А.М. НАХУШЕВ
Нагруженные
уравнения
и их применение
НАУКА
РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК
КАБАРДИНО-БАЛКАРСКИЙ НАУЧНЫЙ ЦЕНТР
НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ
ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И АВТОМАТИЗАЦИИ
А.М. НАХУШЕВ
Нагруженные
уравнения
и их применение

МОСКВА НАУКА 2012
УДК 517.9
ББК 22.161.6
Н12
Рецензенты:
доктор физико-математических наук
А.И. КОЖАНОВ,
доктор физико-математических наук
А.В. ПСХУ
Нахушев А.М.
Нагруженные уравнения и их применение / А.М. Нахушев; Науч.-
исслед. ин-т прикладной математики и автоматизации КБНЦ РАН. -
М.: Наука, 2012. - 232 с. - ISBN 978-5-02-037977-0 (в пер.).
Монография посвящена основополагающим элементам теории нагруженных функ-
циональных, интегральных и дифференциальных уравнений. Особое внимание уделяется
разработке аналитических методов исследования качественных характеристик локаль-
ных и нелокальных краевых задач со смещением для нагруженных уравнений в частных
производных, к которым редуцируются математические модели различных процессов и
систем с распределенными параметрами, имеющих фрактальную пространственно-вре-
менную структуру.
Для тех, кто специализируется в области дифференциальных уравнений и оптималь-
ного управления, математического моделирования и численных методов.
Научное издание
Нахушев Адам Маремович
НАГРУЖЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ
И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ
Утверждено к печати Ученым советом
Научно-исследовательского института прикладной
математики и автоматизации КБНЦ РАН
Зав. редакцией Г. И. Чертова. Редактор Л. В. Филиппова
Художник Ю.И.Духовская. Художественный редактор В.Ю. Яковлев
Подписано к печати 09.07. 2012. Формат 60 х 9О’/16. Печать офсетная
Усл.печ.л. 14,5. Усл.кр.-отт. 15,0. Уч.-изд.л. 14,2. Тираж 400 экз. Тип. зак. 1049
Издательство “Наука”. 117997, Москва, Профсоюзная ул., 90
E-mail: secret@naukaran.ru www.naukaran.ru
ППП “Типография “Наука”. 121099, Москва, Шубинский пер., 6
ISBN 978-5-02-037977-0	© Нахушев А.М., 2012
© Научно-исследовательский институт
прикладной математики и автоматиза-
ции КБНЦ РАН, 2012
© Редакционно-издательское оформление.
Издательство “Наука”, 2012
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие........................................... 6
Глава 1. Общие сведения о нагруженных уравнениях .	8
1.1.	Определения нагруженного уравнения, локального и нело-
кального операторов .................................. 8
1.2.	Понятия нагруженного функционального и интегрального
уравнений............................................. 8
1.3.	Понятие нагруженных дифференциальных уравнений ....	17
1.4.	Нагруженные уравнения как метод введения обобщенных
решений уравнений математической физики.............. 23
Глава 2. Краевые задачи для нагруженных уравнений
гиперболического типа................................ 27
2.1.	Постановка задачи Гурса......................... 27
2.2.	Спектр однородной задачи Гурса для модельных нагружен-
ных уравнений гиперболического типа.................. 34
2.3.	Нелокальные обобщенные задачи Гурса............. 37
2.4.	Задача Дарбу для нагруженного вырождающегося гипер-
болического уравнения второго порядка................ 46
2.5.	Задача Дарбу для особых нагруженных уравнений с част-
ными производными.................................... 52
2.6.	0 некоторых важных модельных уравнениях движения
почвенной влаги...................................... 59
2.7.	Об одном приближенном методе решения краевых задач
для дифференциальных уравнений и его приложения к
динамике почвенной влаги и грунтовых вод............. 68
2.8.	Задачи Коши и Дирихле для класса нагруженных диффе-
ренциальных уравнений дробного порядка............... 79
Глава 3. Краевые задачи для нагруженных уравнений
пторого порядка параболического типа и их приложения 84
3.1.	Вторая, третья и смешанная краевые задачи для нагружен-
ного уравнения теплопроводности...................... 84
3.2.	Первая, вторая и смешанная краевые задачи для класса
нагруженных уравнений параболического типа........... 90
3.3.	О некоторых математических моделях движения грунто-
вых вод.............................................. 93
3.1.	Задача Коши со смешанным носителем для нагруженного
уравнения Буссинеска и задача С.М. Тарга............. 98
4
Оглавление
3.5.	Задача Коши со смешанным носителем для нагруженного
уравнения диффузии.................................... 103
3.6.	Начально-краевые условия для модельных нагруженных
систем уравнений и уравнений Сен-Венана............... 107
3.7.	Принцип экстремума для нагруженного уравнения парабо-
лического типа........................................ 117
Глава 4. Локальные и нелокальные задачи для нагру-
женных уравнений и систем эллиптического типа.......... 121
4.1.	Локальная краевая задача для модельных нагруженных
систем уравнений и задача Бицадзе—Самарского.......... 121
4.2.	Задача Дирихле для нагруженных уравнений с оператором
Лапласа в главной части............................... 125
4.3.	Задача с интегральным смещением для нагруженного урав-
нения с двумерным оператором Лапласа в главной части,
содержащего след производной на одномерных многообра-
зиях ................................................. 129
4.4.	О некоторых нагруженных дифференциальных уравнениях
математической физики фракталов....................... 137
4.5.	О некоторых системах вход-выход и нагруженных уравне-
ниях их состояния..................................... 141
4.6.	Нагруженные уравнения математической экономики... 145
4.7.	Задача Дирихле для нагруженной системы эллиптического
типа.................................................. 153
Глава 5. Краевые и внутреннекраевые задачи для на-
груженных уравнений смешанного типа.................... 159
5.1.	Краевые задачи для модельного нагруженного уравнения
смешанного параболо-гиперболического типа с вырождени-
ем порядка в области его гиперболичности ............. 159
5.2.	Внутреннекраевые задачи для уравнений смешанного
параболо-гиперболического типа с характеристической и
нехарактеристической нагрузками и их связь с аналогом
задачи Трикоми........................................ 165
5.3.	Краевая задача для нагруженного уравнения смешанного
эллиптико-гиперболического типа с вырождением порядка
в области его гиперболичности......................... 176
5.4.	Краевые задачи для уравнения теплопроводности смешан-
ного типа............................................. 181
5.5.	Задача граничного управления для уравнения с вырожде-
нием порядка по временной переменной.................. 189
5.6.	Краевые задачи с нелокальным условием Франкля.... 196
Оглавление	5
5.7.	Задача Дирихле для нагруженного уравнения смешанного
типа в цилиндрической области........................ 204
Список литературы.................................... 213
Предметный указатель................................. 231
Предисловие
В январе 1976 г. в журнале «Дифференциальные уравнения»
вышла моя работа [115], посвященная задаче Дарбу, где вводилось
определение нагруженных дифференциальных уравнений. За 35 лет,
прошедших после ее выхода в свет, появилось значительное число
публикаций*), проблемно-ориентированных на нагруженные уравне-
ния. Приятно отметить, что установленная мною связь нелокальных
краевых задач со смещением с нагруженными уравнениями [131], [140]
дала толчок к развитию исследований в этом актуальном научном
направлении. Тому способствовали и мои книги: «Уравнения мате-
матической биологии» [136], рекомендованная Государственным ко-
митетом Российской Федерации по высшему образованию в качестве
учебного пособия для студентов математических и биологических спе-
циальностей университетов; «Дробное исчисление и его применение»
[137], а также монография М.Т. Дженалиева «К теории линейных
краевых задач для нагруженных дифференциальных уравнений» [55].
Следствием интенсивного и глубокого исследования последних
пятнадцати лет явились работы М.Т. Дженалиева и М.И. Рамазанова
«Нагруженные уравнения как возмущения дифференциальных урав-
нений» [60], В.А. Нахушевой «Дифференциальные уравнения матема-
тических моделей нелокальных процессов» [146], А.В. Псху «Уравне-
ния в частных производных дробного порядка» [164], Л.И. Сербиной
«Нелокальные математические модели переноса в водоносных систе-
мах» [170].
Значительную роль в развитии теории нагруженных уравнений
сыграли Международные научные симпозиумы «Уравнения смешан-
ного типа и родственные проблемы анализа и информатики» и Шко-
лы молодых ученых «Нелокальные краевые задачи и проблемы со-
временного анализа и информатики», проведенные в 2003-2011 гг.
Учреждением Российской академии наук Научно-исследовательским
институтом прикладной математики и автоматизации Кабардино-
Балкарского научного центра РАН при финансовой поддержке Рос-
сийского фонда фундаментальных исследований (№№ проектов 04-01-
10008, 06-01-10091, 08-01-06026, 09-01-06025, 10-01-06046, 10-01-06810,
*) На запрос о нагруженных уравнениях на поисковом российском сервере
Яндекс нашлось 163 тысячи ответов, на поисковом международном сервере
Yahoo - 699 тысяч ответов, а база данных сайта Российского индекса науч-
ного цитирования, содержащего в основном статьи в журналах с 2005 г., на
запрос о нагруженных уравнениях выдала информацию о 7633 публикаци-
ях.
Предисловие
7
10-01-06837, 11-01-06029, 11-01-06813) [4], [6], [10], [16], [42], [49], [72],
|81|, [90], [142], [151], [153], [167], [199], а также исследования, проводи-
мые в рамках Программы Отделения математических наук РАН «Со-
временные вычислительные и информационные технологии решения
больших задач» (2006-2008 гг., 2009-2011 гг.).
Основной целью настоящей монографии является описание осно-
вополагающих элементов теории нагруженных уравнений и определе-
ние дальнейшего вектора их развития. Книга состоит из пяти глав.
В первой главе даны общие сведения о нагруженных уравнениях.
Остальные главы посвящены локальным и нелокальным краевым и
впутреннекраевым задачам для нагруженных уравнений в частных
производных гиперболического, параболического, эллиптического и
смешанного типов. В этих главах излагаются такие применения на-
груженных уравнений, как метод математического моделирования
нелокальных, в том числе фрактальных, процессов и явлений, и метод
эффективного поиска приближенных решений дифференциальных
уравнений. Здесь отмечается, что математической основой физики
фракталов, в особенности дробной динамики, стали нагруженные
дифференциальные уравнения, демонстрирующие роль этих уравне-
ний в различных отраслях современной науки, в частности в мате-
маги ческой биологии. Специальный параграф посвящен нагружен-
ным уравнениям математической экономики. Рассмотрен простой, но
имеете с тем эффективный метод конструирования алгебраической
формы производственной функции, основанный на аналоге формулы
Маклорена в дробном исчислении.
В пятой главе рассмотрены нагруженные уравнения смешанного
типа, весьма важные в теории тепломассопереноса в составных средах
г фрактальной организацией и памятью.
В основе монографии лежат мои работы [114] - [145].
А.М. Нахушев
Глава 1
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О НАГРУЖЕННЫХ
УРАВНЕНИЯХ
1.1. Определения нагруженного уравнения,
локального и нелокального операторов
В моих работах [115], [119], [211] даны общие определения нагру-
женного уравнения, локального и нелокального операторов.
Заданное в n-мерной области Q евклидова пространства Rn точек
х = (xi,X2, ...,я?п) (матричное или скалярное) уравнение
Аи(х) = f(x), х е Q,	(1-1-1)
называется нагруженным, если оно содержит след некоторых опе-
раций от искомого решения и(х) на принадлежащих замыканию Q
области Q многообразиях, размерность которых строго меньше п. Вхо-
дящий в это определение оператор А принято называть нагруженным
[55], [136].
Пусть L - оператор, область определения D(L) которого представ-
ляет собой множество отображений и с единой областью определения
D(u\, р - множество операций ра с областью определения D(pa) =
= раи = ра ои - композиция отображений ра и и.
Оператор L с областью определения D(L) в работе [136, с. 61]
назван локальным в D(u) относительно множества операций р, если
для любого отображения и е D(L) образ любой точки х е D(u) при
отображении L о и однозначно определяется значением и(х) отобра-
жения и на элементе х или же значениями раи(х) операторов раи,
ра е р, на этом же элементе х.
Оператор А называется нелокальным относительно множества
операций р, если он нелокален относительно р.
Нагруженный оператор А является нелокальным оператором, а
нагруженное уравнение (1.1.1) - нелокальным уравнением.
1.2. Понятия нагруженного функционального
и интегрального уравнений
Пусть F(x,yo,yi,	...) - действительная функ-
ция точек х € Q и действительных переменных уо, у\,..., уг,..., zq, zi, ...,
Zj,..., которая зависит хотя бы от одной из переменных Zj, j = 0,1,...;
Oi = (01(х),0?(х), ...,0™(хУ) - отображение множества Q на множество
1.2. Понятия нагруженного функционального и интегрального...
9
С Q, г = 1,2,...; и(х) - действительная функция точек х € Q;
о,/ принадлежащее множеству Q многообразие размерности j < п,
./ =0,1,....
Уравнение
F(x,y0,y!,	Z0, Z1, Zj,...) = 0,
где
у0 = и(ж), у1=иов1,..., yi=uo0i,...,
Zo = u|o,0,	Z!=u\U1,...,	Zj=u\Uj,...
называется нагруженным функциональным уравнением относитель-
но функции и = и(х).
Простейшие нагруженные функциональные уравнения возникают
при отыскании приближенного решения и(х) интегрального уравне-
ния вида
/Зо(х)и(х) + у* k(x,y)u(y)dy = /(ж), х € Q, (1.2.1)
Q
методом конечных сумм, когда полагают
/	т
k(x,y)u(y)dy « ^0^х)и(у>),
о	J=1
где 0 = 1> 2,..., т) - узлы квадратурной или кубатурной формулы.
II результате для искомого приближенного решения и(х) получают
уравнение
/Зо(ж)и(ж) + '^/3j(x')u(yj) = /(ж),
3=1
ко торое, очевидно, является частным случаем более общего нагружен-
ного функционального уравнения
Ро(х)и(х) + G(x)u О 0(х) + /3j(x)u(yj) = f(x),
где (7(rr), и f(x) - заданные в Q функции; 6(х) - заданное
о тображение замыкания Q множества Q на компакт ш С Q.
Если в левой части уравнения (1.2.1) произвести возмущение, до-
ги» ни в линейную комбинацию значений искомого решения и(х) в фик-
сированных точках х1, ж2,..., хи компакта Q, то получим классический
пример нагруженного интегрального уравнения
«о(х)ы(ж) + 5?а,(ж)и(а^) + / k(x,y)u(y)dy = /(ж).	(1-2.2)
п
10
Глава 1. Общие сведения о нагруженных уравнениях
Если существует хотя бы одна точка х° е Q такая, что ао(#°) = 0,
то уравнение (1.2.2) называется локально нагруженным интеграль-
ным уравнением третьего рода. Уравнение (1.2.2) принято называть
локально нагруженным интегральным уравнением первого или вто-
рого рода, в зависимости от того, а(х) = 0 или а(х) / 0 для всех х € Q.
Линейным одномерным (локально) нагруженным интегральным
уравнением Вольтерра называется уравнение вида
(1.2.3)
где х = ®i, у = 2/1; х°, х1,..., хт - заданные фиксированные точки
сегмента Q = {# : а < х < 6}; Л - заданный постоянный параметр;
оДя), j = 0,1, ...,m и f(x) - заданные непрерывные на сегменте [а, Ь]
функции.
Уравнение
ъ
R(x, у; Л) = k(x, у) + Л k(x, t)R(t, у; X)dt, а х b,
а
для резольвенты R(x,y\X) ядра к(х, у) интегрального уравнения
Фредгольма второго рода
ь
u(x) = f(x) + X у* к(х, y)u(y)dy, Л = const,
а
представляет важный пример нагруженного интегрального уравне-
ния.
Уравнение (1.2.3) классифицируется по родам, как и п-мерное
нагруженное уравнение (1.2.2).
Положим, что п = 2 и Q - область на евклидовой плоскости R2; а3,
j = 1,2, ...,р, - кусочно-гладкие линии, принадлежащие Q. Линейным
двумерным нагруженным интегральным уравнением третьего рода
называется уравнение вида [136, с. 93]:
= Лу k(x,y)u(y)dy + f(x), х е Q, Л € R,	(1.2.4)
Q
где da3y - элемент длины кривой а3 в точке у е а3\ и3(х) - след
искомого решения и(х) на многообразиях Sj размерности < 2;
1.2. Понятия нагруженного функционального и интегрального...
11
А’/(т,Х/) “ действительные суммируемые функции точки х € Q и
у (	; Л е R, &(#, у) - действительная и суммируемая функция точки
(.г,//) ей х Q.
К нагруженным интегральным уравнениям относятся интеграль-
ные уравнения, задаваемые операторами с частными интегралами,
называемые в монографии [83] интегральными уравнениями с част-
ными интегралами. Важным примером таких уравнений является
тдшпюе в прямоугольнике Qxy = {(ж, у) : а^х^Ь, а^у^Ь}
уравнение
X у
и(х, у) - Л12
*12(ж,у;С, ri)u{€,,Ti)dri-
а Ъ
х	у
-А1 у*ki(x,у;g)u(£,y)d£- Л2 к2(х,у;y)u(x,T])dT] = /(ж,у)
а	Ъ
г численными параметрами Л12, Ai, А2, ядрами fci2, fci, и правой
частью /, непрерывными в £lxy х Q^, которое в классе непрерывных в
и функций однозначно разрешимо. Это уравнение иногда называют
ин гегральным уравнением Вольтерра второго рода [21, с. 32].
Одним из вариантов уравнения (1.2.4) является нагруженное ин-
тегральное уравнение второго рода:
и(ж) = /(ж) - у*А:1(ж,У1)и(у1,Ж2)</у1 - У k2(x,y2)u(xi,y2)dy2+
<71	<72
+А J J к(х, y)u(y)dy, и(х) = u(xi,X2), х е Q, (1.2.5)
<71 <72
где (Tj = Q - {ж е К2 : а, < х, < fy, j = 1,2}, /(ж), Ад(ж,У1),
к(х,у) - заданные измеримые в соответствующих областях
функции, а интегралы понимаются в смысле Лебега.
Критерию фредгольмовости уравнения (1.2.5) в пространстве
। к'прерывных функций посвящена работа [70].
Другим важным вариантом уравнения (1.2.4) служит одномерное
(п = 1,® = #1) нагруженное интегральное уравнение типа инте-
цх1льных уравнений Кнезера
и(х) = f(x) +
в
т	р
y\aj(x)u(xi) + А / к(х,y)u(y)dy.
а
(1.2.6)
Здесь, как и ранее, ж-’ - заданные фиксированные точки сегмента
.. < ж 5$ 0 (см. [112], [171, с. 170]).
12
Глава 1. Общие сведения о нагруженных уравнениях
Если
aj(x) = Xcjk(x,xj\ Cj = const > О VJ = 1,2, ...,m,	(1.2.7)
то уравнение (1.2.6) равносильно уравнению
м(ж) = /(ж) + А У к(х, y)u(y)dy,	(1.2.8)
а
где черта над интегралом означает, что интеграл понимается в смыс-
ле Кнезера [171, с. 169]:
/з
/з
т
с7 > 0.
Частный случай уравнения (1.2.6), которое можно записать в виде
1
и(х) = f(x) + Ха(х)и(х0) + Л У k(x, y)u(y)dy, х0 € [0,1],	(1.2.9)
о
исследован в 1948 г. Н.Н. Назаровым [112] в предположении, что
к(х, у) обладает обычными свойствами ядра интегрального уравнения
типа Фредгольма второго рода.
Пусть
Ла(^о) / 1.	(1.2.10)
Тогда легко заметить, что уравнение (1.2.9) равносильно интеграль-
ному уравнению Фредгольма второго рода:
/ х t1 * “ Аа(ж0)]/(ж) + Аа(ж)/(х0)
“w =----------1 - \«ы---------+
+А/[т£^7Т + ^'
J |_ 1 - ла(хо)	J
о
Этот факт имеет место для общего уравнения (1.2.6), если
(1.2.11)
1 — а}
-а?
—02
1 - а|
-«т-1
—aL л
тп—1
“ат
—а%
тп
det
/О, а}=аДа:4). (1.2.12)
-ар
-а™
—a™ 1
тп— 1
1-а™
1.2. Понятия нагруженного функционального и интегрального...
13
Если коэффициенты ад(х) уравнения (1.2.6) не зависят от х, то усло-
вие (1.2.12) можно заменить условием
&1 + CL2 + ••• + ат 1-	(1.2.13)
Существенность условия (1.2.13), а стало быть и (1.2.12), проде-
монстрируем на следующих двух примерах.
Пример 1.2.1. Рассмотрим уравнение
X
— x)u(G) , 0 х 1,
О
(1.2.14)
которое получается из (1.2.9), когда f(x) = 0, хо = 0, k(x, у) = 1 — х
при у < х и &(#, у) = 1 — у при у х, а = const / 0.
Уравнение (1.2.14) с симметричным ядром k(x,y) = k(y,x) экви-
валентно уравнению
и"(х) + Хи(х) = 0
(1.2.15)
г краевым условием
zz(l) = 0, и'(0) + А<ш(0) = 0.	(1.2.16)
При Л = 0 уравнение (1.2.14) имеет только тривиальное решение
н(.г) = 0. Когда Ха = 1, оно в точке х = 0 вырождается в интегральное
уравнение Фредгольма первого рода
1
у\1 - y)u(y)dy = 0,
О
выступающее в роли нелокального краевого условия для уравне-
нии (1.2.15). Если Л < 0, а > 0, то из принципов экстремума
(Хоп(|)а, Зарембы-Жиро) для уравнения (1.2.15) следует, что задача
Штурма Лиувилля (1.2.15)-(1.2.16) имеет лишь тривиальное (ну-
it not ) решение.
Пусть А = р2 > 0. Тогда из общего решения и(х) = Ci sin рх +
I ( j сон/де, Ci, (7г = const, уравнения (1.2.15) в силу (1.2.16) за-
клинаем, что уравнение (1.2.14) имеет нетривиальное решение и(х)
шмда и только тогда, когда р является корнем уравнения cos/z =
i»//nhi/z. Если же А = — р2 < 0, то в качестве такого уравнения
выступает уравнение ch/z = a/zsh/z, которое при а > 0 не может
имен, корпя. В исключительном случае, когда Ха = 1 и, стало быть,
паруiik'iio условие (1.2.10), уравнение (1.2.14) имеет нетривиальное
решение тогда и только тогда, когда р - корень уравнения
f tg/z, A = /z2,
1 th/z, А = — р2.
14
Глава 1. Общие сведения о нагруженных уравнениях
Пример 1.2.2. Рассмотрим уравнение (1.2.9) с вырожденным
ядром к(х, у) = а(х)0(у), непрерывным в квадрате 0 < х,у < 1.
Пусть для любой функции ip(x) е С[0,1] символы <рр и опреде-
лены по формулам
1
<Рр = 4>р(х) = (3(х)^р(х),	= у kp(x)dx.
о
Тогда рассматриваемое уравнение, после умножения обеих его частей
на (3(х) и применения операции интегрального усреднения, дает осно-
вание записать
йр = Хари(хо) + Харйр + fp.
Отсюда получаем, что если
Хар = 1,	(1.2.17)
то
Хари(х0) = -~fp,	(1.2.18)
а если же
Хар ± 1,	(1.2.19)
то
(1-2.20)
Из (1.2.17)—(1.2.20) заключаем: если
Хар = 1? ар / 0,
то исследуемый вариант уравнения (1.2.9) эквивалентен уравнению
Фредгольма второго рода
1
и(а:) = /(ж) -	+ А [ a(x)0(y)u(y)dy,
Л/З J
о
если соблюдено условие (1.2.19), то оно сводится к нагруженному
функциональному уравнению
и(х) = f(x) + Аа(ж)и(ж0) +	,
1 — Хар	1 — Хар
которое однозначно разрешимо тогда и только тогда, когда
ХаЫ + # 1.
1 - Хар
1.2. Понятия нагруженного функционального и интегрального...
15
' 1десь уместно отметить работу Х.М. Карова [84], где через интеграл
Римана—Стильтьеса в банаховом пространстве С[а,/3] определен опе-
ри гор, сопряженный оператору
т
Nu= / k(x^y)u(y)dy +
I
и и случае, когда Л - характеристическое число уравнения (1.2.6) с
непрерывным в квадрате [а,(3\ х [а,/3] ядром к(х,у), с коэффици-
ентами (ij(x) = Xbj(x) и свободным членом f(x) из С[а,/3], найдено
необходимое и достаточное условие его разрешимости в пространстве
<
Следует обратить внимание (см. [53], [54], [178, с. 148]), что соб-
г । цепные колебания нагруженной среды сводятся к нагруженному ин-
тегральному уравнению, которое эквивалентно интегральному урав-
нению в интегралах Стильтьеса и Стильтьеса—Радона. Интегралам
(' си л ьтьеса—Радона и общей теории интегральных уравнений посвя-
щены основополагающие работы Н.М. Гюнтера [53], [54].
Пусть теперь Q = {# € Rn : 0 < хj < /3?}; /3 = (/3i, /З2, -М Е Rn;
'•'/ Wj(xj) C[0,Z?j], 0 WjXj для любого j = l,2,...,n.
Тогда, широкий класс нагруженных интегральных уравнений типа
Нольтерра образуют уравнения следующих видов:
а0(х)и(х)=	+	/ к^х,^)и(х)\х_^^+
i о
+	/ d^i I	£?)и(ж) х.=(. d£j + ...
о о
... + J d^! У d&--- f k(x:,£)u(g)d£n+
0	0 о
♦ ^ai(x)u(xi,x%,	...,zn) + '^bj(x)u(xj).	(1.2.21)
ЬО	j=l
Herb, как и ранее, u(x) = u(x^,X2, ...,xn) - искомое решение, хОг =
...,#0), xi =	...yxi) - фиксированные точки из R* и
И ° соответственно.
16
Глава 1. Общие сведения о нагруженных уравнениях
Уравнение (1.2.21) при п = 2, х = (xri,хгг), х° = (я?,^)?	=
= (х^х^), С = (£1>£2), uj(xj) = Xj принимает вид
Х2
a0(x')u(x') = f(x') + J^1(x,£1)u(£1,X2№1+ j k2(x,&)u(xi,&)d£2 +
о	о
Xi Х2
+ jd£i У fci2 (ж, £)«(£)«& +a1(x)u(x'i,x2) + a2(a:)u(a:?,a^) +
0	0
+ ^d/a;)u(ar’), x € [0, ft] x [0, ft].	(1.2.22)
J=1
Если же n = 1, x = a?i, x° = x® = x0, x^ = xj = Xj, (3 = Z?i, (Ji(:ri) =
= w(x) < x, то из (1.2.21) или (1.2.22) переходим к уравнению
ш(х)
а0(х)и(х) = f(x) + у* к(х, £)u(g)d£ + ai(x)u(x0) +
о
+ '£bj(x)u(xj), 0 < х < ft	(1.2.23)
j=i
К уравнению (1.2.23) примыкает и уравнение с двумя переменными
пределами:
а0(я:)?1(я:) = /(#)+ /	0 х /3. (1.2.24)'
х	>=1
Известно (см., например, [171, с.146]), что если o,q(x) = 1, bj(x) =
= 0, ш(х) € С[0, /3], ядро
к(х,£) = (# — £)-afco(:r,£), 0 < а = const < 1,
где fco(#>£) - непрерывная в квадрате [0,/3] х [0,/3] функция, то для
любой функции f{x) 6 С[0, /3] существует единственное решение
и(х) 6 С[0, /3] уравнения (1.2.23), которое может быть получено ме-
тодом последовательных приближений.
Заслуживают внимания и нагруженные интегральные неравен-
ства, получаемые из (1.2.21) после замены знака = на знак Работа
1.3. Понятие нагруженных дифференциальных уравнений
17
|20Н| посвящена неравенству вида
«(*) «С f(x) + J[Ki(x)u(x)]\xt=(d£i +
О
Ж1_е1 ^1<^2 + ... +
®2=$2
Xi Х2 Хп
I J...jKn^u^.
0 0 о
1.3. Понятие нагруженных дифференциальных
уравнений
Нагруженное уравнение (1.1.1) называется нагруженным диффе-
ренциальным уравнением в области Q С Rn, если оно содержит хотя
бы <vuiy производную от искомого решения и(х) на принадлежащих
Л многообразиях ненулевой меры.
Общее определение нагруженных дифференциальных операторов
(ураннений) дано в моей работе [115]. Как заметил И.С. Ломов [99],
। определение включает как подкласс и дифференциальные гранич-
ные операторы. А.М. Krall [206] дифференциальными граничными
операторами назвал (обыкновенные) дифференциальные операторы
/., содержащие в дифференциальном выражении Lu неизвестную
функцию и в фиксированных точках интервала. А.Д. Искендеров в
рпботнх [79], [80] нагруженным дифференциальным уравнением назы-
Ihui дифференциальное уравнение, в которое входят также значения
искомой функции и ее производных в фиксированных точках области
НМ» 1НДНМИЯ.
В монографии М.Т. Дженалиева и М.И. Рамазанова [60] нагружен-
ные дифференциальные уравнения интерпретируются как (слабые
н »1И сильные) возмущения дифференциальных уравнений.
Многие явления в сложных эволюционных системах с памятью
гущм'тненно зависят от предыстории этой системы. Эти явления, как
ирниило, описываются нагруженными дифференциальными уравне-
нными, например, уравнениями следующих видов:
Ахи(х, t) + N[u(x, t)] = 0,
д	i) + .'¥[|хГ.г, ()],
+ /(1.3.1)
ot	J	or
о
18
Глава 1. Общие сведения о нагруженных уравнениях
которые Вольтерра назвал интегродифференциальными уравнениями
эллиптического, гиперболического и параболического типов соответ-
ственно. Здесь: - оператор Лапласа по х = (^1,^25^з):
А <	.гГ , ,Ч1	/‘A.z
&xu(x,t) = 2-Z Лд.2 > ЛГ[и(ж, t)] = / КМЖ>Т)—я“2-dr;
J=1 J	{ j=l	J
ko(t, t), kj(x, r) - заданные суммируемые функции.
Пусть ti, i = 0,1,..., m, - фиксированные точки сегмента 0 < т < t
и функция ko(t,т) = ai(t) при ti < т <	0 < to < ti < ... < tm <
< tm+i = t; решения и = u(x,t) уравнения (1.3.1) таковы, что
fy+i
/dU\X 7”)
—7dr = и(х,tj+i) — и(х,tj)
для любого j = 0, l,...,m; bj(f) = aj-i(t) — a-i(t) = 0. Тогда
уравнению (1.3.1) можно придать следующий вид:
ди	m
-j- = Дхи + am(t)u + ^2 bj(t)u(x, tj).
J=0
Если же положить ядро fco(t, г) = X(t — т) а/Г(1 — а), где А 6 1R,
а б]0,1[, Г(г) - гамма-функция Эйлера, и ввести выражение
(Futx Т} ~	_	1	[(t _	.
dotu(x,r) - Dot Qt	П Qt dr,
0
то из (1.3.1) получим следующее модельное нагруженное уравнение
параболического типа:
- A^fu(x, т) = Д^(х, t).	(1.3.2),
ot
Входящее в (1.3.2) интегродифференциальное выражение д^и(х,т)
называют производной дробного порядка а от u(x^t) по t в смысле
Капуто, хотя хорошо известно, что при 0 < а < 1, и(х^а) = 0, —оо
а < t выражение
д^и(х,т) = D2r1uT(x,r) =	= D“tu(x,r),
OTr
и функцию
даи _	1 fuT(x,t-T) _
dta Г(1 — a) J r2
о
1,3. Понятие нагруженных дифференциальных уравнений
19
f dr = D“^tuT(x,r)
—оо
А. 1!. Герасимов [43] еще в 1948 г. назвал производной от и(х, ^ порядка
г» по t.
В общем случае действие оператора п — 1 < а п = 1,2,..., на
функцию и(х, t) определяется следующей формулой:
К
—J
о
Уравнение (1.3.2) при а > 2 и более общее уравнение
fl	q	д2и
V и(х, т) = Лхи(х, t) + 52 Дл aS
/-I	J=1 J
дпи(х, г) ,
—т;-----
дтп
, (1.3.3)
Х=(Х1 УХ2 У • уХV у... уХп)
I де Aj, //j = const; 0 < Qi < аг < ••• < QJp > 2; X2 + p2 / 0, относятся
й1 клип у существенно нагруженных или спектрально-нагруженных
дифференциальных уравнений по терминологии М.Т. Дженалиева и
М И. I ’амазанова [204] (см. также [10], [166]).
Когда п = 1 (#1 = ж), q = 1 (/ii = /1), уравнение (1.3.3) записыва-
нгси и виде
А х а<=4 ( х d2U д2и
LAA“(I’T) = ^+"^ .
При д / —1 уравнение (1.3.4) редуцируется к уравнению
р
^Xjd^ и(х,т)~
j=i L
1‘!сли р не зависит от ж, то уравнение (1.3.5) эквивалентно следу-
ющей системе нагруженных уравнений:
р	&V
дх2'
(1.3.4)
_ д2и
дх2
(1.3.5)
=
(1.3.6)
j=l
u(x,t) — + ^(жр, t) =v(x,t).
Очевидна существенная взаимосвязь нагруженных дифференци-
н1ьных уравнений и обратных задач. Это хорошо прослеживается на
И|мн'том примере обратной задачи для уравнения
ди д2и / ч ,, х
20
Глава 1. Общие сведения о нагруженных уравнениях
в полу полосе 0 <t <Т\ х > 0 евклидовой плоскости точек (#,£), кото-
рая состоит в отыскании функции 6 С[0, Т] и функции и = и(х, t),
удовлетворяющих, наряду с условием Тихонова при х —> +оо, следу-
ющим условиям: и(х,0) = т(х), х 0, u(0,t) = To(t), u(r,t) = тг(£),
0 < t < Т, где <р(х), т(ж), 7o(t), Tr(t) - заданные функции из классов
С[0, оо] и С1 [0, Т] соответственно, <р(г) / 0.
Если принять во внимание, что при t > 0
j
то нетрудно видеть, что обратная задача редуцируется к прямой
задаче
и(х, 0) = т(ж), х 0, u(0, t) = то(£), 0 < t < Т
для следующего спектрально нагруженного уравнения параболиче-
ского типа:
ди _ д2и ip(x) ’d2u|	, '
dt дх2 <р(г) дх2 L=r Tr^ _
с условием А.Н. Тихонова
lim max lul ехр(—ex2) =0 (е = const > 0).
Z—+OO [0,Т]
А.И. Кожанов [89]—[91] развил математическую технологию, ос-
нованную на переходе от обратной задачи к новой прямой краево!
задаче для нагруженного уравнения с частными производными; анон<
сировал [92] связь пространственно нелокальных краевых задач дл1
уравнений вида
Utt — ихх + с(ж, t)u = /(ж, t), 0 < х < 1, 0 < t < Т,
с начально-краевой задачей для существенно нагруженных уравнени!
вида	j
Wtt - и)хх + с(я, t)w + А(х, t)wxx(0, t) + B(x, £)мжж(1, t) = Ф(я, t, w).
Важным примером нагруженных дифференциальных уравнений
является стационарное односкоростное уравнение переноса [39]
]_	+ у>(х,у) = £- [ e(x,y,£)<p(x,£)d£ + F(x,y)
а(х) t—f	^xj	4тг J
J_1	iei=i
в фазовой области {(х,у) : ж € fl С 1R3, |т/| =	+ 2/г + 2/з = Ч*
Здесь (р(х,у) обозначает плотность частиц, летящих в направлений
У = (з/i?3/2?З/з) из точки х = (ж1,^25^з);	~ заданная в области Г
| Л. Понятие нагруженных дифференциальных уравнений 21
Ишюжительная и ограниченная функция, характеризующая поглоще-
ние среды; А - спектральный параметр; О(я, у, £) и F(z, у) - заданные
функции.
К нагруженным уравнениям с частными производными первого
Ниридка относится уравнение Пригожина, моделирующее движение
нК11)Мобилей по автостраде:
dip	f	1
/Ь 1 идх =	—
р
<p-G(y) J <p(x,t, r))dr)
О'
где ф и ^(я, t, у) - плотность автомобилей в точке х 6 [а, 6] с Ж,
имеющих скорость у 6 [а,/?] в момент времени t > 0, то - время
|ииткснции, р и G - заданные величины, функция G = G(y) удовле-
I порист условию
J G(y)dy = 1,
а
И уркинсние Бенджамина—Оно
7^1) «
Ot	дх 7Г J	х — £
—оо
И МИ'ором интеграл понимается в смысле главного значения по Коши,
Со * const > 0.
Примером нагруженного уравнения с частными производными яв-
НМТГИ и уравнение
П2и 2d2u 2 f (	du(x,rf)	(
= J	(L3'7)
—оо
ынп|юо нстречается в теории распространения волн в диспергирую-
IHIH средах [38, с. 86]. Здесь и = и(х, t) - плотность, со - скорость
iHVhhi т масса и то - время релаксации.
При определенных допущениях уравнение (1.3.7) аппроксимирует-
1И урнииепием
d2U 2^2<и	2 (	\	/1 о о\
~	~ тТоС° V°a^ ” дхчп? J ’	1,3,8
Частным случаем уравнения (1.3.8) является уравнение Буссинес-
М Лика
д2и	д2и д^и
dt2	дх2	dx2dt2'
22
Глава 1. Общие сведения о нагруженных уравнениям
которое моделирует продольные волны в тонком упругом стержне ।
учетом эффектов поперечной инерции [63, с. 7].
В прямоугольной области Q = {# = (я^,гг2) : 0 < Xj < dj, j = 1,2
евклидовой плоскости R2 рассмотрим систему двух уравнений с дву
мя неизвестными действительными функциями
U2(x) = ^(^l,^)-
дохЛ1(£15Я2) - ^оЖ2112(^1,^2) = ail(z)ui(z) +а12(^)^2(ж) + /1(гг),
^0X2^1 (яьбг) + д“Х1и2(£ъх2) = а^х^и^х) + <122(2)^2 (х) + /2 (х).
(1.3.9
Эта система является заслуживающим внимание примером нагружен
ных систем в частных производных дробного порядка.
Если Q - содержащая начало координат область на плоскост]
комплексного переменного z = xi + ix2, то уравнение
д^и)
-gz + a(z)w + b(z)w + c(z)w(Re z) + d(z)w(Im z) +
p
-h4(z)w(Re z) + В (z)w (Im z) + ^JAj(z)w(zj) +
j=i
Q
+ $2вДгМ2,) = /(2),	(1.3.10
J=1
где
d 1 / д . d \
ai = 5(&r + ,ai;/ J =
- оператор Коши-Римана, относится к классу нагруженных эллипте
ческих систем с двумя неизвестными функциями щ = Rew и и2 -
= Im w.
Система (1.3.9) в определенном смысле является обобщением си
стемы (1.3.10) с коэффициентами А(г), В(г), Aj(z) и В^-(г), тожде
ственно равными нулю.
Исследованию задачи Римана—Гильберта для различных вариа!
тов уравнения (1.3.4) посвящены работы [185], [186].
Следует отметить, что в основе математических моделей нелокал!
ных физико-биологических процессов фрактальной организации, ка
правило, лежат нагруженные дифференциальные уравнения с час1
ными производными дробного порядка [146], [164], в том числе и у рая
нения вида (1.3.6). К нагруженным дифференциальным уравнения!
приводят краевые задачи со смещением для уравнений с частным
производными [140]. Классификации нагруженных дифференциал в
ных уравнений как скалярных, так и матричных, а также важнейши!
примерам этих уравнений посвящена вторая глава моей книги [13(
(см. также [55]). Здесь же уместно отметить работы И.С. Ломов
I 4. Нагруженные уравнения как метод введения обобщенных решений 23
[1Ш|, 1НЮ], где на основе развития метода спектрального разложения
II.Л. Ильина [75], [76] на случай нагруженных обыкновенных диф-
||м»|ич|циальных операторов, определяемых на множестве разрывных
функций, доказана теорема о безусловной базисности корневых век-
|ц|и )Н нагруженных дифференциальных операторов второго порядка.
Стоит обратить внимание и на работу В.М. Абдуллаева и К.Р.
Айдо^тде [3], где предложен численный метод решения задачи опти-
Mii'i 1«Н(>1’0 управления системой линейных, по фазовым переменным,
HWIр,уженных обыкновенных дифференциальных уравнений первого
пнрмдка с условием Коши и с неразделенными (нелокальными) мно-
I точечными условиями.
L4. Нагруженные уравнения как метод введения
обобщенных решений уравнений математической
физики
II монографиях [55], [60], [140], [146], [164], [170] содержатся раз-
-III4III.K’ применения нагруженных уравнений как метода исследова-
нии шднч математической биологии, математической физики, теории
нюемптического моделирования нелокальных процессов и явлений,
номппики сплошных сред с памятью и физики фракталов, краевых
ЖЛЛЧ го смещением и теории упругих оболочек.
Нагруженные уравнения выступают как метод решения локаль-
ным И нелокальных задач для уравнений с частными производными
И оЛы к попонных дифференциальных уравнений [140], [206].
II нш'тонщее время установлена существенная взаимосвязь крае-
вым тдпч со смещением и нагруженных уравнений. В случае обык-
HoHiHHihix дифференциальных уравнений эту связь можно увидеть на
•нщующем примере: пусть v(x) - решение нагруженного уравнения

, г} L-r'l
'W -------------------------
L	i — Mi
Mo .	. Mov(l) - v(0)
1-До ) 1-До
ll(.r) - v(x}~
ннирфициентами c(x) 6 C[0,1], Mo и Mi = const / 1, тогда функция
vz(0) -Mi^(l) / Mo + \ + Mo^(l) - v(0)
1 - Mi \ 1 - Mo /	1 - Mo
UH Hlliopiiiuio 0 < x < 1 является решением задачи co смещением
u(0) = Mo^(l)5 uz(0) = Mi^Al)
I IH УрНННОНИЯ
u"(x) = c(x)u(x).
24
Глава 1. Общие сведения о нагруженных уравнениям
(1.4.1
Нагруженные уравнения можно использовать и как метод введе
ния обобщенных решений уравнений в частных производных [131
[140].
Рассмотрим одномерное волновое уравнение
'Uyy ихх = 0
в области Q = {z : 0 < х+у < х—у < г = const} евклидовой плоскост!
R2 точек z = (ж, у).
В пространстве C(Q) обобщенным решением уравнения (1.4.1
можно назвать любую функцию u(z) = и(х, у) 6 C(Q), являющуюся
решением нагруженного функционального уравнения
z ч (х — у у — х\ (г + х + у г — х — у\ (г т\
и(х,у) =ul	) +М-----2
2
(1-4.2'
Уравнение (1.4.2) представляет собой специальную форму записи тео-
ремы Даламбера о том, что любое регулярное в выпуклой области Г
решение u(z) уравнения (1.4.1) представимо в виде
-ц(г) = (р(х + у) + *ф(х - ?/),
где <р(£) и ^(т?) - действительные непрерывные функции переменны^
£ = х + у,т] = х-у.
Функцию и = и(х,у), обладающую тем свойством, что и(х, 0) I
иу(Х)0) принадлежат пространству ДО, г], можно принять за обоб
щенное решение уравнения
Mmuxx -иуу = 0, т = const > 0, у < 0,
в области Q=|z : 0 < (,=х-^^{-у) z < 'П = х-\-^^(-у
если оно удовлетворяет нагруженному уравнению
и(х,=	“ ^~20D(v	~ t¥>~lu(t’ °)+
А \м)
1
2

где - оператор дробного интегрирования порядка /1 > 0 с начало1
в точке 0 ис концом в точке т] > £:	(
е
В случае, когда и(х, 0) и иу(х, 0) при 0 х < г удовлетворяю*!
условию Гельдера порядка ai>l—/?иаг>/? соответственно, эт(
| Л. Нагруженные уравнения как метод введения обобщенных решений 25
ИИраделение совпадает с определением обобщенного решения задачи
Коши: и(я:,0) = т(гг), иу(х,0) = v(x), 0 < х < г для уравнения (1.4.3)
млмсл R\ по терминологии К.И. Бабенко [165, с. 148], [172, с. 38].
Положим, что Q - ограниченная область плоскости комплексной
1№|№мопной z = х + гу, граница о которой состоит из конечного числа
Н»М1П|Юсекающихся кусочно-гладких замкнутых линий. В области Q
| нит м отри м уравнение
^=/(z) = Re/(*)+iIm/(*),	(1.4.3)
0Z
1ЛГ
а = 1 / д_ . 5_\
dz 2 \&г гду)
oili’pivi'op Коши—Римана, w(z) = u(z) + iv(z) - искомая, а /(г) -
нммшннн функции комплексной переменной z = х + iy.
Обобщенное решение w = w(z) 6 C(Q) уравнения (1.4.3) с правой
Wlhio f(z) € С(Я) можно ввести как решение нагруженного инте-
1|жл иного уравнения
27Г J t — Z 7Г J (, — Z
(Т	Q
и теории функций комплексного переменного известно под
НМЙМИИГМ формулы Бореля—Помпею.
Уравнение (1.4.4) следует из формулы Грина для оператора d/dz.
Любое решение и нагруженного уравнения, задаваемого форму-
Цой Грина 1136, с. 145] для линейного дифференциального оператора
I • /)(/,)-♦ Я(£), легко интерпретируется как обобщенное решение
кюгиги^тнующего уравнения Lu = /, и 6 f R(L). Сказанное
ЦрнЮ1М монтируем на примере уравнения
Lu = f(x), х 6 12,	(1.4.5)
। ю г г (Г|,;га,...,2:п);
l = У2	+фо,
дх, ' dxi	dxi v 7
i,j=l J	г=1
11 нПиагти из Rn, граница a = dQ которой состоит из конечного числа
МЧ1Н|ИЧ'сШК)Щихся замкнутых (п — 1)-мерных гладких поверхностей;
нЦ»г), с(х) - непрерывные в замыкании Q = Q U а функции.
IhvTh
= Ё - Ё s/w+
1.1=1 J	1=1
26
Глава 1. Общие сведения о нагруженных уравнениям
- оператор, сопряженный к оператору L; Uj = cos(i/, Xj) - направляю
щие косинусы внешней нормали у = (i^i, 1^2, •••> ^п) к границе о в точк
х 6 а; у* = (i/1, i/2,..., уп\ уг =	- конормаль (относительна
L) в точке х 6 а; а = (а1, а2,..., ап);
ау = а1^)^ + а2(х)у2 + ... + ап(х)уп,
ди/ду* - производная по направлению конормали от функции и(х
в точке х; и = и(х) - произвольная функция из области определе
ния оператора L*, принадлежащей C'1(Q). Тогда обобщенно
решение уравнения (1.4.5) определяется как функция и = и(х\ уде
влетворяющая нагруженному уравнению
f	f / ди ди \ . f .	а
/ uL udil + / v------и------\-uvay]da= / vfdil. (1.4.f
J	J \ dy* dy* J J
Q	<7	Q
Если v и ди/ду* или же и и и обращены в нуль на а, то ш
груженное уравнение (1.4.6) вырождается в интегральное уравнен»
Фредгольма первого рода
У (uL*v - fv)da = 0.	(1.4.7
Q
Хорошо известно, что уравнение (1.4.7) лежит в основе определи
ния слабого решения задачи Дирихле и\а = 0 для уравнения (1.4.5)i
При наличии специального (фундаментального) решенц
v = G(rr,2/) у оператора L, которое обращается в бесконечное!
определенного порядка при х = у, уравнение (1.4.6) можно записав
в виде (1.2.5).
В случае, когда п = 2, х = (х^х2\ у = (з/i, З/2), оператор L ।
=. д2/дх2 — д/дх2, a L* = д2/дх2 + д/дх2, в качестве функции
можно взять, например, фундаментальное решение уравнения Фур]
Lu = 0:
'(^l -У1)2
/ X	1
и(х, у) = —/	= ехр
^•\/^{х2-У2) L У2~х2
х2 > У2-
Глава 2
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ НАГРУЖЕННЫХ
УРАВНЕНИЙ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
2.1. Постановка задачи Гурса
II области П = {z : 0 < х < Л, 0 < у < Т} евклидовой плоскости 1R2
ючск ’	(т,//) рассмотрим линейное нагруженное уравнение строго
। ннн||Гим111'1еского типа
з
Lzu = У7 взи + ЯД
J=i
(2.1.1)
। ic н u(.r, //) = u(z)-.
т д2и л, . ди	.ди .
L-usa^i + A^ai + B^ai + CMu'
У
д 7*
B\u = a(z)— / a(z\ rf)u(x, rf)dTj+
ox J
0
x	x у
<l>(^ J/c^Qu^dr);
0	0	0
У	X
lh" = У a\z;7])u(xi,T])dT) + J /У (z-,£)u(£,yj)d£;
0	0
Ihu = c^zyulzij), C = (£,??), Zij = (Xi,yj).
I mi- и ниже под повторяющимися индексами i = l,2,...,m и
< I Л , и подразумевается суммирование.
V।miniri।иг (2.1.1) относится к классу нелокальных уравнений с
mi । нымн производными гиперболического типа [140, с. 244].
Чнгшым случаем уравнения (2.1.1) является уравнение
у	х
п п 1	/и(ж>£М£ + т,тг [и(£,у№ = 0
IhUu дх dxj	dyj
о	о
28 Глава 2. Краевые задачи для нагруженных уравнений.^
с постоянными коэффициентами а, /3 и 7, достаточно гладкие penij
ния которого представляют собой решения следующих уравнений: I
(Ри д2и д2 [ (	\ ди
Mi + aa^ + l3a^J “<*«* + '<ai = °'
О
д^и д3и	_ л
дх2ду2 + а дх2ду дх2 ду2
Приведенное в § 1.3 уравнение (1.3.8) является вариантом послед
него уравнения с частными производными четвертого порядка.
Задача Гурса. В области Q найти решение u(z) уравнения (2.1/
из класса C(Q), удовлетворяющее краевым условиям
u(x,ty = <р(х\ 0 х Л,	(2.1.1
гл(О,у) = 0(т/), 0 у Г,	(2.1.1
где (р(х) и - заданные функции из классов С[0, Л) и С[0,'
Очевидно, условие </>(0) = 0(0) со-
гласования граничных данных ip(x) 1
0(т/) в точке z = 0 является необхода
мым условием разрешимости задач!
Гурса в классе C(Q) функций и(х, у)
непрерывных в замыкании Q облает!
Q (рис. 2.1.1).	।
. В теории краевых задач для уравнения (2.1.1) фундаментальну
роль играет функция Римана 7?(£;z) = Я(£, 77; я, т/), которая опред
ляется как решение задачи Гурса:
R(x, 77; z) = exp
А(ж, t)dt , R(& у; z) = exp
B(t, y)dt
для уравнения
^-^[лк)л|’Д[вк)л1+ск)л-°'
Известно (см., например, теорему 5.2.1 работы [136, с. 198]), Ч
если функции А(г), В(г), Ax(z) = dA(z)/dx, By(z) = dB(z)/dy неп(
рывны в Q, то функция Римана Я(£, z) существует и единственна.
В этой главе, если особо не оговорено, будем предполагать, ч
функции Ax(z), By(z), ax(z), by(z), ax(z; 77), 0y(z; £), c(z), C(z), a*(z;i
У, L Постановка задачи Гурса
29
(i}(), cv’(z) и f(z) непрерывны в замкнутых областях их определе-
нии.
Вне дем следующие обозначения:
у
Г1
I У	+ У с£1 У c(Ci,C)fl(Ci,z)d77i;
<	е п
У
1Ca(z;7]) = У а(я:,771;77)а(а:,771)Я(а:,771;г)</771;
Г1
е
X
= Я(я,0;гМя) -fl(0,0;zM0) + J[В(£,0)Я(£,0;.г)-
О
-я«(бо;г)- у /з(е1,о;еже1,о)я(е1,о;г)^1]¥>(е)^;
£
у
Ф(з; 1р) = Я(0, у; гУф(у) + J[А(0,r])R(Q, у; z)-
О
У
z) - У а(О,771;»7)а(О,771)Я(О,771;г)^1] V’(’7)^»7;
П»./)- jd^l R&zWQdv ^(г) = Ф(г^) + Ф(2;^) + Я(г;/).
О о
Hmiwi* место
*№ц№МН 2.1.1. Задача Гурса (2.1.2), (2.1.3) для уравнения
L^B^ + ftz)	(2.1.4)
30 Глава 2. Краевые задачи для нагруженных уравнений..^
эквивалентна нагруженному интегральному уравнению Вольтеррс
второго рода
х у
u(z) + j j K£(z; Quadri =
О о
= ft(z) + j rf(z-M£,y)d£ + J
О	о
JCa(z; rf)u(x, T^dq,
(2.1.5:
которое безусловно и однозначно разрешимо.
Уравнение (2.1.5) непосредственным вычислением получается из
уравнения
u(z) = R(x, 0; z)<p(x) — R(0,0; г)^(О) + R(0, у; г)^(з/)+
х	у
+1[В(е, 0)Я(£, 0; z) - R^, 0; z)]	/[А(0,7?)Л(0, т?; z)-
О	о
-R7l(0,7];z)]ip(r])dT] +F(z;f) + f d£ f Rfc; z)(B1u)dr),
0	0
которое в силу свойств функции Римана R эквивалентно задач!
(2.1.2), (2.1.3) для уравнения (2.1.4).
Уравнение (2.1.5) однозначно и безусловно разрешимо (см. [18J1
[21], [36], [51]), так как обратимая замена
х	у
u(z) = v(z) + У P(z;£i)vfa,y)d£i + Q(z;7h)v(x,Th)d7h, (2.1.в;
О	о
где Р и Q соответственно являются решениями интегральных урав
нений Вольтерра второго рода
Р(^С1) - I= K?(z;£i);	(2.1.7;
6
У
- У K,a(z-,rj)Q{x, 7); rii'jdT) = /Cq(z;t7i),	(2.1.8;
ГЦ
I Постановка задачи Гурса
31
|м<ДУЦирует его к интегральному уравнению Вольтерра второго рода
Ф) = У У Ф;(М(Й+/£(г)
О о
I ИД|И)М
r(z;С) = P(x,,r,WCa(z^ -*£(z;C) +
У(*;6,»?)?(&,»?;CMCi - У.
'(	ч
(' у «Н’Ч'ом (2.1.7) и (2.1.8) формулу (2.1.6) можно переписать в виде
«(«) = У Л2;С1)/а(6,У)<^1 + У Q(^; »71)/а (ж; 77i)dT7i4-
О	о
+ У У Г(2; Ci)/f(Ci)d77i + f^z).	(2.1.9)
О о
Нн1|1УДИ<> убедиться, что ядро Г(з;£1) однозначно определяется как
|1НН1нннм уравнения
Г(2;СХ) = y^(z;e)r(e,y;Ci)de+
I I	jd^l
41	$1 41
У ^'п(«;6^1)-Р(^Л1;6)^-У ^а(г;6,»?)<Э(^1л;»?1)^+
<»	41
FK:(,(z; г/1)Р(ж, 771; С1) + ^(«5 Ci)Q(Ci, У, т)-
Ну* и»
= У P(z^1)f^^,y)d^1 + f^z)+
О
32	Глава 2. Краевые задачи для нагруженных уравнение
+ У Q(z; T)i)fa(x’+ У с£1 У Г(г;С1)/^(С1)</771,
О	0	0
p\z-, 77) = У P(z; ei)«’(€i, У, ^1+	!
О
У	х у
+ У Q(2;T7i)a*(a:,77i;77)d77i+ a*(z;77) + f d£i j Г(г; Ci)a*(Ci; rfidr)!,
7)	0	7?
Qj(z;& = J Р(г;ЫУ&,У;Ж1+j Q(z;m)^(x,m^)dm+/P(z;^
$	О
+ /<&/
$ О
Г°(г) = У Р(г;С1)съ(6,У)«^1 + У <Э(г;/?1)с°(х, 771)^1+сУ (г;»?)-
О	о
х у
+ /^1 г&Ыс^ылт.
О о
Формула обращения (2.1.9) для оператора L — В± позволяет (
казать, что любое решение u(z) задачи Гурса (2.1.2), (2.1.3) )
уравнения (2.1.1) представимо в виде
и
Qj&№A№+
+rv(z)^(yj) + F£(z),	(2.1,
где
u(xi, у) = V’i(y), и(х, yj) = <pj(x).
Из (2.1.10) непосредственно вытекает
yl I Постановка задачи Гурса
33
Ъюрема 2.1.2. Задача Гурса (2.1.2), (2.1.3) для уравнения (2.1.1)
ыиииилентна системе нагруженных интегральных уравнений Фред-
цммш второго рода
У	xi
<М.У) = У Рг(х1,у;т])^г(г])(1т] + У О’(я,, у; (£)</£ +
о	о
+rZ3(xi,y)^i(yj) +F?(xi,y), l =	(2.1.11)
Ук	X
<Pk(x) = У Pz(x,yk;r}')4>i('r]')d'r] + У QJ(x,yk',&¥>;)(£№ +
О	о
I rtJ(j;,?/fc)V’i(?/j) + Ра(х>Ук), к = 1,
Лггко видеть, что если cZJ(z) = 0 Vz = l,...,m, j = 1,...,п и
!•*(♦.»/)	0 Vz = l,...,m или	= 0 Vj = l,...,n, то (2.1.11)
1И*|М'М»ди i в систему интегральных уравнений Вольтерра второго ро-
4А При нарушении этих условий задача Гурса для уравнения (2.1.1)
киник I' не быть безусловно и однозначно разрешимой.
ИМ. Кпзисв [82] исследовал задачу Гурса для уравнения
к
|//Гп//-.г.г + y^aj(z)Z?Q^u[g(a?),O] = 0, m = const 0, у < О,
j=i
И Минными ив характеристиках
. .	2 z к JHI "1“ 2	__	2 z . JHI "1“ 2
/, х ——(-у) 2 = О, ВС: п = х+—-(-у 2 =1,
m + 2	тп + 2
BMOHUHiiiitх ич точки С= (|, — f22^] m+2). Здесь Л = (0,0), В = (1,0),
II «г W( ।) • х, 0(х) G С[0,1], ак < aifc-i < ... < oil < 1, ctj G
• I "|( ' II) : <>•
l’n<i<>iи Л.Х. Лг'гаева [8] посвящена задаче Гурса:
//|уо(;с)] = <р(х), u[0O(z)] = lKx), о X 1,
Will I I (I	/).;•/2, и характеристической задаче
н|^|(.Н I <Л)(1)] = <^(^), ^[^о(^)] =	0 х 1,
\ рнвигпин
к
N**	«М1/ I <•(:)<!., + b(z)uy + c(z)u - '^aj{z)D^u^,y), £ = х - у,
>=i
IMpHhii'piti'Tii'iecKOM прямоугольнике Q = {z : 0 < х + у < 1,
• ♦ м-Ц.
34
Глава 2. Краевые задачи для нагруженных уравнений:
З.Г. Гогуноков [46] нашел условия однозначной разрешимости за
дачи Гурса: гл(О,у) = <р(у) 6 Crl]0,Z], и(х,Г) = 0(#) € С4 [О,l[,	*
= 0(0), Для уравнения
д2и (У ди /3 ди ( \ип (	\
5-5- +-----я---------5“ = ~(у - x^Biu^x, у)
дхду у — хдх у — хду
в области Q — {z : 0<х<у<1 = const}, где (3, /3', у = const
0 + (3' < 1, /3 < 1, /3' < 1, у > —2,
д /*
Biu(x, у) = a(z) — / a(z;Tj)u(x,Tj)dTj+
ох J
У
+b(^ /	+	/ c(*;C)u(C)d,7-
О	Оу
И.Г. Мамедов [102], [103] сформулировал и исследовал задачу Гу|
са нового типа для класса нагруженных гиперболических уравнени
четвертого порядка. Аналогам задачи Гурса для системы нагружен
ных дифференциальных уравнений посвящена работа [153].
2.2. Спектр однородной задачи Гурса для
модельных нагруженных уравнений
гиперболического типа
В области Q рассмотрим уравнение
иху = A[Z>oa.1u(^, х0) + D^u(x0,»?)],	(2.2.
где Л - отличный от нуля спектральный параметр, (хо,хо)е&, #о>1
Пусть ж* - точка пересечения графика функции у = 2х — shx
полупрямой у = 0, х > 0. Существование и единственность тако
точки очевидны, поскольку у(0) = 0, у'(х) = 2 — ch х > 0 пр
у'(х\) = 0, у'(х) < 0 при х\ < х < оо, у(х) —► —а
когда х —► +оо. Вычислительный эксперимент говорит о том, чт
2,17699 < я* < 2,17799.
Справедлива следующая теорема.
Теорема 2.2.1. Однородная задача Гурса
и(0, у) = 0, 0 < у < Г, и(х, 0) = 0, 0 < х < г, (2.2.!
для уравнения (2.2.1) не имеет решений, отличных от тривиал\
ного, тогда и только тогда, когда Л / Хь, k = 0, ±1, ±2,..., где Xq
= x%Xq 3, Xk = — 1^2к2х^ 3 при k = ±1, ±2,... Все собственные функцъ
I J (Ъектпр однородной задачи Гурса для модельных...
35
|ц(>). соответствующие собственным значениям Хь, к = 0,±1,±
ГЛ имеют вид
/ ч / . тгкх . 1гку\ .	, „ , л
Uk(z) = cq I 2/sin----rrsin----- ), к = ±1,±2,...,
\	^0	^0 /
z 4	/ . x*x x*x xyx*
uq(z) = ci ?/sh------|-#sh-----------
\ Xq	Xq Xq
(2.2.3)
in и C| произвольные постоянные.
Действительно, в классе функций и(х, у) 6 C(Q), удовлетворяю-
щий условию (2.2.2), уравнение (2.2.1) эквивалентно нагруженному
иннл рвльиому уравнению
X	у
= Ху j\x - g)u(£,x0)d£ + Хх j(у - ri)u(xo,7i)d7].	(2.2.4)
о	о
llvt'fi. у’о(у) = и(жо, J/),	= и(х,х0). В силу (2.2.4) функции <р0
И V'u Ф»лжпы удовлетворять системе уравнений Фредгольма второго
|ИИН
</'н(.г) Ахо /(т - С)^о(С)с?С = Хх f (хо - С<Ро(С)^,
°У	х°о	(2.2.5)
vii(w) - Хх0 J(y-CWCX = f (хо - C)V’o(C)^-
о	о
Гинемн (2.2.5) не имеет решений, не представимых в виде
/£() 8111
<Ро(у) = Уо sin
ври \ II и в виде
<ро(у) = sh
(2.2.6)
(2.2.7)

