$Oo(s)?(s)ds. B
<
Перейдем к рассмотрению стохастического дифферен-
дифференциального уравнения
B(t, l(t))dw(t),
6 С.)-6» (Л8)
Под его решением будет пониматься случайный про-
процесс l(t), значения которого при t>t0 принадлежат D,
имеющий стохастический дифференциал, выражающийся
формулой B,18).
Будем искать решение B.18) в виде выражения
типа B.17):
E@ = U(*. *oNo+ JU(/, s)ul(s, l(s))ds +
и
+ \U(t, s)B(s,t(s))dw(s). B.19)
Если выполнены условия
sup jj flP. (s) п1 (s, х) | < oo (Pj > 0),
sup of (flP (s) В (s, x)) < oo (P > 1/2), B0)
то, в силу теоремы 2.2, решение B.19), если оно сущест-
существует, удовлетворяет и B.18).
Уравнение B.19) является частным случаем уравне-
уравнения B.10), и, в силу замечания 2.1, имеет решение
(и притом единственное с точностью до стохастической
эквивалентности). Это решение при рассматриваемых
условиях удовлетворяет и B.18) и является марковским
процессом, так как доказательство марковости в теореме
2.1 использовало лишь вид стохастического дифферен-
дифференциала процесса, а не свойства коэффициентов уравнения.
Таким образом, имеет место следующий результат.
Теорема 2.3. Пусть коэффициенты уравнения B.18)
удовлетворяют условиям B.15), B.20) и ai^R(X), Be
е R (Li фГ, X)). Тогда существует единственный (с точно-
точностью до эквивалентности) почти наверное непрерывный слу-
случайный процесс I (t) со значениями в Dao (при t>t0), являю-
являющийся решением B.18) при t >fe {а для ?0 е Da, и при t «¦ t^.

$ 2. СТОХАСТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ 335
Этот процесс удовлетворяет при />/<>« уравнению B.19).
Процесс l(t) является марковским, и его вероятности
перехода вычисляются так же, как и в теореме 2.1.
Замечание 2.2. Уравнение B.19) может иметь
решение в пространстве X и в том случае, если опера-
оператор В не является оператором Гильберта — Шмидта, так
как условие U (t, s) В (s) e R {Li (e%", А")) может выпол-
выполняться за счет соответствующих свойств оператора U(t, s),
если только при t = s сг| (U (t, s)) имеет интегрируемую
особенность.
Замечание 2.3. В «гиперболической ситуации»,
когда условие B.15) заменяется условием B.151), резуль-
результаты теоремы 2.3 сохраняются для р = р\ = а= 1 при ?0 s
е ?>„„• Легко проверить, что все доказательства при этом
сохраняются.
Замечание 2.4. Как следует из доказательства
теоремы 2.1, решения стохастических уравнений типа B.1),
B.10) можно получить методом последовательных прибли-
приближений. Это относится и к уравнению B.19). Легко видеть,
что процесс последовательных приближений для послед-
последнего соответствует процессу
= ох (*,. fcc-1* @) Я + В (*, ?<-« @) dw (t)
для уравнения B.18). Полученная из этого рекуррентного
соотношения последовательность ?(n> (t) сходится, таким
образом, к решению уравнения B.18).
3°. Уравнения со случайными коэффициентами. Рассмот-
Рассмотрим теперь стохастическое уравнение B.1), коэффициенты
которого a(t, x) и В (t, x) являются случайными функ-
функциями, согласованными с потоком cr-алгебр «F<.
Имеется один простой случай, когда все рассуждения,
приведенные при доказательстве существования и един-
единственности решения в теореме 2.1, полностью сохраняются.
Предложение 2.6. Пусть a^R(X), Be
e/?(L8(«$T, X)) почти наверное о постоянными Си С2,
не зависящими от случая. Если при атом ?0 (t) e 5гт,
то уравнение
I @ = So @ + 5 а (s» I (s» & + J В (s, E (s)) dw (s) B.21)
имеет в Sim одно и только одно решение.

336 ГЛ. VII. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЯ I
Однако теорема 2.2 не переносится на рассматривае-
рассматриваемый случай, поскольку эволюционное семейство U (t, s)
оказывается случайным и, таким образом, нарушается
согласованность коэффициентов уравнения B.19) с пото-
потоком «F/.
В связи с этим мы используем другой метод исследо-
исследования уравнения с коэффициентами вида B.13).
Пусть а0 (О, вообще говоря, — неограниченный случай-
случайный оператор, область определения D которого не зави-
зависит от t, почти наверное удовлетворяющий условию дис-
сипативности
(x,[ao(t)+a*0(t)]x)^0 B.22)
и оценке
(ReJ^0) B-23)
с неслучайной постоянной С.
Будем говорить, что некоторая функция f(t, х) со значе-
значениями в X удовлетворяет условию Gk(a0), если почти
наверное выполняется условие
H> a-i(t)x2)-f(t, a-'@*i)]l<C|*-*i| B-24)
(/=1, 2,..,, k).
Предположим, что при каждом х е D случайный процесс
ao(t)x обладает стохастическим дифференциалом
, dw(t)), B.25)
) линейно з
ие
sup {I bo (t) а? @|,| а„ @ bo @ а;* @1, | р @1, | Pi @1}
где bo(t)x^X, fcx(О*s La(<^Г, X) линейно зависят
от х е D, причем выполняется условие
B.26)
почти наверное с неслучайной постоянной С.
Здесь р @, Pi @ — билинейные операторы, определяе-
определяемые соотношениями
Р@(*. А) = Мао" (9*. h),
Pi @ (jc. A) = 00@*1(^@*. h). {г'г1)
Отметим, что, как следует из B.26), операторы
(р @ х) (ft) = р (/) (х, ft) и (Рх @ х) (ft) - Pi @ (х, ft) при фикси-

§ 2. СТОХАСТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ 337
рованном ieA являются по h e (Ж операторами Гиль-
Гильберта— Шмидта из s5f* в X.
Пусть а<"> (t) = — ha0 (t) (а„ (t) - nl)-1 (n = 1, 2,...). Опе-
Операторы a?"> (t) почти наверное ограничены, коммутируют
с ao(t), удовлетворяют условию диссипативности B.22)
и аппроксимируют ao(t) почти наверное:
Уравнение
go» @ = g (t0) + {К' (s) Iм (s) + a, (s, g<»> (s))] ds +
1
+ 5 B(s, g«») (s)) dtw (s) B.28)
находится в условиях предложения 2.6 и потому имеет
решение ?(я) @ (t^t0).
Ниже будут выяснены условия, при которых после-
последовательность Iм (t) сходится к решению уравнения
g (t) = t (to) + $ [flo E (s)) + fli (s, g (s)) ] ds +
+ jB(s, g(s))d»(s). B.29)
Лемма 2.1. Пусть ax(t, x) и В(/, х) удовлетворяют
условию G2(a0) как зле менты пространств X и La (ъЯГ, X)
соответственно. Пусть далее выполнены оценки B.26).
Тогда Iм (t) e Da*v) и
Доказательство. Вычислим сначала формально
стохастический дифференциал случайного процесса
т)(п) (t) = al (t) Iм (t). При помощи формулы Ито нетрудно
показать, что
@. B-30)
где
Y (*, х) = а§ @ a, (t, a? (t) х) + Ьо (t) a? (t)x +
+ао @ Ьо @ оо (t)x + Tr {р (/) ® 0$ @ В (/, о,-' @ х) +
+ Pi @ О о? @ В (/, о,- @ дс) + Р @ <g> Pi @ 4

338 ГЛ. VII. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЙ
и Г(/, x) = al(t)B(t, a^(t)x) + $(t)x + $1(t)x. Здесь через
(J ® S, где Se L2 (©%", X), обозначен билинейный опера-
оператор (P(8)S)(/ilt /i2) = P(S/ii, h2). При рассматриваемых
условиях Tr (P (g) S) существует и является элементом X
(см. гл. IV).
Полученное соотношение можно рассматривать как
стохастическое уравнение относительно т](п)(9, которое
при рассматриваемых условиях имеет решение т)(п) (i) e
е! При этом для I(n)(9==ao2(9T)(n)(9 нетрудно полу-
получить исходное уравнение B.28) (напомним, что оператор
Яо' ограничен) и начальное условие ?0 = ^о2 (*о) т)(п) (*о) s
е Dai у,). Из единственности решения следует, что l(n) (t) =
= ?(п)@. и> таким образом, при ^е^к.) также и
|W @ е Da? (/) и т)(«) @ - о,* @ 5«»> (О-
Утверждение леммы теперь уже следует из оценки
B.12) для уравнения B.30). ¦
Лемма 2.2. При условиях леммы 2.1 последователь-
последовательность Iм (t) сходится в среднем квадратичном.
Доказательство. Вычислим стохастический диф-
дифференциал разности
= a(«) @ [g<»> @ - go @] ей + [a, (/, gt») @) -
Из формулы Ито выводим
=- 2 (ay) @ [g(») @ - gW @], [g<»> @ - ?<"> Щ dt +
g«»>@)-fli(<, g(B)@). g(m)@-6(")@)*+
@ - aj"» @j a0-3 @ ti<»> @. ?(m) @ ~ l(n) @) Л +
+ al(B(t, gt»>(O)-B(<, g<
Если это соотношение проинтегрировать, усреднить и
воспользоваться свойствами коэффициентов, то получится
оценка
М | ?<»> (9 - g«»> (9 Р < С $ М || g(m) (9) - gw (9) 1» d9 +
+ J M J [a<«> (8) - flW (9)] op" (9) Л(») (9) f Л.
и

§ 2. СТОХАСТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ 339
При помощи неравенства Гронуола отсюда следует со-
соотношение
М11(т) @ - 6<"> (О I3 «S ес «-«(* - /0) sup М || V») (9) Р X
которое доказывает лемму, так как
т, п-+со
Теорема 2.4. При условиях леммы 2.1 уравнение
B.29) с начальным значением S (М ^ Д^ »„> имеет реше-
ние, единственное с точностью до стохастической эквива-
эквивалентности. Это решение подчиняется оценкам B.11),
B.12) и потому по непрерывности продолжается на про-
произвольное ? (t0) e <а%".
Доказательство. Рассмотрим гильбертово про-
пространство случайных функций со скалярным произведе-
т
нием (?i, ?2) = § М (?i (9, 62 (9)^- В этом пространстве
и
построенная выше последовательность сходится к некото-
некоторой функции l(t), а последовательность ао(96л(9 огРа'
ничена, т. е. слабо компактна. Если т) (t) — какая-либо
ее предельная точка, то из ограниченности 0^(9 следует,
что а? (9 Л (9 = 6(9-
Поэтому g(9sD и л(9 = а»(96(9вНтао(96«(9-
Переходя к пределу в уравнении B.28), получим для l(t)
уравнение B.29).
Если теперь g (t) — какое-либо решение последнего
уравнения, то для разности 6(9~6я(9 так же> как и
в лемме 2.2, получаются оценки, показывающие, что
?(f) = lim&,(9, откуда и следует единственность решения.
Остальные утверждения теоремы доказываются, как и
для уравнений с ограниченными коэффициентами, ш
Замечание 2.5. Рассуждения упрощаются, если
оператор Оо(9 почти наверное ограничен, хотя и не огра-
ограничен равномерно неслучайной постоянной. В этом случае
оказывается, что достаточно воспользоваться сходимостью
последовательности |'а<л) (t) — а<от) (t) J в каком-нибудь смыс-
смысле (например, М1 aW (t) — a(m> (t)f ->-0) и равномерной
ограниченностью М||?(л)@!!4-
Условия леммы 2.1 оказывается при этом излишними.
Достаточно предположить, что выполнено условие дис-

340 ГЛ. VII. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЯ
сипативности B.22) и оценка типа
М 1 МО II4 < const,
а также обычные требования B.3) относительно коэф-
коэффициентов flj и Л.
§ 3. Операторные мультипликативные функционалы
и порождаемые ими эволюционные семейства
1°. Основные определения. Пусть ? (t) (t0 e [/0. t]) — мар-
марковский случайный процесс на (Q, «F, Р) со значениями
в измеримом пространстве (X, аГд) (Д cr [t0, т]), где аГд
— минимальная а-алгебра, относительно которой измери-
измеримы случайные величины ? (t) (/еД), >Уt = <У\и, п-
Рассмотрим гильбертово пространство Ж. Пусть
ъйГ (Ж") — гильбертово пространство случайных величин
на (Q, аГ) со значениями в К и нормой |?|2 = МЦ?||у,
е2Гд —подпространство, состоящее из еГд-измеримых слу-
случайных величин, ,2%^ = s%"[f0, ц.
Определение 3.1. Операторным мультипликатив-
мультипликативным функционалом от процесса ? (t) назовем семейство
Т(?, s) (s^t, s, t &[t0, т]), состоящее из линейных
ограниченных операторов: Т(?, s); а№',-*-«^*<, удовлетво-
удовлетворяющее условию Т (t, s)y e ^T[S, t] (у е Y), соотношению
мультипликативности
-Y(t,t) = l, T(*. s)-T(<, 0)T@, s) (s<0<0 C.1)
и оценке
М, {|Т(<. s)tilV}<ChlV (ле^,), C.2)
где С — какая-нибудь не случайная постоянная.
Пример 3.1. Пусть Т(?, s, со) — система случайных
величин на Q со значениями в пространстве L(Y), удов-
удовлетворяющих почти наверное C.1) и равномерно ограни-
ограниченных неслучайной постоянной,
Если, к тому же, Т (t, s, <в) «F[S, ^-измерима, то она
по формуле
Т(/, s, со)т)(©)
определяет операторный мультипликативный функционал.
Такие операторные мультипликативные функционалы
мы будем называть равномерными. Ниже выяснится, что
не все мультипликативные операторные функционалы
равномерны.

