УДК 517	ff	Издание осуществлено при поддержке
ББК 22.161	ь» срри Российского фонда фундаментальных
YI34	~~ ** ~~ исследований по проекту 03-01-14081
Нахушев А. М. Дробное исчисление и его применение. — М.:
ФИЗМАТЛИТ, 2003. - 272 с. - ISBN 5-9221-0440-3.
Монография посвящена основополагающим элементам дробного исчис-
исчисления, качественно новым свойствам операторов дробного интегрирования и
дифференцирования и их применению к решению проблем математического
моделирования различных процессов и явлений в живых и неживых систе-
системах с фрактальной структурой и памятью; к локальным и нелокальным
обыкновенным и в частных производных дифференциальным уравнениям
основных и смешанных типов; к задаче о вещественных нулях функции
типа Миттаг-Леффлера и спектре регуляризованного оператора дробного
дифференцирования; к задаче Трикоми и к прямой задаче теории сопла
Л аваля; к проблеме распределения концентрации поглощающих молекул по
трассе лазерного излучения и уравнениям состояния и переноса в средах
с фрактальной геометрией.
ISBN 5-9221-0440-3	© физматлит, 2003

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие	 7
Глава 0. Вводные сведения	 9
0.1. Формула Харди—Литтльвуда и уравнение Абеля	 9
0.2. Основные свойства операторов Римана-Лиувилля	 11
0.3. Закон взвешенной композиции операторов дробного интегрирова-
интегрирования с одинаковыми началами и оператор М. Сайго		12
0.4. Обобщённые дробные интегралы и их взаимосвязь		15
0.5. Закон композиции операторов Римана—Лиувилля и Эрдейи—Кобе	17
0.6. Закон взвешенной композиции операторов дробного дифферен-
дифференцирования и интегрирования с одинаковыми началами		18
0.7. Теорема о среднем значении для уравнения Геллерстедта	 20
0.8. Законы композиции операторов дробного интегрирования и диф-
дифференцирования с различными началами	 22
0.9. Связь между интегралами Римана-Лиувилля и интегралом
в смысле главного значения по Коши	 24
0.10. Операторы дробного интегрирования, порождённые функцией
Римана	 25
0.11. Алгоритмы численного интегрирования и дифференцирования
дробного порядка	 27
0.12. Дробное дифференцирование как способ определения потоков . . 29
Глава 1. Качественные и структурные свойства операторов
дискретного и непрерывного интегродифференцирова-
ния	 32
1.1.	Континуальная производная и её связь с дискретной производной
дробного порядка	 32
1.2.	Формулы дробного и непрерывного интегрирования по частям,
взаимная сопряжённость операторов дробного интегрирования
и дифференцирования	 34
1.3.	О положительности одного оператора со степенным ядром .... 35
1.4.	Новый класс положительных ядер	 38
1.5.	Теорема о положительности обобщённого оператора дробного ин-
интегрирования с фиксированными началом и концом	 42

Оглавление
1.6. О положительности операторов дискретного и непрерывного ин-
интегрирования 	 43
1.7.0 положительности оператора дробного дифференцирования
и континуального интегрирования сегментного порядка	 46
1.8.	О структурном свойстве оператора, обратного оператору со сте-
степенным ядром	 47
1.9.	О структурном свойстве оператора, обратного оператору дроб-
дробного дифференцирования с фиксированными началом и концом
в общем случае	 49
1.10.	Представление сингулярного интеграла через гипергеометриче-
гипергеометрические функции	 50
1.11.	О формулах обращения оператора дробного дифференцирования
с фиксированными началом и концом (продолжение § 1.9)	 56
1.12.	Структурное свойство ядра оператора дробного интегрирования
с фиксированными началом и концом и видоизменённая задача
Коши	 60
1.13.	Критерии разрешимости видоизменённой задачи Коши для урав-
уравнения типа Карлемана	 72
1.14.	Формула обращения дробного интеграла бесконечно малого по-
порядка 	 76
1.15.	Формула обращения оператора Адамара	 80
1.16.	Формула обращения оператора Адамара с фиксированными на-
началом и концом	 81
1.17.	Континуальный аналог интегрального уравнения Абеля	 83
1.18.	Решение непрерывного интегрального уравнения Абеля операци-
операционным методом	 84
1.19.	Обобщённая формула Ньютона-Лейбница	 86
Глава 2. Задача Коши в локальной и нелокальной постанов-
постановках для дискретных и непрерывных дифференциальных
уравнений	 90
2.1. Видоизменённая задача Коши для модельного непрерывного
дифференциального уравнения	 90
2.2.0 локальной и нелокальной задаче Коши для оператора дробного
дифференцирования порядка, меньшего единицы	 92
2.3.	Редукция функций Работнова к функциям типа Миттаг—Леффлё-
ра, Барретта. Задача Коши в постановке Барретта для диффе-
дифференциального оператора дробного порядка	 97
2.4.	Локальная задача Коши для оператора дробного дифференциро-
дифференцирования порядка, большего единицы, но меньшего двух	 100
Глава 3. Аналог теоремы Ферма и спектральные вопросы
для модельных дифференциальных операторов дробно-
дробного порядка	 104
3.1. Аналог теоремы Ферма и принцип экстремума для оператора
дробного дифференцирования порядка, меньшего единицы .... 104

Оглавление
3.2.	Видоизменённая задача Коши для вырождающегося дифферен-
дифференциального уравнения дробного порядка	 106
3.3.	Аналог критерия второй производной в дробном исчислении ... 115
3.4.	О спектре обобщённого оператора Капуто	 120
3.5.	К проблеме о вещественных нулях функции типа Миттаг-Леф-
флёра	 128
3.6.	Принцип экстремума для обыкновенного нелокального диффе-
дифференциального уравнения второго порядка	 130
Глава 4. Задачи Дирихле и Коши для нелокальных обыкно-
обыкновенных дифференциальных уравнений дробного порядка 137
4.1.	Задача Дирихле для нелокального дифференциального уравне-
уравнения второго порядка	 137
4.2.	Задачи Коши и Дирихле для модельного непрерывного диффе-
дифференциального уравнения второго порядка	 145
Глава 5. Применение элементов дробного исчисления	 149
5.1.	Линейные математические модели вязкоупругого тела, основан-
основанные на производных дробного порядка	 149
5.2.	Редукция определяющего уравнения Ю. Н. Работнова к модели
Р. Л. Торвик-П. Дж. Торвик вязкоупругого тела		151
5.3.	Применение к уравнению диффузии Фурье		154
5.4.	Применение к гиперболо-параболическим уравнениям второго по-
порядка с нехарактеристической линией изменения типа		160
5.5.	Применение к уравнению Эйлера-Дарбу-Пуассона и параболиче-
параболически вырождающемуся гиперболическому уравнению	 170
5.6.	Применение к гиперболо-параболическому уравнению второго по-
порядка с характеристической линией изменения типа	 180
5.7.	Применение к задаче Трикоми для уравнения смешанного эллип-
тико-гиперболического типа		186
5.8.	Применение к сплошным средам с памятью		189
5.9.	Уравнения переноса в средах с фрактальной геометрией		194
5.10.	Об одной модели распределения концентрации поглощающих мо-
молекул по трассе лазерного излучения	 201
5.11.	Применение к проблеме регуляризации задачи Дарбу	 203
5.12.	Задача Самарского в видоизменённой постановке для нелокаль-
нелокального диффузионного уравнения	 210
5.13.	Смешанная задача для однородного нелокального волнового
уравнения	 215
5.14.	Смешанная задача для неоднородного нелокального волнового
уравнения		221
5.15.	Математическая модель процесса трансформации полей темпера-
температуры и влажности в приземном слое атмосферы		223
5.16.	О некоторых обобщениях закона Кольрауша-Уильямса-Уоттса	224
5.17.	Применение к уравнениям состояния вещества		229

Оглавление
5.18.	Уравнение роста численности популяции		231
5.19.	Применение к задаче определения формы прорези плотины. . . .	234
5.20.	О качественных свойствах дробного осцилляционного уравнения	236
5.21.	Об уравнении «фрактального» осциллятора		240
5.22.	Обобщённое дробное осцилляционное уравнение		242
5.23.	Об одном представлении обобщённого регуляризованного опера-
оператора дробного дифференцирования		248
5.24.	Прямая задача теории сопла Лаваля		251
Список литературы		258
Предметный указатель		268

Предисловие
В основе монографии лежат мысли и идеи, которые возникли у автора
в процессе поиска методов решения различных, как локальных, так и нело-
нелокальных, начальных, смешанных и краевых задач для дифференциальных
уравнений в частных производных основных и качественно новых типов.
В первую очередь имеются в виду уравнения смешанного типа, возникаю-
возникающие при математическом моделировании трансзвуковых течений, процессов
тепло- и массопереноса в средах с фрактальной структурой.
С элементами дробного исчисления я соприкасался ещё в годы учёбы
в Кабардино-Балкарском государственном университете, на заседаниях се-
семинара доктора физико-математических наук, доктора технических наук,
члена-корреспондента Академии артиллерийских наук, профессора Феликса
Исидоровича Франкля. Символ обобщённого дифференцирования фигури-
фигурировал в моей студенческой работе «Об одном достаточном признаке разре-
разрешимости уравнения Риккати п-и степени в квадратурах», выполненной под
научным руководством Ивана Михайловича Карасева (см.: Сб. студ. научных
работ КБГУ, вып. 2. 1961. С. 131-136). Спустя семь лет после выхода этой
работы я обратил внимание, что поток газа Трикоми на звуковой линии
прямо пропорционален дробной производной порядка 2/3 от функции тока.
В это же время мне стало ясно, что необходимые нелокальные краевые
условия для уравнения Трикоми могут быть описаны только с помощью
операции дробного интегродифференцирования.
Видимо, я не обратил бы внимания на роль дробного исчисления в теории
уравнений смешанного типа, если бы не возникла проблема поиска аналога
задачи Трикоми в многомерных областях с пространственно ориентирован-
ориентированной поверхностью параболического вырождения. Эту проблему поставил
передо мной мой учитель, выдающийся учёный Андрей Васильевич Бицадзе
в 1966 г., сразу же после моего выступления на Международном конгрессе
математиков.
Появление в 1969 г. нелокальных краевых и внутреннекраевых задач,
названных мною краевыми задачами со смещением, очередной раз востребо-
востребовало дробное исчисление и сделало вполне очевидным, что без его развития
невозможно реализовать алгебраизацию теории уравнений смешанного типа.
В 1972 г. коллектив авторов (Х.Г. Бжихатлов, И.М. Карасев, И. П. Лес-
ковский, А. М. Нахушев) под моей редакцией выпустил книгу «Избранные во-
вопросы дифференциальных и интегральных уравнений», значительная часть
которой посвящена дробному исчислению и его приложению к вырождаю-
вырождающимся дифференциальным уравнениям.
Развитию дробного исчисления способствовала весьма содержательная
книга С. Г. Самко, А. А. Килбаса и О. А. Маричева «Интегралы и производ-
производные дробного порядка и некоторые их приложения», изданная в г. Минске
издательством «Наука и техника» в 1987 г.
Существенные результаты получены в докторской диссертации Т. С. Але-
роева «Краевые задачи для дифференциальных уравнений с дробными про-

Предисловие
изводными» (Нальчик: ИПМА, 1994) и в его сообщениях, опубликованных
в журнале «Дифференциальные уравнения» в 1998-2000 гг.
В 1996 г. в Институте прикладной математики и автоматизации КБНЦ
РАН исследован качественно новый класс дифференциальных уравнений
состояния и переноса в системах с памятью; доказана положительность
операторов непрерывного и дискретного интегродифференцирования и на
их основе разработаны компьютерно реализуемые математические модели
различных биосистем. Эти результаты, включённые в перечень важнейших
результатов деятельности РАН за 1996 г. в области математического моде-
моделирования и вычислительного эксперимента, сыграли важную роль в даль-
дальнейшем развитии дробного исчисления и его прикладных аспектов.
В 1998 г. на «Понтрягинских чтениях» в г. Воронеже я ещё раз (см. [64])
продемонстрировал глубокую связь проблемы о вещественных нулях функ-
функции Миттаг-Леффлёра с вопросом о спектре операторов дробного диффе-
дифференцирования.
В настоящее время дробное (дифференциальное и интегральное) исчис-
исчисление в теории фракталов и систем с памятью приобретает такое же важное
значение, как и классический анализ в физике (механике) сплошных сред.
Не могу не выразить глубокую благодарность и сердечную признатель-
признательность академику Александру Андреевичу Самарскому, академику Владими-
Владимиру Александровичу Ильину за постоянную и искреннюю поддержку моих
реализованных здесь научно-исследовательских проектов.
Спасибо первому очень внимательному читателю моей рукописи — моло-
молодому учёному Арсену Псху; талантливому моему ученику доктору физико-
математических наук, члену-корреспонденту АН Казахстана, профессору
Тынысбеку Кальменову; всем участникам научного семинара Института
прикладной математики и автоматизации КБНЦ РАН за полезные дискуссии
и советы.
В монографию вошли основные результаты, полученные при реализации
проектов № 94-01-00605, № 96-01-00508 и № 00-01-00311 Российского фонда
фундаментальных исследований.
Л. М. Нахушев

Глава О
ВВОДНЫЕ СВЕДЕНИЯ
0.1. Формула Харди—Литтльвуда
и уравнение Абеля
Пусть а, а, b и с Е [а, 6] — действительные числа; [а] — целая
часть а, удовлетворяющая неравенству [a] $J а < [а] + 1; L[a, 6] —
пространство действительных функций <р(х) с конечной нормой
ъ
?; F(z) — гамма-функция Эйлера.
a
В 1986 г. [66], [57, с. 43] оператор D%x, который действует на функ-
функцию (р{х) из области своего определения D(D^X) С L[a,b] по формуле
X
_ sign(x-c) f y(t)dt a^012
где интеграл понимается в смысле конечной части по Адамару, назван
оператором дробного дифференцирования порядка а с началом в точ-
точке с и с концом в точке х. По определению D®xip(t) = ?>{x), D™x<p(t) =
= (р(п\х), п = 1, 2, ... Яргл с^ < 0 оператор D^x совпадает с операто-
оператором дробного (в смысле Римана-Лиувилля) интегрирования порядка а,
и его весьма часто обозначают в виде /^*, если х > с, и в виде /Jl", если
х < с [98]. При а > 0 и определённых предположениях относительно
гладкости функции у?(ж) Е D(D^X) можно положить, что
ИЛИ
где же = ж + е sign(c — х).
Класс Ыра[а, Ь] функций, удовлетворяющих на сегменте [a, b] усло-
условию Гёльдера с показателем а Е ]0,1], играет важную роль в теории
сингулярных интегральных уравнений [53] и уравнений в частных про-
производных смешанного типа [13].

10	Вводные сведения	[Гл. 0
Харди и Литтльвуд [134] показали, что если функция
и(х) G Ыра[а, Ь],
то существует функция v(x) G Ыра~@[а, Ь] такая, что
u(x)-u(a) = r(C)D-Pv(t),	@.1.1)
где
Для любой функции <р(х) G L[a, 6] справедлив закон компози-
композиции операторов дробного интегрирования с одинаковыми началами
[57, с. 43]:
DZxD~Jv{i) = DZ-f>tp(t), V 7 < 0.	@.1.3)
В силу @.1.3) интегральное уравнение Абеля @.1.1) можно перепи-
переписать в виде
X
T{^v[t)dt=Diz1[u[t)-u(a)\.	@.1.4)
а
Из @.1.4) следует, что
Y{p)v(x) = D*x[u{t) - и(а)],	@.1.5)
где D@x = ^— Df ~x — оператор дробного дифференцирования порядка
ох
/3 G ]0,1[ с началом в точке а < х.
Хорошо известно, что уравнение Абеля
D~gv(t) = /(ж), а < х < Ъ	@.1.6)
с правой частью f(x) G L[a, b] имеет, и притом единственное, реше-
решение
v(x) = D%x№eL[a,b]	@.1.7)
тогда и только тогда, когда
e АС[а, Ь], lim ?>?(*) = 0.
Здесь Л С [а, Ь] — класс абсолютно непрерывных на сегменте [а, Ь]
функций ip(x), который совпадает [38, с. 338] с классом первообразных
от суммируемых по Лебегу функций:
(р(х) G АС[а, Ь] <?> (р(х) = const +D~*il>{t), ф(х) е L[a, b].
Операции дробного интегрирования и дифференцирования облада-
обладают рядом весьма важных в приложениях структурно-функциональных
свойств и допускают различные обобщения.

0.2]	Основные свойства операторов Римана-Лиувилля	11
0.2. Основные свойства операторов
Римана-Лиувилля
1. Если (р(х) е Lp[a,b] = Lp(a,b), р>1, ft<oo, 0<a< 1/р,
q = р/A - ар), то D-«^(t) G L%, 6] и
где положительная постоянная К зависит только от р и а.
2.	Если р > 1, 1/р < а < 1/р + 1 (или р = 1, 1 ^ а < 2), у?(ж) G
G L^[a, 6], то D-?<p(t) G Lzp"/?^, 6].
3.	Пусть ^(ж) G L[a,6], ^^^(t) = -?^ D«-n<p(t) для любого
a G ]п - 1, n], n = 1, 2, . . . Тогда, если /3 ^ a > 0, то D%xD~f(p(?) =
= D^~^(p(t)^ если же а > /3 ^ 0 и функция у>(ж) на [а, 6] имеет произ-
водную D«"M*), то D°xD-fV(O = D^9(t).
4.	Пусть у>(ж) G L[a, 6] и существует производная Dfx x y?(t) G
G L[a, 6], где п — 1 < /3 ^ n, n = 1, 2, . . . Тогда для любого a > 0
5. Пусть функция у?(ж) G Crm~1]a, Ь[, y?(m) G L[a,6],m ^ 1. Тогда
для любого a G ]0, га] производная D%xip(t) существует. Кроме того,
если a G ]n — l,n], n = 1,2,..., то почти всюду на [a, b] имеет место
формула
n1 (k) (
(ж " а)к~а + д*®	@'2Л)
где d%xip(t) = ,ОдЖ п(^(п)(?) — регуляризованная дробная производная
порядка а от функции <р(?) с началом и концом в точках а и х или
производная по Капуто [129].
Формула @.2.1) справедлива для всех (р(х) G АСп[а, Ь] :
р(ж) G ЛСп[а, Ъ] <* <рЫ{х) G L[a, 6].
В частности, если ^'(ж) G L[a, 6], то для любого a G ]0,1[ существует
производная

12	Вводные сведения	[Гл. О
6. Справедливо обобщённое правило Лейбница [98, с. 214], [125, с. 31]:
k=0
Bertran Ross [125] для оператора D%x использует выражение aD^.
Обозначение D^x, которое в настоящее время получило широкое рас-
распространение, автором было использовано в 1968 г. (см. [67], [62]).
Им же предложено обозначение д%х.
0.3. Закон взвешенной композиции операторов
дробного интегрирования с одинаковыми началами
и оператор М. Сайго
Пусть F(a,b, с; z) — гипергеометрическая функция Гаусса;
L^'u[a, b] — пространство функций tp{x) с конечной нормой
ъ
fi,is = \(х — аУ \\og(x - а)\и \(p(x)\dx;
а > 0, /3 и 7 — действительные числа, а + /3 < 1, а > —7 > 0. Тогда
для любой функции у?(ж), принадлежащей пространству L°'°[a,6] =
= L[a, b] при C < 7, пространству L0'1^, 6] при C = 7 и пространству
L7~^'°[a, 6] при /3 > 7> почти всюду на [а, 6] справедлив закон взвешен-
взвешенной композиции операторов дробного интегрирования [80]
DZAt - ar-tDZr^iZ) = '"/'>,	@-3.1)
где
\а-1
Г(а)
а
F (a + /3, -7, а; ^—^-) ?»(*) Л @.3.2)
V	х — а/
— обобщённый дробный интеграл в смысле М. Сайго порядка а с нача-
началом в точке а и с концом в точке х > а [57, с. 33].
/	х _ i \
Действительно, функция F I a + /3, —7, «; 	) при х > а
\	х — а/
и t —> а ограничена, если /3 < j обращается в бесконечность
логарифмического порядка при /3 = 7 и в бесконечность порядка
C — 7, если C > 7- Поэтому функция у>(ж) будет принадлежать области
определения D(I^n) оператора 1^п\ если (р(х) G L[a, 6] при /3 < 7>
<р(ж) G Ь0'х[а, 6] при /3 = 7 и <р(х) G L^-^'°[a, Ь], когда /3 > 7-

0.3] Закон взвешенной композиции операторов дробного интегрирования 13
Пусть (р(х) G D(I^n). Тогда в соответствии с определением @.1.2)
имеем
Х
Г(-7)Г(а + 7)
X	t
Г (t — а)	dt \ <p(?)d?	/п о qn
х —	—т+^— ——.х_а_7 • (U.o.aj
Формула Дирихле-Фубини перестановки порядка интегрирования даёт
основание записать
,, ч Г (t-a) a f*dt Г
J (ж-01+7 J
. @.3.4)
Во внутреннем интеграле произведём замену переменной интегрирова-
интегрирования, положив t = х — (х — ?O/. В результате из @.3.4) будем иметь
±
\т1-*'-1A-т))а+*'-1 (l-^
1
х
о
Так как а + 7 > 0, то можно воспользоваться формулой Эйлера и при-
придать равенству @.3.5) следующий вид:
ж
\<р{0(х-€)а~ F (« + ^, -7, а; -—^)^, (о.з.б)
J	V	ж — а/
х
а
где В(ж, у) = Г(х)Г(у)/Г(х + у) — бета-функция.
Из (О.З.З)-(О.З.б) заключаем, что
Отсюда в силу определения @.3.2) получаем @.3.1).

14	Вводные сведения	[Гл. О
Поскольку F@, —7, «; z) = 1 и, стало быть, /^~7'7 = ?^J, то
формула @.3.1) является обобщением закона @.1.3) композиции опера-
операторов дробного интегрирования с одинаковыми началами.
При а < 0 оператор М. Сайго @.3.2) определяется по формуле
/«"/•> = ?* 1^п'р-пл~п<Р, п = [-а] + 1.
Поэтому очевидно, что если а + /3 <1, — а < j < п, то формула @.3.1)
остаётся в силе и при а < 0.
Формула @.3.1) позволяет выразить оператор (Z"^'7)? обратный
оператору М. Сайго, через операторы, обратные оператору Римана-
Лиувилля.
Если 0<а<1,0</3<1, то для любой функции
и для почти всех х Е [а, Ь] справедлива формула
C+/3'"a'"VW = I^-p'-a{t-a)a-PV{t).	@.3.7)
В самом деле, по определению
Г(а
3,/3, а + /3; ^—^) <p{t) dt.
х — а/
Отсюда, применяя функциональное соотношение
F(a, 6, с; z) = A - z)c"aF(c - а, с - 6, с; z),
находим
3> -a, -/
(» -а)
/3;
_ t)a+0-l Л _ Ж - t \°
j	\ х-а)
F fа, а, а + /3; ?л*) (* - о)а-^(<) dt. @.3.8)
V	х — а/
Правая часть равенства @.3.8), согласно @.3.2), совпадает с правой
частью @.3.7).

0.4]	Обобщённые дробные интегралы и их взаимосвязь	15
Из формул @.3.1) и @.3.7) следует, что если 0 < а, /3 < 1 и <р(х) G
G L-a'°[a,6]nL-^'°[a,6], mo
= D~J{t - a)-?D-«(t - a)"X0- @.3.9)
Формула @.3.9) при а = 0 приведена в учебном пособии М. М. Смир-
Смирнова [104, с. 20].
0.4. Обобщённые дробные интегралы
и их взаимосвязь
Интегральное преобразование Римана-Лиувилля можно перепи-
переписать в виде [74]
Г(-а)
—) v(t) dt =
= {Х r,j ° * \р(а + 1,р, /3; !—±) <p(t) dt, @.4.1)
1 [ a.) J \	x a/
a
где C — любое число, отличное отО,—1,—2,...
Исходя из представления @.4.1), автор в 1986 г. (см. [74], [85]) ввёл
обобщённый дробный интеграл D^n'(p(i) порядка —ас началом в точ-
точке а и с концом в точке х > а от функции ip(x) G L[a, b] по формуле
х
[ F (а + 1, /?, 7; -^) v(t) dt, @.4.2)
I	\	X Qj /
1 I Сл )
где с + /3 + 1< 7/0,-1,-2,...
В работах [74], [67], [80] обобщённым интегральным преобразовани-
преобразованием названо и преобразование вида
х ,
И
а + 1, 7, 1-/3,
sign(x-c)>
t — U
х — и
<p(t)dt,
а + /3 + 7<0; а,/3 - 1 / 0,1, 2,...; х, ц, с е [о, 6].	@.4.3)
Если х > а, то ГA - 0)DSg?<p(t) = D^-

16	Вводные сведения	[Гл. О
В работе [74], наряду с обобщёнными преобразованиями Римана-
Лиувилля, введены следующие преобразования:
-/3,7, 5;
се[а,Ь], 7-/3 <<*/ 0, -1,-2,...;
t, a + /3 < 7 > 0. @.4.5)
Отображение @.4.4) называется обобщённым преобразованием Эр-
дейи-Кобе [57, с. 32]. Исследованию свойств оператора Я^Л7, действу-
действующего на функции ip(x) G L[a, b] по формуле @.4.5), посвящены работы
[136], [165] (см. также [147]).
Между оператором Н^П и обобщёнными преобразованиями Эр-
дейи-Кобе и Сайго существует следующая связь:
/	гр	+ \ / +	о \ @
При E = 7 функция F ( —/3, 7? ^5 	) = (	) ? и преобразова-
V	х — а/ \х — а/
ние @.4.4) переходит в преобразование Эрдейи-Кобе
область определения D(E%jf) которого принадлежит пространству
Поскольку F (а, -7, а; -^^Л = flu^-V то из @.3.1), @.3.2)
V	х — а/ \х — а/
и @.4.6) для любой функции (р(х) G L7'°[a, 6] получаем равенство
), 0 < -7 < а < 1. @.4.7)
Соотношению @.4.7) можно придать следующий вид:
Dlx[t - а)^Г7'М?) = EZ?<p(t), 0 < -7 < а < 1. @.4.8)

0.5] Закон композиции операторов Римана-Лиувилля и Эрдейи-Кобе 17
0.5. Закон композиции операторов
Римана—Лиувилля и Эрдейи-Кобе
Пусть а и C G ]0,1[, а + C < 1. Тогда для любой функции <р(ж) G
G L~a'°[a, 6] почти всюду на [а, 6] имеет место закон композиции опе-
оператора Римана-Лиувилля с оператором Эрдейи-Кобе:
= (* - af-'D^-^it).	@.5.1)
Действительно, по определению
f (t-ar^-'dt f (? - o)-
) {x-tr )	(t-
f	f	=
Ц1-а)ГA-Р)дх) {x-tr )	(t-00
, @-5.2)
где
@.5.3)
Замена t = ? + (х — ^)rj переменной интегрирования t и формула
Эйлера об интегральном представлении гипергеометрической функции
дают основание утверждать, что
г(:
1
X 7
0
ГB-
1 -
1~ /
л
а
а)ГA- /3)
3A-т])-а
-/5)( ~}
- а - /J, 1 - /3, 2 - а - /?; z),
Отсюда, принимая во внимание, что
^ z^Fia, /3, г, z) = G - l)^F(a, /3, 7 - 1; z),
F(a,P,a; z) = A - z)^,

18	Вводные сведения	[Гл. О
находим
— 4j-i(a,s,O-rB_e_j9) с_а *	х
- а - /3,1 - /3,1 - а - /3; г) =
—1	1 I х — ?
Из @.5.2), @.5.3) и @.5.4) и условия а + /3 < 1 получаем
x
_ (х-а)*3-1 Г
-r(l-a-/3)J
a
что и требовалось доказать.
0.6. Закон взвешенной композиции операторов
дробного дифференцирования и интегрирования
с одинаковыми началами
Имеет место следующий более общий, чем @.5.1), закон взвешенной
композиции операторов Римана-Лиувилля с одинаковыми началами.
Теорема 0.1. Пусть с — фиксированная точка сегмента [а, 6];
числа а и C таковы, что 0< а ^ 1,/3 <0, а + C > — 1; функция
(р(х) € L[a,b] и при а + /3 > 0 обладает производной порядка а + C
с началом в точке сие концом в точке х Е ]а, 6[. Тогда
D?x\t - c\a+?D0cMO = \x- cfD«+?\t - с\аф).	@.6.1)
Доказательство теоремы 0.1 содержится в книге автора [57, с. 44]
(см. также [62], [80]), и оно проводится по следующей схеме.
Пусть е — достаточно малое положительное число;
х? = х + е sign(c — ж);

0.6]
Закон взвешенной композиции операторов дробного
19
Тогда на основании равенства
-J^c,x,i)T{-a-C) = -
имеем
sign(x-с)D«x\t-
с - xf\c -
, x,
= — lim
х F [-a-13, 1- a, 1 - a -/3; 1—=-^
V	\c~x\
Отсюда, учитывая, что (—а — /3)Г(—а — /3) = ГA — a — /3),
|С -
x -?- I |c-,
+
- х)
F -а-/3, 1-а, 1-^-/3;
ж - с
находим
х lim
?
im < т—
F 1,-/3, l-a-/3; -Ц- - 1 . @.6.2)

20	Вводные сведения	[Гл. 0
Так как F(l, —/3, 1 — а — /3; е/\х — с\) = 0(е), где О — символ Лан-
Ландау, и а + /3 < 1, то из @.6.2) непосредственно вытекает справедливость
формулы @.6.1).
Если в формуле @.6.1) число C заменить на C — 1, а функцию у?(ж) —
на \х — с\~а /(ж), то она примет вид
D?x\t - c|o+'J-1D&-1|? - с|-«/@ = \х- cf-'D^-1 f(t),
ИЛИ
d^e]^-" № = \х- c^Dge-1 fit). (о.б.з)
Очевидно, что формула @.5.1) является следствием @.6.3).
0.7. Теорема о среднем значении для уравнения
Геллерстедта
Формула @.6.3) играет важную роль в теории краевых задач со
смещением для уравнений в частных производных, меняющих свой
тип в замыкании области их определения, в частности для уравнения
Геллерстедта
(—у)тихх — иуу = 0, у<0, 0<ж</, 7тг = const > 0.
Пусть ftm — односвязная область плоскости комплексной перемен-
переменной z = х + iy, ограниченная отрезком 0 ^ х ^ / прямой у = 0 и ха-
характеристиками ? = 0,77 = /, где
= х
2/(m+2)
Решение u[z] = и(х,у) нагруженного уравнения
1
о
обладающее теми свойствами, что и[х] G G[0, /], г^у[ж] Е G ]0, /[ и
i
г
I fit \ гр \\ rp t 1 	 гр \\	fl ПГ* <^ ГУП
I Li/ qj *Xj *Xj \ v	*\j I	\A) *\j	. \^»J •
J

0.7]	Теорема о среднем значении для уравнения Геллерстедта	21
называется обобщённым решением уравнения Геллерстедта в обла-
области Пт [57, с. 224].
Справедлива следующая весьма важная в теории уравнений сме-
смешанного типа теорема, сформулированная и, по существу, доказанная
автором в 1968 г. (см. [67], [62], [57, с. 225])
Теорема 0.2. Пусть u[z] — обобщённое решение уравнения Гел-
Геллерстедта в области Лт. Тогда для любого сегмента [а, ft] С [0,/]
и х G ]а, Ь[ имеет место равенство
(х - aYD\-Ju[Qa(t)] - (Ь - xYDl;'u[eb(t) ?М
l;u[eb(t)] =	/„М,
@.7.1)
где 11ь2еи[х] = Dl-^u[t] - D^u[t].
Поскольку (х - aYDlz'EZrMZ] = О^иЩ, (Ь - a:)eD^ex
xEfo?~ u[?\ = D\~2eu\t\i то равенство @.7.1) можно записать в виде
(х - afDlT (
\ [u[@b{t)] - Щ^Е^Г'иЦ]} , @.7.2)
а < х < b.
Формула @.7.2), или, что одно и то же, @.7.1) выведена в работе
[67] (см. также [62] и [85]) при а = 0, b = 1 и названа автором аналогом
теоремы о среднем значении (принципа Асгейрсона) для волнового
уравнения.
Закон композиции @.6.3) при а = 1 — ?, /3 = 1 — е, а = 0, 6 = 1, т. е.
формула
Dfc'Etf-1^] = Dl-H'-^D^e-'uH] = x-'Dl^uit] @.7.3)
при условии, что и[х] — след обобщённого решения уравнения @.6.1),
был впервые замечен автором при доказательстве формулы @.7.1) или
@.7.2). Здесь важно, что 0 < 2е < 1.
Формула @.7.3) была включена в учебное пособие [104, с. 21] в сле-
следующей формулировке.
Пусть 0 < 2/3 < 1 и xl3~1f(x) e L[0, ft]. Тогда почти всюду на [0, ft]
справедливо тождество
Dl-0e-20D-ft^f(t) = x-tDl^Ht).	@.7.4)
Очевидно, запись @.7.4) имеет содержательный смысл лишь при
дополнительном предположении о существовании почти всюду на ]0, ft[
дробной производной порядка 1 — 2/3 от функции f(x).

22	Вводные сведения	[Гл. О
0.8. Законы композиции операторов дробного
интегрирования и дифференцирования
с различными началами
В теории вырождающихся дифференциальных уравнений смешан-
смешанного и параболического типов уравнений в частных производных зна-
знаковую роль играют и законы композиции операторов дробного инте-
интегрирования и дифференцирования с различными началами. Основные
из этих законов сформулированы в [57].
Справедливы следующие теоремы (см. [57, с. 47-52]).
Теорема 0.3. Пусть (р(х) G L[a, b] П L~f3~1>°[a, b]. Тогда для любых
а < 0, C < 0 и почти всюду на [а, Ь]
Теорема 0.4. Пусть (р(х) G L[a, b] П L~^~1H[a, b]. Тогда для любых
а < 0, /3 < 0, а + C < — 1 и почти всюду на [a, b] имеем
Теорема 0.5. Если <р(х) удовлетворяет условию Гёльдера и инте-
интегрируема на [а, 6], то для всех a G ]0,1[ и х G ]а, Ь[
ух) sinvra,
где
~ <p(t) dt
t — х
и интеграл понимается в смысле главного значения по Коими.
Теорема 0.6. Пусть (р(х) удовлетворяет условию Гёльдера и ин-
интегрируема на ]а, Ь[. Тогда для всех a G ]0,1[ и х G ]а, 6[
cos2 ™ + S^<p(x)smira,	@.8.1)
— потенциал со степенным ядром.

0.8]	Законы композиции операторов	23
Теорема 0.7. Пусть с, х — фиксированные точки из интервала
а < t < b, с ф х; (p(t) — суммируемая на сегменте a ^t $J b функция,
удовлетворяющая условию Гёльдера при a<t<c>x,c<x<t<b.
Тогда для всех а Е ]0,1[ и х, отличных от а,Ь и с, достоверно равен-
равенство
cos2 ^ + (SZa + Sca6M*) sin тга sign(z - с).
Теорема 0.8. Пусть <р(х) Е L~a'°[a,6], D%xip{t) E L[a,6].
любых а Е ]0,1[ и почти всюду на [а, 6] справедлива связь
где
Теорема 0.9. Пусть <р(х) Е L a'°[a,6] u на сегменте [а, 6]
влетворяет условию Гёльдера. Тогда для любых а Е ]0,1[ гл ж Е ]
имеет место равенство
Законы композиции операторов дробного интегрирования и диф-
дифференцирования с различными началами востребованы в первую оче-
очередь краевыми задачами, в особенности задачами, названными автором
в 1968 г. задачами со смещением, нелокальными краевыми задачами
с локальным и нелокальным сдвигами (смещениями). В том же году
выяснилась роль дробного исчисления в алгебраизации теории уравне-
уравнений смешанного типа, было обращено внимание, что основные краевые
задачи (задача Трикоми, задача Геллерстедта, задача Франкля, задача
Франкля-Бицадзе, задача со смещением) либо являются нелокальны-
нелокальными, либо сводятся к ним. В частности, задача Трикоми для уравнения
Трикоми
уихх + иуу = 0	@.8.2)
сводится к нелокальной краевой задаче, когда на эллиптической части
границы задаётся условие Дирихле, на участке 0 < х < 1 звуковой
линии у = 0 — наклонная дробная производная от и = и(х,у):
иу(х, 0) - aDl!^u(t, 0) = f(x), 0 < х < 1,
где а = const > 0, f(x) — заданная функция [56, с. 446], [71], [112].

24	Вводные сведения	[Гл. О
0.9. Связь между интегралами Римана—Л иу вил ля
и интегралом в смысле главного значения по Коши
Связь между интегралами Римана-Лиувилля и интегралом в смыс-
смысле главного значения по Коши легко просматривается при реализации
метода интегральных уравнений решения задачи Трикоми для урав-
уравнения смешанного типа. Поэтому теорему 0.5 в книге [57, с. 50] автор
назвал теоремой Трикоми-Геллерстедта.
Л. Вольферсдорф [166] в связи с исследованием обобщённого урав-
уравнения Абеля вида
обратил внимание на связь между интегралами
Он показал, что если функции Ф+(ж) = I+(p(x) = D~?(p(t) и Ф~(х) =
имеют вид
{х - а)~а(Ъ - ж)-^, (К а < 1 - //,
ф~(х) = Фо(х)(х - a)~a(b - х)-Р, (К /3 < 1 - //,
где Ф~$(х) и Ф^ (х) удовлетворяют условию Гёльдера на [а, 6], то для
любого х G ]а, 6[
Ф
Ъ
sin7r/i Г /ж — а\^ Ф~ (t) dt
	 И	) 	^—.
Теорема 0.6 о дробной производной потенциала со степенным ядром
в силу @.7.1) играет весьма важную роль в теории задач со смещением
для уравнения с оператором Геллерстедта
д2
ох ду

0.10]	Операторы дробного интегрирования	25
в главной части. Формула @.8.1) в какой-то степени является обобще-
обобщением известной формулы
ь
д_
дх
<p(t)\og\t-x\dt = Г^М^ V(peLipa[a,b],
J X t
которая широко используется при реализации метода интегральных
уравнений решения краевых задач для уравнения Лаврентьева-Би-
цадзе
sign у • ихх + иуу = 0.	@.9.1)
0.10. Операторы дробного интегрирования,
порождённые функцией Римана
Выход из печати в 1969 г. двух работ автора [62], [67], ставших
основой нового научного направления «Краевые задачи со смещением»,
не мог не способствовать появлению различных обобщений операций
дробного интегрирования и дифференцирования. Среди работ в этом
направлении следует отметить [34], [85], [86], [95]-[97], [99], [100], [128],
[][] [][]
][] [][]
В 1969 г. (см. [68], [54, с. 65]) автор обратил внимание на проблему
естественного обобщения операторов дробного интегродифференци-
рования Римана—Лиувилля для описания необходимых нелокальных
и локальных краевых условий для линейного гиперболического урав-
уравнения
ихх - иуу + a(z)ux + b(z)uy + c(z)u = 0	@.10.1)
в конечной области Л, ограниченной отрезком [—1,1] вещественной оси
у = 0 и характеристиками Г_1 : х — у = — 1, Fi : ж + г/ = 1, у < 0,
расположенными в верхней полуплоскости плоскости комплексных пе-
переменных z = х + гу = [х, у).
Уравнение Геллерстедта, которое при решении этой проблемы по-
порождает операторы Римана-Лиувилля в граничных условиях, заменой
? = ах, rj = (—у)а с а = (т + 2)/2 сводится к уравнению вида @.10.1),
а именно к уравнению
ol — 1
иее — ипп	ип = 0.	@.10.2)
При этой замене независимых переменных условие Коши и(х,0) =
= г (ж), иу(х, 0) = ^(ж), |ж| < 1 для уравнения Геллерстедта переходит
в видоизменённое условие Коши
для уравнения @.10.2).

26	Вводные сведения	[Гл. О
Пусть R(z; ?, 77) — функция Римана для уравнения @.10.1) в обла-
области
— аффиксы точек пересечения характеристик х + у = ? и ж — у = ?
уравнения @.10.1), выходящих из точки z = ? Е ] —1,1[ с характеристи-
характеристиками Г_1 и Fi соответственно.
Введённый в [68] оператор
3
в определённой степени является обобщением оператора дробного ин-
интегрирования в смысле Римана-Лиувилля с началом в точке j = — 1
или 1. Известно, что функция Римана для уравнения Трикоми @.8.2)
и Геллерстедта выражается через гипергеометрические функции Гаус-
Гаусса. При a(z) = b(z) = 0, c(z) = А2 = const функция Римана
R(z; ?, 77) = Jo (W\y-ri\*-\x-Z\*) ,
где Jo(z) — функция Бесселя нулевого порядка. В этом случае оператор
Ajx действует на функцию (р{х) Е L[a, b] по формуле
В работах М.С. Салахитдинова и его учеников [100], [99] при ис-
исследовании краевых задач со смещением воспользовались оператором
Л^ж, действующим на функцию <р(х) Е D(A™X) следующим образом:
х
= Ф) ~ \
п = 0,1,. . .
Работа Samko S. и Ross В. [161] посвящена обобщению интеграла
Римана-Лиувилля на случай, когда порядок дробного интегрирования
или дифференцирования не является постоянной величиной. Такого
рода обобщения возникают при дискретизации дробных интегралов
сегментного порядка [75] и могут сыграть конструктивную роль при
постановке видоизменённой задачи Коши для вырождающихся гипер-
гиперболических уравнений, например, вида
UXx Uyy — U.
Континуальные аналоги оператора Римана—Лиувилля [66], наряду
с дискретными, играют важную роль при математическом моделиро-
моделировании социально-исторических и этнических процессов [83], [78].

0.11] Алгоритмы численного интегрирования и дифференцирования 27
0.11. Алгоритмы численного интегрирования
и дифференцирования дробного порядка
Теоретическим и прикладным аспектам дифференцирования и ин-
интегрирования произвольного порядка, в том числе численного и ана-
аналогового, посвящена работа К.В. Oldham, Spanier J. [151]. В ней, от-
отправляясь от определения дробной производной по Летникову и Грюн-
вальду, анализируются различные алгоритмы численного (дробного)
дифференцирования. В частности, считается возможной следующая
приближённая формула:
х~апа v~^ Г(к — а) , ч	п
wZ^y 2^ Ы Vk(x), x > 0,
K J к=0
где (fn(x) = y>@), <pn-i{x) = <p{x/n), ipk{x) = Pn(x ~ kx/n),. . .,
(fo(x) = у>(ж); или же формула
'}•
Отметим, что в книге [151] выраж;ение D^x(p(t) обозначается в виде
a
Мх-а)]а'
Если 0 < а < 1, то можно воспользоваться приближённым равен-
равенством
п-1
к=о
Алгоритмам аппроксимации дробной производной и разностным
методам решения уравнения переноса посвящены работы [121], [122].
В статье [121] формулируется дискретный аналог принципа экстремума
для оператора дробного дифференцирования [70] и реализуется раз-
разностная схема решения однородной задачи
гх(О,*) = О, u(l,t) = 0, D*-1u\t=o = 0, 0< a < 1
для уравнения
D$tu = uxx + f(x,t), 0 < а < 1, 0<t<T.
А.Н. Тихонов в 1986 г. представил статью автора [66], где, в частно-
частности, анонсируются аналог теоремы Ферма и возможность распростра-

28	Вводные сведения	[Гл. О
нения принципа экстремума на междупределъное разностное уравне-
уравнение вида
п
^2Акп(х)у(х - k5n) = f(x), x > a, Jn = ¦?—^,
k=o
с коэффициентами
л, /„л _ \ nJT\ I Мл~^ <7? + V^ Л (тЛ1 m 1Л~а™
^bl^j- а^ж] оп а^ -\- у °т\Х)\ и ]°п •>
^	ч у	т= — оо	ч 7
т= — оо
причём а^(ж) и Ьт(х) — непрерывные функции.
Пусть функция и(х) G Ыра[а, Ь] и и(а) = 0. Тогда для достаточно
малых h > 0 и любого $ Е ]0, а[ справедлива приближенная формула
и(х + ft) — и(х) =
Действительно, согласно @.1.1) и @.1.5) существует функция
v(x) E Ыра~Р[а, Ь] такая, что
и(х) = r(/3)D~?v(t), v(x) = ^fo\ •
Следовательно,
x + h	x
( , ,ч / ч Г v(t)dt Г v(t)dt
Цж + ft) — гх(ж) = 	—	Y^p ~ 	 i-/3 =
а	а
Г	Г
= [(х + ft - г)^ - (ж - tf'1] v(i) dt+ (x + ft - г)^1^) dt «
j	j
= Г(/3 + l)ft^ [^-^(ж + h - rh) dr.
Теорема о среднем значении для интеграла гарантирует существование
такой точки ? Е [0,1], что
1	1
[ тР-гу(х + h-rh)dr = v(x + h- f ft) [ r^-1 dr =
- ft — ?ft) ^ г;(ж)

0.12] Дробное дифференцирование как способ определения потоков 29
Стало быть,
и(х + ft) - и(х) « hpv{^
что и требовалось доказать.
Если приращение функции Аи = и(х + h) — и{х) связано с прира-
приращением аргумента Ах = h формулой
Аи = fiH(Ax)^
то 11 н называют гелъдеровской производной порядка C [29]. Это опре-
определение является весьма полезным в теории фракталов и, безусловно,
принесёт пользу при разработке численных методов решения диффе-
дифференциальных уравнений дробного порядка, лежащих в основе широких
классов математических моделей вязкоупругого тела и систем с памя-
памятью [59].
0.12. Дробное дифференцирование как способ
определения потоков
Пусть и(х, у) — регулярное решение уравнения Геллерстедта
signy \у\тихх + иуу = 0, 0 < х < /,	@.12.1)
в смешанной области ft плоскости z = х + гу, гиперболическая часть
которой совпадает с ftm, обращается в нуль на характеристике
Известно, что любое решение u(z) = u(x, у) уравнения @.12.1) в га-
газовой динамике трансзвуковых течений на плоскости годографа ин-
интерпретируется как функция тока. На звуковой линии у = 0 уравне-
уравнение @.12.1) является уравнением параболического типа.
В 1968 г. (см. [67], [54]) автором было обращено внимание, что функ-
функция тока u(z) на участке 0 < х < I звуковой линии удовлетворяет
уравнению
uy(x) = 1(m)D10-2su(t),	@.12.2)
где
, , ГBе)ГA-е) .
7(т) = Г(?)ГB - 2е) > °-
Пусть теперь u(z) — регулярное решение уравнения Фурье
иу = kuxx, к = const > 0,	@.12.3)
в области ft = {z : x > 0, у > 0} обращается в нуль на характеристике
у = 0 и удовлетворяет условию Тихонова lim u(z) exp (—ёх2) = 0 для

30	Вводные сведения	[Гл. 0
какого-нибудь числа 5 > 0. Тогда (см. [82, с. 17]) в области ft функция
u(z) удовлетворяет уравнению
Vk^ + D1o/y2u(x,r1)=0.	@.12.4)
Уравнение @.12.4) получено в [82] как следствие общего представ-
представления
(у - nf/
о
всех регулярных в ft решений при х > ? и у > 0, обращающихся в нуль
на характеристике у = 0 и удовлетворяющих условию Тихонова.
В книге Р. Куранта и Д. Гильберта [43, с. 182] (см. также [151, с. 203])
методом Хевисайда показано, что если и(х,у) — регулярное решение
уравнения @.12.3) и и(х,0) = 0, и(оо,у) = 0 при х,у ^ 0, то поток
я(у) — —ких@, у) можно вычислить по формуле q(y) = у/к DOy и@, у).
Уравнение вида
Vk^ + <2«(r, V) + ^ Ыг, у) - „0] = J|,	@.12.5)
где q = const, г^о = const = u(r, у), при у < 0, г ^ 0 выведено в работе
[151, с. 200] при исследовании уравнения диффузионного переноса
-— г^(ж, t) = kAxu
ду
методом понижения порядка по временной у и пространственным пе-
переменным. Здесь Ах — оператор Лапласа по координатам ж1? #2 и жз
точки же!3.
Уравнение @.12.4), как и @.12.5), интересно тем, что оно позволяет
вычислить поток физической величины и(х,у) при заданном значении
её дробной производной DQ u(x,rj) в точке х в момент времени у.
На это обращено внимание в книге [82], когда точка х = 0. Очевидно,
что если для точки х = 0 получено @.12.4) или @.12.5), то перенос
этого результата на случай произвольного х = xq > 0 осуществляется
простой заменой ? = х — xq.
Идея Р. Куранта и Д. Гильберта, по существу, лежит в основе
метода непосредственного расчёта тепловых и диффузионных потоков
на границе раздела сред, не требующих предварительного определения
полей, предложенного Ю. И. Бабенко [2]. Этот метод укладывается в об-
общую схему сведения дифференциальных уравнений второго порядка
к системе уравнений более низкого порядка.
Уравнения вида @.12.4), @.12.5) возникают при математическом
моделировании различных процессов, протекающих в системах с памя-
памятью.

0.12] Дробное дифференцирование как способ определения потоков 31
Действительно, пусть в точке х системы S с функцией памяти у?(г),
0 $J т ^ ?, погружённой в пространство Евклида, в момент времени t от
начального t = 0 до расчётного t = Т > 0 действует сила г*, = г^(ж, ?),
которая вызывает поток q(x,t). Наличие памяти означает, что на
значение потока q(x,t) в данный момент времени оказывает влияние
последовательность предшествующих состояний силы и = u(x,t).
При определённых предположениях систему S можно интерпрети-
интерпретировать как одномерную непрерывную систему «вход-выход» с уравне-
уравнением состояния следующего вида (см. [55]):
<p(t-T)dT.	@.12.6)
о
С уравнением @.12.6) свяжем начальное условие
и(х,0) = 0,	@.12.7)
характеризующее отсутствие силы в точке х в начальный момент вре-
времени t = 0.
Если допустить, что между двумя признаками системы S — функ-
функцией памяти (р(т) и временем г — существует простейшая корреляци-
корреляционная зависимость
где 0 < а < 1, Л = const > 0, то из @.12.6) получаем
ГA-а) дт
о
Стало быть,
q{x, t) = \dgtu(x, r).	@.12.8)
Из условия Коши @.12.7) следует, что
Поэтому @.12.8) принимает следующий вид:
q(x,t) = \D$tu{x,T).	@.12.9)
Чтобы избежать возможных ошибок при экспериментальном и вы-
вычислительном методах определения параметра а, меняющегося в ин-
интервале 0 < а < 1, уравнение @.12.9) можно заменить однопараметри-
ческим определяющим уравнением
1
Г
q(x,t) = Л DQtu(x,r)da.
j

Глава 1
КАЧЕСТВЕННЫЕ И СТРУКТУРНЫЕ
СВОЙСТВА ОПЕРАТОРОВ ДИСКРЕТНОГО
И НЕПРЕРЫВНОГО
ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
1.1. Континуальная производная и её связь
с дискретной производной дробного порядка
Пусть и = и(х) — скалярная функция с областью определения
D(u) = {х : жеМ, а < х < 6};
—	междупредельное конечно-разностное отношение порядка а Е Ш
в точке ж Е D{u)\
D%xu = lim А>(ж)	A.1.2)
п—>-оо
—	Летниковская производная порядка а от функции и(ж), взятой в пре-
пределах от а до ж [57, с. 28].
Как известно, биномиальный коэффициент
а\ = g(a-l)...(g-m + l) = Г(а +1)	f ,
)	5	v • • J
т)	т\	т!Г(а-т + 1M
где F(z) — гамма-функция Эйлера, которую можно определить следу-
следующим образом [6, с. 26]:
оо
cos — =
о
оо
— = tz~x cos tdt, 0 < Re z < 1,	A-1-4)
r(z + l) = zT(z) Vz = ^ + zy.	A.1.5)
A.B. Летников доказал (см. [57, с. 28] или [43, с. 521]), что если и Е
Е L[a, 6] и а < 0, то из A.1.1), A.1.2) следует основная формула
(LL6)

1.1] Континуальная производная и её связь с дискретной производной 33
Если же 0 < а ^ [а], где [а] — целая часть а, и функция Dax и
в промежутке а < х < b имеет все производные до порядка [а] + 1, то
D%xu = д " ** DJ-W-4.	A.1.7)
Достаточное условие существования производной A.1.7) можно
сформулировать следующим образом.
Пусть функция и(х) — непрерывна на]а,Ь[ вместе со своими про-
производными до порядка т — 1 включительно, причём и^ш\х) Е L[a, b].
Тогда для любого а Е ]0,77i] производная D%xu существует. Кроме
того, если а Е ]п — 1, п], то почти всюду на [а, 6] имеет место пред-
представление
Введём в рассмотрение функцию
т=0
назовём континуальным конечно-разностным отношением порядка
[а,/3].
Если существует предел Dax и континуальных конечно-разност-
конечно-разностных отношений An и(х) при п —> счэ, то этот предел разумно назвать
континуальной производной порядка [а, /3] от функции и{х) с началом
в точке а и с концом в точке х Е ]а, 6]:
D|f/^= lim А^'^г.^).	A.1.8)
п—)-оо
Пусть /3 > 0; функция и{х) при а < х < b имеет все производные
до порядка /3, и они абсолютно суммируемы. Тогда из A.1.2) в силу
A.1.3), A.1.6) и A.1.7) нетрудно видеть, что
A.1.9)
При х > а летниковская производная Dlaxu, как функция пере-
переменной ?, непрерывна на сегменте а ^ t ^ C. Поэтому на основании
2 А. М. Нахушев

34	Качественные и структурные свойства операторов	[Гл. 1
теоремы о среднем значении для интегралов существует такое е = е(ж),
что а < е{х) < C для любого х Е ]а, Ь]:
A.1.10)
Равенства A.1.9) и A.1.10) говорят о том, что
Оператор Dax назовём оператором непрерывного интегрирова-
интегрирования порядка [а, /3] в случае, когда /3^0, оператором непрерывного
(континуального) дифференцирования при а ^ 0 и оператором непре-
непрерывного интегродифференцирования, если а < 0, a /3 > 0.
1.2. Формулы дробного и непрерывного
интегрирования по частям, взаимная
сопряжённость операторов дробного
интегрирования и дифференцирования
Через Lp[a, b] обозначим пространство всех измеримых на сегменте
[а, Ь] функций и{х) с конечной нормой
Г Г	1 /р
\\u\\ = \u(x)\pdx\ , р^ 1.
Пусть а</3^0;рид^1, 1/р + 1/д ^ 1 — /3 и в случае, когда 1/р +
+ 1/# = 1-/3, числа р и g ф 1. Тогда для любой функции г^ Е Lp[a, 6]
и г; Е L9[a, 6] справедливы равенства
A.2.1)
A.2.2)
\	/ U \	/U
где
ь
(„. „Л — ni(т\^(т\ /7т>	(Л 9 *\\
\ LL, U ) Q 	 I Uj\Ju)U\Ju) \JjJb	ll.Zi.OI
а
— скалярное произведение в пространстве L2[a, 6],
1
b
>bxU	FV_m I |^_t|

1.3] О положительности одного оператора со степенным ядром 35
— дробная производная отрицательного порядка /3 от функции и(х),
взятой в пределах от b до х < 6,
A.2.5)
Равенство A.2.1) является следствием формулы Дирихле (теоремы
Фубини) и известно как формула дробного интегрирования по частям
[98, с. 42]. Формула A.2.2) — следствие A.2.1).
Формулы A.2.1) и A.2.2) говорят о взаимной сопряжённости опера-
операторов D%x, Dax и D%x, D^x соответственно [70].
1.3. О положительности одного оператора
со степенным ядром
В дробном исчислении и в теории уравнений смешанного типа важ-
важную роль играет потенциал (см. [57, с. 50])
с плотностью u(t) и со степенным ядром \х — ^|~а~1/Г(—а).
В силу A.1.6) и A.2.4) ясно, что /«, = D%x + D^.
Воспользуемся следующим обозначением:
(«,«>а = («,/»„.	A.3.2)
Справедлива следующая
Теорема 1.3.1. Пусть: 0 > а > — 1, и — суммируемая на [а, Ь]
функция такая, что (и,и)а < оо. Тогда
оо 6	2
(и, и)а = — cos — N u(x) cos (xy) dx +
77 2 J Ш	J
0	а
Ъ	9
Г Г	11
+ u{x) sin (xy) dx }ya dy, A.3.3)
(и,и)а = 0 тогда и только тогда, когда и = 0.
Чтобы доказать эту теорему, в равенстве A.1.4) произведём замену
переменной интегрирования по формуле t = ?77, где ? — любое поло-

36	Качественные и структурные свойства операторов	[Гл. 1
жительное число. В результате будем иметь
оо
Г(г) cos Ц- = iz [ rjz~x cos (f 77) drj, 0 < Re z < 1.	A.3.4)
0
Из A.3.4) при z = a + 1, ? = \x — t\ получаем
oo
Г(а + 1) cos —	 = \x — t|a+1 77" cos [771ж — t\] drj,
0
00
Г (a + 1) sin ™\x- t^"-1 = - I rja cos [77@; - t)} drj.	A.3.5)
0
На основании A.3.1) и A.3.5) равенство A.3.2) записывается в виде
-Г(-а)Г(а + 1) sin Ц- {и, и)а =
или
ОО	6 6
Г	Г Г
= 7/а d77 u(x)u(t) cos (rjx — rjt) dx dt =
J	J J
0	a a
b b
Г	Г Г
= \ rja drj \ u(x)u(t) [cos (rjx) cos G7^) + sin (rjx) sin G7^)] da; dt =
j	j j
a a
00	6	6
= 77a 0G7 ?i(;r) cos (rjx) dx u(t) cos G7^) dt +
a
6	6
Г	Г	1
+ u(x) sin G7Ж) (ia: ?i(t) sin G7^) dt . A.3.6)
j	j	j
О
оо	6 6
Поскольку
-Г(-а)Г(а + 1) sin ^ = -аГ(-а)Г(а) sin
1^/ vr,/1 ч . тга 7rsinGra/2)	тг
= Г(а)ГA - a) sin — = 	^	'—^- =	--,
2	sin7ra	2cos(ttq;/2)
то равенство A.3.6) говорит о достоверности A.3.3).
Докажем теперь вторую часть теоремы 1.3.1.