и|Щ \ • 0, где pi и Vi (г = 0,1) - некоторые постоянные. Это
1ЩЧ1ИС вытекает из того факта, что любое решение (</?о5^о)
Hi ।i Miii (2 2.5) представляет собой решение системы
|/>о(х) = Ххо^о^х), О^х^г, ^о(0) = 0,
^о(//) = Ажо^о(?/),	0 Г, <£>о(0) = 0.
I|ц»н 1НВЛНИ (2.2.6) и (2.2.7) в систему (2.2.5) и учитывая, что

/(т
it
36
Глава 2. Краевые задачи для нагруженных уравнений.
при Л < 0 и	I
X	J
Xxq j(х — £) sh	d£, = sh	— ху/Хх$
о
при Л > О, получим	|
Wo + (2/0 - sin yo)yQ = Q	z2	2	J
2/o^o + (2/0 - sin2/o)Mo = 0	k
при Л < 0 и
2/oMi + (2/0 - sh7/o>i =0,	z2	2	(
2/o^i + (2/0 - sh2/0)Mi =0	k
при Л > 0. Здесь 2/o = #ov |A|#o-
Из системы (2.2.8) алгебраических уравнений заключаем, что //о
Uq отличны от нуля тогда и только тогда, когда у$ = тгк, к = ±1, ±2,.
Определитель системы (2.2.9) равен (2?/о — sh3/o)sh?/o. Поэтому /zi
У\ отличны от нуля тогда и только тогда, когда уо = х*. Из (2.2.1
при 2/о = лк, а из (2.2.9) при уо = х* находим Vq = —//о5 И. = Д
Теперь, чтобы найти собственные функции (2.2.3), соответствующи
собственным значениям А^, достаточно подставить в (2.2.4) функцй
Ро и из (2.2.6) и (2.2.7).
Теорема 2.2.2. Однородная задача Гурса (2.2.2) для уравнения
иху - f(z) = В3и = czju(xi, yj), czj = const,	(2.2.K
не имеет более одного решения тогда и только тогда, ког(
сгзXiyj / 1. Единственное решение u(z) задается формулой
u(z) = xy[cZ3F(xi, yj)]/(l - c^Xiyj) + F(z),
где
x у
F(z) = j d£ j f^dij.
0	0
Действительно, задача (2.2.2), (2.2.10) эквивалентна нагруженное
функциональному уравнению
u(z) = хуВзи + F(z).
Стало быть,
В3и = czjxiyjB3U + czjF(xi, yj).
Заметим, что и задача Коши в классической постановке
5^1	=0, j = 0,l,...,m-l,
i J Нелокальные обобщенные задачи Гурса
37
яни нагруженных дифференциальных уравнений и систем вида
Нти
= Аи + сгз (x,t)u(xi,tj) + /(z,f), х = (xri,..., xrn),
IMH Л дифференциальный оператор, не содержащий производных
Нм Н|И’М<’11ной переменной t порядка выше т — 1, не будет безусловно
рн ||ичпнмой. Например, задача Коши
u(0) = и'(0) = ... = ^-^(О) = О
>ми ураннения
и™ = Sutti) + /(t),
I и - н(/), сг = const, i = 1,2, ...,n, 0 < ti < t2 < ... < разрешима
HH »ih и только тогда, когда сЧ? / n!.
У.З. Нелокальные обобщенные задачи Гурса
11 Vi I »•: го - (гго, Уо) ~ заданная фиксированная точка из замыкания
П |<1 -нн гн П (см. рис. 2.1.1); <£>(#), ak(x) и bj(y) - заданные
фннинп. непрерывные при О^ж^ЛиО^^Т, fc = 1,2, ...,m,
I ГЛ .//.
И фундаментальных и прикладных исследованиях возникают раз-
‘♦Н'НН»Н' марнппты следующих двух нелокальных обобщенных задач
IW*
2.3.1. В области Q найти решение u = u(z) уравнения
III II. Hf4ip(phiHHoe в Q и удовлетворяющее условиям Гурса в инте-
iblhift ноггпновке:
Уо
//.[(), ?/о; #] = — u(x,y)dy = <р(х),
У о J
о
О х < Л,
XQ
u(x,y)dx = V’(y))
О у Т.
(2.3.1)
(2.3.2)
1нлнчй 2.3.2. В области Q найти решение u = u(z) уравнения
ill 11 непрерывное в Q и удовлетворяющее нелокальным внутренне-
Vi линиям
ak(x)u(x,yk) = <р(х), 0 х Л,	(2.3.3)
Ь^у)и(х3,у) = V>(?/), 0 у Г,	(2.3.4)
I n mH I, v•(•!’) и hj(y)9 ^(у) - заданные функции, непрерывные на
|П, h\ и [О, Т] соответственно.
38 Глава 2. Краевые задачи для нагруженных уравнений..\
Условия (2.3.1), (2.3.2) при уо —> 0, xq —> 0 переходят в условия
Гурса (2.1.2)-(2.1.3). В случае, когда ai(rr) = 1, а>к(х) = 0 для всех
к = 2,3, ...,т; ЬДя) = 1, bj(x) = 0 для всех j = 2,3, ...,п, задача 2.3.2
представляет собой задачу Гурса для уравнения (2.1.1).	|
Задачи 2.3.1 и 2.3.2 в случае, когда условия (2.3.2), (2.3.3) заме-j
йены условием Гурса (2.1.2) и соблюдены соответствующие условия
согласования характеристических граничных данных:
(2.3.5)
(2.3.6)
Xq
^[0,а?о] = — [ <p(x)dx = 0(0), bj(O)<p(xj) = *0(0),
#о J
о
были объектами исследования автора [119], [122].
Как видно из (2.3.1)-(2.3.2), условие согласования граничных дан-
ных, выраженное равенством
[0, я0] = 0[О,з/о],
является необходимым условием разрешимости задачи 2.3.1.
Задача 2.3.1 в случае, когда уравнение (2.1.1) представляет собой
одномерное волновое уравнение
д2и — О
дхду
записанное в характеристических координатах, впервые была рас-
смотрена З.А. Нахушевой [149], которая заметила, что при выпол-
нении условия (2.3.5) единственное решение u(z) задачи (2.3.1)-(2.3.2)
для уравнения (2.3.6) в области Q задается формулой
u(z) = <р(х) + 0(з/) - у [0, #о].	(2.3.7}
Здесь под решением уравнения (2.3.6) понимается любое непрерывное
в замкнутой области Q решение u(z) нагруженного функционального
уравнения
u(z) = и(х) + u(iy) — гл(О),	(2.3.8)
где z = х + гу - комплексная переменная.
Другими словами, формула (2.3.7) однозначно определяет реше-
ние u(z) уравнения (2.3.8) по граничным условиям (2.3.1), (2.3.2) и
условию (2.3.5) их согласования.
В случае общего гиперболического оператора
+ ОД^ + B(z)^ + ОД)
охоу ох оу
обобщенное решение вводится как непрерывное в Q решение u(z)
следующего нагруженного уравнения:
u(z) = R(x, z)u(x) — Я(0; г)гл(О) + R(iy; z)u(iy)+	|
J, 3. Нелокальные обобщенные задачи Гурса
39
+ / [В(£)Я(£; 2) - z)M) #+
^[A(iT])R(iT]-z) — R^ir]; г)]и^т])(1т] + J d^jR(C; z)L^u(Qdrj, (2.3.9)
’о	о о
где R(C',z) - функция Римана для оператора Lz (см. §2.1).
Формула (2.3.9) устанавливает связь задачи Гурса в локальной и
иглежальной постановках для уравнений с оператором д2 /дхду с ши-
роким классом нагруженных интегро-дифференциальных уравнений.
Гели Lzu(z) = f(z), то, удовлетворив решение u(z) уравнения
(2.3.9) условиям (2.3.1), (2.3.2) и (2.3.5), получим систему двух ли-
пеПпых интегральных уравнений Фредгольма для и(х) и u(iy).
11усть A(z) = B(z) = C(z) = 0 и
Тогда из (2.3.9), принимая во внимание, что 7?(£;z) = 1, получаем
u(z) = и(х) + u(iy) - -u(O) + XyD^u^). (2.3.11)
Удовлетворим решение u(z) нагруженного интегрального уравнения
(2.3.11) краевым условиям (2.3.1), (2.3.2). В результате будем иметь
>р(х) = и(х) - и(0) + ^(0) +
V’(y) = w(ij/) - “(0) + V’(O) + ^Z>o/0u(C).
(2.3.12)
(2.3.13)
Уравнение (2.3.12) является нагруженным интегральным уравнением
Вол i/герра второго рода, и его можно переписать в виде
и(х} = ц>(х) + Со + Ao J [<р(£) + Со] ехр[Ао(я - t)]dt
о
или
и(х) = ip(x) + Ao J <£>(£) ехр[Ао(я — t)]dt + coexp Ао#, (2.3.14)
о
где с0 = 7/(0) - <£>(0), Ао = —Хуо/2.
40
Глава 2. Краевые задачи для нагруженных уравнений..
Из (2.3.14) в силу (2.3.2) получаем
Xq X
0(0) = ^[0, #о] + — [ dx [ (p(t) ехр[Ао(я - t)]dt + -^-[ехр(Ло^о) - 1]
Xq J J	AqXq
о о
Поскольку из последнего равенства
Xq X	Xq	Xq
— j dx j ip(i) exp [Ao (ж — t)]dt = — j tp(t)dt jехр[Ао(ж — t)]dx =
оо	о	t
Xq	Xq
= — / <р(<){ехр[А0(ж0-£)]-1}<Й = — / <p(t)exp[A0(ar0-t)]dt-^[0,ж0]
хо J	хо J
о	• о
ехр(Аожо) - 1 = Аожо.Е1(Аоя:о; 2),
то получаем формулу
XQ
соЕ1(ХоЖо; 2) = -0(0)--/ <p(t) exp[Ao(zo - t)]dt,
хо J
о
которая однозначно определяет значения cq.
Решение u(z) задачи 2.3.1 в случае уравнения (2.3.10) задается
формулой (2.3.11), где и(х\ гл(О), со + <£>(0) и u(iy) однозначно на-
ходятся из (2.3.13)-(2.3.15).
Непосредственным обобщением уравнения (2.3.10) выступает
уравнение
(2.3.15)

(2.3.16)
Q
где 0qx = Dq”1— - оператор дробного дифференцирования по х
порядка а 6 [0,1] с началом и концом в точках 0 и х.
Пусть и(х) - непрерывное в Q решение уравнения (2.3.16), обла-
дающее тем свойством, что функция Dqxu(£) абсолютно непрерывна
на [0, Л]. Тогда смешанная производная uxy(z) представима в виде
uxy(z) = XD^au(£).	(2.3.17)
В случае уравнения (2.3.17) из (2.3.9) с индексом а > 0, с учетом
равенства Dq“u(£)|	= 0, приходим к нагруженному интегрально-
му уравнению
u(z) = и(х) + u(iy) - гл(О) + XyDnxu(£). (2.3.18)
При а = 0 уравнение (2.3.18) совпадает с уравнением (2.3.12).
j,3. Нелокальные обобщенные задачи Гурса
41
Удовлетворим решение u(z) уравнения (2.3.18) краевым условиям
(2.3.1) и (2.3.2). Тогда увидим, что
и(х) = XoDo“u(£) +	+ и(0) - <р(0),	(2.3.19)
M(iy) = V>(y) + u(0) - V-(O) -	(2.3.20)
Любое решение и(х) уравнения (2.3.19) является решением следу-
ющего нагруженного функционального уравнения:
х
м(ж) =	/ fo’W + U(°) “ ^(°)1 Я1/а[Ао(® - *)“; 1]<Й,
о
(2.3.21)
да
°° ь
£l/‘,lz;'‘1 = £г(/+ад
(р = const > 0)
функция типа Миттаг-Леффлера.
Из (2.3.21) согласно (2.3.2) можно записать
XQ X
oroV’(O) = У	+ й)]^1/а[Ао(® - <)“; 1] dtdx =
о о
Xq
=	+ Со]-El/а[Мжо -1)“; 1]<Й.
0
()тпода, принимая во внимание, что
Xq
у* ^71/сх[Ло(^о - *)а; l\dt = жо^1/а[Ао^?; 2],
о
приходим к уравнению для cq:
f’O^'l/afAo^o > 2] — 0(0) “
Xq
<p(t)^i/a[Xo(xo - t)a; l]dt.
0
(2.3.22)
Известно, что функция типа Миттаг-Леффлера ^х/а[г;2] при
0 < а 1 не имеет вещественных нулей [137, с. 128]. Поэтому
/^/„[Ao^q ; 2] / 0 для любых Ао и xq. Стало быть, постоянная со
цциозначно определяется из (2.3.22).
42
Глава 2. Краевые задачи для нагруженных уравнений..
После того как найдено гл(О) = со + (£>(0), функции и(х) и u(iy
последовательно определяются по следующим формулам:
х
и(х) = yh(t) + co]^i/«[AoO -1)“; l]dt; (2.3.23)
О
«(»!/) = V»(y) + со + ¥>(0) - V’(O) -	(2-3-24)
Таким образом, обобщенное решение u(z) задачи Гурса в инте-
гральной постановке для уравнения (2.3.17) однозначно определяется
по входным граничным данным <£>(#), ^(?/) и по формулам (2.3.18),
(2.3.22)-(2.3.24).
Вернемся к формуле (2.3.9) и в выпуклой области ш плоскости
комплексной переменной z = х + гу рассмотрим нагруженное инте-
гральное уравнение Вольтерра второго рода
х	у
u(z) - j В(£ + iy)u(£ + iy)d£ - J А(х + irf)u(x + irf)dq+
Хо	Уо
X у
+ / <%/C^u^dy = F(z),	(2.3.25)
Уо
где zq = Xq + iyo - произвольным образом фиксированная точка,
принадлежащая о7.
Функцию Римана R(z,zq), которая определяется как решение
и = u(z) уравнения
д^и д	д
удовлетворяющее на характеристиках х = Xq и у = у0 специальным
нелокальным условиям
у
Giu = и(хо + iy) — У Л(ж0 + irf)u(x0 + ir))dr) = 1,
Уо
X
G2u = и(х + iyo) - У В(£ + iyo)w(C + iyo)d£, = 1,
Xq
можно определить как решение и = R(z,zq) уравнения (2.3.25) с
правой частью F(z) = 1.
Хорошо известно, что если А(г), В(г), C(z) и F(z) непрерывны
в cJ, то уравнение (2.3.25) имеет, и притом единственное, решение
2.3. Нелокальные обобщенные задачи Гурса	43
u(z)eC(uf) [136, с. 200]. Если же дА/дх, дВ/ду, d2F/dxdy непре-
рывны в cJ, то это решение совпадает с единственным решением u(z)
уравнения
L*u = d2F/dxdy,	. (2.3.26)
удовлетворяющим условиям
G\u = F(xq + гу),	(2.3.27)
G2U = F(x + iyo)-	(2.3.28)
Условия (2.3.27) и (2.3.28) представляют собой интегральные урав-
нения Вольтерра второго рода относительно u(xq + iy) и и(х + iyo)-
11 пегому нетрудно их переписать в виде специальных краевых условий
Гурса:
и(х, у0) = <ро(х), и(х0, у) = ^оО/),	(2.3.29)
где
х
¥>o(;r) = F(x + iy0) + У В(С + iyo)F(£ + iy0) exp
Xq
X
/ -^(£i + ^/o)^£i

У
M/) = F(x0 + iy) + J A(xo + irf)F(xo + itf) exp
3/o
у
J + im)dTji dq.
-Г)
В случае, когда F(z) = 1, то есть когда (2.3.25) представляет
гобой нагруженное интегральное уравнение Вольтерра для функции
Римана u(z) = 7?(z;zo), функции <ро(х) и ^о(?/) имеют вид
х
Ч'о(х) = exp J
Яо
V’o(y) = exp
У
У A(x0 + iyi)dyi .
4/о
В работе В.И. Жегалова [69] впервые сделан акцент на схему
редукции задачи поиска решения уравнения (2.3.25) и его трехмерного
аналога к задаче Гурса.
Легко видеть, что уравнение (2.3.25) является частным случаем
глгдующего нагруженного интегро-дифференциального уравнения с
44
Глава 2. Краевые задачи для нагруженных уравнений.
непрерывными в w коэффициентами и свободным членом:
[а1(ж)+а2(у)]и(го)+аз(я:)и(ж + iyo)+a4(y)u(xo + iy)+a5(z)u(z) -
X	у
— У В(С + iy)u(£ + iy)d£ ~ J Ж® + гт])и(х +	4-
XQ	Уо
х У
+hl [“12к)э^+°,к)1+°2(<)^+“°к)"]d4-
Хо Уо
= F(z\ z	(2.3.30
Пусть u(z) - непрерывное на компакте ш решение уравнение
(2.3.30). Тогда соблюдены следующие необходимые условия его раз
решимости в пространстве С(ш):
[ai(a;o) + ^2(3/0) + аз(^о) + ^д(?/о) + а5 (^о)]^(^о) = F(zq)\ (2.3.31
у
[^4(3/) + a5(z0 + iy)]u(x0 + iy) - j* А(хо + irf)u(xQ + irf)dr} =
уо
= F(xq + iy) - [ai(a:o) + аз(#о) + «2(2/)]^(^о);	(2.3.32
X	1
(a3(a:) + a5(x + гу0)]«(^ + «Уо) - j B(£ + iy0)u(£ + iy0)d£ =
Xq
= F(x + iy0) - (а1(ж) + a2(yo) + «4(Уо)]и(го).	(2.3.33
Если дополнительно предположить, что
9A(z) dB(z) d2a5(z) d^F{z)
дх 1 дх дхду 1 дхду
то решение u(z) уравнения (2.3.30) будет решением дифференциаль
ного уравнения
412/ ч	41/	.2/ х^и .П/ ч d2F(z)
А (г)л“я" + А (г) л” + А (г)	+ А (z)u = д д ,	(2.3.34
дхду дх ду	дхду
где
^(г) =	-В(г)+^(г), 4» и =	®+."(2:
j, 3, Нелокальные обобщенные задачи Гурса 45
Действительно, чтобы получить уравнение (2.3.34), достаточно
Подействовать на обе части уравнения (2.3.30) оператором смешанного
дифференцирования д2/дхду.
11еравенства
«1(#о) + «2(3/0) + «з(#о) + «4(3/0) + «5(^0) / 0,	(2.3.35)
«4(3/) + «5(^0 + гу) / 0,	(2.3.36)
а3(х) + а5(я + гуо) / 0	(2.3.37)
гарантируют однозначную разрешимость системы уравнений (2.3.31)-
(2.3.33) относительно гл(г0), u(xq + гу) = *0о(з/)» и(х + ^З/о) = ^о(^)-
Условия (2.3.36) и (2.3.37) говорят о том, что уравнения (2.3.32) и
(2.3.33) относительно ^о(з/) и ^о(^) являются интегральными уравне-
ниями Вольтерра второго рода.
Таким образом, можно утверждать, что неравенства (2.3.35)-
(2.3.37) позволяют редуцировать задачу поиска решения уравнения
(2.3.30) к задаче Гурса (2.3.29) для уравнения (2.3.34).
При А12(г) = у — х, Ах(г) = (У = const, A2(z) = —/3 = const,
Л°(г) = 0, d2F(z)/dxdy = 0 уравнение (2.3.34) совпадает с однород-
ным уравнением Эйлера—Дарбу—Пуассона
E(J3, р')и =	р = 0.	(2.3.38)
дхду у — хох у — х оу
II частности, при zo = 0 к уравнению (2.3.38) сводится следующее
пн груженное интегральное уравнение Вольтерра второго рода с непре-
рывно дифференцируемыми коэффициентами:
[а1(ж) + а2(у)]«(0) + а3(х)и(х) + а4(у)и(гу) + (у - x)u{z)~
(2.3.39)
где А = const, В = const.
Легко видеть, что решение u(z) уравнения (2.3.39) удовлетворяет
неоднородному уравнению Эйлера—Дарбу—Пуассона (при Fxy / 0)
д2 Г/ , М л&и „ди _ d2F
дхду^у *^1 Адх вду дхду
46
Глава 2. Краевые задачи для нагруженных уравнений.
и краевым условиям
[^1(0) + аг(0) + аз(0) + <24 (О)]гл(О) = F(0),
у
[«4(у) + y]u(iy) ~ A j и(й])йг] = F(iy) - [ai(0) + <z3(0) + a2(y)]u((
о
X
[аз(т) - ж]и(а:) — В ju(£)d£ = F(x) — [ai(ar) + a2(0) + a4(0)]u(0).
о
2.4. Задача Дарбу для нагруженного
вырождающегося гиперболического уравнения
второго порядка
Пусть = {С : 0 < х < у < 1}, где х = £ - т]т, у = С + Уп
г)т = -----(—г))~- область комплексной плоскости С = £ + й
тп + 2
ограниченная частями характеристик х = 0, у = 1 оператора
гт. д2
Тщ — о 2
дт]2
д2
к П) ^2’
т/ 0, т = const > 0
и отрезком 0< £	1 прямой т/ = 0.
Замена Ст = £, rjm = (1 — 2/3)(—т/)^4-2^2 независимых переменны
£, ту отображает оператор Тт в оператор
Т = ( Лт	(— - — + 29 9 \ в = т
13	\l-2fl) \drfa	2m+ 4’
а область - в треугольную область Dm комплексной плоскост
Ст = Ст + ^т-
В области Qm рассмотрим линейное нагруженное дифференциал]
ное уравнение в частных производных второго порядка
Тти + А(С)[7€ + ВДО, +	+ C(QU = F«).	(2.4.3
Здесь U = U(£) = С7(£,ту); по диагонально повторяющемуся индексу
производится суммирование от 1 до n; Dq£ - оператор дробного ш
тегродифференцирования в смысле Римана—Лиубилля порядка |aj
Задача 2.4.1 (задача Дарбу). Определить регулярное в облает.
Q решение уравнения (2.4.1) из класса C(Q) П C'1(Qrn U J
удовлетворяющее краевым условиям
ад) = ^(е), 0<е<1; Е/«=о = ¥>(?/), о < у < 1,	(2.4.1
где J - интервал 0 < £ < 1 прямой т/ = 0, т/(£) и (р(у) - заданнь
функции.
2.4. Задача Дарбу для нагруженного вырождающегося...
47
Уравнение (2.4.1) и условия (2.4.2) в характеристических коорди-
натах х и у принимают вид
E(j3,0)u - (у - x)~40a(z)(ux + uv) - (у - x)~2$b(z)(ux - uv) -
-(у - x)~4l3c(z)u = (у- xj-WlajtzjD&rtt) + /(z)],	(2.4.3)
[(У - я)2/3(ии - «х)]|у=а. = ~2y/k^v(x), 0 < x < 1,	(2.4.4)
и(гу) = <р(у), 0 < у < 1,	(2.4.5)
где - символ Дарбу (2.3.38),
,	1/ 4 \4/5
и = u(z), Z = x + iy, fcm = - --—	,
4	+ 2/
u(z) = C7(C) при C = e-(y) =	- i +	1 20,
Ф) = ^Afe^G/)], b(z) = fcmB[e™(y)], c(z) = kmC[e™(y)],
ai(z) = ктА,[е™(у)], f(z) = kmF[e™(y)],
i (./ ) = u(x + ix) - след функции u(z) на участке у = х 6 [0,1] границы
области D = {z : 0 < х < у < 1}, которая является образом области
llm па плоскости комплексной переменной z.
Справедлива
Теорема 2.4.1. Пусть коэффициенты B(Q, Aj(Q, С(£) и свобод-
ный член F(£) уравнения (2.4.1) принадлежат классу C'1(QTn)nC'3(Q);
коэффициент А(£) представим в виде
А(С) = АоО-т^Ч Ао(С) е C!(Qm) П С3(Оп),	(2.4.6)
। показателем степени х(т) = 0 при т <2 и x(m) = const > т/2 — 1
про. т 2, aj < 1;
4
Aj«) = A>0«m)C,	= const 0, aj - щ	(2.4.7)
T/l “i Zt
*th' функция Ajo(Cn) принадлежит классу C2(Dm) при aj 0 и
классу C3(Dm) при aj > 0;	e C]0,1]; <p(y) 6 C[0,1]ПС3]0,1],
MJ/,^'(2/) 6 L[0,1]. Тогда задача Дарбу всегда разрешима и притом
г(Итственным образом.
Доказательство этой теоремы проведем по схеме, предложенной в
моей работе [115].
Вначале рассмотрим задачу Дарбу (2.4.4)-(2.4.5) для уравнения
(2,4.3) в случае, когда а(г) = b(z) = c(z) = 0, т.е. для уравнения
E(j3,0)u = (у- x)-40{aj{z)D^.T{t) + /(«)]	(2.4.8)
48
Глава 2. Краевые задачи для нагруженных уравнений
с непрерывными в замкнутой области D коэффициентами aj(z)
свободным членом f(z).
Через Н(С; z) обозначим функцию Грина—Адамара задачи Дар(
(2.4.4)-(2.4.5) для оператора £(/?,/?). Эта функция точек £ и z 1
области D задается формулой Геллерстедта [205]:
Я«;г) = (	Л
Я(С z) =	- x}-0F$, 1 - 0; 1; а),
Я(С; z) = 1т(т1- tf0(x ~ НУЧу ~ n)~0F{0,0,20; 1/<т),
Д - £ У-Т!	Г(/3)
7/-е’у-х’ 7го Г(2/?)Г(1 —/?) ’
где F(a, /3,7; z) - гипергеометрическая функция.
Пользуясь свойством функции Грина—Адамара, можно доказат
что если и(х) 6 L[0,1] U С]0,1[, <р(у) G С[0,1], y2@<pf(y) 6 L[0,1], то 3i
дача (2.4.4)-(2.4.5) для уравнения (2.4.8) редуцируется к следующей
нагруженному уравнению:
u(z)
= 7mV^У	0{у-С) 0<£+
о
у	х у
+ J[p'(,n) + 0,P('n)h]H(iTi;z)di] + J d£ j -^^^H^;z)dr].
о	о е
Отсюда, переходя к пределу при z —► х 4- гя, 0 < х < 1, и принимая i
внимание, что и(х) = т(ж), будем иметь
г(х\ — у [	f	= ф (а?)	(2 4'
° * ;
где
Фт(«) = 7тТ^Г(1 - 20)D20~^)+
+У /	1	I
7т/ (x-^yj (п-О20^-^
о е
/X , A (x + y	.y - X
W® ^j’o(^) — I n h
|i4. Задача Дарбу для нагруженного вырождающегося...49
+^^С‘1[ЛЪ)+= Е	(2-41°)
В силу (2.4.7) функция
aj(z) = ajQ{z)(y - х)^.	(2.4.11)
2“Mj принадлежит классу C2(Z>)
При aj < 0 и классу C3(Z>) при aj > О.
Внутренний интеграл в левой части уравнения (2.4.9) обозначим
Через kj(x, £). В этом интеграле произведем замену переменной инте-
грации т], положив т/ = £ + (я - £)t Тогда на основании (2.4.11) его
Можно записать в виде
О
= (х-е)1+^-3^о(х,е).	(2.4.12)
На основании (2.4.12) из (2.4.9) имеем
т(х) - -YmVoxT = Фт(я),	(2.4.13)
где
VOxr = J(x - ^1+^-40kjO(x,^D^r(t)dt.
О
РЗсли индекс j таков, что aj < 0, то интегральный оператор
J 1 к	J ks	J
О	0	0
A ri о ядро представимо в виде
/Х
r(-^)(^-i)«j+i^0^’
t
Замена переменной интеграции £ по формуле £ = t 4- (х — t)r]
Показывает, что
kj0(x, t) = (x- t)1+^-^-i0MTo(x, t),	(2.4.14)
50
Глава 2. Краевые задачи для нагруженных уравнений.
где
1
M~Q(x,y) = =-j-	[77-^-1(l-7?)1+^_4/3A:jo[a;,y4-(a:-J/)7?]d7? € С2(Б
1 \ аз) J
о
При aj = 0 имеем
VoxT = j(x - ^1+^-^kj0(x, £)т(£Х kj0(x, у) е C2(D). (2.4.15
О	(
Пусть теперь aj > 0. Тогда
V»-T = r(i^) А -	) (Г^7-
О	о
Поскольку 0 p>j 4/3 — 1 = (m — 2)/(тп + 2), то это равенство поел
интегрирования по частям примет следующий вид:
v"- = -Г(1^) /1 [<* -	<иI	“
о	о
X
= / r(t)fct0(a;,t)dt,
о
где
X
Замена ту = (£ — f)/(x — t) позволяет увидеть, что
kjQ(x, t) = (х - t)1+^-a^-40M+(x, t),	(2.4.16'
1
MfQ(x, y) = У -q-ai ^{(1 - 77)1+^~i0У + (x - y)7l]}dT) e C(D).
0
На основании (2.4.14)-(2.4.16) уравнение (2.4.13) можно записат!
в виде
т(х) - 7m У (ж - ууч~а:1+1~413Мэо(х, y)r(y)dy = 'f/mtx), (2.4.17;
о
1,4. Задача Дарбу для нагруженного вырождающегося,,.
51
|*де функция MjQ(x,y), равная Mj0(x,y) при aj < 0, kj$(x,y) при
«= О, MJo(x,y) при aj > О, принадлежит классу C2(D),
Изучим теперь свойства функции Фт(я), которая определена фор-
мулой (2.4.10) как сумма функций Фт1, Фт2, Фтз-
• 2
Пусть функция v(x) = x~£vq(x), где е = const < ---------
_	_	ш4
И)(х) 6 CX(J). Тогда функция Фт1(а?) 6 C(J), а ее производная
Фт1(я) = Im Г(1 - 2/3)D^u(C)	(2.4.18)
Непрерывна на полусегменте 0 < х 1 и может обращаться в оо
Порядка е 4- 20,
Как видно из (2.4.18), функция Ф^а?) G L[0,1], если функция
р(х) имеет абсолютно суммируемую на [0,1] производную порядка 20,
Замена £ = ту = xrji переменных интеграции показывает, что
функция
1 1
Фт2(я) = УтХ2~40	У(»П “ 6)“2/?(1 -
0	t
Поэтому из включения F(£) 6 C1(Qrn) A C3(Q) заключаем: ФШ2(^) €
С C(J) А С2]0,1 [, фт2(я) = О(1)х2~^ 9'т2(х) = О(1)я1-4/3.
Функция Фтз(я) представима формулой
1
Фтз(х) = 7т У ¥>i(a:t)t2^_1(l - t)~0dt, <pi(x) = х<р'(х) + /3<р(х).
о
Отсюда следует, что если (р(х) 6 C3(J), то Фтз(ж) 6 C2(J) и
1
♦тз(0) = 7т^1(0) У ^-Х(1 - t^dt =	= SP(O).
о
Таким образом, установлено, что функция Фт(я) 6 C(J) АС2]0,1],
6 L[0,1]. Уравнение (2.4.17) является интегральным уравне-
нием Вольтерра второго рода в пространстве C(J) функций т(х)
г обычной нормой ||т|| = тахт(ж). Следовательно, оно однозначно
разрешимо и его решение т(х) 6 C(J) А С2]0,1]. Нетрудно показать,
НТО Tf(x) е L[0,1].
Задача 2.4.1 редуцирована к задаче Коши
= т(£),	= 1/(е), 0 < е < 1,	(2.4.19)
для уравнения
Тт« = Г(С)-А/<)Р^т(е).
52	Глава 2. Краевые задачи для нагруженных уравнений;
Как хорошо известно [18], решение этой задачи выписывается в явно
виде через функцию Римана Я(£; г).
Справедливость теоремы 2.4.1 в общем случае устанавливается п
предложенной здесь схеме, с использованием вместо функции Н(£'Л
функции G(£;z), названной С. Геллерстедтом функцией Грина-
Адамара задачи (2.4.4)-(2.4.5) для уравнения (2.4.3) при aj (г) = 0 дл
всех j = 1,2, ...,п. При выполнении условия (2.4.6) функция G(£;4
существует и она на особых линиях ведет себя не хуже Н(£; г) (са
[205]).
Уравнение для т(х) в общем случае имеет вид
т(Ж) -J	G&X'XW = Ф.Сг). (2.4.2С
0	£
Условия теоремы 2.4.1 гарантируют существование и единстве!
ность решения задачи Коши (2.4.19) для уравнения
TmU +	+ C(OU = F(O - А/С)£)“>т(е),
где т(х) - решение уравнения (2.4.20).
В случае, когда уравнение (2.4.3) совпадает с уравнением
иху + Х2и = aj{z)D^u(x) + /(г),
функция Грина—Адамара задается формулой (см. [50])
_ I Л)[2АУ(£ - х)(т7 - у)], т]>х,
1 Л)[2А-/(»7 - ж)($ - у)] + Jo[2A-/(C - ж)(т? - у)], т) < х,
и уравнение (2.4.20) имеет вид
т(х)-2 У	У aj(QJ0[2Xy/^ - х)(т} - x)]D^r(t)dr] = ФДх),
о €
где Jq И - функция Бесселя.
2.5. Задача Дарбу для особых нагруженных
уравнений с частными производными
Рассмотрим задачу Дарбу 2.4.1, которую иногда называют задаче
Коши-Гурса , для частных случаев уравнения (2.4.1), и в перву!
очередь для уравнения
TmU = Xtj^D^U^	(2.5.1
с числовым параметром Л и показателем степени рь = const 0.
У Л Задача Дарбу для особых нагруженных уравнений...
53
Уравнение (2.5.1) в характеристических координатах имеет вид
(у - x^Efjl, 0)u(z) = XmDgxu(f), Хт = Хкт2~^.	(2.5.2)
Из (2.4.9) получаем следующее уравнение для следа т(х) = и(х)
|нчп<Ч1ия u(z) задачи Дарбу (2.4.4)-(2.4.5) в случае уравнения (2.5.2):
Г	Г (ri -
Т(х) - 7mXm J	J	= Фт1(я) + Фт2(4
О	€
(2.5.3)
Ннутренний интеграл в левой части уравнения (2.5.3) равен
(,/s--’0(i-s)-0ds =
J	1 -h — Op)
О
Поэтому оно эквивалентно уравнению
т(х) -	= Ф(^ Г, х),	(2.5.4)
W
|*ш ~ ‘утХтГ(ц+2-4/3>)В(ц+1-2/3,1-/3), ^(у,<р-,х) = ^mi(x)+^m2(x).
В соответствии с законом композиции операторов дробного инте-
Г|И у дифференцирования заключаем: Пусть т(х) 6 С[0,1] и при а > О
тцсеттвует производная DQXr(t) порядка а б]р — 1,р], р = 1,2,....
'Пида
[ £>^-2-д+ат(«) при а О,
~ | оК-г-«+<.г(г)_^ог-.т(г)|^гГ1 приа>0, (2.5.5)
Из (2.5.5) следует, что при а < 0 уравнение (2.5.4) эквивалентно
(мтдующему интегральному уравнению Вольтерра второго рода:
т(х) - MmZ>^-2-'i+ar(t) = ф(р, х), a < 0,	(2.5.6)
А при a > 0 - следующему нагруженному уравнению:
т(х) -	+ pm X£>ГМ)| пйгГ"ьЗ =
1 X=U 1 1 ~г Сх — К)
= Ф(г/, <р;х\ р — 1 < a р = 1,2,...	(2.5.7)
54
Глава 2. Краевые задачи для нагруженных
Единственное решение т(х) уравнения (2.5.6) определяется по фо]
муле Хилле-Тамаркина [137, с. 93]
X	I
Т(х) = У Ф(г, <р- f)E2+^i0-a [дт(х - t)2+M-^-a]
°	i
где Eg[z] = Ei/g[z; 1]	-	функция	Миттаг-Леффлера.	j
Уравнение (2.5.7)	будет	интегральным	уравнением Вольтерра вт!
рого рода, если 0 < а < 1 иа - /1 < 2 — 4/3 = 4/(т + 2).	;
Пусть а — д = 4/(т + 2), 0 < а < 1. Тогда уравнение (2.5-7),j
учетом равенств р = 1, Z>o^"1r(t)|x=o = 0, переходит в алгебраичесм
уравнение	,
(1 - РтпУг^х) = Ф(1/, <р; х).	(2.5^
К такому же выводу приходим в исключительном случае, когда а =
р = (m—2)/(m+2). Соответствующее алгебраическое уравнение имв
следующий вид:	!
(1 - цт)т(х) + дгот(0) = ф(р, <р; х).
Отсюда, принимая во внимание, что Ф(1/, </?;0) = ^(0) = т(0), получав
(1 - Ртп)т(х) = Ф(р, <£>; х) -	(2.5.]
Уравнения (2.5-8) и (2.5.9), однозначно разрешимы тогда и толь1
тогда, когда рт / 1, то есть когда числовой параметр
Г(2/3)2а	/ 1 \4/3
0 В(а,/3)Г(а 4-2/3 — 1) \1 — 2/3/ '
1
Когда нарушено условие (2.5.10), однородная задача Дарбу
[7ч(£) = 0, 0 < < < 1; t/(C)|x=o=O, 0 0^1,	(2.5.1
для уравнения (2.5.1) с параметрами р = а — 4/(т + 2) и а \
полусегмента 0 < а < 1 имеет бесчисленное множество линей!
независимых решений и, стало быть, число Л = Ло играет poj
спектрального параметра - собственного значения однородной задач
Рассмотрим теперь особое нагруженное уравнение в частных пр
изводных
T2U + Щ + 4А£&С/(£) = F(C),	(2.5.11
которое получается из (2.4.1) при т = 2, А(£) = 1, В(£) =
АД£) = 4Л = const / 0. Это уравнение не подчиняется условию (2.4J
теоремы 2.4.1.
Условие Геллерстедта (2.4.6) является существенным для коррек
ности задачи 2.4.1 в случае, когда Aj(Q = 0, j = 1,2, ...,п. Действ:
тельно, функция u(Q = /1(£—т?2/2)—/1(0), где /1(£) - любая функция 1
Задача Дарбу для особых нагруженных уравнений...55
илиста С (Г) П <72(/), представляет собой решение однородной задачи
Дй|)бу (у = 0, р = 0) для уравнения (2.5.12) при Л = 0. Этот факт
ШИфные был замечен в работе автора [114].
Уравнение (2.5.12) в характеристических координатах х = £ — 772,
У " £ +	т/2 = ^72/2 имеет вид
д2и _ 1/2	= XD$xu(t) + f(z)
дхду у — х ду у — х '	7
/(*) =	-Vy=A 
Как следует из (2.4.4) и (2.4.5), условие (2.4.2) задачи Дарбу пере-
шит в краевое условие
|/l/-^(u« - uj] |у=а. = -v(x), u(iy) = <р(у), 0 < х,у < 1 (2.5.14)
дли уравнения (2.5.13) в области D.
Функция
г г / _е\1/2
Ф) = - / df / ( J—- )	w(Qdr)
J J yn-xj
X £
иилнстся единственным решением однородной задачи Дарбу (2.5.14),
гдг р(х) = 0, р(у) = 0, для уравнения
д2и 1/2 ди ( ч
д""д-----
дхду у — хду
Принимая это во внимание, нетрудно показать, что неоднородная
ейднча Дарбу (2.5.14) для уравнения (2.5.13) эквивалентна уравнению
u(z) = т(х) -	+ A f [ (^—|)	D^T-^drl-
2	J J \П — Х/ —
X (

(2.5.15)
III (2.5.15) при х = 0 получаем
Г Г (п _ £\ V2 Pglr(t)
А / d£ / (------)	—= Ф(р, <р; j/), 0 < у < 1,
J J \ У / Tl-t,
о е
(2.5.16)
56
Глава 2. Краевые задачи для нагруженных уравнение
где	,
Ф(1/,щх) = <£(#)-<£(0)+^ Jf-1/2i/(t)dt4-/=, 0 х
о	о $	х)
Возьмем от обеих частей равенства (2.5.16) операцию д/ду, а зат<
заменим у на х. В результате получим уравнение относительно т(х
ХГ D&r(t) д
которое можно переписать в виде
XDQ^2DQ^r(t) = у/х/лФ'^ р, х), 0 < х < 1.	(2.5.1
Пусть 0 < а < 1. Поскольку дробный интеграл DQ~1r(t) = 0 п
х = 0, то справедлив закон композиции
Dox1/2^r(t) = <-1/2r(t)-
Поэтому уравнение (2.5.17) эквивалентно уравнению	1
ADo”x/2T(t) = у/х/ттФ'^и, <р; х).	(2.5.1
Легко видеть, что	।
у/хФ'(у, <р; х) = у/х(р'(х) 4- -^(я) + а/^Д}х1/2/(£ + ^).	(2-5<1
При а < 1/2 уравнение (2.5.18) представляет интегральное ура
нение Абеля относительно т(х). Чтобы изучить свойства его прав<
части, рассмотрим функцию
»?
/^п1/2-ап-1/2^ , ч 9 ^-1/2-а f /(£ + ^?)	_
V^DOx DOr] f&+im) = -^DOx
О
=	1	9 [ drl /
Г(а + 1/2) 9x J (x- J y/^l
0	0
Отсюда после перестановки порядка интегрирования и замены пер
менной интеграции по формуле г] = £ 4- (х — £)s имеем	!
X X
^(a¥i./2)D^-aD^/2f^ = ^c jd^l^r~1/2^r1/2f^dTl
О £
|iBi Задача Дарбу для особых нагруженных уравнений...
57
X	1
/к - I - «)“-1/2Л£ + ^ + *к - €]s)dS =
о	о
1
= ^-Xa+1
дх J
о
1
х у s-i/2(i-s)Q-i/2/kei^[ei+(i-ei)s])ds.	(2.5.20)
о
Гнглпсио принятому ранее обозначению функции
+ (1 - 6)s]) = 2F f26+n~-У(1-б)^)
4	\	Z	/
И условию F(£) е С1^^) nC3(Q2) теоремы 2.4.1 при т = 2 из (2.5.20)
Приходим к формуле
/)';.2 "D^/2f(tf = ж“+1/2/ок), /ok) € С[0,1] n С2]0,1]. (2.5.21)
Кмк нетрудно увидеть из (2.5.19) и (2.5.21), решение г(х) уравнения
(11,5.18) принадлежит классу С[0,1] А С2(Г), если
Dox2~a[Vt<p'(t) + р(0/2] е С[0,1] П С2(Г).	(2.5.22)
Пусть соблюдено условие (2.5.20), тогда (2.5.18) эквивалентно
Уравнению
Ху/тгт(х) = D^2~a\/t&(y,<p:lt'), 0 X sC 1.	(2.5.23)
функция т(х) при а < 1/2 непрерывна в точке х = 0 только тогда,
М11ДП
lim
х—>0
= 0.
(2.5.24)
Пели <^(я) е С1 [0,1], v(x) е С[0,1], то условие (2.5.24) эквивалент-
но условию z/(0) = 0.
При а = 1/2 из (2.5.18) получаем
Ху/кТ^х) = у/хФ'(у,<р;х), 0 < X 1.
(2.5.25)
При а = 0, то есть в случае нагруженного дифференциального
г pniiiiri 1ИЯ
- T]2U^ + Щ + 4АС7 (е + j//2) = 0,	(2.5.26)
58 Глава 2. Краевые задачи для нагруженных уравнений.
формула (2.5.23) принимает следующий вид:
Ач/тгт(а;) = D^x2	.
А.Х. Аттаев [91 для уравнения (2.5.26) в характеристическом де
угольнике {£ : трГ < £ < 1 — |т/2} исследовал краевую задачу
=ыо, и(=¥>i(a
\ A	j	\ А	1
Нелокальная краевая задача для класса нагруженных уравнен
в частных производных вида
/3
Л(т?)С7€€ +	+ C^U =	U(№ + F«)
а
была объектом исследования А.А. Токовой [179] (см. также [18(
[182]).
Локализации особенности градиента решения задачи Дарбу д
уравнения вида
- Ufjrj + а\т)\= F(£), а = const, т = const > 2,
посвящены работы М.А. Гербековой [44], [45].
Особо следует отметить работы Е.Н. Огородникова [153]—[15
посвященные задаче Дарбу и характеристической задаче для ши]
кого класса систем нагруженных вырождающихся гиперболичесц
уравнений, включающего важные модельные уравнения следуют
видов:
х(ихх — иуу) + а±(их ± Uy) = хХ±(х ± у)и(х — у), а± = const,
где и = u(z), A±(z) - действительные функции комплексной перем<
ной z = х + гу е {z : |я - 1/2| + |у| < 1/2}.
В основе параграфов 2.4 и 2.5 лежат результаты автора, ony6j
кованные в работе [115] *).
*) В этой работе на стр. 108 вместо иуу — у2ихх +4Аи(т, 0) = d(x, у) дрля
быть иуу — у2ихх + 4Аи(£, 0) = d(x, у).
О некоторых важных модельных уравнениях движения...
59
2.6. О некоторых важных модельных уравнениях
движения почвенной влаги
11ри определенной идеализации движение влаги в почве описыва-
WM уравнением Аллера [201], [203]:
ди д Г д2и ndul	z ч
л- = л- ел-л“ + “2 л- ’	< х <h = r, 0 < у <Т.	(2.6.1)
ду дх [ дхду дх
1д<чъ и = и(х, у) = u(z) означает влажность в точке х почвенного
1МКЖ 0 х < г в момент времени у от начального у = 0 до расчетного
у * 7’; е = const 0, а = const > 0.
Исли известен поток влаги на поверхности почвы х = 0:
+ а2ТгО I =	0 < у < Т, (2.6.2)
\ дхду дх) 1®=о
И) уравнение (2.6.1) можно заменить нагруженным уравнением гипер-
Лолического типа:
д2и 2ди д f z. ч_. _z ч	/л z»
+“ di = л J *vw=л’>'	(2-в-3)
о
При е = 0 уравнение (2.6.1) переходит в уравнение диффузии
мши
иу = а2ихх, 0 < х <г, 0 <у <Т,	(2.6.4)
мгюрое основано на законе Дарси, а условие (2.6.2) принимает вид
ux(iy) = и(у), 0^у Г,	(2.6.5)
W «/(у) = —/(у)/а2.
Условие (2.6.2) представляет собой дифференциальное уравнение
edux(iy)/dy + a2ux(iy) = -f(y), 0 у Т,
нгносительно ux(iy). Поэтому, если задано условие Коши: их(0) = vq,
hi его решение задается формулой (2.6.5) с граничной функцией
у
/ ч	/ U2v\	1 Z z ч (t — и
i/(?/) = и0 exp I-\---/ f(t) exp I---a2 1 dt.
о
Уравнение (2.6.3) относится к классу уравнений вида (2.1.1), для
шлирых справедлива теорема 2.1.1. Следовательно, в области Q =
* {z :0<х< г, 0<у<Т} существует и притом единственное
|№1псние u(z) = и(х,у) уравнения (2.6.1), удовлетворяющее условиям
и(х) = (р(х), 0 < х < г,	(2.6.6)
60
Глава 2. Краевые задачи для нагруженных уравнений
u(iy) = т(у\ их(гу) = и (у), 0 у Т.
(2.6.
Пусть (7хо = {z : у = 0,0 х г}, аоу = {z : х = 0,0 у Т
а = ах0 U аоу. Отрезок (?оу, где задается условие Коши (2.6.7), пре(
ставляет собой временноподобное многообразие для уравнения (2.6.4
Известно [94, с. 549], что задача определения в области Q решен!
u(z) уравнения (2.6.4), удовлетворяющего условию Коши (2.6.7) 1
аоу, не является корректной по Адамару, хотя она имеет, и прите
единственное, решение.
В моей работе [133, с. 105] (см. также [97]) было предложе!
регуляризовать задачу (2.6.6)-(2.6.7) для уравнения (2.6.4), замен!
его уравнением
CL ихх + EUXy Uy — 0.
(2.6.
Еще Ж. Адамар [202, с. 117] обращал внимание на то, что фу
даментальное решение уравнения (2.6.4) можно получить как пред
при е —> 0 функции Римана для уравнения (2.6.8).
Уравнение (2.6.8) для любого е > 0 является уравнением г
перболического типа, имеет два семейства простых характерней
у = const, а2у — ex = const, первое из которых совпадает с хара
теристиками уравнения (2.6.4).
Вместо уравнения (2.6.8) в качестве регуляризатора можно взять
уравнение (2.6.1). Это уравнение R.E. Showalter и T.W. Ting [216] в
звали псевдопараболическим, хотя оно тоже является уравнением г
перболического типа с действительными характеристиками х = con
у = const. В случае уравнения (2.6.1) замкнутая область Q совпада
с характеристическим прямоугольником
носитель а начально-краевых условий (2.6.6)-(2.6.7) состоит из дв]
характеристических отрезков ахо и аоу, исходящих из одной точ]
z = 0, причем характеристики х = const (в том числе и а^у) являют
кратными.
Задача (2.6.6)-(2.6.7) для уравнения (2.6.1) является задачей Гур
или характеристической задачей Коши с негладким характеристик
ским носителем, а для уравнения (2.6.4) - задачей Коши со смеша
ным носителем.
Предположим, что а = 1, и рассмотрим задачу Коши (2.6.7) д
уравнения (2.6.8), т.е. для уравнения
ихх “I- £иХу Uy —— 0	(2.6.
в области Qe, ограниченной отрезком аоу и характеристиками у =
у = ех (см. рис. 2.6.1).
У (I, О некоторых важных модельных уравнениях движения...
61
А, = (0,0),
Во = (0,Т),
Со = (ГД, Г),
-АоСо : у=ех,
АВ:71 = ^,
В = (Т,Т).
В уравнении (2.6.9) совершим переход к характеристическим коор-
динатам £ = у — ех, ту = у и к новой зависимой переменной v = v(£, 77)
пн формуле
u = v(£,j?)exp[-(£-|-77)/e2].	(2.6.10)
II результате область Qe отобразится на область Де = {(£, ту) : 0 < £ <
* // < Т}, отрезок AqBq - в отрезок АВ, BqCq - в ВС, А о Со - в АС
(рис. 2.6.2); уравнение (2.6.4) запишется в виде
/ 2 &	д д
I t--------------
\ д£дт) д£ дт]
функция v = v(£, ту) в области Де будет в силу (2.6.7), (2.6.10) и (2.6.11)
[кипением телеграфного уравнения
4 d2v п
£аё^-" = 0'
удовлетворяющим на АВ условию
2^V	\
£	J
(2.6.11)
(2.6.12)
vL
1^=77
(2.6.13)
1Д1'
те(»?) = ’’(’?) ехр[—2?7/е2], ve(rj) = -ev(rf) ехр[-2т?/е2].
(2.6.14)
С целью построения функции Римана для уравнения (2.6.12) в
области Де рассмотрим уравнение
2 92U тт 2
pr^-^- = U, /1 = £2.
дхду
(2.6.15)
Известно (см., например, [136, с. 194]), что функция Римана
//(.г, у', £, ту) для уравнения (2.6.15) однозначно определяется как реше-
ние' следующего интегрального уравнения Вольтерра второго рода:
Н(х,у,^,т]) + —j У dxt. У R(xi,yr,£,ri)dyi = 1, (С,т?) G Де. (2.6.16)
€ г
62
Глава 2. Краевые задачи для нагруженных уравнений..
Из (2.6.16) нетрудно увидеть, что решение (2.6.16) представимо
виде
= ад,	(2.6.17)
где Ф(£) - непрерывная функция аргумента Z = XY, X — х —
Y = у- т).
С учетом (2.6.17) из (2.6.16) имеем:
[1 - Ф(2)]д2 = / dXr
Ф(ХхУх)</У1;
О о
Y	1
д2Ф'(£) = -рУ Ф(ХУ1)ЙУ1 = ~У Ф(И«)^;
о	о
д2[2Ф"(£) + Ф'(Я)] = -Ф(И).
(2.6.18)
(2.6.19),
(2.6.20)1
Равенства (2.6.18)-(2.6.20) позволяют утверждать, что функция
Ф(£) должна удовлетворять одному из следующих двух условий:
Ф(0) = 1
(2.6.21)
или Ф'(0) = — 1/д2 для вырождающегося при Z = 0 обыкновенного
дифференхщального уравнения второго порядка
д2-^[2Ф'(2)] + Ф(£) = 0.	(2.6.22)
Пусть: рп = (рх, р2,..., рп} - точка из Rn с положительными коорди-
натами; рп = (рх, р2,..., рп) - вектор с комплексными компонентами;
^1/Рп [z; Мп] = g Г(д1 + р1Л)Г(д2 + p2fc)... Г(дп + pnjt);	(2.6.23)
оо
^Г/рп = 52
к=0
УК/*1 + р^Мд2 + р2к)    ф(рт + ртк) к
Г(рх + рхА;)Г(р2 + р2к) • • • Г(рп + рпк)
где ^(z) = r'(z)/r(z) - пси-функция.
Функция (2.6.23) обобщает и функцию Райта [217], и функцию
Миттаг-Леффлера [51].
При п = 2, р2 = Р2 = (1,1) функция (2.6.23) совпадает с функцией
ОО	JL	ОО JL
J(z) = Sr2(i + fc) =^0W’
(2.6.25);
2,fl, О некоторых важных модельных уравнениях движения...
63
А функция (2.6.24) - с функцией
(1,1)] = Е	(2-6-26)
которую будем обозначать через J*(z).
Функция (2.6.25) является решением уравнения [zJ(z)]' = J(z), и
I» функцией Бесселя Jq(z) она связана формулой Jq(z) = J (—z2/4).
Легко видеть, что J(z2/4) = Iq(z), |z| < оо, |argz| < тг [51, с. 130].
Имеет место
Лемма 2.6.1. Общее решение дифференциального уравнения
[zw'(z)]' — w(z) = 0	(2.6.27)
задается формулой
w(z) = CiJ(z) + C2[J(z)\q%z - 2J*(z)],	(2.6.28)
tdv Ci и С2 ~ две произвольные постоянные.
Формула (2.6.28) вытекает из ’’общего интеграла”, выписанного
Э. Гурса [52, §414] в следующей форме:
w(z} = CiJ(l,x) + C2
/ 1 1
J(l, a:)loga:-2	(1 +- +	-
п=1 х
хп
1-2---П
Что легко увидеть, если обратить внимание на то, что

