А.М. НАХУШЕВ
УРАВНЕНИЯ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
БИОЛОГИИ
Рекомендовано
Государственным комитетом
Российской Федерации
по высшему образованию
в качестве учебного пособия
для студентов
математических и биологических
специальностей университетов
Москва «Высшая школа» 1995

ББК 22.1
Н34
УДК 51
Рецензенты: чл.-кор. РАН А. В. Бицадзе; чл.-кор. АН Казахста-
Т. Ш. Кальменов
ц 1901000000—054 nt
" 001(01)—95 71""95
ISBN 5-06-002670-1
©А. М. Нахушев, 1995

ПРЕДИСЛОВИЕ
Последние десятилетия характеризуются глубоким
проникновением методов математического моделирования
в науку о живом. Использование математики для поиска
и познания биологических законов имеет длительную
историю. Еще в 1202 г. Леонардо Пизанский
(Фибоначчи) в упражнениях к своей книге об абаке провел
анализ простой модели популяции кроликов и пришел к
разностному уравнению и знаменитым числам
Фибоначчи. В 1680 г. Дж. Борелли предложил геометрический
подход к механике движения животных и человека.
В 1798 г. Т. Мальтус разработал модель динамики роста
популяции, в основе которой лежит дифференциальное
уравнение показательного роста. В 1908 г. вышла работа
Г. Г. Харди, которая сыграла заметную роль в
становлении математической генетики. В 1917 г. Д'Арси Томсон
опубликовал книгу «О росте и форме», которая
охватывает довольно широкий круг биологических вопросов,
объединенных возможностью применения к ним
количественных методов. С 1920 г. число значительных работ в
этой области начало стремительно расти. В 1931 г.
появился фундаментальной важности труд
«Математическая теория борьбы за существование» выдающегося
математика В. Вольтерра.
Сейчас имеется уже много статей и книг, специально
посвященных математическому моделированию
различных биологических процессов и явлений, сложилась
новая дисциплина — математическая биология.
Библиография работ, опубликованных в одном только
специализированном журнале «Journal of Mathematical Biology*,
насчитывает сотни названий.
Настоящая книга является, по существу,
специальным курсом лекций по теории уравнений математической
биологии, который автор неоднократно читал в
Кабардино-Балкарском государственном университете.
Предмет теории уравнений математической биологии
составляет исследование основных типов как локальных,
так и нелокальных уравнений, описывающих различные
биологические процессы и явления.

Изложение материала книги автор старался строить
так, чтобы убедить математика (прикладника и
теоретика) в том, что в науках о живом есть математически
интересные, весьма сложные и ждущие своего решения
проблемы, а биолога — в универсальности метода
математического моделирования.
Хочу выразить глубокую благодарность и искреннюю
признательность моему учителю Андрею Васильевичу
Бицадзе и академику Александру Андреевичу
Самарскому, научные и гражданские позиции которых оказали
столь большое влияние на мое увлечение не только
теоретическими, но и прикладными аспектами математики.
А. М. Нахушев

ГЛАВА 1
ЭЛЕМЕНТЫ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА
И ДРОБНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
§ 1.1. ОСНОВНЫЕ понятия ФУНКЦИОНАЛЬНОГО
АНАЛИЗА
1.1.1. Линейные пространства. Понятие линейного
пространства является одним из важнейших понятий функционального
анализа. В современной математике пространство определяют как
множество, между элементами которого аксиоматически заданы
некоторые соотношения. Как философская категория
пространство есть одна из форм существования живой и неживой
материи.
Пусть А — заданное множество или пространство. Запись
х^А означает, что объектах является элементом или точкой
пространства Л, а запись хША — что х не является элементом Л,
т. е. х не принадлежит множеству А.
Говорят, что множество А образует коммутативную группу
относительно операции сложения, если в нем определена
операция суммы х + у двух любых точек лс, удовлетворяющая
следующим условиям (аксиомам):
1б) х + уе=Ау х + у = у + х\
2°) для любых элементов х, у, геА
х + (у + z) = (х + у) + z\
3°) существует однозначно определенный элемент ОеЛ
такой, что х-\-0~х\
4°) для любого х^А существует однозначно определенный
элемент —лееЛ такой, что х + х) = 0.
Множество А называется линейным (или векторным)
пространством над полем С комплексных чисел, если:
А — коммутативная группа относительно операции сложения;
определена операция умножения элементов множества А на
комплексные числа Аир, удовлетворяющая следующим
аксиомам:
2°) k(x + y) = lx + ky, (A, + \i)x =кх + \лх\
3°) \-х = ху 0-х=0.
5

Сумма x-f-(—- у) называется разностью х — у точек ху у^А,
а 0 и 1 — соответственно нулевым и единичным элементами
пространства А.
Элементы линейного пространства принято называть
векторами (или точками).
Пусть xi, х2у хп — заданные элементы линейного
пространства А. Сумма
п
2 oiiXi = aixi -f а2х2 + ... + anxn, a.eC, \Л
i= 1
называется линейной комбинацией элементов x\t x2t хп.
Элементы jci, Х2, хп называются линейно зависимыми, если
существует их линейная комбинация, равная нулю:
2ад = о, 2 1а/|>о.
. = i /= i
Если же
п
2а,*,- = 0^а,= О, \Л" = 1, 2, л,
то элементы х\, х2у хп называются линейно независимыми.
Здесь и в дальнейшем символ V означает квантор общности,
а символ о—импликацию. Символ о читается так:
«необходимо и достаточно», «тогда и только тогда, когда», «в том и
только в том случае, когда».
Линейное пространство А называется п -мерным, если в нем
существует п линейно независимых элементов (векторов), а
всякие п -\r 1 элементов линейно зависимы. Множество любых п
линейно независимых элементов в я-мерном пространстве А
называется базисом в А. Если для каждого натурального п в
пространстве А существует п линейно независимых элементов,
то говорят, что А бесконечномерно.
Множество М в линейном пространстве А называется
линейным многообразием (множеством), если для любых ху у&М и
любых чисел к, \х линейная комбинация кх + [ii/eM.
Если хоШМ и М — линейное многообразие в линейном
пространстве Л, то множество хо М называется аффинным
многообразием в А.
1.1.2. Нормированные и метрические пространства. Нормой в
линейном пространстве А называется любая функция f(x) = ||jc||,
которая каждому элементу х^А ставит в соответствие число
и обладает следующими свойствами:
1°) 11*||>0, \/х(==Ау причем ||х|| = 0ох=0;
2°) \\х + у\\^\\х\\ + \\у\\, \/ху у<=А;
3°) НМ| = |МЫ, \/х<=А, кевС.
6

Если в линейном пространстве Л введена норма, то его
называют нормированным линейным пространством.
Нормированные пространства существенно связаны с
метрическими пространствами. Множество А называется метрическим
пространством, если каждой паре его элементов х и у поставлено
в соответствие действительное число р(х, у), удовлетворяющее
следующим аксиомам:
Г) р(*, у)>0, р(х, у) = 0ох=у;
2°) р(х, г/) = р(г/, х)\
3°) р(х, у) + р{у, z)>p(x, 2), \/х, у, z<=A.
Число р(х, у) называется расстоянием между точками х и у
(или метрикой пространства А).
В линейном нормированном пространстве А можно ввести
метрику с помощью равенства
р(х,у)=\х — у\, \/хууе=А.
Классическими примерами метрических пространств являются
множество действительных чисел R с метрикой
р(лг, г/) = |лг — \/x,yeER
и л-мерное евклидово пространство Rn с метрикой
[П ol 1/2
21** — #IJ . я, yi<==R,
\/x = {xlyx2,х„)еГ, у = (у\,У2,yn)<=Rn.
Если P(x) — некоторое предложение относительно jc, то
символом {х:Я(л:)} или принято обозначать множество
точек х, для которых справедливо предложение Р(х).
1.1.3. Полные метрические пространства и пространство
Банаха. Пусть А — пространство с метрикой р(х, у). Множество
Syr = {х:р(ху у)<г, х^А) называется открытым шаром с
центром в точке i/еЛ и радиусом г. Окрестностью точки у^А
принято называть любой шар с центром в этой точке.
Элемент хеЛ называется пределом последовательности х\,
х>ь хПу ... точек из Л, если limp(xn, х) = 0. Итак, хп->х или
п-+ оо
limxn = х-Ф^р(хп, х) = 0 при /г->оо.
Последовательность {хп} точек хп^А называется
фундаментальной (или последовательностью Коши), если для любого е>0
найдется такое N(e), что р(хт, хл)<е, Уя> n>N(z).
Метрическое пространство А называется полным, если
каждая фундаментальная последовательность \хп), хдеЛ сходится к
некоторому пределу, являющемуся элементом А.
Точка х называется внутренней точкой множества Q
метрического пространства Л, если она принадлежит Q вместе с некото-
7

рой окрестностью. Элемент i/еЛ называется предельной точкой
множества й, если любая окрестность точки у содержит хотя бы
одну точку множества й\г/.
Здесь и в дальнейшем разность множеств А к В обозначается
через А\В. По определению, х^А\Вох^А и хШВ.
Множество, полученное присоединением к й всех его
предельных точек, называется замыканием множества й и обозначается
через й. Множество й называется замкнутым, если й = й.
Замыкание открытого шара совпадает с замкнутым шаром
S? = {x: р(х, у)^г, х^А). Множество й называется плотным
в множестве М, если й содержит М, т. е. если QzdM. В частности,
если й = Л, то говорят, что множество й всюду плотно в
пространстве А или просто й является всюду плотным множеством.
Замкнутое линейное многообразие М в нормированном
пространстве А называется подпространством в А.
Точка i/еЛ называется граничной точкой множества йс:Л,
если в любом шаре с центром в точке у имеются точки,
принадлежащие й, и точки, не принадлежащие й. Границей множества й
называется множество дй всех его граничных точек. Границу
dSyr шара Syr принято называть сферой:
dSyr = {x:p(x,y) = r, хе=Л}.
Множество, состоящее только из внутренних точек,
называется открытым.
Центральное место в функциональном анализе занимают
пространства Банаха. Пространством Банаха (или банаховым
пространством) принято называть любое полное нормированное
линейное пространство.
1.1.4. Пространство Гильберта и неравенство Коши—Буня-
ковского—Шварца. Ряд Фурье. Линейное пространство Н
называется пространством со скалярным произведением (или
евклидовым), если каждой паре его элементов х и у поставлено в
соответствие комплексное число (х, у), удовлетворяющее следующим
аксиомам:
1°) (уу х) = (х, у) — число, комплексно сопряженное с (х, у);
2°) (kx + iiy,z) = k(x,z) + \i(y,z), \/2еЯД,|1ЕС;
3°) (х, х)>0, (х, х) = 0ох=0.
Число (х, у) принято называть скалярным произведением.
Нормированное пространство Н называется унитарным, если
в нем можно ввести скалярное произведение, связанное с нормой
формулой
\/х*=Н, 1М|=У(^)-
Важный класс банаховых пространств образуют пространства
Гильберта. Полное унитарное пространство называется
пространством Гильберта (или гильбертовым пространством).
Билинейной формой на линейном пространстве А называется
8

комплекснозначная функция ф(х, у)у которая для любых ху уу
z^A и ^еС удовлетворяет условиям:
I?) Ф + У.г) = Ф>г) + Ф*г)\
2 ) ф, У + z) = <р(х, у) + ф(х, г);
3°) ф(А,х, у) = Хф(*, у), ф(дс, А,*/) = Кф, у).
Билинейная форма называется эрмитовой, если
Ф> У) = <йУ, х).
Для неотрицательной эрмитовой формы у(хуу)^0
справедливо неравенство Коши — Буняковского — Шварца:
\ф>У)\2<Ф>х)фуу)у \/х,у*=А.
Скалярное произведение в унитарном пространстве является
примером эрмитовой формы.
Векторы х и у гильбертова пространства Н считают
ортогональными и пишут X-Ly тогда и только тогда, когда (х, у) = 0.
Если (х, х) = (уу у)= 1, то ортогональные элементы х и у
называют ортонормированными. Множество (система) А элементов Н
называется ортогональным, если любые два различных элемента
этого множества ортогональны. Если к тому же нормы всех
элементов А равны единице, то такую систему принято называть
ортонормированной. Имеет место теорема Пифагора: если
элементы (векторы) Х\у хт попарно ортогональны, то
IU, + ... + ;UI2=IU.II2 + ... + IUmll2.
Множество Лх всех элементов, ортогональных множеству ЛсЯ,
является подпространством пространства Н и называется
ортогональным дополнением множества А.
Пусть в бесконечномерном гильбертовом пространстве Н со
скалярным произведением (.,.) дана ортогональная система \xt).
Ряд вида
2 CPCi, Ci =
называется рядом Фурье элемента хеЯ, а числа ci, /=1,2, ... —
коэффициентами Фурье элемента х по ортогональной системе
п
{xi}. Многочлен 2 cixii = Sn называется многочленом Фурье.
i = 1
По определению, ряд Фурье элемента х сходится к ху если Sn^x
при п^оо. Система называется полной (или ортогональным
базисом пространства Я), если для любого ^еЯ выполняется
оо
равенство 2 dXi = х.
< = i
1.1.5. Линейные операторы и функционалы. Пусть Ех и Еу —
некоторые множеста, a Q — подмножество множества ЕХу т. е.
9

Q^EX. Если каждому элементу хей сопоставлен элемент
у = Цх)^Еуу то говорят, что на Q определен оператору
действующий из Й в Еу. Действие оператора (отображения или
операции) L схематически можно изобразить так: L.x^y или
L : D(L) R(L)y где D(L) = Q — область определения
оператора L, R{L)— область значений оператора или кообласть L, т. е.
множество всех точек у^Еуу представимых в виде y=L(x).
В случае, когда Еу = /?, оператор L называют функционалом.
Множество пар [ху Цх)}у где x^D(L)y называется графиком
оператора L.
Два оператора L\ : D(Li)-+R(Li) и L2: D(L2)^R(L2)
называются равными, если D(L\) = D(L2) и L{{x) = L2(x) для всех xeD(Li).
Оператор L2 называется расширением оператора L\y если
D(Li)cz.D(L2) и L2(x) = Li(x) для всех x^D(Li). При этом
говорят, что L\—сужение L2.
Подмножество Цсо) множества R(L) принято называть
образом множества со cz D(L) при отображении L : D(L)^R(L)y если
для любого элемента существует хесо, что 1/ = L(x).
Если y = L(x)y x^D(L), y^R(L)y то говорят, что элемент у
является образом элемента ху а элемент х — прообразом
элемента у.
Оператор у = Цх) называется взаимно однозначным (или
мономорфизмом), если каждому образу y^R(L) отвечает
единственный прообраз х = L~l(y).
Пусть оператор L — взаимно однозначен, тогда оператор
L~!: R(L)^D(L) называется обратным к L.
Пусть теперь Ех и Еу — линейные нормированные
пространства и L-оператор такой, что D(L) содержит окрестность So
точки х0у за исключением, быть может, х0. Точку уо^Еу
называют пределом Цх) при х^х0 и пишут L(x)^yo при х^хо или
уо = HmL(jt), если для любого е>0 существует 6(е)>0 такое,
х-+Хо
что для всех xeSo, удовлетворяющих неравенству \\х — х0\\ <6(е),
имеет место неравенство \\L(x) — уо\\<г. Оператор L,
определенный в окрестности So точки х0, называется непрерывным в точке
х0у если L(x)^L(xo) при х-^х0. Оператор L : D(L)^R(L)
называется ограниченным, если он переводит любое ограниченное
множество из в ограниченное множество из /?(7Л
Оператор L называется линейным, если D(L)—линейное
многообразие и L(kiXi -f ^2X2) = -f ta£(*2) для любых
jci, x2^D(L)y k{y k2^C. Область значений R(L) линейного
оператора L всегда является линейным многообразием.
Линейный оператор L ограничен тогда и только тогда, когда
существует такая положительная постоянная су что
IILxIKcM, Yx^D(L) = EXy
где Lx= Lyx).

Здесь и в дальнейшем запись >4=В означает логическую
равносильность А и В, другими словами — идентичность А и В.
Понятия линейного непрерывного и линейного ограниченного
операторов эквивалентны.
Число ||L|| = sup ||Ljc|| называется нормой линейного
операции = i
тора L. Поэтому линейный оператор L : Ех-+Еу непрерывен тогда
и только тогда, когда
IIIxllVxseEx.
Множество М всех линейных отображений L: Ех-+Еу
превращается в линейное пространство, если определить
алгебраические операции следующим образом:
(L\ + L2)x = L\x + L2x, (kL\)x = XL\x,
\/Lu L2<=M, \/x<=Ex> Xg=C.
В полученном линейном пространстве Af роль нулевого элемента
играет отображение Lo = 0: Lo* = 0, Ух^Ех.
Очевидно,
L0 = 0, Ц—х) = —Lxy V^Af, х<=Ех.
Множество
kerL = L-1(0) = {jc: xg£„ Zjc=0, LgM|
является подпространством пространства и называется ш/ле-
вбш пространством (или ядром) оператора L. Легко видеть, что
отображение L^M взаимно однозначно тогда и только тогда,
когда kerL = {0}.
Пусть Еу = /?; тогда пространство М совпадает с
пространством всех линейных функционалов.
Множество Е% всех линейных непрерывных функционалов
L :EX-+R с нормой ||L||= sup ||Lx|| называется сопряженным к
iun= 1
линейному нормированному пространству Ех. Пространство Ef
является банаховым.
Линейный функционал L*<p: Ex-+R, определенный формулой
L*<p(x) == cp(Lx), \/х<=ЕХу
где q>:Ey-+R — линейный функционал, a L:EX-+Ey—линейный
непрерывный оператор, каждому фе£^ ставит в соответствие
функционал г|> = L*cpe£?.
Оператор L*:E$-+Ei принято называть оператором,
сопряженным с оператором L. Известно, что ||L*|| = ||L||. Оператор L
называется самосопряженным, если L = L*.
Значение линейного функционала f^R(f) на элементе x^D(L)
принято обозначать через <jc, />. Поэтому
L*<p(x) = cp(Lx)^<x, L*cp> = (Lx, q>>, \/x^Ex.
li

Множество МеиЕх называется компактным, если из любой
последовательности {хп} точек хп^М можно выделить
фундаментальную последовательность. Если предел каждой из этих
последовательностей принадлежит М, то множество М называется
бикомпактным (или компактным в себе).
Линейный ограниченный оператор L:EX-+Ey называется
вполне непрерывным, если замкнутый шар единичного радиуса из
Ех он переводит в компактное множество пространства Еу. Если
Еу является пространством Банаха, то оператор L вполне
непрерывен тогда и только тогда, когда L* вполне непрерывен.
§ 1.2. ОБОБЩЕННЫЙ ПРИНЦИП СЖАТЫХ
ОТОБРАЖЕНИЙ
1.2.1. Равномерно-непрерывные и сжимающие отображения.
Пусть Ех и Еу — метрические пространства. Говорят, что
отображение у == f(x) пространства Ех в пространство Еу равномерно
непрерывно, если, каково бы ни было е>0, существует 6>0
такое, что для любых точек х\ и х2 из Ех, удовлетворяющих условию
Рх(х\, х2)<Ь, справедливо неравенство
pyifxu fx2)<e,
где рх и ру — метрики в Ех и Еу соответственно, a f(x) = fx.
Важным классом равномерно-непрерывных операторов
являются функции, удовлетворяющие условию Гёльдера.
Здесь и в дальнейшем функция, оператор и отображение
используются как синонимы.
Говорят, что отображение f:Ex-+Ey удовлетворяет условию
Гёльдера порядка а(0<а^1), если существует такая
положительная постоянная с, что
P«/(/*i, fx2)^c[px(xi, х2)]а, V*l x2t=D(f).
Наименьшую из постоянных с, для которых имеет место это
неравенство, принято называть постоянной (или коэффициентом)
Гёльдера.
При а= 1 отображение /, по определению, удовлетворяет
условию Липшица. Оператор f, удовлетворяющий условию
Липшица с постоянной Липшица с< 1, называется отображением
сжатия или сжимающим отображением.
Оператор / из Ех в Ех называется обобщенным сжатием, если
существуют такие числа е, б и с(г, б)<1, что
e<p*(*i, *2)<6, px(fxi, /х2)<ф, &)рх(х{, х2)
для любых х\, x2^D(f).
1.2.2. Теорема Каччиополли — Банаха и неподвижные точки
отображения. Пусть в банаховом пространстве Ех действует опера-
12

тор fx с областью определения D(f)czFx и областью значений
Точка Xo^D(f)f\/?(/), где П — операция пересечения
(произведение), называется неподвижной тонкой отображения fx, если
fxo = xo. Другими словами, точка хо—неподвижная точка
отображения fx тогда и только тогда, когда она является решением
уравнения x=f(x).
Справедливо следующее утверждение.
Теорема 1.2.1 (теорема Каччиополли — Банаха). Каждое
сжатое отображение полного метрического пространства в себя
имеет, и притом единственную, неподвижную точку.
Итак, пусть в полном метрическом пространстве Ех задано
сжатое отображение f:Ex-+EXi переводящее элементы
пространства Ех снова в элементы этого же пространства. Надо доказать,
что уравнение f(x) = х имеет, и притом единственное, решение xq.
Так как оператор / является сжимающим, то существует
постоянное число а<1, что
где р — метрика в Ех.
Возьмем произвольным образом фиксированный элемент
х^Ех и положим
Покажем, что последовательность {хп} является фундаментальной.
Для этого заметим, что
р(хп-ь x,,)<anp(x, fx).
Далее, учитывая, что
р(х, z)<p(x, у) + р(у, г), \/x,y,z<=EXj
можно записать
р(*я, Хп+р)<р(Хп, *п + \) + р(*п + 1, *я+2) + ...+ р(хл+р_1, Хп+р) <
р(/*> fy) < ор(*, у), V *, у £*,
*1 = /(*), X2 = /(Xl), Xn = f{Xn-\)y ...
р(*ь х2) = р(/х, /лг,)<ар(х, хх) = ар(х, /х),
р(*2, х3) = р(/*ь /*2)<ap(xi, х2)<а2р(х, fx),
<(ап + ап+1 + ... + ая+р_|
Так как, по условию, а<1, то
)р(х, /х) =
р(х, fx).
р(хл, хл+р) <
р(х, fx).
Отсюда заключаем, что
lim р(хя, хл+р) = О, \/Р=1,2, ...
П -*• оо
13

Следовательно, последовательность {хп} является
фундаментальной. Вследствие полноты пространства Ех существует элемент
Xo^EXi являющийся пределом этой последовательности.
Докажем теперь, что хо = f(xo). Действительно,
Р(Х0, /*о)<р(*0, Хп) + р(хп, fXo) = p(jC0, Хп) +
+ р(/*я-1, /*o)<p(*0, Хп) + Ор(Хя-1, ^о).
Но для любого е>0и достаточно большого п имеем р(*о, хп)<е/2,
р(*о, xn-i)<e/2a. Значит, р(л;о, fxo)<e. Так как е произвольно, то
р(*о, fx0) = 0, т. е. Хо=/(*о).
Остается убедиться в единственности найденной неподвижной
точки jco. Предположим, что существует еще одна неподвижная
точка уо^Ех, отличная от х0. Тогда расстояние p(jco, «/o) =
= р(/*о, fyo) ^ ap(*o, Уо) и поэтому 1, а это противоречит
условию а<1. Следовательно, р(х0, уо) = 0, т. е. лг0= */о, что
опровергает сделанное предположение и доказывает единственность
неподвижной точки сжатого отображения.
Переходя в неравенстве
р(х», Хп+р) < р(*, /х)
к пределу при р-^оо, получим оценку ошибки (скорости
сходимости) п-то приближения хп к точке хо:
р(хп, хо) < -ZL-p(x9 fx),
из которой следует, что выбор элемента х будет сказываться лишь
на быстроте сходимости последовательности {хп} к своему
пределу х0.
Построение сходящейся последовательности {хп} по алгоритму
хп — f(xn-\)y п = 2, 3, при заданном х\ = f(x), где х —
фиксированная точка из EXt называется итерационным методом (методом
итераций или методом последовательных приближений), а
последовательность {хп} — итерационной последовательностью.
При реализации на компьютерах задачи вычисления л-го
приближения хп к неподвижной точке хо отображения f: Ех-+Еу
широко используется метод итерации.
1.2.3. Производные по Гато и Фреше; неподвижные точки
дифференцируемых отображений. Рассмотрим отображение f : D(f)-+
->/?(/), где D(f) — открытое множество банахова пространства Ех,
R(f) — множество банахова пространства Еу.
Если для любого х^Ех существует предел 6f(xo; х) оператора
—[Кхо + ъх) — f(x0)]> где хо + ex^D(f), при то этот предел
называется первой вариацией оператора f в точке х0.
Пусть оператор f имеет в точке хо первую вариацию Щхо\ х),
представимую в виде
6/(х0; х) = f'(x0)x,
14

где f'{xo): Ех-+Еу — непрерывный линейный оператор. Тогда
оператор f'(xo) называют слабой производной (или производной Гато)
оператора / в точке хо (по направлению х^Ех) и пишут
lim 1(Хо + ех) ~ !{Хо) = Г(х0)х.
Правую часть этого равенства принято называть
дифференциалом Гато.
Сильной производной (или производной Фреше) оператора
f:Ex-+Ey в точке x0^D(f) называется линейный непрерывный
оператор f'(xo):Ex-+Eyi удовлетворяющий условию
f(x0 + х) - f(x0) = f'(x0)x + е(*), (1.2.1)
где 1^1^=0.
Ikii—о 11*11
Если отображение / имеет в точке х0 производную Фреше, то
оно называется дифференцируемым по Фреше в точке xq.
Из дифференцируемости / в точке х0 по Фреше следует его
дифференцируемость в xq по Гато.
Отображение /, дифференцируемое в каждой точке XodQa
czD(f)y называется дифференцируемым в R.
Пусть непрерывный оператор f.Ex-+Ex дифференцируем в
пространстве Банаха Ех и
Н/'(*о)И <а< 1, Ух^Ех.
Тогда с помощью (1.2.1) легко убедиться, что оператор /
является сжимающим в силу теоремы Каччиопполи — Банаха имеет
единственную неподвижную точку.
1.2.4. Обобщенный принцип сжатых отображений. Пусть ц>\\
:А-+В и (р2:В-+С — два отображения. Тогда отображение ф:
:А->С, сопоставляющее произвольному элементу х^А элемент
Ф2(ф1(*)), называется произведением (суперпозицией,
композицией) отображений ф| и фг и обозначается фг°ф1. Рассмотрим
оператор f: D(f)-+D(f). Итерациями оператора f(x) = fx принято
называть операторы fх = /, /2 = М = f(fx), /3 = fo/2, fn =
= fofn__{. Оператор fn = fn(fn-\x) называется п-й итерацией
(степенью) оператора f.
Обобщенный принцип сжатых отображений формулируется
следующим образом: пусть f(x) — отображение полного
метрического пространства Е в себя, тогда если одна из его итераций fn
является сжатием, то оператор f имеет неподвижную точку, и
притом единственную.
Сначала докажем единственность неподвижной точки хо
Очевидно, что если х0 = f(*o), т0 *о = /р(*о) для любого р =
= 2, 3, ... Значит, х0 есть неподвижная точка п-й итерации
оператора /, но у сжимающего оператора fn имеется одна и толь-
15

ко одна неподвижная точка. Поэтому если / имеет неподвижную
точку, то она единственна.
При доказательстве существования неподвижной точки будем
исходить из того, что сжатие fn имеет единственную
неподвижную точку Хо.
Из определения итерации следует равенство fxo = f(fnxo) =
= fn(fxo), означающее, что fxo является новой неподвижной
точкой отображения /л. Так как fnt будучи сжатием, не может иметь
другой, отличной от хо неподвижной точки /хо, то fxo = Хо.
Имеет место следующее утверждение.
Принцип обобщенного сжатия. Если оператор f преобразует
в себя полное метрическое пространство Е и является
обобщенным сжатием, то уравнение f(x) = х имеет в Е единственное
решение.
1.2.5. Теорема Брауэра о неподвижной точке и принцип Шау-
дера. Пусть Ех — линейное нормированное пространство.
Отрезком [а, 6], соединяющим точки а, Ь^ЕХ, называется множество
всех точек
х = (1 — t)a + tb, 0< 1.
Множество Q в пространстве Ех называется выпуклым, если
из того, что точки а, Ь^ЕХ, следует, что Q принадлежит и отрезок
[а, Ь].
Выпуклым телом в банаховом пространстве Ех называется
выпуклое замкнутое множество, имеющее хотя бы одну внутреннюю
точку.
По определению, множество QczEx ограничено тогда и только
тогда, когда существует такое с > О, что для всех x^Q
выполняется неравенство ^ с.
Справедлива следующая теорема.
Теорема 1.2.2 (теорема Брауэра). Пусть Q — выпуклое
ограниченное тело n-мерного банахова пространства. Тогда
любой непрерывный оператор, отображающий множество Q в себя,
имеет в Q неподвижную точку.
Оператор f:Ex-+Eyy где Ех и Еу — банаховы пространства, с
областью определения D(f) называется вполне непрерывным на
£>(/), если он непрерывен на D(f) и переводит каждое
ограниченное множество, лежащее в D(/), в компактное в Еу множество.
Имеет место следующее весьма важное утверждение.
Принцип неподвижной точки Шаудера. Пусть оператор f
отображает замкнутое ограниченное выпуклое множество D(f)
банахова пространства в себя. Тогда если f вполне непрерывен
на D(f), то он имеет на D(f) неподвижную точку.
В приложениях, как правило, роль замкнутого ограниченного
выпуклого множества D(f) играет замкнутый шар.
Из принципа Шаудера вытекают следующие теоремы о
неподвижных точках.
16

Теорема 1.2.3. Пусть оператор f действует из шара S:
IIл: || г банахова пространства Ех в Ех и вполне непрерывен.
Тогда если [(х)ФХх, для всех x^dS = {x:\\x\\= г] и Х>1, то f
имеет в S неподвижную точку.
Теорема 1.2.4 (теорема «Пере—Шаудера). Пусть оператор f
отображает все Ех в Ех и вполне непрерывен; существует
положительная постоянная с такая, что для всех А,е[0, 1] и для всех
решений х уравнения х = Xf(x)y О ^ X ^ 1, справедливо
неравенство \\х\\ ^ с. Тогда оператор f имеет неподвижную точку.
§ 1.3. ТЕОРЕМА ХАНА-БАНАХА И ТЕОРЕМА РИССА
О ПРЕДСТАВЛЕНИИ ЛИНЕЙНОГО ФУНКЦИОНАЛА
1.3.1. Теорема Рисса. В гильбертовом пространстве Н
рассмотрим скалярное произведение f(x) = (ху у) с фиксированным
у^Н. Из неравенства Коши — Буняковского — Шварца \(ху
< ||jc|| ||у\\ легко видеть, что ||/|| < \\у\\. Следовательно, линейный
функционал f(x) является ограниченным.
Имеет место следующая весьма важная в математической
биологии теорема Рисса об общем виде линейных непрерывных
функционалов в гильбертовом пространстве: каков бы ни был
непрерывный линейный функционал f = < ху / > в гильбертовом
пространстве Н существует однозначно определяемый
функционалом f элемент у^Н с нормой \\у\\ = ||f|| такой, что < ху f > =
= (*,(/), Yx^H.
1.3.2. Теорема Хана—Банаха о продолжении линейных
функционалов. Один из основных принципов функционального
анализа выражает теорема Хана — Банаха, которая формулируется
следующим образом: Пусть / = <лс, f>—линейный
ограниченный функционал с областью определения D(f), принадлежащий
нормированному пространству Ех. Тогда существует всюду
определенный в Ех линейный ограниченный функционал F = <х, F>
такой, что 11/41 = 11/11 и <ху F> = <ху />, Yx<=D(f).
Довольно просто осуществляется продолжение
функционала f (с сохранением нормы), заданного на некотором
подпространстве D(f) гильбертова пространства Н. Более того, это
продолжение реализуется единственным образом. Действительно, так
как D(f)y по определению, замкнуто, то D(f) является
гильбертовым пространством. Следовательно, по теореме Рисса
существует, и притом единственный, элемент ze£)(f), что f = (ху z) для
любого x^D(f). Пусть F = < ху f > — искомое продолжение
функционала f на Н. Тогда по теореме Рисса существует, и
притом единственный, элемент у^Н такой, что F = (ху у) для
любого лгеЯ. Поскольку (ху у) = (ху z), Yx^D(f\ имеем, (х, у — z) =
= 0, т. е. вектор у — z принадлежит ортогональному дополне-
2 Заказ № 1786
17

нию Так как ||f|| = ||z||, \\F\\ = \\у\\, то, согласно условию,
IIj/ll ^ llzll. С другой стороны, у — z + (у —- 2), где векторы z и
у — z ортогональны. Тогда из теоремы Пифагора заключаем, что
11«/Н2 = 1И12 + 111/ — z||2. Значит, \\у — z|| = 0, т. е. у = 2, что и
требовалось доказать.
Теоремой Хана — Банаха называют и более общее утверждение.
Пусть f(x) — линейный функционал, определенный на
линейном многообразии D(f) линейного пространства Ех, и существует
функционал (полунорма) р(х) ^ 0 такой, что
|/(*)|<р(х), V*€=D(f),
р(х + 1/Х Р(*) + Р(^) = Щх), У к > 0, хуу(=Ех.
Тогда существует линейный функционал F(x), определенный в
Ех, и такой, что
F(x) = f(x), V *€=D(f), \F(x)\ < V*e=£*.
Сужением отображения f:D(f)-+R(f) на множество MczD(f)
называется отображение f\M:M-+R(f)9 которое совпадает с f
на М. В свою очередь, отображение f называется продолжением
(распространением) отображения Цм.
Очевидно, участвующий в теореме Хана — Банаха
функционал F является продолжением на Ех своего сужения F\D(f)=f.
§ 1.4. ОСНОВНАЯ ЛЕММА ВАРИАЦИОННОГО
ИСЧИСЛЕНИЯ
1.4.1. Определения области и угла между кривыми в Rn.
По определению, точка или переменная х принадлежит Rn тогда
и только тогда, когда х = (х\, х2, хп), где х\ для любого
индекса /= 1, 2, п являются действительными числами, т.е. х-^
^Ry V/= 1, 2, п. Евклидово расстояние р(х, у) = \х — у\,
скалярное произведение (х,у) и норма \\х\\ = \х\ определяются
следующими формулами:
\х -у\=( £ \х, - У'Л Ч\ {х, у) = 2 Xjy-jy \х\ = У(*,*),
Vx9 yezRn.
Числа *i, jc2, xn называются евклидовыми (или декартовыми)
координатами точки x^Rn.
Для любых точек х, у из Rn справедливо неравенство Коши —
Е1]няковского—Шварца
К*, У)\<М \у\,
и поэтому существует единственный угол <р, 0 <! ф <; л, для
которого
^ м ||/|
18

Число ф называется углом между векторами х и у. Векторы х и
у ортогональны тогда и только тогда, когда (лс, у) = 0.
Множество Q называется связным, если его нельзя
представить в виде объединения двух непересекающихся множеств,
каждое из которых не содержит предельных точек другого. Непустое
открытое связное множество Q называется областью, а его
замыкание Q — замкнутой областью.
Непрерывной кривой (линией) в Rn принято называть
множество а точек x^R, евклидовы координаты х\, х2, хп которых
прёдставимы в виде
Xi = */(/), а < / < 6, / = 1, 2, я,
где Xi(t) — непрерывные функции действительной переменной
(параметра) /е[а, b]czR.
Говорят, что точки у и z^Rn можно соединить кривой с
началом и концом в точках (/иг, если существует непрерывная
кривая
а:х = x(t)oxi = */(/), i = 1,2, п, a^Lt^Lb
такая, что х(а) = у, х(Ь) = г. Кривая а замкнута тогда и только
тогда, когда у = г.
Области и выпуклые множества в Rn являются линейно
связанными, т. е. любые принадлежащие им точки у и z можно
соединить непрерывной кривой а с концами в этих точках.
Область Q называется односвязной, если ее граница — связ-
нбе множество. В противном случае Q называется многосвязной
областью.
Связное множество А называется компонентой множества
BaRn, если для любого связного множества A\CiB из
включения АаА\ следует, что А = А\. Область принято называть пг-
связной, если число компонент ее границы dQ равно т.
1.4.2. Производная по направлению и оператор Гамильтона.
Пусть D(f) — открытое множество в /?Л, а у = f(x) — отображение
множества £>(/) в пространство Rm. Это отображение равносильно
системе равенств
У\ = f\(x\, х2, хя),
У2 = f2(^l, *2, Хп),
Ут = fm(X\, Х2, Хп)-
Функции /1, f2y fm принято называть координатными
функциями (или компонентами, координатами) отображения f:D(f)-+Rm.
Производной отображения f:D(f)-+R или действительной
(скалярной) функции у = f(x) в точке x^D(f) по направлению
2*
19

вектора e^Rn называется предел (если он существует)
отношения [f(x + ее) — f(x)]/e при 0 < е-^О. Этот предел принято
обозначать так: д^ или /*(х). Следовательно,
де о<е-*о е
Если направление е = eh где е} — элемент базиса в Rn:
ех = (1, 0, 0), е2 = (0, 1, 0), еп = (0, 0, 1), то
производную по направлению в\ называют частной производной
функции f(x) в точке х по переменной х\ и пишут
dxj ' 0<е-*0 е
Таким образом, fxj = D,/ есть производная / по х\ при
фиксированном значении остальных переменных.
Если отображение f:D(f)-+Rm с координатами /i, f2, .., /т
дифференцируемо в точке X, то из определения производной Гато
f'(x) по направлению e^Rn следует, что
f'(x)e= Нт /(* + ««>-/**>.
О < 8-^0 е
Отображение /'(*)£ равносильно линейному относительно е =
= (е\, е2, .... еп) отображению
Матрица
(/,== 2 Djfi(x)eh i = 1,2, m.
.EL
6fl
dx2
дхп
df2 .
.. lb-
<?J£|
dX2
дхп
&X2
дхп
(1.4.1)
преобразования (1.4.1) называется матрицей Якоби (или
матрицей-производной) отображения /, и она является производной
Фреше оператора f =z(fu /2, fm). При m = n определитель
матрицы Якоби называется якобианом. Итак, якобиан
у./,-.../.) -detjL, m-».
<5(х,, х2, Х„) д*
Пусть V = grad = ^
5а:, ' дх2 '
г)
вектор градиента,
20

который принято называть также оператором Гамильтона (или
оператором «набла»).
Градиент Vf(x) отображения f:D(f)-+R в точке x^D(f)
определяется формулой
V/(*) = (D,/f D2f,...,Dnf).
Производная действительной (скалярной) функции у = f(x) в
точке x^D(f) по направлению единичного вектора e^Rn> \е\ =
= 1, равна проекции градиента Vf(x) на это направление, т.е.
igl= (V/, е) = £ -^Ц = IV«*)|cosq>,
где ф — угол между е и Vf{x). Поэтому производная функции у =
= f(x) в точке х по направлению Vf(x)^Rn имеет максимальное
значение по сравнению с производной в этой точке по любому
другому направлению.
1.4.3. Определения отображения класса С* и его ранга. Пусть
Q — открытое множество из Rn, а = (oti, аг, ап) — мультииндекс
длины |a|==ai + аг + •.• +ап' т- е- вект0Р с целочисленными
координатами ai, аг, ал.
Производную порядка |а| от функции и = и(х): Q-+R будем
записывать в виде
Dau = DVDf...D?u = а д'У—=-.
В частности, при а= (0, 0, ос*, 0, 0) г= а, имеем
D«u= DTu = Dfu = = D°u -
Отображение /:Q-*/?m, где / = (/i. /т), называется глад-
ким (дифференцируемым) класса C'a'(Q) или просто Сы на Q,
если каждая координатная функция //, / = 1, 2, т, имеет все
непрерывные частные производные на Q до порядка |а|
включительно.
Гладкие отображения / класса Ck называют также
^-отображениями и пишут /еС*(й) или просто feC*. Отображение
/eC°(Q) = C(Q) тогда и только тогда, когда каждая
координатная функция fj(x), j = 1,2, m, является непрерывной.
Рангом отображения /eC*(Q) в точке хо называется ранг его
матрицы Якоби ~р вычисленной в точке х0; это обозначается
так: rank*,,/. Следовательно,
гапкхо/ = 4М < min{n, m) = п*.
ах х = х0
21

Точка хо, в которой гапк*0/ = /г*, называется регулярной
(некритической, неособой). Точки *о, в которых гапк*0/ < п*>
называются критическими (особыми).
Отображение / открытого множества D(f)czRn на открытое
множество R(f)czRn называется С6-диффеоморфизмом, если / —
такой гомеоморфизм D(f) на R(f), что / и ["'еС*,
Здесь гомеоморфизмом называется топологическое (гомео-
морфное) отображение /, т. е. непрерывное взаимно однозначное
отображение f, имеющее непрерывное обратное отображение f~l.
1.4.4. Понятие топологического пространства; определения
многообразия и поверхности в Rn. Совокупность S подмножеств
множества Е называется топологией на Е, если выполнены
следующие аксиомы:
1°) множество Е и пустое множество 0 являются
элементами S;
2°) объединение любого числа и пересечение конечного числа
элементов S принадлежат S.
Элементы топологии S принято называть открытыми
множествами. Открытое множество <о называется окрестностью точки
х^Е, если jceco.
Пара (£, S) или само множество E^>S называется
топологическим пространством.
На множестве E\cz(E,S) определим топологию Si как
семейство пересечений всевозможных элементов S с Е\. Топология
Si = {(on£i,weS} называется относительной (или
индуцированной из £), а топологическое пространство (Е\, Si) —
подпространством пространства (Е, S).
Топологическое пространство называется хаусдорфовым, если
для любых дйух его различных точек существуют
непересекающиеся окрестности.
Топологическое пространство называется локальносвязным в
точке х, если всякая окрестность точки х содержит некоторую
связанную окрестность. Пространство, локальносвязное в каждой
точке, называется локальносвязным. Непустое связное хаусдор-
фово бикомпактное пространство принято называть континуумом.
Локальносвязные метрические континуумы называются
континуумами Пеано. Известна теорема Хана—Мазуркевича о том, что
каждый континуум Пеано является непрерывным образом
замкнутого отрезка.
Множество А называется счетным, если оно либо конечно,
либо счетно-бесконечно, т. е. если между элементами множества А
и множеством всех натуральных чисел можно установить взаимно
однозначное соответствие.
Семейство Sco открытых множеств называется базой (или
базисом) пространства (Е, S), если любое открытое множество
(dcz£ представимо в виде объединения некоторых множеств из
5(0. Пространство Rn имеет счетную базу, состоящую из шаров,
22

у которых центры находятся в точках с рациональными
координатами и радиусы рациональны.
Хаусдорфово пространство со счетным базисом называется
n-мерным топологическим многообразием (или, короче,
многообразием), если каждая его точка имеет окрестность, гомеоморф-
ную /?".
Пусть М — подпространство топологического пространства Rn
с топологией, индуцированной из Rn.
Картой точки х£М класса Ck (или Ck-картой в М)
называется пара (со, ф), где со — содержащаяся в М окрестность точки х,
а ф:/?т-^о) — гомеоморфизм пространства Rm точек у = (уи у2,
ут), т^пу на со, удовлетворяющий условиям:
1) феС*, ft> 1, как отображение х = ф(*/) из Rm в Rn;
2) гапк^ф = т для любой точки y^Rm. Эти условия
эквивалентны тому, что ф — С*-диффеоморфизм.
Задание карты (со, ф) означает локальное задание
множества М, т. е. задание окрестности со в виде х} = Ф/(#), / =
= 1,2, я, где ф/(у) — координатные функции класса С ,
определяющие гомеоморфизм ф.
Множество М =MmczRn является m-мерным
подмногообразием или просто многообразием в Rn класса Ck, если каждая его
точка имеет некоторую С -карту. Другими словами, множество М
в Rn есть m-мерное многообразие, если для каждой его точки
можно построить координатную систему Х\ = ц>\(у), х2 = фг(*/),
хп = фп(*/), которую называют локальной системой координат.
Запись dimM = m означает, что М — многообразие
размерности т.
Важными примерами многообразий являются поверхности в
евклидовом пространстве.
Гиперплоскостью размерности п— 1 (или просто плоскостью
в Rn) называется множество всех точек x^Rn, удовлетворяющих
линейному уравнению
п
(х, а) = 2 = ь>
i = 1
где а — фиксированная, отличная от нуля точка из Rn, а Ь
принадлежит R. Гиперплоскости xi = bi, bi^R для любого i = 1, 2,
п принято называть координатными плоскостями (линиями —
при п = 2). Гиперплоскость делит Rn на две части, каждая из
которых называется полупространством (полуплоскостью — при
/г = 2).
Пусть f:D(f)-+Rn m — гладкое отображение класса С .
Поверхностью класса Ck на D(f) в R" назовем множество
о = {*:*€=£>(/), //(*) = 0, \/'= 1, 2, п — т).
Поверхность а является m-мерной, если
rank*/ = п —- т, \/x^D(f),
23

Тогда в силу непрерывности и(х) существует такой
принадлежащий области Q шар S£, что
к(*)>0, \/xt=Sl (1.4.2)
Теперь легко прийти к противоречию со сделанным допущением,
если в качестве ф(#) взять пробную функцию фе(*) и учесть
соотношение
0=(ы, фе)0 = (ы, q>e)z.2(Q\S9 + (tt, Ц>г)L\Sf) = (и, фе)/.2(5Г)>0,
которое следует из (1.4.2).
§1.5. ЭЛЕМЕНТЫ ДРОБНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
1.5.1. Гамма-функция и связанные с ней символы. Функция Г(г)
является непрерывным продолжением факториала /г!=1,2, /г,
определенного лишь для значений /г = 1, 2, на всю плоскость С
комплексного переменного z = (x,у) = *-f iy. Гамма-функция
Эйлера T(z) определяется одной из следующих формул:
оо
r(z) = |e-^-'d/, Rez=x>0,
m=i^-1^F+\e-'t^t, \/гфО, -1, ...
_l_ .. z(z+\)...(z+k-\)
Г(г) Ш7^1 '
Гамма-функция удовлетворяет трем функциональным
соотношениям:
Г(г+1) = гГ(г),
Г(2)Г(1-2) = -^-,
23ж-1Т(г)Г(г+1/а)^я Ц2г).
Так как Г(л+1) = п\, то r(z-f-l) принято обозначать через z!.
Следовательно, по определению факториала, z! = r(z-f-l), 0!=1.
Символ (z)„ = z(z+l)—(z+n—1) называется символом Пох-
гаммера. Легко видеть, что
(^-^Йг1, (2)о=1, я=1'2'-
Биномиальный коэффициент Спг или (л) выражается через Y{z) по
формуле
<*\= Г(г+1) _ z\ =(-1)яЦп-г)
yn) n\Y{z-n+\) n\(z-n)\ я!Г {-z) '
25

т. е. если все ее точки — неособые. При т = п — 1, т. е. в случае,
когда f(x) — действительная функция, поверхность о называется
гиперповерхностью. Точка х, лежащая на гиперповерхности а,
называется регулярной (или неособой) тогда и только тогда,
когда Vf(x) Ф 0.
Говорят, что гиперповерхность а принадлежит классу С\
1, если в некоторой окрестности D(f) каждой точки t/ёаона
задается уравнением f(x) = 0, причем Vf(x) Ф 0 для всех x^D(f)
и /еС*. Гиперповерхность называется кусочно-гладкой, если она
состоит из конечного класса гиперповерхностей класса С1.
1.4.5. Пространство L2(Q). Через L2(Q) обозначается
пространство действительных функций f(x), определенных в
области QczRn и интегрируемых с квадратом относительно лебегов-
ской меры dQ = dx= dxldx2...dxn. Скалярное произведение
(/, g)o или (ft g)l2(q) любых двух элементов fug пространства
L2(Q) задается формулой
(f, g)o = \f(x)g(x)dx,
а норма — формулой
||/||о = (/, f)'/2= \\f\\L4Q).
Пространство L2(Q) является пространством Гильберта.
1.4.6. Лемма Лагранжа. Пусть Q — некоторое открытое
множество из Rnt а и = и(х) — непрерывная в Q действительная
функция. Носителем функции и, который обозначается suppw,
называется замыкание множества [x:x^Q, и(х) Ф 0}. Обозначим
через Co(Q), 0 ^ k ^ оо, множество всех функций из C*(Q),
носители которых компактны и лежат в Q. Множество suppa
компактно (является компактом) в /?л, если оно ограничено и
замкнуто.
Элементы множества Co(Q) называются пробными функциями.
Функция
<Мх) = j ехр( ,х,^|2_е,) . \х - У\< в,
' 0, \х - у\ > е,
где е — положительное число, у — фиксированная точка из Rn,
является классическим примером пробной функции, носитель
которой совпадает с шаром Sjf:|x — у\ ^ е.
Имеет место следующая лемма Лагранжа (или основная
лемма вариационного исчисления): если функция и = и(х)
непрерывна в замкнутой ограниченной области Q и (и, ср)о = 0 для любой
функции фЕ(^(й), то и(х) = 0 в области Q.
Действительно, допустим, что и(у) > 0 для некоторого i/eQ.
24

Через гамма-функцию выражается и интеграл
B(z,l)-^f-l(l-t)l-ldt, Rez>0, Re|>0,
известный под названием бета-функции. Можно показать, что
r(z+E) '
Наряду с гамма-функцией в дробном исчислении важную
роль играет гипергеометрическая функция Гаусса F(ay р,7, z),
которая определяется кяк сумма степенного ряда:
F(a,p,Y,2) = Jo-^^z\ |2|<1, т^О,—1
где a, р, v — параметры из С.
Если Rev>ReP>0 и |z|<l, то имеет место формула Эйлера
i
F(a, р, у, 2) = ж1-г| /»-'(1-/)т-1»-'(1-/2)-<1/. (1.5.1)
Из формулы Эйлера следует, что
r(Y-a)r(Y-p)2HmoF(a, р, Tf z)= Г(Т)Г(Т-а-р)
при единственном условии Re (у—а—р)>0. Из той же формулы
нетрудно получить соотношение
F(a, р, у, г) = (1-2)^—^(7-0, Т. г),
которым мы будем часто пользоваться.
1.5.2. Конечно-разностные отношения дробного порядка.
Пусть f(x) — скалярная функция с областью определения D(/)c:/?,
а fk = f(xk)t где Xk=a+kh (A=const>0, £ = 0, ±1,...) — точки
из D(f).
Конечной разностью первого порядка (или первой разностью)
в точке Xk называется разность (приращение)
Конечная (правая) разность m-го порядка функции f в
точке Xk определяется по рекуррентной формуле
т т
Д"/4а=Д— 7*+1-Лт~7*= 2 (-!)'(/т=1,2,...;
Конечные разности Дт/*, т=1,2,... называются нисходящими
26

(или разностями вперед). Восходящие разности (или разности
назад) определяются по формуле
Vf* = = Л/*-1, Vm/* = Am/*-m, m=l,2, ...
Восходящие разности называют также левыми разностями, а
выражение Amfk_m — центральной разностью.
Конечной (правой) разностью порядка аеС в точке хк
назовем выражение
m
Л7а=2 (-1)'(")/а+,п-/, т=1,2,...
/-о 7
Отношение (Ла=еа,пЛ), Л = 0, ±1, ±2,... естественно
называть конечно-разностным отношением или разностной
производной (дробного) порядка а в точке Xk.
Пусть теперь х — произвольным образом фиксированное
число из D(f), большее, чем а; пусть, далее,
xk = a + kh, h = 6n=(x—a)/ny /г=1,2, ...
Легко заметить, что при таком выборе точек (й = 0, ±1, ±2,...)
и числа А, называемых соответственно узлами и шагом,
справедливы равенства
m
v%= v2 (-1)У(7)Л.-/*
= 2(-1)'(7)/(^-/6«), m=l,2,....
/-о ' .
Отсюда, учитывая, что fn=f(x), находим
m
Vm/(x)= 2 (-1У(7)/(х-/в«). m= 1, 2, ...
Междупредельной (или Летниковской) конечной разностью
порядка ае/? функции / в точке х назовем выражение
m
VlKx)=2(-l)l(°)f(x-l6n).
/=0 1
Отношение
Л#(*) = ^|Р-> п=1,2,...
будем называть между предельным (летниковским)
конечно-разностным отношением порядка а или разностной производной
функции / в точке х.
27

разности и разностные отношения функции f:Rn-+R многих
переменных строятся как аналоги соответствующих понятий
функций одной переменной.
1.5.3. определения дробного интегродифференцирования и их
взаимосвязь. рассмотрим междупредельное конечно-разностное
отношение порядка a^R скалярной функции (p:d((p)-*/? в точке
jted(cp):
л«ф(*) = 4г2 (-1)*(£)ф(*-*5«)>
где 6л = ^^->0, х-Яео(ф), V*=0, 1, /г.
если существует предел [£>аф(*)]а междупредельных конечно-
разностных отношений Дпф(*) при /г-^оо, то этот предел назовем
междупредельной (или Летниковской) производной порядка а
от функции ф(*), взятой в пределах от а до х.
через L[A, В] обозначим множество функций ф(/), абсолютно
суммируемых на сегменте [л, В] czR, а через [а] — целую часть
(антье) числа ае/?, которая удовлетворяет неравенству [а]^
<а<[а] + 1.
множество L[A, В] является банаховым пространством отно-
в
сительно нормы ||ф1к[л,я] = $ |ф(/)|си.
а
оператор Daaxy который действует на функцию ф(/)е£[л,в]
по формуле
Dlxy(t) =
sign(x-a) { <p(Qd* n
ф(*), а=0, (1.5.2)
sisn(^-a)-|^^a7[a,-4(0, «>0,
где символ signz определяется равенствами sign0=0, signz=
=z/\z\, (гфО), назовем оператором дробного (в смысле римана—
лиувилля) интегродифференцирования порядка |а| с началом
в точке ое[л, В].
связь между дробной производной в смысле римана —
лиувилля и междупредельной производной устанавливает
следующая теорема.
теорема 1.5.1 (теорема летникова). Пусть y(t)^C[ay х].
Тогда
[Оаф)]ха = 0%хф)у V«<0;
если же а>0 и ф(/)ес[а]+1[а, х], то
28

[D>W]^Da>(0 = ^T(f^j-(^-a)*-a+OoVw-4(ta]+,)(<).
(1.5.3)
Для доказательства этой теоремы потребуется такое
утверждение.
Лемма 1.5.1 (лемма Летникова). Пусть
последовательность {ank} комплексных чисел ank или бесконечная матрица
\\ankh я, k= 1, 2, ... такова, что
п п
lim 2 ctnk=a<oo, lim 2 l^l = a+<oo,
n-+<x> k={ n-+oo k= ,
liman* = 0, V*= 1, 2, 3, ...
Л-»-оо
n
Тогда lim 2 a>nkbk = a для любой последовательности {bk} комп-
лексных чисел bk, удовлетворяющей условию limfe*=l.
k-+oo
Действительно, так как при &-*оо, то для любого е>0
найдется такой номер т, что \bk— 1|<е, yk^m. Поскольку
m—1 т—1
Нт 2 cinkbk = Oy lim 2 an* = 0,
очевидно, имеем
п п п п
Нт 2 ankbk = \im\ 2 яя*+ 2 anfe(6*—1)1 =a + lim 2 ank(bk— 1).
Отсюда, учитывая, что для всех k^m
I 2 М*>*-1)|<2 la«*IIV-l|<e2 la„*|<ea+
k=m k=m k=m
заключаем, что лемма справедлива.
Доказательство теоремы Летникова начнем со случая, когда
порядок а междупредельной производной — отрицательное число.
По определению, имеем
[D\(x)]xa = lim Д2Ф(х) = lim 6^a 2 (-1 )*(S)<p(x -*в„).
Пусть
anik = &пф-k8n)(k&n)-«-1, bk = (-1 1 Г(-a).
Так как S7aq(x)-+0 при /г-^оо, то
Г(-а)[£аФ(х)]2 = lim 2 ankbk..
29

На основании гауссова определения гамма-функции
1 =Ит-Ж-. V*€=C
Г(г) k\k
имеем
Hm6,= Г(-а)lim.^^^ Г(-а) iim-i=^= 1.
Следовательно, последовательность удовлетворяет условию
леммы Летникова.
Теперь заметим, что
х х—а
Г(—а)/)2хф(т1) = 5 (х—т])-<х-1ф(л)с1'П= J Г—удс-ОсН.
Составив соответствующую последнему интегралу
квадратурную формулу, а именно формулу прямоугольников
заключаем, что числа б,, и tk=kbn соответственно являются ее
весами и узлами. Поэтому
п п
Пт 2 fln*=Hm 2 ««(йвя)-"-1^—£6Л)=Г( —а)ЯЬф(т|),
л
Пт 2 1а«*1=Г(—а)^Ыф(т|)|.
k=i
Далее ясно, что ank при любом k стремится к нулю, когда п-^оо.
Таким образом, установлено, что и матрица ||art*|l
удовлетворяет всем условиям леммы Летникова. Следовательно,
lim 2 а„*6*=Г(—а)02хф (а< —1),
что и требовалось доказать.
Рассмотрим теперь случай а>0. Из свойства
биномиальных коэффициентов заключаем, что
30

n-1
Таким образом,
Уф('*)
АгФ(х) = (~1Г(а-1)-^+2о(--1)л(а71)-
где = х — А?6п, V(p(/*) = ф(/*) — ф(/*+0 — восходящая конечная
разность первого порядка.
Ясно, что на основании того же свойства биномиальных
коэффициентов можно преобразовать и сумму, стоящую в правой
части последнего равенства, а затем продолжить этот процесс.
Тогда получим
А2^)=2о(-1)п-*(а-17^-^-+
+"2 '(-l)*(a~T_1)6rvm+,(p(M. ">m+l,
*=о v '
где m = [a]; Xk=a-\-kSn; Д*<р(.**)— нисходящая, а V*<p(/*) —
восходящая конечная разность порядка Л.
Поскольку
Пт(-1)""*(а~!_-;к)(п-к)«-к = Г"'(*+1 -a),
Нт( ")""*= 1, Птб7*А*(р(^) = Ф(*)(а),
П->-О0\ " К/ Л->-0О
имеем
lim(-l)"-*( a^7*) 8rt-aA*<p(**)=„• im (-1 )»"* ( a~!^k) X
X(n-k)a-k(n2_ky~\n8n)k-abnkA"<t(xk) =
= Ф^аХлг-^^Г-^Ч-1 -a).
Отсюда с учетом равенства
получаем
[ D«q>(*)]S - 2 Уг?;УГааГ = У™ 2 где / = n - m -1;
a/*=6„(*6„)m-°67m-,Vm+4(^)r-|(m+l-a),
й* = (-1)*( а-^,-1)*а-тГ(т+1 -а).
31

Матрица ||ау*|| и последовательность удовлетворяют
условиям леммы Летникова, а
Этим и завершается доказательство теоремы Летникова.
Уместно отметить, что при реализации на компьютере задачи
приближенного вычисления междупредельной производной
порядка a^R от функции ф(/)еС[а]+|[а, х], взятой в пределах от а
до ху можно воспользоваться следующим алгоритмом:
Dbq<0«A2<P(*). «6(1,2,3, ...}•
Здесь и в дальнейшем под алгоритмом будем понимать
систему правил, которая задает строго определенную
последовательность математических операций, приводящих к искомому ответу.
Отображение ф(/)-^/)£сф(0 естественно называть
интегральным или дифференциальным преобразованием Римана—Лиувил-
ля в зависимости от того, а<0 или а>0. Если а<0, то D%xy(t)y
по определению, представляет собой дробный интеграл порядка
-—а, а если а>0 — дробную производную порядка а.
Интегральное преобразование Римана — Лиувилля можно
переписать в виде
Исходя из этого представления мы можем ввести обобщенный
дробный интеграл Д?/,тф порядка — ас началом в точке а от
функции ф = ф(/), полагая
D^= Г(-еа"!П|^' f F( «+1 • Э. V. «О*. (1 -5.4)
где a+p<v^=0, -1, —2, ...
Преобразование ф(0-*-^в*ф. гДе
X
£5Рф<<)= ('-gp 5 (*-Oa-'('-a)W (1-5.5)
(x>a, a>0, p> —1), называется преобразованием Эрдейи—
32

Из определения преобразований Римана—Лиувилля и
Эрдейи—Кобе имеем
X
Е^ = (х-аГа-^Ах-а)^=^=^-\ (x-t)a~lX
X ( 1 - ё-)^/)»"—(x-t)^F(-Э. V. Y> Sr)<P«)d<.
Поэтому отображение
где v—p—1<S^=0, —1, —2, естественно называть обобщен-
ным преобразованием Эрдейи—Кобе.
Введем оператор который действует на у^^ЦА, В]
по формуле
№Ъ-1^=Ц |*-<|'-«F(«,J», V, Йг)ф(0<".
Легко видеть, что
Образ /а/'уф функции ф^ЦЛ,В] при отображении
^ = nX-al^ J l*-'|-,'7(«+P. -V.
где р—y<0, назовем обобщенным дробным интегралом в смысле
Саиго порядка а>0 с началом в точке а^[А, В] от функции
ф=ф(0- .
Между оператором Н*х и обобщенными преобразованиями
Эрдейи—Кобе и Саиго существует следующая связь:
Важную роль в теории дробного исчисления играет оператор
Пьф) = (Oh - sign a- Dtx)q(t)9 а<х<Ь,
который можно назвать оператором дробного интегродифферен-
цирования порядка |а| с фиксированными началом и концом в
точках а и В].
Нетрудно заметить, что
1 { ЖОс!/ 0
Г(-а) ) |х—/Г+' ' a^Uj
/-,ф(х) =
3 Заказ №1786 33
I г 1 , (1.5.6)
( ^гатг/^-у*), a>0,

lim /?mp(jc)== 2ф(л:), Уф(О^с[а, b],
a—*- —0
lim/2»ф(л:) = 0, Уч^Ое^а, Jl.
а-*+0
В справедливости последних двух равенств убеждаемся
следующим образом:
1
+(b-x)-aj T[x+(ft~jc)ti-1/a]dt]} =2ф(х);
о '
lim /Ь<р(*)= lim -^^-== lim { Ф(х-ЩГаа£ =
x—a x—a
= ф(а)-ф(&)+НтJ 1БГвФ*(*-6)с16=-5 +
+ <p(a)-<p(ft) = 0.
Выражение
H°aMt) = \ <p(/)ln|x—/|d/ . (1.5.7)
a
назовем дробным интегралом бесконечно малого порядка с
началом в точке ae [Л, В] от функции <p(t)^L[Ay В].
Равенство
является истинным. Действительно, поскольку
ln(l-z)=-zF(l, l,2,z), |arg(l-z)|<ji,
имеем
lim Г(—a)Di-J-2(p=sign(x—a) lim \х—а\~а~1Х
а-*-—0 а-»-—о
х(^(а+1,1,2,^)Ф(0(1/ = (ж-а)-1|/=,(1,1,2,^-)ф(0(1/ =
= _(j£Lin(l-.bMd/.
34

1.5.4. Интеграл в смысле конечной части по Адамару.
Рассмотрим функцию ф=ф(/)еЦЛ, В] и произвольным образом
фиксированные точки а и х из сегмента [Л, В]. В дальнейшем
будем считать, что
xe=x+8sign(a—х)у (ое={^:хе + х—6<2/<xe+^+e>.
Пусть ty(t) — заданная в замкнутой полуокрестности со8
точки х функция из класса C[a](a>e) такая, что существует предел
Предел НахЦ> называют интегралом от (р(х)\х—/|-а в смысле
главного значения по Адамару и пишут
ш ф(0<" — [ <*<t)tt
I а а
Докажем, что если феС[а1(ш,),то
««Ф - J Ц=7Г + S1gn(*-fl) 10 *|(*+,-a)Ue-хГ-1 +
X t
+J^W\ ^-'rad/S(/-i)w-4(Cal)(i)di- (1-5.9)
Действительно, из (1.5.8) и формулы Тейлора
vtO-T^/-*)4lp^SV-6)w-,va'J)(6)d6,
справедливой для всех *ео)е, имеем
+ЩЦуг\ 1*-/Г"<1/$((-i)M-'(p<M,(t)d|} •
Отсюда, учитывая, что
и полагая
3* 35

[aj-l fk)f v
♦a,)-sign(x-a)S Tsfr^^
получим (1.5.9).
При дге = а, феС,а1(а)^_а) формула (1.5.9) принимает вид
««*q>-sign(*-a) *!(*+!-«) la-xl-1 +
+ ([,]!-i)i S li—/I—d/J (/—5)м-1ф«вЮ(5)<1£. (1.5.10)
Обозначим через 1Лрх[Л, В] множество функций cp(f),
удовлетворяющих на [Л, В] условию Липшица (0<х<1) или Гёльдера
(0<х<1) порядка х:
1лр*[Л, В]={ф:|ф(/1)-ф(/2)1<си,-/2|х, V*i, '2е=[Л, В]}.
Класс Ырх[Л, В] = 1лр[Л, В] тогда и только тогда, когда на
показатель Липшица или Гёльдера х не накладывается никакого
ограничения.
Пусть а—1 и функция \|)(f)^Lip(a)e) такова, что существует
предел
Я^Ф-НтГ {jU№-+y(y)ln\x-y\\ . (1.5.11)
Тогда этот предел называется интегралом в смысле конечной
части по Адамару.
Если ф^Ыр((ое), то в (1.5.11) в качестве г|)(/) можно взять
функцию ф(^). Действительно,
+Ф)\^ + Ф)1п\х-У\] =Нт{ ( d' +
+ [ф(#) — ф(*)] In |х—у\+ф(х) In |хе — х|| .
Поэтому
Ж,Ф= S'-fg-d / + $ ^^"^ df + ц>(х)In(1.5.12)
Рассмотрим теперь случай, когда ос=2, 3, ...
Пусть функции \p(t) и ypi(t) таковы, что:
1) ifsC'-'W, t|)(a-,)eLip(o)e);
36

2) \|)i^Lip(o)e);
3) существует предел
Тогда этот предел называется интегралом в смысле конечной
части по Адамару.
Покажем, что если г|)^Са_1((ое), ф(а-|)^Lip(coe), то предел
(1.5.13) существует.
В самом деле, для функции ф(^) на о)е справедлива формула
Тейлора
а—2 . '
^ = ^JP^(,_x)*+_J__jj (/-6)-Ve-'\6)d6.
Поэтому
я^-5#^= lim{ +
a |jc —" »-* * *=0 ft! i,
+7S^r(l*-'l~ed/S(/-5)e-Ve-,)(5)d6 +
+ |jf-f,lI-v(j,) + *i(i,)ln|x-i,|} =lim{ k-y|'-a[ Ky) +
у (*.-< i l ( df f Ф<-^Е)-у-%) .r ■
Л ^ (a-2)! Jf Ix-fl" J (/-|)2-а Si_
+-Q?-f Ijc-<l"ed'i('-5)a"2d5 + *i(i,)lnl*-i,l} .
Так как
то при
^) = sign(x-a)2o^^(«/-x)\
*'(y) = 7S=T)T[sign(a-jc)]-,-I9(e-,)(4,)
37

находим
t а-2
F + sign(x~a)2 -гг
X
(а-2)! I
\ \x-t\~a(\t\
Ф1
>(a-0(S)-<P(a~0(*)
(1.5.14)
что и требовалось доказать.
Интуитивно понятно, каков содержательный смысл
выражения
Здесь, как и ранее, знак Г означает конечную часть по Адамару.
В дальнейшем оператор Нах будем называть оператором Адамара
порядка а с началом в точке t = а, а интегралы вида H%xq> —
гиперсингулярными.
1.5.5. Связь междупредельной производной с интегралом в
смысле конечной части по Адамару. При установлении этой
связи нам понадобится следующее утверждение.
Лемма 1.5.2. Пусть последовательность {/Е}, 1 /е = 1, 2,
3, ... непрерывно дифференцируемых на сегменте [а, Ь] функций
fe= fe(x) сходится хотя бы в одной точке с^ [а, Ь],
последовательность {/е} их производных fi(x) равномерно сходится на [а, Ь].
Тогда {fe} равномерно сходится на [а, Ь], ее предел — непрерывно
дифференцируемая на этом сегменте функция и
Сначала установим связь между дробным интегралом #а*Ф
бесконечно малого порядка с началом в точке а^[Ау В] от
<p(t)^L[A, В] и интегралом #Lq>.
Докажем, что
где (Об — замкнутая полуокрестность точки х:о>б = о)е/е=б.
Из (1.5.7) и леммы 1.5.2 заключаем
,— пт
limfe(x), а <; х <[ Ъ.
Н1ахц> = -£г#2*Ф, V ФЕУр((о8) П L[A9 В]у (1.5.15)
38

= lim -$-\ ф(Л1п|л: — t\dt = lim[©(jce)lne +
e_^0 OX ^ тх 8-.-0
хг xt
+ \<t(ty£-ln\x - t\dt] = limf Ф(*,)1пе + ф)\ +
+ \ ^ ~ fx) dt] = limj [Ф(хе) - <р(*)]1пе + ф)\п\х - хь\ +
+ с' <p(Q-^)dA
Отсюда легко установить, что
(1.5.16)
Справедливость (1.5.15) вытекает из (1.5.12) и (1.5.16).
Аналогично можно проверить, что если
ф)^Са-\щ)(]ЦАуВ]у 9(e-^)eLip(©e), а<х,
то
= -сй^-ё^' а = 2>3- ••• о-5-17)
Так как ln(l — z) = — zF(l, 1, 2, z), |arg(l — z)| < я, то в
силу (1.5.4) можно записать
lim Г(—a)Z)&l,2q> = sign(* — a) lim \х — а|-а-|Х
а-»-—0 а-*—о
хЦ« + 1, 1,2,^-)<р(0^ = ^^( 1, 1,2. ^4)Х
Следовательно,
аПтоГ(-а)/>Й'2Ф= f-JSfL|n(lrJ_.) df. (1.5.18)
Как и ранее, из (1.5.18) с помощью леммы 1.5.2 получаем
lim r(-a)^-DSi1,2«p = (a - х)-'Яа,ф, ¥ф = Lip(w8).
a—»■—о
Теорема 1.5.2. Я*/сгь 0 < a ^= 1, 2, ... Тогда
ДЬФ = ^"'Я^'ф (1.5.19)
39

для любой функции ф(/)^ЦЛ, В], которая принадлежит
tfel + 1(©e) с 6= |х —а|.
При а < О интеграл в смысле конечной части совпадает с
обычным несобственным интегралом и поэтому
Dbq> = 51ег"(1~а)Я^Ч. « < 0.
Итак, пусть 0 <. аФ 1,2,... Имеем
у
/(а, у)=*\\х- tra-l<((t)At,
а
где a <Ly <ха или х < */ < а. Так как при 8= |х -— а| сегмент
соб = [а, х], если а < х, и он = [х, а], если а > х, то ф(/)^Сш[а, х]
или Сш[х, а], где m = [а] + 1. С учетом этого на основании
правила интегрирования по частям
r(rt ,л = ( q<Qd|* - <Га q<QU"<ra \у _
к у) \ (-a)sign(a - х) (-a)sign(a - х) 1 в
_ ( <p'(t)d\x - t\~a+l = ф(ри-/|-а |у _ y'(t)\x - t\~a+l I у ,
3 (-a)(-a-fl) (_a)sign(a-jc)'a (-a)(-a+l) 'a"1"
у
получаем
a (-«)(-« + !)(-« + 2)sign(a - x)
+ 5'еГ(Га)Г/Т--'- <15-2°)
В силу (1.5.8), (1.5.20) и определения символа Похгаммера
(z)n= Y(z + n)/Y(z) легко видеть, что
1 н*+и — "v"' <t<k)(a)signk+,(x - а) ,
Тр^я« Ф- Ьо Г(* + 1 - о)|х - в|— +
+ ^^(tt^.- = N + 1. (1.5.2.)
Из теоремы Летникова и формулы (1.5.21) вытекает
справедливость теоремы при а < х.
Пусть a > х. Тогда в соответствии с (1.5.2) и формулой
Тейлора
m — 1 k л с
Ф(0 = 2о ^kt - af + т^Г7)г№ - i)m"4(m)(5)d|
40

получим
* = о
+ (m .!■ 1)1 С - |)m-4(m)(E)d|. (1 -5.22)
По определению,
UQX\t-a) - дхт г(т_а) j •
После введения новой переменной интегрирования т] по формуле
t = а — (а — jc)t] производную порядка а от функции (t — а)*
можно записать в виде
u^t-a) - г(т _ а) -^а~^
где B(jc, у) — бета-функция. Отсюда, учитывая, что
дП(а~пх)У = (-Т)я(а ~ хУ~\ b(ft + 1, m - а) =
= fe!r(m - а)
Г(т + ft — а + 1) '
находим
"аД* — Г(т + k + 1 - а)Г(а -k-rri)*"
Так как sin(z + пл) = ( — l)nsinz, то из равенства Г(г)Г(1 — z) =
= n/sinnz следует, что
Г(2 + я)Г(1 — z — м) = (— 1)Т(г)Г(1 - z), л = 0, 1, 2, ...
В частности, при г = й + 1 — a, n=m имеем
Г(т+Л + 1 — а)Г(а—m —Л)=Г(2 + т)Г(1—2 —m) =
= (- 1)тГ(А + 1 — а)Г(а - k).
Следовательно,
DL(* - af = ^^71'a)(a - m = [«] + 1.(1-5.23)
Преобразуем теперь последнее слагаемое в (1.5,22).
Очевидно,
Г(т - a)D2,$(< - E)m-4(m)(l)d| =
a
= -£rf (t - x)m—id$(t - £r-y">a)d£ =
а* a a
41

= £r\ cp("°(£)dgS (/ - x)m~*-\t - 1Г-Ч(.
X x
Чтобы вычислить внутренний интеграл, достаточно сделать
подстановку t = х + (I —- х)г\. В результате получим
J (/ - x)m-a'\t - l)m-ldt = (- 1)т"'В(т - a, m)(g - x)2m~a~l.
Поэтому
1
(m-1)!
-D^(/-g)m-4(m)(^)dg =
(- l)m dm
Г(2т - а) dxm J
•J Ф(т)(Б)(Б-х)2т—!d£ =
~ Г(2т-а)(а + 1 ~~ lm)m\
Здесь снова воспользуемся тем, что если положить z = m — а, то
(a + 1 - 2m)m = Г(1 - z) Г(1 - 2) =
Г(2т - a) Г(т + *)Г(1 - m - z) (- 1)тГ(г)Г(1 - z)
= (-1Г
Г(т — a)
Итак, показано, что
(1.5.24)
Наконец, с помощью (1.5.22) — (1.5.24) приходим к равенству
Сопоставляя равенства (1.5.21), (1.5.25), получаем
D-Mt) = -0^н"1ъ * < a> a > °>
что и требовалось доказать.
В связи с (1.5.19) дробной производной порядка а>0 с
началом в точке ае[Л,В] от функции ф(/)е£[Л,В] в точке
В], хФ а, можно назвать и предел
42

lim JL\—S№—
' г(т - a) e-^ + 0 dxm { |x-/|a-m+l
(1-.5.26)
Все это говорит о целесообразности следующего определения:
выражение
DIMt) - Sigr"(l^a)f |^r.V« Ф 0, 1, 2,....
где 2п = [а] + 1 + ([а] — l)signa и интеграл понимается в
смысле конечной части по Адамару, называется дробной (или
междупредельной) производной порядка а с началом в точке а от
функции ф(/) в точке х Ф а.
1.5.6.3акон композиции операторов дробного интегродиффе-
ренцирования с одинаковыми началами. Имеет место
следующее утверждение.
Закон композиции операторов дробного интегрирования с
одинаковыми началами. Пусть ф(/)еЦЛ,В] непрерывна в wu-ai
всюду, за исключением, быть может, точки / = ае[Л,В]. Тогда
DMMI) = V«<0, р<0. (1.5.27)
Действительно, в силу определения дробного интеграла имеем
DMMt) = Г(_p)fl* - t\-*-ldt{\t - il-p-VDdi =
Используя замену / = £ + (х — £)т], нетрудно установить, что
X
sign(jc - a)J lac - t\-*~l\t - = B(- p, -a)\x - g|-«h»-i.
Поэтому
X
Da D* — sign(* - a) [ ф(е)<*6 _ na+pm/л
UaxUaxW) ~ г(_ « _ p) 3 |x _ g,«+p+i — 4w
В соотношении (1.5.27) порядки аир междупредельных
производных являются отрицательными числами. Если же оф < О,
то действуют другие законы — законы смешанной композиции,
которые мы сформулируем в виде теорем.
Теорема 1.5.3. Пусть a > р > 0, а функция ф(/)е![Л, В]
имеет производную порядка a — р с началом в точке ае[Л,В].
Тогда
DZxDaM$) = signn(x - aJDSTVO. п = Ш
для любой отличной от а точки хе[Л, В].
43

