Автор: Хапаев М.М.
Теги: анализ математический анализ функциональный анализ физика математика колебания
ISBN: 5-06-001276-Х
Год: 1988
Текст
\. М. ХАПАЕВ
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ
ЧЕТОДЫ
И УСТОЙЧИВОСТЬ
В ТЕОРИИ
НЕЛИНЕЙНЫХ
КОЛЕБАНИЙ
Допущено Министерством высшего
и среднего специального образования СССР
в качестве учебного пособия
для студентов вузов,
обучающихся по специальностям
«Прикладная математика»,
«Механика», «Физика»
Москва «Высшая школа» 1988
ББК 22.16
Х19
УДК 517
Рецензенты: кафедра спецкурсов высшей математики
Московского энергетического института (зав. кафедрой Д-р физ.-мат. наук,
проф. С. А. Ломов); чл.-кор. АН УзССР н. Ю. Сатимов
Хапаев М. М.
Х19 Асимптотические методы и устойчивость в теории
нелинейных колебаний: Учеб. пособие для вузов. — М.:
Высш. шк., 1988.— 184 с: ил.
15ВЯ 5—06—001276—X
В пособии содержится систематическое изложение одного из основных
методов теории нелинейных колебаний — асимптотического метода
усреднения и важнейшего метода теории Устойчивости — прямого метода Ляпунова.
Излагаются также методы исследования на устойчивость в системах
обыкновенных дифференциальных уравнений, основанные на сочетании
указанных методов. В качестве приложений рассматриваются как классические, так
в современные задачи теории устойчивости и теории нелинейных колебаний,
1703030000(4309000000)—259 _ ББК 22.1в
001(01)—88 4б~"88 б"
Учебное издание
МИХАИЛ МИХАИЛОВИЧ ХАПАЕВ
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
И УСТОЙЧИВОСТЬ
В ТЕОРИИ НЕЛИНЕЙНЫХ КОЛЕБАНИИ
Зав. редакцией Е. С. Гридасова
Редактор А. М. Суходский
Мл. редакторы: Н. П. М а й к о в а, Г. В. В я т о х а
Оформление художника В. И. Казаковой
Художественный редактор В. И. Пономареико
Технический редактор Г. А. Фетисова
Корректор В. В. Кожуткина
ИБ № 7124
Изд. № ФМ-897. Сдано в набор 15.09.87. Подп. в печать 09.03.88. Формат
бОХЭО'Аа- Бум. офсетная № 2. Гарнитура литературная. Печать высокая.
Объем 11,5 усл. печ. л. 11,75 усл. кр.-отт. 10,84 уч.-изд. л. Тираж 6 800 экз.
Зак. № 1743. Цеиа 35 коп.
Издательство «Высшая школа». 101430, Москва, ГСП-4, Неглинная ул., д. 29/14;
Московская типография № 8 Союзполиграфпрома' при Государственном коми»
тете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. 101898,
Москва, Центр, Хохловский пер., 7.
15ВЫ 5—06—001276—X © Издательство «Высшая школа>, 1988
ПРЕДИСЛОВИЕ
В последнее время большое внимание уделяется новым и классическим
задачам теории нелинейных колебаний. К таким задачам относятся: задача
нахождения условий устойчивости резонансных движений гироскопа, вопросы
{СТОйчивости движений спутника относительно центра масс, классическая
роблема трех тел небесной механики и т. д. Во всех этих случаях требуется
изучить решение иа большом или бесконечном отрезке времени. При этом учет
Ьлйяния малых сил, действующих на систему, приводит к эволюционному
изменению параметров системы иа большом отрезке времени. Новые методы
Исследования устойчивости в таких задачах основаны на сочетании
классических методов исследования устойчивости с получившими развитие в
последнее время асимптотическими методами.
■: Настоящая книга написана на основе лекций по общему курсу
обыкновенных дифференциальных уравнений и спецкурсу по асимптотическим
методам математической физики, которые в течение ряда лет были
прочитаны автором на факультете вычислительной математики и кибернетики
Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова, а также лекций,
прочитанных на различных конференциях и школах молодых ученых.
В главах I и II излагаются основные положения теории устойчивости и
асимптотических методов, формулируются теоремы прямого метода и метода
Линеаризации теории устойчивости, а также теоремы об асимптотической
близости решений одночастотных и многочастотных систем.
В главе III излагаются методы исследования иа устойчивость в
нейтральных . (критических) случаях, основанные на сочетании идей прямого метода
теории устойчивости и асимптотического метода усреднения.
В главах IV—VI в качестве приложения изложенных методов рассматри- ,
ваются названные выше прикладные задачи. Для них проведено исследование
на устойчивость и получены условия устойчивости.
Настоящая книга является учебным пособием по общему курсу
«Обыкновенные дифференциальные уравнеиия> и спецкурсу «Дополнительные главы
математической физики» и предназначена для студентов вузов, обучающихся
По специальностям «Прикладная математика», «Механика», «Физика». Оиа
может быть также полезна студентам близких инженерных специальностей,
аспирантам и инженерам.
Автор
ВВЕДЕНИЕ
Теория нелинейных колебаний занимается изучением
процессов, многократно повторяющихся во времени. Такие процессы
изучаются в электродинамике: это задачи распространения
электромагнитных волн, электромагнитные колебания контуров и
различных резонаторов, движение заряженных частиц в ускори*
телях, различные радио- и электротехнические процессы и т. д.
Многие задачи механики можно отнести к теории колебаний.
По-видимому, первой механической задачей, относящейся к
данной теории, является задача изучения колебаний маятника. На
этом примере можно проследить эволюцию математической
модели процесса. Наиболее простой является модель малых
колебаний математического маятника. При этом предполагается, что
масса колеблющегося тела сосредоточена в точке; нить (или
стержень), на которой подвешена масса, является нерастяжи-
иой. и невесомой; для малых колебаний уравнение движения
маятника становится линейным, а частота колебаний
постоянной. Дальнейшие усложнения модели идут по следующим1
направлениям: вводится малое затухание и тогда амплитуда
колебаний медленно уменьшается; колебания считаются не
малыми и тогда частота колебаний зависит от амплитуды; масса
маятника распределена; сам маятник или нить его подвеса
деформируемы; рассматривается система связанных маятников,
между которыми возможны резонансы, и т. д. Характерной
особенностью этих моделей в сравнении с моделью малых колебаний
математического маятника является учет малых нелинейиостей,
малых сил, действующих на систему, малых членов, которые на
протяжении одного периода движения оказывают малое
влияние на процесс, однако на больших отрезках времени они
приводят к медленным эволюционным изменениям параметров
колебательной системы. Перечисленные выше модели интересны не
только сами по себе, но и являются упрощенными моделями
более сложных процессов и несут в себе информацию о наиболее
важных сторонах этих процессов. Так, например, слабосвязан-
4
КЫе маятники с частотами, зависящими от амплитуды, в
зависимости от вида малых нелинейностей и функций связи могут
описывать колебания заряженной частицы в поперечном сечении
, |по двум координатам) камеры ускорителя элементарных
частиц или эволюцию параметров орбит планет в классической
задаче трех тел небесной механики.
Эффективным средством исследования медленных
эволюционных изменений в колебательных системах является метод
усреднения. Для возможности проведения усреднения в системе
следует предполагать известной картину движения на
протяжении одного периода. Удобно иметь эту информацию в виде
интегралов движения упрощенной системы, которая не содержит
малых компонент, вызывающих эволюционные изменения.
Усреднение состоит в том, что для изучения эволюции в полной
системе под влиянием малых воздействий производится
интегрирование вдоль известного решения упрощенной системы.
В дальнейшем малые силы, малые воздействия на систему
будем называть возмущениями. Систему, содержащую
такие возмущения, будем называть возмущенной, а упрощенную
систему без возмущений — невозмущенной.
Считается, что первыми задачами, в которых было проведено
, усреднение, являются задачи небесной механики. Уравнения
движения в таких задачах обычно записываются в канонической
форме [37, 38]. Функция Гамильтона разлагается в ряды Фурье
по характерным фазам, т. е. содержит гармонические функции
Вида со&(Ь|)+<р0), где в комбинационную фазу Ь|>=&и|)1 + &2я|>2 +
+ ... входят быстрые и медленные угловые переменные.
Например, к быстрым переменным относятся углы, описывающие по-
'' ложение планеты на орбите; к медленным переменным — углы,
определяющие положение эллиптической орбиты относительно
плоскости орбиты. Усреднение в таких задачах состояло в том,
,что в правых частях канонических уравнений движения
опускались быстдросциллирующие гармоники, благодаря чему
интегрирование системы существенно упрощалось. Каких-либо оценок
1< уклонения решений полной системы от решений упрощенной в
".. таких задачах не проводилось.
(■ Основную идею усреднения содержит известная теорема
I' Римана из теории тригонометрических рядов Г / (х) &'ю рх их —> О
При р-*-оо. |
Интерес к процедуре усреднения сильно возрос в связи с раз-
х витием физики плазмы и разработкой проблемы управляемой
' термоядерной реакции. Первые модели таких установок
рассматривались в одночастичном приближении, т. е. изучалось
движение отдельных заряженных частиц в заданных электриче-
■ ских и магнитных полях (в магнитных ловушках).
•'
Рис. 1
На рис. 1 изображена простейшая адиабатическая
(зеркальная) магнитная ловушка. Частицы удерживаются в продольном
(по полю) направлении с помощью магнитных пробок
(магнитных зеркал) — областей, в которых напряженность магнитного
поля сильно (но плавно) возрастает. Такие области могут
отражать налетающие на них вдоль силовых линий заряженные
частицы. В сильном магнитном поле, когда ларморовский радиус
Яь значительно меньше
характерной длины
изменения магнитного
поля, сохраняется
адиабатический инвариант
движения — отношение
поперечной энергии
частицы к магнитному
полю тVx2/(2Н),
имеющий смысл
магнитного момента ларморов-
ского круга. Отсюда
следует, что при
приближении заряженной
частицы к пробке
поперечная компонента ь±
скорости возрастает, а
так как полная энергия
частицы при движении
в магнитном поле не
меняется, то
уменьшается продольная
компонента V, . В точке,
где V | обращается в
нуль, и происходит
отражение. Ц ловушке,
изображенной на рис. 1,
магнитные зеркала
создаются двумя одинаковыми коаксиальными катушками, в
которых ток протекает в одинаковых направлениях. На рис. 2
показано движение заряженной частицы в «зеркальной» магнитной
ловушке. Видно, что движение частицы можно разделить на
быстрое и медленное. Частица быстро движется по дуге
окружности ларморовского радиуса Яь, который определяется величиной
магнитного поля Я и скоростью частицы в ортогональном полю
направлении о_]_ (для однородного поля #=#о, #1,=——] •
е#о /
Медленными переменными являются величина
ларморовского радиуса и координаты центра ларморовской окружности.
Задача состоит в том, чтобы с помощью усреднения по быстрому
круговому движению получить уравнения, описывающие эволю-
6
Рис. 2
4Н1ш этих параметров. Интересно, что магнитной ловушкой для
Л&смических лучей является магнитное поле Земли (рис. 3).
/,% Вопросы обоснования и развития метода усреднения
изучались в работах Н. М. Крылова, Н. Н. Боголюбова, Ю. А. Митро-
'Яольского [1, 9, 10, 12], где было введено понятие системы в
'Стандартной форме:
х=цХ (х, I), &1тх=п, л:(0)=л:0, 0<|*<^,1,
содержащей малый параметр ц,; точка означает
дифференцирование по времени Л.
Приведение некоторой колебательной системы к стандартной
форме является самостоятельной
Задачей. Если рассматривается
система, содержащая малые
возмущения, и известны интегралы
невозмущенной системы, то после
Перехода к новым переменным, в
Качестве которых выбраны
интегралы невозмущенной системы,
Получится система в стандартной
форме. В самом деле, эти
интегралы сохраняются вдоль
интегральных кривых невозмущенной
системы и медленно меняются (их
производные имеют тот же
порядок малости, что и возмущения)
вдоль кривых полной системы.
Основное условие, которому
должна удовлетворять система в
стандартной форме,— это условие существования среднего
'' . г
Х0(х)=Нт-}- \Х(х, Ъ<И.
о
Исходной системе в стандартной форме ставится в соответст-
. вие усредненная система
Изменив масштаб времени, введем медленное время т=ф,;
тогда получим
^ ^Х0а), $(0)=л:0,
Где кружок означает дифференцирование по -с. Отсюда видно,
ЧТО усредненная система проще исходной, так как она автоном*
На и не содержит параметра.
Интегрируя усредненную систему аналитически или
численно, на любом конечном отрезке [0, Ь] получим картину
интегральных кривых этой системы. Интегралы усредненной системы
называются адиабатическими инвариантами. Отметим, что,
поскольку т=/ц, конечному отрезку изменения медленного
времени тге[0, Ь] соответствует асимптотически большой отрезок
изменения ^^[0, Ь/ц.]. Представление о быстрых движениях
можно получить, интегрируя систему в стандартной форме по
времени при фиксированных параметрах х. Таким образом,, если
известно, что решение полной системы остается близким к
решению усредненной системы, выходящему из той же точки, то на
асимптотически большом отрезке времени становится известной
и картина интегральных кривых системы в стандартной форме.
При этом ясно, что численное интегрирование системы в этой
форме на отрезке [0, Ь/ц.] сопряжено с большими ошибками из-
за величины отрезка интегрирования.
Рассмотрим еще один аспект численного интегрирования
системы в стандартной форме. В последнее вре,мя активно
развиваются численные методы интегрирования жестких систем [40]. Не
существует строгого определения жесткости, но для жестких
систем характерно наличие нескольких масштабов изменения
аргумента, так что для представления решения используются
функции с различными скоростями изменения. Именно это
характерно для систем в стандартной форме: имеются медленный
эволюционный процесс, который описывается усредненной системой, а
также быстрые осцилляции, которые описываются осциллирую^
щими гармониками правых частей системы в стандартной
форме. Здесь для простоты будем полагать, что эти правые части
периодичны по времени I и разлагаются в ряды Фурье. Вместе
«-.атиад учет все более высоких гармоник при непосредственном
численном интегрировании требует все более мелкого шага
интегрирования. С этой точки зрения изложенную схему
интегрирования, основанную на условии существования среднего,
можно рассматривать как основу алгоритма интегрирования такого
класса жестких систем.
Точка зрения на систему в стандартной форме как на
жесткую систему и на метод усреднения как на
численно-аналитический метод интегрирования таких систем в полной мере
относится и к многочастотным системам, которыми называются системы
вида
х=рХ(х, ф), (Итл:=я,
Ф=ш(л:)-|-[аФ(л:, ф)у Шт<1>ь=:т,
если число частот т~^2. Если же частота одна (т=1), то
система называется системой с быстровращающейся фазой и она
сводится к системе в стандартной форме. Предполагается, что
правые части многочастотной системы являются функциями, пе-
8
Цводическими по фазам г|> с периодом 2я и разложимыми в
абсолютно и равномерно сходящиеся кратные ряды Фурье:
к
Ш качестве правой части усредненной системы |=|д,Хо(|)
берется нулевая гармоника ряда Фурье. Однако исследование в мно-
ГОЧастотном случае осложняется резонансными явлениями,
которые могут иметь место в таких системах.
Говорят, что в многочастотной системе наступает резонанс,
1СЛИ на интегральной кривой системы комбинационная частота
Хй(л:)=(й(и(х))=*1(и1(л:)+А2со2(л:)+--. + *т(ит(-«)
обращается в нуль. При этом соответствующая гармоника
Хн{х)й1<-к^ наряду с Х0(х) перестает осциллировать и становится
Медленно изменяющимся слагаемым. Ясно, что в этом случае не
Приходится рассчитывать, что решение полной системы будет
близко к решению усредненной системы без дополнительных
условий, учитывающих сравнительную величину этих компонент.
Возможна и другая постановка задачи, когда в качестве
упрощенной системы рассматривается система, содержащая в
правых частях Хо(х) и резонансные гармоники. Численное или
аналитическое интегрирование такой системы проще, чем исходной
МНогочастотной, так как не учитываются быстроосциллирующие
Гврмоники. Система с такими правыми частями называется
усредненной системой с учетом резонансов.
Остановимся теперь подробнее на определении резонанса и
собственной частоты системы. Можно рассматривать
математическое и физическое определение этих понятий.
Математическое определение понятия собственной частоты
Системы получается в результате разделения переменных.
Собственная частота выражается через собственное значение
задали для пространственных переменных (как это имеет место,
например, для уравнения колебания струны). Однако такое
определение существенно связано с процессом разделения
переменных, который не всегда возможен.
Более общим является физическое определение понятия
собственной частоты системы. Рассматриваются ^колебательная си-
? Стема и внешнее периодическое воздействие на нее. Величина
собственной частоты принимается равной такой частоте внеш-
; Ивго воздействия, при которой наблюдается максимальная амп-
1 ЛНТУДа колебаний системы (рис. 4).
С Другой стороны, говорят, что в системе, находящейся под
? Воздействием внешней периодической силы, наблюдается резо-
' ШНС с внешней силой, если при некоторой частоте внешнего
воздействия (силы) происходит резкое возрастание амплитуды ко-
«Лвбаний системы.
»'(
9
Таким образом, собственная частота системы и резонанс
являются тесно связанными основными понятиями.
Отметим противоречивость физического определения
понятия собственной частоты системы. Без связи с внешней средой
нет возможности определить
собственную частоту, но, увеличивая
эту связь, мы уменьшаем точность
определения собственной
частоты. Математическое же
определение понятия собственной частоты
опирается на разделение
переменных и не предполагает такой
связи.
В процессе построения
математической модели происходит
формализация задачи и
приведение ее к какому-либо
каноническому виду. Колебательные системы часто удается свести к
многочастотной системе приведенного выше вида и в дальнейшем
под резонансом мы, как и говорилось, будем понимать
обращение в нуль комбинационной частоты.
Рис. 4
т
Глава I
МЕТОД УСРЕДНЕНИЯ
§ 1. Метод усреднения для систем в стандартной форме
с периодическими по времени правыми частями
Ниже будем предполагать, что система приведена к
стандартной форме, правые части полученной системы периодичны
ПО времени и представимы рядами Фурье. Как уже было
отмечено выше, приведение системы к стандартной форме является
Самостоятельной математической задачей, связанной с
интегрированием системы, описывающей быстрые движения.
Итак, рассмотрим систему
■^-^^Х(х,П=^\\хк(х)е'и, (1.1)
Где <Итх—п, х(0)=х0. Ряды Фурье в правых частях будем счи-
,гтать абсолютно и равномерно сходящимися. Правые части
усредненной системы содержат нулевые гармоники рядов Фурье
Хо{х). Тогда усредненная система примет вид
-^-=^о«>- (1-2)
В дальнейшем всюду под нормой вектора х понимается
эвклидова норма ||л:|| = Ух\-\-...-\-х%.
Сформулируем теорему (принцип усреднения [1]) о близости
решений полной и усредненной систем на асимптотически
большом отрезке времени ?е[0, 1/ц], где 1>0 — произвольная по*
стоянная. ^_ .
Теорема 1.1. Пусть вектор-функция X (х, 1)\периодична\ по
фремени с периодом 2я, разложима в абсолютно и равномерно
Сходящиеся по х из некоторой области 1> ряды Фурье. Пусть,
и
кроме того, Х(х, I) в области Б удовлетворяет условию
Липшица с постоянной N и решение усредненной системы
-у-=Х0Ю, -с=Д*, &(0)=*0, $=Цг1 = иМ=^(0 (1-3)
лежит в области О вместе с некоторой своей окрестностью на
отрезке тге[0, /,], где ^ — постоянная. Тогда для любого е>0
можно указать такое \л0, что при 0<ц,<|а0 на отрезке ^^[0,
Ь/\х] справедливо неравенство \\х(()— (()\\<г, где х=х(^ —
решение системы (1.1). $<,вяеда1
П Доказательство проведем по схеме, предложенной в [46]
и основанной на сравнении решений полной системы (1.1) и ус- .
редненной системы (1.2), (1.3). Запишем соответствующие
интегральные уравнения
I
х(()=х0+\>.^Х(хУ), ()Ы, (1.4)
о
I
\Ц)^хй + ч.\ХЛХФ)Ы- (1-5)
--х0 + \>-\-
Вычтем из уравнения (1.4) уравнение (1.5); затем, прибавляя и
вычитая Хо(х(1)) под знаком интеграла, получим
I
о
I
-\-Р^[Х(х((), ()-Х0(х(Щ<И. (1.6)
••»'-■■.,.. 6
Обозначим ~- „
Л"(х(0, *)-Х0(х«))^<?(х(*), О- л (1.7)
Запишем условие Липшица для функцииХ^, (): .
\\Х(х', 1)-Х{х\ 011<Л^||л:'-л:"1|. (1.8)
Это неравенство выполняется равномерно относительно I-
При 1=1*, учитывая разложение Х(х, 0 в ряд Фурье, имеем
Х(х, {*)=Х0(х), откуда следует условие Липшица для Х0(х}:
|| Х0 (х') - Хй (х") ||< N || х' - х" || . (1.9)
Учитывая это неравенство и используя обозначения (1.7), для
уклонения х(()—1(^) получим
I I
И *(*)-&(') Н<1*ЛГ С II хЦ)-\ (0|| <И + 1*11 [?(*(*), *)<»||.(1.1Р)
'О 6
12
еж
г
■к ^
функция ср(*(0> 0 при фиксированном *(*) имеет нулевое сред-
е, т. е,
Г ср(лг0, 0<У=0.- (1.11)
I'
Для оценки последнего интеграла в (1.10) разобьем его на
интегралы по отрезкам [/,, 1^+1] длины 2л, т. е. по периодам, и до-
вавнм интегралы вида (1.11), равные нулю:
М' 11 + 1
?(х(0, о#=2 I №<*<*>• 0-<р(*<4), 01 а^. (1.12)
1-х и
Оценим на каждом периоде разность <р(х(?), I)—ср(х(/,), I).
Поскольку правые части системы (1.1) по предположению
удовлетворяют условию Липшица и разлагаются в абсолютно и рав-
НОЦерно сходящиеся ряды Фурье, существует постоянная М
такая, что
\\Х(х, ОН <М. (1.13)
Используя эту оценку, на каждом периоде длиной 2л получим
||*(0—*(Ш<|*ЛГ.2я. (1-14)
Так как правые части Х(х, I) по х удовлетворяют условию
Липшица с постоянной #, то на каждом отрезке [<,-, *,-+1] имеем
О ?(*<*>,')-?(*(',■>, О II ОМУ-2я. (1.15)
^исло таких интегралов в сумме (1.12) не превосходит |Х/}д,2л] +
4-1, откуда с точностью ц, получаем оценку
$Ч(х(Ш)сИ
^рМ№л(11р2л-\-1)=*ММ1. (1.16)
.. Ю учетом оценки (1.16) неравенство (1.10) примет вид
I. <
'' 1хЦ)-№Ж\*ки\хф-№ЪМ+\>!ММ1, (1.17)
Откуда, переходя к новым переменным г=\\х(1)—1(()\\, получим
? ' гф^СрК^гЮсН + рМКЬ. (1.18)
* В'случае равенства соотношение (1.18) равносильно задаче Ко-
I ШИ для линейного скалярного уравнения
г=?Мг, г(0)=\>.ММ1. (1.19)
13
Решение этого уравнения записывается в виде
гСО^МЛ/Хе^'. -(К. 20)
На отрезке [0, Ь/ц] для него имеет место оценка
гУХрММЬе"1-. (1.21)
Таким образом, если выбрать \1й= (МЫЦ-^е-н'-г, то при всех
0<|Ц^цо на отрезке [0, Ь/\л] будет выполнена искомая оценка
МО-Б (0 И < е- ~
-Кек-ШЗло отмечено выше, с помощью усредненной системы
выделяются медленные эволюционные изменения параметров
системы. Информация о быстрых движениях, если система
записана в стандартной форме, содержится в осциллирующей части
ф(х, *). Сказанное относится не только к системам с
периодическими правыми частями. Для периодических по времени правых
частей строится форма приближения к решению, содержащая и
быстрые осцилляции. Изложим схему построения такого
приближения, основанную на методе последовательных замен,
следуя [1]. Введем обозначения /
*°1' Х(х, О=2*'(л:)"7Г (1,22)
■»ф0
и произведем в уравнениях (1.1) замену переменных х=|+
+ цХ(1, /). Учитывая, что
дХ
= ^Хч{х)ё«, (Ь23)
получим
41^"^"}"5г=^°ш+!11а:(?+^' *^-ха' °ь (1-24)
Умножая равенство (1.24) слева на матрицу -! 1 —(— I* ——— V и
разлагая правую часть по степеням ц, находим
-^-=^0«)-^-^-^о«)+^(^-^-)^«. 0-г-. (1.25)
В системе (1.25) осциллирующие гармоники содержатся в
членах порядка ц2. Чтобы перенести осцилляции в члены порядка
ц3, в исходном уравнении произведем более сложную замену
переменных:
, - _д;=Е + ^а, 0+»АРа, О, (1.26)
причем Р(1, () выбирается следующим образом:
где волна сверху означает интегрирование выражения вида
(1.22), две волны — двукратное интегрирование по этой схеме.
<14
I'
I Вапишем результат проведения замены (1.26), содержащий
^рл^ко медленные члены, имеющие порядки ц и ц,2; усреднение
уд*м обозначать чертой сверху:
> -^-=рТ«, 0+ц2{(*-^-)*«, /)}. (1.28)
^* Если '5 определяется из уравнения (1.28), то выражение (1.26)
удовлетворяет уравнению (1.1) с точностью ц3.
Подробно методам последовательных замен строятся высшие
Приближения в [1]°°Ътметим, что в практических задачах
построение высших приближений сопряжено со значительными
Трудностями в связи с усложнением выражений при
продвижении на каждый шаг.
Рассмотрим пример системы, относительно которой
достаточно Просто выполняются все этапы асимптотического
исследования: приведение к стандартной форме, процесс усреднения, ин-
!И,рирование усредненной системы, анализ кривых, задаваемых
итегралами усредненной системы. Система описывает
движение быстрой заряженной частицы вблизи оси периодического
Магнитного поля прямолинейной камеры, образованного
периодической системой кольцевых токов. Эту магнитную систему мож-
ШО рассматривать как жесткофокусирующукк такие системы
фокусируют пучки заряженных частиц в ускорителях с жесткой
фокусировкой. Впервые указанная система была рассмотрена в
[46]:
я>= —/(р) 8Н11 51П (а — ср) — [1/а>2 со5(а —ср),
|■' та = — / (Р) 51П I срз (а — ср) — 2рт» (50 + /0 сое О,
" . (1-^У)
р=[1рсо5(а —ср),
«р —[МИ 51П(а— ср).
Здесь р и чф — полярные координаты в поперечном сечении
камеры; до — абсолютная величина скорости в поперечном сече-
рии; а — угол, который образует скорость а? с некоторым
фиксированным направлением; /0=/о(р)—бесселева функция
мнимого аргумента; }(р) — целая функция, ДО) = 1; «о — параметр.
■Очевидно, что т и ос — быстрые переменные; р и ф — медленные
переменные.
\, Запишем вырожденную систему
■Я) = — / (р) 51П I 51П (а — Ср),
чюа = — / (р) 5Ш I сое (а — ср).
(1.30)
Легко проверить, что она имеет интегралы
/?=адсоз(а—ср), #=а> 51«(а—ср) —/(р)соз/. (1.31)
р.
15
Для приведения системы к стандартной форме перейдем1 от
переменных {до, ос, р, ср} к переменным {р, ц, р, ф}. Отметим,/что
второе уравнение исходной системы (1.29) имеет особенность,
но с помощью замены переменных в которой используюто)
интегралы (1.31), получим регулярную систему в стандартной
форме. Интегралы р и ц сохраняются вдоль интегральных*'
кривых системы (1.30) и медленно меняются вдоль решений
системы (1.19), поскольку правые части этих систем отличаются на
величину порядка ,ц. Запишем подробно уравнение для р:
др ■ , др ■ . др •
р=-^- чю + -г- а + -/- ?,
от да о?
откуда
Р= — [Ю>2С052(а —Ср)-^^ 51П (а — Ср)(5„— /0СО5/) +
+1«»а$та(а —Ч>). (1.32)
Подставляя в правую часть уравнения (1.32) интегралы р и д>
получим систему в стандартной форме:
^ = И-/>2+2(4 + /СО5/)(50-/0СО5/) + (/сО5/+4)2],
^=!х[-2/7(/со5/+<7)-2/г(50-/0со5О-/'/>рсо5/], (1.33)
Правые части содержат функции соз^, зт^, со$2^, 51п2^, т. е.
они уже разложены в ряды Фурье. Усреднение здесь
элементарно, так как среднее от перечисленных функций есть 0, а среднее
от со»2* есть 0,5. Проводя усреднение в системе (1.33), получим
усредненную систему, для переменных которой сохраним преж-
няе-ебовначения:
р=^\2дз0-/10+-1-Р+д*~рА,
. 1 . . С1-34)
4=-!х[2/^ + 2/«о1. р = р?р, 9=1^.
Эта система также легко интегрируется. Выпишем ее интегралы
(адиабатические инварианты):
Р207 + 5„>=*.
г
Р^2+-^-+5оРг+2|(//0—5-/2)р^Р=У. 0.35)
о
Интеграл у на плоскости р2, р задает семейство .замкнутых
кривых; согласно теореме 1.1, интегральные кривые полной системы
(1.29) для достаточно малого ц располагаются в е-окрестности
кривой у на асимптотически большом отрезке времени. Таким
16
1
|ркэом, можно сделать важный качественный вывод о
возможете использования исходной физической системы для удержа-
|Я 1астиц вблизи оси поля. —-
1ссмотрймтеперь интересный с точки зрения приведения
1етемы к стандартному виду метод усреднения Ван-дер-Поля.
)Ьаьмем более общее уравнение "
Г- х-\-ш^х=^/(х, х, О. (1-36)
Уравнение Ван-дер-Поля, имеющее большие приложения в
электротехнике, радиотехнике, электронике и т. д., получается, если
,1ыбрать
/(х, х, 0=(\-х2)х. (1.37)
При ц«*0 получим уравнение осциллятора
РвЩбние которого запишем в виде
х=а сов № + <?). (1.39)
Решение (1.39) уравнения (1.38) содержит две произвольные
постоянные а и ф. Если теперь искать решение уравнения (1.36). в
г Таком же виде, что и (1.39), подчинив его выбор
дополнительному условию
х= — аю 5Ш (со^-[-9)> (1.40)
ТО для величин а и ф получится система в стандартной форме.
Таким образом, в системе
| х=у, у=—ч>2х + р/(х, у, О, (1.41)
|' Мрейдем от быстрых переменных {х, у\ к медленным перемен-
|г НЫМ (о, ф); тогда получим
СОзИ + ср), -аюзшИ + ср), ^5ШИ+ср),
I / V (1'42>
•*■ —— / 1а соз (ю/ 4- ср), — ам> зт (ю* -I- <р), /1 соз (ю/ -(- ср).
Вели в уравнении (1.36) и системах (1.41), (1.42) справа
имеется периодическая зависимость от времени с частотой V, то (1.42)
,#)1ЛЯется двухчастотной системой с частотами V и оэ в
стандартной форме. Далее рассмотрим уравнение Ван-дер-Поля в случае,
ЦОГда его правая часть имеет вид (1.37). Тогда это уравнение
|'|10Жно рассматривать как уравнение математического маятника
1 в, затуханием переменного знака: если амплитуда колебаний ма-
ла, то затухание отрицательно, амплитуда возрастает; если же
|||11ПЛНтуда велика, то затухание становится положительным и
|»|11ПЛИтуда далее не возрастает. Поэтому можно ожидать, что
1*§Кое уравнение должно иметь стационарное решение.
17
Запишем теперь уравнения (1.42) для функции /= (1—д:2)лг:
а=Л-5-(1—^.]—2_со8 2(ш/ + (р) + ~-со8 4(т*+?)]^
12 У 4У2 2 8 М1.43)
? = 1»[-7(1 —7") 51П 2И+?)—~ 81П 4 <«>/ + *)] .
В этом случае усредненная система получается отбрасыванием
кратных гармоник, для усредненных переменных сохраним
прежние обозначения:
а=Р-§-(1~),Т=0. (1-44)
Отсюда заключаем, что фаза в среднем сохраняется, а
уравнение для амплитуды интегрируется разделением переменных:
а=а0 е^' (1 + т" «о <е"' -1))~ *. (1.45)
Решение (1.45) при *-э-оо имеет предел а=2 независимо от
величины ао (кроме ао=0).
Усредненная система (1.44) имеет два положения равновесия
а=0 и а=2. Положение равновесия а=0 неустойчиво, так как
для 0<а<1 правая часть положительна, а для —1<а<0 она
отрицательна и при малых начальных отклонениях от а=0
решение удаляется от а=0 по закону (1.45). Исследуем на
устойчивость точку а=2 для системы (1.44). Составив систему в
вариациях
(8а)=ц(-1)8а,
установим асимптотическую устойчивость положения равновесия
а=2 усредненной системы. Исследование на устойчивость
предельной амплитуды а=2 для полной системы (1.43) будет
проведено ниже (см. § 2 гл. III). Цр &Г
§ 2. Метод усреднения для систем в стандартной форме
при общих предположениях о правых частях системы
Задачи оптимального управления и автоматического
регулирования, многие другие прикладные задачи приводят к
системам обыкновенных дифференциальных уравнений с
разрывными правыми частями, с неограниченными правыми частями, с
правыми частями, содержащими импульсные воздействия, и т. п.
Такие системы могут описывать повторяющиеся процессы и
тогда требуется выделить эволюционное изменение параметров
этих процессов. Поэтому целесообразно распространить метод
усреднения и на системы, содержащие особенности и разрывы.
18.
1
Цн4ртоящем параграфе рассмотрим задачу Коши для систем в
Шдартной форме
Ах
-~-=рХ(х, О, йШх=п, х(0)=ха, (2.1)
ас
)ДС 0<^<С 1 — малый параметр.
Основным предположением является предположение о
существовании среднего в смысле предельного перехода,
вычисляемого при фиксированных х, т. е.
г
,,, Нш -^г{Х(х, /)<1/ = *0(х). (2.2)
Рассмотрим также усредненную систему, где правые чаоти
Определяются как предел (2.2) :
■-\>-Х0№, (ИпЦ=л, Ьф)=х0
(2.3)
С помощью принципа усреднения оценивается уклонение
решения полной системы (2.1) от решения усредненной системы
(2.3). При этом задача становится определенной, если решение
усредненной системы единственно. Поэтому в дальнейшем будем
©Читать, что правые части системы (2.3) удовлетворяют условию
Липшица.
Ограничения на правые части системы (2.1). могут быть
самыми общими, достаточными для существования непрерывного
.Ввшения. Если существует несколько решений задачи Коши
(2.1), то согласно принципу усреднения все они располагаются
|близи выбранного решения усредненной системы. В дальней-
;Шбм мы не будем предполагать единственности решений системы
!'(2.1). Как известно, имеются различные теоремы существования
(♦Прерывного решения; по-видимому, весьма общие приведены в
[48]. Классическими являются условия Каратеодори
|||]: Пусть Х(х, *) определена в области ||х||.<ао, а</<6 и в
области: 1°) функция Х(х, () при фиксированном х измери-
по ^ на отрезке (а, Ь), а при фиксированном /е(а, Ъ)
непрерывна по х; 2°) существует функция М^)^0, суммируемая на
ШОббм отрезке, лежащем в (а, Ъ), и такая, что \\Х{х, .1)||^Л4(<?).
Тмда для любой точки (л:0, *о) из рассматриваемой области су-
\ШСЛвуег абсолютно непрерывная вектор-функция х(1), удовлет-
9яющая интегральному уравнению
I
х (О=л:0 + [а Г X (х (х), х) их.
Сформулируем принцип усреднения при общих предположе-
1ЯХ о системе в виде следующей теоремы [46].
19
Теорема 1.2. Пусть вектор-функция Х(х, () определена для
х^И и />0 и пусть выполняются следующие условия:
1°) Х(х, ./) удовлетворяет условиям существования
непрерывного решения х=х^) задачи Коши (2.1);
2°) существуют, такая суммируемая функция М{1) и
постоянная М0, что для />0 и лей \\Х(х, *)||^Л1(/) и для любого
конечного отрезка [^, ,12] справедливо неравенство
(г
3°) существуют суммируемая функция Н(I) и постоянная Н0,
а также неубывающая функция т]з(а), Нт-ф(а) =0, такие, что
для 4>0 и х^й имеют место неравенства
|| Х(х', Ъ-Х(х", /) || <ф( || х'-х" || )Я(/),
на любом конечном отрезке [/ь /2];
4°) равномерно относительно лей существует предел (2.2);
5°) Хо(х) в области И удовлетворяет условию Липшица с
постоянной #:
\\Х0(х')-Х0(х")\\^М\\х'-х"\\.
Тогда любому сколь угодно малому г>0 и сколь угодно
большому Ь можно поставить в соответствие такое [щ, что если |^=
= \(1} — решение усредненной системы (2.3), определенное на
гкглубси 0</<оо и лежащее в области И вместе с некоторой
своей окрестностью, то для 0<[1<[1о на интервале 0<?<Ь/ц,
справедливо неравенство ||*(*)--|(011<Ч> где .*(■/) решение системы
(2.1), совпадающее с |(/) при ^—0.
П Доказательство в этом более общем случае проводится по
схеме § 1, т. е. с помощью непосредственной оценки уклонения
решений систем (2.1) и (2.3), выходящих из одной точки. Более
сложной является только оценка интеграла от осциллирующей
части функции Л'(я, I), так как она опирается не на
периодичность функции Х(х, I), а на существование среднего (2.2).
Запишем для систем (2.1) и (2.3) интегральные уравнения:
л
хУ)=х0+р]Х(х(Ы)Ы, (2.4)
6
6
20
Вычтем (2.5) из (2.4); затем, прибавляя и вычитая справа
Х0(Х (0), имеем
х (О - 5 (/)=|» | [Х0 (х (О) - Ха (I </))] й( +
+ц| [*<*(/), О-Л-0<;с(/))]<!/.
(2.6)
Как и выше, обозначим
Х(хф, О-Л",, <*</))=?(*</), /),
(2.7)
где функция ф (я, /) имеет нулевое среднее.
Учитывая условие Липшица для функции Х0(х^)), из
равенства (2.6) получим
№*<0-&(0||<ЛГ|1|||х</)-6</)||<1/+1» |?<*(/), №
(2.8)
Неравенство (2.8) естественным образом оценивает искомое
уклонение х(1)—1(0> так1 как в оценку входит интеграл от
функции <р(х(0> 0> имеющей нулевое среднее при фиксированном я.
Для оценки этого интеграла разобьем в неравенстве (2.8)
отрезок интегрирования [0, Ь/р] на частичные отрезки [({, &ц.х], с
тем чтобы уклонение *(/) от своего начального значения на
таком отрезке было достаточно мало. Распространим
интегрирование на весь интервал длины Ь/\1, считая, что функция
<р (*(/), I) справа от I равна 0, и разделим его на тп равных
частей [и, (1+\], при этом добавим и вычтем интегралы от функций
ф(л:(^), 0, имеющих нулевое' среднее в смысле существования
предела (2.2); л:(/г)—значение, которое принимает
непрерывное решение *(/) в точках разбиения. Итак,
/ т-1 '1+1
г-о
т-1
4+1
т-1
=2 ** 1ых^ ^-т^*' о!^+2 ^ I **■*'• *№•(2,9)
«-0
«-0
Г
На каждом отрезке [й, ({+1] вследствие условия 2° имеем
'/+1
(.' 1и(0-х(/,)||<^ Г М(/)<и<ц—М0=-^. (2.10)
21
Так как для Х0{х) выполняется условие Липшица и условие 3°
для Х(х, I), то
п?(*', о-?<*", он = IIХ(х', о-х0(х')-х(*\ о+
+ Х0(х") || < || Х(х', Ъ-Х(х", /) || + II Хй(х')-Х0(х") || <
<ф( || х'-х" || )Н({)+М || х'~х" || .
Поэтому из неравенства (2.10) и условий 3° и 5° на каждом
отрезке [(ь и+\] вытекает оценка
\ т. I т
Отсюда для интеграла получаем оценку
(2.П)
| [тиф, о-?(*,, ои* <^(^г)1^-+м
ЬМ0 ЬНд
т.
(2.12)
Первая сумма в (2.9) содержит т таких интегралов. Из оценок
(2.12) следует, что для любого е>0, выбрав достаточно большое
т, равномерно относительно |а получим
т-1 '1+1
(-0 <,
/72 ^
(2.13)
Зафиксируем т и воспользуемся тем, что ф(л:, 0 имеет нулевое
среднее; выбирая \1 достаточно малым и, следовательно, длину
отрезка Ь/\1 достаточно большой, оценим вторую сумму в (2.9)
(сделаем ее достаточно малой). В силу условия 4° можно
построить такую монотонно убывающую функцию /(*),
стремящуюся к 0 при ?~»-оо, что во всей области О
(<Р<*1, О
М
<'/(')•
Очевидно, что если :* лежит на ка.ком-либо отрезке [и, <«+1],
кроме первого, то для каждого и можно записать неравенство
1* Гер(Х{, /)<К <!* — /(—Ц/7!^). (2.14)
22
Для первого интеграла запишем оценку отдельно:
Р | <Р (х0, О <М
<?*/(()< Г г(Я
(2.15)
где /г2([1)=5ир||тДт/[1)||,т<Ь/т.
Для интеграла по отрезку [<,-, ^+1] имеем
ч-н
•г+1
| <р <*</,), /)<!'< | ?<*</„ 0<Н + | ?(*</,), О
(1/
откуда с учетом (2.14) и (2.15) получаем
т-1 '1+1
... 1
д/
< 2/71^(1.)+ /г2(^.
(2.16)
При фиксированном т функции ^(р.) и ^([х) стремятся к О
при |1-»-0, так что для е>0 можно указать такое [щ, что для всех
р.(0<[1<[10) справедлива оценка
т-1 11+1
2 $ * <*<'«>• №
/-0 «,
^ 2
Из неравенств (2.13) и (2.17) вытекает, что
1*|ср(Л(0, /)<М
<ее
-лг^
(2.17)
(2.18)
Запишем неравенство (2.8) с учетом оценки (2.18):
II х (О - % (О ||< Л/> | Ц *</)-& (/) || <1/ + «е-^1. (2.19)
о
Как и в § 1, окончательную оценку для ||л:(/)—1(0 II на отрезке
[О, Ь/ц] получим на основании леммы Гронуолла или леммы о
дифференциальных неравенствах [5, 13]:
11*(0-еюи<«. ■ (2.20)
Замечание. При доказательстве теоремы не
использовалась автономность усредненной системы, а учитывались лишь
условие Липшица для функции Х0 (х) и нулевое среднее для
функции <р(л:, I). Таким образом, правые части системы (2.1)
Можно представить в виде суммы двух слагаемых, сохранив у
функций Х0 временную зависимость
Х(х, /)=*„(*, *)+<? С*. О
в предположении, что Х0(х, *) удовлетворяет по переменным х
условию Липшица (условию 5°), а функция ф(л:, *) имеет нуле-
23
вое среднее в смысле (2.2). Проведенное выше доказательство
будет справедливо и в этом случае. Такая процедура усреднения
называется частичные усреднением [43]. Прн частичном
усреднении сохраняется зависимость правых частей от времени; как
правило, имеет смысл сохранить долгопериодические гармоники
в правых частях и опустить, т. е. отнести к ф(л:, /), быстрые
осцилляции. Это тем более целесообразно делать с точки зрения
численного интегрирования таких задач. Долгопериодические
' компоненты не требуют мелкого шага при интегрировании, а
быстрые осцилляции, вызывающие трудности при
интегрировании, устраняются усреднением. Усреднение только быстрых
осцилляции целесообразно, например, в многочастотных системах,
когда долгопериодическими являются резонансные слагаемые в
правых частях.
Кратко остановимся на процедуре усреднения в интегродиф-
ференциальных уравнениях. Пусть дано интегродифференциаль-
ное уравнение в стандартной форме:
х=рХ[*, *,(<?(*, 5, ;с($))(1з|, - (2.21)
где &{тх=п, х{0) =х0, 0<ц<\10— малый параметр.
Если в правых частях содержатся быстро осциллирующие
функции под знаком функции X или ф, то при интегрировании
такого уравнения на большом отрезке встречаются те же
трудности, что и при интегрировании системы в стандартной форме.
Эти трудности можно преодолеть, заменив систему (2.21)
усредненной. В основу построения усредненной системы [43]
положено то же соображение, что и для системы в стандартной
форде}; ,переменная х(1) является медленной, ее производная имеет
порядок [1, поэтому при вычислении среднего будем считать х
фиксированным. Вычислим внутренний интеграл, считая *($)
фиксированным, параметром:
I
^<Р(/, 8, х)йз=}^, х). (2.22)
6
Далее усреднение проводится обычным порядком.
Предположим, что существует предел
I
Ит — [XV, х, ?(/, х)Ы = Х0(х). (2.2&)
о
Рассмотрим усредненную систему
24
Следуя [43], приведем основные условия, при выполнении
которых имеет место близость решений систем (2.21), (2.24):
1°) функции Х((, х, у) по второму и третьему аргументам
удовлетворяют условию Липшица;
2°) функции ф(/, 5, я) удовлетворяют неравенству
||<р(/, 5, *')-?(', 5, х")||<><*, 8) || Л'-Л' |1.
I т
причем 11т— I их I V (г, 5)Й5=0;
о о
3°) в каждой точке л;еО существует предел (2.23).
Доказательство теоремы, содержащей такие условия,
приведено в [43]. Оно проводится по схеме [46] путем сравнения
решений полной и усредненной систем.
§ 3. Усреднение в системах, содержащих быстрые
и медленные переменные
1 Рассмотрим систему, содержащую медленные и быстрые
переменные:
х—^Х(х, у, I, 1*), у=У(х, у, Л 1*), (3.1)
где <Итх=п, лгеР, *(/0)=*о, 6\ту=т, у&(), у((о)=у<>; |а —
малый параметр, 0<ц<;1, 1^и.
Вопросы усреднения в таких системах рассматривались в
[22] с помощью применения преобразования
Крылова—Боголюбова, причем требовалась определенная гладкость по I
правых частей. Изложим процедуру и обоснование усреднения в
таких системах, придерживаясь схемы доказательства,
предложенной в [46] и основанной на непосредственном сравнении
решений полной и усредненной систем.
Остановимся на приведении системы (3.1) к стандартной
форме. Полагая в системе (3.1) [1=0, получим вырожденную
систему
у=Г(х, у, I, 0), у(*0)=у0, х=х0. (3.2)
Допустим, что известен полный интеграл системы (3.2):
с—с(х, у, 0=сопз1. (3.3)
Перейдем в системе (3.1) о"г переменных (х, у) к переменным
(х, с). Переменные с сохраняются вдоль интегральных кривых
системы (3.2) и имеют малую (порядка ц) производную вдоль
кривых полной системы (3.1). Для правых частей медленных
переменных х, сохраняя прежние обозначения, получим
х=рХ(х, с, и &*■). х((й)=х0,
с=\>.С(х, с, /, р.), с(^=с0, (3.4)
25
1*С(л:, с, I, 1*)=1*—— X(х, с, Л |*) + Н- —— -г—С*, У, *, 0).
ах ду й(а
Аналогичный пример был рассмотрен в § 1.
Предположим, что существует предел
Х0(х0)=Пт — Г Х(х0, у(*, х0, у0, *0, 0), Л 0)(#, (3.5)
который не зависит от начальных значений уо и 1о. Среднее (3.5)
вычисляется интегрированием вдоль решения у=у(1, хо, уо, йо,
0) системы (3.2). Как было только что показано, к этому случаю
сводится система (3.1), если известны интегралы вырожденной
системы. Среднее (3.5) зависит от начальных условий для
быстрых переменных (фаз) при изучении многочастотных систем.
Это связано с наличием резонансов в таких системах.
Усреднение в многочастотных системах будет рассмотрено в § 5.
Используя среднее (3.5), рассмотрим усредненную систему
6=!**„«), и'0)=5о (3.6)
« ее решение Е=Е(*> Ъ, и, ]х).