1.3] О положительности одного оператора со степенным ядром 37
Пусть (и, и)а = 0. Тогда из A.3.3) имеем равенства
ь	ь
г	г
\ и(х) cos(xy) dx = 0,	\ и(х) sin (xy) dx = 0,	A.3.7)
j	j
а	а
которые справедливы для всех у ^ 0.
Поскольку cos (—xy) = cosxy, s'm(-xy) = — sinxy, то из A.3.7)
следует, что
о
и(х) ехр (—г
гху) dx = 0, —оо < у < оо,
где г — мнимая единица. Отсюда при у = 2тгп/(Ь — а), п = 0, =Ы, ±2, . . .
получаем
ъ
I и(х) ехр (-^^\ dx = 0 V ±гг = 0,1,2,...	A.3.8)
Функция и(х) — суммируема на сегменте [а, 6], поэтому интеграл
Лебега
X
, ч	Г / ч	/	ч
J
a
абсолютно непрерывен на этом сегменте.
Из A.3.8) при п = 0 и A.3.9) при х = а следует, что
Да) = /F) = 0.	A.3.10)
Из A.3.8) с помощью интегрирования по частям и с учётом A.3.10)
находим
ъ
| f(x) ехр B™гх\ dx = 0, ±п = 0,1, 2,. . .	A.3.11)
а
Абсолютно непрерывная функция f(x) в силу A.3.10) удовлетво-
удовлетворяет условию f(a) = /F), и, следовательно, по второй теореме Вейер-
штрасса, при любом е > 0 тригонометрический полином
таков, что \f(x) — F(x)\ < e. Поэтому на основании A.3.11) можно
записать

38	Качественные и структурные свойства операторов	[Гл. 1
где ||/||о = y/{f,f)o — норма в L2[a, ft], ||l||0 = у/Ъ-а. Отсюда в силу
произвольности е следует, что f(x) = 0, стало быть, f'(x) = и(х) = О
почти всюду на [a, ft].
Начиная с соотношения A.3.8) мы, по существу, доказали следую-
следующую лемму:
Лемма 1.3.1. Пусть и(х) — суммируемая на сегменте [a, ft]
функция, удовлетворяющая счётной системе A.3.8) однородных ин-
интегральных уравнений Фредгольма первого рода. Тогда и(х) = 0 почти
всюду на [а, ft].
Существуют различные определения положительного оператора.
Линейный симметричный оператор А с областью определения D(A),
действующий в гильбертовом пространстве Н со скалярным произве-
произведением (и, и),и,^Я, будем называть положительным, если замы-
замыкание D(A) = Н, квадратичная форма (Аи, и) ^ 0 и (Аи, и) = 0 тогда
и только тогда, когда и = 0.
В гильбертовом пространстве L2[a, ft] оператор 1^ь, при — 1 < а < 0
симметричен: (I^bu,v)o = (и, I^bv)o, и на основании теоремы 1.3.1
(и, 1^ьи)о ^ 0, причём (и, 1^ьи)о = 0 тогда и только тогда, когда и = 0.
Следовательно, оператор 1%ь является положительным.
1.4. Новый класс положительных ядер
Интеграл вида
ъ ъ
Г Г
1(и,и)= К(х, у)и(х)и(у) dx dy	A-4-1)
а а
с симметричным ядром К(х,у) = К(у,х) принято называть инте-
интегралом Гильберта или квадратичной формой с бесконечным числом
переменных [110, с. 155].
Симметричное ядро К(х,у) называется положительным, если
1(и,и) ^ 0 для любой функции и(х) G С[а,Ь]. Поскольку (и,и)а ^
^ 0, то квадратичная форма A.4.1) является интегралом Гильберта
с положительным в силу A.3.3) ядром К(х,у) = \х — у\~а~1 /Г(—а),
-1 < а < 0.
Тот факт, что ядро \х — у\~@, 0 < C < 1 является положительным
в смысле теории интегральных уравнений, был доказан Ф. Трикоми
[109, с. 180], [111, с. 385].
Следующая теорема выделяет широкий класс положительных ядер.
Теорема 1.4.1. Пусть ip(t) — непрерывная, положительная, убы-
убывающая и суммируемая на полусегменте 0 < t ^ ft — а функция,
которая имеет возрастающую непрерывную производную ip'(t) при
0 < t < ft — а. Тогда ядро К(х, у) = (р(\х — у\), а < х, у < ft является
положительным.
Предварительно докажем следующую лемму, которая может пред-
представлять самостоятельный интерес и в теории рядов Фурье.

1.4]
Новый класс положительных ядер
39
Лемма 1.4.1. Пусть f(x) — неотрицательная убывающая функ-
функция из класса С [О,1], которая имеет возрастающую непрерывную про-
производную f'(x) в интервале О < х < 1. Тогда
/(*) =
, О < х < 1,
A-4.2)
n=l
где
а0
±	1
= 2 /(ж) dx > О, an = 2 /(ж) cos тгпж da ^ 0,	A.4.3)
о	о
причём ап > 0 для всех п = 1, 2, . . ., если f'(x) — строго возрастающая
функция.
Так как функция f(x) — монотонна и непрерывна на сегменте [0,1],
то разложение A.4.2) является следствием теоремы Дирихле.
Функция f(x) ^ 0, f(x) ф 0 и f(x) е С[0,1]. Поэтому а0 > 0.
Пусть F(x) = / (—) 1 х G [0, тт], п = 1, 2, . . . Легко видеть, что
an = — F(t) costdt = —
F(t)
costdt.
Отсюда после замены х = t — nr и с учётом равенства cos (ж + тгг) =
= (—l)rcos? получаем
ап =
тгг) cos ж dx,
или
ап =
С
F{x + тгг) cos x dx
j
Стало быть,
п — 1
ап =
r=0
г/2
—
тгп
п-1
r=°
тгг) cosa: (ia;—
J/2
7rr)cosxdx.
r=0
. A.4.4)

40	Качественные и структурные свойства операторов	[Гл. 1
Из A.4.4) и теоремы о среднем значении интеграла заключаем:
существуют числа a;i ИЖ2 такие, что 0 < Xi < 1, i = 1,2, и
п-1
п-1
2 v-^, чг /тг
г=0
В случае, когда п = 0 (mod 2), из A.4.5) имеем
п-2
2
2
°" = ^ Е [F (f
тг , 4г
+
или
A-4.6)
Допустим теперь, что п = 1 (mod 2). Тогда равенство A.4.5) можно
переписать в виде
iF (Ixi+n{-n ~
п-3
- F (| Ж1 + Bг + 1).) + F (f х2 + **±1 тг)] } . A.4.7)
, что
- F (f
Из A.4.7) нетрудно увидеть, что
п-3 | (	)
Е	f [F'(x + тг) - ^'(ж)] da;. A.4.8)
7ГП
Поскольку F'(x) — возрастающая функция, a F(x) — убывающая,
то из A.4.6) и A.4.8) вытекает A.4.3). Если Ff{x) строго возрастает,
то ап > 0 для всех п = 1, 2, . . .

1.4]	Новый класс положительных ядер	41
Доказанная лемма позволяет весьма просто убедиться в справедли-
справедливости теоремы 1.4.1.
Действительно, не нарушая общности в A.4.1), можно положить
а = 0, b = 1 и рассмотреть интеграл Гильберта
1 1
Г Г
I?(u,u)= \fe(\x-y\)u(x)u(y)dxdy,
j j
о о
где /е(ж) = (р(х + е) при 0 ^ ж ^ 1 — ? и f?(x) = (рA) ехр [е — е1 — ех)
при 1 — е ^ х $J 1.
Функция /е(ж) удовлетворяет условиям леммы и при ? —» 0 стре-
стремится к (р(х). Поэтому
1 1
Г Г
I(u,u)=\ \ip(\x - y\)u(x)u(y) dx dy =
Шг	°°	1
— + У^ a?n cos irn(x — у) u(x)u(y) dxdy.
о о
1 1
о о	n=1
где
l
a?n = 2 f?(x)cosirnx dx ^ 0, n = 0,1, 2, ...
о
Отсюда видно, что
iff	I2 °° Г Г f	2
/(гх, u) = - ag гх(ж) dx + ^~^ a^< гх(ж
LJ	J „	i I LJ
п	П —1	n
о
[[«(*) sin™:*Л A4 9)
L J	л )
1
г	г
clq = 2 у?(ж) dx > 0, a^ = 2 у>(ж) соятгпж (ia; ^ 0.
j	j
о	о
Равенство A.4.9) было установлено С. Геллерстедтом [131, с. 84]
для специального ядра вида
(р(\х - у\) = \х- у\^Р0 (с\х - у\^) , Ро@) = 0, A.4.10)

42	Качественные и структурные свойства операторов	[Гл. 1
которое возникает при исследовании задачи Трикоми для уравнения
смешанного типа
Утпихх + иуу — си = 0, гп = 1 (mod 2).
С. Геллерстедт от спектрального параметра с > 0 требует его до-
достаточной малости, ибо равенство A.4.9) он доказывает в случае, когда
функция (р(х) из A.4.10) такова, что (р(х) > 0, <р'(х) < 0, <рП{х) > 0
при 0 ^ х $J 1.
Хорошо известно, что положительность ядра равносильна положи-
положительности всех собственных значений этого ядра [103, с. 95]. В связи
с этим следует отметить, что уравнение Фредгольма второго рода
о
С
и(х) = X у>(\х - у\)и(у) dy ¦
J
где А = const $J 0, (p(t) удовлетворяет условиям теоремы 1.4.1, ф(х) G
G С [а, 6], имеет, и притом единственное, решение и{х) G С [а, Ь].
1.5. Теорема о положительности обобщённого
оператора дробного интегрирования
с фиксированными началом и концом
Рассмотрим интегральный оператор Pq[ , который действует на сум-
суммируемую функцию и(х), 0 ^ х $J 1, по формуле
1
Р0>(ж) = J <f(\x - у\Ну) dy,	A.5.1)
о
где функция ip(x) на сегменте [0,1] удовлетворяет условию монотон-
монотонности М, которое определяется следующим образом.
Функция (р(х) удовлетворяет условию монотонности М тогда
и только тогда, когда для любых х и у из ]0,1[
1
<р{х) е С^ОД], (p(x)^0, \(p(x)dx <оо,
J	A.5.2)
(р(х) ^ <р(у), <р'(х) < (р'(у) V х < у.
Потенциал A.5.1) представляет собой некоторое обобщение потен-
потенциала A.3.1). При ip(x) = х~сх~1 /Т{—а) оператор Pq[ совпадает с /р\.
Функция ip(x) = — \ogx удовлетворяет условию М, и в этом случае
функция
1
-y\dy	A.5.3)

1.6] О положительности операторов дискретного интегрирования 43
является логарифмическим потенциалом с плотностью и(х).
Имеет место
Теорема 1.5.1. Пусть функция <р(х) удовлетворяет условию М.
Тогда для любой суммируемой на [0,1] функции и(х) интеграл Гиль-
Гильберта
1 1
Г Г
1(и, и) = (р(\х - у\)и(х)и(у) dx dy ^ 0,	A.5.4)
о о
и 1(и,и) = 0 тогда и только тогда, когда и(х) = 0 для почти всех
х е [0,1].
Неравенство A.5.4), т.е. положительность ядра К(х,у) =
= <р(\х — г/|), следует из теоремы 1.4.1, поэтому остановимся на второй
части теоремы 1.5.1.
В силу A.5.1) и A.5.2) форма 1(и,и) представима в виде A.4.9).
Лемма 1.4.1 говорит о том, что коэффициенты этого представления
таковы, что а[] > 0, а^ > 0 для всех п = 1, 2, . . . Следовательно,
1	1
и(х) cos тгпх dx = 0, и(х) sin тгпх dx = 0, п = 0,1, 2, . . . ,
о	о
т. е.
1
и(х) ехр (—2тгшх) dx = 0 V ± п = 0,1, 2,. . .
о
Отсюда на основании леммы 1.3.1 получаем и(х) = 0 почти всюду на
[0,1].
В пространстве L2[0,1] оператор Р^х симметричен и согласно тео-
теореме 1.5.1 {и, Pq[u) ^ 0, причём знак равенства имеет место тогда
и только тогда, когда и = 0. Это означает, что оператор Р^х с ядром (р,
удовлетворяющим условию М, является положительным.
1.6. О положительности операторов дискретного
и непрерывного интегрирования
Введём в рассмотрение оператор, действующий на суммируемую на
[а, Ь] функцию и(х) по формуле
u(y) dy,	A.6.1)

44	Качественные и структурные свойства операторов	[Гл. 1
где — 1 ^ а < /3 ^ О,
8
Vi(j,5,x)= урр ж^О, (К7О	A.6.2)
7
— специальная функция, введённая в [66] и [55, с. 16].
Функция
. Г x^'dt	1 Г xTdr
называется функцией Волыперра [23, с. 261], [164, с. 229]. Очевидно, что
xv[x\ \±) = Vi(/ji + 1, +счэ; х).
)
Легко видеть, что /?« = D[«/] + о[а/].
Действительно, согласно A.1.9), A.2.5), и A.3.1)
—/5
Функция <р(х) = Уг(—/3, — а, х)/х при — 1 ^ а < C $J 0 удовле-
удовлетворяет условию монотонности М. Поэтому оператор 1^ъ является
положительным в L2[a,b].
Рассмотрим билинейный функционал
(и, v)a = \ [(и, DZxvH + (Daaxu, vH],	A.6.3)
определённый на множ:естве абсолютно суммируемых функций и(х)
и v(x), для которых справедливо равенство B.1) с /3 = а е] — 1, 0[.
Из A.6.3) видно, что
(и, и)а = (и, DZxuH = \ [(и, D»xuH + (и, DZxuH] =
= i (u,/»o = i<u,u)a. A-6.4)

1.6] О положительности операторов дискретного интегрирования 45
Отсюда на основании теоремы 1.3.1 заключаем, что (и,и)а ^ О,
(и,и)а = 0 тогда и только тогда, когда и = 0 почти везде на [а, Ь].
Функционал A.6.3) удовлетворяет всем аксиомам скалярного про-
произведения.
Через //а[а,6] обозначим пространство с внутренним произведе-
произведением, где для каждой пары его элементов в и(х) и v(x) из L[a, b]
по формуле A.6.3) определено скалярное произведение. Норму в этом
пространстве определим следующим образом:
\\u\\a = V(u,u)a VueHa[a,b].	A-6.5)
Итак, пусть На[а,Ь] — гильбертово пространство действитель-
действительных функций с конечной нормой A.6.5). Очевидно, что Н°[а,Ь] =
= Ь*[а,Ь].
Из A.6.4) и A.6.5) вытекает, что
(u,D°xuH = (u,D^u)o^0 \fu€Ha[a,b]	A.6.6)
и (и, D%xu)o = 0 тогда и только тогда, когда и — нулевой элемент
пространства На[а, Ь].
Пространство На[а, Ь] (пополненное, если оно неполное) является
энергетическим в смысле [92, с. 64], и в силу A.3.3) соотношение A.6.5)
можно переписать в виде
\\ч* =
cosGra/2) f f|7f / ч	, \
	—- s u(x) cos xydx
* U LVJ	/
Л
+ I u(x) sin xy dx\ \ya dy
J	J
Согласно A.4.9) норму в Яа[0,1] можно ввести и таким образом:
Г /Г	\
_ I Оо /	( \^ )
I \J	/
V	О
\2
oo	1	у	1	,2^V2
an ( u(x) соятгпж б/ж J + I u(x) sinvrna; б/ж
,_,	, L \J	/	\J
ft-!	Q	Q
где
l
x~cx~1 costtux dx > 0.
ГA - a)	"(-a
о

46	Качественные и структурные свойства операторов	[Гл. 1
Пусть Н^а'^[а, Ь] — гильбертово пространство со скалярным про-
произведением
и с конечной нормой
Как и выше, можно доказать, что если — 1^а</3^0, то для
любого и G //[a'^[a, b] имеем
(«, ?>[а/Цо = («, tf&'No > 0.	A.6.7)
Неравенству A.6.6) в случае, когда а = 0, b = 1, а = —2/3, можно
придать вид
1	ж
|	| - У)~1/3НУ) dy > 0.	A.6.8)
Неравенство A.6.8) впервые доказал Ф. Трикоми [109, с. 43], [111,
с. 385], правда, в его работах v(x) = zy(x,0), где z(x,y) — решение
уравнения Трикоми yzxx + zyy = 0, которое обращается в нуль на
характеристике Зж = 2(—уK/2, у < 0.
1.7. О положительности оператора дробного
дифференцирования и континуального
интегрирования сегментного порядка
Пусть Л^[а, b] — множество всех функций и(х), имеющих абсолют-
абсолютно непрерывный на [a, b] дробный интеграл порядка 1 — а с началом
в точке а и концом в точке ж, который обращается в нуль при х = а.
Справедлива следующая
Теорема 1.7.1. Для любого а Е [0,1[ и любой функции и(х) Е
Е v4q [a, 6] скалярное произведение (и, D%xu)o ^ 0 и (и, D^xu)o = 0 то-
тогда и только тогда, когда и = 0.
Действительно, так как и(х) Е ^4^[а> Ч? т0 в СИЛУ теоремы Тамар-
кина [23, с. 574] существует, и притом единственная, функция v(x) E
Е L[a, 6], такая что и(х) = D~^v. Поэтому
(«, IMo = (?->, D«xD-«vH = (v, D~xavH.
Отсюда и из оценки A.6.6) нетрудно убедиться в положительности
оператора D%x.
Пользуясь теоремой 1.7.1, можно доказать, что если и Е Лд[а, 6] для
всех t Е [а,/?] С [0,1], то
(u,Dt^u)o^0.	A.7.1)

1.8]	О структурном свойстве оператора	47
Рассмотрим теперь оператор Dax в случае, когда — 1 < а < О,
О < C < 1. Пусть и(х) е Я[а'°][а,6] П А?[а,Ь] для любого * <Е [0,/3].
Тогда легко видеть, что
Неравенства A.6.7) и A.7.1) говорят о том, что
(и, D&flu)o > 0, (и, D^u)^ = 0 & и = 0.
1.8. О структурном свойстве оператора, обратного
оператору со степенным ядром
Рассмотрим уравнение Карлемана
I*bu = v(x), a < х < 6, -1<а<0	A.8.1)
с правой частью v(x), представимой в виде
v(x) = ф)[(х - а)(Ь - х)]*-а-\	A.8.2)
где (р(х) на сегменте [а, Ь] удовлетворяет условию Гёльдера с показате-
показателем h > —a, a 6 = const > 0.
Решение интегрального уравнения первого рода будем искать
в классе функций гх(ж), представимых в виде
и(х) = ф(х)[(х-а)(Ь-х)]8~1,	A.8.3)
где ф(х) — непрерывная по Гёльдеру функция на [а, Ь].
Пусть
у(т\ — (т _ U + a/2/7 _ т\-а/2 _ у(	\	(л о л\
тогда, как хорошо известно (см. [18, с. 579]), в классе функций, удовле-
удовлетворяющих условиям A.8.2) и A.8.3), имеем
х
и(х) _ sin [(а + 1)тг] d Г v(t) dt	sin2[(a + 1)тг]
Г(-а) 47rsin2[(a + lOr/2] dx \ (x - t)~a 4тг2 sin2[(a + 1)тг/2]
Z{t) д [\ dr
dr Г v(s)ds \
Tr^J zW(e-r)-/d*- (L8'5)

48	Качественные и структурные свойства операторов	[Гл. 1
Из A.8.5), принимая во внимание, что
. / ч . / ч . (а + 1)тг	атг
sin (an + тг) = — sin (an), sin	— = cos —,
Г(-а)г(а
получаем
4cos2 (
DZtD-rl^y A-8.6)
Теорема о дробной производной от потенциала со степенным ядром
гласит [57, с. 50]:
где
t - а
u(t) dt
t — x
Равенства A.8.7) и A.8.8) позволяют записать
A.8.7)
A.8.8)
sin (a
Следовательно,
D n
m at b- ад"
В силу A.8.9) соотношение A.8.6) принимает вид
4 cos
2
8
. A.8.10)
Формула A.8.10) выражает весьма важное функциональное свой-
свойство оператора, обратного оператору 1%ь.

1.9]	О структурном свойстве оператора	49
Можно считать известным (см. [18, с. 579]), что если и(х) — решение
уравнения Карлемана A.8.1), то
ь _	,2
A-8.11)
A-8.12)
v	J
2 тг J [(x - а)(Ъ - х)\ t - х
а
ъ
2 тг J [(x-a)(b-x)\ t-x
1.9. О структурном свойстве оператора,
обратного оператору дробного дифференцирования
с фиксированными началом и концом
в общем случае
Важную роль в теории дробного исчисления играет оператор
I°bu(x) = (D°x-BignaDfx)u(x), а < х < Ь,	A.9.1)
который можно назвать оператором дробного интегродифференцирова-
ния порядка \а\ с фиксированными началом и концом в точках а и b [74].
Как видно из A.9.1), при а < 0 оператор 1%ь определяется формулой
A.3.1), а при а > О
где [а] — целая часть а < [а] + 1.
Предположим, что а > [а] = т, и рассмотрим уравнение
Lab
a<x<b	A.9.3)
с непрерывной при а < х < b правой частью v(x), обладающей тем
свойством, что
где (р(х) на сегменте [а, Ь] удовлетворяет условию Гёльдера, с показа-
показателем h > т + 1 — а, 5 = const > 0.
Решение уравнения A.9.3) будем искать в классе функций и(х),
представимых в виде A.8.3), и таких, что I™b~rn~1u(x) E Gm+1]a, b[.
Легко видеть, что любое решение и(х) уравнения A.9.3) допускает
следующее представление:
I™b~m~1u(x) = D~™~1v + ak(x - a)k,	A.9.5)
или
¦x)k,	A.9.6)

50	Качественные и структурные свойства операторов	[Гл. 1
где dk,bk,k = 0,1, . . . , т — постоянные величины, и по диагонально
повторяющемуся индексу к подразумевается суммирование от 0 до т.
Ясно и обратное утверждение: каковы бы ни были постоянные ак
и 6/,, любое решение уравнения A.9.5) (или A.9.6)) является решением
A.9.3).
Чтобы увидеть структуру ядра оператора 1^ь при а > 0, рассмот-
рассмотрим однородное уравнение
1^ьи(х) = 0, Р = а-т-1,	A.9.7)
дхг'
соответствующее уравнению A.9.3). Как видно из A.9.5), при v = 0
любой элемент и Е ker I^b удовлетворяет уравнению
I*bu(x) = ak(x - а)\ к = 0,1, . . . , т.	A.9.8)
Из A.9.8) и A.8.11) заключаем
х = ак(Ха)+	^	х
ж[(х - а)(Ь - х)]р/
x5*(| + fe + l,| + l;x). A.9.9)
Здесь
1.10. Представление сингулярного интеграла
через гипергеометрические функции
Интеграл в смысле главного значения по Коши от функции ip(x)
можно определить и следующим образом:
AЛ0Л)
Законность A.10.1) можно усмотреть из равенства C4), содержаще-
содержащегося в работе [109, с. 134].
Сингулярный интеграл A.9.10) согласно A.10.1) можно записать
в виде
ь
Г Г
Sba{v, /i; x) = lim I Ut - аУ~1(Ъ - t)»-\t - x)?~l dt -
X
Г
\(t- a)u (

1.10]	Представление сингулярного интеграла	51
Если в первом интеграле произвести замену t = b — (b — ж)г, а во
втором положить t = а + (х — а)т, то в результате получим
S*(i/, /i; ж) = lim (b - а)^^?~2 х
?) + 0
r^-^l - ту-1^ - A - г)ту-х dr -
о
1
- z"+?-]
1 dr\, A.10.2)
где z = (х — a)/{b — а), 1 — z = F — x)/(b — а).
Гипергеометрическая функция Гаусса F(a,/3,ry; z) при j > /3,
\z\ < 1 допускает следующее представление:
1
где ,В(ж, у) = Г(ж)Г(г/)/Г(ж + у) — бета-функция (см. [45, с. 288]).
С учётом A.10.3) равенство A.10.2) примет вид
5*A/,д; ж) = (Ь - а,у+и-2 lim
х F(l - i/, /i, /i + e; 1 - z) - B(i/, б:)^^6-1 F(l - /i, i/, i/ + e; z)] .
A.10.4)
Далее, на основании первой формулы Больца
F(a, /3, 7; *) = (!- z)iaPF(>y - а, 7 - i8, 75 ^),	A-Ю
имеем
F(l - /х, i/, i/ + е; z) = A - zY+^F^ + is + ?-l,e,is + ?; z).
Если а + /3 — 7 т^ 0, ±1, ±2, . . ., то, как известно [45, с. 298],
,/3,a +/3-7 + 1;
FG - a, 7 - /3,1 + 7 - a - /3; z). A.10.6)

52	Качественные и структурные свойства операторов	[Гл. 1
При v ф 1,2, ... и достаточно малых значениях е в силу A.10.6) спра-
справедлива формула
i/ + e -l,e,e + i/; z).
Следовательно, после соответствующих подстановок и преобразований
можно записать
\_(h_ nY+»2 lim
)-(b а)	™0
x F(l - i/, /x, 2 - i/ - e; z) +
„ + . - ,,,, ? + „ „
Отсюда, принимая во внимание равенства Г(ж)ГA — х) = тг/яттгж,
() ( )
i™	еГA - v)T{v + e)	Пе + 1>
,. sin Ж1/ — sin (v + е)п	. п _
= lim	т—-—г—— — — -ircte-iri/, уф 1,2,...,
F(a,0,7! -г) = 1, находим
S*(i/, At; ж) = -7Г ctgi/Trz1'-^! - z)"F - af+"-2 +
+ B(/i, i/ - 1)A - zY~l{b - aY+l/-2F{l -v,n,2-v; z). A.10.7)
Итак, доказано, что если v ф 1, 2,..., mo
5*(г/,/х; ж) = -тг ctg^7r(a; - a)"^ - ж)^ + S(^, i/ - 1) х
х (b - ху-'ЧЪ - aY^F (l - i/, д, 2 - i/; ^-^) . A.10.8)
Равенство A.10.7) при \i ф 1, 2, . . . можно переписать и в следую-
следующем виде:
Бьа{у,ц; х) = тг ctg 1Ш(х - ау-\Ь - ж)" - (Ъ - a)"+I/ x
х В{ц - 1, i/)F B - // - t/, 1, 2 - /х; ^^) . A.10.9)

1.10]
Представление сингулярного интеграла
53
Действительно, в силу A.10.6) имеем
Поскольку F(l — г/, /i, /i; I — z) =
ГB - ,/)ГA - /i)
Y{2-v-a)
2 - Д - i/, 2 - д; 1 - z). A.10.10)
- («/ - 1))
i/- 1))
=
Sin/iTTSin (i/ — lJTT	Sin/i7T Sin i/TT
- 1)ГB - «/)Г(>
to A.10.9) является следствием A.10.8) и A.10.10).
Равенство A.10.9) без доказательства приведено в [19, с. 304] и в
[98, с. 164] без оговорки, что \± ф 1, 2,. . .
Очевидно, что
Из A.10.4) и равенств Г(б: + 1) = еГ(е), F@, /i, /x + е, 1 - z) = 1
имеем
= lim -
e—>0 ?
Г(/х)Г(е
; z) =
= lim —-
е->-0 ?/?
е)
¦'-/Fil-^l.l + e; z)
A.10.12)
Пусть ip(z) — логарифмическая производная Г(г):

54	Качественные и структурные свойства операторов	[Гл. 1
Тогда из A.10.12) будем иметь
(Ь - ay-»Sba(l, w х) = [фA) - ф(р)}A - z)»-1 + A - z)»-1 x
х log A - z) - A - zy-1 logz - lim A F(l - », 1,1 + e; г).
?>о аг
Согласно A.10.3)
l
lim ^ F(l - /i, 1,1 + g; z) = lim ^5 [A
о
l
-1 + (M - 1)* |A - tf{l - zty~2 dt] =
[
0
1
= A - /i)z f log A - *)A - zty~2 dt = (l- n)zF*B - /i, 1, 2; z),
где
i
ГG)
[ ^-\1 - ty-P-1 log A -t)(l- zt)~a dt
Г(/3)ГG-/3)
о
— функция, введённая автором в работе [60] (см. также [16], где она
названа его именем).
Таким образом, установлено, что
(Ь — a) ~^Sa(l, /i; x) = A — z)^~ hA(l) ~~ Ф(^) + l°g
или
Sba(l, М; х) = F -
+ (р - 1){х - а)(Ь - ay~2F* B - fx, I, 2; |^) . A.10.13)

1.10]
Представление сингулярного интеграла
55
Далее нетрудно увидеть, что
Sba{2, д; х) = - (Ь - аГ + (х- a)Sba(l, /x; х).
A.10.14)
Пусть теперь v — 3, 4, 5, . . . Тогда на основании формулы бинома
Ньютона интеграл A.9.10) можно записать в виде
u-l
Sba{u, W я) =
i=o
b
^ (* - аУ f (* - xY
J	J
j{b ~ ty-1 dt =
j=o ^ J
Здесь и в дальнейшем
^dt. A.10.15)
k\F(z-k + l) k\{z-k)V
Пусть rrij = v — 2 — j. Очевидно, что rrij ^ 0 для всех j ^ v — 2 и
b	x b
l{t - x)mi (b - ty-1 dt=(\+V\(t- x)^ (b - ty-1 dt.
a	ax
Если в первом интеграле правой части этого равенства положить
t = а + (х — а)т, во втором — t = b — (b — ж)т, а затем воспользоваться
формулой A.10.3), то нетрудно увидеть, что
(t - х)т> {b - ty-1 dt =
-(b- a
- /i, 1, v - j;
Поэтому для любого v = 3, 4, 5, . . . справедлива формула
I/-2 х	^
Q^(ij и- rr\ — (rp _ n\v — 1- Qbf-i	\ _|_ \ [	l / _ \j v
LJ n \ Is , IX, tb J 	 \tJb Li J	kJ n \ -L * LL. Jb \ \^ 7 I	I \Jb LJL I /\
j=0 ч	y
{Ь -
где rrij = v — 2 — j.
, rrij + 1) - F - ау-^а - х)
171^1 х
, A.10.16)

56	Качественные и структурные свойства операторов	[Гл. 1
1.11. О формулах обращения оператора дробного
дифференцирования с фиксированными началом
и концом (продолжение § 1.9)
Пусть 2е = —/3 = т + 1 — а (см. обозначение A.9.7)). Тогда урав-
уравнение A.9.9) можно переписать в следующем виде:
2D~*?u = ak(x - a)k - пк^7Г? [(х - а){Ъ - х)}? х
х Sba(-s + к + 1,1 - е\ ж), к = 0,1,. . . , т. A.11.1)
Поскольку к + 1 — е ф 1, 2,. . ., то из A.10.8) при v = к + 1 — е,
\i = 1 — е находим
Sba{k + 1 - е, 1 - е; ж) = тг ctg (тге)(а; - а)к~?(Ь - х)~? +
+ В(к - е, 1 - е)(Ь - ж)-?F - а)^-8 х
х F [е - к, 1 - е, 1 - к + е; ^-^) . A.11.2)
V	о — а /
В силу A.11.2) уравнение A.11.1) эквивалентно уравнению Абеля
где
Л* = --^ tg (тге)акВA -е,к-е)(Ь- а)к~?,	A.11.4)
A.11.5)
Функция A.11.5) обращается в нуль при х = а, поэтому
Легко видеть, что
А /*(ж) = (ь _ ay-i JL
Поскольку
-f F(o, 6, с; г) = — F(o + 1, b + 1, с + 1; г),

1.11] О формулах обращения оператора дробного дифференцирования 57
то из A.11.7) находим формулу
А /*(ж) = F _ a)*-i [е^-1^(е - к, 1 - е, 1 + е - к; z) +
+ ekz?F(e -к + 1,2-е,2 + е-к] *)h A.П.8)
где
Формулы A.11.6) и A.11.8) говорят о справедливости следующих
равенств:
^T1ji fk{t) = F - а)*
1
= е(х - а)~? т?~1{1 - r)~2?F(e - к,1 - е,1 +е - к; zr) dr +
о
1
^- (х - аI'8 {т?A - r)-2?F{e - к + 1,2 - е, 2 + е - Л; zr) dr.
- а	J
b
Известно, что
оо
F(a, b, с; z) = ?) (^"^)n zn, \z\ < 1, с / 0, -1,...
n=0 "^ 'П
Следовательно,
l
-2e
_ V^ z^_ Г g(g - k)n(l - s)n Г
n=0 П- IVх -a) U + e- )nj
1
•fc(^-aI-?(?-^ + l)nB-e)n frs+n/
re-1+n(l-r)-2edr-

58	Качественные и структурные свойства операторов	[Гл. 1
°° " [g(g-A;)n(l-g)nr(g + n)r(l-2g) ,
?к(х - аI-?(б - к + l)nB - g)nr(l + g + п)ГA - 2g)"
F - а)B + ? - &)ПГB - s + n)
Таким образом, имеем
П2е fk(i\ _ g V^ (g-fc)n(e)nr(e) n
^i i6; - / _ у 2_^ n\(i + ? _ k) rd_ ?\ z "•"
с-, ^т — n\1~? ж—> M -I- t=- — h\ (Л Л- p\ ГИ -I- p-^
с/г^Ж а;	\ Л l^ + t K)n\^ "Г gjnl V-L T- gj n /1 1 1 1i
6_a
Равенство A.11.10) эквивалентно формуле
F - afDHfk{t) = Щ±^ z~sF(e - k, e, e + 1 - k; z) +
-k; z). A.11.11)
В формуле A.11.11) воспользуемся рекуррентным соотношением [45,
с. 292]
77' / I 1 /Q I 1	I 1 "\	Z77 ^ /Q I 1 • ^	Z77 ^ /Q • ^
7
из которого в силу равенства ГB — е) = (\ — e)Y(\ — е) следует, что
\е — к + 1, е + 1, е — к + 2; z) =
rB-g) v
= —^	!- [F(e — к, ? + 1, е — к + 1; z) — F(e — k,e,e — к + 1; z)\.
В результате будем иметь
Dlej\t) = ?ji±?j [F - a)z]-?F(? - Л, е + 1, е - к + 1; z).
Отсюда на основании формулы Больца A.10.5) получаем
Dllfh(t) = Щ±4 № ~ «М1 - *Т*ПЪ -к,е-к + 1; z).
Щ
A.11.12)
Известно (см. [109, с. 62]), что гипергеометрический полином
F(l,-k,e-k + l; z) = F(-k,l,e-k + l; г) =
Q) (g ^ f 1}.

1.11] О формулах обращения оператора дробного дифференцирования 59
Легко видеть, что
и полином Якоби
i=o
Из A.11.12) заключаем: любое решение и(х) уравнения Абеля A.11.3)
представимо в виде
и(х) = [(ж — а)F — х)]~е
где Б/, = Ak(b — а)?ГA + е)/ГA — е). Или, как это видно из A.11.4),
2тгГA — е)
Таким образом, доказано, что любой элемент и(х) ядра 1%ь при
а > 0 представим в виде A.11.13).
Из A.8.11) и A.9.4) вытекает, что любое решение и{х) уравнения
Карлемана
1^ъи{х) = D~™~xv, P = a-m-l,	A.11.15)
представимое в виде A.8.3), является решением уравнения Абеля
ь	Q /о
rU ^ LJп~, V ~г
(х-а)(Ь-х)\	t-x dt-
A.11.16)
На обе части равенства A.11.16) подействуем оператором D~?. В ре-
результате получим
2и(х) = D-Jv + I tg (Ц) DZ+1~a
r-t
Оператор /"ь является линейным, поэтому любое решение уравне-
уравнения
1«ьи{х) = v(x)	A.11.18)

60	Качественные и структурные свойства операторов	[Гл. 1
с правой частью v(x), удовлетворяющей условию A.9.4) в классе функ-
функций и(х), представимых в виде A.8.3) и таких, что 1™ь ^ и(х) Е
Е С[а1+1]а, 6[, определяется формулой
и(х) = [(х - а)(Ь - ж)]^""^^2 х
Ei-» п I 1 1 \Ы -\-о — а . х — а
Bkt —k, 1, ^^	к-
fe V 2 ' Ъ-а
Г(г-а)(Ь-г)
r-t
1.12. Структурное свойство ядра оператора
дробного интегрирования с фиксированными
началом и концом и видоизменённая задача Коши
Из A.9.7) при т = 0 имеем
^/aYVz)=0 ^ /a>(z) = 0.	A.12.1)
В силу A.11.19) общее решение уравнения A.12.1) имеет вид
и{х) = [(х - о)F - ж)](а-1}/2Б0,	A.12.2)
где
а0 /тгаЛ 3	1 L
Во = 2^ ctg IT") Г
Из A.12.2) видно, что задача Коши в видоизменённой постановке
lim (ж - a)A"a)/2?i(^) = ua,	A.12.3)
ИЛИ
lim (Ъ - х){1-а)/2и(х) = щ,	A.12.4)
где иа и иъ — заданные числа, для уравнения A.12.1) однозначно раз-
разрешима.
Решение и(х) видоизменённой задачи Коши A.12.3) для уравнения
A.9.3) при 0 < а < 1 в соответствии с A.11.17) и A.12.2), если оно

1.12] Структурное свойство ядра оператора дробного интегрирования 61
существует, представимо в виде
/ \	(х — а) (и — х)	J. ,--.	q/
и(х) = иа	—^		+ - Uax v —
о — а	А
- т^ ctg (^) Dl'^t - а)(Ъ - t)]^-a^2Va(t), A.12.5)
где
г — t	ar
Исследуем поведение функции Va(t) в окрестностях особых то-
точек а и Ь.
Условие A.9.4) при т = 0 @ < а < 1) переходит в равенство
D~*v = (р(х)[(х — a)(b — x)]s~a, где (р(х) удовлетворяет условию Гёль-
дера с показателем h > 1 — а. Принимая это во внимание, можно
записать
Va(t) = <p(x)Sba(fi, At; t) + Фьа(ц, м; *),	A-12.6)
где Sa(v, M; t) определяется формулой A.9.10), а
м = 5+Ц^>0.	A.12.7)
r.	A.12.8)
Из A.10.8) и A.10.9) при и = ц ф 1, 2,... соответственно имеем
J(a», a*; t) = -7rctg/i7r[(i - a)(b - t)]^1 +
^ ( - д, ^ 2 - д;
A.12.9)
5*(At, n\t) = * ctg At7r[(* - a)F - i)]^ - B(fi - 1, /i) x
x F - aJ"F B - 2a*, 1,2 - ^; ^f^) . A.12.10)
Равенства A.12.9) и A.12.10) дают нам основание утверждать, что
Jim {S*(At, At; t) + wctgiiw[(t - a)(b - t)]"} =
= В(ц,1л-1)(Ь-аJ»-2, ix ф 1,2,..., A.12.11)

62	Качественные и структурные свойства операторов	[Гл. 1
аI»-1.	A.12.12)
Пусть ii = 1/2 + к, к = 0,1, . . ., тогда из A.12.11) и A.12.12)	имеем
lim 5*(/х, /x; *) = B(/i, /i - 1)(Ь - аJ»-2,	A.12.13)
lim S*(/x, /i; t) = -B(/i, /i - 1)F - aJ^-2.	A.12.14)
Итак, если 0 < \i < 1, то
¦\	A.12.15)
-1.	A.12.16)
Если же 1 < /i ф 2, 3,. . ., то
lim 5j(/x, /i; t) = Б(/х, \i - \)(b - aJ^,	A.12.17)
t—Ьа
lim ^(/i, /i; t) = -B(fjb, \i - 1)F - aJ^.	A.12.18)
В силу A.10.11)
lim [Sj(l,l; t) + log (* - a)] = log (b - a),	A.12.19)
lim [5^A,1; t) - log (b - t)] = - log F - a).	A.12.20)
Как видно из A.10.13) и A.10.14),
A.12.21)
t—Уа
^B2; t) = i (b aJ + (b aJ
lim 5^B,2; t) = i (b - aJ + (b - aJF.@,1, 2; 1).
Так как
l	l
F#@,l,2; 1)= flog(l-t)dt= flogtdt = (tlogt-t)|J = -1,
о
TO
lim S»B,2; t) = -^=^-.	A.12.22)
Из A.10.15) при v = /i = 3, 4,. . . получаем
/ v
j=0
A.12.23)

1.12] Структурное свойство ядра оператора дробного интегрирования 63
где
ъ
Щ(х) = l(t - Xy-2-j(b - ty-1 dt.
Для всех j ^ /i — 2 справедлива запись
ь
lim Щ(х) = Щ(а) = l(t - ay-2-j(b - t)^'1 dt =
j
a
1
= (b - aJ^-2~j \r»-2-j(l - tY'1 dr,
0
b
lim R»f(x) = RTAb) = \{-iy~2~j(b - tJ»-3-j dt.
x^-b J	J
a
Поэтому
22i	1-j, M),	A.12.24)
Формула A.10.15) или A.12.23) в сочетании с A.12.24) и A.12.25)
подтверждает, что для всех /i = 3, 4, . . .
lim S*(/x, /i; x) = В(р - 1, fj,)(b - aJ»'2,	A.12.26)
x—>a
lim Sba{n, fi; x) = (b- a)^ lim Sba{l, ц; х) +
x^b	x^b
-. A.12.27)
j=0\ J /*i*-«-3
В силу A.10.13)
lim S*(l, /i; x) = (fj,- 1)F - a)^F*B - /i, 1, 2; 1).
ж—^b
Согласно определению
l
Г	2
о
1	1
=	^т [log(l - t) d(l - t)^-1 = = -^- \A-ty~2dt= -1 2.
M-iJ	M ~ ! J	(M - 1)

64	Качественные и структурные свойства операторов	[Гл. 1
Следовательно, для всех /i = 3, 4, . . .
lim S*(l,/i; x) = -F~а)р.	A.12.28)
Далее очевидно, что
(-irJ у /7* - П (-D»-1-' в,„ , .
^2=7 ?jl i J 2^2=7 = в("-1'м)'
A.12.29)
ибо
Я(/х - 1, /i) = t^-2(l - t)^-1 Л = X) ( ^ ¦ ) (-l)^"'' ^~3-j dt.
0	^'=0	О
Равенства A.12.27), A.12.28) и A.12.29) говорят о том, что
lim Sba(ii, /i; x) = -В(у, - 1, /х)(Ь - аJ/х~2, /х = 3, 4,. . . A.12.30)
Формулы A.12.11)-A.12.22), A.12.26) и A.12.30) подтверждают до-
достоверность следующей леммы.
Лемма 1.12.1. Пусть fi > 0, а = ai, b = a<i. Тогда для всех \± ф 1
lim
/i = 1
Дт [5*A,1; x) + (-l)i+1 log \x - аг\] = (-l)i+1 log (b - a),
если 0 < /i < 1, mo
lim l^-a^-^O^/i; ж) = (-l)i7rctg/i7rF - a)^.
X—>di
Вернёмся теперь к формуле A.12.5) и изучим поведение решения
и(х) вблизи особых точек а и Ь.
Из A.12.8) имеем
ФЬ(М, /*; х) = f(г - аГ-\

1.12] Структурное свойство ядра оператора дробного интегрирования 65
Поскольку \(р(т) — ц>(х)\ ^ С\х — r\h, где С — постоянная Гёлъдера,
a h — показатель Гёлъдера, то
ь
|Ф*(/х, fi- х)\ ^ С \[{t - a){b - t)Y~l\x - t^-1 dt.	A.12.31)
a
Если /i ^ 1, то из A.12.31) видно, что функция Ф^ имеет конечные
пределы при х —>• а или Ь. Допустим, что 0 < \± < 1. Последнее в силу
A.12.7) означает, что S < (а + 1)/2. Непосредственным вычислением
нетрудно показать, что
ь
М?(//, /г; ж) = l[(t - а)(Ь - t)]^1^ - t^'1 dt =
а
х
= l[(t - a)(b - i)]"-^ - tf-1 dt +
a
b
+ \[(t - a)(b - t)}»-\t - xf-1 dt = (x- a)^-1 x
i(l _ Tf-\b - a)»-1 (l - fff г)'1 dr +
X
1
X
О
( )( ) ( ^| ^ dT.
0
Отсюда на основании A.10.3) заключаем
M^(/i, /г; ж) = (Ъ - ау-1В(ц, К) х
^)] . A.12.32)
Далее потребуется известная [45, с. 294] формула
при единственном условии: ReG — с^ — /3) > 0.
3 А. М. Нахушев

66	Качественные и структурные свойства операторов	[Гл. 1
Из A.12.32) и A.12.33) следует, что если 1 - h < \i < 1, то
lim М*(/х, ft; x) = (b- aJ»+h-2B(iJ,, h) =
= (b- aJ^h~2B(fi, h + fj, - 1), A.12.34)
lim M*(/x, h- x) = (b- aJti+h-2B(fj,, h + /x - 1).	A.12.35)
Если же 0</i< 1 — /г, то в соответствии с равенством
F(l -ц,ц,ц + Н; z) = {\- z)fi+h~1FBn + h-l,h,n + h; z)
формула A.12.32) принимает вид
Мьа{ц, h; х) = {Ь- a)~hB{n, h)[(x - a)(b - x)f+h~l x
¦ A-12.36)
Таким образом, если 0 < ц < 1 — h, то из A.12.36) и A.12.33) выте-
вытекает
lim (ж - aI~tl-hM^(n, h; x) =
Отсюда, принимая во внимание, что Г(г)ГA — z) = Tr/sinvrz, находим
lim (ж - aI"/i-/lM*(//, /г; ж) = lim (Ъ - хI'^Mba{^i, h; x) =
хУа	ж>Ь
. A.12.37)
Рассмотрим теперь исключительный случай ц = 1 — h. Из A.12.32) или
A.12.36) имеем
»(а*, 1 - /х; х) = F - а)"-1^, 1 - /i) x
(l - ,, ,, 1; fff) F (l - м, /*, 1; ^f)] • A-12.38)

1.12] Структурное свойство ядра оператора дробного интегрирования 67
Обратимся к известной (см. [60, с. 67]) формуле
х log	h ^A — /3) — ^(а) + F*(c^, /3,1 — e; 1 — z) —
I 1 — z	J
-П(а,/?-?,1; 1-г) + ^(а + е,;8,1; 1 - г), A.12.39)
где
F ( Я-	\- ГG)
1
0
ГG)
x ^/3 logt(l - ^O"^A - z^)"a dt,
j
1
X
0
1
I ^-1A - ty-P-1^ - zt)~a log A - zt) dt
— функции, введённые автором в 1966 г.
Из формулы A.12.39) имеем
ВA - /i, fjL)F(l - /i, /i, 1; z) = F(l - /i, /i, 1; 1 - z) log -J— +
i — z
+ F*(l - /i, /i, 1 - e; 1 - z) - F*(l - /i, /i - e, 1; 1 - z) +
+ F#(l - /i + e, /i, 1; 1 - z). A.12.40)
В соответствии с определением (см. A.10.13))
1
F,(l-M,/x,l-?; 0) = гыг|г _ ^ J t*-\l - t)-* log A - t) dt.
0
Легко видеть, что
i	i
log A -t)dt= lim j- [ ^-г{1 - ty~» dt =
j
о
^ Г(е +1 —/i)
Те Г(е + 1) ^

68	Качественные и структурные свойства операторов	[Гл. 1
lim *(* + 1-/0Г(е + 1
е-ю	Г2(е + 1
Стало быть,
F,(l - At, ц, 1 - е; 0) = ^A - /х) - ^A).	A.12.41)
Аналогично,
1
- a», /i - е, 1; 0) = г^ГЗД) |*"~1A " *Г" log* Л =
О
1
*	-^- f
A - /i) ^ J
0
д
/х) ~е™ ^e Г(/х)ГA + е)"
Следовательно,
F,(l - д, а* - e, 1; 0) = V(/x) - ^A).	A.12.42)
Очевидно, что
lim F*(l - /i + e, /i, 1; 1 - z) = 0.	A.12.43)
Известно, что фA — z) — ip(z) = nctgirz. Поэтому из A.12.41) и
A.12.42) заключаем
F#(l-/x,//,l-e; 0) - F*(l - /i, \i - e, 1; 0) = 7rctg7r/i. A.12.44)
Поскольку БA - /i, /i) = ГA - /i)r(/i) = -^—, F(l - /i, /i, 1; 0) =
Sin 7T/i
= 1, то из A.12.40), A.12.43) и A.12.44) получаем
v т^ (л	-1 & ~~ х\ \л b — а~\	sin7r/i	, л л
hm F l-/i,/i,l;	 log	 = 	^.	A.12.45)
х^а \	Ь — а/ \_ х — а\	тг
Воспользовавшись формулой A.12.45), из A.12.38) приходим к утвер-
утверждению
lim МьаЫ, 1-м х) [log -^-^1 = (b - a)»'1, fj, = 1 - h. A.12.46)
ж—>>а	X — а \

1.12] Структурное свойство ядра оператора дробного интегрирования 69
Идентичное рассуждение приводит нас к формуле
lim Маь(/х, 1 - w x) [log b—^\ = (b - о)", /1 = 1-h. A.12.47)
ж—>>b	|_	О — X J
Из A.12.34), A.12.35), A.12.37), A.12.46) и A.12.47) следует
Лемма 1.12.2. Пусть ji > 0, ft > О,
ь
М*(/х, /г; ж) = l[(t - а)(Ъ - t)}^1^ - t^'1 dt.
а
Тогда
lim M^(/i, /г; ж) = lim м?(/х, /г; ж) = F - aJ^~h~2Б(/х, ft + /х - 1),
если 1 — ft < /х < 1;
lim (ж - aI-"-hM?(/x, ft; ж) = lim F - жI-"-лМ*(//, ft; ж) =
Ь	Ь
х, ft)[l + sin/ivr/ sin (/x + Л)тт](Ь - а)м~\
если 0 < \i < 1 — ft;
Mab(/i,l-/i; ж)	MQb(/i,l-/i; Ж)	,	)/л_г
"Д" log [F - а)/(Ж - а)] Ль log [F - о)/(Ь - ж)] V	; '
если /i = 1 — ft.
Эта лемма может сыграть заметную роль и при постановке об-
обратных задач для уравнений с оператором 1%ь в главной части.
Рассмотрим теперь функцию
Фа(х) = [(х - а)(Ь - x)]^-a^2Va(x).	A.12.48)
Из A.12.6) и A.12.48) имеем
Фа(х) = [(х - а)(Ь - я)]*1"*)/2 [<p(x)Sba(ii, Щ х) + Фа(М, /х; ж)] .
Пусть 8 > (а + 1)/2. В силу A.12.7) это означает, что /х > 1. Из лем-
леммы 1.12.1 заключаем
lim 5*(/х, д; х) = (-l)i+1(b ~ aJ^2B(^ fi - 1).
X^-di
Поскольку
Ф„(/х,/х; а^) = lim Ф„(/х,/х; ж) =
J

70	Качественные и структурные свойства операторов	[Гл. 1
то ясно, что функция Фа(ж) при х —>• а или b обращается в нуль порядка
не ниже A — а)/2.
Следовательно,
DlT^ait) = ± В-«Фа{1) = D~«ft Фа(*).	A.12.49)
Введём обозначение со(х) = [(х — а)(Ь — х)] 2 D~?v. Очевидно, что
w{x) = ip{x)[{x - а){Ъ - x)Y~l.	A.12.50)
Известно [109, с. 133], что если А(х) конечна, непрерывна и обладает
первой производной или, самое большее, обращается в бесконечность
порядка меньше, чем первый, то можно записать
[ ^-ж* = Л^ bg (b ~ X^ ~ A^ bg (Х ~ ^ ~ \А'
а	а
A.12.51)
Из A.12.50) следует, что при \i > 1 ш(а) = ш(Ь) = 0. Поэтому, если
предположить, что (р(х) G Сг[а, Ь]ив A.12.51) положить ш(х) = Л(х),
то будем иметь
Va(x)= \^)Л = _ \u;f(t)\og\t-x\dt.	A.12.52)
J t — х	J
а	а
На основании A.12.50) находим
и\х) = (рг{х)[{х - а){Ъ - x)Y~2,	A.12.53)
где (fi(x) = (р'(х)(х — a)(b — х) + (/i — \)(р{х)(а + b — 2х).
Известно (см., например, [12, с. 307]), что если функция v(x) G
G L[a,b] и удовлетворяет условию Гёльдера в интервале а < х < Ь, то
-%- \u{t)\og\t-x\dt = - \l4!±*L.	A.12.54)
a	a
Пусть pf(x) удовлетворяет условию Гёльдера. Тогда очевидно, что
ipi(x) удовлетворяет этому же условию на [а, Ь].
В силу A.12.53) и A.12.54) из A.12.52) находим
Va{x) = \dt =
dx	J	t — х
a
= Vi{x)Sba(ii - 1, /i - 1; x) + Фь1а(ц - 1, a* - 1; x). A.12.55)

1.12] Структурное свойство ядра оператора дробного интегрирования 71
Здесь Ф\а(/л — 1,/i — 1; х) определяется формулой A.12.8), где вме-
вместо ip ставится ipi.
Так как \± > 1, то из леммы 1.12.1 заключаем: функция
— 1, /i — 1; ж) при х —>• а г^лгл 6 обращается в бесконечность
порядка 2 — /i, если 1 < /i < 2, ив бесконечность логарифмического
порядка при \i = 2; она стремится к конечному пределу, если \± > 2.
По определению
ь
Ф*а(м - 1, /i - 1; я) = [[(т - а)F - r)]M-2?>ifr)-?>i(s) ^ (L12.56)
J	т ж
а
Пусть /ii — показатель Гёльдера функции <р'(х) на [а, Ь]:
\(р'(т) — <р'(х)\ $J С\х — r\hl\ ho — наименьшее из чисел h и hi. Как
видно из обозначения, функция (fi(x) на [а, Ь] удовлетворяет условию
Гёльдера с показателями ho'.
\<Pi(-r) ~ <Pi(x)\ ^ С\х - r\ho.	A.12.57)
Из A.12.56) и A.12.57) следует, что
Ф?а(/х - 1, // - 1; ж) ^ CMaV - 1, /го; ж).	A.12.58)
Неравенство A.12.58) и лемма 1.12.2 позволяют прийти к следую-
следующему утверждению.
Если 2 — /г0 < М, гпо функция Ф\а(/л — 1, /i — 1; ж) при х —>• а или 6
стремится к конечному пределу; при 1 < fi < 2 — ho она не может
обращаться в бесконечность порядка > 2 — \i — ho; если э/се /i = 2 — /го,
то
|Ф?а(/х - 1, д - 1; х)| < С log [(х - о)F - ж)].
Из представления A.12.55) теперь можно сделать следующий вы-
вывод: функция —— Va(x) при х —> а или b не может обращаться в беско-
CLX
нечность порядка выше 2 — /i, если 1 < \± < 2, и в бесконечность выше
логарифмического порядка при \i = 2; она стремится к конечному
пределу, если \± > 2.
Из A.12.48) имеем
= [(х - а)(Ъ - ж)]-
- а)(Ъ - x)V'a(x) + ^^ (а + Ъ -
Следовательно, Ф7а(ж) при ж —>- а или 6 не может обращаться в беско-
бесконечность порядка выше (а + 1)/2. Этот порядок в силу A.12.7) равен
1 - /i + J.
Сейчас можно вернуться к формуле A.12.49) и заявить: функция
?)д~аФа(?) при х —>• а или 6 не может обращаться в бесконечность
порядка выше A — а)/2 = /j, — S.

72	Качественные и структурные свойства операторов	[Гл. 1
Остаётся изучить поведение функции D~^v вблизи особых точек а
и Ь. С этой целью можно записать
D~xav = ± D^D-Jv = ± D~^(t)[(t - а){Ь - t)}s~a =
1 d (m „\5(u „\—a+8 I ,л(„ i (m „\^\TS-a x
- a)s(b - a)-a+s I ip{a + (x - a)r)i
с
x A - г)* A - ^—^ r ) dr. A.12.59)
Г(а) с/ж
о
ч J —a
— a
Как явствует из A.12.59), функция Da?v G C[a, b] при 6 > 1.
Пусть 0 < S ^ 1, тогда из A.12.59) следует, что
— а) а	(Л по __ч
	^	.	A.12.60)
Из этого же соотношения нетрудно показать, что функция D~^v при
х —ь b не может обращаться в бесконечность порядка выше 1 — E,
когда 5 < 1, ив бесконечность выше логарифмического порядка при
6 = 1.
Проведённый анализ свойства функции, стоящей в правой части
равенства A.12.5), говорит о том, что задаваемое этим равенством
решение и{х) представимо в виде A.8.3). Это решение будет удовле-
удовлетворять условию A.12.3), если
lim (х - a){1-a)/2D-?v = 0.	A.12.61)
х—Ьа
В силу A.12.60) равенство A.12.61) имеет место, если 5 > A + а)/2.
1.13. Критерии разрешимости видоизменённой
задачи Коши для уравнения типа Карлемана
И в этом параграфе речь пойдёт об уравнении
-^i:b-1u(*) = v(x), 0<а<1	A.13.1)
с непрерывной при а < х < b правой частью v(x), представимой в виде
?>«>(*) = <Р(ХЖХ - а)(ь ~ *)]*"">	A13.2)
где (р(х) на сегменте [а, Ь] удовлетворяет условию Гёльдера с показате-
показателем h > 1 — а.
Решение A.13.1) будем искать в классе функций гх(ж), представи-
мых в виде A.8.3) с 5 > (а + 1)/2.

1.13]	Критерии разрешимости видоизменённой задачи Коши	73
Обобщённым решением уравнения A.13.1) назовём любое решение
и(х) интегрального уравнения
аЪ и[х) = ао + иах v{t),	(l.lo.oj
где а0 = 7"ьгх(а).
Пусть 2е = 1 — а. Тогда из A.8.11) и A.12.48) заключаем, что любое
решение уравнения A.13.3) является решением уравнения
ь
оп_2?	aotg?7r \ (х — a)(b — х) \ dt
2Dax и = a0	7-	^—7\	7	•"
тг J I (t — a)(b — t)\	t — x
а
7Г
В соответствии с A.9.10)
b
A.13.4)
f (*-"ГЧЬ-1Г dt = Sb{1 _ e> ! _ e; ж).	A.13.5)
J	IX
a
Сравнивая A.13.5) с A.10.8), получим
Sba(l -e,l-e; х) = -тг ctg A - е)тг[(х - a)(b - x)}~? +
+ B(l - e, -e){b - x)~?{b - a)~?F (?,l-e,l + e\ j^) ' (L13-6)
Теперь из A.13.6) ясно, что
- tg (?7r)Sba(l -e,l-e; x)[(x - a)(b - x)]? =
7Г
= 1 + A0(x - a)eF (s, 1 - e, 1 + e; f?^) , A.13.7)
\	о a /
где
tg(?7r)B(l -e,-e)	1ллчя\
Из A.13.4) с учётом A.13.7) находим
2D~l?u = -а0А0(х - a)?F (e, 1 - е, 1 + е; |з^) +
+ ?Г> - ^^ Фх_2е(ж). A.13.9)

74	Качественные и структурные свойства операторов	[Гл. 1
Подействуем на обе части равенства A.13.9) оператором D^^T1.
В результате получим
2D-alu = -aoAoD?-1^ - a)eF (e, 1 - е, 1 + е; ^
Легко видеть, что
о
Хорошо известно [6, с. 89], что
A	tYF (о> 6, Д; zt) dt =	р
О
Re с > Re /3 > 0, z / 1, arg(l-z) < тг.
Поэтому A.13.10) мож:но переписать в виде
Из A.13.10) на основании равенства (см. [110, с. 52])
-f- z6F(a, 6, с; z) = bzb~1F{a, b + 1, с; z)
имеем
i !«-(«-.)•*¦(<, !-.,
Отсюда, принимая во внимание, что
F (е, 2-е, 2-е;	) = (т	 >
V	b — a J \Ь — х J

1.13]	Критерии разрешимости видоизменённой задачи Коши	75
приходим к равенству
= fjrrf} [(x - «К6 - «ir'C " «I*- A-13.12)
Уравнение A.13.9) в силу A.13.11) можно переписать в виде
X
2 J«(t) dt = ~Щ^ аоАо(х - af-'F (е, 1 - е, 2 - е; |^) +
а
+ DH~2v - ^^ п^Фг-ъЮ, а<х<Ь. A.13.13)
7Г
Вычислим предел
lim (x - ay^DH^v = lim (ж - аN^-^-^,
который в силу A.13.2) равен
.. (х-ау-Ч , , h(t - а)(Ь - t)]'-a ...
lim ^—	'-—-< ip(x)	—	тг1	at +
х^а ГA-2е) \ГУ '}	(x-tJc
- <p(x)][(t - а)(Ь - t)]'- ,.
\
Поскольку \ip(i) — ?>{х)\ ^ const -\x — t\h, h > 2e и
X
о
то (х — a)?~lD^?x~2v при х —> а обращается в нуль порядка не ниже
В § 1.12 доказано, что при 5 > (а + 1)/2 функция
где Ф*(ж) G С[а, Ь].
Равенство A.13.14) позволяет убедиться в том, что функция
х —> а обращается в нуль порядка не ниже 1-е.