следующими свойствами гипергеометрической функции F(at р,
Y» г):
^"lF(a, р, у, г) = (у l)z*-2F(a, р, у - 1, z),
F(a, р,а, z) = (1 z)~p, |arg(l - z)| < я.
В результате получим
*' В = r(l-i)r<-|i)S" - - 'Г'"'!" - 'l'+'d' =
Xf( - «с - р, 1 - а, I - а - р, ,
^».в--%^й"1.':^х
x(|5f)'+'+4-«-M-a-«-P.|^) =
_ sign(a - jc) / а-х\ 1~а/ а-х\ а+р+1 6-а _
= - Г_1(— а - р)|а - х|р|а - £Г|х - g|-«H>-i. (1.5.31)
Используя (1.5.30), (1.5.31) и лемму 1.5.2 [см. также (1.5.26)],
нетрудно установить, что если г — достаточно малое
положительное число и, как и ранее, хе = х + esign(a —- jc), то
sign(x - a)Dlx\t - a|a+pZ>b<p(E) =
а
= lim[ J ж, g)dg - «р(х.)/Ка, х, дсе)] =
~ - И IX- ее - Э) I |x-||^'d6 Г(1 — а — Э) ' e > X
Xf( - о - p, 1 - a. 1 - « - P'Ta^br) '
Отсюда, учитывая, что (—a—Р)Г(—a—Р) = Г(1—a—p),
f la - Щх - Б1—»-'q<g)dg = si<^l7x)X
45

В справедливости этой теоремы нетрудно убедиться, если
использовать следующие равенства:
DbDaMt) = sign(x - a)^Dl7mDat*D4(i)=
= sign(x - a)-^D27p->(0, m = [a] + 1;
n*-fi-m,tr==z sign(x-a) дт~п Г дп q<Qd/
r(m + p-a) дхт-п{дхл |x-/P'
Y = a-p-m+ 1; Y = (y)n\x - /l~Y-nsignn(a - jc);
(у)пЩа - P] - a + p + 1) = Г(у + /1)Г(1 -уу - /i)
Г(т + р-а) Г(7)Г(1-7) ~~
Рассмотрим теперь случай, когда р > a > 0.
Если р > а>0 и ф(/)еЦЛ, В], то
D%xDaMt) = sign[a](jc - a)D2T V)-
Это предложение является следствием теоремы 1.5.3,
поскольку
Теорема 1.5.4. Пусть функция y(t)^L[Ay В] и непрерывна
в (д\х - а\ всюду, за исключением, быть может, точки t = а. Тогда
для любых р <С 0 и ae[0, 1] справедливы следующие формулы:
DIM - a|a+pDg,cp(£) == |jc — a|pD^pU-a|X/), (1.5.28)
если a < 1, |a + p| < 1, и
^Ijc - a|p+lDLcp(0 = |jc - a|W(< - a)<p(0> (1.5.29)
если a = 1, p < 0.
Рассмотрим сначала случай aE[0, 1[. Пользуясь
представлением (1.5.2) междупредельной производной, а затем, переставляя
порядок интегрирования, находим
Г(1 - а)Г(- p)sign(jc - a)D«ax\t - a\a+Wat<t(t) =
= -|4 T(&)dgS U - х\-«\$ - /|-Р-!|а - /Г+М/. (1.5.30)
Произведем замену переменной интегрирования / по формуле
t = х + (I — х)ц и воспользуемся равенством (1.5.1), а также

f(_a_M_a,, _«_(,, _1_) =
-(^^)>('-М-«-Р.^).
находим
Dh\t - aY+>Dlfi№ = r(i'-"«-p)X
VlirrJ d f la ~ Sl"rt6)d6 ■ g<*.XIfl - *| - «)■ N,
X 1'™t 173 |x_ E|^» + X
x[F(l,-p,l-a-P,^r) -l]}. (1.5.32)
Так как f( 1, — p, 1 — a — p, ^ *_ g|) = 0(e) и a + P < 1, то из
(1.5.32) непосредственно вытекает справедливость
формулы (1.5.28).
Здесь и в дальнейшем f(x) = 0(g(x)) при х-*-хо тогда и только
тогда, когда существует такое число с, что 0 < \f(x)/g(x)\ < с.
Символ О известен под названием символа Ландау.
Пусть теперь a= 1, р <; 0. Ясно, что
Цф) = sign(* - а)\х - аГ^х - a|»+1Z>g,q> =
= (р + l)DLcp + (х- a)-£-Dl<f> =
= -£{х - a)DLq> + р/)§,ф.
Но ^•Dg7,9=sign(jc—а)/)^ф. Это означает, что
Отсюда, ислользуя снова свойство Г(1 — р)=—рГ(—р) гамма-
функции, находим
Дф) =-f^J)ir\ *~x%i~X] «КО* = Dir\t - а|Ф(0,
что и завершает доказательство формулы (1.5.29) и теоремы в
целом.
46

1.5.7. Правила композиции операторов дробного интегродиф-
ференцирования с различными началами. Пусть а, с, и х — точки
из сегмента [Л, В].
Обобщенным интегральным преобразованием Римана—Лиу-
вилля можно назвать и преобразование-вида
n^Mmtfy — sign(* — с) , ,_a_i
г / i i п i sign(j: ~ с)\
X)F(a+ 1 -Р,|т5т1 )^(/)d/' (L5'33)
где а + р +v< 1, а, р^О, 1, 2, ...
Из (1.5.4) и (1.5.33) легко установить, что
Правило комггозиции операторов дробного интегрирования
допускает следующее обобщение.
Теорема 1.5.5. Пусть y(t)^L[a} b]f)C]a, b[. Тогда для
любых а < О, р < 0 и лее]а, Ь[ справедливо соотношение
DMMt) = D&t - аГУО + (х- af-^+xDlta{t - а)-^хц{1).
Доказательство начнем с очевидных равенств
X
Г(- о)Г(- $)DMMt) = $(* - Z)-a-[dlX
а
+ S q<0d/J (x - £)—'(/ - l)-p-'di. (1.5.34)
x a
Затем в первом и во втором внутренних интегралах произведем
замену g = а + (/ — а)т] и £ = а + (х — а)г\ соответственно.
В результате получим, что правая часть (1.5.34) равна
-л>-'(. -1=5,)-'*,+
что и требовалось доказать.
47

Имеет место следующее правило композиции операторов
дробного интегродифференцирования с различными началами.
Теорема 1.5.6. Пусть ф(/) е L[a, b] (] С] a, b[. Тогда для
любых a < О и р < О, удовлетворяющих условию a + Р < 1,
выполняется равенство
-^DlMMt) = Dlt}*'\t - a)'^t) + (х- a)p-aX
XDg£+''V-a)-p-yO. (1-5.35)
Действительно,
L«((p) . Г(- а)Г(1 - ft^DZU (t ~ а)~рф(0 =
= (x - а)-а-р-^(а + 1, 1, 1 - р, 1)ф) +
Свойство
-^zaF(a, Ь, с, г) = a3?-lF(a + 1, Ь, с, г)
гипергеометрической функции позволяет переписать это
равенство в виде
L'(q>) = F(a + 1, 1. 1 - р, 1)ф)(х - а)—»-' -
- (а + l)(-f^>( а + 2, 1, 1 - р, ^г)
Отсюда, учитывая, что если a + Р < — 1, то
На+1 1 1-6 Г(1-р)Г(-а-р-1)
/404-1,1,1 р, I)— Г(_а_р)Г(_р) ,
получаем
дх Ua'a(t а> W> ~ (в+р-+1)Г(-а)Г(- Р) +
+ D£y*'(/ - а)-р ф(/). (1.5.36)
Рассмотрим теперь выражение
L2(<P) = Г( 1 - ос)Г( - Р) - а)1 '(/-а)""" У /)•
Как и раньше, нетрудно установить, что
£2(<р)=-ф(*)ЯР+1. 1. 1-а, 1)(*-аГа-р-' +
48
6

Снова воспользуемся свойством
-j-zc-'F(a, b, с, г) = (с-\)zc~2F{a, Ь, с- 1, г)
гипергеометрической функции. Тогда получим
L2(SP)=-q>(Jc)F(p+ 1, 1. 1—ex, l)(*-a)-«-
ь
*(Х - а)1 ~a+pDfol(' - а)"р-1 Ф(0 = (1 -5.37)
Правило (1.5.35) непосредственно следует из теоремы 1.5.5 и из
соотношений (1.5.36), (1.5.37).
1.5.8. Правила композиции операторов дробного интегродиф-
ференцирования с различными началами в исключительных
случаях. Чтобы в теореме 1.5.6 иметь возможность рассмотреть
исключительный случай a+p= —1, нужно обратиться к понятию
интеграла в смысле главного значения по Коши.
Пусть ф(/)еЦо, Ь]у х — фиксированная внутренняя точка
сегмента [а, Ь]. Если существует предел суммы
при 6-^ + 0, то этот предел и называется главным значением
интеграла по Коши.
В дальнейшем интеграл в смысле главного значения по Коши
будем обозначать тем же символом, что и обычный (римановый)
интеграл, т. е. будем писать
X— 8
ь
ь
Если cp(/)eLip[c, d], где a<c<jc<d<6, то
ь
с
ь
4 Заказ № 1786
49

Композиция операторов дробного интегродифференцирования
с различными началами и в исключительных случаях выражается
через операторы вида
которые будем называть сингулярными, поскольку интеграл
понимается в смысле главного значения по Коши.
В том случае, когда р= —а, справедливо следующее
утверждение.
Теорема 1.5.7 (теорема Трикоми — Геллерстедта). Если ф(/)
удовлетворяет условию Гёльдера и интегрируема на ]а, Ь[, то для
всех ае]0, 1[ и лее]а, Ь[ выполняется равенство
D%xDuaq>(l) = cos ла-ф(л:) + sin na-S&cp(jc). (1.5.38)
Закон композиции (1.5.38) вытекает из следующих равенств,
справедливых в силу леммы 1.5.2 и теоремы 1.5.6:
Dax ОыаЦ>{1) = -gj DST1 DbWZ) =
= \\m^[D^7a«'\t--aY4(t) + {х-а)2-2Юьх%Ги\(-ау-\{()].
Приведем доказательство следующей теоремы о дробной
производной потенциала
с плотностью ф(/) и со степенным ядром \x—-t\a~l.
Теорема 1.5.8. Пусть функция ф(/) удовлетворяет условию
Гёльдера и интегрируема на ]a, Ь[. Тогда для всех ae]0, 1[ и
jce]a, b] справедливо правило композиции
D%xIaba<p = 2cos2-^-. ф) + sin яа • S&<p(jc>. (1.5.39)
Действительно, из теоремы 1.5.4, в частности, имеем
DlcDat^il) = ф), Vae[0, 1[. (1.5.40)
Очевидно, что
DL/Saq>= DlxDatam + DlxDj?q{l).
Это равенство вместе с (1.5.40) приводит к (1.5.39).
Теорема 1.5.8 допускает следующее обобщение.
50

Теорема 1.5.9. Пусть суммируемая на [а, Ь] функция
q)(/)ELip]a, с[ при с>х и ф(/)ЕЫр]с, 6[ при х>с. Тогда для
всех х, отличных от а, Ь и с, справедливо равенство
D?xIaba4>(t) = 2 cos2^-. ф) + sign (х- с) sin na(S?a + S?b)(p(x).
(1.5.41)
В самом деле, ясно, что
йМф) = (D?xIaca + D?xIrbaMt).
Если х>с, то, согласно (1.5.39), имеем
£>?*/с~Гф(/) = 2cos2-^- • ф) + sin яа • S%y(x),
С {Х-С)/{С-ч)
что и требовалось доказать.
При х<су по определению, имеем
х ь
Положим */ = а + с — £ = а + с — /, т] = а + с — т. Тогда
X J с-^'ц =dlyialc-bMa + c-l).
а + с — ь 'Л Si
Так как у>а, то на основании доказанного выше мы можем
написать
DZJabM*) = 2cos2^. Ф(а + с - у) +
+ sin яа(5аа+с_, + 52с)ф(а + с — (/).
Чтобы с помощью этого равенства установить справедливость
соотношения (1.5.41) и в том случае, когда х<су достаточно
заметить, что
а* 51

= __L(|^|a^=-S?^),
л j I С—X I t—X ^v '
Равенство (1.5.40), по существу, означает, что оператор
D^a является правым обратным к оператору Dix.
С другой стороны, имеет место следующее утверждение.
Аналог формулы Ньютона — Лейбница. Пусть функция q{t)
непрерывна всюду в (0|x-ai, за исключением, быть может, точки
t=a. Тогда если £2/ф(£)еЦ(0|*_а|), то
DaM^l) = Ф(ДС)— lX~{^'1 Dla\ (1.5.42)
для всех aG]0, 1[, где
t-*~a
Действительно, по определению (1.5.2) имеем
х
=w|u_r_,d[Z)"r'<f,(l)1 =
Отсюда после интегрирования по частям получаем
Согласно (1.5.27), имеем
X
/CTryi) = D0iyg) = sign(x-a)$tfg)di.
a
Теперь легко видеть справедливость равенства (1.5.42).
В силу (1.5.42) оператор DaXa является левым обратным
оператором к Dax тогда и только тогда, когда область его
определения такова, что О^Г'фШ = 0.
52

Пусть функция ф(/) удовлетворяет условию теоремы 1.5.7.
Тогда между операторами Dfxa и D7xa существует следующая
связь:
Db~xay = cos яа- Daxay + sin яа D7xa- S^x). (1.5.43)
В самом деле, на основании (1.5.42) имеем
1 (a;
Покажем, что
DSTlDTtaQ = НтО27,Об7аф=0. (1.5.44)
х-*а
Пользуясь теоремой 1.5.5, получаем
+ (х- a)'~a DH%—1-[(t-a)a-[y(t) =
- to^WWS/ («. 1. «+ 1, ^t) (/-a)<W)d/ +
+ ^gfl^S/O 2-a, ^) (/-ar-VOd^.
Воспользуемся теперь известным свойством гипергеометрической
функции:
^pB«+p.z)-^fei^l-z)*X
Х[2г|>(Л+ 1) —-ф(сс-ЬЛ) —-фО + Л) —ln(l —2г)], (1.5.45)
где гр(2г) = Г'(г)/Г(г), a, р ^ 0, -1, -2, |г-1|<1;
|arg(l—г)|<я, и убедимся в истинности равенства (1.5.44).
Следовательно,
D7xaDZtDblaq> = D7xa<f(t)-
Применяя теперь к обеим частям равенства (1.5.38) оператор
D7xa, установим, что (1.5.43) является всего лишь другой формой
записи (1.5.38).
Лемма 1.5.3. Пусть (/~а)~аф(/)еЦа, 6], 0?,ф€=С [а, Ь[.
Тогда для любых ае]0, 1[ и ^е]а, 6[ справедливо равенство
£>7Л)"/ф = sin яа.#7Лр(х) — Dla7aDtrl<p, (1.5.46)
где
R«4x) - (Sir" - Stf«x) - -£-(( lEf) ^ •
(1.5.47)
53

Формула (1.5.46) также является аналогом формулы
Ньютона— Лейбница в случае, когда начало в производной порядка а
не совпадает с началом а дробного интеграла того же порядка,
под знаком которого она находится.
Лемма 1.5.3 вытекает из следующих легко проверяемых
равенств:
X Dabr\At -(х- a)aDabal<^ = -Dla7aDabr1^ +
+ г(а) uba ф'
г(а) ^а ф - - ца)г(1-а)1(7=2г - 51П Да Hab ф"
Теорема 1.5.10. Я(/сгь ф(/) е Lip]a, 6[, (/ — a)~ay(t) и
Iab^(t)^L[ay Ь]. Тогда для любых ae]0, 1[ и ^e]a, ft[ имеет
место равенство
DaxaIab^>{t) = 2 sin-у,- ф) + sin ла-8аьаф)- (1.5.48)
Формула (1.5.48) в соответствии с (1.5.38), (1.5.46) и (1.5.47)
проверяется по следующей схеме:
А27&ф(/) = (ЮТ2/ -DaXaDb)^ = ф) +
+ DXaX~aDabr\ — sin да • /?а~Гф(х) = [ 1 + cos( 1 — а)п]ф) +
+ sin(l — a)nSJra ф(х) — sin ла-/?^аф(х) = 2sin2^ • ф(х) +
+ sin na(Saba + 1*аьа)ф) — sin ла-11аьаф).
Пусть функция ty(t) такова, что
tf/)==Dw^e=Lip]a,fc[, (/-а)"аф(0, /ЬфДОеЦа, fc].
Тогда
Д-аг|>(0 = cos na-D^a\|p(0 — sin^a-S^aD^a\|).
(1.5.49)
Действительно, согласно теореме 1.5.10, имеем
DaXaHbDbta^ = D7xa(D2/ - ЯЭДЯйЧ =
= (DVxa-Dza)* = 2sin2-^.D*74 + sin яа • S5aD£4|>.
54

ф(/)е£[Л, В] и в достаточно малой полуокрестности (Об точки
^е[Л, В] удовлетворяет условию Гёльдера с показателем А>а,
то
DIM - Ф)\х-а\-«Т-\\-а) = £>У <р(0-ф(*)]
(1.5.52)
для любой отличной от х точки ае[Л, В] и ае]0, 1[.
Здесь, как и ранее,
(Об = {t:Xb + х — 6 < 2/< хь + х + 6}, xs = х 6sign(a — х).
В самом деле, из определения (1.5.26) имеем
или
na m/a — 1 litTI |"ф(*«)-<р(*) i <р<*)
-asign(x-a)|^flgld/].
Так как |ф(лге) — ф(-^)1 ^ сгн, то отсюда получаем равенство
X
n« fn/a _ sign(x —д) с ф(/) —ф(*) н/ , ф(*) 1
"«4W - г(-а) j ,,_,г+' at + ljr-аГ г(1-а) '
которое эквивалентно (1.5.52).
Предел правой части (1.5.52), когда а = Л-^ — оо, иногда
называется производной Maputo.
Аналог теоремы Ферма. Пусть интегрируемая на [А, В]
функция ф(/) в точке i;e[>4, В] принимает наибольшее или
наименьшее значение и существует такое 6>>0, что ф(/) в
полуокрестности сое удовлетворяет условию Гёльдера с показателем h>a.
Тогда для любого ae[0, 1[ и отличной от х точки ае[Л,А]
производная
в случае наибольшего значения и
DSMt)< ^fflg"" d-5-54)
в случае наименьшего значения.
56

В заключение обратим внимание и на следующее
соотношение: ь
^(Hix - Н°ЬхШ = <p(01n|*-*|d* = -Slbux),
(1.5.50)
которое справедливо для любой интегрируемой на [а, Ь] функции
ф(/)еЫр]а, Ь[ и любой точки ^е]а, 6[.
1.5.9. Аналог теоремы Ферма; необходимые и достаточные
условия экстремума функции. В дифференциальном исчислении
важную роль играет теорема Ферма. Пусть скалярная функция
ф=ф(^) определена на некотором интервале ]Л, В[ и в точке
^е]Л, В[ принимает наибольшее или наименьшее значение на
]Л, В[. Тогда если производная ц>'{х) существует, то она равна
нулю.
Говорят, что функция ф(£), определенная в окрестности Si
точки ху имеет в этой точке локальный максимум или минимум в
зависимости от того, ф(/)<[ф(;с) или ф(*)^ф(л;) для всех t^St
При этом точка х называется точкой локального экстремума
(максимума или минимума).
Из теоремы Ферма следует, что если ф(£) в точке х имеет
локальный экстремум и дифференцируема в этой точке, то такая
точка является критической или стационарной точкой функции
ф(/); другими словами, ф'(х) = 0.
Точка локального экстремума х называется точкой строгого
локального экстремума, если ф(*)^ф(0-
Критерий второй производной. Пусть ф(/) е C2(S£). Тогда если
ф'(л) = 0 и ф"(х)<0 (ф"(х)>0), то функция ф(/) в точке х имеет
строгий локальный максимум (минимум).
Этот критерий является простым следствием равенства
^)-^) = (/-х),'(х) + Вх-;У(5), t&Sl (1.5.51)
Как следует из (1.5.51), условие
ф'(х) = 0, ф"(/)<0 (ф"(/)>0), \/t<=Sl
является необходимым для того, чтобы точка х была точкой
локального максимума (минимума) функции y(t)^C2(Sx).
В математической биологии весьма часто возникает задача
поиска экстремума функции, которая не является
дифференцируемой, тем более дважды, но имеет дробные производные
определенных порядков. К таким задачам относится, например,
задача поиска максимальной скорости, с которой ткани животного
могут обеспечиваться кислородом, или же задача о
максимальной биомассе, которую может поддерживать данная экосистема.
Прежде чем сформулировать аналог теоремы Ферма,
убедимся в справедливости следующего утверждения: если функция
55

Ф(0 - ф) = {t- х)2\ (1 -тО<р"(х + (<-x)4)dti, <<=SZ.
о
Поэтому в точке локального максимума (минимума) функции
ф(/)еС (Si) условие ф"(х)^0 (ф"(х)^0) является необходимым.
Аналогом этого простого, но весьма важного факта является
следующее утверждение.
Теорема 1.5.12. Пусть:
1) функция ф(/)е/.[Л, В] и в точке хе]Л,В[, где она
дифференцируема, принимает наибольшее значение;
2) существует такое 6>0, что ф'(/) на сегменте (об
удовлетворяет условию Гёльдера с показателем h>a—1.
Тогда для любого числа ае]1,2[ и любой отличной от х
точки ае[Л, В] справедливо неравенство
sign(*- а) • DiMt) < ^'*1ц'~а . (1.5.57)
Если же ф'(/) е ЫрЛ[Л, В] и h > а — 1, го в окрестности Si точки х
существует отличная от х точка а такая, что для всех аЕ]1, 2[
имеет место равенство
sign(* - а) • Dl^t) = • (1 -5-58)
Действительно, в силу (1.5.26) имеем
x|i</->rw] - Т(2^-гй0[ф'(у«)е,-а+
+ (1 - a)<pMsign(f, - а)е- - а( 1 - a)f |у^, ] .
Полагая здесь i/ = х и замечая, что ф'(х) =0, Г(2 — а) =
= (1-сс)Г(1-сс);
получим
sign(;c —а)Я2*ф(0= Hm Г— ф'Щ-ф'Ф h
6 v 7 ^ ; e^+oL ea-lr(2-a)sign(jc-a) ^
, ф(*«) a(l-a) , Ф(^е)-Ф(0 .Л
58

Поскольку Г(1 —а)>0, a — аГ(—- а) = Г(1 — а), это
предложение непосредственно вытекает из (1.5.52).
Из аналога теоремы Ферма, который естественно называть
обобщенной теоремой Ферма, видим, что если х является точкой
локального экстремума функции ф(/), определенной в некоторой
окрестности Si, то либо производная £>2*ф порядка а<1 не
существует, либо она удовлетворяет одному из неравенств (1.5.52),
(1.5.53), где а — любая точка из Se. В частности,
ЯЬф(0>0, Va^]0, 1[,
если х — точка локального положительного максимума.
Теорема 1.5.11. Точка хе]Л,В[ является точкой строгого
локального максимума или минимума функции ф(/)е1лр [Л, В]
тогда и только тогда, когда существует хотя бы одна точка (а, р)
с абсциссой ае]0, ft[ и ординатой р>0 такая, что
DZM^^f*!^' , Vfl^Sg (1.5.55)
в случае максимума и
DZMtX Фц12аГ > Va^Sf (1.5.56)
в случае минимума.
Необходимость этих условий непосредственно следует из
аналога теоремы Ферма. Например, пусть х — точка строгого
локального минимума. Тогда существует такое положительное
число р, что ф(х)<ф(а), \/a^S$. Поскольку Г(1— а) > 0, это
неравенство вместе с (1.5.54) приводит к (1.5.56).
Докажем теперь достаточность условия теоремы в случае,
когда соблюдено условие (1.5.55).
Функция \t — a\aD2tq>(l) непрерывна в окрестности точки х
и поэтому существует такая окрестность Si точки х, что
где б — наименьшее из двух чисел е и р. Это неравенство можно
переписать в виде
ДУД&Ф(£)> rffa) DZa\t-a\-*, V'.aeSi
Отсюда, учитывая, что Г-1(1 — <x)D7xa\t — a|~a= 1, а в силу
(1.5.42) справедливо равенство DaXaDat^>{t) = ф(*) получаем
ф(х)>ф(а), \/-a^Sl.
Аналогично устанавливается достаточность условия (1.5.56).
Равенство (1.5.51) после замены переменной интегрирования
£ по формуле i = х + (t — x)r) принимает вид
57

Отсюда, используя неравенства
Г(2 — оь)>0, \<р'(хг) — ф'(х)|<се\ h>a— 1,
X
\ф) - Ф(01 < sign(* - t)\ |ф'(£) - ф'(*)№ <
<-KTT\*-t\h+l> sign(,-a)eHm|f^d^O,
мы и приходим к неравенству (1.5.55).
Вторую часть теоремы докажем методом от противного.
Допустим, что это утверждение не имеет места. Тогда в силу
(1.5.55) существует такая окрестность Si точки ху что
sign(* - a) • DaVp(0 < ф^2аГ (1 -5-59>
для всех aeSJ.
Так как ф(/)^С1[Л, В]у то
ф(0 = ф(а) + sign(* — a)D^V(£).
Непосредственное вычисление показывает, что
DSMa)=«a)*tfn±X-a) lx-a|-.
На основании теоремы 1.5.3 можем записать
КАЛ^) = sign(*-a)D£rV(A.
Следовательно,
sign(x —а)-£2*ф(/) = sign(x — а)-£2*{ф(а) +
+ sign(x-a).Day(g)} = ф(гУ-а)'"а +sign(x~a)DQV4/(0-
(1.5.60)
Из (1.5.58) и (1.5.59) получаем, что если aeSJ, то
sign(* - a) • Z>aV' ф'( t) < IX,^j;). • (1 -5-61)
Функция ф(*) непрерывна на сегменте щх-а\ и имеет
производную в каждой внутренней точке этого сегмента. Поэтому в силу
теоремы Лагранжа существует такая точка с из ]ху а[ или из
]ау х[у что
ф) - ф(а) = ф'(с)(х - а). (1.5.62)
Следовательно, неравенство (1.5.61) можно переписать в виде
sign(* - а) ■ DZT У(t) < г;;(^(1~;1, , ¥а е= (1.5.63)
59

Из (1.5.52) видно, что
\t-a\*-lr(2-a)DSrl<p'(l) = ф'(0 + 0 - а) X
X\t-a\a-{i dE
Xl 1 i sign(*-a)|/-Ele QS*
Поскольку ф'(/)еирА[Л,В], A>a—1, отсюда вытекает
непрерывность функции |/ —a|a~'DS~V(£) на [Л, В].
Учитывая это, из (1.5.63) заключаем, что существует такое
6 <; е, что для всех а и / из (Об справедливо неравенство
DIT V(6)sign( / - a)< ^'[l^"" sign( / - a). (1.5.64)
От обеих частей неравенства (1.5.64) возьмем дробный
интеграл порядка a—1 с началом в точке а и с концом в точке с.
В результате с учетом равенств
DXa7aD«ar\'(l) = y'{c)y Dla7a\t-a\l-«= Г(2-сх) = (1 — сс)Г(1 -а)
получаем sign(x — a)« ф'(с) < (1 — a)sign(x — а)-ф'(с), или
sign(x — а)-ф'(с) < 0.
С другой стороны, из (1.5.62) следует, что sign(x—- а)-ф'(с) >
>0. Полученное противоречие является результатом неверного
допущения и оно означает достоверность равенства (1.5.58).
Существенно использованное нами равенство (1.5.60) дает
основание сформулировать следующее предложение.
Теорема 1.5.13. Пусть функция ф(/) в окрестности Si
точки х имеет производную цф) е Liph(Si), h > a — 1 и
sign(/-*).D?,T(i)<^fcp (1.5.65)
для всех /eSe и некоторого aG]l, 2[. Тогда функция ф(/) в
точке х принимает наибольшее (в Si) значение.
Действительно, из (1.5.60) имеем
sign(/-*)-Dbq<£) = ^('Г^аГ +^(*-^У>1Г1^{1).
(1.5.66)
Из (1.5.65) и (1.5.66) получаем оценку sign(/ — ^Z)?rV(£)^
^ 0, из которой вытекает неравенство sign(/ — х)-ф'(/) ^ 0,
V^Sg. Отсюда легко установить, что ф(х) — ф(/)^0, \/-t^Si.
§ 1.6. ПОНЯТИЯ ЛОКАЛЬНЫХ И НЕЛОКАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ
1.6.1. Определение локального оператора. Пусть:
1) А — оператор, область определения D(A) которого
представляет собой множество отображений и с единой областью
определения D(u)\
60

2) \i — множество операций \ха с D(\ia) = D(A)\
3) y,au = \ia°u — композиция отображений \ia и и.
Оператор А с областью определения D(A) назовем локальным
в D(u) относительно множества операций ji, если для любого
оператора u^D(A) образ любой точки x^D(u) при отображении
А°и однозначно определяется значением и(х) оператора и на
элементе х или же значениями \iau(x) операторов \iauy [iaG|i
на этом же элементе х.
Если для любого u^D(A) образ любой точки x^D(u) при
отображении АОи однозначно определяется значением
оператора и на элементе ху то, по определению, оператор А является
локальным в D(A) относительно пустого множества (\i= 0).
Приведем примеры наиболее часто встречающихся локальных
операторов.
Пример 1.6.1. Пусть Q — область из /?; у1=щ(х)у
ац = ац(х)у где /, / = 1,2, т — непрерывные в области Q
функции ТОЧКИ x = (х\у х2у хп)\
У\
и\(х)
У =
У2
= и(х) —
U2(x)
, \/xeeQ = D(u)y
Ут
Um(x)
\i = {\ia}—одноэлементное множество, состоящее из операции
\ia умножения заданной матрицы
an
an .
. . aim
а =
«21
022 .
• . 02m
= \\ац{х)
ат\
ат2 .
• ' a mm
размера mXtn на матрицу-столбец у = ||*//|| порядка т. Тогда
оператор Ау действие которого выражается формулой
Ау = ауу у = и(х)у \/x^D(u)y u^R(u)y
где
ay =
а\\у\ + а\2у2 + ... + а\тут
а2\у\ + а22У2 + ... + а2тут
ат\у\ + ат2у2 + ... + аттУт
является локальным в Q относительно \i.
Пример 1.6.2. Пусть Da = ^
. «, «о 77~ — оператор част-
ного дифференцирования порядка |a| = ai + a2 + ... + ап\ Day =
61

= \\Dayi\\, у=\\у!\\9 y\ = Uj(x)t=Cp(Q)y где CP(Q) — множество
действительных функций, имеющих в области QaRn
непрерывные частные производные до порядка р\ и(х) = I|w/(jc)|| е Cp(Q)y
т. е. Uj(x)^Cp(Q) для всех / = 1,2, т. Пусть, далее, \i —
множество, состоящее из операций частного дифференцирования Day
О < |а| <! р, и операции умножения заданной матрицы а =
= \\dijW размера mXm на матрицу у порядка т. Тогда
оператор А с D(A)a Cp(Q)y действие которого задается формулой
z = Ay = aDayy у = и(х)у \/xe=D(u) = Q,
является локальным (в Q) относительно \х.
1.6.2. Определение нелокального оператора. Оператор А
назовем нелокальным относительно множества операций р,, если он не
является локальным относительно \i.
Пусть 6 — некоторое заданное отображение, область
определения D(6) и область значений /?(6) которого принадлежат
области определения D(u) отображения и из примера 1.6.1.
Легко видеть, что оператор А с областью определения
D(A)aC(Q)y действие которого выражается формулой
Аи(х) = и(х) + аи(в(х))у V^efi,
является нелокальным относительно множества \i = {p,a}>
состоящего из одной операции — умножения заданной ненулевой
матрицы а = ||ay|| порядка т на матрицу-столбец и = ||и/|| того
же порядка.
Приведем еще один пример нелокального оператора.
Рассмотрим междупредельное конечно-разностное отношение
Апи(х) порядка ае/? скалярной функции и(х)у определенной для
всех х из сегмента [a, b]czR. В силу определения (см. п. 1.5.3)
^пи(х) = -L 2 (- !)*( !) «(* - *<=[а, Ь],
On k = о \ * /
где б„ = (х — а)/п.
Очевидно, оператор Д« является нелокальным относительно
пустого множества.
В заключение отметим, что нелокальные операторы широко
встречаются в математической биологии.
62

ГЛАВА 2
классификация нагруженных уравнений
и систем
§ 2.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ И ПРЕДСТАВЛЕНИЕ
О МНОГООБРАЗИИ ИХ РЕШЕНИЙ
2.1.1. Определение уравнения и его решений. Уравнением
относительно и называется высказывательная форма вида
Au = f, (2.1.1)
где А — заданное отображение с областью определения D(A)y
обладающее тем свойством, что Av Ф f хотя бы для одного
элемента v^D(A); f — заданный элемент из области значений R(A)
оператора А.
В этом определении, как и принято в математической логике,
под высказывательной формой понимается предложение, которое
содержит хотя бы одну переменную и и становится
высказыванием (т. е. предложением, относительно которого можно
определенно утверждать, что оно истинно или ложно) при подстановке
вместо и ее значения.
Пусть:
1) D(A) — множество матриц-столбцов и = ||ну|| порядка т;
2) Аи означает произведение заданной матрицы а=||а</||
размера mXm на и;
3) /== — заданная матрица-столбец порядка т;
4) м/, /у, а11 для любых /, /=1,2, т принадлежат
множеству С комплексных чисел.
Тогда (2.1.1) можно переписать в виде
аи = /
или
a'iuj^fi, i= 1,2, m,
где под (диагонально) повторяющимся индексом /
подразумевается суммирование от 1 до т, т. е.
aliUj = ailui + ai2u2 + ... + aimum.
63

Если матрица а отлична от нулевой, то высказывательная
форма аи = / представляет собой линейную алгебраическую
систему т уравнений с т неизвестными ии "2, ит. Эта система
в случае, когда deta Ф О, имеет, и притом единственное,
решение и = а~7» гДе а~1 — матрица, обратная матрице а.
Решением уравнения (2.1.1) называется любой элемент
u^D(A), который превращает высказывательную форму Аи = f
в истинное высказывание.
Элемент a~lf^D(A) превращает высказывательную форму
аи = / в истинное высказывание
aa~lf = f.
Высказывательная форма А и = f называется тождеством,
если Аи = f для любого u^D(A); другими словами, если R(A)
состоит из одного элемента /. .
Множество всех решений уравнения (2.1.1) будем называть
общим решением. Решить уравнение (2.1.1) —это значит найти
его общее решение.
2.1.2. Определение дифференциального уравнения и его
решений. Большинство биологических явлений и процессов в таких
областях, например, как экология и теория популяции,
иммунология и теория эпидемий, описываются приближенно с помощью
дифференциальных (скалярных и матричных) уравнений,
которые, как правило, являются уравнениями в частных производных.
Пусть Q — область я-мерного евклидова пространства Rn с
декартовыми ортогональными координатами х\, *2, хп. Пусть,
далее, и = ||w/(jc)||, /=1,2,3, — матрица-столбец или вектор
с компонентами WjgCp(Q), и запись wgC(Q) означает, что все
функции щ принадлежат классу CP(Q) (см. п. 1.4.3). Как и ранее,
производную порядка |а| от функции и = и(х) в точке xgQ
будем записывать в виде Dau = ||Daw/||, где a—мультииндекс
длины |a| = ai + «2 + ... + a«.
Уравнение (2.1.1) назовем дифференциальным уравнением в
частных производных, если:
1) оператор А является локальным в Q относительно
множества операций частного дифференцирования и D(A)cz.Cp(Q) с
Р>0;
2) существует область coczQ такая, что, каковы бы ни были
u^D(A) и jcgo), образ точки х при отображении А°и не может
быть определен без знания производной DaUj хотя бы одной из
функций и/, / = 1, 2, в этой же точке х.
Другими словами, уравнение (2.1.1) называется
дифференциальным, если оператор А является локальным в области Q
относительно множества операций дифференцирования и существует
такая принадлежащая Q область со, где уравнение Аи =f(x)
содержит производную хотя бы от одной из компонент вектора и.
64

При п = l(Qcz/?) дифференциальное уравнение (2.1.1)
называется обыкновенным дифференциальным уравнением.
Наибольший порядок производных, содержащихся в
дифференциальном уравнении, называется порядком этого уравнения.
Оператор Л, который задает дифференциальное уравнение
(2.1.1), естественно называть локальным дифференциальным
оператором.
Порядок локального дифференциального оператора А
определим как число, совпадающее с порядком уравнения (2.1.1).
Уравнение (2.1.1) в случае, когда оно равносильно системе
уравнений
Aiu = fu А2и = /2, Aku = fky k < оо,
где Aj — локальные дифференциальные операторы, принято
называть системой дифференциальных уравнений в частных
производных относительно неизвестных функций ии #2, т. е.
относительно компонент вектора и = или матричным
дифференциальным уравнением относительно и. При k = 1 система
переходит в одно (скалярное) уравнение с щ, «2, ... неизвестными
функциями.
Пусть:
1) уа — действительная функция мультииндекса а с областью
определения D(ya) = {а:0 <! |а| <! ш] и областью значений /?(*/а);
2) F(x, t/o, ...» Уа, ..) —действительная функция точки лей
и действительных переменных j/ae/?(j/a);
3) существует хотя бы один отличный от нуля мультииндекс
PED(i/a) такой, что высказывательная форма
F(x, Уо> •••> Ур> Уа> •..) = 0 (2.1.2)
является уравнением относительно у$.
Тогда уравнение (2.1.2), где
у0 = и(х), у$ = Dpw, уа = Dauy
т. е. высказывательная форма
F(x, иу D*Uy Dau9 ...) = 0, xe=Q, (2.1.3)
является дифференциальным уравнением относительно
действительной функции «eCm(Q).
Очевидно, что (2.1.3) есть дифференциальное уравнение в
частных производных (или уравнение с частными производными)
относительно неизвестной функции и(х) = и(х\у лгг, хп), если
существуют dF/dyp и подобласть coczQ такие, что
Область Q принято называть областью задания
дифференциального уравнения (2.1.3).
5 Заказ № 1786
65

Пусть т — порядок дифференциального уравнения (2.1.3).
Решение и =и(х) уравнения (2.1.3) называется регулярным (или
классическим), если оно непрерывно в Q вместе со своими
частными производными, входящими в это уравнение.
Наряду с регулярными решениями в теории
дифференциальных уравнений математической биологии важную роль играют и
решения, перестающие быть регулярными в изолированных
точках или на многообразиях особого вида. Нерегулярные решения,
как правило, принято называть обобщенными (или слабыми)
решениями.
Функция и = ср(*1 -f- *2)> где <р(/) — скалярная функция,
непрерывно дифференцируемая на числовой прямой /?:— оо <
<;/<<оо, всюду, за исключением точек t\9 /2, является
регулярным решением дифференциального уравнения в частных
производных первого порядка = 0 всюду в /?2, за
исключением прямых х\ + *2 = k = 1, 2, ....
2.1.3. Определение линейных и квазилинейных
дифференциальных уравнений и представление о многообразии их решений.
Говорят, что уравнение (2.1.3) линейно, если отображение F
линейно относительно всех переменных ya^R(ya). Если же
функция F линейна лишь относительно переменных уа с |а| = т,
то уравнение (2.3.3) называется квазилинейным.
Линейные дифференциальные уравнения с частными
производными порядка т можно записать в виде
2 a*(x)Dau = f(x)y xe=Q. (2.1.4)
Функции aa(x) называются коэффициентами уравнения (2.1.4).
Производные порядка m, входящие в (2.1.4), принято называть
старшими производными, а другие производные — младшими.
Уравнение (2.1.4) называется однородным, если f(x) = 0, и
неоднородным, если f(x) ф 0.
Пусть
L= 2 a*(x)Da
|о| m
— локальный дифференциальный оператор порядка m, который
задает уравнение (2.1.4). Тогда (2.1.4) можно переписать в виде
Lu = f(x)9 Jte=Q, D(L)czCm(Q).
Общим решением уравнения (2.1.4) назовем множество
wf = {u:u<=D(L)y Lu = /},
а частным — любой элемент этого множества.
Здесь и в дальнейшем под решением будем понимать
регулярное решение.
66

Общее решение однородного уравнения
Lu = 0, ue=D(L)
(2.1.5)
обозначим через wq. По определению, wo совпадает с ядром
kerL оператора L:
Wq = кетL = {и:и^D(L), Lu = 0}.
Так как для любых и\, U2^w0 и любых скаляров Х\, Х2 имеем
L(X\U\ + А,2«2) = k\LU\ + ^2^«2 = 0,
то Wo является линейным многообразием в D(L)aCm(Q).
Если допустить существование какого-либо частного
решения v неоднородного уравнения (2.1.4), то Wf является
аффинным многообразием:
Wf = v -\- Wo = {и:и = v -\- и0у м0еWo}.
Действительно, если и — произвольное решение
уравнения (2.1.4) из Wf, то в силу линейности оператора L разность
uq=u — v^D(L) и удовлетворяет однородному
уравнению (2.1.5):
Luo = L(u — v) = Lu — Lv = / — / = 0.
Итак, общее решение Wf уравнения (2.1.4) представляется
в виде суммы v -j- w0 частного решения v(x) этого уравнения и
общего решения wq однородного уравнения (2.1.5).
Следовательно, для того чтобы решение уравнения (2.1.4) в классе D(L) было
единственным, необходимо и достаточно, чтобы
уравнение (2.1.5) имело только нулевое (тривиальное) решение и = 0.
Если уравнение (2.1.5) не имеет решений, отличных от
тривиального, то для любого f^R(L) существует единственное
решение mgD(L) и оно задается формулой u*=L~lfy где L~l —
оператор, обратный к оператору L.
2.1.4. Понятие о спектре и общем решении линейного
дифференциального уравнения, зависящем от параметра. В
математической биологии часто встречаются уравнения вида
Аи - Хи = /, (2.1.6)
где А — линейный оператор и X — некоторый параметр.
Соответствующее уравнению (2.1.6) однородное уравнение
имеет вид
Аки = Аи — ки = 0. (2.1.7)
Допустим, что для некоторого А, оператор Ах имеет
обратный Ах1 = Rx. Тогда для этого X уравнение (2.1.6) имеет при
любом f^D(Rx) единственное решение
5*
67
и = Kxf.

Оператор /?>, называется резольвентным оператором для
уравнения (2.1.6). Такие значения А,, при которых (2.1.6) имеет
единственное решение для любого /, а оператор R\ ограничен,
принято называть регулярными значениями для
уравнения (2.1.6).
Если уравнение (2.1.7) при данном X имеет нетривиальное
решение, то такое значение к называется собственным значением
(или характеристическим числом) для уравнения (2.1.6) или
оператора Л, а нетривиальное решение называется собственным
элементом (собственной функцией, если этот элемент есть
функция) уравнения (2.1.6) или оператора Л, соответствующим
данному собственному значению к.
Число k линейно независимых элементов, соответствующих
собственному значению к, называется кратностью этого
собственного значения. Если k = 1, то к называется простым
собственным значением.
Нетрудно убедиться в справедливости следующего
утверждения: если кратность k собственного значения к оператора L
конечна и «1, «2, Uk — соответствующие линейно независимые
собственные функции, то общее решение U уравнения
Lu — ки = О, ue=D(L),
где L — локальный дифференциальный оператор из (2.1.4),
задается формулой
U = | и: и = 2 у
где d — произвольные постоянные, или просто
k
и = 2 ст.
i = 1
Множество всех значений А,, не являющихся регулярными,
называется спектром оператора Л. Очевидно, что все собственные
значения оператора Л принадлежат его спектру.
§ 2.2. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФОРМА И КЛАССИФИКАЦИЯ
КВАЗИЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
2.2.1. Понятие характеристической формы. Рассмотрим
уравнение (2.1.3) в случае, когда функция F имеет непрерывные
частные производные первого порядка по всем переменным уа^
<=/?((/а) с |а| = т.
Однородный относительно g = (gi, g2, In) многочлен
в(х,£)= 2 -!£*e, (2.2.1)
68

где la = IT IT ...gnrt, называется характеристической формой,
соответствующей уравнению (2.1.3).
Форма (2.2.1) представляет собой многочлен степени m
относительно независимых переменных gi, £2, и играет важную
роль в теории уравнений математической биологии, в
особенности при их классификации.
2.2.2. Классификация квазилинейных уравнений второго
порядка. Квазилинейное уравнение с частными производными
второго порядка можно записать в виде
a\x)uXtX, + Ф(ху и, Vи) = 0, xgQ, (2.2.2)
где под (диагонально) повторяющимися индексами / и /
подразумевается суммирование от 1 до п\
. / ди ди ди \ _
— значение оператора Гамильтона V на элементе и = и(х) с
областью определения D(u) = йис областью значений R(u)czR;
Ф(*. Уо, у\, уп) —действительная функция точки хеЙ и
действительных переменных */о, у и •••» Уп\ а1,(х) — действительные
функции точки xeQ.
Соответствующая уравнению (2.2.2) характеристическая
форма задается формулой
0(jc, £) = о"(*)Ь6/ (2.2.3)
и, следовательно, является квадратичной.
Так как уравнение (2.2.2) при / Ф / содержит не отдельные
слагаемые d\x)uXiX], ail(x)uXjXii а их сумму
aij(x)uX[Xl + ail(x)ux,Xt
и в классе регулярных решений смешанные производные равны:
uXtX, = uXjXt9 то, не нарушая общности, можно считать, что
квадратичная форма Q(x, i) симметрична, т. е.
ar\x) = afi(x)9 VJfeQ, /, /=1,2, п.
В каждой точке xeQ форма (2.2.3) с помощью линейной
замены
а%, i9k = 1,2,..., л, (2.2.4)
где ||а|Л|| — невырожденная квадратная матрица с
действительными элементами, сводится к каноническому виду
Q(x9Q = atr\?9 /= 1,2, ...,/г (2.2.5)
с коэффициентами а'^{— 1,0, 1}.
Здесь и далее {p,i, р,г, \ik] — множество, состоящее из k
элементов p,i, р,г, р,*.
69

Уравнение (2.2.2) называется уравнением эллиптического
типа (или просто эллиптическим) в точке jc^Q, если в
форме (2.2.5) все а1 = 1 или все а1 = — 1; другими словами, когда
форма (2.2.3) дефинитна, т. е. положительно
Q(x,i)>o, v^r.Wo,
или отрицательно
<?(*,£)< О, V£e/?n, 1Ф0,
определена. Если один из коэффициентов а' отрицателен, а все
остальные положительны (или наоборот), то говорят, что
уравнение (2.2.2) в точке х принадлежит гиперболическому типу.
Уравнение (2.2.2) называется параболическим (или уравнением
параболического типа) в точке jc^Q, если один из коэффициентов
а1, /=1,2, п равен нулю, а все остальные отличны от нуля и
имеют один и тот же знак. Уравнение (2.2.2) называется
параболическим в широком смысле в точке jc, если хотя бы один из а!
равен нулю. В случае, когда один из а1 (например, а1) равен
нулю, а остальные коэффициенты таковы, что знак одного из них
(скажем, а2) противоположен знаку всех остальных,
уравнение (2.2.2) назовем уравнением ультрапараболического типа в
точке х. Если же все а1 Ф О, причем по крайней мере два из них
отличаются знаком от всех остальных, число которых не меньше
двух, то уравнение (2.2.2) принято называть
ультрагиперболическим (или уравнением ультрагиперболического типа) в
точке x^Q.
Говорят, что в области Q уравнение (2.2.2) является
уравнением эллиптического, гиперболического, ультрагиперболического,
параболического или ультрапараболического типа, если оно
соответственно эллиптично, гиперболично, ультрагиперболично,
параболично или ультрапараболично в каждой точке х
области Q.
Эллиптическое в области Q уравнение (2.2.2) называется
равномерно эллиптическим, если существуют отличные от нуля числа
ko и k\ одинакового знака такие, что
*ol£l2< <?(*,£)< *,|£|2, Vx<=Q.
Если в разных частях области своего задания Q
уравнение (2.2.2) принадлежит к различным типам, то говорят, что оно
является уравнением смешанного типа.
Уравнение
ди "у д2и , д2и
в пространстве Евклида Rn представляет собой уравнение
смешанного типа. Оно параболично при хп ^ 0 и ультрапараболично
при хп < 0.
70

Уравнение Лаврентьева—Бицадзе:
2п 1 д2и . . д2и с/ \
является уравнением смешанного типа в любой области QczRn,
содержащей часть гиперплоскости хп = 0. Оно эллиптично во
всех точках хей при хп > 0, параболично при хп = 0 и
гиперболично при хп < 0.
Из критерия Сильвестра положительной определенности
квадратичных форм следует, что для эллиптичности
уравнения (2.2.2) в точке x^Q необходимо и достаточно, чтобы все
главные диагональные миноры
ах\х)\ det||a''(x)||, /, / = 1, 2, k\ k = 2, 3, л,
матрицы ||а%к)||, i, /, = 1, 2, я, старших коэффициентов были
положительны или отрицательны.
Классификацию уравнения (2.2.2) можно провести
эквивалентным образом в терминах характеристических чисел
(собственных значений) матрицы ||а''(х)|| старших коэффициентов.
Для этого достаточно во всех определениях числа а', /= 1, 2,
л, заменить характеристическими числами X», t= 1, 2, я,
т. е. корнями алгебраического уравнения
det(||a'7(x)ll -Щ = 0,
где
1 0
0 1
о 6
1
— единичная матрица размера пХп. Например, уравнение (2.2.2)
гиперболично в точке x^Q тогда и только тогда, когда в этой
точке все числа h ф 0, причем одно из них отличается по знаку
от всех остальных.
В цилиндрической области
Qt=QX]0,t[ = (U,/):jceQ, 0 < / < т}
рассмотрим уравнение
vt = aij(x, t)vXlXi + Ф(х, /, v, Vv), (2.2.6)
где v =v(x, t) — искомая действительная функция точки (ху t)^
eQ:; а1}(х, t) = ai((x, t), Ф(х, ty у, z) — действительные функции
точек х, /, i/e/? и z^Rn.
Если симметрическая матрица \\ali(x, t)\\, i, j = 1, 2, /г,
положительно определена в любой точке (х, /)ейт, то, по опреде-
71

лению, уравнение (2.2.6) относится к классу параболических
уравнений.
Уравнение (2.2.6) называется равномерно параболическим в
области QT тогда и только тогда, когда существуют
положительные числа ko и k\ такие, что
ko\t\2 < aij(x, t№i<ki\l\2
для всех (ху t)^QT и £е/?л.
§ 2.3. КЛАССИФИКАЦИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
И СИСТЕМ ЛЮБОГО ПОРЯДКА
2.3.1. Классификация дифференциальных уравнений любого
порядка. Квазилинейное уравнение с частными производными
порядка m можно записать в виде
2 aa(x)Dau + Ф(х, D*u, ...) = О, (2.3.1)
1<х| = m
где аа(х)у Ф(х} уо, ...) — скалярные функции точки xgQ и
действительных независимых переменных у$ с |р| < т, и =
= и(х) — зависимая скалярная функция точки xgQ.
В силу (2.2.1) соответствующая уравнению (2.3.1)
характеристическая форма задается формулой
Q(x, I) = 2 aa{x)l\ xse Q. (2.3.2)
|а| = m
Классификацию дифференциальных уравнений производят с
помощью характеристической формы, опираясь на понятие
аффинного преобразования евклидова пространства, имея в виду
преобразование вида (2.2.4).
Если при помощи аффинного преобразования (2.2.4) форма
(2.2.2) приводится к форме от меньшего числа новых
независимых переменных tji, tj2, т)3, т)р, р < п, то говорят, что
уравнение (2.3.1) параболично (или параболически вырождается) в
точке xgQ.
Если при отсутствии параболического вырождения в точке
Q(x, I) = 0^1 = О,
то уравнение (2.3.2) называется эллиптическим в точке х.
Можно доказать, что эллиптическое в точке xgQ
уравнение (2.3.1) имеет четный порядок.
Говорят, что уравнение (2.3.1) гиперболично в точке х, если
среди переменных £i, £2, In можно выделить (в случае
надобности — после надлежащего аффинного преобразования этих
переменных) одну переменную, например = к, таким образом,
чтобы все корни характеристического уравнения
(относительно к)
72

Q(x, 6)- Q(*. 61.62,6—1Д) = 0
были действительными для всех 6х = (6ь 62, ln-\)^Rn~l.
Аналогично проводят деление уравнения (2.1.3) по типам и в
нелинейном случае по характеру формы (2.2.1). Поскольку
коэффициенты характеристической формы (2.2.1), вообще говоря,
зависят наряду с точкой х от искомого решения и и его
производных Dau, классификация по типам имеет смысл лишь для этого
решения. Например, нелинейное уравнение
п — 1 -.0 -о
эллиптично в тех точках xgQ, где регулярное решение и(х) >0
гиперболично при и(х) < 0 и параболически вырождается на
замкнутом множестве \х:и(х) = О, xgQ(.
Встречающееся в теории самоорганизации автоволновых (по
терминологии Р. В. Хохлова) процессов уравнение
д2и Ь3и ./I 2\ би , „ А
lF-aW6(1-")lF + CM = 0'
где а, 6, с — положительные числа, в области Q = {(*, t)^R2:
х > 0, t > 0} является квазилинейным уравнением
гиперболического типа.
2.3.2. Классификация систем дифференциальных уравнений.
Многие задачи математической биологии, и в первую очередь
задачи математической теории борьбы за существование
биологических сообществ, приводят к системам дифференциальных
уравнений.
Система дифференциальных уравнений — это, как правило,
конечное или счетное множество уравнений, которые связывают
независимые переменные х\, хг, хп со значениями по крайней
мере одной производной DaUj(j =1,2, р) хотя бы от одной из
зависимых переменных и\ = ui(x), w2 = w2(x), up = up(x).
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений с
частными производными порядка т:
Fi(x, ui, u2l uPi Dauh ...) = 0, (2.3.3)
где Fi, i= 1, 2, ...,<7 — действительные функции точки х£Й и
действительных переменных yL= DaUj, Уо= иь /= 1, 2, р.
По определению, система (2.3.3) линейна, если все функции Fi
являются линейными относительно всех переменных у1а\
квазилинейна, если все Fi линейны относительно всех yja с |a| = т.
Говорят, что система дифференциальных уравнений является
определенной, переопределенной или недоопределенной, если
соответственно р = qy q > р, q <L р.
Пусть система (2.3.3) является определенной и порядок
каждого уравнения Fi = 0, / = 1, 2, р системы равен т, т. е. со-
73

впадает с порядком самой системы. Пусть, далее, существуют
dFi/dyL для всех /, / = 1,2, р. Тогда выражение
Q(x, £) = det 2 a«Ee, (2.3.4)
|a| = m
где
—иЗЙ- '
— характеристическая матрица размера рХр, представляющая
собой форму порядка рт относительно координат точки g,
называется характеристической формой (или характеристическим
детерминантом) системы (2.3.3).
Классификацию определенной системы (2.3.3) принято
производить по характеру формы (2.3.4) ^очно так же, как и для
уравнения (2.1.3).
Система
■SL-^)-fe+*iw-S-+w*-/'«* •••• "»)•
где k = 1, 2, р; /, / = 1, 2, ai; Uk = w*(x, f) — искомые
скалярные функции точки x^Q и действительной переменной t ^ 0;
alL blk, fk — скалярные функции своих аргументов, причем
<?*(*, 6) = aifWE/gy > 0, УЕе=Яя, * = 1, 2, р,
является примером квазилинейной системы уравнений в частных
производных параболического типа во всех точках (х, /),
удовлетворяющих неравенству
Qk{x, g)>0, Vg=^0, k= 1,2, ...,p.
Параболические системы такого вида широко используются при
описании ряда процессов в биофизике, экологии, теории нервного
импульса, и они известны как реактивно-диффузионные системы
или как системы реакции-диффузии.
Важным классом гиперболических уравнений и систем
является класс строго гиперболических уравнений и систем.
Гиперболическая система (2.3.3) называется строго
гиперболической, если все корни Xk характеристического уравнения
относительно X, имеющего вид
Q(x, Б', Л) = 0, xgQ,
различны для любой ненулевой точки £,^/?п~|.
Большинство систем уравнений математической биологии
порядка m можно записать в виде одного матричного уравнения
2 aaDau = f. (2.3.5)
|a| < m
Здесь дифференциальный оператор Da действует на каждую ком-
74

поненту вектор-функции и = (wi(x), U2(x)y ир(х)) или матрицы-
столбца и = / = 1,2, р; коэффициенты аа — квадратные
матрицы порядка р, которые, как и правая часть / = (/i, /2, fp)
или / = Ц//Ц, могут зависеть от щ и их производных порядка не
выше m — 1.
При m = 1 из (2.3.5) получаем систему уравнений в частных
производных первого порядка:
2 ajDjii + bu = fy
/=1
(2.3.6)
где 6 — квадратная матрица порядка р.
Соответствующая уравнению (2.3.6) характеристическая
форма порядка р в силу (2.3.4) задается формулой
Q(x, 1) = det 2 fl/E/-
(2.3.7)
2.3.3. Система Коши — Римана как пример системы
эллиптического типа. Из (2.3.6) в случае, когда р = q = п = 2, 6 = 0,
, получаем
1 0
0 -1
0, а, =
, а2 =
0 1
1 0
1 0
U\
0 - 1
«1
0
+
D2
=
0 1
U2
1 0
w2
0
ИЛИ
т. е.
Diui — D2U2
D2U\ + D\U2
0
0
dx2
dU2
dxi '
du2
dxi
(2.3.8)
Система (2.3.8) двух дифференциальных уравнений первого
порядка называется системой Коши — Римана.
Согласно (2.3.7), соответствующая системе Коши — Римана
характеристическая форма определяется следующим образом:
Q(jc, g) = det(aig, + a2h) = det
Следовательно, система (2.3.8) является эллиптической в любой
области QczR2.
Вводя комплексную переменную z = х\ + 1x2, где i — мнимая
единица, i2 = — 1, и дифференциальный оператор
75

dz 2 V dxi ~ dx2 / '
систему (2.3.8) можно записать в виде одного уравнения:
—=- = О, z = х\ — 1Х2
dz
ИЛИ
w2 = 0y z==xe=Q, (2.3.9)
где w = и\(х) + iu2(x).
Уравнение (2.3.9) принято называть уравнением Коти —
Римана (или комплексной формой записи системы Коши —
Римана) , а оператор -~= оператором Коши — Римана.
Важным обобщением системы Коши — Римана является
линейная система
wi + a(z)w + b(z)w = 0, ze=Q, (2.3.10)
где a(z) и b(z) — заданные в области Q функции комплексной
переменной z, а функция w = U\(x) — Шг(^), очевидно, является
эллиптической в Q.
Регулярное в области Q решение w = w(z) уравнения (2.3.10)
называется обобщенной аналитической в области Q функцией
комплексной переменной z. В случае, когда а(г) = 0, b(z) = 0,
это решение, по определению, является аналитической в Q
функцией комплексной переменной z.
Если на обе части уравнения (2.3.9) подействовать
оператором Коши — Римана, то получим уравнение
wvz = 0, (2.3.11)
где
д
dz
которое хорошо известно как уравнение (или система) Бицадзе.
Уравнение (2.3.11) представляет собой комплексную форму
записи эллиптической в любой области QczR2 системы:
д2щ
д2щ
dxl
д2и2
дх\дх2
= 0,
d2U2 OU2 i су
дх2 *-2 *
д2и2
dxi
д2щ
' дх\дх2
= 0.
76

§2.4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО
УРАВНЕНИЯ И ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ МНОГООБРАЗИЙ
2.4.1. Понятия характеристического уравнения и
характеристических многообразий. В% области QczRn рассмотрим линейную
определенную систему в частных производных порядка т:
Lu= 2 aa(x)Dau = f(x) (2.4.1)
|a|<m
с характеристической формой
Q(*,£)= det 2 a«(*)Ea-
|a|*=m
Здесь, как и ранее, аа(х) — квадратные матрицы размера рХр;
и = f(x)= \\fj(x)\\} j= 1, 2, р — матрицы-столбцы.
Пусть S — принадлежащая области Q (л— 1)-мерная
гиперповерхность класса С1 , которая задана уравнением ср(х) = 0.
В силу определения гиперповерхности класса С1 (см. п. 1.4.5)
V<p(x)#0, V*eS,
где V — оператор Гамильтона.
Точка xeS называется характеристической точкой для
(матричного) уравнения (2.4.1) или оператора
L= 2 a*(x)Da,
если ,a,<m
Q(x, Vcp(*)) = 0. (2.4.2)
Если l^Rn — вектор такой, что и Q(x} 6) = О» т0 его
направление называется характеристическим в точке х для
оператора L.
Уравнение в частных производных (2.4.2) с неизвестной в
области Q функцией <р(х) принято называть характеристическим
уравнением.
Поверхность S называется характеристической для уравнения
(2.4.1) или характеристикой уравнения (2.4.1), если все ее точки
являются характеристическими. Другими словами, поверхность
{х:ф) = 0} ъф)фО, jcg8) (2.4.3)
называют характеристикой или характеристическим
многообразием уравнения (2.4.2), если <р(х) является регулярным решением
характеристического уравнения (2.4.2). При лг = 2
характеристическая поверхность называется характеристической линией (или
кривой).
Поверхность, которая не является характеристической,
принято называть свободной (или нехарактеристической).
Характеристическую форму Q(xy £) называют также символом
дифференциального оператора L.
и

На свободной поверхности ранг характеристической матрицы
2 (2.4.4)
\а\ = т
равен ру в то время как на характеристической поверхности он
меньше р. Если ранг матрицы (2.4.4) равен р— 1, то
поверхность 5 называется простой характеристикой. В противном
случае характеристики называют кратными. Здесь, как и
принято, рангом матрицы называется наибольшее число линейно
независимых ее строк (или столбцов).
Характеристика 5: ф(л:) = 0 является простой, если для
некоторого / и для всех x^S имеем
(-£-)<?(*, V<p)^0.
Нетрудно убедиться, что характеристики строго
гиперболического уравнения (или системы) являются простыми.
2.4.2. Характеристики, бихарактеристики и свободные
поверхности дифференциальных уравнений второго порядка.
Рассмотрим линейное уравнение с частными производными второго
порядка
aij(x)uXlX, + b\x)uXi + c(x)u = f(x) (2.4.5)
с непрерывными в области Q коэффициентами а1\х) = а*\х)у bj(x)y
с(х) и правой частью /(*), где, как и ранее, под повторяющимися
индексами /, / подразумевается суммирование от 1 до п.
Соответствующее уравнению (2.4.5) характеристическое
уравнение имеет вид
Q(x, Vф) = aV)фJC(фJC = 0. (2.4.6)
По отношению к уравнению (2.4.5) наряду с
характеристической поверхностью выделяют два типа свободных
поверхностей: пространственно-ориентированные и временным образом
ориентированные. Если поверхности определяются уравнением
вида (2.4.3), то на поверхностях первого типа Q(xy ^7ф)>0, а
на поверхностях второго типа Q(xy Vф)<0.
Линию, по которой происходит касание любых двух
характеристик дифференциального оператора (уравнения), называют
бихарактеристикой.
Характеристические поверхности с конической точкой
называются характеристическими коноидами.
Характеристические коноиды уравнения (2.4.5) в случае,
когда коэффициенты alj(x) постоянны, превращаются в
характеристические конусы.
2.4.3. Характеристики волнового уравнения и уравнения
теплопроводности. Рассмотрим уравнение
(1&-<2Д*)" = 0' <2-4-7>
78

где
c = const>0, Ах= 2 тт-
В математической биологии, как и в математической физике,
уравнение (2.4.7) принято называть n-мерным волновым
уравнением. При этом независимые переменные х\, х2, хп называют
пространственными, а переменную хо — временной. Временную
переменную, как правило, обозначают через /.
Дифференциальный оператор называется оператором
Лапласа по переменной х или переменным х\, х2, хп.
В случае, когда решение и=и(х, хо) не зависит от временной
переменной хо, уравнение (2.4.7) переходит в уравнение
Д*и = 0, (2.4.8)
которое известно как уравнение Лапласа.
Уравнение (2.4.7) является строго гиперболическим в
пространстве Rn+l точек (х, хо). Соответствующее ему
характеристическое уравнение имеет вид
Пусть у и z — произвольные фиксированные точки из Rn.
Непосредственным вычислением можно убедиться, что функции
вида
Ф = t—to ф= /—/о + ~-к—у\у ^o=const,
или
Ф = с/ + хг, |z|=l,
где xz = x\Z\-\-X2Z2-\-...-\-xnzn, \z\ = ^jz-z — скалярное
произведение и норма в Rny являются регулярными при хфу решениями
уравнения (2.4.9) в пространстве Rn+l точек (х, /). Конусы
c(t — t0)=\x—y\, />/о, (2.4.10)
c(t-t0)=—\x-y\, /</<> (2.4.11)
с вершиной в точке (у, /о), часто называемые будущими и
прошедшими световыми конусами соответственно, являются
характеристическими конусами волнового уравнения (2.4.7).
Семейство характеристических плоскостей
cf + *z= const, |z|=l (2.4.12)
образует семейство касательных плоскостей к
характеристическим конусам (2.4.10) и (2.4.11).
79

Так как образующие конуса (2.4.10) представляют собой
линии касания характеристик (2.4.10) и (2.4.12), то они
являются бихарактеристиками уравнения (2.4.7).
Очевидно, гиперплоскость ct + xy = const является
пространственно (временным образом) ориентированной по отношению
к волновому уравнению тогда и только тогда, когда \у\<с (\у\>с).
Уравнение Лапласа (2.4.8) не имеет характеристик, так как
п Я 2
из его характеристического уравнения 2 (^") = 0 следует, что
Ф= const, и, значит, V9=0.
Уравнение
и, = а2 Д,и+ /(*,/), (2.4.13)
где a = const>0, и— неизвестная функция точки x^Rn и
временной переменной /, называется уравнением теплопроводности.
Это уравнение является одним из основных не только в
математической физике, но и в математической биологии, в частности
в термодинамике биологических процессов.
Как легко установить, характеристиками неоднородного
уравнения теплопроводности (2.4.13) является семейство плоскостей
t= const.
2.4.4. Понятия симметрической гиперболической системы и ее
характеристического уравнения. Центральное место в
математической биологии, в особенности в математической биофизике,
занимают симметрические гиперболические системы в частных
производных первого порядка.
Рассмотрим линейную определенную систему уравнений в
частных производных первого порядка:
п
2 ai(x)uXj + b(x)u=f(x)y xe=Q, (2.4.14)
y=i
где коэффициенты а,(х) и Ь(х) — квадратные матрицы порядка р\
и=и(х) и f(x) — матрицы-столбцы, имеющие р компонент.
Система (2.4.14) называется симметрической
гиперболической системой в области Q, если матрицы а/(х) — симметрические
и в каждой точке x°^Q существует
пространственно-ориентированная гиперплоскость, т.е. гиперплоскость (х—х°)у= const,
п
нормаль которой обладает тем свойством, что матрица 2 У\а\
/-1
положительно определена.
В этом определении требование симметричности всех матриц
а/ иногда заменяют условием их симметризуемости одним и тем
же преобразованием подобия, другими словами — условием
существования невырожденной матрицы S размера пХп такой,
что матрицы S_Ia/S, /'= 1, 2, п — симметрические.
80

Характеристическое уравнение для системы (2.4.14) имеет вид
(2.4.15)
а2 =
det 2 а/(*)ф*/ = 0-
Из (2.4.14) в случае, когда п=р=2, 6=0, /=0, ai =
получаем систему
0 -1
-1 0
1 0
О 1
и =
ди\
dU2
дхг
дщ
dU2 (
6x2
дх\
(2.4.16)
Так как любая прямая (х — х)у = const, где г/== (r/i, г/г), у\>у\,
является пространственно-ориентированной для (2.4.16) и
матрицы ai, a2— симметрические, то система (2.4.16) есть пример
линейной симметрической гиперболической системы первого
порядка.
В силу (2.4.15) соответствующее характеристическое
уравнение имеет вид
det
0 -1
-1 0
=det
ф*.
"фх2
-ф*2
ф*.
= Ф?,—Ф?2=0.
Отсюда заключаем, что семейство прямых
*l+*2 = Cl, Х\—Х2 = С2,
где С\ и с2 — произвольные действительные числа, образует
характеристическое семейство (многообразие) системы (2.4.16).
Введем символический дифференциальный оператор
дг* 2\дx^ 1 дх2 )'
где z* = x\+jx2 — гиперкомплексная переменная, которая
отличается от комплексной переменной z = x\-\-ix2 тем, что мнимая
единица / со свойством i*i = i2=— 1 заменена гипермнимой
единицей со свойством /./=/2=1.
Как и в случае системы Коши—Римана (2.3.8), (2.3.9),
гиперболическую систему (2.4.16) можно записать в виде одного
уравнения
аш-=о,
dz*
или
шг. = 0, (2.4.17)
где w = w(z*) = U\(x\, х2) + ju2(xu х2) — неизвестная функция
гиперкомплексной переменной z*.
6 Заказ №1786 81

Если на обе части уравнения (2.4.17) подействовать опера-
д
тором
где
dz*
то получим уравнение
(2.4.18)
Wz*z* = -^prWz*.
Легко убедиться, что уравнение (2.4.18) есть
гиперкомплексная форма записи следующей системы дифференциальных урав-
ний второго порядка:
( Д^1 — 2и2,2„ = 0,
I Д*и2 — 2и\Х[Х2=0у
или в матричной форме
(2.4.19)
1 О
О 1
— 2
дх\дх2
где Д*— оператор Лапласа по переменной х = (х\, Х2).
Характеристическая форма для системы (2.4.19)
определяется так:
Q(x, g) = det( ||J
= det|
(£? + £§)-2
О 1
1
О 6162) =
1 О
1
I2
|-2£i62
Следовательно, характеристическое уравнение (относительно к)
-2Ы2
\1\2
2\2
(#-кУ = 0
имеет кратные корни. Поэтому система (2.4.19), будучи
гиперболической, не является строго гиперболической. Ее
характеристики х\ ztx2 = const, определяемые из дифференциального
уравнения (ф?, — ф?2) = 0, также являются кратными.
§ 2.5. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ КРИВЫЕ И ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ
НАПРАВЛЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ
ПРОИЗВОДНЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ДВУМЯ НЕЗАВИСИМЫМИ
ПЕРЕМЕННЫМИ
2.5.1. О каноническом виде уравнения второго порядка. Пусть
Ь=РА|"т|*, А,/=1,2,..., л, (2.5.1)
или в матричной форме £ = |3г) — такое неособое преобразование,
которое сводит характеристическую форму (2.2.3) в каждой
фиксированной точке хей к каноническому виду (2.2.5). Так как
82

Q(x, I) = а"(х)р*'т|*р"л1=а"р*'р «Л*Л/=«*е={-1, 0, 1},
то
В уравнении (2.4.5) произведем замену независимых
переменных х\, Х2, хп по формуле у=В'х, где В' — квадратная
матрица размера пХп, транспонированная матрице В=||р*'||,
ky/=1,2, а, т. е. совершим над этими переменными
преобразование
yk=$kiXiy k= Iу 2, tiy
союзное с преобразованием (2.5.1)
(2.5.2) и очевидных равенств
UXt=Uyk$kly UXlx,z
получим
a**W + 2 *'Р*Ч + ^ = /• (2.5.3)
Уравнение (2.5.3) называется каноническим видом
(канонической формой) уравнения (2.4.5) в точке
Возникает вопрос: нельзя ли найти такое невырожденное
преобразование независимых переменных, которое привело бы
уравнение (2.4.5) к каноническому виду не в отдельной точке,
а хотя бы в некоторой, пусть даже достаточно малой
окрестности произвольным образом фиксированной точки x^Q? Ответ
на этот вопрос известен только для случая, когда п = 2.
2.5.2. Характеристики и характеристические направления
уравнения второго порядка с двумя независимыми переменными.
Уравнение (2.4.5) в случае, когда п = 2, х\=ху х2 = у,
представляет собой линейное дифференциальное уравнение второго
порядка с двумя независимыми переменными ху уу и его можно
записать в виде
A(z)uxx + 2B(z)uxy + C{z)uyy + a{z)ux + b(z)uy + c(z)u = f(z),
(2.5.4)
где А, В, C, a, by с и f — действительные функции точки z =
= (*, y)<^R2.
Уравнение (2.5.4) эллиптично, гиперболично или параболично
в точке zgQ (в области Q) тогда и только тогда, когда в этой
точке (во всех точках области Q) дискриминант В2 —АС
квадратичной формы
Q(z, с) = A(z)l2 + 2B(z)t4 + C(z)л2,
где S = (£, т])е/?2, меньше нуля, больше нуля или равен нулю
. В результате на основании
6*
83

соответственно. При этом предполагается, что в точке г, для
которой A2{z) + B2{z) + C2(z)=£0, кривая
S:cp(2) = const, (2.5.5)
где ф(г) = ф(х, у)— регулярное в области Q решение уравнения
Q(z, Уф) = Л(г)ф? + 2В(2)ф,ф^ + С(2)ф2=0, (2.5.6)
обладающее тем свойством, что \7ц>ф0 является
характеристикой уравнения (2.5.4).
Характеристики весьма важного в газовой динамике
уравнения
yuxx + uyy=0,
известного как уравнение Трикоми, имеют вид
x + f(-y)3/2=cu x-f(-yf'2 = c2,
где С\ и с2 — произвольные действительные числа.
Пусть v = (jtv, yv) — единичная нормаль к характеристике
(2.5.5). Так как
Xv=q>x/\Vq>\, yv=q>y/Wq)\, VzeS,
где |Уф|2 = ф? + ф^, то из (2.5.6) следует, что
Q(z,v) = 0, VzeS.
Следовательно, вектор v в точке 2GS задает
характеристическое направление.
Если на характеристике (2.5.5) ф^^О, то в силу равенства
ф*+ф4г=0' v2ges
характеристическое уравнение (2.5.6) можно переписать в виде
обыкновенного дифференциального уравнения
А(Чit) -2В(2)-нг+с^=°- (25J)
Уравнение (2.5.7) является линейным тогда и только тогда,
когда A(z) = 0.
§2.6. ХАРАКТЕРИСТИКА ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ КАК ПОВЕРХНОСТИ СЛАБОГО РАЗРЫВА
И ФРОНТ ВОЛНЫ
2.6.1. Понятие поверхности слабого разрыва. Рассмотрим
уравнение (2.4.5) в односвязной области Q. Пусть
S:9(*) = 0, уф)фО (2.6.1)
84