Сформулируем теорему о близости решений систем (3.1) и
(3.6) на асимптотически большом отрезке времени.
Теорема 1.3. Пусть существуют суммируемые функции М({),
/С(0- постоянные М0, Ко, а также неубывающая функция а(а),
Пт0(а)=О такие, что:
1") ||Л"(^, у", /, I»)-*(*', у', и 0)||<ЛГ (О(°(II•*"-•*'11)4-
+ «( II У"-У' II >+*(!*»;
2°) || КОс", У", /, у)-У(х', У, *,.0)||</С(О(«(||*"-.*'||)+
+ И йГ—у' И
и
3») || А" (х, у, (, 1»)||<Л1(0, $МУ)М<^М0У2-Ь),
<,
ГАГ(О^<АГ0(^-^)
при любых х^Р, уе^, <^0, ^2'^'^^'^0, 0^]1^\1-,
4°) предел (3\5) существует равномерно по начальным
условиям и удовлетворяет условию Липшица в области Р с
постоянной N.
Тогда для любых 0<е<е0 и Ь>0 существует |ю>0 такое,
что если решение \(1, х0, 0, [х) системы (3.6) при />0 лежит в
26
Области Р вместе с некоторой своей р-окрестностью, то
II х((, х0, у0, О, {»,) — $(/!, л0, О, р.) ||<е
для всех О^^.Ь/]х, 0<\1^.\10.
П Существование непрерывного решения системы (3.1)
следует из условий 1°—3° данной теоремы и условий Каратеодори.
Составляя для систем (3.1) и (3.6) интегральные уравнения
и вычитая одно из другого, получим
I
х((, Р)-Ы, !*)=** ^[Х0(х(х, 1*))-Л-0($(т, ^)1<1т+
о
I
+ [«. ^[Х(х(х, {».), у(х, 1*), т, р)~Х0(х(х, р.))1 ёт.
о
Учитывая условие Липшица, которому удовлетворяет
функция .Хо(*), Для искомой разности х({, (х)— %{1, (х) получим
неравенство
Ц*(*. {О-5 С *)\\<^[\\х{х, ?)-%{х, (*)||дт +
и\х(х,
+?
[Х(х(х, 1*), у(х, 1*), х, р,) — Х0(х(х, р))]йх
(3.7)
Для дальнейшего потребуется оценка разности у(1, (х)— у((,
0), которую также получим, составив интегральные уравнения
для у{1, (х), у{1, 0) и вычитая одно из другого:
I
У(*, Р) — УУ, 0)=§[У(х(х, р), у(т, 1*), х, 1х) —
о
~У(х0, у(х, 0), х, 0)]йх. ■
Отсюда, учитывая условие 2°, имеем неравенство
I
* II У(*, р)-уИ, 0)||<Г/С(т)||у(т, |*)-у(х, 0)Ц(1т+
I
+ {*(*)[<»( ||х(Т, !»)-*„ || ) + а(10]<1т. (3.8)
о
Применяя оценки из условия 3°, находим
II* (Л {*)-л:0 || ОДУ. (3.9)
Из неравенств (3.8), (3.9) и леммы Гронуолла [13] следует су-
27
ществование неубывающей по I функции Р(^, (*), ИтР(1, ^)=0
такой, что
II У (/, ц)-У0, 0)||<Р(/, {*). (3.10)
Обозначим через **((!, х) корень уравнения р(^, |л)=х, х>0,
если он существует; в противном случае будем считать, что 1* =
= +оо.
Введем функцию
Д№, х)=шш|1/Кь *•({*. х)} . (3.11)
Очевидно, при любом к справедливо соотношение
11тДО», х)=+оо. (3.12)
Обозначим */=/Д, /=0, 1, 2,... . Если число ^ принадлежит
отрезку 0<^Ь/|1, то для любого номера &=&(*) = тах {/} спра-
ведливо неравенство
{1*<^/Д. (3.13)
Из неравенства треугольника следует
||*С {!)-?(/, Р)||<||д:(/*, р)-5('*. ЮН +
4: ||х(/, {0-х&, **> II + Ш'*, р)-6(<. ц)||.
С учетом неравенств ||Хо(*) И^ЛЬ и I—^<Л получим
II хЦ, Ю-6С Р) II < II *('*. 1»Ж('*, {О II +2Жо!*Д. (3.14)
Обозначим х/=хЦ1,'}1), «//=«/(*/, [х) и найдем оценку второго
интеграла в (3.7), полагая *=**:
V *-1 0+1
{1 | [.ЛГрс, у, т, {!) — А'0(л:)]дт=2^ | \Х(х, у, х, (*)—.
*-1 0+1
— ЛГ0(л:)]дт=21* | [*(*(*, */, у}, *], 0),
У(х, X;, ^, ^, 0), т, 0) —ЛГ0(л:у)]дт +
*-1 0+1
+ ^2 I [•* (•*(*> хо> Уо> °. I*). У(*> *о> Уо> °> Р>. *> I*) —
— Х(х(х, X], у{, I), 0), у(х, хр у), (), 0)т, 0))]дт +
й-1 0+1
У-о о
28
Зададим е>0 и выберем постоянную х>0 так,.чтобы
4
(3.16)
Из условия 4° следует, что существует число 7(е) такое, что
если
д(11, х)>7», (3.17)
то для всех 0^/^сА—1 справедливо неравенство
^ [Х(х(х, хр ур 1р 0), у(х, X], у}, 1р 0), х, 0) —
•Х0(х,)\йт
<^-Дехр(-Л?Х).
(3.18)
Выберем [11>0 так, чтобы при всех 0<[1<[11 выполнялось
неравенство (3.16); такой выбор всегда возможен в силу (3.12).
Из (3.17), учитывая (3.13), находим
4+1
| [Х(х(х, X], у}, Ьр 0), у(х, х}, У), 1р 0), х, 0) —
*-1
— Л"0(^)]дт.
<^-ехр(-Л7Х).
(3.19)
Далее, из условия 1° следует оценка
| \Х{х{х, х0, у0, 0, {!), у(т, х0, у0, 0, (*), х, 1*) —
■Л" (*(•*, X), у}, 1р 0), у(т, хр ур 1р 0), т, ЩАх
<
<1*АГ0(0((*М0д)+0(^(Д, {х))+«(Ю)Д.
Суммируя по всем / и учитывая, что |хЛА^1, а также (3.11),
получим
*м
^ [Х(х(х, х0, у0, 0, {!), у(х, х0, у0, 0, 1*), х, {!)-
— Х(х(х, х}, ур 1-р 0), у(х, хр ур 1р 0), х, 0)]йх
<
<АГ0(О(1*Ж0Д) + О(х) + О(1*)). (3.20)
29
В силу условия Липшица для функции Х0(х) имеем
*^1 Ч+\
\% Г [Х0(Х])-Х0(х(х, х0, у0, 0, (х))]аг
<(Хд ^Ио_ т (3<21)
Используя оценки слагаемых (3.19) — (3.21) и учитывая (3.16),
запишем соотношение (3.15) в виде
V-
{[Х(х, у, г, 1*) — Х0(х)\йх
<-2-ехр(-ЛГ/.)+
+Ж0(0((хЛГ0Д)+0(^)) + (хД
КрМр
(3.22)
Согласно определению (3.11) функции А{\1, и), имеем [хДе У~\И;
следовательно, существует такое [1г>0, что при всех 0<[1^[12
выполнено неравенство
К0 (с (^Ж0Д)+о с^+^д ».| < -±. ехр (- Ш). (3.23)
Объединяя (3.22) и (3.23), находим
\ \Х(х,у,х, ?)-Х0{х)\
<1т< —еехр(-.Л/Х). (3.24)
4
Применяя теперь лемму Гронуолла к неравенству (3.7) и
учитывая (3.24), получим
II* ('*, {О - 5 ('*, Р)Ц < Зе/4. (3.25)
Выберем теперь [1з настолько малым, чтобы при 0<[1<[г3 имело
место Неравенство
2Мо!*Д(^, х)<е/4. (3.26)
Из неравенств (3.14), (3.25), (3.26) следует, что при вс;ех 0<;*<
<Ь/\1 и при 0<|1<|1о=гшп{|1ь [12. [1з} справедливо неравенство
\\х(4, хо, у0, О, [!)— |(А хо, О, |1)||<е.
При доказательстве теоремы 1.3 для правых частей
предполагались выполненными условия 1° и 2°. Без существенного
изменения доказательства эти ограничения можно ослабить
следующим образом. Предположим, что функции X и У системы
(3.1) таковы, что
1о+Т
| [Х(х& {*), у(/,{*), и р)-Х(х{(,0), у(1,0), /, 0)]<1/
<
<Р(7\ {!) (3.27)
при любых х0еР, уо&С}, /о>0, Г>0, где р(*, [х) —неубывающая
по { функция и ИгпР(*, (*)=0 при каждом фиксированном I.
р.-»о
30
Для систем с конкретными правыми частями условие (3.27)
можно проверить, используя обычные методы оценок уклонений
решений типа леммы Гронуолла. Существенно, что это условие
может быть выполнено и для систем с импульсным воздействием
и разрывными решениями. Сформулируем теорему об
усреднении систем с быстрыми и медленными переменными,
использующую условие (3.27).
Теорема 1.4. Пусть существуют суммируемая функция М(0
и постоянная Мо такие, что
\\ХС*, у, /, ц||<М(/), С М(/)Ы<М0(/„-Ц
для любых х^Р, у^О, 1>0, /2>^1>0, 0^[1<ц. Пусть также
выполняется условие (3.27), а предел (3.5) существует равномерно
по начальным условиям и удовлетворяет условию Липшица с
постоянной N в области Р. Тогда справедливо утверждение
теоремы 1.3.
В качестве примера рассмотрим систему, описывающую
движение заряженной частицы в т-заходном винтовом магнитном
поле [46]:
0=1 +— 81*1 в+ !*(/»— 1) — 5Ш(6— 4),
и г
ф=1 + ртя —$1П<е —ф), г=(Шсо5(6 — ф), (3.28)
где а=а(г)=гт-*, т^2; ц—малый параметр; г —медленная
переменная; и, 9, г|э — быстрые переменные; и имеет смысл
скорости; 6 и г|) — некоторые углы.
Рассмотрим вырожденную систему
и=асо5б, 0=1 + — зтб, Ф=1. (3.29)
и
Легко проверить, что она имеет интеграл
/?=и2 + 2аи5ш6, (3.30)
откуда а=—а зш 0 + ]/а25Ш26-(-/?.Так как и имеет смысл
скорости, то при р>0 и может быть только положительным; при
р<0 должно выполняться неравенство а25т29+р^0. Второй
интеграл удобно записать в виде
О-ф + агсзШ-!^- при р>0,
?=Ч Уй2 + Р (3.31)
9->+агсз1п-^==1- прир<0.
Если р>0, то 0=—1Лг25т29 + /? всюду положительна и,
значит, 9 — монотонно возрастающая функция или, как говорят, 9—
31
вращательная переменная. С изменением знака р изменяется
характер движения, которое становится колебательным. При
этом угол 9 колеблется между значениями 9, и б2, где 5ш91 =
= 5К102=— V—Р/а2- Как это следует из формулы (3.31), 9
является периодической функцией с периодом 2л.
Согласно схеме усреднения для систем, содержащих
медленные и быстрые движения, произведем в исходной системе замену
переменных; в качестве новых переменных выберем интегралы р
и <р, которые вместе с переменной г образуют систему медленных
движении.
Запишем производные:
ду и со» 8а' ду 1 ду и(и + а зш 8) /Ч чо\
дг ~ а* + р ' ~д^~~~ ' "аГ —" а? + р '
—^-==2а'й5т б, ——=2аисо5 0;
дг ' <Э8
подставив их в уравнения для р, <р, г, получим
г=[Шсоз(8 — ф),
д9 г оф г
? = {*[
+4^-исо5(е-ф)1, (3.33)
дг ]
>=^[-^-исо5(е-ф)+^-(/и-1)-^5т(е-ф)1.
Переменные р, <р, г — медленные, и усреднение в правых частях
системы (3.33) следует производить при постоянных р, <р, г, т. е.
вдоль Траекторий вырожденной системы. Однако из интегралов
(3.30) и (3.31) трудно выразить и и 9 как функции времени, в
то время как 9—ф и и легко выражаются через в. Поэтому
выгодно в уравнениях (3.33) перейти к дифференцированию по 9
и выразить все правые части через 9.
Произведем подробно усреднение в уравнении г=ц.исо5(9—
—г|)). Имеем
[±\/Га2$'т2в-\-рсо5<? —
УеЯ + р
— соабзтсрНзтО + У а2 5Ш20-[-/?).
Отсюда видно, что вблизи р=0 нарушается условие
Липшица, однако, согласно доказанной выше теореме, усреднение
возможно и в этом случае.
Отметим, что нарушение условия Липшица сопровождается,
здесь переходом от вращательного движения к колебательному.
В исходной системе (3.28) медленных и быстрых движений при
32
.«=0 появляется особенность, так как при этом и периодически
обращается в нуль.
Рассмотрим уравнение
= г— г К2 С05 Ф — 51П ф . (3.34)
с18 /д2 + ^ |_ в + а 51'п в ]
Второе слагаемое справа содержит в знаменателе выражение
]Лг2зт2 6-}-/?, которое в точках '9ь ©2 для р<0 обращается в
нуль, но эта особенность интегрируемая, т. е. возможно
вычисление среднего.
Усреднение приходится производить по-разному при р>0 и
р<0. Сначала рассмотрим второе слагаемое в (3.34),
периодическое по 9 при р>0; очевидно, среднее равно нулю, наличие
множителя соз 9 дает тот же результат и при р<0, так как
соз 9 — функция нечетная относительно середины отрезка [9ь
6г]. Остается усреднить выражение
Л°5У в2= 2211- [Н-а2-соз 26 + 2а зш 6 УЖШЧ±р~.
(3.35)
При р>0, очевидно, получится у а2-}-р соз ф. При р<0
интегрирование по отрезку [вь ва] в прямом направлении и с
противоположным знаком в обратном направлении дает удвоенный
интеграл от последнего слагаемого:
9,
— Г у а2 5ш2 е+/? 5Н1 е ае=а2+/?.
9,
Правые части уравнений для р и <р усредняются точно так же.
Запишем только результат усреднения:
г = р,]/га2-|-^со5Ф,
р= — тхУ~а?-\-р\Ъаа'-\-(т — 1)-^- созф,'
<р=^ ^^^^[(«-игт^^—у^Т?! . (3-36)
т 1 , (т — 1)а
Интегрируя систему (3.36), легко получить два интеграла:
У^ (3.37)
г2(т-1) (X — г2(я»-1))«-1 ?;п2(т-1)ф_у(
которые позволяют сделать необходимые физические выводы о
движении частицы. Отметим также, что в процессе эволюции
2—1743 33
выполняются условия г>0 и р>—я2, так что усредненная
система удовлетворяет условиям теоремы существования и
единственности; картину интегральных кривых дают адиабатические
инварианты (3.37).
§ 4. Усреднение в многочастотиых системах
Многочастотной называется система обыкновенных
дифференциальных уравнений вида
х—рХ(х, ф), йШх=п, х(0)=х0, лей,
(4.1)
ф=и)(л:)-[-{1,ф(л:, ф), (Нтф=//г, фе[0, 2л]т,
где 0<[1<!1 — малый параметр. Система одночастотна, если
т = 1; система многочастотна, если т^2. Предполагается, что
правые части системы являются функциями, разложимыми в
абсолютно и равномерно относительно л;еО сходящиеся ряды
Фурье. Кроме того, предполагается также выполнение условия
Липшица по лей с постоянной N.
С помощью формального усреднения по углам строится
усредненная система
2и
^=рX0Ю, *о(!)=_1_|^(!, фИф. (4.2)
о
Решение этой системы считается определенным для 0<?<оо и
расположенным в области й вместе с некоторой окрестностью..
В одночастотном случае решения систем (4.1) и (4.2),
выходящие из одной точки, остаются близкими на асимптотически
■■^хщцщ отрезке времени [0, Ь/ц.]. В этом состоит принцип
усреднения, изложенный выше. Представляют интерес условия,
при выполнении которых и в многочастотном случае будет иметь
место указанная близость. Однако в многочастотных системах
поведение интегральных кривых системы (4.1) осложняется,
поскольку в разложении Фурье правых частей появляются
медленно изменяющиеся члены Хь{х)ехр(к$), для которых
комбинационные частоты кы(х) становятся малыми. В результате влияния
таких членов решение может удалиться от решения усредненной
системы и движение может происходить вблизи резонансной
кривой, т. е. кривой, на которой кы(х) = 0. Пример такой
системы приведен в [17]: А|жи-6?*. ——
*! = {*, ^2={*ЛСОЗ(ф1 —фг), $1 = Х1у $2=Х2.
Усредненные уравнения имеют вид
Ь = Ц. $2=0"
Выберем начальные условия для полной и усредненной системы:
11(0).= |2(0)=Х](0)=д:2(0) = 1, а также фазы для полной систе-
34
мы: ^1(0)= 0, ■ф2(0)=агссо5(1/а). Тогда можно записать точное
решение полной системы:
л:1=л:2=1+1^
и усредненной
Видно, что эти решения не являются близкими.
Многочастотная система относится к числу систем с быстры- |<
ми и медленными переменными, однако для нее среднее (3.5),
вычисляемое при фиксированных х, очевидно, зависит от началь- 1
яых фаз, более того, оно является, вообще говоря, всюду разрыв- 1
ной функцией х и, таким образом, среднее по времени не
совпадает со средним по пространству (фазам) (4.2). Под
усреднением в такой системе будем понимать возможность сравнения
решений исходной системы с решением системы (4.2), где среднее
вычислено интегрированием по фазам.
Ниже мы сформулируем теорему об усреднении в
многочастотной системе, причем основное ограничение связано лишь-с
резонансными гармониками и не содержит осциллирующих
гармоник [50].
Зададим е>0 и рассмотрим в области 1> интегральную
кривую 5=5 (м-0 системы (4.2) вместе с ее е-окрестностью.
Обозначим через Хе(х, я|з) сумму тех членов рядов Фурье Х(х, ф), для
которых комбинационные частоты кы(х) в е-окрестности кривой
^=5(м<0 становятся меньше некоторой величины о (г) (0<[х<С
•Ссг(е)), которую выберем ниже; эти частоты назовем
резонансными. г •
Таким образом,
Х(х, ^)=Х0(х) + Хе(х, Ц)+Х(х, Ъ)=Х0+Х(х, ф), (4.3)
где Х(х, \^) —слагаемые, осциллирующие с частотами, не мень^
шими.а(е).
Рассмотрим производную резонансной частоты кы (х) вдоль
вектора
, Х0(х)+Х,(х,ф = Х(х,Ч) (4.4)
и вычислим минимум модуля этой величины по всем к, входя-
- щим в Хе(х, <§), по ^е|0, 2л] ипод; вдоль кривой 5=5(1*0. т. е.
а=тЫ\(Х0(х}-{-Х,{х,Щ\7(к-ш(х))\. (4.5)
Основное ограничение состоит в том, что афй. Это означает,
Что производная вектора &>(х) на кривой |==|([х0, вычисленная
по направлению вектора Х(х, ф), не ортогональна резонансному
значению к, для которого ка{х) мало или равно нулю. Ясно, что
уже для трехчастотной системы это условие может не
выполняться, если в правых частях представлены всевозможные векторы
я
к; найдется вектор к, ортогональный <о(х) и производной <$(х}
вдоль X. Таким образом, для этого вектора к частота кы(х)
может оставаться малой в процессе движения. Отметим также,
что вектор X (х, г|з) содержит медленно изменяющиеся
гармоники (резонансные гармоники).
При сделанных предположениях справедлива следующая
теорема.
г^ОТеорема 1.5. Пусть для системы (4.1) выполняются общие
условия и условие а>0; тогда для всякого г>0 можно указать
такое цо, что при 0<ц.<ц.о и 0<?<1-/[л, где Ь— любое
фиксированное число, имеет место неравенство \\х(^—%(^)\\<г.
□ Оценим сверху отрезок времени А10, за который частота
к(й{х), будучи малой или равной нулю в е-окрестности кривой
| = |(ц0» Достигает значения а(е). Составим производную по
времени величины кы(х), для чего продифференцируем ее на
решениях системы (4.1), и будем рассматривать эту производную
как уравнение для Ы(х) вместе с уравнениями для переменных
х системы (4.1):
-^-(Ь(л))=-^(И[1(л, ф)+*(*. «!>)]• (4.6)
Согласно замечанию из § 2, решение этого уравнения близко к
решению уравнения
- -?-(Ы(х))=^-(кш(х))Х(х, <|>), (4.7)
так как по построению X (х, ф) содержит только осциллирующие
гармоники. Используя условие а>0, получим
1 ; Д/в<вАЧ». (4.8)
Для доказательства близости решений систем (4.1) и (4.2),
как и в § 1 и 2, составим интегральные уравнения для этих
систем и, вычитая одно из другого, получим
I
х(1)-Ъ№)=? С [Х0(х)-Х0(О]й( +
I
•Учитывая условие Липшица для Х0(х) и приведенные выше
обозначения, имеем
\\х (О - ? Ы)!! < ^ Г рс (т) -1 (цт)] (1т+И1 Г # (^, ф) (1т||. (4.9)
Распределим члены ряда Х(х, ф) по величине комбинационных
частот следующим образом. Пусть Ха(х, ф)— такое множество
36
членов ряда Х(х, г|з), которые осциллируют с частотами, не
меньшими а. Если хотя бы одна из частот станет меньше а, то
выделим этот член из Ха и отнесем его на соответствующем отрезке
времени к Ха{х, ф). Представим X следующим образом:
Х(х, у)=Х.(х, «!>)+*„(*. «!>)+*.(*. У)-Х.(х, ф),
где члены ряда Ха(х, ф) и Хо(х, ф) отличны от нуля только на
отрезках времени 2А*0, удовлетворяющих первенству (4.8);
члены, входящие в Ха(х, -ф), на этих отрезках времени осциллируют
с фиксированными частотами а. Члены Ха(х, ф) с
фиксированной частотой введены, чтобы дополнить Ха(х, ф)
осциллирующими слагаемыми всюду. Оценим по модулю разность Ха—Ха:
^ [Хв(х,ф-ХЛх,ЩЫ
«(•)
<4^У тахЦ*»(*)11. (4.10)
к
Выберем теперь а (г) настолько малым, чтобы имело место
неравенство
I
\[Хв(х,У)-Хв(х,Щ6* <Те~и' (4Л1)
о
I*
где 1>0.
I
Для оценки [а Г Ха(х, у)'<Нна отрезке времени 'Ь/ц, распро-
6
страним интегрирование на весь отрезок, считая, что Ха=0
справа от I, и разделим его на части 2<Д?<^22 (/выберем ниже):
V*
,'/+1 -
[ [Ха(х, ф+Ха(х, ф)]<1* = !* ^ I 1*ЛХ' ф) +
+х.(х, ф)-^л^, ф)--?,(*„ «!>)](« +
%Ш[ХЛх» У)+Ха1х» ЩИ.
(4.12)
Здесь прибавим и вычтем Ха(Х{, ■^)+Ха(Х1, ф), где Хг — значения,
которые принимает непрерывное решение х=х{1) в точках
разбиения. Так как Ха+Ха имеет нулевое среднее, то существует
монотонно убывающая до нуля функция /(*) такая, что
I,
и+1. ~
ы
<Д*,/(Д*,).
(4.13)
37
Выберем теперь отрезки Ыг и число / так, чтобы
2 С [Х.^^+Х,^, ЩИ <
I*
I I,
< Р/ (/) ^ М, < Ь/ (/) < -у е-"*. (4.14)
<
Поскольку ряды для Х(л:, ф) сходятся абсолютно и
равномерно, найдется постоянная М>0 такая, что \\Х(х, г|з)||<Л1 при
хе/). Используя эту оценку, имеем
1И*)-*,|1<1* [ \\Х{х, <|,)||(И<ц2Ш. (4.15)
Учитывая условия Липшица для 5! (а;, ф) и Ха(-*:, ф) с постоянной
N и неравенство (4.15), получим
2> ]* И*. (*• Ф>+*.<*, Ч»>1 - \х* (х1г ф)+*, и,., Ф)Ц а/ <
<[а2/уИЛГ^,< —е-^.
(4.16)
Последняя часть неравенства имеет место, если 0<ц<[хо, где
[Хо(е) достаточно мало. Объединяя оценки (4.11), (4.14), (4.16),
для 0<[х<[хо(е) и 0<?</-/[а получим
1*| Х(х, ф)(М
<ее~
■N1.
(4.17)
Из (4.17), неравенства (4.9) и леммы Гронуолла при 0<?<^/[х
следует ||^(0—Е((хО II<е. ■
Вводя дополнительные предположения о гладкости правых
частей системы (4.1), можно оценить близость решений полной
и усредненной систем непосредственно через величину малого
параметра [х.
Для каждого 'И, Входящего в Хе(х, ф), вычислим
ак=п\Щ(Х0(х)+Х,(х,Ъ))Ч(кш(х))\ (4.18)
по х вдоль кривой | = |([х0-
Основное ограничение состоит в том, что все а&>0 и
сходится ряд
^тМШ+{1+тЮ1ХЛН (4-19>
к
Вектор частот ш(х) удовлетворяет условию Липшица.
38
/ Оценим для одной гармоники величину
тах [а
Г Х% (х (/)) ехр (/ (Щ (()) И = /».
*) II
Рассмотрим комбинационную частоту #ш(л:(0) на решении
полной системы. Зададим некоторое а>0 и разобьем отрезок
/=[0, Ь/ц] на интервалы. Все I такие, что \\кы(х(0)\\<а,
отнесем к множеству Ль при этом- воспользуемся тем, что в силу
(4.18), (4.19) функция Ы(х) монотонна на решении полной
системы, и поэтому Д! является интервалом, а его длина не
превосходит а/(ц.ак). Возьмем точку ^ = тф :^е/\Д1) (чертаозначает
замыкание) и положим
Д,= ти
|*«(* 4*0)1
где т.\ — натуральное число такое, что
тгя < \Ы {х (Щ < (От! +1) о.
Если все точки интервала \1\, *2+Д1] принадлежат множеству
/\Д!,то в качестве 1ч возьмем точку 1\МА\ и по ней определим Аг
(аналогично Д1). Далее, если точка 1\+А\^.1, то интервал_от 1\
до ближайшей точки множества Д] отнесем к множеству Дг и в
качестве точки 1% возьмем правый конец интервала Дь Наконец,
если 1\Л-А\^1, то процесс разбиения считаем законченным,
отнеся все оставшиеся точки к Дг. Таким образом, отрезок [0, Ь/ц]
разбит на интервалы Дь Д2, ..., Ап, Дь Дг- По построению длина
интервала Д2 не превосходит 2 тах Д, < 4п/о.
Оценим интеграл
/*-.
II
Хк(х(те'Ще)Ы\\ (1 < У < л; I) < I <*, + Д>).
Для этого рассмотрим функцию
/, (О=(№» (х (/,))) (* - ^)+Ц (*,).
Аналогично (4.15), используя условие Липшица для вектора
ю(#) и неравенство IIФ (л;, ф)||<Л1 при л:е2Э, получим
Щ Ф - /] (Щ < ?2Мя/о + уА&МУ ||%2. (4.20)
39
Далее, имеем
/{=1*1 [ (Хк (х (()) - Хк (Х])) е'-*«'> й( +
+ \ Хк(х]Це'**Ю-ёУ))Ы + \ е"/° &
(4.21)
Ч а1
Последний интеграл в (4.21) равен нулю, так как число Л/ в
силу построения является периодом подынтегральной функции.
Так как
\Хк(х(О)-Хк<*,)]< шах|№
хео II д*
|* (0 -х%
то, учитывая (4.20), получим оценку
/{<^24лШ0-2('тах[ -^ЦП+(1+2я^в-1Ю)шах1|Л'^ . (4.22)
\хео I ох \\] лгео }
Обозначив интегралы по Л1 и А2 соответственно через 71/, и Рь.,
оценим их по модулю:
/* < — шах ИЛ"*!!, /* < |* — шах 1*»!.
ак жео о жео
(4.23)
Оценку для 1к найдем, просуммировав оценки по всем отрезкам
разбиения. Отметим, что в силу построения п ^ — . Имеем
Я|1
/*<
^С0(п,ах|№
0 \л-ео II дх
+ тах|^!) +
+^-С0ИтахИ+^-тах||^!:.
(4,24)
Просуммировав оценки для всех гармоник, для 0^^^^[х
получим
I
I*
|(*<*<*), №-Хо(х0))Ы <^(т+0+"5")'
где Со и Сг — некоторые положительные постоянные.
Далее остается воспользоваться неравенством (4.9) и леммой
Гронуолла. Для 0<^/-/[х получим
(4.25)
3 у—
Выбрав <з=у [а, окончательно находим
лп.
(4.26)
40
В упомянутой работе [17], а также [34] приведены оценки
более точные, чем (4.27), а именно: разность между решениями
полной и усредненной системы оценивается величиной О (у (х).
Показано, что эта оценка не улучшаема.
Основное условие содержит все гармоники, причем вектор
правых частей не должен быть расположен вдоль резонансных
кривых системы; кроме того, предполагается аналитичность
правых частей.
Гл ава II
ВТОРОЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА
§ 1. Определение устойчивости
Согласно теореме о непрерывной зависимости решения от
параметров и начальных значений, решение системы
дифференциальных уравнений на некотором конечном отрезке времени
является непрерывной функцией начальных значений и
параметров, при выполнении общих условий теоремы существования и
единственности (например, непрерывность правой части и
удовлетворение условию Липшица по искомым функциям). Однако
простейшие примеры показывают, что для непрерывности
решения по начальным условиям на бесконечном отрезке времени
этих общих условий уже недостаточно. В самом деле,
рассмотрим в качестве примера уравнение
х=ах, л;(0) = л;0, а = сопз1.
Правая часть имеет требуемую гладкость независимо от знака а.
Однако если а>0, то решение х=хоеаг удаляется, от решения
х===0 при любых сколь угодно малых Хо, т. е. указанная непре-
'. рывная зависимость решения от хо отсутствует. Если же а<0,
то все решения при ^->-оо монотонно убывают по абсолютной
величине и приближаются к решению х==0, т. е. непрерывная за-
. висимость имеет место на положительной полуоси. Отсюда
видно, что для непрерывной зависимости решений от начальных ус-
] ловий нужно потребовать выполнения дополнительных условий.
Теория устойчивости изучает отклонения решений при
вариации начальных условий, коэффициентов системы, правых
частей и т. д. Существует много определений устойчивости, но
весьма общим оказалось определение устойчивости по Ляпунову
(или по начальным значениям). Другие виды устойчивости
связаны с устойчивостью по Ляпунову или сводятся к нему. Следует
отметить, что Ляпуновым заложены основы современной теории
устойчивости, и поэтому два основных метода исследования на
устойчивость носят его имя [3; 4; 5].
Рассмотрим задачу с начальными условиями для системы
обыкновенных дифференциальных уравнений
—=7 ом), </(д=#<г 0-и
Обозначим ее решение через у~у{1, Уо)- Кроме того, рассмотрим
задачу с измененными начальными условиями у(1о)=у~о и
обозначим ее решение через у = у{1, уо).
Определение 11.1. Решение у = у({, уо) называется
устойчивым по Ляпунову (по начальным условиям), если для
любого е>0 (е<Се0) можно указать т](е) >0 такое, что для
все;х у0, удовлетворяющих неравенству \\уо—г/о11<т1(е)' и Для всех
^>^о имеет место неравенство \\у(Ь у$)—у(1, уо)11<е.
Иными словами, решение называется устойчивым, если все
другие решения, начинающиеся в некоторой достаточно малой.
окрестности выбранного решения, с ростом времени остаются в
заданной окрестности выбранного решения (рис. 5).
Важным, является также понятие асимптотической
устойчивости.
42
Определение 11.2. Решение у = у{1, уо) называется
асимптотически устойчивым, если оно устойчиво и если, кроме того,
существует е0>0, такое, что Пт||г/(/, у0) —«/(/, «/0)]|=0 при всех
И«/о—уо\\<ео-
Иными словами, все решения из 6-окрестности, где 6 =
= гшп(ео, л(е))> должны не только оставаться в е-окрестнос'ти, но
и стягиваться к выбранному решению (рис. 6).
Для удобства построения и применения методов исследования
устойчивости рассматривается устойчивость тривиального,
решения; исследование устойчивости любого решения сводится с
помощью замены переменных к исследованию тривиального
решения у(1, 0)=0. Тривиальное решение в механике называется
положением равновесия (или точкой покоя). Эти механические
термины в процессе параллельного развития теории
дифференциальных уравнений и механики перешли в теорию
устойчивости и в качественную теорию дифференциальных уравнений; мы
также будем их использовать. Для приведения системы (1.1)' к
точке покоя сделаем замену
уУ,~У<) = Уа, У0) + х((, х0), х0=у0 — у0. (1-2)
Тогда получим
й-±^=7(У«, М + х«. х0), 1)~Щ^. (1.3)
ас 01
Здесь у{1, у0) — известное решение; ясно, что система (1.3) имеет
решение х{1, 0)^=0. Обозначив правую часть системы (1.3)
через 1(х, 0, получим систему, имеющую точку покоя х=0:
——/и,/), /(0,0^0, хф)=х0. (.1,4)
В дальнейшем всюду будем предполагать, что правые части
системы (1.4) заданы в области
И)<#, *>0 . (1.5)
(где Н — некоторая постоянная) и удовлетворяют условиям
теоремы существования единственного решения х—х(1, Хо), которое
продолжимо на правую полуось ^0. Отметим сразу локальный
характер теории устойчивости, в которой решения
рассматриваются в области (1.5). Для системы (1.4) может существовать
несколько положений равновесия, имеющих разный характер
устойчивости, но результаты теории устойчивости будут
применимы к каждому положению равновесия. Общая картина на
фазовой плоскости требует дополнительного рассмотрения и
связана, вообще говоря, с необходимостью введения иных понятий,
таких, как предельные циклы и странные аттракторы.
*?
■ Приведем теперь определения устойчивости и
асимптотической устойчивости для точки покоя.
Определение II.3. Положение равновесия л:==0 (точка
покоя) системы (1.4) называется устойчивым по Ляпунову, если
для любого е>0 (е^Я) можно указать т"акое т](е), что для всех
решений х~х{1, х0), удовлетворяющих неравенству 1и0||<т](е),
и для ^>0 спреведливо неравенство \\х(1, Хо)||<е.
Определение 11.4. Положение равновесия хз==0 (точка
покоя) системы (1.4) называется асимптотически устойчивым,
если оно устойчиво и если, кроме того, Пт||;с(Х Хо)|| = 0 для всех
I—ее
решений, удовлетворяющих в начальный момент неравенству
Л*о11<ео.
Определение 11.5. Положение равновесия называется
неустойчивым, если оно не является устойчивым.
Иными словами, существует е>0 (е<|Я) такое, что какое бы
малое т}>0 для него ни выбрать, найдется хотя бы одно
решение х~х{1, хо) {\\хо\\<г\), для которого не будет выполнено
неравенство \\х^, Хо) 11 <е.
Задачи исследования на устойчивость удобно иллюстрировать
на фазовой плоскости двух переменных (х\, Х2)- На рис. 7,а, б
даны примерные изображения устойчивой и асимптотически
устойчивой точек покоя.
В теории устойчивости особую роль играют точки покоя для
линейной системы с постоянными коэффициентами:
х — Ах, л:(0)=л;0. (1.6)
Для этой системы решение может быть записано в явном виде
через экспоненты и многочлены [5; 4]. Отсюда легко вытекает
;радлюченйе об устойчивости: если все собственные значения
матрицы Лимеют отрицательные действительные части, то
положение равновесия асимптотически устойчиво (все экспоненты
убывают до нуля); если среди собственных значений существует
хотя бы одно, имеющее положительную действительную часть,
то положение равновесия неустойчиво; если все собственные
значения чисто мнимые и различные, то положение равновесия
устойчиво; наконец, если существуют кратные чисто мнимые корни,
То может иметь место неустойчивость.
Простейшими типами особых точек (положений равновесия)
для двумерной системы
х=ах-\-Ьу, у = сх-\-йу
являются: узел; седло; фокус; центр; вырожденный узел;
дикритический узел. Эти типы изображены соответственно
на рис. 8,а—е. Все указанные особые точки, кроме центра,
называются грубыми. Это означает, что малые вариации
коэффициентов или правых частей не приведут к изменению картины на
фазовой плоскости и изменению характера устойчивости. Только
44
центр является негрубой (или критической) особой точкой, когда
малые вариации коэффициентов или правых частей могут
изменить характер устойчивости. Центр может превратиться в
устойчивый или неустойчивый фокус. Именно в таких критических
случаях будет применяться аппарат исследования на устойчивость,
который развит ниже в гл. III и основан на сочетании
классических методов исследования на устойчивость и асимптотического
метода усреднения.
Выше было введено определение устойчивости по начальным
значениям (устойчивости по Ляпунову). Рассмотрим другие
виды устойчивости. Сформулируем определение устойчивости при
45
постоянно действующих возмущениях для системы, содержащей
возмущения \хК(х, I):
х=/(х, 0 + ^(х, О, 0<(1<^1, хф)=х0. (1.7)
Определение 11.6. Положение равновесия системы (1.4)
называется устойчивым относительно постоянно действующих
возмущений \хК(х, (), если для любого е>0 (е<Я) можно
указать такие г|1 (е) и ^(е), что для всех решений х=х(1, х0), для
которых выполняется неравенство ||хо11<т]1 (е), и для всех
\1%(х, I) таких, что ||ц,/?(*, ^\\<г\2(е) в области (1.5), при ^0
справедливо неравенство ||л:(^, хо) II<Се.
Во многих прикладных задачах имеет смысл исследование на
устойчивость не по всем переменным системы, а лишь по той их
части, по которой система имеет тривиальное решение. К числу
таких задач прежде всего относятся задачи небесной механики.
Например, в классической задаче трех тел изучается
устойчивость движения двух планет при учете их гравитационного
взаимодействия; без учета такого взаимодействия движение в поле
тяготения Солнца происходит по кеплеровским эллипсам.
Естественно, под устойчивостью в такой системе следует понимать
сохранение эксцентриситетов и полуосей эллипсов вблизи их
начальных значений, угловые же переменные могут меняться в
широких пределах. Рассмотрим систему, содержащую две
компоненты: 2= (х, у); по переменным х производится исследование
на устойчивость, по переменным «/еД необходимые требования
выполняются равномерно:
2=^/(2, /), г(0) = г0, / = (/ь /2),
рли в развернутой форме
"* *=/|(х, у, О, 'М0,у,П = 0, х(0)=х0; (1.8)
У = /2(х,У,{) У(0) = Уо
в области
И|<Я, уЕД *>0. (1.9)
Сформулируем определение устойчивости по части
переменных. Близкое определение имеется в [36].
Определение 11.7. Положение равновесия системы (1.8)-
называется устойчивым по Ляпунову по переменным х, если для
любого е>0 (е^//) можно указать такое т](е), что для всех
решений х=х{1, хо, уо), у = у{1, хо, уо), для которых выполняется
неравенство НхоН^тИе), и для 1^0 справедливо неравенство
\\х{1,х0, у0)\\<г.
Среди других определений устойчивости отметим еще
понятие устойчивости по Лагранжу, когда система считается
устойчивой, если ее траектории располагаются в конечной части
пространства.
46
§ 2. Функции Ляпунова
Т(«)
Основным инструментом исследования в теории устойчивости
являются так называемые функции Ляпунова. Функция
Ляпунова имеет смысл некоторого обобщенного расстояния от точки,
задаваемой решением х=х((, Хо), до положения равновесия.
В связи с этим предполагается,
что эти функции являются
однозначными и обращаются в нуль в
начале координат.
Предполагается также, что они непрерывно
дифференцируемы в области
\\х\\<СН и ^0. Сначала
рассмотрим функции и(х), зависящие
только от координат; они служат
для исследования на
устойчивость автономных систем.
Определение 11.8.
Функция ь{х) называется
положительно определенной, если она
при 1х\\<.Н неотрицательна и
обращается в нуль только при х=0
(0(0) =0). -
Картина линий уровня
положительно определенной функции V(x) приведена на рис. 9.
Примерами таких функций служат V=x^2 + X22, V—X\2-\-X2^ и т. д.
В качестве примера функции Ляпунова, которая применяется
при исследовании линейных систем, рассмотрим квадратичную
форму
Рис 9
«',/-1
(2.1)
Из линейной алгебры известно, что существуют линейные
преобразования
г=Рх, , (2.2)
которые приводят форму (2.1) к сумме квадратов:
V-
■-\1г].^г'к2г2-{-...-{-1агп.
(2.3)
Если все коэффициенты Я{ (1^«^я) положительны, то форма
является положительно определенной. Если среди
коэффициентов имеются равные нулю, то форма может обращаться в нуль
не только при 2=0. Если среди коэффициентов имеются числа
разных знаков, то в окрестности начала координат форма
принимает значения разных знаков.
Напомним, что критерий Сильвестра положительной
определенности квадратичной формы заключается в следующем:
для того чтобы квадратичная форма (2.1) была положительно
♦Г
определенной, необходимо и достаточно, чтобы все главнее
миноры ее дискриминанта, т. е. числа
-и»
'12
С\1 С<1ч
-12 <-22 '
■ С2п
с1п с2п-"сп
ш-(х)=с
были положительны.
Гораздо сложнее исследование на положительную
определенность форм более высокого порядка.
Для исследования на устойчивость неавтономных систем
рассматриваются функции Ляпунова, зависящие не только от
координаты, но и от времени. Это усложняет картину линий уровня
на фазовой плоскости, выделение положительно определенных
функций и описание других свойств нестационарных функций
Ляпунова.
Определение 11.9. Функция у(х, I) называется
положительно определенной в области ||х||<#, (^0, если в этой области
имеет место неравенство V{x, 1)^хю{х), где п}(х)— положительно
определенная при ||л:||<# функция.
Определение 11.10. Говорят, что функция ь(х, I)
допускает бесконечно малый высший предел, если для любого с>0
(с<.с0) можно указать
такое 11>0, что при всех ^0,
||;е|| <11 выполняется
неравенство \у(х, ^) | <с".
Иными словами, функция
V(х, I) допускает бесконечно
малый высший предел, если
она стремится к нулю при
||х||->0 равномерно
относительно I.
На рис. 10 изображено
семейство линий уровня
у(х, I) —с. Для различных (
получаются различные
линии уровня, которые зависят
от I как от параметра. Так
как функция у(х, I)
является положительно
определенной (см. определение 11.9), то все эти линии лежат внутри
линии уровня ш(х) = с, а так как ь(х, I) допускает бесконечно
малый высший предел, то существует тч-окрестность, лежащая
внутри всех поверхностей, которые называются подвижными.
Определим функции V{x, у, I), положительно определенные и
допускающие бесконечно малый высший предел по части
переменных х. . .
У"(Я,±)--С
Рис. 10
Определение 11.11. Функция у(х, у, I) называется
положительно определенной в области ||я||<#, «/е.0, ^0 по
переменным х, если в этой области имеет место неравенство V(x, у,
^)'^V)(x), где хю(х)— положительно определенная при ||я||<Я
функция.
Определение 11.12. Говорят, что функция V{x, у, I)
допускает бесконечно малый высший предел по переменным х, если
для любого с>1) (с<с0) можнсгуказать такое т]>0, что при всех
^«3=0, */&0, ||л||<т| выполняется неравенство \у(х, I) \<с.
Иными словами, в этом случае функция ь(х, у, I) стремится
к нулю прн НяН-Ю равномерно относительно 1~^-§, 1/&0.
На фазовой плоскости х\, х2 подвижные поверхности уровня
изображены на рис. 10.
Назовем поверхность V = с замкнутой относительно точки О
по переменным х, если на любой непрерывной кривой,
соединяющей точку 0 пространства переменных х с точкой границы
области ||ж||<#, имеется точка, в которой V = с.
Лемма НА.Поверхности уровня функции Ляпунова замкнуты
относительно 0 по переменным х.
О Рассмотрим произвольную непрерывную кривую С,
соединяющую начало координат пространства переменных х и неко*
торую точку на границе области ||л:||^Я. Вдоль этой кривой
функция 1>(л:, у, ^) изменяется от значения 0 до некоторого
значения с** (л:, у, I). Вследствие непрерывности функция о
принимает и любое промежуточное значение у(х, у, I) =с, если с не
слишком велико. Поскольку С — произвольная кривая, поверхность
у(х, у,-Щ**с в пространстве переменных х является замкнутой,
переменные у, { выступают здесь в качестве параметров
(рис. 10). ■
§ 3. Теоремы Ляпунова об устойчивости
Рассмотрим сначала теорему Ляпунова об устойчивости для
автономных систем
*=/(*), ч/(0)=0, й1тпх=п, М<я- (3-1)
Теорема 11.1. Пусть существует положительно определеннця,
функция Ляпунова V(x), производная которой, вычисленная в
силу уравнений системы (3.1), неположительна (VV • I (х) ^0).
Тогда положение равновесия х=0 устойчиво по Ляпунову.
П Зададим е>0 (е^Я). Согласно определению П.З,
положение равновесия х=0 устойчиво, если для любого е>0 можно
указать такое т^ (е), что все решения, выходящие из
^окрестности, для всех ^2^0 остаются в е-окрестности. Доказательство
заключается в том, что такое построение т](е) будет выполнено с
помощью функции Ляпунова V(x).
Рассмотрим некоторую поверхность (линию) уровня V(x)=с^,
где с>0 выберем так.-ятобы поверхность V(х) = с была располо-
4»
жена внутри е-окрестности. Это возможно вследствие
положительной определенности функции V(x). Согласно лемме 11.1, эта
поверхность является замкнутой. Поскольку V(x) имеет в начале
координат строгий минимум, существует такое т^ (е), что
т](е)-окрестность целиком расположена внутри линии (поверхности)
уровня у(х)=с (рис. 11). Рассмотрим начальное значение хо,
удовлетворяющее условию ||х0||<т1(е), и решение х = х(1, хо).
Допустим, что это решение в какой-то момент ^~^^ пересекает
линию уровня V(x)=с.
Последнее означает, что
функция V{x) возрастает вдоль
решения, т. е. что в этот
момент производная V = 'VVX
ХЦх)>0, а это
противоречит условию теоремы и
тому, что производная
неположительна. Таким образом,
для всех ^0 решение
остается внутри поверхности
уровня у(х)=с и,
следовательно, внутри
е-окрестности. ■
Существенно, что в
теоремах второго метода
Ляпунова предполагается, что
функция известна. Самым
трудным остается вопрос о
построении или нахождении функции Ляпунова. Не существует
каких-либо общих правил построения функций Ляпунова.
Рассмотрим' простой, но интересный пример уравнения колебаний
маятника без затухания:
2
ЛС-1-(йо51П Х = 0.
Соответствующая система имеет вид
2 .
■ДС1 = ЛГ2, Х2== — ш0 31П Х\ ,
где Х\ = х, х=хг. Умножив это уравнение на х и проинтегрировав,
получим интеграл энергии:
х2-\-2щ>(\ — со&х)=2Е.
С помощью линеаризации исходного уравнения, т. е. замены
%тх первым членом разложения х, получается уравнение малых
колебаний
Рис. 11
которое записывается в виде системы
2
Х\'=-Х^ ЛГ2 = —«>оЛ^,
59
Для него интеграл энергии имеет вид
(х?+4х2=2Е. (3.2)
Как одну, так и другую функцию 2Е можно выбрать в качестве
функции Ляпунова для своих уравнений.
Представляет интерес картина интегральных кривых,
задаваемая интегралом энергии для нелинейного уравнения. Фазовые
траектории на плоскости х, х являются линиями уровня
интегралов энергии. Линии уровня замкнуты только для достаточно
малых значений энергии, что соответствует колебательному режиму
маятника. Устойчивость следует из того, что интегралы энергий
являются функциями Ляпунова-
-8) г) .
Рис. 12
На рис. 12 изображены фазовые кривые уравнения маятника.
