Обложка
Научно-редакционный совет издательства «Советская Энциклопедия»
Титульная страница
Библиографическое описание
C
T
У
Ф
Х
Ц
Ч
Ш
Э
Ю
Я
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Б
В
Г
Д
Е
Ж
З
И
К
Л
М
Н
О
П
Р
С
Т
У
Ф
Х
Ц
Ч
Ш, Щ
Э
Ю
Я
Замеченные ошибки и опечатки
Задняя обложка
Текст
                    МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
ЭНЦИКЛОПЕДИЯ



ИЗДАТЕЛЬСТВО «СОВЕТСКАЯ ЭНЦИКЛОПЕДИЯ» ЭНЦИКЛОПЕДИИ СЛОВАРИ СПРАВОЧНИКИ НАУЧНО-РЕДАКЦИОННЫЙ СОВЕТ ИЗДАТЕЛЬСТВА A. М. ПРОХОРОВ (председатель), И. В. АБАШИДЗЕ, П. А. АЗИМОВ, А. П. АЛЕКСАНДРОВ, B. А. АМБАРЦУМЯН, М. С. АСИМОВ, С. Φ. ΑΧΡΟΜΈΕΒ, Ю. Я. БАРАБАШ, Н. В. БАРАНОВ, A. Ф. БЕЛОВ, Н. Н. БОГОЛЮБОВ, Ю. В. БРОМЛЕЙ, П. П. ВАВИЛОВ, В. X. ВАСИЛЕНКО, Л. М. ВОЛОДАРСКИЙ, В. В. ВОЛЬСКИЙ, Б. М. ВУЛ, М. С. ГИЛЯРОВ, В. П. ГЛУШКО, Д. Б. ГУЛИЕВ, А. А. ГУСЕВ (заместитель председателя), Н. А. ЕГОРОВА, В. П. ЕЛЮТИН, B. С. ЕМЕЛЬЯНОВ, Ю. А. ИЗРАЭЛЬ, А. А. ИМШЕНЕЦКИЙ, А. К). ИШЛИНСКИЙ, М. И. КАБАЧНИК, Г. А. КАРАВАЕВ, К. К. КАРАКЕЕВ, Б. М. КЕДРОВ, Г. В. КЕЛДЫШ, В. А. КИРИЛЛИН, И. Л. КНУНЯНЦ, Е. А. КОЗЛОВСКИЙ, М. К. КОЗЫБАЕВ, Ф. В. КОНСТАНТИНОВ, В. А. КОТЕЛЬНИКОВ, В. Н. КУДРЯВЦЕВ, М. И. КУЗНЕЦОВ (заместитель председателя), В. Г. КУЛИКОВ, И. А. КУТУЗОВ, Г. И. МАРЧУК, Ю. Ю. МАТУ- ЛИС, Г. И. НААН, И. С. НАЯШКОВ, В. Г. ПАНОВ (первый заместитель председателя), Б. Н. ПАСТУХОВ, Б. Е. ПАТОН, В. М. ПОЛЕВОЙ, М. А. ПРОКОФЬЕВ, Ю. В. ПРОХОРОВ, Н. Ф. РОСТОВЦЕВ, А. М. РУМЯНЦЕВ, Б. А. РЫБАКОВ, В. П. САМСОН, М. И. СЛАДКОВСКИЙ, В. И. СМИРНОВ, Г. В. СТЕПАНОВ, В.Н.СТОЛЕТОВ, Б. И. СТУКА- ЛИН, М.Л. ТЕРЕНТЬЕВ, И. М. ТЕРЕХОВ, С. А. ТОКАРЕВ, В. А. ТРАПЕЗНИКОВ, П. Н. ФЕДОСЕЕВ, М. Б. ХРАПЧЕНКО, Е. И. ЧАЗОВ, И. П. ШАМЯКИН, С. И. ЮТКЕВИЧ МОСКВА 1985
МАТЕМ АТИЧ ЕСКАЯ ЭНЦИКЛОПЕДИЯ ГЛАВНЫЙ РЕДАКТОР И. М. ВИНОГРАДОВ РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ С. И АДЯН, П. С. АЛЕКСАНДРОВ, Н. С. БАХВАЛОВ, В. И. ВИТЮЦКОВ (заместитель главного редактора), А. В. БИЦАДЗЕ, Л. Н. БОЛЫПЕВ, А. А. ГОНЧАР, Н. В. ЕФИМОВ, В. А. ИЛЬИН, А. А. КАРАЦУБА, Л. Д. КУДРЯВЦЕВ, Б. М. ЛЕВИТАН, К. К. МАРДЖАНИШВИЛИ, Е. Ф. МИЩЕНКО, С. П. НОВИКОВ, Э. Г. ПОЗНЯК, Ю. В. ПРОХОРОВ {заместитель главного редактора), А. Г. СВЕШНИКОВ, А. Н. ТИХОНОВ, П. Л. УЛЬЯНОВ, А. И. ШИРШОВ, С. В. ЯБЛОНСКИЙ 5 Слу—Я ИЗДАТЕЛЬСТВО «СОВЕТСКАЯ ЭНЦИКЛОПЕДИЯ»
51(03) Μ 34 НАД ТОМОМ РАБОТАЛИ: Редакция математики издательства «Советская Энциклопедия» - B. И. БИТЮЦКОВ (заведующий редакцией), М. И. ВОЙЦЕХОВСКИЙ (старший научный редактор), А. Б. ИВАНОВ (старший научный редактор), О. А. ИВАНОВА (старший научный редактор), C. А. РУКОВА (старший научный редактор), Е. Г. СОБОЛЕВСКАЯ (научный редактор), Л. Р. СЕМЕНОВА (младший редактор), Л. В. СОКОДОВА (младший редактор). Сотрудники издательства: Т. Н. ПАРФЕНОВА, Н. Г. РУДНИЦКАЯ (литературная редакция), В. А. СТУЛОВ, 3. С. ИЗМАЙЛОВА, Μ. Μ. ШИНКАРЕВА (библиография) А. Ф. ДАЛЬКОВСКАЯ (транскрипция), Н. А. ФЕДОРОВА (отдел комплектования), 3. А. СУХОВА (редакция иллюстраций), Η. Μ. ΓΗΑΤΕΗΚΟ (редакция словника), М. В. АКИМОВА, А.Ф. ПРОШКО (корректорская), Г. В. СМИРНОВА (техническая редакция) Обложка художника Р. И. МАЛАНИЧЕВА Μ 34 Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 5. Слу — Я — М., «Советская Энциклопедия», 1984.—1248 стб., ил. Μ 1702010000-002 007(01)-85 свод. пл. подписных изд. 1985 51(03) ИБ №Ц8 Сдано в набор 28.09.83. Подписано в печать 13.09.84. Т-14179. Формат бумаги 84х1081/1в. Бумага типографская № 1. Гарнитура обыкновенно-новая. Печать текста высокая с матриц, изготовленных в МПО «Первая Образцовая типография» Союзполи- графпрома при Государственном комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. 113054, Москва, Валовая, 28. Объем издания 65,52 усл. печ. л., 109,47 уч.-изд. л. Усл. кр.-отт. 65,52. Тираж 147300 экз. Заказ №2314. Цена 1 экз. книги 7 руб. 60 коп. Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Советская энциклопедия». 109817. Москва, Ж-28, Покровский бульвар, 8. Ордена Трудового Красного Знамени Московская типография № 2 «Союзполиграфпрома» при Государственном комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. Москва, 129301, Проспект Мира, 105. Заказ №2098 © Издательство «Советская Энциклопедия», 1985
с СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА — одно из основных понятий теории вероятностей. Роль понятий С. в. и ее математического ожидания впервые ясно оценил П. Л. Чебышев (1867, см. [1]). Понимание того факта, что понятие Св. есть частный случай общего понятия функции, пришло значительно позднее. Полное и свободное от всяких излишних ограничений изложение основ теории вероятностей на основе теории меры дано А. Н. Колмогоровым (1933, см. [2]); оно сделало совершенно очевидным, что С. в. есть ни что иное, как измеримая функция на каком-либо вероятностном пространстве. Это обстоятельство весьма важно учитывать даже при первоначальном изложении теории вероятностей. В учебной литературе эта точка зрения последовательно проведена впервые У. Феллером (см. предисловие к [3], где изложение строится на понятии пространства элементарных событий и подчеркивается, что лишь в этом случае представление о С. в. становится содержательным). Пусть (Ω, Α, Р) — вероятностное пространство. Однозначную действительную функцию Χ—Χ (ω), определенную на Ω, наз. случайной величиной, если при любом действительном χ множество {ω : Χ (ω)О} входит в класс А· Пусть X — какая- либо С. в. и Αχ —- класс тех CcR.1, для к-рых {ω : Χ (ω)ζΟ}ζΑ'ι это будет σ-алгебра. Класс ^г всех борелевских подмножеств числовой прямой Rx во всяком случае содержится в Αχ- Меру ΡΧι определенную на ^равенством Ρ χ {В) = Р {ω : Χ (ω) ζ J9}, В£<&ъ наз. распределением вероятностей С. в. X. Эта мера однозначно определяется по распределения функции С. в. X, т. е. по функции *χ(*) = Ρχ{—«>, *} = Ρ{ω:Χ(ω) < χ}. Значения вероятностей Ρ {ω: Χ (ω)ζ£}, С£Ах(т.е. значения меры, служащей продолжением распределения Ρχ на σ-алгебру Αχ) по функции распределения Fx однозначно, вообще говоря, не определяются (достаточным для такой однозначности является т. н. условие совершенности меры Р, см. Совершенная мера, а также [4]). Указанное обстоятельство надо постоянно иметь в виду (напр., при доказательстве того, что распределение С. в. однозначно определяется по его характеристической функции). Если С. в. X принимает конечное или счетное число попарно различных значений хг, х21 . . ., хп, ... с вероятностями рь ..., рп, ... рп = Р {ω: Χ (ω)=ζ„}, то ее распределение вероятностей (называемое в этом случае дискретным) задается формулой Распределение С. в. X наз. непрерывным, если существует функция ρ (χ) (плотность вероятности) такая, что х ?χ(Β)=^ΒΡχ(χ)άχ для всякого интервала В (или, что то же самое, для любого борелевского множества В). В обычной терминологии математич. анализа это означает абсолютную непрерывность Ρ χ по отношению к мере Лебега на IR1. Ряд общих свойств распределения вероятностей С. в. достаточно полно описывается небольшим количеством числовых характеристик. При этом медиана и квантили имеют то преимущество, что они определены для любых распределений, хотя наиболее употребительны математическое ожидание ЕХ и дисперсия ОХ С. в. X. См. также Вероятностей теория. Комплексная С. в. X определяется парой действительных С. в. Хг и Х2 по формуле Χ(ω) = Χι(ω) + ίΧ2(ω). Упорядоченный набор (Х1? . . ., Xs) С. в. можно рассматривать как случайный вектор со значениями в Rs. Обобщением понятия С. в. на бесконечномерный случай служит понятие случайного элемента. Следует отметить, что в нек-рых задачах математич. анализа и теории чисел целесообразно рассматривать участвующие в их формулировках функции как С. в., определенные на подходящих вероятностных пространствах (см., напр., [5]). Лит.: [1]Чебышев П. Л., О средних величинах, в кн.: Поли. собр. соч., т. 2, М.— Л., 1947; [2] К о л м о г о ρ о в А. Н., Основные понятия теории вероятностей, 2 изд., М., 1974; [3] Φ е л л е ρ В., Введение в теорию вероятностей и ее приложения, пер. с англ., 2 изд., т. 1, М., 1967; [4] Гнеденко Б. В., Колмогорова. Н., Предельные распределения для сумм независимых случайных величин, М.— Л., 1949; [5] К а ц М., Статистическая независимость в теории вероятностей, анализе и теории чисел, пер. с англ., М., 1963. Ю. В. Прохоров. СЛУЧАЙНАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ, случайный процесс с дискретным временем, временной ряд,— случайная функция, заданная на множестве всех целых чисел ί=0, =£1, =£2, . . . или целых положительных чисел ί=1, 2, ... А. М. Яглом. СЛУЧАЙНАЯ ФУНКЦИЯ — функция произвольного аргумента t (заданная на множестве Τ его значений и принимающая числовые значения или, более общо, значения из какого-то векторного пространства) такая, что ее значения определяются с помощью нек-ро- го испытания и в зависимости от его исхода могут быть различными, причем для них существует определенное распределение вероятностей. В теории вероятностей основное внимание обычно уделяется числовым (т. е. скалярным) С. ф. X (t); векторные же С. φ. Χ (t) можно рассматривать как совокупность скалярных функций Ха (г), где α пробегает конечное или счетное множество А номеров компонент вектора X, т. е. как числовую С. ф., заданную на новом множестве Тг= Т@А пар (£, а), t£T, a£A. Если множество Τ конечно, то С. ф. X (t) на Τ представляет собой конечный набор случайных величин, к-рый можно считать одной многомерной (векторной) случайной величиной, характеризуемой многомерной функцией распределения. Из числа С. ф. с бесконечным Τ наиболее изучен частный случай, когда t принимает числовые (действительные) значения; в этом случае чаще всего t является временем, а С. φ. Χ (t) наз. случайным процессом (если же время /. пробегает лишь целочисленные значения, то также и случайной последовательностью, или временным рядом). Если значениями аргумента t являются точки нек-рого многомерного многообразия (напр., /с-мерного евклидова пространства Кй), то С. φ. Χ (t) наз. случайным полем. Распределение вероятностей значений С. φ. Χ (£), определенной на бесконечном множестве Г, можно
11 СЛУЧАЙНОЕ БЛУЖДАНИЕ 12 охарактеризовать совокупностью конечномерных распределений вероятностей для групп случайных величин Χ (ίι), Χ (t2), · . ., X (tn), отвечающих всевозможным конечным подмножествам {tx, t2, . . ., tn) элементов Г, т. е. совокупностью соответствующих конечномерных функций распределения Ft^t ? ί„(*ι> хъ · · ·» хп), удовлетворяющих следующим условиям согласованности: F *1· ···» *И» 'иЧ ' t\ tn («1» . , £„, 00, 00) = (1) Fi.....,i. (X<V •••>xin) = Ftl ί„(*ί. ..-,*„), (2) где ilt . . ., in — произвольная перестановка индексов 1, . . ., д. Такое задание распределения вероятностей С. φ. Χ (*) достаточно во всех случаях, когда интересуются лишь событиями, зависящими от значений X (t) на конечных множествах значений аргумента t. Однако такое задание С. ф. не позволяет определить вероятности свойств С. ф., зависящих от ее значений на непрерывном множестве значений г, типа вероятности непрерывности или дифференцируемости С. ф. или вероятности того, что С. φ. Χ (t) на непрерывном множестве значений t будет удовлетворять неравенству X (t)<Ca (см. Сепарабельный процесс). Более общее задание С. ф. связано с ее описанием как совокупности случайных величин Х = Х (со), заданных на одном и том же вероятностном пространстве (Ω, Л, Р) (где Ω — непустое множество точек со, Л — выделенная σ-алгебра подмножеств Ω, а Р — заданная на Л вероятностная мера) и отвечающих всевозможным точкам t множества Т. При таком подходе под С. ф. на множестве Τ следует понимать функцию Χ (ί, ω) двух переменных ΐζΤ и ωζΩ, являющуюся ^-измеримой функцией ω при каждом фиксированном значении t (т. е. при фиксированном t обращающуюся в случайную величину, определенную на вероятностном пространстве (Ω, Лч Р)). Фиксируя значение аргумента ω=ω0 функции Χ (£, ω), получают числовую функцию Χ (ί, ω0)—χ (t) на Т, называемую реализацией (или выборочной функцией, или, если t — это время, τ ρ а е к τ ο ρ и е и) С. φ. Χ (t); σ-алгебра Л и мера Ρ при этом индуцируют σ-алгебру подмножеств и определенную на ней вероятностную меру в функциональном пространстве RT= {x (l), t£T} реализацией #(£)» задание к-рой также можно считать эквивалентным заданию С. ф. Задание С. ф. как вероятностной меры, определенной на σ-алгебре подмножеств функционального пространства Rr всевозможных реализаций x(t), можно рассматривать как частный случай общего задания С. ф. как функции двух переменных Χ (ί, ω) (где ω принадлежит вероятностному пространству (Ω, Л, Р))» соответствующий условию, что Ω = ΚΓ, т. е. что элементарные события (точки ω исходного вероятностного пространства) с самого начала отождествляются с реализациями x(t) С. φ. Χ (t)\ с другой стороны, можно также показать, что к такому заданию С. ф. с помощью указания вероятностной меры на RT сводятся и все другие способы задания С. φ. Χ (t). В частности, задание совокупности всевозможных конечномерных функций распределения Ft , ...,/„(#1» • ■ ·» #н)> удовлетворяющих условиям согласованности (1) и (2), в силу фундаментальной теоремы Колмогорова о согласованных распределениях (см. Вероятностное пространство), определяет вероятностную меру на σ-алгебре подмножеств функционального пространства IRr= {#(/), t ζ Τ}, порожденной совокупностью цилинд- рич. множеств вида {х (t) :[x(ti), . . ., x(tn)]£Bn}, где η — произвольное целое положительное число, а Вп — произвольное борелевское множество n-мерного пространства IR" векторов [x{t{), . . ., x(tn)]. Лит. см. при ст. Случайный процесс. А. М. Яглом. СЛУЧАЙНОЕ БЛУЖДАНИЕ — специального вида случайный процесс, к-рый можно интерпретировать как модель, описывающую перемещение частицы в нек-ром фазовом пространстве под воздействием какого-либо случайного механизма. Фазовым пространством обычно бывает rf-мерное евклидово пространство или целочисленная решетка в нем. Случайные механизмы могут быть различными; чаще рассматривают С. б., порожденные суммированием независимых случайных величин или цепями Маркова. Точного общепринятого определения С. б. нет. Траектории простейших С. б. в случае d=i описываются начальным положением S0 = 0 и последовательностью сумм Sn = Xl+... + Xn, * = 1, 2, ..., (1) где Χι независимы и имеют распределение Бернулли Р{Х = 1} = р, P{X|. = _l} = g = l-p, pg(Of 1). Значение Sn можно интерпретировать как выигрыш одного из двух игроков после η партий в игре, в к-рой этот игрок в каждой из партий выигрывает один рубль с вероятностью ρ и проигрывает его с вероятностью 1—р. Если игра ведется с помощью подбрасывания симметричной монеты, то следует положить р=г/2 (симметричное блуждание, см. Бернулли блуждание). При допущении, что начальный капитал 1-го игрока равен Ь, а начальный капитал 2-го игрока равен а, игра закончится, когда блуждающая частица (с координатами Sx, £2, . . .) впервые коснется одного из уровней а или — Ъ. В этот момент один из игроков разорится. Эта классич. задача о разорении, в к-рой барьеры в точках а и — Ъ можно рассматривать как поглощающие. В приложениях, связанных с массового обслуживания теорией, частица вблизи барьеров а и — Ь=0 может вести себя иначе: напр., если а=оо, &=0, то положение Ζη+ι блуждающей частицы в момент η~\-ί в соответствии с (1) описывается соотношением Z„+1 = max(0, Zn+Xn + 1), (2) и барьер в точке 0 можно наз. задерживающим. Существуют и другие возможности для поведения частицы вблизи барьеров. Если а— оо, то получают задачи для С. б. с о д н о и границей. Если а=Ъ= оо, то получают неограниченное С. б. Изучение описанных С. б. происходит обычно с помощью аппарата дискретных цепей Маркова и, в частности, путем исследования соответствующих уравнений в конечных разностях. Пусть, напр., Uk есть вероятность разорения 1-го игрока в задаче о разорении, если его капитал равен к, 0<:/с<:а+6, а суммарный капитал обоих игроков фиксирован и равен а~\-Ь. Тогда из формулы полной вероятности (по первому скачку) следует, что и^ удовлетворяет уравнению u>k = PUk + i + quk-i, 0 < к < а + Ь, и граничным условиям иа=0, и_&=1. Отсюда получают при ρ φ q; (JL\a+b —(JL Ив=="£Ть ПРП P = V==1l2- Вторая из этих формул показывает, что даже «безобидная» игра (в к-рой оба игрока имеют одинаковые шансы) приводит к разорению с вероятностью, близкой к 1, если капитал 2-го игрока а велик по сравнению с Ь (и«,= 1 при Ь<оо).
13 СЛУЧАЙНОЕ БЛУЖДАНИЕ 14 Задача о разорении может быть исследована весьма полно. Ж. Лагранжем (J. Lagrange) было, напр., установлено (см. [1], т. 1), что вероятность иа, п разорения 1-го игрока на и-м шаге равна п-а п + а Иа,п=(с1 + Ь)-12Пр'Т'д~^Х ^^k—l a+b a+b a + b Среднее время ma до разорения одного из игроков: _ а α + b \ Ρ J , ma = ab, p = q = i/2. Для С. б. с одной границей (а=оо), описываемых соотношениями (2), существует при р<</ и /г->оо стационарное распределение Z„, совпадающее с распределением случайной величины S — su^S^ при этом /г>0 P{*^*}=(f)*, * = <>, 1, ... . (3) Законы, описывающие неограниченное С. б., следуют из теорем о поведении последовательных сумм Sn, η—ί, 2, . . . Один из этих законов утверждает, что для симметричного Сб. (р=1/2) частица с вероятностью 1 попадет (притом бесконечное число раз) в любую фиксированную точку я. При р<1/2 блуждание с вероятностью 1 уходит влево, при этом случайная величина S (см. (3)) с вероятностью 1 конечна. Для симметричного С. б. время Кп, проведенное частицей на положительной полуоси (число положительных членов в последовательности Sx, . . ., Sn), будет с большей вероятностью ближе к 0 или /г, чем к п/2. Это видно из т. н. арксинуса закона, в силу к-рого при больших η (см. [1], т. 1) P=!^L< χ) « — arcsin Υ7. Отсюда следует, напр., что и что с вероятностью 0,2 частица проводит не менее 97,6% всего времени на одной стороне. Существуют соотношения, связывающие С. б. при наличии границ с неограниченным С. б. Напр., если положить y(x)=min{fe:^<a;}, то (см. [2]) ?{Y(x) = n} = ±?{Sn=x). Положение Sn блуждающей частицы для неограниченного С. б. при больших η описывается больших чисел законом и центральной предельной теоремой. Если величины скачков ±1 заменить на =£А при малом Δ и положить р= +2α , то положение частицы Ζη после η=ίΔ~"2 скачков будет описывать приближенно (при Δ->0) поведение в момент времени ι процесса диффузии со сносом а, коэффициентом диффузии 1 и с соответствующим поведением на границах а и —Ъ (если таковые для С. б. Ζη заданы). Существует много обобщений рассмотренных С. б. Простейшие С. б. в пространстве Rd, с/>1, определяются следующим образом. Частица выходит из начала координат и перемещается за один шаг на расстояние 1 в одном из 2d направлений, параллельных осям координат. Таким образом, возможными положениями блуждающей частицы являются все точки с целочисленными координатами. Чтобы задать С. б., надо определить 2d вероятностей, соответствующих различным переходам. Получают симметричное С. б., если каждая из этих вероятностей равна 1/2d. В многомерном случае задачи с границами для С. б. значительно сложнее, т. к. при d>l существенно усложняется форма границ. Для неограниченных С. б. справедлива следующая теорема Попа (см. [1], т. 1). Для симметричного С. б. при с/<2 частица с вероятностью 1 рано или поздно вернется в свое начальное положение (один, а стало быть, и бесконечное число раз). При d=3 эта вероятность равна приближенно всего лишь 0,35 (при d>3 она еще меньше). Другое возможное обобщение простейших С. б. состоит в том, чтобы рассматривать в (1) произвольно распределенные независимые случайные величины ^, |2, ... Основные качественные закономерности для неограниченных С. б. и для блужданий с границами при этом сохраняются. Напр., блуждающая частица с вероятностью 1 достигает одной из границ а или —Ъ. Если ЕХ/<0, α =оо, то граница — Ъ будет достигаться с вероятностью 1. Если \{ целочисленны, ЕХ;=0, то частица с вероятностью 1 вернется в исходное положение. Для произвольно распределенных Ху с ЕХ,—О это утверждение сохранится лишь в случае, когда рассматривается возвращение не в точку, а в интервалы. Решение задач, связанных с выходом С. б. за границы интервала (—Ь, я), в общем случае оказывается значительно более трудным. В то же время эти задачи имеют многочисленные приложения в математич. статистике (последовательный анализ), в страховом деле, в теории массового обслуживания и др. При их исследовании определяющую роль играет совокупность функционалов от С. б. {Sn}, η—0Ч 1, . . ., наз. граничными. К ним относятся S=suj)Sk4 время пер- fc>0 вого прохождения нулевого уровня (в положительном направлении) Y +=min{/c : Sk>0}, время первого достижения нулевого уровня (в отрицательном направлении) Y_=min{A;>l : Sk>0), величина первой положительной суммы χ+ — SY , величина первой неотрицательной суммы χ_ = £Ύ и др. Оказывается, что распределение скачка X/ связано с распределениями названных функционалов следующим т. н. фактори- зационным тождеством (см. [1J, т. 1; [2), [3]). Пусть φ(λ)=ΕβίλΧί есть характеристич. функция Хх. Тогда при [ζ|<1, Ιπιλ=--0: ί-ζφ(λ)=[ί-Ε(βαχ + ζΥ+; Υ+ < оо)]х χ[ι_Ε(*ίλχ-*χ-; г- < »)]· (4) Это тождество обнаруживает связь граничных^ задач для С. б. с граничными задачами теории функций комплексного переменного, т. к. компоненты факторизации в правой части (4) однозначно определяются компонентами канонич. факторизации функции 1— ζφ (λ) на оси Ιπιλ=0, τ. е. разложения этой функции в произведение 1 — ζφ (λ) = Λ2+ (λ) Αζ_ (λ), Im λ = 0, где Λζ,(λ) аналитичны соответственно в верхней и нижней полуплоскостях, не имеют там нулей и непрерывны, включая границу. В тождестве (4) при ζ=1 вместо первого множителя можно поставить также ΐ-ρ{Υ+<«>} „1_Ερ'λχ+. у+ < оо). Тождество (4) — лишь одно из группы факториза- ционных тождеств, связывающих распределения различных граничных функционалов. К ним относится тождество Пол лачек а — Сиицера
15 СЛУЧАЙНОЕ КОДИРОВАНИЕ 16 где Sn=max (О, S±, . . ., £„). Факторизационные тождества представляют собой мощное средство изучения граничных задач для С. б. (см. [1], т. 2; [2], [3]). В настоящее время граничные задачи для С. б. исследованы весьма полно, включая асимптотический их анализ (см. [1], т. 2; [4]—[6]). Аналитически решение граничных задач приводит к интегрально-разностным уравнениям. Напр., вероятность ип(х, а, Ъ) того, что частица, вышедшая из точки ж ζ (—Ь, а), покинет за время η интервал (—Ь, а), удовлетворяет уравнению (формула полной вероятности по первому скачку) »ιι+ι(*ι α> ъ) = \а1ь_хип(х + У, a, b)dF(y) + i — — F(a—x) + F(—b—x), где F(х)==?{Х1<.х). Если перейти к производящим функциям и (ζ, χ, a, Ъ)=Ъп=а.ъпип(х% а, &), то получают обычные интегральные уравнения. Существует, по крайней мере, два подхода к исследованию асимпто- тич. свойств решений этих уравнений. Один из них основан на изучении аналитич. свойств двойного преобразования U (ζ, λ, а, Ъ)=[ еа*и (ζ, χ, a, b) dx и последующего его обращения (см. [4] — [6]). Другой связан с привлечением методов Вишика и Люстерника решения уравнений с малым параметром (см. [6]). На втором пути обнаруживаются глубокие связи рассматриваемых задач с теорией потенциала. Многое из сказанного выше переносится и на С. б. с зависимыми скачками, когда случайные величины Sn связаны в цепь Маркова, а также на многомерные С. б. в Rd, d>l (см. [6], [7]). Лит.: [ЦФеллер В., Введение в теорию вероятностей и ее приложения, пер. с англ., 2 изд., т. 1, М., 1967; [2] Б о ρ о в- к о в Α. Α., Теория вероятностей, М., 1976; [3] е г о же, Вероятностные процессы в теории массового обслуживания, М., 1972; [4] К о ρ о л ю к В. С, Боровских Ю. В., Аналитические проблемы асимптотики вероятностных распределений, К., 1981; [5] Боровков Α. Α., «Сиб. матем. ж.», 1962, т. 3, № 5, с. ,645—94; [б] Л о τ о в В. И., «Теория вероятн. и ее при- мен.», 1979, т. 24, № 3, с. 475—85; № 4, с. 873—79; [7] Спи- ц е ρ Φ., Принципы случайного блуждания, пер. с англ., М., 1969. А. А. Боровков. СЛУЧАЙНОЕ КОДИРОВАНИЕ — один из методов кодирования (см. Кодирование и декодирование), при к-ром каждому возможному значению сообщения, вырабатываемому источником сообщений, ставится в соответствие случайно выбранное значение сигнала на входе канала связи. При этом на множестве значений сигналов на входе канала задается нек-рое распределение вероятностей. Часто предполагается, что каждый элемент кода (т. е. значение сигнала на входе, соответствующее данному значению сообщения) выбирается независимо от других и в соответствии с данным распределением вероятностей. Иногда С. к. определяют так, чтобы каждая реализация С. к. была групповым кодом. Важность рассмотрения С. к. связана с тем обстоятельством, что осредненная по всем реализациям ошибочного декодирования вероятность дает относительно легко исследуемую оценку сверху для вероятности ошибочного декодирования оптимального кода. Лит.: [1] Шеннон К., Работы по теории информации и кибернетике, пер. с англ., М., 1963, с. 243—332; [2] Д о б ρ у- ш и н Р. Л., «Успехи матем. наук», 1959, т. 14, в. 6, с. 3—104; [3] Г а л л а г е ρ Р., Теория информации и надежная связь, пер. с англ., М., 1974. Р. Л. Добрушип, В. В. Прелое. СЛУЧАЙНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ σ множества Ζ = = {1,2, . . ., ή) в себя — случайная величина, принимающая значения из множества "V всех однозначных отображений множества X в себя. С. о. σ, для к-рых вероятность Ρ {o = s} > 0 только для взаимно однозначных отображений sζ"V , паз. случайными подстановками степени п. Наиболее полно изучены С. о., для к-рых Ρ [o = s} = n-n при всех s£ V Реализация такого С. о. представляет собой результат простого случайного выбора из множества^ . Лит.: [1] Ко л ч ин В. Ф., Случайные отображения, М., 1984. В. Ф. Колчип. СЛУЧАЙНОЕ ПОЛЕ, случайный процесс с многомерным временем, или с многомерным параметром,— случайная функция, заданная на множестве точек какого-то многомерного пространства. С. п. представляют собой важный тип случайных функций, часто встречающийся в различных приложениях. Примерами С. п., зависящих от трех пространственных координат х, у, ζ (а также и от времени t), могут служить, в частности, поля компонент скорости, давления и температуры турбулентного течения жидкости или газа (см. [1]); С. п., зависящим от двух координат χ и у, будет высота ζ взволнованной морской поверхности или поверхности какой-либо шероховатой пластинки (см. [2]); при исследовании глобальных атмосферных процессов в масштабе всей Земли поля наземного давления и др. метеорологич. характеристик иногда рассматриваются как С. п. на сфере и т. д. Теория С. п. общего вида фактически не отличается от общей теории случайных функций; более содержательные конкретные результаты удается получить лишь для ряда специальных классов С. п., обладающих дополнительными свойствами, облегчающими их изучение. Одним из таких классов является класс случайных полей однородных, заданных на однородном пространстве S с группой преобразований G и обладающих тем свойством, что распределения вероятностей значений поля на произвольной конечной группе точек пространства S или же среднее значение поля и вторые моменты его значений в парах точек не меняются при применении к аргументам поля какого-либо преобразования из группы G. Однородные С. п. на евклидовом пространстве IR*, &=1, 2, . . . , или на решетке ζk точек № с целочисленными координатами, отвечающие выбору в качестве группы G совокупности всевозможных (или всех целочисленных) параллельных переносов, являются естественным обобщением стационарных случайных процессов, на к-рое просто переносится большая часть результатов, доказанных для таких процессов; большой интерес для приложений (в частности, для механики турбулентности, ср. [1]) представляют также т. н. однородные и изотропные поля на R3 и R2, отвечающие выбору в качестве группы G совокупности всевозможных изометрич. преобразований соответствующего пространства. Важной особенностью однородных С. п. является существование спектральных разложений специального вида как самих таких полей, так и их корреляционных функций (см., напр., [3], [4]). Другим привлекающим много внимания классом С. п. является класс марковских случайных полей, заданных в нек-рой области К пространства R*. Условие марковости С. п. U (ос), грубо говоря, означает, что для достаточно широкой совокупности открытых множеств Q, имеющих границу Г, фиксация значений поля в ε-окрестности Г8 границы Г при любом ε>0 делает семейства случайных величин [U (ос), oc^Q\T& } и {U (ос), ос£Т\Т* }, где Τ — дополнение замыкания Q в К, взаимно независимыми (или, в случае марковости в широком смысле, взаимно некоррелированными; см., напр., [5]). Обобщением понятия марковского С. п. является понятие L-марков- ского С. п., для к-рого указанная выше независимость (или некоррелированность) имеет место лишь при замене границы Г области Q специальным образом оп-
17 случай ределенной утолщенной границей Γ+L. Теория марковских С. п. и L-марковских полей имеет ряд важных применений в физич. теории квантовых полей и в статистич. физике (см. [6], [7]). Еще одним классом С. п., возникшим из задач статистич. физики, является класс гиббсовских случайных полей, распределения вероятностей к-рых могут быть выражены через Гиббса распределение (см. [7], [8]). Удобным способом задания гиббсовских С. п. оказалось их задание с помощью совокупности условных распределений вероятностей значений поля в конечной области, отвечающих фиксированным всем его значениям вне этой области. Следует отметить, что С. п. на гладком многообразии S часто удобно рассматривать как частный случай случайного поля обобщенного, для которого могут не существовать значения в одной заданной точке, но имеют смысл сглаженные значения U (ер), представляющие собой случайные линейные функционалы, определенные на нек-ром пространстве D гладких основных функций φ (а?). Обобщенные С. п. (особенно обобщенные марковские С. п.) используются в физич. приложениях; рассматривая лишь функции φ(χ) такие, что φ (a?) doc=0, в рамках теории обобщенных С. п. можно определить также родственные случайным процессам со стационарными приращениями локально однородные (и локально однородные и локально изотропные) С. п., играющие важную роль в статистич. теории турбулентности (см., напр., [1], [9]). Лит.: [1] Μ о н и н А. С, Я г л о м А. М., Статистическая гидромеханика, ч. 1—2, М., 1965—67; [2] Хусу А. П., В и- тенберг Ю. Р., Пальмов В. Α., Шероховатость поверхностей (теоретико-вероятностный подход), М., 1975; [3] X е н н а н Э., Представления групп и прикладная теория вероятностей, пер. с англ., М., 1970; [4] Я д ρ е н к о М. И., Спектральная теория случайных полей, К., 1980; [5] Розанов Ю. Α., Марковские случайные поля, М., 1981; [6] Саймон В., Модель Ρ(φ)2 эвклидовой квантовой теории поля, пер. с англ., М., 1976; [7] Π ρ е с τ о н К., Гиббсовские состояния на счетных множествах, пер. с англ., М, 1977; [8] Многокомпонентные случайные системы, М., 1978; [9] Гельфанд И. М., Виленкин Н. Я, Некоторые применения гармонического анализа. Оснащенные гильбертовы пространства, М., 1961. A.M. Яглом. СЛУЧАЙНОЕ ПОЛЕ ОБОБЩЕННОЕ, обобщенный случайный процесс,— случайная функция на гладком многообразии G, типичными реализациями к-рой являются обобщенные функции, заданные на этом многообразии G. Точнее, пусть G — бесконечногладкое многообразие и D (G) — пространство бесконечно дифференцируемых финитных функций, определенных на G, с обычной топологией равномерной сходимости последовательностей равномерно финитных функций и всех их производных. Тогда на G определено С. п. о., если задано непрерывное линейное отображение D(G)-+Lo(Q, S, μ), φ —/φ, q>6D(G)f пространства D (G) в пространство L0(Q, 35, μ) случайных величин, определенных на нек-ром вероятностном пространстве Ω с выделенной σ-алгеброй его подмножеств 53 и вероятностной мерой μ, определенной на *8; L0(Q, SB, μ) снабжено топологией сходимости по мере [7]. В случае когда вероятностным пространством является пространство D' (G) обобщенных функций на G с σ-алгеброй 930> порожденной цилиндрич. множествами в D'(G), а отображение задается формулами /φ(Γ) = (Γ,φ), T£D'(G), ψζϋ {G)9 С. п. ο. {/φ, φ ζ D' (G)} наз. каноническим. Оказывается, что любое С. п. о. на конечномерном многообразии G вероятностно изоморфно нек-рому (единственному) канонич. случайному полю на G (см. [2]). ЭЕ ПОЛЕ 18 Приведенное здесь определение допускает ряд естественных модификаций: напр., можно рассмотреть С. п. о. с векторными значениями или вместо пространства D (G) использовать в определении какое- нибудь более обширное пространство основных функций на G (скажем, в случае G=1RW, и=1, 2, 3, пространства S (Rn) бесконечно дифференцируемых функций, убывающих на бесконечности вместе со всеми производными, быстрее любой отрицательной степени |*|*, Л=-1, -2, -3, . .., *gR«). Понятие С. п. о. включает в себя классич. случайные поля и процессы, реализациями к-рых являются обычные функции. Это понятие возникло в сер. 50-х гг. 20 в., когда обнаружилось, что многие естественные стохостич. образования не могут быть достаточно просто выражены в терминах классических случайных полей, а на языке С. п. о. имеют простое и изящное описание. Так, напр., любая положительно определенная билинейная форма на D (R.n), n=i, 2, . . ., (φι. <рг) = J R* 5 R/i w to»x^ Φ (x^ ч (χ*>dXl **** Φι» Фгб-^С^")» гДе W(xu хъ) ~~ положительно определенная симметрическая обобщенная функция двух переменных, однозначно определяет гауссовское С. п. о. {/φ, <p£D (Rn)} на Rn (с нулевым средним) так, что ковариация этого поля $/<рЛ2Ф = (фь ф2) (μ — соответствующая этому полю вероятностная мера в D' (№-")). Это С. п. о. оказывается классическим лишь при достаточно хорошей функции W(xlt x2) (напр., непрерывной и ограниченной). Другие примеры: С. п. о. на R" с независимыми значениями (см. [2]) или т. н. автомодельные случайные поля на Rn (см. [6]), среди к-рых вообще нет классич. полей. Интерес к исследованию С. п. о. (особенное марковских случайных полей) возрос в последнее время из-за обнаруженной в нач. 70-х гг. связи между задачей построения квантового физич. поля и построением марковских С. п. о. на Rn при п>\ (см. [5]). Лит.: [1] Гельфанд И. Μ., ΙΠ и л о в Г. Б., Пространства основных и обобщенных функций, М., 1958; [2] Г е л ь- фанд И. М., Виленкин Н. Я., Некоторые применения гармонического анализа. Оснащенные гильбертовы пространства, М., 1961; [3] Ге л ьфа н д И. М., «Докл. АН СССР», 1955, т. 100, № 5, с. 853—56; [4] Kiyosi I t б, «Mem. Coll. Sci. Univ. Kyoto. Ser. A», 1954, v. 28. № 3, p. 209—23; [5] Саймон Б., Модель Ρ(φ)2эвклидовой квантовой теории поля, пер. с англ., М., 1976; [6] Д о б ρ у ш и и Р. Л., в сб.: Многокомпонентные случайные системы, М.— Л., 1978, с. 179—213; [7] Добрушин Р. Л., Минлос Р. Α., «Успехи матем. наук», 1977, т. 32, в. 2, с. 67—122. Р. А. Минлос. СЛУЧАЙНОЕ ПОЛЕ ОДНОРОДНОЕ — случайное поле X (s), заданное на однородном пространстве S= {s} точек s, снабженном транзитивной группой G= {g} преобразований, переводящих пространство S в себя, и обладающее тем свойством, что определенные статистич. характеристики значений этого поля не меняются при применении к аргументам s произвольного преобразования группы G. Различают два разных класса С. п. о.: поле X (s) наз. С. п. о. в узком смыс- л е, если при любых п=1, 2, ... и g£ G конечномерное распределение вероятностей значений поля в произвольных η точках sl9 . . ., sn совпадает с распределением вероятностей значений того же поля в точках gst, . . ., gsn; если же ElX(s)l2<oo и EX (s)=EX (gs), EX (s) EX (*i)=EX (gs)X (gs) при всех s£S, s^Sng^G, το Χ (s) наз. С. п. о. в широком смысле. Важный частный случай — С. п. о. на евклидовом /с-мерном пространстве R* (или на решетке %к точек Rk с целочисленными координатами), отвечающее выбору группы всевозможных параллельных переносов в качестве группы G; иногда под С. п. о. вообще пони-
19 СЛУЧАЙНОЕ СОБЫТИЕ 20 мают лишь поле этого последнего типа. С. п. о. на R*, отвечающее группе G всевозможных изометрич. преобразований R* (порожденных параллельными переносами, вращениями и симметриями), часто наз. о д- нородным и изотропным случайным полем. Понятие С. п. о. представляет собой естественное обобщение понятия стационарного случайного процесса] как и в случае стационарного процесса и само С. п. о., н его ковариационная функция допускают спектральное разложение специального вида (см., напр., [1] — [3]). С. п. о. и нек-рые их обобщения часто возникают в различных прикладных вопросах. В частности, в статистич. теории турбулентности важную роль играют как однородные и изотропные случайные поля на R* (скалярные и векторные), так и т. н. локально однородные и локально изотропные случайные ноля (иначе — поля с однородными и изотропными приращениями), представляющие собой простое обобщение однородных и изотропных полей (см., напр., [4]), а в современной теории физических квантовых полей и в статистич. физике применяется теория обобщенных С. п. о., также включающих С. п. о. в качестве частного случая (см. Случайное поле обобщенное). Лит.: [1] Υ a g 1 о m А. М.,в кн.: Ргос. 4-th Berkeley Symp. Math. Stat, and Prob., v. 2, Berk.—Los Ang., 1961, p. 593—622; [2] X e η и а и Э., Представления групп и прикладная теория вероятностей, пер. с англ., М., 1970; [3] Ядрен ко М. И., Спектральная теория случайных полей, К., 1980; [4] Мо- н и н А. С, Я г л о м А. М., Статистическая гидромеханика, ч. 2, М., 1967. А. М. Яглом. СЛУЧАЙНОЕ СОБЫТИЕ — любая комбинация исходов нек-рого опыта, имеющая определенную вероятность наступления. Пример 1. При бросании двух игральных костей каждый из 36 исходов опыта может быть представлен парой (i, /), где i — число очков на верхней грани первой кости, а / — на верхней грани второй. Событие «сумма выпавших очков равна 11» есть ни что иное, как комбинация двух исходов: (5, 6) и (6, 5). Пример 2. При бросании наудачу двух точек на отрезок [0, 1] совокупность всех исходов опыта можно представить точками (ж, у) (х — координата первой точки, у — второй) квадрата {(х, у) : 0<:.г<1, 0<л/<1}. Событие «длина отрезка, соединяющего χ и у меньше а, 0<а<1» есть ни что иное, как множество исходов — точек квадрата, отстоящих от диагонали, проходящей через начало координат, на расстоянии, меньшем α/γΓ. В рамках общепринятой аксиоматики теории вероятностей (см. [1]), где в основе вероятностной модели лежит вероятностное пространство (Ω, Д, Ρ) (Ω — пространство элементарных событий, т. е. совокупность всех исходов данного опыта, Д есть σ-алгебра подмножеств Ω и Ρ — вероятностная мера, определенная на классе Д)ч случайные события — это множества, входящие в класс Л. В первом из приведенных выше примеров пространство Ω — это конечное множество, состоящее из 36 элементов—пар (i, /), l<j, /^б, Л — класс всех 236 подмножеств Ω (включая само Ω и пустое множество Ф) и для каждого А£Л вероятность Ρ (Л) равна т/36, где т — число элементов А. Во втором примере Ω есть множество точек единичного квадрата, Д — класс его борелевских подмножеств, Ρ — обычная мера Лебега на Л (совпадающая для простых фигур с их площадью) . Класс Л событий, связанных с вероятностным пространством (Ω, Л, Р), является по отношению к операциям А-]-В= (A\B)\J (В\А) (симметрич. разность) и А -В=А Г\В булевым кольцом с единицей Ω, т. е. булевой алгеброй. Определенная на этой булевой алгебре функция Ρ (А) обладает всеми свойствами нормы, кроме одного: равенство Ρ (А)~0 не влечет А=Ф. Объявляя события эквивалентными, если Р-мера их симметрич. разности равна нулю, и рассматривая вместо событий А классы эквивалентности А, приходят к нормированной булевой алгебре Л классов А . На этом замечании основан другой возможный подход к аксиоматике теории вероятностей, при к-ром исходным является не вероятностное пространство, связанное с данным опытом, а нормированная булева алгебра С. с. (см. [2], [3]). Лит.: [1] К о л м о г о ρ о в А. Н., Основные понятия теории вероятностей, 2 изд., М., 1974; [2] Гнедснко Б. В., Колмогоров А. Н., Теория вероятностей, в кн.: Математика в СССР за тридцать лет. 1917—1947, М.— Л., 1948; [3] Колмогоров А. Н., Algebres de Bool metriques completes, в кн.: VI Zjazd Mathematykow Polskich, Krakow, 1950; L4J X а л μ о ш П., Теория меры, пер. с англ., М., 1953. Ю. В. Прохоров. СЛУЧАЙНЫЕ И ПСЕВДОСЛУЧАЙНЫЕ ЧИСЛА — числа ξη (или цифры ап), последовательность появления к-рых обладает теми или иными статистич. закономерностями (см. Вероятностей теория). Различают случайные числа (ел.), генерируемые каким-либо стохастич. устройством, и псевдослучайные ч и с л а (п. ч.), конструируемые с помощью арифметич. алгоритмов. При этом обычно (с большим или меньшим основанием) принимают, что полученная (или построенная) последовательность обладает комплексом частотных свойств, «типичным» для последовательности независимых реализаций какой-либо случайной величины ζ с функцией распределения F(z)1w. говорят о (независимых) с. ч., распределенных по закону F(z). Наиболее употребительны равномерно распределенные на отрезке [0,1] с. ч. ξ„ (р. р. с. ч.), P{ln<x}=x, a также равновероятные двоичные случайные знаки ап (р. д. с. з.), Ρ{α«=0}=Ρ{αη=1}=1/2, и нормальные с. ч. г\п (н. р. с. ч.), распределенные по нормальному закону со средним 0 и дисперсией 1. С. ч. с произвольной функцией распределения F (z) могут быть построены по последовательности р. р. с. ч. |„ как ζη=Ρ~1{Ιη), т. е. найдены из уравнения |„=/?,(ζ/Ι), п=1, 2, ... . Существуют и др. приемы построения; так, н. р. с.ч. аналитически проще получать из р. р. с.ч. парами: San-i=-cos2nga„-1 V—21ηξ2„, £2/i^-sin2jtg3/I_1 V~2\nl2n. Разряды двоичной записи p.p. с. ч. являются р. д. с. з.; наоборот, группируя р. д. с. з. в последовательность бесконечных последовательностей, получают р. р. с. ч. С. и п. ч. используются на практике в игр теории, математической статистике, статистических испытаний методе и криптографии для конкретной реализации недетерминированных алгоритмов и поведения, предсказуемого лишь «в среднем». Напр., если очередное αη=0, то игрок выбирает первую стратегию, а если а„=1, то — вторую. Придать строгий математич. смысл понятию с. ч. удается только в рамках алгоритмич. теории вероятностей А. Н. Колмогорова [2] — П. Мартин-Лёфа [5]. Пусть Н= Xn=i{xn : 0<х„<:1} — единичный счетно- мерный гиперкуб с лебеговой мерой λ на нем. В Η существует наибольшее конструктивно описываемое измеримое множество G нулевой меры. Тогда любую последовательность {xn}(£G можно считать типичной и принять за последовательность р. р. с. ч. Аналогично может быть введено понятие конструктивной (ε, /)- типичности TV-последовательности двоичных знаков aj, /=1, . . ., JV, относительно системы всех событий Ва {(); 1 }N меры не более ε и длины описания не более I. Как видно из определения, типичная последовательность р, р, с. ч, сама не может быть конструктивной, и даже построение (ε, ^-типичной последовательности
21 СЛУЧАЙН случайных знаков требует чрезвычайно большого перебора. Поэтому на практике используют более просто устроенные алгоритмы, проверяя их статистич. «качества» небольшим количеством тестов. Так, конструируя р. р. с. ч., обязательно тестируют равномерную распределенность последовательности (см. [3]). В простых задачах выполнение нескольких тестов уже может гарантировать применимость последовательности. Иногда более эффективно использование коррелированных с. ч., как правило, их строят по последовательности р. р. с. ч. Созданы также таблицы с. ч. и случайных знаков. Однако, по-видимому, нельзя гарантировать, что они удовлетворяют всем разумным статистич. тестам на некоррелированность. Лит. ι [1] Ермаков СМ., Метод Монте-Карло и смежные вопросы, 2 изд., М., 1975; [2] Kolmogorov A. N., «Sankhya», ser. Α., 1963, v. 25, p. 369—76: [3] Коробов Η. Μ., «Изв. АН СССР. Сер. матем.», 1950, т. 14, № з, с. 215—38; [4] Кнут Д., Искусство программирования для ЭВМ, пер. с англ., т. 2, М., 1977; [5] Μ а г t i η - L δ f P., IEEE Transaction IT, 1968, v. 14, p. 662—64; [6] 4 e н ц о в Η. Η., «Ж. вычисл. матем. и матем. физики», 1967, т. 7, JSfe 3, с. 632—43; [7] Шень Α., «Семиотика и информатика», 1982, в.' 18, с. 14—42. „ Η. Н. Чепцов. СЛУЧАЙНЫЕ РАЗМЕЩЕНИЯ — вероятностная схема, в к-рой η частиц случайно размещаются в N ячейках. В наиболее простой схеме равновероятных размещений каждая из η частиц независимо от других частиц может попасть в любую фиксированную ячейку с вероятностью 1/Ν. Пусть μΓ=μΓ(η, Ν) — число ячеек, в к-рых после такого размещения оказалось ровно г частиц и пусть 0<г1<г2<» . .<rs. Производящая функция ^ч / ν vi00 хл<*> Nnnn Ф(г;*х, -*,)=21β80ΣΛι ^о^Х XP^ri=*lf ..., μΓ5=Λί}Λ·*1 ...*** имеет следующий вид: Φ(z; xif..., xs) = = [^+-7?-(4-l) + ... + -gf (^-1)]^. (1) Производящая функция (1) позволяет вычислять моменты μΓ и изучать асимптотич. свойства распределений μΓ при η, Ν -> оо. Эти асимптотич. свойства в значительной степени определяются поведением параметра α=η/Ν — среднего числа частиц на одну ячейку. Если /г, N ->- оо и α = ο(Ν), то при фиксированных г и t Εμ, - Npr (α), Cov (μΓ, μ,) ~ Naft (α), (2) ar где рг(а)=-7Гв-а' °rt (а) = рг (α) [6rt-pf (а)-р, (а) (о^На-О^ 6rt— символ Кронекера. Можно выделить пять различных типов областей, в к-рых асимптотич. поведение μΓ различны. Центральной областью наз. такая область изменения п, iV-^oo, для к-рой a = Ai/iVXl. Область /г, N ->- оо, в к-рой a —► оо, ΕμΓ —► λ, 0 < λ < оо, наз. и ρ а в о н г-о б л а с τ ыо. Π ρ а в о π π ρ о м е- жуточной областью наз. область изменения и, N -»· оо, в к-рой a—> оо, ΕμΓ —► оо. Для г>2 левой r-ο б л а с τ ыо наз. область изменений //, N -*- оо, для к-рой a —-* 0, ΕμΓ —* λ, 0 < λ < оо. 22 Левой промежуточной r-областью наз. область, в к-рой a —►(), Εμ/· —► оо. Левые и левые промежуточные r-области для г =0,1 считают совпадающими с соответствующими 2-обла- стями. В равновероятной схеме размещения в правой г- области μΓ имеет асимптотически пуассоновское распределение. В левой r-области μΓ имеет при г>2 также в пределе пуассоновское распределение; при г=0 и г=1 предельные пуассоновские распределения имеют μ0—Ν+η и (η—μι)/2. В левых и правых промежуточных r-областях μΓ имеют асимптотически нормальное распределение. В центральной области доказана многомерная нормальная теорема для μΓι, μΛ2, . . ., μΓ ; параметры предельного нормального распределения определяются асимптотич. формулами (2) (см. [1]). Размещение, в к-ром η частиц независимо друг от друга распределяются по N ячейкам и вероятность каждой из частиц попасть в ;-ю ячейку равна a/,Jtj . д,= = 1, наз. полиномиальным. Для полиномиального размещения также можно ввести центральную, правые и левые области изменений η, Ν и а/, для к-рых доказаны предельные нормальные и пуассоновские теоремы (см. [1], [3]). Пользуясь этими теоремами, можно рассчитать мощность пустых ящиков критерия. Пусть имеются независимые случайные величины ξχ, . . ., ξ2, каждая из к-рых имеет непрерывную функцию распределения F (х) (гипотеза Я0). Конкурирующая гипотеза Нх соответствует другой функции распределения Рг(х). ТОЧКИ Ζ0= — 00<Ζ1<22<· · .Ztf_i<Ztf=QO выбирают так, чтобы F (zk) —F(zk^1) = i/N, fc=l, . . ., N. Критерий пустых ящиков строится на основе статистики μ0, равной числу полуинтервалов {zk_1zk\, в к-рые не попало ни одного значения ξ,·. Критерий пустых ящиков определяется критич. множеством μ0>£, при к-ром гипотеза Я0 отвергается. Поскольку μ0 имеет при основной гипотезе #0 распределение, определяемое равномерным размещением, а при конкурирующей гипотезе Ях— распределение, определяемое полиномиальным размещением, то можно воспользоваться предельными теоремами для μ0 при расчете мощности Ρ{μο>^/^ι} этого критерия (см. [2]). В схеме размещения частиц комплектами предполагается, что частицы размещаются в N ячейках комплектами по т частиц, причем частицы одного комплекта могут располагаться в ячейках только по одной, а расположения комплектов независимы. Если все С™ расположения комплектов равновероятны, а число комплектов η -*· оо, то при ограниченных или слабо растущих т сохраняются свойства асимптотич. нормальности и предельной пуассоновости случайных величин μΓ. Возможны различные обобщения схем размещения (см. [1]), связанные с целым рядом комбинаторных задач теории вероятностей (случайные подстановки, отображения, деревья и т. п.). Лит.: [1] К о л ч и н В. Ф., С е в а с τ ь я н о в Б. Α., Чистяков В. П., Случайные размещения, М., 1976; [2] Севастьянов Б. Α., «Труды ин-та прикладной математики Тбилисского ун-та», 1969, т. 2; с. 229—33; [3] Μ и χ а й- л о в В. Г., «Труды Матем. ин-та АН СССР», 1981, т. 157, с. 138— 152. Б. А. Севастьянов. СЛУЧАЙНЫЙ ПРОЦЕСС, стохастический процесс, вероятностный процесс, случайная функция времени,— процесс (т. е. изменение во времени состояния нек-рой системы), течение к-рого зависит от случая и для к-рого определена вероятность того или иного его течения. Типичным примером С. п, может служить броуновского движения процесс. Другими практически важными ГЙ ПРОЦЕСС
23 примерами С. п. являются: процесс протекания тока в электрич. цепи, сопровождающийся неупорядоченными флуктуациями силы тока и напряжения (шумами); распространение радиоволн при наличии случайных замираний радиосигналов (федингов), создаваемых метеорологическими или иными помехами, и турбулентные течения жидкости или газа. К числу С. п. могут быть причислены и многие производственные процессы, сопровождающиеся случайными флуктуациями, а также процессы, встречающиеся в геофизике (напр., вариации земного магнитного поля, морское волнение, или микросейсмы,— высокочастотные беспорядочные колебания уровня земной поверхности), биофизике (напр., изменения биоэлектрич. потенциалов мозга, регистрируемые на электроэнцефалограмме) и экономике. Математич. теория С. п. рассматривает мгновенное состояние системы, о к-рой идет речь, как точку нек-рого фазового пространства (пространства состояний) R; при этом С. п. представляется функцией X (t) времени t со значениями из R. Обычно считается, что R — векторное пространство, причем наиболее изученным (и в то же время наиболее важным с точки зрения приложений) является еще более узкий случай, когда точки R задаются одним или несколькими числовыми параметрами (обобщенными координатами системы), т. е. С. п. можно рассматривать или просто как числовую функцию времени X (t), в зависимости от случая принимающую различные значения, т. е. допускающую различные реализации a:(i) (одномерный С. п.), или как подобную же векторную функцию X (t)~ ={Xi (t), . . ., Xk (t)} (многомерный, или векторный, С. п.). Изучение многомерных С. п. можно свести к изучению одномерных С. п. с помощью перехода от X(t) к вспомогательному процессу Xa(t) = (X(t), a) = 2fJ = iajX;(t), где α—(α^ . . ., а&) — произвольный /с-мерный вектор; поэтому центральное место в теории С. п. занимает исследование одномерных процессов X(t). Параметр t обычно принимает произвольные действительные значения или же значения из какого-то интервала действительной оси R1 (когда хотят подчеркнуть это обстоятельство, то говорят о С. п. с непрерывным временем), но он может пробегать и только целочисленные значения — тогда t наз. С. п. с дискретным временем (или случайной последовательностью, или временным рядом). Задание распределения вероятностей в бесконечномерном пространстве всевозможных вариантов протекания С. п. X (t) (т. е. в пространстве реализаций χ (t)) не укладывается в рамки классич. методов теории вероятностей и требует привлечения специального математич. аппарата. Исключением являются лишь частные классы С. п., вероятностный характер к-рых полностью определяется зависимостью функции X (t)— =Х (£; Т) от нек-рого конечномерного случайного вектора Y= (Yu . . .,Y k)i т. к. в данном случае вероятность того или иного протекания X(t) зависит только от конечномерного распределения вероятностей вектора Y. Практически важным примером С. п. такого рода может служить случайное гармонич. колебание вида X(t) = A cos(a>f + <D), где ω — фиксированное число, Л и Φ — независимые случайные величины, часто используемое при исследовании амплитудно-фазовой модуляции в радиотехнике. Широкий класс распределений вероятностей для С. п. может быть охарактеризован бесконечной сово- t процесс 24 купностью согласованных друг с другом конечномерных распределений вероятностей случайных векторов {Χ (ίχ), X (t2), . . ., X (tn)}, отвечающих всевозможным конечным подмножествам (ί1? ί2» · · ·» *л) значений аргумента t (см. Случайная функция). Однако задание всех этих распределений все же недостаточно для определения вероятностей событий, зависящих от значений X (t) на бесконечном множестве значений г, т. е. не определяет однозначно С. п. X(t). Пример. Пусть X (i)=cos (ωί+Φ), 0<ί<1,— гармонич. колебание со случайной фазой Φ, Ζ — случайная величина, равномерно распределенная на отрезке [О, 1], а С. п. Χχ(ί), 0<f<l, задается равенствами X1(t) = X(t) при t φ Ζ, X1(t) = X(t)+3 при t = Z. Так как P{Z—t11 или Z—t2, . . ., или Z—tn}—0 для любой фиксированной конечной группы точек (in, t2, . . ., £„), то все конечномерные распределения С. п. X (t) и Хг (t) являются одинаковыми. В то же время процессы X (t) и Хх (t) различаются между собой: в частности, все реализации процесса X (t) непрерывны (имеют форму синусоиды), в то время как все реализации Хх (t) имеют точку разрыва; все реализации X (t) не превосходят числа 1, но ни одна реализация X1(t) этим свойством не обладает. Отсюда следует, что заданной системе конечномерных распределений вероятностей могут отвечать различные модификации С. п. и по одним только конечномерным распределениям нельзя вычислить ни вероятность того, что реализация С. п. будет непрерывной, ни того, что она будет ограничена нек-рой фиксированной постоянной. Задание совокупности конечномерных распределений вероятностей часто позволяет, однако, выяснить, существует ли хоть один С. п. X (t), имеющий эти конечномерные распределения, и такой, что его реализации являются непрерывными (или, напр., дифференцируемыми, или нигде не превосходящими заданной постоянной В) функциями с вероятностью 1, или же таких С. п. Ζ (t) вообще не существует. Типичным примером общего условия, гарантирующего существование С. п. X (t) с непрерывными с вероятностью 1 реализациями, имеющего заданные конечномерные распределения, является условие Колмогоро- в а: если конечномерные распределения вероятностей С. п. X (t), определенного на интервале [а, Ь], таковы, что при нек-рых а>0, Ь>0 и С<оо для всех достаточно малых h выполняется неравенство E\X(t + h)-X(t)\«<C\h\1+6 (1) (очевидно, накладывающее ограничения лишь на двумерные распределения X (£)), то С. п. X (t) имеет модификацию с непрерывными с вероятностью 1 реализациями (см., напр., [1] — [6]). В частном случае гаус- совского процесса X (t) условие (1) может быть заменено более слабым условием: е| х(*+/*)-*«Г1 <^μιδι (2) для нек-рых ах>0, 6Х>0, 6Ί>0; при ах=2, бх=1 условие (2) выполняется, напр., для винеровского процесса и Орнштейна — Уленбека процесса. В случаях когда при заданных конечномерных распределениях вероятностей существует модификация С. п. X (t) такая, что ее реализации непрерывны (или, напр., дифференцируемы, или ограничены постоянной В) с вероятностью 1, все другие модификации этого же процесса обычно можно исключить из рассмотрения, потребовав, чтобы С. п. X (t) удовлетворял нек-рому очень общему условию регулярности, к-рое в прикладных задачах практически всегда можно считать выполняющимся (см. Сепарабелъный процесс). Вместо того чтобы задавать бесконечную совокупность конечномерных распределений вероятностей С. п. СЛУЧАЙНЫ
25 СЛУЧАЙН1 X (t), можно также определить С, п., указав значение соответствующего характеристического функционала φ[4 = Εθχρ{ίϊ[Χ(ί)]}, (3) где l[X(t)] пробегает достаточно широкий класс линейных функционалов, зависящих от X (t). Если X (£), a<t<b,— непрерывный по вероятности С. п. (т. е. P{\X(t-\-h)—Χ (*)|>ε}-> 0 при h -> О для любого е>0), a g(t) — функция ограниченной вариации на [а, Ь], то $*х (0^(0 = ^4* (01 будет случайной величиной; при этом можно считать, что l[X] = l(s)[X] в формуле (3) (причем ψΐΖ^*] здесь удобно обозначить символом ψ[#]). Во многих случаях можно также еще сузить класс рассматриваемых линейных функционалов 1[Х], ограничившись лишь функционалами вида YaX(t)<p(t)dt = lv[X], где φ (t) — финитная бесконечно дифференцируемая функция t (интервал [я, Ъ] при этом может быть и бесконечным). Значения ψ[Ζφ]=ψ[φ] при широких условиях регулярности однозначно определяют все конечномерные распределения вероятностей С. п. X (£), так как ψ[φ]—Ψ/, <й(вь ...,θ„), где ·ψί 4 (θχ, . . ., ΘΛ) — характеристич. функция случайного вектора {Χ (ίχ), . . ., X (£„)}, при Φ (t) -* θχδ (t-h)+ ... + θ„δ (t-tn) (здесь 6 (t) есть δ-функция Дирака, а сходимость понимается в смысле сходимости обобщенных функций). Если же при таком предельном переходе функционал ψ [φ] не стремится к конечному пределу, то это означает, что для С. п. X не существует конечных значений в фиксированной точке, а имеют смысл лишь сглаженные значения Ζφ[Χ], τ. е. что характеристич. функционал ψ[φ] задает не обыкновенный («классический») С. п. X (£), а случайный процесс обобщенный Χ = Χ(φ). Задание совокупности конечномерных распределений вероятностей С. п. X (t) упрощается в тех случаях, когда все они однозначно определяются распределениями лишь немногих низших порядков. Важнейшим классом С. п., для к-рых все многомерные распределения могут быть определены по значениям одномерных распределений случайных величин X (£), являются последовательности независимых случайных величин (представляющие собой специальные С. п. с дискретным временем). Такие весьма частные С. п. могут изучаться в рамках классич. теории вероятностей, но существенно, что нек-рые важные классы С. п. могут быть эффективно заданы в виде функции от последовательности У (£), ί=0,±1, =£2, . . ., независимых случайных величин. Так, напр., значительный интерес представляют С. п. или (см. Скользящего среднего процесс) и χ(ί)=Σ7=11Ά(ί). «<*<*, где hj(t), /=1» 2, . . .,—заданная система функций на интервале [я, Ъ] (см. Спектральное разложение случайной функции). Ϊ ПРОЦЕСС 26 Весьма важны следующие три класса С. п., все конечномерные распределения к-рых определяются одномерными распределениями значений X (t) и двумерными распределениями пар {Χ (^), Χ (ί2)}· 1) Класс случайных процессов с независимыми приращениями Χ (£), для к-рых X (t2)—X (*i) и Χ (ί4)—Χ (*з) при г!<г2<:гз<^4являются независимыми величинами. Здесь для задания С. п. X (t) на интервале [а, Ь] удобно использовать функции распределения Fa (χ) и Ф^ t2(z), T^ea<t1<t2<.b1 случайных величин Х(а) и X(t2)—Χ(*ι), причем функция Ф/ь f2(z), очевидно, должна удовлетворять функциональному уравнению S !·ф'"и {z~u) аФи'и {и)==ф^ *»(z)' (4) а<^ t1 < t2 < t3^b. Используя (4), можно показать, что если С. п. X (t) непрерывен по вероятности, то его характеристич. функционал ψ [g] может быть представлен в виде ψ[#] = βχρ ji ^ay(t)dg(t) — -γ γαγα¥> (t)[g (b)-g (t)]dg (t)+ +Γ YJ^tg(b)'g{t)i-^iy[8flyf(t)]]x Xi±fdtUt{dy)Y где у (t) — непрерывная функция, β (t) — неубывающая непрерывная функция и П^ (dy) — возрастающая непрерывная по t мера, определяющие процесс с независимыми приращениями X (t). 2) Класс марковских процессов X (t), для к-рых в случае, когда t1<t2, условное распределение вероятностей X (t2) при условии, что заданы все значения X (t) при ί<ίχ, зависит только от Χ (ίχ). Для задания марковского процесса X (г), a*£t<b, удобно использовать функцию распределения Fa (χ) значений X (а) и переходную функцию Ф*ьь(*' ζ), где ti<t2, равную условной вероятности того, что Χ (ί2)<ζ при условии, что X(tx)=x. Функция Q)iuU(x, z) должна удовлетворять родственному (4) функциональному Колмогорова — Чепмена уравнению, позволяющему при определенных условиях получить для нее более простые прямое и обратное Колмогорова уравнения и в ряде случаев дающему возможность определить эту функцию. 3) Класс гауссовских процессов X (t), для к-рых все многомерные распределения вероятностей векторов {Х(^),. . ., X (tn)} являются гауссовскими (нормальными) распределениями. Так как нормальное распределение однозначно определяется своими первым и вторым моментами, то для задания гауссовского процесса X (t) достаточно указать значения функций EX(t) = m(t) EX(t)X(s) = B(t,s), где В (t, s) должно быть неотрицательно определенным ядром таким, что и Ъ (t, s) = B(t, s) — m(t)m(s) также является неотрицательно определенным ядром. Характеристич. функционал ψ[#] гауссовского процесса X (t) имеет вид ψ[£] = βχρ |i ^am(t)dg(t) — -YYaYab{t,8)dg(t)dg{s)y 4) Еще одним важным классом С. п. является класс стационарных случайных процессов X (£), статистич.