§ 3. МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ 841
Рассмотрим пространство V (X, К) ограниченных, изме-
измеримых функций на X со значениями в Y.
Теорема 3.1. Пусть Т — операторный мультиплика-
мультипликативный функционал от марковского процесса %(t). Соотно-
Соотношение
(у, U {$, t) f (х))у = М {(Т (t. s) у, f (Б @))у/6 {s) = х}
(y<=Y,x<=X)
определяет в пространстве V(X, Y) эволюционное семей-
семейство ограниченных операторов U(s, t):
s, t)U(t, 0-U(s, 0-
Доказательство. Для у е Y T(t, s)y^<Wt и
потому является случайной величиной со значениями в Y.
Поэтому правая часть C.3) имеет смысл. Из C.2) сле-
следует оценка
|M{(T(f, s)y, / (Б (/)))W6(s) = *}!**?
^ М {I T (f, s) у р/Б (s) = х) М {I / (I @) Р/Б (s) = х} <
C.4)
показывающая, что правая часть C.3) является (завися-
(зависящим от х) линейным функционалом на У. Этот линейный
функционал определяет некоторый элемент Y, который
мы и обозначаем U (s, t)f(x). Ограниченность (очевидно,
линейного) оператора U(s, 0 следует из оценки C.4).
Рассмотрим теперь соотношение
(у, U(а, 0/(Б(а)))у = М{(Т(*, а) у, ПШУ^а)}.
следующее из C.3) и марковости процесса Б- В него
можно подставить вместо у «Fj-измеримую случайную
величину у = Т(а, s)y0:
(Т(а, s)y0, (U(a,
= М {(Т (t, о) Т (a, s) уь,
^, s)y0,
Усредняя почленно при условии Б (s) = x, получаем свой-
свойство эволюционности:
О/о, U (s, 0 f (х)) = М {(Т(<, s) (/о, / (Б
-М{(Т(а, в)у0, U (а, ОМ
-0ft., U (в, a) U (а, 0 /(*»•

342 ГЛ. VII. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЯ
Замечание 3.1. Если Т — равномерный операторный
мультипликативный функционал, то
U (s, 0 / (*) = М {Т* (t, s) f (t (№ (s) = x\ C.5)
2°. Обыкновенные линейные уравнения. Мультиплика-
Мультипликативные функционалы от марковского процесса естественно
возникают как решения линейных дифференциальных
уравнений с коэффициентами, зависящими от этого про
цесса. Рассмотрим сначала более простой рариант, когда
уравнение обыкновенное, а не стохастическое.
Предложение 3.1. Пусть ? (?) (x^t^zt0) — марков-
марковский случайный процесс в пространстве X, почти навер-
наверное непрерывный и остающийся в Х\М, где М — некото-
некоторое подмножество в X. Пусть c(t, x) — непрерывная на
[^о,т]х[Х\М] функция со значениями в L(Y), удовлетво-
удовлетворяющая условию
([с (t, х) + с* (t, х)] ф, Ф), ^ а || Фр (Ф е Y). C.6)
Тогда решение дифференциального уравнения
?=c(t,t(t))u, ыE) = г|) C.7)
определяет равномерный операторный мультипликативный
функционал Т (t, s) от процесса | (t):
ы@ = Т(^, sH,
подчиняющийся условию
\T(t, s)I^e««-'> (п.н.). C.8)
Доказательство. Уравнение C.7) почти наверное
имеет непрерывный коэффициент c(t, %(t)) и поэтому обла-
обладает, с вероятностью, равной единице, решением, которое
единственным образом определяется начальным условием.
Оценка C.8) следует из C.6), соотношение мультиплика-
мультипликативности—это естественное свойство эволюционности, сле-
следующее из единственности решения. ¦
Рассмотрим теперь случай, когда оператор c(t, x)
может быть и неограниченным, но выполнены какие-либо
условия, гарантирующие корректность задачи Кошидля
C.7). К числу таких условий относится, например, сле-
следующее.
Предложение 3.2. Пусть операторы с (t, x)
(< е [/в, х], х se X) имеют общую плотную в Y область

§ 3. МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ 343
определения D и удовлетворяют на ней условиям
\{c(t, д:)-^)-1!^^-;-, х<=Х\М,
\[c(t, x)-c(t', x')\c+(t, Jc)|^a,{|*-*'|« + |*-jcf}.
Если при этом почти все траектории процесса удовлет-
удовлетворяют условию Гёльдера
!?('•)-6 d) I<;const |*,-*,Р\ C.9)
то задача Коши C.7) корректна и определяет равномер-
равномерный операторный мультипликативный функционал.
Доказательство этого предложения сводится немед-
немедленно к известным результатам теории эволюционных
уравнений (см. С. Г. Крейн [1]), так как операторная
функция c(t, %(t)) в этом случае п.н. гельдерова.
Замечание 3.2. Можно показать, что условию C.9)
удовлетворяют почти все решения стохастического диффе-
дифференциального уравнения B.1).
3°. Стохастические линейные уравнения. Рассмотрим
уравнение вида
d л @ = с (t, I @) t)(t)dt + b(t,l (/)) (л, dw (t)), C.10)
где c(t, x)t b(tt x) — функции на [t0, x]xX (X — гильбер-
гильбертово пространство), значениями которых являются соот-
соответственно линейные в X и билинейные из Xxs5T в X
операторы, а ? (t) — решение стохастического уравне-
уравнения B.1). Не уточняя сейчас предположений о коэффи-
коэффициентах, будем считать, что оно имеет в точности одно
решение при каждом i\(t0), измеримом относительно j~t>.
Из линейности уравнения и единственности решения сле-
следует почти наверное линейная зависимость r\(t) отт)(^0),
которую мы обозначим
ч(9=т(*. <о)л(<о). (з.И)
Далее, оценка B.11) для линейного уравнения приво-
приводит к C.2). Наконец, из единственности следует мульти-
мультипликативное свойство оператора Т. Это приводит к сле-
следующему утверждению.
Предложение 3.3. Если линейное стохастическое
дифференциальное уравнение C.10) однозначно разрешимо
на каждом интервале [s, t] при <Уs-измеримом начальном

344 ГЛ. VII. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЯ
значении т) (s) и его коэффициенты удовлетворяют усло-
условиям
(c*(t, *)ф,ф) + (с(*. лОф.ф
o\(b(t, х)ф)
то его решение представляется в виде C.11), где T(t, s) —
операторный мультипликативный функционал от процесса
Предположим далее, что
c(t, x) = co(t, x) + Ci(t, х),
где co(t, x) — вообще говоря, неограниченный оператор.
Для того чтобы применить теорему 2.4, нужно вычис-
вычислить стохастический дифференциал процесса co(t, %(t))z
(ге=Я,„).
Из формулы Ито следует, что если co(t, x)z дважды
дифференцируема по х один раз по t, то
dco(t, S(O)z = |coC 6(9)* + cJ,(*. l(t))(dl, z) +
+ \ Trcijt, I @) (B (t, I @) -,B(t,t @) •, z),
и, таким образом, для с0 (t, g (t)) имеет место формула B.25),
где
z) +
+ J Trc"oxx('• 6@)(B(<• 5@)-.B(t,l@)•, z),
&x @ (z, A) = c'Ox (t,1 (t)) (B (t, I (t) ft, г).
Условия B.26) при этом легко формулируются в тер-
терминах равномерной ограниченности производных первого
и второго порядка по переменной х и первого по t от
операторных функций
Со {t, х) Со1 (t0, Хо), Со (t0, Хо) Со (t, х)Со* [t0, Хо). C.12)
Ив предложения 3.3 и теоремы 2.4 непосредственно
выводится теперь следующий результат.
Теорема 3.2. Пусть ?(t) — решение стохастического
дифференциального уравнения B.1) в гильбертовом прост-
пространстве. X. Пусть операторные функции C.12) равномер~

§ 3. МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ 345
но ограничены вместе с производными первого порядка по
t и первого и второго порядка по х.
Пусть, далее, оператор co(t, х) удовлетворяет условиям
B.22) и B.23), а функции c\(t, x)y и b(t, x) у — условию
Gi(c0) (no переменной у).
Тогда существует единственное (с точностью до сто-
стохастической эквивалентности) решение линейного уравнения
+ { Сг F, I F)) т| F) d8 + J b (8, I F)) (t| (8); dw F)), C.13)
s s
и это решение определяет мультипликативный оператор-
операторный функционал Т (/, s) от процесса \ (/):
т|(/) = Т(/, s)i\(s). Ш
Замечание 3.3. Так как в теореме 2.4 условия
должны выполняться почти наверное, то утверждение тео-
теоремы 3.2 остается справедливым, если его коэффициенты
с0, Сх и Ь удовлетворяют всем перечисленным условиям
не во всем пространстве, а на множестве Х\М, где М
обладает тем свойством, что вероятность попадания в не-
него случайного процесса ?(/) равна нулю.
Замечание 3.4. Если оператор co(t, x) при каждом
t и х(хШМ) ограничен, то условия теоремы упрощаются
в соответствии со сказанным в замечании 2.5.
Можно отказаться от требования гладкости с0 (/, х), но
потребовать, например, выполнения оценки М | с0 (/, | (/)) f <
<Zoo, и, кроме того, заменить условия G% оценками B.3).
Замечание 3.5. Если все коэффициенты уравнения
C.13) —операторы Гильберта—Шмидта, то решение можно
получить в виде
где V — также оператор Гильберта — Шмидта в У. В этом
случае операторный мультипликативный функционал рав-
равномерен.
Замечание 3.6. Если оператор co(t) не зависит от
х, условия теоремы могут быть несколько изменены за
счет использования теоремы 2.3. Мы опускаем формули-
формулировку результата, который может быть получен на этом
пути.

346 ГЛ. VII. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЯ
4°. Гладкость решения стохастического уравнения и
соответствующего ему мультипликативного функционала
относительно начального значения. Рассмотрим пару урав-
уравнений
{s, l(s))ds+{B(.s, l(s))dw(s), C.14)
l(s))r)(s)ds +
{) C.15)
с коэффициентами a(s, х), В (s, х), c(s, x), b(s, x), пред-
представляющими собою функции на [t0, т)хХ со значениями
соответственно в X, Ьг{Ж0, X), L(Y), L(Y, U(ff, Y)).
Предположим, что эти функции обладают первой произ-
производной по л; в соответствующих пространствах, и рассмот-
рассмотрим уравнения, получающиеся из C.14), C.15) путем
формального почленного дифференцирования в направле-
направлении /ieX:
, 5(«))«(«), dw{s)), C.16)
и
, т| (s))ds+
t
+ \b'x(s, ?(s))(?(s), л(s) da>(s)) +
<. и
t
+ \b(s, l(s))(%(s), dw(s)). C.17)
и
Оказывается, что три уравнения C.15) — C.17) можно
истолковать как одно линейное уравнение, определяющее
м. о. ф. для процесса ? (/) в новом пространстве Y =
@)
В этом пространстве рассмотрим случайный процесс г|(/)=
= Oli @> Л2@). компоненты которого определяются сле-
следующим образом:
гI @ = Л @ + X (/)еГ, п? (О =

§ 3. МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ
347
Билинейный оператор aei (X®Y,Z) порождает линейный
оператор a e if (X(g)Y, Z) по формуле a (*(g) #) = «(*. у)-
Введем, кроме того, операцию етензорной суммы» опера-
операторов в Xg)Y. Положим для aei (X), р е L (У): аЩР =
==а0 1 -f I ® Р. так что (аЩР) (х, у)—ах§?)у-\-х(>§ $у.
Используя это обозначение, можно записать стохастичес-
стохастические уравнения
в, 6(s))tj,(s)ds +
), dw(s))+ {%($, I
C.18)
»J @ = (A (8) Ф) + J (a' (s, I (s)) ffl fl (s Л (s))) Л2 (s) ds +
+ {(Bi (s, 6 (s)) Ш b (s,l (s))) (tj, (s), <to (s)). C.19)
'.-
Полученная пара уравнений может быть записана в
виде
i
Js, s(s))f|(s)di +
rt C.20)
где с и ft — соответственно линейный и билинейный опе-
операторы, определяемые соотношениями
У1
VI
'(z,yt,v) \
+*®*(й, «О/
J «)• <3-22>
Из этих выражений видно, что формальное дифференци-
дифференцирование системы C.14), C.15) о дифференцируемыми коэф-

348 ГЛ. VII. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЙ
фициентами приводит к системе C.14), C.20) такого же
вида и с такими же свойствами. При этом очевидно, что
если коэффициенты исходной системы дифференцируемы
до порядка k включительно, то система C.14), C.20) име-
имеет коэффициенты, дифференцируемые k—1 раз. Поэтому
почленное дифференцирование может быть продолжено и
доведено до производных порядка k.
Покажем теперь, что на самом деле такое дифферен-
дифференцирование является не только формальным.
Теорема 3.3. Пусть в уравнениях C.14), C.15)
a(t, x) = ao(t)x + a1(t, x), c(t, x) = co(t, x) + c1(t, x)
и выполнены следующие условия:
1) aj(/, x), B(/, x), ci(t, х), b{t, x)-функции на
[/о, т]хХ со значениями соответственно в пространствах
X, Ц(?ГхХ), L(Y), L,(Y*jr, Y), непрерывно диффе-
дифференцируемые по х е X до k включительно,
2) а0 (/) — линейный оператор в X с постоянной областью
определения D, удовлетворяющей условиям B.22), B.23) и
условию B.26) при bo(t) = a'o(t), &i@ = °>
3) с0 (t, х) — линейный оператор в Y с постоянной об~
ластью определения Du удовлетворяющий условиям теоре-
теоремы 3.2,
4) коэффициенты ai(t, x), В (/, х) и их производные
принадлежат классу G2 (a0) {по переменной х), коэффициен-
коэффициенты Ci(t, x)y и b(t, x)y и их производные принадлежат
классу G2 (с0) 'по переменной у).
Тогда решения \x,to(t) и n](t, /0)ф уравнений C.14) —
C.15) существуют, единственны и обладают производны-
производными по х в смысле сходимости в среднем квадратичном до
порядка k включительно.
Доказательство. Существование решений уста-
установлено ранее. Доказательство дифференцируемости мож-
можно проводить последовательно, и поэтому достаточно опи-
описать лишь первый шаг.
Пусть сначала операторы а0 и с0 ограничены. Тогда
рассматриваемая система находится в условиях теоремы
о сжимающих отображениях, и ее решение может быть
найдено методом последовательных приближений. Нетрудно
проверить, что при почленном дифференцировании этих
последовательных приближений получаются последователь-
последовательные приближения для формально продифференцированной
системы, которая также сходится в среднем квадратичном.