В случае движения маятника без трения, когда уравнение
движения имеет вид х=—озо251пх,\фазовый портрет представлен на
рис. 12,а. При этом малым значениям энергии соответствуют
замкнутые кривые, а большим — незамкнутые; маятник не
качается, а вращается. В случае движения маятника с малым
трением, когда уравнение движения имеет вид х=—«ао251пх—2$х,
фазовый портрет представлен на рис. 12,6. При этом после
некоторого числа оборотов маятник начинает колебаться вблизи
нижнего положения равновесия. Малые линейные колебания
маятника без трения и с малым трением изображены
соответственно на рис. 12, в, г. Отметим, что для линеаризованного уравнения
колебаний без трения фазовые траектории, как это следует из
вида интеграла (3.2), являются эллипсами (рис. 12, в).
Функции Ляпунова для линейных систем с постоянными
коэффициентами строятся в виде квадратных форм [11]. При этом
положительная определенность формы связана со знаками
действительных частей собственных значений.
Рассмотрим теперь неавтономную систему, имеющую
положение равновесия:
х=/(х, О, /(0, 0=0 (3.3)
в области ||х||<#, ^0. Сформулируем теорему об устойчивости
такой системы.
Теорема П.2. Пусть существует положительно определенная
в области ||х||<Я, ^0 функция Ляпунова, допускающая
бесконечно малый высший предел, производнаяжоторой, вычисленная
в силу уравнений системы (3.3), неположительна:
а( д( ах
Тогда положение равновесия системы (3.3) устойчиво по Ляпу-
нови.
□ Зададим .произвольное е>0 (е<#), выберем постоянную
«С^О настолько малой, чтобы линия уровня положительно
определенной функции т(х) т(х)=с принадлежала е-окрестности
положения равновесия. Тогда в соответствии с определением 11.9
подвижные линии уровня V (х, 1)=с будут расположены внутри
линии хю{х)=с (рис. 10). Согласно условию, функция допускает
бесконечно малый высший предел. При этом на основании
определения 11.10 можно указать ^-окрестность точки 0 такую, что
она целиком лежит внутри линий уровня V (х, 1)=с. Возьмем
начальные условия л:(^о) = *о, удовлетворяющие условию ||л:о11<ть
и рассмотрим решение х=х(1, х0). Допустим, что в какой-то
момент решение пересекает подвижную поверхность ь(х, 1)=с.
В этот момент функция V(x, 0 становится возрастающей вдоль
решения, но это невозможно, так как согласно условию
производная функции Ляпунова, вычисленная в силу уравнений
системы, неположительна. Таким образом, решение никогда не
пересечет линию уровня V (х, 1)=с, которая является замкнутой,
и тем более не пересечет линию уровня т(х)=с, т. е. для всех
*^0 останется в е-окрестности положения равновесия. ■
52
Рассмотрим систему (1.7) в области (1.8), когда имеется
положение равновесия лишь по части переменных. Приведем здесь
«формулировку теоремы об устойчивости по части переменных,
близкую к теореме работы [36].
Теорема 11.3. Пусть существует положительно определенная
по переменным х в области (1.8) функция Ляпуноваь — ь{х,у, (),
допускающая по х бесконечно малый высший предел,
производная которой, вычисленная в силу уравнений системы (1.7), в
области (1.8) неположительна:
—=—+-т-/1(*. У, 0+-г-/а(*. У. 0<0.
си д( дх ду
Тогда положение равновесия системы (1.7) устойчиво по
Ляпунову по переменным х.
§ 4. Теорема Ляпунова
об асимптотической устойчивости
В теоремах Ляпунова об устойчивости содержатся два
условия. В одном из них требуется положительная определенность
самой функции Ляпунова, а в другом предполагается, что
производная этой функции является неположительной. Теоремы об
асимптотической устойчивости накладывают на производную
более жесткие условия — требуется, чтобы производная функции
Ляпунова была отрицательна вне сколь угодно малой
окрестности положения равновесия. Сформулируем теорему Ляпунова
об асимптотической устойчивости по всем переменным.
Теорема 11.4. Пусть выполняются условия теоремы П.2. Пусть,
кроме того, для любого г)>0 (ц<Н) можно указать такие 8(ц) >
>0, что если \\х\\>г\, то выполняется неравенство
д( дх
Тогда положение равновесия #==0 асимптотически устойчиво.
□ Условия теоремы П.2 выполнены, поэтому положение
равновесия устойчиво. Далее, так как согласно условию
производная отрицательна, то функция Ляпунова V (х, /) монотонно
убывает вдоль решения. Но она положительно определена и, значит,
существует неотрицательный предел ]1паь(хУ), ^)=±V*. Допу-
<-»■»
сТим, что указанный предел положителен, т. е. у*>0. Вследствие
существования бесконечно малого высшего предела функции
V(х, {) для всех ^>^0>0 найдется ц>0 такое, что ||л:(*)||>т|.
Тогда в силу условия теоремы при всех ^>^о>0 для
производной функции Ляпунова получаем оценку
<И д1 ' дх
53
где 6=6(т])>0. Проинтегрируем последнее неравенство от (9
до I:
откуда
V(xV), 1)-ъ(х(1й), д<_8(/_/0).
Переходя в последнем неравенстве к пределу при ^->оо,
заключаем, что с ростом времени у{х{1), {) становится отрицательной,
а это невозможно вследствие того, что функция V(x(^), Ц явля-.
ется положительно определенной. Из полученного противоречия
вытекает, что предел у*
функции V(x(^), ?) при ^<х>
должен быть равен нулю,
так как существует
бесконечно малый высший
предел Нт||л:(/)|=0, т. е.- име-
ется асимптотическая
устойчивость (рис. 13). ■
Рассмотрим простейший
пример. Пусть дана
система
х= — у — х3, у=х — у3.
В качестве функции
Ляпунова возьмем
V(x, у)=х2+у2.
Вычислим производную
функции V(х, у):
-^ = 2х(-у-х3)+2у{х-у3) = -2{х* + у%
Функция Ляпунова ь = х2+у2 является положительно
определенной, а ее производная дл)1<&1 = —2(х4+у*) — отрицательно
определенной. Все условия теоремы об асимптотической устойчивости
выполнены и положение равновесия асимптотически устойчиво.
Рассмотрим теперь более сложный пример движения
математического маятника с затуханием:
х+2$х+ш1х=0, р>0, рОо-
Решение этого уравнения записывается в явном виде:
л: (/)=Ле-!" соз (Ы + <Р0),
где А и фр — произвольные постоянные (амплитуда и фаза);
«=|/"(1>2_[}2— частота колебаний маятника. Из этого представле-
5*
ния видно, что положение равновесия #=0 асимптотически
устойчиво, так как оно содержит монотонно убывающий
множитель е-"'. Очевидно, что энергия маятника также монотонно
убывает со временем до нуля. Однако взять энергию маятника в
качестве функции Ляпунова, чтобы воспользоваться теоремой П.4
при исследовании на асимптотическую устойчивость, не
представляется возможным. В самом деле, запишем уравнение
маятника в виде системы относительно переменных х\=х, х2 = х:
Возьмем в качестве функции Ляпунова
V = (Х2)2 + ">0*1 = %Е.
Составим производную функции V.
=щ2Х1Х2 + 2Хг ( —Юо-^1 — 2{Ъс2) = — 4$Х-2-
Видно, что— не является отрицательно определенной функцией,
на прямой #2 = 0 она обращается в нуль. Чтобы сделать
заключение об асимптотической устойчивости с помощью выбранной
функции Ляпунова, следует воспользоваться более тонкими
теоремами [2; 7], допускающими обращение производной в нуль,
но дополнительно требующими, чтобы множества, на которых
происходит обращение в нуль, не содержали целых
полутраекторий системы.
Для малых р, когда потери энергии на одном периоде на
много меньше полного запаса энергии маятника, возможно при^
менение обобщенного метода Ляпунова, связанного с
усреднением; об этом будет идти речь в следующей главе.
Если же выбрать другую функцию Ляпунова, а именно
г>=(«»о+4р/(1 +«>о)) х?+(4р/(1 +о,2о)) Х& + Х»,
то ее производная отрицательно определена:
Ь=—(4^/( 1 +"о)) Ы+хЪ)
и можно воспользоваться теоремой П.4.
Рассмотрим еще один пример. Пусть дана система
х—ах3-\-Ьу, у=—сх-\-йу3.
Будем искать функцию Ляпунова в виде
ъ{х, у)=/1(х) + /2(у).
Тогда для производной этой функции получим
•V=/[ (ах3 + Ьу) — /2 (сх—йу3).
Функции 1г{х) и 12(у) выберем так, чтобы производная также
была представлена в виде суммы двух функций, каждая из ко-
55
торых зависит только от одной переменной. Для этого
потребуем, чтобы Ь1\'{х)у—с/2'(у)х=0. Здесь можно разделить
переменные:
сх Ьу
/!(■*) ~~ /П</)
и, таким образом, потребовать, чтобы каждое из отношений было
постоянным и равным, например, 1/2, откуда ^{х)=сх2 и Ь(у) =
= Ьу2. Производная г) примет вид 0 = 2асх4 + 2Ьа'у. Еслиа<0, с1<0,
Ьс>0, то выполняются условия теоремы Ляпунова об
асимптотической устойчивости. На рассмотренном примере
продемонстрирован метод разделения переменных.
§ 5. Теорема об устойчивости
при постоянно действующих возмущениях
Достаточные условия устойчивости при постоянно
действующих возмущениях определяются в следующей теореме [11].
Теорема И.5. Пусть для системы (1.7), где возмущения К (х, I)
ограничены (Ш(х, 1)\\<М), выполняются условия теоремы 11.4
об асимптотической устойчивости, а функция Ляпунова у(х, I)
имеет ограниченные частные производные. Тогда положение
равновесия х^в.0 устойчиво относительно постоянно действующих
возмущений.
П Зададим е>0 (г<Н). Поскольку функция V (х, () является
положительно определенной, можно указать такое с>0, что
поверхность уровня у{х, 1)=с целиком расположена в е-окрестно-
сти точки 0. Вследствие того что функция ю(х, I) допускает
бесконечно малый высший предел, существует ц такое, что
^-окрестность ледеит внутри поверхности уровня у{х, 1)=с, т. е. точки,
€м*р«дедйе*ше' уравнением V(x, {)=с, удовлетворяют условию
11я||>г|(е). Выберем начальное условие х0 так, чтобы ||дсо||^г|.
Рассмотрим решение х = х{1, л:0,' ц). Продифференцируем
функцию ~о(х, /) в силу уравнений системы (1.7) [вдоль выбранного
решения х = х{1, х0, ц)]:
^- = 4г+^1/^ « + !**(*. О]- (5.1)
<И д( дх
Согласно условию, если решение х = х((, хо) выйдет за пределы
11-окрестности, то найдется такое 6(т|)>0, что
61 дх
т. е. выражение (5.2) строго отрицательно.
Выберем теперь параметр ц0 настолько малым, чтобы при
всех (Хц^цо имело место неравенство
дх
<± ■ (5-3)
П
При этом для д получим оценку
Это означает, что функция ь{х, I) вдоль решения системы (1.7)
убывает, если решение х=х{1, Хо, ц) остается вне г)-окрестности
положения равновесия. Решение х = х{1, хо, ц) никогда не
пересечет линию уровня ь(х, 1)=с, так как при этом в момент
пересечения она стала бы возрастающей функцией, что противоречие
неравенству (5.4). Значит, решение для всех ^>0 удовлетворяет
неравенству
\\ха,х0, !х)Ц < е. ■ (5.5)
Замечание. В формулировке теоремы не содержится
условие Я (О, I) = 0, т. е. исходная система (1.7) может не иметь
положения равновесия #=0. В результате получается, что решение
стягивается в некоторую достаточно малую окрестность,
величина которой зависит от нормы возмущений ц^(#, I).
Иными словами, в предположениях теоремы об
асимптотической устойчивости малые возмущения правых частей вызывают
лишь малые отклонения решения от положения равновесия.
§ 6. Теорема Четаева о неустойчивости
В теоремах второго метода Ляпунова требуется
положительная определенность функции Ляпунова и вводится ограничение
на знак ее производной: если производная неположительна, то
имеет место устойчивость, если отрицательна — асимптотическая
устойчивость. Справедливы теоремы Ляпунова и о
неустойчивости, в которых предполагается положительная определенность
производной. Такие теоремы определяют «равномерную»
неустойчивость, когда все траектории уходят из заданной области при
любых сколь угодно малых начальных условиях. Однако чтобы
обнаружить неустойчивость, достаточно знать только одно такое
решение. Более тонкой является теорема о неустойчивости
Н. Г. Четаева [14], которая описывает неустойчивые траектории
не во всей окрестности точки #==0, а только в ее части.
Теорема Н.6. Пусть в области ||л:||<#, ^>0 существует
непрерывная, ограниченная и имеющая непрерывные производные
функция V(x, {) и выполняются условия:
1°) для любого г)>0 существует подобласть о>ч ц-окрестности
точки х=0 и постоянная а(ц)>0 такие, что для х из области доч
справедливо неравенство ю(х, 1)>а;
2°) для любого а>0 существует р>0 такое, что из
неравенства V(x, ()>а для всех ^>0 следует неравенство
4-—/(*> 0>Р-
д1 дх
Тогда положение равновесия системы (1.1) неустойчиво.
57
□ Зададим некоторое т]>0. Согласно условию, существуют
подобласть оу„ и а(т!) =соп5{ такие, что в оу„ выполняется
неравенство ь(х, 1)>а\ в области оу„ выберем начальное
условие (^о^а'п) и рассмотрим решение х=х(1, л;0) системы (1.1>
{рис. 14). Вдоль него функция ь(х, I), возрастает, так как г)>р>
>0, и решение останется в
области оу„, пока решение не дойдет да
границы области ||л:||<;т|.
Допустим, что неравенство ||л;||<:т]
никогда не нарушается. Тогда
проинтегрируем неравенство
которое выполняется вдоль решения
х=х{1, х0):
1У>о<.
V(x(^), о-*(х0, о»р(/-0).
Рис 14
Однако правая часть неравенства
неограниченно возрастает;
следовательно, неограниченно возрастает и ю(х({), I), что противоречит:
условию об ограниченности функции у{х, I).
Из полученного противоречия вытекает утверждение
теоремы: решение х=х(1) покидает область Цх||<т]. ■
В качестве примера рассмотрим систему
х=?у3-\-х5, у=х3-{-у5.
Пусть функция Четаева выбрана в виде
-..■**„..'./,". - ъ=х*-у4=(х2+у2).(х2-у2).
Тогда'
V=Ах3 (у3+Х5)- 4у3 (Лгз _}_ У5)=4 (л:* _^_ у*) (Х2+у2) (х2 - у2).
Отсюда видно, что V положительна там же, где и V. Теорема
Четаева применима, положение равновесия неустойчиво.
§ 7. Теорема метода сравнения
Как уже отмечалось, основным затруднением, с которым
связано применение второго метода Дяпунова, является отсутствие
конструктивных методов построения функций Ляпунова. В связи
с этим актуальным является ослабление двух условий теорем
Ляпунова. Этой цели служит метод сравнения [31; 32]. Он
состоит в том, что для исходной системы строится система
сравнения, имеющая положение равновесия, свойства устойчивости
которого известны. Аналог функции Ляпунова исходной системы,.
о знаке производной которой информация отсутствует, должен
58
удовлетворять условиям леммы Чаплыгина [5]. При этом по
известным свойствам устойчивости системы сравнения делается
вывод об аналогичных свойствах исходной системы.
Остановимся более подробно на простейшем скалярном
варианте метода сравнения [41].
Рассмотрим исходную нелинейную систему
х=/(х,(), /(0,/)=р (7.1)
я будем предполагать, что известно скалярное
дифференциальное уравнение
и=со(и,/), ш(0,О=0. (7.2)
Лемма Н.2 (лемма Чаплыгина). Пусть правая часть
<л(и, I) непрерывна при ^ЭЮ, ||ы||<# и система (7.2) имеет
единственное решение. Пусть также функция ь(1) удовлетворяет
условиям
т;(/0)<к0, <^(/)<о>(?;(/), 0. (7.3)
Тогда у(1)^.и{1) при всех ^0, для которых определены
решение системы (7.2) и неравенства (7.3).
□ Искомое неравенство выполняется в начальный момент;
вследствие непрерывности оно выполняется также и на
некотором отрезке. Допустим, что 1\ — ближайшая к 1й точка, в которой
неравенство о(^)^а(^) нарушается, т. е. ь^\) = и(1]). Это
означает, что кривые у{1) и и(1) пересекаются или касаются, но
тогда $(1\)>>ц>(и(1\У, {[), что противоречит (7.3).
Теорема 11.7 (теорема сравнения). Пусть существует
функция и(ы, /). (со(0, ^)=0), непрерывная при Л>0, ||ы||<# и
такая, что система (7.2) имеет единственное решение. Пусть,
кроме того, в этой же области определена функция V (х, I) такая, что
о(х, 1)^а(х), о(0, 0=0> г&е а(х) — положительно определена и
выполняется неравенство- ь(х, 1)^.ш(у(х, I), I). Тогда из
устойчивости ы = 0 следует устойчивость точки х=0 для системы (7.1).
□ Согласно лемме П.2, вдоль решений систем (7.1) и (7.2)
имеем
а(*)<«(*(/), *)<к(Л и(0)). (7.4>
Если точка « = 0 устойчива, то для любого еХ) найдется т](е)>0
такое, что при и(0)<г\ и *>0 имеем и{1, ы(0))<а(е). Найдется
также такое т](е), что из неравенства ||*о11<Ц следует
неравенство ыо = а(*о, 0)<% При этом из (7.4) следует \\х'({, *о)Н^е для
любого ^>0 и* следовательно, точка х=0 устойчива. ■
Если со (и, 0^=0. то получается теорема Ляпунова об
устойчивости.
59
§ 8. Первый метод Ляпунова
Второй метод Ляпунова, основные теоремы которого были
сформулированы выше, является наиболее общим методом
исследования на устойчивость. Основная трудность, связанная с
применением этого метода, состоит в построении или нахождении
функции Ляпунова. В этом всегда заключается основная
проблема в прикладных исследованиях. В механике функция
Ляпунова часто строится в виде «связки интегралов»; тогда
автоматически выполняется второе условие указанного метода, связанное
с производной. До исследовали?! Ляпунова использовался метод
линеаризации, который применялся к конкретным задачам и
состоял в том, что в исходной нелинейной системе рассматривалось
разложение в окрестности положения равновесия в ряд Тейлора
и исходная нелинейная система заменялась линейной системой.
Однако только после работ Ляпунова стала ясна связь между
свойствами устойчивости линейной и исходной нелинейной
систем. Благодаря этому метод исследования устойчивости,
основанный на линеаризации системы, носит название первого метода
Ляпунова [3; 4; 5]. Дальнейшее изложение в основном связано
с обобщением второго метода Ляпунова, использующим
асимптотический метод усреднения; поэтому здесь мы ограничимся
•только формулировками теорем первого метода Ляпунова.
Рассмотрим систему вида
х=Ах+%(х, 4), 6\тх = п, И<#, />0. (8.1)
Теорема П.8. Пусть при ||*||<Я, *>0 существуют постоянные
М>0 и а>0 такие, что выполнена оценка
№х,Щ<М141+: ' (8.2)
Дццтр также все собственные значения матрицы А имеют
отрицательные действительные части. Тогда положение равновесия
х=0 системы (8.1) и системы линейного приближения х^=Ах
асимптотически устойчиво.
Теорема П.9. Пусть выполняется первое условие теоремыП.8.
■Пусть также среди собственных значений матрицы А
существует хотя бы одно, имеющее положительную действительную часть.
Тогда положение равновесия х==0 неустойчиво.
Теоремы первого метода Ляпунова утверждают, что вопрос
исследования на устойчивость нелинейной системы решается с
помощью линейного приближения, если среди собственных
значений матрицы линейного приближения нет чисто мнимых. Если
же среди собственных значений матрицы имеются чисто мнимые,
то устойчивость зависит уже от свойств нелинейных слагаемых.
Это видно.из простейшего примера. Пусть
х^у+ах3, у=—х-\-ау3,
где а — постоянная. Система линейного приближения имеет
собственные значения ±1.
60
Возьмем в качестве функции Ляпунова у = х2 + у2. Ее
производная для линейной системы равна нулю. Вычислим
производную для полной системы:
^} = 2х(у+ах3) + 2у(-х + ау*)=2а(х*-\-у%
Отсюда видно, что знак производной Ь зависит от знака а. Если
а<0, то выполнены условия теоремы Ляпунова об
асимптотической устойчивости. Если же а>0, то Ь положительна и имеет
место неустойчивость.
Случай, когда имеются чисто мнимые корни
характеристического уравнения, называется нейтральным (или критическим).
В последнее время усилия исследователей были сосредоточены
именно на исследовании критических случаев.
Нейтральный (критический) случай может быть описан и с
помощью второго метода Ляпунова. Он имеет место для системы
с возмущениями (1.7), когда не выполняется условие теоремы
11.5 об устойчивости при постоянно действующих возмущениях,
а именно условие асимптотической устойчивости усредненной
системы, т. е. имеет место только устойчивость невозмущенной
системы.
Отметим, что решение многих прикладных задач требует
исследования именно в нейтральном случае. Некоторые такие
задачи будут рассмотрены ниже.
Глава III
ОБОБЩЕНИЕ
ВТОРОГО МЕТОДА ЛЯПУНОВА *
§ 1. Постановка задачи
об исследовании на устойчивость систем,
содержащих возмущения,
в случае устойчивости невозмущенной системы
Рассмотрим систему, содержащую возмущения:
х=/(х, 1) + р%(х, (, (х), (1.1)
где йхтх^п, а (х — малый параметр (0<|л<С1), в области
И<#,.*>0. (1.2)
Предположим, что система без возмущений
х=/(х, О (1.3)
имеет положение равновесия хз=0, т. е. / (0, /)=0.
61
Согласно теореме об устойчивости при постоянно
действующих возмущениях, равномерная асимптотическая устойчивость
точки х=0 системы (1.3) влечет за собой устойчивость при
постоянно действующих достаточно малых по норме возмущениях.
Если же невозмущенная система (1.3) только устойчива, то
именно от малых возмущений рН (х, I, ц) зависит устойчивость
или неустойчивость точки х=0. Задача состоит в том, чтобы
сформулировать условия на малые силы |х# (х, I, (х), при которых
имеет место устойчивость или неустойчивость точки х=0 для
системы (1.1). Оказывается, что эти условия удобно
сформулировать с помощью функции Ляпунова невозмущенной системы
(1.3). При этом удается обобщить оба условия второго метода
Ляпунова [6; 48]. Условие, относящееся к самой функции,
обобщается следующим образом: Для системы с возмущениями
предполагается известной или строится возмущенная функция
Ляпунова, которая должна быть определена и достаточно мала в
кольцевой области, содержащей положение равновесия. Условие,
1 относящееся к производной возмущенной функции Ляпунова,
обобщается так: ограничения на знак производной ие
накладываются, требуется лишь знакоопределенность среднего,
вычисленного интегрированием вдоль интегральных кривых
невозмущенной системы.
Основным понятием устойчивости, которое будет
использоваться в дальнейшем, является (х, (х)-устойчивость, определение
которой формулируется следующим образом.
Определение III. 1. Положение равновесия системы (1.3)
называется (х, ц)-устойчивым, если для любого е>0 (е<#)
можно указать такие т]>0 и (хо>6, что при всех значениях
параметра ц, удовлетворяющих неравенству 0<(х^(хо, и началь-
ч»-.,. ВДД .условиях хо таких, что ||хо11<ть Для всех ^>0 выполняется
неравенство \\х(х0, I, |х)||<е.
Для дальнейшего потребуется оценка разности решений
систем (1.1) и (1.3) с одинаковыми начальными условиями на
конечном отрезке времени.
Лемма Ш.1. Пусть правые части систем (1.1) и (1.3) в
области (1.2) удовлетворяют условиям, обеспечивающим
существование и единственность непрерывного решения. Пусть также
}(х, I) по переменным х удовлетворяет условию Липшица с
постоянной N. Пусть, далее, существуют суммируемая функция
М{1) и постоянная М0 такие, что в области (1.2) на любом
конечном отрезке [^, 1^\ имеют место неравенства
и
Тогда для решений х=х{1) и х=х(1) систем (1.1) и (1.3),
выходящих из одной точки х{1о)=х(1о)=х0, при I, принадлежащих
-62
отрезку [^о, ^о+П> выполняется неравенство
П Система уравнений (1.1) равносильна системе
интегральных уравнений
Для невозмущенной системы (1.3) аналогично имеем
_ I
х (/) = ■*„ + С /(^ (О, /XI/.
Вычитая одно равенство из другого, получим
х(()-х(()=^ \/(х((), О-/С*(О, 0]<Н + 1* |Я(.*(0, Л р><К.
/о 'о
Используем для /(*(*), /) условие Липшица и ограниченность
функции К(х^), I, (х) суммируемой функцией; тогда для ^о5^5^-
^^о+/ получим неравенство
\\х-4<N | \\х — лс||<1/ + цЛу.
и
Отсюда с помощью леммы Гронуолла получаем требуемую
оценку:
\\х-4<^м^1. ш
§ 2. Теорема об устойчивости,
основанная на использовании функции Ляпунова
невозмущенной системы
Многие прикладные задачи в нейтральной (критической)
ситуации удается решить с помощью теоремы, обобщающей то
условие теоремы Ляпунова об' устойчивости, в котором требуется,
чтобы производная была неположительна. Для устойчивости
достаточно требовать отрицательности среднего от производной
функции Ляпунова 1>о невозмущенной системы, вычисленного
интегрированием вдоль решений невозмущенной системы х=х((}
[6]. Введем обозначение
4*** ?(*, ^>=~М?(*, *, Р). (2.1)
дх
Теорема III.1. Пусть выполнены следующие условия:
Iе) существует положительно определенная по переменным х
функция Ляпунова ьо(х, I) системы (1.1), допускающая по
переменным х бесконечно малый высший предел;
63
2°) полная производная функции 1>о> составленная в силу
уравнений системы (1.3), неположительна в области (1.2);
3°) равномерно относительно I, х0 из области (1.2)
существует среднее
и+т
г->~ Т .) дх
■ы для всякого ■уХ) {у<.Н) можно указать такое 6>0, что еслы
11*о11>'У. то Ы*о, *о, ц) <—б яри ^о^О;
4°) существуют суммируемые функции РЦ) и М(1),
постоянные Рц и Мо, а также неубывающая функция %\ (а), Птх1(а) = 0,
а
такие, что в области (1.2) имеют место неравенства:
|? (*', () - <? (х", ()\ < XI4*' - -*"|) Р (/),
|/=■(/) а/</=,0(/2-/|),
а-И)
.на любси конечном отрезке [1и Н]-
Тогда точка х==0 является (х, ц) -устойчивой, т. е. для всякого
«>0 можно указать такое ц(г) >0 ы |хо(е), что для любого
решения системы (1.1) с
начальными значениями х(0)=л:о, удов-
летворяющими по переменным
х неравенствам \\х0\\<ц при0<
<|л<|л0(е), и для всех ^>•0
выполняется неравенство
1И01К*-
О Зададим е>0 (е<Я),
а также Е1 с помощью
неравенства 0<.г\<.г. Согласно
условию 1°, функция Ляпунова
&о{х, I) положительно
определена и имеет бесконечно малый
высший предел. Поэтому для
заданного Е1 можно указать
такие С(е1)>0 И Т)(ё1)>0, ЧТО
подвижные поверхности
уровня V0(x, 1)=с расположены в кольцевой области 0<т|<|и||<81
(рис. 15). Пусть начальная точка х(0)=хо удовлетворяет
условию П^оП^СЛ- Рассмотрим решение х=х{1, хо) системы (1.1).
Допустим, что в некоторый момент 1=1$ решение х=х{1, хо)
пересекает поверхность V=V^(x, ^)=с(ё1). Начиная с момента
*.-ъ.+1
Рис. 15
64
1=1о, изучим изменение функции V=Vй(x(^), I) на решении
х=х{1). Для этого найдем производную
/ + !*—Ж-*> (, р-) =
д* ' д( дх дх
д° +-?-/+М(^(О, Л и>. (2-2)
д* их
Согласно условию 2°, имеем 1 /<С0- Проинтегрируем
равенство (2.2); учитывая последнее неравенство, получим
г
ъ(х((), ()<ъ(х((0), у+(х С ? (*(/), /, И б/. (2.3)
Чтобы изучить влияние последнего интеграла в (2.3), прибавим
и вычтем аналогичный интеграл, вычисленный на решении
невозмущенной системы х—х^), проведенном из той же точки х((о):
I I _ I _
У 9(л(О, 0й( = ^ ?(■*(*). 0<И + у 1<р(*(/), *)--?(*(*), 0]&.
/о 'о 'о
(2.4)
Согласно условию 3°, существует функция и(^), имеющая
нулевой предел при ^-*-оо и такая, что
| ? (5; (/), /)<1/=</-*„> №,(*(/„), /о)+>КО]. (2.5)
'•
Это же условие 3° утверждает существование такого 6>0, что
справедливо неравенство
%(х((0\ (0)<-Ь. (2.6)
Выберем теперь />0 настолько большим, чтобы при 1~^1о + 1
имело место неравенство
|и(0|<8/4. (2.7)
Оценим второй интеграл в равенстве (2.4). Имеем
!?(.*(/>, /)--?(*(*), ъ\<Ы\х{П-х«% (2.8)
Из неравенства (2.8) с помощью леммы Ш.1 на отрезке /о^*^
<^о + ' получим
И* (О, О-?(*<*>, 0|ОЛМуе"'. (2.9)
Выберем теперь щ = б (4ЛГМ0/ ехр(Л^О)-1; тогда из (2.9) имеем
оценку
I
р?(*(0, О-.? (*(*), 0|<«<8/4. (2.Ю)
'о
3—1743 65
Используя лемму 11.1 и выбрав ц.2=(е—е^ (М021ехр (N1)) х,
том же отрезке получим
И0-*(*Ж«-в1- (2.:
Выберем теперь цо=гшп {^ь цг}. Таким образом, в силу нер
венств (2.7) и (2.10) имеет оценку
]" <Р(*<0, <)<1(<1[%(х((0), /0> + х(/0Н-')+~-]<—1~. (2-~
из которой следует, что
Это означает, что в момент времени ^=^о+' решение *=.*(
системы (1.1) снова окажется внутри поверхности уров1
о0(*, 0-с(еО.
С другой стороны, получаем, что вследствие устойчивости си
темы (1.3) для х=х(1) выполнено неравенство ||ж(011<еь отк
да, учитывая оценку (2.11), получаем, что при <о<^^о+' р
шение х=х{1) системы (1.1) удовлетворяет неравенству ||#(/)||-
<*■
Так как оценки равномерны относительно (о, то решение м
жет сколько угодно раз покидать поверхность уровня у(х, I)-
— с{г\) и возвращаться внутрь нее, не выходя из е-окрестност
положения равновесия х=0. Ш
В качестве примера применения теоремы III. 1 рассмотрим з;
дачу об исследовании на устойчивость предельного цикла ура]
-нения Ван-дер-Поля.
/ В гл. I уравнение Ван-дер-Поля
х — [а(1 — х2)х-\-х = 0
рассматривалось с точки зрения приведения его к стандартно
форме и усреднения в полученной системе. Запишем здесь толь
ко усредненную систему:
= а 1 а2,
где а — амплитуда Колебаний. Положение равновесия а = 0 этог
уравнения, очевидно, неустойчиво. Имеется еще один стацис
нарный режим а=2. Если составить функцию Ляпунова » =
= (а—2)2, то ее производная имеет вид
V-2(х(а-2)а2 (1 --^Ц== -2^ (а-2)* -^-(а+2),
т. е. является отрицательно определенной функцией в окрестно
сти точки а=2. Все условия теоремы III. 1 выполнены; режи!
а = 2 является устойчивым.
66
§ 3. Постановка задачи
об исследовании на (х, ^-устойчивость
по части переменных систем,
содержащих возмущения в нейтральном случае
В настоящем параграфе рассмотрим систему обыкновенных
дифференциальных уравнений вида
—-=/<*, « + |1/?<г,/,|0 (3.1)
ас
{\1 — малый параметр), содержащую возмущения |х#(г, I, (х),
которые разлагаются в ряды по степеням ц или представляются
. суммами членов разных порядков по степеням ц [6]. Здесь г, /V
Д — векторы, имеющие п + т компонент:
г=хи Хч,..., хп,'У1,..., ут=х, у; /=/1,..., /а+т-
Будем рассматривать систему (3.1) при
И<#, !/бД (>0, (3.2)
где И — область изменения у.
Пусть в области (3.2) функция \( г,1) по г удовлетворяет
условию Липшица с постоянной N. Пусть также /(г, I) и /?( г, /, ц)
V удовлетворяют условиям, обеспечивающим существование и
единственность решения задачи с начальными условиями в
области (3.2) и при 0<(х<(хо. Относительно невозмущенной сис-
_ темы
4т^=/(*•'> <3-3>
предположим, что по переменным х она имеет точку покоя, т. е.
/«(О, у, О —О при 1<1^п. Исследуем систему с возмущениями
(3.1) на устойчивость по переменным х в окрестности точки х=0.
/■ Предположим, что х — 0 для невозмущенной системы (3.3) яв-
:;■• ляется устойчивой точкой покоя. Пусть ее устойчивость обеспе-
г чивается существованием положительно определенной и допу-
( екающей по переменным х бесконечно малый высший предел
[ функции Ляпунова ь0(х, у, I). Предположим также, что произ-
^ водная функции и0, вычисленная в силу уравнений системы (3.3),
Р" неположительна. Последнее означает, что для системы с возму-
%-у щениями (3.1) имеет место нейтральный случай при исследова-
I* нии на устойчивость.
Обобщение второго метода Ляпунова производится по двум
направлениям: ослабляется условие положительной
определенности функции Ляпунова и ослабляется требование,
накладываемое на знак производной.
Для системы с возмущениями (3.1) строится возмущенная
■функция Ляпунова
ю = щ{х, у, *)+«(•*, У, и V, е), (3.4)
где возмущение и для малых ц можно выбрать достаточно ма-
3* 67
лым; положительной определенности и не требуется; здесь е —
величина окрестности точки, исследуемой на устойчивость.
Таким образом, обобщается условие положительной
определенности функции Ляпунова, накладываемое в теоремах второго
метода Ляпунова, поскольку в окрестности положения равновесия
х=0 функция V не является положительно определенной.
Продифференцируем возмущенную функцию Ляпунова V в
(Чияу уравнений системы (3.1); тогда получим ;
Ъ__^±^/+^«о_рХ+1и_/ + р_дН_я (з.5)
<11 д( ' дг " дг ' д^ ' дг
В этом выражении рассмотрим справа члены, содержащие # и
и, выделим множитель 9(ц,), зависящий от |я, и введем
обозначение
о, . , . , . дV0 ,-, . да . да , , да „
в№)Т(г, /, [а, "> = ——№+-тт + -Г-/+-Г" ^,
дг д( дг дг
Ф(г, /, 0, в)#0. (3.6)
Рассмотрим интеграл
1а+Т
У(г0, /0, Т, [а, в)= С ?(г(0, /, {I, в)<1/, (3.7)
и
который вычисляется интегрированием вдоль интегральных
кривых невозмущенной системы (3.3) г=г{1) с начальными
условиями 2(?о)=2о, или среднее 1|з(г0, (о, (х, е), если оно существует:
Ф(20, *0> ^ 5)=11Ш — У(20, /„, Г, {I, 6). (3.8)
Второе условие метода Ляпунова, в котором требуется
неположительность производной функции Ляпунова, обобщается
следующим образом: требуется лишь отрицательность -ф — среднего
от производной обобщенной функции Ляпунова, или интеграла /.
Дадим определение устойчивости, которая достигается
благодаря существованию возмущенной функции Ляпунова (3.4) и
ограничениям на знак интеграла (3.7) или среднего (3.8).
Определение III.2. Положение равновесия системы (3.3)
х==0 называется (х,,^)-устойчивым по части переменных в
области (3.2), если для любого е>0 можно указать такие т}(е)>0 и
(хо(е)>0, что при всех х0, удовлетворяющих условию НжоН-^Л. И
0<(х<|яо для всех (>0 выполняется неравенство \\х(х0, I, (х)||<е.
Следует отметить, что устойчивость, определенная выше,
совпадает с устойчивостью по Ляпунову относительно переменных
х, (х для расширенной системы, которая получается добавлением
к системе (3.1) уравнения ц = 0.
В § 5 будет доказана теорема об устойчивости, где
используется возмущенная функция Ляпунова, заданная в кольцевой
области [6]. При этом за основу берется функция Ляпунова и0
невозмущенной системы (3.3) и к ней добавляется возмущение и,
68
которое должно быть мало не во всей области (3.2), а лишь в
кольцевой области с центром в точке х=0. Знакоопределенность
производной не требуется, ограничения накладываются на знак
интеграла (3.7) или на знак среднего (3.8), если оно существует.
При этом в малой окрестности точки х=0 возмущенная функция
Ляпунова может вовсе не существовать, что соответствует
случаю, когда точка х=0 является резонансной. Такое обобщение
метода Ляпунова делает возможным его применение к
многочастотным резонансным задачам.
Весьма важным в практическом отношении является случай,
когда неизвестен знак производной возмущенной функции
Ляпунова ф(г, (, ц, е), а также знак интеграла / или среднего ф.
В этом случае с помощью возмущенной функции Ляпунова
можно провести исследование на устойчивость на конечном
интервале и оценить длину отрезка времени, на котором интегральные
кривые не выйдут из е-окрестности. Теорема об устойчивости на
конечном интервале будет доказана в § 6.
Если отрицательность среднего от ф позволяет доказать
теоремы об устойчивости, то положительность среднего от
производной возмущенной функции Ляпунова V дает возможность
обобщить на этот случай теоремы Ляпунова и Четаева о
неустойчивости и получить удобный способ для установления резонан-
сов в нелинейных системах. Теорема о неустойчивости будет
доказана в § 8.
§ 4. О поверхностях уровня
возмущенной функции Ляпунова
В § 2 гл. II были введены функции Ляпунова, положительно
определенные и допускающие бесконечно малый высший предел
по части переменных.
В настоящем параграфе рассматриваются возмущенные
функции Ляпунова V = V^(x, у, 1)-\и{х, у, I, (х, е), где ю0(х, у, I) —
положительно определенная в области (3.2) функция Ляпунова
системы (3.3), допускающая по переменным х бесконечно малый
высший предел; и(х, у, I, (х, е) — возмущение функции Ляпунова.
Рассматриваются поверхности (многообразия) уровня таких
функций, формулируется лемма о свойствах этих поверхностей.
Прежде чем сформулировать лемму, произведем следующие
построения. Зададим некоторое е>0(е<#). Выберем число
ш0>0 так, чтобы поверхность ф(х) = 1в0 лежала в е-окрестности
точки х=0. Пусть число ст>0 удовлетворяет условию 2ст<Шо-
При этом так как и0 положительно определена по х, то
поверхности .
•о0{х, у, П=Щ, (4Л>
%(х, у, О==ю0-2в (4-2)
лежат внутри поверхности ьи(х) =ш0.
69
Поскольку функция 1>о допускает по х бесконечно малый
высший предел, можно указать такое 1ц>0, что ц-окрестность
целиком содержит внутри поверхностей (4.1) (см. § 2 гл. II).
Лемма Ш.2. Пусть для любого г выбраны ш0, о<^—^о0,1\{г)^>
>0 так, что поверхности (4.1) и (4.2) расположены в' кольце
1\^\\х\\^г. Пусть также возмущение функции Ляпунова
и(х, у, I, |х, е) является функцией, непрфывной и ограниченной
по модулю числом а/2 в кольцевой области ц^\\х\\^.&, ^>0^
у^И. Тогда точки, принадлежащие поверхности
ъ0(х< У' ')+«(■*, У, *, Р, <0=г1У0-о, (4.3)
удовлетворяют по переменным х условию т^НдсН^е и эта
поверхность является замкнутой относительно О по переменным х.
П В кольце т|^||л:||^е функция Vо{x, у, 0 на поверхности
(4.2) принимает значения ш0—2а, а на поверхности (4.1),
лежащей в том же кольце, — значение ш0.
На поверхности (4.2) непрерывная функция Ро + "=0
принимает значение и*, заключенное в пределах
да0-2о—^-<^*<гг;0-2О+^-, (4.4)
а на поверхности (4.1) функция V принимает значение и**,
которое лежит в пределах
^о—^-<*'**<а'(>+-^-- (4.5)
Вследствие непрерывности функции V она принимает в кольцевой
области также и промежуточное значение "ш0—а. Таким образом,
поверхность (4.3) по переменным л: также лежит в кольцевой
области я^Ы^е.
Докажем теперь, что уравнение (4.3) определяет замкнутую
поверхность, лежащую по переменным д: в кольце т^Ы^е.
Для этого проведем произвольную непрерывную кривую С,
соединяющую произвольные точки'поверхностей ||д:|| = т1 и ш(х) =
= а>о- На этой кривой существует точка С*, принадлежащая
поверхности (4.2), где V принимает значение V*, а также точка С**,
Где V принимает значение и**. Вследствие непрерывности
функции ю на отрезке кривой С, лежащем между точками С* и С**,
найдется точка, где и принимает промежуточное значение » =
= Шо—а, так как и*<ш0—а<ю**. Поскольку С — произвольная
непрерывная кривая, уравнение (4.3) определяет замкнутую
поверхность, лежащую по переменным д: в кольцевой области
ц 5$ 11*11 ^е и внутри поверхности ш (х) = ш0. ■
?0
/
1
§ 5. Исследование на устойчивость
с помощью возмущенной функции Ляпунова,
заданной в кольцевой области
Рассматриваемая ниже теорема Ш.2 формулируется в
предположении, что существует возмущенная функция Ляпунова
■»=■»(,(л:, у, ()-\-и(х, у, I, ц е).
Частные случаи этой теоремы, когда удается построить функцию
V, будут рассмотрены в гл. IV. В условиях теоремы Ш.2
предполагается, что функция и задана не в области (3.2), а лишь в
кольцевой области т!^||а:||^8, центром-которой является точка
* = 0. В т]-окрестности положения равновесия возмущение
функции Ляпунова и может быть вообще не определено.
Чтобы облегчить применение теоремы Ш.2 к резонансным
задачам, ограничения, касающиеся производной функции и,
накладываются на знак интеграла (3.7), вычисляемого
интегрированием вдоль решений х=х(1), у = у({) системы (3.3), поскольку
предельный переход, приводящий к среднему (3.8), для таких
задач может не иметь смысла.
Ниже доказывается также теорема III.3, в которой
устойчивость обеспечивается неположительностью производной
возмущенной функции Ляпунова.
Поскольку размеры кольцевой области зависят от свойств
среднего ф и свойств невозмущенной функции Ляпунова * и0.
целесообразно предварительно произвести некоторое построение
поверхностей уровня функции ю0.
Рассмотрим положительно определенную функцию р0(х, у, I),
допускающую по переменным а: бесконечно малый высший
предел. Согласно определению 11.11, существует положительно
определенная функция ш(*) такая, что
■»о(*> У> Я>11>(х). (5.1)
Зададим положительные числа е и е, удовлетворяющие
условию е<е<#. Выберем величину ш0 так, чтобы неподвижная
поверхность да(л:) = шо целиком лежала в е-окрестности точки *=0,
и рассмотрим подвижные поверхности
М*> У* 0=«\)» ^о**» У» ')=»<> —2оо. (5.2)
где сто удовлетворяет неравенству 2сг0<Шо- Вследствие
неравенства (5.1) обе эти поверхности лежат внутри неподвижной
поверхности а)(дс) = и)о. Функция Ляпунова и0 допускает
бесконечно малый высший предел, поэтому можно указать такое -у>0, что
при всех *>0, у^И ■у-окрестность окажется внутри поверхностей
(5.2) (см. определение 11.15).
* В конкретных задачах, когда величину ц нельзя выбирать сколь угодно
малой, размер кольцевой области зависит также от величины возмущения цЯ,
т. е. от величины малого параметра.
71
Теорема Ш.2. Пусть выполнены следующие условия:
1°) существует положительно определенная по переменным х
функция Ляпунова и0 (х, у, О системы (3.3), допускающая по
переменным х бесконечно малый высший предел;
2°) полная производная V0, составленная в силу уравнений
системы (3.3), неположительна в области (3.2).
Пусть также для любого е>0 (е<8о<#) можно указать такие
Шо, ст0 и 'у((То<0,5шо, \(аУо. Оо)), связанные, как указано выше,
через 0О, что при всех р^'у(р<«) в кольце р<||л:||<е, ^>0, 1/еО
определены функции и (х>у,1,ц,,г), у(х,у^,ц,е) и существуют:
3°) б>0 и />0 такие, что если р<\\х^)\]<е при и^^о+Т
и Т>1, то равномерно относительно ^о>0. Уо^О выполнено
неравенство
% +т
I»
4°) суммируемые функции Р(1) и М{1), постоянные Р0 и Мо,
а также неубывающая функция Х1(«). Нгпх1(а)=0 такие, что
а->0
для р<||л:||<8, ^>0, ^ей выполнены неравенства
*|Т(2', «-?(2*, ОКхгФ'-г"!!)/7^),
(■ /?(/>а/ < р0(/2-/х), ||/?(г, 01 <м(О,
[Л1(/)(1/<Л10(/а-/1)
' ,„ ■ ■ '«
на любом конечном отрезке [^, ^];
5°) неубывающая функция хг(|л)>0, Нтх2(|л)=0 такая, что
| и (г, *, ц, е) | <хг М, р< ||х|| <е.
Тогда можно указать такие ^ (е) >0 и |Ло(е)>0, что для
любого решения х=х(1), у=уУ) системы (3.1) с начальными
значениями х(0) =х0, у(0) =у0, удовлетворяющими по переменным х
условию ||дсоН<Т1» пРи М*<Мю(8)> и всех *>0 справедливо
неравенство Цдс(*)Ц<в. _ _
П Зададим число е>0, е<е и рассмотрим поверхности (5.2).
Если выбрать положительное число а; удовлетворяющее
неравенству ог<ого, то согласно условию 1° найдется такое ц^у, что
г)-окрестность точки х=0 окажется внутри поверхностей
«о<*» У> ^=^0' "о(*» У> О=1а0 — 2а. (5.3)
При этом в кольцевой области т]<||л:||<8 выполнены условия
3°—5°.
?2
Рассмотрим теперь поверхность
у=у0(х, у, {)-\-и{х, у, I, (*, е)=ж0 —о. (5.4)
Условие 5° позволяет выбрать цг настолько малым, чтобы при
всех 0<ц<Ц1 выполнялось неравенство |ы|<сг/2. Тогда
согласно лемме III.2, поверхность (5.4) является замкнутой и лежит в
кольцевой области т!<||а:||<8, *>0, уеО.
Рассмотрим интегральную кривую х~х(1), у = уУ) системы
(3.1), выходящую из точки, лежащей в ^-окрестности положения
равновесия. Пусть эта кривая покидает область ||л:||<т) и в
некоторый момент 1=и пересекает замкнутую поверхность (5.4).
Проследим за изменением возмущенной функции Ляпунова V вдоль
решения х = х((), у=у{1). Для этого продифференцируем
функцию вдоль указанного решения г=г(1) и, используя обозначение
(3.6), получим
^-^+±й-/+ЬМЦг, и ъ •). (5.5)
И д^ дг
Проинтегрируем соотношение (5.5) вдоль решения г=г(1),
учитывая условие 2°| —-|——/<0); в результате получим нера-
\д{ дг }
венство
I
*&{*), /)<«(г0, /0)+в(|») [ ?(г(/), /, |», •)(!/. (5.6)
К
Из этой же точки г0, 1$ проведем интегральную кривую г—г(1)
невозмущенной системы (3.3) и в неравенстве (5.6) прибавим и
вычтем интеграл, вычисленный вдоль этой кривой:
I I _
| 9(2(/), /, (X, •)(«=]' ?(2(0, /, (*, •)(!/ +
I, 'о
I _
+ [ 1?(2(а и 1*. »)-?(2(о, /, |», юГй/. (5.7)
и
Далее для краткости у функции <р опущены аргументы ц и е.