76	Качественные и структурные свойства операторов	[Гл. 1
Для определения неизвестной величины а® можно воспользоваться
одним из следующих видоизменённых условий Коши:
а,
lim (х - aY?D-l?u = u\, lim (х - aY'1 D^u = и
lim (х — а)?и(х) = иа.
При выполнении одного из этих условий уравнение A.13.13) имеет
решение и(х) Е L[a,b] тогда и только тогда, когда функция
абсолютно непрерывна на [а, Ь].
1.14. Формула обращения дробного интеграла
бесконечно малого порядка
Отображение и(х) —> Н®хи(х), где
X
Hlxu(x) = I u(i) log \x - t\ dt,	A.14.1)
а
в работе автора [74] названо дробным интегралом бесконечно малого
порядка с началом в точке а Е [Л, В] от функции и(х) Е L[A, В],
а оператор
Hi = (I) Hi	A.14.2)
— оператором Адамара.
В дальнейшем нам понадобится следующая
Лемма 1.14.1. [41, с. 535]. Пусть последовательность {/е}, 1/е =
= 1,2,... непрерывно дифференцируемых на сегменте [а, 6] функций
/е = /е(ж) сходится хотя бы в одной точке С Е [а, 6], а последователь-
последовательность {f'e} их производных f'?(x) равномерно сходится на [а, 6]. Тогда
{f?} равномерно сходится на [а, 6], её предел — непрерывно дифферен-
дифференцируемая на этом сегменте функция и lim f'?(x) = -— lim f?(x).
Докажем, что для любой функции и(х), удовлетворяющей на [а, Ь]
условию Гёльдера, справедливо равенство
где интеграл понимается в смысле конечной части по Адамару
[57, с. 35]:

1.14]	Формула обращения дробного интеграла	77
u[t)dt _
x-t =
= lim [ [
u[t)dt . / 4, 1
_	+ ^(a;g)logg ,
ж - ? ?^o| J x -1	J A.14.4)
x? = x + ssign(a — ж), e > 0.
Условие Гёльдера гарантирует существование интеграла в смысле
A.14.4).
В самом деле, из A.14.1) на основании A.14.2) и леммы 1.14.1 имеем
Н\хч{*) = ^ *&,«(*) = Ш Н } «
Пусть (см. §0.1) Ыр^[Л, В] — множество функций гх(ж), удовле-
удовлетворяющих на [Л, 5] условию Липшица @ < ж ^ 1) или Гёльде-
Гёльдера @ < ж < 1) порядка ж. Для функции и(х) G Ыр^[Л, В] интеграл
A.14.3) можно вычислить одним из следующих способов:
= lim([u(xe)-«(a!)]loge + u(a;)log|a;-a|+ f "(<) ~ и(
=	tt X
J	-Li
+ гх(ж) log
— a .
С целью обращения оператора Н®х рассмотрим интегральное урав-
уравнение Волътерра первого рода с логарифмическим ядром
Hlxu{x) = v(x), a < х <b.	A.14.5)
Введём в рассмотрение оператор [74]
и для удобства назовём его оператором Адамара порядка а с началом
в точке а и с концом в точке х.

78	Качественные и структурные свойства операторов	[Гл. 1
Справедлива следующая
Лемма 1.14.2. [66]. Пусть и(х) Е L[a, b] и существует Н^хи(х).
Тогда
где ам = ехр (—дГ'A)).
Действительно, для всех \± < 0 имеем
X	t
- 0 *.
Во внутреннем интеграле произведём замену t = ? + (ж — ?)г/. В ре-
результате получим
ж	1
а	О
Отсюда, принимая во внимание, что
1	1
Г \ogtdt л. д Г,?-1/-, ,ч_и_1 ,, ^/ ч т д Г(е)
о	о
= Г(-М) Г , _ Г'(
ГA-/х) [ { } r(
с учётом равенства ГA — /i) = — /хГ(—/i) находим
= -[log (x - 0 +
Но ЭТО ГОВОРИТ О ТОМ, ЧТО ДЛЯ ЛЮбоГО /jL < О
" ° + 7ai]m@ rfe AЛ4'7)

1.14]	Формула обращения дробного интеграла	79
Так как
то формулу A.14.7) можно переписать в виде
Н^и(х) = ~а-^ a^D^uix).	A.14.8)
Из A.14.8) при J1 = а < 0 следует лемма 1.14.2.
Пусть теперь а > 0. Тогда на основании A.14.8) имеем
что и требовалось доказать.
Пользуясь леммой 1.14.2 и тем, что постоянная Эйлера —Г7A) > 0,
легко видеть, что
1
ааН^хи(х) da = aaD^~1u(x)\_oQ =
— оо
Следовательно,
1
и(х) = - Г aa-1HSxu(x)da = - \ a^D^H^uix) da. A.14.9)
— оо	—оо
Из A.14.9) заключаем: если v(x) имеет континуальную производ-
производную порядка [—оо, 1] с началом в точке а и с концом в любой точке
х G ]а, 6[, то единственное решение и(х) уравнения A.14.5) задаётся
формулой
1
и{х) = - [ a^D^vda.	A.14.10)
— оо
Поскольку aa_i = a_iaa, то A.14.10) можно переписать и в виде
1
и(х) = -а-г \ aaD«xvda.	A.14.11)

80	Качественные и структурные свойства операторов	[Гл. 1
Известную (см. [23, с. 575]) в случае, когда v(x) E С2[а, 6], формулу
обращения
X
и(х) = \v"(t)
ОО
dt
0
уравнения (замкнутого цикла) A.14.5) нетрудно получить из A.14.11).
Если придерживаться определения производной по Летникову
[57, с. 28], то задача обращения оператора A.14.6) приводит к непре-
непрерывным (по терминологии В. Вольтерра [17, с. 100]) дифференциаль-
дифференциальным уравнениям. В частности, при заданной функции и(х) уравнение
A.14.11) относительно v = v(x) является обыкновенным непрерывным
дифференциальным уравнением.
1.15. Формула обращения оператора Адамара
С целью обращения оператора A.14.2) рассмотрим уравнение
X
Н\хи = ^- u(i) log (x -t)dt = v(x), a < х < 6,	A.15.1)
а
с правой частью v E Lip^[a, b].
По определению уравнение A.15.1) эквивалентно уравнению
X
\1±m^ = v(x), a<x<b.	A.15.2)
J X t
a
В классе функций и(х), удовлетворяющих условию Гёльдера, урав-
уравнение A.15.1) (или A.15.2)) эквивалентно уравнению
Н°ахи(х) = D~lv.	A.15.3)
Единственное решение и(х) уравнения A.15.3) согласно A.14.11)
определяется формулой
1

1.16]	Формула обращения оператора Адамара	81
и поскольку D%xD~tV = D^~1v, её можно переписать в виде
1
и(х) = — a_i
Отсюда, после замены ? = а — 1 и принимая во внимание, что ?
= a^ai, a_iai = 1, приходим к формуле обращения оператора Адама-
Адамара, стало быть, к уравнению A.15.1) (или A.15.2)):
о
и(х) = - | 4Dixvdi.	A.15.4)
— оо
Найдём теперь формулу обращения уравнения
Н%хи(х) = v(x), 0 < а < 1	A.15.5)
с правой частью v E Lip^[a, b].
Искомая функция и{х) удовлетворяет условию Гель дера на [a, b].
Поэтому очевидно, что Н^хи в точке х = а обращается в нуль. Послед-
Последнее даёт нам основание считать, что уравнение A.15.5) эквивалентно
уравнению
Н1хи(*) = D~xav.	A.15.6)
В силу A.14.11) единственное решение уравнения A.15.6) имеет вид
1	1
Отсюда, после замены rj = ? — а переменной интеграции, нетрудно
видеть, что
l-a
и(х) = -aa_i a^D^vdrj.	A.15.7)
— оо
Таким образом, доказано, что если функция v обладает производной
порядка [—оо, 1 — а] с началом в точке а и с концом в точке х Е ]а, 6],
то единственное решение и{х) уравнения A.15.5) определяется фор-
формулой A.15.7).
1.16. Формула обращения оператора Адамара
с фиксированными началом и концом
Оператором Адамара с фиксированным началом в точке а и с фик-
фиксированным концом в точке b назовём оператор
Н1ь = HL - Hi, a<x<b.	A.16.1)

82	Качественные и структурные свойства операторов	[Гл. 1
Из A.16.1) следует, что
b
Н\ъи{х) = А |u(t) \og\x-t\ dt.	A.16.2)
а
Рассмотрим уравнение
Hlbu{x) = v(x)	A.16.3)
с правой частью v(x) E Lip** [a, b].
Решение и(х) уравнения A.16.3) будем искать в классе функций,
удовлетворяющих условию Гёльдера при а < х < b и допускающих
особенность порядка ниже единицы в точках а и Ь. Как следует из
определения A.16.2), в этом классе уравнение A.16.3) эквивалентно
сингулярному уравнению первого рода:
b
I
u(t) dt	( ,	(л ла л\
—^— = —v(x).	A.16.4)
Общее решение уравнения A.16.4) задаётся формулой
ШШЩ^^+ , С	A.16.5)
-а)(Ь-х) t-x у/(х-а){Ь-х)
а
где с — произвольная действительная постоянная. Эта формула при
а = 0, b = 1 выписана впервые в [10, с. 180].
Из A.12.13) и A.12.14) при II = 3/2 имеем
г сЬ /3 3 \ r Г y/{t-a)[b-t) ,.
hm Sa ( 9'о; х) = lim	и \	 dt =
х^-а	\1 L / х^-а J	[t — X)
b-o) = |(b-o), A.16.6)
=-l (b-a).	A.16.7)
На основании A.16.6) из A.16.5) находим
v(a)
lim yf(x — a)(b — x) u(x) = —— (b — a) +
x^-a	2тг

1.17]	Континуальный аналог интегрального уравнения Абеля	83
Отсюда и из A.16.7) ясно, что задача нахождения решения и(х) урав-
уравнения A.16.3), удовлетворяющего наперёд заданному условию
lim \/{х — а) и(х) = иа
х—>а
ИЛИ
lim \/{b — х) и(х) = иъ
для уравнения A.16.3), всегда разрешима, и притом единственным
обпазом,.
ур
образом.
1.17. Континуальный аналог интегрального
уравнения Абеля
Уравнение
D&-Vu = v(x),	A.17.1)
где а = const > 0, а < х < 6, назовём континуальным аналогом инте-
интегрального уравнения Абеля или непрерывным интегральным уравнени-
уравнением Абеля.
В силу A.1.9) уравнение A.17.1) можно переписать в виде
о
Dlaxudt = v(x), a<x<b
— ос
ИЛИ
), a<x<b.	A.17.2)
Из неравенства A.6.7) следует, что если а < 1, то уравнение A.17.2)
в пространстве Я[~а'°][а, Ь] имеет не более одного решения и(х).
В уравнении A.17.2) произведём обратимую замену
М=Я°жЦа weL[a,b],	A.17.3)
где Н®х — оператор дробного интегрирования бесконечно малого по-
порядка (см. A.14.1)).
В результате на основании A.14.5) получим
A.17.4)

84	Качественные и структурные свойства операторов	[Гл. 1
Лемма 1.14.2 позволяет записать уравнение A.17.4) в виде
о	о
dt = D
dt.
— a
Стало быть, w(x) является решением уравнения
Отсюда приходим к следующему заключению: если функция v(x)
непрерывно дифференцируема в промежутке а < х < Ь, то почти для
всех х из этого интервала
w{x) - D-xaw(O - Г'A)?["«'0ЧО = -v'(x).	A.17.5)
Легко видеть, что
где Vi@, a; x) — функция, определяемая формулой A.6.2). Поэто-
Поэтому соотношение A.17.5) представляет собой интегральное уравнение
Вольтерра второго рода. Следовательно, для любой функции v(x) E
Е Crl[a,6], удовлетворяющей условию v(a) = 0, существует един-
единственное решение w(x) E С[а, Ь] уравнения A.17.4).
1.18. Решение непрерывного интегрального
уравнения Абеля операционным методом
Рассмотрим непрерывное интегральное уравнение Абеля
D[^a'0]u = v{x), 0< ж < оо.	A.18.1)
Предполагается, что v(x) — непрерывно дифференцируема на всей
оси ж, кроме отдельных точек, в которых v(x) и г/(ж) терпят разрыв
первого рода, причём на каждом конечном интервале оси х таких
точек имеется лишь конечное число; v{x) = 0 для всех х < 0; v(x) при
х —>• +оо возрастает не быстрее показательной функции, т. е. существу-
существуют такие постоянные к > 0 и xq ^ 0, что
\v(x)\ < кехр(хох).	A.18.2)

1.18]	Решение непрерывного интегрального уравнения Абеля	85
Другими словами, правая часть v(x) уравнения A.18.1) является функ-
функцией-оригиналом преобразования Лапласа
оо
v(y) = v(x) exp (—ух) dx.	A.18.3)
о
Решение и = и(х) будем искать как функцию-оригинал изображе-
изображения
оо
и(у) = и(х) ехр (—ух) dx.	A.18.4)
о
Хорошо известно, что для всякого оригинала v(x) изображение v(y)
определено в полуплоскости Re у > х$, где xq — показатель роста
A.18.2), и является в этой полуплоскости аналитической функцией
комплексного переменного у = у\ + iy<i- Известно также, что если и{х)
является оригиналом и и(у) служит её изображением, то в любой точке
своей непрерывности функция и(х)
а+гоо
и(х) = —	и(у) ехр (ух) dy,	A.18.5)
а — гоо
где интеграл берётся вдоль любой прямой Re у = а > xq и понимается
в смысле главного значения [44, с. 402].
Найдём преобразование Лапласа функции-оригинала Dq*u для
всех t > 0:
оо у
7^^	1 Г Г u(r)dr	, v ,
Dox u = TvTT ( V-* ехр ^~ух> dx'
V\4 J J (У - г)
о о
Отсюда на основании теоремы свёртывания получим
т. е.
О-*и = у-ьй(у).	A.18.6)
Теорема свёртывания, или теорема Борелщ гласит: и\ • u<i = u\^U2,
где свёртка
X
=
— r) dr.

86	Качественные и структурные свойства операторов	[Гл. 1
Из A.18.1), A.18.3), A.18.4) и A.18.6) находим
о
у-ги(у)(И = д(у) => 4г^—и(у)=Цу).
— а
Стало быть,
Чу) = C^bgy.	A.18.7)
Подставляя и(у) из A.18.7) в A.18.5), приходимк следующей формуле
обращения непрерывного интегрального уравнения Абеля:
а+гоо
yp^y.	A-18.8)
Пусть E1/p[z; fj] = ^2 zk/Г(/1 -\- pk) — функция типа Миттаг-
Леффлёра [23, с. 117]; Ep[z] = E\jp\z\ 1] — функция Миттаг-Леффлёра
т?» г 1 _ dE1/p[z; a] _ ^ zk^(u + pk)
*1/р№-	да ~^ Т(и + рк) '
где Ф(^) = Г'(г)/Г(г) — пси-функция.
Как показал А. В. Псху, формулу A.18.8) можно переписать в виде
7//^,\ — ii1 (i\ } F! IYt — УЛа1 — F! IYt — /"\а1 lna- (<r — i\ К rli
LL\Ju) — I U \ L ) S Hi-1 / _, I Jb L)	Hiq I Ju L I ^'-'& \ "^ L j r LLL
0
v@){El/a[xa]-Ea[xa]\ogx}. A.18.9)
Функция A.18.9) является единственным решением уравнения
A.18.1), и она непрерывна в точке х = 0 тогда и только тогда, когда
v{0) = 0.
1.19. Обобщённая формула Ньютона—Лейбница
Пусть функция и(х) на интервале а < х < b имеет суммируемую
производную порядка а > 0 с началом в точке а. Тогда почти всюду на
[a, b] справедлива обобщённая формула Ньютона-Лейбница:
D-?DZxu = и(х) -
к =

1.19]	Обобщённая формула Ньютона-Лейбница	87
где D%a и = D%x и
, и целое число т ^ 1 определяется из условия
т — 1 < а ^ т.
Из A.19.1) при га = 1 получаем аналог формулы Ньютона-Лейбни-
Ньютона-Лейбница [57, с. 52]:
D-^D^u = и{х) - ^rff D-V	(L19'2)
Для удобства чтения докажем A.19.1). По определению
ж
Поскольку функция D^ix = (dm/dxm)D^-rnu e L[a, b], то все функ-
функции D%-ku = {drn-k/dxrn-k)D^-mu, (к = l,2,...,m) абсолютно
непрерывны на сегменте [а, Ь]. Поэтому m-кратным интегрированием
по частям получаем
/	\ СХ г\7П	(У.	К
[X — t) _О	 jja-m 1. , V^ ^aa U , _ \ок —fe + 1
k = l
dt=
Из A.19.3) и A.19.4) нетрудно увидеть A.19.1).
Пользуясь формулой A.19.1), легко доказать следующий закон ком-
композиции (см. [23, с. 572]): пусть и{х) G L[a, b] и существует производ-
производная D@xu G L[a,b]. Тогда для любого а ^ 0 справедливо равенство
Uax UatU — Uax U /-^ Y(a	^llyOJ
/ j y(ol + 1 — к) аа
k=i
где т = 1, 2, . . . определяется из условия га — 1 < /3 ^ га.
В самом деле, так как

88	Качественные и структурные свойства операторов	[Гл. 1
то из A.19.1) имеем
к = 1
что приводит к равенству A.19.5), если заметить, что
tjP-cx (t — а)	_ (х — а)а~
Пусть /3 = 1, гх(ж) G АС[а, Ь], D°a?i = w(a). Тогда формула A.19.5)
совпадает со следующей очень простой, но вместе с тем важной фор-
формулой
{х "gp
u{a), a
A.19.6)
Действительно, по определению
D~xau'(t) = fL
Легко видеть, что
-V
V(t) dt.
Отсюда получаем
II
Стало быть,
Так как а/Г(а + 1) = 1/Г(а) и
) d*.
A.19.7)
то равенство A.19.7) эквивалентно формуле A.19.6).
Из формулы A.19.6) следует, что правило коммутации
j-D-«u{t) = D-^tu{t) УиеАС[а,Ь]
A.19.8)

1.19]	Обобщённая формула Ньютона-Лейбница	89
имеет место тогда и только тогда, когда и(а) = 0.
Пусть 0 < а < 1. Так как D*x(t - а)" = 0, то из A.19.8) следует,
что во всех точках х непрерывности производной и'(х) функции и(х) Е
Е АС [а, Ь] справедливо равенство и'(х) = D(^xD1a^au{r).
Действительно,
DaaxD^au{r) = D^ D-ta[u(r) - и{а)} + D°xDl;au(a) =
дх
а
Правило A.19.8) является весьма полезным в теории уравнений
смешанного типа.

Глава 2
ЗАДАЧА КОШИ В ЛОКАЛЬНОЙ
И НЕЛОКАЛЬНОЙ ПОСТАНОВКАХ
ДЛЯ ДИСКРЕТНЫХ И НЕПРЕРЫВНЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
2.1. Видоизменённая задача Коши для модельного
непрерывного дифференциального уравнения
Рассмотрим модельное непрерывное дифференциальное уравнение
порядка [0, а]:
D^u = v{x), a<x<b^oo.	B.1.1)
В соответствии с определением континуальной производной поряд-
порядка [0, а] уравнение B.1.1) эквивалентно уравнению
а
\ Dlx
= v(x), a<x<b.	B.1.2)
Решение уравнения B.1.2) с правой частью v(x) E L[a, b] будем
искать в классе функций и(х), обладающих тем свойством, что D^xu E
Е L[a, 6] для любого г Е [0, а].
Пусть и(х) — любое решение уравнения B.1.2). Тогда оно будет
решением уравнения
a
^D-^DTatudr = ?>->.	B.1.3)
о
Из B.1.3) на основании A.19.5) получаем
a
^DTa-audT = D-«v + iPa(x),	B.1.4)
О
где
о к=1

2.1]	Видоизменённая задача Коши	91
Уравнение B.1.4) заменой t = г — а сводится к непрерывному ин-
интегральному уравнению Абеля (см § 1.17).
D[~xa^]u = D~*v + фа(х),	B.1.6)
если считать фа(х) наперёд заданной функцией.
Задача поиска решения и(х) уравнения B.1.1), удовлетворяющего
условию B.1.5), названа нами видоизменённой задачей Коши [66].
Пусть а < 1. Тогда [г] = 0 для всех т Е [0, а], и условие B.1.5)
принимает вид
а	а
(	\OL — 1	/	\OL — 1
uaa a р/ч
0	0
dr - (жа) f Dr-4 dr
ar ~	^()	aa
?ц	dr	f D
aa a р/ч	ar ~	^(a)	aa
Следовательно, условие B.1.5) при а ^ 1 эквивалентно условию
lim [D?ar1ixdT = aia,	B.1.7)
0
где aia — заданное число.
Равенство
ala = 0	B.1.8)
является необходимым условием разрешимости задачи B.1.7) для
уравнения B.1.2) в классе функций, представимых в виде
и(х) = (х-аУи*(х),	B.1.9)
где 11 = const ^ а — 1, и*(х) — функция, которая является ограничен-
ограниченной в достаточно малой полуокрестности а ^ х $J a + e точки а.
В самом деле,
a	otx
J ax	Jr(l-r)J (x-ty-V**
0	0	a
Отсюда в силу B.1.9) находим
2.1.10)
Поскольку /jL ^ a — 1, то 1 + /x — r>0 для всех г Е [0, a[. Приняв это
во внимание, из B.1.10) легко прийти к необходимому условию B.1.8).

92	Задача Коши в локальной и нелокальной постановках	[Гл. 2
В классе функций и(х), представимых в виде B.1.9), уравнение
B.1.6) при а ^ 1 эквивалентно уравнению
?>[-«¦% = ?>">.	B.1.11)
Если функция v имеет производную порядка 1 — а с началом в точ-
точке а и с концом в любой точке х Е ]а, 6], то решение и(х) уравнения
B.1.11) в соответствии с A.17.2), A.17.5) задаётся формулой A.17.3),
где w(x) — решение уравнения
w(x) - ?>">(?) - r'(l)D[-a^w(O = -D\~av.
Изложенный здесь метод решения непрерывных дифференциаль-
дифференциальных уравнений предложен автором в работе [66].
2.2. О локальной и нелокальной задаче Коши
для оператора дробного дифференцирования
порядка, меньшего единицы
Рассмотрим дифференциальное уравнение
D%xu = \u + v, a<x<b,	B-2.1)
со спектральным параметром Л и со свободным членом v(x) E L[a, b].
Решение и(х) уравнения B.2.1) будем искать в классе функций
и(х) Е L[a, b].
Очевидно, что если и(х) — решение B.2.1) из пространства L[a, b]
и v(x) E L[a, 6], то D^xu E L[a, b]. Из включения D%xu E L[a, b] в свою
очередь следует, что функция D^~1u абсолютно непрерывна на сег-
сегменте [a, b].
Пусть и(х) — любое решение уравнения B.2.1) из указанного класса
и
а, = lim D^u = D^u.
х—Ya
Тогда в силу A.19.2) функция и(х) будет решением интегрального
уравнения Вольтерра второго рода:
и(х) = AD"> + ^у (х - а)"-1 + ?Г>.	B.2.2)
Далее воспользуемся следующей теоремой (см. [23, с. 123]).
Теорема 2.2.1. Пусть функция f (x) E L[a,b]. Тогда интегральное
уравнение
и(х) = f(x) + —?^ |(Ж - tf'^uit) dt,	B.2.3)

2.2]	О локальной и нелокальной задаче Коши	93
где р > О, Л — произвольный комплексный параметр, имеет един-
единственное решение
X
и(х) = f(x) + \{(x- tf'p^Ep [\(х - tf'p- l/p\ f(t) dt, B.2.4)
а
принадлежащее L[a,b].
Здесь, как и в § 1.18,
— функция типа Миттаг-Леффлёра, которая является целой функ-
функцией (комплексной) переменной z = х + iy порядка р > 0 и типа 1
при произвольном значении параметра \± (см. [23, с. 117]). При \i = 1
функция B.2.5) совпадает с функцией Миттаг-Леффлёра Eijp(z) =
= Ep(z; 1).
Легко видеть, что равенства B.2.3) и B.2.4) эквивалентны равен-
равенствам
и(х) = \D-Vi>u{t) + f(x),	B.2.6)
и(х) = \ГA/p)D^" [ер [\(х - гI/?; 1/р] /(*)} + f(x). B.2.7)
Согласно B.2.5) правая часть равенства B.2.7) имеет вид
f(t) + f(t) \	v ~ ;	dt -
\n{x - t)nlp-x ,. d f .,,. A Xn(x - t)n/p ,.
Г(п/р) d* = ^J^)Er(i + n/p)d*-
Поэтому решение B.2.7) уравнения B.2.6) можно записать в форме
dt.
Эта формула впервые была получена Хилле и Тамаркиным [137].
В случае уравнения B.2.2)
i = а, /(*) = ^ (х - а)"-1 + D-°v e L[a, Ь],
и поэтому его решение в силу B.2.6), B.2.7) задаётся формулой
и(х) = г^(Л, а, 0; ж) + ?i(A, а, г?; ж),	B.2.8)

94	Задача Коши в локальной и нелокальной постановках	[Гл. 2
где
г*(А,а,О; х) = ^ (х - а)" +
+ aiAD"« {(* - а)*^/* [А(я - *)«; а]} , B.2.9)
ч(А, a, v- х) = D-?v
B.2.10)
Дадим другую форму записи равенств B.2.9), B.2.10). Для этого
понадобится формула
= (х - аУ+а-гЕр [Л(ж - аI'?; ц + а] , B.2.11)
которая справедлива для всех положительных a, /i, p.
Действительно, в силу B.2.5)
?>аЛ*-в)"~1Я,[А(*-аI/';
Отсюда, поскольку
D~a(t — а^1Х+к^р~1
к=0
приходим к B.2.11).
На основании B.2.11) имеем
^«"(^ " а^Ег/^х - t)a- a] =
т - a)a; a] =
= (x - aJa-1E1/a[X(x - a)a; 2a]. B.2.12)
Формулы B.2.9) и B.2.12) говорят о том, что
и(Х, а, 0; х) =
= п1{х - а)а[1/Г(а) + Х(х - а)аЕ1/а [Х(х - а)а; 2а] . B.2.13)
Так как Ер@, /х) = 1/Г(/х), то из B.2.13) получаем
lim (х - ау-аи(Х, а, 0; х) = -^-.	B.2.14)
ж—>>а	1 [О.)

2.2]	О локальной и нелокальной задаче Коши	95
Нетрудно видеть, что
D-xa{E1/a[X(x-t)a; a]D-tav} =
X	t
\(х - t)^"-1 dt [ ^(т)^а =
™	U	r,	r,
oo
\
к
J (t-rI""
оо
x ^	Л	/	\oLk-\-2oL — 1 / \ /
= > ^^	 \(x-t) ^ v(r)drx
/e=0 ^ ' ^
1
n«-Vi _ ^afc + a-1 ^ _ 1 f	V(T)
X
0
стало быть,
Dax {El/oc [KX ~ *Г; <*] Dafv} =
Щ? -J<* {Е1/а [Х(х - *)«; 2a] v(t)} . B.2.15)
Формула B.2.10) на основании B.2.15) принимает вид
?i(A, a, v\ x) = Da™v(t) + ArBa)Daa,a?/i/a [Л(ж — t)a; 2a] v(t).
B.2.16)
Из B.2.16), согласно закону композиции операторов дробного инте-
интегрирования с одинаковыми началами [57, с. 43], имеем
2a)D-^-1E1/a[X(x-t)a- 2a]v(t).
J
a
Поэтому
lim D*~lu(\, a, v; t) = 0,	B.2.17)
x—)-a
lim (x - ау-аи(\, a, v; x) = 0.	B.2.18)
x—>a
Поскольку
?>«-!(? _ a)"-1 = Г (a),	B.2.19)
TO
lim D""^(A, a, 0; t) = ab	B.2.20)

96	Задача Коши в локальной и нелокальной постановках	[Гл. 2
Следствием B.2.19) является и равенство
D%x(t - a)*'1 =0.	B.2.21)
Из B.2.11) можно увидеть, что
Dax4t ~ аJа~1Е1/а [X(t - а)а; 2а] =
= (х - а)аЕ1/а [Х{х - а)а; а + 1] . B.2.22)
Для всех т = 1, 2, . . . справедлива формула ([23], с. 118)
/ТП
а	~Ц — 1 J71 Г-1//О. ,.1 	 /X —771 — 1 гр [„1/р. ..	^,1	/О Q Г)О\
——т Z	Hip[Z , /ij — Z	Hip[Z , jl — 771J.	yZ.A.Zoj
OjZ
Равенства B.2.22) и B.2.23) дают нам основание записать
Dax(t ~ aJoc-1El/oi [X(t - а)а; 2а] = -^- (х - а)а х
х Е1/а [Х(х - а)а; а + 1] = А1/а-1^ zaE1/a[za- а + 1] =
= Л 'а~ za~ Ei/a[za] а], z = Л 'а(ж — а).
Следовательно,
D^(t - аJа~1Е1/а [X(t - а)а; 2а] = (х - а)а~1Е1/а [Х(х - а)а; а] .
B.2.24)
Принимая во внимание B.2.21) и B.2.24), из B.2.13) получаем
D%xu{X, а, 0; t) = агХ{х - а)а~1Е1/а [Х{х - а)а- а] . B.2.25)
Функция Миттаг-Леффлёра B.2.5) такова, что ([23], с. 118)
B.2.26)
Учтём B.2.26) в B.2.25), тогда будем иметь
-а)«; 2а] € Ь[а,Ь].
Отсюда заключаем, что задаваемая формулой B.2.13) функция
и(Х, а, 0; х) представляет собой решение однородного уравнения
Daaxu = Xu	B.2.27)
из пространства L[a,b], которое бесконечно дифференцируемо при
х ^ а всюду, за исключением точки х = а, где оно обращается в бес-
бесконечность порядка 1 — а.

2.3]	Редукция функций Работнова	97
Имеет место
Теорема 2.2.2. Задача Коши в нелокальной
lim D^~lu = ai	B.2.28)
х—Уа
или локальной
lim (x - af-^u = a2	B.2.29)
ж—>-а
постановках для уравнения B.2.1) с правой частью v(x) G L[a, b] име-
имеет, и притом единственное, решение и(х) Е L[a,b]. Это решение
задаётся формулами B.2.8), B.2.13), B.2.16), где в случае B.2.29) сц =
= а2Г(а).
Задача Коши B.2.28) для уравнения B.2.1) впервые была решена
в работе [124].
2.3. Редукция функций Работнова к функциям
типа Миттаг-Леффлёра, Барретта. Задача Коши
в постановке Барретта для дифференциального
оператора дробного порядка
В наследственной теории вязкоупругости важную роль играет дроб-
дробно-экспоненциальная функция (по терминологии Ю.Н. Работнова [94]):
п=0
где — 1 < а = const $J 0, /3 = const ф 0.
Пусть р = а + 1. Очевидно, что р > 0. Из B.3.1) имеем
п=0
Отсюда в силу B.2.5) получаем
Э (В х) = хаЕл / (вхр р)	B 3 2)
Ю. Н. Работновым введены ещё следующие функции [94, с. 45]:
Fi(a, z) = х~аЭа(-/3, х), z = /Зхр, р = а + 1,
г	B.3.3)
F2(a, z) = х р Эа(-/3, г) dr.
о
Из B.3.2) следует, что
F1(a,z) = E1/p(-z,p).	B.3.4)
4 А. М. Нахушев

98	Задача Коши в локальной и нелокальной постановках	[Гл. 2
Хорошо известно, что (см. [23, с. 120])
1/р(\тР; /i)^-1 dr = х»Е1/р(\хР; ц + 1).	B.3.5)
Равенство B.3.3) с учётом B.3.2) и B.3.5) переписывается в виде
X
F2(a, z) = х-** Г Е1/р(-РтР)тР-1 dr.	B.3.6)
о
Из B.3.6) согласно B.3.5) имеем
F2(a, z) = E1/p(-z, p + 1), р = а + 1.	B.3.7)
Функция типа Миттаг-Леффлёра естественным образом возника-
возникает при построении общего решения обыкновенных дифференциальных
уравнений дробного порядка, и на это, по-видимому, впервые обратил
внимание J.H. Barrett [124]. Он рассматривал уравнение в следующей
форме:
1(-а; а, х/и) - Хи = v(x),	B.3.8)
где Л = const, /(—а; а, х/и) — преобразование Хольмгрена-Рисса (по
его терминологии):
X
/(а; а, х/и) = f u(t)(ж ~*? dt V а > 0,
а
d[a]+1
/(—а; а, х/и) = —г ,+1 /A + [а] — а; а, х/и) V а ^ 0.
Легко видеть, что 1(а; а, х/и) = D~^u при а > 0,
,[а] + 1
J V М-, U>, Л/ U) —	[а] + 1 аж	а "~ иах11'
Поэтому уравнение B.3.8) совпадает с уравнением
D*xu = \u + v, a<x<b.	B.3.9)
В работе [124] доказана
Теорема 2.3.1. Для любой функции v G L[a, 6] существует един-
единственное решение и(х) Е L[a, 6] нелокальной задачи Коши
lim D*~{u = ai, i = 1, 2, . . . , m, m - 1 < a ^ m,	B.3.10)
x—>a

2.3]	Редукция функций Работнова	99
для уравнения B.3.9), и оно задаётся формулой
т	^
и{х) = ^2 aiui(x ~ а; л) + v(t)f/i(a; - t; Л) dt,	B.3.11)
i=1
г = 1
где ai — заданные числа,
00 л/г-1 koc-i
Ui\X, Л) — > ——	;	—.	^Z.O.iZJ
к = 1
Поскольку функция B.3.12) зависит от трёх параметров, будет бо-
более удобным произвести следующее её переобозначение:
ОО	«ft —I kOL-fl
и„{х; Л) = Ва(х; А, ц) = V -?	Ж^ .	B.3.13)
Функцию B.3.1) можно записать в виде
Отсюда в соответствии с B.3.13) имеем
Эа(C,х) = Ва+1{х; /3,1).	B.3.14)
Из B.3.14) на основании теоремы 2.3.1 заключаем, что функция
Работнова Эа(/3, х) при 0 < а + 1 ^ 1 является решением следующего
однородного дифференциального уравнения порядка а + 1:
D%+1u-f3u = 0,	B.3.15)
и она удовлетворяет нелокальному условию Барретта
lim D%xu = 1.	B.3.16)
Условие B.3.16) эквивалентно локальному (видоизменённому)
условию Коши
уравнения B.3.15).
На эквивалентность условий B.3.16) и B.3.17) указывает теорема
2.2.2.
Функция Ва(х; A,/i) совпадает с функцией Барретта, когда \i
принимает значения 0,1, 2, ... Очевидно, что
^ ГA - /х + а + an)'
n=o v ^	у

100	Задача Коши в локальной и нелокальной постановках	[Гл. 2
стало быть, для любого \±
Ва(х; A, fjb) = ха-»Е1/а(\ха; 1 - /х + а).	B.3.18)
При /i = 1 соотношение B.3.18) переходит в B.3.2) с р = а, А = /3.
Функция Ва(х; A, /i) совпадает с функцией Барретта B.3.12), когда
\i = 1, 2, . . . Поэтому и на основании B.3.18) формулу B.3.11) можно
переписать в виде
и(х) = ?im(A,a,0; х) + глт(А, а; г>; ж),	B.3.19)
где т — 1 < a $J гтг,
ггт(А, а, 0; х) = ^ ам(Ж - а)"'»Е1/а[\(х - а)а; 1 - /х + а], B.3.20)
wm(A, с; v; ж) = Г(с)^-жа?;1/а [А(ж - ^)а; a] v(t). B.3.21)
2.4. Локальная задача Коши для оператора
дробного дифференцирования порядка, большего
единицы, но меньшего двух
Как видно из B.3.19)-B.3.21), общее решение уравнения B.2.1)
в случае, когда 1<а^2 (га = 2), задаётся формулой B.3.19)
и(х) = г^2(А, а, 0; х) + ^(А, а, г?; ж),	B.4.1)
где
г?2(А, а, 0; ж) = а\(х — а)а~1Е1/а [Х(х — а)а; а] +
+ а2(х - а)а~2Е1/а [Х(х - а)а; а - 1] , B.4.2)
г*2(А, а, v; ж) = Г(с)^--?;1/а [А(Ж - ^)а; a] v(t),	B.4.3)
fli и 02 - произвольные постоянные, связанные с и (ж) формулой
B.3.10), т.е.
п1 = lim D^-Ч, а2 = lim ^«жг^.	B.4.4)
Из B.4.2) и очевидных равенств
Е1/а[0; а-1] = ^^уу Е1/а[0; а] = ^
заключаем
\\т(х - аJ~аи2(Х, а, 0; х) = _ ,	B.4.5)

2.4]	Локальная задача Коши для оператора дробного порядка	101
lim —— (х — aJ~afi2(A, a, 0; х) = lim — \ал(х — а) х
х-Ю, dx	x^a dx
х Е1/а [А(х - а)а; а] + а2Е1/а [\(х - а)а; а - 1]} =
ОО
+ «2Ас^ lim (ж - а) У —~т^	 ,ч = ^^^- B.4.6
x^av	; ^ Г(а1 + аА^) Г(а) v
Г(а) ' z xAav-/ ; ^ Г(а-1 + а*) " Г(а)
Для любой функции ^ Е L[a, 6] функция B.4.3) удовлетворяет усло-
условию
lim (х - аJ~аи2(Х, a, v; x) = 0.	B.4.7)
Из B.2.23) при \i = а, р = 1/а имеем
-— zot~1 Ел i \?а- сЛ — 7ос~2Ел1 1>а- гу	11	B 4 R)
Пусть функция v E L[a,b] такова, что
lim (ж - t^^vtt) = 0 V ж G la, b].	B.4.9)
t^x
Тогда на основании B.4.3), B.4.8) и B.4.9) можно записать
lim —- (х — аJ~аи2(\, a, v\ x) =
х—Ь-а dx
х
= lim (x - аJ~а-^- (х - t)a-1E1/a [Х(х - t)a; a] v(t) dt =
ж—^а	dx	'
j
а
х
= А^ lim (х - аJ~а [ -^- {га~1Е1/а [za; a]} v(t) dt =
a
x
2 —ос	С
= A^~ lim (x - aJ~a za~2E1/a [za; a - 1] v(t) dt =
x—Va	J
a
x
= \una(x - aJ~a l(x - t)a~2E1/a [X(x - t)a- a-1] v(t) dt =
a
= lim (x - аJ~аГ(а - l)D1a-°cE1/a [X(x - t)a; a-1] v(t).
x^-a
Отсюда легко видеть, что
lim -?-{x- aJ~au2(X, a, v; x) = 0.	B.4.10)

102	Задача Коши в локальной и нелокальной постановках	[Гл. 2
Равенства B.4.5), B.4.7), B.4.6) и B.4.10) свидетельствуют, что если
v G L[a, b] и удовлетворяет условию B.4.9), то
B.4.11)
B.4.12)
limf(xa)u(x) ^.
х->а ах	1 (а)
Теперь легко убедиться в достоверности следующей теоремы.
Теорема 2.4.1. Пусть 1 < а ^ 2, г>(ж) Е L[a, 6] и для любой точки
х Е ]а, 6]
-*)а-1и(*) = 0.	B.4.13)
Тогда локальная задача Коши
lim (ж - аJ~аг^(ж) = Л2,	B.4.14)
ж—)-а
lim -^- (х - аJ-аи(х) = Ах	B.4.15)
ж—>>а аж
для уравнения
D%xu = Хи + и	B.4.16)
имеет единственное решение и(х) Е L[a, 6], гл око представимо в виде
B.4.1)-B.4.3), где
ах = АгГ(а), а2 = Л2Г(а - 1),	B.4.17)
Ai, Л2 — наперёд заданные числа.
Условие B.4.15) можно заменить условием
lim (*-eJ-a"(*)->b = Л1.	B.4.18)
х^-а	X — а
Условие B.4.13) говорит о том, что суммируемая функция v(x) ни
в одной точке t E [а, 6] не должна обращаться в бесконечность порядка
Равенства B.4.14) и B.4.15) вытекают из B.4.11) и B.4.12). Соот-
Соотношения B.4.17) устанавливают связь между данными Коши в нело-
нелокальной (см. B.4.4)) и локальной (см. B.4.14), B.4.15) или B.4.18))
постановках для уравнения B.4.16).
При Л = 0 уравнение B.2.1) принимает простой вид
D*xu = v(x), a<x<b, 1<а<2.	B.4.19)
Общее решение уравнения B.4.19) определяется формулой
и{х) = Т^у{х - а)а~Х + г?ГГТ)(ж - а)а~2 + D«V«W- B-4.20)
где oi ИО2 — произвольные постоянные.
Уравнение B.4.20) при заданных а\ и а2 эквивалентно уравнению
Абеля
D:~2u(t) = f{x)	B.4.21)

2.4]	Локальная задача Когаи для оператора дробного порядка	103
с правой частью
f(x) = аг(х -а) + а2 + D~*v{t).
Любое решение уравнения B.4.21) удовлетворяет уравнению
D%-1u{t) = f'{x) = a1 + DZ*v(t).
Легко видеть, что
lim (x — aJ au(x) = ———
Если га — 1 < а $J га, то локальное условие Коши для уравнения
B.4.16) имеет вид
Нт -^—(ж - а)т~аг^(ж) = Бп, п = 0,1, 2, . . . , га - 1,
где Вп — заданные числа.
В заключение отметим, что при исследовании задачи типа Штурма-
Лиувилля для уравнения B.2.1) знаковую роль играет следующее
свойство оператора Римана-Лиувилля D%x порядка \а\ < 1, область
определения и область значений которого принадлежит пространству
L[a,b] функций, интегрируемых по Риману на сегменте [а, Ь] (см. § 1.6-
1.7): если функция ф = ф(х) является неотрицательной, невозраста-
ющей и непрерывной на [а, Ь\, то ((р,ф0^х(р)о ^ 0 для любой функции
(р = <р(х) G L[a, b] и (у?, фБ^х(р)о = 0 тогда и только тогда, когда (р =
= 0.

Глава 3
АНАЛОГ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА
И СПЕКТРАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
ДЛЯ МОДЕЛЬНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
ОПЕРАТОРОВ ДРОБНОГО ПОРЯДКА
3.1. Аналог теоремы Ферма и принцип экстремума
для оператора дробного дифференцирования
порядка, меньшего единицы
В классическом дифференциальном исчислении важную роль игра-
играет теорема Ферма. Пусть скалярная функция и = u{t) определена на
некотором интервале ] Л, В[ и в точке х Е ] Л, В[ принимает наибольшее
или наименьшее значение на ]Л, В[. Тогда, если производная и'(х)
существует, то она равна нулю. Аналогом этой теоремы в дифферен-
дифференциальном дробном исчислении является следующая теорема автора
данной работы.
Теорема 3.1.1 (аналог теоремы Ферма [57, с. 56]). Пусть сум-
суммируемая на [Л, В] функция u(t) в точке х Е [Л, В] принимает наи-
наибольшее или наименьшее значение и существует такое E, что u(t)
в полуокрестности cos точки х удовлетворяет условию Гёльдера с по-
показателем h > а. Тогда для любого а Е [0,1] и отличной от х точки
а Е [Л, В] производная
C-1.1)
— в случае наибольшего значения и
— в случае наименьшего значения.
Здесь cos = {t : х — 5 ^ t ^ ж}, когда x^anuus = {t: x^t^x-\- E},
когда х ^ а, 5 > 0.
В первую очередь покажем, что
для любой отличной от х точки а Е [А, В] и а Е ]0,1[

3.1]	Аналог теоремы Ферма и принцип экстремума	105
В самом деле, пусть х? = х + е sign(a — x). Легко видеть, что
д Г
?
J ^Г =
хе
ж?) . , ч Г ^(
V - а Slgn(x - а) J V
или
lim
-a) ,v ;
J |ж-
(	() — и(х)
-assign (ж-a) ,v ; ,,a+i
Так как \и(х?) — и(х)\ ^ ceh, h > а, то отсюда получаем равенство
X
Ч1Р"П1 Т 	 П\ I lilt) 	 1I\T\	111 ПГ I
"«*UW = r(_a) j |a;_ir+i df + ГA-а)|Ж-аГ'
a
которое эквивалентно C.1.3).
Поскольку ГA - а) > 0, а -аГ(-а) = ГA - а), то теорема 3.1.1
непосредственно вытекает из C.1.3).
Из аналога теоремы Ферма, который естественно называть обоб-
обобщённой теоремой Ферма, видим, что если х является точкой локаль-
локального экстремума функции u(t), определённой в некоторой е-окрестно-
сти S* этой точки, то либо производная D^xu(t) порядка а < 1 не
существует, либо она удовлетворяет одному из неравенств C.1.1),
C.1.2), где а — любая точка из S*. В частности,
Daxu(t)>Q VaE]0,l[,	C.1.4)
если х — точка локального положительного максимума.
В 1973 г. автором обнаружен следующий принцип экстремума
для оператора дробного дифференцирования порядка а < 1, который
сформулируем в виде теоремы [70, с. 106].
Теорема 3.1.2. Пусть неубывающая, неотрицательная и отлич-
отличная от тождественного нуля функция uj{t) вместе с функцией u(t)
принадлежит классу С (а ^ t ^ х), и в сколь угодно малой полу-
полуокрестности 5 ^ t ^ х E > а) точки t = х произведение uj(t)u(t)
удовлетворяет условию Гёльдера с показателем h > а. Тогда, если на
сегменте а ^ t ^ x функция u(t) достигает положительного мак-
максимума {отрицательного минимума) в точке t = х, то D™xuju > 0
(< 0) для любого а Е ]0,1[.

106	Аналог теоремы Ферма и спектральные вопросы	[Гл. 3
Действительно,
W(g)
"T" /	\OC I
(x-a)a
w(x — e) — w(x)	w(x)
sa	(x — a)a
S	x-e
Г W(T) — w(+)	Г w(t) — w(t) 1
+ a [ ] ™ll} dt + a	[ ] ^[} dt\,
где w(?) = uo{t)u{t). Отсюда, поскольку функция w{t) на сегменте
5 ^ t ^ х удовлетворяет условию Гёльдера с показателем h > а, полу-
получаем
Теорема 3.1.2 — следствие C.1.5). Справедливость этой теоремы можно
непосредственно получить и из C.1.3).
Из теоремы 3.1.2 следует, что теорема Ролля не может иметь
в дробном исчислении прямого аналога. Этой проблеме посвящена ра-
работа [162].
3.2. Видоизменённая задача Коши для
вырождающегося дифференциального уравнения
дробного порядка
Рассмотрим уравнение
DgxtPu{t) = \u{x), 0 < х < 6,	C.2.1)
где 0 < а < 1, Л — спектральный параметр, f3 = const ^ 0.

3.2]	Видоизменённая задача Коши	107
Уравнение C.2.1) является частным случаем уравнения
j(x)D^u(t) + b(x)u = с(я),	C.2.2)
которое играет важную роль в теории обратных задач для вырожда-
вырождающихся уравнений гиперболического типа [70, с. 106]. При /3 = 0 оно
совпадает с уравнением B.2.27).
Не нарушая общности, будем считать, что 6 = 1.
Пусть Da — оператор, который задаёт уравнение C.2.2): Dau =
= с(х). Уравнение
D*av = xPD?xv + ^2 DixaJv + bv = с*
i=i
сопряжено с уравнением C.2.2) в том смысле, что
где (•, • )о — скалярное произведение в L2[0,1].
Через С1{1) обозначим банахово пространство функций и(х) G
G G@ < х ^ 1) с конечной нормой
||гл||7 = тах|ж7г^(ж)|,	C.2.3)
где / — замыкание интервала / = {ж:0<ж<1},7 = const. Очевидно,
чтоС0(/) = С[0,1].
Из аналога формулы Ньютона-Лейбница A.19.2) заключаем: любое
решение и(х) уравнения C.2.1) из пространства L[a, 6] является ре-
решением нагруженного интегрального уравнения Вольтерра третьего
рода [57, с. 92]:
х?и(х) - \D-:u(t) = ^-iDJ-i^gl,	C.2.4)
где, как и ранее,
о
С уравнением C.2.1) свяжем начальное (нелокальное) однородное
условие
D^H^u{t) = 0.	C.2.6)
Тогда уравнение C.2.1) с условием C.2.6) будет эквивалентно однород-
однородному интегральному уравнению Вольтерра третьего рода
хри{х) - \Do?u(t) = 0.	C.2.7)

108	Аналог теоремы Ферма и спектральные вопросы	[Гл. 3
Здесь уместно отметить, что уравнение вида
ха^-ш)и(х) - XD-Xau(t) = ха^-ш)
где а > 0, т > 0, Hk > — 1, Д — действительные числа, было объектом
исследования А. Килбаса и М. Сайго [142], [143], и его решение выра-
выражается через специальные функции типа Миттаг-Леффлёра.
Пусть и(х) — любая функция из пространства G7(/) с нормой
C.2.3) И7</3 — а + 1. Тогда она удовлетворяет условию C.2.6).
Действительно, из C.2.5) и теоремы о среднем значении интеграла
имеем
где w(z) = z1u(z) G G@ ^ z ^ 1), ж* G [0,1]. Отсюда, поскольку
/?-а-7 + 1>0, 7</? + 1, следует C.2.6).
Если a > /3, то в пространстве G[0,1] уравнение C.2.1) при лю-
любом Л не имеет решений, отличных от тривиального, и соответствующее
неоднородное уравнение, которое получается из C.2.2) при clj(x) = 0
для всех j = 1, 2, . . . , п, 6(ж) = —Л, с(х) G G[0,1], имеет единственное
решение г^(ж).
Имеет место более общее предложение. Действительно, обратим-
обратимся к уравнению C.2.2). Не нарушая общности, можем положить
ai > а2 > ... > ап.
Теорема 3.2.1. Пусть clj(x) g Сг[0,1] при aj > 0, a,j(x) G C[0,1]
при aj < 0, 0 / ctj < a, j = 1, 2, . . . , щ Ъ{х) и с(х) принадлежат
С[0,1];
/3< а-^Я(а0,	C.2.8)
где г — индекс первого отличного от тождественного нуля коэффици-
коэффициента аДж), Н(х) — функция Хевисайда. Тогда существует, и притом
единственное, решение и(х) уравнения C.2.2) из пространства СрA).
В самом деле, непосредственным вычислением можно убедиться,
что выражение D^ajD^ и при aj < 0 равно
Г(
1	Г u(t)dt Г aj[t +

3.2]	Видоизменённая задача Коши	109
если же ctj > 0, то оно равно
(t) dtL (
j	J ^(l-O1
Принимая это во внимание, убеждаемся в эквивалентности урав-
уравнения C.2.1) интегральному уравнению Вольтерра третьего рода
где /3{ = 1 — а + aiH(ai), а /гДж, ?) зависит лишь от <^-(ж), 6(ж) и при-
принадлежит классу G@ ^ ж, t $J 1).
По стандартной схеме (см., например, [38, с. 72] и [21]) можно по-
показать существование такого натурального числа га, что га-я степень
интегрального оператора
о
отображающего пространство Cq(I) в себя, является сжатой, когда
выполнено условие C.2.8), что, в силу обобщённого принципа сжатых
отображений (см. [57, с. 15]), и доказывает справедливость теоре-
теоремы 3.2.1.
В основе реализованного метода доказательства теоремы 3.2.1 ле-
лежит очевидное утверждение: если и(х) — регулярное решение уравне-
уравнения
Dgxtf>u(t) = f[x, и, Doa>], j = 1, 2,. . . , n,
удовлетворяющее видоизменённому условию Коши
lim х1~а+^и{х) = и0 < ос,
ж—^0
и функция f[x,u,Zj] такова, что
Лгр гц /~) У о I \ (Z. Т,\Г\ 1 |i TTi T D Т \~t 11 (~f~] D ^7/ — Г)
iV , Hj , ±^r r\ LI J \Z J-J \\J, -LJ ,	11111 ь<у	J-Xq	J |^t/, U/^t/y, i-/Q| U/J 	 Vy,
ж—)-0
mo
При /3 Ф 0 на постановку видоизменённой или локальной задачи Ко-
Коши существенно могут повлиять младшие члены дифференциального
уравнения. Например, рассмотрим случай, когда а = I, f[t, и, Daju] =
= \и, Л = const.
Общее решение уравнения
d , q ч Л
-— (хни) = Лг^
ах

110	Аналог теоремы Ферма и спектральные вопросы	[Гл. 3
задаётся формулой
сх
х~1	при /3 = 1,
U№ ~ 1 ex'? exp I	 х*-' ] при
где с — произвольная постоянная величина. Следовательно, для этого
уравнения видоизменённое условие Коши имеет вид
lim хх~1и(х)	при /3 = 1,
lim х^и(х)	при /3 < 1,
( -А	А
lim ж^5 exp I	 хх~$ ) и(х) при /3 > 1.
Видоизменённая задача Коши
lim х1~аи(х) = г^о
для широкого класса нелинейных уравнений вида
исследована в 1992 г. моим аспирантом В. А. Чадаевым [117]. В 1994 г.
автор предложил Ильхану Озтюрку (Ozturk I.) найти в явном виде
решение и{х) этой задачи для уравнения C.2.2) в случае, когда /3 = 0,
aj(x) = a,j = const, c{x) G L[0,l], b(x) = —A = const. Он показал
(см. [152]), что
х
Г
и(х) = и0Г(а)Еа}а.(х, A, ai) + Еа^а.(х — t, A, ai)c(t) dt,
о
где а > ai > а2 > . . . > ап > 0
оо	оо
?/ (х А а-) = жа—1
/5m = П,г2, . . . ,im, 0 ^ ik ^ m, 1 ^ k ^ m, a^TO = а^,а^,. . . ,aim,
а/зт = a^ + a^2 + • • • + a*m, a^0 = 1, a^0 = 0.
Задаче Коши в нелокальной постановке посвящена работа
М. М. Джрбашяна и А. Б. Нерсесяна [24]. Задача Коши в классической
постановке u(xq) = щ, xq > 0 для систем уравнений вида
исследована в работе [135].
Понятие «видоизменённая задача Коши» для дифференциальных
(необязательно вырождающихся) уравнений дробного порядка автор

3.2]	Видоизменённая задача Коши	111
заимствовал у А.В. Бицадзе [11], который в 1958 г. впервые ввёл
понятие задачи Коши с видоизменёнными начальными данными для
вырождающихся дифференциальных уравнений с частными производ-
производными
ихх — УТПиуу + аих + аиу + си = 0> 771 > 0.
В силу теоремы 3.1.2 справедлив следующий
Принцип экстремума. Пусть clj(x) ^ 0 для всех j = 1, 2, . . . , m,
Ь(х) ^ 0, ат > 0 и функция и(х) — решение уравнения Dau = 0 из
пространства Со(/), удовлетворяющее на полусегменте 0 < х ^ 1
условию Гёльдера порядка h > а. Тогда положительный максимум
и отрицательный минимум функции и(х) на сегменте [0,1] достига-
достигается лишь в точке х = 0.
Уравнение C.2.2) при /3 > 0 относится к классу вырождающихся
дифференциальных уравнений дробного порядка. Число C характери-
характеризует порядок вырождения уравнения при х = 0. При х = 0 интеграль-
интегральное уравнение третьего рода вырождается в уравнение первого рода.
При нарушении условия C.2.8) на однозначную разрешимость урав-
уравнения C.2.2) существенное влияние оказывают коэффициенты этого
уравнения.
Остановимся более подробно на уравнении
D%xtau{t) - ХГ(а)и(х) = с{х),	C.2.9)
которое является простой моделью уравнений с дробными производ-
производными, когда порядок вырождения C совпадает с порядком а самого
уравнения.
Решение уравнения C.2.9) с правой частью с(х) Е С[0,1] будем
искать в пространстве G7(/), где 7 ? [0,1[.
Как показано выше, любое решение и(х) уравнения из пространства
С1{1) удовлетворяет условию C.2.6) с C = а, т.е. условие
D^Hau{t) = 0	C.2.10)
для уравнения C.2.9) является необходимым нелокальным условием.
Задача Коши C.2.10) для уравнения C.2.9) эквивалентна инте-
интегральному уравнению Вольтерра третьего рода:
X
х«и{х) _ л [ U^*_a = D^c.	C.2.11)
J (х -t)
о
Уравнение C.2.11) было объектом исследования многих авторов
[105], [107], [126], [138].
Если Л ^ 0, то из теоремы 3.1.2 следует, что однородное уравнение
X
Vau = хаи(х) - Л [ U^ d*_a = 0	C.2.12)
J (х - t)

112	Аналог теоремы Ферма и спектральные вопросы	[Гл. 3
в классе функций и(х), принадлежащих С [0,1] и удовлетворяющих
при О < х ^ 1 условию Гёльдера с показателем h > а, имеет лишь
тривиальное решение.
Как видно из A.6.6), для любой функции и Е На[0,1] справедливо
неравенство
(и, D$xuH > 0.	C.2.13)
Из C.2.12) и C.2.13) имеем, что если Л < 0, то
\\ха/2и\\ы[о,1]=0 VmS #""[0,1].
Следовательно, в пространстве На[0,1] уравнение
Vau = fe L[0,1]	C.2.14)
при A $J 0 не имеет более одного решения.
Очевидно, для любого Л уравнение
1
V> ее xav(x) - А [ "(t)*f_a = Г(х) е С[0,1],	C.2.15)
J (t- ж)
сопряжённое с уравнением C.2.14), в классе G@ < х $J 1) имеет лишь
одно решение.
Обозначим через М+ множество всех положительных чисел Л, а че-
через М_ — множество всех чисел а > — 1.
Уравнение
+ 1,а) = 1	C.2.16)
устанавливает взаимнооднозначное соответствие между М+ и М_. Это
очевидно, поскольку
+ 1, а) = ^ |VA - t)"-1 Л = It*(I - ^)а-х
log* Л ^ 0,
lim В(а + 1,а) =+оо, lim Б(сг + 1,а) = 0, БA,с^) = -.
Имеет место следующая
Теорема 3.2.2. Для любого Л Е М+ существует число а Е IKt
такое, что функции вида и(х) = сж°", г^е с — произвольная постоян-
постоянная, в пространстве С-аA) образуют собственные функции уравне-
уравнения C.2.11) или, что то же самое, оператора
D^y	C-2.17)
В пространстве С-аA) все собственные значения уравнения C.2.11)
являются простыми.

3.2]	Видоизменённая задача Коши	113
Эта теорема была доказана в работах [50], [51], [105] в основном
в случае, когда — 1 < а < 0, т. е. 0 < Л < а. Здесь приведём очень
простое её доказательство в общем случае, которое было предложено
автором в работе [70].
Первая часть теоремы является тривиальной: число а находится
как решение трансцендентного уравнения C.2.16). Действительно, из
C.2.12) при и(х) = ха имеем
Vax" = ха+° - А [ *** = х^[1 - ХВ(а + 1, а)] = 0.
J (x-t)
о
Допустим, что собственному значению А = 1/В(а + 1,а) в про-
пространстве G_сг(/), помимо функции иа = ха, соответствует ещё одна
собственная функция и\(х) G G_сг(/), линейно независимая с иа. Тогда
очевидно, что
ui(x) = a
и функция
/ \	a ( \	( \	pi о — bJi{x) -\~ 1
u{x) = x ujyx), ujyx) =
1 + ||^i||o — ^i(^)
Но
также будет собственной функцией, соответствующей собственному
значению Л. Так как
¦i
1
ta[l-U}(tx)]
1
ta[l-u)[tx)]
то о;(ж) ^ 1 — Л/i. А это противоречит равенству ||cj||o = 1.
Остаётся теперь показать, что уравнение Апи = 0, где А = x~aVa,
при любом п = 2, 3, . . . в пространстве С—аA) не имеет собственных
функций, отличных от собственных функций уравнения Аи = 0, соот-
соответствующих собственному значению А = 1/В(<т + 1, си). Здесь Ап —
п-я итерация оператора А (см. [57, с. 15]).
Пусть существует такое п, что Апи = 0 и Аи ф 0. Тогда найдётся
такое т ^ 2, что Ати = 0, Ат~1и ф 0. Так как ААш~1и = 0, то
ААт~2и = еж*7, где с = const ф 0. Функция г;(ж) = Ат~2и — решение
уравнения Av = cxa из пространства С—аA). Отсюда, принимая во

114	Аналог теоремы Ферма и спектральные вопросы	[Гл. 3
внимание, что v(x) представима в виде v(x) = хаш(х), где ио(х) Е
Е Со(/), для о;(ж) получаем уравнение
Л f
или
1
= ш(х) - A L(
- t)"-1 dt.
Следовательно, с = о;@)[1 — \B(<j + 1, а)] = 0, что противоречит на-
нашему допущению.
Таким образом, в указанных выше пространствах спектр оператора
C.2.17) совпадает с Ml.
Из спектральной теории, в силу единственности решения сопряжён-
сопряжённого уравнения C.2.15), следует безусловная разрешимость (в соответ-
соответствующих пространствах) уравнений C.2.9) и C.2.11).
Предположим, что \ = 1/В(а -\- 1, а) является собственным значе-
значением оператора C.2.17). Рассмотрим одноточечную задачу
lim x~au{x) = 0	C.2.18)
C.2.19)
для уравнения
где
и(х)
-Vu = /(ж),
X
А 1 u[t) dt
0
Поскольку
где q = В G + 1, а)/ В (а + 1, а) < 1, то для любой правой части f(x) E
Е С-1{1) и 7 > о- существует, и притом единственное, решение
задачи C.2.18) для уравнения C.2.19).
В заключение приведём ещё один пример, подтверждающий су-
существенность условия C.2.8) теоремы 3.2.1, а именно — нелокальную
задачу Коихи
lim D~*/2tu(t) = D~01/2tu(t) = 0	C.2.20)
для уравнения
l/2	, x>0.	C.2.21)
Решение задачи C.2.20)-C.2.21) будем искать в классе функций
и(х) Е С1 [0, г] П L[0,r]. Любое решение и(х) уравнения C.2.21) из

3.3] Аналог критерия второй производной в дробном исчислении 115
этого класса в силу C.2.20) будет решением интегрального уравнения
Вольтерра третьего рода
D^/2Dll2$u@ = \D-*/2u(t) & хи(х) = \D-*/2u(t), C.2.22)
стало быть и уравнения
[х и(х)]' = Л^ D^/2u(t) = \Dl'x\{t).	C.2.23)
Согласно обобщённой формуле Лейбница (см. § 0.2)
Dl'2tu{t) = xDli2u(t) + \ D^/2u(t)
уравнение C.2.21) эквивалентно уравнению
xDl^utt) + i D^/2u(t) = Хи{х).	C.2.24)
В соответствии с C.2.22), C.2.23) и C.2.24) любое решение уравнения
C.2.21), удовлетворяющее условию C.2.20), является решением вы-
вырождающегося дифференциального уравнения
х2и'(х) + (^ - А2) и(х) = 0.	C.2.25)
Общее решение уравнения C.2.25) имеет вид
(Л2 \
-— ,	C.2.26)
х J
где с — произвольное число.
Легко видеть, что
D-01/2tu0(t) = cD^t-1/2 = V^c.
Следовательно, число X = 0 не может быть собственным значени-
значением задачи C.2.20)-C.2.21); любое число X ф 0 является собственным
значением этой задачи, и соответствующие собственные функции
задаются формулой C.2.26); видоизменённая однородная задача Коши
(л2\
— и(х) = 0
х J v J
для уравнения C.2.21) не имеет решений, отличных от тривиального.
3.3. Аналог критерия второй производной
в дробном исчислении
Пусть г^(^) G С2(#? ), где S* = {t : х — ?^t^x-\-s} — окрестность
точки х. Тогда, если и'{х) = 0 и и"{х) < 0 (и"(х) > 0), то функция
г^(^) в точке х имеет строгий локальный максимум (минимум).