§ 3. МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ 349
Из этого следует дифференцируемость предельной функ-
функции и тот факт, что ее производная является решением
системы C.14), C.20).
Если операторы а0 и с0 уже не предполагаются огра-
ограниченными, то решение уравнений C.14), C.15) получа-
получается предельным переходом из решений аналогичных
систем с ограниченными операторами ajn), соп), построен-
построенными так же, как при доказательстве леммы 2.1. Точно
такой же предельный переход при этом происходит и
в уравнении C.20). Это и приводит к требуемому резуль-
результату. ¦
Замечание 3.7. Гладкость коэффициентов линейного
уравнения C.15) может нарушаться i точках некоторого
исключительного множества М, в которое почти наверное
не попадают траектории ?*(*).
Замечание 3.8. В соответствии со сказанным в заме-
замечаниях 2.5 и 3.4 условия теоремы упрощаются, если а0
и с0 ограничены почти наверное и диссипативны.
Замечание 3.9. Если 6 = 0, то операторный муль-
мультипликативный функционал определяется более простым
уравнением C.7) и условия его существования упроща-
упрощаются (предложения 3.1 и 3.2). В соответствии с этим
нетрудно было бы сформулировать более простые условия
гладкости, чего мы не делаем для сокращения изложе-
изложения.
Замечание 3.10. При co(t), не зависящем от х, воз-
возможен другой вариант теоремы (см. замечание 3.6). В част-
частности, такая ситуация возникает при рассмотрении линей-
линейных уравнений, получающихся путем почленного диффе-
дифференцирования уравнения C.14), т. е. при х\ = 1'х, когда
с0 = по.
5°. Инвариантность гладких функций относительно эво-
эволюционного семейства. Рассмотрим теперь вопрос о глад-
гладкости эволюционного семейства операторов C.3), порож-
порождаемого мультипликативными операторными функциона-
функционалами, которые определяются решениями уравнения C.15).
Пусть n(t) = T(t, s)n](s) и и(х, /) = U(/, т)$(х) (г|з<=
е V (X, Y)). Тогда по определению
(у, и(х, /)) = М(Т(т, 0у, t(t*.t (*)))¦ C.23)
Если Ц(х)— функция, ограниченная и непрерывная
вместе с производной г|/ (х), то при условиях теоремы 3.3
правая часть C.23) дифференцируема по х и почленное

350 ГЛ. VII. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЙ
дифференцирование дает соотношение
{у, и'х(х, t)h) = M{(Vx(T, t)(h, у), 4>F».,(т))) +
+ (Т (т, t)y, г|/ &,., (т) l'Xti (т) /г))}. C.24)
Таким образом, функция и (х, t) дифференцируема.
Кроме того, пару соотношений C.23)—C.24) можно запи-
записать в виде одного соотношения типа C.23) с заменой
пространства Y на Y = Y + X<g)Y:
(у, й(х, /)) = М (Т (т, /)у, $(lx,t(т))), C.25)
««-(:)• *-(.!.)• «-(Я-
*-) C.26,
— операторный мультипликативный функционал, порож-
порождаемый уравнением C.20).
Таким образом, дифференцирование сохраняет вид
соотношения C.23), а это позволяет автоматически про-
продолжать процедуру дифференцирования, пока это допус-
допускают свойства коэффициентов уравнения.
Это приводит к следующему результату.
Теорема 3.4. При условиях теоремы 3.3 эволюцион-
эволюционное семейство U(/, *), порождаемое, мультипликативным
функционалом, определяемым системой C.14), C.15), остав-
оставляет инвариантным пространство Ck(X, Y) функций,
непрерывных и ограниченных вместе с производными до поряд-
порядка k (которые предполагаются гильберто-шмидтовыми). щ
Замечание 3.11. Производные решений системы C.14),
C.15) определяют мультипликативные операторные функци-
функционалы C.26), порождающие эволюционные семейства C.25)
операторов в пространстве Yi = Y и построенных анало-
аналогичным образом пространствах F* = Yk-i для старших
производных.
§ 4. Задача Кош и для параболических систем
уравнений второго порядка
1°. Задача Коши для одного линейного уравнения.
В этом параграфе мы получим при помощи изложенных вы-
выше результатов теоремы о существовании и единственности
решений задачи Коши для линейных и квазилинейных

§ 4. ЗАДАЧА КОШИ 351
параболических систем, а также представления этих реше-
решений в виде средних по траекториям марковских процес-
процессов. В качестве следствия будут указаны условия макси-
максимальности дифференциальных операторов.
Для получения этих результатов нам нужно вычислить
производящие операторы рассмотренных в предыдущем
параграфе эволюционных семейств.
Напомним, что под производящим оператором эволю-
эволюционного семейства U (t, т) понимается оператор А (/) =
А*-0 ht
Лемма 4.1. Пусть a(t, x) — непрерывная функция
на [t0, x)xX и lSt x(t) — решение уравнения B.7). Тогда
Mm— f а (б, E,.,(e))d8-a(s, x) («.«.)•
Доказательство следует из непрерывности почти навер-
наверное подынтегрального выражения. ¦
Рассмотрим прежде всего эволюционное семейство
U(/, т)/(*)-М/(Ь,,(т)) D.1)
в пространстве V (X, R1) скалярных функций f(x) на гиль-
гильбертовом пространстве X.
Производящий оператор эволюционного семейства D.1),
соответствующего тривиальному мультипликативному функ-
функционалу Т==1, называется производящим оператором мар-
марковского процесса ? (/).
Предложение 4.1. Сужение производящего опера-
оператора семейства D.1) на функциях класса С2 имеет для
лсеД,„ вид
А, и (х) = j Тг В* (/, х) W (х) В (/, х) + (а (/, х), и' (х)) ш,
в \ (В (/, х) В* (/, х) V, V) и (х) + (а (/, х), V) и (х), D.2)
а если и' (х) е Da* и а* и' (х) непрерывна, то при всех
Atu (х) = j Тг В* (/, х) и" (х) В (/, х) + (х, а* (/) и' (х)) +
*).«'(*))• D-3)

352 ГЛ. VII. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЙ
Доказательство. Пусть хе?>а„- Тогда при
?,,*(б)е/} и из формулы Ито и формулы D.1) следует
U (s, s + As) и(х)-и (х) = М {/ (&,. х (s + As)) - f (g,. я (s))} =
s + As
= M $ {(/' F,. , (8)), a0 F) g,, , F) + а, (б, &. x (9))) +
(в, 6,., (в))} Я.
В силу леммы 4.1, непрерывности коэффициентов и оценки
МI а0 (б) ?t, ж (9) f ^ const получаем соотношение
yTrB*(s, х)Г(лс)В(я, х),
которое влечет D.2).
Если к тому же функция aj/' (x) непрерывна, то из
D.2) следует D.3) для всех ieX, вследствие непрерыв-
непрерывности правой части этого выражения. ¦
Теорема 4.1 Рассмотрим дифференциальное уравне-
уравнение
. x)u'B(t, x) + (x, at(t)u') + (ai(t, х), и')»
1 i *)в* ('• *) v> v)"+^ С *).v)"=°- D-4)
Если его коэффициенты удовлетворяют условиям теоремы
3.3 (при Ь = 0, с = 0), то задача Коши для него имеет
в классе А функций, которые непрерывны и ограничены
вместе с производными до второго порядка включительно
и вместе с функцией а% (t)u' (x), точно одно решение при
каждом начальном значении и(х, х) — ц>(х) из того же
класса. Это решение представимо в виде
и(х, t)-U(t, т)ф(х),
еде U — эволюционное семейство D.1), определяемое стоха-
стохастическим уравнением B.18).
Доказательство. Эволюционное семейство D.1)
оставляет инвариантным класс Д и на функциях этого
класса имеет производящий оператор D.3). Из этого сле-
следует существование решения, обладающего нужными свой-
свойствами. Докажем его единственность. Пусть и (/, х) —

S 4 ЗАДАЧА КОШИ 353
какое-то решение рассматриваемой задачи Коши. Рас-
Рассмотрим вспомогательную функцию g(s) = u (s, \t. x(s)) и
вычислим ее стохастический дифференциал
dg(s) = {js (s, It. x (s)) + (ux (s, lt, x (s)), a (s, ?,, x (s))) +
+ }TrB*(s, it,x(s))ux(s, tttX(s))B(s, h.As))} +
+ (ux(s, I,, x(s)), B(s, tt,x(s))dw(s)) =
-°(u'As, lt.x(s)), B(s, lt.x(s))dw(s)).
Из этой формулы следует, что
M,dg(s) = 0,
т. е. Mtg (s) = const или g(t) = u(t, x) = Mtg (t) = Mtg (т) =
= Ми(т, (Ь.Лт)).
2°. Задача Коши для линейной системы. Перейдем
к вычислению производящего оператора А(Т) общего эво-
эволюционного семейства U(T) (/, т) в V (X, У), определяемого
формулой C.3). При Т (/, т) = I мы, так же как и выше,
получаем эволюционное семейство U(I)(/, т), производящим
оператором которого является производящий оператор А(Т)
марковского процесса \ (t) (на скалярных или векторных
функциях). Разность этих производящих операторов можно
записать в виде
(у, [A<t>(s)
i s, s)y-y], f(x)) +
As—0 a
+ Mw,,.,(T(s + As, s)y-y,
Пусть существуют пределы
v(t, x)y= Hmo ~ Ml{x)-X [T (s + As, s)y-y] D.5)
Of.
= lim -i-Mw,)^(T(s + As, s)y-y, f(l(s + As))-f(x)).
Д1-.0 ^ D.6)
Тогда для производящего оператора получится представ-
представление
АГО(/)/(х) = Аш@/(*) + »*С Jc)/W + Y//W. D-7)
12 Ю. Л. Далецкий, С. В. Фомин ','

354 ГЛ. VII. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЙ
которое уже удобно подробнее исследовать в отдельных
случаях.
Прежде всего заметим, что в некоторых случаях по-
последнее слагаемое в D.7) исчезает. Действительно, пусть
D.8)
Если при этом траектории процесса ?(s) почти наверное
непрерывны, то для непрерывных функций
"т М«,ь» | / F (s + As)) - f (x) p - 0 D.9)
Дз-*0
и тогда очевидно ysf(x) = O.
Условие D.8), очевидно, выполняется, когда оператор-
операторный мультипликативный функционал определяется обык-
обыкновенным дифференциальным уравнением C.7). В этом
случае также легко вычисляется и оператор v(t, х). Из
D.5) и C.7) следует, что
o(t, x)y (y<=Dc).
Из этих соображений следует такой результат.
Теорема 4.2. В условиях предложений 3.1 и 3.2 про-
изводящий оператор эволюционного семейства C.3) имеет
вид
А (/) / (х) = А<[> (/) / (х) + с* (t, x) f (x) D.10)
для функций f(x), на которых определено каждое из вла-
влагаемых правой части. ¦
Следствие 4.1. Если 1@ — процесс, для которого
производящий оператор дается формулой D.3), то произ-
производящий оператор эволюционного семейства
, ? F)) <ю]/(?(т))/? (/) = *} D.11)
дается формулой
(t,x). D.12)
Га/с эге /са/с и при доказательстве теоремы 4.1, из этого
выводятся достаточные условия корректности задачи Коши

§ 4. ЗАДАЧА КОШИ 355
Все рассуждения при этом сохраняются, если аои с огра-
ограничены.
Для случая, когда эти операторы не являются ограни-
ограниченными, требуются дополнительные рассуждения (и до-
дополнительные условия, если оба они отличны от нуля),
которые мы опускаем.
Следствие 4.2. Рассмотрим дифференциальный
оператор
A<" = (V, А (х) V) - (А (х) х, V), А = ВВ*.
В гл. IV было показано, что он является симметричным
в гильбертовом пространстве 1д>. Если с = с*, то из коррект-
корректности задачи Коши, в силу теоремы IV. 1.4, следует су-
существенная самосопряженность оператора
определенного на пространстве Д ограниченных гладких
функций (принимающих значения из Dc, если с неограни-
неограничен). Важную роль при этом играет инвариантность Д
относительно соответствующего эволюционного семейства,
которая следует из теоремы 3.4.
Однако эта теорема относится к мультипликативным
функционалам, определяемым более общими уравнениями,
чем C.7).
Используя специфику уравнения C.7), можно ослабить
ограничения на диссипативную операторную функцию с(х),
допуская для нее и ее производных оценку роста
H*)|| = O(expcc||*f).
Подчеркнем, что в этих рассуждениях не предполагается
обратимость коэффициента В (/, х).
Рассмотрим, наконец, случай, когда мультипликатив-
мультипликативный операторный функционал определяется стохастическим
уравнением.
Теорема 4.3. Эволюционное семейство C.3), поро-
порождаемое мультипликативным операторным функционалом
Т(/, s), в условиях теоремы 3.2 имеет производящий опе-
оператор \, сужение которого на множестве Д функций f (x)
класса С2, для которых определены aof (x) и c%f(x), опи-
описывается формулой
*(/, x)V, V)/ + U, at(t)V)f +
{t, x; B*(t, *)V, /) + co*(/, x)f +
+ M/, x)f.
12*

356 ГЛ. VII. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЙ
Доказательство. Достаточно вычислить выраже-
выражения D.5) и D.6). Из стохастического уравнения C.13) для
мультипликативного функционала легко следует формула
v(t, x)y = [co(t, x) + Cl(t, х)]у (ys=DCo). D.14)
С точностью до величин более высокого порядка малости,
используя формулу Ито, получаем
, s)y-y, /(?(s +As))-/(*)) =
s + As
$ bF, l.*F); т(б, s)y,
s
Г (Is,x(i)) В F, ts,
s + As
2 M $ (feF> ^.*F); TF> s)y> ek)> <Pj)dwk(Q)X
k. k', j s
s+As
X \ if' (ts.x F)) В F, ls>x F)) ek., Фу) dwk, F) + o (As),
s
где {фу}, \ek) — ортобазисы в пространствах Y и X соот-
соответственно. Из независимости скалярных винеровских
процессов wk, wk' (k ф k') и свойств стохастических инте-
интегралов далее выводится в силу формулы D.6)
(У, yJ(x))=l\mQ±. j M(b[B, lSiX(Q); Т(б, s)y, ek],
ras.x(S))B(S,lSt
s, x; у, ek), фу) (фу, f'(x)B(s, x)eh) =
= ^(b(s, x; y, ek), <Pj)«J(x), Ф/)', B(s, x)eh) =
2 (b (s, x; y, B*V), Ф/) (/ (х), Фу)=F (s, x; y, B*V), / (*))=
= (b(s, x; B*V, i/), f(x)) = (y, b*(s, x;
Из этой формулы, а также из D.14) и D.7) получаем
нужный результат. ¦
Следствие 4.3. Из теорем 4.3 ы 3.4 следует кор-
корректность задачи Коши для системы
*)B*(/, *)V, V)U +
/, x), V)u + b(t, x; B*(/, x)V, u) + Cl(t, x)u