Согласно условию 3°, можно указать положительные числа б
и / такие, что если 1>1$+1 и при те[4, 2] имеет место
неравенство Т1<||ж(т)||<8, то выполнено неравенство
I
С ч»(г (/), /) (И < -5 (/ - /0). ' (5.8)
Будем рассматривать изменение и для *о<1!<^о + /, где />0
определяется условием 3°.
Условия 1° и 2° определяют устойчивость точки х=0 для: гге-
возмущенной системы (3.3), поэтому кривая г=г{1) по перемен-
п;
ным л: для всех 1>10 не выйдет за пределы е-окрестности точки
Лемма III. 1 дает оценку взаимного уклонения решений
возмущенной и невозмущенной, систем (3.1) и (3.3), выходящих из
одной точки. Если благодаря выбору малого параметра ц
сделать это уклонение меньшим разности е—е на отрезке времени
длины /, то и выделенное решение системы с возмущениями г=
= 2(0 не выйдет на этом отрезке времени из е-окрестности точки
х=0. Пусть
!А2=(е-ё)[Л10/е^]-1. (5.9>
"Тогда согласно лемме III.1, для всех 0<ц<ц2 и всех ^,
принадлежащих отрезку [*„, к + 1], будет выполнено неравенство
||*(0--*(011<е-1. (5.Ю)
. С
При этом возможны два случая: 1) кривая по переменным
ж(0 остается вне ^-окрестности при *0^^о+^; 2) найдется
точка *1<=|7о, *о+0 такая, что х(1\) ^л-
Рассмотрим сначала второй случай, для которого Vо(2(^^),^^) <
<ш0—2(т. Тогда получим и(г(^), ^) =и0(2(^), (\) +ы=ю0(гЦ1),
^^)+и + Vо{г(^1), ^)—Уц(г(1\),1\). Здесь второе слагаемое
выбрано так, что |ы|<ст/2. Для оценки последней разности
воспользуемся непрерывностью функции ь0 и оценкой уклонения
решений г и г, выходящих из одной точки на отрезке времени [/о, *о+
-И], которая дается леммой III. 1. Выберем ц2 настолько малым,
'й'обытфи \1<\12 и *1е[7о, 1й+1\ имело место неравенство
■'" "«■■■— ( ъй(гУ{), ^1)-V^(г(^1), *х) | <о/2;
при этом ь(г(1\), ;^)<ш0—а и кривая при 1 = 1\ оказывается
внутри поверхности (5.4).
Рассмотрим теперь первый случай. Согласно условию 4°,
справедливо неравенство
|>(г(О, .0-9(2(0, 0 1<Х1(1|2*(0-2(0||)/?(0. (5-11)
Применяя для оценки разности г—г лемму III.1, на отрезке
[*о, к+1] получим
I
У^-ЛН-1 I I ?(*('>• 0-9(2(0. О \-Ы<Ы*Щ*т)- (5.12)
'о
Вследствие условия 4° можно выбрать ц3 настолько малым,
чтобы имело место неравенство
х1(нм0ит)Го<№. (5.13)
При этом для разности интегралов в (5.7) на отрезке времени
|А. и+1] справедлива оценка
I
>(2(/), /)-?(2(/), /)](И
Л"
<-^-('-*„>• <5Л4>
Если выбрать |л0=тт {ць ц,2, м-2, ц.з}, то при всех 0<ц<|Ло и
*о<^^о-Н будут выполнены неравенства ||*(<)||<в, |ы|<ст/2
и (5.14).
С помощью неравенства (5.14), условия 3° и соотношений
I
(5.7), (5.8) оценим С<р(г(<), 0& в неравенстве (5.6) при <=4 + ^
/о
| ? (г (0, /) (И < / («- 8+-|-) . (5.15)
и
Из (5.6) и (5.15) следует, что
гг(/„+/; г(<„+ОХ«(г(д, <о)~в№)/-^-<»о-°-
Это означает, что в момент времени 1=1^+1 решение, как и в
первом случае, возвращается внутрь поверхности (5.4).
С другой стороны, из (5.10) получаем, что решение г=г(1)
остается по переменной л: на отрезке [*0, к+1] в е-окрестности.
Все оценки равномерны относительно г0, и, поэтому решение
может неограниченное число раз покидать поверхность (5.4) и
возвращаться в нее, для всех *>0 оно останется в области ||*||<е. ■
Замечание. В предположениях теоремы.'Ш.2 с помощью
более тонких оценок можно показать, что решение.не только.не
выходит по а: из е-окрестности, но стягивается в некоторую .мйнъ-
шую Я-окрестность положения равновесия. При доказательстве
этого утверждения изучается изменение возмущенной функции
Ляпунова V вдоль интегральных кривых системы (3.1), лежащих
вне некоторой у-окрестности положения равновесия.
Условия теоремы III.2 позволяют построить в Я-окрестности
(Кб) систему подвижных поверхностей и выбрать число V
(Я-окрестность) точки д;=0, вне которой выполняются условия
относительно знака производной V.
Такая теорема будет доказана в § 7, где возмущение функции
Ляпунова строится с помощью разложения по степеням ц.
Теорема II 1.3. Пусть выполняются условия 1°, 3°, 5°
теоремы Ш.2 и ф<0 при р< 11*11 <е, *>0, у^й; тогда справедливо
утверждение теоремы Ш.2.
□ Используем систему поверхностей уровня (5.2) — (5.4),
построенную при доказательстве теоремы Ш.2. Условие 5°
теоремы Ш.2 позволяет выбрать ц0(г) так, чтобы в кольцевой области
«75
Ч< 11*11 <е выполнялось неравенство |ы|<ст/2. Согласно условию
2° теоремы III.2 и условию ф^О данной теоремы, возмущенная
функция Ляпунова и (х, у, I, ц, е) не возрастает вдоль
интегральной кривой, выходящей из ц-окрестности точки *=0; поэтому
интегральная кривая х = х({), у==у(Ц с начальными условиями
х(0)=х0, у(0)=у0, удовлетворяющими неравенствами ||дсо11<т1»
никогда не пересечет поверхность (5.4) и, следовательно, не
выйдет из е-окрестности точки *=0. Ш
I § 6. Исследование на устойчивость
'_ ла конечном интервале
При доказательстве теорем III.2 и III.3 использовались
условия отрицательности интеграла /(г0, 1о, Т, ц, е) или среднего
г|з(2о, <0, М*. е) от производной возмущенной функции Ляпунова,
Ьшбо условие неположительности производной г>. Если же
неравенство г5^0 не выполняется и неизвестен знак среднего -ф или
интеграла /(го, 1а, Т, ц, е), то точка * = 0 для системы с
возмущениями (3.1) может не быть устойчивой. Однако в таких случаях
с помощью возмущенной функции Ляпунова можно оценить
отрезок времени, на котором решения, близкие к точке покоя в
начальный момент, останутся в некоторой заданной окрестности
точки покоя. Доказанная ниже теорема Ш.4 определяет
зависимость длины отрезка от величины окрестности положения
равновесия и величины возмущений. Значительное ослабление
условий по сравнению с условиями теорем III.2 и Ш.З делает эту
теорему весьма важной в отношении практических применений.
Следует отметить, что утверждение теоремы Ш.4, как и
теорем метода усреднения, дает оценку близости решений (в данном
еяучае к положению равновесия) на отрезке времени,
измеряемом степенями 1/ц,. С другой стороны, это теорема об
устойчивости на конечном интервале времени.
Теорема Ш.С Пусть выполнены следующие условия:
1°) существует положительно определенная по х функция
Ляпунова уй(1, х, у) системы (3.3), допускающая по переменным
х бесконечно малый высший предел;
2°) полная производная функции V^, составленная в силу
уравнений системы {з.З), неположительна в области (3.2).
Пусть также для любых е>0, р>0 (р<е) в кольцевой области
р<||дс||<8, *>0, уей определены функции и(1, х, у, ц, г), <р(^, х,
У* М, е) и существуют:
3°) неубывающая функция у.\{о), 11т^1 = 0 такая, что при
а-»-0
р< 11*11 <е, *>0, г(ЕЙ имеет место неравенство
I иЦ, х, у, (*, е) | </1((а);
4°) постоянная <р0 такая, что.
|<р(*, х, у, щ е) | <<?„, Р<11*|| О. *>0. У^°-
Ж
Тогда можно указать ст(е), 7"(е, ц) = а(е)[2ф(#(ц,)]~1, т](е),
|д-о(е) такие, что для любого решения, в начальный момент по
переменным х удовлетворяющего неравенству \\хо\\<ц, при всех
0<Ц<Т (г, ц), ц<\10 (е) справедливо неравенство \\х(()\\<.е.
П Пусть задано е>0. Согласно условию 1°, существует
положительно определенная функция ш(х) такая, что
Щ(х, у, 0>12>(*). (6.1)
Выберем щ так, чтобы поверхность ьи(х) =да0 целиком
лежала в е-окрестности точки *=0. Рассмотрим подвижные
поверхности
ъ0(х, у, 0=®0, Щ(х, У, *)=Щ — 2а, (6.2)
где а — некоторое число, удовлетворяющее условию 0<2ст<ш0.
В силу неравенства (6.1) подвижные поверхности (6.2) лежат
внутри неподвижной поверхности ха(х)=щ.
Поскольку ю0 допускает бесконечно малый высший предел,
можно указать такую ^-окрестность точки *=0, которая для всех
*> 0,1/еО лежит внутри поверхностей (6.2).
Рассмотрим теперь поверхность
ю—ъй-\-и='И0ъ—<з ' (6.3)
и выберем |д,0 настолько малым, чтобы при всех |д,<^о
выполнялось неравенство
I «(*, х, у, |», е) | <о/4, (6.4)
что возможно в силу условия 3°.
Пусть интегральная кривая х = х(1), у = у((), выходящая из
г)-окрестности точки покоя, в момент времени <=<0 пересекает
поверхность (6.3):, .
ъ\1=1,=ге>0 — а. (6.5)
Согласно лемме III.2, поверхность (6.5) замкнута и лежит вне
т!-окрестности точки х = 0, поэтому кривая может выйти по
переменным х из е-окрестности точки х = 0 только После пересечения
поверхности (6.5).
Продифференцируем функцию V в силу уравнений системы
(ЗА); используя обозначения (3.5) и (3.6), получим
^_=д^+д^/ + п(> г> ,)в(|0. (6.6)
ас от ог
Интегрируя равенство (6.6) от момента ^ = ^о с учетом (6.5)
и условия 2°, получим
V^<^V0-а + ^, (6.7)
где
I
{/(0 = в(|»)[?(г(*), 1, Ъ «)й<, (6.8)
77
т. е.
г>0+«<ю0 —« + */(*).
или
V0^Ст0-^-и + ^^(^). (6.9)
Из равенства (6.8), используя условие 4°, получаем, что на
отрезке [<о, *о+Т], где 7'=0[фо8(|д,)]-1, II не превосходит а/2 и„
следовательно, «о не превосходит ш0. Так как подвижная
поверхность 1>0=а>о лежит внутри неподвижной поверхности т(х)—гюо,
то интегральная кривая для <е[/0, 1о + Т] не покинет е-окрестно-
сти точки х=0.
§ 7. Об устойчивости в высших приближениях
Выше были доказаны теоремы об устойчивости по части
переменных в предположении, что задана возмущенная функция
Ляпунова. В настоящем параграфе рассматривается случай,
когда такое возмущение можно построить в виде разложения по
степеням малого параметра. При этом доказывается более сильное
утверждение о том, что точка х=0 для системы (3.1) при
выполнении условия отрицательности среднего не только остается
устойчивой, но притягивает в свою сколь угодно малую окрестность
все близкие решения.
Итак, построим возмущение функции Ляпунова и (г, I, \\) в
виде многочлена или ряда по степеням малого параметра. Для
простоты выполним это построение не в кольцевой области, а в.
области (3.2). Пусть ь{г, I, ^x)=V^(г, Ц+\ш(г, I, \\,), где
<*„.,„'... "(*. <• 1*) = 2^-Ч(2, 0. (7.1)
Пусть также функция Я(г, I, |д,) разлагается по степеням ц:
Я (г, *, И)=2№(2. О-
*=о
Продифференцируем возмущенную функцию Ляпунова (7.1)
в силу уравнений системы (3.1); тогда получим
<Н- ~ д( "*" дг
/•«рО
/+1Г^'+1ЯЛг' ° +
*-1 ^-^,^-0
78
Потребуем, чтобы функции ьи являлись решениями
рекуррентной системы линейных уравнений в частных производных
первого порядка:
где
ср,_1(г, 0 = 4^^*.»+ У Я,—
аг -- ' ■ /^ -- дг
Характеристиками системы (7.3) являются интегральные
кривые иевозмущенной системы (3.3) г=г{1); следовательно,
интегрируя последовательно систему (7.3) с начальными
условиями юк(0, 2о)=0, ^=0, получим функции иь обращающиеся в
нуль на начальном множестве ^ = 0, г0:
юь(г, 0=-|т*-1(2(0,Ч)&. (7.4)
6
Для среднего от щ(х, *) введем следующее обозначение:
Ф*(20, /0)=Пш °Г <рП^(0, ()<И. (7.5)
Г-+оо ;>
Отсюда видно, что если г|зй-1 отлично от нуля, то VII не
ограничена при 0<<<оо. Поэтому будем считать число т таким, что
%>=%= ••• =^т-1 = 0, но $тф0 и предполагать, что решения
уравнений (7.3) ограничены в области (3.2) при й^т. При
таких предположениях сформулируем следующую теорему.
Теорема III.5. Пусть выполнены условия:
1°) существует положительно определенная по переменным х
функция Ляпунова ю0(х, у, ^системы (3.3), допускающая по
переменным х бесконечно малый высший предел;
20) ^о._{_^о_ д2| ,) ^0 в 0бЛасти (3.2);
д1 дг
3°) существуют ограниченные в области (3.2) решения Рй,
<1^^^т) уравнений (7.3);
4°) существуют суммируемые функции М(1) и Р{1),
постоянные Мо и Р0, а также неубывающая функция х (а)(,Итх(а)=0\
такие, что в области (3.2) имеют место неравенства
1<Рт(2'. <)-?„<*;, *)1<Х(\\г'-г»\\)Г(*),
и
^/=" (О <К< ^0(^-/1),
I,
||/?(г, I, |*)||<Л!(0, |/И(/)(1/<Ж0(^-^)
на любой конечном отрезке [{\, ^];
7&
5°) равномерно относительно га, <о из области (3.2)'
существует среднее г|>т (7.5), и для любого у>0 (\<Н) можно указать
такое 6>0, что если ||д:о11>,у* то 4>т(х0, Уа, <о)<—6 при Г0>0,
Тогда для любого Я>0 (Же) можно указать такие |д,(А) и
Т(К, \ь), что при \1<\1(К) для всякого решения системы (3.1), &
начальный момент удовлетворяющего условию \\хо\\<ц(г), при
^Т(Х, \х) выполняется неравенство \\х(()\\<Х.
П Все условия теоремы 111.2 выполнены; поэтому положение
равновесия л:=0 является (х, ц)- устойчивым. Однако
утверждение данной теоремы является более сильным: требуется
доказать, что, зафиксировав любую сколь угодно малую окрестность
К и выбрав достаточно малый параметр |д,, получим, что по
истечении времени Т (Я, ц) решение окажется в этой окрестности
точки х = 0.
Рассмотрим А-окрестность (Же) точки х=0. Выберем число
а>* так, чтобы поверхность т(х)=гюх лежала в А-окрестности
положения равновесия х=0. Далее, выберем число ах так, чтобы
выполнялось неравенство 0<2аг.<.гюг., и рассмотрим поверхности
уровня
•и0Сх, у, *)=юх —2ох, V0^x, у, *)=щ>х. (7.6)
Поскольку VI) допускает бесконечно малый высший предел,
можно указать т) (А) такое, что точки, удовлетворяющие условию
11*11 <11 (А), окажутся внутри поверхностей уровня (7.6).
Условие 3° позволяет выбрать |д,! так, чтобы \и\<а\/2; при:
этом, согласно лемме III.2, замкнутая поверхность
■а0(х, у, *)+и(х, у, I, у.)=<шх — ох (7.7)
будет расположена в кольцевой области
1<||*||<Х. (7.8)
Пусть из точки х0, уо, удовлетворяющей по переменным х
неравенству ||*о11^ть выходит интегральная кривая х=х(1), у =
= у(Ц системы (3.1). Согласно теореме Ш.2, компонента х этой
кривой для всех О0 не выходит из е-окрестности точки л:=0-
Если начальная точка по переменным х удовлетворяет
неравенству ИхоН-Сп» т0> применяя теорему Ш.2, получим, что при |д,<|д,(>
интегральная кривая по переменным х не выйдет из А-окрестно-
сти для всех ^>0, т. е. в этом случае теорема доказана.
Рассмотрим теперь случай, когда начальная точка по
переменным х удовлетворяет неравенству Т1<||х01|. Проследим за
изменением возмущенной функции Ляпунова вдоль интегральной
во.
кривой г=г((). Проинтегрировав производную функции
Ляпунова вдоль этой кривой, получим неравенство
I
V (г (О, 0 < V (г (0), 0) + Г+11 <рт (г (О, О <И. (7.9)
о
Интеграл в неравенстве (7.9) разобьем на интегралы по
отрезкам Д4, длины которых определим ниже. К каждому из
полученных интегралов прибавим и вычтем интеграл по тем
кривым г=1ъ.(1) системы (3.3), которые выходят из узлов разбиения.
2(/й)=2(*й)=2й0:
|срт(2(0, 0<И=21 )" ?«<**<<>. <><!< +
+ ]' \чм{гЮ, *)-?«<«* (О, 0]<И. (7.10)
'* •"
Для каждого из интегралов суммы (7.10) справедлива
следующая оценка сверху:
/*<('*+1-'*)[Ы2*0. <*>+|*(Д<*>|+|<Рт(2«>. 0-
-?„<«*<*>, О Ц. (7.И)
где функция и(<) определяет скорость предельного перехода при
вычислении среднего фт:
I
|<Рт(;, 2(0)й* = (*-д[фт+х(*)]. (7.12)
Таким образом, если среднее ■фш('2о,<0) существует, то Ишх (() =0.
Если кривая г=г(1) войдет в ^-окрестность точки х = 0 в
момент 1 = Т, то, применяя теорему III.2 к Л-окрестности, как и
выше, заключаем, что кривая останется в ^.-окрестности для всех
*>7\
Будем предполагать, что не только для начальной точки х0, Уо,
но и для всей кривой х((), У(*) выполняется неравенство
И*(011>Т1 при ^0; при этом, согласно условию 5°, можно
указать такое 6>0, что
М**о. И».'<*><-«. <713>
ПОСКОЛЬКУ ||Хйо11>Т1.
Выберем теперь длину отрезков Д^=/ настолько большой,
чтобы
I х(Д*») |<8/4; (7.14)
Далее, как и при доказательстве теоремы Ш.2, с помощью
леммы Ш.2 выберем |д,2 настолько малым, чтобы при всех ц<|лг в
силу условия 4° имело место неравенство
[[<Рт(г(0, О-?„,<«* (О, ()]й( <Ъ({к+1-(к)!4. (7.15)
и
С учетом неравенств (7.13), (7.14) и (7.15) при |д,<|д,2 Для /ь
в (7.11) получим оценку
/»<«»+1-<»)[-»+4-+т]=-/Т- (7Л6)
Неравенство (7.12) с учетом (7.10) и (7.16) дает
ю(г(П, /)<^(г(0), 0)-5/-^-. (7.17)
Если допустить, что для всех <>0 интегральная кривая остается
по переменным х вне ^-окрестности точки х=0, то, устремляя 5
к оо, получим, что у(г(<), }) вдоль решения убывает и
становится отрицательной. Однако при указанном выборе чисел тюх, цх,
ох,'[ни (Л2 это не имеет смысла. Следовательно, наступит такой
момент времени, когда решение войдет в т]-окрестность и для всех
последующих моментов времени не покинет Я-окрестность. ■
Замечание. Если неизвестен знак среднего грт, то можно
доказать теорему об устойчивости на конечном интервале,
причем длина этого интервала обратно пропорциональна степени |д,
при 1|зт.
Устойчивость в высших приближениях изучалась в работах
[47*$в}. Автором последней работы обращено внимание на то, что
многие биологические модели «хищник — жертва» описываются
нелинейными дифференциальными уравнениями, содержащими
малые члены, описывающие взаимодействие популяций
хищников и жертв. Без учета такого взаимодействия система устойчива
и имеет периодические решения. Учет малого взаимодействия
популяций оказалось возможным оценить с помощью доказанной
выше теоремы III.5 об устойчивости в высших приближениях.
Рассмотрим в качестве примера четырехвидовую модель
Вольтерра «хищник — жертва»:
х1=х1(а1-а1у1), »!=»!( —*1 + а1дс1 + |»х8),
('•1о)
х2=х2(а2 — а2у2), Уч=Уч( — Ь^а^),
где хи х2^численность жертв; уи у2 — численности хищников;
аь а2 — коэффициенты естественного прироста жертв; Ь\, Ь2—
естественной смерти хищников; си>0, аг>0, |д,>0 — коэффициенты
взаимодействия хищников с жертвами. Предполагается, что связь
82
хищников вида у\ с жертвами вида у2 слаба, параметр |д, мал:
0<ц<1.
Система (7.18) имеет положительное стационарное решение
■*1 = <?1 = » У1=12 = . -^2 — 1з = • У2 — Ч4-— •
«1(12 «1 а2 а2
Введем новые координаты гх в окрестности найденного
стационарного решения:
Х1 — Й1^Уй^х^ У1=>а + |*УТа. (7Л9>
После замены получим уравнения
2*1 = — щ122 + Р ( — «1 У~Ч&\*%) ■>
г2=<й121 +1» (У^з^з+а1 У^хЪ) + (*2 ^з^г'Пз.
23= — <«224 + |1.(— а2У<14гэг4) . (7.20)
24=<й223+|» (ая'УТагл).
где <«1=а1уг^1?2, <"2=а2^э^4-
В качестве функции Ляпунова невозмущенной системы
возьмем
мг>=тУ]г?- (7-21>
Будем искать возмущенную функцию Ляпунова в виде
V (2, [0 = ^(2) +№(2). (7.22)
Возмущение ц«1 (2) определим как решение уравнения (7.3):
I Зи>1 и»! — (о2 Зи>2
Выберем
а ЛЯГ а! У^ , %(*! /^ , а2 УдА ■ а2 /?"з 1 .
\ I 3 [_ <»1 и>1 ^2 и>2 ]
+ У"92?з/К-'«2)|)~1. (7-24)
53
^ 4Д2
Для ф1 (г) имеем оценку
| ср1(г) | <//«к (Ш1 + ъУШ±+ ъУТх х
=%• (7.25)
Зададим е(0<е<#), выберем т](0<т1<е) и некоторые а(е)>0,
удовлетворяющие условию о(е)< (е—т])/2; тогда для 0<|д,<|д,0 и
0<*<Г, где ,
Г = О(е)[2^0]-1, (7.26)
все решения, выходящие из т)-окрестности точки 2=0, останутся
в е-окрестности.' ;
Это означает, что численность популяции в начальный момент,
близкая к <7, сохранит это свойство для отрезков времени, длина,
которых не превосходит Т. Длину отрезка Т можно увеличить,
если построить возмущения функции Ляпунова более высокого
порядка малости.
Более подробно удается исследовать двухвидовую модель
системы «хищник — жертва»:
х=х(а — ау), у^У( — Ь-\-ах), (7.27)
в" которой положение равновесия определяется условиями
?г=*/а, ?2=а/а. (7.28)
Введем формально малый безразмерный параметр, произведя в
системе (7.27) замену
х — йх^УТ^ъ У = Й2^Уй~2г2- (7-29)
Для 2] и г2 получим систему
гх= — а>22 — \шУд.2г1г2,'г2=и>г1-$-\хаУд1г1г2, (7.30)
где »)=аКм2'
Для системы (7.30) уравнения (7.3) дают систему функций
Vь(г1, г2)=Л^1-(дТк'2г^ + д^гП, 0<*<оо,
ограниченных по абсолютной величине в области ]2;|<Я. ;
Таким образом, возмущение функции Ляпунова и(г\, г2, ц)
имеет вид
На основании теоремы III.3 отсюда следует (г, |д,)-устойчивость
стационарной точки х = Ц\, у~Цч на бесконечном интервале
времени. Этот вывод совпадает с выводом Вольтерра об
устойчивости стационарного состояния.
§ 8. Теоремы о неустойчивости
в нейтральном случае
Для исследования на неустойчивость систем вида (3.3)
применяются теоремы Ляпунова [3] илн Четаева [14]. Обращение
в нуль производной функции Ляпунова или Четаева означает,
что имеет место нейтральный случай, причем устойчивость или
.неустойчивость положения равновесия зависит также от свойств
возмущений ц#.
Исследование на неустойчивость можно производить также
с помощью возмущенной функции Ляпунова или Четаева V =
= Vо + и при дополнительном требовании положительности
среднего от производной функции V, вычисленной в силу уравнений
системы (3.1).
В доказанной ниже теореме II 1.6 предполагается, что
возмущение и функции &о задано. Отметим, что возможно построение
и в виде многочлена по степеням |д,:
т
где для приближений иъ. получаются рекуррентные уравнения
вида (7.3). Пример такой задачи рассматривается в конце
настоящего параграфа.
Кроме того, в теореме III.6 предполагается, что существует
функция Vо(x, у, 0> принимающая положительные значения в
любой сколь угодно малой окрестности точки х=0.
Следуя Четаеву, назовем областью у0>0 какую-нибудь
область окрестности \\х\\<к(к<Н) начала координат
пространства переменных х, в которой у0 (*, у, I) принимает
положительные значения при />0, г/еО.
Вычислив производную V в силу уравнений системы (3.1),
используем обозначения (3.5) — (3.8) и при формулировке теорем
о неустойчивости.
Назовем областью фо>0 некоторую область окрестности
'Ы<й начала координат пространства переменных х, в которой
т)>о принимает положительные значения при ^>0, уеД. Аналогич-
85
но, пересечение областей ио>0 и фо>0 назовем областью а0>
фо>0 (предполагается, что это пересечение не пусто).
Теоремы III.1—III.5 определяют достаточные условия
устойчивости точки х = 0 для системы (3.1), содержащей возмущения
Под неустойчивостью точки х=0 системы (3.3) относительно
возмущений ц# будем понимать отсутствие (х, ц) -устойчивости.
Итак, сформулируем и докажем теорему, обобщающую на
нейтральный случай теорему Ляпунова [3] о неустойчивости для
неустановившихся движений (по всем переменным). Эта теорема
доказывается в жестких предположениях, облегчающих
доказательство, но при этом ясен основной механизм возрастания
функции 1>о вдоль интегральной кривой системы с возмущениями (3.1).
Теорема Ш.6. Пусть выполнены следующие условия:
1°) существует функция Vо(x, I), ограниченная при \\х\\<.п и
такая, что во всякой области \\х§<ц, ^>0, где ц — любое число,
удовлетворяющее неравенству и\<п, имеется подобласть, в кото-
рой о0>0;
2°)
дур | д{/0
т-та/>о,||лН<*. *>0;
-х"\\ при \\х\\<К
Х>№
д( ' дх
3°) №(1, х)\\<К0, \<?(х', 0-ч(х",{}\<Щ\х'-
*>0;
4°) равномерно относительно ^ существует среднее * 1})о(*о, *о);
5°) для всех значений ^о, х0
таких, что 1>о(*о, ^о)>а, где а—
некоторое положительное число,
выполняется неравенство фг (*о,
^о) >6, причем 6 зависит от а.
Тогда положение равновесия
системы (3.1) неустойчиво
относительно возмущений |д,/?.
□ Пусть т]> 0
—произвольное сколь угодно малое число.
Рассмотрим решение х=х(()
системы (3.1), для которого
начальные условия х0 выбраны так, что
1ио11<гь Ро(*о, *о)'>а. Согласно
условию 1°, такой выбор возмо-
Рис 16
1а+Г
* Это означает, что $о(х0, ^о) = Нпх.У—г Г <р(*(<), *)Ы. Если среднее-
•фо не существует, то можно накладывать ограничения на знак интеграла
*0+г _
[ ?(*(0> *)<М, потребовав, чтобы для всех значений (0, *о, при которых
^оС^о. *о)>а>0, можно было указать такие б>0 и />0, что при {>(в+1 имело
бы место неравенство Г <р (х (/). ()<М > Ъ(( — *о).
жен. В силу условия 5°, для выбранного а>0 можно указать
такое б > О, что будет выполнено неравенство яМ-Ко, М>6
(рис. 16).
Будем рассматривать поведение у0 вдоль этого решения,
предполагая, что решение остается в области ||х||</1.
Продифференцируем 1>0 вдоль выбранного решения:
^=4й+?й-/+ж*(о. о. («л)
аг д( ох
В области Ы<Ж *>0 выполняется условие 2°; поэтому,
интегрируя равенство (8.1) вдоль решения х = х({) и учитывая
указанное условие, получим неравенство
I
г>о(*<*). 0>т>0(*о. 0) + |»_{?(х(0. 0<И. (8.2)
6
Разобьем интеграл в равенстве (8.2) на интегралы по
отрезкам А^ь, 1к+\—1к = 1 (величину / выберем ниже) и прибавим и
вычтем аналогичные интегралы, вычисленные вдоль
интегральных кривых х=х-к(1) системы (3.3) с начальными значениями
Хк{1к) =*(й0 =Хк, которые принимает х(1) в точках 1*.:
(ср(х(0, 0^ = 2 [ <Р<*<0. *)<И =
^ | <р(*»<о. ')<«+ [ 1<р<*«). о-?<**<*), о]<н. <8.3)
*-о\ /, V,
Используя положительность среднего фо, оценим интегралы
вдоль решений Хк\1). По определению среднего [1; 12]
существует функция к(*)-й) при ^-»-оо такая, что
С ?<**('). О#=(/й+1-*А)№0 + х(Д^)]. (8.4)
'*
Выберем Л4 = Г настолько большим, что
|х(Д*»И<8/4, , (8.5)
где б>0 взято на первом отрезке, для которого »о(*о. 0)<а.
Согласно лемме III.1, на каждом отрезке длины / имеем следующую
оценку уклонения решений х (?) и .*&(/):
ЫО-^ОИОЯс/е"'. (8.6)
Используя условия 3° и неравенство (8.6), можно указать такое
Но, что для |д,<ц0 справедливо неравенство
[<РС*<0. О-?<**(*), 0|<8/4; (8.7)
87
поэтому
I
'*
9 (х (О, О - ? (х, (О, О I <Н < -*- Д **• (8.8)
На первом отрезке в силу оценок (8.5) и (8.8) и условия
Ч>о(*о, 0)>6 получаем
*о <*<<). Ъ>ъ0(х0,0)-\-р1\ъ + к(1)-±-~\>ъ0(х0, 0) + -^-.
(8.9)
Таким образом, когда I достигает значения /, функция Ро
возрастает по крайней мере на ц/6/2 и, следовательно, все оценки
можно применить к следующему отрезку. Таким образом, для
Vо{x{^), I) вдоль решения х=х(Г) на конце отрезка времени
длины т1 справедливо неравенство
«о(л (0, 0>*о(*0. 0) + -^. (8.10)
Если предположить, что х всегда остается в области ||*||</1„
где функция 1>о пб условию ограничена, то, устремляя I в
неравенстве (8.2) к оо, а значит, и число интегралов т в неравенстве
(8.10) также к оо, придем к противоречию, так как согласно
неравенству (8.10) при этом Уо-^°°- Из полученного противоречия,
следует, что решение х = х(1) в некоторый момент времени
покинет область ||х||</1, а так как начальные условия и
возмущения ц/? могут быть выбраны сколь угодно малыми, то положение
раиюеееня-системы (3.3) неустойчиво относительно возмущений:
ц#. ■
В качестве примера рассмотрим уравнение
-^+(а>2+1ш(/)).*=чо. (8.11)
Зададим некоторое х0>Р и запишем это уравнение в виде
системы
' 6.x
А (812>
-^- = - (ш'/х,,) Х - (* (1/и0) а (0 х.
Перейдем в системе (8.12) к каноническим полярным
координатам по формулам
х=У2г зт (ср/2), г/="К2гсоз(<р/2). (8.13)
№
югда получим
йг ( кп —шг \ 1
"' У "" ' *° (8.14)
Рассмотрим на плоскости (|д., со) полуплоскость со>0. На
указанной полуплоскости будем искать множество точек (|д,0, соо) таких,
что положение равновесия х=х = 0 уравнения (8.11)
неустойчиво. Иначе говоря, в координатах г и <р будем исследовать на
устойчивость точку покоя г=0 по переменным г.
Для изучения устойчивости (неустойчивости) выберем
возмущенные функции Ляпунова (Четаева) в виде
т—1
У(г, ср, О-г^ ^Л<р, 0. (8.15)
5-0
где
&Л9, 0=и,(0ехр(/(<р-2х00)+й5(0ехр(-г(<р-2х00) + и'(0
(8.16)
(черта сверху означает комплексное сопряжение). Представим «
как функцию от |д,. Пусть
т
^-=\\х^+о(\>.т). ■ (8.17)
/-0
Подставив (8.17) в (8.14), находим
& \ *о I 2
т
+' У} ^ Т %зг (е'? _ е~'?)+° («*Ш)«
;-а
(8.18)
Й9
Ч+^(и1+^«(0)(1-4-(е'?+е-'?)) +
т
+У)1*'*' (! _т(е"р+е^))+°^т)-
Продифференцируем У( г, <р, ^) в силу системы (8.18) и
потребуем, чтобы все члены, пропорциональные ц' для /=0, 1 т—1,
89
были равны нулю. Получим следующую рекуррентную систему
уравнений:
Ч_^0_05Ц2==-2)й=1)2 т_1>
б( (И
ди
+ V и, («1_, + ^- «1_, е«-')) (8.19)
.«-2 /
^=ШХ1 + -1-а(0)(иие-'2к»'-«!:_1ег2и»') +
+ 2 х, («1-* е~'2к°' ~ Я-* е«*.<) | •
5 = 2 У
При |д, = 0 из (8.18) получим невозмущенную систему
■77 = 0, (8.20)
ас
Ее общее решение г (0 =г0, <р(0 = 2х0(^—*о) +Фо-
Предположим, что за счет выбора постоянных «о1, «о2 и х>
(/**!', й;\..-, т—1) удалось построить ограниченные решения сисг
темы (8.19). Тогда производная в силу системы (8.18)
имеем
ет порядок 0(\хт):
оУ
И
= - Г г (~- ехр (/ (с? - 2иоО ) +
+-^кехр(-/(<р-2^))+-^). (8.21)
ас ас /
Из теоремы III.4 следует, что в этом случае, если гУ0(ф, 0 —
знакоопределенная функция в окрестности точки г=0, то
близость решений системы (8.18) к положению равновесия имеет
место на интервалах времени порядка О^/ц"1-1). Условие
знакоопределенности гУо.(<р. I) определяется неравенством
|ио|<^-|и?|. (8.22)
90
Выделим в (8.21) член, пропорциональный \лт, и обозначим его
крез 1|з(г, ф, ^). Усредняя ф вдоль решений невозмущенной
системы (8.20), получим
«ЬСо. <Ро> <о)="т-=г С Ф(г(0, Т(0, 0<« =
'о
=г0(ах ехр (/ (<р0 — 2х0О)4-а1 ехр (—/ (?„— 2иоО)-т-а2), (8-23)
где а»=-Нт-М -—<«. 6=1, 2.
о
Условие знакоопределенности 1|л по переменной го (в силу
теоремы III.6 —условие неустойчивости) примет вид
I «х I <\ I аа I • (8.24)
Пусть а({) = со5{——(еи-\-е.-"). В этом случае уравнение
(8.11) носит название уравнения Матье.
Предположим, что 2хо=1. Выберем щ, и01, и02 следующим
образом:
2
1ш«о=0, »«1= Ц-. (8.25)
Щ
Тогда из (8.19) получим
2 2
л}(0=Ио(е-»-е")—!Ц^2- е« —
и?(0=-х,и5(е-"+е") (е~г2< + ег2<).
Из (8.21) следует, что = 0 (р,2), и если выполнено условие
(8.22), то близость к нулю решений системы (8.18) имеет место
на интервалах времени порядка Ь/р для сколь угодно большого
Ь>0.
Из (8.22) и (8.25) получаем условия на кь при которых
указанная близость имеет место:
*1 I =-
и1
>1, (8.26)
я, используя разложение (8.17), условия на со:
а><-^ !-(*, ш> —+—|». (8.27)
2 2 -^ 2 т 2
91
Покажем, что для со, лежащих вне замыкания области (8.27)
(т. е. для (*<>•< ) м , решения системы (8.18)
удалены от нуля на расстояния порядка 1 за время порядка 1/|д..
Вычислим аи (&= 1, 2):
Условие (8.24) принимает вид
(8.28)
I I .12
И0>«1 Ч Г- »0
<\\и1-Щ
Выберем ы02 = 0, Кеыо1 = 0. Тогда из (8.29) получим
1 ) «о — «о |
1^1<-
:1.
(8.29)
(8.30)
Условие (8.30) противоположно условию (8.26), что и
требовалось установить.
Таким образом, полуплоскость со>0 плоскости (со, |д.) разбита
на две области (при'достаточно малых |д,), в одной из которых,
решения возрастают на величину 0(1) за время О(1/ц), а в
другой не обладают этим
свойством. Отметим, что для
получения неравенств (8.26) и (8.30)
мы пользовались двумя
различными функциями типа
(8.15).
При 2хо=га>1 (га—
натуральное число) можно
построить возмущения высшего
порядка и показать, что в
окрестности точки со = га/2, ц,= 0
существуют области
неустойчивости, проявляющейся за время
0(1/^"). Эти области,
аналогично построенной для га=1, имеют при малых ц вид
«клинышков» (рис. 17). Ширина «клинышка», примыкающего к точке
© = га/2, \х = 0, убывает при ^->0 как 0(ц,п).
При 2жофп возмущения могут быть построены для любого
т>0. Следовательно, для таких точек неустойчивость не может
быть обнаружена ни в каком порядке по \х,т (на самом деле ее
и нет, так как в этом случае можно доказать сходимость суммы
(8.15) при т = оо для достаточно малых ц,>0).
Рис. 17
92
Пусть
— вещественный {Ао=Жо) тригонометрический многочлен с
частотами А,з>0. В этом примере ограничимся тем, что выпишем
границы областей неустойчивости, проявляющейся за время
0(1/^). Они расположены в окрестностях точек (о=Я&/2, ^=0,
й=1,2, ...,р:
)2
-Р( I К | + \А0 | )<»»-^<|Ч-| Аь | -Л0), (8.31)
х
~2
откуда, извлекая из (8.31) квадратный корень, находим
^-!х (\А„\ +А0) <(п<2± + р (1Л1 -Ар) ^ /г=ь 2 >;?
2. X* 2 X*
(8.32)
§ 9. Исследование на устойчивость систем,
распадающихся на отдельные подсистемы
при отсутствии возмущений
Основным условием доказанных выше теорем о (х, ц)
-устойчивости и неустойчивости является ограничение на знак
среднего, вычисляемого интегрированием вдоль интегральных кривых
невозмущенной системы, и более общее ограничение на знак
соответствующего интеграла, вычисленного по достаточно
большому отрезку времени. Представляет интерес рассмотреть
различные случаи, когда вычисление и оценка знака такой величины
облегчается за счет каких-либо обстоятельств. Здесь мы
рассмотрим случай, когда исходная система распадается на две
отдельные подсистемы при отсутствии возмущений [15]. Тогда при
дополнительных условиях удается вычислить указанное среднее
последовательно, что существенно упрощает проверку условий
обобщенного метода Ляпунова.
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
(9.1)
Х=/(л:, ()-\-рЦ(х, г, }), й1тх=т,
2=1Г(2, О + Н^С*, 2, 0. йШг = п.
Предположим, что в области
[|* || + ||2||<Я, />0 (9.2)
функции /, §, К, С} определены, удовлетворяют условию Липшица
по переменным х, г с постоянной Л/" и их нормы ограничены
постоянной М.
95
Невозмущенная система распадается на две независимые
подсистемы:
*=/(*, 0.. / (0, 0=0,
«=*(*,*),*(0, 0 = 0.
Предположим, что система (9.3) имеет устойчивое положение
равновесия 5с = 0, 2 = 0, устойчивость которого характеризуется
существованием функций Ляпунова о0(х, I) и и0(х, I),
производные которых, вычисленные вдоль интегральных кривых системы
(9.3), неположительны. Для всей системы (9.3) выберем
функцию Ляпунова в виде
У(х, г, 0=1>о(*, 0+«о(*, 0. (9.4)
Обозначим
Ъ(х, г, *)=^р-Щх, г, О, <р2(*, г, /)=?-^ <?(.*, г, 0 (9.5)'
дл: ох
и составим среднее
ф(*0, г0, 0=Нт-у | [^7^(^ г, *) + -^-<?]& =
= Нт ^- Г Ы*, 5, *) + ?»(*, ^ ')]<И. (9.6)
где интегрирование производится иа решениях х=х(Ь, Хо, *о),
1=г((,Ь, гв) системы (9.3).
'; "Возможен такой случай, когда знак среднего не определен
или оно не существует.
Обозначим у\(х, 1)=уц(х, О, I) и рассмотрим средние
?0(л:0, 20, /0)=Ит — Г <р2(д;, 2, /)й«. (9-8)
(,
Теорема Ш.7. Пусть для всех х, г, I из области (9.2)
выполнены следующие условия:
1°) существует положительно определенная функция оо(х, О»
допускающая бесконечно малый высший предел и такая, что
2а.+^./(*, о<о;
д( дх
-94
2°) существует положительно определенная функция и0Ц, г), '
допускающая бесконечно малый высший предел и такая, что
3°) функции <$\{х, г, I) и ф2(*, г, () удовлетворяют условию
Липшица по переменным х, г с постоянной Л/";
4°) равномерно по х0, *о существует отрицательное среднее
1|>о(*о, *о), причем
%{хй, /0)<-Х( II А*оН ),
где х(а)^0 — неубывающая функция, Пт%(а)=0;
5°) равномерно по хо, 20, *о существует среднее |0(*о, г0, *о),
причем
Ыхо* го> ^оХ —х(И2о11 ).
где Я(а)>0 — неубывающая функция Нгп Я, (а) =0.
а-»-0
Тогда положение равновесия х = 0, 2=0 является (х, г,
^-устойчивым.
О Зададим числа во. е>0, е<до<е. Выберем сх>0 так,
чтобы поверхности у0(*, 1) = сх по переменным х лежали в рбласти
||х||<8. По заданному сх найдем т)1>0 такое, чтобы
^[-окрестность точки х = 0 лежала внутри указанной поверхности.
Выберем также число 81 > 0 из условия гг ^ тш / — , * - ].
Далее, по 8[ определим с2>0 и т)2>0 так, чтобы поверхности и0(г,
0=^2 по переменным г были расположены в кольцевой области
т)2<112||<81. В силу условий 4° и 5° предельный переход в (9.7),
(9.8) производится равномерно в области (9.2). Следовательно,
существует невозрастающая функция к{1)>0 такая, что-
| %(*<0, $а*<тх0, ы+х(Т)\т<1-х(\\х0\\)+щт)\т,
(9.9)
<„ + Г _ _
[ ?2<*(0, *(/), ЪсИ<%(х0, г0, д+к(Г)]7-<
<[-Н\\г0\\) + я(Т)]Т. (9.10>
Выберем число />0 из условия
4х(/)<П11п(Х(т12), х(11». (9.11)
95
Пусть ||хо.||<т)ь 1|2о11<т)2. Рассмотрим моменты времени"
*?=1Ш(*>0: ъ0(х, /)=с,)'<оо,
&г=1п1(*>0: «о(г(О, 0 = ^2)<оо.
Покажем, что можно выбрать ^0>0, такое, что при 0<:^<^0 для
любого <*^0 верны неравенства ||х(<*)||<80, ||2(<*)||<2в1.
1. Если ^*^Ш1П (^1°, ^2°), то неравенства верны. Предположим,
что хотя бы, одно из и° строго меньше, чем **.
2. Пусть *,°<>**_ и ^°<^°<оо- Возьмем уц = (М1)~1Х
Хехр(—Л/'О ГП1П (ео—>е, 81). Тогда из леммы получим, что для
.^[<10, *1° + /], 0<^<^1 справедливы неравенства
К'КЙ+1«-*1<» + П1Ч»(«о-». 61)<ео. 913
Цг(«к:1Й+1|г-^<"1+«1 = 2^.
Положим №2—т1п( * ^ е-^*, {*• ]; тогда
%(■*('?+'), <?+/)<с,+ |» ( [<&(*, г, 0-?1(Я 2, /)](!/ +
+ !* | М*, 2, /)-?!(*, О, 01^ + Р | ?х(*, 0<Н. 0.14)
'? . '?
При 0<[х<[х2, /е^?, *?+/] имеем
-р. ..,!_ КСл:, 2, О-ср^л, 2, ОКЛГк-лК-гХОЬ). (9.15)
О
№(*, г, 0-Т1& 0, /)|<^||2|<2^б1 <-1-х(%), (9.16)
8
1°+1
^ Ъ(х, ОЛ<[-хОш)+к<01/<:—|-х(11)/.. (9.17)
Объединяя оценки (9.14) — (9.17), получим
*о<■*<*? + /), '?+0<с,—1-х(Ч1)'<С1. (9.18)
Ютсюда следует, что при ^=^° + / решение системы (9.1) по
переменным х находится внутри поверхностей о0(х, 1)=С\.
Определим
Ч\=Щ (*>*?+/: *>„(.* (О,-*)=<*), (9.19)
96
Перейдем к п. 1, полагая ^^=^^,
3. Пусть /°-0* и /°<^1-<оо. Отметим, что для <Е['5,
*2~НЬ 0-<!А<]!*2 остаются верными оценки (9.13). Имеем
«°+»
«0(2(й + /), *§ + /)< С2 + |» ^ [<р2 (*,_*, /)-%(*, 2, 01Й/ +
«3+». <2°+<
+ 1* ] <Р2(*, 2, 0Л<с2 + 112ЛГ ]" [рс-х||+|2-г|1<Н +
+ 1-Ь<12)+*да<с2—^-/<с2 (9.20)
при 0<^<!х0^т1п((.2) 1Н^_е-^).
При ^=^2° + ^ решение системы (9.1) по переменным г окажется
снова внутри поверхности и0(г, 1)=с2. Определим
Й=1п((/>/2+/:в0(2(0, /)=С|). (9.21)
•Перейдем к п. 1, полагая 12й = 12х. При ||хо||<т)1, ||20||<г|2 Для
0<ц<Сцо, ^0 выполнены неравенства ||х(*)Н<ео, )|2(ф1<2е1.
Возьмем т) = тт(т)1, т]2) и свяжем во, в!'условием 80 + 28^8.
Тогда ||х(*)Н + 1|2(/)||<в при всех ?>0 и для 0<^<^0. ■
Сформулируем также теорему о неустойчивости.
Теорема 111.8. Пусть выполнены следующие условия:
1°) существует функция ий{х, I) такая, что в любой малой
окрестности нуля найдется область »о>0, в которой
д( дх
2°) равномерно относительно х0, *о в области о0>0
существует среднее ^о(х0, 1о) и для всеххц,10, при которых »о>-а>0, сред-
нее 1|>0>6(а)>0;
3°) в области 1>0>0 выполняются условия 2°, 3° и 5°
теоремы Ш.7.
Тогда точка покоя х=0, 2 = 0 является (х, г, [^-неустойчивой.
Рассмотрим систему
Х1=— х2 — !*(-*1*2 — Ах^соа^, х2=хи
(9.22)
2^ = —^^2, 2-2 — />2-\—-~2-\%2*
Вырожденная система имеет вид
.г. _ А. _ Д. _ т _
^1='-Х2, Х2==:Х4', 21=—222, 22===^2|. (У.*4о)
4—1743 97
В качестве функции Ляпунова ]/(х, г, I) возьмем первый интег-'
рал вырожденной системы:
У(х, г, 0=(х1 + х1 + г21-\-г1)/2.