27 СЛУЧАЙНЫЙ ПРОЦЕСС 28 характеристики к-рых не меняются с течением времени, т. е. инвариантны относительно преобразования X (t) ->- -»- X (t-}~a), где а — произвольное фиксированное число. Многомерные распределения вероятностен общего стационарного С. п. X (t) не могут быть просто описаны, но для многих задач, касающихся таких процессов, достаточно знать лишь значения первых двух моментов ЕХ(£)=га и EX (t)X (t+s) = B (s) (так что здесь оказывается нужным лишь предположение о стационарности в широком смысле, т. е. о том, что от t не зависят моменты EX (t) и EX (t)X (t-{-s)). Существенно, что любой стационарный (или хотя бы стационарный в широком смысле) С. п. допускает спектральное разложение вида J - оо (5) где Ζ (λ) — случайный процесс с некоррелированными приращениями; отсюда, в частности, следует, что £(*)= ["9eMdF(k), (6) где F (λ) — монотонно неубывающая спектральная функция С. п. X(t). Спектральные разложения (5) и (6) лежат в основе решения задач о наилучшей (в смысле минимума среднеквадратической ошибки) линейной экстраполяции, интерполяции и фильтрации стационарных случайных процессов. Математич. теория С. п. включает также большое число результатов, относящихся к ряду подклассов или, наоборот, обобщений перечисленных выше классов С. п. (в частности, к Маркова цепям, диффузионным процессам, ветвящимся прщессам, мартингалам, случайным процессам со стационарными приращениями нек-рого порядка и др.). Лит.: [1] Слуцкий Е. Е., Избр. труды, М., 1960, с. 269—80; [2] Дуб Дж., Вероятностные процессы, пер. с англ., М., 1956; [3] Г и χ м а н И. И., Скороход А. В., Введение в теорию случайных процессов, 2изд., М., 1977; [4] их же, Теория случайных процессов, т. 1—3, М., 1971—75; [5] Крамер Г., Л и д б е τ τ е ρ Μ., Стационарные случайные процессы, пер. с англ., М., 1969; [6] В е н τ ц е л ь А. Д., Курс теории случайных процессов, М., 1975; [7] Розанов Ю. Α., Случайные процессы, 2 изд., М., 1979; [8] Ито К., Вероятностные процессы, пер. с япон., в. 1—2, М., 1960—63; [9] Скороход А. В., Случайные процессы с независимыми приращениями, М., 1964; [10] Дынкин Е. Б., Марковские процессы, М., 1963, Lll] Ибрагимов И. Α., Розанов Ю. Α., Гауссовские случайные процессы, М., 1970; [12] Розанов Ю. Α., Стационарные случайные процессы, М., 1963. А. М. Яглом. СЛУЧАЙНЫЙ ПРОЦЕСС ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЙ — случайный процесс X (t) такой, что существует предел lim —+ =л (/), Δ/->0 At называемый производной случайного процесса X (t); в зависимости от того, в каком смысле понимается этот предел, различают дифференцирование с вероятностью 1 и дифференцирование в среднем квадратичном. Условия дифференцируемости в среднем квадратичном естественно выражаются в терминах корреляционной функции B(t!,t2) = EX(h)X(t^ а именно X' (t) существует тогда и только тогда, когда существует предел B"(h, tt) = _ l;w Β(<ι + Δ*ι, t2 + At2)-B(t1-Atl, t2)^B(tu t2 + At2) + B(tu t2) At1 At2 lim- Δ/χ-^0 Случайный процесс, имеющий среднеквадратичную производную, является абсолютно непрерывным, точнее, при каждом t с вероятностью 1 X(t) = X(h) + ^X'(s)ds, t^tQ. Достаточным условием того, чтобы существовал эквивалентный данному процесс с непрерывно дифференцируемыми траекториями, может служить условие непрерывности его среднеквадратичной производной X'(t), имеющей своей корреляционной функцией B"(t1,t2). Для гауссовских процессов это условие является также необходимым. Лит.: Гихман И. И., Скороход А. В., Введение в теорию случайных процессов, 2 изд., М., 1977. Ю. А. Розанов. СЛУЧАЙНЫЙ ПРОЦЕСС ОБНОВЛЯЮЩИЙ — случайный процесс с достаточно «простой» структурой, построенный по исходному процессу и содержащий всю требуемую информацию об этом процессе. С. п. о. использовались в задаче линейного прогноза стационарных случайных последовательностей, в нелинейных задачах статистики случайных процессов и т. д. (см. [1]-[3]). Понятие С. п. о. по-разному вводится в линейной и нелинейной теориях случайных процессов. В линейной теории (см. [4]) векторный случайный процесс xt наз. обновляющим процессом для случайного процесса ξ^ с Ε |ξ;| 2<οο, если xt имеет некоррелированные компоненты с некоррелированными приращениями и Ht(£) — Ht(x) для всех t, где #*(£)> Hf(x) — замкнутые в среднем квадратичном линейные оболочки всех значений ξ5, xs, s<.t. Число компонент JV, 7V<:oo, процесса Xf наз. кратностью обновляющего процесса и определяется однозначно по процессу ξ^. В случае дискретного времени 7V=1, а в случае непрерывного времени 7V<oo только при нек-рых специальных предположениях относительно корреляционной функции процесса ξ^ (см. [4], [5]). В приложениях используется возможность представления ξ^ в виде линейной комбинации значений xs, s<£. В нелинейной теории (см. [5], [6]) обычно обновляющим случайным процессом наз. винеровский процесс xt такой, что &\ = δτ** где §t, ψ* суть σ-алгебры событий, порожденные значениями \s, xs, s^t. В случае когда lt, 0<£<7\ является Ито процессом со стохастич. дифференциалом d%t ~a (0 dt-\-dwf, винеровский процесс wt, определяемый равенством является С. п. о. для ξί? если, напр., Ε [^a*(s)ds< oo и процессы а и w образуют гауссовскую систему (см. [6]) Лит.: [1] К о л м о г о ρ о в А. Н., «Изв. АН СССР. Сер. матем.», 1941, т. 5, №1, с. 3—14; [2] Ширяев А. Н., «Пробл. передачи информации», 1966, т. 2, № 3, с. 3—22; [3] К a i 1 a t h Т., «IEEE Ttans. Inform. Theory», 1974, v. IT—20, № 2, p. 146—81; [4] Розанов Ю. Α., Теория обновляющих процессов, Μ., 1974; [5] Ш и ρ я е в Α. Η., в кн.: Тр. Школы- семинара по теории случайных процессов (Друскининкай, 1974), ч. 2, Вильнюс, 1975, с. 235—67; [6] Липцер Р. Ш., Ширяев А. Н., Статистика случайных процессов, М., 1974. А. А. Новиков. СЛУЧАЙНЫЙ ПРОЦЕСС ОБОБЩЕННЫЙ - случайный процесс X, зависящий от непрерывного временного аргумента t и такой, что его значения в фик-
29 СЛУЧАЙНЫЙ ПРОЦЕСС 30 сированные моменты времени, вообще говоря, не существуют, а существуют только «сглаженные значения процесса» Χ (φ), описывающие результаты измерений значений этого процесса при помощи всевозможных линейных измерительных приборов, имеющих достаточно гладкую весовую (т. е. импульсную переходную) функцию φ (О· С. п. о. Χ(φ) представляет собой непрерывное линейное отображение пространства D бесконечно дифференцируемых финитных функций φ (или какого-либо другого пространства основных функций, используемого в теории обобщенных функций) в пространство L0 случайных величин X, определенных на нек-ром вероятностном пространстве; его реализации χ (φ) являются обычными обобщенными функциями аргумента t. Классические (т. е. обыкновенные) случайные процессы X (t) также можно рассматривать как специальные С. п. о., для к-рых *(φ) = $!βφ(0Χ(0 *; такое рассмотрение может быть полезным, в частности, в связи с тем, что для С. п. о. X всегда существуют производные Х{п) любого порядка и, к-рые можно определить с помощью равенства Χ<Λ>(φ) = (—1)и Χ (φ<*>) (см., напр., Случайный процесс со стационарными приращениями). Важнейший пример С. п. о., не являющийся классическим случайным процессом,—- процесс белого шума; обобщением понятия С. п. о. является понятие обобщенного случайного поля. Лит. см. при сг. Случайное поле обобщенное. А. М. Яглим. СЛУЧАЙНЫЙ ПРОЦЕСС С НЕЗАВИСИМЫМИ ПРИРАЩЕНИЯМИ — случайный процесс X (t) такой, что для любого натурального η и любых действительных 0<α1<β1<α2<β2<. . .<α„<β„ приращения Χ(β!)-Χ fa), Χ(β2)-Χ(α2), ..., Χ(β„)-Χ(α„) являются взаимно независимыми случайными величинами. С. п. с н. п. наз. однородным, если распределение вероятностей для приращений X(a-f&)— X(a), 0<a, 0<&, зависит только от h (но не от а). Так как добавление к X (t) любой неслучайной функции A (t) приводит снова к С. п. с н. п., то реализации С. п. с н. п. могут быть, вообще говоря, сколь угодно иррегулярными. Однако, «центрируя» процесс надлежащим образом (вычитая, напр., из процесса X (t) функцию /(£), определяемую соотношением Earctg(X(£)— /(ί))=0), можно высказать о структуре «центрированного» процесса более определенные суждения. У него имеется не более чем счетное множество (неслучайное) точек tj, в к-рых X (t) имеет случайные скачки Xj = X{tj+0)-X(tj-0), а разность Y(t) = X(t)-Zt/<txf является стохастически непрерывным С. п. с н. п.: при любом ε>0 и t' ->- t Р{|У(О-У(0|>8}->0. Винеровский процесс и пуассоновский процесс служат примерами стохастически непрерывных С. п. с н. п. (при этом реализации первого непрерывны с вероятностью единица, а реализации второго суть кусочно постоянные функции со скачками, равными единице). Важным примером С. п. с н. п. служат устойчивые процессы. Реализации стохастически непрерывного С п. с н. п. с вероятностью единица могут иметь разрывы только 1-го рода. Распределение у такого процесса при любом t является безгранично делимым (см. Безгранично делимое распределение). При изучении С. п. с н. п. применяют метод характеристических I функций. Задачи о вероятности достижения процессом каких-либо границ и о распределении вероятностей времени достижения решаются с привлечением т. н. факторизационных тождеств. Лит.: [1] Г и χ м а н И. И., С к о ρ ο χ од А. В., Теория случайных процессов, т. 2, М., 1973; [2] Скороход А. В., Случайные процессы с независимыми приращениями, М., 1964. Ю. В. Прохоров. СЛУЧАЙНЫЙ ПРОЦЕСС СО СТАЦИОНАРНЫМИ ПРИРАЩЕНИЯМИ — случайный процесс X (t) с дискретным или непрерывным временем t такой, что статистич. характеристики его приращений нек-рого фиксированного порядка не меняются во времени (т. е. инвариантны относительно временных сдвигов t-+ ί+я). Как и в случае стационарных случайных процессов, различают два типа С. п. со с. п., а именно — С. п. со с. п. в узком смысле, для к-рого все конечномерные распределения вероятностей приращений X (t) заданного порядка в точках tlf . . ., tn и точках ti~[~a, . . ., tn+a при любом а совпадают друг с другом, и С. п. со с. п. в ш и ρ о к о м смысле, для к-рых средние значения приращения в момент t и вторые моменты приращений в моменты t и t-\-s не зависят от t. В случае процессов X (t) с дискретным временем г=0, ±1, ... всегда можно перейти от рассмотрения случайного процесса X (t) к рассмотрению нового случайного процесса Δ<»> X(t) = X {t)-C\X (ί-1)+ ... + (-1)" CnnX (t-n), где С п— биномиальные коэффициенты. Если X (t) — С. п. со с. п. w-го порядка, то процесс Δ<"> X (t) оудет уже стационарным в обычном смысле; поэтому в случае дискретного времени теория С. п. со с. п. сводится к теории более частных стационарных случайных процессов. Однако с точки зрения приложений использование понятия С. п. со с. п. и дискретным временем t часто оказывается весьма удобным, т. к. для многих встречающихся на практике явно нестационарных временных рядов x(t), ί=1, 2, . . ., ряды их приращений A<w> x(t) нек-рого порядка η уже можно считать реализациями стационарного случайного процесса ΔΠΧ (t). В частности, Дж. Бокс (G. Box) и Г. Дженкинс (G. Jenkins) (см. [1]) указали, что при решении многих практич. задач реальные временные ряды часто можно считать реализациями т. н. процесса авторегрессии — проинтегрированного скользящего среднего, представляющего собой специальный С. п. со с. п. и дискретным временем (см. также [2] — [4]). Примерами С. п. со с. п. 1-го порядка (в узком смысле) с непрерывным временем t являются, в частности, винеровский процесс и пуассоновский процесс; оба эти процесса принадлежат также и к более узкому классу процессов с независимыми стационарными приращениями 1-го порядка. В случае непрерывного t теория С. п. со с. п. уже не сводится непосредственно к теории более простых стационарных процессов. Корреляционная теория (т. е. теория соответствующих процессов в широком смысле) С. п. со с. п. 1-го порядка была развита А. Н. Колмогоровым [5] (см. также [6]); подобная же теория С. п. со с. п. n-το порядка, где η — произвольное целое положительное число, рассматривалась в работах [7] — [9]. Центральное место в корреляционной теории С. п. со с. п. занимает вывод спектрального разложения таких процессов и их моментов 2-го порядка. Использование понятия обобщенного случайного процесса позволяет заметно упростить теорию С. п. со с. п.; так как в рамках теории обобщенных случайных процессов любой случайный процесс X (t) имеет производные всех порядков (являющиеся, вообще говоря, обобщенными случайными процессами), то С. п. со с. и. п-го порядка можно I также определить как случайный процесс Χ (ί), п-я
31 СЛУЧАЙНЫЙ ПРОЦЕСС 32 производная которого Х(п) является (вообще говоря, обобщенным) стационарным случайным процессом (см. [9]) Лит.: [1] Бокс Дж., Дженкинс Г., Анализ временных рядов. Прогноз и управление, пер. с англ., в. 1—2, М., 1974; [2] N е 1 s о η С. R., Applied time series analysis for managerial foreca ting, S. P., 1973; [3] Anderson O. D., Time series analysis and forecasting. The Box—Jenkins approach, L — Boston, 1976; [4] R о b i η s ο η Ε. Α., S i 1 ν а М. Т., Digital foundations of time eries analysis: the Box — Jenkins approach, S. F., 1979; [5] Колмогоров А. Н., «Докл. АН СССР», 1940, т. 26, № 1, с. 6—9; (.6] Д у б Д ж., Вероятностные процессы, пер. с англ., М., 1956; [7] Я г л о м А. М., «Матем. сб.», 1955, т. 37, № 1, с. 141—96; [8] Π и н с к е ρ Μ. С, «Изв. АН СССР. Сер. матем.», 1955, т. 19, с. 319—45; [9] И τ о К., «Математика», 1957, т. 1, № 3, с. 139—51. А. М. Яглом. СЛУЧАЙНЫЙ ПРОЦЕСС СОГЛАСОВАННЫЙ - семейство случайных величин Х= (Xf (ω))ί>0, заданных на измеримом пространстве (Ω, gf), с выделенным на нем неубывающим семейством F= (<F*)i>o п°Д-а- алгебр ψ£Ξ^ψ таких, что Xt являются ^/-измеримыми при каждом £^0. Чтобы подчеркнуть свойство согласованности для таких процессов, часто используют запись или X = (XuFt) и говорят, что X является F-адаптированным или адаптированным относительно семейства F=(^)i>0 или что X есть стохастич. процесс. Соответствующие определения даются и в случае дискретного времени, при этом термин «процесс» заменяется термином «последовательность» . Лит.: [1] Деллашери К., Емкости и случайные процессы, пер. с франц., М., 1975. А. Я. Ширяев. СЛУЧАЙНЫЙ ТОЧЕЧНЫЙ ПРОЦЕСС - случайный процесс, соответствующий на прямой IR1 последовательности случайных величин {it·},.. ., ί_ι<ί0<0< <*ι<*2<· . . . Каждому значению ί/ ставится в соответствие случайная величина Ф{^}=1, 2, . . ., называемая кратностью. В теории массового обслуживания С. т. п. порождается моментами поступления заявок на обслуживание, в биологии — моментами импульсов в нервных волокнах и т. п. Пусть X — полное сепарабельное метрич. пространство, 330 — класс ограниченных борелевских множеств ВаХ, Ν= {φ} — совокупность мер, принимающая целые значения, φ(Ζ?)=Ζ<οο, Sfl — минимальная σ- алгебра, порожденная подмножествами мер {φ : φ (В)= = l}cN, В ζ 93ο» ^=0, 1, 2, . . . Задание вероятностной меры Ρ в измеримом пространстве (Ν, 9Ϊ) определяет С. т. п. Φ с фазовым пространством X, реализациями к-рого являются целозначные меры из N. Значения χζΧ, для к-рых Ф{#}>0, наз. точками С. т. п. Величина Ф(В) равна сумме кратностей точек С. т. п., попавших в В. С. т. п. Φ наз. простым, если Ф{#}<: <1 для любого χζΧ. С. т. п. наз. ординарным, если для любыхВ£$$0иг>0 найдется такое разбиение ζ= (zlf . . ., zn) множества В, что 2Lip{°(z*)>1}<8· Ординарные С. т. п. являются простыми. Важную роль играют факториальные моментные меры Ак(В) = £рФ(В)[Ф(В)-1] ... [Ф(В)-к + 1] и их обобщения (£р — математич. ожидание, Лх (В) наз. мерой интенсивностей). Если А2п (В)< <оо, то Σ2/Ζ-1 / \\k *=о -4г-Лй(.В)<Р{Ф{В} = 0}< Σ2/Ζ г~1^ ,=oy^(*), Ло(Я) = 1. Особую роль в теории С. т. п. играют пуассоновские С. т. п. Ф, для к-рых: а) значения Ф(£,)'на непересекающихся Β[ζ$β0 являются взаимно независимыми случайными величинами (свойство отсутствия последействия), б) Ρ {Φ (β;) = 1} = L^iL' eXp {_ Al (£)}. Для простого С. т. п. Λχ (Я) = inf 2£= χ Ρ {Φ (**)><>}, (*) где inf берется по всем разбиениям ζ множества В. Соотношение (*) дает возможность находить явные выражения меры интенсивностей для многих классов С. т. п., порожденных случайными процессами или полями. Обобщением С. т. п. являются т. н. маркированные С. т. п., в к-рых точкам х, Ф{д:}>0, сопоставляются метки к (х) из нек-рого измеримого пространства [К, 5R]. Продолжительности обслуживания заявок, поступающих в систему массового обслуживания, можно рассматривать как метки. В теории С. т. п. важное значение имеют соотношения, связывающие специальным образом заданные условные вероятности различных событий (пальмовские вероятности). Получены предельные теоремы для суперпозиции (суммирования), прореживания и др. операций над последовательностями С. т. п. В приложениях широко используются различные обобщения пуассоновских С. т. п. Лит.: [1] X и н ч и н А. Я., Работы по математической теории массового обслуживания, М., 1963; [2] Сох D. R., Isham V., Point processes L., 1980; [3] К e ρ с т а н Й., Μ а т τ е с К., Мекке Й., Безгранично делимые точечные процессы, пер. с англ., М., 1982; [4] Беляев Ю. К., Элементы общей теории случайных процессов, в кн.: Крамер Г., Лидбеттер М., Стационарные случайные процессы, пер. с англ., М., 1969, с. 358—72. Ю. К. Беляев. СЛУЧАЙНЫЙ ТОЧЕЧНЫЙ ПРОЦЕСС С ОГРАНИЧЕННЫМ ПОСЛЕДЕЙСТВИЕМ — случайный точечный процесс, задаваемый последовательностью случайных величин {t(} ...< *_! < *о<0 < h < h <..., в к-рой интервалы Si—ti + i — ti являются взаимно независимыми случайными величинами. С. т. п. с о. п. тесно связаны с процессами восстановления (см. Восстановления теория), в к-рых si являются независимыми одинаково распределенными (при ίφΟ) случайными Величинами. Ю. Н. Беляев. СЛУЧАЙНЫЙ ЭЛЕМЕНТ — обобщение понятия случайной величины. Термин «С. э.» был введен, по- видимому, М. Фреше [1], отмечавшим, что развитие теории вероятностей и расширение области ее приложений привело к необходимости перейти от схем, где (случайные) исходы опыта могут быть описаны числом или конечным набором чисел, к схемам, где исходы опыта представляют собой, напр., ряды, функции, кривые, преобразования и т. п. Впоследствии термин «G. э.» стал употребляться в основном применительно к выбранным «случайным образом» элементам какого-либо линейного топологич. пространства, в первую очередь гильбертовых и банаховых пространств. Точное определение, напр., С. э. X в банаховом пространстве ЭЕ, напоминает определение случайной величины. Пусть (Ω, Л, Р) — нек-рое вероятностное пространство, ЭЕ — банахово пространство, ЗЁ* — сопряженное к X пространство. Отображение Χ = Χ(ω) пространства Ω элементарных событий ω в 36 наз. случайным элементом, если всякий непрерывный линейный функционал χ* (Χ (ω)) оказывается при этом случайной величиной, т. е. с//-измеримой функцией.
33 СЛУЧАЙНЫХ 34 Пусть Ж—наименьшая σ-алгебра, относительнок-рой измеримы все непрерывные линейные функционалы. X есть С. э. в том и только в том случае, когда полные прообразы всех множеств из J? ..//-измеримы. В случае когда ЭЕ сепарабельно, J? совпадает с σ-алгеброй бо- релевских подмножеств ЭЕ. На С. э. могут быть распространены основные понятия теории вероятностей, такие, как характеристич. функция, математич. ожидание, ковариация и т. п.; С. э. X наз. нормальным (гауссовым), если распределение вероятностей любого непрерывного линейного функционала х*{Х) является нормальным. На последовательности независимых С. э. могут быть распространены закон больших чисел, усиленный закон больших чисел, закон повторного логарифма, центральная предельная теорема и др. вероятностные утверждения. Возможность перенесения этих теорем в их классич. форме на случай банаховых пространств тесно связана с геометрией пространства. Важно отметить, что эта связь носит взаимный характер, так как вероятностные свойства часто оказываются на самом деле вероятностно-геометрическими — их справедливость в данном банаховом пространстве не только определяется геометрич. свойствами пространства, но и сама определяет эти свойства. Так, напр., для того чтобы для любой последовательности независимых одинаково распределенных С. э. Хи Х2, · · . со значениями в $ с нулевыми математич. ожиданиями и Е||АГ ,||2<оо распределение нормиро- ванных сумм —-—'^=—- слабо сходилось к распреде- ν η лению нормального С. э., необходимо и достаточно, чтобы ЭЕ было т. н. пространством типа 2 (см. [4]). Лит.: [1] Free net Μ., «Ann. inst. H. Poincare», 1948, v. 10, p. 215—310; [2] Μ ο u г i e г Е., Elements aleatoires dans un espace de Banach (These), P., 195rS; [3] ВаханияН. Н., Вероятностные распределения в линейных пространствах, Тбилиси, 1971; [4] Hoffmann-Jergensen J., Pi- si e г G., «Ann. Probab.»>, 1976, v. 4, p. 587—89. Ю. В. Прохоров. СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ПРЕОБРАЗОВАНИЕ — отыскание функций от каких-либо случайных величин, распределения вероятностей к-рых обладают заданными свойствами. Пример 1. Пусть X — случайная величина, имеющая непрерывную и строго возрастающую функцию распределения F (х). Тогда случайная величина У= = F(X) имеет равномерное на отрезке [0, 1] распределение, а случайная величина Z=0-1{F{X\) (где Φ (χ) — стандартная нормальная функция распределения) имеет нормальное распределение с параметрами 0 и 1. Обратно, формула X = F~X (Φ (Ζ)) позволяет из случайной величины Ζ со стандартным нормальным распределением получить случайную величину X, имеющую заданную функцию распределения F (х). С. в. п. часто используются в связи с предельными теоремами теории вероятностей. Пусть, напр., последовательность случайных величин Ζη асимптотически нормальна с параметрами (0, 1). Ставится задача построения простых (и просто обратимых) функций /„ таких, чтобы случайные величины Vn=Zn-\-fn(Zn) были «более нормальны», чем Zn. Пример 2. Пусть случайные величины Х1ч Х2, . . ., Хп, ... независимы и имеют каждая равномерное распределение на [ —1, 1] и пусть у X 1 + X2+ ·■· 4 Xп По центральной предельной теореме P{Zn<z}-<D(r) = 0(±y Полагая Уп — Zn £^ \3Zn Zn), получают P{Vn<x}-q>(z)-=o(±y Пример 3. Случайные величины Х„, у 2χ„ и (%%/п)1/* асимптотически нормальны при /г -> оо (см. <&Хи-квадрат» распределение). Равномерное отклонение соответствующих функций распределения от их нормальных аппроксимаций становится меньше 0,01 для %п при д>354, для у 2χ„ (преобразование Фишера) при гс>23, для (Х%/п)Ч* (преобразование Вилсона — Хилферти) при тг>3 это отклонение не превосходит 0,007. С. в. п. издавна применялись и применяются в задачах математич. статистики как основа построения простых асимптотич. формул высокой точности. С. в. и. используют и в теории случайных процессов (напр., метод «одного вероятностного пространства»). Лит.: [1] Большее Л. Н., «Теория вероятн. и ее при- мен.», 1959, т. 4, № 2, с. 136—49; [2] е г о же, там же, 196.Ί, т. 8, № 2, с. 129—55; [3] Б о л ь ш е в Л. Н., Смирнов Η. Β , Таблицы математической статистики, [3 изд.], М., 1983. , В. И. Пагурова, Ю. В. Прохоров. СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ - задача об оценке значений случайного процесса X (t) на нек-ром интервале а<£<Ь по его наблюдаемым значениям вне этого интервала. Обычно имеют в виду интерполяционную оценку X (£), для к-рой среднеквадратичная ошибка интерполяции является минимальной в сравнении со всеми другими оценками: E\X(t)-X(t)\* = mm; интерполяция наз. линейной, если ограничиваются линейными оценками. Одной из первых была поставлена и решена задача линейной интерполяции значения X (0) стационарной последовательности, имеющая следующий аналог: в пространстве L2 интегрируемых в квадрате функций на отрезке —π<λ<π найти проекцию функции φ (λ) gZ/2 на подпространство, порожденное функциями βίλ£φ(λ), fe=±l, =£2, . . .; эта задача получила широкое обобщение в теории стационарных случайных процессов (см. [1], [2]). Примером для приложений может служить задача интерполяции случайного процесса, возникающего в системе LX(t)=Y(t), t > t0, с линейным дифференциальным оператором L порядка I и белым шумом У (£), t>t0, в правой части; здесь при независимых от белого шума начальных значениях X{k)(t0), А=0, . . ., l—ί, наилучшая интерполяционная оценка X (t), a<t<b, есть решение соответствующей краевой задачи £,·£,£(*)= 0, a<t<b, с формально-сопряженным оператором L* и граничными условиями ХШ(8) = ХШ(8), Л=0, ..., I, в граничных точках s=a, Ъ. Для систем стохастических дифференциальных уравнений задача интерполяции одних компонент по значениям других наблюдаемых компонент приводит к соответствующим уравнениям интерполяции (см. [3]). Лит.: [1] Колмогоров А. Н., «Бюлл. МГУ», 1941, секц. А, т. 2, в. 6, с. 1—40; [2] Ρ о з а и о в Ю. Α., Стационарные случайные процессы, М., 1963; [3J Л и п ц е ρ Р. Ш., Ш и- ряев А. Н., Статистика случайных процессов, М., 1974. Ю. А. Розанов. СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ ПРОГНОЗИРОВАНИЕ, случайных процессов экстраполяция,— задача об оценке значений случайного процесса X (t) в будущем f >s по его наблюдаемым значениям до текущего момента времени s. Обычно имеют в виду экстраполяционную оценку X (t), £>s, для к-рой 2 Математическая энц., т. 5
35 смеш среднеквадратичная ошибка E\X(t)—X(i)\2 является минимальной в сравнении со всеми другими оценками, составленными по значениям рассматриваемого процесса в прошлом до момента s (прогнозирование ыаз. линейным, если ограничиваются линейными оценками). Одной из первых была поставлена и решена задача линейного прогнозирования стационарной последовательности, имеющая следующий аналог: в пространстве L2 интегрируемых в квадрате функций на отрезке —π<λ<π найти проекцию функции φ (λ) ζ L2 на подпространство, порожденное функциями ^ίλ^φ(λ), к=0, —1, —2, . . .; эта задача получила широкое обобщение в теории стационарных случайных процессов. Примером для приложений может служить задача прогнозирования случайного процесса, возникающего в системе LX(t) = Y(t), t>t0, с линейным дифференциальным оператором L порядка I и белым шумом Υ (t), ί>ί0 в правой части; здесь наилучший прогноз X(t), £>s по значениям в моменты ^o<i<s при независимых от белого шума начальных значениях X(k) (t0), к=0, . . ., Ζ—1, может быть дан с помощью решения соответствующего уравнения LX (0=0, t > s, с начальными условиями Х<*>(в) = Х<*>(*), Л = 0, 1-1. Для систем стохастических дифференциальных уравнений задача прогнозирования одних компонент по значениям других наблюдаемых компонент приводит к соответствующим стохастич. уравнениям экстраполяции. Лит. см. при ст. Случайных процессов интерполяция. СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ ФИЛЬТРАЦИЯ — задача об оценке значения случайного процесса Z(t) в текущий момент t по каким-либо значениям другого, связанного с ним случайного процесса. Напр., речь может идти об оценке стационарного процесса Ζ (t) по значениям X (s), s^.t, стационарно с ним связанного стационарного процесса (см., напр., [1]). Обычно имеют в виду оценку Ζ (t) с наименьшей среднеквадратичной ошибкой E\Z(t)—Z(t)\2. Употребление термина «фильтрация» восходит к задаче о выделении сигнала из «смеси» сигнала и случайного шума, одна из важных модификаций к-рой есть задача оптимальной фильтрации в схеме, когда связь Ζ (t) и X (t) описывается стохастическим дифференциальным уравнением dX(t) = Z(t)dt + dV(t), t > ί0, где независимый от Z(t) шум представлен стандартным винеровским процессом У (t). Широкое распространение в приложениях получил метод фильтрации (метод Калмана — Бью- с и), применимый к процессам Z(t), к-рые описываются линейными стохастическими дифференциальными уравнениями. Напр., если в указанной выше схеме dX (t) = a (t) Z (t) dt + dY (t) при нулевых начальных условиях, то Z(t)=^c(t, s)dX(i), где весовая функция с (t, s) находится из уравнений: ^c(t, s) = [a(t)-b(t)]c(t,s), t >s, с (s, s)=b (s), jrb(t)=2a(t)b(t)-[b(t)]* + l, f >/0, b (*0) = 0; 1НАЯ 36 обобщение этого метода на нелинейные уравнения приводит к общим стохастич. уравнениям фильтрации (см. [2]). В случае когда Z{i) = Yk=ickZk(t) зависит от неизвестных параметров сх, . . ., сп, интерполяционную оценку Ζ (t) можно дать, оценивая эти параметры по X (s), s<£,— здесь применим метод наименьших квадратов и его обобщения (см., напр., [3]). гп Лит.: [1] Ρ о з а н о в Ю. Α., Стационарные случайные процессы, М., 1963; [2] Л и п ц е ρ Р. ГЛ., Ширяев А. Н., Статистика случайных процессов, М., 1974; [3] И б ρ а г и- мов И. Α., Розанов Ю. Α., Гауссовские случайные процессы, М., 1970. Ю. А. Розанов. СМЕЖНЫЙ КЛАСС группы G по подгруппе Я (левы й) — множество элементов группы G, равное aH = {ah\h£H), где а — нек-рый фиксированный элемент из G. С. к. наз. также левосторонним С. к. группы G по подгруппе II, определяемым элементом а. Всякий левый С. к. определяется любым из своих элементов. аН—Н тогда и только тогда, когда α ζ II. Для любых a, b£G С. к. аН и ЪН либо совпадают, либо не пересекаются. Таким образом, группа G распадается на непересекающиеся левые С. к. по подгруппе Я — это разложение наз. левосторонним разложением группы G по по д г ρ у пп е Я. Аналогично определяются правые смежные классы (множества На, a£G) и правостороннее разложение группы G и о подгруппе Я. Оба разложения — правостороннее и левостороннее — группы G по Я состоят из одного и того же числа классов (в бесконечном случае совпадают мощности множеств этих классов). Это число (мощность) наз. индексом подгруппы Я в группе G. Для нормальных делителей левостороннее и правостороннее разложения совпадают, и в этом случае говорят просто о разложении группы по ее нормальному делителю. О. А. Иванова. СМЕШАННАЯ ГРУППА — группа, к-рая содержит как элементы бесконечного порядка, так и отличные от единицы элементы конечных порядков (см. Порядок элемента группы). О. А. Иванова. СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА — задача для дифференциальных уравнений и систем с частными производными, содержащая начальные условия и краевые условия, а также задача с носителем данных, состоящем как из характеристич., так и нехарактеристических определенным образом ориентированных многообразий (см. Смешанная и краевая задачи для гиперболических уравнений и систем, Смешанная и краевая задачи для параболических уравнений и систем, Смешанного типа уравнение). С. з. наз. и краевые задачи для эллиптич. уравнений, когда на различных частях границы заданы условия разного рода (см. Краевая задача для эллиптического уравнения). а. м. Нахушев. СМЕШАННАЯ И КРАЕВАЯ ЗАДАЧИ ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ - задачи отыскания решений уравнений и систем с частными производными гиперболич. типа, удовлетворяв ющих на границе области их задания (или ее части) определенным условиям (см. Краевые условия, Начальные условия). Краевая задача для гиперболич. уравнений и систем, заданных в нек-рой области D евклидова пространства R" + 1, наз. смешанной, или начально-краевой, если искомое решение, наряду с краевыми условиями, должно удовлетворять и начальным или если носитель еШ граничных данных состоит
37 СМЕШАННАЯ И КРАЕВАЯ ЗАДАЧИ 38 как из характеристических, так и нехарактеристических определенным образом ориентированных многообразий. Для гиперболич. уравнений 2-го порядка носителем начальных данных при постановке смешанной задачи является пространственно ориентированная часть границы dD. На временным образом ориентированной части 3D, как правило, задаются краевые условия такого же типа, как и для параболич. уравнений (см. Смешанная и краевая задачи для параболических уравнений и систем). Пусть Ω — область пространства R" точек χ— (χλ1 х%, . · ·, хп) с достаточно гладкой границей 0Ω, а D = {(x, *ό):*6Ω, Ο < т0 < Г}, S = {(x,x0):x£dQ, 0 <х0< Т}, Ω0 = {(ζ, χ0):χ£Ω, χ0 = 0}η Ωτ = {(χ, χ0):χ£Ω, χ0=Τ}. В области D задано линейное гиперболич. уравнение 2-го порядка их0х0 ~ai/ (*» *о) "*.*. + «'' (*> *о) их.+ + я°(я, х0)иХо + а(х, x0)u = f(x, х0)9 (1) где подразумевается суммирование от 1 до η по повторяющимся индексам i, j и форма а'7 (я, x0)tfe/ положительно определена. Основные смешанные задачи для уравнения (1) охватываются следующей постановкой: в области D найти решение и~и(х, х0) уравнения (1), удовлетворяющее на Ω0 начальным условиям Β|^β = τ(χ)' Μ*βΙ*.«ο = ν(*). (2) а на S — одному из краевых условий m|s = <Pi(s, ж0); (3) du/dN\s=sy2(x,x0); (4) (du/dN + σ (χ, χ0) и) |5 = фз (х, х0), (5) где N — конормаль относительного оператора а'У— —- . Задачи (2), (3); (2), (4) и (2), (5) принято соответственно называть первой, второй и третьей смешанной задачей для уравнения (1). Для уравнения (1) при довольно общих предположениях относительно его коэффициентов и границы dD, а также для заданных функций доказаны существование и единственность как регулярных, так и обобщенных решений всех трех смешанных задач, исследованы структурные и дифференциальные свойства этих решений в замкнутой области D в зависимости от гладкости ее границы [8]. При гс=1 решение смешанных задач выписывается в явном виде. Смешанные задачи исследованы для широкого класса линейных и нелинейных гиперболич. уравнений и систем (см. Квазилинейные гиперболические уравнения и системы). Построена удовлетворительная теория смешанных задач для строго гиперболич. уравнений и систем вида = 2. а/ « /,. Ux*x*-Zlla\<maa (*' Χθ) 0*α«0.τ?«...Ο.να» + / (s, Xq) с начальными данными на (пространственно ориентированной) части границы области Z), лежащей на плоскости #0=0. Определенный успех достигнут и при изучении смешанных задач для гиперболич. уравнений и систем в случае, когда носители начальных или краевых условий представляют собой поверхности вырождения тина или порядка этих уравнений (см. Вырожденное уравнение с частными производными). Наиболее существенные результаты получены для линейных уравнений 2-го порядка вида + &° (X, Х0) UXq +C (X, X0)u = f (Χ, Χ0) с коэффициентами, удовлетворяющими условию α<νξ/ξ/^λομο*ο (ί»'ξ/)β —μ0«^6/6/ (V?G^), где λ0 и μ0 — нек-рые положительные постоянные, и особенно для уравнений вида Утихх — иуу + а(х, у)их + Ъ(х, у)иу + + с(#, y)u — f(x, у), #! = #, #0== г/:>:0, т = const. (6) К смешанным задачам с внутренними или внешними краевыми условиями (см. Внешняя и внутренняя краевые задачи) редуцируются математич. модели многих процессов теории рассеяния волн на препятствиях. Напр., к условию излучения Зоммерфельда (см. Излучения условия) приводит задача отыскания решения и волнового уравнения □ ωΞ иХоХ,~ ихгхг— ' ' ' — Uxnxn = ° для всех точек x£Rn, лежащих вне ограниченной области Ω с: К", если известно, что производная и по направлению внешней нормали и д& обращается в нуль для любого момента времени х0^0ч а начальные условия соответствуют плоской волне, идущей из бесконечности в направлении оси хг. Основными краевыми задачами для гиперболич. уравнений и систем являются Гурса, Дарбу — Пикара и их многомерные аналоги (см. Гурса задача, Коши характеристическая задача, а также [1]). Задачи Гурса, Дарбу — Пикара и их различные обобщения хорошо исследованы для гиперболич. уравнений и систем 2-го порядка с расщепленными главными частями вида ихх — иуу + а (χι У) их+ь (χι У) иу + с (*» y)u = f(x, у), где я, Ь и с — заданные действительные (тХт)-матри- цы, / — заданный, а и — искомый m-мерные векторы. Существенные результаты получены и для довольно широкого класса гиперболич. систем уравнений 2-го порядка с нерасщепленными главными частями при отсутствии параболич. вырождения. Обнаружен факт неединственности решения характеристич. задачи Гурса щ (χ, χ) — φ/ (χ), щ (χ, —х) = яр/ (χ), χ ^ Ο, i = 1, 2, для гиперболич. системы дги. д*и> в2и . дуг 4 дхду ' с двумя независимыми переменными х, у и найден эффект влияния младших членов на корректность этой задачи [3]. Достаточно полно изучен вопрос влияния характера параболич. вырождений на корректность как локальных, так и нелокальных краевых задач для вырождающихся гиперболич. уравнений и систем [3]. В частности, исследованы основные (локальные) краевые задачи для линейных вырождающихся гиперболич. уравнений вида Uyy — k (χ, у) ихх + а (х, у) их + Ъ (х, у) иу + + с (я, y)u = f (χ, у) в ограниченных областях с произвольной кусочно гладкой границей, установлен факт влияния порядка нехарактеристич. вырождения на корректность задачи Дарбу и неравноправия характеристик как носителей краевых условий [10]. В связи с проблемой поиска многомерных аналогов задач Дарбу и Трикоми (см. Смешанного типа урав- 2*
39 СМЕШАННАЯ И нения) начались интенсивные исследования нелокальных краевых задач и особенно задачи со смещением (см. [9]) для гиперболич. уравнений, когда на харак- теристич. частях границы задано условие, поточечно связывающее значения искомого решения или его (дробных) производных или интегралов определенного порядка. Многие краевые задачи со смещением, изучаемые с большой полнотой и общностью в случае уравнения (1), охватываются следующей постановкой. В области, ограниченной характеристиками Г»— ^(Ш+2)/2 = 0, 14: , + 5^,««+а»/»-1 и отрезком / : 0О<1 прямой г/=0, найти (достаточно гладкое) решение и (х, у) уравнения (1), удовлетворяющее на / локальному условию й^й^ + ^й^+^ф^М, *€Λ (7) а на Г0 (J 1\ — нелокальному условию Вх (х) D*x и [θ0 (χ)] + Β2 (χ) Ώ\χ и [θ! (χ)] + + ^о[Я1 (Х)ш+аЪ И |f +«S (*)»"] = = В9(х),х£1. (8) Здесь А{, В(, αϊ — заданные функции, D*jx — оператор дробного интегро-дифференцирования порядка |ε|, задаваемый формулой du<p & ^гтЬ) 57|ж—* ι~β~ ν (о dt> если ε<0, и ηε , ч d[8] + 1 ηε- [ε]-1 . ^·χψΗ= Γεΐ + 1 Д φ И, 7=о, ι, c/xL J если ε>0, где Γ (ζ) — гамма-функция, [ε] — целая часть ε; θ/ (τ) — точка пересечения характеристики, выходящей из точки χ ζ/, с характеристикой Г,- уравнения (1): u[Qj{x)] = u(ReQ/t ImGy). Подробно изучены краевые задачи со смещением для уравнения вида (1), к-рые в характеристич. координатах ξ и η редуцируются к уравнению Эйлера — Дарбу — Пуассона (6-η)Μξη-β»ξ +β'ι*η=0. Частным случаем задачи (7) — (8) является з а- дача Дарбу, к-рая состоит в отыскании (достаточно гладкого) решения и (х, у) уравнения (6), удовлетворяющего (локальным) краевым условиям и [θ0 (#)] =ψ (ж), и(х, 0) = τ(χ), χζΐ; или Η[θιΗ1 = φ(ζ), иу(х, 0) = ν(χ), χ£Ι. Условие тп<2 или а (ж, y)=0(i)yp1 p>wi/2—1, m>2 (условие Геллерстедта), является существенным для корректности задачи Дарбу (см. [3], [10]). Качественно новым многомерным аналогом задачи Дарбу является задача Бицадзе, к-рая в случае волнового уравнения Пи—/(#» хо) ставится следующим образом (см. [1]). Вконечной областиDczRw+1, ограниченной частью S0 плоскости хп=0 и двумя характеристич. поверхностями S1:x0=\x\ = V xl+...+x%, z„<0, и S2:l—xo = \x |, χη*^0, найти решение уравнения, удовлетворяющее условиям u\Sq = 0, и|5я = 0 или Μχ/||5ο=0, u\s2=0. >АЕВАЯ ЗАДАЧИ /40 Изучены и другие многомерные аналоги как задачи Дарбу, так и нелокальных краевых задач (типа [2], [3]) для гиперболич. уравнений в специальных областях, нехарактеристич. часть границы к-рых, как правило, представляет собой пространственно ориентированную поверхность. Наиболее полные результаты получены в случае уравнения Эйлера — Дарбу — Пуассона х0\^\и = ких . Для уравнения вида иху + А(х, у)их-^В(х, у)иу + с(х, y)u=f(x, у) (9) весьма полно исследована нелокальная задача в следующей постановке. В области {(х, у) : 0<x<h, 0<z/< <Г} найти (достаточно гладкое) решение и(х, у) уравнения (9), если для всех г/£[0, Т] известно, что и(х, 0) = <p(s), 0<x<h, Qy-yo°u(x, y)dx = T(y)1 или u{xt 0) = φ(3·), 0<τ<Λ, dy~^=10Cj{y)u(xJ\ у) = т(у), где я0, χι, . . ., xq — заданные точки из сегмента [0, h]. В теорию краевых задач вносится новый аспект при переходе к гиперболич. уравнениям 3-го порядка вида ихху+А (ж, у) ихх+а (ж, у) их+Ь (х, у) иу+с (ж, y)u=f (ж, г/), (Ю) к-рые лежат в основе математич. моделей многих процессов и явлений теории тепломассообмена в пористых средах. Построена содержательная теория как локальных, так и нелокальных линейных краевых задач для гиперболич. уравнений вида (10), в частности создан аналог метода Римана. Для линейных симметрических гиперболич. систем 1-го порядка (см. Линейное гиперболическое уравнение и система) в рамках теории систем уравнений 1-го порядка изучены краевые задачи с допустимыми (см. [6]) краевыми условиями на dQ. Задача Дирихле, вообще говоря, не является корректной для гиперболич. уравнений и систем в произвольных областях. Методами энергетич. оценок и интегральных уравнений установлена корректность этой задачи для широкого класса гиперболич. уравнений 2-го порядка в специальных цилиндрич. областях. Лит.: [1] Бицадзе А. В., Некоторые классы уравнений в частных производных, М., 1981; [2] В л а д и м и ρ о в В. С, Уравнения математической физики, 4 изд., М., 1981; [3] G е 1- lerstedt S., «Ark. mat., astr., fys.», 1937, bd 25A, №29, s. 1—23; [4] Г о д у н о в С. К., У о внения математической физики, 2 изд., М., 1979; [5J Д ж у ρ а е в Т. Д., Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно-составного типов, Ташкент, 1979; [6] Д е з и н Α. Α., Общие вопросы теории граничных задач, М., 1980; [7] Лаврентьев Μ. Μ., Романов В. Г., Васильев В. Г., Многомерные обратные задачи для дифференциальных уравнений, Новосиб., 1969; [8J Ладыженская О. Α., Смешанная задача для гиперболического уравнения, М., 1953; [91 Η а х у ш е в А. М., «Дифференциальные уравнения», 1969, т. 5, № 1, с. 44—59; [10] его же, там же, 1971, т. 7, № 1, с. 49—56; [11] Салахитди- нов М. С, Уравнения смешанно-составного типа, Ташкент, 1974; [12] Тихонова. Н., Самарский Α. Α., Уравнения математической физики, 5 изд., М., 1977; [13] Ш χ а н у- к о в М. X., «Дифференциальные уравнения», 1982, т. 18, № 4, с> 689—99. А. М. Нахушев. СМЕШАННАЯ И КРАЕВАЯ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ — задачи отыскания решений и(х, t) = (u1(x, t), ..., ит(х, t)) в области D евклидова пространства Rn + 1((x, t)= = (#!, . . ., хп, t) — точка пространства R" + 1) параоо- лич. системы уравнений или при т=1 параболич. уравнения, удовлетворяющих нек-рым дополнительным условиям на границе dD (или на ее части) области D.