116	Аналог теоремы Ферма и спектральные вопросы	[Гл. 3
Этот критерий является простым следствием равенства
u(t) - и(х) = {t- x)u'(x) + D-?u"(?).	C.3.1)
Теорема 3.3.1. Точка х Е ]Л, В[ является точкой строгого
локального максимума или минимума функции u(t) E Ыр^[Л, В]
с h > а тогда и только тогда, когда существует хотя бы одна точка
(а, C) с абсциссой а Е ]0,1[ и ординатой /3 > 0 такая, что
в случае максимума и
— в случае минимума.
Необходимость этих условий непосредственно следует из аналога
теоремы Ферма. Например, пусть х — точка строгого локального ми-
минимума. Тогда существует такое положительное /3, что и(х) < и(а) для
всех а Е Sp.
Поскольку ГA — а) > 0, это неравенство вместе с C.1.2) можно
переписать в виде неравенства
Па /,ч ^ и{х) -и(а)	и(а)
которое приводит к C.3.3).
Аналогично показывается необходимость условия C.3.2).
Докажем теперь достаточность условия теоремы в случае, когда
выполнено условие C.3.2).
Функция \t — a\aD^tu(^) непрерывна в окрестности точки ж, и по-
поэтому существует такая окрестность S* точки ж, что
где 5 — наименьшее из двух чисел е и /3. Это неравенство можно
переписать в виде
Da"D^u(O > j^b D-»\t - а\~а V t, a € Sf.
Отсюда, учитывая, что D~?\t - а|"а/ГA - а) = 1 и lim D^u^) = 0,
t—Уа
стало быть, D~^D^tu{^) = и(х) (см. A.19.2)), получаем и(х) > и(а)
для всех а Е S$ .
Аналогично устанавливается достаточность условия C.3.3).

3.3] Аналог критерия второй производной в дробном исчислении 117
Равенство C.3.1) после замены переменной интегрирования ? по
формуле ? = х + (t — x)rj принимает вид
1
О
Поэтому в точке ? = ж локального максимума (минимума) функции
u(t) условие и"(х) ^ 0 (и"(х) ^ 0) является необходимым.
Аналогом этого простого, но весьма важного факта является сле-
следующее утверждение.
Теорема 3.3.2. Пусть:
1)	функция u(t) Е L[A, В] и в точке х Е ]Л, В[, г^е она дифферен-
дифференцируема, принимает наибольшее значение;
2)	существует такое 5 > 0, что u'{t) на сегменте cos удовлетво-
удовлетворяет условию Гёльдера с показателем h > а — 1.
Тогда для любого числа а Е ]1,2[ и любой отличной от х точки
а Е [Л, Б] справедливо неравенство
^}"a-	C-3.4)
() Е Ыр^[Л, В] и h > а — 1, то в окрестности 5| точки х
существует отличная от х точка а такая, что для всех а Е ]1,2[
имеет место равенство
и(й'Г°Г-	C-3.5)
Действительно, по определению дробной производной порядка
а Е ]1,2[ имеем
Отсюда заключаем, что
ГB-а) D"u(t)=sign(y-a) lim -^ \у - t^uty dt, C.3.6)
?—)> + 0 ^у J
где 2/е = y + e sign(a-y).
Из C.3.6) непосредственным дифференцированием находим
ГB - a) D«yu{t) = sign(y - а) х
х lim A L^Je1"" + A - с) sign(y - а) [ \у - t\~au(t) dt] =
?^+о ду I	J	J

118
Аналог теоремы Ферма и спектральные вопросы
[Гл. 3
-a) lim
\u'(y?)e1~a
Уе
Г
sign(y - а) - аA - а)
u[t) dt
\y-t\a+'
Полагая здесь у = х и замечая, что и'{х) = О, ГB — а) = A — а) х
хГA-а),
е	в
Г ifc(t) dt	Г
-а 	^—хт = а
а	а
получим
ГB - a) DZM*)
— a
)u(x?) sign (ж — а),
?') ~?{*
sign (х — а)
- а\« +а{1~ а) S1S" (Ж - п) \ |
Отсюда, используя неравенства
ГB - а) > 0, |^(ж?)
ж
ceh, /г > a - 1,
)| ^ < -^ |г - t\h+1,
(	\ i- Г w(a:e) — u(t) ,, . _
sign (ж - a) lim —^—^—^qf^ dt ^ 0,
a
приходим к неравенству C.3.4).
Вторую часть теоремы докажем методом от противного. Допустим,
что это утверждение не имеет места. Тогда в силу C.3.4) существует
такая окрестность S* точки ж, что
Daaxu{t) < W(w?~!P	C-3.7)
для всех а Е S^.
Так как u{t) E С1 [Л, Б], то
гх(?) = и(а) + sign (ж - a) D~^u'{().
Непосредственное вычисление показывает, что
\	U[Qj)
Do/
а
_ а)
- а\

3.3] Аналог критерия второй производной в дробном исчислении 119
На основании закона смешанной композиции (см. [57, с.43]) можем
записать
Следовательно,
D%xu(t) = D«x [«(о) + sign (x - a) ?>"tV(?)] =
sign [x - a) D«-lu'{t). C.3.8)
ГA - а)
Из C.3.7) и C.3.8) получаем, что если а € 5*, то
-I^X^.,..	C.3.9)
Функция u(t) непрерывна на сегменте
{{? : а $J ? $J х} при х > а,
{t : х ^ t ^ а} при х < а.
Она имеет производную в каждой внутренней точке этого сегмента.
Поэтому в силу теоремы Лагранжа существует точка с из [ж, а[ или из
]а, х[ такая, что
и{х) - и(а) = и'(с)(х - а).	C.3.10)
На основании C.3.10) неравенство C.3.9) примет вид
sign (х - а) Д?-V(t) < ?Ю ^ (_я-„"_), Va€5,-. C.3.11)
Если в равенстве C.1.3) число а заменить числом а — 1 Е ]0,1[,
а функцию ?i(t) — её производной, то будем иметь
+
ГB-а)"
C.3.12)
Поскольку u'(t) E Lip^f^, В], /г > a — 1, отсюда вытекает непрерыв-
непрерывность функции, стоящей в левой части C.3.12) на сегменте [Л, В].
Учитывая это, на основании C.3.11) заключаем, что существует такое
5 ^ е, что для всех а и ? из cos справедливо неравенство
D^u'H) sign(i - a) < M'(gj; ~ "I1"" sign(* _ a).	C.3.13)
ГA - a)
От обеих частей неравенства C.3.13) возьмём дробный интеграл
порядка а — 1 с началом в точке а и с концом в точке с. В резуль-

120	Аналог теоремы Ферма и спектральные вопросы	[Гл. 3
тате с учётом равенств О^~а D^lu'{^) = uf(c), D^~a\t — а
= ГB — а) = A — а)ГA — а) получаем
sign (х — а)и'{с) < A — a) sign (х — а) и'(с),
или
sign (х — а)и'(с) < 0.
С другой стороны, из C.3.10) следует, что
sign (ж - а) и'{с) > 0.
Полученное противоречие — результат неверного допущения, и оно
означает достоверность равенства C.3.5).
Теорема 3.3.3. Пусть функция u(t) в окрестности S* точки х
имеет производную u'(t) E Lip^*^), h > а — 1 и
DZMZ) ^ ^(ГГаР	C-ЗЛ4)
для всех t E 5g и некоторого а Е ]1,2[. Тогда функция u{t) в точке х
принимает наибольшее в S* значение.
Действительно, из C.3.8) имеем
(P ж)^~ V(?). C.3.15)
Из C.3.14) и C.3.15) получаем оценку
sign(? - x)D%t1u'(?) ^ 0.	C.3.16)
Равенство A.19.2) и оценка C.3.16) после учёта равенств
lim ??f V(?) = 0, DlrD^u'iO = u'(t)
приводят к неравенству
sign(t - x)u\t) ^ 0.
Отсюда легко установить, что и(х) — u{t) ^ 0 V t E S^.
3.4. О спектре обобщённого оператора Капуто
Пусть Sk[a,b] — класс функций и(х), принадлежащих простран-
пространству L[a,b] вместе с производными до k-ro порядка; д@ = D~^d2/dx2 —
оператор с областью определения Dp С #2[а, 6], который назовём обоб-
обобщённым оператором Капуто (см. @.2.1)).
Рассмотрим уравнение
дРи = \и{х), а<х<Ъ,	C.4.1)
где C = 2 — а,0^ск^2, Л — вещественный спектральный параметр.
Легко видеть, что д@и = д^хи для а Е ]1,2[.

3.4]	О спектре обобщённого оператора Капуто	121
При а = 0 уравнение C.4.1) переходит в дифференциальное урав-
уравнение (гармонического колебания) uff(x) = Хи(х), которое обладает
тем свойством, что каждому Л Е Ш. соответствуют два его линейно
независимых решения. При а = 1 оно для всех и Е Dp эквивалентно
нагруженному дифференциальному уравнению и'(х) = Хи(х) + и'{а)
с краевым условием Хи(а) = 0. Если Л = 0, то любая линейная функция
будет решением этой задачи. Если же Л ф 0, то у неё одно линейно неза-
независимое решение и(х) = ехр [Х(х — а)] — 1. При а = 2 уравнение C.4.1)
эквивалентно уравнению A — Х)и(х) = (х — а)и'(а) + и(а), которое не
имеет решений, отличных от тривиального, если Л ф 0. При Л = 0 оно
имеет два линейно независимых решения.
Теорема 3.4.1. Пусть 0 < а < 2, а ф 1, X ф 0, C = 2 - а. Тогда
любое решение и{х) уравнения C.4.1) из области определения опера-
оператора д@ представимо в виде
и(х) = и(а)Ер[\(х - а)Р] + и'(а)(х - а)Е1/р[\(х - а)^; 2], а < 1;
и{х) = и(а)(х - а)Е1/р[Х(х - af- 2], 1 < а < 2.
Действительно, любое решение и(х) Е Dp уравнения C.4.1) таково,
что D^xD~^u"{^) = \D%xu(t). Стало быть, оно удовлетворяет уравне-
' ах
нию
и"(х) = A?>°xu(t).	C.4.2)
Пусть и{х) Е Dp — решение уравнения C.4.2). Тогда из равенства
C.4.2) следует, что д^и = XD~^D^tu(^). Отсюда, в соответствии с
A.19.1) и A.19.2), получаем
k=l
Как видно из C.4.3), функция и(х) будет решением C.4.2) тогда и толь-
только тогда, когда
D%~ku = lim Daa-ku{t) = О, к = 1, [а] + 1.	C.4.4)
ж—>-а
При 0 < а < 1 для функций и(х) Е -О/5 выполнено нелокальное условие
C.4.4), если же 1 < а < 2, то оно эквивалентно условию
lim D^uit) = 0.	C.4.5)
ж—>-а
Поскольку D^uit) = и(а)(х - ау-а/Г(/3) + D~^uf(t) для любого
а Е ]1,2[ и и(х) Е i^/5, то условие C.4.5) равносильно локальному кра-
краевому условию
и(а) = 0.	C.4.6)

122	Аналог теоремы Ферма и спектральные вопросы	[Гл. 3
Пусть 0 < а < 1 и и(х) — любое решение уравнения C.4.2) из класса
а , . _ и(а)(х-а)-а Dol-i r,t\
Следовательно, уравнение C.4.2) эквивалентно уравнению
«"(*) - XD^u'it) = Xu(;lX_-^~a •	C-4.7)
К обеим частям C.4.7) применим оператор D~^. В результате полу-
получим нагруженное интегродифференциальное уравнение вида
Vp(u') = и'(х) - \D~Ju\t) = A"(a)^f(~)a)g + и'(а). C.4.8)
Функция f(x) = Хи(а)(х - а)C~1/Г(/3) + и'(a) G L[a, b]. Пользуясь
теоремой 2.2.1, применим к обеим частям уравнения C.4.8) оператор
V^, обратный оператору Вольтерра второго рода Vp. Тогда из фор-
формулы B.2.4) при C = 1/р имеем
и'(х) = ± D^	^ j
х Е0[Х(х - tf\ + и'(а)-?- D^Ep[\(x - tf]. C.4.9)
По определению функция Миттаг-Леффлёра
h
= 2^гA + /ц)'	(ЗА10)
поэтому
00
fc=0
оо
Отсюда, принимая во внимание, что
В(В Зк I 1)
5(^,^ + 1)
получаем
= Г@)(х - afE1/0[X(x - af; в + 1].
C.4.11)

3.4]	О спектре обобщённого оператора Капуто	123
Поскольку для любого р > 0 и II в силу B.2.23) справедливо равен-
равенство
j-z {z^-xE1/p[z"; /х]} = z"-2E1/p[z"; /х - 1],	C.4.12)
то из C.4.11) следует, что
u^t а)
C.4.13)
В соответствии с определением C.4.10) имеем
= f;
(
к—U
Стало быть, D~?Ep[\(x - tI3] = (x — a)E1/p[\(x - a)^; 2], а это ра-
равенство вместе с C.4.12) приводит к следующей формуле:
^ D^E0[X(x - tf] = Е1/0[Х(х - af- 1] = Ер[Х(х - af]. C.4.14)
Из C.4.9) на основании C.4.13) и C.4.14) получаем
и'{х) = Хи(а)(х - аI-аЕ1/C[Х(х - af- /3] + и'(а)Ер[\(х - af].
C.4.15)
Формула C.4.15) с учётом вытекающих из B.2.11) равенств
D~l(t ~ af-'EyplXit - af; p] = {x- af E1/fi[X(x - af; /3 + 1],
D-alEp[X{t - af] = D^E1/fi[X(t - af- 1] =
= (x- a)E1/p[X{x - af; 2]
даёт основание утверждать, что
и(х) - и'(а)(х - a)E1/f3[X(x - аI3; 2] = и(а) {1 + Х(х - а)Р х
х Е1//3[Х(х - af- /3 + 1}} = и(а)Ер[Х(х - af]. C.4.16)
Равенство C.4.16) говорит о достоверности теоремы 3.4.1, когда [а] = 0.
Полагая теперь, что 1 < а < 2, запишем уравнение C.4.2) в виде
[Vp(u)]" = 0.	C.4.17)
Запись C.4.17) означает, что Vp{u) = v(x), где v"(x) = 0. Поскольку
и"(х) G L[a,b] и, стало быть, и'(х) — абсолютно непрерывна на [а, 6],

124	Аналог теоремы Ферма и спектральные вопросы	[Гл. 3
то согласно C.4.5) и C.4.6) любое решение и(х) Е Dp должно удовле-
удовлетворять условиям
lim Vp(u) = v(a) = и(а) = О,
х—Уа
lim [Vp(u)]f = v'(a) = и'(а) - XD^u = и'(а).
х—Уа
Следовательно, v{x) = (х — а)и'(а), и уравнение C.4.2) при 1 < а < 2
эквивалентно нагруженному уравнению
Применим, как и ранее, к обеим его частям обратимый оператор
Тогда будем иметь
и{х) = u» A D-^t - а)Е0[Х(х -
Согласно C.4.10)
^
x \(t — a)(x — t)!31* dt =
= у л (ж -
^ ГB +
/c=o
Стало быть, гх(ж) = (ж — а)г^/(а)Е'1/^[Л(ж — а)$\ 2], и теорема 3.4.1
полностью доказана.
Решение и{х) уравнения C.4.2) назовём регулярным, если суще-
существует непрерывная на интервале а < х < b производная D^xu.
Теорема 3.4.2. Пусть 0 < а < 2. Тогда любое регулярное решение
и(х) уравнения C.4.2) из класса S1~^[a, b] представимо в виде
и(х) = и(а)Ер[Х(х - аI3] + (х - а)и1(а)Е1/р[Х(х - а)^; 2], C.4.18)
где /3 = 2 — а, и1 (а) = и'{а) при [а] = 0 и
и1 (а) = lim [u'(x) - XD^u^)] V a E ]1,2[.	C.4.19)
Достоверность теоремы 3.4.2, по существу, установлена в ходе дока-
доказательства теоремы 3.4.1. В самом деле, пусть [а] = 0 и и(х) — соответ-

3.4]	О спектре обобщённого оператора Капуто	125
ствующее этому случаю решение уравнения C.4.2) из класса Sx[a, b].
Тогда [и'(х) — XD^~1u(t)]f = 0. Отсюда согласно C.4.19) имеем
и'{х) = XD^uit) + и1.	C.4.20)
К обеим частям равенства C.4.20) применим оператор D~^. В резуль-
результате получим
Vp{u) = (х- а)^ + и(а).	C.4.21)
Так как и(х) Е 5'1[а,6], то и(х) — абсолютно непрерывна на [а, Ь].
Поэтому lim D^~1u(t) = 0 и, стало быть, и1 (а) = и'(а).
Пусть теперь [а] = 1. Тогда из C.4.17): Vp(u) = А(х - а) + В,
где А и В — постоянные величины. Очевидно, что lim Vr(u) = В =
= u(a), a lim[V/5('u)]/ = \im[u'(x) - XD^uU)] = А = и1. Следова-
ж—>>а	х^-а
тельно, и в этом случае и(х) удовлетворяет нагруженному уравнению
C.4.20). Чтобы получить представление C.4.18), достаточно, как и ра-
ранее, применить к обеим частям C.4.21) оператор Vp1 •
Прямым вычислением с использованием формулы B.2.23) можно
показать, что любая функция гх(ж), представимая в виде C.4.18), яв-
является решением уравнения C.4.2). Поскольку
и'(х) = Хи(а)(х - аI-аЕ1/р[Х(х - af- /3] + и^^ЕрЩх - af],
C.4.22)
то включение и(х) Е S1~^[a, b] имеет место для любого регулярного
на интервале а < х < b решения уравнения C.4.2). Это предложение
завершает доказательство теоремы 3.4.2.
Из теоремы 3.4.2 следует корректность видоизменённой задачи Ко-
ши в следующей постановке.
Задача 4.1. Найти регулярное на интервале а < х < b решение
и(х) уравнения C.4.2) из класса S1~^[a, 6], удовлетворяющее началь-
начальным условиям
lim и(х) = т, lim [и'(х) - XD^u^)] = г/,	C.4.23)
ж—>-а	х—Уа
где т и v — заданные числа.
Когда [а] = 0, условие C.4.23) переходит в классическое условие
Коши: и(а) = т, и'{а) = и.
В силу C.4.18) и C.4.19) единственное и устойчивое решение и(х)
задачи 4.1 определяется формулой
и{х) = тЕр[Х(х - af] + v[x - a)E1/f3[X(x - af; 2].	C.4.24)
Из C.4.22) легко увидеть, что условие C.4.23) можно заменить
условием
lim n(^r\ — i- lim n'(r\ — ТМЖ ~ a)	_	(о л ос\
nm uyx) — r, nm \u \x)	—-—	— v.	^.4.zoj
x^a	x^a I	1 (P)	J

126	Аналог теоремы Ферма и спектральные вопросы	[Гл. 3
Единственное и устойчивое решение и(х) видоизменённой задачи Коши
C.4.25) для уравнения C.4.2) задаётся той же формулой C.4.24).
Важным следствием теоремы 3.4.2 являются следующие три тео-
теоремы.
Теорема 3.4.3. Пусть 0 < а < 2, Хр = Л(Ь - а)^, /3 = 2 - а.
Число Л будет собственным значением задачи Дирихле
и(а) = О, и{Ь) = 0	C.4.26)
для уравнения C.4.2) тогда и только тогда, когда
Е1/0[Х0;2]=О.	C.4.27)
Если 1 $J a < 2, то равенства C.4.26) не имеют места ни для
какого А Е Ш.
Действительно, как видно из C.4.18), любое решение и{х) уравне-
уравнения C.4.2), удовлетворяющее условию и(а) = 0, представимо в виде
и{х) = (х- а)и1Е1/C[Х(х - аI3; 2].
Поскольку {(х - а)и'(а)Е1//3[\(х - а)^; 2]}' = Ер[\(х - а)%
Ер[0] = 1, том1 = и'(а),
и{х) = (х - а)и\а)Е1/C[Х(х - а)^; 2], и'(х) = uf(a)Ef3[X(x - af].
C.4.28)
Так как и'{а) ф 0, то в силу C.4.28) условие C.4.27) является необходи-
необходимым и достаточным условием того, чтобы число Л Е М было собствен-
собственным значением задачи C.4.26) для уравнения C.4.2).
оо
По определению Е1//3[Х^; 2] = 1 + ^ Л^/ГB + /Зк). Поэтому ясно,
к=1
что существует число е > 0 такое, что Е-\_/р[Хр; 2] > 0 для всех Л ^ — е.
Тот факт, что при 0 < а < 1 число Л > 0 не может быть собственным
значением двухточечной задачи C.4.26) для уравнения C.4.2), следует
и из принципа экстремума для оператора дробного дифференцирова-
дифференцирования порядка а < 1 (см. § 3.1).
В самом деле, функция и(х) из C.4.28) по теореме Вейерштрас-
са должна достигать своего положительного максимума в некото-
некоторой точке у Е [а, Ь]. Ввиду C.4.26) у ф а, Ь. В этой точке и"{у) $J О,
a DQyu(t) > 0. С другой стороны, из C.4.2) следует, что и"{у) =
= XDQyu(t) > 0 при Л > 0. Аналогично можно прийти к противоречию
и в случае, когда и(х) в некоторой точке ? Е [а, 6] достигает своего
отрицательного минимума.
Докажем вторую часть теоремы 3.4.3 о единственности решения
задачи Дирихле C.4.26) для уравнения C.4.2) при 1 ^ а ^ 2.
У однородной задачи C.4.26) для однородного уравнения C.4.2)
нет решений, не представимых в виде C.4.28). Как видно из C.4.28),
и"{у) = Xuf(a)(x — aI~OL E1/p[X(x — а)Р; j3] E L[a, 6], и для этих ре-

3.4]	О спектре обобщённого оператора Капуто	127
шений справедливо равенство
ъ
± [	^ 2] dx = 0.	C.4.29)
Поскольку и(а) = 0, то —- D^~2u(t) = D^~2uf(t). С учётом этого
CLX
равенства и условия C.4.26) из C.4.29) интегрированием по частям
получаем
ъ
т. е.
\\и'\\Ъ = д(</, D-?u'H.	C.4.30)
В силу A.6.6) ((p,D~?ip) ^ 0 для любой функции (р(х) G Н~Р[а,Ь]
и j3 G ]0,1[. Поэтому из C.4.30) вытекает, что и'{х) = 0 при А ^ 0.
Но и(а) = 0, стало быть и(х) = 0, что и требовалось доказать.
Теорема 3.4.4. Пусть 0 < а < 2, Л^ = Х(Ь - а)?, /3 = 2 - а.
Число А будет собственным значением смешанной задачи
lim [и'(ж) - MaKs-aI °Ч = о, w(ft) = 0	C.4.31)
для уравнения C.4.2) тогда и только тогда, когда Л < 0 и Ер[Хр] = 0.
Согласно теореме 3.4.2 любое регулярное решение и(х) уравнения
C.4.2), удовлетворяющее первому краевому условию (упругой грани-
границы), из C.4.31) представимо формулой
и(х) = и(а)Ер[Х(х - а)?].	C.4.32)
Поскольку и(а) ф 0, то, как видно из C.4.18), и(Ь) = 0 тогда и только
тогда, когда Ер[Хр] = 0. Собственные значения не могут быть положи-
положительными, ибо Ер[Хр] > 0 при Л ^ 0.
Теорема 3.4.5. Пусть 0 < а < 2, Хр = Х(Ь - а)?, /3 = 2 - а.
Тогда число Л будет собственным значением видоизменённой задачи
Неймана
= 0, и'(Ь) = 0	C.4.33)
для уравнения C.4.2) тогда и только тогда, когда Л < 0
/
Из C.4.32) следует, что производная и'(х) от любого решения зада-
задачи C.4.33) для уравнения C.4.2) представима в виде
и'(х) = Хи(а)(х - аI~аЕ1/13[Х(х - af- /3].	C.4.34)

128	Аналог теоремы Ферма и спектральные вопросы	[Гл. 3
Если и(а) ф О, то функция C.4.34) при х = b обращается в нуль тогда
и только тогда, когда Ei/p[\p] /3] = 0. Так как Ei/p[\p] j3] > 0 при
Л > 0, то собственные значения задачи C.4.2), C.4.33) не могут быть
положительными.
В следующем параграфе докажем, что функции Ep(z), E1/p(z; /3),
как и функция E1/p(z; 2), при 1 ^ а < 2 не имеют вещественных нулей.
Иначе говоря, при 1 ^ а < 2 задачи C.4.26), C.4.31) и C.4.33) для
уравнения C.4.2) не имеют решений, отличных от тривиального.
3.5. К проблеме о вещественных нулях функции
типа Миттаг-Леффлёра
Как видно из теорем 3.4.2-3.4.5, вопрос о спектре оператора д@
и разрешимости обобщённой спектральной задачи, ассоциированной
с уравнением C.4.2), сводится к проблеме о вещественных нулях функ-
функции типа Миттаг-Леффлёра Ep\z\ /i], где z = Rez + ilmz, p = 1//3,
0 = 2-a, 0< a < 2, /i = 1,2, C.
Распределение нулей функции Миттаг-Леффлёра Ep(z) =
= Ep(z; 1) впервые изучил Wiman [164]. Он доказал, что при 0 <
< C < 2, /3 ф 1 нули функции Ер(?) асимптотически лежат на кривой
Rez1/" + log |^| + log|r(-/3)| = 0. Кроме того, при 1 < /3 < 2 число
отрицательных её нулей является нечётным [5, с. 223].
На комплексной плоскости z функция Ep(z; fi) при р > 1/2 все-
всегда имеет счётное множество нулей, за исключением лишь случая
р = /1 = 1, когда Ei(z] 1) = expz; на вещественной оси Imz = 0 она
может иметь лишь конечное число нулей [23, с. 142]. Функция Миттаг-
Леффлёра
оо	k
*-(-*) = Ef?frW г>0'	C'5Л)
как и функция Е\(—х) = ехр (—ж), на полуоси х ^ 0 является вполне
монотонной в том смысле, что
{-1)П(ГЕ^~Х) >0, п = 1,2,...	C.5.2)
У. Феллер высказал гипотезу, и Н. Pollard (см. [5, с. 222]) доказал,
что при 0 ^ г ^ 1 функция C.5.1) вполне монотонна и на полуоси х ^
^ 0, и, стало быть, неравенства C.5.2) при г = /3 ^ 1 имеют место на
всей оси —оо < х < оо.
Справедлива следующая
Лемма 3.5.1. Функция w(x) = Ер(—х) при 0 < /3 $J 1 на веще-
вещественной оси — оо < х < оо является положительным решением диф-
дифференциальных неравенств
(-l)nwM(x)^0, n = l,2,...,	C.5.3)

3.5]	К проблеме о вещественных нулях функции	129
удовлетворяющим краевым условиям
lim w(x) = оо, lim w(x) = 0.	C.5.4)
ж—)> — оо	ж—>>оо
Условия C.5.4) вытекают из C.5.1) и асимптотической формулы
верной для любого р ^ 1 и /i, при ж —>- оо [23, с. 134].
Неравенства C.5.3), в частности, говорят о том, что функция w(x)
на оси — оо < х < оо является невозрастающей, имеющей выпуклый
книзу график.
Теорема 3.5.1. Пусть р ^ 1, тогда функция Ep(z; /i) при [i =
= 1, 2,1/р не имеет вещественных нулей.
Из леммы 3.5.1 следует, что функция Ep(z; 1) = Ep(z), где/3 =
при р ^ 1, т. е. 0 < /3 ^ 1 не имеет вещественных нулей.
По определению функция
гBтщ	C-5-6)
и, очевидно, не может иметь неотрицательных нулей. Поскольку
Ер@,2) = 1, то существует такое е > 0, что Ep(z; 2) > 0 для всех
действительных z ^ — е. Функция
гх(ж) = xEp{z\ 2), z = Лж^ < е, х ^ 0,	C.5.7)
где Л < 0, такова, что
г/(ж) = Ep(z).	C.5.8)
Функция ^i(z; 2) = [expz - l]/z ф 0, и(х) = хЕ1(Хх; 2) =
= [ехр(Лж) - 1]/Л, и'{х) = ехр(Лж) ф 0. Так как 0 < /3 ^ 1, то
Ep(z) ф 0 для всех вещественных z. А это в силу C.5.8) означает, что
и'{х)ф0 Ух^О.	C.5.9)
Допустим, что существует число zq < е, где функция C.5.6) с р > 1
обращается в нуль. Тогда в точке b = (zq/Х)р функция C.5.7) будет
обращаться в нуль и удовлетворять условиям теоремы Ролля на сег-
сегменте 0 ^ х ^ Ь. По теореме Ролля на интервале 0 < х < b найдётся
по крайней мере одна точка жо, в которой производная uf(x) равна
нулю. Равенство u'(xq) = 0 противоречит C.5.9). Это противоречие
подтверждает достоверность теоремы 3.5.1 при \± = 2.
Переходя к случаю, когда \± = 1/р, введём вспомогательную функ-
функцию
и(х) = Ер(-у), у = -\хC, A = const<0.	C.5.10)
5 А. М. Нахушев

130	Аналог теоремы Ферма и спектральные вопросы	[Гл. 3
Прямые вычисления показывают следующие свойства сложной функ-
функции C.5.10):
и'(х) = Хх^Е^-у; /3) = -\^-ldE^-y).
ay
Отсюда следует равенство
^Ь/), у^О.	C.5.11)
Из C.5.11) в соответствии с C.5.2) заключаем, что функция w(y) =
= Ер(—у; /3) на полуоси у ^ 0 удовлетворяет системе дифференциаль-
дифференциальных неравенств
(-l)ni«<n>(y)^0, n = l,2,...	C.5.12)
Неравенства C.5.12) имеют место и при у ^ 0. Следовательно, функция
w(у) на числовой прямой — оо < у < оо является вполне монотонной,
стремится к оо при у —>• —оо. При у —>• оо она в силу C.5.5) стремится
к нулю. Таким образом, доказано, что функция w(у) > 0 и, стало быть,
функция Ep(z; /3) при р ^ 1 не имеют вещественных нулей.
3.6. Принцип экстремума для обыкновенного
нелокального дифференциального уравнения
второго порядка
Рассмотрим нелокальное дифференциальное уравнение второго по-
порядка	п
ak(x)D%uk(t)u(t) = 0,	C.6.1)
/с = 1
где ak(x) и uik(x) — непрерывные на сегменте [а, Ь] функции,
ui(x) = 1, 2 = ol\ > a2 > • • • > аш > 1 = ат+1 > аш+2 > • • •
. . . > an_i > ап = 0, шт+1(х) = 1,
п
аКх) > °^ а < х < Ь.	C.6.2)
Не нарушая общности, будем предполагать, что а ^ 0.
Решение и = г^(ж) уравнения C.6.1) назовём регулярным, если оно
изС2]а,Ь[.
Имеет место следующий принцип экстремума.
Теорема 3.6.1. Пусть cok(x) при к = 1,2, ... , п являются неубы-
неубывающими положительными функциями на интервале а < х < 6;
uok(x) пРи к = 2,3, . . . , га имеет производную шгк(х), удовлетворя-
удовлетворяющую условию Гёльдера с показателем hk > а/с — 1; при к = га +
+ 2,га + 3,...,п — 1 функции со^(х) удовлетворяют условию Гёльдера

3.6]	Принцип экстремума	131
с показателем hk > а^;
ак(х)^О Уже[а,6], к е {1, 2, . . . , га},	C.6.3)
а/г(ж)^О Уже [а, 6], & е {га + 2, га + 3, . . . , п};	C.6.4)
и(х) — регулярное и отличное от константы решение уравнения
C.6.1) из С[а,Ь]. Тогда положительный максимум (отрицательный
минимум) функции и(х) на сегменте [а, Ь] не может достигаться во
внутренних его точках.
Доказательство теоремы 3.6.1 проведём методом от противного.
Допустим, что
тахн(ж) = и (у) > О, а < у < Ь.	C.6.5)
[а, 6]
Поскольку функции ujk(x) — положительные и не убывают на ин-
интервале ]а, 6[, то функция Uk(x) = u)k(x)u(x) в силу C.6.5) на сегменте
[а, у] достигает положительного максимума в точке у, и, стало быть,
uk(y)>0, и'т+1(у) = и'(у) = О, u'{(y) = u"(y)^0, C.6.6)
D%uk(t)<0 yA^G{2,3,...,ra},	C.6.7)
Dayuk(t) > О У к е {га + 2, га + 3,. . . , п - 1}.	C.6.8)
Неравенства C.6.7) и C.6.8) являются следствиями теорем
3.3.2 и 3.1.2.
Согласно C.6.2)—C.6.4) существует индекс г такой, что cti(y) > О,
если г е {1, 2, . . . , га}; а,{(у) < 0, если г е {га + 2, га + 3, . . . , п}.
Равенство C.6.1) при х = у в соответствии с C.6.5) можно перепи-
переписать в виде
п
Y,"o.k(v)D%uk(t) + а^у)О^щ(г) = 0,	C.6.9)
k=i
где двойной штрих над знаком суммы означает, что индекс суммиро-
суммирования к не принимает значения г и га + 1.
Условия C.6.3), C.6.4) в сочетании с C.6.6), C.6.7) и C.6.8) говорят
о том, что
Y,y0.	C.6.10)
к=1
Пусть г ф 1. Тогда в силу C.6.6)-C.6.8) имеем
ai(y)D^Ui(t) < 0.	C.6.11)
Неравенства C.6.10) и C.6.11) противоречат C.6.9).
Пусть теперь г = 1, т.е. а\(у) > 0. Поскольку а\(х) е G[а, 6], то
существует такая окрестность 5Jf точки у, что
сы(х)>0 \/хеБУ.	C.6.12)

132	Аналог теоремы Ферма и спектральные вопросы	[Гл. 3
Неравенство C.6.12) даёт нам право переписать уравнение C.6.1)
в окрестности S]? в виде
и"{х) + Ат+1{х)и'{х) = -Ak(x)D%uk(t),	C.6.13)
где А^(х) = a,k(x)/ai(x), и под (диагонально) повторяющимся индек-
индексом к = 2, 3, . . . , т, т + 2, т + 3, . . . , п подразумевается суммирова-
суммирование.
В силу C.6.3)-C.6.8), C.6.12) непрерывности D^uk{t) при х е S*
и предположения и(х) ф const существует такое S > а, что для всех
х G [S, у] справедливы неравенства
иF) < и(у), Ak(x)D%uk(t) ^ 0.	C.6.14)
Из C.6.13) и C.6.14) имеем
и"(х) + Аш+1{х)и'(х) ^0 Чхе[5,у].	C.6.15)
На сегменте [E, у] рассмотрим вспомогательную функцию
v(x) = и(х) + eg(x),	C.6.16)
где
g(x) = ехр (-/хж) - ехр (-//у),
/1И?- положительные числа, причём е < [и (у) — u(S)]/g(S).
Функция C.6.16) в соответствии с C.6.15) удовлетворяет неравен-
неравенству
v"(x) + Am+I(x)v'(x) > e[g"(x) + Am+I(x)g'(x)] =
-efj,[fj,- Am+1(x)]exp(-^x) xe[5,y].
Отсюда заключаем, что если /х — достаточно велико, то
v"(x) + Am+1(x)v'(x) >0 Vi6[«,y].	C.6.17)
Так как
v(S) = u(S) + eg{8) < и{8) + u{y)g~s"{S) g(S) < u(y)
и v(y) = и (у), то максимум v{x) на [S, у] достигается только в точке у.
В самом деле, если бы функция v(x) достигала максимума в интер-
интервале 5 < х < у, то в соответствующей точке выполнялись бы условия
v' = 0 и v" $J 0, что противоречит C.6.17).
Стало быть,
v'(y) = и'{у) + eg'[у) = и'[у) - ер ехр (-ру) > 0. C.6.18)
Из C.6.18) следует неравенство
и'(у) > ер ехр (-ру) > 0,	C.6.19)
которое противоречит необходимому условию uf(y) = 0. Полученное
противоречие убеждает нас в справедливости теоремы 3.6.1, которая

3.6]	Принцип экстремума	133
является аналогом принципа Хопфа [12, с. 30] для эллиптического типа
уравнений в частных производных второго порядка.
Уравнение C.6.1) можно переписать в форме
п
и"(х) + 53 ak{x)D^uok(t)u(t) = 0.	C.6.20)
k=2
Имеет место
Теорема 3.6.2. Пусть cok(x) при к = 2, 3, . . . , п являются неубы-
неубывающими положительными функциями на интервале а < х < Ь;
ujk(x), где к Е {2, 3, . . . , га}, имеет производную ш'к{х), которая удо-
удовлетворяет условию Гёльдера с показателем hk > otk ~ 1; Um+i{x) ?
Е С1 [а, 6]; при & = га + 2, га + 3, ...,п — 1 функции а;&(ж) удовлетво-
удовлетворяют условию Гёльдера с показателем hk > а&; коэффициенты а&(ж)
подчиняются неравенствам C.6.2)-C.6.4); и(ж) —регулярное, отлич-
отличное от const, решение уравнения C.6.20) г^з класса С [а, Ь] П С1] а, 6].
Тогда, если
и* = тахг?(ж) = иF) > 0 ( г^* = ттг^ж) = иF) < 0
[а,6]	V	[°'Ь]
тои'(Ь) > 0 (?/(&) < 0).
Достаточно доказать что-либо одно. Пусть г^* = и(Ь) > 0. Посколь-
Поскольку функции LOk(x) > 0 и не убывают, то на сегменте [а, Ь] функции
v>k{x) — ook{x)u{x) достигают положительного максимума в точке Ь:
и% = шк(Ь)и(Ь) > 0, к = 2, 3,..., п.	C.6.21)
Из теорем 3.3.2 и 3.1.2 соответственно заключаем:
{,,,},
C.6.22)
Dabuk(t) > 0 V к е {га + 2, га + 3,. . . , п - 1}.
В силу C.6.3), C.6.4), непрерывности D%?v,k(t) при ж > а и пред-
предположения г/(ж) ф const существует такое J, что для всех х Е [J, 6]
справедливы неравенства
0, fc/m + 1.
С учётом этого из C.6.20) легко усмотреть, что
и"(х) + ат+1(жХ+1(я;) ^0 V ж Е [5, 6].	C.6.23)
Функция v(x) = гх(ж) + ?<§г(ж), где ^(ж) = ехр (—fix) — ехр(—/i6),
0 < s < [гхF) — u(J)]/g"(E), при достаточно больших значениях \i
удовлетворяет неравенству
v"{x) + ат+1(хУт+1(х) > 0 V ж Е [5, 6]
и достигает своего максимума в точке 6. Поэтому
v'(b) = и'(Ъ) - e\i exp {-fib) ^ 0,
стало быть и'(Ь) > 0, что и требовалось доказать.

134	Аналог теоремы Ферма и спектральные вопросы	[Гл. 3
Уравнение C.6.20) при ojk(x) = 1, к = 2, 3, . . . , п переходит в урав-
уравнение
п
и"(х) + ^2 ak(x)D^u(t) = 0.	C.6.24)
к=2
Относительно ак, а также коэффициентов уравнения C.6.24) и да-
далее будем предполагать, что для них имеют место C.6.3), C.6.4), т.е.
всюду на сегменте [а, Ь] соблюдены следующие условия:
2>а2>...>ат>1 = am+i > ат+2 > . . . > а„_1 > ап = 0;
C.6.25)
ак(х)^0 \/к е {2,3,...,т};	C.6.26)
ак(х) ^ 0 V к е {т + 2, т + 3,. . . , п}.	C.6.27)
Для любого а Е ]0, 2[ и любой функции и(х) Е 5'2[а, Ь] справедливо
равенство
Нт (* - а)°^в«(*) = ^Ь.	C.6.28)
Действительно, известно, и это легко проверяется, что если uf(x) E
Е L[a, 6] и 0 < а < 1, то
если же и"(х) Е L[a, 6] и 1 < а < 2, то
C.6.30)
Поскольку при 0 < а < 1 функция г^7(ж) Е L[a, 6], то
H_m(a!-a)eD°-V(*) = 0,
а при 1 < a < 2 функция м"(ж) € L[a, 6], и поэтому
Эти равенства вместе с C.6.29) и C.6.30) приводят нас к равен-
равенству C.6.28).
Допустим теперь, что и(х) — отличное от const решение уравнения
C.6.24) из класса S2[a, b] и
mdixu(x) = u(a) > 0.	C.6.31)
[a, 6]
Функция
{и(а)/ГA - а^), х = a,
V У/ V	;	C.6.32)
согласно C.6.28) является непрерывной на [a, b].

3.6]	Принцип экстремума	135
Так как Г(а)ГA — а) = тг/sinTra, то
sign ГA - ак) = sign(l - ак) V ак е ]0,2[, а* / 1.
Отсюда на основании C.6.31) имеем
sign <pk(a) = sign(l - ак) V ак ? ]0,2[, а* / 1.	C.6.33)
Включение и(х), (рк(х) G G[а, 6] и соотношений C.6.31), C.6.33)
дают нам право утверждать: существует такое 5 > а, что
гх(ж) > 0, sign<^(;r) = sign(l - а к) Ухе[а,6].	C.6.34)
Из C.6.25)-C.6.27) в соответствии с C.6.34) получаем неравенства
ап(х)и(х) ^ 0, ак(х)(рк(х) ^ О, к = 2, 3, . . . , га, га + 2, . . . , п - 1,
C.6.35)
справедливые для всех ж Е [a, J].
Уравнения C.6.24) и оценки C.6.35) приводят к оценке
и"{х) + ат+1(ж)^(ж) ^0 Уже[о, J].	C.6.36)
Как и ранее, на сегменте [а, 5] рассмотрим функцию
v(x) = и(х) + eg(x), g(x) = exp (fix) — exp (/ш),	C.6.37)
где ? и /i — положительные числа.
Из C.6.37) видно, что g(a) = 0, и, стало быть, и(а) = г>(а). Вслед-
Вследствие условия и(х) ф const число 5 можно выбрать настолько малым,
что и(а) > иE). Положим, ?g(S) < и(а) — иE). Тогда vE) = иE) +
+ ?g{5) < и(а).
Сопоставляя C.6.36) и C.6.37), получаем
v"(x) + am+1(x)vr(x) ^ e[g"(x) + am+1(x)g'(x)] ^
^ ец[ц + ат+1(ж)] ехр (цх) > 0 V х Е [а, J].
Это неравенство не позволяет функции т;(ж) достигать своего поло-
положительного максимума во внутренних точках сегмента [а, 5]. Следова-
Следовательно,
) = v(a) = u(a).	C.6.38)
Согласно C.6.38) v'(a) = и'{а) + eg'(а) ^ 0, т.е. и'(а) ^ -
Отсюда ясно, что и'(а) < 0.
Таким образом, доказана следующая
Теорема 3.6.3. Пусть числа ак и функции ак(х) Е С [а, Ь] удовле-
удовлетворяют условиям C.6.25)-C.6.27). Тогда, если и(х) — отличное от
константы решение уравнения C.6.24) из класса S2[a, 6], для которого
имеет место C.6.31), то и'(а) < 0.
Теоремы 3.6.2, 3.6.3 являются аналогами принципа Зарембы-Жиро
[12, с. 31], который формулируется следующим образом.

136	Аналог теоремы Ферма и спектральные вопросы	[Гл. 3
Пусть D — ограниченная область с гладкой границей <т, a и(х) —
отличное от постоянной, регулярное в области D решение уравнения
ВД = Е A^z?k+?B>U+Cu = F> C-6-39)
i,k = l	i = l
принадлежащее классу C1(D), D С Mn, D = D П <т, x = (#i, #2, • • •
)
в области D коэффициенты уравнения C.6.39) непрерывны
и ограничены, дискриминант характеристической формы имеет по-
положительную нижнюю грань и, кроме того,
C{x)^0, L(u)^O (L(u)^O), xeD,
\пти(у) ^ 0 ( тахг^(у) ^ О
Тогда для каждой точки xq E 9D, в которой и(х) достигает своего
минимального (максимального) значения для каждого направления /,
выходящего из точки xq и удовлетворяющего условию cos IN < 0,
где N — внешняя нормаль к границе а, имеет место неравенство
>0 (<
В частности, при п = 1, если и (ж) — регулярное при а < х < b решение
обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка
^ {х)р + С(х)и(х) = f{x)
Л(х)^ + В{х)
ах	а
из класса Сх[а,6], причём С(х) ^ 0, f(x) ^ 0, Л(х) > е > 0 и оно
достигает своего максимального значения в точке у = а (у = 6), то
^(а) < О КF) > 0).
Изложенные в этом параграфе результаты в случае, когда
ai(x) = 1, ak(x) = 0 при к = 2, 3, . . . , т, были анонсированы в работе
автора [64], содержание которой изложено в книге [98, с. 605].

Глава 4
ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ И КОШИ
ДЛЯ НЕЛОКАЛЬНЫХ ОБЫКНОВЕННЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
ДРОБНОГО ПОРЯДКА
4.1. Задача Дирихле для нелокального
дифференциального уравнения второго порядка
Сформулированные в § 3.6 аналоги принципов Хопфа и Зарембы-
Жиро позволяют доказать единственность и существование решения
задачи Штурма—Лиувилля
раи'(а) + qau(a) = ra, рьи'(Ь) + qbu(b) = rb
и более общих нелокальных задач для уравнений вида C.6.1) при
весьма общих предположениях неравенственного типа относительно
заданных граничных данных [64]. Продемонстрируем это на примере
однородной задачи Дирихле
<i@) = 0, u(l) = 0	D.1.1)
для неоднородного уравнения второго порядка
п
и"(х) + Y, ak(x)D^u{t) = f(x), 0 < х < 1,	D.1.2)
k=i
где
2 > аг > а2 > ¦ ¦ ¦ > ат > 1 = ат+1 > ат+2 > ... > <хп-\ > ап=0,
D.1.3)
ак(х)^0 Уже [0,1], к€{1,2,...,т},	D.1.4)
ак{х)^0 Уже [0,1], к е {то + 2,то + 3,...,п},	D.1.5)
ak(x)eC[0,l] Vfc = l,2,...,n, /(ж)еС[0,1].	D.1.6)
Из теоремы 3.6.1 по стандартной схеме следует единственность
решения задачи D.1.1) для уравнения D.1.2) в классе 5q[0, 1], если
соблюдены условия D.1.3)-D.1.6).
Доказательство существования решения задачи D.1.1)—D.1.2) нач-
начнём со случая, когда а^(х) = 0 для всех к = т + 2, т + 3, . . . , п, т. е.

138	Задачи Дирихле и Коши	[Гл. 4
с уравнения
и"(х) + S ak(x)Do> = f(x), 0 < ж < 1.	D.1.7)
k=i
Пусть существует решение и(х) задачи Дирихле D.1.1) для уравне-
уравнения D.1.7), и оно принадлежит Sq [О,1]. Тогда в силу C.6.30) для любого
ak G ]1,2[ имеем
Полагая
о," (т\ — qi(T\	П < Т < 1	D 1 ®i\
L/C/	I *Л^ I ^^^ 1У I *Л^ I •	V./ ^^s, *Л^ ^"«ч, -L. •	I г • J_ • \J I
из D.1.7) и D.1.8) находим
га
*=1-^2-а»)
D.1.10)
Для любой функции г;(ж) G L[0,1] и и(ж) G 5q[0, 1] запись D.1.9)
эквивалентна равенству
1
и(х) = | б?(ж, t)v(t) dt,	D.1.11)
где
л/ ,ч { t(x-l) yt^x,
D.1.12)
— функция Грина задачи Дирихле для уравнения D.1.9).
Из D.1.11) и D.1.12) непосредственно следует, что
1
и'@) = \(t - l)v(t) dt.	D.1.13)
о
Подставляя число uf@) из D.1.13) в D.1.10), мы приходим к заключе-
заключению о том, что функция v(x) удовлетворяет уравнению
v{x) -	v l[U v(t) dt = f(x) - Am(x) (* - !)«(*) dt-. D.1.14)
J (ж — t)	J
0	0

4.1] Задача Дирихле для нелокального дифференциального уравнения 139
где
J^ ah(x)	v^ аь(х)хг~ак
Пусть Rm(x,t) — резольвента ядра (ж — tI~aiKm(x, t). Тогда
уравнению D.1.14) можно придать следующий вид:
1
v(x) = fm(x) + A2(x) j A - t)v(t) dt,	D.1.15)
о
где
X
fm(x) = f{x) + j f(t)Rm(x, t) dt,
О
A2(x) = A™(x) + j Am(t)Rm(x, t) dt.
о
Из D.1.15) имеем
ill
П - f(l - x)A2(x) dx\ f(l - ж)^(ж) da; = [A - x)fm{x) dx. D.1.16)
0	0	0
Алгебраическое относительно и'(О) (см. D.1.13)) уравнение D.1.16)
однозначно и безусловно разрешимо тогда и только тогда, когда
1
j{l-x)A%(x)dx?l.	D.1.17)
О
При соблюдении условия D.1.17) искомое решение и(х) задачи Ди-
Дирихле D.1.1) для уравнения D.1.7) определяется по формуле D.1.11),
где в силу D.1.15) и D.1.16)
1	1	х
v(x) = fm(x) + AZ(x) |A - x)fm(x) dx [l -
0	0
D.1.18)
Особый акцент сделаем на случае, когда т = 1. Другими словами,
более подробно рассмотрим задачу D.1.1) для уравнения
и"(х) - \D%xu{t) = /(ж), К а < 2	D.1.19)
со спектральным параметром Л и правой частью f(x) E L[0,1].

140	Задачи Дирихле и Коши	[Гл. 4
Уравнение D.1.10) при т = 1, а\(х) = —Л принимает вид
v(x) = XD^-\(t) + fix) + ^-а)"-	DЛ'20)
Как следует из теоремы 2.2.1, уравнение D.1.20) эквивалентно урав-
уравнению (см. B.2.6) и запись B.2.7) в форме Хилле и Тамаркина)
ГB — a) ax j
о
где
Л(я) = -f f /W^2-«[A(x - tJ~a} dt.
ax j
о
Легко видеть, что
v(x) -f(x)- Ац'(°) A f
Стало быть,
v(x) = A^/@)D^1Er2-a[At2~a] + fi(x).	D.1.21)
Из D.1.13) и D.1.21) имеем
l	l
Г	Г
и'@) = Хи'@) {х - 1)^ож?;2-а[А^2"а] dx + (ж - l)fi{x) dx.
J	J
о	о
D.1.22)
Рассмотрим выражение
l
Г
= Л \(х — 1)Dqx E2-a[\t a] dx =
J
о
i
= А|(Ж - l)j- D%-2E2_a[\t2-a] dx.
о
Очевидно, что
1
кх = -\1 D«-2E2_a[\t2-a] dx.	D.1.23)
о

4.1] Задача Дирихле для нелокального дифференциального уравнения 141
Равенство B.2.11) даёт нам основание записать
D^EplXt1^; 1] = х^Ер[Ххг^; /3 + 1], /3^0.
Отсюда при C = 2 — а, р = 1/C будем иметь
D^Ep[\tP] = х^Е1/р[\х0; р + 1].	D.1.24)
Подставляя правую часть D.1.24) в D.1.23), найдём
1
г
kx = -A xf3E1/^[Xx13; /3 + 1] dx.
j
о
Воспользуемся теперь определением B.2.5). Тогда
А	в(к+л} 1	\~^	А
/с=0
Поскольку zY(z) = F(z + 1), то становится ясным, что
Л	\~^	Л
к — — V^
Итак, мы показали, что
кх = 1-Е1/0(Х; 2).	D.1.25)
Уравнение D.1.22) в силу D.1.25) эквивалентно уравнению
1
uf@)E1/fi(X; 2) = l(x - l)h(x) dx, /3 = 2-a.	D.1.26)
о
Легко увидеть, что
1	1	х
\(х - l)fi(x) dx = - [ dx [ f(t)Ep[X{x - tf] dt =
о о
1	1
= - Г f(t) dt I Ep[X(x - tf] dx.
Из теоремы 3.5.1 заключаем, что функция Е1/B-а)(Х; 2) при
1 < а < 2 не имеет вещественных нулей. Поэтому единственное реше-

142
Задачи Дирихле и Коши
[Гл.4
ние уравнения D.1.26) определяется формулой
1	1
и'@) = -Ei/fi\x.2) } /№ dt^Ep[\(x - tf] dx.
о	t
Нетрудно проверить, что согласно D.1.12)
D.1.27)
1	х	t
G(x, t)h{t) dt=(x- 1) 11^|
0	0	0
1	t
drjdt
It
= (l-x)[dt\ f(r)Ep[\(t - rf] dr-x\dt\ f(r)Ep[\(t - rf] dr =
0 0
x 0
X	X
Пусть
ж	1	11
- x [ /(r) dr [ Ep[\{t - rf] dt-x\ f(r) dr [ Ep[\{t - rf] dt.
X
A-х) \Ep[\{t-T)fi]dt-
x ^ т,
т.
D.1.28)
Тогда
G(x, г)Л(т) dr = I G^x, T)f{r) dr.	D.1.29)
о	о

4.1] Задача Дирихле для нелокального дифференциального уравнения 143
Подставляя функцию v(x) из D.1.21) в D.1.11) и принимая во внимание
D.1.27) и D.1.29), получим
1
и(х) = [ С2(ж, r)f(r) dr,	D.1.30)
о
где функция
1
G2(x, г) = Сг(х, т) - Д1/^Л; 2) J ^[Afa - rf] dr, x
и она играет роль функции Грина задачи Дирихле D.1.1) для уравне-
уравнения D.1.19).
Полностью завершено доказательство следующей теоремы.
Теорема 4.1.1. Для любой правой части f(x) E ?[0,1] и любого
вещественного А существует единственное решение и(х) задачи Ди-
Дирихле D.1.1) для уравнения D.1.19), оно представимо в виде D.1.30)
и принадлежит #о[0,1].
Вернёмся теперь к общему уравнению D.1.2). В классе функций
и(х) Е а?о[О, 1] это уравнение эквивалентно уравнению
k=l
1	1
Г	Г
F(x) = G{x, t)f(t) dt, Ak{u) = G{x,
^u(r) dt,
где G(x, t) — функция D.1.12).
Предполагается, что f(x) E L[0,1], an(x) E C[0,1], ak(x) E C2[0,1]
при k = 1, 2, . . . , m и а&(ж) Е Сх[0,1] при /с = т + 1, m + 2, . . . , п — 1.
Поэтому и в соответствии с D.1.12) имеем
Ak(u) = (x- 1) J*a*{t)
о
J	dt
x

144	Задачи Дирихле и Коши	[Гл. 4
О	ж
Ha этом шаге мы видим, что для всех & = 1,2,...,п — 1
1
Ак(и) = - [ [G(x, tH^)]//?^^) dt.	D.1.32)
Пусть & = 1, 2, . . . , m. Тогда 1 < а& < 2 и а/с (ж) G С2[0,1]. Посколь-
Поскольку 1 < otk < 2 при к = 1, 2, . . . , 7тг, из D.1.32) на втором шаге получаем
Ак(и) = A - x)[xafc(x)]'D0axfc-2M(r) + (х -
х ?>ST2u(t) dt - s[(t - lJo^tJlUi
l
+ x[(x - l)ak(x)]'D?-2u(T) + x f[(t -
X
D.1.33)
Так как c^n = 0, то, очевидно,
l
An(u) = G(x, t)an(t)u(t) dt.	D.1.34)
о
Ясно также, что
l
Am+i{u) = ~ l[G(x, t)am+1(t)]fu{t) dt.	D.1.35)
о
Равенства D.1.32)-D.1.35) дают нам основание утверждать, что
уравнение D.1.31) является интегральным уравнением Фредгольма
второго рода, и оно эквивалентно задаче Дирихле D.1.1) для уравнения
D.1.2). Поэтому из единственности решения задачи следует однознач-
однозначная и безусловная разрешимость уравнения D.1.31), стало быть и самой
задачи Дирихле.
Таким образом, доказана
Теорема 4.1.2. Пусть а^х) е С2[0,1] при к = 1, 2, . . . , ш; а&(ж) G
G С1 [0, 1] при к = 7тг + 1, ттг + 2, . . . , п — 1; ап(ж) G С[0, 1]; соблюдены
условия D.1.3)-D.1.5). Тогда для любой функции f(x) G С[0,1] суще-
существует единственное решение и(х) G 5q[0, 1] задачи Дирихле D.1.1)
уравнения D.1.2).