Составим полную производную в силу системы (9.22); имеем
и1^ 2 2 2 2 я 3
— — Р<Р(-*ъ х2, ги г2у 1)=—ч.(Х\Х1-\-г\2г — Ах\г^оъ1).
Вычислим среднее ф вдоль интегральных кривых вырожденной
системы, которые будем записывать в виде
Используя для переменных г аналогичные обозначения,
окончательно получим
При Цхо1| = ||2о1| = т1 и 00=0 имеем ф=—\-{2—А)г\1у т. е. ^>0^
8
если Л>2.
С другой стороны, ф при малых значениях соз 0О
отрицательно, т. е. ■ф является знакопеременным. Однако на основании
теоремы Ш.7 можно сделать заключение об устойчивости, так как
%«=—1*оГ<0 и 5о=—|г0Я*<0.
Рассмотрим также систему
х=*— *»<*3-{-55т[1п(/ +1)1 хЧ), ^=-!*(23 4-гха). (9.24>
В качестве функции Ляпунова возьмем
У(х, г, *)=(х2 + г>)/2.
Тогда
-1^=-|1,1л:* + 5 5т|1п(/+1)1л:32 + 24 + 22л:21.
Среднее от этого выражения вообще не существует, так как
— ( 51П \п(1-{-\)(Н не имеет предела при 7"-»-оо. Однако в си-
и
лу теоремы Ш.7 и здесь имеет место устойчивость.
Рассмотрим систему уравнений, более сложную, чем (9.1):
•**=/*<•**, 0-|-|*Я*(:*1.—,*1, 2, /),
2 = ^(2, 0 + ^(^1 ЛХ, 2, /), (9.25>
1<й</, 6.1а\хк—ть, Й1шг=я.
•98 ' л
Невозмущенная система распадается на /+1 независимую
подсистему:
хк=/к(хк, О, /к(Ь,()=0, 1<й</; (9.26)
2=^ (Я О, ё(0, ^)=0. (9.27)
Предположим, что положение равновесия 2 = 0 системы (9.27)
равномерно асимптотически устойчиво, а положение равновесия
хк = 0 каждой из подсистем в (9.26)" устойчиво и существуют
функции Ляпунова ок(хк, 0. имеющие неположительную
производную вдоль интегральных кривых системы (9.26).
Обозначим
9*(хь-.., Хг, г, ()=-р!*-%к(хъ...,Х1, г, О, хк=(х1,..., хк).
дхк
Введем функции
?*(•**. *)—9к(Хь-,хк, 0,..., 0, /).
Здесь в правой части равенства хк+1 = 0, —, #/ = 0, 2 = 0.
Рассмотрим средние
<Ыл2, /0) = Нга -^- [ ъ(хк(*), 0#,
_ _ '"
где х*(/)=(*!(О,-, а:»(О).
Для системы (9.25) можно доказать теорему о (х\, ...,%, г,
\1)-устойчивости, если предположить, что $к(х*, ^0Х "~^*(1хо|)»
где Я*(а)>0 — неубывающие функции, НтА,*(а)=0, 1^й</.
Доказательство можно получить, несколько изменив
доказательство теоремы II 1.7.
§ 10. Исследование на асимптотическую устойчивость
с помощью обобщенного метода Ляпунова
В доказанных выше теоремах не предполагается, что
возмущение К(х, I) обращается в нуль при х = 0. Поэтому, несмотря на
отрицательную определенность-среднего, утверждение об
асимптотической устойчивости не имеет места. Решение стягивается в
некоторую окрестность положения равновесия, величина которой
зависит от величины малого параметра. Для асимптотической
устойчивости дополнительно требуется обращение в нуль в точке
х=0 также и возмущений ц,/?(л:, <). В этом случае оказывается
справедливой теорема об асимптотической устойчивости для
систем без малого параметра, который, однако, можно ввести; он
будет иметь смысл размеров области, исследуемой на
устойчивость.
4* 99.
Следуя [16], рассмотрим систему
*=/(*, 0+#(*. О, (ЮЛ)'
где (Итл: = /г, /(0, Ц—0, К{0, *)=0, в области
*>0, ||х||<Я. (10.2)
Будем предполагать, что положение^ равновесия х=0
укороченной системы "
х=/(х, О (10.3)
устойчиво и эта устойчивость обеспечивается существованием
■функции Ляпунова V(x, <). Достаточные условия
асимптотической устойчивости такой системы сформулируем в виде теоремы.
Теорема Ш.9. Пусть в области (10.2) выполнены следующие
■условия:
1°) функции \(х, I) и В.(х, I) удовлетворяют по переменным х.
условию Липшица с постоянной N и существуют постоянные
М>0 и г>1 такие, что
2°) существует функция и(х, <), положительно определенная и
допускающая бесконечно малый высший предел такая, что в
области (10.2) имеет место неравенство
-тг + Т~Ях« 0<0.
М дх
2>°)функция у(х, <) = 'VV^К(x, {) дифференцируема по х и су-
.гцесТвдют М>0. и й~^г> 1 такие, что
\<?(х,Щ<м\хр, 1ч<?]<м\\хГ-Н
4°) существует среднее
♦(■«о, /0>—11ш^г С ?<■*('. хо> V' ')<**;
'•
для любого т]>0 (т]<Я) существует Ь(ц)>0 такое, что если
1Ы1 >ц, то у (х0, *о) <—б;
5°) Н*|1лЛ1> (*,<) = 0(1) при Ы\-+0;
6°) существует постоянная />0 такая, что для любого <о2>0
я ||л:0||<Я справедливы соотношения
I* С, V *о>1 < № Со» -М/4 ПРИ ' - 'о >'; (Ю-4)
* — 'о •)
Тогда положение равновесия х^0 асимптотически устойчиво.
100
□ Используя условие 1° и лемму Гронуолла, для решений
систем (10.1) и (10.3) получим оценки
.[XV, /0. *0);|<||лг01|-ехр(2ЛГ(*-д)Н№1('-'о>> (10-6>
|х(*, '*0, х0)||< |х01|-ехр (ЛЛ(*-/0))=|1х01 Е2(I -*0).
Для разности решений систем (10.1), (10.3), выходящих из
одной точки, находим
И', 'о. *о>'-*0. 'о. л0)||<|^/-^-(ехр(2Л^г(/-д)-1)х
X ехр(Л^(/-/0))=|х01Е8(<-<о). (10-7>
где функции Еь введены для сокращения записи.
Введем функцию <р(Я,)=<р(л:+-Л,(х—х), I); здесь х, х и I
рассматриваются как параметры. Имеем
|ср(х, *)-?(.*, 01 —|?(0)-«р(1)|<
<тах ^ <тах||у<р(.*4-Х(х —х), Щ-\х — дг|<
0<Х<1 «Л 0<Х<1
(10.8)
< Л1 ||х+X (х - х);,"-1 -\\х -х\\ < М (2 ||х||+Н.У-1 КГ ^з (* - V <
<Л1 КГ'"1 •№ (* - /0) + ^2(* - 'о»"-1 • Я, (/ - 'о)=
Функции Е-,{1—^о) ограничены на каждом * конечном сегменте
Из условия 5° следует, что существует такое /С>0, что
Ы<КЩх0, (0)\ (10.9)
для любого ^о>0 и ||хо||<Я.
Сравнивая (10.8) и (10.9), получим
|? (х, О - ср (х, /)1 < Цх^-1 /С^4 С - 'о) ♦ (*о> 'о)- (Ю-10>
По условию г>0; поэтому можно выбрать е>0 так, чтобы
выполнялись неравенства
•'.Я8(2/)<#-е; е'-1./ГЯ4(2/)<1/4, (10.11)
где / — постоянная из условия 6°.
Выберем с>0 так, чтобы ||л:||<е при V(x, 1) = с для любого
1>0. Пусть Хо^.{х:ь<(х, 10)^.с}. Оценивая, как и выше,
изменения V(x, <) вдоль решения х(1)=х{1, Хо, *о) систем (10.1), имеем
I
1)(х, 0О(-*0> 'о> + | ?(■*('), 1)сН = ъ(хй, (0)-\-
и
* * -
+ Г 1?(х(/, х0, *„), *) — ?(*, х0(/, ХоА>1 <**+(" <р(х(г, х0, /„), /)й/.
(10.12)
101
Представляя последний интеграл по формуле (10.5) и учитывая
неравенства (10.4), (10.10), (10.11), из (10.12) находим, что в
момент времени ^^ = ^о+2^
Поскольку все оценки равномерны относительно хо, ^о, как и
выше, можно показать, что решение х^) при всех ^>0 останется
в некоторой окрестности нуля, которая произвольно мала, если е
достаточно мало. Следовательно, тривиальное решение системы
(10.1) устойчиво.
Обозначим *й'=*0+2&/, хь=х{1ъ), 6=1, 2, ... . Из (10.13)
следует, что ||л:1||<в, поэтому все оценки сохраняют силу и для 1=12
получим
•0(Х2, /я)<«(АГо» 'о> + 'Н»(*0» *о) + Ф(*Ь <1)1О(*0» &
Аналогичное неравенство можно получить для любого к. Отсюда
следует, что знакопостоянный ряд
♦ (*о..*о> + НХи <1) + ..- + Ф(^*, '*) + •••
сходится, т. е. г|з(л:&, <ь)-»-0. Вследствие условия 4° это означает,
что Х&-И). Так как положение равновесия х = 0 по доказанному
устойчиво, то отсюда следует, что х(*)-М).при <-»-оо. ■
Рассмотрим далее систему, содержащую малый параметр:
х=/(х, /)+1*/?(дс, *). (10.14)
Наличие малого параметра позволяет ослабить требования на
Я{х, <). Справедлива следующая теорема.
Теорема ШЛО. Пусть в области (10.2) функция а(х, 0
дважды Дифференцируема по х и существуют постоянные МV>0 и
1П>Гт'акие, что
||у*КЛ1г|4",
д^
дх*
<мм
|т—1
/Пусть также выполняются условия 1°, 2°, 4°—6° теоремы Ш.9,
причем в условии 1° г^=1, а е условии 5° й = т + 2. Тогда
существует |л0 такое, что при. всех 0<|л<|Ло положение равновесия х=0
системы (10.1) асимптотически устойчиво.
Доказательство аналогично доказательству теоремы Ш.9.
В качестве примера рассмотрим уравнение малых колебаний
маятника с малым затуханием:
х + 2$х-\-щх=0.
Это уравнение имеет решение
х=Ае-$'со&(и>{-\-%), «> = 1/(Во+Р2,
102
откуда видно, что положение равновесия асимптотически
устойчиво. Запишем уравнение в виде системы! и будем
рассматривать член 2рх как возмущение. Имеем
х±= — ")0х1 — 2рх2, х=со0л:2.
.Выберем функцию Ляпунова в виде у = Х\2+х$. Тогда <р(х, <) =
= —4р#22; решение невозмущенной системы (без затухания)
примет вид х = гсоз(шо^+фо). При этом получим ф(г, фо) =—2рг2,
т. е. 1|з является отрицательно определенной функцией. Все
условия теоремы ШЛО выполнены и положение равновесия маятника
с затуханием асимптотически устойчиво.
§ 11. Исследование на устойчивость
с помощью линеаризованной системы
Основным условием, обеспечивающим устойчивость и
асимптотическую устойчивость систем, содержащих возмущения, в
.доказанных выше теоремах является ограничение на знак среднего,
вычисленного интегрированием вдоль решений невозмущенной
системы, которая является, вообще говоря, нелинейной. Если же
невозмущенная система допускает линеаризацию, то
представляют интерес условия, при выполнении которых возможно
усреднение вдоль решения линейной системы. Интересной также
является возможность проводить усреднение по явно входящему
времени. Такого рода дополнительные ограничения
накладываются на порядки стремления к нулю величин К, / и среднего при
11x11-й).
Будем по-прежпему рассматривать системы (10.1) и (10.3)
в области (10.2).
Рассмотрим дополнительно линейную систему
г=А&)г, (11.1)
лредцолагая, что имеет место представление
/(*, Ц=А0>х+7(х, О, (11.2)
причем справедливы оценки
И (ОКА!, ||/(л,/)|<М|ф,
где М — постоянная, г0> 1.
Так же оцениваются и возмущения #:
ИЖх.^КЛЩхЦ', г>1.
Функции / и /? удовлетворяют условию Липшица с
постоянной N. Невозмущенная система (10.3) имеет устойчивое
положение равновесия и известна функция Ляпунова а(дг, ^), имеющая
104
неположительную производную V^+VV^|(x, 1)^0, причем
существуют положительно определенные функции а(||л:||), Ь(Цл:||)
такие, что
а фф <*>(*, 0<Ьфф. (11.3)
Для таких систем справедлива следующая теорема.
Теорема П1Л1. Пусть выполнены условия:
1°) для системы (10.3) известна положительно
определенная функция Ляпунова у(х, I), удовлетворяющая оценкам (11.3)
и имеющая неположительную производную;
2°) существуют постоянная М>0 и 4^1, го>1, г>\ такиет
что в области (10.2) имеют место оценки
ох
<Л|#-,)
3°) существуют постоянные />0 и б>0 такие, что для любого
/о>Ои 1ко11<ео(ео<Я) справедлива оценка
где г(1, и, хо)-—решение системы уравнений в вариациях (ИЛ),
удовлетворяющее начальному условию г^о, ^о, хо) = Хо-
Тогда нулевое решение системы (10.1) равномерно
асимптотически устойчиво.
□ Пусть хЦ)=хЦ, 10, х0), х(1)=х(1,и,Хй),г(1) = г(1,1с,х<>) —
решения систем (10.1), (10.3) и (11.1) соответственно. Из (11.1)
'хйёйумг" что II2("01КИ^о 11+ 1\\Ау)\\А\г(1)\\<И. Учитывая, что
и
||Л(г)||^М, при <о<*^о+* по лемме Гронуолла получим
1|2(О;ККЧ-ехр^<:||х01|с(/), с(/)=ехр(М)>0. (11.4)
Из (10.7) следует, что если <о=ё^,=ё^о+А то
II* (О - х (0!1 <|*о!№ (0=МГ'С1 (0. Ог -5>
Далее заметим, что
I
I* (0 - г (О] < У И ('№ (0 - г (О] <Н +
+ ( |/(х, *)+*(*, *«<И< ]" Ж||х-2||^ + Л1|(М'.+Иг)^.
(11.6)
104
Учитывая первую из оценок (10.6) и применяя лемму Гронуолла,
из (11.6) находим, что при ^0=ё^=ё^о+/ справедливо неравенство
||*(0-2(0;|<К>'1Рс2('), где р=тШ(г0, г)> 1. (11.7)
Аналогично (10.8) можно получить
|?(х, ()-<?(2, 0| < К1Й+Р"1 >с4 (*>• (И.8)
• Теперь зафиксируем произвольное е>0 и рассмотрим
траекторию х^) системы (10.1), выходящую в момент и из
произвольной точки хо области
V(x0,^0)^а(в/2). (11.9)
Заметим, что в силу (11.3) отсюда вытекает, что \\х^, 1о, #о)11=ё^
^е/2 при 1~$*и. Поэтому х^) на отрезке [<0, и+1] не покидает
е-окрестность, если е достаточно мало, так как имеет место
неравенство (11.5), где г>1.
Проследим за изменением функции V(x(^), <):
-—=—~{~_-/(х, *)+? (*(*); О-
Ы Ы дх
Интегрируя это неравенство и используя свойства функции
Ляпунова, находим
I <
«(*(*), *)-9(Х0, У< [(<р (*(/), /)-?(2(/), /))<И+| ?(*('), 0<И-
I, 'о
Отсюда при 1=и + 1 с учетом условия 3° получим оценку
V (X (/„ + /), /0 + /) < V (Х0, /„) + / фс^+Р-1 СА (/) - 81Х0У).
Так как р> 1, то при достаточно малом е>0 имеем
V^x^^0+^), /„+/)< *(*,,. у—^-\\х^4. (П.ю>
Это означает, что
• *(*(*„ + /), /0 + 0<а(е/2),
и траектория возвратилась в область (11.9). В силу
равномерности оценок по отношению к значениям 1^0 и ||л:0||<е отсюда
следует, что ||л:(011<е при всех 1>1а, т. е. нулевое решение
системы (10.1) устойчиво по Ляпунову.
Для доказательства асимптотической устойчивости заметим,,
что для бесконечно растущей последовательности моментов
времени '1ь. = и+Ы точки Хк = х(1к) стремятся к началу координат-
В самом деле, для любого к = \, 2, 3, так же как и в (11.10),
получим оценки
0< V (Хй+1, *,+1) < V (*„, Ц-± фс$. + 1х# + -+№)•
105*
Если #-»-оо, то ряд в правой части последнего неравенства
сходится, причем
00
2 \х# < Ъо (х0, /0)-8-1 < 2а (г/2) ?П.
Отсюда следует, что ИхьИ-й) при И-^<х. Ш
Замечавие1. Если система (10.1) существенно нелинейна,
т. е. \\1(х, ^\\^.М\\х\\п для некоторого М>0 и го>1, то интеграл
в условии 3° вычисляется вдоль-постоянного вектора хо, т. е. по
явно входящему времени:
и+1
Г ср(х0, 1)Ы^-Ъ\к$-1. (11.11)
Замечание 2. Неравенство (11.11) или подобное
неравенство в условии 3° допускает равенство нулю среднего значения
от функции ф(хо, I) или ф(г(^, и, Хо), I). Пусть, например,
Тогда
?(% 0=-2-р=^о, Г>0.
Очевидно,
Таким образом, условие отрицательности интеграла существен
нв<€ЛФбв& условия отрицательности среднего.
Замечание 3. Используя оценки типа (11.7), (11.8), мож
но получить, что
Г ?(*(«, 0<И- | ?(*(/), *)<И
<с(/)|лг0Т-+«'-1. (11.12)
"Предположим, что для какого-либо />0 справедливо неравен-
сгво
и+1
1°
Тогда из (11.2) и из неравенства го>1 получим
С <?(*(*), О^<-5||х0Г/(1-^-||х^-1)<—1М^ (П.13)
при рс^'-^Ы/сф.
106
Если же для какого-то /1>0 верно неравенство -
то при ЦХо}*"»-1 < Ь^г/с (1г) имеем
<0 + '|
. | <Р(2(0, /Ш<—|"Кт*/1. (1Ы4)
и
Замечание 4. Утверждение теоремы сохранится, если
правая часть системы (10.1) содержит дополнительное слагаемое
ё(х, {), имеющее при ||х||-»-0 более высокий порядок малости, чем
Я(х, I).
Замечание 5. Если рассматривать систему (10.12),
содержащую малый параметр |л>0, то возмущение Я(х, ^) может
представлять собой линейную функцию от х.
% 12. Исследование на устойчивость
в одном специальном нейтральном случае
При исследовании на устойчивость возмущенной системы
уравнений
.*=/(', *) + !*/?(*, х) (12.1)
предполагалось, что порождающая (|л = 0) система уравнений
*=/(*, х) (12.2)
имеет положение равновесия х = 0, не грубая (нейтральная)
устойчивость или неустойчивость которого обеспечивается наличи-
«м соответствующей функции Ляпунова или Четаева у{1, х).
Здесь ц — малый положительный параметр; К(1, х) — вектор
возмущений; &\тх=п. Функции 1{1, х) и К(1:, х) определены в
области
/>0, Щ<Н ■ (12.3)
и удовлетворяют условиям теоремы существования
единственного непрерывного решения задачи Коши для систем уравнений
(12.1) и (12.2) в области (12.3).
Как и выше, введем среднее
(о+Т
<Нг0, х0) = Пт ±- Г ?(*, х (())&; ср(/, х)=-^-/?(Л х), (12.4)
''
где х(1) — решение системы (12.2) с начальным значением
Известно, что знакоопределенность среднего 1|з(^о, *о)
обеспечивает устойчивость возмущенной системы уравнений (12.1). При
107
этом полная производная функции Ляпунова ь{1, х),
вычисленная вдоль решений системы уравнений (12.2), может принимать
значения, отличные от нуля.
Предположим, что в области (12.3) для производной функции
Ляпунова V(^, х), вычисленной в силу уравнений системы (12.2),
имеет место соотношение
^-1 =%■ + %-/«. хХЛЖО, (12.5)
й( |(12.2) д( дх
где непрерывная функция I (х) не обращается тождественно в
нуль в сколь угодно малой окрестности начала координат.
Пусть М={х: ||*||^Д, 1(х)=0}.
Поведение интегральных кривых на множестве М впервые
было рассмотрено в [7], где показано, что асимптотическая
устойчивость или неустойчивость положения равновесия х=0
порождающей системы уравнений (12.2) могут обеспечиваться не-
положительностью или соответственно неотрицательно-
й( 1(12.2)
стью полной производной функции Ляпунова или Четае-
й( |(12.2)
ва вдоль интегральных кривых системы (12.2). При этом
предполагалось, что множество М не содержит целых траекторий
(кроме х^)=0) системы уравнений (12.2).
В отличие от этих теорем ограничения, накладываемые на
систему уравнений (12.1), связаны в основном со свойствами
возмущений, а не с поведением интегральных кривых порождающей
системы (12.2) на множестве М. Устойчивость обеспечивается не-
положительностью полной производной , т. е. неравенст-
й( (12.2)
вом (12.$), и отрицательной определенностью среднегоф(Аь#о) на
мможввчве М. При этом вне множества М среднее может быть
знакопеременным или вообще может быть неопределенно.
1/1Ж-331-Теорема 111.12 [42]. Пусть для всех (*, х) из области (12.3>
выполнены следующаяусловия:
1°) существует положительно определенная и допускающая
. бесконечно малый высший предел функция Ляпунова V{^, х)
такая, что ее частные производные по х ограничены;
2°) функция у(1, х) удовлетворяет условию (12.5), где 7(х) —
непрерывная функция переменных х, не равная тождественно
нулю в сколь угодно малой окрестности начала координат;
3°) существует положительная постоянная #0 такая, что 1(1Г
0)=0, Ш{1, х)||</?о, функции <р& х)= —— /?(<, х)и](1, х)
удовлетворяют условию Липшица с постоянной Ы;
4°) равномерно по (и, х0) существует среднее ф(?о, х0),
определяемое равенством (12.4) такое, что^>(^,х0)^^(х0)<—6(г])<
•<0 при 1и0||>т1>0, х0еМ; ^{хй) —непрерывная функция.
108
Тогда система уравнений (12.1) является (х, у)-устойчивой в
т&чке х=0, т. е. для всех е>0 существуют величины ц0(г)>0 и
т)о(е)>0 такие, что при 0<.ц<Цо(г) всякое решение х(1)
системы уравнений (12.1), для которого ||х(0)||<т1о(е), удовлетворяет
неравенству ||л:(*)||<е при ^0.
П Зафиксируем е так, что Я^е>0, и выберем ео: 0<ео<е.
Согласно условию 1°, существуют с>0 и 110 = 110(8) такие, что
подвижная поверхность {х: V{^, х)=с) лежит внутри е0-окрестно-
сти начала координат, но вне цо-окрестности начала координат
при всех ^0. Покажем, что величина т]о является искомой
(величину цо(е) определим ниже).
Вследствие непрерывности функции $(х) заключаем, что вне
произвольной ^-окрестности начала координат среднее ф(^0, *о)
■сохраняет знак не только на множестве М, но и в достаточно
малой окрестности этого множества:
<И'о> *о><Ф(*о><-8<0-
Тогда вне этой окрестности множества
функция /(я) также сохраняет знак, т.
Подвижную поверхность
линии уровня ' {х: V(^, х)=с}
разобьем на два участка:
{х: V{^, х)=с}=А\}В, где
участок А проходит через
малую окрестность
множества М, а В— остальная часть
этой линии уровня (рис. 18).
На участке А: г|)(*0, *о) <
'<;—б; на участке В: / (х) <
М
е.
непрерывная
1(х)<—у<0.
У(ь,х)=с
Л*><0
Рис. 18
Рассмотрим решение х(1)
системы уравнений (12.1)
такое, что ||х(0)||<11о.
Предположим, что решение х{1)
покидает т}0-окрестность
начала координат и в
некоторый момент ^=^0 пересекает подвижную поверхность {х: у(1,
х)=с} в точке х=х0. Так как на участке В функция 1{х)<
<—"у<0> а частные производные и возмущения # ограни-
дх
чены в области (12.3), то существует |л(е) такое, что при 0<
йх> 1
А( |(12.1)
<3с
(12.2) ОХ
<-/(*(0) + Ж<, ^(ОХ-У + МС, ■«)<——•
109
Следовательно, решение х{1) не может пересекать линию уровня
{V (^, х) =с} на участке .В, т. е. хо^А.
Рассмотрим поведение функции Ляпунова V(^, х) вдоль
решения х{1) системы уравнений (12.1). Повторяя рассуждения
обобщенного второго метода Ляпунова, получим, что при 0<|д,<|х.>
решение х{1) может в течение ограниченного времени *0^^о +
+ /(е) выходить за пределы линии уровня {ъ(1, х) =с}. При этом
за время «блуждания» решение х(1) не покидает г-окрестности
начала координат.
Таким образом, решение х({) системы уравнений (12.1)
может многократно покидать подвижную поверхность линии
уровня {х; V((, х) = с) на участке А, но через некоторое время всегда
возвращается внутрь подвижной поверхности, не выходя при
этом из е-окрестности начала координат. ■
Замечание. Условия 2°, 4° и 5° можно заменить на
следующие:
2?>47-Нг-/<''*><0;
ч дг дх
4»°) существует некоторое множество Мс^Яп такое, что
равномерно по ^о^О, хо^М существует среднее г|)(^о> хо),
определяемое равенством (12.4);
5,°) при НхИ>т}>0, ^0 выполняются неравенства
4т"1 <~У<0 для хфМ; ф(*0, х0)<~8<0 для х0<=М.
д( |(12.2)
При этом система уравнений (12.1) является (х, |л)
-устойчивой в точке дг=0. Отметим, что выполнение условия 4,° не
требует еуй(ествования среднего г|}(^0, х0) во всей окрестности
начала координат. Здесь М имеет смысл окрестности множества М.
Теорема 111.12 может быть охарактеризована как теорема
первого приближения. Если же среднее г|)(^о> Хо) только
знакопостоянно, то можно строить средние высших порядков и
обеспечивать устойчивость или неустойчивость суммарным выводом
средних различных порядков. При этом средние ^ь могут быть
даже знакопеременными, а знакоопределенность суммарного
среднего ^(х, |л)=|лг|)о+ ... +цт+1-^>т может обеспечиваться
знакоопределенностью средних фь на различных участках кольцевой
области т^НхН^е.
В качестве примера рассмотрим систему
х=~ х-\-и(х)-\-у-х-и(х)-(а-\-со51),
где |л>0— малый параметр; а<0; возмущениеК(1,х, и) = х-и- (а+
+ соз^); функция и=и{х) может играть роль управляющего-
фактора.
Пусть и(х)=0 при х^О, и(х)=х при х^О.
В качестве функции Ляпунова V(x) порождающего
уравнения х=—х + и(х) выберем у(х)=х212. Тогда <&/&=— х2 при
не
-*^0, —— = 0 при х^О. Среднее г|}(^0, х0) = ах03 при х0^0; г|>(г0,
Ло)=0 при х0^0. Применяя теорему 111.12, заключаем, что точка
*=0 является ^-устойчивой.
' Рассмотрим теперь систему
х=—х-\-и Ю+рЯгУ, х, у, И (л:)),
У——У-\-и(У) + ^2(.^ х-, у, и (у)).
Положим
К1=—х-\-У — и(хУг\-В1<х, у)&\Ш,
/?2=— х — у — и(у)+ё2(х, у)со&{.
Функция ы = и(г) может играть роль управляющего фактора.
а) Пусть и(г)^0. Тогда получим систему
*=—*+|»/?1, У = — у+!»/?«.
Порождающая система уравнений имеет асимптотически
устойчивое положение равновесия х=у = 0. Следовательно, исходная
система устойчива при постоянно действующих возмущениях.
б) Пусть ы(г)=2. Тогда получим систему в стандартной
форме
х=р(—2х+у+2г(х, У) 5шД
у — \Ц—х — 2у-\-Вг(х, у)со$Ц
Усреднейная система
х—р(—2хАту), у=\х(—х — 2у)
имеет асимптотически устойчивое положение равновесия х=у = 0.
Для исследования на. (ж, |х)-устойчивость применима как
теорема Н. Н. Боголюбова, так и теорема обобщенного второго
метода Ляпунова.
в) Пусть и(г) = \г\. В этом случае укороченная система
х—\х\ — х, у = \у\ — у
имеет устойчивое по Ляпунову положение равновесия *=г/=0
с функцией Ляпунова у(х, у) = (х2+у2)/2. Полная производная
вдоль порождающей системы такова:
4т-=0 при (х, у)(ЕЕМ={х>0, у>0},
аг
-37" <0 При (X, у)ф.М.
аг
На множестве М вычислим среднее$(х0, г/0)=—2(х0 +.г/о)<С0.
Ш
Используя теорему 111.12; заключаем, что точка х=у = 0
является (ху (х)-устойчивой! При этом основная теорема обобщенного
второго метода Ляпунова неприменима, так как т|1(;ео, г/о) =^0.
§ 13. Исследование на устойчивость
в системах интегродифференциальиых уравнений
Важный класс задач описывается с помощью систем
дифференциальных уравнений, содержащих возмущения, которые
зависят от предыстории процесса, т. е. содержат неизвестную
функцию также и под знаком интеграла. Иначе говоря, будем
рассматривать системы интегродифференциальиых уравнений.
Численное интегрирование таких задач затруднительно, поскольку
интегрирование может быть распространено на бесконечный
промежуток и решение требуется изучить также на бесконечном или
асимптотически большом отрезке времени. Трудности
возрастают, когда невозмущенная система описывает некоторый осцил-
лятивный процесс, который приходится интегрировать также и
при вычислении интегральных членов в правых частях. В
подобных задачах естественно сначала провести усреднение и далее
Интегрировать уже усредненную систему. Вопросы усреднения л
в интегрбдифференциальных уравнениях изучаются в [43].ф*Дб1яКо
Здесь с точки зрения исследования на устойчивость
рассмотрим систему интегродифференциальиых уравнений следующего
вида {55]: :
к=/(х,{) + \хх(хАР(х(8), 5, /Из), (13.1)
■гт-р.1%Х— малый параметр, <Итх=п, функции $(х, {) Р(х, $, I),
Х(ху г/, ?) определены при С^О, ||ж||<Я, непрерывны и
удовлетворяют условию Липшица по х и у с постоянной N.
Основным предположением рассматриваемого класса задач
является устойчивость положения равновесия невозмущенной
системы "
х=/(х,<), /(0, «эО, (13.2)
которая обеспечивается существованием положительно
определенной функции Ляпунова и (я, ?), имеющей неположительную
производную. Введем обозначение
<?(х,у,{)=-^-(х,{)-Х(х,у,*) (13.3)
дх
и определим среднее значение функции ц(х, у, ?) вдоль
интегральных кривых х=х^) системы (13.2) так:
<М*о.'о>=11ш-=- С ?(*(*>. [Р(х(з), з, х)йз)йх. (13.4)
7*-»» Т ,) ,)
112
Здесь *(/) — решение полной системы уравнений (13.1) такое,
что *(^о)=*о; х^)—решение укороченной системы уравнений
(13.2) такое, что х{к)—х{1о) =х0; х определяется следующим
образом:
х(() = х(*) при 0</</0,
"х(1)=х^) при /0</<оо.
Определим также среднее по другому правилу:
и+т %
Ь(х0,{0)=Пт±- [ ?Йт), [р(х(з), з,т)йз,т)йт. (13.5)
<о О
Здесь _
х^)=х0 при 0 </</„,
~хЦ)—хЦ) при /0</<оо,
ж (0—решение невозмущенной системы (13.2).
Сформулируем теорему об устойчивости, основанную на
определении среднего (13.4).
Теорема 111.13. Пусть при ^0, ||ж||<Я, \\у\\<Н выполнены
следующие условия:
1°) существует положительно определенная и допускающая
бесконечно малый высший предел функция Ляпунова у (я, 0>
имеющая ограниченные и удовлетворяющие условию Липшица
производные по х, такая, что
01 ОХ
2°) равномерно по (х0, и) существует среднее г|>1 (х0, (0) и для
любого т]>0 (ц<Н) существует6>0 такое, что
М-** ^оХ-'йХО при Ю|>т)>0, /0>0;
3°) функции Р(х, з, (), Х(х, у, (), }(х, () удовлетворяют по хи
у условию Липшица с постоянной N.
4°) существуют функция Р(^, з), интегрируемая по 0^5<оо,
и постоянная М такие, что
е
\\Р {X, 3, Щ < Р (5, О, | Р (5, О Й5 < ТА.
Тогда для любого е>0 (е<#) существуют г1о(е) и (Хо(е). га-
кие, что при 0<ц<цо(е) всякое решение х{1) системы (13.1),
для которого ||*(0)||<г1о(е), удовлетворяет неравенству ||ж(0Н<
<е при ^0, т. е. система уравнений (13.1) является (х,
[^-устойчивой.
5-1743 113
й Зададим е>0 (е<#). В силу условий 1° существуют се
и т|о(8/2) такие, что подвижная поверхность линии уровня
у(*, 0=св лежит в кольцевой области т1о<11'*о11^е/2 при ^0.
Покажем, что т^о — искомая величина (величину цо определим
ниже). Рассмотрим произвольное решение х = х(1) системы
(13.1), для которого выполнено неравенство ||х(0) ||т]0. Допустим,
что в некоторый момент времени 10>0 решение х(1) пересечет
подвижную поверхность V (х, ?) =се в точке *(^о) = *о-
Рассмотрим полную производную функции Ляпунова
V(x, ^) вдоль решения х(Ц системы уравнений-(13.1):
^7=1Г+^7/и' °+^(х' \ р (л(5)' *• °
\ б
Й5, / . (13.6)
Отсюда в силу условия 1° имеем
1 х
ъ{хф, ^XV{xй, /0)+1* ^ ?(л:(т), ^ Г (х(«), 5, т)(15, т)с1т. -
и 6
(13.7)
Обозначим интеграл справа в (13.7) через 1(1). Доказательство
сводится к тому, чтобы показать, что /(*) для достаточно
больших I становится отрицательным, т. е. решение возвращается
внутрь линии уровня ь(х, 0=се и за это время решение х=
= х(1) не-выходит из е-окрестности точки *=0.
Представим интеграл 1(1) в следующем виде:
/(/)=| <р(*(т), [ Р(х($\ з, г)(15, х)йх-\-\ <?(х(х),
их +
С /'(^(Ж), 5, Т)(1$, Х)—ч>(Х(Х), Г Р(Х(8), 3, X) Й5Г, Т)
' Г _ т —
+ [ ?(Х(Х), § Г(Х(5),'5, Х)б5, Х)-<?(Х(Х), (13.8)
<в V. о
-.
| Г(х(з), з, -г) из, х (1т=/1(0 + /2(0 + /»(0-
о
Функции х(1), х(1) определены выше. Оценим отдельно каждый
из интегралов /,-(0- Представим интеграл 1\(1) в виде
где
ж=-
/1(0 = (<-д№(^0- /0) + К(/-/0, Х0, /Д
Г? С* СО, Г/г(х(5г)т 5г, г) (15, х)йх-^(х0, /„).
<о 0
114
Так как ||х0||>г1о, то в СИЛУ условия 2° существует б>0 такое,
что равномерно по ^0^0 выполняется неравенство
Ы*0. У<~8- (13.9)
В силу условия 2° у,(1— {0, х0, ^)-+0 при I—г0->оо равномерно по
{*о, М- Следовательно, существует величина />0 такая, что
|х (* — /„, х0, /0)|<»/4 при />/„+*.
(13.11))
Объединяя оценки (13.9) и (13.10), при ^(0+1 получаем
оценку интеграла Л(/):
/1(О^(/-д[-3 + 8/41=-(/-/0)-^-?
(13.11)
Дальнейшие оценки для /2(0 и /з(0 будем проводить на
интервале времени *в^*^ *<>+'• Запишем интегральные уравнения для
х(1) и х(0 =
^(0 = ^о+| /(ЛМ. т)<1т-г-ц Г ■А'(*(*), | Р(х(8), 8, х)йз)йх,
<о Го 0 .
_ е _
^(0=^0+5 /(*(*>. т)(1т-
Используя условие Липшица для }{х, {), получим
_ е _
\\х (О - х (/};< ЛГ | Ц* (т) - х (*)|| йт +
<0
+ |1 ^ ЛГ(Л-(Т), | Г(Х(8), 5, Т)Й5)
где ^о^8^т^^^о + ^. В силу условия 4° имеем
Р (Х(8), 8, Х)й5
< у ^(5, Т)(15
<1т,
М.
Следовательно, если х^) удовлетворяет условию \\х(1)\\<.Н и
т^^, то выполняется неравенство
_ ' _ =
<0
где М — некоторая постоянная, ограничивающая X. Применяя
к последнему неравенству лемму Гронуолла, для 1^.[1$, (о + 1]
получаем
5* -115
Выберем теперь (Х1 = е/4с1. Тогда если (Хц^щ (е), *о=*![^*о+',
то решение х({) системы уравнений (13.1) не выходит за
границу е-окрестности, В самом деле, вследствие устойчивости по
Ляпунову точки х=0 системы (13.2) выполнено неравенство
||х(/)||<е/2. Следовательно, при (<^{Ьъ, и+1] имеем
\\х (Щ < ||1- (01+1* (О - х (/),'(< в/2 + К1 < -|-Е < *■
Оценим интеграл /2(0 на отрезке [?0, *о+/]-
В силу условий 1° и 3° функция ф(*, у, I) удовлетворяет
условию Липшица. Отсюда, используя (13.12), получим
1'а (01 < N | [х (т) - х (тХ| их < у - (0) Л/>С! (/).
(.
Выберем (х2(е)=6/4Л/С]; тогда при 0<ц<1тпп {у\\, ц2}, <о^^
=е^о+' получаем оценку
|/2(0|<С'-*о>8/4. (13.13)
Аналогично производится оценка интеграла /з(0 при <о^^
|/з(0|<ЛГ[
^^(^(в), 5, Х)-Г(Х(5), 8, Г)\й8
йх=
= \ N С [Р(х(з), 8, х)-Г(х($), 5, т)]
.V
(15
дт<
"■ -•" ■< Г ЛГ* I С \х (5) - а- (5)3 (15 I <1т < (/ - д N4^.
Выберем теперь (хз(е)=б/4Л^2/с1, |А0(е)—ппп {щ, (х2, |х3}, тогда
при 0<|л^(х3 получим оценку 1$Ь):
|/8(01<('-ф»/4. (13-14)
Объединяя оценки (13.11), (13.13), (13.14), при *о^^<о+'
имеем
/(0=/1(«+/2(0+/»(0< -V- '0>8/4<°-
Следовательно, при г=г0+/, 0<м.^м.о(е) находим
х» (л (О, 0<т1(*о> ^о)— (^ — ^о> "^- < ^ (-^о- 'о>-
Таким образом, решение х(1) системы (13.1) возвращается
внутрь подвижной линии уровня V(x, Ь)=сг. Все оценки
равномерны по 10, следовательно, решение может многократно поки-
116
дать тч-окрестность точки *=0, не выходя из границ е-окрестно-
сти точки х=0. Ш
Можно сформулировать аналогичную теорему с
использованием среднего ^2{хо, *о) (13.5).
Теорема 111.14. Пусть выполнены условия 1° и 3°
теоремы 111.13, и, кроме того:
1°) равномерно по (х0, 20) существует среднее ^(^о, *о) " для
любого х\>0 (ц<Н) существует постоянная б>0 такая, что
Ы*о, *о) <—б(т1)<0 при 1и0Н>т1>0, *о>0;
2°) существуют функции Р(8, х) и р(т, Т) такие, что
г__
|| Р (X, Я, Т) || < Р {8, Т), р (Т, Т)= [ Р (5;- Т) (15 < М V
6 !
при т^Г^О;
3°) существует функция р0(1)-*-0 при /->оо такая, что
Т+1
р{х, Т)йх^р0ф1.
I
Тогда для любого е>0 существуют величины Г1о(е)>0 и
(хо(е) >0 такие, что при 0<(х<|л0(е) всякое решение *(?)
системы уравнений (13.1), для которого \\х(0) ||<11о(е), удовлетворяет
неравенству ||л:(011<е при ^>■0, т. е. система (13.1) является
(х, |л) -устойчивой в точке я==0.
Доказательство аналогично доказательству теоремы 111.13.
Особый интерес представляет случай /(*, 0=0> когда
система (13.1) принимает стандартную форму:
Х = рХ ( X, {р(Х(3),8,Ъй8 | .
Здесь возможно исследование на устойчивость на основании
теорем 111.13 и 111.14.
Остановимся подробнее на применении теоремы 111.14, так
как при этом среднее ф2(хо, *о) вычисляется интегрированием по
явно входящему времени при постоянных х (в этом случае
решение вырожденной системы есть х^х0). Исходной системе
(13.11) ставится в соответствие усредненная система
Х = ]?.Х0{Х), Хо(0) = 0,
где среднее вычисляется интегрированием при фиксированных*:
Л,о(л)=Нш— Г X 1х,Г/7(х, в, *)<Ы<1/.
Предполагается, что усредненная система имеет асимптотически
устойчивую точку покоя х=0. В качестве функции Ляпунова
117
у(*, ^) выбирается функция Ляпунова усредненной системы
Vо(x), для которой производная отрицательно определена, т. е.
Уг)о-Хо'(-х) «СО; благодаря последнему свойству выполняется
условие 1° теоремы 111.14. Эта задача исследовалась в [43], где
было показано, что если функция Р{х, з, I) удовлетворяет условию
Липшица по х с постоянной ^=^(5, I), причем существуют
функции С\(1) и с2Щ>-0 такие, что для любого отрезка [А, <аЗ
справедливы соотношения
['<!* [у(«, /)(1«<с1(/2-/1),
и о
[ЙТ р 5-Т | у(5, Т)(15<^(/2-/1),
/■ 6
с,ф—'0 при /-*оо (1 = 1, 2),
а решение |=|(0. ^(0) =х(0) усредненной системы равномерно
асимптотически устойчиво, то решения полной и усредненной
систем близки на бесконечном отрезке времени.
В предположениях теорем III. 13 и III.14 верно и более
сильное утверждение: при достаточно малом ц решение не только
всегда остается в е~окрестности точки л:=г=0, но при ^>Т(\^) не
выйдет из Я-окрестности, где Х—1(ц)-+® при ц-*-0. Это
утверждение доказывается так же, как и теорема III.5.
Отметим также, что положительность среднего ^[(хо, *о)
позволяет доказать теорему о неустойчивости.
Применим полученные выше результаты для исследований
на устойчивость в системах интегродифференциальных уравне-
йи».с.ядр6м разностного типа:
х=/(х, О+^/х, [/С(*-«)Ф<х(«), Цйа\. (13.15)
Такой вед ядра характерен для задач вяэкоупругбсти [24].
Как и выше, будем предполагать, что система без
возмущений (13.2) имеет устойчивую но Ляпунову точку покоя хееО, а
функции {(х, I), Х(х, у, 4) удовлетворяют общим условиям
теоремы 111.13. В задачах вязкоупругости для функции /С(^)>0
характерно стремление к яулю при -возрастании I и интегрируемость
./С(0 на интервале 0^2<оо.
Усреднение в системе уравнений (13.15) проведем вдоль
решений х=х{1) невозмущенной системы (13.2), а среднее
^о(*о, *о) определим-с помощью равенства
■%(Хь, ^)=**Нш~ Г <?1х(х), ^К(х-\)ф(х(8))й8 )*г. (13.16)
118
Теорема Ш.15. Пусть при I, 5>0, ||*||<Н, \\у\\'<Н
выполнены условия 1° и 3° теоремы 111.13 и, кроме того:
1°) равномерно по х0> ^ существует среднее (13.16) и для
х\>0 существует б(*п)>0 такое, что ■ф0(*о, *о)<.—6(т0<0 при
Ц*о11>т1>0, *о^О;
2°) существуют функция /С (0 >0 и постоянные Фо>0, Л/>0,
Ко>Ь такие, что Ф(х) удовлетворяет условию Липшица с посто-
янной И, \\Ф{х) || ^Ф0 и имеет место оценка С АГ (^) с1^ <СК0.
о
Тогда система (13.15) является (х, ц) -устойчивой в точке
х=0.
п Покажем, что в данном- случае выполняются все условия
теоремы 111.14. Обозначим К\{х) = ^ КУ)<Н. В силу условия 2°
имеем К\ (т) =^/(о- Покажем, ч-то /и(т) имеет нулевое среднее по
те[0, оо).
Зафиксируем произвольное е>0. Рассмотрим интеграл
т
Г К\ Ф <И и разобьем отрезок интегрирования на п равных час-
6
тей:
т п и+1
1-й
На каждом отрезке й^т^*ж в СИЯУ монотонности функции
К\{%) выполнено неравенство 1?1(т)^К1(^). Следовательно,
т I, т
о и и
Выберем По=По(е) так, чтобы '* -=— <С-^г , а также Го=
/»о яо 2
= Т0(г) так, чтобы К\ \—2т|<С-^- • Тогда при Г>Г0(е) полу-
V ло(0/ , '2
чим
о
г
Последнее означает, чтоИт — \ АГг ("С) <3-с==0, т. е. существует
г-» т ^
119
функция К\(Т), монотонно стремящаяся к нулю при
возрастании Т такая, что
т _
^К1(х)6х^К1(Т)-Т. (13.17)
о
Вычислим среднее ^(хо, *о)> определяемое равенством (13.5):
',+г /- =- \
= Г ? *(Т), \ К(Х — 5)Ф(Х(5))<15 Ыт + У.
К \ '» /
Здесь х(^)—решение системы уравнений (13.2) такое, что
х{1й)=хй, хЦ)—х0 прн О^^^о, хЦ)=хЦ) при г0=^<°°.
Следовательно,
У= | ?(*(*). ^ЛГ(т-5).ф(дГ(5))<15), т
■<?(х(х), ^К{т — з)-Ф{х{8))йв
их. (13.18)
Из условий 1° и 3° теоремы 111.13 следует, что функция <р(х, у, I)
удовлетворяет условию Липшица по х, у. Поэтому
/ + т
.. |Л<'[ МЫ
I.
К(Х — 8)ф(х(8))й8
их.
Используя условие 2°, получим
Г/С(т-«)Ф(х(«))(1т <Ф0[/С(т-5)<15 =
о 6
= Ф0 | /С(/)<1/<Фо | К(О^ = Ф0К1(х-^.
х~(.
*-'»
Подставляя эту оценку в (13.18) и используя (13.17), имеем
|/ |<МЛГФ0 'С К1(х-(0)<1х=
т
= АШФ0 ]* /С, (О <Й < МЫФйКх (Т) Т.
о
120
Так как
Игл — | У | <ЛНУФ011т/Г1(Г)=0
Г-»-°о Т Т-КО
и х(8)=х(8) при х^о, то для вычисления среднего гр2(-^о, *о)
получаем формулу (13.16). Иначе говоря, для выбранных ядер
разностного типа имеем гЫ^'о, М = гро(*о, к). В данном случае
Р(Х, 8, Х) = К(Г — 8)Ф(Х), ~Р(Х, 8) = К(Г — «)Ф0.
Г_ Г
| Р (Т, 5) (15 = Ф0 | К (/) (1/ < ФоАГо,
о о
г _ г
р{х, Г)=С/?(т, «)(1« = Ф0|/С(т-«)д«<Ф0/С1(т-Г)<Ф0/С0,
Г+1 Г+1 I _
С /><т, Г)с1т<Ф0 | /С1(т-Г)(1т=Ф0|А:,(/)д/<Ф0/С1(/)/ =
г г о
=/>о(ОЛ
где ро(0 =Я1(/)Фо и р0(0 монотонно стремится к нулю -при
возрастании /. Таким образом, выполнены все условия
теоремы 111.14. Следовательно, точка х^==0 является (х, (х)-устойчивой.
§ 14. Исследование на устойчивость
с помощью численного интегрирования
Основной трудностью, связанной с применением второго
метода Ляпунова, является отсутствие общих методов построения
функции Ляпунова. Очевидно, особенно затруднительно
построение функции Ляпунова (положительно определенной) для систем,
содержащих в правых частях быстроосциллирующие члены.