В силу (2.6.25) и (2.6.26) J*(0) = ^(1)5 «7(0) = 1- Поэтому из (2.6.28)
mключаем, что задача Коши lim w(z) = wq < оо для уравнения
z—>0
(2.6.27) имеет, и притом единственное, решение w(z) = wqJ(z).
Единственное решение Ф(£) специальной задачи Коши (2.6.21) для
уравнения (2.6.22) имеет вид (см. [52, §414])
Ф(2) = J(-Z/m2).	(2.6.29)
Согласно (2.6.17) и (2.6.29) функция Римана для уравнения
(2.6.15) однозначно определяется формулой
Я(С, ‘П; Уо) = J(-C/e4), С = (С - €о) (»7 “ Уо)-
Отсюда, возвращаясь к прежним переменным, получим функцию
Римана Re для уравнения (2.6.9):
Не(х,у,хо,уо) =
(у-ех-уо+ ех0)(у ~Уо)\ \ex-2y
---------?---------) еХР Р-
64
Глава 2. Краевые задачи для нагруженных уравнений...
/ 2	___________________\
= Jo ( ^2 \/(y - Уо)(у -ех-уо + £Жо) ] ехр
ех — 2и
—• (2-6.30)
Пользуясь асимптотическим представлением функции Бесселя
(2.6.25) для больших значений аргумента, можно показать, что функ-
ция (2.6.30) при е —> 0 стремится к фундаментальному решению
уравнения (2.6.4).
Решение и£(х,у) задачи Коши (2.6.7) для уравнения (2.6.8) в
треугольной области Qe выписывается в явном виде через функцию
Римана (2.6.30). Пусть ^(х) - след этого решения на характеристике
АоСо : у = ех (см. рис. 2.6.1):
u'\aoco=^-	(2.6.31)
В части Q“ области Q, лежащей ниже характеристики AoGh решение
однозначно определяется как решение и~(х, у) первой краевой задачи ।
Дарбу (2.6.6), (2.6.31) для уравнения (2.6.8) с данными на ахо U аоу.
Если г = оо и решение u(z) задачи ищется в классе функций,
удовлетворяющих условию Тихонова, то функции <£(#), т(у) и не;
могут быть заданы произвольным образом. Известно (см. [137, с. 30]),
что если ip(x) = 0, то т(у) и v(y) должны удовлетворять уравнению
ai/(y) + £>о»2'г(7?) = °>	’
где D()y2 ~ оператор дробного дифференцирования порядка 1/2 с
началом и концом в точках 0 и у соответственно.
Самостоятельный интерес представляет нагруженное уравнение
д
ду
ди
е—
(2.6.32)
которое получается из (2.6.3) при а = 0.
Уравнение (2.6.32) в силу (2.6.6) эквивалентно уравнению
ди
€ дх
X	у	X
У - У /(*№1 =	- У
оо	о
(2.6.33)
Условие и(гу) = т(у) из (2.6.7) позволяет переписать (2.6.33) в виде
еи(х, у)-Ет(у)
оо	о
о о
16. О некоторых важных модельных уравнениях движения...
65
О тсюда после перестановки порядка интегрирования находим
х
и(х, у) = | j\x - С)ы(С, у)«£ + F(f, <Р,т; х, у),
о
(2.6.34)
1’Де
х	у
f'\f, Ч>, г; х, у) = т(у) + <р(х) - <р(0) - | У (ж -	+ | j f^di].
о	о
Единственное решение u(z) = и(х, у) интегрального уравнения
Вольтерра (2.6.34) задается формулой Хилле—Тамаркина
(*) =	[F(f,ip,T-,t,y)E2 -(ж-t)2 dt.
OX J	[£
(2.6.35)
U\
0
Здесь E2[z] = Ег/2[z; 1] = chz.
Функция (2.6.35) является решением уравнения
— S'U'XXy’)
удовлетворяющим условиям
EUxy|x=o = -/(у), и(х, 0) = <р(х), и(0,у) = т(у),
их(о,у) = р(у) = -D0Jf(rf)/€.
Формулой (2.6.35) можно эффективно воспользоваться для про-
гноза динамики почвенной влаги, когда коэффициент влагопроводно-
(ти пренебрежимо мал и можно положить его равным нулю.
Для уравнения (2.6.1) рассмотрим смешанную задачу с начальным
условием (2.6.6) и граничным условием
ux(iy) = их(г + гу) = 0, 0 у Г, (2.6.36)
где и(у) 6 С1 [0, Г], <р(х) 6 С2[0, г]. Здесь второе условие их(т, у) = 0
характеризует отсутствие потока влаги через границу х = г почвен-
ного слоя 0 С х г, и оно, как это следует из (2.6.3) при х = г,
порождает нелокальное условие
г
f u(x,y)dx = /(?/), 0 у Г,	(2.6.37)
оу J
о
с функцией f(y), означающей скорость иссушения слоя [0,г].
66
Глава 2. Краевые задачи для нагруженных уравнений...
В уравнении (2.6.1) введем новую зависимую переменную w = w(z)
по формуле
= I Ф>(0) - <р(я>(у) при i/(0) = ^'(0) / 0;
' '	[ u(z) — ф(х)	при 1/(0) = <//(0) = 0.
Для отыскания функции w(z) согласно (2.6.1) и (2.6.36) получаем
однородную смешанную задачу (см. [201])
w(x) =0, 0 х г,	(2.6.38)
гпх(гу) = 0, wx(r + гу) = 0, 0 у Г, (2.6.39)
для неоднородного уравнения
ewxxy + a2wxx ~wy = F(z)	(2.6.40)
с правой частью
= / 1а2р(у) + £р/(у)]¥’"(^) - Лу)ч>(х) при 1/(0) = ¥>'(0) / 0;
' '	[ а2<р"(х)	при 1/(0) = 9?'(0) = 0.
Единственное решение w(z) задачи (2.6.38)-(2.6.39) для уравнения
(2.6.40) задается следующей формулой:
у Г
w(z) = /dr)/Ge(x,&y~'n)F(CW, С = +	(2.6.41)
о о
где
г , е	2^1
Ge{x, £;y-T}) = -2^ Т-—2 ехР
г fc=o 1 +
(адк)2
—------2^ ~У) COS/lfcZCOS/lfcf,
(2.6.42)
- функция Грина, /ik = itk/r.
Соответствующее неоднородному внутреннекраевому условию
(2.6.37) однородное условие
Л- / y)d£ = 0, 0 у Т,	(2.6.43)
оу J
о
вместе с условием согласования (непрерывности ux(z) в точке z = г)
иж(г) = т'(г) ПРИ r,(r) = 0 эквивалентно условию
их(г + гу) = 0, 0 у Г,	(2.6.44)
а когда скорость иссушения f(y) = 0 и глж(О) = uq = </?'(0) = 0,
второе условие (2.6.7), эквивалентное условию (2.6.2), переходит в
однородное условие
ux(iy) =0, 0 у Т.
(2.6.45)
2.6. О некоторых важных модельных уравнениях движения...
67
Поскольку 1/(0) = <^'(0) = 0, то соответствующие задаче (2.6.6),
(2.6.44)-(2.6.45) для уравнения (2.6.1) функции w(z) = u(z) — <р(х),
F(z) = а2(р"(х). Поэтому, если <р(х) е С2[0,г], <^'(0) = <^'(г) = 0,
то в соответствии с (2.6.41) единственное решение u(z) нелокальной
смешанной задачи (2.6.6), (2.6.43), (2.6.45) определяется по формуле
у Г
u(z) =	+ а2 У drj У Ge(x,£;y -	(£)d£.	(2.6.46)
о о
При е —> 0 функция Ge(x,&у — rf) имеет предел
2 °°
G0(x,£;y-т?) = - У'ехр[(т? - y)(a/ifc)2] cos/ifc£cos/zfc;r,
г
к=0
который является функцией Грина задачи (2.6.6), (2.6.44), (2.6.45) для
уравнения (2.6.4).
Математическое моделирование процесса поглощения почвенной
влаги корнями растений приводит к уравнению вида
/ д 1\ / д2и	ди	2	2 /Л
U +	+	=	= £ +Ч, (2.6.47)
где и = u(z) - давление в области корневого впитывания.
Если сделать естественное предположение об ограниченности «по-
тока» иху + Хи на оси симметрии х = 0, то уравнение (2.6.47) реду-
цируется к нагруженному гиперболическому уравнению с характери-
стическим вырождением порядка при х = 0
х
х(иХу + Хих) = ц— / £u(£, y}d£.	(2.6.48)
оу J
о
Задача Гурса (2.1.2)-(2.1.3) для уравнения (2.6.48) эквивалентна
нагруженному интегральному уравнению Вольтерра второго рода
X	X £
u(z)-p, У £log|u(£, y)d£-Xp, У d£ У ехр[А(т? - у)]£ log |u(£, 7?)d7?+
0	0	0
х
+[у>(ж) - <р(0) - д У log	ехр(-Ау) + Ф(у),
о
которое безусловно и однозначно разрешимо.
В основе этого параграфа лежат результаты автора, опубликован-
ные в работах [119], [122], [211].
68
Глава 2. Краевые задачи для нагруженных уравнений.,»
2.7. Об одном приближенном методе решения
краевых задач для дифференциальных уравнений
и его приложения к динамике почвенной влаги и
грунтовых вод
Пусть L - дифференциальный или интегро-дифференциальный
оператор с областью определения D(L), a L - нагруженный диф-
ференциальный или интегро-дифференциальный оператор такого же
типа и порядка, что и L, который с той или иной степенью точности
аппроксимирует L. Предлагаемый метод отыскания приближенного
решения и 6 D(L) уравнения
Lu = /(4uGD(L),	(L)
который в работе [128] назван методом редукции к нагруженным
уравнениям, состоит в замене этого уравнения аппроксимирующим
Lu = f(x), и е D(L) = D(L).	(Z)
Функция и 6 D(L) называется приближенным решением задачи (L),
если оно является точным (или приближенным) решением аппрокси-
мирующей задачи (Z).
Раскроем сущность метода на некоторых модельных задачах, яв-
ляющихся весьма важными как в теоретическом аспекте, так и в
прикладном.
Хорошо известно, что основные краевые задачи для обыкновенно-
го интегро-дифференциального уравнения второго порядка
/3
а(х)и"(х) + b(x)u'(x) + с(х)и(х) + j* d(x,t)u(t)dt = f(x) (2.7.1)
а
в интервале а < х < /3 охватываются следующей постановкой: найти
непрерывное на сегменте [а, /3] (вместе со своими производными до
соответствующих порядков) решение и = и(х) уравнения (2.7.1), удо-
влетворяющее (нелокальному) условию (см. [88]):
Г d^~1ui „ d^~ru\ 1	. Л /Л _
5Z	L—а + ^0 Jo’7-1	л = г =	(2.7.2)
f dxJ 11 х—а	dxJ 11 ®=/з
j=i
где Ofij, (3jj, ъ - заданные числа, dPu/dx® = и(х).
Пусть и(х) « с?(x)u(xj), j = 1,2, ...,р, - соответствующая искомой
функции и(х) интерполяционная формула (например, Лагранжа) с
2.7. Об одном приближенном методе решения краевых задач...
69
узлами интерполирования	из сегмента [а, /3], а
/з
d(z,t)u(t)dt « /3j(x)u(xj), j = p+ l,p + 2, ...,q,
a
некоторая квадратурная формула (например, Симпсона) с узлами в
гонках хР+1,хР+2, ...,xq из [а,/3]. Тогда метод редукции к нагружен-
ным уравнениям применительно к задаче (2.7.1), (2.7.2) заключается
а замене интегро-дифференциального уравнения (2.7.1) следующим
нагруженным дифференциальным уравнением второго порядка:
а(х)и"(х) + Ь(х)и'(х) + /P(x)u(xj) = /(ж), j = 1,2,..., q, (2.7.3)
где (У(х) = с(х)с?(х) и, как и ранее, по повторяющемуся индексу j
подразумевается суммирование от 1 до q. При этом за приближенное
решение й(х) задачи (2.7.1), (2.7.2) принимается точное решение и(х)
задачи (2.7.2), (2.7.3).
Обращая дифференциальный оператор a(x)d2/dx2 + b(x)d/dx с со-
ответствующим образом подобранной областью определения, задачу
(2.7.2), (2.7.3) можно эквивалентно редуцировать к нагруженному
функциональному уравнению вида
u(x) + B(/3J')u(a:j) =
В частности, при а(х) = 1 и в случае однородной задачи Коши
। du\
w = —	= О
1ж=а dx\x=a
оператор В = Вх и
X	X
B(v) = I b+(tMt)dt I
a	t
b+(x) = exp
Из нагруженного функционального уравнения получим систему ал-
гебраических уравнений
и(^) + ^и(^) = ВжД/), bij = B(J3j)\x=Xi, г = 1,2,..,9,
из которых при естественных ограничениях на входные данные можно
определить значения искомого решения и(х) в узлах интерполирова-
ния a?i,Х2, ...,хр и в точках xP+i,xP+2,—,xq.
Если воспользоваться формулой Симпсона (см. [13])
1
У u(f)dt «
о
ц(0) + ^(1)	2 /1\
6	3 \2/
70 Глава 2. Краевые задачи для нагруженных уравнений...
то интегро-дифференциальное уравнение
1
и"(х) + А У u(t)dt = 0, А = const, 0 < х < 1,	(2.7.4)
о
аппроксимируется нагруженным дифференциальным уравнением
2	А
+ - Ati(1/2) = --[ti(0) + 71(1)].	(2.7.5)
о	о
Любопытно отметить, что двухточечная задача (задача Дирихле)
71(0) = 710, ^(1) = ^1	(2.7.6)
для уравнений (2.7.4) и (2.7.5) однозначно и безусловно разрешима
тогда и только тогда, когда А 12. Более того, решение
ЗА
и(х) = 710 + (^1 -	+ TZ---г(^1 + ^о)#(1 - х)
— Л
задачи (2.7.4), (2.7.6) в точности совпадает с решением задачи
(2.7.6) для аппроксимирующего уравнения (2.7.5).
Многие задачи уровенного и солевого прогноза в капиллярно-
пористых средах сводятся к нелокальной задаче отыскания функции
71 = и(х, t), если известно, что
ди	д2и2	ди
% =	+ В(М)^ + C(x,f)u + f(x,t),
Ot	ох*	ox
u|t=0 = r(x), a<x<0,
52	+= 7iW’0<t<T’
j=l
где А, В, C, f, a, /3, T, aij, fy, yij, i = 1,2, - заданные входные
величины.
Эта задача в случае, когда а^, /Зу постоянны, 'yij = 0 и уравне-
ние совпадает с уравнением ut = ихх — q(x)u + f(x,f), исследована
Н.И. Ионкиным и Е.И. Моисеевым в работе [73], где получены весьма
интересные результаты.
Рассмотрим задачу долгосрочного прогноза уровня и = u(x,t}
грунтовой воды на участке 0 х I с однородными гидрогеологиче-
скими условиями, расположенном между двумя водоемами, в любые
моменты времени t от начального t = 0 до расчетного t = Т.
При определенных условиях (см. [160]) неустановившееся движе-
ние грунтовых вод со слабоизменяющейся свободной поверхностью
2.7. Об одном приближенном методе решения краевых задач...
71
описывается уравнением Буссинеска
ди д2и2	z
2adt = к~д^'	(2.7.7)
где а - водоотдача, к - коэффициент фильтрации, и = u(x,t) -
уровень грунтовой воды в точке х 6 [О, I] в момент времени t.
Предположим, что из натурных наблюдений нам известны:
й = p(t), 0 < t < Г,	(2.7.8)
UX 1х=0
-	закон изменения уклона потока грунтовых вод в точке х = 0 для
всех времен от начального t = 0 до расчетного t = Т (например,
i/(t) = Q/(kH\ где Q - расход, Н - вертикальный размер потока);
u|t=0 = т(х), 0 х < I,	(2.7.9)
-	уровень грунтовой воды в начальный момент времени;
гл(О, t) = au(l,t), а = const >0, 0 t Т, (2.7.10)
-	условие, показывающее, что водоемы, примыкающие к мелиориру-
емой территории 0 х I слева и справа, находятся в одинаковых
условиях.
Найдем приближенное решение задачи (2.7.8), (2.7.9), (2.7.10) для
нелинейного уравнения (2.7.7) методом редукции к нагруженным
дифференциальным уравнениям.
Пусть
I
6(f) = и= | J u(x,f)dx	(2.7.11)
о
- среднее значение и(х, t) в момент времени t.
Один из классических методов линеаризации уравнения (2.7.7)
состоит в том, что 6 считается не зависящим от времени, и уравнение
(2.7.7) аппроксимируется уравнением
ди __ д2и
dt адх2'
где а = кб/а - параметр, получивший специальное название «ко-
эффициент уровнепроводности», который, как правило, определяется
экспериментальным путем. Мы же будем считать, что 6 = 6(t) - неиз-
вестная функция времени t, и уравнение (2.7.7) заменим нагруженным
уравнением
д2и
= 2a6'(t),	(2.7.12)
где 5 связана с и формулой (2.7.11).
72
Глава 2. Краевые задачи для нагруженных уравнений,,.
Легко видеть, что любое решение и = u(x,t) уравнения (2.7.12)
представимо в виде
u(x, t) = -тлт®2 + A(t)x + B(t),	(2.7.13)
КО
где A(t) и B(t) - произвольные непрерывные для всех t 6 [О, Т]
функции.
Удовлетворяя (2.7.13) условию (2.7.8) и соотношению (2.7.11), бу-
дем иметь
A(i) = p(f), <J = ^ + ^ + B(t).
Стало быть,
u(a:,t) = -гт (®2 -	+ И*)	(2.7.14)
КО у О /	\ Z /
Далее из (2.7.10) в силу (2.7.14) находим
al26' v(f)l 3aal26'
за * 2'
ИЛИ
6' = £(t)6 - A<52, 0 < t < T,	(2.7.15)
где
3fc(l -H g)i/(t) 3fc(-l + a)
W 2a(l + 2a)f ’ a(l + 2a)/2’
При e(t) = 0 согласно (2.7.9) решение задачи Коши
i	i
5(0) = | J u(x,tydx = j J r(x)dx = f	(2.7.16)
о	о
для уравнения Бернулли (2.7.15) имеет вид

Из (2.7.14), принимая во внимание, что
(5Z Ат
6(f)	1 + Ат*’
находим
u(x,t)
т[3к — Ха(3х2 — I2)]
3fc(l + Ат*)
Уравнение (2.7.15) заменой z = 1/(5 сводится к уравнению z1 = ez — А,
из которого при E(f) =е = const следует, что z = Сехр(— et) + А/е, где
2.7. Об одном приближенном методе решения краевых задач...
73
С - произвольная постоянная. Отсюда на основании (2.7.16) получаем
<5 =	---7---------7 77	/ °)-	(2.7.17)
Ат + (е — Ат) ехр(—et) v 7	v 7
Таким образом, установлено, что среднее значение 6(t) уровня
грунтовой воды на участке 0 х I меняется по «логистической»
кривой Ферхюльста (см. [40, с. 245]), и формулы (2.7.17) е = const
и т / 0 представляют собой алгоритм для поиска приближенного
решения и нелокальной краевой задачи (2.7.8), (2.7.9), (2.7.10) для
уравнения (2.7.7).
При определенных физических допущениях одномерное движение
почвенной влаги с учетом гравитационных сил описывается нелиней-
ным уравнением параболического типа [123, 160]
I=й	(2-7л8)
где и = u(z, f) - влажность в точке х почвогрунта в момент времени
f, k(u) - коэффициент влагопроводности при влажности u, D(u) -
коэффициент диффузитивности.
Анализ натурных наблюдений и экспериментальных данных про-
цессов инфильтрации и капиллярного подъема показывает, что дви-
жение почвенной влаги происходит с конечной скоростью (см. [35]) и,
стало быть, носит волновой характер. Однако линеаризацию уравне-
ния (2.7.18), как правило, производят методом редукции к линейным
уравнениям параболического типа, которые означают, что любое воз-
мущение с бесконечной скоростью скажется (хотя бы в ничтожной
степени) на любом сколь угодно далеком расстоянии от источника.
Поэтому более естественно линеаризацию (или квазилинеаризацию)
тех или иных уравнений параболического типа, описывающих реаль-
ные процессы тепломассообмена с конечной скоростью, произвести
методом редукции к нагруженным уравнениям, как правило гипер-
болического типа.
Продемонстрируем сказанное на конкретных ситуациях. Пусть
D(u) « а + (Зи, а,/3 = const > 0
и скорость b(u) = dk(u)/du движения влаги под действием гравита-
ционных сил является постоянной. Тогда уравнение (2.7.18) прибли-
женно можно заменить уравнением
ди _ 1 д2(а + /3и)2 ди	/9 7 10^
dt~ 2(3 дх2	дх'	(	}
Отсюда после почленного дифференцирования по t будем иметь
д2и _ d2[(a + /3u)ut]	д2и
dt2	дх2	dxdt
74
Глава 2. Краевые задачи для нагруженных уравнений...
Если теперь множитель щ — du/dt в квадратной скобке заменить
его средним значением <5'(t) для почв слоя 0 < х I (см. формулу
(2.7.11)), то это уравнение приближенно редуцируется к нагруженно-
му уравнению гиперболического типа
utt + buxt - /3S\t)uxx = 0 (<5'(t) > 0).
Такой метод поиска приближенного решения уравнения влагоперено-
са (2.7.19) оказывается весьма эффективным в случае, когда задано
нелокальное условие вида
о
о>(*), 0 t Т,
(2.7.20)
т.е. скорость 6'(t) = w(t)/l расхода влаги в слое 0 х I.
Вернемся к уравнению Буссинеска (2.7.7), которое после почлен-
ного дифференцирования по t можно переписать в виде
d2u _ д2(ищ)
° dt2 дх2
Предположим, что щ прямо пропорциональна расходу
(2.7.21)
д
adt
I
У u(x,t)dx, 0 t Т,
о
грунтовой воды на прогнозируемом участке 0 х I с коэффици-
ентом пропорциональности 7, который, в зависимости от начальных,
нелокальных и граничных условий, определяется как функция точки
х. Если теперь, как и выше, множитель щ в уравнении (2.7.21) заме-
нить выражением
^adt
I
У и(х, t)dx
о

то оно редуцируется к нагруженному уравнению гиперболического
типа
д2и
dt?
д_
dt
j u(x,f)dx
о
d2(7u)
дх2
(2.7.22)
= к
Здесь же уместно отметить, что приближенные решения уравне-
ния Буссинеска (2.7.7) можно найти, заменив его более простым, чем
2.7. Об одном приближенном методе решения краевых задач...75
(2.7.22), нагруженным уравнением параболического типа
I
2 -0~2 =	J	(2.7.23)
О
Уравнение (2.7.23), в свою очередь, можно аппроксимировать линей-
ным нагруженным дифференциальным уравнением
д2и д [
ада? = y^adt I u^x^dx-
О
С.М. Тарг {175], строя приближенное решение следующей матема-
тической модели задачи о теплообмене в смазочном слое 0 х 1
между шипом и подшипником, когда температура и = u(x,t) шипа
неизменна:
ихх - Щ = /о = const,	(2.7.24)
u(z,0) = 0, 0 < х 1, u(0,t) = 0, t > 0,
(их + (Зщ + уи) |x=i =0, t 0, /3 = const » 1, 7 = const « /3,
i
заменял производную в (2.7.24) ее средним значением / Ut(x,t)dx.
о
Иначе говоря, С.М. Тарг аппроксимировал уравнение (2.7.24) нагру-
женным дифференциальным уравнением
1
ихх ~ j w(£> ^)^ —
О
И.С. Теплицкий [176], утверждая, что обычно в конкретных зада-
чах уровенного прогноза по граничным условиям можно выяснить до
некоторой степени характер распределения вдоль горизонтали вели-
чины полагает
Щ « 0(t)x(x)	(2.7.25)
и заменяет уравнение Буссинеска (2.7.7) соотношением
k(u2)xx = 2«T0(t)x(x).
Очевидно, что
i	I
*(*) = 1 [L = [xm / о,
Lt J	J
0	0
76
Глава 2, Краевые задачи для нагруженных уравнений.,.
стало быть, уравнение (2.7.7) по существу, как и в [175], аппроксими-
руется нагруженным уравнением в частных производных
I
kL(u2)xx = 2аХ(х)^ J u(£,	(2.7.26)
О
Если, исходя из начальных, граничных и нелокальных условий,
например вида (2.7.20), или же из решения обратных (идентифика-
ционных) задач, действительно удается определить функции 6(f) и
х(х) из (2.7.25), то, как и выше, есть смысл поставить в соответствие
уравнению (2.7.7) уравнение гиперболического типа
д2и
(2.7.27)
UX	(Л
которое может более точно, чем (2.7.26), аппроксимировать (2.7.7).
Рассмотрим, в частности, задачу фильтрации из канала в сухой
грунт при равномерном подъеме в нем уровня воды [160]. В качестве
математической модели этой задачи предлагается (см. также [123])
следующая нелокальная краевая
Задача 2.7.1. В области Q = {(ж, t) : 0 < х < Z(t),0 < t < Т}
требуется найти решение u = и(х, t) уравнения Буссинеска (2.7.7) и
функцию I = 1(f), удовлетворяющую условиям
u(0, t) = <p(t), 0 t Г,	(2.7.28)
- закон изменения уровня воды в канале (<p(t) = at, a = const > 0 при
равномерном подъеме в нем уровня воды);
u(l,t)=0,	(2.7.29)
[ u(g,t)d£ =	, 0 t T.	(2.7.30)
ut J	UX lx=0
0
Построим приближенное решение задачи 2.7.1 при <p(t) = at, ап-
проксимировав уравнение (2.7.7) уравнением вида (2.7.27), где 6(f) =
= а, х(х) = 1, а именно уравнением
9	/ак	. ч
utt = сихх, с = у—-	(2.7.31)
Передний край языка грунтовой воды перемещается вдоль непро-
ницаемого водоупора и = 0, ж > 0 на плоскости переменных х и
и со скоростью dx/dt = l'(t), На характеристике уравнения (2.7.31)
dx/dt = с. Принимая это во внимание, естественно положить l'(f) = с.
Так как 1(0) = 0, то l(t) = ct, Теперь легко заметить, что единственное
решение u(x,t) задачи Дарбу (2.7.28), (2.7.29) для уравнения (2.7.31)
ди _ d
dt dx
2.7. Об одном приближенном методе решения краевых задач,,,	77
задастся формулой
и(х, t) = (a/c)(ct — х),	(2.7.32)
Непосредственной проверкой можно убедиться, что найденные функ-
ции I = ct и и(я, t) из (2.7.32) обращают (2.7.30) в тождество. .
Примечательно, что функция (2.7.32) является точным решением
уравнения (2.7.7) и нагруженного уравнения Буссинеска
о
которое получается из (2.7.26) при х(х) = 1.
Если уровень воды в канале меняется по закону
u(0, t) = <p(t) = -JL_fn+1,
где т = const, то уравнение Буссинеска (2.7.7) можно аппроксими-
ровать обобщенным уравнением Трикоми
Иц = С t Щех*
Отметим также, что если уравнение влагопереноса Аллера [152]
D(U) — + Auxxt (А = const)
ota;J
линеаризовать одним из приведенных выше приемов, то можно полу-
чить уравнение псевдогиперболического типа следующего вида:
На = с 'U'xx “I” buxxti
которое описывает волновые процессы с диссипацией [38].
Метод редукции к нагруженным уравнениям может оказаться
весьма эффективным при отыскании приближенного решения хорошо
известного уравнения Кортевега де Фриза
щ + иих + РиХХх = 0, /3 = const > 0.	(2.7.33)
Уравнение (2.7.33), в частности, можно аппроксимировать одним
из нагруженных дифференциальных уравнений, которое получается
из него, если сомножитель и = и (ж, t) во втором слагаемом заменить
одним из следующих приближенных значений:
и « сг(ж, t)u(xi,t), г = 1,2,...; и ~ сг^(х, t)u(xi, tj), i,j = l,2,...;
L
и « -z—- [ u(x, t)dx\	(2.7.34)
78
Глава 2. Краевые задачи для нагруженных уравнений,,.
L Т
и ~	—Т) / f
7 I О
где xi, - характерные точки, выступающие в качестве узлов
интерполирования; I, L и Т - заданные величины.
В случае (2.7.34) уравнение Кортевега де Фриза (2.7.33) аппрокси-
мируется нагруженным дифференциальным уравнением с кратными
характеристиками
щ + йих 4- /Зиххх = 0.	(2.7.35)
Уравнение (2.7.35) заменой (см. [86], а также [62])
£ = х — ut, т] = t, v = v(£, tj) = и(£ + йт}, vj)
сводится к линеаризованному уравнению Кортевега де Фриза [86]
Kv =	= 0.	(2.7.36)
Неизвестная величина й может быть определена после обращения
оператора К в области его определения D(K),
Рассмотрим, например, задачу Коши
и(я,0) = т{х), -оо < х < +оо,
для нагруженного уравнения (2.7.35). Если и(х, t) - решение этой
задачи, то функция v(£, ту) будет решением задачи Коши v(£, 0) = т(£),
—оо < £ < Ч-оо для уравнения (2.7.36). Так как (см. [86, с. 14])
оо
1 f / А — я \
u(e,r?) = J Ai\VWT(8)d8’
—оо
где
Ai(x) = i
7Г
COS
- функция Эйри, то нетрудно проверить, что неизвестная величина и
дрлжал удовлетворять уравнению
_	5г-1/2(3/3)-1/3 [	f dt f (x-ut-s\ .
и = —77—— / ах 1 —= / Ai —57===— r(s)ds.
(L-l)T J J ^/t J \ J v ’
I 0	—00
2.8. Задачи Коши и Дирихле для класса нагруженных...
79
2.8. Задачи Коши и Дирихле для класса
нагруженных дифференциальных уравнений
дробного порядка
Проблемы математического моделирования нелокальных процес-
сов приводят к начальным и краевым задачам для различных вариан-
тов следующего класса нагруженных дифференциальных уравнений
с частными производными порядка а б]1,2[:
т
DQtu(x,rf) — Xu(x,t) =
j=i
+ (x,t)u(xj,f) {x^u(xj,tj) + v(rr,t), (2.8.1)
j=i	j=i
где A = A(rr) - спектральная функция из класса С[0, г], о7 (я, £), V(x, t),
ci(x,t), v(x,f) - заданные и непрерывные в области Q = {(x,t) :
О < я < г, 0 <t <Т} функции независимых переменных х и £, (aj, tj) -
заданные точки из Я с ординатами tj> 0, j = 1,2,..., k.
Задача Коши и задача Дирихле для уравнения (2.8.1) в постановке
В.А. Нахушевой [146, с. 59] формулируются следующим образом.
Задача 2.8.1. Найти решение u(x,t) уравнения (2.8.1) из про-
странства L(J2), непрерывное всюду в П, за исключением, быть может,
отрезка 1Г = {(гг, 0) : 0 х г}, и удовлетворяющее начальным
условиям
limt2~%(x,t) = т(х), lim ^t2~au(x, t) = v(x), 0 < х < г, (2.8.2)
где т(х) и v(x) - заданные непрерывные на сегменте [0, г] функции.
Задача 2.8.2. В области Q найти решение u(x, t) уравнения (2.8.1)
из класса L(f2) П С(П\7Г), если известно, что
limt2~oti(x,t) = т(х), и(х,Т) = ц(х), 0 х г, (2.8.3)
где т(х) и ц(х) - заданные функции из С[0, г].
В теории нагруженных дифференциальных уравнений важную
роль играет следующая теорема [146, с. 59].
Теорема 2.8.1. Пусть v(x,t) е C(f2\7r) ClL(f2). Тогда единствен-
ное решение задачи (2.8.2) для уравнения
DQtu(x, rf) — Хи(х, t) = v(x, t)
задается формулой
u(x,t) = U(r, v, v, X\x,t) = U(t, и, X\x,t) 4- U(y,X\x,t),	(2.8.4)
(2.8.5)
80 Глава 2. Краевые задачи для нагруженных уравнений,,,
<
где	I
С7(т, I/, А; х, t)=i/(a;)r(a)tQ-1Ei/Q(AtQ; о}+т(а;)Г(а-1)^“2Е1/а(А^; а-П
U(v,X;x,t) = Г(а)Ро"Е1/а[А(^ -7/)Q;a]v(rr,7/).
j
Из теоремы 2.8.1 следует эквивалентность задачи 2.8.1 нагружен- j
ному интегральному уравнению
{т	I
(x,r})u(jc,tj)+ .
J=i
п	к
+52 fr’ (®> T?)u(a:J ’	+52 °”	)
j=l	j=l
Уравнение (2.8.5) можно переписать в виде
u(x,t) = С7(т, i/, v, А;я,£) +	AJ(:E,£)гz(^E,£j)+
J=l
+ 52-Dw“s,(a:>f>T?)u(^>’?) +	(2.8.6)
j=l	j=l
где
A>(x,t) = Г(а}П^аЕ1/а[Ха - 7?)a;ala>(x,7?) = U(a?, A;x,t),
Cj(x,f) =r(a)DuaE1/a[X(t - i!)a-,a]c>(x,ii) = U(c>, A;x,t).	.
Следующие уравнения являются модельными, но вместе с тем
важными вариантами уравнения (2.8.6):
u(x,t) = /(а;,^) + ^2 AJ(rc,^)tz(a;,^),	(2.8.7)
J=i
u(x,t) = f(x,t) + У^Р^В^(х4^Т1)и^^Т1)^	(2.8.8)
j=i
к
u(x,t) = f(x,t)	(x^i)u(xj^tj\	(2.8.9)
j=i
с правой частью /(ж, t) = U(r, i/, v, А; ж, t).
2.8. Задачи Коши и Дирихле для класса нагруженных...81
Нагруженное функциональное уравнение (2.8.7) однозначно раз-
решимо, если система алгебраических уравнений
= /(ж,^), i = l,2,,...,m,
j=i
где 6ij - символ Кронекера, имеет определитель, отличный от нуля
для любого х е [0,г].
Из (2.8.8) при х = Xi, i = 1,2,..., п получаем систему интегральных
уравнений Вольтерра второго рода с п неизвестными функциями
u(X2,t),..., u(xn,t).
Необходимым условием разрешимости нагруженного функцио-
нального уравнения (2.8.9) является система равенств
[1 - C^x^ti^u^ti)-
к
- 22(1 - ^)С^Л)и(^) =	i = 1,2,..., к. (2.8.10)
j=l
Если определитель этой системы отличен от нуля, то уравнение (2.8.9)
будет иметь, и притом единственное, решение u(x,t). При к = 1
(2.8.10) представляет собой уравнение первой степени
[1 - C1(®i,«i)]u(®i,ii) = №i, ti).	(2.8.11)
Пусть С1 (х, t) = С1 = const. Поскольку
С'Ы = C^D^E^X^t - 7?)“; а] =
= С1 j(t -	-т,)“;	=
О
_ о. у- * f,t _	_ с. v_______________=
~ ё;Г(а + аЯ/1‘ ™	’"° Д-Ца + адХа + щ)
3	Q	3
то уравнение (2.8.11) безусловно и однозначно разрешимо тогда и
только тогда, когда
C'1t?E1/o[At?;a + l]/l.
Задачи 2.8.1 и 2.8.2 в общем случае сводятся к нагруженным
интегральным уравнениям.
82 Глава 2. Краевые задачи для нагруженных уравнений,,.
Возможные ситуации с разрешимостью этих задач продемонстри-
руем на двух модельных уравнениях. В первую очередь рассмотрим
уравнение
Dotu(x, rf) + А(я)гг(я, t) = //(х)и(хо, t),	(2.8.12)
где хо - фиксированная точка из сегмента [0, г], Х(х) и ц(х) - заданные
функции из С[0,г].
Из (2.8.12) при х = xq получаем уравнение
D^u^xq, rf) - X^u(xq, t) = 0, Ад = А(яо) + /1(я0).	(2.8.13)
В силу (2.8.2) и (2.8.3) функция u(xq,{) дрлжаз. удовлетворять усло-
вию
lim£2“aiz(#o,£) = то, Пт[£2“агх(яо,£)]' = vq	(2.8.14)
в случае задачи 2.8.1 и условиям
Нт£2“агх(я0,*) = т0, Мхо, Т] = /х0	(2.8.15)
в случае задачи 2.8.2. Здесь tq = т(жо), = И^о), До = д(#о)-
Единственное решение задачи (2.8.14) для уравнения (2.8.13) опре-
деляется формулой
u(xQ,t) = С7(то,1/о, Ад;я0,£),
а решение и(х, t) этой задачи для уравнения (2.8.12) имеет следующий
вид:
гх(я, t) = С7(т, i/, vo, А,я,£).
Функция vo(x,t) = д(ж)С/(то,^о, AM;a?o,^)«
Задача (2.8.15) для уравнения (2.8.13) имеет, и притом един-
ственное, решение тогда и только тогда, когда
Я1/а(АдГ*;а)^0.	(2.8.16)
Условие (2.8.16) вместе с условием
Е1/а(АГ>;а)/0	(2.8.17)
обеспечивают однозначную разрешимость задачи 2.8.2 в случае урав-
нения (2.8.12).
Условия (2.8.16) и (2.8.17) означают, что для любого х е [0,т]
числа ХрТа и ХТа не являются нулями обобщенной экспоненциальной
функции expQ(z), которая определяется по формуле
~ zk
exp(z) = V —--------—.
Очевидно, они будут таковыми, если А(х) > 0 для любого х € [0, г] и
А(хо) + д(хо) > 0.
2.8. Задачи Коши и Дирихле для класса нагруженных...
83
Рассмотрим теперь уравнение
DQtiz(rr,7/) — A(rr)tz(a;, t) = /10г)гг(яо,*о), *о €]0,Т].	(2.8.18)
Видоизмененная задача Коши (2.8.2) для уравнения (2.8.18) экви-
валентна нагруженному уравнению
гг(я, t) = U(т, I/, А; ж, t) 4- U(jjlu(xq, to), А; ж, t).	(2.8.19)
Так как
r(a)Z>0-“F1/Q[A(t-7?)°;a] =
= у Л /	= t<*E1/a[Xta;а 4-11,
£jr(a + afc)J (t-rtf-o 1 1/Ql J’
то
I7(^ti(xo,to), A;rr,t) = д(я)гг0го^о)*а^1/а[А£а;а 4-1].	(2.8.20)
Из (2.8.19) и (2.8.20) следует, что
{1 - д(хО)*о-®1/а[А(хо)«о;а + 1]} u(zo,to) =
= {7[т(хо), i'(xo), А(аг0); х0, t0].	(2.8.21)
Как видно из (2.8.21), условие однозначной разрешимости задачи
(2.8.2) для уравнения (2.8.19) имеет вид
/i(rro)^QEi/Q[A(iEo)^;a 4-1] / 1,
и это условие является существенным.
Вышеизложенные результаты принадлежат В.А. Нахушевой [147].
В заключение параграфа отметим, что В.М. Борок, Я.И. Жито-
мирский [30]-[32] исследовали задачу Коши и(х, 0) = uq(x\ х 6 Rn для
класса линейных нагруженных дифференциальных уравнений вида
ди(х, t)	п f д \ , .у. <7*	/ д \ , , ч
дх ~ р\di) u(z’+ 52	\э^) и^х' Ы
где P(S), Qj(S) - произвольные полиномы относительно S =
= (51,52,...,^) с постоянными (комплексными) коэффициентами,
0 < ti < t2 < ... < iq < ОО.
Глава 3
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ НАГРУЖЕННЫХ
УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА И ИХ
ПРИЛОЖЕНИЯ
3.1. Вторая, третья и смешанная краевые задачи
для нагруженного уравнения теплопроводности
Рассмотрим однородную ограниченную среду 0 х г линейного
размера, на одном из концов х = 0 которой имеется источник тепла,
мощность которого пропорциональна значению iz(O,t) температуры
iz(rr, t) в момент времени t. Тогда в качестве математической модели
процесса распространения тепла в этой среде по закону Фурье можно
взять уравнение
щ — а2ихх = Atz(O, t), а = const > О,
где а2 - коэффициент температуропроводности, А = A(t) - коэффи-
циент пропорциональности, характеризующий термические свойства
среды. Это уравнение простой заменой независимых переменных сво-
дится к следующему нагруженному уравнению теплопроводности с
динамической переменной и = и(х,у):
ди д2и z v z v	,
ду~дя? =	0 < ж < г’ 0 < у < Т. (3.1.1)
Предполагается, что А = Х(у) является непрерывной функцией на
сегменте [О,Г].
В случае, когда Х(у) на сегменте [О, Т] удовлетворяет условию Гель-
дера, уравнение (3.1.1) является модельным вариантом нагружен-
ной системы квазилинейных параболических уравнений, для которой
А.Д. Искендеров [79] исследовал первую краевую задачу и доказал,
что можно указать такое уо б]0,Т[, что при 0 у уо она имеет
хотя бы одно решение. В моей, в соавторстве с Х.Ж. Дикиновым
и А.А. Керефовым, работе [64] обращено внимание на прикладную
важность уравнения (3.1.1) и доказано, что при Х(у) = const для этого
уравнения корректно поставлена смешанная задача:
гб(хг, 0) = /(ж), 0 х г,	(3.1.2)
«®(0, у) = <7о(!/)> и(г,у) = ч>г(у), о у Т, (3.1.3)
3.1. Вторая, третья и смешанная краевые задачи...
85
где f(x), qo(y), <Рг(у) ~ заданные функции, непрерывные при 0 х г,
О < у < Т соответственно, причем /(г) = <^г(0), /'(0) = <7о(0)-
А.А. Керефов [87] для соответствующего уравнению (3.1.1) неод-
нородного уравнения исследовал на однозначную разрешимость более
общую, чем (3.1.2)-(3.1.3), краевую задачу, когда условие их(^у) =
= qe(y) заменено на краевое условие ux(Q,y) + /?(?/)Ц0,у) = qo(y) с
заданной функцией /3(у) Е С[0,Т].
А.П. Белогуров в сообщении [16] анонсировал критерий существо-
вания единственного сильного решения гх(гг, у) Е L2(0 < х,у < 2тг)
двух нелокальных задач для уравнения
т
Uy - ихх + 57 Afcu(xfc, у) = /(х, у), 0<х,у < 2тг,
fc=i
где Afc - заданные константы, 0 <	< Х2 < ... < хт < 2тг.
С.Х. Геккиева, М.А. Керефов [41], [42] доказали существование
единственного регулярного решения Цгг, у) краевой задачи
lim	= т(я), 0 х г,
ЦО, у) = (р(у), и(г,у) = ЦЦ, 0 у Т
для уравнения
Dqvu(x^ q) — ихх — АЦ^о, у) =	у), 0 < а < 1, А = const, 0 < xq < г.
Р.И. Паровик [157], [158] исследовал математическую модель диф-
фузии-адвекции радона в системе грунт-атмосфера, в основе которой
лежит нагруженное уравнение с дробной производной по времени.
В.М. Борок и Я.И. Житомирский [33] доказали теоремы един-
ственности и существования решения задачи Коши: и(х, 0) = т(:г),
х Е IRn для класса нагруженных уравнений вида
ди(х^ у) г> ( д\ , ч	( д \	.
~дГ W “(1’ + £ Hta) ”(1'й)’
\	/	J=1	\
где (ж, у) Е IRn х [0, Т], уз Е]0, Т], Р(С), Qj(С) - полиномы относительно
£ = (£l,£2,..,£n), |Q1U)I +1<?2(01 +... + |QmU)| *0.
Вопросу поиска классов единственности решения задачи Коши для
нагруженных уравнений посвящена и работа [34].
Liu Junyi, Xu Mingyu [207] исследовали задачу Стефана для на-
груженного уравнения дробной (фрактальной) диффузии
д%уи(х, q) = Х2ихх, 0 < а 1, А = const > 0, —оо < х < оо
с условием
Ця:,0) = т(х), |хг| < оо, lim u(x^t) = О V у > 0.
86
Глава 3. Краевые задачи для нагруженных уравнений...
Вернемся к уравнению (3.1.1) и произведем в нем замену зависи-
мой переменной и = и(ж, у) по формуле
у
и(х, У) = (я, J/) + J A(tj)u(O, rf)dq.
о
Легко проверить, что функция v = v(rr, у) является решением урав-
нения теплопроводности
Vy = VxX)
(3.1.4)
(3.1.5)
И
их = vx.	(3.1.6)
Замена (3.1.4) переводит условия (3.1.2) и (3.1.3) в условия
0) = /(ж), 0 х г,
vxtfyy) = до(з/)> о у т,
У
vfay) = <рг(у) - У A(?/)u(0,?7)dr/.
о
В силу (3.1.4) выражение т\(у) =	где т(у) = гх(О,?/),
удовлетворяет уравнению
т(2/) - т\{у) = v(0,?/), 0 у Т,
или уравнению
” А(2/)тх(2/) = A(x/)v(O, з/)
с начальным условием тд(0) = 0. Стало быть,
" у
(3.1.7)
(3.1.8)
(3.1.9)
У
тд(у) = У A(t)t>(O,t)exp
О
С учетом этого равенства условие (3.1.9) можно записать в виде
у	Г у
v(r,2/) + У A(t)v(0,t)exp У A(77)d?7 dt = <pr(y), 0 у Т. (3.1.10)
о	Lt
Для уравнения (3.1.5) условие (3.1.10) представляет собой краевое
условие с нелокальным смещением.
Следовательно, смешанная задача (3.1.2)-(3.1.3) для нагруженно-
го уравнения теплопроводности (3.1.1) редуцируется к нелокальной
(смешанной) краевой задаче (3.1.7), (3.1.8), (3.1.10) для уравнения
теплопроводности (3.1.5).
л
3.1. Вторая, третья и смешанная краевые задачи.,.
87
В силу (3.1.6)-(3.1.8) вторая краевая задача
u(x,Q) = f(x), 0 х г; иж(О,з/) = go(z/), ux(r,y) = qr(y), Q<y <Т
для нагруженного уравнения теплопроводности (3.1.1) обратимой за-
меной (3.1.4) редуцируется ко второй краевой задаче
v(z,0) = f(x), 0 х г; vx(Q,y) = qa(y), vx(r,y) = qr(y), Q<y <T
для уравнения теплопроводности (3.1.5) в области 0 = {z = (х,у) :
О < х <г, 0 <у < Т].
Известно [171], что функция Грина (функция источника) смешан-
ной задачи (3.1.2)-(3.1.3) для уравнения теплопроводности иу = ихх
определяется формулой

+ ехр
(х — £ + 2гп)2'
4(1/ - п) .
(х + £ + 2гп)2
4(j/-n) .
Из свойств функции Грина следует, что любое решение уравнения
(3.1.5), удовлетворяющее условиям (3.1.7) и (3.1.8), является решени-
ем нагруженного уравнения
у
v(x,y) = fq(x,y) - / v(r,?;)G^(r,77;ir,2/)d77,	(3.1.11)
о
где
у	Т
fqfay) = - У 9o(^)G(0,7j;ir,2/)d77 + j ffi)G(g,O-,x,y)d£.
о	о
Из (3.1.11) при х —► 0 для следа v(0,y) получаем представление
у
v(0, у) = /д(0, у) - У v(r, T?)G$(r, ту; 0, yjdrj.	(3.1.12)
о
Подставим v(0,y) из (3.1.12) в нелокальное краевое условие
(3.1.10). В результате получим интегральное уравнение Вольтерра
второго рода
у
v(r, у)- У Gx(y, rf)v(r, ifjdq = fx(y), 0<y<T,	(3.1.13)
о
88
Глава 3. Краевые задачи для нагруженных уравнений...
с ядром
Gx(y,r))

G$(r, ту; O,t)dt
и правой частью
у
fq = Vr(y)~ У A(t)exp
О

Прямые вычисления показывают, что
(г, тг, 0, у) = (У 2^- 7 £ (—1)п(2гп - г) ехр
Уравнение (3.1.13) имеет, и притом единственное, решение
v(r,?/) Е С[0,Т]. Следовательно, задача отыскания функции v(x,y)
в области Q сводится к хорошо изученной смешанной задаче для
уравнения (3.1.5).
Смешанную задачу (3.1.2)-(3.1.3) для уравнения (3.1.1) можно
исследовать на однозначную разрешимость и следующим образом.
Любое решение и(х,у) этой задачи для уравнения (3.1.1) в общем
случае, когда А = Х(х,у) 6 C*(Q), является решением нагруженного
уравнения
у	Г
и(х,у) = F(x,y) + У u(0,7f)dri У А(£,ту)С(£,ту;я,?/)с!£,
о	о
(3.1.14)
где
у
F(x,y) = fq(x,y) - У (PrMG^riTp,xiy)dTi.
о
Из (3.1.14) при х —> 0 получаем
ЦО, у)- i ^^U(0,T))dT) = F(0,y),
J Vy-'n
о
(3.1.15)
где
k(y,n) =