4.2]	Модельные непрерывные дифференциальные уравнения	145
В заключение этого параграфа отметим, что краевым задачам для
одного класса дифференциальных операторов дробного порядка типа
Штурма-Лиувилля посвящена весьма важная работа М.М. Джрбашя-
на [22] (см. также [24]). Задача Дирихле D.1.1) для уравнения D.1.2)
в случае, когда а& (х) = 0 для всех к = 1, 2, . . . , т, исследована в работе
автора [64], содержание которой приведено в книге [98, с. 606]. К задаче
Штурма—Лиувилля для уравнения вида D.1.2) эквивалентно редуци-
редуцируются многие прямые и обратные краевые задачи, ассоциированные
с вырождающимися гиперболическими уравнениями и уравнениями
смешанного типа [22], [24], [27], [58], [70], [72]. Уравнения вида D.1.2)
выступают в качестве математической модели многих систем, в особен-
особенности полимерных [55]. Эти уравнения играют важную роль и в теории
популяции [57, с. 110].
Отметим также, что задача D.1.1) для уравнения D.1.2) при п = оо
исследуется аналогично случаю п ф оо, если на коэффициенты и класс
решений наложить дополнительные условия, которые придают беско-
бесконечной сумме содержательный смысл.
4.2. Задачи Коши и Дирихле для модельного
непрерывного дифференциального уравнения
второго порядка
Рассмотрим на интервале 0 < х < 1 уравнение
2
и"(х) - А Г Dgxu(t) da = /Or),	D.2.1)
i
которое получено из уравнения D.1.19) осреднением по а.
Решение однородной задачи Коши
и{0) = 0, и'{0) = 0	D.2.2)
для уравнения D.2.1) будем искать в классе $2[0,1].
На основании C.6.30) уравнение D.2.1) можно переписать в виде
2
"(х) - А \ D™-2u"(t) da = f(x) + Аг*(О)

146	Задачи Дирихле и Коши	[Гл. 4
Примем во внимание A.1.9) и A.6.2). Тогда запись D.2.3) будет экви-
эквивалентна уравнению
и"(х) - \D[-xh0]u" = /(ж) + Л^ Vi(-1, О, х) + Л^ Vz(O, I, x),
D.2.4)
где (см. A.6.2))
ъ
^^	D.2.5)
Из D.2.4) с учётом D.2.2) получаем
v(x) - XD^'% = f(x),	D.2.6)
X
u(x) = \(x-t)v(t)dt.	D.2.7)
j
о
Согласно D.2.5)
0	Ox
n[-i,o] /,\ Г j^a //\ j	Г da f v(t
Dox v(t) = Doxv(t)da = j^n ГТГ
J	J A v cx) J \X
-1
0
-1
ж
= \
x-t
Следовательно, уравнение D.2.6) эквивалентно следующему инте-
интегральному уравнению Вольтерра второго рода:
v(x) - X I Vi{°> *'х ~ Ь) v(t) dt = f(x).	D.2.8)
J	x — t
0
Для любой функции f(x) G L[0,1] существует единственное реше-
решение v(x) G L[0,1] уравнения D.2.8).
Единственное решение и(х) задачи Коши для уравнения D.2.1)
с правой частью f(x) G L[0,1] задаётся формулой D.2.7), где v(x) —
решение уравнения D.2.8).
Рассмотрим теперь однородную задачу Дирихле D.1.1) для уравне-
уравнения D.2.1).

4.2]	Модельные непрерывные дифференциальные уравнения	147
Так как и@) = 0, то искомое решение и(х) задачи в силу D.2.4)
будет решением нагруженного уравнения
и"{х) - \D[-Xmu"{t) = /(ж) + Л^ Vi{0,1, x).	D.2.9)
Пусть v(x) — функция, связанная с и(х) формулой D.1.11). Тогда
из D.2.9) будем иметь
X
v{x) - Л Г Уг(°^~г) v(t) dt = f(x) + A!iM уг@,1, х). D.2.10)
о
Если R(x, t) — резольвента ядра Vz@,1, x — t)/(x — t),
Е>уХ, Л) =	h Л гцж, tj	at,
ж	J	t
0
то D.2.10) записывается в виде
v(x) = F(x) + Xu\0)B(x, A).	D.2.11)
Отсюда на основании D.1.13) находим
[Г	1 Г
1 - \(х- 1)В(х, X)dx\ = Ux- l)F(x) dx.	D.2.12)
j	J J
о	о
Как видно из D.2.12), задача Дирихле D.1.1) для уравнения D.2.11)
однозначно и безусловно разрешима тогда и только тогда, когда
А [A - х)В(х, A) dx ф 1.	D.2.13)
о
При соблюдении условия D.2.13) единственное решение и{х) зада-
задачи Дирихле определяется формулой D.1.11), где v(x) — функция из
D.2.11) и D.2.12).
Докажем, что условие D.2.13) имеет место, когда А ^ 0. Другими
словами, покажем, что однородная задача Дирихле для однородного
уравнения
и"(х) - \D[^2]u(t) = 0 (А ^ 0)	D.2.14)
не имеет решений, отличных от тривиального.

148	Задачи Дирихле и Коши	[Гл. 4
Действительно, для уравнения D.2.14) справедлив принцип экстре-
экстремума: положительный [отрицательный) максимум {минимум) ре-
решения и(х) G С [О,1] П С2 ]0,1[ не может достигаться во внутренних
точках интервала 0 < х < 1.
В самом деле, допустим, что положительный максимум функции
и(х) достигается в точке у Е ]0,1[. Тогда и"{у) ^ 0, и в силу теоре-
теоремы 3.3.2
Dgyu(t)<0 Vae]l,2[.	D.2.15)
Из D.2.15) вытекает, что Dqv' u(i) < 0. Поэтому
и"(у) - А?>&2]«(*) < 0,
что вступает в противоречие с равенством D.2.14).
К такой же ситуации мы придём, если допустить, что функция и{х)
во внутренней точке интервала 0 < х < 1 достигает своего отрицатель-
отрицательного минимума.
Решение и(х) уравнения D.2.14) своих экстремальных значений до-
достигает в граничных точках, но и@) = иA) = 0. Стало быть, и{х) = 0.
Доказанный применительно к уравнению D.2.14) принцип экстре-
экстремума имеет место и для более общих линейных непрерывных диффе-
дифференциальных уравнений второго порядка, например, для уравнения
k=i
числа ak и коэффициенты а&(ж) и Шк{х) которых на сегменте [0,1]
удовлетворяют условиям теоремы 3.6.1 (см. уравнение C.6.1) и нера-
неравенство C.6.2)).

Глава 5
ПРИМЕНЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ ДРОБНОГО
ИСЧИСЛЕНИЯ
5.1. Линейные математические модели
вязкоупругого тела, основанные на производных
дробного порядка
Стандартная модель линейного вязкоупругого тела имеет вид
[94], [4]
?	?
1=1	1=1
где а = <j{t) и е = e(t) — напряжение и деформация в момент времени ?,
bi, Eq, Ei — заданные величины.
Линейное дифференциальное уравнение (относительно а при за-
заданном е или наоборот) определяет отношение «вход—выход» между
деформацией и напряжением. Частным случаем E.1.1) является из-
известная модель Максвелла
da ,_, de	,„ Л ~ч
+	E	^L2)
В линейном уравнении E.1.2) г означает время релаксации, а Е —
модуль упругости (например, полимера [3]).
Г. Л. Слонимский [102] предложил следующий закон деформации
высокоэластичных полимерных тел для деформации сегмента, нахо-
находящегося в вязкой среде:
u(t) = - D~tlv + \ v{t) + - D~tav.	E.1.3)
Здесь и = u(t) — перемещение конца сегмента, v = v(t) — действую-
действующая на сегмент сила, г — коэффициент вязкого сопротивления, к —
жёсткость сегмента, к — постоянная величина, 0 < а < 1.
Легко видеть, что закон деформации E.1.3) можно записать в виде
- D10~av + \ v1 + - v = и', и@) = \ v@).	E.1.4)
А. Джемант впервые в работах [132], [133] предложил использовать
при моделировании механических свойств вязкоупругих материалов,
в том числе полимерных, дифференциалы дробного порядка.

150	Применение элементов дробного исчисления	[Гл. 5
В работе [4] модель вязкоупругого тела, основанная на производных
дробного порядка, записывается в виде
а +
г=1	г=1
Р. Л. Бегл и и П.Дж. Торвик [4] отмечают, что для моделирования
многих вязкоупругих материалов, в частности эластомеров и стекло-
стекловидных эмалей, достаточно ограничиться моделью
а + ЬВ^а = Е0? + ЕгБ&е,	E.1.6)
которая содержит всего пять параметров Ь, /3, Eq, E\ и а, причём
0 < а, /3 < 1. Здесь же указывается, что во многих случаях вполне
удовлетворительный результат получается, если взять а = C.
Очевидно, что модели E.1.1), E.1.4) и E.1.6) являются частными
вариантами E.1.5). Частным случаем модели E.1.6) является реологи-
реологическое уравнение состояния, предложенное Скотт-Блэром [14, с. 75],
[4, с. 25]:
а = E0D%te.	E.1.7)
В работе [130] определяющее уравнение
еЕ = Dutav	E.1.8)
названо обобщённым законом высокоэластичной деформации.
Общее решение уравнения (относительно деформации) E.1.7) при
любом напряжении а Е L[0, T] задаётся формулой
еЕ = ct*-1 + D~taa,	E.1.9)
где с — произвольная постоянная величина, Т — расчётное время.
Если к дифференциальному уравнению дробного порядка а E.1.7)
присоединить начальное условие
\[т^-а? = ?°,	E.1.10)
то с = ?°Е. Если ?° = 0, то модель E.1.7) с условием E.1.10) совпадает
с моделью E.1.8).
Автором данной работы [55, с. 22], (см. также [81]) предложен кон-
континуальный аналог модели E.1.5) следующего вида:
т	п
а + Г b(P)D$t<r dC = Eos + Г E(a)D%te da,	E.1.11)
о	о
где т и п не обязаны быть целыми числами.

5.2]	Редукция определяющего уравнения Ю. Н. Работнова	151
Из E.1.11), в частности, имеем
U ~]~ О LJr\j. U 	 -LL/QC ~Г -L-/1 J-^C\t ?5	IO.1.-LZ)
сг = Е'о^'1^.	E.1.13)
Трёхпараметрическая модель E.1.12) представляет собой конти-
континуальный аналог модели E.1.6). Как и законы Гука и Ньютона, модель
E.1.13) является однопараметрической.
Вследствие осредняющего действия операции перехода от меж-
междупредельной производной Dqj [ • ] к континуальной D^ [ • ] и умень-
уменьшения количества подлежащих идентификации параметров модели
преимущество определяющих законов E.1.11), E.1.12) и E.1.13) пе-
перед соответствующими реологическими уравнениями состояния E.1.5),
E.1.6) и E.1.7) является очевидным.
5.2. Редукция определяющего уравнения
Ю. Н. Работнова к модели
Р. Л. Торвик—П. Дж. Торвик вязкоупругого тела
Определяющее уравнение Ю.Н. Работнова [94, с. 143], позволяющее
вычислить напряжение <т(?), если известна деформация e{t) вязкоупру-
вязкоупругого тела, имеет вид
t
Г	Г	1
a(t) = E e(t) - /3 Эа(-Р, t - т)е(т) dr ,	E.2.1)
L	J	J
О
где C = const ф 0, -1 < а = const ^ 0, Эа(/3, х) — функция B.3.1).
На основании B.3.1) равенство E.2.1) можно переписать в виде
°° (- Г+1 Г
а/Е = е + ^ YUn		 1 p!n+i) =
		э(п+1)б:, р = а + 1. E.2.2)
п=0
В соответствии с законом композиции
Из E.2.2) заключаем
Е -- ¦ -ot z^v
n=0
n=0

152	Применение элементов дробного исчисления	[Гл. 5
Предположим, что функция e{t) имеет дробную производную по-
порядка р с началом в начальный момент времени t = 0. Тогда из E.2.3)
получаем
п=0	к=1
п=0
Равенства E.2.4) и E.2.2) говорят о том, что
Следовательно,
, T = \i p = a + l.	E.2.5)
Видим, что определяющее уравнение E.2.5) является следствием
модели E.1.6).
Модель E.2.5) при а = 0 совпадает с моделью Максвелла E.1.2).
Поэтому на E.2.5) можно смотреть как на обобщённое уравнение Макс-
Максвелла или на его аналог в дробном исчислении.
В силу B.3.2) кривая релаксации E.2.1) имеет вид
( - т)аЯ1/(а+1) [-/3(* - т)а+1,а + 1] е{т) dr
J.
E.2.6)
Воспользуемся теоремой 2.2.1. Уравнение E.2.6) (относительно е)
получается из B.2.4), если заменить х на ?, a t — на т и положить u(t) =
= <r(t), f(t) = Ee(t), p = 1/(а + 1), Л = -/3. Поэтому, согласно B.2.3),
t
7(r)dT
т. е.
Ee(t) = a{t) + pDua~ V(r).	E.2.7)
Очевидно, что любое решение o~(t) уравнения E.2.7) является реше-
решением E.2.5), если существует D?t+1e. В классе суммируемых на [0, Т]
функций ? и а уравнения E.2.1) и E.2.7) являются эквивалентными.
Если в модели E.2.5) положить $ = Е/Eq (t = Eq/E), а затем пред-
предположить, что отношение 1/Е достаточно мало (материал, например
полимер, не имеет мгновенной упругости), то её можно аппроксимиро-
аппроксимировать уравнением E.1.7).

5.2]	Редукция определяющего уравнения Ю. Н. Работнова	153
Вернёмся к модели E.2.5) и запишем её в виде
При заданной деформации е = e(t) уравнение E.2.8) получается из
B.3.9) при а = 0, b = Т, а = р, х = t, А = -/3, и = сг(?), v(t) = ED^te.
Это даёт нам основание утверждать, что если
Dfc e L[0,T],	E.2.9)
сг0 = lim Dfc1*,	E.2.10)
то
t
a(t) = a0Bp(t; -C,1) + E \ Bp(t - r; -/3, l)D^Te dr, E.2.11)
о
где
— функция Барретта (см. B.3.13)).
Принимая во внимание E.2.11), можно записать
%Te. E.2.12)
о	k=1	о
oo
Из A.19.5) и E.2.9) для всех р е ]0,1[ и /г = 1, 2,. . . имеем
Следовательно, правая часть E.2.12) равна
^ ,_a\k-l.pk-l
(-P) ^o
и А^ Г(рк)
к=1	к=1	ун J
t
1 	O
/C — I	Q
t oo

154	Применение элементов дробного исчисления	[Гл. 5
Теперь легко увидеть, что
t
t
= e(t) - е0ВД; -/3,1) - /3 | ВД - т; -/3,1)е(т) dr. E.2.13)
о
Учтём E.2.13) в E.2.11). В результате получаем, что
t; -/3,1) +
*)-/з|ад-т; -/М)е(т)<*т1. E-2.14)
о
Далее, поскольку р = а + 1 и в силу B.3.14)
Ba+i(t; -/?,1) = Эа(-/?, <),
то соотношению E.2.14) можно придать следующий вид:
a(t) = ((то - Яео)Эа(-/3, *) + Я Гег(*) - /3 j Эа(-/3, t -
E.2.15)
Как видно из E.2.15), обобщённое уравнение Максвелла E.2.5)
совпадает с определяющим законом Ю.В. Работнова E.2.1) тогда
и только тогда, когда
сг0 = Ее0.	E.2.16)
Равенство E.2.16) имеет место, например, если за достаточно ко-
короткий период времени 0 ^ t $J ?о имеет место закон Гука а = Ее.
5.3. Применение к уравнению диффузии Фурье
Рассмотрим хорошо исследованную задачу о прогреве полубеско-
полубесконечной однородной области х > 0, находящейся в начальный момент
времени t при нулевой температуре. При определённых предположе-
предположениях этот процесс моделируется уравнением диффузии Фурье
ди д2и	_	/г о -I \
—- = а—^ а = const > 0,	E.3.1)
ot дх
где и = u(x,t) — действительная функция независимых переменных х
и ?, которая отождествляется с температурой в точке х в момент
времени ?, а — коэффициент диффузии.
Ещё Мак Кендрик [57, с. 265] обратил внимание, что эволюцию
отдельных популяций, например популяции фагоцитов, в случае об-

5.3]	Применение к уравнению диффузии Фурье	155
ратимых взаимодействий можно описать уравнением E.3.1). В этом
случае и(х, t) означает число организмов возраста х в момент време-
времени t.
Уравнение E.3.1) выступает в качестве математической модели
многих диффузионных процессов, в частности процессов фильтрации
в полубесконечном однородном массиве [82, с. 5].
Итак, пусть u(x,t) — регулярное решение уравнения E.3.1), непре-
непрерывное для всех t Е [О, Т] и х Е [0, оо[, которое удовлетворяет началь-
начальному условию
и(х,0) = 0, 0^ж<оо,	E.3.2)
и условию А. Н. Тихонова
lim max |?i exp (—ex2) = 0,	E.3.3)
х-Юо [o,T]
где e — некоторое положительное число. Тогда [82, с. 5] оно является
решением нагруженного интегрального уравнения
t
Г и(хо,?)	Г
\ ФФехр Г
о
E-3'4)
где 0 < Xq ^ х < оо.
Предположим, что г^(ж, t) E L[0, T] для любого ж > 0, и перепишем
E.3.4) в виде
Г	Г /	\ 2 ~~\
/ ,\	—2а	, /л 1/2 / /л ^	(ж "~ хо)
Нж» *) = =7	V К* ~ О ^(ЖО' О яё ехР ~ Vt7—eV
уатг (ж — жо) J	&€	\_ 4а(г — ^J J
О
2а
Отсюда находим
1 f Г (ж-
1 ехр - -
/атг J	|_ 4a(t
о

156	Применение элементов дробного исчисления	[Гл. 5
В первом интеграле произведём интегрирование по частям. В резуль-
результате будем иметь
ди
дх
Стало
1
2^
быть,
t
г J
0
ди _
Г (х-хо
Ч 4a(t-
1 exn
0
_ 1 L
J1 «(*„
«](*-<
Г (*-*,
[ 4a(t -
Г (ж-
,0
эJ1
-*o)
U (Xq,С)
L(* — ?)
21 ^// ?4
2(t -
0
Из E.3.5) при х —> xo получаем
t
	Г/2" "s-	(o.o.bj
0
Поскольку д/тг = ГA/2), то запись E.3.6) эквивалентна формуле
их(х0, t) =	)= D~t1/2u'(x0, 0-	E-3.7)
Так как и(хо,О) = 0 (см. E.3.2)), то в силу C.4.21)
п-1/2 //	,ч	г» 1/2 /	>ч
формула E.3.7) эквивалентна формуле
ux{xq, t) =	— Dqi u(xq, ^).	E.3.8)
л/а
Метод Хевисайда [43, с. 182] даёт другой метод вывода формулы
E.3.8) при х0 = 0.
Равенство E.3.8) имеет место для любого хо > 0. А это означает, что
любое регулярное решение и(х, t) уравнения E.3.1), удовлетворяющее
условиям E.3.2), E.3.3) и обладающее тем свойством, что ut(x,t) E
Е L[0, T] для любого х > 0, является решением дифференциального
уравнения в частных производных дробного (по времени) порядка:
\Х, Q) — U.	^O.O.yj
Любое регулярное в области ft = {(x,t) : у < х < I, 0 < t < Т}
решение уравнения E.3.1), непрерывное в Л, обладает следующим
важным свойством [30]: пусть тахп(ж, t) = и(у, 77), у ^ 0, 0 < rj < Т,

5.3]	Применение к уравнению диффузии Фурье	157
и существует иу(у, rj). Тогда либо u(x^rj) постоянна в окрестности
точки (у, г]), либо uy(y,rj) < 0.
Теорема 3.1.1 позволяет доказать следующий принцип экстремума
для уравнения E.3.9). Пусть u(x,t) — регулярное решение уравнения
E.3.9) в области ft, которое для любого х Е ]0, /[ удовлетворяет по t
условию Гёльдера с показателем h > 1/2. Тогда положительный мак-
максимум {отрицательный минимум) функции u(x,t) не может дости-
достигаться в точках (ж, t): 0 < х $J /, t > 0.
Действительно, пусть (y,rj) — точка положительного максимума
функции u(x,t). Функция u(y,t) как функция времени t удовлетворяет
условию Гёльдера порядка h > 1/2 при 0 < t ^ г]. В силу теоремы 3.1.1
ЯЙ2иB/,О>0,	E.3.10)
uy{y,ri) = 0, если (у, rj) <E ft, uy(y,rj) ^ 0, если (у, г/) = A,у). Однако
всё это противоречит уравнению E.3.9).
Из E.3.10) и E.3.9) заключаем: пусть у — произвольная точка
сегмента [0, /], и(х, t) — решение уравнения E.3.9) при х = у, 0 < t ^ rj
и max и(у, t) = и(у, rj) > 0, тогда их(у, rj) < 0.
Закон Фурье в случае однородной области гласит:
q(x,t) = -kj^, k = const >0.	E.3.11)
ox
Равенства E.3.11) и E.3.9) дают нам основание утверждать, что для
любого решения уравнения E.3.1), удовлетворяющего условиям E.3.2),
E.3.3), закон Фурье допускает следующую запись:
q(x, t) = cpDl{2u(x, t) (cp = к/у/а),	E.3.12)
где с — удельная теплоёмкость, р — плотность.
В силу A.19.5) ясно, что если D0't и Е L[0, T] и
Mm D~t1/2u(x,r) = 0,	E.3.13)
то
OU _ д -1/2^1/2 _
В классе функций и = u(x,t), удовлетворяющих условию E.3.13)
обладающих тем свойством, что существуют щ, ихх, D^t ux =
^t и, уравнение E.3.1) эквивалентно уравнению
дх
или

158	Применение элементов дробного исчисления	[Гл. 5
Пусть
Тогда E.3.
14)
и E.3.
15)
соответственно
DU2v+ - JEv
DlBv~ + s/av
= v±.
примут вид
+ = 0,
- = о.
E.3.
E.3.
E.3.
16)
17)
18)
Как видно из E.3.9), если u(x,t) — решение уравнения E.3.1),
удовлетворяющее условиям E.3.2), E.3.3), то v+(x,t) = 0.
Задача о прогреве полубесконечного стержня с удельной теплоёмко-
теплоёмкостью с и плотностью р состоит в отыскании решения u(x,t) уравнения
E.3.1), удовлетворяющего условиям E.3.2), E.3.3) и краевому условию
u{0,t) = r{t), O^t^T,	E.3.19)
где r(t) — заданная непрерывная функция времени ?, т@) = 0.
Решение этой задачи задаётся формулой E.3.4), где хо = 0, а и@, t)
определяется из E.3.19).
Если r(t) имеет дробную производную порядка 1/2 с началом в на-
начальный момент времени t = 0, то формула E.3.12) позволяет опреде-
определить поток через начальную точку х = 0:
q(O,t) = cpDl/t2r.	E.3.20)
На тот факт, что поток E.3.20) можно найти без решения задачи
для всего температурного поля с помощью редукции уравнения вто-
второго порядка E.3.1) к системе E.3.16)—E.3.18) первого порядка по х
и порядка 1/2 по ?, обращено внимание в работах [82], [43, с. 182] и
[2, с. 18]. В книге [43] операторным методом Хевисайда показано, что
если u(x,t) — решение уравнения теплопроводности
иу = иХх, х > 0,	E.3.21)
удовлетворяющее условиям и(х, 0) = 0, и@, у) = т(у), г^(оо, у) = 0, то
E.3.22)
Формула Куранта-Гильберта E.3.22) эквивалентна уравнению
Ux@,y) + D10/y2u@,t) = 0.
Рассмотрим теперь задачу Коши со смешанным носителем [82, с. 17]:
u@,t) = r(t), ux(O,t) = i/(t), 0<t<T; и(х,0) = 0, x > 0,
E.3.23)
для уравнения E.3.1) в классе функций, удовлетворяющих условию
Тихонова E.3.3).

5.3]	Применение к уравнению диффузии Фурье	159
Из E.3.9) заключаем, что условие
y/av(t) + Dl[2r{ri) = 0	E.3.24)
является необходимым и достаточным условием разрешимости зада-
задачи Коими E.3.23) для уравнения E.3.1) с данными на смешанной кривой
xt = 0, 0 < t < Т, х ^ 0.
Условие E.3.24) можно эффективно использовать для определения
коэффициента а, т.е. для решения обратной задачи.
Действительно, пусть
u(O,t) = r(t), O^t^T-	гл(ж,О) = О, 0 ^ х < оо,
и дополнительно известно, что в некоторый момент времени у
ux@,y) = v(y),	E.3.25)
где 1у(у) — заданная отличная от нуля величина. Тогда из E.3.24)
единственным образом находим
<]2-	E-3.26)
В силу принципа экстремума для операторов дробного дифферен-
дифференцирования (см. теорему 3.1.1) в качестве времени у целесообразно
выбрать время, при котором функция r(t) достигает своего положи-
положительного максимума на сегменте [0, Т]:
т(у) = maxr(t) > 0.
[0,Т]
Поскольку т@) = 0, то в случае, когда rf(t) E L[0,T], формулу
E.3.26) можно переписать в виде
/H2- E-з-27)
В эксперименте по определению коэффициента (например, темпе-
температуропроводности а) в качестве функции r(t) можно взять функцию
r(t) = T\t, где т\ = const > 0. Тогда из E.3.27) получим простую фор-
формулу
^J^	E.3.28)
Если на достаточно малом расстоянии h от начальной точки х = 0 мы
можем измерить u(h, i) в нужные нам моменты времени, то в формуле
E.3.28) число v(у) с определённой точностью аппроксимируется вели-
величиной [u(h, у) — T\y\/h, и, стало быть,
г
u(h,y) - пу'

160	Применение элементов дробного исчисления	[Гл. 5
В заключение этого параграфа следует отметить, что самостоя-
самостоятельный научный и практический интерес представляют исследо-
исследования следующей системы линейных дифференциальных уравнений
в частных производных:
D0't и + \ — = аци + ai2^,
E.3.29)
где Л = const > 0, aij = dij(x, t) — заданные функции точки х Е ]0, /[
и времени t Е ]0, Т].
Система E.3.29) является непосредственным обобщением систе-
системы E.3.16)-E.3.18).
5.4. Применение к гиперболо-параболическим
уравнениям второго порядка
с нехарактеристической линией изменения типа
Рассмотрим модельное уравнение смешанного гиперболо-параболи-
гиперболо-параболического типа второго порядка
оЛ""""""' Ш>0'	E.4.1)
[ иуу ~ Ьихх, х < 0,
где a, b — положительные величины в области ft евклидовой плоско-
плоскости точек (ж, у), ограниченной характеристиками АС : х + л/by = 0,
ВС : х - л/by = -у/ЬТ, исходящими из точек А = @, 0), В = @, Т),
и характеристиками у = 0иу = Т>0, расположенными в полуплос-
полуплоскости х ^ 0.
Уравнение E.4.1) является уравнением гиперболического типа в об-
области ?1~ = ОП{(ж,у) : х < 0} и параболического типа в области
П+ = ft \ ft~. Отрезок АВ = П+ П ?1~ представляет собой нехарак-
нехарактеристическую линию изменения типа этого уравнения. Граница dft
состоит только из характеристик уравнения E.4.1), другими словами —
из характеристик х ± y/b у = const одномерного волнового уравнения
иуу = buxx	E.4.2)
и уравнения Фурье E.3.1). Область Л, образно говоря, представляет
собой характеристический четырёхугольнике вершинами в точках Л,
В, С и в бесконечно удалённой точке оо.
Пусть а = a2, b = (З2. Уравнение E.4.1) в классе функций
и = и(х,у), обладающих тем свойством, что и Е C2(ft~), uy, ихх,

5.4]	Применение к гиперболо-параболическим уравнениям	161
D
ux G С(Л+) эквивалентно уравнению
Это позволяет нам записать E.4.1) в виде систем уравнений первого
порядка
гД/2 + дг?+ _|_ r^i/2 + dv+
где по определению
Г и;+(ж, j/) V (ж,2/)еП+,
[ w~(x,y) V (ж,у) G П".
Хорошо известно, что
«-(а,у) = /(?), ^ = ж + /3у,	E.4.3)
где /(^) — дифференцируемая функция. Стало быть,
Отсюда и получается формула Д'Аламбера об общем решении уравне-
уравнения E.4.2) в любой выпуклой области, в частности, в области ft~:
и~(х, у) = <р_(?) + il>-(ri), rj = x - fiy,	E.4.4)
где ф-(г}) — дифференцируемая по rj функция.
В прямоугольной области D = {(ж, у), 0 < х < /, 0 < у < Т}
рассмотрим уравнение
D2..V = с-—, v = г;(ж, у), с = const > 0, 0 < 7 < 1- E.4.5)
у	ох
В первую очередь найдём класс решений уравнения E.4.5), пред-
ставимых в виде
v(x,y) = (р(у)ф(х),	E.4.6)
где (р(у) имеет производную порядка 7> ф(х) — производная первого
порядка.
Из E.4.5) и E.4.6) заключаем, что
ф\х) = \ф{х),	E.4.7)
6 А. М. Нахушев

162	Применение элементов дробного исчисления	[Гл. 5
E.4.8)
где Л — произвольная постоянная.
На основании теоремы 2.3.1 общее решение уравнения E.4.8) имеет
вид
<р(у) = aiB7(y; сА, 1) = Д1 f;
или (см. B.3.18))
<р(у) = aiy^-lElh(c\y^, 7).	E.4.9)
Здесь а\ — произвольная постоянная.
Из E.4.7) и E.4.9) следует, что каждому значению Л Е ] — оо,оо[
соответствует частное решение
vx(x, у) = А{Х)у^1 exp (\x)Elh(c\yi; 7),	E.4.10)
где А (А) — функция, зависящая только от Л.
Так как 7 ^ 1, Р = 1/т > 1/2, то при |Л| —>> оо для функции B.2.5)
справедливы следующие асимптотические формулы [23, с. 133]:
- 7) = - Е vtf-k-y) + °(\X\~P~1S>> Л
; 7) = ~ (c\yi)Wi exp
7
A>0. E.4.12)
Формулы E.4.11) и E.4.12) имеют место для любого целого р ^ 1.
Нет сомнений в том, что любое решение и(х,у) уравнения E.4.5)
можно получить с помощью суперпозиции частных решений E.4.10):
; j)dX.	E.4.13)
Предполагается, что А (А), как функция параметра А, такова, что ин-
интеграл E.4.13) существует.
Из E.4.13) при 7 = 1? принимая во внимание, что E\(z; 1) = exp (z),
получаем
оо
v(x,y)= A(\)exp[\(x + cy)]d\ = f(x + cy).	E.4.14)
— оо
Если функция А(Х) представима в виде
А(Х) = В(Х) ехр (-|А|9),	E.4.15)

5.4]	Применение к гиперболо-параболическим уравнениям	163
где В(Х) — ограниченная при —оо < Л < оо функция, a q = const > 1,
то функция E.4.14) будет решением уравнения
~ду ~ °~дх'
Как видно из E.4.11) и E.4.12), функция E.4.13), где А(Х) — любая
функция, удовлетворяющая условию E.4.15) с q > I/7, представляет
собой решение уравнения E.4.5).
Задача 4.1. Найти функцию и(х,у) со следующими свойствами:
1.	и(х,у) — регулярное в областях ?1+ и ft~ решение уравнения
E.4.1) из класса С1^);
2.	и(х,у) — непрерывно в ft всюду, за исключением бесконечно
удалённой точки оо, удовлетворяет условию А.Н. Тихонова E.3.3)
и краевым условиям
и(х, 0) = <р(х), 0 ^ х ^ оо,	E.4.16)
0 ^ у ^ Т,	E.4.17)
где (р(х) и ф(у) — заданные функции (р@) = ф@)',
3. их@, у) и иу@, у) принадлежат пространству L[0, T].
Поскольку функция v = и(х, у) — (р@) вместе с и(х, у) является ре-
решением уравнения E.4.1), то, не нарушая общности, можно положить
() = 0.
Продемонстрируем метод решения задачи 4.1 в случае, когда
1
Пусть существует решение и(х,у) задачи 4.1 и
и@,у) = т(у), их@,у) = и(у).	E.4.18)
Тогда
D1o/y2u+(x,r1) + aut(x,y)=O,	E.4.19)
и~(х, у) - 0и-(х, у) = 2ф' (у - |) •	E-4-20)
Действительно, уравнение E.4.19) получается из E.3.9) при t = у,
а = а2, (ж, у) G П+. Его можно получить и из E.4.5) с 7 = 1/2, v = г?+,
с = а.
Удовлетворим E.4.4) условию E.4.17). В результате получим
Стало быть,

164	Применение элементов дробного исчисления	[Гл. 5
Отсюда при z = х — /Зу находим
Следовательно,
и~(х, у) = <р-{х + /Зу) - у>_@) + ф (у - |V	E.4.21)
Из E.4.21) прямым вычислением приходим к E.4.20).
Равенства E.4.19) и E.4.20) в силу E.4.18) и принадлежности
и(х,у) классу С1 (ft) при х = 0 приводят к системе
Dtfriv) + аи(у) = 0,	^^ 2^
т'(у)-^{у) = 2ф'(у), 0<у<Т.
Система E.4.22) говорит о том, что функция г (ж), которая удовле-
удовлетворяет условию
т@) = 0,	E.4.23)
должна быть решением уравнения
|г'Ы + <аг(Ч) = ?5^.	E-4.24)
Таким образом, мы пришли к задаче Коши E.4.23) для дифферен-
дифференциального уравнения первого порядка с дробной производной порядка
1/2 в группе младших членов.
По условию ux@,y) G L[0,T]. Поэтому производная от реше-
решения т(у) задачи E.4.23)—E.4.24) должна принадлежать пространству
L[0,T].
В силу C.4.21) для любой функции г (г/), удовлетворяющей E.4.23)
и включению т'(у) G L[0,T], справедливо равенство
Dli2r(v) = Doy1/2r'(V).	E.4.25)
Поэтому уравнение E.4.24) эквивалентно уравнению
f	y	^, r@) = 0,
которое является частным случаем B.2.6).
Из E.4.22) согласно E.4.25) имеем
Doy1/2[PKV) + 2ф'(т,)] + av{y) = 0.	E.4.26)
Так как ф@) = 0, то E.4.25) даёт нам основание записать
/2	l^	E.4.27)

5.4]	Применение к гиперболо-параболическим уравнениям	165
Поэтому уравнению E.4.26) можно придать следующий вид:
и{у) = -? D^\(V) - I <Vfa)-	E-4.28)
Уравнение E.4.28) относится к классу B.2.6), и, стало быть, един-
единственное его решение is (у) определяется формулой
НУ) = ~}lj
Принимая во внимание E.4.27), перепишем E.4.29) в виде
E.4.29)
у
{у) =	-=— #i/2 \--Vy-t dt * \^—
ал/тт ду J I L a	J J yjt-i\
или
v(u) = —-
О	7]
Функция Миттаг—Леффлёра
E1/2[z] = E2(z; 1) = '
У
ш dv\{t - V)~1/2E1/2 i-*^
dt-
E.4.30)
На основании E.4.30) и замены t = 7] + (у — г])!; можно записать
у
J(* -
к—0
= Е
(У -
JV1/2A - it'2 dt E.4.31)
Поскольку
_ c\k/2 Ht _

166
Применение элементов дробного исчисления
[Гл. 5
то правая часть равенства E.4.31) совпадает с выражением
которое в силу B.2.5) равно
Следовательно,
( р
[--
У ~V\
у
( \	2 д [ i'( \ /	тр ( Р
vyy) =	гр [Tjjyy — г) Е2 ( — — л
ol ду J	V о;
/3
у - v; ^
Из B.2.23) при II = 3/2, р = 2, m = 1 имеем
:; з/2) = -^Я2(у^; 1/2).
С учётом E.4.33) находим
д ,
/ /3 ,	 3\	1
V а	2/ л/У — V
E.4.32)
E.4.33)
1
E.4.34)
На основании E.4.34) формуле E.4.32) можно придать следующий
вид:
у
Г
у
а J Vy -v
или
"Ы = -^
E.4.35)
После того как найдена функция is (у), решение задачи Коши E.4.23)
для первого уравнения системы E.4.22) определяется по формуле
т(у) = —aD^y' is(rj).	E.4.36)
Подставляя значение v(y) из E.4.35) в E.4.36) и принимая во вни-
внимание определение B.2.5), можно записать
Ы =
—т
Р

5.4]
Применение к гиперболо-параболическим уравнениям
167
d*. E.4.37)
Как и выше, заменой t = rj -\- (у — rj)^ убеждаемся, что внутренний
интеграл в правой части E.4.37) равен
Стало быть, правая часть E.4.37) равна выражению
*¦¦
т. е.
2 [-^^У^] dr,.
= 2
Решение задачи 4.1 в области ft~ представимо в виде
У-х/Р
2и(х, у) = т(у + ^\+т(у-^\-13 j u{t) dt,
у+х/C
В силу E.3.4) в области П+ оно задаётся формулой
у
J
или
-ill т(?)
= xDOy -^-
Oy
у
ехр -
E.4.38)
E.4.39)
Далее будем предполагать, что ^(у) имеет непрерывную производ-
производную порядка 3/2 с началом в точке 0 и с концом в точке у Е ]0,Т]:
/

168
Применение элементов дробного исчисления
[Гл.5
Из E.4.22) и E.4.35) вытекает, что
т'(у) = 2'0/(у) — -
I
и, стало быть,
Tff(v) = 2ib//(v) —
Легко видеть, что
Я2(г;
В самом деле, в силу определения B.2.5)
1
°° ^А:
E.4.41)
E.4.42)
E.4.43)
ГA/2 + А/2)
п=0
Свойство E.4.43) функции Миттаг-Леффлёра
основание записать E.4.42) в виде
даёт нам
jWV^/ [f
Принимая во внимание E.4.27), находим
"f VF^] ¦ E-4.44)
Следовательно, E.4.44) и E.4.41) допускают эквивалентные им записи
, E-4.45)
-Ё-у/у-^) . E.4.46)
Непосредственным дифференцированием из E.4.35) имеем
E-4.47)

5.4]	Применение к гиперболо-параболическим уравнениям	169
Равенства E.4.45)-E.4.47) подводят нас к следующему предложе-
предложению: если ф(у) G С3/2]0,Т], то функция и(х,у), задаваемая форму-
формулой E.4.39), где г (у) и v (у) определены формулами E.4.38) и E.4.35),
представляет собой единственное и регулярное решение задачи 4.1
в области Л~, в области Г1+ оно задаётся формулой E.4.40).
Теперь изучим поведение rf(x) и и' [х) при у —» 0, если
ф\у) = у~?'ф1(у), 0 ^ е < 1,	E.4.48)
Из E.4.35) легко усмотреть, что
L E.4.49)
о
Отсюда имеем
1
limy*-1/2!/^) = -|^i@)^2@,1/2) \t-?(l-t)-1/2dt =
о
2 '0i(O)r(l-e) (	v
= "а ГC/2-?) ' EА50)
Воспользовавшись E.4.48) и E.4.49), из E.4.22) найдём
т\у) = y~?[2ijji(y) + ^iB/)y/y],	E.4.51)
где
о
Из E.4.51) следует, что
?т\у) = 2ф1@).	E.4.52)
?¦ = 0, то согласно E.4.50) и E.4.52) функция у {у) при у —>• 0
обращается в нуль порядка не ниже 1/2, а
если ал:е 0 < е < 1, шо г/(у) при у —> 0 обращается в нуль порядка
не ниже 1/2 — г, когда е < 1/2, и в бесконечность порядка не выше
е - 1/2, когда е > 1/2,
когда е = 1/2. Функция т'(у) при у —> 0 обращается в бесконечность
порядка не выше е.

170	Применение элементов дробного исчисления	[Гл. 5
Из E.4.39) прямым дифференцированием получаем
р
Поэтому в точке @,0) не происходит локализация особенностей функ-
функций их и иу: особенности функций т'(у) и is (у) уносятся вдоль харак-
характеристики х + f3y = 0.
В заключение сформулируем основной результат этого параграфа
в виде следующей теоремы.
Теорема 5.4.1. Пусть (р(х) = 0, ф@) = 0; ф(у) — непрерывна
при 0 $J у $J Т, имеет непрерывную производную порядка 3/2 с нача-
началом в точке 0 и с концом в точке у Е ]0,Т[; фг(у) = у~?ф\{у), где
0 $J е = const < 1, ф\(у) Е С[0, Т]. Тогда задача 4.1 имеет, и притом
единственное, регулярное в областях Г1+ и ?1~ решение и(х, у), кото-
которое обладает следующими свойствами:
1) если е = 0, то функция is(y) = их@,у) и т'(у) = иу@,у) не
имеют особенностей в точке у = 0, причём is (у) при у —> 0
обращается в нуль порядка не ниже 1/2, а т'(у) —> 2^7@)
2)	еслие = 1/2, то функция is (у) —> —B^1@))/(аГC/2)) при у —>> 0,
а т'(у) обращается в бесконечность порядка не выше 1/2;
3)	если 0 < е < 1/2, то г/(у) обращается в нуль порядка не ниже
1/2 — ?, ат'(у) —в бесконечность порядка не выше е\
4)	если е > 1/2, то is (у) обращается в бесконечность порядка не
выше е — 1/2, а т'(у) — в бесконечность порядка не выше е.
В задаче 4.1 область f?+ не является ограниченной. В случае, когда
П+ = {(ж, у), 0 < х < /, 0 < у < Т}, где / и Т < оо, и условие E.3.3)
заменено условием иA, у) = (р(у), задачу 4.1 считают аналогом задачи
Трикоми [25, с. 9]. Исследованную здесь задачу можно назвать анало-
аналогом задачи Гурса или характеристической задачей Коши [57, с. 190].
При постановке и исследовании краевых задач для уравнения E.4.1)
в ограниченных и неограниченных областях важную роль играет до-
доказанная автором теорема 6.3.5 (см. [57, с. 275]).
5.5. Применение к уравнению Эйлера—Дарбу-
Пуассона и параболически вырождающемуся
гиперболическому уравнению
Пусть fim — конечная область евклидовой плоскости точек
z = (ж, у), ограниченная отрезком АВ : 0 $J х ^ / прямой у = 0
и характеристиками
9	тп + 2	9	тп + 2
: ж	— (-у) 2 = 0, ВСт : ж +	— (-у) 2 = /

5.5]
Применение к уравнению Эйлера-Дарбу-Пуассона
171
уравнения
иуу - (-у)Шихх =0, у < 0, m = const > 0.
E.5.1)
Уравнение E.5.1) в полуплоскости у < 0 является уравнением ги-
гиперболического типа, которое при у —>• 0 вырождается в уравнение
параболического типа. При т = 1 оно переходит в уравнение Трикоми
уихх + иуу = 0,
E.5.2)
которое является теоретической основой околозвуковой газовой дина-
динамики [7, с. 280], [116].
В характеристических координатах
т+2
т+2
уравнение E.5.1) переходит в (однопараметрическое) уравнение Эйле-
Эйлера-Дарбу-Пуассона
= 0,
E.5.4)
Пусть Т(а,Ь) = {(ж, у) : а < ? < rj < 6}; и(х,у) — любое регу-
регулярное в области Т(а, Ь) решение уравнения E.5.1), обладающее тем
свойством, что существуют предел
lim и(х, у) = т(ж), lim иу(х, у) = is(x) V х G ]а, 6[	E.5.5)
и функции
|а?о — ж|^~1г(ж), \xq — х\~@1у(х) Е L[a,b] Vxo?[a,b]. E.5.6)
Тогда (см. [57, с. 222])
'у) =
Условие E.5.6) гарантирует существование интегралов, входящих в
E.5.7).
Согласно E.5.3), если z = х + гу и Im z ^ 0, то
2/(т+2)

172	Применение элементов дробного исчисления	[Гл. 5
Очевидно, что 0^G/) является точкой пересечения характеристик
E.5.3) уравнения E.5.1), выходящих из точек (?, 0) и G7, 0) линии у = 0
его параболического вырождения.
На основании определения дробного интегрирования и легко про-
проверяемых равенств
B - 4/3)^ = B - 4/?)^ГA - 2/3) = B-4/3J0-1 , _ ,
2рВ(-р,1-0)	2Г2A-/3)	Г2A-/3) *• Ph
виз в)-1^!
ЩР,Р)-
нагруженное уравнение E.5.7) можно записать в виде
= (ч - О
, E-5.
или
E-5-9)
где u[z] = и(Ке z, Im z).
В силу E.5.6) равенства E.5.8) и E.5.9) справедливы для всех ? и rj
таких, что 0 ^ ? < rj $J /.
Пусть [а, 6] — любой сегмент, принадлежащий сегменту [0,/]:
[а, Ь] С [0, /]. Тогда из E.5.8) при ? = a, rj = x находим
- %~_2р) B ~ WY^D^it - a)-?uy[t}, a<x<b. E.5.10)
Если же положить rj = 6, ? = ж, то из E.5.9) получим
1^^^(Ь-*)"Ч[*], a<^<6. E.5.11)
Функцию u[z] назовём обобщённым решением уравнения E.5.1)
в области Т(а, 6), если она представима формулой Дарбу E.5.7) с т(х)
и v(x), удовлетворяющим включению E.5.6).

5.5]	Применение к уравнению Эйлера-Дарбу-Пуассона	173
Справедливы следующие леммы.
Лемма 5.5.1. Пусть u[z] — обобщённое решение уравнения E.5.1)
в области Т(а,Ь), существуют D]^@u\@™(t)\, D\~2^u[i\ и иу[х] Е
Е L[a,b]. Тогда
(х - afDl-/u[e™(t)} =
Dlu[t]
^"^М' а<х<Ь. E.5.12)
Лемма 5.5.2. Пусть u[z] — обобщённое решение уравнения E.5.1)
в области Т(а,6), существуют D^~^u[@™(t)], D\~2 u[t] и иу[х] Е
Е L[a,b]. Тогда
(ь -
2?J/?%[жЬ а<х<ь-
Действительно, имеют место следующие правила композиции
(см. [57, с. 44]):
Отсюда на основании E.5.10), E.5.11) и равенств
убеждаемся в достоверности лемм.
Теорема 5.5.1. Пусть u[z] — обобщённое решение уравнения
E.5.1) в области Т(а, 6), иу[х] Е L[a, 6], и существуют
Тогда
(x - afDl-/u[@^{t)] - F -	^
E.5.14)
a < x < b.
Здесь в соответствии с определением [57, с. 33]
I1ab20u[x] = Dl-^u[t}-Dl-^u[t].
Теорема 5.5.1 — тривиальное следствие лемм 5.5.1 и 5.5.2.

174	Применение элементов дробного исчисления	[Гл. 5
Условия E.5.12)-E.5.14) являются необходимыми краевыми усло-
условиями для уравнения E.5.1) в области Т(а, Ь).
Совершим в равенствах E.5.12) и E.5.13) предельный переход при
Пусть функция ip(x) имеет суммируемую на [а, Ь] производную.
Тогда её можно представить в виде
х
Г
(р(х) = ip(b) + \ (р (t) dt.
J
ь
Принимая это во внимание, легко показать, что
ъ
для любого е G ]0,1[ (см. формулу C.3.8)).
С помощью замены
t = (г - х)? ^ т = х + t1/?, dt = е(т - ху-1 dr
убеждаемся в том, что
х	О
Из E.5.15) и E.5.16) вытекает равенство
lim D\-e<p(t) = -v'(x), a<x <b.	E.5.17)
Аналогично из формул
ns + i){x a) +r(? + 1
х	{х-а)?
е | <Р v у"" _ А	i .„'(„ +L/?)dt
получаем
>'{j)dT _ 	1	 Г	Ux_tl/e)
lim Dl~e(p(t) = p'(x), a < x <b.	E.5.18)
Из формулы Лежандра для удвоенного аргумента функции Г (
(см. [6, с. 19])

5.5]	Применение к уравнению Эйлера-Дарбу-Пуассона	175
следует, что
На основании E.5.17)-E.5.19) теперь нетрудно видеть, что при т —>• О
(/3 —} 0) уравнение E.5.1) переходит в волновое уравнение
иуу = ихх,	E.5.20)
а условия E.5.12) и E.5.13) — в необходимые краевые условия
2их[в°а(х)] = их[х] - иу[х],	E.5.21)
2их[в°ь{х)] = их[х] + иу[х]	E.5.22)
для обобщённого в области Т0(а, Ь) решения u[z]
х+у
r
2u[z\ = т(х + у) + т(ж - у) + v(t)dt	E.5.23)
j
х-у
уравнения E.5.20). Здесь
Т0(а, b) = lim T(a, b) = {z : а < х + у < х - у < Ь}.
га—^0
В 1968 г. автором предложена (см. [62]) следующая задача, которая
позже была названа его именем (см., например, важную работу М. Sai-
go [153]).
Задача 5.1. В области ?1т найти обобщённое решение u[z] урав-
уравнения E.5.1), удовлетворяющее краевым условиям
и[х] = т(ж), 0 < х < /,	E.5.24)
где т(ж), А(х), В(х) и С{х) — заданные функции, причём
А(х), В(х), С(ж)еС[0,/],	E.5.26)
А(х){1 - xf + В(х)хC /0 V х е [0, /],	E.5.27)
[х{1 - x)f-1r(x), [х{1 - x)]-PIq-2Ct(x) e L[0, /] П С ]0, /[. E.5.28)
Докаж;ем однозначную разрешимость этой задачи.
В силу E.5.24) и E.5.28) в необходимом краевом условии E.5.14)
можно положить u[t] = т(?), а = 0, b = /. В результате будем иметь
х^ Dx~'^u[@T (t)] — (I — х)Р Dl~'^ulSY1(t)] = tr(x), E.5.29)
где
тр{х) = Щ±11-ЧТ(х)ш	E.5.30)

176	Применение элементов дробного исчисления	[Гл. 5
Пусть
Тогда из системы E.5.25), E.5.29) однозначно находим
Dl~0u[Q^(t)] = fp{x), 0 < х < I.	E.5.31)
Свойство E.5.12) обобщённого решения u[z] уравнения E.5.1) при а = О
в соответствии с E.5.24) и E.5.31) позволяет единственным образом
определить функцию г^(ж), входящую в определение обобщённого ре-
решения:
= UV[X] =
где тЦх) = ГB/3)?>1;2/3г@/Г(/3).
Функция т%(х) вследствие E.5.28) является непрерывной и сумми-
суммируемой на ]0, /[, более того, в силу E.5.26) и E.5.27)
[хA - х)]-?[т*0(х) - XPf0(x)} e L[0,1}ПС ]0, /[
и, стало быть,
[х{1 - x)]-Pv(x) G L[0, /] П С ]0, /[.	E.5.33)
Искомое обобщённое решение и(х,у) в силу E.5.7) представимо
в виде
1
X
о
где г/(х) определяется формулой E.5.32).
Задача 5.1 не имеет решений, отличных от E.5.34).
Для сравнения рассмотрим случай, когда m = 0.
Поскольку

5.5]	Применение к уравнению Эйлера-Дарбу-Пуассона	177
то из E.5.23) имеем
X
2и[в°0{х)} = т@) + т(х) - [ u{t) dt,	E.5.35)
х
х)] = т(х) + тA) + [ v(t) dt,	E.5.36)
i
если и(х, у) е C(Um), u(x) e L[0,1]ПС ]0, /[.
Равенства E.5.35) и E.5.36) говорят о том, что если т{х) — диффе-
дифференцируемая функция при 0 < х < /, то
^ {2и[в°0(х)} - и[х}} = -иу[х],	E.5.37)
-f- {2и[вA(х)} - и[х}} = иу[х].	E.5.38)
ах
Из E.5.37) и E.5.38) в свою очередь следует
-f- {«[в§(а;)] + м[9?(ж)]} = и'[ж].	E.5.39)
CLX
Предельным переходом ранее показано, что равенства E.5.37),
E.5.38) имеют место и в случае, когда т(х) G С ]0, /[.
Условие E.5.25) при m —>• 0 принимает вид
Л(ж)-^ и[в°0(х)} - В(х)^и[в^(х)} = С(х),	E.5.40)
CLX	Q/X
а условие E.5.27) переходит в условие
А(х) + В(х)^0 Уже[0,1]. E.5.41)
Пусть г(ж) G С[0, /] П С^О, /[. Тогда из E.5.24), E.5.39) и E.5.40) на
основании E.5.41) имеем
u[U0(xjj	А{х) + В{х) - Ых).
С учётом этого из E.5.37) находим
и{х) = rf(x)-2f0(x), 0 < х < L	E.5.42)
Итак, если т'(х) Е L[0, /], а Л(ж), В(х), С{х) Е G[0, /] гл выполнено
E.5.41), шо существует единственное обобщённое решение E.5.23),
где v(x) задаётся формулой E.5.42).
Задача 5.2. В области О,т найти решение u[z] уравнения E.5.1),
удовлетворяющее краевым условиям
A(x)Dl~2/3u[t] + В(х)иу[х] = С(х),	E.5.43)
и[в^{х)] = ф{х), 0<ж</,	E.5.44)

178	Применение элементов дробного исчисления	[Гл. 5
где А(х), В(х), С{х) иф(х) — заданные и непрерывные функции точки
хе]0,1[.
Под решением уравнения E.5.1) будем понимать любую функцию
u[z], представимую в виде E.5.34), где т(х) = и[х], v(x) = uy[x] и
хР~1т(х) е L[0, /], х~Рф) е L[0, /]•	E.5.45)
Найдём условия однозначной разрешимости задачи 5.2.
С этой целью в E.5.10) положим а = 0, b = /. Тогда в силу E.5.44),
E.5.45)
М	t^u[t] - P{m)D^lt-?uy[t], E.5.46)
где
Пусть
ф0(х) = xpD\-^{t) € L[0,1].	E.5.47)
Тогда из E.5.46), или прямо из E.5.12) при а = 0, получаем
М DlZ2pu[t] - Ц{т)иу[х] = фр(х).	E.5.48)
Если определитель системы E.5.43), E.5.48)
D(x) = C(m)A(x) + ГB^(а° ф 0 Vxe[0,l], E.5.49)
ТО
иу[х] = v{x), 0 < х < /,	E.5.51)
где
Исследуем свойства функций E.5.52) и E.5.53).
Пусть А(х) и В{х) G С[0, /], С(ж) G L[0, /], тогда из E.5.47), E.5.49)
вытекает, что функции f(x) и v(x) G L[0, /].
Предположим, что ^(ж) ^ С1]^? Ц и Ф'{%) G L[0,/]. Как замечено
ранее, это включение позволяет записать
2" + *Р»*?№)¦	E-5.54)

5.5]	Применение к уравнению Эйлера-Дарбу-Пуассона	179
Стало быть, в силу E.5.54)
х-рг1)р{х) е L[O,Z].	E.5.55)
Включение E.5.55) вместе с условием х~@С(х) Е L[0, /] гарантиру-
гарантируют, что х~$v(x) E L[0, /], где v(x) задаётся формулой E.5.53).
Общее 'решение дифференциального уравнения E.5.50) порядка
1 — 2/3 в соответствии с A.19.2) определяется формулой
-2/3
Ф) = и[х] = ™_щ + Dgf-VW,	E.5.56)
где
«1 = lim JDOaf^r(t), т
Из E.5.56) имеем
л	/?1 Г ai , ТР n
Поэтому первое включение E.5.45) возможно тогда и только тогда, ко-
когда а\ = 0. Другими словами, в классе функций и[х] = т{х) таких, что
х@~1т(х) Е L[0,/], уравнение E.5.47) имеет единственное решение
(х) = Dli~xf{t).	E.5.57)
Таким образом, доказана следующая
Теорема 5.5.2. Пусть А(х), В(х) Е С[0, /] и удовлетворяют усло-
условию E.5.49), х~@С(х) Е С ]0, /[DL[0, /]; ф(х) — непрерывно дифферен-
дифференцируема при 0 < х < I и ф (х) Е L[0, /]. Тогда существует единствен-
единственное обобщённое решение и(х,у) задачи 5.2, и оно задаётся формулой
E.5.34), где т(х) и i/(x) определяются равенствами E.5.57) и E.5.53).
При А(х) = 0, В(х) = 1 задачаЪ.2 переходит во вторую задачу Дар-
Дарбу [57, с. 225
+ Р(т)С{х)
. В этом случае D(x) = ГB/3)/Г(/3), f(x) = Г(C)[фр(х) +
/ГB/3), 1у(х) = С(х). Поэтому E.5.50) можно переписать
так:
i/(x) = , * х@Dn
Из E.5.58) вытекает следующий
Принцип экстремума. Пусть u[z] — обобщённое решение урав-
уравнения E.5.1) в области Лт, т ф 0;
DOx**u[Qo(t)] ^ 0, 0 < х < /;	E.5.59)
г/[ж] = т(х) Е С[0, /] гл на полусегменте 0 < х ^ I удовлетворяет усло-
условию Гёльдера с показателем h > 1 — 2C. Тогда, если
() = т(О > 0, 0
mo i/(O = глу[?] > 0.