В последнее время активно развиваются численные методы
построения функций Ляпунова, в особенности это относится к
методам построения векторных функций Ляпунова [31].
Выше были сформулированы и доказаны теоремы, в которых
исследование на устойчивость производится в нейтральных
случаях, когда свойства устойчивости зависят именно от малых
возмущений. В этих случаях определения и специфические
условия были сформулированы на языке е, щ; более того,
возмущенная функция Ляпунова также была определена в кольцевой
области 11^!|ж!!^е и содержала величины г\, г и р,. Условия
теорем об устойчивости также содержали эти параметры.
Непосредственная проверка условий теорем с помощью численного инте-
• грирования вдоль решений невозмущенной системы потребовала
бы бесконечного числа операций, а именно: проверки этих
условий для каждого е, что, конечно, невозможно.
6—1743
121
Задача состоит в том, чтобы выделить классы систем, для ко-
торых-можно организовать проверку условий с помощью
конечного числа операций, интегрированием по конечному числу
интегральных кривых невозмущенной системы на конечных отрезках
времени. Таким образом, по конечному числу операций можно
сделать вывод о поведении решений на бесконечном . отрезке
времени. При этом, естественно, появятся дополнительные
условия на правые части систем. Такими дополнительными
условиями могут быть условия однородности или ограничения на
порядки членов, которые позволяют произвольные начальные
условия спроектировать на поверхность сферы единичного
радиуса и рассматривать уже интегральные кривые невозмущенной
системы, выходящие только с поверхности такой сферы. Следуя
[59], дадим постановку такой задачи и формулировку
соответствующей теоремы.
Рассмотрим систему
—-=/<*) + !*/? (г), (ИЛ)
где г—(х, у), р, — положительный параметр,
/(г)=(Х(г), У (г));
/?(2)=(/?1(2), /?2(2)); <Ншл:=яь йхту=т1. (14.2)
Будем рассматривать систему (14.1) в области ||х||^#, У^Б;
переменные у могут включать время I.
Разбиение в системе (14.1) на переменные (х, у)
обусловлено тем, что при решении задач часто встречаются быстрые и
медленные переменные, причем медленные переменные имеют смысл
амплитуд, а быстрые — фаз, что вызывает необходимость
исследования на устойчивость по медленным переменным. Для
построений Эффективного алгоритма вычисления среднего в
теоремах обобщенного метода Ляпунова в случае нелинейной
функции /(г) в правой части системы (14.1) выделим члены, вносящие
основной вклад в решение вопроса об устойчивости.
Пусть структура Н(г) по переменным х определяется
следующим условием: существуют -функции' Г1(х)^.\\Я1(х, у)\\ и
Гг(х)^\\Я2(х, у)\\ такие, что
гг (ах) ;> а3гх (х) при любом а!>1,
(14.3)
г2 (ах) ^а8~1г2 (х) при «>1.
Условие (14.3) означает, что для функции /?1 разложение по
степеням х начинается с членов 5-го порядка, а для функции #2 —
с членов («—1)-го порядка по х.
Рассмотрим систему
-~-=/<г), /<0. Я^О, (14.4)
а(
которая называется вырожденной по отношению к системе (14.1)>.
122
Представим /(г) в виде двух векторных функций:
/<*)=<* <*). У(г))=(Х0(г), У0(г)) + (Х1(г), Г,(г)),
где структура по переменным х слагаемых определяется
условием
Х0(ах, у)=-апХ0(х, у),
(14.0)
У0(ах, у)=ап~1У0(х, у), где я>1.
Существуют такие функции а\(х) и а2(х), что для р;>0 и
любого а~^\ выполняются неравенства
а1(ах)^ап+Ра1(х); а1(х)>|| Хг(х, у)\\ , (14.6)
а2(ах) >ап+Р~1а2(х); а2(х) > || .ЛГ2(л:, У) II -
Условие (14.5) означает, что функции Х0 и У0 однородны по х,
а функции Л^1 и У\ по сравнению с Х0 и У0 имеют по х более
высокий порядок малости. Из условия (14.6) следует, что в малой
окрестности нуля переменные х изменяются на порядок
медленнее, чем переменные у.
Будем предполагать, что система (14.4) имеет устойчивое
положение равновесия. Рассмотрим положительно определенную
функцию Ляпунова V (г) системы (14.4). Продифференцируем
#(г) в силу системы (14.1); имеем
^=-^/<2) + ^Я<2> (И.7)
й1 дг дг
и введем обозначение
<Р(2) = -^--Я(2). (14-8>
дг
Представим ф(г) в виде суммы двух слагаемых, т. е.
?(2) = ?0(2) + ?!(2), (14.9)
где порядки функций <р0 и ф1 определяются следующими
условиями:
<?й(ах, у)=ат<?0(х, у), т>\; (14.10)
для <7>0 и любого а^\ существует такая функция $(х)^0, что
Иах) ^ат+*Их) >0, Их) > | <М*. у) | . (14.11)
Условие (14.10) означает, что функция фо(^) однородна по х, а
функция ф1(г) имеет более высокий порядок по х, чем фо(г).
Рассмотрим также систему
'^=/0(г)=(Х0(г), Г0(г)). (14.12)
Сформулируем теорему об асимптотической устойчивости.
€* 123
Теорема 111.16. Пусть функции Х0, У0, аи а2, гь г2
удовлетворяют условию Липшица с постоянной N функции /0, фо
периодичны по у с.периодом 2п. Пусть, далее, известна положительно
определенная функция Ляпунова ь(г) системы (14.4). Пусть также
функции /?ь Ц2, Хо, Уо, Хг, Х2, фо, фь удовлетворяют
соответственно условиям (14.3), (14.5), (14.6), (14.10) и (14.11). Пусть,
наконец, существуют Го>0ид(Г0)>0 такие, что
тех ^» птах тШ \<?й(хЦ),~уф)<и<~Ъ(Тй), (14.13)
где х^), у{1) —решения системы (14.12). Тогда если $>п, то
положение равновесия системы (14.1) асимптотически устойчиво
по х при любом [I (в частности, при ц—1).
Если 5== п, то существует ц0>0 такое, что для 0<ц<ц»
точка х=0 асимптотически устойчива по х.
Таким образом, последнее утверждение относится к случаю,
когда порядки возмущений Я основных функций Х0 совпадают.
Проверка условия (14.13) производится интегрированием
упрощенной системы (14.12), содержащей только члены
наименьшего порядка малости в окрестности точки л:=0 на конечном
отрезке времени длины Т0. Начальные условия задаются на
единичной окружности по переменным х н на одном периоде па
циклическим переменным у. Количество начальных точек следует
выбрать так, чтобы с достоверностью получить оценку (14.13).
Доказательство проводится по схеме доказательства теорем
обобщенного метода Ляпунова. Аналогично формулируются
теоремы о неустойчивости.
Рассмотрим пример системы второго порядка: .
.'. „...*=2х*у+4у* + 5ху* + 3х*у*+а(х*у*+...),
у = — 4х3 — 2ху2 — у5 — Зх2у* -\- р (у5 +...),.
где многоточием обозначены члены абсолютно сходящегося
степенного ряда с более высокими степенями по х и у, чем пятая
(5=5). Постоянные аир имеют смысл положительного
параметра ц. Для вырожденной задачи (а=р = 0) условия (14.5),
(14.6) удовлетворяются.
Упрощенная система (14.12) запишется в виде
х=2х2у-\-4у3, у=-4х*-2ху*.
Вырожденная система имеет положительно определенную
функцию Ляпунова V=^x*+x2у2 + у'^ + xуъ + x3у3. Полная производная
функции V примет вид
—=а (4х5«/з -|- 2х V + л:2*/8 + 3* V)+
а
+ $(2х2у6+4у* + 5ху2-\-Зх*у7)+...,
124
т. е. в этом случае
<?0-=а(4х*у*+2х3у5) + $(2х2у«-{-4у*), т=Ъ.
Чтобы сделать заключение об устойчивости, остается проверить
условие (14.13), так как все остальные условия теоремы
выполнены. Для проверки указанного условия была составлена
программа численного интегрирования на Алголе при а=р=1 и
7,0=20я. Расчеты показали, что б (Т0) > 10, т. е. точка л;=0
является неустойчивой.
Рассмотрим пример квазилинейной системы четвертого
порядка:
'х=у+хг + 2уЧ + 2уг2^{х*+2х*уАгх2я + г2я + ...),
у= — х — уг — 2хя2-\- !* С*2*/ — 2у3-\- Зуг2 -}-...),
г=5^-}-«/2-т-«/2 + 2д:г^ + [1,(5д:22 —323 + 22д2+...),
Я = — ,5г — ху — уц — 2у2г -}- }*• (— Зх2у — \х*ц — Ьгц2 -\- яа +• • •.)..
Здесь 5 = 3, вырожденная задача удовлетворяет условиям
(14.5), (14.6) при /г=1. Упрощенная система (14.12) в данном
случае примет вид
х=У> У=—х, г=5<7, Ч=— 5г
и распадается на две независимые подсистемы. Вырожденная
система (ц=0) имеет положительно определенную по х, у, г, ц
функцию Ляпунова
ъ=±-(х2 + у2)+-^(г2-)Гя2) + хуг + У*Я+УгЯ + х*У* + У*г2.
Вычислив полную производную от V вдоль исходной системы,
получим
-42. = {х+у г + 2х.д) <*» + 2х2у+х2я + г2?) +
+ {У+хг + 2уд + 2уг2) (х2у - 2у*- Зуг2) +
4- (5г 4" ху 4- УЯ + 2*/2г) (5х22г - Зг3+2г<72) +
4-(5^4-^ + ^4-^2<7)(-Зл2«/-4х2<7-8г(724-'73)4---
Тогда функция фо запишется в виде
<р0(х, г/, г, я)=х4-\-2х3у + х*я+хг2я + х2у2-2у*-
- Зу2г2 + 25 д:2г2 - 15г4 + Юг2*?2 - 15х2«/<7 - 20х2<72 - 402<73 4" 5Я*
(здесь т = 4).
125
Для того чтобы проверить условие (14.13), достаточно
подставить в выражение для фо аналитическое решение упрощенной
системы, которая является линейной:
л:=а51п {-\-Ьсо&(, у= — Ь ъ'т ^-\■асоь^,
г=с 51П 5(-\-с1сов5(, <7= —Л §1п 5/-}-с соз 5*.-
Здесь а, Ь, с, й — постоянные, которые выражаются через
начальные условия в нулевой момент времени следующим образом:
Ь = х0, а=у0, й=20, с=<7о-
Опуская выкладки, найдем среднее
?п<*в. У„ «о» Яд= ~Щ4 + &)*-{4+я1))2 + 9(г1+<!№] .
Полученное среднее является отрицательно определенным и
согласно теореме 111.16 положение равновесия системы
асимптотически УСТОЙЧИВО При ЛЮбОМ [I.
§ 15, Теерема о (х, ^-устойчивости,
основанная на теореме сравнения
Все доказанные в настоящей главе теоремы были связаны
с предположением, что для невозмущенной системы известна
функция Ляпунова. Существенно использовалось, что
производная функции Ляпунова неположительна. Именно это и означало,
что имеет место нейтральный случай, когда от свойств
возмущений зависят свойства устойчивости системы с возмущениями.
Однако при доказательстве теорем в нейтральном случае можно
использовать более общие теоремы принципа сравнения [32;
41]. Ниже будет сформулирована и доказана теорема об устой-
чивоети-'{бЗ}, основанная на наиболее простом варианте теоремы
сравнения 11.7.
Рассмотрим систему, содержащую возмущения:
х=/(х, О+иЖ*, О, /(0, 0=0. (15.1)
Относительно невозмущенной системы
*=/(*,/) (15.2)
будем предполагать, что выполнены условия теоремы
сравнения 11.7.
Рассмотрим задачу с начальными условиями
и0=ш(и0, /), и0(/0) = Д ' (15.3)
и обозначим ее решение через и0(1, и, А).
Рассмотрим также задачу
»=-^Ци0(/, /0, Д), 0«. й(д=1 (15.4)
126
и для ее решения введем обозначение
и
Рассмотрим функцию
<Р(х, 0 = Ъч-Щх, О- (15.6)
Имеет место следующая теорема.
Теорема 111.17. Пусть для (х, I) из области \\х\\<Н, ^>0
выполнены условия:
1°) существуют непрерывно дифференцируемая функция
V(x, I) и монотонно возрастающие при а^О функции а (а), Ь(а)
(а(0)=Ь(0)=0) такие, что
а< II* II )<«<•*. 0<*<И*11);
2°) функция V (х, I) удовлетворяет неравенству
а( 01
где функция со (и, I) непрерывно дифференцируема по и в
области 1>Ъ, \и\ < зир ъ(х, 0;
\\х\\<Н, 1>0
3°) существуют суммируемые функции М({), ^(0, постоянные
М0 и Ь0, а также монотонно возрастающая при а^О функция
о (а) (а(0)=0) такие, что
| <?(*', *)-?(*", 0 1 <ИО°(\\х'-х"\\),
||/?(х, 0||<М(0, ^М#)Ы^М0у3-Ь), [Л(0с1/</.0(/2-/1)
<. <.
для любого конечного отрезка [1\, ^2];
4°) для любого х\>0> (г\<ч\й) существуют Т=Т(г\)>0 и 6 =
= 6 (ц) >0 такие, что
$ +7*
'] *(*<*, *0, л-0)*)Ф</0+7\ /)с1/<-8<0
при любом *0>0 и т!<||л:о11<Я;
Тогда гоч/са х=0 системы (15.1) является (х, ^-устойчивой.
О Зафиксируем произвольное е>0 (е<ео). Выберем Д=
= Д(е)>0так, что щ{1,1а, ы°Х0,5а(е), если 0<и°<Д(е).
Обозначим через 5Д подвижную поверхность о(х, <)=Д. В силу
условия 1°, получим ||л:|| :^Ь-1(Д)='п;>0 при яе5д.
Пусть х{1, ц) —решение уравнения (15.1), траектория
которого начинается в т^-окрестности нуля. Пусть при некотором
4>0 имеем х0=х({0, ц)е5д, о(х0, ^) =Д. Для оценки изменения
127
и(х(1, ц), /) при (>10 рассмотрим выражение для полной
производной функции и(х, I) в силу системы (15.1). С учетом
условия 2° получим
'■ув/С*. 0 + 1*?(л, 0<а)(г)(л:, О, 0 + Ж-*. О-
с1< д(
Рассмотрим теперь скалярную задачу Коши
и=ш(и, *)+!»?(■*('. Ю, О, и(/0, |»)=Л. (15.7)
Представим решение ы(/, ц) этой задачи в виде
и(/, |»)=и0(О+ |»«(Л I»),
где и0(0—"о(^ *о, А)—решение задачи (15.3). Тогда для
й((, ц) получим
и=-^(и0(0, /> и+?<*<<, |»), 0 + 2 (*, I», и),
да
и</0, ц)=0. (15,8)
Учитывая ограниченность |н| равномерно по ^0, получим,
что &({, ц, й)->0 при ц-Я).
Рассмотрим теперь задачу Коши
«="^-(«о(0, 0Й+т(х(/, [х), О, й(д=0, (15.9)
которая получается из (15.8) отбрасыванием нелинейных
слагаемых в правой части. Ее решением является функция
и((, /0) = |'ср(*(т, |0, т)Ф(/, х)йх, (15.10)
где Ф — решение уравнения (15.4).
Так как параметр ц мал, то нетрудно показать, что
существует цо>0 такое, что при 0<ц<цо из условия 4° следует оценка
»('о+7\ /в)<—1-8<0. (15.11)
На отрезке ^о^^о+Т" непрерывная функция й{1, 1й)
ограничена равномерно по /о^О, откуда
«С 'о><°'5^о> {/0=»соп81>0.
Предполагая, что |й|<1/0 при *е[4>, *о+Л. из О5-8). О5-9)
получим _
и (Л Ю-и(О|<х0О. (15.12)
где %(а) —некоторая монотонно возрастающая при а^О
функция, х(0)=0. Тогда
и«0+Т, |>)<в(/,+ Л+1[(|Ч<-0.5К0.( (15-13)
128
причем й({, ц)^.11о при й)^/^о+Г. Поэтому
Ж', \*)=и0Ц)+\Щ{1, !*)<«(*) (15.14)
при ^[^о, *о + Т], если 0<ц^цо, а ц0 настолько мало, что
ц{У0^0,5а(е). Если при некотором значении 1\>1о+Т снова
будет выполнено равенство й(^, ц)=0, то в силу равномерности
полученных оценок по ^о имеем гЦ^ + Г, ц)^—0,56 и
неравенство (15.14) сохранится и на отрезке \1и 1Х + Т\. Таким образом,
неравенство (15.14) будет сохраняться при всех 1~^1ь, если
\\х{1, ц)|| не меньше Т1=т1(е)>0. Если же ||х(т, ц)!!<11 при
некотором т, то траектория х(1, ц.) вернется в область,
ограниченную поверхностью 5Д. Траектория х(1, ц) может многократно
покидать область ||х||<т1, оставаясь постоянно в области \\х\\<.
<е, так как согласно лемме сравнения Чаплыгина из (15.12),
(15.14) получаем
а{\\х((, |») II )<*>(*, х{(, |»))<и(<, |»)<а(в)
при \\х(и ц)||^л- ■
Глава IV
РЕЗОНАНСНЫЕ ЗАДАЧИ
В МНОГОЧАСТОТНЫХ СИСТЕМАХ
§ 1. Постановка задачи
В настоящей главе доказанные выше теоремы применяются
для исследования на устойчивость по переменным х систем
обыкновенных дифференциальных уравнений вида
х=рХ(х, я), ^=ш(*)-!-|»Ф(л\ ?), (1.1)
где х и X— 5-мерные, а ц, со и Ф — т-мерные векторы, функции
X и Ф периодичны по ц с периодом 2я и разлагаются по
переменным <7 в ряды Фурье, которые сходятся абсолютно и равномерно
по <7е[0, 2я], ||дс—х0||^//. Правые части системы (1.1)
удовлетворяют условиям, обеспечивающим существование
единственного решения. Изложение следует в основном работам [6; 48].
Усредним правые части уравнений для х в системе (1.1) по
фазам ц (возьмем нулевые гармоники рядов Фурье) и
рассмотрим усредненную систему
х = \>.Х0(х). (1.2)
Ограничения, которые накладываются на быстроту
сходимости рядов Фурье для функций Х(х, <7), а следовательно, и на
степень гладкости этих функций, определяются свойствами
усредненной системы (1.2).
129
Здесь невозмущенная система имеет вид
х=0, ?=ш=сопз{. (1.3)
Таким образом, при исследовании системы (1.1) на устойчивость
с помощью теорем гл. III интеграл (3.7) с. 68 вычисляется
интегрированием вдоль интегральных кривых системы (1.3).
Сложность исследования систем вида (1.1) определяется
резонансными явлениями, которые возникают в такой системе.
Точка х0 называется точкой резонанса такой системы (1.1),
если для целочисленного вектора к={ки ..., кт) имеет место
равенство
А-ш(Хо)=0; (1.4)
лри этом будем предполагать, что все компоненты вектора <м(х)
!В точке Хо отличны от нуля, т. е. <мг(Хо) ФО, 1^г^т.
> В зависимости от свойств вектора <м(х) соотношение (1.4)
может определять изолированную точку резонанса, резонансную
поверхность или кривую. Мы будем исследовать на устойчивость
точки (или поверхности) резонанса, предполагая дополнительно,
что Хо является положением равновесия усредненной системы
(1.2), т. е.
Х0(х0)=0, (1.5)
и это положение равновесия устойчиво или асимптотически
устойчиво.
Определение IV. 1. Точка хо (или некоторое резонансное
многообразие) называется (х, ц) -устойчивой, если для всякого
*,>$, Ы^Н) можно указать такие г\(в) и цо(е), что решение с
начальными значениями по переменным х, лежащими в т]-окрест-
ности резонансного многообразия, при ц<цо(е) для всех
последующих моментов времени не выйдут из е-окрестности
резонансного многообразия.
Задача состоит в том, чтобы исследовать на устойчивость по
переменным (х, ц) точки резонанса (резонансные многообразия)
системы (1.1). При этом предполагается, что для усредненной
системы (1.2) известна функция Ляпунова Vо(x). Тогда если
использовать теорему III. 1, то будет нужно для производной о
рассматривать выражение вида
*=цУ«о*(*, <7)=!*Уг>о(*о<*>+2**(Х)е'*?1- (1'6)
Для того чтобы знак интеграла (3.7) гл. III или среднее (3.8)
были отрицательны, требуется не только асимптотическая
устойчивость, т. е. отрицательность выражения ^у0Х0(х), но и
преобладание этого выражения над резонансными (неосциллиру-
ио
ющими) гармониками в (1.6). Ограничения на усредненную
систему можно существенно ослабить, если предъявить требования
к комбинационным частотам ка(х), которые обращаются в нуль
в точке х0. Эти условия состоят в том, чтобы при удалении от
точки резонанса комбинационная частота становилась отличной
от нуля и оценивалась через величину окрестности, вне которой
находится точка х.
При исследовании на устойчивость в высших приближениях и
при нахождении возмущения функции Ляпунова такие
гармоники приходится интегрировать и малая комбинационная частота
оказывается в знаменателе. Таким образом, описанные
требования к комбинационным (резонансным) частотам представляют
собой метод оценки малых знаменателей, основанный на учете
нелинейности системы, зависимости частот от медленных
переменных. При этом для двух частот и одной медленной
переменной ограничения на частоты минимальны: требуется лишь,
чтобы отношение частот было строго монотонно на отрезке,
содержащем исследуемую точку. Для большего числа частот и
медленных переменных условия на частоты содержат больше
ограничений и носят вырожденный характер. При этом важны
дополнительные условия, которые позволяют рассмотреть и такие
задачи, как задачу трех тел (см. гл. V). Метод оценки малых
знаменателей будет подробно рассмотрен в следующих
параграфах. Однако, вообще говоря, не все комбинационные частоты
можно оценить снизу. Те гармоники, для которых это не удается
сделать, приходится оценивать по модулю и тогда- появляются
условия, связывающие быстроту сходимости рядов Фурье в
правых частях со скоростью возрастания производной Уоо-Хо(х)
в окрестности точки х0.
Уравнение (1.4) может определять не точку, а линию или
поверхность резонанса. В этом случае задача может ставиться по-
разному в зависимости от свойств усредненной системы. Если
Хо лежит на резонансной кривой и является асимптотически
устойчивым положением равновесия усредненной системы, то при
дополнительных предположениях относительно коэффициентов
при резонансных гармониках имеет место устойчивость точки хо.
Если же резонансная кривая (поверхность) совпадает с
кривыми Х0(х)=0 (или Х0(*)=0), то естественно исследовать на
устойчивость эту кривую, а не точку. Для этого целесообразно
перейти к новым координатам, связанным с резонансной кривой,
из которых одна отсчитывается по нормали ж резонансной
кривой (поверхности), и далее исследование на устойчивость
проводить по этой координате.
Если усредненная система не обладает асимптотической
устойчивостью положения равновесия, то доказывается теорема
об устойчивости на конечном интервале. Эта теорема имеет
интересные приложения в небесной механике, с ее помощью
проводится исследование на устойчивость в задаче трех тел.
§ 2. Исследование на устойчивость
однонастотных систем,
имеющих асимптотически устойчивую
усредненную систему
Рассмотрим сначала одночастотный случай системы (1.1); это
случай быстро вращающейся фазы [1], который сводится к
системе уравнений в стандартной форме:
х=рХ(х, (). (2.1)
Одночастотная система (2.1) не содержит резонансов, правые
части этой системы допускают усреднение по явно входящему
времени:
1о+Т
Х0(х)=Нт— Г Х(х, О#. (2.2)
В [1] доказаны теоремы об усреднении на бесконечном
интервале для системы (2.1) в предположении, что усредненная
система
х = ?Х0(х) (2.3)
имеет квазистатическое или периодическое асимптотически
устойчивое решение, причем асимптотическая устойчивость
обеспечивается отрицательностью действительных частей
характеристических показателей уравнений в вариациях усредненной
системы.
Исследуем на устойчивость квазистатическое решение
усредненной системы хо, предполагая, что асимптотическая
устойчивость' ЭТОГО' решения обеспечивается существованием
положительно определенной функции Ляпунова, имеющей определенно
отрицательную производную. Сформулируем соответствующую
теорему для систем в стандартной форме (2.1).
Теорема 1У.1. Пусть выполнены следующие условия:
1°) равномерно относительно /0>0, \\х—-х0\\^Н существует
среднее (2.2);
2°) для усредненной системы (2.3) существует положительно
определенная функция Ляпунова V0(x), имеющая отрицательно
определенную производную ^xVV0■X0(x) при \\х—*о11^#, />0;
3°) существуют суммируемые функции М(() и Р((),
постоянные М0 и Р0, а также неубывающая функция %(а), 1!тх(а)=0
а-Ч)
такие, что при \\х—х0||^#, ^>0, справедливы неравенства
I Чъй{х')-ХУ, х')-Ч90(хГ)-Х({, х")\ <х(\\х'-х"\\)Ра),
(Г(1)<И<Г0-«г-Ь), \\Х«, Х)\\<Мф,
132
и
на любом конечном отрезке [^, 12].
Тогда для всякого е>0 можно указать такие Г1 (е) и ц0(е),
что для любого решения х=х(1) системы (1.6) с начальными
условиями х(0)=*о, удовлетворяющими неравенствам \\хо—
-—Зёо11<,п(е), при ц<ц0(е) и всех ^0 выполняется неравенство
И*(*)—Хо11<8.
□ Воспользуемся теоремой III. 1. Рассмотрим функцию
Ляпунова усредненной системы V0(x). Для нее выполняется условие 1°
теоремы III. 1. Так как для системы (2.1) имеем /(^, г)=0 и в
качестве возмущений выступают функции Х(х, ^), то
выполняется также условие 2° теоремы III. 1, т. е. Уоо-/—0- Последнее
означает, что имеет место нейтральный случай.
В правых частях системы (2.1) выделим осцилляционные
члены и обозначим их через Я(х, ():
Х(х, *)=Х,(х) + Х(х, /). (2.4)
Такое разделение возможно в силу условия 2° доказываемой
теоремы.
Продифференцируем Vо(x) в силу уравнений системы (2.1)
с учетом равенства (2.4):
с1«о
<Н
^Чъ0-Х0(х) + рЧъ0Х(х, (). (2.5)
Вследствие отрицательной определенности выражения
р&о0-Х0(х) и условия 2° доказываемой теоремы выполняются
условия 3° теоремы III. 1.
Условия гладкости 4° теоремы III.1 также выполняются в
силу аналогичных условий 3° доказываемой теоремы. Таким
образом, все условия теоремы III. 1 выполнены и, следовательно,
справедливо утверждение доказываемой теоремы. ■
§ 3. Исследование на устойчивость
многочастотных систем,
имеющих асимптотически устойчивую
усредненную систему
Рассмотрим теперь систему (1.1) в многочастотном случае
{пг частот). Относительно усредненной системы (1.2) будем, как
и выше, предполагать, что х0 является для нее точкой
асимптотической устойчивости и в окрестности точки Хо существует
положительно определенная функция Ляпунова Vо(x), имеющая
отрицательно определенную производную.
Зададим е>0 и положим
г>,=пНпг>0(л:) при || х — х0 || =а. (3.1)
т
Тогда поверхность уй(х)=уг лежит в шаре ||х—х0||^е. Далее,
положим
•у0(е)=тт |1 х — х0|| при V0(x)=V,. (3.2)
В силу свойств функции Ляпунова для любого 0<,у<'Уо
выполнено неравенство
«„(я) О, при || х — х01| <у. (3.3)
В многочастотных системах возможны резонансы —
обращение в нуль комбинационных частот
1к(х)=Ы(х), (3.4)
где к — целочисленный вектор.
Обозначим через К(го) множество целочисленных векторов кг
таких, что
Х*г(х0)=0 и ||МО0, (3.5)
где го — некоторое конечное число.
Определение 1У.2. Резонанс в точке хо называется
Го-изолированным, если для любого р1 и любого кг,
удовлетворяющего условию (3.5), найдется &1>0 такое, что если ||х—*о11>
>Рь то
|4<х>1>21- <3-6>
Сумму соответствующих членов ряда Х(х, (7) обозначим через
ХтЛх, Я):
Н*г1|<'«
Езссдохрим теперь некоторую монотонно возрастающую
функцию Й(е), Й(0)=0. Пусть Яе(Й) — множество векторов ку
для которых при всех х таких, что 0<||х—*о11<е<е0,
выполняется неравенство
|&о(х)|>2(е). (3.7)
Обозначим сумму соответствующих членов ряда Х(х, д) через
Хг{х,д,й). Далее, пусть ^(г0, й)—объединение множеств
Яе(&) и К(г0); положим
Х(х, д)=Хг,(х, д) + Хе(х, д, 2)
и обозначим через Ке(го, Й)=/С—К(г0, Й) дополнение к
К(го, &) в К, где К — множество всех целочисленных векторов,
для которых не равны тождественно нулю коэффициенты рядов
Фурье функций Х(х, д). Наконец, сумму членов ряда Х(х, д)т
соответствующих Ке(г0, й), обозначим через Хе(х, д), а сумму
этих членов, взятых по модулю и, очевидно, не зависящую от
ц,— через Яе(х, г0, й).
134
В этом параграфе рассмотрим метод оценки малых
знаменателей, основанный на разделении их по величине с учетом
размеров е-окрестности точки, исследуемой на устойчивость, т. е. с
учетом расположения траекторий по переменным х. Выделим
следующие три класса знаменателей (резонансов). К первому
классу отнесем резонансы, исследуемые на устойчивость, для
которых соответствующие частоты (знаменатели) отличны от
нуля вне некоторой окрестности резонанса. Ко второму —
осциллирующие слагаемые, частоты которых оцениваются
величиной Й(е). Наконец, к третьему классу — резонансные слагаемые,
для которых нельзя оценить частоты снизу. Эти сгруппированные
в Хе(х, (7) слагаемые приходится оценивать по абсолютной
величине.
Будем предполагать выполненными следующие условия:
' А. Усредненная система (1.2) имеет положительно
определенную функцицэ Ляпунова Vо(x), производная которой г)о=
= цУу0^о (х) является функцией, отрицательно определенной
лри ||х—ХоН^Я.
Б. Функции Х(х, (7) разлагаются по переменным ^ в ряды
Фурье, сходящиеся абсолютно и равномерно по <7е[0, 2я]т,
\\х—х0\\<Н.
В. Функция Ууо'-ХЧ*, Я) удовлетворяет следующим условиям
гладкости по переменным х: существует неубывающая функция
Х(о), Нтх(а)=0 такая, что при [\х—х0\\<Н, (7^[0, 2л]т спра-
ведливо неравенство
\Ч^(х')-Х(х\ д)-^т>а{х")-Х(х", <7)|<х(||*'-*"||).
Теорема 1У.2. Пусть выполнены условия А — В. Пусть также
для некоторого г0 резонанс в точке х0 является г0-изолирован-
ным. Пусть, кроме того, существуют функции Й(е) и у (в) (0<
<С,у(е)<'Уо(е)) такие, что при \(в)^.\\х—х0\\^в имеет место
неравенство
тах | V г>0(*) II •/?.(*. г0, 9)< —}-Х0(х)-.у %(х). (3.8)
Тогда для всякого е>0 (0<е<ео<#) можно указать такие
Т1 (е) и цо(е), что для любого решения х=х(1), д = ц(1) системы
(1.1) с начальными условиями х(0)=Хо, Я (0)=Яо по
переменным х, удовлетворяющими неравенствам \\х0—Зсо!1<т1(в), при
ц<цо(е) и всех (>0 выполняется неравенство ||х(0—х0Н<е.
Условие изолированности резонанса существенным образом
характеризует нелинейность системы. Если число медленных
переменных больше 1, то это условие для систем общего вида
(1.1) выполняется в исключительных вырожденных случаях.
Однако дополнительная информация может существенно
упростить задачу. Такой случай имеет место в планетной задаче трех
тел, рассмотренной в гл. V, где используется интеграл системы —
135
функция Гамильтона. Если имеется одна медленная переменная,
то указанное условие выполняется для почти всех систем.
Условие (3.8) состоит в том, что неосциллирующая часть
производной функции Vо(x)Яе(x, Го, &) мала по сравнению с дис-
сипативной частью Уо0-^о(*) в окрестности точки хй\ при этом
является существенной зависимость величины Кг от размеров
е-окрестности. Методика оценки величины Яе(х, г0, О) должна
учитывать структуру и скорость сходимости рядов Х( х, ^).
Следует учитывать также наличие или отсутствие резонансных
членов в этих рядах, поскольку не все частоты кы(х), которые могут
быть малыми, должны быть представлены в рядах Х(х, ц). Ниже
мы рассмотрим примеры построения зависимости Кг от е.
□ Воспользуемся теоремой НГ.2, где положим и=0.
Продифференцируем функцию у0(*) в силу уравнений системы
(1.1); имеем
-7Г=1»~ • х<*> <П=Ю(Х> ?>• <3-9>
а( ох
Условие 1° теоремы 111.2 обеспечивается благодаря
существованию функции Ляпунова усредненной системы о0, а условие
2° — благодаря тому, что в исходной системе х — медленные
переменные, т, е. /^0. Далее, условие гладкости 4° теоремы Ш.2
выполняется вследствие условия В доказываемой теоремы, а
условие 5° — вследствие выбора ы=0.
Рассмотрим теперь условие 3° теоремы Ш.2. Задав е>0,
разобьем векторы к на множества Ке(го, &), К(г0), Ке(г0, Й), как
указано выше, и представим ср(х, ^) в виде
<?(х, д)=Ч ъ0-Х0(х)+Ъ %-Х~;(х, д)+Ч%-ХГо(х, ?)+
+ Ч-о0-Х,(х, д, &). (ЗЛО)
Рассмотрим неосциллирующие слагаемые
Введем обозначение
пНп {-\/г'0-Х0(х)] = Вк. (3.12)
0<»<||лг—лгсА1 <*
Вследствие условия А для всякого г\, определяемого
неравенством
У<П<Уй^)- (3.13)
справедливо неравенство
5Т<ВЧ. (3.14)
Согласно неравенству (3.8), имеем
шахЦучу*) 1-Я. <■*. го> &Х — Вт
136;
Поэтому, если ввести обозначение
Вч—-В1=Ь, где »>0, (3.15)
то получим, что при Т1<||х—Хо11<е выполняется оценка
Ч%-Х0(х)+^ъ0-Хг(х, д)<-Ъ. (3.16)
Согласно (3.7), частоты осцилляции слагаемых, входящих в
Яе(х, ц, Й), ограничены снизу величиной !3(е), Вследствие
предположений теоремы для т]<||х—х0||<8 можно выбрать 0,^=-
= Й1(е) так, что все частоты, входящие в ХГо (х, ц), оцениваются
снизу величиной 6^1 (е). Следовательно, можно указать такое
/(е), что
1
\хе(х, д, ^)+x^0(x, д)\чъ0й*<-^-т
(3.17)
при Г>/(е) и любом 10, где интегрирование производится при
л:=соп51 и линейно возрастающих со временем фазах Ц,
Учитывая неравенства (3.17) и (3.16), получим следующую
оценку:
<Р(]с, д)Ы<-4-*Гг (3-18)
I
где ср(*, ^) представлена выражением (3.10), Зс=сопз1 и лежит
в кольце т]<||*—х0\\<.в.
Таким образом, удовлет- ^1
воряется и условие 3° тео- ^
ремы IV. 1. ■
Для дальнейшего
удобно ввести обозначение
-**Х.(*)
-4*гШ*)
/?е(Го. ^)= тах Цу^Х
х«,(*.г0, ^)• (ЗД9)
В случае одной
переменной X фуНКЦИИ Яе И
VVо•Xо(x) можно
изобразить графически и тем
самым
проиллюстрировать неравенство (3.8).
По оси у будем
откладывать #8 как функцию е, а —(1/2) Уг)0-Яо(Х) как функцию х
(рис. 19). Для того чтобы выражение (3.11) было
отрицательным,, необходимо, чтобы при \\х—*о11<е и е<ео функция
— (1/2)Уоо--Хо(*) с удалением от х0 возрастала быстрее Не', при
137.
этом для всякого 0<е<зо найдется такое ■уХ)» что при у'<\\х—
—*о11>е выполняется неравенство
-^ЧV0^x0^x)+Щ^^о.
Тогда для всякой более узкой области ■у<т1<11Д{—*о11<е
можно указать такое 6>0, что
уа0-*о(*)+#«<-8- (3-2°)
В качестве б можно выбрать
т1п|Уг-0.ЛГ0(л;)+^| при -»К|х —лг0'|<в; (3.21)
при этом выполняется условие 3° теоремы III.2.
Рассмотрим теперь двухчастотную систему. Условие
резонанса
ки> (д:)=Й1и)1 (х)~\-к2^2 (л;)=0
удобно записать в виде
к2 ^_ (■>! (ЛГ)
кх <о2 (*)
--х(х) (3.22)
и наложить ограничения непосредственно на функцию х(х).
Сначала будем рассматривать случай одной переменной х в
предположении, что функция и(х) строго монотонна справа и слева
от точки хо. . -
Пусть ко — резонансный вектор, для которого имеет место
условие (х>(х0)ко=0. Вследствие строгой монотонности функции
п(х) выполняется условие изолированности резонанса (3.6):
:ш(х)-к0=к1ою1(х)-\-к2ою2(х)=к1ою2(х)(х(х) — х(х0)). (3.23)
Тогда
51П («. (х), со (*„)) > <й2(дг)(й2(дГо) • [у. (х) - у. (х0)\.
Так как функция и(х) строго монотонна, то существует
монотонно возрастающая функция а(е), а(0)=0, имеющая смысл
наибольшего угла между векторами со{х) и ®{хо) при \\х—*0||^
Отнесем к множеству Яе(г0, Я) векторы к, которые образуют
с вектором ±ко угол, не больший 2а (е); обозначим их через к.
Тогда векторы ^еЯе(Й) образуют с вектором_±<о(Х) угол, не
превышающий я/2—<х(е), поскольку к"(х>(х) = \\к~\\-\\и>(х)\\-со5 (К,
о); функцию Й(е) для оценки осциллирующих частот к~и>(х)
можно выбрать следующим образом:
О(е)=||ш(;с0У1-а(г). (3.24)
138
Оценим теперь снизу величину векторов к, входящих в Ке'г
имеем
Р^о];1<Й-М-^п2«(е)>
откуда
1'Л-ч, 1*Г*2р — ЬЖ ю! 1
5ш 2а (е)
Так как т1п|&2-б10 — к2о-к1\ = 1, то
Й>^Г-2а(е).
(3.25)
Поэтому в случае двух частот и одной медленной переменной
вследствие строгой монотонности отношения частот справа и
слева от точки резонанса хй выполнены условия теоремы 1У.2 и для
многочастотных систем, имеющих асимптотически устойчивую
усредненную систему, точка Хо является (х, ц) -устойчивой.
Аналогичные оценки для двухчастотной системы справедливы
и в многомерных случаях (5^2), если предположить, что
функция к(х)—к(х0) имеет в точке х0 строгий экстремум. Однако
предположение о том, что отношение частот в точке хо имеет
строгий экстремум, является ограничительным; такие условия
иногда называют вырожденными.
Оценка вида (3.24) справедлива в случае, когда в
окрестности точки хо градиент функции к{х) отличен от нуля. Для
функции двух переменных он имеет вид
IV* с*)!|<
1
•!(*)
Г\ с°1
1/ *"'
со2
дш2
дХ\
4-
(0,
дщ
дх2 дх2
со2
до>2
(3.26)
Рассмотрим теперь трехчастотную систему с одной медленной
переменной (т=3, 5=1). Предположим, что существуют
векторы кт (г= 1, 2, ..., г), ортогональные вектору со(х0). Построим на
этих векторах плоскость Р, ортогональную вектору а>(хо).
Представим вектор (х>(х) в виде и>{х) =(х>{х0)+ы'{х0) (л;—лг0) +0(||л:—
—*0||), в предположении, что правые части являются достаточно
гладкими. Для выполнения условия изолированности резонанса
(3.6) достаточно, чтобы вектор со' (х0) не был ортогонален ни
одному из векторов кг, 1^г^г, (со'(^о) -кг)ф<); при этом для
комбинационной резонансной частоты Хй =кги>(х) справедлива
оценка
|йг-со(л-)|>ргсопз1, если \\х — х0\\^>рг. (3.27)
Если же а>(х0) -6Г=0 и со'(^0) -кг=0, 1^г^г, но определитель
Д(а>1, а>2» и>з)и~х„--
со,
со.
(01 С02 Юз
п ш п
(01 (02 ">з
(3.28)
лг—лг0
139
отличен от нуля, то оценка для частот имеет второй порядок
малости:
|А,.-со(х)!>р2.сопз1 при \\х — дГо5>Р1. (3.29)
Чтобы построить функцию Й(е) и разбить векторы к на
классы Яе(Й) и Кг(г, Й), необходимо, чтобы вектор со'(^о)
составлял с плоскостью Р угол а0, меньший л/2:
а0<я/2. (3.30)
Если при этом \\х—лго11 <Се<Се0 и е0 достаточно мало, то угол р
между векторами ю(*) и (о(*0) можно представить в виде
р(;с)=1^&||;с_;с01|.со5а0, (3.31)
1 ^ I!» (хо)| 01 °
р(е)=есо5а0|К(л0)||/||о(^0);|.
Включим теперь в класс Яе(г, Й) векторы к, образующие с
плоскостью Р угол, не больший 2{}(е), а в класс ле(г, Й) все
остальные векторы к, а также кг\ тогда векторы й образуют с
вектором (л(х) угол, не больший л/2—1{}(е), и в качестве функции
$2(е) в неравенстве (3.7) можно выбрать р(е).
Свойства частот, выраженные условием изолированности
резонанса, позволяют отнести основные резонансные гармоники к
осцилляционным и благодаря этому сделать минимальными
требования к диссипативным свойствам системы. Очевидно, в
системах с мощной диссипацией устойчивость может достигаться
только за счет свойств усредненной системы, и в таких системах
выполнение условий изолированности резонанса не обязательно.
Следует отметить, что изолированность резонанса — ие
единственное условие,.ослабляющее требовнаия к усредненной
системе. Ниже'мы приведем пример таких условий другого типа,
связанных со свойствами коэффициентов рядов Фурье.
Рассмотрим систему (1.1), предполагая, как и выше, что
точка х0 для усредненной системы (1.2) является асимптотически
устойчивым положением равновесия и в окрестности точки х0
существует положительно определенная функция Ляпунова
Vо(x), имеющая отрицательно определенную производную. Будем
предполагать, что несколько комбинационных частот Хк(х) =
= Ы(х) обращаются в нуль на кривых (поверхностях),
проходящих через точку хо- Соответствующие фазы обозначим через
<Э=&7, а сумму соответствующих членов в правых частях
системы (1.1)—через Х{х, (2). Таким образом, Х(х, С}) содержат
члены, которые не осциллируют на резонансных кривых,
проходящих через точку хо- Наложим ограничения на коэффициенты
рядов правых частей; пусть резонансные члены, объединенные
в сумму Х(х, (2), имеют по ||*—х0\\ более высокий порядок
малости, чем Х0(х):
{Х(х,ОШ^\х-х^-Х0(х), а>а0>0. (3.32)
140
Интересным был бы более тонкий учет свойств
коэффициентов в окрестности положения равновесия усредненной системы
Хо, в частности, случай, когда коэффициенты и правая часть
усредненной системы имеют одинаковый порядок малости в хо.
Если с резонансной кривой (поверхностью)
к0ш(х)=0 (3.33)
совпадают кривые Х0(х) =0 или Х0{х) =0, то естественно
исследовать на устойчивость эту кривую, а не точку. Для этого
целесообразно перейти к новым координатам, связанным с
резонансной кривой, из которых одна отсчитывается по нормали к
кривой, и далее исследование на устойчивость производить по этой
координате.
§ 4. Исследование на устойчивость
многочастотиой системы
на конечном интервале времени
В теореме 1У.2 устойчивость точки резонанса многочастотиой
системы (1.1) достигалась благодаря асимптотической
устойчивости в этой точке усредненной системы (1.2).
В настоящем параграфе будет рассмотрен случай, когда
точка резонанса является устойчивым положением равновесия
усредненной системы, т. е. когда нет асимптотической устойчивости.
При таких слабых предположениях будет определена длина
отрезка времени Т, на котором решение системы (1.1) по
переменным х не выйдет из е-окрестности резонансной точки, исследу-
«мой на устойчивость. Длина отрезка времени Т зависит от
величины ц, и Г(^) неограниченно возрастает при ^-*-0.
В этом случае исследование на устойчивость производится с
помощью теоремы Ш.4.
Будем предполагать, что хо является устойчивой точкой покоя
для усредненной системы (1.2). Устойчивость обеспечивается
•существованием положительно определенной функции Ляпунова
ий(х), производная которой у0=мЛ7Уо-^о(.к) =^0. Тем самым
выполняются условия 1° и 2° теоремы Ш.4.
Задав е>0 (е<#), выберем число иу0 так, чтобы
поверхность
ъ0(х)=т0 (4.1)
целиком лежала в е-окрестности. Выберем число а>0,
удовлетворяющее условию 2а<а>о, и рассмотрим поверхность
■и0(л;)=а>0-2з. (4.2)
Вследствие того что функция у0{х) положительно определена,
можно указать такое т]>0, что ^-окрестность будет целиком
лежать внутри поверхности (4.2).
141
Будем предполагать, что в точке х0 выполняется условие
изолированности резонанса (см. § 3).
Как и в § 3, задав е>0, произведем разделение частот
к(а(х) на резонансные и осциллирующие с оценками снизу (3.6)
и (3.7). Для классов векторов к и сумм гармоник сохраним те же
обозначения, что и в § 3.
Рассмотрим возмущенную функцию Ляпунова
V = V0(X)-\-V^^(X, д). (4.3)
Функцию 1]{х, <7) определим как ограниченное в кольцевой
области г\<\\х—*о11<е решение уравнения
^-ш(х)=—^-.Х(х,д). (4.4)
о? ах
Такое решение существует, поскольку для комбинационных
частот к -и (х), соответствующих Х(х, я), справедливы оценки (3.6)
и (3.7). Тем самым выполняется условие 3° теоремы Ш.4.
Введем обозначение
#>о> 2(е))=тах ЦУ^-Я.С*. г0, 2). (4.5)
\>х—*АГ011<е
Продифференцируем возмущенную функцию Ляпунова (4.3)
в силу уравнений системы (1.1); тогда с учетом равенства (4.4)
получим
^=^.*0(л) + ,р^ +
АЬ дх ]_ ох
■ = рЧъ0-Х0(х) + №(х, я, 8, н.).
Отсюда следует, что в кольцевой области справедливо
неравенство
1?(*, Я, •• |*)|<%=^".Со. 2(Ю)-Ь0(|х). (4.7)
Все условия теоремы Ш.4 выполнены; следовательно, все
решения по переменным х, выходящие из т^-окрестности точки хо
для моментов времени, не превосходящих
Т(в, |1)=а(в)[2.То.|»1-1, (4.8)
остаются в е-окрестности точки резонанса Хо при 0<ц<цо-
Величина м.о(е) зависит от <т(е); в процессе доказательства
теоремы Ш.4 наложено условие
рр(х,яЩ<-^ (4.9)
в кольцевой области ц<\\х—х0\\<в. Полученный результат
сформулируем в виде теоремы.
145'
Теорема 1У.З. Пусть выполнены следующие условия:
1°) усредненная система (1.2) имеет положительно
определенную функцию Ляпунова Уо(Х), производная которой не
положительна, т. е. Ууо -'Хо(Х)^0;
2°) резонанс в точке хо для некоторого го является го-изоли-
рованным;
3°) для всякого е>0 (е<е0) существуют такое число г0 и
функция Й(е) и, следовательно, такое разбиение векторов к^К
на множества К(г0), Ке(го, Й), К(г0, О,), что
тах |уг»Л-/?.(-«. го- ^)=#.('■о^ 2)— О;
\\Х~Х„\\<е
4°) функции Х(х, ^) и Ф(х, ^) ограничены.