41 СМЕШАННАЯ И КРАЕВАЯ ЗАДАЧИ 42 Пусть Ω — область пространства Rn с достаточно гладкой границей^Ω, a D — цилиндр {χζΩ, 0<t<T} с боковой поверхностью Γ~{χζδΩ, 0<£<Г}, нижним основанием Ω0={τζΩ, t=Q} и верхним основанием Ωτ—{χζΩ, t—T]. Смешанные задачи для линейной параболической по Петровскому системы Μι + Σ|α|<2ρ Ла(Х' ° Dxu:==f{x> *>» <*' '>€*>. (1) /(χ, 0-(/ι(*> *). ···, /«(*, 0), в цилиндре Ζ) заключаются в отыскании решений этой системы, удовлетворяющих начальному условию <р(я)= (q>i(ai), . . ., φΛΛ (χ)), и краевому условию Я *'/? έ)w 1г==*(я:' *>» (3) где ψ (л?, ί)= (Ψι (*. 0, · · ., Ψ^, *)), а В (я, ί, |Λ — прямоугольная матрица с элементами ^ Я/,Ύ*, ί, ±) -=У Ъ^*(х, t)D%, lJ \ ' ' ах У ^|α|<ί. · ν ' ' t = 1, ..., m; / = 1, ..., p. Пусть рассматриваемая система равномерно парабо- лична. Классич. решением смешанной задачи (1) — (3) нал. вектор-функция и(х, t), принадлежащая ^1Ф)П^;?(^иг)п^(^иги^о), где q—mdLXqij- при 1 <i<m, 1 <:/ <р, и удовлетворяющая в D системе'(1), а на Ω0 и Г — условиям (2) и (3) соответственно. Иногда рассматриваются обобщения понятия классич. решения; в частности, при определении классич. решения можно отказаться от требования непрерывности в точках из ΓΓ)Ω0, заменив его условием ограниченности решения в D. Если для рассматриваемой задачи выполнено дополнительности условие (условие Лопатинского), то (пусть для простоты область Ω ограничена) при достаточной гладкости данных задачи (коэффициентов в (1) и (3) и вектор-функций /, φ и ψ) и выполнения согласований условий существует и единственно классич. решение. Основными смешанными задачами для общего линейного равномерно параболич. уравнения 2-го порядка щ- Lu^ut — У\ . -Σ<Β8ι *'·<*· t)u< с(х, t)u = f(x, t), (x, t)£D, (Г) ац(х, t) = ajti(x, t), * = 1, ···, η; 7 = 1, ..., η, являются задачи отыскания решений этого уравнения, удовлетворяющих начальному условию " |о0 = φ (^) (2') и одному из краевых условий и|г = ф(л, t) (4) первая смешанная задача, или ди Ш |Г" .= Ф(*, П — вторая смешанная /ди V ON зада ч а, или + σ(χ, 1) и\ |=ip (л:, О (6) — третья смешанная задача, где N — конормаль эллиптич. оператора L. Каждая из этих задач удовлетворяет дополнительности условию и, следовательно, при достаточной гладкости данных задачи и выполнении условий согласования имеет классич. решение; это решение может быть получено с помощью метода потенциала, метода конечных разностей, Галеркина метода, а в случае, когда функции a/w·, i=l, . . ., η, /~ 1» · · ·» и» с, о, не зависят от t, &;=0, ί=1, . . ., η, и с помощью Фурье метода. Для разрешимости, напр., первой смешанной задачи для уравнения (1) достаточно потребовать, чтобы коэффициенты уравнения принадлежали пространству Гёльдера Ca(D) при нек-ром а>0 и, кроме того, коэффициенты a^j(x, t) имели принадлежащие — да; / Са (D) производные ~ *<■ , i=l, . . ., я, у = 1, . . ., тг, 0xi функция f(x, t) принадлежала Ca(D), функции φ и ψ были непрерывны соответственно на Ω0 и Г и <pLq= =ф(#, 0). При этом достаточно, чтобы граница ΘΩ области Ω удовлетворяла следующему условию: для любой точки χ°ζδΩ существует замкнутый шар S, имеющий единственную общую точку с Ω — точку x°:Sf]Q—x°. Аналогичное утверждение при нек-рых условиях на боковую поверхность (пусть боковая поверхность не содержит характеристич. точек — точек касания с плоскостями i=const) справедливо и в случае нецилиндрич. области D. Теоремы существования основных смешанных задач для уравнения (1') справедливы и при других требованиях на заданные функции и область Ω. Напр., решение первой смешанной задачи в цилиндрич. области D для однородного теплопроводности уравнения с непрерывными функциями φ и ф, удовлетворяющими условию согласования φ|0Ω=ψ(#, Ο), существует, если область Ω такова, что Дирихле задача для Лапласа уравнения разрешима в Ω (существует классич. решение) при произвольной непрерывной граничной функции. Пусть коэффициенты aij, Ь/, с измеримы и ограничены в D, а функция σ измерима и ограничена на Г, f£L2(D), φ ζ L0 (Ω), функцияф в случае первой смешанной задачи является следом на Г нек-рой функции из Соболева пространства W\,0(D), а в случае третьей (и второй) смешанной задачи принадлежат L2(T). Принадлежащая пространству W\' ° (D) функция и (#, ί), след к-рой на Г равен ф: и|г=ф, наз. обобщенным решением первой смешанной задачи (1'), (2'), (4), если она удовлетворяет интегральному тождеству —(2Γ=ι biU*i+cu)y]dx dt= = \ fv dx dt + \ ψυ dx J D J Ω0 при всех ν из пространства Соболева W\(D), удовлетворяющих условиям υ\γ — Ο, v\Q =0. Принадлежащая пространству W\'Q (D) функция и (х, t) наз. обобщенным решением третьей (второй, если σ=0) смешанной задачи (1), (2), (6), если она удовлетворяет интегральному тождеству S о [ - **"*+2Г. i=ι "'· ^*ί "*/ - — (Vn ,biUXt + cu j ν \dxdt-\- \ guv dS = = ^Dfvdxdt+ ^Qe φι; dx + ^ψι;dS
43 СМЕШАННОГО ТИПА УРАВНЕНИЕ 44 при всех ν из Wl(D), удовлетворяющих условию ν\Ωτ= Ο. Обобщенное решение каждой из этих задач существует, единственно и, если / ζ Lp (D) при достаточно большом р, непрерывно в D и даже удовлетворяет условию Гёльдера с нек-рым показателем сх>0. При увеличении гладкости заданных функций и границы области и при выполнении условий согласования увеличивается гладкость обобщенного решения. Так, напр., пусть для уравнения теплопроводности ср==0 и ψ=0 и dQ является достаточно гладкой поверхностью; обобщенное решение первой смешанной задачи принадлежит Wfs+1)'s+1 (D), если f£WftS{D) и выполнены условия согласования |ао0 =(Δ/ + /ΐ)|θο0 Vs ЛЫ* ,ί-Ι-ί, дй( . (7) В частности, если f£L2(D), то решение принадлежит Wl,1(D),jil3ia (x, t)£D удовлетворяет уравнению теплопроводности и его след на Ω0 равен нулю; если /ζ Wf's при достаточно большом s и выполнены условия согласования (7), то в силу вложения теорем обобщенное решение является классическим. Аналогичное утверждение справедливо и для обобщенных решений основных смешанных задач для уравнения (1') при достаточной гладкости коэффициентов. Пусть Q = R"; задача отыскания решения в полосе D = Rnx (0, Τ) параболич. системы уравнений (1), удовлетворяющих на характеристике Q0={x£Rn, £=0} начальному условию (2), наз. Коши задачей для уравнения (1). Классич. решением задачи Коши (1), (2) наз. вектор-функция и (ж, £), принадлежащая С2Р>х (D)(]C(D и^0) и удовлетворяющая в D системе (1), а на Ω0 — начальному условию (2). Если правая часть / (х, t) принадлежит пространству Гёльдера Ca(D) при нек-ром а>0, а коэффициенты — достаточно гладкие в D, ограниченные вместе со своими производными функции, то для любой непрерывной и ограниченной в Rn начальной вектор-функции φ (χ) существует ограниченное в D решение задачи Коши и ограниченное решение задачи Коши единственно. Условие ограниченности может быть заменено условием «не слишком быстрого роста». Напр., для уравнения 2-го порядка справедливо следующее утверждение. Пусть коэффициенты уравнения (!') αί,/(χι 0» Ь((х, t), с (χ, t) и даи . (ас, V) дх~. принадлежат пространству Гёльдера Ca(D) при нек-ром а>0, а непрерывная в kn функция φ (χ) и непрерывная в D н локально непрерывная по Гёльдеру по переменным χ равномерно по ίζ[0, Τ] (с нек-рым показателем а>0) функция f(x, t) удовлетворяют неравенствам |ф(а:)КСвЛ|зс|1, х£№, \f(x, t)\<Ceh*xl\ (x, t)£D. Тогда в полосе D = Rnx (О, Τ) при достаточно малом (зависящем от h) T существует решение задачи Коши (Г), (2'); оно представляется в виде и(х, 0=JRnr(s, ί; ξ, 0)φ(ξ)<*ξ + + SoSR»r(*' t; ξ' Τ)/(ξ' τ^<*τ, где Г (χ, t; ξ, τ) — фундаментальное решение уравнения (1'), и удовлетворяет оценке \и(х, <)|<СИ|Х|2 (8) с нек-рыми положительными и постоянными Сх и к. Условие (8) гарантирует единственность решения задачи Коши. В случае уравнения с постоянными коэффициентами можно указать условие типа (8) на рост решения, необходимое и достаточное для единственности решения задачи Коши. Напр., для того чтобы в классе функций, удовлетворяющих неравенству \и(х, ί)|<^"μ(,Χ|), где h(\x\) — положительная непрерывная на [0, ос) функция, решение задачи Коши для уравнения теплопроводности было единственно, необходимо и достаточно, чтобы расходился интеграл \ °° rj— . Для параболич. уравнений можно рассматривать и задачи без начальных условий (задача Фурье). Напр., для однородного уравнения теплопроводности — задачу отыскания решения этого уравнения в цилиндре D={x£Q, —οο<ί<+οο}, где Ω —ограниченная область с достаточно гладкой границей dQ, удовлетворяющего краевому условию "(*» 0 |*€0Ω = Ψ(*> *)· Если функция ψ непрерывна и ограничена, то существует ограниченное решение задачи Фурье; ограниченное решение задачи Фурье единственно. Для параболич. уравнений и систем можно рассматривать первую смешанную задачу в нецилиндрич. области D и в случае, когда боковая поверхность содержит характеристич. точки (точки касания с плоскостями t= const). В частности, можно рассматривать Дирихле задачу — краевые условия задаются на всей границе dD. При определенных условиях на множество характеристич. точек и на порядок касания в характеристич. точках границы dD с характеристич. плоскостью задача Дирихле однозначно разрешена (в пространстве Wf°). Напр., пусть (для простоты) Dd^-2 — строго выпуклая плоская область и пусть уравнение границы в окрестности верхней характеристич. точки (я0, t°) имеет вид x—x°=q>1(t) при х*£х° и χ—ζ°=φ2(0 при д:>д:0, t°—δ<ί<ί°. Тогда условие |φι Ml ~2pdt, i=l,2, гарантирует существование и единственность решения задачи Дирихле для параболич. уравнения 2-го порядка. Это условие является и необходимым в данном классе уравнений. Лит.: [1] В л а д и м и ρ о в В. С, Уравнения математической физики, 4 изд., М., 1981; [2] Ильин В. Α., «Успехи матем. наук», 1960, т. 15, в. 2, с. 97—154; [3] Ильин А. М., Калашников А. С, Олейник О. Α., «Успехи матем. наук», 1962, т. 17, № з, с. 3—146; [4] К ρ у ж к о в С. Н., «Матем. сб.», 1964, т. 65, №4, с. 522—70; [5] Ладыженская О. Α., Солонников В. Α., Уральцева Η. Η., Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа, М., 1967; [6] Ладыженская О. Α., Краевые задачи математической физики, М., 1973; [7] ее же, «Математ. сб.», 1950, т. 27, № 2, с. 175—84; [8] Μ и χ а й л о в В. П., «Матем. сб.», 1963, т. 61, № 1, с. 40—64; [9] его же, «Матем. сб.», 1963, т. 62, №2, с. 140—59· [10] Нош Д ж., «Математика», 1960, т. 4, № 1, с. 31 — 52; [11] Петровский И. Г., Лекции об уравнениях с частными производными, 3 изд., М., 1961; [12] его же, «Бюлл. Моск. ун-та (А)», 1938, т. 1, в. 7, с. 1— 72; [13] его же, «Сотр. math », 1934, № 1, с. 383—419; [14] С οδό лев С. Д., Уравнения математической физики, 4 изд., М., 1966; [15] Солонников В. Α., «Тр. матем. ин-та АН СССР», 1965, т. 83, с. 3—163; [16] Тихонов А. Н., Самарский Α. Α., Уравнения математической физики, 5 изд., М., 1977; [17] Тихонов А. Н., «Бюлл. Моск. ун-та (А)», 1938, т. 1, в. 9, с. 1—43; [18] его же, «Матем. сб.»,1935, т. 42, № 2, с. 199—216; [19] Фридман Α., Уравнения с частными производными параболического типа, пер. с англ., М., 1968; [20] ЭйдельманС. Д., Параболические системы, М., 1964. В. П. Михайлов. СМЕШАННОГО ТИПА УРАВНЕНИЕ - дифференцированное уравнение с частными производными, к-рое в области задания принадлежит различным ти-
45 СМЕШАННОГО ТИПА УРАВНЕНИЕ 46 пам (эллиптическому, гиперболическому или параболическому). Линейное (или квазилинейное) дифференциальное уравнение 2-го порядка с двумя неизвестными переменными Auxx+2Bxy + Cuyy = f(x, у, и, их, иу) (1) и с непрерывными коэффициентами в области задания Ω является Ст. у., если в этой области дискриминант Д=ЛС—В2 характеристич. формы Ady2 + 2В ах dy + С dx2 = Q обращается в нуль, не будучи там тождественно равным нулю. Кривая δ, определяемая уравнением Δ=0, наз. параболической линией уравнения (1), или линией вырождения (изменения) типа уравнения. Если дискриминант Δ в области Ω не меняет знака при переходе точки (х, у) через параболич. линию о, то уравнение (1) относится к вырожденным уравнениям эллиптико-параболического (Δ^ ^0) или гиперболо-параболического (Δ<:0) типа (см. Вырожденное уравнение с частными производными). При нек-рых условиях гладкости коэффициентов А, В, Си параболич. линии δ существуют неособое действительное преобразование независимых переменных, приводящее уравнение (1) со знакопеременным дискриминантом Δ (в окрестности выбранной точки линии δ, где А2+В2~\-С2Ф0) к одному из следующих канонич. видов (обозначения для независимых переменных сохранены): y*m + 1uxx + uyy = F(x, у, и, их, иу), (2) Uxx + y2m + 1uyy = F(x, у, и, их, иу). (3) Уравнения (2) и (3) являются С. т. у. (эллиптико-па- раболич. типа) в любой области, содержащей внутри себя интервал линии вырождения г/=0. Область Ω задания С. т. у. принято называть смешанной областью, а краевые задачи в смешанных областях — смешанными краевыми задачами. Часть Ω + (Ω~) смешанной области Ω, где уравнение принадлежит эллиптическому (гиперболическому) типу, наз. областью эллиптичности (гиперболичности). К отысканию определенных решений С. т. у. сводятся многие проблемы прикладного характера, в частности проблемы околозвукового течения сжимаемой среды и безмоментной теории оболочек. С. т. у. (1) наз. уравнением первого рода (второго рода), если всюду вдоль параболич. линии характеристич. форма ζ)φΟ (Q=0). Уравнение Чаплыгина к (У) uxx + Uyy = 0, (4) где к (у) — непрерывно дифференцируемая монотонная функция такая, что ук(у)>0 при y=t=0,— типичный пример С. т. у. 1-го рода. При &(*/)=г/ уравнение (4) принято называть Трикоми уравнением. Важной моделью С. т. у. (с разрывными коэффициентами при старших производных) является уравнение Лаврентьева — Бицадзе ы&ьуихх + иуу = 0. (5) Одной из основных краевых задач для С. т. у. (первого рода) является задача Трикоми, к-рая для уравнения вида (2) ставится следующим образом. Пусть Ω — конечная односвязная область евклидовой плоскости независимых переменных хну, ограниченная простой жордановой кривой σ с концами в точках Л (О, 0), В (lt 0), лежащей в полуплоскости г/>0, и j частями А С и ВС характеристик уравнения (2), выходящими из точки C(l/2, yc)i Ус<®- Задача Трикоми заключается в отыскании решения и (х, у) уравнения (2), непрерывного в замыкании Ω области Ω и принимающего наперед заданные значения на кривой а{]АС. В теории задачи Трикоми существенную роль иг- I рает принцип экстремума Бицадзе, I к-рый в случае уравнения (5) гласит: решение и (х, у) уравнения (5) из класса C(Q)f\ С1 (Ω), обращающееся ! в нуль на характеристике АС : xJry=0, 0^.х^.1/2, в замыкании^+ области эллиптичности Ω + = ΩΓ) {у>0} I своего экстремума достигает на кривой σ. | Этот принцип, из к-рого следует единственность и устойчивость решения задачи Трикоми, а также обоснование альтернирующего метода его отыскания, распространен на весьма широкий класс линейных и квазилинейных С. т. у. В частности, этому классу принадлежат уравнения Чаплыгина (и Трикоми), если к (у) дважды непрерывно дифференцируема и Ък'2^4ккг при г/<0. Принцип экстремума Бицадзе остается в силе и для уравнения sign г/·| у\аихх + иуу = 0, a = const>0. (6) Решение задачи Трикоми для уравнения (6) в соответствующей смешанной области Ω выписывается в явном виде, если эллиптич. часть σ границы этой I области совпадает с т. н. нормальным контуром σ0: В общем случае при определенных условиях на кривую σ и на класс искомых решений задача Трикоми для уравнения (6) эквивалентно редуцируется к сингулярному интегральному уравнению, безусловная разрешимость к-рого следует из единственности решения. Метод интегральных уравнений успешно применяется и при доказательстве существования решения задачи Трикоми и др. смешанных задач для более общих уравнений вида signy-\y\*uxx+uyy = F(x, у, и, их, иу) со степенным вырождением порядка а. Методы теории функций и функционального анализа, особенно метод априорных оценок, позволили значительно расширить класс С. т. у. и смешанных областей, для к-рых имеет место единственность и существование (обобщенного) решения как задачи Трикоми, так и ряда др. смешанных задач. Существенным обобщением задачи Трикоми является общая смешанная задача Бицадзе, к-рая в случае уравнения (5) ставится следующим образом. Пусть Ω — односвязная смешанная область, ограниченная лежащей в полуплоскости г/>0 простой жордановой кривой σ с концами в точках А (О, 0), B(i, 0) и выходящими из этих точек (гладкими) монотонными кривыми Г0 и 1\, к-рые пересекаются в точке С (xt, ух), у±<0. Предполагается, что кривые ι Г0 и 1\ принадлежат области, ограниченной характеристиками х-\-у=0, x—y = i и отрезком А В : 0<#<1 прямой */=0. Через В0 и Bt обозначены точки пересечения характеристик χ—у=Хо и х-\~у=х0 с кривыми Г0 и 1\, где х0 — любая фиксированная точка из полуинтервала .rj+i/iOi^i—г/i, а через γ0 и γχ — части кривых Г0 и Г\, лежащих между точками Л, В0 и В, В± соответственно. Общая смешанная задача Бицадзе заключается в отыскании регулярного (при уфО, х-^уфхц) решения уравнения (5) в области Ω, к-рое непрерывно в Ω, имеет непрерывные первые производные в Ω при х±уфх0 и удовлетворяет заданным I краевым условиям на кривых σ, γ0 и у1ш Единствен-
47 СМЕШАННОГО ТИПА УРАВНЕНИЕ 48 ность и существование решения этой задачи как для уравнения (5), так и для более общих уравнений доказаны при нек-рых условиях геометрии, характера на границу области Ω, особенно на кривую σ. Общую смешанную задачу Вицадзе можно считать полностью исследованной в частном случае, когда кривая 1\ совпадает (х0=\) с выходящей из точки В характеристикой ВС. Важным следствием корректности общей смешанной задачи Бицадзе, напр. для уравнения (5), является тот факт, что для смешанных областей вида Ω Дирихле задача некорректна независимо от величины и формы области гиперболичности Ω ~. Для довольно широкого класса линейных уравнений k(y)uxx + uyy-\-aux + buy + cu = f установлено, что на корректность задачи Дирихле в соответствующих смешанных областях вида Ω существенное влияние может оказать коэффициент а (.г, у). Смешанной задачей нового типа является задача Φ ρ а н к л я. Пусть односвязная область Ω ограничена: отрезком А'А, —1<г/<1, прямой х=0; гладкой кривой σ с концами в точках А (0, 1) и В (а, 0), расположенной в квадранте £>0, г/>0; отрезком С В : %<: <д:<я прямой у=0 и проходящей через точки Л'(0, — 1), С (а1? 0) характеристикой рассматриваемого С.т.у., напр. уравнения (4). Задача Франкля состоит в отыскании решения и (.г, у) С. т. у. в области Ω, когда на а[]СВ задаются значения и(хч у), а на А'А —условие §Н = о, и(0, у)-и(0, -y) = f(y), -1<0<1,* = O. Эта задача исследована в основном для модельных С. т. у. Задача Франкля весьма полно решена для уравнения (5), если кривая σ : x=x(s), y~y(s) такова, что dy/ds^O, где s — длина σ, отсчитываемая от точки В (а, 0). Сформулированные основные краевые задачи для С. т. у. 1-го рода с соответствующими изменениями перенесены на С. т. у. 2-го рода. Эти изменения вызваны тем, что задача Дирихле для эллиптич. уравнений с характеристич. вырождением на части границы не всегда является корректно поставленной. В постановке краевых задач для уравнения (1) в смешанных областях вносится новый аспект, если линия δ изменения типа одновременно представляет собой линию вырождения порядка уравнения, напр. в случае уравнения У2рихх + уиуу + $иу = 0, (7) где ρ — натуральное число, а β — постоянная, удовлетворяющая неравенству 1—2ρ<2β<1. Для уравнений (5), (6), (7), помимо указанных задач, исследован также ряд принципиально новых краевых задач, к-рые в основном характеризуются тем, что вся граница о[]АС[)ВС области Ω (где ставится задача Трикоми) является носителем краевых условий: на кривой σ задано, напр., условие Дирихле, а на А С [) ВС — нек-рое нелокальное условие, поточечно связывающее значения искомого решения или его (дробной) производной определенного порядка. В частности, эти задачи включают простой пример корректной самосопряженной смешанной краевой задачи. Изучаются краевые задачи для С. т. у. и систем в областях, содержащих внутри себя части нескольких линий вырождения типа или одну замкнутую парабо- лич. линию. Аналоги задачи Трикоми рассматривались и для нек-рого класса С. т. у. и систем с двумя независимыми переменными и уравнений высокого порядка. Значительные затруднения возникают при отыскании правильно поставленных задач для С. т. у. с многими независимыми переменными. Тем не менее в этом направлении получен ряд важных результатов. Установлено, что для уравнения sign z-uxx + uyy + uzz = f (x, у, ζ), (8) к-рое представляет собой простую модель С. т. у. с временным образом ориентированной плоскостью ζ = 0 вырождения типа, корректно поставленной является следующая задача. Пусть Ω — конечная односвязная трехмерная область, ограниченная нек-рой кусочно гладкой поверхностью z = f(x, г/)>0 и характеристиками Sx : х-\-х0=Уу2-\-г2, S2\ x—xQ=Y~y2-\-z2 уравнения (8). Требуется найти непрерывную в Ω функцию и(х, у, ζ) с непрерывными в Ω производными 1-го порядка, удовлетворяющую уравнению (8) в области Ω при ζφΟ и обращающуюся в нуль на σ и на одной из характеристик St или S2. Доказаны существование слабого и единственность сильного решения этой задачи и для более общего уравнения signxn-uXQXo+Axu = f(x0, χ), x = (xt, . ..,r„), где Δχ — оператор Лапласа по переменным #!,..., хп. Для уравнения х1тЬхи-х0иХоХо+(т-*М uXq = 0 (9) с пространственно ориентированной гиперплоскостью х0=0 вырождения типа и порядка в смешанной области Ω специального вида поставлены и исследованы краевые задачи, в к-рых часть границы dQ, лежащая в полупространстве х0<0, является носителем данных и(х0, х), а лежащая в полупространстве я0>0 часть границы 0Ω (характеристич. коноид уравнения (9)) — носителем нек-рых интегральных средних для и(х0, х). Исследовались и другие модельные С. т. у. в трехмерных ограниченных и неограниченных областях, в т. ч. уравнения **m + 1uxx + uyy + uzz = Q, z2™ + ^ (uxx+uyy) + uzz = 0. Найден также критерий единственности решения задачи Дирихле для широкого класса самосопряженных С. т. у. в цилиндрич. областях. Лит.: [1] Б е ρ с Л., Математические вопросы дозвуковой и околозвуковой газовой динамики, пер. с англ., М., 1961; [2] Бицадзе А. В., Уравнения смешанного типа, М., 1959; [3] его ж е, К теории уравнений смешанного типа, порядок которых вырождается вдоль линии изменения типа, в сб.: Механика сплошной среды и родственные проблемы анализа, М., 1972; [4] Бицадзе А. В., Η а х у ш е в А. М., «Докл. АН СССР», 1972, т. 205, № 1; [5] В е к у а И. Н., Обобщенные аналитические функции, М., 1959·; [б] Каратопраклиев Г. Д., «Дифференциальные уравнения», 1969, т. 5, № 1, с. 199— 205; [7] К е л д ы ш М. В., «Докл. АН СССР», 1951, т. 77, № 2, с. 181—83; [8] С а л а х и τ д и н о в М. С, «Изв. АН Узб. ССР. Серия физ.-мат. наук», 1969, № 1, с. 27—33; [9] Смирнов М. М., Уравнения смешанного типа, М., 1970; [10] Со л- датов А. П., «Дифференциальные уравнения», 1973, т. 9, № 2, с. 325—32; [И] Трикоми Ф., О линейных уравнениях в частных производных второго порядка смешанного типа, пер. с итал., М.— Л., 1947; 112] Франкль Ф. И., Избранные труды по газовой динамике, М., 1973; [13]F riedrichs К. О., «Communication Pure and Appl. Math.», 1958, v. 11, № 3, p. 333—418; [14] Gellersledt S., «Ark. mat., astr., fys.», 1936, bd 26A, № 3t s. 1 — 32; [15] Germain P., В a d e г R., «C.r. Acad, sci.», 1951, t. 232, p. 463—65. A. M. Нахушев. СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ (α, b, с) в е к τ ορό в α, 6, с — скалярное произведение вектора а на векторное произведение векторов Ь и с: (а, 6, с) = (а, [Ь, с]). См. Векторная алгебра. СМЕШАННЫЙ ПРОЦЕСС АВТОРЕГРЕССИИ- СКОЛЬЗЯЩЕГО СРЕДНЕГО, АРСС-процесс — стационарный в широком смысле случайный процесс
49 СМЕШАННЫХ ОБЪЕМОВ ТЕОРИЯ 50 X (t) с дискретным временем t=Q, ±1, . . ., значения к-рого удовлетворяют разностному уравнению X (t) + aiX (t - 1)+ · · · +арХ (t ~p) = = Y(t) + b1Y(t-\)+...+bqY(t-q), (1) где £Y(t) = 0, EY(t)Y(s) = o2&is, 6ts — символ Kpo- некера (т. е. Υ (t) — процесс белого шума со спектральной плотностью σ2/2π), ρ и q — нек-рые неотрицательные целые числа, а ях, . . ., ар, Ьъ . . ., Ьд — постоянные коэффициенты. Если все корни уравнения φ (ζ) = \-\-α1ζ-\-.. . +^2^ = 0 по модулю отличны от единицы, то стационарный С. п. а.-с. с. X (t) существует и имеет спектральную плотность f (λ) - (σ2/2π) Ι ψ (<?*λ) |21 φ (*a) |"2, где ψ(ζ) = 1 + 61ζ+. . .-\-bqzi. Однако для того, чтобы решение уравнения (1) при фиксированных начальных значениях X (t0—1), . . ., X (t0—p) стремились при t—г0-> оо к стационарному процессу Х(£), необходимо, чтобы все корни уравнения φ(ζ)=0 располагались вне единичного круга |ζ|<:1 (см., напр., [1], [2]). Класс гауссовских С. п. а.-с. с. совпадает с классом стационарных процессов, имеющих спектральную плотность и являющихся одномерной компонентой многомерного марковского процесса (см. [3]). Частными случаями С. п. а.-с. с. являются авторегрессионные процессы (при q=0) и скользящего среднего процессы (при р=0). Обобщением С. п. а.-с. с. являются введенные в рассмотрение Дж. Боксом (G. Box) и Г. Дженкинсом (G. Jenkins) (см. [1]) и часто используемые в прикладных задачах процессы авторегрессии проинтегрированного скользящего среднего — нестационарные процессы со стационарными приращениями такие, что их приращения нек-рого фиксированного порядка образуют С. п. а.-с. с. Лит.: [1] Бокс Дж., ДженкинсГ., Анализ временных рядов. Прогноз и управление, пер. с англ., в. 1—2, М., 1974; [2] Андерсон Т., Статистический анализ временных рядов, пер. с англ., М., 1976; [3] D о о b J. L., «Ann. Math. Stat.», 1944, v. 15, p. 229—82. A. M. Яглом. СМЕШАННЫХ ОБЪЕМОВ ТЕОРИЯ - раздел теории выпуклых тел, изучающий функционалы, возникающие при рассмотрении линейных комбинаций тел (см. Сложение множеств). Объем V линейной комбинации 2ΐ=:Λί^ί выпуклых тел К[ в евклидовом пространстве Rn с коэффициентами λ,·>0 является однородным многочленом степени η относительно λχ, . . ., λ,.: Коэффициенты Vi i предполагаются симметричными относительно перестановок индексов и обозначаются V(К^, . . ., К{ ), поскольку они зависят только от тел Ki , . . ., Кг ; эти коэффициенты наз. смешанными объемами (с. о.) тел К, t. Значение С. о. т. связано с универсальностью понятия с. о.: при подстановке в V{К, Къ . . ., Кп_1) конкретных тел Къ . . ., Κη_λ получаются многие величины, связанные с телом К. В их числе: объем, площадь поверхности, интеграл по поверхности от элементарной симметрич. функции главных кривизн (в случае С2-гладкого тела), а также соответствующие характеристики проекции тела на t-мерную плоскость, 0<ΐ</ι. Частным случаем разложения (*) является разложение Штейнера для объемов параллельных тел в R3: V& = ν + 5ε + π£ε2 + -~πε3, где V — объем, S — площадь поверхности, В — интегральная средняя кривизна исходного тела, Ve — объем его ε-окрестности. С. о. V(Къ . . ., Кп) инвариантен относительно параллельных переносов любого тела Κι, монотонен (по включению тел), непрерывен и неотрицателен;!^(Klf . . ., Кп)>0 тогда и только тогда, когда в каждом К[ можно провести по отрезку так, чтобы эти отрезки были линейнонезависимы (см. [1]). Если К' — проекция К на гиперплоскость, ортогональную единичному отрезку е, то V(Klt ..., Kn.ue)=nV(K\, ..., <_ι)· Объем проекции тела К на р-мерное подпространство наз. р-й внешней поперечной мерой. Соотношения между средними значениями Wp(K) этих мер — один из объектов интегральной геометрии. Функционалы Wp(K) с точностью до множителя совпадают с р-ми интегралами кривизны: Vp(K) = V(K^..., /ί, U^.^JJ), ρ η—ρ где U — единичный шар. Для С2-гладких строго выпуклых тел с. о. Vp(K), 0<р</г, равен интегралу от р-й элементарной симметрич. функции Dр главных радиусов кривизны, рассматриваемой как функция нормали на сфере Sn~l. В случае общих выпуклых тел Vp(K) есть полное значение определяемой ниже меры μρ (ω) на £η_1, называемой функцией кривизны. (В гладком случае Dр есть плотность μρ.) Подобно тому как объем тела К есть — интеграла от его опорной функции К (и) по его поверхностной функции, т. е. по площади поверхности, перенесенной на S"*1 сферическим отображением, так и с. о. η тел представим интегралом от опорной функции Кг (и) одного из них по нек-рой мере μ (ω) = μ (Х2,. . ., Кп, ω) на «S"-1, зависящей от остальных тел и называемой смешанной поверхностной функцией тел К2, . . ., Кп\ V(KU ..., Κ^^^^Κ^^άμ. Функция кривизны μρ(α>) определяется равенством μ, (ω) = μ (А^.. .^, U^., J/,jo). ρ η—ρ—Ι Основным содержанием С. о. т. являются неравенства между с. о. (см. [2], [3]). В их числе — неравенство Минковского Vn(K, L, ..., L)^V(K)Vn-i(L) и квадратичное неравенство Минковского V*(K, L, ..., L)^V(L)V(K, К, L, ..., L). Эти неравенства тесно связаны с Врунна — Минковского теоремой, справедливой не только для выпуклых тел. Обобщает эти неравенства Александрова — Фенхеля неравенство, допускающее следующую модификацию (см. [2]): V»(KU ..., Кт, Lb .... LH-m)^ ^nr=iF(*'·' ··■'Kh Lb ···' L^m)- В частности, Vn(Kl9 ..., tf„)^F (*!)...F(tf„). Полная система неравенств, характеризующая с. о. V(KX,. . ., Кп), получена для двух тел, в связи с этим установлены нек-рые более общие неравенства (см. [4]).