180	Применение элементов дробного исчисления	[Гл. 5
Действительно, из E.5.58) и E.5.59) имеем
{x)>D^T{t).	E.5.61)
Неравенство E.5.60) и аналог теоремы Ферма (см. теорему 3.1.1) гово-
говорят о том, что
Dl~2^r(t) > 0.	E.5.62)
Из E.5.61) и E.5.62) следует, что i/(f) > 0.
При т —} 0 соотношение E.5.58) принимает вид
E.5.63)
Фундаментальное соотношение E.5.63), которому удовлетворяет
обобщённое решение E.5.23) волнового уравнения E.5.20), является
следствием E.5.21).
Из E.5.63) видим, что если ? Е ]0,/[ — точка положительного
максимума функции г (ж), то
В частности, если и (—,	1 =0, то v(?,) = 0. Это говорит о том,
что условие т ф 0 является существенным, чтобы z/(?) было поло-
положительным числом.
Доказанный принцип экстремума представляет собой локальное
обобщение принципа Агмона-Ниренберга и Проттера [57, с. 228].
5.6. Применение к гиперболо-параболическому
уравнению второго порядка с характеристической
линией изменения типа
Рассмотрим модельное уравнение смешанного гиперболо-параболи-
гиперболо-параболического типа второго порядка
{иу — аихх,	у > 0,
E.6.1)
иуу ~ (-У)тихх, У < 0,
где а = const > 0, т = const > 0, в области Л евклидовой плоскости
точек z = (ж, у), ограниченной характеристиками АСШ и ВСШ урав-
уравнения E.5.1), отрезками AAq, AqBq, BBq прямых х = 0, у = уо > 0,
х = / соответственно.
Уравнение E.6.1) в области П+ = ft П {z : у > 0} является уравне-
уравнением параболического типа, а в ft~ = ftm = ft \ ft~^~ — уравнением ги-

5.6]	Применение к гиперболо-параболическому уравнению	181
перболического типа с параболическим вырождением на прямой у = О,
которая совпадает с характеристикой у = 0 уравнения Фурье
иу = аихх.	E.6.2)
В работе [9] аналогом задачи Трикоми для уравнения E.6.1) названа
следующая
Задача 6.1. (Задача Т.) В области ft найти решение u[z] уравне-
уравнения E.6.1) из класса С (ft) П С1 (ft), удовлетворяющее краевым услови-
условиям
и@,у) = МоЫ, иA,у) = щ(у), О^у^уо,	E.6.3)
и[в^(х)] = ф(х), О^ж^/,	E.6.4)
где /io(y), Hiiy), Ф{х) ~ заданные непрерывные на сегменте их опре-
определения функции своих аргументов, /io@) = ()
[1 2/m+2
(m + 2)xj
В первую очередь найдём условия на заданные функции, которые
гарантируют однозначную разрешимость задачи 6.1. С этой целью сде-
сделаем допущение о существовании решения u[z] = u(x, у) этой задачи.
Предполагается, что ф'(х) Е L[0, /].
Пусть и(х,0) = т(ж), иу(х,0) = v(x). Поскольку иу E C(ft), то из
уравнения E.6.2) непосредственно вытекает, что
ат"(х) = 1/(ж), 0<ж</.	E.6.5)
С другой стороны, из включения ф'(х) Е Ь[0,/] и равенств E.6.4),
E.5.12) и E.5.46) заключаем: фундаментальное соотношение между
т{х) и 1у(х), принесённое на линию у = 0 с области ftm, имеет вид
0<x<L E-6'6)
Из системы E.6.5) и E.6.6) с учётом E.5.47), а также граничного
условия E.6.3) имеем
r"W = A^T(t)-^g, 0<х<1,	E.6.7)
r(O)=/iO(O), тA) = щA),	E.6.8)
где число
и оно согласно E.5.46) является положительным.
Задача Дирихле E.6.8) для уравнения E.6.7) в силу E.6.9)
и принципа экстремума для оператора дробного дифференцирования

182	Применение элементов дробного исчисления	[Гл. 5
(см. C.1.4)) не может иметь более одного решения т{х) G С[0, /] П
П С2 ]О, /[. Это решение будем искать в классе абсолютно непрерывных
на [0, /] функций, т.е. будем предполагать, что rf(x) E Ь[0, /].
На основании C.4.21) и E.6.8) можно записать
a^-i + D-WT>(t), ф@) = /iO@). E.6.10)
Сопоставляя E.6.10) и E.6.7), получим
т (*) - f^y ж - щ^-у	E.6.11)
Равенства E.5.54) и E.6.9) говорят о том, что правая часть E.6.11)
равна
А(т) ^
где Ат = [/3(гтг)а]~1. Из этого замечания следует, что уравнение E.6.11)
эквивалентно уравнению
т"(х) - XD-^rf(t) = -A{m)x^D-^'{t).	E.6.12)
Как и в случае уравнения C.4.22), применим оператор Dqx к обеим
частям равенства E.6.12). Тогда получим
т\х) - A?>0-2/3-V(i) = т'@) - A{m)D^D^^\ri). E.6.13)
Введём в рассмотрение функцию
Ф(х) = D^D-fi,1^).	E.6.14)
Функция E.6.14) допускает следующие представления:
0	0	0	г]
Отсюда после замены t = х — (х — 7/)? имеем
X	1
= B(l,/3)x^il>'(Tt)(x- v/F (-/3,1, /3

5.6]	Применение к гиперболо-параболическому уравнению	183
Мы знаем, что ВA, /3) = Г(/?)/Г(/3 + 1). Поэтому
>2/3+1
>• E-6.15)
Как видно из E.6.15), функция Ф(ж) абсолютно непрерывна на [0,1]
и ггргл ж ^ 0 обращается в нуль порядка не ниже 2/3.
Из формулы Хилле-Тамаркина (см. § 2.2) заключаем, что уравнение
E.6.13) эквивалентно уравнению
т\х) = А |[г'(о) - Л(ш)Ф(^)]?;2/3+1[Л(Ж - tJ^+1] Л. E.6.16)
о
Здесь
оо	k
E(ibk)	E-6Л7)
ife=0
функция Миттаг-Леффлёра B.2.5).
Видно, что для любого а > О
. ^а[Х(х — t)a] dt = -— Ea(\rja) dr\ = Ea(\xa), E.6.18)
J	J
о	о
^ Ea(za) = za-1E1/a{za; a).	E.6.19)
Равенство E.6.19) прямо вытекает из E.6.17):
°°	otk	°°	1 ак-1	°°
z	\~^ akz	а_
^ ГA + ак) ^T(l + OLk)	^
С учётом E.6.18) и E.6.19) уравнение E.6.16) переписывается сле-
следующим образом:
т'(х) = т'@)#2/3+1 (Аж2/3+1) - A(mLf(x) - A(m) x
X
х \^{t){x-tJ^E_}_[\(x-tJ^1- 2/3 + l]ctt. E.6.20)
О

184	Применение элементов дробного исчисления	[Гл. 5
Непосредственным вычислением можно показать, что для любого
/a(\xa; 2),
о
Поэтому уравнение E.6.20) эквивалентно уравнению
Ж
т(х) - т@) - т'@)хЕ1/а(\ха] 2) + Am f
о о
ж	ж
= -А(т)
о
v'^EyalXr,"; a]dV =
= -А(т) | Ф(О(а: - Z)aE1/a[\(x - О"; а
О
где а = 2C + 1.
Доказана эквивалентность уравнения E.6.11) уравнению
т(х) = /iO(O) + т'(р)хЕ1/а(\ха; 2) - А(т)^Ф(*) - А(гп) х
ж
х [ф(*)(ж - t)a?;1/a[A(^ - t)a; a + 1] dt, c^ = 2/3 + 1. E.6.21)
о
Единственное решение г (ж) задачи E.6.8) для уравнения E.6.7)
определяется формулой E.6.21), где т@) = /io@):
т'@IЕ1/а(\Г; 2) =
+ A(m) [ф(*)(/ - t)a?;1/a[A(/ - ^)a; a + 1] Л. E.6.22)

5.6]	Применение к гиперболо-параболическому уравнению	185
Число т'@) однозначно находится из E.6.22), ибо в силу E.6.9)
Л > 0 и, стало быть, Е1/а(Х1а; 2) > 0. Очевидно, что если ф(х) = ф@),
то т'@) = [щA) - ф@)]/[1Е1/а(Х1а; 2)].
Поскольку
-^ Еа(Хха) = Хха-1Е1/а(Хха; а),
^ (™ _ +\<х — 1 fi1 , \\(г — +\а- гЛ 	 (г — +}а~^ F1 , \\(г — УЛа- rv — 11
V *^^	/	1 / fly I ^^ \ *^^	/ ^ ^-Д^ I ^^^ I *as	%j I	' j 1 / г~\> I /\ I *Х/	/ ^ ^-Л^	-L I ч
то из E.6.20) имеем
т"(х) = Хг\0)ха-1Е1/а(Хха; а) - A(m)V'(x) - A(m) x
X
х V(t)(x - t)a~2E1/a[X(x - t)a; a-1] dt. E.6.23)
о
Следствием E.6.5) и E.6.23) является формула
v{x) = Xarf@)x2f3E1/a(Xxa; a) - aA(m)^'(x) - aA(m) x
X
x 4f(t)(x - tJf3-1E1/a[X(x - t)a- a-1] dt. E.6.24)
о
Производная от функции E.6.14) имеет вид
\uf(T\ — Tfi n~P»/)'(f\	(к а 95^
Из E.6.24) и E.6.25) заключаем:
lim [v{x) - aA(m)x^D~^'(t)] = 0;	E.6.26)
ж—>>0
iy(x) E Сг1]0,/[ тогда и только тогда, когда
D2~^^{t) E С ]0, /[.	E.6.27)
Включение E.6.27) — следствие E.6.25) и формулы
-Р-1.	E.6.28)
Из E.6.23), E.6.25) и E.6.28) следует: t(x) G С2 ]0, /[ тогда и только
тогда, когда
lpC]O,l[.	E.6.29)
Итак, доказана следующая
Теорема 5.6.1. Пусть ф'(х) Е Ь[0,/] и и(х,у) — решение зада-
задачи 6.1. Тогда т(х) = гх(ж,0) представима в виде E.6.21), где т;@)

186	Применение элементов дробного исчисления	[Гл. 5
однозначно определяется из E.6.22), a v(x) = иу(х, 0) — в виде E.6.24);
т(ж) G С2 ]0, /[ тогда и только тогда, когда имеет место включение
E.6.29); 1у(х) G Сг1]0,/[ тогда и только тогда, когда имеет место
E.6.27); т(ж) G С^О,/]; функция v(x) G С ]0, /] гл её поведение при
х —>• 0 определяются формулой E.6.26).
После того как найдены г (ж) и v(x), задача 6.1 свелась к первой
краевой задаче
и(х, 0) = т(ж), 0 ^ ж ^ /,
для уравнения Фурье E.6.2) в области ?1+ и к задаче Коими
и(х, 0) = т(ж), иу(х, 0) = i/(x), 0 < ж < I,	E.6.30)
уравнения Геллерстедта E.5.1) в области fl~. Эти задачи являют-
являются хорошо изученными (см., например, [8, с. 116], [57, с. 224, 275]).
В заключение отметим, что задачам сопряжения уравнений пара-
параболического и гиперболического типов посвящено значительное число
работ [25].
5.7. Применение к задаче Трикоми для уравнения
смешанного эллиптико-гиперболического типа
Рассмотрим модельное уравнение смешанного типа
Тти = sign у \у\тихх + иуу = 0, т = const ^ 0.	E.7.1)
При т = 1 это уравнение совпадает с уравнением Трикоми [109]
уихх + иуу = 0,	E.7.2)
а при т = 0 оно известно как уравнение Лаврентьева-Бицадзе
[57, с. 133]
sign у ихх + иуу = 0.	E.7.3)
Уравнения E.7.2) и E.7.3) сыграли весьма важную роль в аэро-
аэродинамике трансзвуковых течений (см. [7], [116]), и есть глубокая уве-
уверенность, что они станут теоретической основой многих биологических
процессов и явлений [57].
Пусть ?1 = flm — односвязная смешанная область евклидо-
евклидовой плоскости точек z = (ж, у), ограниченная кривой Жордана
а = ат С {z : у > 0} с концами в точках А = @,0), В = (/,0)
и характеристиками
АСт: x-^—i-y)^ =0, ВСт: х + ^—(-у)^ = I
тп \ ^	m ^
уравнения E.7.1), пересекающимися в точке Сш.
Задача Трикоми ставится следующим образом: найти регу-
регулярное в области ft всюду, за исключением, быть может, точек

5.7]	Применение к задаче Трикоми	187
(ж,0), 0 < х < /, решение и(х,у) = u[z] уравнения E.7.1) из класса
С (ft) П С1 (Л), удовлетворяющее условию E.6.4) и равенству
и\а = <p(z),	E.7.4)
где (p(z) — заданный след u[z] на а.
Существуют в основном два метода доказательства единственности
решения задачи Трикоми — метод Ф. Трикоми [111, с. 384] и метод
А. В. Бицадзе, основанный на принципе экстремума А. В. Бицадзе [13,
с. 301].
Исходным пунктом метода Ф. Трикоми является тождество
иТти = А (Утиих) + А (««„) - ути1 - и2у,	E.7.5)
определённое на функциях и Е С (Л+), где П+ — часть области Л,
расположенная в верхней полуплоскости у > 0.
Пусть Г?^~ — строго внутренняя подобласть области Г?+, ограничен-
ограниченная кусочно гладкой кривой о~? и отрезком А?В? прямой у = ?, которые
таковы, что при ? —>- 0 сге —>> сг, А?В? —> АВ.
Интегрируя E.7.5) по области Л+ и применяя формулу Грина (лем-
(лемму Гаусса) для любого регулярного в П+ решения u[z] уравнения
E.7.1), будем иметь
Г	Г
u(ymuxdy - Uydx) = (утих + ui)dx dy,
J	J
e ее	\1е
стало быть,
Г Г	Г	1
lim и(уших dy — иу dx) —	uuy dx\ ^0.
СТ?	А?В?
Поэтому, если
Г
lim uAs[u]ds ^ 0,	E.7.6)
j
где As[u] = (уших dy — иу dx)/ds, ds — элемент <т?, то
f
lim	uuv dx < 0.	E.7.7)
^o J y
A?B?
Пусть, как и ранее, r(x) = и(ж,0), ^(ж) = г^у(ж,0) и г/(ж) E L[0,/].
Тогда из E.7.7) получаем основное неравенство
I
lr(x)is(x)dx^0.	E.7.8)

188	Применение элементов дробного исчисления	[Гл. 5
Если
= 0	E.7.9)
или
As[u]\(j = O	E.7.10)
и решение u[z] уравнения E.7.1) в области fl^~ таково, что оно имеет
непрерывные производные их, иу в П+ U а и суммируемую на о~ конор-
мальную производную As[u], то
lr(x)v(x)dx = - I (yrnu2x + u2y)dxdy.	E.7.11)
о	п+
Вторым пунктом метода Трикоми является доказательство следу-
следующей леммы.
Лемма Трикоми. Пусть и(х,у) — регулярное решение уравнения
E.7.1) в области ft~ из класса С(?1 ) П Сх{^1~ U АВ), которое обра-
обращается в нуль на характеристике АСт. Тогда, если т(х) = и(х, —0),
1у(х) = иу(х, —0) и 1у(х) суммируема на [0, /], то
I
С
r(x)v(x)dx ^ 0.	E.7.12)
j
о
Неравенство E.7.12) представляет собой тривиальное следствие по-
положительности операторов дробного дифференцирования порядка <1
(см. теорему 1.7.1).
Действительно, из E.6.6) при ф(х) = 0 имеем
v(x) = lrnDl-2*T(t),	E.7.13)
где 7т = ГB/3)/[Г(/3)/3(т)] > 0. Поэтому
\ t(x)v(x) dx = lrn[ r(x)D10-^r(t) dx > 0.
о	о
Неравенства E.7.8) и E.7.12) говорят о том, что однородная задача
Трикоми с условием E.7.9) или E.7.10) имеет лишь тривиальное ре-
решение.
В самом деле, из E.7.8) и E.7.12) вытекает, что
i
г
t(x)v(x) dx = 0.
j
о
С учётом этого из E.7.11) получаем, что и = 0.

5.8]	Применение к сплошным средам с памятью	189
Принцип экстремума А.В. Бицадзе формулируется следую-
следующим образом. Пусть u[z] — решение задачи Трикоми для уравнения
E.7.1), и оно обращается в нуль на характеристике АСШ. Тогда по-
положительный максимум (отрицательный минимум) функции u[z]
в ft достигается только Ha~a = crUAUB.
При т = 0 число /3 = 0, а в силу E.5.19) и E.5.46) /3@) = 1/2, 7о = 1.
Поэтому фундаментальное соотношение E.7.13) переходит в равенство
и(х) = т'{х), 0<х<1.	E.7.14)
А. В. Бицадзе свой принцип доказывал методом от противного.
Допустим, что
max u[z] = u[(] > 0.	E.7.15)
Принцип экстремума для уравнения Лапласа не позволяет точке ?
принадлежать области ?1+. Пусть ? = (?, 0), 0 < ? < /. Тогда т'(?) = 0,
и в силу E.7.14) i/(?) = 0. А это вступает в противоречие с принципом
Зарембы-Жиро [13, с. 26], который гласит: */(?) < 0.
Пусть теперь m ф 0. Тогда из теоремы 3.1.1 следует, что
DQ^ r(t) > 0. С учётом этого неравенства из E.7.13) имеем i/(?) > 0.
Последнее противоречит очевидному, в силу E.7.15) и допущения
? = (?,0), неравенству i/(?) ^ 0. В этом случае, т. е. при m ф 0, можно
не ссылаться на принцип Зарембы-Жиро.
5.8. Применение к сплошным средам с памятью
Состояние сплошной среды будем считать известным, если в любой
её точке х = (жьЖ2?#з) ^ ^3 и в каждый момент времени t будут
однозначно определены вектор скорости q(x,t) = (<7ь <72? <7з)> давление
р = р(х, t) и плотность /? = р(ж, ?) как функции точки ж и времени ?.
Пусть характеристики непрерывной среды, заполняющей некото-
некоторую область ft пространства Евклида М3, связаны уравнением Навье-
Стокса
^	E.8.1)
уравнением неразрывности
^7+div pq = 0	E.8.2)
и уравнением состояния
F(p,p,q,x,t) = 0,	E.8.3)
где V = ( т^—, т;—^ т;— ) ~~ оператор Гамильтона, \i — вязкость сре-
\С7Ж1 ОХ2 ОХз/
ды, Л — оператор Лапласа, F — некоторый оператор (см. [49]).
Предполагается, что функции р и р непрерывны в любой точке
х G ft и для любого момента времени t ^ 0.

190	Применение элементов дробного исчисления	[Гл. 5
В случае упругой сплошной среды замыкающее уравнение E.8.3)
имеет вид
F(p,p) = 0,	E.8.4)
и оно взаимнооднозначно связывает давление р и плотность р. Наибо-
Наиболее характерным примером такой связи является следующая формула:
р = а + Ьр",	E.8.5)
где постоянные х, а и b таковы, что dp/dp > 0. При адиабатическом
движении сжимаемой жидкости предполагается, что
[	7 = const > 1,	E.8.6)
Ро \poj
здесь ро и ро — давление и плотность, соответствующие состоянию по-
покоя q = 0, 7 — отношение удельных теплоёмкостей, для сухого воздуха
имеющее значение 1,405.
Для совершенного газа, который не обязательно является идеаль-
идеальным (т. е. лишённым вязкости), уравнение состояния Клапейрона имеет
вид
р = gRTp,
где g — ускорение силы тяжести, R — газовая постоянная единицы
массы, Т — абсолютная температура.
Простейшая форма замыкающего уравнения получается из E.8.5)
при 6 = 0. Это случай несжимаемой жидкости.
Одной из центральных проблем в теории сплошных сред с памя-
памятью является проблема корректного выбора замыкающего уравнения.
Для его получения часто пользуются законами термодинамики, урав-
уравнениями энергии, которые справедливы всегда, независимо от того,
принята гипотеза об адиабатическом течении или гипотеза упругой
среды E.8.4).
Пусть Up = {р : р ^ 0}; Vp = {р : р ^ 0}; S? — собственное под-
подмножество декартова произведения Vp x Up.
Бинарное отношение Spp из входного объекта Vp в выходной объ-
объект ир является системой «вход-выход».
Примем замыкающее уравнение E.8.3) (в частности, E.8.4) или
E.8.5) за уравнение состояния системы Spp и последнюю отождествим
с понятием связи, которая означает взаимодействие (в том числе си-
нергетическое) входного Vp и выходного Uр объектов.
Предположим, что система S? является логистической [55], [77].
Другими словами, допустим, что между входным сигналом р Е Vp
и выходным сигналом р Е Uр существует следующая связь:
ъЪи (р)р = Б(а, 6, ф)р.	E.8.7)
Здесь
В(аиЪъ <р)и = DSMu) - аМи) + 6Ь	E.8.8)

5.8]	Применение к сплошным средам с памятью	191
или
1
B(ai, 61, ф)и = D^tip{u) dC — ai(p(u) + 61,	E.8.9)
0
где DQtu(x, t) — дробная производная порядка a G [0,1] от u(x, t) no t,
a\ и b\ — величины, заданные (или подлежащие идентификации), ха-
характеризующие сплошную среду с памятью, ip(u) и ф(и) — обратимые
для почти всех и ^ 0 функции своих аргументов.
Система S? с уравнением состояния E.8.7) является квази-
квазилинейной, одномерной системой вход-выход, а упорядоченная пара
со = (р,р) — синергетическим вектором [55].
Уравнение E.8.7) в случае E.8.8) и при а = 1 записывается в виде
— (р(р) - aiip(p) + 61 = — ф(р) - а2ф(р) + Ъч.	E.8.10)
Пусть г^о = (ро, ро) — равновесное состояние вектора w, т и п —
неотрицательные числа; <р(р) = (ро/р)™, Ф(р) — (Ро/р)П• Тогда урав-
уравнение состояния E.8.10) принимает следующий вид:
)т г о / \ml / \п Г л
т up	h \ р \ 	 i Р° 1 \ п Р
[р dt ai г \ро) \ ~ \ р ) [р dt
E.8.11)
Уравнения E.8.5) и E.8.6) получаются из E.8.11) в случае, когда
т = 1, ai = 0, Ь\ = 0, B2 = 0, Ъ2 = 0, п = 7-
Пусть b{t) — функция, которая в любой момент времени совпадает
с правой (левой) частью равенства E.8.11). Тогда из E.8.11) заключаем,
что функции и = р/ро, v — р/ Ро удовлетворяют уравнениям Бернулли
^ = ати-Cтиш+1,	E.8.12)
— = env-\nvnJrl,	E.8.13)
где тат = -аь т/Зщ = —Ь — 6Ь пеп = -а2, п\п = -Ь — Ь2.
Следовательно, если плотность v сплошной среды меняется по
логистическому закону E.8.13), то и соответствующее ей давление
подчиняется логистическому закону E.8.12).
Уравнение тепловой энергии для вязкой жидкости имеет вид
(см. [49, с. 42])
dT „	d (l\ , 9
и его можно записать в виде
dp в р2 \ dT „
dt p	p I dt

192	Применение элементов дробного исчисления	[Гл. 5
Здесь Q обозначает количество тепла, подведённое за единицу вре-
времени к частице единичной массы от окружающих элементов среды за
счёт излучения или теплопроводности, cv — удельная теплоёмкость
среды при постоянном объёме, 0 — скорость диссипации энергии для
элемента единичного объёма.
Легко видеть, что уравнение тепловой энергии, как уравнение отно-
относительно плотности, является логистическим, оно записывается в ви-
виде E.8.11) с т = 1.
Если в E.8.8) параметр а ф 0,1, то класс уравнений вида E.8.7)
является качественно новым классом дифференциальных уравнений
состояния дробного порядка в сплошных средах с памятью. При за-
заданной плотности р уравнение E.8.7) в случае E.8.9) представляет
собой непрерывное, линейное относительно (р(р), дифференциальное
уравнение, а оператор B(ai, b\, (p) является континуальным [66].
При определении схематизации одномерное уравнение Навье-Сток-
са и уравнение неразрывности записываются в виде [70]
dq , dp	d2q	/г о i л\
Podt + d^ = /i^' q = qu х = хъ	E.8.14)
^ + ро|| =0, ро = const > 0.	E.8.15)
Для расчёта закона дисперсии в релаксирующих средах систему
E.8.14)—E.8.15) дополняют уравнением состояния вида [15]
Здесь cq — скорость распространения волны, когда период звуковой
волны значительно больше времени релаксации г, а с^ — скорость
распространения волны в противном случае.
Уравнение E.8.16) получается из E.8.10) в случае, когда (р(р) = р,
ах = -1/т, &i = 62, ф(р) = с^р, та2 = -сЦс2^.
Для широкого класса сплошных сред с памятью (например, для
полимерных жидкостей) исследуемый процесс более адекватно описы-
описывается не уравнением E.8.16), а уравнением состояния вида
P + tD^p = cIp + tcIoD0mP,	E.8.17)
где 0 < а, C < 1 (см. [4]), или непрерывное дифференциальное уравне-
уравнение состояния
1	1
р + т J D%tp da = с\р + тс4 | Dltp df3.	E.8.18)
о	о
Уравнения E.8.17) и E.8.18) являются простыми, но вместе с тем
интересными вариантами отношения «вход—выход» E.8.7).

5.8]	Применение к сплошным средам с памятью	193
При а = C и малых значениях со уравнение E.8.17) аппроксимиру-
аппроксимируется уравнением
р-\-tDqiP = tEDQtp, E = соо,	E.8.19)
и его в каждой фиксированной точке х Е ft можно записать в виде
t
— = р	\(t — г))а~1 E1/a(—(t — rj)a /r; a)p(x, rj) drj, E.8.20)
о
где Ep(z; ц) — функция типа Миттаг-Леффлёра B.2.5).
Пользуясь теоремой 2.2.1, нетрудно доказать, что уравнение E.8.19)
эквивалентно уравнению
г Ер = rp + D-tap.	E.8.21)
Уравнения состояния вида E.8.7) приводят и к качественно новым
уравнениям математической физики. Продемонстрируем это на про-
простом примере.
Пусть \i = 0. Тогда из E.8.14) и E.8.15) получаем
^Ц - ^-? = 0.	E.8.22)
дх dt
Связь E.8.22) на основании E.8.21) можно переписать следующим
образом:
д2р д2р 1 п2-«	/г о 9ох
Ь	тт	«- = — Dn+ p.	(o.o.zo)
дх2 dt2 г ot F	y J
Если же воспользоваться уравнением состояния E.8.20), то из E.8.22)
будем иметь
E.8.24)
Уравнения E.8.23) и E.8.24) на плоскостях точек (x,t) относятся
к классу нагруженных уравнений с частными производными гипербо-
гиперболического типа [57].
Допустим, что с2р = ?>оГ2> гДе ?ь с — const > 0. Тогда из E.8.22)
имеем
DltP=c2Pxx.	E.8.25)
При е = 2 уравнение E.8.25) совпадает с одномерным волновым
уравнением
Ptt = с2Рхх-
Поэтому целесообразно назвать уравнение вида E.8.25) нелокаль-
нелокальным волновым уравнением.
Изложенные в этом параграфе результаты взяты из [79].
7 А. М. Нахушев

194	Применение элементов дробного исчисления	[Гл. 5
5.9. Уравнения переноса в средах с фрактальной
геометрией
Пусть ft — множество, точки которого погружены в n-мерное про-
пространстве Евклида Мп; {fti} — счётное покрытие множества ft множе-
множествами fti с diam fti < е для любого г = 1, 2, . . .;
оо
raf(ft) = inf ^(diam ftiN, е > О, 5 > О,
г = 1
где нижняя грань берётся по всем счётным покрытиям {fti}', ms(ft) =
= supm?s(ft).
?>0
Размерность Хаусдорфа (называемая также размерностью Хау-
сдорфа-Безиковича) множества ft определяется как число
fi(ft) = sup{5\ms{ft) > 0}.
Число /i = li(ft), вообще говоря, не является целым.
Если N(e) — наименьшее число шаров радиуса е (или кубов с рёб-
рёбрами е), необходимых для покрытия множества ft, то можно положить
11 = — Hm log N(e)/\og e.
Мож;но воспользоваться и следующим определением. Минимальное
положительное число /ik — /ik(ty назовём (корреляционной) размер-
размерностью Хаусдорфа множества ft, если существует конечный предел
e^kN(e) при е —>• 0. Это определение в какой-то степени отражает
свойство масштабной инвариантности множества ft.
Множество ft назовём фракталом, если /i(ft) не является целым
числом, а само число — фрактальной размерностью.
Существуют различные определения фрактала [149]. Фракталом
называют любую структуру, состоящую из частей, которые в каком-то
смысле подобны целому, которые, образно говоря, выглядят одинаково,
в каком бы масштабе её ни наблюдать [120]. Б. Мандельброт [149] пред-
предложил пробное определение фрактала как множества ft, размерность
Хаусдорфа-Безиковича /iH(ft) которого строго больше его топологи-
топологической размерности fiT(ft). Он же обратил внимание на то, что фрак-
фракталы можно использовать как модели случайной среды. Неравенство
/jtH(ft) > fiT(ft) физически характеризует усложнение множества ft.
Например, если ft — кривая на евклидовой плоскости R2, то её можно
усложнять путём бесконечного числа изгибаний до такой степени, что
её хаусдорфа размерность достигнет двух, если она плотно покрывает
конечную площадь, или трёх, если кривая «упаковывает» куб [115].
Кривая Коха, или канторов дисконтинуум, являются хорошо из-
известными примерами фракталов. Лебегова (топологическая) мера кан-
торового совершенного множества равна нулю, а мера отрезка рав-
равна единице. Хаусдорфа размерность канторова дисконтинуума равна
In 2/ In 3, а кривой Коха — In 4/ In 3.

5.9]	Уравнения переноса в средах с фрактальной геометрией	195
В физике [149], биологии и других областях знания весьма ча-
часто встречаются среды и системы, которые хорошо интерпретируются
как фракталы. Примерами фракталов (или фрактальных сред) могут
служить сильно пористые среды или график дробного броуновского
движения, фрактальная размерность которого равна 3/2. Градовые
облака с мощными конвективными токами имеют фрактальную струк-
структуру с фрактальной размерностью, равной 1,36 ±0,1 [127, с. 644].
Принято считать, что диссипация энергии в трёхмерных турбулентных
течениях сосредоточена на множествах с фрактальной размерностью
[149, с. 624]. Как недавно установлено, фрактальными являются взвол-
взволнованная поверхность и дно океана [28].
Фрактальные структуры являются следствием многих процессов
и явлений необратимого роста, например таких, как диффузия, агре-
агрегирование, разрушение, перколяция, динамический хаос, растворение,
образование вязких пальцев при вытеснении жидкости в пористых
средах [120].
Наряду с геометрическими (пространственными) фракталами рас-
рассматривают и временные фракталы, ибо в физике встречаются процес-
процессы, имеющие фрактальную во времени природу. К таким относятся,
например, процессы переноса заряда в аморфных средах в рамках
модели случайных блужданий с непрерывным временем [127, с. 562],
ударноволновые явления в конденсированных средах [33].
В настоящее время стало вполне очевидным, что дробное (диффе-
(дифференциальное и интегральное) исчисление в теории фракталов и систем
с памятью, несомненно, сыграет такую же роль, что и классический
анализ в физике, механике сплошных сред.
Уравнениям переноса в средах с фрактальной геометрией посвящен
ряд интересных работ: [33], [36], [37], [39], [40], [87], [91], [114], [119].
В работе [91], отправляясь от уравнения диффузии E.3.1) с началь-
начальным и краевым условиями
u(x,0) = 0, u@,t) = ri(t),	E.9.1)
которое предполагает сплошность среды и, стало быть, справедливость
уравнения неразрывности в его классической форме, приходят к обоб-
обобщённому уравнению переноса в средах типа «расчёски» следующего
вида:
ox
где ап = 2~п, п = 1, 2, . . .; ап = const > 0, щ(х, t) = и(х, t).
Уравнение E.3.1) является следствием закона Фика {Фурье E.3.11)
в случае теплового потока или Нернста для массы газа) и уравнения
неразрывности
dq _ нди
дх	dt
к = const > 0.	E.9.3)

196	Применение элементов дробного исчисления	[Гл. 5
Однако для фрактальной среды, как правило, уравнение E.9.3) не
должно иметь места. Оно должно быть заменено уравнением, учиты-
учитывающим структуру и метрику фрактала.
Начальное условие из E.9.1), т.е. условие E.3.2) вместе с условием
Тихонова E.3.3), говорит о том, что при п = 1 функция и\ = u\(x,t)
в силу E.3.9) должна быть решением и уравнения E.9.2) и более
простого нелокального уравнения первого порядка
Doft Ul(x, rj) =	дх i 0 <х <l.	E.9.4)
Из E.9.4) для потока q получаем формулу вида q(x,t) =
= (Ш0? и(х, 7/), где S = const > 0, которая подтверждает фракталь-
фрактальную во времени природу процесса диффузии тепла (даже в рамках
классического уравнения Фурье E.3.1)).
Фрактальная среда, как правило, является средой с памятью,
и имеет место (нелинейная) зависимость потока q от структуры
{геометрии) фрактала.
Если исходить не из лебеговой (топологической) размерности фрак-
фрактала, а из хаусдорфовой, то даже на интуитивном уровне становится
очевидным, что уравнение E.9.3) целесообразно заменить уравнением
вида
!^ = -x?>Siu(z,4),	E-9.5)
где х, а — положительные величины, а зависит от структуры и хау-
хаусдорфовой размерности фрактала.
Из E.3.11) и гипотезы E.9.5) следует, что
D%tu(x, 77) = ааихх,	E.9.6)
где аа = к/к > 0.
При 1 < а ^ 2 уравнения E.9.6) и E.8.25) относятся к одному клас-
классу. Уравнение E.9.6) является нелокальным волновым уравнением.
Одномерный поток q = g(?, t) в коллоидном капиллярно-пористом
теле, 0 ^ ? ^ /, поликапиллярной структуры связан с влажностью
w = w(?, t) в точке ? в момент времени t обобщённым законом [47]
^^ (D,P = const >0),	E.9.7)
где D — коэффициент диффузии, р — плотность, то = D/v — время
релаксации, которое существенно может зависеть от пространственной
координаты ?, v — скорость переноса.
Следует отметить, что уравнение E.9.7) для потока тепла с то,
равным по порядку величине времени свободного пробега частицы,
предложено Д. К. Максвеллом ещё в 1867 г. [57, с. 233] как обобщение
закона Фурье E.3.11).
Коллоидное капиллярно-пористое тело поликапиллярной структу-
структуры является примером фрактальной среды или допускает такую ин-

5.9]	Уравнения переноса в средах с фрактальной геометрией	197
терпретацию. Поэтому к уравнению E.9.7) можно присоединить
уравнение
|| = -pDStw(?, r,), 0 < а < 1.	E.9.8)
А. В. Лыков [47], принимая во внимание, что для ряда капиллярно-
пористых тел скорость переноса v примерно равна скорости капилляр-
капиллярного движения, которая в свою очередь обратно пропорциональна пути
движения ?, полагает
DP2
то = -Ь	E.9.9)
а0
где uq — коэффициент пропорциональности, зависящий от пористости
тела, его капиллярных свойств и вязкости жидкости.
Предположим, что функция q(?,t) имеет производную по t порядка
а + 1, по ? — до второго порядка, а функция w(?,t) — смешанную
производную
Тогда из E.9.7), E.9.8) и E.9.9) получаем
DotQ& V) = D^-^ eD^qfa r]).	E.9.10)
at; a0
Уравнение E.9.10) представляет собой качественно новое уравне-
уравнение влагопереноса. При а = 1 оно совпадает с уравнением влагопере-
носа
D\2d2q	.	.
Л)е в?'	( '
которое выведено А. В. Лыковым [47] с помощью методов термодина-
термодинамики необратимых процессов.
Переходя в уравнении E.9.11) к безразмерным независимым пере-
переменным х = t/to, у = ?,/Vaoto (to — характерное время), получим
у2ихх — иуу — аих = 0>	E.9.12)
где а = —uq/D безразмерная величина, и(х, у) = q(xto, ул/aoto ).
Уравнение E.9.12) является уравнением гиперболического типа при
у ф 0. На прямой у = 0 оно вырождается в уравнение параболического
типа.
В заключение отметим, что уравнения, вида E.9.6) выступают
и в качестве математической модели стохастического переноса [119],
а также диффузии через фрактальную поверхность. В частности, суб-
субдиффузионный режим стохастического переноса описывается уравне-

198	Применение элементов дробного исчисления	[Гл. 5
нием
t
д Г и(х,п) , 1 д\
где 0 < 7 < 1? гх(ж, i) — число частиц в точке х в момент времени ?,
uq(x) — заданная функция.
Уравнение E.9.13) можно переписать в виде
2ГA - <y)DoMx> Л) = ихх + 2t~^uo{x).	E.9.14)
Уравнение E.9.14) редуцируется к уравнению диффузии дробного
порядка
д^и = с2ихх, 2с2 = гA1_^),	E.9.15)
где d^tu = lDt'u\(x,i) — регуляризованная дробная производная
от и по t порядка 7 [40].
Уравнение E.9.6) относится к классу математических моделей вида
га
A0DStu(x, V) + J2 AkDZtku(xk,r]) = -D^qfo t)	E.9.16)
k=i
с «потоком»
n
q(x, t) = -B0Dhxu(Z, t)-Y, BkD&u(Z, tk),	E.9.17)
k=i
где Ak, Bk, ol, ajfe, /3, /Зк и а — характеристики фрактальной среды,
a ^ xi < X2 < • • • < xm, 0 ^ ti < t2 < . . . < tn.
В силу E.9.16) и E.9.17) уравнение переноса в средах, имеющих
фрактальную временную и пространственную структуру, можно запи-
записать в следующем виде:
LBkD%u(Sutk) - J2 AkDtfu(xk,r,). E.9.18)
Если 0 < /3/е < 1, БЛ = Bk(t), D^T^u^t) = 0 при х = а для
любого к = 0,1, . . . , п и t ^ 0, то из E.9.18) получаем уравнение
%u{xk,vi), E.9.19)
/с=1	к=1

5.9]	Уравнения переноса в средах с фрактальной геометрией	199
где 5k = /3 + /3k, которое является нагруженным дифференциальным
уравнением переноса дробного порядка. Уравнения E.9.14), E.9.15) по-
получаются из E.9.19) при а = 7, ^о = 2, Ло = ГA - 7), А) = 1/2, В\ =
= ?~7, ^1 = 0, ?i = 0, В*. = 0 при к ф 1, Л^ = 0 для всех /г = 1, 2, . . . , га.
Диффузионно-релаксационные процессы, происходящие в средах
с фрактальной геометрией в одномерном случае, могут быть описаны
уравнением вида [36]
DStu(x, rj) = BpDPxu(?, t) + с(ж, t)u(x, *),	E.9.20)
где Б/5 = const > 0, c(x,t) = -т"^/2, 0 < а ^ 1, 1^/3^2, или же
следующим «осреднённым» по а и /3 непрерывным дифференциальным
уравнением:
1	2
Г
В случае диффузии ионов через фрактальную поверхность образец-
электрод твёрдого электролита коэффициент Вр означает коэффици-
коэффициент диффузии, а числа а и /3/2 — фрактальные размерности в плоско-
плоскости и в направлении диффузии [35].
При исследовании «возможности существования автоволновых ре-
решений для диффузионных процессов во фрактальной среде» (см. [119])
важную роль может сыграть нелинейное уравнение
^f1 = B0D0axu-^,t), <Ка<1, К/3^2. E.9.21)
Если в уравнении E.9.21) положить а = 0, /3 = а = 2, то получим
уравнение Буссинеска [93, с. 448]
^), BЯ2 = А),	E.9.22)
ох) \	т)
где и = u(x,t) интерпретируется как уравнение свободной поверхности
грунтовых вод при постоянном коэффициенте фильтрации к и пори-
пористости грунта га.
Поскольку
ади(х,у) _ 1_« , , _ ujx^e-1
то уравнение E.9.21) эквивалентно уравнению
Qt u(?,rj) = B$Dpaxu (?,?) Н	' ,	•	E.9.23)
Уравнение E.9.14), или E.9.15), получается из E.9.23) при
а = 1-ЪВр = [2ГA - 7)], /3 = 2, а = 1.
В случае, когда а = 2 ± ?, где е — достаточно малое положитель-
положительное число и физически оправдано задание в некотором промежутке

200	Применение элементов дробного исчисления	[Гл. 5
времени t нелокального граничного условия типа условия Самарского
[57, с. 140]
ь
Ц- и(х, t) dx = w(t), O^t^T,	E.9.24)
уравнение E.9.21) в слое а ^ х $J b хорошо аппроксимируется линей-
линейным уравнением
D*tau(x, rj) = cj(t)DPxu(S, t) + U(r(a-7)> a < x < b' E'9'25)
b
Довольно часто среднее значение u(t) =	) u(x,t) dx физиче-
b — a J
a
ской {или биологической) величины u(x,t) в слое а ^ х $J b и для
любого момента времени от начального t = 0 до расчётного t = Т
является унимодальной функцией, и функция uo(t) имеет следующий
вид:
w{t) = sign(t* -t)\t- U\mtp(T - t)qu+(t), 0 < U < T, E.9.26)
где 7тг, р, q — неотрицательные числа, cj+(t) > 0 для всех t E [0,Т],
t* — время, когда непрерывная на сегменте 0 ^ t $J T функция г^(^)
достигает своего максимума.
Если имеет место E.9.26) и oj+(t) « 1, р = q = 0, то из E.9.25)
получаем модельное уравнение
?&-<*« = sign(i, -t)|*- U\mDlxu{i, t) + Ц^°^2,
которое при а = 0, /3 = 2 переходит в нагруженное уравнение смешан-
смешанного типа с вырождением порядка при t = 0:
«(*,<>).	E.9.27)
Уравнение E.9.27) при и(х, 0) = 0 является одним из базовых урав-
уравнений теории уравнения смешанного типа [13], и оно при т = 0 известно
как уравнение Лаврентьева-Бицадзе.
Уравнение E.9.21) при а = 0, C = а = 2 принимает вид
0<«<1..>0.	E.9.28)
Пусть А = const > 0, у/2 В = у/АГ{2 — а)/В2 . Тогда функция
u(x,t) = At1-(X-Bx	E.9.29)
будет решением уравнения E.9.28), удовлетворяющим условию
и(х, 0) = -Бж, гх(О, t) = At1'01.	E.9.30)

5.10]	Об одной модели распределения концентрации молекул	201
На евклидовой плоскости точек (ж,?) линии Л^~а ± Вх = const
в определённом смысле играют роль характеристик уравнения
E.9.25).
Принимая во внимание E.9.29) и начальное условие из E.9.30),
уравнения E.9.24) и E.9.25) при а = 0 можно записать следующим
образом:
ъ
vBp— u(x, t) dx = u;at~a,	E.9.31)
, rj) ~
где uoa = A - a)aABp. При а = О условие E.9.31) в силу E.9.30)
ь
	у ч . ЬВ		/ ч Г , ч dx
переходит в условие и\ъ) = At	, где и\ъ) = и\х, t)—— — среднее
о
значение и(х, t), а уравнение E.9.32) — в уравнение
д и
5.10. Об одной модели распределения
концентрации поглощающих молекул по трассе
лазерного излучения
Для прогноза распределения концентрации поглощающих молекул
по трассе z ^ 0 лазерного излучения в случае, когда поглощающий слой
%о ^ z ^ zq + / толщины / является фрактальной средой, в качестве
аналога классического уравнения непрерывности разумно предложить
уравнение
kD™tv = -||, т = const ^ 0,	E.10.1)
где к = const > 0, v = v(z,t) — концентрация поглощающих моле-
молекул в точке z G [zo,zo + /] в момент времени t, q = q(x,t) — поток,
0 < а ^ 1.
К уравнению E.10.1) присоединим второй закон Фикас коэффици-
коэффициентом диффузии, линейно зависящим от самой концентрации:
q = -^-(av + b)v, b = const > 0.	E.10.2)
Здесь а — положительная величина, характеризующая синергети-
ческий характер процесса взаимодействия лазерного пучка с поглоща-
поглощающей средой.

202	Применение элементов дробного исчисления	[Гл. 5
Из E.10.1) и E.10.2) заключаем:
kD?tv = -^-2 [{av + b)v].	E.10.3)
и z
Уравнение E.10.3) после почленного дифференцирования по t пе-
перепишется в виде
kD^v = [Bav + b)vt]zz.	E.10.4)
Пусть
zo+l
I
Уравнение E.10.4) при интуитивно ясных предположениях можно
аппроксимировать уравнением
kD?f1v = 2avtvzz.	E.10.6)
Через t* обозначим время, когда концентрация (число) молекул по-
поглощающей среды достигает максимального значения и начинает дей-
действовать эффект просветления. Можно допустить, что на критической
линии t = t* евклидовой плоскости точек (z,t) в слое zq ^ z $J zq + /
с числом молекул v(z,t*) в каждой точке z G [zo,^o + I] ne имеет
места закон Бугера-Ламберта-Бера или же на этой линии наступает
насыщение резонансового перехода [55, с. 36].
Пусть в некоторой окрестности \t — t*\ < e точки t*
vt = \t- U\mX(t)sign(t. - t),	E.10.7)
где т = const ^ 0, x(t) — непрерывная и положительная в этой окрест-
окрестности функция.
Если в уравнении E.10.6) сомножитель Vf заменить его значением
E.10.7), то оно сводится к уравнению
kD^v - 2aX(t)\t - Цш siga(U ~ t) • vzz = 0.	E.10.8)
В силу E.10.5) и необходимого условия экстремума функции vt на
сегменте \t — t*\ ^ е ясно, что т > 0.
При а = 1 уравнение E.10.8) является уравнением смешанного ти-
типа, оно эллиптично при t > ?*, гиперболично при t < t* и параболично
при t = t*.
Рассмотрим модельную ситуацию, когда имеет место нелокальное
условие типа условия Самарского [57, с. 140]:
?-t).	E.10.9)
zo

5.11]	Применение к проблеме регуляризации задачи Дарбу	203
При соблюдении E.10.9) уравнение E.10.6) эквивалентно уравне-
уравнению
D^v + sign(t - U) \t - U\mvzz = 0.	E.10.10)
В уравнениях E.10.9) и E.10.10) перейдём к новым независимым
и зависимым переменным:
х = z — 2о, у = t — t*, u(x, у) = v(x + zo, У + t*). E.10.11)
В результате получим
u(x,y)dx =	|y|msigny,	E.10.12)
о
D?±lyu(x, rj) + sign у \у\тихх = 0.	E.10.13)
Если в E.10.13) положить т = ?*, то оно перейдёт в уравнение
D^u{x, rj) + sign у\у\шихх = 0.	E.10.14)
Уравнение E.10.14) естественно называть нелокальным уравнени-
уравнением смешанного типа. При а = 1 оно совпадает с уравнением Геллер-
стедта.
Изложенный здесь подход был апробирован на XII Международной
конференции «Воздействие интенсивных потоков энергии на вещество»
[61, с. 84].
5.11. Применение к проблеме регуляризации
задачи Дарбу
Рассмотрим исключительный случай уравнения E.9.12), т.е. урав-
уравнение
иуу - у2ихх + их = 0	E.11.1)
в области ft = {(ж, у), 0 < ? < rj < 1}, где
? = *-\, v = x + y> y<0'	E'1L2)
Единственное решение и(х,у) задачи Коши
задаётся формулой [13, с. 268]
1
и(х,у) = г (х - -у2) + | J^_ U + A -2^)^- Л. E.11.4)
\	Z /	Z J д/1 — t L	I
о

204	Применение элементов дробного исчисления	[Гл. 5
В силу E.11.2) равенство E.11.4) имеет вид
E.11.5)
Функция u(x, у) = г (х — у2 /2) — т@), где г (ж) — любая функция
из класса С[0,1] П С2 ]0,1[, является решением однородной задачи Дар-
Дарбу
иу(х,0) = 0, и(х/2,-у/х) = 0, 0 < х < 1,	E.11.6)
для уравнения E.11.1). Поэтому задача Дарбу E.11.6) для уравнения
E.11.1) не является корректной по Адамару [63].
Для регуляризации задачи Дарбу вместо уравнения E.11.1) можно
рассмотреть нагруженное уравнение
иуу - у2ихх + их = \D^u(t, 0),	E.11.7)
где Л — спектральный параметр, а ^ 0.
Проблема состоит в определении регулярного в области ft решения
и(х, у) уравнения E.11.7) из класса С (ft) П С1 (ft U /), удовлетворяю-
удовлетворяющего краевым условиям
uy(x,0) = i/(x), и(х/2,-у/х) =<р(х), 0 < х < 1, E.11.8)
где v(x) и ip(x) — заданные функции, / — интервал 0 < х < 1 прямой
У = 0.
Непосредственным вычислением легко проверить, что в характери-
характеристических координатах E.11.2) можно записать
1! ~ ? {Щ ~ uri), иуу ~ У2ихх + их = -4G7 -
Следовательно, уравнение E.11.7) эквивалентно уравнению
2
д2и _ 111 ди _
E.11.9)
d?dri fl-idri 4(? - г)) '
где
т(х) = и(х,0).	E.11.10)
Уравнение E.11.9) допускает следующую запись:
Соответствующая E.11.3) однородная задача Коши в характеристи-
характеристических координатах имеет вид
= 0. «1ч=€ = °> 0 < С < I- E.11.12)

5.11]	Применение к проблеме регуляризации задачи Дарбу	205
Решение уравнения E.11.11) будем искать в классе функций, обла-
обладающих тем свойством, что
D^r(t) e L[0,l].	E.11.13)
Как видно из E.11.11),
Г)
Vv^ jj = j jfa - ii)-1/2D^r(t) d& + A(V),
где
и = \
Z
Отсюда с учётом E.11.13) находим
Г)	ГЦ	Г]
и — т /	{т ~~ ?i)~ ^o?irM d?i + G71 — ^)~1^2v4(r/i) drji.
z г z	z
В двойном интеграле переставим порядок интегрирования. Тогда
будем иметь
?7	77
u2. E.11.14)
Во внутреннем интеграле в слагаемом и\ произведём замену пе-
переменной интегрирования, положив rji = rj — (rj — ?i)t. В результате
можем записать
-1/2
Отсюда гго формуле Эйлера A.10.3), принимая во внимание, что
В A,1/2) = 1/д/тт , находим
Произведя очередную замену по формуле ?i = rj — (rj — ?)s, оконча-
окончательно получим

206	Применение элементов дробного исчисления	[Гл. 5
Стало быть, если для любого х Е / существует D^1r(^), то
1
dm	A
2 J * * V2'lj2J
о
Поэтому
0
Обратимся теперь ко второму слагаемому ич в E.11.14). Легко
видеть, что
^К+^О«]	E.Ц.16)
В силу E.11.15) и E.11.16) функция E.11.14) будет удовлетворять
первому условию из E.11.12) тогда и только тогда, когда А{г\) = 0.
Следовательно, система E.11.10), E.11.11) в классе функций и(х, у) Е
Е С2(п) П С1 (ft U /) П С(П) и таких, что существует D^+Ir(t)
и имеет место включение E.11.13), эквивалентна уравнению
и(х,у) =
Теперь, опираясь на E.11.5) и E.11.17), нетрудно заметить, что
задача E.11.7), E.11.8) эквивалентна задаче
, 0 < V < 1	E.11.18)
и
для нагруженного уравнения
Г)	7]
\ Dfa
Г]
Г
х \(Vi -?)~1/2(Vi -6)/2^i- E.11.19)

5.11]	Применение к проблеме регуляризации задачи Дарбу	207
Предположим, что х~1^2и{х) Е L[0,1], и удовлетворим E.11.19)
условию E.11.18). Тогда получим
XXX
ф) = т@) - \ | ^ dt + ±
0	0	?
E.11.20)
же/.
Пусть (р{х) Е СG) П Cfl(/). Тогда из E.11.20) после законного диф-
дифференцирования находим, что любое решение уравнения E.11.20) пред-
представляет собой решение уравнения
X
01 = ^ J(x O-1/2D^r(t) dt	E.11.21)
<р\х) + 01
о
Отсюда получается, что при Л = 0 задача Дарбу E.11.7)-E.11.8)
разрешима тогда и только тогда, когда
2у/х(р'(х) + и(х) = 0.	E.11.22)
Как отмечено ранее, при соблюдении E.11.22) эта задача имеет бес-
бесчисленное множество линейно независимых решений.
Пусть Л ф 0. Тогда уравнение E.11.21) эквивалентно уравнению
D^D^rit) = Ф„(х; Л),	E.11.23)
где
Ф„(х; Л) = ^= [2у/х~<р'{х) + у{х)} .	E.11.24)
Уравнение E.11.23) в свою очередь эквивалентно системе
DoMt) = та(х),	E.11.25)
Оо*/2таЮ=Фи(х;\).	E.11.26)
Для того чтобы уравнение Абеля E.11.26) было однозначно разре-
разрешимо в L[0,1], необходимо и достаточно, чтобы функция
?>ов1/2Ф„(*; А) € АСG),	E.11.27)
т. е. чтобы она была абсолютно непрерывной на сегменте [0,1].
Пусть выполнено E.11.27). Тогда единственное решение та(х) Е
Е L[0,1] уравнения E.11.26) задаётся формулой
та(х) = Dl'x4u{t- A).	E.11.28)
По условию искомое решение т(х) должно принадлежать классу
С [0,1] и удовлетворять условию
т@) = <р@).	E.11.29)

208	Применение элементов дробного исчисления	[Гл. 5
Очевидно, что если а > 1, то задача Коши E.11.29) для уравнения
E.11.25) будет иметь не одно решение. Поэтому мы будем рассматри-
рассматривать случай, когда а Е [0,1].
При а = 0
т(х) = то(х) = Dl^vfa A).	E.11.30)
Функция E.11.30) удовлетворяет условию E.11.29) тогда и только то-
тогда, когда существует
lim ФДж,А) = 0.	E.11.31)
ж—^0
Пусть <р'(х) и v(x) непрерывны на [0,1]. Тогда условие E.11.31)
в соответствии с E.11.24) означает, что */@) = 0.
Итак, при а = 0 задача Дарбу E.11.8) для уравнения E.11.7) не
может быть корректной, входные данные <р(х) и v(x) мы не можем
задавать произвольным образом. Даже в случае, когда они принад-
принадлежат С2[0,1] и выполнено условие г^@) = 0, возникает необходимое
условие разрешимости
lim \dJ Ф„(?; А) — (р@)\ = 0.
Проверим теперь случай, когда а = 1. При а = 1 уравнение E.11.25)
согласно E.11.27) и E.11.28) принимает вид
т'(х) = Dl'x4v(t- A).	E.11.32)
Единственное решение задачи Коши E.11.29) для простейшего уравне-
уравнения E.11.32) определяется равенством
D^Dl{4I/{i- Л).
Условие E.11.27) позволяет переписать его в виде
т(х) = ф) + D~^4v{t- I) + ZVo1/2<M*; А).	E.11.33)
Очевидно, что
lim
2. /. ЛЧ 2 ,. Г 1\fi(p'(t) + v(i) j.
ф^^; А) = -— lim 	 v ' —^^ at =
Поэтому, если tpf(x) при х —> 0 обращается в счэ порядка < 1, а
как и ранее, — в оо порядка < 1/2, то
HmD0-1/2<Mi; A) = D^'4v{t; A) = 0.

5.11]	Применение к проблеме регуляризации задачи Дарбу	209
Это говорит об абсолютной непрерывности функции т{х) на сегменте
[0,1].
Функция E.11.33) является элементом С2A) тогда и только тогда,
когда ?>of фЛ*5 Л) ? С{1).
Пусть теперь 0 < а < 1. В классе СA) уравнение E.11.25) эквива-
эквивалентно уравнению Абеля
Da~1r(t) — П~1т (t)	E 11 ЧА)
Уравнение E.11.34) имеет решение t(x) G L[0,1] тогда и только
тогда, когда
Do™DotlrM) = Dvx~lrcx{t) ? ЛС{7).	E.11.35)
При соблюдении E.11.35) единственное решение E.11.34) определя-
определяется формулой
Т(х) = D~^Ta(t).	E.11.36)
Пусть
<4(t;A)et[o,i].	E.П.37)
Тогда на основании A.19.5) имеем
= ?>5^2"аФА(*; А) - О01/2ФА(*; А)^у;
Следовательно, формула E.11.36) при этих предположениях допус-
допускает следующую форму записи:
т(х) = О10/х2~аФ„(Р, Л),	E.11.38)
а условие E.11.35) принимает вид
?>ох~1/2фЛЪ Л) ^ АС (Г).	E.11.39)
Требования, предъявленные нами к входным данным <^И1/, гаран-
гарантируют условия E.11.39) и E.11.37).
Из E.11.38) заключаем, что условие
lim ?>^2-аФ„(*; А) = ф)	E.11.40)
необходимое для разрешимости исследуемой задачи Дарбу.
При а = 1/2, (р'(х) е С[0,1], и{х) е С[0,1], функция т(х) =
= Ф^ (ж; Л) и условие E.11.40) переходит в условие 2г/@) = Л^/тг <р@).
Итак, задача Дарбу E.11.8) для уравнения E.11.7) является кор-
корректной лишь при а = 1, Л ф 0. Она при 0 ^ a $J 1 не может иметь

210	Применение элементов дробного исчисления	[Гл. 5
более одного решения, при а > 1 соответствующая однородная задача
имеет нетривиальное решение.
Изложенные в этом параграфе результаты дополняют и уточняют
статью [73], где исследована задача E.11.8) для линейного уравнения
п
иуу ~ {~У)ГПихх + о,их + buy + ^^ diD^u(x, 0) + си = d.
5.12. Задача Самарского в видоизменённой
постановке для нелокального диффузионного
уравнения
Рассмотрим нелокальное диффузионное уравнение
D$tu = auxx, 0 < а < 1.	E.12.1)
При а = 1 уравнение E.12.1) совпадает с уравнением диффузии
Фурье E.3.1). Как отмечено в §5.9, решение и = u(x,t) допускает
различные физические и биологические интерпретации. В частности,
u(x,t) может означать влажность в точке х почвогрунта, имеющего
сильную пористость, или же плотность частицы в момент времени t
при субдиффузионном режиме (см. уравнение E.9.14)).
Пусть ft = {(x,t) : 0 < ж < 1, 0 < t < Т} — область евклидовой
плоскости точек (ж, i).
Решением уравнения E.12.1) в области ft назовём такую функцию
u(x,t), которая:
1)	непрерывна в замыкании ft всюду, за исключением, быть может,
отрезка t = 0, 0 $J х ^ 1;
2)	такова, что произведение t1~au(x, t) непрерывно в Л;
3)	в области ?1 обладает производной D^tu^ суммируемой по
х G [0,1] для всех t > 0;
4)	имеет непрерывную производную второго порядка по ж, сумми-
суммируемую по ж G [0,1] для всех t > 0;
5)	обращает уравнение E.12.1) в равенство.
Задачей Самарского в видоизменённой постановке будем называть
следующую задачу.
Задача S. Найти решение и(х, t) уравнения E.12.1), удовлетворя-
удовлетворяющее условиям
lim ^-^(ж, i) = т(ж), 0 ^ ж ^ 1,	E.12.2)
гх(О, t) = uo(t), 0 < t ^ T,	E.12.3)
1
lu{x,t)dx = fjlta-1, 0<t^T,	E.12.4)
о
где т(ж) и uo(t) — заданные непрерывные функции своих аргументов,
\i — заданное действительное число.

5.12]	Задача Самарского в видоизменённой постановке	211
При а = 1 задача совпадает с задачей Самарского [57, с. 140]:
щ = аихх,	E.12.5)
и(х, 0) = т(ж), (К ж О,	E.12.6)
u@,t) = uo(t), O^t^T,	E.12.7)
Г
\u(x,t)dx = \l, O^t^T.	E.12.8)
j
о
Условие
l
I r(x)dx = fi	E.12.9)
о
представляет собой необходимое условие разрешимости задачи Самар-
Самарского E.12.5)-E.12.8). При соблюдении E.12.9) условие E.12.8) экви-
эквивалентно условию
1
-Ц- u(x,t)dx = 0.	E.12.10)
j
о
При определённой схематизации (см. [65], [118]) уравнение E.12.5)
описывает процесс влагопереноса в почвенном слое 0 $J ж $J 1. Условие
E.12.10) в этом случае означает скорость расхода влаги и(х, t) в слое
0 ^ ж ^ 1 в момент времени t.
В работе Н.И. Ионкина [32] реализован метод Фурье решения зада-
задачи Самарского для уравнения E.12.5).
Поскольку
то из E.12.4) вытекает, что
1
и (' v гЛ г\ ф — П П << i <^ Т7	^ 1 9 1 1 ^
ilyJb , IJ J (JLJL — U, U\6^J.	yO. LA. _L _L j
0
Из E.12.2) и E.12.4) заключаем, что
i	i
lim t1~OL u(x. t) dx = t(x) dx = a.
t-ю	J	J
о	о
А это означает, что условие E.12.9) остаётся необходимым и в случае
задачи S.

212	Применение элементов дробного исчисления	[Гл. 5
Поскольку
11	1
Dot*Dor, u(xi О dx =\ и(х>l) dx + f?^y ]™ ^оГ1 ^(ж> О ^>
lim Dgf1 [ гх(ж, f) da = Г(а) [ т{х) dx,
о	о
то при соблюдении необходимого условия E.12.9) условие E.12.11)
будет эквивалентно условию E.12.4).
Для демонстрации метода Фурье и в случае задачи S ограничимся
случаем, когда г^о(^) = 0, а = 1.
Итак, методом Фурье требуется найти решение u(x,t) уравнения
D%tu = uxx,	E.12.12)
которое удовлетворяет условиям (см. E.12.2)-E.12.4))
lim гг~аи(х, t) = т(ж), 0 ^ х ^ 1,	E.12.13)
гх(О,*) = О, 0<t^T,	E.12.14)
их@, t) = ux(l, t), 0 <t^T.	E.12.15)
Легко видеть, что E.12.15) — следствие E.12.11) и E.12.12).
Нетривиальные решения задачи E.12.12)—E.12.15) вида
u(x,t) = (p(x)y(t)
таковы, что
0, V'(O) = V'A), E-12.16)
y() l.	E.12.17)
Любое решение задачи E.12.16) удовлетворяет уравнению
{[<р'(х)]2 + \<р2(х)У = 0
и, стало быть, равенству
Другими словами, если X ф 0, то любое решение <р(х) нелокальной
задачи E.12.16) является решением задачи Дирихле:
ip"(x) + \<р(х) = 0, <р@) = 0, <рA) = 0.	E.12.18)

5.12]	Задача Самарского в видоизменённой постановке	213
Любое нетривиальное решение задачи E.12.18) имеет вид
<р(х) = ^М sin (irjx), j = 1,2,...	E.12.19)
Очевидно, что функция E.12.19) будет решением задачи E.12.16) тогда
и только тогда, когда j = 2k. Следовательно, числа
\k = BirkJ, /с = 0,1,...
и функции
), A: = 1,2,...	E.12.20)
соответственно представляют собой собственные значения и собствен-
собственные функции задачи E.12.16) (см. [31]).
Соответствующая собственному значению А& присоединённая
функция (p2k-i{x) определяется как решение задачи
-1 = ~2\/Afc (f2k,
и она определяется формулой
<P2k-i{x) = xcosB7rkx), к = 0,1,...	E.12.21)
Задаваемая формулами E.12.20), E.12.21) система
(ро(х) = ж, if2k-i{x) = х cos Bтт/гж),
E.12.22)
() = sin Bтг/гж), /с = 1, 2, ...
образует базис Рисса в L2[0,1] (см. [32], [31]).
Нелокальная задача
= 0, ^A) = 0. ^@) = ^A)	E.12.23)
является сопряжённой к задаче E.12.16).
Любое решение ф(х) задачи E.12.23) удовлетворяет условию
и, стало быть, равенству ф'@) = 0. Другими словами, любое решение
задачи E.12.23) является решением задачи Неймана
(х) = 0, ?//@) = 0, ^A) = 0.	E.12.24)
Любое решение задачи E.12.24) есть решение уравнения
ф(х) = ^@) cos (irjx), j = 0,1,. . .	E.12.25)
Следовательно, функции E.12.25) будут решениями задачи E.12.23)
тогда и только тогда, когда j=2/c, /с = 0,1,...