— поверхность класса С2, которая разделяет Q на две
подобласти Q+ и Q~.
Функцию
и(х)= _ (' v ' 2.6.2
[и (л;), \/x^Q
из класса Cl(Q) назовем решением уравнения (2.4.5) в области
£2, если она является регулярным решением всюду в Й, за
исключением поверхности S.
Обозначим через / единичную нормаль к поверхности 5. Легко
видеть (см. п. 1.4.2), что
/= (cos(/, cos(/, х2), cos(/, *„))==-^3L.
Производная порядка k от функции и(х) в точке %eS по
нормали /, если она существует, вычисляется по формуле
где
а! = а, !а2!...ал!, (Vф)а=(ф„)а|(ф*,Г...(ф*.Г-
Говорят, что решение (2.6.2) уравнения (2.4.5) имеет на S
слабый разрыв (или S является поверхностью слабого разрыва),
если при переходе через эту поверхность его вторая производная
по направлению / имеет разрыв первого рода, а остальные
производные второго порядка по касательным к S направлениям
непрерывны.
2.6.2. Теорема о слабых разрывах. Эта теорема
формулируется так: если существует хотя бы одно решение (2.6.2)
уравнения (2.4.5), имеющее слабый разрыв на поверхности S, то S
является характеристикой этого уравнения.
Действительно, пусть х — произвольная точка на S. Так как
Уф^О и D/ф, /==1, 2, п непрерывны, то существует такой
индекс k и принадлежащий области Q шар
Q0 = {x: \х—х\<г},
что
Окц)(х)ф0, \/x€=Q0. (2.6.3)
Не нарушая общности, можно положить k = n.
Перепишем уравнение (2.4.5) в виде
Lu = alluXlX, + 2ainuXlXn + аппиХпХя + Ь!их, + bnuXn + cu = ft
/,/=1,2, x<=Qo\S (2.6.4)
и преобразуем независимые переменные по формуле
yi = Xi, Уп = у(х), i= 1, 2, /г — 1.
85

Якобиан этого преобразования (см. п. 1.4.2), очевидно, равен
Dnq>{x) и в силу (2.6.3) отличен от нуля для всех jteQo-
Принимая во внимание равенства
uXt = иу, + uy„q>Xli иХя = иУя ф,„,
UxnXn = иУяУя ф2„ — иУп q>XnXni
UXiX, = Uyiy, + Uy,yn фХ/ + Uyny, фХ| + Uyny„ ф„ ф*, + ф,„*„,
uXnXj = Uynynq>Xn -j- Uynynq>XjXn -f- Uyn(pXnXj,
из (2.6.4) получаем
My.) + Q(*> V q>) + + bluy, + cu = f, (2.6.5)
где
P(*, uyn) = [ a*'( фх/ JL + фХ| - A.) + 2a'V. ^7 + ^Ф] -
= [ 2ayXj^+2ain4>x^ + L4>] и*.
Согласно условию теоремы, имеем
\\т{и$пУп — иупУп)фО, Vze=So=QonS.
x-**z
С другой стороны, из (2.6.5) заключаем
lim Q(jc, \7ф)(4«/."-^~!/л) = 0. Vz^So.
Но это возможно тогда и только тогда, когда lim Q(jc, Уф) =
= Q(z, Уф(г)) = 0. Отсюда в силу произвольности а значит, и
z получаем
Q(x, Vq>) = 0, \/x<=S, (2.6.6)
что и требовалось доказать.
Таким образом, поверхностью слабого разрыва может быть
только характеристическая поверхность.
2.6.3. Задача Коши и связь между начальными данными на
характеристике. Задачей Коши для уравнения (2.4.5) принято
называть задачу отыскания такого его решения и(х) с одной
стороны от поверхности (2.6.1), которое принимает заданные
значения на S вместе со своей первой производной, взятой по
некасательному к S направлению, другими словами — задачу
отыскания решения и(х) уравнения (2.4.5), удовлетворяющего на
поверхности S условию Коши:
и\5 = Чх), -g-|s = Tl(*), (2.6.7)
где то(х) и т\(х) — заданные функции, / — заданное направление,
причем 1\7у(х)Ф0 для всех x^S.
86

Функции to(jc) и ti(jc) называются начальными данными (или
данными Коши), а поверхность S — носителем данных Коши,
начальной поверхностью или начальным многообразием.
Если начальное многообразие S является
характеристическим, то задачу Коши принято называть характеристической
задачей Коши.
В случае, когда начальная поверхность является
несвободной, т. е. характеристической, начальные данные не могут быть
заданы произвольным (свободным) образом. Они должны
удовлетворять определенным условиям, которые диктуются
дифференциальным уравнением.
Действительно, обозначим через т(у') и v(#'), где у' = (уи
у2> уп-\), — следы и и иУп на гиперплоскости уп = 0 евклидова
пространства Rn точек у = (у\> у2, •••> Уп)> т.е. положим
и\Уп=0 = т(у')у -j^\y_=^yf)> Уп = Ф).
Тогда из (2.6.5) и (2.6.6) заключаем, что на характеристике So
функции т(у') и v(y') связаны уравнением
Р(ху v) + аитУ!У1 + Ыту, + CT=f> x<=S0.
2.6.4. Понятие фронта волны слабого разрыва. Выделенную
независимую переменную хп отождествим с временной
переменной t и предположим, что поверхность (2.6.1) задана формулой
S:t=$(x')f x' = (xi,X2,...,xH-i). (2.6.8)
Проекцию сечения поверхности S гиперплоскостью t = const
на пространство Rn~l назовем фронтом волны слабого разрыва
решения уравнения (2.6.4). Обозначим этот (движущийся со
временем) фронт через St.
Пусть / — направление вектора \7ф в некоторой точке х\
лежащей на St. Фронт волны St+м в момент времени / + Д/
пересечет это направление нормали в некоторой точке х\ отстоящей
от точки х' на расстояние А/.
Предел v отношения Д//Д/ при At->0 принято называть
скоростью (или величиной вектора скорости v) перемещения
фронта волны. Так как
то скорость v движения фронта волны слабого разрыва и вектор
скорости v определяются формулами
v = v = v——
iv+г iv+г
87

Предположим теперь, что поверхность St'J = \p(x) является
фронтом волны слабого разрыва для я-мерного волнового
уравнения
utt = c2Axu. (2.6.9)
Тогда из характеристического уравнения (2.4.9) имеем
l = c2|V<pl2.
Следовательно, в этом случае фронт волны перемещается со
скоростью v = с.
Уравнение (2.6.9) при п = 3 известно как уравнение акустики
и описывает распространение звука в однородной среде.
Дифференциальный оператор
часто называют оператором Даламбера.
§2.7. ОПРЕДЕЛЕНИЯ НАГРУЖЕННЫХ УРАВНЕНИЙ
И ИХ СВЯЗЬ С НЕЛОКАЛЬНЫМИ ОПЕРАТОРАМИ
2.7.1. Понятие нагруженного уравнения. Заданное в я-мерной
области Q евклидова пространства точек х=(х\, х2у хп)
(матричное или скалярное) уравнение
Au(x) = f(x) (2.7.1)
называется нагруженным, если оно содержит след некоторых
операций от искомого решения и(х) на принадлежащих
замыканию Q многообразиях размерности <я.
Пусть:
1) Q = {x:xi>0, V*= 1,2,
2) а= \\aij\\ (/= 1, 2, m, / = J_, 2, п) — матрица размера
пгХп с элементами a// = at/(jc)eC(fll);
3) ||t/y|| — матрица-столбец с элементами
t/i = t/(0, Х\, Хп), t/2= t/(*i, О, Х2, Хп), ...,//„= Z/(*l, *2, Хп-1, 0),
где //(#) = u(xi, x2t хп)—любая скалярная функция из класса
C(Q)r)C2(Q);
4) b(x)y f(x) — заданные в области Q действительные функции;
5) Ах — оператор Лапласа с областью определения
D(Ax)=C2(Q)nC(Q).
Тогда система уравнений (относительно и)
а\\щ\\ = Ь{х)у Axii(x) = f(x)9 xeQ (2.7.2)
представляет собой пример нагруженного уравнения.
88

Нагруженным (матричным) уравнением является и
следующая, заданная в этой же области Я система:
Дхи(*) «/(*),
апф:,, 0, 0) + а,2и(0, х2у 0, 0) + ...+а\пи(0,О,*„)=&,(*);
а2\и(хи О, 0) + а22ы(0, х2уО,0) +...+а2пи{0) О,О, хп)=Ь2(х)\
am\u(xiyOf ...,0) + ат2и(0,х2,0,0)+...+атпи(Оу 0, О,х„)=6т(*).
(2.7.3)
Ряд задач максимизации или минимизации параметров
биологической системы, например задача максимизации общей
биомассы рыбной популяции, состоящей из я-видов, сводится к
отысканию максимуму или минимума решения и(х) системы вида
(2.7.3) в замыкании Я области ее задания Я.
Эта задача в случае, когда f(x) = 0y ац(х)у Ь-,(х) не зависят
от х и в качестве решения нагруженной системы (2.7.3) взята
линейная функция
Ф0 = 2 CiXiy (2.7Л)
сводится к следующей задаче линейного программирования:
найти максимум или минимум функции (2.7.4), называемой
целевой, при условиях
п
2 aijXj=biy /= 1, 2, /л,
Xj^zO, V/= 1, 2,я,
где Aij = aijCjy hi и c\ — известные действительные числа.
Уравнение (2.7.1) назовем нелокальным относительно
множества операций (см. п. 1.6.2), если оператор А является
нелокальным относительно \х.
К нелокальным относительно множества операций
дифференцирования уравнениям относятся дифференциальные уравнения
со сдвигом или с отклоняющимися аргументами, т. е. такие
уравнения, в которые неизвестная функция и ее производные входят,
вообще говоря, при различных значениях аргумента.
Уравнение
j^r==f(xy у\у у2у ymy 2i, Z2y Zm)y
где и = и(х) — искомая функция точки x^Ry
yi = ^^r=yi[x], Zi = yi[x — Qi(x)]y ym=uy
Qi(x) — действительная неотрицательная функция, f —
действительная функция точек ху yiy z,-e/?, /=1,2, m, представляет
89

собой обыкновенное дифференциальное уравнение /л-го порядка
с отклоняющимися аргументами.
2.7.2. Понятие нагруженных дифференциальных уравнений и
их классификация. Нагруженное уравнение (2.7.1) назовем
нагруженным дифференциальным уравнением в области йе/?",
если оно содержит хотя бы одну производную от искомого
решения и(х) на принадлежащих Q многообразиях ненулевой меры.
Пусть QT = {(jt, t):x^Qy 0</<т} — область евклидова
пространства Rn~*~1 точек (ху /), содержащая в своем замыкании
точку (0, 0).
Уравнения
с2Ахи(ху t) = -jJ\ и(ху t)dxy (2.7.5)
c2Axu(xy /) = i!^!l+ j a\xy t) *>,
dt /=1 дх, (2Л&)
где c= const;>0, £=1, 2, Ах=Ах\Ах2..Лхп — элемент объема,
aj(xy t)^ C(QT)y являются примерами нагруженных
дифференциальных уравнений в области Qx.
Приведем еще один пример нагруженного дифференциального
уравнения:
з
-~-2 yi^^+uix, у)=Л- 5 9(*, </, Б)и(х. »d6+/(*, </).
ад /==1 dXj 4л lfefs— i (2.7.7)
Оно известно как стационарное односкоростное уравнение пере-
носа. Здесь и(ху у) — неизвестная функция, которая
интерпретируется как плотность частиц (или микробов), летящих
(совершающих движение) в направлении у = (уи у2у #з)^/?3, \у\=\у
из точки хе/?3; а{х) — заданная в области QaR
положительная ограниченная функция, характеризующая поглощение среды;
X — спектральный параметр; Q(xy уу £) и /(*, у) — заданные
функции.
Рассмотрим нелокальное уравнение вида (см. п. 3.3.1):
2 aa(u)D«u + N(u) = f(x)y m=l,2,..., (2.7.8)
|a|<m
в области QaRn. Предположим, что операторы аа и N
нелокальны относительно множества операций частного
дифференцирования и обладают тем свойством, что выражения ааи и N(u)
не содержат производных от и порядка >т-—\.
Классификацию (матричного) нелокального уравнения (2.7.8)
разумно производить, как и в случае дифференциальных
уравнений, по характеру формы
Q(*,6)=det 2 аа(и)Г.
|a| = m
90

Поэтому уравнение (2.7.5) при 6=1 представляет собой
пример нагруженного дифференциального уравнения
параболического типа, а уравнение (2.7.6) — пример нагруженного
уравнения гиперболического типа.
Другим примером нагруженного уравнения параболического
типа является нелинейное уравнение
-|~=[ к\ и(ху t)dx] Д,и,
где и = и(ху /), (х, /)ейт, а к и т — положительные числа.
Если Q — содержащая начало координат область на
плоскости R2 комплексного переменного z = x\-\-ix2, то уравнение вида
-^r + a(z)w + b(z)w + c(z)w(Rez) + d(z)w(lmz) + A(z)w (Rez) +
dz
+ B(z)w(lmz)+i A}(z)w(z})+i Bi(z)w(zi) = f(z)9 (2.7.9)
/=i /=i
где д/dz — оператор Коши—Римана, образует широкий класс
нагруженных эллиптических систем двух уравнений с двумя
неизвестными функциями ui = Rew и U2=lmw [см. формулу
(2.3.10)].
Заслуживает внимания и уравнение
т
Ахи(х)= 2 ЧФ(^-)> \x\<R, (2.7.10)
где h{x) — заданные в замкнутом шаре Ul^/? функции, л —
заданные неотрицательные числа, О^г,- которое является
нагруженным уравнением эллиптического типа.
Многие явления в биологических системах существенно
зависят от предыстории этой системы, т. е. являются эредитарными
(по терминологии Вольтерра). Эти явления, как правило,
описываются нагруженными дифференциальными уравнениями,
например уравнениями следующих видов:
а\х, t)u„,(x, /) + j Ь\х, l)uXtXl(x, t)6i = f(x, t), (2.7.11)
о
a'i(x,f)Ui>0, V(*.0«sQx, l^Rn;
°^г-а'\х, t)uXlXl(x, t) + \ Ь'Цх, Z)uXlX,(x, £)d| = f(*, 0. *= 1. 2;
*" 0 (2.7.12)
a%x, t)ux,x{x, t)—+ $ b(t, 1)Щ^-<Ц = Пх, t), k= 1, 2.;
dt о d$ (2.7.13)
где под повторяющимися индексами i, j подразумевается
суммирование от 1 до п.
91

Частными случаями уравнений (2.7.11), (2.7.12) и (2.7.13)
являются уравнения
t з
&xu(x,t) + ] 2 *(x,6)-2!*&&d£ = 0,
О i=l OXl
и i 0 /=1 OXi
J^JL=Axu(x, t) + i b(ty DlOfiSLdl-O,
x = (x\, x2y хз), которые Вольтерра назвал интегродифференциаль-
ными уравнениями эллиптического, гиперболического и
параболического типов соответственно.
2.7.3. Нагруженные интегральные уравнения и их
классификация. Пусть:
1) Q — область из Rn;
2) F(xy и, v) — скалярная функция точки хеЙ и
действительных переменных и и vy которая зависит от v\
3) k(xy уу z) — зависящая от z скалярная функция точек
(/ей и действительной переменной z.
Уравнение
F(xy и(х)у\ k(xy уу u(y))dy) = Oy (2.7.14)
где dy=dyidy2...dyn, называется интегральным уравнением
относительно функции и(х) точки хей.
Уравнение (2.7.14) называется линейным, если функция
F(xy иу v) линейна относительно переменных и и v.
Линейное интегральное уравнение
ф)и(х)+\ k(x, y)u(y)dy = f(x)y (2.7.15)
следуя Пикару, будем называть интегральным уравнением
третьего рода.
Уравнение (2.7.15) называется интегральным уравнением
первого или второго _рода в зависимости от того, (о(х)^=0 или
со(х)Ф0 для всех xeQ.
Пусть п= 1, Q = {x:a<Cx<Cb} — интервал числовой прямой R.
Линейным одномерным нагруженным интегральным
уравнением третьего рода принято называть уравнение вида
ф)и(х)-Х) k{xy y)u(y)dy+ 2 UxM*') = f(x)> (2-7-16)
а /=1
где о)(х), Xj(x)y f(x) — действительные функции действительной
92

переменной х^[ау b]y А. — параметр из /?, k(xy у)— функция
точки (х, r/)e[a, 6]Х[а, Ь]у х'е[а, 6] для всех / = 1, 2, т^оо.
Если существует хотя бы одна точка хо^[ау 6] такая, что
G)(jto) = 0, то уравнение (2.7.16) называется нагруженным
интегральным уравнением третьего рода.
Уравнение (2.7.16) назовем нагруженным интегральным
уравнением первого или второго рода в зависимости, от того, (о(х) = 0
или со(х)Ф0 для всех хЕ[а, Ь].
Линейным одномерным нагруженным интегральным
уравнением Вольтерра называется уравнение вида
ф)и(х) -\\ k(xy у)и(у) dy+% lf(x)u(x) = f(x)y (2.7.17)
Хо /= 1
где Хо — фиксированная точка из [а, Ь].
Уравнение (2.7.17) в случае, когда Xj(x) = 0 для всех /,
известно как интегральное уравнение Вольтерра; оно
классифицируется по родам, как и (2.7.16).
Важным примером интегральных уравнений является
уравнение
оо
u(t) = \ u(t—x)v{x)y{x)dxy (2.7.18)
о
которое известно в демографии как интегральное уравнение
воспроизводства населения.
В уравнении (2.7.18) функция u(t) означает плотность
рождений во времени /, v(x) — функция дожития, равная
вероятности дожития до возраста ху <р(х) — функция плодовитости, т. е.
плотность повозрастного распределения рождений у женщин.
Уравнение
[tSf^+1, Ч*)иН=№.
где ae]0, 1 [, представляет собой простой, но вместе с тем
интересный пример нагруженного интегрального уравнения
Вольтерра первого рода. Это уравнение в случае, когда Xj(x) = 0 для
всех /=1, 2, т, называется уравнением Абеля.
Пусть теперь п = 2 и Q — некоторая область на евклидовой
плоскоста /?2; а/, /=1, 2, — кусочно-гладкие линии,
принадлежащие Q. Линейным двумерным нагруженным интегральным
уравнением третьего рода назовем уравнение вида
ф)и(х) —1\ k(xy y)u(y)dy + 2 5 y)u(y)doiy +
+ 2 a}{x)u\x) = f{x)y
93

где Ao!y — элемент длины кривой а1 в точке у^о1\ (о(лг), а/(лг),
f(x) — действительные функции точки xeQ; kj(x, у) —
действительные функции точки хей и y^Oj'> k(x> у) — функция точек х,
i/eQ; и!(х) — след искомого решения и(х) на многообразиях Sy
размерности /лу<Ся = 2;
Интуитивно ясно, как ввести понятие нагруженного
(линейного и нелинейного) я-мерного интегрального уравнения.
Уравнение
а>(х)и(х) — к\ k(xy y)u(y)dy — k\ k\(x, у)и(у)&Оу —
т
— X 2 вК*М*0 = /(*). (2.7.19)
где о — граница области Qt doy — элемент поверхности оу, х\
/= 1, 2, т — фиксированные точки из Я, назовем уравнением
Лихтенштейна. Легко видеть, что уравнение (2.7.19) является
примером я-мерного нагруженного интегрального уравнения
третьего рода.
В прямоугольной области
Q = {x = (xux2):0<:xj<:ah /=1,2}
евклидовой плоскости R2 рассмотрим систему двух уравнений
с двумя неизвестными действительными функциями и\(х) =
= и\(хих2), и2(х) = и2(хи х2):
(D%Xlu\(tu x2) — DoX2u2(xu l2) = au(x)ui(x) + ai2u2(x) + fi(x)t
(2.7.20)
\D^X2u\(xiy b) + DoXiU2(b> x2) = a2i(x)u\(X)+a22(x)u2(x)-\-f2(x)y
где Dox, — оператор дробного в смысле Летникова
дифференцирования порядка аЕ/? (см. п. 1.5.3).
Системы вида (2.7.20) часто встречаются в математической
биологии. При а<0 эта система представляет собой
нагруженную систему интегральных уравнений.
2.7.4. Понятие интегродифференциального уравнения. Пусть:
1) Q — область из /?п;
2) уа — действительная функция мультииндекса а с областью
определения D(ya) = {а: 0<;|аКр};
3) F(xy yot (/а, v) — действительная функция точки x^Q
и действительных переменных у0, */а, а, которая зависит
от v\
4) Zp— действительная функция мультииндекса р с областью
определения D(zp) == {р : 0<|р|< q\\
5) k(x, g, (/о, Уа, .... z0, zp, ...,) — действительная функция
точек х, и действительных переменных (/о, Уа, Zo,
Zp, обладающая тем свойством, что она зависит хотя бы от
одной из переменных Zo, Zp, ...
94

Уравнение
где
У0=и(х), ya=DaUy Zo=u(t), Zp=DP£*(£),
v = \ k(xy g, y0j ya, 2o, zp, ...)d£, p2+^2^=0,
принято называть интегродифференциальным уравнением.
Интегродифференциальные (скалярные и матричные)
уравнения имеют интересные применения в математической биологии.
В частности, в основе теории флуктуации (колебаний) совместно
живущих особей двух видов лежит следующая система двух
интегродифференциальных уравнений с двумя неизвестными
действительными функциями u=u(t), v=v(t) временной переменной
/^то: t
-ifL={ гх-yiv- J Ai(/-T)iKT)dx} и,
/
-^у-=| — г2+у2и + \ k2(t—T)w(x)dxJ v.
Явления переноса субстанции в живых системах часто
описываются уравнением вида
ди(£ °=[ h\ и(х, t)dxdt] МАхи{ху /),
где, как и ранее, m, A,= const>0, QT=QX]0, т[, которое
является примером интегродифференциального уравнения в частных
производных второго порядка.
По аналогии можно ввести понятия
дифференциально-функциональных и интегрофункциональных уравнений и систем. Не
останавливаясь на строгом определении этих понятий, заметим,
что уравнение
^-f- a(z)w(Q\(z)) + b(z)w(Q2(z)) = 0, zgQ,
dz
где w=w(z)t как и в (2.7.9), — искомая в области QczR2
функция комплексного переменного z, Qi(z) и 62(2) — заданные
гомеоморфизмы области Й на область шей, есть пример
дифференциально-функционального уравнения эллиптического типа,
который может стать объектом самостоятельного исследования.
2.7.5. Понятие нагруженного функционального уравнения.
Пусть:
1) F(x, уо, у\у уи Zo, 21, •••> 2/, •••) — действительная функция
точек х множества QczRn и действительных переменных (/о, f/i,
95

уи ..; Zo, 21, 2/, которая зависит хотя бы от одной из
переменных 2/, / = 0, 1,
2) 0| = (0/(х), 0,2(х), 0?(х)) — отображение множества Q
на множество QiCQ, /=1,2,
3) и(х) — действительная функция точек xczQ;
4) \ij — принадлежащие множеству Q многообразия
размерности /<я, /=0, 1, ...
Уравнение
F(x, Уо, уи -> Уи 20, 21, 2,, ...) = 0,
где
yo=u(x)t t/, = wo9,, yi=uoQi, ...
называется нагруженным функциональным уравнением
относительно функции и(х).
Интуитивно ясно, как вводится понятие нагруженной системы
функциональных уравнений.
Простейшие нагруженные функциональные уравнения
возникают при отыскании приближенного решения и(х) интегрального
уравнения второго рода
и(х) + \ k(xy y)u(y)dy=f(x)
я
методом конечных сумм, когда полагают.
\ k(x, y)u(y)dy&$j(x)u(xi),
Я
где xj (/= 1, 2, N) — узлы квадратурной или кубатурной
формулы, и под повторяющимся индексом / подразумевается
суммирование от 1 до N. В результате для искомого приближенного
решения и(х) получают уравнение
u(x) + fr(x)u(xi) = f(x),
которое, очевидно, является частным случаем более общего
нагруженного функционального уравнения
и(х) + G(x)uoQ(x) + ШФ1) = /(*)>
где G(x), P/(jc) и f{x) — заданные в Q функции; 9(х) —
отображение замыканий Q множества Q на компакт wczQ.
2.7.6. Разностные уравнения и их классификация.
Функциональное уравнение, содержащее конечные разности искомой
функции, принято называть разностным уравнением (или
уравнением в конечных разностях).
Пусть:
96

1) v(y) — скалярная функция с областью определения
D(v)aRny
2) х и Л — фиксированные точки из Rn такие, что ха =
= x-\-ah^D(v) для любого мультииндекса a=(ai, a2,
Оп)бО(«);
3) и(а) = v(xa) — функция мультииндекса a^D(u).
Разностное уравнение, связывающее значения и(а)> аеО(м)
функции v(y)y называется многомерным разностным уравнением
(или уравнением с частными разностями), если п> 1, и
обыкновенным разностным уравнением, если п=\.
Порядок уравнения с частными разностями определяется как
наибольшая разность между значениями ai, значениями а2,
значениями а,,, встречающимися в этом уравнении.
Линейное обыкновенное разностное уравнение порядка т, по
определению, имеет вид
a0(k)uk+m + a\(k)uk+m-\ + ... + am(k)uk = f(k),
где ai(k) и f(k) — функции целочисленного аргумента 6 = 0,
±1, ±2, щ\ = u(i) = v(x + iti) — искомая функция индекса
/=0, ±1, ±2, а0(6)=^=0.
Уравнение
F(k, uk, Аик, A2uky Amuk) = 0y (2.7.21)
где F (6, (/о, у\у ym) — заданная действительная функция
целочисленного аргумента 6 и точки ((/о, у\9 ym)^Rm+\
AlUk — конечная правая разность m-го порядка скалярной
функции и(х) в точке Xk = х + 6Л (см. п. 1.5.2), является
обыкновенным разностным уравнением порядка т, если F зависит от
действительной переменной ут.
Пусть
Aluk=2(-\y(\)uk+p-iy Р= 1, 2, ...-
конечно-разностное отношение порядка £^С; /^(б, и*, ы^6)) —
комплексная функция, которая зависит хотя бы от одного из
всевозможных значений функций и№ = AlUk, где £ меняется на
некотором непустом множестве со с: С.
Уравнение
F6(ft, uky Aluk) = 0y (2.7.22)
будем называть разностным уравнением дробного порядка, если
со с:/?, и комплексного порядка, если wefi2.
Легко видеть, что уравнение (2.7.22) является существенным
обобщением уравнения (2.7.21).
Рассмотрим уравнение с частными разностями вида
F(xy и, Dgtt, DJJi/, ...) = 0, h<=R\ (2.7.23)
7 Заказ № 1786
97

где F(x, уо, f/p, уа, ...) —действительная функция точки
xgQ и действительных переменных у0=и, ya^R(ya)\ Dlu—
конечная (правая, левая или центральная) разность порядка
|а| = oti + а2 + • + «п. которая при /г-+0 стремится к
производной Dau порядка |а| от функции и = и(х).
Классификацию многомерных разностных уравнений вида
(2.7.23) по типам разумно проводить точно так же, как и
соответствующие им дифференциальные уравнения с частными
производными вида (2.1.3).
Например, пусть п = 2, h = (А|, h2)y х = (хи х2), Q = /?2,
и(х) = и(хи х2)у uitj = u(ihu /А2), *\ / = 0, ± 1, ±2, ... Тогда
уравнение
х2
Uj+iti — 2ц,-,у + ц<)/+1 — 2a,-,/ Н- 1 ~
* 9 I . О ^
Л? ' /г?
(2.7.24)
в области Й является двумерным разностным уравнением
смешанного типа. Оно эллиптично при х2>0, гиперболично при
^2<С0 и параболично на прямой х2 = 0.
Уравнение (2.7.24) аппроксимирует уравнение Трикоми
где
x2D\u + = 0,
D\u = lim-"(*1 + hu ^ "~ 2"(^ + Л'* ^
— частные производные Римана по х\ и х2 от функции и в точке х.
Другим важным примером уравнения с частными разностями
эллиптического типа является уравнение
где и(х) — искомая функция точки x^Rn,
W = (hu0, ...,0), Л2 = (0,А2,0, ...,0),...
...,й" = (0, 0, 0, A„), X = const е=Я.
Существенным обобщением как обыкновенных, так и
многомерных разностных уравнений можно назвать нагруженные
разностные уравнения. Такие уравнения, в частности, возникают,
если в нагруженном дифференциальном уравнении заменить
производные соответствующими разностными отношениями.
98

Рассмотрим в качестве примера линейное нагруженное
дифференциальное уравнение параболического типа
-g. = a2 -g- + ib>(x, t)u(xh t), (2.7.25)
где a = const>0, b\x, t) — действительная функция точки jce/}
и времени t^O; и=и(х, t) — искомая функция точки ^еЛи
времени t^O. Если в (2.7.25) вместо ut и ихх подставить
соответственно центральные разностные отношения
и(х, / + т) — и(х, t — т) u{x + ht t) — 2ц(* /) + u(x—ht t)
2т » /? »
где т, h^R, то мы получим нагруженное разностное уравнение
параболического типа.
§ 2.8. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И КЛАССИФИКАЦИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
2.8.1. Определение обыкновенного непрерывного
дифференциального уравнения по Вольтерра. Пусть:
1) Dlx — оператор дробного в смысле Римана—Лиувилля
дифференцирования порядка £^[а, р] с началом в точке
ае[Л, В];
2) С1 — множество всех действительных функций и(х)^
^L[A, В], имеющих в каждой, отличной от а точке х^.[А9 В]
дробную производную любого порядка £^[а, р];
3) Fi[u*l)(x)\ х]—функционал с областью определения
D(Ft)= Cl9 который зависит от параметра хе]Л, В[ и всех
значений функций и\х) = D\xu в точках £е[а, Р].
Уравнение вида
Fi[Dlxu\x] = 09 а<£<р, (2.8.1)
следуя Вольтерра, назовем обыкновенным непрерывным
дифференциальным уравнением с неизвестной функцией и = и(х).
В соответствии с этим определением уравнение
J atWDlcuWdt + f bi(x)Daalxu(t) = f(x)9 (2.8.2)
a i = 0
где 0 ^ p ^ oo, at ^ p, a^(x) — действительная
(интегрируемая по £) функция точки (£, x)e[a, р]Х[Л, В], которая отлична
от нуля на непустом открытом множестве ща,м cz[a, р] X [Л, В],
является обыкновенным непрерывным дифференциальным
уравнением порядка р.
2.8.2. Понятие континуального дифференциального
уравнения. Пусть теперь D\x u(t) означает междупредельную производ-
7*
99

ную комплексного порядка от функции u(t)y взятой в
пределах от а до х(см. п. 1.5.3):
Dlu(t)= lim-L-S (—1)Y|)"(jc —Л6Я),
6* = | iz£) 6* >0 при | = f.
Естественно назвать непрерывным (или континуальным)
дифференциальным уравнением любое уравнение относительно
неизвестной функции и(х)у обладающее тем свойством, что
множество всех входящих в него производных D\xu{t) содержит
континуум Пеано.
Как и в п. 2.8.1, через Fi[uil)(x)\ х] обозначим функционал,
который зависит от параметра х^]Ау В[ и всех значений
функций u{l\x) = Dlxu(t)y где комплексная переменная £ меняется на
множестве со комплексной плоскости С, содержащем связное
компактное множество. Широкий класс континуальных
дифференциальных уравнений образуют уравнения вида
F£Dtxu(t);x] = 09 6есо. (2.8.3)
Простейшими частными случаями (2.8.3) являются
следующие континуальные дифференциальные уравнения:
J D\xu{№l=4{x),
5 DL"(0d£ = <P(*)>
ш= 1
D\xu{tm + 2 Чх)и(х<) = f(x),
a i= 1
где о—разомкнутая кусочно-гладкая кривая на комплексной
плоскости, х' — точки из R.
Оператор А$ будем называть континуумальным
дифференциальным оператором, если уравнение А$и = f(x) относительно
и= и(х) есть континуумальное дифференциальное уравнение.
Рассмотрим уравнение
F%(xy иу Dlu) = О, I €= со, *€=]Л, £[, (2.8.4)
где Fi(xy у, z)y z = z(l) — комплексная' функция точки (ху у) е/?2
и комплексной переменной г, которая зависит хотя бы от одного
из всевозможных значений функций z(Qy определенной на
непустом множестве coczC.
100

Уравнение (2.8.4) назовем между предельным дискретным
дифференциальным уравнением (или просто дифференциальным
уравнением дробного порядка), если множество со является
счетным, т. е. либо конечным, либо счетно бесконечным. По
определению, множество о) счетно-бесконечно тогда и только тогда,
когда можно установить мономорфизм между его элементами и
элементами множества всех неотрицательных целых чисел.
Линейные дифференциальные уравнения дробного (вообще
говоря, комплексного) порядка можно записать в виде
2 ai{x)DZxu{t) = f(x), х€=]А9 В[, оце=С. (2.8.5)
Важным примером линейных дифференциальных уравнений
дробного порядка аЕ]-1, 1[ является уравнение Абеля:
D«,i/(0 = Д*). 1о1<1- (2.8.6)
Если аьФОу 1, 2, ... для всех /=0, 1, 2, ... и решение u(t)
уравнения (2.8.5) имеется в классе функций
L[A, B]f]6a]+l((0b)t a=maxab
то уравнение (2.8.5) в силу теоремы 1.5.2 можно переписать
в виде
2 bf(x)Wxu(t) = /(*), (2.8.7)
/ = о
где Нах — оператор Адамара,
W -'""^;7а) «Хх), /- 0.1.2,...
В соответствии с этим уравнение (2.8.5) или (2.8.7) можно
назвать и гиперсингулярным интегральным уравнением
Вольтерра.
2.8.3. Понятие дифференциального уравнения в частных
производных дробного порядка. Понятие междупредельной
производной распространяется на функции многих переменных.
Пусть и(х) = и(х\, Х2, xi, хп) —действительная функция
точки x^Rn с областью определения D(u).
Междупредельная производная от функции и(х) порядка
(Zi^R по переменной взятой в пределах от а, до Xi, когда все
остальные п—1 переменные зафиксированы, называется
междупредельной частной производной порядка ац от функции и(х)
по Xi, взятой в пределах от at до xt.
Зная определение частной производной дробного порядка,
легко ввести понятие как дискретного, так и континуального
уравнения с частными производными. Примером таких уравнений
101

является система (2.7.20), которую можно назвать обобщенной
системой Коши — Римана дробного порядка а.
Заслуживающей внимания может стать и следующая система
континуальных дифференциальных уравнений с частными
производными:
JdU(/, y)dg = {о1уи(х, /)dg,
о о
а
Dhyu(x, t)dl= - J DM'. У№,
о о
где и(х, у) и v(x} у) — неизвестные действительные функции
точки (х, y)^R2.
§ 2.9. ВАЖНЕЙШИЕ МОДЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
БИОЛОГИИ И ИХ СВЯЗЬ С УРАВНЕНИЯМИ СИНЕРГЕТИКИ
2.9.1. Уравнение Бернулли — Ферхюльста и понятие
устойчивости состояния равновесия по Ляпунову. Пусть N = N(t) —
численность или плотность популяции в ограниченной области Q
в момент времени /е[/о, Т]. Здесь Т — расчетное время,
например продолжительность одного поколения популяции.
Очевидно, кообласть R(N) функции N принадлежит
множеству всех целых чисел. Вместо разрывной целочисленной
функции N введем непрерывно дифференцируемую функцию и = u(t),
имеющую в каждый момент времени ту же целую часть, что и N,
т. е. [u{t)\ = N(t) для всех /€=[/0, Г].
Если предположить, что популяция равномерно распределена
в области обитания Q, все особи в популяции одинаковы,
поколения перекрываются, то можно допустить, что средняя скорость
роста популяции на одну особь (коэффициент прироста или
удельная скорость) совпадает с разностью е = г — s, где г и s —
соответственно средняя рождаемость и средняя смертность.
Следовательно, динамику изменения u(t) можно описать
дифференциальным уравнением первого порядка:
u' = eu. (2.9.1)
В общем случае коэффициент прироста е=е(ы, /), который
называют также истинной скоростью увеличения численности
популяции, существенно зависит от и и /.
Пусть популяция живет изолированно в неизменной среде
или сосуществует с другими особями без взаимного влияния в
среде, предоставляющей всегда одни и те же возможности
существования для каждой особи. Тогда можно положить е= \х =
= const и уравнение (2.9.1) переписать в виде
102

u(t) = u(j)exp[\i(t — т)], (2.9.2)
где т — любая фиксированная точка из [/о, Г|.
Нагруженное функциональное уравнение (2.9.2) известно в
биологии и в особенности в демографии как закон Мальтуса
или закон экспоненциального роста численности популяции.
Число |ы называется характеристическим показателем.
Экспоненциальный рост живых систем не может происходить
на протяжении длительного периода времени хотя бы потому, что
каждый вид (в том числе и человеческий), став слишком
многочисленным, сам ограничивает свой собственный рост. По мере
увеличения численности популяции она приближается к
некоторому верхнему пределу, когда число погибших особей равно
числу появившихся на свет.
Размер популяции, при котором скорость ее роста равна
нулю, называется емкостью среды и обозначается буквой К.
Очевидно, емкость среды определяется наличными ресурсами и
она совпадает с максимальной численностью популяции. Так как
всякие реальные ресурсы ограничены, то по мере роста
численности скорость роста должна падать. Пусть это падение имеет
следующий вид:
е= (-jjr) u(t), /0</<7\ (2.9.3)
Здесь и в дальнейшем u(t) отождествляется с численностью или
плотностью популяции, т. е. числом особей на единицу
пространства.
Уравнение (2.9.1) в случае (2.9.3) записывается в виде
и широко известно в теории популяции как логистическое
уравнение или уравнение Ферхюльста — Пирла.
Обозначим через tm точку из [/о, 7J, где функция u(t)
достигает своего положительного максимума:
u{tm) = maxult).
Если /т^]/о, t[, то u'(tm) = О, и в силу определения емкости
среды имеем
К = u(tm). (2.9.5)
Из (2.9.4) и (2.9.5) получаем нагруженное нелинейное
дифференциальное уравнение
u'(t) = Mt)-{v/u{tm)]u\t). (2.9.6)
Процесс роста, описываемый уравнением (2.9.4) или (2.9.6),
называется логистическим ростом.
юз

Допустим теперь, что скорость роста популяции в расчете на
одну особь задается формулой
e = p(t)-q(t)u(t). (2.9.7)
Гипотеза (2.9.7) выражает линейную зависимость между е и
u(t), т. е. самую простую функциональную (регрессионную)
зависимость между двумя признаками u(t) и е биологической
популяции.
Уравнение (2.9.1) в соответствуй с (2.9.7) имеет вид
u' = p(t)u-q(t)u2. (2.9.8)
Коэффициент q(t) этого уравнения называется коэффициентом
внутривидовой конкуренции.
Легко видеть, что уравнение (2.9.8) является частным
случаем уравнения Бернулли:
a{t)u' + b(t)u = c(*)Masign и. (2.9.9)
Здесь a — действительное число, не равное нулю и единице.
К уравнению вида (2.9.9) сводятся многие задачи популя-
ционной биологии. В частности, если учесть флуктуацию
численности и= u(t) популяции и предположить, _что средняя
амплитуда флуктуации прямо пропорциональна -у/и , то закон
Мальтуса примет вид
и' = |ш — c(t)-yfu ; c(t)^0. (2.9.10)
Рассмотрим еще один пример — модель проточного
культиватора, в котором происходит размножение бактериальных клеток,
их гибель и, кроме того, имеет место приток клеток извне в
культиватор со скоростью притока /(/). Пусть скорость гибели
клеток прямо пропорциональна их концентрации u(t), а скорость
размножения — величине ua(t). В двуполой культуре при
достаточно малых концентрациях клеток скорость размножения
пропорциональна вероятности встречи двух клеток разного пола,
поэтому можно положить a =2. Тогда дифференциальное
уравнение, описывающее динамику концентрации живых клеток,
примет вид
и' = f(t) - b(t)u — c{t)ua, и = u(t). (2.9.11)
Здесь b(t) и c(t) — соответственно коэффициенты размножения и
гибели клеток.
Уравнение (2.9.11) при а=2 называется уравнением Рикка-
ти; при f(x) = 0 оно переходит в уравнение Бернулли.
Нетрудно заметить, что если уравнение Риккати
и' = /(/) - b(t)u - c(t)u2
имеет хотя бы одно решение v = v(t), то заменой и = v + 2,
104

где z — новая искомая функция, оно сводится к уравнению
Бернулли
z' = —[2c(t)v + b(t)]z - c(t)z2. (2.9.12)
В математической биологии уравнение (2.9.8) или (2.9.12)
принято называть уравнением Ферхюльста, а в теории
дифференциальных уравнений — уравнением Бернулли. В связи с этим
будет справедливым уравнение вида
u' = p(t)u — q(t)ua, u = u(t)^*0, (2.9.13)
где p(t) ^ 0, q(t)^0, а — действительное, отличное от нуля и
единицы число, называть уравнением Бернулли — Ферхюльста.
В случае, когда емкость среды К — заданная величина,
уравнение Ферхюльста — Пирла относится к классу уравнений
(моделей) вида
u' = f(u)y /0</<Г<оо, (2.9.14)
где f(u) — неотрицательная унимодальная функция точки
и^[0у ит] такая, что ДО) = f(um) = 0. Здесь непрерывная на
сегменте [0, ит] функция называется унимодальной, если
существует лишь одна точка ее максимума и* и для любых точек
х\ и Х2 таких, что 0 <! х\ <С х2 ^ иту справедливо неравенство
f(x\)<.f(x2) при х2<и* и неравенство f(x\)>f(x2) при х{^и*.
Если унимодальная функция f(u)^Cl]0, ит[у то и* однозначно
определяется как решение уравнения f'(u) = Q. В случае
уравнения (2.9.4) ит = К,и*= К/2.
Хорошо известно, что установление стационарного состояния
является одним из важнейших свойств открытых биологических
систем.
Пусть состояние популяции как биологической системы в
каждый момент времени характеризуется одной-единственной
величиной—ее численностью или биомассой u = u(t), которая
удовлетворяет уравнению (2.9.14) с правой частью f(u)^
^С2[0, ит]у где ит не зависит от времени.
Так как f(um) = 0, то ит — стационарное решение
уравнения (2.9.14).
Состояние равновесия и= ит называется устойчивым по
Ляпунову, если для любого сколь угодно малого г>0 существует
такое 6>0, что
\u(t)-um\<e, V*e=['o, «>[,
когда \u(t0) — иш|<6.
Вопрос устойчивости по Ляпунову состояния равновесия
и = ит решается следующим образом.
Пусть система отклонилась от точки равновесия ит и
перешла в соседнюю с ней точку
u=um + vy (2.9.15)
105

где v = v(t) — малое отклонение от состояния равновесия такое,
что отношение и/ит значительно меньше единицы: v/um<^l.
Подставляя (2.9.15) в (2.9.14), получим
v'=F(v), F(v) = f(v + um). (2.9.16)
Поскольку F(0) = f(um) = 0, F'(0) = f'(um) и F(u)EC2[-uffl) 0],
нетрудно заметить, что
v
F(v) = r(um)-v + ]{v-l)F"{l)dl.
о
Воспользуемся обобщенной теоремой о среднем значении для
интегралов: если ф(х) — непрерывная и ограниченная в
интервале а<х<С.Ь действительная функция, а функция ty(x)
непрерывна, ограничена и положительна при а<х<Ьу то существует
такое число у^]а} Ь[у что
ь ь
\ у(х) -ty{x)dx = y(y)\ty{x)dx. (2.9.17)
а а
В силу этой теоремы существует такая отрицательная
величина Uo>Uy что
v v
J (v - l)F"(l)dl = F"(v0)\ (v - g)dg = ±F"(v0)v2.
о о
Поэтому уравнение (2.9.16) можно переписать в виде уравнения
Ферхюльста — Пирла:
v' = f'{um)v+Y-f"(v0 — um)v\ v<v0<0. (2.9.18)
Если в уравнении (2.9.18) отбросить нелинейный член как
величину более высокого порядка малости, то мы придем к
уравнению Мальтуса:
v'=f'(um)v, (2.9.19)
которое в теории устойчивости по Ляпунову носит название
линеаризованного уравнения или уравнения первого
приближения.
В соответствии с (2.9.2) любое решение (2.9.19) представимо
в виде
v(t) = v(T)exp[f'(um)(t-T)]. (2.9.20)
Легко установить, что f'(um)^0. Если f'(um) = 0, то
уравнение (2.9.19) оставляет открытым вопрос об устойчивости
системы.
106

Пусть f'(um)<:0. Тогда из (2.9.20) имеем lim у(/) = 0, и, зна-
t -*■ -j-oo
чит, первоначальное отклонение v со временем затухает.
Следовательно, стационарное решение и = ит уравнения (2.9.14)
устойчиво по Ляпунову.
2.9.2. Уравнения мультипликативного роста. Как известно в
биологии индивидуального развития, рост — это поступательное
изменение показателей массы и размеров организма. Различают
два типа роста — ауксетичный и пролиферационный. Ауксетич-
ный рост происходит путем увеличения размеров клеток, число
которых остается постоянным (явление эвтелии), а
пролиферационный — путем клеточного размножения. Существуют две
формы пролиферационного роста — мультипликативная и
аккреционная. Мультипликативный рост характеризуется тем, что обе
клетки, возникшие от деления родоначальной клетки, снова
вступают в деление по формуле
Nn = 2\ (2.9.21)
где Nn — число клеток после п-то деления.
Здесь уместно отметить следующий, экспериментально
установленный в генетике факт: если в момент времени /о = 0
бактериальную культуру с тяжелой ДНК вносить в питательный
раствор, содержащий легкий азот, то через промежуток времени
/i«20 мин тяжелая ДНК (N15) делится на две полутяжелые
молекулы; через промежуток времени /2«40 мин каждая
полутяжелая молекула разделяется на одну полутяжелую и одну
легкую; через промежуток времени /3«60 мин из двух
полутяжелых и двух легких молекул, образовавшихся в момент времени /2,
возникают две полутяжелые и шесть легких молекул, причем
каждая молекула дает ровно две таких же молекулы. Отсюда
легко усмотреть, что редупликация ДНК происходит в
соответствии с (2.9.21).
Аккреционный рост в простейшем случае определяется
формулой Nn = 2л, где л, как и в первом случае, означает номер
деления.
Уравнение (2.9.21) известно как принцип автокаталического
роста, т. е. размножения каждой единицы живой массы.
В биологии индивидуального развития животных, как
правило, рассматривают усредненный прирост массы зачатков,
состоящих из достаточно большого числа взаимодействующих
клеток.
Пусть w = w(t) — масса зачатков (органа или организма в
целом) в момент времени / и рост рассматривается как
саморегулируемый процесс, в котором скорость роста w'(t) = dw/dt
является унимодальной функцией f(w) достигнутой массы w(t):
w' = f(w)y w = w(t), to < t < T. (2.9.22)
107

Уравнение (2.9.22) в случае, когда
f(W) = \IW(1 — W/W(tm))y
где \х = const — скорость удельного роста или коэффициент
автоприроста, a w(tm) — конечная масса органа или организма в
целом, в биологии индивидуального развития животных
называется дифференциальным уравнением мультипликативного
роста или логистическим уравнением скорости роста, а иногда и
уравнением Робертсона.
Отвлекаясь от конкретной природы уравнения Робертсона:
w' = р,до(1 — w/w(tm))t w(tm) = max
заметим, что оно совпадает с уравнением Ферхюльста — Пирла
(2.9.6).
Если унимодальная функция /(до) ^ С2[0<; до<; wm] и /(до)^О,
/(0) = 0, /(дот) = 0, то логично уравнение (2.9.22) называть
обобщенным уравнением мультипликативного роста, а функцию
е(до) = f(w)/w — коэффициентом автоприроста.
Очевидно, е(0) = /'(0)^0. В случае, когда /'(0) = 0, график
функции е = /(до)/до принято называть кривой Олли.
Обобщенное уравнение мультипликативного роста и системы
таких уравнений широко используются для моделирования
биологических явлений самоорганизации. Известно, что все
биологические системы являются неравновесными, а протекающие в них
процессы — необратимыми. Именно это обстоятельство делает
уравнения математической биологии основными уравнениями
синергетики — теории самоорганизации неравновесных систем,
состоящих из множества взаимодействующих подсистем. Синер-
гетические процессы проявляются в дифференциации клеток,
например по формуле (2.9.21), в мышечном сокращении и
эволюции, приводящей к образованию все новых и новых
макроскопических структур, а именно новых видов, в распознавании
образов и речи, в образовании полос на шкуре, узоров на крыльях
бабочек и т. д. Говоря словами основателя синергетики Г. Хаке-
на, все это объясняет, почему биология считается наиболее
важной областью исследований для синергетики.
2.9.3. Разностные и обыкновенные дифференциальные
уравнения с запаздыванием. При выводе уравнения Бернулли —
Ферхюльста мы предполагали, что внутри популяции нет
различия между особями и процессы размножения и гибели
происходят одновременно. Однако в реальных популяциях эта гипотеза
может не иметь места. Например, хорошо известно, что в
популяциях таких однолетних растений, как полевая горчица, растения
погибают после того, как они произведут семена, причем эти
семена прорастают лишь на следующий год. Эффект
запаздывания имеет место во всех популяциях с дискретными или непере-
108

крывающимися поколениями, т. е. во всех популяциях, в которых
потомки начинают размножаться лишь после смерти
родительских особей.
На состояние многих биологических систем в данный момент
времени существенное влияние оказывает последовательность ее
предшествующих состояний. Такие явления, когда непрерывная
последовательность прошлых состояний, т. е. предыстория
системы, влияет на ее будущую эволюцию, В. Вольтерра назвал
эредитарными (наследственными) явлениями, а Э. Пикар —
явлениями последействия.
Уравнение роста численности или биомассы популяции,
учитывающее явление последействия, при интуитивно ясных
допущениях и для любого момента времени /е[0; Т] может быть
записано в виде
t
u'{t) = {v-^u(t) + MO-S utt)<p(t-Z)dt}u(t) + f{t).
0 (2.9.23)
Коэффициент прироста здесь состоит из коэффициента
автоприроста [х; члена \jl\u, означающего эффект Ферхюльста о
конкуренции внутри видов; члена \io(t), возникающего благодаря
сезонным изменениям среды; наконец, интеграла, учитывающего
явление последействия — эффект запаздывания. Функция fit)
выражает скорость иммиграции.
Уравнение вида (2.9.23) принято трактовать и как
обыкновенное дифференциальное уравнение с распределенным
запаздыванием или нелокальным смещением (сдвигом).
Пусть между функцией ф=<р(т), О^т^/, которую назовем
эредитарной (или диссипативной) памятью, и независимой
переменной т существует простейшая с точки зрения математики
связь: _а1
ф) = Яо + , *о, *i = const > 0. (2.9.24)
Здесь Г(г) — гамма-функция (см. п. 1.5.1); a=const<0,
Хо и hi — параметры явления последействия, которые
одновременно не обращаются в нуль.
Гипотеза (2.9.24) и определения интегрального
преобразования Римана—Лиувилля (1.5.2) позволяют записать
t /
S uil)cpit- Ш^] ф(т)к(/-т)(1т = Dttuil).
о о
Таким образом, в случае (2.9.24) для описания динамики
популяции можно воспользоваться сравнительно простой
моделью: и' = {т-\1\и- XoDot'u- XxDhu) u + f, (2.9.25)
где [ioi = м- + M-o.
109

Интеграл Dot{u= \ tf(£)d£ Вольтерра назвал количеством жиз-
0
ни популяции.
Для любого а<0 имеем Do/1 = t~a/T(l — а). Поэтому
функция и = ит является стационарным решением уравнения (2.9.25)
тогда и только тогда, когда
|ioii/«= ui[\ix + Kot + Х,Га/Г(1 -а)] V'>0. (2.9.26)
Пусть соблюдено условие (2.9.26) и v = v(t) — малое
отклонение от состояния равновесия и = ит. Подставим функцию
u=u{t) из (2.9.15) в (2.9.25) и отбросим нелинейные члены как
величины более высокого порядка малости. В результате
получим уравнение первого приближения:
V + (f/um + \L\um)v + (XoDollv + XiD^tv)um = 0. (2.9.27)
Если допустить, что скорость иммиграции f значительно
меньше um:f <С ит, то из (2.9.27) имеем
v' + ii]umv + (K0Dollv + XxDltv)um = 0. (2.9.28)
Отсюда после законного дифференцирования и использования
теоремы 1.5.3 получим
v" + \цити' + loUmv + XxumD^{v = 0. (2.9.29)
Как следует из (2.9.28), интересующее нас решение v(t)
уравнения (2.9.29) при / = 0 должно удовлетворять начальному
условию
и'(0) + \цити{0) = 0. (2.9.30)
Когда главным фактором, влияющим на численность
(биомассу) популяции, служит не эффект Ферхюльста, а явление
последействия с параметрами Ко = 0 и Л-i > 0, можно положить
\х\ = 0 и выражения (2.9.29) и (2.9.30) переписать в виде
v" + XDttlv = 0, X = |шж, (2.9.31)
v'(0) = 0. (2.9.32)
Здесь, естественно, возникает вопрос: в какие моменты
времени малое отклонение v затухает, т. е. обращается в нуль?
Оставляя пока в стороне ответ на этот вопрос, в общем случае
заметим, что при а= —- 1 все решения уравнения (2.9.31), т. е.
уравнения v" + %v = 0, удовлетворяющие условию (2.9.32), имеют
вид
v{t) = 0(O)cosV~A, t.
Следовательно, функция v(t) = 0 для любого
t = (я/2 + 2*я)/У~Л, , k = 0, 1, ....
но

Учет влияния биологического явления последействия на
численность популяции или на ее биомассу можно осуществить и с
помощью операции обобщенного дробного интегрирования.
Например, вместо уравнения (2.9.23) можно рассмотреть уравнения
следующих видов:
и' = {|xoi — \*>\и — \i2Eofu]u + /,
и' = {fxoi — [i\U — \i2Dof'yu}u + f,
U' = — \l\U — \X2lof,yu}u + f,
где \i2 = const; £йр, £>оЛу, /o/p,Y — операторы обобщенного
дробного интегрирования (см. п. 1.5.3).
Дифференциальные уравнения дробного порядка вида
DotU = \iu, 1 < а < 2; (2.9.33)
а
\ Dxotudx = \ли, 1<а<2 (2.9.34)
о
являются простыми, но вместе с тем учитывающими явления
последствия, обобщениями уравнения Мальтуса (2.9.2).
Если в модель Мальтуса ввести фактор даже постоянного
запаздывания т > О, то это может значительно повлиять на кривую
роста живой системы. В этом легко убедиться, если сравнить
следующие модели роста и их решения:
"'(О = - -^u(t)ou(t) = ы(0)ехр( - -£■) ,
и'(0 = - - х) о u(t) = «(0)cos( Ц-) .
Логистическое уравнение, учитывающее фактор
запаздывания, можно записать и в виде
u'(t) = [|х — \x\u(t — T)]u(t)9 (2.9.35)
где т — средняя продолжительность жизни одного поколения
популяции. Это уравнение при p,i = \i/k называют уравнением
Хатчинсона.
Уравнение (2.9.35) в отличие от (2.9.33) и (2.9.34) относится
к классу обыкновенных дифференциальных уравнений с
сосредоточенными запаздываниями. Другими словами, оно является
уравнением с локальным смещением (сдвигом).
Содержательную биологическую интерпретацию допускает и
уравнение Бернулли — Ферхюльста в следующей модификации:
u' = (ii — и = rlDo~t]u. (2.9.36)
Нетрудно установить, что любое нетривиальное решение и =
= u(t) уравнения (2.9.36) представляет собой решение уравнения

Если /-+-0, то и-+и(0), и, как это следует из (2.9.36),
иЩ = [ц - 1ци(0)]и(0). (2.9.38)
Следовательно, решение уравнения (2.9.37) также является
решением исходного уравнения (2.9.36), если соблюдено
необходимое условие (2.9.38).
Рассмотренные уравнения роста являются
дифференциальными, в которых, согласно сделанным гипотезам, u(t) есть
непрерывная функция фактора времени. Однако часто зависимость
между динамической (т. е. зависимой) переменной и временной
(т. е. независимой) переменной / описывается с помощью
разностных уравнений во времени, которое берется в виде
дискретных интервалов.
Обратимся к модели роста с влиянием предшествующих
поколений. Пусть ип соответствует размеру популяции в п-м
поколении. Биологически ясно, что хп зависит от популяций в
предшествующих поколениях. Например, предшествующие поколения,
значительно исчерпав свои ресурсы, могут затруднить
воспроизводство популяции, даже сделать его невозможным. Таким
образом,
Un+m = f(Un> Un+\, Un+m — l),
где f — действительная функция своих аргументов. В простейшем
случае (для популяции с дискретными поколениями)
Un + l = f(un).
Весьма часто используется разностное уравнение Ферхюльста —
Пирла:
ип+\ = \iun{um — un), 0 < Un < um (2.9.39)
или уравнение Риккера:
un+\ = [iunexp(— \iiUn). (2.9.40)
Из закона Мальтуса (2.9.2) при т = 0, / = п имеем
un = и(п) = и0ехр(рл) = un-\exp(\i).
Отсюда легко обнаружить, что разностным аналогом уравнения
Мальтуса является уравнение
Vun = V", (2.9.41)
где Чип = un — un-\, /i==l, 2, ... — восходящие разности
первого порядка, а Хц = 1 — ехр(—-
Непосредственным обобщением разностного уравнения
Мальтуса (2.9.41) на случаи, когда численность (биомасса) в п-м
поколении популяции зависит от m предшествующих поколений,
может служить простейшее междупредельное разностное
уравнение
112

VmUn = XnUn, П = 1, 2, ...
(2.9.42)
Здесь
vamun= 2 (-i)Y I)
k = 0 \ * /
wrt_*, m = 1,2,
— междупредельная конечная разность порядка а > О функции
и(/) в точке t = п (см. п. 1.5.2), кп — функция дискретного
аргумента п.
2.9.4. Уравнения Лотки — Вольтерра. Предположим, что
ресурс, потребляемый популяциями, входящими в сообщество из п
конкурирующих видов, характеризуется точкой х = (х\, лег..., хт),
которая не выходит за пределы некоторой ограниченной области
DczRm. Отождествим область D с экологической нишей, а
пространство Евклида Rm — с пространством жизненно важных для
популяций факторов среды обитания. Здесь под экономической
нишей понимается множество всех факторов среды, в пределах
которых возможно существование вида.
При анализе экологических ниш важную роль играет принцип
(закон) конкурентного исключения Гаузе, согласно которому
предполагается невозможным существование двух видов с
одинаковыми экологическими нишами.
Пусть щ = ui(t) — численность (биомасса) /-й популяции в
момент времени /, a fi(x)ui — объем ресурса х, потребляемого
этой популяцией.
Заданную в области D функцию ft{x) принято называть
функцией потребления (или функцией предпочтения), если fi(x)>
>fi{y) тогда и только тогда, когда /-я популяция, как
потребитель ресурсов х и у, отдает предпочтение ресурсу х.
Допустим, что fi(x)^C(D) для всех i = 1^2, п. Тогда
существует такая непрерывная в замыкании D функция k = К{х),
называемая спектром ресурса, что
Так как на рост сообщества с экологической нишей D в силу
принципа Дарвина существенно влияет взаимодействие, т. е.
синергетика видов, то приведенные ранее уравнения роста следует
модифицировать, с тем чтобы в них учитывался этот факт.
Проще всего это сделать, допустив, что удельная скорость /-й
популяции прямо пропорциональна величине
т.е. относительно истощаемости ресурса в точке x^D. В
результате получим
п
2 fiui < ад, vx*=d.
i = I
8 Заказ № 1786
ИЗ

u'i = [цщ - (p,, /К)щ 2 (2.9.43)
/= i
Умножив обе части (2.9.43) на ///С, а затем проинтегрировав
полученное уравнение почленно, имеем
u!=\b(l-i-jfru,yi% /=1,2,..., л. (2.9.44)
Здесь \ii — истинная скорость роста вида /; интеграл
Ki = \ K(x)fi(x)dxy dx = dx\dx2 ... dxm,
имеет смысл общего объема ресурсов, потребляемых /-м видом,
и называется емкостью ниши\ интеграл
ац = ^ft{x)fj(x)dx, i ф /,
характеризует влияние взаимодействия между /-й и у-й
популяциями на скорость роста и называется коэффициентом
конкуренции.
Положив ouj = [liCLij/Ki, запишем систему (2.9.4) в виде
и{= щ (уа — 2 Щи!) , t= 1.2, п. (2.9.45)
Уравнениями (или системой) Лотки — Вольтерра называется
система обыкновенных дифференциальных уравнений вида
ul= щ (bi - 2^/"/) ,«=1,2, .... п. (2.9.46)
Модели динамики численности (биомассы)
взаимодействующих популяций вида (2.9.46) в математической экологии
принято называть вольтерровскими. Матрица \\уц\\ отражает структуру
связей сообщества и называется матрицей сообщества (или
матрицей взаимодействий).
Пусть оц — среднее значение биомассы особей вида / и at > О
для всех /= 1, 2, п. Систему (2.9.46), следуя Вольтерра,
назовем консервативной, если квадратичная форма
п
2 УцШЩ = о,
и диссипативной, если эта форма положительно определена.
Сообщество, описываемое консервативной (диссипативной)
системой (2.9.46), будем называть консервативным (диссипативным)
сообществом.
114

Система (2.9.45) является весьма важным примером диссипа-
тивной системы. Действительно, при оц = Ki/щ имеем
п п
2 aiCLijUiiij = \ 2 fi(x)fj(x)UiUjdx =
Л / = 1 D i, j = 1
= S ( 2 Ux)u) 2dx > 0.
Для консервативных сообществ
n n
V = 2 оц\цщ, U = 2
/ = 1 i = 1
Поэтому для них характерен неограниченный рост их общей
биомассы U.
При п = 2, т. е. когда сообщество состоит лишь из двух
взаимодействующих видов, вольтерровская модель (2.9.45) называется
моделью «хищник — жертва» или «паразит — хозяин».
В случае, когда один из двух видов представляет собой
частичный источник пищи для другого, модель экологического
взаимодействия «хищник — жертва» в ее вольтерровской форме задается
следующими уравнениями движения:
и\ = «.(и, - У1,иш),
U2 = — U2([l2 — 721И|),
где \ii(\i2) — врожденная скорость размножения (гибели)
популяции жертвы (хищника) размера и\{и2)\ у\2 и 721 — положительные
числа, называемые коэффициентами хищничества.
Если 712 является функцией от и\ и описывает потребление
жертвы одним хищником, то ее называют трофической функцией
хищника.
Из уравнений (2.9.47) следует, что
(Y21W1 + 712W2)' = (и*1гш1 + \ц\пи2у.
Отсюда, интегрируя от 0 до /, заключаем: если вектор u(t) =
= (и\, и2) с положительными компонентами и\ и и2 является
регулярным при t ^ 0 решением системы (2.9.47), то он удовлетворяет
нагруженному функциональному уравнению
y[u{t) - и(0)] = |х[1пи(0 - 1пи(0)], (2.9.48)
где 7 = (721, 712), \i = (м-2, м-0. 1п" = (1пиь 1гш2), и под
произведением векторов понимается их скалярное произведение в R2 (см.
п. 1.4.1).
Легко видеть, что вектор ит = (112/721, H1/Y12) является
стационарным решением или точкой равновесия системы (2.9.47).
Пусть система отклонилась от точки равновесия ит = (ит\,
ит2) и перешла в достаточно близкую к ней точку и = ит + и,
где точка v = (ит\Х\, ит2х2) такова, что xf <С 1при/ = 1,2.
8*
115

Учитывая, что
1п(и« + v) = \nUm + ln(l + Х\у 1 + *2) « \nUm + (Х\, Х2) —
i-(*2, Х2)у yv = У2\ит\Х\ + 712"т2^2 = Ц2*1 + \1\Х2,
из (2.9.48) получаем (приближенное) равенство
\i(xu х2) = const = ц[1пит — lnw(O)] — у[ит — u(0)].
Следовательно, точка x(t) = (x\, x2) вблизи точки равновесия
движется по кривой, близкой к эллипсу.
Математические модели динамики биологического сообщества,
учитывающие эффект последействия, охватываются, как правило,
следующей обобщенной вольтерровской моделью:
Ф) = { Щf - 2 к"/(0 - mx* - т,)] -
1 / -1
- j utlMt-Qdl) u(t), i=l,2, .... n. (2.9.49)
Здесь ту — неотрицательное запаздывание,- нр//ц— матрица,
характеризующая сосредоточенное запаздывание, ср/ — эредитарная
функция.
2.9.5. Уравнения Бейли и Марчука. К обобщенным вольтерров-
ским моделям системы «хищник — жертва» непосредственно
примыкают математические модели эпидемиологических и
иммунологических явлений.
Рассмотрим группу из т однородно перемешивающихся
индивидуумов, в которой в момент времени / имеется и\ восприимчивых
особей, и2 источников инфекции и из удаленных, т. е.
изолированных, умерших или выздоровевших и ставших невосприимчивыми
к инфекции индивидуумов. Если предположить, что среднее число
новых случаев заболевания, появившихся в интервале d/, прямо
пропорционально и\и2 и в этот промежуток времени группу
покидают [i2u2dt индивидуумов, то уравнения движения процесса
распространения инфекции примут вид
и\ = —- у\2и\и2,
и'2= — и2(\х2 — Y12W1), (2.9.50)
из s= \х2и2.
Здесь 7i2 означает частоту контактов, а \х2 — частоту случаев
удаления.
В эпидемиологии систему (2.9.50) принято называть
уравнениями Бейли. Легко видеть, что эта система является частным
случаем системы Лотки — Вольтерра (2.9.46).
116

Рассмотрим теперь очень простую, но вместе с тем интересную
математическую модель инфекционного заболевания как
конфликта между иммунной системой организма и популяцией возбудителя
болезни. Как известно, иммунная система — это диффузный орган,
функционирующий в каждом организме у позвоночных и
обеспечивающий его генетическое постоянство. Иммунитет — функция
иммунной системы, состоящая в распознавании и защите
организма от живых тел и веществ, несущих на себе признак генетически
чужеродной информации.
Следуя Г. И. Марчуку, будем считать, что основными
характеристиками инфекционного заболевания в момент времени /
являются следующие величины:
1) концентрация патогенных размножающихся
антигенов u\(t)\
2) концентрация антител U2(t)\
3) концентрация плазмоцитов н3(/);
4) относительная характеристика пораженного органа или
доля пораженной части органа Ui(t)^[Ot 1].
Здесь под антигеном понимаются вещества, которые
воспринимаются организмом как чужеродные и вызывают
специфический иммунный ответ, а под антителом — субстраты иммунной
системы, нейтрализующие антигены (иммуноглобулины,
рецепторы клеток). Плазмоциты — это плазматические клетки, это
популяция носителей и продуцентов антител (иммунокомпетентные
клетки и иммуноглобулинопродуценты). Предполагается, что в
качестве антигенов выступают либо патогенные бактерии, либо
вирусы.
Синергетика антигенов и антител носит характер, сходный
со взаимодействием «хищник — жертва». В качестве жертвы
здесь выступает чужеродный агент, который в математической
модели количественно опишем концентрацией U\(t)
соответствующего антигена; в роли хищника рассмотрим антитела.
Принимая это во внимание, уравнения движения
рассматриваемого иммунного процесса для всех t > т можно записать в
виде
u\ = ([An — <x\2U2)u\,
U2 = — ([А22 + 0L21U\)u2 + [А2зИз,
и'ъ = V>i2Ui(t — x)u2(t — t)1(ua) — [Азз(и3 — Из),
и\ = (\niUi — [а44и4)//(1 — иА). (2.9.51)
Здесь:
1) [in — коэффициент размножения антигенов;
2) ai2—частота контактов, связанная с вероятностью
нейтрализации антигена антителами при встрече с ними;
3) [А22 — коэффициент, обратно пропорциональный времени
распада антител;
117

4) ai2 — коэффициент, характеризующий уменьшение числа
антител в интервале времени dt за счет связи с антигенами;
5) р.23 — скорость производства антител одной плазмоклет-
кой;
6) jjii2 — коэффициент стимуляции плазмоцитов,
характеризующий вероятность встречи антигенов-антител, возбуждение
каскадной реакции и число образующихся новых клеток;
7) запаздывание т есть время, необходимое для
формирования популяции плазмоклеток из иммунокомпетентной клетки с
рецептором и2у стимулированной антителами концентрации и\\
8) р-зз — коэффициент, равный обратной величине времени
жизни плазмоклеток;
9) %(х) — непрерывная и невозрастающая на сегменте
О ^ х ^ 1 функция, учитывающая нарушение нормальной
работы системы иммунитета вследствие ухудшения общего состояния
организма, вызванного значительным поражением органа; £(0) =
= 1. £0).= 0;
10) из — нормальный уровень иммунокомпетентных клеток в
здоровом организме; и*з = 0, если организм является
толерантным (невосприимчивым);
11) Н(х) = 1 при х ^ 0, Н(х) = 0 при х < 0 — функция
Хевисайда (функция включения).
Систему уравнений (2.9.51) с начальными данными Uj(0) =
= UjOy / = 1, 2, 3, 4, следуя Марчуку, назовем простейшей
математической моделью заболевания.
Нелинейные члены вида и\и2у входящие в уравнения Бейли и
Марчука, можно интерпретировать и как следствие
фундаментального закона действующих масс, согласно которому скорость
ферментативной реакции пропорциональна активным
концентрациям реагентов. Для необратимой реакции второго порядка вида
Ui + U2-+U или Ux + U2 = U + V
этот закон утверждает, например, что
и\ = — y\2U\U2y
где U\ = u\(t) и и2 = u2(t) — активные концентрации реагентов
U\ и U2 соответственно, 712 — коэффициент скорости реакции.
В общем случае скорости реакций ui(i= 1, 2, m),
протекающих по закону действующих масс, выражаются через
концентрации Uj = Uj(t) (j = 1, 2, п) реагирующих веществ по формуле
вида
vi = kiuVu2^...u^n = kiu*1, ац > 0,
где ki — коэффициент (константа) скорости реакций, и=и\у и2,
Un)> СЦ\= (On, OCi2, (Xm).
2.9.6. Уравнения рождаемости. Рассмотрим популяцию,
которая в момент времени / состоит из uf(xy t) самцов возраста
118

jc>0 с генотипом Ft и иГ(ху t) самок возраста с
генотипом ГГ. Пусть самец возраста х с генотипом Г,7*" скрещивается с
самкой возраста уу имеющей генотип Г/~. Число таких
репродуктивных пар обозначим через Ыц(ху уу /, и+, и~)у где и- = (ufy
uf, и%)У iy j = 1, 2, т.
Предположим, что каждая пара производит Rij потомков
мужского пола и Rif потомков женского, пола. Величины Rij и
Rif в общем случае являются функциями ху уу ty и±:
R$ = Rrf(x* У> *\ и*)
и их принято называть функциями рождаемости.
В соответствии с законами Менделя пары могут производить
не только себе подобных, но и потомков других генотипов.
Следовательно, можно ввести в рассмотрение величины со/}"* и щку
которые означают доли генотипа Г* в потомстве среди потомков
мужского и женского пола соответственно.
Уравнениями рождаемости (или восстановления) называются
следующие уравнения:
ut(Oy 0=2 a>ijk)dy)R?[(x, уУ t\ u^Nifa yy ty u+y u~)dxy
i,j — 1 а с
"ДО, 0=2 Щ) dy\ Ri}{*> Уу t\ u^Nifa, yy ty u+y u~)dxy
/, / = 1 а с
iy jyk= 1,2, m.
Здесь [a, b] и [cy d] — репродуктивные сегменты (окна
рождаемости) для самцов и самок, т. е. возрасты, в которые они могут
размножаться; и£(0у t) и иГ(0у t) — численность новорожденных
с генотипами Г^" и Г/Г соответственно в момент времени t.
Уравнения рождаемости образуют систему нагруженных
интегральных уравнений, которая играет роль (нелокального)
краевого условия (см. п. 3.2.2) для различных уравнений в частных
производных, моделирующих динамику численности
эволюционирующих популяций.
2.9.7. Уравнение Лесли. Рассмотрим неоднородную
популяцию Р из m возрастных групп. Пусть u{t) означает численность
/-й возрастной группы Л в момент времени /, если не учитывается
разделение по полу, и численность самок 1-й группы, если
разделение по полу существенно для Р. Предположим, что функции
рождаемости Ь{и)у и = (и\> и2у um)Ty характеризующие
численность потомства (или новорожденных самок) /-й возрастной
группы, и функции si(u)y показывающие переход из Л в Pt>i,
представляют собой однородные линейные функции
численности щ лишь i-й возрастной группы:
b{u) = hut, si(u) = SiUiy i = 1,2, m, (2.9.52)
119

с неотрицательными коэффициентами рождаемости 6, и
выживаемости ste]0,l[. Коэффициенты выживаемости S, показывают,
какая доля особей из А доживает до (i + 1)-го возраста, т. е.
попадает в Л+i.
В силу (2.9.52) численность начальной возрастной группы Pi,
которая складывается из потомства всех возрастных групп,
должна удовлетворять разностным уравнениям
т
ui(t+ 1)= 2 ЬМ()У
i = 1
а
Ui+i(t + 1) = siUi{t), i = 2, 3, m — 1.
Отсюда имеем
u(t+l) = Lu(t)y (2.9.53)
где
U\
616263.
• 6m-
l6m
U2
s,0 0 .
.0
0
и =
U3
, L =
0 s20 .
.0
0
Urn
0 0 0.
• Sm —
.0
Уравнение (2.9.53) называется уравнением Лесли и в случае
дискретных значений времени t его можно переписать в виде
u(t) = 1'и(0), t= 1,2,..., (2.9.54)
где V — степень матрицы прогноза популяции (или матрицы
Леслц) L.
2.9.8. Уравнение Мак Кендрика — фон Фёрстера. Пусть
и(х, t)dx — количество клеток в единице объема (например,
проточного культиватора) в возрастном интервале от х ^ 0 до х +
+ dx в момент времени t. Если убыль клеток определяется
естественной гибелью, вымыванием в случае проточного
культивирования и убылью из данного возраста х при делении
родительской клетки, то при интуитивно ясных предположениях
относительно других характеристик клеточной популяции можно
записать
i!L = _ [о(0 + Р(*, t) + у(ху t)]uy 0 < х < /. (2.9.55)
Здесь и = и(ху t) — возрастная плотность популяции,
du ди dx ■ ди
dt ~~ дх dt dt 9
a{t) — скорость протока клеток; р(л:, /) и у(ху t) — удельные
скорости гибели и деления клеток, достигших, возраста ху за вре-
120