51 смещенн Многие геометрия, неравенства, напр. изопериметри- ческое неравенство классическое и ряд его уточнений, являются для выпуклых тел частными случаями неравенств для с. о.; экстремум одного из функционалов Vp(K) при фиксации другого из них достигается для шара. Неравенства С. о. т. использованы при доказательстве единственности решения обобщенной проблемы Минковского (см. [2]), устойчивости в проблемах Мин- ковского (см. [5]) и Вейля (см. [6]), при решении проблемы Ван дер Вардена о перманенте (см. [7]). Бесконечномерный аналог понятий С. о. т. нашел применение в теории гауссовских случайных процессов (см. [7]). С. о. т. оказалась глубоко связанной с алгебраич. геометрией. Многочлену/(zl9. . ., zn) от η комплексных переменных сопоставляют многогранник Ньютона Nw(f). Для этого каждому одночлену z^1. . .zann, входящему в / с ненулевым коэффициентом, сопоставляется точка (а1ч. . ., an)£Rn; многогранник Nw(f) есть выпуклая оболочка этих точек. Типичное число решений системы полиномиальных уравнений fi=. . . = /„=0 равно деленному на п\ с. о. многогранника Nw(f). Эта связь позволила, в частности, дать алгебраич. доказательство неравенства Александрова — Фенхеля (см. [10]). В С. о. т. выпуклое тело отождествляют с его опорной функцией; допускается распространение на разности этих функций, а затем — на произвольные непрерывные функции на сфере (см. [2], [9]). Из аналогичного разложения для вектора центра тяжести тела 2t==1^i^i, умноженного на объем этого тела, определяются т. н. смешанные направляющие векторы, являющиеся векторным аналогом смешанных объемов. Центры тяжести функций кривизны тела К с точностью до постоянного множителя совпадают со смешанными направляющими векторами К и шара U (см. [11]) Лит.: [1J Minkowski Η., Gesam. Abh., Bd 2, Lpz.— В., 1911; [2] Александров А. Д., «Матем. сб.», 1937, t. 2, № 5, с. 947—72, № 6, с. 1205—38; 1938, t. 3, № 1, с. 27—46, № 2, с. 227—51; [3] Б у з е м а н Г., Выпуклые поверхности, пер. с англ., М., 1964; [4] Shephard G., «Mathematika», 1960, v. 7, № 14, p. 125—38; [5] Д и с к а н τ В. И., «Сиб. матем. ж.», 1973, т. 14, №3, с. 669—73; [б] Волков Ю. Α., «Укр. геометр, сб.», 1968, № 5—6, с. 44—69; [7] Ε г о ρ ы ч е в Г. П., Решение проблемы Ван-дер-Вардена для перманентов, Красноярск, 1980; [8] Судаков В. Н., «Докл. АН СССР», 1971, т. 197, № 1, с. 43—45; [9] В u s e m а η η Η., Ε w a 1 d G., Shephard G., «Math. Ann.», 1963, Bd 151, № 1, S. 1 — 41; [10] Хованский А. Г., «Успехи матем. наук», 1979, т. 34, в. 4, с. 160—61; [11] Schneider R., «Abh. math. Semin. Univ. Hamburg», 1972, Bd 37, S. 112—32. Ю. Д. Бураго. СМЕЩЕННАЯ ОЦЕНКА — статистическая оценка, математич. ожидание к-рой не совпадает с оцениваемой величиной. Пусть X — случайная величина, принимающая значения в выборочном пространстве (3£, с^, Ре), θξθ, и пусть Τ— Τ (Χ) — точечная статистич. оценка функции /(θ), заданной на параметрич. множестве θ. Предполагается, что математич. ожидание Εθ {Τ} оценки Τ существует. Если в этих условиях функция ΜΘ) = ΕΘ{Γ}-/(Θ) = ΕΘ{Γ-ΜΘ)} не равна тождественно нулю, т. е. если Ъ (Θ)ξ^ξ0, то Т наз. смещенной оценкой функции /(Θ), а сама функция Ъ (Θ) наз. смещением или систематической ошибкой оценки Т. Пример. Пусть Х1?. . ., Хп — взаимно независимые одинаково нормально Νχ (α, σ2) распределенные случайные величины и пусть Х=4 №+...+*„). В таком случае статистика l ОЦЕНКА 52 является С. о. дисперсии σ2, так как 1 η' η η ' т. е. оценка Sft имеет смещение Ь (σ2) = — ο2/η, при этом квадратичный риск этой С. о. равен Ε{(5*-σψ}=2-2^ν. Наилучшей несмещенной оценкой параметра σ2 является статистика квадратичный риск к-рой равен В данном случае при п>2 квадратичный риск С. о. Sn меньше квадратичного риска наилучшей несмещенной оценки s^. Существуют ситуации, когда несмещенные оценки не существуют. Так, напр., не существует несмещенной оценки для абсолютной величины | а \ математич. ожидания а нормального закона Νλ (я, σ2), т. е. для | а \ можно построить только Со. Лит.: [1] К ρ а м е ρ Г., Математич. методы статистики, пер. с англ., 2 изд., М., 1975. М. С. Никулин. СМИРНОВА КЛАСС Ep(G) — совокупность функций /(ζ), голоморфных в односвязной области GcC с жор- дановой спрямляемой границей Г и таких, что для каждой из этих функций существует последовательность замкнутых жордановых спрямляемых кривых Г„ (f)czG, /г = 1,2,. . ., со свойствами: 1) Г„(/) при п-+-со стремится к Г в том смысле, что если Gn (/) — ограниченная область с границей Г„(/), то G1(f)aG2(f)c:...c:Gh и и "=i £„(/) = £; 2) sup {С |/(ζ) |'|ώ|}<οο (ρ>0 задано). п J I nU) Это определение, предложенное М. В. Келдышем и М. А. Лаврентьевым [2], эквивалентно определению В. И. Смирнова [1], в к-ром вместо Гп(/) фигурируют кривые v(p), являющиеся образами соответствующих окружностей | ы;| = р<1 при нек-ром однолистном конформном отображении ζ=φ (w) круга | w |<1 на область έ, а супремум берется по ρ ζ (0, 1). Классы Εp(G) являются наиболее известным и изученным обобщением Харди классов Нр и связаны с ними следующим соотношением: / ζ Ερ (G) тогда и только тогда, когда f(4(w))(4'(w)),p£Hp. По своим свойствам классы Ер (G) наиболее близки классам Нр в случае Смирнова областей G. Изучалось обобщение С. к. на случай произвольных областей G с границами конечной длины по Хаусдорфу. См. также Граничные свойства аналитических функций. Лит.: [1] С м и ρ н о в В. И., «Изв. АН СССР. Отд. матем. и естеств. наук», 1932, № 3, с. 337—72; [2] КелдышМ. В., Лаврентьев Μ. Α., «Ann. sci Ecole Norm, super.», 1937, t. 54, p. 1—38; [3] Привалов И. И., Граничные свойства аналитических функций, 2 изд., М.— Л., 1950; [4] Г о л у з и н Г. М., Геометрическая теория функций комплексного переменного, 2 изд., М., 1966; [5] D u г е η P. L., Theory of Η ^-spaces, Ν.Ύ.— L., 1970. Ε. П. Долженко. СМИРНОВА КРИТЕРИЙ — непараметрический статистич. критерий, применяемый для проверки гипотезы об однородности двух выборок. Пусть Хг,. . ., Хп и У19 . . ., Ут — взаимно независимые случайные величины, причем каждая выборка состоит из одинаково непрерывно распределенных элементов, и пусть надлежит проверить гипотезу Ζ/0,
53 СНОБОЛ 54 согласно к-рой обе выборки извлечены из одной и той же совокупности. Если Mi)a :Х, (2) = <Х| п) и У(1)<У( (2): (ОТ) — вариационные ряды, отвечающие данным выборкам, a Fn (χ) и Gm (χ) — соответствующие им функции эм- пирич. распределения, то гипотезу Н0 можно записать в виде следующего тождества H0:EFn(x)^EGm(x). Далее, пусть в качестве возможных альтернатив к Н0 рассматриваются гипотезы ;sup E[Gm(x)-Fn(x)]>0, \χ\<<*> ;= inf E[Ga I X\ < oo Нг = sup |E[G„(*)-F„(*)]|>0. I x| < qo Для проверки гипотезы Н0 против односторонних альтернатив ΗΪ и J7f, а также против двусторонней #х, Н. В. Смирновым предложены статистич. критерии, построенные на статистиках ΗΧΟ-, ,(*)—F„(*)] <0, D+ = sup [G„ (x)-Fn(x)]< max 1<&<яЛ -*■»(* = - inf [G„ (*)-*■„(*)] = | x | < oo = max /^„(Χ,*,)-*-1' L)· l<ft<mV 0«./i = SUP \Gm(x)-Fn{x)\ = maix(D^ (A))j ^,n) соответственно, причем, как следует из определений статистик Dm,n и Dm, n, при справедливости проверяемой гипотезы Н0, статистики Dm, «и -Dm, π распределены одинаково. В основе этих критериев лежит следующая теорема: если min (т, п)-+оо так, что отношение ml n остается постоянным, то при справедливости гипотезы #0 для любого */>0 К (у), где К (у) —функция распределения Колмогорова. Были получены (см. [4] — [6]) асимптотич. разложения для функций распределения статистик Dm,n и Dm,n- Согласно С. к. с уровнем значимости Q гипотеза Н0 отвергается в пользу одной из рассматриваемых альтернатив Η] , ΗΪ, Я, если статистика, соответствующая выбранной альтернативе, превосходит Q — критическое значение критерия, для вычисления к-рого рекомендуется пользоваться аппроксимациями, полученными Л. Н. Болыиевым [2] с помощью асимптотич. преобразований Пирсона. См. также Колмогорова критерий, Колмогорова — Смирнова критерий. Лит.: [1] Смирнов Н. В., «Бюлл. МГУ», 1939, т. 2, в. 2, с. 3—14; [2] Б о л ь ш е в Л. Н., «Теория вероятн. и ее примен.», 1963, т. 8, в. 2, с. 129—55; 13] Б о л ь ш е в Л. Н., Смирнов Н. В., Таблицы математической статистики, 2 изд.', М., 1968; [4] К о ρ о л ю к В. С, «Теория вероятн. и ее примени 1959, т. 4, в. 4, с. 369—97; [5] Ч ж а н Л и - ц я н ь, «Математика»), 1960, т. 4, №2, с. 135—59; [6] Боровков А. А. «Изв. АН СССР. Сер. матем.», 1962, т. 26, № 4, с. 605—24. М. С. Никулин. СМИРНОВА ОБЛАСТЬ, область типа С, область типа S,— ограниченная односвязная область G с жордановон спрямляемой границей на комплексной плоскости С со свойством: существует такое однолистное конформное отображение z—q(w) круга |ш|<1на область G, что гармонич. функция In | φ' (w) I при I w |<1 представима интегралом Пуассона по своим угловым граничным значениям 1η|φ'(**0)|: In Ι φ' (л?Ю) I = "23XJ0 1—r2 i + r2-2rcos(<—Θ) In | φ' (e«) \dt. Эти области введены В. И. Смирновым [1] в 1928 при исследовании полноты системы многочленов в Смирнова классе E2(G). Проблема существования несмирновских областей с жордановыми спрямляемыми границами была решена М. В. Келдышем и М. А. Лаврентьевым [2], давшими тонкую и сложную конструкцию таких областей и соответствующих отображающих функций φ с дополнительным свойством:! φ' (eiQ) |=1 почти для всех е&. Основные граничные свойства аналитических функций в круге присущи и функциям, аналитическим в С. о., причем многие из таких свойств справедливы в С. о. и только в них. Примеры С. о. дают жордановы области, границы к-рых суть кривые Ляпунова или кусочно ляпуновские кривые с ненулевыми углами. Лит.: [1] Смирнов В. И., «Ж. Ленингр. физ.-матем. об- ва», 1928. т. 2, № 1, с. 155—79; [2] К е л д ы ш М. В., Лаврентьев Μ. Α., «Ann. sci. Ecole norm, super», 1937, t. 54, p. 1 — 38; [3] Π ρ и в а л о в И. И., Граничные свойства аналитических функций, 2 изд., М.— Л., 1950; [4] Л о в а т е ρ Α., в кн.: Итоги науки. Математический анализ, т. 10, М., 1973, с. 99— 259; [5] Τ у Маркин Г. Ц., «Вестн. Ленингр. ун-та», 1962, № 13, с. 47—55. Е. П. Долженко. СНЕДЕКОРА РАСПРЕДЕЛЕНИЕ - см. Фишера F -распределение. СНОБОЛ — алгоритмический язык, предназначенный для программирования задач обработки символьной информации, т. е. представленной словами в нек-ром алфавите. В литературе по программированию такие слова наз. строками, или цепочками, а образующие их буквы — литерами. На основе начального варианта С, разработанного в нач. 1960-х гг., было создано несколько версий языка, из к-рых наиболее стабильной оказалась версия С.-4. Аналогично рефалу, С. имеет своей теоретич. предпосылкой нормальные алгорифмы А. А. Маркова, в к-рых основной вычислительной операцией является обнаружение в слове А вхождения заданного подслова В с последующей заменой этого вхождения на другое слово С. Общая структура программ на С. типична для алго- ритмич. языков. Программа имеет вид последовательности операторов (инструкций) присваивания, сопоставления с образцом, замещения, передачи управления, ввода, вывода и останова. В выражениях могут употребляться как примитивные операции, предикаты и функции, так и функции, определяемые программистом (в т. ч. и рекурсивные). Любая инструкция может быть помечена. Метка в С. может трактоваться как строковая переменная, значением к-рой является инструкция, помеченная этой меткой. Основными типами данных являются строки, целые и действительные числа, имена, образцы. Базисным типом является строка, все остальные данные имеют строковое представление, совпадающее с их способом записи в программе. Однородные данные могут объединяться в массивы и таблицы, произвольные данные объединяются в наборы заданной длины и с заданными именами для каждой позиции (поля) набора. Имена обозначают переменные, метки, формальные параметры и функции. Строки в С. могут быть любой длины. Переменные не имеют постоянно приписываемого им типа, однако операнды каждой операции или примитивной функции ожидают данных определенного типа, преобразуя аргументы к ожидаемому типу либо выдавая сообщение об ошибке. Наиболее характерной операцией С. является сопоставление строки с образцом. Образец — это особое выражение С, создающее в нек-рой последователь-
55 СОБОЛЕВА 56 ности группу контрольных строки определенную дисциплину движения слева направо (сканирования) вдоль сопоставляемой строки, называемой субъектом. Сопоставление — это последовательность элементарных проверок. Элементарная проверка устанавливает, является ли очередная контрольная строка подстрокой остатка (справа от точки сканирования) субъекта. В зависимости от успеха или неуспеха элементарной проверки происходит либо выработка сообщения об успехе или неуспехе сопоставления в целом, либо переход к следующей контрольной строке образца и перенос точки сканирования. В результате успешного сопоставления в субъекте выделяется последовательность нек-рых подстрок. Эти подстроки могут быть присвоены указанным переменным либо замещены на другие подстроки. Примитивным образцом является выражение, значение к-рого есть строка, а успехом сопоставления с ней является вхождение этой строки в субъект. Конкатенация А В образцов А и В создает образец, успех в сопоставлении с к-рым требует успеха в сопоставлении с А, а затем — успеха в сопоставлении остатка субъекта с образцом В. Альтернация А\В образцов А и В создает образец, сопоставление с к-рым успешно при сопоставимости либо с Л, либо с В. Если А — образец и X — переменная, то конструкция А, X означает образец, успешное сопоставление с к- рым сохраняет в качестве значения X ту контрольную строку, вхождение к-рой в субъект привело к успеху. Инструкция сопоставления с образцом имеет вид VA, где V — переменная-субъект и А — образец. Условная передача управления изображается инструкцией VA : F (M1)S (Μ2), где Ml и Μ2 — метки перехода в случае неудачи и удачи сопоставления соответственно. Инструкция замещения имеет вид VA=E, где Ε — строковое выражение, значение к-рого при успешном сопоставлении замещает в V выделенную подстроку. С. имеет развитую библиотеку примитивных функций, к-рые в сочетании с операциями конкатенации и альтернации позволяют создать емкие образцы и компактно записывать в виде инструкции замещения весьма сложные правила анализа и преобразования строк. Программы на С. обрабатываются программирующим процессором интерпретационного типа. Программа транслируется в промежуточную форму, к-рая исполняется с помощью интерпретатора. С. реализован для всех главных архитектур современных ЭВМ. Реализация этого языка содействовала разработке эффективных алгоритмов манипулирования в памяти ЭВМ строками переменной длины. Лит.: [1] Farber D. J., Griswold R. Ε., Ρ о 1 o- nsky I. P., «J. Assoc. Comput. Mach.», 1964, v. 11, № 1, p. 21—30; [2] G r i s w о 1 d R. E., String and list processing in SNOBOL 4. Techniques and applications, Englewood Cliffs (Ν. Υ.), 1975; [3] Г р и с у о л д Р., ПоуджДж., ПолонскиИ., Язык программирования СНОБОЛ-4, пер. с англ., М., 1980. А. П. Ершов. СОБОЛЕВА КЛАСС функций — другое название Соболева пространства. СОБОЛЕВА ОБОБЩЕННАЯ ПРОИЗВОДНАЯ - локально суммируемая обобщенная производная от локально суммируемой функции (см. Обобщенная функция). Подробнее, если Ω есть открытое множество в п- мерном пространстве R.n и F (х) и / (х) — заданные на Ω локально суммируемые функции, то f(x) есть обобщенная частная производная пояупо Соболеву от функции F (х) на Ω: dF й£-=/(*), *ео, /=*> 2> дх если выполняется равенство п, для любых бесконечно дифференцируемых финитных в Ω функций ψ{χ); эта производная — С. о. п.— определена только почти всюду на Ω. Другое эквивалентное определение С. о. п.: пусть локально суммируемую на Ω функцию F (х) можно видоизменить на множестве гс-мерноп меры нуль так, что она будет локально абсолютно непрерывной по xj для почти всех в смысле (п—1)-мерной меры точек (*1 V + 1 »· хп). Тогда функция F будет иметь обычную частную производную xj почти для всех χζΩ. Если она локально суммируема, то она и наз. С. о. п. Третье эквивалентное определение С. о. п.: пусть для определенных на Ω функций F (х) и f(x) можно подобрать последовательность непрерывно дифференцируемых на Ω функций {Fk(x)} таких, что для любой области ω, замыкание к-рой принадлежит Ω, имеет место [\Fn(x)-F{x)\dx-+0, dFk (χ) -/(*) dx ■ •О, к- ► оо; тогда f(x) есть С. о. п. от F (х) на Ω. По индукции определяются С. о. и. на Ω от F (если они существуют) более высокого порядка: 02F Q3F дх^дх · ' дх-дх -дх^ ' Они не зависят от порядка дифференцирования, напр. d*F d*F dxtdx, дх.дХ{ почти всюду на Ω. Лит.: [1] С о б о л е в С. Л., Некоторые применения функционального анализа в математической физике, [2 изд.], Ново- сиб., 1962; [2] Η и к о л ь с к и й С. М., Курс математического анализа, 2 изд., т. 2, М., 1975. С. М. Никольский. СОБОЛЕВА ПРОСТРАНСТВО — пространство Wlp(Q) функций /=/(я) =/(#!,. . ., xn)i определенных на множестве Ωα^-η (обычно открытом) и интегрируемых с р-й степенью их модуля вместе со своими обобщенными производными до порядка I включительно (1 <: <р<оо). Норма функции /ζ Wp (Ω) определяется при помощи равенства 1/1 Здесь Wlp(Q) ~Λ \k\<i а1*1/ дх}[1. . . дх^п \1Шкмяу /«» = /, (1) есть обобщенная частная производная от / порядка |А;| = = Σ·=Α' и Н0Рма \№hP{Q)=(lQ\*(x)\Pdx)l/P (К/к»)· При ρ =οο эта норма равна существенному максимуму: ΙΙ-ψ Hz, (Ω)= sup vrai |ψ (.τ) | (/>=αο), т.е. нижней грани чисел А, для к-рых неравенство 4<|ψ(ζ)| имеет место на множестве меры нуль. Пространство Соболева Wp (Ω) определено и впервые применено в теории краевых задач математич. физики в [1], [2]. Благодаря тому что в определении С. п. участвуют не обычные, а обобщенные производные, оно является полным, т. е. банаховым пространством. Наряду с Wp(Q) рассматривается его линейное подпространство, обозначенное Wpc(Q) и состоящее из
57 СОБСТВЕННОЕ ЗНАЧЕНИЕ 58 функций, имеющих равномерно непрерывные на Ω ι частные производные Z-ro порядка. Подпространство Wpc(Q) имеет преимущества перед WP(Q), однако оно не замкнуто в метрике WP(Q) и само по себе не является полным пространством, но для широкого класса областей (с липшициевой границей, см. ниже) при 1<р<оо пространство Wpc(Q) плотно в ^(Ω),τ. е. для таких областей пространство WP(Q), кроме полноты, приобретает новое свойство, заключающееся в | том, что каждая принадлежащая к нему функция может быть как угодно хорошо приближена в метрике Wlp(Q) функциями из Wlpc{Q). \ Выражение (1) для нормы функции /ξ Wlp(Q) удобно I заменить на следующее выражение: ιι/ι<(0, = (5ΩΣ|ΛΙ</ι/(Λ)(*)ΐ'ώ)1/ρ(1</'<»)· (1') : Норма (Г) эквивалентна норме (1) (т. е. <αΙ|/||<:||/|Γ< ί <с2||/||, где с1, с2>0 не зависят от /). При р = 2 норма (Г) гильбертова, и это широко используется в приложениях. Граница Г ограниченной области Ω наз. липши- ц е в о й, если, какова бы ни была точка х°£Г, найдется прямоугольная система координат |=(ix,. . . . . ., ξ„) с началом в этой точке и прямоугольник Δ = {ξ:|ξ| <б, / = 1, ..., и-1, |ξ„|<δ} I такой, что пересечение Г Δ описывается функцией 6п=*(6'), 6' = <6ι Ε«-ι) е Δ' = {6':| Бу Ι <δ, 7 = 1,..., n-1}, | удовлетворяющей на Δ' (проекции Δ на плоскость S«=0) условию Липшица | Ι Ψ (6ί) —-Φ (6ί) К АГ | ξί — 6ί Ι, ξι, gig Δ', Ι где константа М не зависит от указанных точек ξί, ξ2 и | ξ |2 = 2j ·=1ξ/· Гладкие и многие кусочно гладкие границы охватываются понятием липшицевой границы. Для области с липшицевой границей норма (1) эквивалентна следующей: Ш*>)=1/^,0,+11/С>>. I где полунорма I «/ύ«=ΣΙ4|=ιι/,*,ι^(β). Можно рассматривать более общие анизотропные пространства (классы) ^(Ω), где I— (11ч. . ., 1п) — положительный вектор (см. Вложения теоремы). Для каждого такого вектора I эффективно и в известной мере исчерпывающе определяется класс областей *Ш^\ | обладающих тем свойством, что если Qczum^\ то любую . функцию f£Wl (Ω) можно продолжить на (R" с сохра- I нением класса. Точнее, можно определить на Rn функцию / (х) со свойствами | J{x) = f(x), xGQ,\\7\\ ι <*c\\f\\ j где с не зависит от / (см. [3]). Благодаря этому свойству неравенства типа теорем вложения для функций f£Wlp(Rn) автоматически переносятся на функции f£Wlp(Q), Ωζ%5\(ί). Для векторов вида I— (Zx,. . ., ln) области Ω ^ЗЛ(г> имеют липшицевы границы. Для них Wr (Ω)= Wp (Ω). Исследование пространств (классов) Wlp (Ω) (Ω £9П^>) ведется на основе специальных интегральных представлений функций, принадлежащих этим классам. Первое такое представление получено (см. [1J, [2]) для изотропного пространства WP(Q) области Ω, звездной относительно нек-рого шара. Дальнейшее развитие этого метода см., напр., в [3]. Классы Wp и Wp получили обобщение на случай дробных чисел или векторов 1= (1и. . ., 1п) с дробными компонентами I,·. j ι Пространство WP(Q) рассматривают и для отрицательных целых I. Элементами его являются, вообще говоря, обобщенные функции /, т. е. линейные функционалы (/, φ) над финитными в Ω бесконечно дифференцируемыми функциями φ. По определению, обобщенная функция / принадлежит классу Wpl (Ω) при натуральном Z=l, 2, 3,. . ., если конечна верхняя грань: l|/ll^-'(Q) = SUP(/'(,>)' распространенная на указанные функции φ с нормой в метрике Wlq(Q), не превышающей единицу (1/р+ -\-i/q=i). Можно еще сказать, что функции f£W~p(Q), Z=l, 2,. . ., образуют пространство, сопряженное к банахову пространству Wq(Q). Лит.: [1] С о б о л е в С. Л., «Матем. сб.», 1938, т. 4, с. 471 — 97; [2] е г о же, Некоторые применения функционального анализа в математической физике, [2 изд.], Новосиб., 1962; [3] Бесов О. В., И л ь и н В. П., Никольский С. М., Интегральные представления функций и теоремы вложения, М., 1974; [4] Никольский С. М., Приближение функций многих переменных и теоремы вложения, М., 1969. С. М. Никольский. СОБСТВЕННАЯ ФУНКЦИЯ — собственный вектор оператора, действующего в функциональном пространстве. В. С. Шульман. СОБСТВЕННОЕ ЗНАЧЕНИЕ оператора (преобразования) А векторного пространства L над полем А — элемент λ£Α такой, что существует ненулевой вектор x£L, удовлетворяющий условию Αχ = λχ. Вектор χ в этом равенстве наз. собственным вектором, оператора А, принадлежащим С. з. λ. В случае, когда оператор А линеен, С. з.— это такой элемент λ ζ А, что оператор А — λΐ (где I — тождественный оператор) не инъективен. Если пространство L конечномерно, то С. з. совпадают с корнями характеристического многочлена det||i4— λΕ\\ (из поля А), где А — матрица линейного преобразования А в нек-ром базисе, а Е — единичная матрица. Кратность С. з. как корня этого многочлена наз. алгебраической кратностью. Для любого линейного преобразования конечномерного пространства над алгебраически замкнутым полем А множество С. з. непусто. Оба условия — конечномерность и алгебраич. замкнутость — существенны. Напр., поворот евклидовой плоскости (A=R) на любой угол, не кратный π, не имеет С. з. С другой стороны, для оператора в гильбертовом пространстве, сопряженного сдвигу, каждое число из открытого единичного круга — С. з. Совокупность всех С. з. линейного преобразования конечномерного пространства наз. спектром линейного преобразования. Линейное преобразование д-мерного пространства диагонализи- руемо (т. е. существует базис, в котором матрица преобразования диагональна) тогда и только тогда, когда алгебраическая кратность каждого С. з. равна его геометрической кратности — размерности собственного подпространства (см. Собственный вектор), соответствующего данному С. з. В частности, для диагонализируемости линейного преобразования достаточно, чтобы оно имело η различных С. з.
59 Собственное значение квадратной матрицы А над полем к (или характеристический корень) — корень ее характеристического многочлена. СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ Тогда 10: 60 Лит. см. при статьях Линейное преобразование, Матрица. Т. С. Пиголкина, В. С. Шульман. СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ; численные методы нахождения — методы вычисления собственных значений и соответствующих собственных функций дифференциальных операторов. Колебания упругих ограниченных тел описываются уравнением д2Ф Т (1) где £φ — нек-рое дифференциальное выражение. Если решение уравнения (1) искать в виде φ=Γ(ί)Μ (χ), то относительно функции и получается уравнение L(u) + Xu = 0 (2) внутри ограниченной области при нек-рых однородных условиях на ее границе. Значения параметра λ, при к-рых существуют отличные от тождественного нуля решения уравнения (2), удовлетворяющие однородным краевым условиям, наз. собственными значениями (числами), а их соответствующие решения — собственными функциями. Возникающая при этом дифференциальная задача на собственные значения состоит в нахождении собственных значений λ и соответствующих им собственных функций. Численное решение дифференциальной задачи на собственные значения проводится в три этапа: 1) сведение задачи к более простой, напр. к алгебраической (дискретной); 2) выяснение точности дискретной задачи; 3) вычисление собственных значений дискретной задачи (см. Линейная алгебра; численные методы). Сведение к дискретной задаче. Сведение задачи (2) к ее дискретной модели производится в основном сеток методом и проекционными методами. При этом естественно требовать, чтобы основные свойства исходной задачи сохранялись в ее дискретном аналоге. В частности, должна сохраняться самосопряженность соответствующих дискретных операторов в пространстве функций дискретного аргумента. Одним из методов такого сведения является и н τ е- г ρ о-и нтерполяционный метод. Напр., пусть поставлена задача *(-L·^\+λΐί=0> ο<χ<ι, (3) dx ур (х) dx J ' ' ^ ^ ' v ; и(0) = 0, и(1) = 0. (4) Эта задача возникает, напр., при изучении поперечных колебаний неоднородной струны и продольных колебаний неоднородного стержня. На отрезке [0, 1] вводится разностная сетка ω с узлами xi=ih, t=0,l,. . ., TV, h=i/N. Каждому узлу xi, i=l,. . ., TV—1, ставится в соответствие элементарная область Si{xi—h/2^.x<ixi-jrh/2}. Интегрирование по областям Si уравнения (3) приводит к выражению Пусть л λτ]χΓϋ/2Βώ» ! _fj_du\ ί "7±1/2 —\р dxJx=xi±h/2' ) и = const — U{, χι — /г/2 <; χ ^ χ ι -f- h /2, м; = const = «;/_!/2, Xi^i^x^xi. (5) u.— Uf Λ ι Γ χ- i-i/. =-ΤΕΤ1· α'' = Τ3Λ·;_/(*>ώ· (β) При подстановке (6) в (5) получается уравнение W/.1-, ^μλ4, 1 = 1, 2 ЛГ —i. где ν — искомая сеточная функция. Краевые условия 1>0=0, νχ=0 приводят к алгебраич. задаче на собственные значения Αν = λ*υ, (7) где А — трехдиагональная симметрич. матрица порядка η=Ν—1 (см. [10]). Варна ционн о-р азностный метод сведения к дискретной задаче используется, когда задача на собственные значения может быть сформулирована как вариационная. Напр., собственные значения задачи (3), (4) являются стационарными значениями функционала £М D[u]=[l J-fpYdx; Н[и]=Ги* Η [и]' L J Jo P(x) \dxj JO ιζ dx. При замене интегралов квадратурными суммами, а производных — разностными отношениями, дискретный аналог функционала имеет вид Dh [у] Hh [v] ' Db\v] = h\ где a-L — разностный аналог коэффициента ρ (χ), к-рый может быть вычислен по формуле (6). Дискретный аналог задачи (3), (4) получается из необходимого условия экстремума ^-(^Μ-λ^Μ)=0, i = l, 2, .., TV —1. Дифференцирование приводит снова к задаче (7) (см. [9]). Проекционн о-р азностный метод сведения к дискретной задаче состоит в следующем. Выбирается линейно независимая координатная система функций α,·, έ=1, 2,. . ., п, и линейно независимая проекционная система функций β7·, / = 1, 2,. . ., п. Приближенные собственные функции ищутся в виде Коэффициенты разложения г;,· и приближенные собственные значения определяются из условия {Lu + lu, Ру)=0, / = 1, 2, (8) где ( , ) — скалярное произведение в гильбертовом пространстве. [При совпадении координатной и проекционной систем говорят о методе Бубнова — Галеркина. Если, кроме того, оператор дифференциальной задачи самосопряженный, то метод наз. методом Рэлея — Ритца (см. [4]). ] В частности, для задачи (3), (4), если все ai—$i удовлетворяют (4), условие (8) принимает вид Ση Г1 / ι da.· da ,· \ / = 1, (9) Чтобы упростить получение алгебраич. задачи, систему функций а/ выбирают почти ортогональной.
61 СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ 62 Взяв в качестве координатной и проекционной систем функции вида xi= щ И = ih из (9) _ . Г 0 X~Xi~l h χί + ι~ χ h { о получают г |-°ι-ι 0 ^x^Xi-i, Xi-l^X^Xi, χ ι ^ χ ^ χ [ +1, , χι +1 ^ χ ^ 1, ΡΙ + 1-ΡΙ σ,./ι где -λΛ[(ρί;)/.1 + (ρ·ι;)ί + (ρι;)ί + 1]=0> Ρ£= \ ί + 1 °№ + ι <&c, ΡΪ = ί*'41 α? <&· Таким образом, вместе с краевыми условиями получается обобщенная задача на собственные значения: Здесь А и D — трехдиагональные симметрич. матрицы порядка /? = А/ —1. Перечисленными методами получаются дискретные модели в случае и др. уравнений. Напр., для стержня: d2 /, d*u\ doc2 \ dx*)' - Xru; для мембраны: ax *.B)+si».sH^=0i dy dy J для пластины: a2 /Ί dHi . . dzu\ . 0 a2 /. e2U \ , + a*/2 , dzu , a2w *21 aT2 + Ла« "аТ2 = Kru. Собственные векторы, соответствующие λ/г, удовлетворяют однородной системе алгебраич. уравнение: (A-XkE)vk = 0. Задача нахождения всех собственных значений и собственных векторов матрицы А наз. полной проблемой собственных значений. Задача нахождения нескольких собственных значений матрицы А наз. частичной проблемой собственных значений. В случае алгебраич. систем, соответствующих рассматриваемой задаче, наиболее часто возникает частичная проблема собственных значений. Применение традиционных методов ее решения требует весьма значительного объема вычислений ввиду плохой разделенности собственных значений матрицы А . В этом случае наиболее эффективны модифицированные градиентные методы с использованием спектрально эквивалентных операторов (см. [16]) и многосеточные методы (см. [17]). Лит.: [1] Бублик Б. Н., Численное решение задач динамики пластин и оболочек, К., 1969; [2] Воеводин В. В., Численные методы алгебры. Теория и алгорифмы, М., 1966; [3] Гулд С, Вариационные методы в задачах о собственных значениях, пер. с англ., М., 1970; [4] К о л л а т ц Л., Задачи на собственные значения, пер. с нем., М., 1968; [5] Приказчиков В. Г., «Ж. вычисл. матем. и матем. физ.», 1965, т. 5, № 4, с. 648—57; [6] е г о же, там же, 1969, т. 9, № 2, с. 315— 336; [7] С а м а р с к и й Α. Α., Введение в теорию разностных схем, М., 1971; [8] С а м о к и ш Б. Α., «Изв. высш. учебн. заведений. Математика», 1958, №5(6), с. 105—21; [9] С а у л ь- е β В. К., «Вычисл. математика», 1957, №1, с. 87—115; [10] Тихонов А. Н., Самарский Α. Α., «Ж. вычисл. матем. и матем. физ.», 1961, т. 1, № 5, с. 784—805; [1J] У и л к и н- с о н Д ж., Алгебраическая проблема собственных значении, пер. с англ.. М., 1970; [12] Фаддеев Д. К., Фаддее- в а В. Н., Вычислительные методы линейной алгебры, 2 изд., М.— Л., 1963; [13] X а о Шоу, «Ж. вычисл. матем. и матем. физ.», 1963, т. 3, № 6, с. 1014—31; [14] С τ ρ е и г Г., Фикс Д ж., Теория метода конечных элементов, пер. с англ., М., 1977; [15] С ь я ρ л е Ф., Метод конечных элементов для эллиптических задач, пер. с англ., М., 1980; [16] Дьяконов Е. Г., Орехов М. Ю., «Матем. заметки», 1980, т. 27, № 5, с. 795— 812; [17] HackbuschW., «SIAM. J. Numer. Analysis», 1979, v. 16, № 2, p. 201 — 15. В. Г. Приказчиков. СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ, численные методы нахождения — методы вычисления полного спектра интегрального оператора или его части (чаще всего ставится задача отыскания одного — двух минимальных или максимальных по модулю собственных значений). Сопутствующей задачей часто бывает задача приближенного численного нахождения собственных или, более общо, корневых функций данного интегрального оператора, соответствующих искомым собственным значениям. Наибольшее значение имеет задача нахождения собственных значений (и функций) линейного интегрального оператора Фредгольма. Численные методы нахождения собственных значений интегральных операторов Фредгольма. Задача о собственных значениях и собственных функциях интегрального оператора Фредгольма заключается в нахождении таких комплексных чисел λ, для к-рых существует нетривиальное (в данном функциональном классе) решение интегрального уравнения λ^4φ = λ \ К(х, s) φ (s) ds = y (x). (1) В уравнении (1) К {х, s) — функция (или матрица- функция) двух групп переменных χ и s такая, что интегральный оператор с ядром К — фредгольмов в рассматриваемом функциональном классе; D — область в евклидовом пространстве R.rn. Функциональным классом может быть пространство С {D) непрерывных функций на D, или L2(D) — квадратично интегрируемых функций на D, или другие функциональные пространства. Основным приближенным способом решения задачи Ета собственные значения (1) является следующий. Выбирается нек-рая аппроксимация интегрального оператора в правой части (1) (см. Фредгольма уравнение; численные методы), напр., интеграл заменяется квадратурной формулой: \DK(X, 8)у(8)а8*%"=1а^К(Х, 8i)<p(8i)=A<p, (2) где si — узлы квадратурной формулы, а\ } —- ее веса (см. [3]-[5]). Вместо задачи (1) рассматривается задача на нахождение собственных значений и соответствующих корневых многообразий нек-рой матрицы, естественным образом связанной с аппроксимацией (2). Именно, λΣ?=ια\Ν}Κ18/' *'■)$(«/)=φ(*/)· /=и, ...,tf. (3) Для решения задачи (3) можно воспользоваться любыми методами нахождения собственных значений и векторов (более общо — корневых многообразий), разработанных в линейной алгебре (см. Линейная алгебра; численные методы). Найденные собственные значения и векторы алгебраич. задачи (3) будут близки к нек-рым собственным значениям и элементам основной задачи (1), если в определенном смысле близки операторы А и А. Вместо (2) можно использовать и иные аппроксимации интегрального оператора. Основная задача (1) при этом редуцируется к алгебраич. задаче, аналогичной задаче (3). Исследование близости решений задач (1) и (3) проводится методами функционального анализа в рамках общей теории приближенных методов.
63 СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ 64 При этом задача на собственные значения (1) интерпретируется как задача нахождения собственных значений нек-рого вполне непрерывного оператора А, действующего в банаховом пространстве Ф: λΑφ = φ. (4) Задача (3) интерпретируется как задача на собственные значения оператора А , близкого к А , но действующего, вообще говоря, в другом пространстве Φ (связанном с ф): λ Л φ —φ. (5) В общей теории приближенных методов доказываются различные теоремы о близости решений задач (4) и (5). В качестве примера подобных утверждений можно привести следующее. Пусть Ап — последовательность операторов действующих в Φ и lim \\Лп~4 || = 0. Тогда υ„σ(Λη)^σ(/1), где σ(·) — спектр соответствующих операторов. В этом случае каждое Φ совпадает с Ф. Большинство общих оценок близости собственных значений и элементов приближенной задачи (5) к собственным значениям (элементам) в задаче (4) не являются эффективными: эти оценки содержат постоянные, значения к-рых обычно не известны. Для контроля точности в таком случае можно использовать последовательность приближенных собственных значений (элементов), приближающуюся к искомому собственному значению (элементу) в (1) [или (4)]. Такую последовательность целесообразно строить, не используя непосредственно последовательность задач типа (5J с последовательно уточняющимся оператором А, т. к. этот путь приводит к весьма громоздким вычислениям. Вместо этого можно применять различные алгоритмы уточнения (напр., основанные на теории возмущений). Обобщенные задачи о собственных значениях. В приложениях исследуются и более общие, чем (4) задачи о нахождении критич. параметров типа собственных значений. В абстрактной форме подобные задачи могут быть сформулированы следующим образом. Требуется найти, при каких значениях параметра λ уравнение Л (λ, φ)=φ (6) имеет более одного решения относительно φ (А — некоторый нелинейный интегральный оператор в банаховом пространстве Ф, зависящий от комплексного параметра λ). В задаче (6) могут быть дополнительные ограничения на ||φ|| и на λ (напр., ищутся только такие λ, к-рые удовлетворяют условию |λ|<#, R задано и ||φ||<:!?). С задачей (6) тесно связаны различные задачи о точках бифуркации в нелинейных интегральных уравнениях. Представляет интерес задача (6), в к-рой оператор Α (λ, φ) линеен относительно φ, но параметр λ входит не мультипликативно. Общая задача о точках бифуркации может быть редуцирована к такой форме, [{роме того, задача об отыскании собственных значений линейного оператора (1), лежащих в круге |λ|<#, R — фиксирована, сводится к более общей задаче (6), в к-рой однако линейный по φ оператор Л (λ, φ) имеет конечномерную область значений. Действительно, пусть А — интегральный оператор с вырожденным ядром, по норме близкий к А, причем ||Л—Л||<6. Соотношение (1), определяющее собственные значения, может быть записано в виде: [Ε + λ(Α — Α)]φ=λΑφ. Если | λ |<1/δ, то оператор Ε-{-λ(Α — А) обратим; собственные значения λ, удовлетворяющие неравенству |λ|<1/δ могут быть найдены из соотношения Ζ = λΑ(Ε + λ{Α—Α))-ιΖ, (7) где Ζ=[Ε-\-λ (А— А)]ц). Уравнение (7) эквивалентно (относительно Ζ) нек-рой системе линейных алгебраич. уравнений. Приравнивание к нулю ее определителя дает уравнение, корни к-рого являются собственными значениями интегрального оператора (1). Это рассуждение справедливо вообще для произвольного вполне непрерывного оператора А в банаховом пространстве Ф, если этот оператор допускает аппроксимацию по норме операторами с конечномерной областью значений. Конструкция (7) может быть использована для уточнения приближенно найденного собственного значения (и собственной функции). Общая задача (6) может быть приближенно (аппроксимацией оператора А) сведена к конечномерной задаче типа (6). В случае более сложных задач рассматриваемого типа для отыскания собственных значений используется метод Монте-Карло (см. [7]). Лит.: [1] К а н τ ο ρ о в и ч Л. В., Крылов В. И., Приближенные методы высшего анализа, 5 изд., М.— Л., 1962; [2] Красносельский М. А. [и др.], Приближенное решение операторных уравнений, М., 1969; [3] Б е ρ е з и н И. С, Жидков Н. П., Методы вычислений, 2 изд., т. 2, М., 1962; [4] Крылов В. И., Бобков В. В., Μ о н а с τ ы р- н ы π П. И., Вычислительные методы, т. 2, М., 1977; [5J Мысовских И. П., «Методы вычислений», 1973, в. 8, с. 3—10; [6] Μ а р ч у к Г. И., Лебедев В. И., Численные методы в теории переноса нейтронов, 2 изд., М., 1981; [7] В л а- димиров В. С, Соболь И. М., «Вычислительная математика», 1958, № 3, с. 130—37. А. Б. Бакушинский. СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ, свободные колебания,— колебания, совершающиеся в ди- намич. системе при отсутствии внешнего воздействия при сообщении ей в начальный момент внешнего возмущения, выводящего систему из состояния равновесия. Характер С. к. в основном определяется внутренними силами, обусловленными физич. строением системы. Энергия, необходимая для движения, поступает в систему от внешнего воздействия в начальный момент движения. Примером С. к. могут служить малые колебания консервативной системы с η степенями свободы около устойчивого состояния равновесия. Уравнения движения имеют вид 2"-i (asm+cSi4i)=o> s==1> .--.л, (1) где q-L — обобщенные координаты, α51·, csi — постоянные коэффициенты. Общее решение системы (1) состоит из суммы η гармоыич. колебаний: яг УП.= 1 А;Л{ (И) sin (kjt + Vj), i--lt где A ,·, β7— венные постоянные интегрирования. kj — с о б с τι а с τ ο τ ы Си —«иА:2 ■ корни уравнения частот cln а\пк" = 0 (2) cnl ап1* ■·· спп аппк~ (предполагается, что нет нулевых и кратных частот), Δί (kj) — минор, соответствующин i-му столбцу и последней строке определителя (2). Величины ЛуА^/су), kjt-\- + β/, β/ — соответственно амплитуда, фаза и начальная фаза /-гармоники. Из рассмотренного примера следует: гармонич. колебания одной и той же частоты для всех координат происходят в фазе или противофазе; распределение амплитуд колебаний данной собственной частоты по координатам определяется физич. устройством системы. Лит.: [1] Б а б а к о в И. М., Теория колебания, 2 изд., М., 1965; [2] Бутенин Н. В., Теория колебаний, М., 1963; [3] Стрелков С. П., Введение в теорию колебаний, 2 изд.,
65 Μ., 1964; [4] А н д ρ о н о в Α. Α., В и τ τ Α. Α., Хай- к и и С. Э., Теория колебаний, 2 изд., М., 1959. _^ Η. В. Бутенин. СОБСТВЕННЫЙ ВЕКТОР оператора А, дей ствующего в векторном пространстве L над полем к — ненулевой вектор χζΕ, к-рый переводится данным оператором в пропорциональный ему вектор, т. е. Αχ = λχ, λ ξ к. Коэффициент λ ζ к наз. собственным значением оператора А. Если оператор А линеен, то множество L\ всех С. в., отвечающих собственному значению λ вместе с нулевым вектором, является линейным подпространством. Оно наз. собственным подпространством оператора А, отвечающим собственному значению λ, и совпадает с ядром Кег(А—λΐ) оператора Α—λΐ (т. е. с множеством векторов, переводимых этим оператором в 0). Если L — топологич. векторное пространство и А — непрерывный оператор, то L\ замкнуто для любого λ. Вообще говоря, собственное подпространство не обязано быть конечномерным, но если А вполне непрерывен (компактен), то L% конечномерно для любого ненулевого λ. В сущности, наличие С. в. у операторов в бесконечномерных пространствах — явление довольно редкое, хотя важные для приложений операторы специальных классов (интегральные, дифференциальные и т. п.) часто обладают обширными наборами С. в. Обобщением понятий С. в. и собственного подпространства являются понятия корневого вектора и корневого подпространства. У нормальных (в частности, самосопряженных или унитарных) операторов все корневые векторы являются собственными, и собственные подпространства, отвечающие различным С. в., взаимно ортогональны. Лит.: [1] И ос и да К., Функциональный анализ, пер. с англ., М., 1967; [2| Л ю с τ е ρ н и к Л. Α., Соболев В. И., Элементы функционального анализа, 2 изд., М., 19(55; [3J Канторович Л. В., А к и л о в Г. П., Функциональный анализ, 2 изд., М., 1977. Г. С. Пиголкина, В. С. Шульмаи. СОБСТВЕННЫЙ МОРФИЗМ — морфизм схем, отделимый, универсально замкнутый и имеющий конечный тип. Морфизм схем / : Х-> Υ наз. замкнутым, если для любого замкнутого ZczX множество f(Z) замкнуто в У, и универсально замкнутым, если для любой замены базы У -»- Υ замкнут морфизм ΧΧγΥ' -> Υ'. Свойство быть С. м. сохраняется при композиции морфизмов, замене базы и для декартова произведения морфизмов. С. м. близки к проективным морфизмам: любой проективный морфизм собственный, собственный и квазипроективный морфизм проективен. Любой С. м. доминируется проективным (лемма Ч ж о у). См. также Полное алгебраическое многообразие, Проективная схема. С. м. обладают рядом хороших когомологич. свойств. 1) Если морфизм / : X -+- Υ собственный и F- когерентный пучок Οχ-модулей, то для любого q^O пучки О^-модулей Rqf* (F) когерентны (теорема конечности). Аналогичный факт имеет место и для этальных когомологий. В частности, если X — полная схема над полем/с, то пространства когомологий HQ(X, F) конечномерны. 2) Для любой точки y£Y пополнение 0Yt у-модуля Rqf* (F)y совпадает с lim #«(/-! (у), F/Jn + ^F), η где / — идеал подсхемы f~l (у) в X ( τ е о ρ е м а о сравнении). 3) Если X — собственная схема над полным локальным кольцом А, то категории когерентных пучков на X и на ее формальном пополнении X эквивалентны (теорема алгебраизуемо- с τ и). Существуют аналитич. аналоги первого и третье- ЗННАЯ β6 го свойств. Напр. (см. [3]): для полной С-схемы X любой аналитический когерентный пучок на X (С) алгебраизуем и Н«(Х, F) = Hi(X(C), FaH). 4) Пусть / : X -> Υ — С. м., F — пучок конечных абелевых групп в этальной топологии Χ, ξ — геомет- рич. точка схемы У; тогда слой пучка Rqf% (F) в точке | изоморфен Я^(/-1 (ξ), Л/.ΐξ) (теорема о замене базы, см. [2]). Лит.: [1] GrothendieckA., Dieudonne J., Elements de geometry algebrique, t. 2—3, P., 1961—63; [2] The- orie des topos et cohomologie etale des schemas, t. 1—3, В.— [а. o.], 1972—73; [3] Revetements etales et groupe fundamental, B. - La. o.], 1971; [4] X a ρ τ с χ ο ρ н Р., Алгебраическая геометрия, пер. с англ., М., 1981. В. И. Данилов. СОВЕРШЕННАЯ ГРУППА — группа G такая, что ее центр есть единичная подгруппа (т. е. G — т. н. группа без центра) и любой ее автоморфизм является внутренним (см. Внутренний автоморфизм). Группа автоморфизмов С. г. G изоморфна самой группе G (с чем и связан термин «совершенная»). Примерами С. г. являются симметрические группы 5„при пф2,Ь. Если нек-рая группа Τ содержит нормальный делитель, являющийся С. г., то Τ разлагается в прямое произведение нек-рых своих подгрупп Т=ВХК такое, что К — централизатор В в Т. Лит.: [1J К а р г а п о л о в М. И., Мерзляков Ю. И., Основы теории групп, 3 изд., М., 1982; [2] Холл М., Теория групп, пер. с англ., М., 1962. Я. Я. Вильяме. СОВЕРШЕННАЯ МЕРА — понятие, введенное Б. В. Гнеденко и А. Н. Колмогоровым в [1] с целью «достижения полной гармонии между абстрактной теорией меры и теорией меры в метрических пространствах». Дальнейшее развитие теории обнаружило другие аспекты ценности этого понятия: с одной стороны, класс С. м. весьма широк, с другой — в рамках С. м. не возможен ряд неприятных технич. осложнений, возможных в общей теории меры. Конечная мера μ на σ-алгебре S подмножеств множества X наз. совершенной, если для любой действительной измеримой функции / на X и любого множества Еа^- такого, что /-1 (E)aS μ (/-ι (£)) = inf {μ (Г1 (G)):G Z3 Ε, G£®}, где Од — класс открытых подмножеств (R. Для совершенности μ достаточно, чтобы для любой действительной измеримой функции / на X существовало борелев- ское множество Ва^ такое, что μ (/-1 (Ζ?))=μ(Χ), и необходимо, чтобы для любой действительной измеримой функции /на X и любого множества Еа^-, для к-рого f~1(E)£S, существовало бы такое борелевское множество ВаЕ, что μ(ί-ΐ(Ε)) = μ(ί-1(Β)). Всякая дискретная мера совершенна. Мера, заданная на σ-алгебре подмножеств сепарабельного метрич. пространства, содержащей все открытые множества, совершенна тогда и только тогда, когда мера любого измеримого множества есть верхняя грань мер лежащих в нем компактов. Ограничение С. м. μ на любую σ-подалгебру σ-алгебры S совершенно. Мера, индуцированная С. м. μ на всяком подмножестве Xi£S с μ (Zi)>0, совершенна. Образ С. м. μ при измеримом отображении (X, S) в другое измеримое пространство совершенен. Мера совершенна тогда и только тогда, когда совершенно ее пополнение. Для того чтобы всякая мера на любой σ- подалгебре σ-алгебры S подмножеств множества X была совершенна, необходимо и достаточно, чтобы для любой действительной измеримой функции / множество f(X) было абсолютно измеримым (г. е. принадлежало области определения пополнения всякой борелевской меры на R). Если ХаЖ. и S есть σ-алгебра борелевских подмножеств X, то всякая мера на S совершенна тогда и только тогда, когда X абсолютно измеримо. COBEPII А 3 Математическая энц., т. 5
67 cobepi Всякое пространство (Χ, S, μ) с С. м. такое, что S имеет счетное число образующих {Si}, отделяющих точки X (т. е. для любых х, г/£Х, хфу найдется i-x ζ Si, у £ S{ или χ $ Sit у ζ Si), почти изоморфно нек-рому пространству (L, J£, λ), образованному мерой Лебега на конечном отрезке и не более, чем счетной последовательностью точек положительной массы (существуют N£S с μ (iV) = 0 и взаимнооднозначное отображение φ Χ\Ν на L такие, что φ и φ-1 измеримы и λ = μφ_1). Пусть / — произвольное множество индексов и каждому ίζΐ соответствует пространство с С. м. (Х{, Si, μ/); X = UieIXi, и пусть ^ — алгебра, порожденная классом множеств вида {х£Х : xt£A ζ5/}. Если на Л задана конечно аддитивная мера μ' такая, что μ' ({χζ Χ : χ/ζ Л })=μ/(4 ) для любых ί£Ι и A ££\·, то: 1) μ' счетно аддитивна на <//, 2) продолжение μ меры μ' на σ-ал- гебру S, порожденную алгеброй Л, совершенно. Пусть (X, S, Р) — пространство с совершенной вероятностной мерой и Sx, S2 — две σ-подалгебры σ- алгебры S, причем Sx имеет счетное число образующих. Тогда существует регулярная условная вероятность на 6Ί при условии S2, т. е. существует функция ρ (·, ·) на ΧΧ5Ί такая, что: 1) при фиксированном χ ρ (χ, ·) есть вероятностная мера на 6Ί; 2) при фиксированном Ε р(-, Е) измерима относительно S2\ 3) JV Ρ (я» Е)Р (dx) = = Ρ (ΕПF) для всех E£S1 и F£S2. Более того, функцию ρ (·, ·) можно выбрать так, что меры ρ (χ, ·) будут совершенными. Пусть (X, S), (У, £Г) — два измеримых пространства и <?(·, ·) — переходная вероятность на XX£Г, т. е. q(·, E) измерима относительно S и q(x, ·) есть вероятностная мера на «^Гдля любых χζΧ, Εζ<£Γ. Если q(x, ·) дискретны и Ρ — совершенная вероятностная мера на S, то мера fg(z, ·)Ρ (dx) совершенна. С. м. тесно связаны с компактными мерами. Класс подмножеств &С наз. компактным, если К-^Ж, i=l, 2,. . ., Π Τ=ιΚίΦφ влечет f|?=i^i=0 для нек- рого п. Конечная мера μ на (X, S) наз. компактной, если существует компактный класс Ж такой, что для любых ε>0 и Εξ-S можно выбрать К ζ Ж и Et^S так, чтобы ΕχΟ.Κα Ε и μ(Ε\Ε1)<&. Всякая компактная мера совершенна. Для того чтобы мера была совершенной, необходимо и достаточно, чтобы ее ограничение на любую σ-подалгебру со счетным числом образующих было компактным. Лит.: [1] Гнеденко Б. В., Колмогоров А. Н., Предельные распределения для сумм независимых случайных величин, М.—Л., 1949; [2] Marczewski Ε., «Fundam. math.», 1953, v. 40, p. 113—24; [3] Ryll-Nardzews- ki С, там же, р. 125—30; [4] Сазонов В. В., «Изв. АН СССР. Сер. матем.», 1962, т. 2U, с. 391 — 414; [5] R a m а с h а п- dran D., Perfect measures, pt J— Basic theory, pt 2—Special topics, Delhi, 1979 (ISI lecture notes, № 5, 7). В. В. Сазонов. СОВЕРШЕННАЯ НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА - совершенная дизъюнктивная или совершенная конъюнктивная нормальная форма (см. Булевых функций нормальные формы). СОВЕРШЕННО НОРМАЛЬНОЕ ПРОСТРАНСТВО — нормальное пространство, каждое замкнутое подмножество к-рого имеет тип Gq . СОВЕРШЕННОЕ БИКОМПАКТНОЕ РАСШИРЕНИЕ — расширение Υ вполне регулярного пространства X такое, что замыкание в У границы любого открытого множества UaX служит границей O(U), где О (U) — максимально открытое в У множество, для к-рого О (U)f)X = U. Эквивалентные требования: а) О (U\J V) — =0 ф){}0 {V) для любой пары непересекающихся открытых множеств U, V; б) если замкнутое множество F разбивает X на открытые множества U и V, то замы- ШНОЕ 68 кание F в У разбивает У на О (U) и О (V); в) ни в одной из своих точек Y\X не разбивает У локально. С. б. р. характеризуется также как монотонный образ Стоуна — Чеха бикомпактного расширения βΧ, причем βΧ в том и только в том случае является единственным С. б. р. X, когда Х=А[)М, где А —бикомпакт, а dim М=0. Локальная связность X влечет локальную связность любого совершенного расширения У с 1-й аксиомой счетности (а также расширений, предшествующих У). Среди всех С. б. р. X минимальное С. б. р. μΧ существует тогда и только тогда, когда у X имеется хотя бы одно расширение с пунктиформным наростом. Нарост в μΧ пунктиформен, причем μΧ является при этом максимальным среди всех расширений с пункти- формными наростами. Всякий гомеоморфизм X распространяется до гомеоморфизма μΧ, а всякое совершенное отображение X на X' продолжается до отображения μΧ на μΧ" (при условии, что μΧ' существует). М. И. Войцеховский. СОВЕРШЕННОЕ КОЛЬЦО левое — ассоциативное кольцо, каждый левый модуль над к-рым обладает проективным накрытием. Правое совершенное кольцо определяется аналогично. Левое С. к. может и не быть правым С. к. Эквивалентны следующие свойства кольца R: (1) R — левое С. к.; (2) каждое множество попарно ортогональных идемпотентов кольца R конечно и каждый ненулевой правый Л-модуль имеет ненулевой цоколь; (3) R удовлетворяет условию минимальности для главных правых идеалов; (4) R удовлетворяет условию минимальности для конечно порожденных правых идеалов; (5) каждый правый R -модуль удовлетворяет условию минимальности для конечно порожденных подмодулей; (6) радикал Джекобсона / кольца R исчезает справа (т. е. для любой последовательности αλ, α2,. . . элементов из / найдется такой номер п, что произведение аг. . . ап=0) и факторкольцо RIJ классически полупросто; (7) каждый плоский левый R -модуль проекти- вен; (8) R содержит такие идемпотенты ег,. . ., еп, что ]т,е/=1, е,еу=0 при ίφ] и eiReL — локальное кольцо для каждого i; (9) каждый левый Я-модуль удовлетворяет условию максимальности для циклич. подмодулей; (10) для каждого η каждый левый R-модуль удовлетворяет условию максимальности для ^-порожденных подмодулей; (11) каждый проективный левый Л-модуль допускает разложение, относительно к-рого дополняемы все прямые слагаемые (см. Крулля — Ремака — Шмидта теорема). Кольцо матриц над С. к. является С. к. Идемпотент- ные идеалы С. к. порождаются идемпотентами, центральными по модулю радикала. Групповое кольцо RG является С. к. тогда и только тогда, когда R — С. к., а группа G конечна. Кольцо всех эндоморфизмов абе- левой группы А оказывается С. к. в том и только в том случае, когда А разлагается впрямую сумму конечной группы и конечного числа экземпляров аддитивной группы рациональных чисел. Локальные С. к. характеризуются возможностью дополнения до базы каждой линейно независимой подсистемы любого свободного левого модуля. Эквивалентны также следующие свойства: (1) R — С. к. и все его факторкольца самоинъек- тивны; (2) все факторкольца кольца R квазифробениу- совы; (3) все факторкольца кольца R кообразующис; (4) R — однорядное кольцо. Лит.: [1] Каш Ф., Модули и кольца, пер. с нем.. М., 1981; [2] Φ е й с К., Алгебра: кольца, модули и категории, пер. с англ., т. 1—2, М., 1977—79; [3] Итоги науки и техники. Алгебра. Топология. Геометрия, т. 19, М., 1981, с. 31 —134 (см. также указанные там предыдущие обзоры по теории модулей). Л. А. Скорняков. СОВЕРШЕННОЕ МНОЖЕСТВО - множество F то- пологич. пространства X, являющееся замкнутым множеством и одновременно плотным в себе (т. е. не имею-