§ 4. ЗАДАЧА КОШИ 357
в классе D = C2(X, Y), во всяком случае при условии, что
все коэффициенты являются ограниченными операторами.
Единственность решения доказывается тем же методом,
что и в теореме 4.1.
Результаты обобщаются и на случай наличия неогра-
неограниченных диссипативных операторов а0 (/) и с0 (/), хотя
при этом нужны дополнительные рассуждения для дока-
доказательства инвариантности класса Д (особенно в случае,
когда и а0 и с0 отличны от нуля).
Следствие 4.4. Если оператор D.13) диссипативен
в гильбертовом пространстве И$ = %г(Х, Y, \i) (см. гл. IV,
§ 1), то из корректности задачи Коши следует максималь-
максимальная диссипативность замыкания его сужения на Сг (X, Y).
3°. Квазилинейные системы. В этом пункте \ы пока-
покажем, как развитую выше теорию можно применить
к исследованию квазилинейных систем вида
^, х, u)V, V)« + (a(/, x, и), V)U +
+ b(t, x; B*(/, х, u)V, u) + c(t, x, и) и,
и(х, *) = ф(х), D.15)
где В, а, Ь, с —функции на [/„, x]xXxY со значениями
соответственно в пространствах L2(e%^, X), X, /,2(Ух
Г, Y), L(Y), A = BB*.
Будем предполагать, что выполнены следующие условия:
Ai) ограниченность роста коэффициентов
\a(t, х,
о5(В(/, х, u)
([c(t, x, u) + c*(t, x, u)]h,
oj F (/, x, u) (•, h)) ^ || h f Pl A +1 и fP) (Pl > 0),
A2) условие Липшица
\a{t, Xi, Ut)-a(t, x, Ы1)|
al(B(t, х%, «г)-В(/, хи
< a {| xi - Xi P + Kn I «a - «i I2},
\[c(t, хг, u2)-c(t, xu
al(b(t, x2, u,)(-, h)-b(t, xu
< I Л I Pl ill *2 - Xt P + Kl» I  - "l |2},
где Ка-постоянная, зависящая от max{j|«i||, 'иы2II}-

358 ГЛ. VII. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЙ
А3) условие гладкости коэффициентов а, В, Ь, с, со-
состоящее в том, что у них существуют непрерывные по
(/, х, и) производные до третьего порядка включительно
по х и и, подчиняющиеся в соответствующих нормах
оценкам типа
|/и)С. х,
для производных порядка /=1, 2, 3 от каждой из функ-
функций /(/, х, и).
Ниже для функций вида /(/, х, и) и v(t, x) будет при-
применяться краткое обозначение fv(t, x) = f(t, x, v[t,x)).
Пусть v(t, л:) —ограниченная липшицева функция:
sup||w(/, x)|«|||»@IIK°o.
Рассмотрим стохастическую систему
= Jc + Jfl,(fl, ? (в)) d6 + J А, (в, 1(в))Лв.(в) =
S S
=?X+°S(s, t, v, I) (xeX, to^s^t^x), D.16)
r\(t, s)y = y + \c*(B, ?(в))т](в, s)ydQ +
+ J «(в, l(B))(dw(B), r,(e, s)y) =
= y + N(s, t, v, I, 4)y. D.17)
Эта система при рассматриваемых условиях порождает
случайный марковский процесс ?„(/) и операторный муль-
мультипликативный функционал т)„ (s, /) от него, зависящие
от функции v. При этом возникает и соответствующее
эволюционное семейство U (t, s):
(У, U,(/, т)ф(х))=.М(п,('. т; 6) у, ф(Ь,,,,)).
При достаточно гладкой функции v функция
u(t, x)-U,(/, т)ф(х) D.18)
представляет собой решение задачи
^ ^ 1 x), V)U+
ы(т, х)-ф(х). D.19)

§ 4. ЗАДАЧА КОШИ 359
Дополняя уравнения D.16), D.17), D.18) соотношением
¦ о = и, D.20)
мы получим замкнутую систему уравнений относительно
и, I, ц.
Если решение этой системы существует и единственно,
то липшицеву функцию и (t, х) естественно назвать обоб-
обобщенным решением задачи
|р + Ав(и) = 0, ц(т, х) = <р(х),
совпадающей с D.15).
Очевидно, что гладкое решение этой задачи является
обобщенным в этом смысле, и наоборот, обобщенное ре-
решение, обладающее нужными производными, удовлетво-
удовлетворяет D.15).
Решение рассматриваемой задачи будет получено при
помощи следующего процесса последовательных прибли-
приближений.
Пусть uo(s, х) — какая-либо функция класса С2, удов-
удовлетворяющая условию
"о(т, х) = ц>(х)
(например, uo(s, х) = ц>(х)). Если уже определена функция
uk(s, x), то случайные процессы |ft, r\k определяются из
уравнений
?*@ = * + •*(«. t, uk, 1% D.21)
s, t, и„, I", цк)у, D.22)
и затем находится
"ft+i(s, x) = UUk(s, т)ф(дс). D.23)
Из описанных выше свойств решений стохастических урав-
уравнений следует, что каждая функция uk+1 является клас-
классическим решением задачи
В частности, каждая из них удовлетворяет условию Лип-
Липшица, и это дает возможность неограниченного продолже-
продолжения описанного процесса. Для доказательства его сходи-
сходимости понадобятся некоторые оценки, которые основы-
основываются на следующем утверждении.

360 ГЛ. VII. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИИ
Лемма 4.1. При условиях Ax) существует интервал
А = [tlt т], зависящий от ||| ф \\\ = max | ф (х) |, и ограниченная
к
на этом интервале функция ty (t) такая, что если
III И0111^@.
то и для u(t, x) = uv<p выполняется та же оценка
Если при этом ро=^ — Pi(l +2 ||| ф |||2р), то можно счи-
считать tx = t0, т. е. оценка справедлива на всем интервале
[to, т].
Доказательство. Из предложения 2.2 нетрудно
получить оценку
которая приводит к неравенству
Рассмотрим функцию i|> (s), удовлетворяющую функцио-
функциональному уравнению
l J ij) F) dbJ,
i|> (s) = ф (т)ехр \р (р0 + Pi) (т - s) + 2pP
Эта функция удовлетворяет дифференциальному уравнению
— г|/ (s) = /п|> (s) [po + Pi + 2piiM (s)].
Если при этом Po + Pi + 2Pi|||<p||Pp>°t то
и, как легко видеть, ограничена на любом интервале [s, т],
при

§ 4. ЗАДАЧА КОШИ 361
Если же ро + Pi + 2pi К) ф |||2р *S 0, то
ф/8) = (|Ро1-р11!11Ф111ар ^
[| Ро I—Pi —2pi||| Ф |||2P|ep(lpol~pl)(T~s) —2pi !|| ф црр "
^ I Pol -Pi
""* 2ft
при любом s<;t.
Для завершения доказательства заметим, что если
11|0(О1Н'Р<Ф(О. т0 и |||и@11Гр^я|)@-и
Следствие 4.5. На интервале А построенные выше
функции uk(t, х) {k—\, 2, ...) подчиняются равномерной
оценке
\\\uk(t)\\\^C.
Следствие 4.6. Дифференцируя рассматриваемую
стохастическую систему по х, можно получить аналогич-
аналогичную систему для производных и'х, и"хх, и'х"хх, так, как это
показано в § 2. Применяя лемму к полученным системам,
можно получить оценку
|||U«|HC (Л=1, 2 /=1, 2, 3)
на, вообще говоря, меньшем интервале Af.
A и> Аг => А2 ^ Аз-
Однако можно проверить, что при фиксированном
||| ф ||| и достаточно большом по абсолютной величине
отрицательном р0 эти интервалы содержат исходный интер-
интервал [t0, г], на котором заданы рассматриваемые уравнения.
Теорема 4.4. Пусть выполнены условия Ai) — A3).
На интервале Ai существует и притом единственное
обобщенное решение задачи Коши с начальной функцией
класса С2- Это решение обладает непрерывными производ-
производными до второго порядка включительно и, следовательно,
является классическим решением рассматриваемой задачи
на интервале А3. Обобщенное решение и (t, x) представимо
в виде среднего (у, и (t, х)) = М (т) (t, т; I) у, ф {Ь,х)), где т) —
мультипликативный операторный функционал от марков-
марковского процесса ?(/), определяемый уравнениями D.16),
D.17) при v — u.
Доказательство. Такими же рассуждениями, как
при доказательстве предложений 2.2 и 2.3, получаются

362 ГЛ. VII. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЙ
оценки
<Я(/-s) sup III Мб)-»iF) III2, D-24)
Mli)Vl(t, s, U)y-r]Vl(t, s, U)ylP<
< /C (* - s) | у P sup III v2 (8) - wx F) HI2, D.25)
где К зависит от постоянных ее, р0, рь от длины интер-
интервала Ai и величин sup f||j и,-F) |||, <?*7(б)}.
в/. / = 1,2
Используя эти оценки и учитывая равномерную огра-
ограниченность на интервале Ах величин ]]] uk ]]] и if"*, не-
нетрудно из формулы, представляющей uk, получить оценки
-s) sup
где величина KR зависит лишь от радиуса R шара, содер-
содержащего начальную функцию щ, и величин ее, р0, рх.
При достаточно малом (т — s)<e получаем, что д=
= KR (т — s) < 1. В этом случае последовательность uk (t, x)
равномерно сходится на [т —е, т]хХ к некоторой функ-
функции и (t, x). Из формул D-24), D.25) при этом следует
сходимость в среднем квадратичном последовательностей
? ) )
В уравнениях D.21) —D.23), определяющих после-
последовательные приближения, можно сделать предельный
переход, в результате чего для функции и и процессов
|, т) получаются уравнения
s, t, и, I),
t, и, I, У]),
(у, u(t, х)) = М((ц(х, t, 1)у, ф(Ь.*.Л0).
показывающие, что u{t, s) — обобщенное решение рассмат-
рассматриваемой задачи на интервале [т —е, т]. Единственность
этого решения имеет место, как и всегда в условиях тео-
теоремы о сжимающих отображениях.
Пусть радиус R выбран так, чтобы при фиксирован-
фиксированном ||| ф ||| выполнялась оценка jjj uk (б) ||| < R на всем Ax.
Тогда описанная выше процедура может быть повторена
на промежутке [т — 2е, т —е] с тем же е>0. Поэтому за
конечное число шагов обобщенное решение u(t, x) будет
продлено на весь интервал Ai.

ЗАМЕЧАНИЯ И КОММЕНТАРИИ ои;
Применяя приведенные рассуждения к соответственное
число раз продифференцированной системе, мы покажем,
что на интервале А3 функция и (t, x) дважды непрерывно
дифференцируема и потому является классическим реше-
решением задачи, в
Замечание 4.1. Более точный анализ показывает,
что при некоторых предположениях, которые являются
дополнительными лишь в бесконечномерном случае, схо-
сходимость последовательных приближений имеет место на
всем Ль а вместе с производными до второго порядка —
на Д3.
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
И ИСТОРИЧЕСКИЕ КОММЕНТАРИИ
к главе VII
Теория стохастических дифференциальных уравнений была пред-
предложена независимо в разных формах И. И. Гихманом [1,2] и К. Ито
[2, 3] и развита А. В. Скороходом [3]. Введенное К. Ито понятие
стохастического интеграла оказалось удобной основой дальнейших по-
построений. Уже при рассмотрении уравнений в конечномерном прост-
пространстве стало ясно, что основная часть теории почти не связана с его
размерностью. Это позволило обобщить теорию на бесконечномерный
случай. Первыми работами в этом направлении были работы учеников
И. И. Гихмана и А. В. Скорохода В. В. Баклана [1—3] и Т. Л. Чант-
ладзе [1, 2].
В качестве уравнений Колмогорова для построенных диффузион-
диффузионных процессов при этом получались некоторые уравнения второго
порядка в функциональных производных типа D.4). Отметим, что
В. В. Баклан |2] впервые фактически рассматривал уравнение типа
B.16) с неограниченным оператором а0 (/) (точнее: он рассматривал
уравнение B.17), не доказывая его эквивалентности B,16)).
Инвариантное изложение теорнн стохастических уравнений с ограни-
ограниченными операторными коэффициентами в шкале гильбертовых прост-
пространств н ее приложение к доказательству корректности задачи Коши
для уравнений типа D.4) было дано Ю. Л. Далецким [8].
Полезно заметить, что стохастические уравнения играют в теории
эадачн Кошн для параболического уравнения 2-го порядка такую же
роль, как уравнения характеристик в теории уравнения 1-го порядка
в частных производных. Представление решения в виде среднего по
траекториям марковского процесса имеет тот же смысл, что и пред-
представление эволюционного семейства операторов в виде континуального
интеграла (см. гл. VI). Однако возможность использования «харак-
«характеристик» позволяет в случае диффузионных уравнений получить на-
намного больше результатов.
Метод мультипликативных функционалов, начиная с работы
М. Каца [1], используют для введения в уравнение добавочных сла-
слагаемых типа С(х)и(х). Он неоднократно обобщался многими матема-
математиками (см. также комментарии к гл. VI). Ю. В Прохоров [1] впер-
впервые ввел простейший мультипликативный функционал, содержащий

364 ГЛ. VII. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИИ
стохастический интеграл. Операторные мультипликативные функцио-
функционалы, насколько нам известно, фактически впервые рассматривались
в работе Ю. Л. Далецкого [2, 5] и затем в разных вариантах в рабо-
работах М. Пинского [1, 2], Ю. Л. Далецкого и Н. И. Тетериной [1],
Н. И. Тетериной [1], Ю. Л. Далецкого [13, 16]. В работе Я. И. Бе-
лопольской и Ю. Л. Далецкого [1] описанные выше результаты
были перенесены на процессы в банаховых пространствах с гладкой
нормой. В терминах абстрактного винеровского пространства ряд
результатов теории стохастических уравнений был изложен в работах
X Куо [1] и X. Куо и М. Пич [1].
В описанных выше работах рассматривались уравнения, коэффи-
коэффициенты которых являются ограниченными операторами. Случай, когда
некоторые из них могут быть и неограниченными, после упомянутой
выше работы В. В. Баклана другими методами развивался в связи
с исследованием стохастических дифференциальных уравнений в част-
частных производных в работах А. Бенсусана и Р. Темама [1], Б. Л. Ро-
Розовского |1, 2|, Н. В. Крылова и Б. Л. Розовского [1], М. И. Ви-
шика и А. И. Комеча [1], Э. Тинфавичюса |1]. Я- И. Белопольская
[1], Я. И. Белопольская и 3. И. Наголкина[1, 2] применили к сто-
стохастическим уравнениям (в том числе и с неограниченным оператором
а0) мультипликативный метод, изложенный в гл. VI. Уравнения
с неограниченными случайными операторами рассмотрены Ю. Л. Да-
лецким [16] при помощи методов, изложенных в книге С. Г. Крейна [1].
Отметим также еще одно интересное направление исследований
в области теории стохастических уравнений с частными производными,
связанное с исследованием задач гидродинамики. Обзор результатов
в этой области и библиография имеется в работе М. И. Вишика,
А. И. Комеча и А. В. Фурсикова [1].
Исследование квазилинейных параболических систем при помощи
диффузионных процессов в последнем пункте мы проводим, следуя
работе Я. И. Белопольской и Ю. Л. Далецкого [2]. Эти результаты
обобщают результаты М. И. Фрейдлина [1, 2], относящиеся к одному
уравнению в конечномерном пространстве. R последующей работе
Я. И. Белопольской и Ю. Л. Далецкого [3] показано, как на этом
пути может рассматриваться и нелинейная ло производным парабо-
параболическая система.
В работе Я. И. Белопольской и Ю. Л. Далецкого [4] развивается
теория стохастических уравнений Ито на бесконечномерных гладких
многообразиях и дается краткий обзор литераторы по этому вопросу.