мя dt\ I — предельная продолжительность жизни клеток всех
возрастов.
Поскольку возраст каждой клетки подчиняется зависимости
х = лг0 + где лг0 — возраст в момент / = О, то (2.9.55)
принимает вид
Ux + ut = - с(ху t)uy с = а + р + V- (2.9.56)
Коэффициент с является неотрицательной величиной и известен
как функция смертности.
Уравнение (2.9.56) не имеет биологического смысла при х =
= 0, так как и(0у t) зависит от рождения. Если х = 0, то имеет
место уравнение рождаемости (см. п. 2.9.6)
и(0у t) = г\ у(ху t)u(xy t)dxy 0 < / < Ту (2.9.57)
где е означает число одновременно появившихся дочерних
клеток (е = 1 для клеток, размножающихся почкованием).
Уравнение (2.9.56) и более общее уравнение
их + ut= — f( ху ty uy \ u(xy t)dx) , x > 0
v *. 7 (2.9.59)
с уравнением восстановления вида
Хз Хз
ы(0, t) = S R(x, t, \ и(х, t)dx)u(x, t)dx, (2.9.60)
где f(xy ty yy z) и R(xy ty z) — неотрицательные функции своих
аргументов, а 0<х\<^Х2<Хъ<^Хау в математической биологии принято
называть уравнением Мак Кендрика — фон Ферстера. Сегменты
[xi,x4] и [*2, Хз] весьма часто называют соответственно окном
рождаемости и смертности.
Нагруженное дифференциальное уравнение (2.9.58) широко
используется для описания развития замкнутой популяции
особей с учетом межвозрастных взаимодействий и явлений эреди-
тарного характера.
2.9.9. Уравнения Тьюринга. Биологический морфогенез как
процесс эволюции и развития новых форм и структур является
одной из важнейших областей приложения методов
математического моделирования и вычислительного эксперимента. Еще в
1914 г. А. Г. Гурвич высказал убеждение, что объяснение
морфогенеза равносильно построению его математической модели.
Г. Дриш в 1915 г. сформулировал свой знаменитый закон:
«Судьба части есть функция ее положения в целом». Существуют
различные концепции, объясняющие причины и механизмы
морфогенеза, например: концепция морфогенетического векторного поля
121

К. Уоддингтона и Р. Тома, основанная на заимствованных из
математики идеях структурной устойчивости и неустойчивости
процессов; концепция позитивной информации Л. Вольперта о
физиологических градиентах, которые устанавливают в ткани
систему координат, относительно которой каждая клетка знает о
своем положении по отношению ко всей клеточной популяции.
В идеальной системе, находящейся в термодинамическом
равновесии, образование структур происходит лишь с появлением
фазовых переходов — качественных скачков, т. е. когда
некоторые параметры системы переходят через свои критические
значения. В реальной же распределенной биологической системе и
вообще в активной среде образование (временных,
пространственных и пространственно-временных) структур осуществляется
благодаря взаимодействию элементов среды. Одним из
решающих факторов образования структур считается фактор
совместного действия реакции и диффузии.
В 1952 г. А. Тьюринг, используя морфогенную теорию поля,
предложил математическую модель формирования устойчивых
пространственных (а также временных) диссипативных структур
в системе химических реакций с диффузией.
Диссипативными структурами принято называть состояния,
обладающие пространственной и временной упорядоченностью, в
организации которой принимают активное участие диссипатив-
ные процессы (рассеяние энергии, теплопроводность,
диффузия, ...). Эти структуры представляют большой интерес для
биологии как модель процесса дифференциации тканей.
Модель Тьюринга (или модель брюсселятора) исходит из
следующей гипотетической реакции.
Пусть имеются вещества Л и В, концентрации а и Ь которых
поддерживаются постоянными. Пусть, далее, вещество А
превращается в U:A-*U, а В, вступая в реакцию с U, дает
вещества V и С:В + U-+V + С. Синтез U — процесс автокаталиче-
ский: 21) + V-+3U, a U спонтанно разлагается, превращаясь в
D:U-+D. Предполагается, что реакции протекают с диффузией
как U, так и V вдоль одномерного реактора, который имеет вид
очень узкой трубки с торцами (или тора) длины /.
Согласно второму закону Фика, шорость диффузии в
точке jci^JO,/[ реактора пропорциональна коэффициентам
диффузии D\ или D2 и второй производной от концентрации данного
реагента по длине х\ реактора, отсчитываемой от точки х\ = 0.
Следовательно, в силу этого закона и закона действующих масс
в соответствующим образом выбранных единицах измерения
концентраций, коэффициентов диффузии и времени можно записать
следующие кинетические уравнения:
£L=a-(b+l)u + u2v + DA 0 < х, < /,
ot dxi
122

l!L=uv-u2v + D20, 0 < xx < /; (2.9.61)
где и = u(x\y /), v = v(x\y t) — концентрации реагентов U и V.
Соотношение (2.9.61) или более общая
реактивно-диффузионная система
щ = а - (Ь + \)и + u2v + Vx(DiVxu)y
vt= uv — u2v + Vx(D2Vxv)y
где V*— оператор Гамильтона по переменным х = (ххУх2ухз)
(см. п. 1.4.2), называется уравнениями (или системой уравнений)
Тьюринга.
При х\ = 0 или / система Тьюринга (2.9.61) не определена.
Однако если реактор имеет вид трубки с непроницаемыми
торцами, то
Ux(0y t) = Ux{ly t) = vx(0y t) = vx(l, t) = 0, xx = x. (2.9.62)
Если же реактор представляет собой тор, то
и(0у t) = u(ly /), 1>(0, /) = »(/, /),
к,(0, /) = к,(/, /), Vx(0y t) = у,(/, /). (2.9.63)
Равенства (2.9.62) и (2.9.63) известны соответственно как
условия непроницаемости торцов и условия замкнутости
реактора; они выступают в качестве граничных условий.
Легко видеть, что точка (иу v) = (а, Ь/а) является точкой
равновесия системы Тьюринга.
Интуитивно ясно, что при исследовании устойчивости
равновесного состояния этой системы важную роль должен играть
хорошо известный принцип Ле-Шателье — Брауна: всякая система,
находящаяся в состоянии химического равновесия и
отклонившаяся от этого состояния под воздействием возмущения, стремится
самопроизвольно вернуться в равновесное состояние за счет
изменения своих параметров в направлении, противоположном
тому, которое было обусловлено возмущающим воздействием.
Одна из наиболее содержательных математических моделей
морфогенеза, основанных на модели Тьюринга, принадлежит
А. Гиреру и X. Майнхарду. Рассмотрим эту модель на примере
пресноводной гидры. Согласно гипотезе Гирера и Майнхарда
(подтвержденной некоторыми экспериментальными данными),
головной отдел тела гидры является источником двух
морфологически активных веществ — активатора и ингибатора,
соответственно активирующих и подавляющих морфогенез. Оба эти
вещества диффундируют в межклеточное пространство. При
достаточно высокой концентрации и = и(ху t) активатора происходит
включение генов, вызывающих дифференцировку тотипотентных
123

клеток. Этот процесс нейтрализуется молекулами ингибатора
концентрации v = v(xy t).
Модель Гирера — Майнхарда имеет вид
Ut = DaUxx + ku2/v — \XU + p,
Vt = Divxx + cu2 - vvy (2.9.64)
где Da, Dt, ky Cy \iy v, p — постоянные величины; x — длина тела
гидры, отсчитываемая от головного отдела; ku2/v — член,
учитывающий тот факт, что процесс синтеза активатора автокатали-
чен; си2 — член, описывающий синтез ингибатора; \хи — скорость
распада; — w — член, характеризующий спонтанный распад
ингибатора; р — скорость образования активатора; Da и D, —
коэффициенты диффузии активатора и ингибатора по тканям
гидры.
Стационарное однородное, т. е. не зависящее от временной и
пространственной координат, решение wm = (ит, vm)
квазилинейной параболической системы (2.9.64) задается формулой
Um = (Vk/C + р)/|Ы, Vm = U2m.
Пусть решение системы (2.9.64) отклонилось от wm и перешло в
достаточно близкое к нему решение w = (иу v)y где
U = Um + U, V == Vm + V. (2.9.65)
Подставляя (2.9.65) и (2.9.64) и учитывая, что y/ym< 1,
и/ит<^ 1, можно написать
ТЛ ~ I 1. 1 + 2U/Um + U2/Um , , ~ч , _
Ut = DaUxx -f k ~ ix(um + Щ + p «
« DaWxx — M-M1 + "/"m) + k + p Ж DflWxx -f k + P — ЦИт,
У/ = DiOxjc + CU2m{\ + U2/U2m + 2u/Um) — Vl>«( 1 + V/Vm)tt
« D.Ujcjc + (c — v)i>«.
Следовательно, если и и v соответственно являются решениями
уравнения
Ut = DaUxx + k + р — [itfm, (2.9.66)
й = Д-5« + (с - v)ow> (2.9.67)
то функцию до = (w, v)y которая определяется по формуле (2.9.65),
можно принять за приближенное решение системы (2.9.64).
Уравнения (2.9.66) и (2.9.67) относятся к классу линейных
уравнений в частных производных второго порядка
параболического типа с постоянными коэффициентами.
Пусть существует такая точка хое[0, /], что
5(0, /) = G{t)v(xQy t), (2.9.68)
где G(t) — неотрицательная функция времени /.
124

Тогда нелокальное уравнение (условие) (2.9.68) вместе с
(2.9.66) и (2.9.67) образует связанную (а не расщепленную) и
взаимодействующую систему уравнений с двумя неизвестными
функциями и и V.
2.9.10. Одномерные реактивно-диффузионные уравнения
биологической синергетики. Пусть щ(ху /), / = 1, 2, п —
кинетические переменные биологического процесса, протекающие в
одномерном реакторе 0 ^ х ^ / длины /, например биомасса или
число организмов /-го вида на единицу длины. Предположим, что
вдоль реактора осуществляются процессы переноса, а в любом
его поперечном сечении происходит полное внутреннее
перемешивание. Тогда кинетические уравнения, учитывающие синергетику
видов и диффузию, имеют следующий вид:
7? = £ .2 Diiu, х)^. + fi{Uy х)ш (2.9.69)
Здесь /= 1, 2, п\ u = (u{y u2t un)\ Du и Д7 (Ьф j) —
коэффициенты диффузии и взаимной диффузии; /, — действительные
функции точек и и ху определяющие суммарные скорости
изменения щ за счет их взаимодействий.
Уравнения
fi{u, х)у / = 1,2, п
принято называть точенной системой, соответствующей
распределенной системе (2.9.68).
Легко видеть, что система Тьюринга является частным
случаем одномерной реактивно-диффузионной системы (2.9.69),
которую широко используют для описания возникновения волн или
пространственно неоднородных структур, устойчивых
относительно малых возмущений.
Система Нойеса — Филда
ди\ д2и\ . /л . v
— = —+ и,(1 - щ+а12и2)у
= —2 а2\и2и\у (ац = const > 0 < и, < 1),
описывающая бегущие волновые фронты в известной реакции Бе-
лоусова — Жаботинского, также относится к классу реактивно-
диффузионных систем вида (2.9.69).
Другим весьма важным частным случаем системы (2.9.69)
реактивно-диффузионных уравнений биологической синергетики
является следующая система реакции — диффузии:
ди\ д / д»2 \
~дГ~~ ~дЛ их~дГ) ' (2.9.70)
125

При k— — 1 система (2.9.70) интерпретируется как модель
биологической системы «хищник — жертва», в которой эффект
взаимодействия происходит мгновенно, жертва с плотностью и\ =
= U\(xy t) движется в сторону уменьшения популяции хищника
с плотностью U2 = и2(ху /),а хищник — наоборот.
Для описания динамики изолированной пространственно
распределенной популяции с непостоянной диффузией в популяци-
онной биологии широко используется реактивно-диффузионное
уравнение вида
щ = [(аи + $)и]хх + 1хи- уи\ (2.9.71)
где и = и(х, t) — скалярная функция точки x^R и времени /, а
а, р, \х и 7 — постоянные величины.
В случае, когда и не зависит от пространственной
координаты ху а 7 = |ы//С, где К — емкость среды (см. п. 2.9.1),
уравнение (2.9.71) совпадает с уравнением Ферхюльста — Пирла.
При а= 0, р, = 7 из (2.9.71) получаем уравнение
ut= $ихх + \ьи(\ -и)у (2.9.72)
известное в математической биологии как уравнение Фишера.
Оно предложено в 1937 г. Р. Фишером в качестве
детерминистской версии стохастической модели распространения
благоприятного гена в диплоидной популяции и примечательно еще тем, что
наряду со стационарными решениями (неустойчивым и = 0 и
устойчивым и= 1) имеет бесчисленное множество решений типа
бегущей волны (движущегося волнового фронта):
и(Ху t) = ф(* + ct)y
где с — скорость волны, 0 ^ ф ^ 1.
В математической биологии встречаются два класса
распространяющихся пространственно неоднородных концентрационных
волн. Это класс волн, в которых наличие диффузии
существенно, и класс так называемых кинематических волн, где диффузия
не играет роли.
Из (2.9.71) при р = \л = 7 = 0 приходим к уравнению Бусси-
неска:
ut = а(и2)хх. (2.9.73)
Легко проверить, что для любого c^R функции вида
и(ху t) = (c/2a)(ct ± х)
являются решениями уравнения (2.9.73) типа бегущей волны.
Пусть 0 < х < / и
и = \\и(Ху t)Ax < оо
126

означает среднее значение решения и = и(ху t) уравнения (2.9.71).
С уравнением (2.9.71) непосредственно связано следующее,
аппроксимирующее его нагруженное реактивно-диффузионное
уравнение:
щ = (ай -f $)ихх + \хи — уйиу (2.9.74)
и( = (аи + $)ихх + \хи — уии. (2.9.75)
Уравнение (2.9.71) после почленного дифференцирования по
/ можно переписать в виде
ин = [(2аи -f $)ut]xx -f \iut — 2yuut.
Если теперь в правой части всюду заменить ut его средним
значением uty то это уравнение приближенно сводится к нагруженному
уравнению
Utt = 2autuxx + (ц — 2yu)ut. (2.9.76)
Пусть и = и(ху t) — решение уравнения (2.9.76),
интерпретируемое как численность популяции в точке xg[0, /] в момент
времени /. Через tm обозначим время, при котором скорость щ
роста популяции равна нулю. Предположим, что в некоторой
окрестности \t — tm\ < е критической линии t = tm имеет место
равенство ^
"' = 7HrS"(*'t)dx = {tm ~ tn{t)'
где п — нечетное число, а Х(/) — непрерывная и положительная
функция. Тогда уравнение (2.9.76) можно переписать в виде
k(t)uxx -f utt + c(t)u = /(/). (2.9.77)
Здесь
k(t)= -2a(tm-tyx(t)y c(t)=-2y(tn-t)nx(t),
/(/) = [x(/m-/)rtX(0.
Из (2.9.77) при у = p- = 0, az = 1, 2ax(t) = 1 имеем
(t — tm)Uy, + Utt = 0, |/m — /|<e,
или v
yvxx + vyy = 0, \y\<ey (2.9.78)
ГДе y= t — tm, V = v(Xy y) = u(Xy tm + y).
Следовательно, знаменитое уравнение Трикоми (2.9.78)
может сыграть важную роль не только в газовой динамике и теории
плазмы, но и в математической биологии.
К классу реактивно-диффузионных уравнений биологической
синергетики можно отнести и систему Хаджкина — Хаксли:
ut = ихх + fi(uy v)y
vt = f2(uyv)y (2.9.79)
127

нения (2.9.84) ищется в классе функций, удовлетворяющих
условиям 1
Hm{pi[(x2—х)и}х — ы(ао—ai^+a2JC2+a3|хи(ху t) Ах)} = О,
/ = 0, 1, (2.9.85)
\imu(xy t) = t(jc), 0<*< 1, (2.9.86)
где t(jc) — заданная начальная функция.
Уравнение (2.9.84) есть нагруженное уравнение
параболического типа, порядок которого вырождается при х= 0, 1.
В математической биологии уравнением Фоккера — Планка
называют и диффузионное уравнение
щ + хиу= DuXXy 0</, jc<oo, 0<(/<1, (2.9.87)
предложенное в 1983 г. М. Ротенбергом для описания роста
клеточных популяций. В этом уравнении D означает
положительный коэффициент диффузии, и = и(ху уу t) характеризует
рост числа клеток как функцию времени /, скорости и степени
созревания х и у соответственно.
Соответствующее уравнению (2.9.87) уравнение рождаемости
(см. п. 2.9.6) или закон воспроизведения (восстановления)
имеет вид
и(х, 0, /) = ри(ху 1,/), (2.9.88)
или
хи(ху 0, 0 = р\ k{xy Qu(l, 1, Odg, (2.9.89)
о
где р^]0, 2] — среднее число жизнеспособных дочерних клеток
в митозе, k(x, g) — неотрицательная функция такая, что
оо
]k(xy t)dx=l.
о ч
Если u(x,y,t) является решением уравнения (2.9.87), то
биологическую интерпретацию допускают и условия
их{х=ъ = 0, lim и = 0. (2.9.90)
X оо
Легко видеть, что если и — решение уравнения (2.9.87),
удовлетворяющее условиям (2.9.88), (2.9.90), то функция
v(x, у) = uexp(kt)f к = const
является решением уравнения
xvy — Dvxx = kvy (2.9.91)
удовлетворяющим условиям
v(x, 0) = pv(x, 1), (2.9.92)
ох|х«о=0, lim о = 0. (2.9.93)
9 Заказ №1786 129

где f}(u9v)9 /=1, 2 — действительные функции вещественных
переменных и и v9 которая достаточно адекватно описывает
распространение нервных импульсов вдоль аксонов.
К этому классу уравнений примыкает и
ультрагиперболическое уравнение Бейли:
щ = (у2 - ху)иху + р( \—у)иУ9 (2.9.80)
которое выступает как стохастическая модель эпидемии. Здесь
и = и(х9 у9 t) означает производящую функцию вероятностей,
р — относительную частоту удаления. Если процесс эпидемии
начинается при наличии пг восприимчивых индивидуумов и п
источников инфекции, то
и(х9у9 0) = xmyn. (2.9.81)
В случае простой эпидемии (с нулевым латентным периодом),
когда процесс протекает в однородно перемешанной группе из
m+l индивидуумов и случайный характер носит лишь число
восприимчивых индивидуумов, уравнение (2.9.80) заменяется
уравнением типа реакции—диффузии:
ut = (х2 — х)ихх + m( 1 — х)иХ9 и = и(х9 /), (2.9.82)
а условие (2.9.81) —условием Коши: и(х9 0) = хт.
Многочисленные задачи популяционной генетики решаются в
терминах вероятностных распределений, удовлетворяющих
уравнению в частных производных вида
* = ^(х)и]хх - [ф)и]х . (2.9.83)
Уравнение (2.9.83) является линейным уравнением второго
порядка параболического типа и известно как уравнение Фокке-
ра — Планка или прямое уравнение Колмогорова. Его
коэффициенты а(х) и Р(лг) очень часто имеют вид
а(х)= оо — оцх + а2х29 $(х)= р0 — М + М2,
где оц и р, (/=0, 1, 2)—некоторые биологические параметры.
Уравнение Фоккера — Планка и различные его модификации
весьма успешно используются в теории популяции. Важным
примером такой модификации является уравнение Кимура:
ut= pi[(*2 — х)и]хх — [и(ао — а\х + а2х2 +
1 1
+ аь[хи(х9 t)dx]x + с[х — \ хи(х9 t)dx]u9 (2.9.84)
о о
0<jc<1, />0.
Здесь u=u(x9t)9 (Xq = const^0, ai = const>0, pi, a2, аз и с —
генетические (положительные) параметры. Решение и(х, t) урав-
128

ГЛАВА 3
ПОСТАНОВКА ОСНОВНЫХ ЛОКАЛЬНЫХ
И НЕЛОКАЛЬНЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ 3.1. ОСНОВНЫЕ ЛОКАЛЬНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО, ПАРАБОЛИЧЕСКОГО
И СМЕШАННОГО ТИПОВ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
3.1.1. Задачи Дирихле, Неймана и Пуанкаре. В ограниченной
области Q евклидова пространства Rn точек х=(х\у х2у хп)
рассмотрим систему линейных уравнений с частными
производными второго порядка эллиптического типа
где а'', Ь\ с — заданные матрицы размера тХ т> / = (/., /2, fm) —
заданный, а и = (и\у u2j ит) — искомый вектор с
действительными компонентами, /, /=1,2, п.
При п=\ соотношение (3.1.1) представляет собой систему
обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка
эллиптичность которой есть не что иное, как условие deta(x)=£0
для всех x^Q.
Задачу отыскания решения уравнения (систем уравнений) в
частных производных, удовлетворяющего на границе о области
его задания Q определенным, так называемым краевым (или
граничным) условиям, принято называть краевой (или
граничной) задачей.
Пусть р\х)у /=1, 2, пу и q(x) — заданные на границе
о = dQ области Q действительные квадратные матрицы
порядка т, а г(х) = (г\, г2, гт) —вещественный вектор, также
заданный на а.
Задача Пуанкаре (или третья краевая задача) ставится
следующим образом: найти регулярное в области Q решение и=и(х)
(матричного) уравнения (3.1.1), удовлетворяющее краевому
условию
аИ(х)иХ1Х, + b\x)uXi + с(х)и = f(x)y
(3.1.1)
а(х)и" + b{x)uf + с(х)и = f(x),
р\х)их. + q(x)u = r(x)y Vx^oy
(3.1.2)
130

где под uXi и и при xgg понимаются предельные значения этих
векторов на а изнутри области Q.
В случае, когда р1(х)=0 для всех /= 1, 2, п и det^^O,
условие (3.1.2) можно переписать в виде
и(х) = <р(х), Yxeeo, (3.1.3)
где ф= q~lr, а q~l — матрица, обратная q.
Задача отыскания регулярного в области Q решения и(х)
уравнения (3.1.1), удовлетворяющего условию (3.1.3),
называется задачей Дирихле (или первой краевой задачей).
Задача отыскания регулярного в области Q решения и(х)
уравнения (3.1.1), удовлетворяющего краевому условию
pl(x)uxl=r(x), V^cr, (3.1.4)
известна под названием задачи наклонной производной (или
задачи с косой производной).
Пусть т = 1 и граница а области Q в каждой своей точке
имеет нормаль v. Задача наклонной производной называется
второй краевой задачей (или задачей Неймана), если р\х) =
= cos(v, xi), т. е. условие (3.1.4) заменено условием
M±=r(x), Vx^a. (3.1.5)
Краевые условия (3.1.3), (3.1.5) и (3.1.2) для заданных в
области Q локальных или нелокальных дифференциальных
уравнений (см. § 2.7) относительно искомого решения и(х)
называются условиями Дирихле, Неймана, Пуанкаре (Робена) или же
условиями первого, второго и третьего рода соответственно.
3.1.2. Краевые задачи для параболических уравнений. Пусть
D — ограниченная область пространства /?п+1 точек (x,t),
заключенная между двумя плоскостями /=0 и t= Т>0. Пред^
положим, что пересечение Do плоскости ( = 0 и замыкания D
не пусто. Через S обозначим замыкание множества граничных
точек D, для которых t=£Q и t^T. Точки S, не принадлежащие
плоскости / = 0, обозначим через S.
В области D рассмотрим параболическое уравнение
aij(x, t)uXiXj + b\x, t)uXi + c(x, t)u — щ = f(x, t), (3.1.6)
где функции a1', bl, c, f вещественны и принимают конечные
значения:
a*' = a", aij(x,tMi>0, \/(x,t)<=D, 0¥=Z<=Rn.
Основными краевыми задачами для параболических
уравнений являются следующие задачи.
Первая краевая задача. Найти регулярное в
D\(Dol)S) решение u = u(x,t) уравнения (3.1.6), непрерывное в
D и удовлетворяющее условиям
9*

u\t = 0= ф(х),
"Is = ц(Х, t)y
(3.1.7)
(3.1.8)
где ф и г|) — заданные непрерывные функции.
Задача с косой производной. Найти регулярное в
D\(D0[)S) решение u=u(xyt) уравнения (3.1.6), непрерывное в
D и удовлетворяющее условиям
и\м = ф), (Ц- + q(x, 0")|s= r(x, t)y (3.1.9)
где ф, q и г — заданные непрерывные функции, v — заданное
направление, не параллельное оси t и образующее острый угол с
внутренней нормалью к поверхности S, которая по
предположению имеет касательную плоскость в каждой своей точке.
Часть границы dD области D, которая является носителем
начального и граничного условий, будем называть нормальной
границей.
Если область D является цилиндром ЙХ]0, Т[ с
образующими, параллельными оси tt основанием которого служит
область Q в плоскости /=0, направление v совпадает с
направлением конормали к S:
a'W)C0S(v,*,)-^
и q(xy t) = 0y то задача с косой производной называется второй
краевой задачей.
Первую, вторую и третью краевые задачи для
параболических уравнений принято называть также первой, второй и
третьей начально-краевыми задачами. При этом под третьей
краевой задачей понимают задачу с косой производной.
При /1=1, хх=ху D = {(jc, t)\ 0<х</, 0</<Г} уравнение
(3.1.6) принимает вид
а(ху t)uxx + b(xy t)ux + с(ху t)u — ut = f(xy t)9 (3.1.10)
где a(xt t)>0 в D.
Основные начально-краевые задачи для уравнения (3.1.10) в
области D охватываются следующей постановкой: найти
регулярное в D[){(xy Т): 0<jc</} решение u = u(x,t) уравнения
(3.1.10), удовлетворяющее начальному условию
и(ху 0) = ф(х), 0<х</ (3.1.11)
и граничным условиям
po(t)ux(Oy t) + q0(t)u(0y t) = r0(t)y
Pi(x)ux(lyt) + qi(t)u(ly t) = r{(t)y 0</<7\ (3.1.12)
где функции ф(х), pi(t)y qi(t)y r(t)y (/=0, 1) заданы, вещественны
и принимают конечные значения.
132

Сформулированные задачи с естественными изменениями
распространяются на широкий класс систем уравнений в частных
производных второго порядка параболического типа. Например,
аналогом условий (3.1.11) — (3.1.12) в случае
реактивно-диффузионной системы (2.9.69), рассматриваемой в области D,
являются следующие условия:
щ{ху 0) = ф/(л:), 0О</,
№)^x_0 + №)ut°> t) = r\{t)y
где *= 1, 2, пу 0<t<T.
3.1.3. Задача Трикоми. Рассмотрим модельное уравнение
смешанного типа
sign у-\у\тихх + иуу = 0, m = const^0. (3.1.13)
При m= 1 это уравнение совпадает с уравнением Трикоми
(2.9.78), а при т = 0 оно известно как уравнение Лаврентьева—
Бицадзе.
В полуплоскости у<0 уравнение (3.1.13) обладает двумя
семействами характеристических кривых [см. формулу (2.5.7)]:
9 т + 2 2 т + 2
х —( — уУ2 = const, х Н —(—у) 2 = const.
Область задания уравнения смешанного типа принято
называть смешанной областью.
Пусть Qm — односвязная смешанная область евклидовой
плоскости точек z = (*,#), ограниченная кривой Жордана
amc{z: у>0} с концами в точках А = (0, 0), В = (/, 0) и
характеристиками
m+2 0 т+2
ЛСп: х--Лт(-у)^-=0, BCm: х + -^фу<-у)~^= I
уравнения (3.1.13), пересекающимися в точке Ст.
Задача Трикоми для уравнения (3.1.13) ставится
следующим образом: найти регулярное в области Qm_ при уФО
решение и=и(х,у) уравнения (3.1.13) из класса C(Qm)(] C!(Qm),
удовлетворяющего условиям
и\от = ф, у), и\Аст = Ц>(у), (3.1.14)
где ф и г|) — заданные функции.
В этой задаче роль нормальной границы (см. п. 3.1.2) играет
часть от\]АСт границы dQm, которая выступает носителем
данных Трикоми ф и г|э.
133

Вернемся к уравнению (2.9.76) и предположим, что
требуется найти его точное или приближенное решение u=u(xyt)y
удовлетворяющее заданному нелокальному уравнению
ut = r(t), U-U<e, (3.1.15)
где r(tm) = 0, (tm — t)r(t)>0 при t=£tm. Очевидно, функция
и(ху t) является решением уравнения смешанного типа (2.9.77),
где &(/)= 2ar(t)t c(t) = 2yr(t)y f(t) = \xr(t). В этом уравнении
можно перейти к новым переменным по формуле
У = t—tm, v(xy у) = u(xy tnx + y).
В результате уравнения (2.9.77) и (3.1.15) примут вид
K(y)vxx+vyy+C(y)v = F(y)y \у\<гу (3.1.16)
/
vy^^\v{xyy)Ax^R{y)y М<е. (3.1.17)
Здесь K(y) = k(y + tm), C(y) = c(y + tm)y F(y) = f(y + tm).
Интуитивно ясно, как надо ставить задачу Трикоми для
уравнения (3.1.16) в содержащейся в полосе |#|^е области и для
более общего уравнения вида
K{y)vxx + vyy + А(ху y)vx + B(xy y)vy + C(xy y)v = /(*, y).
(3.1.18)
Одним из обобщений задачи Трикоми является краевая
задача, когда на эллиптической части от нормальной границы
условие Дирихле и\ат = у(ху у) заменено условием Пуанкаре
Р\(х, У)их + р2(ху у)иу + q(xy у)и = г(ху у)у (ху у)€=от.
(3.1.19)
Пусть Qm — гиперболическая часть смешанной области Qmy
т. е. область, ограниченная характеристиками АСту ВСт
уравнения (3.1.13) или (3.1.18) и отрезком АВ: 0<х</ линии у=0
изменения типа. С задачей Трикоми непосредственно связана
следующая задача.
Обобщенная задача Дарбу. Найти регулярное в
области Qm решение и=и(хуу) уравнения (3.1.18), непрерывное в
Qm и удовлетворяющее краевым условиям
и\лст = Ъ(у), (3.1.20)
Pi(x)ux(xy 0) + р2(х)иу(ху 0) + q(x)u(xy 0) = r(x)y
(3.1.21)
где pi(x)y p2(x)y q(x)y r(x) — заданные на сегменте О^л:^/
действительные функции.
134

Если pi(x) = 0, p2(x) = 0y q(x)=\y то обобщенная задача
Дарбу называется первой задачей Дарбу\ если же рх(х) = Оу
р2(х) = 1, q(x) = 0 — второй задачей Дарбу.
Равенство (3.1.21) можно рассматривать как условие,
полученное из (3.1.19) при непрерывной деформации кривой от до
совпадения с отрезком АВ. Поэтому первую задачу Дарбу
иногда называют сингулярной задачей Трикоми.
§ 3.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И КЛАССИФИКАЦИЯ НЕЛОКАЛЬНЫХ
ЗАДАЧ
3.2.1. Определение локальных задач и их классификация.
Пусть Q — дг-мерная область евклидова пространства Rn точек
z = (xj, х2у хп) с границей dQ; со — принадлежащее
замыканию Q непустое множество, а {/} — индексное множество точек
числовой прямой R.
В области Q рассмотрим матричное, вообще говоря,
нелокальное (относительно множества операции дифференцирования)
уравнение
Lu = f(z). (3.2.1)
Определение 3.2.1. Задачу отыскания решения u = u(z)
уравнения (3.2.1) в области Q, удовлетворяющего на
множестве со условиям вида
= (3.2.2)
назовем локальной задачей для уравнения (3.2.1), если образ
отображения В\и: z-*tyj(z) в любой точке геш однозначно
определяется значением функции и или ее производных до
определенных порядков в этой же точке z.
Участвующие в определении 3.2.1 условия (3.2.2) и
операторы назовем локальными (см. п. 1.6.1), а множество со —
носителем локальных условий.
Легко установить, что все сформулированные в § 3.1 задачи
являются локальными.
Определение 3.2.2. Локальную задачу для уравнения
(3.2.1) в области Q назовем: внутренней, если замыкание со
носителя локальных условий принадлежит Q; краевой, если
(oczdQ; внутреннекраевой, если со содержит как точки области Q,
так и ее границы dQ.
3.2.2. Определение нелокальных задач и их классификация.
Задачи для уравнения (3.2.1), соответствующие условия и
операторы, которые не являются локальными, естественно называть
нелокальными.
Определение 3.2.3. Нелокальную задачу для уравнения
(3.2.1) в области Q назовем: внутренней, если замыкание <о
носителя нелокальных условий принадлежит Q; краевой, если
135

(oczdQ; внутреннекраевойу если со содержит как точки области
Q, так и ее границы dQ.
Задача об охлаждении неоднородного изогнутого стержня
при определенной ее схематизации сводится к задаче
отыскания решения u(z)y z = (xy y)^R2y уравнения
guy — (k0ux)x + m0u = 0 (3.2.3)
в области Q = {z:0<jf</, 0<г/<Г}, удовлетворяющего
краевым условиям
Bxu(z)^u(xy 0) = ipi(jc), 0<х</,
BjU(z) в a{u(Oy у) + а*их(Оу у) + а*и(1у у) +
+ аЬих(1уу) = 0у 0<у<Ту /=2, 3,
где gy koy mo — параметры тонкого стержня длины /,
отсчитываемой от концевой точки х = 0; а[ — заданные постоянные
величины. Эта задача, которая является локальной лишь при
а2 = а2 = а? = а\ = 0 или а? = а2* = аз = а\ = 0, предложена
В. А. Стекловым как обобщение следующих двух краевых
задач:
1) Ux(xh у) = а{и(0у у) + aku(L и(х. 0) = ури х2 = 0, х3 = /;
2) их(1у у) = а2их(0у у) + а\и(0у у)у и(1у у) = а2и(0у у)у и(ху 0) = <ф,
для уравнения (3.2.3), названных им задачами первого и второго
классов соответственно.
К краевым задачам с локальным В\и = i|>i(jc), O^jc^/,
и нелокальным
B**)-ii+*/£HJ -тк*>.
0<*/<7\ /=1,2 (3.2.4)
условиями для реактивно-диффузионных уравнений [см.
уравнение (2.9.71)] вида
иу = [(аи + $)и]хх + \x(z)u — y(z)u2 + f(z)y zeQ
сводятся многие проблемы биологической синергетики.
Очевидно, что условия (2.9.63), выражающие форму
биологического реактора, охватываются нелокальным условием (3.2.4).
Определение 3.2.4. Нелокальное условие
2 Bfu(z) = P/(z), zgecd, (3.2.5)
k= i
назовем условием локального смещения (сдвига) или условием
первого класса для уравнения (3.2.1), если оператор Bf является
локальным для любого k= 1, 2, р и
136

Интуитивно ясно, как теперь следует ввести понятие краевых,
внутреннекраевых условий и задач с локальным (нелокальным)
смещением (сдвигом) или задач первого (второго) класса.
Пусть процесс размножения отдельной популяции в
одномерном биологическом реакторе, имеющем форму достаточно
длинной трубки, замкнутой в кольцо, происходит в соответствии с
логистическим уравнением, учитывающим эффект постоянного
запаздывания т^О и фактор диффузии вдоль реактора с
постоянным коэффициентом диффузии D. Тогда [см. равенство
(2.9.35)] в качестве математической модели этого процесса
может выступать следующая нелокальная задача с локальным
смещением: в области Q = {(*, /): 0<лг</, 0</<Г} найти
решение и = и(х, t) параболического уравнения с сосредоточенным
запаздыванием
ut = Duxx + [\х — \ци(х9 t — t)]u,
удовлетворяющее условиям
и(х, t) = ф(х, 0, 0<х</, — т</<0,
и(0, t) = u(i, о, "*(0, о = t).
Здесь и(ху t) — плотность популяции в точке х в момент
времени /, ф(л:, /) — заданная начальная функция, / — длина реактора.
Приведем классический пример краевой задачи с локальным
смещением.
Задача Карлемана. Найти аналитическую в области
Qd/?2 функцию <D(z) комплексного переменного z = x + iy из
класса C(Q), удовлетворяющую граничному условию
Ф[9(0] = G(t)0(t) + g(t), t<=dQ, (3.2.6)
где Q(t) — гомеоморфизм границы dQ на себя с изменением
направления обхода контура dQ, 8[0(О] = 0°0 = t.
Условие (3.2.6) является краевым условием первого класса,
и оно с помощью локальных операторов связывает значение
Ф[0(0] = Ф°в(0 и Ф(0 искомой функции Ф(г) в гомеоморф-
ных точках Q(t) и t из dQ.
Закон восстановления (2.9.88) для уравнения Фоккера —
Планка (2.9.87) выступает в качестве его нелокального краевого
условия с локальным смещением. То же самое можно сказать
относительно условий (2.9.92) для параболического уравнения
(2.9.91) со спектральным параметром к.
Уравнения рождаемости (2.9.60) и (2.9.89) соответственно
для уравнений Мак Кендрика —фон Ферстера (2.9.59) и
Фоккера— Планка (2.9.87) являются внутреннекраевыми условиями с
нелокальными смещениями. К такому типу условий относится и
условие (3.1.17) для уравнения (3.1.16).
Нетрудно заметить, что условие (2.9.68) в случае, когда
jt0^]0, /[, представляет собой внутреннекраевое условие с ло-
137

кальным смещением для системы (2.9.66) — (2.9.67), заданной в
области Q = {(*,/): 0<x</, 0<t<T\.
Определение 3.2.5. Нелокальное условие вида (3.2.5)
называется условием со смешанным сдвигом, если среди
операторов В* найдется по крайней мере один оператор с
нелокальным смещением.
Условие (2.9.85) в задаче (2.9.&э) — (2.У.86) для уравнения
Кимура является интересным примером внутреннекраевого
условия со смешанным сдвигом.
Если допустить, что динамика некоторого пространственно
распределенного сообщества описывается
реактивно-диффузионной системой вида
-jj-= DiAxui + ft(u)y /=1,2, m, xgQ,
то роль внутреннекраевого условия с локальным смещением
может сыграть уравнение типа Лесли:
"Q/> t+\)\y<=o0 = щху OUea,, у= Q(x).
Здесь: Ui=ui(xyt) — плотность в точке xgQc/?" (п = 2, 3);
Q — ограниченная область (место обитания сообщества); А —
коэффициент диффузии, пропорциональный квадрату радиуса
индивидуальной активности особи i-ro вида, входящего в
сообщество; Ах — оператор Лапласа по переменной точке х = (х\у
х2у Хп) \ о\ — часть границы dQ, представляющей собой (/г — 1 )-
мерную поверхность; сто— гомеоморфный y=Q(x) образ ai,
лежащий в области D; и=||и4-||—матрица-столбец порядка т\
L — матрица Лесли (см. п. 2.9.7).
3.2.3. Задача Бицадзе —Самарского. В пространстве Rn
точек х с декартовыми ортогональными координатами х\у х2у
хп рассмотрим область Q с кусочно-гладкой границей a = dQ,
которая является (л — 1)-мерной поверхностью. Обозначим через
о\ часть а, представляющую собой (п— 1)-мерную разомкнутую
гладкую поверхность.
Пусть а0 — гомеоморфный образ о\ при отображении у= Q(x)y
обладающий тем свойством, что Qfloo^O, и если точка х^о\у
то его образ y^Q[)(o\ai).
Естественным обобщением задачи Дирихле можно считать
следующую внутреннекраевую задачу с локальным смещением.
Задача Бицадзе — Самарского. Найти регулярное в
области Q решение и(х) уравнения (3.1.1), непрерывное в Q и
удовлетворяющее условиям
и(х) = ф(х), tyx^o\o\y
и[в(х)] = и(х)у Yx<=o\y
где ф(*) — заданный непрерывный m-мерный вектор, и[6(*)] =
= uoQ(x).
138

Задача Самарского. Найти регулярное в_области Q
решение и = и(х) уравнения (3.2.14), непрерывное в Q и
удовлетворяющее условиям
и(0, t) = T(t), 0<f<7\ (3.2.15)
и(%у t)Al= \i(t)y 0</<7\ (3.2.16)
и(х, 0) = ф(х), 0<х</, (3.2.17)
где т(/), \i(t) и ц)(х) — заданные непрерывные при O^t^T и
О^х^/ функции.
Нелокальное условие (3.2.16) принято называть условием
Самарского.
Из (3.2.15) — (3.2.17) видно, что условия
т(0) = Ф(0), (3.2.18)
q<jc)djc = |х(0) (3.2.19)
являются необходимыми для разрешимости задачи Самарского в
классе C(Q).
Если \i(t)^Cl[0, Т] и соблюдено (3.2.19), то условие (3.2.16)
эквивалентно условию
-§r^u(l,t)dl = v(t), 0<*<7\ (3.2.20)
где v(t)=\i'(t). Поэтому ясно, что если в задаче Самарского
условие (3.2.16) заменить нелокальным условием (3.2.20), где
v(/) — произвольным образом заданная функция из С[0, Г], то
получим новую нелокальную задачу с одним необходимым
условием разрешимости (3.2.18).
Из равенства (3.2.14) после почленного его интегрирования
по х от е>0 до /—-е>0 имеем
1-Е 1-Е
u(x, t)dx= \ ихх(х, t)dx= —их(г, t) + ux(l — E, t).
е е
Если илеС(Й), то отсюда при е-^0 находим
-§t^u(x, t)&x=ux{ly 0-"до, О-
140

Рассмотрим случай, когда (3.1.1) является уравнением
Лапласа
ихх + иуу = 0 (3.2.7)
с независимыми действительными переменными х, у, область Q
совпадает с прямоугольником |х|</, 0<у<\, а о\ и сто
представляют собой отрезки х=1, О^.у^.1 и х = 0, O^t/^1
соответственно.
Итак, в задаче Бицадзе — Самарского требуется найти
регулярное в области Q решение u(z) = u(xt у) уравнения (3.2.7),
непрерывное в Q и удовлетворяющее условиям
и(х) = (pi(x), u(x + i) = ф2(х), и(1у — 1) = уЖУ)'
0<*/<1, (3.2.8)
Ц/ + = u(iy), 0<*/< 1, (3.2.9)
где 2 = jc + /с/ — комплексная переменная, фь ф2 и ф3 —
заданные непрерывные функции.
Докажем, что задача (3.2.8) —(3.2.9) сводится к задаче
Дирихле для нагруженного уравнения
vxx + vyy + ^±^v(iy) = 09 гей. (3.2.10)
В самом деле, пусть u(z) — регулярное решение уравнения
(3.2.7), удовлетворяющее условиям (3.2.8) и (3.2.9). Рассмотрим
функцию
v{z) = u(z)-^±u{iy). (3.2.11)
На основании (3.2.8) и (3.2.9) легко видеть, что
у(х) = ф1(х)-£±1ф1(0),
У(х + 0 = ф2(х)-^-ф2(0), |х| </, (3.2.12)
v(iy -/) = u(iy -/)== ф3(у), v(l + iy) = 0, 0<*/< 1.
(3.2.13)
Поскольку 2v(iy) = u(iy)y функция (3.2.11) является регулярным
в Q и непрерывным в Q решением задачи Дирихле (3.2.12),
(3.2.13) для уравнения (3.2.10), что и требовалось доказать.
3.2.4. Задача Самарского. В прямоугольной области й =
=. {(х, t): 0<х<1у 0</<Г} рассмотрим уравнение
теплопроводности
ut=uxx. (3.2.14)
139

Следовательно, в этом классе функции и(ху t) условие (3.2.20)
эквивалентно краевому условию с локальным смещением:
ux(lyt) - их(0у t) = v(f), 0</<7\ (3.2.21)
Непосредственным вычислением можно убедиться, что замена
х
v(x, t) = (l-x)u(x, t) + |«(g, t)dl, (3.2.22)
которая обращается по формуле
сводит задачу Самарского к первой краевой задаче
о(0, t) = T(t), v(l,t)= fi(/), 0</<Г,
^,0) = (/-Jc)<p(jc) + |(p(g)di, 0<х</,
для нагруженного уравнения параболического типа
Vl = Vxx + _ Х)Ц^^. (3.2.23)
При выводе (3.2.23) удобнее всего воспользоваться
равенством vx=(l — х)иХу вытекающим из (3.2.22).
Здесь уместно отметить, что разностные уравнения,
соответствующие нагруженному уравнению теплопроводности с
полностью локальными условиями и уравнению (3.2.14) с
нелокальными условиями, проводятся, по существу, к одному алгоритму,
который в определенном смысле можно считать одним из
вариантов известного в вычислительной математике метода
циклической прогонки.
К задачам Самарского и Бицадзе—Самарского
непосредственно примыкает следующая задача, предложенная А. М. На-
хушевым в 1979 г.
Задача 3.2.1. Найти регулярное в области Q решение
и(ху t) уравнения (3.2.14), непрерывное в Q и удовлетворяющее
условиям
и(ху 0) = cp(jc), 0<х</, u(ly t) = г|)(/), 0</<7\
(3.2.24)
"(0, 0=2 0 + 6(0, 0<ТУ (3.2.25)
7=1
141

где 0<jc1<jc2<...<jc/<...</; ф(л:), ф(/), ау(/), 6(/) — заданные
непрерывные функции, причем
Ф(0) = 2 ау(0)ф(хо + 6(0), р< оо. (3.2.26)
Условие (3.2.26) представляет собой необходимое условие
разрешимости сформулированной задачи, которое вытекает из
(3.2.24) и (3.2.25).
К внутреннекраевому условию вида (3.2.25) мы приходим при
численной реализации на ЭВМ задачи Самарского, а именно,
когда, пользуясь одной из квадратурных формул, заменяем
условие (3.2.16) условием вида
2 0L-i{t)u{x\ t) = jx(/), 0</< 7\ (3.2.27)
где х1 — узлы квадратурной формулы.
В случае квадратурной формулы Симпсона внутреннекраевое
условие (3.2.27) с локальным смещением имеет вид
и(0, /) + 4и(//2, t) + у) = 6|i(/)//.
3.2.5. Задача со смещением. Вернемся к уравнению (3.1.13),
которое в области Qm можно записать в виде
TmU = 0, ZZEQm, (3.2.28)
где z = (jc, у) = х + iy — комплексная переменная, а
7,m-Signi,.|f,|m-S-+ 62
дх2 1 д*/2 *
Преобразование
у=Г2/{т + 2)у
переводит уравнение (3.2.28) в уравнение
s\gny-\y\mux£+ идд = 0,
а точки Л и В— в точки (0, 0) и (1, 0), и поэтому, не нарушая
общности, будем предполагать, что 1=1.
Примем следующие обозначения: / ={z : 0<х< 1, у=0}\
Э?(Л) = (Ч + 6)/2 - !"[ h - g|(m + 2)/4]2/<™ + 2>.
Легко установить, что Щц) = e™(r))ls=o и 9Г(т)) = 0^(r])|^i
для т|е/ представляют собой точки пересечения характеристик
уравнения (3.2.28) с характеристиками АСт и ВСт соответствен-
142

но. Следовательно, точки т], бо^т]), Эог(1)=Ст и 0f(Ti) являются
вершинами характеристического четырехугольника.
В задаче Трикоми часть ВСт характеристического
многообразия АСт[}ВСт свободна от граничных условий. Поэтому точки
гиперболической части границы dQm не являются равноправными
как носители граничных данных. Этот факт не позволяет найти
непосредственный аналог задачи Трикоми для уравнений
смешанного типа в многомерных областях, особенно в случае, когда
поверхность изменения типа пространственно ориентирована.
В связи с этим в 60-х годах А. В. Бицадзе была выдвинута
проблема поиска корректно поставленных краевых задач для
уравнений смешанного типа второго порядка с двумя
независимыми переменными. Для реализации этой проблемы А. М. На-
хушев в 1969 г. предложил ряд задач нового типа, вошедших в
математическую литературу под названием краевых задан со
смещением.
В теории краевых задач со смещением для уравнений вида
Тти + a(z)ux + b{z)uy + c(z)u = f(z) (3.2.29)
важную роль играет дробное исчисление (см. § 1.5).
Непосредстенным и существенным обобщением задачи
Трикоми является следующая задача.
Краевая задача со смещением. В области Qm найти
решение и = u(z) = u[z] уравнения (3.2.28) или (3.2.29) из
класса C(Qm)(]Cl(Qm), удовлетворяющее условиям
u(z) = <f(z), yz<=om, (3.2.30)
A{x)DhTzu[W(x)] +B(x)D\7eu[QT(x)] = ф), Ух^]у
(3.2.31)
где e=m/(2m + 4), cp(z), А(х), В(х) и г|>(х) — заданные
непрерывные функции, причем А\х) + В2(х)Ф0, \/х^1.
Многие задачи как с локальным, так и нелокальным
смещением, изученные с большой полнотой и общностью, в случае
уравнения (3.2.28) можно охватить следующей постановкой:
в области Qm найти решение u[z] уравнения (3.2.28) [или
(3.2.29)] из класса C(Um)C\C\Qm), удовлетворяющее условию
Пуанкаре (3.1.19) и нелокальному внутреннекраевому условию
Aj(x)D^[Q^x)] + Bi(x)DUu[QT(x)] +
+ [ak(x)Da0x + bk{x)D\x]u[x] +[cp(x)D^x +
+ dp(x)Dfy]uy[x] = V*€=/f
где а/, p*<2, под повторяющимися индексами у, р
подразумевается суммирование и заданные функции считаются достаточно
гладкими.
143

1) для любого ф^£ф существует решение и^Еи\
2) решение и определяется однозначно;
3) она устойчива на (Еи, £Ф).
Пусть:
1) Еи = С[0, Т] — пространство непрерывных на сегменте
0^/<Г функций с метрикой
9и(ии и2) = max|i/,(/) — u2(t)\ = \\ul — u2\\\
[о, Т) 4 v '
2) Ey=R — пространство с метрикой рф(ф|, фг) = 1ф1 — фг|.
В качестве простого примера корректно поставленной на
паре пространств (С[0, Г], R) задачи можно рассмотреть задачу
Коши: и(0) = ф>0 для уравнения Мальтуса (2.9.1) с
постоянным коэффициентом прироста г=\1>0.
В силу (2.9.2) решение этой задачи имеет вид
u(t) = фехр(р,/).
Следовательно,
II" 1 — "211 = 1ф1 —ф2|ехр(цЗг).
Задача (локальная или нелокальная), которая не является
корректно поставленной на паре пространств (EUi £ф),
называется некорректно поставленной (или просто некорректной).
Следует отметить, что определение некорректно* поставленной
задачи относится к данной паре (£и, £ф), так как в других
метриках та же задача может оказаться корректной.
§ 3.4. ФОРМУЛА ГРИНА ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
ОПЕРАТОРОВ ВТОРОГО ПОРЯДКА И НЕОБХОДИМЫЕ
КРАЕВЫЕ УСЛОВИЯ
3.4.1. Формула Грина для дифференциальных операторов.
Пусть Q — область из /?л, граница дй==а которой состоит из
конечного числа непересекающихся замкнутых (п — 1)-мерных
поверхностей класса С1 (см. п. 1.4.4).
В области Q рассмотрим линейное уравнение с частными
производными второго порядка
La = /(*), (3.4.1)
где
— дифференциальный оператор с непрерывными в Q
коэффициентами а1] = а}\ Ы, с.
Здесь, как и ранее, под диагонально повторяющимися
индексами /, / подразумевается суммирование от 1 до п.
10 Заказ №1786
145

f 3.3. ПОНЯТИЕ КОРРЕКТНОСТИ ПОСТАНОВКИ ЛОКАЛЬНЫХ
И НЕЛОКАЛЬНЫХ ЗАДАЧ
3.3.1. Пример Адамара. В математической биологии, как и в
математической физике, различают корректно и некорректно
поставленные задачи. Понятие корректной постановки задач было
введено Ж. Адамаром. Постановка задач математической
биологии содержит, как мы видели в § 3.1, некоторые исходные
данные, входящие в краевые, внутренние или внутреннекраевые
условия, и, как правило, искомое решение зависит от этих
данных. Исходные данные (или входные данные) определяются
обычно из опыта и поэтому не могут быть найдены абсолютно
точно. Всегда неизбежна некоторая погрешность в исходных
данных, например в начальных или граничных данных. Эта,
пусть даже малая, погрешность, очевидно, будет сказываться и
на решении, и не всегда погрешность в решении окажется,
в свою очередь, малой.
Действительно, рассмотрим следующий пример
Адамара: найти регулярное в области Q = {(xy у):—п/2<.х<Сп/2у
0<у<Т} решение и=и(хуу) уравнения Лапласа (3.2.7),
непрерывное в Q и удовлетворяющее условиям
и(-п/29у) = и(п/2,у) = 09 0<*/<7\
и(ху 0) = 0, иу(ху 0) = ехр(—)cos kx.
Известно, что единственное решение этой локальной задачи
имеет вид
i/ = i-exp(—V*)sh*y, £=1,2, ... (3.3.1)
Легко видеть, что если Л-^+оо, то функция ехр( — -yjk )coskx
равномерно стремится к нулю, и притом не только сама, но и все
ее производные. Однако решение (3.3.1) при любом уфО имеет
вид косинусоиды со сколь угодно большой амплитудой.
3.3.2. Понятие корректно поставленной задачи. Сущность
любой локальной или нелокальной задачи Р заключается в
нахождении ее решения и^Еи по заданным исходным данным
фЕ£ф) где Еи и £ф — некоторые метрические пространства
(см. п. 1.1.2) с метриками рм и рф, которые обычно определяются
постановкой задачи.
Пусть определено понятие решения задачи Р и каждому
элементу фЕ^ отвечает единственное решение и = R(y)^Eu.
Задача Р называется устойчивой на паре пространств (Еи,
£ф), если для любого е>0 можно указать такое число б(е)>0,
что из неравенства рФ(фь фгХб(е) следует pu{ti\y w2) < е, где
Uj=R(yj), Uj^Eu, ф/е£ф, /=1,2.
Задача Р называется корректно поставленной на паре
пространств (EUy £Ф) (или просто корректной), если:
144

Если al,(x)^Cl(Q) для всех /, /= 1, 2, пу то оператор
(3.4.2) с областью определения D(L)czC2(Q)f]C\Q) можно
представить в виде
где
j = i axi
Дифференциальный оператор
с областью определения D(L*)czC2(Q)[)Cl(Q) называется
сопряженным к L оператором.
Оператор L называется самосопряженным, если D(L) =
= D(L*) и Lu = L*u для любой функции и из D(L).
Непосредственным вычислением можно показать, что
vLu — uL*v = -?-{ац{ихр — vXtu)] + -^-(а'ю) (3.4.3)
OXj CtXj
для любой функции u^D(L) и v^D(L*).
Через V/ = cos(v, Xj) обозначим направляющие косинусы
внешней нормали v = (vi, V2, vn) к границе а в точке х^в.
Вектор
v* = (v1,v2, ...,vn), vl = ct\x)vi
назовем конормалью (относительно L) в точке х^оу а
выражение (см. п. 1.4.2)
ди/д\* = us = V uv*
— производной по направлению конормали от функции и = и(х)
(или просто конормальной производной) функции и в точке х.
Если х^о — характеристическая точка для оператора L
(см. п. 2.4.1), то конормальная производная us является
касательной или тангенциальной производной.
Действительно, по определению, скалярное произведение
v. • v = = alj(x)\iVj, и оно в силу определения
характеристической точки х оператора L равно нулю. Следовательно, вектор v*
перпендикулярен нормали v в точке ху т. е. в этой точке он
направлен по касательной к поверхности а.
Теперь докажем, что имеет место следующая формула Грина
для оператора L: если u^D(L)y Lu^C(Q)y v^D(L*) и L*v^
s=C(Q)y то
(vy Lu)o — (uy L*v)o = \ (vus — uv*- + uvav)doy (3.4.4)
146

где (/, g)o — скалярное произведение в L2(Q) (см. п. 1.4.5),
а = (а\ а2, ап), av = аЧ, da — элемент поверхности а.
Для этого введем подобласть Qe с границей сге из С1 такую,
что Qec=Q, Qe-^Q при
Проинтегрируем обе части равенства (3.4.3) по области Qe и
воспользуемся известной формулой Грина
j ^-dQe - j P(x)v,do., VP(x) 6= C'(Q.),
где dQe — элемент объема. Перейдя в полученном соотношении
к пределу при в результате найдем
(v, Lu)0 - (иу L*v)0 = (3.4.6)
= \{ац(х)(ихр — Vx.ii) + a]uv]\jdo.
а
Так как uv- = uXial}(x)vjy iv = Ox,a'J'(^)vj, aliuvvj = woav, то
из (3.4.6) выводим весьма важную формулу (3.4.4).
Очевидно, что формула (3.4.4) остается в силе и в случае,
когда а является кусочно-гладкой.
Пусть L в данный момент представляет собой линейный
дифференциальный оператор произвольного порядка и
(Luy v)0 - (и, L*v)0 = \ [S*+(v)S-(u) - SL(v)S+(u)]do.
а
Тогда дифференциальный оператор L* называется сопряженным
оператору L, а дифференциальные операторы S+ и S- —
соответственно операторами существенных и несущественных (или
естественных) граничных условий. Если L = L*, т. е. L —
самосопряженный оператор, то = S+, St_ = S_.
3.4.2. Обобщенная интегральная теорема Гаусса. Пусть vcz
eD(v*) является решением уравнения
L*v = 0. (3.4.7)
Тогда из формулы (3.4.4) заключаем: если u^D(L) —решение
уравнения (3.4.1) с правой частью /eC(Q), то оно является
решением нагруженного уравнения
\ (vuv- — uvv9 + uvav)do = (vy f)0. (3.4.8)
a
Другими словами, любое решение u^D(L) уравнения (3.4.1)
удовлетворяет необходимому краевому условию (3.4.8) с
нелокальным сдвигом.
Уравнение (3.4.7) называется сопряженным с
уравнением (3.4.1).
Теперь нетрудно убедиться в справедливости следующего
утверждения.
Ю* 147

Теорема 3.4.1 (обобщенная интегральная теорема
Гаусса). Пусть C(U),
2|^=ф), V*e=^, avUo. (3.4.9)
Тогда любое решение u^D(L) уравнения (3.4.1) удовлетворяет
необходимому краевому условию
\-*2-do = \fdQ. (ЗАЛО)
Действительно, в силу (3.4.9) функция v(x) = 1 является
решением сопряженного уравнения (3.4.7). Следовательно, и для
этой функции имеет место равенство (3.4.8). Заменяя в нем v на
1 и учитывая ортогональность векторов а и v в каждой точке
х^о, мы придем к (3.4.10).
В случае, когда оператор L совпадает с оператором
Лапласа А*, а уравнение — с уравнением Пуассона
Д,и = /(*), (3.4.11)
условие (3.1.62) имеет вид
s|^da= s/dQ. (3.4.12)
a Q
Из (3.1.5) и (3.4.12) заключаем, что равенство
\ r(x)do = j f(x)dQ
a Q
представляет собой необходимое условие разрешимости задачи
Неймана для уравнения Пуассона (3.4.11).
Соответствующее уравнению Лапласа (2.4.8) условие
sl7da = 0 (3.4.13)
a
известно как интегральная теорема Гаусса.
3.4.3. Формула Бореля — Помпею и интегральная формула
Коши. Пусть Q — ограниченная область плоскости комплексной
переменной z = х\ -f- ix2y граница а которой состоит из конечного
числа непересекающихся кусочно-гладких замкнутых линий.
В области Q рассмотрим уравнение
Lu = f(z), (3.4.14)
где L = d/dz — оператор Коши — Римана (см. п. 2.3.3),
и = u(z) = и\(х) + iu2(x), f(z) = f\(x) + if2(x).
По определению, f(z) как функция комплексной переменной z
148

принадлежит C(Q) тогда и только тогда, когда f/(jc)eC(Q),
/ = 1, 2.
Будем предполагать, что D(t)GC'(Q), и при раскрытии этого
включения руководствоваться соотношением
u(z)s=Cl(Q)ouj(x)eECl(Q), j= 1,2.
Оператор L* = — d/dz с областью определения D(L*)czCl(Q)
назовем сопряженным к L оператором.
Легко видеть, что для любой функции u^D(L) и v = v\(x) +
+ iv2(x)^D(L*) справедливо равенство
vLu — uL*v = vui + uvz = (uv)z. (3.4.15)
Если D(L) и D(L*) принадлежат классу C(fii), то из (3.4.15) на
основании (3.4.5) получаем
$ (vLu - uL*v)dQ = \ -ZOS-dQ = - 4-5 w(*M*)d*- (3.4.16)
fi fi 2 a
Пусть v(z)^KevL* (см. п. 2.1.3). Тогда из (3.4.16)
заключаем: если ф)бВ([) — решение уравнения (3.4.14) с правой
частью f(z)^C(Q)y то оно является решением нагруженного
интегрального уравнения первого рода:
J v{z)u(z)dz = 2i{v, f)0. (3.4.17)
a
Условие (3.4.17), которое должно выполняться для любой
аналитической в области Q функции v(z) комплексной
переменной z, непрерывной в является необходимым краевым
условием, т. е. условием, которому должны удовлетворять все решения
уравнения (3.4.14) из класса Cl(Q)(]C(Q).
Из (3.4.17) при v(z) = 1, f(z) = 0 имеем
$w(z)dz=0, V^^KerL. (3.4.18)
a
Равенство (3.4.18), в определенном смысле сравнимое
с (3.4.13), по существу, представляет собой содержание теоремы
Коши: если функция u(z) аналитична в односвязной области D и
S — любая замкнутая кусочно-гладкая кривая, лежащая в D, то
\u(z)dz = 0.
s
Пусть zo — произвольным образом фиксированная точка
из Q. Если из области Q удалить точку zo вместе с замкнутым
кругом \z ■— zol достаточно малого радиуса е, то получим
подобласть Qe.
Формула (3.4.17) в случае области QEczQ и v(z) = l/(z —
— zo) принимает вид
149

2i\ f(z) dQ = \ u(z)6z = \ u(z)dz - \ u(z)dz .(3.4.19)
iz~Zo ai,z-Zo lz~z° \z-l\ = ez-z»
Во втором интеграле в правой части (3.4.19) произведем замену
переменной интегрирования z по формуле
z = zo + eexp(ap)=^dz = е/ехр(/ф^ф, 0 ^ ф ^ 2л.
Тогда нетрудно установить, что
2л
lim \ = /lim\ u(z0 + eei(f)dw = 2mulz0).
С учетом этого из (3.4.19) при е^О получаем формулу Бореля —
Помпею:
или
- f?T - т5 7^°' V«eQ. (3.4.20)
Таким образом, любое решение u(z)^D(L)f]C(Q)
уравнения (3.4.14) с f(z)^C(Q) удовлетворяет необходимому внутрен-
некраевому условию (3.4.20).
Из (3.4.20) при f(z) = 0 приходим к следующему
утверждению. Если u(z) — аналитическая в области Q и непрерывная в
Q функция комплексной переменной г, то справедлива
интегральная формула Коши:
Из формулы (3.4.21) непосредственно вытекает следующее
весьма важное в теории как локальных, так и нелокальных
краевых задач для аналитических функций комплексной
переменной утверждение: для того чтобы заданная на гладкой кривой
о = dQ функция u{z)y удовлетворяющая условию Гёльдера (см.
п. 1.2.1), была краевым значением аналитической в области Q
функции всюду на а, необходимо и достаточно выполнение
условия
«<z)—=rSf?T'-V^sa. (3.4.22)
Здесь интеграл понимается в смысле главного значения по
Коши:
где ое — часть кривой а, лежащей вне круга \t — z\ е.
150

3.4.4. Необходимое нелокальное условие неравенственного
типа для дифференциального уравнения с неотрицательной
характеристической формой. Вернемся к уравнению (3.4.1) и
предположим, что оно записано в виде
La = {aijux)Xl + aluXl + си = f. (3.4.23)
Уравнение (3.4.23) называется уравнением с неотрицательной
характеристической формой, если форма (см. п. 2.2.2)
Q(jc, g) = a%x)bli > О, V*€=Q, l^Rn- (3.4.24)
К такому классу уравнений относятся линейные уравнения
второго порядка эллиптического и параболического типов, в частности
уравнения Фоккера — Планка (2.9.83) и (2.9.87).
Нас будет интересовать решение u^D(L) уравнения (3.4.23),
удовлетворяющее нелокальному краевому условию
\ u(uv- + -±-uav)do = 0. (3.4.25)
Справедлива следующая лемма об априорной оценке для
уравнений с неотрицательной характеристической формой.
Лемма 3.4.1. Пусть а^)еС'(Й), а^)еС'(й), c(x)e=C(Q);
f(x)^C(Q) и в замыкании Q соблюдены условие (3.4.24) и
неравенство
с(х) < 4" 2 d,(x). (3.4.26)
Тогда для любого решения u^D(L) уравнения (3.4.23),
удовлетворяющего краевому условию (3.4.25),
Ы1о< |i||fl|o, (3.4.27)
где \i — некоторая положительная постоянная, которая не
зависит от и, а ||-|1о означает норму в пространстве L\Q) (см.
п. 1.4.5).
Действительно, легко проверить, что для любой функции и^
uLu ч= ( иацих, + -y-uV) — a''ux,Ux, +
+ (c-±-iti)u2. (3.4.28)
Интегрируя (3.4.28) по области й и воспользовавшись
формулой Грина (3.4.5), получим
151

(и, Lu)0 — \и^ аиих, + 4~wa/) v/da —
- S ( 4- 2 ai, - c) u2dQ - \ a^UxMxAQ- (3.4.29)
В силу (3.4.24)
aijuXiuXj^ 0, \/ue=D(L).
Поэтому из (3.4.29) с учетом определения конормали v* (см.
п. 3.4.1) и неравенства (3.4.26) имеем
- (и, Lu)0 > \ м( uv . + -i-«av) da + jxolkllo, (3.4.30)
где
\xo = minf 4-2 я£/ — ^ > 0.
й V 2 / - i /
Потребуем теперь, чтобы функция и удовлетворяла (3.4.23) и
(3.4.25). Тогда из (3.4.30) сразу получаем
|АоИи||§< -(М)о. (3.4.31)
Принимая во внимание очевидное неравенство
— 2и[^ги2 + /2/е, Ve>0,
из оценки (3.4.31) имеем
2|iolklli! < (2и, - f)o < г\\и\\20 + ||/||§/е.
Следовательно.
(2jx0 - г)г\\и\\1 < ||/||8, V* > 0.
Отсюда, полагая е<2р,о, придем к оценке (3.4.27).
Оценки [например, вида (3.4.27)], которые могут быть
установлены без предварительного знания того, что решения, для
которых эти оценки справедливы, действительно существуют,
принято называть априорными.
Априорная оценка (3.4.27) является необходимым
(нелокальным) условием существования решения и = и(х) краевой задачи
(3.4.25), а значит, и однородной задачи Дирихле
и(х) = 0, \/хе=о (3.4.32)
или задачи
и,* + ±-uav = 0, Yx<=o (3.4.33)
для уравнения (3.4.23), коэффициенты которого удовлетворяют
условиям леммы 3.4.1.
Реализованная здесь схема вывода априорной оценки (3.4.27)
вписывается в более общую схему, Известную как метод интегра-
152

лов энергии (или же метод abc). Сущность этого метода состоит
в отыскании с помощью формулы Грина (3.4.23) линейного
оператора
/« = ао(х) + ai(*)"5~- + а2(*)-^~ + - +
с достаточно гладкими коэффициентами и с областью
определения D(/a)c:D(L), гарантирующего выполнение неравенства
—(lauy Lu)0 >
для всех функций u^D(L), удовлетворяющих однородным
краевым или внутреннекраевым условиям. При этом р,, как и в (3.4.27),
не зависит от иу а || • II — некоторая норма, диктуемая самой
задачей, особенно типом уравнения (3.4.23).
3.4.5. Единственность регулярного и существование слабого
решений задачи Дирихле. Если разность и = и\ — и2 любых двух
решений и\ и и2 уравнения (3.4.23) удовлетворяет краевому
условию (3.4.32) и соблюдены условия леммы 3.4.1, то и\ = и2.
Действительно, так как Lu = L(u\ — и2) = Lu\ — Lu2 = / — / =
= 0, то из (3.4.27) заключаем, что ||м||0=0. Поэтому и а О,
т. е. и\ s= и2.
Из доказанного утверждения, в частности, следует, что в этих
же условиях задачи Дирихле, как неоднородная (3.1.3), так и
однородная (3.4.32), не могут иметь более одного решения из класса
С (Q)(]C\Q). То же самое можно сказать и для задачи (3.4.33).
Необходимые внутреннекраевые условия позволяют
естественным образом ввести понятие обобщенного решения
уравнения (3.4.23).
Определение 3.4.1. Интегрируемую в области Q
функцию и = и(х) назовем обобщенным решением уравнения (3.4.23),
если
(иу L*v)0 = (v, /)о (3.4.34)
для любой функции уеС5° (Q) (см. п. 1.4.6).
Целесообразность такого определения вытекает из следующего
утверждения: если существует обобщенное решение и(х) уравнения
из класса C2(Q)y то оно совпадает с регулярным решением.
В самом деле, так как v и vv* на а равны нулю, то из (3.4.4)
имеем
(vy Lu)0 = (иу L*v).
Но в соответствии с (3.4.34) (иу L*v)o = (vy f)0. Поэтому (vy Lu)o=
= (vy f)o=>(Lu — /, v) = 0, V*>^Co° (^)- Отсюда в силу леммы
Лангранжа (см. п. 1.4.6) заключаем, что Lu — f = 0.
Решение и нелокального уравнения (3.4.34) обычно называют
слабым решением уравнения (3.4.23).
153

На основании неравенства Коши — Буняковского — Шварца
(см. п. 1.1.4)
< Hulloll/llo
имеем
\F(Lu)\ < Iklloll/llo.
Отсюда в соответствии с априорной оценкой (3.4.27) получаем
\F(Lu)\ < lillfllollLttll
или
1^(Ф)1 < ц11Л1о11ф11о, q>=Lu.
Значит, при фиксированном [eL2(Q) над LD(L) функционал
F(<p) является непрерывным. Продолжая F(<p) по теореме Хана —
Банаха на все пространство L2(Q) и пользуясь теоремой Рисса (см.
п. 1.3.1) о представлении линейного функционала, найдем
искомую функцию v:
£(Ф) = (Ф, i0o, V<pesL2(QH*
=>F(Lu) = (Lu, v)o = (u, /)о.
Изложенный метод доказательства существования слабого
решения имеет далеко идущее обобщение и известен под названием
метода априорных оценок.
155

Для достижения более глубокого понимания понятия
обобщенного решения рассмотрим дифференциальное уравнение порядка
|ос| с интегрируемой в области Q правой частью
Dau = f(x), x(=Q, (3.4.35)
где а — мультииндекс длины |а| (см. п. 1.4.3).
Определение 3.4.2. Интегрируемую в области Q функцию
и = и(х) назовем обобщенным решением уравнения (3.4.35), а
функцию f(x) — соболевской обобщенной производной порядка |ос|
от и(х) на если они связаны равенством
{и, Dl)0 = v)0, Vv(=C? (Q). (3.4.36)
При n = 1, x = x\€=QczR9 a= (1, 0, 0) = 1 связь (3.4.36)
принимает вид
(и, v')0 = - (/, v)0, VveeC? (Q). (3.4.37)
В силу известной леммы Дюбуа — Реймона, если u(x)^C(Q) и
(и, v')0=0, Yv<=Co{Q), то и(х) = const в Q. Поэтому из (3.4.37)
следует, что если обобщенное решение и(х) уравнения и' = 0
непрерывно в то оно постоянно, т. е. совпадает с регулярным
решением этого уравнения.
Определение 3.4.3. Функцию v^L2(Q) назовем слабым
решением задачи Дирихле
v(x) = 0, \/х*=о (3.4.38)
для уравнения
L*v = f(x) (3.4.39)
с правой частью f^L2(Q), если
(v, Lu)0 = (и, /)о, Yu<=b(L), (3.4.40)
где ОЩ == [и : и\„ = 0, u<=C2(Q){]Cl(Q)}.
Как видно из (3.4.4), соотношение (3.4.40) имеет место, если
v — решение (3.4.39) из класса D(L).
Задачу (3.4.38), (3.4.39) принято называть сопряженной к
задаче Дирихле (3.4.32) для уравнения (3.4.23).
Теорема 3.4.2. Пусть коэффициенты уравнения (3.4.39)
удовлетворяют условиям (3.4.24), (3.4.26). Тогда существует
слабое решение v задачи Дирихле (3.4.38) для уравнения (3.4.39).
Действительно, при фиксированном f^L\i2) скалярное
произведение (и, /)о представляет собой однородный и аддитивный
функционал над линейным множеством L6(L), являющийся
образом множества f>(L) при отображении u-+.Lu. Поэтому можно
положить (и, f)o = F(L,u).
154

ГЛ АВ А4
ЗАДАЧИ КОШИ, ГУРСА И ДАРБУ ДЛЯ МОДЕЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ БИОЛОГИИ
§ 4.1. ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ
БЕРНУЛЛИ — ФЕРХЮЛЬСТА И ОБОБЩЕННОГО УРАВНЕНИЯ
МУЛЬТИПЛИКАТИВНОГО РОСТА
4.1.1. Задача Коши для уравнения Бернулли — Ферхюльста.
Во временном интервале 0 < / < Т рассмотрим уравнение
Бернулли— Ферхюльста (2.9.13):
и' = p(t)u - q{t)ua, 0 < / < Т. (4.1.1)
Здесь 0 < а Ф 1, p(t) и q(t) — заданные действительные функции,
непрерывные на сегменте 0 ^ / ^ 7\
Задача Коши ставится следующим образом: найти
положительное решение и= u(t) уравнения (4.1.1), непрерывное при
0</< Г и удовлетворяющее начальному условию
и(0) = ф, (4.1.2)
где ф — заданное положительное число, например численность или
плотность биологической популяции в начальный момент
времени / = 0.
Уравнение (4.1.1) после введения новой неизвестной функции v
по формуле
v = У = (1 - а)и~аи' (4.1.3)
переходит в линейное уравнение
v' + (а - \)p{t)v = (а - 1 )</(/), 0 < / < Г. (4.1.4)
В силу (4.1.2) и (4.1.3) ясно, что
и(0) = il)= ф'-а. (4.1.5)
Таким образом, задача Коши (4.1.1), (4.1.2) эквивалентна
задаче Коши (4.1.4), (4.1.5).
Уравнение (4.1.4) можно переписать в виде
(vPay =(а- \)Paq(t)t (4.1.6)
где t
Ра(0 = ехрГ (а - О^рШёЛ .
L о J
156