69 СОВЕРШЕННОЕ 70 щим изолированных точек). Другими словами, F совпадает со своим производным множеством. Примеры С. м.: Rn, С", канторово множество. М. И. Войцеховский. СОВЕРШЕННОЕ НЕПРИВОДИМОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ — совершенное отображение f пространства X на пространство У, являющееся неприводимым (т. е. Υ не является образом никакого замкнутого в X множества, ОТЛИЧНОГО ОТ X). М. И. Войцеховский. СОВЕРШЕННОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ — непрерывное замкнутое отображение топологич. пространств, при к-ром прообразы всех точек бикомпактны. С. о. во многом аналогичны непрерывным отображениям бикомпактов в хаусдорфовы пространства (каждое такое отображение совершенно), но сферой действия имеют класс всех топологич. пространств. В классе вполне регулярных пространств С. о. характеризуются существованием у них непрерывного продолжения на нек-рые бикомпактные расширения, при к-ром наросты расширений отображаются в наросты. С. о. сохраняет метризуемость, паракомпактность, вес, полноту по Чеху в сторону образа; другие инварианты (напр., характер пространства) оно преобразует правильным образом. Класс С. о. замкнут относительно операций произведения и композиции. Сужение С. о. на замкнутое подпространство является С. о. (не так обстоит дело для факторных и открытых отображений). Названные свойства Со. привели к тому, что класс этих отображений стал играть стержневую роль в классификации топологич. пространств. Прообразы метрич. пространств при С. о. охарактеризованы как параком- пактные перистые (р)-пространства. Класс паракомпакт- ных р-пространств замкнут уже в обе стороны относительно С. о. Важным свойством С. о. является возможность сузить каждое из них на нек-рое замкнутое подпространство, не уменьшая образа, так, чтобы получившееся отображение было неприводимым — не допускало дальнейшего сужения на замкнутое подпространство без уменьшения образа. Неприводимые С. о. являются отправной точкой построения теории абсолютов топологич. пространств. При неприводимом С. о. π-вес образа всегда равен π-весу отображаемого пространства и число Суслина образа равно числу Суслина отображаемого пространства. Если вполне регулярное ^-пространство X отображается на вполне регулярное Гг пространство Υ посредством С. о., то X гомеоморф- но замкнутому подпространству топологич. произведения пространства У на нек-рый бикомпакт. Диагональное произведение С. о. и непрерывного отображения всегда является С. о., в частности диагональное произведение Со. и уплотнения является гомеоморфизмом, и если топологическое пространство совершенно отображается и уплотняется на нек-рое (вообще говоря, другое) метрическое пространство, то оно само мет- риз у емо. Лит.: [1] Архангельский А. В., Пономарев В. И., Основы общей топологии в задачах и упражнениях, М., 1974; [2] Бурбаки Н., Общая топология. Основные структуры, пер. с франц., М., 1968. А. В. Архангельский. СОВЕРШЕННОЕ ПОЛЕ — поле к, любой многочлен над к-рым сепарабелен. Иначе говоря, любое алгебраич. расширение поля к — сепарабельное расширение. Все остальные поля наз. несовершенными. Все поля характеристики 0 совершенны. Поле к конечной характеристики ρ совершенно тогда и только тогда, когда к=кР, т. е. возведение в степень ρ является автоморфизмом поля к. Конечные поля и алгебраически замкнутые поля совершенны. Пример несовершенного поля — поле Fq(X) рациональных функций над полем Fq, где Fq — поле из q=pn элементов. С. п. к совпадает с полем инвариантов группы всех ^-автоморфизмов алгебраич. замыкания к поля к. Любое алгебраич. расширение С. п. снова совершенно. | Для произвольного поля к характеристики р>0 с алгебраич. замыканием к поле kp-°°=\jnkp~nc:k является наименьшим С. п., содержащим к. Оно наз. совершенным замыканием поля/с в к. Лит.: [1] Бурбаки Н., Алгебра. Многочлены и поля. Упорядоченные группы, пер. с франц., М., 1965; [2] 3 а р и с- скийО., Самюэль П., Коммутативная алгебра, пер. с англ., т. 1, М., 1963. Л. В. Кузьмин. СОВЕРШЕННОЕ ЧИСЛО — целое положительное число, обладающее свойством, что оно совпадает с суммой всех своих положительных делителей, отличных от самого этого числа. Таким образом, целое число η^ϊ является С. ч., если n==2jo< d<n, din ' С. ч. являются, напр., числа 6, 28, 496, 8128,33550336,... С. ч. тесно связаны с простыми Мерсенна числами, т. е. с простыми числами вида 2^—1. Еще Евклид установил, что число п = 2т~1(2т — 1) является совершенным, если 2т—1 — простое число. Л. Эйлер (L. Euler) показал, что этими числами исчерпываются все четные С. ч. До сих пор (1983) неизвестно, будет ли конечным или бесконечным множество четных G. ч., т. е. неизвестно, будет ли конечным или бесконечным множество простых чисел Мерсенна 2т—1. Неизвестно также, существуют ли нечетные С. ч. До 1983 найдено 27 четных С. ч. Первые 23 из них соответствуют следующим значениям т : 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4219, 4423, 9689, 9941, 11213. Список С. ч. с 12-го по 24-е указан в [2]. Четные С. ч. с 25-го по 27-е соответствуют следующим значениям т : 21701, 23209, 44497 (см. [3]). Показано (см. [4]), что нечетных С. ч. нет в интервале от 1 до 1050. I Лит.: [1] Dickson L. Ε., History of the theory of num- j bers, v. 1, Wash., 1919, repr., N.—Y., 1952; [2] N a n k а г Μ. L., ι «Ganita BharatT», 1979, v. 1,N 1—2, p. 7—8; [3] SI о w i η s k i D., «J. Recreational Math.», 1979, v. 11, p. 258—61; [4] Hagis P., «Math. Сотр.», 1973, v. 27, p. 951—53. С. А. Степанов. СОВМЕСТНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ — общий термин, относящийся к распределению нескольких случайных величин, заданных на одном и том же вероятностном пространстве. Пусть случайные величины Х\,. . ., Хп определены на вероятностном пространстве {Ω, Л, Ρ } и принимают значения в измеримых пространствах ($£, <i&k). Совместным распределением этих величин наз. функция Рх х (Ви. . ., Вп), определенная на множествах Btζ<31?. . ., Вп£<&п как рх>...Хп(в1> ···» *»> = Ρ{χι€*ι. ···. χηζ. Вп}. В связи с С. р. говорят о совместной функции распределения иосовместной плотности вероятности. Если Хх,. . ., Хп— обычные действительные случайные величины, то С. р. есть распределение случайного вектора (Χι,. . ., Хп) в пространстве IR" (см. Многомерное распределение). Если X (£), tζ Γ,— случайный процесс, то С. р. значений Χ (£α),. . ., X (tn) при tx, . . ., tn£ T наз. конечномерными распределениями случайного процесса X(t). Лит.: [1] Π ρ о χ о ρ о в Ю. В., Ρ о з а н о в Ю. Α., Теория вероятностей, 2 изд., М., 1973. А. В. Прохоров. СОВМЕСТНОСТЬ МЕТОДОВ СУММИРОВАНИЯ — свойство методов суммирования, состоящее в непротиворечивости результатов применения этих методов. Методы А и В совместны, если они не могут суммировать одну и ту же последовательность или ряд к различ- I ным пределам, в противном случае они наз. н е с о в- 3*
71 COBIL· местными методами суммирования. Точнее, пусть А и В — методы суммирования, напр. последовательностей, Л* и В* — поля суммируемости этих методов. Методы А и В совместны, если 1(х) = В(х) (*) для любого х£А*Г\В*, где А (х) и В~{х) — числа, к к-рым суммируется последовательность χ соответственно методами А и В. Напр., все Чезаро методы суммирования (С, к) при /с> — 1 совместны, все регулярные Вороного методы суммирования совместны. Если U — нек-рое множество последовательностей и А (х)—В (х) для любого х£А* f)B*f)U, то говорят, что методы А и В совместны на множестве U. Методы А и В вполне совместны (для действительных последовательностей), если равенство (*) справедливо и в том случае, когда в ноля суммируемости методов включены последовательности, суммируемые этими методами к +оо и — оо. Лит.: [1] Хард и Г., Расходящиеся ряды, пер. с англ., М., 1951; [2] Кук Р., Бесконечные матрицы и пространства последовательностей, пер. с англ., М., 1960. И. И. Волков. СОВПАДЕНИЕ, связь,— группа наблюдений в выборке, имеющих равные значения. Пусть независимые случайные величины Xl9. . ., Хп подчиняются одному и тому же абсолютно непрерывному вероятностному закону, плотность вероятности к-рого есть ρ (χ). В таком случае, с вероятностью 1 среди наблюдений Хъ Х2,. . ., Хп не будет равных, т.е. Х[Ф Xj если 1Ф), и, следовательно, каждый член Х(/} вариационного ряда ^(1) < %(2) < · · · < Χ(η)ι (*) построенного по выборке Хх,. . ., Хп, будет строго больше ему предшествующего Χ(ι·_ΐ). Однако на практике в силу ошибок округлений при вычислении случайных величин Хг, . . ., Хп могут появиться несколько групп наблюдений, в каждой из к-рых наблюдения равны между собой. Каждая такая группа совпавших наблюдений наз. совпадени- е м. Таким образом, в общем случае вместо (*) экспериментатор может наблюдать вариационный ряд *<«= ··· =ζΧ{τι) < Χ(τί+\)"=·"==Χ(τ1+τ2) <" S Υ __ γ • · · ^ Λ(τι + τ2+ . .. +Т£_!+ 1) ··· Λ(χ1 + χ2+. . .+τ/ι)' где все τ(^ 1, т^Ч-. . ,-{-xk=n, вследствие чего, если присутствуют С, т. е. если существуют ту^2, возникают трудности при определении вектора рангов, к-рый играет основную роль при построении ранговых статистик. Еще нет четких рекомендаций для определения рангов совпавших наблюдений. Наиболее распространены два подхода к решению этой задачи. Первый заключается в применении рандомизации. Согласно этому подходу в качестве рангов элементов X(xt + ...+τ/_1+\)=="·== X(xt + ... +xf) t образующих /-ю группу, можно взять любую перестановку чисел τι4-τ2+...+τ7·_1 + 1, τι + τ2+ ... +τ/-ι + 2, ... ···, τι + τ2+. ..+τ/ с вероятностью 1/ту!. Достоинство этого подхода заключается в его простоте, но при нек-рых альтернативах относительно закона распределения случайной величины Х{ на результатах статистич. выводов может сказаться примененная рандомизация. При втором подходе рекомендуется всем совпавшим наблюдениям Х{х1 + . . . 4 χ. _1+ 1) = · ' * = Х(х1+ . . . +ту), ЕНИЕ 72 образующим /-ю группу, приписать один и тот же т. н. средний ранг */ = τ1+··'+τ/-1 + —2~ · равный среднему арифметическому чисел τι +. . . ...+Ty-i + l, τι+...+τ/_1 + 2,. . ., τι+...+τ/. Естественно, что такая процедура тоже сказывается на свойствах ранговых статистик, что следует учитывать на практике. Например, при построении статистики W Вилкоксона критерия при наличии С. рекомендуется пользоваться именно средними рангами, при этом мате- матич. ожидание Ε И7 статистики W остается таким же, как и в случае отсутствия С, а дисперсия DW уменьшается за счет усреднения рангов и становится равной ψ _mn(m+n-l)(1 1 yfe τ ./Т2_1ч \ uvv — 12 у (т + п) [(m+n)2-l]2j/=i 'К / 1} ( 9 что следует учитывать при нормализации статистики W. Лит.: [1] Г а е к Я., Ш и д а к 3., Теория ранговых критериев, пер. с англ., М., 1971; [2] Б о л ь ш е в Л. Н., Смирновы. В., Таблицы математической статистики, 2 изд., М., 1968. М. С. Никулин. СОГЛАСИЯ КРИТЕРИЙ — статистический критерий, применяемый в задаче проверки согласия, суть к-рой заключается в следующем. Пусть Xl9 Х2,. . ., Хп — независимые случайные величины, подчиняющиеся одному и тому же вероятностному закону, функция распределения к-рого F (х) неизвестна. В таком случае задача статистич. проверки гипотезы Ц0, согласно к-рой F(x)~F0(x), где F0 (χ) — нек-рая заданная функция распределения, наз. задачей проверки согласия. Напр., если FQ (x) — непрерывная функция распределения, то в качестве С. к. для проверки Н0 можно воспользоваться Колмогорова критерием. См. также Непараметрическив методы статистики. М. С. Никулин. СОГЛАСОВАННЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ, вероятностные меры,— понятие теории вероятностей и теории меры. О С. р. для наиболее важного и часто встречающегося в приложениях случая произведения пространств см. в ст. Мера. Ниже дается более общая конструкция. Пусть / множество индексов с отношением предпорядка<, фильтрующееся вправо. И пусть имеется проективная система множеств: для каждого ΐζ/ задано множество X,- и для всякой пары индексов i</ имеется отображение я1у· множества Xj в Xf-, причем если i<:/<:/c, то 3Χί·/ε=πί7οπ7·Λ и лц для всякого ίζί есть тождественное отображение Х[ на X,·. Предполагается, что для всякого i£I задана σ-алгебра S{ подмножеств Х{ так, что если t</, то отображение nij(Xj, Sj) в (X,·, Si) измеримо. Пусть, наконец, для каждого ίζΐ задано распределение (или, более общо, мера) μ/ на £,·. Система распределений (мер) {μ^} наз. согласованной (или проективной системой распределений (мер)), если i</ влечет μ^μ^η1. При определенных дополнительных условиях на проективном пределе X = lim(Xi·, π^·) существует мера μ (проективный предел проективной системы {μί/}) такая, что если л^ — каноническая проекция X на X/, то μ^μπ"} для всех ίζΐ. Лит.: [1] Колмогоров А. Н., Основные понятия теории вероятностей, 2 изд., М., 1974; [2] Bochner S., Harmonic analysis and the theory of probability, Berkeley — Los Angeles, 1955; [3] Meti ν ier M., «Ann. mat. pura ed appl.», 1963, t. 63, p. 225 — 352; [4] Б у р б а к и Н., Интегрирование. Меры на локально компактных пространствах. Продолжение меры. Интегрирование мер. Меры на отделимых пространствах, пер. с франц., М., 1977. В. В. Сазонов. СОЕДИНЕНИЕ, д ж о й н, топологических пространств X и Υ — топологическое пространство, обозначаемое Х*У и определяемое как факторпространство произведения ХХУх[0, 1] по разбиению, элементами к-рого служат множества χΧΥχΟ (χζΧ) и XXyXi
73 сол (y^Y) и отдельные точки множества ΧχΥΧ [О, 1]\ \(ΧΧΥχΟ()ΧχΥΧ\). Примеры: если X состоит из одной точки, то Х*У есть конус над У; Sn*Y гомооморфно (п+1)-кратной надстройке над У. В частности, Sn*Sm^Sn + m + l. Операция С. коммутативна и ассоциативна. Для вычисления гомологии С. (с коэффициентами из области главных идеалов) используется аналог формулы Кюннета яг+1(Х*У)^2- · Oi(X)®hj(Y)® 02. . Tor (/7; (Χ), Ηj (Υ)). Соединение r-связного пространства и s-связного пространства является (г+5+2)-связным. Операция С. лежит в основе конструкции Милнора универсального главного расслоения. М. Ш. Фарбер. СОИЗМЕРИМЫЕ И НЕСОИЗМЕРИМЫЕ ВЕЛИЧИНЫ — две однородные величины (напр., длины или площади), обладающие или соответственно не обладающие т. н, общей мерой (так называют величину той же природы, что и рассматриваемые, и содержащуюся целое число раз в каждой из них). Примерами несоизмеримых величин могут служить длины диагонали и стороны квадрата или площади круга и квадрата, построенного на радиусе. Если величины соизмеримы, -то их отношение выражается рациональным числом, отношение же несоизмеримых величин — иррациональным. По материалам одноименной статьи из БСЭ-3. СОКРАЩЕННАЯ НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА булевой функции — дизъюнктивная нормальная форма (д. н. ф.), представляющая собой дизъюнкцию всех простых импликант данной функции. Конъюнкция %{ наз. импликантой булевой функции /, если справедливо соотношение ЭД->/=1. Импликанта наз. простой, если после вычеркивания из нее любой буквы она перестает быть импликантой. Построение С. н. ф. является первым этапом булевых функций минимизации, поскольку минимальная д. н. ф. получается из сокращенной удалением нек-рых импликант. Число конъюнкций в С. н. ф. характеризует трудоемкость выполнения этого этапа. Оценки этой величины (см. Булевых функций нормальные формы) показывают, что вообще говоря, С. н. ф. сложнее исходного задания функции; при переходе к С. н. ф. от совершенной сокращаются только длины конъюнкций, число же их значительно увеличивается. Кроме того, у «почти всех» булевых функций в С. н. ф. нет конъюнкций, состоящих менее чем из п—log2n букв; подавляющая часть конъюнкций состоит из п—log2log2?i букв. В. В. Глаголев. СОЛВМНОГООБРАЗИЕ, разрешимое многообразие,— однородное пространство Μ связной разрешимой группы Ли G\ его можно отождествить с пространством смежных классов G/H, где Я — стационарная подгруппа нек-рой точки многообразия М. Примеры: R", тор Тп, многообразие Ивасавы N11 (где N — группа всех верхних треугольных матриц с единицами на диагонали в GL (3, IR), / — подгруппа всех целых точек в TV), К2 (бутылка Клейна), Mb (лист Мёбиуса). Первым среди С. был изучен более узкий класс нильмногообразий, т. е. однородных пространств нильпотентных групп Ли (таковы Rn, Тп, Nil, а К2 и Mb нильмногообразиями не являются). Для них А. И. Мальцевым были доказаны следующие утверждения (см. [5]). 1) Всякое нильмногообразие M=G/H диффеоморфно M*xRn, где Μ * — компактное нильмногообразие. 2) Если Μ компактно и действие G на Μ эффективно, то стационарная подгруппа Η является дискретной подгруппой. 3) Нилыютентная группа Ли G может транзитавно и локально эффективно действовать гон 74 на нек-ром компактном многообразии тогда и только тогда, когда ее алгебра Ли © имеет Q-форму. При этом если G односвязна, то она изоморфна унипотентной алгебраич. группе, определенной над Q, и Η является арифметич. подгруппой в G. 4) Фундаментальная группа πχ (Μ) компактного нильмногообразия Μ (изоморфная Я, если G односвязна и ее действие на Μ локально эффективно) определяет его однозначно с точностью до диффеоморфизма. Фигурирующие здесь группы пг(М) — это в точности всевозможные конечно порожденные нильпотентные группы без кручения. Эти результаты отчасти обобщаются на произвольные С. Так, для произвольного С. Μ существует СМ', конечнолистно накрывающее его и диффеоморфное Μ*Χ X Rn, где М* — нек-рое компактное С. Произвольное С. не всегда разлагается в прямое произведение М*Х xRn, но диффеоморфно (см. [1], [4]) пространству векторного расслоения над нек-рым компактным С. (для Mb соответствующим расслоением является нетривиальное линейное расслоение над S1). Фундаментальная группа л1(М) произвольного С. Μ полициклична и, если Μ компактно, определяет многообразие однозначно с точностью до диффеоморфизма. Группа π изоморфна лг (Μ) для нек-рого компактного С. Μ тогда и только тогда, когда она включается в точную последовательность вида {е} —-► Δ —* π —-► Ζs —> {e}, где Δ — нек-рая конечно порожденная нильпотентная группа без кручения. В каждой полициклич. группе существует подгруппа конечного индекса, изоморфная пг(М) для нек-рого компактного С. М. Если разрешимая группа Ли G действует на компактном С. M=G/H транзитивно и локально эффективно, то Μ расслаивается над тором со слоем N/Hf\N, где N — нильрадикал в G. Компактность С. M—GIH эквивалентна наличию на MG-инвариантной меры, относительно к-рой объем Μ конечен. Каждое СМ асферично (т. е. гомотопич. группы π,- (Μ)—Ο при £>2). Среди всех компактных однородных пространств компактные С. характеризуются асферичностью и разрешимостью группы лг(М) (см. [3]). Лит.: [1] Aiislander L, «Bull. Amer. Math. Soc», 1973, v. 79, № 2, p. 227—85; [2] Auslander L, Szczar- b a R., «Amer. J. math.», 1975, v. 97, № 1, p. 260—81; [3] Гор- бацевич В. В., «Изв. АН СССР. Сер. матем.», 1977, т. 41, №2, с. 285—307; [4] Μ о stow G., «Amer. J. math;», 1971, v. 93, № 1, p. 11 — 32; [5] Ρ а г у н а т а н М., Дискретные подгруппы групп Ли, пер. с англ., М., 1977. В. В. Горбацевич. СОЛЕНОИД А ЛЬНОЕ ПОЛЕ, трубчатое поле,— векторное поле, не имеющее ни источников, ни стоков, т. е. дивергенция к-рого равна нулю во всех его точках. Поток С. п. через любую замкнутую кусочно гладкую ориентированную границу любой области равен нулю. С. п. характеризуется т. н. векторным потенциалом — функцией А (М) такой, что а= = гоЫ (М). Примеры С. п.: поле скоростей несжимаемой жидкости, магнитное поле внутри бесконечного соленоида. А. Б. Иванов. СОЛИТОН — решение нелинейного эволюционного уравнения, к-рое в каждый момент времени локализовано в нек-рой области пространства, причем размеры области с течением времени остаются ограниченными, а движение центра области можно интерпретировать как движение частицы. С. уравнения Кортевега — де Фриса Щ + ии>х + иххх = 0 описывает уединенную волну us(x, t) = 3v/ch2[vl/2(x — vt— xQ)/2] и однозначно определяется двумя параметрами: скоростью ?;>0 и положением максимума в фиксированный момент времени ί=0, χ—χ$. Это уравнение обладает
75 сооб также п-с о л и τ о н н ы м и решениями, к-рые при больших временах (ί->±οο) можно приближенно записать в виде суммы η слагаемых us(x, t), каждое из к-рых характеризуется своей скоростью v[ и положением центра х~^ Для гс-солитонного решения набор скоростей до столкновения (£->-— оо) и после столкновения (£-> -)- оо) остается неизменным, возникают только сдвиги центров С. xot φ xoi- Найдено много нелинейных эволюционных уравнений с двумя независимыми переменными, к-рые обладают решениями с приведенными выше свойствами. Так, С. нелинейного уравнения Шрёдингера однозначно определяется четырьмя параметрами; С. синус Гордона уравнения Ψίί—cp*x + sin(p--=0 определяется двумя параметрами ν, χ0 <p5 = 4arctg[exp ± (x — vt — χ0)/γΊ — υ2], и существует двойной С, к-рый определяется четырьмя параметрами; аналогичная ситуация для уравнения Буссинеска У хх — <Р« + (4>2)хх + Ухххх = О, для уравнения Хироты φί + ί3α|φ|2φχ + βφχχ+ Щххх + Ь φ |2φ = 0, αβ==σδ, и т. д. Существуют физически интересные уравнения и с большим числом независимых переменных, к-рые имеют солитонные решения с приведенными выше свойствами. Напр., С. уравнения Кадомцева — Петвиашви- ли (щ + Ьиих + иххх)х = иуу, локализованный по ж и у, равен и{х, у, t) = 2^]n (± + \x + ivy-3v*t\*y v6 R. В физич. литературе термин «С.» означает частице- подобное решение нелинейных уравнений классич. теории поля, для к-рого плотности энергии и импульса остаются локализованными в окрестности нек-рой точки пространства в любой момент времени. В ряде случаев локализация может иметь место вблизи замкнутых линий, поверхностей. Такие локализованные решения наз. также к и н к а м и, м о н о π о л я м и. При отыскании таких решений играют роль топологич. соображения, в частности для ряда моделей удается построить ток /μ (я), дивергенция к-рого равна нулю независимо от уравнений движения, а соответствующий интеграл движения (топологич. заряд) Q— W0(x)(Px оценивает снизу функционал энергии. Лит.: [1] Скотт Α., Ч ж у Φ., Μ а к л а ф л и н Д., «ТИИЭР», 1973, т. 61, Да 10, с. 79—124; [2] К а р π м а н В. И., Нелинейные волны в диспергирующих средах, М., 1973; |3] Д у б ρ о в и н Б. Α., Μ а т в е е в В. Б., Η о в и к о в С. П., «Успехи матем. наук», 1976, т. 31, в. 1, с. 55—136. П. П. Нулиш. СОНИНА ИНТЕГРАЛ — представление цилиндрич. функции интегралом по контуру где ν — произвольно, Rez>0 или —— <arg z<-^- Интеграл этого типа рассмотрен Н. Я. Сониным (1870). Иногда Си. называют интеграл вида: ^я1 + »41И = 2^Г(^7ГИ о Jm (* Sin l) sinm + ltcos2n+ tdt> т, η > — 1. 5 НИИ 76 Лит.: [1] Лаврентьев Μ. Α., Шабат Б. В., Методы теории функций комплексного переменного, 4 изд., М., 1973; [2] Я н к е Е., Э μ д е Ф., Л е ш Ф., Специальные функции. Формулы, графики, таблицы, 2 изд., пер. с нем., М., 1968. А. Б. Иванов. СООБЩЕНИЙ КВАНТОВАНИЕ — разбиение множества возможных сообщений, вырабатываемых источником сообщений, на конечное (иногда счетное) число неперекрывающихся подмножеств Α ζ так, чтобы сообщения каждого класса могли быть представлены с заданной сообщений точностью воспроизведения нек-рым специально выбранным элементом этого подмножества αιξ^Α}. Заданному С. к. соответствует способ кодирования источника сообщений, задаваемый кодирующей функцией ц>(х)=а{, если χζΑ{. Квантование позволяет заменить передачу непрерывного сигнала дискретным сигналом без нарушения условий точности воспроизведения сообщений. Лит.: [1] X а р к е в и ч Α. Α., Борьба с помехами, 2 изд., М., 1965; [2] Шеннон К., Работы по теории информации и кибернетике, пер. с англ., М., 1963; [3] Г а л л а г е ρ Р., Теория информации и надежная связь, пер. с англ., М., 1974; [4] BergerT., Rate distortion theory, N. Υ., 1971. Р. Л. Добрушин, В. В. Прелое. СООБЩЕНИЙ СКОРОСТЬ СОЗДАНИЯ — величина, характеризующая информации количество, создаваемое за единицу времени источником сообщений. С. с. с. источника сообщений и с дискретным временем, вырабатывающего сообщение £ = (. . ., ξ_ι, £о> Ιι»· · О» образованное последовательностью случайных величин {ξβ, k=. . ., —1, 0, 1,. . .}, принимающих значение из нек-рого дискретного множества X, определяется равенством Н(и)= lira ~\Н(Щ), (*) n-k-><*> если такой предел существует. Здесь Я (ξ?) — энтропия случайной величины ξ£= (ξΛ,. . ., ξη). Величину II (и), определяемую равенством (*), называют также энтропией (на символ) источника сообщений. Доказать существование предела (*) и явно его вычислить удается, напр., для стационарных источников; явные формулы для Η (и) получены для стационарных марковских источников и гауссовских источников. Понятие С. с. с. Η (и) тесно связано с понятием избыточности источника сообщений. Если и — стационарный эргодич. источник сообщений с конечным числом состояний, то справедливо следующее свойство асимптотической равнораспределенности (теорема Макмиллана, [1]). Пусть Ρ (XL) = ? {1ς£ = XL }7 где xL= (xlt. . ., xL) суть значения ξΔ=-(ξ1, . . ., ξ/) -- отрезка сообщений длины L. Для произвольных ε>0, δ>0 существует L0 (ε, δ) такое, что при всех L^L0 (ε, δ) p/|-logP(^) _я(ц)|>б]<8. Лит.: [1] В о л ь ф о в и ц Д ж., Теоремы кодирования теории информации, пер. с англ., М., 1967; L2J Г а л л а г е ρ Р., Теория информации и надежная связь, пер. с англ., М., 1974; L3] Файнстейн Α., Основы теории информации, пер. с англ., М., 1960. Р. Л. Добрушин, В. В. Прелое. СООБЩЕНИЙ ТОЧНОСТЬ ВОСПРОИЗВЕДЕНИЯ — мера качества передачи сообщений от источника сообщений к получателю (адресату) по каналу связи. Требования, предъявляемые к С. т. в. в теории передачи информации, обычно трактуют статистически, выделяя класс W допустимых совместных распределений для пары (ξ, ξ) в множестве всех вероятностных мер в произведении (ϊΧϊ, S$XSg), где (ЗЕ, ^) —измеримое пространство значений сообщения ξ, вырабатываемого источником, а (ϊ, Sg) — измеримое пространство значений воспроизводимого сообщения |, получаемого адресатом. С. т. в. часто задают при помощи меры иска-
77 СООТВЕТСТВИЕ 78 жения ρ (χ, ζ), #ζϊ, ·τ£ΐ, являющейся неотрицательной измеримой функцией от χ и х. При этом множество допустимых сообщений W выделяют формулой Ер (ξ, |)<е, (1) где ε>0 — нек-рое число. В частности, когда (BE, Sx )= (Xn, Sχη), (Ϊ, S,) = — (Xn, S ~n), часто рассматривают покомпонентное условие С. т. в., при к-ром ρ (ж», i*)=-^Sft=:1Po(*ft> ifc), где я" = (я?!,. . ., χη)ζΧ, хп = {х1ч. . ., χη)βΧη9 хк£Х, xk£X, &=1,. . ., η, а р0 (ж, ж), #£Х, ζζΧ,— снова неотрицательная измеримая функция. В этом случае вместо условия (1) иногда также рассматривают следующее условие Еро (ξ^, 6л)<8 Для всех Л = 1, ..., л. (2) В случае, когда X — X и 1 1, если хфх, условия (1) и (2) переходят соответственно в ограничения на среднюю ошибочного декодирования вероятность или максимальную вероятность ошибочного декодирования отдельных компонент сообщения. В случае источников с непрерывными пространствами (напр., гауссовских) часто полагают р0 (х, х)= (х—х)2. Лит.: [1] Г а л л а г е ρ Р., Теория информации и надежная связь, пер. с англ., М., 1974; [2] Berger Т., Rate distortion theory, N. Υ., 1971. Р. Л. Добрушин, В. В. Прелое. СООТВЕТСТВИЕ — понятие, распространяющее на случай двух, вообще говоря, различных множеств или однотипных математич. структур понятие бинарного отношения. С. широко используют в математике, а также в различных прикладных областях: теоретич. программировании, теории графов, теории систем, математич. лингвистике и т. д. Соответствием между множествами Л и В наз. любое подмножество R декартова произведения АХ В. Другими словами, С. между А и В состоит из нек-рых упорядоченных пар (я, Ь), где я£Л, b£B. Как правило, С. обозначают тройкой (Я, Л, В) и, наряду с записью (a, b)£R, пишут также aRb или R (а, Ъ). Иногда вместо «соответствие» говорят «бинарное отношение» (в широком смысле, не предполагая, что множества А и В совпадают). Для конечных множеств широко используются матричное и графовое представления С. Пусть в множестве А имеется η элементов, в множестве В имеется т элементов и (Я, Л, В) — нек-рое С. Этому С. сопоставляется матрица размером пХт, строки к-рой помечены элементами из А, столбцы — элементами из В и в к-рой на пересечении α-й строки и Ь-го столбца стоит 1, если (a, b)£R, и 0 в противном случае. Обратно, каждая (пХ га)-матрица, состоящая из нулей и единиц, описывает вполне определенное С. между А и В. При графовом представлении элементы множеств А л В изображаются точками на плоскости. Обычно эти точки обозначаются теми же буквами, что и соответствующие элементы. Точки α и & соединяются дугой, идущей от а к Ь, если (a, b)£R. Таким образом, С. представляется ориентированным графом. Все С. между хмножествами А и В образуют полную булеву алгебру, нулем к-рой служит пустое С, а единицей — т.н. полное соответствие, состоящее из всех пар (a, b), a£A, b£B. Пусть Rg^AxB. Множество DR = {aGA\lb (α, Ъ) ξ- R} наз. областью определения С. R, а множество Br={*€ #1Эя (в, b)ZR} — областью значений, или образом, этого С. Соответствие R всюду определено, если DR—A\ С. R сюръективно, если BR=B. Для каждого а£А множество lmRa = {b ζ В\ (α, b) ζ R} наз. образом элемента а относительно R\ для каждого Ь£В множество CoimRb = {a ζ А \ (а, Ь) ζ R} наз. прообразом элемента b относительно R. При этом DR= UbeBCoimRb> BR=UaeAlmRa' Всякое С. R устанавливает Галуа соответствие между подмножествами множества А и подмножествами множества В. Именно, каждому подмножеству Хя^А сопоставляется подмножество X' = [) а € χ Im^aczJ?. Вместе с дуальным С, к-рое каждому Y^B сопоставляет множество У = Π be yCoim#&, соответствие Галуа задает на каждом из множеств А и В оператор замыкания. Инволюция R# или Л-1 С. (Л, Л, В) определяется равенством R#={(b, а)\(а, Ь) ζ R}. Инволюция устанавливает биекцию между С. (Я, Л, В) и С. (S, В, Л), к-рая является изоморфизмом булевых алгебр. Для С. (Я, Л, В) и (S, В, С) произведение, или композиция, определяется равенством (RS, Л, С)={(а, с) | ЗЬ (а, Ь) ζ R Λ (Ь, с) £ S}. Умножение С. ассоциативно. Единицами для этого умножения служат диагональные бинарные отношения. Кроме того, (RS)# = S#R# и из R^R2 следует i?i#^ с=Я*. Поэтому все С. между нек-рой совокупностью множеств образуют упорядоченную категорию с инволюцией. Умножение и инволюция позволяют выражать свойства С. с помощью алгебраич. соотношений. Напр., С. (i?, Л, В) всюду определено, если RR#^EA {ЕА— диагональ множества Л); С. ^функционально, т. е. является графиком функции из Л в В, если RR#=>EA и R#R^EB. Для всякого С. R существуют такие функциональные С. F и G, что R=F#G. Кроме того, для всякого С. R справедливо включение RczRR#R. Соответствие R наз. дифункциональным, если R=RR#R. Всякое дифункциональное С. индуцирует на области определения и на образе отношения эквивалентности, фактормножества по к-рым равномощны. Такое описание справедливо только для дифункциональных С. Пусть 5ΐ — класс однотипных математич. структур, замкнутый относительно конечных декартовых произведений. Под С. между структурами Л и В из 5ΐ понимают подструктуру R произведения Л ХВ. Так вводятся групповые С., модульные С, кольцевые С. и т. п. Такие С. часто допускают полезные описания своего строения. Пусть, напр., Л и В — группы и R — подгруппа прямого произведения Ах В. Множества KR = {a£A\(a, 1) € Л}, /* = {b€*|(l, Ъ) € Щ наз. ядром и неопределенностью С. R. При этом KR — нормальный делитель в DR, IR — нормальный делитель в BR и факторгруппы DRlKR и
79 СООТВЕТСТВИЕ ГРАНИЦ B%ll# изоморфны. Из этого описания, в частности, следует, что все групповые С. дифункциональны. Лит.: [1] К у ρ о ш А. Г., Общая алгебра. Лекции 1969— 1970 учебного года, М., 1974; [2] Μ альцев А. И., Алгебраические системы, М., 1970; [3] Цаленко М. Ш., «Тр. Моск. матем. об-ва», 1980, т. 41, с. 241—85. М. Ш. Цаленко. СООТВЕТСТВИЕ ГРАНИЦ при конформном отображении — свойство однолистного конформного отображения / конечносвязной области G на область D плоскости ζ, состоящее в том, что отображение / можно продолжить до гомеоморфизма между теми или иными бикомпактными расширениями G и б областей G и D, то есть / индуцирует гомеоморфизм границ G\G и D\D. Для обычных (евклидовых) границ dG и dD областей G и D это свойство не всегда имеет место. Напр., конформное отображение круга К индуцирует гомеоморфизм евклидовых границ дК и dD, если dD гомеоморфна окружности. Известно несколько бикомпактных расширений од- носвязной области со свойством С. г. при конформном отображении. Исторически первым из них было расширение Каратеодори (см. [1], а также [2]). Оно наиболее наглядно и часто используется при изучении конформных и других отображении. Элементы получающейся при этом границы К. Каратеодори назвал простыми концами (см. Граничные элементы). Была построена теория С. г. при переменном конформном отображении односвязных областей (см. [3]). Лит.: [1] Μ ы ш к и с А. Д., С у в о ρ о в Г. Д., «Докл АН СССР», 1973, т. 212, № 4, с. 822-24; [2] С а г at heodo- гу С, «Math. Ann.», 1913, Bd 73, S. 323—70; [3] Суворов Г. Д., «Матем. сб.», 1953, т. 33 (75), № 1, с. 73—100; [4] Маркушевич А. И., Теория аналитических функций, 2 изд., т. 2, М., 1968; [5] К о л л и н г в у д Э. Ф., Лова- теР А. Д ж., Теория предельных множеств, пер. с англ., М., 1971; L6J Суворов Г. Д., Семейства плоских топологических отображений, Новосиб., 1965; [7] Суворов Г. Д., Метрическая теория простых концов и граничные свойства плоских отображений с ограниченными интегралами Дирихле, К., 1981; 18] Иванов О. В., Суворов Г. Д., Полные решетки конформно-инвариантных компактификаций области, К., 1982. Б. П. Нуфарев. СООТВЕТСТВИЯ ГРАНИЦ ПРИНЦИП - принцип, формулируемый следующим образом. Говорят, что для отображения / имеет место С. г. п., если из того, что / есть непрерывное отображение замыкания бГ области G на замыкание D области D и / есть гомеоморфизм G\G на D\D, следует, что / есть топологич. отображение G на D. Таким образом, С. г. п.— свойство, в нек-ром смысле обратное свойству соответствия границ. Если G и D — плоские области, их евклидовы границы гомеоморфны окружности и D ограничена, то для функций /, аналитических в G, выполняется С. г. п., то есть / — конформное отображение G на D. Кроме этой, в практике конформных отображений используются и другие формы С. г. и. (см. [1]). С. г. п. доказан для ориентируемых отображений в евклидовом пространстве (см. [2]). Лит.: [1] Л а в ρ е н τ ь е в Μ. Α., Ш а б а т Б. В., Методы теории функций комплексного переменного, 3 изд., М., 1965; [2] К у д ρ я в ц е в Л. Д., «Докл. АН СССР», 1954, т. 14, № 5, с. 921—23; L3] Π и н ч у к С. И., «Матем. сб.», 1980, т. 111, № 1, с. 67—94. Б. П. Нуфарев. СОПРИКАСАЮЩАЯСЯ КВАДРИКА - поверхность 2-го порядка, имеющая с поверхностью в данной ее точке касание 2-го порядка. Примерами С. к. являются Дарбу квадрика, Ли квадрика. В. С. Малаховский. СОПРИКАСАЮЩАЯСЯ ОКРУЖНОСТЬ в точке Μ кривой I — окружность, имеющая с I в точке Μ касание порядка гс>2 (см. Соприкосновение). Если кривизна кривой I в точке Μ равна нулю, то С. о. вырождается в прямую. Радиус С. о. наз. радиусом кривизны кривой I в точке М, а центр С. о.— центром кривизны (см. рис.). Если кривая I плоская и задана то радиус формулой 80 уравнением y=f{x)< С. о. определяется Р = У" I Если кривая I пространственная и задана уравнениями х=х{и), у = у(и), z = z{u), то радиус С. о. определяется формулой Р=- (χ'2 + ί/'2 + ζ'2)3 V(y'z"-z'y")2 + (z'x"-x'z")2 + (x'y"- у'χ")2 (здесь штрихи означают дифференцирование по параметру и). Иногда С. о. наз. соприкасающимся кругом, всэ-з. СОПРИКАСАЮЩАЯСЯ ПЛОСКОСТЬ в точке Μ кривой I — плоскость, имеющая с I в точке Μ касание порядка д>2 (см. Соприкосновение). С. и. может быть также определена как предел переменной плоскости, проходя- •м > щей через три точки кривой Ζ, когда эти точки стремятся к точке М. Обычно кривая, кроме исключительных случаев, пронизывает свою С. п. в точке соприкосновения (см. рис.). Если кривая I задана уравнениями х=х(и), у = у(и), z = z(u), то уравнение С. п. имеет вид Χ—χ Υ—υ Ζ — У = 0, где X, У, Ζ — текущие координаты, а х, у, ζ, χ'', у', ζ\ χ", у", ζ" вычисляются в точке соприкосновения; если все три коэффициента при Χ, Υ, Ζ в уравнении С. п. исчезают, то С. п. делается неопределенной (может совпадать с любой плоскостью, проходящей через касательную). бсэ-з СОПРИКАСАЮЩАЯСЯ СФЕРА в точке 1кри- в о й I — сфера, имеющая с I в точке Μ касание порядка п^Ъ (см. Соприкосновение). С. с. может быть также определена как предел переменной сферы, проходящей через четыре точки кривой Ζ, когда эти точки стремятся к точке Μ. Если радиус кривизны кривой I в точке Μ равен р, а σ — кручение, то формула для вычисления радиуса С. с. имеет вид л=/р'+^-№)1' где ds — дифференциал дуги кривой I. Бсэ-з СОПРИКАСАЮЩИЙСЯ ПАРАБОЛОИД поверхности в точке ϋί- параболоид, воспроизводящий форму поверхности вблизи этой точки с точностью до величин 2-го порядка малости относительно расстояния от точки Р. Пусть Φ — параболоид (см. рис.) с вершиной Р, касающийся поверхности в этой точке, hud — расстояние произвольной точки Q поверхности соответственно от параболоида и от точки Р. Параболоид Φ наз. С. π., если отношение hId2 ->- 0 при Q-± P. При этом не исключается вырождение параболоида в па- раболич. цилиндр или плоскость. В каждой точке ре-
81 СОПРЯЖЕННАЯ 82 гулярнои поверхности существует и притом единственный С. п. С помощью С. н. производится классификация точек поверхности (см. Эллиптическая точка, Гиперболическая точка, Параболическая точка, Уплощения точка). д. д. Соколов. СОПРИКОСНОВЕНИЕ кривой q с кривой^ в данной точке I- геометрическое понятие, означающее, что q имеет с I в точке Μ касание максимального порядка по сравнению с любой кривой из нек-рого заранее данного семейства кривых {q}, включающего q. Порядок касания кривых q и I считается равным п, если отрезок QL есть величина п+1 порядка малости по отношению к отрезку Μ К (см. рис., где отрезок QL перпендикулярен к общей касательной кривых q и I в точке М). Таким образом, среди всех кривых семейства {q} С. с кривой I имеет та кривая, к-рая наиболее тесно прилегает к I (для нее отрезок QL имеет максимальный порядок малости). Кривая семейства {q}, к-рая имеет С. с кривой I в данной ее точке Μ, наз. соприкасающейся кривой данного семейства в указанной точке кривой I. Напр., соприкасающейся окружностью в точке Μ кривой I является окружность, к-рая в этой точке имеет с I максимальный порядок касания по сравнению с любой другой окружностью. Аналогично вышеизложенному определяется понятие соприкосновения поверхности S, принадлежащей данному семейству поверхностей {S}, с какой-нибудь кривой I (или с поверхностью) в нек-рой ее точке Μ (в этих случаях порядок касания определяется также аналогично предыдущему; следует только вместо касательной прямой Μ К, изображенной на рис., рассматривать касательную плоскость поверхности S в точке М). Лит.: [1] Ильин В. Α., Π о з н я к Э. Г., Основы математического анализа, 3 изд., ч. 1, М., 1971; [2] Ρ а ш е в- ский П. К., Курс дифференциальной геометрии, 4 изд., М., 1956; [3] Φ а в а р Ж., Курс локальной дифференциальной геометрии, пер. с франц., М., 1960; [4] 3 а л г а л л е ρ Β. Α., Теория огибающих, М., 1975. БСЭ-3. СОПРЯЖЕННАЯ МАТРИЦА, эрмитово сопряженная матрица, с данной (прямоугольной или квадратной) матрицей Л = ||Л|-^|| над полем С комплексных чисел — матрица Л*, каждый элемент atk к-рой комплексно сопряжен с элементом ak[ матрицы А, то есть aik=aki. См. совпадает с комплексно сопряженной транспонированной матрицей: А*=(А'). Свойства С. м.: (А + В)* = Л* + Я*, (λΑ)* = U*, {АВ)* = В*А*, (А:и)-1 = (А-1)*, (Α·)·=Α. См. соответствуют сопряженным между собой линейным отображениям унитарных пространств в орто- нормированных базисах. Лит. см. при ст. Матрица. Т. С. Пиголкина. СОПРЯЖЕННАЯ СЕТЬ — сеть линий на поверхности, образованная двумя семействами линий такими, что в каждой точке поверхности линии сети различных семейств имеют сопряженные направления. Если координатная сеть является С. с, то коэффициент Μ второй квадратичной формы поверхности тождественно равен нулю. В окрестности каждой точки поверхности, не являющейся точкой уплощения, может быть введена параметризация так, чтобы координатные линии образовывали С. с. При этом одно семейство координатных линий можно взять произвольно, лишь бы линии этого семейства не имели асимптотич. направлений. Важными примерами С с. являются асимптотич. сеть и сеть линий кривизны. Лит.: [1] Погорелов А. В., Дифференциальная геометрия, 5 изд., М., 1969. Е. В. Шипин. СОПРЯЖЕННАЯ ФУНКЦИЯ — понятие теории функций, являющееся конкретным отражением нек-рого инволютивного оператора для соответствующего класса функций. 1) С. ф. к комплекснозначной функции / наз. функцию /, значения к-рой являются комплексно сопряженными к значениям /. 2) С. ф. к гармонической функции — см. Сопряженные гармонические функции. 3) С ф. к 2я-периодической суммируемой на [—д, π] функции f(x) наз. функцию /(*) = lim ,±p/(«+*)-/<«-t)^ ε _► 0 + π J ε 2 te —- она существует почти всюду и почти всюду совпадает с {С, а)-суммой, а>0, или суммой Абеля — Пуассона сопряженного тригонометрического ряда. 4) С. ф. к функции / : X -> R, определенной на векторном пространстве X, находящемся в двойственности (относительно билинейной формы О, г/>) с векторным пространством У — функция на У, задаваемая соотношением /*(y)=sup(<*, !/>-/(*)). (*) хеХ Для функции, заданной на У, сопряженная функция определяется аналогично. I х: \Р С. ф. к функции одного переменного fp(x) = —— , 1 <р < оо, будет функция М*>=' \у\н V ρ 'ρ' х» (χ, χ) С. φ. к функции / (χ) = '2 в гильбертовом пространстве X со скалярным произведением <·, ·> будет функция <г/, у>/2. С ф. к норме iV(a:)=||a:|| в нормированном пространстве будет функция N*(y), равная нулю, если ||ж||<:1, и равная -f-oo, если ||я||>1. Если / — гладкая растущая на бесконечности быстрее линейной функция, то /* — не что иное, как Лежандра преобразование функции /. Для одномерных строго выпуклых функций определение, равносильное (*), было дано У. Юнгом [1], в других терминах У. Юнг определял С ф. к функции ί(χ)=Ϋ0 <Ρ(*)<*ί, где φ непрерывна и строго возрастает, соотношением f*(y)=Y0V(t)dt, где ф — функция, обратная к φ. Определение (*) для одномерных функций было впервые предложено С. Мандельбройтом (S. Mandelbrojt), в конечномерном случае — В. Фенхелем [2], в бесконечномерном — Ж. Моро [3] и А. Брёнстедом [4]. Для выпуклой функции и сопряженной с ней выполнено неравенство Юнга <*. l/X/W + /'(if). С. ф.— выпуклая замкнутая функция. Оператор сопряжения*: / -*■ /* однозначно отображает совокупность собственных выпуклых замкнутых функций на X на совокупность собственных выпуклых замкнутых функций на У (теорема Фенхеля — Моро). Подробнее см. [5] и [6]. См. также Выпуклый анализ, Опорная функция, Двойственность в экстремальных задачах и выпуклом анализе.
83 СОПРЯЖЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ 84 Лит.: [1] J oung W. Η., «Proc. Roy. Soc. A», 1912, v. 87, p. 225—29; [2] Fenchel W., «Canad. J. Math.», 1949, v. 1, p. 73—77; [3] Μ о г e a u J. J., Functions convexes en dualite, Montpellier, 1962; [4] BrondstedA., «Math. Fys. Medd. Danske vid. Selsk.», 1964, bd 34, № 2, p. 1—26; [5] Рокафел- л a ρ P., Выпуклый анализ, пер. с англ., Μ., 1973; [6] А л е к- с е е в В. М., Тихомиров В. М., Фомин С. В., Оптимальное управление, М., 1979. В. М. Тихомиров. СОПРЯЖЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ к линейному обыкновенному дифференциальному уравнению 1(у)=0 — линейное обыкновенное дифференциальное уравнение Ι* (ξ)=0, где I (У) = *0(0 У{п) + · · · + **(*) У{п~к)+ · · · + «„(*) У (1) (y™ = dyy/dtv, y(-)£C»(I), ak(-)£Cn-*{I), α0(ί)φΟ, t g/; Ст (I) — пространство т раз непрерывно дифференцируемых комплекснозначных функций на /= (α, β)) и ί*(ξ)Ξ(-ΐ)«Κξ)<»)+:.. + (-ΐ)»-Μ^ξ)("-Λ) + ... ...+ап1, ξ €С»(7) (2) (черта означает операцию комплексного сопряжения). Из определения следует, что (h + hV = ll+ll, (λΖ)* = λΖ*, где λ — скаляр. Сопряженным к уравнению Ζ* (ξ)=0 является уравнение 1(у)=0. Для любых η раз непрерывно дифференцируемых функций у (t) и ξ (t) справедливо тождество Лагранжа: из к-рого следует формула Грина: Ц 11ПУ)^^Л) У] dt = Если y(t), ξ (t) —произвольные решения уравнений 1(у)=0 и Ζ*(ξ)=0, то Σΐ=ι Hjlo (~1);' (««-Л)^ У{*-*-Х) - const, t g /. Знание т(<тг) линейно независимых решений уравнения £*(ξ)=0 позволяет понизить порядок уравнения 1(у) = 0 на т единиц (см. [1] — [3]). Для системы дифференциальных уравнений L (s) = 0, L(x) = x + A(t)x, ίξ-Ι, с непрерывной комплекснозначной (пХ п)-матрицей А (£), сопряженная система определяется равенством L*(\f) = —г|) + Л*(О* = 0, t ζ Ι (см. [1], [4]); здесь A* (t) — эрмитово сопряженная матрица к матрице A (t). Тождество Лагранжа и формула Грина приобретают вид ГХ d ,-г (ψ, L(x))~(L*(y), ί)=-^-(ψ, χ), Ys [(ψ, £Μ)-(^4ψ), *)]Λ = (ψ, *)|^; здесь (·, ·) — скалярное произведение (сумма произведений одноименных координат). Если x(t), ψ (t) — произвольные решения уравнений L (x) = 0, L* (ф)=0, то (ψ~(ί), ·τ (0) = const, ί ζ /. Понятие С. д. у. тесно связано с общим понятием сопряженного оператора. Если, напр., I — линейный дифференциальный оператор, действующий из пространства Сп (I) в пространство С (I) по формуле (1), то сопряженный дифференциальный оператор Ζ* действует из пространства С*(1), сопряженного к С(1), в пространство Сп* (I), сопряженное к Сп{1). Сужение оператора I* на пространство Сп (/) определяется формулой (2) (см. [5]). С. д. у. определяется, кроме того, для линейного дифференциального уравнения с частными производными (см. [6], [5]). Пусть Δ = [£0, t^czl и Uk — линейные и линейно независимые функционалы на пространстве С"(Д). Тогда сопряженная краевая задача к линейной краевой задаче ПУ)=0, t ξ- Δ, Uk(y) = 0, A = 1, ..., т, т< 2и, (2) определяется равенствами 1·(ξ)=0, ff/(g) = 0, 7 = 1, ..., 2п~т. (3) Здесь Uj — линейные функционалы на пространстве Сп (Δ), описывающие сопряженные краевые условия, т. е. определяемые так, чтобы равенство (см. Грина формулы) ^[ll(y)-l*(l)y]dt=Q выполнялось для любой пары функций ί/(·), ξ(·)6 ζ С" (Δ), удовлетворяющей условиям Uk(y) = Q, /r=l,..., τη, i/y(g) = 0, /=1, . . ., In—т. Если ^W-^=1 lakpy^-lnt0) + hPy^-1}lti)] — линейные формы переменных то С/у (ξ) — тоже линейные формы переменных l^-'Hto), δ^Μω, P = i, .··, п. Пример. Для задачи y + a(t)y = 0, 0<ί<1, ^(0) + α^(1) + βέ(1) = 0, У (0) + γΐί (1) + δι; (1) = 0 с действительными a(t), α, β, γ, δ, сопряженная краевая задача имеет вид l + a{t)l = 0, 0<ί<1, αξ(0) + γ|(0) + ξ(1) = 0, βξ(0) + δ|(0) + ξ(1)=0. Если задача (2) имеет к линейно независимых решений (в этом случае ранг краевой задачи г=п—к), то задача (3) имеет т—п+к линейно независимых решений (ее ранг г' = 2п—т—к). При т=п задачи (2), (3) имеют одинаковое число линейно независимых решений; поэтому при т=п задача (2) не имеет решений, кроме тривиального, в том и только в том случае, когда этим свойством обладает сопряженная краевая задача (3). Справедлива альтернатива Фредгольма: полуоднородная краевая задача Ζ (у) = /(*), Uk(y) = 0, Λ = 1, ..., тг, имеет решение, если функция / (t) ортогональна ко всем нетривиальным решениям ξ (t) сопряженной краевой задачи (3), т. е. S;;ko/w dt = 0 (см. [1]-[3], [7]). Для задачи о собственных значениях Ι(») = λ0, U„(y) = 0, k=U .... п, (4)
85 СОПРЯЖЕННОЕ сопряженной задачей о собственных значениях наз. задача *·(ξ)=μδ, #/(ξ) = 0, у = 1, ...,д. (5) 86 Если λ — собственное значение задачи (4), то μ=λ — собственное значение задачи (5). Собственные функции y(t), ξ(ί), отвечающие собственным значениям λ и μ задач (4) и (5) соответственно, ортогональны, если λφμ (см. [1]-[3]): ^y(t)l(t)dt = 0. Для линейной краевой задачи L(x)^x + A(t)x = 0, U(x) = Q, i g Δ, (6) где U есть т-вектор-функционал на пространстве Сп(к) непрерывно дифференцируемых комплексно- значных гс-вектор-функций, т<2/г, сопряженная краевая задача определяется равенствами L*(\p) = 0, £/*(ψ) = 0, t ξ- Δ (7) (см. [1]); здесь U* есть (2/г—m)-вектор-функционал, определяемый так, чтобы равенство I * — * о выполнялось для любой пары функций τ(·), i|)(-)G gCn(A), удовлетворяющей условиям U(x)=Q, £/*(ψ) = 0. Задачи (6), (7) обладают свойствами, аналогичными перечисленным выше (см. [1]). Понятие сопряженной краевой задачи тесно связано с понятием сопряженного оператора [5]. Сопряженная краевая задача определяется также для линейной краевой задачи для уравнения с частными производными (см. [6], [7]). Лит.: [1] Камке Э., Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям, пер. с нем., 5 изд., М., 1976; [2] Наймарк Μ. Α., Линейные дифференциальные операторы, М., 1969; [3] К о д д и н г τ о н Э. Α., Л е в и н с о н Н., Теория обыкновенных дифференциальных уравнений, пер. с англ., М., 1958; [4] X а р τ м а н Ф., Обыкновенные дифференциальные уравнения, пер. с англ., М., 1970; [5] Данфорд Н., Ш в а р ц Д ж. Т., Линейные операторы. Спектральная теория. Самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве, пер. с англ., ч. 2, М., 1966; [6] Μ и χ а й л о в В. П., Дифференциальные уравнения в частных производных, М., 1976; [7] Владимиров В. С, Уравнения математической физики, k изд., М., 1981. Е. Л. Тонкое. СОПРЯЖЕННОЕ ЛИНЕЙНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ к линейному преобразованию А — линейное преобразование А* евклидова (или унитарного) пространства L такое, что для любых векторов χ и у из L имеет место равенство скалярных произведений (Ая, у) = (х, А*у). С. л. п.— частный случай понятия сопряженного линейного отображения. Преобразование А* определяется по А единственным образом. Если L конечномерно, то для всякого А существует С. л. п. А*, причем его матрица В в базисе elJt . ., еп связана с матрицей А линейного преобразования А в том же базисе соотношением _ _ B = G-1A*G, где А*— сопряженная с А матрица, a G — Грама матрица базиса е1ч. . ., еп. В евклидовом пространстве линейное преобразование А и его сопряженное А* имеют одинаковые харак- теристич. многочлены, равные определители, следы, одинаковые собственные значения. В унитарном пространстве их характеристич. многочлены, определители, следы, собственные значения комплексно сопряжены. Т. С Пиголпина. СОПРЯЖЕННОЕ ПРОСТРАНСТВО к топологическому векторному пространству Ε — векторное пространство Е*, состоящее из непрерывных линейных функционалов на Е. Если Ε — локально выпуклое пространство, то функционалы f£E* разделяют точки Ε (теорема Хана — Бана- х а). Если Ε — нормированное пространство, ίο Ε* является банаховым пространством относительно нормы Наряду с сильной топологией, определенной нормой И/И, в Е* рассматривают и слабую ^-топологию. Лит.: [1] Ρ а й к о в Д. Α., Векторные пространства, М., 1962. В. И. Ломоносов. СОПРЯЖЕННЫЕ ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ, гармонически сопряженные функции,—пара действительных гармонич. функций (г. ф.) и и ν, являющихся действительной и мнимой частями нек-рой аналитич. функции f=u+iv комплексного аргумента. В случае одного комплексного переменного ζ—x-\-iy г. ф. и=и(х, у) и u=v(x, у) являются С. г. ф. в области D комплексной плоскости С тогда и только тогда, когда они удовлетворяют в D системе уравнений Коши — Римана ди_ дх ~ dv ~ду ди дх (1) В системе (1) роль г. ф. и и ν не симметрична: функция ν является сопряженной для н, но для ν сопряженной будет не и, а —и. Если задана г. ф. и=и(х, у), то С. г. φ. ν— ν(χ, у) и вся аналитич. функция f—u-\-iv легко определяются с точностью до чисто мнимого постоянного слагаемого ic\ это можно сделать, напр., по формуле Гурса χ ι \ о /Ζ+Ζ° Ζ -Ζ°λ 2i точки -u(x0, y°) + ic (2) °=x°~\-iy° из области в окрестности нек-рои определения и. В случае многих комплексных переменных z—x+iy— = (zu. . ., zn)= (хъ. . ., xn)+i(y,. . .,0η), и>1, система Коши — Римана становится переопределенной: ди dv ди dv , . ,о\ Из (3) вытекает, что при д>1 функция и уже не может быть задана как произвольная г. ф.— она должна принадлежать подклассу плюригармонических функций; сопряженную плюригармонич. функцию ν можно и в этом случае найти по формуле (2). Известны различные аналоги системы С. г. ф. (и, ν) в виде вектор-функции /= (и1у. . ., ит), компоненты к-рой Uj=Uj(x1,. . ., хп) суть действительные функции действительных переменных хъ. . ., хп. Такова, напр., градиентная система /= (и19. . ., и„), удовлетворяющая обобщенной системе уравнений Коши — Римана ди . ди. ди. V" -i = 0 - = — Zjj - ι дх . ' дх. дХ{ г, 7 = 1, 71, ί φ U (4) к-рая записывается также в сокращенном виде: div/ = 0, rot/ = 0. Если условия (4) выполняются в области D евклидова пространства IR", гомеоморфной шару, то существует г. ф. h в D такая, что f=gradh. При п—2 получают, что г/2-|-ш5 есть аналитич. функция переменного z= =x1Jrix2. Поведение решений системы (4) в нек-рых вопросах аналогично системе Коши — Римана (1), напр. при изучении граничных свойств (см. [3]).