Уравнение (3.1.15) как интегральное уравнение Вольтерра второго
рода относительно следа tz(O, у) искомого решения и(х, у) смешанной
3.1. Вторая, третья и смешанная краевые задачи...
89
задачи (3.1.2)-(3.1.3) для уравнения (3.1.1) имеет, и притом единствен-
ное, решение и(0,у) Е С[0,Т].
Пусть теперь г = оо. Для уравнения (3.1.1) в полуполосе Q =
= {(ж, у) : х > 0,0 < у < Т} рассмотрим третью краевую задачу
их(0,у) = дЦО,?/) +goG/), 0 < у < Т (3.1.16)
с начальным условием (3.1.2) и с дополнительным требованием, чтобы
функция и(х, у) была всюду ограничена:	у)\ < М для 0 х < оо,
у Е [О,Т]. Здесь предполагается, что |/(я)| < М, д = рь(у) и qo(y)
принадлежат классу С[0,Т].
Преобразование (3.1.4) переводит (3.1.16) в условие
vx(0,y) = MS v(0,?/)+
у
+ / А(£)ехр
о
О < у < Т.
(3.1.17)
Не нарушая общности, начальное условие может быть всегда при-
ведено к однородному:
и(я,0) = О,
(3.1.18)
если использовать решение
vo(x,y) =
оо
[ /о (С) exp
2vW J
—оо
уравнения (3.1.5), которое удовлетворяет условию: vo(rr,0) = /о(#)>
-оо < х < оо, где /о(^) - ограниченная и непрерывная функция, сов-
падающая с f(x) при х 0 [171, с. 727]. Для этого достаточно ввести
функцию w(x,y) = v(x,y) — vo(x,y).
Известно (см. [140, с. 66]), что для любого решения v = v(x,y)
уравнения (3.1.5), удовлетворяющего начальному условию (3.1.18) и
обладающего тем свойством, что Dq/2v(0,tj) Е С]О,Т[, справедливо
краевое условие с нелокальным смещением
«х(0,!/) = -£>о^(0>’7).	(3.1.19)
Из нелокального краевого условия (3.1.17) и равенства (3.1.19)
получаем следующее интегродифференциальное уравнение дробного
90
Глава 3. Краевые задачи для нагруженных уравнений...
порядка:
у
D^2v(0,ti) + д«(0,у) = -р J A(t)exp
о
v(0, t)dt - q0(y)
(3.1.20)
с однородным начальным условием
v(0,0) = 0.	(3.1.21)
Обратим оператор D^y2, область определения которого принадлежит
множеству непрерывных на сегменте [0, Т] функций v(0,y), удовле-
творяющих условию (3.1.21). В результате, принимая во внимание,
что Doy^Do^v&Ti!) = v(0,?/), будем иметь
t>(O,s/) + Dov1/2g(j?)v(0,T?) =
1
Г(1/2)
 rj
У А(т?1 )drii v(O,t)dt - Doy/2qo(T)) =
_t
У
о
У
dri-D^qo^).
(3.1.22)
Уравнение (3.1.22) является линейным интегральным уравнением
Вольтерра второго рода. Оно имеет, и притом единственное, решение
v(0,?/) Е С[0,Т], которое имеет производную Dq^2v(0,t/) Е С[0,Т].
3.2. Первая, вторая и смешанная краевые задачи
для класса нагруженных уравнений
параболического типа
В прямоугольной области П = {z : 0 < х < г, 0 < у < Т} плос-
кости комплексного переменного z = х + гу рассмотрим следующий
класс нагруженных уравнений параболического типа:
+с(2)и4-2222а«(2:)£>^*:Ха:л)«(^ л) = /(*)» (3-2.1)
оу OX*	f	v
а	г=1 j=l
где х = const > 0; otn < an-i < ••• < Qi = a, = const для любого
i = 1,2, ...,n; 0 x1 < x2 < ... < xn < г и предполагается, что
коэффициенты c(z) = с(ж,?/), kj(x,y) и свободный член f(z) = f(x,y)
непрерывны, a ai(z) = ai(x,y) непрерывно дифференцируемы по
Гельдеру на компакте П.
3.2. Первая, вторая и смешанная краевые задачи для класса,,.91
Задача 3.2.1. Найти регулярное в области Q решение u(z) =
= u(x, у) уравнения (3.2.1) из класса С(П), удовлетворяющее началь-
ному условию
гг(я,О) = т(х), 0 х г,	(3.2.2)
и одному из следующих граничных условий:
и(О,у) = У>о(у), u(r,y) = <Рг(.у), о у «S Т;	(3.2.3)
их(О,у) = и0(у), ux(r,y) = vr(y), 0<у < Т;	(3.2.4)
ux(O,y) = vo(y), u(r,y) = <pr(y), 0<y<T-,	(3.2.5)
где заданные начальные и граничные функции подчинены обычным
условиям гладкости и согласования [183], [178].
Имеет место следующая
Теорема 3.2.1. Пусть a < 1/2 u c(z) 0. Тогда задача 3.2.1
безусловно и однозначно разрешима.
Действительно, функция Грина G(z;£), £ = £ + гт/, задачи (3.2.2)-
(3.2.j) (j = 3,4,5) для уравнения
Lu = иу — хихх + c(z)u = 0
представима в виде
G(^C) = (y-»?)-1/2Go(^;C),
где Go(z; £) - достаточно гладкая функция точек z = (ж, у) и £ = (£, rf).
Обозначим через t/jk(y) след искомого решения u(z) задачи 3.2.1
при х = хк, 0 у Т, а через v(z) - решение задачи (3.2.2)-(3.2.j)
для уравнения
Lv = f(z)	(3.2.6)
в области П.
Принимая во внимание свойства функции Грина, нетрудно убе-
диться, что любое решение u(z) задачи 3.2.1 является решением на-
груженного уравнения
у	Г
u(z) - v(z) = /(у - T?)-1/2dr? jGite(3.2.7)
0	0
Здесь G»(z;C) = ai(C)Go(z;£) и по повторяющимся индексам i =
= 1,2,..., n и j = 1,2,..., m подразумевается суммирование.
Непосредственным вычислением можно показать, что выражение
у
J(y-
О
92
Глава 3. Краевые задачи для нагруженных уравнений.}?
при oti < 0 равно
у
1 icxi; j
о
1 ’
х у Gi[z;£,rii + (у -	1-а‘(1 - t)~1/2dt,
О
а при 0 < оч < 1/2 равно
у	!
Г(1 2^.)	/(»?1)^1Х	1
О	i
. 1	!
х-j—(у - ’71)1/2-<** / Gi[z; ^,т)1 + (у-	(1 - t)-1/2dt.
drii	J
0
С учетом этого уравнения (3.2.7) сводится к уравнению вида ;
V
u(z) = /	+	(3.2.8);
°	3
где kij(z;t) выражается через функции	fcj(z) и	G(z;£).	j
Из (3.2.8) при х = д = 1,2, ...,т, получаем систему	j
у	d
^(у) = / fcij(^,2/;^)(2/-^)“a<“1/2V^W^	+ v(^»2/)-	(3.2.9)'
. о
При а < 1/2 система (3.2.9) является линейной системой интеграль-
ных уравнений Вольтерра второго рода, стало быть, она безусловно и
однозначно разрешима.
Таким образом, единственное решение задачи 3.2.1 задается фор-
мулой (3.2.8), где гр1, гр2,..., грт - решение системы (3.2.9).
Хорошо известная схема редукции интегральных уравнений Воль-
терра с вырожденным ядром к обыкновенным дифференциальным
уравнениям позволяет выписать общее представление всех решений
нагруженного параболического уравнения вида
иу - хихх + с(у)и + ai^D^kj^u^,rj) = f(x,y),	(3.2.10)
которое получается из (3.2.1), если предположить, что коэффициенты
с, a,i и kj не зависят от х.
Действительно, любое решение u(z) уравнения (3.2.10) как ре-
шение уравнения составного типа [иу — хихх 4- с(у)и — f(z)]x = 0
3.3. О некоторых математических моделях движения грунтовых вод 93
представимо в виде
tz(z) = v(z) + ш(у),	(3.2.11)
где v(z) и соответственно означают решения уравнений
vy - nvxx 4- c{y)v = f(z),	(3.2.12)
= -ai^D^kj^v^,?/). (3.2.13)
Очевидно задача Коши: о>(0) = о>о для уравнения (3.2.13) при а <
< 1 эквивалентно редуцируется к линейному интегральному уравне-
нию Вольтерра второго рода и поэтому всегда разрешима, притом
единственным образом, в классе функций Е С[0, Т] А С1]О, Т[.
Представление (3.2.11) весьма полезно и при компьютерной реа-
лизации различных вариантов задачи 3.2.1, например, задачи (3.2.2),
(3.2.4) для уравнения (3.2.10). Нетрудно заметить, что решение этой
задачи представимо в виде (3.2.11), где v(z) представляет собой реше-
ние второй краевой задачи: v(2,0) = т(я), vx(0,y) = i/o(2/)> vx(r,y) =
= ^г(2/)> 0	2 г, 0 < у <Т, для уравнения (3.2.12), а ш(у) является
решением однородной задачи Коши: о>(0) = 0 для уравнения (3.2.13).
Предыдущие рассмотрения применимы к исследованию качествен-
ных характеристик некоторых нелокальных задач для нагруженных
уравнений в частных производных третьего порядка следующих ви-
дов:
0
Lu + 7— / и(х, y)dx + /(ж, ?/), 0 < х < г, 0 < у < Т, (3.2.14)
оу J
а
Lu 4- 711(2°, у) = f(x, у),
где
Lu = ихху 4- А(я, у)ихх 4- В(я, у)иху 4- 0(2, у)их 4- 6(2, у)иу 4- с(2, у)и,
0^а</?^г, 0<2°<г (см. [188], [ИЗ]).
О.С. Зикиров, Д.К. Холиков [72] для уравнения вида (3.2.14) иссле-
довали нелокальные задачи с условиями Стеклова первого и второго
классов.
3.3.	О некоторых математических моделях
движения грунтовых вод
Как отмечено в § 2.7, неустановившееся плоскопараллельное дви-
жение грунтовых вод со слабоизменяющейся свободной поверхностью
94
Глава 3. Краевые задачи для нагруженных уравнений,..
и с непроницаемым горизонтальным водоупором описывается уравне-
нием Буссинеска
ал kfih2 ,	„
"S = 2a^ + ”’(I'"’ ’’	( 1
где а - водоотдача, к - коэффициент фильтрации, w(rr,?/, Л) - интен-
сивность фильтрации, h = h(x,y) - ордината свободной поверхности
в точке х в момент времени у, отсчитываемая от водоупора.
Интенсивность фильтрации w определяется по формуле w =
= Wi(x, у, Л) — wi(x, у, h), где Wi - часть осадков, поливов или промы-
вок, попадающая на поверхность грунтовых вод, a wi - суммарная
интенсивность расходования грунтовых вод на эвапотранспирацию
[160, с. 488].
Обозначим через Н осредненное расстояние от поверхности почвы
до водоупора.
Пусть ж1, ж2,..., хт - характерные точки (отметки) мелиорируемой
территории 0 х г. Характерными точками могут быть, например,
точки, где измеряется уровень грунтовых вод, или точки, где
Н — Л(^, у) = min [Н — h(x, у)].
Предположим, что зависимость интенсивности испарения от глу-
бины стояния грунтовых вод задается формулой
где во - максимальная интенсивность испарения с поверхности почвы,
Л* - критическая глубина, отсчитывается от поверхности почвы, ниже
которой wi = 0, А - показатель степени, определяемый каждый раз
для конкретных условий.
Формула (3.3.2) является некоторым дискретным аналогом извест-
ной эмпирической формулы, предложенной С.Ф. Аверьяновым [2] (см.
также [160]).
В дальнейшем будем считать, что a, fc, во и Л* - известные посто-
янные величины, А = 1, a w = w(rr, у) - заданная функция, зависящая
только от х и у.
Линеаризуя уравнение (3.3.1) одним из известных способов (см.
§2.7) и принимая во внимание (3.3.2), получим для h(x,y) = и(х,у)
нагруженное уравнение параболического типа
иу -аихх + аэи(х^у) = f(x,y), j = 1,2, ...,тп,	(3.3.3)
где а = const > 0 - коэффициент уровнепроводности,
ai =	= ~Wi(x'y) - ~ 6 “ й
TYlfff fl	G	(X \ tl
3.3. О некоторых математических моделях движения грунтовых вод 95
Уравнение (3.3.3) относится к классу уравнений, исследованных
в § 3.2. К краевым задачам для этого уравнения сводятся многие
задачи, связанные с прогнозом и регулированием уровня грунтовых
вод. Например, задача растекания уровня грунтовых вод с начальным
уровнем гг(я,0) = т(я), обладающим тем свойством, что
Н — т(0) = min [Н — т(я)], т'(0) = г'(г) = 0, т'(х) 0,	(3.3.4)
сводится к задаче
гх(ж,0) = т(я), Wx(0,2/) = их(г,у) = О,
для уравнения вида (3.3.3) с т = 1, х1 = 0. В этом случае на сегменте
0 х г имеется лишь одна характерная точка х1 = 0.
Решение задачи (3.3.4) для уравнения (3.3.3) задается формулой
у
и(х,у) = v(x,y) - У ajV^.Tj^exp “ 2/)] drj,
о
где v(rr, у) - решение уравнения
vy - avxx + f(x, у) = 0,	(3.3.5)
удовлетворяющее условиям
v(rr,O) = т(я), 0 х г, Vx(0,?/) = vx(r,y) = 0, 0 < у < г. (3.3.6)
Решение v(x, у) задачи (3.3.5)-(3.3.6) выписывается в явном виде
через функцию Грина Go(x, £; у — rf) (см. § 2.6), численное ее решение
можно найти методом прогонки.
Здесь уместно отметить [93], что весьма важная задача регулиро-
вания уровня грунтовых вод при поливах земель сводится к краевой
задаче: и(0, у) = и(г, у) = 0, и(х, 0) = т(х) для нагруженного парабо-
лического уравнения с правой частью релейного типа:
дц	1Л2ц I М/ Г А1(у)+хВ(у)/г ПРИ и(®°>у) <«*(!/)>
ду дх2 \ А2(у) + хВ(у)/г при u(x°,y) > u»»(j/),
где 0 < xQ < г, величины и*, и** таковы, что и* > и**-
96
Глава 3. Краевые задачи для нагруженных уравнений...
В случае когда задано нелокальное краевое условие
дЛ2] ЗЛ2| , х Л
= r]j,(y), 0<у<Т,
ОХ 1®=г ОХ 1х=0
уравнение (3.3.1) можно приближенно заменить нагруженным урав-
нением
(3.3.7)
к (Ph2
2 ~дх* + У'
(3.3.8)
О
Пусть h = h(x^y) - любое решение уравнения (3.3.1). Тогда из
(3.3.1) или (3.3.8), после проведения процедуры осреднения по х от 0
до г, имеем
°s'(y) = |м(у) + ~ [ w(x,i
2 г J
О
Если w не зависит от Л, то отсюда получаем
k _	_
°#(у) = 2^) + ^(2/)> wi
(3.3.9)
£л2
2
о
Уравнение (3.3.8) с учетом (3.3.9) можно заменить на уравнение
kd2h2 к , .	, .	, ч
2 -Q~2 = 2™' + W(y' “ w(x>y>-
Общее решение уравнения (3.3.10) задается формулой
• Гй	I х2 f
(®, у) = о д(з/) + w(y) V “ (х~	+ А(^х +
о
(3.3.10)
к
2
(3.3.11)
где А(у) и В (у) - произвольные функции из класса С[0,Т].
Решение (3.3.11) удовлетворяет граничному условию (3.3.7). Функ-
ция 6(у) определяется из (3.3.9) по начальному условию 5(0) = 5q
следующей формулой:
у _
6(у) = So + - / -д(»?) + w(rf) df].
(Т J
о
Функции А(у) и В(у) однозначно находятся по граничным усло-
виям
Л2(0, у) = В0(у), Л2
3.3. О некоторых математических моделях движения грунтовых вод 97
Здесь кВ0(у)/2 = В (у) О,
Проблема долгосрочного прогнозирования динамики грунтовых
вод при орошении больших площадей приводит к краевым задачам
и для нагруженных уравнений следующего вида:
ди ГТ/ ч [ д2и ди
I	с)2и
I	(3.3.12)
Л=Ло/
где и = и(£, ту; у) - значения динамической переменной в точке (£, ту) в
момент времени у 0; Н(х) - функция Хевисайда; а, (3 = const > 0;
7 = 7(^,^2/) _ заданная функция, непрерывная при 0
0 tj < tj*, 0 у Т; tjo - фиксированная точка, 0 < ту < ту*.
М.А. Ереджибокова [66] для уравнения (3.3.12) исследовала задачу
Ат с начально-краевыми условиями: и(£,ту,О) = т(£,ту), гг(О,ту,ту) =
= </>о(з/,*?), ^(С*,ту,ту) = ту), гг(£,О,ту) = гМ&у) и условием сопря-
жения
и+(£, По, у) = oti(£, у)и~(£, По, у) +	y)Dffu~ (£, По, *) + 71 (£, у),
и+(£,По,у) = Вт и, и (£,По,у) = Шп и.
П\По	Г)ХТ)О
М.Х. Шхануков [200] реализовал разностный метод решения сле-
дующей системы нагруженных уравнений с достаточно гладкими ко-
эффициентами:
ди _ д
ду дх

- 9(®о> У)и(хо, у) + f(x, у), 0 < х < г,
fc(0, у)их(0, у) = ао(у)и(0, у) - ро(у),
-k(r,y)ux{r,y) = аг(у)и(г,у) - цг(у), 0<у<Т,
и(х, 0) = то(х), 0 х г.
В этом и предыдущем параграфе изложены в основном результаты
работы [117].
98
Глава 3. Краевые задачи для нагруженных уравнений...
3.4.	Задача Коши со смешанным носителем для
нагруженного уравнения Буссинеска и задача
С.М. Тарга
В области Qr = {z : 0 < х < г, 0 < у < Т} евклидовой плоскости
точек z = (х, у) рассмотрим уравнение
ди _ д2и
ду~аид^'
(3.4.1)
где
о
и(х, y)dx = 6{у)
- среднее значение и = гг(я, у) на сегменте [0, г] в момент времени у,
а = const > 0.
Уравнение (3.4.1) будем называть нагруженным уравнением Бус-
синеска [140, с. 186] (см. § 2.7).
Задача 3.4.1 (задача Коши со смешанным носителем). Найти
регулярное в области Qr решение u 6 С(ПГ) уравнения (3.4.1), удо-
влетворяющее начальным условиям
tz(O, у) = <^(?/), их(0,у) = i/>(y), 0 у Т, (3.4.2)
й(0) = Jo,	(3.4.3)
где <р(у) и - заданные функции из класса С[0, Т], 50 _ заданная,
отличная от нуля величина.
Предлагается следующий способ доказательства однозначной раз-
решимости задачи 3.4.1.
Допустим, что существует решение u = u(z) этой задачи. Тогда из
(3.4.1) на основании (3.4.2) заключаем
a6(y)u(z) = |я25'(з/) + а[&ф(у) + <^(?/)]5(?/) -	(3.4.4)
Из равенства (3.4.4), после интегрирования обеих его частей по х от
0 до г, получаем уравнение Бернулли
=	+	(3.4.5)
где р(у) = 6a[ri/>(y)/2 + <p(y)]/r2, q = 6a/r2.
Задача Коши (3.4.3) для уравнения (3.4.5) эквивалентна задаче
Коши 1/5(0) = 1/5о для линейного относительно 1/5(?/) уравнения
IW)]' -p(y)[W)] = ~Я-	(3.4.6)
3.4. Задача Коши со смешанным носителем...
99
В силу (3.4.6) единственное решение задачи Коши (3.4.3) для
уравнения (3.4.5) определяется формулой
Рг(у) = exp D0^p(ri).	(3.4.7)
Прямые вычисления показывают, что представленная формулами
(3.4.4) и (3.4.7) функция является единственным решением задачи
3.4.1. Это решение можно принять за приближенное решение задачи
Коши со смешанным носителем ап = {z : ху = 0,0 х г,
0 у Т}: и(0,у) = (p(y)f их(0,у) = <ф(у), 0 у Т, гг(я,О) = т(я),
0 х г, т(х) = <50 для уравнения Буссинеска
ди = Э2^2)
ду а дх2
z е Пг.
Носитель ап назван смешанным, чтобы подчеркнуть тот факт, что ап
наряду с характеристическими точками содержит и нехарактеристи-
ческие.
Рассмотрим теперь задачу С.М. Тарга (см. § 2.7) для нагруженного
уравнения
д2и _ д
дх2 ду
1
У гх(ж, y)dx + /,
о
0 х 1, z 6 Qi,
(3.4.8)
которое выступает в качестве математической модели теплообмена в
смазочном слое 0 х 1 между шипом и подшипником, когда темпе-
ратура и = гх(гг, у) шипа неизменна. Искомое решение и = u(z) урав-
нения (3.4.8) должно удовлетворять следующим начально-краевым
условиям:
и(х, 0) = 0, 0 х 1;
(3.4.9)
и(0,у) = 0, их(1,у) + 0иу(1,у) +7и(1,у) = 0, 0 у Т, (3.4.10)
где f, /3 и 7 - заданные константы.
Любое решение и е С(П1) уравнения (3.4.8) является решением
нагруженного уравнения
и(х,у) = |(х- 1)2<51(у) + (®- l)ux(l,y) +и(1,у),	(3.4.11)
где <51 (у) = <5'(у) + /.
В силу (3.4.10)
<5i(y)/2-ux(l,y)+u(l,y) = 0,0uv(l,y)+ux(l,y)+yu(l,y) = 0. (3.4.12)
100
Глава 3. Краевые задачи для нагруженных уравнений.-;
Отсюда заключаем
0иу(1, у) + (7 + 1)«(1, у) = —5i(y)/2.	(3.4.13)
Начальное условие (3.4.9) и непрерывность искомой функции
гх(т, у) в точке (1,0) приводят к равенству
гг(1,0) = 0.	(3.4.14)
С учетом (3.4.14) равенству (3.4.13) при /3^0 можно придать следу-
ющий вид:
у
«(1,у) = -Л [ехр[73(7? - y)]dT),	(3.4.15)
J	р
о
Первое равенство в системе равенств (3.4.12) вместе с (3.4.15)
позволяют записать
у
Ux(l, у) = ^1(у) - У*exphafa “ у№1-	(3.4.16)
о
После интегрирования обеих частей равенства (3.4.11) по х от 0 до 1
имеем
<*(у) = |<Му) - х«®(1,у) + «(1,у).	(3.4.17)
О	2
Подставим гх(1, у) и гхж(1, у) из (3.4.15) и (3.4.16) в (3.4.17). Следствием
этой операции станет уравнение
у
= -Л<Му) - Та [Ы»?) ехр[7/3(т? - y)]dri (3.4.18)
J.Z	**Р J
о
с начальным условием 5(0) = 0, вытекающим из (3.4.9).
Легко видеть, что
у
6(у) = / S1Wdrl-yf-	(3.4.19)
о
Подстановка (3.4.19) в (3.4.18) дает интегральное уравнение Воль-
терра с вырожденным ядром
у
51 (у) +12 j 11 +	expfoto - у)] 15i (r/)d?? = 12у/.	(3.4.20)
о
Единственное решение 5i(y) уравнения (3.4.20) можно выписать в
явном виде.
3.4. Задача Коши со смешанным носителем...
101
При /3 = 0 из (3.4.12), (3.4.13) и (3.4.17) имеем: иж(1, у) = -711(1, у);
1	1	/у 4- 9
x<Ji(!/) = -(7 + l)«(l,lz), Цу) = ^Si(y) + ^——u(l,y).	(3.4.21)
2	О	2
Если 7	—1, то из (3.4.21) получаем 6(у) = —(7 + 4)5i(y)/(127 +
+ 12). Отсюда согласно (3.4.19) получаем интегральное уравнение
Вольтерра второго рода с вырожденным ядром
у
4- 4	/*
12(7+ 1)Д1^ + J S1^dTI = У?'
о
которое имеет, и притом единственное, решение 5i(y).
Следовательно, при (3 = 0, 7	— 1 функция 6(у) однозначно опре-
деляется по формуле (3.4.19). Если /3 = 0, 7 = —1, то решения и(х,у)
задачи (3.4.9) - (3.4.10) для уравнения (3.4.8) в соответствии с (3.4.11)
и (3.4.21) определяются как решения нагруженного функционального
уравнения
и(х,у) = я?ге(1, j/),
а функция 6(у) = гх(1, у)/2. Поэтому при /3 = 0, 7 = —1 нет единствен-
ности решения. Ее можно достичь, задав одно из следующих условий:
и(1,у) = <Pi(y), их(1,г/) = -<р1(у);
<5(у) = <Р1(у)/2, О^у^Т.
Вернемся к задаче 3.4.1. Ее нелокальным обобщением является
следующая
Задача 3.4.2. Найти регулярное в области Пг решение u(z) урав-
нения (3.4.1), удовлетворяющее условиям:
ux(iy) = Ф(у), 0 < у < Т,	(3.4.22)
u(iy) = G(y)u(r 4- iy) + Ф(у), 0 < у Т, (3.4.23)
5(0) = 50,	(3.4.24)
где Ф(у), G(y) и Ф(у) - заданные функции, принадлежащие классу
С[0,Т].
Любое решение u(z) задачи 3.4.2 является решением нагруженного
уравнения
ot6(y)u(z) = ^Х26'(у) + а[яФ(у) + u(iy)]6(y),	(3.4.25)
удовлетворяющим локальному краевому условию (3.4.22).
Удовлетворим решение u(z) уравнения (3.4.25) нелокальному кра-
евому условию (3.4.23). В результате будем иметь
a<5(y)[l-G(l/)]u(i!/) = а<5(!/)[Ф(10+гадФ(!/)]+±r2G(y)6'(y). (3.4.26)
2
102
Глава 3. Краевые задачи для нагруженных уравнений...
Из равенства (3.4.25) после интегрирования обеих его частей по х
от 0 до г увидим, что
а<5(у)и(гу) = а62(у) - ±г2й'(у) - ^гб(у)Ф(у).	(3.4.27)
О	£»
Система (3.4.26)-(3.4.27) после исключения и(гу) приводит к сле-
дующему нелинейному дифференциальному уравнению первого по-
рядка относительно переменной J(y):
1 + 2ВДг2У(у)+а Г1 + С(»)гф(у) + Ф( J 5(y)+a[G(y)-l]J2(y) = 0.
О	[4	J
(3.4.28)
Вначале исследуем исключительный случай, когда
G(y) = —1/2, 0 у Т.	(3.4.29)
Равенство (3.4.29) превращает (3.4.28) в алгебраическое уравнение
52(у) - |[гФ(у) + 4Ф(У)]5(У) = 0.	(3.4.30)
О
Поскольку 50 / 0, то единственное решение 6(у) уравнения (3.4.30)
имеет вид
<5(l/) = [гФ(у) 4- 4Ф(у)]/6.	(3.4.31)
Функция (3.4.31) удовлетворяет условию (3.4.24) тогда и только тогда,
когда
гФ(0) + 4Ф(0) = 650.	(3.4.32)
Пусть:
G(y) * -1/2 У у е [0.Т];
(3.4.33)
Р(у) = —6а [1 + ^у)тФ(у) + Ф(у)
/([1 + 2G(y)]r2);
Q{y) = 6a[G(y) - 1]/([1 + 2G(y)]r2); Р2(У) = expD^Pfo).
Тогда функция д(у) однозначно определяется как решение задачи
Коши (3.4.3) для уравнения Бернулли:
S’(y) = P(y)6(y)-Q(y)64y)
по формуле
6(у) = Р2(у)/[1/йо + D^P2^Q(n)],	(3.4.34)
которая следует из (3.4.7).
Итак, если выполнены условия (3.4.29) и (3.4.32), то единственное
решение u(z) задачи 3.4.2 задается формулой (3.4.25), где 6(у) опре-
деляется по формуле (3.4.31), a u(iy) - по формуле (3.4.27); если же
3.5. Зд^ачд Коши... для нагруженного уравнения диффузии
103
соблюдено условие (3.4.33), то единственное решение u(z) этой задачи
определяется из (3.4.25), (3.4.27) и (3.4.34).
Описанную здесь схему исследования краевых задач для уравне-
ний (3.4.1), (3.4.9) Ilhan Ozturk (Ильхан Озтюрк) [156], [214] эффек-
тивно адаптировал к следующим нагруженным уравнениям второго
порядка:
ихх - f(x,y) = signa; • |а:|’п1)§уй(^), 0 < у < Т,
аихх + Ьих + си = signa: • |a:|muv + /(а:, у),
где оператор Римана—Лиувилля	порядка е €]0,1] действует на
функцию
0
J и(х, y)dx, а 0, 0 > О,
а
т^0,а,Ъ,с- действительные числа, а > 0, /(ж, у) 6 С([а, /?] х [О, Т]).
Задача (3.4.22), (3.4.23) для уравнения
иу = а2ихх, а = const > О,
с начальным условием и(ж,0) = <р(х) 6 С[0,г], была исследована
Р.Г. Кардановым [85]. Эта задача по существу выступает матема-
тической моделью спирального филлотаксиса с углом дивергенции,
равным углу Фибоначчи [136, с. 270] (см. также [134]).
3.5. Задача Коши со смешанным носителем для
нагруженного уравнения диффузии
Для уравнения диффузии (теплопроводности)
щ = аихх, а = const > 0,	(3.5.1)
в области Пг = {z : 0 < х < г, 0 < у < Т} рассмотрим задачу Коши
u(O,t) = ip(t),ux(O,t) = -0(*), 0 < t < Т,
и(ж, 0) = т(ж), 0 < х < г,	(3.5.2)
где (p(t) и ф(1) - заданные функции из С[0,Т], т(0) = <р(0), т=й(0).
Пусть XQ,xi,...,xn ~ точки из [0,г], 0 = xq < a?i < ... < жп; hi =
0,1,..., TL.
При реализации задачи Коши на компьютерах весьма перспектив-
ным может оказаться следующий алгоритм поиска приближенного
решения, суть которого состоит в замене уравнения (3.5.1) на каждом
104
Главау 3. Ароееме задами для нагруженных уравнений...
шаге hi нагруженным уравнением теплопроводности:
а 1 .,
9^
G>Uxx =
u(Xi,t) Xi~X
. ^(•^♦4-1,^) #t+l ®
(3.5.3)
Уравнение (3.5.3) перепишем в виде
ОЛ1хх — ^i(*^'t4_l	х'} jhi	и*.1-1 (®t	®)/Л»,	< X <
где Ui = u(xi)t). Из этой записи нетрудно заметить, что
и(х, t) =
х
Uf- f
/ (Xi+t - С)(ж - £)d£ + (® - Xi)uxt +
Xi
X
U1 f
-Ми-----/ {Xi -Q(x-£)d$, uXi = ux(xiy t).
CLili J
Xi
Следовательно,
hi(x - Xi)2 - |(ж - ж<)3 +
’гё^(а: - х*)3 + (х -	+ “*•
Из (3.5.4) при х = o?i+i имеем
Ui+1 = ^-h?Ui + z-hiUi+1 + hiUXi + щ.
«(М) =
Поэтому
^<+1 — AiUi-j-i =	^i(hi№xi 4" u<), A< = 6g/.
Уравнение (3.5.5), очевидно, можно записать в виде
(e-A<tu»+i)z = - e-A<t[2u< + АД/ци®, + tn)].
(3.5.4)
(3.5.5)
Отсюда после интегрирования по t от 0 до t и учета начального
условия
Ui+i|t=o = Ti+1 = т(®<+1)	(3.5.6)
получаем
Ui+1 = (т»+1 + 2т<) exp(A,t) - 2щ -
t 
-Xi [exp(Xit - A^)[^itH>4(4) + 3ui($)]d£.
(3.5.7)
i = 0,1, ...,п.
3.5. Задача Коши... для нагруженного уравнения диффузии
105
С другой стороны, в соответствии с (3.5.4) находим
fa = 2ahJ2<X ~ Xi^hi ~^Х~ Xi^ + 2^(® " Xi^ + Uxi'
Отсюда при х = ж<+1 получаем
«х<+1 = «х4 +	+ И<+1)-
Заменяя в этом равенстве выражение, стоящее в скобках, его значе-
нием из (3.5.5), находим
^Xia.i = Uxi 4" Z-[А{(Ui~|-1 — щ — hiUx.) wj
м
или
uXi+1 —	4- 3(гц+1 - Ui)/hi - 0,5(h</a)uJ.	(3.5.8)
Формулы (3.5.7) и (3.5.8) дают алгоритм поиска решения задачи Коши
(3.5.2) для уравнения (3.5.1). Например, если i = 0, то
t
«1 = (ri+2To)exp(Ao£)-2y>(t)-Ao JeAo(t~(Ло^(£) +3<p(£)]d£, (3.5.9)
о
u'i = Ао(т1 + 2т0) exp(Aot) - 2</(f) - Ao [fto^(t) 4- 3</>(t)]-
t
-A§ J еА°(‘-«[М(£) + З^М.
0
Пусть процесс, описываемый задачей Коши (3.5.2) для уравнения
(3.5.1), таков, что hQil)(t)+3<p(t) = cq = const. Тогда (3.5.9) примет вид
ui = (л 4- 2т0 - со) exp(Aot) 4- cq - 2<p(t).	(3.5.10)
Допустим, что нам известно (например, из натурных наблюдений
за процессом) значение пц функции u(a;,t) в точке xi в момент вре-
мени ti. Тогда формулу (3.5.10) можно использовать для нахождения
коэффициента а, если он неизвестен.
Действительно, из (3.5.10) при t = ti и
Со / Т1 4- 2т0, [гхп 4- 2<р(*1>- со]/(п 4- 2т0 - Со) > 0
имеем
®? , Uu+2<р(«1)-СО
а= — ш 	—.
Ti 4- 2то — Со
Формула (3.5.11) может дать хороший результат, если точка х
находится на достаточно близком расстоянии от xq = 0.
(3:5.11)
106
Глава 3. Краевые задачи длл нагруженных уравнений...
При отыскании приближенного значения решения u(x,t) задачи
Коши со смешанным носителем (или другой задачи) для уравнения
(3.5.1) в наперед заданных точках rri,#2, в качестве аппрок-
симирующего уравнения можно выбрать и нагруженные уравнения
следующих видов:
аихх = ^-oP(x)u(xj,t), аихх =	[ u(x,t)dx.
at	at 2e J
Xj—E
Здесь под индексом j подразумевается суммирование от 1 до n;
u(x,t ~ a?x(u(xj,t)) - некоторая интерполяционная формула (напри-
мер, формула Лагранжа); /3j(x) и е - заданные величины.
Такая схема решения псевдодифференциальных уравнений может
оказаться весьма эффективной и для уравнений фрактальной диф-
фузии, относящихся к классу нагруженных уравнений, представимых
при 0 < я < г, 0 <t <Т в виде
тп
52	= D‘%tu(£,Tl)+
j=o
+ 52 ОДн u(x> + +dj(x, t)D^tu(C r?)j + f(x, t),	(3.5.12)
j=0
где a0 <	< ... <	= a < 2; fa < fa < ... < fa = 0	1; 50 <
< 5i < ... < 6n = 6 < 7 c]0,1]; aj(x,t), bj(x,t\ Cj(x^t\ dj(x,t) и f(x,t)
-кусочно-непрерывные функции точки x 6 [0, г] и времени t 6 [0, Т].
Частным случаем уравнения (3.5.12) является уравнение фрак-
тальной (дробной) диффузии
D&U& ту) 4- aD%xu& t) + bD?xu& t)-cux,0<x<r (3.5.13)
с постоянными коэффициентами а, бис, a + b = Df > 0, a — b = (3Df,
|/?|	1, с 0, 0 < х = const 1, 1 < а = const 2.
Особенностям вычислительных алгоритмов для уравнений фрак-
тальной диффузии (3.5.13), в частности, для уравнения
z ч d2u(x,t)
D%tu(x,rf) = Df—-v2 у, Df = const > 0
их
посвящены работы [26], [47]—[48], [194] -[196],
При отыскании приближенных решений ряда начально-краевых
задач для уравнений (3.5.13)] можно воспользоваться его аппрокси-
мирующим уравнением
= aD^u^, у) + bD°xu(^, у) - сих(®, у),	(3.5.14)
3.6. Начально-краевые условия для модельных нагруженных систем... 107
где
г
й(у) = ~ и(ху у№-
Г J
о
Краевая задача для частного случая уравнения (3.5.14) исследо-
вана в работах О.П. Шевяковой (197]—[199].
3.6. Начально-краевые условия для модельных
нагруженных систем уравнений и уравнений
Сен-Венана
В области Ог рассмотрим следующую модельную систему уравне-
ний:
X
(г — Хх)и(хь у) + X j tz(£, y)d£ = v(x^ у),
о
vxx - vy = 0, (ж, у) € Qr = {z : 0 < х < г, 0 < у < Т} (3.6.1)
с числовым параметром А 1.
Решение w = tz + iv системы (3.6.1) назовем регулярным в области
Qr, если w, wy и wxx принадлежат классу C(Qr).
Пусть w = w(x,y) - регулярное решение системы (3.6.1) из класса
С(ПГ). Легко проверить, что
vx = (г - Хх)их, ги(0,у) = v(0,y),
д
дх
/ ч .ди
<г -
(г — Хх)и 4- А
(3.6.2)