Так как любое положительное решение меС[0, Т]
уравнения (4.1.1), а значит, и (4.1.4) принадлежит классу С'[0, Т], то
уравнение (4.1.6), в свою очередь, эквивалентно уравнению
t t
\ [v^P^Ydn = (а- l)\ Pa(4M4)dn.
О о
Отсюда на основании (4.1.5) находим
Очевидно, что v(t) > 0 тогда и только тогда, когда
t
(1 - a)|/>d(f,)<7(f|)<lTi < * = ф'-0 (4.1.8)
Теперь можно утверждать, что справедлива следующая
теорема.
Теорема 4.1.1. Условие (4.1.8) есть необходимое и
достаточное условие разрешимости задачи Коши (4.1.1), (4.1.2). При
его выполнении единственное решение задачи Коши задается
формулами (4.1.7) и (4.1.3).
4.1.2. Биологический смысл решения задачи Коши. Чтобы дать
биологическую интерпретацию решения задачи Коши, более
детально исследуем его структуру в случае, когда p(t) и q(t) не
зависят от времени /е[0, Т] и р Ф 0.
Так как
Pa(/) = exp[(a- l)pt],
то из (4.1.7 ) имеем
_ [♦+<«-4'--^] _ ,+(,/р)[/уо_п
V[l)~ P*(t) ~~ PJLt)
Следовательно,
( PJt) \ i/(«-0
u(t) = | — ^ 1 , (4.1.9)
где, согласно (4.1.8), <p1-a + q[PJJ) — Ц/Р > 0.
Из (4.1.9) при а = 2 находим
и(0 = п ^т—7 тт. (4.1.10)
w ?ф + (р - <7ф)ехр(- р/)
U'(t) = ФР2(Р - <УФ)ехр(-рр /4 j j j v
V ' [<7Ф + (p - ^Ф)ехр(-р0]2 '
Равенство (4.1.10) означает, что решение задачи Коши (4.1.2)
для уравнения Ферхюльста — Пирла (2.9.4) задается формулой
157

Формулу (4.1.11), как и (4.1.12), в биологии и медицине
принято называть логистическим законом роста. График функции
(4.1.12) на евклидовой плоскости точек (ty и) имеет вид S-образной
кривой. Эта кривая часто используется в качестве приближения к
реальному закону роста экспериментальных и естественных
популяций.
В качестве примера рассмотрим уравнение Бейли (2.9.50) в
случае, когда
и2 = m — и\у u\(0) = m — 1,
и, следовательно, предполагается, что функция и\ = U\(t)y которая
характеризует численность восприимчивых особей в момент
времени /, удовлетворяет уравнению Бернулли — Ферхюльста
и\ = — Yi2Mi(m — U\)} 0 < t < Т
с начальным условием и\(0) = m — 1. Здесь 712 означает частоту
контактов между членами группы из m однородно
перемешивающихся индивидуумов.
Удобно изменить временную шкалу, введя новую переменную
т = Yi2*. Тогда функция и(т) = Wi(t/yi2) окажется решением
задачи Коши:
и' = — и(пг — и)у и(0) = m — 1, 0 < т < у\2Т.
Полагая в (4.1.10) <р = m — 1, р = — m, q = — 1, получим
единственное решение и(т) этой задачи:
и(т) = m(m ~ X)mx . (4.1.13)
Аналогично, из (4.1.11) или из (4.1.13) непосредственным
дифференцированием находим
,( } = (m - l)mV" ^ ( } (4.1.14)
w (т - 1 + emT)2 ^ 1 v '
Во время эпидемии обычно регистрирует число у = у{т)
новых случаев заболевания, появляющихся за сутки или за неделю.
Поэтому на практике пользуются формулой (4.1.14), которая
описывает динамику нарастания числа новых случаев. График кривой
У — У(х) принято называть эпидемической кривой. Это кривая с
единственным максимумом в точке т = ln^m^~ ^.
Формула (4.1.14) отражает характерное свойство эпидемии:
число новых случаев заболевания у(т) сначала быстро возрастает,
в какой-то момент времени достигает максимума, а затем
стремится к нулю (у(т)^0 при т-^ + оо).
158

В качестве второго примера применения формулы (4.1.10)
рассмотрим уравнения роста целого растения.
Примем следующие гипотезы:
1°. Растение есть система с сосредоточенным параметром и в
любой момент времени / полностью определяется своей сухой
массой и = u(t).
2°. Рост происходит при увеличении одного субстрата v — v(t).
3? Скорость и' ростовой реакции прямо пропорциональна (с
постоянным коэффициентом пропорциональности q) уровню
субстрата v и сухой массе и.
Последняя гипотеза говорит о том, что процесс роста является
автокаталитическим и
и' = quv. (4.1.15)
Если и и v измерять в одинаковых-единицах и предположить, что
превращение v в и происходит без потери вещества, то dv —
— — du. Другими словами, имеет место закон сохранения
вещества:
u + v= и(0) + v(0). (4.1.16)
Из (4.1.15) и (4.1.16) получаем логистическое уравнение роста
целого растения:
и' = qu[u(0) + i>(0) - ul 0< / < 7\ (4.1.17)
где t = 0 — начало, t — Т — конец вегетационного периода.
Если задать начальное условие
ЦО) + v(0) = p/qy и(0) = ф,
то нагруженное дифференциальное уравнение (4.1.17) переходит
в уравнение Бернулли — Ферхюльста
u' = pu — qu2, 0</<7\ (4.1.18)
В соответствии с физиологическим смыслом ин v не могут быть
отрицательными, поэтому р > 0, q > 0, ф > 0.
Решение задачи Коши (4.1.2) для уравнения (4.1.18) задается
формулой (4.1.10).
4.1.3. Задача Коши для уравнения мультипликативного роста.
Рассмотрим уравнения мультипликативного роста или уравнения
Робертсона (см. п. 2.9.2):
«,=KI-w)'0<'<r- (4119)
где uitm) — max u(t) — конечная масса органа или организма
0 < / < 7
в целом, \х > 0 — скорость удельного роста.
Решение задачи Коши (4.1.2) для уравнения (4.1.19) будем
искать в классе функций, непрерывных и положительных на сег-
159

менте 0 ^ / ^ Т. При этом если Т= оо, то, по определению,
и(оо) = lim u(t).
t-+ °°
На основании (4.1.12) заключаем: любое решение u(t)
исследуемой задачи является решением нагруженного функционального
уравнения
^■f+wA-^- (4Л-20)
Допустим, что Т <С оо. Тогда из (4.1.20) при t = tm находим,
что u(tm) — ф. Следовательно, задача Коши (4.1.2), (4.1.19) не
имеет решений, отличных от стационарного u(t) = ф.
Пусть теперь Т = оо и u(tm) > ф. Из (4.1.20) нетрудно видеть,
что u'(t) > 0. Поэтому tm = °°> т. е. решением задачи Коши
является любое решение уравнения
{Ф + [м(оо) - Ф]ехр(- ixt)}u(t) = Ф|/(оо). (4.1.21)
Пользуясь соотношением (4.1.21), нетрудно убедиться в
достоверности следующего утверждения: существует единственное
непрерывное и положительное при 0 ^ / ^ оо решение и = u(t)
уравнения ,
и' = ри-Ц=^-, 0 < / < оо, (4.1.22)
г и(оо) х
удовлетворяющее начальным условиям
и(0) = ф, и(/0) = *>0,
где 0 < t0 ^ оо и1|) таковы, что г|? — фехр(р,/0) Ф 0.
В самом деле, из (4.1.21) при t=t0 находим
( } дпК1-ехр(-и/о)] (4 ! 23)
^ ' [q>-*exp(-|i/0)] V '
§4.2. ФОРМУЛА ДАЛАМБЕРА И ЗАДАЧА КОШИ
ДЛЯ ОДНОМЕРНОГО ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ
4.2.1. Формула Даламбера. Пусть Q — выпуклая область
евклидовой плоскости независимых действительных переменных
х и у. В области Q рассмотрим одномерное волновое уравнение
(см. п. 2.4.3):
иуу — с2ихх = 0, (4.2.1)
где с — заданная положительная постоянная.
Явление, описываемое решением и=и(хуу) уравнения (4.2.1),
называется распространением волны, а само решение — волной.
Дифференциальный оператор (см. п. 2.6.4)
160

принято называть (одномерным) волновым оператором или
даламбертианом.
Уравнение (4.2.1), являясь простейшим уравнением
гиперболического типа, описывает математические модели различных
реальных биологических явлений. В частности, любое регулярное
решение уравнения Фишера (2.9.72) типа бегущей волны и =
= у(х-\-су)у где с — скорость волны, y = t — текущее время,
является решением одномерного волнового уравнения:
□ сф= с2<рц — с2фц = 0, g = х + су.
Соответствующий уравнению (4.2.1) фронт волны (слабого
разрыва) перемещается со скоростью с.
Течение и давление крови в артериях при определенной их
идеализации описывается уравнением (4.2.1). В этом случае
ось х направлена по оси артериального сосуда 0<[х<1/ длины /;
волна и(ху t) характеризует количество крови, протекающее через
точку х за единицу времени, или давление в точке х в момент
времени у.
Уравнение (4.2.1) может оказаться хорошим приближением
к уравнению (2.9.76), если в результате наблюдения было
замечено, что
где y = ty a=const>0, c = const>0, и младший член (р,— 2уи)Х
X с /(2а) на порядок меньше, чем старшие члены этого
уравнения.
Справедливо следующее утверждение.
Теорема 4.2Л (теорема Даламбера). Любое регулярное
в выпуклой области Q решение и=и(х,у) уравнения (4.2.1)
представимо в виде
и(ху у) = ф+су) + у(х-су)у (ху y)«=Q, (4.2.3)
где ф(£) и -ф(т|) — действительные, непрерывные функции
действительных переменных 1 = х+су и у\ = х—су.
Верно и обратное утверждение: если ф(£) и г|)(т]) — дважды
непрерывно дифференцируемые функции своих аргументов, то
функция (4.2.3) является регулярным в Q решением (4.2.1).
Формула (4.2.3) называется формулой Даламбера.
Доказательство теоремы начнем с первой ее части.
Учитывая, что
Пс=(^~^)(ж+~й~)'
уравнение (4.2.1) можно записать в виде системы двух
дифференциальных уравнений первого порядка
11 Заказ № 1786
161

где во второе уравнение входит только одно неизвестное v =
= v(xy у).
Область Q в силу ее выпуклости можно покрыть отрезками Oi
параллельных прямых, заданных уравнениями x + cy=l = const.
Вдоль отрезка Oi имеем
du = vxdx-\- vydy=vxdx + cvxdy = vxd(x+cy) = 0.
Таким образом, функция v имеет вдоль Oi постоянное значение,
которое обозначим через cpi(£):
f = <Pi(E), l = * + cy. (4.2.5)
Из первого уравнения системы (4.2.4) на основании (4.2.5)
заключаем
иу + сих=(р\(х+су).
Так как «gC2(Q), то q>\(x+cy)^Cl(Cl)9 и существует такая
функция ф(£), что
ф'Ш^ф.Ш- (4-2.6)
Следовательно,
или
Проведя те же рассуждения, что и ранее относительно vy
докажем постоянство функции и — у(х+су) вдоль каждого
отрезка От, прямой х — су=г) = const, принадлежащего области Q:
и — ц)(х+су) = ^(х—су). В соответствии с (4.2.6) y(x+cy)^C2(Q).
Поэтому очевидно, что и г|>(х—су)^ С2(й). Итак, установлено,
что если и — регулярное решение уравнения (4.2.1) в области Q,
то имеет место представление (4.2.3), где ф и \|)gC2(Q).
Вторая часть теоремы проверяется непосредственным
вычислением.
Полезно заметить, что если в уравнении (4.2.1) перейти
к так называемым характеристическим координатам:
l = x + cyy г) = х — суу (4.2.7)
то оно примет весьма простой вид
Из (4.2.8) более ясно видно, что и = фШ + 1Кл)-
162

Для точки на оси ху которая движется вправо с постоянной
скоростью dx/dy=c или с постоянной фазой 1 = х—су, значение
функции ty(x-cy) не меняется. График функции су) как
функции точки х перемещается со скоростью с вдоль оси х.
В связи с этим говорят, что г|)(х—су) представляет собой плоскую
волну, распространяющуюся со скоростью с. Формула
Даламбера означает, что общее решение волнового уравнения (4.2.1),
т. е. любая волна и(ху у), является суперпозицией двух плоских
волн q>(x+cy) и \р(х—су)у которые распространяются вдоль оси х
со скоростями —с и с, не меняя своей формы.
4.2.2. Задача Коши для одномерного волнового уравнения.
Пусть и=и(ху t) — кинетическая переменная некоторого
биологического процесса, протекающего в одномерном реакторе О^х^/
длины /, например биомасса той или иной микробной популяции
или число организмов на единицу длины в точке х реактора
в момент времени t = y. Предполагая, что этот процесс
имитируется уравнением (4.2.1) с начальными условиями
и(х, 0) = т(х), иу(х, 0) = v(x), 0<х</, (4.2.9)
где т(х) — начальное распределение (например, биомассы),
a v(x) — начальная скорость, приходим к следующей задаче
Коши.
Задача 4.2.1. Найти решение и уравнения (4.2.1),
удовлетворяющее начальным условиям (4.2.9).
Функцию и=и(х,у)у представимую в виде (4.2.3), где ф и
\р — действительные непрерывно дифференцируемые функции
соответствующих характеристических координат (4.2.7), назовем
обобщенным решением уравнения (4.2.1) класса С1.
В задаче 4.2.1 под решением уравнения (4.2.1) будем
понимать его обобщенное решение класса С1.
Нетрудно доказать, что если т(х)еС']0,/[, a v(x) непрерывна
и суммируема на ]0,/[, то в области Й = {(х, у):Ъ<х±су<1)
существует единственное решение и(ху у), которое задается
формулой
J х+су
ф,у)=1(£1М±М+| j v(£)d6. (4.2.10)
х—су
Действительно, пусть существует решение и(ху у) задачи
4.2.1. Тогда оно представимо в виде (4.2.3). В силу (4.2.9)
функции ф и \р таковы, что
ф) + ц(х) = т(х)1 0<х</, (4.2.11)
c<p'(x) — cV(x) = v(x), 0<х</. (4.2.12)
Интегрируя равенство (4.2.12), получим
X
^Jc)-*(jc) = -^Sv(E)dE + cp(jco)-*(JCo), 0<х</, (4.2.13)
11*
163

где хо — произвольным образом фиксированная точка 0<*0</.
Из равенств (4.2.11), (4.2.13) находим
х+су
ф+су)=«х±^+± J v(6)d6+^7^, 0<*+<ч,</,
Xq
^х-су)=^У1-^\\{1) ~ , 0<х-су<1.
Xq
Подставляя в (4.2.3) найденные значения ф и г|? и учитывая, что
(ху i/)gQ, получим равенство
х+су х—су х+су
и(х,у)-<х+с*ХХ{Х-СУ)=-Ц \ - S =
^ l jco Хо J х—су
эквивалентное (4.2.10)
Непосредственным вычислением легко проверить, что функция
(4.2.10) является обобщенным решением уравнения (4.2.1)
класса С1, удовлетворяющим начальным условиям (4.2.9). Это
решение является регулярным в области Q решением задачи
Коши (4.2.9) для уравнения (4.2.1), если t(x)gc2]0,/[, a v(x)e
€=С»]0,/[.
Формула (4.2.10), как и (4.2.3), называется формулой Да-
ламбера.
Пусть t(x)ec[0,/], v(x)g=c[0,/] и ||т|| = max|т(лг)|, ||v(x)|| =
= max|v(x)|, = max | u(xy y)\. Тогда из (4.2.10) вытекает, что
[0,/] й
llttlKllxll+Mllvll. (4.2.14)
Из оценки (4.2.14) следует, что малому изменению
начальных данных т(х) и v(x) соответствует малое изменение решения
и(ху у) задачи Коши. Справедливость этого утверждения легко
усмотреть из следующего предложения: если разности т\(х) —
— т2(х), vi(jc) — V2(x) между начальными данными малы, т.е.
IIтг 1 — т2||<е, ||vi—v2ll<e, то для разности и(ху у) = и\(ху у) —
— U2(x,y) между соответствующими решениями и\(хуу) и U2(xy у)
задачи Коши в силу (4.2.14) имеет место оценка ||w||<(l+lyl)e.
Таким образом, изложенный метод доказывает как
единственность и существование решения задачи Коши для волнового
уравнения, так и его устойчивость.
Возвращаясь к интерпретации решения и(ху у) задачи Коши
как кинетической переменной биологического процесса,
протекающего в реакторе 0^х<7, можно установить, что на значение
этой переменной и(ху у) в точке х0е [0, /] в момент времени
£/о>0 оказывают влияние лишь значения начального
распределения т(х) в точках х=Хо—суо, х = хо-\-суо и значения начальной
скорости v(x) на сегменте [*о—су0, х0-\-суо].
164

Треугольник с вершинами в точках (х0у у0)у (хо—суоУ 0),
(хо+су0у 0) называется характеристическим треугольником точки
(*о, у о), уо>0. Часть области Q, лежащей в полуплоскости у>0у
совпадает с характеристическим треугольником точки (//2, //(2с)).
Пусть начальное распределение т(х) и начальная скорость
кинетической переменной и(ху у) связаны так:
ct,(jc) = v(jc), 0<х</.
Тогда на основании (4.2.10) можно прийти к выводу о том, что
и(ху у) = т(х+су)у т.е. решение задачи Коши представляет собой
решение типа бегущей волны, как и в случае уравнения Фишера
(2.9.72).
§4.3. ТЕОРЕМА О СРЕДНЕМ ЗНАЧЕНИИ; ЗАДАЧИ ГУРСА
И ДАРБУ ДЛЯ ОДНОМЕРНОГО ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ
4.3.1. Теорема о среднем значении и ее обращение. Пусть,
как и ранее, Q — любая выпуклая область плоскости
комплексного переменного z = x+iy.
Действительную функцию u(z) = u(xy у) действительных
переменных х и уу представимую в области Й в виде (4.2.3), назовем
обобщенным решением (или просто решением) уравнения (4.2.1)
класса С в области Q, если <р и ^ — действительные и
непрерывные функции характеристических координат £ и х\
соответственно [см. равенства (4.2.7)].
Теорема о среднем значении для одномерного волнового
уравнения формулируется так: пусть z\y гз, и z2y zA —
противоположные вершины произвольным образом фиксированного
характеристического четырехугольника coczQ; тогда для любого решения
u(z) уравнения (4.2.1) класса С в области Q справедливо
равенство
u(zi) + u(z3) = u{z2) + u(zA). (4.3.1)
Здесь характеристическим четырехугольником называется
четырехугольник со с вершинами в точках z\y z2y гз и z\y стороны
z\z2y z2Z3y Z3Z4, z\z\ которого являются характеристиками
уравнения (4.2.1).
Для того чтобы убедиться в справедливости этой теоремь!,
достаточно выразить координаты точек z2 и z\ через координаты
точек z\ и гз, а затем воспользоваться формулой (4.2.3).
Справедливо и обратное утверждение: пусть u(z)=u(xyy)
непрерывна в выпуклой области Q и для любого
характеристического четырехугольника coczQ с вершинами в точках z\y z2y гз,
г4 имеет место равенство (4.3.1); тогда и(ху у) является решением
уравнения (4.2.1) класса С.
Столь интересное заключение доказывается очень просто.
Действительно, пусть z\ = (xyy)y гз = (^о, уо) и z2 лежит на харак-
165

теристиках Z\Z2:x—cy= х—суу Z2Z^:x +су= Хо + суо. Легко
заметить, что
z2
/ х—су+хр+суо хр+суо—х+су \
I 2 ' 2с )'
a Z\ — есть точка пересечения характеристик z3z4:x—су = х0—п/о,
z±Z\\x-\-cy = х-\-су и поэтому
/ х+су+хр—суо х+су—хь+суо \
Z*—\ 2 ' 23
Подставляя найденные значения z2 и z4 в (4.3.1), а затем
заменяя х и соответственно через х и ty, получим соотношение
и(Х,у) + и(Хо,уо) = и(Х-Су+2Х°+Су\ _*-cy-*»-cy*j +
| ц^ х+су+хр—суо х+су—хр+суо ^ (4.3.2)
справедливое для любых двух точек (х, */), (хоУ f/о) из области Q.
Теперь ясно, что функция и(ху y)^C(Q) есть обобщенное
решение уравнения (4.2.1) класса С в области Q тогда и только
тогда, когда она является непрерывным в Q решением
нагруженного функционального уравнения (4.3.2). Другими словами,
функция и есть решение (в том числе регулярное) уравнения
(4.2.1) тогда и только тогда, когда она удовлетворяет
необходимому нелокальному условию (4.3.2) для каждой точки
(x0yy0)^Q (см. п. 3.4.4).
4.3.2. Задача Гурса. В характеристическом четырехугольнике
Q с вершинами в точках z\ = (х\у у\)у z2 = (*2, {/2), 2з = (*о, У°) и
z4 = (x4, Уа) и со сторонами ziZ2'.x—су = х\— су\у Z2Z3
= хо+суо, Z3Z4: х—су = хо—суо, Z\Z\: х-\-су=х\ +cyi рассмотрим
уравнение (4.2.1).
Из теоремы о среднем значении (см. п. 4.3.1) следует
корректность следующей задачи, известной как задана Гурса (или
характеристическая задача): найти непрерывное в Q решение
и(ху у) уравнения (4.2.1) класса С по заданным его значениям на
двух характеристиках (например, 2223, 2324), выходящих из
одной точки и лежащих на границе dQ в области Q.
Очевидно, что если (ху y)^Q[}(z4Z\ L)ziz2), т0
(х—су+хо + сур х су хр—суо \4 ^
( 2 ' Тс )€=222з,
/ х+су+хр—суо х+су—хр+суо \t ^
( 2 ' Тс )es*3Z4.
Поэтому необходимое нелокальное условие (4.3.2) дает весьма
эффективный алгоритм поиска с помощью компьютера решения
задачи Гурса с данными на характеристиках Z2Z3, 2зг4.
166

Непосредственным обобщением задачи Гурса является задана
Дарбу — Пикара, которая состоит в определении решения и =
= и(*> У) уравнения вида
Dcu = f(x9 ty иу иХу uy)y
где / — действительная функция всех своих аргументов, по
заданным его значениям на двух гладких монотонных кривых,
выходящих из одной точки zo и расположенных в
характеристическом угле Z2Z3Z4.
4.3.3. Задача Дарбу. В характеристическом треугольнике Q
точки (//2, //(2с)) рассмотрим одномерное волновое уравнение.
На плоскости комплексного переменного z (см. п. 4.3.1)
область Q ограничена характеристиками Z2Zs:x+cy=ly z3z4:x—-q/=
=0 и отрезком z4z2: 0О<7 прямой у=0. Очевидно, что z3 = 0,
z2=/, 2z3=/+*7/c.
Первая задача Дарбу. Найти непрерывное в Q
решение u(z)= и(ху у) уравнения (4.2.1) класса С, удовлетворяющее
краевым условиям
и(ху 0) = т(х), 0<*</, (4.3.3)
где т(х) и i|?0(x) — заданные непрерывные на сегменте [0, /]
функции, причем t(0) = \|?o(0).
В этой задаче роль нормальной границы играет часть ап =
= zzZa\}zaZ2 границы dQ, которая выступает носителем данных
Дарбу: (4.3.3), (4.3.4). Нормальная граница ап наряду с
характеристическими точками содержит и нехарактеристические.
Поэтому задачу Дарбу иногда называют смешанной задачей,
а нормальную границу — смешанной.
Чтобы определить значения решения и(ху у) первой задачи
Дарбу в произвольным образом заданной точке (х, (/)^Q(Jz2Z3,
рассмотрим характеристический четырехугольник с вершинами
в точках
<*.*).<*-<¥. 0), (^=3L, ±=3L). (itSIL, 1±3L).
Ясно, что последние две точки лежат на характеристике Z3Z4.
Применяя к этому четырехугольнику теорему о среднем
значении (см. п. 4.3.1) и используя условия (4.3.3) и (4.3.4), можно
прийти к следующему выводу: единственное и устойчивое
решение и(ху у) первой задачи Дарбу определяется по формуле
и(ху у) = т(х—су) + Уо(х+су) — Уо{х—су). (4.3.5)
Вторая задача Дарбу. Найти непрерывное в Q
решение и(ху у) уравнения (4.2.1) класса С1 в области Q,
удовлетворяющее краевому условию (4.3.4) и условию
167

lim uy(xy y) = v(x)y 0<x</, (4.3.6)
где г|)0(*)еС[0, /], tyo{x) и v(x) — непрерывные в интервале 0<х</
функции, которые при х-+0 могут обращаться в оо
интегрируемого порядка.
Корректность этой задачи обнаруживается по следующей
схеме.
Пусть существует решение и(ху у) второй задачи Дарбу. Так
как и(ху */)е C(Q) и удовлетворяет условию (4.3.4), то оно пред-
ставимо в виде (4.2.14), где т(х) = и(ху 0). Отсюда в силу (4.3.6)
имеем
t/(x) = 2^(x) — v(x)/cy 0<х</.
Но т(0) = г()о(0). Следовательно,
X
т(х) = 2^о(х) - г|)0(0) —Ц v(t) dty 0<х</. (4.3.7)
с о
С учетом (4.3.6) формула (4.3.5) примет вид
х—су
и(ху у) = Ц0(х--су) + Мх+су)-Ы0)-'7- S v(/)d/. (4.3.8)
6 о
Теперь нетрудно проверить, что функция и(ху у)у
определяемая формулой (4.3.8), является решением второй задачи Дарбу.
4.3.4. Смешанная задача. В приложениях нередко
встречаются задачи как с начальными, так и с граничными данными для
одномерного волнового уравнения в ограниченных и
неограниченных областях.
Исследуем сначала более простой случай смешанной задачи
на полубесконечном интервале 0<х<оо, т. е. случай, когда /=оо.
Задача 4.3.1. Пусть Q — бесконечная область,
ограниченная полупрямой о0:х^0у у=0у отрезком аг.О^у^Т прямой х—0
и характеристикой а2:х—су=—сТу х^О. Найти непрерывное
во всех конечных точках множества Q(J(ffol)ffiUa2) обобщенное
решение и(ху у) уравнения (4.2.1) класса С в области Q и класса
С1 в области Qi = {(x, у):0<су<х}у удовлетворяющее на а0
начальным условиям
и(ху 0) = т(х), uy(xy0) = v(x)y 0<л:<оо, (4.3.9)
а на Oi — граничному условию
и(Оуу) = <ро(у), 0<*/<7\ (4.3.10)
где заданные функции таковы, что t(x)gC']0, оо[, v(x)
непрерывна и суммируема при 0<х<оо, ф0(*/)еС[0, Т]у
ф0(0) = т(0). (4.3.11)
168

Условие (4.3.11) известно как условие согласования. Оно
обеспечивает непрерывность решения в начале координат.
Как было показано в п. 4.2.2, решение и(ху у) задачи Коши
(4.3.9), которое в области Q» совпадает с решением задачи
4.3.1 во всех точках (ху у)у удовлетворяющих неравенствам
0^су^.ху задается формулой Даламбера (4.2.10). После того
как найдены значения искомого решения во всех точках,
лежащих на характеристике х=суу становится ясно, что решение
и(ху у) задачи 4.3.1 в области Q2 = Q\Qi совпадает с решением
задачи Дарбу с данными на характеристике х=су^0 и
отрезке о\. Чтобы выписать решение и(ху у) и в этой части области Q,
достаточно применить теорему о среднем значении к
характеристическому четырехугольнику с вершинами в точках
(,,y)eQ2Uo2, (0,-Sti). (^L.^L). (^.^)-
Действительно, согласно этой теореме и условию (4.3.10), имеем
х+су
u(x,y) = ^(y-^) + T{x+cyi-T{0) +-t \ v(9dE-
су—х
_4cy-,)-x(o)_-j_ J *E)d6.
Отсюда и из (4.2.10) заключаем: единственное решение и(ху у)
задачи 4.3.1 определяется формулой
СУ + Х
и(х, у) = ф0(у—+ ^+СУ)-«СУ-*) +^-j^v(|)d^, ух<Су,
х+су
2 2с х±су (4.3.12)
Из (4.3.11) видно, что если т(х)е=С2[0, оо[, ф0(х)еС2[0, Т]
и соблюдены дополнительные условия согласования cpo(0) = v(0),
фо(0) = с2т"(0), то найденное решение и(ху y)^C2(Q).
Теперь нетрудно видеть, что теорема о среднем значении
позволяет найти единственное решение смешанной задачи и в
случае, когда /<<». Смешанная задача состоит в отыскании
решения и(ху у) уравнения (4.2.1) в прямоугольной области
Q={(xy у) : 0<х</, 0<i/<7}, которое удовлетворяет начальным
условиям (4.2.9) и граничным условиям и(0у у) = ф0((/), и(1уу) =
= ф/0/), 0<У<Т.
§4.4. ЗАДАЧА КОШИ И ТЕОРЕМА О СРЕДНЕМ ЗНАЧЕНИИ
ДЛЯ ТРЕХМЕРНОГО ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ
4.4.1. Задача Коши для трехмерного волнового уравнения.
Трехмерным аналогом уравнения (4.2.1) является уравнение
акустики
169

Utt — с2 Axu = 0,
(4.4.1)
где Ax — оператор Лапласа по переменной точке х = (х\у х2у *з)е
gejR3 (см. п. 2.4.3), c=const>0.
Биологическое явление, описываемое решением u=u(xyt)
трехмерного волнового уравнения (4.4.1), называется
распространением волны, а само решение и(ху у) — волной.
В механике эритроцитов решение уравнения (4.4.1) часто
интерпретируется как потенциал скоростей v=Vu в
акустической модели движения плазмы, отождествленной с идеальной
сжимаемой жидкостью, в которой скорость звука известна и
равна с. Эта интерпретация близка к реалии, когда компоненты
вектора скорости жидкости малы по сравнению со скоростью
звука, начальная плотность плазмы меняется пренебрежительно
мало и во время движения эритроцита в ней излучаются волны
малой амплитуды.
Рассмотрим задачу Коши в следующей постановке: найти
регулярное при t>0 решение u = u(xyt) уравнения (4.4.1),
удовлетворяющее начальным условиям
и(х90) = т(х), ut(xy0) = v(x\ \/x€=R\ (4.4.2)
где т(х)€ЕС3(/?3), v(x)<=C2(/?3).
Изложим метод Пуассона, который позволяет в явном виде
найти решение этой задачи.
Пусть _ ^
^Р) = 15ГЗ v(x+Py)ASir (4АЗ)
м= 1
— среднее значение непрерывной в R3 функции \i(x) на сфере
\х—у\=р евклидова пространства точек у= (у\у у2у уз) радиуса р
с центром в точке х.
Здесь dSy — элемент площади сферы по переменной
интегрирования у. Представляя шар \z\^.r как совокупность
концентрических сфер, получаем
г
\ \i(x+z)dz = 4n\ p2\i(xy p)dp, (4.4.4)
где dz— dz\dz2dz3 — элемент объема по переменной z.
Действительно, переходя по формуле Z\ = psin6cos cp, z2 = psin Gsin cp,
z3 = pcos6 от декартовых координат Z\y z2y z3 точки z к
сферическим p^O, 6g[0, л], ф^[0, 2л], интеграл в левой части (4.4.4)
можно записать в виде
г л 2я
^ ^ Ф+z)dz=| dp\ d&\ ii(xi+pyu x2+py2y Xз^-p*/з)p2sinedф=
r r
= \ p2dp \ \i(x+py)dSy=4n\ p2ii(xy p)dp,
0 0
170

где yi = sin6coscp, #2= sinBsincp, */3=cos6, dS,,= sin6d6dcp.
Из (4.4.4) для \x(x) ^ C2(R3) на основании формулы Грина
[см. равенство (3.4.5)] имеем
г 3
4лдД p2|Ji(x, p)dp= \ Ax\x(x+z)dz= 2 \ -j-\ix{x+z)dz=
о |2|<г 1=1 \z\^r0Xi
3 г 3 г
= 2 ) Mx+z)—dS,= 2 ) M^+^r^dS^.
/^l|z|-r Р /=1ы=*
Отсюда в силу (4.4.3) и равенства
^±ГУ1= ± ъ(х+гу)У1
заключаем, что
г
Д,|р2ц(*( p)dp = r2-£ito г). (4.4.5)
Если равенство (4.4.5) почленно продифференцировать по г, то
получим
r2Axjx(xy г) = -|гг2-|гц(х, г),
откуда видно, что \х=\х(х, г) удовлетворяет уравнению в частных
производных
AxrjZ= (/>)„, Vr>0. (4.4.6)
Допустим теперь, что функция u=u(xyt) является решением
задачи Коши (4.4.2) для уравнения (4.4.1). Тогда при любых
г>0, />0 функция v = ги = ги, где
и=и(х, г; /) = ~- ^ u(x-\-ry, t)dSy,
в силу (4.4.1) и (4.4.6) удовлетворяет уравнению
vu-c2vrr=0, (4.4.7)
при / = 0—начальным условиям
v\M=n;(x,r), vt\t-o=rv(*>r), (4.4.8)
а при г = 0— граничному условию
у|г=0 = 0. (4.4.9)
Здесь гт=гт, rv = rv, т и v связаны с г и v равенством (4.4.3),
где р = г.
Для любой фиксированной точки x^R3 решение v = v(ry t\ х)
смешанной задачи (4.4.7), (4.4.8), (4.4.9) при r^ct получается
171

из (4.3.12)^ если в этой формуле положить x=r, y=tt фо=0,
т=гт, v=rv. Оно имеет вид
ct + r
v = U7x{x,r+ct)-Tx(ct-r)}+±r\ 7v(x,l)dl. (4.4.10)
z zc ct-r
Так как u(x, t) — lim и — lim-^-, то
0 r-+0 r
ct+r
u(x, /) = lim7xc0/ + i;ni^j_^v(x, l)dl (4.4.11)
где r%cH= гт^Ху г+с/)~гт(*' ct~r) центральная разностная
производная функции рт(х, р) в точке p=ct.
На основании правила Лопиталя второе слагаемое в правой
части (4.4.11) равно
И|П &(х, ct+r)+ Ых. ct-r) =J_fv(Xt ct) = t;(x, Ct).
Поскольку
lim^o/==^l| =4г*(х> ct)>
равенство (4.4.11) можно переписать в виде
+ ТГ 5 v(x+^)dS,. (4.4.12)
Итак, если существует решение задачи Коши (4.4.2) для
уравнения (4.4.1), то оно представимо в виде (4.4.12). Используя
(4.4.6), легко проверить, что функция (4.4.12) действительно
является единственным решением задачи Коши для трехмерного
волнового уравнения.
В соответствии с равенствами
з
u-4i=p/=i ^ p p iz-ii=P dn
где 2 = л: + РУ> n = x)/p — внешняя нормаль к сфере \z — x\=
= р в точке 2, формулу (4.4.12) можно переписать так:
u(x,t) = t(x,ct)+1±4- J J±LdS, + MJf.c/). (4.4.13)
172

Равенство (4.4.12) или (4.4.13) называется формулой Кирхгофа.
Из формулы Кирхгофа следует, что соответствующая задаче
Коши (4.4.2) волна в точке x^R3 в момент времени t вполне
определяется значениями т, дт/дп и v на сфере с центром в точке
х радиуса t. Этот весьма интересный факт в теории звука
называется строгим принципом Гюйгенса. Согласно принципу
Гюйгенса, возмущение начальных данных в точке у не влияет на
значение волны в точке ху если ct>\y—х\. В частности, именно
поэтому звуковое воздействие на уши мгновенно прекращается
сразу после того, как волна прошла.
4.4.2. Теорема о среднем значении для трехмерного волнового
уравнения. В полупространстве Хо>0 евклидова пространства R4
точек (ху Хо) рассмотрим трехмерное волновое уравнение
иХоХо = &xUy и—и(ху хо), x = (xiy х2, хг). (4.4.14)
К такому виду приводится уравнение (4.4.1), если положить
Xo=ct.
Обозначим через Q конечную односвязную область
пространства Я4, ограниченную плоскостью Jto = 0 и характеристическим
конусом К: \х\ = г — х0у хо^О.
Пусть: a=(cci, a2, аз) — фиксированная, отличная от нуля
точка из шара |х|<г евклидова пространства R3 точек х=
= (jti, JC2, хз); Qa—подобласть области Q, ограниченная
конусами К и K:\x-а| = хо\ КГ и Ка — части конусов К и К,
составляющих границу области й«; Л=||а/*|| — квадратная матрица
третьего порядка, транспонированная по отношению к матрице
A'=\\aki\\, a,7 = a//|a|, /=1,2,3; с <1еМ'=1,Л/ — матрица,
полученная из матрицы А заменой элементов ее /-го столбца
нулями.
Введем операторы
где dcos — элемент площади сферы |£|=/ пространства Rn.
Очевидно, что эти операторы не зависят от индекса / = 1, 2, 3.
Теорема о среднем значении заключается в следующем: для
любого регулярного в области Q решения и(ху х0) уравнения
(4.4.14), непрерывного в Q, имеет место равенство
и(ау 0) + и(0, r) = B?w, |a|<r. (4.4.15)
173

Действительно, предположим сначала, что u^Cl(Q).
Непосредственным вычислением нетрудно убедиться, что
преобразование
ryo+\a\yi r2+\a\2 ^ ti __ rz0—\a\Zi t г
2о=== 2R 4R—^y°- 2* + Т*
где
2/? 2/? 2/? ^ 2 '
Уо = Хо, y = A'xox = Ay = ay,-/| a| -f Ay,
отображает область й« на область Q пространства точек
(z, zo), ограниченную конусами |z| = /?--20 и |z| = /?+Zo, 2=
= (2i, 22, 23), причем точкам (0, г/2) и (а, 0) соответствуют точки
(0, R) и (0, — /?), а поверхности
2r*0 + 2ajc=r2+|a|2
— плоскость 2о=0.
В переменных Zo, z функция
^ \ a rzi—|a|zo , a , j _ rz0—[alz,- , r \
(4.4.16)
является решением трехмерного волнового уравнения
v2oZo=A2v. (4.4.17)
Из однозначной разрешимости задачи Коши с начальными
данными v(zt 0), vZo(z, 0), |z|<I/? и формулы Кирхгофа следует,
что функция v(z, Zo) в области Q представима в виде
0(2.±ZO)-JLJLJL J 0(2+6, 0)dfflt±-j^ S t»42+|,0)d(OS,
(4.4.18)
где знак плюс берется при Zo>0, а знак минус — при Zo<0.
Так как w(a, 0) + и(0, г)= и(0, — /?) + у(0, /?), то из (4.4.18) в
силу (4.4.16) при z=0, z0=/? и а=й=0 получаем (4.4.15). При
а=0 формула (4.4.15) также вытекает из (4.4.18), где на этот
раз
v(z9 z0) = w(z, Zo+r/2), z=x, z0=y0—r/2.
Учитывая теперь, что формула (4.4.18) имеет место для всех
положительных zo</?, простым предельным переходом можно
показать справедливость равенства и для регулярных решений
и(х, Хо) из класса С(й).
174

Доказанная теорема является частным случаем теоремы о
среднем значении для n-мерного волнового уравнения
иХоХо = Ахиу и=и(х,Хо), (4.4.19)
установленной А. В. Бицадзе и А. М. Нахушевым в 1972 г. Эту
теорему можно сформулировать следующим образом: любое
регулярное вобласти Q решение и(х, х0) уравнения (4.4.19),
непрерывное в Q, удовлетворяет необходимому нелокальному условию
u(a,0) + u(0,r) = Biu, |а|<г, (4.4.20)
которое является краевым, если п нечетно, и внутреннекраевым,
если п четно.
Здесь
/ /Э ч («-l)/2 1
*(-g|r) -^S%u, n^l (mod 2),
. tKwT( -Mw^ -ни,
где 2Rd/dR2 = d/dRy запись n = j (mod 2) означает, что n четно
при / = 0 и нечетно при /'=1;
Вапи^
дщ — элемент площади сферы |£| = / из /?п, матрица А размера
пХп определяется так же, как и в случае л = 3.
При л=1, х?==х\ равенство (4.4.20) совпадает с равенством
и(х, 0) + "(0, г) = В\и, \х\<г,
где
В\и^
(x—r x4-r \ . / x4-r r—x \
— 2 )+"(~Г"' —)'
которое является аналитической записью теоремы о среднем
значении для одномерного волнового уравнения
иХоХо = ихх. (4.4.21)
Свойство (4.4.20) всех решений уравнения (4.4.19) позволяет
отыскать ряд новых краевых задач для этого уравнения с
нечетным числом пространственных переменных как в области Q,
где оно гиперболично, так и в смешанных областях,
гиперболическая часть которых совпадает с Q.
Здесь мы ограничимся постановкой одной задачи, которую
можно интерпретировать как простой аналог второй задачи Дар-
175

бу (см. п. 4.3.3), в случае, когда м = 3: найти регулярное в
области Q решение и(х, хо) уравнения (4.4.19), непрерывное в й и
удовлетворяющее краевым условиям
lim uXo=v(x), 1*|<г, (4.4.22)
B*nU = y(x)y k|<r, (4.4.23)
где v(jc)eC2(U|<r), t|)(jc)eC3(|jc|<r).
Из нелокального краевого условия (4.4.23) в силу (4.4.20)
имеем
и(х, 0) = у(х) - и(0, г). (4.4.24)
В соответствии с (4.4.22) и (4.4.24) из формулы Кирхгофа
(4.4.12) при t = Xo, с=19 т(х) = if>(jt) — w(0, г) заключаем, что
к(*, /) = -^(x, f)—-JL/a(0, r) + /v(*. /).
Отсюда при х=0 и /-*г находим
2и(0, г) = *(0, г) + г^(0, r) + rv(0, г).
Следовательно, единственное решение задачи задается формулой
и(х, /) = +(*, ') + <[*<(*. 0 + v(^ 01—§-[*(0, г)+гШ r)+rv(0, г)].
В заключение отметим, что для ультрагиперболического
уравнения Кулона
Ахи = Ауи (4.4.25)
в качестве необходимого нелокального условия (см. п. 3.4.4)
выступает условие, определяемое следующим, хорошо известным
в математической физике принципом (теоремой о среднем
значении) Асгейрсона. Пусть и=и(хуу) — регулярное в Л2п решение
уравнения (4.4.25), где x^Rny y^Rn. Тогда среднее значение
решения и(х, у), взятое при постоянных х в пространстве Rn
точек у по сфере радиуса г, равно среднему значению и(х, у),
взятому при постоянных у в пространстве Rn точек х по сфере того
же радиуса.
§4.5. ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ
МАК КЕНДРИКА—ФОН ФЕРСТЕРА
4.5.1. Алгоритм решения задачи Коши для модельного
уравнения Мак Кендрика — фон Ферстера. Рассмотрим уравнение
ut + r(t)ux= —м>(*, t)u, a<x<Cb, (4.5.1)
которое весьма часто встречается в теории популяции (см.
п. 2.9.8). Здесь и = и(х, t) интерпретируется как численность или
176

плотность популяции возраста х^[а, b] в момент времени
МО, Т].
Допустим, что известны средние значения
т ь т
с = Цг(1)<И, X=wL-r\dx^(x,t)djr
функции скорости развития популяции r(t) и функции скорости
смерти и рождения \л(ху t). Тогда уравнение (4.5.1) приближенно
можно заменить нагруженным дифференциальным уравнением
в частных производных первого порядка
Уравнение (4.5.2) при с=1 является частным случаем
уравнения Мак Кендрика—фон Ферстера (2.9.59). Сегмент [a, Ь]
играет роль окна рождаемости.
Характеристики уравнения (4.5.2) определяются как решения
обыкновенного дифференциального уравнения dx/dt = c и
поэтому имеют вид
х —- ct = const. (4.5.3)
Перейдем к изложению алгоритма решения задачи Коши для
уравнения (4.5.2) в следующей постановке: найти регулярное
(т. е. непрерывно дифференцируемое) в области
S = {(jt, t):a-c{T-t)<x<by 0</<Г}
и непрерывное в Q решение и(х, t) уравнения (4.5.2),
удовлетворяющее начальному условию
и(ху 0) = t(jc), а—сГ<х<6, (4.5.4)
где т(х)еС[о—сТу Ь] и означает начальное распределение по
возрасту.
Если мы найдем решение и(ху t) задачи Коши (4.5.2), (4.5.3)
для всех *е[0, Г], то будем знать численность и(х, t) популяции
любого возраста jce[a, b] в любой момент времени t от
начального /=0 до расчетного t=T.
Пусть и(х, t) — решение задачи Коши. Через 6 = 6(/)
обозначим среднее значение u(t) функции и(х, f) по переменной х на
сегменте [a, Ь]:
ь
Щ) = -А—\ и{ху t)dxy 0</<7\ (4.5.5)
Согласно (4.5.4)
ь
m-^=j^\r(x)<ix. (4.5.6)
а
12 Заказ №1786 177

Уравнение (4.5.2) перепишем в виде
ut + cux=—k6(t) (4.5.7)
и введем новую искомую функцию
v = и(ху t) + %\ 6(z) dz. (4.5.8)
о
Очевидно, функция v=v(x\t) является решением однородного
уравнения
vt + cvx=09 (4.5.9)
удовлетворяющим в силу (4.5.4) начальному условию
v(x,0) = t(x), a — cT<^x<^b. (4.5.10)
В уравнении (4.5.7) перейдем к новым независимым переменным
1 = х + ct ит] = х — ct [см. равенство (4.5.3) ]. Так как
то (4.5.9) преобразуется в уравнение
vi = 0. (4.5.11)
Из (4.5.11) имеем v(x, t) = f(x—ct) = f(r)). Отсюда на
основании (4.5.10) находим, что Дх) = т(х), а — сТ^х^Ь. Следовательно,
v(x, t) = i(x—ct), a—cT^x—ct^b.
Подставив найденное значение v в (4.5.8), получим
t
u(xj) = x(x—ct)--'k\b(z)&zy a—cT^x—ct^b. (4.5.12)
о
Проинтегрируем обе части равенства (4.5.12) по х от а до b
и в результате найдем
ь t
(b _ а)б(/) = \ т(х—ct)dx — ЦЬ—а)\ 6(z)dz =
b — ct
= \ t(z)dz — X(b—a)\8(z)dz.
a—ct 0
Таким образом, функция 6(/) представляет собой решение
интегрального уравнения Вольтерра второго рода:
t b — ct
8(t) + l\ b(z)dz = -r±- \ T(z)dz. (4.5.13)
0 ° " a-ct
Хорошо видно, что уравнение (4.5.13) в классе функций
6(/)^С[0, Т] эквивалентно задаче Коши (4.5.6) для
дифференциального уравнения
178

dt a±ct b a (4.5.14)
Единственное решение задачи (4.5.6), (4.5.14) определяется
формулой
t
b(t) = те"" + f^-S -т(6-с2)]ех(г-°(12. (4.5.15)
С учетом (4.5.15) из (4.5.12) получим
t
и(х, t) — т(х — ct) + Хт\ е~Хуdy =
о
= -^-S dH [т(а~С2)-т(6-С2)]ех(2-у)(12 =
= j^\ [t(b-cz)-t(a-cz)]dz\ ex(2~y)dy. (4.5.16)
На основании равенства (4.5.16) можно прийти к выводу о
том, что единственное решение задачи Коши (4.5.4) для
модельного уравнения Мак Кендрика— фон Ферстера (4.5.2) во всех
точках (jc, t) определяется формулой
и(ху /) = т(х—ct) + (e~xt— l)i + -S-S [т(а—cz)—т(6—сг)] X
sD-ha 0
X[e^2-/)-l]d2. (4.5.17)
Как видно из (4.5.17), чтобы найти значение и(хо, to), надо
знать значения т(х) во всех точках сегмента а—cto^x^b.
При Х-*0 решение (4.5.17) стремится к бегущей (со
скоростью с слева направо в положительном направлении оси х)
волне
и(х, /) = t(x—ct); a—cT^x—ct^b, (4.5.18)
т. е. к решению задачи Коши (4.5.4) для уравнения
щ + сих = 0. (4.5.19)
Вернемся к уравнению (4.5.1) и предположим, что функция
r(t) известна, не зависит от времени и равна с. Тогда его можно
переписать в виде
ut + cux + \i(xf t)u = 0, a<x<b. (4.5.20)
Уравнение (4.5.20), как правило, называют уравнением Мак
Кендрика или же возрастной моделью старения Мак Кендрика.
Если в модели старения с=1, и=и(х, t) обозначает число людей
возраста х во время /, то коэффициент \i=\i(x, t) можно интер-
12* 179

претировать как скорость смерти в возрасте х в момент
времени t.
Модель (4.5.20) при с=1 является простейшей
математической моделью популяции, учитывающей возрастное
распределение особей. Коэффициент р, принято называть также силой
смертности.
Приведем теперь описание алгоритма решения задачи Коши
и(х90) = т(х), a<x<fc (4.5.21)
для уравнения Мак Кендрика (4.5.20).
В уравнение (4.5.20) введем новые независимые переменные
£ и т] и новую зависимую переменную v по формулам
l = x-ct, i\ = x+ct, t;=a(i±l Jgi).
Так как
Ux=Vi + Vn, Ut/C= Vts—Vi,
то из того, что и — решение (4.5.20), следует, что v = v(l, tj) —
решение уравнения
иц + М1> Ф = 0, (4.5.22)
где
Уравнение (4.5.22) можно переписать в виде
-^[иехр(||ц0(|,2)<12)]=0, ц>1
Следовательно,
v(t, л) = »(Б.1Б1)ехр(-|||(Б, z)dz).
Отсюда, возвращаясь к старым переменным ху /, иу р, получаем,
что любое регулярное в выпуклой области решение и(х, t)
уравнения Мак Кендрика (4.5.20) является решением нагруженного
функционального уравнения
ХЯ|,[ -t±A^- ^)d2] • <4-523)
Из (4.5.23) при x>ct в силу (4.5.21) получаем, что
единственное в полуполосе a<Lx—ct<.by t>0 решение задачи Коши
(4.5.21) для уравнения (4.5.20) определяется формулой
180

(х, /) = т(х-с/)ехр[ —J |х(
х—ct-\-z
2
2 — Ct + X
2с
(4.5.24)
Если р,(х, /) = const = р,, то равенство (4.5.24) примет простой
напоминающий закон экспоненциального роста численности
популяции (2.9.2).
4.5.2. Постановка задачи Коши с негладким носителем для
односкоростного уравнения переноса. Начиная с Мак Кендрика
для описания перемещения популяции широко используются
уравнения, известные в математической физике как уравнения
переноса (или как кинетические уравнения). Среди этих
уравнений важное место занимает односкоростное уравнение переноса
(2.7.7). Если в уравнении переноса одна из независимых
переменных совпадает с временной переменной, то его называют
также эволюционным уравнением. Уравнения (4.5.19) и (4.5.20) —
примеры эволюционных уравнений.
Пусть си(х, у, /) — плотность некоторой биологической
популяции во время /, совершающей перемещения с постоянной
скоростью с в направлении единичного вектора у = (уи у2, #з)^/?3
из точки х = (х\, х2, Хз) выпуклой области QczR3. При
определенных предположениях можно допустить, что и удовлетворяет
уравнению переноса
~"Гд" +yVxu + o(x)u = os(x) \ у(х, у, l)u(xy %t)dSi + f(x, у, t)y
где 0^as^a>0, у— индикатриса рассеяния, f — плотность
источников. Здесь, как и ранее (см. п. 4.4.1), £i = sin8coscp,
g2= sinGsincp, £3 = cos6, dS$= sinOdOdcp, 6 и cp — сферические
координаты точки £r лежащей на сфере |£|=1; V* — оператор
Гамильтона по переменной х.
Пусть:
1) a, os и / не зависят от координат х\, х2\
2) и и / не зависят от азимута ср, \щ(х, у£) = 1;
3) Q совпадает с плоскопараллельным слоем 0<хз</;
4) Gs(x) и а(*)€Е(й), f(x,y,t)€=C(QXiy:\y\=l}X[0, Т]).
Тогда уравнение (4.5.25) переходит в простейшее, но вместе
с тем интересное уравнение переноса в плоскопараллельной
геометрии:
вид
и(ху /) = т(х—-с/)ехр(—р,/),
iii=i
(4.5.25)
1 ди , ди , / ч
или
181

1 ди .
Tsr+У-
ди
дх
j-o{x)u
J u(x,l,t)dl+f(x,y,t), 0<*</, |*/|<1,
(4.5.26)
где и=и(х, у, /), х = х3, f/ = f/3 = cos0, 0<8<д.
В качестве граничного условия для уравнения (4.5.25)
рассмотрим локальное условие
где dQ — граница области Q, п — внешняя нормаль к dQ.
В теории переноса частиц условие (4.5.27) указывает на
отсутствие приходящего излучения из вакуума. В теории же
популяций оно может выражать отсутствие миграции из R3/Q
в Q.
Для уравнения (4.5.26) условие (4.5.27) имеет вид
и(хууу О- 0 при 0<1,<1, 0</<Г,
I 0 при х=19 -1<О/<0, 0<*<7\ v ;
Начальное условие определим равенством
Если / и и не зависят от /, a(jc) = l, os(x) = const = crs, то
уравнение (4.5.26) можно переписать в виде
где р{уу t) = os/c.
Задача отыскания решения и=и(хуу) уравнения (4.5.30)
с краевым условием и(0у у) = 0у 0<iy<Zl в теории переноса
известна как проблема Милна.
Единственность кусочно-непрерывного решения смешанной
задачи (4.5.26), (4.5.28), (4.5.29), которую разумно называть
задачей Коши с негладким носителем: х(х—/)/ = 0, |у|^1, 0^/^Г,
можно доказать методом априорных оценок. Для реализации
этого метода умножим обе части (4.5.26) на и и полученный
результат проинтегрируем по прямоугольной области со =
= {(*, у):0<х<1у \у\<\). Тогда найдем
и(ху y,t) = 0 на dQ при уп<0у
(4.5.27)
и{хууу0) = т(хуу)у 0<*</, \у\<1.
(4.5.29)
У^+и(ху у) = ±.\р(У) l)u{xy l)dt
(4.5.30)
182

Из неравенства Коши — Буняковского — Шварца (см. п. 1.1.4)
имеем
1 2 1
( \u(xyyj)dy) ^2\u\x,yJ)Ay.
Теперь можно написать
1 d
2с dt
где
Тг4-И"^+(а.~аз)1к112<(«,/)ь (4.5.31)
\\и\и~( J *2dco) (w,/)*=Wdco-
* (I) * (1)
Применение очевидного неравенства
2(и, f)/<e||tt|b + -i-||f||b
справедливого для любого положительного числа е, позволяет
вывести из (4.5.31) соотношение
-L-i.||tt||? + ^e||tt||?<i.||f||?, (4.5.32)
где р = 2(а*~05) —е>0 при е<2(о#-— o*s). Дифференциальное
неравенство (4.5.32) можно переписать в виде
-~-[ec>i|lkllf]<^-e^||/||f, V6es[0t Г].
Отсюда после интегрирования по £ от 0 до t^T с учетом
начального условия (4.5.29) получим
||т||о2 + —J е^И/ИВДе-*'. (4.5.33)
На основании априорной оценки (4.5.33) нетрудно установить,
как и в случае задачи Дирихле (см. п. 3.4.5), единственность
решения задачи Коши с негладким носителем для уравнения
переноса.
Весьма просто доказывается единственность и существование
решения смешанной задачи в случае, когда os(x) = 0y т.е. для
уравнения
TW+y-w+(*x)u=Kx>y>1) (4-5-34)
в области Q = {(x, у, /):0<x</, |у|<1, 0<*<Г}.
183

Действительно, прямые х — cyt = const на евклидовой
плоскости точек (х, t) являются характеристиками уравнения (4.5.34).
Поэтому целесообразно произвести преобразования
1-х-cyt, 4 = x + cyt, т|;|,) —n(l±2L. у, 2=jL).
Поскольку якобиан преобразования (jc, л) (см- п- 1-4.2)
равен 2суу сначала рассмотрим случай, когда уфО.
Легко видеть, что
»ч + а(Б,л;»)о=«Б.ч;»). (4-5-35)
где
Вводя обозначение
Р(Б, л; У) = ехр[ ^ о(Е, тц; j/)dr|i] ,
уравнение (4.5.35) перепишем так:
j^[P(l. ч; </И = P(t, ч; </Ж£> л; «/)• (4.5.36)
Отсюда после интегрирования по переменной г\ от £ до rj, учета
начального условия (4.5.29): v(ltl\ у) = т(1У y)t 0<g</, и
очевидного равенства Р(£, £; #)= 1 получим
v&, ц; у)=и(х, у, t) = -&A-+ \-^г$-№> Ч.; i,)d4i- (4-5.37)
Второе слагаемое в правой части (4.5.37) обозначим через
/(*, </> О-
Если произвести преобразование
т|1 = 6 + (Ч —Е)г=6 + 2с|,/2Г,
то получим
1
л; |/) = ехр[ с/J a(g + n//z)dz] ,
limP(£, tj; t/) = exp(ca/), a = a(x),
о
/(*, y, Q=c<| f({+cj/te, », <*)<!*.
M»exp[(j'-|)„(£.,,;9,d4,]=„p[^,o(l±^.)dm]-
184

= exp[(z — l)ct^o(x + cyt(z — l)z,)dzi] ,
где r\2 = i\+(r\\—r\)zi = r\-\-2cyt(z—l)zi. Следовательно,
i t
lim /(*, y> t) = ct\ e(2-I)c/°/(jc, 0, z/)dz = c\ eil^t)caf(xt 0, g)dg.
y-+° о 0
Теперь из (4.5.37) достаточно просто получить, что
lim и(х, у, t) = u(x, 0, t) = x(x, 0)е-с°' + с\ el-')c°f(x, 0, |)d|.
^° о (4.5.38)
Непосредственной проверкой можно показать, что
представленная формулой (4.5.38) функция и(х, 0, t) удовлетворяет урав-
нению
{^r-lr + o)u{xy0,t) = f{x,0,t) (4.5.39)
и начальному условию
ф:,0, 0) = т(х, 0). (4.5.40)
Задача Коши (4.5.39), (4.5.40) не имеет решений, отличных
от (4.5.38).
Формулы (4.5.37) и (4.5.38) определяют решение смешанной
задачи (4.5.34), (4.5.28), (4.5.29) только в той части Q, где
0<x — cyt<L
Перейдем к поиску решения задачи Коши с негладким
носителем в случае, когда х—cyt<i0y 0<*/^1.
Здесь более удобно в качестве функции Р(£, rj; у) из (4.5.36)
взять функцию
л
Р(1>г\\У) = ыр[ \o(t г)ь </)dT)i]-
Из (4.5.36) после интегрирования по г\ от —g до tj, учета
условия (4.5.28) v(l, —£; */) = 0, 0<*/<1, и равенства Р(£,—£;*/) =
= 1 получаем
л: у)=\ p£(iXy)f{t ч,; у)Ащ- (4-5-41)
Аналогично находится решение и тогда, когда — 1^#<Д
При о2= const, f = const из (4.5.37) и (4.5.38) в результате
несложных преобразований находим
и(х и t,\«t>y)<*P(-°ct) + [l-exP(-oct)]f/o, 1>0,
»(х>У>*)-\[i-e^-охШ/о, |<0, У>0. (4'542)
Как видно из (4.5.42), решение u(x,yyt) непрерывно на
характеристике | = x—cyt=0 тогда и только тогда, когда т(0, у)=0.
185

§4.6. ЗАДАЧА КОШИ СО СМЕШАННЫМ НОСИТЕЛЕМ
ДЛЯ НАГРУЖЕННОГО ЭВОЛЮЦИОННОГО УРАВНЕНИЯ
4.6.1. Задача Коши со смешанным носителем для
нагруженного уравнения Буссинеска. В области Q = {(x, /):0<х</. 0</<Г}
рассмотрим нагруженное уравнение Буссинеска [см. равенства
(2.9.73), (2.9.75)]:
Ut = (XUUxxy (4.6.1)
где и — среднее значение и = и(ху t) на сегменте [0, /].
Исследуем вопрос единственности и существования решения
задачи Коши для эволюционного уравнения (4.6.1) в следующей
постановке: найти регулярное в области Q решение u^C(Q),
удовлетворяющее начальным условиям
и(0,*) = ф(0. ^(0,0 = ^(0, 0</<7\ (4.6.2)
ы|/=о = т, (4.6.3)
где ф(/) и -ф(/) — заданные функции из С'[0, Г], т — заданная
постоянная величина.
Допустим; что существует решение и этой задачи и 8=d(t) =
= н(/). Тогда из (4.6.1) на основании (4.6.2) заключаем
а8и(х, Ъ^-^хЧ' + Щх^ + ф)]. (4.6.4)
Так как
m) = -j-]u(xtt)dx, (4.6.5)
то из (4.6.4) непосредственно вытекает, что
14' = - сс[ 3/г|)( t) + 6ф( /)] б + баб2. (4.6.6)
Тем самым установлено, что функция б(/) является решением
задачи Коши (4.6.3) для уравнения Бернулли — Ферхюльста
(4.6.6). Если тфО, то единственное решение этой задачи в силу
(4.1.3), (4.1.7) определяется формулой
«(/) = P2(t)/[ 4—1^ Р2Ы) drj ] , (4.6.7)
где
Р2(0 = ехр{ —[3A|>(S) + 6(p(|)]dl}(
и предполагается, что
/2^6ат|/>2(л)(1л, Vtez[0,T]. (4.6.8)
186

Условие (4.6.8) соблюдено, например, когда
3/г|)(*) + 6ф(х) = k = const > 0.
В этом случае формула (4.6.7) принимает вид
иКЧ = - 1 1
1,6 / — akt\
и ясно, что 8(/)-*-т при +оо и оОО.
Резюмируя, можно сделать следующие выводы: единственное
решение и(ху t) задачи Коши (4.6.1) — (4.6.3) со смешанным
носителем а„ = {(х, t) ixt=0t О^.х^.1, 0^t^.T} определяется
формулами (4.6.4) й (4.6.7), точное решение этой задачи можно
принять за приближенное решение задачи Коши с начальными
данными (4.6.2) и
и(х,0) = т{х), 0<х</, т(0) = ф(0), (4.6.9)
для уравнения Буссинеска (2.9.73).
Здесь носитель оп назван смешанным, чтобы подчеркнуть
тот факт, что оп наряду с характеристическими точками
содержит и нехарактеристические.
4.6.2. Задача Коши со смешанным носителем для
нагруженного уравнения теплопроводности. В области Q рассмотрим
задачу Коши (4.6.2), (4.6.9) для уравнения
щ = аихх, а = const>0, (4.6.10)
которое широко встречается в математической биологии, в
особенности при математическом моделировании явления переноса
в живых системах. В частности, если в уравнении (2.9.66)
положить
и= u-fft+P—\iiim, Da = a>
то новая зависимая переменная и будет решением уравнения
(4.6.10).
Пусть Аг0, xi, хп — точки из [0,/], 0 = Ar0<Xi<...<xn; hi =
= *,• + !— Xiy /=0, 1, П.
При реализации задачи Коши на компьютерах весьма
перспективным может оказаться следующий алгоритм поиска
приближенного решения, суть которого состоит в замене уравнения
(4.6.10) на каждом шаге hi нагруженным уравнением
теплопроводности:
U(xit t) Xi—X
u(Xi+\t t) Xi+\—X
Уравнение (4.6.11) перепишем в виде
аихх= Ui(xi+i—x)/lii—u!+l{Xi—x)/liiy xt<x<.Xi+\f
i = 0, 1, tt. (4.6.11)
187

где Ui=u(xitt). Из этой записи нетрудно заметить, что
X
и(х, t) = -£-\ (xi+i-Z)(x-t)dt + (x-xi)ulc.+
1 Xi
X
+ "'—ИМ ux = ux(xit t).
' x,
Следовательно,
^-ШГ[ Чх-хд'-iix-x,)'] +^x-tf«x-xi)u*+*.
Из (4.6.12) при x=jci+i имеем
Поэтому
м/+1 — Xc-ui+i = — 2м/— ЦЛ/ы*. + и*), ^ = 6а/А?. (4.6.13)
Уравнение (4.6.13), очевидно, можно записать в виде
(e-^'m+i)' = - e~Kt[2u[ + A^Aitt,, + m)].
Отсюда после интегрирования по / от 0 до / и учета начального
условия (4.6.9)
Ш+11 /=0 = = t(*,-+i) (4.6.14)
получаем
Ui+\ = (т£+1 + 2x/)exp(V) — 2щ — h\ exp(ht — A,£)X
о
x[/t,«x,(i)+3m,(i)]di. (4.6.15)
С другой стороны, в соответствии с (4.6.12) находим
Отсюда при x = jtt получаем
uXi+t = и*, + £ А«{и/+
Заменяя в этом равенстве выражение, стоящее в скобках, его
значением из (4.6.2), находим
uXl+l = иХ1+-^11{Цт+\ — щ—Ыих) — и!]
или
uXi+l = —2uXt + 3(щ+{ - и,)/А,- - 0,5(hi/a)ui. (4.6.16)
188

Формулы (4.6.15) и (4.6.16) дают алгоритм поиска решения
задачи Коши (4.6.2), (4.6.9) для уравнения (4.6.10). Например,
если / = 0, то
и, = (xi +2т0)exp(hot) -2Ф(/) -Х0\ eM'-«[Ло^Ш + ш)] dg,
о (4.6.17)
и\ = Xo(ti +2т0) ехр (Хо/) — 2<p'(f) — Аю[М>(0 + 3<р(/)] —
Пусть биологический процесс, описываемый задачей Коши
(4.6.2), (4.6.9) для уравнения (4.6.10), таков, что Ло^(0 +
-f Зф(/) ss Со = const. Тогда (4.6.17) примет вид
Ul = (xi + 2т0 — Со) ехр(Ы) + Со — 2ф(/). (4.6.18)
Допустим, что нам известно (например, из натурных
наблюдений за процессом) значение иц функции u(xyt) в точке х\
в момент времени t\. Тогда формулу (4.6.18) можно использовать
для нахождения коэффициента а, если он неизвестен.
Действительно, из (4.6.18) при t=t\ и
Со=^Т1+2т0, Ои+2ф(/1) — Co]/(ti+2to—с0)>0
имеем
a=-g-ln . (4.6.19)
6/i Т|+2то—Со 4
Формула (4.6.19) может дать хороший результат, если точка
х\ находится на достаточно близком расстоянии от *о = 0.
При отыскании приближенного значения решения и(х, t)
задачи Коши со смешанным носителем (или другой задачи) для
уравнения теплопроводности (4.6.10) в наперед заданных точках
*ь *2> хп в качестве аппроксимирующего уравнения можно
выбрать и нагруженные уравнения следующих видов:
д
auxx =—a!{x)u(xh t)y
х,-г
Здесь под индексом / подразумевается суммирование от 1 до п\
и(ху t)&a!(x)u(x-h t) — некоторая интерполяционная формула
(например, формула Лагранжа); р7-(х) и е — заданные величины.
189

ГЛАВА 5
ЗАДАЧИ ГУРСА И ДАРБУ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ
ГИПЕРБОЛ ИЧЕСКИХ УРАВНЕН ИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
§ 5.1. НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ РАЗРЕШИМОСТИ
КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ СМЕШАННОГО
ГИПЕРБОЛО-ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
5.1.1. Первая краевая задача для гиперболо-параболического
уравнения с двумя независимыми переменными. В ограниченной
области Q евклидовой плоскости точек z = (xt у) с кусочно-гладкой
границей 2 рассмотрим уравнение
Lu = иуу — k(z)uxx + a(z)ux + b(z)uy + c(z)u = /(г), (5.1.1)
где 0 < k(z)y a(z)t b(z) и c(z) — заданные в замыкании Q
действительные функции действительных переменных х и у из класса C(Q),
и = и(х, у) = u(z).
Уравнение (2.9.77) при t = у ^ tm представляет собой частный
случай (5.1.1).
Здесь изложим простой прием, позволяющий правильно
сформулировать краевую задачу для уравнения (5.1.1) в области Q и
найти необходимое условие ее разрешимости в виде априорной
оценки. Этот прием, по существу, является некоторым вариантом
довольно универсального метода abc (см. п. 3.4.4).
С оператором L свяжем однопараметрическое семейство
операторов (р, ^ 0) по формуле
L^V = Vyy — kvxx + CL^Vx + bvy + CpV,
где
ац = а — 2\iky сц = с + яр — ^Р2-
Легко проверить, что если и = vexp(\ix)t то
Lu = exp(\ix)Liiv.
Предположим, что функции k_= k(y), а = a(z) и с = c(z)
непрерывно дифференцируемы по х в Q, и введем обозначения
All = ak + 2ац + kx — e(b2 + со), С? = асц +
где 0 < со = co(z)^C(Q), а>1/е и е — положительные числа.
190

где с означает некоторую положительную постоянную, не
зависящую от vt а|| • Но — норму в L2(Q).
Действительно, из (5.1.2) достаточно просто установить, что
для любых ц, а и со справедливо неравенство
5б[Л5£«£ + (а - 1/г)и1 - c%v2]dQ +
Q
+ \б[с^2 — xn(kvl + v2y) + 2ynvxvy]dZ <
2
<c||co-,/2L^||g, УоеС'(О)Пф). (5.1.5)
Пусть соблюдено условие (5.1.4) и
р, < р,0 = min[— c(z)/a(z)].
Qo
Так как c^z) < 0 в Qo и Сц(г)еС(Й), то существует такое число
Hi < Но, что
<V(z)<0, V^eQ, (5.1.6)
Рассмотрим на границе Е форму
Q = с^а2 — *,,(*Ux + v2y) + 2ynvxvy.
В силу (5.1.6) и равенств
v = 0, а* = УпЛГп, vy = vnyn, \/2eS +
имеем
Q|2+ = jcn(i/2 - Ы)а«=><?1п > 0, Qlzt = 0.
Значит,
Qh+>0. (5.1.7)
По определению, на части S_ границы S имеем х„<0;
поэтому
Qb_ > 2ynvxvy — x„(£a2 + i>5) з= 9.
Отсюда на основании очевидных соотношений q\z± = 0, qhz^O
заключаем, что
Qlz_>0. (5.1.8)
Учитывая (5.1.7) и (5.1.8), основное неравенство (5.1.5) можно
переписать в виде
\ 6[A%vl + (a - l/e)v2y - c^2]dQ <
<с|1мн8, V^t < ve=W(Bj). (5.1.9)
В силу (5.1.6) существует такое ао, что
c%(z)<0 VzeQ, a>ao. (5.1.10)
192

Для любых р, а, со и для любой функции v е C'(Q) П C2(Q) такой,
что L^veL2(Q), справедливо соотношение
j [ (8k)xv2 + 28а^2 + bxv2y + 28bvxvy - (6c»)xv2] dQ +
+ \ Ь[с^2 — xn(kv2x + v2y) + 2(/rtyJcyi,]d2 =
= 2(6i>x, L^)0, б= exp(a*), (5.1.2)
где л:Л и (/„ — направляющие косинусы внешней нормали п =
= (*п, Уп) к. кривой 2.
Равенство (5.1.2) доказывается с помощью формулы
Грина (3.4.5) аналогично (3.4.29).
Через Wl2(Q) обозначим множество всех функций
пространства L2(Q), обладающих Соболевскими обобщенными
производными первого порядка, принадлежащими L2(Q), причем скалярное
произведение любой пары функций иу v из W2(£i) и норму любого
его элемента и определим по формуле
(u,v)i= \ (VuVv + uv)dQ, hull, = У(и, u)r (5.1.3)
Q
Множество fl?2(Q) с такой нормой является пространством
Банаха (см. п. 1.1.3) и известно*как пространство Соболева.
Пусть:
2+ = |2!2gS, х„>0}, 2_=2\2+;
2|={z:z<=2+, kx2n>y2n),
21 = (г:2ее_, ы <*/*}, 2z=2-\2±;
ЩВ/) — множество функций v(z) из C!(Q)nC2(Q), для которых
LnueL2(Q) и соблюдены краевые условия
v\z+ = q, оя|4 = 0, uxht = 0 (Вг)
или
y|s+=0, yn|2j = 0, y1,|zi_ = О, (В*)
где ул — производная от v по направлению п\ Qo = {z:z^Q,
k(z) = 0} — компактное множество точек параболического
вырождения уравнения (5.1.1).
На тех частях 2+, где хп = 0, условие u|z+ = 0 можно заменить
условием = 0, если эти части являются интервалами прямых,
параллельных оси у= 0.
Имеет место следующее утверждение.
Теорема 5.1.1. Если Q0 ф 0 или
a(z) > 0, 2a(z) + kx(z) > 0, V*€=Qo, (5.1.4)
то
191

Из второго неравенства условий (5.1.4) следует, что при
достаточно малых значениях е
А™ = 2a(z) + kj^z) - г(Ь2 + 1) > 0, \/2есо0.
Следовательно, найдется такое ai, что
Л?Г>0, V*eQ, a>ai. (5.1.11)
Соотношения (5.1.9), (5.1.10) и (5.1.11) доказывают
справедливость теоремы 5.1.1.
Из этой теоремы заключаем, что если u(z) — регулярное в
области Q решение уравнения (5.1.1) с правой частью /(z)eL2(Q) из
класса C'(Q), удовлетворяющее краевым условиям
н|2+ = 0, ип\п = 0, (их - ilu)\z± = 0 (5.1.12)
или
uh+ = 0, ипЫ = 0, Uyht = 0, (5.1.13)
то
jj[(H, - цн)2 + и2 + H2]dQ < cll/llg. (5.1.14)
Задачу (5.1.12) или (5.1.13) назовем первой краевой задачей
для уравнения (5.1.1).
Априорная оценка (5.1.14) представляет собой необходимое
условие разрешимости первой краевой задачи. Из нее вытекает
единственность регулярного решения задачи и существование
слабого решения сопряженной ей задачи в соответствующих
априорной оценке функциональных пространствах (см. п. 3.4.5).
Пусть k(z) = k(y) и k(y) > 0 при у Ф 0; Q совпадает с
областью, ограниченной отрезками АВ:хо ^ х ^ х\ прямой у = 0
и характеристиками АС и ВС уравнения (5.1.1), исходящими из
точки С с ординатой ус <С 0. Тогда первая краевая задача (5.1.1),
(5.1.12) совпадает с первой задачей Дарбу:
ы(г) = 0, \/z^AB\]BC, Lu = f(z), Vz^Q.
Если же k(z) = 0, Q = {z:0<(/</, 0 < л: < 7], то она совпадает
с первой краевой задачей
и(Ту у) = 0, 0 < у < /; ы(0, х) = 0, и(1, х) = 0, 0 < х < /
для уравнения параболического типа
иуу + o{z)ux + b(z)uy + с(г)ы = Я*), я(г) > 0. (5.1.15)
В биологических процессах, описываемых уравнением (5.1.15),
роль временной переменной играет переменная х.
Здесь уместно отметить, что установленную в п. 2.6.3 связь
между данными Коши (2.6.7) на характеристике 5 можно рассматри-
13 Заказ № 1786 193