87 СОПРЯЖЕННЫЕ 88 Лит.: [1] Бицадзе А. В., Основы теории аналитических функций комплексного переменного, 2 изд., М., 1972; [2] Владимиров В. С, Методы теории функций многих комплексных переменных, М., 1964; [3] Стейн М., В е й с Г., Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах, пер. с англ., М., 1974. Е. Д. Соломепцев. СОПРЯЖЕННЫЕ ИЗОТЕРМИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ — координаты на поверхности, в к-рых вторая квадратичная форма записывается в виде Н = -Л2(гг, v)(du2 + dv2). С. и. к. всегда могут быть введены в достаточно малой окрестности эллиптич. точки регулярной поверхности. В достаточно малой окрестности гиперболич. точки регулярной поверхности можно ввести координаты, в к-рых 11 = А2 (и, v)(du2 — dv2), однако в этом случае часто пользуются т.н. асимптотически м и координатами^, υ, при к-рых II =Л (и, v) du dv. Д. Д. Соколов. СОПРЯЖЕННЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ — пара направлений, исходящих из точки Ρ поверхности S и таких, что содержащие их прямые являются сопряженными диаметрами индикатрисы Дюпена поверхности S в точке Р. Для того чтобы направления (du : dv), (διι : δν) в точке Р поверхности S были С. н., необходимо и достаточно выполнения условия Ldubu-\-M (dudv + dv6u)-{-Λ'dvbv = 0, где L, M и N — коэффициенты второй квадратичной формы поверхности S, вычисленные в точке Р. Примеры: асимптотические направления, главные направления. Лит.: [1] Погорелов А. В., Дифференциальная геометрия, 5 изд., М., 1969. Е. В. Шикин. СОПРЯЖЕННЫЕ СВЯЗНОСТИ - линейные связности Г и Г, задаваемые операторами ковариантного дифференцирования V и у, такие, что ΖΒ(Χ, Υ) = Β(νζΧ,Υ) + Β(Χ, γζΥ) + 2ω(Ζ)Β(Χ,Υ), где Χ, Υ, Ζ — произвольные векторные поля, В (·, ·) — нек-рая квадратичная форма, ω(·) — нек-рая линейная форма. Говорят также, что ν и у сопряжены относительно В. В координатной форме (здесь X =$>д{, В =Ф =»&,·/, ω => ω,·, ν => Г*,·): hbi/ — TkibSj — Tskjbis - 2щЪи. Для операторов кривизны R и В и кручения Τ и Τ связностей у и у соответственно выполняются соотношения B(R(T, Z)X, Y) + B(X, В(Т, Z)Y) = = 2{ω([7\ Ζ])-Τω(Ζ) + Ζω(Τ)}Β(Χ, У), Β(Ζ, ΑΤ(Χ, Υ)) — Β(ΑΤ(Ζ, Υ)Χ) = = Β(ΑΤ{Ζ, Χ), Υ), ΑΤ=Τ~Τ. В координатной форме: R%jbim+R™ibjm == — 2 (dr(us — ds<ur) bt-j, Δ Tsijbsu - A Tljbsi - A TskibSj = 0. Лит.: [1] Η ο ρ д е н А. П., Пространства аффинной связности, 2 изд., М., 1976. М. И. Войцеховский. СОПРЯЖЕННЫЙ КЛАСС ФУНКЦИЙ - понятие теории функций, являющееся конкретным отображением двойственности в функциональных пространствах. Так, если класс функций X рассматривается как банахово или топологическое векторное пространство, то С. к. ф. наз. класс функций, изометрически изоморфный сопряженному пространству X*. Напр., между пространствами (Lp[a, b])* и Lq[a, b] при 1<р<оо, ι _| = 1 существует изометрич. изоморфизм, при Q к-ром соответственные элементы х* и g связаны соотношением >ь x*{1) = YQg(x)1(x)dx. Если рассматривается нек-рый класс 2л,-периодических суммируемых на [—-π, π] функций X, то С. к. ф. наз. класс функций, сопряженных к функциям из X. Напр., класс функций, сопряженных к Lp[ — π, л], 1<р<оо, совпадает с классом таких функций / из Lp[—π, π], что С* f(x)dx = 0. Класс функций, сопряженных к Lipa, 0<α<1, совпа- ся дает с классом таких функций из Lipa, что \ / (x)dx=0. J -π Лит.: [1] F гее he t Μ., «С. г. Acad, sci.», 1907, t. 144, p. 1414—16; [2] R i e s ζ F., там же, S. 1409—11; [3] Priwa- f off I., «Bull. soc. math. France», 1916, t. 44, p. 100—03; [4] Б a ρ и Η К., Тригонометрические ряды, М., 1961; [5] Даи- фордН., Шварц Д ж., Линейные операторы, пер. с англ., [ч. 1], М., 1962. Т. П. Лукашенко. СОПРЯЖЕННЫЙ МОДУЛЬ, двойственный модуль, дуальный модуль,— модуль гомоморфизмов модуля в основное кольцо. Точнее, пусть М — левый модуль над кольцом R. Абелеву группу Нот# (М, R) гомоморфизмов модуля Μ в левый R-модуль Я можно превратить в правый Я-модуль М*, полагая ζ(φλ) = (ζφ)λ, χ £ Μ, φ £ Hom#(M, Я), λ £ R. Этот правый модуль М* наз. С. м. модуля М. Если х£М, то можно определить элемент χζΜ**, положив .г(<р)=хц> для всех φζΜ*. Этим определяется гомоморфизм модуля Μ в М**. Гомоморфизмом является и отображение ζ : М*®#С -> Нот#(М, С) (С — левый 7?-модуль), определяемое равенством *((<р®с)С) = И>К χ ς. м, φ ζ м\ с ς. с Оба эти гомоморфизма являются изоморфизмами, если Μ — конечно порожденный проективный модуль [2]. Из свойств функтора Нот вытекает изоморфизм (ΣΛ/α)*=ΠΛ/α(Σ — прямая сумма, Π — прямое произведение) и существование гомоморфизма д/*** в М* Сквозное отображение М* М* М* ляется тождественным. Однако М*** не обязательно изоморфен М*. Важными являются и модули без кручения в смысле Б а с с а, т. е. модули, для к-рых указанный выше гомоморфизм Μ в М** оказывается мономорфизмом. Это свойство равносильно вло- жимости модуля Μ в прямое произведение нек-рого множества экземпляров основного кольца. Если R нётерово справа и слева, то отображение Μ -*■ Μ* осуществляет двойственность между категориями всех левых и всех правых конечно порожденных /?-модулей тогда и только тогда, когда В квазифробениусово. Лит.: [1] Бур баки Н., Алгебра. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра, пер. с франц., М., 1962; [2] Мак л ейн С, Гомология, пер. с англ., М., 1966; [3] Мишина А П., С к о ρ н я к о в Л. Α., Абелевы группы и модули, М., 1969. Л. А. Скорняков. СОПРЯЖЕННЫЙ ОПЕРАТОР — линейный оператор^*, действующий из пространства У* в пространство X* (сильно сопряженные с локально выпуклыми пространствами Υ и X соответственно), к-рый строится по линейному оператору А : X -+ Υ следующим образом. Пусть DА — область определения оператора Α , всюду плотная в X. Если для всех x£DA имеет место <Ах, g> = <*, g">. (*) где ΑχζΥ, g£Y*, g*£X*, то на множестве Пд + элементов g, удовлетворяющих (*), однозначно олреде-
89 СОПРЯЖЕННЫЙ 90 лен оператор A*g—g*, действующий из Dл* в X*. Если DA = X и А —линейный непрерывный оператор, то А* — также линейный непрерывный оператор. Если, кроме того, X и У — линейные нормированные пространства, то \\А* \\=\\А ||. Если А — вполне непрерывный оператор, то таков же и А *. Наиболее подробно изучены свойства С. о., когда X и У — гильбертовы пространства. Лит.: [1] И оси да К., Функциональный анализ, пер. с англ., М., 1967; [2] Рисе Ф., Сёкефа льви-Надь Б, Лекции по функциональному анализу, пер. с франц., 2 изд., М., 1979. В. И. Соболев. СОПРЯЖЕННЫЙ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД к ряду σ= -^- + 2-л = 1 flrcCosrc;r + &„sin nx — ряд σ=> —Ъп cos пх-\-ап sin nx. Эти ряды являются соответственно действительной л мнимой частями ряда при z—eix. Формула для частных сумм σ [/] сопряженного к ряду Фурье функции f(x) тригонометрич. ряда Sn И = ~ ~ J -я / (0 Ъп (*-*) *** где Dn(x) — сопряженное Дирихле ядро. Если /(.г) — функция ограниченной вариации на [—π, π], то необходимым и достаточным условием сходимости ряда σ|/] в точке х0 является существование сопряженной функции (см. п. 3) f(x0), к-рая представляет тогда сумму ряда σ[/]. Если f(x) — суммируемая на [—π, π] функция, то ряд of/] суммируется почти всюду методами (С, а), а>0, и методом Абеля — Пуассона и почти всюду совпадает с сопряженной функцией f(x). Если функция f(x) суммируема, то сопряженный ряд σ[/] является ее рядом Фурье. Функция f(x) может быть несуммируемой; для таких обобщений интеграла Лебега, как А-интеграл и Бокса интеграл, сопряженный ряд σ[/] всегда является рядом Фурье сопряженной функции. Лит.: [1] Tauber A., «Monatsch. Math. Phys.», 1891 Bd 2, S. 79—118; [2] J о u η g W. H., «Sitzungsber. math.- naturwiss. Hb. Bayerischen Akad. Wiss. Miinchen», 1911, Bd 41 S. 361—71; [3] Priwaloff I., «Bull. Soc. math. France»! 1916, t. 44, p. 100—103; [4] Π ρ и в а л о в И. И., Интеграл Gauchy, Саратов, 1919, с. 61 — 104; [5] Л у з и н Η. Η., Интеграл и тригонометрический ряд, М.— Л., 1951; [6] Б а р и Н. К., Тригонометрические ряды, М., 1961; [7] Виноградова И. Α., Скворцов В. Α., в кн.: Итоги науки. Математический анализ. 1970, М., 1971, с. 65—107; [8] Ж и ж и а- ш в и л и Л. В., Сопряженные функции и тригонометрические ряды, Тбилиси, 1969. * Т. П. Лукашенко. СОПРЯЖЕННЫЙ ФУНКТОР — понятие, выражающее универсальность и естественность многих важных математич. конструкций: свободных универсальных алгебр, различных пополнений, прямых и обратных пределов и т. д. Пусть F : Я -*- (§, — одноместный ковариантный функтор из категории $ в категорию (£. Функтор F индуцирует функтор HF(X, Y) = #a(F(X), Y):Jt*xS—►©, где &* — категория, двойственная категории Si, (3 — категория множеств, #е (Χ, Υ): ©*Х(£ -> 3 — основной теоретико-множественный функтор. Функтор HF контравариантен по первому аргументу и ковариантен но второму. Аналогично, любой ковариантный функтор О : (i ->■ ,U' индуцирует функтор На (X, У) -=ЯА1 (X, G (У)):Я»х(£ — @, также контравариантный по первому аргументу и ковариантный по второму. Функторы F и G сопряжены, или образуют сопряженную пару, если функторы HF и HG изоморфны, т. е. существует естественное преобразование θ : HF -> #G, к-рое устанавливает взаимно однозначное соответствие между множествами морфизмов Яе (F (Χ), Υ) и Н^ (X, G(Y)) для любых объектов XgOb.H' и У£ОЬ($. Преобразование θ наз. сопряжением F с G; функтор F паз. левым сопряженным к функтору G, а G — правым сопряженным к F (что обозначается θ : F —| G или просто F —\ G). Преобразование Θ-1 : Hq-+ Hf наз. косопряжением. Пусть θ : F —\G. Для любых объектов Χ ζ ОЬЯ и FgObg пусть βχ = θ(1Γ(χ)), ηκ^θ"1 (1G(K))· Семейства морфизмов {г χ} и {цу} определяют естественные преобразования ε : Id^->- FG и η : GF -> Ide ? к-рые наз. соответственно единицей и коедини- цей сопряжения Θ. Для преобразований ε и η справедливы следующие равенства: ео(К)б('Пк) = 1о(П» F(^x)nF(X)^^F(X)· Вообще, пара естественных преобразований φ : Id^ ->· ->- FG и ψ : GF -> Id@ состоит из единицы и коединицы нек-рого сопряжения, когда выполнены равенства Фс οι G (Ψκ) =-1от, f (φ*) ^f(Χ) = Ifш для любых объектов X и Υ'. Естественное преобразование φ : Id^ -+ FG является единицей нек-рого сопряжения тогда и только тогда, когда для любого морфизма а : X -^ G{Y) из категории Я существует такой единственный морфизм а' : F (X) ->- Υ в категории 6, что α—εχβ(α'). Последнее свойство выражает тот факт, что объект F (X) свободен над X относительно функтора G в смысле следующего определения. Объект Υ ζ Ob® вместе с морфизмом ε : X -> G (Υ) свободен над объектом Χ ζ Ob,f, если всякий морфизм α : Χ->· -+G(Y') однозначно представим в виде a=sG(a') для нек-рого морфизма а' : Υ -> Υ'. Функтор G : (5 ->- Я тогда и только тогда обладает левым С. ф., когда для каждого Х£ОЫ! существует объект У, свободный над X относительно G. Примеры С. ф. 1) Если G : (5 -> @, где β — категория множеств, то G обладает левым С. ф. тогда ц только тогда, когда он представим. Представимый функтор G ^ НА= =Нф(А, У) обладает левым С. ф. тогда и только тогда, когда в© имеются любые копроизведения ΐΙ*χς.χΑχ, где Ζ ζ Ob® и Ах—А для всех х£Х. 2) В категории множеств 3 для любого множества А основной функтор НА (Υ)=Π (А, У) сопряжен слева функтору XXА. 3) В категории абелевых групп функтор Нот (А, У) сопряжен слева функтору Х@А тензорного умножения на Л, а функтор вложения полной подкатегории периодич. групп сопряжен справа функтору взятия периодич. части произвольной абелевой группы. 4) Пусть Ρ : % -»- 3 — пренебрегающий функтор из произвольного многообразия универсальных алгебр в категорию множеств. Функтор Ρ обладает левым С. ф. F : 3 _> $[, к-рый каждому множеству X сопоставляет свободную алгебру многообразия % с множеством X свободных образующих. 5) Функтор вложения Id(5 ^ : (5 ->- Я произвольной рефлективной подкатегории 6 категории Я сопряжен слева ©-рефлектору. В частности, функтор вложения категории абелевых групп в категорию групп
91 СОПРЯЖЕННЫЙ ЭЛЕМЕНТ 92 обладает левым С. ф., к-рый каждой группе G сопостав- I ляет ее факторгруппу по коммутанту. Свойства С. ф. Функтор, сопряженный слева к данному функтору, определен однозначно с точностью до изоморфизма функторов. Сопряженный слева функтор унивалентен тогда и только тогда, когда единица сопряжения состоит из мономорфизмов. Он перестановочен с копределами и переводит нулевые объекты и нулевые морфизмы в нулевые объекты и нулевые мор- физмы соответственно. Пусть Я* и (£ — полные слева и локально малые слева категории. Функтор G : (£ -> $ тогда и только тогда обладает сопряженным слева функтором F : Я ->- (£, когда выполнены следующие условия: а) функтора перестановочен с пределами; б) для каждого Х£ОЫ? хотя бы одно из множеств Н(Х, G(Y), Υ £ Оb$, непусто; в) для каждого Χ ζ Ob$ существует такое множество £с:ОЬ@;, что всякий морфизм α : X-*- ->G(Y) представим в видеа=ср6?(а'), где φ : X -»■ G(B), B£S, а' : B-+Y. Переход к двойственным категориям позволяет установить двойственность между понятиями «функтор, сопряженный слева», и «функтор, сопряженный справа», что позволяет выводить свойства сопряженных справа функторов из свойств сопряженных слева функторов. Понятие С. ф. непосредственно связано с понятием тройки (монады) в категории. Лит.: [1] Цаленко М. Ш., ШульгейферЕ. Г., Основы теории категорий, М., 1974; [2] Μ а с Lane S., Categories for the working mathematician, N. Y., 1971. Μ. Ш. Цаленко. СОПРЯЖЕННЫЙ ЭЛЕМЕНТ к элементу χ \ группы G — элемент х' такой, что х' =g-ixg для нек-рого элемента g из G. Говорят также, что χ получается на χ трансформированием при помощи элемента g. Для С. э. используется иногда степенное обозначение: xS, Если А и В два подмножества группы G, то через Ав принято обозначать множество {аь | α ζ Л, Ь ζ В). Множество Мё— {хё\х£М}, где g — нек-рый фиксированный элемент из G, наз. сопряженным с множеством Μ в группе G. В частности, две подгруппы U и V наз. сопряженными под- гр уппами, если U— VS для нек-рого g из G. Если подгруппа Н=Нё для любого элемента g£G (т. е. Η содержит все элементы, сопряженные с ее элементами), то Η наз. самосопряженной подгруппой в G, или нормальным делителем. О. А. Иванова. СОПРЯЖЕННЫХ ГРАДИЕНТОВ МЕТОД - метод решения системы линейных алгебраич. уравнений Ах—Ь с положительно определенной матрицей А. Это Прямой и итерационный метод одновременно: при любом начальном приближении он сходится за конечное число итераций, давая точное решение. В С. г. м. матрица системы не меняется в процессе вычислений, на каждой итерации она используется лишь для умножения на вектор. Поэтому порядок систем, решаемых на ЭВМ, может быть высоким, он определяется объемом числовой информации, задающей матрицу. Структура С. г. м. как прямого метода основана на процессе последовательной А -ортогонализации системы векторов, представляющем собой обычный процесс ортогонализации (см. Ортогонализации метод) относительно скалярного произведения (х, у)=хТАу. Если {si, s2,. . ., sn] есть Л-ортогональный базис простран- ' ства, то точное решение х* системы при любом началь- ] ном приближении х0 может быть получено из разложения _v" (Го> V) х хо — Zjj -1 ajsj, aj — (^ t Aa j ι где r0 = b— Ax0—невязка х0.В С. г. м. А -ортогональные векторы sj, s2,. . ., sn строятся процессом А -ортогонализации невязок r0, Γι,. . ., rn_i последовательности приближений xQy x±,. . ., χη-ι, вычисляемых по формулам , ν* (Г°' V> Построенные таким образом векторы г0, гх,. . ., r„_i и sx, s2,. . ., sn обладают следующими свойствами: (П, гу) = 0, 1Ф /; (г£-, sy)=0f / = 1, 2, ..., и (1) Расчетные формулы С. г. м. даются следующими рекуррентными соотношениями (см. [1]): *1 = Г0; Xi = Xi-i + CLiSi-1, Щ = — (а^^ДГ.^)' 1 *·ι = Γί-1 + Μ*ί-ΐ, «Ι-=ΓΙ·+β1·5/_1, Н2) (г,, Aa..l} Процесс заканчивается при нек-ром &<я, для к-рого г^=0. При этом х*=хь. Момент обрыва процесса определен начальным приближением х0. Из рекуррентных соотношений (2) следует, что векторы r0, rt,. . ., rf· являются линейными комбинациями векторов г0, А г0,..., А1'г0. Так как векторы г0, г±,. . ., г ι ортогональны, то обращение в нуль rj возможно лишь тогда, когда векторы г0, Лг0,. . ., Л'г0 линейно зависимы, напр. когда в разложении г0 по базису из собственных векторов А только i компонент отличны от нуля. Этим соображением можно руководствоваться при выборе начального приближения. С. г. м. относится к классу методов, в к-рых за решение принимается вектор, минимизирующий нек-рый функционал. Для вычисления этого вектора строится итерационная последовательность, сходящаяся к точке минимума. Последовательность х0, хъ. . ., хп в (2) осуществляет минимизацию функционала f(x)=(Ax, χ)—2(Ь, χ). На i-u шаге процесса (2) вектор s; совпадает с направлением скорейшего спуска (градиентом) для поверхности )(х)—с в (n—i) -мерном эллипсоиде, представляющем собой сечение поверхности плоскостью, сопряженной направлениям sx, s2?. · ·> *ί-ι· Описанный процесс С. г. м. или близкие к нему имеют много различных названий: метод Ланцо- ш а, метод Хестенса, метод Штифеля и т. д. Из всех методов, осуществляющих минимизацию функционала, С. г. м. является наилучшим в стратегич. плане: он дает максимальную минимизацию за η шагов. Однако вычисления (2) в реальных условиях машинной арифметики чувствительны к ошибкам округления, и условия (1) могут быть нарушены. Это препятствует окончанию процесса за η шагов. Поэтому С. г. м. продолжают за η итераций, рассматривая его как бесконечный итерационный процесс минимизации функционала. Известны модификации схемы вычислений (2). более устойчивые к ошибкам округления (см. [3], [4]). Лит.: [1] Фаддеев Д. К., Φ а д д е е в а В. Н., Вычислительные методы линейной алгебры, М., 1963; [2] Б е ρ е- з и н И. С, Ж и д к о в Н. П., Методы вычислений, т. 2, М., 1960; [3] В о е в о д и н В. В., Численные методы алгебры, М., 1966; [4] Б а х в а л о в Н. С, Численные методы, М., 1974. Г. Д. Ним. СОСТАВНОЙ ИДЕАЛ — идеал кольца или алгебры, не являющийся простым идеалом.
93 состоятелье СОСТОЯТЕЛЬНАЯ ОЦЕНКА — сокращенный вариант термина «состоятельная последовательность оценок», применяемый к последовательности статистич. оценок, сходящейся к оцениваемой величине. В теории вероятностей существуют несколько различных понятий сходимости, из к-рых для теории статистич. оценивания наиболее важными являются сходимость по вероятности и сходимость с вероятностью 1. Если последовательность статистич. оценок сходится по вероятности к оцениваемой величине, то про эту последовательность говорят, что она является «слабо состоятельной», или просто «состоятельной», употребляя термин «сильная состоятельность» по отношению к последовательности оценок, сходящейся с вероятностью 1 к оцениваемой величине. Пример 1. Пусть Х19 Х2, . . ., Хп — независима одинаково нормально Ν (α, σ2) распределенные случайные величины. Тогда статистики И 5»=ττΣ"=1 (χι- *)2 являются С. о. для параметров а и σ2 соответственно. Пример 2. Пусть Х1, Х2,. . ., Хп — независимые случайные величины, подчиняющиеся одному и тому же вероятностному закону, функция распределения к-рого есть F (х). В этом случае функция эмпирич. распределения Fn(x), построенная по исходной выборке Хг, Х2,..., ХП1 является С. о. функции распределения F(x). Пример 3. Пусть ХЪХ2,. . ., Хп — независимые случайные величины, подчиняющиеся одному и тому же закону Коши, плотность вероятности к-рого есть ρ (х) — Х/[1-\-(х—μ)2]. Для любого натурального числа η статистика ^11=4- (*!+■· ·+*») подчиняется исходному закону Коши и, следовательно, последовательность оценок Хп не сходится по вероятности к μ, т. е. в данном примере последовательность Хп не является состоятельной. С. о. для μ в данном случае является выборочная медиана. С. о. обладает следующим свойством: если / — непрерывная функция, а Тп — С. о. параметра Θ, то в свою очередь f(Tn) является С. о. для /(Θ). Наиболее распространенный метод получения точечных статистич. оценок — максимального правдоподобия метод — приводит к С. о. Следует отметить, что если существует С. о. Тп параметра Θ, то она не является единственной, т. к. любая оценка вида Τ^+β^, где β„ — последовательность случайных величин, сходящаяся по вероятности к нулю, является С. о. для Θ. Этот факт принижает значение понятия С. о. Лит.: [1] К ρ а м е ρ Г., Математические методы статистики, пер. с англ., 2 изд., М., 1975; [2] Ибрагимов И. Α., ХасьминскийР. 3., Асимптотическая теория оценивания, М., 1979. М. С. Никулин. СОСТОЯТЕЛЬНЫЙ КРИТЕРИЙ — статистический критерий, достоверно отличающий проверяемую гипотезу от альтернативы при неограниченном увеличении числа наблюдений. Пусть Хъ Х2,. . ., Хп — последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, принимающих значения в выборочном пространстве (£, <®, Ρθ), θ ζ Θ, и пусть проверяется гипотеза #0 : 6£60св против альтернативы Н1: θζθ^θχθο, при этом ошибка 1-го рода (см. Значимости уровень) задана заранее и равна α(0<α<0,5). Далее, пусть по первым η наблюдениям Ль Х2,. . ., Хп построен статистич. критерий уровня α для проверки Н0 против #! и пусть βη(θ), 0 ζ θ, —его мощности ый критерий 94 I критерия функция, показывающая при каждом Θ, с какой вероятностью этот критерий отклоняет Я0, если случайная величина Х( подчиняется закону Ре » при этом β„(θ)<α при всех θ£θ0. Неограниченно увеличивая число наблюдений, можно построить последовательность статистич. критериев заданного уровня а, предназначенных для проверки гипотезы Н0 против альтернативы Нъ при этом соответствующая им последовательность функций мощности {βΛ(θ)} будет удовлетворять условию β„(θ)<α для любого η при всех θξθ0. Если в этих условиях последовательность функций мощности {β„ (θ)} такова, что для любого фиксированного θ £ θ!=θ\θ0 lim β„(θ) = 1, то говорят, что построена состоятельная последовательность статистич. критериев уровня α для проверки гипотезы Н0 против альтернативы Нг. Часто, допуская при этом определенную вольность, говорят, что построен С. к. Так как функция βη(θ), θζΘ]9 являющаяся сужением функции мощности βη(θ), θζθ=Θ0υ®ι, на множество Θχ, есть мощность статистич. критерия, построенного по наблюдениям Хг, Х2,. , ., Xп, то в терминах мощности свойство состоятельности последовательности статистич. критериев выражается в том, что соответствующие им мощности β„(θ), θζΘ1? сходятся на θχ к функции, тождественно равной 1 на θ1# Пример. Пусть Хг, Х2,. . ., Хп — независимые одинаково распределенные случайные величины, функция распределения к-рых принадлежит семейству Н— = {F (х)} всех непрерывных функций распределения на R1, и пусть р = (рг, р2,. . ., pk) — вектор положительных вероятностей такой, что Ρι+ρ2+· · ·+Ρ^==1· Далее, пусть F0 (x) — произвольная функция распределения из семейства И. Функция распределения F0 (x) и вектор ρ однозначно определяют разбиение числовой оси на к полуинтервалов (х0; #J, (хг; х2],. . ., . . ., (xk-i; xkh где х0 = — оо, xk = -{-QQ, xi = Fo1(p1+...+pi) = ini{x:F0(x)^Pl+...+pi}, i = l, 2, ..., ft —1. Иначе говоря, границы полуинтервалов суть квантили функции распределения F0 (x). С помощью полуинтервалов (х0; χλ], (хг\ х2],. . ., \xk-i\ %k) семейство Η можно разбить на два непересекающихся множества Я0 и Н1 по следующему правилу: функция распределения F из Η принадлежит Н0 тогда и только тогда, если FteJ-F (*£_!) = />,., i = l, 2, ..., к, в противном случае F^H1. Пусть, далее, νΛ = (νηί, ν/*2>· · ., vnk) — вектор частот, получающийся в результате группировки первых η случайных величин Хг, Х2,. . ., Хп (п>к) по полуинтервалам (х0; хх],. . ., • · ч(^-ъ Xk)- В этих условиях для проверки гипотезы #0, согласно к-рой функция распределения случайных величин Хг, Х2,. · ., Хп принадлежит множеству В0, против альтернативы Η λ, по к-рой функция распределения случайных величин Х1ч Х2,. . ., Хп принадлежит множеству Н1, можно воспользоваться критерием «хи- квадрат», основанным на статистике Согласно критерию «хи-квадрат» с уровнем значимости а (0<сс<0,5), гипотезу Я0 следует отвергнуть, коль скоро Χη>χ!-ι(α)» гДе OCl-i (а) — верхняя а-квантиль I «хи-квадрат» распределения с к—1 степенями свободы.
95 сохоцкого Из общей теории критериев типа «хи-квадрат» следует, что при справедливости гипотезы Н1 lim P{X2n> х!_1(а)|Я1} = 1, что и означает состоятельность критерия «хи-квадрат» для проверки Н0 против Нг. Если же в множестве Н0 выделить произвольное непустое подмножество Н0 и рассмотреть задачу статистич. проверки гипотезы Н0 против альтернативы #ίί=#0\#ό, то, как очевидно, последовательность критериев «хи-квадрат», основанных на статистиках Х„, не будет состоятельной, т. к. lim Р{Х2п > χϊ-ι(α) |#0}<α<1 и, в частности, lim Р\Х*п > χΙ-ι(α)|//ϊ}<α < 1. η -* со Лит.: [1] Уилкс С, Математическая статистика, пер. с англ., М., 1967; [2] Леман Э., Проверка статистических гипотез, пер. с англ., 2 изд., М., 1979. М. С. Никулин. СОФОКУСНЫЕ КРИВЫЕ, конфокальные кривые,— линии 2-го порядка, имеющие общие фокусы. Если F и F' — две данные точки плоскости, то через каждую точку плоскости проходит один эллипс и одна гипербола, имеющие F и F' своими фокусами (рис. 1). Каждый эллипс ортогонален любой софокусной с ним гиперболе, т. е. пересекается с ней (в четырех точках) под прямым углом. Все множество софокусных эллипсов и гипербол в надлежащей системе координат определяется уравнением я* λ-c2 = 1, (*) где с — расстояние фокусов от начала координат, а λ — переменный параметр. При Х>с2 это уравнение определяет эллипс, при 0<λ<£2 — гиперболу (при λ<0 — мнимую линию 2-го порядка). Если один из фокусов стремится к бесконечности, то в пределе получаются два Рис. 1. Рис. 2. семейства софокусных парабол (рис. 2); любые две параболы, относящиеся к разным семействам, также ортогональны друг другу. При помощи софокусншх эллипсов и гипербол на плоскости вводится система так наз. эллиптических координат. Именно, если Μ (χ, у) — произвольная точка плоскости, то, подставляя ее координаты χ и у в уравнение (*), получают квадратное уравнение для λ; корни его λΧ, λ2 и наз. эллиптич. координатами точки М. Сами софокусные эллипсы и гиперболы составляют координатную сеть эллиптической координатной системы, т. е. определяются уравнениями λλ= const, X2=const. БСЭ-з. СОХОЦКОГО ТЕОРЕМА, теорема Вейер- ш трасс а, теорема Вейерштрасса — Сохоцкого — Казорати: каково бы ни было комплексное число w (допускается и ы;=оо), существует такая последовательность {ζη)η**ι, сходящаяся к су- 96 щественно особой точке а аналитич. функции w—f(z) комплексного переменного ζ, что lim / (zn) = w. Эта С. т. явилась первым результатом, характеризующим предельное множество С (/, а) аналитич. функции / в существенно особой точке а: согласно Ст., С(/, а) тотально, т. е. совпадает с расширенной плоскостью Cw переменного w. С. т. доказана Ю. В. Со- хоцким 11] (см. также [2]). К. Вейерштрасс изложил эту теорему в работе 1876 (см. [3]). Дополнительная информация о поведении аналитич. функции в окрестности существенно особой точки содержится в Пикара теореме. На аналитич. отображения / : Сп ->- С", ?г>1, пространства С" многих комплексных переменных z= {Ч zn) С. т. непосредственно не распространяется (см. [5]). Лит.: [1] С о х о ц к и й Ю. В., Теория интегральных вычетов с некоторыми приложениями, СПБ, 1868; [2] С a s о г а- t i F., Teorica delle funzioni di variabili complesse, Pavia, 1868; [3] Weierstrass K., Zur Theorie der eindeutigen analyti- schen Funktionen, Math. Werke, Bd 2, В., 1895, S. 77 — 124; [4] Μ a p к у ш е в и ч А. И., Теория аналитических функций, 2 изд., т. 1, М., 1967; [5] Ш а б а т Б. В., Введение в комплексный анализ, 2 изд., ч. 2, М., 1976. Е. Д. Соломенцев. СОХОЦКОГО ФОРМУЛЫ — формулы, найденные впервые Ю. В. Сохоцким [1] и выражающие граничные значения интеграла типа Коши. С более полными доказательствами, ноцзначительно позже С. ф. были получены независимо Й. Племелем [2]. Пусть Г : t=t(s), 0<s</, ί(0) = ί(Ζ), — замкнутая гладкая жорданова кривая на плоскости комплексного переменного ζ, φ (t) — заданная на Г комплексная плотность интеграла типа Коши, относительно к-рой предполагается, что она удовлетворяет условию Гёльдера |φ(ω-φ('2)Ι^£|*ι-*2ΐα, 0<α<1; D+ — область внутри Г, D~ — внешняя область; «W^ir1^. '6 г, (1) — интеграл типа Коши. Тогда для любой точки ί0ζΓ существуют пределы Φ+(ί0)= lim Φ (ζ), ζ-+ t0, zeD + Φ-(Ό)= lim Φ (ζ), »t0,zeD~ (2) к-рые выражаются формулами Сохоцкого иначе, φ+(*„)+φ-<Ό)=^γ$ или, φ (t)dt Ф + (*0)-ф- )Г t-t0 (*ο) = Φ(Ό)· Интеграл вдоль Г в правых частях С. ф. понимается в смысле главного значения по Коши и наз. сингулярным интегралом. Таким образом, принимая при высказанных условиях Ф+ (t) (или Ф~ (£)) в качестве значений интеграла Φ (ζ) на Г, получают функцию Φ (ζ), непрерывную в замкнутой области D + —D+ (J Г (соответственно в D + =D~ (J Г); в целом Φ (ζ) иногда описывают как кусочно аналитич. функцию. Если а<1, то Ф+ (t) и Ф~ (t) также непрерывны по Гёльдеру на Г с тем же показателем а, а если а=1, то с
97 спектр любым показателем а'<1. Для угловых точек t0 (см. рис.) кусочно гладкой кривой Г С. ф. принимают вид (p(i)df 98 1 Г φ (О d< 2πί JI Φ" (*o) ί-ίβ ^φ(ί0),0<β<2π. (3) В случае, разомкнутой кусочно гладкой кривой Г С. ф. (2) и (3) остаются в силе для внутренних точек дуги Г. С. ф. играют основную роль при решении граничных задач теории функций и сингулярных интегральных уравнений (см. [3], [5]), а также при решении различных прикладных задач теории функций (см. [4]). Естественно возникает вопрос ° о возможном расширении условий на контур Г и плотность φ (t) с тем, чтобы С. ф., хотя быснек- рыми оговорками, сохраняли силу. Наиболее значительные результаты в этом направлении принадлежат В. В. Голубеву и И. И. При- [6]» [8]). Напр., пусть Г — спрямляемая кривая, а плотность φ (t) по-прежнему по Гёльдеру на Г. Тогда С. ф. (2) имеют всюду на Г, причем под Ф+ (t0) и Ф~ (t0) угловые граничные значения_ интеграла валову (см. жорданова непрерывна место почти понимаются типа Коши соответственно изнутри и извне Г, но функции Ф+ (ζ) и Ф~ (ζ), вообще говоря, уже не непрерывны в замкнутых областях D+ и D~. О пространственных аналогах С. ф. см. в [7]. Лит.: [1] С о χ о ц к и й Ю. В., Об определенных интегралах и функциях, употребляемых при разложениях в ряды, СПБ, 1873; [2] Ρ 1 е m е 1 j J., «Monatsh. Math, und Phys.», 1908, Bd 19, S. 205—10, 211—45; [3] Μ у с х е л и ш в и- л и Н. И., Сингулярные интегральные уравнения, 3 изд., М., 1968; [4] е г о же, Некоторые основные задачи математической теории упругости, 5 изд., М., 1966; [5] Г а х о в Ф. Д., Краевые задачи, 3 изд., М., 1977; [6] Привалов И. И., Граничные свойства аналитических функций, 2 изд., М.—Л., 1950; [7] Бицадзе А. В., Основы теории аналитических функций комплексного переменного, 2 изд., М., 1972; [8] X в е д е л и д- з е Б. В., в кн.: Итоги науки и техники. Сер. Современные проблемы математики, т. 7, М., 1975, с. 5—162. Е. Д. Соломенцев. СОХРАНЕНИЯ ОБЛАСТИ ПРИНЦИП - свойство голоморфных функций в областях комплексной плоскости: множество значений всякой непостоянной голоморфной функции в области DaC также является областью, т. е. открыто и связно. Основным здесь является свойство открытости образа, к-рое следует из Руше теоремы или из аргумента принципа. С. о. п. можно рассматривать как обобщение максимума модуля принципа для голоморфных функций. С. о. п. справедлив для голоморфных функций на произвольном комплексном многообразии: множество значений любой непостоянной голоморфной функции на связном комплексном многообразии X есть область на комплексной плоскости. Он выполняется также для голоморфных отображений комплексных многообразий в римановы поверхности. Однако голоморфные отображения / : X -»■ Υ в комплексные многообразия Υ размерности больше 1 в общем не являются открытыми: если / непостоянно, но, скажем, ранг / всюду меньше dim У, то образ f(X)aY вообще не имеет внутренних точек. Открытость может нарушаться и в случае, когда rank /<dim У на множествах малой размерности. Напр., при отображении (Ζχ, Ζ2) ►(Ζχ, ΖχΖ2) пространства С2 в себя образом будет неоткрытое множество C2\{w;1=0, w2=£0}. С. о. п. для голоморфных отображений выполняется, если условие непостоянности / заменять более сильными требованиями, одним из самых простых является условие нульмерности множества точек, в к-рых rank /<dim У. Лит.: [1] Привалов И. И., Введение в теорию функций комплексного переменного, 12 изд., М., 1977; [2] Г а н н и н г Р., Ρ о с с и X., Аналитические функции многих комплексных переменных, пер. с англ., М., 1969. Ε. Μ. Чирка. СОЧЕТАНИЕ из т элементов по η — подмножество мощности η нек-рого исходного конечного множества мощности т. Число С. из т элементов по п, обозначаемое Сщ или ({?), равно т\ п\ (т —п)! Производящая функция для последовательности С%, /г=0, 1, . . ., т, Ст=1, имеет вид SL.O- Σ ■-(1 + х)т. С. можно рассматривать так же как неупорядоченную выборку объема η из генеральной совокупности из т элементов. В комбинаторике С.— это класс эквивалентности размещений из т элементов по п, при этом два размещения объема η из данного m-элементного множества считаются эквивалентными, если они состоят из одних и тех же элементов, взятых одно и то же число раз. В случае, когда берутся размещения без повторений, каждый класс эквивалентности определяется множеством элементов любого размещения из этого класса и поэтому может рассматриваться как С. В случае размещений с повторениями приходят к обобщению понятия С, и тогда класс эквивалентности размещений с повторениями наз. сочетанием с повторениями. Число С. с повторениями из т по η равно (w+n_1), а производящая функция для этих чисел имеет вид ΣΙ о 'т + к—1 к χΑϊ = (1—ж)~ Лит.: [1] С а ч к о в В. Н., Комбинаторные методы дискретной математики, М., 1977; [2] Ρ и о ρ д а н Д ж., Введение в комбинаторный анализ, пер. с англ., М., 1963. В. М. Михеев. СПАРИВАНИЕ — отображение, заданное на декартовом произведении двух множеств; в зависимости от конкретных условий на это отображение накладываются требования билинейности, непрерывности и др. С. Ιχ7->Ζ определяет отображение множества X во множество функций, действующих из У в Ζ (или в нек-рое его подмножество, составленное, напр., из гомоморфизмов, непрерывных отображений и т. д.). Утверждения о свойствах так получаемого отображения составляют суть различных теорем двойственности в алгебре, топологии и функциональном анализе. М. Ш. Фарбер. СПЕКТР оператора— совокупность σ(Α) чисел λ ζ С, для к-рых оператор А— XI не имеет всюду определенного ограниченного обратного. Здесь А — линейный оператор в комплексном банаховом пространстве X, / — тождественный оператор в X. Если А не замкнут в X, то о (А )=С, поэтому обычно рассматривают С. замкнутых операторов (для операторов, допускающих замыкание, иногда их С. наз. спектр замыкания). Если А— XI не инъективен или не сюръективен, то λζσ(Α). В первом случае λ наз. собственным значением оператора А; совокупность σρ (А) собственных значений наз. точечным спектром. Во втором случае λ наз. точкой непрерывного спектра ос(А) или остаточного спектра ог (А) в зависимости от того, плотно или не плотно в X подпространство (Α—λΙ)Χ. Существуют и другие классификации точек С, напр. ο(Α)=σα(Α)[)σζί(Α)1 где σα(Α) состоит из аппрокси- 4 Математическая энц., т. 5
99 СПЕКТР 100 мативных собственных значений (λζοα(Α), если су- тцествуют {xn}aX, ||я„1Ы, II (Λ-λ)χη И —0), ad(A) = {XGC:Ker(A — M) = 0, (Α — λΙ)Χ = (Α — Μ) Χ Φ Χ}. При этом Gd(A)czor(A) и, значит, op(A)\Joc(A)cz ασα(Α). В теории возмущений рассматривается π ρ е- д е л ь н ы й спектр 0\\т (А), состоящий из предельных точек о (А) и изолированных собственных значении бесконечной кратности, вейлевский спектр, равный пересечению С. всех компактных возмущений, и др. Если оператор А ограничен, то σ(Α) компактен и не пуст (в этом случае о (А) совпадает со спектром элемента А банаховой алгебры В (X)); в общем случае можно утверждать лишь, что о (А) замкнут в С. На множестве ρ (А)= С\о (А) определена аналитическая β (Х)-значная функция RA(k)-^= (Α— λ/)~ι, наз. резольвентой А (р(А) наз. резольвентным множеством). С помощью резольвенты строится функциональное исчисление от оператора А на функциях, аналитических в окрестности о (А): где Г — контур, охватывающий о (А) (неограниченность А накладывает на выбор Г нек-рые ограничения); дополнительные условия на геометрию С. и асимптотику резольвенты позволяют расширить это функциональное исчисление. С. функций от оператора определяются формулой σ(/(4)) = {/(λ):λ£σ(Λ)} (теорема об отображении спектра); С. σ(Α*) сопряженного оператора совпадает с а (А), если А ограничен, а в общем случае о (А*)ао(А). Если dim Х<оо, то σ(Α) = σρ(Α) и X раскладывается в прямую сумму инвариантных относительно А подпространств, в каждом из к-рых А индуцирует оператор с одноточечным С; поисками бесконечномерных аналогов такого разложения занимается спектральная теория операторов. См. также Спектральный анализ, Спектральный синтез, Спектральный оператор, Спектральное разложение. Лит.: [1] Д а и φ ο ρ д Н., Ш в а р ц Д ж., Линейные операторы. Общая теория, пер. с англ., т. 1, М., 1962; [2] К а т о Т., Теория возмущений линейных операторов, пер. с англ., М., 1972. В. С. Шульман. СПЕКТР, прямой и обратный спектр в к а т е г о- рии^. Прямым спектром {Уа, /а } в категории % наз. семейство объектов {Уа} с индексами из направленного множества Λ= {α } и семейство морфиз- мов {fa : Уа ->- У13} из # (определенных при α<β), для к-рых: 1) &=-ίγα:Υ*-+Υα, а^Л; 2> /£ = /β°/£:γα-"γΥ> α<β<7< α, β, γ ζ Λ. Можно определить категорию dir {Υα, /α}, объектами к-рой служат семейства морфизмов {ga : Ya ->- Z}aeA таких, что ga—ga°f^ если α<β, α, βζΛ. Β этой категории морфизмом объекта {g(x:Y(X-+Z} в объект {ga : Ya ->■ Ζ'} наз. такой морфизм h : Ζ -+- Ζ' категории %, что hga=g'a, α ξ А. Инициальный (начальный) объект категории dir {Уа, /а} наз. пределом прямого спектра {Уа, fa}. Пределы прямых спектров (прямой спектр) множеств, топологич. пространств, ^-модулей являются примерами прямых спектров в соответствующих категориях. Двойственным образом, обратным спектром {Ya* /α} в категории % наз. семейство объектов {Уа} с индексами из направленного множества Λ={α} и семейство морфизмов {/α:Υβ-*-Υα} категории % (определенных, если α<β), для к-рых; 2) '£=/£°/р:Гт-*Га> «<β<Υ. «, β, V € Λ. Можно определить категорию inv {Υα, /α}, объектами к-рой являются занумерованные семейства таких морфизмов {ga : X -> Υα}α6Λ, что g^ffiogp если α<β, α, βζΛ, а морфизмом объекта {ga : X -»■ Уа} в объект {gfa : X' -*- Уа} является морфизм h : X -*- X' категории % такой, что g'ah^ga при αζΛ. Терминальный (интегральный) объект категории inv {Уа, /а} наз. пределом обратного спектра {Уа> /а}· Пределы обратных спектров (обратный спектр) множеств, групп, Я-модулей являются пределами обратных спектров в соответствующих категориях. Понятие обратного спектра — категорное обобщение топологич. понятия проекционного спектра. Лит.: [1] С π е н ь е р, Алгебраическая топология, пер. с англ., М., 1971. М. И. Войиеховский. СПЕКТР элемента банаховой алгебры — совокупность чисел λ ξ С, для к-рых а—Ке необратим (алгебра предполагается комплексной, а — данный элемент, е — единица алгебры). С. — непустое компактное множество (теорема Гельфанда — Μ а з у ρ а). В случае коммутативной алгебры С. совпадает с множеством значений на этом элементе всех характеров алгебры. На понятии С. основывается построение функционального исчисления от элементов банаховой алгебры: естественное исчисление многочленов от элемента а банаховой алгебры А продолжается до непрерывного гомоморфизма кольца ростков голоморфных в окрестности спектра σ (а) функций в А. Необходимость рассматривать функции от нескольких переменных приводит к понятию С. системы элементов банаховой алгебры. Если А коммутативна, то, по определению, С. системы {а;}?=1 ее элементов — это множество o({ai})dCn всех наборов вида {φ (fli}?=i> гДе Φ — характер А . В общем случае определяют левый и правый спектры системы {at-}"= ι, включая в них те наборы {λί}?=ιζΟ, для к-рых система {α/— λ,·*?} содержится в нетривиальном левом (правом) идеале алгебры; С. системы элементов наз. объединение левого и правого спектров. Основные результаты многопараметрич. спектральной теории, а также иные подходы к понятию С. системы элементов см. в [1] — [4]. Лит.: [1] БурбакиН., Спектральная теория, пер. с франц., М., 1972; [2] Harte R., «Bull. Amer. Math. Soc.», 1972, v. 78, p. 871 — 75; [3] Τ а у 1 о г J., «J. Funct. Anal.», 1970, v. 6, p. 172—91; [4] ZelazkoW., «Studia Math.», 1979, t. 64, p. 249—61. В. С. Шульман. СПЕКТР С*-АЛГЕБРЫ — множество классов унитарной эквивалентности неприводимых представлений С*-алгебры. В спектр вводят топологию, считая замыканием любого подмножества совокупность всех (классов эквивалентности) представлений, ядра к-рых содержат пересечение ядер всех представлений этого множества. Для коммутативной С*-алгебры спектр как топологич. пространство совпадает с пространством характеров (гомеоморфен пространству максимальных идеалов). В общем случае спектр С*-алгебры является базой разложения ее представлений в прямые интегралы неприводимых представлений. Лит.: [1] Д и к с м ь е Ш., С*-алгебры и их представления, пер. с франц., М., 1974. В. С. Шульман.