Тогда для любого е>0 {в<во<Н) можно указать такие т](е)
и р,о(е), что при всех 0<ц<м-о(е) для любого решения х=х{1),
<7=<7(0 системы (1.1) с начальными условиями х(0)*=хо,д{0) =
==<7о, удовлетворяющими по переменным х неравенствам \\хо—
—*о11<т|(в)> при [1<\ьо{в) и всех I, не превосходящих Т(е, ^) =
= а(е) -[2фоц]_1, выполняется неравенство \\х(1)—д^||<е.
§ 5. Исследование на устойчивость
в некоторых задачах нелинейной механики
Для многих процессов нелинейной механики простейшей
моделью является нелинейное уравнение колебаний осциллятора,
.подверженного действию малых почти периодических по време-
.ни сил:
л;+и)251п х = \>./(х, х, со^,..., а>„*), 0О<1. (5.1)
К числу таких вопросов относятся: задача изучения колебаний
■спутника относительно центра масс при его движении по
орбите, близкой к круговой; задача изучения вибрации механических
конструкций; системой таких уравнений описывается процесс
движения заряженных частиц в камере жесткофокусирующего
ускорителя. Интересной моделью является маятник, точка
подвеса которого совершает малые гармонические перемещения по
двум направлениям в плоскости колебаний с различными
частотами.
При этом можно рассмотреть два случая. Первый случай
имеет место тогда, когда такие перемещения совершаются с
частотой, намного превосходящей частоту собственных колебаний
маятника. Эта задача сводится к одночастотной системе и
исследование проводится методом усреднения [1]. Более сложным
является второй случай, когда указанные частоты имеют
одинаковый порядок и в системе возможны резонансы между
собственной частотой и внешними частотами движения точки
подвеса. Такая система является многочастотной [18] и описывается
уравнением вида (5.1), она будет рассмотрена ниже.
143
Линейные и нелинейные уравнения вида (5.1) с малыми
нелинейными возмущениями изучались многими авторами. Было-
проведено детальное исследование воздействия внешних
периодических сил на колебательные системы, близкие к линейным,
на большом интервале времени Т=0(1»г1) и рассмотрены
вопросы устойчивости резонансных амплитуд при параметрическом
резонансе в одночастотном случае [1; 12].
Ниже уравнение (5.1) рассматривается в предположении, что
частоты собственных колебаний системы и внешних сил
сравнимы по величине. В этом случае оно сводится к многочастотной
системе дифференциальных уравнений первого порядка в
стандартной форме. Малые знаменатели, свойственные
многочастотным системам, оцениваются через величину окрестности точки,
исследуемой на устойчивость.
При ^=0 уравнение (5.1) интегрируется в эллиптических
функциях. Его общее решение описывает колебание
а=2агсз1п(Азп(2я-1АГ(А)<р, к))
или вращение
а=2ат(-х-1/С(А)<р, к).
Здесь ?=ш0(А)(/+^о)> А)=соп8*; шоФ)==х в случае колеба-
2К. («)
ний; со0(&) = —^ в случае вращений; К(к) — полный эллипти-
кК («)
ческий интеграл первого рода; щ(к) —частота собственных
движений.
Рассмотрим случай колебаний (вращение исследуется
аналогично). Так как атах=2агс5т6, то в качестве переменной,
характеризующей амплитуду колебаний, удобно выбрать к, а в
качестве фазы ф.
Преобразуем уравнение (5.1) к многочастотной системе в
стандартной форме относительно переменных к, ф.
Предположим, что }{х, у, г)=/(х, у, 2ь...,2я+1) есть 2я-перйодическая
функция по переменным 2Ь... ,г„+и непрерывно
дифференцируемая [п/2] +2 раза и.
о
Произведем в уравнении (5.1) замену переменных:
х=а(к, »), х=ш0(к)а'9(к, <р) (5.2)
и введем интеграл действия
2*
о
144
Для новых неизвестных к, ф получим многочастотную
систему обыкновенных дифференциальных уравнений в стандартной
форме:
к = р/(а(к, <р), ш0(к)а'9(к, <р), <р1;..., <р„)с4(к, <р)/Я(А)=[^(А, ?)
^=со0(й)_[х/(а(й, <р), ш0(к)а*(к, <р), <?и... (5.3)
.... «рЛ)оИА, «р)/Я(й)=а>0(А) + 11Ф(й, ?),
^=(0,, ^=сог/, 9=(<р, ?!,..., <р„).
Вектор частот Й=((о0(*), <01,...,(оп) состоит из угловой
частоты а>о{к) и частот возмущающей силы.
Назовем к0 точкой резонанса системы, если существует
такой целочисленный вектор р= (р0, ри ..., рп), что
РоШо(Йо) + Р1и)1 + — + />А = 0'
Для исследования на устойчивость по Ляпунову некоторой
резонансной амплитуды ко применим обобщенный второй метод
Ляпунова [6].
В качестве невозмущенной функции Ляпунова возьмем У0 =
= \к—к0\ и рассмотрим отрезки ц<\к—к0\<е, где 0<е<ео,
причем 80 в силу свойств функции «о(&) не превосходит
расстояния от ко до ближайшей резонансной амплитуды. Тогда е-окрест-
ность точки для 0<8<80 не содержит других резонансных
значений.
Определим возмущенную функцию Ляпунова при г\<\к—
—^о|<е:
Здесь
У, (А, ?) = V I ^(*>*'8п(*-*о) е,{тЛ (5§4)
^ №, "О
где /•'т(б) —коэффициенты ряда Фурье_функции Р(к, ф).
В указанном кольце функция У\{к, ф) существует и
ограничена, так как в силу сделанных предположений функция
Р (к, ф) разлагается в абсолютно и равномерно сходящиеся ряды
Фурье, причем Р0(к)=0, а для малых знаменателей (Й, т) на
основании свойств функции ю0(^) справедлива оценка
я
«вШ0(*) + 2 т1Ш1=то(Шо(к>> — ММ*
1
145
Дифференцируя функцию (5.4) вдоль решения системы (5.3)г
получим
^Щ =0(^). (5.5)
а( 1(5,3)
Таким образом, для системы (5.3) и функции Ляпунова (5.4)
выполнены все условия теоремы III.2 и для отрезка времени, на
котором решение к(1) остается в е-окрестности точки к0, имеет
место оценка Г = 0(ц-2).
Все указанные оценки справедливы для первых резонансов,
пока разность между двумя соседними резонансами не станет
величиной порядка ц.
Применим полученные результаты, для исследования на
устойчивость резонансных амплитуд маятника, точка подвеса
которого совершает плоские колебания по закону
х—асозч^, у=Ь 5\п(ч2*-\-Х)
(а, Ь, / — некоторые постоянные).
Пусть \|з — угол отклонения от нижнего положения
равновесия со=]/л§у/— собственная частота колебаний маятника, / —
длина нити. Предположим, что а/1^1. Это означает, что точка
подвеса совершает малые колебания. Уравнение движения
маятника имеет следующий вид:
ф-|-51Пф=|А(С05<р1С05ф-|-8 51П <р2 51п Ю.
VI Го ,
1 ?2 = ^,
\2
Р>1 =
ъ=
— > «>2:
/
Т = со^,
8:
И:
(О
(
а \
а
С помощью замены (5.2) получаем трехчастотную систему в.
стандартной форме Боголюбова:
к=^си2^[\-2кЧи^'Ш^у0^ +
+к5п 2«С*> усп-ШЁ.уапШйузЩ^, (б.б>
я я я ^
146
Разложим правую часть первого из уравнений (5.6) в ряд
Фурье (отметим, что в этом случае функция Р(к, го) аналитична
по го):
я
+ 2 с<« (ЙНС05 (т<? - Ъ) - °оз (/и? + <Ра>1 + ^ «т (*) X
Х[зт(/И(р-|-!Р2) + 55п(/И!Р — Ъ)Ъ \ Р(Ь, ?)(19=0.
Коэффициенты ат(А), 6п(А), ст(6) экспоненциально
стремятся к нулю п, т-*-оо. Следовательно, при
«>о(*о>=—- «>о(*о>=— (5.7)
п т
в правой части первого из уравнений (5.6) появятся неосцилли-
рующие слагаемые вида с^озто, Сгзш (т0—х), с3соз (т0—%),
{си Съ сг — постоянные), т. е. будут наблюдаться резонансные
явления. В соответствии с полученными выше результатами
точка резонанса к0, удовлетворяющая одному из уравнений (5.7),
является устойчивой в течение времени Т=0([1~2).
Исследуем на устойчивость резонансные режимы в задаче
о колебаниях и вращениях спутника1, движущегося по
эллиптической орбите в центральном гравитационном поле. Система,
описывающая движения спутника, является двухчастотной.
Вектор частот состоит из частоты обращения спутника
относительно центра масс и частоты его вращения вокруг Земли.
Резонансные колебания и вращения спутника относительно
центра масс в плоскости орбиты изучались ранее [60] методом
усреднения Крылова — Боголюбова [1; 12] при жестких
ограничениях на резонансные частоты, сводящих исходную двухчастот-
ную систему к одночастотной.
Малые колебания спутника и резонансные явления в
движении Луны исследовались в [19].
Пусть главная ось инерции спутника перпендикулярна
плоскости орбиты. Обозначим момент инерции относительно нее
через В, моменты инерции относительно двух других главных
осей — через А и С (А^С). Тогда с точностью до величины
порядка отношения размеров спутника к размерам орбиты
уравнение движения спутника имеет вид [60]
(1 -|-е соз 6) й2ЩВ2 — 2е зш ВйЪ/йВ +
+ 3а2ят8=4езт6, а2*=(Л-С)/В< 1. (5.8)
Здесь б — удвоенный угол между радиусом-вектором центра
масс и осью инерции; С — момент инерции относительно этой
147
оси; е — эксцентриситет орбиты; 0 — угловое расстояние радиуса-
вектора от перигея орбиты.
При е=0 уравнение (5.8) сводится к уравнению маятника
и описывает движение спутника по круговой орбите.
Рассмотрим резонансный случай е<^;1, пои котором орбита
близка к круговой. С точностью до величин 0(е2) имеем
(182 ' У \ (18 Г
/(9> &,4М = 45Ш6 + 251пе— + За2С05б51П8.
• \ (18 / (18
Преобразуем это уравнение к системе в стандартной форме
Боголюбова с помощью замены переменных, аналогичной (5.2):
8 = о(А, <р), ?=со0(й)(8 + 80), 60=соп51.
Тогда получим систему в стандартной форме вида (5.3):
к = еР{к% ?, 6), '<?=%{к) + еФ{к, <?, 9), 0=1,
Р(Ь, Т. в)=/(в, а(А, <?), ш0(к)а',(к, <?))а'?(к, <р)/Я(й),
Ф(к, «р, 6)=-/(в, а (Л, Т), »0 (А) (4(А, ?))М*, ?)//)(*).
Разложим правые части этой системы в ряды Фурье и
воспользуемся простейшими формулами тригонометрии. Получим
слагаемые вида
О (к, 0), #„(&)51П(0-Н<р), 8Ак)5т(в — щ).
Заметим, что
"-•■ -"•• %'п{к)&т(Ъ — п<о)= — %'п<Л),
(5.9)
51П (0 - 1Ю>0 (к) (0 + 0„))= -ёа (к) 31П 0О
при сй0(&) = 1/«.
Таким образом, при сй0(А) = 1/п, где п — натуральное число,
в правых частях системы появятся медленно изменяющиеся
слагаемые вида — §'п (к) 51П 0о, т. е. будут наблюдаться резонансные
явления как в случае колебаний, так и в случае вращений.
Согласно полученным выше результатам, резонаисы вида (5.9)
устойчивы по медленной переменной к в течение времени 7 =
= 0(е2).
§ 6. Устойчивость резонансных движений
некоторых гироскопических систем
Трудный для исследования класс задач нелинейной механики
составляют задачи теории гироскопов. Задачи, описывающие
движение гироскопов, многочастотны: первая частота — это час-
148
тота вращения ротора гироскопа; вторая — это частота
прецессии, которая, если гироскоп близок по распределению масс к
однородному шару, сравнима с собственной частотой; наконец,
третья частота — это частота, содержащаяся в спектре
возмущений. Малый параметр в таких системах измеряется отклонением
гироскопа от аксиально симметричного и поэтому очень мал,
для гироскопа с бесконтактным подвесом он составляет ~ 10-8,
10-9. Для таких задач асимптотическая теория оказывается
весьма эффективной. Вследствие малости параметра можно
сохранить в правых частях лишь небольшое число членов, что
упрощает задачу.
Задача исследования устойчивости резонансных режимов
имеет для гироскопов принципиальное значение. Назначение
гироскопа — сохранять направление вектора кинетического
момента. Изменение этого направления (уход гироскопа) означает,
что гироскоп перестает выполнять свою функцию. Поскольку
спектр внешнего воздействия достаточно широк, особенно
существенно исследовать на устойчивость именно резонансный режим.
При исследовании на устойчивость резонансных режимов
[55] оказываются эффективными рассмотренные выше
методы.
В работе [26] при исследовании существенно нелинейной
гироскопической системы были получены достаточные условия
устойчивости резонансных движений, обусловленные
синхронизацией углов нутационных и вынужденных колебаний гироскопа в
кардановом подвесе. При этом амплитуда стационарных, нута-
4 ционных колебаний а могла быть величиной порядка единицы,
что и приводило к существенной нелинейности системы.
Рассмотрим другой крайний случай нутационных колебаний
в окрестности а=0. Покажем, что в результате действия на
гироскоп гармонических возмущений с частотой й, при которой
возникает резонансное соотношение между собственной частотой
«а(а) нутационных колебаний и частотой О, для достаточно
малых значений амплитуды внешних колебаний обеспечивается
устойчивость внутреннего кольца карданова подвеса гироскопа
относительно внешнего. Исходная система уравнений имеет
следующий вид [26]:
—=т\1-&т $ + ]>./зтфх+Ъ)], (6.1>
их
-*!=(/ _ 5Ш ?) С05 р + Iх IV 51П ®Х~ 5 — +/ С05 ? 51П (2*+ 8>1 -
Здесь о — угол прецессии, § — угол нутации, ц— малый
параметр, т, I, /, б-, §, ^ — постоянные. Отметим, что значение I
определяется начальными условиями. Второе уравнение систе-
14»
мы (6.1) запишем в амплитудно-фазовых переменных без
осциллирующих членов: ■
^Г-=-Т7\Аи(а)со5Ъ-и(а) + А2$со5ф-Ъ)\, (6.2)
ах Д (а)
-^-=5со(а)-2---^-[ЛзЛа)81п 9 + ЛЛа)81П (9-8)1.
ат Д (а)
•сохраняя обозначения [26]. Если в начальный момент времени
внутреннее кольцо неподвижно (м-=0, /=5т.р), то а=0 и
А(а)=0. Пусть после приложения возмущений возникает
резонансное соотношение 5со(0)—й = 0. Правая часть системы (6.2)
сингулярна. Поэтому для исследования на устойчивость точки
«=0 воспользуемся методом обобщенных функций Ляпунова,
тде существование самой обобщенной функции Ляпунова и ее
производной предполагается в кольцевой области, окружающей
точку резонанса или особенности а=0. Обобщенную функцию
Ляпунова системы (6.2) возьмем в виде о=а2. Будем
рассматривать поведение системы (6.2) по переменной а в интервале
!аи Да], где аь а% — произвольные достаточно малые
положительные числа. Комбинационная частота «со (а) монотонно
убывает [26] на отрезке [0, 1—1/|]; поэтому
' |ви,(о)-9|>|ва,(о1)-9|,«о(а)=-|- Г° +^~1* .
к*= ^ , (6.3)
. (1+а)2-/2
где К (&) —полный эллиптический интеграл. Из (6.3) и
неравенстве /(й)>0 согласно теореме 1У.2 следует, что при всех
достаточно малых ц любое решение системы (6.2) с начальными
условиями 0=^а(0) ^а! удовлетворяет неравенству 0^а(т)^аа
при ^0.
В последнее время активно изучается новый тип гироскопов —
тироскоп с бесконтактным подвесом, когда сам гироскоп
поддерживается в вакууме электрическим полем и раскручивается до
предельных оборотов магнитным полем. Уравнения движения
такой системы рассматриваются в [29; 30].
Подробное исследование устойчивости такой системы можно
найти в [56; 44]. Здесь мы только подчеркнем характерные
особенности этой системы с точки зрения возможности применения
теорем настоящей главы. Сначала целесообразно исследовать
систему на устойчивость по двум параметрам. Резонансная
частота не обладает строгим минимумом в точке резонанса, однако
для системы характерно наличие некоторой области движений,
трансверсальной по отношению к линии резонанса. Используя
эту область движений, удается оценить резонансную частоту с
150
помощью условия, аналогичного условию изолированности
резонанса § 3. Благодаря этому получены условия устойчивости,
не зависящие от фаз (фазы движения быстро вращающегося
гироскопа, вообще говоря, не наблюдаемы).
Глава V
ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ОРБИТ
В ЗАДАЧЕ ТРЕХ ТЕЛ
§ 1. Постановка задачи
В планетном варианте задачи трех тел изучается движение
двух планет вокруг значительно более массивного тела —
Солнца. Сила взаимного притяжения планет много меньше сил
притяжения планет к Солнцу, но эта малая сила вызывает
резонансные явления, которые служат источником неустойчивости и
осложняют исследование задачи.
Задача трех тел является классической задачей, ей
посвящено много работ. В этой задаче найдены интегралы движения,
для уравнений движения введены различные системы координат,,
в том числе канонических. Среди работ, посвященных задаче
трех тел, отметим труды А. Пуанкаре [37; 38], в которых
указанная задача исследуется методами теории возмущений. Эти
работы помогают выбрать наиболее удобную для исследования на
устойчивость каноническую систему координат и систему
интегралов движения.
Систему трех тел естественно считать уртойчивой, если мало
меняются размеры больших полуосей планет, мало изменяются
и остаются малыми эксцентриситеты и наклонности орбит.
Первый фундаментальный результат в этом направлении был
получен Лапласом.. Изменения других угловых переменных,
описывающих положение планет, при исследовании на устойчивость
можно считать произвольными.
В модели классической задачи .трех тел предполагается, что
взаимодействующие тела являются точками, в которых
сосредоточены массы тел. Это означает, что тела обладают сферической
симметрией в распределении масс. В рамках такой модели
получена оценка отрезка времени, на котором полуоси орбит
остаются вблизи своих начальных значений, а эксцентриситеты
сохраняются малыми [49]. Малый параметр ц имеет смысл
отношения массы планеты к массе Солнца ц = т/М (~10-4).
Далее рассматривается так называемая гидродинамическая
модель задачи трех тел [51], которая учитывает асимметрию в
распределении масс взаимодействующих тел. Эта асимметрия
связана с тем, что в реальной системе планеты вследствие вра-
151
щения вокруг своей оси сплюснуты и имеют заметный наклон
■оси вращения к плоскости орбиты. Таю'в системе появляется еще
один малый параметр ц, имеющий смысл отношения поперечного
размера планеты г к расстоянию до Солнца /?, он имеет в
Солнечной системе примерно тот же порядок, что и \1.
Исследование на устойчивость в планетной модели'
производится с помощью теоремы Ш.4 об устойчивости на
асимптотически большом интервале. Для гидродинамической модели
применяется теорема Ш.2 об устойчивости на бесконечном интервале.
§ 2. Канонические переменные, уравнения движения
и интегралы движения в задаче трех тел
Для исследования на устойчивость в задаче трех тел удобно
выбрать канонические переменные Ь, К, а, со [37; 38], которые
выражаются через параметры орбит и массы планет следующим
образом:
Ь=тУмУа, где а — большая полуось; т — масса
планеты; М — масса Солнца;
ох=1 (1—1/^1 —е2), где е — эксцентриситет, для планет
Солнечной системы е<§;1; а\ — величина порядка квадрата
эксцентриситета;
а2= (Ь—(п)(1—С05 1), где I — наклонность, точно так же
.■*4С1; стг — величина порядка квадрата наклонности; X —
средняя долгота,— а>1 —долгота перигелия,— а>2 — долгота узла.
Переменные 1^\, К\, а\, соь аг, «>2 относятся к одной планете,,
а переменные Ь% %ъ Ог, а>з, Оа, а>4 — ко второй планете. В этих
переменных функция Гамильтона задачи трех тел имеет вид
•,-....;:.- /?=/?,+ |^1, (2Л)
где Мх и М2 — постоянные; ц-Р]— возмущающая функция; \1 —
малый параметр, имеющий смысл отношения массы планеты к
массе Солнца (порядки величины масс планет предполагаются
одинаковыми). Тогда
!х/="1=2М'-^-^>-44соз(2*л+2^и)')- (2-3)
Здесь к-ь и р/ — целые числа, по которым производится
суммирование; А зависит только от Ц 2цг — целые положительные
числа, причем 2цС^\\р1\.
Так как размерности членов ряда (2.3) одинаковы, то
порядки величин членов разложения возмущающей функции равны
степеням эксцентриситетов и наклонностей. Отметим, что
свойства возмущающей функции подробно были исследованы
Пуанкаре.
152
С помощью функции Гамильтона (2.1) запишем теперь урав
рения движения
(IX дР 61. дР (Ь) дР йа дР
й( дЬ й( д\ Ы дз й( ди
(2.4)
Коэффициенты ряда (2.3) обозначим через ц/г^р, а аргумент
косинуса— через 0; введем также частоты
/ча)=Д|-, п,(Ь=-2&-, (2.5)
предполагая всюду в дальнейшем, что П\фпч.
В таких обозначениях уравнения (1.4) примут вид
СОЗб, —— = |А \ ккр-к 51П 6,
Переменные Ь, а, ш в уравнениях (2.6) изменяются медленно,
их производные пропорциональны малому параметру \1. Фазы %1
и Яг изменяются быстро и имеют частоты гг+0(ц). Обращение
В нуль комбинационных частот к^п^Ь) +к2П2(Ь,) приводит к
появлению в правых частях уравнений (2.6) медленно
изменяющихся слагаемых, т. е. к резонансным явлениям.
Уравнения (2.6) задачи трех тел имеют интегралы движения
2^-23 = сопз1, (2.7)
^-^-^=^-33-^-), (2.8)
которые называются интегралами площадей.
Интеграл (2.7) связывает изменение переменных Ь и а и
позволяет оценить изменение переменных а, если переменные Ь, в
процессе движения остаются вблизи некоторой точки Ц.
Запишем интеграл (2.7) следующим образом:
ЬХ + 12 — (°1 + °2 + 03 + 04) = /-!„ + Ь2я — (°1н + °2н + °3и + °4н).
где индексом «н» отмечены начальные значения переменных,
откуда получаем
Д/,! + Д/,2=До1 + Д02 + Д°3 + До4- (2.9)
Ряд (2.3), представляющий разложение возмущающей
функции, и ряды в правых частях уравнений (2.6) сходятся весьма
быстро при малых эксцентриситетах и наклонностях, поскольку
члены рядов пропорциональны степеням этих величин. Покажем,
что малые в начальный момент эксцентриситеты и наклонности
7—1743 153
останутся малыми, если величины Ь изменяются вблизи своих
начальных значений. Из (2;9) получаем До^Д^^-Д^г- 2^°''
при АЬ=0(г) имеем
Дай=0(5)_>?Дзг. (2.10)
Отметим, что величины а пропорциональны квадратам
эксцентриситетов и наклонностей и поэтому положительны.
Согласно (2.10), наибольшее изменение Да*, имеет место, если Да*
(ьфк) отрицательны, т. е. когда С{ (1фк) убывают, а Деть
возрастает. Следовательно, соответствующая безразмерная
величина (эксцентриситет или наклонность) остается малой при
достаточно малом е. Таким образом, нет необходимости производить
исследование на устойчивость по всем переменным Сна: если
величины Ь не выходят из е-окрестности некоторой точки Ц, то
величины а останутся малыми при достаточно малом е. Из
сказанного следует, что требование быстроты сходимости рядов (2.6)
определяет некоторое ограничение на величину е сверху.
Интеграл (2.8) связывает изменение наклонностей двух
планет и позволяет несколько улучшить оценку (2.10) для Оц и в\.
Отметим, что для плоской "задачи трех тел
До1=0(5)—До2. (2.11)
§ 3. Резонансные кривые
и выбор новых переменных
Рассмотрим теперь комбинационные частоты
■'-•—-- к1п1(1)+к2п2Ш=А(1). (3.1)
Весьма важным является то обстоятельство, что главная часть
функции Гамильтона (2.2), а следовательно, и частоты П\ и п%
зависят только от переменных Ь, т. е. от больших полуосей.
Резонансные линии, определяемые уравнением
*»-$-+*» пт-=°. (3-2)
являются лучами, выходящими из начала координат на
плоскости Ь:
^=}Уж\}/-^. (3.3)
Будем исследовать на устойчивость точку Ьй, которая лежит на
резонансном луче, принадлежащем некоторому вектору к0==
= {&ю, &2о}- Через точку Ьц проходит также кривая
/*„ (!)=/=■„ (10). <3-4>
154
Так как функция ' Р=.Р0-\-\1р1 есть интеграл движения и
^Р0(Ь)ФО, то интегральная кривая на плоскости Ь остается в
ц-окрестности кривой (3.4); поэтому нет необходимости следить
за перемещением интегральной кривой в направлении нормали
к кривой (3.4), а достаточно исследовать на устойчивость по
направлению касательной к кривой (3.4).
В окрестности кривой (3.4) введем новую переменную х,
которую будем отсчитывать от нормали к этой кривой в точке Ьо
по направлению касательной к кривой в той же точке.
Направляющий вектор касательной к кривой (3.4) в точке Ы обозначим
через /о; при этом
Лх = Ь0-йЬ. (3.5)
Отклонения интегральной кривой по нормали к этому
направлению от прямой, по которой отсчитывается х, в е-окрестности
точки /-о являются малыми и имеют порядок \1 или О (г). Таким
образом, получаем задачу об исследовании на устойчивость
только по одной переменной х, что весьма существенно для оценки
малых знаменателей в процессе применения теоремы 1У.З.
§ 4. Построение возмущенной функции Ляпунова,
в задаче трех тел
Для исследования на устойчивость в задаче трех тел
применим теорему Ш.4. Эта теорема с помощью возмущенной
функции Ляпунова дает оценку интервала времени, на котором
решения по части переменных остаются близкими к точке,
исследуемой на устойчивость.
Применительно к задаче трех тел, задав е>0, укажем такие
11 (е), ^(е, ц) и цо(е), что решения, удовлетворяющие по
переменным Ь в начальный момент ^=0 условию \\1.—1^0\\<1ц, для
всех 0<И<Т(г, ц) и ц<цо останутся в е-окрестности, т. е.
будет выполнено неравенство Ц/. — ^0|1<е. Используя интегралы
(2.7) и (2.8), заключаем, что переменные а при изменении Ь
в пределах е-окрестности испытывают изменение такого же
порядка.
В качестве невозмущенной функции Ляпунова выберем
V0^^)=\л\. (4.1)
Возмущенную функцию Ляпунова будем искать в виде
*>=г)Ь(1)+1«>1(1, *, в, со, •). (4.2)
Продифференцируем V в силу уравнений (2.6); имеем
+*-з^+р-ти+р-ти. (4'3)
01* да со)
7*
155
Представим ряд
л:-818пл:=[л 2/гйр(Ы)5Н1 8.51§па; (4.4)
в виде суммы двух рядов:
х-в1%пх=\>.Х-\-\>.Я1., • (4.5)
где
!*А: = !л V ккр(к-7)&'ю В-51%пх, (4.6)
№ш=р 2 А*р<*#') 5'п 6'81^п *• <4-7>
Здесь /?е содержит все члены, резонансные лучи которых лежат
в 2е-окрестности точки /-0; сумма /?е обозначается прямой
чертой сверху; сумма Я, отмеченная волнистой чертой, содержит
осцилляционные члены; X содержит также резонансные члены,
принадлежащие к0. Выберем некоторое т]>0 (т1<е) и
некоторое а>0, удовлетворяющее условию
°<(5-к])/2. (4.8)
Потребуем, чтобы функция У\ удовлетворяла уравнению
д«1
п=$1%пх-\^ккр(к-1)$'тЬ. (4.9)
ах
Так как
то знаменатели к-п=к{Ь), которые получаются при
интегрировании уравнения (4.9), ограничены снизу величинами порядка
ц или е при Т1< |*| <е. Следовательно, функция «] при Т1< \х\ <
•<е ограничена, причем
«1~0(ч-»)2|А*Р1. (4-10)
к,р
С помощью выбора достаточно малого ц0 можно сделать
возмущение функции Ляпунова ц«1 меньшим а/2 для всех ц<цо.
Тогда из соотношения (4.3) с учетом уравнений (2.4) и (4.9)
следует, что
^=[л/?е + 0([л2/^)- (4Л1>
156
Для отрезка времени Т, на котором решение, начинающееся по
переменным /, в г)-окрестности, останется в е-окрестности,
согласно теореме 1У.З справедлива оценка
(4.12)
2|*(Л, + 0(|«а/1))
Оценим теперь величину остатка (4.6), которая при
фиксированном е определяется быстротой сходимости ряда (2.3). Оценку /?е
произведем методом, предложенным в § 3 гл. IV. Векторы к,
соответствующие резонансным лучам, проходящим в 2е-окрест-
ности точки Ьй, обозначим через ке. Для оценки угла между
векторами к0 и ке введем единичный вектор х= {&1/РН, #2/11*11}
и рассмотрим комбинационную частоту (3.1):
Л(1)= ||й||(х.ла,)). (4.13)
В точке /-о имеем
х0.л(^.0)=0. (4.14)
На других резонансных линиях
иЕ-«=(и0 + Д>«)'(«о+Дя)=0- (4-15>
Отсюда с учетом (4.14) получается выражение для угла между
векторами кг и к0:
— % ■ Дл (Ь) , _ _
ди^ ! — . (4.16)
II «о II
Частоты п(Ь) сохраняются вдоль резонансных лучей.
Переменная х отсчитывается по прямой, расположенной под углом к
резонансным лучам; поэтому Дп=0(е) на границе 2е-окрестности
точки /-о-
С другой стороны, для малого угла $ между двумя
векторами, имеющими на плоскости целочисленные компоненты,
справедливо соотношение
8тр = *10*2~*ао*1^Э. • (4.17)
II *о. II • II * II
Числитель этого выражения не может по абсолютной величине
быть меньше единицы для векторов, отличных от к0.
Сравнивая углы (4.16) и (4.17), получим оценку
наименьшего по величине вектора бетш, лежащего на границе угловой
■«-окрестности вектора к0:
1 _ |х0-дл(1)|
КМ 41 *.„.!„ II ' И «о!
(4.18)
где к0 — фиксированный вектор, Ап(Ь) = 0(г), поэтому при
уменьшении е Н&етшН возрастает как е-"1. Так как /?е содержит
члены ряда, принадлежащие векторам&е, не меньшим кеГа\и, то
соотношение (4.18) позволяет оценить величину остатка /?е.
157
С учетом аналитичности функции Гамильтона и оценки -(4.18)
имеем /?е~ехр (—а/г). Полагая также о~г, г]-—-е, получим
соотношение (4.12) в виде Т~г-ц~1 (ехр (—а/г) +ц/г)~К
Следует отметить, что в конкретной задаче трех тел параметр
\1 является малой, но фиксированной величиной, поэтому
благодаря уменьшению параметра ц нельзя увеличить длину
интервала времени Т, на котором траектория остается в е-окрестности
точки Ц. Однако это можно сделать вследствие малости /?е.
Известно [37; 38], что порядок величины члена ряда (2.3) по
степеням малых эксцентриситетов и наклонностей,
принадлежащего к={к\, к2), не ниже ИМ—Н&гН- Поэтому для малых
эксцентриситетов и наклонностей, а также для достаточно малых е
величина /?е в соотношении (4.11) может быть малой более
высокого порядка, чем ц. Предположим для определенности, что
#е=о(м-2)» и определим еще одно приближение для функции V.
Будем искать возмущенную функцию Ляпунова в виде
г»=а0 (•*) + №(*) +1*4 (*), (4.19)
где VI уже определена выше, как решение уравнения (4.9).
Продифференцируем V в силу уравнений (2.6); учитывая (4.9),
получим
п 1 чд*1\ дР\ ,д«1 дРл . •> дV^ дР\
ОК 01. (70 0а> 0а> 0а
-^1Г -Ж+^-Ж"1*0^- (4'20)
Произведя умножение рядов, содержащих производные функции
«1, выделим резонансные члены указанным выше способом и
определим и2 как решение уравнения
' 51/2 " С*«1 5^1 0#1 дР\ , дV^ дР, ~д-Ц\ ЬР\
/1= • • 1 • • .
дХ. оХ дХ дХ дЬ да да да да
При этом оценка для Т имеет вид
7>,1).)- ^ . (4.21)
**(/?, + О 0*2/4)2))
Построение более высоких приближений в конкретной задаче
может оказаться невозможным, так как е ограничено снизу
числом г), которое должно быть настолько большим, чтобы
^-окрестность линии резонанса включала начальные условий данной
задачи.
Полученные результаты можно применить к системе
Солнце— Юпитер — Сатурн. Параметры системы ц^Ю-3—10-4,
резонанс 2—5, величины эксцентриситетов и наклонностей е, 1~
~ КН. Выберем е, а, г\~ КН—Ю-2; при этом соседние резонан-
сы такого же порядка расположатся вне е-окрестности и для
величины /?е, если векторы ке, с которых начинается /?„, всего в
158
2—3 раза больше резонансного вектора (—2, 5), получим оценку
10-6—Ю-9. Тогда Г (в, ц) ~Гю • (1/ц4) - 10е—10е лет.
Отметим, что аналогично с помощью обобщенного метода
Ляпунова можно исследовать на устойчивость задачи движения
большего числа тел.
§ 5. Гидродинамическая модель
планетной системы
Гидродинамическая модель планетной системы была
предложена в работе [51]. В этой модели планеты считаются жидкими
вращающимися телами с заметным коэффициентом вытянутости
по экватору а= (гэ—гп)/гп, где га — радиус экватора, г„ —
полярный радиус, и с заметным углом наклона р оси вращения
к нормали к неподвижной плоскости Лапласа. Более точно,
такими свойствами должна обладать хотя бы одна из планет
системы. Как уже было отмечено, в системе Солнце — Юпитер —
Сатурн содержатся несколько параметров малости: ц —
отношение массы планеты к массе Солнца (ц,~10~4);_р, — отношение
размера планеты к ее расстоянию до Солнца (ц~10~4) (это
величины одного порядка малости); аю—асат2^0,1; ,рю^0;
Рсат~30°. Значит, 0<ц<1, 0<П1<1, <х<1, зтр<1. Вытяну-
тость по экватору планеты в сочетании с заметным наклоном
оси вращения вызовет периодическую вариацию силы
притяжения (параметр малости ц) от угла, определяющего положение
планеты на орбите. Задача состоит в том, чтобы обнаружить
стабилизирующий эффект сочетания этих факторов в
предположении, что значения а и положение осей вращения сохраняются
во времени. Прецессия, неизбежная в твердотельной модели,
здесь отсутствует; она компенсируется гидродинамическими
течениями и с ними связана диссипативность такой модели,
поэтому и модель можно назвать гидродинамической. Результаты,
полученные с помощью такой модели, справедливы в моменты, не
превышающие времени существования модели.
Исследование на устойчивость в гидродинамической модели
проводится по той же схеме, что и для точечной модели с учетом
поправки к силовой функции, связанной с симметрией в
распределении масс:
рйРа = 4" ? Йг) аА (- °-25 + °-75 соз2 <1> 8Й18 Р) (1 + Зе соз V),
где е — эксцентриситет планеты, V — истинная аномалия, А —
постоянная, /,0 — величина полуоси, которая исследуется на
устойчивость.
В работе [34] было обращено внимание на то, что планеты
Солнечной системы образуют группы, связанные резонансными
соотношениями. Это явление становится понятным, если в груп-
159
пе имеется сплюснутая и обладающая заметным наклоном оси
вращения планета. Тогда эта планета играет стабилизирующую
роль, а обмен энергией наиболее интенсивен при резонансе.
Глава VI
СИСТЕМА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
С КВАЗИПЕРИОДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
В гл. IV и V были рассмотрены многочастотные системы,
характерной особенностью которых является зависимость частоты
от медленных переменных, используемая при оценке малых
знаменателей системы. В настоящей главе рассмотрим
многочастотные системы, частоты которых постоянны. Наличие нескольких '
гармонических функций с различными частотами означает
квазипериодическую зависимость от времени. Системы с квазиле-
риодическими зависимостями от времени активно изучаются в
настоящее время [28; 52; 57]. В [20; 21} предложен метод при-
редения систем к нормальной форме, основанный иа проведении
в системе замен переменных, исключающих в правых частях
осциллирующие гармоники. Получающаяся при этом нормальная
форма системы проще исходной, так как содержит только
резонансные члены. Если такую систему требуется исследовать на
устойчивость, то она, конечно, много удобнее для применения
второго метода Ляпунова'.
Обобщение второго метода Ляпунова, изложенное выше,~так-
же ориентировано иа исследование многочастотных систем,
содержащих осциллирующие слагаемые. Осциллирующие члены
включаются в возмущение функции Ляпунова и заключение об
устойчивости делается с помощью усреднения, при проведении
которого исчезают быстроосциллирующие гармоники.
§ 1. Исследование на устойчивость
резонансов младших порядков
с помощью невозмущенной функции Ляпунова
Рассмотрим систему, содержащую почти периодическую
зависимость от времени нелинейных членов в правых частях, в
предположении, что матрица линеаризованной системы имеет
чисто мнимые и различные собственные значения [52]:
х—А1Х-\-)>.Р'(х, I), йШх=2п, (1.1)
где \1 — малый параметр, ?=—1, Л — диагональная матрица
с собственными значениями ль ...,
Г(х, /)= 2 2/оР*°ехрг(/>2)г, (1.2)
160
причем
*«=*?'•... •.**?•, Я=(д1 д2п), ?,->(),
II С? II = ?1+- + ?2„- 2 = («>1,--,«>т).
р — целочисленный /п-мерный вектор, ряды 1с>р сходятся
абсолютно.
Если система (1.1) получена некоторым невырожденным
линейным преобразованием из некоторой вещественной системы,
то переменные х, и х/+п комплексно сопряжены. К системе вида
(1.1) сводятся нелинейные системы с постоянной матрицей
линеаризованной системы, имеющей чисто мнимые собственные
значения (простые или кратные с простыми элементарными
делителями).
Рассмотрим линейную систему
х = К1х, (1.3)
решение которой запишем в тригонометрической форме:
х} (0= г} ехр / (X/ + е,-),
х)+пЦ)=Г) ехр / (—\{-\-%)).
Система (1.3) имеет положительно определенный первый
интеграл, который выберем в качестве функции Ляпунова:
Ъй = ХхХ1+п+...+ХпХ2п. (1.5)
О пг2_е*е-л-еяие VI. 1. Говорят, что в системе (1.1) имеет
мест«(резонанс,^гсли для некоторого / выполняется соотношение
Х,=Аю1 + ... + ртют + 01*1 + ... + ?А-?я+1Х1-?2Л. ' (1-6)
Определение У1.2. Если соотношение (1.6) имеет место,
когда (рю) ФО, то говорят, что собственные значения Я
зацеплены с частотным базисом со.
Определение У1.3. Говорят, что в системе (1.1) имеет
место внутренний резонанс 1-го порядка, если для некоторых
/=1, ..., п и 11011 = 1 справедливо соотношение
^ = 01*1+ •••+?«*«-?«+1*1-9аА- 0-7)
Определение У1.4. Внутренний резонанс называется
тождественным, если равенство (1.7) при некотором С?р
обращается в тождество относительно Я.
Очевидно, что тождественный резонанс имеет только
нечетный порядок; как и в автономных системах, он оказывает
решающее влияние на устойчивость [28]. Векторы р и С},
удовлетворяющие соотношениям (1.6) и (1.7), называются резонансными.
161
Составим производную функции а0 в силу системы (1.1)" с
точностью до членов порядка к+\; имеем
7р=!*]^ У /^рX^еxРЦр^)^=<?0(x, V. (1.8)
Введем среднее т|э(г, 9), вычисляемое интегрированием вдоль
интегральных кривых линейной системы (1.4):
г
<!•(/-, е)=11ш^гГ<р0(^ ха, г, В))<И. (1.9)
о
Здесь фо — почти периодическая функция времени на решении
линейной системы с частотным базисом ки ..., %п, ©ь ..., ют
и среднее -ф всегда существует; г и 9 — полярные координаты
начальной точки.
Ясно, что ненулевой вклад в среднее ^(г, 9) дают лишь
резонансные слагаемые, для которых справедливо резонансное
соотношение (1.6). Среднее есть однородный многочлен (форма)
(&+1)-го порядка относительно гь ..., гп и заключение об
устойчивости делается с помощью изучения знака этой формы.
Коэффициенты этой формы представляют собой произведение
коэффициентов почти периодической функции Р(х, 0 на
тригонометрические функции комбинационных начальных фаз 9/ из (1.4).
Справедлива следующая теорема.
Теорема VI.1. Если среднее т|э(г, 9) является отрицательно
определенной формой относительно гь ..., гп, то при к~> 1 положе-
ние^а&новесия. асимптотически устойчиво. Если же форма
ф(г, 197*—~"положительно определенная, то положение равновесия
неустойчиво.
Если к= 1, то существует |д,0>0 такое, что при всех (Хр^^о
положение равновесия х=0 системы (1.1) асимптотически
устойчиво (неустойчиво).
Доказательство проводится, с помощью теорем Ш.9 и ШЛО.
Требуется лишь проверить равномерность предельного перехода
при вычислении среднего. Указанная равномерность имеет место
также в.следствие того, что среднее есть форма определенного
порядка.
Среднее ^(г, 9) удобно разбить на знакопостоянную часть
•ф(г) и знакопеременную ^(г, 9):
ф(г, в)=ф(г)+?(г, 6). (1.10)
Отсюда следует, что при четном к, когда тождественные резо-
нансы порядка к отсутствуют, ч|)(г)н==0 и среднее ^ знакопере-
менно, что, как правило, означает неустойчивость.
162
При нечетном к среднее Ир (г, 9) может быть знакоопределен-
ным, если ^(г) является знанеопределенной функцией и
превалирует над знакопеременной частью $(г, 9).
Остановимся более подробно на случае к=\, когда главный
член возмущения линеен по х. При этом удобно перейти от
исходной системы к системе в стандартной форме, так как в
результате такого перехода и усреднения по явно входящему
времени получится линейная усредненная система, которая уже
проще исследуется на'устойчивость. Указанное преобразование
производится с помощью замены переменных л:=Ф(^)«, где
Ф(/)=<Иа8[е'Ч...,еа«', е-'Ч-.е-"*'].
Рассмотрим теперь нелинейную систему, когда к==Ъ и в
системе отсутствуют тождественные внутренние резонансы, т. е.
1НГ1 в)—1!5(О- Для 6 = 3 функция -ф(г) является квадратичной
формой относительно Г\2, ..., гп2. Необходимые и достаточные
условия знакоопределенности таких форм приведены в [25]. Более
детально результаты настоящего параграфа содержатся в
[52; 57].
§ 2. Исследование на устойчивость
резонансов высоких порядков
с помощью построения возмущенной функции Ляпунова
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений,
содержащую квазипериодические по времени возмущения второго,
третьего и'четвертого порядков:
г = Аг+Рг(г, Ц + Ря(г, 1)+РА(г> *), (2.1)
где через г обозначена совокупность переменных Х\, у\, х%, г/г, ---»
Хп, Уп [56].
Для системы линейного приближения выберем функцию
Ляпунова в виде
я
*о<*>=2,Х',Т*Л? + ^* (2.2)
1-1
Возмущенную функцию Ляпунова будем строить в виде
отрезка ряда по степеням г= (х, у), у=у0+«', где возмущение
т — однородный многочлен по г, подобранный так, чтобы полная
производная V, вычисленная в силу системы (2.1), начиналась
с членов четного порядка по г:
Ы дг ~ дг 2>д^дг ~ дг 3^дг *~
+ *^2 + ^3+.^4. (2.3)
~ дг 2^ дг 3^ дг * - '
163
В выражении (2.3) произведем разделение членов по порядку их
величин, учитывая, что Н(г, I) = ——Р% имеет третий порядок.
дг
Потребуем, чтобы ш удовлетворяло уравнению
2±+*±Ах + Н{ж,Ъ=0. ' (2.4)
ос ог
Тогда в выражении (2.3) останутся только члены четвертого и
более высокого порядка. Обозначим члены четвертого порядка
через
.„<*, О-^ + Т^з. (2.5)
ог ог
а члены пятого и более высокого порядка—через
*<*. <) = ^(Г*+Г<) + д-^Р*- (2-6)
ог Ог
Представим функцию Н(г, () в виде разложения по степеням
комплексных переменных с коэффициентами, зависящими от
времени I:
П»,+...+Я1л = 3
Соответственно аналогичный ряд для ш (л:, г/, ^) имеет вид
«<*, у, <>= 2 р*.-*я(<>а*,---'°*»- <2-8>
"Ха|*авд:6р.истиками" уравнения (2.4) являются интегральные
кривые системы (1.3), записанные в виде (2.4):
И;=г,ехр/(Х/ — бу); •и/=г;-ехр( —/(Х/-|-6;)). (2.9)
Приравнивая в уравнении (2.4) коэффициенты при
одинаковых степенях, для коэффициента §(?) имеем уравнение
—5рь-+'[^(Л1~«1) + ...-^^(*я-л«)1Р»,...*я=а*,...*я. (2-Ю)
откуда для Р(<) получаем выражение в квадратурах:
рт1...лл(0=ехр{-/(Х1(/га1-А,) + ...-|-Х„(/пл-йп))^х
X \ст1 ...*„— |ат,...*я(Оехр{/(Х1(/»1—^1)+..+Х„(т„—/Ь„))г!}<# •
Предположим, что чисто мнимые собственные значения не
связаны резонансными соотношениями до третьего порядка
включительно.
:164
Запишем выражение для функции уц(г, () (2.5), от которой
требуется вычислить среднее ^(г, 9):
С т
где {(От} —частотный базис нелинейностей.
Среднее -ф(г, 9) содержит только резонансные члены:
ФС, е)=22ф«'«/'<?ехр^(д8)}'
(дл)+о)т=о.
Справедлива следующая теорема.
Теорема У1.2. Пусть правые части системы (2.1) почти
периодичны по времени и являются многочленами по х, у;
собственные числа — чисто мнимые и не связаны резонансными
соотношениями до третьего порядка включительно. Пусть также
среднее у(г, 9) есть отрицательно определенная функция по
переменным г. Тогда положение равновесия система (2.1)
асимптотически устойчиво.
Доказательство основано на проверке условий теоремы Ш.9.
Рассмотрим пример. Пусть дана система
Х1=)чУ1 — Х1У\3 51п *-\~2у\Уг (4з1п У~Ы-\-\)~
- ХГ1** С05 I - Х\{2 + 3 С05 УЪ) + Ххх\ ( 51П У& + С05 У 5 /) +
+0(1М14>>
ух = -Хгхх-х\(2 зш У 21 +1) -^Г1 У&г*У$ соз УЪь +
+У\Уг(3+7созI) + ^л;2г/25соз УЪ + 0(\\г||4),
^2= _Х2г/2 - г/1 (4 51П УЬ + \)-~1ТЩУ2х1х2 соз уЪ -
- х1хгу1 (6 - соз У~Ы) + О ()| г ||4),'
#2—Ха*а + 2*1*а (2 зш К^+ 1) —0?^ (5 — 3 соз УЩ —
-^(1 + созКЗ?) + 0(||2||4),
2=(л;1, г/х, х2, г/г)>
Положим Х1=2]/б, Х2=31/б. Тогда возмущенная функция
Ляпунова имеет вид
V=^,5x1(x\+у^)+о,5\2(x22+у2)+xи^п^-{-
у\у% С* 31П УЫ -\-1) .