вать как необходимое условие разрешимости характеристической
задачи Коши.
5.1.2. Необходимое условие разрешимости многомерного
аналога задачи Дарбу. Пусть Я — конечная односвязная область
евклидова пространства R3 точек (ху t)y х = (х\у х2), ограниченная
двумя поверхностями / = \х\у t = г — \х\у где \х\2 = хх + х\у г =
= const > 0, расположенными в полупространстве х2 < 0, и
плоскостью х2 = 0; Si, S2 и 53 — части поверхностей t = \х\у t = г —
— |л?| и л?2 = 0 соответственно, образующие границу dQ области Q.
В области Я рассмотрим гиперболическое уравнение
Lu see uXlXl + иХ2Х2 — utt + a!uXi + Ьщ + си = / (5.1.16)
с непрерывными в Я коэффициентами а1 = а\ху t)y i = 1, 2; b =
= b(xy t) и с = с(лг, /).
Предполагается, что производные ai,/, 6// и ct являются
непрерывными в Я функциями своих аргументов.
Для уравнения (5.1.16) поверхности Si и S2 являются
характеристиками, а S3 представляет собой нехарактеристическую
поверхность временного типа (см. п. 2.4.2).
Задача 5.1.1. Найти решение и = и(ху у) уравнения (5.1.16),
удовлетворяющее краевому условию
и = 0, V(*, 0e=S2US3. (5.1.17)
Задача 5.1.2. Найти решение v = v(xy t) уравнения
L*y = vXlXl + vX2X2 — (alv)Xt — (bv)t + cv = fy (5.1.18)
удовлетворяющее краевому условию
v = 0, V(*,/)e=S,US3. (5.1.19)
Пусть W(B\) — множество функций и из класса Cl(Q)(]C2(Q) с
Lu^L2(Q)y для которых соблюдено (5.1.17); W(Bf) — множество
функций v из С,(Я)ПС2(Я) с L*dgL2(Q), удовлетворяющих
сопряженному условию (5.1.19).
Интегрированием по частям, т. е. с помощью формулы
Грина (3.4.5), можно показать, что
(иу L*y)o = (Luy v)oy \/u<=W{Bx)y vt=W(Bt).
Следовательно, задачи 5.1.1 и 5.1.2 являются формально
сопряженными.
Задача 5.1.1 впервые сформулирована А. В. Бицадзе в 1962 г.
и представляет собой аналог первой задачи Дарбу.
Уравнение (5.1.16) заменой зависимой переменной по формуле
и = aexp(pi), р = const > 0 сводится к уравнению
vXiXi + vX2X2 — vtt + dvXi + (b — 2[i)vt + w = /е~ц/,
где с» = с + b\i — p,2. Очевидно, за счет p коэффициент сц можно
194

сделать всюду в Я меньше любого наперед заданного
отрицательного числа. Поэтому, не нарушая общности, будем считать, что
с < — maxlfli, + bt\. (5.1.20)
Q
Рассмотрим эрмитову билинейную форму
(и, а)+ = \ [aVuVv + 2(6 — $)utvt +
Q
+ aiiXtvt + alVxMt + uv]dQy (5.1.21)
где V — оператор Гамильтона похи/,ааир — любые
положительные числа, удовлетворяющие неравенству
a>max[max(l + \Ь - 01 + vi* - pi2 + м2).
й
max|a|2 + тах|(с, — a!X(t — btt)/(c — а!Х1 — (5.1.22)
й
Здесь |а|2 = (а1)2 + (а2)2.
Так как все корни (характеристические числа)
характеристического уравнения
(a - Ща - X)2 + 2(6 - р)(а - к) - |а|2] = 0,
соответствующего квадратичной форме
a|||2 + 2(b - ml + 2аЪ£3, (*, *)e=Q, S^/?3,
в силу (5.1.22) положительны, то
(и, и) + > 0, (и, и)+ = Оои = 0. (5.1.23)
Примем теперь следующие обозначения:
#+ — гильбертово пространство суммируемых в области Я
функций, имеющих обобщенные производные до первого порядка с
конечной нормой, определяемой по скалярному
произведению (5.1.23): = (и, и)+\ полнота пространства #+ следует
из справедливого на основании (5.1.23) неравенства
С\\\и\\х < ||и|| + < с2\\и\\\, cic2==const>0, (5.1.24)
которое выражает эквивалентность нормы || • ii + норме || • ii i;
#_ — негативное (гильбертово) пространство, построенное по
нулевому пространству Но = L2(Q) и позитивному
пространству Н+, т. е. пополнение пространства Но по норме
||ф||_= 8ир|(ф,н)о1/1м|+, (5.1.25)
такое пополнение возможно в силу очевидного неравенства
<С ф, и > о, где и^Н+— билинейная форма на простран-
13* 195

стве #_, которая при феЯо совпадает со скалярным
произведением (ф, и)о (см. п. 1.1.4). Для этой формы имеет место неравенство
Коши — Буняковского — Шварца:
1<Ф,и>о1< ИфН-1М1+. (5.1.26)
Слабым решением задачи (5.1.1) назовем любую функцию
mgL2(Q), если
(иу L*v)0 =<f9v >0, Vvee W{B*).
Теорема 5.1.2. Для любых функций не W(B\) и dg W(B*)
имеют место энергетические неравенства
l|n||+<c||Ltt|k IMI+<c||L*i>||0, (5.1.27)
где с — не зависящая от и uv положительная постоянная.
В самом деле, для любых функций u^W(B\) и d=d(t)^
gC'(Q) справедливо равенство
(duty Lu)0 = \ [d'lVal2 + 2dbu2 + 2daiuXlut —
Q
- (dc)tu2]dQ + J dcnVdS + ] d(- \Vu\2n3 +
dQ dQ
+ 2riuXi ut)dS = Ii+I2 + /з, (/=1,2), (5.1.28)
где nl — направляющие косинусы внешней нормали п=(п1, п2у
п6) к dQ, AS — элемент поверхности dQ.
Пусть d = ехр(а/). Тогда в силу (5.1.20) и неравенства п3 0
на S\ ясно, что 0. Так как на характеристической
поверхности S3 нормаль п = (0, 1, 0), то
/3= J d(-\Vu\2n3 + 2niuXtUt)dS = h(Si) + h(S2).
5,ljs2
На характеристической поверхности S2, где и = 0 и (л1)2 + (я2)2 =
= (л3) , имеем
uXi— ипп\ ut = ипп3у ип = du/dJt.
Следовательно, на этой поверхности
- \Vu\2n3 + 2nluxMt = п3и2[(п1)2 + (п2)2 - (л3)2]=0,
т. е. /з(52) = 0 для любой функции d. Далее, принимая во
внимание, что на характеристике Si :п3 = — л1(пх)2 + (п2)2
все корни характеристического уравнения
j ^ ^3 Q ^1
0 — А, — п3 /г2 |=-~М^ + ^3К^ + 2п3) = 0,
„1 „2 Л „з1
п п — а, — я
196

соответствующего квадратичной форме — л3|£|2 + 2/z'£/£3> (*> 0е
eSi, l^R , неотрицательны, получаем /3(Si) ^ 0 для всех d ^ 0.
Из (5.1.28) с учетом того, что d' = ad и
2(dn,, La)0 < 2p||Vrf^ll8 + Ci\\Lu\\l
где Ci — не зависящая от и положительная постоянная, имеем
^d[a\Vu\2 + 2(b - Р)ы,2 + 2а1иХ1щ +
+ (dc)tU2]dQ^Ci\\Lu\\l
Отсюда на основании (5.1.20) — (5.1.23) получаем первую
априорную оценку в (5.1.27).
Аналогично доказывается и вторая априорная оценка, если в
качестве вспомогательной функции d взять функцию d =
= — ехр(— а/).
Из теоремы 5.1.2 следует, что априорные оценки
1М1+<с||Л1о, 1И<с||Я1о, и^ЩВг), v^W{B\)
выступают как необходимые условия разрешимости задач 5.1.1
и 5.1.2 соответственно. В силу (5.1.24) эти оценки эквивалентны
оценкам
11и||.<с|1Л1о, IMKcllflk ue=W(Bi)9 v<=W{B\).
Доказательство существования слабого решения задачи 5.1.1
или 5.1.2 для любой правой части [еЯ_ проводится по
стандартной схеме: неравенство Коши—Буняковского—Шварца (5.1.26) —
теорема Хана—Банаха — теорема Рисса (см. п. 3.4.5).
Мы рассмотрели аналог первой задачи Дарбу для области,
граница которой образована характеристиками Si и S2
уравнения (5.1.16) и нехарактеристической, но временного типа
поверхностью S3. Возникает вопрос: является ли существенным
тот факт, что нехарактеристический носитель S3 данных Дарбу
представляет собой поверхность временного типа? Ответ на
этот вопрос можно дать на примере Дон-Гуан-Чанга, который
в 1957 г. установил, что функции вида
zn u-Ikui yl*r—l*-EI2
где m и n — положительные целые числа, m^5, n—m=2/+l,
/=1, 2, представляют собой нетривиальные решения
следующей задачи:
и(д,|*1) = 0, 0<М<1/2,
и(ху 0) = 0, |х|<1
для двумерного волнового уравнения utt = Axu в конечной одно-
связной области, ограниченной частями поверхности \x\=ty
\x\=i—t и t=0.
197

§5.2. МЕТОД РИМАНА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ГУРСА
ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
ВТОРОГО ПОРЯДКА С ДВУМЯ НЕЗАВИСИМЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ
5.2.1. Функция Римана. В выпуклой области Я евклидовой
плоскости точек z = (xyy) рассмотрим уравнение
Lu = иху + a(z)ux + b(z)uy + c(z)u = f(z) (5.2.1)
с непрерывными и действительными в Я коэффициентами a=a(z),
b—b(z)9 c—c(z) и правой частью f=f(z).
Очевидно, что характеристиками уравнения (5.2.1) являются
координатные прямые х = const, у = const.
Предполагая дифференцируемость а по х9 a b — по уу можно
ввести оператор
дхду дх ду
сопряженный с оператором L.
Пусть 6*=(£, л) — произвольным образом фиксированная
точка из Я.
Функцией Римана оператора L или уравнения (5.2.1)
называется решение v = R(zy е) s R(xy у; £, т)) задачи Гурса:
У х
R(l, у\ S) = exp$ а(|, i|i)di|i, R(x9 л; S) = exp$ b(h9 i|)dSi (5.2.2)
ч I
для сопряженного уравнения
L*v = 0. (5.2.3)
Теорема 5.2.1. Если функции а, Ьу ах и Ьу непрерывны
в Я, то функция Римана для оператора L существует и
единственна.
Действительно, пусть существует функция Римана v =
= R(xy у\ \9 т)). Тогда в силу (5.2.3) имеем
[[ *5гг-^г«*>-ж*(2,)+с(2|) ]R(ZI's) d21=°'
где <o = (o(z, g) — принадлежащий области Я характеристический
четырехугольник с противоположными вершинами в точках z
и g и со сторонами, параллельными координатным прямым
х\ = const, (/i = const; zi =(*i, j/i), dzi = d*i dyi. Отсюда на
основании формулы Грина (3.4.5) находим
\ b(zi)R(zi9t)dxi+[Ryfa;t) — a(zi)R(zi\S)]dyi +
+ $c(zi)*(z,;s)dz, = 0. (5.2.4)
198

Рассмотрим случай, когда х>%, у>г\. Из (5.2.2) вытекают
равенства
X
л; s) — 5 л)#(*ь л; s)djci = 1.
С другой стороны, ясно, что
У
\ /?*,(*, у и .s) dyi = R(x, у; g) — /?(х, tj; Я).
л
На основании этих равенств из (5.2.4) заключаем
X
— \ c(z\)R(z\\ g)dzi = \ b(x\, r\)R(x\y tj; e)d*i —
— ( 6(xi, y)R(xlt y\g)d*i + $ [/?*■(*. t/i; £)— a(x, t/i)/?(x, t/r, g)dt/i —
1 л
-f </•; e)-a(|, t/,)/?(|, yi; 6)]dyi=J 4)*(*i, л; s)d*i-
x
— J t/)/?(*i, (/; g)dx1+/?(z; g)— /?(х, т|; S) —
— f a(x, t/i)/?(x, t/i; 6)dj/i = — 1 — | 6(лп, t/)/?(*i, (/; s)d*i+/?(*; 6) —
— \ a(x, yi)R(x, у и g)dt/i.
Таким образом, условие
R(z, 9) — \b{x\yy)R(xXyy\ s)dxi — f a(x, i/i)/?(x, t/r, S)d#i +
Б л
+ 5 d*,f c(2,)/?(z,; e)dz,= 1 (5.2.5)
l л
является необходимым условием существования функции
Римана.
К соотношению (5.2.5), которое относительно R представляет
собой нагруженное интегральное уравнение Вольтерра второго
рода (см. п. 2.7.3), мы пришли с помощью обратимых операций,
поэтому оно является и достаточным условием существования
функции Римана.
Аналогично решается вопрос сведения задачи Гурса (5.2.2),
(5.2.3) к нагруженным интегральным уравнениям вида (5.2.5)
и в общем случае, например, когда х<С\, y<Lr\.
199

5.2.2. Линейные нагруженные интегральные уравнения
Вольтерра. Рассмотрим нагруженное интегральное уравнение
Вольтерра второго рода:
х у X
u(z) — \ dxx\ kX2(z\ z\)u(z\)dy\ — \ k\(z\ x\)u(xly y)dx{ —
хо уо Хо
— ( k2{z\ у\)и{ху (/i)d(/i = /i(z), ze=D (5.2.6)
Уо
в прямоугольнике D с вершиной в точке zq = (xq, уо)у две смежные
стороны которого являются отрезками прямых х = хоУ у = уо на
евклидовой плоскости точек z = (xyy).
Относительно ядер k\2y k\y k2 и правой части f\ будем
предполагать, что они непрерывны в замыкании области их
определения.
Уравнение (5.2.5) относится к классу уравнений вида (5.2.6).
Теорема 5.2.2. Уравнение J5.2.6) всегда имеет, и притом
единственное, решение u(z)^C(D), которое может быть
построено итерационным методом.
Уравнение (5.2.6) удобно переписать в виде
u{z) = F{u). (5.2.7)
Интегральный оператор F осуществляет отображение полного
метрического пространства С(В) с нормой ||w||=max|w(z)| в себя.
D _
Пусть и\ и и2 — произвольные элементы пространства C(D).
Легко видеть, что для и = и\—и2 справедлива оценка
х и X
и)\=\\ dx,$ kX2(z\ Z\)u(zx)dyx + \ kx{z\ xi)u(xiy y)dxi +
+ ) *2(z; yi)u(xy t/Od^KM||и||(|л:—x0\\y—yQ\ + \x—x0\ + \y—y0\)y
Уо
где
M = max[max|*i2|, max|fti|, max|ft2|], D2 = DXD.
Далее ясно, что
i/*(n)l<Af8iinii( ]x~f lj/7°|2 + b^+te=gLy
Продолжая этот процесс, получим
200

где Fn — п-я степень оператора F (см. п. 1.2.4). отсюда видно,
что можно подобрать такое я, что
\\Fn(u)\\^a\\u\\, а= const<1.
последнее неравенство означает, что оператор Fn является
сжимающим. следовательно, оператор F в соответствии с
обобщенным принципом сжатых отображений (см. п. 1.2.4) всегда имеет,
и притом единственную, неподвижную точку, которую можно
найти итерационным методом. эта неподвижная точка и есть
решение уравнения (5.2.7), т.е. (5.2.6).
обратимая в силу теоремы 5.2.2 замена
u(z) = y(z) + \ P(z; £i)<p(£i, */)d£i + f q(z; лоф(*> nodrii.
yo (5.2.8)
где P и Q соответственно являются решениями интегральных
уравнений
х
Р(г\ 60 — $ kx(z;xx)P(xx,y; h)dxx = kx{z\ gi); (5.2.9)
q(z; лi) — 3 mz; лi)q(^» У\\ r\\)dyx = k2(z\ лi), (5.2.10)
сводит его к интегральному уравнению вольтерра второго рода
cp(z) - f dx, ( r{z\ zi)cp(z,)d^i = /i(z) (5.2.11)
Хо Уо
с ядром
r(z; zi)=fc12(z; zi) + *i(z; *i)q(xi, y\ yx) + k2(z\ yx)P(x, yx\ xx) +
x У
+ \ kX2(z\ lu у\ЩЪи Уи ххЩх + \ kX2(z\ xu r\\)Q(x\f цх\y\)dr\\.
x\ y\
при выводе (5.2.11) мы воспользовались тем, что
х у *1
\ dxx\ kx2(z\ zx)dyx\ p(zi; £i)<p(£i, j/i)d£i =
xo yo Xo
x у X
= $ dxij <p(zi)d(/i5 *i2(z; gi, */i)p(£i, 4; xi)dgi.
xo yo xt
если в нагруженных интегральных уравнениях вольтерра
второго рода (5.2.9) и (5.2.10) соответственно зафиксировать
точки (£i, у) и (лг, t^i), то их можно рассматривать как
интегральные уравнения вольтерра второго рода.
201

В случае уравнения (5.2.5) zo—s, /i(z)=l,
X
P(z;h) = b(luy)exp\b(t, y)dty
Q(z; T]i) = а(лг, r]i)exp$ a(xy t)dty
ki2=— c(zi)y ki = b(xlyy)y k2==a(xyyi).
Принимая во внимание и тот факт, что решение cp(z)
уравнения (5.2.11) при /i(z) = 1 имеет такие же
дифференциальные свойства, что и ядро r(z; zi), убеждаемся в справедливости
следующих включений:
R(z; €), Rx(z; g), Ry(z; g), Rxy(zy s)eC(D2). (5.2.12)
5.2.3. Задача Гурса и первая задача Дарбу. Пусть область
задания уравнения (5.2.1) совпадает с характеристическим
треугольником Я = {(лг, у): 0<х<у<1]. В математической
биологии, как и в математической физике, довольно часто возникает
задача Гурса (см. п. 4.3.2) в следующей постановке.
Задача 5.2.1. Найти регулярное в области Я и
непрерывное в Я решение u(z) = и(ху у) уравнения (5.2.1),
удовлетворяющее условиям Гурса
ы(0, у) = ф)у 0<</</, и(х, /) = г|)(х), 0<х</,
(5.2.13)
где ф(#) и ty(x) — заданные непрерывные на сегменте [0, /]
функции такие, что ф(/) = -ф(0).
Пусть соблюдено условие теоремы 5.2.1. Тогда уравнение
(5.2.1) можно переписать в виде
а4гМ*Ж*«; "К^^~Ф0*(гь г))] -
и^К^Г~^ ЦггЩгц z))] =R(zly z)f{zx)y
(5.2.14)
где zi — переменная, а z — произвольным образом
фиксированная точка из области Я.
В результате интегрирования (5.2.14) по
характеристическому прямоугольнику (ое с противоположными вершинами в
точках z и (е, / — б) ее Я и применения формулы Грина (3.4.5)
аналогично (5.2.4) получаем
\ [RXl{zu z) — b(z\)R(zu z)]w(zi)dxi-f[t/(zi)/?(zr, z)b.d(/i —
- [Ryi(zi; z) - a(2,)/?(2i; z)]u(z,)<h/i= \ R(zi; z)f(zi)dzi.
0)e
202

Отсюда, учитывая, что
/-е
j [u(zx)R{zu z)]yidyi = 5 -£^и(х> У\\z)]dyx -
/-е
-$ -g^-Me, </0#(0, */ь z)]d</i = и(х, I — е)/?(х, /-е; г) -
- </) - и(е, /-е)/?(0, /-е; г) + и(е, */)/?(0, у; г)
и переходя к пределу при е-^0, получим
х
|Ы*ь */; z) — (/)/?(хь (/; z)]u(xu y)dx\ —
- S [/?*,(*., /; 2) - *(*,, /)/?(*,, I; z)]u(xu /)<bn +
0
+ u(x, /)/?(*, l\z) - u(x, у) - u(0, /)/?(0, /; z) +
i
+ n(0, y)R(0, y\ z) + J [RyA(0f yx\z)- a(0, yx)R(0, (/,; z)]i*(0, (/i)d(/, -
— S [#</,(*, (/i; z) — a(x, (/i)/?(x, (/,; z)]u(x, yx)dy{ =
= \dxx\R(zx\z)f(zx)dyx. (5.2.15)
0 </
Воспользуемся теперь условием (5.2.13) и следующими
свойствами функции Римана, вытекающими из (5.2.2):
Rxx(xx, у\ z) — Ь(х\, y)R(xx, у; z) = 0,
Ryx(x, ух \ z) — а(х, y\)R{xy ух\ z) = 0.
Тогда соотношение (5.2.15) примет вид
и(х, у) = <рО/)Д(0, y\z) + q(x)R(x, l\z) — г|?(0)/?(0, /; z) -
-\[Ru№ У* z)-a(0, УхЩО, ух\ z)]y{yx)dyx -
i
х
- \ [Rxx(xx, /; z) - &(*,, Щхх, /; z)]q>{xx)dxx +
+ ^dxx^R(zx\z)f(zx)dyx. (5.2.16)
Непосредственным вычислением с использованием свойств
функции Римана можно показать, что если ф((/) и гр(х) — непре-
203

рывно дифференцируемые функции, то функция (5.2.16) является
регулярным в области Я решением уравнения (5.2.1), которое
непрерывно в Я и удовлетворяет условиям Гурса (5.2.13).
Таким образом, доказано следующее утверждение.
_Теорема 5.2.3. Пусть а, 6, ах, Ьу, /, ф и непрерывны
в Я; ф'(*/) и я|/(х) непрерывны в интервале ]0, /[. Тогда функция
(5.2.16) представляет собой единственное решение задачи
5.2.1.
Из (5.2Л6) следует, что все регулярные в области Я и
непрерывные в Я решения уравнения (5.2.1) удовлетворяют на dQ
необходимому нелокальному краевому условию—аналогу
теоремы о среднем значении (см. п. 4.3.1):
и(х, х) + и(0,1) == и(0, х) + и(ху I) —
X
— \ [#*,(*!. l\ х< х) — b(xi, b)R(xi, /; х, x)]u(xi, l)dx{ +
+ J [Ry,(0, f/,; x, x)-a(0, </,)/?((), «/,;x, x)]u(0, yi)Ayt +
x
X X
+ ^Axi^R(zi;x9x)f{zi)Ayi. (5.2.17)
Соотношение (5.2.17) позволяет описать широкий класс
корректных краевых задач для уравнения (5.2.1). В частности, из
(5.2.17) следует, что единственное решение u(z) первой задачи
Дарбу
ф:, х) = т(х), и(0, х) = ф), 0<х</ (5.2.18)
для уравнения (5.2.1) задается формулой (5.2.16), где ty(x) —
решение интегрального уравнения Вольтерра второго рода:
X
— |/; х, x) — b(xu l)R(xu /; х, x)]yp(xi)dxi =
= т(х) + ф(/) - ф) - J [Ryi(0, у и х, х) - а(0, ухЩ0, */i ;*,*)] X
X
X X
Xrtyi)dy\-^dxi^R(zi;x9x)f(zi)Ayi. (5.2.19)
При a(z) = b(z) = c(z) = 0 функция R(z\ z\) = 1 и поэтому
(5.2.19) имеет вид х t
204

х и X I
= т(х) - ф) + ф(/) + J (Ц /(2,)d(/, - J dXiJ /(Zi)dj/i.
С учетом этого из (5.2.16) заключаем: единственное решение
u(z) задачи Дарбу (5.2.18) для уравнения uxy=f{z) задается
формулой
х У
u(z) = t(x) + ф((/) — ф(х) + (^Х1^ f(z\)dy\.
5.2.4. Понятие фундаментального решения
дифференциальных операторов и биологический смысл функции Римана.
Пространством основных функций назовем множество D всех
функций ф(х)еС5°(/?Л), где сходимость определена следующим
образом. Последовательность (ф/(л:)} из D сходится к функции
ф(х)еВ, если:
1) существует компакт К такой, что носители всех пробных
функций ф/(х) принадлежат К для всех /=1,2, ...:
эиррф/Сг/С, V/= 1, 2,
2) для любого мультииндекса а последовательность {£>аф/}
равномерно сходится к Оаф.
Обобщенной функцией (или распределением) называется
любой линейный функционал на пространстве основных функций.
Множество всех обобщенных функций и= {и, ф) обозначим
через D'.
Итак, u^D' тогда и только тогда, когда (и, А^ф! + А,2ф2> =
= Xi {иу ф1> + К2 <и, фг) для любых ф1 и ф2еО и A,i, X2^R\
(и, ф/>-^0 при ф/-^0.
Сходимость в D' определяется как слабая сходимость
последовательности функционалов, а именно говорят, что
последовательность обобщенных функций щ из D' сходится к
обобщенной функции и, если при i->oo
(щ, ф>-*<и, ф>, Уф<=0.
Важным примером обобщенной функции является 8-функция
Дирака, которая определяется формулой
6(х)^<б, ф> = ф(0), УФ€=Я.
Пусть и\ имгеО'. По определению,
и\ = и2о (ии Ф> = <«2, Ф>, Уф^О-
Если u^D\ то ее производная Dau порядка |а| определяется
по формуле (см. п. 3.4.36):
<Яак,ф> = (-1),аЧ",£>аФ>, УФ€=Я.
205

Простейшим примером обобщенной функции является
функционал
(и> ф) = ^ u{x)q>(x)dx, феО, djc= dxidx2...dxn,
порождаемый локально интегрируемой в Rn функцией и(х).
Фундаментальным решением (или функцией влияния)
линейного дифференциального оператора L с постоянными
коэффициентами или уравнения Lu = О называется обобщенная
функция Е(х\ у), удовлетворяющая в Rn уравнению
LE(x\ у) = б(х — (/),
где 8(х — у) — функция Дирака, сосредоточенная в точке y^Rn:
<б(*-</),ф(*)>=ф(</), V<P^D.
Функция Е(х; у) = Н(х — у), где Н(х) — функция Хевисайда,
х, y^Ry является фундаментальным решением простейшего
обыкновенного дифференциального уравнения и'(х) = 0.
Пусть R(z\ я) — функция Римана (см. п. 5.2.1), z=(x,y) и
S = (£, г\) — точки из R2. Пользуясь формулой Грина для
дифференциального оператора L из п. 5.2.1, можно показать, что
функция
Е(г; Я) = Н(х-Ъ)Н(у-1\Щг; €)
удовлетворяет уравнению
1*£(2;6)=в(х-6)в(у-Ч).
Поэтому функцию E(z\ S) можно, как и в математической физике,
интерпретировать как возмущение в точке z, порожденное
источником единичной интенсивности, сосредоточенным в точке S.
§ 5.3. ЗАДАЧА ГУРСА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ
ЭЙЛЕРА —ДАРБУ— ПУАССОНА
5.3.1. Функция Римана для уравнения Эйлера—Дарбу —
Пуассона. Уравнение
иху + их &— и = о, (5.3.1)
у 1 у— х у — хуу v 7
где р и р'е/?, называется уравнением Эйлера—Дарбу —
Пуассона. Для его обозначения Дарбу предложил символ £(Р, р').
Сопряженное к (5.3.1) уравнение имеет вид
иху £— vx + —2— vy - -£Щг v = 0. (5.3.2)
у у — х 1 у — х у (у — х)2 у '
Через w(p, р'; z) = w(p, р'; лг, г/) обозначим решение
уравнения £(Р, 0').
206

При построении функции Римана для уравнения (5.3.1)
важную роль играет гипергеометрическое уравнение:
z(l-z)w"(z) + [c — (a + b+l )г] w'(z) — abw(z) = О,
(5.3.3)
где а, Ь, с — три произвольных параметра (вообще говоря,
комплексных), г=* х + iy — комплексная переменная.
Легко проверить, что если сфО, —1, —2, то
гипергеометрическая функция Гаусса F(a> by с, z) есть решение (5.3.3).
Путем простых выкладок можно установить следующие
свойства уравнения (5.3,1).
1°. Функция и(р, z) удовлетворяет соотношению
и(Р, р'; z) = \у-х\1 -р-*'и( 1 - РМ - Р; z). (5.3.4)
2°. Если w(z) = w(\i, р, р'; z) — решение (5.3.3) с а = — р,
b = р', с = 1 — р — р, то для любого pelf функция
««ХР, р/;г)=кГЦр, p,p';z) (5.3.5)
есть однородное (степени р) решение уравнения £(Р, Р').
3°. Каково бы ни было решение ср(Р, pr; jc, г/) уравнения
(5.3.1), функция
и(Р> Р': </) = \*\х + 3i|-p|a,(/ + p,rp,x
"ОТ "1Шг)' ,5ЭД
где ai, 0&2, Pi, Р2 — произвольные постоянные, подчиненные лишь
условию aiP2=^=Pia2, также является решением того же самого
уравнения.
4°. Если v=v(z) — решение уравнения (5.3.2), то оно пред-
ставимо в виде
v(z) = \y-x\fi + *'u(V,frzX (5.3.7)
где w(P', Р; z) — решение уравнения £(Р', Р).
Из (5.3.7) на основании (5.3.5) и (5.3.6), где ai = a2=l,
р! = — х\, Рг= — уи получаем, что функция
v(z)=\y-x\W\x-xi\->'\y-xl\-»up', Р; |^-)
является решением сопряженного уравнения (5.3.2). Отсюда при
р = — р' имеем
v{z) = \y-X\t + r\y-Xl\-fi\X-yi\-fi'X
В качестве ад( — р', Р', Р; г) возьмем такое решение уравнения
207

(5.3.3) с а=р', b = p, c= 1, которое при г = 0 обращается в
единицу. Легко заметить, что
я/(-р', р', p;z) = F(p', р, 1;г).
Поскольку
•<-■•"»- -(-••*- if=g-r.
искомая функция Римана R(z\ Z\) в любой области, лежащей по
одну сторону от прямой (/ = *, определяется формулой
R(z,zx)=\y-x\>"\y-xx\-*\x-y{\-*'F($\ р, l;l5|L.^5iL).
(5.3.8)
5.3.2. Задача Гурса для неоднородного уравнения Эйлера —
Дарбу—Пуассона. В области Q = {z : 0<х<(/</} рассмотрим
неоднородное уравнение Эйлера—Дарбу—Пуассона:
(у-х)иху + fi'ux - fiuy = (у - х)х~Ч{ху у)у (5.3.9)
где ^3fx<2, /(2)gC(Q). Прямая */=л: является особой линией
этого уравнения, на ней вырождается его порядок.
Из (5.2.16) видно, что решение u(z) задачи Гурса (5.2.13)
для уравнения (5.3.9) с данными на характеристиках, лежащих
по одну сторону от особой линии, однозначно определяется
формулой
u(z) = ф(*/)/?(0, */; z) + 4>(x)R(x, /; z) - г|)(0)/?(0, /; г) -
- f [ /?,(0, Л;г) —*—R(0, л; *)] Ф(л)с1л -
X
-1 [ /Щ, /; z) + j^jRa, /; г)] t|>(i)d| +
+ ^/?(е; 2же)(л-1Г^л. (5-310)
где в силу (5.3.8) функция Римана
R(z; 6) = Q, - *)р + р'(</ - 1Г\ц - х)-р' X
Х/^Р'.Р, 1; -J5f-^Ет). (5.3.11)
Решение (5.3.10) задачи Гурса может не быть непрерывной
в Q при любых, пусть даже гладких входных данных ф, ф и [,
если на параметры р и Р' не наложить специальные ограничения.
Свойства этого решения вблизи особой линии в случае, когда
Р + Р'<1, характеризуют приведенные ниже теоремы.
208

Обозначим через £>(Р', Р) / множество действительных функций
u(z) = и(ху у) с непрерывной смешанной производной- иху,
принадлежащих классу C(0<x<(/</)f|C1(Q), и таких, что
ц{у) EEs и(0, (/)gC1(0<K /), г|)(х) ==== и(х, I)е=С'(0<*</).
Справедлива следующая теорема.
Теорема 5.3.1. Пусть р + р'<1, р<1, Р'<1. Тогда любое
решение и(г) уравнения (5,3.9) из £>((}', Р) непрерывно всюду в
Q, за исключением, быть может, точек (0, 0) и (/, I), при этом
1.»£?„"<'>= ~
i
-х~*'\ Ф(р'; ц)ц*+*'-\ч-х)-*<\т\ +
X
X
+(/-х)-'\чг(ь |)(/-р'-'(х-6)"p'd|-
-|(х-6)-»'(115(л-1),, + >'-и(Л-*Г',/(е)(1л, (5.3.12)
где 0<*</, Ф(Р';Л) = лф'Ы + Р'ф(л). V(P;I) = (/-S)^D-
- PY(£).
Действительно, из (5.3.10) на основании равенств
S( /?л(0, л; 2)«р(л)(1л = ф(</)Я(0, у, z) - ф(/)/?(0, /; г) -
У
X X
|*8(&, /; z)tK£)d£ = *x)R(x, /; z)-t|j(0)/?(0, /; z)-|/?(g, /; z)t|/(g)dg
находим
u(x, y)=R(0, /; z)*(0) + ^ Ф(р'; л)Л"'Ж0, Ч; x, </)dr) +
-fdgf (ч-6)-ц«6, л)Ж6. л; *. y)di\, (5.3.13)
о /
где, согласно (5.3.11),
14 Заказ № 1786 209

Щ, щх,у) = {ц- 1)>+>'{ц-х)-\у-!ГР'X
В соотношении (5.3.13) перейдем к пределу при z->(xy х),
0<х<1 и примем во внимание, что
(5-314)
Тогда получим формулу (5.3.12), а также убедимся в
справедливости доказываемой теоремы.
Теорема 5.3.2. Пусть р' = я+1, р< — л, л = О, 1, 2,
Ф(м+1,0 и 440, f)eC(0<*</). f(x9y) = 0\ и(х9 у) — решение
однородного уравнения Эйлера—Дарбу—Пуассона £(р, л + 1) из
D(n+ 1, р). Тогда существует такая точка jcg[0, х], «/го
-рПтф:, у) = х). (5.3.15)
У-+Х
Доказательство начнем со следующих свойств
гипергеометрической функции F(a, р, 7; z):
F(a. р, V; г) = (1 -гГа-р£(7-сс, 7~Р, V, (5.3.16)
если |arg(l — г)|<я;
F(a, р, v; г) = F(p, a, 7; г), £(а, р, р; г) = (1 -г)-;
(5.3.17)
F(-n, р, т; ^) = Jo(y {^(-^Г; (5.3.18)
^ Р> т;= ff.^Ipi F^ Э, ос+э—v+1; i — ^) +
Г(а)Г(Р) (5.3.19)
если а+р — y=^0, ± 1, ±2,|argz|<n, |arg(l — г)\<я.
Из (5.3.16) при а=п + 1, 7=1,
(л-у)(*-Е) ~ i ~_ (y-*)(i-£)
2~ (л-^)(1/-Е) (л-*)(*-В
получаем
/г/„ j 1 « i. л-у ^-6\_г(у-^)(л-6)-|~р~лх
210

Отсюда в силу (5.3.18) имеем
_ Г (y-x)(r\-lh 'Иу/Л \ (1-Р)-Г _ (r\-y)(x-t)-
L (rt-x)(y-l)\ „£0W (1)„ [ (Ч —жХу —©.
(5.3.20)
Рассмотрим сначала случай п = 0, Р' = 1. В соответствии с
(5.3.17) или (5.3.20) имеем
F(\ в 1- п-У . г (j/-^)(ri-S)-i-p
I ,р"ч-« L (л-*)<</-£) J
С учетом этого равенства соотношение (5.3.13) при в'=1
принимает вид
и(х, у) = (у-ж)"V"1 ГЛКО)-JdKl;n)d4l +
l у j
Произведем замену переменной интегрирования по формуле
l = (x-yt)/(l-t)^t = (x-l)/(y-l).
Отсюда находим
и(х, у) = (у- дс)"У -'Г/гр(0) - S Ф( 1; T))d»,l +
l у л
+ |V-tr^'di [V(P; g) —|(ri —r!)dri] .
Таким образом,
т. е.
lim«(jt,f/) = |(l-0-f,-'d/[4'(p; х)-^-*)1-"/^, 4)di,] ,
-piimn(x, i/) = V(P; x) + S(ri—x)1-^, n)d4.
y~*x x (5.3.21)
При f(x,y) = 0 из (5.3.21) следует (5.3.15). Точка x = x, когда
P'=l.
Пусть теперь п>0 и соблюдены условия теоремы 5.3.2.
Подставим (5.3.20) в (5.3.13) с f(S) = 0 и перепишем эту формулу в
виде
14* 211

X{ f/f,-|(f-)m[(/-x)"/i|3(0)-|o(n + l; лКл-^Г-Х
X(4-y)mdr] +(/_*)"( 45f)vm(*,(/)},
(5.3.22)
где
x
Vm(x, y) = \ Ш l)(x-l)m{y-l?~m-'dg.
Через x* и x* обозначим точки, где функция 4^0; £) достигает
своего минимума и максимума на сегменте O^g^x. На основании
известной из математического анализа теоремы о среднем
существует точка х^[х*, х*] такая, что
х
Wm{x, y) = V{$,-x)\{x-l)m{y-lf-m-xdl.
о
Положим £ = лг/, а затем воспользуемся формулой Эйлера (1.5.1):
тогда получим
1
ym(x,y) = ¥(p,x)xm+y-'"-||(l-Om(l -j-ty-m-1 dt =
= V(p, Щ±.)т+,1^±АР(гп+ 1 - p, I. m + 2; ^ =
Применяя теперь формулу автотрансформации (5.3.16),
находим
'м*. у) = -5rf( т)w+1{у ~ *)э/г(р+1 ■m+1 •т+2; т) •
Предположим, что Р^= — 2, —3, —4, ... и обратимся к формуле
(5.3.19). Тогда легко видеть, что
ч^лс,у;- m+1 (^ у j ш х) у г(т + )_р)Г(1)л
х^+и + |,р + 1;^)+(^)-^ЯЕ
Xf(m + l-p, 1_р;
•X
212

(5.3.23)
Отсюда, учитывая, что в силу (5.3.17)»
^(э+1.«+1.Р+1;^)-(^"".
находим
+ ^"(f) Vf ( m + 1 - мл- В; JL^L).
Вернемся к (5.3.22) и рассмотрим сумму
«„. „) = („-,)--('-)• jo("„) i!=ttj^A(i=l.)-.
Согласно (5.3.23) и. определению символа Похгаммера (см.
п. 1.5.1), ее можно представить в виде
xi«iI^[^f]^(-+1-M.i-^).
Если в равенстве (5.3.18) положить Р = у и использовать (5.3.17),
то придем к очевидному равенству
.I.C)(-/ri)"-(f^)"-
Теперь ясно, что
5л(х, у) = —J-V(p, х) + (*/-х)-р-"0(1), (5.3.24)
где 0(1) — символ Ландау (см. п. 1.5.6).
Из (5.3.22) и (5.3.24) сразу вытекает справедливость (5.3.15)
при — 2, —3, —4, ...
Допустим, что р=—-& — 1, Л=1, 2, и рассмотрим
интеграл
X
Jm+k=\(x-my-l)-"-2-kdl.
о
Легко видеть, что
Jm+k— (m +2)* дук т'
213

Если в интеграле ]т произвести замену / = (х — 1)/(у — 5), то
получим
j = (У-Х)~[ / *чт+'
m m + 1 v </ /
Согласно формуле Лейбница, имеем
-^{у-т-\у - х)-1} = i(k)(y-a-Vi\{y-x)-T-l)-
Нетрудно проверить, что
(!,-"-')(» = (-l)'(m +
[(у '](*-/) = (_ 1)*-Т(Л-/ +
Поэтому
- ,.ж»(тГ'а[?)<-+- я,(^)'
Так как Ч^х, #) = Ч^— Л— 1, х) Jm+k, то мы пришли к формуле
откуда в силу равенств
(т , п _ » + 1),Г(/ + 1) (/+ \)тщ + 1)
(k + 2)т Г(к + 2 + т)Г(т +2) _ 1
(т + 2)*(1)т+1 Г(к + 2)Г(т + 2 + Л)Г(т + 2) (k + 1)! '
(й(«-д'п/+1)-'уа'-';Г-*'
после перестановки порядка суммирования находим
V V / п \ (/ + г _ х(1 — у) л т
Х (l)m l I*/-*) j '
Теперь из равенства (5.3.18) непосредственно следует, что
214

XF(-n,/+l, 1; jjE*)- (5-3.25)
Рассмотрим сумму
ж*, й - (i=D"|f *=i)'»( -». /+1, и j=f).
Из (5.3.16) вытекает, что
4-«-/+'-':ffcf)-[-$^'"'*
x^-/..+ i.i:i|=i).
Следовательно,
/=о \ ' / \ (5.3.26)
Рассмотрим полиномы Якоби, которые определяются
формулой
Р)^\х) = 2-'io(-L±2-) - \у-т(х + 1)" =
=(iti)F(-/, / + а+р + 1, а+1; -Ц^-). (5.3.27)
Из (5.3.27) при а=0, р = я —/ имеем 2
Учитывая это, перейдем в (5.3.26) к пределу при у->дге]0, /[.
Очевидно, что
Отсюда на основании (5.3.18) и (5.3.17) заключаем
(-£.)>(-.. ,, ,;i^)=(i)-(f)-= 1.(5 3 28)
В соответствии с условием теоремы Л = л, л + 1> ... При
k = п из (5.3.25) и (5.3.28) легко видеть, что
(л + l)lim5„(x, у) = —л — 1, jc). (5.3.29)
215

Если же k>n, то (5.3.25) можно переписать в виде
x(^-)",l,m,f (-«•'+'•
т. е. и в этом случае равенство (5.3.28) показывает, что
(k + l)limS„(jc, у) = V( — k—l,x). (5.3.30)
Итак, видим, что (5.3.15) — следствие (5.3.22), (5.3.29) и
(5.3.30). Теорема 5.3.2 полностью доказана.
Теорема 5.3.3. Пусть р + р'<1, р>0, р'>0, р,<
< р + 0' + 1- Тогда решение и(ху у) уравнения (5.3.9) из класса
D(p', р) на особой линии у = х удовлетворяет соотношению
В(р, V)\\m{y-x)*+*\ux-u1,) =
= nnwlw - Ф(0] + Г(р)(/ - xfDbrWl) - Ч><0)] -
- гщщдой^ - гу-щг, л), (5.з.з1)
рв(-э, 1 -р')"(*. *) + г(1 -р)*-ч/жлР+Р'ф(л) +
+ р^-у+,,'-|Ф(л)]-г(1-р)г(1-р')^;-,£>?г'(л-^+р'-цх
х «i, л) = -г(1 -р')(/ - *)-'{0кг'[(/ - 1ГР>(1)]'+
- г(1 -р'х/ - *г w - £)"+р'гк£) + р'0кг'(/ -
(5.3.32)
где В(х, у) = Г(х)Г(у)/Г(х + у) — бета-функция.
Действительно, функция w(x, у) = и(х, у) — и(0, /) является
решением задачи Гурса
ш(0, у) = <р(у) - Ф(/), 0 < у < /, w(x, /) = ф) - г|>(0)
для уравнения (5.3.9). Поэтому в силу (5.3.13) она представима
в виде
и(х, у) - и(0, /)= ц<р(р'; r\)R(0, ц; х, y)di\ +
X
+ \Ш>Ш1>х, y)d%-
- |ё||(л-1)-"/<6, л; *, i,)d4, (5.3.33)
216

где Лф(Р'; л) = Ф(Р', л) - Р'ф(0. (/- БЖР; Б) = ЧЧР; 5) + PtfO).
Свойство
-^F(a,e,V;z) = ^-F(<x+l,B+l, Y + l; z)
гипергеометрической функции позволяет записать равенство
X(y-l)-''-l(i\-y)F(V + l. Р + 1,2; JL^^l).
Отсюда на основании (5.3.16) имеем
dR(L r\;x,y) _ ty, х, у) _)_ (у _ л:)~рн5'Х
(5.3.34)
X РР'(т,- 1)(ч-у)(ч~xf~\y ~ If"'X
XF(1-P, 1-Р', 2; JEJL.fEf).
Аналогично можно убедиться в том, что
X РР'(л - - 6)(л - х)^'-1^ - g)p"2 X
XF(1-P, 1-Р'. 2;^f.f5f).
Из (5.3.33) — (5.3.35) нетрудно установить, что
\щу _ х)Р+Р'(ы, - «,) = Нщ^-х^Х
X { ф(Р'; у)/?(0, у; х, у) - tfp; *)/?(*, /; х, у) +
+ (<р(Р'; л; *. у) - я*(0, л; *. у)^л +
+ S Ч>(Р; /; *> у) - *. f,)]dg -
о
- S (у - 1ГЖ уЖ, у; *> y)Ai +
о
+ *)_|7(*. л; *, у^л -
5 dgf (л-а-"Я6, л)[#Л. л; *> </)-**(!. л; *,у)^л} =
о /
(5.3.35)
217

Чтобы доказать (5.3.32), следует вернуться к (5.3.12). Так как
ф(Р'. л) = V-p-pW+p,9{r,)]' - Мл). Ч>(0) = ф(/),
то
X
(/ _ x)-V+p>(0) + j ф(р'; л)лр+р'"'(л — лг)-рёл =
= (/ _ x)-'fi+r<t(I) + j [ лр+р'ф(л)]'(л ~ *Г^г, -
- PS( лр+р'-У л)(л - *rpdri = Г( 1 - р^л^'чКл) +
+ РГ( 1 - Р)0?7,лР+р'"Ул). (5.3.39)
Аналогично, в соответствии с равенством
ччр; г) = (/-i),-f,-p'[(/-i)p+p'iKi)]' + pxi)
получаем
5Ч4р; |)(/- ir^-V-i)-^! = 5[(/-S)p+p>(S)fx
о о
х (х - ir>'di + p'f (/ - g),,+p'-,4>(£)(*-£)-p'ds =
о
= r(i -p№'[(/-s)p+,,>(i)r + рт(1 -pox
хя8;-'(/-1)р+р'-Ч(1)- (5-3-40)
Если теперь использовать (1.5.3), то получим
X
+r(i -ро(ое;(/- D^d) +
(5.3.41)
Свойство (5.3.32) вытекает из (5.3.12), (5.3.39) — (5.3.41).
Следует отметить, что условия доказанной теоремы
гарантируют непрерывность функции и(х, х) в точках (0, 0) и (/, /).
Теорема 5.3.4. Пусть р + р'<1, р>0, р'>0. Тогда для
любой пары дважды непрерывно дифференцируемых в
интервале 0<Lx<il функций ti(jc) и v\(x) функция
1
я = -щш\г,{х+{у~ х№~1(1 -0p_,d/+
219

является регулярным в области Q решением уравнения (5.3.1)
и обладает следующими свойствами:
Птфг, у) = ti(jc), 0<л:</, (5.3.43)
lim (у-х)^'(иу - и,) = v,(x), 0<х</. (5.3.44)
Действительно, обозначим через Z = Z(jc, #) первое слагаемое
в правой части (5.3.42)1 Выполняя дифференцирование под
знаком интеграла, получаем
P'Z, - $zy = J т«* + (У - доо^'о - 0"]<".
0 ш
откуда после интегрирования по частям имеем
1
P'Z, - pZ, = (*-*,)$ iT(x + (У - *)0'р'( 1 - ом/ = (* ~
0
Чтобы доказать, что и второе слагаемое в (5.3.42) представляет
собой решение (5.3.1), достаточно использовать свойство (5.3.4)
уравнений Эйлера — Дарбу — Пуассона.
Свойства (5.3.43), (5.3.44) можно непосредственно
проверить, используя интегральное представление бета-функции:
1
B{x,y) = \tx-l{l—t)"-ldt, jt>0, у>0. (5.3.45)
о
Если в формуле (5.3.42) преобразовать интегралы с помощью
подстановки £> = х + (у — x)t и учесть, что В( 1 — р, 1—р') =
= г(1—р)Г(1—эо/г(2 —р —эо = — ЭВ(—р, 1 _po/(i — р —ро,
то ее можно переписать в виде
~ 2ввг в 1 yjv|(l)(s - хг*{у-1гы1-
2ВВ(-В, 1-В), (5346)
Так как
220

2рв(-р, i-PO J О,-»»'
ulx, I) = У-*)1-"! С-Е)'-'т,(Е) dt _
M^''; B(p.p') 1 (i-xy-r °ё
( (<-E)-''v.(6) dg
то условия
-l^^T^-'^v^), (5-3.47)
- арЦ-М-р*) ^"'^ ~ ГГ,"(<) (53-48)
являются необходимыми для того, чтобы представить решение
и(х,у) задачи Гурса (5.2.13) для уравнения (5.3.1) с Р'>0,
Р>0, р + р'<1 в виде (5.3.46).
С другой стороны, из теоремы 5.3.3 на основании (5.3.43),
(5.3.44) и единственности решения задачи Гурса (5.2.13) для
уравнения Эйлера—Дарбу — Пуассона заключаем
v'W = "ЩмТ - ф(л)] +
+ -щк(/ ~ * WM0) - Ш. (5-3.49)
+ р^-'л^'-Ул)] - рг(-'рГ.-Р0 ('-*>"'*
х {£>а;-'[(/-^+Ч(Ю]' + №-'(/-£)р+р'-ча)}.
(5.3.50)
Подействуем на обе части равенств (5.3.47) и (5.3.48)
операторами Do7p и D\r* соответственно и примем во внимание, что
согласно теореме 1.5.4
221

В результате получим, что система (5.3.47) — (5.3.48)
эквивалентна системе
(5.3.52)
Из (5.3.51) и (5.3.52) вытекает следующая теорема.
Теорема 5.3.5. Пусть функция и(х, у) представима в виде
(5.3.46), где т\(х) и v\(x) непрерывны в интервале О <х< / и
x*'-\l-x)t-lt(x)<=L[0, l]=*x-*(l-x)-*'v{x).
Тогда для всех хе]0, /[ справедливо равенство
х»Г(1 -p)Di7p'u(0, t) — {l — xfT{\ - MD\r*u(t, I) =
§ 5.4. ЗАДАЧИ КОШИ И ДАРБУ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ
ГЕЛЛЕРСТЕДТА
5.4.1. Задача Коши для уравнения Геллерстедта. Пусть Qm —
область евклидовой плоскости точек г = (х, у)у ограниченная
отрезком АВ : 0 ^ х ^ / прямой у = 0 и характеристиками
уравнения
— ( — y)muxx + иуу = О, (/<0, m= const >0.
(5.4.1)
Уравнение (5.4.1) в полуплоскости */<0 является уравнением
гиперболического типа и известно как уравнение Геллерстедта
(см. п. 3.1.3).
Рассмотрим задачу Коши в следующей постановке: найти
регулярное в области Qm решение и = и(х,у) уравнения (5.4.1),
удовлетворяющее условиям
lim и(ху у) = т(х), 0<х</, (5.4.2)
У-+-0
lim иу(х, (/)=v(jt), 0<х</, (5.4.3)
У-+ — 0
где t(jc)6=C2]0, /[, v(jc)<=C']0, /[.
222

В характеристических переменных
2 "Н-2
О т + 2 О т+2
(5.4.4)
справедлива запись
и, = (2 - Щ-2\ц - Ъ)2\щ - и,), и„ - (-у)ти„ =
= _ 4(2 - 4р)-^(г] - Б)" [ и*, + -^(«6 - "л) ] ,
(5.4.5)
где р = т/(2т + 4). Поэтому задача Коши (5.4.2) — (5.4.3) для
уравнения (5.4.1) эквивалентна следующей видоизмененной
задаче Коши для уравнения Эйлера—Дарбу—Пуассона.
Задача 5.4.1. В области Q = (г : 0<х<1/</} евклидовой
плоскости независимых переменных х, у найти решение и =
= и(х, у) уравнения
(У - х)иху + р(их - иу) = 0, (5.4.6)
удовлетворяющее условиям
lim и = т(х), 0<х</, (5.4.7)
у — х-+ + 0
lim (у - xf\uy - их) = vi(x), 0<*</, (5.4.8)
где v,(x)=-(2-4p)2pv(x).
В силу теоремы 5.3.4 и формулы (5.3.46) функция
у)=%у i^/)[(/"xxy^/)]<i"vi/+
(5.4.9)
есть решение задачи 5.4.1, если v(x)gC2]0, /[. Используя
равенства (5.3.47) — (5.3.50), можно показать, что задача 5.4.1 не
имеет других, отличных от (5.4.9) решений.
От уравнения (5.4.6) с условиями (5.4.7), (5.4.8) вернемся
к уравнению Геллерстедта (5.4.1) с условиями Коши (5.4.2),
(5.4.3). Тогда формула (5.4.9) в старых нехарактеристических
переменных примет вид
* (5.4.10)
223

Следовательно, единственное решение задачи Кощи (5.4.2),
(5.4.3) для уравнения (5.4.1) во всех точках (х, у) замкнутой
области Qm определяется формулой (5.4.10).
Если данные Коши т(дг) = т[л:] hv(jc) = v[x] принадлежат
С[0,/], то для любой точки (х, (/)E_Qm. найдется (по теореме
о среднем для интегралов) точка (х, у)^[0, 1] X [0, 1] такая,
что
и(х, у) = т[ х + -JfT(-y)-r-(2x - 1) ] +
о т + 2 -
+ W*+^rT2-(_f/) (2у-1)]- (5А,1)
Из (5.4.11) вытекает неравенство Берса:
тах|и|< тах|х| + |(/|max|v|, (5.4.12)
&m [0,/] 9 [0,/]
которое свидетельствует об устойчивости решения и=и(х,у)
задачи Коши (5.4.2), (5.4.3) для уравнения (5.4.1).
5.4.2. Необходимые краевые условия для уравнения Геллер-
стедта. Пусть z=x-\-iy — комплексная переменная, а вГ(л) =
= (т|+Е)/2—|[|т|—g|(m+2)/4]2/(m+2)— точка пересечения
характеристик (5.4.4).
Определение 5.4.1. Решение и[ z] = и(х, у) нагруженного
уравнения
(5.4.13)
обладающее тем свойством, что w[x]eC[0, /], uy[x]^C]0, /[ и
иу[х] [x(l—x)]~pdx< оо,
назовем обобщенным решением уравнения (5.4.1) в области Qm.
Из (5.4.13) при г=в"(т|), 0<£<г)</ имеем
1
-^^^-J-^E+^-Bfll^l-Ol-'d/. (5-4.14)
224

Пусть 0<а<6</, а<Сх<Ь. Тогда из (5.4.14) при £=а, т|=х
находим
"№)] =-^®-(x-ay-2>DaS(t-ay-lu[t) -
-.Щ^<?-Ч)*>-хОЪгХ1-а)-*иМ. (5.4.15)
Если же положить £=а, tj=6 и учесть, что 0?(6) = ЭД*), то из
(5.4.14) получим
~ Щ0^-^-т2'-ХО17 '(6-0-р«Л <] • (5-4.16)
Это соотношение непосредственно можно вывести и из (5.3.48).
Теперь на основании равенств (5.4.15), (5.4.16) и теоремы
1.5.4 нетрудно убедиться в справедливости следующей теоремы.
Теорема 5.4.1. Пусть u[z] — обобщенное решение
уравнения Геллерстедта (5.4.1) в области Qm. Тогда для любого
сегмента [а, 6]е[0, /] справедливо равенство
(*-а)ВДа[в?(*)] =
= [Г(2р)/Г(р)]/*Г2Ч*]> V*€=]a,&[. (5.4.17)
Действительно, из (5.4.15) и (5.4.16) в силу теоремы 1.5.4
имеем
(*-а№Чв?(*)] =
Г(р) Г(1~Р) (5.4.18)
Г(Р) (5.4.19)
С другой стороны, в соответствии с определением (см. п. 1.5.3)
Пг2*и[х] = Di724^] - Dl7**u[t].
Доказанная теорема, по существу, является следствием более
общей теоремы 5.3.5.
Соотношения (5.4.15) — (5.4.19) представляют собой
необходимые нелокальные условия, которым удовлетворяет любое
обобщенное решение u[z] уравнения Геллерстедта в области,
ограниченной отрезком a<;jt<!6 прямой у=0 и характеристиками
|=а и т|=6 этого уравнения.
5.4.3. Задачи Дарбу для уравнения Геллерстедта.
Необходимые краевые условия для уравнения (5.4.1) в области
позволяют весьма просто установить корректность как первой, так и
15 Заказ №1786 225

второй задачи Дарбу (см. п. 3.1.3). Рассмотрим первую задачу
Дарбу в следующей постановке.
Задача 5.4.2. В области Qm найти обобщенное решение
u(z) уравнения (5.4.1), удовлетворяющее краевым условиям
гг[лг] = т(х), 0<х</, (5.4.20)
4№(х)] = ф)9 0<а:</, (5.4.21)
где т(х) и <р(х) — заданные функции из класса С[0, /] такие, что
т(0) = ср(0),
Dl724t)> DhT^t) е С]0, /[, (5.4.22)
J (l-x)-»[Dl>7*<t(t)-VoX->Dl)x-2>T(x)]dx<oo, (5.4.23)
0
где р0=Г(2р)/Г(р). 9ft
Пусть pi = (2—4р)|~2рГ(1 —р)/Г(2—2р). Из (5.4.18) при а=0,
6=/, согласно (5.4.20) и (5.4.21), для всех xg]0, /[ имеем
иу[х} » pi[poDir2pt(0 -^&Г V01 - v(x). (5.4.24)
Условия (5.4.22), (5.4.23) означают, что
v(jc)eC]0, /[,$ v(jc)(jc/-jc2rpdx<oo. (5.4.25)
о
Теперь ясно, что единственное решение и(х, у) задачи 5.4.2
задается формулой (5.4.10) и если v(x)eC[0,/], то в силу
(5.4.12), (5.4.24) имеет место неравенство
max|w|<max|t| + |y|p,max|p0Di72pt(0 — ^i7VOI.
fl= [о,/] ^ (5.4.26)
Равенство (5.4.24) вместе с аналогом теоремы Ферма (см.
п. 1.5.9) позволяет выявить следующее интересное экстремальное
свойство следа иу[х] производной по у от решения u[z] задачи
5.4.2.
Пусть функция т(х) в точке ge]0, /[ принимает наибольшее
или наименьшее значение и в некоторой ее окрестности £—6^х^£
удовлетворяет условию Гёльдера с показателем Л>1 —2|3. Тогда
б|_,чш >H<i)/m - v-wko] (5.4.27)
в случае наибольшего значения и
Б'-'ЧШ < Р.[т(1)/Г(в) - I'-^r^O] (5.4.28)
в случае наименьшего значения.
Перейдем к анализу второй задачи Дарбу в следующей
постановке.
Задача 5.4.3. В области Qm найти обобщенное решение
u[z] уравнения (5.4.1), удовлетворяющее условиям
226

Uy[x] = v(x)t 0<х</, (5.4.29)
4Щх)] = ф)9 0<аг</, (5.4.30)
где v(x) и <р(х) — заданные функции.
Если соблюдено условие (5.4.25) и
D20x-lv(t)t xl-*DU2*-l<p(t)s=C[0t /], (5.4.31)
то задача 5.4.3 имеет, и притом единственное, решение.
Действительно, из (5.4.15) при а=0 в силу (5.4.29), (5.4.30)
для всех xg]0, /[ получаем
poPiZ)5iV-4/] = x2p-IDBrIrV0 + Pix2p-1^).
Условие (5.4.31) позволяет применить к обеим частям этого
равенства оператор DlX9 а затем воспользоваться теоремой
1.5.4. В результате получим
PoPi^-I4x] = ^-1Dg?-1v(0 + PiDg^-4(0
или
РоР,и[*] = До?"1 v(0 + piJc'-PDg^-VO- (5.4.32)
Как видно из (5.4.32) и (5.4.31), функция и(х) = т(х) непрерывна
при О^х^/. Поэтому и в случае задачи 5.4.3 искомое решение
однозначно определяется формулой (5.4.10), где v(x) и т(х) —
функции из (5.4.29) и (5.4.32).
§ 5.5. ПРИНЦИП ЭКСТРЕМУМА ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ
УРАВНЕНИЙ
5.5.1. Принцип экстремума для уравнения Геллерстедта.
Уравнение (5.4.1) в характеристических переменных (5.4.4)
можно записать в виде
-^(л-Е)р-1[(л-^л + Р^] + Р(Р-1)(л-^=0, (5.5.1)
где u = v(l, ц) = и(х,у).
Пусть е — произвольным образом фиксированное число из
интервала 0<|</. В области Q = {(|, т|):0<|<т|</}, которая
является образом Qm при отображении (5.4.4), уравнение (5.5.1)
эквивалентно нагруженному уравнению
(л-1)р-1[(л-ЕК + Р^]-(л-^"|[(г]-бЫв, Л) + Р»(в. Ч)] +
+ Р(Р-1){(ч-Б1)э",о«ьЧ)«1 = 0.
е
Последнее можно переписать так:
(Ч-Б)'0Ч(6. Ч)- —Р«<Б. ч)(ч-в)р"' -
15* 227

-«!-»$ n6. ч)-»«1.л)] ^-|»)p-2d|»+^-e)^(8, л).
дг] (5.5.2)
Имеет место следующее утверждение.
Теорема 5.5.1 (принцип экстремума Агмона — Ниренбер-
га—Проттера). Пусть и(хуу) — регулярное в области qm
решение уравнения (5.4.1), непрерывное в qm, образующееся в нуль
на характеристике АСт и обладающее тем свойством, что
(£-(-у)т/а-£г)иеС<>алЩ. <5-5-3)
Тогда положительный максимум (отрицательный минимум)
функции u(xty) в qm достигается только на ЛБ={(ху у):у=о,
0<аг</}.
Действительно, допустим, что положительный максимум
функции и(х, у) в qm достигается в точке (jc, (/), у>0. Тогда
функция у(£, т|) является регулярным в области q решением
нагруженного дифференциального уравнения (5.5.2). Она
непрерывна в q, обращается в нуль при £_=0 и достигает своего
положительного максимума в точке (|, rj), которая является образом
(х, у) при отображении (5.4.4). Очевидно, 0<£<т|</. Условие
(5.5.3) говорит о том, что производная ал(|, tj) при 0^|<11^/.
Из (5.5.2) при | = |, т| = т| и е-*0, учитывая, что
lim[(t|-e)^(e, л)]л = [л^(0, л)]л = 0,
е-*0
получаем
(л-|)Ч(1, ч)<-МБ. ч)чр"!-
Следовательно, t;n(f, т|)<0. Но это противоречит сделанному
допущению, так как в точке (|, ц) положительного максимума
»ч(Б, Ч)>0.
Аналогично доказывается, что отрицательный минимум и(х, у)
в qm достигается только на АВ.
5.5.2. Принцип экстремума для гиперболического уравнения
с оператором Чаплыгина в главной части. Рассмотрим уравнение
Uvv — k(y)uxx + a(x9 y)ux + b(xt у)иу + с(х, y)u = Of (5.5.4)
где k(y)>0 и может обращаться в нуль при у=0. Здесь под
qm будем понимать область, ограниченную характеристиками
АСщ и ВСт уравнения (5.5.4), выходящими из точек Л(0,0),
В = (/, 0) и отрезком ЛВ:0<х</, у=0.
Предположим, что k(y) непрерывно дифференцируема и
суммируема при 0<(/<(/т, где ут — ордината точки Ст, и в
уравнении (5.5.4) перейдем к характеристическим координатам
228

l = x + ^k(t)dt, т| = х —|V*(/)d/.
В результате оно примет канонический вид
*Чч + р(Б, r\)vi + q(l9 лК + г(£, т|)1> = 0, (5.5.5)
где л) = {/), — 4*р = 0,5*7У* + я + . 4fc<7 = 0,5*' —
— а -\- b-\/k у 4kr = — с.
Пусть (е, 6) — произвольным образом фиксированная точка
из области Q =={(£, т|) :0<^<т|</}. Нетрудно заметить, что если р
в области Q имеет производную по £, a q непрерывна в Q, то
уравнение (5.5.5) в классе функций v = v(l, tj), имеющих в Q
первые и вторые смешанные производные, эквивалентно
уравнению
(q\Vn + p\v)t + riv = 0
или нагруженному уравнению первого порядка
i
qi(l. ч)оч(Б, ч)+Р1(Б, лМБ. л) + 5 чМБь 4)dgi =
е
«4)fi(ee л)»л(е. л)+РКе> лМ€» л). (5-5-6)
где rx = rqx—p\b p{=pqit qx = ехр| Л)^<.
Уравнение (5.5.6) можно переписать в виде
i
qi(l9 л)»л(Б. Л)=5 ИБ. Л)-»(Бь Л)]па», 4)d6i—4)[pi(e, л) +
е
+ S r(|i, чМБь »l)<Ui]+?i(e. Л)К(е. Л)+Р(е. Л)»(е, Ч)].
е
0<g<r|</. (5.5.7)
Принцип экстремума Агмона—Ниренберга—Проттера теперь
можно сформулировать следующим образом.
Теорема 5.5.2. Пусть v — регулярное в Q решение
уравнения (5.5.5) из C(Q), удовлетворяющее условиям
0ле=С(О<6<л</), ул(0, Л) + Р(0, лМО, л)<0.
Тогда если функции р, рь q и г принадлежат С(0^£<т]^/)
ri(e, л)<0, pi(0, Ч) + J r(6,,T|)^i(Ei, л)с!|1>0,
го положительный максимум функции v в Q достигается только
на отрезке 0<|=т|</.
Доказательство проводится так же, как и теорема 5.5.1, на
основании равенства, которое получается из (5.5.7) при е-*-0.
229

§5.6. ФУНКЦИЯ ГРИНА-АДАМАРА И ЗАДАЧИ ДАРБУ
ДЛЯ УРАВНЕНИЙ С ОПЕРАТОРОМ ГЕЛЛЕРСТЕДТА В ГЛАВНОЙ
ЧАСТИ
5.6.1. Функция Грина—Адам ара. В области Qm (см. п. 5.4.1)
рассмотрим уравнение
Тти+а{(х9 у)их+Ь{(х9 у)иу+С\(х, y)u=f\(x, у) (5.6.1)
с оператором Геллерстедта
в главной части и с непрерывными в Qm коэффициентами аь
6i, С\ и правой частью f\.
Введем понятие функции Грина—Адамара второй задачи
Дарбу в следующей постановке.
Задача 5.6.1. Определить регулярное в области Qm
решение u[z] = и(х, у) уравнения (5.6.1), непрерывное в Qm и
удовлетворяющее условиям (5.4.3), (5.4.21).
Как и в случае задачи Коши (см. п. 5.4.1), задача 5.6.1
в терминах характеристических координат (5.4.4) эквивалентна
следующей видоизмененной второй задаче Дарбу.
Задача 5.6.2. В области £2 = {г:0<х<(/</} найти решение
и=и(х,у) уравнения (5.2.1), непрерывное в Q и
удовлетворяющее условию (5.4.8) и
и(0,у) = ч(У)' 0<(/</. (5.6.2)
Здесь же отметим, что коэффициенты и правые части
уравнений (5.2.1) и (5.6.1) связаны так:
а(г) = Ы(у-х)-(у-хГ*»А(г)-(у-хГ2*Щг),
Ь(г) = -р/(у-х)-(у-х)-*»А(г) + (у-хГ2>В(г),
Ф) — -J-(2-4p)44 е?(</)] (у-х)-<\
где,z=*+«/, ci[z]=ci(x, у), fi[z]ssf(x,y),
А(г)^А(х,у) = (2-4^а1[в7(у)}/4,
В(2) = (2-4р)2Рб,[в?(«/)]/4.
Функция
Q{lvx9y)-{%\'*x'y) (5.6.3)
где /?(£, ц\ х, у) — функция Римана для уравнения (5.2.1), а
230

/?(£, ц\ х, у) — функция, обладающая следующими свойствами:
1) R по переменным ху у удовлетворяет уравнению Lu=0
(см. п. 5.2.1), а по переменным £, ц — ему сопряженному;
2) х\ х, y) — R&, х\ ху (/) = соэяР lim [/?(*, * + е; #)Х
г-й)
X/?(£,*.+ <>; *, jc+e)];
3) /? при л=6 обращается в нуль определенного порядка.
Пусть существует функция Грина—Адамара задачи 5.6.2.
Тогда если существует решение и(х, у) соответствующей
однородной задачи (vs=0, q>s=0), то оно представимо в виде
х У
и(х, i,) = J d|j G(l, n; x, y)f(l, t|)d4. (5.6.4)
С другой стороны, функцию Грина—Адамара можно определить
и таким образом. Пусть формула (5.6.4) дает решение
однородной задачи Дарбу для любой правой части f(x, у) = (у<— jc)~4PX
Х/о(*, у)у где /о(х, у) — достаточно гладкая функция; тогда ядро
G(£, т|; ху у) называется функцией Грина—Адамара
соответствующей задачи Дарбу.
5.6.2. Метод функции Грина—Адамара решения второй
задачи Дарбу для неоднородного уравнения Геллерстедта. Задача
5.6.2 при A(z) = B(z) = C(z) состоит в отыскании решения и(х, у)
уравнения
непрерывного в Q и удовлетворяющего условиям (5.4.8), (5.6.2).
Функция Грина—Адамара видоизмененной второй задачи
Дарбу для уравнения (5.6.5) задается формулой (5.6.3), где
*(Ь л; х. у) - (Jfi) V (р, 1 - р, 1; ^=L. 13.), (5.6.6)
ы (5.6.7)
Из равенства
F(a, р, y; *)=(1-*)-»F(y-o, р, Y; ^)
на основании (5.3.11) заключаем, что функция (5.6.6) совпадает
с функцией Римана.
С помощью формулы Грина для дифференциального
оператора Эйлера—Дарбу—Пуассона, примененной к двум
специальным подобластям области Q = {(£, л):0<£<Л<^Ь не
содержащим особую (для функции G) линию л==*> можно убедиться
в справедливости следующей теоремы.
Т е о р е м а 5.6.1. Пусть v\(x) непрерывна и интегрируема
при 0<*</; у(х)€=С1]Оу /[ПС[0, /], х2рф'М при х^О не обраща-
231

ется в оо неинтегрируемого порядка; /(г) = (#—x)~4^fo(z)9 где
/о(г)ЕС(0). Тогда если и(х, у) — регулярное в Q и непрерывное
в Q решение задачи (5.4.8), (5.6.2) для уравнения (5.6.5), то
оно представимо формулой Геллерстедта
х У
"(*. У) = Ур\ М1)(х-1Г^у-1)-Ы^ +1 [ф'(л)+рф(л)/л] x
х У
x 0(0, л; *, f/)dri+s drf Л6. 4)G(g, tj^, |,)dt|. (5.6.8)
о t v
где ТР=Г(р)/12Г(2р)Г(1-р)].
Из (5.6.8) при у-*~х^]0,1[ получаем
и(х, х) = ТрГ(1 -2p)D$-'v,(£) + 2урГ( 1 -p^dgr yhvл)]' +
+ 2ypr2(l-p)dg7,d|r'(^-|)2f,ki. Л)- (5.6.9)
Соотношение (5.6.9) с учетом легко проверяемого правила
композиции [см. (1.5.28)]
можно переписать в виде
u(x,x)/yt=r(l-2fi)Dlx-\l(l) + 2r(l-fi)x-^DW44)-
-р^7,л2|1-1ф(л)]+2г2(1-р)/)87,0|71(л-ю2,,/(1. Л)- (5.6.10)
Равенство (5.6.10) позволяет обнаружить следующее весьма
интересное и необходимое нелокальное краевое условие для
неоднородного уравнения Геллерстедта:
TmU = fX(x,y)y (x9y)€£Qm. (5.6.11)
Пусть u[z\—регулярное в Qm решение уравнения (5.6.11) из
класса C(Qm)(]C (Qm[)AB) такое, что:
1. функции uy[x]f x*(x*u[Qq(x)])' принадлежат L[0, /] и
непрерывны в интервале ]0, /[;
2) функция /,[z] = /i(x, (/)eC(Qm).
Тогда для всех jc^]0,/[ u[z] удовлетворяет нелокальному
условию
"[^]/7Р=-(2-4р)2рГ(1-2р)До25-1^[б] +
+ 2Г(1-р)х-р{де^Ч9?(л)]--р^7,л2р"1"[9от(л)]}-"
- у{2 - 4р)4^Г2(1 - p^dgr'to - б)"2р/.[вГ(л)]. (5.6.12)
Очевидно, что никакое краевое условие как прямой, так и
обратной задачи для уравнения (5.6.11) не должно
противоречить (5.6.12).
5.6.3. Условие Геллерстедта и функция Грина—Адамара
первой задачи Дарбу. Функция Грина—Адамара первой задачи
232

Дарбу (5.4.20), (5.4.21) для уравнения (5.6.11) в
характеристических координатах задается формулой (5.6.3), где на этот раз
R(l, л; х, у)= ^£1%Z%^ [(х-Шу-ч)]*-1 х
X(t,-|)F(1-P, 1-0. 2-2P;^5f-.J^-).
Представление (5.6.4) позволяет свести вопрос
существования функции Грина—Адамара для общего уравнения (5.6.1)
к нагруженному интегральному уравнению третьего рода. Если
т<2 или
а,(*,у)=0(1)|уГ, Ai = const>m/2—1>0, (5.6.13)
то это уравнение всегда оказывается однозначно разрешимым.
Условие (5.6.13) называется условием Геллерстедта.
Можно показать, что условие
ШпехрГ Mfr + ( 4£^Ш <оо
является необходимым для существования функции Грина—
Адамара задачи 5.6.2.
§ 5.7. КРИТЕРИЙ ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ДАРБУ
И ЭФФЕКТ НЕРАВНОПРАВИЯ ХАРАКТЕРИСТИК КАК НОСИТЕЛЕЙ
ДАННЫХ ДАРБУ
5.7.1. Модельное уравнение переноса биологической
субстанции. Пусть одномерный поток ui = tti(£, t) некоторой
субстанции (например, биомассы микробной популяции) в
биологическом реакторе О^^/i связан с концентрацией ^2—^2(6, О
этой субстанции в точке £ в момент времени t следующим
законом переноса Максвелла:
<5-71>
где т — время релаксации потока, xi = const>0.
Следует отметить, что уравнение (5.7.1) для потока тепла
с т, равным по порядку величине времени свободного пробега
частицы, предложено Д. К. Максвеллом в 1867 г.
К уравнению присоединим закон сохранения субстанции
X2^±=-^L, х2= const>0. (5.7.2)
01 а£
Из (5.7.1) и (5.7.2) нетрудно получить, что
д /гди* \ а ди: х» d2Ki л /с 7 оч
1г(т-дГ)+-дГ-—-дГ-°- (573)
233

Допустим, что x = D/vy где D — коэффициент диффузии, v —
скорость переноса, которая обратно пропорциональна квадрату
пути движения: у = (х3Д)2, x3 = const>0, xi/x2 = £>. Тогда
уравнение (5.7.3) примет вид
^L=D^L_Xl|2^L, x4 = D/x§. (5.7.4)
Произведя в уравнении (5.7.4) замену как независимых, так и
зависимой переменных по формулам
x = t/t0t 0=6/Ухз*о, и(х9 f/)=Ui(7*3*0f/, xt0),
получим
Uyy — y2Uxx.+ aux=0, 0<х</. (5.7.5)
Здесь to — характерное время, а=— x3/D, /=/i/7*3*.
Уравнение (5.7.4) в случае, когда щ означает поток влаги
в коллоидном капиллярно-пористом теле поликапиллярной
структуры, xi = Dx2, х2 равно плотности, выведено в 1965 г. А. В.
Лыковым методами термодинамики необратимых процессов.
Любопытно отметить, что уравнение (5.7.5) А. В. Бицадзе в 1958 г.
привел как пример уравнения, для которого при |а|< 1
корректна по Адамару задача Коши с начальными данными на
участке хо<х<х\ линии у=0 параболического вырождения, хотя
нарушено условие Геллерстедта (5.6.13).
В связи с этим уравнение (5.7.5) с параметром ое]-оо, оо[
будем называть уравнением Бицадзе—Лыкова.
К уравнению Бицадзе—Лыкова можно прийти и с помощью
линеаризации реактивно-диффузионного уравнения вида (2.9.71),
где аир — постоянные величины, a р, и у не зависят от
времени t.
Действительно, при интуитивно ясных предположениях
уравнение (2.9.71) можно аппроксимировать уравнением
utt = 2autuxx + (ii—2yu)uty (5.7.6)
где и, как и ранее, означает среднее значение функции и=и{х, t)
на сегменте 0^jc^/<oo.
Пусть функция u=u(t) в момент времени tm достигает своего
положительного максимума k и существуют такие постоянные
положительные величины р,о и е, что
и,= ц0(/-/т)2, *«-е<*<*«. (5.7.7)
Тогда для всех fe[/m—е, tm] уравнение (5.7.6) в свою очередь
приближенно можно заменить уравнением
Utt = 2ар,0(/—tmfuxx + {\i—2yk)uty
которое заменой y = -yj2aiio(t—tm) сводится к уравнению (5.7.5)
с a = (2yk—jut)/72a|uLo.
234