101 СПЕКТР 102 СПЕКТР ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ {7^} с фазовым пространством X и инвариантной мерой [ι — общее название для различных спектральных инвариантов и спектральных свойств соответствующей группы (или полугруппы) унитарных (изометрических) операторов сдвига (Utf)ix) = f(T1x) Для ненильпотентного элемента /£А пусть D (/)— -Spec4\F(/), где Г(/)= fogSpec A\f£p}. Тогда окольцованные пространства D(f) и Spec А ф, где А ф — локализация Л относительно /, изоморфны. Множества D (/) наз. главными открытыми множествами. Они образуют базис топологич. пространства Spec А. Точка £ ζ Spec А замкнута тогда и только тогда, когда р — максимальный идеал кольца А. Сопоставляя точке р ее замыкание р в Spec А, получают взаимно однозначное соответствие между точками пространства Spec А и множеством замкнутых неприводимых подмножеств в Spec A. Пространство Spec A квазикомпактно, но, как правило, не является хаус- дорфовым. Размерностью пространства Spec A наз. наибольшее п, для к-рого существует цепочка различных замкнутых неприводимых множеств Z0a. . .С CzZ^Spec A. Многие свойства кольца А можно охарактеризовать в терминах топологич. пространства Spec Л. Напр., кольцо А нётерово тогда и только тогда, когда Spec A —- нётерово пространство; пространство Spec А непри- водимо тогда и только тогда, когда кольцо A /N является областью целостности; размерность Spec А совпадает с размерностью Крулля кольца А и т. д. Иногда рассматривают максимальный спектр Specm A — подпространство пространства Spec А, состоящее из замкнутых точек. Для градуированного кольца А рассматривают также проективный спектр Proj А. Если A = *^° Ап, то точкп Proj А — это простые однородные идеалы р кольца А такие, что ΨΦ^ζ^η· Лит.: [1] Вурбаки Н., Коммутативная алгебра, пер. с франц., М.,1971; [2]Ша фаревич И. Р., Основы алгебраической геометрии, М., 1972. Л. В. Кузьмин. СПЕКТР МАТРИЦЫ — совокупность ее собственных значений. См. также Характеристический многочлен матрицы. СПЕКТР ПРОСТРАНСТВ — представляющий объект для обобщенной теории когомологий, введен в [1]. Спектром пространств Μ наз. последовательность топологических (как правило, клеточных) пространств {М„}п=-оо вместе с отображениями sn : ΣΜη-+*Μη + ι, где Σ — надстройка. С. п. образуют категорию; при этом морфизм спектра Μ в спектр N — это, грубо говоря, «кофинальная часть» нек-рой функции / : Μ^Ν, к-рая задается семейством отображений /„ : Μη-+Νη с t^fn=fn + 1osn (tn относится к N так, как sn к М). Определяются также гомотопные морфизмы, вводится понятие гомотопич. эквивалентности С. п. и строится гомотопич. категория С. п. [2]. Вводятся Постникова системы С. п. Надстройкой ΣΜ над С. п. Μ наз. С. п. ΣΜ={Νη}=ΣΜη. Пусть (Σ-1 М)п=Мп-и тогда Σ и Σ-1 — гомотопически взаимно обратные функторы, так что в категории С. п. в отличие от категории пространств функтор надстройки обратим, и это обстоятельство делает удобной категорию С. п. Вообще, в категории С. п. все рассуждения, связанные со стабилизацией (напр., построение спектральной последовательности Адамса), приобретают естественный вид. Примеры С. п. 1) Для любого пространства X определяется С. п. Х~{Мп}, где Мп=* при п<$ и Μη=ΣηΧ при п^О, a sn есть естественное отождествление Σ (ΣηΧ)-+Σ" + 1(Χ). Так, для X = Sl) возникает спектр сфер {Sn}. 2) Спектр пространств Эйленберга — Маклейна Я (π) (или ЕМ (π)), где л — абелева группа. Гомотопич. эквивалентность ωη : К (π, η)^ΩΚ (π, гс+1), где К (π, η) — Эйленберга — Маклейна пространство, а ΩΧ — петель пространство над X, задает сопряженное ото- в гильбертовом пространстве L2(X, μ). Для динамич. системы в узком смысле слова — измеримого потока {71/} или каскада {Г"}— речь идет о спектральных инвариантах одного нормального оператора: во втором случае — унитарного оператора {UTf) — f(Tx), а в первом — производящего самосопряженного оператора А однопараметрич. группы унитарных операторов {£//} (согласно теореме Стоуна, Uf=eitA). «Спектральная» терминология в теории динамич. систем несколько отличается от обычной. Спектр ϋγ (или А) в обычном смысле, т. е. множество тех λ, при к-рых оператор UT — λΕ (или Α—λΕ) не имеет ограниченного обратного, для всех практически интересных Τ и {Tt} совпадает с окружностью |λ| = 1 или с R (см. [1], [2]). Поэтому: а) спектр в обычном смысле не содержит информации о свойствах данной динамич. системы, отличающих ее от других; б) у спектра в обычном смысле слова практически никогда нет изолированных точек, так что спектр является непрерывным (в обычном смысле слова), причем это опять-таки не содержит информации о специфич. свойствах данной системы. По этой причине в теории динамич. систем говорят о непрерывном спектре в случае, когда у UT или А нет собственных функций, кроме констант; о дискретном спектре — когда собственные функции образуют полную систему в L2(X, μ); о смешанном спектре — в остальных случаях. Свойства динамич. системы, к-рые определяются ее С. д. с, наз. спек тральными. Таковы эргодичность (она эквивалентна тому, чтобы у UΊ— соответственно у А — собственное значение 1 — соответственно 0 — было однократным) и перемешивание. Имеется полная метрич. классификация эргодич. динамич. систем с дискретным спектром; такая система определяется С. д. с. с точностью до метрич. изоморфизма [3]. Аналогичная теория построена и для более общих групп преобразований, нежели R и % (см. [4]). В некоммутативном случае формулировки усложняются, причем С. д. с. уже не полностью определяет систему. Если спектр не дискретный, то ситуация гораздо сложнее. Лит.: [1] Ionescu TulceaA., в кн.: Ergodic theory, Ν. Υ.— L., 1963, p. 273—92; [2] Goldstein S., в кн.: In- ternat. conference on dynamical systems in math, physics, P., 1976 («Asterisque», v. 40); [3]Корнфсльд И. П., Синай Я. Г., Фомин С. В., Эргодическая теория, М., 1980; [4] Мак- к и Г. У-, в кн.: Ауслендер Л., Грин Л., Хан Ф., Потоки на однородных пространствах, М., 1966, с. 195—206. Д. В. Аносов. СПЕКТР КОЛЬЦА — окольцованное топологич. пространство Spec А, точками к-рого являются простые идеалы р кольца А с Зариского топологией на нем (к-рая наз. также спектральной топологи ей). При этом предполагается, что кольцо А коммутативно и с единицей. Элементы кольца А можно рассматривать как функции на пространстве Spec А, полагая а(р)=а mod ρζΑ/p. Пространство Spec A несет пучок локальных колец Q (Spec Л), называемый структурным пучком. Для точки р ζ Spec A слой пучка (5 (Spec А) над р — это локализация Л. кольца А относительно р. Любому гомоморфизму колец φ : А -*- Л', переводящему единицу в единицу, отвечает непрерывное отображение φ* : Spec A' -+ Spec A. Если N — нильрадикал кольца Л, то естественное отображение Spec A/N -»- ->■ Spec А является гомеоморфизмом топологич. пространств. 4*
103 СПЕКТРАЛЬНАЯ 104 бражение sn : ΣΚ(π, η)-+Κ (π, и+1), так что имеем С. п. {К (π, η), Sn}. Этот С. п. представляет обычную теорию когомологий с коэффициентами в π. 3) Пусть X — такое пространство, что QdX~X для нек-рого d>0. Для n=ad+b, 0<&<d, αζ& пусть Mn=Qd~bX. Возникает последовательность {Мп} вида {. . ., X, Qd~1X, Qd-ζχ, . . ., Ω1*, Χ~Ω<*Χ, . . .}. Го- мотопич. эквивалентность ω : Μη-+ΩΜη + ι задает, как и в примере 2, отображение sn : ΣΜη-+Μη + ι, так что имеем С. п. Напр., для классифицирующего пространства BU=lim BUni где Un — унитарная группа, имеем Ω2 (В Ux %)~BUX % (теорема Б о τ τ а), и возникает С. п. {. . ., U, BUX %, U, BUX%, . . .}, представляющий комплексную Z-теорию. Аналогичное верно и для вещественной ϋΓ-теории (Ω*(ΒΟΧ Ъ2)~ВОХ йг)· 4) Всевозможные Тома спектры, представляющие кобордизмы. Для двух С. п. Μ и N определено их приведенное произведение MAN (аналог обычного приведенного произведения пространств). Умножением вС.п. Μ наз. ассоциативный (в надлежащем смысле) морфизм Μ/\М -> М. С. п., снабженный умножением, наз. кольцевым, или мультипликативным, и представимая им теория когомологий мультипликативна. Попытка преодоления трудностей, связанных с «плохой ассоциативностью» вышеупомянутого умножения, привела к пересмотру оснований теории С. п. Именно, в [6] введено понятие бескоординатного С. п. как семейства пространств {Μγ} (и соответствующих отображений), индексированного линейными подпространствами V из R°° = lim R". Категория бескоорди- ?г->со натных С. п. изоморфна обычной категории С. п., но спаривание л в ней легче контролируется, и потому она играет важную роль при рассмотрении тонких ге- ометрич. вопросов, связанных с высшими структурами в С. п. [6], ориентациями в теории когомологий и т. п. Лит.: [1] L i m а Е., «Summa Brasiliens. Math.», 1959, с. 91 — 148; [2] С в и τ ц e ρ P., Алгебраическая топология — гомо- топии и гомологии, пер. с англ., М., 1984; [3] Адаме Д ж., Бесконечнократные пространства петель, пер. с англ., М., 1982; [41 Мей Д ж., «Успехи матем. наук», 1981, т. ,ЧС>, в. 6, с. 137— 195; [5] Μ а у J., Е—ring· spaces and E—ring spectra, v. 577, N. У., 1977. °° Ю. Б. Рудяк. СПЕКТРАЛЬНАЯ МЕРА — унитальный гомоморфизм нек-рой булевой алгебры множеств в булеву алгебру проекторов в банаховом пространстве. Всякий оператор Τ в банаховом пространстве X определяет С. м. на совокупности открыто-замкнутых подмножеств его спектра о (Т) по формуле где Г — жорданова кривая, отделяющая α οτσ(Γ)\α. При этом ТЕ (а)=Е (а)Т и о (Т\Е (α)Χ)αα. Построение удовлетворяющих этим условиям С. м. на более широких булевых алгебрах множеств — одна из основных задач спектральной теории линейных операторов. Лит.: Г1] Данфорд Н., Шварц Д ж., Линейные операторы, пер. с англ., ч. 2— Спектральная теория, М., 19(36, ч. 3— Спектральные операторы, М., 1974. В. С. Шульман. СПЕКТРАЛЬНАЯ ОЦЕНКА МАКСИМАЛЬНОЙ ЭНТРОПИИ, авторегресс ионная спектральная оценка, — оценка jq (λ) спектральной плотности /(λ) стационарного случайного процесса с дискретным временем такая, что фиксированное число q отвечающих ей автокорреляций низших порядков совпадает с соответствующими эмпирическими автокорреляциями, подсчитанными по данным наблюдений, и при этом удельная энтропия гауссовского случайного процесса со спектральной плотностью fq(k) оказывается наибольшей возможной. Если из наблюдений известны N выборочных значений χ^, ί=1, . . ., JV, представляющих собой отрезок одной реализации действительного стационарного процесса Xt, имеющего спектральную плотность/(λ), то С. о. м. э. fq(k) будет определяться соотношениями л * * COS kXfn (λ) ί/λ — rfe = -зт ^^^^'^чь * = 0> 1. ■·■> Я, (1) J*„log/J (λ) ^ = max, (2) где знак s= означает «равно по определению». С. о. м. э. имеет вид Jq (А) = 2π | 1 +β! ехр (ίλ)+ . . . + βα exp (iqX) |2 ' ^ где коэффициенты βχ, . . ., β^, σ2 определяются из q+i уравнений (1) (см. [1]). Формула (3) показывает, что С. о. м. э. совпадает с т. н. авторегрессионной спектральной оценкой (см. [2], [3]). Положительное целое число q в применении к С. о. м. э. играет роль, родственную той, к-рую играет обратная ширина спектрального окна в случае непараметрич. оценивания спектральной плотности с помощью сглаживания периодограммы (см. Спектральное окно, Статистические задачи теории случайных процессов). Имеются нек-рые методы оценивания оптимального значения q по данным наблюдений (см., напр., [1], [4], [5]). Значения коэффициентов βχ, . . ., β^, σ2 могут быть найдены, в частности, с помощью решения системы уравнений Юла — Уокера '•;+2J=1P/'-7=ffi; (5) существуют и другие, вычислительно более удобные, методы расчета этих коэффициентов (см., напр., [1] [4]-[6]). С. о. м. э. и обобщающие их спектральные оценки параметрические в случае относительно небольшого объема выборки или спектральных плотностей сложной формы обладают определенными преимуществами перед непараметрич. оценками функции /(λ): они обычно имеют более правильную форму и обладают лучшей разрешающей способностью, т. е. позволяют лучше различать близкие пики графика спектральной плотности (см. [1]> [4] — [7]). Поэтому С. о. м. э. широко используются в прикладном спектральном анализе стационарных случайных процессов. Лит.: [1] Modern spectrum analysis, N. Υ., 1978; [2] Ρ а г- ζ е η Ε., «Radio Sci.», 1964, v. 68, p. 937—51; [3] A k a i k e H., «Ann. Inst. Stat. Math.», 1969, v. 21, № 3, p. 407—19; [4] Nonlinear methods of spectral analysis, B. — [a. o.], 1979; [5] К е й С M., Марпл С. Л., «Тр. ин-та инж. электротехн. радиоэлектр.», 1981, т. 69, № И, с. 5—51; [6] Методы спектрального оценивания. Тематич. вып., там же, 1982, т. 70, № 9; L7J II и с а р е н к о В. Ф., в сб.: Вычислительная сейсмология, в. 10, М., 1977, с. 118—49. А. М. Яглом. СПЕКТРАЛЬНАЯ ОЦЕНКА ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ — оценка спектральной плотности /(λ) стационарного случайного процесса, отвечающая нек-рой фиксированной параметрич. модели /(λ) (τ. е. гипотезе о том, что функция /(λ) принадлежит определенному семейству спектральных плотностей, описываемых конечным числом параметров). При нахождении С. о. п. данные наблюдений над процессом используются лишь для оценки неизвестных параметров модели, т. е. задача оценивания спектральной плотности здесь сводится к статистич. задаче оценки параметров. Наиболее широко используемой на практике С. о. п. является спектральная оценка максимальной энтропии, отвеча-
105 СПЕКТРАЛЬНАЯ 106 ющая допущению, что функция [/(λ)]-1 представляет собой квадрат нек-рого тригонометрич. многочлена фиксированного порядка. Более общий класс С. о. п., сравнительно часто применяющийся в прикладных задачах, опирается на использование модели смешанного процесса авторегрессии-сколъзящего среднего, т. е. на предположение о том, что /(λ) представляет собой отношение квадратов модулей двух тригонометрич. многочленов фиксированных порядков (см. [1]—[3]). Лит.: [1] Nonlinear methods of spectral analysis, В.— [а. о.], 1979; [2] К ей С. Μ., Μ а ρ π л С. Л., «Тр. ин-та инж. электротехн. радиоэлектр.», 1981, т. 69, № 11, с. 5—51; [3] Методы спектрального оценивания. Тематич. вып., там же, 1982, т. 70, № 9. А. М. Яглом. СПЕКТРАЛЬНАЯ ПЛОТНОСТЬ стационарного случайного процесса или однородного случайного поля в /г-мерном пространстве — преобразование Фурье ковариационной функции стационарного в широком смысле случайного процесса или однородного в широком смысле случайного поля. Стационарные случайные процессы и однородные случайные поля, преобразование Фурье ковариационной функции к-рых существует, наз. процессами, имеющими С. п. Пусть *(*>={** «)>л=1— есть гс-мерный стационарный случайный процесс, а Χ(ί)=[β^Φ(άλ), Ф = {Ф«Л — J k— 1, П — его спектральное представление (Фк— спектральная случайная мера, отвечающая к-и компоненте Xk{t) многомерного случайного процесса X (£)); интегрирование здесь проводится в пределах — π<:λ<π в случае дискретного времени t и в пределах — οο<λ<+οο в случае непрерывного времени t. Процесс X (t) имеет С. п. /W = {/*fi(X)}^ii ι, η Ъ1 если все элементы **,,(Δ) = ΕΦΛ(Δ)Φ,(Δ), к, 1 = 1, спектральной рывны и В частности, выполняется меры F= {Fki)k~hJl абсолютно непре- /*,ί(λ) = - Ч ι Ш если для процесса соотношение Х(0. *=0, ±1, ΣΙ. ,|я*,*(*)1 < °°» к> ζ=1> *' где B(t)^{B^l(t)}^^{^XAt + s)Xl(s)}l-J^n — ковариационная X(t), то X{t) имеет С. п. и функция процесса 1к% г (λ) = (2π)"ΐ 2"= _ β Вкл (t) exp {-ίλί}, — οο < λ < οο, к, Ζ = 1, η. Аналогично обстоит дело и в случае процессов X (t) с непрерывным временем t. С. п. /(λ) иногда наз. спектральной плотностью 2-го порядка, в отличие от старших С. п. (см. Спектральный семиинвариант). Однородное д-мерное случайное поле Χ (ί1? . . ., tn) имеет С. п. /(λχ, . . ., λ„), если его спектральная функция F (klf . . ., λη) обладает тем свойством, что ее смешанная производная dtlF/dX1 . . . θλη существует почти всюду, причем / (λι, · ^(λι -.Яя)=5 Xn) = d"F/dK1 . ■··$£■/<*.·■ J Λ-ο/г + const. μη) άμ1 άμη + Лит.: [1] Прохоров Ю. В., Розанов Ю. Α., Теория вероятностей, 2 изд., М., 1973; [2] Розанов Ю. Α., Стационарные случайные процессы, М., 1963. И. Г. Журбенко. СПЕКТРАЛЬНАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ — последовательность дифференциальных модулей, каждый из к-рых является модулем гомологии предшествующего дифференциального модуля. Обычно рассматривают С. п. биградуированных (реже градуированных или триградуированных) модулей, к-рые изображают графически в виде наложенных друг на друга таблиц на плоскости. Более общо, рассматривают также С. п. объектов произвольной абелевой категории (напр., бимо- дулей, колец, алгебр, коалгебр, алгебр Хопфа и т. д.). Все известные С. п. полу- Λ чаются из точных пар. Τ оч- ^ι [ ^ D1 ной парой (D1, Е1, i1, 71, к1) наз. точная диаграмма вида Гомоморфизм d1=j'1k1 является дифференциалом в Е1. По каждой точной паре можно построить производную точную пару (D2, Е2, i2, /2, к2), для к-рой D2=hn i1 и Е2==Н(Е1, d1). Итерирование этой конструкции дает С. п. Е={Еп, dn). 1) С. п. Л ере. Фильтрованный цепной комплекс модулей ({Кр}, d) определяет точную пару биградуирован- ныхмодулей Dlq=Hp + q(KP), Е\, д=Нр+д(КР/Кр~Ч. В ассоциированной С. п. бистепень дифференциала dr равна (—г, г—1) и е'р.,= кегК; Ц Р> p-r+1, q + r-2 ) lm{Hp+q(KP/K.P l,q-r+2' p + r-l,q-r + -r Hp + qdiP/KP-1)) -Чкр)- 7+g(Kp)-+H lm(d:Hp+q + 1(Kp + r Модули Fp^Q=lm(Hp трацию в Н%(К). Биградуированный модуль ι/ρ Hp+qiKP/KP-1))· p+g(K)) образуют фильтр, q = Fp, ql lm(Hp+q(KP)—· -ι, q + l = p+q(kp/kp- l)) lm(d:Hp+q + i (ΚΙΚΡ)- наз. присоединенным {Kp} наз. регулярной, •Hp+qW/KP-1)) к #* (К). Фильтрация если Кр=0 при р<0, Eptq=0 при q<0 и K=\JKp. Для регулярной фильтрации ETPrq=0 или р<0 или 2<0; такая С. п. наз. С. п. первой четверти. Кроме того, z==Ep*q^Eptq при r>max(p, q+i). В этом говорят, что С. п. сходится к Н%(К), и пишут =$>Hp + q (К). 2) С. п. Л ере- Серра. Частный случай С. п. Лере возникает из цепного (или коцепного) комплекса фильтрованного топологич. пространства. Напр., фильтрация клеточного разбиения X его остовами дает вырожденную С. П. Ер, q^=S>Hp+q(X), ДЛЯ К-рОЙ ЕР, Я= случае EP,Q- Ер, q—>Hp+q (X), =Ept q=0 при q=£0 и En, 0=£~ o=#n (X). С. п. Лере — Серра получается из фильтрации тотального пространства Ε расслоения в смысле Серра F-+E-+B прообразами р-1 (В") остовов Вп базы В. Если слой F и база В
107 СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ линейно связны, то для каждой группы коэффициентов G это дает С. п. Erp% q=±>Hp + q(E, G) с дифференциалами dr бистепени ( — г, г—1), для к-рой 4, * ^ ^ (5) ® ^ (F\ G) и Я*, , ^ (2?; 5?, (*,<?)), где fflq (F; G) — система локальных коэффициентов над В, состоящая из групп Hq(F; G). При этом гомоморфизм ц : Hn(F; G)-+Hn(E; G) совпадает с композицией Нп (F; G) — Eq> π —> i?o, п~Ео, η — F0i η CI Нп (E; G), а гомоморфизм р:И : Hn(E\ G)-*-Hn{B\ G) совпадает с композицией Нп (Е; G) = Fn% о — Еп, ο = /?ί, оС1 Ε 2п, 0 = Нп(В; G), где г достаточно велико. Дифференциал $п, о С. п. совпадает с трансгрессией', τ : Нп(В\ G) -> Hn-i(F; G). Этой гомологич. С. п. Л ере — Серра двойственна когомологич. С. п. Лере — Серра Εψ Q=>Hp + q{E; G) с дифференциалами dr бистепени (г, —г +1), для к-рой Εξ'ρ^Ηρ (В; fflq(F; G)). Если G является кольцом, то каждый член Ег является биградуированным кольцом, дифференциал dr является дифференцированием кольца Ег и умножение в Ег + 1 индуцировано умножением в Ег. Если G — поле и база В односвязна, то £2*= ^Я* (В; G)®H* (F; G). 3) С. п. А т ь и — X и ρ ц о б ρ у χ а (—Уайт- х е д а ) получается применением функтора обобщенных (ко)гомологий Λ* } к той же фильтрации пространства Е. В ее когомологич. варианте Εψ Q=5>hp + Q(E), Ep2'q=Hp(B', hi(F)). В отличие от С. п. Лере — Серра С. п. Атьи — Хирцебруха для тривиального расслоения id : Х->Х, вообще говоря, невырождена. 4) С. п. Эйленберга — Мура ассоциирована с каждым квадратом расслоений Е-+Х \ I. Y-+B 108 М., 1970; [2] Фукс Д. Б., Φ о м е н к о А. Т., Г у т е н- м а х е ρ В. Л., Гомотопическая топология, М., 1969; [3] С е ρ ρ Ж. - П., в кн.: Расслоенные пространства и их приложения. Сб. переводов, М., 1958, с. 9—114; [4] Μ а к л е й н С, Гомология, пер. с англ., М., 1966; [5] К а р т а н Α., Э й л е н- берг С, Гомологическая алгебра, пер. с англ., М., 1960; [б] Спеньер Э., Алгебраическая топология, пер. с англ., М., 1971; [7] X у С ы - ц з я н, Теория гомотопий, пер. с англ., М., 1964; [8] Г о д е м а н Р., Алгебраическая топология и теория пучков, пер. с франц., М., 1961; [9] Новикове. Ц., «Изв. АН СССР. Сер. матем.», 1967, т. 31, с. 855—951; [10] Adams J. F., Stable homotopy and generalised homology, Chi.—L., 1974; [11] SwitzerR. M., Algebraic topology: homotopy and homology, В.— Hdlb.— N. Y., 1975; [12] Smith L., Lectures on the Eilenberg-Moore spectral sequence, В.—Hdlb.—Ν. Ύ., 1970; [13] RavenelD. С, в кн.: Geometric applications of homotopy theory, II, B.— Hdlb.— N. Y., 1978, p. 404—75. С. H. Малыгин. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ дифференциальных операторов — раздел общей спектральной теории операторов, к-рый изучает спектральные свойства дифференциальных операторов в различных пространствах функций, особенно в гильбертовых пространствах измеримых функций. Пусть Qn — область в Rn, Г — ее граница, В ее когомологич. Ег V*) (#*(*, Я); варианте φ Η* [Ε; Я), Εξ' q ~Τοι·?/Λ Я* (У, Я)). Если R — поле и квадрат состоит из Я-пространств и Я-отображений, то эта С. п.— в категории биградунро- ванных алгебр Хопфа. 5) С. п. А д а м с а Е)' t пишется для каждого простого р^2 и любых пространств X и У (удовлетворяющих нек-рым условиям конечности). Для нее £*'аЕ1^(Я*(1; гР)\ Я* (У; Чр)), где Ар— Стинрода алгебра mod р. Бистепень dr равна (г, г—1). Эта С. п. сходится в том смысле, что при г>5 существует мономорфизм Esr'Ji-+Ebr и, значит, определена группа Es^ *= Π r>sEsr' К Существует такая убывающая фильтрация {Fs} группы {Υ, Χ } стабильных гомотопич. классов отображении Y-+X, что Fs {s*-sYX}/Fs + i {St-SY, X} ~ Eli \ a F°°= Π s^oFs состоит из всех элементов группы {У, X } конечного порядка, взаимно простого с р. Эта С. п. при X = Y=S° позволяет «в принципе» вычислить р- компоненты стабильных гомотопич. групп сфер. С. п. Адамса обобщена А. С. Мищенко и С. П. Новиковым на произвольные обобщенные теории когомологий. Имеются также обобщения С. п. Адамса, сходящиеся к нестабильным гомотопич. группам. Лит.: [1] Μ о ш е ρ Р., Τ а н г о ρ а М., Когомологические операции и их приложения в теории гомотопий, пер. с англ., — линейный дифференциальный оператор (д. о.) м«>=2|в1<тД./<*>яв»|г=°. к/<". — краевые условия, заданные линейными д. о. /у х=(хъ ..., хп), D = {D1, ..., Dn) (1) и (2) Здесь D/=- а = (аь ал), aj — неотрицательные цельте числа, \а\=а1-\-. . ,+а„у, Da=Dr*1. . .D^n, а функции аа и Ьа]· определены в Ωη и Г соответственно. В дальнейшем везде, где нет особых оговорок, предполагается, что аа и Ьа/ —достаточно гладкие функции при п>\ и а1п(х)фЬ при всех χ ζ (α, 6), если n~i и Q1—(a1 b). Самосопряженные расширения д. о. Пусть L'o — д. о., к-рый задается выражением (1) на функциях из Го° (Ω„), τ. е. имеющих производные любого порядка и обращающихся в нуль вне компакта, лежащего внутри Ω„. Если для любой пары функций и (х) и и(х) из С^ (Ω„) δΩ Ι (χ, D, и) ν (1χ— \ ιιϊ (χ, D, ν) dx, (3) το L0 наз. с и м м е τ ρ и ч е с к и м д. о., а I — формально самосопряженным д. о. Пусть L0— замыкание д. о. L'0 в L2(Qn). Тогда д. о. L0 и сопряженный к нему L*0 соответственно наз. минимальным и максимальным операторами, порожденными l(x, D); L0 — расширение д. о. LQ. Важной задачей теории д. о. является описание L0 и Lq, а также всех самосопряженных расширений д. о. L0. Здесь можно применять абстрактную теорию расширений симметрич. операторов. Однако для д. о. самосопряженные расширения часто удается описать в терминах граничных условий. Пусть Н± = {и(х)\и(х) ζ D(LZ), L*0u=± iu\ дефектные подпространства оператора (4) =0, то V=£*., и д. о. L* наз. с у щ е с т- dim H± венно самосопряженным. Любые из следующих условий достаточны для существенной само-
109 СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ 110 сопряженности д. о. L'0 в L2(Rn), Формально самосопряженный д. о. l(x, D) имеет вид -Х/=1 Д*«*/(*>Л/ + «<*). х$ R"> (5) с действительными коэффициентами, и Lq ограничен снизу; имеет вид (5), является эллиптическим, a^j ~~ постоянные, q(x)^—Q(\x\), Q (г) монотонно не убывает и интеграл ^Q'1''2 (r)dr ---co; имеет постоянные и действительные коэффициенты; имеет ограниченные коэффициенты, а главный член— эллиптич. типа с действительными и постоянными коэффициентами. Пусть д. о. L0 имеет конечные индексы дефекта и±= =dim Я±, что является характерным для обыкновенных д. о. В этом случае числа п± совпадают с размерностями подпространств решений уравнений l(u) = ±iu из L2(a, b). Поэтому п±<т и вычисление индексов дефекта д. о. связано с качественной теорией и асимптотич. методами обыкновенных дифференциальных уравнений. Пусть /? = 1, χ ζ (я, Ь). Если п + фп_, то д. о. Lq не имеет ни одного самосопряженного расширения. Если « + =/?_ ~ к, то для самосопряженности расширений д. о. Lq надо задавать А· граничных условии и они полностью описаны. Граничные условия принимают простой вид, когда выражение L'0 имеет два регулярных конца или имеет один регулярный конец, но т= ■= 2Λ-, η , —к. Конец а паз. регулярным, если а>~со и ——-, dj(x), ()■</<:иг — 1 суммируемы на [я, β] при любом β<6. Имеются примеры д. о. с частными производными в L2(Rn), /г>3, с разрывными коэффициентами и с конечными индексами дефекта, но их теория еще слабо развита. В терминах граничных условий онисаны не все самосопряженные расширения симметрич. д. о. с частными производными в ограниченной области, но описаны разнообразные расширения с заданными свойствами. Пусть I — формально самосопряженный эллиптический д. о. четного порядка т = 2к с действительными коэффициентами, C^(Qn) — множество всех функций, имеющих производные любого порядка в ограниченной замкнутой области Ω„ и удовлетворяющих краевым условиям типа Дирихле £>ан= О, #ζ Γ, |α| <.к— 1. Тогда д: о., определенный выражением I с областью определения С% (Ωη), является симметрическим, а его замыкание Lm — самосопряженным. Имеются другие примеры конкретных самосопряженных краевых условий для д. о., из них наиболее полно изучены д. о. 2-го порядка с краевыми условиями типа Дирихле, Неймана и третьего рода. Спектральный анализ самосопряженного д. о. Всякий самосопряженный д. о. L допускает спектральное разложение вида L-y_lkdEk, (Г,) где Ελ — разложение единицы (ортогональное семейство проекторов). Однако общая формула не дает непосредственного разложения по собственным функциям конкретных самосопряженных д. о., и поэтому важно уметь семейство Ελ выразить с помощью собственных функций. Если самосопряженный д. о. L имеет дискретный спектр {λβ} с соответствующими ортонорми- рованными собственными функциями {φ&(.τ)}, то Ελ — интегральный оператор с (спектральным) ядром Е(х,у, λ) = Σ-Μ(.ιλ]Φ» <*> Φ»*")· <7> При наличии непрерывного спектра у д. о. вопрос становится сложным: для непрерывного спектра нет собственных функций из L2(Qn). Однако имеют место следующие результаты. Пусть L — самосопряженный обыкновенный д. о. вида (1) в L2{— оо, оо), φχ (χ, λ), . . ., φ/Λ(^, λ) — фундаментальная система решений уравнения 1и~Хи. Тогда существует монотонная матричная функция σ(λ) = ||σι·>/· (λ)||7Ι f=i (спектральная мера) такая, что разложение единицы Ελ д. о. L задается ядром Е(х, у, W = $*2jy=1<P«'(*. λ>Φ/<0' λ)ί/σι7(λ). (8) Далее, для любой функции / (х) из L2(-—oo, оо) интеграл {^/(λ)} = {5^φ/(χ, λ)/(ί)£/.τ| (9) сходится в пространстве вектор-функций L2(—оо, со; do (λ)), порожденном мерой σ(λ), и обратно, интеграл -«,Σί, /=1Μλ)<Ρ/(*, λ)*σι7(λ) сходится к /(χ) в L2(— оо, оо). Если выражение (1) имеет один регулярный конец а и т = 2к< а индексы дефекта п± = к, то функции φ2 (χ, λ), . . ., Ф/е(.г, λ) выбираются так, чтобы они образовали фундаментальную систему в классе решений уравнения 1и~Ки, удовлетворяющих краевым условиям в а, и в этом случае порядок спектральной меры будет равен к. Пусть L — самосопряженный эллиптич. д. о. в L2(Un). Тогда его разложение единицы Ε — интегральный оператор с ядром Ε (χ, г/, λ) и существует неубывающая функция ρ (λ) такая, что для любых чисел λχ и λ 2 имеет место Е(х, у, kL)-E(r, у, λ2)= $£<Р(*", /Λ λ)Γ/ρ(λ), (10) при этом при каждом λ существует конечная или бесконечная система {φ/(я, λ)} решений уравнения 1и — ~λΐ£ И <Р(*, V, λ) = 2.φ/(.Γ, λ) φ/(у, λ). (И) Для оператора Шрёдингера Lu=—ku+q(x)u, ,ζζΙΚ3, при условии \q(x)\<c (1+ (.г|)-2-8 ядро Ζ? (.ζ, г/, λ) явно выражается через решения задачи теории рассеяния. Для произвольных самосопряженных д. о. с частными производными также справедливы формулы (10), (11), в этом случае {q>/(x, λ)} могут быть обобщенными функциями, но конечного порядка. Характер сходимости разложения по собственным функциям д. о. и асимптотич. свойства спектрального ядра помогают в обосновании метода Фурье при решении уравнений математич. физики. Для обыкновенных д. о. имеет место следующий окончательный результат — теорема равносходимости: разложения заданной суммируемой функции но собственным функциям д. о., ограниченного снизу, и интеграл Фурье сходятся или расходятся в точке одновременно. Для д. о. с частными производными вопрос становится сложным. Качественная теория спектра д. о. занимается изучением природы спектра в зависимости от поведения коэффициентов, геометрии области и граничных условий. Имеется серия признаков дискретности спектра д. о. Наиболее общим является следующий критерий и его обобщения: если q(x)~^\, то для дискретности
Ill СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ 112 спектра д. о., порожденного выражением 1и— — н"+ Jrq(x)u в L2(—оо. оо), необходимо и достаточно, чтобы для любого />0 lim \ q (t) dt = оо. Для д. о. с частными производными обобщение этого критерия принимает более сложный вид. Имеются другие, более простые признаки дискретности спектра д. о., напр. самосопряженный д. о., порожденный выражением (5), будет иметь дискретный спектр, если q(x)-*-oo при |.х|->оо; самосопряженный д. о. Lm имеет дискретный спектр. Изучение природы спектра при наличии непрерывной части становится трудной задачей. Вот нек-рые результаты: 1) если обыкновенный д. о. определяется формально самосопряженным выражением (1) с периодич. коэффициентами на (—оо, оо) с общим периодом, то его спектр непрерывный и состоит из последовательности непересекающихся интервалов, концы к-рых стремятся к —оо или +оо; 2) если д. о. определяется выражением (_1)*(Л}+ . . . +D*n)k+q{x) BL2(Rn) и lim q(x)= =0, |д:|->+оо, непрерывный спектр его заполняет [О, оо], а отрицательный спектр дискретный и может иметь предельную точку в нуле. Если A=l, |g(#)|<: <М{\х\) и С" rM (r)dr < оо (М(г) = 0(г""1)), то отрицательный спектр будет конечным (на непрерывном спектре нет собственных значений). Природа спектра зависит также от граничных условий. В ограниченной области описаны конкретные граничные условия, при выполнении к-рых самосопряженный д. о. Лапласа имеет непрерывную часть спектра. Это — результат бесконечности индексов дефекта минимального д. о. Лапласа в области с границей. Функции от самосопряженного д. о. изучаются с целью решения смешанных задач для дифференциальных уравнений, а также для внутренних задач теории д. о. Пусть L — эллиптич. д. о. порядка т. Хорошо изучена резольвента (L+λ)-1 при λ>0 и функции ехр (—Lt) и exp (iL^mt) при £>0. Последние являются разрешающими операторами для обобщенного уравнения теплопроводности ut=— Lu, и (О, x)=f(x) и обобщенного волнового уравнения Uf=iL 'mu, w(0, х)= =f(x). Все три оператор-функции являются интегральными с ядрами R(x, г/, λ), Κ (χ, г/, tj, G(x, у, t) (функции Грина) соответственно. Формула Я{х,У, Ь)=^е-НК(х,у, t)dt (12) устанавливает связь между R и К. Нек-рые свойства R (х, у, λ): если L — эллиптический самосопряженный д. о. порядка т в L2(Qn), то при р>п/2т оператору {L-\-X)-P отвечает ядро типа Карлемана; при р>п/т оператор (Lm-\-X)~P является ядерным и поэтому $ρ(ί + λ)-ρ = Σ^{ (λ* + λ)"', (13) где {λk] — собственные значения д. о. Lm. Имеются и другие признаки ядерности оператора (L-{-X)~P bL2(R«). Аналитич. и асимптотич. свойства функций Грина дают полезную информацию о спектральных характеристиках д. о. L. Напр., если в (13) известно поведение Sp(LJrX)~P при λ->οο, то применение тауберовых теорем позволяет найти асимптотику Xk. To же самое удается, если известна асимптотика «S^exp (—Lt) при £-H~0. Асимптотика R (χ, у, λ) и К (х, у, t) устанавливается, напр., методом параметрикс, методом потенциалов и т. д. Так, на этом пути удалось найти асимптотику λ^ для обширного класса эллиптич. д. о. Для определения асимптотики спектрального ядра Ε (χ, //, λ) эллиптич. д. о. оказалось эффективным изучение асимптотики ядра G (л·, у, t) при t-+0 с дальнейшим применением различных тауберовых теорем. В частности, при х~=у, х(£Т ^('.*. « = (&)--^Λξ)<λ«+ο(λ<'·->/-). Несамосопряженные д. о. Наиболее полные результаты имеются для обыкновенных д. о. на конечном отрезке. Пусть д. о. L определяется выражением (1) при n—i, am(x)^=i на функциях, имеющих (пг—1) абсолютно непрерывные производные и удовлетворяющие краевым условиям: lvJu) + lVi{u) = 2vu(kv) (OJ + JJ**"1 α !/<'>(0) + Здесь m—\^k{^. . .^km^0, kv-2<kv и числа av, by одновременно не равны нулю. Пусть краевые условия (2) являются регулярными. Таковыми будут краевые условия типа Штурма — Лиувилля (m=2k, lv (u) = — lv (ы)=0, l<v<m—1) и периодич. типа (αν =βν = 1). Тогда д. о. L имеет бесконечное число собственных значений, к-рые имеют точную асимптотику; система собственных и присоединенных функций д. о. L полна в Lp(0, 1); разложение функций f(x) из D (L) по собственным и присоединенным функциям д. о. L сходится равномерно на (О, 1]. Факт полноты системы собственных и присоединенных функций имеет место также при нек-рых нерегулярных краевых условиях, в частности типа распадающихся (lv (и) — 0, l-^v^wij, lv (w)=0, l<:v<:m2, тхфт2, m1-\-m2=m), однако сходимость разложения в ряд по собственным и присоединенным функциям справедлива только для узкого класса (I- аналитических) функций. Пусть L0 — самосопряженный оператор в сепарабель- ном гильбертовом пространстве Η — имеет собственные значения {λ^} и при нек-ром /?>0 оператор Lqp является ядерным. Пусть Lt— другой оператор такой, что Ζ/χΖ/ά"1 является вполне непрерывным. Тогда система собственных и присоединенных векторов оператора L0~\-L1 полна в Η (τ е о ρ е м а Келдыша). Применение этой теоремы дает классы д. о., к-рые имеют полную систему собственных и присоединенных функций. Пусть Lm — д. о. в L2 (Ω„) и тогда система собственных и присоединенных функций для д. о. Lm-\-L1 полна в L2(Un). Однако разложение функции в ряд по этой системе, вообще говоря, расходится и суммируется со скобками по обобщенному методу Абеля. Если область Ωη неограничена, то для выполнения условий теоремы Келдыша надо налагать дополнительные условия на рост коэффициентных функций д. о. Мало изучены несамосопряженные д. о. с непрерывной частью спектра. Это связано с тем, что для них нет аналога теоремы о спектральном разложении. Исключение составляет д. о., порожденный выражением — 77^+9 Μ При Я ζ [0, 00 ) ИЛИ χζ_ (—00, 00 ) С КОМПЛвК- снозначной функцией q(x). Пусть φ (х, к) является решением уравнения —и^-\-q (х)и—к2и при 0<я<оо и удовлетворяет начальным условиям φ (0, к)= 1,
ИЗ спектра л ι φ'(0, k)=h. Пусть fx (χ) и /2 (χ) — финитные функции из L2(0, oo) и Ρ/{1*) = ^ζ f/(x)q>(x, k)dx. Тогда существует линейный функционал R на линейном топологич. пространстве G такой, что FtF2£G, (R,F1F2)=^f1(x)f2(x)dx. Пространство G — множество всех целых четных функций первого порядка роста конечного типа, суммируемых на действительной оси. Если xq(x)^L1 (О, оо), то R явно вычисляется. В этом случае на непрерывном спектре появляются спектральные особенности — полюсы ядра резольвенты, к-рые не являются собственными значениями д. о. Спектральные особенности присущи несамосопряженным операторам и из-за них вопросы разложения (и его сходимость) по собственным функциям принимают более сложный характер. Для д. о. Lu = (— D\ — Dl — Dl + q (x)) и в L2 (R3) в предположении, что комплексная функция q(x) убывает экспоненциально, также найден вид спектрального разложения через решение задачи теории рассеяния с учетом влияния спектральных особенностей . В обратных задачах спектрального анализа требуется определение д. о. по нек- рым спектральным характеристикам.. Полностью решены задачи определения одномерных дифференциальных уравнений Шрёдингера и систем типа Дирака по спектрам различных расширений, по спектральной мере, по данным рассеяния, т. е. по асимптотич. поведению нормированных собственных функций, и т. д. Обратные задачи нашли приложение в интегрировании нелинейных уравнений. С. т. дифференциальных операторов возникла в связи с исследованиями колебания струны и вызвала к жизни теорию ортогональных разложений (18—19 вв.). Систематич. изучение самосопряженного д. о. 2-го порядка на конечном отрезке начинается с 1830 (Штурма — Лиувилля задача) и в 19 в. было предметом многих исследований, в частности в связи с теорией специальных функций. Однако замкнутость системы собственных функций д. о. Штурма — Лиувилля была доказана только в 1896, тогда же изучен и характер сходимости разложения по собственным функциям. Теория сингулярных д. о. берет свое начало в 1909— 1910, когда было найдено спектральное разложение самосопряженного неограниченного д. о. 2-го порядка с произвольной структурой спектра и, по существу, введено понятие индекса дефекта и получены первые результаты по теории расширений. Интерес к сингулярным д. о. возрос с 1920 с возникновением квантовой механики. Систематич. исследование несамосопряженных сингулярных д. о. началось с 1950, когда были заложены основы теории операторных пучков и указан метод доказательства полноты системы собственных и присоединенных функций для д. о. Лит.: [1] Б е ρ е з а н с к и й Ю. М., Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов, К., 1965; [2] Г л а з м а н И. М., Прямые методы качественного спектрального анализа сингулярных дифференциальных операторов, М., 1963; [3] ДанфордН., Ш в а р ц Д ж. - Т., Линейные операторы, пер. с англ., ч. 2, М., 1966; [4] К а т о Т., Теория возмущений линейных операторов, пер. с англ., М., 1972; [5] Л е в и τ а н Б. М., С а р г с я н И. С, Введение в спектральную теорию, М., 1970; [6] Марченко В. Α., Спектральная теория операторов Штурма — Лиувилля, К., 1972; [7] Η а й м а р к Μ. Α., Линейные дифференциальные операторы, 2 изд., М., 1969; [8] Τ и τ ч м а р ш Э. Ч., Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка, пер. с англ., ч. 1—2, М., 1960—61; [9] Φ а д д е е в Л. Д., «Тр. Матем. ин-та АН СССР», 1963, т. 69; 1964, т. 73, с. 314—36; [10] Алимов Ш. Α., Ильин В. Α., Никишин Ε. Μ., «Успехи матем. наук», 1976, АЯ ТЕОРИЯ 114 т. 31, в. 6, с. 28—83; 1977, т. 32, в. 1, с. 107—30; [11] Бере- занский Ю. М., «Укр. матем. ж.», 1974, т. 26, в. 5, с. 579— 590; [12] Гасымов М. Г., «Тр. Моск. матем. об-ва», 1968, т. 19, с. 41—112; [13] Левитан Б. Μ., Γ а с ы м о в М. Г., «Успехи матем. наук», 1964, т. 19, в. 2, с. 3—63; [14] Дубровин Б. Α., Μ а т в е е в В. Б., Η о в и к о в С. П., там же, 1976, т. 31, в. 1, с. 55—136; [15] К о,с τ ю ч е н к о А. Г., в кн.: IV летняя математическая школа, К., 1968, с. 42—117; [16] Хёрмандер Л., «Математика», 1969, т. 13, № 6, с. 114—37. М. Г. Гасымов. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ линейных операторов— раздел функционального анализа, изучающий структуру линейного оператора на основании свойств его спектральных характеристик (расположения спектра, поведения резольвенты, асимптотики собственных значений и т. д.). При этом под описанием структуры оператора может пониматься нахождение эквивалентного ему оператора в фиксированном классе конкретных (часто функциональных) моделей; определенный способ его восстановления из совокупности более простых операторов (напр., в форме прямой суммы или прямого интеграла); отыскание базиса, в к-ром матрица оператора имеет наиболее простой вид, доказательство полноты системы корневых векторов; полное описание решетки инвариантных подпространств, выделение максимальных цепочек инвариантных подпространств (треугольное представление); построение достаточно широкого функционального исчисления и т. д. Весьма популярна (и плодотворна) в С. т. идея разложения оператора в прямую сумму операторов, соответствующую разбиению его спектра. Первые (для пространств бесконечной размерности) результаты такого рода получил Ф. Рисе (F. Riesz, 1909), предложивший следующую конструкцию. Пусть Τ — ограниченный линейный оператор в банаховом пространстве X, о(Т) — его спектр, Ατ(λ) — его резольвента (т. е. RT(X)=(T—XI)~11 λζ£\σ(Τ)); тогда формула f(T) = (2ni)-i(f)rf(X)RT(X)dX, где Г — произвольный контур, охватывающий σ(Γ), определяет функциональное исчисление на алгебре ростков голоморфных функций в окрестности σ(Γ). Если δ — открыто-замкнутое подмножество σ (Τ) и / — функция, равная 1 в окрестности δ и 0 в окрестности σ(Γ)\δ, то получается проектор Ρτ(δ), перестановочный с Τ и такой, что σ(Τ\Ρτ (δ)Χ)=δ. Более общая Ст. основывается на понятии спектрального подпространства. Спектральным многообразием оператора Г, соответствующим замкнутому подмножеству δζσ(Τ), наз. совокупность Хт (δ) всех векторов х£Х, имеющих в С\б локальную резольвенту (т. е. аналитическую Х-значную функцию /(λ), удовлетворяющую условию (Г—λ/)/(λ)=ζ, λζ€\ \δ); спектральное подпространство — это замыкание спектрального многообразия. Если любые две локальные резольвенты одного и того же вектора совпадают на пересечении областей их определения (это означает, что локальная резольвента нулевого вектора равна нулю — условие, выполненное, напр., для всех операторов без собственных значений), то говорят, что оператор имеет свойство однозначного распространения. В этом случае для каждого х£Х определена локальная резольвента с максимальной областью определения, дополнение к к-рой наз. л о- кальным спектром оператора Τ на векторе χ и обозначается σ(7\ χ). Таким образом, для оператора Г, обладающего свойством однозначного распространения, Χτ(δ) = {χ £ Χ:ο(Τ, χ) α δ}; если при этом Хт($) замкнуто, то σ(Τ\Χτ (δ))αδ. В общем случае аналогичное включение для спектральных подпространств не выполнено. Спектральные под-
115 СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ не пространства удовлетворяют условию дуальности %т (&i)l^dXt* Ф2) (^1 и 62— непересекающиеся замкнутые множества), однако другое естественное условие Χτ@ι)1^Χτ*(β2) (Gi и G2 открыты, Gl\jG2=o(T)) может нарушаться. Это включение становится справедливым, если его правую часть заменить «слабым спектральным подпространством» Хт (G2) (по определению, Χ*γ (6) состоит из векторов χζΧ, для к-рых каждому ε>0 поставлена в соответствие аналитическая Х-значная функция /ε (λ) со свойством ||(Г—λ/)/β (λ) — я||<е, λξ€\δ). Известны достаточные условия более сильной отделимости спектра. В частности, для операторов с вещественным спектром условие умеренности роста резольвенты J0 log + log+ (sup IIRT (s+it) ||) dt < 00 влечет существование (для любого открытого покрытия спектра) семейства Г-инвариантных подпространств с вписанными в покрытие спектрами сужений, линейно порождающих X. Фактически такие операторы принадлежат классу разложимых операторов, к-рый можно определить требованием замкнутости спектральных многообразий и следующим условием: для любого открытого покрытия {G[ }JLi спектра Τ подпространства XT(G{) линейно порождают X. Этот класс операторов содержит все операторы, резольвенты к-рых удовлетворяют условию аналитич. мажорантности (таковы, в частности, компактные операторы, слабые возмущения спектральных операторов, мультипликаторы рядов Фурье в IP, /-симметричные операторы) и устойчив относительно аналитич. отображений и (при нек-рых ограничениях) предельных переходов, относительно образования сужений и факторов. В то же время обилие спектральных подпространств (при достаточно богатом спектре) обеспечивает содержательность С. т. Построен пример оператора, находящегося вне рамок каких бы то ни было спектральных разложений ввиду того, что спектры всех его сужений на инвариантные подпространства совпадают с отрезком [0, 1]. Даже в случае разреженного спектра сужения оператора на спектральные подпространства могут обладать достаточно сложным строением (тонкой структурой). Так, всякий полюс резольвенты — собственное значение, подъем к-рого (максимальная из длин корневых цепочек) равен порядку полюса; соответствующее спектральное подпространство является корневым подпространством. В случае операторов, действующих в конечномерных пространствах, это приводит к разложению оператора в прямую сумму жордановых клеток, построенных по корневым цепочкам. Аналоги жорданова представления занимают важное место и в общей Ст.; при этом роль жордановых клеток могут играть операторы с одноточечным спектром и циклич. вектором, операторы с линейно упорядоченной решеткой инвариантных подпространств (такие операторы наз. одноклеточными; среди операторов в конечномерных пространствах таким свойством обладают только жор- дановы клетки) или операторы, имеющие простые конкретные представления (модели). Однако возможность такого разложения не универсальна — существуют операторы, решетка инвариантных подпространств и спектр к-рых устроены слишком сложно, чтобы их можно было считать элементарными «клетками», в то же время не обладающие ни одной парой непересекающихся инвариантных подпространств. Более того, неизвестно (1984), всякий ли ограниченный оператор (в пространстве, размерность к-рого больше 1) обладает нетривиальным инвариантным подпространством. Положительный ответ на этот вопрос получен для компактных операторов, операторов, перестановочных с компактными, близких к эрмитовым или унитарным, субнормальных, а также принадлежащих нек-рым специальным классам. Часть результатов конечномерной Ст. имеет простые аналоги в С. т. компактных операторов. Так, спектр компактного оператора не более чаж счетен и его точкой сгущения может быть лишь 0, ненулевые точки спектра являются полюсами резольвенты, причем корневые подпространства конечномерны, сопряженный оператор имеет ту же структуру сужений на корневые подпространства. Однако даже в том случае, когда точечный спектр достаточно богат и корневые векторы оператора Τ порождают все пространство X (в таких случаях говорят, что Τ — полный оператор), разложение X в прямую сумму корневых подпространств может быть неосуществимо из-за геометрич. особенностей их взаимного расположения. Если пространство X — гильбертово (в этом случае будем писать Η вместо X), то всякий компактный оператор. Τ ξ J? (Я) представляется в виде суммы ряда т. е. ^ где {sn} — невозрастающая последовательность положительных чисел, а {/„} и {<?„} — ортонормированиые системы. Числа sn=sn (Τ) наз. сингулярными числами, или s-числами, оператора Г; они совпадают с собственными значениями оператора (Г7,*)1/2, занумерованными в порядке убывания с учетом крат- ностей. Кроме того, sn (Γ) = ίηί||ΓΡ||, где Ρ пробегает множество проекторов коранга η (минимаксная харак- теризация сингулярных чисел), и sn (T) совпадает с расстоянием от Τ до множества операторов ранга и, что количественно выражает соответствие между скоростью убывания сингулярных чисел оператора и его близостью к операторам конечного ранга. На этом основаны оценки сингулярных чисел для сумм и произведений, из к-рых следует, что определенные условия на скорость убывания «-чисел выделяют идеалы в алгебре операторов. В частности, ур={Т:\Т\р=(2*Ц(Т)У','> <*>)- идеал, являющийся при р^1 банаховым пространством относительно нормы \Т\„. Пространство γ2 — гильбертово, его элементы наз. оператора м и Гил ь- берта — Шмидта; любой £2-реализации пространства Η соответствует представление всех операторов Гильберта — Шмидта интегральными операторами с квадратично суммируемыми ядрами. Операторы из γ! наз. ядерными или операторами со следом: определенный на идеале операторов конечного ранга след продолжается до непрерывного функционала на уг, значение к-рого на любом операторе совпадает с суммой (ряда) диагональных элементов его матрицы, а также с суммой собственных значений. Для операторов вида /+2\ где Τζγχ, вводится понятие определителя (бесконечное произведение, составленное из собственных значений): функция det (/—μ Γ) наз. характеристическим определителем оператора Т. Характеристич. определитель является естественным обобщением характеристич. многочлена матрицы и, ввиду наличия удобных оценок, играет полезную роль в С. т. ядерных операторов. В частности, резольвента оператора T^yv выражается через характеристич. определитель тю формуле (восходящей к Э. Фредгольму, Е. Fredholm, 1903) RT (λ) = /Ύ (λ™1) det (/-λ-1?1)-1,
117 СПЕКТРАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ 118 где FT — целая оператор-функция, коэффициенты к-рой выражаются в терминах «частичных следов» оператора Т. Получаемые таким образом формулы и оценки резольвенты переносятся на операторы из ур, р>1 (что важно для приложений), и приводят к следующим критериям полноты: 1) если Г—Л (I~\-S), где А=А* £ур, S компактен и Кег Л = 0, то Τ полон (т е о ρ е м а К е л- д ы ш а, имеющая многочисленные приложения в С. т. дифференциальных операторов); 2) если Τξ-ур и область значений квадратичной формы {Тх, х) содержится в нек-ром угле величины π/ρ, то Τ полон. Компактные операторы, спектры к-рых состоят из единственной точки λ=0 (условие, противоположное условию полноты), наз. вольтерровыми, ввиду того что интегральные операторы Вольтерра Г/(*)=$* K(x,y)f(y)dy являются их моделями Точнее, всякий вольтерров оператор Гильберта — Шмидта унитарно эквивалентен интегральному оператору Вольтерра в пространстве вектор-функций; операторы, не принадлежащие γ2, имеют модели, ядра к-рых — обобщенные функции. Такие интегральные представления являются аналогами треугольных представлений для матриц. Развита техника интегрирования операторных функций по цепочке проекторов и на ее основе получено абстрактное треугольное представление вольтеррова оператора Т= [p(T—T*)dP, где 3* — максимальная цепочка Г-инвариантных проекторов. Это привело к уточнению и обобщению основных теорем теории интегральных моделей, доказательству важных соотношений между распределениями собственных значений эрмитовых компонент вольтер- ровых операторов, близких к единичному, построению треугольных факторизации операторов, установлению связи С. т. с нек-рыми вопросами теории краевых задач для канонич. систем дифференциальных уравнений (в частности, позволило операторными методами исследовать вопросы устойчивости таких систем). Долго остававшаяся открытой проблема существования цепочек ранга 1 для произвольного компактного оператора была решена отрицательно. Существование инвариантных цепочек ранга 1 доказано для диссинатив- ных операторов с ядерной мнимой компонентой, вследствие чего их треугольные представления имеют наиболее законченный вид. Для таких операторов построена и теория жордановых представлений, сходная с классической (конечномерной): всякий оператор разлагается в квазипрямую сумму одноклеточных, причем одноклеточность в этом классе операторов эквивалентна существованию циклич. вектора. В этой теории центральную роль играет понятие характеристической оператор-функции (х. о.-ф.). Тесно связанное с геометрич. конструкциями теории унитарных дилатаций понятие х. о.-ф. сжатия (т. е. оператора, норма к-рого не превосходит единицы) лежит в основе С. т. этого класса операторов. X. о.-ф. сжатия Τ — это функция θ^(λ), определенная в открытом единичном круге Δ ζ С, принимающая значения в пространстве операторов, действующих из D т (Н) в DT«(H) (где DT = (I — T*T)1/2), и удовлетворяющая соотношению ΘΓ (λ) DT = DT* (/-λΓ*)-1 (/λ— Τ). Χ. ο.-φ. аналитична в Δ и является сжимающей ||θτ4λ)||<1; если Тп и Т*п стремятся к нулю в сильной операторной топологии (такие операторы образуют класс С00), то θ^ — внутренняя функция, т. е. ее предельные значения на д& почти всюду унитарны. Обратно, по любой внутренней операторнознач- ной функции Θ:Δ-*^ (Е±, Е2) можно построить сжатие Т, для к-рого 67-= Θ, ограничивая оператор умножения на λ в пространстве Харди Н2Е (Δ) на ортогональное дополнение Kq к подпространству ЭЯ^ . Эта конструкция, наз. функциональной моделью сжатия, дает возможность переводить задачи С. т. на язык классич. теории функций, где они приобретают вид проблем интерполяции, рациональной аппроксимации, аналитич. продолжения, специальной факторизации и т. д. Функциональную модель можно использовать для построения более богатого функционального исчисления, определяя для φξ#°°(Δ) оператор φ (Г) как ограничение на Kq оператора умножения на φ (λ) (условие Τ ζ Coo здесь не обязательно, важно, чтобы Τ был вполне неунитарным). Если это исчисление не инъективно, т. е. φ (Т)=0 для нек-рой функции φ ζ Η°°, φ^Ο, то Τ наз. сжатием класса С0. Сжатие Т£С0 обладает минимальной внутренней функцией тпт (образующей в идеале всех функций, аннулирующих Т)\ тт является аналогом минимального многочлена матрицы — в терминах ее характеристик описываются многие спектральные свойства Τ. Так, полнота сжатия Т£С0 имеет место тогда и только тогда, когда тт — Бляшке произведение (и в этом случае Τ допускает спектральный синтез). Точечный спектр Ор(Т) сжатия Τ ζ С0 совпадает с множеством нулей функции тт, а о(Т) получается из ор(Т) добавлением тех точек окружности 5Δ, через к-рые т^ не может быть аналитически продолжена. То, что сжатия класса С0 имеют в Δ не более чем счетный спектр, указывает на ограниченность этого класса; с другой стороны, ему принадлежат, напр., все сжатия, для к-рых дефектные операторы DT, DT* ядерные. Если DT, DT* — операторы ранга 1, то функциональная модель действует в классич. пространстве Харди IP (Δ) и полностью определяется скалярной внутренней функцией т~- = тТ— θ7, в связи с чем принято обозначение Т — = S (m). С. т. сжатий S (m) наиболее тесно связана с теорией аналитич. функций и наиболее изучена; эти сжатия играют роль жордановых клеток в С. т. сжатий класса С0 ввиду того, что всякое сжатие Т£С0 квазиподобно прямой сумме ®£Li S (m,·). Более привычное жорданово разложение (на одноклеточные операторы) для ΤζΟ0 не всегда возможно. Лит.: [1] ДанфордН., Шварц Д ж., Линейные операторы, пер. с англ., ч. 2 — Спектральная теория, Μ., 1966; ч. 3—Спектральные операторы, М., 1974; [21 R a d j a v i H., Rosenthal P., Invariant subspaces, В., 1973; [3] Col 0- jara I., Foias C, The theory of generalized spectral operators, N. Y., 1968; [4] ГохбергИ. Ц., К р е й н М. Г., Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве, М., 1965; [5] и χ ж е, Теория вольтерро- вых операторов в гильбертовом пространстве и ее приложения, М., 1967; [6] Секефальви-Надь Б., Фояш Ч., Гармонический анализ операторов в гильбертовом пространстве, пер. с франц., М., 1970; [7] Никольский Н. К., Лекции об операторе сдвига, М., 1980. В. С. Шулъман. СПЕКТРАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ, разложение единицы, — монотонное непрерывное слева в сильной операторной топологии отображение Р(·) действительной прямой во множество ортогональных проекторов в гильбертовом пространстве, удовлетворяющее условиям lim Ρ (0 = 0, lim P(t)^I. t -►- CO t ->+ 00 Всякая самосопряженная (т. е. принимающая самосопряженные значения) сильно счетно аддитивная боре- левская спектральная мера Ε (·) на прямой определяет С. ф. по формуле Ρ (t) — E (—00, t) и для всякой С. ф. существует единственная определяющая ее спектральная мера.