ЛИТЕРАТУРА
Аверб у х В. И.
1. Квазилинейные уравнения в линейных топологических простран-
пространствах. — УМН, 1967, т. 22, № 3, с. 233—234.
Авербух В. И..Смоляное О Г.
1. Теория дифференцирования в линейных топологических простран-
пространствах. — УМН, 1967, т. 22, № 6, с. 201—260.
2. Различные определения производной в линейных топологических
пространствах. —УМН, 1968, т. 23, №4, с. 67—116.
Авербух В. И., Смоляное О Г, Фомин С. В.
1. Обобщенные функции и дифференциальные уравнения в линейных
пространствах. 1 Дифференцируемые меры.—Тр. Моск. матем.
о-ва, 1971, т. 24, с. 133—174.
2. Дифференциальные операторы и их преобразование Фурье. —
Тр. Моск. матем. о-ва, 1972, т. 27, с. 248—262.
Алимов А. Л.
1. О связи между континуальными интегралами и дифференциальными
уравнениями. —Теор. и матем. физика, 1972, т. II, № 2, с. 182—189.
2. Представление решения краевой задачи в виде континуального
интеграла. — Записки ученых семинаров ЛОМИ, 1974, т. 42,
с. 6—11
Алимов А. Л., Буслаев В. С.
1. О континуальном интеграле для параболического уравнения вто-
второго порядка.—Вестн. ЛГУ, матем., 1972, № 1, с. 5—14.
АльбевериоС, Хёг-Крон P. (Albeverio S., Hoegh-Krohn R.)
1. Mathematical theory of Feynman path integrals.—Lecture Notes in
Math., 523.-Berlin.
Бадрикян A. (Badrikian A.)
1. Seminaire sur les Fonctions Aleatoires Lineaires et les Mesures Cy-
lindriques.— Lect. Notes in Math., 139, Berlin, 1970, p. 1—221.
Баклан В. В.
1. О существовании решений стохастических уравнений в гильбер-
гильбертовом пространстве.—ДАН УССР, 1963, т. 10, с. 1299—1303.
2. Уравнения в вариационных производных и марковские процессы
в гильбертовом пространстве. —ДАН СССР, 1964, т. 159, № 4,
с. 707—710.
3. Существование решений для одного класса уравнений в вариаци-
вариационных производных.—ДАН УССР, 1965, т. 5, с. 554—556.
4. Задача Коши для уравнений параболического типа в бесконечно-
бесконечномерном пространстве. —Сб. «Математическая физика», 1970, т. 7,
с. 18—25.
Баклан В. В., Шаташвили А Д.
1. Преобразование гауссовских мер при нелинейных преобразова-
преобразованиях в гильбертовом пространстве.—ДАН УССР, 1965, т. 9,
с. 1115—1117.

/
366 ЛИТЕРАТУРА
Б е б б и т Д. (Babbitt D.)
1. The Wiener integral and perturbation theory of the Schrodinger ope-
operator-Bull Amer. Math. Soc, 1964, v. 70, № 2, p. 254—259.
2. The Wiener integral and the Schrodinger operator. — Trans. Amer.
Math. Soc, 1965, v 116, № 4, p. 66—78
Белопольская Я. И.
1. Markov processes with jumps and integro-differential systems.—
Intern, symp. on stochastic differential equations, Abstr. of comm. —
Vilnus, 1978, p. 12—16.
2. Система квазилинейных интегро-дифференциальных уравнений
и ассоциированные с ними марковские процессы. —Сб. «Вероят-
«Вероятностные распределения в бесконечномерных пространствах».—Киев,
1978, с. 5—21.
Белопольская Я- И., ДалецкийЮ. Л.
1. Диффузионные процессы в гладких банаховых пространствах и
многообразиях. — Тр. Моск. матем о-ва, 1978, т. 37, с. 107—141.
2. Исследование задачи Коши для квазилинейных параболических
систем с конечным и бесконечным числом аргументов при помощи
марковских случайных процессов.—Изв. вузов, сер. Математика,
1978, т. 12, с. 5—17.
3. Марковские процессы, связанные с нелинейными параболическими
•системами.—ДАН СССР, 1980, т. 250, № 3, с, 521—524.
4. Уравнения Ито и дифференциальная геометрия. — УМН, 1982,
т. 37, № 3, с. 93—142.
Белопольская Я- И., НаголкинаЗ. И.
1. О мультипликативных представлениях решений стохастических
уравнений. —ДАН УССР, 1977, т, II, с. 966—970.
2. О мультипликативных представлениях решений нелинейных сто-
стохастических уравнений.—Сб. «Вероятностные распределения в бес-
бесконечномерных пространствах». — Киев, 1978, с. 22—37
Бенсусан А., Темам P. (Bensoussan A., Temam R.)
1. Equations stochastiques du type Navier —Stokes. —J. Funct. Anal.,
1973, v. 13, № 2, p. 195—222.
Беиткус В, Ю,
1. Об обратимости эллиптических операторов с постоянными коэф-
коэффициентами, действующих на обобщенные меры в бесконечномерном
пространстве. — Литовский матем. сб., 1976, т. 16, № 3, с, 21—29.
2. О фундаментальном решении бесконечномерного итерированного
оператора Лапласа.—Литовский матем. сб., 1977, т. 17, № 4,
с. 5—20.
Березанский Ю. М.
1. Разложение по собственным функциям самосопряженных опера-
операторов.—Киев: Наукова думка, 1965, 800 с.
2. Самосопряженные операторы в пространствах функций бесконеч-
бесконечного числа переменных.—Киев: Наукова думка, 1978, 360 с.
Березанский Ю. М., Гали И. М.
1, Положительно определенные функции бесконечного числа пере-
переменных в слое. — Укр. матем. ж., 1972, т. 24, № 4, с. 247—262.
Б е р е з а н с к и й Ю. М,, Гали И. М., Ж У к В. А.
1, О положительно определенных функциях бесконечного числа пере-
переменных.—ДАН СССР, 1972, т. 203, с. 13—15.
Березанский Ю. М., Михайлюк Т. А.
1. Об условиях самосопряженности эллиптических операторов с бес-
бесконечным числом переменных,— Укр. матем ж., 1977, т. 29, № 2,
с. 167—165.

\ ЛИТЕРАТУРА ' 367
Б e p e з а н с к и й Ю. М., С а\м о й л е и к о В. F.
1. Самосопряженность дифференциальных операторов с конечным
и бесконечным числом переменных и эволюционные уравнения. —
УМН, 1981, т. 36, № 5, с. 3-А56.
Березанский Ю, М., Ус Г. Ф
1. Eigenfunction expansions of operators admitting separation of infi-
infinite number of variables.—Reports Math. Phys., 1975, v. 7, № 1,
p. 103—126.
БлехерП. М., ВишикМ. И.
1 Об одном классе псевдодифференциальных операторов с бес-
бесконечным числом переменных и их приложениях.—Матем сб.,
1971, т. 86, № 3, с. 446—494.
БогданскийЮ. В.
1. Задача Коши для параболических уравнений с существенно бес-
бесконечномерными эллиптическими операторами.—Укр. матем. ж.,
1977, г. 29, № 6, с. 781—784.
Боголюбов Н Н.
1 Избранные труды в трех томах, т. 2.—Киев, 1970.
Бохонов Ю. Е., Далецкий Ю. Л.
1. О задаче Коши для линейной параболической системы с бесконечно-
бесконечномерным аргументом.— Укр матем. ж., 1979, т. 31, № 6, с. 644—649.
Булдыгин В. В
1. Сходимость случайных элементов в топологических простран-
пространствах.— Киев: Наукова думка, 1980, 249 с.
Булдыгнн В. В., Донченко В. С.
1. Об одном классе вероятностных мер в пространстве последователь-
последовательностей,—Препринт 761 Ин-та математики АН УССР.—Киев,
1976, 32 с.
Бурбаки Н. (Bourbaki N.)
1. Топологические векторные пространства. —М.: 1959, 410 с.
2. Интегрирование.—М.; 1977, 600 с.
Буслаев В. С.
1. Континуальные интегралы и асимптотика решений параболических
уравнений при t-*¦ 0. —Проблемы матем. физики, 2.—Ленинград,
1967, с. 85—107
Вахания Н. Н.
1. Вероятностные распределения в линейных пространствах. — Тби-
Тбилиси, 1971
В ер ш и к А. М.
1. Общая теория гауссовых мер в линейных пространствах. — УМН,
1964, т. 19, № 1, с. 210—213.
2. Двойственность в теории меры в линейных пространствах.—ДАН
СССР, 1966, т. 170, № 3, с. 497—500
3. Аксиоматика теории меры в линейных пространствах. — ДАН
СССР, 1968, т. 178, № 2, с. 278—281
Вершнк А М., Лады женская О А
1. Об эволюции меры, определяемой уравнениями Навье—Стокса,
и о разрешимости задачи Коши для уравнения Хопфа.—Сб «Крае-
«Краевые задачи матем физики и смежные вопросы теории ;ункиий» —
Ленинград, 1976, с. 3—24.
Вершик А. М., Судаков В Н
1. Вероятностные меры в бесконечномерных пространствах — Записки
науч. семинаров ЛОМИ, 1969, т. 12, с. 7—67.
2. Топологические вопросы теории меры в линейных пространствах. —
УМН, 1962, т. 17, №4, с. 217-219.

368 ЛИТЕРАТУРА'
Винер Н. (Wiener N.)
1. Nonlinear problems in random theory.—New York, 1958, p. 1—159.
В и о М. (Viot M.)
1. Solutions faibles d'equations aux derivees partielles stochastiques
non lineares, these.—Paris, 1976.
В и ш и к М. И.
1. Параметрикс эллиптических операторов с бесконечным числом не-
независимых переменных.—УМН, 1971, т. 26, №2, с.155—174.
2. Фундаментальные решения бесконечномерных эллиптических опе-
операторов любого порядка с постоянными коэффициентами —ДАН
СССР, 1973, т. 208, № 4, с. 764—767
Вишик М. И., К о меч А. И.
1. Бесконечномерные параболические уравнения, связанные со сто-
стохастическими дифференциальными уравнениями с частными произ-
производными.— ДАН СССР, 1977, т. 233, №5, с. 769—772.
Вишик М. И., К о меч А. И., Ф у р с и к о в А. В.
1. Математические задачи гидромеханики. *-УМН, 1979, т. 34, №5,
с. 135—210.
Вишик М. И., Марченко А. В.
1. Краевые задачи для эллиптических и параболических операторов
второго порядка на бесконечномерных многообразиях с краем. —
Матем. сб., 1973, т. 90, №3, с. 331—371
Вишик М. И., Ф у р си к о в А. В.
1. Трансляционно-однородные статистические решения и индивидуаль-
индивидуальные решения с бесконечной энергией системы уравнений Навье—Сто-
кса. — Сиб. матем. ж., 1978, т. 19, №5, с. 1005—1031.
Гавришова Н. И., Далецкий Ю. Л.
1. Об одной конструкции нелинейных эволюционных систем. — Сб.
«Граничные задачи математической физики». — Киев, 1981, с. 19—
22.
ГаджиевВ. Г.
1. О преобразовании Фурье некоторых классов функций бесконечного
числа переменных. — Сб. «Случайные процессы в задачах матем
физики». —Киев, 1979, с. 57—72.
Гаек Я-
1. Об одном свойстве нормальных распределений произвольного сто-
стохастического процесса. — Чехосл. матем. ж., 1958, т. 8 (83),
с 610—618.
Гельфанд И. М.
1. О некоторых проблемах функционального анализа. —УМН, 1956,
т. 11, № 6, с. 3—12.
Гельфанд И. М., Виленкин Н. Я-
I. Некоторые применения гармонического анализа. —М-: 1961, 472 с.
Гельфанд И. М., Шилов Г. Е.
1. Обобщенные функции, —М.: 1958, т. 1—3.
Гельфанд И. М., Яг лом А. М.
1. Интегрирование в функциональных пространствах и его приме-
применения в квантовой физике. —УМН, 1956, т. 11, Mil, с. 77—
114.
Георгадзе 3. Г., Тариеладзе В. И., Чобаняи С. А.
1. Гауссовские меры в банаховых подрешетках пространства измери-
измеримых функций.—ДАН СССР, 1978, т. 241, №3.
Гестрин Г. Н.
1. Об интеграле Фейнмаиа. — Теор. функц., функц. анал. и прил.,
1970, т. 12, с. 69—81.

ЛИТЕРАТУРА
369
2. Интеграл Фейнмана и разложение по собственным функциям урав-
уравнения Шредингера — Укр. матем. ж., 1976, т. 28, №2, с. 170—182
3. Интеграл Фейнмана и разложение по собственным функциям опера-
оператора Шредингера. —Функц. анализ и прил., 1976, т. 10, № 1,
с. 75—76.
Гетур P. (Getoor R. К.)
1. On characteristic functions of Banach valued random variables. —
Pacif. J. Math., 1957, v. 7, № 1, p. 885—896.
ГирсановИ. В., МитягинБ. С.
1. Квазиинвариантные меры в топологических линейных простран-
пространствах.— Науч. докл. высшей школы Секц физ., матем., 2, 1959,
с. 5—9.
Ги хма н И. И.
1. О некоторых дифференциальных уравнениях со случайными функ-
функциями.—Укр. матем. ж., 1950, т. 2, №3, с. 45—69.
2. К теории дифференциальных уравнений случайных процессов. —
Укр матем. ж., 1950, т. 2, №4, с. 37—63.
Гихман И. И., Скороход А. В.
1. Введение в теорию случайных процессов.—М.: Наука, 1965,
654 с
2. О плотностях вероятностных мер в функциональных простран-
пространствах.—УМН, 1966, т. 21, №6, с. 83—152.
3. Теория случайных процессов. Т. 1,—М.: Наука, 1971, 644 с.
Гохберг И. Ц., К рейн М. Г.
1. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов.—
М.: Наука, 1965, 448 с.
Гросс Л. (Gross L.)
1. Abstract Wiener spaces. —Proc. of the Fifth Berkeley Simp, Math.
Stat. and Probability, 1965, v. 2, p. 31—42.
2. Measurable functions on Hilbert space.—Trans. Amer. Math. Soc,
1962, v. 105, p. 372—390.
3. Harmonic analysis on Hilbert space.—Memoirs. Amer. Math. Soc.,
1963, y. 46.
4. Potential theory on Hilbert space.—J. Funct. Anal., 1967, v. 1
p. 123-181.
5. Integration and nonlinear transformations in Hilbert space. — Trans
Amer. Math. Soc, 1960, v. 94, № 3, p. 404—440.
Гуд мен В. (Goodman V.)
1. A divergence theorem for Hilbert space.—Trans. Amer. Math. Soc,
1972, v. 164, p. 411—426.
Гусейнов Р. В.
1. Некоторые свойства преобразований Фурье—Винера. — Вестн
МГУ, матем., мех., 1970, т. 4, с. 39—49.
2. К теории преобразования Фурье—Винера.—Вестн. МГУ, матем.,
мех., 1969, т. 4, № 1.
Дад ли P. (Dudley R. М.)
1. The sizes of compact subsets of Hilbert space and continuity
of Gaussian processes. —J. Funct. Anal., 1967, v. 1, Ш 3, p. 290—
330.
2. Sample functions of the Gaussian process.—Ann. Prob., 1973, v. 1,
№ 1, p. 66 — 103.
ДалецкийЮ. Л.
1. О представимости решений операторных уравнений в виде кон-
континуальных интегралов. —ДАН СССР. I960, т. 134, Nt 5,
с. 1013-1016