Система (3.6.2) при А = 0 принимает вид
гих = Vx, ги(0,у) = v(0,y),
UXx ~~ Uy, % € Оу. 
(3.6.3)
Задача 3.6.1. Найти регулярное в области Ог решение w = и + iv
системы (3.6.1) из класса С(ОГ), реальная часть которой удовлетво-
ряет условиям
и(0, у) = т(у), 0 у Т,	(3.6.4)
т(1 - A)u(r, у) + A J u(£, y)d£ = рх(у), О^у^Т,
о
(3.6.5)
и(х, 0) = <р(х), 0 х г,
(3.6.6)
108 Глава 3. Краевые задачи для нагруженных уравнений,,,
где т(у) и цх(у) - заданные функции из Сх[0,Т], <р(х) - заданная
функция из С2 [0, г].
При А = 1 условия (3.6.4)—(3;6.6) совпадают с условиями Самар-
ского для уравнения Фурье (3.6.3).
Условия
г
г(1 - А)^(г) + A j* = дл(0), т(0) = ¥>(0),	(3.6.7)
о
являются необходимыми условиями разрешимости задачи 3.6.1. Как
следует из первого уравнения системы (3.6.1), в силу (3.6.4), (3.6.5) и
(3.6.6) функция v = v(x^ у) должна удовлетворять начально-краевым
условиям
v(0,у) = тх(у), Q^y^T-, v(r,у) = Цх(у\ Ъ^у^Т-,	(3.6.8)
v(rr,O) = <px(#), 0 х г,	(3.6.9)
Здесь
X
тх(у) = гт(у), рх(я) = (r- Хх)<р(х) + xj <р(£№-
о
Первая краевая задача (3.6.8)-(3.6.9) для уравнения Фурье (3.6.1)
в области Qr имеет единственное решение г?(гг, г/), которое можно
выписать в явном виде через функцию Грина [136, с. 269]. Соответ-
ствующая этому решению функция гх(ж, у) однозначно определяется
из первого уравнения системы уравнений (3.6.1) при А 1 по формуле
.х
и(х, у) = ~т\(у) + [	0 х < г.
Г	J Т — AQ
О
Рассмотрим задачу Самарского [136, с. 140]:
г
гх(О, у) = т(у\ У u(x, y)dx = Ц1(у), 0	у < Т;
о
гг(я,О) = <р(х\ 0 х г,	(3.6.10)
для уравнения (3.6.3) в области Пг.
Замена
X
v(x, у) = (r — x)u (х, у) + I и (£, у) d£,
о
3.6. Начально-краевые условия для модельных нагруженных систем... 109
которая обращается по формуле
г — X J (г —
о
сводит задачу Самарского к первой краевой задаче: v(0, у) = гг(у),
v(r,y) = Ml (у), 0 у Г;
X
v(xb 0) = (г — х)<р(х) 4- j <p(£)df, 0 х г,
о
для нагруженного уравнения параболического типа
z ч /dv	d2v\ dv z \2 d f vfay) n
(г - x) I ----------------(r - x)2 — / ---= 0
\dy dx* J	ox	dy J (r — £)2
о
с вырождением порядка при x = г [136, с. 141].
Любое регулярное в области Qr решение и(х^ у) уравнения (3.6.3)
из класса С(ПГ) П С1 (0 х г, 0 < у < Т) будет решением
нагруженного уравнения
г
— у u(x,y)dx = их(г,у) - их(0,у).	(3.6.11)
о
В силу (3.6.11) условие (3.6.10) при т(у) = 0,	= const принимает
вид
и(0, у) = 0, их(г, у) = их(0, у),0^у^Т;	/, 1<л
и(х, 0) = ч>(х), 0 х г.
Любое решение и(х, у) задачи (3.6.12) для уравнения (3.6.3) пред-
ставимо в области Qr в виде суммы двух его решений [140, с. 265]
и(х, У) = v(#, У) + w(#, 2/),	(3.6.13)
где
2v(:r, у) = и(х, у) 4- u(r — х, у\ 2w(rr, у) = и(х, у) — и(г — х, у).
Эти решения однозначно определяются по следующим начально-
краевым условиям:
2v(x, 0) = <р(х) 4- <р(г — ж), 2w(x, 0) = <р(х) — <р(г — ж), 0 х г;
^х(0, у) = 0, vx(r,у) = 0, w(0,у) = -v(0,у), w(r,у) = v(r, у), 0 у Т.
Следовательно, замена (3.6.13) сводит нелокальную задачу Са-
марского к последовательному решению двух локальных задач для
110
Глава 3. Краевые задачи для нагруженных уравнений...
уравнения (3.6.3). Как хорошо известно, функция v(x,y) задается
формулой
/	\	f лк \	(	7T2fc2 \
v(x, у) = > cos I —х I exp I-----2~y j
k=0	\	/	\	/
ИЛИ
r
v(x, y) = J G(x, y; ^)[sp(€) + <p(r - £)]<,
0
где
r	r
J Г	1	/*	f nk \
□o = - / <p(x)dx, flfc = - / [<р(ж) 4- <p(r — rr)l cos ( — x ) dx, к = 1,2,...,
r J	r	J	\ 2 /
о	о
~	1 v' /	(# — £ 4-2fcr)2]	Г (z + £-2fcr)2
G(x,y;£) = Л __<exp ---------------------— -exp ---------------—
V ' 2V^Jb_QOl .	- *У
v	ж=—oo
- функция влияния мгновенного точечного источника.
Функция w(z, у) как решение первой краевой задачи для уравне-
ния (3.6.3) с граничными условиями
, ч	/ Я2 Л2 \	\	( ?r2fc2 \
w(0,y) = ~2^а*ехр(—л~У] ’ w(r>») =	exp (----5“^)
fc=0	'	/	fc=0	\ r /
определяется через функцию Грина
г \ Гл f 41—1/2 f r(«-C + 2rfc)2l
G(x,y^,i}) = [4ir(y-4)] 1/2 23 I*”?[' lifj-'y)' j ~
— exp
[>44 + 2r&)2ll
I <(»? -») J J
этой задачи, по формуле (см., например, [136, с. 267])
V	У
w(x, у) = J w(0, р; 0, Tj)dri — / w(r, ri)G^(xb у; г, Tf)dr)+
о	о
+| /[^(С) - <р(г -
о
Функцию w(rr, у) можно однозначно определить и по формуле
^(^,У) = ^(0,у) + [w(r,у) - w(0, у)]- 4- Z(x,у),
3.6. Начально-краевые условия для модельных нагруженных систем... 111
где
у г
Z(x,y) = - У У G(x,^y-ri) {w4(O,J}) + [w4(r,»?) - w4(0,»?)]| jd^d»?+
0 0
+у с(хл;»){|ие)-^(г-е)] -u>(o,o)- [W(r,o)-W(o,o)]|}de
0
- решение уравнения
Zy - Zxx = -Wy(O, y) - [wv(r, y) - wv(0, y)]
с начальным условием
1	X
Z(x, 0) = - [<р(я) — <р(т — ж)] — w(0,0) — [w(r, 0) — w(0,0)] -, 0 x r,
2	r
и однородным граничным условием
Z(0, у) = 0, Z(r, у) = 0, 0 у Т,
выраженное через функцию источника (см. [178, с. 215])
ч 2^	/ттк\2, ч . f тгк \ . (тгк\
G(x,&y — rf) = - у exp —[ — I (у — rj) sin I—x I sin I—£l.
7*	\ T /	x 7*	/ x 7*	/
Перейдем к начально-краевым условиям для следующей нагру-
женной системы уравнений, относящихся к уравнениям математиче-
ской биологии:
г
и(хьу)—е j ^^у)и{^у)<1^=и(х^у)^ 0 х г, е=const > 0, (3.6.14)
х
- + -^- + [а(у) + Р(х,у) + у(х,у)]и = 0, (x,y)eQr. (3.6.15)
ох оу
Уравнение (3.6.15) в математической биологии известно как урав-
нение Мак-Кендрика - фон Ферстера и его решение и = и (х, у)
можно интерпретировать как количество клеток возраста О 0 в
единице объема [136, с. 121]. Здесь параметр е = 1 для клеток, раз-
множающихся почкованием; а (у) - скорость притока клеток; (3 (ж, у)
и 7 (ж, у) - удрлъные скорости гибели и деления клеток, достигших
возраста х в момент времени у; г - продолжительность жизни клеток
всех возрастов х г оо; Т - расчетное время.
Уравнение неразрывности Мак-Кендрика - фон Ферстера доста-
точно хорошо описывает и динамику замкнутой популяции особей,
когда на ее поведение фактически не влияют взаимодействия между
112
Глава 3. Краевые задачи для нагруженных уравнений...
особями различного возраста. В случае, когда из популяции в каж-
дый момент времени у 0 изымаются особи возрастов #1,22,
уравнение неразрывности может иметь следующий вид:
ди ди , ч v"'* / ч / ч Л
У)и + > .y)u(Xj,y) = 0.
Из уравнения (3.6.14) при х = 0 и
v(0,?/)=0, 0 у Т,	(3.6.16)
получаем уравнение рождаемости
г
u(0,y)=e J у (£, у) и (£, y)d£, 0 у Т,	(3.6.17)
о
которое выражает прибыль клеток в нулевой возраст при делении
родительских клеток всех возрастов х г.
К системе (3.6.16)-(3.6.17) присоединим начальное возрастное рас-
пределение клеток (3.6.6), которое является условием Коши для урав-
нения (3.6.15).
Формулой (3.6.14) задается обратимая замена для уравнения
(3.6.15). Нетрудно проверить, что
и (х, y) = v(x,y) + e J v (£, у) 7(£, у)
х
7(6,У)^1	(3.6.18)
Если в уравнении (3.6.15) заменить по формуле (3.6.18) зависимую
переменную и на v, то мы получим нагруженное уравнение
dv dv г / ч / х	х / xi
дх + ду + 1“ +	+	V+
+[а(у)+/?(х,у)+(1-£)7(а:,у)]£ / v (С, у) 7(6 у) ехр
+^у£ / v^’^7^’^exp
X
(3.6.19)
с начальным, в силу (3.6.6) и (3.6.14), условием
v (х, 0) = <р (х) — £ /7 (£, 0) <р (С) d£, 0 х г.
(3.6.20)
X
3.6. Начально-краевые условия для модельных нагруженных систем... 113
Таким образом, обратимая замена (3.6.14) редуцирует нелокаль-
ную задачу (3.6.6), (3.6.18) для уравнения (3.6.15) к локальной задаче
(3.6.16), (3.6.20) для нагруженного уравнения (3.6.19).
Поскольку условие Коши (3.6.6) однозначно определяет решение
и = и~(х, у) уравнения (3.6.15) в области Пг при у < ж, то нелокальное
условие (3.6.17) можно записать в виде
у	г
гх+(О,?/) = е j ^(x,y)u+(x,y)dx + е j ^/(x^y}u~(x^y)dx^
о	у
где гх+(гг, у) = и(х, у) при у > х.
При компьютерной реализации задачи (3.6.6), (3.6.17) для урав-
нения (3.6.15) уравнение рождаемости (3.6.17) аппроксимируется
нагруженным функциональным уравнением вида [130]
п
и(0, t) =	,*)•
J=i
Рассмотрим теперь линеаризованную одномерную систему урав-
нений Сен-Венана для достаточно больших каналов, которую можно
записать в виде
1 _ \ dh _ dh _ 3S _ _dq
F2	) Ox dy F2*1 ~ dy dx F29
^ + ^ = 0.
dx dy
(3.6.21)
(3.6.22)
Здесь: x - пространственная координата вдоль канала; у - вре-
мя; h = h(x,y) - глубина потока в точке х в момент времени ?/>0;
д=д(я, у) - дебит воды на единицу ширины канала; F = доДЛоу^о) -
число Фруда для однородного потока; g - гравитационная постоянная;
S - наклон русла; S = CjF2, Cj - коэффициент трения [215].
Вектор (Л,д) назовем регулярным решением системы (3.6.21)-
(3.6.22) в области Пг, если h и q удовлетворяют уравнениям (3.6.21),
(3.6.22) и принадлежат классу С2(ПГ).
Пусть (Л,д) - регулярное в области Пг решение системы (3.6.21)-
(3.6.22). Тогда
d2h п d2h
ala2d^+2d^
d2h 1
+ а 9 4---
dy2 ао
dh Sdh\
dy + 2 dx)
(3.6.23)
d2q , o d2q
ai<12dx2 dxdy
, d2q , i (dq , з =
dy2 oq \dy 2dx) '
(3.6.24)
где ai = 1 + 1/F, a2 = 1 - 1/F, a0 = F2/(2S).
114
Глава 3. Краевые задачи для нагруженных уравнений...
Регулярное в области Qr решение (Л,д) системы (3.6.23)-(3.6.24)
будет решением системы (3.6.21)-(3.6.22), если функции hnq принад-
лежат классу С1 (0 х < г, 0 у < Т) и удовлетворяют следующей
системе нагруженных уравнений:
aia2M°, У) + М°> У) “ «г(0, у) - qy (0, у) 4-
+[ЗЛ(0, у)/2 - g(0, у)]/ао = 0,	(3.6.25)
aia2/ix(x, 0) + hy(x,0) - qx(x, 0) - qy(x, 0) 4-
4-[ЗЛ(х, 0)/2 - q(x, 0)]/ao = 0,	(3.6.26)
g®(0, У) + hy(0, y) = 0, qx(x, 0) 4- hv(x, 0) = 0.	(3.6.27)
Из системы (3.6.25)-(3.6.27) заключаем, что
aia2ftx(0, у) + 2Л„(0, у) 4- т^-Л(0, у) = у„(0, у) 4- — д(0, у), (3.6.28)
3	1
0) + z—Кх>0) = 2дж(я,0) + qy(x,0) Ч---------q(x,0). (3.6.29)
2ао	сю
Следовательно, переход от системы Сен-Венана (3.6.21)-(3.6.22) к
системе (3.6.23)-(3.6.24) порождает для последней начально-краевые
условия вида (3.6.28), (3.6.29), в частности следующие условия:
9»(0, У) + —«(0,У) = ¥?(у), 0 у < Т, (3.6.30)
До
2дж(ж, 0) + qy(x, 0) + —q(x, 0) = ^(х), 0 х г, (3.6.31)
aQ
3
aia2/ix(0, у) 4- 2hy(0, у) 4- т—Л(0, у) = <р(у), 0 < у Т, (3.6.32)
^Ю
3
aifl2ft®(^,0) + z—Л(^,0) = *ф(х), 0 х г, (3.6.33)
где <р(у) и ф(х) - заданные функции из классов С[0,Т] и С[0,г]
соответственно.
Если для системы гиперболического типа уравнений (3.6.23)-
(3.6.24) заданы начальные и граничные условия
Л(я,0) = т(ж), д(я,0) = то(я), qy(x, 0) = i^o(^), 0 х г,
КО,у) = <Ро(у), 9(0,?/) = Л^о(2/), 0 У Т,
3.6. Начально-краевые условия для модельных нагруженных систем... 115
где т(х) е Сх[О,г], т0(а:) е С1 [0,г], р0(т) € С[О,т], <£о(у) € С1 [О,Т],
V’o(jz) € С^О.Т], то в соответствии с (З.б.ЗО)-(З.б.ЗЗ)
V’o(iz) + ^о(!/)/«о = <f>(y), 0 < у Т,
2то(х) + vo(x) + т0(х)/а0 = t/>(x), 0 < х г,
з
ащгМО, У) + 2</>o(j/) + z— 4>о(у) = <р(у), 0 у < Т,
2(Iq
з
01027"'(аг) + -—т(х) — 'ф(х), 0 X г.
2ао
Уравнение (3.6.23) после введения вместо h новой функции
и = и(х, у)
h = uexp(Aix — А2У), Ai = F2/(4ao) = S/2, A2 = (2 + F2)/(4ao)
переходит в уравнение
д2и п д2и д2и F2-4
aia2W+2^ + dyt + ~i&T '
которое при F / 1 в характеристических координатах
С = У - х/а2, г] = у- х/ах, (х, у) € Пг
записывается следующим образом:
. Ш_А у. (1- F2)(F2- 4)
д^дт)	’	64aq ’
где (7(^,7/) = и(х,у)прих = а1а2(<1П-^)/(<а1-а2\у=(<а1г1-а2^/(<а1 - а2).
Уравнение (3.6.34) при F = 1 (ai = 2, а2 = 0) совпадает с уравне-
нием
(3.6.34)
(3.6.35)
(3.6.36)
n d2u , 92u 3S
дхду ду2 8 u
Из соответствующего уравнению (3.6.36) характеристического урав-
нения 2«а;«у + v2 = 0 следует, что прямые у — х/2 = const, х=const
являются его характеристиками. Оно в характеристических коорди-
натах T]i = у — х/2, ^i=x имеет вид
^^7  T£U1 = °’	= «(6,41 + 6/2).
При F = 1 условия (3.6.32), (3.6.33) переходят в условия
2hv(Q,y) + 3Sh(Q,y) = ср(у), 0 у Т,
(3.6.37)
3SA(x,0) = ip(x), 0 x r.
116
Глава 3. Краевые задачи для нагруженных уравнений,,.
(3.6.38)
Так как h = uexp(Sx/2 — 3Sy/2), то отсюда для уравнения (3.6.36)
в области Пг получаем начально-краевое условие
и(х,0) = -^(х)ехр (-ЗД , 0
1	/3v \
иу@,у) = I -%-S) , 0
Последнее равенство означает, что
«(о, у) = <Рз(у), о у Т,
(3.6.39)
где
У
<Р»(у) =	+ I [¥>(t)exp (уS') dt.
ОО Z J	\ Z J
О
Если к условиям (3.6.38), (3.6.39) присоединить краевое условие
гх(г,?/) = '0г(з/)> 0 у Г,	(3.6.40)
то получим смешанную задачу для уравнения (3.6.36) в области Пг,
когда носителями граничных условий являются характеристики х = 0
иж = г,	этого уравнения. При Т = г/2 смешанная задача
(3.6.38)-(3.6.40) сводится к последовательному решению двух первых
задач Дарбу.
С уравнениями Сен-Венана структурно связано и уравнение
52гг(я,яо)	A Cq\ 52гг(я,яо)	2со д2и(х^ rr0) _ 1 52гг(я,яо)
&г2	с2/ дх*2	с2 дх^дх2 с2 dxQ ’
(3.6.41)
которое при определенной схематизации выступает в качестве мате-
матической модели процесса колебания среды, движущейся с посто-
янной скоростью со вдоль луча Xi = 0, Х2 > 0, и отражения волн,
перемещающихся на поверхности реки со скоростью ci, от укреплен-
ного берега [25].
Уравнение (3.6.41), где х = (xri, хгг) G R2, хо ~ время в координатах
Галилея: у о = хо, у± = х±, у2 = Х2 — cqXq записывается в виде
А ТТ d2U d2U 1 d2U	ч /о
^Уи =ду2+ду2=^дУо' U(y’ У° = U У2 + С°!/0’ У° ' 3'6'42
При отыскании приближенных решений тех или иных начально-
краевых задач для уравнения (3.6.42) его можно аппроксимировать
нагруженным уравнением следующего вида:
1 д2 f
О
(3.6.43)
3.7. Принцип экстремума для нагруженного уравнения...
117
Такая аппроксимация будет эффективна в случае, когда решение U
уравнения (3.6.43) слабо зависит от у± = х±.
Пусть h(x, у) - решение уравнения
d2h d2h 3d2h
ду2 + дхду + 4 дх2
Тогда в силу (3.6.23) оно будет решением уравнения конвективной
диффузии
(3.6.44)
(3.6.45)
dh _ d2h 3dh _ 4-F2
dy~Dcdx2 2dx'Dc~ SS *
При F = 2 (aifl2 = 3/4) уравнение (3.6.34) переходит в уравнение
(3.6.44) с функцией h = и(х,у)ехр[(2х — 3?/)S/2], которая на характе-
ристиках 2х — Зу = 2So = const этого уравнения совпадает с функцией
uexp(S'Sb)-
За приближенное решение уравнения (3.6.45) можно принять точ-
ное решение нагруженного уравнения конвективной диффузии
1 9	n 92fl 39h
/ h(x,y)dx = Dr-^-z -
r oy J	дх2 2 дх
о
3.7. Принцип экстремума для нагруженного
уравнения параболического типа
Пусть П - ограниченная область пространства Rn+1 точек
zy = (x^y) с евклидовыми координатами xi,...,xnjy, заключенная
между двумя плоскостями у=а}0иу=Т> ^Предположим,
что пересечение_ Па плоскости у = а и замыкания П области П не
пусто, причем П наряду с точками z = zy и za содержит отрезок
[z, Zq\ = {(1 — t)z 4- tza, 0 t 1}, который их соединяет. Через S
обозначим замыкание множества граничных точек z = (ж, у) области
Qct//o, а через S - точки S, не принадлежащие плоскости
у = а, и положим (?о = U S.
В области П рассмотрим нагруженное уравнение второго порядка
параболического типа
Lu = at3(z)uXiXj + b>(z)uXj + c(z)u - d(z)d^yu(zn) = f(z),	(3.7.1)
где по диагонально повторяющимся индексам i,j производится сум-
мирование от 1 до п, коэффициенты av’(z) = aJl(z), №(z), c(z), d(z) и
правая часть /(z) принадлежат классу С(П); Q(z,£) =	®
для любой, отличной от нуля точки Е Rn; 0 < а = const < 1.
118
Глава 3. Краевые задачи для нагруженных уравнений...
Решение u(z) — и(х,у) уравнения (3.7.1) назовем регулярным в
области Q, если u(z) е С(П), uXiXj	€ C(tl \ а0):
|tz(z) — u(zq)| к(х){у — rf)h для любых z, Zrj, у^т)^ а,
где k(x) > 0, h = const > а.
Имеет место следующая
Лемма 3.7.1. Пусть u(z) - регулярное в области Q и неотри-
цательное на ао решение уравнения (3.7.1), коэффициенты и правая
часть которого удовлетворяют условиям
c(z)^Q, d(z) 0, c2(z) + d2(z) / 0 Vzef2\ao, (3.7.2)
/(z)^0 Vzef2\a0.	(3.7.3)
Тогда u(z) 0 e области Q.
Действительно, допустим, что множество {z 6 Q : u(z) < 0}
не пусто. Тогда существует точка z* = (я*,?/*), в которой функция
u(z) принимает наименьшее отрицательное значение. В силу условий
леммы точка z* либо внутренняя точка области Q, либо z* = (х*,Т).
Поэтому, с учетом положительной определенности квадратичной фор-
мы Q(z,£), при z = z*
Uzi(z) = 0, c(z)tz(z) > 0, (z)uXiXj(z) 0.	(3.7.4)
Согласно аналогу теоремы Ферма в дробном исчислении [137, с. 104],
имеем
(ЗХ5)
А уА сл;
Из (3.7.5) и равенства [137, с. 11]
получаем
Ц'г(1-У)(у> “ о)'“	(3,7,6)
Из (3.7.2), (3.7.4) и (3.7.6) следует, что при z = z*
f(z) a*3(z)uXiXj(z) + c(z)u(z)+
+[«(ze) - u(2)]-^-(/ - a)~a > 0.
П1 - a)
А это противоречит условию (3.7.3). Полученное противоречие опро-
вергает принятое допущение, и лемма доказана.
Пусть теперь область Q такова, что для каждой точки z 6 S суще-
ствует шар AZi все точки которого, кроме точки z, принадлежат Q,
3.7. Принцип экстремума для нагруженного уравнения...
119
причем угол ip между внешней нормалью v = v(z) к поверхности S в
точке z и положительным направлением оси у таков, что 0 < cos <р < 1.
Имеет место следующая
Теорема 3.7.1. Пусть f(z) = 0; выполняется условие (3.7.2) и
для всех £ (Е Rn справедливо неравенство
Q(z, £) > д|£|2, М = const > 0, KI2 = + £ + ... +	(3.7.7)
u(z) - регулярное в области Q решение уравнения (3.7.1),
принимающее максимальное положительное значение в точ-
ке z1 = (ж1,?/1) 6 S. Тогда в этой точке < 0, где у =
=	(71,72, •••,7n,7n+i) - произвольное направление,, такое что
cos(7, i/) < 0.
Доказательство. В шаре Azi радиуса R с центром в точке z° =
= (#°,2/°) рассмотрим функцию
v(z) = (e-^l2 -е-^2) Я(У),
где Z = (Х,У), X = (ХЪ...,ХП), Xi = Xi - ж?, У = у - у°, |Z|2 =
= |Х|2 + У2, Я(У) - функция Хевисайда.
Легко видеть, что при у> у°
vXi = -2рХ{е~р^2, vv = -2pYe~p'z'2,
vXiXj = 4p2XiXje~plzl2 - 2ре~р1г12^,
где dij - символ Кронекера.
В силу того, что —1 — e“plzl	—e~pR , получим
%у» =	= D^vy = ^pD^Ye-W2 <
-2pe~pR2D^y ХУ = -2pe~pR2 / < °-	(3.7.8)
Г(3 — а)
Пользуясь условиями (3.7.2), (3.7.7) и оценкой (3.7.8), получим
Lv(z) =
4p2Q(z, X) - 2р ^(а“ + 6%) + с
»=1
e~^l2-
-ce~pR2 - dd*v >
2р^(2ррХ? - b'Xi - а”) + с
. »=1
е-р|г|2.
(3.7.9)
В силу непрерывности функций а*^(г), b'(z) на компакте П, суще-
ствует такое положительное число К, что
|a"(z)| К, |b*(z)| < К.	(3.7.10)
120
Глава 3. Краевые задачи для нагруженных уравнений...
Из (3.7.9) и (3.7.10) видно, что для всех ж, таких что |Х| > 6 и
у > j/0, при достаточно большом р > 0 выполняется неравенство
Lv(z) > [4р62р2 — nK(R + 1)р + с] e~p\z\2 > 0.	(3.7.11)
Пусть z2 - точка пересечения отрезка [z0,^1] с плоскостью а,
проходящей перпендикулярно к нему на расстоянии большем 6 от
центра z° шара Azi. Обозначим через ст\ плоскость, проходящую через
о
точку z параллельно плоскости у = а, и плоскость, проходящую
перпендикулярно плоскости и такую, что а Г1 Е аг-
Рассмотрим область cj, ограниченную частью поверхности шара
Azi, содержащей точку z1, и плоскостями и аг. Для всех z Е ш
выполняется неравенство (3.7.11).
Легко видеть, что функция w(z) = u(zx) — u(z) — (3v(z) при доста-
точно малом /3 > 0 неотрицательна на всей границе области при
этом,
Lw(z) = c(z)tz(zx) — /3Lv(z) <0 Vz Е
Из последнего и леммы 3.7.1 следует, что неравенство w(z) > 0 выпол-
няется для всех внутренних точек области ш. Кроме того, wfz1) = 0.
Следовательно, > 0, откуда
= 2>3Pe~(,R2	~+	-y°hn+i} =
'	'	\i=l	/
= 2/3pe~pR2\y\Rcos^v) < 0.
Если у = Т, то доказательство не изменяется, нужно только рас-
сматривать те точки шара Azi, для которых у Т. Теорема доказана.
В монографии [146, с. 50] В.А. Нахушевой для уравнения (3.7.1)
доказан принцип экстремума. Содержание теоремы 3.7.1 является
аналогом принципа Зарембы—Жиро [22, с.26] для уравнения (3.7.1).
Для уравнения параболического типа принцип Зарембы-Жиро до-
казан в работе [74, с. 12]. Результаты этого параграфа в основном
принадлежат М.О. Мамчуеву [104].
Глава 4
ЛОКАЛЬНЫЕ И НЕЛОКАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
ДЛЯ НАГРУЖЕННЫХ УРАВНЕНИЙ
И СИСТЕМ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
4.1. Локальная краевая задача для модельных
нагруженных систем уравнений и задача
Бицадзе—Самарского
В области = {z = х + iy : а < х < Ь, 0 < у < Т} рассмотрим
систему нагруженных уравнений
д2
Аи+-^aj(z)v(xj,y) = 0, j = 1,2, ...,m,	(4.1.1)
v(z) 4- [Ь^(у)х + с/(у)]у(хдуу) = u(z),	(4.1.2)
где Д = д21дх2 + д2/ду2 - оператор Лапласа, aJ(z) = aJ(rr,?/), IP (у),
- заданные функции, a #1 < X2 < ... < xm b - заданные
числа; по диагонально повторяющемуся индексу j производится сум-
мирование от 1 до т; предполагается, что д2о? /ду2 6 <7(П), &(у) и
с? (у) принадлежат классу С2[О,Т].
Решение w(z) = u(z) + w(z) системы (4.1.1)—(4.1.2) назовем ре-
гулярным в области П, если Rew(z) = u(#,?/), Imw(z) = v(x,y)
принадлежат классу (72(f2) и v(xj,y) Е (72]0,Т[.
Примем обозначения: akj = $(у)хк + <P(t/); Ilafcj|| ~ матрица раз-
мера тп х m; Е - единичная матрица размера m х m; Uj = u(xj,y),
Vj = v(xj,yh \\uj|| (llvjll) - матрица-столбец порядка m; D = det (E +
+ \\dhj ||); Dj - определитель, который получается из D заменой в нем
j-ro столбца на столбец \\uj ||.
Если D 0, то из (4.1.2) при х = Хк, k = 1,2, ...,m, получаем
Крамера основной случай относительно ||vj||:
(£; + ||ау||)||^|| = |М.	(4.1.3)
Согласно формуле Крамера столбцу свободных членов системы (4.1.3)
ставится в соответствие единственная матрица-столбец
тп
1Ы = (^+l|afcjll)-1||«jll, v(xj,y) = Dj/D = ^ск^у)и(хк,у), (4.1.4)
к=1
122 Глава 4. Локальные и нелокальные задачи для нагруженных...
где Cj(y) принадлежит классу С2[0,Т] и однозначно определяется
через a>kj для любого j = 1,2,т.
Подставим функцию v(xj,y) из (4.1.4) в (4.1.1). В результате при-
ходим к уравнению
л2 т
Ди + У2 ck}(z)u(xk,y) = 0	(4.1.5)
У к,3=1
с коэффициентами c*J(z) = aJ(z)c£(?/), k, j = 1,2, ...,m.
Уравнение (4.1.5) относится к классу существенно нагруженных
уравнений эллиптического типа.
Пусть w(z) - регулярное в области Q решение системы (4.1.1)-
(4.1.2), непрерывное в замкнутой области Q = {z : а х 6,0 у Т},
Тогда из (4.1.2) имеем
д2
Aw = Av + -^[b?(y)x + (?(y)]v(xj,y).	(4.1.6)
С учетом (4.1.6) из (4.1.1) получаем
д2
+ ду2 + Ъ?(у)х + <Чу)]у(х:ЬУ) = °-	(4.1.7)
Если
a3(z) = -V(y)x--c?(y),' j = 1,2, ...,m,	(4.1.8)
то функция v(z) в области Q будет регулярным решением уравнения
Лапласа
Av = 0.	(4.1.9)
Поэтому решение w(z) системы (4.1.1)-(4.1.2) с коэффициентами, удо-
влетворяющими условию (4.1.8), однозначно определяется по значени-
ям его мнимой части v(z) на границе 0S1 области f2: v(z) находится
как решение задачи Дирихле для уравнения (4.1.9) в области Q, a w(z)
выражается через v(z) по формуле (4.1.2).
Предположим теперь, что m = 1, а < Х\ < b, ai(z) = b1(<y)x-]-c1(<y),
функция w(z) - решение следующей нагруженной системы уравнений:
Aw = 0, z € П,	(4.1.10)
u(z) + ai(z)w(£i,?/) = v(z), z e f2.	(4.1.11)
Из (4.1.10)-(4.1.11) следует, что
(4.1.12)
Если ац(у) = 51(y)xi Ч-с1^) / -1 для всех у е [0,Т], то и(х\,у) =
= v(^i,!/)/[!+вц(!/)] и, стало быть, уравнение (4.1.12) можно записать
4.1. Локальная краевая задача для модельных нагруженных систем... 123
в виде
fl2 ai(g)v(a:i,!/)
ду2 1 + ац(у)
Пусть v(z) = v(x,y) - решение задачи Дирихле:
v(x) = го(х), v(x + iT) = ri(x), а х Ь;
(4.1.13)
v(a 4- iy) = <ра(у), v(b + iy) = <рь(у), 0 у Т,
для уравнения (4.1.13) в области П, которое непрерывно на компакте
П. Тогда функция u(z) = и(х, у) как решение уравнения (4.1.10)
должна удовлетворять нелокальным условиям:
и(х) + ai(a;)w(a?i) = то(х), и(х + iT) +
+ai(:r 4- iT)u(x\ 4- iT) = т\(х\ а х Ь; (4.1.14)
и(а 4- iy) 4- oi(o 4- iy)u(x! 4- iy) = (pa(y), u(b 4- iy) 4-
4-ai(b 4- iy)u(x! 4- iy) = <рь(у), 0 у T. (4.1.15)
Из (4.1.14) при оц(0) / —1, оц(Т) —1 заключаем, что u(xi) =
= To(si)/[1 4- on(0)]; и(хг 4- iT) = 7i(zi)/[l 4- on(T)];
u(x) = Ф1(я), u(x 4- iT) = Фг(^), о x 6,	(4.1.16)
где
' ro(x) 1 + oil(0)’*2W ti(x) 1 + О11(Г)	•
Следовательно, если оц(у) — 1 на сегменте [О, Т], то задача Дирихле
для уравнения (4.1.13) инициирует нелокальную внутреннекраевую
задачу (4.1.15)-(4.1.16) для уравнения (4.1.10) в области П.
Пусть oi(o 4- iy) = 6х(2/)о 4- с1 (у) = 0, a oi(6 4- iy) =	4-
4-с1(?/) = 61 (?/)(& — о) = — 1. Тогда условие (4.1.15) переходит в условие
Бицадзе-Самарского [23], [140, с. 9]
и(а 4- iy) = <Ра(у), и(Ь 4- iy) - u(xt 4- iy) = (рь(у)9 0 у Т, (4.1.17)
уравнение (4.1.11) - в уравнение
v(z) = u(z) 4- 7——?z(xri, ?/), z е f2,	(4.1.18)
о — а
а уравнение (4.1.13) - в уравнение
(4.1Л9)
D-#i ду2
Итак, задача Дирихле для нагруженного уравнения (4.1.19) в об-
ласти П с помощью обратимой замены (4.1.18) редуцируется к следу-
ющей задаче Бицадзе-Самарского.
124
Глава 4. Локальные и нелокальные задачи для нагруженных...
Задача 4.1.1. Найти гармоническую в области Q функцию u(z),
непрерывную в Q и удовлетворяющую условиям (4.1.16)-(4.1.17).
Единственность и существование решения задачи 4.1.1 доказаны
А.В. Бицадзе и А.А. Самарским [23] при a = —b = I > 0, #1 = О,
(pi(y) = 0. В этом случае получаем систему
А l + xd2v(iy) Л z ч , ч 1 + х ч
+ —---------= О, ф) = u(z) -
на которую впервые обращено внимание в моем докладе, опублико-
ванном в 1982 г. [129] (см. также [136, с. 138]).
Единственность решения задачи 4.1.1 следует из принципа экстре-
мума для гармонических функций.
Действительно, пусть <рь(у) = 0. Тогда положительный максимум
(отрицательный минимум) решения tz(z) задачи 4.1.1 на компакте Q
не может достигаться в точках b + iy, 0 < у < Т, если tz(z) / const. В
противном случае в силу условия u(b + iy) = w(rri + iy) отличная от
const гармоническая функция достигла бы экстремума во внутренних
точках xi + iy области Q. Следовательно, соответствующая задаче
4.1.1 однородная задача не может иметь отличного от нуля решения,
и тем самым доказана единственность решения задачи 4.1.1.
Пусть G(z;£) - функция Грина задачи Дирихле для уравнения
(4.1.10) в области Q; lf(z;£) - производная функции G(z;£) по на-
правлению внутренней нормали к границе прямоугольника Q в
точке £ = £ + гт)^ отличной от его вершин. Из свойств функции
G(z;£) заключаем: любая гармоническая в области Q функция tz(z),
непрерывная на компакте П, является решением нагруженного инте-
грального уравнения
ь	ь
u(z) = f K(z;£)u(£)d£ — JK(z^ + iT)u^ + iT)d^+
a	а
Т	Т
+ У К'(г;Ы-г7/)г4(Ы-г7/)с?77 - J K(z;a + iTf)u(a + iTf)drf. (4.1.20)
о	о
Удовлетворим решение tz(z) уравнения (4.1.20) условиям (4.1.16)
и (4.1.17). В результате приходим к интегральному уравнению Фред-
гольма второго рода
т
u(b + iy) — I K(xi-]-iy;b-]-iTi)u(b-]-iTi)dri = F(y), 0 у Т, (4.1.21)
о
4.2. Задача Дирихле для нагруженных уравнений с оператором...
125
с правой частью
ь	ь
F(y) = JJK^+iy-^ + iT)^)^-
a	a
T
- J K(xi+iy;a + irj^a^dTj + (pb(y)-
о
Задача 4.1.1 эквивалентна уравнению (4.1.21) (в смысле единствен-
ности и существования решения). Поэтому в соответствии с теоремой
Фредгольма из единственности решения задачи 4.1.1 вытекают един-
ственность и существование решения и(Ь 4- iy) интегрального уравне-
ния (4.1.21) и, стало быть, существование решения задачи Бицадзе-
Самарского.
4.2. Задача Дирихле для нагруженных уравнений
с оператором Лапласа в главной части
В евклидовом пространстве Rn точек х = (#i,#2, •••, хп) с декарто-
выми ортогональными координатами xi, ..., хп рассмотрим область
Q, граница которой является (п — 1)-мерной кусочно-гладкой по-
верхностью Ляпунова, и интегро-дифференциальное уравнение
= с(х)и(х) + / А(я, y)u(y)dy 4- f(x)	(4.2.1)
Q
с оператором Лапласа Дх и коэффициентами с(х) 6 С(П), Х(х^у) е
е С(П х П), f(x) е С(П).
Как правило, лицо, принимающее решение, заранее задает точки
х31 G П = QUdQ, j = 1,2,..., m, где надо найти значения u(xi) функции
гх(гг), которая удовлетворяет уравнению (4.2.1) и некоторому дополни-
тельному ограничению, например однородному условию Дирихле:
и(х) = О V X е dQ.	(4.2.2)
Если в условии (4.2.1) слагаемое с(х)и(х) заменить выражением
к
c(x)aj(x)u(x^) = с(х) У gj(ar)u(a^),
j=i
где и(х) = aj(x)u(xi), j = 1,2,..., m, т 4-1,..., fc > m, - интерполяци-
онная формула, которая не выводит за пределы допустимых (лицом,
126 Глава 4. Локальные и нелокальные задачи для нагруженных...
принимаемым решение) погрешностей аппроксимации, то естествен-
ным образом придем к нагруженному уравнению
&хи = c(x)aj(x)u(x*) 4- У Х(х,y)u(y)dy + f(x).
Q
Если же в уравнении (4.2.1) положить А(я, у) > 0 в Я и интеграл
аппроксимировать конечной суммой Xj(x)u(xi), то с необходимостью
возникает вопрос о спектре задачи (4.2.2) для нагруженного уравне-
ния
Lu = Дхи — с(х)и = Xj(x)u(xJ) + f(x)	(4.2.3)
при f(x) = 0. Здесь х\ j = 1,2, ...,2V, - узлы квадратурной (или
кубатурной) формулы и по индексу j подразумевается суммирование
от 1 до N.
Уравнение (4.2.3) содержит след w(rrJ) зависимой переменной
и = и(х) на многообразиях нулевой размерности.
Справедлива следующая теорема единственности решения задачи
Дирихле.
Теорема 4.2.1. Пусть
с(я) > 0, Aj(rr) = const = Xj > 0 V rr е f2, j = 1,2,..., N, (4.2.4)
u(x) - регулярное в области f2 и непрерывное в Q решение однородной
задачи Дирихле (4.2.2) для уравнения ,(4.2.3) при f(x) = 0. Тогда
и(х) = 0 в области Q.
Действительно, пусть положительный максимум решения и(х) од-
нородной задачи Дирихле достигается в точке ж* 6 П. Тогда, посколь-
ку Дж*и 0, c(rr*)w(a;*) > 0, то из равенства Lu = Xju(x^) заключаем,
что Aju(rrJ) < 0. Следовательно, существует такая точка xk 6 Q, что
и(хк) < 0. В силу этого неравенства и (4.2.4) в области Q найдется
точка ж*, где и(х) достигает своего отрицательного минимума на
компакте П. Так как ДЖеи > 0, с(х*)и(х*) < 0, то в этой точке Lu > 0
и, стало быть, Ajw(rrJ) > 0. Полученное противоречие говорит о том,
что и(х) = 0 в Q.
Теорема 4.2.1 остается в силе, если оператор L заменить любым
линейным дифференциальным оператором второго порядка, для ко-
торого имеют место принципы Хопфа и Зарембы-Жиро [23], [17,
с.159].
При п = 1 (х = a?i), с(х) = const = 4А2, АДя) = const = Aj,
f2 = {я : 0 < х < 1} задача Дирихле
и"(я) - 4А2и(я) = Xju(xi) + f(x) е С[0,1]
однозначно разрешима тогда и только тогда, когда
Xj sh(Aa^) sh[A(l - xj)] / -2A2 ch(A) (j = 1,2,..., AT),
4.2. Задача Дирихле для нагруженных уравнений с оператором...127
если А > 0, и
Xj sh(/i#J) sh[/z(l — я^’)] / —2д2 cos/i,
если A = <д, д > 0 (с = — 4д2).
Пусть теперь п = 2, х± = х, Х2 = у, z = х + iy, u(z) = и(х,у),
П = {г: а < х < b, 0 < у < Т]. В области Q рассмотрим задачу
Дирихле
и(х) = <pi(x), и(х + гТ) = <Р2(#)> а^х ^Ь,	(4.2.5)
и(а + iy) = и(Ь + iy) = <р4(у), О О Т, (4.2.6)
для нагруженного уравнения эллиптического типа
ихх 4- иуу = Xj(y)u(xi + iy).	(4.2.7)
Здесь </>1(я), <Р2(х) € С[а,6], <рз(у), <р4(у) и Xj(y) € С[0,Т], а < х1 <
< х2 < ... < хт < Ь, по индексу j подразумевается суммирование от 1
до т.
Уравнение (4.2.7) содержит следы ufo+iy) зависимой переменной
и = и(х) на одномерных многообразиях.
Любое регулярное в области Q решение u(z) уравнения (4.2.7) из
класса C(Q) представимо в виде
u(z) = v(z) + и(у),	(4.2.8)
где v(z) 6 C(Q), и является регулярным решением уравнения Лапласа
kzv = 0, z € П,	(4.2.9)
у	Т
=/(у-ч)АД»?)и(а?’+»ч)Лг| j+ir))dr). (4.2.10)
О	о
Из (4.2.10) видно, что
ш"(у) = Xj(y)u(xj + iy), cu(O) = о, cu(T) = 0.	(4.2.11)
Удовлетворим решение (4.2.8) условиям (4.2.5)-(4.2.6). Тогда будем
иметь
v(x) = (pi(x), v(x + iT) = <Р2(х), а х Ь,	(4.2.12)
v(a + iy) + и(у) = (рз(у), v(b + iy) + и(у) = (р4(у), 0 у Т. (4.2.13)
Из (4.2.13) следует, что
v(a 4- iy) = v(b 4- iy) 4- a(y), O^y ^T,	(4.2.14)
где a(y) = (p3(y) - (p4(y)-
128 Глава 4. Локальные и нелокальные задачи для нагруженных...
Подставим теперь функцию u(z) из (4.2.8) в уравнение (4.2.7).
Следствие этой операции записывается в виде
A2(v+w)=a/'(y) = AJ-(y)[v(rr’+iy)+w(y)] =	+гу)+Х,{у)ш{у).
Стало быть,
п2 \	771
0~2 - А) ш(у) = xj(y)v(^ + »у), А = хз(у)- (4.2.15)
Согласно (4.2.13) ш(у) = <рз(у) — v(a + iy) = <Р1(у) — v(b + iy). Поэтому,
если <рз(у) € С2]0, Т[, то
д2 \
Эу2~Х) ^з(у) “v(a + *^1 = xi(v)v& + iy). (4.2.16)
Таким образом, установлено, что задача Дирихле (4.2.5)-(4.2.6)
для нагруженного уравнения (4.2.7), главная часть которого задается
оператором Лапласа, редуцируется к нелокальной внутреннекраевой
задаче (4.2.12), (4.2.14), (4.2.16) для уравнения Лапласа (4.2.9).
В случае, когда
Aj(2/) > 0 Vj = 1,2, ...,m; у е]0,Г[,	(4.2.17)
единственность решения задачи Дирихле (4.2.5)-(4.2.6) для уравнения
(4.2.7) в области Q следует из принципа экстремума для решения
соответствующей нелокальной задачи (4.2.12), (4.2.14), (4.2.16) для
уравнения (4.2.9):
Лемма 4.2.1. Пусть v(z) - регулярное в области П решение
уравнения &zv = 0, которое отлично от постоянной, непрерывно
в £2 и удовлетворяет условиям
v(a + iy) = v(b + iy), Q ^y ^T,	(4.2.18)
Эу3 * * * * В' гу~ = 52 xi(y)lv(a + iy) -	+ *!/)], ®<y<T, a<x3 <b.
3	(4.2.19)
Тогда, если соблюдено условие (4.2.17), то положительный макси-
мум (отрицательный минимум) функции v(z) в Q достигается
лишь на части а = {z : у (у — Т) — 0, а х Ь} границы 5П
области П.
В самом деле допустим, что положительный максимум решения
v(z) на компакте Q достигается в точке £ = £ 4- irj. Поскольку v(z) -
отличная от постоянной гармоническая в области Q функция, £бП.
4.3. Задача с интегральным смещением для нагруженного уравнения...129
Положим, что = а + гт/, 0 < т/ < Т. Тогда
~V^dy2'iy~ 1»=»? °’ £ AJ+ iri> ~	+ ”7)1 > °’
а это противоречит равенству (4.2.19), из которого следует, что
d2v(a + iri) х , чг z . ч z . ч.
--------------^-2---- = 52 М’Ж0 +г??) “	+ ”?)]•
7	J=1
На основе равенства
9	= S А^уМЬ +	+
вытекающего из (4.2.18) и (4.2.19), доказывается, что £ b 4- гту,
О < ti < Т.
Аналогично устанавливается достоверность и второй части леммы,
касающейся отрицательного минимума гармонической функции v(z).
Содержание леммы 4.2.1 в случае, когда т = 1, а = —b = I =
= const > О, Т = 1, было анонсировано в моем докладе на Всесоюзном
симпозиуме "Дифференциальные уравнения в частных производных
и их приложения" в Тбилиси 21-23 апреля 1982 г. [129].
Эта лемма остается в силе и для линейного уравнения
Azv + A(z)vx + B(z)vy + C(z)v = 0	(4.2.20)
с непрерывными в Q коэффициентами A(z), B(z) и C(z) 0.
Лемма 4.2.1 и свойства функции Грина для оператора Лапласа
позволяют реализовать метод интегральных уравнений доказатель-
ства существования решения задачи Дирихле (4.2.5)-(4.2.6) для урав-
нения (4.2.7) в области П.
Нагруженные уравнения эллиптического типа были объектом ис-
следования А.В. Бородина [27]-[29].
4.3. Задача с интегральным смещением для
нагруженного уравнения с двумерным оператором
Лапласа в главной части, содержащего след
производной на одномерных многообразиях
В прямоугольной области £1 = {z : а < х <b, Q <у <Т} плоскости
комплексной переменной z = х + iy рассмотрим уравнение
&zu = Xj{y)ux(x^,у), j = 1,2, ...,m;	(4.3.1)
130
Глава 4. Локальные и нелокальные задачи для нагруженных...
где, как и в §4.2, Д2 = д2)дх2 + дР/ду2 - двумерный оператор
Лапласа, Xj(y) 6 С[0,Т], а < х1 < х2 < ... < хт < 6, по индексу
j идет суммирование от 1 до т.
Уравнение (4.3.1) в отличие от уравнения (4.2.7) содержит след
Uxt^y) производной их(х,у) зависимой переменной u(z) = и(х,у) на
одномерных многообразиях х = х30 у Т, j = 1,2,..., т.
Задача 4.3.1. Найти регулярное в области С1 решение u(z) урав-
нения (4.3.1), непрерывное в Cl и удовлетворяющее условиям
и(х) = то (ж), и(х + гТ)-= Ti(rr), а х 6,	(4.3.2)
д2	д2
д~2 J u(z)dx = <р(у), J u(z)dx = ^(y), 0 < у < T. (4.3.3)
a	(3
Здесь то (я), Ti(rr), <p(y) и - заданные функции из классов С[а, 6]
и С[0, Т] соответственно, a < a < /3 <Ь.
Эта задача для уравнения Лапласа Д2гх = 0 впервые была сфор-
мулирована и исследована в работе З.А. Нахушевой [149].
Нелокальное условие (4.3.3) с интегральным смещением можно
переписать в виде
a	Ъ
Ju(z)dx = Ф(у), У u(z)dx = Ф(у), 0 у Т,
a	0
где
a	a
Ф(у) = г /~ To(®)]da; + j r0(x)dx+
a	a
у	T
+ j\v- rj)<p{ri}di] -	J(T- Ti)<p(ri)dr)-,
0	0
b	b
ф(») = У [ri(®) - T0(a:)]dx + j r0(x)dx+
0	0
у	T
+ f(y~	f J(T- ri^(Ti)dT].
0	0
Легко проверить, что функции Ф(у) и Ф(у) принадлежат С^О,!1].
Решение u(z) задачи 4.3.1 будем искать в классе функций, непре-
рывно дифференцируемых по х в Q.
4.3. Задача с интегральным смещением для нагруженного уравнения.. .131
Любое регулярное в области Q решение u(z) уравнения (4.3.1) из
класса C(Q) представимо формулой (4.2.8), где на этот раз
у
о>(у) = У (у -	+ iri)dri-
О
Т
У (У	(п)их (х> + i7])dr].	(4.3.4)
О
и, стало быть,
о;"(у) = ^(у)их^ + zj/), ол(0) = 0, ол(Г) = 0.	(4.3.5)
Удовлетворим решение (4.2.8), (4.3.4) условиям (4.3.2)-(4.3.3),
предположив, что граничные функции то (ж) и т\(х) принадлежат
классу С1 [а, 5]. В результате для гармонической в области Q функции
v(z) получим следующие краевые и внутреннекраевые условия:
vx(x) = То (ж), vx(x + iT) = т{(ж), а х 5;	(4.3.6)
д2 7
g~2 J v(z)dx + (а - а)ш"(у) = <р(у),
а
& Г
я~2 / v(z)dx + (b- 0)ш"(у) = 4l>(y), Q^y^T. (4.3.7)
оу J
0
Поскольку ux(z) = vx(z),
а	а
д2 f	f
J v(z)dx = - J vxx(z)dx = vx(a + iy) - vx(a + iy), 0<y<T,
a	a
b	b
d2 f	f
J v(z)dx = - J vxx(z)da = vx(@ + iy) - vx(b + iy), 0 < у < T,
3	3
то на основании (4.3.5), (4.3.7) можно записать
и" (У) = \{v)vx(^ + iy),	(4.3.8)
vx(a + iy) - vx(a + iy) + (a - а)ш"(у) = <p(y), 0<y<T,	(4.3.9)
+ iy) ~ vx(b + iy) + (b - 0)ш''(у) = ip(y), Q<y<T. (4.3.10)
132
Глава 4. Локальные и нелокальные задачи для нагруженных,,.
Функция w(z) = vx(z) является гармонической в области Я функ-
цией и в силу (4.3.6), (4.3.8)-(4.3.10) должна удовлетворять условиям
w(x) = Tq(o;), w(x + iT) = r{(:r), a x 6,
(4.3.11)
w(a+iy) = w(a+iy) + (a-a)Aj(y)w(a^+ij/)-^(j/), 0 < у < T, (4.3.12)
w(b+iy) = w(j3-j-iy)-j-(b-j3)Aj(y)w(xj -hiy)-^(y), 0<y <T, (4.3.13)
Итак, задача 4.3.1 привела к внутреннекраевой задаче (4.3.11),
(4.3.12), (4.3.13) для гармонической в области Я функции w(z).
Задача 4.3.1 инициирует следующую задачу.
Задача 4.3.2. Найти регулярное в области Я решение u(z) уравне-
ния (4.3.1), непрерывное в Я, удовлетворяющее локальному краевому
условию (4.3.2) и нелокальным внутреннекраевым условиям
u(z)dx + 52 Аз(.У)их(^ + iy) - <р(у), 0 < у < Т, (4.3.14)
з=о
тп+1
Tj-2 / u(z)dx + 52 BjtyjUzfxi + iy) = i/>(y), Q<y<T, (4.3.15)
У j >=i
с заданными функциями Aj(y), Bj(y), <p(y), ip(y) из C[0, T] и точками
xi e]a, b[, a < a = xQ < x1 < ... < xm <*xm+1 = /3 <b.
Из (4.3.14)-(4.3.15) и равенств u(z) = v(z)+aj(y), Azv = 0, a/'(y) =
= Aj(y)vx(x^ + iy), j = 1,2, ...,m, заключаем, что гармоническая в
области Я функция w(z) = vx(z) = ux(z) должна удовлетворять
нелокальным краевым условиям
w(a + iy) = ^A“(y)w(xi + iy) + <p(y), Q<y<T, (4.3.16)
3=0
m+1
w(b + iy) = 52 Bj {y)wkxi + iy) ~ №), 0 < у < T, (4.3.17)
j=i
где Ао(.У) = 1 ~ Ao(y); A^(y) = -Aj(y) - (a -a)Aj(y); B?(y) = Bj(y) +
+ (b - /?)A/y); j = 1,2, ...,тп; вД+1(у) = Bm+1(y) + 1.
Задача 4.3.2 свелась к следующей задаче для гармонических функ-
ций.
Задача 4.3.3. Найти регулярное в области Я решение уравнения
Лапласа Azw = 0, непрерывное в Я и удовлетворяющее нелокальным
условиям (4.3.16), (4.3.17) и локальным краевым условиям
w(x) = wo(rr), w(x + iT) = wi(rr), a x 6,
(4.3.18)
4.3. Задача с интегральным смещением для нагруженного у равнения... 133
с заданными граничными функциями wo(rr) = Tq(x) и w\(x) = т{(гг)
из класса С[а, Ь].
Имеет место следующий принцип экстремума, который сформули-
руем в виде леммы.
Лемма 4.3.1. Пусть: А?(у)	0 для всех j = 0,1, ...,т; BJ* > О
для j = 1,2, ...,т + 1; ||А“|| = Ag(j/) + Af(y) + ... + A“(j/j 1,
||B^|| = Bf(y) + B%(y) + ... + B^+1(y) < 1 всюду на [О, Г]; w(z) -
решение задачи 4.3.3 при <р(у) = i/ify) = 0. Тогда положительный
максимум и отрицательный минимум w(z) на компакте Q не могут
достигаться в точках z = a + iy или z = b+iy, 0 <у <Т.
Функция w(z) = w(rr,?/) для любого фиксированного у б]0, Т[
непрерывна на сегменте [я0, я™]. Поэтому на этом сегменте найдется
точка £ такая, что
52 Ajtyywfx3 + iy) = || Аа || w(£ + iy).	(4.3.19)
j=o
Равенство (4.3.19) устанавливается по схеме, предложенной
В.А. Ильиным и Е.И. Моисеевым в работе [78] в процессе
доказательства теоремы 1 об априорной оценке для оператора
Штурма—Лиувилля с нелокальным краевым условием второго рода:
[fc(xr)7z,(xr)]z — q(x)u(x) = —f(x), 0 < х < 1,	(4.3.20)
m
u(0) = 0, fc(l)uz(l) = £ «ММЫ	(4-3-21)
j=l
предполагается, что k(x) e Cx[0,1], q(x) и f(x) e C[0,1]; q(x) 0,
k(x) m0 > 0 всюду на [0,1]; постоянные ai, аг,---, am либо непо-
ложительные, либо неотрицательные и удовлетворяют неравенствам
—оо < а = ai + аг + ••• +	< 1 при q(x) 0 и неравенствам
-оо < а 1 при q(x) > mi > 0 на [0,1].
Действительно, если
М= max w(x,y), min w(x,y),
то д w(xi + iy) М для любого j = 0,1,..., m. Отсюда, в силу того,
что А* (?/) 0, суммированием по всем j от 0 до m получим
М||А“|| £а?(У)ю(х* + iy) < М||А“||, у е]0,Т[.
3=0
(4.3.22)
771
Если ||Аа|| = 0 в точке у, то w(a + iy) = Aj(y)w(x^ + iy) = 0
j=o
и, стало быть, в точке а + iy функция w(z) не может достигать ни
положительного максимума, ни отрицательного минимума.
134 Глава 4. Локальные и нелокальные задачи для нагруженных.,.
Пусть ||Аа|| ^Ов точке у. Тогда из (4.3.22) следует, что
- тп
»p^ii 52	м-
Следовательно, в силу непрерывности w(z) на сегменте [rr°,(rm], на
этом же сегменте существует точка £ такая, что имеет место (4.3.19).
Аналогично доказывается, что для любого фиксированного
у е]0, Т[ найдется точка 7} 6 [x1,xm+1] такая, что
7П+1
^2 B^(y)w(xj + iy) = ||В01|w(ri + iy).	(4.3.23)
j=i
Равенства (4.3.19) и (4.3.23) позволяют записать условия (4.3.16),
(4.3.17) при <р(у) = 0, ^(у) = 0 в виде
w(a + iy) = ||Ла(2/)|| w(£ + iy),	(4.3.24)
w(b 4- iy) = \\Ba(y)|| w(rj 4- iy),	(4.3.25)
Из (4.3.24) и условия ||Aa(?/)||	1 следует, что отличная от const гар-
моническая функция w(z) не может своих экстремальных на компакте
Q значений достигать в точках а 4- iy, 0 < у < Т, В противном случае
мы получили бы, что функция w(z) достигает своих экстремальных
на Q значений во внутренних точках области Q, где она является
гармонической. В силу (4.2.5) и неравенства ||Ва(?/)||	1 функция
w(z) своего экстремума на компакте Q не может достигать в точках
Ь 4- iy, 0 < у < Т, Лемма 4.3.1 полностью доказана.
Из леммы 4.3.1 следует единственность решения задачи 4.3.3 и,
стало быть, задачи 4.3.2, а существование решений этих задач до-
казывается стандартным методом редукции к системе интегральных
уравнений Фредгольма второго рода, опираясь на свойства функции
Грина задачи Дирихле для уравнения Лапласа в области П.
Лемма 4.3.1 остается в силе, если в задаче 4.3.3 оператор Ла-
пласа Д2 заменить на более общий оператор Lz, задающий уравне-
ние (4.2.20).
В заключение сделаем акцент на одномерную однородную задачу
w(a) = JT A°w(xj),	(4.3.26)
j=o
w(b) = f^B0w(t?),	(4.3.27)
3=0
для уравнения
an(:r)w"(a;) 4- ai(rr)w'(a;) 4- а^(х)и)(х) = f(x), а < х <b,	(4.3.28)
4.3. Задача с интегральным смещением для нагруженного уравнения.. ЛЗЬ
где постоянные Aq , А",..., А^, Bq , Bf,..., В^ либо неположительны,
либо неотрицательны; а < х° < х1 < ... < хт < Ь; а <	<
<	< ... < £п < Ь; функции ац(я), ai(rr), ао(#)> /(#) принадлежат
классу С[а, Ь]; существует такая постоянная то, что ац(гг) то > 0;
а0(я)	0 всюду на [а, Ь].
Нелокальные условия (4.3.26), (4.3.27) следуют из (4.3.16)-(4.3.17)
при у = 0, <р(0) = ^(0) = 0, и их можно переписать в виде
w(a) = |Aa|ow(£), w(b) = |B^|ow(tj).	(4.3.29)
Здесь |Aa|o = Ag 4- A? + ... + <> l^|o = B% + B? + ... + B%.
Пусть w* - наибольшее из двух чисел |w(a)| и |w(b)|. Тогда,
поскольку ао(^)	0, любое решение w = w(x) уравнения (4.3.28)
удовлетворяет неравенству (см. [17, с. 161, неравенство (2.4)])
|w(x)I	w* + m2Н/Il,	(4.3.30)
где ||/|| = тах|/(х)|, т2 = ехр[а0(Ь - а)] - 1, а0 = ^[тх + (т? +
[а,Ь]
+ 4то)1/<2], mi - наибольшее из двух чисел ||ац||, ||ai||.
Если w* = |w(b)|, то из (4.3.30) в силу (4.3.29) имеем |w(rr)|
С l|S3|o| |w(t?)| + т2||/||. Если же w* = |w(a)|, то |w(rr)|
М“|о| |w(C)| +т2||/|| И, стало быть, (1 - ||A°|0|)|w(C)| т2||/||.
Теперь нетрудно убедиться в справедливости следующей теоремы.
Теорема 4.3.1. Пусть ао(х) 0, ац(я) > mo = const > 0, посто-
янные А°- (j = 0,1,...,т), Bj (j = 0,1,...,п) либо неположительны,
либо неотрицательны. Тогда решение w(x) задачи (4.3.26)-(4.3.27)
для уравнения (4.3.28) удовлетворяет неравенству
ЫА1 < / ^ll/IIAl - ||А“|о|), если ||А“|о| < 1,
1 ( Л I т2||/||/(1 - ||В^|о|), если ||В%| < 1.
В случае задачи (4.3.20)-(4.3.21), когда оц(я) = k(x), а\(х) =
= fc'(rr), ао(х) = — q(x), а = 0, b = 1, |Аа|о = 0, из теоремы 4.3.1
получаем |и(я)| (ехрао — 1)11/11-
Найдем критерий однозначной разрешимости задачи (4.3.26)-
(4.3.27) для уравнения
w"(rr) = /(ж), а < х < Ь,	(4.3.31)
являющегося простой, но вместе с тем важной моделью уравнения
(4.3.28).
Уравнение (4.3.31) эквивалентно нагруженному функциональному
уравнению
w(x) = [(^ ” x)w(a) + (х — a)w(b)]/(b — а) + F(x).	(4.3.32)
136
Глава 4. Локальные и нелокальные задачи для нагруженных...
Здесь F(x), как решение однородной задачи Дирихле: w(a) = 0,i
w(5) = 0 для уравнения (4.3.31), имеет вид
ь
F(x) = У G(x, t)f(t)dt,
где
х — t — (b — t)(x — a)/(b —a), a<t<x<b,
(6-*)(а-я)/(6-а),	а < х < t < 5,
- функция Грина этой задачи.
Решение w(x) уравнения (4.3.32) будет удовлетворять нелокаль-
ным ограничениям (4.3.26), (4.3.27) тогда и только тогда, когда
Ь - а - 22(Ь - х*)А? w(a)-^(xj-a)A?w(b) = (Ь-а)	F(x*)A?,
j=0	j=0	j=0
^b-^w(a)+ b-a-Y^-a)B%
j=0	j=0
j=0
(4.3.33)
Система (4.3.33) относительно w(a) и w(5) однозначно разрешима
тогда и только тогда, когда ее определитель обличен от нуля:
Ь - а -	- ^)Д“
j=o
b-a-f^-a^
j=o
ТП	П
- £(^' - а)А“ £(6 - ^)В/ / 0.	(4.3.34)
j=0	j=0
При = 0 для всех j = 0,1, ...,m нелокальное условие (4.3.26)
переходит в локальное условие
w(a) = 0,	(4.3.35)
а неравенство (4.3.34) - в неравенство
£(^-а)В?/Ь-а.	(4.3.36)
j=0
Условие (4.3.36) является необходимым и достаточным условием
однозначной разрешимости задачи (4.3.35), (4.3.27) для уравнения
(4.3.31).
4.4. О некоторых нагруженных дифференциальных уравнениях...
137
Задача (4.3.26)-(4.3.27) в случае, когда В? (у) = 0 (j = 1,2, ...,п)
для уравнения Фурье wxx = wy с начальным условием w(rr, 0) = wo(rr),
а х 6, была сформулирована и исследована в моей работе [122]
(см. также [136, с. 141]).
Изложенные в этом параграфе результаты в основном принадле- .
жат З.А. Нахушевой [149], [150].
4.4. О некоторых нагруженных
дифференциальных уравнениях математической
физики фракталов
Математической основой физики фракталов, в особенности дроб-
ной динамики (странной кинетики), в определенной степени стало
дробное исчисление. Оно, наряду с квантовой математикой, стано-
вится адекватным языком для математического моделирования про-
цессов, протекающих на самоподобных фрактальных структурах в
наносистемах.
В качестве базовых и эталонных уравнений линейных математи-
ческих моделей различных процессов на фрактальных структурах и
наносистемах выступают нагруженные уравнения следующих типов
[212], [146]:
evD^u(x, n) = cv^ D^Xku^k, *) + Au(x, t);	(4.4.1)
fc=i
<4A2)
U9bk B
sign (t, - t)|t - i*|7.D£tu(a:, rf) = cy	(4.4.3)
fc=i oxk
Здесь: v = const > 0; t - безразмерное время; cy = const; a =
= (^1,^2, ---^n) - фиксированная точка евклидова пространства ]Rn
с координатами аь б]1,2]; ак - действительные числа, < Хк для
любого к = 1,2,..., п; (3 = (Z?i, Х?2,...,/Зп) - фиксированная точка из ]Rn
с неотрицательными координатами 7 = const, А = А(ж, t) - «фрак-
тальный» потенциал, и(&,£) = ^(^1,^2,
Решение и = и(х, t) каждого из уравнений (4.4.1), (4.4.2) и (4.4.3)
допускает различные физические интерпретации. Если в уравнении
(4.4.1) положить
.	Й2
i/=l, ei=zn, ci = — -—, п = 3, ai = «2 = Q3 = 2,
2т
138 Глава 4. Локальные и нелокальные задачи для нагруженных...
где i - мнимая единица, fi - постоянная Планка, т - масса ча-
стицы, движущейся под действием силы, порождаемой потенциалом
А = У(я,£), то получим временное уравнение Шредингера для волно-
вой функции и =
= («“)
k=l к
Если же в уравнении (4.4.1) все = а €]1,2], а>к = а,
п
да
*-*ах	/ axk
к=1
- фрактальный оператор Лапласа по переменным xi, #2, •••, хт то оно
примет следующий вид:
€yD£tu(x, rf) = Су/Х“хи(£, t) 4- Хи(х, t).	(4.4.5)
Пусть в уравнении (4.4.5) 0 < v < 1, а = 0, еи - чисто мнимое
число: еу = гЛ, су = Recp - действительное число, а «фрактальный
потенциал» А = А (ж) не зависит от времени t. Тогда функция
и(х, t) = <p(t) ф(х)	(4.4.6)
будет решением уравнения (4.4.5), если
€yD%t(p(Tf) = pby(p(t\ t > 0,	(4.4.7)
с,Д£Ж) + (А -	= 0,	(4.4.8)
где - произвольная постоянная величина.
Любое решение уравнения (4.4.7) представимо в виде (см. [137,
с. 94])
<р(£) = а\ху~г expIZ(AIztlz),	(4.4.9)
где ai - произвольная постоянная величина, А^ = а
exp^ (z) = Ех/у (z; i/)	(4.4.10)
- обобщенная экспоненциальная функция комплексного перемен-
ного z.
Если р,у > 0, то число Ху = —i^y/h является чисто мнимым. При-
нимая это во внимание, в соответствии с формулами (4.4.6)-(4.4.10)
функцию
u(x,t) = ехрр ( —^(^),
у п /
где ^(х) - решение «стационарного фрактального уравнения Шредин-
гера» (4.4.8), можно назвать фрактальной волновой функцией для
4.4.	О некоторых нагруженных дифференциальных уравнениях,,. 139
частицы, движущейся во фрактальной среде под действием силы,
порождаемой «фрактальным потенциалом» А.
Уравнением типа (4.4.7) является и фрактальное дифференциаль-
ное уравнение
= XaN(t), t > О,	(4.4.11)
которое представляет собой одно из базовых уравнений математиче-
ской модели случайного блуждания точечной частицы по самоподоб-
ному фрактальному множеству Q, вложенному в пространство ]Rn
размерностью п > 2.
В уравнении (4.4.11) означает оператор Римана—Лиувилля
порядка а = 1—sa/2 с началом в начальный момент t = 0 времени t; sa
- спектральная размерность Q, определяющая число взаимно ортого-
нальных направлений на П; Аа - спектральный параметр; N(t) - число
структурных элементов фрактала П, которые частица, блуждающая
из фиксированной точки ]Rn, посещает за время t.
Уравнение (4.4.11) относится к четырехпараметрическому классу
дифференциальных уравнений вида
О&Лч) =	- g],	(4.4.12)
которые играют позитивную роль при создании математических (ком-
пьютерных) моделей, позволяющих описать процесс синтеза нанома-
териалов. Это уравнение при а = 1, 0 = —1, pnq = const > 0 сводится
к логистическому уравнению
uf (t) = pu(t) — qu2(t),	(4.4.13)
В уравнении (4.4.12) интенсивная переменная и = u(t) может озна-
чать среднюю скорость v частицы радиуса г за промежуток времени
t. В частности, при а = 1/2, р = q = 0, 0 = 1, u(t) = v(t) из (4.4.12)
получаем уравнение
= 0.	(4.4.14)
Пусть R - универсальная газовая постоянная; Т - абсолютная
температура; Na - число Авогадро; К - коэффициент вязкости;
со = у/ЯТ/(ЗлгКNa ) • Единственное решение видоизмененной задачи
Коши
lim y/t v(t) = со	(4.4.15)
для уравнения (4.4.14) задается формулой
v(t) = соГх/2.	(4.4.16)
Формула (4.4.16) известна как формула Эйнштейна—Смолуховского.
Пусть в уравнении (4.4.13) u(t) = w(t) означает долю наночастиц
(в коллоидном растворе и осадках), размер которых меньше xi; xq -
140
Глава 4. Локальные и нелокальные задачи для нагруженных...
характерный нормированный размер, близкий к среднему размеру на-
ночастиц; t = x\/xq. Тогда уравнение (4.4.13) и более общее уравнение
(4.4.12) могут быть интерпретированы как кинетические уравнения.
Тому подтверждение - приведенные в работе [108] данные.
Одномерный вариант уравнения (4.4.8), когда п = 1, х = xi, Ха =
=	— Х)/си, 1 < а 2, совпадает с уравнением
D&/>& = ^(s),	(4.4.17)
любое решение которого в силу (4.4.10) представимо формулой [137,
с. 102]
г/^х) = aixa~r ехра(Ааяа) + а2Ха~2Е1/а(Хаха; а — 1),	(4.4.18)
где ai и аг - произвольные постоянные.
С уравнением (4.4.17) при Ха = —о>а, 1 < а < 2, непосредственно
связано дробное осцилляционное уравнение
(>о,
о
предложенное F. Mainardi [209] в 1996 г. Это уравнение можно пере-
писать в виде
+"”«(<) =0.
и оно эквивалентно уравнению
u"(t) +	= 0,	(4.4.19)
которое возникло в теории уравнений смешанного типа у автора
[116] в 1977 г.
Уравнение (4.4.19) является обобщением классического уравнения
гармонического осциллятора, и любое его решение представляет собой
решение нагруженного уравнения
u(t) = tz(O) cosa(ort) + U (в) sina(ort).	(4.4.20)
и
В формуле (4.4.20) sina(z) и cosa(z) являются обобщенными тригоно-
метрическими функциями:
_22- /	(^\kzak
sin^z) = У	, cosQ(z) = У *
4.5. О некоторых системах вход-выход,,.
141
К уравнениям (4.4.1) и (4.4.3) примыкают непрерывные диффе-
ренциальные уравнения следующих типов:
1 7
------- / CvDotuix, rj)dv - Хи(х, = D^Xhu(£k,ty, ,(4.4.21)
1/2 ”1,1 ' *=1
1/2
1 Г
- Vl J
V1
2^хк
к=1
La-idu(M)1.
9хк [ к дхк J’
(4.4.22)
sign(t» — t)|t —1»|7 f	^д2и
1/1	к—1
(4.4.23)
Решения уравнений (4.4.2) и (4.4.3), (4.4.21)-(4.4.23), как и урав-
нения (4.4.1), допускают многочисленные интерпретации в физике
фракталов и теории наносистем.
В основе математических моделей процессов переноса частиц ле-
жат различные варианты следующего уравнения:
к=1
где /Зк > 0, 1/2 < otk 1, Хк > 0 для всех к = 1,2,..., п. Это уравнение
при п = 1, х = xi, = а, (3\ = (3 принимает вид
Dvotu(x, п) =	(4.4.24)
Решение u(x,t) = уравнения (4.4.24) можно интерпретиро-
вать как плотность вероятности найти частицу в точке х в момент
времени t [71].
4.5.	О некоторых системах вход-выход
и нагруженных уравнениях их состояния
Пусть: S - одномерная система вход-выход, определяемая как
бинарное отношение S С V х U с входным объектом V и выходным
объектом U; v Е V - вход в систему S, а и Е U - выход из S; вход,
воздействие, сигнал - синонимы одного и того же понятия; считаются
идентичными понятия выход, отклик и реакция.
Вектор w = (tz, v) называется синергетическим, или синергети-
ческой парой, если существуют такие линейные дифференциальные
операторы Lm и Ln с областями определения D(Lm) и D(Ln) и такие
обратимые отображения и —> (р(и) Е D(Lm) и v —►	Е D(Ln),
что Lmip(u) = Ln^v), Уравнение, описывающее вход-выходное со-
отношение, называется уравнением состояния системы вход-выход.
142 Глава 4. Локальные и нелокальные задачи для нагруженных...
Уравнение состояния называется определяющим, если оно задает пра-
вило, позволяющее однозначно определить отклик и системы S на
воздействие v.
Система с входным сигналом и 6 U и выходным сигналом v 6 V
называется квазилинейной системой вход-выход, если существуют та-
кие отображения и —► <p(u), v'	которые обратимы почти для
всех и 6 D(<p) и v 6 что система с входом и выходом
является линейной [135, с. 18].
При математическом моделировании наследственных свойств
большинства вязкоупругих тел фрактальной структуры, интер-
претируемых как модель вход-выход с синергетическим вектором
w = (е, а), в качестве уравнения состояния выступают различные
варианты уравнения вида
тп	п
а +	= Еое + £ EjD&W,	(4.5.1)
J=1	j=l
где а = a(t) и е =	- напряжение и деформация в момент времени
t 0; Eq , Ej - заданные характеристики тела; тип- натуральные
числа; aj и fy - действительные числа [14], [137, с. 149].
Частными случаями уравнения (4.5.1) являются: модель Максвелла
а 4- raf = rEmef,
которую можно записать в виде
а = [а(0) - Ете(0)] ехр(-*/т) 4- Ете - Е[е, t],	(4.5.2)
и реологическое уравнение состояния [24, с. 75]
а = E0D%t€, 0 < а < 1.	(4.5.3)
Здесь: г - время релаксации; Ет - модуль Гука;
t
rE[e; t] = £>о/{ехр[(?? - t)/r]E(??)} = Jе(т?) ехр(т? - t)dr).
О
Уравнение Больцмана
a(t) = Em[e(t) -	- т?)£(т?)]
с функцией памяти <p(t) представляет собой определяющее уравнение
системы вход-выход с синергетическим вектором (е,а). При rip(t) =
= ехр(—£/т) и а(0) = е(0)Ет из этого уравнения следует (4.5.2).
Система уравнений движения однородного наследственно-
упругого стержня плотности р, совершающего продольные колебания
под воздействием внешней нагрузки f =	рассчитанной на
4.5. О некоторых системах вход-выход...
143
единицу объема, имеет вид [98, с. 30]
putt -<?х = f, е = их,	(4.5.4)
где а = а(я,£), и = u(x,t) и е = e(x,t) - напряжение, перемещение
материального элемента стержня и деформация в точке х стержня в
момент времени t 6 [0,Т].
Если систему (4.5.4) интерпретировать как систему вход-выход с
синергетическим вектором w = (/, и), то в качестве ее уравнения со-
стояния можно взять уравнение (4.5.1), где на этот раз а и е являются
функциями точки х и времени t. В частности, за уравнение состояния
этой системы можно принять уравнение (4.5.3), которое относительно
e(rr,t) является нагруженным дифференциальным уравнением поряд-
ка а и записывается в виде
a(x,t) = E0D%t€(x,‘q).
В этом случае из (4.5.4) имеем
putt - E0D°tuxx(x, q) = f.	(4.5.5)
Пусть Dotax(x,T)) G L[0,T], limD^’1<jx(x,rj) = 0 для любой ко-
ординаты х точки стержня. Тогда любое решение u(x,t) уравнения
(4.5.5) будет решением следующего нагруженного уравнения в част-
ных производных:
= Equxx 4- Dotaf(x, rf).	(4.5.6)
Если перемещение материального элемента стержня удовлетворя-
ет однородному условию Коши: и(:г,0) = 0, и*(я:,0) = 0 и с2 = Ео/р,
F(x,t) = f(x,Ti)/р, то любое решение уравнения (4.5.6) будет
решением нелокального волнового уравнения
D^au(x, rf) - с2ихх = F(x, t).	(4.5.7)
Для уравнения (4.5.7) исследованы смешанная задача и задача
Самарского в видоизмененных постановках [137, с. 211, 215].
А.Н. Герасимов [43] рассмотрел задачу о движении жидкости меж-
ду двумя параллельными плоскостями (х = 0, rr = Z), из которых
одна (х = 0) неподвижна, а другая (х = I) движется в самой себе
прямолинейно параллельно первой в направлении оси у = u(x,t), и
исходя из зависимостей
— ОО
144
Глава 4. Локальные и нелокальные задачи для нагруженных...
да _ д2и
дх ? дх2 ’
О < х < I,
получил уравнение
^ootuxx(x,rj) = putt(x,i)
с начально-граничными условиями
и(я,0) = 0, и*(я,0) = 0, u(O,t) =	= <p(t),
где х = const > 0, 0 < х < const < 1, р = const - плотность жидкости,
<p(f) - заданная непрерывная дифференцируемая функция времени t,
<р(0) = 0, <//(0) = 0. Это уравнение относится к такому же типу, что и
(4.5.5).
Обобщенная модель экологического взаимодействия "хищник-
жертва", учитывающая эридитарные явления, задается следующими
уравнениями движения:
= (£i - 7iv)«,	= —(е2 -	(4.5.8)
где dot ~ оператор дробного (в смысле М. Caputo, см. § 1.3) дифферен-
цирования порядка а б]0,1]; и = u(t) и v = v(t) - численность двух
видов в момент времени t 0, один из которых пожирает другой.
Модифицированные вольтерровские системы уравнений движения
в случае двух видов, борющихся за общую пищу, имеют вид
^logu(?/) = £1 - 7iF(u, v), ^logv(?/) = e2 - yrfXu, v). (4.5.9)
Уравнения состояния, соответствующие (4.5.8) и (4.5.9) системе
вход-выход с синергетическим вектором (u, v), имеют вид
72[доХ7?) “ £iu] =	“ ^2^],
. 72[%logu(?/) - ei] = 7i[3Sil°g^) “ е2].	(4.5.10)
При a = 1 математические модели (4.5.8) и (4.5.9) совпадают с
хорошо известными моделями Вольтерра [40].
Уравнение
d$tu(x, rf) + u- Diuxx — а = -dotv(x, rf) 4- D2vxx (4.5.11)
является уравнением состояния системы вход-выход, задаваемой сле-
дующей обобщенной моделью Тьюринга процесса протекания реакции
в одномерном реакторе длины г:
dotu(x,rf) = a 4- vu2 - (5 4- l)u 4- D\uxx,
dfttv(x, rf) = bu — vu2 4- D2uxx; 0 < x < r.
Здесь a, 5, Di, D2 - постоянные величины, и = v = v(x,t) -
концентрации взаимодействующих веществ в точке х реактора в мо-
мент времени t 0.
4.6. Нагруженные уравнения математической экономики
145
Как видно из (4.5.11), если v - решение уравнения
д&и(х,т1) = D2vxx,	(4.5.12)
то и будет решением уравнения
rf) = Diuxx - и 4- а.	(4.5.13)
Уравнения (4.5.12), (4.5.13) относятся к классу дробных (фрак-
тальных) уравнений переноса.
В основе этого параграфа лежат результаты автора, опубликован-
ные в работах [138], [213].
4.6.	Нагруженные уравнения математической
экономики
Математические модели теории экономического роста основы-
ваются на производственных функциях [159], играющих важную
роль при исследовании возможных сценариев устойчивого развития
социально-экономической системы как открытой производственной
системы "вход-выход". Производственная функция (Pf) выражает
устойчивое количественное соотношение между входом х из простран-
ства факторов Q и выходом-выпуском и(х) конечного продукта. Су-
ществуют различные методы построения производственных функций,
в том числе отраслевых [159], [177], [184].
Рассмотрим простой, но вместе с тем эффективный, метод кон-
струирования алгебраической формы производственной функции, ос-
нованный на следующем аналоге формулы Маклорена в дробном
исчислении, который сформулируем в виде следующей леммы.
Лемма 4.6.1. Пусть однофакторная Pf и(х) на сегменте [0, г]
имеет суммируемую производную Dqxu порядка а е]т — l,m],m =
= 1,2,... Тогда почти всюду на [0, г] она представима в виде
т
и(х) = Wa~k +	(4.6.1)
fc=l
где
lira D£ku(£) = акГ(а - к + 1).	(4.6.2)
x—>0
При a = m равенство (4.6.1) совпадает с формулой Маклорена
(Тейлора)
u(x) = Pm(x) + Do™u<m\£),
146
Глава 4. Локальные и нелокальные задачи для нагруженных...
где Рт(^) - полином Маклорена. В случае, когда Pf и(х) представима
формулой (4.6.1), роль полинома Рт(я) играет функция
иа(х) = 52afcx“_fe,	(4.6.3)
fc=i
однозначно определяемая как решение и = иа(х) уравнения
D%xu(& = 0, 0 < х < е,	(4.6.4)
удовлетворяющее видоизмененному условию Коши (4.6.2).
Поскольку а тп то решение (4.6.3) уравнения (4.6.4) будет
удовлетворять условию
гх|ж=0 = 0	(4.6.5)
только тогда, когда am = 0.
Пусть теперь и(х) - многофакторная Pf точки х = (#1, #2, •••, %п) €
6 П, а = («i,«2, •••,«n), mj — 1 aj mj. В соответствии с
(4.6.4) и (4.6.5) для вывода Pf и(х) можно использовать следующее
нагруженное уравнение дробного порядка:
23 7? D%..u(X!,X2,	...,ХП) = 0	(4.6.6)
J=1
с постоянными техническими коэффициентами 71,72, •••? 7п и гранич-
ным условием
«(*)|^=о =0, j = 1,2, ...,п.	(4.6.7)
Из (4,6.6) и (4.6.7) при п = 2, х = («1,^2), а = («1,6*2) имеем
71 ₽sx<i,x2)+72	&) = °’	(4-6-8)
0 #i х?; tz(O, #2) = О, 0 Х2	(4.6.9)
Производственные функции вида
и(х) =	(4.6.10)
будут решением системы (4.6.8)-(4.6.9) тогда и только тогда, когда
= (—1)JAX(Xj), Х>(0) = 0, 3 = 1,2,	(4.6.11)
где А - постоянный параметр, не зависящий от j.
Решение системы (4.6.11) задается формулой
mj—1
Xfa) = £ alx^~kE1/aj [XjX°’; 1 + Oj - fc], (4.6.12)
k=l
где ak - произвольные постоянные величины, A j = A (—l)J/7j, 7j 0.
4.6. Нагруженные уравнения математической экономики 147
Если 1 < aj < 2, rrij = 2, а±2 = а} а?, 0 = (^1,/Зг), fy = ay — 1,
х& = rrf1^2, то из (4.6.10), (4.6.12) получаем
u(x) =	(4.6.13)
При Z?i Ч- Z?2 = 1 («1 + «2 = 3), k = ai2/[r(ai)r(ai2)] функция
(4.6.13) переходит в производственную функцию Кобба—Дугласа
и(х) = kx&,
связывающую выпуск и(х) с величиной производственных фондов rri
и затрат труда Х2-
Функция Кобба—Дугласа удовлетворяет уравнениям
(4.6.14)
D^u-D^2u = 0.	(4.6.15)
Если 7i =72 = 1, то формула (4.6.13) дает следующий класс
решений уравнения (4.6.14):
u(x) = kr(ai)r(a2)x0E1/ai [-Ах*1; ai]Ei/Q2 [Лх%2; а2]-
Если же 7i = 1, 72 = —1, то из (4.6.13) получаем производственные
функции вида
и(х) = кГ(а1')Г(а2)х0Е1/а1[Хх^1;а1]Е1/а2[Хх^2;а2],
определяемые как решение уравнения (4.6.15).
Далее под Pf будем понимать любое решение и = и(х) уравнения
(4.6.14), удовлетворяющее условиям (4.6.9) и обладающее непрерыв-
ной смешанной производной д2и/дх\дх2 при > 0; через р =
= ди/дх2 и ф = ди/дх\ обозначим предельную фондоотдачу и пре-
дельную производительность труда.
Нетрудно доказать, что функции р = р(х) и = ^fx) находятся в
системной связи, вектор (^, ф) является решением следующей систе-
мы уравнений:
(7Я/1	0X2
Средняя фондоотдача ф(х) и средняя производительность труда
*ф(х) определяются по формулам ф(х) = и(х)/х2> ^(х) = u(x)/xi.
Система (4.6.16) при /?1 =	= 1 (<*1 = «2 = 1) переходит в систему
Коши-Римана
где w = p(z) + iip(z), z = Xi + ix2 - комплексная переменная,
д_ = 1 / 9	. д \
dz 2 \&Ei гдх2/
148
Глава 4. Локальные и нелокальные задачи для нагруженных,,.
- оператор Коши-Римана,
Алгебраическую форму двухфакторной производственной функ-
ции и(х) = гх(:Г1,а;2) можно конструировать следующим образом:
и(х) = Re
u(x) = Re £?/p[log z; <],
или же
и(х) = Im
где
п
0=01+цз2, e?/p[z-,е] = ?/г(е+Pj)
j=l
- полином Миттаг-Леффлера.
В теории материального производства весьма важную роль мо-
жет сыграть класс производственных функций вида и = и(у), v =
= v(a?i,a;2, где и - решение дифференциального уравнения
порядка р — 1,р]:
D^pD^u(r) = Atz(v), А = const, р = 1,2,...,	(4.6.17)
a v = v(x) - решение нагруженного уравнения в частных производных
...........................(«18)
j=l иХЭ
Прямые вычисления показывают, что к этому классу относятся
функции постоянной эластичности, имеющие следующий вид:
и(у) =	v = У^а7а;~а,	(4.6.19)
j=i
где ао - коэффициент шкалы, aj - коэффициенты распределения, (3 -
степень однородности, а - коэффициент замещения, и предполагается,
что ао > 0, aj > 0, ai + аг + ... + ап = 1, —1 < а < 0, /? > 0.
Функция и(у) = oqv^ является решением уравнения (4.6.17) при
А = 0, а функция
v(x) = aiXi а + ... + ajXja + ... + апх~а
- решение обобщенного (фрактального) уравнения Лапласа
j=l
4.6. Нагруженные уравнения математической экономики
149
Задачам Дирихле и Неймана для трехмерного фрактального урав-
нения Лапласа ^~аи = 0 с оператором трактуемым как
эллиптический псевдодифференцируемый оператор с символом
з
1<1-а<2,
j=l
посвящена работа Г.П. Лопушанской [101]. Задача Дирихле в класси-
ческой постановке для уравнения
ихх + до~аи(х, rf) = 0
в прямоугольной области {(х,у) : 0 < х < а,0 < у < Ь] исследована
О.Х. Масаевой [106].
Производственная функция (4.6.19) часто используется в практике
прогнозирования и предпроектных расчетов [177, с. 38], [12, с. 90].
Существуют различные обобщения статистической функции
Кобба—Дугласа. Важной моделью динамизированного варианта
функции Кобба—Дугласа является уравнение
u(x,t) = ao(t)[a?(t)]a
с параметром clq = ao(t) и вектором х = x(t) 6 Кп, описывающими
набор ресурсов, необходимых для функционирования производствен-
ного процесса на временном сегменте 0 t Т. Эта модель при п = 2,
х = (#1,22) € К2, а = (ai,a2), 0 < ai < 1, «2 = 1 — «1,
dx\	л т
= siu — /ii#i, 0 t Т
at
совпадает с неоклассической моделью экономического роста, предло-
женной R. Solow в 1956 г. В модели Солоу u(x,t) означает объем
выпуска национальной продукции (ВВП), ao(t) - уровень развития
инновационных технологий, #i(£) - текущий объем физического ка-
питала, X2(t) - численность занятых в экономике (труд), $1 - норма
накопления сбережений, /ii - коэффициент выбытия капитала [5].
Считается целесообразным назвать обобщенной кинематической
(динамической) производственной функцией решение и = и(х, t) урав-
нения
^и(х,т) = fcp	(4.6.20)
j=i
где д е]0,2],	= const / 0, Uj e]l, 2],
iemi r\mi
- регуляризованный оператор Римана—Лиувилля порядка ej по пере-
менной yj, mj — 1 < е mj = 1,2,...
%
150
Глава 4. Локальные и нелокальные задачи для нагруженных...
Особый интерес вызывает класс решений уравнения (4.6.20), пред-
ставимых в виде u(x,t) = <^(t)^(:r), где ip(t) и являются решени-
ями уравнений
^ot^(T) =	А = const,
п
j=l
При д = 2,	> 0, п = 1, х = Xi, и = i/i уравнение (4.6.20) сов-
падает с нагруженным уравнением однофакторной кинематической
производственной функции:
~q^ =	0*
Формализованным выражением цели, которая наряду с про-
изводственной функцией характеризует поведение социально-
экономических систем, является целевая функция и = и(х),
называемая также критерием качества. Ее можно определить как
решение следующего уравнения:
J=1 J	J
Можно доказать, что функция полезности ([11, с. 127])
и(х) = 01^11 4- 02X22 4-... 4- апх„п,
где Oj = const > 0, 0 < о, = const 1, j = 1,2, ...,п, представляет
собой решение уравнения (4.6.21). В случае, когда 0 <	< 1 и
соблюдено (4.6.7), (4.6.21) эквивалентно уравнению