Если найти среднее я|э от производной возмущенной функции
.Ляпунова, то оно содержит только члены тождественного резо-
165
нанса четвертого порядка и является знакоотрицательной би-
квадратичной функцией по г, (г,-2=л;г2+г/,-2,1= 1,2):
ф(г)=Кб(- 1,5г?-2,25г2г2- 1,125г42) .
Таким образом, согласно теореме У1.2 положение равновесия
исходной системы асимптотически устойчиво.
Глава VII
ИССЛЕДОВАНИЕ НА УСТОЙЧИВОСТЬ
ПРИ МАЛЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗМУЩЕНИЯХ
§ 1. Системы, содержащие малые случайные возмущения.
Постановка задачи, определения
Выше рассматривались детерминированные системы,
содержащие малые возмущения. Однако особый интерес
представляют задачи, содержащие случайные характеристики имеющихся
воздействий, описываемые системами со случайными
возмущениями [23, 58]. При этом естественно строить модель процесса
так, чтобы случайные факторы составляли малые добавки к
детерминированным правым частям. С точки зрения исследования
на устойчивость более простой является ситуация, когда
детерминированная система имеет асимптотически устойчивое
положение равновесия. Этот вопрос основательно изучен в
литературе [23]. Нри этом на возмущения накладываются общие условия
маЛОШГВ'Том или ином смысле.
Настоящая глава посвящена исследованию на устойчивость
в нейтральном случае, когда невозмущенная
детерминированная система имеет устойчивое положение равновесия, и на
случайные возмущения накладываются вполне конкретные условия.
В настоящей главе будем рассматривать схемы случайных
возмущений вида
' * = /(*, *) + {*(*, *)«(*)• (1.1)
Здесь 0<ц<с1, а(1> г) — матрица, переводящая #' в Яп, со(0 —
процесс белого шума со значениями в /?', который можно
определить как производную (в смысле обобщенных функций) от
/-мерного винеровского процесса. Белый шум о>(0
характеризуется тем, что его значения в любые два момента времени (даже
сколь угодно близкие) не коррелированы, а спектральная
плотность является постоянной на всех частотах. Такой выбор
объекта исследования достаточно целесообразен, так как шумы во
многих реальных системах хорошо аппроксимируются белыми
166
шумами и решения уравнений вида (1.1) представляют собой
марковские процессы, для которых имеется развитая теория.
Рассмотрим схему случайных возмущений, включающую как
Процессы типа белого шума, так и процессы, полученные в
результате его фильтрации:
Здесь р,>0 —малый параметр; г=(х, у) = (хь ..., хщ, Уъ ....
Ут); \ и Р— векторы с п = п1 + п2 компонентами (п{^\)\ х\ и
Ь — векторы с Гсз компонентами; ш(7) = (Ш[(7), ..., шп<(0) —
стандартный винеровский процесс со значениями в /?"*,
определенный на вероятностном пространстве (Ф={о)}, Р, Р); о к А —
матрицы, переводящие Я"* в #п и %Пз соответственно, причем
0Л* = 0.
Правые части системы (1.2) будем считать определенными в
области Он, где С/я — замыкание области Ун, т. е. Ин'Л\х\\<
<#^оо, у^К^ц^Н"", 0<ц<С1, ^>0. Всюду в дальнейшем
будем предполагать, что выполнены некоторые условий,
обеспечивающие для любой начальной точки (го, щ) существование и
единственность (с точностью до стохастической
эквивалентности) непрерывного с вероятностью единица решения системы
(1.2), представляемого по крайней мере до момента первого
выхода Vн-
Невозмущенная система
*=/(/, г) (1.3)
по переменным х имеет точку покоя # = 0, т. е. ^(4, 0, у) = 0 при
. Систему с возмущениями (1.2) будем исследовать на
устойчивость по переменным х в окрестности точки # = 0. Введем
случайную величину
•4=1п! (/>/(,; II *(*» /0„ г0, т)0, [)., №) || >е) — /0, (1.4)
где х(0 —компонента решения х(0. у{*)> чУ) системы (1.2) с
начальными условиями г(1о)=га, т1(7о)=,По- Если для некоторого
щеФ случайная величина -г*^ не определена, то положим ее
равной бесконечности. Величина т* имеет смысл времени,
проводимого решением возмущенной системы (1.2) по переменным х в
б-окрестности положения равновесия х=0 системы (1.3) до
момента первого выхода. В качестве меры устойчивости системы
относительно случайных возмущений естественно выбирать
различные вероятностные характеристики случайной величины ^*
Так, если мы интересуемся поведением решения только на
конечном отрезке времени |7о, 1а+Т\, то в качестве меры
устойчивости удобно взять Р(т* >Т). Если же интервал времени не
167
фиксирован и известно, что Р(т° <оо) = 1, то
устойчивость"можно характеризовать величиной Мт° . Ниже для нахождения
указанных вероятностей и математических ожиданий будет
построено расширение второго метода Ляпунова {54], аналогичное
изложенному в гл. III и основанное на построении возмущенных
функций Ляпунова для стохастических систем с малым
параметром.
Введем матрицы С= (с,-,/)=<т-сг* ий=(йу)=ЛЛ*.
Обозначим через Ь^ производящий дифференциальный оператор
процесса I, г, х\:
(1.5)
Здесь по повторяющимся индексам производится суммирование
в пределах их изменения.
Рассмотрим две неотрицательные измеримые функции
т|)[ : Яп-*-%1 и ^2: кПз-^1, с помощью которых дадим
определение устойчивости по вероятности.
Рассмотрим также к(^) (и^О) — множество векторных
случайных величин го, х\о, независимых от процессов да,(7,)—№;(((,)
(1<;«:я4, *>*ч>) таких, что Р(\\хй\\<Н) = 1.
Определение VII.1. Говорят, что положение равновесия
х = () системы (1.3) (х, ц)-устойчиво по вероятности (при
^>^о^0) при возмущениях (1.2) относительно условия я^, если
для любых сколь угодно малых е1(е1<#), ег>0 и любого сколь
угодно большого Е>0 найдутся б>0 и \ю>0 такие, что если
случайная величина (го, г)о)^Ы((0) такова, что М^ 1(20)^6 и
М'фаО)©)3?^, то ПРИ 0<|л<СЦо выполняется неравенство
, -..•■-«..-.р(зир' || хЦ, *0, г0, т)0, р., со) || >е1)<е2. (1.6)
IX.
. Данное определение, с одной стороны, близко к определению
условной устойчивости (требуется существование некоторых
моментов распределения случайной величины (г0, х\0), а с
другой — к определению устойчивости при постоянно действующих
возмущениях, так как требуется малость параметра ц. Однако
в отличие от устойчивости при постоянно действующих
возмущениях, когда имеется асимптотическая устойчивость
невозмущенной системы и от возмущений требуется только малость в
каком-то смысле, в рассматриваемом случае на возмущения
накладываются ограничения, за счет которых и достигается
устойчивость.
Более содержательным определение VII. 1 становится при
замене полуинтервала ^^о>0 на конечный отрезок времени
■Ро,*о + Л-
Определение УП.2. Говорят, что положение равновесий
х=б системы (1.3) (х, Т, ц)-устойчиво по вероятности (при
168
Ог^о^гОо + Т1) при возмущениях (1.2) относительно
условия 1|з, если для любых сколь угодно малых е1(е1<#), ег>0 и
любого сколь угодно большого Е>0 найдутся б>0 и р,о>0
такие, что если случайная величина (го, г\о)^Ы(1<,) такова, что
Л1ф1 (20) <!6 и М'фгС'По)^^, то при 0<ц^цо выполняется
неравенство
Р (вир Цл:(/, *0» г0, •»)„, [х, со)||>е1)<е2. (1.7)
Здесь можно ставить задачу определения зависимости еь ег
от р, для фиксированного отрезка времени длины Т в
неравенстве (1.7) или задачу нахождения по возможности
наибольшего асимптотического интервала Т = Т(\х, ги ег), ИтТ(\1, еь
е2)=°°, на котором справедлива оценка (1.5). Условия
обращения возмущений в нуль в точке покоя здесь не требуется.
Рассмотрим набор К= (еь ег, Т, 1& цо, б, Е, Цри фг), где еь ег,
Т, \1<), 6, Е>0 и ^о>0 — числа, а т|Э[ и -ф2 — введенные выше
функции.
Определение УП.З. Говорят, что положения равновесия
х=0 системы (1.3) устойчиво по вероятности относительно
заданной оценки К при возмущениях (1.2), если для любой
случайной величины (20, т1о)еЛ^0) такой, что ЛГф|(2оХ6 и
■М^гСло)5^, при 0<|л^цо справедлива оценка (1.7).
Последнее определение обобщает понятие технической
устойчивости движения для обыкновенных дифференциальных
уравнений.
Будем считать некоторые параметры в наборе К заданными.
Ставится задача выяснить, какими должны быть оставшиеся
параметры, чтобы можно было гарантировать выполнение
неравенства (1.7).
Получение некоторых соотношений между параметрами
набора К обычно вполне возможно, если известны условия,
выполнение которых обеспечивает (х, Т, р,)-устойчивость по
вероятности положения равновесия х = 0 при возмущениях (1.2)
относительно условия ф.
Для описания свойств устойчивости невозмущенной системы
(1.3) будем, как и выше, пользоваться функциями Ляпунова,
положительно определенными по части переменных и
имеющими бесконечно малый высший предел. Определения таких
функций даны в гл. II. В дальнейшем всюду будем считать, что если
функция с>о(Х х, у) положительно определена, то заданы и поло-,
жительно определенные функции ю(х) и ш_(х) такие, что
«>_( 11*11 ХМ*, х, у)<:Ю(\\х\\) в Он- Функции V0(^, г) далее будем
считать дважды непрерывно дифференцируемыми в области Ип-
Пусть теперь фь 0.% и С?з — некоторые области в </?"•, КПг,
%п* соответственно. Рассмотрим область
169
(} = У, 2, "ч:<<Г<оо, леС^ГН*: ![■*[[<//}; уеЕ<3„ чевС}3,
(1.8)
Пусть г({), г)(() —некоторое решение системы уравнений (1.2)
с начальными условиями (го, цо)^М({0). Определим момент
первого выхода процесса ((, гЦ), х\Ц)) из области (2-
равенством т=т{ ({^(0: (^, г((), г)(1))^С}. Если для некоторого соей
величина т не определена, то полагаем ее равной бесконечности.
Положим 5*=1шп(^, т). Случайный процесс |(*) =5*> 2(50.
ч\(81)) называется процессом, остановленным в момент первого
выхода из области С}.
Обозначим через Рг наименьшую а-алгебру, относительно
которой измеримы случайные величины 1(з) при ^О^.
Очевидно, что /^^/^«^ при *о<5^.
Определение уП.4 [23]. Монотонно неубывающее
семейство а-алгебр, определенных при 1><?о>0 и таких, что М«^М
при ^о^5^^, назовем потоком а-алгебр.
Определение VII.5 [23]. Случайный процесс V(^) (7>?0>
^0) со значениями в Я1 назовем подчиненным потоку а-алгебр
Л^(7>^о>0), если при любом фиксированном 1^1$ случайная
величина \(1) измерима относительно М.
Оп ределениеУП.6 [23]. Пару {\({), N1), в которой
процесс у(0 со значениями Я1 подчинен потоку а-алгебр N{{1^
^о>0) и М\\(1) | <оо(7>^0), назовем супермартингалом, если
М(\(1)1Ы8)^у(з) при *<,«*«'•
Приведем здесь также неравенство Колмогорова для
неотрицательных супермартингалов [27].
Если у(г)>0 (О^о^О)— случайный процесс, имеющий
непрерывные с вероятностью единица траектории, и пара (у(<),
ЩЛ— суйермартингал, то для любого Я>0 справедливо нера-
венство
Р(8прН^>^)<М^а0)1\. (1.9)
§ 2. Исследование на устойчивость
с помощью возмущенной функции Ляпунова
С помощью аппарата возмущенных функций Ляпунова
оценивается, асимптотический по малому параметру отрезок
времени, на котором решения системы (1.2), близкие к устойчивой
точке покоя невозмущенной системы в начальный момент
времени, останутся в некоторой ее заданной окрестности с
заданной вероятностью, т. е. проводится исследование на
устойчивость в смысле определений VII.1 и VII.2.
Пусть имеется некоторая положительно определенная и
допускающая по переменным х бесконечно малый высший предел
функции Vо(^, г). Обозначим через ср(7, г, т), ц) результат
действия на функцию Со оператора Ьц. Зададим некоторое е>0.
ПО
Если функция ф неположительна в е-окрестности точки х=0, то
V0 является стохастической функцией Ляпунова системы (1.2)
и можно заключить, что траектории возмущенной системы с
положительной (и стремящейся к единице при стремлении нормы
начальных условий по переменным х к нулю) вероятностью
остаются в области ||х||<е для всех О^о [58]. Если же ф
принимает положительные значения во всех или в некоторых точках
интересующего нас множества, то рассмотренная функция г>0 не
позволяет сделать вывод об устойчивости точки х=0 на
бесконечном временном интервале (тем более, что в таком случае
устойчивости может и не быть). Но и в этом случае
использование функции с>о не является совершенно бесполезным. С ее
помощью могут быть получены оценки распределения
случайной величины т, имеющей смысл времени, проводимого
траекториями системы с возмущениями в е-окрестности положения
равновесия до момента первого выхода.
Пусть для некоторой постоянной фо^О имеем ф<ф0 в 11и-
Зададим некоторое 0<6<1. Чем меньше для взятой функции
V^(^, г) величина ф0, тем для большего Т>0 можно
гарантировать справедливость равенства /э(т^7')<6.
Если в качестве функции с>о взять функцию Ляпунова
невозмущенной системы, то ф(^, 2, т), ц) имеет порядок ц. и в качестве
порядка Т можно взять ц,-1. Если указанная оценка для Т не
является удовлетворительной, то можно попытаться улучшить
ее, привлекая для этой цели аппарат возмущенных функций
Ляпунова (см. гл. III).
Основная идея такого подхода состоит в том, чтобы
постараться уничтожить функцию ф (или уменьшить принимаемые
ею положительные значения) с помощью подходящего
возмущения и функции Ляпунова Со-
Естественно, что функция и не может быть выбрана
совершенно произвольным образом. Необходимо, чтобы по поведению
функции V = Vо+и на траекториях системы (1.2)' было можно
сделать выводы о поведении нормы решения. Для этого нужно,
чтобы для некоторого числа с^ поверхности уровня V = V^
являлись замкнутыми относительно нуля по переменным х
множествами и располагались по переменным х внутри е-окрестности
точки покоя. Для обеспечения этого потребуем, чтобы
возмущение и(Ь г, г], р,) для малых р, можно было сделать достаточно
малым (по крайней мере на интересующем нас отрезке
времени).
Требование малости и фактически является требованием,
соразмеряющим, размеры окрестности исследуемой на
устойчивость точки с величиной возмущений, и если в конкретной задаче
нет возможности добиться выполнения неравенства Р(т<Г)^д
за счет уменьшения р,, то можно попытаться сделать это,
увеличивая е.
171
Перейдем к обоснованию простейшего варианта метода
возмущенных функций Ляпунова и рассмотрим некоторые
примеры его применения.
Теорема VI 1.1. Пусть выполняется следующее условие:
1°) существует положительно определенная по х, функция
Ляпунова системы (1.3) уа(1, х, у), допускающая по переменным
х бесконечно малый высший предел, такая, что
д( ' дгг
Пусть далее, в Он определено возмущение функции
Ляпунова и((, г, г\, ц), дважды непрерывно дифференцируемое, такое,
что:
2°)' для некоторой функцииу (а) : Нт %(а) =0, \и\ </(ц) в Он;
а->-0
3°) 1ц(с;о+ы)<0в Ун.
Тогда для любых г\, ег>0(е1<:Я) можно указать такие 6>0
и цо>0, что при всех й<\*,<.\\,0 равномерно по 10^0 из
выполнения условия А1й;(||хо11)^б((го, т)о)еМ(й))) следует неравенство
Р(зир || хЦ, и, г0, \, ц, ч || >Н)<Н-
П Зафиксируем некоторые е\, ег>0 (е^Я). В момент
времени ^0>0 выпустим решение системы (1.2) с начальными
условиями (г0, щ)&Й(^), Мф(\\хо\\)<6. Обозначим через тц момент
первого выхода процесса (I, г(1), г\(1)) из 1/к. Пусть 5(=тт {I,
%и). Из выбора величины 5/ и положительной определенности
функции Ляпунова следуют неравенства
Р(зир || *(*) || >в1)=Р(вир|| *(*<) \\ >н)=
= Р зир да (|| х («,) || ) > да (ех)) < Р (зир ъй ($„ г (я,)) > да (&{)). (2.1)
<><#— • ~ (>и —
Рассмотрим функцию 47(1, г, ц, \^)=V^(^, г)+%(\х)+и(^ г, т), ц,).
В силу условия 2°, 47(1, г, т), у.)~^Уъ(1, г) в Он- Следовательно,
справедливо неравенство
Р (зир юй («„ г (5,)) > да (•!» < Я (зир Ш («,) > да (в1)). (2.2)
Здесь Ч7(8г)=*47(8и г(з(), ц(&1), ц). Так как Н7>0 и в силу
условия 3°, Ьу.47^0 в Он, то случайный процесс 47(8() является
неотрицательным супермартингалом. Используя неравенство (1.9)
для неотрицательных супермартингалов и соотношения (2.1) и
(2.2), получим
Р (зир I! х (О || > в1).< (8+2Х (ц))/да (^). (2.3)
Выберем б>0 и р,0>0 из условия 6+2у(цо)<:а>(е1)е2- В силу,
произвольности б и того, что Нтх'(м-) = 0> это возможно. Так как
|1-»0
172
Х(ц)<х(М для 0<ц<цо, то при таком выборе 6>0 и ц-о>0 ИЗ
(2.3) при 0<ц,^р,о получим
Р(зир«л(^)||>81)<г2.
Равномерность по ^5=0 следует из того, что функция Ляпунова
с>о(Х х, у) допускает по переменным х бесконечно малый высший
предел. ■
Замечание 1. Теорема VII.1 дает достаточные условия
(х, ц,)-устойчивости по вероятности положения равновесия
системы (1.2) х=0 при возмущениях (1.2) относительно условия
•ф=(ш(-),1) (см. определение VII.! в § 1).
Замечание 2. Если в теореме VII.! отказаться от
предположения о том, что функция Ляпунова о0(Х г) допускает по
переменным х бесконечно малый высший предел, то оказывается
верным следующее утверждение:
Для любых 61 (е^п), €г>0, *0>0 можно указать 6>0 и
}Ло>0 такие, что при всех 0<1ц,<цо из выполнения условия
МV()(^^), г0)<б((20, г\о)^Ы((0)) следует неравенство
Р(зир || хУ, *0, г0, к]0, (х, «>) II > ех)< е2.
Такого рода ослабление требований на функцию Ляпунова
невозмущенной системы возможно и в последующих
утверждениях, но в дальнейшем специально останавливаться на нем не
будем.
Рассмотрим в качестве примера ■ систему уравнений Ито с
малым параметром:
(1 хх=(лг2+^2 8Ш 21) (11 — УЪ}.х2 соз 16 щ (/),
(1 Х2— — (XI -}- ^2 + Iх с«3 2/) (1 {-\- ]/~2^Х2 5111 I (1 702 (О-
Для возмущенной функции Ляпунова
•»(/, х, \>■) = V0+и=(\|2)(x:1 + x^)^^V■X1Со$2^-{-(1|4)\^■1^со&4^
в области 11*11 <#<°°, ^>0 выполнены все условия
теоремы УП.1, т. е. Ь^ = 0,\и(^ х, ,ц) |<цЯ+ ('Д)^.
Отметим, что ни при каком, фиксированном р,>0 функция
1>(Х х, ц) не является положительно определенной по перемен-
'НЫМ (Х\, Х2)-
Если условие 3° теоремы VII.! не выполняется, то
устойчивость точки #=0 при 1>>и для системы с возмущениями (1.2)
может не иметь места. Однако в таких случаях представляется
возможным с помощью аппарата возмущенных функций
Ляпунова оценить отрезок времени, на котором решения системы
(1.2), близкие к точке покоя в начальный момент времени,
останутся в некоторой ее заданной окрестности с заданной
вероятностью.
•173
Теорема УП.2. Пусть выполняется следующее условие:
1°) существует положительно определенная по х функция
Ляпунова 1>0(Х х, у) системы (1.2), допускающая по
переменным х бесконечно малый высший предел, такая, что
Пусть, далее, в ПИ определено возмущение функции
Ляпунова и((, г, г\, [I), дважды, непрерывно дифференцируемое, такое,
что:
2°) для некоторой функции %(а) : Нтх(а)=0, |«Кх(а)
а-»0
в 0И.
3°) для некоторых постоянной ф0>0 и функции 0(а):
Нт 9(а) = О, 1ц(г»0(*, г)4-иЦ, г, ц, р.))<9(ц) • ср0 в 1}И.
Тогда для любых ъ\, ег>0 (е^Я) можно указать такие
х>0, 6>0 ицо>0, что при всех 0<ц,<р,о. Т~х(<$ф(\1))~1
равномерно по ^о^О из выполнения условия Мй>(\\хо\\)<6 ((г0, щ)&
^Ы((0)) следует неравенство
Р( зир || XV, /0, г0, Т)0, (1, иг) И >81><г2-
□ Зафиксируем некоторые еь ег>0 (е^Я). В момент
времени <о^0 выпустим решение системы (1.2) с начальными
условиями (2о, цо)^N(^о), А1й;(||дсо11)^б. Введем функцию
№(*, г, ч, М=г>0('. г) + Х(« + «С. «. Ъ М + в(ц)<ро(7, + <0-')-
Рассмотрим открытое множество <3 : ^<^0+^ 11*11 <еь уе#п*
*^#™.»,уД|)брзначим через Тц. момент первого выхода процесса
{I, г(■{)', ц(()) из <3. Положим 5(=тш (1,-ч»)- Из положительной
определенности функции Ляпуирва по переменным х, выбора
величины 5* и того, что №>0О ПРИ ^<■Т + ^<^, следуют
соотношения
Р( зир 1х(^>в,)=Р(81ф да(|*(/)|)>да(в1))<
<Р(зир ©„(/, 2(*))>®>(*1))<
<Р(зир Г(*, 2(0, ч(0, ц) >«(«!»= (2.4)
=Р(зир1Г($„ *(*,), ч(*,), р)>да(в1».
Нетрудно видеть, что №(*, г, т], ц)»° в С. В силу условия 3°,
1ц#<0 в г/я, а так как Я^1!н, то случайный процесс №($<) =
= И?(5*, <:($*), ц(5(), ц) является неотрицательным супермартии-
галом. Таким образом, из (2.4) получаем
174
Я(«пр 1к(0|>з1)< "+21М;'И^ (2.5)
Выберем б>0, х>0 и цо>0 из условия
§ + 2х(Н-о>+х<®(е1>е2- (2-6)
Это возможно в силу произвольности х, б и условия 3°. Из (2.5)
и (2.6) получим требуемый результат. Равномерность по ^>>0
следует из того, что функция Ляпунова о0(Х х, у) допускает по
переменным х бесконечно малый высший предел.
Введем случайную величину
т|!1, = П11п(/>/():|!л:.(/, ^й, г0, \, р, ^\~>е.д— /0-
Случайная величина т^ имеет смысл времени, проводимого
решением системы (1.2), по переменным х в егокрестности
положения равновесия до момента первого выхода. В качестве меры
устойчивости системы (1.3) при возмущениях (1.2) можно
выбирать различные вероятностные характеристики величины т^1-
Заметим, что т*1 может с положительной вероятностью
оказаться равной бесконечности (например, если выполнены условия
теоремы У11.1).
Предположим., что Р(т%' <оо) = 1 и Мт^ <оо. Теорема УП.2
дает возможность оценить снизу М%'^ - (среднее время, проводи-
мбе решением системы (1.2) по переменным х в егокрестности
положения равновесия до момента первого выхода):
Жт«->ГР(т'->Г)=ГР (5ир И/)||<П) =
= Г(1-Р(вир \\х(Щ>н))>
> Т (1 - (Мда фф + 2Х 00+Г^О №))/да ("!))■ (2.7)
Последнее из неравенств (2.7) является следствием
неравенства (2.5). Оценка (2.7) нетривиальна при 7*>0 и
Жта (|^)+2Х (Р) + Тъв ((х) < да (в1). (2.8)
Положим в (2.7) !Г=>с(фов(р,))т1. Максимум правой части (2.7)
достигается при
2 — \ да (б!) )
Подставив это значение в (2.7), окончательно получим
*»<»Л^>-и (*) (1 -^М+Дх») у (2.9)
175
Учитывая условия (2.8), получим, что оценка (2.9) справедлива
при АГю(||*о11) +2х(ц)-Ог,(е1). ■
Рассмотрим поведение маятника (или иной линейной
колебательной системы, например электрического колебательного
контура) при воздействии внешней силы:
х+&2х=\>./(1)
Предположим, что внешняя сила является периодической:
/ = со5<йо^. В этом случае зависимость амплитуды г
вынужденных колебаний от частоты внешней силы соо имеет вид г = ц,/|й2—
—о>о21. Чем ближе частоты & и о)0, тем сильнее внешняя сила
раскачивает маятник. При резонансе й = соо вынужденные
колебания нарастают неограниченно.
Спектр функции созшо^ состоит из одной точки со0 и,
следовательно, внешняя сила, моделируемая в виде соз©0^ переносит
энергию только на одной частоте соо. От реальных же
возмущений следует ожидать, что их энергия «размазана» в некотором
интервале частот, окружающем точку со0.
Промоделируем отклонение внешней силы от периодической
с помощью введения диффузии фазы. Исходным для анализа
служит уравнение
х-\-О?х=рсо5(«>01-{-г1), (2.10)
где (»0>0, йч\=ъ\/Г2й<а>(().
Запишем уравнение (2.10) в виде системы уравнений Ито:
(1т) = 3|/2 &воф.
Прп-грфО воспользуемся возмущенной функцией Ляпунова
Ъ«, X, У, Ц, (Х) = ^0+И = (1/2)(Г/2 + 22Л2) +
+ !* КА* + А&) С05 (Ю0/ + -Ц) + (А5Х+ А$) 31П (ю0/ -{- 4)1 +
+ ^21Л5(со5(2(ш0/ + 7)))4-Л65т(2((о0^ + ^))1,
где ' д = (22 4-а*-ш^)2 4-4(.>оз4,
А, = - 2* (22 + о* -г- о>о)/Д, А2=а2 (22 4- з4 + ш§)/д,
Л3 = 2(о0а222/Д, Л4 = (о0(22_о4_(й2)уд>
Л5=(2а2Л2 + «'0А)/(16а4+4шо),
Л6=(2Л44 - шоА^/с 16а4 + 4шо).
Для нее ^^^с= (1/г)М'2^2>0- Используя оценки настоящего
параграфа, получим, что решения с вероятностью единица выходят
из любой ограниченной области, содержащей начало координат,
176
за среднее время порядка 0((Л2ц.2)-1) для любого соо>0. Это и
понятно, так как энергия, переносимая функцией 1(1), отлична
от нуля на любой частоте. Если интенсивность шума не
слишком велика по сравнению с собственной частотой системы
й(<т4<ЗЙ2), то наибольшая скорость ухода (максимум А2)
достигается в точке
в)0=(_(О2 4-о«)4-22(224-в1),/2)1/2-
При малых а(сг-СЙ) имеем <оо~й—(1/8й)а8, откуда видно, что
максимальная средняя скорость ухода траекторий достигается
не при точном совпадении частоты вынуждающей силы с
собственной частотой осциллятора й, а смещается влево от & по оси
частот на величину, зависящую от о. Такой же сдвиг наиболее
возбудимой (резонансной) частоты наблюдается в случае, если
оставить внешнюю силу периодической, но ввести в уравнение
трение, пропорциональное скорости:
(при малых о
Если попытаться более ясно выделить резонанс, например
как более быстрое по параметру ц, движение, то мы должны
соразмерить интенсивность диффузии фазы с амплитудой
вынуждающей силы. Предположим, что а2(ц,)^Сц, (С>0). Тогда
при шо = й амплитуда колебаний решения будет возрастать на
величину порядка 0(1) за время порядка 0(\а~1), а при
<лоФ&— за время 0((о\х,)~2) (при сделанном предположении
(<Т[д,)-2;эгС-1[дг3). Условию <т2<:Сц, можно дать следующее
толкование: чем меньше амплитуда вынуждающей силы, тем ближе
она должна быть к периодической, чтобы вызвать быстрое
резонансное движение.
При <т4>302 функция А2 монотонно-убывает до нуля при
о)<г->-°°. В этом случае выделение особой частоты «о не имеет
существенного смысла. Отметим, что постоянная функция V
позволяет оценить поведение траекторий й при; больших о(о^>^).
В этом случае Мт°' =0(сг2цг2).
§ 3. Построение возмущения функций Ляпунова
Рассматривается случай, когда возможно построить
возмущение функции Ляпунова в виде многочлена или ряда по
степеням малого параметра.
Предположим, что элементы матриц СО и векторов Ь и Р
разложимы в ряды по степеням \х:
си=р*сик=рк((, г, к]), 1</,/<я, * = 0,1,--
177
Напомним, что в § 1 было отмечено, что по повторяющимся
индексам производится суммирование в пределах их изменения.
Представим оператор Ьц в виде
^ = ^+2^*. (3-1)
6-1
где
1*=4г+М*> *>-г-+М'.Ч 0)±+±а„«, -п, 0) д2
д1 ■ ' дг{ ' д-«1, ' 2 "х'" дщд-ц,
г с- <? , . д , 1 , «Э2 . 1 д2
Ьъ=г 1,0-1 т- -Г *>ш т- + "Г "'/* 1ГХ7 +"7Г с'-/.*-1;
дг, ' ,кдтн ' 2 ""дт,,^, ' 2 """ *дг,дг/
& = 1, 2, 3,... .
Построим теперь возмущенную функцию Ляпунова V в виде
V = V0(^, 2) + 1*И(/, г, 7), (г),
й(Л г, ч, [1.)=1**-1йй(<, г, к)), 1<&</ге.
Подействуем на возмущенную функцию Ляпунова (3.2)
оператором Ь^ заданным формулой (3.1), и объединим члены, содер»
жащие одинаковые степени ц:
1 >+'1=р, * /
\ ]>\,1>\ 1
ч I ""■ /+<-И I 1/+/-П I
-■ -.\..4.»_. . />1,/>1 / \)4.1<т 1
Потребуем, чтобы функции и* являлись решениями
рекуррентной системы уравнений:
Ьцик=— <рА_1,*=1, 2,..., т,^к-1=^ ^«,-+^*г' —?*-ь (3.4)
где ф*-1(% 2, т)) — некоторые функции, выбор которых будет
пояснен ниже.
Пусть'найдено т функций «*, которые удовлетворяют систе-
ме уравнений (3.4). Тогда из (3.3) и (3.4) получим
/?«,«, ч. 10=2 ^-т~1(2 ^+^оу (3,5>
Для того чтобы к построенной таким образом возмущенной
функции Ляпунова можно было.применить теоремы § 2, нужно
178
дополнительно потребовать ограниченность модулей функций
"к, фа-1 О<&<"*) и #С1> г> Ч>^) в Ун.
В примере § 2 функция сро=0, функция ф1= С/2М2Х).
Возмущенная функция Ляпунова V = Vо + и, построенная по
формулам (3.4), сама может оказаться положительно
определенной по переменным х. В этом случае мы можем применять
к ней не только теоремы предыдущего параграфа, но и другие
известные результаты по методу стохастических функций
Ляпунова.
Рассмотрим, например, модель линейного осциллятора с
флуктуирующей собственной частотой:
Зс + (<в2-+-1*соз(2^+ч1))л:=0, йг\ = оУ2йт((). (3.6)
При о = 0 получаем широко известное уравнение Матье для
которого на плоскости параметров ц и соо имеется счетное число
зон параметрического резонанса (параметрической
неустойчивости), примыкающих к точкам \1 = 0, а>о = к (к=\, 2, ...).
Запишем уравнение (3.6) в виде системы, используя
полярные канонические координаты:
л:=1/2г5т(ср/2), л:=(о0|/Л27со5(^/2)>
Г=-(-^-}8Н1<рС08(2* + 11)Г, (3.7)
ю = 2(о04-рЦ(1 — соз <р) Соз (2/-И), дт) = о К2 (!«;(/).
\<во/
Пользуясь результатами работы [58], будем исследовать
положение равновесия г = 0 системы (3.7) на устойчивость в
среднем квадратическом (определение см. {58], с. 231).
Построим для уравнений (3.7) по формулам (3.4)
возмущенную функцию Ляпунова V, используя функцию о.о=г:
■И — Г -\- ((А ] у^Зт ((?-4-<1))4-А2С05(<р-|'<1') +
-I- Аз зт (<?—ф)+А4 соз (?+Ф)1г + V-2 -5ГГ •
[К! соз2<|)+АГ2 зт 2ф + ^з С08 <р+/С4 зт <? + (3:8)
+К5 соз (? + 2<|>)+/С6 зт (<р+2ф) +
+АГ7зт (<? — 2ф)4-АГ8соз(9— Щг>
где я|з = 2^ + т1. Тогда получим
^=~^т(А1 + А3)г+0(^)г, (3.9)
.где '
-(Л1 + Аз)=«2((4(1+%)2 + ^)-1+(4(1-%)2 + ^)-1)>0
. 179
при афО. Остальные коэффициенты Аь /С,- можно восстановить
по формулам (3.4).
Выберем ц.0>0 таким образом, чтобы при 0<ц.<цо функции
V и Ь^ были положительно определены по переменной г. В силу
(3.8) и (3.9) это возможно. Тогда при 0<[а<ц,о для некоторой
постоянной й получаем
(О-^/а + ^ЯМг^ехр^^^-О^ + А,)) -
- р»о] а - /0)/( 1 + цО))< Мг (/)<
<((1 + ^)/(1-^))Жг(^0)ехр([Ш2(-(Л1 + Л))+!А3^] X
Х(/-/0)/(1-^)), (3.10)
если Мг(1ц) существует.
Неравенство (ЗЛО) показывает, что положение равновесия!
г=0 при малых ц, неустойчиво в среднем квадратическом.
Скорость возрастания Мг(() при малых ц, определяется величиной
(ц/2соо)2(—(Л+Л3))>0. Имеем
^/2%П-(А1 + АЯ)) = * 21 д^ ° 4 . (3.11)
Выражение (3.11) при малых о имеет .локальный максимум
в окрестности точки соо=1. Чтобы выявить другие локальные
максимумы в окрестностях точек <о<з = 6 (к = 2, 3, ...), нужно
строить возмущения функции Ляпунова высших порядков.
Введши в уравнение (3.6) малое трение, пропорциональное'
скоро©*»?-- •--
Зс + 2{д.2е^-(-((»о+1*со5(2/! + т]))л:=0. (3.12)
Тогда, рассмотрев возмущенную функцию Ляпунова
V1 = V-{-\>■2 (е/(О0)-Г 51Пср,
для которой
1^х = ~у? (2в 4- (Л 4- Л3)/(4(о02) г + гО ((»»),
получаем условие неустойчивости в среднем квадратическом:
4е^((4ш20-44-з4)24-16а4)/а2(44-4<оо4-з4))<1- (3.13)
Условие (3.13) справедливо при достаточно малых ц.
При замене в неравенстве (3.13) знака < на знак >
получим условие экспоненциальной устойчивости в среднем
квадратическом и одновременно условие асимптотической
устойчивости по вероятности.
ЛИТЕРАТУРА
Основная
1. Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А. Асимптотические
методы в теории нелинейных колебаний. М., 1974.
2. Красовский Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости
движения. М., 1959.
3. Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения. Харьков,
1892; М.—Л., 1950.
4. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.,
5. Тихонов А. Н., Васильева А. Б., Свешников А. Г.
Дифференциальные уравнения. М., 1980.
6. X а п а е в М. М. Усреднение в теории устойчивости. М., 1986.
Дополнительная
7. Барбашии Е. А. Введение в теорию устойчивости. М., 1967.
8. Гребенников Е. А., Рябов Ю. А. Резонансы и малые
знаменатели в небесной механике. М., 1978.
9. Крылов Н. М., Боголюбов Н. Н. Приложение методов
нелинейной механики к теории стационарных колебаний. Киев, 1934.
10. Крылов Н. М., Боголюбов Н. Н. Новые методы нелинейной
механики. Киев, 1934.
11. М а л к н н И. Г. Теория устойчивости движения. М., 1966.
12. Митропольский Ю. А. Метод усреднения в нелинейной
механике. Киев, 1971.
13. С а и с о н е Д ж. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.,
1953. Т. 1.
14. Чета ев Н. Г. Устойчивость движения. М.—Л., 1946.
Специальная
15. Аиашкин О. В. Об исследовании на устойчивость при постоянно
действующих возмущениях в «нейтральном случае>//Днфференц. уравнения.
1978. Т. 14. Вып. 6.
16. А н а ш к и и О. В. Об асимптотической устойчивости в нелинейных
системах//Дифференц. уравнения. 1978. Т. 14. Вып. 8.
17. Арнольд В. И. Условия применимости и оценка погрешности
метода усреднения для систем, которые в процессе эволюции проходят через ре-
зонансы//ДАН. 1965. Т. 161. № 1.
18. Азарова О. Д., Кузнецова И. В., Хапаев М. М.
Исследование на устойчивость в некоторых задачах нелинейной механики//ПММ, 1984.
Т. 48. Вып. 2.
19. Белецкий В. В. Движение спутника относительно центра масс. М.,
1965.
20. Б р ю и о А. Д. Аналитическая форма дифференциальных уравнений//
Тр. Московского математ. общ. 1971. Т. 25.
21. Б р ю и о А. Д. Нормальная форма вещественных дифференциальных
уравнений//Мат. заметки, 1975. Т. 18. № 2.
22. Волосов В. М. О методе усредиения//ДАН. 1961. Т. 137. № 1.
23. Г и х м а и И. И., Скороход А. В. Введение в теорию случайных
процессов. М., 1977.
24. Ильюшин А. А., П о б е Д р я Б. Е. Основы математической теории
термо-вязко-упругости. М., 1970.
25. Искандер-Заде 3. А. Монотонная устойчивость движения в
случае нейтральности линейного нриближения//ЖВМиМФ. 1966. Т. 6. № 3.
26. Климов Д. М., Филиппов В. А. О резонансе в существенно
нелинейной гироскопической системе//Изв. АН СССР. МТТ. 1970. № 6.
27. К о р о л ю к В. С, Скороход А. В., Турбин А. Ф. Справочник
по теории вероятностей и математической статистике. М., 1985.
181
28. К у н и ц ы н А. Л., М а р к е е в А. П. Устойчивость в резонансных слу-
чаях//В кн.: Итоги науки и техники. Общая механика. М., 1979. Т. 4.
29. Мартыиенко Ю. Г. Движение несбалансированного гироскопа с
неконтактным подвесом. — Изв. АН СССР. МТТ, 1974, № 4.
30. М а р ты нен ко Ю. Г., Савченко Т. А. Резонансные движения
гироскопа с неконтактным подвесом на вибрирующем основании//Изв. АН
СССР. МТТ. 1977. № 6.
31. М а т р о с о в В. М. К теории устойчивости движения//ПММ. 1962.
Т. 26. № 6.
32. Матросов В. М. Принцип сравнения с вектор-функцией Ляпунова
I—1У//Дифференц. уравнения. 1968. Т. 4, вып. 8; 1968, Т. 4, вып. 10; 1969,
Т. 5, вып. 7; 1969. Т. 5, вып. 12.
33. Молчанов А. М. Устойчивость в. случае нейтральности линейного
приближения//ДАН, 1961. Т. 141. № 1.
34. Молчанов А. М. ТЬе гезопап! з1гис1иге о! Ше зо1аг 31з1ет. 1сашз—
1п1егп. 1. оГ Ше 5о1аг 51з1ет, 1968, V. 8, № 2.
35. Н е й ш т а д т А. И. О прохождении через резонансы в двухчастотной
задаче//ДАН. 1975. Т. 221. № 2.
36. О з и р а н е р А. С., Румянцев В. В. Метод функции Ляпунова в
задаче об устойчивости движения относительно части персменных//ПММ. 1972.
Т. 36. № 2.
37. Р о 1 п с а г ё Н. Ьез теШойез поиуеПез йе 1а тесайщие се1ез!е. I—
III. — Рапз, 1892, 1893, 1899.
38. Пуанкаре-А. Лекции по небесной механике. М., 1965>
39. П у х а р е в а Н. В. Об устойчивости при постоянно действующих воз-
мушениях/УДифференц. уравнения. 1983. Т. 19. № 8.
40. РакитскнйЮ. В., Устинов С. М., Черноруцкий И. Г.
Численные методы решения жестких систем. — М., 1979.
41. Р у ш Н., А б е т с П., Л а л у а М. Прямой метод Ляпунова в теории
устойчивости. — М., 1980. ,
42. Фалин А. И. Об исследовании на устойчивость при постоянно
действующих возмущениях в одном специальном «нейтральном» случае//Диффе-
ренц. уравнения. 1979. Т. 15. № 12.
43. Ф и л а т о в А. Н. Методы усреднения в дифференциальных и интегро-
дифференциальиых уравнениях. Ташкент, 1971.
44. Ф и л а т о в О. П., X а п а е в М. М. Устойчивость резонансных
движений некоторых гироскопических систем//Изв. АН СССР, МТТ, 1982, № 4.
,,,.45. Филиппов А. Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной
правой'частТкГМ., 1985.
46. X а п а е в М. М. О методе усреднения и некоторых задачах,
связанных с усреднением//Дифференц. уравнения. Т. 11. № 5. 1966.
47. X а п а е в М. М. Об исследовании иа устойчивость в теории
нелинейных колебаний//Матем. заметки. 1968. Т. 3. № 3.
48. X а п а е в М. М. Обобщение второго метода Ляпунова и исследование
на устойчивость некоторых резонансных задач//ДАН. 1970. Т. 193. № 1.
49. X а па ев М. М. Об устойчивости в задаче трех тел//ДАН. 1970.
Т. 195. № 2. .
50. Хапаев М. М. Об усреднении в многочастотных системах//ДАН,
1974. Т. 217. № 5.
I 51. X а п а е в М. М. Об исследовании на устойчивость в задаче трех тел
на основе гидродинамической модели.планет//ДАН. 1976. Т. 231. № 5.
52. Хапаев М. М., А н а ш к и н О. В. Об исследовании на устойчивость
в системах обыкновенных дифференциальных уравнений с почти
периодическими коэффициентами//ДАН. 1978. Т. 240. № 5.
53. Хапаев М. М., Анашкин О. В. Метод сравнения и исследование
на устойчивость систем обыкновенных дифференциальных уравнений,
содержащих возмущения//Дифференц. уравнения. 1986. Т. 22. № 9.
54. Хапаев М. М., Баландин В. В. Построение возмущений
функции Ляпунова и исследование на устойчивость при малых случайных воздей-
ствиях/АДифференц. уравнения. 1987. Т. 23. № 4.
182
55. X а п а е в М. М., Фалин А. И. Об исследовании на устойчивость
в системах интегродифференциальных уравнений методом усреднения//ДАН.
1980. Т. 250. № 2.
56. X а п а е в М. М., Филатов О. П. Об усреднении и устойчивости в
системах с особеиностями//ДАН. 1981. Т. 261. № 1.
57. X а п а е в М. М., III и н к и н В. Н. Об исследовании резонансных
почти периодических систем на устойчивость по части переменных//ПММ. 1983.
Т. 47. № 2.
58. X а с ь м и н с к и й Р. 3. Устойчивость систем дифференциальных
уравнений при случайном возмущении их параметров. М., 1969.
59. Шпик и и В. Н. Об одном способе исследования на устойчивость
вторым обобщенным методом Ляпунова с помощью численного счета//Вест-
ник МГУ, сер. Вычисл. математ. и кибернетика. 1980. № 1.
60. Ч е р и о у с ь к о Ф. Л. Резонансные явления при движении спутника
относительно центра масс//Журнал вычислит, мат. и мат. физики. 1963. Т. 3.
№ 3.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие . 3
Введение 4
Глава I. Метод усреднения 11
§ 1. Метод усредвениг для систем в стандартной форме с
периодическими по времени правыми частями 11
§ 2. Метод усреднения для систем в стандартной форме при общих
предположениях о правых частях системы 18
§ 3. Усреднение в системах, содержащих быстрые и медленные
переменные 25
§ 4. Усреднение в многочастотных системах 34
Глава II. Второй метод Ляпунова (41
§ 1. Определение устойчивости ТГ
§ 2. Функции Ляпунова 47
§ 3. Теоремы Ляпунова об устойчивости 49
§ 4. Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости 53
§ 5. Теорема об устойчивости при постоянно действующих
возмущениях 56
§ 6. Теорема Четаева о неустойчивости 57
§ 7. Теорема метода сравнения 58
§ 8. Первый метод Ляпунова 60
Глава III. Обобщение второго метода Ляпунова ^^
§ 1. Постановка задачи об исследовании на устойчивость систем,
содержащих возмущения, в случае устойчивости невозмущеи-
ной системы ' 61
§ 2. Теорема об устойчивости, основанная на использовании
функции Ляпунова невозмущенной системы 63
§ 3. Постановка задачи об исследовании на (х, ц)-устойчивость по
части переменных систем, содержащих возмущения в
нейтральном случае „ , , . » , , , , , 67
183
§ 4. О поверхностях уровня возмущенной функции Ляпунова . . *. 69
§ 5. Исследование на устойчивость с помощью возмущенной
функции Ляпунова, заданной в кольцевой области 71
§ 6. Исследование на устойчивость на конечном интервале .... 76
§ 7. Об устойчивости в высших приближениях 78
§ 8. Теоремы о неустойчивости в нейтральном случае . 85
§ 9. Исследование ,на устойчивость систем, распадающихся на
отдельные подсистемы при отсутствии возмущений 93
§ 10. Исследование на асимптотическую устойчивость с помощью
обобщенного метода Ляпунова 99
§ 11. Исследование на устойчивость с помощью линеаризованной
системы 103
§ 12. Исследование на устойчивость в одном специальном
нейтральном случае 107
§ 13. Исследование на устойчивость в системах йнтегродифферен-
циальных уравнений 112
§ 14. Исследование на устойчивость с помощью численного
интегрирования . . . ' 121
§ 15. Теорема о (х, ц)-устойчивости, основанная на теореме срав
нения
Глава IV. Резонансные задачи в многочастотиых системах
§ 1. Постановка задачи
§ 2. Исследование на устойчивость одночастотных систем,
имеющих асимптотически устойчивую усредненную систему .... 132
§ 3. Исследование на устойчивость многочастотиых систем,
имеющих асимптотически устойчивую усредненную систему .... 133
§ 4. Исследование на устойчивость многочастотной системы на
конечном интервале времени 141
§ 5. Исследование иа устойчивость в некоторых задачах
нелинейной механики 143 .
§ 6. Устойчивость резонансных движений некоторых
гироскопических систем 148
Глава V. Исследование устойчивости орбит в задаче трех тел . . .(М51 )
| 1. Постановка задачи Т51
;"~| 2.("КЗйоиические переменные, уравнения движения н интегралы 152
движения в задаче трех тел 154
§ 3. Резонансные кривые и выбор новых переменных
§ 4. Построение возмущенной функции Ляпунова в задаче трех тел 155
§ 5. Гидродинамическая модель планетной системы 159
Глава VI. Система дифференциальных уравнений с квазипериоднче-^т==ч^
скими коэффициентами . .( 160 Л
§ 1. Исследование на устойчивость резонансов младших цррядков
с помощью невозмущенной функции Ляпунова 160
§ 2. Исследование на устойчивость резонансов высоких порядков с
помощью построения возмущенной функции Ляпунова .... 163
Глава VII. Исследование на устойчивость прн малых случайных
возмущениях ' . . 166
§ 1. Системы, содержащие малые случайные возмущения.
Постановка задачи, определения .166
§ 2. Исследование на устойчивость с помощью возмущенной
функции Ляпунова 170
§ 3. Построение возмущения функции Ляпунова 177
Литература • • • • 181