370 ЛИТЕРАТУРА
2. Континуальные интегралы, связанные с некоторыми дифферен-
дифференциальными уравнениями и системами.—ДАН СССР, 1901, т. 137,
№ 2, с 268-271.
3 Континуальные интегралы и характеристики, связанные с группой
операторов.—ДАН СССР, 1961, т. 141, № 6, с. 1290—1293.
4. Фундаментальные решения операторного уравнения и контину-
континуальные интегралы. — Изв. вузов, сер. Математика, 1961 № 3,
с. 27 —48
5. Континуальные интегралы, связанные с операторными эволюцион-
эволюционными уравнениями. — УМН, 1962, т. 17, № 5, с. 3—115.
6. Дифференциальные уравнения с функциональными производными
и стохастические уравнения для обобщенных случайных процес-
процессов.—ДАН СССР, 1966, т. 166, № 5, с. 1035—1038.
7. Эллиптические операторы в функциональных производных и свя-
связанные с ними диффузионные уравнения. —ДАН СССР, 1966,
т. 171, № 1, с. 21—24.
8. Бесконечномерные эллиптические операторы и связанные с ними
параболические уравнения.— УМН, 1967, т. 22, № 4, с. 3—54.
9. Интегрирование в функциональных пространствах.—Итоги науки.
Матем. анализ, 1966.—Москва, 1967, с. 83—124.
10. Integration in function spaces and differential equations with fun-
functional derivatives.—Studia math., 1970, v 38, p. 333 — 340.
11. О некоторых задачах, связанных с интегрированием в функ-
функциональных пространствах и дифференциальными уравнениями в
функциональных производных.—Труды симпозиума по механике
сплошных сред.—Тбилиси, 1973, с. 78—88.
12. Диффузионные проиессы в бесконечномерных пространствах и
диффузионные уравнения с бесконечномерным аргументом. —Ма-
—Материалы Всесоюзной школы-семинара по дифференциальным урав-
уравнениям с бесконечным числом независимых переменных и дина-
динамическим системам с бесконечным числом степеней свободы. —
Ереван, 1974, с. 5—49.
13 Мультипликативные операторы от диффузионных процессов и диф-
дифференциальные уравнения в сечениях векторных расслоений. —
УМН, 1975, т. 30, № 2, с. 209-210.
14. О самосопряженности и максимальной диссипативности дифферен-
дифференциальных операторов для функций бесконечномерного аргумен-
аргумента.—ДАН СССР, 1976, т. 227, № 4, с. 784-787.
15. Вероятностные методы в некоторых задачах бесконечномерного
анализа.—Сб. «Предельные теоремы для случайных процессов». —
Киев, 1977, с. 108—124.
16. Operator multiplicative functionals and their applications.—Lec-
applications.—Lecture Notes in Control and Information Scienes, 25. — Springer—Ver-
lag, Berlin — Heidelberg — New Work, p. -38—49.
17. Композиционный мультипликативный интеграл формального сте-
степенного ряда — Функц анализ и прил., 1980, т. 14, № 4, с. 75—76.
ДалецкийЮ. Л., Заплитная А. Т.
1. Интегралы по пространству деревьев, связанные с нелинейными
параболическими уравнениями —Укр. матем. ж., 1965, т. 5,
с. 110—114.
Д а л ец ки й Ю. Л., Крылов В. Ю., МинлосР. А. Суда-
Судаков В. Н.
1. Функциональное интегрирование и меры в функциональных про-
пространствах.— Тр. 4-го Всесоюзного матем. съезда, т. II Ленин-
Ленинград, 1961; Ленинград, 1964, с. 282—292.

ЛИТЕРАТУРА 371
Да лец к и й Ю. Л., К у х а р ч у к Н. М.
1. Уравнения первого порядка с функциональными произвол .
ными.— Укр. матем. ж., 1965, № 6, с. 114—117.
Да лец к и й Ю. Л., ЛадохинВ. И.
1. Об одном классе функционалов, интегрируемых по неположитель
ным распределениям. —Укр матем. ж., 1963, т. 15, № 4, с. 418 —
420
Далецкий IO. Л., Парамонова С. Н
1. Об одной формуле теории гауссовых мер и оценке стохастических
интегралов.—Теор вероятн и прим., 1974, № 4, с. 845 — 849
2. Интегрирование по частям по мерам в функциональных простран-
пространствах и некоторые применения, I. Теор. вероятн. и матем. стат.,
1977, т. 17, с. 51—60; П. Теор. вероятн и матем. стат., 1978,
т. 18, с. 37—45
Далецкий Ю. Л., Самойленко Ю. С.
1. Спектральное разложение положительно определенных бираспре-i
делений.-ДАН СССР, 1973, т. 213, № 3, с. 515-518
Да ле ц к и й Ю. Л., Ст р е мс к и й В. В.
1 Фейнмановские интегралы для уравнений Шредингера в функцио-
функциональных производных. —УМН, 1969, т. 24, № 1, с. 191 —
192.
Далецкий Ю. Л., Тетерина Н И.
1. Мультипликативные стохастические интегралы. — УМН, 1972, т. 27,
№ 2, с. 167—168.
Далецкий Ю. Л., Фомин С. В.
1. Обобщенные меры в функциональных пространствах. — Теор. веро-
вероятн. и прим., 1965, т. 10, № 2, с. 329—343
2. Обобщенные меры в гильбертовом пространстве и прямое урав-
уравнение Колмогорова ДАН СССР, 1972, т. 205, № 4, с. 759 —
762.
3. Случайные функции в бесконечномерных пространствах и связан-
связанные с ними вопросы анализа.—Тезисы докладов международной
конференции по теории вероятностей.—Вильнюс, 1973, с. 197 —
200.
4. Дифференциальные уравнения для распределений в бесконечно-
бесконечномерных пространствах.—Труды семинара им. Г. И. Петров-
Петровского, 1978, т. 4, с. 45 — 64.
Даифорд Н., Шварц Дж. Т. (Dunford N., Schwartz J. Т.)
1. Линейные операторы. Общая теория. —М.: 1962, 895 с.
Доискер М. (Donsker M. D.)
1. On function space integrals. — Proc. Conf. theory and applic. ana-
analysis function space. — Dedham, Mass., 1963.— Cambridge: Mass.
Technol. Press, 1964, p. 17 — 30.
Дорфман И. Я.
1. О средних и лапласиане функций на гильбертовом простран-
пространстве.—Матем. сб., 1970, т. 81, № 2, с. 192—208.
2. Методы теории пучков в теории лапласиана Леви.—УМН, 1973,
т. 28, № 6, с. 203—204.
3. О дивергенции векторных полей в гильбертовом пространстве. —
Сиб. матем. ж., 1976, т. 17, № 5, с. 1023—1031.
Д о у с о н Д. (Dawson D. А.)
1. Stochastic evolution equations. —Math. Biosciences, 1972, v. 15,
p. 287 — 316.
2. Stochastic evolution equations and related measure processes. —
J. Multivar. Anal., 1975, v. 5, p. 1—52.

372 ЛИТЕРАТУРА
Дуб Дж. (Doob J. L.)
1. Stochastic processes. —N Y., 1953; Вероятностные процессы. — М.:
ИЛ, 1956, 605 с.
Дуд и и Д. Н.
1. Теория распределений на гильбертовом пространстве. — УМН,
1972, т. 27, № 2, с. 169—170.
Дьедоине Ж. (Dieudonne J.)
1. Основы современного анализа.—М.: 1964, 430 с.
Д ын к и и Е. Б.
1. Основания теории марковских процессов.—М.: 1959.
2. Марковские процессы.—М.: 1963, 859 с.
Евграфов М. А.
1. Об одной формуле для представления фундаментального решения
дифференциального уравнения континуальным интегралом. —
ДАН СССР, 1971, т. 191, № 5, с. 979 — 982.
Заплитная А. Т.
1. Об одном приближенном методе решения нелинейных оператор-
операторных уравнений.—ДАН УССР, 1965, т. 11, с. 1434—1437.
Зейдмен Т. (Seidman Т.)
1. Linear transformation of a functional integral. —Comm. Pure and
Appl. Math., I, 1959, v. 12, № 4, p. 611-621; II, 1964, v. 17,
№ 4, p. 493-508.
ИтоК. (Но К.)
1. Stochastic integral.—Proc. Imp. Acad. Tokyo, 1944, v. 20,
p. 519-524.
2. On a stochastic integral equation.—Proc. Japan Acad., 1946
v. 22, № 2, p. 32—35.
3. On stochastic differential equations.—Memoirs Amer. Math. Soc.,
v. 4, 1951.
4. Wiener integral and Feynman integral. —Proc. 4-th Berkeley Symp.
Math. Statist, and Probability, 1960, № 2, Berkeley —Los Ange-
Angeles, Univ. California Press, 1961, p. 227 — 238.
5. Stationary random distributions.—Mem. Coll. Sci. Univ., Kyoto
1954, v. 28, p. 209 — 223.
6. Complex multiple Wiener integral.—Japan J. Math., 1952, v. 22,
p. 63 — 86.
Й о p M. (Yor M.)
1. Existence et unicite de diffusion a valeurs dans un espace de Hil-
bert. — Ann. Inst. H. Poincare, sect. B, X-l, 1974, p. 55 — 88.
Какутани С. (Kakytani S.)
1. On equivalence of infinite product measures.—Ann. Math., 1948,
v. 4, № 9, p. 214—224.
Камерон P. (Cameron R. H.)
1. A family of integrals serving to connect the Wiener and Feyn-
Feynman integrals.—J. Math, and Phys., 1960, v. 39, № 2, p. 126 —
140.
2. The first variation of an indefinite Wiener integral.—Proc. Amer.
Math., Soc, 1951, v. 2, p. 914 — 924.
Камерон Р., Донскер M. (Cameron R. H., Donsker M. D.)
1. Inversion formulae for characteristic functionals of stochastic pro-
processes.—Ann. of Math., 1959, v. 69, p. 15—36.
Камерон Р., МартииВ. (Cameron R. H., Martin W. T.)
1. The orthogonal development of non-linear functionals in series of
Fourier —Hermite functionals.—Ann. of Math.. 1947, v. 48, Mi 2.
p. 385-392.

ЛИТЕРАТУРА 373
2. Fourier — Wiener transforms of analytic functional. — Duke Math.
J., 1945, v. 12, № 3, p. 17-25.
Кат о Т. (Kato Т.)
1. Теория возмущений линейных операторов—М.: Мир, 1972, 740 с.
Кац М. (Кае М.)
1. On a distribution of certain Wiener functionals.—Trans. Amer.
Math. Soc, 1949, v. 65, p. 1—13.
2. On some connections between probability theory and integral equa-
equations.-Proc. 2nd Berkeley, 1951, p. 189—215.
К а ц М. П.
1. О продолжении векторных мер. —Сиб. матем. ж., 1972, т. 13,
№ 5, с. 1158-1168.
2. Счетная аддитивность производных от достаточно гладких мер. —
УМН, 1973, т. 28, № 3, с. 183-184.
3. Дифференцируемые меры.—Диссертация, Москва, МГУ, 1976,
109 с.
Квелбс Дж. (Kuelbs J.)
1. Gaussian measures on a Banach space. —J. Funct. Anal., 1970,
v. 5, № 3, p. 354 — 367.
2. Abstract Wiener spaces and applications to analysis. — Pacif. J.
Math., 1969, v. 31, № 2, p. 433-450.
Квелбс Дж., Мандрекар В. (Kuelbs J., Mandrekar V.)
1. Harmonic analysis on certain vector spaces.—Trans. Amer. Math.
Soc, 1970, v. 149, № 1, p. 213 — 231.
Ковальчик И. М.
1. Интеграл Винера. —УМН, 1963, т. 18, № 1, с. 97—134
Колмогоров А. Н.
1. Основные понятия теории вероятностей. —М. — Л.: 1963, 80 с;
2-е изд. —М.: Наука, 1974.
2. La transformation de Laplace dans les espaces lineaires. —С R.
Acad. Sci., 1935, v. 200, p. 1717.
3. Замечания о работах Р. А Минлоса и В. В. Сазонова. —Теор.
вероятн. и прим., 1959, т. 4, № 2, с. 237—239.
Костюченко А. Г., Митягин Б. С.
1. Положительно определенные функционалы на ядерных простран-
пространствах.—Тр. Моск. матем. о-ва, 1960, т. 9, с. 283 — 316.
К р е й н С. Г.
1. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом простран-
пространстве.—М.: Наука, 1967, 404 с.
Крылов В. Ю.
1. О некоторых свойствах распределения, отвечающего уравне-
уравнению.—ДАН СССР, 1960, т. 132, №6, с. 1254—1257.
2. Интегрирование аналитических функционалов по знакоперемен-
знакопеременным распределениям.—ДАН СССР, 1965, т. 163, № 2, с. 289—
292.
Крылов Н. В.
1. Об эволюционных стохастических уравнениях.— Итоги науки
и техники. Сер. Совр. пробл. матем., 1979, т. 14, с. 71 — 146.
Крылов Н. В., Розовский Б. Л.
1. О задаче Коши для линейных стохастических уравнений в част-
частных производных. —Изв. АН СССР, 1977, т. 41, № 6, с. 1329 —
1347.
Куо X. (Кио Н. Н.)
1. Gaussian Measures in Banach Spaces. —Lect. Notes in Math., 463. —
Berlin, 1975, p. 1—221.