214	Применение элементов дробного исчисления	[Гл. 5
Пусть
фо(х) = 2, ф2к-г{х) = 4 cos Bnkx),
E.12.26)
х) = 4A — х) sin Bтг&ж), к = 1, 2, . . .
— система собственных и присоединённых функций задачи E.12.23).
Последовательности E.12.22) и E.12.26) образуют биортогональ-
ную на интервале 0 < х < 1 систему функций, любую функцию т(х) G
G Ь2[0,1] можно разложить в биортогональный ряд [32]:
оо
т(х) =
где т0 = (г, ^о)о, Т2/, = (г, ф2к)о, т2к-1 = (г, ip2k-i)o-
Единственное решение задачи E.12.17) определяется формулой
y(t) = T{a)D^aEa(-\r,a).	E.12.27)
Единственное решение z(t) видоизменённой задачи Коши
lim^-^m = 0
для уравнения
D%tz(r,) + Xz(t) = y(t)
определяется формулой
t
z(t) = ft j Ea[-X(t - v)a]Dovay@ dV.	E.12.28)
о
Формулы E.12.27) и E.12.28) можно получить, опираясь на теоре-
теорему 2.2.2 и формулу B.2.16).
Теперь прямой проверкой можно убедиться в том, что функция
vk(x, t) = (p2k-i{x)yk(t) - 2y/\k <p2k{x)zk{t),	E.12.29)
r^eyk(t) совпадает с функцией E.12.27), & zk(t) —с функцией E.12.28),
при X = \k будет решением уравнения E.12.12) тогда и только тогда,
когда
Пользуясь формулами E.12.27), E.12.28) и последним утверждени-
утверждением, можно доказать следующую теорему.
Теорема 5.12.1. Пусть r{x) G С2 ^Д^С^О, 1] и т@) = 0,
г;@) = т'A). Тогда функция
оо
U(X, t) = ^ iT2k^2k(x)yk(t) + T2k-lVk(x, t)],

5.13] Смешанная задача для однородного нелокального уравнения 215
где yk(t) и Zk(t) соответственно совпадают с функциями E.12.27) и
E.12.28) приХ = A/,, avk(x,t) определена формулой E.12.29), является
решением задачи E.12.12)-E.12.15).
Теорема 5.12.1 доказана 3. А. Нахушевой [90] и при а = 1 совпадает
с теоремой 2 Н.И. Ионкина [32].
5.13. Смешанная задача для однородного
нелокального волнового уравнения
В области ?1 = {(х, t) : 0 < х < 1, 0 < t < Т} рассмотрим однородное
нелокальное волновое уравнение
D%tu{x, rj) = с2ихх, 1 < а < 2.	E.13.1)
Уравнения такого типа возникают при математическом моделиро-
моделировании сплошных сред с памятью (см. E.8.25)).
Смешанная задача для уравнения E.13.1) ставится следующим об-
образом.
Задача 13.1. В области ft требуется найти решение u(x,t) урав-
уравнения E.13.1), непрерывное всюду в ft, за исключением, быть может,
отрезка 0 ^ х ^ 1 прямой t = 0, и удовлетворяющее начальным усло-
условиям
lim t2~au(x, t) = т(х), Yim[t2-au(x, t)]t = v(x), 0 < x < 1,
и краевым условиям
u(q f\ = q u{\ i) = О О < t < Т7	E 13 3)
Очевидно, что
lim? гх(ж, t)Jt = lim	^^-^	^- = i/(x).
t->-o	*->-о	t
Задача 13.1 впервые сформулирована и исследована в работе
В. А. Нахушевой [88].
Как и в случае волнового уравнения [108, с. 82]
utt = c2uxx,	E.13.4)
метод разделения переменных применительно к задаче 13.1 реализует-
реализуется по следующей схеме.
В первую очередь найдём класс нетривиальных решений уравнения
E.13.1), удовлетворяющих краевым условиям E.13.3) и представимых
в виде
E.13.5)

216	Применение элементов дробного исчисления	[Гл. 5
Подставляя предполагаемую форму решения E.13.5) в уравнение
E.13.1), получим
<р"(х) + Хф) = О, у>@) = 0, рA) = 0;	E.13.6)
DSMv) + Ас2г/(*) = 0.	E.13.7)
Нетривиальные решения задачи E.13.6) возможны лишь при зна-
значениях
А = (тгпJ, п = 1,2,...	E.13.8)
Собственные функции (рп(х), соответствующие собственным значе-
значениям E.13.8), определяются по формуле
фп(х) — sin (тгпж), га = 1,2, ...	E.13.9)
В силу B.4.1), B.4.2) и теоремы 2.4.1 общее решение уравнения
E.13.7) определяется формулой
= u2(—Ac2, a, 0; t) = a\ta 1E1/a[—Xc2ta; a] +
+ a2?a~2#i/a[-AcV; a - 1], E.13.10)
где в соответствии с B.4.14), B.4.15), B.4.17)
lim t2~ay(t) = ——-—-, lim — [t2~ay(t)] = * .	E.13.11)
Пусть yn(t) — решение E.13.10) уравнения E.13.7), соответствую-
соответствующее собственному значению Ап:
Vn{t) = »п^-1Е1/а[-Хпс21а- а]Г(а) + rnta~2 x
х E1/a[-Xnc2ta; а - 1}Г(а - 1), 0 < * ^ Т, E.13.12)
где согласно E.13.11)
тп = lim t2-ayn{t), vn = lim A [t2-«yn(^)].	E.13.13)
г—^U	ъ—^U (JLv
Решение задачи 13.1 ищется в виде ряда
оо
и(х, t) = Y, Vn(x)yn{t).	E.13.14)
n=l
При а = 2 из E.13.12) имеем
уп = i/ntEr1/2[-GrnctJ; 2] + rnEr1/2[-GrnctJ; 1].
Известно, что
^1/2B; I) = ch yz , Eij2(z\ 2) = —г^—,
v -^
ch iz = cos z, sh iz = г sin z.

5.13] Смешанная задача для однородного нелокального уравнения 217
Поэтому
Wh>nt sh (irncti) w ч vn sin (irnct)	, ,,
= 	y—-.	 + rn ch (irncti) =	 + rn cos (Trnct)
ППСН	7ГПС
и yn@) = rn, 2/^@) = i/n, ряд E.13.14) переходит в ряд Фурье
оо
гх(ж, t) = 2_j \rn cos (тгпс^) H	— sin (Trnct) sin (тгпж).
n=l
Сумма u(x,t) этого ряда будет, как это хорошо известно [108, с. 95], ре-
регулярным решением смешанной задачи с граничным условием E.13.3)
и начальным условием
и(х,0) = т{х) ut(x,0) = г/(ж), 0 < х < 1,
для одномерного волнового уравнения E.13.4), если:
1° производные функции т(х) до второго порядка включительно
непрерывны, третья производная кусочно непрерывна на сегменте [0,1]
и, кроме того,
т@) = тA) = 0, т"@) = т"A) = 0;
2° функция */(ж), непрерывно дифференцируемая на [0,1], имеет
кусочно непрерывную вторую производную и, кроме того,
1/@) = 1/A) = 0.
Удовлетворим E.13.14) начальным условиям E.13.2):
оо	оо
/ (рп(х) lim t ~ayn(t) = т(ж)> / ^п(ж) nm ~т~ [t ~ayn(t)] = */(#)•
^-—^	t->-o	^-—^	t->-o at
n=l	n=l
Отсюда в силу E.13.13), E.13.9) получаем: разложимость началь-
начальных функций в следующие ряды Фурье по синусам
оо	оо
т(х) = 2_j тп sin (тгпж), г/(ж) = ^~^ i/n sin (тгпж)	E.13.15)
71 = 1	71 = 1
является необходимым условием разрешимости задачи 13.1 в классе
функций и(х, t), представимых в виде ряда E.13.14).
Представления E.13.15) имеют место тогда и только тогда, когда
т@) = тA), i/@) = i/(l),	E.13.16)
1	1
тп = 2 т(х) sin (ттпх) dx, vn = 2 v(x) sin (тгпж) dx. E.13.17)
о	о
Кроме этого, ряды E.13.15) должны удовлетворять хорошо извест-
известному свойству рядов Фурье: если периодическая с периодом 2/ функция

218	Применение элементов дробного исчисления	[Гл. 5
F(x) имеет к непрерывных производных, а (к + 1)-я производная её
кусочно непрерывна, то числовой ряд
E.13.18)
п=1
где
1 Г t~i/ \	7ГПХ ,	,	1 f пМ , 7ГПХ ,
ап = - t ух) cos—-—ах, bn = - t yx) sin—-—ax,
/ J	/	/ J	/
сходится.
Если функция F(x) нечётна, то ап = О,
I
7	2 f п/ v . тгпх 7
Ъп = - \ Fix) sin —-— ах
I J	/
о
F(x) = 2^ bn sin ^p.	E.13.19)
n=l
Разложение E.13.19) имеет место, если F(x) на [0, /] имеет кусочно
непрерывную производную с точками разрыва первого рода и ^@) =
= F(l) = 0 (см. [108, с. 87]).
В дальнейшем для обоснования метода Фурье применительно к за-
задаче 13.1 нам понадобится следующая лемма [23, с. 133].
Лемма 5.13.1. Пусть р > 1/2, \± — произвольное комплексное
число и C — любое вещественное число, удовлетворяющее условию
Y < /3 < min |тг,-|.	E.13.20)
Тогда для любого целого р ^ 1 при \z\ —>• оо справедливы асимптоти-
асимптотические формулы
Ep(z; /i) = pzp{1->
z~k
k=i
Ep(z; /i) — -

5.13] Смешанная задача для однородного нелокального уравнения 219
Здесь следует отметить, что в случае, когда \± — ml p =
= 0,-1, —2,. . ., полагается
=	= Q
Г(/х-т/р) ГA+ /х-т/р)
Пусть в лемме 5.13.1 р = 1/а. Так как 1 < а < 2, то р > 1/2,
гшп{тг, тг/р} = гшп{тг,атг} = тг, и неравенство E.13.20) имеет вид
тта/2 < $ < тг. При z = Rez < 0 ясно, что | argz| = тг. Принимая это
всё во внимание, получаем асимптотические формулы при п —>• оо:
; а] =
1	. + (|
E.13.21)
сх/2ч-2т
}	V1
AГ ^_	+Q(|nV|),
E.13.22)
которые справедливы для любого р ^ 2.
Формулы E.13.21) и E.13.22) при р = 2 имеют вид
; а - 1] =	^	 + О (*^Р\ , E.13.23)
(тгпс) Г(—а — 1)	\ п J
E1/a[-(wncJta; а] = - *^ + О (^) . E.13.24)
(тгпс) 1 (—а.)	\ п J
Из E.13.23) и E.13.24) заключаем: существует натуральное чис-
число г такое, что для всех п ^ г
\Е1/а(-(жпс)На; а - l)\t3a < i,	E.13.25)
\Е1/а(-(тгпс)На; a)\t3a ^ \.	E.13.26)
Продолжим теперь обоснования метода Фурье. Нам достаточно
показать, что ряд E.13.14) и ряды, которые из него получаются при
двукратном дифференцировании по ж и при взятии производной по t
порядка а, будут равномерно сходиться при любом t ^ to > 0.
Разложение E.13.14) можно записать в виде
г-1
U(x, t) = ^ ^п(ж)уп(^) + V(X, t),
п=1
где
оо
n(x)Vn{t).	E.13.27)

220
Применение элементов дробного исчисления
[Гл. 5
Пользуясь оценками E.13.25) и E.13.26), из E.13.12) получаем, что
для всех п ^ г и t ^ to
I?/ (tM < (\т \ta~2 4- и \t°i~1\n~41 < (ta~2 т \-\-Та~1\и hr?~4
\Уп\ь)\ ^ \\'n\L	\ iyn\L	)п ^ \1о 'п\ * 2	\1Уп\)п
Если Та = max{^Q~2, Ta-1}, то отсюда имеем
\УпШ ^ ——4^~ Та Vn^r, t)t0.
п
В силу E.13.9)
Неравенства E.13.28) и E.13.29) говорят о том, что ряд
оо
та у Ы
+рА
является мажорантным для ряда E.13.27).
Рассмотрим ряд
v =
E.13.28)
E.13.29)
E.13.30)
E.13.31)
Функция yn(t) — решение уравнения E.13.7) при Л = (тгпJ, поэтому
ряд E.13.31) идентичен ряду
Следовательно, ряд
(тгсJТа
E.13.32)
E.13.33)
есть мажорантный для ряда E.13.32) и, стало быть, для ряда E.13.31).
Рассмотрим теперь ряд
оо
?? (а* +\ — \ ,nff (rr\n, D-\	(К 1 Q О.Л\
п=г
В силу E.13.6) и E.13.8) ряд E.13.34) переписывается в виде
оо
VXX{X, t) = -7Г2 ^ n2(pn(x)yn(t).
n=r
Отсюда на основании E.13.28) и E.13.29) заключаем, что ряд
является мажорантным для ряда E.13.34).

5.14]	Смешанная задача для неоднородного нелокального	221
Итак, функция, представленная рядом E.13.14), будет решением
задачи 13.1, если сходятся числовые ряды E.13.30) и E.13.33). Для их
сходимости достаточно, как и в случае волнового уравнения, соблю-
соблюдения условий 1° и 2° на начальные функции т(х) и и(х).
5.14. Смешанная задача для неоднородного
нелокального волнового уравнения
Этот параграф является продолжением § 5.13. Здесь в области ft
рассматривается смешанная задача 44.1 для неоднородного нелокаль-
нелокального волнового уравнения
Dgtu(x, rj) = с2ихх + /(ж, t), К а < 2,	E.14.1)
где
1
/(ж, t) = V^ fn{t) sin (тгаж), fn{t) = 2 f(x, t) sin (nnx) dx.
n=i	J
E.14.2)
В силу теоремы Стеклова [92, с. 463] разложение E.14.2) справед-
справедливо, если функция f(x,t) Е С(П), /@,?) = /A,^) = 0 и при любом
фиксированном t ^ 0 имеет кусочно непрерывную производную по х
с точками разрыва первого рода.
Будем искать решение задачи в виде ряда
оо
и(х, t) = 2_j un{t) sin (тгпх),	E.14.3)
n=l
предположив, что начальные функции т(х) и l/(x) представимы в виде
E.13.15).
Подставим предполагаемую форму решения E.14.3) в уравнение
E.14.1) и в начальные условия E.13.2). В результате с учётом E.14.2)
и E.13.15) получим
оо
n=l
«in (чг7тг\ Г Па II (п\ -\- \ r^ii ( + } — i ( + W — П-
bill yTV IIX j yLJ^LLnyil) п^ Лпо ilnyLj Jn\^)j — ^5
sin (тгпх) lim t2~aun(t) — rn\ =0;
sin (тгпх) lim — t2~aun(t) — vA =0,
Lt^o at	J
oo
E-
n=l
n=l

222	Применение элементов дробного исчисления	[Гл. 5
где, как и в § 5.13, Лп = (тгпJ, п = 1, 2, . . . Эти равенства возможны
тогда и только тогда, когда для всех п = 1, 2, . . .
DStuAv) + Kc2un(t) = fn{t),	E.14.4)
lim t2-aun(t) = rn, lim -J t2-aun(t) = i/n.	E.14.5)
Мы пришли к локальной задаче Коши E.14.5) для уравнения E.14.4)
и можем воспользоваться теоремой 2.4.1, положив А2 = тп, А\ = z/n,
1^1/ \	ул (	-1 \ \	Л	2	? (х\	П		 4-
а1 = VnL {(%)¦) 0*2 = TnL \& ~ ±)-> Л = ~ЛпС , V = Jn\t)-> а == ^5 Ж ^ t,
i? = г^п. Эта теорема даёт нам право утверждать: для любой функции
fn{t) G L[0,T] единственное решение un(t) задачи E.14.4), E.14.5)
задаётся формулой
un{t) = u2i-\nc2, a, 0; t) + г*2(-Апс2, а, /п; *),	E.14.6)
где
^2(~^пс , с^, 0; t) = vnFia)ta~ Ei/a[—\nc ta; a] +
+ тпГ(а - 1)^-2?/1/а[-Лпс2^; а - 1],
^2(-Апс2, а,/п; t) = F(a)JD^aE'1/a[-Anc2(t - 7у)а; а]/п(^)-
Ha основании E.13.12) формулу E.14.6) можно переписать в виде
Unit) = у nit) + г^2(-Апс2, а, /п; *).	E.14.7)
Таким образом, согласно E.14.3) и E.14.7) искомое решение задачи 44.1
в случае неоднородного уравнения записывается в виде
оо
гх(ж, ?) = ^ 2/„(?) sin (тгпж)Г(а)
п=1	п=1
х E1/a[-(nncJ(t - r,)a; a]fn(r,). E.14.8)
Из E.14.8) на основании E.14.2) заключаем, что решение однородной
задачи
lim t ~au(x, t) = 0, lim — \t ~au(x. t)] = 0,
*->-о	t->-o at
uiO,t) = 0, w(l,t) = 0
для неоднородного уравнения E.14.1) задаётся формулой
1
nil* i\ — 9Pfrv\ } \ «in (тгпЁЛ «in /
- Ч)°; а]/(С, г?)} ^,

5.15]	Математическая модель процесса трансформации полей 223
или
t 1
<?„(*,?; t-V)f(Z,ri)dZdri,	E.14.9)
О О
где
оо
Са(ж, С; * - ту) = 2^	У;	V^— #i/a[-(™c) (* - 7?)а; а].
E.14.10)
Как отмечено ранее, функция
(
-»?); 2]=
sin [тгпс(^ — 77)]
поэтому при а = 2 функция E.14.10) совпадает с функцией Грина [92,
с. 414]
2 ^ 1
G(x, ?; t — 77) = — N ~~ sm [vr^cf^ — 77I sin (тгпх) sin (тгтт/)
n=l
для одномерного волнового уравнения E.13.4).
5.15. Математическая модель процесса
трансформации полей температуры и влажности
в приземном слое атмосферы
В качестве математической модели многих физических процессов
в нижних слоях атмосферы при стационарных условиях и отсутствии
горизонтальной диффузии выступает уравнение
/ z у» ди _ д (z N1"* ди	.	>
Ul\YJ J^-klWz\YJ Ш' ж>0' z>0 EЛ5Л)
с соответствующими краевыми условиями [35]. Здесь ui, A;i, 7n, zi —
полож;ительные величины, 0 < е = const < 1, ?i = u(z, x) — функция
независимых переменных жиг, которую можно интерпретировать как
температуру или влажность.
Пусть р = (га + 1 — е)/е, ?2с2+р = 1. Тогда уравнение E.15.1) в но-
новых независимых переменных
с _ кхх _ ( z \?
ii^ -г2 '	\ 7л I
til Z\	^ -^1 /
принимает вид
ШГ\1 Г Т
О U	/г ir сл\
' д? дц*
где i/(?, г]) — и(

224	Применение элементов дробного исчисления	[Гл. 5
Уравнение E.15.2) на евклидовой плоскости точек (?,?/) является
уравнением параболического типа с нехарактеристической сингуляр-
сингулярной линией rj = 0, и оно было объектом исследований ряда работ,
начиная с [127].
Пусть u(z,x) — регулярное при х > О, z > 0 решение уравнения
E.15.1), непрерывное во всех конечных точках (z, x) с неотрицатель-
неотрицательными координатами, которое удовлетворяет граничным условиям
u(z,0) = 0 Vz^O, lim u(z,x) = 0 Ух^О	E.15.3)
z^ + oo
и обладает тем свойством, что существуют пределы
hm —— = */(?) hm —- = т (?),
суммируемые на сегменте 0 ^ ? ^ ^о Для любого ?о > 0- Тогда
E.15.4)
/( )(?) (?)
Весьма важная формула E.15.4), как и E.3.8), выводится из сле-
следующего общего представления всех решений уравнения E.15.1) или
E.15.2), удовлетворяющих условию E.15.3):
u(z, x) =
о
где
_	?	rji /, \ _ rri ( 4uiq2Zi\ _ rj, /4uiti 22-2
T(x) = u(O,x).
Этот вывод реализован Л.И. Сербиной [101].
5.16. О некоторых обобщениях закона
Кольрауша-Уильямса—Уоттса
Процессы релаксации различных типов в сложных конденсирован-
конденсированных системах (например, во многих стёклах и полимерах) подчиня-
подчиняются растянутому экспоненциальному закону, или закону Кольрауша
[120, с. 568]:
u(t) = рехр — ( — J .	E.16.1)
где р, г = const > 0, 0 < q = const < 1.
В формуле E.16.1) u(t) означает функцию релаксации или корре-
корреляционную функцию [120, с. 553], и её называют функцией Кольрауша
[55, с. 20]; р, q и т — параметры, зависящие от материала и внешних пе-
переменных, в частности температуры, причём, когда они зафиксирова-

5.16] О некоторых обобщениях закона Кольрауша-Уильямса-Уоттса 225
ны, параметры дитне зависят от ?, а параметр р может быть функцией
независимой переменной t > 0. Закон E.16.1) был впервые предложен
Кольраушом в 1864 г. для описания ползучести материалов, а в 1970 г.
был использован Уильямсом и Уотсом при моделировании диэлектри-
диэлектрической релаксации [120, с. 554]. В случае механической релаксации
в полимерах функция u(t) моделирует напряжение, соответствующее
произведению р = vE деформации v на модуль упругости Е [55, с. 20].
В статистической теории разрушения растянутый экспоненциальный
закон известен как распределение Вейбула [120, с. 554].
Формула E.16.1) в безразмерных переменных
ж = 7' у = ^Ш	EЛ6'2)
принимает простой вид
у = -xq.	E.16.3)
В силу E.16.3) и равенства D^x^q = ГA + q) функция E.16.3) яв-
является решением дифференциального уравнения дробного порядка
>?* V0 = О-	E.16.4)
Любое решение уравнения E.16.4) в пространстве L[0, /] предста-
вимо в виде
у(х) = (ах + Ь)ж9~\	E.16.5)
где а и b — произвольные постоянные.
Действительно, пусть у(х) — решения уравнения E.16.4) из класса
L[0,/]. Тогда
^2 ЩхгУ = 0 =* DVv = Ax + B,
где А и В — постоянные величины. Для любой функции у(х) Е L[0, /]
и почти всех х Е [0, /] справедливо равенство
4>(x) Va>0.	E.16.6)
Из E.16.6) при (р(х) = у(х), а = 1 — q получаем
Каковы бы ни были числа аи7 > -1, выражение
D°*v = nilV-«)x'1~a V7>~1' Va- EЛ6-7)
Поэтому Dl~qi = ж9/ГA + q), ?>J~91 = xq-1/T{q). Стало быть,
у(х) —	-	хя _|_ в хя-1 — (ах _|_ j,)™?-!
УУх>-ГA + )	{ах + 0)х
Г(Я)
8 А. М. Нахушев

226	Применение элементов дробного исчисления	[Гл. 5
С другой стороны, на основании E.16.7) любая функция, предста-
вимая в виде E.16.5), является решением уравнения E.16.4).
В самом деле, для любых постоянных величин а и b имеем
Ox Z - b—2 W) - 0.
2
Из E.16.2) и E.16.5) получаем следующий комбинированный закон:
Uq(t) = pexp [a(t/r)q] exp [б(^т)9].	E.16.8)
Как видно из E.16.8), при а < 0 lim и = 0 для любого Ь. Если же
t—>-оо
b < 0, то lim и = 0 для любого а.
to
Пусть «безразмерные физические» величины Dqx y(^) и у(х) свя-
связаны между собой линейной зависимостью — самой простой корреля-
корреляционной зависимостью:
?>о*1У@ = А»(а:) + /(а:), А = const.	E.16.9)
В силу B.4.1)-B.4.3) общее решение уравнения E.16.9) для любой
суммируемой функции f(x) задаётся формулой
E.16.10)
В этой формуле
1; q + 1] + a2x<'-1E1/(q+1)[\xq+1; q],
E.16.11)
E.16.12)
Здесь а\ и a<i — произвольные постоянные величины.
Пусть f(x) = /хж^, где /i = const, C = const > — 1. Тогда по опреде-
определению и согласно B.2.5) можно записать
tfi{x- t)qE1/{q+1)[\(x - t)q+1; q + l]dt =
о
k=o

5.16] О некоторых обобщениях закона Кольрауша-Уильямса-Уоттса 227
00	лк (q+l)k
Е г(,+1+(9+
,=о «- ¦¦* + * + (*¦
Отсюда имеем
В силу E.16.10) и E.16.13) общее решение уравнения
DqJ^/(^) = Ху(х) + \ix^\ \i = const, C = const > —1
определяется формулой
1 + l)x^qJrlE1/{q+l)[\xq+1] /3 + q + 2]. E.16.14)
При Л = 0 из E.16.14) получаем, что общее решение уравнения
имеет вид
qi(T\ - ai Тя , а2 Tq-i
У^-Г(9 + 1)Ж +Г(,)Ж
Отсюда при C = —q получаем
ф) =
Функции E.16.15) соответствует обобщённый комбинированный закон
ехр [г^ТТУ (г) J ехр [Щ (г) J *
(
E.16.16)
Формула E.16.16) в случае, когда р = 1, а2 = 0, /лГA — #)/т = —Л,
a\T~qIq = —B/T(q + 1), g = (i/((i + 2), где б/ — размерность простран-
пространства, совпадает с законом спадания концентрации u{t) = C{t) химиче-
химического вещества, частицы которого свободно диффундируют в растворе,
в котором случайно расположены практически неподвижные ненасы-
ненасыщенные ловушки [120, с. 581].
Если изменения концентрации C(t) во времени происходят в суб-
субдиффузионном режиме, то можно предположить, что функция C(t)
является решением уравнения стохастического переноса:
ГA - j)D^tC(rj) = Cot~7, Co = const ^0, 0 < 7 = const < 1.
E.16.17)
Общее решение уравнения E.16.17) имеет вид C(t) = Со + С\ (t/rO~ ,
С\ = const ^ 0, и концентрация C(t) подчиняется закону алгебраиче-

228	Применение элементов дробного исчисления	[Гл. 5
ского затухания, при t —> оо она стремится к единственному независи-
независимому от времени решению Со-
Наряду с законом Кольрауша при моделировании сложных систем
часто встречается и экспоненциально-логарифмический закон релакса-
релаксации (спадания) [120, с. 561]
u(i) = рexp —a log7 — , а, р = const > 0, 7 = const ^ 1.
E.16.18)
Из E.16.18) при 7 = 1 получим алгебраическое затухание
u(t)=p(^\ a^z(x) = ^^ = х~а.	E.16.19)
Легко доказать, что для любого числа /3 > а — 1 функция E.16.19)
является решением дифференциального уравнения
D$-a+1?Pz(?) = 0.	E.16.20)
Непосредственным обобщением уравнения E.16.20) является следу-
следующее обыкновенное дифференциальное уравнение дробного порядка:
^Ож а+ ?^z@ = Xx?z(x), А = const, e = const ^ 0. E.16.21)
Уравнение E.16.21) входит в класс уравнений C.2.2), исследован-
исследованных в § 2 гл. 3.
Пусть 0<а<1,/3 = е = 0. Тогда уравнение E.16.21) примет вид
Dj-az(O = \z(Cj.	E.16.22)
В силу B.2.13) общее решение уравнения E.16.22) определяется
формулой
z(x) = alX-a I * + Хх1-аЕ1/{1_а)[Хх1-а; 2 - 2а}\ . E.16.23)
В случае переноса возбуждений по фрактальной структуре с фрак-
фрактальной размерностью функция релаксации г^(^) = Ф(?) подчиняет-
подчиняется «ускоренному» степенному закону спадания [120, с. 555] Ф(?) =
= (Bt)~ °s ^ , Л, В = const > 0, который эквивалентен экспо-
экспоненциально-логарифмическому закону Ф(?) = exp [—A loga(B?)]. Если
?7 = log (Bi), то функция y(rj) = A~l log Ф (B~l exp 77) удовлетворяет
дифференциальному уравнению D^^y = 0. Естественным обобщени-
обобщением этого уравнения является уравнение
D^y = Ay,	E.16.24)
которое возникает при разделении переменных в уравнениях перено-
переноса в средах с фрактальной размерностью [87]. В частности, функция
г^(т7, х) = y(rj)z(x) будет решением уравнения переноса D^xu(^ x) =

5.17]	Применение к уравнениям состояния вещества	229
^ u(rj, ?), где В/з+i = const > 0, если y(rj) — решение уравне-
уравнения E.16.24), a z(x) удовлетворяет уравнению B^+iDqJ" z(?) = Xz(x).
Пусть в формуле E.16.16) г совпадёт с временем то, в течение кото-
которого можно считать неподвижным расположение совокупности взаи-
взаимодействующих в процессе переноса молекул доноров и акцепторов q =
= 1/2; /i = — 1/д/тг; а2 = 0; а\ = —(^RoKNa, где Яо — расстояние, на
котором оптические характеристики равны 1/tq, Na — число молекул
акцептора; Р = Nq — число молекул донора в 1 см3 в начальный момент
времени t = 0. Тогда эта формула переходит в следующий, хорошо
известный, комбинированный закон уменьшения (спадания) числа до-
доноров u(t) = N(i):
u(t) = Noexp[-t/TO-2тгRlNa^/t/^].
Эта функция, как и функция Кольрауша E.16.1), является решением
вырождающегося дифференциального уравнения вида
taur(i) + (pta + q)u(t) = г, 0 < а = const < 1, р, g, r = const.
E.16.25)
Вырождение говорит о фрактальной природе процесса релаксации.
Уравнение E.16.25) с условием u{t) —>• 0 при t —>• оо можно интер-
интерпретировать как дифференциальную форму записи закона спадания.
5.17. Применение к уравнениям состояния
вещества
Как показывает анализ, наиболее часто встречающиеся в физике
законы выражаются через функции типа Миттаг-Леффлёра и функ-
функции вида
К(аъа2, . . . , а6; х) = х^ loga2 (x) exp [-a3 loga4(x) - аъх^\ ,
где olj — параметры, которые не зависят от х > 0.
Например, «для большинства металлов (за исключением щелоч-
щелочных) изотерма при нулевой температуре может быть представлена
в виде» [33, с. 30]
Рх = А0К(-2/3, 0, 0, 0, 6,1/3; х) - ^ АГ(-4/3, 0,. . . , 0; х) +
(-1,0,...,0; х),
где х — безразмерный объём, Ло, Ь и А-± — постоянные, подлежащие
экспериментальному определению, 7 — коэффициент Грюнайзена, ро —
начальная плотность, А2 — энергия нулевых колебаний атомов.
Функция

230	Применение элементов дробного исчисления	[Гл. 5
для любой постоянной величины М является (см. [26]) автомодельным
решением следующего уравнения «теплопроводности на фрактале»
с размерностью Хаусдорфа а = d:
^ = хАаи, ж = const > 0, t > 0,	E.17.1)
где Аа = хх~а—— ха~1 —— — «с^-мерный оператор Лапласа».
ох	ох
Легко видеть, что
x\u(x,t)dx = ^rDTTKtI-a/2-i1-**/2.	E.17.2)
Формулы, аналогичные формуле E.17.1), имеют место в теории
аномального переноса частиц [123] (см. также [114]).
В случае аномальной диффузии во фрактальной среде квадрат
смещения u(t) = (АхJ диффундирующей частицы за время t ^> 1
равен const -ta (см. [40], [163]) и, стало быть, удовлетворяет уравнению
na~^~^Qi(?} — П О <r rv <r Л
JS r\j. LL I ц \ — U, U \ LX \ -L .
Уравнение «аномальной диффузии» E.17.1) можно переписать в виде
х (щ - >сихх) + A - ol)hux = 0,
и оно относится к классу уравнений параболического типа со знакопе-
знакопеременной характеристической формой [69].
Модель масштабного уравнения состояния [113, с. 46] имеет вид
f. ее ^^- = ? Bsnt?+nS,	E.17.3)
п=0
где pj и pg — плотности жидкой и газовой фаз, t = 1 — Т/Тс — относи-
относительная температура, рс и Тс — критические плотность и температура,
«амплитуды» Bsn и параметры /3 и 5 определяются путём идентифи-
идентификации 0 < /3, 5 < 1 (/3 = 0,325, S = 0,5).
Если положить Bsn = An/F(/i + nJ), где А и \± ? R, то из E.17.3)
получаем
fs = ^E1/s[\ts; /i].	E.17.4)
Пусть \i = C + 1, тогда функция E.17.4) будет решением диффе-
дифференциального уравнения порядка 5:
ЩЗ-6+iy
Это предложение позволяет утверждать, что уравнение
?&/. = А/.+ ?*""*,

5.18]	Уравнение роста численности популяции	231
содержащее всего лишь четыре параметра /3, 5, X и е, можно истол-
истолковать как модель масштабного уравнения состояния вещества, на-
например хладона Я134а.
Как отмечено в § 5.9, дифференциальным уравнениям состояния
дробного порядка посвящена работа [55].
5.18. Уравнение роста численности популяции
На состояние многих биологических систем в данный момент вре-
времени существенное влияние оказывает последовательность их предше-
предшествующих состояний. Такие явления, когда непрерывная последова-
последовательность прошлых состояний, т. е. предыстория системы, влияет на
её будущую эволюцию, В. Вольтерра назвал эредитарными (наслед-
(наследственными явлениями, а Э. Пикар — явлениями последействия [57, с.
109]).
При определённой идеализации уравнение роста численности или
биомассы u(t) популяции, учитывающее явление последействия, для
любого момента времени t Е [0, Т] может быть записано в виде
uf(t) = L- iilU(t) + /i0 (t) - j <p(t - 0"@ dt\u(t) + f{t). E.18.1)
Коэффициент прироста здесь состоит из коэффициента автоприро-
автоприроста /i; члена ц\и, означающего эффект Ферхюльста о конкуренции
внутри видов; члена n$(t), возникающего благодаря сезонным изме-
изменениям среды; наконец, интеграла, учитывающего явление последей-
последействия — эффект запаздывания. Функция f(t) выражает скорость им-
иммиграции.
Уравнение вида E.18.1) принято трактовать и как обыкновенное
дифференциальное уравнение с распределённым запаздыванием или
нелокальным смещением (сдвигом).
Пусть между функцией (р = у?(г), 0 ^ т ^ t, которую назовём эреди-
тарной (или диссипативнои) памятью, и независимой переменной т
существует простейшая, с точки зрения математики, связь
<Р(г) = Х0+Х^{ааI.	E.18.2)
Здесь а = const < 0, Aq и Ai = const ^ 0 — параметры явления после-
последействия, которые одновременно не обращаются в нуль.
Гипотеза E.18.2) и определения интегрального преобразования Ри-
мана-Лиувилля A.1.6) позволяют записать

232	Применение элементов дробного исчисления	[Гл. 5
Таким образом, в случае E.18.2) для описания динамики популяции
можно воспользоваться сравнительно простой моделью
«'(*) = {/ioi - /*!«(*) - Ao/VtVO " \iD%tu(O}u(t) + fit), E.18.3)
где /ioi = [л -\- [jLq, D$t u(?), по терминологии Вольтерра, представляет
собой количество жизни популяции.
Как видно из E.18.3), на значение и(т) в момент времени г = t
может оказать существенное влияние интегрированное значение чис-
численности (плотности) популяции на множестве ?1Т предыдущих времён
т ^ ?, которое образует фрактал, погружённый в одномерное простран-
пространство Евклида с фрактальной мерой d\iT = dr~OL/ГA — а). Другими
словами, численность (биомасса) u(t) в момент времени t существенно
зависит от
t	t
DSMt) = fJ-^ Ju(i - т)т-а-г dr = Ju(i - r) dfiT. E.18.4)
0	0
В силу E.18.4) величину DQtu(r) можно назвать фрактальным
количеством жизни популяции.
Для любого а < 0 имеем D^l = ?~а/ГA — а). Поэтому функция
г? = иш является стационарным решением уравнения E.18.3) тогда
и только тогда, когда
L + Ло1!+^1^а] - / V t^ 0.	E.18.5)
Пусть выполнено условие E.18.5) и v = v(t) — малое отклонение
от состояния равновесия и = ит. Подставим функцию и = ит + v в
E.18.3) и отбросим нелинейные члены как величины более высокого
порядка малости. В результате получим уравнение первого приближе-
приближения:
(L	) + (XoD^v + AiDftv)wm = 0.	E.18.6)
Если допустить, что скорость иммиграции / значительно мень-
меньше ит — / ^С ит, то из E.18.6) имеем
v1 + \ixumv + (AoD^v + AiDJtv)wm = 0.	E.18.7)
Отсюда после законного дифференцирования получим
Xoumv + Ai^mD^+a7; = 0.	E.18.8)
Как следует из E.18.7), интересующее нас решение v(i) уравнения
E.18.8) при t = 0 должно удовлетворять начальному условию
г/(О) + /лг*тг;(О) = О.	E.18.9)
Когда главным фактором, влияющим на численность (биомассу)
популяции, служит не эффект Ферхюльста, а явление последействия

5.18]	Уравнение роста численности популяции	233
с параметром Ao = 0hAi>0, можно положить /ii = 0 и выражения
E.18.8) и E.18.9) переписать в виде
= 0, \ = fj,um,	E.18.10)
v'{0) = 0.	E.18.11)
Здесь, естественно, возникает вопрос: в какие моменты времени
малое отклонение v затухает, т. е. наступает ли такое время to, когда
v(t0) = 0.	E.18.12)
Для ответа на этот вопрос в первую очередь заметим, что любое
решение v(t) уравнения E.18.10), удовлетворяющее условию E.18.11),
будет решением уравнения
v'(t) + XD%tv{?) = 0.	E.18.13)
Уравнение E.18.13) в свою очередь эквивалентно нагруженному инте-
интегральному уравнению Вольтерра второго рода
v(t) + XD^uit) = v@).	E.18.14)
Теорема 2.2.1 и формула Хилле—Тамаркина говорят об эквивалент-
эквивалентности уравнения E.18.14) следующему нагруженному функционально-
функциональному уравнению:
v(t) = »@)^ [ ??i_a [-А(* - тI""] dr.	E.18.15)
о
Согласно определению B.2.5) функции Миттаг-Леффлёра имеем
к=0
о
к=0
Г— \+1~а1к
х \i + ^\v- «у»* п„	х	L Л1 \	_ Z^	Г \+1 — ас~\
О
/с=0
Следовательно, уравнение E.18.15) эквивалентно уравнению
v(t) = v@) cosi_a(z), z = A^~a,	E.18.16)
00 (-l)kzf3k
где cosp(z) = ^2 p/-.	~~ обобщённый косинус.
к=0[У1 + Рк)
Из формулы E.18.16) на основании отмеченного в § 3.5 свойства
функции Миттаг-Леффлёра Ep(z) заключаем, что для любого А > 0
существует нечётное число п моментов времени t\, ?2, • • • , ^т где
отклонение v(t) от равновесного состояния популяции обращается

234	Применение элементов дробного исчисления	[Гл. 5
в нуль: v(tk) = О, к = 1, 2, . . . , tn; п = 1 (mod 2). Верно и обратное,
в определённом смысле, утверждение: при заданном to задача E.18.11),
E.18.12) для уравнения E.18.10) имеет одно нетривиальное решение.
Существуют различные уравнения роста численности популяции.
Обобщённый логистический закон роста численности популяции
(например, этноса) имеет вид [90, с. 140]
4)=<7' 0<аО) EЛ8Л7)
где а, р и q — неотрицательные величины.
Уравнение E.18.17) можно заменить непрерывным дифференци-
дифференциальным уравнением
При а = 1 уравнение E.18.17) переходит в уравнение Бернулли-Ферх-
юльста [57, с. 104]
u'(t) = pu(t) - qu2(t).	E.18.18)
При q = 0 уравнение E.18.18) известно как модель Мальтуса.
Разностным аналогом модели Мальтуса является уравнение
Vun = \pun,	E.18.19)
где Vi?n = ип — un-i, п = 1,2,..., — восходящие разности первого
порядка, а Ар = 1 — ехр (—р).
Непосредственным обобщением разностного уравнения Мальтуса
E.18.19) на случай, когда численность (биомасса) в п-м поколении
популяции зависит от т предшествующих поколений, может служить
простейшее междупредельное разностное уравнение
V>n = Anun, n = l,2,...	E.18.20)
Здесь
771=1,2,...
\ 1С I
k=0
— междупредельная конечная разность порядка а > 0 функции u(t)
в точке t = п, Ап — функция дискретного аргумента п.
5.19. Применение к задаче определения формы
прорези плотины
Рассмотрим задачу определения формы прорези плотины х = f(y)
прохода в дамбе, в которой расход жид кости является функцией вы-
высоты прорези h. При определённых предположениях, включающих

5.19] Применение к задаче определения формы прорези плотины 235
равенство величины пьезометрического напора в сечениях над гори-
горизонтальной плоскостью давления и малость скорости жидкости за про-
прорезью, уравнение Бернулли имеет вид [125]
- у), y^h	E.19.1)
dQ = 2vyf(y)dy, Q@) = 0,	E.19.2)
где vy — скорость в точке у, g — ускорение свободного падения.
Из E.19.2), после интегрирования по у от дна прорези у = 0 до его
высоты у = /г, с учётом E.19.1) получим
Q(h) = ^rD-*/2f(y).	E.19.3)
Для того чтобы интегральное уравнение Абеля E.19.3) с задан-
заданным расходом жидкости Q(h) E L[0, H] имело решение f(y) E L[0, Я],
1/9
необходимо и достаточно, чтобы функция Doh Q(y) была абсолютно
непрерывной на [О, Я] и D~^/2Q(y) = О, D^Qiy) = 0 (см. [23,
h=0	h=0
h=0
h=0
с.574]). Если эти условия выполнены, то решение уравнения E.19.3)
единственно и почти всюду на [О, Я] представимо в виде
¦\/27rg f(h) = D0'h Q(y).	E.19.4)
Положим, как и в [125], с = 2y/2g, cq(h) = Q(h). Тогда формулу
E.19.4) можно переписать в виде
f(h) = 4= Dl'2q{y) = F7^7- Dl'2q{y).	E.19.5)
В качестве примера рассмотрим случай, когда
q(y) = ауа + by3'2, a = const, a = const > — 1, b = const.
E.19.6)
Поскольку
~1/2 (ava + by3'2) - aI> + V ha+1'2 + bT{5/2) h2
[ay +by J- r(Q + 3/2) 1	+ -щ-п »
E.19.7)
y- + by*'2) = ^±^ Л-V» + ЬГ(б/2)Л,
то формула обращения E.19.5) имеет место тогда и только тогда, когда
а > 1/2.
Пусть а > 1/2, тогда из E.19.5), E.19.6) и E.19.7) получим
Как видно из E.19.8), физически оправданным является условие а ^
^ 3/2. При а = 3/2 плотина принимает форму прямоугольника, а при

236	Применение элементов дробного исчисления	[Гл. 5
а = 7/2 — форму параболы. Если же 2а = т + 5, а = у/тгГ(а —
— 1/2)/[Bа — 3)Г(а + 1)], то уравнение E.19.8) принимает следующий
вид:
Уравнение E.19.9) говорит о том, что если расход жидкости меняет-
меняется по формуле E.19.6), то оптимальную форму плотины надо искать
среди характеристик уравнения Геллерстедта
иуу ~ УШихх = 0.
5.20. О качественных свойствах дробного
осцилляционного уравнения
Обозначим, как и ранее, через L[0,T] класс всех функций u(t),
измеримых на временном сегменте [0, Т], для которых существует ко-
конечный интеграл Лебега, а через Sk[0,T] — класс всех функций u(t),
принадлежащих пространству L[0, T] вместе со своими производными
до k-vo порядка (см. §3.4).
Уравнение
где 1 < а = const < 2, со = const > 0 в работе [148] называется дробным
осцилляционным уравнением.
Уравнение E.20.1) можно переписать в виде
DQtu'\T) + uau(t) = 0, 0 < t ^ Т, е = 2-а.	E.20.2)
Введём в рассмотрение оператор d$t = D^d2 /dr2 с областью опре-
определения Da С ?2[0,Т].
Легко видеть, что оператор d$t совпадает с оператором дробно-
дробного (в смысле М. Caputo [129]) дифференцирования порядка а Е ]1,2[
и д&и(т) = (d^u) (t). Если же 0 < а < 1, то
dSMr) = dsMt) - u{0)
-ot-vw -ut-vw ГA-a)ta'
В общем случае действие оператора д$г на функцию u(t) Е #n[0, T],
гг = 1, 2, . . ., определяется следующим образом:
Запись E.20.2) эквивалентна уравнению
д^и(т) + ujau(t) = 0, 0<t^T.	E.20.3)

5.20] О качественных свойствах дробного осцилляционного уравнения 237
Известно, что если u"(t) E L[0,T], то при любом е > 0 функ-
функция D^u"{r) определена почти всюду на [0,Т], принадлежит классу
L[0, T] и справедливо равенство
D5t?>0-TV'fa) = «"(*)•	E-20.4)
Из E.20.4) следует, что любое решение u(t) E 5'2[0,Т] является
решением уравнения
u"(t) + o;aDgtw(r) = 0.	E.20.5)
Решение u{t) уравнения E.20.1) назовём регулярным, если оно при-
принадлежит ЛС2[0,Т].
Впредь под решением уравнения E.20.1) будем понимать только
регулярное решение. Другими словами, предполагается, что область
определения Da оператора d$t принадлежит ЛС2[0,Т].
Для любой функции и Е Da справедливо равенство
t
2
C - a)B - a) [ ^^^-i = "^T f(* - TK"a du'(r),
о	о
из которого следует, что
Равенство E.20.6) говорит о достоверности следующей леммы.
Лемма 5.20.1. Для любой функции u{t) E Da равенство
является истинным тогда и только тогда, когда
и@) = 0, и'{0) = 0.	E.20.7)
Пусть u{t) — решение уравнения E.20.5) из Da. Тогда из E.20.5)
имеем
-D^u"(t) = ujaD^Ds0Tu(v)-	E-20.8)
Поскольку 0 < е < 1 и D^tu(r) E L[0, T], то
(r),	E.20.9)
где Dq0 аи(т) = lim Dlt au(r). С учётом E.20.9) равенство E.20.6
*—>-о
принимает следующий вид:
гB_а)^оо -v,| =0.	E.20.10)

238	Применение элементов дробного исчисления	[Гл. 5
Как видно из E.20.10), решениями уравнения E.20.3) будут только
те решения уравнения E.20.5), которые удовлетворяют условию
D^au{r) = 0.	E.20.11)
Так как 1 < а < 2, то любое решение u(t) Е Da будет удовлетворять
условию E.20.11).
Следовательно, в классе функций Da уравнения E.20.3) и E.20.5)
являются эквивалентными.
Уравнение E.20.5) при е = 0 (а = 2) совпадает с уравнением гар-
гармонического осциллятора
и" + и2и = 0.	E.20.12)
Любое решение уравнения E.20.12) представимо в виде
u(t) = и@) cos (cot) + ^^ sin (ut).	E.20.13)
^ UJ J
Аналогом формулы E.20.13) в случае уравнения E.20.1) или E.20.5)
является следующая формула:
u(t) = u@)Ea[-(u>t)a] + u'@)tE1/a[-(u>t)a; 2].	E.20.14)
Другими словами, справедлива (см. теорему 3.4.1)
Теорема 5.20.1. Функция u(t) E Da будет решением уравнения
E.20.3) тогда и только тогда, когда она представима в виде E.20.14).
Важным следствием теоремы 5.20.1 является
Теорема 5.20.2. Единственное решение u(t) = и(а, /3, 7; t) задачи
Коши и(а, /3, 75 0) = /3? и'(а, /3, 75 0) = 7 для уравнения E.20.3) зада-
задаётся формулой
u(a,P,r, t) = /3Ea[-(ujt)a]-\-jtE1/a[-(ujt)a- 2].
Как видно из формулы E.20.14), для уравнения E.20.3) важную
роль играют следующие обобщённые тригонометрические функции:
Q:n (,-Л _ У^ \Ч z	rnQ (,-Л _ V^ \Ч z	(tr ofl 1 Ъ\
k=0	k=0
комплексной переменной z = Re z + г Im z. Предполагается, что za при
z = Re z ^ 0 равен (Re z)a.
Из определения E.20.15) следует, что
( + )	Bfc
( — 1) Z	V^ С1) ^
2A;
= X) h^ = cos"'
ife=0	ife=0

5.20] О качественных свойствах дробного осцилляционного уравнения 239
Г(ак)
s(ak + l)zak
i=o
zatj + at-l
+- »i)
a*)
-cosa(zj = У
k=i
lE1/a[-za; a].
Следовательно, для любого а > О
sin'a(z) = cosa(z), cos'a(z) = -za-1E1/a[-za; a],
тогда и только тогда, когда а = 2.
Легко заметить, что
cosa(c^) = a[-(c^)a], sina(cj?) = ^^1/а[-(^^)а; 2]. E.20.17)
Поэтому формулу E.20.14) можно переписать в виде
u(t) = и@) cosa(ut) + [^^1 sina(u)t).	E.20.18)
Пусть dt[/3] 7] — дифференциальный оператор первого порядка
с коэффициентами /3 = ?i@), 7 = ^'@)? действующий на функцию
u(t) е С1 [0, Т] по формуле 9t[/3; 7]^W = fidu/dt + 7^-
Тогда формула E.20.18) в силу E.20.17) допускает следующую за-
запись:
u(i) = дЛВ', 7] 8Ша^.	E.20.19)
со
Из E.20.19) при а = 2 получаем
гх(*) = 9t[/3; 7] sin^.	E.20.20)
Формулой E.20.20) определяется единственное решение задачи Ко-
ши с данными в начальный момент времени t = 0 для уравнения
гармонического осциллятора.
Оператор dt[/3] 7] является инвариантом относительно преобразо-
преобразования уравнения E.20.12) в уравнение E.20.3) путём замены оператора
d21 dt2 на оператор д$и коэффициента^2 — нас<;а. Функция sma(ujt) / ои
называется базовой для этого оператора.
Функция
= иЛр\ 01	—- = р cosa(ujt)
со
является решением задачи Коши
и@) = /3, и'@) = 0

240	Применение элементов дробного исчисления	[Гл. 5
для уравнения E.20.1). Это решение, записанное в виде
u(t; a) = u0Ea[-(wt)a],
получил F. Mainardi [148] методом преобразования Лапласа.
Свойства функции cosa(;r) = Еа[—ха], х = out ^ 0 могут существен-
существенно отличаться от свойства cos (х). Например, функция cosa(;r), как это
следует из свойств функции Миттаг—Леффлёра (см. § 3.5), имеет лишь
конечное (нечётное) число нулей, в то время как cos х = 0 при х =
= тг/2 + 7Г&, к = 0,1, . . .; для любого р ^ 1 и при х —> оо имеет место
асимптотическая формула
к=п
В соответствии с определением E.20.15)
[-*»; 2], P=i.
При а < 2 число р > 1/2. Известно [32, с. 142], что функция Ep\z\ /j]
при р > 1/2 на вещественной оси z = Re z может иметь лишь конечное
число нулей.
Стало быть, функция sina(z) в отличие от sinz при 1 < а < 2 на
вещественной оси может иметь лишь конечное число нулей.
5.21. Об уравнении «фрактального» осциллятора
Развитие физики фракталов вызвало заметный интерес к физи-
физическим системам фрактальной структуры, совершающим колебания
около положения устойчивого равновесия, — к «фрактальным» осцил-
осцилляторам и моделирующим их уравнениям.
В работе Р. П. Мейланова и М.С. Янполова [48] в качестве осцилля-
ционного уравнения рассмотрено уравнение
D«tu(r) + u;au(t) = 0, К а ^2.	E.21.1)
Физическую систему, описываемую этим уравнением, авторы называ-
называют «фрактальным» осциллятором.
Из леммы 2.4.1 при т = 2, Л = —c<;a, v(t) =0 заключаем, что любое
решение u(t) уравнения E.21.1), удовлетворяющее условию
]™ Dot~lu(T) = ab ]im D*~2u(t) = a2,
где ai и a,2 — конечные числа, представимо в виде
u(*) = ai*a-1#1/a[-(a;*)a; a] + a2ta-2E1/a[-(cot)a; a - 1]. E.21.2)

5.21]	Об уравнении «фрактального» осциллятора	241
Если в формуле E.21.2) положить а\ = Виа~1, a<i = Aoja~2, то она
примет такой же вид, как и в [48]:
u(t) = ЛИ)а-2?7а,а_1[-(о;*)а] + ВИ)а-1??„)а[-(а;*)а]. E.21.3)
Нетрудно заметить, что
fc0
Следовательно,
cos'^z) = -za-2?a,a_i[-za].	E.21.4)
Равенства E.20.16) и E.21.4) показывают, что формулу E.21.3)
можно записать в виде
u(t) = - \а^- + в] cos7a(z), z = cot.	E.21.5)
Как видно из E.21.5), для уравнения E.21.1) роль базовой функции
играет cos7a(z).
Поскольку функция Ep[z; /j] при р > 1/2 может иметь лишь конеч-
конечное число вещественных нулей, то этим свойством обладают и функции
cos'a(z) и cos^(z) при а < 2.
Если функция u(t), задаваемая формулой E.21.3), интерпретиру-
интерпретируется как малое (пусть даже не малое, но ограниченное) отклонение
от некоторого положения равновесия (с минимумом потенциальной
энергии), то очевидно, что a<i = 0. При такой ситуации содержательную
физическую интерпретацию будут иметь лишь те решения г^(^) урав-
уравнения «фрактального» осциллятора, которые получаются из E.21.5),
когда А = 0:
u(t) = — В cos'a(z), z = cot.
Функция Грина Ga(z), z = t — т оператора D§t + c<;a (см. § 2.4)
определяется формулой
которую можно записать в компактной форме
Функции Грина для оператора вида
п	п-к
- ^ ^ CLkD0™ , a/g = const, га = 1,2,...,
к=0

242	Применение элементов дробного исчисления	[Гл. 5
и её применению в вязкоупругости посвящены работы [106], [150].
В этих работах функцию Грина называют дробной функцией Грина.
Как замечено в § 5.18, вопрос о колебании численности той или иной
популяции в момент времени t от устойчивости равновесия сводится
к уравнению вида E.20.5) или E.20.3) (см. уравнение E.18.9). Такие
уравнения возникают и в теории уравнений смешанного типа [64],
в частности, для уравнения
(_t)mH(-t) 92П _
с условием сопряжения на особой линии t = 0, где — 1 < т = const,
//(?), как и ранее, означает функцию Хевисайда, Л — спектральный
параметр.
При т = 0 уравнение E.21.6) совпадает с известным модельным
уравнением смешанного типа [25], которое гиперболично при t < 0
и параболично — при t > 0.
В заключение отметим, что в основе изложенного в последних двух
параграфах материала лежит работа автора и В. А. Нахушевой [89].
5.22. Обобщённое дробное осцилляционное
уравнение
Уравнение E.20.3), где а Е ]п — 1, п[, п = 1, 2, . . . назовём обобщён-
обобщённым дробным осцилляционным уравнением. Это уравнение имеет вид
D^-nu{n\r) + ujau(t) = 0, п-1<а<п.	E.22.1)
При а = п оно совпадает с уравнением
uM(t) + ujau(t) = 0.	E.22.2)
Решение г^(^) уравнения E.22.1) будем называть регулярным, если
оно принадлежит классу АСп[0, Т] С Sn[0, T].
По определению классу ЛСп[0,Т] принадлежат те и только те
функции u(t), которые представимы в виде
u(t) = D-?u^ (r) + ? j^^y t\	E.22.3)
Пусть г^п)(?) Е L[0, T]. Тогда D^~aD^u^^) = u<n)(t). Поэтому
любое регулярное решение г^(^) уравнения E.22.1) представляет собой
решение уравнения
uM{t) + ouaD^-au{r) = 0.	E.22.4)

5.22]	Обобщённое дробное осцилляционное уравнение	243
Предположим теперь, что u{t) — решение уравнения E.22.4) и
u^n\t) е L[0, Т]. Тогда почти всюду на [О, Т]
Dgt-nDfcau(?) = u(t) - ^^ Jim D0Va-^(r).	E.22.5)
Из E.22.4) и E.22.5) следует, что функция u(t) будет решением урав-
уравнения E.22.1) только тогда, когда она удовлетворяет нелокальному
начальному условию
lim D^^uir) = 0.	E.22.6)
В классе ЛСп[0, Т] уравнение E.22.4) в силу E.22.3) и равенств
к	.ос — п+к
т	ъ
(
U
_ гл-а (п
— uQt U
ot Г(А; + 1) Г(а-п + А^ + 1)
можно переписать в следующем виде:
ип(*) + шаDotaun(т) = -Ш«^^@)r(Q5jn++fc + 1), E-22.7)
где
u^(t) = un(t).	E.22.8)
Относительно функции un(t) уравнение E.22.7) является нагру-
нагруженным интегральным уравнением Вольтерра второго рода. Так как
а > п — 1, то его правая часть принадлежит L[0, Т] П С°° ]0, Т]. В со-
соответствии с этим и согласно теореме 2.2.1 уравнение E.22.7) эквива-
эквивалентно уравнению
un{t) = -uja ^ uk@)D%t-a-k cosa{our).	E.22.9)
к=о
Действительно, в силу формулы Хилле—Тамаркина и определения
E.20.15) имеем
-un[t) = -
о к=и
n-1
d Г cosa(a;r)(iT
)
¦ ¦ ' й(*-т)"
п—1	п—1

244	Применение элементов дробного исчисления	[Гл. 5
Нетрудно видеть, что
00
глп — а— к пслс ( \ 	 \ /	-л\т am глп — а — к '
L>ot cosa(iJT)- 2^ I"-U ш uot ГA + аш)
го=О	v	'
оо
,схт-\-к-\-ос — г
^К J	ГA + ат + к + а - п)
= tk+a-nE1/a[-(ujt)a; к + а - п + 1].
Поэтому формулу E.22.9) можно переписать в виде
tn-aun{t) = -ша ^ uk@)tkE1/a[-(u;t)a; к + a - n + 1]. E.22.10)
k=o
Пользуясь равенством E.22.10), легко доказать следующую теорему
об общем представлении всех решений уравнения E.22.4).
Теорема 5.22.1. Любое решение уравнения E.22.4) из класса
ЛСп[0, Т] предстпавимо в виде
u(t) = \^ uk@)tkE1/a[-(cot)a- k + 1]	E.22.11)
k=0
lim tn-auM(t) = ^(°)	E.22.12)
t^o	w	Г(а-п + 1)	v	7
Здесь, как и ранее, ио@) = ?i@) = г^о, ^/е@) = гх^^(О), /с = 1, 2, ...
Доказательство начнём с замечания, что применение оператора
D^n к обеим частям равенства E.22.8) приводит к следующему пред-
предложению:
MW Е ГЙТТУ + DoT«n(r).	E.22.13)
ife=0
Равенство B.2.11) даёт основание записать
D07***+a-n#i/«[-Ma; * + « - " +1] =
= tk+aE1/a[-(wt)a] k + a + 1]. E.22.14)
Из E.22.13) в силу E.22.10) и E.22.14) получаем
п — 1
«(*) = Y,

5.22]	Обобщённое дробное осцилляционное уравнение	245
Теперь следует воспользоваться простой формулой
^ + zE1/a[z- /i + a] = E1/a[z; /i],	E.22.15)
чтобы увидеть равенство
и тем самым убедиться в достоверности общего представления E.22.11)
всех решений уравнения E.22.4).
Формула E.22.12) является следствием E.22.11) и E.22.15).
Единственное решение u{t) задачи Коши
и{к\0) = ик{0), к = О,1, 2,. . . , п - 1	E.22.16)
для уравнения E.22.4) определяется формулой E.22.11).
Любая функция u(t), представимая в виде E.22.11), удовлетворяет
нелокальному начальному условию E.22.6).
Действительно, из формулы B.2.11) видно, что
= tk+a-n+1E1/a[-(u;t)a; k + 2 + a-n].
Отсюда, согласно E.22.11), получаем равенство
П^-а-ги(г) = t«-n+1 )Г uk@)tkE1/a[-(u;t)a- k + 2 + a-nl
из которого следует, что
imt»—^а—„(г) = г^^у	E-22.17)
Равенство E.22.17) говорит о том, что функция D^OL~1u(r) при t —>• О
обращается в нуль порядка не ниже а — п + 1.
Следовательно, единственное решение задачи Коши E.22.16) для
обобщённого дробного осцилляционного уравнения E.20.3) порядка
a G ]п — 1, п[ задаётся формулой E.22.11).
Рассмотрим теперь неоднородное обобщённое осцилляционное
уравнение
E.22.18)
с правой частью /(?), имеющей суммируемую производную порядка
{п — а) с началом и концом в точках 0 и t Е [О, Т].
Любое решение u(t) уравнения E.22.18) такое, что u^n\t) E L[0, T]
почти всюду на [О, Т] будет решением уравнения
«(">(*) + uaDZt-au(T) = ?>0""а/(т).	E.22.19)