119 СПЕКТРАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ 120 Понятие С. ф. является основным в спектральной теории самосопряженных операторов: по теореме о спектральном разложении, всякий такой оператор имеет интегральное представление \ tdP (t), где Ρ (t) — J — оо нек-рая С. φ. Аналогичную роль в теории симметрических операторов играет понятие обобщенной С. ф.— так называется отображение действительной прямой во множество неотрицательных операторов, удовлетворяющее всем условиям, накладываемым на С. ф., за исключением проекторнозначности. Всякая обобщенная С. ф. может быть продолжена в более широком пространстве (теорема Най марка). Лит.: [1] А х и е з е ρ Η. И., Г л а з м а н И. М., Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве, 2 изд., М., 1966; [2] НаймаркМ. Α., «Изв. АН СССР. Сер. матем.», 1940, т. 4, No 1, с. 53—104. В. С. Шульман. СПЕКТРАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ стационарного случайного процесса или однородного случайного поля в ^-мерном пространстве — функция круговой частоты λ или соответственно волнового вектора λ = (λ1? . . ., λη), входящая в спектральное разложение ковариационной функции стационарного в широком смысле случайного процесса или однородного в широком смысле случайного поля в га-мерном пространстве. Класс С. ф. стационарных случайных процессов совпадает с классом всевозможных ограниченных монотонно неубывающих функций λ, а класс С. ф. однородных случайных полей — с классом функций η переменных λ1? . . ., λ„, отличающихся лишь неотрицательным постоянным множителем от гс-мерных функций распределения. а. м. Яглом. СПЕКТРАЛЬНОЕ МНОЖЕСТВО — 1) С м. о π е ρ а- т о ρ а А в нормированном пространстве — такое подмножество ££С, что ||p(4)||<sup{|p(*)|:*€S} для любого многочлена ρ (ζ). Так, единичный круг— С. м. для любого сжатия (оператора, норма к-рого не превосходит единицы) в гильбертовом пространстве (теорема Неймана). Этот результат тесно связан с существованием унитарной степенной ди- латации у любого сжатия (степенной дилата- ц и е й оператора А в гильбертовом пространстве Я наз. такой оператор Аг в гильбертовом пространстве Н^Н, что ΡΗΑι\Η=Αη, п£%> + ); компактное подмножество S ζ С спектрально для А тогда и только тогда, когда S имеет нормальную степенную дилатацию со спектром в dS. Минимальный радиус круга, являющегося С. м. для всякого сжатия в банаховом пространстве, равен е. 2) См., множество спектрального синтеза, для коммутативной банаховой алгебры 9Ϊ — замкнутое подмножество пространства максимальных идеалов Щ!^ , являющееся оболочкой ровно одного идеала Ιξ%. В случае, когда Щ — групповая алгебра локально компактной абелевой группы, С. м. наз. также множествами гармонического синтеза. Лит.: [1] Neumann J., «Math. Nachr.», 1951, Bd 4, S. 258—81; [2] Кацнельсон В. Э., Маца ев В. И., «Теория функций, функц. анализ и их приложения», 1966, в. 3, с. 3—10. В. С. Шульман. СПЕКТРАЛЬНОЕ ОКНО оценки спектральной плотности — функция круговой частоты λ, определяющая весовую функцию, используемую при непараметрич. оценивании спектральной плотности f (λ) стационарного случайного процесса X (t) с помощью сглаживания периодограммы, построенной по данным наблюдений за процессом. Обычно за оценку значения спектральной плотности в точке λ0 принимают интеграл по άλ от произведения периодограммы в точке λ на выражение типа ΒχΑ (ΒΝ(λ—λ0)), где Α (λ) — фиксированная функция частоты, принимающая наибольшее значение в точке λ=0 и такая, что ее интеграл по всем значениям λ равен единице (именно эту функцию и наз. спектральным окном, хотя иногда тот же термин прилагается и к функции В^А {B^k)), a BJj1— зависящая от размера выборки N (т. е. от длины наблюдавшегося отрезка реализации процесса X (t)) и при N-+00 стремящаяся к нулю (но медленнее, чем N-1) ширина С. о. Преобразование Фурье С. о. (а в случае дискретного времени ί, когда —π<λ<π — совокупность коэффициентов Фурье Со.) наз. корреляционным окном оценки спектральной плотности; оно определяет весовую функцию дискретного или непрерывного аргумента (в зависимости от того, дискретно или непрерывно время £), на к-рую надо умножить эмпирич. автокорреляции, построенные по выборке, для того чтобы преобразование Фурье полученного произведения совпало с рекомендуемой спектральной плотности оценкой. Лит.: [1] В 1 а с k m а η R. В., Τ и К е у J. W., The measurement of power spectra from the point of view of communications engineering, N. Y., 1959; [2] Д ж е н κ и н с Г., Ватте Д., Спектральный анализ и его приложения, пер. с англ., в. 1—2, М., 1971—72; [3] Б ρ и л л и н д ж е ρ Д., Временные ряды. Обработка данных и теория, пер. с англ., М.< 1980. А. М. Яглом. СПЕКТРАЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ линейного оператора — представление оператора в виде интеграла по спектральной мере (спектральной функции). Для любого самосопряженного оператора Τ в гильбертовом пространстве Η существует такая спектральная функция Р(-), что T=Y_ltdP(t). Это означает, что DT=[x^H\[ + ^ t*d(P(t)x, χ) < оо J , (Tx, y)=Y_^td(P{t)x, у) для любых x£DT, у ζ Я. Спектральная функция самосопряженного оператора Τ может быть вычислена через его резольвенту R (λ, Τ) по формуле Р(Ъ)-Р(а)= lim lim ^ f*J (Д (λ-ΐε, Τ)- —R(K+i&, T))dl. Из теоремы о С. р. самосопряженного оператора следует возможность реализации самосопряженных операторов операторами умножения и существование функционального исчисления на борелевских функциях. Используя Ср. самосопряженного оператора и теорию расширений с выходом из пространства (см. [2]), можно получить интегральное представление симметрического оператора через обобщенную спектральную функцию. Аналогично строится интегральное представление изометрических операторов. При этом аналогия между Ср. самосопряженных и унитарных операторов, с одной стороны, и интегральными представлениями симметрических и изометрических — с другой, далеко не полная (отсутствие единственности обобщенных спектральных функций, отсутствие сильной сходимости интегралов, сравнительная узость функционального исчисления и т. п.). Для любого ограниченного нормального оператора Τ в гильбертовом пространстве Η существует такая счетно аддитивная в сильной операторной топологии самосопряженная спектральная мера Ε (·) на σ-алгебре борелевских подмножеств комплексной плоскости, что Т=^ zE(dz).
121 спектральнс При btomsupp Ε(-)=σ(Τ), ТЕ(а)=Е(а)Т, σ(Τ\Ε(α)Η)α Са. Эта теорема допускает следующую удобную переформулировку: всякий ограниченный нормальный оператор унитарно эквивалентен оператору умножения на нек-рую существенно ограниченную функцию в пространстве L2 (S, Σ, μ), причем мера μ может быть выбрана конечной, если пространство сепарабельно. Из теоремы о С. р. следует существование функционального исчисления от нормального оператора, т. е. гомоморфизма f-+f(T) алгебры существенно ограниченных борелевских функций на σ (Τ) в алгебру ограниченных операторов, удовлетворяющего условию id(T)=T и переводящего всякую ограниченную поточечно сходящуюся последовательность функций в сильно сходящуюся последовательность операторов. Образ этого гомоморфизма (т. е. множество всех функций от оператора Т) совпадает с множеством всех операторов, перестановочных с каждым оператором, перестановочным с Т. Поскольку из существования функционального исчисления, в свою очередь, следует теорема о С. р., этот результат можно считать одной из форм спектральной теоремы. Теорема о С. р. обобщается и на неограниченные нормальные операторы (см. [2]). Спектральная мера в случае Ср. унитарного оператора — частного случая нормального оператора — может быть задана на единичной окружности. С. р. унитарного оператора U иногда записывается в виде где Ε (·) — спектральная функция, сосредоточенная на отрезке [0, 2π]. Таким образом, С. р. дает возможность представить унитарный оператор в виде exp L4, где А — самосопряженный оператор. Этот результат обобщает теорема Стоуна: всякая сильно непрерывная однопараметрическая группа унитарных операторов представляется в виде U (£) = ехр НА, где А — самосопряженный (возможно, неограниченный) оператор. Лит.: [1] ДанфордН., Шварц Дж., Линейные операторы, пер. с англ., ч. 2 — Спектральная теория, М., 1966; [2] А х и е з е ρ Н. И., Глазман И. М., Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве, 2 изд., М., 1966. В. С. Шульман. СПЕКТРАЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ случайной функции — 1) разложение случайной функции (в частности, случайного процесса) в ряд или интеграл по той или иной специальной системе функций такое, что коэффициенты этого разложения представляют собой взаимно некоррелированные случайные величины. Широкий класс С. р. комплекснозначных случайных функций X (t), г ζ Γ, с нулевым средним значением (т.е. таких, что EX (t)=0) может быть представлен в виде -Υ(ί)=$Αφ(*; λ)Ζ(^λ), (ΐ) где Λ — нек-рое множество с заданной системой «измеримых подмножеств» (т. е. измеримое пространство); φ (ί; λ), ίζ Γ, λ ζ Λ,— система комплекснозначных функций на Г, зависящих от параметра λ ζ Λ; Ζ (άλ) — случайная мера на Λ с некоррелированными значениями (так что EZ(At) Ζ(Δ2) = 0 для любых двух непересекающихся измеримых подмножеств Ах и Δ2), а интеграл в правой части (1) можно или определить как предел в среднем квадратичном соответствующей последовательности интегральных сумм Коши ([1]), или же понимать как более общий «интеграл Лебега по мере Ζ (άλ)» (о к-ром см., напр., [2]). Согласно общей теореме Карунена о спектральном раз· РАЗЛОЖЕНИЕ 122 л о ж е н и и, для существования С. р. (1) случайной функции X (t) необходимо и достаточно, чтобы соответствующая корреляционная функция В (t, s) = = ЕХ (t)X (s) допускала представление в виде B(t, *)=$Λ<Ρ(*; λ) φ (β; λ)Ρ(άλ), где F {άλ)=Ε |Ζ (άλ)|2 — неотрицательная мера на Λ. Наиболее известный класс С. р. случайных функций— представления стационарных случайных процессов X (t) в виде интеграла Фурье — Стилтьеса Χ(ί)=5Α*«λ3ζ(λ), (2) где Ζ (λ) — случайная функция λ с некоррелированными приращениями, а А — ось (—оо, оо) в случае процессов с непрерывным временем t или же интервал [—π, π], если время t дискретно (принимает целочисленные значения). Существование такого спектрального разложения следует из общей теоремы Хинчина об интегральном представлении корреляционной функции В (s)=£X (t-\-s)X (t) (см. Стационарный случайный процесс); оно показывает, что любой стационарный случайный процесс можно рассматривать как наложение некоррелированных друг с другом гармонич. колебаний различных частот со случайными фазами и амплитудами. С. р. аналогичного вида, но с заменой гармонич. колебаний д-мерными плоскими волнами имеет место и для однородных случайных полей, заданных на евклидовом д-мерном пространстве Rn или же на решетке zn точек Rn с целочисленными координатами. В случае обобщенного стационарного случайного процесса — линейного функционала Χ (φ) на пространстве D финитных бесконечно дифференцируемых функций φ (£), удовлетворяющего условиям ΕΧ(ναφ) = ΕΧ(ψ), EX (Feq>i) Χ(ναψ2) = ΕΧ (φι) Щ при всех действительных α, где 7βφ (ί)=ψ (ί+я) — С. р. Функционал X (φ) имеет вид Χ(φ)=$!βφ(λ)«ϊΖ(λ), (3) где φ(λ) = ί"β)βίλίφ(ί)^ — преобразование Фурье функции φ(ί). Формула (3) следует из того, что В (φι, q>a) = EX(q>i)X(q>2) можно представить в виде В (φι, φ2)=5"οοφι(λ)φ2(λ)^(λ), где функция ^(λ) = ΕίΖ(λ)—Ζ (—оо )|2 — монотонно неубывающая спектральная функция такая, что ί"Ο0(1 + λ2)-Λ^(λ) < оо при нек-ром неотрицательном целом т (см. [3]). Если же в качестве пространства функций φ (t) принять некрое пространство целых аналитич. функций, то можно прийти и к обобщенным стационарным случайным процессам Χ (φ) с экспоненциально возрастающей спектральной функцией F (λ) (см., напр., [4]). Ср. специального вида имеют место и для однородных случайных полей на группах G и однородных пространствах S; этот факт в силу теоремы Карунена о С. р. следует из ряда имеющихся результатов об общем виде положительно определенных функций (или ядер — функций двух переменных) на множествах G и S. В ча-
123 СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ ОЦЕНКА 124 стности, для однородного поля X (g) на произвольной I локально компактной коммутативной группе G Ср. поля X (g) имеет вид (1), где роль функций φ (t; λ) играют характеры χ(λ)(#) группы G, а областью интегрирования Λ является соответствующая группа харак- I теров G (см., напр., [5], [6]). С. р. более сложного вида при широких условиях имеют место и для однородных нолей на некоммутативных топология, группах (см. [5]). Наконец, в случае однородных полей на однородных пространствах *S={s} С. р. поля X (s) включает сферич. функции пространства £\ а в выражение для корреляционной функции В (sb s2)=EX (h)X (s2) входят соответствующие зональные сферич. функции (см. [5], [6]). В частности, общее однородное поле Χ (θ, φ) на сфере S2 трехмерного пространства IR3 допускает С. р. вида Χ(θ,φ) = Σ"=0^-/7<.'»(θ'(Ρ)Ζ'.'»' (4) где Yl.m = e-im*P?(c<*9) — обычные сферич. функции, а случайные величины Ztt т таковы, что EZ/f mZjt n=^ifimnfu гДе fy/ — символ Кронекера. Отвечающее формуле (4) выражение для корреляционной функции ΕΧ(θι, φι)Χ(θ2, <р.) = Д(в1Я), где θ12— угловое расстояние между точками (ΘΧ, φΧ) и (θ2, φ2), имеет вид В (θ> = ΣΓ=ο [(2г + 1)/2] hPi(cos6)' где Ρ ι — многочлены Лежандра. Если же X (г, φ), где (г, φ) — полярные координаты,— однородное и изотропное поле на плоскости R2 (так что ЕХ (гх, φΧ)Χ (г2, Ц>2)=В (г1ч)> гДе г12— евклидово расстояние между точками (rl9 срх) и (г2, φ2)), то Ср. поля X (г, φ) записывается в виде Х(г, φ)=2Γ= —βί*Φ5Γ/Λ(λΓ)</ζ*(λ)» (5) где Jk (χ) — функция Бесселя порядка к. Здесь Zk (λ) — случайные функции с некоррелированными приращениями такие, что EZfcfAxiO^)-W* (Δι ΓΙ Δ2), где Ζ*(Δ)=$Δ<*Ζ*(λ), a F (Δ) — неотрицательная мера на полуоси [0, оо). С. р. (5) отвечает следующее выражение для корреляционной функции В (г): £('·)=$"/0(λι·)^(λ). Дальнейшие примеры С. р. однородных полей см. в [5] -[7]. Ср. случайных функций существуют не только для стационарных случайных процессов и однородных случайных полей. Так, напр., если X (t) — произвольный случайный процесс на интервале α<ί<δ с непрерывной по обоим аргументам корреляционной функцией B(t, s) = EX (t)X(s), то в силу теоремы Мерсера теории интегральных уравнений и теоремы Карунена о С. р. процесс X (t) будет допускать С. р. вида x(t)^l=lVk(t)zk/V)Tki (6) где (pkWi &—1> 2, . . ., и λ/,,, к—1, 2, . . ., — собственные функции и собственные значения интегрального оператора в функциональном пространстве с ядром В (t, s), a EZkZj=bkj. С. р. (6) случайного процесса X (t), заданного на конечном интервале, представляет собой континуальный аналог разложения случайного вектора на его главные компоненты, часто используемого в многомерном статистич. анализе; оно было независимо получено целым рядом ученых (об этом см., напр., [5]) и чаще всего наз. разложением Карунена— Лоэв а. Подобного рода С. р. широко используются также во многих приложениях, в частности в теории автоматич. управления, где разложение (6) (и нек-рые родственные ему разложения) часто наз. канонич. представлениями случайных процессов (см. [8]), и в геофизике, где обычно используется термин «метод эмпирических ортогональных функций», т. к. собственные функции φ^ (t) здесь сами приближенно определяются по эмпирич. данным (см. [9]). 2) Под С. р. случайной функции X (t), t£T, иногда понимают также общее разложение вида (1) по некрой стандартной (достаточно простой) полной системе функций φ (г; λ). Особенно часто такое Ср. рассматривается в применении к случайному процессу X (t) с непрерывным временем и функциям φ (t; λ) = β*'λ, так что равенство (1) обращается в (2). Из (2) следует, что В (г, s)=EX (t)X (s) допускает представление в виде B(t,s)=[" [™ е* Μ-№ψ (άλ Χ άμ), (7) J — CO J — СО где Ρ(άλχάμ) —комплекснозначная мера на плоскости (λ, μ), задаваемая соотношением F(Ab Δ2) = ΕΖ(Δ1)Ζ7Δ2"); обратно, из представимости В (t, s) в виде (7) следует и существование С. р. (2) (см., напр., [2]). Случайные процессы, допускающие С. р. (2), где Ζ (λ) не обязательно имеет некоррелированные приращения, наз. гармонизуемыми случайными процессами; комплексная мера F (άλΧ άμ) в таком случае наз. спектральной мерой X (*), а совокупность точек плоскости (λ, μ), не имеющих окрестности нулевой спектральной меры, наз. спектром процесса X (t). Спектр стационарного процесса X (t) сосредоточен на прямой λ=μ. Гармонизуемыми при широких условиях будут ипериодически- коррелированные (иначе, периодически-нестационарные) случайные процессы X (J), обладающие тем свойством, что EX(t + mT) = EX (t), EX (t + mT) X(s + mT)=EX(t) Xjs) при нек-ром 2'>0 и произвольном целом ш; спектр таких процессов сосредоточен на совокупности прямых к=р-\-2лк/Т, к=0, ±1, ±2, ... (см., напр., [10]). Лит.: [1] Karhunen К., «Ann. Acad. Sci. Fcnnicae. Ser. A, Math.— Phys.», 1947, № 37, p. 3—79, [2] Роз а- hob ΙΟ. Α., «Теория вероятн. и ее примен.», 1959, т. 4, в. 3, с. 291—310; [3] Гельфанд И. Е, Виленкин Н. Я., Некоторые применения гармонического анализа. Оснащенные гильбертовы пространства, М., 1961; [4] О η о у a m а Т., «Мегп Fac. Sci. Kyushu Univ. Ser. A», 1959, v. 13, p. 208—13; [5] Яглом A. M., в кн.: Тр. 4-го Всесоюзного матем. съезда, Ленинград, 1961, Л., 1963, с. 250—73; [6] X е н н а н Э., Представления групп и прикладная теория вероятностей, пер. с англ., М., 1970; [7] Я д ρ е н к о М. И., Спектральная теория случайных полей, К., 1980; [8] Π у г а ч е в В. С, Теория случайных функций и ее применение к задачам автоматического управления, 3 изд., М., 1962; [9] Φ о рту с М. И., «Метеорол. | и гидрология», 1980, №4, с. 113—19; [10] Рыт о в С. М., I Случайные процессы, М., 1976 (Введение в статистическую радиофизику, 2 изд , ч. 1). А. М. Яглом. I СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ ОЦЕНКА - функция от наблюденных значений X (1), . . ., Χ (TV) ста- [ ционарного случайного процесса с дискретным време-
125 СПЕКТРАЛЬНЫЕ ГОМОЛОГИИ 126 нем, используемая в качестве оценки спектральной плотности /(λ). В качестве С. п. о. часто используются квадратичные формы где bs, } — нек-рые комплексные коэффициенты (зависящие от λ). Можно показать, что асимптотич. поведение при Ν-^οο первых двух моментов С. п. о. в целом не ухудшится, если рассмотреть лишь подкласс квадратичных форм таких, что b^sNj =Ь^1 при s1—t1= =s2—ί2*> это позволяет ограничиться С. п. о. вида f*M==-h%?~lN + i<iiKbN(t)BN(t), где **('>=-£-2s=i *<*>*<β+ι*ι> есть выборочная оценка ковариационной функции стационарного процесса X (t). Оценку/дг (λ) можно представить также в виде где Ι/ν(χ) — периодограмма, а Ф#(х) — нек-рая непрерывная четная функция, определяемая своими коэффициентами Фурье bN{t)=[n Q)N(x)eitxdx, t = —N + i, ..., TV —1. J — η Функцию Фм(χ) наз. спектральным окном; обычно рассматривают спектральные окна вида ΦΝ(χ) = ΛΝΦ(ΑΝχ), где Φ (χ) — нек-рая непрерывная на (—оо, оо) функция такая, что Ф{х)с1х = 1, — 00 а А дг-^оо при JV->oo, но A^rN~l-^0. Аналогично рассматривают коэффициенты Ьдг(0 вида bN(t)^K(A^t) и функцию К (х), называемую ковариационным окном. При достаточно слабых ограничениях на гладкость спектральной плотности /(λ) или на условия перемешивания случайного процесса X (t) для широкого класса спектральных или ковариационных окон оценка /^ν(λ) оказывается асимптотически несмещенной и состоятельной. В случае многомерного случайного процесса для оценки элементов матрицы спектральных плотностей fk, ι (λ) поступают аналогичным образом, используя соответствующие периодограммы /$ν' }(λ). Вместо С. п. о. в виде квадратичных форм от наблюдений часто также предполагают, что спектральная плотность имеет нек-рую заданную форму, зависящую от конечного числа параметров, и затем разыскивают зависящие от наблюдений оценки параметров, содержащихся в выражении для спектральной плотности (см. Спектральная оценка максимальной энтропии, Спектральная оценка параметрическая). Лит.: [1] Бриллинджер Д., Временные ряды. Обработка данных и теория, пер. с англ., М., 1980; [2] X е н н а и Э., Многомерные временные ряды, пер. с англ., М., 1974; [3] А н- д ер сон Т., Статистический анализ временных рядов, пер. с англ., М., 1976. И. Г. Журбенко. СПЕКТРАЛЬНОЙ ФУНКЦИИ ОЦЕНКА - функция от наблюденных значений X (1), . . ., Χ (Ν) стационарного случайного процесса с дискретным временем, используемая в качестве оценки спектральной функции F(k). В качестве С. ф. о. часто используется функция вида -π< -η—- <ъ к где /jv(jj) — периодограмма. При достаточно широких условиях гладкости F (λ) или условиях перемешивания случайного процесса X (t) эта оценка оказывается асимптотически несмещенной и состоятельной. Приведенная оценка F (λ) является частным случаем оценок 2π ^, . (2лк\ τ [2nk\ -π< —rj- < π функционала 1{А)= [П A(x)f(x)dx J -π от спектральной плотности /(λ). В частности, к этому виду с функцией .4 (х), зависящей от длины выборки N и концентрирующейся около точки χ=λ, сводятся многие спектральной плотности оценки. Лит.: [1] Б ρ и л л и н д ж е ρ Д., Временные ряды. Обработка данных и теория, пер. с англ., М., 1980; [2] X е н н а н Э., Многомерные временные ряды, пер. с англ., М., 1974. И. Г. Журбенко. СПЕКТРАЛЬНЫЕ ГОМОЛОГИИ - обратный предел En{X;G) = lmiHn(*;G) групп гомологии с коэффициентами в абелевой группе G нервов открытых покрытий а топологич. пространства X (они наз. также гомология ми Чеха, или Александрова — Чеха). Для замкнутого множества АаХ группы Нп(А; G) могут быть определены аналогичным образом с помощью подсистем а'са всех тех множеств из а, к-рые имеют непустое пересечение с А. Обратный предел групп пар Нп(а, а'; G) наз. группой С. г. Нп(Х, А; G) пары (X, А). Поскольку функтор обратного предела не сохраняет точность, гомологич. последовательность пары (X, А) в общем случае не точна. Она полуточна в том смысле, что композиция любых двух отображений равна нулю. Для компактных X последовательность оказывается точной в случае, когда G — компактная группа или поле (в более общей ситуации — когда группа G алгебраически компактна). С. г. непрерывны в том смысле, что йп{\\тХк\ G) = \imHn(X\, G). Отсутствие точности — не единственный недостаток С. г. Группы Нп оказываются неаддитивными в том смысле, что гомологии дискретного объединения Х= = {]λΧλ могут отличаться от прямой суммы Σ χ Йп (Χχ ; G). От этого недостатка свободны спектральные гомологии ΪΙη (X; G) с компактными носителями, определяемые как прямой предел lim Нп(С', С), взятый по всем компактным подмножествам СаХ, Естественность функтора Нп подтверждается также тем, что любые обычные гомологии (сим- плициальные, клеточные, сингулярные) — это гомологии с компактными носителями. v ~ С Несовпадение функторов Нп и Нп — один из примеров того, как гомологии реагируют на логич. нюансы в их исходном определении (наоборот, когомоло- гии проявляют в этом отношении значительную устойчивость). Среди логически возможных вариантов определения гомологии в общих категориях топологич. пространств правильный был отобрание сразу, в связи
127 СПЕКТРАЛЬ с чем ассоциированная с когомологиями Александрова — Чеха теория гомологии Я+ стала распространяться лишь в 60-е гг. (хотя первые определения были даны в 40—50-х гг.). Теория Н^ удовлетворяет всем Стинрода — Эйлепберга аксиомам (и является теорией с компактными носителями). Для компактных X имеет место точная последовательность 0—>Нт1Ял+1(а; G)—+Hn(X, G)—+Η (Χ; G)—+0 (lim1 — производный функтор обратного предела). Воб- щем случае имеется эпиморфизм Нп (X; G)-^H)^ (X; G), к-рый имеет нулевое ядро для любой алгебраически компактной группы G. Для любого гомологически локально связного (по отношению к Я J локально ком- v ^ С С пактного пространства функторы Яп, Нп и Нп изоморфны. Лит.: [1] Стинрод Н., ЭйленбергС, Основания алгебраической топологии, пер. с англ., М., 1958; [2] С к л я- р е н к о Е. Г., «Успехи матем. наук», 1979, т. 34, в. 6, с. 90— 118; [3] Μ а с с и У., Теория гомологии и когомологий, пер. с англ., М., 1981. Е. Г. Скляренко. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ — исследование спектральных характеристик линейных операторов: геометрии спектра и его основных частей, спектральной кратности, асимптотики собственных значений и т. д. Для операторов, действующих в конечномерных пространствах, задача определения спектра эквивалентна задаче локализации корней характеристич. уравнения det (Α — λ/)=0; в бесконечномерных пространствах дело обстоит значительно сложнее, хотя аппарат определителей строится и успешно используется в С. а. нек- рых бесконечномерных операторов. В ряде случаев С. а. оператора основывается на явной конструкции функционального исчисления (операторы умножения в функциональных пространствах, другие модельные операторы, а также операторы, подобные их сужениям или факторам). Широко применяются в С. а. различные теоремы об отображении спектра для функций одного или нескольких операторов — от простейших (спектр многочлена от оператора состоит из значений этого многочлена на спектре оператора, спектр суммы двух коммутирующих операторов содержится в алгебраич. сумме их спектров) до весьма тонких, описывающих спектры функций от некоммутирующих операторов, функций от оператора, имеющих разрывы в граничных точках его спектра, совместные спектры образов многозначных отображений, отображения аппроксимативных, точечных и дефектных спектров и т. д. Полезную информацию о спектре оператора можно извлечь из его топо- логич. характеристик (напр., спектр непрерывного оператора компактен, а спектр компактного — не более чем счетен, причем его ненулевые точки — изолированные собственные значения), поведения относительно выделенного в пространстве конуса (ведущие собственные значения у положительного оператора) или скалярного произведения (спектр самосопряженного оператора веществен, эрмитово положительного — неотрицателен, диссипативного — лежит в верхней полуплоскости, унитарного — на единичной окружности). Если скалярное произведение не является знакоопределен- ным, но его индекс индефинитности κ конечен, то спектр сохраняющего его оператора (такие операторы наз. /-у нитарными) может иметь не более 2κ точек вне единичной окружности; для /-самосопряженных и /-диссипативных операторов положение аналогично (см. [5]). Спектральные характеристики могут обладать определенными свойствами устойчивости (непрерывности); эти свойства являются объектом теории возмущений спектра (раздел общей теории возмущений). Так, спектр является полунепрерывной сверху ЛИ АНАЛИЗ 128 функцией оператора: любая окрестность спектра ограниченного оператора содержит спектры всех достаточно близких к нему операторов (случай неограниченных операторов требует небольшой модификации). Это позволяет проследить за изменением изолированных точек спектра при малых возмущениях и аналитически (в виде ряда по степеням параметра μ) выразить собственные значения оператора Α+μ#, лежащие в окрестности изолированного конечнократного собственного значения оператора А . В нек-рых случаях удается также оценить изменение числа собственных значений оператора в заданной области под действием возмущения, к-рое не предполагается малым по норме, но имеет фиксированный (конечный) ранг. В том же круге идей лежит теорема Вейля (Н. Weyl, 1909) об инвариантности спект- ра сгущения (дополнение в спектре к множеству изолированных собственных значений конечной кратности) самосопряженного оператора при компактных возмущениях. Фактически им показано, что спектр сгущения самосопряженного оператора А совпадает с его существенным спектром σ;(^) = {λ ζ С:Α — λΐ не фредгольмов}, а равенство σ^ (А + К)=ог (А) справедливо для любого замкнутого А и компактного К. Из теоремы Вейля следует, что все самосопряженные расширения симметрического оператора с конечными (и равными) дефектными числами имеют одинаковые существенные спектры. Теорема Вейля переносится на случай относительно компактных возмущений (оператор К наз. компактным относительно А, если он переводит всякое ограниченное множество с ограниченным А- образом в компактное), откуда следует совпадение существенных спектров всех самосопряженных расширений симметричных многомерных дифференциальных операторов широкого класса. Теорема Вейля допускает обращение (Дж. Нейман, J. Neumann, 1935): если два самосопряженных оператора имеют одинаковые существенные спектры, то один из них унитарно эквивалентен возмущению другого компактным (даже принадлежащим классу Гильберта — Шмидта) оператором, имеющим произвольно малую норму. Найдены обобщения этого результата на случай нормальных, существенно нормальных операторов, а также на представления некоммутативных С*-алгебр. Теорема Вейля — Неймана показывает, что существенный спектр — единственная спектральная характеристика самосопряженного оператора, устойчивая относительно компактных возмущений, и что непрерывный и точечный спектры крайне неустойчивы. В то же время абсолютно непрерывный спектр аас (А) (спектр сужения А на подпространство Нас (А) всех векторов х£Н, для к-рых функция λ->- (ΕΛ (λ) χ, χ) абсолютно непрерывна) также обладает нек-рой устойчивостью: он не меняется при ядерных возмущениях. Это один из основных результатов теории волновых операторов, тесно связанный с квантовомеханич. теорией рассеяния (см. [2]). Волновой оператор W (А, В) для пары самосопряженных операторов А, В — это изометрическое линейное отображение χ—у lim exp (ИВ) ехр(—ИА)х, t -► ее определенное на замкнутом подпространстве Σ (А, В) всех векторов х£Н, для к-рых предел существует. Соотношения W(A, В) A=BW(A, В) и W{A, Β)Σ{Α, Β)= — Σ (В, А) показывают, что W(A,B) осуществляет унитарную эквивалентность операторов Л, В, если Σ (Α, Β)=Σ (В, А)=Н. Условие ядерности оператора В — А влечет включения Ηα0(Α)αΣ (А, В), Нас(В)а αΣ (В, А), а следовательно,— унитарную эквивалентность абсолютно непрерывных частей операторов А и В,
129 СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ 130 обеспечивающую тождественность спектральных характеристик. Существует иной подход к задаче доказательства унитарной эквивалентности (в случае несамосопряженных операторов — подобия) возмущенного оператора невозмущенному. При этом подходе записывают условия подобия операторов А и А + К в виде линейного операторного уравнения AV—VA—VK; ищут линейный оператор Г, обратный слева к оператору умножения Х-+АХ—ХА, т. е. АТ(Х)—Г(Х)А = Х, дляк-рого оператор Гл-: Х->~Г(ХХ) является сжатием в пространстве операторов. Если такой оператор Г найти удается, то в качестве V можно взять оператор (Z+IV)-1/, проверив предварительно его обратимость. Этим методом удается исследовать широкий класс нормальных операторов с дискретным и непрерывным спектром, ква- зинильпотентных операторов, операторов взвешенного сдвига и, что особенно важно для приложений, многомерных интегро-дифференциальных операторов. С. а. операторов, порожденных аналитич. (дифференциальными, интегральными, разностными и т. д.) операциями в функциональных пространствах, предполагает описание спектра операторов в терминах параметров (коэффициентов) соответствующей операции; широкая применимость теории возмущений в таких задачах объясняется тем, что выделить главную часть и возмущение часто удается в тех же терминах (перераспределяя коэффициенты). Напр., пусть Aq(G) (G — область в Rn, q — вещественный потенциал, т. е. числовая функция на G) — оператор Шрёдингера, определяемый в L2(G) дифференциальной операцией lq (u)= = —ku-{-qu и наиболее жесткими граничными условиями (минимальный оператор). В этом случае Aq(G) симметричен. Естественно считать —Δ (точнее, A0(G)) невозмущенным оператором, а умножение на q — возмущением; такое представление дает полезные следствия, когда потенциал в каком-то смысле мал. Так, если q(M)^-0 при G^M-^oo, то теорема Вейля обеспечивает совпадение существенных спектров операторов Ад и Л о (совпадающих с существенным спектром их самосопряженных расширений); если область G «достаточно велика» и потенциал квадратично интегрируем, то а^(Л^)з[0, оо), а если к тому же величина Σ \r(^ + r2)\d^\dV \i\<n+\J достаточно мала, то Aq и А0 унитарно эквивалентны. В других случаях в качестве невозмущенного оператора берется А ~, где потенциал q «близок» к q, но имеет более простую структуру. Это позволяет доказать, напр., что в интервале (—оо, а) спектр самосопряженных расширений оператора Ад конечен, если limq(M)-+a при Af->oo (в частности, Ад полуограничен и имеет дискретный спектр, если q(M)-+oo при С$ М-+оо). В С. а. симметрических дифференциальных операторов (в особенности одномерных) распространен также подход, основанный не на теории возмущений спектра, а на специальной форме теоремы о спектральном разложении. Унитарное преобразование, осуществляющее спектральное представление дифференциального оператора, может быть реализовано (в простейшем случае оператора с циклическим вектором) интегральным оператором Uf(b)=^Gu(x, X)f(x)dx, ядро к-рого и (χ, λ) при любом λ является решением дифференциального уравнения 1(у)=Ку, где I — исходная дифференциальная операция. Это позволяет использовать для С. а. дифференциальных операторов качественную теорию дифференциальных уравнений и приводит не только к описанию геометрии спектра А 5 Математическая энц., т. 5 (здесь возможности данного подхода примерно соответствуют, а в многомерном случае даже уступают возможностям теории возмущений), но и к удобным аналитич. выражениям для спектральных характеристик, тонким результатам о сходимости спектральных разложений и т. д. Функции и (χ, λ), по к-рым ведется спектральное разложение дифференциального оператора, не являются, в случае непрерывного спектра, его собственными функциями, поскольку они не принадлежат L2 (G). Абстрактный вариант разложения по «обобщенным собственным функциям» строится в рамках теории оснащенных гильбертовых пространств (см. [4]). Оснащенное гильбертово пространство — это тройка ФсЯсФ', где Η — гильбертово пространство, Φ — непрерывно вложенное в Η топологическое векторное пространство, Ф'— сопряженное к Ф. Элемент /£Ф' наз. обобщенным собственным вектором оператора А, действующего в Я, если АФаФ и f(Ax—λχ)=0 для всех χζΦ (λ — соответствующее собственное значение). Для каждого самосопряженного оператора А можно таким образом выбрать оснащение, чтобы система обобщенных собственных векторов {Д : λ ζ σ (Α)} оператора А была полна в следующем смысле: для любого χζΦ ΙΜΝ$σΜ)Ι/λ(*)|2Φ(λ), где ρ — нек-рая мера на о (А). Если оператор А имеет циклич. вектор х0, то в качестве меры ρ можно брать (ЕА( -)х, х), где Ел — спектральная мера Л; при этом άΡχ Χο f = _. _ (предел берется в топологии пространства Ф'). Для операторов с точечным спектром первостепенную важность имеет вопрос об асимптотике собственных значений; в случае самосопряженного оператора несколько проще описывать асимптотич. поведение функции Ν (λ), равной числу собственных значений, меньших λ, или, что то же, размерности спектрального подпространства, соответствующего интервалу (—оо, λ). Наиболее известный результат: для оператора Лапласа с граничными условиями Дирихле в области Qcz^n функция Ν (λ) асимптотически равна гп (2π)~"[Ω|λη/2» где |Ω| — объем области Ω, а гп — объем единичного шара в R". Лит.: [1] Данфорд Н., Шварц Д ж., Линейные операторы, пер. с англ., ч. 2 — Спектральная теория, М., 1966; ч. 3 — Спектральные операторы, М., 1974; [2] К а т о Т., Теория возмущений линейных операторов, пер. с англ., М., 1972; [3] Г л а з м а н И. М., Прямые методы качественного спектрального анализа сингулярных дифференциальных операторов, М., 1963; [4] Б е ρ е з а н с к и й Ю. М., Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов, К., 1965; [5] И о χ в и д о в И. С, К ρ е й н М. Г., «Тр. Моск. матем. об-ва», 1956, т. 5, с. 367—432; [6] Б и ρ м а н М. Ш., С о л о- м я к М. 3., Итоги науки и техники. Математич. анализ, т. 14, М., 1977, с. 5—58. В. С. Шульман. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ стационарных случайных процессов, С. а. временных рядов, — 1) то же, что и спектральное разложение стационарных случайных процессов; 2) совокупность статистич. приемов, позволяющих оценить значение спектральной плотности стационарного случайного процесса по данным наблюдений за одной реализацией этого процесса (см. [1] — [4], а также Статистические задачи теории случайных процессов, Периодограмма, Спектральной плотности оценка, Спектральная оценка максимальной энтропии, Спектральная оценка параметрическая). Лит.: [1] Дженкинс Г., Ватте Д., Спектральный анализ и его приложения, пер. с англ., в. 1—2, М., 1971—72; [2] Modern spectrum analysis, N. Υ., 1978; [3] Nonlinear methods of spectral analysis, В.— [a. o.], 1979; [4] К ей С. М., Μ а ρ π л С. Л., «Тр. ин-та инж. электротехн. радиоэлектроники», 1981, т. 69, № 11, с. 5—51. А. М. Яглом.
131 СПЕКТРАЛЬНЫЙ 132 СПЕКТРАЛЬНЫЙ ОПЕРАТОР — ограниченный линейный оператор А, отображающий банахово пространство X в себя и такой, что для σ-алгебры SB борелев- ских множеств δ на плоскости существует разложение единицы Ε (δ) со свойствами: 1) для любого Ь£33 проектор Ε (δ) приводит А, т. е. Ε (δ)Α=ΑΕ (δ), и спектр σ(Α&) лежит в δ, где Лб — сужение оператора А на инвариантное подпространство Ε (δ)Χ; 2) отображение δ^>~Ε (δ) есть гомоморфизм ,53= {о} в булеву алгебру {Е (б)}; 3) все проекторы Ε (δ) ограничены, т. е. \\Е (δ)\\ < <.М, δζ3Β\ 4) разложение единицы Ε (δ) счетно аддитивно в сильной топологии пространства X, т. е. для любого х£Х и любой последовательности {δη}α93, состоящей из попарно непересекающихся множеств, Ε (υΓ=Λ>=ΣΓ=ι *<«»>*· Понятие Со. можно распространить на неограниченные замкнутые операторы. При этом в 1) надо дополнительно потребовать, чтобы выполнялось включение Ε (δ)Ώ (A)dD (Л), где D (А) — область определения оператора А, и Ε $)XczD (А) для ограниченных б. Со. являются все линейные операторы в конечномерном пространстве, самосопряженные и нормальные операторы в гильбертовом пространстве, напр. оператор K(t, s)x(s) ds в Lp (—во, оо), 1<р<оо, на D{A)= [χ (Ο Κ [ tx(t) |2 dt < оо, если ядро К (t, s) есть преобразование Фурье борелев- ской меры μ на плоскости с полной вариацией var μ<1/2π и такое, что [ K(t, s)x(s)ds, С K(t, s)x(t)dt J — CO J — ее суть ограниченные линейные операторы в Lp(— оо, оо). С о. обладают рядом важных свойств, напр.: λζδ(Α)&ι{χη}αΧ, ||*J = 1, (Α-λΙ)χη-+0; в случае сепарабельного X точечный и остаточный спектры А не более чем счетны и др. Лит.: [1] Данфорд Н., Шварц Дж., Линейные операторы, ч. 3— Спектральные операторы, пер. с англ., М., 1974; [2] Данфорд Н., «Математика», 1960, т. 4, в. 1, с. 53—100. В. И. Соболев. СПЕКТРАЛЬНЫЙ РАДИУС элемента банаховой алгебры — радиус ρ наименьшего круга на плоскости, содержащего спектр этого элемента. Ср. элемента а связан с нормами его степеней формулой р(я)= lim \\а"\\1/п=Ы\\ап\\1/п, Л-* 00 из к-рой следует, в частности, что р(а)<||я|!. С. р. ограниченного оператора в банаховом пространстве — это его Ср. как элемента банаховой алгебры всех операторов. В гильбертовом пространстве С р. оператора равен точной нижней грани норм подобных ему операторов (см. [2]): р(А) = Ы\\ХАХ-1\\. χ Если оператор нормален, то ρ (А) — \\А\\. С р.— полунепрерывная сверху (но, вообще говоря, не непрерывная) функция элемента банаховой алгебры. Доказана [3] субгармоничность С р. (это означает, что если z-+h (ζ) — голоморфное отображение нек-рой области Z>c:C в банахову алгебру 5Г, то z-+p(h(z)) — субгармонич. функция). Лит.: [1] Η а й м а р к Μ. Α., Нормированные кольца, 2 изд., М., 1968; [2] X а л м о ш П., Гильбертово пространство в задачах, пер. с англ., М., 1970; [3] V е s e n t i n i E., «Boll. Un. Mat. Ital.», 1968, v. 1, p. 427—29; [4] Ptak V., «Bull. London Math. Soc», 1970, v. 2, p. 327—34. В. С. Шулъман. СПЕКТРАЛЬНЫЙ СЕМИИНВАРИАНТ — одна из характеристик стационарного случайного процесса. Пусть X(t), —οο<ί<οο, — действительный стационарный случайный процесс, для к-рого ε 1-Х" (Ol^-^ <£<οο. Семиинварианты этого процесса -п *п дщ ... ди In Ее i(utX(tl) + . .u„ = G связаны с моментами MW (fх *„) = Е{Х (*!)...*(*„)} соотношениями ^ο-Σ^,,., (_1)?-1(?_1)!Д^1М,',)(//;), №' где / = (*ι 'и), J, = (*ii Ι ρ) и суммирование ведется по всем разбиениям множества / на непересекающиеся подмножества I р. Говорят, что Χ(ί)ζΦ(η}, если для всех 1<к<п в пространстве Rk существует мера М{к) (Δ) ограниченной вариации такая, что для всех гг. . .tk i{tl\i+...+thXh M^(tl...tk)=^ -s R" R" Меру F(n), определенную на системе борелевских множеств, наз. спектральным семиинвариантом, если для всех tx . . . tn 5<»>(ίι tK J U. >R" X)F^ (dl). Мера F(n) существует и имеет ограниченную вариацию, если Χ (ί)ζ_Φ{η). В случае стационарного процесса X(t) семиинварианты S{n) (ίχ . . . tn) инвариантны относительно сдвигов: S^Hh + τ, ί„+τ) = δ*«)(ί1...ίιι), а спектральные меры F{n) и М(п) сосредоточены на многообразии λ^. . .+λ„=0. Если мера F(n) абсолютно непрерывна относительно меры Лебега на этом многообразии, то существует спектральная плотность η-го порядка /„(λχ, . . ., λ„_χ), определяемая равенствами S(nHti .. t ρ i(K(tz-tl) + ...+Kn_ Χ/»(λι,..·, λ„_ι)ίίλ, (ln'h)) Χ верными при всех ίχ. . Лп. В случае дискретного времени под RSk) во всех приведенных выше формулах надо понимать А:-мерный куб —π<λχ<π, i<.i<.k. Лит.: Ш 11 ρ ο χ ο ρ о в Ю. В., Розанов Ю. Α., Теория вероятностей, 2 изд., М., 1973; [2] Леонов В. П., Некоторые применения старших семиинвариантов к теории стационарных случайных процессов, М., 1964. И. Г. Журбенко. СПЕКТРАЛЬНЫЙ СИНТЕЗ — восстановление инвариантных подпространств семейства линейных операторов по содержащимся в них собственным или корневым подпространствам этого семейства. Точнее, пусть 2ί — коммутативное семейство операторов в топологическом векторном пространстве X, ор(%) — его точечный спектр, т. е. совокупность числовых функ-
133 СПЕКТРАЛЬНЫЙ 134 ций λ=λ {А) на Щ, для к-рых собственные подпространства #«(λ)= П Ker(A~k(A)I) Aen отличны от нулевого, £4(λ)= П U Кег(А~1(А)1)»- А е 21 /г е /V корневые подпространства, соответствующие точкам λζορ(%). Подпространство LaX, инвариантное относительно 5ί, допускает С. с, если L совпадает с замыканием содержащихся в нем корневых подпространств. Если все 91-инвариантные подпространства допускают С. с, то говорят, что само семейство ЭД допускает С. с. Примером семейства, допускающего С. с, является всякая компактная коммутативная группа операторов в банаховом пространстве и, более общо, всякая группа с относительно компактными траекториями. Если dim X<oo, то всякое одноэлементное семейство допускает С. с. ввиду существования жорданова разложения. В общем случае, для того чтобы оператор допускал С. с, необходимо, по крайней мере, потребовать, чтобы все пространство X допускало С. с. относительно Л, т. е. чтобы А имел полную систему корневых подпространств. Условие полноты, однако, не обеспечивает возможности С. с. даже для нормальных операторов в гильбертовом пространстве; для того чтобы нормальный оператор А допускал С. с, необходимо и достаточно, чтобы ор (А) не содержал носителя меры, ортогональной многочленам. Это условие выполняется тогда и только тогда, когда для любой области GdC найдется функция /, аналитическая в G, для к-рой sup |/(ζ) |< sup |/(z)|. zgG zeGr\opiA) В частности, полные, унитарные и полные самосопряженные операторы допускают С. с. Допускают С. с. и полные операторы, «близкие» к унитарным или самосопряженным (диссипативные операторы с ядерной мнимой компонентой, операторы со спектром на окружности и нормальным ростом резольвенты при приближении к этой окружности). Полнота системы корневых подпространств не обеспечивает С. с. инвариантных подпространств и при дополнительном условии компактности оператора: сужение полного компактного оператора на инвариантное подпространство не обязано иметь собственных векторов и, более того, может совпадать с любым наперед заданным компактным оператором. В круг задач С. с. инвариантных подпространств входит, кроме выяснения возможности аппроксимации этих элементов линейными комбинациями корневых векторов, также построение и оценка скорости сходимости аппроксимирующей последовательности. В случае операторов со счетным спектром аппроксимирующая последовательность обычно строится усреднением последовательности частичных сумм формального ряда Фурье z~V εχχ, где ε χ — проектор Рисса: •^λ€Ορ(Α) е.х={2т)'1[ (ζ —A)-1 dz, Γλ — контур, определяющий точку λ£σρ(Α) от остального спектра. Если пространство X состоит из функций на локально компактной абелевой группе, а Щ совпадает с семейством всех операторов сдвига, то собственные относительно 5ί подпространства — это одномерные подпространства, порожденные характерами группы. Таким образом, теория С. с. инвариантных подпространств включает классич. задачи гармонич. синтеза j на локально компактной абелевой группе (см. Гармонический анализ абстрактный), состоящие в нахождении условий, при к-рых инвариантные относительно сдвигов подпространства в нек-ром топологическом векторном пространстве функций на группе порождаются содержащимися в них характерами. В частности, возможность С. с. на компактных группах или, более общо, в пространствах почти периодических функций на группах является следствием сформулированного выше результата о С. с. для групп операторов с относительно компактными траекториями. Далее, проблематика С. с. тесно связана и с задачами синтеза идеалов в регулярных коммутативных банаховых алгебрах: замкнутый идеал является пересечением максимальных («допускает синтез») тогда и только тогда, когда его аннулятор в сопряженном пространстве допускает С. с. относительно семейства операторов, сопряженных к операторам умножения на элементы алгебры. Приведенное определение С. с. можно расширить таким образом, чтобы оно охватывало и семейства операторов без обширного точечного спектра (и даже не- I коммутативные). Для этого его заменяют требованием ! взаимной однозначности соответствия между инвариант- : ными подпространствами и спектральными характери- I стиками сужений да