374 ЛИТЕРАТУРА
Kyo X., Пич М. (Kuo H. H., Piech M. А.)
1. Stochastic integral and parabolic equation in abstract Wiencer
space.—Bull. Amer. Math. Soc, 1973, v. 79, p. 478 — 482.
Ладохин В. И.
1. Вычисление континуальных интегралов от функционалов. — УМН,
1964, т. 19 № 1, с. 155 — 159.
2. Об одной последовательности континуальных интегралов.—Изв
вузов, сер. Математика, 1965, № 4, с. 84 — 90
Ладыженская О. А., Солонников В А., Ураль-
Уральцев а Н. Н.
1. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа.—
М.: Наука, 1967, 736 с.
Л е в и П. (Levy P.)
1. Конкретные проблемы функционального анализа.—М.: 1967, 510 с.
Л е К а м Л. (Le Cam L.)
1. Convergence in distribution of stochastic processes.—Univ. Calif.
Publs. Stat., 1957, v. 2, № 11, p. 207-236.
Майков Е. B.
1. т-гладкие функционалы и интегрирование в функциональных
пространствах. —УМН, 1963, т. 18, № 3, с. 243 — 244.
2. т-полиномы и т-аналитические функционалы. —ДАН СССР 1964,
т. 156, № 5, с. 1025—1028.
М а й к о в Е. В., Ф о м и н С. В.
1. Меры в функциональном пространстве и разностные схемы. —
ДАН СССР, 1963, т. 149, № 3, с. 525 — 528
Маккин Г. (МсКеап Н. Р.)
1. A class of Markov processes associated with nonlinear parabolic
equations. —Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 1966, v. 59, № 6,
p. 1907-1911.
2. Stochastic integrals. —N. Y., 1969; Стохастические интегралы.—
M. 1972, 184 с.
Макшейн Е. (McShane E. J.)
1. Integration in linear spaces. —Arch. Ration. Mech. and Analysis,
1965, v. 18, № 5, p. 403-421.
Map еден Дж. (Marsden J.)
1. On product formulas for nonlinear semigroup.—J. of Funct. Anal.
1973, v. 13, p. 51-72.
Марченко А. В.
1. Самосопряженные дифференциальные операторы с бесконечным
числом независимых переменных.—Матем. сб., 1975, т. 96, № 2,
с. 276-293.
Ма с л о в В. П.
1. Операторные методы.—М.: Наука, 1973, 543 с.
Маслов В. П., Чеботарев А. М.
1. Континуальный интеграл Фейнмана по ветвящимся траекториям.—
УМН, 1979, т. 34, № 5, с. 237—238.
Маслов В. П., Шишмарев И. А.
1. О Т-произведении гипоэллиптических операторов.—Совр. пробл.
матем., 1976, № 8, с. 137—197.
Мийо К. (Milxaud X.)
1. Etude d'une famille et fonctions integrables an sens d'une quasi-
mesure.— С. г. Acad. Sci., 1970, v. 271, p. 494—496.
Ми н л ос Р. А.
1. Продолжение обобщенного случайного процесса до вполне адди-
аддитивной меры.—ДАН СССР, 1958, т. 119, № 3, с. 439-442.

ЛИТЕРАТУРА 375
2. Обобщенные случайные процессы и нх продолжение до меры. —
Тр. Моск. матем. о-ва., 1959, т 8, с. 497—518.
Миямото М. (Miyamoto M.)
1. An extension of certain quasi-measure. — Proc. Japan Acad., 1966,
v. 42, № 2, p. 70—74.
Мурье Э. (Mourier E.)
1. Elements aleatoires dans un espace de Banach.—Paris, 1954.
МуштариД. X.
1. Некоторые общие вопросы теории вероятностных мер в линейных
пространствах. —Теор. вероятн. и прим., 1973, т. 18, № 1,
с. 66-77.
2. Sur l'existence d'une topologie du type de Sazonov sur un espace
de Banach.— Seminaire Maurey —Schwartz, Ecole Polytechnique,
1975—76, Expose 17.
3. La topologie du type Sazonov powe les Banach of les supports
hilberties,—Ann. Sci. de l'univ. de Clermont, 1976, v. 61,
p. 77-87.
Неве Ж- (Neven J.)
1. Bases mathematiques du calcul des probabilites.—Paris, 1964;
Математические основы теории вероятностей. —М.: Мир, 1969.
Нельсои Э. (Nelson E.)
1. Feynman integrals and the Schrodinger equation.—J. Math. Phys.,
1964, v. 5, № 3, p. 332 — 343.
Немировский А. С, Шилов Г. Е.
1. Об аксиоматическом описании оператора Лапласа для функций
на гильбертовом пространстве. —Функц. анализ и прил., 1969,
т. 3, № 3, с. 79-86.
Новикове. А.
1. Решение некоторых уравнений с вариационными производными. —
УМН, 1961, т. 16, № 2, с. 135-142
2. Функционалы н метод случайных сил в теории турбулентности. —
Ж- эксп. и теор., физ., 1964, т. 47, № 5, с. 1919—1926.
Па рду Э. (Pardoux E.)
1. Equations aux derivees partielles stochastiques поп lineares mono-
monotones, these.—Paris, 1975.
Пинский М. (Pinsky M.)
1. Multiplicative operator functional of a Markov processes.—BAMS,
1971, v. 77, p. 377.
2. Stochastic integral representation of multiplicative operator fun-
functionals of a Wiener processes.—Trans. Amer. Math. Soc., 1972,
v. 167, № 5.
Пич A. (Pietch A.)
1. Ядерные локально выпуклые пространства. —М.: Мир, 1967.
П и ч М. (Piech M. А.)
1. A fundamental solution of the parabolic equation on Hilbert
space. —J. Funct. Anal., 1969, № 3, p. 85—114.
Полищук Е. M.
1. О среднем значении функционала.—УМН, 1955, т. 10, № 2,
с. 179 — 186.
2. О континуальных средних и сингулярных распределениях. — Теор.
вероятн. и прим., 1961, т. 6, № 4, с. 465—469.
3. О дифференциальных уравнениях с функциональными параметра-
параметрами.—Укр. матем. ж., 1963, т. 15, № 1, с. 13—24.
4. О функциональном лапласиане и уравнениях параболического
типа. —УМН, 1964, т. 19, № 2, с. 155 — 162.

376 ЛИТЕРАТУРА
5. О функциональных аналогах уравнения теплопроводности. —Сиб.
матем. ж., 1965, т. 6, № 6, с. 1322 —1331.
6. Об уравнениях Лапласа и Пуассона в функциональном простран-
пространстве.—Матем. сб., 1967, т. 72, № 2, с. 261—292.
7. О некоторых новых связях управляемых систем с уравнениями
математической флзики. — Дифф. уравн., 1972, т. 8, № 2,
с. 333—348.
Прохоров Ю. В.
1. Сходимость случайных процессов и предельные теоремы теории ве-
вероятностей.—Теор. вероятн. и прим., 1956, т. 1,№ 2, с. 177 — 238.
Прохор ов Ю. В., Сазонов В. В.
1. Некоторые результаты, связанные с теоремой Бохнера.—Теор.
вероятн. и прим., 1961, т. 6, № 1, с. 87—93.
Рей мер P. (Ramer R.)
1. On nonlinear transformations of Gaussian measures.—J. Funct.
Anal., 1974, v. 15, № 2, p. 166—187.
Рид М. (Reed M.)
1. On selfadjointness in infinite tensor product spaces.—J. Funct.
Anal., 1970, v. 5, № 1, p. 94 — 124.
Розанов Ю. A.
1. Гауссовские бесконечномерные распределения.—Тр. Матем. ин-та
им. Стеклова, 1966, т. 108, с. 1 — 136.
Розовский Б. Л.
1. О стохастических дифференциальных уравнениях в частных произ-
производных. — Матем. сб., 1975, т. 96, №2, с. 314—341.
2. On Но equations in Hilbert space. — Second Vilnius Conf. Prob. Th. 3,
Vilnus, 1977, с 196—197.
Ройтбурд В. Л.
1. О представлении решения задачи Коши в виде континуального
интеграла. — ДАН СССР, 1971, т. 201, №3, с. 545—547.
2. О представлении оператора e~tP континуальным интегралом. —
Фуикц. анализ и прил., 1976, т. 10, №2, с 86—87.
Сазонов В. В.
1. Несколько замечаний о характеристических функционалах обоб-
обобщенных мер.—Тр. VI Всесоюзн. совещания по теор. вероятн. и
матем. стат., Вильнюс, 1962, с. 449—454.
2. Несколько результатов о характеристических функционалах. —
ДАН СССР, 1962, т. 142, №5, с. 1034—1035.
3. Замечание о характеристических функционалах. —Теор. верояти.
и прим., 1958, т. 3, №2, с. 201—205.
4. О характеристических функционалах —Тр. VI Всесоюзн. совеща-
совещания по теор. вероятн. и матем. стат., Вильнюс, 1962, с. 455—462.
С а 4 м о и Б. (Simon В.)
1. Модель Р(фJ евклидовой квантовой теории поля.—М.: Мир, 1976,
367 с.
Саймон Б., Хёг-Крон P. (Simon В., Hoegh-Krohn R.)
1. Hypercontractive semigroupt and two-dimensional self-coupled Bose
fields. —J. Funct. Anal., 1972, v. 9, p. 121—180.
Сато X. (Sato H.)
1. Gaussian measure on a Banach space and abstract Wiener measure. —
Nagoya Math. J., 1969, v. 36, p. 65—81.
Сигал И. (Segal J. E.)
1. Tensor algebras over Hilbert spaces. 1. Trans. Amer Math Soc,
1956, v. 81, № 1, p. 106—134; II. Ann, Math., 1956, v. 63, № 1,
p. 160-176.

ЛИТЕРАТУРА 377
2. Abstract probability spaces and a theorem of Kolmogoroff.—Amer.
J. Math., 1954, v. 76, № 3, p. 721—732.
3. Distributions in Hilbert space and canonical system of operators. —
Trans. Amer. Math. Soc, 1958, v. 88, № 1, p. 12—4].
Скороход А. В.
1. О дифференцируемое™ мер, соответствующих случайным процес-
процессам. 2. Марковские процессы.—Теор. вероятн. и прим., i960,
т. 5, №1, с. 45—53.
2. Нелинейные преобразования вероятностных мер в функциональных
пространствах.—ДАН СССР, 1966, т. 168, № 6, с. 1269—1271.
3. Исследования по теории случайных процессов. —Киев, 1961.
4. Интегрирование в гильбертовом пространстве. — М.: Наука, 1975,
231 с.
5. Об одном обобщении стохастического интеграла. — Теор. вероятн.
и прим., 1975, т. 20, № 2, с. 223—238.
6. Ветвящиеся диффузионные процессы. — Теор. вероятн. и прим.,
1964, г. 9, №3, с. 492—497.
Смоляное О. Г.
1. Об измеримых полилинейных и степенных функционалах в не-
некоторых линейных пространствах с мерой.—ДАН СССР, 1966,
т. 170, №3, с. 38—41.
2. Один метод доказательства теорем единственности для эволюцион-
эволюционных дифференциальных уравнений.—Матем. заметки, 1979 т. 25
№2, с. 259—269.
3. Линейные представления эволюционных дифференциальных урав-
уравнений.—ДАН СССР, 1975, т. 221, №6, с. 1288—1291.
4. Анализ на топологических линейных пространствах и его приложе-
приложения.—Изд. МГУ, 1979, 86 с.
Смоляиов О. Г., Фомин СВ.
1. Меры иа линейных топологических пространствах. — УМН, 1976,
т. 31, №4. с. 3—56.
Судаков В. Н.
1. Линейные множества с квазииивариантной мерой. — ДАН СССР,
1959, т. 127, №3, с. 524—525.
2. Меры Гаусса, Коши и е-энтропия. _ ДАН СССР, 1969, т. 185,
№1, с. 51—53.
3. Геометрические проблемы теории бесконечномерных распределе-
распределений.— Тр. Матем. ин-та им. Стеклова, 1976, CXL, №1, с. 1—190.
Тетерииа Н. И.
1. Мультипликативные стохастические интегралы с операторными коэф-
коэффициентами.— Укр. матем. ж., 1973, т. 25, №3.
Тинфавичюс Э.
1. Stochastic evolution equations.—Second Vilnius Conf. Probab. Th.,
1977, № 3, p. 231—234.
Троттер X. (Trotter H. E.)
1. On the product of semi-groups of operators.—Proc. Amer. Math.
Soc, 1959, v. 10, № 4, p. 545—551.
Углаиов А. В.
1. Уравнение теплопроводности для мер в осиащеииом гильбертовом
пространстве.—Вестник МГУ, матем., мех., 1971, №1, с. 52—60.
2. О мерах и характеристических функционалах на бесконечномерных
пространствах. — УМН, 1977, т. 32, №1, с. 207—208.
3. Дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами для
обобщенных мер на гильбертовом пространстве.—Изв. АН СССР,
1975, т. 39, №2, с. 438—468.

378 ЛИТЕРАТУРА
4. Дифференцируемые меры в оснащенном гильбертовом простран-
пространстве.—Вестник МГУ, матем., мех., 1972, №5, с. 14—24.
5. Об одной конструкции фейнмановского интеграла. — ДАН СССР,
1978, т. 243, № 6, с. 1406—1409.
Умемура Я. (Umemura Ya.)
1. On the infinite dimensional Laplarian operator. — J. Math. Kyoto
Univ., 1965, v. 4, № 3, p. 478-492
Фарис В. (Faris W G.)
1. The product formula for smig semigroups defined by Friedrichs
extensions. —Рас. J. Math., 1967, v. 22, p. 147—179.
2. Product formulas for perturbations of linear operators.—J. Funct.
Anal., 1967, № 1, p. 93-108.
Фейнман Р. (Feynman R. P.)
1. Space-time approach to non-relativistic quantum mechanics.—Rev.
Mod. Phys., 1948, v. 20, № 2, p. 367-387.
Фейнман Р., Хиббс A. (Feynman R. P., Hibbs A. R.)
1. Quantum mechanics and path integrals. — N. Y., 1965; Квантовая
механика и интегралы по траекториям. —М.: Мир, 19.
Ф'е л л е р М. Н.
1. Об уравнении Лапласа в пространстве Ц(С).— ДАН УССР, 1965,
№ 12, с. 1558—1562.
2. Об уравнении &U-\-P(x) (У — О и функциональном пространстве —
ДАН СССР, 1967, т. 172, №6, с. 1282-1285.
3. О бесконечномерных эллиптических операторах.—ДАН СССР, 1972,
т. 205, №1, с. 36—39.
4. О разрешимости бесконечномерных самосопряженных эллиптических
уравнений.—ДАН СССР, 1975, т. 221, №5, с. 1046—1049.
5. Бесконечномерные дифференциальные операторы Лапласа—Леви —
Укр. матем. ж., 1980, т. 32, №1, с. 69—79.
6. О решимости некоторых уравнений в вариационных производных
в пространстве Ц(С). — ДАН УССР, 1965, №8, с. 994—998.
Фельдман Дж. (Feldman J.)
1. Equivalence and perpendicularity if Gaussian processes. —Pacif.
J. Maih., 1958, v. 8, № 4, p. 699—708.
2. On the Schrodinger and heat equations for nonnegative potentials. —
Trans. Amer. Math. Soc, 1963, v. 108, № 2, p. 257—264.
3. Extending complex quasi-measures.—Теор. вероятн. и прим., 1965,
т. 10, № 2, с. 375—379.
Фомин СВ.
1. Дифференцируемые меры в линейных пространствах. —УМН, 1968,
т. 23, №1, с. 221—222.
2. Обобщенные функции бесконечного числа переменных и их пре-
преобразования Фурье.— УМН, 1968, т. 23, №2, с. 215—216.
3. О некоторых новых проблемах и результатах в нелинейном
функциональном анализе. — Вестник МГУ, матем., мех., 1970,
№2, с. 57—65.
4. Метод преобразования Фурье для уравнений в функциональных
производных. — ДАН СССР, 1968, т. 181, №4.
5. О включении интеграла по мере Винера в общую теорию интеграла
Лебега. — Науч. докл. высш. шк., Секц. физ., матем. н., 1958,
№2, с. 83—85.
Ф о я ш Ч. (Foias С.)
1. Statistical study of Navier-Stokes equations. 1. Rend. Sem. Matem.
Univ. Padova, 1972, v. 48, p. 219—348. II. Rend. Sem. Matem.
Univ. Padova, 1973, v. 49, p. 9—123.