246	Применение элементов дробного исчисления	[Гл. 5
Если
lim DJ""/^) = 0,	E.22.20)
то любое решение u{t) уравнения E.22.19), удовлетворяющее усло-
условию E.22.6) и включению u^n>(t) Е Ь[0, Т], будет решением уравнения
E.22.18).
Теорема 5.22.2. Пусть u(t) — регулярное решение однородной
задачи Коши
гх(Л)(О) = О, /с = 0,1,..., п-1	E.22.21)
для уравнения E.22.18) с правой частью /(?), удовлетворяющей усло-
условию E.22.20). Тогда
u(t) = \(t - r)a-1E1/a[-uja(t - т)а; a]f(r)dr.	E.22.22)
Действительно, из E.22.3) и E.22.21) следует, что u(t) = Dotnun(r).
Поэтому из E.22.19) имеем
«„(*) + waDuaun{T) = D?-af(T).	E.22.23)
Так как Djt~a/(r) E L[0, T], то единственное решение un(t) E L[0, T]
уравнения E.22.23) определяется по формуле
«„(*) = §-t \cosa[uj(t -
о
Из этой формулы, согласно определения cosa(z) заключаем, что
un(t) = B-D^j^y I \(t - r)-D—/(,) dr =
k=0
0
t
ak — l тлп — а .
+ l24^^\(t-rrk-1D^af(v)dT =
0
oo
E( A\k ock j-\ — ock глп — с
k=l
В силу A.19.5) и E.22.20) D~takD^~a f(rj) = D^-a~ak f(r). Стало быть
OO
«„(*) = Z?oVa 1E(-l)kb>akDotakf(T).
k=0

5.22]	Обобщённое дробное осцилляционное уравнение	247
Отсюда, на основании равенства
оо
lim DoV" ? (-l)kwakD^akf(T) = О
получаем
u(t) = D0-a
/c=0
oo
= ^(-l)fco;afcD^a-afc/(r). E.22.24)
Равенство E.22.24) означает, что
В заключение этого параграфа рассмотрим важный в приложени-
приложениях, в особенности при решении обратных задач для уравнений вида
E.22.18), пример уравнений с правой частью
f(t) = —^—г, 7 = const > n - а - 1, ii = const ф 0. E.22.25)
Поскольку
ГЛП — OL — l	Т	 	 	*
то функция E.22.25) удовлетворяет условию E.22.20).
Легко видеть, что
¦а + ак)
aSi/«[-M)a; a + 7 + 1].
Принимая это во внимание, из E.22.24) заключаем, что при заданных
\i и 7 единственное решение задачи Коши E.22.21) для уравнения
0о>(т) + a;a«(i) = j^^y	E.22.26)

248	Применение элементов дробного исчисления	[Гл. 5
задаётся формулой
u(t) = ^+aE1/a[-(ujt)a; a + 7 + 1].
Легко видеть, что
и*(t) = ^a~1E1/(X[-(ujt)(X- a + 7].	E.22.27)
Если 7 — заданное число, а \± подлежит определению путём фи-
финального переопределения
и'(Т) = /i0T7+a-1,	E.22.28)
где /io — заданное число, то из E.22.27) получим уравнение
[-(wT)a; a + 7] = /хо.	E.22.29)
Уравнение E.22.28) однозначно разрешимо тогда и только тогда,
когда число — (соТ)а не является нулём функции типа Миттаг-Леф-
флера Exjo\z\ а + 7]- При а + 7 = 2 функция u)TEi/a[—(u)T)a; 2] =
= sma(ujT).
Обратная задача вида E.22.16), E.22.28) для уравнения E.22.18)
приводит к проблеме о вещественных нулях функции типа Миттаг—
Леффлёра (см. §3.5).
Автор в работе [64] выдвинул гипотезу о наличии вещественных
нулей у функции sina(z) при 1 < а < 2 и предложил алгоритм поиска
их границ.
Отметим, что уравнение
D^-0Diu(r,) = Xu(t),
где а < C ? ]п — 1, га], га = 1,2,...; А = const является непосредствен-
непосредственным обобщением уравнения E.22.1).
5.23. Об одном представлении обобщённого
регуляризованного оператора дробного
дифференцирования
Рассмотрим оператор д$г 7 = D^r1 Dqt, где а, /3, 7 ~~ действи-
действительные числа, а > 0, 7 > ~1-
Если /3 < 0 и функция и = u{t) G L[0, T], то
оа,/3,7?| =	!	Г r^dT Г U(
Qt U r(a)r(-/9)J (t-rI-^ (r-
(ri)d<n
J ()^
о	о
На основании теоремы Дирихле-Фубини почти всюду на [О, Т] спра-
справедливо равенство

и = тжж \{t - v)a~0~lF (~ъ а'а - * Ч1)u{r>)dr> =
5.23]	Об одном представлении обобщённого оператора	249
Во внутреннем интеграле произведём замену переменной интеграции т
по формуле т = t — (t — г})^, а затем воспользуемся свойством A.10.3)
гипергеометрической функции. В результате получим
о
-у	Ь
=	l	\(t-
Г(а-C)Г
Отсюда в соответствии с @.3.2) заключаем, что
Я«,^7?/ _ J fl aJot	U' P
O{\+ U — \	_ _
где
F ( a + 6, —c, a; 	j и
— обобщённый дробный интеграл по М. Сайго порядка а > 0, а Е^1 и =
= Do~tar7?i(r) — преобразование Эрдейи-Кобе @.4.6).
Если C ? ]га — 1, га], га = 1,2,. . . , то оператор д^ 7 назовём обоб-
обобщённым регуляризованным оператором дробного дифференцирования
с началом в точке 0 и с концом в точке t E [0,Т]. Будем предпола-
предполагать, что область определения этого оператора принадлежит классу
АСт[0,Т]. На функцию u(t) E ACm[0,T] оператор d^f'1 действует
по формуле
Яа)/3577/ — г) —a 7 Г)Р ц(п\	(^ 94 1 ^
Согласно @.2.1) равенство E.23.1) можно записать и в виде
m — l	/М , ч
I
°0t и\т)— /-^ ГИ _l к - R\ ot	ot °Or
По определению
Г(а)Г(ш -	^
" J (t - rI- J (r - „Г^ - J	^ ^ J (r - nf+1-
0	0	0

250	Применение элементов дробного исчисления	[Гл. 5
Пользуясь свойством A.10.3) гипергеометрической функции, легко
проверить, что
t
T \*~T)	dT ,-у/,	\а-\-т — в — 1
1
О
- г})а^~ш~Р~1 В(а, т — /3)F(—7, а, с^ — /3 + гтг; 1 — 77/^M V > О-
Это позволяет увидеть справедливость следующего равенства:
о
Из E.23.3) получим
Поскольку V^"^7 = Г^ + ^-^ + т) ffc-ff+7+a то из
E.23.2) и E.23.4) находим
Если 7 = /5-с^-т> -1, ш - 1 < /3 ^ 771 = 1, 2, ... и 7 / 0, то из
E.23.4) имеем
В самом деле, из E.23.3) при *у = C — а — т на, основании равенства
a, —7, —75 1 ~ v/^) = (V7?)" получаем
Операторы вида д^г 7 с параметрами а Е ]1,2[, /3 Е ]1,3/2[ и
7 = Р — с* весьма часто встречаются в теории уравнений в частных

5.24]	Прямая задача теории сопла Лаваля	251
производных, меняющих свой тип в замыкании области их задания
(см., например, [104, с. 205]). Когда j = f3 — а, представление E.23.5)
имеет вид
я«>0>77| -Лтт-уФ-гпп.Лт) , V^ ГA - А; - a) (k)(()\tk
dot u-t lot	и +^ r{1_k_p)u Wu'
(k)(()\tk
^ r{1_k_p)u W
При /3 = п, а = п — \i, п — l</i<n, 7 = 0 оператор <9^ 7 сов-
совпадает с регуляризованным оператором дробного дифференцирования
порядка ji: <9^~м'п' = д$ь.
5.24. Прямая задача теории сопла Лаваля
В газовой динамике под прямой задачей теории сопла Лаваля по-
понимается задача определения всех течений с переходом через скорость
звука в сопле с заданными стенками [116, с. 461].
А.А. Никольский в 1948 г. (см. Труды ЦАГИ) свёл прямую зада-
задачу теории плоскопараллельного сопла Лаваля со стенками, близки-
близкими к стенкам другого сопла, в котором известно некоторое течение
с переходом через скорость звука, приближённо к краевой задаче для
следующего уравнения в частных производных:
где д — угол наклона скорости, г] — функция модуля скорости,
z = z{$,rf) — некоторая вариация функции тока плоских адиабатиче-
адиабатических газовых течений [116, с. 487].
Уравнение E.24.1) является уравнением смешанного типа, оно эл-
эллиптического типа в зоне 7/ > 0 дозвуковых течений и гиперболического
типа в зоне rj < 0 сверхзвуковых течений. На линии rj = 0 происходит
изменение типа и вырождение порядка, причём при переходе через
критическую скорость должно соблюдаться условие
v I dz л. 1 dz	(r ПА оЧ
hm - — = hm -—.	E.24.2)
77-^-0 Г] ОТ] 77-)>+О 7] ОТ]
Введём в E.24.1) и E.24.2) новые переменные:
z(d,r]) = и(х,у),
х =	-?- г, г = const > 0,
#1 - #0
4/3

252	Применение элементов дробного исчисления	[Гл. 5
Тогда они примут вид
|4 + Ы1/2 s\gny^=0, 0<x<r;	E.24.3)
дх	ду
lim -^ = - Hm -^, и = и(х,у).	E.24.4)
При определённой схематизации [116, с. 486] прямая задача теории
сопла Лаваля приводит к задаче Трикоми для уравнения E.24.3) с раз-
разрывным условием сопряжения E.24.4).
На евклидовой плоскости М2 точек (х,у) уравнение E.24.3) пред-
представляет собой частный случай уравнения
sign у \у\тихх + иуу = 0, -1 < т = const < 0,	E.24.5)
которое можно записать и в виде
uxx+signy\y\-muyy = 0.	E.24.6)
Прямая у = 0 является особой характеристикой уравнения E.24.6),
огибающей семейство его характеристик.
Пусть 2/3 = m/(m + 2),
1у)тР, Г1 = х + ^^(-у)]Ч1	E.24.7)
l Z
lit \~ ?i	ill \~ Zi
—	характеристические координаты уравнения E.24.5);
П = {(х,у) : 0 < С < V < г}
—	характеристический треугольник с вершинами в точках Л = @,0),
Б = (г,0),С = (г/2,ус),ус<0;
АВ = {(ж, 0) : 0 ^ х ^ г}, АС = {(ж, у) : f = 0, 0 ^ х <: г/2},
П = П U АВ U AC U ВС
— замыкание П.
Точка 0о(ж) = х/2 - i [(га + 2)ж/4]2/(т+2) для любого ж G [0, г]
лежит на характеристике АС. Образом точки ^о(^) при отображе-
отображении E.24.7) является точка @, х) на плоскости комплексной перемен-
переменной ? + гг].
Обобщённым решением уравнения E.24.5) в области ft назовём лю-
любую функцию и(х,у), представимую в виде
V{t), E.24.8)

5.24]	Прямая задача теории сопла Лаваля	253
где
ГB + 2/3)	ГA + 2/3)	,	,2/3_! ГB - 2/3)
и функции т(ж) и l/(x) таковы, что
т(х) е С[0, г] П С2 ]0, г[, т"(ж) G //+1'°[0, r],
1/(ж) G L-^°[0,r]nC]0,r[.
Функция E.24.8) непрерывна в замкнутой области Г?,
гх(ж,0) = т(ж), lim —— = */(ж), 0 < х < г.
у^-о ду
Если и{х) е С ]0, r[HL[0, г], т(ж) е С[0, г] и
E.24.9)
где а = 1 - 2/3, Т(х) G С ]0, r[flL[0,r], то функция E.24.8) пред-
представляет собой обобщённое решение класса R2 задачи Коши, с на-
начальными данными т(х) и ^(ж), для уравнения E.24.5) в области ft
(см. [104, с. 260]).
Относительно функции Т{х) G L[0, r] отображение E.24.9) пред-
представляет собой интегральное уравнение Абеля [23, с. 574]. Число
а = 2/G71 + 2) G ]1,2[. Поэтому оператор D^ будет мономорфиз-
мономорфизмом и Т(ж) = Doa,[r(^) — т@)] тогда и только тогда, когда произ-
производная дц~1т(г) = jDJ^1[t(^) — т@)] абсолютно непрерывна на [0, г]
и lim 0о-2/?т(*) = 0.
Следовательно, функцию т(х) G С[0, г] П Сх]0, г[ можно предста-
представить в виде E.24.8) с Т(х) G L[0, r] тогда и только тогда, когда регуля-
ризованная дробная производная дОх r(t) абсолютно непрерывна на
[0, г] и обращается в нуль при х —>• 0.
Из E.24.8) следует, что для всех х G [0, г]
и[во{х)] = Bl
-BsDg-H-PvW. E.24.10)
Пусть 2j(m) = BaJf3B(f3, а)/ГB/3). Равенство E.24.10) и правила
взвешенной композиции операторов дробного дифференцирования и
интегрирования с одинаковыми началами (см. § 0.6) позволяет доказать
следующую лемму.
Лемма 5.24.1. Если и[@о(х)] = 0 на сегменте [0, г], то равенство
E.24.10) можно записать в виде
т(Ж) = 7(™)Яо>(*)-	E.24.11)

254
Применение элементов дробного исчисления
[Гл. 5
Эта лемма по существу принадлежит Ф. И. Франклю [116, с. 495]
(см. также [104, с. 265]), который показал, что начальные функции
т(х) и is(x) задачи Коши для уравнения E.24.6) в области ?1 связаны
с функцией и[0о(ж)] = (р(х) = и ^=0 формулой
где
Здесь условие Франкля <р@) = 0 понимается в том смысле, что оно
гарантирует включение (p(t) G L~a[0, г] П С[0, г].
Поскольку тг/ sin7r/3 = Г(/3)ГA - /3), -/?Г(-/3) = ГA - /3), то
2тг
ГB/3)ГA -/3) r(-/
Поэтому равенство E.24.12) эквивалентно формуле
„
-,9,2/9-1
E-24.13)
где, как и ранее, предполагается, что гх[0о(ж)] G L~a'°[0, г] П С[0, г].
При и[во(х)\ = 0 из E.24.13) следует E.24.11).
Обобщённое решение и(х, у) уравнения E.24.5) в области ft можно
ввести и через функции Грина-Адамара //(?i, 771; ?, 77) второй задачи
Дарбу. Она определяется следующим образом:
?,1-/5,1;
-
v-t
F I/3,C,2C;
¦-?
'-б 4-»?i
E.24.14)
где7/ЗВB/3,1-2/3) = 1.

5.24]	Прямая задача теории сопла Лаваля	255
Функцию и(х, у) назовём обобщённым решением уравнения E.24.5)
класса R^^fl), если она представима в виде
J
О
Г]
+ j [p'(Vi) + f ^(r?i)] Я@, щ; С, я) dm, E.24.15)
о
где
v(x) e L-2/3-°[0, г] П С ]0, г[, ^(ж) е С[0, г] П С1 ]0, г[ nLw-1>0[0, r],
Функция E.24.5) принадлежит классу С(?1) П С1 (ft U Jr) и для всех
х g Jr = {(ж, 0) : 0 < х < г} справедливы равенства
lim —^ = г/(ж), и[ео(х)] = ф(х).
Истинность этого предложения доказывается точно также, как при 0 <
< /3 < 1/2 [54, с. 21].
Из E.24.15) при у = 0, rj = ? = х е ]0, г[ имеем
г(Ж) = JmD-xav(t) + ОД,	E.24.16)
где, как легко видеть,
Щх) = 7ж"/3 f L'(*) + - ^(*)| *20(х ~ ^~Р dt.
о
Пусть Ф/з(ж) = x2/3~1ip(x). Так как
ТО
Но
X	X
О	О

256	Применение элементов дробного исчисления	[Гл. 5
X
- t)-P dt - Px^p(t)(x - t)-?-1 dt.
о	о
Стало быть, Ф(ж) = —7ГA — j3)x1 & D^^ p(t). Отсюда получаем
г(/з) ^-'-г(-^о
а это означает достоверность следующей формулы
=	Eof'20-4®o(t)].	E.24.17)
Равенства E.24.16) и E.24.17) говорят о справедливости формулы
E.24.13) и для обобщённого решения уравнения E.24.5) класса R^fL).
Справедливо следующее вспомогательное предложение, которое до-
доказывается с помощью теоремы 1.7.1.
Лемма 5.24.2. Пусть т(х) е 8г[0,г], d^~lT(i) ? АС[0,г],
г@) = 0, lim d™-lr(t) = 0, lim r(x)dS~1r{t) = 0. Тогда (т, D$xrH ^
х—>-\-0	х^-г
^ 0 для любого a G [1; 2].
При а = 1 и а = 2 согласно условиям леммы 3 соответственно
имеем т@) = т(г) = 0 и т@) = 0, т(г)т'(г) = 0. Стало быть (тт7)о = 0,
(тт")о = -Цт'Ц ^ 0, (гт/7)о = 0, ^ г(ж) = 0.
Пусть а е ]1,2[ и т<а)(ж) = Dgxr(t). Поскольку г(ж) G 5х[0,г]
и г@) = 0, то из формулы @.2.1) получаем DQ~1r(t) = дц~1т(г). Это
равенство и включение т^а-1^(ж) G ЛG[0,г] дают основание утвер-
ж:дать, что
(т,
Так как т@) = 0, т(г)т^а~1^(г) = 0, то отсюда вытекает равен-
равенство (т,т(а)H = -(т7, Dg^V^o- Условия леммы 5.24.2: т^-^О) = 0,
г(а-1)^ж^ _ D™-2T'(t} ? ЛG[0, г] означают, что функция т;(ж) принад-
принадлежит пространству Яа-1[0,г] (см. §1.6). Поэтому (r', Dg^1r/)o ^ 0.
И стало быть (т, Dqxt)q ^ 0.
Теперь докажем следующую теорему.
Теорема 5.24.1. Пусть и(х, у) — обобщённое решение уравнения
E.24.5) класса Я^(Л), удовлетворяющее условиям:
и[во(х)} = 0 V х е [0, г]; d-^r(t) e АС[0, г];
Hmo9o-2^r(t) = 0; т(г)т(-2Р\г) = 0,
г^е т(ж) = и(х, 0). Тогда (г, z/)o ^ 0.

5.24]	Прямая задача теории сопла Лаваля	257
Условие гх[0о(ж)] = 0 и равенства E.24.16) и E.24.17) приводят к
E.24.11). Функция
в силу условия т@) = и@, 0) = 0 совпадает с д$х r(t). Следователь-
Следовательно, ш(х) G АС[0, г]. Условие lim 9Oaf/3r(t) = 0 означает, что о;@) = 0.
ж—^0
Другими словами правая часть т{х) интегрального уравнения Абеля
E.24.11) удовлетворяет условию теоремы Тамаркина [23, с. 574], гаран-
гарантирующему существование единственного решения
Число /3 G ] —1/2,0[ и поэтому ^(гп) > 0. Функция т(х) удовлетворяет
условиям леммы 5.24.2, утверждающей, что
для всех а = 1 — /3 G ]1,2[.
Пусть D — соответствующая уравнению E.24.5) смешанная об-
область, гиперболическая часть которой совпадает с Й. Важным след-
следствием теоремы 5.24.1 является теорема единственности решения зада-
задачи Трикоми для уравнения E.24.5) в области D с условием сопряжения
lim u(x,y) = GT lim гх(ж,г/), lim uy(x,y) = GL, lim
где постоянные величины GT и Gv разного знака.
При GT = 1, Gv = — 1 это условие переходит в E.24.4).
Теорема 5.24.1 говорит и о том, что условие Ф.И. Франкля
[116, с. 401]:
lim (-y)^2u2(x,y) = 0
(х,3/)-Кг,0)
является следствием его метода доказательства оценки (г, и)о ^ 0,
и теорему единственности можно доказать в полном соответствии с ме-
методом Трикоми (см. §5.7).
В заключение отметим, что аналог критерия второй производ-
производной в дробном исчислении (см. § 3.3) позволяет реализовать и метод
А.В. Бицадзе, основанный на его принципе экстремума.
9 А. М. Нахушев

Список литературы
1.	Андре Анго. Математика для электро- и радиоинженеров. — М.,
1965. - 772 с.
2.	Бабенко Ю.И. Тепло-массообмен. Метод расчёта тепловых и диф-
диффузионных потоков. — Л.: Химия, 1986. — 144 с.
3.	Бартенев Т.М., Бартенева А. Г. Релаксационные свойства поли-
полимеров. — М.: Химия, 1992. — 381 с.
4.	Бегли Р. Л., Торвик П.Дж. Дифференциальное исчисление, осно-
основанное на производных дробного порядка, — новый подход к рас-
расчету конструкции с вязко-упругим демпфированием // Аэрокос-
Аэрокосмическая техника. 1984. - Т. 2, № 2. С. 84-93.
5.	Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. 1967.
Т. 3. - М.: Наука, - 234 с.
6.	Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. 1993.
Т. 1. - М.: Наука, - 294 с.
7.	Берс Л. Математические вопросы дозвуковой и околозвуковой га-
газовой динамики. — М.: ИЛ, 1961. — 247 с.
8.	Берс Л., Джон Ф., Шехтер М. Уравнения с частными производ-
производными. — М.: Мир, 1966. — 351 с.
9.	Бжихатлов ХГ., Нахушев A.M. Об одной краевой задаче для
уравнений смешанного типа // ДАН СССР. 1968. Т. 183, № 2.
10.	Бицадзе А. Б. Об одном элементарном способе решения некото-
некоторых граничных задач теории голоморфных функций и связанных
с ними особых интегральных уравнений // Успехи математических
наук. 1957. Т. 12, вып. 5G7). С. 31-33.
11.	Бицадзе А. В. Линейные уравнения с частными производными
смешанного типа. Труды третьего Всесоюзного математического
съезда. - М.: Изд-во АН СССР, 1958. Т. 3. С. 36-42.
12.	Бицадзе А. В. Краевые задачи для эллиптических уравнений вто-
второго порядка. — М.: Наука, 1966. — 203 с.
13.	Бицадзе А. В. Некоторые классы уравнений в частных производ-
производных. — М.: Наука, 1981. — 448 с.
14.	Бленд Д. Р. Теория линейной вязкоу пру гости. — М.: Мир, 1965. —
199 с.
15.	Виноградов М.Б., Руденко О. В., Сухорукое А. Г. Теория волн. —
М.: Наука, 1979. - 283 с.
16.	Волкодавов В. Ф., Лернер М.Е., Николаев Н.Я., Киселёв В. А. Таб-
Таблицы некоторых функций Римана, интегралов и рядов. Куйбы-

Список литературы	259
шев, Куйбышевский государственный педагогический институт
им. В. В. Куйбышева, 1982.
17.	Вольтерра В. Теория функционалов, интегральных и интегродиф-
ференциальных уравнений. — М., 1982. — 304 с.
18.	Гахов Ф.Д. Краевые задачи. — М.: Наука, 1977. — 640 с.
19.	Градштейн И. С, Рыжик И.М. Таблицы интегралов сумм, рядов
и произведений. — М., 1971. — 1108 с.
20.	Гук И. П. Формализм Лагранжа для частиц, движущихся в про-
пространстве фрактальной размерности // Журнал технической фи-
физики. 1998. Т. 68, № 4. С. 1-7.
21.	Гурса Э. Курс математического анализа. Т. 3. — М.-Л., 1939. —
244 с.
22.	Джрбашян М. М. Краевая задача для дифференциального опера-
оператора дробного порядка типа Штурма—Лиувилля // Известия АН
Арм. ССР. 1970. Т. 5, № 2. С. 71-96.
23.	Джрбашян М. М. Интегральные преобразования и представления
функций в комплексной области. — М., 1966. - 672 с.
24.	Джрбашян М.М., Нерсесян А. Б. Дробные производные и задачи
Коши для дифференциальных уравнений дробного порядка //
Известия АН Арм. ССР. 1968. Т. 3, № 1. С. 3-28.
25.	Джураев Т.Д., Сопуев А. С, Мамажанов М. Краевые задачи
для уравнений параболо-гиперболического типа. — Ташкент: Фан,
1986. - 220 с.
26.	Динариев О. Ю. Фильтрация в трещиноватой среде с фрактальной
геометрией трещин // Механика жидкости и газа. 1990. № 5. С. 66—
70.
27.	Елдесбаев Т. О некоторых обратных задачах для вырождающих-
вырождающихся гиперболических уравнений // Дифференциальные уравнения.
1976. Т. 12, № 3. С. 494-502.
28.	Заславский Г.М., Согдеев Р.З. Введение в нелинейную физику от
маятника до турбулентности и хаоса. — М.: Наука, 1988. — 308 с.
29.	Зельдович Я. В., Соколов Д. Д. Фракталы, подобие, промежуточ-
промежуточная асимптотика // Успехи физических наук. 1985. Т. 146, вып. 3.
С. 12-15.
30.	Ильин A.M., Калашников А. С, Олейник О. А. Линейные уравне-
уравнения второго порядка параболического типа // Успехи математи-
математических наук. 1962. Т. 17. Вып. 3 A05). С. 1-146.
31.	Ильин В. А. Необходимые и достаточные условия базисности
подсистемы собственных и присоединённых функций пучка
М.В. Келдыша обыкновенных дифференциальных операторов //
ДАН СССР. 1976. Т. 227, № 4. С. 796-799.
32.	Ионкин Н.И. Решение одной краевой задачи теории теплопровод-
теплопроводности с неклассическим краевым условием // Дифференциальные
уравнения. 1977. Т. 13, № 2. С. 294-304.
33.	Капель Г.И., Разоренов СВ., Уткин А.В., Фортов В.Е. Ударно-
волновые явления в конденсированных средах. — М.: Янус-Кб,
1996. - 408 с.

260	Список литературы
34.	Килбас А. А., Сайго М. Дробные интегралы и производные от
//-функции // Доклады Академии наук Белоруси. 1997. Т. 41, № 4.
С. 34-39.
35.	Кобелев В. Л., Кобелева О. Л., Кобелев Я. Л., Кобелев Л. Я. О диф-
диффузии через фрактальную поверхность // ДАН. 1997. Т. 355, № 3.
С. 326-327.
36.	Кобелев В. Л., Романов Е.П., Кобелев Я. Л., Кобелев Л. Я. Неде-
баевская релаксация и диффузия в фрактальном пространстве //
ДАН. 1998. Т. 361, № 6. С. 755-758.
37.	Кобелев Я. Л., Кобелев Л. Я., Романов Е.П. Автоволновые процес-
процессы при нелинейной фрактальной диффузии // ДАН. 1999. Т. 369,
№ 3. С. 332-333.
38.	Колмогоров А.Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функ-
функционального анализа. — М.: Наука, 1968. — 496 с.
39.	Кочубей А.Н. Задача Коши для эволюционных уравнений дроб-
дробного порядка // Дифференциальные уравнения. 1989. Т. 25, № 8.
С.1359-1368.
40.	Кочубей А.Н. Диффузия дробного порядка // Дифференциаль-
Дифференциальные уравнения. 1990. Т. 26, № 4. С. 660-670.
41.	Кудрявцев Л. Д. Математический анализ. — М., 1970. — 470 с.
42.	Кумыкова С. К. Об одной задаче с нелокальными краевыми усло-
условиями на характеристиках для уравнения смешанного типа //
Дифференциальные уравнения. 1974. Т. 10, № 1. С. 78-88.
43.	Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. Т. II. —
М.-Л.: ГИТТИ, 1951. - 310 с.
44.	Лаврентьев М.А., Шабат Б. В. Методы теории функций ком-
комплексного переменного. — М.-Л.: ГИТ-ТЛ, 1951. — 168 с.
45.	Лебедев Н.Н. Специальные функции и их приложения. — М.-Л.,
1953. - 379 с.
46.	Лысанов Ю.Л., Лямшев Л.М. О фрактальной природе затухания
низкочастотного звука в океане // ДАН. 1999. Т. 366, № 1. С. 36-38.
47.	Лыков А. В. Применение методов термодинамики необратимых
процессов к исследованию тепло- и массообмена // Инженерно-
физический журнал. 1965. Т. 9, № 3. С. 287-304.
48.	Мейланов Р. П., Янполов М.С. Особенности фазовой траектории
«фрактального» осциллятора // Письма в ЖТФ. 2002. Вып. 1.
Т. 28.
49.	Мизес Р. Математическая теория течений сжимаемой жидкости. —
М.: Иностранная литература, 1961. — 558 с.
50.	Михайлов Л. Г. Новый класс особых интегральных уравнений и его
применения к дифференциальным уравнениям с сингулярными
коэффициентами. — Душанбе: Изд-во АН Турк. ССР, 1963. — 152 с.
51.	Михайлов Л. Г. Интегральные уравнения с ядром однородным сте-
степени 1. — Душанбе, 1966. — 215 с.
52.	Михлин С. Г. Линейные уравнения в частных производных. — М.:
Высшая школа, 1977. — 431 с.

Список литературы	261
53.	Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения. Гра-
Граничные задачи теории функций и некоторые их приложения к ма-
математической физике. — М.: ГИФ-МЛ, 1962. — 599 с.
54.	Нахушев А. М. Об одном классе линейных краевых задач для ги-
гиперболического и смешанного типов уравнений второго порядка. —
Нальчик: Эльбрус, 1992. — 155 с.
55.	Нахушев A.M. Об уравнениях состояния непрерывных одномер-
одномерных систем и их приложениях. — Нальчик: Логос, 1995. — 50 с.
56.	Нахушев А. М. Трикоми задача. Математическая энциклопедия. —
М.: Советская энциклопедия, 1985. Т. 5. С. 882-883.
57.	Нахушев A.M. Уравнения математической биологии. — М.: Выс-
Высшая школа, 1995. — 301 с.
58.	Нахушев A.M. К теории краевых задач для вырождающихся ги-
гиперболических уравнений // Сообщения АН Груз. ССР. 1975. Т. 77,
№ 3. С. 545-548.
59.	Нахушев А. М. Математические модели вязкоупругого тела // Из-
Известия вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2000. № 3. С. 107-
109.
60.	Нахушев A.M. Некоторые краевые задачи для уравнения сме-
смешанного типа с двумя линиями параболического вырождения /
Кандидатская диссертация. Новосибирск, Институт математики
СО АН СССР. 1966.
61.	Нахушев A.M. Об одной модели распределения концентрации по-
поглощающих молекул по трассе лазерного излучения / Тезисы XII
Международной конференции «Воздействие интенсивных потоков
энергии на вещество». — Терскол, 1997. С. 84-85.
62.	Нахушев A.M. Новая краевая задача для одного вырождающего-
вырождающегося гиперболического уравнения // ДАН СССР. 1969. Т. 187, № 4.
С. 736-739.
63.	Нахушев A.M. О задаче Дарбу для гиперболических уравнений //
ДАН СССР. 1970. Т. 195, № 4. С. 776-779.
64.	Нахушев A.M. Задача Штурма—Лиувилля для обыкновенного
дифференциального уравнения второго порядка с дробными про-
производными в младших членах // ДАН СССР. 1977. Т. 234, № 2.
С. 308-311.
65.	Нахушев А. М. Нелокальная задача и задача Гурса для нагружен-
нагруженного уравнения гиперболического типа и их приложения к прогно-
прогнозу почвенной влаги // ДАН СССР. 1978. Т. 242, № 5. С. 1008-1011.
66.	Нахушев A.M. О непрерывных дифференциальных уравнениях
и их разностных аналогах // ДАН СССР. 1988. Т. 300, № 4. С. 796-
799.
67.	Нахушев А. М. О некоторых краевых задачах для гиперболических
уравнений и уравнений смешанного типа // Дифференциальные
уравнения. 1969. Т. 5, № 1. С. 44-59.
68.	Нахушев А. М. Методика постановки корректных задач для линей-
линейных гиперболических уравнений второго порядка на плоскости //
Дифференциальные уравнения. 1970. Т. 6, J№1. С. 191-195.

262	Список литературы
69.	Нахушев A.M. О правильной постановке краевых задач для па-
параболических уравнений со знакопеременной характеристической
формой // Дифференциальные уравнения. 1973. Т. 9, № 1. С. 130—
135.
70.	Нахушев A.M. Обратные задачи для вы рож: дающихся уравнений
и интегральные уравнения Вольтерра третьего рода // Дифферен-
Дифференциальные уравнения. 1974. Т. 10, № 1. С. 100-111.
71.	Нахушев A.M. Об одной смешанной задаче для вырождающихся
эллиптических уравнений // Дифференциальные уравнения. 1975.
Т. 11, № 1. С. 192-195.
72.	Нахушев A.M. О задаче Дарбу для одного вырождающегося на-
нагруженного интегродифференцированного уравнения второго по-
порядка // Дифференциальные уравнения. 1976. Т. 12, № 1. С. 103—
108.
73.	Нахушев A.M. К теории линейных краевых задач для уравнения
второго порядка смешанного гиперболо-параболического типа //
Дифференциальные уравнения. 1978. Т. 14, № 1. С. 66-73.
74.	Нахушев A.M. К теории дробного исчисления // Дифференциаль-
Дифференциальные уравнения. 1988. Т. 24, № 2. С. 313-324.
75.	Нахушев A.M. О положительности операторов непрерывного
и дискретного дифференцирования и интегрирования, весьма
важных в дробном исчислении и в теории уравнения смешанного
типа // Дифференциальные уравнения. 1998. Т. 34, № 1. С. 101—
109.
76.	Нахушев А. М. Видоизменённая задача Коши для оператора дроб-
дробного дифференцирования с фиксированными началом и концом //
Дифференциальные уравнения. 2000. Т. 36, № 7. С. 903-908.
77.	Нахушев A.M. Об уравнениях состояния непрерывных одномер-
одномерных систем и их аналогах в дробном исчислении // Доклады
Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 1994. Т. 1,
№ 1. С. 22-27.
78.	Нахушев A.M., Кушхов А.А. К вопросу информационно-матема-
информационно-математического моделирования межэтнических конфликтов // Докла-
Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 1999.
Т. 4, № 1. С. 55-60.
79.	Нахушев A.M., Нахушева В.А. Об одном классе дифференциаль-
дифференциальных уравнений состояния дробного порядка в сплошных средах
с памятью // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной
академии наук. 1996. Т. 2, № 1. С. 52-55.
80.	Нахушев A.M., Нахушева З.А. Дробный интеграл Мегуми Сайго
и его связь с законом взвешенной композиции операторов дроб-
дробного интегрирования в смысле Римана-Лиувилля // Доклады
Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2000. Т. 5.
С. 32-35.
81.	Нахушев A.M., Тхакахов Р.Б. О континуальных аналогах реоло-
реологических уравнений состояния и логическом законе изменения вяз-

Список литературы	263
коупругих свойств полимера // Доклады Адыгской (Черкесской)
Международной академии наук. 1995. Т. 1, № 2. С. 6-11.
82.	Нахушев A.M., Карданов Р.Г. О некоторых способах идентифика-
идентификации математической модели динамики грунтовой воды и почвен-
почвенной влаги / В кн.: САПР и АСПР в мелиорации. Сб. науч. трудов. —
Нальчик: КБГУ, 1983. - 224 с.
83.	Нахушев A.M., Кенетова Р.А.. Математическое моделирование
социально-исторических и этнических процессов. — Нальчик: Эль-
Фа, 1998. - 170 с.
84.	Нахушев A.M., Нахушева В.А. О некоторых обобщениях закона
Кольрауша и дифференциальных уравнениях переноса дробного
порядка / Тезисы XV Международной конференции «Уравнения
состояния вещества». — Терскол: Тип. ИПХФ РАН, 2000. — 195 с.
85.	Нахушев A.M., Салахитдинов М.С. К теории дробного исчис-
исчисления / В кн.: Нелокальные задачи для уравнения в частных
производных и их приложения к моделированию и автоматиза-
автоматизации проектирования сложных систем. Межвузовский сборник. —
Нальчик: КБГУ, 1986. - С. 158-159.
86.	Нахушев A.M., Салахитдинов М. С. О законе композиции опера-
операторов дробного интегродифференцирования с различными нача-
началами // ДАН СССР. 1988. Т. 299, № 4. С. 1313-1316.
87.	Нахушева В. А. Краевые задачи для обобщённых дифференциаль-
дифференциальных уравнений переноса / Автореферат кандидатской диссерта-
диссертации. - Нальчик, НИИ ПМА КБНЦ РАН, 1998.
88.	Нахушева В. А. Принцип экстремума для нелокального параболи-
параболического уравнения и смешанная задача для обобщённого волнового
уравнения // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной
академии наук. 1996. Т. 2, № 1. С. 26-28.
89.	Нахушева В.А., Нахушев A.M. О структурных и качественных
свойствах решений регуляризованного уравнения фрактального
осциллятора / В кн.: Физика экстремальных состояний вещества —
2003. - Черноголовка: ИПХФ РАН, 2003. - 180 с.
90.	Нахушева З.А. Видоизменённая задача Самарского для нелокаль-
нелокального диффузионного уравнения // Доклады Адыгской (Черкес-
(Черкесской) Международной академии наук. 1997. Т. 2, № 2. С. 36-41.
91.	Нигматуллин P.P. The realization of generalized transfer equation
in a medium with fractal geometry // Phys. Status Solidi. B. 1986.
V. 133. P. 425-430.
92.	Ноложий Т. Н. Уравнения математической физики. — М.: Высшая
школа, 1964. — 560 с.
93.	Нолубаринова-Конина Н. Я. Теория движения грунтовых вод. —
М.: Наука, 1977. - 664 с.
94.	Работное Ю.Н. Элементы наследственной механики твёрдых
тел. - М.: Наука, 1977. - 261 с.
95.	Репин О. А. Краевые задачи со смещением для уравнений гипер-
гиперболического и смешанного типов. — Саратов: Изд-во Саратовского
ун-та, 1992. — 161 с.

264	Список литературы
96.	Репин О. А. О нелокальной краевой задаче с оператором М. Сайго
для обобщённого уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу // Матема-
Математическое моделирование. 1995. Т. 7, № 5. — 60 с.
97.	Репин О. А. Краевые задачи для уравнений гиперболического
и смешанного типов и дробное интегродифференцирование / Докт.
дис. — Минск: БГУ, 1998.
98.	Самко С. У., Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные
дробного порядка и некоторые их приложения. — Минск, 1987. —
688 с.
99.	Салахитдинов М.С., Кадыров З.Х. Задачи с нормальной произ-
производной для уравнения смешанного типа с негладкими линиями
вырождения // Дифференциальные уравнения. 1986. Т. 22, № 1.
С. 103-114.
100.	Салахитдинов М. С, Уршаков А.Х. Об одной краевой задаче для
уравнения смешанного типа с негладкими линиями вырождения //
ДАН СССР. 1982. Т. 262, № 3. С. 539-542.
101.	Сербина Л. И. Об одной математической модели динамики вза-
взаимодействия деятельной поверхности почвы с приземным слоем
атмосферы // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной
академии наук. 2000. Т. 5. С. 50-55.
102.	Слонимский Г. Л. О законе деформации высокоэластичных поли-
полимерных тел // ДАН СССР. 1961. Т. 140, № 2. С. 343-346.
103.	Смирнов В. И. Курс высшей математики. Т. 4. — М., 1958. — 628 с.
104.	Смирнов М. М. Уравнения смешанного типа. — М.: Высшая школа,
1985. - 304 с.
105.	Стеценко В. Я. О простоте максимального собственного значения
одного интегрального уравнения / В кн.: Исследования по крае-
краевым задачам теории функций и дифференциальных уравнений. —
Душанбе, 1954. — 133 с.
106.	Сургуладзе Т А. Об одном применении дробного исчисления в вяз-
коупругости // Вестник Московского университета. Сер. 1. Мате-
Математика. Механика. 2000. № 5. С. 62-66.
107.	Титчмарш Е. Введение в теорию интегралов Фурье. — М.-Л.:
Гостехиздат, 1948. — 160 с.
108.	Тихонов А.Н., Самарский А. А. Уравнения математической физи-
физики. — М.: Наука, 1972. — 735 с.
109.	Трикоми Ф. О линейных уравнениях смешанного типа. — М.-Л.,
1947. - 132 с.
110.	Трикоми Ф. Интегральные уравнения. — М., 1960. — 299 с.
111.	Трикоми Ф. Лекции по уравнениям в частных производных. — М.,
1957. - 443 с.
112.	Усанеташвили М.А. Об одной краевой задаче для эллиптических
уравнений с нехарактеристическим вырождением на части грани-
границы // Сообщения Академии наук Грузинской ССР. 1977. Т. 86, № 1.
С. 37-39.
113.	Устюжанин Е. Е., Реутов Б. Ф., Кузубов К. А. Масштабные моде-
модели уравнения состояния для хладона R 134а / Тезисы XV Между-

Список литературы	265
народной конференции «Уравнения состояния вещества». — Тер-
скол: Тип. ИПХФ РАН, 2000. - 195 с.
114.	Учайкин В. В. Аномальный перенос частиц с конечной скоростью
и асимптотическая фрактальность // Журнал технической физи-
физики. 1998. Т. 68, № 1. С. 138-139.
115.	Федер Е. Фракталы: Пер. с англ. — М.: Мир, 1991. — 254 с, ил.
116.	Франкль Ф.И. Избранные труды по газовой динамике. — М.: Нау-
Наука, 1973. - 771 с.
117.	Чадаев В. А. Дифференциальные уравнения дробного порядка /
В кн.: Отчёт по научно-исследовательской работе за 1992 г. Тема:
«Разработка и исследование нелокальных задач и автоматизиро-
автоматизированных смешанных систем. Моделирование нелокальных явлений
и процессов». — Нальчик: НИИ ПМА. — С. 297-338.
118.	Чудновский А. Ф. Теплофизика почв. — М.: Наука, 1976. — 352 с.
119.	Чукбар К. В. Стохастический перенос и дробные производные //
ЖЭТФ. 1995. Т. 108, вып. 5A1). С. 1875-1884.
120.	Фракталы в физике: Труды VI Международного симпозиума по
фракталам в физике (МЦТФ, Триест, Италия, 9-12 июля 1985) /
Пер. с англ; Под ред. Л. Пьетронеро, Э. Тозатти. — М.: Мир, 1988. —
672 с.
121.	Шхануков М.Х. О сходимости разностных схем для дифференци-
дифференциальных уравнений с дробной производной // ДАН. 1996. Т. 348,
№ 6. С. 746-748.
122.	Шхануков-Лафишев М.Х., Нахушева Ф.М. Краевые задачи для
уравнения диффузии дробного порядка и сеточные методы их
решения / В сб.: Неклассические уравнения математической физи-
физики. — Новосибирск: Изд-во Института математики СО РАН. 1998.
С. 37-44.
123.	Afanasiev V. К, Sagdeev R. Z., Zaslavsky G. M. // Chaos. 1991. V. 1B).
P. 143-159.
124.	Barrett J.H. Differential equation of non-integer // Canad. J. Math.
1954. V. 6, №4. P. 529-541.
125.	Ross B. A Brief History and Exposition of the Fundamental Theory of
Fractional Calculus // Lect. Notes Math. 1975. V. 457. P. 1-36.
126.	Brawne P. I. Comptes Rendues // Ac. Sc. Paris. 1944. V. 158. P. 1562-
1565.
127.	Ceuvres de Maurice Gevrey. Editions du Centre National de
la Recherche Scientifique. — Paris, 1970.
128.	Campos L. M. В. С On an Approach to Complex Analysis via Differ-
integrations // Integral Transforms and Special Functions. 1993. V. 1,
№ 4. P. 251-167.
129.	Caputo M. Elasticita e Dissipazione. Zanichelli, Bologna A969) (in
Italian).
130.	Decch Wolfgan, Grimmer Renold. Coupled Elastic and Viscoelastic
Rods // The Rocky Mountain Journal of Mathematics. Winter. 1994.
V. 24, № 1. P. 37-60.

266	Список литературы
131.	Gellerstedt S. Sur un probleme aux limites pour une equation lineaire
aux derivees partielles du second ordre de type mixte // Uppisala.
1935. P. 3-91.
132.	Gement A. A Method of Analyzing. Experimental Results, Contained
from Elasto-Viscous // Physics. 1936. V. 7. P. 311-317.
133.	Gement A. On Fractional Differential // Fhilosophical Magazine. 1938.
V. 25. P. 540-549.
134.	Hardy G., Littlewood J. Some Properties of Fractional Integrals // I.
Math. 1928. Z. 27. P. 565-606.
135.	Hayek N., Trujillo J., Rivero M., Bonilla В., Moreno J. C. An Extension
of Picard-Lindeloff Theorem to Fractional Differential Equations //
Applicable Analysis. V. 70, № 3-4. P. 347-361.
136.	Higgins T.P.J. // Soc. Indust. Appl. Mach. Assoc. 1963. V. 11, №6.
P. 886-893.
137.	Hille E., Tamarkin J.D. On the theory of linear integral equations //
Ann. Math. 1930. V. 31. P. 479-528.
138.	Holmgren E. // Arkiv for mat., astr. ock fysik. 16, 5. P. 1-20.
139.	Kilbas A. A., Repin O.A., Saigo M. Solution in Closed Form of Bound-
Boundary Value Problem for Degenerate of Hyperbolic Type Kyungpook //
Mathematical Journal. 1996. V. 36, № 2. P. 261-273.
140.	Kilbas A. A., Saigo M. On Mittag-Leffler Type Function, Fractional
Calculus Operators and Solutions of Integral Equations // Integral
Transforms and Special Functions. 1996. V. 4. P. 335-370.
141.	Kilbas A. A., Saigo M. Fractional Calculus of the Я-Functions //
Fukuoka University Science Reports. 1988. V. 28, № 2. P. 41-51.
142.	Kilbas A. A., Saigo M. // Integral Transforms and Special Functions.
1996. V. 4, № 4. P. 355-370.
143.	Kilbas A. A., Saigo M. Differential and Integral Equations // Khayyam
Publishing. 1995. V. 8, № 5. P. 993-1011.
144.	Kilbas A. A., Saigo M., Bubakar S. Zygmund Type Estimates and
Mapping Properties of Operators with Power-Logarithmic Kernels in
Generalized Holder Spaces // Mathematica Japonica. 1994. V. 40, № 3.
P. 473-485.
145.	Kilbas A. A., Saigo M., Ohmori M. On Gaussian Associated Hypergeo-
metric Functions // Fukuoka University Science Reports. 1985. V. 25,
№ 1. P. 11-22.
146.	Kiryakova K, Saigo M., Owa Sh. Distortion and Characterization
Theorems for Starlike and Convex Functions Related to Generalized
Fractional Calculus // Research Institute for Mathematical Sciences,
Kyoto University. Kyoto. Japan. 1997. V. 1012. P. 25-46.
147.	Love E.R. Some integral equation involving hypergeometric func-
functions // Proc. Edinburgh Math. Soc. 1967. V. 15, № 6. P. 169-198.
148.	Mainardi F. Fractional Relaxation-Occilation and Fractional
Diffusion-Wave Phenomena Chaos // Solitons and Fractals. 1996.
V. 7, № 9. P. 1461-1477.
149.	Mandelbrot B.B. The Fractal Geometry of Nature. — N.Y.: Freman,
1983.

Список литературы	267
150.	Miller K.S., Ross В. Fractal Green's function // Indian J. Pure Appl.
Math. 1991. V. 22, № 9. P. 763-767.
151.	Oldham Keith В., Spanier Jerome. The Fractional Calculus (Theory
and Applications of Differentiation and Integration to Arbitrary Or-
Order). — N.Y., London: Academic Press, 1974. — 233 p.
152.	Ozturk I. On the Theory of Fractional Equation // Reports of Adyghe
(Circassian) International Academy of Sciences. 1998. V. 3, № 2. P. 35-
39.
153.	Saigo M. A Certain Boundary Value Problem for the Euler-Darboux
Equation, II // Math. Japon. 1979. V. 24, № 1. P. 377-385.
154.	Saigo M. A Certain Boundary Value Problen for the Euler-Darboux
Equation, III // Mathematica Japonica. 1981. V. 26, № 1. P. 103-119.
155.	Saigo M. A Remark on Integral Operators Involving the Gauss Hyper-
geometric Functions // Mathematical Reports of College of General
Education, Kyushu University. 1978. V. XI, № 2.
156.	Saigo M. On Properties of the Lauricella Hypergeometric Func-
Function FD // Bull. Central Res. Inst. Fukuoka Univ. 1988. V. 104. P. 13-
31.
157.	Saigo M., Kilbas A. A. Generalized Fractional Calculus of the H-
Function // Fukuoka University Science Reports. 1999. V. 29, № 1.
P. 31-45.
158.	Saigo M., Srivastava H.M. The Behaviours of the Appel Double Hy-
Hypergeometric Series F4 and Certain Lauricella Tripple Hypergeometric
Series near the Boundaries of Their Convergence Regions // Fukuoka
University Science Reports. 1989. V. 19, № 1. P. 1-10.
159.	Saigo M., Glaeske H.-J. Fractional Calculus on Space Fr.m. College of
Engineering, Nihon University, Fractional Calculus its Application //
International (Tokio) Conference Proceedings. 1990. P. 207-214.
160.	Saigo M., Repin O.A., Kilbas A. A. On a Non-local Boundary Value
Problem for an Equation of Mixed Parobolic-Hiperbolic Type // Int.
J. Math. 81 Stat. Sci. 1996. V. 5, № 1. P. 103-117.
161.	Samko S. G., Ross B. Integration and Differentiation to a Variable
Special Functions. 1993. V. 1, № 4. P. 277-300.
162.	Steinig John. The Changes of Sign of Fractional Integrals // Math. Z.
1970. V. 116. P. 183-190.
163.	Wegner F., Grossmanns S. Diffusion and trapping on a nested fractal
structure // Zeitschr. Phus. B. 1985. V. 59, № 2. P. 197-206.
164.	Wiman Anders. Uber der fundamentalsatz in der theorie der funktio-
nen Ea(x), Uber die nullstellen der funktionen Ea(x) // Acta Math.
1905. V. 29. P. 191-201, 217-234.
165.	Wimp Jet. Proc. Glasgow Math. Assoc. 1965. V. 7, № 3. P. 42-44.
166.	Wolfersdorf L. Uber eine beziehung zwischen integralen nichtganzer
Ordnung // Math. Zeitschr. 1965. V. 90, № 1. P. 24-28.

Предметный указатель
Аналог
—	задачи Гурса 170
—	задачи Трикоми 181
—	критерия второй производной
115
—	принципа Зарембы-Жиро 135
—	принципа Хопфа 133
—	теоремы о среднем значении 21
—	теоремы Ферма 104
—	уравнения непрерывности 201
—	формулы Ньютона-Лейбни-
Ньютона-Лейбница 87
Базис Рисса 213
Бета-функция 13
Гамма-функция Эйлера 32
Диффузия через фрактальную
поверхность 197
Задача
—	Дарбу 204
—	Дирихле 126, 137, 147, 181, 212
—	Коши 164, 186, 203
	видоизмененная 60, 91, 106,
109, 125, 214
	, корректность 125
	однородная 115
	локальная 102, 222
	со смешанным носителем 158
	характеристическая 170
—	Нахушева 175
—	Неймана 213
	видоизмененная 127
—	одноточечная 114
—	первая краевая для уравнения
Фурье 186
—	Самарского в видоизмененной
постановке 210
—	со смещением 23
—	Трикоми 42, 186
—	Штурма-Лиувилля 137
Закон
—	алгебраического затухания 228
—	Бугера-Ламберта-Бера 202
—	взвешенной композиции опера-
операторов 12
	дробного дифференцирова-
дифференцирования и интегрирования 12
	с одинаковыми начала-
началами 18
	с различными началами 22
—	деформации высокоэластич-
высокоэластичных полимерных тел для де-
деформации сегмента 149
—	дисперсии 192
—	Кольрауша 224
—	комбинированный 226
—	композиции 87
	операторов Римана-
Лиувилля и Эрдейи-Кобе 17
—	логистический 192
—	высокоэластичной деформации
149
—	обобщенный комбинированный
227
—	растянутый экспоненциальный
224
—	смешанной композиции 119
—	Фика 195
	второй 201
—	Фурье 157
—	экспоненциально-логарифми-
—	экспоненциально-логарифмический 228
Интеграл
—	в смысле конечной части по
Адамару 76
—	в смысле главного значения по
Коши 50
—	Гильберта 38, 41, 43

Предметный указатель
269
—	дробный бесконечно малого
порядка 76
—	обобщенный дробный 15
	в смысле Сайго 12, 249
Коэффициент биномиальный 32
Кривая
—	Жордана 186
—	Коха 194
—	релаксации 152
Критерий
—	второй производной 115
—	разрешимости видоизмененной
задачи Коши 72
Лебегова мера 194
Лемма Трикоми 188
Локальное обобщение принципа
Агмона-Ниренберга и Протте-
ра 180
Метод
—	А.В. Бицадзе 187
—	решения непрерывных диффе-
дифференциальных уравнений 92
—	Ф. Трикоми 187
—	Фурье решения задачи Самар-
Самарского 212
—	Хевисайда 156
Модель
—	вязкоупругого тела 150
—	Максвелла 149
—	Мальтуса 234
—	масштабного уравнения состоя-
состояния 230
—	трехпараметрическая 151
Модуль упругости 149
Обобщенное решение 73
Оператор
—	Адамара 76
	с фиксированными началом
и концом 81
	формула обращения 80
—	Гамильтона 189
—	дробного дифференцирова-
дифференцирования 10
—	дробного интегрирования 9
	порожденный функцией Ри-
мана 25
	, обобщение в смысле
Римана-Лиувилля 26
—	дробного интегро-дифференци-
рования порядка \а\ с фикси-
фиксированными началом и концом
49
—	Капуто 120
	обобщенный 120
	, спектр 121
—	линейный симметричный 38
—	непрерывного (континуально-
(континуального) дифференцирования 34
—	непрерывного интегрирования
34
—	непрерывного интегро-диффе-
ренцирования 34
—	Лапласа 189
—	Римана—Лиувилля 11
—	М. Сайго 12
Отношение
—	междупредельное конечно-раз-
конечно-разностное 32
—	континуальное конечно-раз-
конечно-разностное 33
Полином
—	гипергеометрический 58
—	Якоби 59
Потенциал 35
—	логарифмический 43
Правило
—	коммутации 88
—	Лейбница обобщенное 12
Преобразование
—	Лапласа 85
	, функция-оригинал 85
—	обобщенное
	интегральное 15
	Эрдейи-Кобе 16
—	Хольмгрена-Рисса 98
Принцип
—	Агмона-Ниренберга и Проттера
180
—	Асгейрсона (аналог) 21
—	Зарембы-Жиро 189
—	экстремума 111, 130, 179
	А.В. Бицадзе 189
	для оператора дробного диф-
дифференцирования 105
	для обыкновенного нело-
нелокального дифференциального

270
Предметный указатель
уравнения второго порядка
130
Производная
—	гельдеровская 29
—	дробная отрицательного поряд-
порядка 35
—	континуальная 33
—	Летниковская 32
—	регуляризованная дробная 198
Пространство
—	Гильберта 45
—	банахово 107
Пси-функция 86
Распределение Вейбула 225
Релаксации время 149
Регуляризация задачи Дарбу 204
Решение
—	видоизмененной задачи Ко-
ши 61
—	уравнения Геллерстедта 21
—	уравнения Абеля 59
—	уравнения Трикоми 46
Ряд Фурье 217
Связь
—	операторов Эрдейи-Кобе и М.
Сайго 16
—	континуальной производной
и дискретной производной
дробного порядка 32
Система «вход-выход» 31, 191
Соотношение реккурентное 58
Теорема
—	Бореля (свертывания) 85
—	Стеклова 221
—	Трикоми-Геллерстедта 24
—	о дробной производной потен-
потенциала со степенным ядром 24
—	Ферма 104
	обобщенная 105
Уравнение
—	Абеля 56, 59, 207, 209
	интегральное 10
	, континуальный аналог 83
	непрерывное интегральное
83, 86, 91
	обобщенное 24
—	аномальной диффузии 230
—	Бернулли 191, 235
—	Бернулли-Ферхюльста 234
—	Буссинеска 199
—	влагопереноса 197
—	волновое 160
	нелокальное 193,196, 215, 221
—	Вольтерра
	первого рода с логарифмиче-
логарифмическим ядром 77
	 интегральное второго рода
84, 146, 233
	интегральное третьего рода
109,111
	нагруженное 107
—	Геллерстедта 20, 25, 29, 203, 236
	, обобщенное решение 21
—	диффузии 30
—	Карлемана 47, 59
—	Лаврентьева-Бицадзе 25, 186,
200
—	междупредельное разностное
27, 234
—	Навье-Стокса 189, 192
—	нагруженное смешанного типа
с вырождением порядка 200
—	нелокальное диффузионное 210
—	нелокальное смешанного типа
203
—	непрерывное дифференциаль-
дифференциальное 199
—	неразрывности 190, 193, 196
—	переноса 227
	дробного порядка 199
	обобщенное 196
—	Работнова 151
—	реологическое 149
—	роста численности популяции
232
—	сингулярное первого рода 82
—	состояния 31, 189, 193
	масштабное 231
	Клапейрона 190
—	стохастического переноса 227
—	тепловой энергии 192
—	теплопроводности 158
—	Трикоми 23, 46, 171, 186
—	Фредгольма второго рода 42,
144
—	Фурье 29, 154
—	Эйлера-Дарбу-Пуассона 171

Предметный указатель
271
Условие
—	Барретта нелокальное 99
—	Гель дера 70
—	существования континуальной
производной 33
—	Коши 25
	видоизмененное 25, 76, 109
	локальное 99, 103
—	монотонности М 42
—	начальное (нелокальное) одно-
однородное 107
—	нелокальное типа Самарского
202
—	необходимое для разрешимости
задачи Дарбу 209
—	А.Н. Тихонова 29, 155
Формула
—	Больца 51
—	Грина 187
—	Д'Аламбера 161
—	Дарбу 172
—	дробного интегрирования по
частям 35
—	Куранта-Гильберта 158
—	Лежандра 174
—	Ньютона-Лейбница обобщен-
обобщенная 86
—	обращения
	непрерывного интегрального
уравнения Абеля 86
	оператора Адамара 80
	оператора дробного диффе-
дифференцирования 56
	дробного интеграла 76
—	Хилле-Тамаркина 93, 183
—	Эйлера 205
Фрактал 194
Фрактальная размерность 194
Фрактальная среда 196, 201
Функционал билинейный 44
Функция
—	Барретта 99
—	Вольтерра 44
—	гипергеометрическая Гаусса 51
—	Грина 138, 143, 223
—	дробно-экспоненциальная 97
—	Кольрауша 224
—	Миттаг-Леффлера 86, 93, 122,
128, 183
—	Нахушева 54
—	Работнова (дробно-экспоненци-
(дробно-экспоненциальная) 97, 99
—	специальная 44
—	типа Миттаг-Леффлера 86, 93,
193
—	тока 29
Хаусдорфа размерность 194

Научное издание
НАХУШЕВ Адам Маремович
ДРОБНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ
Редактор Н.Б. Бартошевич-Жагелъ
Оригинал-макет: В.В. Худяков
Оформление переплета: А.Ю. Алехина
ЛР №071930 от 06.07.99. Подписано в печать 06.11.03.
Формат 60x90/16. Бумага офсетная. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 17. Уч.-изд. л. 18,7. Тираж: экз. Заказ №
Издательская фирма «Физико-математическая литература»
МАИК «Наука/Интерпериодика»
117997, Москва, ул. Профсоюзная, 90
E-mail: fizmat@maik.ru
Отпечатано с готовых диапозитивов
в ППП «Типография «Наука»
121099 Москва, Шубинский пер., 6