Гипотезу (5.7.7) можно рассматривать и как нелокальное
условие Самарского для нагруженного уравнения (5.7.6).
5.7.2. Критерий единственности решения первой задачи
Дарбу для уравнения Бицадзе — Лыкова. Уравнение (5.7.5)
рассмотрим в области Й5~, ограниченной отрезком АВ:0^х^1
прямой у = 0 и характеристиками ЛС2:£=0, BC2.ti=/, где
Z = x-y2/2t ц = х+у2/2. (5.7.8)
В характеристических координатах (5.7.8) оно имеет вид
(Л ~ Б)мм + РЧ - риц = 0, (5.7.9)
где р = (1 +а)/4, Р' = (1 - а)/4, 0 < £ < т] < /.
Из теоремы 5.3.4 вытекает, что решение и(ху у) задачи Коши
(5.4.2), (5.4.3) для уравнения Бицадзе —Лыкова при |а|<1
задается формулой
у) = тгт\ха+(т> ~ *)о<"'-!(1 - ор_,<|/ -
- B(1-Vi^PoSva + (T1~l)0rli(1 -tr*'At' (57Л0)
а при а = ± 1 оно имеет вид
Здесь интересно отметить, что если |а|<^1, то для уравнения
(5.6.18) остается в силе неравенство Берса (5.4.12), которое
явно не содержит коэффициент а.
Пусть u[z]9 z = x + iyt — любое принадлежащее классу
C(Q2)(]Cl(Q2(]AB)(]C2(Q2) решение уравнения (5.7.5) с |а|<1.
Тогда при дополнительном предположении о суммируемости
функции х~г(/ — х)~*иу[х] на [0,/] из представления (5.7.10)
имеем
"№)] = few'-'«M - ш^-о^-ч-ЫуУ),
УР' v р; (5.7.12)
«№)] = ^~х) Dr/{1 - tf-'uit] -
~ 2f(^n Dtr\l- 0"ЧМ. (5-7.13)
где 6§(jc) = х/2 — i-yjx , 82(x) = (/ + x)/2 - i^jl — x.
235

Из необходимых нелокальных краевых условий (5.7.12),
(5.7.13) заключаем, что при |а|<1 как первая, так и вторая
задачи Дарбу для уравнения Бицадзе—Лыкова в области Й«Г
с данными на АВ и ВС2 или АС2 всегда разрешимы, и притом
единственным образом.
Те о р е м а_ 5.7.1. Пусть а < — 1. Тогда решение и[г] =
= и(х, (/)^С(&2~) П C2(q2~) однородной задачи Дарбу
"U = 0, u\BCi = 0 (5.7.14)
для уравнения (5.7.5) не совпадает с тривиальным u[z]=0o
оа= —4* —3, k = О, 1, ...
При доказательстве этой теоремы нам понадобится
следующая лемма.
Лемма 5.7.1. Функция Римана
Ши т; 6, л) = (л. - б1)р+р'(л1 - £гр(л - ЬГ*'ПР, р.»; *).
z = (л - л0(б1 - 6)/[(л1 - 6)(л - Б01 (5*7Л5)
0<^1<^<л<Ль для уравнения Эйлера —Дарбу —Пуассона
(5.7.9) при любых р и Р' удовлетворяет уравнениям
+ -^=jr = р'( > - ркл. - ыр+р~ '(л. - 1гр(л - i.)-"'-1 х
Х(л1-л№. р,+ 1,2;г), (5.7.16)
- = ро - Р'хл, - ыр+р'-'(л - ы~р'(л. -б)"'"' X
X (Ei -6W+1. р', 2, 2). (5.7.17)
В самом деле, из (5.7.15) на основании правила
дифференцирования гипергеометрической функции и формулы приведения
Гаусса
p(i-z)F(p+i, p' + l, y + 1; zj-v^p, р', y; z)-
_(T_P)F(P, p'+l, y+l; г>
видим, что левая часть (5.7.16) совпадает с выражением
Х(Л-Л|)[^Р'. Р. 1; z)-(l-P)F(p, P'+l, 2; 2)].
Аналогично доказывается и свойство (5.7.17):
XPP'F(P+1, p'+l; 2, z)Z4, = p(g-8l)(t,,-i1)p+p'-lX
X(лi — 6)_,|-1(л — 1 — z)p'/ro' +1. р+1. 2; z) =
= Кб - 6i)(41 - 1.)р+р'_1(л i - 5гр-'(л - 1.гр' х
X[F(P', р, 1; z) - (1 -p'w, Р+ 1, 2; 2)] =
236

= Pd_E,)/?/[(4i-6i)(4i-6)] + P(i -B'KI.-DX
X(rU-hy+p'-](4>-ir'-](4-ti)-*'nV, P+l, 2; г).
С помощью леммы 5.7.1 и равенства (5.3.10) можно показать,
что если и(х, у)— решение задачи Дарбу (5.7.14), то оно пред-
ставимо в виде
и(х, у) = ц{ц)Я(0, ц; |, Л) + t л) -
- г(>(0)/?(0, /; |, л) - Р(Р'~ Щц-*'Х
х |л»+г-'ч<л.Хл.-6)-'-^(Р+1. Р'. 2; -g^ff)<b). -
Р'(1 -Р)('-л)(/-БГ'|('-6|)|,+г-Ч(Б|)Х
х(л-6.Г''-,'?(Р; P'+l,2; ii"gf!~|'i)dE.,
где <р(л) = «(л/2, -л/л). КЕ) = «(//2 + 1/2, —V'-S)-
Точка с абсциссой (/ + |)/2 и ординатой — У7—| лежит
на характеристике ВС2: х + у2/2 = I. Поэтому из (5.7.14)
следует, что г|)(|)==0. С учетом этого из (5.7.18) имеем
"(*. У) = (-^Т) Vl) + Р(1 - Р')1л-р'Х (5.7.19)
Х^лГ1/2ф(л1Хл.-1)-,,-^(Р+1,Р'. 2; -fc|-)aV
Пусть a= —1; тогда Р = 0, Р'=1/2 и формула (5.7.19)
принимает простой вид:
и(х, у) = ф(Л). (5.7.20)
На основании первого условия из (5.7.14) равенство (5.7.20)
возможно тогда и только тогда, когда <p(ri)==0, что и
требовалось доказать.
Допустим теперь, что a<—1 и нарушено условие теоремы
5.7.1. Это означает, что P'^fc + l, k = 0, 1, ...
Из (5.7.19) при у-* — 0 в соответствии с равенством
lim /=76-4-1 6' 2- \ Щ/2)
получаем
Ч** ^ г(1 _ р)Г(1 _ ро } у, (/ _ Х)Р+.
(5.7.21)
237

0<т|</, пРМ r\-+l не обращается в бесконечность неинтегрируе-
мого порядка, является тривиальным тогда и только тогда, когда
аф -4fc-l, k = Oy 1, ...
Действительно, предположим, что а==— 4k— 1, k = О, 1,
т. е. Р=— ky p' = fc+l/2. Так как F(0, Р', 1; г) as 1, то из
(5.7.18) при а=— 1 (Р = 0) следует, что все нетривиальные
решения задачи (5.7.23) для уравнения (5.7.5) с а= — 1
задаются формулой
и = <р(ч). ф(0 = о,
а при а= —5 (р = — 1) в силу (5.7.19) —формулой
и(х, у) = *=*-«ч) —
Если же р+ 1 = —я, л = 1, 2, то на основании (5.7.19) и
тождества
F(-n, р'.2; г) = |о(^)Г(^Г+;)2)(-гГ
получаем
у ,п \ Г(/г + т + 3/2) / £ \mC (/-
Пусть теперь а=^ —4*— 1, * = 0, 1, ... При а== —3 (Р' = 1)
любое решение однородной второй задачи Дарбу (5.7.23) пред-
ставимо в виде (5.7.22) и, следовательно,
lim uy(xt у) = —ц(х)/-у/х , 0<х</.
Отсюда в силу первого условия из (5.7.23) ясно, что у(х) = 0.
Поэтому и(х, у) = 0.
Из (5.7.19) в случае, когда а< — 3( — * Ф Р< —1/2, k =
= 0, 1, ...), имеем
v(*) - lim «Л*. У) = Ит {Р(р'-\)^~\-уГ^Чч) ~
у-*-—о у-*-—о
- ВП — йЛРп-1>'( Г Р'(Р + ')^(Р + 2, 3; гМ|(|-0 + т!(г1-0) _
• y)"F(P+l. Р'. 2;
239

В силу (5.7.14) и(х, 0)s=0. Следовательно, равенство (5.7.21)
имеет место тогда и только тогда, когда
J г*'*'™ =° V*€=[0, /].
Отсюда вытекает, что ф(х) зз 0. Значит, и и(х, у) = 0.
Пусть теперь а = —4ft — 3, ft = 0, 1, ... или, что одно и то же,
P'=ft + 1, ft = 0, 1, ... В случае, когда Р' = 1 (а=—3), из
(5.7.19) заключаем, что все нетривиальные решения задачи
Дарбу (5.7.14) задаются формулой
«= (Л^1)'/2ф(ч); (5-7.22)
если же Р' = 2 (а = — 7), то
"-(^n^^>-HW,>d']
При Р' = л + 2, п=1, 2, на основании формулы
автотрансформации для гипергеометрической функции можно
написать
F(p + 1, Р', 2; z) = (l-z)-,/2F(-rt, 1-р, 2; г) =
= П— Z),/2T /п \ Г(1-р + т) / чт
X
С учетом этого из (5.7.19) получаем формулу
- (W[(WV-i>-^rar^--'
Xmt0Ui Г(т+2) (ГТ) J (/-а— аЧ"
которая определяет все нетривиальные решения однородной
первой задачи Дарбу (5.7.14) для уравнения (5.7.5) при а = — 4л — 7,
л= 1, 2, ... Таким образом, теорема 5.7.1 полностью доказана.
5.7.3. Критерий единственности решения второй задачи
Дарбу для уравнения Бицадзе — Лыкова. Теорема 5.7.2. Пусть
а< —1. Тогда регулярное в области Отрешение и(х, у) одно-
родной второй задачи Дарбу
иу\АВ = 0, и\вс, = 0 (5.7.23)
для уравнения (5.7.5) из класса С(!Й2~)ПCl(Q2~[)AB), которое
в случае, когда — 3<а<—1, обладает тем дополнительным
свойством, что производная по ц от сужения u\ACi = ф(т]),
238

где z = [%(t — r\)]/[i\(t — £)], а е — любое положительное число,
меньшее, чем — р—1/2. Отсюда, поскольку
/ЧР + 2, р'+1, 3; z) = -\jT~—~zF( 1 р, 2-р', 3; 2),
F(l-p, 2-р', 3; 1) = 2л/я/[Г(2 + р)Г(1+р')].
находим
v(jc) = Р( 1 - р')Р'( 1+ р)*1 X
Таким образом, если — 4ft—1 =^а< —3, fc = 0, 1, то
Wirt — 2У"*Р t <P(0d' 7 24*
В силу (5.7.23), v(jc) = 0. Поэтому из интегрального уравнения
Вольтерра первого рода (5.7.24) немедленно вытекает, что и в
этом случае <р(х) = 0.
Если —3<а< —1 (— 1/2<р<0),то из (5.3.13) заключаем,
что любое решение и уравнения (5.7.9), удовлетворяющее
условиям теоремы 5.7.2, представимо в виде
и(х>У) = (|Ф(р'; ОГ'ЖО, t\ Б, т,)<Н-
= р? Ф(У, QfT(p, У, l;z)d/
где Ф(Р'; 0 = *ф'(0 + Р'ф(0 (см- п- 5.3.2). Отсюда
непосредственным вычислением находим
v(x) = lim иу = — рр'лГ*' lim \ Ф(Р'; t)t~l/2X
XF(P+1, P' + l, 2; 2)(,_S)HL_^(^ + _i_\d,=
X F( 1 - p, 1 - P't 2; *)(/ - 1)-,,-^Ьг(+ ) d/ =
240

= -2pp'F(l-p, 1-p', 2; l)x*~l\^&
t)dt
Так как
FM-fi 1_ft' 2- n - WW/2) = WW =
v P, 1 p»^,i; г(1+рЩ1 + Р0 ррТ(рщр')
8888 РЭ'В(р,р') 1 (p + p,== l/2)>
то окончательно имеем
/
2$ Ф(Р'; t){t-xf-ldt=* -B(p, pVM*)-
(5.7.25)
В соответствии с (5.7.23) v(jt) = 0 и <p(/) = 0. Поэтому (5.7.25)
имеет место тогда и только тогда, когда Ф(Р'; х) = 0. Значит,
дир'(х) + Р'ф(*) = 0 для всех хе]0, /[ и <р(/) = 0, но это возможно
тогда и только тогда, когда <р(х) = 0. Таким образом, теорема
5.7.2 полностью доказана.
5.7.4. Эффект неравноправия характеристик как носителей
данных Дарбу. Этот эффект наглядно демонстрируется на
примере следующего уравнения Бицадзе—Лыкова:
иуу — у2ихх — их = 0, (5.7.26)
которое в характеристических координатах (5.7.8) имеет простой
вид
^(Ул^аО-О, 0<|<г)</.
Пусть / — интервал 0<*<i прямой (/ = 0, а 7—его
замыкание.
Справедливо следующее утверждение.
Теорема 5.7.3. Однородная задача, соответствующая
неоднородной задаче Дарбу
иу{х, 0) = v(jc), и[0Цх)] = ф), *е=/, (5.7.27)
где v(x)<e=C(7)nC2(/), ty(x)e=Cl(J)f\C2(J), для уравнения (5.7.26)
имеет бесчисленное множество линейно независимых решений,
а неоднородная—разрешима тогда и только тогда, когда v(x) =
= 2^/l — x<p'(x) Yxe=J.
Действительно, из (5.7.11) при а= — 1 заключаем, что общее
решение уравнения (5.7.26) в классе функций w^Cl(QjTU«0n
ПС2(й;т), обладающих тем свойством, что и(х, 0) и иу(ху 0)е
16 Заказ №1786 241

Q2 определяется системой (5.7.28), (5.7.31). Это предложение
вместе с теоремой 5.7.3 позволяет сделать следующий вывод:
в отличие от строго гиперболических уравнений или от уравнений
с нехарактеристическим степенным вырождением порядка
меньше двух, из корректности задачи Коши не следует, вообще
говоря, корректность соответствующих задач Дарбу, а также
равноправия характеристик как носителей данных Дарбу, если
порядок вырождения больше либо равен двум.
В заключение следует обратить внимание, что описанные в
§ 5.7 качественные свойства уравнения Бицадзе—Лыкова,
безусловно, могут иметь содержательную биологическую
интерпретацию, например, в теории микробной популяции.
16*
243

^C(J)(]C2(J)9 выражается формулой
и(х,у) = т(х + ±у2) + ^j^* + (l-2o£]^, (5.7.28)
где т(х) = u(xt 0), v(x) = иу(ху 0) — произвольные функции.
Выделим из этого общего решения те, которые удовлетворяют не
только первому, но и второму условию в системе (5.7.27). Из
(5.7.28) видно, что
"№)] - и(Ц±, _v7=7) = t(Z) -J*Ef| d/.
Поэтому для всех x^J, согласно равенству я|>(/) = г(/),
имеем
♦(х) - ко - -У "трЩг^ 2^(хЬ/7=Т = v(*).
' V/""5 (5.7.29)
При соблюдении необходимого условия (5.7.29) решение
неоднородной задачи (5.7.27) для уравнения (5.7.26) определяется
по формуле (5.7.28), где v заменено на я|>*(*) = 2л]I — дд|/(х).
Все нетривиальные решения однородной второй задачи
Дарбу, соответствующей задаче (5.7.26), (5.7.27), задаются
формулой
и(ху у) = т(х + у2/2)-т(1),
где т(х) — произвольная функция из класса C(J)(]C2(J).
Для уравнения (5.7.26) в той же области Qi~ рассмотрим
теперь вторую задачу Дарбу:
иу(х, 0) = v(x), u[Q20(x)] = ф), *<=/. (5.7.30)
Учитывая, что ejj(x) = (x/2, — V*). из (5.7.28) и (5.7.30)
получаем
Следовательно, можно написать (см. (1.5.2))
Т(Х) = ф) + DolI/2v(0. (5.7.31)
2
^2/
Итак, если <р(х) и v(x)eC(/)f|C (/), то единственное решение
и(ху у) задачи Дарбу (5.7.30) для уравнения (5.7.26) в области
242

ГЛАВА 6
НЕЛОКАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ МОДЕЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ БИОЛОГИИ
§ 6.1. НЕЛОКАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ
МАК КЕНДРИКА-ФОН ФЁРСТЕРА
6.1.1. Постановка задач. В области Я = {(*, /): 0<*</,
0<£<71 рассмотрим уравнение неразрывности Мак Кендрика —
фон Фёрстера (см. п. 2.9.8):
ux + ut + c(xyt)u = Qy u = u(xyt). (6.1.1)
Это уравнение достаточно хорошо описывает и динамику
замкнутой популяции особей, когда на ее поведение фактически не
влияют взаимодействия между особями различного возраста.
При такой интерпретации функция u = u(xyt) означает
численность особей возраста *^[0, /] в популяции в момент времени
/€=[0, Г].
В случае, когда из популяции в каждый момент времени t
изымаются особи возрастов х\у Х2У хту уравнение
неразрывности может иметь следующий вид:
ux + ut + с(ху t)u + 2 фу t)u(xiy t) = 0. (6.1.2)
/= l
Уравнение (6.1.2) является нелокальным и оно относится к
классу нагруженных дифференциальных уравнений в частных
производных первого порядка.
Уравнения вида (6.1.2), например уравнение
их + ut + и = u(lyt)y 0<х</, *>0,
где u(ly t) означает функцию источника, возникают и в теории
детонации.
К уравнению (6.1.1) присоединим уравнение рождаемости
[см. формулу (2.9.57)]
и(0у 0= t)u(x9 t)dxy 0<*<7\ (6.1.3)
где / — предельный возраст, k(xy t) — коэффициент рождаемости,
принадлежащий классу С([0, /]Х[0, Г]).
244

Для того чтобы изучить динамику возрастной структуры
популяции, нужно задать еще начальное условие
и(х, 0) = т(х), 0<х</, (6.1.4)
где т(х) — это начальное распределение популяции по возрастам,
которое непрерывно на [0, /].
Таким образом, мы пришли к следующей нелокальной задаче,
которая является модельной для широкого класса различных
популяционных задач.
Задача 6.1.1. Найти регулярное всюду в области й, за
исключением, быть может, характеристики х= решение и
уравнения (6.1.1), непрерывное в Q и удовлетворяющее условиям
(6.1.3), (6.1.4).
Из (6.1.3) и (6.1.4) вытекает, что условие
А(л:,0)т(л:)(1а: = т(0) (6.1.5)
является необходимым условием разрешимости задачи 6.1.1.
Легко видеть, что обратимая замена
v(x, t) = и(х, t) - \ t)u(t t)dl
x
сводит задачу 6.1.1 к локальной задаче:
о(0, /) = 0, v(x, 0) = т(х) - | k(t 0)T(£)d£
для нагруженного уравнения (относительно и) в частных
производных первого порядка.
Уравнение рождаемости (6.1.3) представляет собой внутрен-
некраевое условие с нелокальным смещением (см. п. 3.2) и оно
имеет биологический смысл, как правило, при k(x> t)u(x, t)^0.
Поэтому для любого фиксированного момента времени /е[0, Г],
согласно формуле среднего значения, существует такая точка х0
из возрастного сегмента [0,/], что
k(xt t)u(xy t)dx = lk(x0> t)u(x0y t).
Итак, если k(x, t)u(x< /)^0 в Q, то существует такое
биологическое время *о^[0, /], что уравнение рождаемости (6.1.3) можно
переписать в виде нелокального условия с локальным
смещением:
и(0, t)=G(t)u(x0, t)f 0</<7\ (6.1.6)
245

где G(t) = lk(xoy t). Если же решение задачи 6.1.1 искать в классе
функций и(ху t)y монотонных по возрастной переменной х при
любом /е[0, Т]у то на основании второй формулы среднего
значения найдется такая точка ае [0,/], что
k(xy t)u(xy t)dx=a(t)u(Oy t) + $(t)u(ly 0.
a I
где а(0 = Odx, P(0 = J k(x9 t)dx.
Следовательно, в этом классе искомых решений уравнения
(6.1.1) нелокальное условие (6.1.3) эквивалентно условию
[i-c<0]"((U) = fWU)- (6.1.7)
Очевидно, условия (6.1.6) и (6.1.7) являются частными
случаями существенно более общего условия
"(О, 0=2 а/(0«(*/, 0 + фо(0> 0</<7\
i>0 (6.1.8)
Здесь <х*(0, фо(0 — заданные, непрерывные на [О, Т] функции,
xt — заданные точки, / = 0, 1, 0<С*0<^*1<^...^/.
При численной реализации на ЭВМ задачи 6.1.1 мы
неминуемо придем к частному варианту условия (6.1.8), т. е. когда мы,
пользуясь одной из квадратурных формул с узлами в точках хо,
*2, Хщу заменяем конечной суммой интеграл, входящий в
уравнение рождаемости (6.1.3).
С задачей 6.1.1 непосредственно связана следующая задача.
Задача 6.1.2. Найти регулярное всюду в области Q, за
исключением, быть может, характеристики x=ty решение и(ху t)
уравнения (6.1.1), непрерывное в Q, удовлетворяющее условию
(6.1.4) и нелокальному внутреннекраевому условию
и(0у t) = \k(xy t)u(xy t)dx+^{t)y 0</<7\
* (6.1.9)
Здесь k(xyt) и г|э(0 — заданные непрерывные при 0<Сх^/<СГ
функции.
Как видно из (6.1.4) и (6.1.9), условие
г|,(0) = т(0) (6.1.10)
является необходимым условием разрешимости задачи 6.1.2.
6.1.2. Общее решение уравнения (6.1.1) и исследование
корректности задач 6.1.1 и 6.1.2. Через и Q~ обозначим части
246

области Я, расположенные соответственно ниже и выше
характеристики x=t уравнения (6.1.1): Q+= Qf\[(x91): x>t}9 й"=
= Й\Я+.
Справедливо следующее утверждение.
Теорема в.1.1 (об общем представлении решений
уравнения Мак Кендрика—фон Фёрстера). Пусть
с(х9 t) <= СЩ), ct(xf t) €= C(Q+ IJ Й~),
^ct(yy y + t-x)dy<=C(Q~).
Тогда функция и(х9 t) является решением уравнения (6.1.1) из
класса C{Q){\C\Q'Jt'\}Q~) тогда и только тогда, когда
u(xtt) = X(\x-t\)(o(xtt)t (6.1.11)
где xWgC[0, ЦОС1]*), Ц, 1Х=1 при x>t и /* = Т npux<t, а
ф9 ^exP[-^c(J^9l=^)dy]9
1 и 4 (6.1.12)
l = x-t9 r\ = x + t. (6.1.13)
Действительно, в результате преобразования (6.1.13)
уравнение (6.1.1) примет вид
^ + ^С(1±Л.,ЛГ±)Ы = 0. (6.1.14)
Отображение (6.1.12) как функция независимых переменных £ и
г) при 0<£ + г)<2/, 0<г) — 1<2Т и 1Ф0 удовлетворяет
уравнению
(и/а)ц = 0о и = (6-1.15)
Ясно, что (6.1.15) эквивалентно (6.1.11).
Докажем теперь, что для любой функции х(*)^С[0, ^]П
(]С1]0У1Х[ функция (6.1.И) представляет собой решение
уравнения (6.1.1) из класса C(Q)nC'(Q+UQ~).
В самом деле, из (6.1.12) после замены 2z = y + l
переменной интегрирования у имеем
X
со(х,0 = ехрГ - [ c{z9z-i)dz\ (6.1.16)
L mi) J
где //(£) — функция Хевисайда.
Из (6.1.11) и (6.1.16) на основании известного правила
Ь(х) Их)
-М f(x9y)dy= Ux9y)dy
а* a(x) a(x)
+
+ f{x, b{x))b\x) - f{x, aix))a'ix) (6.1.17)
247

находим
их = cox'(^)sign I - и[с{х, t) - c(lH(t), %Н(1) - 6)x
X
ХЩ1)- \ c,(z, z-Q&z), (6.1.18)
Wl)
ut= -coX'(£)sign£- u[c(lH(l), lH(l)-l)H(l) +
X
+ \ ct(z, z-t)dz], (6.1.19)
Wl)
Равенства (6.1.18), (6.1.19) легко позволяют проверить
справедливость сделанного утверждения.
Теперь можно перейти к исследованию корректности задач
6.1.1 и 6.1.2. В первую очередь сведем задачу 6.1.1 к задаче
6.1.2 при дополнительном предположении, что
Пусть коэффициент смертности с(х> t) удовлетворяет условию
теоремы 6.1.1 и существует решение и(х, t) задачи 6.1.1. Тогда
вследствие этой теоремы в области Q оно представимо
формулой (6.1.11). В области Q+ это решение, согласно (6.1.16).
имеет вид
u(xt t) = х(х— Ой>+(х, /), (6.1.20)
где
X
со+(х, t) = ехр Г — J c(zt z — x + t)dz 1, х> t.
*- x—t J
Поскольку u(x, t) удовлетворяет условию (6.1.4), как видно из
(6.1.20), имеем
и(х, 0) = x(*)<d+(x, 0) = х(х) = t(jc), 0 < х < /.
Следовательно, в области Q+ решение u(xyt) задачи 6.1.1
единственным образом определяется начальным условием (6.1.4) и
оно имеет вид
и(ху t) = T(x — t)(o+(xf t), x^t. (6.1.21)
Формула (6.1.21) и условие позволяют переписать
уравнение рождаемости (6.1.3) в форме
«(0, О —J k(x, t)u(x, 0dx= VoW — S *(*. 0©+(*. t)z(x — t)dx.
g ' (6.1.22)
В области Q~ решение задачи 6.1.1 имеет вид
u(x,t) = x(t-x)«>-(x1t)1 (6.1.23)
248

задач с нелокальным условием типа (6.1.9) можно дать
положительный ответ. Здесь мы ограничимся случаем, когда
/<Г<2/.
Уравнение (6.1.24) с ty(t) = tyo(t) однозначно определяет х(0
для всех *^[0, /]. Если х(0 известна на [0, /], то в силу (6.1.23)
мы знаем значение и(х, t) искомого решения задачи 6.1.1 во
всех точках (xtt)^Qt лежащих в характеристической полосе
O^f — Чтобы определить u(xt t) во всех точках следующей
полосы l^t — x^.T, нужно знать х(0 \/-t^[ly Т].
Итак, пусть время /^[/, Г]. Так как f —то уравнению
рождаемости (6.1.3) можно придать вид
и(0, 0- | k(*> t)u(xt t)Ax= \ k(x, t)u(x, t)Ax. (6.1.27)
Правая часть этого уравнения является известной функцией,
поскольку здесь переменная интегрирования x^t — l V*^[A
Обозначим ее через i|>/(f — /)• В уравнениях (6.1.1) и (6.1.27)
перейдем к новым переменным
y=t-l, v{x,y) = u{xyy + l)y 0<г/<Г-/=Г1.
В результате получим
vx + vy + фу y)v = 0, фу у) = с(ху у + /), (6.1.28)
у
v(Oyy)^k(xyy + l)v(xyy)dx + ^l{y)y 0<(/<Г,. (6.1.29)
По существу, мы пришли к следующей задаче, которую
можно назвать нелокальным обобщением задачи Коши для
уравнения (6.1.28).
Задача 6.1.3. Найти регулярное в области D = {(х, у):
0<x<iy<iT\}y непрерывное в D решение v уравнения (6.1.28),
удовлетворяющее условию (6.1.29).
Единственное решение этой задачи определяется формулой
v(xy у) = х(у — х)фу у),
где
х
фу у) = ехр [ -1 фу z х-{- y)dz J ,
а х(у) — решение интегрального уравнения Вольтерра второго
рода
ю(0, у)х(у) = ( фу у + 1)фу у)х(у - x)dx +
250

где
со (х, /) = ехр £ — ^ c(zt z — х-\- t)dz J .
Из (6.1.22) и (6.1.23) видно, что функция х(0 при 0</<Г
является решением интегрального уравнения Вольтерра второго
рода
t
МО, f)x(0- J *)(o-(xt t)x(t-x)dx = Vo(0,
или
MO, 0x(0 —i,. t)«r(t-y* t)%(y)dy = nt)>
Ъ (6.1.24)
где \|)(0 = tyo(t) в случае задачи 6.1.1.
Теперь сформулируем теорему о корректности задачи 6.1.2.
Теорема 6.1.2. Пусть с(х, t) удовлетворяет условиям
теоремы 6J.1, k(x, t)<=Cl(Q-)> т(х)€=С[0, /]ПС1]0,/[,j|)(0^C[O, Т](]
ПС1]0, Г[. Тогда задача 6.1.2 имеет решение w<=C(Q)f]Cl(Q^UQ~)
и оно удовлетворяет неравенству
11и||с(й) < const • max(||т||с[о, /], ll^llqo, т\). (6.1.25)
Решение задачи 6.1.2 в области Q+ определяется формулой
(6.1.21), а в области Q~ — формулой (6.1.23), где х(0 —
решение уравнения (6.1.24). Это уравнение как интегральное
уравнение Вольтерра второго рода имеет, и притом единственное,
решение %(t)^C[Ot rjnC'JO, Т[ (см. теорему 5.2.2). Условие (6.1.10)
гарантирует непрерывность решения при переходе через
характеристику х= t. Оценка (6.1.25), из которой вытекает
единственность и устойчивость решения задачи 6.1.2, является прямым
следствием представления (6.1.21) и свойства HxlKconst||ф||
решения х(0 уравнения (6.1.24).
Если то из теоремы 6.1.2 в силу (6.1.21) заключаем,
что решение и(х, t) задачи 6.1.1 существует и оно допускает
оценку
II " II C(Q) < const ||т || с[0, /]. (6.1.26)
Из (6.1.26), в частности, следует, что как бы внешние
условия ни изменяли параметры рождаемости и смертности, если в
начальный момент м = 0, то и в последующие моменты времени
и = 0. Этот факт может явиться математической интерпретацией
фундаментального свойства любого биологического процесса:
живое может произойти только от живого.
На уже возникший вопрос о возможности сведения задачи
6.1.1 с расчетным временем Т>1 к последовательному решению
249

В заключение полезно отметить, что взаимосвязанные задачи
6.1.1—6.1.3 вместе с принципами Шаудера, обобщенного сжатия
и теоремы Брауэра о неподвижной точке (см. п. 1.2.4, 1.2.5)
имеют весьма важное значение при исследовании корректности
более общей задачи типа (2.9.60), (6.1.4) для нагруженного
нелинейного уравнения Мак Кендрика — фон Фёрстера (2.9.59).
Кстати, уравнение восстановления (2.9.60) можно рассматривать
как нелокальное обобщение задачи Коши для уравнения (2.9.59)
с носителем на интервале прямой х = 0.
§ 6.2. НЕЛОКАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ
ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
6.2.1. Задача Гурса для нагруженного уравнения второго
порядка. В области Q = {z:0<jt</, 0<у<Т) евклидовой
плоскости точек z=(xy у) рассмотрим нагруженное уравнение
гиперболического типа
/л/=2 BiU + f(z)y (6.2.1)
где (см. п. 5.2.1) и = u(z) = и(х, у), Lu = uxy+A(z)ux + B(z)uy-{-
+ C(z)u,
В,«-о(г)^.| а(г; т,И*. i\)<*4 + b(z)^ ft(z; l)u(t y)dl +
+ |di|c(2;s)u(i)cln,
У x
B2u^oi(z; y\)u{xiy tOcIti + | Py(z; £)*/(§, j,/)dg,
B3U^cli(z)u(xiyyi)y c = (£, л)-
Здесь и ниже под повторяющимися индексами /=1,2, m
и /=1,2, я подразумевается суммирование. Предполагается,
что производные аХу byy аХу (Jj,, АХу Ву и все остальные заданные
функции непрерывны в QX U
Задача Гурса. Найти регулярное в области Q решение
u(z) уравнения (6.2.1) из класса C(Q), удовлетворяющее краевым
условиям
и(0,у) = ф(у), 0<t/<7\ a(jt,0) = t|>(*), 0<х</, (6.2.2)
гдегеС[0, Т](]С']0, П, ^еС[0, /] ПС']0, /[, <р(0) = ф(0).
Введем следующие обозначения: R(z\ $) — функция Римана
(см. п. 5.2.1);
251

K^z; в)-( «6. Ч.; л) W л0«(1. л,; *)] dl|| +
X X у
+ S «6,, л; 6)а^..л)у».я:»)1 d£| + j d|,S C(SbS)/?(S,; 2)d4l;
г ц in
Ka(z; ц) = \ а(х, t|i; л)а(х, т|i; *)/?(*, щ; z)dt|i;
X
g) = S p(6i. у; 6Ж6ь у)Л(6и у; 2r)dti;
X
¥(z, ф) = /?(*, 0; г)ф(л:)-/?(0, 0; z)t|>(0) + |[B(i, 0)Щ, 0; 2)-
X
0; z)-$ «б., 0; Б)6(Бь 0)*«i, 0; z)d£,M№
<D(z; ф) = /?(0, у; г)ф) + ^[А(0, цЩО, л; г)-Я„(0, л; 2)-
У
-J а(0, л.; Л)а(0. Л •)#(<>.1ц; z)di|ilq<4)<l4;
4 х У
F{zJ) = \&l\R{bz)№A4
о о
/g(z) = (D(z- ф) + Ч^(г; i|>) + F(z; /).
Имеет место следующее утверждение.
Теорема 6.2.1. Задача Гурса (6.2.2) для уравнения
Lu = BlU + f{z) (6.2.3)
эквивалентна нагруженному интегральному уравнению Вольтер-
ра второго рода
х У х
u(z) + [ dlj K%z; S)dt| = + $ K*(z; |)и(|, t/)d| +
0 0
+ \Ka(z; Ч)и(х, 4)d4. (6.2.4)
о
Действительно, уравнение (6.2.3) эквивалентно уравнению
(см. п. 5.2.2)
igi-MeWe; «)1 -ж[ »(в)(^-^(в)Л(в: -))] -
- -ЯГ[ "Ц^П"" Жв)Л(в; г))] = Л(в. гНВ.«(в) + Я« ^
252

где S—переменная, a z— произвольным образом
фиксированная точка из области Q = {S:0<g</, 0<у\<Т\.
В результате почленного интегрирования (6.2.5) по
характеристическому прямоугольнику сое = {€ :е<£<Х г<ч\<у) и
применения формулы Грина
5(Об + Л|)йБ<1т1-5 PAZ + QAr\
Ше д(1)е
получаем
J z) - а(с)Ж« *)]d£ + z)]4d4 -
-[/?„(e; 2) - A(q)R(q; z))u(i)di\ = \ %; z)[B,«(S) + «s)]d|dr,.
Отсюда, учитывая, что
J [w(S)/?(S; 2)],d^ = u(xf y)R(x, y\ z)-u(x, e)R(x, e; 2)-
— w(e, t/)/?(e, y\ z) + u(e, e)/?(e, e; 2),
Ri(l, y\ z)-B(L y)R(l, y; 2) = 0, R(z; 2) = 1,
/?„(*, t|; z) — A(x, r\)R(x, tj; 2) = 0,
и переходя к пределу при на основании (6.2.2) имеем
u(z) = y(x)R(xf 0; 2) + cp(t/)/?(0, у; 2)-ф(0)/?(0, 0; г)-
х У
-\М1)МЪ. 0; z) -вц, o)R(i, о; 2)]d6-J «р(л)[^(о, л; «)-
-Л(0, Л)/?(0, л; *)dn + F(z; 0 + ^(2; (6-2.6)
Легко видеть, что F(z; B\u) = F1U + F2U + F3U, где
Ух 1
F,m==| с1л^ tf(S; z)a(6)(U-^-J a(e; л.)"(1, л^ли
х У I
F2u=| dg| Же; zMJOdTj-ij-J «в; £.)"(£.. n)di,,
jc £ «/ »l
F3a=JdEjdE,Jd^J«(6;2)C(6;6i)tt(si)d^i.
После интегрирования по частям Fjtf примет вид
У Г) у
-| /?(0; л; 2)а(0, л)с1л J л; Tli)<POli)dTii - | dл X
253

X 'i
X S [/?(s; 2)a(€)hd6J о(б; Л1М6. 4i)<h|i.
Далее, переставляя по формуле Дирихле порядок
интегрирования, получим
F\u = \ и(ху r\\)dr\\] а(х9 л; r\\)a(x, r\)R(x, л; z)dr\ —
О т)|
У У
— ^4<4i)d4iS «(о, л; Л1МО, л)/?(о, л; 2)d^ —
-J d|5 u(l, i,,)dii,j a(s; z)a(e)].dn.
0 0 Tii
Аналогично можно преобразовать и F^u. Очевидно,
х У х У
F3w = S dfiij M(6i)d4i5 dgj /?(6; 2)C(S; 6,)d4.
0 0 6. Л1
Теперь нетрудно установить, что
х У
F(z; Вт) = \ К%гЛМ1 y)d£ + $ K*(z; ч)и(*, х\)дг\-
О о
У У
-| /<£(z; 6)«(6)d^ - J <р(л)<М a(Of лО«(0, ч,; ч)/?(0, ль *)d4i-
jc x
- J *(9dE5 0)KE«. 0; 0; z)dh. (6.2.7)
Подставляя (6.2.7) в (6.2.6), получим (6.2.4).
Из теоремы 6.2.1 в силу теоремы 5.2.2 заключаем: задача
Гурса (6.2.2) для уравнения (6.2.3) имеет, и притом
единственное, решение, которое может быть построено итерационным
методом.
Пусть P = P(z; l\)y Q=Q(z; r\\) — соответственно решения
интегральных уравнений Вольтерра второго рода
X
P(z; Б,)-5 K\z; t)P(t, у; g,)dg=/Cp(z; Б,), (6.2.8)
h
у
Q(z; ч,)-5 Ka(z; n)Q(x, г,; л.)^ = К+г; ц,). (6.2.9)
Обратимая замена (см. п. 5.2.2)
х У
u(z) = v(z) + \P(z; |i)o(6i,i,)dg, + J Q(z; ni)v(x, T,.)dri.
* * (6.2.10)
254

сводит уравнение (6.2.4) к интегральному уравнению Вольтерра
второго рода
х у
ф) = | dg1 r(z; e)o(S) d л+f%z) (6.2.11)
с ядром
r(z; t) = P(x, т,; t)K«(z; ц)-К&г; С)+ <?(!, у; ч)К*{г; £)-
jc у
-S Бь л№, л; 6)d£i-S ^ Б. чОО(Б. Ль 4)dt|i.
С учетом (6.2.8), (6.2.9) и (6.2.11) формулу (6.2.10) можно
переписать в виде
х у
u(z) = ^P(z; 6,)/й(61в j,)d6i+J Q(z; t|i)/8(*. f|i)d4,+
+ Jd6iJr(z; ci)/£(ci)d4l+/8(z). (6.2.12)
Нетрудно убедиться, что ядро Г однозначно определяется как
решение уравнения
х у
Г(г; S,) = S K\z- у; Si)dg + $ Ka(z; Ч)Г(*. л; 6,)d4-
5. 4i
-J d£$ /C£(z; С)Г(С; Ci)d4-5 *£(*; Б, m№ Ль 6i)d6-
5. 41 5.
у
-) K%z; lu r\)Q(h, л: Hi)<h| + K«(z; Л|№ ш: 60 +
+ /Cf,(2;|,)Q(i.,«/;n.)-
1усть
Fg(2)=|p(z, Si)/8(6i.y)d6.+f5(2)+jQ(2; 4.)/8(*. лО<»Л1 +
+ Jd6,Jr(z;el)/8(ei)d4i;
/*(z; = hMlu У\ 4)dEi + S Л«М*, ли Л№Л1 +
jc «/
+ oi(z; л) + J d£i J T(z; e,)<tfe,, 4)d4i;
255

х У
Q'(z; 6) = J P(z; 6,)p'(6,f у; |)d|, + | Q(z; ц,)^, ц,; &)dr,. +
+ ^(2) + JdEijr(z; Ci)c«(6i)dfii.
Формула обращения (6.2.12) для оператора L—B\ позволяет
доказать, что любое решение u(z) задачи Гурса (6.2.2) для
уравнения (6.2.1) представимо в виде
У х
u(z) = [pU ц)ч>Шу\ + \ Q\z\ ШЪ)*Ъ + ?\*ЫУ1) + Нк*).
* * (6.2.13)
где u(xhy)=yi(y), =
Из (6.2.13) непосредственно вытекает следующее
утверждение.
Теорема 6.2.2. Задана Гурса (6.2.1) — (6.2.2) эквивалентна
системе нагруженных интегральных уравнений Фредгольма
второго рода
У xt
М = \РАх,, у; л)ф.(л)с!л + | Q'(xh у; ШШ +
+ Г'(*„ у)ф,<у() + F*(Xi, у), 1=1,2, .... т;
'У* х
+Р<(*, уыЫуй + Щх, yk), k= 1, 2, п. (6.2.14)
Легко видеть, что если cli(z) = Of d\z\ л) = 0 или P'(z; 1) = 0,
то (6.2.14) переходит в систему интегральных уравнений
Вольтерра второго рода. При нарушении этих условий задача Гурса
для уравнения (6.2.1) может не быть безусловно и однозначно
разрешимой.
Пример 6.2.1. Однородная задача Гурса
и(0, у) = 0, 0<у<7\ и(х, 0) = 0, 0<*</ (6.2.15)
для неоднородного уравнения
uxe=J*u(xuyi) + f(z) (6.2.16)
с постоянными коэффициентами cil имеет не более одного
решения тогда и только тогда, когда А = 1 — &']х(у\ ф 0. При А Ф 0
единственное решение u(z) задается формулой
u(z) = F(z) + xy[c»F(xi,yi)]/A,
где х у
f(z)=|dg|K5,4)dii.
256

Действительно, задача (6.2.15) — (6.2.16) эквивалентна
нагруженному функциональному уравнению
u(z) = xycliu(xit у\) + F(z).
Следовательно,
Ас''и(х1, у;) = счР(х1У yi).
6.2.2. Спектр однородной задачи Гурса для нагруженного
уравнения гиперболического типа. В области Q рассмотрим
уравнение
х У
иху = Х[ | и(Б,*о)(1Б + | и(*о, л)<Ь|]. (6.2.17)
где X — отличный от нуля спектральный параметр, (х0, jc0)^Q,
jc0>0.
Пусть х* — точка пересечения графика функции у=2х—shx
с полупрямой t/=0, х>0. Существование и единственность такой
точки очевидны, поскольку у(0) = 0, у'(х) = 2 — chx>0 при 0<х<
<*i, */'(*i)=0, t/'(x)<0 при Xi<jc<oo, —оо, когда jc-> + oo.
Вычислительный эксперимент говорит о том, что 2,17699<Ot.<
<2,17799.
Справедлива следующая теорема.
Теорема 6.2.3. Однородная задача Гурса (6.2.15), (6.2.17)
не имеет решений, отличных от тривиального, тогда и только
тогда, когда ХфХк, *=0, ±1, ±2, где X0=xlxo3f Xk=—n2k2xo3
при k= ±1, ±2, ... Все собственные функции w*(z),
соответствующие собственным значениям А,*, £=0, ±1, d=2, имеют вид
uk(z)=c0(ysm^-xsm^y k= ±1, ±2,
u0(z) = с, (t/sh^— *sh—), (6.2.18)
\ Xo Xo /
где Co и Ci — произвольные постоянные.
Действительно, в классе функций u(xf i/)eC(Q),
удовлетворяющих условию (6.2.15), уравнение (6.2.17) эквивалентно
нагруженному интегральному уравнению
х У
u(x, y) = by^(x-t)u(t, x0)dl + Xx^(y—i\)u(xo9 r\)dr\. (6.2.19)
Пусть фо(у)= и(х0, у), i|)0(jt) = и(х, аго). В силу (6.2.19) функции фо
и -фо должны удовлетворять системе уравнений Фредгольма
второго рода:
X Хо
ф0(*)- Хх0\ (x-l)^o(l)dfc = Алс| (*о—6M6)d&,
17 Заказ №1786 257

ФоО/) - Uo J (у-ЪЫШ=ьу\(хо-ЮЫШ- (6.2.20)
Система (6.2.20) не имеет решений, непредставимых в виде
ipo(x) = р0 sin (xV—Ajco), фо(у) = v0 sin (у-д/—A,x0) (6.2.21)
при A,<C0 и в виде
tyo(x) = pish(xV^o), фо(у) = vish(y^Xx0)t (6.2.22)
при A,>0, где p,< и v/(/=0, 1) — некоторые постоянные. Это
утверждение вытекает из того факта, что любое решение (фо, i|)0)
системы (6.2.20) представляет собой решение системы
ф6Ч*) = Ь*офо(*). 0<*</, г|)0(0) = 0,
Фб'0/) = ^офо0/), 0<у<7\ ф0(0) = 0.
Подставляя (6.2.21) и (6.2.22) в систему (6.2.20) и учитывая,
что
X
tao|(* — g)sin(gV— ^o)dg = sin(xV—Ajc0) — x^/—kx0i Ж 0,
A<*o| (x—6)sh(gV^)d^=sh(jcV^)~^V^o» ^>°»
получим
УоЦо + (Уо — sin y0)v0 = 0,1 (6 2 23)
yoVo + G/o — sint/0)p.o = 0 J
при A.<0 и
yoli\+(yo— shy0)vi==0, I (6 2 24)
yoVi+(f/o —sht/0)pi = 0 J
при A,>0. Здесь y<> = x<pJ\X\xq.
Из системы (6.2.23) алгебраических уравнений заключаем,
что р,о и vo отличны от нуля тогда и только тогда, когда yo = nk,
Л=±1, =1=2, ... Определитель системы (6.2.24) равен (2у0—sh(/o)X
Xshy0. Поэтому |ii и vi отличны от нуля тогда и только тогда,
когда уо = х*. Из (6.2.23) при у0 = лк, а из (6.2.24) при у=х*
находим v0=—р,о, vi = —pi. Теперь, чтобы найти собственные
функции (6.2.18), соответствующие собственным значениям А,*,
достаточно подставить в (6.2.19) функции фо и -фо из (6.2.21)
и (6.2.22).
6.2.3. Нелокальные задачи для уравнения с волновым
оператором в главной части.Пусть а\(у) (/=1, 2, п) и т(у) —
заданные функции, a jc0>0, х1 — фиксированные точки,
принадлежащие сегменту O^jc^/.
258

Задача 6.2.1. Найти регулярное в области Q решение u[z)
уравнения (6.2.1), непрерывное в Q и удовлетворяющее условию
и(ху0) = Ц(х)у «0<х</, (6.2.25)
если дополнительно известно, что
Хо
^-\u(l,y)dl = T(y) (6.2.26)
о
или
д
ду2ъ(у)и(х'уу) = ч(у). (6.2.27)
Нелокальные условия (6.2.26) и (6*2.17) можно переписать
в виде
| «(&, </)d|=г,(у) к | x{t) d*+J чКБ) d£. (6.228)
a,(*/)u(*<", у) = xi(y) ^ J т(/)d* + «/(ОМ*'). *6'2'29^
При численной реализации на ЭВМ .нелокальных внутренне-
краевых задач с условием вида (6.2.28,) может оказаться весьма
полезным сведение условия (6J2.28) к условию вида (6.2.29)
Так, например, на основании квадратурной формулы Симшсана
условие (6.2.29) можно приближенно заметить условием
и(0, у) + Щх0/2У у) + и(х0, у) = 6т ,(#)До (6.2.30)
и тем самым свести его к условию «вида (6.2.29).
Очевидно, нельзя ожидать безусловной и однозначной
разрешимости задачи (€.2.25), (6.2.26) или (6.2.25), (6.2.27) для
общего уравнения (6.2.1).
Единственное решение u(z) задачи (6.2.25), (6.2.26) для
волнового уравнения
uxy = Q (6/2.31)
задается формулой
у
u{Z)=q{x)+-L^Tmt.
Для этого же уравнения задача (6.2.25), (6.2.27) имеет решение,
и притом единственное, если
2 Щ{у)ф0 Yj/e[0, Г]. (6.Й.32)
17* 259

Нарушение условия (6.2.32) может вызвать некорректность
задачи (6.2.25), (6.2.26) для уравнения (6.2.31).
Пользуясь общим представлением (6.2.13) всех регулярных в
области Q и непрерывных в Q решений уравнения (6.2.3),
нетрудно убедиться в справедливости следующего утверждения.
Теорема 6.2.4. Если для всех у^[0, Т]
Хо I
S Г *(0, у; 1,у) + \ РЦ, у; £.)/?(0, у, g,, y)dh] dg#0, (6.2.33)
о l о j
то задача (6.2.25), (6.2.26) для уравнения (6.2.3.) всегда
разрешима, и притом единственным образом.
По определению [см. формулу (5.2.2)], R(x, у; £, у)>0.
Учитывая это, можно доказать, что условие теоремы 6.2.4 имеет
место в случае, когда b(z)$(z; £)^*0.
Действительно, отсюда следует, что /Ср^0. Через r(z; |)
обозначим резольвенту ядра /Cp(z; £). Известно, что
г(г91)=ЪКМг-Л),
где
X
/C?(z; £)= K\z- £), Kg(z; £) = 5 Kg_.(z; t)K*(t> у\ l)dt9 п = 2, 3,...
*•
— итерированные ядра. Так как /С^О, то, очевидно, r(z; |)^0.
Решение P(z; £i) уравнения (6.2.8) имеет вид
X
P(z; Ы = Кр(г; Ь) + \ r(z; l)K\b х\ \x)d\.
*•
Следовательно, Р^О, что, по существу, и требовалось доказать.
Рассмотрим однородную нелокальную задачу
и(х, 0) = 0, щ{у)и{х*у у) = 0 (6.2.34)
для неоднородного уравнения
La = /(z). (6.2.35)
Из (6.2.6) при я|)(л;) = 0, В\и==0 имеем
у
Ф)=-Ч(уМ0,Г>*)-\Ф(л)[/?л(0, ъг)-А(0, Ч)Л(0, Ч; z)]dr\+F(z; f).
* (6.2.36)
Удовлетворим (6.2.36) нелокальному условию (6.2.35). В
результате увидим, что функция <р(у) должна быть решением
интегрального уравнения Вольтерра третьего рода (см. п. 2.7.3):
у
а,(«/)Я(0, у, х>, уЫу) + ^ а,<у)И(0,1\щ0, х\; х>, у)-
-Я„(0, Л; у)Ыч)&ч+щ{уЩхК у; /). (6.2.37)
260

Если сумма а/(у)/?(0, у; х'у у), которая равна
oKi,)exp(-j В&,уЩ)фО Vi,e[Oer|. (6.2.38)
то уравнение (6.2.37) является интегральным уравнением
Вольтерра второго рода. Поэтому имеет место следующее
утверждение.
Теорема 6.2.5. Пусть /(г)еС(й), а^)еС[0, Т\(]С1[09 Т]
и соблюдено условие (6.2.38). Тогда задача (6.2.34) для
уравнения (6.2.35) имеет, ипритом единственное, регулярное в
области Q, непрерывное в Q решение u(z).
Вопрос о разрешимости (условной или безусловной) задачи
6.2.1 в случае условия (6.2.27) можно рассмотреть с помощью
предложенной здесь схемы, используя формулу (6.2.13).
6.2.4. Задача Гурса для уравнения Аллера. Уравнения в
частных производных третьего порядка вида
щ + {аи + $)их + уиххх = (аих + buxt)x (6.2.39)
лежат в основе математических моделей многих явлений и
процессов, таких, например, как явление переноса энергии гидролиза
молекул аденозинтрифосфорной кислоты (АТФ) вдоль белковых
молекул в виде уединенных волн, т. е. солитонов, процесс
переноса почвенной влаги в зоне аэрации с учетом ее движения
против потенциала влажности.
Из (6.2.39) при р = а=& = 0, а=1, v = const>0 получаем
уравнение Кортевега де Фриза:
ut + иих + уиххх = 0. (6.2.40;
Частными случаями уравнения (6.2.39) являются уравнение
Бенджамина—Бона—Махони:
ut + ux= г(3иих + Q,5uXxt), е = const>0 (6.2.41)
и уравнение Аллера:
ut = {aux + buxt)x. (6.2.42)
Уравнение (6.2.40), которое было выведено Кортевегом i?
Фризом еще в 1895 г., стало теоретической основой теории соли
тонов — нелинейных уединенных волн, перемещающихся с
течением времени в нелинейных средах с дисперсией без потери
энергии и изменения формы.
Уравнения (6.2.41) и (6.2.42) относятся к одному и тому же
типу (см. п. 2.3.1). Они являются уравнениями
гиперболического типа, хотя их принято называть уравнениями
псевдопараболического типа.
Входящее в уравнение (6.2.42) выражение П(х, t) = aux+buxt,
как правило, интерпретируется как поток процесса, протекаю-
261

щего в одномерной среде О^.х^.1 во все моменты времени t от
начального t=0 до расчетного /=7\ Очевидно, что если известен
поток П(0, t) = f(t) в точке х=0 для любого момента времени
/'-=[0, Г], то уравнение (6.2.42) можно переписать в виде
X
buxt + aux=^ а(Ь t)dl + f(t). (6.2.43)
Из теорем 6.2.1 и 6.2.3 вытекает, что если а = а(х, /), 6 =
= &(.«, f);>0;— заданные функции, непрерывные в Q = {(jc, £):
О^х^/, О^^Г}, {а/Ь)х и 6/ принадлежат классу С(й), то для
уравнения (6.2.42) корректно поставлена следующая задача.
Задача 6.2.2. Определить распределение субстанции и(ху t)
в среде 0^x^.1 для всех моментов времени t^[0y Т]у если
известны:
1) поток субстанции при х=0:
(aux + buxt)\x=0 = f(t)y 0</<Г; (6.2.44)
2) распределение субстанции в начальный момент:
и(ху 0) = л|?(лг), 0<jc</; (6.2.45)
3) распределение субстанции на части границы среды:
и(0, t) = ф(/)> 0 < t < Т- (6.2.46)
или же скорость расхода субстанции на части О^л^дго среды
0<х</, 0<х0</:
4-Sa(E,/)dE=t(0, 0</<Г; (6.2.47)
где /(ОеС[0;Г], Ф(0еС[0, ППС']0, 7[, гр(*)еС[0, /] ПС']0, /[,
Ф(0) = я|>(0).
Ясно, что краевое условие (6.2.44) можно заменить условием
Ux\xsm0=fx(t)9 0</<Г. (6.2.48)
Задачу (6.2.45), (6.2.46), (6.2.48) для псевдопараболических
уравнений вида
uxxt = F{u, иХу ии иХХу х, t) (6.2.49)
Д. Колтон в 1972 г. назвал задачей Гурса.
Нелокальное условие (6.2.47) можно рассматривать как усло-
ви^ Гурса в интегральной постановке.
При надлежащей схематизации процесса поглощения
почвенной влаги корнями растений давление и(х, t) в области корневого
впитывания удовлетворяет уравнению вида
(17 + 4")(Uxt + = ^Uh
которое относится к такому же типу, что и (6.2.49).
262

§6.3. НЕЛОКАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ
ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
6.3.1. Принцип экстремума. Рассмотрим линейное
параболическое уравнение второго порядка (3.1.6) я я+1 -мерной области D.
Пусть
Lu = а"(*, t)uXiXj + Ь'(х, t)uXi + с(х, t)u — щ. (6.3.1)
Принцип экстремума состоит в следующем.
Теорема 6.3.1. Пусть функции а1', Ь\ с вещественны и
принимают конечные значения:
а«(*,*)ь6/>0, О V(x, О^ДО^Ц <=/?", (6.3.2)
функция и = и(х, t) имеет в D непрерывные производные,
входящие в (6.3.1). Если в области D Lu^O (Lu^.0) и функция и
имеет положительный локальный максимум (отрицательный
локальный минимум), который достигается в точке (х*, t*), то
и(х, t) = u(x*, t*) для всех точек (х, t)^D таких, что их можно
соединить с (х*, t*) простой непрерывной кривой, лежащей в D,
вдоль которой координата t не убывает от (х, t) к (х*, t*).
Теорема 6.3.1 известна в теории уравнений с частными
производными как сильный (по терминологии А. Фридмана) принцип
экстремума и она легко доказывается в случае, когда либо
Lu>0 (Lu<0\ либо La<0 (La>0) и с(х, /)<0.
Приведем доказательство принципа экстремума в следующей
формулировке:
Теорема 6.3.2. Если
а'7(*. 0Ь6/>0, c(x,t)<0 V(xJ)^D,0¥=l^Rn,
то регулярное в области D решение и уравнения Lu=0 ни в
одной точке (xyt)^D не может достигать ни положительного
локального максимума, ни отрицательного локального минимума.
Достаточно доказать теорему в случае положительного
локального максимума, так как случай отрицательного локального
минимума сводится к нему заменой и на —и.
Уравнение Lw = 0 можно переписать в каноническом виде:
&yv + 2 bj$kivyk -f- cv —1>/=0, (6.3.3)
где y—B'x — преобразование союзное (2.5.1), v(y, t) = и(х, /),
Ау — оператор Лапласа по переменной у.
Доказательство теоремы 6.3.2 проведем методом от
противного. Пусть решение и уравнения Lu~0 в точке (x,t)^D
достигает положительного локального максимума. Тогда и функция v
в точке (*/, /)geDi, где D\ — образ D при отображении х-+у,
достигает такого же максимума. Необходимое условие
максимума функции о в точке (у, /) имеет следующий вид: у^л = 0, и. = 0,
263

vykyk^:0 для всех &=1,2, п. Принимая это во внимание, из
(6.3.2) находим cv^— Ayv^0. С другой стороны, в силу условия
с<0 имеем cv>0. Полученное противоречие — результат
неверного допущения.
В области D рассмотрим нагруженное уравнение
параболического типа
Lu^kuix'j), /=1,2, m, (6.3.4)
где A,, = const>0, (х\ f)ed. Методом от противного можно
показать, что теорема 6.3.2 остается в силе и для уравнения (6.3.4).
Действительно, пусть решение и в точке (ху f)^D достигает
положительного локального максимума. Тогда, поскольку Lu(xy f)<
<0, из (6.3.4) заключаем: Xtu(xf9 f)<0. Следовательно,
существует такая точка (xjy V)^Dy что и(х*у V)<0. Поэтому в области D
найдется такая точка (*», /.), где функция и достигает
отрицательного локального минимума. Так как Lu(x*y t*)>0y то из
(6.3.3) имеем Ки(х*у ?)>0. Значит, (ху /)<=£>.
Пусть теперь D совпадает с областью, описанной в п. 3.1.2,
a DT есть пересечение D с гиперплоскостью /=т. Обозначим
через а часть границы dDy состоящую из 5 и D0.
Под регулярным в области D решением уравнения
Lt/ = 0 (6.3.5)
будем понимать решение, имеющее в D\JDT непрерывные
производные, входящие в Lu.
Справедлива следующая теорема, известная как принцип
максимального значения.
Теорема 6.3.3. Пусть для всех (ху t)^D\JDT форма Q(xy £)=
=а1\ху /)Ь£/ положительно определена и
с{ху /)<0. (6.3.6)
Тогда регулярное в области D решение и уравнения (6.3.5),
непрерывное в D, своего положительного максимума
(отрицательного минимума) достигает лишь на а.
Из теоремы 6.3.2 следует, что точка (х*у t*) положительного
максимума функции и(ху t) не принадлежит D. Утверждение
(/, ^*)еОг доказывается так же, как и в случае, когда t*<Jy
но с той лишь разницей, что необходимое условие экстремума
щ(х*у /*) = 0 при t*<T заменяется условием ut(x*y t*)^0 при
f=T.
Отметим, что замена u=wexp(ayt)y где постоянная а>0,
приводит к уравнению для w вида (6.3.5) с коэффициентом при
wy равным с—а. Если ceC(D), то при достаточно больших а
этот коэффициент при w строго отрицателен, т. е. для нового
уравнения относительно w будет выполнено условие {6.3.6).
В случае, когда с(ху t) = 0y остается в силе принцип
максимального значения в следующей формулировке.
264

Теорема 6.3.4. Пусть для всех (ху t)^D\JDT форма Q(xy £)
положительно определена. Тогда регулярное в области D
решение и уравнения
ut = a%xy t)uXiXi + bj{xy t)uXl9 (6.3.7)
непрерывное в D, своего экстремума достигает на а.
Действительно, обозначим через М максимум и на компакте
D. Допустим, что и достигает М не на а, а в некоторой точке
t*)^D\]DT. Покажем, что это допущение приводит к
противоречию.
В самом деле, введем вспомогательную функцию
w(x9t)=u(x9t) + a(T—t)9 a=const>0. (6.3.8)
Так как /€=[0, Т]у то из (6.3.8) имеем
u(xyt)^w(xyt)^u(x,t) + aT \^{xyt)^D. (6.3.9)
Через Ml и М% обозначим соответственно максимум и и w
на а. По допущению М1<М. Число а выберем так, чтобы имело
место неравенство
аТ<М — Ml (6.3.10)
На основании (6.3.9) и (6.3.10) имеем
Maw^Mau + aT<M = фЛ О О-
Отсюда следует, что функция w не может достигать максимума
на а. Следовательно, эта функция своего максимума на D
достигает в некоторой точке (ху t)^D[)DT. В этой точке
wt^0y wXi = 0y aijwXlXl^0y i9j=l9 2,п. (6.3.11)
С другой стороны, равенства (6.3.7) и (6.3.8) означают, что
a+ wt = ац{ху t)wXtXi + Ы(ху t)wXi.
Отсюда, согласно (6.3.11), получаем, что ос^О, а это невозможно,
так как а>0.
Теорема 6.3.4 допускает различные биологические
интерпретации. Еще Мак Кендрик обратил внимание, что эволюцию
отдельных популяций, например популяции фагоцитов, в случае
обратимых взаимодействий можно описать уравнением диффузии
Фурье:
Ut = DauXXy (6.3.12)
где u=u(xyt) — число организмов возраста хе[0, /] в момент
времени ty Da — некоторая положительная постоянная,
зависящая от биологических свойств данной популяции.
Биологический смысл принципа максимального значения в случае
уравнения (6.3.12) очевиден: если число организмов и(ху 0) в началь-
265

ный момент времени вместе с числом а(0, t) новорожденных и
числом организмов u(l, t) предельного возраста / при всех
/е:[0, Т] не превосходит некоторого значения Af, то не настанет
такое время *<=]0, Г], чтобы численность и(х, t) организмов
возраста х в этот момент времени стала больше, чем Af.
6.3.2. Первая краевая задача для эволюционного уравнения и
ее нелокальное обобщение. Принцип экстремума позволяет
установить единственность и устойчивость решения краевых задач
для широкого класса уравнений параболического типа.
В самом деле, если Mi и м2 — решения первой краевой задачи
(3.1,6) — (3.1.8), то функция u = u\—U2 будет удовлетворять
условиям теоремы 6.3.1 и обращаться в нуль на а.
Следовательно, в силу принципа экстремума ы=0 в D, откуда и следует
единственность решения первой краевой задачи (3.1.6) — (3.1.8).
Если разность между краевыми значениями на о решений и\
и U2 первой краевой задачи (3.1.6) — (3.1.8) по модулю меньше
е>0у то в_силу принципа экстремума (теорема 6.3.1) \и\—W2l<Ce
всюду в В и тем самым непрерывная зависимость решения
первой краевой задачи от краевых данных на о (т. е. устойчивость
решения этой задачи)доказана.
Существуют различные методы решения первой краевой
задачи (3.1.6) — (3.1.8). Одним из конструктивных методов является
метод функции Грина. Мы здесь ограничимся реализацией этого
метода на примере уравнения
Lu = uxx-uy = f(xy у)eC(Q), (6.3.13)
заданного в прямоугольной области Q: 0<х<1, 0<у<Т
евклидовой плоскости независимых переменных х, у.
Уравнения (2.9.66), (6.3.12) заменой y — DJ сводятся к
(6.3.13). Полезно также отметить, что и уравнение
vt = a2vxx + $vx + yv (6.3.14)
с постоянными коэффициентами подстановкой
v= wexp(pjc + X/), y = a2t,
где 2а2р=—р, 4(7—А)а2^= р2, приводится к виду (6.3.13) с / = 0.
Функция
IX*.«t.tf-^-«,[-£$-]. »>,. (6 3.15)
называется фундален. тарным решением уравнения Фурье:
ихх — иу = 0. (6.3.16)
Легко проверить что функция (6.3.15) как функция точки
U, у) удовлетворяет уравнению (6.3.16). Если же рассмотреть ее
как функцию точки (I, ц) при фиксированных (х, у), то она будет
решением сопряж./июго уравнения: + Гч = 0. Следующее
266

важное свойство фундаментального решения выражается
равенством
lim J Г(х, у; I ц)Ф(Ш = Ф(х) уФ^С[0, /]. (6.3.17)
ч-+у о
Функция G(£, т]; х, у) называется функцией Грина первой
краевой задачи для уравнения (6.3.13) в области й, если она
представима в виде
G(S, л; *, i/)= г(Б, л; х, »)-g(6, л; *, у), (6.3.18)
где функция g такова, что:
1) она непрерывна в £2Х&, имеет непрерывную при 0^jc<7,
0<У^Ц<Т и интегрируемую вдоль отрезков оо.х = 0у ас.х=1,
О^у^Т производную gx\
2) она является регулярным в области Q решением
сопряженного уравнения
L*u = Vxx + vy = Q9 (6.3.19)
удовлетворяющим краевым условиям
g(l, л; о: у) = Щ9 л; о, у), g(i, л; /, у) = Щ, л; /, у), (6.3.20)
lim£T(g9 т|; jc, i/) = 0. (6.3.21)
Непосредственным вычислением можно показать, что
Щх.у; I п) = [4я(у-п)]-'"_£ Jexp[ ""'У ] "
-«ф[^^-]|- 163221
Справедлива следующая лемма.
Лемма 6.3.1. Пусть существует регулярное в области^ Q
решение и(х,у) уравнения (6.3.13), которое непрерывно в Q и
имеет непрерывную при О^х^/, 0<у<Т и абсолютно
интегрируемую вдоль Оо и а/ производную их. Тогда л) является
решением нагруженного интегрального уравнения
п л
u(l, t|) = S "(0, t/)Gx(I, П; 0, f/)di/ —^ u(l,y)Gx{l, ц; /, y)d*/ +
о о
+ S 0)G(g, л; *, 0)dx-$ d£/S C(g, л; *> J/)d*. (6.3.23)
0 0 0
Действительно, пусть Q? = {(xy y):x\<x<LX2y У\<У<Ц — e} —
строго внутренняя подобласть области Q, 0<Х|<сх2</, //i>0,
е>>0, а гШе — ее граница.
267

Формула Грина для оператора L (см. п. 3.4.1) имеет вид
\ (vLu—uL*v)dxdy = \ (vux — uvx)dy-\-uvdx. (6.3.24)
Примем теперь за v = v(xyy) функцию G(£, т|; ху у)у где (£, т|) —
произвольным образом фиксированная точка из q. Так как
Lu=f и L*v=Ot то из (6.3.24) имеем
\ vfdxdy=\ [и(ху y\)v(x9 yi) — u(xt ц—e)v(xy т|—e)]dx +
я. *■
r\—e
+ \ [ v(*2> y)ux{x2, y) — u{x2, y)vx{x2y y) —
—v(xu y)ux(xu y) + u(xu y)vx(xu y)]dy. (6.3.25)
Рассмотрим интеграл
*2 хг
J(xi, x2\ г) = \ u(xy т|—e)v(x, r\—e)dx= $ u(x> л—Ч'> v\—s)dx.
X\ Xi
Так как подынтегральная функция непрерывна при.О^х^/, то
очевидно, что ](х\у х2\ е)-^/(0, /; е), когда (xly х2)-^(0у I). Далее,
на основании (6.3.18) находим
lim/(0, /; e)=lim\ и(ху г]—е)Г(£, ц\ху ц—e)dx —
е-*-0 е-»0 о
/
— lim \ и{ху т|—e)g(l\ ц\ х9 г|—e)dx.
Отсюда в силу (6.3.17) и (6.3.21) имеем
Ит/(0,/;е) = и(Е,т|). (6.3.26)
е-из
Свойства функции Грина (6.3.22) позволяют осуществить в
равенстве (6.3.25) предельный переход при е->0, (х\у х2)-+(0у /).
Учитывая в результате краевое условие (6.3.20) и равенство
(6.3.26), получим (6.3.23).
Определение 6.3.1. Обобщенным решением уравнения
(6.3.13) в области q назовем любое непрерывное в q решение
нагруженного интегрального уравнения
У У
и(ху i/) = | и(09 r\)Gi(x9 у\ 0, y|)dti — ^ u(lf r\)Gt(x, у\ /, r|)dr) +
+ \ u(l, 0)G(x. у; I, 0)dl + F(x, у), (6.3.27)
о
268

где
у i
F(x, y) — \dn\G(x, у\ £, лж6. (6.3.28)
Вернемся к первой краевой задаче.
Задача 6.3.1. Найти обобщенное решение и(х, у)
уравнения (6.3.13) в области Q, удовлетворяющее краевым условиям
и{х>0) = ф), 0<х</, (6.3.29)
и(Оуу) = Ц0(у), и(1,у) = тМу), 0<£/<Г, (6.3.30)
где ф), tyo{y) и ^iy) — заданные непрерывные при О^х^/,
О^у^Т функции такие, что ф(0) = г|?о(0), ср(/) = *ф/(0).
Из (6.3.27), (6.3.29) и (6.3.30) заключаем: единственное
решение и(х, у) задачи 6.3.1 определяется формулой
у У
и{х, y) = ^o(4)Gi(x> У\ 0» 4)U4 — ^fa)Gi(x>y\ U 4)dr\ +
i
+ J <p(6)G(*, у; Б, 0W + F(x, у). (6.3.31)
Задача 3.2.1 является нелокальным обобщением первой
краевой задачи. Пусть и(х, t) — обобщенное в смысле определения
6.3.1 решение этой задачи. Тогда из (6.3.27) и (6.3.28) в силу
(3.2.24) и (6.3.31) заключаем, что оно в области Q представимо
в виде
и(х, 0 = |ч>о(т))О4(х, t; 0, i|)df| —JiKi|)Gg(*, *> 1> Л)<^Л +
+ J<p(6)G(x,/;6,0)d6. (6.3.32)
Представление (6.3.32) вместе с (3.2.25) и (6.3.30) означает, что
*o(0 = 04(')J*o(T|)G6(^f t\ 0, f|)d£ + <D(/)f (6.3.33)
где
Ф(0 = б(/)-а/(/)t; I, i\)di\ +
+ok0|q>(&)G(*/. /; i, 0)d|
и по индексу / подразумевается суммирование от 1 до р.
Если функции Oj(t)Gi(xi, t\ 0, r\)^Jt—г\ и Ф(*) непрерывны при
0<Л^^7\ то (6.3.33) как интегральное уравнение Вольтерра
269

второго рода вследствие теоремы 5.2.2 имеет единственное
решение tyo(t). Поэтому единственное обобщенное решение и(ху t)
задачи 3.2.1 определяется формулой (6.3.32).
С помощью соответствующей функции Грина можно найти
критерий однозначной разрешимости более общей нелокальной
задачи, которая состоит в отыскании решения и(х, t) уравнения
(3.1.10), удовлетворяющего начальному условию (3.1.11),
одному из локальных граничных условий (3.1.12), и условию вида
(3.2.25) или (3.2.27). Такие задачи широко встречаются и в
физиологии растений (см. п. 6.3.3).
6.3.3. Задача Торнли. Филлотаксис — расположение листьев
на растении — является одной из весьма интересных проблем
биологии. В природе наиболее часто встречается филлотаксис
спирального типа, при котором листья на растении расположены
по спирали вокруг главной оси. У большинства растений со
спиральным филлотаксисом угол дивергенции, т. е. угол между
последовательно расположенными листьями (примордиями),
близок к углу Фибоначчи — 137, 51°.
Для объяснения угла Фибоначчи Дж. Г. М. Торнли в 1975 г.
предложил простую модель спирального филлотаксиса, в основе
которой лежат следующие предположения.
1: Все новые примордии начинают свое существование на
растении г по горизонтали от вертикальной оси г=0 апикальной
(верхушечной) меристемы — конуса нарастания побега и корня;
в этой зоне апикальная ткань характеризуется компетентностью
по отношению к инициации примордиев.
2? Все углы и расстояния, отнесенные к горизонтальной
плоскости с полярной системой координат (г, 8), допускают
симметрию по отношению к вращению вокруг вертикальной оси г=0,
и отклонениями в форме апекса можно пренебречь.
3? Каждый примордии действует как точечный источник мор-
фогена, диффундирующего по окружности с центром в начале
координат и радиуса г и распадающегося со скоростью yv, где
Y=const>0, v=v(xy t) — концентрация морфогена в точке х=г6
в момент времени /; диффузия по окружности происходит с
постоянным коэффициентом диффузии а .
4? Первый примордии расположен в точке (г, 0) и является
источником морфогена силы So = 5o(/).
При этих гипотезах концентрацию v морфогена в любой точке
jcg]0, /[, / = 2яг можно приближенно описать уравнением
диффузии
vt = a2vxx — yv. (6.3.34)
По условию, точечный источник морфогена силы So помещен
в точку (г, 0) или х=0, морфоген диффундирует по окружности
в обоих направлениях от нее: половина — в положительном
направлении, а половина — в противоположном. Градиент v
270

в точке х = 0 имеет разрыв первого рода, однако v — функция,
непрерывная для всех xg[0, /] и t^O. Следовательно, функция v
должна удовлетворять условиям
-a2 lim yx = i-S0(0> 0<*<7\ (6.3.35)
х-*- 4-0 ^
гу(0, t)=v(lj)% 0</<7\ (6.3.36)
где Т — расчетное время.
К уравнению (6.3.34) присоединим начальное условие
v(x, 0) = ф(х), 0<х</, (6.3.37)
где ф(х) — непрерывное распределение концентрации морфогена
в начальный момент времени tf=0, которое в силу (6.3.36)
удовлетворяет условию ф(0) = ф(/).
Уравнение (6.3.34) вместе с условиями (6.3.35), (6.3.36) и
(6.3.37) представляет собой математическую модель спирального
филлотаксиса.
Условия (6.3.35) и (6.3.36) являются частными случаями
(3.2.4).
Итак, мы пришли к следующей задаче.
Задача 6,3.2. Найти регулярное в области Q = {(x, t):
0<х</, 0<Zt<T} решение v уравнения (6.3.34), непрерывное
в Q и удовлетворяющее условиям (6.3.35) — (6.3.37).
Эта задача в простейшем случае, когда
So(0 = Siexp( — мА Si = const>0, p,=const<Y (6.3.38)
и концентрация морфогена меняется по экспоненциальному
закону
v = ф(х)ехр(—\it)t (6.3.39)
впервые исследована и биологически интерпретирована
Дж. Г. М. Торнли. Поэтому нелокальную краевую задачу 6.3.2
будем называть задачей Торнли.
Из (6.3.38) следует, что функция (6.3.39) является решением
задачи 6.3.2 тогда и только тогда, когда функция ф = ф(х)
является регулярным в интервале 0<х</ решением уравнения
ф" — А,2ф=0, k=^/y~\i/a9 (6.3.40)
из класса С[0, /] f| С[0, /], удовлетворяющим условию
-aV(0) = S,/2, Ф(0) = ф(/). (6.3.41)
Если А,#=0, то единственное решение задачи (6.3.41) для
уравнения (6.3.40) задается формулой
271