ди
= 0.
В основе математических моделей денежных и материальных на-
коплений группы семей, стоимости ценных бумаг лежат системы диф-
ференциальных, интегральных и функциональных уравнений [67].
Например, в случае модели денежных накоплений группы семей в
качестве такой системы может выступить система следующих уравне-
ний относительно динамических переменных и = u(x,t) ии = v(x,t):
1 а,, ’
ди д
ai + di
= /, 0 < х <г, 0 <t <Т;
(4.6.22)
X
v(x^t) = Уix(f,£)df,
о
(4.6.23)
4.6. Нагруженные уравнения математической экономики
151
v(r,t) =	0 t < Т;
(4.6.24)
j xu(x,t)dx = О t Т;	(4.6.25)
о
и(х, 0) = т(я), О х г.
(4.6.26)
Здесь u(x,t) интерпретируется как плотность распределения семей
по накоплениям х в момент времени t, a v(x, t) - как число семей с
денежными накоплениями в пределах отрезка 0 х в момент
времени t; а = а(я,£), Ь = Ь(я,£), f = /(#,£), <р(£), и т(х) -
заданные достаточно гладкие функции своих аргументов.
Условие (4.6.24) согласно (4.6.23) имеет вид
У u(x,t)dx =	0 t Т,
о
(4.6.27)
где <p(t) означает число семей с денежными накоплениями в пределах
О х г в момент времени t от начального t = 0 до финального
t = Т.
Система (4.6.22)-(4.6.26) инициирует нелокальную краевую зада-
чу (4.6.25), (4.6.26), (4.6.27) для уравнения (4.6.22) в области D =
= {(я, t) : 0 < х < г, 0 <t < Т}.
Из (4.6.22) и (4.6.23) следует, что функция v(x,t) является реше-
нием уравнения в частных производных третьего порядка
д dv dv
дх dt ^адх
1 д_ (ьду\
2 дх у дх)
= f-
(4.6.28)
В силу (4.6.23) функция v удовлетворяет краевому условию
v(O,t) = O,	(4.6.29)
Из (4.6.25) на основании (4.6.24), (4.6.29) и равенства vx = и получаем
V’(t) =
Стало быть,
Уv(x,t)dx = Ф(£),
о
(4.6.30)
где Ф(*) = r<p(t) - ф(1).
Следовательно, число семей v(x, t) с денежными накоплениями в
пределах отрезка 0 х в момент времени t определяется как
152
Глава 4. Локальные и нелокальные задачи для нагруженных...
решение следующей краевой задачи с нелокальным (интегральным)
смещением.
Задача 4.6.1. Найти регулярное в области D решение v = v(x,t)
уравнения (4.6.28), непрерывное в D, удовлетворяющее краевым усло-
виям (4.6.24), (4.6.29), (4.6.30) и начальному условию
v®(^,0) = т(я), 0 х г.	(4.6.31)
Условие (4.6.31) вытекает из начального условия (4.6.26).
Следуя предложенному З.А. Нахушевой [151] приему редукции
задачи с интегральным (нелокальным) условием для уравнения т-го
порядка к локальной краевой задаче для уравнения порядка n > т,
в уравнении (4.6.28) перейдем к новой динамической переменной
w = w(x^ t) по формуле
х
W = /	=	(4.6.32)
о
В результате из (4.6.28) получим уравнение в частных производных
четвертого порядка
д Гd2w d2w 1 д f,d2w\l	. х
дх [ardf +	” 2 дх \Ьдх^) J “	(4.6.33)
В силу (4.6.29), (4.6.30), (4.6.31) и (4.6.32) функция w должна удовле-
творять краевым условиям
w(0,t) = 0, wx(0,t) = 0,	= Ф(*), 0 Т, (4.6.34)
wxx(x,0) = т(х), 0 х г.	(4.6.35)
Связь между системами (4.6.22)-(4.6.26) и (4.6.32)-(4.6.35) реали-
зуется формулой
х £	х
w = J	J ufa^d^ = j Gr-£i)tz(£i,*)d£i.	(4.6.36)
0	0	о
Важным вариантом уравнения (4.6.22) является уравнение для
плотности акций [67, с. 210]
ди	о д2и	_ ди	_	/. Л
— = ах+ 0х— 4- 7tz, а, /3,7 = const,	(4.6.37)
ot ох* ox
которое относится к классу уравнений в частных производных второго
порядка параболического типа с вырождением порядка при х = 0.
4.7. Задача Дирихле для нагруженной системы эллиптического типа 153
Более адекватной реалии может быть модель, основанная не на
уравнении (4.6.37), а на нагруженном уравнении вида
_ од2и _ ди	_	Л
0Qtu = ах ^“2 + &х~^~ + 7^,	Р, 7 = const, 0 < е < 1.
ОХ ох
4.7. Задача Дирихле для нагруженной системы
эллиптического типа
Начнем с общего представления решений нагруженного диффе-
ренциального уравнения вида
Lu 4- Ми = f(x), х Е Q С Rn,	(4.7.1)
где
„	0lQl
L = V aa(x)Da, Da =	2----
, “	дхудхъ • • • дхп
а = (oi, «2, •••, ап) - мультииндекс длины |а| =ai 4- 02 + ... 4- ап; ко-
эффициенты аа'(х) линейного дифференциального оператора L при
а' = («1,02, ...,ап/,0,0, ...,0), п' < п, зависят только от х' =
= (^1,^2, ...,^п')> т-е- Яа'Сг) = ea'(^)5 М ~ линейный оператор, отоб-
ражающий функцию и(х) из области определения D(L) оператора L
в функцию Ми = Ми(х), зависящую только от х'.
Любое решение и(х) уравнения (4.7.1) в области Q представимо в
виде
и(х) = v(x) 4- cu(xr'),	(4.7.2)
где v(x) - решение уравнения
Lv = f(x),
a (jj = cj(rr') - решение уравнения
Мш + М'ш = —Mv
с оператором
М'= aa,(x')Da’^0.
А.В. Бородин [27] (см. также [28], [29]), пользуясь представлением
(4.7.2), доказал, что задача Дирихле и\а = (р для нагруженного
эллиптического уравнения
£« =	S = с(х'>и(х'’ °> + /I1)
154
Глава 4. Локальные и нелокальные задачи для нагруженных...
в ограниченной области Q с границей а = дЯ, удовлетворяющей
условию Ляпунова, имеет, и притом единственное, решение и = и(х),
если: 1) в тех точках, где нарушается положительная определенность
квадратичной формы afcj(x')£fc£n поверхность а имеет нехарактери-
стическое направление; 2) дс№ /dxj, bj и с удовлетворяют условию
Гельдера на компакте П; 3) с(х’}	0 в П; 4) = <р(х) € С(а), f(x) =
= /1(^)/2(^) € С(П), функции f\(x) и /з(^) удовлетворяют условию
Гельдера в П; 5) с(х) < Л (ж) < 0 для всех х 6 П. Хо Хон Сун [187]
распространил этот результат на уравнение вида
Lu = Cj(x')u(x\ у>) 4- /(ж),
j=i
где Cj(xf) 0, yi - фиксированная точка из f2P)]Rn“n .
Пусть теперь Q представляет собой круг |z| < г на комплексной
плоскости z = х 4- iy (xi = ж, х? = у) радиуса г с центром в точке
z = 0. В области Q рассмотрим следующую нагруженную систему
эллиптического типа
= а{х)и(х) + b(x)v(x),	(4.7.3)
Ь + S = с(х)и(х) + d(x)v(x).	(4.7.4)
<jy ox
Здесь и = tz(z), v = v(z) - действительные функции переменной z;
а(я), Ъ(х)^ с(х) и d(x) - заданные действительные функции точки
х 6 [—г,г].
В системе (4.7.3)-(4.7.4) перейдем к новой комплексной зависимой
переменной
w(z) = u(z) 4- w(z) => w(z) = u(z) — w(z).
Комплексная форма записи этой системы имеет вид
= A(x)w(x) 4- B(x)w(x\	(4.7.5)
где
4А(я) = а(х) 4- d(x) 4- [с(ж) — fe(xr)]г, ±В(х) = а(х) — d(x) 4- [с(ж) 4- Ь(я)]г.
Любое регулярное в области Q решение w(z) уравнения (4.7.5)
представимо в виде
у
w{z) = j + ir})dT}+ w(x),	(4.7.6)
о
4.7. Задача Дирихле для нагруженной системы эллиптического типа 155
где Ф(з) - аналитическая в круге Q функция комплексной перемен-
ной z.
Согласно теореме Тейлора [140, с. 132] функция Ф(з) представима
в виде степенного ряда
$(Z) = ^2akZk, |z| Г,
к=0
радиус сходимости которого не меньше, чем г. Поскольку
%	оо Ч,	оо
/ Ф(я 4- irj)dri = ^2ак I (х + irffdr} = -i * (х + ^?)*+1
Q	fc=0 Q	Л?—0
Ч=У
Т)=О
= Е jr^(zk+1 ~ хк+1У> =	+ад-	= Е 1тт?+1’
К “г 1	К “г 1
формула (4.7.6) означает, что
w(z) = г[Ф(я) — Ф(г)] + w(rr), Ф(г) = J Ф(£)Л.	(4.7.7)
о
Удовлетворим функцию (4.7.7) уравнению (4.7.5). В результате
получим
w'(x) = 2A(x)w(x) + 2B(x)w(x) — гФ(я). (4.7.8)
Модельной краевой задачей для уравнения (4.7.5) в круге Q с
границей а = {z : |z| = г} является
Задача 4.7.1. Найти непрерывное вместе с производной по у в
замкнутой области Q решение w = w(z) уравнения (4.7.5), удовлетво-
ряющее краевому условию
wy(z) = <p(z) Vzea,
(4.7.9)
w(—г) = с,
(4.7.10)
где <p(z) - заданная непрерывная на а функция, ас- заданное
комплексное число,
В силу (4.7.5), (4.7.7) функция wy(z) = Ф(з) как аналитическая
в области Q и непрерывная в Q функция однозначно определяется
интегральной формулой Коши:
= тЬ /
2тгг J
ip(t)dt
t — z
(4.7.11)
156
Глава 4. Локальные и нелокальные задачи для нагруженных..
Согласно (4.7.11) и (4.7.8), функция w(x) должна определяться ка^
решение задачи Коши (4.7.10) для уравнения	д
w'(x) = 2A(x)w(x) + 2B(x)w(x) —
1 Г
2ir J
(4.7.12>
t — x
После того как найдены функции Ф(з) и w(rr), решение задачи 4.7.1
записывается в виде (4.7.8).
В случае, когда а(х) = d(rr), с(х) = —Ъ(х), функция В(х) = 0,
2А(х) = а — ib, уравнение (4.7.12) переходит в дифференциальное
уравнение первого порядка
w'(x) = Xw(x) — гФ(я)
с начальным условием (4.7.10).
Хо Хон Сун [187] исследовал задачу Дирихле и обобщенную задачу
Римана—Гильберта [37, с. 179] для предложенной мной модельной
нагруженной обобщенной системы Коши-^Римана
4- Ai(z)w(z) + A2(z)w(z) + A3(z)w(Rez) + A4(z)w(Rez) = 0,
oz
которая включает систему (4.7.3)-(4.7.4), но является частным случа-
ем уравнения (1.3.10).
Модельным вариантом уравнения (1.3.10) служит и уравнение
^ = A(z)w(zo),	(4.7.13)
где A(z) - аналитическая в круге Q и непрерывная в Q функция, zq -
фиксированная точка с |zo| < г.
Пусть w(z) - регулярное в Q и непрерывное в Q решение уравнения
(4.7.13), удовлетворяющее условию Дирихле
w(z) = tp(z) V z Е а.	(4.7.14)
Тогда функция
Ф+(г) = w(z) — A(z)zw(zo)	(4.7.15)
будет регулярным в О и непрерывным в Q решением системы Коши-
Римана
дГ~ ~ ’
которое в силу (4.7.14) представимо интегральной формулой Коши
ф+(г) = 2- [
v 7 2тгг J t — z
|t|=r
4.7. Задача Дирихле для нагруженной системы эллиптического типа 157
Эта формула позволяет записать
Ф+(г) = Ф(г)-^ f f^-dt,
мп J t — z
|t|=r
где
2тгг J
|t|=r
t — z
- интеграл типа Коши.
Поскольку
z f tX(t) г2 f zX(f)dt
---- I '1 1 dt ——   / “т--------------г
2тгг J t — z 2тгг J t(t — z)
|t|=r	|t|=r
Г2 f
2m J
|t|=r
-A- - I) X(t)dt = [A(z) - A(0)]r2,
t — Z t /
TO
z$+(z) = z*(z) + w(zo)[A(0) — A(z)]r2.
Из (4.7.15) и (4.7.16) при zq ± 0 следует, что
1 - A(zo)*o +	u){z^} = Ф(зо)-
(4.7.16)
(4.7.17)
Zo
Уравнение (4.7.17) относительно w(zo) однозначно разрешимо, если
1 — A(zo)^o +	~ " г2 / 0. zo Из (4.7.17) и (4.7.18) при zq 0 получаем [1 + А,(0)г2Н0) = Ф(0),	(4.7.18) (4.7.19)
1 + Az(0)r2 0 0.	(4.7.20)
Пусть соблюдены условия (4.7.18) и (4.7.20). Тогда из (4.7.17) и
(4.7.19) имеем
- A(0)]r2 г” (4 7 21)
( Гм-(0)г5Пр"*> = 0'
158
Глава 4. Локальные и нелокальные задачи для нагруженных...
Регулярное в Q и непрерывное в Q решение w(z) задачи (4.7.14)
для уравнения (4.7.13) задается формулой
w(z) = Ф(з) + w(zq) X(z)z -
Z
(4.7.22)
где w(zq) вычисляется по алгоритму (4.7.21).
Обратим внимание и на следующий алгоритм поиска решения
задачи (4.7.13)-(4.7.14):
1.	Любое регулярное в круге Q решение w(z) уравнения (4.7.13)
является решением уравнения Бицадзе [118]
= 0.	(4.7.23)
2.	Все регулярные в односвязной области Q решения уравнения
(4.7.23) представляются формулой
w(z) = гФо(г) + Ф+(>г),	(4.7.24)
где Фо (г) и Ф+(г) - произвольные голоморфные (аналитические)
функции комплексного аргумента z 6 Q [19, с. 88].
3.	Функция (4.7.24) будет решением уравнения (4.7.13) тогда и
только тогда, когда
= Фо(-г) = А(2)[«оФо(.го) + Ф+Сго)] = X(z)w(zq),
OZ
т.е., когда w(z) - решение нагруженного функционального уравнения
w(z) = A(z)zw(zq) + Ф+(з).	(4.7.25)
4.	Решение w(z) уравнения (4.7.25) будет непрерывным в Q тогда
и только тогда, когда функция Ф+(г) непрерывна в Q.
5.	Функция Ф+(з) связана с Ф(з) формулой (4.7.16), и решение w(z)
задачи (4.7.13)-(4.7.14) определяется по формулам (4.7.22) и (4.7.21).
Глава 5
КРАЕВЫЕ И ВНУТРЕННЕКРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
ДЛЯ НАГРУЖЕННЫХ УРАВНЕНИЙ
СМЕШАННОГО ТИПА
5.1.	Краевые задачи для модельного нагруженного
уравнения смешанного параболо-гиперболического
типа с вырождением порядка в области его
гиперболичности
Рассмотрим уравнение
и Qu
Qx\+H(y) ду
= Хи(х, 0)
(5.1.1)
в области Q, ограниченной отрезками
АС : х + у = 0,0 х г/2; ВС : х — у =
= г, г/2 х г; ААо : х = 0,0 у
Л; BBq : х = г, 0 у Л; AqBq : у =
= Л, 0 х г (см. рис. 5.1.1). Здесь,
как и ранее, Н(у) - функция Хевисайда,
и = u(z) = и(х, у), z = х + iy.
Уравнение (5.1.1) в области его параболичности Q+ = Q П {z : Imz > 0}
совпадает с нагруженным дифференциальным уравнением второго
порядка
= Х+и(х), А+ = const,	(5.1.2)
ох* оу
а в области Q“ = Q П {z : Imz < 0} его гиперболичности - с
нагруженным дифференциальным уравнением первого порядка
ди ди . _ z ч
----— = А и(х), А = const,	(5.1.3)
дх ду
параметр А равен А+ при у > 0 и А“ при у < 0, z = х е Ir =
= {х : 0 < х < г}.
160 Глава 5. Краевые и внутреннекраевые задачи для нагруженных...
Любое решение и (z) уравнения (5.1.3) из класса C(Q ) П СХ(П U
U1Г) является решением нагруженного уравнения
X
u(z) = А“ У u(t)dt + f(x + у),	(5.1.4)
о
где v(z) = f(x + у) - регулярное в Q" и непрерывное в Q" решение
уравнения
dv dv л
dx dy
Из (5.1.4) следует, что
X
f(x) = и(х) — Х~ J u(t)dt, х G /г,
о
f(x + у) = и(х + у) — А“ У u(t)dt, 0 х + у г.
о
Стало быть, любое регулярное в области Q- и непрерывное в Q“
решение u(z) уравнения (5.1.3) представляет собой решение нагру-
женного интегро-функционального уравнения
X	х+у
u(z) = u(x + y)+X~ У u(t)dt — Х~ У u(t)dt, О^х + у^г. (5.1.5)
о	о
Пусть u(z) - решение уравнения (5.1.1) из класса СХ(П) П C(Q) и
т(х) = и(х), у(х) = иу(х). Тогда из (5.1.2) и (5.1.5) заключаем:
т"(х) — у(х) = А+т(т), х G 7Г;	(5.1.6)
у(х) = т'(х) — Х~т(х), х е 1Г-	(5.1.7)
Система (5.1.6) - (5.1.7) дает основание записать
т"(х) — т'(х) = Xjt(x), Xj = А+ — А“.	(5.1.8)
Теперь можно сформулировать первую краевую задачу для урав-
нения (5.1.1).
Задача 5.1.1. Найти регулярное в областях Q+ и Q- решение
u(z) уравнения из класса CX(Q) П C(Q), удовлетворяющее краевому
условию
и (iy) = ipv (у), и (г+ iy) = <рг (у), 0 у h, (5.1.9)
где <ро(у) и <рг(у) - заданные непрерывные на сегменте [0, h] функции.
5.1. Краевые задачи для модельного нагруженного уравнения...161
В первую очередь исследуем качественные свойства однородной
задачи:
и (гу) = 0, и (г + гу) = 0, 0 у Л, (5.1.10)
для уравнения (5.1.1) в области Q, соответствующей задаче 5.1.1.
При <^о(0) = ^г(О) = 0 функция т(х) дрлжпь определяться как
решение однородной задачи Дирихле: т(0) = 0, т(г) = 0 для уравне-
ния (5.1.8). Эта задача подстановкой т(х) = Т(х)ехр (х/2) сводится
к двухточечной краевой задаче:
Т (0) = 0, Г (г) = 0	(5.1.11)
для уравнения
Г" (х) - (А + 1/4) Т (х) = 0.	(5.1.12)
Известно, что если Xj 1/4 (А+ > А“ + 1/4), то задача (5.1.11)
для уравнения (5.1.12) имеет лишь тривиальное решение Т(х) = 0. Из
корректности по Адамару первой краевой задачи (5.1.9) для уравне-
ния
£ - Ту - А+т(1>' г е П+’	<5'113>
с начальным условием и(х,0) = т(х), 0 х г и равенства (5.1.5)
вытекает, что при Xj —1/4, т(х) = 0, <ро(у) = 0, <рг(у) = 0 задача
5.1.1 не имеет решений, отличных от тривиального.
Пусть теперь Xj + 1/4 = — (тгк/г)2, к = ±1, ±2, .... Тогда
функции
Tk(x) = sin (тгкх/r), к = ±1, ±2, ...,
являются решениями задачи (5.1.11) для уравнения (5.1.12). Соответ-
ствующие им функции Tk (х) определяются формулой
Tk(x) = sin (тгкх/т) exp (х/2), к = ±1, ±2, ...	(5.1.14)
и представляют собой решение однородной задачи Дирихле: т(0) = 0,
т(г) = 0 для уравнения (5.1.8) при Xj = —1/4 — (ттк/г)2. Каждой
функции (5.1.14) формула (5.1.5) ставит в соответствие функцию
х
Uk(z) = Тк(х + у) + Х~ / Tk(t)dt-
о
х+у
-А- / rk(t)dt, + у <г, к = ±1,±2,...	(5.1.15)
о
162 Глава 5. Краевые и внутреннекраевые задачи для нагруженных...
Решение u(z) уравнения (5.1.2), удовлетворяющее краевому усло-
вию (5.1.10) и начальному условию
и(х) = rk(x), 0 х г,
представлено в области в виде
u(z) = uk(z) = vk(z) + А+ J G(x,t)rk(t)dt, z G Q+,	(5.1.16)
о
где
+\ _ ( x — t — (r — t) x/r, 0 <t < x <r,
\x^ ) — । _ (r _ f j x/r,	0 < x <t < r;
^fc(^) - решение первой (специальной) краевой задачи:
Vk (iy) =0, vk (г + iy) = 0, 0 Л, (5.1.17)
vk (х) = rk(x) - А+ J G (x, t) rk (t) dt, 0 x r,
о
для уравнения теплопроводности
d2vk dvk =
dx2 dy
(5.1.18)
(5.1.19)
В силу (5.1.14) функции vk(z) G Сх[0,г], vk(0) = 0, vk(r) = 0.
Поэтому решение vk (z) задачи (5.1.17), (5.1.18) для уравнения (5.1.19)
однозначно определяется формулой
Vk = / G Vk
о
(5.1.20)
где
Z-X 2	/ 7Г2П2 \ . 1ГПХ . 7гп£
G(z;£) = z2^exp —)sin~sln~
П=1	'	'
- функция мгновенного точечного источника тепла [58, с. 202].
Итак, числа
Aj = Ajfe = -l/4-(7rfc/r)2, * = ±1, ±2, ....	(5.1.21)
являются собственными значениями задачи (5.1.10) для уравнения
(5.1.1) в области Q и соответствующие им собственные функции
Uk(z) определяются формулами (5.1.15), когда z G и (5.1.16),
(5.1.20), когда z G задача 5.1.1 не может иметь более одного
решения, если нарушено (5.1.21).
5.1. Краевые задачи для модельного нагруженного уравнения...
163
Пусть Xj Xjk и т(х) - решение задачи: т(0) = (ро (0),
т(г) = <рг(0) для уравнения (5.1.8). Тогда решение u(z) задачи 5.1.1
в области однозначно определяется как решение первой краевой
задачи:
u(iy) = <Л>(?/), u(r + iy) = <рг(у), ООО, и(х,0) = т(х), ООО,
для уравнения (5.1.13), а в области Q“ - формулой (5.1.5) с и(х) =
= т(х).
Рассмотрим теперь уравнение (5.1.6) в неограниченной области D
с параболической частью = {z : #>0, 0 < у < Л} и гиперболиче-
ской частью Q“ = {z : х + у > 0, у < 0}. Область D получается из Q
при г —> + оо.
Исследуем некоторые качественные свойства следующей задачи.
Задача 5.1.2. Найти ограниченное и регулярное в областях D +
и D~ решение u(z) уравнения (5.1.1), сопровождаемое граничным
условием
u (iy) = 4>с(у), Q^y^hy	(5.1.22)
если известно, что u(z) G С1 (D) A С (0 х < оо, —х у h),
<А) (у) е С [0, Л].
Уравнение (5.1.8) остается необходимым условием разрешимости
и в случае задачи 5.1.2. Функция т(х) должна быть ограниченным
решением уравнения (5.1.8) в интервале 0 < х < оо, удовлетворяющим
условию
т(0) = <ро(0).	(5.1.23)
Пусть 6 = 1+4Xj, 2^1 = 1 + x/J, 2^2 = 1 —x/J при J > 0, 2си = у/^6
при 6 < 0. Любое решение т (х) уравнения (5.1.8) с краевым условием
(5.1.23) задается формулой
т (х) = <
С1ве1Ж + [<ро (о) - С1] е£2Х
[<Ро (0) + с2х]ех/2
[<Л) (0) cos сит + с3 sin сит] еж/2
при 6 > 0,
при 6 = 0,
при 6 < 0,
(5.1.24)
где ci, С2 и с3 - произвольные действительные постоянные.
Из (5.1.24) заключаем, что решение т(х) уравнения (5.1.8), удовле-
творяющее, наряду с краевым условием (5.1.23), условию
lim т(х) < оо,
ж—►+00 v '
однозначно определяется формулой
{<Л)(0)ее2Ж при 5 > 1, (Aj > 0),
<£>о(О) при 3 = 1, (Xj = 0),
0 при 5 < 1, (Xj < 0).
(5.1.25)
(5.1.26)
164 Глава 5. Краевые и внутреннекраевые задачи для нагруженных...
Как видно из (5.1.26), задача (5.1.23), (5.1.25) для уравнения (5.1.8)
при (0) = 0 не имеет решений, отличных от тривиального г(х) = 0.
Решение задачи 5.1.2 при <^о(О) = 0 задается формулой
у
хН(у) Г
х2
3/2exD___________
(5.1.27)
о
Формула (5.1.27) дает решение u(z} первой краевой задачи: u(iy} =
= <Ро(|/)> ^о(О) = 0, и(х} =0, 0^2/^ Л, 0 х < оо для уравнения
теплопроводности
(5.1.28)
ди _ д2и
ду дх2
в области D+ (см. [59, с. 372]).
Решения (5.1.24) уравнения (5.1.8) с краевым условием (5.1.23) при
J > 0 обладают следующими свойствами:
lim т(я;)ехр(—£1#) = ci, lim т'(я:)ехр(—eix} = 61С1, если 6 > 0;
(5.1.29)
т(х) exp(-ei^) - <£>о(0)	гл/	1
lim --------------------— = С2, если о = 0 (ei = 62 = 1/2).
(5.1.30)
Равенства (5.1.29) и (5.1.30) говорят о том, что краевая задача
т(0) = <^о(О), lim т(х) ехр(—ei^j =	при J > 0	(5.1.31)
х
И
г(0) = «,(«), Вш	пр„ Д - 0 (е, - 1/2)
х—►4-оо	х
для уравнения (5.1.8) в интервале 0 < х < оо имеет, и притом
единственное, решение т(х).
Из (5.1.29) следует, что
и(х) = т(х) = О(ее1Ж), т'(х) = О(е£1Х} (х —► +оо).	(5.1.32)
В силу (5.1.32) условие ограниченности решения задачи 5.1.2 в
полуполосе О^у^Л, 0^ж<оо можно заменить условием
u(z) = О(ее1Ж), ux(z) = О(е£1Х} (х —> +оо, 0 у Л),	(5.1.33)
если известно, что 4б1Л < 1. Это условие вместе с краевым условием
(5.1.31) обеспечивает единственность решения задачи [140, с. 65]. Усло-
вие (5.1.33), в свою очередь, можно заменить условием А.Н. Тихонова
lim max Id ехр(—ex2} = 0,
х-4-оо [0Л]
5.2. Внутреннекраевые задачи для уравнений смешанного...
165
где 6 - некоторое положительное число, которое обеспечивает одно-
значную разрешимость первой краевой задачи для уравнения (5.1.28)
в области D+.
5.2. Внутреннекраевые задачи для уравнений
смешанного параболо-гиперболического типа
с характеристической и нехарактеристической
нагрузками и их связь с аналогом задачи Трикоми
В области Q, определенной в § 5.1, рассмотрим следующее уравне-
ние смешанного типа с характеристической нагрузкой и с параметром
А = А+ при у > 0 и А = А“ при у < О
д2и	^и , ч
дх* ~ дуи-н(-») _ М*’0)-
(5.2.1)
Уравнение (5.2.1) в области Q+ совпадает с уравнением (5.1.2), а
в области Q- - с нагруженным уравнением гиперболического типа
ихх — Uyy = А и(х) (А = const).	(5.2.2)
Здесь, как и в § 5.1, и(х, у) = u(z), z = х + iy, Xj = А+ — А“ = const.
Прямые у = const > 0, х ± у = const при у < 0 образуют семейство
действительных характеристик уравнения (5.2.1).
Любое регулярное в области Q- и непрерывное в Q“ решение u(z)
уравнения (5.2.2) представимо в виде
u(z) - X~D^u(t) = v(z),	(5.2.3)
где v(z) - непрерывное в Q“ решение уравнения
^хх ^уу = О, 2 G Q ,	(5.2.4)
а
X
DqxuW = / (х ~ t)u(t)dt, х е h = {х : 0 < х < г}.	(5.2.5)
о
Сопроводим уравнение (5.2.2) граничным условием на характери-
стике АС:
u[0o(z)] = ^~D~2/2u(t) + ^(х), 0 X г, (5.2.6)
где 0q(x) = я(1 — г)/2, ^(х) - заданная функция из класса С2(7Г).
В силу (5.2.3) условие (5.2.6) при ^(я) = 0 означает, что
и[0о(*)] =0, 0 х г.	(5.2.7)
166 Глава 5. Краевые и внутреннекраевые задачи для нагруженных...
Уравнение (5.2.4) с граничным условием (5.2.7) эквивалентно урав-
нению
vx-vy = 0	(5.2.8)
с граничным условием и(0) = 0 в точке z = 0.
Так как иу = то из (5.2.4) и (5.2.8) получаем
v(x) = т\х) - X~D^r(t),	(5.2.9)
где
у(х) = lim^Uy^), т(х) = lim^u^), 0 < х < г,
и предполагается, что функции у(х) и т'(х) G С(7Г).
Пусть u(z) в областях и Q- является решением уравнения
(5.2.1) и принадлежит классу C(Q) П СХ(П). Тогда функции и(х) =
= т(х) и иу(х) = у(х) связаны уравнениями (5.1.6) и (5.2.9), из
которых следует, что
т"(х) — т'(х) + X~DQ*r(f) — \+т(х) =0, 0 < х < г, (5.2.10)
т(0) = 0.	(5.2.11)
К условию (5.2.11) присоединим второе однородное краевое усло-
вие
т(г) = 0.	(5.2.12)
Найдем условия на параметры А+ и А-, обеспечивающие
тривиальность решения задачи (5.2.11), (5.2.12) для интегро-
дифференциального уравнения (5.2.10).
Пусть т(х) G С1 (7г) А С2 (7г) и удовлетворяет системе (5.2.10)-
(5.2.12). Тогда справедливы следующие равенства:
4; т(х)т'(х)-^т2(х) - X~r(x)D^T(t) = Х+т2(х),
ах
т	т
А+ У т2 (x)dx = А“ У т (х) Dq*t (х) dx
о	о
т> (х) -	(®) х(х)
J UbJb
О
т
2А+ / т2	dX ~ А~	2 = °’	(5-2.13)
О
5.2. Внутреннекраевые задачи для уравнений смешанного...
167
Из (5.2.13) следует, что если А+А“ < 0 и |А+| + |А“|	0, то задача
Дирихле (5.2.11), (5.2.12) для уравнения (5.2.10) не имеет решений,
отличных от тривиальности г (я) = 0.
Вернемся теперь к неоднородному краевому условию (5.2.6), озна-
чающему, что
v [0о (я)] = Ф (ж) > 0 х г.	(5.2.14)
Система (5.2.4) - (5.2.5) эквивалентна неоднородному уравнению
vx~vy = %Ф' (х - у)	(5.2.15)
с граничным условием v (0) = и (0) = 0 (0), которое запишем в виде
т(0) = 0(0).	(5.2.16)
В уравнении (5.2.15) заменим v(z) и u(z) по формуле (5.2.3), а
затем перейдем к пределу при у —> —0. В результате будем иметь
v (х) = т' (х) - XDq^t (t) - 2ф' (х).	(5.2.17)
Но, с другой стороны,
I/ (х) = т" (х) — А+т (х).	(5.2.18)
Из (5.2.17) и (5.2.18) получаем неоднородное интегро-дифферен-
циальное уравнение
т" (х) — т' (х) + Х~Dq^t (t) — А+т (х) = -20' (ж), 0 < х < г, (5.2.19)
соответствующее однородному уравнению (5.2.10).
К условию (5.2.16) присоединим неоднородное краевое условие
т(г) = ^г(0),	(5.2.20)
которое соответствует условию (5.2.12).
Уравнение (5.2.19) заменой зависящей переменной т (я) по форму-
ле
w(x) = Do>(t)	(5.2.21)
сводится к уравнению
w'" (х) — w" (х) — A+w' (х) + A“w (ж) = —20' (ж), 0 < х < г. (5.2.22)
В силу (5.2.17), (5.2.20) и (5.2.21) функция w(x) удовлетворяет
краевым условиям
w (0) = 0, w' (0) = 0 (0), w' (г) = ipr (0).	(5.2.23)
Корни Ci, Сг и £3 характеристического уравнения С3 — С2 — А+£ +
+ А“ =0, соответствующего дифференциальному уравнению (5.2.22),
можно найти по формуле Кардано. Если все корни Ci, Сг и различ-
ны, то общее решение уравнения (5.2.22) при 0' (х) = 0 есть
168 Глава 5. Краевые и внутреннекраевые задачи для нагруженных...
з
w(a:)=52cJexp(^a:)>
3=1
где постоянные Cj должны определяться по краевым условиям
(5.2.23).
Проведенный анализ свойств решений уравнения (5.2.1) на участке
1Г линии изменения его типа приводит к следующей нелокальной
внутреннекраевой задаче.
Задача 5.2.1. Найти регулярное в областях Q+ и Q- решение и (z)
уравнения (5.2.1) из класса С1 (Q)PlC (О), удовлетворяющее условиям
(5.1.9) и (5.2.6).
Нетрудно обратить внимание, что если задача (5.2.23) для урав-
нения (5.2.22) имеет, и притом единственное, решение w(rr), то этим
свойством обладает и задача 5.2.1. Ее решение u(z) в области П”
определяется как решение задачи Коши:
и (х, 0) = w' (х), иу (ж, 0) = wf (х) — A w — 2^' (я), 0 х г,
для уравнения
Uxx Uyy — UJ (•Г)’ ,
а в области Q+ - как решение u (z) первой краевой задачи:
u(®,0) = w'(x), u(0,y) = 9?о(у),
и (г> У) = 4>т (у), 0 < х < г, 0 < у Л,
для уравнения
Uxx - Uy = A+w' (х).
Особого внимания заслуживает случай, когда А, = 0. Итак, пусть
А = А+ = А“. Любое регулярное в областях Q+ и Q- решение и (z) Е
Е С1 (Q) П С (Q) уравнения (5.2.1) является решением нагруженного
уравнения
u(z) = v (z) + A [Dox2u (t) - ^r>or2u (t)] ,	(5.2.24)
где v (z) - решение уравнения смешанного типа
d2v д1+я( y^v
дх? ~ ду*+н(-у)
(5.2.25)
Из (5.2.24) следует, что если u(z) удовлетворяет условиям (5.1.9),
то v (z) подчиняется этим же условиям:
5.2. Внутреннекраевые задачи для уравнений смешанного...
169
v (iy) = vq (у), v (г + iy) = у>г (у), ООО- (5.2.26)
Локальное краевое условие (5.2.14) для уравнения (5.2.25) порож-
дает нелокальное внутреннекраевое условие
и [0о (я)] - A [l>o//2u (*) - ^D0r2u (*)] = (z), о < x < г, (5.2.27)
для уравнения (5.2.1).
Задача (5.2.14), (5.2.26) для уравнения (5.2.25) в области Q извест-
на как аналог задачи Трикоми [140, с. 231] (см. также [61, с. 5]).
Далее рассмотрим уравнение смешанного типа с нехарактеристи-
ческой нагрузкой
д2и	ч
(5.2.28)
z G П,
где xq - фиксированная точка из интервала ]0, г[.
Изучим качественные и количественные характеристики решений
уравнения (5.2.28), сопровожденного краевыми условиями аналога за-
дачи Трикоми. Вначале рассмотрим случай, когда А“ (у) = 0 и (х) =
= U [#о (я)] = 0, функция г (х) дрлжяа. быть решением нагруженного
дифференциального уравнения второго порядка
т" (х) - т'(х) = Xqt (xq) , До = д+ (0)	(5.2.29)
и удовлетворять условию Дирихле:
г (0) =0, т (г) = <рг (0).	(5.2.30)
Любое решение т (х) уравнения (5.2.29) представимо в виде
т (х) = G ехря + G — Xqxt (xq) ,	(5.2.31)
где постоянные С\ и G определяются по условию Дирихле (5.2.30):
G + G = 0, G expr + G - Xqtt (xq) = ipr (0).	(5.2.32)
Из (5.2.31) и (5.2.32) получаем: G = — G,
(1 + Ао^о) т (xq) + (1 - exp z0) G =0,
-rXqt (xq) + (expr - 1) G = <pr (0).
Система (5.2.33) с двумя неизвестными t(xq) и G однозначно
разрешима тогда и только тогда, когда ее определитель Dq =
= (1 + Ao#o) (expr — 1) + Xqt (1 — ехр^о) отличен от нуля, т.е., когда
Ао (1 — expr)/(zoexpr — а?о + г — гехр^о)- (5.2.34)
Если Ао^о = 1, то условие (5.2.34) означает, что Ао 0, G = 0,
G = 0, t(xq) = — <рг (0)/(гАо). Поэтому единственное решение т(х)
170 Глава 5. Краевые и внутреннекраевые задачи для нагруженных, л
задачи (5.2.30) для уравнения (5.2.29) задается простой формулой
т(х) = Хфг (0)/г.
Пусть Dq 0. Тогда из (5.2.33) имеем
-Сг = Ci = т (#о) (1 + Аояо)/(ехря:о - 1),
т (яо) = (ехряо - 1) Фг (0)/Ро-	(5.2.35)
После того как найдена функция т (х) по формулам (5.2.31) и
(5.2.35), задача в области Q+ свелась к первой краевой задаче:
и(х) = т(х), 0 X г, u(iy) = <poG/), w(r - iy) = <pr(y),
для уравнения
Uxx иу = А(р)и(жо + гу), 0 < Xq < г, у > О,
которая исследована в §3.2, а в области Q“ - к задаче Дарбу:
и [#о (я)] = *Ф (#), и(х) =т (ж), 0 х г для волнового уравнения
и>хх и>уу = 0.	(5.2.36)
Вернемся к общему случаю, когда А“ (у)	0. Любое решение
u(z) уравнения (5.2.28) из класса C2(Q”) A C(Q“) в области Q-
представимо формулой
u (z) = V (z) - D^X (77) u.(x0, rf),	(5.2.37)
v (z) - решение уравнения (5.2.36) из того же класса.
Из (5.2.37) заключаем, что функция и (яо, у) однозначно определя-
ется через v (xQ,y) как решение интегрального уравнения Вольтерра
второго рода
и(яо, у) + А^А (т?) U (х0,7]) = V (х0, у), (х0, у) € П".	(5.2.38)
Если Х(у) = А = const, то уравнение (5.2.38) обращается по
формуле Хилле и Тамаркина [137, с. 93]:
д Уг
и (х0, у) = — J V (х0,»?) Е2 [-А (у - 7?)2] dr],	(5.2.39)
о
Здесь Е2 (z)	=	E-l/2 (z; 1) - функция Миттаг—Леффлера,
JSi/2 (з2;1) = cosz. Подставим и(хв,у) из (5.2.39) в (5.2.37) и примем
во внимание, что
У
/д t	г	1
(у - rj) drj-^ J v (хо, О Е2 [—А (Т) - С)2] d£ =
О	о
5.2. Внутреннекраевые задачи для уравнений смешанного...
171
у ч
/ drj J v (х0, е) Е2 [—А (т? - О2] # =
О о
j V (х0,£) dtif Ег [—А (7] - £)2] dr, =
о	е
У
= -/ v(x0,£)(y - е)Е1/2 [—А (у - е)2; 2] d£.
О
Тогда будем иметь
у
u(z) = v(z) + ^fv (ЖО, Г}) (у - 7})Е1/2 [-А (у - rj)2; 2] dr}. (5.2.40)
о
Известно, что sinz = zE\/2 (—z2; 2), £q/2 [z\ 2] = shy/z/y/z.
Из равенства (5.2.40) следует, что локальное краевое условие
u [0О(*)] =	0 х г,	(5.2.41)
для уравнения (5.2.28) порождает нелокальное внутреннекраевое
условие
—х/2
v Ро(*)] + A J v (яо, У) (х/2 + ту) Е1/2 [-А (х/2 + ту)2 ; 2] dr} =
о
= (%), 0 х г,	(5.2.42)
для уравнения (5.2.30), которое запишем в виде
Vyy = ^хх) z € П",	(5.2.43)
а из (5.2.37) видно, что если функция v(z) удовлетворяет условию
(5.2.41), то функция u(z) удовлетворяет внутреннекраевому условию
с нелокальным смещением
и [0О(х)] + ADq 2x/2u(xo> Т]) = о х г. (5.2.44)
Таким образом, приходим к следующим краевой и внутреннекра-
евой задачам.
Задача 5.2.2. Найти регулярное в областях Q+, Q- решение
u(z) уравнения (5.2.28) из класса С (Q) П СХ(П), удовлетворяющее
условиям (5.1.9) и (5.2.41).
172 Глава 5. Краевые и внутреннекраевые задачи для нагруженных. Л
Задача 5.2.3. Найти регулярное в Q+ U решение u(z) уравнен
ния (5.2.28) из класса С (Q) ПС1(О'), которое удовлетворяет условиям
(5.1.9) и (5.2.44).
Из соотношения (5.2.40) вытекает, что
и(т,0) = v(t^0) = т(т), ww(a;,0) = vy(xr0) *= t/(x).	(5.2.45)
Соответствующие задаче 5.2.3 функции т (х) и v (х) связаны урав-
нением
т"(т) - v(x) = Xqt (а?о)	(5.2.46)
с граничным условием (5.2.30).
Уравнение (5.2.45) имеет место и в случае задачи 5.2.3 как необ-
ходимое условие ее разрешимости.
Условие (5.2.44) накладывает на функцию v(z) локальное краевое
условие
v [0о(#)] = V'Ce), 0 х г.	(5.2.47)
В силу (5.2.45) решение v(z) уравнения (5.2.43) в области Q-
можно записать в виде
V ы =	+ +	+ 1 j v(t}dt (5 2 48)
X—у
Из (5.2.48) и граничного условия (5.2.47) имеем
О	х
2^(х) = т(0) + т(х) + J v(t)dt = v’oCO) + т(х) - J v(t)dt.
х	О
Отсюда заключаем, что
2ф'(х) = т'(ж)— и(х), 0 < х < г.	(5.2.49)
Подставляя v(x) из (5.2.49) в (5.2.46), получим нагруженное неодно-
родное дифференциальное уравнение
т"(я;) — т'(х) — Ат(а?о) = 2-0' (а:) э 0 < х < г.	(5.2.50)
Условие (5.2.34) является необходимым и достаточным условием
однозначной разрешимости задачи (5.2.30) для уравнения (5.2.50).
Из (5.2.42) и (5.2.47) приходим к уравнению
т(0) + т({с)-
х	—х/*!	,
(X \2 П	*
2+4) ;21 ^=>2Ф(х),
J	J v(x0,fl) +»/) -Bi/2
0
0
5.2. Внутреннекраевые задачи для уравнений смешанного...
173
где
2v(a?o, У) = t(xq + у) +
V
хо-у
Отсюда, если принять во внимание, что
Н	д .22.	~2Дс-|-1
—гЯ1/2 [-Аг2; 2] = J2 Г (2 +2*;/“^ =
«=0 v '
(5.2.51)
получаем
(-А)*г2*
fer(1 + 2fc)
= Е1/2 [—Аг2;1],
—®/2
/ vixo^E^ -А
(5.2.52)
Подставим и(х) из (5.2.52) в (5.2.46) и (5.2.51). Следствием этой one-
рации будут уравнение
—х/2
т"{х) - т'(х) +	[ V (х0, Т}) Е2
о
(5.2.53)
с краевыми условиями .	
т(0) = ^(0) = у>о(0), т(г) = у>г(0)
(5.2.54)
и уравнение
2v(x0, У) ~ т(хо + у) - т(хо - у) =
®o+l/
< r'(t)
хо-у
ИЛИ
-г/2
У и(х0,т?)Е2
о
dr) — 2ip’ (t) > dt =
= т(х0 + у) - t(xq - у) - 2^ (х0 + у) - 2V> (хо - у) +
®о+1/	“£/2
/ v(xo,T))E^
XQ-y О
/£ \21
“A I I + ^1 , dr)
г>(х0) у) = т(х0 + у) - V’fco + у) - V» (®о - у) - ^/(и; у),
А
2
о
А
2
174 Глава 5. Краевые и внутреннекраевые задачи для нагруженных..
я
xo-y -C/2
где
о
2“
dr].
Преобразуем интеграл I(у; у) с помо-
щью перестановки порядка интегриро-
вания: (см. рис. 5.2.1):
А* = (sco + y.O);
хо + у
АВ^ =------2~'
АА* : £ = х0 + у,
,, Хо+У
ВВ . q — Xq у,
хр-у
2
в* = (xo-j/,0);
Хр + у
2
а?о + у.
2 5
I(v;y) =
®o+l/
АС:т] =
v(xo,i])E2 —X
0 XQ-y
2"
dr) =
' /ч \21
"A J+»?
хо+у
х0-у
2'
df.
-2»?
Прямые вычисления показывают, что функция
®о-1/
2’
®o+l/
5.2. Внутреннекраевые задачи дм уравнений смешанного...
175
~	(_д)* Х°[У(^	\2*
Sr(l + 2fc) J \2+Tl)
к~°	х0+у
(х0-у + 2ri)
( хр-у
V 2
/	.	, о \ (Х0 + У
- {Хр +у + 2Т]) I - -
= (хр~У + 2т])Е1/2
хр-у
2
— (яо + У + 27/)£?!/2
;2
а функция
*2 (У, 7?) =
= (хр-у + 2т})Е1/2
Стало быть, функция v(xp, у) должна быть решением интегрального
уравнения
v(xp, у) + -
о
У k!(y,T])v(xp,T])dT] +
—(l/+®o)/2
-(l/+®o)/2
k2(y,T])v(xp,T])dT]
(l/-®o)/2
= T (xQ + y) - 0 (tfo + У) - Ф (*o - у).	(5.2.55)
Таким образом, установлено, что задача 5.2.2 сводится к задаче
(5.2.54) для системы (5.2.53), (5.2.55) двух уравнений с двумя неиз-
вестными функциями т (х) и V (#0, У)-
Б. Бейманов [15] исследовал на однозначную разрешимость две
краевые задачи для уравнения (5.2.28) в области Q при г = 1,
А“ (у) = 0 с локальными краевыми условиями вида
и [0о(#)] = ^(®)> 0 х 1,
ux(iy) = ¥>i(y), u(l + iy) = <р2(у), O^y^h,
176 Глава 5. Краевые и внутреннекраевые задачи для нагруженных...
в случае первой задачи и с условием вида
и [0о(#)] = ^(х), 0 х 1,
их(гу) = <^1(2/), Wz(l + iy) = a(y)u(xQ + iy), O^y^h (5.2.56)
- в случае второй внутреннекраевой задачи, где <pi(y), Ц>2(у) и а(у) -
заданные функции из С [О, Л].
Соответствующие условиям (5.2.56) функции г(х) представляют
собой решение задачи
т(0) = 0(0), т'(0) = <pi(0), т'(1) = а(0)т(жо)
для уравнения
т"(х) — А(0)т (#o) = 20'(х), 0 < х < 1.
Среди работ, посвященных локальным краевым задачам и задачам
со смещением, отметим работы [65], [96], [6], [168], [167], [189]—[192],
[81].
5.3.	Краевая задача для нагруженного уравнения
смешанного эллиптико-гиперболического типа
с вырождением порядка в области его
гиперболичности
Рассмотрим весьма простую модель нагруженного уравнения сме-
шанного типа
дг+н^и	д1+н^и , ч	z
a?+W + signJ/- gyi+Hfa) = Au(*,o)	(5.з.1)
в области Q, ограниченной жордано-
вой кривой а, расположенной в полу-
плоскости у > 0 с концами в точках
А = (0,0), В = (г, 0) и отрезками
АС = {z = x + iy : 0^ж = —2/^ г/2},
ВС = {z : г/2 ^х = г + у ^г} (см.
рис. 5.3.1).
Уравнение (5.3.1) в области = Q A {z : Imz > 0} совпадает с
нагруженным эллиптического типа уравнением второго порядка
d2u(z) d2u(z)	х + / ч / х Л
+-^ = A+(s)UM, 0 < х < г,
(5.3.2)
5.3. Краевая задача для нагруженного уравнения...
177
а в области Q = Q A {z : Im z < 0} - с нагруженным уравнением
первого порядка
дн дн . /\/\	л	л л\
= А (у)и(х), 0<х<г.	(5.3.3)
Предполагается, что А = А+(у) ПРИ У > 0, А = А-(у) при у < 0,
А+(у) е С(П+), А-(У) е С(П-).
Регулярным в области Q решением u(z) = и(х, у) уравнения (5.3.1)
назовем любое его решение из класса C(Q) А СХ(П) A C2(Q+).
Задача 5.3.1. Найти регулярное в области Q решение u(z) урав-
нения (5.3.1), удовлетворяющее краевому условию
u(z) = <p(z) VzGa,	(5.3.4)
где <p(z) - заданная действительная и непрерывная на а функция
комплексной переменной z.
Пусть u(z) - решение задачи 5.3.1 и т(х) = u(x), v(x) = uy(x).
Поскольку u(z) G С1(П), из уравнения (5.3.3) следует, что
т'(х) — v(x) = Xqt(x), Ao = A“(0), 0 < х < г. (5.3.5)
Поэтому функция u(z) в области Q+ должна определяться как ре-
шение u(z) = u+(z) краевой задачи (5.3.4)-(5.3.5) для уравнения
(5.3.2). К такой же задаче, но с Ао = 0, сводится задача Трикоми
для уравнения Лаврентьева—Бицадзе
sign у • uxx + иуу = 0	(5.3.6)
с нулевыми данными на характеристическом сегменте АС.
Если А+(з/) = 0, Ао 0, то отличное от const решение u+(z)
задачи (5.3.4)-(5.3.5) для уравнения Лапласа (4.1.10) достигает своего
положительного максимума (отрицательного минимума) в замкнутой
области Q+ на кривой а. Из этого принципа экстремума следует, что
при <p(z) = 0 функция u+(z) = 0, а, стало быть, единственность
решения задачи 5.3.1.
Условие (5.3.5) можно переписать в виде
X
т(х) = J i/(£) ехр[Ао(я - £)]d£ + т(0) ехр(Аож), т(0) = <р(0). (5.3.7)
о
Существование решения задачи (5.3.4), (5.3.7) для уравнения Ла-
пласа в области Q+ доказываем методом интегральных уравнений
(относительно v(x)) так же, как и в случае задачи Трикоми для
уравнения (5.3.5), опираясь на соотношение
X
т'(х) = v(x) + Ао У р(£)ехр[Ао(х-£)]</£+ Ао¥>(0)ехр(Аох), (5.3.8)
о
178 Глава 5. Краевые и внутреннекраевые задачи для нагруженных...
которое следует из (5.3.7).
В области Q+ рассмотрим нагруженную систему уравнений эллип-
тического типа
х
ди dv Г „ ди dv Л	Л
/«т ^ + ^=0’	(5-3-9)
о
которую в комплексной форме можно записать в виде
х
Ап, \ “Ь /*
=	(5.3.10)
OZ 2 J
О
где w (z) = и + iv (2), dfdz - оператор Коши—Римана, А+ - действи-
тельное число.
Пусть w (z) - решение системы (5.3.9) из класса С2 (П+) П С (П+).
Тогда u(z) = Rew (2), v(z) = Imw(z) соответственно будут удо-
влетворять уравнению (5.3.2) и уравнению Лапласа Av = 0. Со-
проводим гармоническую функцию v = v(z) условием v(0) = 0.
Соотношение (5.3.5) и второе уравнение из системы (5.3.9) дают ос-
нование записать следующие равенства, справедливые, когда и (2),
v (2) G С1 (Q+ U {2 = х :0 < х < г}):
ди ди ди dv .	, ч л	л
я---= Ао^ (х), 0 < х < г, у = 0.
дх ду дх дх
Отсюда находим, что для всех z = х G [0, г]
х
Re (1 — г) w (z) = и (х) + v (х) = Ao J u(£)d£ + u (0), и (0) = <р (0)
о
или
х .
Re (1 - г) w(x) = Ao J Rew (f) df + (0), 0 х г. (5.3.11)
о
К нелокальному условию (5.3.11) присоединим локальное условие
(5.3.4) в форме
Re w (2) = <p(z) V z е а.	(5.3.12)
Видим, что задача 5.3.1 порождает нелокальную краевую задачу
(5.3.11) - (5.3.12) для уравнения (5.3.10) в области Q+. При А+ =
= 0 уравнение (5.3.10) переходит в систему Коши—Римана, а условие
(5.3.12) - в условие
Re (1 — г) w (я) = (0), 0 х г.
5.3. Краевая задача для нагруженного уравнения...
179
Положим (0) = 0 и, следуя А.В. Бицадзе [22, с. 319], через Ф (z)
обозначим функцию
w (z)
—iw (z)
при
при
Im z > 0,
Im z 0.
(5.3.13)
(5.3.14)
Функция Ф(г) голоморфна в области D = Q+UQ+ {z=x : 0 < х < г}
и в силу (5.3.12) удовлетворяет краевому условию Римана—Гильберта:
Re Ф (z) = <р (z) V z G а,
Im Ф (z) = — (z) V z G а*,
где Q+ (а*) - область (кривая), симметричная области Q+ (кривой а),
относительно действительной оси Im z = 0.
Решение смешанной задачи Римана—Гильберта (5.3.14) для голо-
морфной в области D функции (5.3.13) выписывается по формуле
Келдыша—Седова [95, с. 285].
Вернемся к общему случаю. В первую очередь найдем необходи-
мое краевое условие, которому удовлетоворяет любое решение ti(z)
краевой задачи (5.3.4)-(5.3.5) для уравнения (5.3.2) в области Q+.
Предположим, что кривая а такова, что существует функция Грина
G+(z;£) краевой задачи: ti|a = <p(z), и\у = t/(z), 0 < х < г, для
уравнения Лапласа в области Для этого достаточно, например,
чтобы а была гладкой дугой Жордана, удовлетворяющей условию
Ляпунова [22, с. 504].
Пусть г = 1, G(x,<) = G+(x,0;^T?) = - log |х - <| + g(x,C), < =
= £ + irj. Функция g(x;£) относительно переменных т) является
регулярным в области Q+ решением уравнения Лапласа Д^х; £) = 0,
удовлетворяющим краевым условиям
G(x\£) = 0 V£ G а, дд/дт) = 0 при 77 = 0, 0 < £ < 1, 0 < я: < 1.
Для любой точки G справедливо равенство
от] L	иТ]
(5.3.15)
Через Q+ обозначим множество точек Q G Q+\{|£ — я:| е, 77 > 0},
где 6 - достаточно малое положительное число. Предположим, что
производные г^(£), от искомого решения и(£) непрерывны в
Q+ всюду, кроме, быть может, точек ( = 0 и ( = 1, где они мо-
гут обращаться в бесконечность интегрируемого порядка. Из (5.3.15)
после интегрирования по области Q+ с границей 5Q+ и применения
180 Глава 5. Краевые и внутреннекраевые задачи для нагруженных...
формулы Грина приходим к равенству
/ (G^~u^}ds=
J \ on on / J
dot	Qt
где длина дуги s отсчитывается в положительном направлении от
точки В к точке А, а п - внутренняя нормаль к границе d£l+. Из
этого равенства в пределе при е —► 0, как и в случае задачи Трикоми
для уравнения Лаврентьева—Бицадзе (5.3.6), получаем соотношение
1
т(аг) + -	= [ G(x;$)A+(j))T({)d£dj) + <pt(x) (5.3.16)
тг j	j
о	п+
с функцией	± f <P^ds, 0 х 1. Таким образом, для отыс-
кания г(х) и v(x) получили систему двух интегральных уравнений
(5.3.7), (5.3.16).
Функции т'(х) и v(x) будем искать в классе функций, удовлетво-
ряющих условию Гельдера при 0 < х < 1. В этом классе соотношение
(5.3.16) можно записать в виде
1
т'(я:)+1 [ Gx(x;£)v(£)d£= [ Gx(x;OX+(r})r^)d^dT) + <p',(x), (5.3.17)
7Г J	J
О	П+
где интеграл в левой части этого равенства понимается в смысле
главного значения по Коши.
Подставляя значение т'(х) из (5.3.17) в (5.3.8), для отыскания
функции и(х) получим следующее интегральное уравнение:
X	1
i/(o;) + Ao [ 1/(0 ехр[Ао(г-£)]<£ +~ [
J	It J
0	а
£
- / Gx(x; <)А+(?/) / v(t) ехр[А0(£ - t)]dtd£dr} = F(x) (5.3.18)
Q+	0
с правой частью
F(x) = <р*(х) - Ао<р(0) ехр(Аоя) + <р(0) j Gx(x; С) А4" (??) exp(Aof)d£d?7.
n+
Разрешимость сингулярного интегрального уравнения (5.3.18) ис-
следуется так же, как и в случае задачи Трикоми.
5.4. Краевые задачи для уравнения теплопроводности...
181
Когда кривая а совпадает с нормальным контуром его = {z : \z —
- 1/2| = 1/2,2/ 0}, можно записать:
/ лч 1	1 “ 2^
Gx(xi Ё) =-----1---------.
£-х Z + X-2&
Если при этом предположить, что граничная функция <р(£) = 7/2<pi(C),
где £ - точка контура его, <^i(C) 6 С(сго), то
F(x) = ^(х), <р.(х) =	j	<pi(t)dt.
7Г J х* — \zx — l)t
о
Функция F(x) аналитически зависит от х е]0,1[, стремится к конеч-
ному пределу при х —> 0 или 1 [22, с. 310].
5.4.	Краевые задачи для уравнения
теплопроводности смешанного типа
Рассмотрим модельное нагруженное и смешанного типа уравнение
теплопроводности
DaH(X)+2H(-X)u{x + ir]) = ^), у > 0)	(5 4д)
где z = х+гу, х G R, у - безразмерная временная переменная; 0 < а =
= const 1; D2y = д2 /ду2-, u(z) = и(х,у) - зависимая (динамическая)
переменная.
Уравнение (5.4.1) при х > 0 совпадает с уравнением фрактальной
диффузии
д2и
D^u(x + iri) = -^,	(5.4.2)
а при х < 0 - с одномерным волновым уравнением
д2и д2и	z	z
Пусть Я+ = {(х, у) : 0 < х < г, 0 < у <
< Т};	= {(ж, у) : -х <у <х + Т,
-Т/2 < х < 0}; А0С0 = {(ж, у) : х +
+ у = 0, -Т/2 sj х < 0}; Аг = (т,0);
Ао = (0,0); ВоСо = {(х,у) : у - х =
= Т, -Т/2 sj х 0}; Во = (0, Г); Вг =
= (г,ТУ, АоВо = {(0,у) : 0 < у < Г};
П = П+ U Q- и Аово; Si = {(я, 0) : -
-Т/2 «S х < 0}; S2 = {(ж,0) : 0 < х <
г} (см. рис. 5.4.1).
182 Глава 5. Краевые и внутреннекраевые задачи для нагруженных...
Моделирование процесса распространения тепла в составной среде
5i U 5г с конечной (на 51) и бесконечной (на 5г) скоростями иниции-
рует следующие задачи.
Задача 5.4.1. В области Q найти функцию
_ ( u+(z), z G
u — | u”(z), z G Я"
со свойствами: 1) и удовлетворяет уравнению (5.4.1) в областях
Q- и краевым условиям
(i — 1 \
—у-У ) = ^(у), 0 < у S? Т,	(5.4.4)
lim 2/1-au+(z) = <р(т), 0 х г,	(5.4.5)
у—>о
n+(r + iy) = ч>г(у), О^у	(5.4.6)
2) и и~ на границе раздела AqBq областей и Q- подчиня-
ются условиям
^y(iy) = u~(iy), u~(iy) = fiu+(iy), 0<y<T.	(5.4.7)
Задача 5.4.2. Эта задача отличается, от задачи 5.4.1 тем, что
условие (5.4.6) заменено условием с нелокальным (распределенным)
смещением
(г + iy) — u+ (iy) = A J u+(z)dx, 0 <y <T.
о
(5.4.8)
Предполагается, что *ф(у) e С2[0,Г], <p(x) € С2[0,г], <pr(y) €
А и д € R.
Если u = и+ удовлетворяет в уравнению (5.4.2) и условиям
(5.4.5), (5.4.8), то функция
6г(у) — У u(z)dx
о
будет решением видоизмененной задачи Коши
lim	= ^, y = I <p(x)dx
у—^е	j
о
для уравнения
= АМУ), 0 < у < Т.
(5.4.9)
(5.4.10)
(5.4.11)
5.4. Краевые задачи для уравнения теплопроводности...
183
Единственное решение 6г(у) задачи (5.4.10) для уравнения (5.4.11)
определяется формулой
<*г(з/) = ¥>Г(а)у“-1 ехра(Ау“),	(5.4.12)
где expa(z) - обобщенная экспоненциальная функция по терминоло-
гии В.А. Нахушевой [146].
В силу (5.4.9), (5.4.12) условие (5.4.8) можно заменить условием с
локальным смещением:
(г + iy) - u+ (iy) = ^Г(а)у“-1 А ехра(Ау“).	(5.4.13)
Из условия (5.4.4) следует, что
(iy) - U~(iy) = 2ф'(у), 0<у<Т.	(5.4.14)
Равенство (5.4.14) в силу (5.4.7) приводит к краевому условию
«« (iy) ~	= W(y), 0<у<Т,	(5.4.15)
для уравнения (5.4.2) в области
Решение u(z) задачи 5.4.1 в области должно совпадать с реше-
нием и = u+(z) задачи (5.4.5), (5.4.6), (5.4.15) для уравнения (5.4.2) в
этой же области. Положим, что т(у) = и+(гу\ и(у) = и+(гу\ т(у) €
G СЧО^ПС^Т], v(y) G С]0,Т[П£[0,Т], т(0) = и"(0,0) = ^(0).
Решением уравнения (5.4.2) в области будем называть любую
функцию u(z), представимую в виде
у	г
u(z) = -1 G3(z-MV(y) + dG*^%T(rj) dT)+1
О	о
(5.4.16)
где Gz(z;C) = Сз(х,у;£,т}) - функция Грина смешанной краевой
задачи
lim Dq~1u(x + irf) = ri(x) G C[0,r],	(5.4.17)
ux(iy) = v(y), u(r + iy) = <pr(y), 0 < у T,	(5.4.18)
для уравнения (5.4.2) в области Q+ (см. [164, с. 125, задача 4.3.4]),
которая задается формулой
G3(z-,C)= £ (-1)п[Гп(®-€,У-»1)+Г„(х + е,у-^].
п=—оо
Функция rn(s,t) определяется посредством функции Райта
7,5	= § пГГ(п£ + т]) =
184 Глава 5. Краевые и внутреннекраевые задачи для нагруженных...
следующим образом:
Г„(М) = |^-1e}J(-|s + 2nr|t-^),
е^(г) = ВД + £ п!Г(/3-/Зп) ’ 0 = 2 •
Уравнение (5.4.16) при х —► 0, с учетом равенства п (х) = (р(ж)Г(а),
принимает вид
у
Лу) + D^v{ri) = j(у-	T]Mr))dr) + ФГ(<А-,<р,у), 0 у Т,
О
(5.4.19)
где
*=г(ул) = 2 52(-1)п+1е|;^ (|у_ ^з) »
$r(w,y) = ~/ Э<7з(°^;Г,7?)уг(^ + Г(а) У <p(t)G3(0,y-,t,0)d£.
О	о
К уравнению (5.4.19) присоединим уравнение
г(у) - y,Do*v(iT) = 2ф(у) - ф(О), 0 у «S Т,	(5.4.20)
которое является следствием (5.4.15) и условия т(0) = ^(О)-
Из системы (5.4.19)-(5.4.20) исключим т(у). Тогда относительно
v(y) получим интегральное уравнение Вольтерра первого рода
D^yUtri) + y.D^v(y) - У(у-	=
О
= Фг (у>г, <р; у) - 2ф(у) + ^(0).	(5.4.21)
Любое решение и(у) уравнения (5.4.21) является решением интеграль-
ного уравнения
у{у) + nD^viri) = r^D^D^krty, + fr(<pr, <р, у), (5.4.22)
где
fr(<Pr,<p,^;y) = П^[Фг(<рг, <р;у) - 2^(т?) + V’(O)]-
В соответствии с определением оператора Римана—Лиувилля
Г(0)Г(1 - ^D^D^krMv^) =
5.4. Краевые задачи для уравнения теплопроводности,^.
185
v
»?
(5.4.23)
~dvJ (v-пУи
О	о
Правая часть равенства (5.4.23) после перестановки порядка интегри-
рования и замены переменной интеграции по формуле ту = £+(?/—£) ?У1
принимает следующий вид:
Л у	1
кг(У^) = j3fcr(C+[l/-C]%,€)d%-
О
о
Согласно (5.4.19) ядро
оо
^в=!У
0Л,0 ( ~2ПГ ] dni
п—1	0
Поэтому легко видеть, что
у
( кгу(у,^)^.
о	о
Так как при z = — 2nr?yf &(у — £)-/3 выражение
±е^(2\ - ±e^(z&. - 1C^(Z\ 2пг^ _______^-eo>0(z\
ду ~ dz ’ду ~ z1'^ ’(у-	“ y-f^'
ТО
оо
W = - Д
(5.4.24)
(5.4.25)
П=1	0
Равенство (5.4.23) в силу (5.4.24) допускает эквивалентную запись:
у
= f WM
О
Из (5.4.25) и свойств функции типа Райта [164, с. 24] следует, что
интегральное уравнение (5.4.22), которое можно записать в форме
у	у
^)+г(1-/з) J = г(1-/?) /
О	о
(5.4.26)
186 Глава 5. Краевые и внутреннекраевые задачи для нагруженных..»
является вольтерровским в пространстве функций С] О, Т] с конечной
нормой max |1^(у)[.
Если на обе части равенства (5.4.26) подействовать оператором,
обратным оператору Е + где Е - единичный оператор* то оно,
согласно формуле Хилле-Тамаркина, примет вид:
*7
J (»?, С) v (£) d£ + fr (<рг, <р, fa 7?) dT)
' о
или
I
У	У
a г	fi f
v(v) = fyJKr(y’^v®d£+d^J El [-M (у ~ уГ ; l]/r far, <p, & n) d'Oi
о	0
где 7 = 1 — /3, Ep [z, £] - функция Миттаг-Леффлера [137, с. 93],
КГ (у’е) = гТт) / Е1/7 [-м (у " ; 11Ъ е) dTi-
7 е
Известно [164, с. 24], что
lim е£я(*) = °, тг(а + /?)/2 + е < |argz| тг.
И—оо
Пользуясь этим свойством функции типа Райта можно пока-
зать, что в классе функций, ограниченных в области D+ = {z : 0 <
< х < оо, 0 < у < Г}, уравнение (5.4.19) при г —► +оо переходит в
уравнение
/?-1 °°
т{у) +	= У Г(а) [	(5.4.27)
о
Из (5.4.20) и (5.4.27) при <р(х) = 0 получаем интегральное уравне-
ние Вольтерра второго рода
v(v) +	= -2D^^).
(5.4.28)
5.4. Краевые задачи для уравнения теплопроводности*..187
Единственное в пространстве £[0, г] П С ]0, г] решение у (у) уравне-
ния (5.4.28) определяется формулой
р(у) = -2^- f Е1/у [-Д (у - г})7; 1]	(С)	(5.4.29)
о
Поскольку ^(0) = 0, то Dq^^) =	(f). С учетом этого из
(5.4.15)	получаем
у	*1
- - гта £ /	- ’)7 ’11 J
о	о v' 47
или (после перестановки порядка интегрирования)
v у
„(у) = "f^) J J (7?"	["м (2/ ~ ; 11 d7]‘
о е
Нетрудно проверить, что
У (»? -	[-д (у - Т))7; 1] drj =
С
оо /	Г
Дс=О >	’	<
оо ( \к	/•
Л=0	О
{у * wsr(1+7+7fc)
= (у - £)7 Г(7)Е1/7 [-д (у - £)7; 7 + 1].
Следовательно, формула (5.4.29) эквивалентна равенству
a }
v(y) = -2 а- / (у - £)7Elh [-Д (у - $)7; 7 +1] V»' (С)
°У J
о
но
i-{y- е)7^1/7 [-м (у - е)7;7 + 1] = (у - i)~0Elh [-д (л - £)7; 7]
188 Глава 5. Краевые и внутреннекраевые задачи для нагруженных,,.
и по определению Ei/yfz;^] = exp7(z). Стало быть, решению is(y)
уравнения (5.4.28) можно придать вид
у
v(y) = “2 У (У~ ехр7(-д|у - С|)7)^' (С)
О
Если к обеим частям равенства (5.4.27) применить операцию	а
затем воспользоваться известным свойством функции Райта (см. [164,
с. 25])
= J	> О,
то в результате получим важную формулу
оо
v(y) = -D^r^ + I	а = 20.	(5.4.30)
О
Формула (5.4.30) остается в силе, если условие ограниченности
с весом 2/1-а решения u+(z) в области Q+ = {z : 0 < х < оо,
0 < у < Т} заменить аналогом условия А.Н. Тихонова по термино-
логии А.В. Псху:
lim у1 au+(z)exp (—=0, 0<ст=const < 2«-2(2-а)(а/Т)^.
х—►-+-ОО	\	/
Ее можно получить и из следующего представления всех решений
уравнения (5.4.2) в области Q+, удовлетворяющих условию (5.4.5) при
г = +оо:
у
u(z) = [	0; -х\у - т}\~(3)(1т}+
J у-у
о
+W"1
2 у
У ¥>(С) [Ф(-0,0;-\х
О
-С|у 0) -Ф(-0,0-,~\х + £\у
(5.4.31)
В частности, при = 0 из (5.4.31), в соответствии с равенством
^ф(-0,О-,-х\у-г)\ 0)\х=о =-(y-ri) 0ф(-0,-0;О) =
имеем
/ ч 1.	9 [ тМ 7 Л Л я \ .	—17
~ дх J у _	(	’ ’ |у _ Т]\&) 4 - Г(—/?) J (у- Т])0+1 ’
о	о
5.5. Задача граничного управления для уравнения с вырождением... 189
где интеграл понимается в смысле конечной части по Адамару [137,
с. 9].
Представленная формулой (5.4.31) функция u(z) = u+(z) является
решением уравнения (5.4.2) в полуполосе Q+, удовлетворяющим ана-
логу условия А.Н. Тихонова и краевым условиям
u+(t2/) = т(у), 0	< Т, lim 2/1-au+(z) =	0 < х < оо.
2/->+0
Из (5.4.31) при <р(х) = 0 получаем существенно нагруженное ин-
тегральное уравнение
у
u(z) = [ Ц^)ф(—/?, 0; —ат|з/ — 7j|~^)d7j,	(5.4.32)
J у-у
о
любое решение u(z) которого удовлетворяет условию
lim 2/1-au(z) =0, 0 х < оо.
у—►+()
Аналогично исследуется и вторая нелокальная задача 5.4.2 с ис-
пользованием функции Грина второй краевой задачи для уравнения
(5.4.2) в области Q+ [164, с. 124].
Для уравнения (5.4.32) справедлив следующий локальный прин-
цип экстремума. Пусть u(z) - решение уравнения (5.4.32), след и(гу)
которого достигает положительного максимума (отрицательного ми-
нимума) в точке iy* е AqBq, тогда ux(iy*) < 0 (их(гу*) > 0). Это
свойство - прямое следствие равенства
= -D^u(iri), 0 < у < Т,
вытекающего из (5.4.30) при <р(ж) = 0, и принципа экстремума для
оператора Dqv [137, с. 104]. Оно в определенном смысле является
локальным аналогом принципа Зарембы-Жиро (см. §3.7).
Результаты этого параграфа в основном принадлежат В.А. Наху-
шевой [148].
5.5. Задача граничного управления для уравнения
с вырождением порядка по временной переменной
Уравнение (5.4.1) относится к классу нагруженных уравнений в
частных производных вида
раН(х)+7Н(-х)ф +	Ц(*) ,	1 < 7 = const 2,	(5.5.1)
СУХ
и получается из него при 7 = 2.
Задача 5.4.1 играет основополагающую роль при исследовании сле-
дующей задачи граничного управления для уравнения (5.4.1), которое
190 Глава 5. Краевые и внутреннекраевые задачи для нагруженных...
меняет свой тип и порядок по временной переменной у при переходе
точки z из области с х > 0 в область с х < 0:
u(l + iy) = <pi(y), u(r + iy) = 0 при 0 у < Г,	(5.5.2)
и(х) = 0 при I х < г, иу(х) = 0 при — Т х < 0.	(5.5.3)
Здесь управляющие воздействия <pi = <pi(y) принадлежат простран-
ству С[0,Т] и для всех времен от начального у = 0 до финально-
го у = Т сосредоточены в точке z = I = const —Т, а целью
управления является перевод системы, задаваемой уравнением (5.4.1)
с граничными и начальными условиями (5.5.2), (5.5.3) из нулевого
первоначального состояния в наперед заданное финальное состояние:
и(х + iT) = Ф(х) е С[1,0], Ф(1) = <pi(T).	(5.5.4)
Исследуем качественные характеристики этой задачи в особом
случае, когда I = —Т.
Рис. 5.5.1
Пусть = {z : 0 < х < г; 0 < у <
< Т}, Q“ = {z : I < х < 0; 0 <
< у < Г}, П = П+ U П" U {iy : 0 <
< у < Г}, u(z) = u+(z) при z е 12+,
u(z) = u~(z) при z 6 Q“. Через По,
П1, Пг и Пз обозначим треугольники
AiAqCq, AqBqCq, BqBiCq и AiCqBi со-
ответственно (рис. 5.1.1).
Диагонали AqBi : х + у = 0, AiBq : у — х = Т квадрата AqBqBiAi
являются характеристиками уравнения (5.4.3) и делят область П“ на
четыре подобласти Qq , Qf, Qj >	•
Задача 5.5.1. В области П найти решение u = u(z) уравнения
(5.4.1) из класса С(П), удовлетворяющее условиям (5.5.2)-(5.5.4) и
условию сопряжения (5.4.7).
Под решением задачи 5.5.1 будем понимать любую непрерывную
в замкнутой области П функцию u(z), представимую в области П~ в
виде суммы fi(x + у) + Д(^ — у) двух непрерывных на компакте П~
функций /1 и /г, причем
2u (z) = <
х+2/
u~(ar + y) + u~(;r-y)+ /	Vs € Г20,
X—у
2/+®
и~(х + ?/) + u~(y — х) + f u~(iT})dr} VzeQi,
у—х
(5.5.5)
5.5. Задача граничного управления для уравнения с вырождением... 191
а в области Q+ - в виде
у
u+(z) = — JGs(z;O,Ti)u^(iTi)(iT] Vz е Q+.	(5.5.6)
о
Нагруженное уравнение (5.5.6) является следствием (5.4 J6) и условий
и(х) = 0 при 0 х г; u(r + iy) = 0 при 0 у Т из (5.5.2) и (5.5.3).
Как видно из (5.5.5), функция u~(z) = 0 для всех z 6 По как
решение однородной задачи Коши: и~ (ж) = 0, и~у(х) = О, I х О,
для волнового уравнения (5.4.3). Стало быть,
/ 9 _ 1	\
и- ( —-у = 0, 0 < у < Т.	(5.5.7)
Удовлетворим решение u~(z) равенству (5.5.7). Тогда будем иметь
у
u~(iy) — / и“(г7/)сЬ/ = 0, 0 у Т.	(5.5.8)
о
Из (5.5.8) в силу условия сопряжения (5.4.7)
u~(»y) = u+(ij/)> u~(iy) = ци+(гу), 0<y <T,	(5.5.9)
получаем
у
т(у) - Д У = о, о у Г,	(5.5.10)
о
где, как и ранее, т(у) = u+(iy), v(y) = u+(iy).
Формула (5.5.6) при х —> 0 дает второе фундаментальное соотно-
шение между т(у) и и(у), принесенное на границу раздела AqBq из
области Q+. Как следует из (5.4.19), оно имеет вид:
у
r(y) + Otfv(rj) = J	= 0, 0 у Т. (5.5.11)
О
Система (5.5.10), (5.5.11) показывает, что и(у) является решением
интегрального уравнения Вольтерра первого рода
у
D^v(ri) + мРо’Х»?) = /	= 0, 0 < у < Т. (5.5.12)
О
При г —> оо уравнение (5.5.12) переходит в уравнение
D<*VW + мЛйХ7?) = °> о < у < г,
192 Глава 5. Краевые и внутреннекраевые задачи для нагруженных,,.,
и, как отмечено в § 5.4, оно в пространстве L[0, г] П С]0, г] не может
иметь решений, отличных от тривиального и(у) = 0.
Таким образом, доказано, что решение u(z) задачи 5.5.1 равно
нулю в Q+ U fii. Стало быть, u“(z) = 0 для всех z G По С П1* Видим,
что задача поиска функции u~(z) в точках z G Qi UQ2 свелась к
задаче Дирихле: u“(Z + iy) = <pi(y), и~(у — Т + iy) = 0 при 0 < у Т,
и(х + iT) = Ф(я) при I х < 0 для волнового уравнения □и'(г) = 0
в треугольной области П4 = {z : I < х < 0, х + Т < у < Т} = П2 С П3 U
U BiCq, Предполагается, что <р/(0) = Ф(0) = 0.
Эта задача, согласно финальному состоянию (5.5.4) и теореме о
среднем значении для волнового уравнения, имеет, и притом един-
ственное, решение
u~(z) = Ф(я — у — Z), z е П4,	(5.5.13)
тогда и только тогда, когда
Ф(ж) = iptt-x) Vж е [Z, 0].	(5.5.14)
Следовательно, при соблюдении условия (5.5.14) единственное реше-
ние u(z) задачи 5.5.1 задается в области П4 формулой (5.5.13), и
оно равно нулю всюду в П\П4. Решение u(z) задачи 5.5.1 граничного
управления не реагирует на управляющее воздействие ipi (у) в точках
х > I в момент времени у 6 [0, Т], удовлетворяющих соотношению
у — Т С х < г.
Область влияния управляющего воздействия можно расширить за
счет снятия одного из начальных ограничений, например, заменив
условия (5.5.3) условием
и(х) = 0 при I х г, I = —Т.	(5.5.15)
Действительно, рассмотрим задачу граничного управления для
уравнения (5.5.1) при 7 = 2, сопровожденную начально-краевыми
условиями (5.5.2), (5.5.4), (5.5.15) и
т{у) = Ф(2/ - Т) - (Г - у), 0 у Т, (5.5.16)
Последнее означает, что решение u(z) = u+(z) в области П+ опреде-
ляется как решение первой краевой задачи
u+(iy) = т(у), и* (г + iy) = 0, 0 у Г,	(5.5.17)
и+(х) =0, 0 х г,	(5.5.18)
для уравнения (5.4.1) с граничной функцией (5.5.16). Единственное
решение этой задачи представимо в виде
у
u+(z) = У r^G^z^rj)^, z€tl+,	(5.5.19)
о
5.5. Задача граничного управления для уравнения с вырождением... 193
где
G{z-, О = Е 1ГЛ* - Ь У - »?) - ГЛ* + У - ’J)]	(5-5-20)
п=—оо
- функция Грина задачи (5.5.17)-(5.5.18).
Принимая во внимание, что
г„(ж Т £,1> - >й = i(K - ч)е~1	,
h'iiM = е[ J-’M,
и при 0<£<Х<Г<ОО
1,0 ( |®т£ + 2пг|\ (±1прип = 0,1,...,
2(У 1?)^Гп(о;т^!/ »7)-е1>3^ ly-^З ) (т1прип = -1,-2,...
из (5.5.20) находим
се(^) = ^п£(“1)Я<’")е‘;* (“ТГ^) ’Н(0)=0' (5'5'21’
Пусть функция т(у) имеет производную Оцут(т}) е L[0,Г]. Тогда
согласно (5.5.19) и (5.5.21) получаем
i/(y) =	-2 J 1^9-ц w(0, -Д 0,r;y- 7})d7),	(5.5.22)
о
где
w(x,p,g,r;y) = ЕС-1)*”6!^ (-2nry-9) , х 6 {0,1}, у > 0.
П=1
Формула (5.5.22) является формулой обращения следующего урав-
нения, в которое переходит уравнение (5.4.19) при Фг(<рг,<р;у) = 0:
т(у) = -D^v(fi) + У	w(l’0’Г'У~ vWl- (5.5.23)
о
Как известно,
194 Глава 5. Краевые и внутреннекраевые задачи для нагруженных...
и, стало быть,
Поэтому соотношение (5.5.23) при а = 1 (/3 = 1/2) принимает следу-
ющий вид:
т(у) = -D^/2v(y) +	J2(-l)n / exp	dr),
v* “f	J Vy-y \ У-у/
71—1	Q
После того как найдены т(у) и v(y) по формулам (5.5.16) и (5.5.22),
решение u(z) = u~(z) задачи в области Q- определяется как решение
смешанной задачи: u~(iy) = т(у), u~(iy) = рл/(у) при 0 у 1\
и~(х) = 0, и~(х + iT) = 0 при I х 0 для одномерного волнового
уравнения.
Вернемся к общему случаю, когда 1 < 7 < 2. Под решением
нагруженного уравнения (5.5.1) в области Q- будем понимать любое
решение и = u~(z) нагруженного уравнения
у
u(z) = j [G2(z; iy)ux(iy) + G2((z; I + ^)^/(^)]d^,	(5.5.24)
0
удовлетворяющее начально-граничным условиям
u(l + iy) = <pi(y) при 0 < у Г;
lim D^y ги(х + irj) = 0, lim D^y 2
Здесь
О2(г;С)= Е (-l)"[rn(x-e,y-^)-rn(x + e-2Z,y-J7)],
п=—оо
Г„(м) = li'-Чё (. = = ?
- функция Грина смешанной задачи:
u(l + гу) = <pi(y), ux(iy) = v(y), 0 у < Т;
lim DZ. 1u(z) = 0, lim DrL. 2u(z) = 0, I x < 0,
y—>0	”	y—>0	v
pjis. уравнения
DlyU(x + irj) = uxx, 1 < 7 < 2,
в области Я- [164, с. 125].
(5.5.25)
5.5. Задача граничного управления для уравнения с вырождением... 195
В случае (5.5.25) фундаментальное соотношение между
т(у) = u~(iy) = и+(гу) и u~(iy) = fiiu+(iy) = ius(y), принесенное
на AqBq из области Q-, получается из (5.5.24) при х —► — 0 и оно
имеет вид
у
т(у) = vD^vlrj) +	2 Ji-e l'(rl)ehl + Ф‘(у)> (5.5.26)
0
где
У	y	s \	/	\
$i(y) = У G2((iy;I + iri)<pi(T])dr] = J ( _* J drh
0	0
Из системы (5.5.23), (5.5.26) следует, что функция v(y) дрлжяь
быть решением интегрального уравнения Вольтерра первого рода
у
дР^е1/(»?) + D<*"(у) + J	= ф‘(у)>	(5.5.27)
О
где
к(е, ft У) = 2fiye~pw(l, е, е, —I; у) - w(l, /?, /3, г; у).
Любое решение i/(j/) 6 L[0, Т] уравнения (5.5.27) будет решением
уравнения
Иу) + М<"£^) + </	=	(5.5.28)
О
К уравнению (5.5.28) можно применить предложенную в § 5.4 схе-
му редукции уравнения (5.4.22) к интегральному уравнению Воль-
терра второго рода и тем самым доказать, что оно имеет, и притом
единственное, решение 1/(2/). В основе этой схемы лежит легко прове-
ряемое предложение
п
Г(1 -	-
о
У	1
=	j	У »?1_1(1 - ih)~0k(E,/3-, 11/ - C|Jh)d»?i	=
о	о
v	1
= У ^(СН У ^-1(1-т)_^(£>^; |у - £\т№11-
О	о
196 Глава 5. Краевые и внутреннекраевые задачи для нагруженных...
В заключении этого параграфа обратим внимание на цикл фун-
даментальных исследований В.А. Ильина и Е.И. Моисеева [78] по
оптимизации граничных управлений колебаниями струны в терминах
обобщенного решения одномерного волнового уравнения в прямо-
угольной области.
Аппроксимации задачи Дирихле-управления и двойственной зада-
чи с нерегулярными Нейман-наблюдениями для волнового уравнения
посвящена работа [161].
К.Р. Айда-заде, В.М. Абдуллаев [4] предложили в качестве матема-
тической модели задачи управления процессом нагрева однородного
стержня длины I следующую систему нагруженных уравнений:
Uf(x,t) = a2 [uxx(x,t) — u(x,t) + AT(u)], 0 < x < I, 0 <t <T;
m	m
N(u) =	52т,- = 1, 0	1, j = 1,2,
i=i	j=i
ux(0, t) = A [w(0, t) — AT(u)], A = const > 0;
ux(l, t) = -A [u(l, t) - AT(u)], 0 < t < T;
u(o:,0) = To(x), 0 x C I,
где K(t) - оптимизируемый параметр регулирования.
5.6. Краевые задачи с нелокальным условием
Франкля
Пусть имеется уравнение смешанного типа
D^HMu(x + iij) = [Я(у) + с2Я(—y)]uxx	(5.6.1)
5.6. Краевые задачи с нелокальным условием Франкля
197