ЛИТЕРАТУРА' 379
Фрейдлин М. И.
1. Квазилинейные параболйтические уравнения и меры в функцио-
функциональном пространстве. — Функц. анализ и прил., 1967, т. 1,№3,
с. 74—82.
2. О существовании «в целом» гладких решений вырождающихся
квазилинейных уравнений. — Матем. сб., 1969, т. 78, № 3,
с. 332—348.
Фридман A. (Friedman A.)
1. Уравнения с частными производными параболического типа.—М.:
Мир, 1969, 427 с.
Фролов Н. Н.
1. К задаче Дирихле в гильбертовом пространстве. — Теор. вероятн.
и матем. стат., 1970, №3, с. 200—210.
2. Теоремы вложения для функций счетного числа переменных и их
приложения к задаче Дирихле. —ДАН СССР, 1972, т. 203, № 1,
с. 39—42.
3. О неравенстве коэрцитивности для эллиптического оператора с бе-
бесконечным числом независимых переменных.—Матем. сб., 1973,
т. 90, №3, с. 403—414.
4. О задаче Дирихле для эллиптического оператора в цилиндрической
области гильбертова пространства —Матем. сб., 1973, т. 92, №3,
с. 430—445.
5. Самосопряженность эллиптических операторов с бесконечным числом
переменных.—Функц. анализ и прил., 1980, т. 14, № 1, с. 85—86.
Халмош П. (Halmos P. R.)
1. Теория меры.—М.: ИЛ, 1953.
Хида Т. (Hida Т.)
1. Note on the infinite dimensional Laplacian operator.—Nagoya Math.
J., 1969.
2. Complex white noise and infinite dimensional unitary group. —
Math. Inst. Nagoya Univ., 1971, p. 1—75.
Хопф E. (Hopf E.)
1. Statistical hydrodynamics and functional calculus. — J. Rat. Mech.
Anal., i952, v. 1, p. 87—123.
ЧантладзеТ. Л.
1. О стохастическом дифференциальном уравнении в гильбертовом
пространстве.—Сообщ. АН Груз. ССР, 1964, т. 33, № 3, с. 529—
534.
2. О стохастическом дифференциальном уравнении в гильбертовом
пространстве. — Тр. Вычисл. центра АН Груз. ССР, 1965, т. 5,
№ 1, с. 106—124.
Чернов П. (Chernoff P. R.)
1. Nota on product formulas for operator semi-groups.—J. of Funct.
Anal., 1968, № 2, p. 238—242.
2. Product formulas, nonlinear semigroups and addition of unbounded
operators,—Mem. Am Math. Soc., 1974, v. 140.
Чобаиян С. А.
1. Некоторые характеристики гауссовскнх мер в банаховом простран-
пространстве. — Тр. вычисл. АН Груз. ССР, 1975, т. 14, № 2, с. 80—116.
Чобанян С. А., Тариеладзе В. И.
1. Gaussian characterizations of certain Banach spaces. — Journ. of
Mult. Anal., 1977, v. 7, № 1, p. 183—203.
Шавгулидзе Е. Т.
1, Теорема Минлоса для незнакоопределенных мер. — УМН, 1976,
т. 31, №2, с. 239.

380 ЛИТЕРАТУРА
Шварц Л. (Schwartz L.)
1. Radon measures on arbitraty topological spaces and cylindrical
measures.—Oxford Univ. Press, 1973.
Швингер Ю. (Schwinger J.)
1. Квантовая электродинамика.—Сб. «Новейшее развитие квантовой
электродинамики».—Москва, 1954, с. 12—137.
Шерстнев А. Н.
1. О решении уравнений в функциональных производных.—Изв.
вузов, сер. Математика, 1961, №6, с. 155—158.
Шефер X. (Schaefer H.)
1. Topological vector spaces,—N. Y., 1966; Топологические вектор-
векторные пространства.—М.: Мир, 1971, 358 с.
Шилов Г. Е.
1. О некоторых вопросах анализа в гильбертовом пространстве. —
I. Функц. анализ и прим., 1967, т. 1, № 2, с. 81—90; II. Матем.
исслед., 1968, т. 2, №4, с. 166—186; III. Матем. сб., 1967, т. 74,
с. 161—168.
Шилов Г. Е., Фан Дык Тинь.
1. Интеграл, мера и производная на линейных пространствах. —М.:
Наука, 1967, 192 о.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абсолютно выпуклые множества 51
1— непрерывная мера 90
Алгебра цилиндрических множеств
21
— У-цилиндрических множеств 31
Аппроксимация предмеры снизу 16
Бираспределение 182
— позитивное 201
— р^^-квазиинвариантное 201
Бохнера теорема 45
Бочечное л. в. п. 51
Вероятностное пространство 313
Вероятность события 313
Ветвящаяся композиция набора ото-
отображений 301
— траектория 297
Взаимно сингулярные меры 90
Винеровский случайный процесс 317
— — — стандартный 318
Вложение квазиядерное 71
Гауссова мера 56, 57
**- — каноническая 71
—- цилиндрическая мера 64
Двойственность 61
Дерево 296
Дивергенция 162
Дифференциал стохастический 322
Дифференциальное выражение (ли-
(линейное однородное) порядка k, по-
порождаемое оператором 159
^— —, символ 160
¦— — эллиптическое 161
Ж 3)-Дифференцируемость 155
до порядка п 159
(М, б)-дифференцируемость меры
вдоль Qjjjr, 0) 169
Измеримое линейное пространство 33
*— отображение ((Л, Л)-измеримое) 28
«— пространство 13
Измеримый линейный оператор 76
*— — функционал 74
^-инвариантное эволюционное се-
семейство распределений 210
Интеграл Ито стохастический 320
е— континуальный по квазимере 268
— по квазимере 39, 47
Интегрируемость по марковской ква-
квазимере 258
Какутани теорема 90
Каноническая гауссова мера 71
Квазигильбертово пространство 62
^^-квазиинвариантное бираспреде-
бираспределение 201
— распределение 196
Квазиинвариантности множитель 197
Квазимера 24, 36
— марковская 253
— неотрицательная 46
— типа (F, (?) 47
— фейнмановская 114
Квазиядерное вложение 71
Колмогорова теорема 26, 316
Компактное множество 63
Компактность относительная 64
Компактный класс 16
Конечномерные проекции отображе-
отображения 36
— — распределения 183
— — — квазимеры 37
Континуальный интеграл по квази-
квазимере 258
обобщенной переходной мере
287
Корректная задача 208
Корректное уравнение 226
Корреляционная форма неотрицатель-
неотрицательной цилиндрической меры 138
Корреляционный оператор 67
^ -— цилиндрической меры 64
&• функционал 64
Леви теорема 151
Линейное измеримое отображение 33
*— однородное дифференциальное вы-
выражение порядка k 169
— расширение 33
Локально выпуклая топология, со-
согласующаяся с двойственностью 61
» выпуклое пространство (л. в. п.)
60
mm е-э ^> бочечное 61
Мажорирование 28
Макки пространство 61
>— топология 61
Марковская квазимера 253
Марковский случайный процесс 316
Мера 13
*ч абсолютно непрерывная 90
*«* гауссова 66, 57
««* в— каноническая 71
« переходная 251
— нормированная 262
!-« обобщенная 283
— однородная 265
Радона 17
регулярная 140
Х-регулярная 123
^- сильно 124
цилиндрическая гауссова 64

382
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Меры взаимно сингулярные 90
— ортогональные 90
— эквивалентные 90
Минлоса теорема 128
Множества F-цилиндрические 27
— ^.-цилиндрические 27
Множитель квазиинвариантности 197
Модификация случайной функции 314
Мультипликативный интеграл 276
— функционал 285
— — операторный 340
— — — равномерный 340
Мультипликатор 178
Направленное семейство алгебр 20
— — —, предел 20
Направляющее отображение 27
Независимость 314, 315
— в совокупности 314
Некоррелированность 315
Непрерывность 134
— по подпространству
рывность) 155
-г цилиндрической меры 135
^^"-непрерывность 155
^@%"' (^-непрерывность 155
Нормированная переходная мера 252
Носитель 27
— цилиндрической функции 35
Обобщенная переходная мера 283
Обобщенные ядра 186
Однородная переходная мера 255
Операторный мультипликативный
функционал 340
— — — равномерный 340
Ортогональные меры 90
Оснащенное гильбертово простран-
пространство 52
Основание цилиндрического множе-
множества 27
Основное пространство 177
Остов 294
Относительная компактность 54
Отрезок 294 ¦*
Переходная вероятность 317
— мера 251
^— — нормированная 252
— — однородная 255
Плотность 90
Поглощающие множества 51
Позитивное бираспределение 201
Полная вариация предмеры 14
Положительная предмера 14
Положительно определенная обобщен
ная функция 193
— —, функция 45
— определенное обобщенное ядро 193
Положительное распределение 191
Полугруппа сильно непрерывная 271
Полунорма 50
Поляра 52
Поток а-алгебр 318
Предел направленного семейства ал-
алгебр 20
— — — измеримых пространств 20
Предельная структура 20
Предмера 13
=а положительная 14
Предм-ра, полная вариация 14
— радонова 17
Преднорма 50
— гильбертова 50
Преобразование Фурье 41
— — квазимеры 42
— — распределения 188, 189
— Фурье — Винера 107
Произведение измеримых линейных
пространств 33
«— семейства измеримых пространств
•=- эволюционных семейств хроноло-
хронологическое 267
Производная 78, 156
=*¦ вдоль подпространства
производная) 160
*— до порядка п 159
— компактная 156
— меры по направлению 170, 175
— — — — логарифмическая 172
— ограниченная 156
— Радона — Никодима 90
— распределения вдоль направле-
направления 181
— слабая 156
е^'-производная меры 170
(<г%Г' Э)-производная меры 156
Производящее отображение эволю-
эволюционного семейства 266
Производящий оператор марковского
процесса 351
— — эволюционного семейства 299
Пространство измеримое 13
— а-измеримое 13
— Макки 51
— обобщенных мер 180
— — функций 185
— основных мер 179
: функций 177
!—- Радона (топологическое) 19
*— распределений 180
*— с квазимерой 36
^-пространство 142
<--, примеры 147
>—, свойства 145
Прохорова теорема 141
Равномерно липшицево семейство 260
*— малая на открытых множествах
совокупность мер 142
»-ч ограниченное семейство 260
— регулярное множество 141
Равномерное семейство 261
Равномерный операторный мульти-
мультипликативный функционал 340
Радона мера 17
— пространство 19
Радонифицирующий (для меры) опе-
оператор 69
Радонова предмера 17
Разностное ядро 187
Распределение вероятностей 314
~ положительное 191
— фундаментальное 210
— о^^-квазиин вариантное 196
Расширение линейное 33
Реализации случайной функции 314
Регуляризованные определители 97
Регулярная мера 140

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
383
Сазонова теорема 129
— топология 53, 129
Свертка квазимер 44
— обобщенной функции и меры 186
*~ распределений 183
Связывающие отображения 27
Секвенциально компактное множе-
множество 54
Символ дифференциального выраже-
выражения 160
Сильно непрерывная полугруппа 271
«-» Х-регулярная мера 124
Система конечномерных проекций
отображения 36
s*s «-* распределений квазимеры 37
« проектирований 46
Слабо полное пространство 54
Слабое решение 209
Случайная величина 313
» функция 314
Случайный процесс 314
** ч— винеровский 317
•" — —• стандартный 318
*=» —¦ марковский 316
События 313
Совместимая (с подпространством) то-
топология 169
Согласованное семейство отображений
26
Согласующаяся е двойственностью лв-
кальн© выпуклая топология 51
Соотношение двойственности 51
Спаривание 51
Среднее значение меры 66
Стандартный винеровский случайный
процесс 318
Стохастическая эквивалентность 314
Стохастический дифференциал 322
*•* интеграл Ито 320
Стохастическое дифференциальное
уравнение 326
Счетно-гильбертово пространство 52
^-свойство 142
Ф-семейство распределений 210 •
Тензорное произведение обобщенных
функций 186
Теорема Бохнера 45
«» Какутани 90
¦» Колмогорова 26, 315
е» Ле Кама 142
»¦ Леви 151
¦я Минлоса 128
вч Прохорова 141
¦» Сазонова 129
Топология локально выпуклая, со-
согласующаяся о двойственностью 51
«* Макки 51
Топология Сазонова 53, 129
—, совместимая с подпространством
169
— ядерная 53
Упорядочивание (измеримых струк-
структур, наборов отображений) 28
Условная вероятность 316
Условное среднее 316
Характеристический функционал ква-
квазимеры 42
Хронологическое произведение се-
семейств 267
Фейнмановская квазимера 114
Формальный оператор 298
— степенной ряд 298
Фубини формула 40
Фундаментальная последовательность
54
Фундаментальное распределение 210
Функционал измеримый линейный 74
— корреляционный 64
— мультипликативный 285
— характеристический 42
Функция цилиндрическая 34
Фурье преобразование 41, 42, 188,
189
Фурье « Винера преобразование 107
Цилиндрическая функция 34
Цилиндрические меры 25
«* множества 27, 34
F-цилиндрические множества 27
Tt-цилиндрические множества 27
Эволюционное свойство 261
*- •*. частичное 261
— семейство задачи Кош и 266
— •— операторов 261
— — распределений 210
—- — формальных операторов 299
Эквивалентность измеримых струк-
структур 28
•* мер 90
&* наборов отображений 28
е-* стохастическая 314
Экспонента 300
Элементарные события 313
Ядерная топология 53
Ядерное л. в. п. 53
Ядро разностное 187