При р=0 функция (6.3.42) характеризует морфогенное поле,
порожденное стационарным источником силы Si.
Пользуясь принципом экстремума (см. п. 6.3.1), можно
доказать следующую лемму.
Лемма 6.3.2. Пусть v — регулярное при 0<х</, 0<tf<7\
решение уравнения (6.3.34), непрерывное в Я = [0, /]Х[0, Т]
и удовлетворяющее условию
lim^ = 0, u(09t) = v(l9t)9 0</<7\
jr->--f-0
Тогда положительный максимум (отрицательный минимум)
функции v в Я достигается лишь в начальный момент времени.
Из леммы 6.3.2 вытекает, что задача Торнли не может иметь
более одного решения.
Замена u=vexp(yt) сводит задачу Торнли к следующей
нелокальной краевой задаче для уравнения диффузии Фурье:
щ = а2ихх, 0<х</. (6.3.43)
Задача 6.3.3. Найти регулярное в области Я решение
u=u(x/t) уравнения (6.3.43), непрерывное в Я и
удовлетворяющее начальному условию (6.3.37) и краевым условиям:
Ux(0, 0 = v(/), 11(0,0= 0(^0, 0<*<7\ (6.3.44)
где 2a2v(/) = exp(Y/)S0(/).
Преобразование х=х, y=a2t приводит (6.3.43) к (6.3.16).
Поэтому, не нарушая общности, можно считать, что а=1.
Функция
является функцией Грина смешанной краевой задачи
и,(0, t/) = v,(</), u(l9y) = *ty)> 0<(/<а2Г
для уравнения (6.3.16).
Из свойств этой функции с помощью схемы, приводящей
к представлению (6.3.27), убеждаемся, что любое решение
задачи 6.3.3 при а=1 является решением нагруженного
интегрального уравнения
t t
и(х, 0 + | и(/, T|)G6(*, /; I, n)dt| = | v(r\)G(x, t; 0, n)dT| +
+ |cp(£)G(*,/;£,0)d£. (6.3.45)
272

Отсюда, учитывая, что и(0, /) = н(/, /), находим
и(0, 0 + 5 "(0, л)О|(0, /; /, n)dT| = cl>(x)9 (6.3.46)
где
t i
Ф(х) = J v(T|)O(0, /; 0, Л)с1л + J <р(6)<?(0, /; £, 0)d£.
Уравнение (6.3.46) как уравнение Вольтерра второго рода
имеет, и притом единственное, решение и(0, /) = г|)0(/). Поэтому
единственное решение задачи 6.3.3 при а=1 задается формулой
(6.3.45), где и(/, т]) = г|)0(л).
Если допустить, что инициация примордиев происходит в тех
точках х=г6, где концентрация морфогена v меньше порогового
значения, то местонахождение следующего примордия можно
искать в точках положительного минимума решения v задачи
6.3.2 или же функции v=u(xt /)ехр(у/), где и(ху t) — решение
нагруженного уравнения Фурье:
/
а2а„=6'(/), 6(/) = -j-J /)dxt (6.3.47)
удовлетворяющее условиям (6.3.44) и начальному условию
6(0) = <р. (6.3.48)
Легко видеть, что любое решение уравнения (6.3.47),
подчиняющееся первому условию из (6.3.44), представимо в виде
и(х, t) = -^гв'(0 + *v(0 + "(°> 0- (6.3.49)
Произведя операцию интегрального усреднения обеих частей
равенства (6.3.49), находим
б(0 = -^-'2 + ^/ + «(0,0- (6.3.50)
С другой стороны, из (6.3.49) в силу условия (6.3.44) имеем
/6'(/) + 2a2v(*) = 0. (6.3.51)
Теперь ясно, что 6(/) и н(0, if) однозначно определяются из
(6.3.48), (6.3.51) и (6.3.50).
6.3.4. Необходимые нелокальные условия для уравнения Фурье
и сведение задачи Самарского к первой краевой задаче. Начнем
с доказательства справедливости следующего весьма важного
свойства всех регулярных решений уравнения Фурье (6.3.16).
Лемма 6.3.3. Пусть и(х, у) — регулярное в Q решение
уравнения (6.3.16); Qe = {(x, у): x\<x<x<i, е<(/<6} произвольным
18 Заказ № 1786
273

образом фиксированная подобласть области Q, Яес=Я. Тогда
для любой точки? (х, у) ^ Qe выполняется равенство
"(х, У) = \ и(1, г)Г(х9 у; £, e)d£- 2 (-l)'S [u(xi9 т|)Гв(лг, у\ xiy Л)-
х\ i= 1 е
— иБ(х4-, л)Г(*> У; xi9 л)] dr|, (6.3.52)
где Г — фундаментальное решение (6.3.15).
Справедливость этой леммы вытекает из (6.3.25), где v(x9 t/) =
= Г(£, г); х, у). Формула (6.3.52) выводится аналогично (6.3.23).
Функции
у
V(x, у) = \ ф\)Г(х, у; I, Ti)dTi, (6.3.53)
е
у
Щх, у) = 2\ ц(т))Г|(х,у; I, T|)d«i (6.3.54)
е
называются соответственно потенциалами простого и двойного
слоя , а функция р(т]) называется плотностью этих потенциалов.
Рассмотрим оператор который действует на функцию
n(i/)eL[e, 6] по формуле
едЮ-Л^-зЙ^ ^ d„. (6.3.55)
В силу (6.3.15) и обозначения (6.3.55) потенциалы (6.3.53) и
(6.3.54) можно переписать в виде
V(x, y) = RVy2>x-lVL(i\)> щх, У) = (х-1)яр-Х-Ыг1).
Покажем, что потенциал (6.3.54) с непрерывной плотностью
р, удовлетворяет следующим предельным соотношениям, если
слева или справа:
1Щ + 0,(/) = р((/), w(l-(Ky)=-vty). (6.3.56)
Считая х>£, введем вместо г\ новую переменную
интегрирования t по формуле 2^1 у—•r\t = x—it. Тогда получим
Отсюда при х-^1+0 находим
оо
Щ1+0, f/) = -^-5exp(-<2)d/=^(y).
2уя о
Аналогично доказывается и второе из равенств (6.3.56).
274

Далее легко видеть, что
V&, y) = RU2Mr\) = -TDry1/2n(r)). (6.3.57)
Пусть
Учитывая (6.3.56) и (6.3.57), из (6.3.52) при x-+Xj (/=1,2)
получим
±-и(хи У) = вд;уБ, г)-±ОчХ'2и£хи л) +
+ *2">*2, Л) + 'Х9~ХХЩ{Х2, л)> (6.3.58)
~-^(х2,(/)= ^;у6, г) +-LD7yl/2ul(x2, л) +
+ ^чр- til2'x-Xiu(xu л) - Ry2-X*-Xlut(xu Л)- (6.3.59)
Теперь можно сформулировать следующее утверждение.
Теорема 6.3.5. Пусть и(х9 у) — регулярное решение
уравнения (6.3.16), обладающее тем свойством, что и(х,1/)еС(й),
их(х, j/)eC(0<jc</, 0<г/<7"), Ux(Ot у) и Ux[l,y) принадлежат
L[0, Г]. Тогда функция и(х9 у) удовлетворяет нелокальным
условиям:
и(09 у) = 2N°o?u(t, 0) - Doyl/2ux(Ot л) + //?8£2'у/, л) + 2Rh/2>lux{l9 л),
(6.3.60)
и(19 у) = 2*(|, 0) + dov/2^/, л) +w "(0, л)-2/г^2^0, Л),
(6.3.61)
где Af°/0sAfl|f,
Равенства (6.3.60) и (6.3.61) соответственно получаются из
(6.3.58) и (6.3.59) при e->0(xi,x2)-40, О-
Теорема 6.3.5 позволяет свести задачу Самарского (3.2.14) —
(3.2.17) к первой краевой задаче для уравнения Фурье (3.2.14).
В самом деле, если jx(tf)eCl[09 Т]9 то условие (3.2.16)
приводит к (3.2.21). С другой стороны, из (6.3.60) и (6.3.61) после
их почленного сложения с учетом (3.2.15), (3.2.17) и (3.2.21)
имеем
u(l9 t)-lRlfy2A и(19 т|) = 2[^ + М/]ф(Б)-т(0 +
+ 2RU2M л) + Dot 1/2г(л) + //?о/2,/т( Л)- (6.3.62)
Относительно u(l, t) соотношение (6.3.62) представляет собой
интегральное уравнение Вольтерра второго рода. Оно имеет, и
18* 275

притом единственное, решение #(/, /), удовлетворяющее оценке
||и(/,/)||<стах{||<р||, ||т||, ||р'||}. (6.3.63)
Здесь с — некоторая положительная постоянная, которая не
зависит от входных данных ф(х)еС[0,/], т(*)^С[0, Г], p(tf)^
^С![0, Г], и || • ii означает норму в пространстве функций,
непрерывных на соответствующих сегментах.
После того как мы из (6.3.62) нашли u(l9 t), решение и(ху t)
задачи Самарского можно выписать явно как решение первой
краевой задачи для уравнения (3.2.14) в области Я. Это решение
в соответствии с принципом экстремума (см. теорему 6.3.1) и
неравенством (6.3.63) устойчиво в том смысле, что малым
вариациям ф(х), т(х) и p/(tf) соответствует малое изменение самого
решения и(х, t) (см. п. 6.3.2).
Рассмотрим теперь случай, когда /=оо, Я = {(*, у) :х>0,
0<(/<Г>.
Пусть существуют
lim№otu(l, 0) = Лгё£и(Б, 0), lim[//^2/a(/, y) + 2Rh^lux{ly Ч)] = 0.
(6.3.64)
Тогда из (6.3.60) при /->оо имеем
1/(0, у) + Doyl/2ux(0, Л) = 2Л&£и(6, 0). (6.3.65)
Равенства (6.3.64) имеют место, например, когда
и(хуу) = 0(егх), их(х,у) = 0(е>х) (х-* + оо), (6.3.66)
где е — постоянная, меньшая, чем 1/(4Г), 0^*/^7\
Условия (6.3.66) называются условиями Тихонова.
Имеет место следующая теорема.
Теорема 6.3.6. Пусть:
1) и(х, у) — регулярное в области Я решение уравнения
Фурье (6.3.16), удовлетворяющее условию (6.3.66);
2)' и(х, */)<ееС(0<х<оо, 0<у<Г), Ux(09y)*=L[0, Г], их(х,у)*=
€=С(0<х<оо, 0<(/<Г).
Тогда и(х9 у) — решение нагруженного интегрального
уравнения
и(х9 у) = [Щ\И - No~J'y]u(lt 0) + х1&рхф9 л), (6.3.67)
удовлетворяющее нелокальному краевому условию (6.3.65).
Уравнение (6.3.67) получается из (6.3.23), если в качестве
функции G(£, л; х9 у) взять функцию Щ, л; *> У) — Г(—g, л*> *.
/= оо, f(x9 у) = 0.
Из (6.3.61) в случае, когда существуют пределы и(оо,у)^
еС[0, 7], их(оо, t/)eL[0, Т] функций и(1,у), их(1, у) при /->оо,
нетрудно получить, что
"(оо, у) - 4м(оо, 0) = D£yl/2ux(oot л). (6.3.68)
276

С другой стороны, из (6.3.67) легко показать, что и(оо,у) =
= и(оо, 0). В самом деле,
оо
\imu(l,y)= \\тЩ1и(1,0)= lim—|=\ы(£, 0)Х
Xexp[^=f ]dE= ^Hm 0)ехр(-£)dz =
Учитывая это, можно предположить, что (6.3.68) получен как
предел при /-^оо следующего соотношения:
Doy,2uJil9 л) + Зи(/, (/) = 0. (6.3.69)
Равенство (6.3.69) в силу (1.5.40) запишется в виде
у) + 3D#2a(/, Л) = 0, 0<*/<Т. (6.3.70)
Первая краевая задача для уравнения Фурье в
неограниченной области Q состоит в отыскании функции и(х, у),
удовлетворяющей условиям теоремы 6.3.6 и краевым условиям
и(х,0) = ф), 0<*<оо, а(0, у) = Ъо(у)9 0<*/<7\
(6.3.71)
Единственное решение и(х9 у) задачи (6.3.16), (6.3.71)
определяется формулой (6.3.67), где и(1, 0) = ср(£), и(0, л) = 'Фо(л)-
При компьютерной реализации этой задачи за приближенное
значение и(х, у) при х <; /, где / — достаточно большое число,
можно принять (точное или приближенное) значение решения
и(ху у) = и(ху у; I) следующей нелокальной задачи.
Задача 6.3.4. Найти регулярное в области Q = {(xy у):
0<х</, 0<*/<Г} решение и(ху у) уравнения (6.3.16),
непрерывное в Q и удовлетворяющее краевым условиям (6.3.70) и
(6.3.71).
Обобщенная теорема Ферма (см. п. 1.5.9) и принцип
экстремума (см. п. 6.3.1) позволяют легко установить, что задача 6.3.4
не может иметь более одного решения. Условие (6.3.70)
означает, что функция u(xt у) при х=1 не может достигать ни
положительного максимума, ни отрицательного минимума.
6.3.5. Внутреннекраевая задача с нелокальным смещением
для системы уравнений половозрастной структуры популяции.
Рассмотрим двуполую популяцию в случае, когда процесс
размножения не лимитируется недостатком самцов, а значит,
коэффициент рождаемости &+ не зависит от численности особей
мужского пола.
277

Введем функцию u~*~(xt у) — плотность численности особей
женского пола возраста х в момент времени у, определенную
так, что численность особей возраста от х\ до хч в момент
времени у есть
?
) и+(х9 y)dx V*2>*i>0.
Х\
При интуитивно ясных предположениях динамику
половозрастной структуры популяций можно описать с помощью
уравнений
и+ + и+ + с+(х9 у)и+ = D+i/+ - f+(x, у)9 (6.3.72)
и7 + Uy + с~{х9 у)и~ = D~u7x — f"(x, у). (6.3.73)
Здесь и~ = #~(л:, */) — плотность самцов возраста х в момент
времени у (см. п. 6.1.1); с+(х9 у) и с~(х, у) — коэффициенты
естественной смертности самок и самцов соответственно;
правые части (6.3.72) и (6.3.73) характеризуют интенсивность
изъятия особей из популяции, D+ и D~ — положительные
постоянные.
К уравнениям (6.3.72), (6.3.73) присоединим уравнения
рождаемости
и+(0, у) = ( k+{x9 у)и+(х9 у)йх9 (6.3.74)
ц-(0, (/) = J </)"+(*> </)d*> (6.3:75)
а
где #*((), (/) — плотность новорожденных в момент времени у;
k~(x9 у) — коэффициент рождаемости; аир — начало и конец
репродуктивного периода.
В качестве дополнительных ограничений можно задавать
начальную половозрастную структуру популяции:
!*+(*, 0)=ф+(х), и'(х9 0)=ф-(х), 0<х</ (6.3.76)
и плотности обоих полов, достигших возраста / (например,
предельного) в момент времени у:
и+(19 у) = Ц+(у)9 и-(19 У) = Ц-{У)> 0<£/<7\ (6.3.77)
где Т — расчетное время.
Условие (6.3.75) превращает уравнения (6.3.72) и (6.3.73) в
систему двух нелокально связанных уравнений в частных
производных параболического типа.
278

Пусть / — предельный возраст особей; тогда естественно
неравенство 0<а<р</.
Теперь мы вправе утверждать, что динамику половозрастной
структуры популяции можно описать с помощью функции и(ху (/),
которая является решением следующей внутреннекраевой задачи
с нелокальным смещением.
Задача 6.3.5. Найти регулярное в области Q = {(x, у):
0<х</, 0<(/<Г} решение и = (и+, и~) системы (6.3.72) —
(6.3.73), непрерывное bQh удовлетворяющее условиям (6.3.74) —
(6.3.77).
Условие (6.3.74) представляет собой некий аналог условия
Бицадзе — Самарского (3.2.9).
Из естественно-биологического смысла ясно, что с±^0.
Методом функции Грина для уравнения (6.3.72) и при
определенных предположениях относительно заданных функций c±i
f±1 ft*, cp* и гр* можно доказать, что задача 6.3.5 имеет
единственное решение, если соблюдены следующие биологически
корректные условия:
ф+(0)=5*+(л:, 0)q>+(x)dx9 ф"(0)= {k~(xy 0)<p~(x)dx.
а а
§ 6.4. МОДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО
И СМЕШАННОГО ТИПОВ УРАВНЕНИЙ
6.4.1. Принцип экстремума для эллиптического уравнения;
единственность решения задачи Дирихле и задачи Бицадзе —
Самарского. Стационарные модели биологических систем, как
правило, описываются уравнениями эллиптического типа. В
теории этих уравнений важную роль играет следующий принцип.
Принцип экстремума. Если
c(x)<0 V*€=Q> (6.4.1)
то регулярное в области £1 решение и(х) эллиптического
уравнения
ai}{x)uXiXj + b'\x)uXj + с(х)и = 0 (6.4.2)
с непрерывными в Q коэффициентами и с положительной
характеристической формой (2.2.3) ни в одной точке хей не может
достигать ни положительного локального максимума, ни
отрицательного локального минимума.
Этот принцип — следствие теоремы 6.3.2.
Стационарный вариант теоремы 6.3.1 известен как принцип
Хопфа (или принцип экстремума в его сильной форме). Этот
принцип, в частности, означает:
1) если а1\х)иХ1Х]^ О в £1 и функция и достигает своего
максимума во внутренней точке то и постоянна;
279

2) если с(х) < 0, Ltt^O, где Lu — левая часть (6.4.2), и
функция и достигает своего положительного максимума во внутренней
точке Q, то и постоянна.
Из принципа Хопфа вытекает, что если с(х) ^ 0 и форма
Q(x, 1) = alj(x)lili положительна, то задача Дирихле (3.1.3) для
(скалярного) уравнения (6.4.2) или (3.1.1) в ограниченной
области QaRn не имеет более одного решения и(х). Этот факт
имеет место и для задачи Бицадзе — Самарского (см. п. 3.2.3).
Нарушение условия (6.4.1) может привести к не
единственности решения задачи Дирихле. Например, функция tf(xi,x2) =
= sin(mxi)-sin(m*2), m= 1, 2, является решением однородной
задачи для уравнения &хи + 2т2и = 0, х=(х\, х2), в области
Я = {х:0<х<<л, /=1, 2}.
6.4.2. Априорная оценка для задачи Бицадзе—Самарского.
Пусть d — диаметр области Q, где рассматривается задача
Бицадзе— Самарского. Будем считать, что Я лежит в полосе
Через ИфН обозначим максимум непрерывной на компакте
KczRn функции г|) = \|)(х). Ниже роль К будет играть замыкание
области определения той или иной функции г|р.
Предполагается, что (3.1.1) является скалярным
эллиптическим в Я уравнением с непрерывными в Я коэффициентами и
правой частью f.
Перепишем уравнение (3.1.1) в виде
Lu = f(x)y xgQ. (6.4.3)
Задача Бицадзе — Самарского состоит в отысканиирегуляр-
ного в Я решения уравнения (6.4.3), непрерывного в Я и
удовлетворяющего условиям (см. п. 3.2.3):
и(х) = ф(х) V*^<*2, и[6(х)] = и(х) V*^<*b (6.4.4)
где (j2=a\ai, Q(x)^Q[)o2, ф)еС(а2).
Теорема 6.4.1. Пусть
с{х)<0; а1 \х) >k0 = const > 0, (6.4.5)
и(х) — решение задачи Бицадзе—Самарского (6.4.3). (6.4.4).
Тогда
1М1<11ф11 + [ехр(аЛ)--1] (6.4.6)
где а — положительный корень уравнения
Лосх2— llftMlcx— 1 =0. (6.4.7)
Действительно, рассмотрим функцию v=u — Л, где Л =
= ИфИ + gll/IL ё = exp(ocd) — exp(axi). В полосе функция g
такова, что
0<g<da=exp(ctd) — 1, Lg = — (aua2 — &'a)exp(ax,) + eg.
280

Отсюда с учетом (6.4.5) имеем Lg < — (k0a2 + 61a)exp(cxxi <
^koa2+\\b[\\a. Это вместе с (6.4.7) приводит к неравенству
Lg<—1. Значит, Lh=\\f\\Lg + c\\ip\\^—\\f\\. Теперь легко
видеть, что Lv = Lu — Lh = / — Lh ^ /+ iiл1 и функция v
удовлетворяет неравенствам
Lv^Oy jkeeQ, i>|a2<0. (6.4.8)
Так как c<|0, то из (6.4.8) на основании принципа Хопфа и
(6.4.4) заключаем, что v(x)^0 в Q, т. е. u(x)^h(x) в О.
Аналогично можно показать, что и(х)^ — h(x) в Q. Поэтому
н*)1<й(*х 11фн+<и/11, откуда следует (6.4.6).
Из априорной оценки (6.4.6) вытекает устойчивость решения
задачи Бицадзе — Самарского и его единственность.
Если не предполагать, что с^О, то в общем случае уже
нельзя утверждать, что задача Бицадзе — Самарского имеет
единственное решение. Например, функция и(ху у) = sin(mx)X
Xs'm(my)y m=l, 2, в области Q = {(ху у) : \х\ < 1, 0<*/<1}
является решением однородной задачи Бицадзе — Самарского:
(/(-1, у) = и(Оу у)у и(1у у) = 0у 0<*/<1; и(ху 0) = 0, и(ху 1) = 0,
1 для уравнения
ихх + иуу -f 2т2и = 0.
Тем не менее можно доказать следующую теорему.
Теорема 6.4.2. Пусть соблюдены все условия теоремы
6.4.1, за исключением условия с^О, которое заменяется уело-
вием c^k, где k — некоторое положительное число, меньшее,
чем l/da. Тогда
(1-^а)11"1к11ф11+^а11л1. (6.4.9)
В самом деле, положим 2с+ = с + М, 2с~ = с—-\с\ и заметим,
что функцию и можно рассматривать как решение задачи
Бицадзе— Самарского (6.4.4) для уравнения
ац(х)иХ1Х, + b\x)uxi + с~(х)и = /+(х),
где f+ = f — c+u. Так как с~<0 и 0<с+<£, то ||/+||< llfll +
+ &||«Ц. С другой стороны, оценка (6.4.6) означает, что ||и||^
<11ф11 +dall/+ll. Соединение этих неравенств приводит к (6.4.9).
Такая же теорема единственности и устойчивости решения
задачи в малом, т. е. для областей с достаточно малым
диаметром dy справедлива и в случае задачи Дирихле для уравнения
(6.4.3). В 1948 г. А. В. Бицадзе обратил внимание на то, что
этот факт может не иметь места для эллиптических системной
доказал, что для любого е>0 функция u(z) = [е2 — (г — Zo)(z —
— гоЯф(г), где ф(г) — произвольная аналитическая в круге Q =
= {z : |z —-Zol<e} функция комплексной переменной z из класса
С(й), является регулярным в области Q решением эллиптической
системы (2.3.11) и обращается в нуль на границе a:|z —-zol = e.
281

6.4.3. Принцип экстремума для уравнения смешанного типа
и единственность решения задачи Трикоми. Пусть u[z] —
решение задачи Трикоми (3.1.14) для уравнения (3.1.13) в области
Qm (см. п. 3.1.3). Предположим, что u[z] является обобщенным
решением уравнения (3.1.13) в области Qm в смысле определения
5.4.1. Тогда из (5.4.15) при получаем
"№)] =-^-xl-2Wt^u[t]-
--^f-(2-4p)2'i-1Z)g71r4[^]-
Отсюда при \р(у) = 0 или, что то же самое, при u[Qq(x)]=0
находим (см. п. 5.4.3)
ЯВГ'ГЧМ = PoPi*1"2^^-1^']- (6.4.10)
Из (6.4.10) и теоремы 1.5.4 имеем соотношение
и*[*] = РоР|ЯАг2Ч*], (6.4.11)
которое можно было бы получить и из (5.4.21), (5.4.24).
Теперь можно сформулировать теорему, известную как
принцип экстремума Бицадзе.
Теорема J>.4.3. Пусть u[z]—решение уравнения (3.1.13)
из класса C(Qm)(]Cl(Qm), которое в области Qt = Qm\Qm
является регулярным, а в области Qm — обобщенным в смысле
определения 5.4.1. Тогда если u(z) = 0\/-z^ACm, то
положительный максимум (отрицательный минимум) функции u[z] в Qm
достигается на от.
Так как к уравнению (3.1.13) в области Qt можно применить
принцип Хопфа, то достаточно доказать, что точка х^]0, /[
не может быть точкой положительного максимума.
Действительно, если бы х была точкой положительного максимума функции
u[z] на компакте Q%, то из (6.4.11) и аналога теоремы Ферма
(см. п. 1.5.9) при тфО мы имели бы неравенство иу[х]>0
V*^]0> 1[- Но этого быть не может, поскольку ^С0.
Особо рассмотрим случай т = 0. По определению, функция
u[z] удовлетворяет нагруженному уравнению
и[г] = „[х + Л + Чх-у] +^Уиу[Ж
х~у (6.4.12)
и обладает тем свойством, что и[х]^С[0, /] и иу[х] ^L[0> /].
Из (6.4.12), учитывая, что u[Qo(x)] = и(х/2, — х/2) = 0, находим
X
"М — |«*[S]<U = 0=>и'[х] = иу[х]. (6.4.13)
282

В точке х€=]0, /[ положительного максимума функции u[z] на
компакте Qm имеет место необходимое условие экстремума:
и'[х\ = 0. Следовательно, в этой точке, согласно (6.4.13), имеем
равенство иу[х] = 0, которое противоречит следующему
принципу.
Лемма 6.4.1. Пусть u(z) — нетривиальное и регулярное в
круге |z — z0|<r решение уравнения Лапласа, непрерывное в
замкнутом круге \z—-Zol^r. Если функция u[z] в точке £,
лежащей на окружности \z — z0\ = г, принимает свое экстремальное
значение, то в этой точке производная по направлению внешней
нормали (когда она существует) положительна в случае
положительного максимума и отрицательна в случае отрицательного
минимума.
Приведем доказательство этого факта, который легко
обобщается на уравнении Lu = 0 эллиптического типа с с(х)^.0
и известен как принцип Заремба — Жиро. Для этого в области
D = {z : г/2<|г—-z0|<r} рассмотрим функцию
v[z] = u[z] — u[l] — ew[z], с = const>0,
где £— точка минимума, w[z] == In г —- ln|z —-z0|— решение
уравнения Лапласа из класса C2(D). Если е достаточно мало,
то функция v[z] является неотрицательной на границе dD
области D. Действительно, на окружности \z—-z0\ = r имеем w\z] = 0,
v[z] = u[z] — u[l] ^0 и в силу принципа Хопфа u[z] —- и[1] ^0
в круге |z —-z0|^r, а значит, u[z] —u[l]*^ii = const>0 на
окружности 2|z —- z0| = г. Поэтому v[z]^ р, —- ew[z] = \i —- eln 2>0
для всех z, лежащих на окружности 2|z—-z0| = r, и достаточно
малых е. Так как v[z] — регулярное в D и непрерывное в D
решение уравнения Лапласа, то, согласно принципу Хопфа, v[z]
для любого zeD не меньше своего минимального значения
на dD. Но этот минимум равен нулю. Следовательно, v[z]^0
в D и а[£]=0. Поэтому производная dv/dpy где p=|z — Zol,
в точке | неположительна, а это означает, что в этой точке
ди/др + е/р^0. Значит, ди/др<.0у что и требовалось доказать.
Аналогично решается вопрос и в случае максимума.
Принцип экстремума Бицадзе остается в силе и для
уравнения вида (3.1.18) в смешанной области Q, коэффициенты
которого в области Qm (см. п. 5.5.2) удовлетворяют условию Агмона —
Ниренберга — Проттера (см. также теорему 5.5.2), а в области
Qm = Q\Qm — условию с(ху у)^0.
Как и в случае задачи Дирихле или Бицадзе—Самарского,
из принципа экстремума по идентичной схеме можно убедиться
в единственности и устойчивости решения задачи Трикоми в тех
же нормах, что и в п. 6.4.2.
6.4.4. Критерий единственности решения задачи Дирихле
для уравнения смешанного типа в цилиндрической области.
283

Пусть D — ограниченная область евклидова пространства Rn
точек х с кусочно-гладкой границей а; Jab— интервал a<Ly<b-
Qab = DXJab — цилиндрическая область в пространстве
точек (х, у)\ Sab — граница &аь.
В области Яар, а<0, рассмотрим уравнение смешанного
типа
Та s k(y)[aij(x)ux]X] - иуу + c(x)k(y)u = 0, (6.4.14)
где
k(y)^Cl(Ja0)(]Cl(To^ а"(*). фг)е=С(5); (6.4.15)
yk(y)>0 Yy=£0; k'(y)^0 Vy>0; ф:)<0, (6.4.16)
аи(хЫ)>Ш2 V*e=D, t<=Rn, 60 = const>0. (6.4.17)
Задача 6.4.1. Найти регулярное в области_ Яар при уФО
решение и(х, у) уравнения (6.4.14) из класса C!(Qap),
удовлетворяющее условию
u(xt у) = фу у) Y(x,y)€=Safi. (6.4.18)
Справедливо следующее утверждение.
Теорема 6.4.4. Если Sap, о!\х) и с(х) обладают теми же
свойствами, что и система собственных функций {vm(x)},
соответствующих собственным значениям кт однородной задачи
Дирихле:
[a%x)vx]Xj + [c(x) + k]v = Oy *€=D, v\o = 0 (6.4.19)
полна в пространстве L2(D) и vm(x)^C\D)[\C\D)y m=l, 2,
то задача 6.4.1 имеет не более одного решения тогда и только
тогда, когда
о)т(р)=^0 ут, (6.4.20)
где (йт(у) — решение уравнения
^ + lmk(y)(Om = 0 (6.4.21)
из класса C\7afi), удовлетворяющее условию (от(а) = 0.
Действительно, функция w(xt у) = vm(x)idm{y) для любого m
представляет собой решение уравнения (6.4.14) из класса
C^QafOfl C2(QaoU&op), обращающееся в нуль на £>U(orX/ap).
Учитывая это, а также (6.4.15), (6.4.18) при ф = 0, из формулы
Грина для самосопряженного дифференциального оператора Т
+ \ ^(wTu — uTw)AxAy =
[kalj(wuXi — uwx)vj — (wuy — uwy)vo]dSy
284

где V/, /=1, 2, пу vo — направляющие косинусы внешней
нормали к Sap, dS — элемент поверхности, легко видеть, что
\ w(xy $)иу(ху p)dx = (om(p)$ vm(x)uy(xy p)dx = 0.
D D
Отсюда на основании леммы Лагранжа (см. п. 1.4.6) имеем
иу(ху р) = 0. Далее, для любого А^О справедливо равенство
2 \ UyTudxdy = 2 \ kalj\jUydS — \ (kaijuXiuXj + и2у —
&Ав Shu
— cfttf2)v0dS + J k'(y)(aijUxiUxi — cu2)dxdyy
из которого с учетом того, что и = иу = 0 на S/» = S/,p\[S/,pf|
П(*/ = Л)], заключаем
\ k\y){al]uXiuX] — cu2)dxdy + ] (kai]uXiuX] + и2у — cku2)dS = 0.
йлр 5лРП(</=Л)
Это равенство вместе с условиями (6.4.16) и (6.4.17) означает,
что и = 0 в йор. Поэтому и = 0 на Sao и, следовательно, согласно
принципу Хопфа, и = 0 в Qao-
Пусть теперь условие (6.4.20) нарушено хотя бы для одного
т = /. Тогда функция и(ху у) = Vi(x)(x)i(y) является нетривиальным
решением задачи 6.4.1 при ф=е=0.
Для уравнения Лаврентьева — Бицадзе
signy-uxx — иуу = 0у x = xly (6.4.22)
когда D есть интервал 0<jc<1, как нетрудно убедиться из
(6.4.19) и (6.4.21), кт= п2т2у а
, v , ч f ch nmasin пту — sh nmacos птуу у>0;
(om(£/)exp( —лта) = { ч
I sh лт(у — а), */<0.
Поэтому условие (6.4.20) эквивалентно неравенству
ch nmasin лтр sh nmacos лтр \/т = \ у 2, ...
В заключение обратим внимание на следующий весьма
простой, но вместе с тем интересный факт. Пусть £2+ — область
нижней полуплоскости у < 0 плоскости R2 с декартовыми
ортогональными координатами ху уу граница которой содержит
интервал D:0<jc<1 прямой у = 0; Q~ = DX Joi — квадрат 0<х,
У<\ \ £2 = Q+U^U^~- Предположим, что £2+ такова, что задача
Дирихле для уравнения (6.4.22) в области £2+ однозначно
разрешима. Тогда на основании теоремы о среднем значении для
одномерного волнового уравнения (см. п. 4.3.1) заключаем, что
для уравнения (6.4.22) в (смешанной) области Q задача
Дирихле имеет, и притом единственное, решение иеС(0)ПС'(й).
285

Аналогичный факт имеет место и для модельного уравнения
смешанного гиперболо-параболического типа
0=| с2цхх~иуу^ 0<х<х0 (c = const>0)
I puxx — Uy, х0<х<1 (P = const>0) (6 4 23)
в области Я = {(ху у): 0<х</, 0<*/<х0}. Корректно поставлена
следующая задача.
Задача 6.4.2. Найти регулярное в области Я при хфх0у
хфсуу х-\-суФх0 решение и(ху у) уравнения (6.4.23) из класса
С(Я)ПС1(Я), удовлетворяющее краевым условиям: и(ху 0) = т(х),
0<х</; и(ху х0) = ф(х), 0<x<x0; и(0, у) = <p0(j/), у) = q>i(y),
Q^y^Xo, где т, ф, ф0 и ф!—заданные достаточно гладкие
функции.
Решение и(ху у) задачи 6.4.2 может допускать различные
биологические интерпретации (см. п. 4.2.1, а также уравнения
(2.9.64), (2.9.66) и уравнение Фишера (2.9.72) с р,«0).
6.4.5. Демонстрация метода интегральных уравнений на
примере модельной смешанной задачи. Рассмотрим уравнение
0 = 1 Uxx~~uyy> *<0>
I ихх — иуу х>0 (6.4.24)
в односвязной области Я, ограниченной характеристиками
АС:х + у = 0у BC\y — x=T>Q и полупрямыми ЛЛ*,: у = 0у
х> 0, ВВоо :у=Т, х>0.
Уравнение (6.4.24) является простой моделью уравнений
смешанного (гиперболо-параболического) типа; оно параболично в
полуполосе Я+ = {(ху у):х>0у 0<Су<Т} и гиперболично в
треугольнике Я- = Я\Я+. Все точки границы дЯ, за
исключением бесконечно удаленной, являются характеристическими.
Задача 6.4.3. Найти регулярное в Я+U^- решение и(ху у)
уравнения (6.4.24) из класса С (Я), которое непрерывно в Я
всюду, за исключением, быть может, бесконечно удаленной
точки, где оно подчинено условию Тихонова (6.3.66), обладает
тем свойством, что их(0у y)^L[0y Т]у удовлетворяет (6.3.29) и
одному из следующих условий:
и(-у/2у у/2) = фоО/), 0<*/< ТУ (6.4.25)
^U(^TL^ ^TiL) = ^)> 0<У<Т. (6.4.26)
Предполагается, что ф(х)^С(0^х<оо) и удовлетворяет
условию (6.3.66), фоО/)€=С[0, Г]ПС2]0, Т[у ф,(!,)еС[0, 7]П
ПС']0, Т[, ф(0) = ф0(0).
Метод интегральных уравнений реализуется так.
1°. Пусть существует решение и(ху у) задачи 6.4.3 и т(у) =
= и(0у у), \(у) = их(0у у). Тогда функции т(у) и v(y) должны удов-
286

летворять необходимым нелокальным условиям, принесенным на
отрезок АВ линии изменения типа уравнения (6.4.24) как из
области Q+, так и из области Эти условия Ф. Трикоми
назвал фундаментальными соотношениями (между т и v).
В силу (6.3.29), (6.3.65) фундаментальное соотношение
между т и v, принесенное на АВ из Q+, имеет вид
<у) + OoV/2v(ri) = 2МЙфф. (6.4.27)
В области Q~ функция и(х, у) представима в виде
и(х, у) = Чу+ *) + *»-*) + V(0d/. (6.4.28)
у-х
Поэтому
2и (- f ■ ¥) = ч<°)+т^ ~ Di*v('); (6А29)
2t/(^, ^L) =t(T) + t(y)-Drylv(t). (6.4.30)
Из (6.4.29) и (6.4.30), согласно (6.4.25) и (6.4.26), имеем
т(у) = Do-ylv(t) + 2ф0(») - ф(0), 0<*/<Г; (6.4.31)
Лу) + Чу) + Шу)> <о) = ф(0), о<у<т. (6.4.32)
Условие (6.4.32) можно переписать в виде
т(у) = - Do-ylv(t) + 2D0-,4,(0 + Ф(0). (6.4.33)
Здесь завершается первый этап метода, позволивший свести
решение смешанной задачи в двумерной области Q к системам
(6.4.27), (6.4.31) или (6.4.27), (6.4.33) интегральных уравнений
на одномерном многообразии изменения типа уравнения.
2°. Подставляя значения т(у) из (6.4.31) и (6.4.27), находим
интегральное уравнение для v(y):
Dojv(t) + Do~yl/2v(t) = 2УУ0°ЭД - щу) + ф(0) ~ \i(y)-
(6.4.34)
Чтобы осуществить эквивалентное сведение полученного
интегрального уравнения первого рода к интегральному уравнению
второго рода, надо предварительно изучить свойства его правой
части \х(у).
По определению,
2^cp(|) = 7U^(|)exp(-|-)d| =
оо
= <р(^)ехр(- t2/4)dt. (6.4.35)
287

Условие (6.4.25) можно заменить существенно более общим
условием вида
и (-^-, f) = aD^FtU ихШ)) + My), (6.4.38)
где F(y, z) — достаточно гладкая функция своих аргументов
*/е[0, Т], г^] —оо, оо[, a=const. В такой постановке задачи
соответствующее уравнение для v(y) имеет вид
v(y) + D0-yW2v(t) = aF(y, v(y)) + f(y). (6.4.39)
Принцип обобщенного сжатия, теорема Брауэра и принцип
Шаудера (см. п. 1.2.4, 1.2.5) поаволяют выделить широкий
класс функций F(y, г), для которых нелинейное интегральное
уравнение Вольтерра имеет решение v(y), принадлежащее
некоторым банаховым пространствам, например пространству
функций v(y)^C]0, Т] с конечной нормой ||v||, равной максимуму
функции \-y/yv(y)\ на сегменте [О, Г].
Пусть aF(y, z) = z. Тогда условие (6.4.38) можно переписать
в виде
а уравнение (6.4.39) переходит в уравнение Абеля:
Do-;/2v(/) = /(f/). (6.4.40)
Единственное решение v(y) уравнения (6.4.40) в силу теоремы
1.5.4 определяется формулой
v(y) = Dtff(t).
6.4.6. Аналитическая справка об основных методах решения
краевых и внутреннекраевых задач. Исторически одним из
первых методов является метод Фурье (или метод разделения пере-
менных), который позволяет строить решение и=и(х,у) ряда
задач для уравнений в частных производных, представимых в
виде
Lxu= Lyu, *€=/?", */€=/?m,
где Lx и Ly — дифференциальные операторы, зависящие только
от х и у соответственно.
Сущность этого метода состоит в том, что решение и(ху у)
той или иной задачи рассматривают как элемент некоторого
гильбертова пространства Н и его ищут в виде ряда Фурье
(см. п. 1.1.4)
оо
u(x, у) = 2 CiUi(x, у)у
i = 1
19 Заказ №1786
289

Поэтому если Doy2\po{r]) и ОЦ2ф-\/г\) для любого параметра
t^O принадлежат классу С*]0, Т[f\L[Oy Г], то к обеим частям
(6.4.34) можно применить обратимую операцию дробного
дифференцирования порядка 1/2 с началом в точке 0 и с концом в
точке у^]0у Т[. В результате получим
DtfDwit) + v(y) = f(y) шш DoiMt).
Следовательно (см. п. 1.5.6),
v(y) + Doyl/2v(t) = f(y). (6.4.36)
3°. Этот этап состоит в доказательстве существования
решения интегрального уравнения (6.4.36) и в исследовании его
свойств. Начнем с вычисления предела (если он существует) f(y)
при у-+0. Из (6.4.35) видно, что
оо
И(0) = Л|ехр(-/2/4)с1/ - ^(0) = 4ср(0) - ф0(0) = 3<р(0).
Поэтому f(y) при £/-►(), вообще говоря, обращается в
бесконечность порядка 1/2. Если у(х)<=с\0у оо[? \р0(у)^С1[0у Г], то
по теореме Летникова [см. формулу (1.5.3)]
л/^уКу) = ^(0) + V^s1 VOi).
откуда
И™ = 3Ф(0)/7я. (6.4.37)
Так как (6.4.36) является уравнением Вольтерра второго
рода, то на основании (6.4.37) мы приходим к следующей теореме
существования решения
Теорема 6.4.5. Пусть ф)€=С1[0у оо[, ф0(*/)€= С^О, Г]Л
f]C2]0, Т[у ф(0) = tf>o(0). Тогда задана 6.4.3 имеет, притом
единственное, решение и(ху у), которое принадлежит Cl(Q~) тогда и
только тогда, когда ф(0) = 0.
В самом деле, условия теоремы гарантируют существование
единственного решения v(y) интегрального уравнения Вольтерра
второго рода (6.4.36) и тот факт, что v(i/)eC[0, Т] тогда и
только тогда, когда ф(0) = 0. После того как однозначно определена
функция v(y)y а значит, и т(у)у смешанная задача 6.4.3
распадается на две задачи: на задачу Коши (или Дарбу, см. гл. 5) для
гиперболического в области q- уравнения и на смешанную или
первую краевую задачу для уравнения параболического типа в
области q+.
Задача 6.4.3 в случае (6.4.26) исследуется аналогично.
Если (6.4.26) заменить условием и([у—• Т]/2У [*/ + Г]/2) =
= ^i(*/)> Ту то задача может стать переопределенной.
288

где щ■ = Xi(x)Yi(y) — собственные функции соответствующей
задачи, a ci — коэффициенты Фурье элемента и.
К методу Фурье тесно примыкает метод интегральных
преобразований, в особенности преобразование Фурье.
Пусть ф) — элемент пространства основных функций (см.
п. 5.2.3). Функция
fax) = {2п)~п/2\ фШе-^dg, (6.4.41)
/г
где *| = (ху £) — скалярное произведение в Rny называется
преобразованием Фурье функции ф(х). Формула (6.4.41) сохраняется
и для множества Sn всех функций ф^С00(/?п) таких, что
полунормы (см. п. 1.3.2)
Р(ф) = sup|jcpDXjc)|<oo (6.4.42)
X
для любых мультииндексов аир. Преобразование Фурье ф->-ф
отображает топологическое пространство Sn, где топология
задается полунормами (6.4.42), в S„.
Важность топологического пространства Sn основывается
еще и на том, что в этом рространстве справедлива формула
обратного преобразования Фурье:
ф) = (2я)-я5 faQe^dl (6.4.43)
Rn
и для любой функции ф^5п и любого мультииндекса а
й«ф) = хаф)у D^(x) = xfax). (6.4.44)
В основе метода интегрального преобразования Фурье лежит
переход с помощью (6.4.44) от искомого решения и к его
преобразованию Фурье по определенной (или по всей) совокупности
зависимых переменных. Продемонстрируем этот метод на
примере следующей задачи Бицадзе — Самарского (см. п. 3.2.3).
Задача 6.4.4. В области Я = {(ху у) : x<=Rny 0<*/< 1}
найти регулярное решение и = и(ху у) уравнения Лапласа
Ьхи + иуу=0, (6.4.45)
которое удовлетворяет условиям:
u(xyy)s=C(RnX[0, l])nS„ V</€=[0, 1], (6.4.46)
и(ху 0) = и{х, е), и(ху 1) = ф) Vx^R\ (6.4.47)
где е — заданное число, меньшее 1, ф) — заданная функция из
Sn.
Пусть и = й(ху у) — преобразование Фурье искомого решения
и(ху у) задачи 6.4.4. Существование такого преобразования га-
290

рантируется условием (6.4.46). Тогда из (6.4.45) и (6.4.47) в
силу (6.4.44) заключаем, что
й"+|*12и = 0, 0<(/<1, (й"^йуу(х9у))9 (6.4.48)
й(х, 0) = u(jc, е), й(х, 1) = $(*). (6.4.49)
На основании общего представления и = А(х)ъ\ъ\х\у + B(#)cos|*|(/
всех решений уравнения (6.4.48) и условий (6.4.49) нетрудно
заключить, что и = ф(0) при |х| = 0 и
#) = $(*)[sin(|%)sin(eM/2) +
+ cos(U|(/)cos(ek|/2)] X cos-'fl*! -e|*|/2) (6.4.50)
при (2 —е)М=И=я + 2/я, / = 0, 1, ...
Допустим, что при п = 1 функция ф(*) обращается в нуль,
когда |л:|-^(я + 2л/)/(2 — е). Тогда из (6.4.50) обратным
преобразованием Фурье найдем единственное решение задачи 6.4.4.
Следующий метод — это метод параметрикса. Суть этого
метода, позволяющего привлекать к исследованию краевых и
внутреннекраевых задач аппарат интегральных уравнений,
можно пояснить на примере равномерно-эллиптического уравнения
(6.4.2), заданного в области Q. Пусть
п
р(х>У)= 2 aii{x){Xi-yi){xi — yi)>
«•./«=!
где функции ciik представляют собой отношения алгебраических
дополнений элементов а1] матрицы ||а''|| к det||a';|| = а(х)>0.
Параметриксом (или функцией Леей) называется функция
Е(х, у) =
1 г / Л-.1-Л/2
(п — 2)юпл1а(у)
1пр(*, у)у п = 2,
2лУа(*/)
где со,, = 2яп/2/Г(п/2) — площадь поверхности единичной сферы
\х\ = 1. Основное содержание метода параметрикса заключается
в том, что решение задачи для уравнения (6.4.2) в области Q
ищется в виде
и(х) = v(x) + j, y)v(y)dy9
где v(x) — произвольная функция из определенного класса, а
\i(y) — неизвестная плотность.
Развитием метода параметрикса являются методы теории
функции комплексного переменного, которые успешно
применяются при исследовании эллиптических уравнений с двумя
независимыми переменными. В основе этих методов лежит
представление решений через аналитические функции комплексного
19*
291

(U, V)m=\ 2 DauDaV<\x, \\u\\m= V(". ")m •
При m = 0 имеем fl^=L2(Q). В случае, когда m = — 1, —2,
||ы||т = SUpJ(t/, о)о/1М1т].
Пространство fl?" с отрицательным индексом m иногда называют
негативным пространством Лакса.
В я-мерной области D рассмотрим линейный
дифференциальный оператор L : u-+Lu =_ali(x)uXiXj -f- Ь'(х)иХ1 + с(х)и с достаточно
гладкими в замыкании D коэффициентами. Пусть Q — строго
внутренняя подобласть области D. Справедлива следующая,
довольно тонкая теорема о характере гладкости решения
эллиптических уравнений второго порядка.
Теорема 6.4.6. Если для некоторого m и любой функции
a€=Co°(Q) имеет место априорная оценка
IMIm+2<c0||LH||m,
где с0 — не зависящая от и положительная постоянная, то
оператор L в области Q является эллиптическим.
Остановимся теперь на методе уравнений Фишера — Рисса
(методе Пиконе) решения задач на примере задачи Дирихле
(6.4.52) для уравнения (3.4.1).
Из формулы Грина (3.4.4) для оператора L имеем
(и, L*v)0 = (vy /)0 + \ [q>(y)(vv* — va-v) — vuv*]do.
(6.4.53)
Пусть L2(Q, a) — гильбертово пространство всех векторов U =
= (tti, и2) со скалярным произведением
(Uy V) = \ u\Vidx + J u2v2do
Q а
и нормой \\U\\ = ^J(Uy U). Пусть система функций {vk} выбрана
так, что система векторов Vk = (L*Vk(x)y Vk(y)), x^Qy y^o полна
в L2(Q, a). Тогда, обозначив через U = (u\y и2) вектор с первой
компонентой и\ =s и и второй u2 = uv*y равенство (6.4.53) можно
записать в виде системы интегральных уравнений Фишера —
Рисса:
(£/, Vk) = \q(y)(vkv* — vka-v)do = cky Л=1, 2, ...
(6.4.54)
Если система {Vk} ортонормирована и последовательность чисел
cky k=\y 2, такова, что 2 с*< °° (т- е- если выполняются
б> 1
293

переменного. Например, любое решение и(ху у) уравнения
Лапласа (3.2.7) в области Q представимо в виде и(х, y)=Ref(z)y
где f(z) — аналитическая в области Q функция комплексного
переменного z— х + iy(см. п. 3.4.3).
Другим весьма важным методом решения краевых задач при
помощи сведения их (когда это возможно) к соответствующим
образом подобранным задачам на отыскание минимума или
максимума некоторого функционала является вариационный метод.
Одним из простых и типичных примеров использования
вариационного метода является решение задачи Дирихле
для самосопряженного равномерно-эллиптического уравнения
с положительной в Q характеристической формой Q(xy £).
Предполагается, что заданные функции ф(*), alj(x) и с(х) непрерывны
в Q, a Q — область с кусочно-гладкой границей а. В этом случае
вариационный метод решения задачи (6.4.51), (6.4.52) состоит в
отыскании функции и(х)у для которой функционал
принимает наименьшее значение в классе допустимых функций,
т. е. таких функций и(х)у для которых f(u)<Соо, и выполняется
условие (6.4.51).
Уравнение f'(u) = О, где под производной понимается
производная по Гато или Фреше (см. п. 1.2.3), называется уравнением
Эйлера для функционала f(u). Легко проверить, что это
уравнение совпадает с (6.4.52).
Вариационные методы стимулировали появление
функциональных методов решения краевых задач. Это методы,
основанные на рассмотрении дифференциального оператора L в
уравнении Lu = f как оператора, действующего в соответствующим
образом определенном функциональном пространстве. Среди
функциональных методов центральное место занимает метод
Шаудера и его дальнейшее развитие — метод априорных оценок.
Этот метод был реализован в п. 3.4.4 и 3.4.5 при доказательстве
слабого решения задачи Дирихле.
В функциональных методах решения внутреннекраевых задач
заметную роль играет пространство Соболева W$ = WfiQ), где
m — целое число. При m = 1, 2, ... — это банахово
пространство, состоящее из всех элементов «gL2(Q), имеющих
обобщенные производные DauEL2(fi) всех видов до порядка m
включительно (см. определение 3.4.2). Скалярное произведение и норма
в W'i' определяются по формулам
и(х) = ф(*) \/-х^о= dQ
(6.4.51)
[aij(x)ux]Xj + c(x)u = Oy фс)<0, *e=Q
(6.4.52)
292

условия теоремы Рисса — Фишера из теории рядов Фурье), то
система (6.4.54) определит в L (Q, а) коэффициенты Фурье Ck
вектора U относительно полной системы базисных векторов
{Vk}< Поэтому если задача Дирихле (6.4.52), (3.4.1) имеет, и
притом единственное, решение u(x)t то ряд Фурье 2 ckVk сходит-
i
ся в среднем к и(х) и только к нему. Соответствующие этому ряду
полиномы Фурье можно принять за приближенное решение задачи
Дирихле.
Существуют различные методы построения приближенных
решений. К наиболее эффективным методам относятся методы
конечных разностей. В их основе лежит сведение
дифференциальной задачи к соответствующей задаче для разностных уравнений
как целого, так и дробного порядков (см. п. 2.7.6). Например,
при отыскании приближенного решения той или иной задачи для
уравнения Трикоми его можно аппроксимировать двумерным
разностным уравнением смешанного типа вида (2.7.24).
В заключение следует отметить, что при дискретизации
дифференциальной («непрерывной») задачи особое внимание надо
уделять сохранению дискретных аналогов необходимых
нелокальных (краевых или внутреннекраевых) условий (см.
п. 3.4.2—3.4.4).
294

ЛИТЕРАТУРА
1. Бицадзе А. В. Некоторые классы уравнений в частных производных.—
М.: Наука, 1981.
2. Б е р с Л., Джон Ф., Ш е х т е р М. Уравнения с частными
производными. — М.: Мир, 1966.
3. Бранков Г. Основы биомеханики. — М.: Мир, 1981.
4. Бейли Н. Математика в биологии и медицине. — М.: Мир, 1970.
5. Беллман Р. Математические методы в медицине. — М.: Мир, 1987.
6. Белоусов Л. В. Биологический морфогенез. — М.: Изд-во Моск. ун-та,
1987.
7. Бреббия К., Теллес Ж., Вроубел Л. Методы граничных
элементов. — М.: Мир, 1987.
8. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. — М.: Наука,
1971.
9. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование. —
М.: Наука, 1976.
10. Вольтерра В. Теория функционалов, интегральных и интегродиффе-
ренциальных уравнений. — М.: Наука, 1982.
11. Гроссман С, Тернер Дж. Математика для биологов. — М.:
Высшая школа, 1983.
12. Ивенс И., Скейлак Р. Механика и термодинамика биологических
мембран. — М.: Мир, 1982.
13. К а р п м а н В. И. Нелинейные волны в диспергирующих средах. — М.:
Наука, 1973.
14. Лайтфут Э. Явления переноса в живых системах. — М.: Мир, 1977.
15. Лебедев Н. Н. Специальные функции и их приложения. — М.—Л.:
ГИФМЛ, 1963.
16. Map чу к Г. И. Математические модели в иммунологии. — М.: Наука,
1988.
17. Мора н П. Статистические процессы эволюционной теории. — М.:
Наука, 1973.
18. Морри Дж. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии.
Лекции о моделях. — М.: Мир, 1983.
19. Нахушев А. М. Критерий единственности задачи Дирихле для
уравнения смешанного типа в цилиндрической области. — Дифференц. уравнения,
1970, т. 6, № 1.
20. Нахушев А. М. Многомерный аналог задачи Дарбу для
гиперболических уравнений. — Докл. АН СССР, 1970, т. 194, № 1.
21. Нахушев А. М. О задаче Дарбу для вырождающихся
гиперболических уравнений. — Дифференц. уравнения, 1971, т. 7, № 1.
22. Нахушев А. М. Обратные задачи для вырождающихся уравнений и
интегральные уравнения Вольтерра третьего рода. — Дифференц. уравнения,
1974, т. 10, № 1.
23. Нахушев А. М. К теории краевых задач для вырождающихся
гиперболических уравнений. — Сообщения АН Груз. ССР, 1975, т. 77, № 3.
24. Н а х у ш е в А. М. К теории линейных краевых задач для уравнения
второго порядка смешанного гиперболо-параболического типа. — Дифференц.
уравнения, 1978, т. 14, № 1.
25. Н а х у ш е в А. М. Краевые задачи для нагруженных интегродиффе-
ренциальных уравнений гиперболического типа и некоторые их приложения к
прогнозу почвенной влаги. — Дифференц. уравнения, 1979, т. 15, № 1.
295

26. Н а х у ш е в А. М. Критерий единственности задачи Дарбу для одного
вырождающегося гиперболического уравнения влагопереноса. — Дифференц.
уравнения, 1980, т. 16, № 9.
27. Н а х у ш е в А. М. О справедливости одной априорной оценки. — Докл.
АН СССР, 1981, т. 257, № 1.
28. Н а х у ш е в А. М. Об одном приближенном методе решения краевых
задач для дифференциальных уравнений и его приложения к динамике
почвенной влаги и грунтовых вод. — Дифференц. уравнения, 1982, т. 18, № 1.
29. Н а х у ш е в А. М. О нелокальных задачах со смещением и их связи с
нагруженными уравнениями. — Дифференц. уравнения, 1985, т. 21, № 1.
30. Нахушев А. М., Салахитдинов М. С. О законе композиции
операторов дробного интегродифференцирования с различными началами. —
Докл. АН СССР, 1988, т. 299, № 6.
31. Нахушев А. М. К теории дробного исчисления. — Дифференц.
уравнения, 1988, т. 24, № 2.
32. Н а х у ш е в А. М. О непрерывных дифференциальных уравнениях и их
разностных аналогах. — Докл. АН СССР, 1988, т. 300, № 4.
33. Н е р п ин С. В., Ч у д н о в с к и й А. Ф. Энерго- и массообмен в
системе растение — почва — воздух. — Л.: Гидрометеоиздат, 1975.
34. Романовский Ю. М., Степанова Н. В., Чернавский Д. С.
Математическая биофизика. — М.: Наука, 1984.
35. Р у б и н А. Б. Термодинамика биологических процессов. — М.: Изд-во
Моск. ун-та, 1984.
36. С а м а р с к и й А. А. Введение в численные методы.—М.: Наука,
1987.
37. С в и р е ж е в Ю. М., Логофет Д. О. Устойчивость биологических
сообществ. — М.: Наука, 1976.
38. Свирежев Ю. М., Пасеков В. П. Основы математической
генетики. — М.: Наука, 1982.
39. С т е к л о в В. А. Основные задачи математической физики. — М.: Наука,
1983.
40. Т и х о н о в А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической
физики. — М.: Наука, 1977.
41. Торнли Дж. Г. М. Математические модели в физиологии растений.—
Киев: Наукова думка, 1982.
42. Треногий В. А. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1980.
43. X а к е н Г. Синергетика. — М.: Мир, 1980.
44. X а к е н Г. Синергетика: Иерархии неустойчивостей в
самоорганизующихся системах и устройствах. — М.: Мир, 1985.
45. X е н р и Д. Геометрическая теория полулинейных параболических
уравнений.— М.: Мир, 1985.
46. Ш а п и р о А. П., Л у п п о в СП. Рекуррентные уравнения в теории
популяционной биологии. — М.: Наука, 1983.
296

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
Глава 1. Элементы функционального анализа и дробного исчисления . . 5
§ 1.1. Основные понятия функционального анализа 5
1.1.1. Линейные пространства 5
1.1.2. Нормированные и метрические пространства 6
1.1.3. Полные метрические пространства и пространство Банаха ... 7
1.1.4. Пространство Гильберта и неравенство Коши — Буняковского —
Шварца. Ряд Фурье 8
1.1.5. Линейные операторы и функционалы 9
§ 1.2. Обобщенный принцип сжатых отображений 12
1.2.1. Равномерно-непрерывные и сжимающие отображения .... 12
1.2.2. Теорема Каччиополли — Банаха и неподвижные точки
отображения 12
1.2.3. Производные по Гато и Фреше; неподвижные точки
дифференцируемых отображений 14
1.2.4. Обобщенный принцип сжатых отображений 15
1.2.5. Теорема Брауэра о неподвижной точке и принцип Шаудера . . 16
§ 1.3. Теорема Хана — Банаха и теорема Рисса о представлении линейного
функционала 17
1.3.1. Теорема Рисса 17
1.3.2. Теорема Хана — Банаха о продолжении линейных
функционалов 17
§ 1.4. Основная лемма вариационного исчисления 18
1.4.1. Определения области и угла между кривыми в Rn 18
1.4.2. Производная по направлению и оператор Гамильтона .... 19
1.4.3. Определения отображения класса С и его ранга 21
1.4.4. Понятие топологического пространства; определения
многообразия и поверхности в Rn 22
1.4.5. Пространство L2(Q) 24
1.4.6. Лемма Лагранжа 24
§ 1.5. Элементы дробного исчисления 25
1.5.1. Гамма-функция и связанные с ней символы 25
1.5.2. Конечно-разностные отношения дробного порядка 26
1.5.3. Определения дробного интегродифференцирования и их
взаимосвязь 28
1.5.4. Интеграл в смысле конечной части по Адамару 35
1.5.5. Связь междупредельной производной с интегралом в смысле
конечной части по Адамару 38
1.5.6. Закон композиции операторов дробного
интегродифференцирования с одинаковыми началами 43
1.5.7. Правила композиции операторов дробного
интегродифференцирования с различными началами 47
1.5.8. Правила композиции операторов дробного
интегродифференцирования с различными началами в исключительных случаях . . 49
1.5.9. Аналог теоремы Ферма; необходимые и достаточные условия
экстремума функции 55
§ 1.6. Понятия локальных и нелокальных операторов 60
1.6.1. Определение локального оператора 60
1.6.2. Определение нелокального оператора 62
297

Глава 2. Классификация нагруженных уравнений и систем 63
§2.1. Определение дифференциальных уравнений в частных производных
и представление о многообразии их решений 63
2.1.1. Определение уравнения и его решений 63
2.1.2. Определение дифференциального уравнения и его решений . . 64
2.1.3. Определение линейных и квазилинейных дифференциальных
уравнений и представление о многообразии их решений ... 66
2.1.4. Понятие о спектре и общем решении линейного
дифференциального уравнения, зависящем от параметра 67
§ 2.2. Характеристическая форма и классификация квазилинейных
уравнений второго порядка 68
2.2.1. Понятие характеристической формы 68
2.2.2. Классификация квазилинейных уравнений второго порядка . . 69
§ 2.3. Классификация дифференциальных4 уравнений и систем любого
порядка 72
2.3.1. Классификация дифференциальных уравнений любого порядка . 72
2.3.2. Классификация систем дифференциальных уравнений .... 73
2.3.3. Система Коши — Римана как пример системы эллиптического
типа 75
§ 2.4. Определение характеристического уравнения и характеристических
многообразий 77
2.4.1. Понятия характеристического уравнения и характеристических
многообразий 77
2.4.2. Характеристики, бихарактеристики и свободные поверхности
дифференциальных уравнений второго порядка 78
2.4.3. Характеристики волнового уравнения и уравнения
теплопроводности 78
2.4.4. Понятия симметрической гиперболической системы и ее
характеристического уравнения 80
§ 2.5. Характеристические кривые и характеристические направления
линейных уравнений в частных производных второго порядка с двумя
независимыми переменными 82
2.5.1. О каноническом виде уравнения второго порядка 82
2.5.2. Характеристики и характеристические направления уравнения
второго порядка с двумя независимыми переменными .... 83
§ 2.6. Характеристика линейных дифференциальных уравнений как
поверхности слабого разрыва и фронт волны 84
2.6.1. Понятие поверхности слабого разрыва 84
2.6.2. Теорема о слабых разрывах 85
2.6.3. Задача Коши и связь между начальными данными на
характеристике 86
2.6.4. Понятие фронта волны слабого разрыва 87
§ 2.7. Определения нагруженных уравнений и их связь с нелокальными
операторами 88
2.7.1. Понятие нагруженного уравнения 88
2.7.2. Понятие нагруженных дифференциальных уравнений и их
классификация 90
2.7.3. Нагруженные интегральные уравнения и их классификация . . 92
2.7.4. Понятие интегродифференциального уравнения 94
2.7.5. Понятие нагруженного функционального уравнения 95
2.7.6. Разностные уравнения и их классификация 96
§ 2.8. Определение и классификация непрерывных дифференциальных
уравнений 99
2.8.1. Определение обыкновенного непрерывного дифференциального
уравнения по Вольтерра 99
2.8.2. Понятие континуального дифференциального уравнения ... 99
2.8.3. Понятие дифференциального уравнения в частных производных
дробного порядка 101
298

§ 2.9. Важнейшие модельные уравнения математической биологии и их
связь с уравнениями синергетики 102
2.9.1. Уравнение Бернулли — Ферхюльста и понятие устойчивости
состояния равновесия по Ляпунову 102
2.9.2. Уравнения мультипликативного роста 107
2.9.3. Разностные и обыкновенные дифференциальные уравнения с
запаздыванием 108
2.9.4. Уравнения Лотки — Вольтерра 113
2.9.5. Уравнения Бейли и Марчука 116
2.9.6. Уравнения рождаемости iiu
2.9.7. Уравнение Лесли 119
2.9.8. Уравнение Мак Кендрика —фон Фёрстера 120
2.9.9. Уравнения Тьюринга 121
2.9.10. Одномерные реактивно-диффузионные уравнения
биологической синергетики 125
Глава 3. Постановка основных локальных и нелокальных задач для
дифференциальных уравнений 130
§3.1. Основные локальные краевые задачи для уравнений эллиптического,
параболического и смешанного типов уравнений второго порядка .... 130
3.1.1. Задачи Дирихле, Неймана и Пуанкаре 130
3.1.2. Краевые задачи для параболических уравнений 131
3.1.3. Задача Трикоми 133
§ 3.2. Определение и классификация нелокальных задач 135
3.2.1. Определение локальных задач и их классификация 135
3.2.2. Определение нелокальных задач и их классификация .... 135
3.2.3. Задача Бицадзе — Самарского 138
3.2.4. Задача Самарского 139
3.2.5. Задача со смещением 142
§ 3.3. Понятие корректности постановки локальных и нелокальных задач . 144
3.3.1. Пример Адамара 144
3.3.2. Понятие корректно поставленной задачи 144
§ 3.4. Формула Грина для линейных дифференциальных операторов
второго порядка и необходимые краевые условия 145
3.4.1. Формула Грина для дифференциальных операторов 145
3.4.2. Обобщенная интегральная теорема Гаусса 147
3.4.3. Формула Бореля—Помпею и интегральная формула Коши . . 148
3.4.4. Необходимое нелокальное условие неравенственного типа для
дифференциального уравнения с неотрицательной
характеристической формой 151
3.4.5. Единственность регулярного и существование слабого решений
задачи Дирихле Г>3
Глава 4. Задачи Коши, Гурса и Дарбу для модельных уравнений
математической биологии 156
§ 4.1. Задача Коши для уравнения Бернулли—Ферхюльста и обобщенного
уравнения мультипликативного роста 156
4.1.1. Задача Коши для уравнения Бернулли — Ферхюльста .... 156
4.1.2. Биологический смысл решения задачи Коши 157
4.1.3. Задача Коши для уравнения мультипликативного роста ... 159
§ 4.2. Формула Даламбера и задача Коши для одномерного волнового
уравнения 160
4.2.1. Формула Даламбера 160
4.2.2. Задача Коши для одномерного волнового уравнения .... 163
J 4.3. Теорема о среднем значении; задачи Гурса и Дарбу для
одномерного волнового уравнения 165
4.3.1. Теорема о среднем значении и ее обращение 165
4.3.2. Задача Гурса 166
4.3.3. Задача Дарбу 167
4.3.4. Смешанная задача 168
299

5.7.4. Эффект неравноправия характеристик как носителей данных
Дарбу 241
Глава 6. Нелокальные задачи для модельных уравнений математической
биологии 244
§6.1. Нелокальные задачи для уравнения Мак Кендрика —фон Фёрстера . 244
6.1.1. Постановка задач 244
6.1.2. Общее решение уравнения (6.1.1) и исследование корректности
задач 6.1.1 и 6.1.2 246
§ 6.2. Нелокальные задачи для уравнений гиперболического типа ... 251
6.2.1. Задача Гурса для нагруженного уравнения второго порядка . . 251
6.2.2. Спектр однородной задачи Гурса для нагруженного уравнения
гиперболического типа 257
6.2.3. Нелокальные задачи для уравнения с волновым оператором в
главной части 258
6.2.4. Задача Гурса для уравнения Аллера 261
§ 6.3. Нелокальные задачи для линейных параболических уравнений
второго порядка 263
6.3.1. Принцип экстремума 263
6.3.2. Первая краевая задача для эволюционного уравнения и ее
нелокальное обобщение 266
6.3.3. Задача Торнли 270
6.3.4. Необходимые нелокальные условия для уравнения Фурье и
сведение задачи Самарского к первой краевой задаче 273
6.3.5. Внутреннекраевая задача с нелокальным смещением для
системы уравнений половозрастной структуры популяции 277
§ 6.4. Модельные задачи для эллиптического и смешанного типов
уравнений 279
6.4.1. Принцип экстремума для эллиптического уравнения;
единственность решения задачи Дирихле и задачи Бицадзе — Самарского . 279
6.4.2. Априорная оценка для задачи Бицадзе — Самарского .... 280
6.4.3. Принцип экстремума для уравнения смешанного типа и
единственность решения задачи Трикоми 282
6.4.4. Критерий единственности решения задачи Дирихле для
уравнения смешанного типа в цилиндрической области 283
6.4.5. Демонстрация метода интегральных уравнений на примере
модельной смешанной задачи 286
6.4.6. Аналитическая справка об основных методах решения краевых и
внутреннекраевых задач 289
Литература 295
301

§ 4.4. Задача Коши и теорема о среднем значении для трехмерного
волнового уравнения 169
4.4.1. Задача Коши для трехмерного волнового уравнения 169
4.4.2. Теорема о среднем значении для трехмерного волнового
уравнения 173
§ 4.5. Задача Коши для уравнения Мак Кендрика — фон Фёрстера ... 176
4.5.1. Алгоритм решения задачи Коши для модельного уравнения
Мак Кендрика — фон Фёрстера 176
4.5.2. Постановка задачи Коши с негладким носителем для односко-
ростного уравнения переноса 181
§•4.6. Задача Коши со смешанным носителем для нагруженного
эволюционного уравнения 186
4.6.1. Задача Коши со смешанным носителем для нагруженного
уравнения Буссинеска .• 186
4.6.2. Задача Коши со смешанным носителем для нагруженного
уравнения теплопроводности 187
Г лава 5. Задачи Гурса и Дарбу для линейных гиперболических
уравнений второго порядка 190
§5.1. Необходимые условия разрешимости краевых задач для уравнений
смешанного гиперболо-параболического типа 190
5.1.1. Первая краевая задача для гиперболо-параболического
уравнения с двумя независимыми переменными 190
5.1.2. Необходимое условие разрешимости многомерного аналога
задачи Дарбу 194
§ 5.2. Метод Римана решения задачи Гурса для линейных
гиперболических уравнений второго порядка с двумя независимыми переменными . . 198
5.2.1. Функция Римана 198
5.2.2. Линейные нагруженные интегральные уравнения Вольтерра . . 200
5.2.3. Задача Гурса и первая задача Дарбу 202
5.2.4. Понятие фундаментального решения дифференциальных
операторов и биологический смысл функции Римана 205
§ 5.3. Задача Гурса для уравнения Эйлера — Дарбу—Пуассона .... 206
5.3.1. Функция Римана для уравнения Эйлера — Дарбу — Пуассона . 206
5.3.2. Задача Гурса для неоднородного уравнения Эйлера — Дарбу —
Пуассона 208
§ 5.4. Задачи Коши и Дарбу для уравнения Геллерстедта 222
5.4.1. Задача Коши для уравнения Геллерстедта 222
5.4.2. Необходимые краевые условия для уравнения Геллерстедта . 224
5.4.3. Задачи Дарбу для уравнения Геллерстедта 225
§ 5.5. Принцип экстремума для гиперболических уравнений 227
5.5.1. Принцип экстремума для уравнения Геллерстедта 227
5.5.2. Принцип экстремума для гиперболического уравнения с
оператором Чаплыгина в главной части 228
§ 5.6. Функция Грина—Адамара и задачи Дарбу для уравнений с
оператором Геллерстедта в главной части 230
5.6.1. Функция Грина — Адамара 230
5.6.2. Метод функции Грина—Адамара решения второй задачи Дарбу
для неоднородного уравнения Геллерстедта 231
5.6.3. Условие Геллерстедта и функция Грина—Адамара первой
задачи Дарбу 232
§ 5.7. Критерий единственности решения задачи Дарбу и эффект
неравноправия характеристик как носителей данных Дарбу 233
5.7.1. Модельное уравнение переноса биологической субстанции . . 233
5.7.2. Критерий единственности решения первой задачи Дарбу для
уравнения Бицадзе — Лыкова 235
5.7.3. Критерий единственности решения второй задачи Дарбу для
уравнения Бицадзе — Лыкова 238
300

Учебное издание
Нахушев Адам Маремович
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ БИОЛОГИИ
Редактор А. М. Суходский
Художественный редактор В. И. Пономаренко
Художник JJ. И. Годславский
Технические редакторы Г. А. Виноградова, В. М. Романова
Корректор Г. Н. Буханова
И Б № 9689
ЛР №010146 от 25.12.91. Изд. № ФМ-57. Сдано в набор 07.09.94.
Подписано в печать 29.05.95. Формат 60X88/16. Бум. тип. №2.
Гарнитура «Литературная». Печать офсетная. Объем 18,62 усл.
печ. л. 18,87 усл. кр.-отт. 17,79 уч.-изд. л. Тираж 3000 экз. Заказ
\R» 4тле
Издательство «Высшая школа», 101430, Москва, ГСП-4,
Неглинная ул., д. 29/14.
Набрано в АООТ «Ярославский полиграфкомбинат». 150049,
г. Ярославль, ул. Свободы, 97.
Отпечатано на Республиканском полиграфкомбинате им. Революции 1905 г.
Министерства печати и информации КБР.
КБР, г. Нальчик, пр. Ленина, 33

Нахушев А. М.
Н34 Уравнения математической биологии: Учеб. пособие для
университетов. — М.: Высш. шк., 1995. — 301 с
ISBN 5-06-002670-1
в пособии впервые в систематизированном и последовательном виде
изложены фундаментальные проблемы современной математической биологии.
Большой интерес для читателя представляют не только фактический материал,
собранный в пособии, но и методика изложения и даже терминология. Стиль
книги — строгий и наглядный. в качестве иллюстрации абстрактных
математических понятий и методов используются различные биологические конструкции.
.. 1901000000—054
Н U 71-95 ББК 22.1+28.0
001(01)—95

Издательство «ВЫСШАЯ ШКОЛА»
продает со своих складов
имеющиеся в наличии книги:
Артеменко А. И. Органическая химия: Учебник для
строительных специальностей вузов.
Кузнецова М. А. Использование растений в народной
медицине: Справочное пособие.
Копылов И. П. Математическое моделирование электрических
машин: Учебник для вузов.
Левицкий В. С. Машиностроительное черчение: Учебник для
технических вузов.
Плоткин Б. И. и др. Элементы алгебраической теории
автоматов: Учебное пособие для вузов.
Протасов Ю. С. Физическая электроника газоразрядных
устройств. В 2-х кн. Кн. 1. Эмиссионная электроника: Учебное
пособие для вузов.
Протасов Ю. С. Физическая электроника газоразрядных
устройств. В 2-х кн. Кн. 2. Плазменная электроника. Учебное
пособие для вузов.
Степин Б. Д. Неорганическая химия. Учебник для химических и
химико-технологических специальностей вузов.
Цитович И. К. Курс аналитической химии: Учебник для
сельскохозяйственных специальностей вузов.
Наш адрес:
101430, Москва, ГСП-4, Неглинная ул., 29/14,
комн. 219. «Маркетинг».
Тел.: (095) 200-07-69