Рис. 5.6.1
в области Q, ограниченной отрезками
BqBq = {iy : — Т у Т = const > 0},
В'0В'р = {z:y=-T-,0^x^p = cT}-,
В'рАр = {z : х = р;-Т у 0};
АРАГ = {z = х : р < х	г};
ArBr = {z : х = г, 0 у Т};
BrBo = {z : у = Т,0 х г} (см.
рис. 5.6.1). Здесь: 0 < с = const 1,
D - заштрихованная часть области
Q, ограниченная характеристикой
BqBt :у = Т уравнения Фурье
Uy —
(5.6.2)
отрезками BqBq, АрАг, АгВг и характеристикой В$АР : х — су = р
одномерного волнового уравнения
иРу = ихх-	(5.6.3)
Уравнение (5.6.1) в области Q+ =	= {z . Q < х <	< у <Т}
совпадает с уравнением (5.6.2), а в области Q“ = Q\Q+ - с уравнением
(5.6.3). Оно меняет свой тип при переходе точки z = х + iy из Q+ в
Q- через характеристику AqAp : у = 0 уравнения Фурье.
Диагонали АдВр : х + су = 0, АРВ$ : х — су = р прямоугольни-
ка АоВцВрАр являются характеристиками уравнения (5.6.3) и делят
область Q“ на четыре треугольника: Dq = АоСоАр, Di = AqBqCq,
D2 = BqBpCq и D3 = BpApCe.
Сопроводим уравнение (5.6.1) краевыми условиями
^х(г2/) = 0, -Т<у<Т,
(5.6.4)
u(iy) - u(-iy) = f(y), -Т^у^Т,
(5.6.5)
u(r + iy) = pr(y), 0 у T,
(5.6.6)
u(x) = Tq(x), p X r,
(5.6.7)
где f(y), <Pr(y) и tq(x) - заданные функции из классов С2[—Т,Т],
С[0, Т] и С\р, г] соответственно.
Условие (5.6.5) относится к классу краевых условий со смещени-
ем. Краевая задача (5.6.4)-(5.6.7) для уравнения (5.6.1) в области
D представляет собой аналог задачи Франкля для уравнений сме-
шанного эллиптико-гиперболического типа (например, для уравнения
Лаврентьева—Бицадзе). В случае области Q к условиям (5.6.4)-(5.6.7)
198 Глава 5. Краевые и внутреннекраевые задачи для нагруженных...
добавляется еще одно граничное условие:
и(р 4- iy) = 0G/), -Г О 0,	(5.6.8)
с граничной функцией 0(у) е С[—Т,0], 0(0) = то(р).
Задача 5.6.1. Найти регулярное в областях Q+,	£>2 и D3
решение u(z) = u(x, у) уравнения (5.6.1), непрерывное в Q, удовлетво-
ряющее краевым условиям (5.6.4)- (5.6.8) и условию сопряжения
u+(x) = u~(x), u+(x) =au~(x), 0<х<р,	(5.6.9)
где u(z) = u+(z) при z Е О+ и u(z) = u~(z) при z е Q“, a - заданная
постоянная.
В области Dq искомое решение u(z) задачи 5.6.1 определяется
как решение существенно нагруженного интегро-дифференциального
уравнения
х+су
2u(z) = и(х + су) + и(х — су) + I u~(t)dt, z € Do, (5.6.10)
4wC J
x—cy
а в области Di в силу (5.6.4) - как решение существенно нагруженного
функционального уравнения
2u(z) = u(0,у + х/с) +ЦО,з/ — х/с),. z 6 D\.	(5.6.11)
Точка	для любого х 6 [0,р] лежит на характеристике
АоСЬ : х + су = 0. Поэтому из (5.6.10) и (5.6.1), согласно (5.6.9) и
обозначениям т(х) = u+(x) = u~(x), v(x) = u+(x), имеем
2u	= т(0)+т(я?) +	[ v(t)dt = т(0)+u(-ix),
\ Z ZC /	ZCLC J
О
0 х р.
Отсюда с учетом равенства u(—ix) = u(ix) — f(x) при 0 х р,
следующем из (5.6.5), получаем
X
1 Г
2ac J
о
(5.6.12)
Так как u(z) = u+(z) - регулярное решение уравнения (5.6.2),
удовлетворяющее условию (5.6.4), то
х
т"(х) = v(x), т'(0) = 0 => т'(а?) = У v(t)dt.	(5.6.13)
о
5.6. Краевые задачи с нелокальным условием Франкля
199
Из (5.6.7), (5.6.12) и (5.6.13) заключаем:
т(а?) +-i-Tz(a;) = и(га?) -/(ж), т(р) = то(р),	(5.6.14)
2ас
Функция u+(z) в области Q+ представима в виде (см. [136, с. 272})
«+(*) = J r(£)G(z-,£)d£-J ¥5r(^)G€(z;r + ^)d^,	(5.6.15)
О	о
где
G(z;C) =
1	Г (х — £ + 4гп)2
—> - — У ехр -—г;---------------
2а/тг(у - т?) L 40? - у)
+ ехр
(х + £ + 4гп)2
4(т? - у)
(х — £ — 2г + 4гп)2 (х + £ — 2г + 4гп)2
еХР 4(у - т?) еХ₽ 4(т? - у)
является функцией Грина смешанной краевой задачи с граничны-
ми условиями (5.6.4), (5.6.6) и начальным условием и(х) = т(х\
О х г.
Формула (5.6.15) дает основание записать соотношение
р
и(гх) = У r«)G(ix; + Ф(т0, <рг; х)
о
(5.6.16)
с функцией
Ф(т0,<рг;х) = У To(£)G(ix;£)d£- J 9?г(т?)С{(гх;г+ i7?)d7j.
Р	о
Соотношения (5.6.14) и (5.6.16) говорят о том, что искомая функ-
ция т(х) дрлж&ь быть решением задачи Коши: т(р) = то(р) для
интегродифференциального уравнения
-^-т(х)е2ас* =
= 2асе2вС1
 р
j T(^)G(ix; £)d$ + Ф(т0, <р0-, х) - /(х)
.о
О х р
200 Глава 5. Краевые и внутреннекраевые задачи для нагруженных...
и, стало быть, решением следующего интегрального уравнения Фред-
гольма второго рода
р
т(х) — 2асУ T(£)Kp(z:;£)df = Фр(я), 0 х р, (5.6.17)
о
с ядром
т
КРМ = I
р
и правой частью
х
Ф₽(х) = 2ас j[Ф(то, ¥>г; ч) - /(J?)]e2ac<1-”)d7? + т(р)е2ас^~х\
р
Докажем, что уравнение (5.6.17) имеет, ц притом единственное,
решение т(х) 6 С[0,р].
Функцию u(z) = u+(z) называем регулярным в Q+ решением
уравнения (5.6.2), если она на множестве Q+ U AqAp U BqBt имеет
непрерывные частные производные ихх, иу и удовлетворяет уравне-
нию (5.6.2) в области Q+. Известно [21, с._ 176], что регулярное решение
u(z) уравнения (5.6.2), непрерывное в Q+, своего экстремума дости-
гает на AqBq U АоАг U АГВГ.
Справедливо следующее утверждение. Пусть u(z) - регулярное в
области Q+ решение уравнения (5.6.2), непрерывное в и удовле-
творяющее локальному краевому условию (5.6.4) при у > 0:
=°,	(5.6.18)
(УХ 1А0В0
и краевому условию со смещением (5.6.14) при f(y) = 0, которое
можно записать в виде
u(iy) = и(у) + 1	ООО (5.6.19)
2ас ау
Тогда положительный максимум (отрицательный минимум) функ-
ции u(z) = u+(z) на компакте Q+ не может достигаться на AqAp =
= {р:0^р<р}.
Действительно, из (5.6.19) и принципа экстремума Зарембы-Жиро
для параболического типа уравнений [74] следует, что функция u+(z)
не достигает экстремума в точках, лежащих на AqBq. Если допустить,
что точка экстремума у* G ]0,р[, то из (5.6.19) получаем равенство
и(гу*) = и(р*), противоречащее отсутствию экстремума функции
u+(z) в точках z = iy G Ао#о, где и+(гу) = 0, 0 р р.
5.6. Краевые задачи с нелокальным условием Франкля
201
Установленное экстремальное свойство регулярного решения
u(z) = u+(z) уравнения (5.6.2) в области Q+, удовлетворяющего
локальным краевым условиям (5.6.6), (5.6.7), (5.6.18) и краевому
условию со смещением (5.6.19), позволяет доказать единственность
решения этой задачи и, стало быть, задачи 5.6.1.
Из единственности решения задачи 5.6.1 на основании второй тео-
ремы Фредгольма заключаем существование единственного решения
т(ж) уравнения (5.6.17). Из свойств функций Кр(х, £) и Фр(ж) нетрудно
показать, что это решение т(х) G С71 [0, р] П С2]0, р[.
Решение u(z) задачи 5.6.1 в области D однозначно определяется
по граничным условиям (5.6.4)-(5.6.7). Граничное условие (5.6.8) ока-
зывает влияние на это решение лишь в областях Z>2 и D^.
Если уравнение (5.6.1) в области Q+ заменить уравнением
иу = ихх + A(z)ux + B(z)u	(5.6.20)
с коэффициентами A(z) G С1(Й+), B(z) G С1^4-), то соотношение
(5.6.13) примет следующий вид:
v(x) = т"(х) + А(х)т'(х) + В(х)т(х), т'$) = 0,
х
j v(t)dt = т’ (х) +
X	X
j A(t)r'(t)dt + У B(t)r(t)dt.
О	0	0
На этой основе из (5.6.12) получаем равенство
2ac[u(iy) - f(y)] = 2аси(у) + u'(p)+
у	у
+ У A(t)u'(t)dt + У B(t)u(t)dt, 0^2/ < р,
о	о
(5.6.21)
которое эквивалентно равенству
2ac[u(iy) - f(y)] = u'(p) +
у
2ас + У B(t)dt и(у)+
о
у
+А(0) [и(у) - и(0)] + У [A'(t) - B(t)][u(y) - u(t)]dt, О^у^р. (5.6.22)
о
Легко видеть, что нелокальное условие (5.6.21) можно записать и в
форме
2ac[u(iy) - f(y)] = [2ас + А(у)]и(у) - A(0)u(0) + и'(р)+
202 Глава 5. Краевые и внутреннекраевые задачи для нагруженных,,.
у
+ У [B(t) - A'(t)]u(t)dt, ООО-	(5.6.23)
о
Имеет место
Лемма 5.6.1. Пусть и = u+(z) - регулярное в области Q+
решение уравнения (5.6.20), непрерывное в и удовлетворяющее
краевым условиям (5.6.18) и (5.6.23);
у
f(y) = 0, У B(t)dt > 0, А!(у) > В(у), А(0) > 0, 0 О О-
о
Тогда положительный максимум (отрицательный минимум) функ-
ции u+(z) на компакте не может достигаться на AqAp =
= {у:О^У<р}.
Доказательство этой леммы, как и в случае уравнения (5.6.2),
проводится методом от противного.
Лемма 5.6.1 позволяет доказать единственность решения и = u+(z)
уравнения (5.6.2) в области Q+, удовлетворяющее краевым условиям
(5.6.6), (5.6.7), (5.6.18) и (5.6.23). Условия леммы гарантируют един-
ственность решения задачи 5.6.1 для уравнения
Dl~H(v)u(x + iy) = [Н(у) + с2Я(-у)]и1а: + Я(у)[А(г)«® + B(z)u]
в области Q и аналога задачи Франкля: (5.6.4)-(5.6.7), (5.6.9) (а = 1)
для этого же уравнения, но в области D,
А.В. Псху [163] исследовал аналоги задачи Франкля для широкого
класса линейных уравнений вида
П2-нЫи(х + *п\-и -HzMn-iAu - f a+(z)ux+b+(z)u, у > 0,
^оу щх + гу) ихх	у)иу - | а-^)их + b~(z)u, y<0,
в области D методом редукции смешанной задачи к нелокальной
задаче для гиперболического уравнения
ихх - иуу 4- a~(z)ux 4- b(z)uy 4- b~(z)u = 0.
В области D рассмотрим теперь уравнение смешанного эллиптико-
гиперболического типа
иуу = 1<?Н(-у) - Н(у)]ихх,	(5.6.24)
которое при с = 1 совпадает с уравнением Лаврентьева—Бицадзе.
Весьма важная в газовой динамике околозвуковых течений удар-
ная задача Франкля ставится следующим образом.
Задача 5.6.2. Найти регулярное в областях_р+ = Dq, D\
решение u(z) уравнения (5.6.24), непрерывное в D, удовлетворяющее
5.6. Краевые задачи с нелокальным условием Франкля
203
условиям (5.6.4)-(5.6.7), (5.6.9) и условию
и(х + гТ) = Ti(rr), 0 х г,	(5.6.25)
где Ti(rr) - заданная непрерывная на сегменте [0, г] функция.
В соответствии с (5.6.4), (5.6.6) и (5.6.25) предполагается, что
т'(0) = 0, tpr(T) = 71 (г).
Задача 5.6.2, которая при a = 1 совпадает с задачей Франкля,
порождает следующую задачу для уравнения Лапласа.
Задача 5.6.3. Найти функцию u(z) G C(D+) П C1(D+ U AqBq U
U AoAp) П C2(D+), удовлетворяющую в области уравнению Ла-
пласа
У'ХХ “1“ Нуу = 0
и граничным условиям
ux(iy) = 0, u(r + iy) = (pr(y),
u(x) = To(rr), p x r; u(x + iT) = Ti(x), 0 x r;
x
u(x) + — I Uy(t)dt + f(x) = u(ix), 0 x p.
£(IC J
0
Однозначная разрешимость задачи 5.6.3 влечет и однозначную
разрешимость задачи 5.6.2.
В.И. Жегалов [68] для уравнения Лаврентьева—Бицадзе исследо-
вал смешанную задачу, отличающуюся от задачи Франкля тем, что
условие (5.6.5) заменено более общим внутреннекраевым условием с
локальным смещением вида
u(№) = A(y)u(iy) + B(y)u(-y) + C(y)u(0i) + D(y)u(02) + /(у),
-T^y^O, T=l,
где А(у), В(у), С (у), D(y) и /(у) удовлетворяют условию Гёльдера,
в=в(у)бС'1[°>~1]> 6(у)>Оприу0О, 0(О)=О, 0(-1) =р, 0'(у) < 0,
Среди работ, посвященных задаче Франкля для уравнения сме-
шанного типа с оператором Лаврентьева—Бицадзе в главной части,
отметим работы А.П. Солдатова [173], [174]; А.В. Псху [162]; Е.И. Мо-
исеева и его учеников [1], [109], [НО], [111], [210].
В заключение обратим внимание, что задача Франкля может
сыграть важное значение в физике экстремальных состояний веще-
ства [139].
204 Глава 5. Краевые и внутреннекраевые задачи для нагруженных...
5.7. Задача Дирихле для нагруженного уравнения
смешанного типа в цилиндрической области
fc(y)
Пусть: D - ограниченная область про-
странства Rn точек х =	—,®п) с
кусочно-гладкой границей а = dD: 1аъ -
интервал а < у < Ь; Qa& = D х 1аь - ци-
линдрическая область в пространстве Rn+1
точек z = (х,у); ааЬ - граница	=
= а х 1аЬ - боковая поверхность цилиндра
Паь; Da - нижнее, a Db - верхнее основания
цилиндра £1аъ (рис. 5.7.1).
В области с индексами a < 0 и
/3 > 0 рассмотрим нагруженное уравнение
смешанного типа второго порядка
+ с(а:)и - д0уи(х’ *7) = °>
OX j	ОХ}
(5.7.1)
где подразумевается суммирование по индексам г и j от 1 до п;
ук(у) > 0 при у 0, и = и(х, у), 1 <7 = const < 2;
д2уи(х,г!) = Dtf
д?и(х,Т])
дгр
sign (у - а)
Г(2-7)
У
Г. и—&u(x,Tj)
J |у-,/| dr? dT,‘
(5.7.2)
Предполагается, что 0 > с(х) G C(D); агЦх) = а?г(х) G C(D);
функция к(у) непрерывна на сегменте [а, /3] = 1а@ всюду, за исклю-
чением, быть может, точки у = 0; для всех х G D и £ G Rn формула
Q(x,£) =	удовлетворяет неравенству
Q(x,£) со|£|2, со = const > °-
Примем следующие обозначения:
L\u = [a'3(х)их.]х. -I- [с(я) + A]u, А = const;
Lqu = Lxu\x=o; Lu = k(y)LQu - d%yu(x, 77);
L*w = k(y)LQw - D2yw(x, tj), a = 0H(y) + aH(-y).
5.7. Задача Дирихле для нагруженного уравнения смешанного типа... 205
Так как wLqu — uLqw = wL\u — uL\w, то
wLu — uL*w = k(y)(wLxu — uLxw) + F(u, w),	(5.7.3)
где
F(u, w) = uD2yw(x, rf) — wdQyu(x, rf).	(5.7.4)
Решение и = u(x,y) уравнения (5.7.1) будем называть регуляр-
ным в области если оно принадлежит классу С(Па/?) П С1(Па/?)
и таково, что функции uXiXj (i,j = 1,2, ...,п),	являются
непрерывными всюду в Па£, за исключением, быть может, точек (я, 0),
х G D.
Задача 5.7.1 (задача Дирихле). Найти регулярное в обла-
сти Qq£ решение и(х,у) уравнения (5.7.1) из пространства Соболева
(Па/?), принимающее заданные значения на aap.
Пусть функция и(х, у) - решение однородной задачи Дирихле для
уравнения (5.7.1) в области Па/?:
Lu = 0 в Qqo U По/?, u\aa0 = 0,	(5.7.5)
а функция
w(z, У) = w(y)v(x)	(5.7.6)
- решение уравнения
L*w = 0 в Qa0 U По/?.	(5.7.7)
Равенства (5.7.6)-(5.7.7) возможны тогда и только тогда, когда
Lxv(x) = 0, х G D,	(5.7.8)
Dly^ri) + Afc(z/)cv(z/) =0, у е Iao U 10/з-	(5.7.9)
Теорема 5.7.1. Если a, av’(ar) и с(х) обладают тем свойством,
что система {vm(:r)} собственных функций vm(x), соответствую-
щих собственным значениям Хт однородной задачи Дирихле v|a = 0
для уравнения Lxmv = 0 в области D, полна в пространстве L2(D)
и ^m(^) 6 Сг(Р) И C2(D) для любого т, то задача 5.7.1 не может
иметь более одного решения, если
72o-2W(O)7J3-V(0) / 7^-2w(0)72o V(0).	(5.7.10)
Здесь w(y) - решение уравнения (5.7.9), удовлетворяющее условиям
ш(а) = 0, ш(/3) = 0,
6
47 W) = Г(2^) /
206 Глава 5. Краевые и внутреннекраевые задачи для нагруженных...
- значение дробного интеграла 1^6 2,ф{у) от функции <ф{у) порядка
2 — 7 с фиксированными началом и концом в точках е и S при у = 0
[136, с. 33].
В случае уравнения
sign у - д^и(х, у) = 0, 0 < х = Ж1 < г,
соответствующие собственному значению А = Ат = (тгт/г)2 функции
v = vm(x) и ш = шт(у) имеют вид
v = sin \/Л^х, ш(у) = шт{у) = |у—«|7-1 ехр7(-Лт|у-а|7-1), т = 1,2...
Из (5.7.3) и равенств Lu = 0, L*w = 0 следует, что
k(y)(wLxu — uLxw) = — F(u, w).
Отсюда, принимая во внимание, что F(u,ow) = v(rr)F(w,a;), получаем
равенство
k(y)u(y)(vLxu - uLxv) = -vF(u,cv).
Так как
vLxu - uLxv = [at3(uXiv -
то его можно переписать в виде
\k(y)\(v(y)[aij(x)(uXiv - vXiu)]Xj = -vF(u,assigny. (5.7.11)
Воспользуемся теперь формулой Грина для дифференциального
оператора Lx:
J (vLxu — uLxv)dx =
D
j v(x)
du(x,y)
dv*
dv(a01
Здесь v* = (i/1,!/2, ...,vn) - конормаль в точке x 6 a; v' = a^(x)vjf
vj = cos(i/,a?j) - направляющие косинусы внешней нормали и =
= Ол, ^2, •••, ^п) к границе а области D в точке х 6 a [136, с. 146].
Поскольку = 0, u|£a/3 = 0, из этой формулы вытекает, что
(v, Lxu)0 = (u, Lav)o,	(5.7.12)
где (•, -)o - скалярное произведение в пространстве L2(D).
В соответствии с (5.7.2) и равенством
= -sign у • D7t,w(y)
5.7. Задача Дирихле для нагруженного уравнения смешанного типа... 207
форма (5.7.4) примет вид
F(u,o>) = sign у
Положим, что
Ui,Z>2w - ^uDly М»?)] - шП0у 2ипп{х,ч).
(5.7.13)
0	о
1$(и,ш) = у* F(u,u>)dy, 1%(и,ш) = j F(u,u)dy.
0	а
Из (5.7.11) и (5.7.12) заключаем:
(v, F)o = У v(x)F(u,w)dx = 0;
D
j\v,F)ody = J v(x)l£(u,u)dx = 0;
о
У (v,F)odz/ = У v(x)I%(u,u)dx = 0.
a	D
Согласно (5.7.13) имеем
(5.7.14)
ГГ	д
1%(и,ш) = - J	2uw(x, rj) + ^u(x, У)Ц}у
о

О
1^(и,ш) = - j	2Unn(x,Ti) - ^u(x,y)D1v1u('n)+
+Uy(x,y)D2y1a>(T]) dy.
Известно, что
/3	/3
У u(y)Of£2^(x,4)dy = У Uyy(x,y)Dj~2u(ri)dy,
О	,0
о	о
У ^y)D^2u^(x,r))dy = У Uyy(x,y)Di~2w(rf)dy.
208 Глава 5. Краевые и внутреннекраевые задачи для нагруженных..:
Поэтому
0	о
= - У F+(u,w)dy,	= - У F~(u,u)dy,
О	а
где
F+(u, w) = uw^"2w (77) +	(77) - UyD^w (т/),
F"(u, w) =	to) “	to) + uyDay1ш (77).
Поскольку
(,) = -DJ> (,), Ар^а, (,) _ DJ/„ (,),
ТО
F+(u, ш) =	[u„I$"2w (у) + uD^u (rj) - uD^u (у)] -
2"	+ u^D0ylu = ^UyD0y2u +
oy MV	uy MV	uy MV
+^VDJ~1U> (у) + u-^-D^u to) =	[uyD$~2w to)+ul$v la,to)] >
F~(u,w) = [uyDi~2u (??) - uD^u (77) + uD^u (77)] -
-uVDly 1ш M - U^D«y to) = [uVDay2^ M - uDay (t?)] .
Следовательно, если
y>e(x, у) = uyD2~2u (77) + sign у • uDZ~ гш (77),
TO
Io to,w) = <Pff(x,0) - <p0(x,P);
7^ («, w) = <pa(x,a)- <pa(x, 0).
Далее будем предполагать, что решение ы(у) уравнения (5.7.10)
удовлетворяет условию Дирихле
w(a) = 0, w(j3) = 0.	(5.7.15)
Условие (5.7.15) дает основание записать
D2y lwto) = -signyD2"Vto),
5.7. Задача Дирихле для нагруженного уравнения смешанного типа... 209
и, стало быть,
<Ах(я, у) = uvD2y2^(y) -	<ра(х, а) = 0,
(и,ш) = <р0(х, 0) = -r(x)Ifa2w’(ty + v(x)I^2u(ty, (5.7.16)
(и, ш) = <ра(х, 0) = -г(х)1£V(0) + и(х)Цо М°),	(5.7.17)
где т(х) = и(ж,0), v(x) = иу(х,О).
Из (5.7.14) на основании (5.7.16) и (5.7.17) получаем однородную
алгебраическую систему
lop 2w'(0) (т, v)0 -1^0 2w(0) (i/, v)o = 0,	(	.
Co V(0)(r,v)o - Co 2w(O)(i/,v)o = 0.
Условие (5.7.5) для системы (5.7.18) означает, что
(r,v)o = 0, (p,v)o = 0.	(5.7.19)
Равенства (5.7.19) имеют место для любой функции v(x) = vm(:r),
тп = 1,2,..., из системы {vm(a:)}, которая полна в L2(D). Поэтому из
леммы Лагранжа получаем, что т(х) = 0, и(х) = 0 в D. Следователь-
но,
dZyufarf) =
= О2уи(х, 7?) - т(х) |у| 1 /Г(1 - 7) - f[x) |j/|1-7 /Г(2 - 7) = DlyU(x, rj)
и задача в области Qao свелась к однородной задаче Дирихле
ЧапаО=0	(5.7.20)
для уравнения
D^u(x,rfi + \k(y)\LQu = 0,	(5.7.21)
а в области По/? - к однородной смешанной задаче:
и(х, 0) = 0, иу(х9 0) = 0 Ух 6 D,	(5.7.22)
и(х, у) = 0 V (х, у) е Ео/?	(5.7.23)
для уравнения
Щ,и(х, Ti) - \k(y)\LQu = 0.	(5.7.24)
Решения задачи Дирихле (5.7.20)-(5.7.21) и смешанной задачи
(5.7.22)-(5.7.24) удовлетворяют условиям сопряжения
lim и(х,у)= lim u(x,y) = 0, lim иу(х,у) = lim иу(х9у) = 0.
у—>-0	у—>4-0	у—►—О	у—>4-0
Из принципа экстремума для уравнения (5.7.21) [146, с. 50] следует,
что однородная задача (5.7.20) для этого уравнения в области Пао не
имеет решений, отличных от тривиального.
210 Глава 5. Краевые и внутреннекраевые задачи для нагруженных...
Докажем теперь, что если и(х,т}) - решение смешанной задачи
(5.7.22)-(5.7.23) для уравнения (5.7.24), то и(х,у) = 0 в По/?-
Действительно, пусть L~ и - дифференциальное выражение, стоя-
щее в левой части равенства (5.7.24). Нетрудно проверить, что
1 Q _	л 2
-c(x)uD^\(x,rf)\ -	.	(5.7.25)
Отсюда с помощью формулы Грина получаем
1 г r	12
(Роу U,L «)ь2(п0д) = 2 / [Doy “(я,7?)] 1'0^03+
dQop
+ У k(v)[“v (x)uXjD^~1uXj (х, rf) - c(x)uD^1u(x, т?) ]<2Q0/j—
~ У [к(уРоуГи(х,т])а{з(х)их^(1ао0, (5.7.26)
9Qq0
где i/o, ^i, Vn ~ направляющие косинусы внешней нормали к границе
dQ0/3 области П0/?-
Из (5.7.26) в силу (5.7.22)-(5.7.24) заключаем, что
У к(у) [a*3 (x)uXj	(х, т?) - c(x)uZ>J"1u(x, т?) ]dI20/J = 0. (5.7.27)
Равенство (5.7.27) с учетом положительной определенности формы
G(z, £) с оператором дробного интегродифференцирования порядка,
меньшего единицы [137, с. 46], дает основание утверждать, что их = 0
для всех i = 1,2, ...,п. Поэтому функция и может зависеть только от
у: и = и(у) и в соответствии с (5.7.1)
doyu(rf) = к(у)си(у), с = const.	(5.7.28)
Но однородная задача Коши: и(0) = 0, и'(0) = 0 для уравнения
(5.7.28) не имеет решений, отличных от тривиального. Этим завер-
шается доказательство теоремы 5.7.1.
Здесь следует отметить работу О.Х. Масаевой [107], где исследо-
вана задача Дирихле для уравнения
OoyU(x, rf) - ихх = 0
5.7. Задача Дирихле для нагруженного уравнения смешанного типа... 211
в области По/? = {(#, у) : 0 < х < г, 0 < у < /3} и доказано, что если
sin7[/3(27r/r)2/7] / О,
то эта задача имеет не более одного решения.
В заключение рассмотрим однородную смешанную задачу
(5.7.22)-(5.7.23) для неоднородного уравнения
D^yU(x,т?) - с7 52 9 UQ^ = f(x> у)>	= const > 0	(5.7.29)
j=l j
с суммируемой в области Qq/з правой частью f(x,y\
В случае уравнения (5.7.29) алгебраическое тождество (5.7.25)
принимает следующий вид:
/(х, y)D^u(x, т?) =	| |	7?)] +
+с7 L	(® Л) | -
J=1	3	J
Ё	+
j=l J u J	J
+c^D^2&xu(x,t1),	(5.7.30)
oy
где Дж - оператор Лапласа по х.
Поскольку и(х,у) - решение однородной смешанной задачи для
уравнения (5.7.29), то
c7^D7;2AiU(x,7?) =	[d372D7?u(x,7?1) - D^2f(x,tj)] . (5.7.31)
Из (5.7.30) и (5.7.31) получаем
/(*> y)D^ и(х, т)) + иу(х, y)D^2 f(x,rj) =
= f{x,y)D^2Ur,{x,Tj) + Uy(x,y)D^2f(x,Tj) = -^E^y)-
П d
—C1	^jx~- L	*1) + uyDoy UXj (ж, 7/)j + UyD^ Ufj^X, ?/),
J=1	3
(5.7.32)
212 Глава 5. Краевые и внутреннекраевые задачи для нагруженных...
где
1г	12 п
у) = X I	7?)1 + С7 52 U*i D0v2u^j (х> Ч)
J=1
- аналог энергии единицы объема (см. [17, с. 36]).
Введем в рассмотрение билинейный функционал
= | У [f(x,y)D^2Ur)(x,T)) + uy(x,y)D^2f(x,7])^dxdy
Пое
с параметром е б]0,(3\.
Из (5.7.32) на основании формулы Грина получаем энергетическое
равенство
е
2(/,u!Z)7“2 = / E~l(x,e)dx + jdx j uy(x,y)D^~3uri(x,T])dy, (5.7.33)
D	D 0
справедливое для любого 6 > 0.
Из (5.7.33) немедленно следует теорема единственности решения
смешанной задачи (5.7.22)-(5.7.23) для уравнения (5.7.29). Равенство
(5.7.33) можно успешно использовать при реализации функциональ-
ных методов доказательства существования слабых (обобщенных) ре-
шений этой задачи.
Левая часть равенства (5.7.33) в определенном смысле соответ-
ствует работе, совершаемой внешней силой f в объеме D при смеще-
нии и(х, у) точки х на временном сегменте 0 < у е.
Список литературы
1.	Аббаси Н. Базисность и полнота собственных функций задачи
Франкля // Доклады РАН. 2009. Т. 425, № 3. С. 295-298.
2.	Аверьянов С.Ф., Костяков А.Н., Хаврин Н.Н. Влияния ороси-
тельных систем на режим грунтовых вод. М.: Изд-во АН СССР,
1956.
3.	Айда-заде К.Р., Абдуллаев В.М. Численное решение задач оп-
тимального управления нагруженными сосредоточенными си-
стемами // Журнал вычислительной математики и математи-
ческой физики. 2006. Т. 46, № 9. С. 1566-1581.
4.	Айда-заде К.Р., Абдуллаев В.М. О нагруженной задаче при
управлении процессом нагрева с обратной связью. // Ма-
териалы Международного Российско-Болгарского симпозиума
"Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа
и информатики". Нальчик-Хабез, 2010. С. 16-18.
5.	Акаев А.А. К вопросу о фундаментальных пределах экономи-
ческого роста и потребления // Доклады Академии наук. 2010.
Т. 434, № 6. С. 749-755.
6.	Алешин П.С. Краевая задача для дифференциально-
разностного параболо-гиперболического уравнения с дробной
производной / / Материалы Международного Российско-
Казахского симпозиума «Уравнения смешанного типа и
родственные проблемы анализа и информатики» и VI Школы
молодых ученых «Нелокальные краевые задачи и проблемы
современного анализа и информатики». Нальчик-Эльбрус,
22-26 мая 2004 г. С. 23-26.
7.	Амангалиева М.М., Ахманова Д.М., Дженалиев М.Т., Рама-
занов М.И. Граничные задачи для спектрально-нагруженного
оператора теплопроводности с приближением линии нагрузки
к временной оси в нуле или на бесконечности / / Дифференци-
альные уравнения. 2011. Т. 47, № 2. С. 231-243.
8.	Аттаев А.Х. Сборник научных трудов (межвуз.) «Нелокаль-
ные задачи и их применения к автоматизированным системам».
Нальчик: КБГУ, 1989. С. 16.
9.	Аттаев А.Х. Задача Гурса для локально-нагруженного урав-
нения со степенным параболическим вырождением / / Доклады
Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2008.
Т. 10, № 2. С. 14-16.
214
Список литературы
10.	Ахманова Д-М., Дженалиев М.Т., Рамазанов М.И. О много-
мерном спектрально-нагруженном операторе теплопроводности
// Материалы Международного Российско-Болгарского симпо-
зиума "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы
анализа и информатики". Нальчик-Хабез, 2010. С. 16-18.
11.	Ашманов С.А. Введение в математическую экономику. М.: На-
ука, 1984. 296 с.
12.	Баграновский К. А., Матюшек В.М. Экономико-
математические методы и модели (микроэкономика). М.:
Изд-во РУДН, 2006. 220 с.
13.	Бахвалов Н.С. Численные методы. I. М.: Наука, 1975.
14.	Бегли Р.Л., Торвик П.Дж. Дифференциальное исчисление, ос-
нованное на производных дробного порядка, - новый подход к
расчету конструкций с вязкоупругим демпфированием / / Аэро-
космическая техника. 1984. Т. 2, № 2. С. 84-93.
15.	Бейманов Б. О краевых задачах для одного параболо-гипербо-
лического уравнения // Изв. АН Узб. ССР, сер. физико-мате-
матическая. 1988. № 3. С. 3-6.
16.	Белогуров А.П.О краевых задачах для нагруженного параболи-
ческого уравнения // Материалы Международного Российско-
Казахского симпозиума «Уравнения смешанного типа и род-
ственные проблемы анализа и информатики» и VI Школы
молодых ученых «Нелокальные краевые задачи и проблемы
современного анализа и информатики». Нальчик-Эльбрус, 22-
26 мая 2004 г. С. 38-39.
17.	Берс Л.9 Джон Ф., Шехтер М. Уравнения с частными произ-
водными. М.: Мир, 1965. 357 с.
18.	Бицадзе А.В. Уравнения смешанного типа. М.: Из-во АН СССР,
1959. 164с.
19.	Бицадзе А.В. Краевые задачи для эллиптических уравнений
второго порядка. М.: Наука, 1966. 204с.
20.	Бицадзе А.В. Основы теории аналитических функций ком-
плексного переменного. М.: Наука, 1972. 263 с.
21.	Бицадзе А.В. Уравнения математической физики. М.: Наука,
1976. 336с.
22.	Бицадзе А. В. Некоторые классы уравнений в частных произ-
водных. М.: Наука, 1981. 448с.
23.	Бицадзе А.В., Самарский А.А. О некоторых простейших обоб-
щениях линейных эллиптических краевых задач // Докл. АН
СССР. 1969. Т.185, №4. С. 739-740.
24.	Бленд Д.Р. Теория линейной вязкоупругости. М.: Мир, 1965.
199 с.
Список литературы
215
25.	Бобков Ю.А. Краевые задачи с заданным частным решением / /
Дифференциальные уравнения. 2009. № 8. С. 1192-1198.
26.	Бондаренко А.Н., Иващенко Д.С. Численные методы решения
краевых задач для уравнения диффузии дробного порядка по
времени с постоянным коэффициентом / / Сборник Междуна-
родной конференции «Дифференциальные уравнения, теория
функций и приложения». 2007. С. 556-557.
27.	Бородин А.В. Об одной оценке для эллиптических уравнений
и ее приложений к нагруженным уравнениям / / Дифференци-
альные уравнения. 1977. Т. 13, № 1. С. 17-22.
28.	Бородин А.В. Дифференцируемость по параметру решений
нелинейно нагруженных краевых задач для уравнений в част-
ных производных второго порядка. I // Дифференциальные
уравнения. 1979. Т. 15, № 1. С. 18-25.
29.	Бородин А.В. Дифференцируемость по параметру решений
нелинейно нагруженных краевых задач для уравнений в част-
ных производных второго порядка. II. // Дифференц. уравне-
ния. 1980. Т. 16, № 1. С. 20-33.
30.	Борок В.М. О единственности решения задачи Коши для систем
линейных нагруженных уравнений // Украинский математиче-
ский журнал. 1985. Т. 37, № 1. С. 108-109.
31.	Борок В.М., Житомирский Я. И. Задача Коши для линей-
ных нагруженных дифференциальных уравнений. I. Единствен-
ность // Известия вузов. Математика. 1981. № 9. С. 5-12.
32.	Борок В.М., Житомирский Я. И. Задача Коши для линейных
нагруженных дифференциальных уравнений. II. Корректность
// Известия вузов. Математика. 1981. № 10. С. 3-9.
33.	Борок В.М., Житомирский Я. И. Задача Коши для одного клас-
са нагруженных уравнений // Успехи математических наук.
1979. Т. 34, № 1 (205). С. 221-222.
34.	Борок В.М. 0-решения и единственность решения задачи Коши
для нагруженных уравнений // Изв. вузов. Матем. 1986. № 4.
С. 8-13.
35.	Ведерников В.В. Симметрические пространства. Сопряженные
связности как нормализованная связь // Вестник Академии
сельскохозяйственных наук. 1972. № 3.
36.	Векуа И.Н. Новые методы решения эллиптических уравнений.
М.;Л., 1948. 296 с.
37.	Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции. М.: Наука,
1988. 512 с.
38.	Виноградова М.Б., Руденко О.В., Сухоруков А.П. Теория волн.
М.: Наука, 1979.
216
Список литературы
39.	Владимиров В. С. Математические задачи односкоростной тео-
рии переноса частиц // Труды Матем. ин-та им. В.А. Стеклова.
1961. Т. 61. 158 с.
40.	Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существова-
ние. Л.: Наука, 1976.
41.	Геккиева С.Х. Краевая задача для обобщенного уравнения пе-
реноса с дробной производной в полубесконечной области //
Известия КБНЦ РАН. 2002. № 1 (8). С. 6-8.
42.	Геккиева С.Х., Керефов М.А. Смешанные краевые задачи для
нагруженного уравнения с дробной производной / / Материалы
Международного Российско-Казахского симпозиума «Уравне-
ния смешанного типа и родственные проблемы анализа и ин-
форматики» и VI Школы молодых ученых «Нелокальные крае-
вые задачи и проблемы современного анализа и информатики».
Нальчик-Эльбрус, 22-26 мая 2004 г. С. 38-39.
43.	Герасимов А.Н. Обобщение линейных законов деформирования
и его применение к задачам внутреннего трения / / Труды Ин-
ститута механики Академии наук СССР. Прикладная матема-
тика и механика. 1948. Т. XII. С. 251-260.
44.	Гербекова М.А. Об одном свойстве решения второй задачи Дар-
бу для уравнения Геллерстедта // Доклады Адыгской (Черкес-
ской) Международной академии наук. 2005. Т. 7, № 2. С. 14-17.
45.	Гербекова М.А. О локализации особенности градиента решения
первой задачи Дарбу для уравнения с оператором Геллерстедта
в главной части // Доклады Адыгской (Черкесской) Междуна-
родной академии наук. 2005. Т. 8, № 1. С. 23-27.
46.	Гогуноков З.Г Задача Гурса для нагруженного гиперболическо-
го уравнения второго порядка // Доклады Адыгской (Черкес-
ской) Международной академии наук. 2000. Т. 5, № 1. С. 20-23.
47.	Головизнин В.М., Киселев В.П., Короткий И.А., Юрков Ю.И.
Некоторые особенности вычислительных алгоритмов для урав-
нений дробной диффузии. М.: Институт проблем безопасного
развития атомной энергетики РАН, 2002. 57 с.
48.	Головизнин В.М., Киселев В.П., Короткий И.А. Численные ме-
тоды решения уравнения дробной диффузии с дробной произ-
водной по времени в одномерном случае. М.: Институт проблем
безопасного развития атомной энергетики РАН, 2003. 35 с.
49.	Головизнин В.М.) Киселев В.П.) Короткий И.А. Методы чис-
ленного решения задач дробной диффузии для оценки без-
опасности захоронений радиоактивных отходов / / Материалы
Список литературы
217
Международного Российско-Казахского симпозиума «Уравне-
ния смешанного типа и родственные проблемы анализа и ин-
форматики» и VI Школы молодых ученых «Нелокальные крае-
вые задачи и проблемы современного анализа и информатики».
Нальчик-Эльбрус, 22-26 мая 2004 г. С. 38-39.
50.	Губайдуллин К.А. Решение некоторых краевых задач для урав-
нений смешанного и смешанно-составного типа // Волжский
математический сборник. 1971. Вып. 8. С. 85-94.
51.	Гурса Э. Курс математического анализа. Т. III, ч. 1. М.;Л.:
ГТТИ, 1933. 276 с.
52.	Гурса Э. Курс математического анализа. T.III, ч. 2. М.;Л.:
ГТТИ, 1934. 320 с.
53.	Гюнтер Н.М. К теории интегралов Стильтьеса—Радона и инте-
гральных уравнений // Доклады АН СССР. 1938. Т. 21. С. 219-
223.
54.	Гюнтер Н.М. К общей теории интегральных уравнений // До-
клады АН СССР. 1939. Т. 22. С. 215-219.
55.	Дженалиев М. Т. К теории линейных краевых задач для нагру-
женных дифференциальных уравнений. Алматы: Компьютер-
ный центр ИТПМ, 1995. 270 с.
56.	Дженалиев М.Т., Рамазанов М.И. О многомерном
спектрально-нагруженном операторе теплопроводности //
Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии
наук. 2004. Т. 7, № 1. С. 15-19.
57.	Дженалиев М.Т., Рамазанов М.И. Об одной граничной задаче
для спектрально-нагруженного оператора теплопроводности. I
// Дифференциальные уравнения. 2007. Т. 43, № 4. С. 498-508.
58.	Дженалиев М.Т., Рамазанов М.И. Об одной граничной задаче
для спектрально-нагруженного оператора теплопроводности. II
// Дифференциальные уравнения. 2007. Т.43, № 6. С. 788-794.
59.	Дженалиев М.Т., Рамазанов М.И. О краевых задачах для
спектрально-нагруженных параболических и нагруженных
эллиптико-гиперболических уравнений // Доклады Адыгской
(Черкесской) Международной академии наук. 2007. Т. 9, № 1.
С. 33-37.
60.	Дженалиев М. Т., Рамазанов М.И. Нагруженные уравнения как
возмущения дифференциальных уравнений. Алматы: Гылым,
2010. 334 с.
61.	Джрбашян М.М. Интегральные преобразования и представле-
ния функции в комплексной переменной. М.: Наука, 1966. 671 с.
62.	Джураев Т.Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и
смешанно-составного типов. Ташкент: ФАН, 1979.
218
Список литературы
63.	Джураев Т.Д., Сопуев А. К теории дифференциальных урав-
нений в частных производных четвертого порядка. Ташкент:
ФАН, 2000. 144 с.
64.	Дикинов Х.Ж., Керефов А.А., Нахушев А.М. Об одной краевой
задаче для нагруженного уравнения теплопроводности / / Диф-
ференциальные уравнения. 1976. Т. 12, № 1. С. 177-179.
65.	Елеев В.А. Краевые задачи для нагруженного гиперболо-
параболического уравнения с характеристической линией изме-
нения типа // Украинский математический журнал. 1995. Т. 47,
№ 12. С. 1639-1652.
66.	Ереджибокова М.А. Об одной краевой задаче для нагруженного
уравнения параболического типа // Сборник научных трудов
«Методы математического моделирования в системах автомати-
зированного проектирования и планирования». Нальчик, 1985.
С. 127-134.
67.	Ерофеенко В. Т., Козловская И. С. Уравнения с частными произ-
водными и математические модели в экономике. М.: Едиториал
УРСС, 2004. 248 с.
68.	Жегалов В. И. Задача Франкля со смещением // Известия ву-
зов. Математика. 1979. № 9 (208). С. 11-20.
69.	Жегалов В.И. Решение уравнений Вольтерры с частными инте-
гралами с помощью дифференциальных уравнений / / Диффе-
ренциальные уравнения. 2008. Т. 44, № 7. С. 874-882.
70.	Забрейко П.П., Калитвин А. С., Фролова Е.В. Об интегральных
уравнениях с частными интегралами в пространстве непрерыв-
ных функций // Дифференциальные уравнения. 2002. Т. 38,
№ 4. С. 538-546.
71.	Зеленый Л.М., Милованов А.В. Фрактальная топология и
странная кинетика: от теории перколяции к проблемам кинети-
ческой электродинамики // УФН. 2004. Т. 174, №8. С. 809-850.
72.	Зикиров О.С., Холиков Д.К. Нелокальные задачи с условия-
ми Стеклова для одного нагруженного псевдопараболического
уравнения // Материалы Второго Международного Российско-
Казахского симпозиума «Уравнения смешанного типа и род-
ственные проблемы анализа и информатики». Нальчик, 23-27
мая 2011 г. С. 77-78.
73.	Ионкин Н.И., Моисеев Е.И. О задаче для уравнения теплопро-
водности с двуточечными краевыми условиями // Дифферен-
циальные уравнения. 1979. Т. 15, № 7. С. 1284-1295.
74.	Ильин А.М., Калашников А.С., Олейник О.А. Линейные урав-
нения второго порядка параболического типа / / Успехи мате-
матических наук. 1962. Т. 17, вып. 3 (105). С. 3-146.
Список литературы
219
75.	Ильин В.А. О безусловной базисности на замкнутом интервале
систем собственных и присоединенных функций дифференци-
ального оператора второго порядка // Доклады АН СССР.
1983. Т. 273, № 5. С. 1048-1053.
76.	Ильин В.А. Необходимые и достаточные условия базисности
Рисса корневых векторов разрывных операторов второго поряд-
ка // Дифференц. уравнения. 1986. Т. 22, № 12. С. 2059-2071.
77.	Ильин В.А., Моисеев Е.И. Нелокальная краевая задача для
оператора Штурма—Лиувилля // Доклады АН СССР. 1986.
Т. 291. №3. С. 534-538.
78.	Ильин В. А., Моисеев Е.И. Оптимизация граничных управлений
колебаниями струны // УМН. 2005. Т. 6, вып. 6 (366). С. 89-114.
79.	Искендеров А.Д. О первой краевой задаче для нагруженной
системы квазилинейных параболических уравнений / / Диффе-
ренц. уравнения. 1971. Т. 7, № 10. С. 1911-1913.
80.	Искендеров А.Д. О смешанной задаче для нагруженных ква-
зилинейных уравнений гиперболического типа // Докл. АН
СССР. 1971. Т. 199, № 6. С. 1237-1239.
81.	Исломов Б., Аликулов Е. Оценка решения аналога задачи Три-
коми для одного класса нагруженных уравнений смешанного
типа // Материалы Международного Российско-Болгарского
симпозиума "Уравнения смешанного типа и родственные про-
блемы анализа и информатики". Нальчик-Хабез, 2010. С. 101-
104.
82.	Казиев В.М. Задача Гурса для одного нагруженного интегро-
дифференциального уравнения // Дифференциальные уравне-
ния. 1981. Т. 17, № 2. С. 313-319.
83.	Калитвин А. С. Линейные операторы с частными интегралами.
Воронеж: ЦЧКИ, 2000. 252 с.
84.	Каров Х.М. Об одном приложении теоремы Рисса—Шаудера к
интегральным уравнениям типа Кнезера // Дифференциаль-
ные уравнения. 2001. Т. 37, № 6. С. 815-819.
85.	Карданов Р.Г. Об одном нелокальном обобщении задачи Коши
со смешанным носителем для уравнений параболического типа
// Сборник научных трудов (межвуз.) «Нелокальные задачи
и их применения к автоматизированным системам». Нальчик:
КБГУ, 1989. С. 290-294.
86.	Карпман В.И. Нелинейные волны в диспергирующих средах.
М.: Наука, 1973. 176 с.
87.	Керефов А.А. Краевые задачи для нагруженных параболиче-
ских уравнений // Сборник научных трудов (межвуз.) «Нело-
кальные задачи и их применения к автоматизированным систе-
мам». Нальчик: КБГУ, 1989. С. 136.
220
Список литературы
88.	Коддингтон Э.А., Левинсон Н. Теория обыкновенных диффе-
ренциальных уравнений. М.: ИЛ, 1958.
89.	Кожанов А.И. Нелинейные нагруженные уравнения и обратные
задачи // Журнал вычисл. матем. и мат. физики. 2004. Т. 44,
№ 4. С. 694-716.
90.	Кожанов А.И. Уравнения составного типа и обратные задачи
// Материалы Международного Российско-Азербайджанского
симпозиума «Уравнения смешанного типа и родственные про-
блемы анализа и информатики» и VI Школы молодых ученых
«Нелокальные краевые задачи и проблемы современного ана-
лиза и информатики». Эльбрус, 12-17 мая 2008 г. С. 95.
91.	Кожанов А.И. Обратная задача для параболического урав-
нения с неизвестным коэффициентом специального типа //
Неклассические уравнения математической физики: Труды се-
минара, посвященного 60-летию В.Н. Врагова. Новосибирск:
Изд-во Института математики им. С.Л. Соболева, 2005. С. 167-
176.
92.	Кожанов А.И. О разрешимости пространственно нелокальных
краевых задач для линейных гиперболических уравнений вто-
рого порядка // Доклады Академии наук. 2009. № 6. С. 747-749.
93.	Конина Н.Н. Вопросы регулирования уровня грунтовых вод при
поливах // Докл. АН СССР. 1973. Т. 23, № 1. С. 51-54.
94.	Лаврентьев М.М., Савельев Л. Я. Теория операторов и некор-
ректные задачи. Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 1999.
702 с.
95.	Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций ком-
плексного переменного. М.: Наука, 1987. 688 с.
96.	Лайпанова А.М. Краевая задача для смешанного нагруженно-
го уравнения гиперболо-параболического типа второго порядка
// Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии
наук. 2003. Т. 6, № 2. С. 69-72.
97.	Лайпанова З.М. Об одном методе регуляризации задачи Коши
со смешанным носителем // Доклады Адыгской (Черкесской)
Международной академии наук. 2005. Т. 7, № 2. С. 32-36.
98.	Локшин А.А., Суворов Ю.В. Математическая теория распро-
странения волн в средах с памятью. М.: Изд-во Моск, ун-та,
1982. 152 с.
99.	Ломов И. С. Свойства базисности корневых векторов нагружен-
ных дифференциальных операторов второго порядка на интер-
вале // Дифференциальные уравнения. 1991. Т. 27, № 1. С. 80-
93.
Список литературы
221
100.	Ломов И. С. Теорема о безусловной базисности корневых векто-
ров нагруженных дифференциальных операторов второго по-
рядка // Дифференциальные уравнения. 1991. Т. 27, № 9.
С. 1550-1563.
101.	Лопушанська Г.П. Основы граничш задач! для одного р!вняння
в дробових похщних // Укр. мат. журн. 1999. Т. 51, № 1. С. 48-
59.
102.	Мамедов И.Г. Задача Гурса нового типа для нагруженных
вольтерро-гиперболических интегро-дифференциальных век-
торных уравнений четвертого порядка с негладкими матричны-
ми коэффициентами // Известия Национальной академии наук
Азербайджана, серия ФТМН. 2006. Т. 26, № 2. С. 74-79.
103.	Мамедов И.Г. Задача оптимального управления в процессах,
описываемых нелокальной задачей с нагружениями для ги-
перболического интегро-дифференциального уравнения / / Из-
вестия Национальной академии наук Азербайджана, серия
ФТМН. 2004. Т. 24, № 2. С. 74-79.
104.	Мамчуев М.О. Аналог принципа Зарембы—Жиро для уравне-
ния дробной диффузии // Доклады Адыгской (Черкесской)
Международной академии наук. 2010. Т. 12, № 2. С. 37-40.
105.	Маричев О.И., Килбас А.А., Репин О.А. Краевые задачи для
уравнений в частных производных с разрывными коэффициен-
тами. Самара: Изд-во Самар, гос. экон, ун-та, 2008. 276 с.
106.	Масаева О.Х. Задача Дирихле для фрактального уравнения
Лапласа в прямоугольной области // Доклады Адыгской (Чер-
кесской) Международной академии наук. 2008. Т. 10, № 2. С. 26-
29.
107.	Масаева О.Х. Задача Дирихле для диффузионно-волнового
уравнения // Материалы IX Школы молодых ученых «Нело-
кальные краевые задачи и проблемы современного анализа и
информатики». Нальчик, май 2011 г. С. 64-65.
108.	Мелихов И.В. Физикохимия наносистем: успехи и проблемы //
Вестник РАН. 2002. Т. 27, №10. С. 900-909.
109.	Моисеев Е.И., Аббаси Н. Базисность собственных функций од-
ной обобщенной газодинамической задачи Франкля с нелокаль-
ным условием четности и с разрывом градиента решения //
Дифференциальные уравнения. 2009. Т. 45, № 10. С. 1452-1456.
110.	Моисеев Е.И., Амбарцумян В.Э. О базисности собственных
функций задачи Франкля с нелокальным условием четности
второго рода // Дифференциальные уравнения. 2009. Т. 45,
№ 12. С. 1735-1740.
111.	Моисеев Е.И., Амбарцумян В.Э. О базисности собственных
функций задачи Франкля с нелокальным условием четности и
222
Список литературы
нечетности второго рода // Доклады Академии наук. 2010. Т.
432, №. 4. С. 451-455.
112.	Назаров Н.Н. Об одном новом классе линейных интегральных
уравнений // Труды Ин-та мат. и мех. АН УзССР. 1948. Вып. 4.
С. 77-106.
ИЗ. Напсо А.Ф., Канчукоев В.З. Нелокальная задача с внутренним
условием для нагруженного псевдопараболического уравнения
// Владикавказский математический журнал. 2002. Т. 4, № 2.
С. 44-49.
114.	Нахушев А.М. О задаче Дарбу для гиперболических уравнений
// Докл. АН СССР. 1970. Т. 195, №4. С. 776-779.
115.	Нахушев А.М. О задаче Дарбу для одного вырождающего-
ся нагруженного интегро-дифференциального уравнения второ-
го порядка//Дифференциальные уравнения. 1976. Т. 12, №1.
С. 103-108.
116.	Нахушев А.М. Задача Штурма-Лиувилля для обыкновенного
дифференциального уравнения второго порядка с дробными
производными в младших членах // Докл. АН СССР. 1977.
Т. 234, №2. С. 308-311.
117.	Нахушев А.М., Борисов В.Н. Краевые задачи для нагруженных
параболических уравнений и их применение к прогнозу уровня
грунтовых вод // Дифференциальные уравнения. 1977. Т. 13,
№ 1. С. 105-110.
118.	Нахушев А.М. Бицадзе уравнение. Математическая энциклопе-
дия. Т. 1. М.: Советская энциклопедия, 1977. 1154 с.
119.	Нахушев А.М. Нелокальная задача и задача Гурса для нагру-
женного уравнения гиперболического типа и их приложения к
прогнозу почвенной влаги // Докл. АН СССР. 1978. Т. 242, №5.
С. 1008-1011.
120.	Нахушев А.М. Локальные и нелокальные краевые задачи для
нагруженного уравнения параболического типа и их приложе-
ния к прогнозу почвенной влаги. Республиканский симпозиум
по дифференциальным уравнениям. Тезисы докладов. Ашха-
бад, 1978.
121.	Нахушев А.М. То the Theory of Loaded Partial Equations. Труды
международной конференции, посвященной юбилею Института
математики и механики НАН Азербайджана. Май 2009.
122.	Нахушев А.М. Краевые задачи для нагруженных интегро-
дифференциальных уравнений гиперболического типа и некото-
рые их приложения к прогнозу почвенной влаги / / Дифференц.
уравнения. 1979. Т. 15, № 1. С. 96-105.
123.	Нахушев А.М. О некоторых способах линеаризации уравнений
движения грунтовых вод и почвенной влаги / / Межвузовский
Список литературы
223
сб. "Краевые задачи для уравнений смешанного типа и род-
ственные проблемы функционального анализа и прикладной
математики". Нальчик: КБГУ, 1979. Вып. 2. С. 173-183.
124.	Нахушев А.М. Задача типа Штурма—Лиувилля для нагружен-
ных дифференциальных уравнений с дробными производными
// Second Conference of Differential Equations and Applications.
Abstracts of Infited and Contribute Papers. KDY-II, PUSE’81.
125.	Нахушев А.М. Планирование и управление экспериментом, опи-
сываемым нагруженным дифференциальным уравнением па-
раболического типа. Перспективные методы планирования и
анализа экспериментов при исследовании случайных полей и
процессов. Тезисы докладов. Ч. 1. М., 1982.
126.	Нахушев А.М. К теории нагруженных уравнений в частных
производных // Short communication (Abstracts). Section 11.
Partial Differential Equations. 1982.
127.	Нахушев А.М. Boundary value problems for loaded differential
equations // Труды семестра "Уравнения в частных производ-
ных" Международного центра им. Стефана Банаха по повыше-
нию квалификации молодых ученых. Варшава, 1982.
128.	Нахушев А.М. Об одном приближенном методе решения крае-
вых задач для дифференциальных уравнений и его приложения
к динамике почвенной влаги и грунтовых вод // Дифференци-
альные уравнения. 1982. Т. 28, № 1. С. 72-81.
129.	Нахушев А.М. Нагруженные дифференциальные уравнения и
их приложения // Труды Всесоюзного симпозиума. Тбилиси,
1982. С. 183-188.
130.	Нахушев А.М. Нагруженные уравнения и их приложения //
Дифференциальные уравнения. 1983. Т. 19, № 1. С. 86-94.
131.	Нахушев А.М. О нелокальных краевых задачах со смещением и
их связи с нагруженными уравнениями // Дифференциальные
уравнения. 1985. Т. 21, № 1. С. 92-102.
132.	Нахушев А.М. Нагруженные дифференциальные уравнения и
их приложения. Дифференциальные уравнения в частных про-
изводных и их приложения // Труды Всесоюзного симпозиума.
Тбилиси, 1986.
133.	Нахушев А.М. Регуляризация задачи Коши со смешанным но-
сителем для уравнения теплопроводности методом малого па-
раметра. // Методы малого параметра. Тезисы докладов Все-
союзного научного совещания. Кабардино-Балкарский госуни-
верситет. Нальчик, 1987. 167 с.
134.	Нахушев А.М. Анализ одной математической модели спи-
рального филлотаксиса // Сборник научных трудов (межвуз.)
224
Список литературы
«Нелокальные задачи и их применения к автоматизированным
системам». Нальчик: КБГУ, 1989. С. 161-167.
135.	Нахушев А.М. Об уравнениях состояния непрерывных одномер-
ных систем и их приложениях. Нальчик: Логос, 1995. 50 с.
136.	Нахушев А.М. Уравнения математической биологии. М.: Выс-
шая школа, 1995. 301 с.
137.	Нахушев А.М. Дробное исчисление и его применение. М.: Физ-
матлит, 2003. 272 с.
138.	Нахушев А.М. О некоторых системах вход-выход и уравнени-
ях их состояния // Труды международной научной конферен-
ции "Дифференциальные уравнения с частными производными
и родственные проблемы анализа и информатики". Ташкент,
2004.
139.	Нахушев А.М. Об одной ударной задаче Франкля // Труды
международной конференци "Физика экстремальных состояний
вещества-2006". С. 61-63.
140.	Нахушев А.М. Задачи со смещением для уравнений в частных
производных. М.: Наука, 2006. 287 с.
141.	Нахушев А.М. К теории нагруженных уравнений // Доклады
Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2008.
Т. 10, № 2.
142.	Нахушев А.М. К теории нагруженных уравнений с частны-
ми производными // Материалы Международного Российско-
Абхазского симпозиума "Уравнения смешанного типа и род-
ственные проблемы анализа и информатики". Нальчик-
Эльбрус, 17-22 мая 2009 г.
143.	Нахушев А.М. К теории нагруженных уравнений с частными
производными // Труды Международной научной конферен-
ции "Современные проблемы вычислительной математики и
математической физики", посвященной памяти академика А.А.
Самарского. Москва, МГУ, 16-18 июня 2009 г.
144.	Нахушев А.М. Задача Дарбу для нагруженного вырождающе-
гося гиперболического уравнения второго порядка // Тезисы
XXIII Воронежской весенней математической школы "Совре-
менные методы теории краевых задач" (Понтрягинские чтения
- XX). Воронеж, 3-9 мая 2009 г.
145.	Нахушев А.М. Общие сведения о нагруженных уравнениях //
Вестник Самарского государственного технического универси-
тета. Серия математическая. 2008. № 2(8).
146.	Нахушева В. А. Дифференциальные уравнения математических
моделей нелокальных процессов. М.: Наука, 2006. 174с.
Список литературы
225
147.	Нахушева В.А. Задачи Коши и Дирихле в видоизмененной по-
становке для одного класса нагруженных дифференциальных
уравнений дробного порядка // Доклады Адыгской (Черкес-
ской) Международной академии наук. 2009. Т. 11, № 1.
148.	Нахушева В.А. Краевые задачи для уравнения теплопровод-
ности смешанного типа // Доклады Адыгской (Черкесской)
Международной академии наук. 2010. Т.12, № 2. С. 39-45.
149.	Нахушева З.А. Об одной нелокальной задаче для уравнения в
частных производных // Дифференц. уравнения. 1986. Т. 22,
№ 1. С. 171-174.
150.	Нахушева З.А. Об одной нелокальной задаче для эллиптическо-
го уравнения с двумерным оператором Лапласа в главной части
// Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии
наук. 2009. Т. 11, № 2. С. 32-35.
151.	Нахушева З.А. Задача Гурса в интегральной постановке // Ма-
териалы Международного Российско-Болгарского симпозиума
"Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа
и информатики". Нальчик-Хабез, 2010. С. 195-197.
152.	Нерпин С.В., Чудновский А.Ф. Энерго- и массообмен в системе
растение-почва-воздух. Л.: Гидрометеоиздат, 1975.
153.	Огородников Е.Н. О корректности некоторых аналогов зада-
чи Гурса для одной системы нагруженных дифференциаль-
ных уравнений с сингулярными коэффициентами // Материалы
Международного Российско-Узбекского симпозиума «Уравне-
ния смешанного типа и родственные проблемы анализа и ин-
форматики». Нальчик, 2003. С. 74-75.
154.	Огородников Е.Н. Некоторые характеристические задачи для
систем нагруженных дифференциальных уравнений и их связь
с нелокальными краевыми задачами // Вестник СамГТУ. Се-
рия: Физико-математические науки. Вып. 19. Самара, 2003. С.
22-28.
155.	Огородников Е.Н. Корректность задачи Коши—Гурса для систе-
мы вырождающихся нагруженных гиперболических уравнений
в некоторых специальных случаях и ее равносильность задачам
с нелокальными краевыми условиями / / Вестник СамГТУ. Се-
рия: Физико-математические науки. Вып. 26. Самара, 2004. С.
26-38.
156.	Озтюрк И. О правильной постановке краевой задачи для одно-
го класса нагруженных уравнений смешанно-параболического
типа // Доклады Академии наук. 1995. Т. 341, № 1. С. 20-21.
157.	Паровик Р.И. Об одной математической модели диффузии-
адвекции радона во фрактальной среде // Доклады Адыгской
226
Список литературы
(Черкесской) Международной академии наук. 2009. Т. И, № 1.
С. 110-113.
158.	Паровик Р.И. Решение нелокального уравнения аномальной
диффузии-адвекции радона в системе грунт-атмосфера // Вест-
ник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2011. № 1 (2). С. 37-44.
159.	Петров А.А., Поспелов И.Г. Системный анализ развивающейся
экономики к теории производственной функции. I // Техниче-
ская кибернетика. 1979. № 2. С. 17-27.
160.	Полубаринова-Кочина П.Я., Пряженская В.Г., Элих В.Н. Ма-
тематические методы в вопросах орошения. М.: Наука, 1969.
161.	Потапов М.М. Аппроксимация задачи Дирихле-управления и
двойственной задачи с нерегулярными Нейман-наблюдениями
для волнового уравнения // Доклады РАН. 2006. Т. 408, № 5.
С. 596-600.
162.	Псху А.В. О решении задачи Франкля // Дифференциальные
уравнения. 2000. Т. 36, № 3. С. 421-422.
163.	Псху А.В. Задача Франкля для гиперболо-параболического
уравнения // Дифференц. уравнения. 2003. Т.39, № 1. С. 105-
112.
164.	Псху А.В. Уравнения в частных производных дробного поряд-
ка. М.: Наука, 2005. 199 с.
165.	Пулькин С.П. Избранные труды. Самара: Универе групп, 2007.
264 с.
166.	Рамазанов М.И. О краевой задаче для "существенно" нагру-
женного параболического уравнения в неограниченных обла-
стях // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной ака-
демии наук. 2004. Т. 7, № 1. С. 84-91.
167.	Репин О.А. О разрешимости одной нелокальной задачи для
параболо-гиперболического уравнения с дробной производной
// Труды Всероссийской научной конференции "Математиче-
ское моделирование и краевые задачи". 26-28 мая 2004 г. Ч. 3.
Самара. С. 183-188.
168.	Сабитов К. Б. Начально-граничная задача для нагруженного
уравнения параболо-гиперболического типа / / Доклады Адыг-
ской (Черкесской) Международной академии наук. 2009. Т. 11,
№ 1. С. 69-72.
169.	Салахитдинов М.С. Уравнения смешанно-составного типа.
Ташкент: ФАН, 1977. 165 с.
170.	Сербина Л. И. Нелокальные математические модели переноса в
водоносных системах. М.: Наука, 2007. 167 с.
171.	Смирнов В.И. Курс высшей математики. М.;Л.: ГИТТЛ, 1951.
Т. 4. 804 с.
Список литературы
227
172.	Смирнов. М.М. Вырождающиеся гиперболические уравнения.
Минск: Вышэйшая шк., 1977. 157 с.
173.	Солдатов А.П. Об одной задаче теории функций // Дифферен-
циальные уравнения. 1973. Т. 9, №2. С. 325-332.
174.	Солдатов А.П. Решение одной краевой задачи теории функций
со смещением // Дифференциальные уравнения. 1974. Т. 10,
№1. С.143Л52.
175.	Тарг С.М. Основные задачи ламинарных течений. М.;Л.:
ГИТТЛ, 1951.
176.	Теплицкий И. С. Некоторые вопросы расчета безнапорной
неустановившейся фильтрации: Автореф. дис.... канд. физ.-мат.
наук. Ташкент, 1960.
177.	Терехов Л.Л. Производственные функции. М.: Статистика,
1974. 127 с.
178.	Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической фи-
зики. М.: Наука, 1977. 735 с.
179.	Токова А.А. Краевая задача с условиями Пуанкаре для линей-
ного нагруженного дифференциального уравнения с частны-
ми производными параболического типа // Доклады Адыгской
(Черкесской) Международной академии наук. 2007. Т. 9, №1.
С. 110-112.
180.	Токова А.А. Краевая задача для одного нагруженного диффе-
ренциального уравнения // Доклады Адыгской (Черкесской)
Международной академии наук. 2005. Т. 7, № 2. С. 56-61.
181.	Токова А.А. О первой краевой задаче для одного нагруженного
дифференциального уравнения // Доклады Адыгской (Черкес-
ской) Международной академии наук. 2005. Т. 8, № 1. С. 87-91.
182.	Токова А.А. Задача с нелокальными краевыми условиями
для одного класса нагруженных дифференциальных уравнений
в частных производных // Доклады Адыгской (Черкесской)
Международной академии наук. 2006. Т. 9, № 1. С. 65-68.
183.	Фридман А. Уравнения с частными производными параболиче-
ского типа. М.: Мир, 1968. 427 с.
184.	Хеди Э., Диллон Д. Производственные функции в сельском
хозяйстве. М.: Прогресс, 1965. 599 с.
185.	Хо Хон Сун Задача Трикоми для нагруженной системы
Эйлера-Дарбу-Пуассона. Нальчик, 1989. 16 с. Деп. в ВИНИТИ
31.10.90 г., № 546-890.
186.	Хо Хон Сун Задача Дирихле для одной системы нагруженных
уравнений первого порядка. Нелокальные задачи и их прило-
жения к автоматизированным системам // Межвуз. сборник.
Нальчик: КБГУ, 1989. С. 258-264.
228
Список литературы
187.	Хо Хон Сун Линейные краевые задачи для систем нагруженных
дифференциальных уравнений первого порядка: Дис... канд.
физ.-мат. наук. Нальчик, 1990. 87 с.
188.	Холиков Д.К. Нелокальные задачи с условием А.М. Нахушева
для нагруженного псевдопараболического уравнения // Мате-
риалы VIII Школы молодых ученых «Нелокальные краевые
задачи и проблемы современного анализа и информатики».
Нальчик-Хабез, 25-30 июня 2010 г. С. 118-119.
189.	Хубиев К. У. Об одной краевой задаче для нагруженного урав-
нения смешанного гиперболо-параболического типа // Доклады
Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2005.
Т.7, №2. С. 74-77.
190.	Хубиев К. У. Аналог задачи Трикоми для нагруженного уравне-
ния смешанного типа с переменными коэффициентами // До-
клады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук.
2006. Т. 8, № 2. С. 69-72.
191.	Хубиев К.У. Аналог задачи Трикоми и задача со смеще-
нием для модельного нагруженного уравнения гиперболо-
параболического типа // Доклады Адыгской (Черкесской)
Международной академии наук. 2008. Т. 10, № 2. С. 67-71.
192.	Хубиев К. У. Внутреннекраевая задача для нагруженного урав-
нения смешанного типа // Известия вузов. Северо-Кавказский
регион. Естественные науки. 2008. № 6. С. 23-25.
193.	Чадаев В. А. Модификация метода Эйлера для дифференциаль-
ного уравнения с дробной производной // Доклады Адыгской
(Черкесской) Международной академии наук. 2005. Т. 7, № 2.
С. 78-81.
194.	Чадаев В. А. Задача Коши для квазилинейного уравнения дроб-
ного порядка // Доклады Адыгской (Черкесской) Международ-
ной академии наук. 2006. Т. 8, № 2. С. 73-78.
195.	Чадаев В.А. Задача Коши в локально-нелокальной постанов-
ке для нелинейного уравнения дробного порядка // Доклады
Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2007.
Т. 9, № 1. С. 122-124.
196.	Чадаев В.А. Численное решение смешанной задачи для урав-
нения в частных производных дробного порядка // Доклады
Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2008.
Т. 10, № 1. С. 75-77.
197.	Шевякова О.П. Краевые задачи для нелокальных дифференци-
альных уравнений с частными производными дробного порядка:
Автореф. канд. физ.-мат. наук. Белгород, 2006. 15 с.
198.	Шевякова О.П. Краевая задача для одного нагруженного
дифференциального уравнения дробного порядка / / Доклады
Список литературы
229
Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2006.
Т. 8, № 1. С. 122-124.
199.	Шевякова О.П. Краевая задача для уравнения в частных про-
изводных дробного порядка с различными началами с по-
стоянными коэффициентами // Материалы Международного
Российско-Азербайджанского симпозиума «Уравнения смешан-
ного типа и родственные проблемы анализа и информатики»
и VI Школы молодых ученых «Нелокальные краевые задачи и
проблемы современного анализа и информатики». Эльбрус, 12-
17 мая 2008 г. С. 95.
200.	Шхануков М.Х. Разностный метод решения одного нагружен-
ного уравнения параболического типа // Дифференциальные
уравнения. 1977. Т. 13, № 1. С. 163-167.
201.	Янгарбер В.А. Сеточная схема для решения модифицированно-
го уравнения влагопереноса // Доклады академии сельскохо-
зяйственных наук. 1966. №8. С. 4&-48.
202.	Hadamard J. Equations aux derivees partielles // L’enseignement
mathematique. 1936. Vol. 35. P. 5.
203.	Hallaire M. L’eau et la production vegetale // Institute National
de la Recherche Agronomique. P., 1964.
204.	Dzenaliev M.T., Ramazanov M.I. On the boundary value problem
for the spectrally loaded heat conduction operator // Siberian
Mathematical Journal. 2006. V. 47, № 3. P. 527-547.
205.	Gellerstedt S. Sur une equation lineare aux derivees partielles de
type mixte Arkiv for Matematik, Astronomi och Itysik. 25A. No 29,
1937.
206.	Krall A.M. The development of general differential and general
differential boundary systems // Rock. Moun. J. Math. 1975. V. 5,
№4. P. 493-542.
207.	Liu Junyi, Xu Mingyu. Some exact solutions to Stefan problems
with fractional differential equations // Journal of Mathematics
Analysis and Applications. 2008. V. 1. P. 1-7.
208.	Lungu N. On some Volterra integral inequalities // Fixed Point
Theory. 2007. V. 8, № 1. P. 39-45.
209.	Mainardi F. Fractional Relaxation-Occilation and Fractional
Diffusion-Wave Phenomena Chaos, Solitons and Fractals. 1996.
V.7, N9. P. 1461-1477.
210.	Moiseev E.I., Ambartsumyan V.E. On the basis property of
eigenfunctions of the Frankl problem with a nonlocal oddness
condition of the second kind // Integral Transforms and Special
Functions. 2010. V. 21, No 5/6. P. 340-349.
211.	Nahushev А.М. A nonlocal problem and the Goursat problem
for a loaded equation of hyperbolic type, and their application
to the prediction of ground moisture // Dokl. Akad. Nauk
SSSR. 1978. V. 242, № 5. P. 1243-1247.
212.	Nakhushev A. M. On some fundamental properties of Riemann-
Liouville operator and their application to partial differential
equations of fractional order // Book of Abstracts International
Conference "Differential Equations and Related Topics", dedicated
to the Centenary Anniversary of LG. Petrovskii. Moscow (may 22-
27, 2001). P. 288-290.
213.	Nakhushev A.M. On some synergetic input-output systems and
equation of their condition // Доклады Адыгской (Черкесской)
Международной академии наук. 2009. Т. 11, № 2. С. 27-31.
214.	Ozturk I. Boundary value problem for the loaded differential
equation of fractional order // Доклады Адыгской (Черкесской)
Международной академии наук. 1995. Т. 1, № 2. С. 12-17.
215.	Ridolfi L., Porporato A., Revelli R. Green’s function of the
linearized de Saint-Venant equations// J. of Engineering Mechanics.
2006. № 2. P. 125-132.
216.	Showalter R.E., Ting T.W. Asymptotic behavior of solutions of
pseudo-parabolic partial differential equations // Ann. Mat. Рига
Appl. 1971. 90 (40). P. 241-258.
217.	Wright E.M. The generalzed Bessel function of order greather than
one // The Ruarterly Journal of Mathematics Oxford series. 1940.
V. 11, № 11. P. 36-48.
Предметный указатель
Аналог
формулы Маклорена, 145
принципа Зарембы—
Жиро, 120
принципа Зарембы-Жиро,
189
условия Тихонова, 188
задачи Трикоми, 165
Формула
Бореля—Помпею, 25
Хилле—Тамаркина, 65
Хилле-Тамаркина, 54
Маклорена, 145
Функция
Эйри, 78
Грина, 66, 67, 87, 110, 136,
193
Грина—Адамара, 48
Кобба—Дугласа, 147
Райта, 183
Римана, 28, 42, 63
источника, 87
обобщенная экспоненци-
альная, 82, 138
типа Миттаг-Леффлера,
41
типа Райта, 186
влияния мгновенного
точечного источника,
110
Интеграл
типа Коши, 157
Кривая Ферхюльста логисти-
ческая, 73
Модель Максвелла, 142
Оператор
Коши—Римана, 25
Коши-Римана, 22, 148
Лапласа. 121
Лапласа фрактальный,
138
Римана—Лиувилля регу-
ляризованный, 149
дифференциальный
граничный, 17
дробного дифференциро-
вания, 40
дробного интегрирования,
24
локальный, 8
нелокальный, 8
Полином Миттаг-Леффлера,
148
Принцип
Зарембы—Жиро, 120
Зарембы-Жиро, 189
экстремума, 117
Решение обобщенное, 38
Символ Дарбу, 47
Система Коши-Римана, 147
Уравнение
Абеля интегральное, 56
Аллера, 59
Бенджамина—Оно, 21
Бернулли, 98, 102
Больцмана, 142
Буссинеска, 74, 94, 99
Буссинеска нагруженное,
77, 98
Буссинеска—Лява, 21
Эйлера—Дарбу—Пуассона
однородное, 45
Кортевега де Фриза, 77
Лапласа, 122, 127
Лапласа обобщенное
(фрактальное), 148
Лаврентьева—Бицадзе,
177
Мак-Кендрика - фон Фер-
стера, 111
Пригожина, 21
Сен-Венана, 107
Шредингера, 138
Трикоми обобщенное, 77
Вольтерра нагруженное
интегральное, 10
диффузии, 103
диффузии нагруженное,
103
дробное осцилляционное,
140
движения почвенной вла-
ги, 59
двумерное нагруженное
интегральное, 10
фрактальной диффузии,
181
гиперболического типа
нелокальное, 27
интегральное локально на-
груженное, 10
интегральное с частными
интегралами, И
интегральное типа Кнезе-
ра, И
интегродифференциаль-
ное, 18
нагруженное, 8, 17
нагруженное	дробной
диффузии, 85
нагруженное	функцио-
нальное, 9
нагруженное конвектив-
ной диффузии, 117
нагруженное смешанного
типа, 176
рождаемости, 112
состояния реологическое,
142
спектрально-нагруженное,
19
существенно нагруженное,
19
теплопроводности, 84, 162
теплопроводности сме-
шанного типа, 181
волновое одномерное, 24
Условие
Франкля, 196
Геллерстедта, 54
Тихонова, 20, 164, 188
краевое с нелокальным
смещением, 86
Задача
Бицадзе—Самарского, 121
Дарбу, 46
Дирихле, 70, 79, 125, 153
Франкля, 197
Гурса, 28
нелокальная обобщен-
ная, 37
однородная, 34, 36
Коши, 51, 60, 79, 98
со смешанным носите-
лем, 103
видоизмененная, 83
Коши-Гурса, 52
Самарского, 108
Стефана, 85
Тарга, 98
Трикоми, 165, 177
двухточечная, 70
нелокальная внутренне-
краевая, 168
первая краевая, 90, 192
с интегральным смещени-
ем, 129
смешанная, 194
смешанная краевая, 84, 90
третья краевая, 84
вторая краевая, 84, 87, 90